ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА
И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имен» А. А. ЖДАНОВА
И. И, ДАУГАВЕТ
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
ПРИБЛИЖЕНИЯ
ФУНКЦИЙ
Учебное пособие
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
ЛЕНИНГРАД 1977

Печатается по постановлению
Редакционно-издатсльского совета
Ленинградского университета
УДК 517.51
Д а у г а в е τ И. К. Введение в теорию приближения
функций. Учебное пособие. Л., Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. 184 с.
Цель книги — первоначальное ознакомление читателей с
основными результатами и методами теории приближения функций. При
отборе материала учитывалось наличие простого доказательства и
значение того или другого результата для вычислительной
математики.
Содержание книги: наилучшие приближения, прямые и
обратные теоремы конструктивной теории функций, ортогональные
многочлены, интерполяция. Некоторые из рассматриваемых в книге
вопросов до сих пор не освещались в учебной и монографической
литературе.
Книга рассчитана на студентов старших курсов университетов,,
кроме того, она может быть полезна научным работникам в
области вычислительной математики. Ил.—8, библиогр.—27 назв.
20204 0 52
Д n-vi шох пп 69—77 (7ϊ\ Издательство Ленинградского
\мъ\\}£)— и \^jj университета, 1977 г.
Даугавет Игорь Карлович
Введение в теорию приближения функций
Редактор Г. И. Чередниченко
Техн. редактор Л. В. Борщева
Корректоры Е. К. Терентьева, Н. А. Гагарина
Сдано в набор 3 I 1977 г. Подписано к печати 20 IV 1У77 г.
Формат бумаги 60x907ig. Ну μ. тип. № 3. Псч. л. 11.3. Уч.-из*. л.-13,73.
Бум. л. 5,75. Тираж 7723. Заказ 63. Цена 6] к.
Издательство ЛГУ им. Α. Λ. Жданова. 199164, Ленинград» Университетская нлб., 7/9.
Типография ЛГУ им А. А. Жданова. 199164, Ленинград, Университетская наб., 7/S.

ВВЕДЕНИЕ
В настоящей книге излагается 'курс лекций, которые а'втор
в течение -многих лет читал .на м-атематико-механическом
факультете Ленинградского университета в качестве годового
спецкурса, предназначенного для студентов,
специализирующихся по кафедре вычислительной математики. При создании
этого курса за основу были взяты лекции по конструктивной
теории функций проф. И. П. Натансона, которые автору
посчастливилось прослушать. С течением Бремени содержание курса
и способы изложения менялись. Книга отражает современное
состояние курса.
Теория приближения функций (или конструктивная теория
функций) (рассматривает задачи, ■ связанные с приближением
функций более простыми.
Первый вопрос, который возникает, когда сказана
предыдущая фраза, — это что понимать под простыми функциями.
Чаще всего рассматривается приближение функции функциями из
некоторого /г-параметрического семейства. Частным случаем
такой задачи является задача приближения функций
линейными комбинациями заданных функций, причем наибольший
практический интерес представляет приближение функций
алгебраическими полиномами. Именно этой задаче — приближению
функций полиномами — и посвящена в основном книга.
Близость двух функций может также пониматься
по-разному и трактуется обычно как близость в некотором
функциональном пространстве. Нас будет интересовать, главным
образом, равномерная близость, т. е. близость в пространстве С.
Итак, книга посвящена .преимущественно вопросам,
связанным с равномерным приближением функций полиномами.
Определенный интерес представляет выяснение тех условий, которым
удовлетворяет полипом, приближающий функцию наилучшим
образом. Далее, из классической теоремы Вейерштрасса
известно, что любая непрерывная функция на «конечном отрезке мо-
3

жет быть сколь угодно точно равномерно приближена
полиномами Однако насколько велика должна 'быть степень
полинома достаточно хорошо приближающего функцию, зависит от
свойств этой функции. Так называемые прямые и обратные
теоремы конструктивной теории функций устанавливают
замечательную связь, которая существует между свойствами
гладкости функции и качеством ее приближения полиномами.
Наконец, определенное внимание в книге уделяется конкретным
способам приближения функций — рядам Фурье по ортогональным
многочленам и интерполяции.
Для тех, кто занимается вычислительной математикой,
теория приближения функций интересна по 'меньшей мере -в двух
отношениях. Во-первых, при вычислениях на ЭВМ часто
возникает потребность систематически использовать некоторую
функцию (например, специальную). Наиболее распространенный
прием построения стандартной программы вычисления значений
некоторой функции состоит в том, что сначала строят полином,
приближающий эту функцию с требуемой точностью, и
стандартная программа вычисляет в действительности не значения
функции, а значения этого полинома. Поэтому специалисту в
области вычислительной математики -полезно знать, как может
быть построен полином, достаточно хорошо приближающий
функцию, -какого качества приближения можно ожидать и т. п.
Во-вторых, целый ряд приближенных методов решения
функциональных (дифференциальных, интегральных) уравнений
состоит в том, что приближенное решение ищется в априори
заданной форме — в виде линейной комбинации «координатных»
функций. Таковы, например, методы Ритца, Галеркина, метод
моментов. При этом, естественно, возникает вопрос, может ли
решение оринциюиально -быть достаточно хорошо приближено
функциями такого -вида. Знание ответа часто позволяет делать
достаточно глубокие выводы об эффективности метода.
Поэтому результаты теории приближения функций широко
используются в теории приближенных методов решения
функциональных уравнений. Заметим еще, что идеи интерполяции глубоко
пронизывают всю вычислительную математику.
Хотя книга, как сказано выше, «посвящена в основном
вопросам равномерного приближения функций алгебраическими
полиномами, в первых параграфах изложение ведется в более
общем плане. Это, с одной стороны, 'позволяет лучше уяснить
сущность рассматриваемых свойств, а с другой — приводимые здесь
результаты представляют для вычислителя и самостоятельный
интерес. Довольно большое внимание в курсе уделяется
вопросам приближения периодических функций тригонометрическими
полиномами. Известные результаты здесь более полны, чем для
случая приближения алгебраическими многочленами, и служат
базой для получения соответствующих результатов в
алгебраическом случае.
4

При изложении задач теории приближения функций
естественно пользоваться языком функционального анализа.
Предполагается, что читатель знаком с основами функционального
анализа, например, в объеме 'первых девяти глав книги Л. Ек
Канторовича и Г. П. Акилова [8]. Впрочем, в большей части
курса (за исключением § 8 гл. 4 и § 2 гл. 6) от читателя
требуется скорее привычка обращаться с простейшими понятиями
функционального анализа, чем знание более глубоких
результатов. Кроме того, автор счел ненужным приводить элементарные
сведения из теории интерполяции, так как обычно они хорошо
известны уже студентам младших курсов.
В книге, если -не считать нескольких мелких замечаний,
совершенно не отражены вопросы истории развития предмета.
При формулировке «многих теорем указывается их автор, но
следует иметь в виду, что это носит часто несколько условный
характер. Иногда теорема, приписываемая тому или другому
математику, в действительности является более поздним
обобщением или усилением доказанного им утверждения. Таковы,
например, теоремы П. Л. Чебышева в § 3 гл. 1 и теоремы
Д. Джексона в § 4 гл. 2. Или, наоборот, формулируемая в
книге теорема является лишь частным случаем более общей
теоремы, доказанной ее автором. Это, например, теорема А. Н.
Колмогорова в § 2 гл. 1, теорема А. Ф. Тимана в § 2 гл. 2.
Использованная при написании книги литература указана в
конце общим списком. Однако конкретные ссылки на этот
список даются лишь в том случае, когда автор считает нужным
обратить внимание читателей :на результаты, имеющие
непосредственное отношение :к содержанию книги, но не нашедшие
в ней отражения.
Освоение любой математической дисциплины немыслимо без
самостоятельных размышлений над ее вопросами. Помощь
читателю в этом отношении призваны оказывать задачи,
помещенные в конце большинства параграфов. Следует иметь в
виду, что среди этих задач попадаются довольно трудные.
Некоторые задачи существенно дополняют основной текст книги.
•ф
Автор благодарит -проф. В. С. Виденского и проф. Г. И.
Натансона, прочитавших книгу ъ рукописи, за ряд ценных
замечаний.

Глава I
НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
§ 1. Основные понятия
Пусть F— некоторое банахово пространство, F — его
конечномерное подпространство.
Определение. Наилучшим приближением элемента f£F
элементами 'подпространства F называется число
£_(/) = inffl/-<pI,
<? е/7
а элементом наилучшего приближения называется такой
элемент <р£/% что |l/—φ | ==/;_ (/).
Геометрически наилучшее приближение элемента f
трактуется как его расстояние до подпространства F, а элемеит
наилучшего приближения — как точка подпространства F, ближайшая
к/.
Существование определенного выше элемента наилучшего
πpΉбл'Ижeния требует доказательства.
Теорема Х.Для любого f £F элемент наилучшего
приближения существует.
Доказательство· По определению точной нижней
границы для каждого натурального η найдется такой элемент φΛ
подпространства t\ что |Г/ — <?п !| <С ZL· (/) -f- 1 'я. Рассмотрим
последовательность {<?„}. Эта последовательность ограничена:
I *« II < Ι φ« -/«+ ll/ii < e¥ (/) 4- У'п +1/1< 1/1 + ет (/) +1.
Таким образом, члены этой последовательности ограничены в
совокупности и, кроме того, 'принадлежат конечномерному
подпространству F. Известно, что ограниченное множество в
конечномерном -пространстве компактно. Поэтому из последовательно-
6

сти {(рп) можно выделить частичную сходящуюся: φ„ ->φ,
причем очевидно φ£/\ Переходя к пределу в неравенстве
||/- 9nk || <£-(/) + 1/я»,
«получим ||/—φ||<;£"_(/), а так как обратное неравенство
I/—?11^-£-(/) очевидно в силу определения наилучшего
«приближения, φ является элементом наилучшего
приближения ■
Заметим, что при доказательстве теоремы существенно
использована предположенная с самого начала конечномерность
подпространства F.
Как будет видно из дальнейшего, элемент наилучшего
приближения может быть не единственным. Однако нетрудно
указать довольно широкий класс банаховых пространств, в которых
элемент наилучшего приближения всегда единствен.
Определение. Говорят, что пространство F имеет
•выпуклую сферу, если из |/|=|gj и f=£g следует, что
!/+£'! <!1/1+ 11 £|· т- е* в неравенстве треугольника стоит
знак строгого неравенства.
Геометрически это означает, что если точки / и g
принадлежат одной и той же сфере (||/;| = Jig· ! = /?), то середина
отрезка, их соединяющего, лежит внутри этой сферы
{[т</+*)|<я).
Теорема 2. Если пространство F имеет выпуклую
сферу, то элемент наилучшего приближения любого элемента
f£F единствен.
Доказательство проводится от противного. Пусть ох
и с2 — два разных элемента наилучшего приближения. Тогда,
учитывая, что Ц/ — ox\^=\f—φ2||=£_(/), и используя
строгое неравенство треугольника, получим
|/-γ(<ϊ)ι+^)|ί=τ«(/-?ι) + (/~φ2)Κ
<τ(Ι/-?ιΙ + Ι/-φ*Ι)=^(Λ
т. е. для элемента φ = γ ('?ι + <?г) (: ^ получено неравенство
I/ — ¥ II < £«-(/)» что противоречит определению наилучшего,
приближения ■
Замечание. Из известных функциональных пространств
пространства Lp при 1</?< + оо имеют выпуклую сферу. Это
вытекает из того, что в интегральном неравенстве Мин«ковского
знак равенства достигается лишь в том случае, если
соответствующие функции пропорциональны. Таким образом, в простран-
7

ствах Lp при Кр< + оо элемент наилучшего приближения
всегда единствен. Что касается пространств С и L, то ИХ сферы нь
выпуклы. Действительно, \\f+g\\c = \\f\\c+\\g\\c всякий раз, когда
функции fug достигают максимального по абсолютной величине
значения в одной и той же точке и с одним знаком. Для
равенства же \\f+g\\L = 11/1!l + WgL· достаточно, например, чтобы обе
функции fug были неотрицательны.
Отметим некоторые простейшие свойства наилучших
приближений и элементов наилучшего приближения. Для краткости·
формулировок условимся обозначать через f, g элементы
пространства F, а через φ, ψ — их элементы наилучшего
приближения.
1°. £_^(/)<;||/Ί|, так как в качестве приближающегося
элемента из F всегда можно взять 0.
2°. Если g=cf, где с — постоянная, то EF(g) = \c\E-r(f) и
чр = с<р. Это свойство очевидно. Следует только заметить, что в
связи с возможной .неединственностью элемента .наилучшего
приближения равенство ψ = £φ следует понимать так: элемент εφ
является одним из элементов наилучшего приближения для g.
Таким же образом следует трактовать аналогичные равенства и«
ниже.
3°. Если хб^и g=f+x, то E.(g) = £·_(/) и ψ = φ_+χ.
4°. £_(/ + #)<£_(/) + £■_(£). Докажем, для примера*
это свойство, хотя оно не менее очевидно, чем два
предыдущих:
Ι(/+^)-(φ + Ψ);ΐ<1/-φ!Ι+1^~-Φΐ = ^(/)+^ω,·
и остается воспользоваться определением наилучшего
приближения.
Как непосредственное следствие 1°, 2° и 4°, получается
следующее свойство.
δ». ]£F(/)-£Fte)|<Z?F(/-g)<l/-gI.
Свойства 2° и 4° означают, что заданный на F функционал)
£*_(/) есть полунорма, т. е. удовлетворяет всем аксиомам!
нормы, за тем исключением, что обращается в нуль на всех
элементах подпространства F.
В связи с неравенством 4° следует подчеркнуть еще одно-
обстоятельство.
6°. φ-{-ύ, вообще говоря, не является элементом
наилучшего приближения для /-f-g- Подтверждающий это пример
будет приведен ниже.
7°. Пусть дана последовательность элементов /„ и φ —
соответствующие элементы наилучшего приближения. Если
8

/„->/, то £"_(/„)-> /?F(/). Если к тому же элемент
наилучшего приближения φ единствен, то и фп —> ф.
Доказательство. Соотношение £1 (/„) -> £!_ (/) следует-
сразу же из 5°. Так как
1<ряки«ря—Л!+1Л—/|+т=^(/я)+1/я—/i+i/i,
то последовательность {φΛ} ограничена и потому (F—конечно·
мерно!) компактна. Пусть {φΠΑ}— сходящаяся
подпоследовательность и χ — ее предел. Тогда, переходя к пределу в
равенстве \fnk —9nkl= £F (/«*)■ получим j|/— χ| =£!(/), т. е. χ
является элементом наилучшего приближения для /. Если
элемент наилучшего приближения φ единствен, то χ = φ.
Итак, в этом случае последовательность {φΛ} компактна*
и любой ее предельный элемент совпадает с φ. Значит, вся
эта последовательность сходится к φ ■
Если пространство F и его подпространство F таковы, что
элемент наилучшего приближения для любого / £F единствен,
то можно рассмотреть оператор А, который каждому f£F
ставит в соответствие его элемент наилучшего приближения:
Af=q>. Согласно свойствам 2° и 7е оператор А однороден и
непрерывен. Однако (см. 6°) он, вообще говоря, не аддитивен и
потому не линеен. С этим связаны трудности решения задач
построения элементов наилучшего приближения.
Рассмотрим теперь положение, колда задано не одно
подпространство, а целая последовательность конечномерных
подпространств {Fn} пространства F. Будем считать, что при каждом η
Fn+iZ)Fn, и для простоты введем обозначение Ер (f)=En(f).
η
Тогда очевидны следующие два свойства.
8°. Еп+1{/) <£„(/>-
9°. Для того чтобы для любого элемента fQF
выполнялось соотношение En(f)->0, необходимо и достаточно, чтобы
множество U Fn было плотно в F.
η
Свойствами 8° и 9° все свойства последовательности
наилучших приближений произвольного элемента / исчерпаны.
Теорема 3. Пусть [Fn]—последовательность
конечномерных подпространств пространства F, причем Fn+X ZD Fn
при всех пи U Fn плотно в F. Пусть {μΛ|—произвольная
монотонно стремящаяся к нулю последовательность (μπ>Ό,
Ρ7ζ+ι^μ«)· Тогда существует такой элемент /£/% что при
всех η £;(/) = !*„.
Доказательству теорелш предпошлем короткую лемму.
Лемма· Пусть fx и /2— произвольные элементы F, при-
чем f2£F. Тогда для любого числа \x^F-{fx) найдется
такое число а, что Е~-(/г-+- я/2) — \ьт

Доказательство. Действительно, /Г_ (Д-f-<*/2) есть
шепрерывная (см. 7°) функция а, причем при а=0 она
обращается в f_(/i) и при сс-э-со Ε-(/ι+αΛ)-^ + °°, так как
/? Г
£_(/1 + а/2)>Я_(а/2)-£_(/1) = |а|£_(Л)-£_(/,)■
Доказательство теоремы. Пусть N — натуральное
число. Покажем сначала существование такого элемента
/лг G/*. что при л = 1, 2, ..., JV — 1 /Г,г (/д,) = μ„. Для этого
в каждом подпространстве Fn найдем элемент hm не принад-
.лежащий Fn_x. Согласно лемме можно выбрать число aN так,
что для элемента gv = zNhN будет EN_X (gs) = ^дг_1.
Докажем теперь индукцией по у существование такого элемента
gN-j (y"<JV—2), для которого En(gN4) = \xn при /г = ЛГ—/—1,
N—у, ..., N — 1. Уже рассмотренный случай у=0
представляет базу для индукции, остается установить возможность
индуктивного перехода. Пусть элемент gN_u-_l) уже построен:
£лг-(7--1)6/> En(gN-U-i)) = Pn при n = N—J,N—j + l,...
,7V—1. Обозначим через y.QFN, элемент наилучшего
приближения £дг_(у« в подпространстве FN,, так что
\8n-U-i) У-И" ^n-j (^Λ'-(/-ΐ))= l*iv-y»
и будем искать следующий элемент £'Л_у- в виде
g\-j == S"iV-(;-ij У. "V °Άν-> ♦
-Учитывая, что
и применяя лемму, выберем я из условия EN_j_l(gN_j) —
= [Лу-у-Г ТаК КаК — χ + ahN-j 6 ^л При «>N — у, ТО При
.« = yV —у, iV—y-f- 1, ... , Λ^— 1 также будет Еп(gN_j) =
= £„(£Гд-_(у_1)) =tv Этим доказана возможность индуктивного
перехода, а тем самым и существование всех gN_j. Если мы
положим теперь /A, = g2) то получим элемент с требуемыми
'Свойствами.
Обозначим Через φ,ν6Λ элемент наилучшего приближения
/„ в подпространстве Ζ7! и положим f'N = fN—oN, f'N£FN.
Тогда
i/;!=|/.v-<?*!=£. (/*)=!*.·
F tf\ — /ft· при λ = 1, 2, ..., ΛΓ—1,
"(/w)~l0 при* = ЛГ, ЛГ+1, ... Μ
10

Все элементы последовательности |/дГ) принадлежат
множеству М:
" Ж = {/1/е^ H/ilOi, £.(/)<ft. при л = 1, 2,...}.
Покажем, что множество /И компактно. Для этого по
произвольному ε > 0 найдем такой номер К, что \*.к < ε, и положим
Же компактно как ограниченное множество в конечномерном
пространстве FK и в то же время является ε-сетью для Μ
•(для любого f£M его элемент наилучшего в Ff<
приближения φ Τ3ΚΟΒ, ЧТО Ι/— φ||<ΐν < ε и Μ<1/| + |/—φΙ<1*ι + ε,
т. е. φ.^Λίε). Обладая при каждом з компактной ε-сетью, само
Μ также компактно. Итак, из последовательности \f'N\ можно
«выделить частичную, сходящуюся к некоторому f£F.
Переходя к пределу по соответствующей подпоследовательности
индексов в равенстве (*), легко убедиться, что элемент / —
требуемый ■
Введем еще некоторые важные понятия. Пусть Μ —
некоторое множество элементов пространства F: MaF. Число
Ш (AT) = sup E (/)
.характеризует возможность приближения всех элементов
множества Μ элементами из подпространства F. Для заданного
множества Μ величина &—(М) зависит от выбора
подпространства Т7, и можно ставить задачу об отыскании такого отодтфбст-
.ранства F заданной размерности п, для которого эта величина
минимальна.
Определение 1. Пусть η — натуральное число и
MdF — некоторое множество элементов 'пространства F. Тогда
п-поперечником множества Μ называется число
где inf берется по всем подпространствам Fa F заданной
размерности п.
Разумеется, /г-поперечник некоторого множества Μ может
♦быть равным -J-oo.
Определение 2. Подпространство FaF размерности η
называется экстремальным для множества Μ с /% если
' g-{M) = dn{M).
Последовательность подпространств [Fk\ (размерность Fu
и

есть nk, nk-^ oo) называется экстремальной по порядку, если
существует такая постоянная с, что при всех k
&- (M)<cdnk(M).
При выборе подпространств Fjt, элементами которых мы
собираемся приближать элементы заданного множества М, часто
довольствуются экстремальной тю порядку последовательностью
подпространств- Эго связано с тем, что, во-первых,
экстремальные подпространства не всегда удается построить и,
во-вторых, иногда можно указать экстремальные по порядку
'подпространства, более «простые», чем экстремальные.
Отметим некоторые очевидные свойства пнполервчшшзиз.
I0· Если множество Μ лежит в некотором N-мерном
подпространстве Υ пространства F, то при η^λί dn(M) = 0.
2°. /г-поперечники любого множества Μ не возрастают
с увеличением п: dn+l(M)^dn(M).
3°. Если Мх и М2 — два множества элементов пространства
F, причем МгСМ2, то dn(Ml)^dn(M2).
Вычисление л-паперечников различных множеств и
'построение соответствующих экстремальных 'подпространств, а также
нахождение экстремальных по порядку последовательностей
подпространств составляют важный 'круг задач теории
'приближений.
В заключение заметим, что данное в этом параграфе
определение /г-поперечника не является общепринятым, хотя она
естественнее с точки зрения задач теории приближения
функций. Более принятым является такое определение
«-поперечника (мы его обозначим d*n(M)). Для любого элемента h£F
обозначим через Л/д «сдвиг» множества Μ на h: Mh=[f\'f£F,
f=g — k, g£M). Тогда d*n(M) = midn(Mh). Впрочем, все
AG/7
конкретные множества, для которых будут изучаться
«-поперечники, симметричны относительно нуля пространства (т. е^
вместе с каждым элементом / содержат и —/). Для таких
множеств /г-поперечники dn и dtn совпадают. Доказательство·
этого факта предоставляем читателю в качестве задачи.
§ 2. Наилучшие приближения
в пространстве С (К). Теорема Хаара
Пусть К — некоторый -метрический ком л акт
(компактное метрическое пространство) с метрической функцией р.
Будем обозначать через С (К) банахово пространство
вещественных непрерывных на /< функций с нормой
|/J = max|/(*)|.
12

В этом и следующем параграфах будут изучаться свойства
элементов наилучшего приближения в пространстве С (К).
Пусть Сп—'подпространство пространства С(К) конечной
размерности η и пусть q>i(x), (рг(Х), · · · , <рп(х) — базис этого
лодпростра'нства. Элементы Сп будем называть обобщенными
полиномами по системе {цч(х)}, или, для краткости, просто
полиномами. Элемент наилучшего приближения будем
соответственно -называть полиномом наилучшего приближения.
Следующая теорема дает признак 'полинома наилучшего
приближения.
Теорема 1 (А. Н. Колмогоров). Пусть f(x)— непрерывная
на К функция, /£Ст и <?(х)£Сп — некоторый полином.
Пусть
— множество тех точек χ («К, в которых разность f{x) —
— φ (χ) достигает максимальной по модулю величины
(множество точек максимального уклонения полинома о),
■а (х) = sign (/ (х)—<?(·*))· Для того чтобы о(х) был
полиномом наилучшего приближения функции f(x), необходимо
и достаточно, чтобы система линейных неравенств
относительно Cj
с (ЛГ) 2y=i с&1 ^ > ° пра X£R W
была несовместна, т. е., другими словами, чтобы не
нашлось такого полинома Ь(х)£Сп, который бы во всех точках
множества R принимал значения того же знака, что
и разность f(x) — <р (х).
Доказательство. Достаточность. Пусть <?(х) не
«сть полином наилучшего приближения для f{x). Тогда
!'/— ?!>£/? (/) = I/ — Ψ L гДе Ψ — полином наилучшего при-
я
•ближения для /. Определим полином ψ(χ), положив
ψ {X) = φ (Χ) - φ (Χ) = [/ (Χ) - φ (*)] - [/(χ) -ψ (*)].
Если точка χ — из множества Ry то в последнем
представлении полинома ψ (а) первое слагаемое по абсолютной величине
<!/ —φ||) больше второго (\f(x) — <p(jc)|^Z?c (/)}, и потому
во всех точках из R ψ (л*) имеет тот же знак, что и разность
f(x) — ψ(χ). Достаточность доказана.
Необходимость. Пусть ψ (χ)—-полином, который в
точках множества R принимает значения тех же знаков, что
и f(x) — φ (λ*). Положим Λί —||ψ|. Множество R замкнуто,
π Ψ(λ) на R в нуль не обращается, поэтому m = min\<b(x)\ >0.
xeR
Так как функции ψ и /—φ, непрерывные на К, тем самым
13

и равномерно непрерывны, найдется такое δ > 0, что как
только р(х\ Λ")<δ, так
I [/(.«') - ? (*-)] - [/(*") - φ (-ΟΙ Ι < γ!/- «ρ Ι
И
ΐΨί^-Φί^Κτ'"·
Обозначим теперь через Кг множество тех точек из К,
расстояние которых до R меньше δ, и положим /ζ2 = ί(\Κι-
Очевидно, что множество Кг открыто, а К> замкнуто. В силу
выбора δ в каждой точке множества Κι функции /—φ и »|>
принимают значения одного знака. Положим теперь
max|/(jc) —φ(χ)[ = |/—φ| —е.
Число ε положительно, так как Кг замкнуто и не содержит
точек из R. Наконец, определим полином φ (χ), положив
?(*) = ?(*)+йЗйГ Ψ (■*)·
Оценим разность f(x)— <?(-*). Если х£К\, то в представлении
f(x)-9(x) = lf{x)-9(x)]--£u*W
уменьшаемое и вычитаемое имеют один и тот же знак и оба
по абсолютной величине не превосходят [)/—<p|L Значит, для
1/(*)-?(*)КР/-«р|.
Если х^К2, то
l/W-?WKI/W-?WI +
Η-^Ιψωΐ ^F/+?l-e + -f <|/~φ|.
Итак, во всех точках компакта К \f{x) — '?(·*) К И/—?Ι· Тем
самым If — <р',|<|/—<р||, и φ не является полиномом
наилучшего приближения для / ■
Займемся вопросом о единственности полинома наилучшего
приближения.
Определение. /2-мерное подпространство Сп
пространства С (К) называется чебышевским, если любой отличный от
тождественного нуля .полином (р£Сп обращается в нуль .не
более чем в η—1 точке компакта /С
Л-инейжьнезависимая система φι (а:), ψ2(Χ), -- > <рп(х)
непрерывных на К функций .называется чебышевской, если
.натянутое на эти функции подпространство ^пространства С(К)
является чебышевским. Другими словами, чебышевской системой
называется базис чебышевокого подпространства.
]4

Примером чебышевокой системы является система степеней·
1, х, х2, .· · , я'1-1 и а любом промежутке [а, Ь].
Из определен'ия чебышевского подпространства немедленно
следует, что если подпространство Сп чебышевское и полиномы
<f> ψ £ Сп совпадают в η точках, то они совпадают везде.
Теорема 2. Для того чтобы система функций φ, (jc),.
φ2 (х), ·.. , Уп (х) была чебышевской, необходимо и
достаточно, чтобы определитель
<Ρι(*ι) .·■ <P„C*i)
Δ =
6μλ отличен от нуля, каковы бы ни были различные
точка хх, х2, . · - , *п компакта К.
Доказательство. Если нашлись такие точки xit х2,
..., хп, что Δ = 0, то система уравнений относительно
неизвестных ct
Ctfi Μ + СзЪ Μ -τ- · ·. + спуп (χλ) = О,
(*)'
Ci?i (Χη) + €2ψ2 {Χη) + · · - + <Υ·?η (Χη) = 0
имеет ненулевое решение. Соответствующий этому решению-
полином ψ(χ) = νπ ci'fi{x) обращается в нуль во всех точках.
χ. (t = l, 2, ..., /г), и потому система {φ,·} не чебышевская.
Обратно, если система {φ,·} не чебышевская, то найдется:
такой отличный от тождественного нуля полином ψ (л:),
который имеет не менее η корней. Пусть xiy х2, .... хп — его·
корни. Тогда Δ, определитель системы уравнений (*), равен
нулю, так как коэффициенты полинома ψ дают ненулевое-
решение этой системы ■
Следствие 1. Если подпространство СпаС(К)
чебышевское, то в классе полиномов однозначно разрешима
любая интерполяционная задача. То есть каковы бы ни были
различные точки хх, х>, ... , хп компакта К и числа ?Л>
«2, ..., »-и, найдется воинственный полином ч>£С„ такой,
что φ (xk) = ak при k=\, 2, ..., п.
Доказательство. Пусть фь φ2, ..., φ„ — базис
подпространства Сп. Задача построения интерполяционного полинома
сводится к решению системы линейных уравнений
2/-1 С^> (Хк) = **' k = 1' 2' *' * ' п'
которая однозначно разрешима в силу доказанной теоремы ■
Следствие 2. Пусть подпространство СпсС (К)
чебышевское и <?£С„— полином наилучшего приближения
функции fi^Cn.Tozda множество
R = [x\x£K, Ι/(·*)-φ(*)| = |/-φ3}
содержит по меньшей мере п-\-\ точку.
is

Доказательство. Допустим противное пусть R
содержит лишь т точек хи х„ .... *« <«<*)· Ьсли /и < л,
то выберем произвольно точки *т+,, ..., хп так, чтобы
все точки хк (k = l, 2, ... , η) оказались различными.
Используя следствие 1, построим интерполяционный полином ψ (χ)
по условиям
ψ (*ft) = Sign (/(**) — φ ( JCft)).
Во всех точках множества R = {xu x2> ...·, хт\ полином ψ
принимает значения того же знака, что и / — φ, и потому по
теореме Колмогорова φ не есть полином наилучшего
приближения ■
Теорема 3 (А. Хаар). Для того чтобы для любой
функции f£C(К) полином наилучшего приближения в
подпространстве Сп бил единственным, необходимо и достаточно,
чтобы подпространство Сп было чебышевским.
Доказательство. Достаточность. Пусть
подпространство Сп чебышевское. Допустим противное, что для неко-
•торой функции f£C(K) нашлось два полинома наилучшего
приближения <?'(*) и φ" (χ). Построим полином Ψ(λ:) =
:=1-(?'(■*)+ ?"(*))· Так как
— — Λ
•ύ— также полином наилучшего приближения, и по следствию
"2 из предыдущей теоремы найдутся такие точки хи х2, ...
...., хп+и что \f(Xt) — ty(xi)\ = Ec (/). Для каждой точки xL
η
^>
<4-i/w-?'wi+4-i/(^)-?w(*i)K
< 1 /?Ся (/) +1 £Сп (/)=zrC/j (/).
Так как первый и последний члены этой цепочки неравенств
совпадают, в действительности знак <С в обоих случаях должен
быть заменен на = . Во втором случае это означает, что
f(Xi)—qf(X\) и f(Xi)—φ"(Χ{) равны по абсолютной величине, а
в первом — что они имеют один и тот же знак. Итак, при всех
/=1,2, ..., л+1 f(Xi)—(p'(xO=f(Xi)—ч"(Х\)м т. е. полиномы
φ' и φ" сов'падают по меньшей мере в /г+1 точке Χχ. Но тогда
они совпадают везде, и этим достаточность доказана.
Необходимость. Предположив, что подпространство
Сп не чебышевское, построим такую функцию f(x), полином
наилучшего приближения которой не единствен. Пусть φι, ...
«.., φη — базис Сп и ψ(Χ) — тот полином, который имеет не ме-
16

нее п корней. Пусть xlr л'2, ... , хп — его корни. Тогда (см.
доказательство теоремы 2)
<?ι(*ι) ··· ?Λ(-*ι)
Δ =
= 0.
Очевидно, что определитель
Ψι (*ι) . ·. ?ι Μ
Δ' =
равен Δ и потому также равен нулю. Следовательно, система
.линейных уравнений относительно at
ЗД1 (*l) + · · · + ЗД1 (Хп) = 0,
«ι?π (*ι) + · · · + «я?« (■*«) = 0
имеет ненулевое решение. Впредь через (а,, а2, . ·. , #я) будем
обозначать какое-нибудь ненулевое решение этой системы.
Числа at обладают тем свойством, что каков бы ни был
полисном φ £ С„,
2"-ia*w=0· w
Действительно, для φ (χ) = V" £,·<?,-(.*)
2 Α7φ (лу) = ν «;· 2^ w=24 2 *** wl ^ °'
так как каждый множитель, заключенный в квадратные
скобки, равен нулю в силу выбора а}.
Построим теперь непрерывную функцию g(x\
удовлетворяющую следующим условиям: g(xt) — signat, i=\y 2, ... , /ζ,
•{σ·||—ι. Существование такой функции g очевидно. Положим
f(x) = g(x)(l~^r\^(x)\jt
где Λί = |ΐψ!1. Тогда функция f(x) обладает свойствами:
1) f(x) непрерывна;
2)/(*,) = £(*,) = sign ах;
3),1/|!=1;
4)^ся(/)=1-
Свойства 1)—-3) очевидны, докажем последнее. Ес (/X 1/1 = 1·
Допустим, что Ес (/)<1. Пусть у(х)— полином наилучшего
приближения для /. Тогда для тех ί, при которых й/^О,
окажется sign φ (χ{) = signf(Xi) = sign aly ибо φ (λγχ·) = / (xt) —
— Ι/(*ι) —<?(*<)]. причем |/(^)| = 1, IfM — ? {*ι)\<
17

=^£Υ (/Χ1· Но это сразу же приводит нас к противоречию]
с тождеством (*), и свойство 4) доказано.
При любом е таком, что |в|<;1/УИ, полином εψ(Λ:) является]
полиномом наилучшего приближения функции f(x), так как!
\f(x)sHx)\ \g{x)\(l-Tf\*{x)\) + \*M{x)\
<ι-^ΙΨ(*)Ι + Ι6Ηί»(*)Ι =
= ι -(^-\*\)\ь(х)\<л==£сп(Л-
Итак, полином наилучшего приближения функции f(x) ке
единствен ■
Задача I. Показать, что система I, л\ х2, ... , xn~~l, g (x)t где g {x) —
η раз непрерывно дифференцируемая на [а, Ь\ функция, такая, что g№ (л}
не обращается в нуль, является чебышсвскон на промежутке [а, Ь\.
Зада ч а 2. Показать, что если К — замкнутое ограниченное множество
в m-мсрном пространстве (т > 2\ имеющее хоть одну внутреннюю точку, та
С (К) не имеет чебышевскнх подпространств размерности больше единицы.
Задача 3. Показать, что если К — окружность, то любое чебы-
шевское подпространство пространства С (К) имеет нечетную размерность^
§ 3. Теоремы Чебышева
Теоремы П. Л. Чебышева дают некоторые необходимые и
достаточные признаки полинома наилучшего приближения в
пространстве С (К). Прежде чем лереходить к их изложению,,
дадим некоторые вспомогательные сведения. Начнем со свойств
выпуклых множеств в /z-мерном пространстве 9v<n). Символом
{уи У2) будем обозначать скалярное произведение векторов
УиУъЬЧ*", \y\=V(WT)·
Определение. Множество К точек из 9\(п) называется*
выпуклым, если имеете с любыми точками у0 и уг оно содер-|
жит все точки отрезка у = (1 — λ) у0 -f- tyb где 0 ·< λ -< 1.
Теорема 1 (теорема отделимости). Если множество Кс9\(л>'
выпукло и замкнуто, ζ ζ У, то найдется такой вектор и,
что для любого у £ У будет (у — ζ, и) > 0.
Доказательство. Ввиду замкнутости У найдется точка:
у0£К, ближайшая к точке ζ: \\у0 — zj^jj/ — z\ для всех1
у£ У. Положим и=у0 — ζ и покажем, что вектор и —
требуемый. Допустим противное, пусть нашлась такая точка ух £ К,
что Οί — ζ, и) <0. Положим Ух = (1—λ)3Ό-Η'3Ί и рассмотрим
функцию
Ф(>0 = | Ух-«|2 = 1(1->·)« +Х(У1-2г)р.
Так как при λ£[0, 1] у,6 Υ, функция Φ (λ) достигает на [0, 1]
своего минимального значения при λ = 0. Но это
противоречит тому, что Ф' (0)= — 2|и|2 + 2(у,— г, и) < 0 ■
18

Определение. Пусть К—произвольное множество точек
9v("}. Выпуклой оболочкой множества У называется
множество Υ* всех точек, представимых в виде y = *SN ).,y|f где
JV — любое натуральное число, ^ £ К, >/>0 и V^[ Х,= 1.
Выпуклая оболочка любого множества V очевидно есть
выпуклое множество, содержащее У. Это — минимальное
содержащее У выпуклое множество.
Теорема 2 (Каратеодори). Пусть У* — выпуклая оболочка
множества Кс9х(я) и у £ К*. Тогда найдутся такое
натуральное число г ^ η -|~ 1, векторы уг, у.,, ... , уТ £ У и числа
λ„ λ.„ ..., λ„ λΛ>0, 21LiX*=l' *OT<>-V = 2ft-iX*y*·
Сущность утверждения теоремы -состоит в том, что при
определении выпуклой оболочки можно ограничиться линейными
'комбинациями элементов из Y, содержащими не более я+l
членов.
Доказательство. Возьмем произвольный вектор у £ У*.
По определению выпуклой оболочки он может быть
представлен в виде
Л' Л'
.у=2х'у" Λ€Κ·λί>α Σλ<=1· (*}
/ ..1 /-1
Если iV<!/i + U то у уже имеет нужное представление. Пусть
Лт>л+1. Покажем, что в этом случае вектор у может быгь
представлен в виде, аналогичном (*), но с меньшим числом
слагаемых; тем самым теорема будет доказана. Каждому из
векторов y- = (^If ..., тЦп) (i = l, 2, ..., Лг) поставим в
соответствие вектор z,(«9v(ll+1) по правилу zk - (rtlu ... , η/ιη 1).
Так как число векторов zt (N) больше размерности
пространства (/ζ+1), между ними существует линейная зависимость,
т. е. найдутся такие числа дь среди которых имеется хоть
одно положительное, что "V 7.^ = 0. Это векторное
равенство в (я+1)-мсрном пространстве ввиду определения
векторов ζ·τ равносильно двум следующим равенствам:
22я'У'=0· Σα'=α (**}
ι- Ι / = 1
-Положим теперь λ. (ε) = λ/ — εα.. Из равенств (*) и (**)
вытекает, что при любом ε
iV Лг Л'
ί-1 ί-1 ί-L
При ε —0 все λ; (ε) положительны, при достаточно большом ε
среди λ/ (ε) найдется хоть одно отрицательное. Поэтому
существует такое число г0 > 0, что при всех / 'ч-(£о)^0 и среди
19

этих чисел имеется хоть одно, равное нулю. Вычеркивая!
в представлении
нулевые слагаемые, мы получим требуемое представление
вектора у с меньшим, чем Ν, числом слагаемых β
Следствие. Если множество Υ ограничено и замкнул
то, то его выпуклая оболочка К* также ограничен^
и замкнута.
Доказательство. Ограниченность К* очевидна—люба^
сфера, содержащая Υ, содержит также и К*. Покажем замкт
нутость Υ*. Пусть последовательность у{1\ у&\ ..., у&\ .. .|
(у*) £ у*) сходится к у0. Используя теорему Каратеодорщ
и вводя, если это потребуется, нулевые слагаемые, каждые
вектор „v(ft) мы можем записать в виде
у *> = v )Pyf\ у<*> е к, хр> > о, ν1 )4*> = ι.
Используя замкнутость и ограниченность множества К, а также1
ограниченность последовательностей {λ/^}, можно выбрать
подпоследовательность номеров &ν так, что одновременно
λ)
(*ν)
(*ν)
4ι
ставление
у} w/ ->_)'*(: У- Предельным переходом получаем пред-^
i-l f=l
Этим и показано, что у0£ К* ■
Докажем теперь результат, касающийся несовместных си-»
стем линейных неравенств.
Лемма. Пусть матрица
21 =
а
11
а
in
а
Я+11
а,
ftfln
с п столбцами и п-\-\ строкой такова, что все
определители порядка η
h =
а
11
а
\п
#/-
1 1
ai+\ 1
a<i-\n
ai+l,n
а,
η+ί ι
а
я+1 η
отличны от нуля. Для того чтобы система линейных не-\
равенств относительно чисел rtJ-
2y=i аМ > ° ('= 1, 2, ... , л + 1) (*)
20

была несовместна, необходимо и достаточно, чтобы числа
о , о2, ... , δΛ+1 имели чередующиеся знаки.
До к аз а т е л ь с τ в о. Рассмотрим сначала систему η
уравнений с η +1 неизвестным: 9Γ# —0, где 2Г —
транспонированная по отношению к ЭД матрица. Так как ранг S&! равен я,
эта система имеет единственное (с точностью до постоянного
множителя) решение и = (81э — 82> о3, ... , (— 1)лВл+1).
Достаточность. Каков бы ни был вектор Уо={^и . ·. ,η„),
система уравнений ^1у = ^1у0 разрешима. Поэтому вектор
правых частей $1_у0 ортогонален всем решениям сопряженной
однородной системы, т. е. вектору и. Поскольку все
компоненты вектора и одного знака, среди компонент ЗДу0 есть хоть
одна неположительная. Так как вектор у0 произволен, это
и означает несовместность системы неравенств (*).
Необходимость. Если знаки чисел бг не чередуются, то
среди компонент вектора и (все они но условию отличны от
нуля) найдутся как положительные, так и отрицательные. Но
тогда существует вектор ζ со всеми положительными
компонентами, ортогональный вектору и. Ввиду этой ортогональности
система уравнений $1*/=г разрешима. Ее решение у={ц\, ..., Цп)
является одновременно решением системы линейных неравенств
(*)■
Вернемся теперь к рассмотрению пространства С (/С) и его
«-мерного подпространства Сп. Пусть φ, (χ), φ2(·*), ..., φ„(-*)—
выбранный базис этого подпространства, хъ х2, ..., хп^ —
точки компакта К. Введем обозначение
|<Ρι(*ι)
φι(^-ι)
<Ρι (*π+ι)
··· <?л(-*|) Ι
-·- <?n(Xi-i)
··· Ψη(χη+ΐ)\
Заметим, что если подпространство Сп чебышевское и точки
*и ·*2» - · - , -*л+1 различны, то при всех i определители
Δ|(·*ι> ·.· , хп+\) отличны .от нуля в силу теоремы 2
предыдущего параграфа.
Теорема 3 (П. Л. Чебышев). Пусть Сп — чебышевское
подпространство пространства С (K)t f—непрерывная на К
функция, причем f£Cn, и <р£Сп — ее полином наилучшего
приближения. Пусть
/? = {jc|jce/C |/(*)-φ(*)| = |/-φΙ}
— множество точек максимального уклонения полинома ψ.
Тогда найдутся такие точки хг, х2у ... , хп+1 £ /?, что числа
\ι = σ,Δ, (xlt ... , χη+1) имеют чередующиеся знаки {здесь
°ι = σ (*,)> σ С*) = sign (/ {χ) — φ (χ))).
21

Прежде чем доказывать эту теорему, заметим, что чере^
дование знаков у чисел ξ, сохранится, если точки xlt хъ ...
..., xn+i перенумеруем как-нибудь иначе. Действительно,
если мы поменяем номерами точки xk и xk+i, то все числа ξέ„
кроме tk и lk+u изменят знак на противоположный, а числа ik
и ξ*+ι поменяются номерами.
Доказательство. Каждой точке x£R поставим в
соответствие вектор у — у (χ) =(ηι, η2, -··, 7ϋ€9ν('°. гДе Ί3« =
= ο(χ)ό1(χ), и обозначим через Kc9v(n) множество всех
таких точек у{х):
V={y\ye9l(n\ y=y(x\x£R}.
Так как множество R очевидно замкнуто, У также замкнуто и
ограничено. Обозначим через У* вычгуклую оболочку У. Она
тоже 3afMiKnyTa. Точка 0 лр-инадлежит этой выпуклой оболочке,
так как в противном случае по теореме 1 нашелся бы такой
вектор и=(сь с2, ... , сп), что для всех точек у £ У (у, и)>0, т. е.
числа С} разрешают систему линейных неравенств
3W2y-i^(x)>0 <***>»
которая в действительности по теореме Колмогорова
несовместна. По теореме Каратеодори найдутся такое число r<ft-f-l
и такие точки хи х2, .... xr£R, что 0 = Vf_ \y (*;),
причем Xj > 0, Vr_ λ; t= 1. Число г в написанном представлении
не может быть меньше я+1, векторы y(Xi), у(х>), ... , v(xj)
при у < η линейно-независимы (см. теорему 2 предыдущего
параграфа).
Итак, нами построены некоторые точки хи х2, ..., xn+i(:R.
Покажем, что они требуемые. Система линейных неравенств
J'2y=i cfiJ{Xl) > ° ('= 1. 2, ..., л+ 1),
каждое из которых можно записать в виде
{U, У (X;)) > 0 (И == (Сц С2, . . . , О),
несовместна, так как иначе
о=(Bt о)=/и, 2^ (**))=2λ/("' *{Χί))>°·
По доказанной выше лемме определители о/5 составленные
для матрицы
|6ι<Ρι(*ι) ... °i9nfa) I
Я= ,
1 ^/Μ-ΐΨΐ (-*лм) · ♦ · 3Л+1?л (·*Λ+ΐ) II
22

шмеют чередующиеся знаки. Но
(n + l v п+1
Π aj) ΔΛ*ι> х* · · · » *™-ι) = Π σ;·ξ'·
т. е. числа ξ, отличаются от δ, лишь общим множителем ■
Определение. Систему точек хг, х>, ... , хп^ из /?та-
?ких, что числа ξί = 3,-Δ/(χ11 ..., л:п+г) имеют чередующиеся
знаки, будем называть чебышевским альтернансом.
Наличие чебышевского альтернанса является не только
необходимым, но и достаточным признаком полинома наилучшего
приближения. Однако достаточность этого признака может
быть доказана при более слабых предположениях, чем
необходимость, — не требуется, чтобы подпространство Сп было
чебышевским. Ниже она будет получена из теоремы об оценке снизу
наилучшего приближения.
Теорема 4 (Валле-Пуссен). Пусть Сп — произвольное п-мер-
.ное подпространство пространства С (К), f£C{K), <?£С„.
Пусть нашлись такие точки хг, х2, ..., хп+\£КУ что
f{*t) — 9(хд=Л{1т'т\А^—А >0 и числаХ-^о^^х^ х>, ... , хп+1)
5(о, = sign А() имеют чередующиеся знаки. Тогда Εс (/);>А.
η
Доказательство. Определители ot-, составленные для
■матрицы
<2l =
3«+ιΨι (Χη+ι) · · ·
«ввиду условий теоремы имеют чередующиеся знаки, и по
доказанной ранее лемме система линейных неравенств
σ'Σ«ι*/ρ/-<*<)>°(/=1·2' ···· "+1) (*>
'несовместна. Доказывая теорему от противного, предположим,
что Ес (/) < Л, и пусть Ь(х) — полином наилучшего прибли-
жения функции /. Положим
χ (X) = ^ (χ) - φ (jc) = 2;.t C/9j (Χ).
Тогда
rtxt) = I/ to) -φ (*/)! - [/(*,)-« (*<)] = 4— [/(*,) -Ψ (*,·)],
'причем уменьшаемое по абсолютной величине не меньше А,
•а вычитаемое не превосходит Ег (/) < А. Итак, χ(Χι) имеет
л
тот же знак, что Л,, т. е. otx(xt) > 0 при всех /. Но это
означает, что числа Cj являются решением системы неравенств (#),
■в чем и состоит искомое противоречие Я
Замечание. Очевидна оценка сверху наилучшего
приближения: Ес (/)<^||/ — φ|. При построении полинома φ,при-
23

ближающего функцию /, оценки А< Ес^ (/)<!/— φ| часто
позволяют судить о степени достигнутого приближения в
сравнении с наилучшим.
Как следствие теоремы Валле-Пуосена теперь может быть
получена следующая теорема.
Теорема 5 (П. Л. Чебышев). Пусть С„ — произвольное
п-мерное подпространство пространства С (К), f£C(K) и
φ £ Сп. Если нашлась такая система точек а:,, х2, ..., хЛ¥У £ К*
что
О 1/(*/)-<р(*/)1 = !/-?1
2) числа £i = sign(f(xl) — ^(χ^Ά^χ^ χ.,, ... , χπΜ) имеют
чередующиеся знаки,
то φ есть полином наилучшего приближения функции /.
Доказательство сразу же следует из того, что по
теореме Валле-Пуссена Ес (/);>А = ||/—φ]. Неравенство же
η
Ес (/XI/—-ЧР] очевидно. Итак, Ес (/) = [/·— φ] и φ —по-
лином наилучшего приближения ■
Еще раз подчеркнем, что теорема 5 не требует, чтобы
подпространство Сп было чебышевским. Поэтому наличие
альтернанта является достаточным признаком полинома наилучшего
■приближения, например, в случае приближения функций многих,
переменных (см. задачу 2 в § 2). Вместе с тем для нечебышев-
ского подпространства Сп полином наилучшего приближения
может и не обладать альтернантом; более того, множество R
может состоять вообще из одной точки.
Пример. Пусть /С= [0, 1] и подпространство Cn(zC(K}
натянуто на функции ху х2, ... , хп.. Пусть /(.*)= 1. Так как
для любой функции φ £ Сп φ(0)=0, то всегда ||/ — φ|>1, и
потому Ес (/) = 1. Полиномом наилучшего приближения функ-
цин / является, например, ψ(χ) — χ. Для этого полинома
множество точек максимального уклонения R состоит из
единственной точки 0.
Отметим практически важный случай, когда К= [а, Ь\ есть
отрезок на числовой оси. Тогда, если предположить
дополнительно, что точки хи х2, ... , χη+ι расположены в порядке
возрастания: а < хх < х2 <
< xn+l < b, а
подпространство Сп—чебышевское, окажется, что все определители
&i(xu χ2,··· , xn+i) имеют один и тот же знак. Действительно,
положим
?ι(-*ι) ··· ЧпМ
d(x)
Ψι(χ) -
<Pl(^i+2) ·
• <P«(*i-i)
• <?η(Χ)
• ΐη(Χΐ+ΐ)
<PiC*„+i) ··· ψη(χη+ι)
24

Очевидно, что функция d(x) непрерывна и, так как система1
1э } — чебышевская, на промежутке [xit хш] в нуль не
обращается. ПОЭТОМУ Δϊ(Χι, . · · , ·*„+ι)=^(*/+ΐ) и Δ/+ι(·*ι> · · · . *η+ΐ) =
= d (Χι) имеют один и тот же знак. В связи со сказанным для
/ζ= [а, Ь] в доказанных выше теоремах 3 — 5 (при этом в:
теоремах 4 и 5 следует дополнительно предполагать, что С„ —
чебышевское подпространство) можно говорить о чередовании,
знаков не у чисел £,·, а у самих разностей /(х£) — φ (jcj.
Переформулируем в этом плане лишь теоремы 3 и 5.
Теорема 6. Пусть Сп — n-мерное чебышевское
подпространство пространства С ([а, Ь\). Для того чтобы полином
ψζβη бЬ1Л полиномом, наилучшего приближения
непрерывной функции /£Сп, необходимо и достаточно, чтобы
нашлись такие точки хи х2, ... , χη+ί (я <лг, < х%< ... <лг/Н.1<£)„
что
1) |/(*ι)-φ(*ι)|=|/-φ|(/=ΐ,2,..., л + 1),
2) знаки чисел /{χ/)—φ(^,·) чередуются.
С идеями альтернанса связана также следующая теорема!
об оценке снизу л-поперечника множества Μ в пространстве
С (К).
Сигнум-вектором порядка η будем называть вектор 5 =
= (σι* σ2> ··· » σπ). каждая компонента которого σ/ есть либо
+ 1, либо —1. Множество всех сигнум-векторов порядка η
(очевидно, что их 2") будем обозначать через Vrt.
Теорема 7. Пусть Μ — некоторое множество функции
из С (К). Пусть нашлись такое число δ > О и такие точки
хи х2, ... , χη+ιζΚ, что любому сигнум-вектору s =
^fa· °2> · · · ♦ ση+ι)6Σα4-ι соответствует такая функция
f£M, что для всех k=\, 2, ... , п-\-\
1) !/(**)!> δ,
2) signf{xk) — ak.
Тогда da(M)>b.
Доказательство проведем от противного. Допустим,
4τού?η(Μ)<δ, и пусть Сп — такое подпространство
пространства С (К) размерности /г, что 3"г (М)<Ъ. Пусть s,, s2t ... , s*, —
все сигнум-векторы порядка я + 1, пронумерованные в
произвольном порядке (JV=2n+l)y и/lf /2, ... , /jV—
соответствующие им в силу условия теоремы функции из М.
Обозначим через φ,, φ2, ... , φ^ элементы наилучшего приближения
этих функций в подпространстве Ся, так что
\f,-4,\=Ec (fj)<*c (^)<δ·
η η
Тогда в правой части равенства
Ь (-**) =fj {xk) — (fj Ш — Ь (**))· I
25

уменьшаемое по абсолютной величине не меньше δ (по
условию 1)), а вычитаемое — меньше, и потому
sign <ру (xk) = sign fj {xk) = *</>,
обозначены
где через
= (αίΛ.
компоненты
вектора S: —
1 ' · ' · ' л+
Рассмотрим матрицу
9i(^i) <Рг(*|)
А =
■ · ?lV(*i)
•Строки этой матрицы линейно-независимы, так как для любой
^системы чисел с,, с2, ··■ * сл*ь не рапных одновременно нулю,
найдется такой сигнум-вектор Sp что о£Я = sign cft, если только
>ск Φ О, и тогда 5™*1 ck'fj(xk) > 0. Итак, ранг матрицы Л равен
/ι+l. Нумерация векторов 5у произвольна; поэтому, не умаляя
■общности, можно считать, что отличен от нуля определитель
<Ρι(*ι) Μχι) ··· ?Wi(*i)
Δ =
?1 (*Λ+ΐ) 92 (*„+ΐ) . . . ?/.« (*ι,«)
Но все функции φΐ5 φ2, ... , φΛ+4 принадлежат одному и тому
же /ι-мерному подпространству Сп. Так как число их больше
размерности подпространства, между ними существует
линейная зависимость "У!^1 ^φ7-(*) = 0 (2]Λ+1 α) > 0) · В частности,
^ί1 ау?у(-**) = 0 ПРИ ^ = lt 2, ... , я+1. Это противоречит
тому, что определитель Δ отличен от нуля ■
Задача I. Путгь а < Ь < с <^d, К = (я, b\ U [f. rf], CL — одномерное
подпространство € {К), натянутое на функцию
[ * I, если лгОЦд, *].
?ι (-*) = { ι /-ι ^ι
( — 1, если jc^[c, d].
Каково соотношение между знаками разности f{x)—y{x) (здесь c£Ci—
полином наилучшего приближения для /) в точках чебышевского альтер-
шанса хъ xj» если эти точки принадлежат одному и тому же промежутку
[a, h\ или [cf d\} Если они принадлежат разным промежуткам?
Задача 2. Доказать, что если выполнены условия теоремы о, то
полипом наилучшего приближения φ функции / единствен.
Задача 3. Доказать следующее обобщение теоремы 7 на случай
произвольного банахова пространства. Пусть Μ С F—произвольное множество
«банахова пространства F, Ф1? Ф2, ... t ΦΛ4-ι — заданная система
функционалов в пространстве ^(Ф^б^7*)» причем ||Ф/|| = 1 (/=1. 2 η + I), и
ь8 > 0 — некоторое число. Если каждому сигнум-вектору s = (alt σ2, ... , σΛΗ)
* соответствует такой элемент /£Λί, что при всех /= 1, 2, ... , η -f- l
Π |Φ/(/)Ι>δ,
2) Sign Φ* (/)=««.
το d„ (M) > δ.
-26

S 4. Алгебраические полиномы наилучшего приближения.
Многочлены Чебышева
Рис. I.
В этом параграфе будем рассматривать пространство С не-
лрерывных на отрезке [а, Ь] функций и его (подпространство,
состоящее из всех алгебраических полиномов степени не выше
га. Ка/к уже отмечалось, это 'подпространство чебышевское; его
размерность есть п+\. Наилучшее приближение функции f
полиномами степени не выше η будем обозначать символом Еп (f).
Из результатов предыдущих
параграфов следует, что полином
■наилучшего приближения любой
■непрерывной функции единствен
и что необходимым и
достаточным признаком полинома
наилучшего приближения является
наличие чебышевского альтер-
ианса, состоящего из η + 2
точек.
Приведем некоторые примеры
полиномов наилучшего
приближения.
Пример 1 (наилучшая
постоянная). Пусть для
непрерывной функции f(x) требуется построить постоянную,
приближающую ее наилучшим образом, т. е. полином наилучшего
приближения нулевой степени. Пусть M = max/(jc), m —
[а, Ь\
= min f(x). Тогда Р0 = (Μ-\-т)/2 является искомым
ПОЛИНОмом наилучшего приближения и E0(f) = (M — /и)/2.
Доказательство этого факта очевидно и основано на том, что точки
-*ι и хч-> такие что f(xx) = Μ и/(х>) = т9 составляют чебышез-
<ский альтернанс.
Пример 2 (наилучшая линейная функция). Пусть
функция f(x) задана и дважды непрерывно дифференцируема на
промежутке [а9 6], причем f"{x) на всем [а, Ь\ сохраняет
:знак. Для определенности считаем, что /"(jc)>0. Требуется
построить полином наилучшего приближения этой функции
■первой степени. Не приводя аналитических формул, поясним
графически, как такой полином может быть построен (рис. 1).
Точки (a, /(a)) и (by /(b)) графика функции / соединим
отрезком &и который является графиком линейной функции 1х{х).
На промежутке (а7 Ь) найдется единственная (так как f"(x) > 0)
точка х09 в которой касательная 2?2 к графику функции
параллельна &£ &* — график линейной функции L{x). Ввиду
условия /"(*)> 0~ U{xXf(x)<lx{x). Теперь легко видеть, что
^>i(x) = (ll(x)-\-l2{x))l2 и есть линейный полином наилучшего
27

приближения функции/(*), поскольку точки а, х0, Ь соста-
вчяют чебышевский альтернанс.
Пример 3. Покажем, что сумма полиномов -наилучшего
приближения двух функций может и не быть полиномом
наилучшего приближения их суммы. Положим на [0, 1] (рис. 2)
-/Ь
y*f(x)
у=д(х)
Рис. 2.
g*f(x)+g№
№ =
g{x) =
Тогда
1 при 0 «< χ ^ 114,
3 — 8х при 1 /4 < χ ^ 1 /2,
— 5 -f- 8л; при 1/2 < χ <Γ 3/4,
1 при 3/4<х- 1,
( —1 + 4* при 0<л^ 1/2,
[ 3 —4л: при 1/2<*-.Ι.
/<*) + £(*) =
Ах при 0^..л<- 1/4,
2 — 4* при 1'4 - χ <1/2,
— 2 + 4* при l;2*,jc<3/4, ·
4—Ах при 3.4 С*<1.
Из теоремы о чебышевском альтернансе следует, что
линейными полиномами наилучшего приближения этих функций
являются: для /(*) 1Х (х) = О, для g(x) /2(*)=0 для /(*)+£(·*>,
/3(*) = 1/2. I
Следующие два примера имеют принципиальный характер.
Они находят применение, в частности, в вычислительной
математике. I
Пример 4 (полипомы, наименее уклоняющиеся от нуля).
Пусть для промежутка (—1,1] требуется найти полином
наилучшего приближения функции f(x) = хп среди всех полиномов,
степени не выше η—1. Если Qn-i(x) — искомый полином
наилучшего приближения, то очевидно, что полином Рп(х) =
=хп—ζ}η-ι(χ) решает следующую задачу: среди всех
полиномов степени η со старшим коэффициентом 1 найти тот, норма*
которого в пространстве С([—1,1]) минимальна.
28

Полином, решающий эту последнюю задачу, называется
полиномом, наименее уклоняющимся от нуля. Из теоремы 6
предыдущего параграфа и указанной ,выше связи этого полинома
с полиномом наилучшего приближения функции хп сразу же
.вытекает следующее утверждение.
Теорема 1. Для того чтобы полином Рп(х) степени η со
старшим коэффициентом 1 был наименее уклоняющимся
от нуля, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая
система из \n-\-\) точек — 1 < хх < х2 < ... < хп+х < 1, что
Ι Ρ η (хд Ι= ΙΡ η I u числа Pn(Xi) имеют чередующиеся знаки.
Задачу о полиноме, наименее уклоняющемся от нуля,
решает полином Чебышева.
Определение. Полиномом Чебышева степени η
называется
Тп {х) = cos (n arccos χ), | χ | < 1.
Согласно определению Τ0(χ)=\, Τι(χ) = χ. Из формулы
«cos (я -f 2) θ = 2 cos θ cos (η + 1) θ — cos «θ следует, что
Тп+2(х) = 2хТп+1(х)-Тп(х).
Это позволяет легко установить методом индукции, что Тп(х)
является многочленом степени η со старшим коэффициентом
2п-\ (ΉρΉ п^, 1), Ясно также, что при четном я Тп(х) содержит
.лишь четные степени х, а при нечетном η — нечетные.
В широком смысле полиномами Чебышева мы будем
называть также многочлены, отличающиеся от определенных выше
лишь постоянным множителем. Обозначим через Тп(х) =
=2-(n~Wn(x) полином Чебышева со старшим
коэффициентом 1.
Теорема 2. Полиномом, наименее уклоняющимся от нуля,
является полином Чебышева Тп(х), причем \Тп\ = 2~(л_1).
Доказательство. Из определения полинома Чебышева
следует, что \Тп\=\, и потому \Тп\ = 2~(п~1). Положим xk =
= cos *~* + ϊ it (Λ=1,2,... ,л + 1). Тогда -\=χι<χ2<...
... <л:л+1=1 и
Тп {xk) = 2~[п~1) cos (η — k + 1) π =
= (_ 1)„_*+i2-(n-i,==(__ !)»-*+117я|ш
Таким образом, многочлен Тп(х) удовлетворяет условию
теоремы 1 ■
Возвращаясь к первоначально 'поставленной задаче, теперь
яз теоремы 2 сразу же получаем следствие.
29

Следствие. Для промежутка [—1, 1] выполняется
равенство
Полиномы Чебышсва решают ή другую экстремальную
задачу.
Теорема 3. Пусть а и А (| я | > 1, А=£0) — заданные
числа. Среди всех многочленов Рп{х) степени п,
удовлетворяющих условию Рп(а)=А, наименьшую норму в
пространстве С([—1, 1]) имеет полином Чебышева Т*п{х) —
Доказательство. Из доказательства теоремы 2 ясно,
что все корни полинома Чебышева лежат в интервале (—1, 1)
(так как каждый из промежутков (Xk, Xh+ι), k=\, 2, ..., η,
содержит «орень Тп). Поэтому Тп(а)Ф0. Будем доказывать
теорему от противного. Пусть нашелся такой многочлен Рп(х)
степени не выше п, что Рп(а)=А м тво всех точках χ £ [—Ь О
\Рп(х)\<\\Т*п\\=\А\/\Тп(а)\. Тогда в точках xk (7г=1, 2, ...
..., rt+1), которые были введены при доказательстве теоремы
2, разность Тп(х)—Pn(x)=Rn(x) принимает значения
чередующихся знаков. Поэтомупол'ином Rn(x) на промежутке (—1, +1)
имеет не менее /г различных корней. Кроме того, его корнем
является точка л. Отсюда следует, что Rn(x) есть
тождественный нуль, что противоречит сделанному предположению ■
Следствие. Если многочлен степени η Ρη(х) на
промежутке [ — 1, 1 ] удовлетворяет неравенству \ Рп (х) \<^]у
то при \а\>\ \Рп (а) |< | Тп (а) |.
Многочлены Чебышева, как ή а имен ее уклоняющиеся от
нуля, находят применение для понижения степени приближающего
полинома. Поясним это на примере. Пусть требуется
«приблизить функцию f(x)=cosx на 'промежутке [—1, 1] 'многочленом:
шестой степени. Отрезок ряда Тейлора
Qe(JO=i--^ + Tf-iT
доставляет функции / приближение, лежащее в пределах
0O00025>1/8!>||/-Q6|> |/(1)-Q0(l)|>l/8!-1/10 !>0.000024.
Возьмем теперь в качестве приближающегося многочлена
следующий отрезок ряда Тейлора Qs(x) и 'исключим из него с
помощью многочлена Чебышева старший член. Именно положил?
Ps(x)=Qs(x)-±-Ts(x).
Поскольку Qs (л;) и -~γ 78 (χ) — четные многочлены восьмой
степени с одцим и тем же старшим коэффициентом, их разность
30

Ρ (χ) есть четный многочлен не выше шестой степени. При;
этом ι ~ ι 1
|/_рбК1/_д8| + ^г|7;|<1^- + ^ж<0.00000047.
Таким образом, полином Р^(х) доставляет нашей функции /'
приближение примерно в 50 раз лучшее, чем отрезок ряда*.
Тейлора той же степени.
Форм\лз, с помощью которой определены полиномы Чебы-
шева, позволяет вычислять их значения в точках промежутка.
[ 1, 1]. Выведем другое представление этих многочленов,
удобное для всей вещественной оси. По формуле Муавра
cos λΘ = ~ [(cos θ -J- i sin 0)" + (cos 0 — i sin θ)"].
Подставляя сюда θ = arccos.*:, получаем
Tn(x) = 4" К* + * V Ь=~^)п + (х - i VT^x^Y]. (»>
Легко убедиться, что выражение, стоящее в правой части этой·
формулы, является многочленом степени п, поэтому формула
(*) позволяет вычислять значение полинома Чебышева в
любой точке х. Для |х|>1 формулу (*) удобно переписать в виде-
тп (χ) = 4" К* + У^^^Т + {χ - l/^^T)"]·
Пример 5. Требуется найти наилучшее приближение ш
полином наилучшего приближения степени η функции f(x) —
= —=— (а>1) на промежутке [—1, 1].
Для решения этой задачи рассмотрим заданные на [—1, If
Q.JC "*■** 1
вспомогательные функции v(x) =———, θ (л;)=arccos л:, ψ(*)==
= — arccos v (x)f F{x) = A cos (nB + ψ), где А — постоянная,
которая будет выбрана ниже. При изменении χ от — 1 до + 1
функция ν (х) монотонно убывает от 1 до — 1, поэтому
определение функции ψ (л;) законно. Получим теперь другое
представление функции F(x):
F (χ) = А [ cos nb cos ψ — sin nb si ni]. (*)
Здесь cos лО = cos η arccos χ = Tn (x) — многочлен Чебышева.
Дифференцируя эту формулу по ху получаем — я sin яб · θ,ν =
~ Τп (л:), откуда sin nb= —1/·1 — χ2 Τη(χ). Далее, cos ψ =
η
SJ V" 1
= ν (χ) = и так как — π <С ψ -< 0, то
sin О = — Υ\ — cos'-'ύ = 1_ Υ (χ — α)2 — (αχ— Ι)3 =
= -Ц-1/(^-1)(1-^).

Подставляя порченные выражения в формулу (*), получаем
(ах - 1) 77, (х) - -Jr(I -*2) V&=\ T'n (χ)
F(x) = A- -^ΖΓα ·
Обозначим через Qn+i(x) числитель этой дроби — это
многочлен, степень которого не больше п-\-\. Так как по теореме
Безу многочлен Q„H (χ) — Q„+1 (а) делится нацело на х — а, то
F(x)=AQnM(a) — РАх),
v ' х — а я ν />
где Рп(х) = — А " —_ ^™у '—многочлен степени не выше п.
Несколько позже будет показано, что Q„n(a)>0. Пока же
положим А — -γζ——- и убедимся, что при таком выборе А по-
Vrt+iIя)
-лином Рп(х) и есть полином наилучшего приближения
функции /. Действительно, в силу выбора А
и для доказательства высказанного утверждения достаточно
установить существование таких точек — 1 <;лг, < х.2 < ...
... <*я+2^1, в которых функция F(x) достигает
максимального по абсолютной величине значения с чередующимися
знаками (эти точки составят чебышевский альтернанс). По опре-
.делению функции F(x) выполняется неравенство Ι/^λ:) |-<Л.
Далее, п0(— 1) + ψ(— 1) = лк, «^(1) + ψ(1) = —-.
Непрерывная функция я0(д;)-4-ф {х), принимая на концах сегмента
[—1, 1] значения лтс и —π, принимает и все промежуточные
-значения. Значит, найдется такая система точек — 1 •=х1 <
<х2< ... <jcn+2 = l, что пЬ xk)-\-b(xk)—(n+\— k)r.. Но
тогда F(xk) = A cos(«-f-1 —ft)« = (—1)Я+1"М. Этим и показано,
что Рп(х) — полином наилучшего приближения функции f(x) =
= ——— и Еа\ ) —Ά- Вычислим теперь величину А, при-
чем одновременно покажем, что Q„4-i(#) > 0 —утверждение,]
которое уже было использовано выше. Ясно, что
Qn+1(a) = (^-l)Tn(a)-4r(l-^)V^r^TT'n(a) =
П
= (a?-\)Wn(a) + ±-Va?-\ 7\,(а)1.
Так как Tn(a)=^[{a + Vaszrlf + (a-V~dr=~i)''], то
К (а) = -?-[{« + VTF^r1 (l + 7^т) +
+ (в-уг=тГ(1-7^;г)У
32

n JL.j/V-1 7-;(а)=4-[(л + Ка2-1)"-(а-КА*-1)"].
Отсюда получаем Qn+1 (a) = (α2 — 1) (α + /α2 — 1Γ > 0 и
ι 1
Л =
Q/I+1 («) (ДЗ - 1 ) (fl + J/ fl2 _ ] )«
Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 4. Для промежутка [— 1, 1] я/мг д > 1
справедливо равенство
" \ ν ~~ "/ (л2 — 1) (я + /в* - 1 )"
Заметим, что проделанные выше выкладки позволили
получить и полином наилучшего приближения Рп(х) фгнкции
Задача. Показать, чго на промежутке [—а, а], симметричном
относительно нуля, полином наилучшего приближения любой четной функции —
четный, любой нечетной функции — нечетный.
§ 5. Пространство С. Тригонометрические полиномы
наилучшего приближения
В этом параграфе будем рассматривать пространство С,
элементами" которого являются непрерывные 2л-периодические
функции, а норма определяется равенством
I/I =r max |/(*)|= max [/(*)[,
причем а здесь—любое вещественное число.
Пространство С можно трактовать (в смысле очевидной
линейной изометрии) как подпространство пространства
С([а, α + 2π]), состоящее из функций, удовлетворяющих
условию f(a)=f(a-r2n)J а также как пространство C(S)
непрерывных на единичной окружности 5 функций. Последняя
трактовка удобна тем, что в ней С является частным случаем
рассмотренного выше пространства С (К) — пространства непрерывных
на метрическом компакте К функций. В ближайшем
рассмотрении несущественно, каким образом определена на окружности
5 метрическая функция, однако в дальнейшем это окажется
важным. Расстоянием ρ между двумя точками л;ι и Хо
единичной окружности будем считать угол между радиус-векторами
этих точек, заключенный в пределах 0 ^р<! π.
Будем рассматривать 'подпространство Сп пространства С,
состоящее «из тригонометрических полиномов порядка не
выше /2.

Определение. Тригонометрическим полиномом порядка
не выше η называется функция
η
Тп (х) = д0 + 2 (а* cos kx + bk sin ^x)'
Бели хоть один из старших коэффициентов ап, Ьп отличен от
нуля, то говорят, что Тп(х) имеет порядок п.
Отметим несколько очевидных свойств тригонометрических
полиномов. Произведение двух тригонометрических полиномов
порядков щ и п2 соответственно есть тригонометрический
полином порядка /ii + /z2. Если Тп(х) —тригонометрический полином
порядка η и у — произвольное вещественное число, то Un(x) =
= Тп(х+у)—также тригонометрический полином порядка я.
Если тригонометрический полином Тп(х) есть четная функция,
то все его коэффициенты bk (k=l9 2, . .., η) равны нулю, а
если нечетная, то равны нулю коэффициенты аь (k—09 1, . . ,,м).
Производная тригонометрического полинома Тп(х) порядка η
(/z^l) есть тригонометрический полином того же порядка.
Размерность подпространства Сп равна 2я+1.
Наилучшее приближение функции f(x) £ С
тригонометрическими полиномами порядка не выше η будем обозначать сим-
ВОЛОМ Ε η (f).
Сейчас нас будет интересовать вопрос о возможном числе
корней тригонометрического полинома. Если хх есть корень
тригонометрического полинома Тп(х), то при любом целом k
точки X\ + 2kn также будут его корнями. Эти корни являются
эквивалентными Х\. Вообще две точки Х\ и х^ вещественной оси
называются эквивалентными, если при некотором целом /г
*г—X\ = 2kn. Так как при установлении линейной изометрии
между пространствами С и C(S) точке Х\ вещественной оси
ставится в соответствие точка s\ единичной окружности S, радиус-
вектор которой образует *с осью абсцисс угол хи
эквивалентным точкам Х\ ή Х2 при этом -соответствует одна и та же точка
s£S.
Условимся говорить, что точка хх является корнем
кратности k функции f(x), если эта функция в точке хг имеет k
производных, причем /(jc1)=//(jc1)= ... =f{k~l)(xA) = 0,
f{k) (х{) Ф0. Теперь может быть сформулирована следующая
теорема.
Теорема 1. Тригонометрический полином Тп(х) порядка η
имеет не более 2п попарно неэквивалентных корней, далее
если каждый корень считать столько раз, какова его
кратность.
34

Доказательство. Пусть Тп (х) — а0 + 2Li ^k cos kx ^
+ bk sin kx). Воспользовавшись формулами Эйлера
eikx ι Q-ikx eikx q-Шх
COS kx — -τ; , Sill kx — -
It
запишем Тн(х) в виде ^Л*) — 2*-_ ckeikx> где
^—некоторые- комплексные числа. Вынося множитель е~1пх за'знак суммы,
получаем представление
Тп (х) = <г'" 22Д0 dkeikx = е-^Р2п (eix),
где Р2п {ζ) = У!2Я_ ^ft2;ft — алгебраический полином степени не
выше 2/Z. Поскольку e~inx в нуль не обращается, из
полученного представления ясно, что если хх — корень Тп (х), то
zx~eiXi — корень полинома P2n(z), причем если хх и х2 —
неэквивалентные корни Тп, то ^ — ^ и #2 = eiJr«— различные
корни-/^*·
Продифференцируем равенство P2n(eix)~einxTn(x):
ieixP'2n {eix) = е""Тп(*) -f melnxT n (χ),
или PL(eix) — — te'(/г-1! τή (χ) -f- ле* ίη-νχΤη(χ).
Дифференцируя последнее равенство, можно получить пред-
ставление для Рчп{е ), P2n{eix) и т. д* Методом, индукции
легко установить, что оно имеет вид
Ptf(«O = 2^ef.yWrt"(3e).
TAt'FVj(x)—некоторые непрерывные функции. Отсюда
следует, что если Χι — корень Тп(х) кратности k, то Zi=eiXi— корень
полинома Р2п кратности не менее k. Таким образом,
установлено, что каждому корню Х\ тригонометрического полинома Тп(х)
соответствует корень Z\ полинома Ргп(Х) не меньшей кратности,
причем неэквивалентным корням Тп 'соответствуют различные
корни р2п·. Поэтому число попарно .неэквивалентных корней
Тп (с учетом кратности) не превосходит числа корней
полинома Р2п, т. е. 2пШ
Замечание. Каждому корню х\ полинома Т.п(х)
соответствует эквивалентный ему корень, лежащий на промежутке
(α, α+2π]. В то. же время все корня; лежащие- на (α, α+2π],
попарно неэквивалентны. Поэтому в формулировке теоремы 1
можно было бы говорить о числе. корней тригонометрического
η амином а, принадлежащих промежутку (а, а+2π].
Из теоремы 1 вытекает ряд следствий.
Следствие 1. Подпространство тригонометрических
полиномов порядка не выше η является яебышевским
подпространством пространства C(S).
35

Следствие 2. Система функции 1, cos ху .. . , cos nx
является чебышевской на промежутке [О, π].
Доказательство. Допустим противное, пусть
некоторый отличный от тождественного нуля четный
тригонометрический полином Тп (х) = а0 + -V" akcos kx имеет па [0, π]
(7г-|-1) различных корней. Возможны два случая: 7^(0)^0,
Тп(0) — 0. В первом случае не менее η корней принадлежа!
(0, τ) и по четности каждому такому корню xk соответствует
корень xk — — xk(:(—~, 0), так что на [— π, π] Τη(χ) имеет
не менее 2/z+l корней, что противоречит теореме 1. Во
втором случае число корней на (— πι 0) не меньше я — 1 и
общее число различных корней полинома Тп(х) на (—тс, т.) не
меньше 2лг, а так как по крайней мере один из них (точка 0}
имеет кратность не ниже двух (7\г(0) = 0 ввиду четности
Тп(х))> мы опять приходим к противоречию с теоремой 1 В
Следствие 3. При любом α > 0 система sin x, sin 2л% ...
.. , sin ηχ является чебышевской на промежутке [α, τ —а].
Доказательство- Если бы какой-нибудь нечетный
тригонометрический полином Тп (х) = ^Л bksinkx имел на
[α, π — α] не менее п различных корней, то столько же
корней он имел бы (в силу нечетности) и на [ —π-f-a, —а],
общее же число корней на [—«, π] с учетом очевидного корня
0 оказалось бы не менее 2л 4-1 ■
Следствие 1 тюзволяет перенести на задачу приближения
периодических функций тригонометрическими полиномами .
результаты § 2 .и 3. В частности, из теоремы Хаара .немедленно
следует такое утверждение. j
Теорема 2. Для любой функции f £ С ее тригонометрически^
полином наилучшего приближения в классе Сп единствен.
Теоремы 2 и 3 § 3 с учетом соображений, 'изложенных в кон-|
це § 3, 'позволяют сразу же установить следующую теорему о
чебышев'ском альтернанте (при этом следует помнить, что раз-|
мер-ность подпространства Сп равна 2я+1).
Теорема 3. Пусть f£Cn — непрерывная 2ъ-периодическая\
функция и Тп£Сп — некоторый тригонометрический полиА
ном. Для того чтобы Тп являлся полиномом наилучшего^
приближения функции /, необходимо и достаточно, чтобьл
нашлись такие (2п-{-2) точки 0-<χ1<χ2<ί ... <-*2«+2 \ 2-, |
что
1) \f(xk)-rn{xfi)\=\\f-TnL· (Λ = 1, 2, ... , 2/г + 2),
2) числа f {xk) — Tn(xk) имеют чередующиеся знаки.
Частным случаем теоремы Валле-Пуссена является
следующая теорема.
36

Теорема 4. Пусть /£С, Тп£Сп. Пусть для некоторой
системы точек О < хЛ < х2< ... < Λ2η+2<2π /(хл) — Гя(-»сА)=Ль
niin j/\ftj = А > 0 й числа Ak имеют чередующиеся знаки.
\Тогда E*(f)> А.
Задача 1. Показать, чго система функций sm x, sin 2х, ... , sin пх
не является чебышевской на промежутках [0, т. — а] и [а, тс] (а > 0)·
Задача 2. Сформулировать теоремы о разрешимости
интерполяционных задач, соответствующие следствиям 1, 2, 3 теоремы 1.
Задача 3. Пусть даны числа А и В, не равные одновременно нулю.
Показать, что из всех тригонометрических полиномов порядка η вида
Тп (х) = A cos пх -\- В sin шс + а0 + 2 (а/г cos &х + ^fc S3TI &x)
наименее уклоняется от нуля (т. е. имеет минимальную в С норму) полином
A cos пх -\- В sin их.
§ 6. Некоторые вопросы наилучшего приближения
в пространстве L. Теорема Маркова
В этом параграфе будем рассматривать пространство
L=L{[a, b\) суммируемых на промежутке [а, Ь] функций с
нормой
l!A. = fW)l^·
а
Пусть Ln — некоторое конечномерное подпространство
пространства L. Элементы этого подпространства будем называть
полиномами.
Лемма 1. Пусть функция f£L и полином y£Ln таковы,
что равенство
ь
j Ψ (х) sign (/(x)— φ (χ)) dx = 0 (*)
Й
выполняется для любой функции ψ («/.„. Тогда φ есть
полином наилучшего приближения функции f в
подпространстве Ln.
Доказательство следует из такой цепочки равенств и
неравенств, в которой φ — произвольный полином из Ln:
lf-vl = f\f(x)-9(x)\d* =
а
Ь
= j (/(*) — ?И)sign (f(x) — φ (x))dx =
a
= j (fW -J(*)) slgn(/(^) - φ (x)) dx <
<jV(*)-?wi^HI/-?IL.
37

причем при переходе от третьего члена цепочки к четвертому
использовано равенство' (*) для полинома ψ (χ) = φ(χ) — φ (jc).
Итак, для любого φ£Ln ||/-φ||L >1/-τΙΙ> а эт0 и значит,
что φ — полином наилучшего приближения 9
Пусть х0, хи ... , хг — различные точки промежутка (а, Ь).
Будем говорить, что х0, хъ . .. , хт — это все точки
перемены знака функции F(x)£L ([a, b\), если либо почти везде на
[a, b] sign F(x) = sign ω (χ), либо почти везде на [а, Ь\
signF(x) — — signa>(*), где <»(*) = (я — х0)(х — хг) ... (х — хт).
Теорема"! (А. А. Марков). Пусть функция g{x)£L
такова, ято
1J Λρ, Χ
li
, xr^(a,b)—все точки перемени знака g(x),
2) для любого полинома ψ£Ι„
Г ψ (χ) sign g {x)dx = 0.
(*)
Пусть функция f£L и полином φ££„ таковы, что
хи ... , хг — все точки перемены знака функции /—φ.
гда φ есть полином наилучшею приближения функции f и
То-
EL.(f) =
^f(x)signg(x)dx
Доказательство. Из условий теоремы следует, что
почти везде на [а, Ь\ либо sign(/(x) — φ (л:)) = sign g (x), либо
sign{f {x) —.φ(*)) = — signg(x). Поэтому ввиду (*) выполнены
условия леммы, и φ является полиномом наилучшего
приближения функции /. Далее,
Е^п (/) = ί (/(Χ) ~ φ (Х)) Sign if(X) ~ φ {Χ)) dX =
а
Ь Ь
— ± j (/(■«) — φ {x))slgng(x)dx= ± §f(x)$igng(x)dx =
b
§ f {x) sign g (x) dx
a
В двух последних равенствах учтены (*) и неравенство Ef (/) >·
η
>о и
Особенностью доказанной теоремы является то, что
функция g(x), удовлетворяющая (*), строится независимо от
приближаемой функции f(x). Она зависит лишь от выбранного
подпространства Ln. Ниже будут указаны соответствующие функции
g(x) для случаев приближения тригонометрическими и
алгебраическими полиномами.
38

Лемма 2. При любом а и при любом целом ν ψ {2k-\~\) («+1)
φ __ целое) выполняются равенства
π
f cos va;· sign sin [(«+ 1)(л: — a)]dx = 0,
Г sin vx · sign sin [(n-\-\) (x — a)] dx = 0.
Доказательство. Достаточно доказать при ν Φ
=^{2k-\-1) (η-\- 1) равенство нулю интеграла
У = Г ensign sin \{n + 1) (χ — α)] ί/χ,
так как левые части доказываемых равенств — соответственно
вещественная и мнимая части J. Делая подстановку х = у +
4- -,(я + 1) и учитывая 2тг-периодичность подынтегральной
функции, получаем
νπ π .vie
/==έ? 7ГТТ| ensign sin [(n + l)(y — *)-\-K\dy = -elTTlJ.
Итак, ll4-/"Trjy = 0. При ν φ (2fc + 1)(я + 1) первый
множитель отличен от нуля и потому У = 0 ■
Следствие. При любых а и о. для
тригонометрического полинома Тп(х) порядка не выше η выполняется
равенство
Га+2, ^ ^ §ign gin ^п _j_ j j ^ _ α^ rfjc ^ 0>
Обозначим через Ζ пространство 2^-периодических
функций, суммируемых на каждом конечном промежутке, с
нормой
1/1г = ^*1/(*)!**.
причем эта норма, разумеется, не зависит от а. Если рассмат-
ривать функции из L лишь на промежутке [αβ α + 2π], то мы
сразу же получим, что пространство L линейно-изометрично
L{{a, а + 2л]). Через Ln будем обозначать подпространство L,
состоящее из тригонометрических полиномов порядка не выше п.
Из доказанной леммы (точнее — из ее следствия) и теоремы
Маркова немедленно вытекает следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть /£ I, Tn(x) — тригонометрический
полином порядка не выше п. Если xk=a + krJ(n-{-1)
39

/£__0 ι, ... , 2/1 + 1) —все точки перемены знака разности
fix) — ГЛл;) на некотором промежутке (а, о + 2π) длиной 2~ J
mo Г £<?m& тригонометрический полином наилучшего
приближения (в метрике пространства L) функции f и
Ч(л-
('/(*) sign sin[(/z-f-l)(.x; —7)]<1*;
Доказательство. Достаточно использовать линейную
изометрию пространств L и Ι ([α, а + 2~]) и положить в
теореме Маркова g (χ) = sin [(η + 1) (χ — α)]: точки xQy xl9 ...
... , -^2^ι — все точки перемены знака этой функции на любом
открытом промежутке длиной 2π, который их содержит ■
Лемма 3. Для любого алгебраического полинома Рп (х)
степени не выше η .выполняется равенство
ι
J = f Ял (л;) sign sin [(n -f-2) arccos χ] dx = 0.
-1
Доказательство. Сделаем в интеграле J замену
переменной χ = cos θ. Тогда
π
у = Г рп (cos G) sin θ · sign sin [ (л + 2) 0] rfO =
ι у
0
= 4" f P„(cos Θ) sine-sign sin [(« + 2)0] dd.
При последнем переходе использована четность подынтегральной
функции. Очевидно, что Рп (cos θ) sin θ = Γη+ι(0)
—тригонометрический полином порядка не выше /г+1, и равенство /=0
вытекает немедленно из следствия к лемме 2 ■
Если рассмотреть пространство L([—1, 1]) и его
подпространство Ln, состоящее из всех полиномов степени не выше я,
то условие 2) теоремы Маркова будет выполнено (в силу
доказанной леммы) для функции g(x)=sm [(л+ 2) arccosx].
Так как все точки перемены знака этой функции на (—1, 1)
исчерпываются точками xk = cos (Λ = 1, 2, ... , /г+1),
то справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть f£L ([— 1, 1]) а Рп — полином степени
не выше п. Если точки xk — cos —-—=- (&= 1, 2, ... f /г+1) —
это все точки перемены знака разности f—Рп на (— 1, 1),
то Рп есть полином наилучшего приближения в
пространстве L функции /.
40

Теорема 3 допускает следующее применение. Пусть f(x) —
.непрерывная функция .и требуется построить ее полином
наилучшего (в метрике L([—1, 1])) приближения степени я. По
узлам Хи, указанным в теореме 3, лостроим полином Рп(х),
интерполирующий функцию f(x) : Pn(xk) =f(Xk) (k= 1,2,.. ., w+ 1).
Тогда точки Xk являются корнями разности f(x)—Рп(х)· Если
окажется, что они являются точками перемены знака этой
разности и других точек перемены знака на (—1, 1) нет, то Рп(х)
и есть искомый полином наилучшего приближения.
В периодическом случае подобное применение теоремы 2
несколько сложнее, поскольку число точек Xk (2/1 + 2) на
единицу больше, чем требуется для разрешимости
интерполяционной задачи. Однако здесь в нашем распоряжении имеется еще
один дополнительный параметр — число а.
Задача. Доказать что среди всех многочленов степени η со старшим
коэффициентом 1 наименьшую норму η пространстве L {[—I, 11) имеет так
называемый полином Чебышсва второго рода
sin (л + 1)θ
Uη (х) = —2" sin Ь— ' где θ ^ arccos ν·

Глава 2
ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ
В ПЕРИОДИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ
§ 1. Характеристики гладкости функции
В этой главе будут излагаться теоремы, б которых
устанавливается замечательная связь между быстротой убывание
Ε п (f) — наилучших равномерных приближений .непрерывной
2я-|периодической функции f тригонометрическими
полиномами — и гладкостью этой функции. Теоремы, в которых исходя
из свойств функции делается заключение о ее наилучших при-
ближениях, называются прямыми теоремами конструктивной
теории функций; теоремы, в которых па основании поведения'
(Наилучших приближений функции делается вывод о свойствах:
ее гладкости, — обратными. В данном параграфе вводятся неко-1
торые характеристики функции, которые естественно называть
характеристиками ее гладкости, и изучаются их свойства.
Пусть Μ — метрическое пространство (.не обязательно
компактное) с метрической функцией р. Наложим на пространство
Μ следующее ограничение, которое всюду ниже будет
предполагаться выполненным.
Условие А. Пусть tu t2^0 и хи х2£М таковы, что
9 (*ι, χ2ί < t\ + ^2· Тогда найдется такая точка х0 £ Ж, что
Р(*1, *о)<^1, p(*2f *θ)<*2-
Очевидно, что условие А выполняется, если Μ есть
выпуклое множество в /тг-мерном пространстве с естественной
метрикой, в частности отрезок (конечный или бесконечный)
числовой оси. Более общо, этому условию удовлетворяет любое
выпуклое множество в банаховом пространстве. Очевидно также.
что условие А выполнено для окружности S с введенной в § 4
предыдущей главы метрической функцией.
Будем рассматривать вещественные функции f(x), заданные
на пространстве М.
Определение. Модулем непрерывности функции f (x)
(χ ζ Μ) называется вещественная функция ω(/; t)7 заданная
на [0, 4- °о) равенством
«>(/; t)= sup I/to)—/(*2)|.
42

Отметим свойства модуля непрерывности.
1°. ω (/; t) не убывает на [0, + °°)· Это свойство очевидно.
2°. Для того чтобы При / -»0 выполнялось соотношение.
<о(/; 0~»0, необходимо и достаточно, чтобы функция f(x)
была на Μ равномерно непрерывна. В частности, если Μ
компактно, соотношение о>(/; t)—^>0 выполняется для любой
непрерывной функции.
Доказательство этого свойства вытекает непосредственно
из определения модуля непрерывности функции и
определения равномерной непрерывности.
3°. «>(/; t) — полуаддигивная функция, т. е. при tlt t2>0
«>(/; *1 + *2)0(/; U) + ">(/; ί3).
Доказательство. Пусть хл и х2— любые точки М,
удовлетворяющие условию р(хь х2) < tx -f-12. Построив
согласно условию А точку х0, получим
I/(jci) —/(^3) I < Ι/(^ι) —/(jco) I + Ι/Λ) —Л^о) I <
<<*(/; *,) + «>(/; ί2).
Так как это неравенство соблюдается для всех пар точек хи
jf2l подчиненных единственному ограничению р{хи -^^С^-Мз*
ω(/; /t +ί2)<«>(/; *ι)+ «>(/; *2)Β
Очевидным следствием доказанного свойства является
неравенство ω(/; /г£)^/го>(/; t)y которое выполняется для
любого натурального п.
4°. Если функция f(x) равномерно-непрерывна на Мщ то
<*>(/; £) есть непрерывная функция.
Доказательство. В силу иол у адди гивиости
h(/; ω-ω(/; ωΐ<ω(/; |f2-*,|),
н остается воспользоваться свойством 2° ■
Определение. Непрерывную, неубывающую и
полуаддитивную функцию (u(t), заданную на [0, +оо) и такую, что
ω(0)=0, будем называть модулем непрерывности.
Непосредственным следствием пол у аддитивности функции
ω(ί) является неравенство
|ω(ί2)-ω(*0|<ω(|*2_^).
Поэтому в данном выше определении непрерывность можно
предполагать лишь в точке 0 — этого достаточно, чтобы ω(ί)
была непрерывна во всех точках ί.
Доказанные выше свойства модуля непрерывности функции
означают, что модуль непрерывности любой
равномерно-непрерывной па Μ функции / есть модуль непрерывности в смысле
только что данного определения. Само это определение
оправдывается тем, что каждый модуль непрерывности является мо-
43

дулом непрерывности некоторой равномерно-непрерывной
функции. Более точно — выполняется следующее свойство.
5°. Если ω(ί) есть модуль непрерывности,, то ω (ω; t)=(a(t),
т. е. каждый модуль непрерывности является модулем
непрерывности самого себя.
Доказательство. Пусть 1^ — t2\^t (tu ί2>-0). Тогда
в силу полуаддитивности и неубывания ω(ί)
1»№)-«'№)К»(1<»-М)<«(0.
откуда ω(ο>; t)^w(t). Но так как ω(£)— <ο(0) = ω(ί), то
ω (ω; t)^<a(t) ϋ
6°. Если пространство Μ ограничено и d — его диаметр, то
при t > d ω(/; ί) = ω(/; d). В частности, если Λί = <β, ί»—
конечный промежуток, το ω(/; ί) = ω(/; 6 — α) при tyb — a.
Если /6 С — непрерывная 2т:-псриодическая функция и
/*£C(S) — соответствующая ей (в силу линейной изометрии)
функция на единичной окружности, то ω(/; /)==ω(/*; ί). Это
следует из способа определения на S метрической функции.
Для функции /ЕС «>(/; ί)==ω(/; τ:) при ί > г..
7°. Если неубывающая функция ω(/) (/£[0, + °°))
непрерывна в точке 0 и ω(0) = 0, причем функция ш(/)/£ не
возрастает, то ω(ί) — модуль непрерывности.
Д о к а з а т е л и с τ в о. Достаточно установить
полуаддитивность функции ω(ί). Воспользовавшись тем, что функция ω(£) /
не возрастает, для любых £,, £2>0 получим
О π ρ с д е л е и и е. Будем говорить, что функция g (ί}
(/(-<α, b>) выпукла, если для любых t1<it<it2 выполняется
неравенство
*ю>-£^*«.)+-£е^*0.>.
Модуль непрерывности, который является выпуклой функцией,
будем называть выпуклым модулем непрерывности.
Подчеркнем, что выпуклость функции определена выше как
выпуклость ее графика вверх, т. е. выпуклость подграфика. В
связи с этим выпуклость дважды непрерывно
дифференцируемой функции g означает соблюдение неравенства g"(t)K0.
8°. Если <a(t) (ί G [0» + °°)) — выпуклая, неубывающая,
непрерывная в нуле функция, такая, что ω(0)=0, то ω— модуль
непрерывности.
44

>
<» (V)
V
Доказательство. В силу 7° достаточно показать, что
функция о) {t)jt не возрастает. Для этого возьмем
произвольные числа 0 < и < v. Ввиду выпуклости с» (t)
, ,с « / \ ι ^ — « tr\\ а ι \ ω (и)
А это и означает, что u>{t),'t не возрастает ■
Замечание. Модуль непрерывности вообще
•быть выпуклым. Например, функция
2ύ при 0</<1/4,
1 2
2t—\
1
не обязан
ω(0 =
не будучи вьгпуклой (рис. 3).
диться, модулем
непрерывности для самой себя и
потому модулем
непрерывности. Однако любой
модуль непрерывности не
может очень сильно
отличаться от выпуклых. Именно
верно такое утверждение.
9°. Если ω (О—любой
модуль непрерывности, то
существует такой выпуклый
модуль непрерывности
b)*(t), что при всех t
ω(ί)<ω*(ί)<2ω(ί).
при
при 1.4<*<34,
при 3.4<ί<1,
при *>-1,
как легко в этом убе-
является,
У
1
1/г
y=io(t)
JL
1/Z
Рис. 3.
Докажем сначала простую лемму.
Лемма. Пусть дано семейство функций fa(t) (t£<a, b>),
где а пробегает некоторое множество А. Если при каждом
а функция fa {t) не убывает и выпукла, то и функция
f(t) = inifa(t) не убывает и выпукла.
аъА
Доказательство. То, что /(t) не убывает, очевидно.
Далее, при любом α и tv < t < t2
>
ίο- t
t-u
/Μ+-£%№),
t-i-t
t-U
поэтому и
а Ч *1 *2 Ч
Перейдем к доказательству самого свойства 9°. Будем счи-
45

тать, что m(t) не есть тождественный нуль, и потому ω(0>0
при / > 0. Взяв α > 0, положим
. 2ω (а)-ω (Ο 2ω(α)-ω(/8)
/С= mm ^zrt = ^=1 >0·
Здесь ta — точка, в которой достигается минимум, причем так
как при t -+ а — 0 (2ω (α) — ω (ί))/(α — t) -+ + οο, такая точка
существует. Отметим, что выполняется неравенство
ω (α) = Κα (α - Q - [ω (α) — ω (/.)] < Д>.
Положим теперь la(t) =2оз (α) -\-Ka(t — α) и покажем, что при
всех t
ω(/)<Μ0· (*)
Действительно, при έ = τ. неравенство (*) очевидно· При
t < α (*) следует из неравенства (2ω (я) — ω (£))/(?. — £) <> А^·
Если же />а, то ί = (« + ^)α, где п—натуральное, 0<Θ<1, и
со (*) < то (а) + ω (Оа) < л/С.а + /а (θα) = /α (ί).
Определим теперь на (0, -f-oc) функцию ω*(£), положив ω*(ί) =
= inf/a(0· Согласно лемме o>*(f) есть неубывающая выпуклая
па (0, +оо) функция. Так как при всех α ω (ί) < /α (ί), то при
t>0 ω(ί)<ω*(ί). Но поскольку lt{t)=2v{t\ ΤΟ ω*(/)<2ο)(ί).
Итак, при £ > О
ω(ί)<ω*(ί)<2ο>(ί). (**)
Доопределим теперь ω* (£) в точке 0, положив ω*(0)=0. Из
(**) следует, что ω*(ί) в нуле непрерывна и потому при таком
доопределении окажется выпуклой на [0, + оо). Остается,
сославшись на 8°, отметить, что со®(/) — выпуклый модуль
непрерывности ■
10°. Функция ω(ί) = Κέα при /С> 0, 0<а<!1, есть
выпуклый модуль непрерывности.
Это утверждение есть непосредственное следствие 8°.
Определение. Будем говорить, что функция f(x) (χ £ Μ)
удовлетворяет условию Липшица с показателем α и
постоянной КУ и писать /£ΛΥ/(σ)(Ж), если для любых л-ь л^бМ
выполняется неравенство
\fM-f(x*)\<K(p(Xi, rf.
Согласно определению модуля непрерывности функции /
ее принадлежность классу КН{гх){М) означает выполнение
неравенства со (/; t) ^ /(/*.
Полезно заметить, что если Μ = az, b> есть конечный или
бесконечный промежуток и условие Липшица определить
с показателем а>1, то соответствующий класс f(^a) (M)
окажется состоящим лишь из постоянных. Действительно, пе-
46

реходя к пределу при Δλ: -> 0 в неравенстве | (/ (х -f- Δχ) —
-f(x))l^x\ <Λ'|Δχ|α-1, получаем, что любая, функция /из
такого класса во всех точках имеет производную, равную нулю.
Обозначения. Пусть ω (t) — некоторый модуль
непрерывности. Через НШ(М) будем обозначать класс непрерывных
на Μ функций /, удовлетворяющих условию ω (/; t) <^ ω (t).
Как было^ сказано выше, тогда КИ{а){М) = Нш (М) при
»(*) = ***
Будем обозначать через Н(а)(М) (0<а^1) множество
функций, удовлетворяющих условию Липшица с показателем
α и какой-нибудь постоянной, т. е. Н{а)(М) ;= \JKfi{a)(M).
к
Условимся в случае, когда М=[а, Ь]—фиксированный
замкнутый конечный отрезок числовой оси, опускать символ
М. Так у нас появятся классы Нт, КН{а), Н{а). Если же мы
рассматриваем 2π-периодические функции на всей числовой
оси, то символ Μ будем заменять волной. Например, Нш =
=#<»((— оо, + °°)) О С, или (что то же самое) Я(0 = Яи){5).
Будем через С{г\[а, Ь]) (или просто С(г)) обозначать
множество г раз непрерывно дифференцируемых на [а, Ь\
функций, а через КС(Г) — подмножество тех функций из С(Т\ для
которых j/(/-)(x)|-<ЛГ. Аналогичный смысл имеют классы 'С'кГ)
и КС{Г) 2/гс-периодических функций.
Наконец, если VcC([a, b)) — некоторый
класс.непрерывных на [а, Ь] функций (или VciC), то через Q{k)V
(соответственно C{k)V) будем обозначать множество тех функций /
■из C(h\[a, Ь\) {C{k))> для которых /(ft)£ V {fk)£ V). Так у нас
появятся классы С(1)АГ#(а), С(3)#ш и т. п.
11°. Если М = <а, Ь> есть промежуток на числовой оси,
функция f{x) на <и, Ь> непрерывно дифференцируема, причем
|f (χ)|<К, то /еКНil)(<a, b>).
Доказательство следует немедленно из формулы
конечных приращений: f(x2)— f(x1)=f'$)(x2—χι) (£€(*i> хъ))Ш
12°. Пусть <*>(t) — модуль непрерывности, f(x) (χ ζ Μ) —
ограниченная на М функция,, и пусть существует такое число
^0>0, что при t^t0 ω(/; t)^a>(t). Тогда найдется такое
число К, что f£HKo>.
Доказательство. Пусть L=sup\f(x) |. Если р(хи х2)<
</ί^ί0, то \f(Xi)—/(^2)Ι^ω(0 по условию. Если же р (х^
x2)^t, где t>tQ, то. I/to) —/(*2)1<2£<-^-ш(*). Поло-
жим /С=тах(1, —-— . Тогда ^окажется, что для любых
47

точек xlt χ.,, таких что o(xlt χ2)<]ί, \/(Χχ)— /(-^2)К А'10 (й
и тем самым ω(/; t) < Л> (£) н
13°. Если метрическое пространство Ж компактно и 0 < β <
< а < 1, то Н(а) (М) С Я(р) (Ж).
Это свойство вытекает непосредственно из 12°.
Определение. Будем говорить, что функция/(л:) удо
влетворяет условию Дани—Липшица, и писать f(^DL{M)
если ω(/; ί)ΐη ——-^0.
14°. При любом «6(0, 1] DL{M)Z)Hlrx)(M).
Введем еще в рассмотрение класс Берн штейна W.
Определен и е. Будем говорить, что функция f(x) {χ £ Μ
принадлежит классу W (Μ), если для ее модуля непрерывно
сти при некотором /С> 0 выполняется неравенство ω(/; t) <
</ff(l+|Jn*|).
Рассуждениями, вполне аналогичными проведенным в 12°
устанавливается следующее свойство.
15°. Если пространство Μ компактно, то при любом α ^ (0, I
#ы {М) 3 W{M) 3 fi{l) (M).
Задача 1. Показать, что если метрическое пространство Μ не удо
влетворяет условию А, то модуль непрерывности ω (/; t) функции/(jt
(х£М), определенный тем же равенством, что в начале параграфа, може
и не быть полуадлитпвным.
Задача 2. Показать, что в правой части неравенства ω (t) < ω* {t) <
< 2ω (t) (см. 9°) коэффициент 2 не может быть заменен меньшим.
Задача 3. Очевидно, что любая функция f{x), принадлежащая класс]
Н^\ абсолютно непрерывна. Показать, что при а< 1 класс содержи
и такие функции, которые не являются абсолютно непрерывными.
§ 2. Теорема Тимана
Пусть К — метрический компакт, удовлетворяющий условие
А предыдущего параграфа (см. с. 42). Пусть даны два моду
ля непрерывности ω(ϊ) и ty(t). Нас будет интересовать вопрос
о возможности приближения функций класса Н&(К) функциям
класса Н^(К) в смысле метрики пространства С(К).
Теорема (А. Ф. Тиман). Для любой функции /£НШ(К
найдется функция g£H$(K) такая, что
я/—sric (1Г) < 4- svp (ω (ί) "■ψ (ί)) ^ Δ·
Доказательство. Определим функцию
g (x) = min (/ (у) + ψ (ρ (χ, 3θ)) + Δ=/(*') + ΨίΡ(*. *'))-М·
yeK
Здесь χ' — та точка компакта К, в которой достигается напи
санный минимум.
Покажем сначала, что g£H>i(K). Пусть р(х0, xt)<Ct. ТогД
g (χο) =f(x'o) + ψ (ρ(*ο, *ό)) -f Δ
48

й согласно определению g
g Μ </(*ό) -Ь Ψ (ρ (*ι, *ό)) + Δ·
Используя полуаддитивность и монотонность ψ, получаем
g(Xi) — ?W<t(pfc *ό)) —ψ(°(*ο, *ό))<
<*(|p(*i, ■*£) —ρ(*0> *ό)|)<ψ(ρ(.*ο, -Vi))<'МО-
Совершенно аналогично g· (х0) — g· (xt) < ψ (£), и потому | g (д^) —
— g lxo) \ ^ Ψ (^)· Так как для достижения этого неравенства
потребовалось лишь условие р(л:0, ^)<i, то ω (g; t)^C>b(t)t
т. е. g£Hb(K).
Оценим теперь разность / — g. Очевидно, что g{x)^
</(■*)-Η (Ρ С*. *))-И = /(*) + д> откуда £(*)—/(*)<Δ.
С другой стороны,
f{x)-g (х) = / (*) ~ (/ (*') + ψ (? (л*, *')) + Δ) =
= [/(·*)-/(-ΟΙ-ΨίΡΟ*. *0)-Δ<
<ω(ρ(χ, *')) — ψ (ρ (л:, χ7))— Δ<2ά — Δ = Δ.
Итак, /(χ)— g(x)<A, что· вместе с предыдущим
неравенством дает \/(х)—^"(χ)Ι^Δ, и ввиду произвольности точки χ
!/-£1с(*)<А ■
1 Замечание. Если d—диаметр компакта К, то при
формулировке теоремы Тимана можно положить
Δ = 4- max (ω(ί)—φ(ί)).
Δ 0<t<d
Действительно, если /£Ηω(К), то очевидно, что f£Hai(K)t
где
1 ω (flf) При ί > fi?.
Задача. Пусть /С = [0, 1 ], ω (t) и ψ (t) — такие модули
непрерывности, что ω(/) = ω(1) и ώ(ί) = ψ(1) при ί>1. Показать, что тогда
max miu I!/—^||с= —тах(«(^) — ψ(ί)).
/еНш geHtp c 2 ί
Максимум в левой части достигается для функции /(χ\ = ω(χ).
§ 3. Теорема Ахиезера — Крейна — Фавара
I
. В этом параграфе будут получены оценки наилучших
принижений дифференцируемых 2я-периодических функций
тригонометрическими полиномами.
49

?г(0 =
Лемма 1. Пусть f£C{r) — r раз непрерывно дафференци-
руемая 2к-периодическая функция. Справедливо
представление
/ (х) = а0 + -L j φ, (О /(г) (* + л) Λ,
г<?£ а0 = -jp- I f{l)dt — нулевой коэффициент Фурье функции
/С*), «
/ 1 \», ЧЁ"Ч °° COS kt / о \
(—1)те X' ^Г я/?и г четном (г = 2т),
(—1)OT+1 V^00 bt" при г нечетном (г = 2т-{-1).
Доказательство. Заметим прежде всего, что ряды, с
помощью которых определена функция ц>г(0> п'Р'и ^ 2 сходятся
равномерно, а при г=1—по меньшей мере в среднем (так как
ряд, составленный из квадратов коэффициентов этого
тригонометрического ряда, сходится). Запишем частную сумму ряда
Фурье функции f(x) в виде
η
Зп (/; х) = «о + \\ (ak cos kx + ^ sin kx) =
= α0 + — ί \]cos£(i— x)f(t)dt.
Считая для определенности г нечетным и -проведя г-кратное и-н-j
тегрирование по частям в последнем интеграле, получаем
=β»+-г J:, <-1>"'+· 2L ^/<г> (*+°rfi·
Остается перейти к пределу в этам равенстве при я-*-оо, причем
on(f; x)-*-f(x), так как функция f(x) непрерывно
дифференцируема, и предельный переход под знаком интеграла возможен*
поскольку первый множитель сходится к <pr(t) по меньшей
мере в среднем В
Замечен-и е. Только что доказанное 'представление функ-ι
ции / через ее производную порядка г верно в действительности
для более широкого класса функций, чем это указывалось в]
формулировке леммы. Требовать непрерывности /('*> на всей octfi
не обязательно. В частности, приведенное выше доказательство]
50

без всяких изменений проходит и в том случае, когда /*г>
имеет конечное число (на 'каждом конечном промежутке) точек-
разрыва 'первого рода. Это обстоятельство будет использовано
ниже.
Лемма 2. Справедливо равенство
l(i-f-ic)/2 при — π<ί<0.
Доказательство. Обозначим через g(t) функцию;
стоящую в правой части (#). Простые вычисления
показывают, что
-7" Г g(t)s'mktdt^ — -^-3 -i-Γ g(t) cos kt dt = 0.
V^ °° sin kt . ,
Таким образом, — > —?— есть ряд Фурье функции*
g{t). Этим лемма доказана. Отметим дополнительно, что так.
как функция <ρι(£) непрерывно дифференцируема на (0, 2π),.
ее ряд Фурье сходится к ней во всех точках Ьф2Ы (k — 0,
± 1, ±2, ...), причем на [ε, 2π— ε] (ε>0) сходимость
равномерна ■
Лемма 3. Каковы бы ни были·*- вещественные числа c-,v
разность
Ior(t) — "ул CvCosvi, если г = 2т,
ψΓ (t) — >™ с·* sin νί, если г = 2m -J- 1,
имеет в интервале (0, π) «£ более чем я-f-l (я/ш г = 2т}
или η (при г = 2/?ι+1) корней с учетом кратности.
Доказательство. Говоря ниже о числе корней, всегда
будем каждый корень считать столько раз, какова его
кратность. Отметим прежде всего очевидное равенство о'Г λ (t) =-
===~~?г(0 (г —Ь 2, ...), вераое при всех t, за исключением·
случая г—1, t = 2kiz — в этих точках функция o2{t) не
дифференцируема. Доказывать наше утверждение будем индукцией
по г. Пусть сначала г = 1. Допустим противное, а именно,
что /?Ι(ί) = φ1(ί) — ϋ"=ιс*sin v* имеет на (0, π) не менее /г-f-l
корней. Очевидно, что /?1(π) = 0. Так как при
дифференцировании кратность каждого корня понижается на единицу и
между каждыми двумя корнями /?χ(ί) появляется (по теореме
Ролля) по крайней мере один корень производной, то /?| (ί)
имеет на (0, π) не менее я-j-l корней. Но на этом промежут-
1<е R[ (t) =-к- — \ cvv cos νί — четный тригонометрический
полином, отличный от тождественного нуля, и мы приходим.
в противоречие с теоремой 1 (см. с. 34).
5Ь

Возможность индуктивного перехода от г к г~\-\
доказывается по-разному для четных и нечетных г. Пусть наше
утверждение доказано для г —2т — 1. Докажем его (от
противного) для г -\-\=2т. Если разность R>m(t) имела бы на
(О, π) не менее (« + 2) корней, то производная — R^nW^
= <рг(£)—_2"_ ^siflv^ (где cv==vi?0 имела бы на (0, π) не
менее (п -f-1) корней, что противоречит индуктивному
предположению.
Предположим теперь, что наше утверждение доказано для
г = 2т, и докажем его для г -f-1 = 2т -j- 1. Если бы разность
i?2m+i(0 имела »а № π) (Λ-Μ) корней, то, учитывая, что
/?2m+i (0) = Rzm+i (π) = 0> мы получили бы, что производная
- /?;,„+, с)=?, <о - 21., < «* * «=- е.»)
имеет на (0, π) не менее (/г-{-2) корней, что опять
противоречит индуктивному предположению в
Напомним, что символом Е- (/) обозначено наилучшее
приближение функции f£L тригонометрическими полиномами
порядка не выше η в метрике пространства L (см. с. 39—40).
Лемма 4. Справедливо равенство
со
4 ^ (-!)№> ν
ЕГп^~ {n+iy 2j
v=0
(2v -+- l)r+1
Доказательство проводится отдельно для случаев,
когда г четное и г нечетное. :
1) Пусть г = 2/71. Система функций 1, cos t, ..., cos nt на
промежутке [0, τ.\ чебышевская (см. с. 36). Поэтому
существует четный тригонометрический полином Тп (0 —2v=0CvCOSvi:
такой, что Т*п(xk) = φΓ(xk) при β = 0, 1,..., η, где xk =
~ η -ι-1 "^ 2n + 2 ^ (°' *)· Точки ** (* = 0. !. ··· > Λ) являются,
Φ
корнями разности φΓ—Гл, причем по лемме 3 все они про-:
стыс, и других корней на (0, тг) эта разность не имеет, т. е.,
xk — все точки перемены знака разности φΓ — Тп на (0, π).[
Поскольку φΓ—Тп — функция четная, при & = лг-+-1, л+ 2, ..■
... , 2п + 1 точки хл = 7Г^Г + 2Д2 = 2π — *2д+1Чк также
являются точками перемены знака φΓ—ГЛ, а в точках 0 и f
эта разность знака не меняет. Итак, точки xk— , 1 + g гТ
{β = 0, 1, ... , 2/ζ-{-1) — это все точки перемены знака φΓ—Г*
на (0, 2π). Поэтому по теореме Маркова (теорема 2 на с. 39),
52

Τ*η и есть полином наилучшего (в метрике пространства Ъ)
приближения функции <?r(t) и
Остается вычислить последний интеграл. Учитывая свойстве
ортогональности функции sign sin [(/г-f- l)(t-\-*)] (см. лемму 2
на с. 39), получаем
Εγ (<РГ)
С У^Л cos kx
J 2^~^"
-π Α = 1
1
sign sin [{п + \)[х —
(я+1)г
2л+ 2
Г V cos[(2^ + I)(n+1)A-] v
J ^ (2v + l)r Л
d*
—- v=0
1
(и+1)'
X sign sin Γ(/ι + 1) ijc 27Γ+~2~)1 dx
00 π
^j (2ν + ι/ j cos [(2v + !) (ν + Τ")] sl^n sin У <ty
(л + 1)г
\Л (-ι У!*1
y^n7i,sinl(2v + 1)yldy
ν=ϋ
= 4 V (·
(л + 1)г ZJ (2v
(-Dv
(2v+l)r+i
v=0
2) Пусть теперь г = 2/?г+1. Существует нечетный
тригонометрический полином 7rt(tf) = 2t._i c'Sin v/ такой, что
г«(-**) = φ, С**) при Л = 1, 2, ... , я, где jfr = · w^t £ (О, π).
По лемме 3 узлы х^— все точки перемены знака разности
?/- — Τп на (О, π). По нечетности <рг — Т*п точки jr0 = 0, χη+ι=η
и ^ = 2^-^^ = ^ (£ = я + 2, я + 3, ...,2я+1)-так-
же точки перемены знака, причем кроме точек Хи (k = Ot 1,..,
, 2п-\-\) других точек перемены знака разность φΓ—Та на
(-
Τ » 2π -
2w + 2 ' " 2я + 2 / не имеет· Следовательно, по
теореме 'Маркова 7^ — полином наилучшего приближения функ-
ции <рг в метрике пространства L и
£Гя (?г) = | \1г ъ (0 sign (sin (я + 1) О Л
-5з;

Лля завершения доказательства остается проделать выкладки,]
аналогичные тем, которые были выполнены в первом случае Щ
Теорема (Н. И. Ахиезер, М. Г. Крейн, Ж. Фавар). Пусть
f£C(r) — г раз непрерывно дифференцируемая
2к-периодическая функция. Тогда
EUf) <-π^ττг£·ί(/<',).
4 VI (— l)(,-+1)v
где Жг = — Л 2ν + ir+*— постоянная Фавара.
Доказательство. Обозначим через Тп(х)
тригонометрический полином наилучшего приближения функции f{r)(x\
так что |/(г) — Тп\„ = Е%(f(r)), и через Un{t) — тригонометри-
с
ческий полином наилучшего приближения в метрике
пространства L функции φΓ(0: II 9r ~ Un L = Е~ (?г)· Рассмотрим
функцию
F{x) = 4- f_ I Tr (t) - Uη (01 [/(r) (* + *)- 7; (* + χ)] dt
Ясно, что
I /Ч*)I < ~lfr) - Τη U Г I ъ (0 - νη (01 л =
С J —тс
Ввиду произвольности точки χ в этом неравенстве
ιι^ιι^^^ί/^^-ω·
Согласно лемме 1 функция F(x) может быть записана в виде
F(x) = f(x) — a0 — Fi(x) — F2(x)t
где
FM=^r^_rUn(t)f{r)(t + x)dt==^^_Un(t-x)f{r)(t)dt,
ъ с*)=4 £r i?r (о - νη (οι τ; с+*) л.
Но ί/η(ί — χ) и ^(tf-f-·*) СУТЬ относительно χ
тригонометрические полиномы порядка не выше η с коэффициентами,
зависящими от t. Поэтому как Ft(x)t так и
F2{x)—тригонометрические полиномы порядка не выше п.
•G4

Итак, функция F(x) представима в виде F(x)=f(x) —
— Vn (·*)» ГД° Vn {*) = «о + ^i (·*) + f> (*) — тригонометрический
полином порядка не выше п. Поэтому
El(/)<!/- v„L =1/4- <v£~ (?r)£Tn{f{r)).
для завершения доказательства остается воспользоваться
леммой 4 ■
Замечание. Как видно из доказательства теоремы,
χ = {п + 1у Е„ (φΓ).
'•я
Это равенство позволяет получить интегральное
представление постоянных Фавара
(_ 1)я+1 Al±lL· J φ, (ί) sign sin (л + l) (* - ^у) Λ
rT,=| "" при г — Ъп,
(_ j^m+t ^w + 1)r Г <pr (^) Sign Sin (Л +\)t dt при г = 2m+1
{си. доказательство леммы 4). В этих формулах η > 0 —
произвольное целое число. В частности, полагая « = 0 и
учитывая лемму 2, получаем при г = 1
π
Жх = — 1 φχ (ί) sign sin t dt =
— ΊΖ
τ. τζ
0 ϋ
Вычислим значение Ж2- Из равенства у'2 (f) = — ot (t) следует,
что при 0<!t <π φ2(^) = — —- (t— π)2-}-£, где - постоянная с
•легко определяется из условия Γπφ2 (£)*# = 0 и оказывается
равной с = 7г2/12. Используем теперь интегральное
представление Ж-2 при я = 0 и четность функции φ,:
Ж-, — — Г φ2 (0 Sign Sin (t γ\άί=:
= ~~τΓ 92 (0 sign cos ί Л = — ^- Г fк·2 ?2 (ί) ί/ί — f* 4s{t)di\.
и?Сле элементарных выкладок отсюда получается равенство
-£2==--,'$. Значения постоянных Фавара Jfl = i:/2 и Ж2 = -кг,Ъ
оудут существенно использоваться ниже. Приведем без
доказательства значения еще двух постоянных Фавара: X3 = π3/24,
55

^( = 5π{384. Из представления постоянных Жг с помощь^
ряда ясно, что при г -* -j- со Xr -> 4/w, причем при г нечетны»
Jifr > 4,π, а при г четных /"Υ, <4/π. При г>4 0.99 < (г. 4)ЖГ <Н
< 1.01, т. е. постоянные Хг совпадают с 4/тг с относительной
погрешностью, меньшей одного процента.
Следствие 1. Для функции f£KCir) выполняется не-\
равенство
ЕТп{/)<ЖгК1{п+\)'.
Доказательство следует немедленно из теоремы Ахие-,
зера — Крейиа — Фавара, если воспользоваться очевидно^
оценкой
El (/">)< |/'"|_ < К Ш
с
Замечание. Если ввести в рассмотрение величину
&£(КС(Г))= sup El{f)%
/6Л'С(Г)
то, как вытекает из доказанного следствия,
&Тп(КС(г))<ЖгК1(п+\)г.
В действительности (см. § 5) справедливо равенство
&тп[КС{г))=ЖгК;{п+ \у.
Следствие 2. Если f£KH{l\ mo £?(/)<-/(72(л + 1).
Доказательство. Возьмем произвольное число h > 0
и построим для функции / среднюю функцию Стеклова
Очевидно, что /й(х) — 2~-периодичсская непрерывно
дифференцируемая функция, причем/д(л;) = ^-[/(л: + Л)—/(х—Л)].
Так как /£АГ#(1), то |/л(·*)!<#, fh£KC{1) и по следствию ϊ
£« (Л) < #W(* + 1) = </2 (я + 1).
В то же время
\f{x)-fk(x)\=4h
J*fc [/(*+')-/(*)]<**
<
Поэтому ^(/-/ή)<«/-/Λ|μ</<Λ/2. Наконец,
£? (Л<Е'и/н) + ^п(/-А) < *Κβ(η+ 1) + ЯЙ/2,
56

и ввиду произвольности Л>0 требуемое неравенство
доказано ■
Замечание. Ниже будет показано, что
%Тп[КН{Х))= sup £ί(/) = **/2(Λ-τ-1).
Задача. Доказать, что для /6С(г-1)/<У/*1)
Е1{П<ЖгК1{п+\)г.
§ 4. Прямые теоремы
Доказанная в предыдущем параграфе теорема Ахиезера—
Крейна—Фа-вара относится к числу прямых теорем — в ней паз
основании свойств гладкости
функции делается вьшод о поведении
наилучших приближений. Однако в
этой теореме свойства гладкости
функции учитывались лишь
грубо— в форме наличия у нее
непрерывных производных. В данном
параграфе будут установлены прямые
теоремы, учитывающие более
тонкие свойства гладкости.
Лемма. Пусть ω — выпуклый
модуль непрерывности, 6>0. Найдется
такое число Μ=Λίω(δ), что при всех
<·>(*)< ω(8) + Λ*·(ί —δ).
Доказательство. Утверждение леммы имеет простой'
.геометрический смысл — график правой части неравенства есть
опорная прямая к подграфику функции ω (t) (эта функция
выпукла!), см. рис. 4.
Переходя к формальному доказательству леммы, положим-
Рис. 4.
М= inf
0<Λτ<δ
ω (λ') — ω (δ)
Ясно, 4τοΟ<Λί<ω(δ)/διι для всех t£[0, δ] ω(£) —ω(δ)<Αίχ
Χ (t — δ). Остается доказать такое же неравенство для £>о.
Допустим противное, пусть нашлось такое tx > δ, что «>(£,) —
— <*>{<->)> Μ (tx— о). Тогда и для достаточно малого ε>0 будет-
ω(*ι) — ω(δ) > (Ж-т-г)(^—δ). Согласно определению точной:
нижней границы по выбранному ε найдется такая точка ί06
6 [0 δ), что [ω(*0)-ω(8)]/(*0 —δ)<Μ + β, Т. е. ω(4)-ω(δ)>
> {Μ + ε) (t0 — δ). Но тогда
-^[«>(0-ω(δ)]>(Λ, + ε)^-δ>^-^)
-^А-[0>(^)-0)(б)]>(Ж + Е)
h — Ό
to
5Г

Складывая эти неравенства, получаем
-ΤΖΤ-ω^)+-^-ω(ί1)-ω(8)>0,
*ι — 'о *1 — Ό
что противоречит выпуклости модуля непрерывности oi(t) ш
Теорема 1 (Н. П. Корнейчук). Пусть ω — выпуклый- модуль
непрерывности. Тогда
Ш1 (//„) - sup El (/) = -j- ω(-^ρ) .
/е/Л„ '
Доказательство. Покажем сначала, что для любой
«функции /£ Нш En(f) < — ω ( ? , ). Взяв произвольное δ > О,1
построим по доказанной лемме такое число М=МШ(Ь)У что,
ω (t) < ω (δ) -f- Ж· (t — δ), и рассмотрим класс МН{1) — Н*, где
6(t) = Mt. При всех ί>0 ω(0 — ·Μί)<ω(3) — Λίο. Поэтому
по теореме Тимана (с. 48) найдется такая функция g£MH{1),
что I/ — gL<[o>(o) — МЩ2. По следствию 2 из теоремы
Ахиезера — Крейна — Фавара (с. 56) для функции g£MH{l)
£Г(£)<*Л*/2(л+1).
Поэтому
El (/) < El (g) + lf-g !L < -j^j + J Ι" (δ) - Mfil·
Написанное неравенство выполняется при всех 8>0
(напомним, что М, разумеется, зависит ото). Положим Ь = ιζ/(η + 1).
Тогда и придем к требуемому неравенству.
Покажем теперь существование такой функции fo(x)£Hm;
что е1{/0) = — ы\—^-Л. Построим функцию /о (*), четную,
•с периодом -^у, такую, что /0 (0) = 0, /0 (тт^т) = ω (тГрт) '
л линейную на 0, * (рис. 5). Ясно, что
/Ι + 1 "(τΓϊτ)' ПРИ ^<¥ТГ'
(тГТт) πΡΗί>7ΓΤΤ·
Поэтому ω(/0; _fTJ=a»^_LTJ, при ^ <-^Г^Г ω(/0;ί)<
^to(^) ввиду выпуклости ω(£) и при t> п'. . ω(/0;0^ω(0»
так как ω(ί) не убывает. Таким образом, /0£//ш. Положим
58
ω(/0ϊ 0 =
ω

теперь Γη(χ)~-^ω(ΐΤΤτ) * При всех х \fo(x)— тп(х)\<
, так как 0</ο(*)θ( η1_ t )♦ В то же время
1
^Tu,U+i
k-
для точек ^ = 7гхт^1°' 2г) (Λ = 0, 1, .-., 2/г + 1)
/о W - Тп (xk) = -Ц^- ω (-^ ,
т. е. в этих точках разность /0—Тп достигает максимального
по абсолютной величине значения с чередующимися знаками.
По теореме Чебышева (теорема 3 на с. 36) Тп является поли-
У
71+1 71*1
Рис. 5.
П+1
7*
ήομομ наилучшего приближения функции /0 и Еп (/0) =
=ι/.-7'.ι=|»(ιπ)·
Применим теорему Корнейчука в случае выпуклого
модуля непрерывности ω (t) = КС (О < α -< 1).
Следствие. Справедливо равенство
$1 (КН(а)) = siip El (/) = К*β {η + 1 )β·
Теорема 2 (первая теорема Джексона). Для любой
функции f£C выполняется неравенство
Доказательство. Пользуясь свойством 9° модуля не-
"рерывности (с. 45), построим такой выпуклый модуль
непрерывности «>*(*), что «>(/; 0<ω*(0<2υ>(/; t). Тогда /£//,„*
-и по теореме Корнейчука
#</><т-*(«тг)<"(л-**т)"
59

Замечание 1. Теорема Джексона была доказана
значительно раньше (в 1911 г.), чем теорема Корнейчука (1961 г.),
но в более слабой, чем приведенная выше, форме. Именно.
Джексоном было показано, что £j(/)<Со(7; 1/п), где
С—некоторая постоянная.
Замечание-2. Как это следует из теоремы 1, если
модуль непрерывности функции / выпуклый, то £'«(/)<
5^-^-o)j/; —ттг)· Возникает вопрос, нельзя ли коэффициент -γ
поставить и в общем случае, без предположения о
выпуклости ω (/; t). Оказывается, что нет. Это показывает следующий
пример.
У
1
ь+Р>-1 _ fc+ft.
> <
χ
Ρ
χ,
-1
χ*
Д?Л+/=ТС
Рис. б.
Пример (Η. П. Корнейчук). Для каждого η и ε>0 най
.т, х^ ^ /2л + 1
ε ω
/;
дется такая функция/ΕС, что £„(/)> +2 -,-,,, п+{
При построении этой функции будем считать, что ε<1/2.
Положим А = «/(я+1), х0 = 0, xk = kh — (я— A-f-1)β (&=1,
2, ..., я+1), где 0<8<2в/(я+1)2, X_kr=-Xk (k=l, 2, ...
... , я+1). Построим теперь четную 2^-периодическую
функцию /, задав ее па [О, π] следующими условиями:
1) /(*о) = 0, /(^*) = (-1)*+1 (Λ=1, 2, ..., я+1);
0<л<хг
?.
xk + Ρ < ■* < х
ft+l
S
2)/(jc) = 0 при
(£ = 1, 2, ... , /г);
3) /(·*) линейна на каждом из промежутков [xk— β, xk)
и [**, jca+?] (Λ=1, 2, ..., я+1)
(см. рис. 6, где и четно). Легко проверяется, что <о(/; тс/(я+1))=:
= ω(/; я) = 1. Рассмотрим теперь тригонометрический полином
Тя(х)
. (γ + cos л; + cos 2л: + ... + cos nx) =
_ sin((n+ 1/2) jc)
2(я+ l)sin(jf/2)
60

#сно, что
т /гч_ 2я+1 Τ (bh\— sin (^-Μ/2) __(-1)*+ι
η V-4J — 2w _j_ 2 ' л Vе"/ — 2 (η + 1) sin (Щ2)~~ 2и + 2
Оценим производную полинома 7п{х):
| Т'п (х) | = ——у [ sin jjc -}- 2 sin 2х -f-... + д sin дл; | <!
Л-1
"^ я +1 7 j л — й
Из полученной оценки следует, что
\Т„(хк)-Тп{Щ\<-^ |**-ЛЛ| = -£- (л-Л + 1)?<6.
Теперь имеем
/(*»)- Г.(*») = [/(**) - Г„(Щ\ +1Тп (kh)- Т„ (**)] =
где |^|<ε<1/2. В формуле (*) k = 1, 2, ... , η + 1, однако
{#) верна и для k = 0 (с μ0 = 0) и (по четности) для k = — 1,
- 2, ... , —η (при y,_k = μΑ).
Таким образом, нашлась система точек — π<χ_η<χ_η+ί< ...
... < хп+г = π, в которых разность f(x)'— Tn(x) принимает
значения чередующихся знаков. По теореме Валле-Пуссена
(см. теорему 4 на с. 37)
£Uf)>min\f(x»)-rn(xk)\>-£±±— тах|и*|>-|±1-β.
Итак, £i(/)>^±l_e = (-^±l_s)c(/; ^).
Теорема 3 (вторая теорема Джексона). Для каждой
функции /£ С(г) справедливо неравенство
Доказательство следует немедленно из неравенств
^л (/)<—~ΓΤίΓ^^(/(Γ)) (теорема Ахиезера — Крейна — Фава-
ν" ~г U
ра)и £Ϊ(/ίΓ))<«>(/(Γ); тгтт)
(первая теорема Джексона) ■
Замечание. Пусть /£С(г)//ш, где ω — выпуклый модуль
непрерывности. Используя для -оценки Еп (/(г)) вместо первой
теоремы Джексона теорему Корнейчука, получаем оценку
£"<>><ϊί£ϊ)>·(7ίΤΤ-)· <-)
61

Можно показать, что эта оценка является точной в
следующем смысле:
*ϊ(/) хг
Slip SLip / π \=2(ni\V
Подчеркнем разницу межДу случаями г = 0н г^\. При г = 0
оценка Ξ 1(f) К~ш [п ,{ ) (/GM>) является точной для
каждого выпуклого модуля непрерывности to (t). В случае
же г>-1 оценка (**) является точной лишь для всей
совокупности выпуклых модулей непрерывности.
Если положить ω(t) — Kt* (0<α^1), то неравенство (**)
приводит к оценке
£ί(/)<#>« 2 (л + 1)г+а для /6С(г)/СЯ(а).
В недавней работе Н. П. Корнейчука [12] получен
следующий интересный результат: если ω — выпуклый модуль
непрерывности, то
$цс"н„)= sup £!(/)=■,-у <-у;" #+г>,
71,2/2
где Й' = у ω (2/) sin /л/г£ я?/.
о
§ 5. Об /г-поперечниках некоторых
классов 2л-периодических функций
В этом параграфе будут вычислены (при нечетном η) /i-no~
перечники некоторых классов непрерывных 2я-периодических
функций в пространстве С. При этом окажется, что
экстремальными подпространствами являются 'подпространства
тригонометрических полиномов. Эго утверждение в сущности означает,,
что тригонометрические полиномы — наилучший аппарат
приближения непрерывных 2я-псриодических функций. Подчеркнем
также «универсальность» этого аппарата приближения —
подпространства тригонометрических полиномов являются
экстремальными сразу для многих классов функций.
Теорема 1. Пусть ω(/) — выпуклый модуль
непрерывности. Тогда в пространстве С
ώΜ (Я») = — ω (тгфт)'
причем экстремальным является подпространство
тригонометрических полиномов порядка не выше п.
Доказательство. Согласно определению поперечников
^2Λ+ι №) < &п (Яш). По теореме Корнейчука &1 (Яш) =
62

==-9"ω(7ΓΤτ)· поэтому для доказательства обоих
утверждение теоремы достаточно установить оценку снизу а2п^{Нш)^
^ΊΓω( я-Ii ) · ^ля этого воспользуемся теоремой 7 (с. 25)-
Положим Λ = ir/(« + 1), Xk = kh (& = 0, ± 1, ±2, ... ) и
покажем, что любому сигнум-вектору 5 = (а0, <jlt ... , а2п+1)£\.1п+2
соответствует такая функция /3ζΗω, что при /г = 0, 1, ...
... , 2/г+1 fs(xk) = aifit где8 = ш(Л)/2. В качестве fs возьмем
2^-нериодическую функцию, определяемую на [0, 2π]
равенствами fs(xk) — akb (k = 0, 1, ... , 2η+ 1),/5(2π)= /,(0), и
требованием, чтобы на каждом промежутке [xfe, λ-λ+1] (k = 0, 1,
χ, ·ζ2/ <rj χ* χ5
S/=fs(x) fs=(/,-/,-/, ζ,/,/,-/,/,-,"/,»).
Рис. 7.
... , 2/ζ+Ι) она была линейна (рис. 7). Ясно, что модуль
непрерывности функции fs есть
О)
(Л.'):
2ί = ω(τπ) ΠΡ«'>Λ>
если только не все компоненты век гора 5 одинаковы. Поэтому
ω(/ί; 0^ω(0 ("Ρ" '-С к/(л+1) ввиду выпуклости, а при
t> π(η-\-\) — монотонности ω) η/3ζΗω. Если же все
компоненты вектора s одинаковы, то fs(x) есть постоянная,
№(/5; *) = 0 и опять fs£H<». Итак, функция /5 — требуемая, и
в силу упоминавшейся выше теоремы 7 доказательство
завершено И
Значительно сложнее доказывается теорема о поперечни-
ках классов KCW, и мы предпошлем ей несколько лемм. На-
63

помним, что для функции /£ С(г_1), которая г раз непрерывно
дифференцируема всюду, за исключением конечного (на
каждом конечном промежутке) числа точек, которые являются
точками разрыва первого рода для /(г), справедливо
представление (см. § 3)
f(x)=a0 + -L j<?r(i)/(r)(* + t)dtt a0 = -L J/(л:) dx,
,'(-1Г У
?r(0H
COS fc/
если г
2/?z,
A 1
со
IT^ sin kt
(_l)«+i V^^-, если г = 2от+1.
ft=l
Пусть г и η — натуральные числа, А = я'(л+1) и
ν _. ί /г/г, если г нечетно,
* 1 (/г-f-1,2) Л, если г четно.
Определим матрицу
Ъ\ =
?г+1 (>'<>) ?r+lO'l) ·
) ?r+i (JO) ·
(У2я-2) <Рг-И (>'2„-l)
?r+l (J/2n)
(У2Д-1)
о
Г41
?r+i(yta+i)
?r+i (J'ai.)
<Pr+i(j'i) ?г+1(Уг) ..· Τγ+ι(>'2«+ι) Τγ+ι (Уо)·
Лемма 1. Если г нечетно, то определитель матрицы -Л
отличен от нуля. Если г четно, то О есть простое
собственное число матрицы 31, причем соответствующий ему
собственный вектор есть (1, 1, 1, ... , 1).
Доказательство. Матрица 31 циклическая, и поэтому
нетрудно указать ее собственные векторы #fe=( 1, <оА, «^ ... ω£η+1)
(& = 0, 1, ... , 2/г -{-1), где ωδ = elr'kl^n+1) — корни степени 2п -\- 2
из единицы. Собственный вектор uk соответствует собственному
числу
К = ?r+i ( Уо) + ωΛ?Γ+ι (Ух) + · · · + «>? +4+ι ( JWt)
(равенство 01αΑ = λ^λ проверяется элементарно). Определитель
1 1 ... 1
0Jr
ω,
О).
2л+1
0)2л+1 ω2ϋ+1
ω2/ζ-ί-1
2л+1
столбцами которого являются векторы щЛ есть определитель
Вандермонда и поэтому отличен от нуля. Значит, все векторы
uk линейно-независимы, и указанные выше λΛ (β = 0, 1, ...
... , 2п-\-1) — все собственные числа матрицы £1.
64

Покажем сначала, что если г = 2т—1, то все λΛ отличны
т пуля, и потому (let £1^=0. Действительно,
kjr.
2/1+1
Re λΑ == ^ cos -^ φΓ+1 (yj) =
;=0
1
COS
υ--
2n + 1 сэ
<-1)- S -^ Σcos ί¥τ·cos ^τ=(-1)- 2
*i
//■+1
i=i
;=o
/=i
1
где tf/= —
2/7 -I-1 2n+l
> cos - -^— -+- \ cos I -Ц
2л + 1 2/t + l
Учитывая, что
/ν;-
Vcos-^A- = Re V-' Jfl + l
cos ,
/i n-\- 1
J=u
__ f 2n-\-2, если ν делится на 2/г-{-2.
\ 0, если ν не делится на 2/г -f- 2,
видим, что αζ>0 и для некоторых / at > 0. Таким образом,
КеХ/г=^0, и для нечетного г лемма доказана.
Пусть теперь г = 2т. Заметим прежде всего, что
ysini№_il=Im
Z.J 2 (« + 1) j^
у-о у-о
с// 2n-r I "/>.// -j
Imf
2/z+l Mlpj+l)
β2(η+1) ^фе я.-1
y-o
7-./
(2д -f- 2) sin 2 ", , , если ρ делится на 2п-\-2,
О, если ρ не делится на 2п -f-2.
Как и в предыдущем случае, легко установить, что
■ сэ
2/1+1
Rei* = (- 1)- V ' У rini^iiiE-coeJ^—
Λ v ' ^^J /,+1 ^^ 2 (η + 1) /ζ —t-1
1=ι
2
2/1+1
2^-Ssin
(2i/J-A);- + 0'
2(n+ 1)
1=1 /=0
2/1+1
1 έγ, . (2(l-k)j + l)r.
+Σ-*-Σ-
2 (л+1)
/=1
У-о

В силу сделанного выше замечания в первом из этих рядо|
отличны от нуля лишь члены, соответствующие 1 = (2п-\-2)-ч —}
(м=1,2, ... ), а во втором— /=»(2я + 2)(v — \) + k (v= l, 2,...
(если /г=0, то ν = 2, 3, ... ). Поэтому
R _(-1)»*1(2й + 2)У1Г 1 . ((2я + 2)*-*)г ■
Ке Кк - 5 ^[((2π + 2)ν-Α)'+ι S111 2^+1 "И
ν=1
, ! 4in ((2я + 2) (?-!) + *)«
((.2л -+■ 2) (ν - 1) + A:)r+1 2л t- 2
00
Отсюда ясно, во-первых, что Re>*0 = 0, и, во-вторых, что
Re>^==0 при Л= 1, 2, ... , 2л+ί· поскольку сумма" послед
него знакопеременного ряда с убывающими по абсолютно
величине членами положительна. Непосредственно ясно, чта
л0 = V2n+1cpr+1(j/y) вещественно; поэтому λ0 = 0, и так кац
ω0= 1, то w0=(li 1, ... · 1) ■
Для получения нужного нам результата теперь следует вне
сти понятие сплайна. Нас интересуют лишь периодически ι
сплайны с равноотстоящими узлами.
Определение. Пусть xk = x0-\-kh9 где Λ = π/(Λ+1). ~
равноотстоящие точки и г — натуральное число. Периодичес
ним сплайном порядка г с узлами xk называется г — 1 ра
непрерывно дифференцируемая 2тг-периодическая функци!
Sr(x), которая на каждом промежутке (xk, xk+x) (k = 0, ± 1
± 2, ... ) совпадаете некоторым многочленом степени не выше г\
Из определения немедленно следует, что на каждом про ι
межутке (хА, Xk+\) S{P(x)=ak есть некоторая постоянная, при
чем в силу ^-периодичности αΛ+2/Ι+2 = αΛ и
Λ-0 fe-0 xk
2я+1
= л±1 V [sjr-« {хш) - Sir» (jcj] =
fe.-0
= i±l- [sr'> (ϊ«ί - ST° W] = o„
так как JC2n+2 = -?co + 2-. С помощью ядер vt сплайн: Sr mo;>kcJ
быть записан в виде
66

Sr(*) = A + JL ^,(t)Sir)(t + x)dt =
-Г0+2с
-Го
2я+1 ^+ι
= Л+4" V^ J φΓ(*-*)Λ =
2я+1
= ^+ — 2fl*I^rt^*"" л)"* Yr+ii^A+i— *)]■ (*)
В последнем равенстве было учтено, что <рг (0== — <Ρ^+ι (О·
Здесь
A = JLJsr(*)£i*.
Из полученного представления видно, что сплайн Sr(x)
полностью определяется заданием 2«-f-2 чисел: А, а0, аи ... , а2п
(если учесть, что а2я+1 = — ^10 ла) ·
Положим теперь /А = л:Л, если г нечетно, и tk^=xk— Л/2,
если г четно, и докажем разрешимость интерполяционной
задачи с узлами 4 в классе сплайнов.
Лемма 2. Каковы бы ни были числа а0, olt ... , а2в+|,
существует, и притом единственный, сплайн Sr (χ) порядка г
с узлами xk такой, что Sr(tk) = ak при k = 0, 1, ... , 2λ +1.
Доказательство. Будем искать числа А, «0, ... , а1п,
соответствующие сплайну Sr, решающему нашу задачу.
Требования Sr{tk) = *k (^ = 0, 1, ... , 2я+1) дают нам систему
2//+ 2 линейных уравнений относительно этих чисел, и наша
цель — убедиться, что эта система уравнений однозначно
разрешима. Для этого достаточно показать, что соответствующая
однородная система имеет лишь нулевое решение, т. е. что
сплайн
2/7 + 1
Sr (x) = A+±-\\aj [φ,+1 (χ j — χ) — ψΓ¥1 (χμι — χ)],
Удовлетворяющий условиям Sr{tk) = 0, тождественно равен
Рулю. Учитывая, что х}—tkr=y._k (числа yh были введены
Перед леммой 1), значения Sr(tk) можно записать в форме
2л+1
Sr (**) = ~A+ 4" У] */ 1 *«1 ( Уу-ft) ~ <Рг+1 (УУ+1-а)J ·
У-=о
67

Суммируя равенства Sr(iA) = 0 по всем & = 0, 1, ... , 2я + 1,
получаем
2л + 1 Г2"±* 2и + 1 η
(2я + 2) Л -f 4" 2 % ^ φΓ+1 (уу_й) - ^<pr+i(y/+i-ft) = °· Μ
Но ввиду 2тс-периодичности функции φΓ+1 и так как yi+2/i+2 =
2я+1 2я+1 2л + 1
2?г+1(Уу-*)= 2?r+i(yy+i-ik)= 2?т(У*)·
£=0
&=0
*«0
Поэтому в равенстве (**). все коэффициенты при af равны ну--
лю, и отсюда сразу же следует, что А —0. Итак,
2Λ+1
Sr (**) =-Г 2jaj [<pm {yhk) — φΓ+1 (yy+1_*)] =
|-2и-М 2л+ 1
_1_
г2п+1
/=0
2U/ — ty-i) <Pr+i(.J7-ft) — α2« f i?r+i( У 2л+2-а) + a0?r+i(y-*)
L/=l
_1_
2л+1
^ Vr+i(yy-fe):
/=0
Здесь мы воспользовались тем, что У_й=У2л+2-а — 2π и_потш;
?т (У-а) = ?γ+ι (Угв+2-ft), и ввели _ обозначения fy = яу — ^.j
(у = 1,2, ..., 2/г + 1), Ь0 — а0 — α2η+ν Рассмотрим равенств
% 5(ίΑ)=0 как систему уравнений относительно чисел bj
Учитывая 2тс-периодичность функции φΓ+1, эту систему можи
записать в виде
?Г+1 (.Уо) &0 + «Рг+хШ #1 + 9г+1 (У2) &2 + . . . + ?r+l (j>2n+l) *2.Я+1=0
<Pr+l ( У2П+1) ^0 + <Pr+l (JO) *1 + <Pr+l ( jO *2 + . · · + ?r+l ( У2«) *2n+l =Ιθ
• ···*· · · · ' · ft · · ΐ
сРг+1(У1)^0 + ?г-м(У2)6/ + ?г+1(Уз)^2+ ... +?r+l(^o)^2«+l=°
и матрица ее коэффициентов есть матрица ЭД. из леммы 1. Пр|
нечетном г из леммы 1 немедленно следует, что #0 —#}=:.
... == 62/г+1 = 0. Если г четно, то эта же лемма позволяет а
ключить лишь, что все bj равны между собой; однако из с
м'ого определения чисел bj немедленно следует, что У'^^—О
так что и в этом случае b0 = b1~_ ==62п+1==0._Равченст(
нулю всех чисел Ь} означает, что а0 = а1= ... = a2n+v
И Τί
68

ьак V2"Jl ak = 0, то все числа α^ равны нулю, и сплайн Sr{x)
есть тождественный нуль ■
Положим теперь х0 — 0 (тогда xk~k/i) и рассмотрим сплайн
S*(A')» У котор°го в представлении (*) Л = А* = 0 и ak = a*k =
М-1)*·
Лемма 3. Справедливы равенства
5ί(^ = (--ΐ),,,+14*-ϊΗΤϊΓ (А = 0· *· ··■ · 2л+1)'
zcte Ж г —постоянная Φ авара и т= [г /2] — целая часть
чист г',2.
Доказательство. Согласно определению S* S?r)(x) =
=raJ = (— 1)* при xk<x<xk+uT. е. S*(г)(л) = sign sin (η-\-1)χ.
Поэтому функция S*in(x) нечетная и имеет период - («-}-1)=2я,
а функция S*r{r){x-{-h 2) четная. Из представления
S*r (*) = 4" J ?' W 5;(Г)(Х + ') <"
ясно, что функция Sr(x) также имеет период 2я, при г
четном S*(x) нечетная/а при г нечетном S* (х + Λ/2) нечетная.
Поэтому для доказательства леммы достаточно убедиться, что
S*r(t0)^(-\y»+lXrl(n + iy.
Если г нечетное, то tQ = x0 = Ot и потому
£(f0) = -I" j ?r (0 S*(r)(0Λ = 4" Jϋγ(0sign sin (/ι+1)ίΛ-
= (_1)«ι+ι ^
('»+!)'
!Здесь мы воспользовались интегральным представлением
постоянной Ж τ при нечетном г (см. с. 55). Если г четное, то
i0 = jc0 — Λ/2 = — к. (2й + 2) и
π
s; (ί0)=\ ]' Tr (ο s;«(<· - 2^) μ=
= 4" |Ϋγ(0 sign sin (ft -f 1) (f - 2^) dt = (- l)'"+< -^ψ .
причем мы опять воспользовались интегральным
представлением постоянной Жг> на этот раз для четного г Ш
Лемма 4. Пусть s — (o0) alt ... , α2η+1) — произвольный сиг-
09

пум-векторы К>0 и Sr{x)—сплайн порядка г, решающий
интерполяционную задачу
Sr(tk)=okKXr>(n+\y.
Тогда на всех промежутках (xk, х^г) |S(rr)(χ)| = |ak|<К.
Доказательство. Сделаем предварительное замечание.
Пусть/—непрерывная 2^-периодическая функция и пусть на
любом конечном промежутке она дифференцируема всюду, за
исключением конечного числа точек. Если на некотором
промежутке {а, а-{-2г.\ длиной 2г нашлись такие (2#+2) точки
xk (а < Х\ < х-> < ... < х2п+2 ^ а + 2π), в которых / принимает)
значения чередующихся знаков, то на этом же промежутке
найдутся такие точки yk (а < ух<у2 < ... < у2п+2 < а + 2π),
в которых производная f функций /принимает значения
чередующихся знаков. Действительно, пусть для определенности
/Ui)>0· Тогда f(x2) <0</(*t), и потому в некоторой точке
Z\ £(χι, х*) будет f {Z\)<iO. Аналогично в некоторой точке
ζ2ζ(χ2, х3) будет /' (z2) > 0 и т. д. Наконец, в некоторой точке
22„+2б (*2«+2, Χι -f 2^) будет /' (ζ^α) > 0. Если z2n+2 < а + 2π,
то полагаем j^ = 2;ft, (£ = 1, 2, ... , 2«-f-2), если же г2п+2 >
>α-\-2τζ, то полагаем j/j^^a^a —2-, yk — zk_t (k = 2, 3, ...
.... , 2/i-f-2). Ясно, что точки {yk} —требуемые.
Утверждение леммы будем доказывать от противного. Пусть
для некоторого ν |av| = max|aft|>/C Построим сплайн
Rr{x) = sUx) + (-iY+l-l-sr(x).
Так KaK\S:(tk)\^J^>^-I^ = \^-Sr{tk)
то sign Rr (tk) = sign S*r (tk) = (- l)'»+,+*,
т. е. в точках tk (0 < tt < t2<i ... <^2«4··><^2π) сплайн Rr(x)
принимает значения чередующихся знаков. Применяя
последовательно к сплайну Rr(x) и его производным утверждение,
сформулированное в начале доказательства, получаем, что в
некоторой системе точек 0 < yv < у., < ... < у.1п+2 < 2" R\r)(x)
принимает значения чередующихся знаков. Но это
противоречит тому, что R[r)(x) есть кусочно-постоянная функция,
принимающая на (0, 2π) последовательно всего лишь 2/г + 2
значения, из которых одно (на промежутке (χν, *ν+ι)) есть нуль ■
Теорема 2. (В. М. Тихомиров). В пространстве С
справедливы, равенства
d^x rKC(r)) = $1 (KC{r)) = КЖГ -'(η + 1 У
и подпространство тригонометрических полиномов порядка
не выше η экстремально для класса КС(Т).
70

Доказательство. Так как^d2n+l (КC(r))^.&n (KC{r)) (no
.определению /г-поперечников) и Шп (/СС(Г))< КЖг1\п-\- 1)г (по
следствию из теоремы Лхиезера — Крейна — Фавара), то
достаточно доказать неравенство
Для этого воспользуемся опять теоремой 7 (см. с. 25). Вы-
'берем достаточно малое ε>0, и пусть s —(σ0, зь ... , a2n+i) —
произвольный сигнум-вектор. Пусть, как и в лемме 4, Sr (χ) —
сплайн, решающий интерполяционную задачу
Построим для Sr среднюю функцию Стеклова
— δ χ—δ
(напомним, что функции Стеклова уже рассматривались в § 3).
Тогда /з (х) есть г раз непрерывно дифференцируемая
функция, причем
/I" м = -g- №_1) <*+г> - ■#"" < * - δ>1 ·
Так как 5"гГ)(л;) существует везде, за исключением конечного
(на конечном промежутке) числа точек, и по лемме 4
|1#г)(л:)]</Г, то \f£\x)\<K, и fb£KClr). В то же время при
достаточно малом δ будет |/δ (х) — SV (χ) |-< ε, и потому
|/о (tk) | > *#,/(« + 1 )r - *, sign/δ (ίΑ) = sign Sr (ίΑ) = o,
(Λ = 0, 1, ... , 2л+1).
Итак, мы показали выполнение условий теоремы 7, уже
упоминавшейся выше, и по этой теореме
I d,n+i (KC{r)) >КЖт1{п + 1У - з.
Ввиду произвольной малости г
сГ2|г+1 (/СС(Г) )> KXrj(n + 1)' ■
Замечание. Попутно доказано равенство
#«Г(#С(Г,)=/СЯГг/(я+1)',
отмеченное в § 3 без доказательства.
Задача 1. Показать, что в пространстве С последовательность поц-
'фостранств тригонометрических полиномов экстремальна по порядку для
класса Htn при любом модуле непрерывности ω.
Задача 2. Показать, что если в условиях леммы 2 при четном г взять
© качестве узлов tk точки xk, то интерполяционная задача станет, воооще
говоря, неразрешимой.
71

§ 6. Обратные теоремы
В обратных теоремах устанавливается степень гладкости
функции в зависимости от поведения се наилучших
'приближений. Предвармтельно установим одно неравенство для
производных тригонометрических полиномов.
Теорема 1 (первое неравенство С. Н. Бернштенна). Для\
каждого тригонометрического полинома Тп (х) порядка не\
выше η справедливо неравенство
\ГлТ:<- *тТ:.
Доказательство. Пусть Тп(х) — произвольный тригоно-
г
метрический полином порядка не выше /г. Положим |Гл|^г =
= \Тп(Хо)\ — Мп. Требуется доказать, что |ГЛ|~>-Л/.
Докажем это от противного. Предположим, что \Тп\~< М. Не
уменьшая общности, можно считать, что Тп(х0)=Мп (в
случае Τп (х0) = — Мп можно было бы перейти к рассмотрению
полинома—Тп(х)). Так как х0 — точка максимума 7„, та
π I
Г„(лг0) = 0. Рассмотрим тригонометрический полином ип{х)=А
= Μ sin и (χ — х0)—Тп(х). В точках yk = x0-\-(2k-\-\)-2m
(Λ = 0, 1, ..-, 2л) Un{yk) = (-l)kM — Tn(yk), π, поскольку
\Tn{yk)\<^M, значения Un{yk) и Un(yk+1) имеют противопо-j
ложные знаки. Поэтому каждый ' промежуток {yk, Уи^А
(k — Q, 1, ... , 2/г—1) содержит хоть один корень полинома
Un (х). Пусть эти корни zk: zk £ (ykt yk+l) (k = 0, 1, ... , 2« — 1)
Так как у-,п—y0 = 2~, все эти корни принадлежат открьн
тому промежутку длиной 2-; кроме того, точка zin = z0 -{- 2ч
также является корнем полинома Un. По теореме Ролля
между каждыми двумя корнями Un лежит по крайней мен
ре один корень его производной U'n. Поэтому на прон
межутке {z(), z0-j-2t:) имеется по меньшей мере 2/г различны»
корней Uп. Заметим, что Un (л:0) = Мп cos η {χ — х0) — Тп (х)\
и потому Uη{х0) = Μη— Мп = 0. Кроме того, ип(х)М
= — Мп2 sin η (χ — х0) — Тп (х) и Uη (хо) = 0. Таким образом
тригонометрический полином Uп (х) имеет не менее 2/г попарна
неэквивалентных корней, причем хотя бы один из них (точка хА
не ниже второй кратности. Общее число неэквивалентные
г
корней у Цп с учетом кратности оказывается не менее 2/г-J-1J
и потому U'n (х) = 0. Отсюда следует, что Un {χ) — const, что
противоречит тому, что в точках yk полином Un принимаем
значения чередующихся знаков ■
Следствие. Для любого тригонометрического поли\

нома Тп(х) порядка не выше η при любом натуральном к
выполняется неравенство
|Γ<!"|.<«*|7·„||ε.
Замечание. Первое неравенство Бернштеина, а также
следствие из него являются точными в том смысле, что для
некоторых тригонометрических полиномов (например, Тп(х)=
^=cosn(x — α)) эти неравенства обращаются в равенства. Это
означает, что норма оператора &-кратного дифференцирования-
в пространстве тригонометрических полиномов порядка не вы-
ше η (с нормой пространства С) равна nk.
Теорема 2 (С. Б. Стечкин). Для любой функции f^C
справедливо неравенство ·>
ω(/;0<8*2ΠΖΓί(/)· (*)
Доказательство. Обозначим через Тп{х) (/г = 0, 1, ... )
полиномы наилучшего приближения функции /, так что
\f— Tn\L = En(f). Возьмем произвольное t > 0. Наша задача—
оценить \f(Xi) — /С*2)| в предположении, что |xt—х2|<^·
Если t^-\!2, то так как Т0(х) — постоянная,
l/G*i) -fM I < |/(*,) - 7·0 (χι) Ι + \f (лд - т0 (х2)\ <
^2E0r(f)<4tEor(n
что и доказывает неравенство (*) в этом случае. Пусть же-
t < 1/2. Выберем натуральное число k из условия 2*<; \\t <2*+1.
Тогда
I / (*i) -f(xz) I < |/(*ι) - T2k (*,) \ + \ 7> (jc.) - 7> (*,) | +
+ ] 7> (x2) -f{x2) I <2ET2k (/) + | 7> (Xl) - T2k (x2) |<
В последнем неравенстве использовано, что согласно выбору k
1 < 2k+lt и что
IT2k(*,) — Г2k(x.>)|<|jct — х21·||Т'# 1~<ί|| f2k||ε.
Запишем 7^* в виде
Т'2м{х) = 7-;(jc) + [7-2(x)-ro(Jc)]4- ^IM^-TV-iO*))'
ν = 2
) [α] означает целую часть числа α.
75

ι оценим каждое слагаемое, стоящее в правой части. Оче-
!ИДно, что 7^(л:) = 0. Далее,
| т, - r1._,|f<|r„ -/|е + |/- 7-2,_,|е<
< £fv(/) + £·[,_,(/) < 24-. (/),
ι по неравенству Бернштейна
Точно так же [Ι[Γ2 —Γο]Ί|~<4£0Γ(/). Поэтому
l^>L<4
4V-1 п> Г
= 4
£г(/)+5;г£2^(/)
v = l
Подставляя это неравенство в полученную выше оценку для
/(хг) — f{x*>)\ и учитывая произвольность точек хх и х>> П°Д~
чиненных условию [хх — -к2К^ получаем
k
СО
(/; *) < 4ί
й(/) + 22"£и/)
ν=1
(**)
Определим теперь на [0, + оо) функцию φ (у) так, что φ (η) =
— En{f) и φ (у) линейна на каждом промежутке [п, я+lj
(/г = 0, 1, 2, ... ). Очевидно, что функция φ (у) не возрастает,
в частности, Е^(/Ж<?(у) при .y<2v и φСуХ£ί(/) при
у^п. Интегрируя первое из этих неравенств по у от 2V_1
до 2\ а второе — от /г до я-f-l» получаем
2V п + 1
2\ —1 я
Теперь можем написать следующую цепочку равенств и
неравенств:
22-£[.(л=222'-l£l*(f) <2 2 Ь(у)*=
v-1
v=l
v = l 2V—^
2*-I
= 2 j?(j;)^-222 "I <P (J') flPy < 2 2 ^(/)-
1 n=l η л=1
Подставляя полученную оценку в (**) и учитывая при этом,
■что в силу выбора k 2k— 1 < [lit], мы и придем к (*) В
Теорема 3 (первая теорема С. Н. Бернштейна). Пусть
0<а^1. Если функция f^C такова, что при всех /г^>1
74

£n(f)^А/па, где А—некоторая постоянная, то при α < I
/£Я(а), а при а = 1 /б ВИ
Доказательство. Применяя в условиях теоремы
оценку (#), получаем
,Если α < 1, то
[ll!t] 1
[1//] 1.'/
л=1 О
ш при *<1 ω(/; *)</«% где /Г=8[£0(/) + А/(1—α)].
Поэтому в случае a < 1 /б//(а) (мы воспользовались свойством
12° модуля непрерывности (см. с. 47)). Если а=1, то при
i< 1
[Ι/ί] 1//
/1=1
ж потому <о(/; i)<^(l + |lni|), где /С=8(£0(/) +А), т. е.
/б UT ■ .
Замечание 1. Теорема Бернштейна была доказана раньше
*(1912' г.), чем теорема Стечкина (1951 г.).
Замечание 2. Сопоста;вляя первую теорему Бернштейна с
яримыми теоремами (см. следствие из теоремы Корнейчука на
с. 59), можно сформулировать следующее утверждение.
| Для того чтобы функция f^C удовлетворяла условию
Липшица с показателем гл (О < a < 1), необходимо и
достаточно, чтобы ее наилучшие приближения удовлетворяли
неравенству Еп(/)^Апга9 где А — некоторая постоянная.
Замечание 3. Существуют примеры таких непрерывных
апериодических функций /, для которых ΕΪ(/)^Α/η и
которые тем не менее не принадлежат классу //(1), так что в
этом отношении утверждение первой теоремы Бернштейна при
а — 1 не может быть усилено. Поэтому при а=\ неверно
Утверждение, аналогичное сформулированному в замечании 2.
Теорема 4. Пусть /£С. Если для некоторого натураль-
*) Определение класса W см. на с. 48.
75

пи
ного ρ ряд улР-1/Гл (/) сходится, то функция f p раз не-
л-=1
прерывно дифференцируема и
k=\n.2\
Доказательство. Очевидно, что функция f(x) может
быть представлена в виде равномерно сходящегося ряда
/(jc) = Тп (х) + 2 (Тп 2ν (χ) - Тп 2ν_, (χ)), (*)
v=l
где Tk(x) — ее полиномы наилучшего приближения. Тогда
I г.*·- тп «-■ 1е<1 τ η t-f\+\f-T. г-х\ъ =
= ετη? (/)+£»V· (/) < 2£,V. (/).
поэтому но первому неравенству Бернштеина (см. следствие
из теоремы 1)
Таким образом, ρ раз продифференцированный ряд, стоящий
в правой части (*), мажорируется числовым рядом
S = 2nP V 2ν£^ι(/) = 2/ι*ν 2,р»(д2*-1)1
^■н лм
ν=1 ν - 1
где, как и при доказательства теоремы Стечкина, через ? (у)
обозначена кусочно-линейная (она линейна на каждом
промежутке \k% Λ + 1], где k — натуральное) функции,
принимающая в натуральных точках А значении ψ (&) = £&(/).
Учитывая, что
у-' rfy = -L ^2v/7"2/7 (2" — 1),
η 2*~2
перепишем ряд 5 в форме
с» η 2'-1
v=l „2v-2
Так как функция φ (j/) не возрастает,
й.2
76
ί
00
S<2^=T-J J^My)**

причем из сходимости написанного интеграла следует
сходимость ряда 5. Далее,
со со h-M
y = J ν*-40Ή>'< 2 jV"1?^^
л 2 /г-4л2] Л
со /? + 1 со
V φ (А) [ уР-1 dy = -L 2] ((* + 1)" - **) ЙГ (/)·
А-1л,21 ft fc=[n.2]
Учитывая, что
(Л + 1)" - Л" = 2 ф' < А^1 2 С; = kP-* (2^—1),
/-=0 /=υ
получаем оценку
со
y<-L(2'-l) 2] kr-xElif)·
k- [л.2]
По условию теоремы последний ряд сходится. Таким
образом, сходится интеграл У, а вместе с ним и ряд «S, причем
со
k=\nt2\
Итак, ряд (*), через который выражается функция /, после
/7-кратного дифференцирования сходится равномерно· Отсюда
следует, что функция / ρ раз непрерывно дифференцируема
и
/<*>(*) = 7Г (х) + V(Г|&(*)- 7™_, (.ν)).
Полученная выше оценка суммы ряда 5 позволяет теперь
установить, что при всех χ
оо
ft =1я/2]
и так как /^'(л:) есть тригонометрический полином порядка
не выше п, то
^(/(/,))<2=/'+1 2 k?-*El{f)m
ft=[«2J
Теорема 5 (вторая теорема С. Н. БернштеГша). Пусть
Функция /(·*)£ С такова, что для ее наилучших
приближений выполняются неравенства Εή(/)^Αη—('Ηα), где р —
натуральное, 0 < а <; 1, А — некоторая постоянная. Тогда
если 7.<1, то /£С(Р)/У(а), а если а=1, то f£C(p)W.
77

Доказательство. Воспользовавшись теоремой 4, сразу-
же получим, что функция / ρ раз непрерывно
дифференцируема и выполняется оценка
00
El{fip)) < 22*+1 А ^ -^< САп~\
Л= [rt/2]
где С—некоторая постоянная. Теперь,применяя первую
теорему Бернштенна, видим, что /Р)£Н{*] (если а < 1) или
f(p) G W (если а=1) ■
Сопоставляя вторую теорему Бернштейна со второй
теоремой Джексона, придем к следующим утверждениям.
Следствие 1. Для того чтобы непрерывная 2~-перио~
дическая функция f принадлежала классу С(/;)//(а), где ρ —
натуральное, 0 < а < 1, необходимо и достаточно, чтобы
для ее наилучших приближений еыпо лняласъ оценка En(f) <
Следствие 2. Для того чтобы функция /£ С была
бесконечно дифференцируема (т. е. имела производные всех
порядков), необходимо и достаточно, чтобы при любом
натуральном ρ выполнялось соотношение £Т(/) пР—*0, т. е.
П /2-+· СО
чтобы наилучшие приближения этой функции стремились
к нулю быстрее, чем \\п в сколь угодно большой степени.
Задача. Доказать, что если Е1п (/) < А[п, то для этой функции /
выполняется неравенство |/ (х -f Л) — 2/(jc) + f (χ — h) j < ch, где постоянна»
с не зависит от χ и Л.

Глава 3
ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ
В АЛГЕБРАИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ
§ 1. Метод индуцированных функций
Во второй главе были изложены теоремы, устанавливающие/
связь между свойствами гладкости непрерывной 2л-псриодиче-
ской функции и поведением се наилучших приближении
тригонометрическими полиномами. Такие же связи существуют и для
функций, непрерывных па конечном промежутке [а, Ь], в случае
их приближения алгебраическими полиномами. Изучение эгих
связей и составит предмет третьей главы. При этом
оказывается, что интересующие нас прямые и обратные теоремы в
алгебраическом случае могут быть получены из соответствующих
теорем в периодическо'м случае. Делается такое сведение
методом индуцированных функций.
Определение. Пусть/(х) — непрерывная на промежутке-
[а, Ь] функция (/£С([а, Ь])*\ Индуцированной по
отношению к / называется функция
Заметим, что при любом вещественном 9 —^—cos 6+-
/7 -1 pi
Η-—τ;—£ [a, b], так что функция φ задана на всей числовой
оси, причем φ (0) =/(£), φ(π)=/(β).
Оператор, который каждой функции /£С ставит в
соответствие ее индуцированную, обозначим через У: v — 2(f.
Отметим простейшие свойства индуцированных функций.
1°. Для любой функции /£С индуцированная функция-
9 = У/ есть непрерывная четная 2^-периодическая функция..
Ρ В дальнейшем промежуток [а, Ь] будем считать фиксированным
обозначать пространство С {[а, Ь]) просто через С.
79·

.Множество таких функций будем обозначать через С*— это
подпространство пространства С, состоящее из четных
функций.
2°. Для любых функций /,, /2£ С и вещественных чисел
аи α-ι &{aif\ +σ->/2) = αι^/ι -f-«2^2/2» τ· e· опеРатор ^
аддитивен и однороден.
3°. Для каждой непрерывной четной 2^-периодической функ-
дни φ £С* существует единственная функция /£С такая, что
y = af, причем
/(л) = φ ^arccos by_J Μ.
Таким образом. У как линейный оператор, действующий из С
в Св, имеет обратный &~х: /=^-1<р.
4°. Для любой функции /£ С выполняется равенство
l/k=l^/|e·
Свойства 1° — 4° индуцированных функций очевидны и
означают, что оператор & есть линейная изометрия между С
И С*.
5°. Если Рп — алгебраический полином степени не выше /г,
то 3fPn — четный тригонометрический полином порядка не
выше /ζ. Если Тп — четный тригонометрический полином
порядка не выше /г, то У~хТп — алгебраический полином
степени не выше п.
Доказательство. Так как оператор «7 имеет обратный
и размерности подпространства четных тригонометрических
полиномов порядка не выше η и подпространства
алгебраических полиномов степени не выше η одинаковы (я+1), то
достаточно доказать первое из высказанных утверждении.,
В силу линейности оператора достаточно убедиться, что для
Ρη{χ)=χη ЗРη — ( Τ ^ cos θ + а j есть четный
тригонометрический полином порядка не выше п. Но последнее
очевидным образом следует из того, что произведение
тригонометрических полиномов есть опять тригонометрический
полипом, порядок которого равен сумме порядков сомножите-L
лей В
6°. Для любой функции /£С выполняется равенство
Eltff) = £■„(/).
Доказательство. Пусть Рп — полином наилучшего πριιΐ
ближения функции /. Тогда Тп = &Рп— тригонометрический
полином порядка не выше η и \3f—Tn\~=\3f{f — Pn)h
= Ι/-Λ,Не =£*(/)- Отсюда El{2ff)^En{f). Обратное ие«
80

равенство доказывается буквально так же, требуется лишь
установить, что тригонометрический полипом наилучшего
приближения четной функции Sff будет четным. Покажем это.
Пусть Тп — тригонометрический полином наилучшего
приближения функции φ = &f. Положим Un(Q) = Тп (— θ); Un — также
тригонометрический полином порядка не выше л, причем
|<?(0)-ί/η(0)ΙΗ?(-β)-^(0)Ι = ΐ9(--0)-3;(-β)Ι<^(?).
Так как 9 здесь любое, Un — также тригонометрический
полином наилучшего приближения для φ, и в силу
единственности полинома наилучшего приближения должно, быть £/я(0)==
= 7,(6), т. е. Г„(— Θ) == Г„(Θ), и 7'„-четный В
7°. Пусть /£С и φ = 37. ТогЯа
Доказательство. Пусть числа 0Х и 0.> таковы, что
10Х - 621 < t. Тогда | φ (0,) - φ (02) | =.| / (хх) - / (а%) | <
< ω (/; |*ι — х-> I), где л^ = —ψ- cos θ, ~j —, и потому ,
|хх —^2| = ^|cos01 —cos02|=- b-^\0i-b2\.\sml\^l~t
(здесь мы воспользовались формулой конечных приращений;
I — некоторая точка между θχ и 02). Так как модуль
непрерывности ω(/, t) не убывает, |?(θι) — ?(^)j<«) (/; -g-X
Χ (&— а)Л. Для достижения этого неравенства
потребовалось лишь, чтобы было | Oi — б21 < /, поэтому ω (φ; ^)<1
8°. Пусть/(5С, <р = У/. Пусть [д,, 6,]—промежуток,
внутренний по отношению к [a, b\ ([alt £,jc(tf, b)), иш1(/; £)*>—
модуль непрерывности функции /, если мы рассматриваем ее
лишь на промежутке [ах, 6J. Существует такая постоянная К,
зависящая только от а, Ь, ях и /?,, что
M/i *)</<ω(φ; /). (*)
Доказательство. Пусть хи х-> £ [«,, &j] и | xt — *., | ·< t.
Тогда |/(χ1)-/(Λ2)| = |φ(61)-φ(θ2)|<ω(φ; ΙΘ,-Θ,Ι), где
в< = 0(:>с<), 0 (л-) — arccos "x h . Функция Θ(λ') на проме-
жутке [alt b{] непрерывно дифференцируема (это было бы
неверно по отношению ко всему промежутку [а, Ь\—в точ-
*) Нижний индекс здесь, как и в некоторых случаях ниже, показывает,
Чго в данный момент (при определении модуля непрерывности) мы
рассматриваем функцию / лишь на промежутке [аи &J.
81

ках а и Ь производная Θ' (х) обращается в бесконечность)
Положим Μ = max |θ' (х)\. Тогда jOt — б2 \<М \хг — x2\<Mt]
и потому ωχ(/; ί)^ω(φ; Mt). Если положить теперь K^z
= [Αί] +1 (ближайшее к Μ целое число, большее Ж), то
Μ/; 0<ω(φ; **)<*>(?; *) ■
Заметим, что для модуля непрерывности ω(7; /) функции /,
построенного для всего промежутка [а, Ь], оценка вида (#),
вообще говоря, неверна.
Задача. Доказать существование такой постоянной /< = /((#, Ь)у что
для модуля непрерывности функции /, рассматриваемой на всем
промежутке [а, Ь], справедлива оценка ω (/; t) < /(ω (с; l/T), где φ = ^/.
§ 2. Прямые теоремы
Теорема 1 (первая теорема Джексона). Для каждой
функции /£ С выполняется неравенство
£.(/)<ω(/; -").
Доказательство. Положим <р = У/. Используя
свойства 6° и 7° индуцированных функций, а также первую
теорему Джексона для периодического случая (см. с. 59),
получаем
En(f) = *ϊ (?) < - (φ; ^) < - (/; 4^-) ■
Замечание 1. Если про функцию / нам известно, чтс
/6^«>, где ω — выпуклый модуль непрерывности, то,
используя вместо первой теоремы Джексона теорему Корнейчук*,
(см. с. 58), легко получаем
*.</>< 4-· (·!£&-)■
В частности, если /£АУ/(а), то
F (f\.<rJL ( (h -α)πΛα
cnU )^ 2 [ 2(и+1) J '
если /£/(С(1), то тем самым f£KH{l\ и потому
Замечание 2. Приведенное в предыдущем· замечание*
неравенство для наилучших приближений функций класса КНК*
может быть записано в форме
*.<*««)= sup;г,(/х4(Щ. <<;
82

Как было показано Бернштейном [4], выполняется
асимптотическое равенство
&п {КН(а))« {~^-ΐ^Τη (КНМ) {п - со)
и потому (см. следствие из теоремы Корнейчука на с. 59)
Однако при фиксированном значении η в неравенстве (*) знак
< не может быть, вообще говоря, заменен на =. В
частности,
&.,(KH{l)) = (3-2\/"2)K(b-a)< -^-K(b~a),
3>.JKH{i)) = ^(W + 7V7)K(b-a)<-^K(b-a)
(см. [23]; поведение величины <βη (Д7/(|)) изучалось также
С. М. Никольским [15]).
Переходя к вопросу о поведении наилучших приближений
дифференцируемых фуикций, докажем сначала два
вспомогательных утверждения.
Лемма 1. Для функции /£/(С(2) при я^1
выполняется неравенство
(f ^ ,2 fb-αγ к
сп U ) ^ $ [ 2 j (л + I)- *
Доказательство проведем сначала для случая а ~ — 1»
Ь—\. Построим функцию £"'*)=/(*)—/' {0)x. Тогда g' (0)=0,
при /г>1 En(f) — En(g) (так как fug отличаются на
многочлен первой степени) и g£KC(2) (так как g" {χ) =/" (χ)).
Пусть φ = 3fg — индуцированная по отношению κ-g функция:
<f{b) — g(cosb). Тогда
φ"(θ) = sin 26.g" (cose) — cos6g'(cos6) =
— (1 _ cos2 0)-g"(cos Θ) — cos B-g' (cos Θ).
Из последнего представления видно, что φ" есть функция,
индуцированная но отношению к функции G(x) = (\ — χλ) Χ
Χ £"(*) — xg'(x) W = 2fG). Так как g'(0) = 0, то
о
и потому |g'(·*)!^K\x\ (поскольку g£KC(2)). Отсюда
\<3{х)\<(\-хг)К+\х\'\^{х)\<{\-х2)К+х*К=К.
Итак, |G|C</C. Но тогда \^ — \0\ζ<Κ, и потому φ £ КС{2\
83

Используя свойство 6° индуцированных функций и следствие 1
из теоремы Ахиезера— Крейна— Фавара (см. с. 56), а также
равенство ,7Л—т:2/8, получаем
Т / \ ^ Jt ·>
En(f) = En(g) = £n(?)<
Ж»К tj
IL. К
(л + 1)* 8 {п+\у
и этим доказательство при а = — 1, Ь = \ завершено.
Для произвольных а н b доказательство проводится
сведением к уже рассмотренному случаю путем приведения
промежутка [а, Ь\ к [— 1, 1] линейной заменой переменной. Итак,
пусть функция / принадлежит классу /CC(2)([o, b\). Положим
^(У)=/[^У + Ц±) (Уе[-1, Ι])· Тогда ίΓ"0>) =
= (^)V''(^>' + 4^ и пот°му *-е*,С®<[-1, I]),
—5— /С. Если для полинома Рп{х) положить Qn{y)=
= Рп —т}—У Л 9— ' то "« оудет полиномом той же
степени, что и Р,„ причем || & — Q„||C([_1(1I) =[/—Яя|С([в> Ь]).
Поэтому /:„ (ίΓ)< Еп (/). Используя обратный переход от
промежутка [—1, 1] к \ci, Ь], точно так же легко получить, что
и En{f) ^Еп(&~), и потому En(f) = En(@~). Наконец,
используя уже доказанный случай леммы, получаем
Ε (f)-E (<П< —· *' -*-(^ΐ±γ κ н
Заметим, что примененный при доказательстве леммы
прием, согласно которому утверждение доказывается сначала для
«удобного» промежутка, а для произвольного получается путем
линейной замены переменной, будет использоваться и ниже.
При этом впредь подробно на переходе от «удобного»
промежутка к произвольному останавливаться не будем.
Лемма 2. Если /£ С(1), то
^»(/)<-r-iT£-^rr^-i(//) («>1),
если /£ С(2), то
£.</><τр^'тгтог*.^/*) (й>2)·
Доказательство. Докажем сначала второе неравенство.
Пусть /£С(2), и пусть Q„_2 — полипом наилучшего приближе*|
ния для /", так что \f"—Ов-2 Be ==^я-2 (/'')■ Построим полино^
Рп(х) степени не выше η такой, что P"n{x):=Qn->(x)1 и поло!
жим £T(x)=f(x) — Рн{х). Так как &~(х) отличается от f(X\
на многочлен степени не выше п, то En{f) = En{9r). В то же-
84

время <r" = /"-Q„_2, \\F"}c = En_2{f"), и потому ST£KC{2\
где K = En_2(f"). Применяя лемму 1, получаем
En(f) = Ε η (&~) < Ι" (-т~) („+ΐ)2 = "Г ("I-) (η+!)=.· £n-2 (Z")·
Первое неравенство доказывается точно так же, как
второе, только вместо леммы 1 используется неравенство En{f)-K.
<-J τ—·—гт (/6А'С(1,}1 отмеченное в замечании 1
к теореме 1 ■
Теорема 2 (вторая теорема Джексона). Пусть v = 0 или
ν = 1. £<?лй функция f 2m -f- v раз непрерывно
дифференцируема (/ £ С(2m+v))i /?го яри /г > 2m-f v
^л (/) ^ 23//I+v ( 2 J ^
ω ff{2m+y). (Ь -а) г, \
ч/ Г '2(/t-2m-v+l)i .ν
(я + 1)*(п—I)8 ... (и—2т ЬЗ)2(я-2/и+l)v ' V
Доказательство. Воспользовавшись леммой 2,
напишем ряд оценок:
Ε η (/) < -γ ("Τ") (« + ΐ)2 ^«-2 (Ζ7')'
Εη-. (/") < -f (^T^)2 l^TF ^η-4 (/'ν), (**)
F / f(2m-2)\ ^ J&_ (b-αγ 1 ρ ι A2m)\
cn-2m+2\J )^ 8 у 2 j (η —2m + 3)* ^*-2m W >*
Если v = 0, добавим к этим неравенствам оценку, даваемую-
первой теоремой Джексона:
£n-2m\J i^-wyj » 2(«-2m+l)j-
Перемножая все выписанные неравенства и сокращая на
произведение £^(Л£и(Л ■·· Д8-2в(/(2я)). получим (*). Если
же v=l, то к неравенствам (**) добавим еще два (см. лемму
2 и первую теорему Джексона):
F ( f<2m)\ г- π Ь~а l F { f(2,n+l))
£n-2m\J Х~2 2 и-2m 4-1 Сп-2,п-\{/ )>
£n-2m-t I/ J 4s ω \f » 2 (я - 2m) J '
Перемножая неравенства (#*) и два последних, опять придем
к (*) при v = l ■
85

Замечание 1. Если /£0(2,Μ+ν)//ω, где ω — выпуклый
модуль непрерывности, то в оценке (*) множитель io|/(2m+vl;
(b — α) π \ 1 / (b~ α) π \
2in-2m-.+ l)) можпо заменить на — ш( 2{п_2а1у + 1) ).
Для того чтобы убедиться в этом, достаточно при
доказательстве теоремы для оценки Еп-ът-ч (/(2/re+v)) воспользоваться
замечанием 1 к первой теореме Джексона. Такая замена,
в частности, возможна для функции / класса C(2/n+v,Ar//(et).
Замечание 2. Довольно сложное выражение, стоящее в
правой части оценки (*), не должно заслонять качественную
■картину поведения наилучших приближений ρ раз непрерывно
дифференцируемых функций: существует такая постоянная cv,
зависящая лишь от р, что для каждой функции f £ С<*>) при
п=р, р+\, ρ+ 2, ρ4-3, ... выполняются оценки
е.(л<с,(^)'-£-·(/«"; ^
Именно в такор форме теорема 2 формулировалась самим
Джексоном. Заметим, что для получения этого качественного
результата можно было бы использовать лишь первое из
утверждений леммы 2, однако правая часть оценки для En(f) при
этом получилась «бы больше, чем в (*).
Сформулируем еще очевидное следствие из теоремы 2.
Следствие. Если f — бесконечно дифференцируемая
на [а, Ь\ функция, то при любом ρ En{f)nP—*0.
/1->СО
Задача I. Оценка (*) такова, что ее правая часть содержит
информацию лишь о производной /(2m-rv) и никакой дополнительной информации
о самой функции /. Показать, что при η < ρ — 1, располагая информацией
лишь об f{p\ оценить En(f) невозможно.
Задача 2. Доказать теоремы типа теорем Джексона для случая
приближения функций, непрерывных на [а, Ь\ (0<я<£) четными
алгебраическими многочленами (применить аналог метода индуцированных функций).
§ 3. Об я-поперечниках некоторых классов
непрерывных функций
В этом параграфе будет показано, что последовательность
подпространств алгебраических многочленов является
экстремальной по порядку для классов функций /Υω, C(r)//lo в
пространстве С([л, Ь\). Поскольку в предыдущем параграфе
получены оценки сверху для &η(Ηω) и <^Й(С(Г)//Ш) (теоремы
Джексона), то доказательство этого утверждения сводится
к оценкам снизу п-поперечников соответствующих классов.
Теорема 1. Для пространства С справедливо неравенство
4.№)>τω(^)·

Доказательство этой теоремы основано на применении
teopeMbi 7 (см. с. 25).Положим /г= ~° , xk=a-{-kh (k=0,
1, ..·, η), Ζ = Ύω(-Ξ^ = Ύω(ϊι). Пусть s=(a0, σ„ ..., σπ)£
^ν —произвольный сигнум-вектор. Построим
соответствующую ему (в смысле условия теоремы 7) функцию f(x)
следующим образом. При x£[xk, xk+1]
/(*) =
δ, если σΛ = σΛ+1 = 1,
δ —ω(χ —^), если σΑ==1, σΛ+1 = — 1,
— δ, если ck = σΑΜ = — 1,
— δ + (υ(„ν — Xk), еСЛИ σΛ=—1, σΛ+ι=1.
Эта функция требуемая. Действительно, во-первых, очевидно,
что/(-**) = σ*δ; во-вторых, /£//ω. Докажем последнее. Ясно,
что 1/(^)1^ ^ при всех χ и f(x) монотонна на каждом,
промежутке [xky xk+l]. Пусть л:', х"£[а, Ь] таковы, что \х'—л"|<^.
Требуется показать, что \f(xr)—/(■*") | < ω (t). Если />/г, то
\/(х') —/(Ό Ι ^ 2δ = ω (h) < ω (£). Если t < А, то возможны
два случая: а) л' и *" принадлежат одному и тому же
промежутку \xk, Xk+i], б) χ' и л" принадлежат соседним
промежуткам. В случае а) при σΛ = σΛ+1 \f{xf)—/(*")| = 0·<ω(ί),
а при σΑ= — ak+1
\f{x') -f {X") I = Ι ω (j/ - X,) _ ω (*" - *A) |<
<ω(|Λ^—JC"D<o>(i)
(мы воспользовались полуаддитивностью и монотонностью
модуля непрерывности). В случае б) будем считать для
определенности, что A:ft_i < х' < jca < л;" < xk+l. Тогда
/ (*") -/ {X') = [/(X") -/(*,)] + [/ (**) -/ (*')], (·)
причем ясно, что \х" — xk\<.t и \хк — х'\ < t. Если либо
з*_1 = аЛ, либо σΑ = σΛ+1, то в правой части (*) одно слагаемое
есть нуль, а второе по абсолютной величине не превосходит
°>(t). Если же ak_1=ok+1 = — ak, то слагаемые в правой части
(*) имеют противоположные знаки и
/(<>-/(*0 К max (|/(лО-/(*ft)|, |/(**)-/(*')|)<ω(*),
Итак, во всех случаях \f{x")— /(*')Κω(0. и потому /£#*>.
β силу теоремы 7 наша теорема доказана н
Следствие, β пространстве С ([а, Ь]) последовательность
подпространете полиномов является экстремальной по порядку
®Ля каждого класса #ω, где ω — произвольный модуль
непрерывности.
87

ности и полуаддитивности модуля -непрерывности
< 2ω (±=±>j < 4tf „+1 (//„) U
Замечание. В том случае, если ω — выпуклый модуль
непрерывности, неравенство, полученное при доказательстве
■следствия, может быть усилено. Именно для выпуклого
модуля непрерывности
гГя(Яо)<2йГя+1(Я„)
(см. замечание 1 па с. 82).
Теорема 2. Для любого натурального г найдется такая
постоянная Аг > 0, что в пространстве С (fa, b]) для
произвольного модуля непрерывности ω выполняется неравенство
Доказательство проведем сначала для случая, когда
модуль непрерывности ω выпуклый. Рассмотрим функцию
и(_У) = (<1-Лг+1· если 1у1<ь
I 0, если |j/|> 1.
Эта функция г раз непрерывно дифференцируема на всей
числовой оои, а ее -производная (г+1)-го порядка имеет разрывы
в точках + 1 и —1. Положим
max \u(r)(y)\= max | и{г) (у) \ — М,
max |в(г+1)(з/)|= max | и{Г+1\у) \ = N.
—со<у< + со —1<у<1
Разобьем теперь промежуток [а, Ь\ на я равных частей
точками х0 = а, хх, х2, ... , хп = b: xk = a -f- kh (k = 0, 1, .... , /г),
h = (b — a)ln. Рассмотрим функции
vh(x) = u(x~Xk\ (Λ = 0, 1, ..., /г).
Эти функции обладают следующими свойствами:
И, если j = k;
2) ^α(·«) = 0, если x£(xk — h, xk +h);
88

ΚΛ)(*)Ι<Μ/ΓΓ;
4) vk(χ) дифференцируема г+1 раз всюду, за исключе-
нием точек хк— /г, xk-\-h, где г^г+1) терпит разрывы первого
рода, причем
\^+1)(x)\<Nh-{r+i).
Положим еще o = chr(a(h), где с=[тах(4М, 2N)]~1, и
покажем, что dn(C^r)H(0)^>b (в этом и состоит утверждение
доказываемой теоремы). Для этого в силу теоремы 7 (см. с. 25)
достаточно для каждого сигнум-вектора s = (cQi аъ ... , ап)
построить такую функцию /£С(Г)//Ш, что f(xj) = afi (y' = 0„
1, ... , п). Построим функцию / в виде
η
f(x) = b^akvk{x).
Равенство f(Xj) = afi следует сразу же из свойства 1)
функций vk. Остается показать, что /£С(г)//(0. Учитывая, что на
каждом промежутке [xk, xk+i] отличны от тождественного·
нуля из Btex функций Vj(x) лишь vk(x) и vk+1(x), из свойств
3) и 4) получаем оценки
\fr) (χ) | < ШНГ % \fr+l) {x) I < 2Nh~{r+1)b,
которые дают соответственно следующие неравенства для
модуля непрерывности функции /(г):
Ч/(г); i)<4Mh-rb, to(/(r); t) ^2NfTlr+l)M.
Поэтому при t^h
ω(/(Γ>; ί)<27ν/ί-(Γ+1)δί = 2/νί:-^-ω(Λ)<-^-ω(/ί)<ω(^,
причем последнее неравенство следует из выпуклости модуля
непрерывности -ω (ί). Если же £ > h, то
°> (/(r); t).<4АГ/ГΓδ = 4Мс<*>(h) <ω(Λ)<ο>(t).
Итак, неравенство ω (/(Γ); ί)<ω(ί) доказано для всех i^O..
Тем самым /£С(Г)//Ю, и для выпуклого модуля непрерывности,
доказательство теоремы завершено.
Пусть теперь ω — произвольный модуль непрерывности. По
свойству 9° модуля непрерывности (см. с. 45) найдется такой
выпуклый модуль непрерывности ω* (t), что ω (t) <i ω* (t) <!
5ζ2ω(/). Положим ω.χ (t) = ω* (f)!2\ это также выпуклый модуль.
непрерывности, причем ш*(£)^<о(£)^2а>з(£)· По доказанному
выше
<Uc<"//„.)>c(-<^)4(^).
89·

•Но ввиду неравенства ω^ (£) ^ ω (/) выполняется включение
C{T)H^<ZC{r)H„, и поэтому
dn (С*Нт) >dn (C«//J > с (l^)r% (±ziL) >
Следствие. /7/г/г любом натуральном г и для любого
.модуля непрерывности ω β пространстве С ([а, Ь\)
последовательность подпространств полиномов является
экстремальной по порядку для классов функций С(г)Я0,.
Доказательство следует 'немедленно из только что
доказанной теоремы и второй теоремы Джексона (см. замечание 2 на
с. 86).
В связи с доказанными в этом параграфе теоремами следу-
>ет подчеркнуть одно свойство последовательности
подпространств пол'иномов, .которое .коротко можно охарактеризовать как
универсальную экстремальность но порядку. Действительно,
эта последовательность подпространств является экстремальной
.по порядку сразу для многих -классов функций, фактически для
всех классов, которые мы рассматривали. Экстремальные
подпространства для классов Ηω и С<г)#<0, как правило,
неизвестны— исключение составляет класс КН<м (см. [21]).
Задача 1. Доказать, что в пространстве С
Задача 2, Доказать, что последовательность подпространств
полиномов экстремальна по порядку для классов КС^ в С.
Задача 3. Пусть Μ — замкнутое, ограниченное и выпуклое множество
в т-мерном пространстве, имеющее хоть одну внутреннюю точку. Пусть
С^Нт — множество функций / из пространства С (Λί) таких, что функция /
г раз непрерывно дифференцируема и все ее производные порядка г
принадлежат классу /7Ш (λί). Показать, что тогда
da (С^НЮ) > Аг (Λί) п-г'т<» (1,'7й>
где АТ{М) — некоторая постоянная, зависящая лишь от г и Λί.
§ 4. Обратные теоремы
Теорема 1. Пусть \аи bv\—внутренний по отношению
ж [а, Ь\ промежуток (т. е. [a,, Ьх\а{а, b)). Тогда
существует такая постоянная с, зависящая только от a, b, av
и Ьи что для любой функции /£ С выполняется оценка
■где «^(/, t)—модуль непрерывности функции f(x), если ее
рассматривать лишь на промежутке [аи Ьх\.
'90

Доказательство. Пусть <? — 3ff— индуцированная по
отношению к / функция. Поскольку Ε„ (<?) = £"„(/) (свойство
tf> индуцированных функций), воспользовавшись теоремой
Стечкина (см. с. 73), получим
«> (φ; Ο < 8ί ]^ £„(/)-
Но по свойству 8° индуцированных функций ω, (/; ί) <^ /Τω (φ; ί),
и остается положить с = 8КШ
Теорема 2 (первая теорема С. Н. Бернштейиа). Если для
функции f£C([a, b]) при некотором о. (0<а<1)
выполняются неравенства
Еп(Л<А1п" (л = 1, 2, ...),
то в случае α < I f£H{a)([a{, £,]), а в случае α = 1 /£
£ Ψ(\αγ, Ьх)),где [аи Ьх\—любой внутренний по отношению
к [а, Ь] промежуток.
Доказательство этой теоремы дословно повторяет
доказательство первой теоремы Бернштейиа в периодическом случае
(см. с. 74), и поэтому приводить его не будем.
Замечание. Подчеркнем, что в условиях теоремы
принадлежность функции / классу И{а) или W гарантируется
лишь на каждом внутреннем промежутке [ах, Ьх\, но не на
всем [а, Ь\. Возникает вопрос, связано это с существом
рассматриваемой задачи или вызвано способом доказательства.
Оказывается, что при выполнении условий теоремы функция /
в действительности может и не принадлежать классу Н[а)
(или W) на всем [а, Ь].
Пример. На промежутке [—1, 1] рассмотрим функцию
j(x)=Y\—x*. Эта функция принадлежит классу //(12) ([ —1, 1]),
так как ввиду элементарного неравенства | Υ а — ] rb \ < Y\ a—b \
!/(*ι) -/(**) К Y\A - А | < V* \ χι - *з I*2,
но не принадлежит классам Н{а) ([— 1, 1]) при <х>1,2, так
как при таких α
/(1 -ε) -/(Ι) _ У*(2-в)
Построим для функции / индуцированную о = У/:
o(b) = /(cosb)=^Y\~cos4=:\smO\.
Ясно, что φ£ 1·//(1), и по следствию 2 из теоремы Ахиезера—
Крейна—Фавара (см. с. 56) £Г(<?)< тс/2 (я -f 1)< π/2/г. Но
Еп(/) = εΙ(φ). Таким образом, несмотря на то, что £,,(/)<
О'2/г (л=1, 2, ...), на всем промежутке [—1, 1] функция/
йе принадлежит классам Н{а) при а>1 2 (и тем более классу W).
91

При доказательстве обратных теорем в случае
дифференцируемых функций будет использовано второе неравенство
Бернштейна.
Теорема 3 (второе неравенство С. Н. Бернштейна). Если
на промежутке [а, Ь\ алгебраический полином Рп(х)
степени не выше η удовлетворяет неравенству \ Рп (χ) | ·< М, то
на (а, Ь) для его производной выполняется оценка
I Р'п (х) | < Мп ;V(x — a)(b—x).
Доказательство. Построим для полинома Рп
индуцированную функцию Тп = &Рп. По свойству 5° индуцированных
функций Тп есть четный тригонометрический полипом порядка
не выше я, а по свойству 4° Jj Тп\\^. = \Рп\€ <.М. Многочлен
Рп выражается через Тп в виде (χζ[α, b]) Рп{х) = Тп(% где
0 = 6 (х) = arccos ~X~b_^ . Отсюда Рп (х) = Тп (0) Θ*.
Согласно первому неравенству Бернштейна (см. с. 72) | Тп (θ) | <
С |! Тп |L < η II Τη L < Μη, и поскольку θ'ν = ===== ,
С γ (χ — α) (ϋ — χ)
теорема доказана ■
Следствие 1. В условиях теоремы 3 при любом
натуральном ρ для х£(а, b) выполняется оценка
Iр(пр)(χ)|</>'«*(»-!>-("-*+'> м. (*)
Доказательство проведем для случая а = — 1, Ь = \,
общий случай получается из этого линейной заменой
переменной. Итак, пусть χ—та точка промежутка (—1, 1), для
которой доказывается неравенство (*). Выберем точки χν χ2, ...
... , Χρ-χ так, чтобы было | χ | < хр_х < хр_2 < ... <^ι < 1,
в остальном эти точки пока произвольны. Применяя теорему 3,
для х£(—\, 1) получаем оценку
\Р'п{х)\^Мп1\/Т^х^,
из которой для χζ\—Χγ, Xt] следует, что
| Р'п (х) | < Мп I VT^^x} = Μ,.
Полученная оценка равномерна относительно χ ζ [— хи χλ\*
Поэтому, применив теорему 3 к промежутку [— хг, хх] и
полиному Рп(х), получим, что для х£(— х1г хг)
Id"/ ч I ^ Мх[п—\) __ Μη(η-Ι) ,
и для х£ [—х-,, х2\
\р'п(χ)I< ; Λί""'-1» ==м,.
92

Продолжая эти рассуждения, имеем
I Р1р) (х) I < Мп(п — 1) ... (п—р + 1)
Воспользуемся теперь имеющимся произволом в выборе точек
Xk и выберем их так, чтобы было
1 ^ = л:1 х2 — ... = д^_2 — хр_х = j:-_j — х- = -
(можно показать, что такой выбор — наилучший). Тогда мы
и придем к неравенству (*) ■
3 а м е ч а н и е. Огрубляя неравенство (*), можно
переписать его в виде
| Р1пр) (х) | </?'"2 [{Ъ - х) (х — а)]-р12пРМ.
Из этого неравенства, если положить M = [|Prt|jc, немедленно
вытекает следующее неравенство.
С л е д с τ в и е 2. Пусть [аи Ьх\ — промежуток,
внутренний по отношению к [a, b]: [au bl\c{a% Ь). Тогда суще-
ствует такая постоянная Ар, зависящая лишь от /?, я, Ь,
at и blt что для любого полинома Рп{х) степени не выше
η выполняется неравенство
\\РгПса^^<Ар'гР1рп\\сас,
ь\)
Теорема 4. Пусть функция f£C([a, b\) такова, что при
некотором натуральном ρ сходится ряд V00 цр~хЕп (/).
Тогда на открытом промежутке {а, Ь) функция f(x) p раз
непрерывно дифференцируема и для любого промежутка
(βχ, £t]C(<2, b) найдется такая постоянная ср, зависящая
лишь от /?, а, Ь, ах и biy что выполняется неравенство
со
Е?{/<»)<с, 2 k"-'Et(f).
fc=[«;2|
Здесь E{n\f{p)) — наилучшее приближение функции f(p)
полиномами на промежутке [аг, 6J.
Доказательство. Для индуцированной функции φ = Sff
En('r) — En(f), и потому ряд 2Γ-ι ηΡ~ΧΕη (φ) сходится. По
теореме 4 (см. с. 75) отсюда следует, что функция φ
Ρ раз непрерывно дифференцируема на всей оси. По /(■*) =
— <?farccos—г-^——-I, и так как функция arccos—ъ — а—
на открытом промежутке (а, Ь) бесконечно дифференцируема,
то f(x) на (а, Ь) непрерывно дифференцируема по меньшей
мере ρ раз. Перейдем к доказательству оценки величины
93

£(i) (fW)t которое вполне аналогично доказательству
соответствующего неравенства в периодическом случае (см. с. 76). Обо-
значая через Рп(х) полиномы наилучшего приближения
функции /, получаем
f(x) - Рп (х) = V- t (Ρ„2ν (χ) - Рп2^ (χ)).
Поскольку
Ι Λΰ' - Р*П lc ([й, bl) < |/ - Я*2* |c ([β) Α]) +
+ l/-^-1|C([ai,])<2^-(/)
и по следствию 2 к теореме 3
I p($ ~ pS-i f < Apn"2pv I /> , - P.v-i I <
II nl n2 Lc([e„ *»i) p " " л2 '"C([e, f>])^
^2ApEn2^(f)np2p\
TO
со
I /'" - *Wc «... M, < C'"" Σ 2P ""2,£-- (/) =
v-1
со «2V-1
v=1 /i2v~2
где ψ (ν) — функция, линейная на каждом промежутке
\k, ft-f-l] (fc — натуральное) и такая, что ^(k) = Ek(f). Так
как ψ(_ν) не возрастает, то
\fip) - />Ь"|С<|... ,,„<</' f i60J"-4y<
CO /2+1
/г—1/1,2] Л
<с'" 2 kp~\(k) = c'" J kp~lEk{f).
Ь=[п}2\ h=*[n,2]
Здесь с', с", с'"—некоторые постоянные, зависящие от /?, аг\
Ь, а{, Ьх. Остается заметить, что так как Р{пр) — полином сте-1
пени, меньшей /г, то Е™ [f{p))^lf(p) -Р{пР)\С({аи М) ■
Теорема 5 (вторая теорема С. Н. Бернштейна). Если функл
ция f£C([a, b\) такова, что для ее наилучших приближеА
ний при η = 1, 2, ... выполняются неравенства Еп (/) <J
^сп~ [Р+а\ где ρ — натуральное, 0<а<!1, то на откры\
том промежутке (а, Ь) функция f p раз непрерывно дифЛ
ференцируема и для любого промежутка [аи bt] с (a, bt
f£C{p)H{a)(\au Ьх]) (если а<1) или f£C{p)W([alt bt)j
(если а= 1).
94

Доказательство. Из оценки для En(f), данной в
условии теоремы, сразу же следует, что ряд V30^ np~lEn{f)
сходится, и потому функция / по теореме 4 ρ раз непрерывно
дифференцируема на (а, Ь). По выбранному промежутку
\сьъ Ь\\ построим промежуток \аъ Ь2\ так, что a<GL><«i<
< b{ < b2 < b. Тогда по той же теореме 4 для наилучших
приближений функции f{p) на промежутке [а2, Ь,\
выполняется неравенство
со оо
k~[nV] k-{nl'2]
Учитывая, что промежуток [яъ Ь{] — внутренний по
отношению к [а2, Ь2], и применяя первую теорему Бернштейна,
получим, что f(p)£fi(a)([au bx\) (если α< 1) или fp)£ W{[a{, b,])
(если α= 1) Η
Задача 1. Сопоставить поведение наилучших приближений
функции /(*) = (1 — jc2)p+ct (0<α<1), заданной на промежутке [—1, 1], с ее
свойствами гладкости.
Задача 2. Обозначим через Еп т (/) (п >т) наилучшее приближение-
функции / на промежутке [—I, 1] полиномами, не содержащими хт, т. е..
полиномами вида
Рп, т (-*) = а0 + *1* + · · · + β/ίΐ-ΐ^"1 + ^/7i+l^m+1 + - · . + апХп.
Доказать, что при любом сколь угодно большом ρ в классе С(/7) найдется
функция /, для которой ряд ^j __ η™~1Εη. т ^) расходится. Указание::
показать, что из сходимости написанного ряда следует, что /(//г)(0) = 0.
§ 5. Неравенство Маркова
Правая часть второго неравенства Бернштейна,
доказанного в предыдущем параграфе, в концах промежутка [а, Ь]
обращается в бесконечность, и потому это неравенство не позволяет·
получить равномерную оценку производной полинома на [а, Ь\
если нам известен максимум его абсолютной величины на этом
отрезке. Равномерная оценка дается неравенством Маркова.,
которое будет доказано в этом параграфе.
Лемма 1. При θ£[0, π'2] выполняется неравенство
βιηθ>20/π.
При всех вещественных б и натуральных η
| sin /г0| <я| siu6|.
Доказательство первого из этих неравенств
немедленно следует из того, что функция /(6) = sin θ — 2θ/^ выпукла
на промежутке [0, π/2] в смысле определения, данного на
с 44, так как /"(0)= — sin θ<0, и что /(0)=/(*/2) = 0.
Второе неравенство очевидным образом доказывается
методом математической индукции В
95-

Лемма 2. Для многочлена Чебишева Тп (х) = cos (я arccos χ)
.при ·*Ε[— 1, Π выполняется неравенство \ Τη(χ)| ·<η2.
Доказательство. Так как для χζ[— 1, 1] Тп(х)^
.= cos /ζ.θ, где χ = cos θ, то
τ' t \ η sin On sin яО
п по лемме 1 | Тп (х) | ^ п2 и
Заметим, что переходя к пределу в равенстве Тп(х)=^
= ц "hib при 0-^ 0 или θ-^π, легко получить, что Тп(\) = п\
I ■· Г II
Тп{—1) = (— 1)яя3. Таким образом, ||7"„||е([_lf 1]} = /г2.
Лемма 3. Если многочлен Qn~x(x) степени не выше
η — 1 «α промежутке [ — 1, 1 ] удовлетворяет неравенству
I Qn-i(·*) Vl — χ21^1» т0 на том же промежутке | Qn_x(χ) |<л.
2k 1
Доказательство. Пусть л-л=со5—ψ-—- (fc=l, 2, ...
..,, η) — корни полинома Чебышева Тп(х). Очезндно, что
1>л",>х2> ■·· >-*п>— 1» причем хп = — х1. При
доказательстве требуемого неравенства рассмотрим два случая:
a) \x\<xit б) ^<|x|<l:
а) Если I^K-Xi, то Y\—хл^>}/\— jcjf = sin-^-, и по
лемме 1 }/\—х2>-—> откуда |Q„_^a-)| <—==-</г.
" V ι — χ1
б) Пусть | л: |>л;,. Построим для Q„_t интерполяционный
полином по узлам хи х2, ..., хп. Записывая этот полином
в форме Лаграпжа и учитывая, что он должен совпадать
с Qn-i (ведь Qn-i — многочлен степени не выше η — 1), мы
придем к тождеству
η
Qn-i (χ) = У, -—Щт^тт Q>" <**>·
^d (x — xk) Г {xk)
или, учитывая, что
. 2/г — 1
sin
V A; /l-4 l7!-^ Vl-*i
— к тождеству
Поскольку \γ\—χ2 Qw_t (λ^) | ·< l по условиям леммы, то
IQ,-,WK^'V
I
Ι χ — xk I
* = 1
96

Вспомним, что |λγ|>λΓι, и потому либо χ > хъ либо χ < хп.
14так, разности χ — xk либо все положительны, либо все
отрицательны, и
Таким образом,
п
й = 1
*)i<4-
η
*-1
/2
Σ-
— Χ*
1
λ: — Луг
/2 ,
-jr\Tn(x)
остается воспользоваться леммой 2 ■
Теорема 1 (неравенство А. А. Маркова). Для любого
полинома Рп{х) степени не выше η выполняется неравенство
Я
{здесь С = С{[а> Ь])).
Доказательство проведем для промежутка [—1, 1]—
общий случай сводится к этому линейной заменой
переменной. Положим Ж = ||РЯ|С и определим многочлен Qn-i(x) сте-
1 '
■пени не выше η — 1, положив Цп_г(х) = -^—Рп{х) ■ По
первому неравенству Бернштейна |РЛ(л)|<
Мп
Мп
(*е(-и υ),
/1— х2
и потому | γ\ —х- Q,^ {χ) |^1 для всех х£[— 1, 1]. По
лемме 3 тогда | Q„_, \\с < η и || Р'п|!с = Мп \Qn_x р,; < Μη2 Μ
Замечание 1. Неравенство Маркова является точным
в том смысле, что для многочлена Чебышева на промежутке
[—1, 1] выполняется равенство |1 Тп\с = /га17"ЛРс..
Замечание 2. Стоит обратить внимание на то, что
правая часть неравенства Маркова имеет более высокий (второй)
■порядок роста по п, чем правая часть второго неравенства
Бернштейна. Для точек, не слишком близких к концам
промежутка, второе неравенство Бернштейна дает лучшую оценку
производной полинома, чем неравенство Маркова. Комбинируя
вместе два этих неравенства, можно утверждать, что для
^"6 [а, Ь]
ΐΡίΗΚ,ΙΡ,Ηΐ,.,.;., . т^г)·
Последовательное применение неравенства Маркова к
производным полинома позволяет получить оценку его старших
производных.
Следствие. Для любого полинома Рп(х) степени не
выше η при натуральных k выполняются неравенства
1^}1с<(т4т)*«2(л-1)2 ■·· (я-* + 1)211Л,1!с·
97

3 а м е ч а и и е 3. При /г> 1 приведенное в следствии
неравенство не является точным. Точное 'нера-венство для старшие
производных было получено В. А. Марковым и имеет вид
II р») || <г / 2 Υ «-(π·'-12)(^-2·2)... (η> - {k ~ \)*) ,
И^« llc^^TZT^j (2k~\)\\ II^«с·
Заметим, что правая часть этого неравенства имеет тот же
порядок роста 'по п, что и неравенства, приведенного в следствии.
Неравенство А. А. Маркова позволяет установить некоторые
неравенства, связывающие нормы -полиномов ^в 'пространствах
Lp. Промежуток [а, Ь], как и выше, считаем фиксированным ц.
условимся для-функции /, заданной на [а, Ь], обозначать через.,
Ilfllp ее норму в пространстве Lp (1<^р<°о):
Теорема 2. Для каждого полинома Рп (х) степени не ви~
ше η (λ^Ι) выполняется неравенство
\РАс<1?Ш>)и,#>\р.)г
Доказательство. Положим |РП|Г=Л, и пусть л*0— та
точка промежутка [а, Ь], для которой |Рп(χϋ)| = А, По пера-
Рп"с^. и__аА-> и потому для любой точки.)
χζ[α, b], используя формулу Лагранжа, получаем
I Рп (χ) I = I Ря (*о)+Р'п (I) (*-*.) | > | Рп (*.) \-\Р'п (*) (*-*„) I >
>А-^А\х-х^А[\—^\х-Хо\у
По крайней мере один из промежутков [д-0, хй-\-(Ь — a)j'2n2V
или [х0 — (Ь — а)/2/г2, х0] целиком содержится в [а, Ь]. Пусть,
для определенности, таков первый из этих промежутков. Тогда|
•я-к=к ι р«<■*> \Pdx > £+"^ ι я«(л) \Pdx >
. b-a
Возводя полученное неравенство в степень 1//? и вспоминая^
что А = [Рп\\с, получаем
\рХ>\ц^)П'-^\РЛ.
что равносильно доказываемому неравенству
98

Теорема 3. Пусть 1 </><<?< -foo. Для любого
полинома Ρη{χ) степени не выше η выполняется неравенство
\Рп\,<{^^-у-щ^^\Рп% {п> 1).
Доказательство. Очевидно, что
Используя для оценки ||РЛ||С предыдущую теорему, получим
и остается возвести полученное неравенство в степень \;д ш
Замечание 1. Теорему 2 можно рассматривать как
частный случай теоремы 3 при q= + оо.
3 а м е ч а н и е 2. Неравенства, указанные в теоремах 2 и
3, являются точными по порядку. Это означает существование
такой постоянной с>0, зависящей лишь от р, q и длины
промежутка [а, Ь], что при всех η > 1
зир1РД/1РЛ>сл*«-*'
/I
(sup в левой части берется по всем (полиномам данной
степени п).
Задача 1. Используя неравенство Маркова, доказать, что для модуля
непрерывности любой функции /£ С справедливо неравенство
ω (/; t) < ct [Εϋ (/) + У^^х1]пЕп (/)] ,
где постоянная с зависит лишь от длины промежутка [а, Ь\.
Задача 2. Доказать, что если при некотором натуральном ρ ряд
У _ n2p~~lEn(f) сходится, то функция / на [at b\ p раз непрерывно
дифференцируема и
Задача 3. Доказать, что если наилучшие приближения функции /
Удовлетворяют неравенствам Еп (/) < АгС (2^+2а), где ρ > 0 — целое,
О <: α < 1, то f£C^H^ ([a, b]) (естественно, считается, что

Глава 4
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
§ 1. Наилучшие приближения в гильбертовом
пространстве
Пусть Η—вещественное сепарабельное гильбертово
пространство. Скалярное произведение элементов f,g£H будем
обозначать через (/, g), а норму —через ||/[[ = }/(/, /).
Конечную или бесконечную систему ои φ2, φ3, ...
ненулевых элементов Η будем называть ортогональной, если
(φ,, φ^) = 0 всякий раз, когда i φ k, и ортонормальной
системой (ОНС), если, кроме того, |φΑ|| = 1 при всех k.
Определителем Грама конечной системы ©ь φ2, ... , φπ
(?л6^) называется определитель
Орь <Ρι) (φι. ?2) ... (φι, φη)
(φ^ φι) (<?«> ъ) ... (φ*> ?«)
С определителем Грама системы связан следующий признак
ее линейной независимости.
Лемма. Для того чтобы, система <рь <р2, ... , <ря била
линейно-независима, необходимо и достаточно, чтобы ее
определитель Грама был отличен от нуля.
Доказательств о этого утверждения распадается на две
части.
1) Покажем, что если система φ,, φ2, ... , φ„
линейно-зависима, το Λ = 0. Линейная зависимость системы означает
существование таких чисел а1} а2, ... , ап, не равных нулю
одновременно, что V"_ α/φ/- = 0. Умножая последнее равенство ска-
лярно на φ,·, получаем, что числа at являются решением одно-1
родной системы η уравнений с η неизвестными
2"-ι а*(?" ^) = 0' -/=1' 2 л- (*)|
Таким образом, эта система уравнений имеет ненулевое ре
шение, и потому ее определитель, который и есть Δ, равен]
нулю.
100

2) Покажем, что если Δ = 0, то система φ,, ©2, ... з φ„
линейно-зависима. Действительно, в этом случае система
уравнении (*) имеет ненулевое решение а,, а2, ... , ал, поскольку
ее определитель равен нулю. Положим /=^"_ ^φ».
Уравнения (*) могут быть переписаны в виде (/, φχ) = 0, (/, φ2)=0, ...
.·· » (/» ?я)==0· Умножая эти равенства соответственно на
ctj, я2> · · · . ап и складывая, получаем (/, /) = 0, т. е. /=0,
я потому система φ,, <р2» · · · , ?я линейно-зависима ■
Теорема 1. Пусть φ„ φ2, φ:{, ... —конечная или
бесконечная линейно-не зависимая система элементов Н.
Существует такая ортогональная система Ь1У ψ2> ·|>3, ... (с /яе.и
жг числом элементов), что
а) каждый элемент этой системы ψΛ есть линейная
комбинация первых k элементов исходной системы φ,, φ2ι ...
• · · > Tft>
б) каждый элемент ©ft делгб линейная комбинация ф1э
•■Ь, - · · , Ψ*·
Доказательство. Положим ψ1 = φ1 и при £^>2
|(?ι. Τι) (φι. φ2) ·· · (φι. ?α-ι) φ«
Ψ* =
(φ*, ϋι) (φ*. φ«) - · · (φ*' ?*-ι) φ*
Написанное равенство следует понимать так: ψΑ есть линейная
комбинация φι, φ2» · · · > ?* с коэффициентами, равными
алгебраическим дополнениям элементов последнего столбца
написанного определителя. Система {ψΛ} удовлетворяет
требованию a): Y* = aM<Pi-r-a*2?2+ ... + я*А?ь причем αΑΑ = ΔΛ_ι —
определитель Грама системы φχ, φ2, ... , <рЛ_ь и потому akk^04
Ясно, что для любого /£//
(φι. 'fi) · · · (φι. φ*-ι) (φι. /)
(Ψ*, /)=
(φ*, φι) ■ · - (φ*. φ*-ι) (φ*» /)
(*)
Поэтому (ψΛ, φ/) = 0 для *=1, 2, ... , Λ — 1, так как
определитель вида (*), через который выражается это скалярное
произведение, имеет два одинаковых столбца. Отсюда ввиду
выполнения а)следует, что и (·1>Α, ψ/) = 0 для /=1, 2, ... , k — 1,
т. е. система [tyh\—ортогональная. Для завершения
доказательства остается отметить, что требование б) является
непосредственным следствием а), если учесть, что в представлении
ψΑ как линейной комбинации φ,, φ2, ... , <pk коэффициент при
φΛ отличен от нуля ■
Требования а) и б) теоремы означают, что при любом k
множества линейных комбинаций элементов φ,, φ2, ... , φΑ и
элементов ψ,, ψ·>, ... , ψΛ совпадают. Про ортогональную
систему {ψΛ}, удовлетворяющую требованию теоремы, говорят,
что она получена ортогонализацией системы {φΑ}. Элементы
101

ωΑ=-ρ—jj-ψ^ составляют ортонормальную систему, полученную
п .ami
ортогонализацией системы {φΑ|. Про нее будем говорить, что
она получена ортонормализацией системы {φΛ}. Из формулы (*)
ясно, что для построенной в процессе доказательства теоремы
системы {ψΑ} (ψΛ, φΛ) = ΔΑ (мы условились обозначать через Δ4
определитель Грама системы φ,, φ2, ... , φΑ). Учитывая
ортогональность ψΛ элементам ©„ φ2, ... , φ^, имеем (ψΑ, ψ*) =
= βΛΑΔΛ = ΔΛ_1ΔΑ. Важным следствием этого равенства является
положительность определителей Грама ΔΛ, поскольку Δι =
= (?ι, ?i)>0.
Итак, доказанная выше лемма может быть дополнена
утверждением — определитель Грама линейно-независимой
системы положителен. Вычисленное выше значение (ψ4, $k)
позволяет написать выражение элементов ОНС {ωΛ}
непосредственно через <?у·:
0?1. ?ι) · · · (?ι. <Ρ»-ι) ?ι
ωΑ=
У"Д*_1^
(?*, φι) ··· (?*. ?*-ι) ?*
(Λ —— .<£, ο, ... )'.
Это представление верно и при/г = 1, если положить по
определению Δ0= 1.
ОНС, полученная ортонормализацией данной системы {<pfe},
не единственна. Чтобы в этом убедиться, достаточно
умножить некоторые из элементов ωΑ на — l! Но этим
неединственность и исчерпывается. Если потребовать, чтобы
коэффициент акк в разложении ωΛ = αΑ1φι-{-αΛ2?2 -f- ·■· + <***?* был
положителен, то такая ОНС {ωΑ}, полученная
ортонормализацией {<рА}, уже единственна. Действительно, если ω* = β*ι?ι +
+ Р*2?2+ ■ ·· + Р**?*— другая такая же система, то, полагая
χ = ωΛ—·;ωί, гДе ΐ = α**/Ρ«ι мы получим, что разность χ есть
линейная комбинация элементов »,, ©2, ... , φΑ-1,
ортогональная φΧ, φ2, ... , <p*_lt и потому ортогональная самой себе, т. е.
χ = 0ιιωΑ = γω*. Ввиду того, что |Κ|| = ||ω* |= 1, |γ | = 1, но
поскольку αΛΑ>0 и β^>0, γ = 1 и тем самым ω*=ωΛ.
Перейдем к вопросу о наилучших приближениях в
пространстве И. Пусть Нп — я-мерное подпространство пространства
И и щу ω2, ... , o)rt — его ортонормальный базис
(существование такого базиса следует из теоремы 1).
Теорема 2 (Теплер). Пусть f' — произвольный элемент
пространства Н. Элементом наилучшего приближения f в
подпространстве Нп является (р = Ч'я_аА(йЬ где ak — (f, ωΛ),
и
ен (/)=(i/F-2*iNI'2
102

Доказательство. Пусть ψ= ^ck<ak—произвольный эле-
мент подпространства Нп. Тогда
i/-tr=(/- 2е··»· /-2«л)=(/.л-22с*а. ·»)+
+22 с*'<**· ω/}=||/i|2 - 2 2 ад*+2 <5 -
=ι/ρ- 2ei+2 (c* -akf > и/|2 - 2α1=ι/~ * ί2·
ft I fe=l ft=l
f n ν2
Итак, ϋ/ — ψ Ι > Ι)/— φ Ι = / Ц/Р — V я* Ι , причем знак равен-
сгва в этом неравенстве достигается лишь в случае, если
£к = ак при всех k, т. е. если ψ = φ ■
Следствие 1. Пусть mlt ω,, ... — некоторая ОНС а
/£#, пусть ak = (f, wk). Тогда
л
,2
2^<ι/ρ-
fc=l
Это неравенство называется неравенством Бесселя.
Следствие 2. Пусть f^N и <?£//„. Для того чтобы φ
<бил элементом наилучшего приближения /~в //„,
необходимо и достаточно, чтобы для любого &£Нп выполнялось
равенство (/—φ, ψ)=0, т. е. чтобы разность f—φ была
ортогональна всему подпространству Нп.
Доказательство. Необходимость. Пусть φ —
элемент наилучшего приближения/. Тогда φ = V"_ ал<иь и
потому (φ, <ол) = аАдля Л = 1, 2,... , я, (/— φ, &k) = ak — ak = 0.
Будучи ортогональной всем элементам ωΛ (6=1, 2, ... , я),
•разность /— φ ортогональна и их линейным комбинациям, т. е.
«сему Нп.
Достаточность. Пусть Φ — ^Σ* _ ck*°k таков, что
{f — φ, ψ) = 0 для всех ty£Hn. Выбирая в качестве ψ элемент щ,
•получаем 0 = (/—<?, u>k) = ak — ckl т. е. ck = ak при всех
<6=1, 2, ... , η, н φ есть элемент наилучшего приближения ■
Замечание. Обозначим через S оператор, который
каждому элементу /£// ставит в соответствие его элемент
наилучшего приближения в Нп. Из теоремы Теплера следует, что
этот оператор S таков:
s'/=^_1(/» ω*)ω*·
103

Он линеен и является оператором ортогонального проектировав
ния на Нп. Таким образом, задача .построения элемента .наилуч-
шего 'приближения в гильбертовом пространстве решается про-
сто.
Подпространство НпаН гможет быть задано с помощью не-
ортогонального базиса φι, φ2, ... , φη- Β этом случае для
построения элемента наилучшего приближения φ£//η для f £ Ц.
имеются две возможности. Во-первых, используя теорему L
можно /построить ортогональный «ба&ис {co/J -подпространства
Нп, и тогда φ «айдется в той форме, которая дается теоремой
Теплера. Во-вторых, не прибегая к ортогональному базису,
можно искать φ в виде линейной комбинации φ* с неопределен-
η
ным'и коэффициентами: φ=Σα&φ&. Согласно следствию 2 для
k—l
нахождения этих коэффициентов можно написать систему
линейных уравнений
2L, «*<?*· Ъ) = (/> «Ру) (У=1, 2 л).
Определитель этой системы есть определитель Грама базиса
{φ/J и потому отличен от нуля.
Перейдем теперь к случаю, когда нам требуется Ήзyч■иτь
поведение наилучших приближений и элементов наилучшего
приближения при расширяющейся системе подпространств
пространства Н. Будем считать, что задана бесконечная ОНС {ωι],
и пусть Нп — подпространство, натянутое па первые η
элементов этой системы α>ι, α>2, . . - , ωη.
Определение. Коэффициентами Фурье элемента /£#
относительно ОНС {ωΑ} называются числа ak^=(f, o)k). Рядом
Фурье элемента / называется ряд 2°L ak<syk«
Теорема Теплера означает, что элементом наилучшего
приближения для элемента / ib лощп.рострянстве Нп является
частная сумма его ряда Фурье. Поэтому вопрос о стремлении для
данного элемента / последовательности ΕΗ (f) к нулю (или»
что то же самое, о стремлении элементов наилучшего
приближения к /) есть вопрос о сходимости к элементу f его ряда
Фурье.
Заметим, что согласно следствию 1 при любом η J" #* ^
^|/|р. Из этого неравенства следует, что ряд ^°°_ ак сх0"
К *
-< I/I2. Последнее неравенство, как и указанное на с. 103,
называется неравенством Бесселя.
Определение. Будем говорить, что для элемента /£//
относительно ОНС {щ} выполняется уравнение замкнутости,
или равенство Парсеваля, если 2°°__ α* —ΙΙ/ΙΡ·
104

Если обозначить через sn частные суммы ряда Фурье
элемента /: sn=^,n_ αΑω*> το согласно теореме Теплера
(п \1/2
Поэтому очевидна теорема.
Теорема 3. Для того чтобы ряд Фурье элемента f^H
сходился к самому этому элементу, необходимо и достаточно,
чтобы для f относительно {ω*} выполнялось уравнение
замкнутости.
Представление о поведении ряда Фурье в том случае, когда
для / уравнение замкнутости не выполнено, дает следующая
теорема.
Теорема 4. Каков бы ни был элемент /£//, его ряд
Фурье сходится к некоторому элементу /0£ //, причем
для /о выполняется уравнение замкнутости.
Доказательство. Пусть
со
2 βΑωΛ (*) <
есть ряд Фурье элемента /, {sn}—последовательность его*
частных сумм. Тогда
п+р
и, учитывая, что {ωΛ) — ОНС, получаем
п+р \ 1/2
2
«п+р— Sn\\ = [ 2 ak ) К
^ft=«+1 / \fc=/2-T-l
так как ряд Т]00^ сходится. Итак, последовательность част—
ных сумм ряда (*) сходится в себе, и потому в силу полноты *
И этот ряд сходится к некоторому элементу /0. Поскольку
при /г>£ (sni ®k)~afr то и (/0, ωΛ) = αΛ, τ. е. ряд (*)
является одновременно рядом Фурье и элемента /0, а так как он
сходится к /0, то по теореме 3 для /0 выполнено уравнение-
замкнутости ■
ТеоремГа 5. Пусть {ωΐι} — некоторая ОНС. Следующие
утверждения равносильны.
A. Для любого элемента f£H относительно {ω/ι} выполнено
Уравнение замкнутости.
Б. Множество линейных комбинаций элементов системы
{iuk} всюду плотно в Н.
B. Не существует такого элемента g ζ Η, отличного от нуле-
вого, который был бы ортогонален всем элементам системы
{щ} (т. е. (g, ωη) =0 -при £=1,2,...).
105-

Доказательство. 1) Из А следует Б, так как по теоре-
:ме 3 три выполнении А любой элемент f £ Η сколь угодно точно
.^приближается частными суммами его ряда Фурье.
2) Из Б следует В. Согласно теореме Теплера
Если (g, o)ft) = 0 для всех kt то Ен {g) = \g\ при всех п. Но
η
в силу Б U На плотно в Я, и потому Ен (g) -+ 0. Итак, |jg-j|=0,
3) Из В следует А. Действительно, если А не выполнено, то
найдется такой f£Ht что для него уравнение замкнутости не
.выполнено. Тогда ряд Фурье / сходится к fo¥=f и является
одновременно рядом Фурье для f0 (см. доказательство теоремы
4). Поэтому при всех k (f, <uk) = (fo, &к), и элемент g=f—/0
ортогонален всем элементам соь, что противоречит В ■
ОНС {о)л}, удовлетворяющая одному из условий А, Б, В
*(а значит, я двум другим), называется полной.
Требования Б и В можно точно так же, как это сделано вы-
гше, формулировать для произвольной (не обязательно ортонор-
малыной) ли.нейно-.неза1висимой системы {φ^}. Если систему {фй}
мы подвергнем ортонормализации, то очевидно, что выполнение
каждого из этих двух требований для {φ^} равносильно
выполнению того же требования для полученной ОНС {ша}. Поэтому
требования Б и В для произвольной системы также
равносильны, ,и удовлетворяющая им система {φ/;} также называется
лолной.
Существование полных систем в пространстве Я следует из
сделанного предположения о его сепарабельности.
§ 2. Общие свойства ортогональных многочленов
Пусть на промежутке [а, Ь] задана неотрицательная
суммируемая функция р(х), отличная от нуля на множестве
положительной меры. Эта функция дальше будет именоваться
весовой или просто весом. Обозначим через Lp^ множество
тех функций/(д:), для которых функция Ур(х) f(x)
суммируема с квадратом на [а, Ь]. Условимся при этом
отождествлять две функции ft (χ) и /2 (х), если Υ ρ (x)f1(x)=Yp{x)f^(x)
почти всюду на [а, Ь\. Множество L2p(x) линейно и с
введением скалярного произведения
(/, g) = {p(x)f(*)g(x)dx (/, g£L2p(x))
ч.'
а
1/2
«06

й нормы 1/1 = V(/, /) превращается в гильбертово
пространство, причем полнота этого пространства устанавливается так же,
как это обычно делается для L2.
В пространстве L2P{X) полной является система степеней
1, х, х2, л:3, ... Это доказывается точно так же, как полнота
этой системы в пространстве L2.
Пусть ">0(л:), ωί(χ), и>2(х), ... —система, полученная орто*
локализацией системы степеней в пространстве Lp{xy Члены
этой последовательности называются ортогональными,
многочленами (по весу р(х)) и обладают следующими свойствами:
а) ω«(Λ") есть многочлен степени п;
б) любой полином Рп{х) степени не выше η может быть
η
представлен в виде Рп{х) = у^акч>к{х);
в) полином а>п (х) ортогонален в 1?р (ЛГ) всем многочленам
степени меньше п, т: е.
ь
\p(x)^n(x)qn-1(x)dx = 0
для любого многочлена qn-x{x) степени не выше
Определитель Грама системы степеней 1, яг, .
вид
>0
и-,
μι
\хп+\
\хп V-n+l
\Нп
П
-1.
хн имеет
где jj.a= ^p(x)xkdx— моменты веса. Поэтому ортогональные
а
многочлены ωη(„\;) могут быть записаны в форме (см. с. 101)
Vo Ηί · · · μ«-ι
1Λ1 {*2 · · · l*«
V-n V'n+l - · · V/2n-t x
Ο)
'n{x)=Cn
1
Χ
(*)
где спФ0— произвольные множители. Среди всех систем
ортогональных многочленов (отличающихся выбором множителей сп)
выделим две специальные. Символом ч>п{х) будем обозначать
тот ортогональный многочлен степени п, старший
коэффициент которого равен единице. Этот многочлен получается по
формуле (*), если положить с„=1/Дя_1. Символом ωΛ (χ) будем
обозначать нормированный ортогональный многочлен с поло-
ют

жительным старшим коэффициентом, т. е. ортогональный
многочлен, обладающий свойством
P(.v) J
Как ясно из сказанного на с. 102, многочлен <»п(х)
представляется формулой (*) при οη=1/γΔηΔ№„ι. Система (ωΛ(χ)} есть
полная ОНС в JLp(jr). Системы {ωΛ(Λ:)} и {юя(л;)} определяются
весом ρ (χ) однозначно, и связь между ними устанавливаете»
формулой
%(*) = "Κδ«-ι/Δ„Μλ:).
Эта формула остается в силе и при /г = 0 (так же, как и опре-
деление ω0 и «>0 по формуле (*) при указанном выше выборе
с0), если положить по определению Δ_, = 1.
Установим еще два важных свойства ортогональных
многочленов.
Теорема 1. Три последовательных ортогональных
многочлена юя+2(·*), ωΛ+1(χ) и ωπ(χ) связаны рекуррентной
формулой
ω«+2 С*) =(Х — «и+2) ωΛ+1 (X) — λ„+1ω„ (Χ),
где
«л+2 6 («, *), λΛ+1 = (?~+1' Г""* = -^τ^ , 0 < λΛ+1 < max (α2, Α-*).
Доказательство. Многочлен χ ωΛ+1 (λ;), как и всякий·
многочлен степени п-\-2, может быть представлен в виде
~ п+2 _
·*">«+! (Χ)=2^ω*(^)·
ft=0
Взяв скалярные произведения левой и правой частей этой
формулы на шу. (jc), при у ^ /г—1 получим
так как многочлен шя+1 ортогонален всем многочленам
степени, меньшей п-\-\. При у = /г, п-\-\
^« (ω«» <°я) = (*ω«+1. ω/ζ). <w-l (ω«+1> ωΛ+ΐ) = (Л<0/г+1> ωη+ΐ).
Итак, *'а>я+1 (л) =ся+2Шя+2(д:) + ся+1шяИ(^) + сяа)л(дс).Сравнивая
108

коэффициенты левой н правой частей при хп+2, получаем, что
^ 3=1. Этим рекуррентная формула доказана, причем
„ г (л'ояМ><йп+1) . (-Уь'я-ц, <»я)
"я+2 t'rt+l 7^ ~ Г ' Я*1 Я ~П ~ \ ♦
\Μ/ι+ΐ> ωη+ΐ) Кшп. мп)
Поскольку/7(л:)[ш/г+1(х)]2^0, то по теореме о среднем
где ξ 6 (α, #). Итак, αΛ4-2 = -(:(β> Ь). Перейдем к вычислению
ллК. Учитывая связь между ωΛ и ωΛ, имеем
Далее, (χωηΜ> ω„) = (ω„+1, лшл) = (ωπ+1, ω„+1)--(ο>„+ί, ν>η+ι — Χ<»η).
Вычитаемое в правой части равно нулю, так как шл+1 —хшп есть
многочлен степени не выше п. Поэтому, применяя те же
соображения, что н выше, имеем
[хтп*ь шп) = (°W υ,«+ι) = а
Итак, формула
доказана. Из этой формулы ясно, что λ„+ι>0, и осталось лишь
оценить λΛ+1 сверху. Действительно,
(Х«>п+и ωπ)ϊ = (ω|Ι+ιι -«ω|Ι)2<(ω|ΐΜι <оя+1) (хозл, χω.).
Как было показано выше, (ω,^, ωη+ι)~(Χωη+ΐι ί0Λ). Поэтому
из полученного неравенства следует, что (-^ωΛ+11 %)<!(Λ:ω,,, .χωΛ).
Но ясно, что (хи>п, хо)п)^тах(а\ Ь2)(ып, о>п), и этим требу-
«мая оценка сверху для λΛ+1 установлена Η
Теорема 2. Все корни ортогонального многочлена ωη(χ)
вещественные, простые и принадлежат промежутку (а, Ь).
Доказательство. Поскольку многочлен ωη(Χ)
ортогонален единице, он меняет знак хотя бы в одной точке
промежутка (а, Ь). Пусть Х\9 Х2, · · - ·> Хт — все точки перемены знака
ып(х) на (а, Ь). Теорема будет доказана, если установить, что
пг—п (заведомо ясно, что т^п). Допустим противное: пусть
т<я, и построим полином qm(x) = (x—Х\)(х—*2) ... (х—хт)
•степени т. Этот полином, как и соп(Х), меняет знак во всех
109
Дц+1
Лп

точках Х\, Хъ · · · > Хт и только в них, и потому произведение
(dn(x)Qm(x) либо во всех точках промежутка [а, Ь]
неотрицательно, либо во всех точках неположительно, обращаясь в нуль
лишь в конечном числе точек. Следовательно,
ь
\р (х) <*>„ (■*) Ят (х) dx=£0.
а
А это неравенство противоречит тому, что ып(х) ортогонален
всем многочленам степени меньше η Ш
Перейдем теперь к рассмотрению рядов Фурье по
ортогональным многочленам %(*). Каждой функции f£LP(X) можно
поставить в соответствие ее ряд Фурье
νβΑςΑ(Λ), ak = (fy »k) = lp{t)f{t)*k{t)dt.
Частную сумму ряда Фурье функции / будем обозначать
символом Sn/, а ее значение в точке χ—
S„{f\ х)-=2*ак«>к{х).
Символ Sn обозначает оператор, который функции / ставит в
соответствие частную сумму ее ряда Фурье. Очевидно, что
оператор Sn аддитивен и однороден и обладает тем свойством,
что для любого полинома Ра(х) степени не выше и Sn (Рп; х) =
— Рп{х). Нетрудно убедиться, что Sn — интегральный
оператор- Действительно, подставляя в выражение для Sn(f; x)
значения коэффициентов Фурье функции /и меняя порядок
суммирования и интегрирования, получаем
Sn(/; χ) = \р(t)[2»*<*) «*(θ!/С)dt=
= \plt)Kn{t*x)№dtt
a
где через Кп(*> х) обозначено ядро
Knit *)=2 £*(*>£*(').
Можно дать другое представление эгого ядра.
Теорема 3 (формула Кристоффеля — Дарбу). Справедливо
равенство
Ал (Г, X) — V Ая+1 j^ ,
где Хя+1 — коэффициент рекуррентной формулы {см.
теорему 1).
по

Доказательство. Выберем и зафиксируем
произвольную точку х(:[а, Ь]. Функция (х—t)Kn(t, x) есть полином
степени не выше п+1 (относительно t). Покажем, что этот
полином ортогонален с весом ρ всем полиномам степени η—1 и
ниже. Действительно, для каждого такого полцнома qn-\,
используя представление частной суммы ряда Фурье через ядро «
учитывая, что (х—i)qn-i(t) — многочлен степени не выше п,
получаем
ь
<(*-*) Кп (/, х), ?„_,) = J ρ (t) Кп (t, χ) (λ- -1) qn_x (t) dt =
a
= Sn ((x — t) qn_x, x) = {x — t) qn_{ {t) \t_x = 0.
Из доказанного свойства ортогональности сразу же следует,,
что (л: — t)Kn(t, x) есть линейная комбинация многочленов;
УЧ Λ
ωη+ι (О Й ωβ(0 (разумеется, с коэффициентами, зависящими
от зафиксированной точки х):
(х - 0 Кп (t, χ) == c{i> (х) Sя+1 (0 + с? (χ) ΐ, (*). (*)■
Для определения коэффициента с^ умножим скалярно это-
/Ч у\
равенство на ω„+1(/). Учитывая ортогональность юя+1 всем мно-
•ч ./ч
гочленам меньшей степени, а также равенство (юл+1, ">„+ι) = 1,.
имеем
t*i](x) = $p(t)(x-t)Kn{t, *)ί „„(*)<« =
= j> (*) (Χ — 0 ω„ (Λ) ωη (t) co„tl (*) ί# =
α
α
Произведение twn(t) может быть представлено в форме
t % (t) = V\^iK Я (ί) = УКЖ ω,ι+1 (/) + rn(t),
где r„(/)— некоторый полином степени не выше п. Поэтому
ъ
j> (01 % (θϊη+ι (0 dt = ΥΔ^&^λΙ = VK+i
a
и Сп] = — |/λ/1+1 (ort(x). Переходя к вычислению с™(х), умно
•ч
жим (*) скалярно на юл(£). Из полученного таким путем
выражения для с„2)(х) сразу же станет ясно, что с[п\х) есть
многочлен степени не выше п-\-\. Для вычисления этого много-
111

лучим
О = — VT^X ωΛ (χ)ω„+1 (χ) + с{п] (Χ)ωπ(χ),
откуда с{п](χ) = Υ*η+\ ωΛ+1(·*)· Последнее равенство доказано
пока только для тех значений х9 при которых «>Л(л;)=^0. Но
так как левая и правая его части — полиномы, оно верно для
всех х. Подстановка в формулу (*) полученных выражений
для с^ (х) и d? (х) и дает нам формулу Кристоффеля—Дарбу В
Задача. Показать, что если а = — b и вес р(х) есть четная функция,
то ортогональный многочлен ωη (χ) при четном η будет четным, а при
нечетном η — нечетным·
§ 3. Вопросы сходимости рядов Фурье
по ортогональным многочленам
Из полноты системы степеней 1, х, х29 ... в пространстве
Lp(x) и результатов § 1 немедленно следует такое;
утверждение.
Теорема 1. Какова бы ни была функция f£L2P{X)y ее ряд
Фурье по ортогональным многочленам ωη (χ) сходится к ней
*еамой в метрике пространства Lp^ т. е.
\p(x)[№-Sn(f; x)]2dx~t0.
а
Из результатов § 1 следует также, что если ak—коэффи-
циенты Фурье функции f£Lp{x) относительно системы {ωΛ}
ортогональных многочленов, то
J2 и χ ||2
Σ
α*== 1/Ι/2 (равенство Парсеваля)
ft=0 р(х)
-Ί$Α» =/Х=0^<!!/|г
uL2 ·
Х-*) г ~—" v ρ{χ)
В дальнейшем нас будут интересовать вопросы сходимости
ряда Фурье функции f в некоторой точке χ промежутка [а, Ь]
и равномерной сходимости ряда на всем [а, Ь]. Сформулируем
ттрежде всего один отрицательный результат.
Теорема. (В. Ф. Николаев). Какова бы ни была весовая
функция р(х), найдется такая непрерывная на [а, Ь] функция
j(x), что ее ряд Фурье по системе ортогональных многочленов
(con), соответствующей весу р, не сходится к ней равномерно.
Эта теорема будет получена в § 2 гл. 6 как следствие более
общей теоремы Лозинского—Харшиладзе.
Следующая теорема о сходимости ряда Фурье в некоторой
точке Xq .непосредственно связана с формулой Кристоффеля —
Дарбу (см. теорему 3 предыдущего параграфа).
112

Теорема 2. Пусть ортогональные многочлены ωΛ
ограничены в точке х06[а, Ь]\
| ω„(χ0)|<Μ, л=0, 1, 2, ...
#;л« функция /£ L2p(X) такова, что функция
суммируема с квадратом с весом ρ(χ) (φ 6/,£(*)), /ио ряд
ι фурье функции f no полиномам о>я сходится в точке х0 к
значению самой этой функции: Sn (/; х0) -»- f(Xo).
Доказательство. Очевидно, что
$p{t)Ka{t,x0)dt = L
а
Поэтому /(*0)-Sn(/; *0) = J»/>(t)Кп(ί, *β) [/ (х0) -/(0] Л
и по формуле Кристоффеля—Дарбу
f(x0) — Sn(f; x0) = V\^YaP(t) [ω„+1 (x0)mn{t)-
- ™n(xo)^n+i(t)]?(t) dt = УТ^[[^п+1{х0)ап-- ωπ(χ0)ί/π+1],
где dn и d„+1 — коэффициенты Фурье функции φ. Так как
φ£Ζ4(*), то ряд У]00 di сходится, и потому dn -*· 0. Атак как
Ч+ι (*о) К М% | шл (х0) | < М и VX^7< max (| а |, 161), то
/(*о)-S»(/; x0)^0i
При исследовании сходимости рядов Фурье непрерывных
функций часто применяется метод функций и постоянных
Лебега.
Зафиксируем некоторую точку х£[а, Ь] и будет
рассматривать при заданном η частные суммы рядов Фурье Sn(f; x)
различных непрерывных функций /. Тем самым в пространстве С
мы задаем некоторый линейный функционал 5η(·; х).
Определение. Функцией Лебега Lп(х) системы ортого-
«альных полиномов {ωΛ) называется функция, заданная на
|й, Ь], значением которой в точке χ является норма
функционала S„(s x), рассматриваемого в пространстве С:
Ln(x) = \\Sn(·; х)\\= sup ]Sn(f; х)\.
II / 11с
Постоянной Лебега Ln называется норма оператора Sn,
рассматриваемого в пространстве С:
Ln = lSnl=sup \\Snf\\c.
из

\Sn{f; *)|<М*)1/1с. I|5„/PC<I„1/«C.
Функционал Sn(-\ x) имеет интегральное представление
$.(/; x) = )\p{t)Kn{t,x)]f{t)dt.
а
Поэтому, как известно из функционального анализа,
La{x) = \Sn(-\x)\ = lp{t)\Kn{t,x)\dt.
а
Используя известное представление нормы интегрального one-j
ратора в пространстве С, получим также
ь
Ln = ||Sn 1 = max [ρ(t) \Κη{t, x)\dt= max Ln(χ),
jce[a, b] J xe[a, b]
Применение функций и постоянных Лебега к вопросам
сходимости рядов Фурье основано на следующей теореме.
Теорема 3. Пусть f(x) — непрерывная на [а, Ь\ функция.
Если в некоторой точке χϋ£\α, b] выполняется
соотношение L п (х0) Еп (/) -*■ 0, то ряд Фурье функции f сходится е
точке х0 к f{x0). Если же LnEn(f)->0, то ряд Фурье
функции f сходится к ней равномерно на всем [а, Ь\.
Доказательство. Обозначим через Рп полином наилуч-|
шего приближения функции/. Тогда, так как Sn(Pn; χ) = Рп(х),\
\f(x0)Sa(f; Xo)\<\f(Xo)-PnM\ + \Sn(Pn; *0)-$,</; *0)|<
<En(f) + \Sn(Pn-f;x0)\^En(f) + Ln(Xo) Pn-flc =
= (l+Ln(Xo))En(fh
и ввиду Ln (х0) Еп (/) -»» 0 Sa (/; х0) -+f(x0).
Перейдем к доказательству второго утверждения теоремы.
Как показано выше, для любого х£[а, Ь]
\f(x)-Su(f; x)\<(l+Ln(x))En(f)<(l+Ln)E»(f)-
Итак, \\f-Snf\\c< {\+Ln) En (/) В
Заметим, что при доказательстве теоремы получены
неравенства
1/(*о)-$Л/;*о)|< 0+£«(*)) £„</).
\\f-~Snf\\c<(\ + Ln)En(f),
которые характеризуют быстроту -сходимости ряда Фурье и
потому интересны сами по себе.
В следующих трех теоремах даются некоторые оценки
функций и постоянных Лебега.
114

Теорема 4. Пусть весовая функция р(х) на [а, Ь] ограничена
снизу положительным числом: р(х)^-т>0. Тогда для
постоянной Лебега, соответствующей этому весу системы
ортогональных многочленов, выполняется оценка (п^\)
Ln<Ccn, где с = ц/ lhJ/Atrt{p(x)dx.
/-7Т г— \ ρ (х) dx
(b — a) m 1 г у '
Доказательство. Возьмем произвольную функцию /£ С.
Очевидно, что Snf есть многочлен степени не выше п, и по
теореме 2 (см. с. 98) при ρ = 2 для него получаем оценку
Но
\\Snfh
fc V;2 ι I с \112
{[$„(/; x)}hix\ <-2= (j ,(*)[$,(/; x)Ydx\ =
V m p{jc)
Далее, \Snf\\2 <||/| 2 < |/ Γ/>(*)<**1/1>
Собрав вместе полученные оценки, придем к неравенству
\\Snf\\c<cn\f\Cy
где с имеет выписанное в условии теоремы значение. Ввиду
произвольности функции / отсюда немедленно следует, что
Ln = \\Sn\<cn ■
Следствие. Если, как и в условиях теооемы, ρ (χ) >
J>/rc>0, то для любой непрерывно дифференцируемой на
[а, Ъ] функции f ее ряд Фурье по ортогональным
многочленам равномерно на [а, Ь\ сходится к самой этой
функции.
Доказательство. Для функции /£С(1) по доказанной
ранее лемме (см. с. 84) En{f)K-^ ^-- , хЕп_х{/').Тък
как En-x{f)-+0, то ввиду доказанной в теореме 4 оценки
LnEn(f)-+Q, и остается воспользоваться теоремой 3 ■
Для ортогональных многочленов {^/г(л:)} введем величину
Ап(х)= max |£Л(*)|.
Теорема 5. Для функции Лебега ортогональных много-
членов {ωη) выполняется оценка
/ Ь \ 1/2
Ln(x) <CcAn(x) Yn-\-\, где с ^ \^p{x)dx\ .
115

Доказательство. Пусть /£С — произвольная непре>
рывная функция. Обозначая через ak ее коэффициенты Фурье
и применяя неравенство Коши—Буняковского, получаем
ι r Л i / " Υ·"2/ η ^ У2
|S„(/;*)!= 2fl*w*WИ ΣβΜ 2KW12 *
U=0 I \fe=0 / \h=0 /
Но по неравенству Бесселя
2 βί)"'<ιλ> м < ί] ρ w dxT i/ic,
а в силу определения ^4я(л;)
fc=0
Таким образом, для любой функции /£С
5„(/; A;)|<^„WV^Ti|/lc ■
Замечание. Если положить Лл== max Л„ (л;) =
= max ||<^|L, то> естественно, при том же с, что и в теореме 5,
- 0<fe</2 ^
Ln<cAnVn+\.
Если ортогональные многочлены ып(х) ограничены в
совокупности в некоторой окрестности точки х0^[а, Ь], то (при
одном дополнительном условии) в точке xQ можно получить
лучшую оценку функции Лебега, чем дает теорема 5.
Теорема 6. Пусть х0£[а, b\t и пусть нашлось такое
число h > 0, что для всех χ (< \х6 — h, x0 -f- h] f] [α, b\
выполняются оценки
|ωΛ(*)|<Λί (л=0, 1,2, ... ), р{х)<,Р.
Тогда для функции Лебега в точке х0 верно неравенство
£«(*ο)<^ι + ^1ηΛ,
где ct и с2 — некоторые постоянные.
Доказательство требуемой оценки можно проводить,
разумеется, лишь для достаточно больших п. Поэтому будем
предполагать, что 1/я < п. Значение функции Лебега в точке
х0 есть
L*{x*) = lPi*)\Kn{t,xa\dt.
а
116

Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, разобьем
на пять интегралов по схеме
b лгс—h jr0— 1 /« Jfo+l/л х0+Л Ь
ί= ί+ ί + ί + J + J.
a a jr0— Λ jc0—1/л лг0+1.л .ν0+Λ
обозначив их соответственно 'через /ь /г, /з, /4 и /5. Есл'И точка
х0 лежит близко к одному из концов 'промежутка [a, b] (или
совпадает с ним), часть этих интегралов может отсутствовать
или браться 'по -промежутку меньшей длины, чем указано. Это
приведет лишь к улучшению оценки, 'которая строится ниже.
Оценим каждый из интегралов /&. Используя для представления
ядра Kn(t, x) формулу Кристоффеля—Дарбу, получаем
■*С—Λ ι •Ч У\ У\ У\ .
/ — Т/У Г η (t) ' <0"+i (■*<>) "я (0 — ω» (*Ь* ω«+ι (О I ^
Отсюда, если учесть, что yx/rtl<c=max(|aj, \b\), (и>я+1 (χ0)|<Λί,
«°я (-^о) Ι ^ Λί» *ο— ^>Λ, следует оценка
ρΛ·0—Λ ' xc—h
I < —
jl<* h
j p{t)\*nit)\dt+ J р(0|2я+1(0|Л
L <I
Интегралы, стоящие в квадратных скобках, оцениваются
одинаково. Рассмотрим первый из них. По неравенству Коши —
Буняковского
'] ιρ ω ι Я, (о 1^< J/> (о ι Я, (о ι ** <
α α
(* \1/2/ί> Λ \1/2 /ft \l/2
Итак, /i<^-(jp(0^ = *»·
^Λ
Совершенно аналогично /ь^сг. Перейдем к оценке /2:
л©—1/л
/2 = >Ч1+1 j ρ (t)
. /Ч Λ Λ УЧ ι
fitf.
Здесь, как и выше, УК*г<с> I % (А'о) К^, I «"n+iWK^1·
Кроме того, |%(01<М, | %+1(0|<М и/?(£)</>. Поэтому
-*·„— 1/л
лгв—А
117

Точно так же /4<^c4ln/t-f-c5· Для оценки /3 воспользуемся
тем, что при t£[xQ — Ifn, x0-{-lln\c:[x0 — ht x0-\-h\ p{t)^Pn
Kn{t, x0)\ =
2«*(*o) Mi)
fc-0
<(я + 1)ЛГ
и потому /3<-|-(/i-fl)PM2<4PM2==cG.
Остается сложить полученные для lk оценки ■
Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 6, и
пусть функция f удовлетворяет условию Лини — Липшица
(/ 6 DL). Тогда Sn(f;x0)-+f(x0)·
Доказательство. Напомним, что условие
Дини—Липшица для функции / означает, что «>(/; t)\nt —--*0. Так как
по теореме Джексона (с. 82) Е„(/Ж®(/', 2 (д~+ η )* т0 для
такой функции £„(/) 1п«—>0, и потому в силу доказанной
теоремы Ln(x0)En(f) ->0. Остается воспользоваться теоремой Зв
Замечание. Если условия теоремы 6 выполняются для
всех точек некоторого промежутка [с, d]cz[a, b\ с одними и
теми же постоянными Λ, Μ, Я, то и в оценке функции Лебега
на этом промежутке
Ln{x)^ct-\-c*M n (x£ [с, d\)
постоянные с{ и с, от χ не зависят. Поэтому для функции /,
удовлетворяющей на [а, Ь\ условию Дини—Липшица, ряд
Фурье будет сходиться к ней равномерно на [ct d]. Это видно
из оценки
ISn(/; х)-f(x)|<(1 + Ln(χ))Εη(/)<
<(1 +г,+*21пя)£я(/)-»0 {х£[с, d\).
В теоремах 2, 5 и 6 сходимость ряда Фурье в точке χ
связывается с поведением в этой точке (или ее окрестности)
самих ортогональных многочленов. Поэтому определенный
интерес представляет следующая теорема, в которой на
основании поведения многочленов, ортогональных с одним весом,
делается вывод о поведении многочленов, соответствующих
другому весу, при условии, что эти веса связаны специаль-
ным образом. Пусть {ωΛ}—система ортонормальных миогочле-
•ч
иов по весу ρ (л:), а [уп] — по весу д(х):=о(х)р(х). Пусть,
как и раньше, Ап(х)= max jo>„ (jc)|.
0<k<n
Теорема 7. Пусть σ£Α7/(1) и а(х)> т>0. Тогда
выполняется неравенство
Wn(x)\<c1An(xh где сх=т\J5C , c = max(|a|f |*|).
тут
118

Доказательство. Как и любой многочлен степени /г,
%а(х) можно записать в виде
а
= f Р (О Я, W »„ И ?« (*) Л + J /> (f) АГ„_г (i, jc) fu (t) Л=Л + /г.
Оценим сначала второй из этих интегралов. Так как <рп(0
ортогонален с весом p(t)o(t) всем М'ногочленам меньшей
степени, то
\p{t)o{t)Kn^{t, *)?Λ (')<« = О,
а
b
■и потому /2 = т^у- ^(/)Kx)-a(i)]/CM(/, x)%n{t)dt.
а
Воспользовавшись для ядра K„-t{t, х) формулой Кристоффе-
ля — Дарбу, получим
ь
h^—^-V^ \p{t)*{X)xZ){t) ΚΗω„-ι(0-
а
Так как о £ /<7/(1), то | (σ (χ) — α (i))/(jc — t) |< Д-. Кроме того,
Κζ^<ί. β(*)>/и, КС*)КА, (х), \™п-Лх)\<Ап(х).
Поэтому
г Ь
\h\<%An{x)
J^(OI^-iWI-l?«(OI^ +
α
•ч
+ ]/7(0|ωη(0Ι·|φ«(0!^].
Оба интеграла, стоящие в квадратных скобках, оцениваются
одинаково. Оценим, для определенности, второй из них:
f/>(*)KWHi«(OI<tf<
а
\ V2
<($Р(')К(WdtTIJ/7(ОQn
(t)Ydt) =
& χ 1/2 , & \ 1/2
119

2cK
Итак, |Д|< γ=-Αη(χ). Перейдем к оценке /,:
тут
1 ъ
|/il = K(*)l
j/> (*К (')<?„ С) ^
<
< лл*> j/> ω к (о н ?«(о и.
Для последнего интеграла выше уже была получена оценку
1/Ут. Поэтому \ii\^An(x)/ym, «и остается сложить полученные
для /ι и h оценки ■
Доказанная теорема, грубо говоря, означает, что в каждой
точке χ порядки роста (с возрастанием п) многочленов ωη(χ)
и ц>п(х) совпадают.
Задача. Показать, что в любой точке х£[а, Ь] для функции Лебега»
Ln (χ) выполняется неравенство Ln(x) > 1.
§ 4. Многочлены Якоб и
Определение. Многочленами Якоби J{%' P)(jc)
называются многочлены, ортогональные на промежутке [— 1, 1J, с весом
р{х)=:{\-х)Л{\+х)\ где а, р> —1.
Многочлены У(яа' а)(х), соответствующие случаю β = α,
называются ультрасферическими.
Согласно сказанному многочлены Якоби Уя"'β) определены,
с точностью до постоянных множителей. Используя
обозначения, аналогичные введенным ранее, считаем, что /£*' 9)(х) есть
многочлен Якоби со старшим коэффициентом, равным
единице, и yf*β) (λ:) есть нормированный многочлен Якоби (с
положительным старшим коэффициентом):
j (1 -д:)в(1 +*)р [Л* *\x)?dx = 1.
-ι
Для многочленов Якоби можно дать явное представление.
Теорема 1 (формула Родрига). Справедливо представление
■С ·»(*>=*.<> —*)"$ + #*-£rlQ —«Г^+дсГ4*].
где КпфО — произвольная постоянная.
Прежде чем доказывать эту теорему, условимся в
следующих обозначениях: ип(х) — (\ — х)п+а (1 -\-х)п+^, yn(x)=z
= [ρ(x)]_1 u{nn) (x) (напомним, что р(х) = (\—χ)α(1-{-χγ —
весовая функция). В этих обозначениях формула Родрига
принимает вид У?'Р) (х) = КпУп (-*)· Введенные обозначения
120

будут использоваться не только при доказательстве теоремы Г„
но и ниже.
Доказательство теоремы сводится к доказательству?
двух утверждений: 1) уп(х) есть многочлен степени не выше пт
2) этот многочлен уп ортогонален с весом р(х) всем
многочленам степени η—1 и ниже.
1) Для вычисления κίΓ} воспользуемся формулой Лейбницам
ulnn)(x) = ^(~\)kCkn(n + ^(n + a^\) ...
k=Q
... (П+.а-к+1)(1~х)П+а-к(п + $)(П + Ь-\) ...
... (Λ + β + ΐχΐ+Λ:)*^,
откуда
л(л)=[р(х)г,«?)и=2 (~1)*с«(«+а) ···
Др-0
... („ + a-*+l)(l-jc)«-*(« + P) ... (* + p+l)(l+jc)\
Так как в этой сумме каждое слагаемое есть многочлен
степени п, то уп(х) есть многочлен степени не выше п.
., 2) Заметим прежде всего, что если, как и выше, вычис-
лять производные с помощью формулы Лейбница, то легко*
убедиться, что при /г<я— 1 и?)(1) = и?)(—1) = 0. Пусть,
теперь Рп-\(х)— произвольный многочлен степени не выше
η— 1. Тогда
ι ι
Г ρ (х) Рп-г (х)уп (х) dx = Г Рп^ (х) и(пп) (х) dx.
i -ι
Будем вычислять последний 'интеграл интегрированием тю
частям, η раз последовательно перенося «производную со второго
множителя на первый. Ввиду только что отмеченного свойства*
производных iff(χ) все внеинтегральные члены при этом
обратятся в нуль, и потому
ι ι
f ρ (χ)Рп.г (х)уп (x)dx = {-l)n Г ΡΆ (χ) ип {χ) dx = 0.
-i -ι
Последнее равенство следует из того, что Р{"-\ (х) есть
тождественный нуль ■.
Наша ближайшая цель — выяснить, как следует
распорядиться постоянной Кт чтобы формула Родрига дала нама
многочлен J{n'?)(х) или /?* Р)(·*)· Соответствующие постоян-
ные обозначим через К„ и Кп, так что J η {х) = Кпуп (х),
J(n' ?)(х) = Кпуп(х). В тех случаях, когда потребуется
подчеркнуть, что эти постоянные соответствуют данным α и β„
J21.

•будем писать /С?'9* и /йа,р). Для нахождения Кп достаточно
определить старший коэффициент многочлена у„(х). В
дальнейшем нам потребуется также второй по старшинству коэффи-
Щ1ент этого полинома. Поэтому докажем теорему.
Теорема 2. Старшие члены многочлена уп(х) определяются
равенством
V (х)-(- ΐν,Γ(2η + ° + β + 1)Γ , (α-β)η , , -Ι
УпКХ) — { 4 Γ(„ + α + β + 1) |* "Г 2л + « + р х τ-···]·
Доказательство. Для значений χ У- I многочлен ун(х)
•может быть записан в форме
УЛлО=(--1)«^-1Г(А: + 1ГР^г[(А:-1Гв(хН-1Г3].
Чтобы в этом убедиться, достаточно вычислить производную
порядка η от выражения, стоящего в квадратных скобках, по
формуле Лейбница. Тогда мы 'получим выражение для правой
части написанной формулы в виде той же самой суммы, кото·
рая выписывалась для уп(х) при доказательстве теоремы 1. Для
нахождения старших членов уп(х) требуется выяснить
асимптотическое поведение уп(х) при х->+оо:
(jc- 1р (х+ΐΓρ = *~(α+Ρ) (ι +(«-Р)4"+ · · ·) · (*)
(JC-l)-+-(jeH_l)«-H»e^+-«(H_(p-.e)^.+ ...jf
= (2я + α + ?)(2« + α + β — 1) ... (я + a-fP + 1)*й+а+3 +
+ (Р-а)(2я + « +ρ—1)(2я + а + 0—2) ...
... (л + a-f P)jc«-«+e+3 + ...
Или; если использовать формулу
а(а-])(а-2) ... (a -v) =-Ig±IL ,
^[(д:-1Г'и+1Г9] =
ί/ΛΓ"
(Ρ_β}(π4-α + Ρ) _]__j_
_Г(2п + « + Р + П ^^4-4ι л-
Г(я + о + Э+1) L 2/1 + а-т-Р *
-Умножая это равенство на (*), получаем
x[i+((-B + g-^.++VB)-r+-h
_/ П,Г(2я + «-1-р+1)Г (α-β)η Ί
V U Г(я + а+р+1) [Л ' 2я + а + р * -T----J
122

Следствие 1. Справедливо равенство
Следствие 2. Старшие члены многочлена J (β·Р) (л:)
таковы:
Г(«. Р) / -л _ *.« ι <а - Р> " wi-ΐ ι
•Ч
Перейдем теперь к вычислению Кп.
Теорема 3. Выполняется равенство
β> —( IV» ч/р-Ря+ч-Р+П Γ(η + « + β+ 1)(2я + в + ?+ 1)
Доказательство. Учитывая, что старший коэффициент
многочлена уп(х) имеет знак (— 1)", имеем
/?„ = (-!)"(_[
и доказательство теоремы сводится к вычислению интеграла
/= J P(x)lyn(x)]*dx= $ya(x)tff)(x)dx =
-1 -1
I
= (-i)'Jjf,W««W^-
-I
Так как уп(х) есть многочлен степени п со старшим
коэффициентом AT1, то y«">(Jc)=/Cirl»! и
1
/=(- l)«/?7l/i! j un(x)dx =
-ι
1
-ι
dx.
Делая в последнем интеграле подстановку χ—2έ—1,
получаем
/= (_ \)*к-хп\ 22й+в+?+1 jV+p (l- /)"+вЛ =
о
==(_1)«^-1«!22,Ι+α+Η1Β(Λ + α+1, я + Р + 1).
где В(р, q) — интеграл Эйлера первого рода. Используя связь
Функции В с Г-функцией:
В (Л 9) = Г(Р)ШГ(Р + 9).
123

а также вычисленное ранее значение /Ся, получаем
/ =
Г(2я + д + Р+П
„, 92η+α+β+1 Г(/г + а-Н)Г(я + р-Н) __
•Z Γ(2/ι + α + β + 2) ~~
__ 22п ,"α+β+1 Г (Л + « + 1)Γ(η + β +1) η!
Г(я + в+Р+1)(2я + а + р+1)
Теорема 4. Многочлены Якоби связаны рекуррентной,
формулой
h$ <■*>=<* - "«**) ^г+р w - λ«« Φβ) w.
где а, L ""--
*я+2— (2и + а + p + 2)(2n + a-J-{J-j-4) »
λ _ 4(я + а+3 + 1)(я + а + 1)(я + Р-М)(я + 1)
л+1 (2л + в+р-Н)(2я + а + 3 + 2И2л + а + р + 3) *
Доказательство. Ввиду теоремы 1 § 2 (см. с. 108)
доказательству подлежат лишь выписанные выше формулы для
коэффициентов ал+2 и Хи+1. Используя следствие 2 (см. с. 123)
и сравнивая коэффициенты при xn+i в левой и правой частях
рекуррентной формулы, получаем
<«~?)(л + 2) _ (α—β)(/ι+ 1)
ал+2»
Чп + а + р + 4 2л + а + р -+- 2 п+
откуда для ап+2 и получается требуемое выражение. Далее,,
учитывая,^ что Дв> "(■*) =-л2· Лв,р) (·*)» имеем
/7(«. β) 7(«, β)\ #2 #2
■ν \J п+1 ' J п+1 ) лл+1 лл
Ай+1
(7«*».7«г-и) Я»+1 *·.
Подставив в эту формулу полученные выше выражения для
Kj и /С,·, придем к требуемому ■
Замечание. Для ультрасферичееких многочленов (при
β=α) выражения для коэффициентов рекуррентной формулы»
упрощаются:
_ (и -f 2а 4- !)(«-«- 1)
(2л + 2а+1)(2лН-2а+ 3) *
ая+2 — 0> Vh
Из рекуррентной формулы в этом случае нетрудно усмотреть,.
что ультрасферические многочлены Jn°'a) содержат лишь
четные или лишь нечетные степени χ в зависимости от четности»
или нечетности п. Впрочем, это ясно и непосредственно (см.
задачу к §2).
124

β-Η» · β+з
Доказательство. Вычислим прежде всего уп(± 1).
Согласно выведенной ранее формуле (см. с. 121)
yftw=2(~1)feCn(rt+a) ···
... (я + а-Л+1)(1-*)«-*(я + Ю ··· (* + Р + 1)(1+*)*
ЯСНО, ЧТО
Л0) = (-!)-(« +а) ... (l+*)2" = (-ir-^f^-2«,
У„(-!)=(* +Ρ) >■■ (1+Р)2д = Гг(|+|)1)2В*
Дальнейшие вычисления для точек + 1 и — 1 проводятся
одинаково. Ограничимся вычислением J if' β)(1):
1 l/o- (»-+й + 1) Г(и + а + Р+ 1)Г(я 4-α+ 1)(2я4-»Ч-?+ 1)
— Г(1+а) Г Z Г(П + р^1)я!
Учитывая асимптотическую формулу (см. приложение)
г(я-1-&) ~" к""*00;.
яолучаем
Г(и + а + ? + 1) _„« Г(я + а+1) Г(я + с + 1) «
Г(и + р + 1) ~ ' л! 1'(я + 1) ~~ '
Кроме того, 2гс -f- а -{- β -J-1 ~ 2л. Подставив все это в
написанную выше формулу для У„а'?)(1), получим требуемое
.асимптотическое равенство ■
Теорема 6. Выполняются следующие правила
дифференцирования многочленов Якоба:
а) [(1-^Г(1+^Ла'?)(^)Г= -(л + « + Р)(1 -^Г'Х
(1 + *)Μ7ί7ι,Μ)(*) К β>0, λ>0);
б) [Jfi9)(Jc)r='«5rKi,p+1)W («, ?> —ι, «>i).
*) Как обычно, запись ап ^ 8Л (я-> оо) означает, что α«/βπ—~* 1-
125

Доказательство, а) Из формулы Родрига непосред-
ственно следует, что
[(l-Jc)e(l + Jc)p7f-3)(jc)l' =
^(«-1, β-1)
^i-jO 4J+*> y«+i <*)■
и остается заметить, что Κί"®ΙΚ1η+ί'* υ =-—(л-f-a -f- β).
б) Покажем, что [7ίΓ* 3) (·*)]' ортогонален с весом (1—Λ')α+1 χ
χ (1 -\-χγ+ϊ всем многочленам степени η — 2 и ниже. Пусть
Рп-о{х) — такой многочлен. Интегрируя по частям, получаеха
J (1 - χΓλ (ι + xf+lPn-2 (χ) [Λα·?) (*)]' dx =
-1
= - / [(ΐ -α'Γ1 (ΐ + xf+lPn-2 (·*)]'7<α· *\x)dx =
-1
-1
+ (1 - χ2) Ρ'η-2 (χ)] Jt?) (χ) dx = 0.
Равенство нулю следует из того, что в квадратных скобках
под знаком последнего интеграла стоит полином степени не
вышел—1. Из доказанного свойства ортогональности
вытекает, что многочлен [7?*?) (■*)]' пропорционален Ιζ-ί'?+1) (л):
[7^п(*)]'=ег/Й,-|,+1)(«).
Сравнивая коэффициенты при л"-1 в левой и правой частях
этого равенства, получаем сп = п ■
Замечание. Из формул а) и б) легко можно получить
формулы дифференцирования нормированных многочленов
Якоби:
1(1 — jc)e(1 +· jc)p7?' ю (jc)]' = -^^- [(1 — л:)"(1 + jc)pЛ"'" W]' =«
4 η
= _(«+,+wJ^a-*)-'(!+*/-17№,-,,м=
^ я *
= -(« + ■ + »-' , У1,, „α-*Г (ΐ+^-'ΛνΊ1·'1-"^),
Art ΑΛ+1
126

или, после подсчета коэффициента в правой части равенствам
1{\-х)ш(1 + х)'?£*(х)]' =
= - VW !)(» + *+?) (ι ~ χ)α~ι (ι + *)ρ_1 Λ'+ΐ·β-1) (*)-
Совершенно аналогично
[У?* Р) (*)]' = "4* 4^ Л-11'р+1) (JC) =
А л А л-1
= Уп(п+а + $+\) Λ"-ι' ?+,)(JC).
Теорема 7. Многочлен Якоби У J,*' р)(лг) является решением,
линейного однородного дифференциального уравнения
второго порядка
(1-х2)у"+$~*-(* + Ъ + 2)х]у' + п(п + * + ?+\)у = 0.
Доказательство. Ввиду однородности уравнения
достаточно показать, что ему удовлетворяет многочлен У?'?). При-
η = 0 утверждение теоремы очевидно. Считая л ^ 1 и
используя предыдущую теорему, преобразуем выражение
= я {(1 — jc)·*1 (1 + х)9+17№'?+1) (jc)}' =
= _-„(rt + a-f-p+l)(l-*)a(l+jc)pyi-w(Jc).
Итак,
(1-Λ)β+,(1+χ)?+1|ίί'?,Μ]" +
+ [(ι -*)β+1(ΐ +*)p+,r [7ίτ· »(*)]' +
+ я(л + аН-р+1)(1-л)а(1+д:)3У?-?)(А:) = 0.
Остается разделить это равенство на (1 — х)а (\-\-xf, заметив:
при этом, что {(1—Λ·)α41(1+.κ)β+1]' = (1— x)a{\+xf[$ — a —
Оценим теперь многочлен У?*р) на промежутке [—1, 1].
Лемма. Пусть о = тах(а, р)>- —1/2. Тогда многочлен
Ja" (х) достигает максимального по абсолютной величине
значения на [— 1, 1J в одном из концов этого промежутка.
Доказательство. Поскольку в утверждении леммы
нормирующий множитель многочлена Якоби не играет
никакой роли, будем доказывать это утверждение для многочлена
Л(4 Рассмотрим функцию
?(*)=1лс«)1'+ я(я+г+1+1) К<*>]'·
127

^сно, что [%(Α')]2<ψ(χ) и [у„(± 1)]2 = ψ(± Ι). Поэтому
.достаточно доказать, что функция ψ (л;) достигает своего
максимального значения в одном из концов промежутка [—1, 1].
Для этого продифференцируем Ψ(λγ):
¥ (*> = Ьпу'п „(„ + α2+β + 1) (Л)2 +
1 л(/1 + а + ?+ 1) -^Λ
= „(n+!+j,+l) Id-*')/.—«y; + »(» + « + j>+i)y.1.
По предыдущей теореме
,(1-л2)у;н-«(«+ос + Р + 1)Уп=[-зн-а-ь(^+?+2)х1з/;.
.Поэтому ФЧ^)=я(я+2а(У;)р + 1) Ι-β + « + (* + Ρ+1)*1-
Стоящий перед квадратной скобкой множитель неотрицателен,
и З'нак производной ψ'(Χ) определяется поэтому знаком
выражения 1(х), стоящего в квадратных скобках. Возможны
следующие три случая.
а) Если α+β+1=0, то 1(х) постоянная, ψ'(Χ) знака не
меняет, ψ (χ) монотонна и, следовательно, достигает
максимального значения в одном из концов промежутка '[—1, 1].
При a-f-β + Ι Φ 0 положим х0— а ' ~° } корень
функции 1(х).
б) Если α4-β + 1>0, то, даже если ·*0Ε(— 1, 1), /(*)
может менять знак лишь с минуса на плюс, т. е. на [—1, -*ol
Υ(jc)<!0 и ψ(·*0 не возрастает, а на [х0, 1] Υ (х)^0 и ψ(*)
не убывает. Ясно, что и в этом случае ψ (л) достигает
максимального значения в одной из точек + 1.
в) Наконец, пусть α-|-{ϊ+1<0. Если α = σ^> —1/2, то
2а>— 1, _а<1+а, β-α<1+7. + ? и аг0 = (?—о)/(1+о-+
+ β)>1; если же β = σ>—1/2, то 2р> —1, β — α> — 1-
— а —р и χ0 = @ — α)/(1 + α+βΧ — 1. В обоих случаях
jc0C(— 1» О» ψ'(*) на (—1> 1) знака не меняет, <Ь(л:)
монотонна и достигает максимума в одной из точек + 1 ■
Теорема 8. Пусть σ = max (я, £) >— 1 2. 7огда
выполняется оценка
ρ ■/К Р) |1 <^ - „σ+ 1/2 (я "> П
ι.·7" iC if—l. 1])^* «. ? \narll·
где постоянная ся, р зависит лишь от α и β.
Доказательство следует непосредственно из доказанной
леммы и теоремы 5.
Если применить к многочленам Якоби теорему 5 § 3 с
учетом замечания (см. с. 115) и использовать только что указан-

дую оценку нормы этих полиномов, то получится следующая
теорема.
Теорема 9. Для постоянной Лебега многочленов Якоба
j [*'г?) при а = тах(а, β)> — 1/2 выполняется оценка
Следствие. £сл# r-J-γ > з +1, /гсо &/гя любой функции
^£С(г)Я(т)([—1, 1]) ее /?я<? Фурье по многочленам Якоба
у f'р) равномерно сходится к ней самой на всем
промежутке [-1, 1].
Это следствие вытекает немедленно из оценки постоянной
Лебега, если воспользоваться теоремой 3 § 3 (см. с. 114) и
второй теоремой Джексона (см. с. 85).
Замечание. Доказанная в теореме 9 оценка постоянной
Лебега не является точной. Может быть доказано более
сильное неравенство (см. [1]):
, fc«a+1/2f если σ> —12,
[chin, если σ^ — 12.
Однако доказательство этих неравенств выходит за рамки
нашего курса. Ниже они будут доказаны лишь в двух частных
случаях: α=β = 0 (многочлены Лежандра) и α = β = —1/2
(многочлены Чсбышева). В связи с этими оценками допускает
уточнение и сформулированное выше следствие.
Задача 1. Пусть S^*^(f\ χ) есть частная сумма ряда Фурье
функции /(х) по многочленам Якоби Jn' (·*). Доказать, что если функция f(x)
непрерывно дифференцируема, то
[5?· Μ (/; jc)] ' = SJT+»· Р+Ч (/'; jc).
Задача 2. На основании тождества, указанного в предыдущей задаче,
сформулировать и доказать теорему о возможности почленного
дифференцирования ряда Фурье но многочленам Якоби.
Задача 3. Показать, что при α > О
S?·?) (/; χ) = sfe?■?) (/; χ) - 4е' 4Τί· ^Й1Р) <*>· W
где а^Т*' ,3* — коэффициент Фурье функции / относительно J^Z\% ^» а чис"
ла А^' ^ от / не зависят и таковы, что 0 < А\"у ^ < 1.
Задача 4. Используя формулу (#), а также аналогичную связь между
$%' ^ (/; ·*) и 5'2aj_1?-"1) (/; χ), доказать оценку постоянной Лебега,
указанную в последнем замечании, для случая с = шах (а, £) > 1/2.
§ 5. Ультрасферические многочлены
В этом параграфе будут приведены некоторые
дополнительные сведения об ультрасферических многочленах, а именно
оценка Бернштеина и некоторые ее следствия. Подобные ре-
129

зультаты верпы и в случае §фа (подробнее об этом будет
сказано ниже), но доказательства в этом случае становятся суще-.
ственно более громоздкими. Именно по этой причине
изложение в этом параграфе ведется для ультрасферического слу.
чая.
Приведем сначала некоторые вспомогательные сведения из
теории дифференциальных уравнений.
Лемма 1. Пусть у(х) и Y(x)— ненулевые решения
дифференциальных уравнений
У" + g (х)У = О, Y" + О (χ) Υ = О,
причем функции g и G непрерывны и g(x)^CG(x). Если:
у(х1) ==у (х2) = 0, то на промежутке [xlt χ.,] функция Υ (χ)
имеет хотя бы один корень.
Доказательство. Допустим противное, пусть Υ (χ) на
[л:,, х>] в нуль не обращается. Тогда непрерыввтя функция.
во-первых, такова, что Г у(х) dx = 0, и, во-вторых,.
Следовательно, на \хи χ.>] φ(χ) = 0. Значит, yrY=yYp
и У(х) = су{х). По тогда Y(x1) — cy(x1) = 0, и мы пришли*
к противоречию Η
Лемма 2. Пусть Υ{χ) есть решение дифференциального-
уравнения Y"-\-G (χ) Υ=0. Если на промежутке [a, a-\-h\
G (х)^>А > 0, причем h > 2π/|/Α, т.о на том же
промежутке [а, а-\-п\ найдутся корень функции Y{x)< и корень ее
производной Y'{x).
Доказательство. Рассмотрим дифференциальное
уравнение у"-\-Ау = 0. Его решениями являются функции ух(х) —
= sin \/А (х — а) и у2 (х) = sin Υ Α (χ — а — А). Так как:
yl (a) = yt (a -J- π/У А) = 0 и у2 (a -f- h — .γΐ) =у2 (а + h) = 0,
то каждый из промежутков [а, а + г.IVА] и [а+ h — τ,IVА,.
a -J- п] по лемме 1 содержит по корню функции Υ. Ввиду
α-\· πίνА <а-{-п — ^IVA эти корни различны, и по теореме-
Ролля между ними лежит корень производной Y' Ш
Лемма 3. Пусть Y(x)—решение дифференциального
уравнения Y" -\- G (χ) Υ = 0, причем функция G (х) непрерывно-
дифференцируема и G(x)> 0. Пусть хх < х2 < · · · < Χ,ψ
130

{*j £ (β> b))—точка максимума \ Y(x) |. ffc/ш функция G(x) на
(а, Ъ) не убывает, то \ Υ (л:,) | > | У (х2) |> ... > | К(л-Д7) |, ес/ш лее
G(х) не возрастает, то | K^JKl K(x,)J< ... <|K(^V)|,
Доказательство. Рассмотрим функцию
υ(χ)=[γ(χ)]^-(±^ιγ^χ)γ.
Так как [Y(Xj)]2 = U(Xj)y достаточно показать, что если G(x)
не убывает, то U{x) не возрастает, а если G{x) не возрастает,
то £/(*) не убывает. Продифференцируем функцию U:
Если О (л:) не убывает, то 1/G(a:) не возрастает, и потому
(1/(/(д:))/<0> £/'(.х:)<^0, и функция U не возрастает. Точно
так же если G(x) не возрастает, то 1/(7(л) не убывает,
(1/(7(jc))'>0, ί/'(*)>0 и £/(■*) не убывает ■
В связи с последней доказанной леммой полезно сделать
одно замечание. Если Υ— ненулевое решение уравнения
Г"4-ОГ=0 (G(x)>0) и в некоторой точке χ0 Υ'(χ0)=0,
то, так как К(л0)Г(ло)<0, х0 — непременно точка
максимума | Y{x)\.
Будем считать α > — 1/2 и введем следующие обозначения:
а 1
-гг + -г ^
/η(χ)=(ΐ-χ2)2 4Λ(β,α)(*) (*€[-!. Ι),
«+ —
?п (θ) = /« (cos 6) = sin 2 θ · У ?·ο) (cos θ) (0 ^ [0, π]).
Лемма 4. Функция F„(0) удовлетворяет
дифференциальному уравнению
г^ ио)=(«+«+4-)" + а^(в + -г)(-т-в)·
Доказательство. Обозначим для краткости У?'а)(а:) =*
=у(х) и положим в дифференциальном уравнении для мно-
гочлена J η (см. с. 127) a: = cos6:
sin2 0 -у*(cos θ) — 2 (α -f 1) cos by' (cos 0)+ я (я+2а+l)j/ (cos6)=0.
У нас у (cos 6)=sin v /β·/Γ„(β),
sin θ -у' (cos θ) =
(·+τ) ]'
sin
131

sin2e.y"(cos°) — cosO-y(cosG)= [sin -v б-^Л6)
Поэтому [sm-(a+Ii2) 0 Fn (0)]" + (2a + 1) ^[sin-(^1/2) θ·^(θ)]' +
+ n(n + 2a-{- 1) δίη-^'^Θ-^ίθ) =0, или
sm-la+ll2)b-F"n (θ) + [2 (sin-(<H Χ2,θ)' -f
+ (2a + i)fJ sin-(a+1/2)e ya (θ) + [(sin-w^er -f
+ (2a + 1) -^|(sin-(«+i/2)e)' -|-Λ (n + 2a +1) sin-<«H-i/2)el Fn (O)=0.
(itHZ+l/Z)
-1/Z«x<zJ/2
λ
[n^L+f/Z)2
0
г~л
I nfz I
Iв
\n
cc>1/Z
Рис. 8.
Здесь коэффициент при F„(0) очевидно равен нулю.
Подсчитывая коэффициент при Fn(b), легко убедиться, что он равен
Xn(0)sin-(a+1'2)6. Поэтому, умножив выписанное выше равенство
на sintt+1/20, придем к нужному результату ■
Заметим, что график функции λ„(θ) (рис. 8) симметричен
относительно прямой 0 =π/2. Если — 1/2'< a < 1/2, то Хл (Θ) > 0,
на промежутке (0, π/2) λΛ(0) убывает и λ (0)—► -f °°. Если
a > 1/2, то в малой окрестности точки 0 λ„(θ) < 0, λ„(θ)—> — со
β-*ο
и на промежутке (0, π/2) λ„(0) возрастает.
Теорема 1 (С. Н. Бернштейн). При a > — 1/2 для ультра-
сферических многочленов J f*a) (χ) справедлива оценка
■ A _L
(1-х2)2 + 4 \J{n-a)(x)\<c (x£[-U 1]),
где постоянная £ зависит лишь от а.
Прежде чем доказывать эту теорему, сформулируем ее
очевидное следствие.
132

Следствие. Пои ? ">> ίο ». а ^ л
г ι _ι_α ι αϊ 0и,„„ а>12 " я > О на промежутке
[— 1+Л» 1—я] выполняется оценка
где постоянная ch зависит лишь от <х и п.
Доказательство теоремы. Нам требуется оценить
функцию |/„ (·*)!. что равносильно оценке ^„(О)). Поскольку
функция \fn{x)\ четная, функцию |-Ρ,,(θ)| достаточно оценить
на промежутке [0, π/2]. Рассмотрим два случая.
а) Пусть сначала а!>1/2. Положим
гУ('-1)(°+-Н .
U~ п + 2а ^ 2 ·
2
Тогда sin а ^> —- а —
»/(-4-)(-+4-)
/г + 2а '
и потому λ„ (α) > ί η + а -f -γ | ^- (/г -|- 2а)2 > — /ι2. При а>
^-π- на О, -J-! функция λΠ(θ) не убывает. Поэтому по
лемме 2 промежуток [а, а-\-п\, где /ζ= — (ясно, что 8>—-^L- ,
и потому h > ■."* }, содержит хоть один корень 0^ произ-
водной /^(0), т. е. точку максимума |,Ρη(θ)|. Так как λ„(θ) не
убывает, то по лемме 3 во всех точках максимума 6у-
функции \Fn{B)l принадлежащих [й-|-я, π/2], будет |/νΛ)Ι^
<Ι^\»(Θ*)Ι» так чт0
max \Fa{b)\= max \Fn(B)\.
[0, π/21 10, й+Л]
Но a + h^cjn, где ct = «V (α — 1,2) (α+ 1/2) -f 8. Используя
для 0 £ [0, α + h\ оценки
1У«-->(cosθ) KU^"'"Пен-», ι» «y°+'2
(см. теорему 8, с. 128) и
sin« + i/26 ^ 0α+1''2 < сГ1/2я-(а+1/2),
получаем
max I Fn (θ) | = max | Fn (Θ) [ < <*+ 12c2 = c,
10. π/2] 10, a+h\
и для a^l/2 теорема доказана.
б) Пусть теперь — 1/2 < α < 1/2. Тогда
К (в) > К («/2) >( л + α +1 /2)2 > п2.
133

По некие 2 промежуток [<2-2*/л, *β] содержит хоть один'
корень Г функции F„ (θ) и хоть один корень Θ, ее производ-
Рп (θ). Считая, что θ# —максимальный корень /^(G) на
промежутке и используя лемму 3, имеем
НОИ
этом
max |^(θ)| = |^(0*)
[О, щ2\
Переходя от переменной 0 к переменной х, получаем
тах|/я(*)|==|/л(**)|.
[0,11
где х* = cos θψ £ [0, 2ιγ/λ], причем последний промежуток
содержит также точку л; = cos θ такую, что/„(л) = 0. Очевидно,
что У я а;(лг) =0. Считаем дальше η > 7, так что 2π//ζ <С 2π/7 < 1
(неравенство, указанное в формулировке теоремы, можно,
разумеется, доказывать лишь для достаточно больших п).
Тогда
1/Л*.Ж1 У!Г'(**)1 = 1' « "(*) + (*.-*) μλ"·*'(5)Π =
= μ*-^ΙΙ^'α)ω]Ί·
Здесь ε£[0, 2π//ι]. Отсюда
I/«(**)!<—- max \№а)(х)П
n [0,2κΐη)
Но (см. с. 127)
[/?'я) (*)]' = К/г(« + 2а+1)У»а+1) (х).
Учитывая, что (при п^7) У п(п-\-2а + 1) <2я и что для
параметра α-j-l > 1/2 теорема, а значит, и следствие из нее
уже доказаны, получаем
max |/ία_ΐ'α+Ι)(Λ:)|< max |У&а+1) (х)\ <с3,
хе[0, 2π/Λ] хе[0, 2π/7]
|/»(л:.)К(21с/я)2лСз = с ■
Из доказанной теоремы и теоремы 6 § 3 (см. с. 116)
вытекает следующая теорема.
Теорема 2. Для любого h > 0 на промежутке [— 1+/г,
1 —Л] для функции Лебега ультрасферических многочленов
J{n"a) (α>—-1/2) выполняется оценка
Ln (χ) < с In л (л > 2),
где с зависит лишь от h и а.
Следствие. /fc/ш функция f{x) на промежутке [— 1, 1 ]
удовлетворяет условию Дини — Липшица (f£DL), то ее
134

■ряд Фурье по ультрасферическим многочленам J(*-a) (а - —1/9\
сходится к самой 'этой функции во всех точках открытого
промежутка (—1, 1), причем сходимость равномерна на
каждом промежутке [— 1 + /г, 1 — h\ (/г > 0).
Замечание. Результаты, аналогичные полученным выше
для ультрасферических многочленов, справедливы и для
произвольных многочленов Якоби. Оценка Бернштейна тогда
имеет вид: если α, β^—1/2 и х£ [— 1, 1], то
\(l-xf^>\l+xY* + ^?)(x)\^c,
где постоянная с зависит лишь от α и β. Отсюда, как и в
ультрасферическом случае, немедленно следуют
ограниченность в совокупности многочленов J%'® на любом
промежутке [— l-J-Λ, 1—h\ (Л>0) и оценка функции Лебега
1п{л)^с1пп на этом промежутке. Из последней оценки
немедленно вытекает равномерная сходимость на [— 1 +Λ, 1 —h]
ряда Фурье любой функции, удовлетворяющей условию
Дини — Липшица.
Займемся теперь оценкой функции Лебега ультрасферичес-
ких многочленов J„ в точке х = \.
Лемма 1. Справедливо равенство
S^/.. . ι ι ч\ 1
.где
у Г1· о (χ) = а„?<г ·· -н> (х)+6.71--V·"+" (*), (·)
Доказательство. Для любого полинома Р„_2(л:) степени
л — 2 или ниже
γ_χ (1 - ^)в+1^«+ь «> (х) Р„_2 (*) Лс =
= Jli (1 - ·*)*+1 (1 + -*)Vir+1'α) (■*) 1(1 + *)*V* (x)] rfjc = 0,
поскольку в квадратных скобках стоит полином степени не
выше я — 1. Итак, многочлен J%+l,a) ортогонален с весом
(1—х2) всем многочленам степени η — 2 и ниже и потому
представим в форме (*). Остается лишь вычислить
коэффициенты ап и Ьп. Сравнивая коэффициенты при хп в левой и
правой частях формулы (*), получаем
а„ =
^ η ικη -ι / η + 2а 4- 2
■я £(«+1,а) ^(c+ΐ,α+Ι) Г 2/2 + 2а+3
= 1/-
4/г ч /г
135

Сравнивая коэффициенты при хп~1 и учитывая следствие 2
(см. с. 123), имеем
я~ £-<«+1,«)'2л + 2а+1 £(«+l.«+l) ~ " 2η-f 2α-1-1
Лемма 2. /7/ш α > — 1/2 ве/?«а оценка
где постоянная с зависит лишь от я.
Доказательство. Воспользуемся предыдущей леммой
и оценкой Берн штейна (теорема 1):
ί11(ΐ~<2)ΊΛα+1·β)(0ΙΛ<ί1ι(ΐ-<2)Ί^?,"1,"+1)(01Λ +
Поскольку последний интеграл конечен (а> —1/2 1), лемма
доказана В
Теорема 3. Пусть а > — 1 /2. Для функции Лебега Ln (χ)
ультрасферических многочленов У?'о) справедлива оценка
1/.(1)<слв + 1·2 (я>1),
ecte постоянная с зависит лишь от а.
Доказательство. Как известно (см. с. 114),
Ln о)=5^(1-^1^(^1)1^,
где /Сп (<, 1) = 2Lo ft"'θ) (0 ??'Я) (1)
есть многочлен степени п, причем он может быть представлен?
также по формуле Кристоффеля — Дарбу:
к it η ,Α— ?£#«> fr^O-fr^D AW)
Α„(ί, 1)=Κ*»ι fZT> ·
Из последней формулы сразу же ясно, что многочлен Kn(t, 1)
ортогонален с весом (1 — /)(1— ί*)α всем многочленам степени
не выше η — 1, и потому
Kn(t,\) = cnJ%+ha)(t).
Постоянная сп здесь легко находится из сравнения
коэффициентов при хп:
/2
136

откуда
^(«.β) 7^(a+i.«)
η
Г 2л
2η+2α + 1 */» VU<-^n U/.
итак, /.„αχ^ίΓ'^ίυΙ^ίΐ-^Ί^'^ωι^.
Остается воспользоваться леммой 2 и асимптотическим
равенством
•ч
7/2 1!'~Г(1+а)Л
(см. с. 125) ■
Замечание. Подчеркнем то обстоятельство, что
сформулированная без доказательства в конце предыдущего
параграфа оценка постоянной Лебега, имеющая в ультрасферическом
случае вид
1в<ся-+1-2(а> —1/2, я>1),
не является простым следствием теорем 2 и 3.
Задача 1. Доказать, что
1 ~
J |^?,а)С*) \dx<c
/ 1, если — 1/2 < а < 3/2,
J In η, если а = 3/2,
1ла~321 если а> 3/2·
Указание: при а>3,2 разбить интеграл по схеме
Задача 2. Оценить интеграл (α > — 1/2, μ > — 1)
§ 6. Многочлены Лежандра
Определение. Многочленами Лежандра Xп(х)
называются многочлены, ортогональные с весом р(х) = \ на
промежутке [—1, 1].
Согласно этому определению многочлены Лежандра —
частный случай многочленов Якоби: Хп (х) =/ij0'0)(x). Перечислим
простейшие свойства многочленов Лежандра, которые
получаются из соответствующих свойств общих многочленов Якоби.
1. Многочлены Лежандра могут вычисляться по формуле
Родрига
137

2. Многочлен Лежаидра Х„ (х) со старшим коэффициентом
1 получается при
Нормированный многочлен Лежандра Хп(х) получается при
к — £ .(-iri/ftT+T
Ая —ΛΛ — 2#I/l! |/ 2
3. Многочлены Лежандра связаны рекуррентной формулой
4. Многочлен Лежандра на [—1, 1J достигает
максимального по абсолютной величине значения в точках + 1, причем
(для установления последнего равенства следует обратиться к
доказательству теоремы 5 § 4 (см. с. 125)).
Основ'ной результат, который будет получен в этом
'параграфе, заключается в том, что функция Лебега для многочленов
Лежандра достигает максимального значения в точке *=1. Тем
самым в силу последней теоремы предыдущего параграфа бу-
.дет получена оценка постоянной Лебега для многочленов Ле-
..жандра. Доказательство этого результата 'связано с
рассмотрением рядов Лапласа.
Пусть Ω— сфера (поверхность) с единичным радиусом в
трехмерном пространстве. Точки сферы Ω будем обозначать
через Σ, ξ'; С (Ω)— пространство непрерывных функции,
заданных на Ω. Пусть в нашем трехмерном пространстве выбрана
.декартова система координатору, ζ) с началом в центре сферы Ω.
Если /(а% у, ζ)—непрерывная функция трех переменных, то
можно рассмотреть непрерывную на Ω функцию ίΓ(ξ),
значения которой совпадают со значениями на Ω функции /. В
таком случае мы будем писать (F (ξ)=/(χ, у, ζ). Если рп(х9у9 ζ)
есть полином степени не выше η от трех переменных, то
функцию ^rt(£)==jprt(jcf у, а:) также будем называть полиномом
степени не выше я, и подпространство всех полиномов степени
не выше η обозначим через Ся(2)сС(2). Разумеется, это
подпространство Cn(Q) не зависит от того, каким именно
образом мы выбрали декартову систему координат.
Определение. Пусть 9~ (ξ) £ С (Ω;. Рядом Лапласа
функции £Г (ξ) называется ряд
St
.138

.Здесь γ есть угол между радиус-векторами точек £ и ξ'£-,
направленными из центра сферы, и потому каждый член ря-ча
есть функция точки t£U. Частные суммы этого ряда будем
обозначать через
9
Будем использовать также символ зя<£", понимая под ап
оператор, ставящий в соответствие каждой функции 9~£С(Я)
частную, сумму ее ряда Лапласа.
Пусть в пространстве выбрана система декартовых
координат с началом в центре сферы. Если £==(.*, у, ζ), V = (х'.у\ ζ'),
то cos γ = хх' -\-yyr ~\~ zzr. Если на сфере Q ввести
„географическую" систему координат (φ, θ) (φ£(— τ, κ], θ £ [0, π])
λ: = sin 0 cos φ, ] л:' = sin θ' cos φ', |
у = sin θ sin φ, Ι у = sin θ' sin о', |
2T=rCOsO, J ^' = COS θ', j
то
cos γ = sin 0 sin 6' cos (φ — φ') -f- cos θ cos θ",
dS'= sin V clVdo'.
Отметим теперь основные свойства оператора аа.
1°. Оператор ап линеен. Это свойство очевидно.
2°. Какова бы ни была функция &~£С(Щ, <зп9~ есть поли-
ном степени не выше η {°пЗГ £ С η (-))· Действительно, Xv (cos γ) =
= Χν(χχ'~{-уу'-\-ζζ') есть полином степени ν от переменных
х, у, ζ с коэффициентами, .зависящими от ξ'. Умножая этот
полином на ^"(ί') и интегрируя по 6', мы получаем полином
степени не выше ν от х, _у, ζ.
Зо. Если $*„(S)GCe^). то σΛ = η·
Доказательство этого утверждения начнем с того, что
выберем и зафиксируем произвольную точку ξ0, Β которой
требуется доказать равенство σ„(ίΡη; ?0) = ^rt(Sj). Далее, систему
декартовых координат выберем так, чтобы оказалось £0 =
= (0, 0, 1). Любой полином степени не выше η от трех
переменных может быть представлен как линейная комбинация
/\
полиномов вида х1у*Хк {ζ), где i-\-j -\-k^ti. Поэтому
?п (5) = 2 "ij*QtJ* (*).
0<l+j+k<n
л.
■где Qijk^)=.xiyiXk{z), и нам достаточно доказать равенства
°n{Qijk\ to) = Qijk(Zo) при /-r-/'-f-/e</z.
Переходя к „географическим" координатам и учитывая, что
139

для нашей точки ξ0 θ = 0, а также что V (2ν + 1) 2 = Л\, (1),
получаем
η π τ:
°»(<V. У = -^г 2 *v (1) ί Isini+/H°' C0S'V sin7>'-£A(cosO') x
v=0 -n 0
χ X v (cos Θ') dVdy' — -^z- f cos*<p' sin' φ'ί/φ' X
—π
Χ Vχ4 (1) fsin^41 6^A(cose')>v(cosQ')^'.
ν-0
Рассмотрим теперь три возможных случая.
а) i-\-j нечетно. В этом случае Qifk (ξ0) = 0. Далее,
т. тг
Г cos' φ' sin'* ψ'ίίφ' = Γ sin' ψ cos^ 6 JO = (λ
(Здесь ψ = π/2 — φ', и равенство нулю вызвано тем, что либо/,
либо j нечетно, и тогда под знаком первого или второго
интеграла стоит нечетная функция.) Поэтому ^n(Qij^ £о)=0»
т. е. требуемое равенство доказано.
б) Сумма /+у четна и положительна. Опять Q/ya(£o) = 0·
Если в интеграле но Θ' сделать замену переменной, положив
cos6'=:f, то окажется
п •ч
v=0
2Arv(l)Jsini+^10fA'fc(cose/)^(cose/)rf0,=
ν=ΰ U
1 J±J_
£v(l)j(l-0 2 Xk(t)XAt)dt = Sn(Pn, l)=pn(l) = 0.
Здесь через Sn(pn, χ) обозначена частная сумма ряда Фурье
i+J
—2— Λ
функции рп(х) = (\—х2) Xk(x) по многочленам Лежандра.
Так как /+/ четно, то рп{х) есть многочлен степени
/+/ + /г<;/г, и потому Sn{pn; x)=pn{x). Таким образом, и в
этом случае требуемое равенство получено.
•ч
в) Оба индекса t, j равны нулю, QiJk (ς) = Xk (ζ). Β этом
случае Qijk (ξ0) = Xk (1) и
Π
% (Qijki ад =2 *ν(1) ίsin6'**(cos θ,)*v(cos °'}^θ'=
ν-0 0
=2^·0) j^*(/)A-,(o^=^(i)"
-1
140

Свойства 1° — 3° означают, что оп есть проекционный
оператор, проектирующий C(Q) на Cn(Q).
4°. Для любых функций #", $£C{Q)
J J сн (<F, ξ) 9 (с) dS = J JV (ξ) оя (.?; ξ) rfS.
Это равенство получается немедленно, если в интеграл,
написанный слева, подставить представление σπ(^";ξ) и поменять
местами интегрирования по ξ и £'.
5°. Если Р£С{<1) и ^„GCn(Q)f то
Действительно, в силу свойств 4° и 3°
) J σ« № 5) П (δ) dS = J j 5Г (ξ) σ„ (<7>n; ξ) rf5 = J jV (ξ) <?>„ (ξ) </S.
Ъь Ьь uu
Доказанное свойство означает, что оп есть оператор
ортогонального в L2(Q) проектирования.
6°. Пусть/(г) — непрерывная на [—1, 1] функция, #"(*) =
= / (ζ). Тогда оп (ЗГ; ξ) =ρη (ζ), где рп (z) = Sn (/; ζ) — частная
сумма ряда Фурье функции / по многочленам Лежандра.
Доказательство. Заметим прежде всего, что
°^)=^l/2-^Jj/(coSe<)x
Χ X, [V\— Zl Sin 0' COS (φ — φ') + Ζ COS θ') ί/θ'ύίφ' =
=-^;£1^|/(-е'
)Χ
π
•4
Χ \ Χ ν (|Λ — ζ2 sin 0' sin ψ + ζ cos W) сГфсГО',
где ψ = π/2 + φ/ — φ. Поскольку при интегрировании по ψ все
нечетные степени аргумента |/ 1 — z2 sin θ' sin ψ пропадут, ясно,
что ση(5Γ; £)=/?„ (ζ), где/?,г(г)— некоторый полином степени
не выше п. Возьмем произвольный полином qn (z) степени
не выше я, положим Qn{l) — qn(z) и вычислим, используя 5°,
$(f(z)-Pni*))9ni*)d* =
-к
= Г (/(COS θ') —/?„ (COS б')) ?n (COS θ7) Sin θ' ί/θ,=
ο
= -£rf(V (*)-«,,(£-; 5))Q„(5)<*S=0.
141

Поскольку равенство Г (f(z) — рп (z)) qn{ζ)dz = 0 выполнено
-1
для любого полинома qn(z) степени не выше п, /?п(г)=;
= $«(/; *) ■
Определим теперь функцию Лебега для ряда Лапласа.
Определение. Функцией Лебега для ряда Лапласа
называется функция ϋ?η(£)> значение котором в точке ς есть,
норма линейного функционала зя(·; ξ), действующего в
пространстве с (ί3): <?„(*) = ! «Л·; 6)1.
Поскольку
°л(^; 5) = j[ S^') f JL V] У^±1х, (cos ΤΛ rfS',
ν^υ
το se,{i) = \o,(.; ?)|=4-jj
i^
+ 1£,(cosT)
v=0
dS'.
7°. Для любой точки £0£^ выполняется равенство
где !„(.*) — функция Лебега для многочленов Лежандра.
Доказательство. Выберем декартову систему
координат так, что |0=(0, 0, 1). Тогда
η
V£v(l)£v(cosG')
= f sin 6'
о
1
сГУ =
D-0
fl?0' =
2*„(1)A\(*)
v=M)
Λ = ^»(1)·
Теорема 1. Пусть Ln{x)~ функция, a Ln—постоянная
Лебега для многочленов Лежандра. Тогда
Ln= max L„(x)=^Ln(\).
[-1. 1]
Доказательство. Заметим, что равенство Ln = max Ln(x)
отмечалось ранее для любых ортогональных многочленов,
так что доказательству подлежит лишь неравенство Ln(z)^.
^Ln{\) (z£[— 1, 1]). Пусть /£С([ — 1, 1]) —произвольная
непрерывная функция. Положим &~(Ъ) = / (ζ). Тогда #~£С(Й)
» l^~l\c(H) — lfic(\-i. id· Ec'™ выбрать точку (*, .у, z) = ££<->>
то по свойствам 6° и 7°
142

Таким образом, для любой функции f£C(\ \ пч
ется неравенство \Sn(f- z)|</ m!i;t (^ ' 11) выполня-
= |5Я(·; 2)|<1„(1)И n(1)i/tt^t-iri])1 " "отому Ln (г)=-
Как 'непосредственное следствие этой теоремы и теоремы Ί
предыдущего параграфа (см. с. 136), получается следуют/
утверждение. д· Щ1>
Теорема 2. Для постоянной Лебега многочленов Лежанд-
ра выполняется оценка 1п^с\гп (п^\).
Следствие. Если функция f (х) на [—1, 1]
удовлетворяет условию Липшица с показателем α > 1'2 (/б//1**),
то- она разлагается в равномерно сходящийся на [—1, 1]
ряд Фурье по многочленам Лежанора.
Задача 1. Показать, что среди всех многочленов степени и со
старшим коэффициентом 1 минимальную норму в пространстве Ь-2([— 1, 1])
имеет многочлен Лежандра Хп (jc\
3 а д а ч а 2. Уточнить при ρ = 2 утверждение теоремы 2 §5 гл. 3·
(см. с. 98), показав, что для промежутка [—1, 1] выполняется равенство
η
3 а д а ч а 3. Построив аналог ряда Лапласа для единичной сферы в
т-мерном пространстве, доказать, что функция Лебега ультрасферических
многочленов J{*' α^ при а=(т — 3)/2 достигает максимального значения
при х= 1.
§ 7. Многочлены Чебышева
Напомним, что многочлены Чебышева были ранее (см. с. 29)
определены как
Тп (х) = cos (n arccos x).
Оказывается, они обладают также некоторым свойством
ортогональности.
Теорема 1. Многочлены Чебышева ортогональны на про-
межутке [— 1, 1] с весом р(х)= 1/|/1 — х1.
Доказательство. Делая подстановку x = cos6,
получаем
1 π
( Тп (х) Tm (x) dx = \ cos nb cos /τιΟί/Ο =
J M-^2 J
-1 0
- f О, если тФп^
IP
= "ΊΓ \ cos Λ^ cos m^ == '
π/2, если т = п > 1,
*г, если /72 = /z = Ol
Таким образом, многочлены Чебышева также представляют
собой частный случай многочленов Якоби при α = β = —1/2:
143

■γ (χ) = β-12· _1/2)(χ). Заметим, что при доказательстве
теоремы 1 попутно было выяснено, что нормированные
многочлены Чебышева представляются формулами
7*0(х) = 1.УЧ Тп(х) = νΛ2.πcos (яarccosχ) (я>1).
Наша главная цель — оценить постоянную Лебега для
многочленов Чебышева.
Лемма. При натуральном η ^ 2 выполняется неравенство
г|2
sin(2«+ \)t
sin /
fltf<
2 + In л
Доказательство. Представим интеграл /в виде суммы
/ = /1-f-/2, где /3 — интеграл по промежутку [0, π/(4/ζ-}-2)],
а /2 — по [~(4я-}-2), π/2]. Тогда, используя неравенство
! sin (2/i-f 1) f | < (2л + 1) | sin < |,
имеем
'■-* )
т.Ц4п+2)
1 С I sin (2/1 + 1)/
.sin t
=/(4я+2)
<#<4" f (2л +1)^ = 4
о о
Используя оценки.| sin (2/г -}- 1)-£ | ^ 1 н | sin t | ^> 2£/-, получаем
ΙΓ,'2 - 2
-^ !
sin (2и + 1) /
sin /
Λ<-^
Ι Γ (It
'2 ) *
π.'(4/ι+2)
<(4η+2)
= _1in (2λ-f-1 )<4"1η (**) = 4"^ + Ιπ η^'
Сложив полученные оценки для 1г и /2, придем к требуемой ■
Теорема 2. Для постоянной Лебега многочленов
Чебышева при /г!>2 выполняется оценка Ln^2 -\-\nn.
Доказательство. Нам достаточно убедиться, что для
любого χ£[— 1,1] будет Ln(л')<2+-In и. Полагая * = cos£
и делая в интеграле замену переменной i = cosT, получаем
ι
1
-1 I Л-0
-1
π ι
di
ί/τ.
= — I 1+2 \ cos k- cos k\
ο Ι *=ι ι
Воспользуемся тем, что подынтегральная функция четная по ~»
и формулой
2 cos k~ cos k\ = cos ^ (" -f- ζ) + cos k (- — ξ).
144

Тогда получим
к ι η η
L„W = ^r Π 1 + 2 cos * <τ + E> + 2 C0Sk {~' ~ ξ)
ft=l
ft=l
dz<
τ. ι Л
<-sr J 4-+200δΑ(τ+ξ)
—τ.
Л=1
η
d--\-
+ 1Ё- Πτ + ΪΙ008*^-^
-г I /г=1
Л =51.
Сделаем в первом интеграле замену переменной τ-}-ξ = φ,
а во втором τ — * = φ и учтем, что подынтегральные
функции 2т>периодические:
По
Г- I II
21=4- гU-+2cos^?
-π I /г — 1
ί/τ.
Π Π
=*Re
gi (л + l) ? _ ]
έ?/? — 1
sin
2/г + 1
2 sin JL
2
и потому
π
-, 2/z + l
Sill ! φ
2___
sin -I-
2
i:/2
0
sin (2/ΐ + Щ
sin ί
£#<2-Нпя,
причем последнее неравенство следует из леммы ■
Доказанная теорема, в частности, означает, что частные
суммы ряда Фурье по многочленам Чсбышсва — это хороший
аппарат приближения непрерывных функции. Действительно,
из оценки
if-SJlc < (1 + Ln) En (/)< (3 + In n) En (/)
видно, что при не слишком больших /г эти суммы доставляют
функции приближение, лишь в несколько раз большее
наилучшего. Ряды Фурье по многочленам Чебышева сходятся для
очень широкого класса функций.
Следствие. Если функция f{x) на промежутке [ — 1, 1]
удовлетворяет условию Дини — Липшица, то ее ряд Фурье
по многочленам Чебышева сходится к ней самой равномерно
на всем промежутке [—1, 1].
145

В заключение параграфа заметим, что многочлены Якоб»
j(1/2,1/2) (χ^ также могут быть выражены через тригонометрии
чёские функции. Действительно, по, теореме 6 § 4 (см. с. 125),
J Г' т(х) =-- ТГРТ ί 7^/2' ~1/2 W1'= 2"До Г;+1 W =
__ 1 sin (n -+- 1) arccos л: 1 sin (η + 1) θ
— IF γ ι _Χ2 ~Ίρ ϋΠΓδ »
где θ = arccos χ. Эти многочлены называются многочленами-
Чебышева второго рода. Напомним, что о них упоминалось
в задаче к § 6 гл. 1.
§ 8. Об η -поперечниках множеств
в гильбертовом пространстве
В этом -параграфе доказывается одна общая теорема об-
я-поперечниках некоторых множеств в гильбертовом
пространстве. Далее устанавливается, что в пространстве L2([aJ Ь])
последовательность подпространств «полиномов экстремальна по·
порядку для ряда классов функций.
При изложении общей теоремы будут использованы
некоторые известные свойства симметричных вполне непрерывных
операторов в гильбертовом пространстве Н. Напомним
эти'свойства (доказательства см., например, в [8, гл. IX]).
Итачк, пусть А — симметричный вполне непрерывный
оператор. Его ненулевые собственные числа могут быть
перенумерованы в порядке убывания абсолютных величин:
\\\>\h\>\h\> ...
Все эти собственные числа вещественны и имеют конечную-
кратность, и в написанной цепочке неравенств каждому из них
присвоено столько номеров, какова его кратность. Если число^
ненулевых собственных чисел оператора Л бесконечно, то
K^Jb Если число N отличных от нуля собственных чисел
оператора конечно, то 0 есть собственное число бесконечной
кратности, и мы будем считать, что λη = 0 при η>Ν. Собственные
векторы φι, φ2, <рз, · -., соответствующие собственным числам;
λι, а2, ^з ..., можно выбрать так, что {φ&} есть ортонормальная
система. В дальнейшем всегда будем считать собственные
числа оператора А перенумерованными в порядке убывания
абсолютных величин, а систему собственных векторов ортонормаль-
ной. Тогда для любого f£ H справедливо равенство
со
/г=1
Заметим, что (/, <?k) = ak — коэффициенты Фурье элемента /'
относительно ортонормальной системы {φΛ}, и если эта система*
146

полна (это так, если 0 не есть собственное число оператора А)
то сам элемент/ представим в виде '*
00
/= 2 ^ φ^φ*·
ft-1
Обозначим через Μ множество элементов g пространства
Я, представимых в виде g = Af, где ||/|^/С:
•M = [g\g£H, g = Af, [/КAT).
Теорема 1. Справедливо равенство
Экстремальным подпространством для Μ является
подпространство Фп С //, натянутое на собственные векторы
?ι» ?2» · · · > Τη оператора А.
Доказательство теоремы сводится к установлению
двух неравенств, а именно неравенства &Ф (М)-</С| λη+11
и неравенства dn(M)^K\K+i\'
1) Покажем, что <§\г> {Μ)<ζ.Κ\Κ+\\· Пусть g£M, т. е.
η
со
гДе 1/1-С ^. По теореме Теплера (см. с. 102)
^Фя(я)=(вг1.2-2^ **>
ί:
со /ζ
/ со \ 1/2 / со \1/2
\ίι=Λ+1 / \ft=n+l
oo
По неравенству Бесселя V (/, φ*)2<|!/||2<ΑΛ
Поэтому Εφ (g)^CK\K+i\> и так как £— произвольный
элемент множества М, то ^Φη(Μ)^.Κ\Κ+ι\·
2) Перейдем к доказательству неравенства dn(M)^>К\Κ+ι\-
Пусть Нп — произвольное /г-мерное подпространство
пространства Η и (4>lf ψ2, ... , ψπ) — его ортонормальный базис.
Система η линейных однородных уравнений с (п-{-\)
неизвестными {aj
αΐΜψΐ> φχ)+α2λ2(ψΐ. %)+··■ + а,нА+1 (ψΐ, <Pn*l)=0>
«1λ1 (ψ2, Φΐ) + «2λ2 (<|>2. Ъ) + · · · + «β+Λ+1 (Ψ2, Тл+l) = 0' (*)
«ιΜΨη* ψΟ + ^ΜΨη. <Рг) + · · · + «,ηΛ+ι (Ψη. 'fn+i)^0

заведомо имеет ненулевое решение а|, а.'2, ..., а'п+1, которое
будем считать нормированным таким образом, что ^п+1а'*=К'г.
Положим / = 2Γ+1 α'Ϋί· Ясно, что \f\ = K, и потому элемент
g = A/ = ^in+lailifi принадлежит множеству Ж. Числа а-
удовлетворяют системе уравнений (*); это означает, что (g, ψΑ) = 0
при Л = 1, 2, ... , η и
(я \1.2 /я+1 \1/2
/η+1 \Ι,·2
>iw]f2<] =1^11/с.
Отсюда немедленно следует, что %Ήη(Μ)^ΕΗη№)^>Κ\Ιη+1\,
и ввиду прэизвэльности ядерного подпространства Нп
dn{M)>K\K*\m
Покажем теперь, что последовательность подпространств
полиномов является экстремальной по порядку для некоторых
классов функций в пространстве ί.2([α, b\). Будем обозначать
через L[m)([a, b\) (или просто /Jm)) подмножество L2{[a, b])y
состоящее из т — 1 раз непрерывно дифференцируемых
функций f(x), у которых почти везде существует производная
порядка т fm)(x), причем /(от) €Z,2([a, b\) и
flm'" (χ) =/—>> (а) + ff{m) (t) dt.
a
Через KL{m) будем обозначать подмножество тех функций
из fA'"\ для которых tf{m)l, ^K. Обозначим через &п
подпространство пространства L·, состоящее из многочленов степени
не выше п.
Теорема 2. Справедлива оценка
Доказательство проведем для промежутка [—1, 1].
Пусть f£KL2m), Из теоремы Теплера и полноты системы
многочленов сразу же следует, что
(\п \1/2 / со \1.'2
ая-2 4 Η Σα1
ft-0 / \ft-n+l
где ak= §f(t)A'k(t)dt
148
-ι

— коэффициенты Фурье функции /относительно системы
многочленов Лежандра. Вспомним правила дифференцирования
многочленов Якоби (см. с. 127):
^^-7ikl(1-/2)il-il(/JJ'·
О -OflU1 (t)=-T=Jww [(i - ч" jf_? (or.
и будем вычислять ak /ю-кратным интегрированием по частям.
Тогда получим
_ 1 ι
k ~" /k(k+ 1) * V{k- \){k +2)
1 Λ — l/<*-**)I ,
/1А-1и+1)(й + т) A_m ' {k + m)\ k~m>
ι
где b^.m = f /(m) (0 (1 - i«)m / Ы) (0 dt
-1
— коэффициенты Фурье функции /{т) относительно системы
многочленов Якоби [jim'm)}. Итак,
(со \ № ί со \ 1/2
Но по неравенству Бесселя
со 1 1
2 rf-»< j(i~^[/(ffl)(o]2^< }i/lra,w]2^<^
и потому t9n(/)< у (n + 1+m),/t
Поскольку /—произвольная функция класса KL\ , то
Из доказанной теоремы вытекает очевидное следствие.
Следствие. Справедлива оценка
^jKUmi)<cm(^.)mJ^w (я>ш-1).
где ст — постоянная, зависящая лишь от т.
но

Замечание. Утверждение теоремы 2 допускает
некоторое усиление. Именно, если обозначить через К&\Г] класс
т— 1 раз непрерывно дифференцируемых на (— 1, -f-1)
функций /, для которых
/<'*-'> (χ) =/<—«(0) + j/im) (t) dt
О
и |(1-г2)от[/(ст)(')]2^</С2,
—ι
то ясно, что KS?^ 3 KL{2m\ и в то же время из
доказательства теоремы можно усмотреть*), что
Теорема 3. Для класса KL^ справедлива оценка
dn+x (KUm)) > (—^j (п + 2)'" ·
Доказательство. Система функций
^ (*) = Vjhl sin ** ΊΓΓΤ
представляет из себя полную ортонормальную систему в
пространстве L>. Поэтому любая функция f£L2 иредставима
в виде сходящегося (в L2) ряда Фурье по этой системе:
/=:£>** 2Γ.,«4-ι/ΙΙ.
Введем в рассмотрение оператор А, который функции / =
= V _ ahvk ставит в соответствие функцию
00
Очевидно, что оператор А симметричен и вполне непрерывен,
причем vk являются его собственными функциями,
соответствующими собственным числам λΛ = [—^—) , и других
собственных чисел и функций оператор А не имеет. Рассмотрим
множество
M = {g\g£L2, g = Af, |i/|' <К}.
*> Некоторого обоснования при доказательстве формулируемого
утверждения потребует интегрирование по частям. Останавливаться на этом мы
не будем.
150

Согласно теореме 1
Покажем теперь, что MczKL1^. Действительно, если g£M,
то это означает, что
g =
со
2
•а\т
Tlk
akvk, где
со
al^K2.
&т) (*) =
Л=1 k^l
Дифференцируя функцию g m раз, получаем
со
(- ι У ^ й* Υτ=τsin (** т=£) '
если /и четно (m = 2v)f
со
(- υν ^ л* "|/т=тcos (кЛ т^)·
если т нечетно (/w = 2v-f- 1).
Написанные здесь ряды сходятся но меньшей мере в
среднем, так как У.",,^ < + «>, а {Ϋ-~- вш (*Л Т=т)}
11 у />— cos(r^ aZ° )1—ортонормальные системы в L·.
Поэтому почленное дифференцирование ряда, представляюще-
го функцию g, было законным, и g(m '. При этом
и потому g^KL-f0. Итак, мы показали, что Μ<Ζ/(0"ι).
Следовательно,
*м (К1Г)><1М1 (Af) = (i^5-)" Κ7Γ^τ·
Из теоремы 2 (точнее, из ее следствия) и теоремы 3 сразу
же вытекает теперь следующая теорема.
Теорема 4. Последовательность подпространств
полиномов \&п) в пространстве L2 является экстремальной по
порядку, для классов KL^.
Задача. Доказать, что
(см. замечание к теореме 2).

Глава 5
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
§ 1. Общие вопросы интерполяции
Напомним некоторые известные факты теории интерполяции.
Пусть на промежутке [а, Ь] задана непрерывная функция
/(х) и даны различные точки хи хъ ... , хп этого
промежутка, называемые узлами интерполяции. Тогда существует
единственный полином Pn-i(x) степени не выше η — 1 такой, что»
Pn-i (*/) =/(·*<) (* = 1. 2, ... , /ζ).
Этот полином называется интерполяционным полиномом
функции f{x) и может быть записан в форме Лагранжа:
η η
V4 ω (Χ) V^
ft-1 ft-1
где ω (χ) = (χ — χχ) (χ — χ->) ... (χ — χη). Многочлены
ν (χ)
Ш
(Χ — Xk) ω' (Xk)
степени η—1 называются многочленами влияния Лагранжа*
Они удовлетворяют равенствам
/*<*,)=('· еслиг=*·
\ 0, если ι ψ= k,
и зависят лишь от заданных узлов xh но не от
интерполируемой функции.
Если функция f(x) на [a, b] n раз непрерывно
дифференцируема, то остаток интерполирования f(x)—Ρη-ι(χ) может
быть представлен в форме
152

где ξ — некоторая точка промежутка (а, Ь). Эта формула
иногда позволяет оценить отклонение интерполяционного полшгама·.
от интерполируемой функции.
В этой главе интерполяция будет -интересовать нас главным
образом как один из способов построения многочлена,
приближающего функцию на данном отрезке. Наибольшее внимание-
будет уделено вопросам сходимости интерполяционных
полиномов к приближаемой функции. При этом, конечно, нужно
считать, что число узлов интерполяции стремится к бесконечности.
Определение. Будем говорить, что на промежутке [а, Ь]:
задан интерполяционный процесс, если дана бесконечная
треугольная матрица узлов
(*)
*«>
А'<2>
Af>
jej")
Af>
Af>
χ(3)
-v3
• · ·
η
такая, что в каждой ее строке расположены различные точки
промежутка [а, Ь]: λ-(λ)£[#, b\ (i=l, 2, ..., я), аЧл> Φ а-]">,.
если Ίφ].
Взяв элементы я-й строки этой матрицы в качестве узлов
интерполяции, для каждой непрерывной функции f {х) мы»
сможем построить ее интерполяционный полином
Qnif; *) = 2#WWn)),
k-l
/1Я) (■*) =
o)nU)
(*-*Ια))"'η№α))
, ω„(Λ:) = Π [x-xWl
й=1
Подчеркнем, что Q„(/; x) есть многочлен степени не выше
η — 1.
Будем говорить, что интерполяционный процесс сходится
для функции / в точке х(*[а, b]f если Qn(f; x)~^^f{x)*
Будем говорить, что интерполяционный процесс для функции-
/сходится равномерно, если многочлены Qn{f\x) сходятся·,
к f(x) равномерно на [я, Ь].
Теорема (Фабер). Не существует такой треугольной
матрицы узлов, чтобы соответствующий ей интерполяционный процесс
сходился равномерно для любой непрерывной функции.
Эта теорема будет доказана позднее (см. § 2 гл. 6) как
следствие теоремы Лозинского — Харшиладзе. Вместе с тем верна
следующая теорема.
Теорема 1 (Марципкевич). Для любой непрерывной на
[а, Ь] функции f найдется такая матрица узлов, что соответст-
153

вующий ей интерполяционный процесс для функции f сходится
равномерно.
Доказательство. Пусть {РЛ(д:)} — последовательность
полиномов наилучшего приближения функции /. По теореме
■о чебышевском альтернансе (см. с. 25) при каждом η найдутся
такие точки (α<):1<ζ2<... < ζη^ «6), что \/(^)—Рп^ (ζ,)| =
= En^(f) и разность f(z)— Pn_x{z) при переходе от zt к г/+1
■меняет знак. Из последнего обстоятельства следует, что при
каждом i=l9 2, .. . , η найдется такая точка x\n)£(zh zM)9
для которой Ял_1 (*!я))=/(*/л)). Эти точки х\п) мы и возьмем
в качестве элементов az-й строки матрицы узлов. Тогда
Qn (/; х) — Р/1-1 (■*)> и остается заметить, что Рп{х), будучи
лолиномами наилучшего приближения /, сходятся к f{x)
равномерно на [β, b\ ш
Как и в теории рядов Фурье по ортогональным
многочленам при исследовании сходимости интерполяционных процессов
существенную роль играют функции и постоянные Лебега.
-Строка с номером /г матрицы (*) задает некоторый оператор,
действующий в пространстве С([а, Ь]), который каждой
непрерывной функции / ста»вит в соответствие се интерполяционный
лолшюм Qn(f; х)· Обозначать этот оператор мы будем уже
введенным символом Qn- Тогда Qnf—интерполяционный полином
функции /, рассматриваемый как элемент пространства
С([а, b]). Оператор Qn очевидно линеен и обладает тем
свойством, что если / есть многочлен степени не выше η—1, то Qnf = f-
Если мы зафиксируем точку χ ζ[α, b\ в которой вычисляются
значения интерполяционных многочленов, то получим
линейный функционал, заданный в пространстве С: Qn( ■; х).
Определение. Функцией Лебега с номером η
интерполяционного процесса (*) называется функция λη(χ), заданная на
[а, Ь], значение которой в точке χ есть норма функционала в
пространстве С([а, Ь\), ставящего в соответствие каждой
непрерывной функции f значение ее интерполяционного
многочлена в точке х:
M*)=IQ-(·; *)l·
Постоянной Лебега λ?ι называется норма оператора Qn в
пространстве С([а, Ь]), который каждой непрерывной функции
ставит в соответствие ее интерполяционный многочлен:
K = lQnl
Из определения немедленно следует, что для любой
функции / £ С выполняются неравенства
IQ„(/; *)ΚΜ*)ΙΛ: (*GI«. ь\).
\\Qnf\c<K\\f>c>
154

Нетрудно найти явное выражение >.„(*) и λ„ через узлы
интерполяции х.\"\ Действительно, из интерполяционной формулы
Лагранжа следует, что
\QAf; 3Ki/fc2lff»wl. lQ»(': *)\<Σ№№\-
ft—1 fc=l
В то же время, если построить непрерывную функцию f(x)
так, что/(x(ftn))= sign/л°(*) и для всех χ £ [a, b) |/(x)|< 1, то
Щ. = 1 и 0„(Α*)=ΣΙ4"4*)Ι, откуда lQ„(·; x)\>
> V | Д»' £) |. Итак,
Л—1
/Ζ Л
ωΛ (Χ)
*-1 Л-1
(Л-4я))»;(4я))
Из этой формулы, в частности, видна непрерывность функции
^п(х). Из неравенства \Qn{f\ *)\^K{x)\f\c сразу же следует,
что
>.я = 1<Ы<тахЬя(*).
Л"
Если л;— та точка, для которой шах лл(л;) = ).„(*), то для
указанной выше функции / д
IQn/ic >Qn{f\x) = К[х) = maxλ„(χ)·||/fc,
■откуда вытекает, что
λ„= max Xn(x).
a<x<b
Вполне аналогична доказанной ранее теореме о сходимости
рядов Фурье по ортогональным многочленам (см. с. 114)
следующая теорема.
Теорема 2. Если для функции f в некоторой точке χ
выполняется соотношение
Д.-1 (/)*«£)-* О,
то интерполяционный процесс для функции f сходится
в точке х. Если же
£„-!(/)>■„-* О,
то интерполяционный процесс сходится для f равномерно.
Доказательство. Пусть \Рп\ — последовательность по-
155

линомов наилучшего при ближения функции /. Учитывая, что^
Qn (Ρη-ύ х) = ЯЛ_, (х), получаем
ι/ га - q„ (/; ^) ι < ι/ га -jp«-i га ι+1 q« (λ^*) -
- Qn (/; -*) I = I/W - Λ.-1 ra I +1 Qn (Pn-i-A χ) I <
< lf-Pn-Лс + λ« W»/- ^«-ilc =0 +*» W) ^-1 (A
откуда и следует первое утверждение теоремы. В приведенной
выше цепочке неравенств точку χ можно было считать
'произвольной. Поэтому для любой точки χ
!/И - Qn (/; χ)\< (ι + Κ (χ)) Еп-, (/) < 0 + К) Еп.х (/),
и потому
|/-Q„/?C<(1+ >.„)£.-!(/).
Этим доказано и второе утверждение ■
Заметим, что полученные при доказательстве оценки
/(*)-Qn(/;*)l<(l4^(*))/vi(/) и ||/-Qn/',c<(i+>vI)^-i(/>'
интересны и сами по себе, так как позволяют судить о
быстроте сходимости интерполяционных многочленов к функции.
Первая из этих оценок позволяет, в частности, заключить, что
если \%{х) En-i(f) равномерно стремится к нулю на
некотором промежутке [α^^] С [а, Ь], то интерполяционные
полиномы Qn{f\ х) сходятся к f(x) равномерно на \а{, Ь{].
Помимо вопросов сходимости функция и постоянная
Лебега связаны еще с одним вопросом теории интерполяции.
Допустим, что значения функции f(x) в узлах интерполяции
х\^ вычислены не точно, а с некоторыми погрешностями гк>
про которые нам известно лишь, что |^|^Ξ· Пусть Q„(/; x) —
построенный по этим значениям интерполяционный полином:
On (/; χ) = 2 № <*) (/ №я)) +ε*)·
Требуется оценить отклонение этого полинома от истинного
интерполяционного. Поскольку
Q«(/; *)-Q„(/; *) = 2/Ϊ0 (*) **.
ft-l
из полученной выше формулы для функции Лебега
непосредственно следует, что
I On (/; χ) - Qn (/; χ) Ι <λβ (χ) ε, || qj- QJ)c < te,
причем эти оценки обращаются в равенства при некоторых
наборах ошибок ел таких, что 1елК^е. Таким образом, функция в
156

постоянная Лебега позволяют, в частности, судить о влиянии
на 'интерполяционный многочлен ошибок округления,
допущенных в значениях функции.
Задача 1. Показать, что >„(.*) >1 во всех точках х. причем при
п> ό знак равенства достигается здесь лишь в узлах интерполяции.
Задача 2. Используя интерполяционную формулу Лагранжа. доказать,
■что если все корни многочлена Рп(х) степени η (η> 2) различны и сугь
-*ь Х2 ■*„, то
» 1
-гг. = 0.
V
§ 2. Интерполяционный процесс
по корням ортогональных многочленов
В этом параграфе будет рассмотрен тот случай, когда
в качестве узлов интерполяции берутся корни многочленов,
ортогональных на промежутке [а, Ь) с некоторым весом р(х).
Итак, пусть ρ {χ) — весовая функция, заданная на [at b\t
и {©„(л:)}—соответствующая ей система ортогональных
многочленов. Напомним, что корни каждого многочлена <*>п(х)
вещественны, различны и принадлежат промежутку (а, Ь).
Будем считать, что xj?*—корни многочлена шл (х): о>пГл-£")==0
{6 = 1, 2, ..., я). кТогда в представлении многочленов
влияния Лагранжа
* 1,~ (—4"')% (4"')
<ап (х) и есть п-й ортогональный многочлен, соответствующий
весу р(х). То обстоятельство, что его старший коэффициент
может быть отличен от единицы, несущественно, поскольку
умножение «>„(*) на постоянный множитель приводит к
умножению на него и числителя и знаменателя в выражении для
/Цй)(*).
Лемма I. Полиномы, влияния Лагранжа ΐί!ι) (х) и ljn){x)
при k=^=j ортогональны с весом ρ (χ).
Доказательство. По определению полиномов влияния
\p{x)l{kn){x)lf{x)dx--
а
b
■J ρ(*)ο>η(χ)
о>п(х)
dx.
-: (4n') <·>; (4ч) j "w nK' [χ-4n)) ι* -4"')
Но последний интеграл есть 0, так как - тггт^ ~~\—
\х-хЧ?)\х-ху)-
многочлен степени п — 2 (χ№ и хКп)— корни о>„!), а о>„(л')
ортогонален с весом ρ (χ) всем многочленам степени не выше
п— 1 ■
157

Лемма 2. Справедливо равенство
η b b
2 J Ρ Μ W (χ)]2<*Χ = J Ρ (χ) dx·
ft=l α ο
Доказательство. Построив интерполяционный
многочлен для функции, тождественно равной единице, получим,
равенство
Возведем это равенство в квадрат, умножим на р(х) и
-проинтегрируем по [а, Ь]. В силу леммы 1 интегралы от удвоенных
произведений, полученных при возведении левой части в
квадрат, обратятся в нуль, и мы придем к требуемому равенству ■
Интерполяционный полином Qnf функции / можно,
разумеется, рассматривать не только как элемент пространства
С ({а, #]), но и как элемент пространства LP(X).
Лемма 3. Справедливо неравенство
Ш\* <\/\p(x)dx\\f\\c.
Доказательство. Возводя в квадрат равенство
Qnif; *) = УЛЯ)<*)/(4Я))
fe=l
и интегрируя результат по [а, Ь\ с весом ρ (χ), в силу лемм 1
и 2 получаем
yQ„/f2 = у (/ (4"»))2 Г p(x) [tf> (*)]»**<
/г—1 а
<»/1'с 2 \Р{*) [lP(x)]2d* = \р{х) dx-»ffc ш
ft=l a a
Теорема 1. Для любой непрерывной функции f(x) ее
интерполяционные многочлены Qnf сходятся к ней самой
в среднем с весом р(х) (т.е. в метрике пространства L%w).
Доказательство. Пусть [Рп\—последовательность
полиномов наилучшего приближения функции /. Используя
тождество
f-Qnf = (f-Pn-i)+Qn{Pn-i-n
158

и неравенства
Lp{x)
\\Qn{Pn-i~f)U <V \pWx\PH-i-f\
С
a
(первое из них очевидно, а второе верно по лемме 3),
получаем
\f-Qnfi 2 <2l/ \p{x)dx\f~Pn^c=,
r-τ
= 2]/ {/>(*)<** £„-ι(/)"
Замечание. Утверждение леммы 3 означает, что Qn^
рассматриваемые как операторы из С в /,£(*), ограничены в
совокупности. Поэтому доказанная теорема может быть получена
ссылкой на теорему Банаха—Штейнхауса, которая позволяет
установить сильную сходимость операторов Qn к оператору
о
вложен-ия из С в LpM (приведенное выше доказательство в
сущности повторяет соответствующую часть доказательства
теоремы Банаха—Штейнхауса). Однако оценка
I/- Qnf} 2 < 2 l/ f ρ (χ) dx En.x (/),
полученная при доказательстве, может представлять интерес
сама по себе, так как она характеризует быстроту сходимости.
Докажем теперь две теоремы, аналогичные теоремам § 3
гл. 4, в которых даются оценки постоянных и функций Лебега
рассматриваемого интерполяционного процесса.'
Теорема 2. Если для весовой функции р(х) на [at b]
выполнено неравенство ρ (χ) ^ т > 0, то
Υ
b
б
К<с{п — \)ь где с = -ш/ m{b_a) j* p{x)dx (я>2).
а
Доказательство. Напомним, что для любого полинома
Рп{х) степени не выше η (я^>1) выполняется неравенство
i^fc<]/^"i^4
159-

■<см. с. 98). Применяя это неравенство к Q„/ и учитывая, что!
для любой функции g при сделанных предположениях
У Ш Lp (л)
1st <
получаем
« \ Л)
Из леммы 3 теперь следует, что
! QJk < V?nF=^ (« - 1) |/ j Ρ (·ν) dx |/lc. - с (я -1) |/t.
Поскольку в этом неравенстве непрерывная функция /
произвольна, теорема доказана В
Следствие. В условиях доказанной теоремы
интерполяционный процесс равномерно сходится для любой непрерывно
дифференцируемой фун кц и и.
Доказательство. Для непрерывно дифференцируемой
функции / Е„(/)п -*■ О (см. лемму 2 на с. 84), и в силу
доказанной теоремы K^n-iif) -»-0. Равномерная сходимость
следует теперь из теоремы 2 предыдущего параграфа ■
Вспомним введенное в § 3 гл. 4 обозначение
Аа(х) = max \vk(x)\.
0<.k<n
Теорема 3. Для функции, Лебега рассматриваемого
интерполяционного процесса справедливо неравенство
К (л-) < |/ j ρ {х) dx Λ„_, (χ) ΥΤι.
a
Доказательство. Взяв произвольную непрерывную
функцию /, разложим многочлен Qnf по ортогональным
многочленам
где ck — коэффициенты Фурье Qnf относительно системы {ωΛ};
ясно, что
Применяя неравенство Буняковского и лемму 3, получаем
ι Qn (/; χ) ι=ι ΣΓ-ο с л (χ) ι < v^a κς::;ι^η)2 <
<\QnfU K-MVn<\/ \P{x)dxAn_x{x)Vn\f\c.
ρ{χ) γ i
Ввиду произвольности / теорема доказана ■
160

Как и в предыдущей главе, положим
Ап = шах Ап(х) = max КL.
[а,Ь\ 0*ζΙι<ηη "'
Следствие. Для постоянной Лебега рассматриваемого
интерполяционного процесса справедлива оценка
гъ
К<у [p{x)dx Αη.λΥη.
а
Это следствие позволяет, используя теорему 8 § 4 гл. 4
(см. с. 128), получить оценку постоянной Лебега
интерполяционного процесса по корням многочленов Якоби.
Теорема 4. Пусть о = max (а, ?)> — 1/2. Тогда для
постоянной Лебега интерполяционного процесса по корням
многочленов Якоби /„' ?)(х) выполняется оценка
Замечание. Доказанная в теореме 4 оценка не является
точной. Если з> —1/2, то в действительности выполняется
более сильное неравенство λη^ с п°+ 1/2. Как и для рядов Фурье
по многочленам Якоби, на любом внутреннем по отношению
к (— h +1) промежутке для функции Лебега
интерполяционного процесса по корням многочленов У„а"β) выполняется оценка
Поэтому для любой функции, удовлетворяющей па [—1, 1]
условию Дшш—Липшица, такой интерполяционный процесс
сходится во всех точках открытого промежутка (—1, 1),
причем сходимость равномерна на каждом промежутке [а, Ь] С
С(—1, 1). Более точная характеристика поведения функции
Лебега интерполяционного процесса по корням многочленов
Якоби содержится в работе [13].
Задача. Доказать, что корни полинома (1 — x")J^L?} (χ) (— 1 =Jfi <
< лг2 < *з < ·■· <-*л=1). взягые в качестве узлов интерполяции,
обладают тем замечательным свойством, что точка хь, (при k = 2, 3. ... , η — 1)
является точкой максимума полинома влияния Лагранжа lk(x) с тем же
номером.
§ 3. Интерполяционный процесс по узлам Чебышева
Узлы Чебышева являются решением одной
экстремальной задачи о выборе узлов интерполяции.
Пусть на промежутке [а, Ь] выбраны узлы интерполяции
хь х2, ..·, дся, и пусть Qnf — интерполяционный полином
непрерывной функции /, построенный по этим узлам. Положим
Rn(f) = \\f~Qnf\\c— максимальное отклонение иптерполяцион-
161

иого полинома от функции. Пусть V С С([а, Ь]) — некоторый
класс непрерывных функций. Обозначим через Rn(U)
максимальное отклонение интерполяционных многочленов на классе С/.·
Rn(U) = snpR-n(f).
При заданном η и заданном классе U Rn(U) есть функция
уЗЛОВ 1ИНТСрПОЛЯЦНИ Х\, Х2, . . . Хп- Можно поставить задачу
такого выбора узлов, для которых Rn(U) минимальна.
Определение. Будем говорить, что узлы Л'ь х2, .. ., хп
оптимальны для класса U, если для них функция Rn(U)
достигает своего минимального значения.
Теорема I. Для класса КС{п) ([— 1, 1]) оптимальными
узлами являются корни полинома Чебышева Тп(х), примем
для этих узлов {ми будем называть их узлами Чебышева)
И η \КС ) = 2»-ι л| ♦
Доказательство. Пусть хи хъ .-.. , хп(:[ — 1, 1]—
некоторые узлы интерполяции, ω{χ) = (χ— xv){x— х2) ...
,.. (χ — хп). Дтя любой функции f£KC(n)
и потому
Я« if) < "ЯГ Ι ω «с. Rn iKCin)) < £ Ι ω |c .
Так как для функции fQ (χ) =—рхп^/СС,л' выполняется
равенство /(оя)(х)^А', то
/oW-Q,(/o; *)=» (*)-£ . Я„(/о) = -£иС|
и потому /?„(ArCl"))=-^-|tD|c.
Поскольку полиномы Чебышева—это полиномы, наименее
уклоняющиеся от нуля (см. с. 29), то при любом выборе
узлов интерполяции |<*>|С^-|7'Я3С, причем знак равенства
достигается в том и только в том случае, когда хг, х2, ... , хп —
корни многочлена Чебышева Тп(х) (тогда ω [х) = Тп(х)). Этим
показана оптимальность узлов Чебышева для рассматриваемого
класса. Так как J Та\\с = 2~(/г-1), то для узлов Чебышева
«с
С интерполяцией по узлам Чебышева связана следующая
теорема о наилучших приближениях функций класса
КС1п)([а, Ь\).
162

Теорема 2. Справедливо равенство
Gn-i (КС{П) (К Ь])) = sup /:„_, (/) = -^— (±££Г
Доказательство проведем дли промежутка [— 1, 1 ]„
Если Qnf~интерполяционный полином функции /£/СС(л) по
узлам Чебышева (его степень не выше η—1), то, как следуе?
из теоремы 1,
Wf-QnfK-^r,
и потому
Еп-ЛП < -^п~й . £«-. (KClfl\[~ 1,1])) <27ГТ7ГГ ·
В то же время Еп_1(хя) = 2_(л~1), и для функции /о(х)^
— -τ-хп £ КС1"' выполняется равенство Еп_1(/0)= ,· .
Отсюда
£„-i (* С^ ([ - 1. \]))> £п-г (/о) = -от^тп" ■
Замечание 1. Как видно из доказательства теоремы, для
каждой функции f (« КО-пЦ[—1, 1]) указанное в формулировке
теоремы приближение доставляет интерполяционный полином
по узлам Чебышева. Для произвольного промежутка [а, Ь]
требуемое приближение доставит интерполяционный полином
по узлам, .полученным «приведением» (с помощью линейной
замены переменных) узлов Чебышева к промежутку [а, Ь].
Замечание 2. Недостатком доказанной теоремы является
то, что класс функций /СО") связан со степенью η—1
приближающих полиномов. Однако в ряде случаев теорема 2 может
эффективно применяться. Например, для промежутка [0, 1]
Е> И < -2^W < °·000 °02·
Это приближение, доставляемое соответствующим
интерполяционным многочленом, почти в 1000 раз лучше того, которое даеТ
отрезок ряда Маклорена.
Узлы Чебышева замечательны еще и тем, что постоянная
Лебега для них растет медленно, и 'поэтому интерполяционный
процесс по узлам Чебышева равномерно сходится для
широкого класса функций.
Прежде чем получать оценку постоянной Лебега в случае
узлов Чебышева, отметим, что эти узлы таковы:
A'fe=cosOb ΘΑ = *~ д (Л=1, 2, ... , п).
!&■

Лемма- При Ο^θ^τ: справедлива оценка
η
cos nb
sin θ.
<2.
cos θ — cos 0ft
Доказательство. Поскольку cosnbk =Д то
J cos /zG [ = | cos nd — cos λζ.Θλ | = 2
Θ —Qft . θ η-Θ&
sm я —-τ-2-· sin η ' *
<2
sm л
o-eft
<
Далее,
и, учитывая, что
sin Од,
[ ΓΟβθ — €·.ΟβθΑ|=2
b-Qk
2
. ο-θ* . Θ+6Α
sin —;τ— sm
sin η
2
<л
sin
2
-Oft
2
получаем
*r
sm
ΘΛ + Θ
^ sin Ob + sin θ rt ^ — 0
С * . n— = 2 cos -=Ц-— < 2
sm
o* + e
Теорема 3. Для постоянной Лебега интерполяционного
процесса по узлам Чебышева справедлива оценка
К < 8 + (4/π) In я.
Доказательство. Возьмем произвольную точку
х£[—\, 1) и оценим >*„(.*). Если л: совпадает с одним из
узлов Чебышева х,г, то λ„ (л:) = 1. Поэтому впредь будем считать,
что точка χ не совпадает ни с одним из узлов, и потому если
положить а* = cos0 (Ο<0^π), то Q=£Qk (А = 1, 2, ... , я),
τ„ (χ)
M*) = Mcos6)= VI-
it
п 7
2
Λ=1
cos «θ
cos θ — cos bk
xk) Tn {xk)
sin ΘΛ.
(*)
Здесь мы воспользовались тем, что Tn(xk) = (— l)*+1#(sin 6ft)-1.
Пусть θ лежит между 6,п и 0m+l (θ,,, < θ < 0отИ). Сумму,
стоящую в правой части (*), разобьем на три суммы по схеме
"^у« ^/и—2 | Ίφηι-ί-2 | ^1л
и в соответствии с этим Хл (х) = з, + σ2 + σ^. Если 0<θ3, то в
представлении λ„ (к) будет отсутствовать сумма σ,; если θ > θπ_2,
то не будет суммы з3; кроме того, в этих случаях сумма σ2
может содержать не четыре, а меньшее число слагаемых.
Используя доказанную лемму, мы сразу же получаем оценку
для σ2:
σο < 8. -
164

Суммы аг и о3 оцениваются одинаково. Оценим для
определенности oj (при этом, разумеется, т>3):
т-2 т—7
1 VI 1 COS иО-1 ,. л ^ 1 У^ sill bk
°1 ~~ п 2jL cos °ft ~ cos θ * &Ш k ^ п J?j cos 0* - cos 6 ·
Учитывая, что
(sin a V 1 — cos к-cos 0 ^ n
cos и — cos 6y (cos и — cos β,2 -^ '
при Θ/ϊ^κ·<Θλ+1 имеем
sin Ofe ^ sin a
cos ΘΛ — cos θ "^ cos и — cos Θ '
Интегрируя это неравенство по и от bk до ΘΛ+1 и складывая
все такие неравенства при k = l, 2, ... , т — 2, получаем
π V4 s<n 6ft < Г sin ы .
я ^j cos 6ft ~ cos θ ^ J cos и — cos θ '
откуда
sm α . 1 , 1 — cos θ
x-au — — In —s r
COS U — COS θ π COS Dm_i — COS θ
0
. 1 . 1 I . 1
>< — In = г— = — In
π COs6m_i-COSUm π . 0m - 0W,1 . 0m + 0m^ ·
sm 9 'sm 9
Ho K~2K-' = ~ и sin °m~flff'-1 > 4-· Да^е,
e/n + Sm-1 ^ 63 + h ^ rc em + °w-l ^ On + β«-1 ^ _
2
2n ' 2 ^ 2 ^ 2n
Итак π ^ °w + °m-i ^- !r_ -in 6ffl + °m-l ^ :n π ^ *
итак, 2n < 2 <;.. 2« ' sin 2 ->bin 2n > ΊΓ
1 2
Поэтому σ, < — ]n«2=—In n.
2
Точно так же σ3 <—In/г.
Окончательно
>:п(*) = «ι + σ2 + °з < ^ Ψ — '» Л.
Так как правая часть этой оценки не зависит от точки л*, то и
4
>.„ = maxln(л')<8 -\ 1η η Μ
165

Следствие· Если функция f(x) на промежутке [—1, If
удовлетворяет условию Дини — Липшица, то
интерполяционный процесс по узлам Чебышева сходится для нее
равномерно на всем промежутке [—1, 1].
Задача 1. Пусть КС — сфера в пространстве С:
/СС={/|/€С \\ПС </<].
Доказать, что для любых узлов интерполяции хь jc2> ... , -*л6[я, Ь]
выполняется равенство Rn (/(С) = /С (1 + λ,,), где \п — постоянная Лебега.
Задача 2. Для промежутка [—1, 1] построить узлы интерполяции Х\,.
jr2. -Х"з> минимизирующие постоянную Лебега λ3. Обратить внимание на ие-
единственность таких узлов.
3 ада ч а 3» Доказать для /z-поперечпнка множества КС'п^ ([a, h]) в.
пространстве С{[ау Ь]) равенстпо
§ 4. Интерполяционный процесс
по равноотстоящим узлам
В этом параграфе мы рассмотрим интерполяционный
процесс на промежутке [—1, 1] по равноотстоящим узлам
xk = -l + -^ (£ = 0, 1, ... , /ζ). (*)
Число узлов здесь п+\, и в соответствии с введенными ранее
обозначениями интерполяционный полином функции f (он
имеет степень не выше п) будем обозначать через Qn+\f, а
функцию Лебега для узлов (*) —через λη+ι(χ).
Результаты, которые будут изложены в этом параграфе,
имеют двоякий характер. С одной стороны, будет показано, что
во всех точках промежутка [—1, 1], кроме точек —1, 0 и +1,
функция Лебега процесса растет чрезвычайно быстро (с
быстротой гeoмeτpΉчecκoй прогрессии). Это означает, что
интерполяционный процесс по равноотстоящим узлам мало пригоден
для приближения функций, так как, ео-пер.вых, вв.иду быстрого
роста постоянной Лебега его сходимость следует ожидать лишь
для довольно узкого класса функций, и, во-вторых, очень
сильно влияние ошибок округления в значениях функции на
интерполяционный многочлен. С другой стороны, как будет
показано, в сужающейся (с ростом п) окрестности нуля функция
Лебега такого процесса растет медленно, и это оправдывает
(сточки зрения влияния ошибок округления) широко применяемые
при работе с таблицами функций интерполяционные формулы
с равноотстоящими узлами.
Укажем удобное для дальнейшего представление
полиномов влияния Лагранжа /, (■*) (у = 0, 1, ... , п) системы узлов (*).
166

Лемма 1. Для полинома влияния lj(x) справедливо
представление
X
sin —— (1 — л)
1} (х) = (- 1 y-J" -r-^ L
X
β («-У)!
Доказательство. Очевидно, что полином lj(x) может
быть записан в виде lj(x) = u>j(x)liuf(xI), где
'V(·*) = [С* — Л'о) (х — ·*.) · · · (х — xj-\)} X
X [(*« — ·*) (^-i — х) ··· (*y+i — χ)\ =
О) j
rt-y-1
Так как
<-г)"п[-т(*-*.>]-п[-г<*-.-4
-^-(Jc — л\) = — [х+\ —~\ = -γΟ+Χ)-
r(-f-(i+A-)+i)
ν, ΤΟ
Π НИ* ~ ■**)]
ν = 0
■(*
(l+x)-j+\
Точно так же -£-(**_., — χ) = -S-(l—*)— ν и
я-У-1
ν=0
L'(-f (!-*)+l)
Итак,
•/Μ=(4-)
γ(ίγ<1-λ:)-"+·' + 1)
„ r(-|-(i+^)-bi)r(-f (ΐ-χ) + ι)
л ι*)
где A(jc) = r(-f (1+*)-/+^(-f (l-*)-«+/+l).
Учитывая, что Л(Ху) = Г(1)Г(1) = 1, получаем
ω/ (*/)=(4fr с/ +*)г (» -/ + υ =(-§-р! (/? -^ '■
r(-f- (i + χ)+ ήϊ(~τΟ - *) + ή
1} (χ) =
Α {χ) β (я-У)!
167

Для завершения доказательства остается лишь преобразовать
А(х):
А (*) = [-(г(1 + х) -y]r(-f (I +^)-y)r(-f (1 — jc)—/i-h/+l)='
= [-Г<1+*)-У]Г(*)Г(1-*),
η
где 2 = -κ-(1 — л·) — #+/+ 1. Использовав формулу
Γ(*)Γ(1 — *)=
π
π
Sill 7ϊ2
[*(^0-*)-*+/+ 0]
sin
==(-i)
n-j+i
π
sin y(l — x)\
придем к требуемому ■
Лемма 2. Для каждого х£(— 1, 1) найдется такая
последовательность натуральных чисел nk -*■ оо, «шо
SJ)
:ЯА
n-^(l-je)
^siHJLi^i (£==!, 2, ...).
Доказательство. Так как при натуральном nk левая и
правая части доказываемого неравенства — четные функции,
а при х = 0 оно очевидно при любом nk, можно считать, что
0<д:<1. Возьмем натуральное k и рассмотрим промежуток
(-рт—> pi · Длина этого промежутка равна 2, и
потому он содержит хоть одно натуральное число пп. Так как
nky -j—-—, то nk -> оо. В то же время неравенство
ι
2k + χ ^ 2£ + 2— χ
Т=7-<я*<
ι —*
равносильно такому
л:
2^2
(1 — х) — nk < π — π ■— ,
откуда
sin 1-^(1 —χ)
sin(^(
1 — χ) — π/г
> sin
π*
Лемма 3. Для любого χ такого, что 0 < \х\ < 1,
выполняется неравенство'
φ(*) = (1 + *) 2 (1-Х) " >1.
Доказательство. Функция φ (л:) четная, поэтому мэжн о
ограничиться рассмотрением лишь точек χ > 0. Далее, φ (0) = 1,
и так как [In φ (χ)]' = —-In + Λ > 0 при χ > О, то функция
ψ(χ) на [0, 1] строго возрастает щ
168

Теорема 1. Пусть К(х) — функция Лебега
интерполяционного процесса по равноотстоящим узлам. Для каждой
точки х такой, что О < | χ |< 1, найдется
последовательность номеров nk -» со, для которых выполняются неоавен-
ства
Здесь с(х) > 0 и φ (л:) > 1 —функция, определенная в лемме 3.
Доказательство. Пусть число η таково, что
-\х\
>-sin
iin(-~(l — χή
Тогда, используя лемму 1, получаем
>vm(*)==i;iwi
(**)
кш
j=0
r(-5-(l+x)+l)r^(l-jc)+lJx
Χ
Σ
η
>^sillJii£i._i-x
Т.
χ
Γ("Τ<Ι+Α')+1)ΓίΊ"(1-Λ:) +0 ^
η
nl
Ν1 η ! =
£lj\in-j)\
1 . *|*| Ι
^ΊΓsin 2 —
Λ
r(-x(l+*)+l)L'(-|-(l~x)+l)
""———————^— · ^ #
Γ\/ι+1)
Используя формулу Стирлинга для Г-функции (см. приложе-
иие), нетрудно найти, что
(-^-(И-а')Ч- 1)γ{ίγ О -*)+ ι)
Γ(η+υ
Итак,
■2-«]/«νΐΊΓ3?[φ(Λ)]-.
r^-5-(l+jr)+l)r(-j-(l-x)+lJ
Г(я + 1)
2">сТ/я |/l —Λ;2[φ(χ)Ι"
и
где
h+Ax)>c(x)-T7^l?(x)]n,
V η
с (χ) = — у 1 — χ* sin —у-1.
Остается сослаться на лслшу 2, согласно которой натуральных
чисел п, для которых выполняется неравенство (**),
бесконечно много ■
169

Замечание 1. В доказанной теореме быстрый рост
функции Лебега гарантируется лишь для некоторой
подпоследовательности индексов, и это вызвано существом дела.
Например, если точка χ рациональна, то она бесконечное число
раз будет совпадать с одним из узлов, а значение функции
Лебега в любом узле равно единице.
Замечай и е 2. В теореме говорится обо всех точках
промежутка [—1, 1], кроме трех: —1, 0, +1. Точки —1 и +1 всегда
входят в число узлов, и потому при 'всех η λη{—1)=λη(1) = 1.
Точка 0 попадает в число узлов лишь при нечетном п. Ниже
будет показано, что λη(0) растет медленно (см. теорему 2).
Замечание 3. Быстрый рост функции Лебега
заставляет предполагать, что интерполяционный процесс по
равноотстоящим узлам сходится лишь для узкого класса функций.
Действительно, можно показать (см. [16]), что даже для таких
гладких функций, как
f (х\ /0 при л:<0,
Jr^i~\ xr при д-^о
(здесь г — любое натуральное, /г£С(г-1)), этот процесс
расходится во всех точках промежутка [—- 1, 1], за исключением:
точек —1,0, + 1.
Теорема 2 (Рунк). Для каждого г > 0 найдется такая:
постоянная Ап что при п^2
max ал+1 (х) <; АГ In я.
|.r|<rlT
Здесь λ„+1 (χ) —функция Лебега интерполяционного процесса
по равноотстоящим узлам.
Доказательство. Имея в виду использовать лемму 1„
оценим величину
γ(-£-(1+α·)+ι)γ(-£-(1 -χ)+ \)
V ' У! (и — 7)!
Применяя неравенство Г (д) Г (6) ^ (Г( д "*" )| (см.
приложение), получаем
у!(«-у)! = Г(у + 1)Г(я-У+1)>(г(4- + l))2,
и потому
iC'(*)<
К*+')Г
Применим формулу Стирлинга в логарифмической форме (см^
приложение):
hiw(x)^c +-2-(l+A:)ln^(l+Jc)) - ■£(!+*) + -^п^Ц+лО-Ь-
170

+ -j(l-*)In(.» (l-*)) -id-*) +|ln|(l-x)-
— #ln-j-
1 И
-If!—:
I
= ^+-χ[(1+·^)1η(1+^) + (1-Λ)1η(1-Λ:)] + -|-1η(1~^)<
<c + -f [ψ(^)-2.Η0)Η-ψ(-Λ)],
где ψ (jc) =(l + x) ln(l +jc), причем ψ(0) = 0. Выражение
6(jc) — 2ψ(0) + ύ(— χ) есть конечная разность второго порядка
функции $(х), вычисленная с шагом χ в точке 0. Поэтому
| ψ (х) - 2ψ (0) + * (- χ) | = χ216" (Ε) Ι < Clx\
Здесь |£|<|лс|. Учитывая, что х2^г'2!,п, получим Inzy(x)^
<£, и w(x)<cr. Используя лемму 1 и последнюю оценку,
имеем при \x\^rjYti
;л+1
^0 /-0
sin
η
-9-(1+*)-У
Считая, что -х;^! < л: < χΑ+ι (если χ совпадает с одним из
узлов, то, как всегда, ллИ (л:)=.1), разобьем сумму по схеме
Л=0 ^J;=0 ' ^/=ft-l ' ^Jj = k+l ι ι £ I s
Суммы σχ и σ3 оцениваются одинаково. Оценим, для примера, σ^
~2~(1 — ·*") I
А-2
=2
у=0
η
Г(1-М)-У
ft—2
/г-2
Σ
j=o — (1 -f **-i) — У у=0
k-J-l
= 1+4"+4"+ ••.+^4т<1+Ь(^-1)<1+1пя.
Точно так же σ3 < 1 —j— In /г. Сумма σ2 содержит два слагаемых.
Оба они оцениваются одинаково. Оценим второе:
sin —2~ (1 — л:)
sm
-(■f
(l+x)-k
η
— (l+*)_*
и
— (i+JC)-*
<π,
так как |sinw|<[|#|. Итак, σ2<2π. Складывая полученные
оценки, имеем Хл+1 (л;) -< Лг In η, где ^г =
2сг
1 + V
±JLl
η 2 J
Заметим, что промежуток, на котором в этой теореме
оценивается функция Лебега, стягивается в точку при я->-оо. Иначе
и быть «с может в силу теоремы 1. Однако число узлов,
которые попадают в этот промежуток, стремится к бесконечности.

Глава 6
ДВЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
§ 1. Теорема Бернштейна
о наилучшем приближении аналитической функции
Как было показано в § 2 гл. 3, если функция f(x) бесконеч-ι
лое число раз дифференцируема на промежутке [а, Ь], то при
любом/? выполняется соотношение ^пШл^0,т.е. наилучшие
приближения такой функции стремятся к нулю быстрее, чем |
любая степень I/я. В этом параграфе будет получена более
точная характеристика убывания наилучших приближений
функции /, которая не только бесконечно дифференцируема, но ι
и регулярна в некоторой окрестности того отрезка, на котором.
производится приближение. Впредь -мы будем считать, что
этот отрезок есть [—1, 1].
Введем некоторые обозначения. Пусть р>1. Обозначим
через $9 эллипс на комплексной плоскости с фокусами в точках
±1 и суммой полуосей, равной р:
*,= {*| * =-5-(p^-f «-*)}·
Через 0Р будем обозначать область, ограниченную эллипсом &р.
Рассмотрим функцию и (ζ) = ζ -f- Vζ2—1. При ζ =
=-3-((«"+τΗ€ίΓ'
«(ζ) -= -f (i** + Te~'f) + V-T?e2,,+-T + -T-Te-a*-l =
—τ[** +т е~'9) ± τ [г*—τ е~") ■
Выберем ту ветвь этой функции, которая на каждом эллипсе
&$ принимает значение u(z) = pe'*. Эта ветвь регулярна на
комплексной плоскости с разрезом по отрезку вещественной
оси от —1 до + 1, причем для z£e?p |u(z)| = p.
172

Лемма. Если полином P„{z) степени не выше η на
отрезке [—1, 1] вещественной оси удовлетворяет неравенству
\Pn(z)\<L, то при z£g)9 JР„(ζ)|<Ι,οη.
Доказательство. Рассмотрим функцию
v(z) = Pn{z)/[u(z)]».
При 2-► оо u(z)zz2z, и потому ν(z) —^aJ2n, где а0—старший
коэффициент многочлена Pn(z). Итак, ν (ζ) регулярна в
бесконечно удаленной точке, и так как функция и (ζ) в нуль не
обращается, функция ν регулярна в расширенной комплексной
плоскости с разрезом по отрезку [— 1, 1]. Таким образом,
функция ν максимального по абсолютной величине значения
достигает на берегах этого разреза. Но на берегах разреза
[гг(г)| = 1, г/(г)</,, и потому при всех ζ |τ/(ζ)!<I, т. е.
IРп (г) I^ L \и \ζ) I*· Остается заметить, что при ζ£S'o \и(z)\ = pt
и воспользоваться принципом максимума модуля ■
Теорема (С. Н. Бернштейн). Если функция f (z) регулярна
в области ά)Η и на ее границе <%о0 имеет хоть одну особую
точку, то для ее наилучших приближений на промежутке
[— 1, 1] En(f) справедливо равенство
lim у En(f)~ I/ft,.
n->co
Доказательство. 1) Покажем сначала, что
П5Г?^7Г<1/р0. (*)
н->со
Разложим функцию f{x) на промежутке [—1, 1] в ряд Фурье
по многочленам Чебышева:
где при k >-1
1 π
ch = \ J J_ f(t) Tk{t)dt=-L J/(cos9) coskvd?.
-1 -π
Π
Если положить Рп{х) — ^SckTk{x), то
ii/-^Pc([-i.i])< 2 ι**1·
00
и потому £„(/)< 2 Iе*'·
173

Для оценки коэффициента ck в интеграле по φ, которым он
представляется, сделаем замену переменной, положив z = e"e.
Тогда
Здесь Сх — окружность на комплексной плоскости с центром в
точке 0 и радиусом 1. Вообще через Ст будем обозначать
окружность с центром в нуле и радиусом г. При ρ > 1
функция w(z)—-^-lz+—) .переводит окружности Ср и Сщ в
эллипс £?р. Поэтому функция f(-2-(z+ —)) регулярна в кольце
l/po<|z|<p0, и в пределах этого кольца мы можем менять в
интегралах 1Х и /2 контуры интегрирования. Возьмем
достаточно малое ε>0 (ε<Ρο—1) и положим
ЛГе = тах \f(z)\.
Тогда, переходя в интегралах /t и h к новым контурам, как
указано ниже, и оценивая подынтегральные функции по
модулю, получаем
ΙΛΙ
-L· J /(-*-(*+4-)) а*-1**
<
1
2г Λί.
<
А/.
Ро - ε (?0 _ е)*-1
(Ро — ε)
dz
k »
Po—ε
1 Λίε
уЛ+1
Μ,
<
(Ρο-«0*+1 ΐΡβ-β)1
Итак,
k*l=|/i+/3|<
2М
(?ο - Ό* '
Отсюда
2.И.
Ь-л + 1
ft—л+1
·)'
Po — 1 — ε (Po
— ει" *
„ _ j J1/ 2Λί. ι
lim|/£„(/)<Hm—! V ρ— = ——.
r n\j/^. po_er ρ0_ΐ_ε ρ0—ε
174

Пользуясь тем, что достаточно малое ε здесь произвольно, и
переходя в полученном неравенстве к пределу при ε-ν 0,
получим (*).
2) Покажем теперь, что
Допустим противное, пусть limy £"„(/) < 1/р0. Тогда найдутся
такое число pt > р0 и такое N, что при всех n^N выполняются
неравенства
У^Л7)<1/Р1 и Еп(/)<lVff.
Обозначим через {Рп(х)} последовательность полиномов
наилучшего приближения функции/(л;) на промежутке [—1, 1].
Тогда на этом промежутке
/ (х) = Рх(х) + 2{Р«+х <*> ~ рп (*)).
Рассмотрим ряд
W + 2 (Р"+1 (*) - Рп («)). (***)
В той части комплексной плоскости, где он равномерно
сходится, его сумма есть аналитическое продолжение функции /.
Выберем число р2 так, что pt > р-> > р0, и покажем, что ряд (***)
равномерно сходится в области ίΖ5Ρι. Действительно, на
промежутке 1—1, 1] полином Рп+\{х) — Рп(х) допускает оценку
\Рп*г(х)-Рл(х)\<>\Р*Лх)-Пх)\ + и{х)--Рп{х)\<*
<Еп+Л (/) + En{f)< 1/рГ1 + 1/Р? < 2/р·.
Тогда по доказанной лемме при z£S)H
I Яв+1 (ζ) - Ря (z) J < -^-Ра"+1 = 2Р2 (-&■)".
Итак, в области <ЮРа ряд (***) мажорируется сходящимся
числовым рядом
-^п. и=Л." λ '
-^ра /г=Лг
и потому равномерно сходится. Таким образом, функция
/допускает аналитическое продолжение в область !3)HZD&H, что
противоречит тому, что на эллипсе <^Ро имеется хоть одна ее
особая точка. Ввиду полученного противоречия неравенство (**)
доказано ■
Замечание. Доказанная теорема означает, что
наилучшие приближения функции, удовлетворяющей ее условию,
стремятся к нулю, грубо говоря, как общий член геометрической
175

прогрессии со знаменателем 1/ро- Точное утверждение состоит
в следующем. Если число q таково, что <?>/1ро, то
Нт(£л(/)/*я) = 0,
т. е. наилучшие приближения функции / стремятся к нулю
быстрее, чем общий член геометрической прогрессии со
знаменателем q > 1/р0. Если же 0 < q < 1/р0, то
»m(£« (/)/?") = +«>,
т. е. наилучшие приближения функции / стремятся к пулю
медленнее, чем общий член геометрической прогрессии со
знаменателем q < 1 р0.
Отметим еще, что из теоремы Бериштейна вытекает
следующее утверждение.
Следствие. Если j(ζ) — целая функция, то для сколь
угодно малого q > О
т. е. наилучшие приближения целой функции стремятся к
нулю быстрее общего члена геометрической прогрессии со сколь
угодно малым знаменателем <у>0.
Задача. Сопоставить теорему Бернштейна с полученным ранее (см.
/ I \
с. 33) выражением для Еп ( _^— .
§ 2. Теорема Лозинского — Харшиладзе
В гл. 4, 5 были сформулированы теоремы Николаева и Фа-
бера, в которых утверждалось, что не существует такой
системы ортогональных многочленов, которая обеспечивала бы
равномерную сходимость ряда Фурье любой непрерывной функции,
и не существует интерполяционного процесса, равномерно
сходящегося для всех непрерывных функций. В этом параграфе
будет доказано подобное утверждение для некоторого класса
линейных операторов. Это утверждение содержит в себе как
частные случаи теоремы Николаева и Фабера.
Докажем предварительно несколько лемм.
Лемма 1. Для любых натуральных т и η (т^п) η для
χ £ (0, π) выполняется неравенство
|2Lmsin4<1;sinC*i2)·
Доказательство. Очевидно, что
У" sinfcjt = Imyn е»*,
17G

и потому
sin kx
ft — m
<
η
\\ elkx
2
| 1 — eix |
eimx (,i (л-f 1)л: I
1— CIX
1 -
X
sm —
<
Лемма 2. /7/ж любых вещественных х выполняется
неравенство
ik=l
sin kx
<2Ί/"π.
Доказательство достаточно провести для значений
•*6(0, π)» так как левая часть доказываемого неравенства есть
четная 2~-периоднческая функция, и при л = 0 и х = г.
неравенство очевидно.
Итак, пусть 0<*<-. Выберем целое число т так, что
т < V rJx < /« -J-1,
и представим оцениваемую сумму в виде
η т η
^Г) sin kx __ ^|Г1 sin fc* , VI sin £.*
ft-1
ft-1
k-m + l
= σΐ + σ2·
Конечно, в зависимости от значения т одна из этих сумм;
может отсутствовать. При оценке суммы σ, воспользуемся
неравенством | sin kx J <^ kx. Тогда получим
т
к к У,
*==1
sin kx
< /я* < 1/-.
Для оценки суммы σ, применим преобразование Абеля. Именно,
положим при у =г/гс4-1, w-J-2, ... , л
5у- = V sin kx.
Λ-/и+1
Тогда
л-1
^+Т+ ^j (sk — sk-i)-k-— 2Li k 2jH
ft=m-)-2
h=rn.+ l
k-m+l
β JL 5Ч"^" ~ ^ττ)+ τ* ·
ft—/n+1
177

По лемме 1 при всех k |sft|<^l/sin (х<2), и потому
г п-1
ι
ο·>\<
sin (л'/2>
2j \k Aj+l)+ n J
1
(/ra+l) sin (jc/2)
Lfe=m+1
Так как χ £(0, π), το sin (л-/2) ^> л/я и
1 <7^T^<V~i
(т + 1) sin (лг/2) "^ (/и -|-1) χ
в силу выбора числа т ■
Введем теперь в рассмотрение следующие две функции:
η
cos л: . cos 2х cos яде ,\"Ί cos (я + I — Α) χ
Δ , ч cos* , cos 2л: . cos пк ^^\
А\х)—п—-г~п-=л Υ··-Λ i—— 2j
k
β ιχ\ _. cos (n + 2) χ cos (я + 3) χ .
η
cos (2η -\-l)x ^\ cos (и 4-1 -f· 6)х
■ cos(2/i-|-l)x ^
Лемма 3. /7/ш бсел: вещественных χ выполняется
неравенство
\А(х) — В(х)\*С4У*.
Доказательство. Действительно,
А(х)-В(х) = ^
П
cos (η 4- 1 - k) χ — cos {η 4-1 + &) χ
k
η
о · / ι i \ ^in sin /ex
= 2sm(«+l)jt J>j —g—,
л остается воспользоваться леммой 2 ■
Напомним, что символом С^ обозначалось пространство
непрерывных четных 2ч:-периодических функций с обычной
нормой |/|_ = тах|/(л:)|. Обозначим через Ъп класс линей-
ных операторов Un, действующих в пространстве C.s и
обладающих следующими двумя свойствами:
а) для любой функции /£С~ функция Unf есть четный
тригонометрический полином порядка не выше я;
б) если сама функция/ есть четный тригонометрический
полином порядка не выше, л, то Unf=f.
Свойства а) и б) означают, что Un есть проекционный
оператор, проектирующий пространство С* на подпространство
•четных тригонометрических полиномов данного порядка п.
178

Лемма 4. Для каждого оператора ип£Ъп выполняется
неравенство
, Т ,, . In я
8 1/"тс
Доказательство. Возьмем произвольное числом и
построим функцию
gy(x)=B(x+y) + B(x-y) =
η
= 2 \ -γ cos (η-{-k-\-1) χ ■ cos (я-f &~f \)y.
u=\
Это непрерывная четная 2--периодическая функция, и к ней
применим оператор Un. Положим
η
Qy (x) = Un (gy, χ) = 2 vk (χ) cos (n + k + 1) y,
2
где г^ (л:) = — ί/„(cos (/г + & ~l· 1) ·*; ·*)·
По свойству а) оператора Un vk(x) есть четный
тригонометрический полипом порядка не выше п. Учитывая, что cos(«-f-
+ /г + 1)У (&>1) ортогонален на промежутке [0, -] всем
таким полиномам, получаем
$*0Qy(y)dy = 0.
Кроме того, очевидно, что
$A{2y)dy=0 и ^(A(2y)-Qy(y))dy^0.
Поэтому найдется такая точка а£[0, т], что
A(2a) — Qa{a) = 0.
Выбрав а из этого условия, построим функцию
f(x) = [A(x + a) + A{x — a)] — lB(x + a) + B(x — a)].
Здесь
А (х + a) -J- А (л — а) ~
η
— 2 %^ -g- cos (я + 1 — Φ л-cos (n + \—k)x
k = l
есть четный тригонометрический полином порядка не выше п.
Функция / (х) непрерывная, четная, 2я-периодическая, и по
лемме 3
с*
•Положим v=Unf. Используя свойство б) оператора Un, имеем
v(x) = Ua(f; x)=[A{x + a) + A(x — a)] — Qtt{x).
179

Согласно выбору параметра а
η
τ>(α) = Λ(0) = VJL>Jn/i
Α· 1
Итак, ||^I>__ik> lnw -
Перейдем теперь к рассмотрению пространства С=С([а, Ь])
и обозначим через ^>л множество линейных операторов Рп,
действующих в пространстве С и таких, что
А) для любой функции /Q С Рп/ есть алгебраический
многочлен степени не выше п\
Б) если сама функция / есть многочлен степени не выше /г,
то />„/£/.
Таким образом, <φη есть множество проекционных
операторов, проектирующих С на подпространство полиномоз
степени не выше п.
Теорема (С. М. Лозинский—Ф. И. Харшиладзе). Для
каждого оператора Рп^срп выполняется неравенство
Доказательство. Напомним, что в § 1 гл. 3 был
введен оператор У, который каждой функции /(* С ставит в
соответствие ее индуцированную. Как было показано, этот
оператор обладает такими свойствами:
1) U есть линейный оператор, действующий из С в С%>
причем существует обратный оператор &~х\
2)|т| = ||.7-М=1;
3) если рп есть алгебраический многочлен степени ·«, то
&рп — четный тригонометрический полином порядка п;
4) если ©„ есть четный тригонометрический полином
порядка я, то &~ιψη — алгебраический многочлен степени п.
Пусть теперь Рп— некоторый оператор класса *$)„.
Построим линейный оператор ип = УРп.У~\ действующий в
пространстве С*. Из свойств А) и Б) оператора Рп и свойств 3}
и 4) оператора 3 следует, что £Λ,£93„. Тогда согласно лемме
4 и свойству 2) оператора & имеем
-^<\ия\=\яр^\<\яу\Рш\\^\=\РА ■
Следствие. Пусть \Рп)— последовательность
линейных операторов таких, кто Рп £ °ρη. Найдется такая функ-
180

ция f£C, что последовательность многочленов [Р Я не
сходится равномерно.
Доказательство. В силу доказанное! теоремы ί Ρ Ϊ — сг>
Но по теореме Банаха-Штейнхауса ограниченность
в'совокупности норм операторов Рп является необходимым
условием сходимости последовательностей {Рп/\ для всех /£С ■
Оператор S„, который каждой функции /£С ставит в
соответствие частную сумму ее ряда Фурье по некоторой системе
ортогональных полиномов {«)*], очевидно, принадлежит классу
<$„. Точно так же оператор Qn, который функции /£С ставит
в соответствие ее интерполяционный полином, построенный по
узлам {x{k]}, принадлежит классу ^„-χ. Поэтому
сформулированные ранее теоремы Николаева и Фабера можно
рассматривать как частные случаи доказанного выше следствия.
Сделаем еще одно замечание. Согласно теореме
Лозинского— Харшиладзе, последовательность норм операторов \Рп\
(ЯдЕФя) имеет не менее, чем логарифмический порядок роста.
Вместе с тем операторы Sn, которые функциям /£С([— 1, 1])
ставят в соответствие частные суммы их рядов Фурье по
многочленам Чебышева, и операторы Qn, ставящие в соответствие
функциям / их интерполяционные полиномы по узлам
Чебышева, таковы, что их нормы оцениваются через 1η η. Поэтому
последовательности указанных операторов имеют минимальный
возможный порядок роста нормы.

ПРИЛОЖЕНИЕ.
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА Г-ФУН1ЩИИ
Доказательства этих свойств можно найти в [22].
1°. Определяется Г-функция с помощью интеграла
Γ(ζ)= \^*er't*-*dt.
Здесь Re ζ > 0. С правой полуплоскости функция Г (ζ) может
быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость,,
причем точки 0, —1, —2, ... оказываются ее полюсами.
Впрочем, у нас аргумент функции Г вещественный.
20. Г(1) = 1, Г(1/2) = у1=.
3°. Основное функциональное соотношение для Г-функции
Г(*+1) = *Г(*)·
Из этого соотношения, в частности, немедленно вытекает, что
для натурального и Г(«+1) = я! Основное функциональное
соотношение используется также для свертызания
произведений вида a {a -J- 1) (a -f- 2) ... (α -f- я) = Г (α + я -J- 1 λ'1' (#)·
4°. Значения Г-функции в точках ζ и 1—ζ связаны
равенством Г (ζ) Г (1 — ζ) = π/sin τζζ.
5°. Формула Стерлинга: Г (х + 1) = e_Jrx-r V2~x{1 -f e(jc)), где
ε (λ;)-* 0 при .х-^ + оо. Если формулу Стирлиига
прологарифмировать, то In Г (х + 1) = jelnje — ■*-]-(1/2) In л:-f--фс), где
'',(*)-> (1/2) In (2 π) при х-^ + оо.
6°. При /г->оо Г (я+ а)Т (я+ £)·««""*.
., .. Г(и + я) е-{а+а) (п + а)п+а VI- (л + а)
Действительно, р-т—γίτ~ ттткг- „,,, , — =
= е (я + α) (1+TT+TJ К ТТЛ" ' Учитывая, что
(я + α) ^я , (1 + ^ryj ^e , J/—.-1,
получим требуемое.
7°. Справедливо следующее представление:
Отсюда ясно, что [In Г (х)]" > 0 (при]л > 0), и потому In Г(д;) —
«выпуклая вниз» функция, т. е.
In Г (^±1) < 4" [In Г (а) + In Г (£)].
Потенцируя это неравенство, получаем V(a)V(b)^ I (—-5—1 · -
8°. Интеграл Эйлера первого рода Η (/;, #)= Г1 *;;_1 (1— x)q~ldx
связан с Г-фуикцией соотношением
Β(Λ ί) = Γ(ρ)Γ(?)/Γ(ρ + ?).
182

УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
1. А г aw ан ов С. Α., Натансон Г. И. Функция Лебега сумм Ф\рье—
,,пТ<<Вестн· ЛешшгР· У"-та, сер. мат., мех., астрон.», 1968, № 1, вып. 1,
с. 11—23.
2. Ллберг Дж., Ни лье он Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее
приложения. М, 1972. 316 с.
3. Ахисзер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М., 1965. 408 с.
■4. Бернштейн С. 11. Обобщение одного результата С. Μ
Никольского.— Сочинения. М., 1954, т. 2, с. 399—401.
о. Бернштейн С. II. О предельных зависимостях между
константами теории наилучших приближений. — Сочинения. М., 1954, т. 2, с. 413 415.
6. Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения
функций. М., 1954. 328 с.
7. 3 у χ о в и ц к и й С. И. О приближении действительных функции в
смысле II. Л. Чебышсва. — «Успехи мат. паук», 1956, т. 11, № 2, с. 125—160.
8. Канторович Л. В., А к и лов Г. П. Функциональный анализ в
нормированных пространствах. М., 1959. 684 с.
9. К о л м о г о ρ о в А. II. Замечание по поводу многочленов П. Л.
Чебышсва, наименее уклоняющихся от заданной функции. — «Успехи мат
наук», 1948, т. 3, ЛЬ 1," с. 216—221.
10. Корнейчук Н. П. О наилучшем приближении непрерывных
функций.—«Изв. АН СССР, сер. мат.», 1963, т. 27, № 1, с. 29—44.
11. Корнейчук Н. П. Точная константа в теореме Д. Джексона о
наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических
функций.—«Докл. АН СССР», 1962, т. 145, № 3, с. 514—515.
12. Корнейчук Н. П. Экстремальные значения функционалов π
наилучшее приближение на классах периодических функций. — «Изв. АН СССРЯ.
сер. мат.», 1971, т. 35, ДЬ 1, с. 93—124.
13. Натансон Г. И. Двусторонняя оценка функции Лебега
интерполяционного процесса Лаграпжа с узлами Якоби. — «Изв. вузов, сер. мат.»,
1967, № 11, с. 67—74.
14. Η а т а н с о н И. П. Конструктивная теория функций. М.—Л., 1949. 688 с.
15. Никольский С. М. Наилучшие приближения многочленами
функций, удовлетворяющих условию Липшица. — «Докл. АН СССР», 1946, т. 52,
№ I.e. 7—9.
16. Рабкин Е. Л., Шапиро Е. П. Об одном расходящемся
интерполяционном процессе. — «Изв. вузотв, сер. мат.», 1971, № 8, с. 103—ПО.
17. Ссге Г. Ортогональные многочлены. М., 1962. 550 с.
18. С течки н СБ. О порядке наилучших приближений непрерывных
функции. —«Изв. АН СССР, сер. мат.», 1951, т. 15, № 3, с. 219—242.
19. Тима и А. Ф. Теория приближения функций действительного
переменного. А\., 1960. 624 с.
20. Тиман А. Ф. Деформация метрических" пространств и некоторые
связанные с ней вопросы теории функций. — «Успехи мат. паук», 1965, т. 20,
№ 2, с. 53—87.
21. Τ и χ о м π ρ о в В. М. Поперечники множеств в функциональных
пространствах и теория наилучших приближений. — «Успехи мат. наук», I960,,
т. 15, № 3, с. 81—120.
22. У и τ τ е к е ρ Э. Т., В а т с о н Дж. Н. Курс современного анализа.
Т. 2. М.. 1963. 516 с.
23. F a v a r d J Sur rapproximation des functions. — «Bull. Sci. Math.»r
1938, t. 62, p. 338—351.
24. G г on wall T. II. Ubcr die Laplacesche Reihe. - «Math. Ann.», 1913,
Bd. 74, S. 213—270.
25. Lor en t ζ G. Approximation of functions. N. Y., 1966.
26. Rau H. Ubcr die .Lebesgueschen Konstantcn der Reihcnenhvicklungen-
nach jacobischen Polynomcn.—«J. fur Math.», 1929, Bd. 161, S. 237—254.
27. Run ck P. O. Uber Konvergenzfragen bei Polynominterpolation mit
aquidistantcn Knoten. I—II. —«J. reine angew. Math.», 1961, Bd. 208, NT 1—2,
S. 51-69; 1962, Bd. 210, N 3—4, S. 175-204.
loo·

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . 3
Глава 1. Наилучшие приближения 6
§ 1. Основные понятия —
§ 2. Наилучшие приближения в пространстве С (К). Теорема
Хаара 12
§ 3. Теоремы Чебышева 18
§ 4. Алгебраические полиномы наилучшего приближения.
Многочлены Чебышева 27
§ δ. Пространство С. Тригонометрические полиномы наилучшего
приближения 33
§ 6. Некоторые вопросы наилучшего приближения в
пространстве L. Теорема Маркова 37
Глава 2. Прямые и обратные теоремы в периодическом случае . 42
§ 1. Характеристики гладкости функции —
§ 2. Теорема Тнмана 48
§ 3. Теорема Ахиезера—Крейна—Фавара 49
§ 4. Прямые теоремы 57
§ 5. Об м-поперечниках некоторых классов 2л-пернодических
функций 62
§ 6. Обратные теоремы 72
Глава 3. Прямые и обратные теоремы в алгебраическом случае . 79
§ 1. Метод индуцированных функций —
§ 2. Прямые теоремы 82
§ 3. Об л-поперечниках некоторых классов непрерывных функций 86
§ 4. Обратные теоремы 90
§ 5. Неравенство Маркова 95
Глава 4. Ортогональные многочлены 100
§ 1. Наилучшие приближения в гильбертовом пространстве . . —
§ 2. Общие свойства ортогональных многочленов „ . . 106
§ 3. Вопросы сходимости рядов Фурье по ортогональным
многочленам 112
§ 4. Многочлены Якоби . . 1^0
§ 5. Ультрасферические многочлены 129
§ 6. Многочлены Лежандра 137
§ 7. Многочлены Чебышева . . . . . . . 143
§ 8. Об л-поперечниках множеств в гильбертовом пространстве 146
Глава 5. Интерполяция 152
§ I, Общие вопросы интерполяции —
§ 2. Интерполяционный "процесс по корням ортогональных
многочленов 1«г)7
§ 3. Интерполяционный процесс по узлам Чебышева . . 161
§ 4. Интерполяционный процесс по равноотстоящим узлам . . 166
Глава 6. Две замечательные теоремы 172
§ 1. Теорема Бернштейна о наилучшем приближении
аналитической функции —
§ 2. Теорема Лозинского—Харшиладзе 176
Приложение. Некоторые свойства Г-функции 182
Указатель литературы . 183
184

к
И. К. Даугавет
^.
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА