/
Text
НОВЕЙШЕЕ РАЗБИТИЕ
КВАНТОВОЙ
ЗЛЕК7 ''ОДИНАМИКК
НОВЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ
КВАНТОВОЙ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
СБОРНИК СТАТЕЙ
Перевод
А. М. БРОДСКОГО
Под редакцией
Д. Д. ИВАНЕНКО
и*л
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1954
АННОТАЦИЯ
Сборник „Новейшее развитие квантовой электродина-
электродинамики" содержит переводы систематически подобранных
статей ряда иностранных физиков по вопросам современной
квантовой теории поля. В статьях подробно излагаются
математический аппарат и основные соотношения квантовой
электродинамики, а также мезодинамики и даются много-
многочисленные применения к теории элементарных частиц,
сдвигу уровней агомных электронов, проблеме собственной
энергии и т. д.
Сборнику предпослана обстоятельная вступительная
статья редактора перевода проф. Д. Иваненко, в которой
дан обзор современных проблем квантовой электродина-
электродинамики в связи со статьями, помещенными в сборнике.
Книга рассчитана в первую очередь на физиков теоре-
теоретиков и экспериментаторов, занимающихся элементарными
частицами, вместе с тем книга представляет интерес и для
более широкого круга физиков и математиков-—научных
работников, преподавателей, аспирантов и студентов, инте-
интересующихся современными проблемами физики в области
строения вещества.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
1. Вводные замечания
Предлагаемый вниманию читателей сборник, посвященный новейшему
развитию квантовой электродинамики и теории поля, тесно связан со сборником
„Сдвиг уровней атомных электронов" [I]1) и, сохраняя свою независимость, в из-
известной мере является его продолжением. В обоих случаях речь идет о новей-
новейшем развитии квантовой теории поля, главным образом квантовой электродина-
электродинамики, т. е. релятивистской квантовой механики взаимодействующих друг с другом
электронов, позитронов и электромагнитного поля. Это развитие получило за
последние 5 лет значительный толчок в связи с двумя важнейшими эксперимен-
экспериментами. Во-первых, проделанные радиоспектроскопическим методом весьма точные
измерения тонкой структуры бальмеровских линий водорода (Лэмб, 1947).
которые с окончательной достоверностью доказали наличие отклонения, хотя
и незначительного (порядка расщепления сверхтонкой структуры), » положении
термов от предсказанного теорией Дирака. При этом речь идет о сдвиге вверх
уровней 225\/2 в атомах водорода, замеченного оптическим методом еще в 1934 г.,
а также аналогичных смещениях уровней дейтерия и мерее значительном сдвиге
уровней 22А/2.
Согласно теории Дирака, уровни 226VO и 22/3!/., должны были бы совпадать.
На самом же деле уровень 225\/2 оказывается сдвинутым вверх по отношению
к уровню 22Р,.„ примерно на 1058 мггц-), или 0,033 см~\ т. е. на 1/10 дуб-
дублетного расщепления: 22Л/2— 22А.-,,, соответствующего 0,365 си или длине
волны 2,74 см. В дальнейшем под сдвигом мы будем подразумевать относи-
относительное смещение уровней B~S,h— 22А>„)-
Во вступительной статье к сборнику [1] была уже изложена довольно длинная
поучительная история открытия смещения уровней тонкой структуры спектра
водорода оптическим и радиоспектроскопическим путем, связанная по временам
с различными сомнениями в наличии сдвига, который, как выяснилось, в основном
обусловлен „вакуумными" эффектами.
Позднейшие измерения привели к следующему значению лэмбовского сдвига
уровней: AEz = B26V:,— 22Рн,) = 1057,77 мггц для водорода и 1059,00 мггц
для дейтерия (см. [2]).
Вторым фундаментальным экспериментальным фактом, значительно содей-
содействовавшим новейшему развитию квантовой теории поля, открытым в 1947 г.
также радиоспектроскопическим путем в лаборатории Раби, явилось обнаружение
у электрона некоторого, сравнительно незначительного дополнительного собствен-
собственного магнитного момента, сверх предсказываемого обычной теорией Дирака спи-
спинового момента, равного боровскому магнетону. Впервые дополнительный магне-
магнетизм был открыт при исследовании сверхтонкой структуры спектра основных
состояний водорода и дейтерия. Новейшие измерения этого „аномального" (с точки
зрения привычки, укоренившейся со времени установления наличия спинового
момента в 1925 г. и его теоретического объяснения в 1928 г.) магнитного
момента электрона, который, как мы увидим позднее, лучше называть
!) Цифры в квадратных скобках относятся к списку литературы в конце статьи.
2) 1 мегагерц = 1 млн. циклов в сек. (Мс/седг); в ряде статей сборника авторы пишут
просто Мс, хотя подразумевают Mclcetc. При переводе мы всюду пользовались обозна-
обозначением мггц.
1*
IV ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
„вакуумным", привели к значению, находящемуся в прекрасном согласии с теорет
ческим подсчетом, проделанным ныне уже до четвертого порядка в заряде [3J
!*, = К>-1.001145:+: 0,000012; ^о ^
В дальнейшем выяснилось, что физические причины, приводящие к сдви
энергетических уровней атомных электронов и добавочному магнитному момен-
электрона по существу являются теми же самыми.
Действительно (см. [1], а также книгу А. Соколова и Д. Иваненко [4
физическая причина этих явлений заключается в своеобразном взаимодейств]
электрона с „вакуумом" электромагнитного и электронно-позитронного поле
или с вакуумными флуктуациями этих полей.
Иначе говоря, наиболее точный квантово-релятивистский подсчет взаим
действия электрона с электромагнитным полем и полем пар электронов-поз
тронов должен учитывать разнообразные тонкие обстоятельства, связанш
с трактовкой „резервуара" или „фона" виртуальных, реально еще не излученнь
пар частиц и фотонов, в часшости поляризацию вакуума и вакуумные флуктуаци
Эти обстоятельства, игнорировавшиеся или недостаточно учитывавшиеся в прежш
более грубых расчетах, и позволили дать объяснение как сдвигу уровней, г,-
и я сдвигу" магнитного момента электронов. Важно подчеркнуть, что это объя
нение удалось дать в рамках существующей релятивистской квантовой теори
не выходя за ее рамки, хотя и существенно используя многие ее сторон!
остававшиеся ранее в тени, и смело делая новые, можно сказать, крайние вывод
из релятивистской квантовой механики, включающей теорию вакуума. Подобнь
новый фундаментальный успех релятивистской квантовой механики был anpnof
далеко не очевиден, так как могло оказаться, что объяснение вновь открыть
явлений потребует какого-либо существенного видоизменения существующ(
теории, например перехода к нелокализованным взаимодействиям, либо буд(
связано с выяснением недостаточно еще изученной структуры элементарнь
частиц.
Несмотря на незначительность обоих новых эффектов и отсутствие каки:
либо наглядных фотографий, видимых излучений и т. п., их исследоваш
оказалось тесно связанным с такими, наиболее принципиальными пpoблeмa^
теории элементарных частиц, как вопрос о природе их массы и, в частност
о выделении доли полевой массы, обусловленной связью частиц с полями, (
некоторой основной, так сказать, „затравочной" (ранее обозначавшейся к;
„механическая") массы. К этому же кругу проблем относится вопрос о выд|
лении доли „полевого" заряда и, наконец, вопрос о трактовке вакуума (бывше
„пустоты" и, отчасти, бывшего „эфира"). Наиболее принципиальные успе)
связаны главным образом с теорией вакуума, и новейшая его трактовка на]
более существенно отличается от прежней. Развитие „теории вакуума", к<
можно коротко охарактеризовать интересующую нас часть теории поля, npneej
не только к ряду физических идей, но и к значительному обогащению форм;
лизма новыми эффективными методами .расчета различных процессов при уче-
вакуума, оказавшимися во многих случаях весьма наглядными, а также новы*
приемами трактовки расходящихся выражений, по настоящее время являющих!
бичом теории поля.
По всей видимости, значение открытия „.тамбовского" сдвига и дополш
тельного магнетизма вместе с последующей разработкой теории вакуума для ра:
вития квантовой электродинамики и физики элементарных частиц пример!
сравнимо с огромной ролью, которую сыграло для атомной физики открыл
эффекта Зеемана более полвека назад, в 1896 г. Любопытной является так»
тесная аналогия в истории обоих открытий в смысле немедленного их объяснеш
теоретиками, Лоренцом в одном и Бете — Швингером в другом случае.
Наряду с квантовой электродинамикой ряд важных следствий из новейнк
теории вакуума был сделан также в теории мезонного поля, находящейся
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ V
начальной стадии развития. Аналогичным образом следует, повидимому, развить
также теорию гравитационного поля, в вакуумной трактовке которого сделаны
в настоящее время лишь предварительные шаги. Кроме того, как выяснилось
в последнее время, квантовая электродинамика позволяет получить важные ре-
результаты в релятивистской квантовой теории двух тел, например теории атома
водорода или атома позитрония. Существенно также подчеркнуть то обстоя-
обстоятельство, что произведенное уточнение положения энергетических уровней атомных
электронов за счет учета вакуумных электромагнитных взаимодействий, позво-
позволяет отделить небольшую часть в лэмбовском сдвиге, обязанную неэлектромаг-
неэлектромагнитной части взаимодействия электрона с ядром, в частности, обусловленную
силами, возникающими благодаря диссоциации нуклеонов, а также обязанную
размазанности заряда нуклеонов по ядру и т. д. Таким образом, учет этих
незначительных поправок может помочь выяснению структуры ядер и взаимо-
взаимодействия частиц. В целом мы имеем сейчас до некоторой степени завершенный
первый этап новейшей квантовой теории поля, приведший ко многим важным
результатам, изложению которых в работах зарубежных авторов и посвящен
данный сборник1).
В настоящей вступительной статье мы хотим главным образом дать срав-
сравнение различных методов, а также привести указания на опубликованные работы
советских авторов в данной области; небольшое дополнение посвящено каталогу
наиболее употребительных сингулярных функций.
2. Основные формы представлений квантовой электродинамики
Перейдем теперь к различным формулировкам квантовой электродинамики.
Подчеркнем, что речь идет при этом о различиях в формализмах, представляю-
представляющих каждый раз те или иные выгоды, например, в одном случае в виде большей
близости к обычным методам подсчета, в другом случае в смысле сплошной
релятивистской записи, в третьем случае в единообразной трактовке электронов
и позитронов и т. д. Окончательные же результаты расчетов различных эффектов,
в том числе непосредственно связанных с учетом вакуума, оказываются при
использовании определенных вычислительных приемов одинаковыми во всех рас-
рассматриваемых методах. Однако следует подчеркнуть, что при подсчете ваку-
вакуумных эффектов ряд новых методов, развитых Томонага, Фейнманом, Дайсоном,
Швингером и др., оказался, вообще говоря, более выгодным по сравнению
с прежним формализмом. Последовательное применение старых методов для под-
подсчета вакуумных эффектов также должно было бы привести к цели, однако,
по всей видимости, применение новых методов более целесообразно, именно
в теории вакуума, примерно в такой же степени как использование четырех-
четырехмерной релятивистской записи уравнений Максвелла для рассмотрения различных
вопросов теории быстро движущихся тел. Остановимся сначала на основных
уравнениях квантовой электродинамики в том или ином представлении (гейзен-
(гейзенберговском, шредингеровском, томонагэ-швингеровском). Во главу угла теории
ставится вариационный принцип
-^ (dx) = 0 (dx) = dxxdx^dxbdxv
где лагранжиан _g" (плотность лагранжевой функции) можно задать в виде
hc_ -}l
*) Относительно литературы по этому вопросу обращаем внимание читателей наряду
со статьями настоящего сборника и работами, цитированными в них и во вступительной
статье, на сборники „Проблемы современной физики", в частности, вып. 11, ИЛ, 1951.
VI ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
где "j'==ti'+Tf4 ==Tf*i'+ означает спинор, сопряженный с <Ь; ty+ эрмитово-conps
жено с ty; спиноры ty = Cty и ij)' = C^ являются зарядно-сопряженными к ty
ф соответственно; унитарная матрица С удовлетворяет условию
При этом волновая функция электромагнитного поля, представленная вектор
потенциалом А^, и волновые функции электронно-позитронного поля <|>(лг), ty(x
?(х) и у (х) являются операторами, действующими на функцию состояния $
являющуюся вектором в гильбертовом пространстве. Тем самым, теория форму
лируется в так называемом гейзенберговском представлении.
Лагранжиан Jg удовлетворяет всещ требуемым условиям инвариантности
1) функция _g* — лоренц-инвариантна; 2) _g*— калибровочно-инвариантна: пр
совместном преобразовании
11 ~* " дх* ' 4~>е V'
если ?2А = 0, то J3? не изменяется; 3) Jg — инверсно-инвариантна, т. е. инва
риантна по отношению к инверсии всех 4-х координат (пространственных :
временной). При этом следует подчеркнуть инвариантность _g* по отношени*
к изменению знака времени, которая недостаточно учитывалась в лредыдущи;
формулировках теории.
Инвариантность по отношению к изменению знака времени связана с за
рядной инвариантностью лагранжиана, которая является очевидной, ввиду неизмен
ности _?Рпри замене $->У и е-> — е (см. [124]). Развиваемая подобным зарядно
симметричным образом теория (см. статью II настоящего сборника), рассматриваю
щая электроны и позитроны эквивалентным образом, представляет ряд расчет,ны:
и физических преимуществ по сравнению с прежними формулировками, в кото-
которых электроны трактовались как частицы, а позитроны как дырки в состояния?
электронов отрицательных энергий. В этой связи отметим также, что при со-
совместной трактовке электронно-позитронного поля устраняется ряд расходимостей
получающихся при раздельном вычислении интегралов по электронной и пози-
трошюй частям поля.
Вообще единая трактовка не только электронно-позитронного поля, но также
и электромагнитного поля без разделения его на части, соответствующие испу-
испусканию и поглощению фотонов, и, кроме того, представляющее известные выгоды
при подсчете вакуумных эффектов совместное рассмотрение продольной, попе-
поперечной и скалярной частей поля являются характерными для ряда вариантон
новейшего формализма квантовой электродинамики.
Как показывает история физической науки, тенденция к единой трактовке
различных видов вещества, а также требование установления инвариантности
уравнений по отношению ко все более широким группам преобразований, являются,
вообще говоря, прогрессивными.
Варьирование лагранжевой функции приводит к уравнениям движения для
операторов полей, включающих члены взаимодействия:
1
(\~\ — ___ * /1*1 Н Т ЛГ
\yi j J „ \Лг) И J . А• >
где ]^{х) — ток, получающийся из лагранжевой функции в зарядно-симметричной
записи
. , . сес_ ту , \ }, \ V'(xf-r <" ' Al iec ''
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ VII
(квадратные скобки здесь и в дальнейшем обозначают коммутатор [А, В1=г
= АВ — ВА). Следует отметить, что это выражение для тика не требует учета
„фона", как это было необходимо в теории дырок.
К уравнениям движения следует добавить дополнительное условие для
дА
вектора состояния Ф: -^-?-Ф = 0, заменяющее собой более широкое условие
Лоренца
Затем, получив при помощи лагранжиана обычным образом „импульсы",
канонически-сопряженные с „координатами" поля <]^, А^, строим канонические,
трехмерные перестановочные соотношения, связывающие значения операторов
в одни и те же моменты времени:
{Ф* (г, 0. (Ф С'. 0 TJ?} = М (г—г') и т. д.
(фигурные скобки здесь и в дальнейшем обозначают антикоммутатор
{B}
(} + )
Из лагранжиана обычным образом могут быть получены также олерагоры
тензоров плотности энергии Гар, момента количества движения поля и другие
операторы, характеризующие систему. Средние значения операторов получаются
по формуле А — (Ф, АФ), где круглая скобка обозначает скалярное произве-
произведение.
Следует обратить внимание на то, что вектор состояния Ф в гейзенбергов-
гейзенберговском представлении постоянен, в противоположность операторам поля ^ и А,
зависящим от времени. Тем самым взаимодействие частиц и поля описывается
изменением операторов. Поэтому уравнение Шредингеровского типа (уравнение
движения для Ф) приобретает в данном представлении тривиальный вид:
Ввиду постоянства вектора состояния Ф, он зачастую явно в подобном форма-
формализме вообще не фигурирует.
Изложенная схема основных соотношений в принципе позволяет получить
решение любой задачи квантовой электродинамики. Однако прежде всего необ-
необходимо иметь значения коммутаторов поля не только в совпадающие, но и в раз-
различные моменты времени, для чего нужно решить уравнения Дирака и Максвелла
с членами взаимодействия, что, как известно, удается строго сделать лишь
в очень ограниченном числе случаев.
Вообще, некоторым недостатком данного формализма является то обстоя-
обстоятельство, что при формулировке квантовой электродинамики в гейзенберговском
представлении исходные перестановочные соотношения задаются не в четырех-
четырехмерном виде, а в некоторой специальной лоренцовой системе отсчета. Хотя вся
теория, как можно показать, является ковариантной, т. е. лоренц-инвариангной,
отсутствие явной ковариантности в исходных положениях представляет извест-
известные неудобства, значение которых, впрочем, было одно время, в частности
в первые годы развития новейшей теории вакуума A946—1951 гг.), сильно
преувеличено.
Недостаточная разработанность приближенных методов решения уравнений
поля и отсутствие инвариантности в трехмерных правилах перестановки при-
привели к тому, что формализм гейзенберговского представления квантовой элек-
электродинамики, являющийся исторически первым методом квантовой теории поля
VIII ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
был временно оставлен, несмотря на его очевидную принципиальную прост!
Для придания явной ковариантности гейзенберговскому представлению б
предложено заменить выполнимость перестановочных соотношений в дан:
момент времени условием их выполнения для пространственно-подобных раса
ний, когда (х — x'f > 0. Тогда, если х лежит на пространственно-подоб
трехмерной гиперповерхности о,
_, ' 1 »
Полный заряд и 4-импульс приобретают вид
Однако этот метод оказался громоздким, и с его помощью не было по;
чено каких-либо новых конкретных результатов, хотя идея введения простр;
ственно-подобных гиперповерхностей была широко применена в другом фори
лизме, так называемом представлении взаимодействия.
Ввиду указанных обстоятельств для решения проблем квантовой электр
динамики было предложено, притом еще до развития новой теории вакуув
использовать шредингеровское представление, являющееся обобщением трактов
квантовой механики частиц. Уравнение движения для функции состояния
в шредингеровском представлении имеет вид
где Н — полный гамильтониан, включающий член взаимодействия наря;
с гамильтонианами свободных полей. Это уравнение для F имеет в точное
форму обычного нерелятивистского шредингеровского уравнения для ф-функщ
в конфигурационном пространстве. В шредингеровском представлении эволющ
системы со временем описывается изменяющимся вектором состояния F, тог;
как операторы остаются постоянными. Как известно, в квантовой механш
частиц (не в теории поля!) оказалось, вообще говоря, более удобным применя:
именно шредингеровское, а не гейзенберговское представление и операторнь
уравнения типа р = — (дН/dq) и т. д. Оба формализма связаны в квантовс
механике простым образом, поскольку каждому оператору в гейзенберговско
представлении можно сопоставить соответствующую матрицу в шредингеровско
представлении
А.,пп = / ф^4ф« * = J С (г) Лф„ (г) Л <Гда) (ЯЛ> *.
Однако шредингеровское представление, несмотря на его наглядность и ря
других преимуществ, в особенности простоту получения приближенных решени
оказывается обладает значительными неудобствами в теории поля и, в частности
в квантовой электродинамике. Это связано, прежде всего, с отсутствием инва
риантности, притом в двух отношениях. Во-первых, время здесь явно выделен!
по сравнению с другими координатами; во-вторых, гамильтониан состоит и
двух членов
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ IX
где е%?0 — сумма плотностей энергии свободных элекгронно-позитронного и элек-
электромагнитного полей D4-компонент тензоров энергии), а $6 — плотность энер-
энергии взаимодействия, совпадающая со .взятым с обратным знаком лагранжианом,
взаимодействия и являющаяся инвариантом ?№ = — _g" = V. Сложение указан-
указанных двух разнородных величин представляет одну из наименее удовлетворитель-
удовлетворительных сторон шредингеровского представления.
Для устранения недостатков гейзенберговского и шредингеровского пред-
представлений было предложено перейти к новому, в некотором смысле смешанному
представлению Томонага, или представлению взаимодействия, развивавшемуся
усиленно в 1946—1949 гг. (см. статьи I и II настоящего сборника). В пред-
представлении взаимодействия вектор состояния зависит от времени (как в шредин-
геровском представлении), но его изменение определяется лишь взаимодействием.
полей и частиц (лагранжианом взаимодействия); операторы А^., ф в свою оче-
очередь зависят от времени, но как операторы свободных полей в гейзенбергов-
гейзенберговском представлении.
В квантовой электродинамике переход от гейзенберговского представления
к представлению взаимодействия, а также к другим представлениям задается не
меняющим средних значений каноническим преобразованием
(операторы поля преобразуются по закону A-+UAIJ-1), где U—унитарный
оператор, подчиняющийся уравнению
at
Отсюда, в силу постоянства Ф, следует уравнение движения для вектора состоя-
состояния W в представлении взаимодействия
Для наглядности следует подчеркнуть соответствие этого уравнения теории
поля с уравнением для коэффициентов разложения ф-функции по функциям невоз-
невозмущенной задачи и нерелятивистской квантовой механике частиц. Как известно,
полагая ф = 2 съ (f) фй (х), где фй (л;) = ф? (г) е"**^"^ (символически, ф = сфо)> МЬ6
получим без всяких пренебрежений вместо шредингеровского уравнения
—2
уравнение
или, символически,
где
Подобное уравнение для дираковских коэффициентов ск в нерелятивистской
квантовой механике является аналогом уравнения движения в представлении
взаимодействия и приходится лишь удивляться тому, что представление Томо-
Томонага было применено в квантовой электродинамике столь поздно.
При указанном выше каноническом преобразовании уравнения движе-
движения для операторов поля переходят в уравнения свободных полей. Аналогичным,
образом производится переход от гейзенберговского к шредингеровскому пред-
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
ставлению, при этом только в уравнение движения вместо V следует подстав-
подставлять полный гамильтониан Зв. Следует заметить, что подобное каноническое
преобразование при помощи унитарного оператора U может служить примером
ряда широко применявшихся преобразований (см. Швингер, статья II) с целью
"переброски тех или иных членов из уравнений движения для операторов поля
в уравнение движения типа Шредингера для вектора состояния или наоборот.
Переход к гомонага-швингеровскому представлению, возможный как со
стороны гейзенберговского, так и со стороны шредингеровского представлений,
явным образом устраняет трудность с неинвариантным гамильтонианом в урав-
уравнении для вектора состояния, имеющуюся в шредингеровском представлении.
Устранение второй трудности, присущей всем вариантам квантовой электроди-
электродинамики, основывающимся на гамильтоновом формализме, и связанной с особым
значением, которое играет время в перестановочных соотношениях и в уравнении
движения для вектора состояния, было достигнуто Томонага посредством введе-
введения обобщенного формализма, в котором вместо времени (нормаль к плоскости
t = const) используются нормали к пространственно-подобным гиперповерхно-
гиперповерхностям о в четырехмерном пространстве. В частности, неинвариантное условие
t = const, используемое, например, в трехмерных правилах перестановки, заме-
заменяется на инвариантное условие о = const; действительно, известно, что при
лорентцовых преобразованиях пространственно-подобные гиперповерхности пере-
переходят друг в друга, образуя группу').
При использовании подобного сверхмноговременного формализма вместо
уравнения движения шредингеровского типа для вектора состояния в представ-
представлении взаимодействия получается полностью инвариантное уравнение Томонага
¦[здесь V(x) инвариантный эрмитов оператор, характеризующий взаимодействие
и имеющий размерность плотности энергии]. Точно так же можно обобщить
трехмерные правила перестановки, заменяя соотношения между переменными на
гиперповерхности t= const правилами перестановки для операторов поля в точ-
точках, лежащих на произвольной пространственно-подобной гиперповерхности.
Выражая теперь решения для операторов, подчиняющихся в представлении
взаимодействия уравнениям свободных полей, через граничные условия на про-
пространственно-подобной гиперповерхности при помощи соответствующих сингу-
сингулярных функций, в частности, для уравнения Дирака в виде
где S (х—х') — запаздывающая функция Грина (гриниан) уравнения Дирака, и
подставляя это выражение для ^ и аналогичное выражение для А^ в трехмерные
перестановочные соотношения, получим искомые четырехмерные перестановочные
соотношения, совпадающие по виду с формулами для свободных полей в гейзен-
гейзенберговском представлении
[А„ (дг), Av (л/)] = Лс 8^ D (х — х'),
(х), ^ (х1)} = -} Sa? (х — х') и т. д.
Для мезонного псевдоскалярного или скалярного поля имеем
—х').
{Относительно анализа дополнительного условия Лоренца отсылаем читателя
к статьям II и VII настоящего сборника.)
См. также обзоры [б].
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ XI
Таким образом, мы нашли все основные соотношения квантовой электроди-
электродинамики (уравнение движения для вектора состояния и правила перестановки)
в представлении взаимодействия, которые позволяют в принципе решать очень
многие задачи. Большинство работ по квантовой теории поля в 1947—1951 гг.
было выполнено в этом представлении.
Отсылая за деталями оперирования с используемыми гиперповерхностями о
к статьям I и II настоящего сборника и к статье Дайсона, перевод которой дан
в сборнике {1], ограничимся в этом пункте двумя замечаниями.
Во-первых, введение о и использование аппарата функционального анализа
является дальнейшим обобщением многовременного формализма Дирака—Фока—
Подольского, в котором каждой частице сопоставляется свое время t, а все
электромагнитное поле имеет общее время tf. Введение а означает в известной
мере переход к сверхмноговременному формализму, в котором каждой точке
пространства соответствует свое время.
Во-вторых, следует подчеркнуть, что так же, как и в случае многовремен-
многовременного формализма, использование сверхмноговременного формализма в представ-
представлении взаимодействия не привело к каким-либо значительным усовершенствова-
усовершенствованиям в теории, и его роль, казавшаяся одно время преувеличенно важной,
сейчас в значительной мере свелась к вспомогательной службе при доказатель-
доказательстве возможности записи гамильтонова формализма без выделения времени.
Уравнения же квантовой теории поля в представлении взаимодействия при реше-
решении конкретных задач записываются чаще всего с помощью обычного времени.
Отметим еще, что в противоположность сделанному Томонага ограниче-
ограничению пространственно-подобными о, оказавшемуся довольно плодотворным в период
развития формализма представления взаимодействия, Вейсс, Дирак и др. (см.,
например, [6]) предлагали использовать в теории поля аппарат функционального
анализа с произвольными гиперповерхностями. Несмотря на то, что таким путем
удалось осуществить обобщение на сверхмноговременной формализм, переход
к соответствующим перестановочным соотношении давал аналог перестановоч-
перестановочных соотношений четырехмерного типа, т. е. требовал решения уравнений дви-
движения для операторов поля с членами взаимодействия. Таким образом, вновь
возникала одна из трудностей гейзенберговского представления, заключавшаяся
в необходимости решения уравнений движения, притом в данном случае в излишне
усложненном виде. В то же время при ограничении пространственно-подобйыми
з по существу достаточно иметь получающиеся без особого труда решения
уравнений для свободных полей.
Относительно формализма представления взаимодействия в литературе был
высказан ряд критических замечаний. Хотя этот формализм Томонага — Швин-
гера позволил впервые вычислить вакуумную добавку к магнитному моменту
с относительной точностью до а и произвести ряд других важных расчетов,
однако его известная громоздкость и некоторые другие недостатки, на которых
мы сейчас остановимся, затрудняли его использование. Эквивалентный предста-
представлению Томонага, но более простой и наглядный формализм Фейнмана (см.
ниже) пролил свет на многие вопросы квантовой теории поля, но также не дал
возможности быстро продвинуться вперед на пути вычисления поправок выс-
высшего порядка.
Поэтому разумный смысл приобрел возврат к гейзенберговскому предста-
представлению с попыткой преодоления в рамках самого формализма отмеченных выше
его недостатков, оказавшихся к тому же при ближайшем рассмотрении не столь
серьезными.
Целесообразность возврата к гейзенберговскому представлению диктуется
также невозможностью простой трактовки в представлении взаимодействия кван-
квантовой мезодинамики. Действительно, оказывается, что не только операторы
мезонного поля, но и результгты приближенных вычислений, будут в данном
случае зависеть от формы поверхности о и от направления нормали к о, что
физически очевидно лишено смысла. В числе недостатков представления взаи-
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
модействия следует отметить также фактическую необходимость применять во
всех задачах метод последовательных приближений при отсутствии общего дока-
доказательства сходимости получающихся рядов, а также неудобства его применения
^ля связанных состояний. Отметим, наконец, что, производя каноническое пре-
преобразование от исходного гейзенберговского представления к представлению
Томонага, мы не можем быть уверены в том, что при этом не проявятся так
называемые „патологические" свойства неограниченных операторов (см., напри-
например [7]), которые исказят характер решений и без того пораженных язвами
расходимостей. В той же связи следует отметить, что приближенные расчеты
в представлении взаимодействия приводили к выражениям, не являющимся калибро-
вочно-инвариантными. Устранения подобных лишенных ^физического смысла членов
удавалось достигнуть лишь при помощи специальных приемов регуляризации;
в частности, получить требуемую исчезающую массу фотона оказалось возможным
лишь при введении регуляризации Паули — Вилларса.
Следует отметить, что желательность возврата к гейзенберговскому пред-
представлению в те годы A946—1951 гг.), когда большинство расчетов производи-
производилось при помощи представления взаимодействия или метода Фейнмана, была
впервые отмечена в статьях Янга и Фельдмана [8], а также Кэллена [9].
В близкой связи с содержанием работы Кэллена находятся исследования
А. Д. Галанина [10], который, работая в гейзенберговском представлении, неза-
независимо получил уравнения, также дающие возможность определить вакуумные
поправки в квантовой электродинамике по методу последовательных прибли-
приближений.
Как уже указывалось выше, в гейзенберговском представлении мы можем
подсчитать интересующие нас эффекты и в том числе вакуумные поправки
в ряде конкретных задач, если сумеем найти точное, или по крайней мере
приближенное, решение дираковских уравнений в заданном электромагнитном
поле. В этой связи обратимся к новому варианту гейзенберговского представ-
представления, к которому вернулся Швингер. Непосредственно за работами Швингера
(статья II, части I, II, III), посвященными решению ряда основных вакуумных
проблем в представлении взаимодействия, можно поставить его статью „Теория
квантованных полей" (статья И, часть IV), в которой производится с новой точки
зрения детальный анализ перестановочных соотношений и дается новая общая
формулировка квантовой электродинамики локализованных полей; при этом делается
ударение на функции преобразования, описывающей эволюцию системы во времени
и связывающей величины, заданные на различных пространственно-подобных
поверхностях. Эта работа содержит также важный анализ инвариантности по
отношению к инверсии времени, который приводит к новому выводу теоремы
Паули о спине и статистике.
В дальнейшем развивая идеи данной работы, Швингер с сотрудниками
пришли к специальному варианту гейзенберговского представления, в основе
которого лежат гринианы, и с его помощью рассчитали ряд важных эффектов.
Вторая серия работ Швингера и его сотрудников, представляющая немалый
интерес как в принципиальном смысле последовательной новейшей трактовки
гейзенберговского представления, так и в отношении разработки эффективных
методов расчета высших приближений в теории лэмбовского сдвига, тонкой
структуры, вакуумного магнитного момента и других явлений, начинается со статьи
Швингера „О калибровочной инвариантности и поляризации вакуума" A951 г.)
(см. статью VIII настоящего сборника). Характерным является также использо-
использование не только лорентцовских и инверсно-инвариантных, но также и явно
калибровочно-инвариантных величин, в результате чего устр?няются трудности,
связанные с массой фотона и, кроме того, применение собственного времени в
качестве основного параметра.
Наряду с гейзенберговским, шредингеровским и томонаговским представ-
влениями, Дайсон разработал некоторое более общее „промежуточное" пред-
представление операторов, по отношению к которому гейзенберговские операторы
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ XIII
являются частным случаем [11]. В промежуточном представлении изменения
в состоянии системы, происходящие в области малых частот, описываются изме-
изменением вектора состояния как в представлении взаимодействия, тогда как
в области высоких частот имеют место изменения со временем операторов поля,
как в гейзенберговском представлении. При этом используются с самого начала
средние по времени от операторов по некоторым конечным пространственно-
временным областям. Промежуточное представление оказывается удобным для
изолирования бесконечностей и проведения перенормировки заряда.
Отметим сейчас некоторые идеи квантовой теории поля, связанные с рабо-
работами Штюкельберга. Штюкельберг и его сотрудники опубликовали в последние
годы ряд статей [12], в которых параллельно с другими авторами анализиро-
анализировалась и развивалась теория 5-матрицы рассеяния и устанавливалась ковариант-
нзя форма теории поля, по существу весьма близкая к формализму представле-
представления взаимодействия. Во главу угла теории здесь ставится, однако, не дифферен-
дифференциальное уравнение типа Томонага, а соответствующее интегральное уравнение
вида
У [т»1 = S [z", т'] W (У), S+ • S = 1,
где унитарный оператор 5 описывает изменение функционала W при переходе
от одной пространственно-подобной гиперповерхности (т'), определяющей момент
времени, к другой (%"). Кроме требования релятивистской инвариантности S,
которая должна быть скаляром, и ее унитарности, связанной с вероятностным
характером волновой функции, во главу угла в теории ставится также особым
образом сформулированное условие причинности. Последнее сводится к исполь-
использованию в качестве величины, характеризующей взаимодействие в квантовой
теории поля, определенной сингулярной „причинной" (каузальной) функции Dc,
обобщающей запаздывающую гриновскую функцию классической теории волно-
волнового даламберовского уравнения (и в дальнейшем к применению соответствен-
соответственного обобщения в теории электрона). Впоследствии Dc обозначалось терез Dp
(Фейнман—Дайсон) или Д+ (Швингер). Оказывается (см. приложение о сингуляр-
сингулярных функциях, п. IV), нужно положить
D W D+ Ф + D^(*) ¦= 4l6+ С*4)D+ (*) + 6"(*4)D"(*)!•
Действительно, вполне аналогично рассуждениям классической электродинамики,
при помощи Dc учитывается не только запаздывающее воздействие со стороны
событий, имевших место в прошлом, но также граничное условие в будущем,
посредством опережающих потенциалов. De содержит в будущем (лг4 > 0)
только волны с положительными частотами и в прошлом лишь волны с отри-
отрицательными частотами, что соответствует переносу взаимодействия посредством
квантов положительной энергии. Следует, однако, подчеркнуть, что интересные
во многих принципиальных пунктах работы группы Штюкельберга не привели
к каким-либо конкретным результатам, повидимому, ввиду отсутствия контакта
с экспериментом, и несколько отошли поэтому на второй план.
Заметим еще, что вопросы теории вакуума можно рассматривать, пользуясь
методом функционалов Фока, с успехом применявшимся ранее в некоторых про-
проблемах квантовой электродинамики [13, 14]. При помощи метода функционалов
можно построить теорию 5-матрицы, а также получить приближенные выраже-
выражения с точностью до второго порядка для оператора вакуумных поправок и
тюлевой электромагнитной энергии электрона [15]. Совпадение результатов, полу-
полученных методом функционалов с известными выводами Фейнмана — Швингера и
др., не вызывает удивления, поскольку ранее была доказана эквивалентность
этого метода с формализмом обычной квантовой электродинамики. Как было
подчеркнуто Ю. В. Новожиловым [15], метод функционалов позволяет избежать
применения многовременного формализма и вторичного квантования для элек-
электронов.
XIV ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
3. Решение уравнений квантовой электродинамики
а) Методы решений в представлении Томонага и Гейзенберга. Поясним
сейчас коротко основные методы решений уравнений квантовой электродинамики,
от'сылая за всеми подробностями к статьям настоящего сборника и дальнейшей
литературе. Для решения уравнения Томонага следует положить
—оо),
выражая тем самым значение вектора состояния на произвольной простран-
пространственно-подобной гиперповерхности о через его значение в бесконечном прошлом.
Заметим, что оператор столкновения U(-j-oo) совпадает с 5-магрицей
рассеяния Гейзенберга. Уравнение, которому удовлетворяет унитарный опера-
оператор U (а):
вместе с начальным условием
U( — oo)=l,
можно заменить интегральным уравнением
или, в симметричной относительно прошлого и будущего форме
и(а) = 1—L
—оо
Здесь инвариантный знаковый временной символ г (a, o') = rtl (в зависимости
от того, предшествует ли о поверхности о' или наоборот).
Решение интегрального уравнения удобно представить в следующей итери-
итерированной форме, соответствующей методу последовательных приближений и
заключающейся в подстановке в правую часть уравнения приближенных значе-
значений U, начиная с Uo—U(—оо)=1:
) f
Используя оператор порядка (или упорядочения во времени) Р, член re-го при-
приближения в U(oo)==S можно написать [в виде следующей фундаментальной,
часто применяемой, формулы:
Sn = I ( — ~f fPCV (х') &в (Xя) ...&е 0<П1)) dm' dm" ... dw(nK
—со
Важно отметить, что матрица рассеяния 5=f/(oo), определенная выше в пред-
представлении взаимодействия Томонага — Швингера, в точности совпадает с тем
оператором в гейзенберговском представлении, который преобразует в решениях
уравнений движения падающие волны в рассеянные. Действительно, падающие
волны (tyin, Ain)y являющиеся в гейзенберговском представлении свободными
при t = — оо, так же, как и расходящиеся волны (^out, A0^, t = + оо), удов-
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ XV
летворяют в случае рассеяния одним и тем же перестановочным соотношениям
для свободных полей:
{tfn с*), ~4п со}=- « «р с* - *о>
[А? (*), А{п(х'I = Шс Ьф (х — л:'),
Следовательно, операторы ф1п, Ain и ф0111» ^out являются^унитарно-эквивалент-
ными, т. е. могут быть получены друг из друга с помощью некоторого уни-
унитарного оператора 5
A7t(.x) = S-1A\n(x)S и т. д.
Как было отмечено Янгом и Фельдманом [8] и Кэлленом [9J,f унитарный опера-
оператор 5 совпадает также с S-матрицей Гейзенберга, подобно оператору столкно-
столкновений Швингера U(oo). Только что указанный результат, подчеркнув фундамен-
фундаментальную роль 5-матрицы рассеяния, вместе с тем, со своей стороны, показал,
что представление взаимодействия, наиболее широко использовавшееся раньше
A946—1951 гг.), не является единственной последовательной трактовкой совре-
современной квантовой электродинамики. С другой стороны, решение уравнений дви-
движения в гейзенберговском представлении можно искать в видеорядов по постоянной
связи [9]:
где операторы <j/0) и А^ подчиняются уравнениям свободных полей. При под-
подстановке указанных рядов в уравнения движения для операторов поля полу-
получаются следующие рекурентные соотношения для последовательных членов раз-
разложения:
т=0
п
i)y ч ibc
В частности, для членов первого приближения отсюда получим
= — i J 5 (л: — л:') ^Л@) (л:') ^@) (лг') (dx'),
) = -^ Г D(х — лг') [ф@) (д;'), т ф») (х')] (</лг'),
где член [^^(х'^^^Ф)(^х')] соответствует нулевому приближению оператора тока,
a S(x — лг') и D(x—лг')—гриниаиы уравнения Дирака и соответственно урав-
уравнения Даламбера.
Члену л-го порядка можно также придать характерный вид повторных
коммутаторов (см. статью II):
= in j dx1 ... J* dxW \&e (*(»)), \...\&в (лг') ф») (лг)]...]],
— CO —CO
Af {x) = in J dx' ... J dxin) \m (лг(га)), \...\т (У), А® (лг)] ...]].
XVf ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
При помощи этих формул сравнительно нетрудно установить (полную эквивалент-
эквивалентность окончательных результатов решения уравнений квантовой электродинамики
в гейзенберговском представлении и представлении взаимодействия. В швинге-
ровском новом варианте гейзенберговского представления также были развиты
эффективные методы теории возмущений.
Поясним теперь коротко некоторые стороны вычисления матричного эле-
элемента члена л-го приближения матрицы рассеяния (Sn) для какого-либо про-
процесса, где Sn было найдено в виде
sn = 1л (~ if)" / р (#? (*i) • • • & (*»)) (dxi) ¦ ¦ • (<**.).
причем в квантовой электродинамике плотность энергии взаимодействия
н(*)
При развитии новейшей квантовой электродинамики приходится иметь дело
¦с различными сложными эффектами, которые можно интерпретировать как
испускание и поглощение виртуальных частиц (фотонов, электронов-позитронов)
в промежуточных состояниях. При вычислении матричного элемента члены С ком-
коммутаторами и антикоммутаторами виртуальных частиц будут давать средние по ва-
вакууму соответствующих выражений. Их вычисление для электромагнитного и элек-
тронно-позитронного поля привело к следующим фундаментальным выражениям:
<{Л,(*), Л,(*0})о = (Фо, МДх), A4{x')}%) = ucb^D{1\x — x'),
ИЫХ)' Фт(*')])о = (Фо. МрС*)» Фт(ж01Фо) = — S$(x — x') (Фо —вакуумный
вектор состояния).
При вычислении этих выражений использовано следующее определение ваку-
вакуума электромагнитного поля (см. статью II):
{A\?l(x) — положительно-частотная часть поперечной компоненты вектор-потен-
вектор-потенциала Ац), которое, наглядно говоря, соответствует невозможности уничтожения
частиц в вакуумном состоянии, поскольку последнее соответствует отсутствию
реальных поперечных фотонов. В дальнейшем оказалось более целесообразным
применить новое определение вакуума:
где А^(х) положительно-частотная составляющая полного вектор-потенциала
без разделения на поперечную и продольную компоненты. Наиболее последова-
последовательное определение вакуума электромагнитного поля было дано в работе
Гупта [16], обратившего должное внимание на учет условия Лоренца. В самом
деле из более раннего предварительного анализа Швингера (см. статью II
часть II) вытекала возможность наличия в вакууме бесконечного числа пар
фотонов, соответствующих продольной части векторного потенциала и скалярному
потенциалу, энергии которых, впрочем, взаимно компенсировались. Для полного
последовательного устранения возможности наличия каких бы то ни было фото-
фотонов в вакууме Гупта [16] предложил ввести индефинитную метрику в гильбер-
гильбертовом пространстве векторов состояния.
Аналогичным образом вакуум спинорного поля определяется условиями
что соответствует невозможности уничтожения реальных электронов и позитронов
в вакууме (здесь М+) (х) обозначает положительно-частотную часть опера-
оператора
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ XVII
Возвращаясь к вычислению члена матричного элемента Sn, отметим, что
остающиеся сверх вакуумных значений операторы свободных полей заменяются
в случае, например, задачи рассеяния на плоские волны или соответственно на
внешние поля.
б) Метод упорядочения. К эквивалентным результатам приводит метод
вычисления матричных элементов отдельных членов S-матрицы, предложенный
Урье и Киндом [17] и разработанный Виком (см. статью VII). Идея данного
метода, весьма тесно примыкающего к излагаемому ниже формализму Фейнмана—
Дайсона и в известной мере оказавшегося его истолкованием, заключается
в установлении ряда относительно простых правил для упорядочивания членов
«S-матрицы, путем перестановки множителей в отдельных ее членах Sn с целью
облегчения физической интерпретации и последующего вычисления матричного
элемента.
Действительно, целесообразно представить матричный элемент в форме,
в которой все операторы уничтожения реальных, присутствующих в конце про-
процесса частиц („свободные" операторы по терминологии Дайсона) стояли бы
справа от операторов порождения, причем последние находились бы непосред-
непосредственно рядом с предыдущими. Операторы виртуальных частиц следует ском-
скомбинировать в пары, соответствующие их последовательному порождению и унич-
уничтожению.
Возможность подобного упорядочивания связана с тем, что операторы раз-
различных фотонов, а также электронов-позитронов и фотонов между собой ком-
коммутируют, а операторы различных электронов-позитронов антикоммутируют.
В результате подобных перестановок получаем в конце концов в каком-либо
члене матрицы Sn наряду с операторами порождения реальных частиц, стоящими
слева от операторов поглощения, также коммутаторы и антикоммутаторы опера-
операторов виртуальных частиц. Наряду с хронэлогическим Р-произведением Дайсона
вводится еще два других типа упорядоченных произведений Т и N. Произведе-
Произведение хронологического типа, обозначаемое через Г, определяется как Р-промзве-
дение с добавочным знаковым множителем 8 = rt 1 в зависимости от четности
перестановки электронно-позитронных операторов, например,
если хо>уо,
-т. ... .
— ty(.y)ty О)> если х0 < у0,
в отличие от
U *0>У0,
Таким образом, в случае спинорных операторов А и В
Т(А (х) В (у)) =- Л (д) 2? О) 1 + У' у) - В (у) А{хI~ ^х' у) ¦
Нормальное, или Л/-произведение множителей U, V ... Z определяется как
специальным образом упорядоченное произведение, в котором операторы поро-
порождения электронов, позитронов и фотонов стоят слева, а операторы уничтожения
стоят справа и все произведение умножается на множитель 8?, определенный
выше. Например г),
Ш (У)) = Щи (*) « (У)) Нг N{u (х) v (у)) + N& (х)Ъ (у)) + N(v (x), v (у)) =
*) Мы отступаем здесь вместе с А. И.' Ахаезером от наименования нормального
произведения как S-произведения и от обозначения его двумя точками, например
: $ (х) ф (у): = —: ф (у) <j> (*): ввиду очевидного неудобства записи с двоеточием и боль-
большой нагрузки, которую и без того несет буква S.
2 Зах. 573.
XVIII ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
При этом спинорные операторы представляются в виде операторов порождения
и уничтожения, например
где и(х) уничтожает электроны и т. д.
Аналогично для вектор-потенциала электромагнитного поля А^(х) полагаем
А^ (*) = а Длг)+ <(*),
где а^(х) уничтожает фотоны и т. д.
Способ получения нормального произведения станет ясным, если вспом-
вспомнить, что
«(*)«00 = {«(¦*). «Су)}—«Су)«(*)»
где антикоммутатор является с-числом, а не оператором.
Заметим, что
Любопытно отметить, что оператор дираковского тока в представлении
взаимодействия можно записать в виде нормального произведения
Jr. О) = iecN$(x) -($ (х)).
Подобное представление j^ эквивалентно записи тока в зарядно симметрич-
1 PC
ной форме, которая была указана выше j\ = -р— [<1> (лг),
Как легко видеть N(ty(x)ty(y)) =— W('il(_y)IV (*))"» кначе говоря, оба члена
тока в швингеровской записи имеют одинаковые Jv-произведения, но обратные
по знаку и равные по абсолютной величине средние вакуумные значения.
Существенное для данного формализма соотношение заключается в формуле,
связывающей хронологическое произведение с нормальным произведением. На-
Например, для случая двух множителей
где соединительным значком снизу обозначено „свертывание" (контракция, связь)
двух операторных множителей; свертывания различных полей равны согласно
определению нулю:
Аналогично имеем
Важную роль играют значения следующих свертываний, являющихся с-чи-
слами:
U*ri (у) = {«(лг), « су)} = 2 -iv (лг) ? су) при х0 > у0,
= —-{«(*)»*> 00} = — 2 "К-(лОФгОО ПРИ лго<^о.
где в первом случае суммирование распространяется по волновым функциям
состояний положительной, во втором — отрицательной энергии. Тем самым мы
вновь приходим со стороны рассматриваемого сейчас формализма упорядоченных
произведений к сингулярным причинным функциям, играющим фундаментальную
роль в новейшей квантовой электродинамике:
х—у).
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ XIX
Напомним, что среднее по вакууму значение хронологического упорядочен-
упорядоченного коммутатора для вектор-потенциала электромагнитного поля равно, согласно
Дайсону,
(Р [Л„ (х), А, О01)о = \ Hc\,,Dv (х —у),
Краткие сведения о функциях Dp и 5у и др. даны в конце настоящей
статьи (приложение о сингулярных функциях, стр. LII).
Развитый подобным образом формализм может быть непосредственно при-
применен к вычислению матричного элемента члена какого-либо порядка в 5-матрице,
в которой хронологическое произведение может быть сведено к нормальным
произведениям и свертываниям (контракциям). При этом наглядным образом
свертывания соответствуют поглощению и испусканию одних и тех же частиц, т. е.
заменяют поглощение и испускание виртуальных частиц в других формулировках.
в) Графическая интерпретация Фейнмана. Перейдем теперь к фейнман-
дайсоновской интерпретации матричных элементов Sn. В то время как Швингер
и Штюкельберг проводят вычисления матричных элементов, сводя непосредственно
вакуумные члены к причинным функциям, а Урье—Кинд—Вик делают ударение
на алгебраических правилах, Фейнман и за ним Дайсон применяют более нагляд-
наглядную графическую интерпретацию при помощи диаграмм или графиков, получив-
получившую широкое применение в литературе последних лет. Последнее обстоятельство
связано в известной мере с тем, что статьи Фейнмана написаны в наглядном,
апеллирующем к интуиции стиле, хотя, конечно, метод диаграмм по существу со-
совершенно эквивалентен предыдущим. Дайсон довольно удачно привел в систему
фейнмановские результаты в виде нескольких правил расчета матричных элемен-
элементов, которые непосредственно вытекают также из формализма упорядочивания
Вика. Следует отметить, что увлечение диаграммами Фейнмана привело к извест-
известным преувеличениям и распространению представления, что диаграммы являются
не вспомогательной иллюстрацией, но связаны с сущностью физического про-
процесса. Наглядным опровержением подобного взгляда, против которого возражал,
в частности, также Кэллен, служат работы группы Швингера, в которых вовсе
не применяются какие-либо диаграммы, как и труды других авторов (А. Соколов,
Вайскопф и др.), приходящих к эквивалентным результатам. Несомненно,
однако, что в трудных проблемах теории поля, в особенности связанных с про-
проблемами вакуума, диаграммы играют полезную роль.
Поясним коротко сущность сопоставления матричному элементу диаграммы,
которая конструируется из п вершин (для члена 5га), а также фотонных и элек-
электронных линий, исходящих из этих вершин. В вершинах лг,: происходит взаимо-
взаимодействие электронов с фотонами, либо с внешними полями. Электронно-позитрон-
ные линии будем обозначать обычной, сплошной линией, отмечая притом их
направление („напоавленные" линии). Фотоны будем обозначать волнистыми
линиями. В дальнейшем можно будет обозначить мезоны штриховыми черточ-
черточками, нуклеоны ломаными линиями, гравитоны точечным пунктиром и т. д.
Отдельные множители 'ф, ty, А (х), соответствующие электронам-позитронам либо
фотонам, реально испускаемым в конце процесса, либо реально поглощеьным,
будут изображаться линиями со свободными концами, причем линия fy(x) будет
направлена во внутрь диаграммы, а линия <1*(лг) — во вне. С каждой точкой xt
будет связан член взаимодействия Q%?t = — ieAyfyiv-ty- Свертывание между величи-
величинами А (х) и А {у) заменяется фотонной линией между точками х и у. Сверты-
Свертыванию же между ф (х) и ф (у) будет соответствовать на диаграмме обычная
линия, направленная от х к у. В статьях Фейнмана, Дайсона, Мэтьюса и Салама
и др., приведенных в настоящем сборнике, даны многочисленные диаграммы,
2*
XX
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
иллюстрирующие различные процессы, а также рассмотрена их классификация
по характеру встречающихся в них вершин и линий, имеющая важный физиче-
физический смысл в связи с тем, что между диаграммами и различными членами
S-матрицы устанавливается взаимооднозначное соответствие. Мы ограничимся
сейчас несколькими простейшими примерами.
Все квантово-элекгродинамические эффекты первого порядка изображаются
диаграммой одного и того же типа (фиг. 1) (которая описывает, например, рас-
рассеяние электрона-позитрона во внешнем
поле, изображаемом фотонной линией, или
испускание фотона электроном и т. д.).
Фиг, 1.
Фиг. 2.
Фиг. 3.
Фиг. 4.
Следует подчеркнуть, что при построении подобных диаграмм речь идет о гра-
графическом изображении в топологическом смысле. Поэтому и дл? процессов вто-
второго, третьего и т. д. порядков следует рисовать лишь топологически неэкви-
неэквивалентные графики. Для иллюстрации приведем графики некоторых процессов
второго порядка. Рассеянию фотона на электроне (комптон-эффект) соответствует
график фиг. 2.
График того же типа иллюстрирует ряд других процессов, например, обра-
образование пары электрон-позчтрон двумя фотонами, или образование пары фото-
фотоном во внешнем поле, а также обратные процессы превращения пары в два
фотона, либо в один фотон во внешнем поле и др.
Взаимодействие электронов (позитронов) через фотоны в низшем порядке
описывается диаграммой, приведенной на фиг. 3, к анализу которой мы еще
вернемся.
На фиг. 4 приведена одна из диаграмм тормозного испускания фотона элек-
электроном в поле другой частицы, являющегося типичным эффектом третьего по-
порядка.
Для дальнейшего существенны процессы, связанные с вакуумом, которые
иллюстрируются диаграммами, содержащими в той или иной форме замкнутые
петли. Взаимодействие электрона с нулевыми колебаниями (флуктуациями) фото-
фотонов, иначе говоря с вакуумом электромагнитного поля, иллюстрируется в низшем
порядке диаграммой фиг. 5. Эта диаграмма изображает возникновение собствен-
собственной полевой электромагнитной энергии электрона (эффект самодействия). Анало-
Аналогичным образом конструируется диаграмма собственной энергии фотона (также
\
Фиг. 5.
Фиг. 6.
Фиг. 7.
эффект самодействия), иллюстрирующая взаимодействие фотона с электронно-
позитронным вакуумом (фиг. 6).
Собственная энергия вакуума, соответствующая переходам вакуум-вакуум,
связанная с виртуальным порождением и уничтожением частиц, не участвующих
в других стадиях процесса, изображается диаграммой фиг. 7.
Заметим, что переход вакуум-вакуум второго порядка, изображенный изо-
изолированным графиком, не связанным с другими частями диаграммы, является,
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
XXI
) у- , -/
очевидно, ненаблюдаемым, если не считать влияния, оказываемого этим перехо-
переходом на реальные переходы чер,ез посредство принципа Паули.
Очевидно собственно-энергетические части, связанные, как ясно из преды-
предыдущего, с другими часгями той или иной диаграммы, описывающей какой-либо
процесс двумя фотонными или двумя электронными линиями, будут входить
как целое во все процессы высшего порядка. Например, учет частей самодей-
самодействия в приведенной выше диа-
диаграмме, отвечающей взаимодей-
взаимодействию двух электронов, даст, в
частности, диаграммы, приве-
денные на фиг. '8, которые
соответствуют подсчету взаимо-
взаимодействия в четвертом порядке.
Заметим, что если при-
присоединить сюда диаграммы, со-
соответствующие включению ча-
частей самодействия в линии вто-
второго электрона, а также диа- Фиг. 8.
граммы, описывающие взаимо-
взаимодействие частиц через два фотона (фиг. 9), то мы получим все поправки четвер-
четвертого порядка к (меллеровскому) взаимодействию.
В связи с дальнейшими рассуждениями на фиг. 10 приведена еще "диаграмма
важного процесса четвертого порядка: рассеяние света на свете через виртуаль-
виртуальное порождение пары электрон-позитрон и последующую аннигиляцию этой же
пары (другие аналогичные графики получаются перестановкой вершин).
Фиг. 9.
Фиг. 10.
А
Фиг. 11.
Очевидно, возможно составить стандартный набор диаграмм для всех про-
процессов первого, второго, третьего и т. д. порядков, однако с увеличением
порядка их число быстро растет, что ведет к потере основного их достоинства,
заключающегося в наглядности.
В случае обычной линейной электродинамики из каждой вершины, как непо-
непосредственно явствует из вида энергии взаимодействия и лагранжиана свободных
полей, могут исходить лишь две электронные линии и одна фотонная, либо
только две электронные линии. Однако в нелинейной теории, например, в нели-
нелинейной мезодинамике, рассматриваемой коротко киже, когда в лагранжиан вхо-
входят множители типа о8-••?*•••?"> из каждой вершины может, очевидно, выхо-
выходить 3, 4...п линий.
Аналогичным образом следует, притом всеми возможными способами, выде-
выделить, или включить, части самодействия в диаграммах рассеяния, комлгон-эффекта
и всех других эффектов при рассмотрении процессов в высших приближениях.
Удобство графического изображения процессов состоит, в частности, в возмож-
возможности простого выделения и отождествления отдельных частей матричных эле-
элементов.
Наряду с частями самодействия существенную роль играют так называемые
„вершинные" (vertex) части, представляющие собой некоторую совокупность
вершин и внутренних линий, связь которых с остальным графиком происходит
XXII ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
через две электронные и одну фотонную линии. Вершинная часть может, напри-
например, получиться при замене диаграммы процесса первого порядка (фиг. 1) диа-
диаграммой типа фиг. 11.
Иначе говоря, вместо, например, простого рассеяния электрона во внешнем
поле имеет место рассеяние, связанное с испусканием и поглощением виртуаль-
виртуального вакуумного фотона. В частности, поскольку движение в атоме можно рас-
рассматривать как совокупность повторных рассеяний, только что приведенная
диаграмма иллюстрирует основную долю лэмбовского сдвига энергетических уров-
уровней, обязанного взаимодействию электрона с вакуумными флуктуациями электро-
электромагнитного поля, а также возникновение неспинового дополнительного вакуумного
момента электрона. Здесь и в дальнейшем мы употребляем везде термин „ваку-
„вакуумные" поправки вместо „радиационные поправки", к сожалению, распростра-
распространенного в литературе, но менее отвечающего суги дела.
До сих пор мы исходили из различных членов матричных элементов и изоб-
изображали их графически. Обратно, если каким-либо образом сконструировать
диаграмму, соответствующую рассматриваемому процессу, то, двигаясь вдоль ее
линий, возможно построить величину матричного элемента, причем, как всегда,
удобно произвести разложение всех величин в интегралы Фурье, перейдя
к импульсному представлению. При этом следует применять следующие основ-
основные правила, кодифицированные Дайсоном (статья V):
1) каждой вершине х{ сопоставляется член энергии взаимодействия
или же, в случае отсутствия фотонной линии, с целью перенормировки, обсуж-
обсуждаемой ниже, член
2) каждой внутренней электронной линии, идущей от х и у, сопоставляется
электронная спинорная каузальная функция
3) аналогично каждой внутренней фотонной линии (операторы А^(х) и
сопоставляется фотонная каузальная функция даламберовского уравнения
j ^{x—у);
4) свободные спинорные операторы устанавливаются в порядке фф.
4. Замечания о методах Фейнмана
Остановимся сейчас коротко на некоторых сторонах формализма Фейнмана,
изложенного им в ряде рабог, посвященных квантовой механике и теории поля
и публиковавшихся параллельно со статьями Томонага и Швингера, с одной, и
статьями Штюкельберга, с другой стороны. Формализм Фейнмана, как было
показано Дайсоном, эквивалентен использованию 5-магрицы и приводит, по
существу, к тем же результатам, что и метод Томонага, а также методы Кэл-
лена, Галанина и Швингера, основанные на гейзенберговском представлении.
Одна из специфических сторон работ Фейнмана связана с систематической трак-
трактовкой позитрона как электрона, движущегося попятно во времени, в развитие
замечания Дирака; эта возможность была также отмечена Г. А. Зисманом [18].
Одни и те же линии на диаграммах (в координатах: время — пространство)
изображают как электроны, так и позитроны в зависимости от направления по
отношению к оси времени. При подобной трактовке весь формализм строится
на базе однозлектронной теории Дирака, хотя и оказывается в результате экви-
эквивалентным обычной вторично-квантовой теории электронов-позитронов и пред-
представлению о дырках. Суть дела связана, очевидно, с тем, что теория электро-
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
XXIII
нов-позитронов должна быть, сформулирована в зарядно-симметричной форме,
являющейся следствием условия инверсной инвариантности по времени. Напри-
Например, топологически одна и та же диаграмма описывает либо рассеяние элек-
электрона (фиг. 12), либо аннигиляцию пары (фиг. 13) (см. статью III). Подобный
пространственно-временной подход к описанию течения событий характерен для
работ Фейнмана, который опирается
на лагранжеву, а не на гамильто-
нову формулировку теории. Как из-
известно из классической механики,
уравнения Гамильтона позволяют сле-
следить за эволюцией системы во вре-
времени, тогда как лагранжев формализм
характеризует картину процесса
вдоль траектории в целом. В дан-
дан/\
Фиг. 12.
Фиг. 13.
ной связи обратим внимание читате-
читателей, в частности, на классическую
(неквантовую, но релятивистскую) теорию электрона Дирака—Соколова, где по су-
существу также применялся лагранжев метод [19]. Точно так же формализм 5-матрицы
является аналогом лагранжевого метода. Фейнмановская формулировка нереляти-
нерелятивистской квантовой механики (см. Дирак [17]) также отличается по виду как от
матричного, так и от шредингеровского волнового представления, хотя оказывается,
конечно, им эквивалентной. Амплитуда вероятности ассоциируется не с положе-
положением частицы в данный момент времени, но со всем ее движением. Вместо фор-
формулы классической теории
выражающей вероятность того, что если измерение А дало результат'а, то изме-
измерение С даст результат с, через соответствующие вероятности РаЬ и РЬс, теперь
имеет место соотношение для комплексных амплитуд вероятности
причем Рас =
<?ас |2. Подобная формула для <оас, очевидно, характерна для кван-
кванОбб
товых волновых представлений о движении. Обобщением на последовательность
точек ... xit xi+v определяющих траекторию, в конце концов оказывается
выражение
• ->о
хь
А
(где множители 1/А связаны с изменением нормировки), которое можно пред-
представить в виде интеграла от волновых функций
f) удовлетворяет интегральному
где 5 есть функция действия. При этом
уравнению
дающему закон эволюции ty во времени н являющемуся выражением принципа
Гюйгенса для де-бройлевских волн, и которое в пределе е-*0 заменяется диффе-
дифференциальным уравнением Шредингера. Обратно, шредингеровское уравнение вида
имеет решение
в случае &в, не зависящего от времени.
df
= ехр( — tff)w(A;, f)
XXIV ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
Рассмотрение Фейнмана [20] заканчивается соображениями о формулировке
запаздывающего взаимодействия частиц, при которой величины электромагнит-
электромагнитного поля, переносящего взаимодействия, оказываются исключенными. Следует,
однако, подчеркнуть, что попытка Фейнмана полностью исключить электрома-
электромагнитное поле как вид материи [21], естественно, не могла привести к успеху и
была впоследствии дезавуирована самим автором (см. [4], часть II, § 3).
Две статьи Фейнмана, впервые публикуемые в полном переводе в настоящем
сборнике (статьи III и IV), в известной мере опираются на только что изложен-
изложенные идеи и значительно развивают их в применении к квантовой электродина-
электродинамике. В статье III рассматривается движение электронов и позитронов во внеи-
нем поле; статья IV посвящена взаимодействию частиц через поле. Обе работы,
которые вместе с комментариями и обобщениями, проделанными Дайсоком, при-
приобрели в современной зарубежной литературе, пожалуй, наибольшую популяр-
популярность из всех трудов по новейшей теории поля, характеризуются, во-первых, даль-
дальнейшим развитием лагранжева метода, связанного, в частности, с систематиче-
систематическим применением интегрального уравнения вместо дифференциального для
^-функции и в связи с этим широким использованием гринианов, во-вторых,
с упомянутой трактовкой позитрона как электрона, движущегося попятно во
времени, и, в-третьих, упомянутой выше графической интерпретацией. Статьи
эти содержат ряд ценных примечаний к вычислениям. В качестве примера
интуитивных рассуждений Фейнмана рассмотрим коротко уравнение, описываю-
описывающее взаимодействие между двумя электронами в результате обмена фотоном.
Если волновая функция в четырехмерной точке 3 определяется уравнением
= j KC,
и разложение гриниана в слабом поле имеет вид
КB, 1) = К0B, 1) + №(
(Ко — гриниан свободной частицы), то можно показать, что
KVB, l) = — tJKoB, 3)UC)KoC,
где U—энергия взаимодействия.
Если речь идет о переходе A—3) первой частицы и переходе B—4) вто-
второй частицы, а поле является кулоновским и взаимодействие длится в малом
интервале времени At, то поправка первого порядка дается выражением
, 4; 1, 2) = — ie*f J КОаC> 5)KObD, 6)r^KOaE, l)K0bF, 2)dz
(а и b — индексы обеих частиц; dx = d3x5d3x6Af). Учет взаимодействия в тече-
течение всего процесса приводит к интегрированию по t; кроме того, учет запазды-
запаздывающего действия при поглощении частицей b фотона, испущенного частицей а,
привносит множитель
Учет векторных частей взаимодействия вводит фактор [1—(^б^б/ОЬ Рав
ный в дираковском случае A — ао<*ь). Окончательно, ограничиваясь фотонами
положительной энергии, т. е. заменяя 8 на 8+, получим для поправки первого
порядка выражение
/С<»C, 4- I, 2)=-ie*f fK+aC, 5)К+Ъ{4> 6) 1а|Л^8+ {s%)K+a{5
X К+ ь F, 2) d4d4 (dx = d*x dt),
где гриниан К+ B, 1), определяемый равенством
К+B, 1)=± 2 *пB)чп{1)е-шп«Т*д для t^b
вступите льн^яуВтлтья XXV
(верхний знак для t2 > tx), является решением дираковского уравнения
(iV2— m)K+B, 1) = ГоB, 1).
Функция К+ совпадает с причинной функцией Dc Штюкельберга с точностью
до коэффициента х/2.
Для лучи.ей ориентации в литературе перечислим коротко другие работы
Фейнмана. Две статьи 1948 г. [22] посвящены специальным инвариантным мето-
методам регуляризации бесконечных интегралов в теории собственной энергии в клас-
классической и квантовой электродинамике, основанным на введении „размазанных"
функций вместо S-фуикций либо в выражении функции действия (в классиче-
классической теории), либо в интеграл по частотам (в квантовой теории). Таким путем
достигяегся обрывание слишком быстрого роста интеграла при высоких часто-
частотах. Замена 8(*„й) на функцию, отличающуюся от нее в малой окрестности
светового конуса s = 0, эквивалентна введению малой массы покоя для фотона.
Отметим, что в дальнейшем включение массы фотона, полагаемой в окончатель-
окончательном результате равной кулю, неоднократно применялось для устранения расхо-
расходимости при малых частотах (инфракрасная катастрофа), связанной, однако, не
с фундаментальной расходимостью при высоких частотах, а лишь с некорректным
применением теории возмущений в этой области.
В последующей работе [23], примыкающий к изложенной выше статье по
нерелятивисгской квантовой механике, Фейнман более подробно останавливается
на лагранжевой форме квантовой электродинамики. Центральной задачей является
установление взаимодействия частиц, путем исключения из их уравнений движе-
движения переменных электромагнитного поля, представленного в виде набора осцил-
осцилляторов. Таким путем вновь получаются главные результаты двух основных
работ, переведенных в настоящем сборнике.
Следующая по порядку публикации статья Фейнмана [24] посвящена раз-
разработке особого операторного исчисления, долженствующего облегчить расчеты
квантовой электродинамики. Впрочем, до сих пор этот метод не получил рас-
распространения и мы сочли нецелесообразным включать в сборник упомянутые
только что статьи. Отметим лишь, что для облегчения трудностей вычислений,
связанных с некоммутативностью операторов, предлагается снабжать операторы
индексами, установив правило, что оператор с высшим индексом действует
позднее. Тогда порядок не будет зависеть от положения в записи и с операто-
операторами можно действовать как с коммутирующими числами вплоть до конца вычи-
вычислений. При помощи этого метода получаются вновь результаты двух основных
работ Фейнмана.
5. Поляризация вакуума и перенормировка заряда
Возвращаемся к выражению 5-матрицы вместе с иллюстрирующими ее
диаграммами. Как бы ни были поучительны новые точки зрения на трактовку
тех или иных обычных, относительно простых эффектов (эффект Комптона, рас-
рассеяние электронов на заряде и т. д.), подсчитанных ранее более привычными
способами, и как бы ни были удобны новые методы расчета и графики для
рассмотрения подобных процессов в одном лишь первом неисчезающем прибли-
приближении, вряд ли стоило бы для этих целей развивать какой-либо новый довольно-
сложный формализм. Иное положение вещей имеет место при подсчете тех же
эффектов в высших приближениях, когда с необходимостью на каждый эффект
начинают накладываться вакуумные поправки, например части собственной энер-
энергии электронов, связанные с порождением и уничтожением виртуальных фотонов,
или члены, обязанные поляризации вакуума и т. д. Части самодействия (соб-
(собственно энергетические части) матричных элементов, или соответственных диа-
диаграмм, ведут, очевидно, к бесконечностям; расходящимися оказываются также
и некоторые другие члены. Хотя возможность получения конечных выражений
для членов самодействия лежит пока что вне рамок современной теории, однако
XXVI ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
именно в трактовке бесконечностей новейшая квантовая теория поля сделала
важный шаг вперед. Речь идет при этом, во-первых, о классификации беско-
бесконечностей, во-вторых, об их изоляции, связанной с перенормировкой („ренор-
(„ренормировкой") констант, и, в-третьих, о выдвижении новых приемов инвариантной
регуляризации, которая выходит, впрочем, за рамки, так сказать, официаль-
официальной теории. Для трактовки бесконечностей, в часгности, графические иллю-
иллюстрации оказываются в самом деле весьма полезными, так как можно, например,
довольно наглядно изобразить влияние учета собственной энергии на подсчет
мелперовского рассеяния частиц в четвертом приближении путем простого до-
добавления графиков самодействия к отдельным частям прежней диаграммы,
представлявшей процесс во втором приближении. Очевидно, части самодейсгвия
можно и должно как целое включать в электронные линии любых процессов,
точно так же, как и в фотонные линии. Наконец, каждую вершину можно заме-
заменить вершинной частью, также имеющей смысл собственной энергии, но во внеш-
внешнем поле. Выделение частей самодействия вместе с вершинными частями, кото-
которые также ведут к расходимостям, весьма удобно, так как все они приводят
¦в матричных элементах к определенным множителям, которые можно заранее
вычислить.
Весьма существенно, что все бесконечности квантовой электродинамики
¦исчерпываются тремя типами расходимостей: собственная энергия электрона,
фотонная собственная энергия*) и собственная энергия электрона во внешнем
поле. Действительно, встречающаяся в теории расходимость перехода: вакуум-
вакуум, который может иметь место наряду с каким-либо другим процессом,
•связана с ненаблюдаемым эффектом. Кроме того, как выяснилось в дальнейшем,
вопреки первоначальным подсчетам, рассеяние света на свете, как и следовало
ожидать на основании калибровочной инвариантности, не ведет к новым расхо-
расходимостям. Изоляция бесконечностей всех трех типов производится путем „пере-
„перенормировки" заряда и массы. Как показывают подсчеты, указанные расходи-
расходимости приводят в конце концов только к бесконечным добавкам к массе и
заряду, означающим доли (бесконечные) полевой электромагнитной энергии (или
массы) и полевого заряда электрона (позитрона). За неимением лучшего, можно
произвести ренормировку, т. е. считать эти полевые добавки вместе с основными
„затравочными" частями массы и основными „затравочными" частями заряда
(природа которых, кстати сказать, пока что совершенно неясна), уже включенными
в эмпирически наблюдаемые величины массы и соответственно заряда. Основные
„затравочные" части массы и заряда соответствуют, очевидно, массе и заряду
абстрактного „голого" электрона (или позитрона), изолированного от взаимодей-
взаимодействия с какими-либо другими частицами и полями и вместе с тем от вакуума.
В дальнейшем возможно, применяя те или иные специальные приемы, регуляри-
зировать указанные полевые добавки к массе и заряду, получив вместо них
конечные выражения, что удобно для многих расчетов, но представляется все же
произвольным выходом за рамки теории. К включению же полевых бесконечных
долей собственной массы и заряда в наблюдаемые величины тле следует
-отнестись со всей серьезностью, поскольку после подобного перетолкования или
перенормировки теория становится свободной от бесконечностей, что заранее
являлось далеко не очевидным. Формализм ренормировки станет ясным при рас-
рассмотрении двух основных проблем теории: поляризации вакуума и собственной
энергии электрона.
Как было впервые указано Дираком [25], внешнее электромагнитное поле,
даже не вызывающее реального порождения электронов-позитронов, все же про-
производит, говоря грубо наглядно, своеобразную „деформацию", или перераспре-
перераспределение зарядов электронно-позитронного вакуума. Индуцированная в вакууме
J) Фотонная собственная энергия, точнее, собственно энергетические части, в случае
электромагнитного поля по существу связаны с поляризацией вакуума. Собственная же
внергия отдельного фотона равна нулю, как и следует из калибровочной инвариантности
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ XXVII
плотность заряда — тока накладывается на первоначальную, вызывавшую внешнее
поле, что приводит в конце концов к некоторой компенсации исходного заряда —
тока. Эго явление получило название поляризации вакуума. Укажем сразу, что
световая волна вакуума не поляризует, что связано с отсутствием собственной
энергии у фотона, в противоположность случаю электронов, мезонов и других
частиц („частиц", в узком смысле) в согласии с калибровочной инвариантностью
величин электромагнитного поля. Поляризация вакуума подсчитывалась различ-
различными способами как путем прежних методов, так и в представлении взаимодей-
взаимодействия (см. статью II).
Наметим сейчас ход расчетов в швингеровском варианте гейзенберговского
представления. Основная задача заключается в подсчете среднего по электронно-
позитронному вакууму от плотности тока в присутствии внешнего поля, харак-
характеризуемого потенциалом А^. И:хо;я из выражения тока в зарядно-симметрич-
ной форме (обозначения по статье II, части II и III)
7, = -|-
нетрудно показать, что среднее по вакууму тока равно
Uv. С*0)о = ie tr (Тц0 (х> •<»*' ¦+*>
где G(x, х')— гриниан уравнения Дирака во внешнем поле. Этот гриниан был
точно вычислен в случае постоянного поля и поля плоской волны, а также
определен в общем случае по теории возмущений. Интересующее нас среднее
вакуумное значение тока связано с точностью до постоянной с вакуумным добав-
добавком к лагранжиану электромагнитного поля соотношением
В результате для вакуумного тока получается
где
^
и /^ — вектор тока, порождающего внешнее электромагнитное поле, равный
Первая часть вакуумного заряда — тока пропорциональна внешнему току
в данной точке; бесконечный логарифмический множитель представляет собой
поправочный коэффициент, изменяющий величину внешнего тока. Этот член
можно считать добавком ко всякому внешнему току, а постоянный, хотя и рас-
расходящийся (!) множитель можно рассматривать включенным в ренормированные,
т. е. эмпирически наблюдаемые величины заряда (е) и напряженности поля (Е, Н).
Обозначая через е0 основной „затравочный" заряд и через
XXVIII ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
соответственные инварианты (точнее скаляр и псевдоскаляр) поля, можно записать
(F + Ю) = A + Cel) (Fo +
о
Интеграл С логарифмически расходится при s = 0.
Если считать регуляризированное С величиной порядка единицы, то отсюда
видно, что вследствие поляризации заряд по абсолютному значению уменьшается
на величину полевого заряда, равную по порядку аео?аA/137)е; еяхеоA—а).
С другой стороны, вторая, конечная, часть вакуумного тока представляет собой
физически наблюдаемый результат поляризации вакуума, проявляющийся, напри-
например, в лэмбовском сдвиге и других эффектах. В случае постоянного или медленно
меняющегося внешнего поля для конечной части вакуумного тока получается
выражение
4^^
первый член которого был получен Дираком [25, 26] и анализировался далее
Гейзенбергом, Юлингом и др. ([27—28], см. также [29] и [4], часть I, § 45).
Комбинируя максвелловский лагранжиан
с вакуумной добавкой, ведущей к нелинейным уравнениям электродинамики,
получим после указанной ренормировки конечный, калибровочно-инвариантный
результат, первые члены которого были получены Эйлером и Вайскопфом
(см. сборник [1])
&(?2
Важно заметить, что конечная часть плотности вакуумного заряда — тока зави-
зависит по существу лишь от внешнего тока на пространственных расстояниях
порядка комптоновской длины Дг = bjmc и соответственно малых временных
расстояниях M=hjmc2.
Следует подчеркнуть, что анализ поляризации вакуума представлял, пожалуй,
наибольшие трудности при анализе принципиальных вакуумных эффектов в но-
новейшей квантовой электродинамике. Любопытно, например, что анализ этой
проблемы во II и III частях статьи II, как отметил Вентцель [30], являлся
недостаточно корректным. Недостаточно обоснованное отбрасывание Швингером
неопределенных выражений на основании требования их калибровочной инва-
инвариантности вызвало появление особого более корректного способа регуляризации
с помощью вспомогательных масс (см. статью Паули и Вилларса в сборнике [1]),
при помощи которого удается получить определенные выражения, обладающие
требующейся калибровочной инвариантностью, не приходя ни к каким внутрен-
внутренним противоречиям. Рассуждения Фейнмана и Дайсона по этому вопросу также
не могли привести к окончательным удовлетворительным результатам без исполь-
использования специальных способов регуляризации.
Обратим теперь внимание на новую трактовку перенормировки заряда, пред-
предложенную Гупта [32]. Суть дела заключается в том, что с самого начала при-
применяются лишь ренормированные величины электромагнитного поля и заряда.
Поэтому вместо обычного лагранжиана системы электромагнитного поля и
электронов *
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ XXIX
где звездочкой отмечены не ренормированные величины поля, входящие в урав-
уравнения гейзенберговского представления, за основу берется следующая форма
где
пп'Щ +1
е*
е '
Здесь А , F^4 означают ренормированные, реально наблюдаемые величины потен-
потенциалов и поля, связанные с неренормированными соотношениями F^ = QF^, a
е — перенормированный заряд.
Различие J?* и J2? приводит к ряду особенностей при расчетах.
Подобное явное выделение „контрчлена" (с фактором /) для перенормировки
заряда и фотонной части собственной энергии стало возможным благодаря дока-
доказанному в исследовании Ворда [33] равенству коэффициентов ренормировки
Дайсона: Zj = Z2 (см. ниже), что привело к точной компенсации частей пере-
перенормировки заряда, вызванных электронной частью собственной энергии и вер-
вершинными частями. Таким образом, формализм Гупта, в котором ренормировка
заряда производится автоматически и который с самого началз использует ре-
нормированный заряд, является более последовательным и удобным, чем перво-
первоначальный метод Дайсона, в котором лишь ренормировка массы производилась
автоматически благодаря явному введению „контрчлена" (Ьтс2^*^), л эффекты,
связанные с перенормировкой заряда, трактовались более сложным образом при
помощи бесконечных коэффициентов Zv Z2 и Z3. Применяя указанные сообра-
соображения, Дайсону удается доказать более последовательным образом отсутствие
расходимостей в каждом отдельном члене S-матрицы в перенормированной теории
<см. также близкий формализм Кэллена [31]).
Однако вместе с тем следует подчеркнуть, что вопрос о сходимости всего
ряда членов Sn далеко еще не решается всеми предыдущими соображениями.
Напротив, имеются веские, но не окончательные соображения в пользу того, что
весь ряд членов порядка е2, ..., еп будет все же расходиться [34].
6. Полевая энергия электрона и перенормировка массы
Перейдем теперь ко второй фундаментальной проблеме теории вакуума —
¦вопросу о собственной энергии частиц, в данном случае полевой электромагнит-
электромагнитной энергии электрона, обусловленной его взаимодействием с электромагнитным
полем, точнее говоря, с вакуумными флуктуациями последнего. Эта проблема
была впервые полно рассмотрена прежними методами квантовой электродинамики
в работах Вайскопфа, который подчеркнул, что учет добавочных обстоятельств,
«вязанных с электронно-позитронным вакуумом (принцип Паули и др.), приводит
к тому, что собственная электромагнитная масса электрона оказывается расхо-
расходящейся лишь логарифмически, а не квадратично, что имело место при трак-
трактовке одного электрона, связанного лишь с электромагнитным полем, но искус-
искусственным образом оторванного от электронио-позитронного вакуума (см. [1]).
В новейшей квантовой электродинамике, наиболее последовательно учиты-
учитывающей вакуумные эффекты, собственная масса электрона рассчитывалась как
при помощи формализма томонаговского представления (см. статью И), так и
при помощи формализма гейзенберговского представления (см. статьи IX, X).
Наряду с этим вопрос о собственной энергии электрона был проанализирован
также при помощи фейнмановской графической интерпретации (см. статью Дай-
Дайсона в сборнике [1] и его статью V в настоящем сборнике).
XXX ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
Остановимся сперва коротко на подсчете электромагнитной массы в фор-
формализме представления взаимодействия. Уравнение Томонага
или эквивалентное ему интегральное уравнение
а
ГР [а] = ^о + -jet / А (*') \ (X1) ГР [а'] А/ (ГР [а] -> Wo при а -> оо),
— СО
имеет решение
а
ЧГ [а]» (l + -^ | J, (*') Ла (*') Ж/)ЧГ,
или, с точностью до членов первого порядка,
где
со
Для исключения членов, описывающих эффекты первого порядка, которые нас
сейчас не интересуют, проделывается каноническое преобразование
в результате которого для нового вектора состояния получается
№Щх) = f^o + ^oW + ^oW + ^uW) VW-
Эффект самодействия свободного электрона, обязанный его связи с вакуумом
электромагнитного поля, при отсутствии реальных фотонов описывается чле-
членом Se^oix), который оказывается равным
где индекс 1 справа означает разность между оператором и его вакуумным значе-
значением. Дальнейший анализ показывает, что полевой добавок к массе электрона равен
Ьт = mvao = т0 ^ [-1 In ^- + |] (w0 -> 0; т = 1,781).
Таким образом, полевая масса 8т оказывается расходящейся величиной
(хотя и в слабой логарифмической степени) благодаря интеграции по импульсам
виртуальных фотонов, переносящих взаимодействие электронов самих с собой.
Существенный пункт теории заключается в доказательстве возможности пере-
переноса члена с вакуумной добавкой Ьт из уравнения движения для вектора
состояния в дираковское уравнение движения для оператора поля путем неко-
некоторого канонического преобразования. Действительно, полагая
где U[о] подчиняется уравнению
получим новый оператор поля
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ XXXI
где ф' подчиняется уравнению Дирака
здесь 8х0 = bmocjh. Таким образом, мы приходим к основной идее перенорми-
перенормировки массы (аналогичной перенормировке заряда, рассмотренной выи е), связан-
связанной с предположением о возможности включить полевую электромагнитную долю
собственной массы Ьт, наряду с некоторой исходной „затравочной" массой т0
в реальную „эмпирически наблюдаемую" массу: т = то-\-Ьто. При этом, повто-
повторяем, речь идет еще, конечно, никак не об устранении трудности с бесконеч-
бесконечной полевой электромагнитной массой, но лишь о доказательстве того важного
обстоятельства, что бесконечная величина Ьт может быть изолирована и не
будет после перенормировки мешать вычислению реальных эффектов. Таким
образом, современная теория полевой массы как и полевого заряда, несмотря
на некоторый прогресс, связанный с идеей перенормировки, является далеко не-
несовершенной и, по крайней мере, требующей включения каких-то приемов
регуляризации (т. е. приведения к конечному виду), либо с более технической
целью устранения бесконечностей в промежуточных вычислениях впредь до
проведения перенормировки, либо, в конце концов, с высокой принципиальной
целью построения будущей теории, не содержащей вовсе бесконечных.полевых
добавок к массе и заряду.
Поясним теперь коротко, как производится то же самое выделение беско-
бесконечностей и их устранение при помощи перенормировки на языке формализма
Фейнмана-Дайсона, который, в случае проблемы собственной массы, дает
наглядную иллюстрацию только что изложенного результата представления
взаимодействия. Во-первых для перенормировки массы, связанной с эффективным
(и, вместе с тем фиктивным!) исключением полевой энергии, производится, как
уже отмечалось, явное выделение поправочного контрчлена в основном выра-
выражении энергии взаимодействия S'&mt- В результате полный гамильтониан запи-
записывается в виде
SVo = [SVo (х)
&Въ& = \&вх (х) — Ътс*у*<х) рф (дг)],
(в обозначениях Дайсона). Следовательно, в качестве члена взаимодействия
в уравнении Томонага следует взять теперь выражение из второй скобки, вклю-
включающее дополнительный контрчлен с коэффициентом Ьт. Иначе говоря, поскольку
в уравнения движения свободных операторов поля входит полная, ренормирован-
ная масса, то из энергии взаимодействия следует вычесть соответствующий
контрчлен. Поскольку к бесконечностям приводят лишь графики самодействия
электрона, либо самодействия фотонного поля, или вершинные части, соответ-
соответствующие модифицированному самодействию электрона во внешнем поле (лэм-
бовского типа), то, включая указанные бесконечные части всеми возможными
способами в линии и вершины, получим в результате (см. статью V), что, напри-
например, для каждой внутренней электронной линии Фурье-коэффициент каузаль-
каузального спинорного гриниана SF(p) следует заменить на
где 2(Р*) означает сумму операторов ^(W, p*) по всем частям графика W,.
ведущим к собственной энергии электрона. В случае одной вершины
2 (W> ?) — — 2it? -?— (в координатной записи),
где f есть 4-импульс.
XXXII всаЯттажёльнАЯ статья
Аналогичным образом после включения всех частей самодействия произ-
производится замена D^(p*), а также волновых функций ^(дг) и A^(k).
Наконец, для каждой вершины у заменяется на
где АД/1, t2) означает сумму от A(V, tl, f2) по всем вершинным собственно
энергетическим частям. Иначе говоря, новый оператор тока Га учитывает вакуум-
вакуумные поправки, в противоположность оператору ^, описывающему ток „свобод-
„свободного" электрона.
Отсылая за подробностями к статьям V и XI, укажем, что после выделе-
выделения бесконечных частей для „истинных" операторов Г , S'F, D'F, отличающихся
лишь численными (хотя и бесконечными!) коэффициентами Zi от ренормирован-
ных Г v S'FV DF1, в которых отброшены бесконечности, получается
-при этом все величины предполагаются определенными до некоторого конечного
порядка в разложении по параметру связи или заряду (дабы избежать вопроса
о сходимости подобных рядов).
В дальнейшем было показано, что Zx = Z2. После того как все расходимо-
расходимости изолированы в двух коэффициентах: 1) ZY:=Zi и 2) Z8 одновременно
должно иметь следующее соотношение для электромагнитной массы:
Фундаментальный результат подобного довольно громоздкого анализа за-
заключается в выводе, что бесконечные коэффициенты Z в матричном элементе
какого-либо процесса входят лишь в виде произведения
что как раз соответствует замене и-й степени заряда еп на в" = Z$en в любом
конечном порядке п (е1 — эмпирически наблюдаемый конечный заряд электрона).
Тем самым произведена перенормировка заряда одновременно с перенормировкой
массы. Однако методы перенормировки обеих величин были различными, что не
оправдывается сущностью проблемы. Более последовательной, как отмечалось
выше, явилась трактовка перенормировки заряда в работе Гупта (к которой
присоединился затем и Дайсон), связанная с перенормировкой заряда и напря-
женностей поля также при помощи выделения контрчлена в исходном лагранжиане,
аналогично случаю с массой.
Ввиду важности вопроса о полевой массе электрона, остановимся еще на
подсчете ее значения по новому методу Швингера, использующему не томона-
говское, но гейзенберговское представление. При помощи этого метода был про-
произведен также ряд подсчетов в теории лэмбовского сдвига, сверхгонкой струк-
структуры, магнитного момента электрона и др. (см. статьи VIII, IX и XI). Основой
данного формализма является построение теории при помощи гриниана полного
дираковского уравнения с учетом поля G(x, x'), а не гриниана свободного ура-
уравнения, как раньше, причем характерным является представление этой гринов-
ской функции в виде интеграла по собственному времени.
!) Развитие данного метода в электродинамике и мезодинамике см. в работе Эдвардса
(статья XIV).
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ XXXIII
Для подсчета полевой массы (а также вакуумного магнитного момента элек-
электрона, лэмбовского сдвига и т. д.) на базе идеи перенормировки конструируется
оператор массы, включаемый вместо члена с массой в дираковское уравнение,
которое (в обозначениях статьи VIII) приобретает вид
ГV (- Я* — *\ (х)) «К*) + / (dxr) М (х, хГ) ф (*') = О,
где с точностью до второго порядка по е
Mix, x') = m0S(x—x')-t-ie% • О(х, -V) Т/>+ (x—xr)
оо
= (^} т0 [ J ds s~l exp (— тЧ) -j-1- j.
о
(Z)+—каузальный гриниан фотонного поля).
Применим теперь метод возмущений, заменяя <{* под интегралом при опера-
операторе массы на невозмущенную волновую функцию, являющуюся решением дира-
ковского уравнения, в котором вместо оператора М стоит обычный член с „затра-
„затравочной" массой т0 электрона, отключенного от всех полей. В результате при
отсутствии внешнего поля для массы свободного электрона, равной сумме затра-
затравочной (бывшая „механическая" масса) и полевой масс, получается
где
пгч
В связи с дискуссией о собственной электромагнитной энергии электрона^
а также собственной мезонной и собственной гравитационной энергии (см. ниже)
следует отметить вклад в собственную энергию, вносимую связью электрона с по-
полями других типов. Например, распад [i-мезона на электрон и две нейтральные
частицы ведет к появлению добавочной собственной энергии электрона, расхо-
расходящейся по предварительным расчетам быстрее, чем в электромагнитном случае
(см. [35]). После рассмотрения полевой массы и полевого заряда, являющихся
двумя основными проблемами теории поля и вакуума, обратимся к некоторым
конкретным эффектам, прежде всего к дополнительному магнитному моменту
электрона.
Для вычисления дополнительного вакуумного магнитного момента элек-
электрона Sjiyac, как и в других случаях, можно применить либо один из прежних ме-
методов квантовой электродинамики (см., например, [4], ч. I), либо метод представле-
представления взаимодействия, или эквивалентный ему метод Фейнмана — Дайсона; можно,
наконец, применить новый швингеровский вариант гейзенберговского представле-
представления. Эксперименгальное открытие 2[i-rac электрона связано с исследованиями сверх-
сверхтонкой структуры в водороде и дейтерии методом магнитного резонанса (см.
статьи Нэйфа, Нельсона, Раби в сборнике [1]), поправки к которой были пра-
правильно феноменологически интерпретированы Брейтом (см. сборник [1]), как
указание на наличие дополнительного электронного магнетизма. В дальнейшем
более точные эксперименты полностью подтвердили расчет вакуумного момента,
проделанный с точностью до а2.
Особенно просто выглядит подсчет вакуумного магнетизма электрона при
использовании массового оператора М (см. статью II). Используя выражение гри-
новской функции дираковского уравнения во внешнем слабом постоянном поле и
применяя для вычисления оператора массы теорию возмущений, вместо члена
с массой в уравнении Дирака получаем выражение
где
\ eh а
3 Зис 57&
XXXIV ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
Более точные расчеты привели к значению
8щм »(•?-2,973 ^)^ = 0,001145 ft,.
В то же время последние измерения [36] также привели к значению
= 0,001145 (i0 ± 0,000013
в прекрасном согласии с теорией. Несомненно, открытие и теоретическое истолко-
истолкование дополнительного магнетизма электрона (или измененного гиромагнитного-
отношения) следует считать одним из фундаментальных успехов физики элемен-
элементарных частиц и новейшей теории вакуума в последние годы.
. Наряду с последовательной квантовой релятивистской трактовкой были сде-
сделаны попытки дать феноменологическую трактовку вакуума; конечно, при этом
речь может идти только лишь о некоторой вспомогательной модели, которая
может явиться удобным средством для предварительной ориентации в сложных
физических проблемах и громоздких расчетах. Основная идея подобной интерпре-
интерпретации становится ясной> если мы вспомним, что вакуумные эффекты индуцируют
нелинейные добавки, например к максвелловской линейной электродинамике.
Таким образом, принципиально представляется возможным учесть вакуум пр»
помощи некоторых результирующих уравнений электродинамики, описывающих
распространение электромагнитных волн не в пустоте, а в среде, вводя (комплек-
(комплексную) диэлектрическую и магнитную проницаемости, зависящие в свою очередь-
от поля [31]. Тем самым мы приходим к нелинейной электродинамике. Подобную
теорию пытались построить Борн и Инфельд, однако подбирая лагранжиан про-
произвольно, например в виде
(p = elr\, где г0 играет роль радиуса электрона).
Однако в данном случае речь идет не о подборе произвольного лагранжиана,,
а об интерпретации нелинейного лагранжиана и соотношений, полученных из.
теории вакуума [37].
Близкую феноменологическую интерпретацию вакуума пытался дать Бельин-
фанте [38], применяя для свободного поля (в „пустоте") соотношения типа элек-
электромагнитных уравнений в среде (см. также [39]). При этом Бельинфанте под-
подбирает вначения констант, задающих собственные моменты так, чтобы получить
правильное значение для лэмбовского сдвига, что, конечно, может определить
эти величины лишь по порядку, поскольку лэмбовский сдвиг определяется
в известной мере, как мы указывали, также рядом неэлектромагнитных причин,
связанных с атомным ядром.
В другом варианте феноменологической классической теории вакуума [40}
(см. также [41, 42]) в основу кладутся диэлектрическая и магнитная проницае-
проницаемости вида
?
~ тс%
Ряд простых ориентировочных прикидок позволяет и в этом случае получить каче-
качественное объяснение не только лэмбовского сдвига, но также дополнительного
магнетизма электрона.
7. Лэмбовский сдвиг
Перейдем теперь к рассмотрению лэмбовского сдвига, явившегося фунда-
фундаментальным открытием, притом давшим наиболее сильный толчок для раз-
развития новейшей теории поля и вакуума. Дальнейшие теоретические и экспери-
экспериментальные исследования лэмбовского сдвига явились одним из самых зктуаль-
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ XXXV
ных участков фронта во всей теории элементарных частиц и в квантовой теории
поля (примерно по 1952 г.). Исследования лэмбовского сдвига, проводящиеся
с весьма большой точностью, позволяют не только подтвердить весьма тонкие
вакуумные эффекты, но также в последнее время дают возможность перейти
к уточнению различных поправок, связанных с неэлектромагнитным взаимодей-
взаимодействием электронов с ядрами и элементарными частицами. Напомним, что речь
идет об относительном сдвиге энергетических уровней электрона 225i/, и 22Pi/,
в атомах водорода или дейтерия на величину О.ОЗЗ см, т. е. около
1058—1059 мггц. Как известно, согласно теории тонкой структуры, полученной
на основе дираковского уравнения, эти два уровня должны были бы совпадать.
Действительно из приближенной формулы, являющейся разложением полного вы-
выражения для энергии уровня с достаточной для нас точностью, имеем
E
h - я» L ^ пПу + A/2)
Следовательно, при у = 1/2 (S-состояние) и у = 1 — A/2) (Р-состояние) получаем
в данном приближении одни и те же значения для энергии Eni. Первые указания
на наличие расхождения с теорией в виде сдвига рассматриваемых уровней были
получены оптическим путем еще в тридцатых годах. Однако недостаточно убе-
убедительные эксперименты и отсутствие какой-либо теоретической интерпретации
не позволили обратить должное внимание на открытие нового явления [1]. Впер-
Впервые сдвиг интересующих нас уровней, обязанный главным образом сдвигу уро-
уровня 25i/, вверх, был окончательно доказан в 1947 г. опытами Лэмба в соотруд-
ничестве с Ризерфордом, проделанными радиоспектроскопическим методом.
Новейшие измерения Лэмба с сотрудниками D3) привели к следующему значению
сдвига:
— 22Pi/. = 1057,77 ± 0,10 мггц (для водорода),
= 1059,00 ± 0,10 мггц (для дейтерия).
Остановимся сейчас несколько подробнее на теории лэмбовского сдвига
уровней 225i/, и 22А/Р. Наглядная его интерпретация заключается в том, что элек-
электрон взаимодействует не только с внешним электромагнитным полем, но также
с флуктуационными нулевыми вакуумными колебаниями, которые сообщают элек-
электрону дополнительную энергию. Исходя из уравнения тх2 = еЕ0еы, получим
для свободного электрона
т е2г
т -г? т е щ е«п л
При учете электронно-позитронного вакуума получается
?kin ~ —гг- тс2In V|B" (f—численный коэффициент)
(см. статью Вайскопфа в сборнике [1]). Для электрона в атоме потенциальная
энергия взаимодействия с ядром окажется несколько измененной благодаря тому,
что электрон уже подвержен действию вакуумных колебаний, что и приводит
к сдвигу уровней ЬЕ
81/= V(r + х)— V(r) _ grad Vx+ ^
Подобный полуклассический подсчет Вельтона позволил дать правильную»
структуру искомого результата и порядок его величины.
3*
XXXVI ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
Заметим, кстати, что, развивая полуклассическую интерпретацию взаимо-
взаимодействия электрона с вакуумными колебаниями, предложенную Вельтоном, разумно
дополнить уравнение движения электрона членом радиационного трения. Тогда
можно показать, что, исходя из уравнения
где Ео—амплитуда вакуумных нулевых колебаний, мы придем к конечному
значению не только среднего квадрата смещения
но также к конечному значению для средней кинетической энергии, которая
будет играть роль полевой электромагнитной энергии электрона
При этом в качестве нижнего предела интеграции следует взять некоторое v0,
отражающее наличие связи, и применить добавочное обрезание высоких частот
при помощи множителя ехр — (тс2[йсJ, согласно результатам Вайскопфа. Ана-
Аналогичный результат можно получить, исходя из формул для броуновского дви-
движения электрона в поле реального равновесного электромагнитного излучения
и Перенося затем полученные формулы на вакуум путем сопоставления
или путем замены реальной температуры на некоторую эффективную kT-+ me2.
Интересно отметить некоторую аналогию между сдвигом уровней, обязанным
вакуумной поправке (главным образом вакуума электромагнитного поля) к энергии
электрона при его движении во внешнем поле и поправкой к самому внешнему
полю или заряду — току, вызванной поляризацией вакуума (электронов-пози-
(электронов-позитронов).
В связи с различными уточнениями теории сдвига отметим, что аналогично
подсчету лэмбовского сдвига С. В. Тябликов рассмотрел дополнительную энер-
энергию и дополнительную размазанность в координате, возникающие благодаря взаи-
взаимодействию электронов не только с кулоновским полем, но также с полем равно-
равновесного электромагнитного излучения при данной температуре [44].
Весьма поучительно при подсчете теоретического значения лэмбовского
сдвига ЪЕъ (относительно сдвига уровней 225у2— 22А,,) в водороде выписать
шаг за шагом отдельные поправки. Остановимся сперва на электромагнитных
вакуумных поправках, дающих основной вклад в лэмбовский сдвиг, но еще не
исчерпывающих полностью его значения.
Первый еще нерелятивистский подсчет Бете A947) заключался в вычислении
выражения полевой части энергии электрона, обязанной взаимодействию с попе-
поперечным полем с отбрасыванием той же энергии для свободного электрона, кото-
которая предполагается включенной в ренормированную массу
1. Этот подсчет Бете, в котором учитывалось взаимодействие лишь с флук-
туациями вакуума электромагнитного поля, привел к выражению для сдвига
в 5-состоянии, которое уже объясняло основную часть эффекта
«p. 8Z* аз md*
Зк п3 kn
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ XXXVII
{Z—заряд ядра, k0 — средняя энергия возбуждения, оказывающаяся рав-
равной 16,646 R, R—ридбергова постоянная для ядра бесконечной массы). Отсюда
для 25-уровня, подставив для логарифма значение 7,63, л = 2, Бете нашел, пре-
пренебрегая сдвигом Р-уровня, ЪЕъ = 1040 мггц, в удовлетворительном согласии
с опытом (см. статью Бете в сборнике [1]).
Применяя для электрона релятивистскую трактовку, учитывая влияние
вакуумного магнитного момента электрона и влияние электронно-позитронного
вакуума, т. е. поляризацию вакуума, получаем [48—52] для сдвига nS-уровня
с точностью до а8 выражение A949)
8Z* аз / тс* . о . 5 1
а для сдвига 2Р1/э-уровня формулу
Здесь член с коэффициентом г/6 учитывает поляризацию вакуума и дает вклад
в сдвиг, равный —27,13 мггц (член Юлинга). Доля вакуумного магнитного мо-
момента электрона в лэмбовском сдвиге с точностью до а3 равна -f- 67,82 мггц.
Средняя энергия возбуждения для 25-уровня оказалась равной
koB, 0) = A6,646 =t0,007)#,
а для 2Р-уровня
kQB, /) = @,9704±0,0002) R.
Для постоянной тонкой структуры а принимается лучшее современное значе-
значение [40]
- = 137,0364.
а
Отсюда для лэмбовского сдвига уровней (8?b==8?2s—8?гр) в водороде или
дейтерии получаем (Z=i, л = 2) в довольно хорошем согласии с опытом
Дальнейшее уточнение теории связано прежде всего с проведением всех
подсчетов с точностью до а*.
Учет членов относительного порядка Zee, т. е. членов Z5a*, связанных,
в частности, с повторным действием кулонова потенциала, дает вклад в лэмбов-
ский сдвиг величины
к которому добавляется доля, вносимая поляризацией вакуума в следующем при-
приближении:
5 _
В итоге эти Поправки высшего порядка дадут в лэмбовский сдвиг в водороде
следующий вклад (я = 2, Z = 1):
-i-ln2+4)]=H-7,14 мггц
(см. статью X, а также [41]).
Учет следующего приближения" по а (два виртуальных фотона) дает, во-
первых, через поправку четвертого порядка век вакуумному магнитному моменту
XXXVIII ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
вклад в сдвиг, равный —0,94 мггц (см. [54, 55]). Во-вторых, поправка четвер-
четвертого порядка по а в поляризации вакуума привносит в сдвиг долю—0,24 мггц
(см. [56]).
В-третьих, от остальных поправок порядка <х4 имеется вклад в сдвиг, рав-
равный 0,24 мггц. Эти члены высшего порядка приводят к вкладу -|- 6,20 мггц
(с ошибкой dzO,12— 22s, где s—ошибка в значении 1/<х).
До начала 1953 г. не было опубликовано поправок высшего приближения,
т. е. порядка a2, Za2, Z2**2 и т. д., по отношению к основному сдвигу (поря-
(порядок Z4a8!), несмотря на очевидную желательность учета подобных уточнений.
Таким образом, вакуумная электромагнитная часть лэмбовского сдвига оказывается
при учете всех указанных членов равной на основе лучших современных под-
подсчетов
8Е\р вл. маг. = 1058,34 мггц.
Хорошее согласие с экспериментальным значением сдвига в водороде A057,77)
подтверждает истолкование лэмбовского сдвига как обязанного в основном ваку-
вакуумным электромагнитным эффектам.
2. Однако возможности современной теории этим еще далеко не исчерпы-
исчерпываются, независимо от подсчета высших приближений по а к Za, так как сейчас
представляется возможность учесть принципиально новую поправку, связанную
с учетом движения ядра, которое уже можно не предполагать обладающим
бесконечной массой.
Как мы отмечали, в этом направлении в последнее время достигнут значи-
значительный успех в связи с установлением общего вида релятивистского уравнения
для системы двух тел.
Подсчет поправок к тонкой структуре в водороде порядка a(m/M) по
отношению к основному члену привел в случае водорода к значениям
4-0,379 мггц (для 2.% терма),
— 0,017 мггц (для 2А/, терма),
т. е. к дополнительной доле —(-0,396 мггц в лэмбовском сдвиге. Для дейтерия
поправка этого типа будет вдвое меньше. Кроме того, следует учесть влияние
конечной массы ядра на величину сдвига, вычисленного прежде в приближении
бесконечной массы ядра. Недавние подсчеты Сальпетера [57] привели к значе-
значению поправки
т t qc
где 35 — основной сдвиг, L — лэмбовская константа, часто встречающаяся в тео-
теории данного эффекта, равная (as#/3ir) с = 135,6431 мггц.
В итоге получаются следующие поправки к лэмбовскому сдвигу на конеч-
конечное значение массы ядер:
— — 1,П5 мггц (для водорода),
= —0,588 мггц (для дейтерия).
3. Третьим направлением, по которому развивается теория лэмбовского сдвига,
является учет различных неэлектромагнитных поправок. Сюда относится прежде
всего учет структуры ядра, связанный с размазанностью заряда и магнетизма
ядра по объему в случае атома дейтерия. Необходимо также учесть дополни-
дополнительное притяжение электрона к нейтрону в случае сдвига уровня в атоме дей-
дейтерия и дополнительное отталкивание, модифицирующее кулоновское притяжение
в случае водорода. Тем самым теория лэмбовского сдвига в водороде и дейтерии
непосредственно связывается с теорией изотопического смещения в легких атомах,
как было подчеркнуто в работе [125]. Кроме того, как ясно видно, прецизион-
прецизионное исследование лэмбовского сдвига позволяет не только делать выводы
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ XXXIX
о вакуумных эффектах, влиянии содвижения и структуре легких ядер, но заме-
замечательным образом может также дать важные сведения относительно взаимодей-
взаимодействия элементарных частиц (электронов, протонов, нейтронов) и распределении
заряда и магнетизма по их „объему".
Не останавливаясь сколько-нибудь подробно на этих интересных, но еще мало
изученных вопросах, выходящих притом за рамки квантовой электродинамики и
электромагнитного вакуума, которым в основном посвящен данный сборник, ука-
укажем все же коротко на результаты анализа этих вопросов. Отказываясь от при-
приближения точечного заряда ядра, влияние распределения заряда по объему дейтерона
следует произвести либо по методу возмущений, либо по методу уточненных функ-
функций. Для последней цели, задавшись каким-либо наиболее разумным приближе-
приближением и еще не известному окончательно закону ядерных сил, следует рассчитать
волновые функции протона в дейтероне. После этого решается квантовомеха-
ническая задача движения электрона в двух областях: 1) внутренней, в которой
действует только что найденное поле, определяемое движением протона, и
2) внешней, в которой действует кулоновское поле точечного заряда (см. [4],
часть II, § 7).
Оба решения сшиваются обычным образом. Менее точный, но достаточный
для данной задачи результат получится при использовании обычных волновых
функций электрона, вычисленных для точечного ядра; тогда сдвиг уровня, обя-
обязанный размазанности заряда, как всегда в теории изотопического смещения,
определится по теории возмущений формулой
где энергия возмущения U, равная разности между (Ze2/r) и энергией взаимо-
взаимодействия со стороны распределенного заряда, вычисляется при помощи волновой
функции дейтерона (например, в предположении прямоугольного потенциального ядра
для сил протон-нейтрон), средний радиус которого оказывается при этом равным
где параметры теории дейгерона d — 4,314 • 10~13 см, р = 1,71 • 10~13 см (см.
статью X).
В результате от размазанности заряда в дейтероне получается поправка,
равная -j-0,733 мггц. Остается, наконец, учесть наименее ясные обстоятельства,
связанные с какими-то эффективными размерами самих протонов и нейтронов,
их собственными магнитными моментами и дополнительными смешанными элек-
тронно-мезонными силами, возникающими благодаря виртуальной диссоциации
нуклеонов на нуклеоны и тг-мезоны: n^±p-\-iz_; и р^?п-\-к+. Эта диссоциа-
диссоциация приводит к возникновению незначительного притяжения между электроном
и нейтроном [59] (см. также в книге [4], часть II, § 7) и незначительного
отталкивания между электроном и протоном. Силы притяжения между электро-
электроном и нейтроном, которые Непосредственно обнаруживаются при рассеянии нейтро-
нейтронов на электронах, а также сказываются в стационарных состояниях на изото-
изотопическом смещении, можно охарактеризовать потенциальной ямой с радиусом,
равным классическому радиусу электрона, и глубиной порядка V«^4100± 1000 эв,
или соответственной константой связи b = 10~46 эрг/см3, в законе взаимодей-
взаимодействия электрон-нейгрон, записанного феноменологически в виде ?/=d|xl2» рДе
X — волновая функция нуклеона. Учитывая эти значения, получим для разности
лэмбовских сдвигов в водороде и дейтерии поправку порядка 0,06 ± 0,03 мггц.
К тому же вопросу можно подойти с другой стороны. Учет „аномального"
магнитного момента протона (-{-2,79 eftj2-RMc) приводит не только к спиновым
поправкам в сверхтонкой структуре, но, как показал Фолди [60], вызывает
XL ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
появление добавочного небольшого потенциала взаимодействия, не зависящего от
направления спина,
Это дает поправку в лэмбовском сдвиге в водороде
-j- 0,025 мггц (для 25-состояния).
Аналогичная поправка в дейтерии будет ввиду разных знаков у.р и ц.„ ни-
ничтожной.
Складывая только что указанные поправки, которые можно назвать неэлек-
неэлектромагнитными, с найденными выше вакуумными поправками, а также поправками
на результаты релятивистской трактовки двух тел, получим наилучшее в рамках
современной теории значениг лэмбовского сдвига:
= 1057,19 мггц (для водорода),
= 1058,49 мггц (для дейтерия)
в весьма хорошем согласии с экспериментальными значениями.
Теоретическое значение разности (ЪЕ% — 8^F) равно 1,296 мггц по сравне-
сравнению с экспериментальной величиной A,23 ±0,15) мггц.
8. Различные вакуумные эффекты
После рассмотрения двух важнейших конкретных результатов новейшей
квантовой электродинамики: теории лэмбовского сдвига и дополнительного ма-
магнитного момента электрона, подтвержденных опытом и явившихся прямым дока-
доказательством наличия поляризации вакуума, вакуумных флуктуации и других
вакуумных эффектов, отметим, что вакуумные („радиационные") поправки будут
сказываться на всех электромагнитных, а также мезонных и других явлениях в той
или иной, вообще говоря, крайне незначительной степени. В этой связи были
проделаны кропотливые расчеты весьма большого числа явлений с учетом ваку-
вакуума, которые привели к результатам, еще не подтвержденным опытом, ввиду
малости поправок и отсутствия достаточно точных экспериментов: отметим
здесь, например, поправки в теории рассеяния электронов на заряде к формуле
Резерфорда — Мотта (см. статьи II, IV, а также [61]), поправки к формуле
Клейна — Нишины [62], поправки к теории формы и ширине спектральных
линий [63].
Обратим теперь внимание на то, что квантовая электродинамика предсказыт-
вает ряд интересных нелинейных эффектов, которые, очевидно, следуют из
наличия нелинейных добавков к лагранжиану, полученных благодаря учету ваку-
вакуума. К этим эффектам прежде всего относится рассеяние света на свете,
эффективное сечение которого имеет максимум в области частот, несколько пре-
превышающих критическую частоту порождения реальных пар •^11ЯЛ' ~-, и при
малых частотах убывает как ve для неполяризованного излучения
а* 139
в
5^
(см. [64, 65]).
Для высоких частот теория дает результат
4
а4
(см. [66]).
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ XLI
Иначе говоря, два фотона могут виртуально породить пару электрон-позитрон,,
которая снова превращается в два фотона:
(см. [68, 69]).
Наряду с этим нелинейная электродинамика приводит к рассеянию света
на кулоновском электростатическом поле, например, атомных ядер (Дельбрюк [67]).
Теоретические подсчеты привели для дельбрюковского рассеяния вперед, в слу-
случае малых энергий, к следующему значению эффективного сечения
dQ —\72) \д2) \с) *¦ \т&)-
Для случая рассеяния на малые углы при больших энергиях новейшие под-
подсчеты Бете и Рорлиха f70] подтвердили и обобщили результаты Ахиезера и
Померанчука [71]. В качестве примера укажем, что при энергии фотона ZbQMev-
и угле 8 = 0,01° эффективное сечение дельбрюковского рассеяния в уране будет
равно 3000 барн/стерадиан, тогда как в этом случае для комптон-эффекта
о = 7 6apHJстерадиан, причем вероятность когерентного рэлеевского рассеяния
оказывается весьма мала; поэтому рассеяние f-лучей на малые углы при весьма
высоких энергиях должно быть главным образом когерентным, но нелинейным
дельбрюковским. До сих пор еще нет экспериментального подтверждения наличия
обоих нелинейных эффектов, хотя имеются предварительные сведения о наблю-
наблюдении нелинейного рассеяния Г. Вильсоном (см. [69]).
Обратим теперь внимание на то, что теория сверхтонкой структуры,
в частности основного состояния водорода, также должна быть уточнена на базе
новейшей квантовой электродинамики. В дальнейшем аналогичная теория разви-
развивается для дейтерия и позитрония. Обычная формула Ферми, дающая значение
расщепления уровней, соответствующая параллельным и антипараллельным спинам
электрона и ядра, имеет вид
(для протона/=4)
(см. [4], часть I, § 48).
Релятивистская поправка Брейта добавляет множитель ll -f- ~~ (Z«J),
а вновь вычисленные электромагнитные вакуумные поправки, учитывающие также
новое значение магнитного момента электрона с точностью до а2 и поляризацию
вакуума, привносят фактор
(см. [72—74]).
Кроме того, формула сверхтонкой структуры уточняется поправкой со сто-
стороны новейшей релятивистской квантовой теории двух тел [47].
Поправка на учет содвижения ядра не ограничивается множителем
[1 -\-{mjM)]~a (см. статью Бете и Лонгмайра в [1]), но включает в себя новые^
члены порядка а(т/М), обязанные, в частности, обмену двумя фотонами между
протоном и электроном [74а]. Различные уточнения в теории сверхтонкой
Структуры приобретают особый интерес в связи с прецизионным измерением,
отношения сверхтонкого расщепления в водороде и дейтерии
~ = 4,3786484rh0,0000020 = (~) A — А),
ovz> \ 6\d / о
где (toff/topX — значение по фермиевской формуле; при этом Двхр = A,702±1
¦±z 0,008) • 10~*, тогда как подсчеты Сальпетера — Ныокомба дали значение, отли-
отличающееся на Д = @,6 =t 0,4) • Ю-4 (см. также [75, 76]).
;XLH вступительная статья
В теории сверхтонкой структуры аналогично теории лэмбовского сдвига
следует, очевидно, учесть также разнообразные неэлектромагнитаые поправки,
связанные с размазанностью заряда в дейгероне, и влияние конечности радиуса
ядра на значение |<М0)|2 (см. [4], часть II, § 7). Таким образом, новейшая тео-
теория сверхгонкой структуры после отделения вакуумных ныне гарантированных
эффектов, со своей стороны сможет пролить свет на вопросы строения ядер^и
взаимодействия элементарных частиц (см. [4], часть II, § 7).
9. Релятивизация проблемы двух тел
Перейдем теперь к краткой характеристике новейшей трактовки проблемы
двух тел. Весьма важный шаг в релятивистской квантовой теории был сделан
недавно в ряде работ путем установления релятивистского уравнения для двух
тел, образующих связанную систему типа атома водорода, позитрония или дей-
терона (см. XII, XIII, а также [77, 78]). Суть дела можно коротко пояснить
следующим образом. Пусть две спинорные дираковские частицы (фермионы)
с массами тх и да2 взаимодействуют друг с другом посредством электро-
электромагнитного или мезонного поля (бозонов). Волновая функция двух частиц
ty(xpa> *i*») ^ У О* 2) будет иметь 16 спинорных компонент. Тем самым в дан-
данном случае применяется многовременной формализм, в котором для каждой
частицы вводится отдельное время. Основное интегро-дифференцйальное уравне-
уравнение системы будет иметь следующий вид:
ть)^C, 4) = if j dxbdxu0C, 4; 5, 6)^E, 6),
-а ад
где V3 = f"—— дираковский оператор, а двухчастичный гриниан GC, 4; 5, 6)
характеризует инвариантным образом взаимодействие двух частиц. Это уравне-
уравнение, выведенное Сальпетером и Бете на базе фейнмановского метода, может
быть более строго получено из общих положений квантовой теории поля [79].
Следует подчеркнуть, что GC, 4; 5, 6) не устанавливается в замкнутом виде,
но представляется в форме бесконечного степенного ряда по постоянной связи.
Новое уравнение обобщает дираковское уравнение для одной частицы во внешнем
поле. Если константу связи можно считать малой, то уравнение приобретает вид
(iV? — mj (tV| — да6) 4- (/, 2) = /0G, ЩЦ, 2),
поскольку G(/, 2; 3, 4) можно заменить первым членом его разложения, т. е.
одночастичным гринианом:
,О» (/, 2; 3,4)^0 A, 2) 8D)(/, 3) 8(i)B, 4).
Для случая обмена лишь одним фотоном имеем
0A, 2) = Л?т?М4г)'
где s12—инвариантное расстояние между частицами. В частности, применение
этого приближения к проблеме дейтерона в основном состоянии приводит
•s конце концов к уравнению
(у Ка +Ра — м) (у Кь — Рь -
в — g2 DU3Q-1 J dtk[fi _ p,*]-i
записанному в пространстве относительных импульсов р^ при использовании
релятивистского обобщения юкавского потенциала; М и jj. обозначают массу
нуклеона и мезона. Через g2 обозначена мезонная константа тонкой структуры
(g2/hc) (в так называемых противоестественных единицах, когда й = с = 1).
Если перейти к большим компонентам функций и пренебречь членом отно-
относительной энергии, что эквивалентно замене запаздывающего взаимодействия
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ XLIII
мгновенным взаимодействием, то мы придем к обычному нерелятивистскому
уравнению Шредингера в пространстве импульсов для двух нуклеонов, взаимо-
взаимодействующих посредством статистического центрального юкавского потенциала.
Новое релятивистское уравнение для двух частиц находит важное примене-
применение в теории атома водорода и водородоподобных атомов, а также атома по-
позитрония (см. статью XIII, а также [80]). Можно показать, что в случае более
корректной трактовки даже только „мгновенной" незапаздывающей часги взаимо-
взаимодействия получается уравнение, хотя и сходное с брейтовским, но все же не
эквивалентное ему. В то время как уравнение Брейга в случае кулоновского
потенциала можно ззписать в виде
[Е - иа Ср)—нь Ср)\ ?(р)=-4?
более точное трехмерное уравнение в случае мгновенного взаимодействия должно
«меть вид
[Е-На(р) — Нь(р)]?(р) = № (р~) Аъ+ (р)—А» (р)Аь_(р)} X
A3)
где добавочный множитель содержит операторы проектирования Казимира,
X /
В нерелятивистском пределе, когда обе частицы находятся в состояниях
положительной энергии, точное трехмерное уравнение совпадает с брейтовским.
Любопытно, что даже в случае ограничения мгновенным взаимодействием урав-
уравнение Брейта было бы справедливо лишь для фиктивной одноэлектронной теории
и оказывается неверным в реальном случае теории дырок. Дело в том, что
в более точной теории следует учитывать промежуточные состояния, в которых
одна или обе взаимодействующие частицы находятся в состояниях отрицательной
энергии. Новое релятивистское уравнение для двух частиц впервые позволило
найти поправки порядка в (да/Ж) к тонкой структуре водорода. Тем самым
возникла возможность уточнения теории лэмбовского сдвига.
Для 25-состояния получается поправка
Аналогично для 2р-состояния получается поправка
ДЛ= — 0,017 мггц.
Для водородоподобных атомов поправки будут расти примерно как
по сравнению с водородом х).
Аналогичные соображения можно применить в теории позитрония. Напомним,
что эта весьма любопытная, предсказанная несколько лет назад атомоподобная
система, состоящая из электрона и позитрона, вращающихся вокруг общего
центра тяжести, была экспериментально обнаружена в 1951 г. [81J. Существенно,
что позитроний может находиться либо в ортосостоянии со спином единица,
либо в парасостоянии со спином нуль. Ортопозитроний, обладающий средним
временем жизни
9 я 1 1 . in-?
превращается в три фотона, тогда как парапозитроний, для которого х = B/ск0аъ)—
—1,25- Ю-10 сек., аннигилирует с испусканием двух фотонов (см. [4], часть I,
§ 40). Эксперименты не только подтвердили наличие двухфотонной и трехфотон-
ной аннигиляции, но также обнаружили сверхгонкую структуру в энергетических
х) Заметим еще, что дальнейшее исследование привело также к поправке, зависящей
от коиечиости массы ядра, в основной вакуумной доле лэмбовского сдвига.
XLIV ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
уровнях позитрония, обязанную спиновому взаимодействию. Прежние расчеты,
основанные на учете обычного спинового взаимодействия частиц, а также
специфического обменного взаимодействия электрона и позитрона, связанного
с их виртуальной аннигиляцией, позволили вычислить разницу в положении уров-
уровней Is и 2s позитрония с точностью до <x2i? (см. [82, 83], а также [4]). Наи-
Наибольший вклад в величину расщепления возникает от взаимодействия, связанного
с виртуальной аннигиляцией частиц.
При этих расчетах учитывались поправки, вытекающие из брейтовского
взаимодействия (аналог которого в теории водорода вносит определенную долю
в сверхтонкую структуру), а также учитывалось влияние виртуальной аннигиля-
аннигиляции частиц. В дальнейшем были учтены поправки следующего порядка тех же
типов, а также новая поправка из точного уравнения для системы двух тел [84].
Если учесть все члены взаимодействия, связанные с испусканием или поглоще-
поглощением двух фотонов, то с точностью до a8i? для разности значений энергии в син-
глетном и триплетном состояниях получим значение
-д— (тг+21а 2) т} •'0337 •105
при этом синглетное состояние будет лежать ниже триплетного. В то же время
эксперименты приводят к значению
Д W,e = B,035 =t 0,003) 105 мггц
в хорошем согласии с теорией [82, 83].
Интересно подчеркнуть, что с результатами релятивизированной подобным
образом трактовки двух тел совпадают выводы так называемого неадиабатиче-
неадиабатического метода, в котором рассмотрение взаимодействия и уравнений движения
не отрываются друг от друга [126]. В последнее время оба метода были при-
применены к анализу системы мезон-нуклеон [127].
10. Квантовая мезодииамика
До сих пор речь шла о квантовой электродинамике и теории вакуума элек-
электромагнитного поля и поля электронов-позитронов. Очевидно, однако, что ана-
аналогичное положение вещей должно иметь место для полей всех других частиц:
нуклеонов, мезонов всех типов, а также гравитационного поля и т. д., хотя
квантовая мезодинамика находится еще на первом этапе развития, но она уже
получила убедительное экспериментальное подтверждение в случае трактовки
распада 1г0-мезонов. В новейшей квантовой мезодинамике выяснены некоторые
интересные обстоятельства, которым посвящена статья XI (см. также [85—90]).
Существенно с самого начала подчеркнуть, что мезодинамика развивается,
вообще говоря, для случая слабой связи; однако, как известно, связь нуклеонов
с псевдоскалярными мезонами, играющими главную роль в ядерном поле, отнюдь
не является слабой (поскольку соответствующая константа тонкой структуры
gjbc ?«1), так что применение теории к этому случаю носит предварительный
характер. С другой стороны, трактовка электромагнитных эффектов в мезодина-
мезодинамике может быть развита обычным образом.
В то время как, согласно теореме Дайсона, все бесконечности в квантовой
электродинамике связаны с полевой массой или полевым зарядом электронов-
позитронов и могут быть изолированы и в известной мере устранены путек
перенормировки массы и заряда, в случае мезонных полей, взаимодействующих
с нуклеонами, лишь в случае скалярной связи для скалярных мезонов и псевдо-
псевдоскалярной связи для псевдоскалярных мезонов типы расходимостей будут, вообще
говоря, иметь вид, аналогичный расходимостям электродинамики. При этом для
заряженных скалярных и заряженных или нейтральных псевдоскалярных мезонов
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ XLV
бесконечности, соответствующие графикам с одной или тремя внешними мезон-
иыми линиями, исключаются в силу законов сохранения заряда и четности.
Однако даже в этих случаях имеют место также добавочные расходимости,
¦связанные с'рассеянием мезонов на мезонах, для исключения которых требуется
выделение дополнительного контрчлена перенормировки в лагранжиане типа 8А.94.
Эго обстоятельство подчеркивает необходимость существенного учета нелиней-
ностей в мезонной теории, введенных ранее Родичевым и Иваненко (см. [4],
часть II, § 3). Аналогично этому в теории скалярных нейтральных мезонов со
¦слабой связью приходится выделить помимо SA.»4 контрчлен SA.?8- Кроме того,
ренормируемой подобно электродинамике оказывается теория нейтральных век-
векторных мезонов с векторной связью (уравнения Прока), а также некоторые
специальные смеси мезонных полей. Для всех остальных видов мезонных полей
(например, полей [л-мезонов фермионного типа) и т. д. имеется бесконечное
число классов расходимостей, которые не могут быть устранены при помощи
конечного числа перенормировок. См. также интересные исследования 5-матрицы
в мезонной теории, произведенные Ху Нингом [91].
Отметим, что подобно заряду е, перенормировке подлежит также мезонный
квазизаряд g нуклеонов, входящий, например, в их энергию взаимодействия
с полем псевдоскалярных нейтральных мезонов:
где х — функции нуклеонов, » — мезонов.
Обратим теперь внимание на исследование нелинейного уравнения мезонного
тюля,
(?— *<>—л»2)<э=о.
С феноменологической точки зрения нелинейный добавок о3 можно считать
обязанным наличию квазидиэлектрической проницаемости е, индуцируемой
яуклеонным вакуумом. Для доказательства необходимости включения в мезонную
теорию члена <р4 и определения нелинейной константы самодействия А. мезонного
поля можно использовать подсчет поляризации вакуума нуклеонов-антинуклеонов
(масса М), вызванный, например, медленно меняющимся нейтральным псевдоска-
псевдоскалярным полем [88]. Тогда, применяя, например, метод Швингера для подсчета
в гейзенберговском представлении нелинейных членов в лагранжиане, получим
для нелинейного добавка к лагранжиану медленно меняющегося мезонного псев-
псевдоскалярного поля
где 0(<р6) — конечные члены со степенями <р выше четвертой.
Величину, стоящую в скобках в первом члене, можно рассматривать как
¦бесконечный ренормируемый добавок к члену с основной „затравочной" массой
¦я-Мр®2? второй член является существенно новым, связанным с взаимодействием
мезонов друг с другом и ведущим к нелинейным уравнениям поля. Таким обра-
образом, для нелинейной константы самодействия получаем
где
причем, в случае регуляризуемой теории, конечная величина s0 играет роль
минимального собственного времени.
Любопытно отметить, что общую структуру и порядок нелинейной кон-
станты X можно очень просто получить, рассматривая в качестве источника
XLVI ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
мезонного поля нуклеоны с распределением, заданным по приближенной стати-
статистической модели Томаса — Ферми, когда в ультрзрелятивистском случае плот-
плотность нуклеонов прямо пропорциональна <ps [92J. Кроме того, нелинейную кон-
константу к можно определить, рассматривая, например, рассеяние мезонов на мезонах
или процесс превращения двух мезонов в пару нуклеон — антинуклеон с после-
последующей ее аннигиляцией снова в два мезона, вполне аналогично рассеянию света
на свете. Всестороннее исследование нелинейного мезонного уравнения имеет,
очевидно, особый интерес ввиду того, что взаимодействия между нуклеонам»
передаются через мезонное поле. Оказывается, что учет нелинейных добавкою
уменьшает энергию взаимодействия на близких расстояниях (см. [4], часть II,,
§ 3, а также [93, 128]). Заметим также, что нелинейности в мезонном поле при-
приводят к возможности кратного порождения мезонов в едином акте, например
при столкновении сверхбыстрых нуклеонов друг с другом, в примерном согла-
согласии с результатами недавних интересных экспериментов Шейна и др. [94] (см.
также [95, 96] и [4], часть II, § 6).
Отметим, что к области квантовой мезодинамики относится также трак-
трактовка спонтанного распада 1г0-мезона на два ^-фотона, осуществляемая благодаря
виртуальному порождению в промежуточном состоянии пары нуклеон-антинуклео»
и последующей ее аннигиляции в два f-фотона:
Как известно, согласие теории с экспериментом служит в этом случае сильны»
аргументом в пользу псевдоскалярного характера 1г0-мезонов, обладающих спином 0.
Любопытным примером влияния поляризации вакуума является случай недавно-
обнаруженных на опыте (см., например, [98]) мезо-атомов (мезо-водород, мезо-
кислород и т. д.), в которых вместо одного или нескольких электронов вокруг
ядер вращаются ir-мезоны; в этом случае сдвиг энергетических термов, обуслов-
обусловленный поляризацией вакуума, заведомо будет значительным ввиду близости-
мезонов к ядру. Например, в близком случае ji-мезо-атомов следует ожидать
поляризационного сдвига, по величине превышающего расщепление тонкой струк-
структуры [97].
Наконец, к области квантовой мезодинамики относятся эффекты, связанные
с виртуальной диссоциацией нуклеонов на нуклеоны, плюс иг-мезоны:
которые ведут к возникновению „аномальных" (диссоциативных) магнитных момен-
моментов нуклеонов, а также дают начало, с одной стороны, силам притяжения
электрон-нейтрон, проявляющимся при рассеянии мезонов и в изотопическом-
смещении, и, с другой стороны, приводят к ослаблению кулонова притяжения
между протоном и электроном. К сожалению, до сих пор не удалось, провод»
расчет даже в четвертом приближении, объяснить количественно значение ма-
магнитных моментов протона и нейтрона благодаря их связи с полем нейтральных
и заряженных псевдоскалярных мезонов (см. [79]). За подробностями трактовки
этих проблем, выходящих за рамки сборника, отсылаем к литературе [4, 99].
С диссоциацией нуклеонов мы сталкиваемся также и в интересующем нас
вопросе лэмбовского сдвига, небольшая часть которого оказывается обязанной не
вакуумным электромагнитным причинам, но обусловлена только что указанным
дополнительным взаимодействием электрона с нуклеонами в водороде и дейтероне-
11. Квантовая теория гравитации
Как известно, основы квантовой теории слабого гравитационного поля, опи-
описываемого волновыми функциями Ац,, где метрический тензор gi« = g?v + А^.*
С^-галилеевы значения), можно развить совершенно так же, как это делается
в квантовой электродинамике или мезодинамике. С другой стороны, квантовая
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ XLVH
теория общего поля тяготения, подчиняющегося нелинейным уравнениям, нахо-
находится еще в зачаточном состоянии.
Многие наиболее существенные отличия станут ясными, если учесть, что
гравитационное поле имеет квадрупольный характер, а гравитоны, лишенные,
подобно фотонам, массы покоя, обладают спином 2 (см. [4, 100]).
Наряду с квантовым выводом закона Ньютона и выражения для излучения
гравитационных волн, повидимому наиболее важным следствием квантовой теории
тяготения, развитой до сих пор, является заключение о возможности взаимного
превращения электронов-позитронов и других частиц в гравитацию и обратно,,
согласно нашей гипотезе (см. [4], ч. II, § 5 и [129]).
Возникает вопрос о распространении на гравитационное поле современной
теории вакуума, на котором мы остановимся совсем коротко, главным образом
ввиду его недостаточной разработанности. Нелинейные уравнения гравитационного
поля можно записать (см. [101—103]) в следующем простом виде:
где тензор энергии вещества и гравитационного поля имеет вид:
ири использовании дополнительного неинвариантного координатного условия
7^—== 0>
переходящего для слабого поля в условие Гильберта — Лоренца (см. [4],.
часть II, § 5). Псевдотензор энергии гравитационного поля IP определяется по-
общему правилу как „импульс", сопряженный „координате" g , через лагран-
лагранжиан гравитационного поля
tP =
В дальнейшем удобно разложить лагранжиан и все другие величины, характе-
характеризующие поле, в ряды, исходя из нулевого псевдоэвклидова приближения.
Нелинейные члены в энергии гравитационного поля можно считать связанными
с взаимодействием гравитонов друг с другом; эти члены должны привести
в частности к рассеянию гравитонов на гравитонах, аналогично положению вещей
с членом А.»4 в мезодинамике.
Как и в квантовой теории других полей, в теории гравитации с учетом
вакуума речь идет прежде всего о двух основных проблемах: 1) гравитацион-
гравитационной энергии фотона, электрона и других частиц и 2) о поляризации вакуума
электронов-позитронов, мезонов и т. д. благодаря их взаимодействию с гравита-
гравитационным полем и отмеченной выше возможности виртуального порождения пар
частиц в этом поле. В дальнейшем все расчеты подразумеваются сделанными для
слабого поля.
Для вычисления гравитационной энергии фотона, электрона и т. д. можна
применить представление взаимодействия и метод Дайсона. Для этой цели,
наряду с известными выражениями для энергии взаимодействия электромагнит-
электромагнитного и гравитационного полей или электронов с гравитационным полем и т. д.
следует использовать следующие значения средних по вакууму хронологически
упорядоченных билинейных выражений:
где D'F—регуляризованная в отношении инфракрасной расходимости (путем
добавления массы покоя гравитона) каузальная функция Штюкельберга—¦¦
XLVIII ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
Фейнмана для даламберовского уравнения
(см. [104]).
В результате для собственной энергии фотона получаем равное нулю выра-
выражение, как и следовало ожидать ввиду калибровочной инвариантности, а для
собственной полевой гравитационной энергии электрона — квадратично расходя-
расходящееся выражение, что также можно было предвидеть на основании квадруполь-
ного характера гравитационного поля.
Укажем теперь коротко результат подсчета поляризации вакуума скалярных
частиц, по порядку совпадающий со случаем вакуума электронов-позигронов [129].
Здесь наиболее целесообразно использовать гейзенберговское представление и
метод гриниана (см. статью II, часть III). Добавок к функции действия грави-
гравитационного поля, обязанный поляризации вакуума некоторых частиц, подчиняю-
подчиняющихся уравнению, которое в каком-либо поле, в данном случае гравитационном,
обладает гринианом Q, приобретает вид
,=,—itr(lng).
Применяя эту теорему, получим в конце концов для добавка к действию
^свободного" гравитационного поля Wo расходящиеся члены вида
0 0
с бесконечными коэффициентами, один из которых можно изолировать путем
перенормировки гравитационного заряда, т. е. массы частиц плюс конечные
члены, содержащие, как и в электродинамике, высшиз производные. Кроме того,
в следующем приближении, аналогично случаю квантовой электродинамики (см.
статью Вайскопфа из сборника [1], а также статью II, часть III настоящего
сборника) появятся нелинейные по h^ члены. Итак, весьма любопытным образом
мы приходим к необходимости нелинейной теории гравитации со стороны кван-
квантовой механики, независимо от аргументов в пользу установления нелинейных
уравнений поля в общей теории относительности (см. [4], часть II, § 5).
12. Регуляризация
Представители тех или иных направлений новейшей квантовой электро-
электродинамики применяли для устранения расходимостей в промежуточных расчетах
различные приемы регуляризации, во многом, впрочем, сходные друг с другом,
Фейнман применял в классической электродинамике вместо 8-функции некоторую
сглаженную функцию, отличающуюся от 8(s9) лишь в малой окрестности свето-
светового конуса и предложил аналогично этому ввести в квантовой электродинамике
размазанную инвариантную функцию. Соответственным образом изменяются пере-
перестановочные функции и гринианы. Можно показать, что данный прием регуляри-
регуляризации эквивалентен переходу к уравнениям с высшими производными 1).
Отметим, что исторически необходимость более тщательной разработки
приемов регуляризации возникла после указания Вентцеля на неоднозначное»
значений собственной мрссы фотона, получавшихся в новейшей квантовой элекгро-j
динамике (нуль, либо бесконечность, либо конечная величина при различных]
способах оперирования с расходимосгями), тогда как калибровочно-инвариангная]
теория требует исчезающей массы фотона.
СМ. [105], [1] и [4], часть I, § 44, часть II, § 3.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ XLIX
Наиболее широкую популярность приобрела регуляризация Паули — Вил-
ларса, явившаяся развитием работ Райского и Шгюкельбергэ и весьма близкая
к регуляризации Фейнмана [106—108].
Суть дела заключается в том, что в интегралах, встречающихся в теории,
которым можно придать форму
оо
/=J7(y., K)^ss/(*0)=2jd8ftJ7(x, ij)*(if —ft* —ft*)*rj
0
f-2—— wi— масса электрона), 8-функция заменяется следующим образом:
6 (yf -tf— ft») -> 8 ft» - ** — ft*) + ^ ^8 ft» - ft* _ ft",);
тогда /в гэ/(?„) +2 c/(*oi)# Коэффициенты cf (индекс R = Reg отмечает регу-
ляризованное, т. е. конечное выражение) и вспомогательные массы /га< = (h/c{) koi
оказывается возможным подобрать так, чтобы устранить неинвариантные члены
{возникающие, например, при вакуумных подсчетах (см. [4], часть I, § 44)],
логарифмически расходящийся член сделать конечным и устранить инвариантным
образом расходимость гринианов (Д и Дх). Для этого необходимо положить
прежде всего
и в конце расчетов устремить все вспомогательные массы к бесконечности, для
чего разумно ввести условия
Тогда, например, Д заменится на регуляризованный гриниан
В результате, например, для регуляризованной собственной энергии фотона
получается требуемое значение, равное нулю.
Близкая по идее регуляризация, применяемая Дайсоном (см. статью V),
заключается в разложении расходящегося выражения в ряд по степени волновых
чисел и последующем отбрасывании расходящихся членов, которые связаны
с начальными членами разложения.
Обратим еще внимание на регуляризацию, примененную Швингером (см.
статью И, часть Ш) и заключающуюся во введении нижнего предела s0 при
интеграции по параметру собственного времени. Тогда выражения, расходящиеся
при so = O, приобретают конечное значение. Величина s0 полагается равной
нулю лишь в конце вычислений. Подобная регуляризация также связана с исполь-
использованием вспомогательных масс. Действительно, если придать величине s0 смысл
минимального времени s0 = й/дас9, то условие s0 -> 0 будет соответствовать
т -> оо. Подчеркнем в заключение, что все перечисленные новейшие приемы
регуляризации имеют „формалистический", искусственный характер. Придание
же „реалистического" смысла новым массам, минимальным длинам и т. д. неиз-
неизбежно существенно выводит нас за рамки современной теории. Не исключено,
что в рассмотренных методах уже брезжат какие-то разумные возможности
выхода за рамки теории, например в виде инвариантного введения минималь-
минимального собственного времени, включения инвариантных обрезающих факторов, или
применения спектра вспомогательных масс, которое соотвегсгвуег стремлению
построения полной теории всех связанных друг с другом элементарных частиц,
а не теории фиктивной изолированной одной частицы,- рассмотрение которой
4 Зак. 573.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
отдельно от всех остальных полей неизбежно приводит к трудностям в виде
расходимостей.
Во всех бесконечных интегралах теории речь идет о расходимости при
высоких частотах, или малых расстояниях. Расходимости же при малых частотах
(инфракрасная катастрофа) связаны с недостаточно корректным применением
теории возмущений и не носят принципиального характера (см. [4], часть I,
§ 44, д, и статьи III—V настоящего сборника). Для устранения последней вво-
вводится, например, фиктивная конечная масса фотона, которая затем обращается
в нуль. В нашу задачу не входит сейчас сколько-нибудь подробный анализ
попыток выхода за рамки современной теории. Мы остановимся в этой связи
лишь на некоторых недавних работах.
Для устранения бесконечностей Штюкельберг предложил в квантовой теории
поля вместо разрывной хевисайдовской функции, определяющей момент времени
или пространственно-подобную гиперповерхность
ввести в рассмотрение сглаженную функцию g(x) = f(?— х%), такую, что/(т)
быстро убывает при х -> ± оо и практически отлично от нуля только в некоторой
малой области | х | S М. Это обстоятельство будет обеспечивать приближенную
локализуемость теории [109, 11].
Идеи Штюкельберга о введении сглаженной функции были развиты недавна
Боголюбовым в серии работ, посвященных основным уравнениям теории поля [110].
Прежде всего отмечается, что интегральное соотношение Штюкельберга для опре-
определения волнового вектора состояния через матрицу рассеяния
неправильно, так так 5 (дг — q2) S (<72 — Ц$)Ф S (q1 — q2). (В этой связи обра-
обратим внимание на аналогичное возражение Фирца (см. статью VI) против попытки
построения регуляризованной теории Гейзенберга). Взамен этого Боголюбов пред-
предлагает положить в основу теории уравнение в вариациях
Й8Ф (g)=JQ (х) bg (х) dx$(g),
которое для разрывных функций типа
(где а — временно-подобные гиперповерхности) эквивалентно уравнению Томо-
нага; эрмитов оператор Q обобщает обычный гамильтониан. Существенной сто-
стороной развиваемой подобным образом теории, в которой указывается ряд правил»
позволяющих установить общую структуру Qn, является отсутствие в ней рас-
расходимостей. Хотя уравнение Боголюбова в пределе переходит в уравнение Томо-
нага и тем самым примыкает к классу более привычных теорий, все же, оче-
очевидно, требуются дальнейшие дополнительные исследования этой новой интересной
теории, связанные, например, с выяснением физического смысла функции раз-
размазывания g(c) и членов Qn, тем более необходимые, что точная форма g(a)
оказывается несущественной, повидимому, в связи с несколько формальным
введением этой функции.
Отказ от задания величины строго на некоторой пространственно-подобной
поверхности приводит к кругу идей теории нелокализуемых величин, которая
неоднократно обсуждалась в последнее время (см. [111—115, 130, 131], а
также [4], часть II, § 3).
В связи с обсуждением вопроса о расходимостях и их регуляризации сле-
следует, очевидно, вновь вернуться к обсуждению самих основ современной теории^
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ LI
Анализ принципов теории был кедавно проделан в работах Боголюбова и его
сотрудников [116, 117]. Подчеркивается, что основные положения можно резю-
резюмировать в следующих пунктах:
1. Полная релятивистская инвариантность.
2. Корпускулярный аспект поля.
3. Гамильтонова форма уравнений движения.
4. Полная точечная локализуемоегь, находящая свое выражение в суще-
существовании плотности энергии.
На конкретном случае скалярных полей, взятых в произвольном числе и
взаимодействующих любым образом, показывается, что невозможно одновременно
удовлетворить условиям инвариантности и полной локализуемое™, за исключе-
исключением не имеющего глубокого физического интереса случая совершенно свобод-
свободных невзаимодействующих друг с другом полей. При этом утверждается спра-
справедливость данного вывода также для нелинейной теории и для обобщений
с высшими производными. К аналогичному результату пришел Снайдер (см.
[118, 119]) в случае квантовой электродинамики.
Тем самым мы вновь возвращаемся к вопросу о наличии бесконечностей
в современной теории, неустранимых какими-либо обычными методами. Весьма
правдоподобно, что суть трудностей заключается в невозможности точного опре-
определения поля в данной точке, или, как отмечают авторы, в необходимости
обобщить понятие самих координат, ввиду наличия указанных нами ранее „инди-
„индивидуальных" ошибок в координатах и времени, вытекающих с необходимостью
из релятивистской квантовой механики (см. [112], а также [4], часть II, § 3).
Любопытную попытку хотя бы частично обойти применение метода возму-
возмущений сделал совсем недавно Эдварде [34] (статья XIV) на базе швингеровского
варианта гейзенберговского представления. В основу кладутся уравнения для
гринианов электронного и фотонного полей, записанные в символической форме:
где оператор массы М = m-\-ieziGTD, оператор поляризации Р = — ie
оператор тока Г = — г—г G'1 = — ^-j ft (p — еА) -j- M\. Оператор тока является
обобщением обычного выражения, не учитывающего вакуумных поправок:
fg—2 —знак функциональной производной).
Так как гриниан G в свою очередь есть функция Г, то для Г получается
нелинейное интегральное уравнение
Г = ^ + ie^GVGTD — ie^G ~ (TD),
причем в нулевом приближении для „свободного" электрона Го = ?; теперь вместо
подстановки в правую часть значения Г для свободной частицы, как следовало бы
ожидать по методу возмущений, одно из Г сохраняется в данной форме, что
приводит к линейному уравнению, которое после ренормировки приобретает вид
Г =Z-1f — ie^fGiT GiiDi -4- члены порядка ei.
Анализ частного решения этого уравнения приводит к выводу, что в то
время как задавая форму дайсоновского фактора перенормировки в виде Z~1 =
= 1 ~|-2 an2n> мы получали для Zn бесконечное значение, сейчас, когда за
исходный пункт берется не „свободный" электрон (Z' = 1), а ударение делается
на влиянии фотонного поля, фактор Z'-1 неожиданно оказывается равным нулю.
Аналогичный метод применяется далее к мезодинамике.
Отсылая за дальнейшими подробностями к цитированной литературе, мы
перечислим в заключение ряд наиболее подробно обсуждаемых гипотез
4*
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
в направлении выхода за рамки нынешней теории. К ним относятся прежде всего
¦гипотезы, связанные с минимальной длиной, а именно: 1) гипотеза квантован-
щого, в каком-то смысле дискретного, пространства — времени, 2) гипотеза макси-
максимального импульса, 3) гипотеза нелокализованности полей, 4) гипотеза взаимной
^инвариантности. Эти гипотезы, имеющие много общего между собой, связаны
в «известной мере понятием индивидуальных ошибок. Первейшей целью этих
'гипотез является устранение расходимостей.
Гипотезы другого класса стремятся прежде всего построить теорию всех
или многих известных элементарных частиц, установив ту или иную связь между
ними. Сюда относятся: 5) гипотеза слияния, примыкающая к исследованиям
высших спиновых состояний, 6) гипотеза необходимости перехода к уравнениям
с высшими производными, 7) гипотезы о сложных мезонах. К этому же классу
следует отнести 8) гипотезу о взаимной превращаемости гравитационного поля
я частиц, вытекающую, лювидимому, из современной теории поля, но еще не
доказанную со всей строгостью. Несколько в стороне стоят 9) пятимерные
•обобщения, хотя и связанные в ряде отношений с иными попытками выхода
за рамки теории.
Значительное число общих пунктов во многих только что указанных гипо-
гипотезах позволяет предполагать наличие в них близких к истине пунктов, дальней-
дальнейшее развитие которых приведет науку к теории элементарных частиц и полей,
¦Свободной от расходимостей, объясняющей значения их масс и констант связи
зарядов и моментов и образующих единую закономерную систему.
ПРИЛОЖЕНИЕ
СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
Как известно, разнообразные сингулярные функции гипа 8-функции различ-
•ных перестановочных функций и гриновских функций (гринианов) уравнений
поля играют существенную роль в теории при определении решений однородных
или неоднородных уравнений (с наличием источника) и квантовых перестано-
перестановочных соотношений. Для удобства приводим обзор ряда важных сингулярных
функций, взяв за основу наиболее часто применяемые ныне обозначения Швин-
•гера и отмечая для сравнения другие обозначения. Подробности выводов можно
найти в статье Дирака [121], в статье Ривье [122], где применены обозначения
Штюкельберга, в статье Кэллена [9], в книге Паули [123], а также в нашей
книге (Д. Иваненко и А. Соколов [19], в особенности § 20), где дана как общая
теория 8-функции, так и систематическое применение установленной ранее тео-
теоремы о связи гриниана с 8-функцией.
I. ДИРАКОВСКАЯ 8-ФУНКЦИЯ; РАЗРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ 6;
ЗНАКОВАЯ ФУНКЦИЯ е; ОПЕРАТОР УПОРЯДОЧЕНИЯ Р
Прежде всего дадим перечень основных формул с 8-функцией и знаковыми
•функциями, которые часто служат вспомогательным материалом при построении
других сингулярных функций.
В одномерном случае Фурье разложение 8-функции имеет вид
+0О
8(*)=i / e±ikxdk
— СО
1л в четырехмерном случае —
8 (х) = ^ jV {KX*\dky, (dky ^ (dk) = dktft
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ LIII
Если разбить 8-функцию на две части
со
8±(*) = 2Й J e±ik*dk>
то °
8 (*г) = 8+
Дайсон применяет иное обозначение:
оо
a
Наконец отметим, что 8-функция является производной от функции Хевисайда 6+(д
[ при х > 1,
) при х < 1.
Вводя Ь ~ (лг) = 6 + (— лг), имеем
Теперь определяем знаковую функцию
. f 4- 1 при лг > 1,
8(л-) = 6+(л-) — 8" (ж) = 1*1, «(*) = {,
w w v ' х I —1 при лг<1.
Следовательно,
-t-CJ
Инвариантной формой является запись
-\-1 при лг0 > О,
— 1 при лг0 < О,
где е^—произвольный временно-подобный вектор, Р—главное значение инте-
интеграла, е0 = -4- > 0.
При помощи е можно сконструировать „хронологизирующий" (короче хро-
хронологический) оператор Дайсона Р, производящий упорядочивание во времен»
(оператор хронологического порядка); как нетрудно убедиться
Р(Alt)AiQ)в(АВ)+ = *+ '('-*'> АВ +
при t0 < t (to раньше t\
1 ВЛ при *о>< (to позже
II. РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОГО КЛЕЙНОВСКОГО УРАВНЕНИЯ
Перейдем к инвариантным решениям клейновского уравнения, лежащего
в основе релятивистской квантовой механики и квантовой теории поля. Основную
роль играют два независимых решения однородного уравнения
СП — feo)A = O, СП— ?о)ДA) = О,
исследованные впервые Дираком и Паули и обозначавшиеся ими ранее через D, Dlf.
а сейчас чаще всего записываемые по Швингеру как Д, ДМ (функции Штюкель-
LIV
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
берга — Ривье D°, D1), причем
D == — Д == D0,
Четырехмерные разложения Фурье имеют вид:
А = - щц J ехР (<W 8 (К + feo)«(*) idkf,
ех
В записи Кэллена
= - B^ J ^*
где Г йрегрх о (р2 -(- /и2) означает
Г (• г г
J J J J ^1rf/>2 dP* dp
В записи Штюкельберга — Ривье
В виде однократных интегралов имеем
Интегрируя по аргументу а, получаем
f.ok
при к > О,
О при к < О,
Следовательно, Д исчезает для пространственно-подобных интервалов (к
— —^ > 0) и терпит разрыв на световом конусе (при Х = 0); Д<^ нигде
исчезает и обращается в бесконечность при к = 0.
Очевидно, (dA/dt)t=o = 5 (г); Д (—лг) = — Д (лг), ДW (— дг) = ДР> (г). Б/
годаря этим свойствам паулевское Z) или функция Д определяют четырехмерна
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ LV
перестановочные соотношения для волновых функций скалярного поля, например
[? (г, t), с? (г7, 01 = ^ D (г - i^ * — О-
В трехмерном представлении имеем
sin с TV k2 + k
В квантовой теории поля целесообразно ввести разделение сингулярных функ-
функций на части, соответствующие положительным и отрицательным частотам, иначе
говоря, в соответствующих разложениях Фурье вести интеграции по областям:
— fexsx ^ 0, если ех — временно-подобный вектор с е0 > 0. Например, в обозна-
обозначениях Паули — Штюкельберга — Ривье это разделение представится так:
или в виде трех- и четырехмерных разложений:
= i щ; f
; f УрУ ettP'"} ь± (
в обозначениях Швингера
Д = Д(+) -f Д(-), ДA) = i (Д(+) — Д(-)),
Д<+) = \ [Д — W»), Д(-) = у [Д + ?Д«].
Очевидно, Д<+) и Д(-) также удовлетворяют однородному клейновскому уравнению.
III. РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНОГО КЛЕЙНОВСКОГО УРАВНЕНИЯ
Перейдем теперь к неоднородному уравнению Клейна (с источником в пра-
правой части)
Для получения его решения в виде
Ф (г, 0 = 4и f G (r, r'; t, f) р (г', О (rfr7) Л'
необходимо найти гриниан (точнее говоря, его сингулярную часть), определяемый
уравнением (П — k20) I(х) = — Ь (х) (см. [16J).
Как было показано нами ранее (см. [16] § 20), существует следующее
фундаментальное соотношение, связывающее гриниан клейновского уравнения
с D-функцией:
о -i- т п
1 ~~~ 2 [Л '
или, в обозначениях Швингера,
LVI
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
в обозначениях Штюкельберга — Ривье:
1
/)•(*)= у»
(s — от symmetrique),
Отсюда имеем
¦
г»
— ОО
1 М1* (Хп^а) ( Л (xo^Vf) ПРИ ^ > ^'
^~' ГД6 RC xJi'A 1 0 при л<0,
(Я — главное значение).
Имеем также в обозначениях Штюкельберга следующее соотношение:
где Т* = № — г2.
Следует отметить, что в выражении гриниана как интеграла по параметру а
последний играет роль собственного времени. Мы получим важные виды решений
ОО
/1'А
-Ct
00
а"
-ct
ct
Фиг. 14.
Фиг. 15.
клейновского уравнения, соответствующие запаздывающим (ret) и опережаю-
опережающим (av) потенциалам, прибавляя и отнимая от гриниана Д половину сингуляр-
сингулярной функции Д.
Отсюда
Те же соотношения в обозначениях Штюкельберга — Ривье имеют вид
?>ret (х) = Ds (лг) 4- j D° (лг) = 9+ (t) D° (лг);
D» (х) = Ds (лг) — ~ D0 (лг) = — 6 " (О D° (x);
в обозначениях книги „Классическая теория поля" [19]
nret
— о -+-JL п
— u1zzz-^ и.
Очевидно, запаздывающие и опережающие части гриниана в свою очередь удо-
удовлетворяют неоднородному уравнению Клейна
(? — /и2) Дв (лг) = (? — w?) АА (лг) = — 8 (лг).
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
LVH
А —±Д
— 2
Таким образом,
при *0>0: Д4(лг) = О, Дя = — Д,
при лго<О: Дк(лг) = 0, Дл=Д. Д = -^-Д.
В четырехмерном представлении Фурье имеем (обозначения Ривье)
ret i \ С •(
Представляет еще интерес рассмотреть графически поведение различные
р р
сингулярных функций в плоскости лг, t.
Л*
ФИГ. 16.
Функции Д, Д^1) на световом конусе обращаются в бесконечность, причем
поведение Д характеризуется 8-функцией, а Д(:> обращается в бесконечность
как 1Д (см. фиг. 14 и 15).
Далее, например, для Дге' имеем фиг. 16.
IV. КАУЗАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Весьма важную роль в новейшей квантовой теории поля играют „причин-
„причинные" (каузальные) сингулярные функции Штюкельберга — Фейнмана, определя-
определяющие запаздывающее взаимодействие, а также среднее по вакууму от упорядо-
упорядоченных произведений между волновыми функциями. В обозначениях Штюкель-
Штюкельберга каузальная функция определяется выражениями
\De (х) = DS (x) + ~ЕР (х) = 1
*) D+ (х) + 6"
Наряду с ней вводится „антикаузальная" функция
\ Di (*) = ~\Ъ* (x*)D- (*) + 6-
лг) = Do (лг), (?>с (лг))+ = D» (лг).
Четырехмерные разложения Фурье для Dc и D имеют вид
Z> = =h JL J (rfp)**'№'ж) 8Т ((р
трехмерное разложение для Dc гласит:
) D~ (*)].
LVIII ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
При t2 > tr разложение Dc (x2 — хг) содержит лишь положительные частоты,
при 22<<i — лишь отрицательные частоты (е'М* соответствует положительной
частоте).
Существенно, что Dc представляет собой инвариантное обобщение функции,
выражающей запаздывающее действие, так как Dc учитывает не только запазды-
запаздывающее действие, по отношению к будущему, но также опережающее действие
по отношению к прошлому. Для каузальной функции в несколько измененных
обозначениях Фирца имеем
Dc = Dr+et + ?>Гт, Ds = i- (Dr+et + Da+T -f D^ -f D~v),
Do = Dr+et — Dtv + ?>Гв4 — ATv, D1 = -J- (D+t — ?>а+т — Dr"et + D~);
CO
так как из ?/= —3±(лг), где 8+ = (l/2ir) 8 (г) J* e±™dv, получаем решения
о
в виде запаздывающих и опережающих потенциалов
где 8±»=^
О
Для каузальной функции (обозначаемой Дайсоном как Д^) имеет место представле-
представление в виде интеграла по параметру, аналогичное представлениям функций Д, ДШ
со
= — г!? J ***-№*¦ da.
В обозначениях Швингера функции, по существу совпадающие с каузальной
и антикаузальной, обозначаются через Д+, Д_.
Д±=Д=*г1д(Ч;
при этом
Д+г=?К, Ajp = — 2/Д+.
В записи Теллунга
Dc = DW — 2Ш == да) — 2гД.
А Очевидно,
Фиг. 17. sг—, иа\ \ / \ 2 , .
(? — ko)AF(x) = — у8(лг).
Укажем теперь на представление сингулярных функций в виде контурных
интегралов. Для вычисления интегралов, рассматриваемых ниже, с полюсами
в точках dzyp2-\-m2 на действительной оси, контуры интегрирования берутся
с соответствующими различными обходами полюсов: для каузальной и антикау-
антикаузальной функций с обходом с разных сторон, а для опережающей (av) и запазды-
запаздывающей (ret) функций с односторонним обходом, как указано на фиг. 17 (пунк-
(пунктирная линия). Кроме этого, интегрирование можно производить, как это делал,
например, Кэллен, по сдвинутым соответственным образом контурам (сплошная
линия). Таким образом, в его обозначениях
1 л eipx
/ dp
! Г
Bu)* J
СА
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
их
Иначе говоря, полюса в точках =h ]/р2 -{- /га2 наглядно представляют влия-
влияние опережающего (или запаздывающего) действия.
Для функций Д, Д<х> имеем (см. фиг. 18 и 19) следующие представления:
Лрх
Фиг. 18.
Фиг. 19.
Наконец, для каузальной функции (в записи Кэллена)
,грх
-dp
имеем контур, приведенный на фиг. 20, тогда как для антикаузальной функции Д_—
контур на фиг. 21.
Другой способ интегрирования (см. статьи III, IV и V) состоит в смещении
полюсов в сторону от действительной оси путем замены т на wrt/s (при
Ф и г. 20.
Фиг. 21.
последующем стремлении е —> 0). При этом для каузальной и антикаузальной
функций надо в одном полюсе соответственно отнять или прибавить г—>0.
Перестановочные соотношения для волновых функций скалярного или псевдо-
псевдоскалярного нейтрального (мезонного) поля, определяемые через сингулярные функ-
функции, имеют вид (в записи Теллунга)
[со (лг), »(л/)] = Шс Д (лг — лг').
Среднее по вакууму от упорядоченного произведения определяется выражением
{р(о' ч ' /Лч hc
V. СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВОЛНОВОГО ДАЛАМБЕРОВСКОГО УРАВНЕНИЯ
Наряду с перечисленными выше перестановочными, гриновскими и каузаль-
каузальными функциями уравнения Клейна в теории играют роль аналогичные сингу-
сингулярные функции уравнения Даламбера, являющегося частным случаем уравнения
Клейна при исчезающей массе покоя k0 = 0 или т — 0, которые по Швингеру
обозначаются через D с соответствующими индексами (обратно прежним обо-
обозначениям Иордана—Паули как функций Д). Сингулярные функции D, Df
LX ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
и т. д. определяют перестановочные соотношения потенциалов электромагнитного
поля, перенос взаимодействия через фотоны и т. д. Таким образом, имеем
теперь (в обозначениях Швингера)
= HDW = О,
~ = D, D+ = 1 (D —
±
Представим положительно- и отрицательно-частотные части функции D:
D+, D~ и функцию DM в виде контурных интегралов (см. статью II):
+ ОО
^TP f °(x—ST>?'
где контур С+ простирается от —оо до -j-°°> обходя особенность -: = 0
снизу, а в контуре С~ обход особенности совершается сверху; комбинация
обоих контуров дает замкнутый контур с обходом особенности в начале (см.
контур для Д-функций). Для сингулярных функций даламберовского уравнения
имеем следующие четырехмерные представления (в обозначениях Швингера):
(подразумевается главное значение интеграла);
для каузальной и ангикаузальной даламберовских функций имеем
J
, или D± (x) = D (x) dr |
В обозначениях Дайсона каузальная функция имеет вид
Ввиду аналитического характера /(а) при действительном b
! — b)da= ~\ ^zrbda
(где интеграл справа берется при обходе b снизу, что позволяет записать инте-
интегралы с 8+-функцией в виде интегралов от рациональной функции импульсов).
Для Фурье-коэффициентов имеем (Дайсон)
1 1
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ LXI
Четырехмерные перестановочные соотношения для электромагнитных потенциа-
потенциалов имеют вид
[Af. (х), Л, (х')\ = ibrt^D (х — х'У,
среднее по вакууму от антикоммутатора потенциалов определяется соотношением
( { А_ (х), А, (лг)} H = hct^DU (х — у);
среднее по вакууму упорядоченного произведения и свертывание потенциалов
определяется формулами
^—y) (Фейнман),
—у) (Швингер).
VI. СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ДИРАКОВСКОГО УРАВНЕНИЯ
Аналогичным образом конструируются перестановочные гриновские и кау-
каузальные сингулярные функции спинорного диоаковского уравнеьия, обозначае-
обозначаемые в настоящее время чаще всего буквой S (спинорные) с соответствующим
индексом и образуемые путем действия дираковского оператора '(„диракиан")
на соответствующие функции клейновского случая. Например (в обозначениях
Швингера),
и т. д.,
или (в несколько иной записи Кэллена)
S ==
ДA) (д
I{dk) ei
Учитывая значения Д, ДA) (далее везде швингеровские обозначения), имеем
5 (*>
Так как S± = S±-^S^), то для каузальной и антикаузальной дираковских
функций получим
или
ЛЯ 1
е- + 0).
Наконец, имеем эквивалентное представление
J (dft) е«*« (гТ* - х)
= ~ J
В обозначениях Дайсона четырехмерное разложение Фурье каузальной функции
дираковского случая (электроны) имеет вид
SF= 2iS+ E+ — Швингер, SF—Дайсон),
V ^V — *ol 8+ (
(^У —feo)
LXII ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
Каузальная функция
SF=2K+ (SF— Дайсон, К+ — Фейнман).
Фейнман выбирает тот гриниан дираковского уравнения К+ B, 1)
(iV8 —/в)К"+B, 7) = ЙB, 1),
который при t% > tx равен сумме по состояниям только положительной энергии
э при t.2 < tx равен той же сумме с обратным знаком, причем взятой по состоя-
состояниям отрицательной энергии. При этом
К+B, 1) = 1(Я9 + тI+B, 1),
где
Гриниан дираковского уравнения в случае отсутствия внешнего поля можно
представить, аналогично клейновскому гриниану Д, в виде интеграла по соб-
собственному времени
5 (*', Х") a. G {Х', *') = ^=g) = -h J ^ eXP (" ^ X
(см. статью VIII).
Гриниан спинорного дираковского уравнения во внешнем поле, как обычно,
определяется уравнением
(—id— еА (*)] /к] G(д:, д:') = Ъ(х — х'),
или, символически,
Существенно, что гриниан непосредственно связывается с вакуумным средним
значением тока
(/V (х))о = ie Sp y^ G (x, x')]xr.» ^
(где след берется по спинорным индексам и подразумевается среднее, получен-
полученное при стремлении х' к ^ со стороны прошлого и будущего). Дираковский
гриниан G можно также выразить через вакуумное значение Р — упорядоченного
произведения спинорных волновых функций.
Перестановочные соотношения для спинорных функций, удовлетворяющих
дираковскому уравнению (для электрона), имеют вид
Вакуумное среднее определяется соотношением
( № (*), Ь (х')\ )о = - S§ (х — х').
Вакуумные средние от упорядоченных произведений имеют вид
±-х') (Теллунг),
• sai-fiOc, x')Sna(x — x') (Дайсон),
ЛИТЕРАТУРА LXII1
С») = — 1> если о(х) раньше и vj = -)- 1, если а (л:) позднее <з(у) во времени),
Иначе говоря, для величины свертывания имеем
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Самое широкое применение сингулярных функций весьма характерно для
современного формализма релятивистской квантовой теории поля. Фундамен-
Фундаментальная важность перечисленных сингулярных функций связана со следующими
обстоятельствами.
Во-первых, с помощью гринианов получаются решения уравнений с источ-
источниками, роль которых могут играть члены низшего приближения теории возму-
возмущения.
Во-вторых," те или иные функции D, Д, 5 определяют квантовые переста-
перестановочные соотношения операторов электромагнитного, скалярного (мезонного),
спинорного и других полей.
В-третьих, средние значения различных величин, взятых по вакуумному
состоянию также выражаются через те или иные функции Д, D, S.
В-четвертых, каузальные функции непосредственно определяют взаимодей-
взаимодействие частиц.
В-пятых, наконец, многие попытки выхода за рамки современной теории
поля непосредственно связаны с обобщением тех или иных сингулярных функ-
функций в виде замены их на различные несингулярные функции или на регуляри-
зованные тем или иным путем функции ?)/?, Д#, S#.
Д. Иваненко
ЛИТЕРАТУРА
1. Сдвиг уровней атомных электронов, Сборник статей под редакцией и со вступитель-^
ной статьей Д. Иваненко, ИЛ, 1950.
2. Lamb, Trlebwasser, Dayhoff, Phys. Rev., 89, 98 A953).
3. Кое nig, Prodell, Kusch, Pbys. Rev., 88, 191 A952).
4. Соколов А., Иваненко Д., Квантовая теория поля, М. — Л., 1952.
5. В a u m а п п, Acta Physica Austriaka, 5, 544; 6, 53 A952).
6. D i r a c, Phys. Rev., 73, 1092 A948).
7. Ахиезер Н. И., Глазман М., Теория линейных операторов, М.— Л., 1950, а также
Dyson, Phys. Rev., 85, 631 A952).
8. Yang, F eld man, Phys. Rev., 79, 972 A950).
9. К a 11 e n, Ark. f. FIs., 2, 187, 371 A951).
10. Га лани н А. Д., ЖЭТФ, 19, 521 A949).
11. Dyson, Phys. Rev., 82, 498; 83, 608 A951); Proc. Roy. Soc, A207, 395 A951).
12. Stuck elberg, Rfvler, Phys. Rev., 74, 2 A948); Helv. Phys. Acta, 23, 315 A950);
Rivler, Helv. Phys. Acta, 22, 265 A948).
13. Фок В. A., Sow. Phys., 6, 425 A934).
14. D i г а с Principles of Quantum Mechanics, 3"d ed., London, 1951.
15. Новожилов Ю. В., ЖЭТФ, 22, 264 A952); ДАН СССР, 83, 207 A952); Диссертация
ЛГУ, 1952.
16. Gupta, Proc. Phys. Soc, A63, 681 A950); 64, 851 A951).
17. Hourfet, Kind, He)v. Phys. Acta, 22, 319 A949).
18. Зисман Г. А., ЖЭТФ, 10, 1163 A940).
19. Соколов А., Иваненко Д., Классическая теория поля, 2-е издание, М. — Л., 1951.
20. D1 г а с, Rev. Mod. Phys., 17, 195 A945); Feynman, Rev. Mod. Phys., 20, 367, 948,
A948).
21. W h e e 1 e r, F e у п m a n, Rev. Mod. Phys., 17, 157 A945).
22. F e у n m a n, Phys. Rev., 74, 939, 1430 A948).
LXIV ЛИТЕРАТУРА
23. F e у п m a n, Phys. Rev., 80, 440 A950).
24. F e у п m a n, Phys. Rev., 84, 108 A951).
25. Dirac, статья в сборнике „Атомное ядро", Л. — М., 1934.
26. Dirac, Proc. Cambr. Phil. Soc, 30, 150 A934).
27. Н е I s е п b e r g, Zs. f. Phys., 90, 209 A934).
28. U e hi ing, Phys. Rev., 48, 55 A935).
29. Иваненко Д., Соколов А., Труды Сибирского физ.-техн. ин-та в Томске, 5, 32
A937).
30. Wentzel, Phys. Rev., 74, 1070 A948).
31. К all en, Helv. Phys. Acta, 25, 417 A952).
32. Gupta, Proc. Phys. Soc. A64, 426 A951).
33. Ward, Phys. Rev., 78, 182 A950).
34. Edwards, Phys. Rev., 90, 284 A953).
35. С и л и н В. П., ЖЭТФ, 21, 462 A951).
36. Кое nig, Pro dell, Kusch, Phys. Rev., 83, 687A951).
37. Welsskopf, Kgl. Danske Vid. Seisk. Math-Phys. Medd., 14, No 5, 1 A936).
38. BeHnfante, Phys. Rev., 84, 949 A951).
39. Григорьев В. И., Вестник МГУ, № 3, 29 A951).
40. Bagge, Zs. f. Phys., 130, 650 A951).
41. Roman Pal, Nature, 38, 506 A951).
42. Roman Pal. Acta Physica (Hungarica), 3, fs. 1 A953).
43. Lamb, Triebwasser, Dayhoff, Phys. Rev., 89, 98 A953).
44. T я бликов С. В., ЖЭТФ, 21, 16 A951).
45. Karplus, Klein, Phys. Rev., 85, 972 A952).
46. Kro 11, Pollock, Phys. Rev., 86, 876 A952).
47. S a 1 p e t e r, N e w с о m b, Phys. Rev., 87, 150 A952).
48. К г о 11, L a m b, Phys. Rev., 75, 388 A949).
49. Feynman, Pbys. Rev., 74, 1430 A948) и исправление Phys. Rev., 76, 769 A949).
50. Sch winger, Phys. Rev., 76, 750 A949).
51. Be.the, Brown, Stehn, Phys. Rev., 77, 370 A950).
52. Абрикосов А. А. и Халатников И. M., ЖЭТФ, 21, 69 A951).
53. Bar anger, Phys. Rev., 84, 866 A951).
54. Karplus, К г о 11, Phys. Rev., 78, 536 A950).
55. В ersohn, Weneser, Kro 11, 86, 596 A952).
56. Baranger, Dyson, Salpeter, Phys. Rev., 88, 680 A952).
57. Salpeter, Phys. Rev., 89, 92 A953).
58. L a m b, R e t h e r f о г d, Phys. Rev., 86, 1014 A952).
59. Иваненко Д., ЖЭТФ, И, 198 A941).
60. F о 1 d у, Phys. Rev., 83, 688 A951).
61. Абрикосов А. А., Халатников И. М., ЖЭТФ, 21, 429 A951).
62. S chaff roth, Helv. Phys. Acta, 22, 502 A949); 23, No 5, 542 A950).
63. A r n о n s, В 1 e u 1 e r, Helv. Phys. Acta, 25, 583 A952).
64. Euler, Ann. der Phys., 26, 398 A936).
65. Karplus, Neuman M., Phys. Rev., 80, 380 A950); 83, 776 A951).
66. Ахиезер А. И., Sow. Phys., 11, 263 A937).
67. D e 1 b r ii с k, Zs. f. Phys., 84, 144 A933).
68. Kemmer, Helv. Phys. Acta, 10, 112 A935); Kemmer, Lfidwig, Helv. Phy?. Acta
10, 182 A937).
69. Rohrlich, G1 ii с k s t e 1 n, Phys. Rev., 86, 1 A952).
70. В e t h e, Ro h г И с h, Phys. Rev., 86, 10 A952).
71. Ахиезер А. И., Померанчук И. Я., Sow. Phys., 11, 478 A937).
72. Karplus, Klein, Phys. Rev., 85, 972 A952).
73. Kro 11, Pollock, Phys. Rev., 84, 594 A951); 86, 876 A952).
74. Karplus, Klein, Sch winger, Phys. Rev., 84, 597A951).
74a. Salpeter, Phys. Rev., 87, 328 A952).
75. Low, Phys. Rev., 77, 767 A950).
ЛИТЕРАТУРА LXV
76. Low, Salpeter, Phys. Rev., 83, 478 A951).
77. G e 11-M a n n, L о w, Phys. Rev., 84, 350 A951).
78. Га л а нин А. Д., ЖЭТФ, 23, 488 A952).
79. Sch winger, Proc. Nat. Acad. Scl., 37, 452, 455 A951).
80. К ar plus, Klein, Phys. Rev., 87, 848 A952).
81. Deutsch et al., Phys. Rev., 82, 455; 84, 60; 85, 1047 A951), 87, 212 A952).
82. Pirenne, Arch. Scl. phys. et. nat., 28, 233 A946); 29, 121, 207, 265 A947).
83. Берестецкий В. Б., ЖЭТФ, 11, ИЗО A949).
84. К а г plus, Klein, Phys. Rev., 87, 848 A952).
85. M a 11 h e w s, Phil. Mag., 41 A950).
86. Sal am, Phys. Rev., 82, 217 A951).
87. Ward, Phys. Rev., 84, 890 A951).
88. M a 1 e n k a, Phys. Rev., 85, 687 A952).
89. Th el lung, Helv. Phys. Acta, 25, 307 A952).
90. Rohrlich,.Phys. Rev., 80, 666 A950).
91. Hu Nlng, Chinese Journ. Phys., 8, 40 A951); Acta Physfca Sinfca, 9, No 1, 42 A953).
92. И в а н е н к о Д., К у р д г е л а и д з е Д. Ф., Л а р и н С. И., ДАН СССР, 88, 245 A953).
93. Schiff, Phys. Rev., 84, 10 A951); 86, 856 A952).
94. S с h e i п, Lord, F a i n b e r g, Phys. Rev., 80, 970 A950).
95. И в а н е н к о Д., Л е б е д е в В. В., ДАН СССР, 80, 357 A951).
96. Glauber, Phys. Rev., 84,395 A951).
97. Померанчук И. Я. и Галании А. Д., ДАН СССР, 86, 251 A952).
98. С а та с, Guire. Platt, Sehulte, Phys. Rev., 88, 134 A952); Mar sh a k, Meson
Physics, New York, 1952.
99. Ферми Э., Элементариые частицы, ИЛ, 1952; Ферм к Э., Лекции по атомной физике,
ИЛ, 1951.
100. Соколов А. А., Вестник МГУ, № 9, 5 A952).
101. De Donder, La gravfflque efnstein/еппе, Paris, 1921.
102. Papapetrou, Proc. Roy. Irish. Ac. A52, 11 A9).
103. Фок В. A., Journ. Phys. (СССР) 1, 81 A939).
104. Gupta, Proc. Phys. Soc, A63, 608 A952).
105. Иваненко Д., Григорьев В. И., ЖЭТФ, 21, 563 A951).
106. Ray ski G., Acta Phys. Po^onlca, 9, 129 A948).
107. Ray ski G., Rzewuski J., Helv. Phys. Acta, 23, 287 A950).
108. Rfvier, Heiv. Phys. Acta, 22, 265 A949).
109. Stuckelberg, Phys. Rev., 81, 130 A950).
110. Боголюбов Н. Н., ДАН СССР, 81, № 5, №6A951);82, № 2 A952).
111. Марков М. А., ЖЭТФ, 21, 11 A951).
112. Scherzer, Ann. der Phys., 16, 750 A946).
113. Yukawa, Phys. Rev., 77, 219 A950).
114. Rzewuski J., Nuovo Cfmento, 10, No 1, 1; No 2, 1 A953).
115. Ray ski G., Acta Physlca Po'onlca, 11, 25 A951).
116. Боголюбов Н. Н., Бои ч-Б p у е в и ч В. Л., Медведев Б. В., ДАН СССР, 74,
581 A950).
117. Бон ч-Б ру евич В. Л., Медведев Б. В., ЖЭТФ, 22, 434 A952).
118. Snyder, Phys. Rev., 78, 98 A950).
119. Snow, Snyder, Phys. Rev., 80, 987 A950).
120. Иваненко Д., Zs. f. Phys., 72, 621 A931).
121. Dlrac, Proc. Cambr. Phil. Soc, 30, 150 A938).
122. Rivler, Heiv. Phys. Acta, 22, No 3, 316 A949).
123. Паули, Релятивистская теория элементарных частиц, ИЛ, 1947.
124. Pais, Jost, Phys. Rev., 87, 871 A952).
125. Иваиеико Д., Колесников Н., ДАН СССР, 91, № 4 A953).
126. Там м И. Е., Journ. Phys. (СССР), 9, 449 A945); D an с off, Phys. Rev., 78,382
A950); Levy, Phys. Rev., 88, 72, 725 A952); Dyson, Phys. Rev., 90, 994 A953);
Cini, Nuovo Cimento, 10, 526 A953); Klein, Phys. Rev., 90, 1101 A953).
5 Зак. 573.
ЛИТЕРАТУРА
«т. c«».» в. в.. Файнберг В. Я., Усп. физ. наук, 50, № 3, 325 A953); Karplne,
Klvelson, Martin, Ptiys. Rev., 9O, 1072 (Д953У, DestI, NVatWu, PVvyS. Rev.,
90, 1075 A953); Fubini, Nuovo Cimento, 10, 564 A953); Проблемы современно*
физики, сборники переводов и обзоров, № 4 (Мезоны и тяжелые частицы),
ИЛ, 1953.
128. Иваненко Д., Б ро д ски й А., ДАН СССР, 84, 683 A952).
129. И в а н е н к о Д., Б р о д с к и й А., ДАН СССР, 94, № 4 A953).
130. PauIf, Nuovo Cimento, 10, 648 A953); Chretien, Peierls, Nuovo"Cimento/1в,
668 A953).
131. Yukawa, Phys. Rev., 91, 415 A953).
РЕЛЯТИВИСТСКИ ИНВАРИАНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ
С. ТОМОНАГА
S. Tomonaga, Progress of Theoretical Physics, I. № 2, 27 A946).
1. Формализм обычной квантовой теории волновых полей
Недавно опубликован общий обзор Юкавы [1] об основах квантовой тео-
теории волновых полей. В этой работе он указал, чго существующий формализм
квантовой теории полей все еще не является полностью релятивистским.
Пусть v(xyz)— величина, определяющая поле, и пусть X(xyz) означает
канонически-сопряженную к ней величину. Тогда квантовая теория требует
выполнения перестановочных соотношений вида:)
[v (xyzt), v (x'y'z'f)] = [A (xyzf), A (x'y'z't)]
[v(xyzt), k(x'y'z't)] = ihb(x—x')
а эти соотношения имеют совершенно нерелятивистскую форму.
Именно, в соотношения A) входят величины, относящиеся к различным
точкам (xyz) и (x'y'z'), но к одному и тому же моменту времени t. Однако
понятие „один и тот же момент времени в различных точках" имеет опреде-
определенный смысл только, если задать некоторую определенную лорентцову систему
отсчета. Это понятие не является релятивистским инвариантным понятием.
Далее, уравнение Шредингера для вектора ty, представляющего состояние
системы, имеет вид
'z't)] = О \
— y')Z(z — z'), J
где И — оператор полной энергии поля, выражаемый в форме пространственного
интеграла некоторой функции от v и А. Поскольку мы принимаем здесь шредин-
геровское представление, -о и А являются операторами, не зависящими от вре-
времени. Вектор состояния является в этом представлении функцией времени t, и
его зависимость от t определяется уравнением B).
Дифференциальное уравнение B) является нерелятивисгским. В этом урав-
уравнении временная переменная t имеет совершенно особое значение по сравнению1
с пространственными координатами х, у и z. Это тесно связано с тем обстоя-
обстоятельством, что понятие об амплитуде вероятности не пригодно в релятивистской
теории.
Как хорошо известно, вектор <\, рассматриваемый как амплитуда вероят-
вероятности, имеет следующий физический смысл. Пусть используется представление,,
в котором переменная поля v(x, у, z) диагональна; обозначим вектор $ в
этом представлении через ty [ч/ (xyz)]2). Тогда величина ^ [v' (xyz)] называется
амплитудой вероятности, а квадрат ее модуля
W W (xyz)] = | if W (xyz)] |s C)
J) Символ перестановки: [А, В] = AB — BA. Мы предполагаем, что поле подчиняете»
статистике Бозе. Наше рассмотрение применимо также в случае статистики Ферми. —
Прим. авт.
2) Мы используем квадратные скобки для обозначения функциояала. Таким образом,
символ ^ [v'(xyz)] означает, что ф является функцяояалом от фуякциа v' (xyz). Когда
используются круглые скобки, в частности, ф (V (xyz)), то ф считается обычной функ-
функцией от функции v' (xyz). Например, плотность энергии в таких обозначениях записы-
записывается в виде H(v(xyz), \(xyz)) и является, следовательно, функцией от х, у и г, в то
С. ТОМОНАГА
дает относительную вероятность того, что переменная v(xyz) имеет частный
функциональный вид v' (xyz) в момент времени t. Иными словами, возьмем пло-
плоскость :), параллельную плоскости xyz и пересекающую временную ось в точке t.
Тогда вероятность того, что поле иуеет частную функциональную форму i/(xyz)
на этой плоскости определяется выражением C).
Очевидно, что плоскость, параллельная плоскости xyz, играет в этом слу-
случае важную роль. Однако подобная плоскость определена только относительно
некоторой избранной системы отсчета. Таким образом, амплитуда вероятности
не представляет собой в пространственно-временном мире релятивистски инва-
инвариантного понятия.
2. Четырехмерная форма перестановочных соотношений
Как было указано выше, законы квантовой теории волновых полей обычно
выражаются в виде математических соотношений между величинами, обладаю-
обладающими смыслом только в некоторой частной лоренгцовой системе отсчета.
Однако поскольку доказано, что само содержание теории является реляти-
релятивистски инваригшным, то должно быть, очевидно, возможным построение теории
на основе представлений, имеющих релятивистский смысл. В связи с этим
Юкава вместе с Дираком [2] поставили задачу обобщить понятие амплитуды
вероятности так, чтобы это понятие стало пригодным для релятивистской тео-
теории. Мы в дальнейшем покажем, чго подобное обобщение теории действительно
возможно. Хотя наши результаты и не имеют столь общего характера, как это
предполагалось Дираком и Юкавой, они все же являются настолько общими,
насколько это требуется теорией относительности.
Предположим для простоты, чго имеется только два взаимодействующих
друг с другом поля. Случай большего числа полей может рассматриваться ана-
аналогичным образом. Пусть vx и v% означают величины, определяющие взятые
поля, и пусть канонически-сопряженными к ним величинами являются соответ-
соответственно кх и А2. Тогда между этими величинами должны выполняться соотно-
соотношения
[vr(xyzt), vs(x'y'z't)] = O,
[lr (xyzt), ks (x'y'z't)] = 0, r, s = 1, 2 D)
[vr(xyzt), ks(x'y'z't)] = ihb(x — x!)b(y — /)8 (z- z')br8.
Вектор <Ь удовлетворяет уравнению Шредингера
<> = 0. E)
В этом уравнении Нх и Я2 обозначают соответственно энергию первого и вто-
второго поля. Величина Ях представляет собой пространственный интеграл от
функции переменных <ох и \х, а Я2—пространственный интеграл от функции
переменных v% и Х2. Далее, величина Я12, представляющая энергию взаимо-
взаимодействия полей, задается в виде пространственного интеграла от функций как
переменных vx, kv так и переменных щ и А2. Мы предполагаем: 1) подинте-
гральнсе выражение в Я]2, т. е. плотность энергии взаимодействия является
скалярной величиной; 2) плотности энергий в двух различных точках (но в один
и тот же момент времени) коммутируют друг с другом. Эти два положения
следуют вообще из предположения, что член взаимодействия в лагранжиане не
содержит производных по времени от vx и v.2.
время как полная энергия Я= I H[v(xyz), \(xyz)\dv представляет собой функционал
от v{xyz) и \(xyz) н записывается как Н [v (xyz), \(xyz)\.—Прим. авт.
!) Мы называем трехмерное многообразие в четырехмерном мире (пространстве —
времени) просто словом „поверхность". — Прим. авт.
I. РЕЛЯТИВИСТСКИ ИНВАРИАНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 3
Если плотность энергии обозначить через Нп, то выполпяется равенство
Я12 = J Я ]2 dx dy dz. F)
Поскольку мы используем здесь шредингеровское представление, все величины
•у и А в Нх, Я2 и Я12 являются операторами, ке зависящими от времени.
Пока мы только излагали хорошо известные факты. Теперь сделаем пер-
первый шаг в сторону приведения теории к релятивистскому виду, взяв унитар-
унитарный оператор
ji} G)
и выполнив следующее унитарное преобразование операторов v и к, а также
соответствующее преобразование вектора состояния 4**
Vr=UvrU-\ A=UXrU^
W = Uty (г=1, 2) ' *• '
Как было сказано выше, операторы v и X в формуле E) не зависят от
времени. Однако в получившиеся из этих операторов с помощью преобразова-г
ния (8) величины V и Л через посредство оператора U входит время t. Таким
образом, величины V и Л зависят от времени, причем имеют место уравнения
ihVr=Vfir—HrVr,
(г=1, 2) (9)
ibAr = ArHr — HrAr.
Эти уравнения обязательно будут ковариангными по отношению к преобразо-
преобразованиям Лоренгца, поскольку они совпадают с уравнениями для свободных
полей.
Далее, используя решения этих „вакуумных уравнений", т. е. уравнений,
которым должны подчиняться свободные поля, а также перестановочные соот-
соотношения D), получаем соотношения
[Vr(xyzt\ V3(x'y'z't')\ = Ars(x-x', у-у', z-z', t-t'),
[Ar (xyzt), As (x'y'z'f)] = Brs (x — x', у — у', z — z',t- f), (ю)
[Vr(xyzt), A8(x'y'z't')\ = Crs(x-x', у-У, z-z', t-1%
где функции Ars, Brs и Crs пргдставляют собой линейные комбинации так назы-
называемой четырехмерной 8-функции и ее производных [3J. Эти четырехмерные
8-функции обозначаются обычно через Dr(xyzt), r=l, 2 и определяются
равенствами
Dr№ = 153 Ш ( Wr
i(kxx+ky+k^-ckrt)
_ i _ ) dK dky dK A1)
где
к=УЩ+ЩТЦ+Ч> A2)
причем f.r является постоянной, характеризующей поле г. Можно без груда
проверить, что данные функции являются релятивистски инвариантными1).
J) Предположим, что в (kx, ky, kz, ^-пространстве задана поверхность уравнением
= Ад + liy + k^ + у?. Данная поверхность кмеет в этом пространстве инвариант-
С. ТОМОНАГА
Поскольку в отличие от D) соотношения A0) являются перестановочными
соотношениями между переменными полей, взятыми в двух различных мировых
точках (xyzf) и (x'y'z't'), то в этих соотношениях более не используется поня-
понятие одновременности. Таким образом, соотношения A0) являются в достаточной
мере релятивистскими и не требуют при своем использовании выбора специаль-
специальной системы отсчета.
Отметим здесь следующее свойство функции D(xyzf). Когда мировая
точка (xyzf) лежит вне светового конуса с вершиной в начале координат, функ-
функция D (xyzf) тождественно равна нулю. Из формулы A3) непосредственно сле-
следует, что если мировая точка (x'y'z't') лежит вне светового конуса, вершина
которого находится в мировой точке (xyzf), то стоящие справа выражения в со-
соотношениях A0) всегда равны нулю. Иными словами, если каждая из двух миро-
мировых точек Р и Р лежит вне светового конуса с началом в другой точке, то
переменные поля в точке Р и переменные поля в точке Р' коммутируют друг
с другом.
3. Обобщение уравнения Шредингера
Рассмотрим теперь вектор W, получающийся из ф посредством унитарного
преобразования U. Из формул E), G) и (8) видно, что этот вектор, рассматри-
рассматриваемый как функция времени t, подчиняется уравнению
{ J tfM(Vi (xyzf), Лх (xyzf), V2(xyzf), A2(xyzf))dxdy dz + \ |} W = 0. A4)
Очевидно, что время t играет в этом уравнении роль, отличную от роли коор-
координат л:, у и z; таким образом, в данном случае также особое значение имеет
некоторая плоскость, параллельная плоскости xyz. Мы должны каким-либо об-
образом устранить данный недостаток теории.
Этого можно достичь способом, аналогичным способу, с помощью которого
Дирак построил так называемый многовременной формализм квантовой механики.
Напомним данную теорию Дирака.
Уравнение Шредингера для системы N заряженных частиц, взаимодействую-
взаимодействующих с электромагнитным полем, имеет вид
п(Яп, Рп> а(
Здесь Не1 — энергия электромагнитного поля, а Нп — энергия я-й частицы.
В величину Я„, кроме кинетической энергии я-й частицы, входит также энергия
ее взаимодействия с полем через потенциалы а (<7„), где qn — координата частицы.
Символ рп в формуле A5) означает, как обычно, импульс и-й частицы.
Рассмотрим теперь унитарный оператор
A6)
и произведем унитарное преобразование оператора а
A7)
иый смысл, поскольку величина k^ + ky + kl — k2 инвариантна при преобразованиях Ло-
рентца. Поверхностный элемент рассматриваемой поверхности определяется выражением
, Г/ dk \2 /dk \2 / dk\i
dkxdkydks
Из вариантности элемента dS следует инвариантность величины dk^dkydk^k и, тем
Самым, инвариантность функций, определенных равенствами A1). — Прим. asm.
I. РЕЛЯТИВИСТСКИ ИНВАРИАНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 5
и соответствующее преобразование ty
Ф = иф. A8)
При этом очевидно, что Ф удовлетворяет уравнению
?«, pn, %(qn, /))+-*|}ф = 0. A9)
{2
В отличие от а, который не зависит от времени (шредингеровское представление),
в 91 через оператор и входит время t. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство,
мы написали t в аргументе 51. Можно доказать, что 91 удовлетворяет уравне-
уравнениям Максвелла в вакууме (строго говоря, для уравнения div @ = 0 необхо-
необходимо специальное рассмотрение).
Уравнение A9) является исходным пунктом теории многовременного фор-
формализма. Затем в этой теории вместо функции Ф (qv д2, ..., qNtN), содержащей
одну временную переменную, вводится функция Ф(?!^, <?2^> •••> <7jvV)> С0ДеР"
жащая столько же временных переменных tv /2> 41 • • • 4> сколько имеется ча-
частиц, и предполагается, что последняя функция одновременно удовлетворяет
следующим N уравнениям 1);
«(<?„> Р»> 21 (qjn)) + - ~}Ф(qA> ЯА> • • • > 4NtN) = 0, я = 1, 2, ..., N. B0)
Введенная функция Ф(/х, /2> •••г^)< являющаяся основной величиной в тео-
теории многовременного формализма, связана с обычной амплитудой вероятности
Ф(?) соотношением
Ф(/)=Ф(/, tt U ... f). B1)
Уравнения B0) могут быть одновременно разрешены тогда, и только тогда,
когда выполнены № условий
92^2. '¦-> 4NtN) = 0 B2)
для всех пар п и п''. Можно доказать, что если мировая точка (qntn) ле-
лежит вне светового конуса с вершиной в точке (<7^^)» то имеет место равенство
НпНп — НпНп — 0. Вследствие этого функция, удовлетворяющая уравнениям B0),
может существовать только в той области, где одновременно выполняются условия
дяя всех значений лип'.
Согласно Блоху [5], в том случае, когда аргументы функции Ф(^1, q4i> •••
..., qNt^) изменяются внутри области, заданной условиями B3), этой функции
можно придать следующий физический смысл. Величина
v д&, ..., qNtN) = | Ф (q^, q^, ..., qN*N) |» B4)
дает относительную вероятность того, что при измерении координаты первой
частицы в момент времени tx будет найдено значение qv при измерении коор-
координаты второй частицы в момент времени t% будет найдено значение q2 ..., при
измерении координаты положения Af-й частицы в момент времени t^ будет най-
найдено значение qN.
Мы изложили основные особенности многовременного формализма квантовой
механики. Вернемся теперь к нашей основной теме. Если сравнить уравнение A4)
и уравнение A9) теории многовременного формализма, то сразу бросается в глаза,
что между этими уравнениями имеется далеко идущее сходство. В уравнении A9)
*) Мы предполагаем, что используется представление, в котором координаты qlt
4»'.., Ян диагоналыш, так что вектор Ф представляется в виде функции от этих
координат. —Прим. авт.
6 С. ТОМОНАГА
стоит индекс л, обозначающий частицу, в то время как в уравнении A4) вхо-
входят переменные х, у и z, обозначающие положение в пространстве. Далее, ве-
величина Ф является функцией N независимых переменных qv q%, ..., qN,
причем- переменная qn определяет положение л-й частицы; в то же время вели-
величина Ф является функционалом от бесконечного множества „независимых пере-
переменных" v1(xyz) и v%(xyz), причем здесь переменные vx(xyz) и v2(xyz) опре-
определяют поля в точке (xyz). Вместо суммы 2#»> стоящей в уравнении A9),
п
в уравнение A4) входит интеграл Г #12 dx dy dz. Таким образом, индекс л урав-
уравнения A9), принимающий значения 1, 2, 3 ... N, соответствует переменным х,
у и z, принимающим непрерывно все значения от —оо до -|-оо.
Указанное соответствие наводит на мысль ввести бесконечное множество
временных переменных txys, которые можно назвать местным временем J), отно-
относящимся к каждому положению (xyz) в пространстве, подобно тому как были
введены N временных переменных tv t%, ..., tN для каждой отдельной частицы.
Единственное отличие состоит в том, что в нашем случае получается бесконечное
множество временных переменных, в то время как в обычном многовременном
формализме их было только N.
Вместо перехода от функции с одной временной переменной к функции
с N временными переменными мы должны теперь рассмотреть переход от функ-
функции W(t) к функционалу W [txys] от бесконечного множества временных пере-
переменных txyz.
Будем теперь рассматривать txyz как функцию от (xyz) и возьмем вариацию
от этой функции eXy~, отличающуюся от нуля только в малой области Vo
в окрестности точки (X(,yoZo). Определим частную производную от функционала
W [tXV2] по переменной tx^aZa следующим образом:
e-> 0 ) ( j гхузйхйу dz
¦wi B5)
Обобщим теперь уравнение A4) и рассмотрим в качестве основных уравнений
теории бесконечное множество справедливых одновременно уравнений
{Н12(х, у, z, о + ?-i_ W = 0, B6)
соответствующих /V уравнениям B0). В уравнении B6) ради простоты мы на-
написали Н12(х, у, z, t) вместо Hl2(V-l(xyz, f), V2(xyz, t), ...).
Вообще, когда имеется функция F(V, А) от V и Л, мы будем писать вместо
F(V(xyz, txyz), A(xyz, txys)) просто F(x, у, z, t) или даже F(P)y где Р озна-
означает мировую точку с координатами (xyz, t). Таким образом, под записью F(P>) поа-
разумевается F(x'y'z', ^)или, более точно, F(V(x'y'z', tx-,yz-), Kix'y'z',tx-V'Z-)).
Примем теперь уравнение B6) в качестве исходного положения теории.
Когда в оператор Я12 подставлены величины V1(P), V2(P), АХ(Р) и А2(Р),
выполняются перестановочные соотношения A0). Входящая в них функция D(xyzt)
обладает свойством A3). Вследствие этого мы получаем, что если точка Р ле-
лежит на конечном расстоянии от точки Р' вне светового конуса с вершиной в Р',
то имеет место соотношение
#,2 (Р) #12 (П - #12 (П #12 (Р) = 0- B?)
Далее, согласно предположению 2, приведенному на стр. 2, соотношение B7)
сохраняется также и тогда, когда точки Р и Рг стремятся друг к другу по
1 Подобный термин был введен в аналогичном случае Штюкельбергом [6].—
Прим. авт.
I. РЕЛЯТИВИСТСКИ ИНВАРИАНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ^
пространственно-подобному направлению. Следовательно, система уравнений B6)
интегрируема тогда, когда поверхность, определяемая уравнением t— txyz (txys счи-
считается функцией от х, у и z), является пространственно-подобной.
Таким образом, функционал от варьируемой поверхности в пространственно-
временном мире определяется функциональными дифференциальными уравнениями
в частных производных B6). По гналогии с соотношением B1) многовременной
теории функционал W [txyz] сводится к обычной функции W (f), когда простран-
пространственно-подобная поверхность сводится к плоскости, параллельной плоскости xyz.
Переменная поверхность t—txyz может быть любого (пространственно-по-
(пространственно-подобного) вида в пространственно-временном мире, и для определения подобной
поверхности нет необходимости избирать какую-либо специальную лорентцовую
систему отсчета. Поэтому функционал W [txyz] является релятивистски инва-
ри?ншым понятием. При этом ке является необходимым допущение из реляти-
релятивистских соображений в качестве поверхностей t=txyz также и временно-по-
временно-подобных поверхностей, как этого требуют Дирак и Юкава. Таким образом, мы
предполагаем, что введенный выше функционал W [txyz] является уже достаточ-
достаточным обобщением обычного вектора W, и считаем, что этим функционалом опи-
описывается квантовое состояние J) полей.
Пусть С обозначает поверхность, определяемую уравнением t=txyz. Тогда W
является функционалом от поверхности С. Мы выразим это обстоятельство за-
записью; W [С\. Возьмем на поверхности С точку Р с координатами (xyz, t) и
рассмотрим поверхность С', совпадающую с С всюду, кроме малой окрестности
точки Р. Обозначим объем, лежащий между поверхностями С и С, через d<ap.
Тогда мы можем записать выражение B5) в виде
°~ъс~~ — lim di" B8)
^Р с'->е и р
и уравнение B6) в виде
**\W[Q = O. B9)
Данное уравнение B9) имеет полностью инвариантный вид. Во-первых, со-
согласно нашему предположению 1 (стр. 2), величина #12 является скаляром;
во-вторых, перестановочные соотношения между операторами V(P) и Л(Р), со-
содержащимися в //12, имеют четырехмерную форму A0) и, наконец, дифферен-
дифференцирование Ь/ЬСр, определенное формулой B8), не зависит от выбора системы
отсчета.
Из формулы B9) непосредственно следует, что функционал W [С] полу-
получается из ЧГ [С] посредством следующего инфинитезимального преобразования'-
W [С] = 11 - -?¦ Я12 (Р) *>„ } «HQ. C0)
Если поверхности Cj и С2 в пространственно-временном мире находятся на ко-
конечном расстоянии, то для получения функционала W [С2] из W |С,] достаточно при-
применить последовательно ряд инфинитезимальных преобразований. Таким образом,
,}T[CJ. C1)
Смысл этого соотношения состоит в следующем. Разделим четырехмерную об-
область, заключенную между поверхностями Сх и С2, на малые четырехмерные
элементы dwp (необходимо, чтобы каждый четырехмерный элемент был окружен
двумя пространственно-подобными поверхностями). Рассмотрим для каждого
четырехмерного элемента бесконечное преобразование 1 — -у Я12 (Р) dwp.
!) Термин .состояние" используется здесь в релятивистском пространственно-времен-
пространственно-временном смысле. См. книгу Дирака, Квантовая механика, § 6 (второе издание). — Прим. авт.
С. ТОМОНАГА
Возьмем, далее, произведение таких преобразований, причем порядок множителей
пусть соответствует переходу от поверхности Сх к С2. Эго произведение преоб-
преобразует функционал W [С^ в W [С2].
Как поверхность Cv так и поверхность С2 должны быть при этом простран-
пространственно-подобными, однако в остальных отношениях они совершенно произвольны.
Так, поверхность С2 не обязательно должна быть расположена позднеа С\; по-
поверхности Сх и С2 могут даже пересекаться друг с другом.
Соотношения вида C1) были ранее введены Гейзенбергом [7]. Их можно
рассматривать как интегральную форму уравнений Шредингера.
4. Обобщенная амплитуда вероятности
Нам нужно теперь найти физический смысл функционала W [С]. Для этого
можно применить соображения, аналогичные развитым Блохом в обычной
многовременной теории. Кроме появления бесконечного числа временных пере-
переменных, наш случай отличается от случая Блоха еще тем, что в отличие от уни-
унитарного оператора A6) обычной многовременной теории, коммутирующего
с координатами qv q%, ..., qN, оператор U не коммутирует с переменными
поля v^{xyz) и v2(xyz). Учитывая это различие и рассматривая непрерывное
множество, например, с помощью приема Гейзенберга и Паули [8] как предел
счетного множества, соображения Блоха можно перенести в данную теорию без
каких-либо дополнительных изменений. Мы приведем здесь только получающиеся
при этом результаты.
Пусть поля находятся в состоянии, описываемом вектором W [С]. Предположим,
что мы производим измерения функции f(vlt v2, Xv А2) в каждой точке поверх-
поверхности Cv в пространственно-временном мире. Пусть Рх обозначает переменную
точку на поверхности Cv тогда если величины /(Рх) при двух каких-либо „зна-
„значениях" Рх коммутируют, то измерения функции / в этих двух точках не влияют
друг на друга. Первое наше заключение состоит в том, что в подобном случае
среднее значение /(РЛ задается выражением
7(Л) = ((г1г[С1]) /(/>,) 4HCJ)), C2)
где /(ЯЛ означает, согласно условию на стр. 6, величину f(V1(P1), ...),
а двойные скобки ((Л, В)) означают скалярное произведение двух векто-
векторов А и В. В случае непрерывного множества степеней свободы это скалярное
произведение невозможно представить в виде интеграла от произведения двух
функций. Чтобы это можно было сделать, нужно заменить непрерывное мно-
множество по крайней мере счетным множеством.
Пусть вообще F |/(ЯЛ] — функционал от независимой функции /(ЯЛ точки Pv
Тогда среднее значение величины F дается выражением
iL Flf(Pi)]V[CJ)). C3)
Представляет физический интерес случай, когда функционал F является
оператором проектирования Mlv'^PJ, vr2(PJ; ^(ЯЛ, V2(P1)], относящимся
к „собственным значениям" v'1(P1), ^(^i) операторов V1(P1), У2(РЛ. Тогда
среднее значение
= ((? [CJ, M [v[ (P,), v2 (Р.); V, (PJ, V, (ЯЛ] ЧГ [С,]) ) C4)
дает вероятность того, что поля / и 2 имеют на поверхности Сх функциональ-
функциональный вид Vi (ЯЛ и соответственно vs (ЯЛ. Поскольку предполагается, что поверх-
поверхность Cj пространственно-подобна, измерение на ней функционала М является
возможным (возможность измерения величин V1(P1) и У2(Рг) во всех точках
поверхности С2 означает возможность измерения М).
I. РЕЛЯТИВИСТСКИ ИНВАРИАНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 9
До сих пор мы никак не определяли представление огтерагора W \С]. Вы-
Выберем теперь специальное представление, в котором оператор V1(P1) является
диагональным одновременно во всех точках повгрхности Сг Выбор такого пред-
представления, в котором операторы V1(P1) и V9(Pj) диагональны на всей поверх-
поверхности Cj, всегда возможен, если поверхность С1 пространственно-подобна. В этом
представлении TlQ] представляется функционалом W [Vi(Pj), Va(Pi); С,] от
собственных значений Vi(P{) и v'2(P{) операторов V, (Р,) и V2 (Pj). Оператор
проектирования М имеет в этом представлении диагональную форму, гак что
выражение C4) преобразуется к следующему простому виду:
W [v[ (Pt) v2 (Р,)] = М [v[ (Р,) ъ (Pi); V, (Р,), V2 (Рг)] =
^ Cjf. C5)
В этом смысле мы можем назвать функционал ^"[^'(Pj), v'2{P^)', CJ „обобщен-
„обобщенной амплитудой вероятности".
5. Обобщенный функционал преобразования
Как было отмечено выше, величины Ф"[С,] и W \Сп] связаны соотношением C1),
где Cj и С2 — две пространственно-подобные поверхности в четырехмерном мире.
Отсюда видно, что оператор преобразования
с,
играет важную роль. Очевидно также, что этот оператор имеет пространственно-
временной смысл.
Подобно тому как в частном представлении вектора W амплитуда вероят-
вероятности имеет определенное физическое значение, имеется специальное предста-
представление, в котором определенное физическое значение имеет оператор преоб-
преобразования Т[С2; Cj].
Именно, возьмем такое смешанное представление оператора T[C%; С,],
чтобы его строки соответствовали представлению, в котором операторы V, (Pt)
и 1^2(^*2) во всех точках поверхности С, становятся диагональными, а столбцы
соответствовали представлению, в котором операторы V1(P9) и Ve(P2) диаго-
диагональны во всех точках поверхности С2. Обозначим это представление посред-
посредством *)
[<(Р2), <(Р2)|Г[С2; СУКСР,), <(РХ)] C7)
или просто
[<(Р2),
Если рассмотреть теперь выражение C5), то становится ясным, что мы
можем придать матричным элементам в данном представлении следующий смысл.
Пусть измеряются значения переменных поля Vx и V2 во всех точках поверх-
поверхности С2, причем известно, что эти переменные во всех точках на поверхности Ct
имеют значения ^(Pj) и v'^{P^. Тогда величина
C9)
дает вероятность того, что при подобном измерении получатся значения v'[(Pt)
и Dg (P2). При этом мы Предполагаем, чго поверхность С% расположгна позднее,
чем поверхность Cv
1) Поскольку матричные элементы являются здесь функционалами от v (P), мы
используем при записи квадратные скобки. — Прим. авт.
JO С. ТОМОНАГА
Соответственно приведенной физической интерпретации мы можем считать
матричный элемент C7) или C8), рассматриваемый как функционал от v'[{P^),
v'2r(P2) и ^(PJ, v'a(Pj), обобщением обычной функции преобразования (<7<'|<7<)-
В частном случае может оказаться, что только участки Sr и 52 поверх-
поверхности Cj и соответственно С2 отличаются друг от друга, а остальные част»
этих поверхностей совпадают (фиг. 1).
В таком случае матричные элементы оператора Г[С2; CJ зависят только
от переменных поля на участках Sj и 52 поверхностей Сг и С2. При этом для
вычисления Т[С0', CJ достаточно распространить
произведение C6) только по замкнутой области,
окруженной поверхностями SY и 52 так, что
D0)
Матричные элементы оператора Т в смешанном пред-
Ф и г. 1. ставлении являются функционалами от функций v'x (Pt),
v'2 (Р2) и v"(Pa), v",(P9), где Рх обозначает перг-
менную точку участка Sv а Р2 — переменную точку участка S9. Данная матрица
не зависит от величин поля в остальных участках поверхностей С^ и С2.
Матричный элемент оператора T[S^; Sx], рассмагриваемый как функционал
от ^(Р^, v'2(P^) и v"(P2), v"(P.), обладает свойствами обобщенного функцио-
функционала преобразования Дирака. Однако при нашем определении обобщенного
функционала преобразования мы наложили условие, что поверхности St и 52
пространственно-подобны, в то время как Дирак требует, чтобы этот функционал
был определен также и для временно-подобных поверхностей. Как упоминалось
выше, последнее обобщение, требуемое Дираком, не следует с необходимостью
из теории относительности.
Следует отметить, что физическую интерпретацию величины [г>"(Р2),.
«^ (Р2) | v[ (PJ, ^(Pj)] можно сохранить также и тогда, когда не предполагается,
что поверхность С2 расположена позднее поверхности Cv Именно, если поверх-
поверхность Cj расположена позднее поверхности С2, то величине W можно придать
следующий физический смысл. Пусть измеряются величины поля Vx и V2 во
всех точках поверхности Со, причем с достоверностью известно, что эти вели-
величины имели бы значения v[ (P^ и v'% (Px) во всех точках поверхности Cv если бы
на эти поля до поверхности С2 не оказывалось бы никакого внешнего воз-
воздействия, кроме измерения на поверхности С2. Тогда величина W дает вероят-
вероятность того, что при подобном измерении будут найдены значения "р"(Р2) и
6. Заключительные замечания
Нами, таким образом, показано, что квантовой теории волновых полей дей-
действительно можно придать вид, в котором явным образом обнаруживается
инвариантность теории по отнои ению к преобразованиям Лорентца. Причина
неудовлетворительности обычного формализма квантовой теории волновых полей
вызвана тем, что его построение слишком сходно с построением нерелятивист-
нерелятивистской квантовой механики. При применении обычного формализма квантовой
теории полей теория разделяется на две разграниченные части: в одной опре-
определяются кинематические соотношения между различными величинами в один
и тот же момент времени, а в другой определяются причинные соотношения
между величинами в различные моменты времени. Так, перестановочные соот-
соотношения A) принадлежат к первой из указанных частей, а уравнение Шре-
дингера B)—ко второй.
I. РЕЛЯТИВИСТСКИ ИНВАРИАНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ] 1
Как указывалось ранее, подобный способ разделения теории на две части
является не релятивистским, поскольку при этом важную роль играет понятие
„один и тот же момент времени".
В нашем формализме теория также разделяется на две части, но это
разделение производится в другом смысле. Первая часть определяет законы пове-
поведения свободных полей, а вторая — отклонения от этих законов, вызванные
взаимодействием. Подобное разделение теории может быть произведено реля-
релятивистским образом.
Хотя теория и принимает при этом более удовлегворигельный вид, в нее
не вводится по существу чего-либо нового. Следовательно, в ней сохраняются
известные трудности, вызванные расходимостями. Действительно, основное урав-
уравнение B9) допускает только решения с особенностями, как это сразу видно
из того, что неустранимая бесконечность, связанная с нулевыми амплитудами
полей, сохраняется в операторе Н10(Р). Таким образом, для устранения указан-
указанных фундаментальных трудностей требуется более глубокое видоизменение
теории.
Подобное видоизменение может быть, повидимому, осуществлено посред-
посредством пересмотра понятия взаимодействия, поскольку до тех пор, пока мы
имеем дело со свободными полями, трудности, связанные с расходимосгями, не
возникают. Такое видоизменение привело бы к тому, что при разделении теории
на две части, одна из которых относилась бы к свободным полям, а другая — к
взаимодействию, возникает некоторая неопределенность. Это связано, повидимому,
с тем обстоятельством, что если формулировать квантовую теорию полей
релятивистски удовлетворительным образом, то способ подобного разделения
оказывается сам по себе существенным элементом теории.
ЛИТЕРАТУРА
1. Yukawa H., Kagaku 12, 251, 282, 322 A944).
2. Dlrac P. A. M., Sow. Phys., 3, 64 A933).
3. Pauli W., So'vey Berichte A939).
4. Dlrac P. A. M., Proc. Roy. Soc. London, 136, 453 A932).
5. Bloch F., Sow. Phys., 5, 301 A943).
6. Stueckelberq E., Helv. Phys. Acta, 11, 225, § 5 A928).
7. Helsenberg W., Zs. Phys., 110, 251 A938).
-8. Helsenberg W., Pauli W., Zs. Phys., 56, 1 A929).
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Ю. ШВИНГЕР
J. Schwlnger, Phys. Rev., 74, № 10, 1439 A948); 75, № 4, 651 A949);
76, № 6, 790 A949); 82, № 6, 914 A951)
ЧАСТЬ I
КОВАРИАНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА
Попытки преодоления трудностей квантовой электродинамики, вызванных раеходи-
мостями, за счет отказа от существенных сторон теории оказывались каждый раз<
безуспешными. Отсутствие сходимости действительно указывает на то, что в случае
ультрпрелятивкстских энергий необходим пересмотр представлений электродинамики;
однако какое-либо значительное изменение теории для не слишком высоких релятивист-
релятивистских энергий является недопустимым.
Расходимости, как следствие виртуальных переходов с участием частиц с неогра-
неограниченно большой энергией, проявляются прежде всего при рассмотрении поляризации
вакуума и собствеииой энергии электрона. Эти эффекты выражают по существу взаимо-
взаимодействие электромагнитного поля и поля частиц с вакуумными флуктуациями этих же
полей. Основным результатом подобного взаимодействия является изменение, хотя и игг
бесконечно большой множитель, постоянных, определяющих свойства отдельных полей и
характер их взаимной связи. Естественно возникает вопрос: все ли расходимости сводятся
к подобным ненаблюдаемым множителям переиормировкк? Конкретнее говоря: может ли
квантовая электродинамика дать однозначное объяснение недавно наблюденным откло-
отклонениям от теории электрона Дирака без введения каких-либо существенно новых
представлений? Данная статья, являющаяся первой из серии работ, относящихся
к поставленному выше вопросу, посвящена формулировке полностью ковариантной
электродинамики. Требование явной ковариантности по отношению к преобразованию
Лореитца и калибровочному преобразованию крайне существенно для теории, содержащей
расходимости, так как использование при расчетах частных систем отсчета и спе-
специальных калибровок электромагнитных потенциалов может привести к потере кова-
ковариантности благодаря произволу, который часто сопутствует вычислениям с беско-
бесконечностями.
В первом разделе статьи указывается, что обычным каноническим перестановочным
соотношениям, которые ие обладают требующейся ковариантностью, так как они отно-
относятся к переменным поля, взятым в одно и то же время, ио в различных точках про-
пространства, может быть придан ковариантный вид посредством замены четырехмерной
поверхности t = const на некоторую пространственно-подобную поверхность. Эта послед-
последняя поверхность такова, что никакие из двух ее точек не могут быть связаны световым
сигналом. Подобным способом строится формулировка квантовой электродинамики
в гейзенберговском представлении, являющаяся, как очевидно, полностью ковариантной.
Однако эта формулировка не совсем пригодна для практического рассмотрения проблем
электродинамики, так как в случае ее использования правила коммутации перемен-
переменных поля, относящихся к точкам, разделенным временно-подобным интервалом, могут
быть сконструированы лишь путем решения уравнений движения. Эта ситуация может
быть противопоставлена положению, возникающему в случае шредиигеровского пред-
ставления, когда все операторы относятся к одному и тому же моменту времени-
обеепечивая тем самым резкое разграничение динамических и кинематических аспектов
задачи. Формулировка, сохраняющая очевидную ковариантность гейзенберговского пред-
представления и к тому же дающая преимущества, сходные с преимуществами шредиигеров-
шредиигеровского представления, может основываться лишь на разграничении свойств невзаимодей-
невзаимодействующих полей и эффектов, обязанных их взаимодействию. Во втором разделе строится
каноническое преобразование, переводящее уравнения поля в гейзенберговском предста-
представлении в уравнения свободных полей; таким образом, связь между полями представляется
теперь посредством переменного вектора состояния. После этого не представляет каких-
либо затруднений определить правила перестановки переменных поля, относящихся
к произвольным точкам пространства — времени. Подобным образом получается явно*
ковариантиая и практически удобная форма квантовой электродинамики, выраженная
в смешанном гейзеиберговско-шредиигеровском представлении, которое названо пред-
представлением взаимодействия. Третий раздел посвящен обсуждению ковариантных способов
исключения продольного поля, причем обычное разделение продольных и поперечных
полей заменяется соответствующим ковариаитным определением. В четвертом разделе
рассматриваются процессы столкновения с помощью инвариантного унитарного оператора
столкновения, полностью определяющего все изменения состояния системы в результате
взаимодействия. Показано, что этот оператор столкновения просто связан с эрмитовым
оператором взаимодействия, для которого формулируется вариационный принцип.
П. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ I
Введение
Предсказания квантовой электродинамики относительно эффектов высшего
порядка теории возмущений давно уже не внушают доверия в связи с расходи-
расходимостью получающихся результатов. Было сделано несколько попыток [1] произ-
произвольного устранения нежелательных, по общему мнению, следствий теории;
подобные методы можно объединить под названием „вычитательного формализма".
Все эти усилия оказались бесплодными либо вследствие того, что они не при-
приводили к достижению поставленной цели, либо вследствие отсутствия внутренней
последовательности. Бесспорный успех квантовой электродинамики в истолковании
эффектов, относящихся к низшим приближениям теории возмущений, показывает
ее принципиальную пригодность для частиц с умеренно релятивистскими энер-
энергиями. Нежелательные аспекты проявляются лишь в виртуальных процессах
с участием частиц с ультрарелятивистскими энергиями. Двумя фундаментальными
явлениями подобного типа являются поляризация вакуума и собственная энергия
электрона.
Под „поляризацией вакуума" подразумевается то изменение свойств электро-
электромагнитного поля, которое вызывается его взаимодействием с флуктуациями
заряда в вакууме. На языке теории возмущений рассматриваемое явление озна-
означает образование в вакууме заряда и тока вследствие виртуального порождения
и уничтожения электронно-позитронных пар в электромагнитном поле. Если
электромагнитное поле является полем светового кванта, то эффекты поляриза-
поляризации вакуума эквивалентны приписыванию фотону некоторой собственной массы.
Прежние вычисления приводили к необращающимся в нуль и расходящимся
выражениям для соответствующей массы светового кванта. Однако данная вели-
величина должна равняться нулю в калибровочно-инвариантной теории. Появление
противоречащих этому утверждению результатов можно приписать скорее непра-
неправильному применению теории, чем каким-либо ее существенным внутренним
недостаткам. Если электромагнитное поле является полем заданных токов, то
получается логарифмически расходящаяся составляющая тока вакуумной поляри-
поляризации, которая оказывается всюду пропорциональной заданным токам. Данный
расходящийся результат выражает, согласно существующим представлениям, воз-
возможность порождения, электронно-позитронных пар с неограниченно большой
энергией, т. е. выражает положение, которое, повидимому, будет изменено
в более удовлетворительной теории. Итак, физическое значение расходимости,
вызванной явлением поляризации вакуума, сводится к появлению некоторого
множителя, изменяющего величину всех зарядов, или, иначе говоря, сводится
к единообразной перенормировке, ке приводящей ни к каким поддающимся
наблюдению следствиям, кроме противоречия с эмпирически установленной
конечностью заряда.
Взаимодействие вакуумных флуктуации электромагнитного поля с электроном,,
или, более точно, с электронно-позитрокным полем, изменяет свойства этого
поля и приводит к возникновению собственной энергии у электрона. Механизм
рассматриваемого явления обычно описывается как виртуальное испускание и-
поглощение световых квантов электроном, рассматриваемым в остальных отно-
отношениях свободным, хотя не менее важным эффектом является частичное пода-
подавление, благодаря принципу Паули, взаимно связанных вакуумных флуктуации
электромагнитного поля и поля частиц. В лорентц-инвариантной теории влияние-
собственной энергии свободного электрона может выражаться только в приба-
прибавлении электромагнитной массы к собственной механической массе. Вычисления,
проделанные для покоящегося электрона [3], привели к логарифмически расхо-
расходящейся электромагнитной собственной массе. Эта расходимость следует из воз-
возможности испускания световых квантов с неограниченно большой энергией. Именно
здесь, как и в соответствующем пункте проблемы поляризации вакуума, будут
внесены изменения более удовлетворительной теорией. Однако электромагнитная
масса вызывает лишь перенормировку массы электрона; эта перенормировка не-
14 Ю. ШВИНГЕР
приводит к каким-либо экспериментальным следствиям, если ье считать проти-
противоречил с эмпирической коиечностью массы.
Очевидно, оба указанных явления совершенно аналогичны и что по суще-
существу они описывают взаимодействие каждого из полей с вакуумными флук-
туациями другого поля. Эффект таких флуктуационных взаимодействий состоит
всего лишь в изменении основных констанг е и т, причем последние величины
умножаются на логарифмически расходящиеся множители. Однако можно утвер-
утверждать, что в будущей модифицированной теории, благодаря запрещению поро-
порождения часгиц с энергиями, значительно превышающими тс2, эти множители
будут только незначительно отличаться от единицы, так что будет пригодна
тетрил возмущений вследствие малости константы связи поля часгиц и электро-
электромагнитного поля:
е2 1
Anhc 137*
Теперь можно поставить следующий основной вопрос: все ли существенные
расходимости современной теории ограничиваются множителями перенормировки
массы и заряда? Приведет ли рассмотрение взаимодействий, более сложных чем
указанные простые эффекты вакуумных флуктуации, к появлению новых расхо-
димосгей или же все остальные явления связаны только с умеренно релятивистскими
энергиями и благодаря этому сравнительно нечувствительны к тем изменениям в
области высоких энергий, которые, очевидно, будут введены в будущей более
правильной теории? Данная серил работ представляет собой попытку дать по
крайней мере частичный ответ на поставленный выше вопрос, который приобрел
непосредственное значение в связи с недавним окончательным доказательством того,
что электромагнитные свойства электрона не полностью описываются волновым
уравнением Дирака. При измерениях тонкой структуры водорода, дейтерия [4]
и ионизированного гелия [5] были обнаружены сдвиги энергетических уровней,
означающие существование слабого, короткодействующего отталкивающего взаимо-
взаимодействия межцу электроном и протоном. Исследования сверхтонкой структуры
водорода и дейтерия [6], а также определения значений g электрона в различных
состояниях галлил и натрия [7] показали, что электрон обладает небольшим
дополнительным спиновым магнигиым моментом.
Сразу же после завершения эксперимента Лэмба — Ризерфорда было при-
нано, что наиболее вероятное объяснение следует искать в связи с электродина-
электродинамическими эффектами высших порядков*) и что радиационные поправки к свой-
свойствам связанного электрона не сводятся к перенормировке заряда и массы.
Предварительный нерелятивистский подсчет подтвердил эту точку зрения [8].
Однако для доказательства того, чго радиационные поправки могут одновременно
объяснить два с первого взгляда не связанных друг с другом отклонения от
теории электрока Дирака, требуется полностью релятивистская трактовка [9].
Рассмотрение этой проблемы как раз и явлчется напей основной целью.
Чтобы выделить лорентц-иьвариантным и калибровочно-инвариантным спо-
способом расходимости квантовой электродинамики, необходимо использовать такую
формулировку теории, которая сохраняла бы указанную инвариантность на всех
этапах вычислений. Использование в процессе вычисления частных систем отсчета
или частных калибровок может привести к потере инвариантности из-за неодно-
неоднозначностей, могущих возникнуть в теории, содержащей расходимости. Первая
часть посвящена развитию соответствующей инвариантной формулировки. Во
второй части мы рассмотрим задачу о собственной энергии электрона и фотона
в связи с поляризацией вакуума. В третьей части разбирается главная про-
проблема— определение радиационных поправок к свойствам электрона и произво-
производится сравнение с экспериментом.
!) Дискуссия на конференции по основаниям квантовой механики, Шельтер-Айленд,
июнь 1947 г. — Прим. авт.
П. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ I 15
1. Ковариантное рассмотрение в гейзенберговском представлении
В этом разделе используется следующий способ записи: греческие индексы
принимают значения, пробегающие от 1 до 4; по индексам, встречающимся
дважды, следует производить суммирование. Координаты точки в четырехмерном
пространстве обозначены через лг[1, = (г, ict). Используется также и действитель-
действительная временная координата xo = (lli)xi = ct. В частности, чатырехмерный элемент
объема определяется как d(n==dx0dxldx^dx3. Символ ЛДдс) = (A(r, t), /в (г, t))
представляет четырехмерный век тор-потенциал электромагнитного полл, в то
время как ^а(х) означает четырехкомпоненпшй дираковский спинор. Индекс
компоненты спинора часто будет опускаться; так, если через А и А обозначены
соответственно четырехмерные прямая и транспонированная матрицы, то вели-
чина Aty = tyA представляет собой четырехкомпонентный спинор, а-компонентой
которого является Л„$р = ^рЛ^. Скалярное произведение двух спиноров х и 1*
будет аналогичным образом обозначаться через x'l* — Xi'iV Обозначение ^ц
используется для четырех эрмитовых матриц, подчиняющихся условием анти-
антикоммутации
** */ L. */ */ — Oq (Л \\
Сопряженный спинор <рв(лг) определяется соотношением
Ф (*) = ^+ (х) Т4 = 1?Ъ+ (х), A.2)
где ^(лг) — спинор, эрмитово-сопряженный к %(х). Так называемый зарядно-
сопряженный спинор ^„(лг) и сопряжгнный к нему спинор ^„(дг) определяются
равенствами
Здесь С такая матрица, что
Ти- ==: Т^ == ~~" ^* "(v- > A-4)
кроме того, матрица С кососимметрична
Ст= — С A.5)
и унитарна
С+С=1. A.6)
В последнем соотношении матрица С=С представляет собой эрмигово-
сопряженную к С матрицу. В том частном представлении, в котором все эле-
элементы f4 мнимы, в то время как все элементы остальных матриц вещественны,
условиям, налагаемым на С, можно удовлетворить, положив С = — f4. При
таком выборе представления <*/(дг) = <!f+ (x), так что спинор, зарядно-сопряжен-
ный с Ф, и спинор, эрми гово-сопряженный с ф» совпадают. Наконец,
где т0 — механическая собстзенная масса электрона.
Уравнения движения связанных полей, электромагнитного и элеетронно-
позитронного, могут быгь выведены из вариационного принципа
-О, A.8)
где лагранжева плотность J2? равна
дхч
6 Зах. 573.
16 Ю. ШВИНГЕР
Выражение для лагранжевой плотности A.9) составлено таким образом, что оно
инвариантно по отношению к преобразованию Лорентца, калибровочному преоб-
преобразованию и зарядному сопряжению. Доказательство инвариантности по отно-
отношению к преобразованиям Лорентца получается обычным образом и может быть
здесь опущено. Калибровочная инвариантность, т. е. инвариантность по отно-
отношению к одновременным преобразованиям
1 (х) —>А^ ух) ^
](х), A.10)
определяемым скалярной функцией от координат Л(дг), также выполнялась бы
в общем случае, если бы не член в лагранжевой плотности, относящийся к сво-
свободному электромагнитному полю. Из-за него при подобном преобразовании
к Jg добавляются слагаемые
а а*л
1_\(А , 1 ал \ а»д 1 . /л . 1 ал \
дх* 1Л '2 dxj дху. дхч J 1 V *^ 2 дхч )
первое из которых не влияет на уравнения движения. Таким образом, калибро-
калибровочная инвариантность сохраняется лишь тогда, когда функция преобразования Л
подчиняется условию
Инвариантность по отношению к зарядному сопряжению выражает полную сим-
симметрию между положительным и отрицательным зарядами. Перестановка ty(x)
и <]/(лг) и одновременная замена е на —е не приводят, как легко видеть,
к изменению лагранжевой плотности.
Для вывода уравнений движения поля частиц необходимо выразить лагран-
жеву плотность либо только через <р(лг) и <р(лг), либо, наоборот, только через
? (х) и ? (х). В силу формул A,3)—A,5) имеют место следующие соотно-
соотношения :
'?%? = ?Гг\с^ = Ъ$ A12)
следовательно, третий член A.9) может быть переписан в виде
* <
В результате варьирования, отбросив члены, имеющие вид дивергенции, получаем
где величина
/V (*) = Щг № (х) vJi (х) - ? (х) 4v.? (x)] A.14)
представляет собой четырехмерный вектор заряда и тока Д = (/, /ср). В со-
соответствии с перестановочными соотношениями, накладываемыми на переменные
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ I 17
поля, отсюда следует
x) = -|^(x) A.15)
Уравнениям Дирака для поля частиц может быть придана также зарядно-со-
пряженная форма
К уравнениям движения нужно добавить дополнительное условие и переста-
перестановочные соотношения. Дополнительное условие
^ф=о о...)
накладывает ограничение на допустимые состояния системы, характеризуемой
в разбираемом гейзенберговском представлении не зависящим от времени век-
вектором Ф. Совместность A.18) с уравнениями Движения является следствием
уравнения сохранения заряда
-%?>=<, (!..„
Обычные уравнения Максвелла для напряженностей поля (а не потенциалов)
выступают как получающиеся из предыдущих ковые добавочные условия
Перестановочные соотношения в обычной канонической форме имеют вид
[Л, (г, t), - — А, (г', *)] = &Лу,Ъ (г - г'), A.22а)
(Ф. (г, 0. (Ф (г'. Ъ Т*)р} = 8«g8 (r ~ г'); A-226)
здесь прямые и фигурные скобки означают соответственно коммутацию и анги-
коммутацию
[А, В]=АВ — ВА, {А, В} = АВ-\-ВА. A.23)
Мы выписали скобки, не равные нулю; значение следующих скобок равно нулю:
[Л,(г, t), Л7(г', *)], [-jf-A^r, t), ~A,(r', О],
также.^конечно) равны нулю скобки
Следует отметить, что перестановочные соотношения*-для поля частиц инва-
инвариантны по отношению к зарядному сопряжению. Действительно,
т A» (г'' 0} (С-ЧДр = М (г ~ г7)- A-24)
б*
18 ю. швингвр
Следующее замечание касается совместности дополнительного условия и пере-
перестановочных соотношений. Так как условие A.18) относится к произзольной
точке х, то мы получили бы новые дополнительные условия путем коммутации,
если бы не выполнялось равенство
для любых х и х'. Канонические перестановочные соотношения как раз имеют
такую форму, что A.25) имеет место. Нужнэ лишь учесть, что коммутатор,
рассматриваемый как функция х, подчиняется волновому уравнению; отсюда
следует правильность A.25) при том условии, что коммутатор и его производная
по времени равны нулю при t = f. Справедливость указанного положения про-
проверяется без труда.
Физические величины, характеризующие распределение энергии и импульса
в поле, объединяются в канонический тензор энергии — импульса
1 f — 2
который удовлетворяет уравнению сохранения
так как
Канонический тензор может быть заменен симметричным тензором энергии —
импульса
A-29)
Однако только среднее значение в,,.,
(в1И)=(Ф, в^Ф) A.30)
удовлетворяет уравнению сохранения
_jL-@^) = 0 A.31)
вследствие тождества
алх алд -1
^ ад:, алгх J
1Ниф+^4vKl) A.32)
поскольку при выводе этого уравнения используется дополнительное условие
Лоренгца. В тождестве A.32) а^х представляет матричный спияоз^й тензор
Дирака:
°1* = -2/-(тМГх — TxTiO- A-33)
Симметричный тензор энергии — импульса явллегсл, очезидно, инзчриянгным
ло отношению к калибровочному преобразованию и по отношению к зярлдному
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ I 19
сопряжению. Следует также отметить простую формулу
в№ = - т^ I (Щ + f f). A-34)
Интегралы по трехмерному объему
составляют не зависящий от времени четырехмерный вектор, который объеди-
объединяет количество движения и энергию, являющиеся интегралами уравнений дви-
движения Pp. = (P, iW/c). Как непосредствекю видно из тождества A.32), среднее
значение Р^ может быть вычислено также и из тензора напряжений вцч:
Операторы Р^ образуют инфинитезимальное представление группы смещений
коордиьат. В частности, из перестановочных соотношений вытекает
J_,A (x) Р1_ дА*М
Вообще, если /^(х) — произвольная функция переменных поля в точке х, не
зависящая явно от координат, то
Указанные свойства операторов Р^ можно использовать для нового доказа-
доказательства того, что данные операторы являются константами движения и что
канонические перестановочные соотношения совместны с уравнениями движения.
Агалогичным образом можно ввести другие константы движения — операторы,
составляющие момент количества движения. Эти величины образуют инфи-
инфинитезимальное представление группы Лорентца, и с их помощью можно по-
показать ковариантность канонической схемы квантования. Однако именно в этом
пункте мы должны отклониться от обычного способа изложения, описанного
здесь в самых общих чертах.
Уравнения движения и дополнительное условие имеют явно ковариантный
вид; однако канонические перестановочные соотношения этой важной особен-
особенностью не обладают, поскольку при их формулировке используется частная
лорентцовская система отсчета. Перестановочные соотнои ения относятся к пере-
переменным поля, взятым в двух точках на некоторой четырехмерной поверхности
t — const. Мы достигнем желаемой ковариантности за счет замены подобных
поверхностей пространственно-подобной поверхностью, представляющей собой
инвариантное понятие; никакие две точки не могут быть связаны световым
сигналом. Иными словами, координаты двух точек ;этой поверхности х^ и х^.
подчиняются условию
(х^—хр2 = (г-г'J-^-О2>0, A-39)
которое, как легко видеть, не вводит какой-либо частной системы отсчета.
Поверхности типа t = const образуют специальный нековариантный класс плос-
плоских пространственно-подобных поверхностей. Обычные перестановочные соотно-
соотношения являются по существу выражением кинематической независимости пере-
переменных поля в различных точках пространства в заданный момент времени.
Очевидно, что инвариантное описание этого общего свойства должно включать
переменные поля, взятые в двух таких пространственно-временных точках, кото-
которые не могут быть связаны световым сигналом, т. е. в точках, лежащих на
20 Ю. ШВИНГЕР
пространственно-подобной поверхности. Попытаемся в соответствии со сказан-
сказанным придать перестановочным соотношениям явно ковариантную форму.
Наиболее простую основу для обобщения соотношения A.22а) представляют
два положения, следующих из A.22а) и выражающих свойства функции 8 (г—г'):
(г, f), | JL Ач (г', о] = 0, . г Ф г', A.40а)
/ [ \ (г, t), 1 А Л, (г', О] dv' = i-fcV; A.406)
при этом интегрирование распространено по некоторому трехмерному объему,
включающему точку г. Соответствующим обобщением соотношения A.40а), так же
как и других равных нулю коммутаторов для величин электромагнитного поля,
является просто
[А» (дг), Лч (дг')] = 0, (дг^—дгр2 > 0, A.41)
что означает коммутацию переменных поля, относящихся к двум различным
точкам пространственно-подобной поверхности. Для обобщения соотношения A.406)
удобно ввести представляющий собой четырехмерный вектор дифференциаль-
дифференциальный элемент поверхности
dз^ = (dx2dxbdx0, dx1dxsdx0, dxldx2dxQ, —^—j^——J. A-42)
Вектор dip, совпадающий по направлению, как это следует из определения, с
нормалью к пространственно-подобной поверхности, должен быть временно-подоб-
временно-подобным, так что d<s2 <; 0. Следует отметить, что наши определения элемента объема
и элемента поверхности обладают тем свойством, что объем, получающийся при
смещении Здг^ элемента поверхности da^, равен d<a = ds^bx^. Из рассмотрения
обозначений diar = idori, дЛ„(г', f)/dct = iдАv(xr)l'dx'i становится очевидным, что
соответствующим ковариантным обобщением A.406) является соотношение
где интегрирование распространено по некоторой произвольной части простран-
пространственно-подобной поверхности а, включающей точку дг.
Для доказательства непротиворечивости как этих, так и приведенных
в дальнейшем ковариантных перестановочных соотношений нужно показать, что
значения, приписываемые подобным поверхностным интегралам, не меняются при
варьировании пространственно-подобной поверхности а, проходящей через
точку дг; следует также показать совместность перестановочных соотношений
в случае произвольных перемещений точки дг по фиксированной поверхности.
Обсуждение последнего условия, связанное с детальным рассмотрением уравнений
движения, будет произведено в соответствующем месте в дальнейшем. Про-
Проверка первого условия облегчается введением понятия функциональной произ-
производной. Величина, стоящая с левой стороны соотношения A.43), содержит пере-
переменные полл ео всех точках поверхности а, являясь, таким образом, функциона-
функционалом от пространственно-подобной поверхности» а, который мы обозначим через
F[3]. Мы можем сравнивать указанный функционал с функционалом F{<s'\ от
соседней пространственно-подобной поверхности а', которая отличается от о
только в окрестности точки дг. Если заключенный между введенными поверх-
поверхностями объем 8<о можно устремить к нулю, то мы получим определение функ-
функциональной производной от F[a] в точке х, положив
Использованное обозначение подчеркивает, что мы рассматриваем вариацию F,
вызванную деформацией поверхности а в точке дг. Специальный класс функ-
И. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА. ЧАСТЬ I 21
ционалов, примером которых является A.43), имеет вид поверхностных инте-
интегралов от функции точки:
J z[. 0-45)
Функциональная производная для таких функционалов выражается особенно просто,
так как, согласно теореме Гаусса,
я'
Теперь мы можем установить изменение интеграла A.43), вызванное деформа-
деформацией поверхности а в точке дг' Ф дг:
^(*
= 1\ (х), П"А, (х')\ = - ±1^ (дг), Л (*')] = 0. A.47)
Последнее равенство является следствием ковариантного выражения кинемати-
кинематической независимости величин, относящихся к двум различным полям:
\\ (х), ф« (х')\ = [Л, (дг), фа (*01 = 0, (Xf.—дг^J > 0. A.48)
Соответствующими обобщениями перестановочных соотношений для поля
частиц являются соотношения
= 0. (Xp-xfr > 0 A.49)
< = Кг 0-50)
Другой вид последнего соотношения, а именно
может быть получен, если в формуле A.50) перейти к эрмитово-сопряженным
величинам. Для доказательства независимости значений поверхностных интегра-
интегралов A.50) и A.51) от выбора поверхности, проходящей через точку дг, рас-
рассмотрим, например,
0 4- (*0)., f? (*)} - «о {ф« (*0. Ф? (*)} = о; A.52)
последнее равенство имеет место, поскольку все подобные антикоммутаторы
обращаются в нуль для двух различных точек просгранственно-подобной поверх-
поверхности. Можно показать, что и в этом случае перестановочные соотношения сохра-
сохраняют свою силу также для зарядно-сопряженных полей. Именно, в силу A.50)
—1 Г — F
а
При выводе формулы A.53) было использовано соотношение
A.54)
которое является следствием свойств матрицы С.
22 к>. швингер
Явно ковариантным определением четырехмерного вектора энергии —
импульса, заменяющим определение A.35), является выражение
аЛДлг), A.55)
где интегрирование распространено по всей избранной пространственно-подобной
поверхности. Ковариантным выражением законов сохранения является теперь
утверждение, что величина Р^ не зависит от поверхности а. Именно,
Закон сохранения полного заряда
<г=
выражается аналогичным образом;
(L57>
Полезно удостовериться в том, что перестановочные соотношения, позво-
позволяющие интерпретировать Р^ как оператор сдвига, следуют из развитых кова-
риантных перестановочных соотношений. Для этой цели потребуется следующая
лемма:
/К^^Н- (L58)
Доказательство леммы вытекает из того, что поверхностный интеграл не зависит
от выбора а:
и из того, что для специальной поверхности t= const не равны тождественно
нулю лишь те компоненты выражения A.58), у которых, например, (а = 4,
v = ?=l, 2, 3. Однако для замкнутой системы имеет место равенство
Чтобы выразить оператор Рч только через фиф» используем то обстоя-
обстоятельство, что, согласно формуле A.12),
благодаря чему
/^%^ /^^/^ A.62)
Из леммы A.58) и уравнения сохранения заряда, далее, следует
°- С1-63)
(Г (Г
Таким образом, оператор Р^ может быть записан в виде
р _1 С da \dA±d_A±,dAxdAx . (дА
откуда следует, что
№()
П. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ I 25
A-65)
При последнем выводе, кроме свойств коммутаторов, была использована также-
лемма A.58).
Теперь можно показать, что ковариантные перестановочные соотношения
совместны с уравнениями движения. Исследуем изменение значений коммута-
коммутаторов и антикоммутаторов переменных двух полей, связанных с двумя точками
пространственно-подобной поверхности, вызванное жестким смещением этой
поверхности. Иными словами, нам нужно вычислить
^[F(x), O(x-%)\ ni-
где 6ц — пространственно-подобный вектюр, a F и О — некоторые переменные
поля. Легко показать, используя элементарные тождества, что если F и О под-
подчиняются уравнению движения A.38), то этому уравнению подчиняются также
и скобки
\F(x), Q(x — Z)]
Таким образом, представление подобных скобок в виде зависящих от 5 величин,
пропорциональных единичному оператору, является непротиворечивым, поскольку
как производные от этих скобок по х„, так и их коммутатор с Рч равны нулю.
Развитая выше формулировка квантовой механики является во всех отно-
отношениях явно ковариантной. Однако эта формулировка не совсем удобна для
практического рассмотрения вопросов электродинамики. При ее примене-
применении часто приходится оценивать коммутаторы переменных поля, относящихся
к точкам, разделенным временно-подобным интервалом. Для составления подоб-
подобных коммутаторов нужно решать уравнения движения при граничных условиях,
заданных на пространственно-подобной поверхности. Таксе смешение кинемати-
кинематических и динамических сторон задачи затрудняет систематическое рассмотре-
рассмотрение проблем электродинамики. Наоборот, в шредингеровском представлении
все операторы ке зависят от времени, а изменение системы во времени пред-
представляется переменным вектором состояния; однако подобный метод не является
ковариантным. Попытаемся райти формулировку, позволяющую сохранить оче-
очевидную ковариантность гейзенберговского представления и обладающую в то
же время преимуществами шредингеровского представления, которое дает воз-
возможность резко разграничить кинематические и динамические аспекты. Желаемое
разграничение нужно искать в отделении основных свойств невзаимодействующих
полей от изменений в этих свойствах, вызванных связью между полями. Для
свободрых полей проведение указанной выше программы и составление
перестановочных соотношений для переменных поля в любых пространственно-
временных точках ке представляет никаких затруднений. Чтобы использовать
это преимущество, нужно найти каноническое преобразование, переводящее
уравнения движения для величин поля в гейзенберговском представлении
в уравнения невзаимодействующих полей, и, следовательно, перейти к описанию
связи между полями посредством переменного вектора состояния. Мы выполним
подобнее преобразование в следующем разделе и тем самым получим явно*
24 ю- швингер
ковариантную и практически удобную форму квантовой электродинамики, выра-
выраженную в смешанном гейзенберговско-шредингеровском представлении, которое
может быть названо представлением взаимодействияг).
2. Представление взаимодействия
Чтобы изменить уравнения движения намеченным выше образом, введем
унитарный оператор L/[o], зависящий от просгранствекно-подобной поверхности о,
и построим вектор состояния в представлении взаимодействия
Т[з]--=?/[а]Ф, B.1)
который, в отличие от постоянного вектора состояния в гейзенберговском пред-
представлении, зависит от о. Среднее значение некоторой переменной поля F (х)
примет в этом случае следующий вид (в этом разделе операторы в гейзенбер-
гейзенберговском представлении будут обозначаться жирными буквами):
¦;¦ (*.iF(х)Ф) = (W [3],ли [о] F(x) U^ [z)]W [а]) = (W [,], F(x) W [a]). B.2)
Здесь введен операторов представлении взаимодействия F(х)> равный по'опре-
делению
F(x)=UMF{x)U-i[a\, B.3)
где о, как легко понять, есть пространстиенно-подобная поверхность, проходящая
через точку х. Чтобы значение Fix) определялось только точкой х и не зави-
зависело от выбора а, оператор t/[a] должен еще удовлетворять дополнительному
условию
- ЩF wи"[с] - и [з] F ^ и~х [с] W) и~1 [с]=
B.4)
Это условие будет выполняться, если
является инвариантной функцией операторов поля в точке хг, поскольку пере-
перестановочные свойства на поверхности о не изменяются при унитарном преобра-
преобразовании. Если, далее, оператор t/[sj должен оставаться при движении унитар-
унитарным, то необходимо, чтобы величина
была эрмитовым оператором. Следовательно, положив
1ЬсЬЩ^&е(х)иЫ, B.5)
мы получим ковариангное уравнение движения для U[c], где $в'(х) — эрмитов
оператор, являющийся инвариантной функцией величин поля в точке х и обла-
обладающий размерностью плотности энергии. Уравнение движения для вектора W[s]
будет соответственно иметь вид
?ЩЧГЫ. B.6)
Мы вывели условия, которые должны удовлетворяться при каждом канони-
каноническом преобразовании. Теперь покажем, чго необходимое нам специальное пре-
') Представление взаимодействия может рассматриваться как полевое обобщение
многовремеииого формализма; с этой точки зрения указанное представление уже обсужда-
обсуждалось Томоцага [10]. Релятивистские квантовые теории недавно также обсуждались в ра-
работе Дирака [\\\.—Прим. авт.
И. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ I 25
•образование мы получим, если в качестве о?в(х) возьмем с отрицательным знаком
член лагранжевой плотности, определяющий связь между полями, т. е. если
положим
Для построения уравнений движения в представлении взаимодействия осо-
особенно существенно, что градиент каждой величины пэля можно представить
в виде функциональной производной с помощью следующего очевидного обоб-
обобщения теоремы Гаусса:
3-1$ = Щх) J F^d<-b^T)U[a] /FCW-1 W. B-8)
Функциональная производная в последнем выражении действует как на поверх-
поверхность интегрирования, так и на оператор U[a]. Следовательно,
= U [а] ^ tf-i [а] - jL J Ш (х), F (х')] ^. B.9)
Если мы положим F (х) = А.^ (х), то из ковариантных перестановочных соот-
соотношений на пространственно-подобной поверхности сразу получим
как это, в действительности, и необходимо для того, чтобы перестановочные соот-
соотношения для электромагнитного поля при рассматриваемом каноническом преоб-
преобразовании сохраняли свой вид. При F (х) = дА^ (x)/dxv получим
1 / л г дА„ (х')-\ , ,
(х) = U [а] П2\ (х) U-i [а] + 1A <x)fc J [Л (*), -^т- J d^ =
= --j U [a] j, (x) ?/-i [a] + ± ;; (x) = 0, B.11)
т. е. уравнения движения для электромагнитного поля совпадают в представле-
представлении взаимодействия с уравнениями движения для свободного поля. Кроме того,
сохраняет свой вид и дополнительное условие
I^S±XF[a] = O, B.12)
если только точка х лежит на поверхности а. Наконец, если F (х) = -fv*|* (x), то
+ ТА*<-Х>Тс
Но, согласно A.12) и A.14),
?ТнЗ С214)
так что
д ,
х
26 Ю- ШВИНГЕР
т. е. уравнения движения поля частиц в представлении взаимодействия также
совпадают с уравнениями движения свободного поля. Тем самым полностью под-
подтверждается правильность нашего выбора е%?(х) в виде B.7).
Теперь мы можем продолжить построение общих законов коммутации
в новом представлении, используя уравнения движения. Подобное построение
облегчается введением двух инвариантных функций координат D(x) и Д(лг),
которые относятся соответственно к электромагнитному полю и к полю частиц.
Эги величины определяются следующим ковариантным образом:
0; D(x) = 0, х*>0,
(П2 — %) Д (х) = 0; Д (х) = 0, х* > 0,
Поверхностные интегралы распространены здесь по пространственно-подобной
поверхности, проходящей через начало координат. Как легко проверить, припи-
приписывание поверхностным интегралам постоянного значения вне зависимости от
выбора а не противоречит остальным уравнениям. Определение явного вида
этих и родственных им функций будет произведено в части II; пока же нам
достаточно использовать те свойства введенных функций, которые непосредст-
непосредственно следуют из определений. Легко, в частности, вывести, что функции D и
Д — нечетные функции координат
D( — x)=—D(x), Д( — лг) = —Д(лг). B.19)
Отметим, что
— х~)Д(х — х") — Д(х — x")(G2 — *l)A(x — лг')-=О. B.20)
Последнее равенство указывает на то, что данный поверхностный интеграл не
зависит от а. Выбрав пространственно-подобную поверхность а так, чтобы эта
поверхность содержала х' и х", из формулы B.20) получим
Д(х" — х')= — Д(дг' — х"), B.21)
что подтверждает правильность второго из утверждений B.19). Доказательство
для функции D(x) совершенно идентично.
При помощи этих инвариантных функций решения уравнений движения выра-
выражаются через граничные значения, заданные на некоторой прострапс гвенно-по-
добной поверхности. Электромагнитные потенциалы определяются однозначно,
если известны значения Аа(х) и его нормальной производной на поверхности а.
Указанная зависимость выполняется следующим образом:
А„ (х) = J \d (х - х') ?т А,. (х') — Ау. (х') -*-,¦ D(x— x')] rf<. B.22)
Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что подобно выра-
выражению B.20) правая сторона равенства B.22) не зависит от поверхности а, за
которую, в частности, может быть выбрана проходящая через точку х простран-
пространственно-подобная поверхность, причем значение поверхностного интеграла ста-
становится равным
J Л, (хО ±r D (х' - х) do\ = А^ (х).
J
If. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ 27
Соответствующее решение граничной задачи для уравнения Дирака первого
порядка дается выражением
ф(*) = /5(* —*')Т^(*0Л;, B-23)
где
Следуя принятому методу, покажем, что левая сторона B.23) также не зависит
от поверхности о:
= S О — У) (Т, —- + хо) 4 (*') — (А- 5 (х-л/)т„ + x0S (лг-д/Ж*') = 0, B.26)
так как
= Щ.S (л;) Ъ + *о5 (*) = (П2 — к?) А (*) = 0. B.26)
Далее, в случае поверхности а, проходящей через точку х, вычисление с по-
помощью леммы A.58) дает
J т Л, ^ Д (х - х') О (*') Л; = J ^ Д (*' - х) ф (х1) d^
Г/7 А (х'—*} ^а'^ - г7 Л (х' ~ х) d
сопряженное уравнение
ф (*) = J rfa^(*') T,S (j/ — x) B.27)
может быть получено непосредственно, либо выведено из B.23).
Составление общих перестановочных соотношений становится теперь совер-
совершенно тривиальным. Например, для нахождения значения \А^(х), Л„(лг'I доста-
достаточно выразить оператор Л,^(х) через переменные поля на просгрансгвенно-по-
добной поверхности, проходящей через точку х'', и использовать .известные
перестановочные соотношения на этой поверхности. Следовательно,
[А^ (х), Av (*')] = —JD(x — x") [Av (х')г ~ Л, (х")
откуда
ИДх), Л,(дг#I = »йс81ИО(* — *')¦ B-28)
Диалогичным образом получаем
{'К (*), ^э (*0} = / 5«, (х ~х") {(Т^ (х"))т, ^ (х')} rfo^,
9
гак что
4 }(^)А(х-х'). B.29)
Все остальные антикоммутаторы поля частиц равны нулю. Очевидно, что пере-
перестановочные соотношения для поля частиц инвариантны по отношению к заряд-
зарядному сопряжению.
Перейдем, наконец, к обобщению дополнительного условия B.12). Эго
обобщение состоит в устранении того ограничения, что точка х расположена на
28 ю- швингер
поверхности о. Из B.22) следует, что для произвольной точки х выполняется
равенство
ЗА», (х)
W [а] = Г D (х - х") *(дАЬр\ day [a]. B.30)
Однако, согласно формуле B.9), если в ней положить F = дА {x")jdx" t имеем
/ /• Г дА„(х')-\ 1
=тс J ^ с)' -ir1 rf°: тЛ <**
<A
При последнем преобразовании мы использовали лемму A.58), а также то
обстоятельство, что коммутаторы электромагнитного поля зависят только от
разности координат рассматриваемых двух точек. Подставив результат B.31)
в формулу B.30) и выполнив интегрирование по х", получим без труда соот-
соотношение
[^ Л(')*;] ЧГ [а] = 0, B.32)
которое и является дополнительным условием в случае представления взаимодей-
взаимодействия. Хотя непротиворечивость данного дополнительного условия гарантируется
соответствующим свойством этого условия в гейзенберговском представлении,,
представляет интерес также непосредственная проверка. Поскольку при подоб-
подобной проверке потребуется знание перестановочных свойств четырехмерного век-
вектора тока, приведем сначала краткий вывод соответствующих теорем.
-Из выражения B.14) для тока у'Дх) и из B.29) легко получить соотношение
[/, (*), J\ (*01 = ^2 U(x) ^S (х - х') т,ф (х') - 'К*') TvS (*' - *) vi» (*)]¦ B-33)
Само собой разумеется, что все компоненты /^, относящиеся к двум различным
точкам пространственно-подобной поверхности, коммутируют друг с другом.
Особенно важно, однако, что временно-подобная компонента /^ коммутирует со
всеми компонентами тока, взятыми в той же точке. Мы докажем это, показав,
что имеет место равенство
Ut- (¦*). Л (*')] «f< = у IU (¦*)» Q] = 0, B.34)
где а — произвольная пространственно-подобная поверхность, которая, в част-
частности, может проходить через точку х. Правильность последнего утверждения
непосредственно следует из формул B.23) и B.27), поскольку
Л W)) tf< = ie*c* [ф (х) yb (х) - 0 (х) Т|1й (х)] = 0. B.35)
G
В действительности, соотношение B.34) является выражением закона сохранения
заряда, так как, согласно формуле B.9) с F=j\(x),
%F7 в Е Т / [4 (х)' ^ ^)] d0'H, W - к ^(Л:)' Q] Л,(х)- B'36)
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ I 29
Для подтверждения пригодности использования условия B.32) в качестве
обобщенного дополнительного условия нужно показать, что оно совместимо
с уравнениями движения для поля, уравнением движения для W [а] и переста-
перестановочными соотношениями. Иными словами, мы должны показать, что оператор
2 [х> а]=^г~ $№(х~ х°4л <х'>К B-37>
удовлетворяет уравнениям
t, a] = 0, B.38a)
ihc Щ~^ + [Q [*, а], т (х')\ = 0, B.386)
[Q[x, о], Q[x', a]] — 0. B.38в)
Правильность формулы B.38) очевидна. Огносительно B.386) заметим, что
.. bQ[x, a] .tdD{x — x') . , ,.
1 hc W =lh ex, J h (x)-
в то время как благодаря только что установленному свойству тока j
Наконец, вследствие того же самого свойства jy.(x) илеет место равенство
[Q [х, о], Q [хг, а]] =
Калибровочная инвариантность в новом представлении несколько отличается
от калибровочной инвариантности в гейзенберговском представлении, поскольку
в новом представлении уравнения поля частиц не содержат переменных электро-
электромагнитного поля.
При калибровочном преобразовании
л / ч л / n дА(х) f
¦Av.(x)-*Av.(x) ^,
где А (х) — скалярная функция координат, удовлетворяющая уравнению
дополнительное условие, перестановочные соотношения и уравнения движения
поля останутся неизменными, но уравнение движения для вектора ЧГ [о] перей-
перейдет, если учесть сохранение заряда, в уравнение
ihc ^l = {j??(*) +^(|}i;(x)A(a:))}w [a]. B.39)
Покажем теперь, что некоторым каноническим преобразованием данному урав-
уравнению можно придать исходный вид и тем самым докажем калибровочную инва-
инвариантность наших уравнений. Действительно, этой цели удовлетворяет преобра-
преобразование
qr [0] _* е-ющ? [а], B.40)
где
0 [а] = Те S Th (*> Л (Х) dav B-41>
Вследствие коммутационных свойств j^ на пространственно-подобной поверх-
поверхности, уравнение движения для нового вектора состояния будет иметь вид
30 ю- швингер
Мы можем, далее, использовать разложение
для доказательства равенства
.. .„ Ъе~гп д г 1 . . . . , ч\ , i ,„ . . ., дк(х) , 5 /1 . / ч » • Л
ibcetG ^-т—. =з—(— Ju.(x)A(x) +гг [О' /.(х) , ;+ • • • =-з—( — lDAW ),
поскольку вследствие коммутации вектора /^ с временно-подобной компонен-
компонентой / на поверхности о не обращается в нуль только первый член данного
ряда. Таким образом, мы показали пригодность в рассматриваемом случае пре-
образованил B.40).
При каноническом преобразовании к представлению взаимодействия изме-
изменяется вид составляющих вектора энергии — импульса, а также их значение как
операторов смещения. В гейзенберговском представлении функциональная произ-
производная некоторого оператора имеет непосредственный смысл при вычислении
функциональной производной от среднего значения данного оператора
B-44)
В отличие от этого в представлении взаимодействия изменение среднего значе-
значения частично обусловливается изменением вектора Ч."[о]:
БЬ) С*' И' F М ЧГ [а]) = (ЧГ [а], Щ V М) +
. ^[з]]ЧГМ). B.45)
Соответственно этому, естественно определить полную функциональную произ-
производную некоторого оператора выражением
*?М + -/- \Ж (х), F [а]] = U [а] *Щ f/-i [а], B.46)
складывающимся из частной функциональной производной, выражающей явную
зависимость от координат, и из кинематического изменения. Согласно данному
определению,
Если функционал имеет вид
то
~ДсГ|
где
dF(x)_dF(x) .
означает полную производную по координате. Ясно, что теорема'сохранения A.56)
и уравнение движения A.^8) должны быть записаны в представлении взаимо-
взаимодействия следующим образом:
B.49)
И. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ I 31
Далее, значение частной производной dF(x)ldx^ совпадает со значением произ-
производной при отсутствии взаимодействия и может, следовательно, вычисляться
с помощью 4-вектора энергии — импульса свободных полей р\? согласно равенству
{, *f]=^. B.50)
Следовательно, имеет место равенство
[F (х), Р,, [а] — /f >] = ± J [J?> (х), F (х)} dcl=,-^f[F (x), 3V (х)] <*?; B.51)
здесь мы учли, что в поверхностный интеграл существенно входит только
точка х'—х. Можно вывести соотношение
Р* [о] = Р? — --J3V (х) <Ь,,, B.52)
а
которое действительно согласуется с теоремой сохранения B.48), так как
0. B.53)
Соотношение B.52) может быть подтверждено прямым вычислением. Для соот-
соответствующей записи гейзенберговского оператора A.64) требуется введение полных
производных dAJdx^ и d^;dx,, из которых только последняя отличается от
производной по входящей явно координате. Далее, оператор Z3, формально
идентичен с оператором A.64), ко выражается через операторы в представлении
взаимодействия и их частные производные. Следовательно, имеет место равен-
равенство
pv [а] = М0) + — J ^ [ф (*), \т (*), ТиФ (-^'>1] d<- B-54)
Однако
= - 4 (А (х), т^ (*01 А (х) = /е {т «{. (*0, ?« (х)J (тхф (х))Л (х),
B.55)
откуда следует
pv [а] = ^0) -f A J </v- {T^ (X'}j ^ (JC)} X [ф(х), (Тх^ (*))„] А (х) ^ =
-Р(,0) + ^ Г U(х)Тх^(х)-т>4(*Й(*I ^х(*)da, = Р™ \--~fjx(х)Ах(х)dz4.
{ i B.56)
Равенство B.56) совпадает с равенством B.52).
3. Козарианткое исключение продольного поля
Назначением обобщенного условия Лорентца является исключение из электро-
электромагнитного поля световых квантов со спином, равным нулю, которые обладают
рядом свойств, не имеющих физического смысла. Действительно, можно исклю-
исключить скалярный потенциал и продольную часть векторного потенциала и оставить
для полного описания световых волн только поперечный векторный потенциал.
Недостатком подобного обычного метода является отсутствие ковариантности.
В настоящем разделе мы дадим свободный от этого недостатка способ исклю-
исключения продольного поля. Мы покажем, что электромагнитный вектор А^(х)
можно заменить двумя скалярными полями Л (х) и Л' (х) и некоторым вектор-
векторным полем СС-Дх) частного вида таким образом, что в дополнительное условие
будут входить только скалярные поля, в 'то время как уравнение движения дли
7 Зак. 573.
32 Ю. ШВИНГЕР
вектора W [а] будет содержать лишь B„,(х)— единственную, имеющую физи-
физическое значение часть ноля. Подобное разложение удобно произвести с помощью
произвольного временно-подобного единичного вектора я ; п2 = —1, Общепри-
Общепринятый метод разделения соответствует при этом частному выбору значения
л:1 = @, О, О, О-
Разложим вектор А^(х) на градиент скалярного оператора Л(дг), направлен-
направленный но временном направлении, определяемом л„ на градиент скалярного опе-
оператора А'(х), направленный в пространственном направлении, перпендикулярном
к я^, и на вектор (%^(х), у которого расходимость и проекция на п равны
нулю. Символически это разложение можно представить в виде
\ (х) - «,,.«»-?- А (*) — (^- + я^я, ~) А' (х) + а„ (*)> C.1)
где
Нашей первой задачей является построение перестановочных соотноп ений для
введенных выше трех полей и в частности доказательство того, что эти поля
кинематически независимы. Из определения следует, что
п^Л (х) = — «а -г— Л (х) C.3)
D+"'"- ?¦)л^(Л)=" (B^J А/ (х); C-4)
при выводе последнего равенства использовались уравнения поля
2а!,=-0. C.5)
Из правил перестановки для А^(х) следует
— х1) C.6)
Последние выражения могут быть упрошены, если ввести нечетную функцию
координат 3){х), определенную посредством уравнений
^=Q. C.8)
Так, соотношении C.6) и C.7) равносильны соотношениям
[Л(лг), A(x')] = Uic3)(x — x'),
\А'(х), A'(x')] = -~itw3)(x—x'). C.9)
Перестановочное соотношение
|Л(х), Л'(х')]--0 C.10)
согласуется с получающимся из формул C.3) и C.4) результатом, а именно
с тем, что
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ I 33
При учете коммутативности величин Л и Л' из перестановочных соотношений
(U ^WH (ЗЛ2)
следует
Наконец, из формулы C.1) получаем соотношение
или
f a t (х), о
Следует отметить, что данные правила перестаковки совместимы с условиями
C.2), накладываемыми на вектор а^(х).
Дополнительное условие Лорентца включает только скалярные поли, а именно,
их комбинацию А(х)—Л'(х), так как
л {х) -А' (*»• ^3-16)
Уравнение B.32) равносильно теперь уравнению
[о] =0. C.17)
Уравнение движения для вектора ЧГ [^] принимает вид
-^7 (А (*>-л' w)}lF м- (з-г8>
Следует ожидать, что удачное калибровочное преобразование позволит исклю-
исключить величину А'(х), оставив в качестве основных переменных электромагнит-
электромагнитного ноля величины Л(лг) — А'(х) и CtV(-*r). Соответственно этому произведем
преобразование [ср. формулы B.40) и B.41)]
W\a]->e~iG'la]ty\3l, C.19)
где
(У [а] -.= -У- J -1у„.(х) А'(х)d%. C.20)
а
Уравнение движения и дополнительное условие теперь имеют пил
ihc ётёу+ibceiO> [°] "щц-ч; C] =еЮ''
X D-У, (дг) А' (лг)) - | «.у,, (лг) я., -^- (Л (*) - Л' (*))} е-'с> М?Г [а] C.21)
и, соответственно,
(А (л:) — ею' [°'Л' (л:) е "*' !*! — J ^ (дг — *') ]-;., (лг') rfa^T [о] = 0. C.22)
34 Ю. ШВИНГЕР
Рассматриваемое преобразование отличается от предыдущего калибровочного
преобразования тем, что величина А'(х) являете* оператором, подчиняющимся
перестановочным соотношений! C.9). Длл вылененил появляющихся из-за этого
изменений найдем сначала значение
,ete'[']A'(x)e-{G'['] = A'(x) + i[Q'\i], А'(х)] —-J,- [О' [а], [О'[з], А'(*)Н+...
C.23)
.Имеет место соотношение
ПО'[а], А'(х)) = --^{[А'(х), A'(xf)]-Ljv.(
= — f3)(x — xr)± Д {х') d^, C.24)
и, следовательно, не равны нулю только первые два члена ряда C.23)
в*э"мЛ/(лг)<Г'е'м= A'(*)—J ®{х — х') ±-и(х')<14- C-25)
Таким образом, дополнительное условие принимает следующий простой вид:
(Л(х) — Л'(лг))Ф[з] = 0. C.26)
Аналогичным образом получае.л
«о- и / ^А^ (х) , дА' (х) \ «©' и _ ЙА' (Jf) , ^Л^ (х)
~д^ ^~ v- " дхч ) ~ дх^ ~Гп*-пч~дх~ч
/
C.28)
Уравнение движения для вектора W [а] теперь имеет вид
г) TU (х) 7 А (х') ^3'- - Т W W ». al:(Л W - А' W>} v [a]-
При помощи дополнительного условия C.26) это уравнение приводится к виду
<Н"и. (з.зо)
Нам, таким образом, удалось построить уравнение движения для lF[a], уже не
содержащее тех переменных электромагнитного поля, которые входят в допол-
дополнительное условие. Получающиеся при этом дополнительные члены являются,
очечидно, ковариан.ным обобщением кулоковского взаимодейсгви-i между заря-
зарядами.
Для более отчетливого доказательсша приведенного положеки.1 «место про-
произвольной пространствеико-нодобной поверхности о следует взять плоскую по-
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ I 35
верхность с нормалью nj в этом случае можно утверждать, что выполняются
равенства
J--4- nji, ~) 35 (х — х') = О,
х^ г- ' dxj K ' C.31)
np.(xv.— x'L) = 0,
что позволяет придать уравнению C.30) следующий более простой вид:
.^7VfwUM<}
{6.0/)
Для доказательства правильности C.31) достаточна проверка этого соотношения
в какой-либо частной системе координат. Всегда можно построить такую систему
отсчета, чтобы в ней нормаль к некоторой прострянсгвенно-подобной плоскости
была направлена вдоль временной оси; иными словами, в этой системе отсчета
ла = @, 0, 0, г); равенства C.31) тогда означают, что пространственные произ-
производные от функции 35 (г—г', t — t') при t = t' равны нулю. Это условие
будет выполняться, если выполняется равенство SB (г, 0) = 0 для всех значений г,
т. е. если 35(г, t) есть нечетная функция t. Далее, в данной сис.еме коорди-
координат C.8) принимает вид
(т irf s (г' *> = ^т <г« t)=D (г- ^ C-33)
так что, поскольку по формуле B.17) D(r, f) — нечетная функция координат,
требуемое свойство функции 35(г, t) можно считать доказанным. Наконец, отме-
отметим, что в избранной частной системе координат имеет место равенство
C.34)
% (ж?. — х'у) = 0
и, согласно определению B.17), равенство
V2 Т Ж ®(г' °) = Т It D (r> °) = - S («¦)• C-35)
Из C.35) следует
4^
ковариантным выражением последнего соотношения является формула
n4SD(x*f)Ц„г,
дх, 4я IK —VI" C.37)
п^Хр — лг^.) — 0.
Четырехмерный вектор энергии — импульса изменяется при унитарном пре-
преобразовании C.19) следующим образом:
P.l\<s\-*eie'v']P,\d\et(yv'\ C.38)
Указываем без доказательства следующие преобразования, используемые при
нахождении нового значения оператора Р., [а}:
iG' Ы 1
е Ч
2 J ^L ^ дл\, d.rv • *¦*¦ J ' tic j I ' с ¦"¦ дхх '¦ с Jhdx.,\ •
39)
36 ю. швингер
В силу дополнительного условия C.26) можно написать
А„ (*) ЧГ [о] = ( а ,(*) - —^f~) T М C-40)
Отсюда непосредственно получается
о ,„, _ ! f л Г аОх (ЭСЕх _, е>О; >. дС1). „ /<)ал2 ,
;' 1°> ~ 27- J ЙО4"<^Г <?*, ' '<?7 ^v" "~ '¦' \^7J J+
. h С j \Т дЬ A6 ~ 1 . I Г 1 \ 1 . / .
+ 2" J ^ dx, Л^(х> Л (* )
Соотношение C.41) может рассматриваться не как следствие дополнительного
условия, а как операторное равенство, если условиться, что оператор Л — Л'
tie должен болыге появляться в теории.
В заключение настоящего раздела заметим, что производные от Ctx " фор-
формуле C.41) можно заменить на напряженности поля
и результате чего получается
+ т J ^ [tU W аи-(х)+т J я- —~д-^-- т W (*)' Л (
а а
Для подтверждения этого достаточно указать, чт [ср. A.32)]
Из леммы A.58) и антисимметрии тензора &1а непосредственно следует
J *' дх-. ^ ^ '
учитывал, что дивергенция СЕ^ равна нулю, из леммы A.58) получаем следую-
следующий результат:
г Г <3(Ц д(%> да>. да?. Л dCtx dCC, "j
1 г д г attx , <?а> <эаа . йа„. 1
C.45)
П. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ 1 37
4. Инвариантный оператор столкновения
В то время как взаимодействие полей с их вакуумными флуктуациями удобно
рассматривать как иидоизменение свойств свободных полей, появление остальных
типов взаимодействий обычно лучше всего связывать с переходами между
состояниями свободных полей. Мы закончим эту часть кратким рассмотрением
ковариаигного способа описания подобных переходов. Изменения состояния от-
отдельных полей, вызванные их взаимодействием, описываются уравнением движе-
движения B.6) для вектора состояния Ч"[з]. Для описания столкновений между части-
частицами, соответствующими квантованным полям, достаточно ответить на следующий
вопрос: задан вектор состояния на поверхности sv каков будет вектор состояния
на поверхности з2 п пределе, когда поверхности <зг и о2 отодвигаются is беско-
бесконечнее прошедшее и соответственно в бесконечное будущее? В данном пределе
не требуется точного описании этих двух поверхностей и мы их просто будем
обозначать символами —со и -{-со. Для получения вектора состояния па неко-
некоторой поверхности а из вектора состояния на исходной поверхности а, будет
примениться унитарный оператор
Т[а] — U[я, ^pFfo,], D.1)
который следует определить из уравнения движения
ihc-^Ulo, a,l = $?(*)?/[о, о,) D.2)
и начального условия
UК, ojl=l. D.3)
Функциональное дифференциальное уравнение D.2) удобно заменить функцио-
функциональным интегральным уравнением, включающим начальное условие D.3),
r) U [а', aj dm'; D.4)
здесь интеграл распространен по объему между поверхностями з1 и зо. В част-
частности,
fl3, о,] Ж.. D.5)
В предельном случае поверхностей rt: со это интегральное уравнение превра-
превратится в
U [а, — со] =.-¦ 1 — ¦— J 36 (X') U [a', —oo)dai' D.6)
— ОО
И
ОО
5 = 1— ~ J &в(х)и (з, — со) da. D.7)
- -JO
Здесь оператор
S=^U[co, —со], D.8)
который мы назовем оператором столкновения, определяет полное, вызванное
взаимодействием, изменение в состоянии системы
= 5ЧП— со]. D.9)
Среднее значение некоторой физической величины F в конечном состоянии теперь
может быть вычислено при заданном начальном состоянии
(У [со], FW [со]) г= (W [— со], S-1FSW\— со]). D.10)
38 ю. швингер
Из последнего соотношения можно получить вероятности различных переходов.
Задача определения унитарного оператора столкновения может быть сведена
к задаче определения некоторого эрмитового оператора К, который мы назовем
оператором взаимодействия. При этом мы будем следовать методу классической
электродинамики, в котором вместо одних запаздывающих потенциалов исполь-
используется сумма и разность опережающих и запаздывающих потенциалов. Интеграль-
Интегральное уравнение D.6) может быть переписано в виде
а по
и [з, — ооj + ^ [ J se (У) и w, — оо] л/ — J &е (*о и w, — оо] ж>'] =
[°', — co]u?u/l D.11)
— СО
или в виде
со
— CO
CO
= 1—2jb J ^(^')t/[^, — oojd»', D.12)
где s [а, а'] = 1, если поверхность ау предшествует поверхности а, и s [а, а'] =
= —1 в противном случае. Удобно ввести функционал V[i\t определяемый
равенством
U [а, — оо]= VI
так что
Й? J S [0' °']
Вычисляя оператор 5 по формулам D.7) и D.13), находим
со
.5—1
= YjL f SV(X)V [a] d« = /C, D.15)
или
Хотя эрмитовость оператора /<" непосредственно следует из унитарности
оператора S, все же поучительно привести также непосредственное доказатель-
доказательство. Интегральному уравнению D.14) для оператора V[o] соответствует эрми-
эрмитово-сопряженное уравнение
со
Ш J dm'V+ И ^(a/)s [a', о] = 1; D.17)
V+
здесь мы использовали очевиднее соотношение
8 [О, О'] = — 8 [О', О] D.18)
и эрмитовость оператора S№(х). Теперь умножим уравнение D.14) слева на
V+ [а] е&?(х), а уравнение D.17) справа на 36{x)V\z\ и проинтегрируем оба
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ I 39
соотношения по х по всему четырехмерному пространству. Сравнение получаю-
получающихся формул дает
J V+ [o]$?(x)Vr[o]d« + ~ J У+[з]
— СО —С»
со со
\3\da= J V+[3]3V(x)da D.19)
ИЛИ
К=К+ D.20)
Следует отмети п. важное свойство стационарности оператора взаимодей-
взаимодействия К. Записав соотношение D.19) в виде
2hc
со с»
J V+l?]3V(x)V[3]dm-{-i J V+\Q\&e(x)z[Q, а'] Ж(х') V\<s'\d<udm' =
— OO
= J V+lo]S^(x)d^K~1 J S^(x')Vlo']dm', D.21)
— OO —CO
мы получим формулу для оператора К, которая однородна по V[i\ и V+ [а] и
стационарна по отноп ению к малым вариациям V[a] и V+ [о]. Произведя подоб-
подобную вариацию, получим
оо оо
— J V+ [а] Ж (х) daK-ЧКК-1 J &в (х) V [о] dm =
—СО
со
= 2hc j rfcuS V+ [о] Ж (х)
— CO
OO
--WcK~X J mi*X"> VW^+Mc f[v+ М + Ш J
— OO —CO —CO
CO
~~~Ш J ^b']^^)^7^]^^)8^!0!^- D-22)
Очевидно, если оператор V[a] удовлетворяет уравнениям D.14) и D.15), а также
эрмигоно-сопряженным уравнениям для V+ [а], то 8/С=0. Наоборот, если зна-
значение К стационарно при произвольных вариациях, то величины в скобках в пра-
правой части D.22) должны равнятся нулю. Легко видеть, что функционал
-1
V' [а] = V [з] ( [ &в С*7) V W] do/) 2hcK D.23)
— jO
подчиняется уравнениям D.14) и D.15), в то время как V+ [а] подчиняется
соответствующим эрмитово-сопряженным уравнениям. Подобный тип вариацион-
вариационного принципа, широко использовавшийся при рассмотрении задач рассеяния [12],
будет детально рассмотрен в соответствующем месте.
В заключение заметим, что из представления 5 в виде интеграла, распро-
распространенного по всему четырехмерному пространству, следует независимость 5
от смещения координатной системы и тем самым коммутация 5 с оператором Р\?
[ср. формулу B.56)]
[S, />{?] = 0; D.24)
это обстоятельство является выражением закона сорхаггения энергии — импульса для
процессов столкновения, так как согласно D.10) среднее значение Р®* не изменяется
в течение столкновения при произвольном начальном состоянии.
40 ю. швингер
ЧАСТЬ И
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА И СОБСТВЕННАЯ ЭНЕРГИЯ
Развитая в части 1 ковариантная формулировка квантовой электродинамики приме-
применяется здесь для рассмотрения двух основных проблем — поляризации вакуума и соб-
собственных энергий электрона и фотона.
В первом разделе вакуум свободного электромагнитного поля п вакуум свободного
поля частиц определяются коваризнтным образом как состояние, в котором собственное
значение каждой временной компоненты четырехмерного вектора энергии—импульса
имеет абсолютный минимум. Отмечается, что это определение должно быть совместимым
с тем требованием, чтобы средние вакуумные значения некоторой физической величины
в различных системах координат не только были связаны коварпаптпым образом друг
с другом, но п совпадали, поскольку влияние вакуума не зависит от системы координат.
Для построения соответствующего способа описания вакуумного вектора состояния вво-
вводится ковариантное разложение операторов поля на компоненты с положительной и отри-
отрицательной частотой, а также разбираются свойства взаимодействующих полей. Показы-
Показывается, что при действии на вектор состояния электромагнитного вакуума положителыю-
частотпой частью разложения поперечного четырехмерного потенциала получается нуль,
в то время как вектор состояния вакуума частиц дает нуль при действии па него поло-
положительно-частотной частью разложения как самого дираковского спинора, так и зтрядно
сопряженного спинора. Определенные таким образом свойства вакуумього вектора состоя-
состояния используются при подсчете вакуумных средних значений некоторых квадратичных по
полю величин, в частности, тензоров энергии — импульса свободных электромагнитного
поля и поля частиц, а также четырехмерного вектора тока. Доказывается, что электро-
электромагнитный тензор энергии — импульса и вектора тока должны обращаться в вакууме в
нуль, в то время как тензор энергии — импульса поля частиц обращается в вакууме в нуль
только при добавлении некоторой величины, пропорциональной единичному тензору.
Во втором разделе рассматривается возбуждение тока в вакууме при наличии внеш-
внешнего электромагнитного тюля. Предполагается, что внешнее поле не приводит к образова-
образованию реальных электронпо-позитронных нар; это о:начает, что разбираются только явления
виртуального порождения пар. Данное ограничение вводится посредством использования
условия, что установление и последующее выключение внешнего поля не должно вызы-
вызывать изменений в состоянии поля частиц. В общем виде доказывается, что ток, воз-
возбужденный в заданной точке пространства— времени, определяется внешним то.«м
в окрестности рассматриваемой точки и не зависит от электромагнитных потенциалов.
Этот калиброиочно-инваризнтный результат показывает, что распространяющаяся на
большом расстоянии от своего источника световая волна не вызывает тока в вакууме и,
следовательно, не подвергается никаким воздействиям при своем нрохождеяии через
пространство. Отсюда следует отсутствие собственной энергии у светового кванта. Возбуж-
Возбуждаемый в какой-либо точке ток распадается па две части: логарифмически расходя-
расходящуюся часть, пропорциональную внешнему току в рассматриваемой точке и связанную
с ненаблюдаемой перенормировкой заряда, и некоторую сложную конечную часть, об-
обладающую физическим смыслом. Последняя величина соответствует результатам преды-
предыдущих исследований.
В третьем разделе рассматривается изменение свойств ноля частиц, возникающее
вследствие взаимодействия с вакуумными флуктуациями электромагнитного поля. Анализ
производится двумя различными способами; в первом случае используется полный элек-
электромагнитный потенциал с дополнительным условием Лорентца, во втором случае в рас-
рассмотрении используется поперечная часть потенциала н исключаются переменные, входящие
в дополнительное условие. Отмечается, что связь между полями не приводит к каким-либо
реальным процессам в эффектах первого порядка. Соответственно этому для вектор:! со-
состояния строится новое уравнение Движения, в которое входит вместо члена взаимодей-
взаимодействия первого порядка порождаемое этим членом взаимодействие второго порядка. По-
Последнее уравнение описывает самодействие отдельных частиц и световых квантов, взаимо-
взаимодействие различных частиц, а также связь между частицами и световыми квантами,
обусловливающую эффекты, подобные комнтоновскому рассеянию и двухфотонной анниги-
аннигиляции. Из сравнения двух приведенных методов делается вывод, что при решении задач
с виртуальными световыми квантами раздельное рассмотрение продольного и поперечного
полей является излишним усложнением. Доказывается, что собственная энергия светового
кванта равна нулю, в то время как собственная энергия частицы имеет предсказанный
заранее вид и приводит к изменению массы покоя. В согласии с предыдущими вычисле-
вычислениями собственная энергия «истицы логарифмически расходится. Для доказательства пра-
правильности отождествления собственной энергии с изменением собственной массы показы-
показывается, что удаление члена с собственной энергией из уравнения движения вектора
состояния приводит к согласующемуся с указанным отождествлением изменению уравне-
уравнений движения поля частиц. Наконец, дается подтверждение того, что изменения энергии
и импульса, вызванные самодепствнем, полностью сводятся к добавлению электромагнит-
1Г. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ II 41
иой собственной массы к механической собственной массе, т. е. полностью сводятся
к ненаблюдаемой перенормировке массы.
В приложении приводится построение различных инвариантных функций для элек-
электромагнитного поля и поля частиц.
Первая часть настоящей работы ') была посвящена формулировке квантовой
электродинамики, обладающей следующими основными особенностями — явной
ковариантностью по отнои ению к преобразованиям Л^ренгца и наличием естествен-
естественного разграничения между свойствами свободных полей и эффекгами, вызываемыми
взаимодействием полей. В настоящей части мы рассмотрим простей! ие при-
примеры вызываемых взаимодействием эффектов—-явление поляризации вакуума и
собственные энергии фотона и электрона, появляющиеся вследствие связи между
гголем частиц и электромагнитным полем и их вакуумными флуктуациими.
Прежде всего необходимо дагь ковариаптное определение вакуума свободных
гголей.
1. Определение вакуума
Для определения вакуума электромагнитного поля удобно ввести два вспо-
вспомогательных векторных поля, подчиняющихся тому же дифференциальному урав-
уравнению, что и потенциал А,х(х):
здесь интегрирование по контуру С+ производится от —оо до -{-оо с обходом
снизу особенности при х = 0. При этом предполагается, что выполнено следую-
следующее ковариантное условие: е2 ¦< 0, т. е. век тор е является временно-подобным
вектором и з0 —-.-е4>0. Поля Л^+)(лт) и А^\х) не будут тогда зависеть от
частного выбора вектора s^. Простую связь между тремя полями Ал, А;*
и Л^") легко получить, переписав соотношение A.16) в виде
с_
где контур С., проходит от -f- оо до — оо, обходя особенность при - -- О
сверху. Сумма контуров С+ и С_ является, очевидно, замкнутым контуром,
внутри которого расположена особенность при тг=0; следовательно,
^х- е-) ~ =-. Л,Л (х). A.3)
Выбран С+ и С_ в виде контуров, совпадающих с действительной осью всюду
кроме окрестности начала координат, и обходящих это начало полукругом бес-
бесконечно малого радиуса, получим из формул A.1а) и A.2)
О-4)
J) В дальнейшем ссылки на эту члеть будут обоинлчатьси через 1; ссылки на при-
приводимые там урлинения будут иметь, например, вид A. 2. 3). —Прим. авт.
42 ю. швингер
где
+со
ДЛдг-ет)-^-; A.5)
символ Р означает, что берется главное значение интеграла. Следует указать,
что величины А^\ А^Р, А^ и A^ = (l/i)Ap в связи с эрмитовостыо соответ-
соответствующих компонент АДлг) являются эрмитовыми операторами. Соответственно
этому Ар представляет собой оператор, эрмитово-сопряженный с А\?\ где
Н- = 0, 1, 2, 3.
Значение введенных полей легче всего истолковать с помощью разложения
Фурье для АД*):
А, (*) = / А, (Л) a (k*) ехр (ik&Xf) (dk), A.6)
где (dk) = dkQldk-idk<idk.i— элемент четырехмерного объема в пространстве вол-
волновых чисел, или /^-пространстве. Дельта-функция Ь(Щ) гарантирует выполнение
волнового уравнения A.2.11) при произволных амплитудах Фурье A^(k). Согласно
определениям A.1а) и A.16),
{Г} (*) = J A, (ft) 3 (*J) exp (iKx.J dk^-j exp (^т
Однако имеет место равенство
J_
2м
откуда следует
A.9)
J
= J ^^WSCft^expCiA^dA. A.10)
Две области в пространстве волновых чисел, отличающиеся знаком величины
— &jj.Sa> действительно не зависимы от выбора вектора s^ при условии, что в^
является временно-подобным вектором с заданным знаком з0. В самом деле,
достаточно учесть, что
A-11)
¦~- <v^-|4|lj< 1. A.12)
В последнем неравенстве предполагается, что s|X — временно-подобный вектор и
что k^ — либо изотропный, либо времешю-подооный вектор. Соответственно этому
знак —Л^б^ определяется знаком величины /гоео и, если е0 считать положитель-
положительным, что является инвариантным условием, то знлк —k.j. совпадает с ал ебраи-
ческим знаком k0. Теперь очевидно, что если потенциал А.х(х) представляет со-
собой произвольную суперпозицию плоских воли
ехр (ik х„) =-- ехр [г'(кг — koxo)],
И. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ II 43
то функции А(^\х) и А{~) (х) состоят из частей А^(х), относящихся соответ-
-ственно к положительным и отрицательным частотам, при этом данное разделение
является инвариантным. Функция А\1\х) содержит как относящиеся к положи-
положительным частотам, так и относящиеся к отрицательным частотам составляющие
А^(х), только первая из них умножается на i, а вторая—на —/.
Можно без труда составить перестановочные соотношения вспомогательных
полей с полем А^(х). Согласно определениям и соотношению (I, 2.28), имеют
место соотношения
[Л(и+) (х), Лч (х')] = ihcaiL,1D<-+^ (х — х7),
[Л<Г' (х), А, (х')] = ihcb^D^ (x — х'), A.13)
[А® (х), А, (х'I = ihc^D{1) (x —x7)
где
'с+
кл v т ' A.14)
О.
+ ОО
Для введенных ?)-функций выполняются, очевидно, соотношения, аналогич-
аналогичные соотношениям A.3) и A.4):
?Н+> (дг) -\- D (-) (х) = D (х),
(х) =. 1 [D (х) — Ют (jcI, A.15)
?>(-)(*) = ! [О (ж
Кроме того, функция D(x)(a:), подобно ?)(х), действительна, а функция ?И~) (х)
комплексно сопряжена с D(+)(x). Далее, из нечетности функций D(x) следует,
что Dil) (x) является четной функцией координат:
?)(!)(— X) = ?)(!) (X), A.16)
поскольку
?)(-) (ж) = — ?)(+)(—ж). A.17)
Наконец, очевидно, выполняются дифференциальные уравнения
? 2?>(+)(x)=[I]2Z)(-)(>0= D2?>(i)(x)==O. A.18)
Важнейшие из перестановочных свойств дополнительных полей заключаются
•в том, что они удовлетворяют соотношениям
\А(+\х), А[+) (ж'I = [A^ix), A[-} (х')] = 0, A.19)
что можно проверить прямым вычислением
Ноо
^= Шсо,ы тч— I dae^D (х — х' — ек) -т— I с1ат—"^— I е~""'—,- = 0. A.20)
1 v 2я J ч 2я; J т 2гл J ъ'
-со С, 6У,
¦г г
Осповными этапами такого вычисления являются представление D(x—s~) как
функции 1 в виде интеграла Фурье и использование того обстоятельства
44 Ю. ШВИНГЕР
[см. формулу A.8)], что два получающихся контурных интеграла одновременно
отличаются от нуля только в изолированной точке а — 0. Можно, с другой стороны,
отмегигь, что неравенство приведенного коммутатора нулю привело бы к про-
противоречию между условием, чго неличина А;* (х) содержит только поло-
положительные частоты, и тем физическим требованием, что коммутатор должен
зависеть только от интервала между двумя точками х^ и х^. Соответствующее
доказательство для величины А\^ совершенно аналогично. Перестановочные соот-
соотношения между величинами А^ (дг) и А^~\х') могут быть также непосредственно
найдены аналогичным A.20) образом, однако для их получения достаточно срав-
сравнения формул A.19) и A.13), откуда следует
[Al+)(x), А(Г] С*')] = ihcb,^D(+) (x — х') A.21)
или
[А(~] (х), А[+) (*')] = ihcb^D^ (х — *')• A.22)
Нужно также отметить, что благодаря тождеству
И?> (х), Л?> (х')] - [Ла (х), А, (х')\ =
= — 2[А?)(х), А^)(х')\ — 2[А{;\х), А(Г( {х')\ A.23)
из перестановочных соотношений A.19) вытекает
[А™ (х), А? (х')\ = [Ау. (х), А., (х'I - Lhc\, D (х — х'). A.24)
Полностью аналогичным способом можно определить соотпетстнующие сии-
гуляррые функции дл/i СЕа(х), А(х) и Л' (х). Не останавливаясь на этих три-
тривиальных рассуждениях, приводим только определения
al+) С*) = -5" [ а„ с*)—id P (х)),
1 A-25)
Ct^ (*) = у [ «а (X) + i(X P (ХI
и перестановочные соотношения
[al+) (х), ai+) (x')] = \at\x), a^ (*')] --о, (i.26>
[ а? (х), а, (*'I = ihcZ^D™ (х — х') —
-?—hD -/—h«E-~Vx/-l DO) (x — x\ A.27)
Мы будем рассматривать вакуум сеюоодиого электромагнитного поля как
такое состояние, в котором собственное значение энергии или, точнее, любая
временно-подобная компонента четырехмерного век тора энергии—импульса имеет
абсолютный минимум. Данное определение должно также согласоваться с тем
очевидным условием, что усредненные по вакууму значения физических величин
в различных системах координат должны не только получаться друг из друга
ковариангным образом, но и совпадать, так как свойства вакуума ие зависят от
системы отсчета. Для использования приведенного определении вакуума, приме-
применим формулу A.1.38) к положительно-частотгой составляющей вектора (%^(х),
соответствующего физически существенной части электромагнитного поля:
a l+) (х) рч - рч a,i+) с*)=-j- ^ a i+) c*). a .28)
При переходе к отдельным компонентам Фурье Cla+) (х) последнее соотношение
приобретает вид
^+) /\(Ц40 (ft)- l'KCil+) (ft) A.29)
11. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ II 45
и переходит, далее, при умножении на временно-подобный единичный вектор sv
с компонентной s0 > 0 в соотношение
а Р {к) w— wap (*)=ta> ар (*)• (i-зо)
Здесь величины
№= — е,Р.с, ш = — s,ft.,c A.31)
являются инвариантными выражениями энергии и частоты в произвольной коор-
координатной системе, задаваемой вектором г,,. Мы можем теперь подействовать обе-
обеими сторонами равенства A.30) на вектор состояния ЧГ0, представляющий вакуум
электромагнитного поля; при этом получится равенство
w\ ар {Щ т0] = (w0—йш) [ аР (k) w0], A.32)
где W'o—собственное значение оператора IF'для состояния, описываемого Wo.
Из этого результата вытекает, что состоянию, описываемому функцией &Р(к) *Р0,
соответствует собственное значение W, равное Wo — йш. Поскольку из опреде-
определения (Хр (к) следует, что величина ш положительна, мы, таким образом, полу-
получаем состояние с энергией, меньшей чем энергия вакуума. Это противоречие
может быть разрешено только, если выполняется условие
ClP(k)Wo=0. A.33)
Условие A.33) может служить определением вектора Wo. Так как это условие
выполняется для всех значений k, то можно написать
ар(х)чго = о. A.34)
Соотношение A.34) является непротиворечивым в связи с коммутационными свой-
свойствами величины G ^.
Полученное определение вакуума можно использовать для нахождения сред-
средних вакуумных значений выражений, квадратичных в переменных поля; основной
из величин последнего рода является величина
{а,,(х\ а, с*')} = а.с*) а, ю + <х c*o сц(*).
Имеем
{с% (х), а, (*')) = B а Р (х)—ml? (*)) а, с*0+
} (*) а,(*0 + а^ (*о а
здесь первое слагаемое является известным коммутатором, а среднее по вакууму
значение второго слагаемого равно нулю. Таким образом, имеет место соотно-
соотношение
(аР (х) Ctv(
= CFo(аР (х), а, (х') + а
-^(a^w^o, а,(*/)чго)н-(чго,й,(лг/)а(A+)(*IРо) = о- О-36)
Здесь учтено, что с точностью до знака при а-=4 величина (j? эрмитоно со-
сопряжена с а<,Г'¦ Таким образом,
({Cta(х), а, (дгО})о = ЬсЬа.,ПЫ (х — х') —
Исходя из этого результата, можно вычислить
В-*^ (L38)
)• *- с*7)) )о = *с (^ ¦?- 4;
46 ю. швингёр
откуда в двух частных случаях получаются соотношения
= — 2fic-,—-/-D*1)^ — дг7) A.39)
(¦*)» К(х')})о = — 2Йс П2 О'(дг — *') = 0. A.40)
В качестве простого примера использования полученных результатов можно
рассмотреть вычисление вакуумных средних значений механических величин,
составляющих электромагнитный тензор энергии—импульса
{Sv (х) ®л (х)} -18^ {^„ (х), ®1в (х)}, A.41)
след которого равен нулю:
е№=0. A.42)
Очевидно, имеет место равенство
Последнее выражение является неопределенным вследствие особенности у функ-
функции DA)(S) при $? —>0. Однако вид соотношения A.43) может быть получен из
совершенно общих условий. Так как ZM1) (?) является функцией только от cjl, то
получающийся указанным образом тензор должен быть пропорционален 8,А.,:
Положив (x = v и произведя суммирование, находим
AK=[U-D0-) (S)le=0 = 0, A.45)
откуда
(fWo=O. A.46)
В самом деле, это значение является единственным результатом, сопме-
стимым с тем условием, что свойства вакуума не должны зависеть от системы
отсчета. Значения, приписываемые симметрическому тензору @Ч(Л)о, могут сов-
совпадать во всех системах координат только, если этот тензор пропорционален 6^.
Если, кроме того, выполняется соотношение A.42), то этот тензор должен рав-
равняться нулю. Итак, неравное нулю значение электромагнитной вакуумной флук-
туационной энергии несовместимо с требованиями теории относительности.
Определение вакуума поля частиц производится с соответствующими видо-
видоизменениями по тому же методу, что и в случае электромагнитного поля.
Спиноры
i/(*-ei:)-^- A-47)
^^ Г ф(* + етL1 A-48)
являются частями спинора ty(x), соответствующими положительным и отрица-
отрицательным частотам (или энергиям). Они могут быть переписаны в виде
A.49)
И. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ Ц 47
где
,М1)(дг) = — Р Г ^(x—ez)~. A.50)
—со
Аналогичным образом можно поступить с сопряженным спинором 4(лг). В част-
частности, из соотношения
4П) (лг) = - Я Г ijT (х — ei) -^ A.51)
—оо
очевидно, что
ZA) (х) = уп~(х). A.52)
Отсюда, в свою очередь, вытекают соотношения
^(+) (лг) = iF) (дг), ^(-> (лг) = ?(+") (х), A.53)
заменяющие более простое условие вещественности, выполняющееся для функ-
функций, связанных с электромагнитным потенциалом. Разложение зарядно-сопряжен-
ных спиноров получается непосредственно из определений A.1.3). Так,
Ь' (+) = ОЬ{+) = С^П, i' (-) = Сб(-) = С-М^ A.54)
c-ii(-) A-55)
Перестановочные соотношения между полем 4 и другими связанными с ним
полями получаются без затруднений. В частности, имеет место соотношение
где величина
+ СО
дA) /VI — _ р Г Л (г &-\ ^- (\ К1\
'" J ^
— ОО
является четной функцией от х, подчиняющейся дифференциальному уравнению
(П " — хо) Д (лг) = 0. A.58)
Явное построение этой и остальных введенных функций выполнено в приложе-
приложении. Основные аргументы, использованные при выводе формулы A.19), пригодны
также для доказательства того, что
{^+) (х), 4+) (*')} = f^i+) (х), 4'ЧхУ, = 0, б
{.?-> (дг), ?р-» (дгО} = (^ (*), up (дг')! = 0,
откуда следуют соотношения
{&+)(х)> W4*')} =±-Slt\x-x'),
A.60)
^ (х), $-»(*')} = ~ 5<р> (дг - д/).
Можно также, используя аналогию с формулой A.23), показать, что имеет место
равенство
{^ (х), W(*')} = №« (х), Ъ {х')\ = 4 Sa? (x - хГ). A.61)
8 Зак. 573.
48 ю. швингер
Все подобные перестановочные соотношения инвариантны по отношению к заряд-
зарядному сопряжению. Так, например,
= lfS$(x~.x'). A.62)
Из определения вакуума поля частиц как состояния с минимальной энергией
можно получить в полной аналогии с процедурой, примененной в случае элек-
электромагнитного поля, следующее уравнение для определения вектора состояния
вакуума Wo:
0 A.63)
(х) Wo = q&ix) ЧГ0 = 0. A.64)
Последнему уравнению может быть придан вид зарядно-сопряженного к A.63)
уравнения:
0. A.65)
Для определения вакуумного среднего значения типичного билинейного выра-
выражения
№« (*). Ь (*01 = Фа (¦*) Ь С*') — Ф? (*0 Фа (¦*)
запишем его в виде
= B1(~) (х) - ЩУ (х) ) ty (х') - 1+) #'
Так как эрмитово-сопряжешшй и сопряженный спиноры связаны линейной зави-
зависимостью, то среднее вакуумное значение второго слагаемого равно нулю:
- (^о. fe (*') *(.1"' (*) %) = о. A.67)
Следовательно,
? (^')])о = - S$ (* — л:'). A -68)
Полученный результат можно использовать для нахождения средних зна-
значений четырехмерного вектора тока
U = - ~ [% (х), 6Э (х)} (TfL)?e = Щ- [^ (х), ^ (дг)] (т^з. A-69)
и симметричного тензора энергии — импульса поля частиц [см. A.1.29)]
[Ы Ь ( + " 0 Ь (
4^(^>(rOlL.- (L70)
след которого равен [см. A.1.34)]
4A.71)
Складывая два эквивалентных зарядно-сонряженных выражения для вектора
тока, получаем, согласно формуле A.68),
<Л)о =- ~ Щ- Ы?« т', (х), ~<& (х)]H — ([*„ (х), ^ (дг)]H) =- 0. A.72)
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ II 49
Последнее соотношение является выражением зарядной симметрии теории.
С другой стороны, прямые вычисления дают
U )о = - Щ-
Щ- {tr5W E)T^5=o = 2iec [^-AW E)] е=0 = 0, A.73)
так как Д(]> (?) — четная функция. В формуле A.73) символ tr обозначает след,
или сумму диагональных элементов матриц Дирака. При этом были исполь-
использованы следующие соотношения:
= 48iw. tr^ = O, A.74)
доказательство которых просто получается из коммутационных свойств матриц
Ya и элементарных теорем о следах матриц. Так,
={г у (V, + ТЛи-) = 4 V
tr Т,. --=: tr ^ T|i (ТбТб -f- -ХвТв) = tr у (тД5 + ТбТо) Ть = О-
В последнем соотношении матрица тб ^ TiTMfafa образует пятую матрицу, до-
дополняющую набор антикоммутируюших друг с другом матриц Дирака A. 1.1).
Среднее вакуумное значение тензора энергии — импульса равняется
o- (L75)
След тензора {вауH может быть вычислен непосредственно, исходя из выраже-
выражения A.71):
P) F)] = 2AcxS [дA) (?)].__у. A.76)
Этот результат следует также из выражения A.75). Согласно общим сообра-
соображениям, изложенным при рассмотрении электромагнитного тензора энергии — им-
импульса, величина (в.л.,H должна быть пропорциональна 8 :
(в„)о = %„ A.77)
причем здесь
К = { <е^H = -2- Ьс4№ @). A.78)
В отличие от случая электромагнитного поля, след тензора энергии — импульса
в данном случае не только не равен нулю, но имеет расходящееся значение.
Однако можьо изменить определение тензора энергии — импульса и добавить
к этому тензору некоторую пропорциональную 8^ величину, подобранную таким
образом, чтобы среднее по вакууму значение 9^., стало равным нулю.
2. Поляризация вакуума !)
Рассмотрим прежде всего проблему возбуждения электромагнитным полем
тока в вакууме поля частиц, т. е. поляризацию вакуума. Предположим, что
находившееся сначала в состоянии вакуума поле частиц возмущается из-за
установления внешнего электромагнитного поля, описываемого потенциалом А (х).
!) Приведенное здесь рассмотрение поляризации вакуума не является полностью
удовлетворительным с формальной точки зрения. Более последовательное изложение
данной проблемы приведено в статье VIII настоящего сборника (см. также статью
Паули и Вилларса в сборнике: Сдвиг уровней атомных электронов, ИЛ, 1950. — Прим. ред.
8*
50 ю. швингер
Удобно положить, чго потенциал равен нулю как до установления поля, так и
после его выключения; тем самым ограничивается группа калибровочных преобра-
преобразований внешнего электромагнитного поля. В соответствии с этим функция
Л(лг), определяющая калибровочное преобразование, должна перед установле-
установлением поля равняться постоянной, величину которой без введения каких-либо
дополнительных ограничений можно приравнять нулю. Мы можем теперь оха-
охарактеризовать начальное состояние вакуума поля часгиц посредством одного
вектора состояния 4f без какой-либо неоднозначноеги, связанной с калибро-
калибровочными преобразованиями. Изменение вектора состояния, вызванное внешним
полем, описывается уравнением
ihc 1Щ = - TU to Л. to * t°l- B-!)
Следуя программе, намеченной в разделе 4 части I, заменяем уравнение B.1)
функциональным интегральным уравнением
/дОсОЛДлОЧГГа'Иш', B.2)
о
которое включает начальные условия
ЧГ[а]-*ЧГ0, о-^ —от B.3)
и которое можно решать с помощью последовательных приближений. Мы
ограничимся первым приближением, считая возмущение вакуума малым:
-оо]ЧГ0. B.4)
—оо
Оператор U[a, —оо] является в используемом приближении унитарным. Сред-
Среднее значение тока j^(x) при воздействии внешнего электромагнитного поля
равно
(j (лг)) = (W [с], j (лг) *Р [а]) = (Ч?о, U-1 [а, — оо] Д (х) U [о, — оо] Ч?о) =
:=(t/~T[a, —оо] Д (лг) U [о, —оо]H. B.5)
С принятой точностью имеет место соотношение
а
• ™ flC J
—оо
откуда
a
B.7)
Следует прежде всего проверить калибровочную инвариантность этого вы-
выражения. Необходимо, чтобы при отсутствии реального электромагнитного поля
в вакууме не индуцировалось тока; иными словами, из равенства ЛДл:) =
== — дА (х)!дх„ должно следовать (J (х)) = 0. Подставляя А„ (х) = т-^--
в формулу B.7), находим
= -h J rf0*^V(*>'Л(*0]>0Л(*0^-h:K to/ ([Д to-Л(*'I>о<*<=<>, B.8)
ГГ. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ 1Г 51
так что поставленное условие действительно выполняется. В ходе вычислений
мы использовали перестановочность любых двух компонент тока, относящихся
к различным точкам прсстракственно-подобной поверхности, а также переста-
перестановочность Д с временно-подобной компонентой тока уа в одной и той же точке,
выясненную в части I [см. формулу A.2.34)]. Кроме того, было использовано
то разобранное ранее условие, что функция Л равна нулю в отдаленном прошлом.
Для определения вакуумного среднего значения коммутатора, входящего
в соотношение B.7), запишем [см. A.2.33)] •
UV (х), и (*')) = -J- (№. (*), Ь (*')] CTvS (*' — х) Y;J.Ka —
— [% (*')> Ь (х)] (т,^(х - х') т.,)?в), B.9)
откуда следует равенство
([/, (х), J, (х')]H = -р tr [SW (х' - дг) Tl)L5 (х — *') T. —
— SW (* — *')Т^С*7—*)^]- B-Ю)
Для нахождения величины входящего в это выражение следа используем
то обстоятельство, что след произведения трех (или, в общем случае, нечет-
нечетного числа) матриц 7 равен нулю:
trvr-,Tx = <>- B-П)
В самом деле, имеет место равенство
х ={г у Тк-ТЛх (ТбТб + ТбТб) ={г у AЛЛ>Лб + ТбТи-ТЛх) Тб == °>
так как матрица ^5 актикоммутирует со всеми компонентами f^. Отсюда, учи-
учитывая четность функции ДО и нечетность функции Д, получаем
' — х) -foS (х — л:') Т, — SW (х — х') TlS (х' — х) Т J =
адA) (х—хо ад (х — х
(л: — дгО Д (* — х1) tr (vb+T-.'iV)- B-12)
Далее, имеет место равепсгво
-М^Ъ + ЪЪЫ, = 28,ЛхТ, + 2§,ЛЛ, - 2К,Ъ1,> B-13)
так что
^ (ТхТ;ЛЛ¦- + ТхТЛЛ^) = 8 $»¦&¦> + 8 «8x;J. — S^vV). B-14)
и мы окончательно получаем для вакуумного среднего значения рассматривае-
рассматриваемого коммутатора выражение
д(х—хр ад(')(х—
*~ ах, дху. '¦
+ -/^(^-xOAW(x—v'))]. B.15)
С целью упрощения последующего исследования предположим, что рассма-
рассматриваемое электромагнитное поле не приводит к реальному порождению пар
в вакууме; таким образом, будет разбираться только явление виртуального
порождения пар. Накладываемое тем самым ограничивающее условие может
быть получено из формулы B.4). Конечное состояние поля частиц, получаю-
получающееся в результате последовательного наложения и выключения электромагнитного
поля в взкууме, задается выражением
со
ЧГ [со] = A + -^ J Д (*') Л, (х1) rf«') Wo; B.16)
52 ю. швингер
если не произошло реального порождения пар, то функционал W [оо] должен
просто равняться Wo. Отсюда вытекает, что равенство
<, = <> B.17)
является условием отсутствия реального порождения пар. Согласно рассмотре-
рассмотрению, приведенному к разделе 4 части 1, равенство B.17) действительно имеет
место, если при взаимодействии электромагнитного поля и флуктуациопного тока,
являющегося причиной порождения пар в вакууме, не могут одновременно быть
выполнены законы сохранения энергии и импульса. Чтобы использовать принятое
ограничение, перепишем равенство B.7) в виде
со
U,(*)> =тЬ J <l'VW' /-CODo-J-O +z(x-~x'))A,l(x')do/, B.18)
— (X)
где е(дг) полагается равным -(-1 или —-1 в зависимости от того, положительно
или отрицательно значение лг0; это определение по сущее гну инвариантно, по-
поскольку в выражение B.18) входят только временно-подобные интервалы х^—х'у
Условие B.17) позволяет теперь заменить выражение B.18) на выражение
СО
(Л. (¦*)> = 2йС5 /<[Д W' J-> ^'I>о з (х — х')А„ (хг) Л/. B.19)
Преимущество подобной формы записи связано с соотношением
(IU (*), Л (-')! >о - (* - -') = 8/.V [?%г О a^W) +
, дК(х — х') адA)(х — л-') . / йЛ (х — х'2
0 i
+ 4 Д (* — -v') ДA) (х — лг')I, B.20)
где функция
Д(х) = -'-А^)еD B.21)
подобно Д'(.г), является функцией только от /. = —х\ В соотношении B.20)
учтено, что
Последнее равенство следует из того, что величина з(лг) измеплетс! только при
переходе через пространственно-подобную поверхность, проходящую через начало
координат, на которой значение Д (х) parsuo пулю.
Покажем теперь, что имеет место равенство!)
(lU(x), У, (*'I>о *(* — *')-= 8ie~ciJk'dx: ° W-V ns0(i)], B.23)
где функция G(>.) удовлетворяет соотношению
дК(а) ЙД^) (/.) дао (X)
]) Конкретный подсчет выражения для тока поляризации, а также выражения для
собственной энергии электрона (см. ниже) более естественным и простым способом, чем
это делается в настоящей статье, изложен в приложении к части III настоящей работы.—
Прим. ред.
П. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ II 53
я а = — (х^ — лгр2. Функция G(K) становится однозначно определенной при
введении того условия, что она должна обращаться в нуль на бесконечности.
Отметим прежде всего, что
так что имеет место соотношение
[/V (х), U {х')\ H е {х — х') = 8fe2C2 yL?-G(h)— 8,,, Я (X)
B.26)
где
^^(a). B.27)
Равенство
tf(X)^[H2G(>0 B.28)
может быть доказано с помощью теоремы
?- ((\h (x), U (*')] )о s (* - *')) - 0- B-29)
В самом деле, дифференцирование соотношения B.26) п этом случае лает
^ B.30)
откуда следует равенство B.28). Для доказательства теоремы B.29) отметим,
что левая сторона B.29) сводится к выражению
Правильность теоремы B.29) становится теперь очевидной, так как —
°х
есть временно-подобный вектор, не равный нулю, только в том случае, если
точки х и х' лежат на просгранствешю-подобной поверхности, а временно-
подобная компонента тока коммутирует с ]ч во всех точках пространстпенпо-
подобыой поверхности.
Подстановка соотношения B.23) в формулу B.19) для индуцированного
тока после интегрирования по частям и использования того обстоятельства, что
потенциал внешнего поля обращается в нуль в бесконечно отдаленном прошлом
и будущем, дает
(h (х) > - 4 ? fa (л) (р'% W) - ~ду др
—со '*¦ "*
СО O"J
(i)~FF(y)</ffl'—4^ f G(k)J[L(x')do/, B.31)
—со v —со
где Jy.(x) — внешний ток, вызванный электромагнитным полем. При подобной
форме записи становится очевидной калибровочная инвариантность теории.
Индуцированный ток зависит не от электромагнитных потенциалов, а от напря-
женносгей поля. Однако полученный результат не ограничивается высказанным
утверждением; из выражения B.31) также следует, что индуцированный ток
в заданной пространственно-временной точке полностью определяется внешним
током в окрестности этой точки. Отсюда вытекает то важное следствие, что
световая волна, распространяющаяся на бесконечном расстоянии от своего источ-
источника, не вызывает тока в вакууме и поэтому не возмущается при движении
54 Ю. ШВИНГЕР
в пространстве. Как это мы подчеркнем еще в дальнейшем, у световых квантов
в отличие от электронов собственная энергия равна нулю.
Нашей последней задачей является явное построение функции GQC). Вводя
интегральное представление функций [см. формулы (П. 15) и (П. 33)]
_ 2
=8^ J еХр (Да +' 4"?) da
B.32)
— СО
в формулу B.24), получаем
дЮ(к) i
откуда получается выражение для G(\):
ftdif) B-33>
причем выполнена симметризация по а и р. Удобно внести новые переменные и
и w, определенные посредством соотношений
после чего получаем
оо 2
2/ , Г /. , . V- \ 1 / 1+v , \-v\dvdw
.3
2i , Г dv Г dw {. . . 'V- \ /о о
— 1 —оо
При помощи соотношения
г-ох \
J (dk) ехр (»А„ (^ - ^)) ехр (/ ^ ш A - ^)) = i DЯ)*х* "
преобразуем далее выражение B.35) к виду
О (>•) = ^уг J (<tt) ехр (^ (^ - *р) X
°
^(+^(l-^))^. B.37)
0 0 и
После выполненного преобразования можно использовать соотношение, полу-
получающееся в результате интегрирования по частям,
1 СО , о
у. B.38)
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ II 55
Первый интеграл по w логарифмически расходится при w = 0. Приняв ниж-
нижний предел равным w0, мы получаем для интеграла B.38) значение
2
3
In
1
Wo
2%~
P
i
u
1 +
1
k\
4x*
—
A
— v)
где ¦(¦ =1,781. Подстановка этого результата в выражение B.37) дает
0 о
exp Uft,, (дг„ —х')
(dk)
B.39)
причем следует учесть, что действие оператора Q2 на функцию exp (ik^x.j.)
эквивалентно умножению этой функции на — б? и что
W / 6ХР (/*^ (^У = S С«) = 3 Ы § (Jfj) 8 <Х>) 3 (Jfa). B.40)
Содержащийся во втором слагаемом в выражении B.39) интеграл Фурье
связан с входящим в функцию Д(х) [см. формулу (П. 10)]- интегралом
Действительно, имеет место равенство
4,-5
1ак что
х •*"
(х ~ *0^ ^=5~ ^2 л- B-43)
После подстановки функции G(X) в виде B.43) для индуцированного тока
получаеися выражение
- х')) l^Zp.&dvJ^*). B.44)
( Д ^p
о
где a = e2j{Aizhc)—постоянная тонкой структуры. Таким образом, индуциро-
индуцированный в некоторой точке ток разделяется на две составляющие. Первая из них
логарифмически расходится и пропорциональна внешнему току в рассматривае-
рассматриваемой точке. Вторая, конечная, составляющая определяется внешним током в окрест-
окрестности этой точки. Первая составляющая индуцированного тока вызывает
изменение величины внешнего тока на постоянный множитель, т. е. приводи;',
согласно части I, к ненаблюдаемой перенормировке заряда. Физическим значе-
значением обладает, следовательно, вторая часть выражения B.44).
56 ю. швиигер
Второй части выражения B.44) можно придать другую форму1):
1 1 — »
А Г г Г — /2 \3 *>
/ j (х) ^ ^^^ я I do/ ! Д ( — (х XI) iy2 (?<i)\ V~J (x ) (*2 45*)
о
Если внешний ток изменяется достаточно медленно, причем характеристической
единицей длины является величина 1/к0— #/ягос, то выражение B.45) можно
разложить в ряд по возрастающим степеням оператора ?'-', действующим на
]^{х). Для этого достаточно последовательно исключать Д с помощью соотно-
соотношения
Д ( ^т^ лЛ = ILzypL 8 (х) + ^-=^ П2Д ( ^-—^ х). B.46)
Таким образом, получаем
Д тг(х — х)) —\ 7~v2dvП П J.j.{х) =
К(х)— ... B.47)
Если, однако, первого члена ряда2) недостаточно, то, как правило, использо-
использовать этот ряд неудобно и следует вернуться к интегральному выражению.
Важным частным случаем является случай не зависящих от времени внеш-
внешних зарядов и токов. Тогда выражение B.45) принимает вид
B-48)
причем di' означает здесь элемент трехмерного объема. Далее, функция
оо
G(r)= Гд(г, xo)dxo B.49)
— СО
будет подчиниться дифференциальному уравнению
= -8(r) B.50)
и, следовательно, будет представлять собой трехмерную функцию Грина
Соответственно
1-
X--;
этому
1
1 —V-
получаем
1 ехр
6
8)
(
V(l-
2х0
-t/2I/. |Г
а
6г.2
'(г—rOV/2/:l(r')^', B.52)
J) Формула, эквивалентная формуле B.45), была выведена Сербером [13].—
Прим. авт.
2) При первоначальном обсуждении поляризации вакуума ограничивались только
этим членом [14, 15]. — Прим. asm..
3) Эквивалентный результат был получен Юлипгом [16]. — Прим. авт.
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ II 57
где
«„=/¦??!(,+3|г)?=!?л. B.53)
1
Мы ограничимся тем, что приведем асимптотические выражения для функ-
функции К (г) (эта функция строго выражается через функции Ханкеля мнимого аргу-
аргумента /СоBхог) и аналогичные функции [17]):
3. Собственная энергия электрона
Вторым вопросом, подлежащим рассмотрению, является изменение свойств
поля часгиц, вызванное его взаимодействием с вакуумными флуктуа-
циями электромагнитного поля. Связь между данными полями может быть опи-
описана двумя эквивалентными способами: можно использовать либо полный четы-
четырехмерный электромагнитный вектор-потенциал совместно с дополнительным
условием Лоренгца
iuc Щ) = - TU М Л:- (*) >Г f'b C.1 а)
[a] = 0, C.16)
либо поперечную часть четырехмерного вектора-потенциала, причем в последнем
случае не требуется явного введения дополнительного условия
При рассмотрении обоих приведенных уравнений движения для вектора W [з]
мы будем пользоваться теорией возмущений, основывающейся на слабости связи
между двумя данными полями, соответствующей малости постоянной тонкой
структуры а = е2/Dтгйс)= 1/137. Физическим величинам будет соответственно
приписываться различный порядок в зависимости от того, в какой степени
в них входит е или, точнее, а'/..
В нулевом порядке взаимодействие между полями отсутствует и вектор
состояния Ф [а] является константой. Связь первого порядка между двумя полями
соответствует испусканию или поглощению светового кванта либо свободным
элекфоном, либо в процессе порождения или уничтожения пары. Существенно,
что все эти процессы являются виртуальными; действительно, вследствие невоз-
невозможности одновременного выполнения в этих случаях законов сохранения импульса
и энергии ни свободный электрон не может испустить или поглотить светового
кванта, ни световой квант не может породить пары, ни пара не может
аннигилировать с испусканием одного светового кванта. Таким образом, эффекты
взаимодействия первого порядка не имеют прямого физического значения; они
проявляются лишь через посредство эффектов второго порядка в таких
процессах, как виртуальное испускание и последующее поглощение светового
кванта полем частиц. Именно благодаря этим процессам возникает взаимодей-
взаимодействие между часшцами и появляется собственная энергия у отдельной частицы.
В данной связи мы попытаемся построить такое уравнение движения для lF[a],
58 ю. швингер
в котором член взаимодействия первого порядка будет заменен членом взаимо-
взаимодействия второго порядка.
Для выполнения поставленной задачи нужно определить с точностью до
первого порядка решение уравнения движения для ч7[з]. Как и в рассмотрен-
рассмотренном выше случае поляризации вакуума искомое решение, например, уравне-
уравнения C.2), дается выражением
чг
а
jci J и (*') а.
где W—вектор состояния при отсутствии взаимодействия. Хотя избранное
решение соответствует граничным условиям при а—>•—оо, вследствие отсут-
отсутствия реальных эффектов первого порядка, что выражается посредством соот-
соотношения
однако выражение C.3) может быть переписано в форме
(*0 Q ,Л (*') е [a, z'\ dm', C.5)
в которой равноправно входят будущее и прошедшее.
Оператор 1 — iS [а] унитарен только с точностью до первого порядка. Для
того чтобы унитарность сохранялась и во втором порядке, нужно взять расши-
расширенный оператор
l — iSlc] — ±(SM)*, C.6)
который в свою очередь может быть заменен любым строго унитарным опера-
оператором, совпадающим с оператором C.6) с желаемой степенью приближения.
Простейшим из обладающих указанными свойствами операторов является g-iSW.
Соответственно этому производим преобразование вектора состояния
У[о1->гй1»ИИ, C.7)
после которого новый вектор состояния изменяется лишь вследствие взаимо-
взаимодействий второго порядка. Новым уравнением движения, заменяющим C.2),
является уравнение
ihc ™+ihceiS w Ч^г w [al=[ ~~eiS w
- h 5 (t ^irf1 + ^
Здесь отброшены поправки к обобщенному кулоноискому члену, поскольку тре-
требуется сохранить только члены второго порядка. Нам необходимо теперь опре-
определить с используемой точностью значения выражений
]... C-9)
д,д, ;,-. (зло)
Согласно определению C.5), оператор S [а] удовлетворяет уравнению движения
Чг$=-тЛЛ*><М*>' (ЗЛ1)
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ II 59
откуда следует
]з, <"!<*»>', (ЗЛ2)
01 х
( + V», 17 К
C.13)
Такие же операции могут быть применены к уравнению C.1а); в частности,
функционал S[a], входящий в преобразование C.7), имеет ту же форму, что
и C.5), только CtaC*) заменяется при этом на А^(х). В результате подобного
преобразования, очевидно, получится следующее уравнение движения для век-
вектора IF [о]:
ihc Sw = [-ш! [;V W \ W' J-> (x") A<('Ol e(x - *') de»'] ЧГ [a]. C.14)
Кроме того, мы должны еще учесть дополнительное условие C.16), которое
принимает вид
_ 1 J D(j. _ х'-) eiS w ;-a (ЛГ') в-«м do^W = 0. C.15)
Для упрощения выражения
учтем, что
<• C-16)
Тем самым член первого порядка исключается из дополнительного условия, ко-
которое теперь гласит
а
X f;V(О' J> С*")! А* (X") s [а, а"]] 47 [а] = 0. C.17)
Коммутатор, входящий в уравнение C.14), может быть преобразован следующим
образом:
[;V (х) \ (х), У,(О л,(О! = у И,* (*)> А-> (х'I {/V (х)> и (х')) +
г / /""V*^ / ^ v*W i А Сх*\ Л С у^\ 1 ¦ ¦ л /~) (v — v \ f i Сv"\ 1 Сv \ ' —!—
60 ю. швингер
После этого преобразования уравнение движения принимает следующий вид:
/{j() ;v (хУ> 3(х~ хГ) d<a' -
Каждому из двух членов правой части уравнения C.19) можно дать простую
интерпретацию, рассматривая их как члены самодействия одного из двух полей
через посредство другого поля. Отметим сначала, что оператором, заменяю-
заменяющим А^(х) после преобразования вектора состояния, является оператор
eiS l°\ (х) e~iS w = А,х (х) -f i \S [а], А^ (*)] + . .. =
= л^ С*)+ 1
Появляющийся в этом случае дополнительный член
представляет электромагнитное поле, индуцированное током вследствие наличия
связи первого порядка. Этот потенциал удовлетворяет соотношениям
C.22)
А8л,(х)=0
и является просто суммой опережающего и запаздывающего потенциалов, свя-
связанных классическим образом с плотностью токов /А (лг). Аналогично имеет место
соотношение
% . , = ^(*)-J--8Д (*), C.23)
где величина
о/; (х) == 2^ J [/, (*), Л (x')l -4V (д:') г (д: - х') d<n' C.24)
есть ток, индуцированный электромагнитным полем. В предыдущем разделе
рассматривалось среднее вакуумное значение именно этого тока. Мы теперь
видим, что уравнение C.19) может быть переписано в виде
ihc g^g- = [_ 1 {;; (х), 8Л, (*)} - 1 {8/, (х), Л, (*)}] Ч-" [ст], C.25)
где два члена, очевидно, выражают взаимодействие тока с порождаемым этим
током электромагнитным полем и взаимодействие электромагнитного поля
с током, индуцированным полем. Появление второго множителя :/з (первый связан
с симметризацией произведения) всегда является характерным для величины
самодействия.
Уравнению движения C.13) может быть дана аналогичная интерпретация за
исключением того, что в данном случае взаимодействие между током и полем,
порождаемым этим током, разделяется на две части, связанные соответственно
с поперечным и продольным потенциалом. Однако такое более сложное пред-
представление поля отличается от C.21) только калибровочным преобразованием.
Поперечный потенциал, индуцированный током, равен
б а,,. (х) = -^ J [ ct „. (х), а
Л- «v -д~) Ч J-] 3 (X - X')j., (X1) г [а, А dm'.
C.26)
П. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ II 61
Далее, имеют место соотношения
C-27)
«* 4: *{х" *° и'
+1/га* -^ s (х -х/)^ ^л^ ^г г [а'а'' ^ш/' C-28)
Вследствие того, что градиент от е [з, з'] является временно-подобным вектором,
выполняется соотношение
п,-—г s [а, а'] = иа —-г г [а, а'].
дх^ ' дх^
Соответственно этому второе слагаемое правой стороны C.28) принимает вид
- J nji, JL 3(X - х') J\ (xf) da'}.
a
Следовательно, имеет место равенство
+ Щ [Y J п>- d~ 3 (х - х') "^ (•*')s f3' 3Ч ^ш' J• С3-29)
В приближении, сохраняющем только величины второго порядка, слагаемое,
имеющее вид градиента, может быть исключено посредством соответсгвующего
калибровочного преобразования. Второе слагаемое из выражения для 8И^(х) сокра-
сокращается с выражением, соответствующим кулоновскому взаимодействию, и мы
получаем вместо C.13) более простое уравнение
itiC ~1Ш = [~ i{J''-(х)) м^х)] - i {Zj>(х)> a ^ ('
ЧГ[о]. C.30)
Здесь величина bj^(x) определяется формулой C.24) при замене А„(х) на (%^(х).
Из приведенного рассмотрения становится очевидным, что в случае исследования
процессов с виртуальными световыми квантами разделение поля на продольную
в поперечную части является излишним усложнением.
Ток, индуцированный электромагнитным полем, разделяется, как и следо-
следовало ожидать, на две части. Первая из них
- jk J
не исчезает даже при отсутствии каких-либо заряженных частиц. Вторая часть
индуцированного тока
У'ЛХ)' -ЬС*')!- O^to. Л(-^0])о} а,(х')г[о, А**' C.32)
специфическим образом связана с наличием частиц. Если бы ток, индуцирован-
индуцированный в вакууме, отличался от нуля, то в уравнение C.30) входил бы член, опреде-
определяющий изменение свойств электромагнитного поля при отсутствии заряженных
62 ю. швингер
частицг). В действительности подобное явление, соответствующее собствен-
собственной энергии световых квантов, не должно иметь место, поскольку, как мы
показали в предыдущем разделе, световая волна не индуцирует тока в вакууме.
Отметим, однако, что, в то время как
что и требуется для соответствующего доказательства, в случае потенциалов Аи(х)
необходимо дополнительное исследование, поскольку при рассмотрении дА11(х)/дх,,
используется добавочное условие. Имеем
|(8Л (*)H, Л, (*)} W [а] = 2Й* J ([>V С*)» Л (*01>о И, (х), А, (х') -f
+ А., (х') А^ (х)\ г (х - х') йш'ЧР1 Ы = ~ Л, (х) J ([Л (х), ]., (х')\H X
X А, (х') е (х — лг') rfu/Ч? [а] 4-
-^rf^w. (з.зз)
В первом члене правой стороны равенства C.33) оператор дАч(хгIдх' действует
непосредственно на W [з], благодаря чему можно прямо использовать дополни-
дополнительное условие C.17), в силу которого этот член обращается в нуль, поскольку
мы пренебрегаем величинами четвертого порядка. Второй член C.33) также
обращается в нуль, так-как величина (\j^(x), ]\.(х')\)ог(х — х') есть четная,
a D(x — х') — нечетная функции х — х'. Следовательно, действительно имеет
место равенство
}F[olr=o. C.34)
Взаимодействие электромагнитного поля с индуцированным этим полем
током
- ^ {0>/, {х)\, О, (х)} - - з^Г / IU (х), /, (х% X
Х{а*(х), а,с*7))<*(•* — x')d*' C.35)
удобно разделить на два слагаемых, первое из которых
h адх)}0 = —дат/[/Vw. л(*%х
связано с вакуумными флуктуациями электромагнитного поля, а второе
--^ [Фи(х)Iг а„ с*)}, = - ^ J [;;(х), л (гоь х
не равно нулю только в присутствии реальных световых квантов. В приведен-
приведенных формулах индекс 1 означает разность между записанной величиной и ее
средним вакуумным значением. Вторая часть взаимодействия [формула C.37)]
описывает реальную связь между веществом и излучением, проявляющуюся
в таких процессах как рассеяние светового кванта электроном или двухфотон-
ная аннгиляция электронно-позитронной пары. Первое слагаемое [формула C.36)],
содержащее только динамические переменные поля частиц, является частью соб-
собственной энергии электрона.
х) Подобный член, имеющий логарифмически расходящееся значение, был получен
Гейзеибергом [15]. — Прим. авт.
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ И 63
Аналогичным образом может быть разделено на части выражение
^ (х)} = - -^ J [;; (х), U № X
X {Ар (х), A, (x')j s (х — х') Л/. C.38)
Однако в этом случае требуется некоторое дополнительное исследование самого
определения вакуума для поля, описываемого полным потенциалом Ла(х). Оче-
Очевидно, не имеет смысла говорить о вакуумных состояниях продольных полей,
поскольку эти поля полностью исключаются дополнительным условием Лорентца.
Однако все же допустимо использовать и и данном случае некоторое подходящее
определение вакуума, позволяющее объединить рассмотрение продольных и по-
поперечных полей. При этом нужно только помнить, что возможное последующее
исключение продольного поля лишает избранное определение какого-либо физи-
физического значения. Согласно сказанному, определение вакуума A.34) может быть
обобщено на продольные поля посредством введения условий J)
Л(+)(х)Ч'о=О, Л'(+)(лг)Ч?о = О. C.39)
Отсюда получается естественное определение вакуума
Al+)(x)Wo^Q C.40)
для того случая, когда в рассмотрении используется полный вектор-потенциал.
Средние значения квадратичных форм подсчитывают! теперь так же, как
раньше:
{Ар (х) Ач (х') + Л, (х') Ар (х)}0 = - i [А™ (х), А, {х')\ = hc^.,dx) (x - *')• C.41)
В частности, имеет место соотношение
--&¦ {D/V (*))i, Ар (х)jo = - — / Up (x), jp (*% X
Хе(лг- x')D(l\x— x')dm'. C.42)
Чтобы окончательно убедиться в том, что принятие определения вакуума
в виде C.40) не связано с введением каких-либо дополнительных физических
условий, покажем эквивалентность с точностью до калибровочных преобразо-
преобразований двух выражений C.36) и C.42). Имеют место равенства
-~ {(S/V(х)\ а,(*)}<> = -i !(S;, W)i, А, W!o + i / U,, W- У,(*% X
-x')e(x-x')^ C-43)
- ~ J ?7 {\U (x), j, (x% (?- + я^^г)sA) (* - *0}г (* - *0
то же время
^3(J)(')^ C.44)
!) Для наиболее последовательного определения вакуума без разделепия электро-
электромагнитного поля на поперечную, продольную и скалярную части приходится дополни-
дополнительно изменить определение матричного элемента оператора. {См. Gupta S. N,, Ргос.
iPhys. Soc, 63A, 681 A950).] —Ярил. ред.
9 Зак. 573.
64 Ю. ШВИНГЕР
так как
= - J "^ sA) (*—*')га^ [Д (*>• Л (-«Oii <*<=о- C-45>
Отсюда следует равенство
i » а Дх)}0 - - ^ {(8;V (х))Р Л, (х)}0 +
w S [yV W- A (x')li «Л ^ SA) (x - *') в(* - х') rf«'], C.4S)
подтверждающее правильность высказанного утверждения об эквивалентности
выражений C.36) и C.42).
Таким образом, исключение членов первого порядка из уравнений C.1)
и C.2) приводит к следующим уравнениям движения для новых векторов со-
состояния:
~i J D(^-
д*)},] tw. C.48)
а
Члены, соответствующие взаимодейстр.ию с полем частиц, входят в C.47а) после
прямых естественных вычислений, в то время как для получения тех же вели-
величин в уравнении C.48) приходится использовать довольно сложные приемы в связи
с необходимостью объединить в конечном результате взаимодействия с продоль-
продольным и поперечным полями. С другой стороны, при применении уравнения C.47а)
следует еще дополнительно производив исключение продолных полей, в то время
как при описании процессов излучения с помощью уравнения C.48) не требуется
выполнения добавочных операций. Чтобы дать совершенно законченную картину
использования рассмотренных двух способов учета процессов второго порядка,
произведем исключение из C.47а) продольного поля. Тем самым мы, наконец,
закончим доказательство, которое подразумевалось в уравнении C.2) и в полу-
получающемся из C.2) уравнении C.48).
Отметим сначала, что выполняется следующее соотношение:
- Тс i <^V c*))i» A* (x)} = ~
— ^ «И (fi.fc С*))» я* ^ (Л <*) - Л' W)} + Щ h ((8^ to)» Л' (•*) ) • C-49)
Последний член правой части C.49) можег быть исключен с помощью канони-
канонического преобр"зования
W [а] -> e-iG' i«] W [a],
°'[а] = Ш S{Wx))i> Л' (•*)) <*Vi C.50)
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ II 65
подобно тому как было произведено исключение аналогичного члена в части I
[см. (I. 3.19) и (I. 3.20)]. Однако в противоположноегь (I. 3.19) и (I. 3.20)
в данном случае исключение указанного члена можно произвести в связи с раз-
различием коммутационных свойств оу^ (л:) и /Дл:) только с точностью до второго
порядка. Подобное приближение достаточно для наших вычислений. С точно-
точностью до второго порядка новое дополнительное условие можно теперь записать
в виде
[Л (х) - Л' (лг) + / [(У [а], (Л (х) - Л' (*))] -
if ] = 0. C.51)
К счастью, оух (лг) коммутирует с А(х)— А'(х), благодаря чему новое допол-
дополнительное условие сводигсл просто к соотношению
[Л (х) — Л' (х)] W [а] = 0, C.52)
которое совпадает с формулой (I. 3.26). Для проверки приведенного перестано-
перестановочного соотношения учтем, что
X { Ct, (*0 + пчпх JL (А (лг') - Л' (х'))\ • C.53)
Как легко показать, величина рассматриваемого коммутатора не зависит от неу-
неучтенного слагаемого с дА' (хг)/дхч. Обратив, далее, внимание на то, что ком-
коммутатор с А(х)—Л'(лг) в различных точках равен нулю, получаем искомый
результат. Из нового дополнительного условия C.52) следует, что второй член
правой стороны равенства C.49) не будет входить в уравнение движении для
вектора состояния. Кроме того, при учете дополнительного условия выражение
для тока, индуцированного А^(х) C.53), сводится к выражению для тока, инду-
индуцированного dy.(x). Тем самым мы показали, что при исключении продольных
полей уравнение C.47а) переходит в C.48).
Взаимодействие поля частиц с самим собой состоит из связи различных
частиц между собой и самодейсгвил отдельных чястиц. Нашей следующей зада-
задачей будет разделение членов взаимодействия частиц на две указанные части.
В основе подобного разложения на-слагаемые, которые можно назвать одго-
частичгыми и двухчастичкыми, лежит интерпретация описывающих поле частиц
спиноров как операторов порождения и уничтожения. Из операторного пере-
перестановочного соотношения
\'Ь (х), Q] = ie / {* (*), (й (*') ТД,} й„ (*') ж? = еЬ (х) C.54)
а
следует, что для собственного состояния полного заряда, описываемого функ-
функцией ^(Q'X имеет место соотношение
QI (х) ЧГ (ff) = (Q' - е) ф (х) W (Q'). C.55)
Отсюда очевидно, что $(х) действует как оператор уменьшения полного заряда
системы на величину е. Следовательно, действие этого оператора приводит либо
к исчезновению частицы с зарядом -\-е, либо к порождению частицы с заря-
зарядом — е. Подобным же образом, оператор '/(лг) или '^(^вьпычает либо порож-
порождение частицы с зарядом -\-е, либо исчезновение частицы с зарядом —е. Вели-
Величины типа <!Л приводят, следовательно, к эффектам, подобным уничтожению
частицы в одном состоянии и порождению аналогичной частицы в другом состоя-
состоянии, что может также рассматриваться как переход частицы из одного состояния
в другое. Такие величины могут быть названы одночастичными операторами,
9*
66 Ю. ШВИНГЕР
хотя, строго говоря, подобный термин следовало бы применять к разности вели-
величин типа ЭД и их средних вакуумных значений. Более сложные операторы вида
t|nlit^t|i вызывают различные эффекты, в том числе уничтожение двух частиц и
порождение двух других частиц в различных состояниях, что следует рассма-
рассматривать как переход пары частиц из одной совокупности двух состояний в дру-
другую. Подобные эффекты с двумя частицами нужно отличать от процессов,
в которых одна частица переходит из одного состояния в другое, в то время
как вторая частица сначала порождается, а затем исчезает. Такие переходы,
связанные с флуктуацией вакуума, неотличимы при наблюдении от упомянутых
выше простых переходов отдельной частицы. Операторы 4"T"f'W конечно, вызы-
вызывают еще такие явления в вакууме, когда оба перехода представляют собой
вакуумные флуктуации. Подобным отделением возможных переходов, являющихся
вакуумными флуктуациями, операторы <№№> а также более общие выражения
могут быть разложены на составляющие, относящиеся к определенному числу
частиц. Разложим указанным образом оператор
{/V (*), h (*')} = — е°с2 | -J- [4 (х) v ф (*)] 1 [ ф (*') Tv, <|» (х')\ }. C.56)
Для нахождения вакуумного среднего значения этого оператора достаточно заме-
заменить все входящие в него билинейные произведения <ЭД и ty'j на их вакуумные
средние значения. Поскольку, однако, вакуумные средние значения 1л(х) и/ч(л/)
равны нулю, следует учитывать лишь произведения типа ty(x)fy(x'), fy(x')ty(x),
<j»(х) ty{x') и <Ь{х') <Ь{х). Рассмотрим подробнее одно из слагаемых
(Т Д? (Г.) Д (*) -Ь (х) 6Т {х') Ъ (х'). (Ъ.Ы)
Оператор 6^(хг), действуя на вектор вакуумного состояния, приводит к образо-
образованию частицы с зарядом —е (например, электрона). Действие оператора 'Wat')
может вызвать немедленное уничтожение этой частицы, но по изложенным выше
причинам такой член здесь исключается. Таким образом, существенным резуль-
результатом действия &т(л/) будет порождение частицы с зарядом -\-а (позитрона).
Для того чтобы сохранилось вакуумное состояние, оставшиеся два оператора дол-
должны уничтожить порожденные электрон и позитрон. Следовательно, оператор 6$(х)
будет уничтожать частицу, порожденную ^(х'), благодаря чему fy(x) &т(лг') можно
здесь прямо заменить на среднее значение по вакууму этой величины. Наконец,
оператор tya(x) должен уничтожить электрон, порожденный ^(х'), что также
позволяет заменить произведение 4* (х) 65 (х') на его среднее вакуумное значение.
Несмотря на то, что между <^а(х) и <^(х) расположены два других оператора,
оператор &„(¦*) можно передвинуть в положение, соседнее с 43 (•*')» поскольку
оператор 4а(д;) антикоммутируег как с fy(x), так и с <^1(хг); последнее, дей-
действительно, имеет место, так как оператор <!>„(лг) и операторное произведение
Фр(¦*) ^т(¦*') действуют на различные частицы. Отсюда вытекает, что вакуумное
среднее значение величины C.57) равно
(ТД? (Т,)т8 (^ (*) ^ (х'))о (Ь (*) % (*')>о- C.58)
Но
^ («0> { Ь () * W) + ЦЪ ()
= ~~Y 5эт (x — x') — -2 S$ (x — x') = — iSffl (x — x') C.59)
(v\ i'j. (y'W — 19 (v' v\ ЛЬ (r'\ & (г\\ - —
= — iSo* ix' — x)\- iSif (x' — x)~ — is[~} (xr — x). C.60)
П. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ II 67
Следовательно, выражение C.58) равно
— tr ["t(KS(+) (x — х') y,5(~) (xr — х)]. C.61)
С помощью подобных же вычислений находим
I Jij. \х)> J v \Х ) /0 к L lr 17fi° 1-* л ^ lv° <.л
= ^ ^ [Tll5 (л: - *') Tv5 (л:' - *) + Y,SA) (* - *') T*SW (*' - *)]• C-62)
Применяя для определения значения входящего сюда следа метод, использо-
использованный при выводе формулы B.15), получаем
z -^ ^х
Этому выражению в свою очередь может быть придан аналогичный с B.23) вид:
^г - За, П 2) (I (X) - La) (Ц), C.64)
{U О)> А (*) )о
где _
f^^L). (з.б5)
В частности,
{U (х~)> Л (*0 )о = -12е*с2?2 (z (А) - iA) (*))¦ C-66)
Для получения составляющей одночастичного оператора C.56) мы выделим
ту часть этого оператора, которая индуцирует переходы, например позитрона,
из одного состояния в другое, не вызывая при этом никаких дополнительных
наблюдаемых изменений поля частиц. Мы можем снова рассмотреть типичный
член вида C.57). Оператор ''&(х') либо уничтожает имеющийся позитрон, либо
порождает электрон. Если произошло уничтожение первоначального позитрона,
то второй оператор *, (*') может только вызвать порождение нового позитрона,
вообще говоря, в другом состоянии. Третий оператор может либо уничтожить
этот вновь порожденный позитрон, либо породить электрон. В первом случае
множитель 4*з (х) ^ (х1) будет давать при усреднении вакуумное среднее значение
этой величины. Если же осуществляется вторая возможность, то оператор tya(x)
должен уничтожать порожденный электрон, чтобы в итоге действительно имел
место только переход одной частицы. При этом множитель 6а(х)^(х) превра-
превратится при усреднении в вакуумное среднее значение этой величины, равное
одному из слагаемых вакуумного среднего значения уа (х). Очевидно, в полном
выражении этот член сократится с членом, пропорциональным другому слагае-
слагаемому вакуумного среднего значения j^ix). Таким образом, если исходный пози-
позитрон уничтожался первым оператором, то следует учитывать только дальнейшие
события, состоящие из флуктуации вакуума и последующего порождения пози-
позитрона в конечном состоянии. Если, с другой стороны, в первом процессе про-
произошло порождение электрон?, то во второй стадии нужно учесть лишь порож-
порождение позитрона, находящегося в конечном состоянии; по указанным выше
основаниям случай немедленного уничтожения электрона можно не учитывать.
Третий оператор '^(х) может теперь лишь уничтожить первоначальный
68 Ю. ШВИНГЕР
позитрон; затем <ia(x) уничтожает электрон. Разобранные две совокупности
переходов тождественны с переходами, индуцируемыми оператором
который действительно является одючастичкой составляющей оператора C.57),
поскольку его среднее вакуумное значение равно нулю.
После приведенных рассуждений легко получить выражение одночастичкой
составляющей оператора C.56) при наличии одной частицы
picr _
( /„/'«Л / (v!\\ — (¦¦ \ (-/Л I ы. (<Л Л (v'W V
1 Jv- \лI Ji\™ ) (l 2 \ 1A/«? \ Iv/fB I I in. \лI V8 (,Л Я[ Л
j—; ?__ / г(i, /д-") y ,S^ (j? x'^f'^^x')! —I— Г0 ^х'^ y 5'1' (х' х) ^ i^x^l )¦ C 68)
в частности, для специально интересующего нас случая находим
"Г
:. C.69)
Очевидно, двухчастичная составляющая оператора C.56) равна просто
в дальнейших упрощениях этого выражения нет необходимости.
Теперь уравнение движения для вектора состояния с членами взаимодей-
взаимодействия второго порядка можно записать более подробно и следующем виде:
the Щ°± ={ &&0.0+З&ио(х) + <№¦>_,о(х) +^i.i(х)) W [а], C.71)
где
Жо. о = - \-с { У, (*), М> (х) }0 = — 41» / (U (х)' U W ]<о Ъ^х- х') d«'> (З-72)
SVi. о (*) = -^ { /V W. М, (х)}, - ~- {(8;V (*»!, Л,, (х) Jo -
= —4^ J ! /V (*), ;, (*')}i Ъ (х - х') л/ -
- 8Z5- J l-'V W' Д (*')!! s (* - х') D{1) (x - х') йш', C.73)
/,(х),/,(х')]20(х-х/)^, C.74)
т. 1 (*) = — 4- {(з
= —8^Г J fiVW' J\(x%e(x-x') { а,(х), С1,(х') }1<Ы. C.75)
Индексы у скобок обозначают здесь число частиц и число световых квантов,
участвующих в переходах, описываемых соответствующими выражениями. Изме-
Изменение свойств вакуума, вызванное взаимодействием между веществом и излуче-
излучением, определяется величиной
&ffOiO = З*2 J П'2 (L(k) — /.О) (X)) D(x — хО dm' = - 3«* A@) — Z.W @)), C.76)
II, КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ II 69
не представляющей, однако, никакого интереса с физической точки зрения.
Рассмотрим, наконец, выражение, описывающее изменение свойств отдельных
частиц:
— *0 7^ (*% D (х - х') +
, ^6 (х% D(D (х — *')
С*0 VsA> (^' —^) V *C*)Ii я> — *')
= | (ф (*), ? (*)], -f -J- [? (*), i (*I, C.77)
где
?(*)=-- — ¦? Г 7». f^(* — *0SV(x — x')-\-DV(x — x')S(x — х')] тA(xr)dm'.
13 C.78)
Мы докажем, что величина <?(х) пропорциональна Ь(х):
<э(х) = отсЦ(х), C.79)
так что
Jt?ltо(*) = 8тс«у [ф(*), ф(*)l! = 8mca~ [ф (*) ^(*) + ? (*) *' (*)]-,. C.80)
Очевидно, в этом случае Ьт представляет собой электромагнитную массу элек-
электрона.
Используя тождество
-*°Н = -2(Т^+2*О), C.81)
функцию «р (х) можно записать в виде
?(х)= es J |Т) [О(х-х') ^-ДИ> (* —*0 + Z)W (л: -^)-^- Д (* -^)] +
+ 2х0 Р(а: — х') ДA) (х — лг') + ?>и) (л — х')А(х—х'))^ Ь(xr)dm'. C.82)
Определим теперь функцию Р(к) от Л = — (лг —x'J1 с помощью равенства
X)^>. C.83)
Преимущество, даваемое введением этой функции, состоит в том, что соот-
соотношение
позволяет записать первый член C.82) в более простом виде:
Отсюда следует
<р(*) = еЧ0 j Q (X) <!>(x')rfa/, C.86)
где
Q(к) = 2 [Я (X) Д A) (к) -J- Z)(D (X) Д (X)] — Я (X). C.87)
70 Ю. ШВИНГЕР
Нахождение явного вида функций Р(к) и Q(k) аналогично отысканию О (к)
(см. раздел 2). Прежде всего заметим, что
^/D)^т4(т^т1т)^ C-88)
Следовательно,
При переходе к переменным v и w, определяемым равенствами B.24), соотно-
соотношение C.89) принимает вид
1 „ с» . .>
Q = ¦ ~9_ 4 xj | ^r d1» Г —3- ехр ш —р 1- i - . C.90)
-1 -оо
При учете B.36) последнее выражение в свою очередь превращается в сле-
следующее:
1 оо
-1 -оо
X exp (,-fIZ^.+ ТТ A-«8)"М. C-91)
Отметим, далее, что ^(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению
второго порядка
(П2 —¦'¦оЖ*) = О. C.92)
Отсюда следует, что разложение <Ь(х) по плоским волнам е и- и- содержит только
такие волновые векторы k^, которые подчиняются условию
^= —*Ь- C.93)
Следовательно, при определении значения интеграла
где функция Q{K) представлена интегралом Фурье
ехр (/^ (Л> ~~ ^}) ^ (*Р т> C<94)
в подинтегральиом выражении аргумент А2 в функции У7 (k^) может быть заме-
заменен на—y.j^. Таким образом,
Sdm'exp ^к (\ - xP> F(-
Последний результат подтверждает высказанное утверждение о том, что функ-
функция <р(х) пропорциональна $(х) и дает величину коэффициента пропорцио-
пропорциональности
1
—
C.96)
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ II 71
Интегрирование в C.96) удобно выполнить по частям следующим образом:
1 со
Ът а г , . . . . г dw /1 — v
Щ = Ш J d[(v-5)(l-v)] J -_cos(-^-
-1
Тем самым мы получаем для электромагнитной массы электрона или позитрона
логарифмически расходящееся значение. Другой способ нахождения этой вели-
величины, позволяющий провести сравнение с предыдущими работами [18], заклю-
заключается в непосредственной подстановке в формулу C.82) функций D(x), Д(дг),
Dbi (х) и ДA)(х), представленных в виде интегралов Фурье. Электромагнитная
масса выражается тогда в виде интеграла по импульсам виртуальных квантов.
Окончательно в этом случае получается
О/И За Г, К-\-Кц 1 1 /о по\
-^ = -ЙГ[ -^ Нг=со' ( }
где Ко = (AT2 -f- *<>)• Очевидно, 1/«/0 «=: (K/v-of-
Для подтверждения правильности отождествления величины 8/я с электро-
электромагнитной массой мы доажны показать, что член e%?lta(x) можно исключить
из уравнения C.71) при одновременной замене в уравнениях движения поля
частиц массы т на то-\-Ьт. Тем самым мы докажем общий характер обеих
составляющих действительной массы электрона. Произведем соответственно ска-
сказанному преобразование вектора состояния:
ЧГ fa] = f/(aj W [з], C.99)
где U [о] выбрано так, чтобы компенсировать изменение W [а], связанное
с S^lto(x)- Поэтому уравнение движения для U[o] будет иметь вид
-=<$?! 0 (*)?/["]. C.100)
Таким образом, для описания эффектов собственной энергии мы возвращаемся
к гейзенберговскому представлению. Преобразование C.99) вызывает одновре-
одновременное изменение операторов поля частиц
$(x)=U-*[3]4{(x)U[<3]; C.101)
при этом новые операторы и новый вектор состояния обозначаются жирными
буквами. Для построения уравнения движения для ф (х) нужно использовать
соотношение, аналогичное (I. 2.9). Поскольку в этом случае представление
взаимодействия и гейзенберговское представление меняются ролями, мы получаем
откуда следует
ДО. (*) = - 8хф (х), C.103)
72 ю. швингер
где
Sx = -?p-. C.104)
В итоге мы получаем желаемый результат:
д ,
причем
х = -^-, т = то-\-Ы. C.106)
Функциональная производная вектора состояния по о, получающаяся при исклю-
исключении членов е%?1>0(-*0 и е%ч),о (чт0 можно сделать, не изменяя предыдущих
рассуждений), определяется с точностью до второго порядка уравнением дви-
движения
ife^ = {H2i0W+HuWLTW. C.107)
Это уравнение описывает взаимодействие второго порядка между частицей и
световым квантом или другой частицей.
Нашей последней задачей является рассмотрение новых выражений для
энергии и импульса, которые получаются после выполнения последовательности
преобразований, приводящих к уравнению C.107). При этом мы вновь подтвер-
подтвердим полное слияние механической и электромагнитной массы электрона. Отметим
сначала, что соображения, которые привели нас к выражению для вектора энер-
энергии— импульса в представлении взаимодействия A. 2.52)
р„ [а] = Я<0) — 1 Г &е(х)da., C.108a)
С J
а
&€{х) = Ju.{x}A {х\ (З.Юоб)
носят весьма общий характер. Если производится преобразование вектора состоя-
состояния при другом значении oft?(х), то для нового вектора .пергии—импульса
должно сохраняться подобное же выражение. Мы подтвердим это в данном слу-
случае прямым вычислением. Оператор энергии — импульса, соответствующий век-
вектору состояния, получающемуся после преобразования C.7), равен с точностью
до второго порядка
Р, М = eiS M [ff + -1 / Л (х) А., (х) d,
= Р{? + / [S [а], Р{?\ - {- [S [a], [S [о],
jj\(x)A(x)d^ + i^S[]± fA(*M(*)<*v] C-109)
Из интерпретации величин Р[Р как операторов смещений свободных полей для
случая функционала S[z] следует
откуда
f(x)A^x)d^ = 0, C.111)
И. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ II 73
Соотношение C.112) действительно имеет вид C.108а) со значением
взятым из формулы C.14). Теперь не представляет затруднений перейти к вы-
выражению для вектора энергии — импульса
о] = /^0)-- / [^o,o + ^,oW + ^,oW+^i,, (*)]*V C-113)
соответствующему уравнению для вектора состояния C.71). Последним преоб-
преобразованием, которое следует учесть, явллегсл преобразование C.99). После этого
четырехмерный вектор энергии—импульса принимает следующий вид:
Р^ [о] - и~* [a] /f >?/ [а] —±f imo,o + Hlf 0 (*) + Но.о (*) + Нь х (х)] rfv C.114)
Далее, согласно формулам (I. 1.64) и C.102), имеет место равенство
U'1 [а] Р(®и [а] = Р<?> + ± / <Ч [ф (х\ ад (х), Hl о (*)lh don C.115)
где индекс 1 означает, что величины Р^0) или Р^о) составлены так, чтобы их
среднее значение по вакууму равнялось нулю. После преобразования второго
•слагаемого правой стороны равенства C.115)
[*(*). Ф« (*)Ii dav =
1 rfa'= 7
о
получим
p^ [a] == р?° — у J [H.2, о (л) + H1f 1 (x)] da^. C.116)
В соответствии с тем, что к тензору энергии — импульса системы можно при-
прибавлять величины, пропорциональные 8;J_.,, в последнем выражении исключен
вакуумный член ей?о,о- Этот результат вновь показывает, что изменения энергии
и импульса отдельной частицы, вызванные эффектами самодействия, полностью
сводятся к добавлению электромагнитной собственной массы Ьт к механической
собственной массе т0, т. е. сводятся к ненаблюдаемой перенормировке массы.
ПРИЛОЖЕНИЕ
При изложении квантовой электродинамики был введен ряд сингулярных
функций, связанных с электромагнитным полем и полем частиц, а именно,
Ь(х), D{1> (х), Д(х) и ДA)(лг). Мы произведем теперь построение явных выра-
выражений для этих функций. Начнем с инвариантной функции Д(х), относящейся
к полю частиц [функция D(x) получается из Д(дг) при хо = О]. Ее анализ облег-
облегчается рассмотрением связан кой с ней функции
д (х) = -1Д (х) з (х) = IД (х) -^^~, (П. 1)
где величина е(х) равна -\~1 или —1 в зависимости от того, положительно
или отрицательно значение х0. Этот определяющий :шак множитель но суще-
существу инвариантен, поскольку выражение (П.1) фактически используется только
для временно-подобных векторов х,у Указанное положение подтверждается инва-
инвариантным представлением е(х):
а (х\ — ^ !*• (г< о\
74 Ю. ШВИНГЕР
где е^ — произвольный временно-подобный вектор и е0 > 0. Следует прежде
всего отметить, что
(П2 — *о)~К(х) = О, х^Ф О, (П.З)
поскольку область, в которой одновременно изменяется знак г(х) и не равна
нулю функция Д(дг), ограничивается временно-подобной окрестностью начала
координат. Для определения значения левой стороны (П.З) в начале координат
рассмотрим
U»
где интегрирование по ош распространено от пространственно-подобной поверх-
поверхности о+ до пространственно-подобной поверхности а_, первая из которых
лежит по отношению к началу координат в будущем, а вторая — в прошедшем.
Обе эти поверхности устремляются в пределе к пространственно-подобной по-
поверхности о, проходящей через начало координат. Таким образом,
Hm / rf« (П2-¦'$ Д (*) = - J Ц?± d% = -l. (П.5)
Из формулы (П.5) следует
(П2-*о)Л>) = -3(лг), (П.б)
где 6 (лг) — четырехмерная S-функция,
о (х) = S (x0) S (*,) 5 (*2) 5 (ж,). (П.7)
Отсюда очевидно, что функция Д(дг) играет роль четырехмерной функции Грина.
Взяв интегральное представление 8-функции:
8 W = 72^ Jexp ^'V
где
dkudkxdk^dkb, (П.9)
получим следующее частное решение уравнения (П.б):
1 ex
<пло)
Данное решение, как будет показано, соответствует значению функции Д(лг),
удовлетворяющему условиям (I. 2.18), посредством которых эта функция была
определена.
Использование интегрального представления
СО
H^V* (ПЛ1)
с подстановкой •: = ?? + xjj позволяет выполнить в выражении (П. 10) интегри-
интегрирование по ?-прзстранстпу, причем получается
А (х) = - ^ / -f-{ da J (dk) exp (ia
CO <>
L [A- exp (-1 ^- + to*); (П.12)
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ II 75
здесь была применена формула
2
J (dk) exp (iakl + ik^ = J (rffe) exp (iak;) ехр ( — i -^
Если ввести новую переменную
то формула (П. 12) принимает вид
ОО
где
Х = -х~. (П.16)
Формула (П.15) эквивалентна формуле
L|jID)- (ПЛ7)
о о
Для выполнения интегрирования в последнем интеграле введем новую перемен-
переменную &, определяемую равенством
а =.-. *° е\ (П. 18)
2|Х|''=
Тогда
—со
f
I
f
I J sin (x0X1/2 ch П)с??>-^ -Уо (-/0>.'/г), Я>0,
(П. 19)
со ч '
— J sin (x0 (— л)'' sh il) <f» =-=0, X < 0.
Получающиеся прерывные величины можно объединить в одном выражении
00 з j
sin ka -f- --- ) — = it Re HX> Ык'1*) (П.20)
\'4a/a » \ /
о
при условии, что значение к1- при отрицательном к считается равным tj^|J-
Окончательно получаем
где
Н(') (¦,._> "h I ^1 (*о^/а) >Ъ-0
/.¦'= ' ^ • (П.22)
О, Л<0.
Появление 8-функции от л связано с наличием разрыва в значении интег-
интеграла (П.20) при к = 0. Ясно, что функция Д (х), а, следователр>но, также и Д (х)
обращаются в нуль при х? > 0, как это и должно быть согласно определению
функции Д (х). Положив xq = 0, получаем
~ ' (П.23)
76 Ю. ШВИНГЕР
что, как очевидно, согласуется со свойствами распространения электромагнит-
электромагнитных процессов.
Интегральное представление самой функции Д (лг) может быть построено
с помощью обращения преобразования Фурье для выражения (П.11):
Ia\
Откуда имеем
T7T—WetotT". <n-24>
=i р / ехр (z w> -г • (п- 25>
Используя первое из выражений для Д(лг) в формуле (П. 12), имеем
оо оо
exp (Ш (*?+ **)), (П.26)
откуда после преобразования k^—> k^ — г,/с получаем
CO OO
Л <*>=- -щ*!(dk)! wda p S ¦?¦exp (- 2iasA^exp vm\f> x
— OO —OO
X exp (ik^) exp {ia (й« + х*)). (П. 27)
Теперь можно показать, что выражение (П. 27) не зависит от выбора еа, если
только е^ является временно-подобным вектором и е0 > 0. Эти условия могут
выполняться и в том случае, когда —&J есть сколь угодно малое положитель-
положительное число. Следовательно, при определении значения (П. 27) допустимо устре-
устремить е2 —>¦ 0, что с учетом формулы
оо
Р J ехр (- 2/йв;Л,) JL = - ^ ^ = irZ -^ . (ft) (П. 28)
— СО
дает для Д (х) выражение
оо
А (х) == — ^2^т J (^*) J da ехр (ш (fej. + 4)) ехр (/fep.x,,) e (ft) =
= - w /ехр (т^8 (й"+xS) s (&) (flr&)- (П-29>
Отсюда сгановитсл очевидным, что полученная функция Д(*) удовлетворяет
соответствующему дифференцияльному уравнению:
(Па — *о) А (*) = щз J ехр Aй^) (их + 4) 8 (й? + -/?) е (й) (</й) = 0, (П. 30)
так как х8(х) = 0. Тем самым мы завершили доказательство правильности
высказанного утверждения о том, что интегральное представление Д(х) (П. 10)
дает искомое решение, поскольку показана выполнимость всех трех условий,
которыми определялась функция Д(х); при. этом интегральное условие, согласна
(П. 5), эквивалентно дифференциальному уравнению, определяющему Д (х).
Интегральное представление Да)(х) может быть непосредственно получено
из интегрального представления Д(х). Согласно определению A.57) и формуле
(П. 29), имеет место равенство
X ехр (— ik,^x) exp (ihfXf) 8 (ft* + 4) = -~-^ J exp (ik^) 3 (kl + 4) (dk), (П. 31)
П. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ II
которое можно также вывести менее формальным образом при помощи разложения
Д(х) на части, соответствующие положительным и отрицательным k0. Чтобы
определить Д<4) (х) аналогичным Д(х) образом, используем интегральное пред-
представление
со
^ j ^-da (П. 32),
с 1; =
и выполним интегрирование по k. При этом получаем
оо
ДО) (х) = jtt /da J (dk) exP (iak
о
4?
Дальнейшие преобразования выражения (П. 33) дают
00 2
АО) (х) = ДО (X) = -^ J sin(xa + ?)da =
¦ ^ С
1 О л / Xq \
— ¦о"» 3^ COS Ха +-г-
(П. 34)
Далее, используя снова подстановку (П. 18), находим
I f cos (х0Х1/!сп 0)^8 = -,: V0(x0XVs), X>0,
СО g ^ | J
(П. 35)
J cos (x0(— X)'3 sh 0)db = 2ЛГ0(х0(— X)'/s), X<0.
Полученные результаты можно записать при помощи одгой формулы:
- = — т: Im H^ (х0Х7/г). (П. 36)
J
cos
В отличие от случая (П. 19) здесь не имеет места разрыв в значении интеграла
при X = 0. Следовательно,
?_^Л_^, Х<0.
Особенность в Д<!)(х) при Х = 0 можно выделить, записав ДA)(х) в виде
(П. 37)
(П.38)
так как
где 7=1»781. При х0 —*¦ 0 получаем
(П. 40)
78 ю. швингер
ЧАСТЬ III
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОНА — РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
К ФОРМУЛАМ РАССЕЯНИЯ
Рассмотрение поляризации вакуума в предыдущих частях ограничивалось случаем
поля заданного внешнего тока. Мы рассмотрим теперь индуцирование тока в вакууме
электроном, являющимся динамическим объектом, неотличимым от частиц, связанных с по-
полем флуктуации. Дополнительный ток, возникающий в результате указанного явления, при-
приводит к изменениям электромагнитных свойств электрона, проявляющимся при его рассеянии
кулоповским нолем и в сдвиге энергетических уровней. В данной части вычисляются
поправки второго порядка к оператору тока и рассматривается случай рассеяния. По-
Поправка к оператору тока, полученная в результате канонического преобразования, пред-
представляющего собой по существу перенормировку массы электрона, разлагается в степен-
степенной ряд, в котором отбрасываются члены выше второго порядка. Подобным образом
находится изменение второго порядка оператора тока, носящее тот же характер, что и
рассмотренный ранее ток поляризации вакуума, за исключением составляющей, имеющей
вид дипольного тока. Последняя составляющая приводит к увеличению в A-{-¦«— J раз
спинового магнитного момента электрона. Единственным недостатком поправки второго
порядка к оператору тока является содержащаяся в ней логарифмическая расходимость,
обязанная инфракрасной катастрофе. Отмечается, что в присутствии внешнего электро-
электромагнитного поля поправка первого порядка к току вводит компенсирующую бесконеч-
бесконечность. Таким образом, поправки второго порядка к электромагнитным свойствам частицы
не могут быть полностью истолкованы без учета характера ее поведения во внешнем
поле. Соответственно этому мы рассматриваем во втором разделе взаимодействие трех
систем: поля частиц, электромагнитного поля и заданного тока. Показывается, что
в этом случае состояние систем может быть описано с помощью потенциала внешнего
поля и связанного с ним оператора тока, измененного взаимодействием с вакуумом элек-
электромагнитного поля.
Рассматривается конкретный случай рассеяния электрона внешним полем, которое
трактуется как малое возмущение. Оказывается удобным вычислять сначала полную
вероятность, а затем определять сечения для отдельных событий. Поправка к сечению
для упругого рассеяния определяется поправкой второго порядка к оператору тока,
в то время как рассеяние с излучением одиночного кванта связано с поправкой к току
первого порядка. Конечной целью вычислений является дифференциальное сечение для
рассеяния в заданном направлении с заданной максимальной потерей энергии, не содер-
содержащее никаких расходимостей. Подробное вычисление проводится в двух случаях: для
почти упругого рассеяния электрона, при котором излучается только небольшая доля
кинетической энергии, и для рассеяния медленно движущегося электрона с произволь-
произвольной потерей энергия. В приложении излагается новый способ рассмотрения поляризации
вакуума внешним полем. Исследуются условия, накладываемые на индуцируемый ток
требованиями сохранения заряда и калибровочной инвариантности. Оказывается, что для
выполнения этих формальных условий необходимо обращение в нуль интеграла, который
не является абсолютно сходящимся, но равен нулю в силу симметрии подинтегрального
выражения. Подстановка этого равного нулю интеграла используется далее для пре-
преобразования выражения для индуцированного тока, после которого прямое вычисление
дает конечный калибровочно-инвариантный результат. Индуцировапный ток содержит
член, пропорциональный внешнему току с логарифмически расходящимся множителем
пропорциональности, что означает индуцирование в вакууме не равного нулю полного
заряда, пропорционального внешнему заряду. Кажущееся противоречие с законом сохра-
сохранения заряда объясняется тем, что компенсирующий заряд появляется на бесконечности.
Наконец, вычисляется выражение для электромагнитной массы электрона с помощью
методов, развитых в настоящей части.
В предыдущих частях была развита ковариантная формулировка квантовой
электродинамики; развитые представления были использованы при рассмотрении
двух простейших явлений, связанных с вакуумными флуктуациями. Во-первых,
•была рассмотрена поляризация вакуума, которая выражает изменение свойств
электромагнитного поля, вызванное взаимодействием этого поля с вакуумными
флуктуациями поля частиц. Во-вторых, была рассмотрена проблема электро-
электромагнитной массы электрона, включающая задачу нахождения вызванных нали-
наличием вакуумных флуктуации электромагнитного поля поправок к механическим
свойствам поля частиц, сопоставляемого одной частице. В обоих случаях было
найдено, что все расходимости, появляющиеся из-за неполноты теории, входят
в множители ненаблюдаемой перенормировки заряда и массы.
И. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ III 79
Предыдущее рассмотрение поляризации вакуума ограничивалось случаем
заданного распределения токов, не зависящего от динамических реакций элек-
троыю-позитронного поля. Мы перейдем теперь к более сложному случаю, когда
исходный ток вызван электроном или позитроном — объектом, являющиеся дина-
динамической системой, и неотличимым от частиц, которые вызывают вакуумные
флуктуации. Получающееся изменение электромагнитш>1Х свойств упомянутых
частиц во внешнем поле можно сравнивать с экспериментально найденными откло-
отклонениями от теории Дирака, которые были кратко рассмотрены в части I.
В настоящей части мы построим оператор тока, учитывая с точностью до вто-
второго порядка изменения, вызываемые вакуумными флукгуацилми электромагнит-
электромагнитного ноля. Этот оператор применяется затем при подсчете радиационных поправок
к формулам рассеяния электрона кулоновским полем *).
1. Поправки второго порядка к оператору тока
Найдем поправки второго порядка к оператору тока, появляющиеся из-за
наличия связи между полем частиц и электромагнитным полем. Эта связь описы-
описывается уравнениями
flic *1Ы-=^ (*)?[<>],
, A-1)
Один из эффектов, вызываемых указанной связью, состоит в появлении у элек-
электрона электромагнитной массы, входящей в оператор собственной энергии ?№\,о{х).
Чтобы в дальнейшем можно было сопоставить электрону экспериментально наблю-
наблюдаемую массу, перепишем уравнение (Ы) в виде
Лс~^- = (<$?!,„(х) + еГ (*)) ЧГ [о], A.2)
где
g/Г (х) -= &J (х) — 3&1Л (х). A.3)
Каноническим преобразованием
уравнение A.2) преобразуется к виду
причем оператор, представляющий ток, одновременно переходит в оператор
W-1[o\jv_{x)W\<j\. Далее, как мы показали в части 11, спинор W~l |o] 6(дг) \V\o\
подчиняется уравнению Дирака для частицы с массой т—-тк)-\-ьт, равной
экспериментально наблюдаемой массе электрона. Соответственно этому, среднее
значение оператора тока можно вычислять по формуле
< Jr. 00 > = (XV [о], А (х) lF [о]), A.6)
считая, что
и подразумевая, что всюду подставлена экспериментально наблюдаемая масса
электрона.
') Краткая сводка полученных нами при этом результатов была уже опубликована
ранее [19]. — Прим. авт.
Ю Ззк. 571
80 Ю. ШВИНГЕР
Если решение уравнения A.7) берется в форме
ЧГ]а]=С/[о]Т0. A.8)
то среднее значение оператора тока имеет вид
< Д (х) > = (Чго. У'1 И U (х) U [а] ?0) = (Wo, ^ (х) Wo); A.9)
последняя запись соответствует описанию эффекта связи между полями с помощью
введения измененного оператора тока
lv.(x)=U-4a]jf.(x)Ulo]. A.10)
Унитарный оператор С [о] подчиняется уравнению движения
к которому может быть добавлено граничное условие
[/[_ оо]=1 A.12)
в соответствии с предположением, что связь между двумя полями адиабатически
устанавливается в отдаленном прошлом.
Теперь можно найти значение оператора j^ (лг), если учесть, что
J, (*) - У, (х) + J А/ -^уу (С/-* [а'] Д (х) С/ [о']) =
— оо
- U (х) — — J Л/С/"J [о'] [/,, (*), ей" (л:')] • С/ Ь']. A.13)
— ОО
Основываясь на равенстве
<J CJ
J dv'U-i [о'\ [у, (*), ей- (х'I U W] = J Ж/ [Д (x), ^(x')] +
— OO —CO
tJ a'
+ J A/ J A/'-gjT^y C^-1 [aff] [Д (X), e^ (xOl U [a"}) A.14)
— oo —oo
и многократно применяя использованный при выводе A.13) прием, получаем
компоненты нового оператора тока .(Дх) в виде бесконечных рядов:
V (х) = А (х) + {— -^-) J Ai' [у, (х), еТ (х'I +
— со
+ (- тУ" J А.' | йш" [[Д (*), в^Г (х')], йТ (х"I + • • • A-15)
—со —оо
Эквивалентное, но более симметричное относительно прошлого и будущего
пыряжепие для ^(дг) получается при учете соотноп ения
со ст
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ III 8]
или следующего из кего соотношения
J* (*) = j (А (х) + S-% (х) S) + (- 2У X
сю
X f dm'z\o, <J\U-*[A\ir(x), оЖ(х')\и\*'\, A.17)
где
S=?/(oo), ?/[—оо]=1 A.18)
есть оператор столкновений, описывающий реальные переходы, которые изме-
изменяют состояние системы. Последовательно применяя использованный выше вычи-
вычислительный прием, окончательно получаем для измененного оператора тока выра-
выражение
h (*) = \ {К (х) + S~% (х) S), A.19)
где
оэ
К (х) = Jr. (х) + (- ~) | А/в [о, о'] [Д (*),
• • • A-20)
При подсчете поправок второго порядка дальнейшие члены приведенного рядт
в рассмотрение не входят.
Оператор столкновений S может быть построен аналогичным образом. Именно,
S—1 = J rfe)._^_[/[o] = _-JL fd<o^r(x)U[a], A.21)
— оо —со
с»
U [о] — I (S + 1) = 1 J rfe>'e [о. о'] ^;у ?/ [а'] ^
— СО
ОО
= — ^S d<»'s[z, о'\ЛГ(х')и\</\, A.22)
— СО
откуда следует
- сю
X (" rfoi rfm'e [о, o'll'^g^^y^']. A.23?
— СЮ
Продолжал подобные выкладки, получаем
со ,, со
) / • ¦ . A.24)
Для получения желаемой степени приближения достаточно ограничиться только
выписанными членами ряда. В свгзи с отсутствием реальных эффектов первого
порядка, что выражаетсл равенством
J S&(x)dv = 0, A.25)
10*
82 ю. швингер
основными членами в выражении A.24) будут члены второго порядка:
Согласно формулам (П.3.14) и (II.3.17), имеет место равенство (вакуумный
¦член <ffiOtO несущественен)
2.o(*)-f- ^i,i (*), (i-27)
откуда следует уравнение
•5-1 . 1 ,„„,.,,„„,„. (L2g)
описывающее такие реальные процессы, в которых участвуют либо две ча-
частицы, либо одна частица и световой кпанг. Поскольку нас интересуют только
эффекты второго порядка для одиночной частицы в отсутствие световых кван-
квантов, то реальные процессы указанного типа можно отбросить, так что опера-
гор 5 в данном случае фактически равен единице. Из этого следует, что опе-
оператор тока изменяется только из-за виртуальных процессов и является полно-
полностью симметричным по отношению к прошлому и будущему. С желаемой
степенью приближения получаем
со
к (х) = Д (х) — ~ f dm'z [o,a'] [/; (*), Ж (*')] +
")\. A.29)
Теперь поправку к оператору тока можно записан» следующим образом:
У, (*)-/ (x) = 6/a')(x)-p8;W(x), A.30)
где величины
/ rf/rf" [/) [j/> °"] х
# *))i. о=- w
X [[УДх), л(хО]Д(хО, Л(х") А (*")],. о +
оо
+ W J da/z ('v - v/) ^ <*>' ^ьо (*')!, (Ь32)
—ею
являются соогветственно поправками первого и игорого порядков; индексы
у скобок в выражении длл поправки второго порядка показывают, что
рассматриваются только эффекты второго порядка, в которых участвует одна
П. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА. ЧАСТЬ III 83
частица и не участвуют световые кванты. Чтобы преобразовать выражение A.32)
к более простому виду, используем равенство
ИД (*)> Л (*01 ^ (*')- л СО Л (*")] ь о
+ у М. (А Лх (*")}„ [[/V (х), Л (*0Ь А (*")]г A -3
Отсюда следует
оо
— со
оо
A.34)
поскольку имеют место соотношения
1 в
в (* — *") [Л, (*'), Ах (х")\ = Ис8Л D (*' — л"). A-35)
{Л,(*0, Ax(x")}0=hcKxDV(x' — x"). A.36)
Значение двойного коммутатора в выражении A.34) находится без труда:
ttJt. (x)j\ (x%j4 (x")] = - езСз [ф (х) Т[15 (* - х') Tv-^ (хО —
- $ (д/) тVS (х' - х) т„ф (х), Ъ (Xя) т^ (х")] -
= tescs (ф (х) VS (х - х') Tv5 (х' - х") Tv^ (х'О + $ (*") т,5 (х" - х') X
X Tv5 (х' - х) Т^ (х) — $ (хО Tv5 (х' - х) VS (х — х") т,ф (х") -
— ф (х'О bS (х" - х) Т[15 (х — х') т,ф (хО). A.37)
Соответствующая одной частице часть выражения {[/Дх), j\(x')\, j\(x")\ может
быть получена по способу, использованному п части II. Нужно только учитывать,
что вакуумное среднее значение величины [/^(х), j\(x')\ не равно нулю. Таким
образом, получаем
— Ф (х") Т, {* (х'О, ф (х')}0 Tv-S (^ — *) V* (х) -
— Их') т,5(х' -х) Т|1 {4 (х), 6 (х'О)оТ,ф(х'О +
+ ФЮТ,{4(*"), b(x))o%S{x—x')-i,b(x')\ A.38)
{[У, (*), Л (*')L У, (¦«")}. ^ 2 [;; (х), ;v (хОЬЛ (*") +
+ е3с3 (Ъ (х) ^,,.5 (х — х') t,S<!> (х' — х") f ,/р (х") —
- ф (х'О т,5&> (х" -х') Tv^ (х' — х) т/, (х) -
— ф (х') т,5 (х' — х) T,Sa> (х — х") т^ (х") + ф (х") X
X Tv^A)(*" -х) Tll5(x — хОт,Ф
84 Ю. ШВИИГЕР
Подсгавив значения величин A.37) и A.39) в выражение A.34), для по-
правки второго порядка находим
, J\(x')]0D(x' -x")j\(x")-
— OO
CO
—Щ- J dv/ d<*" ^ (*/} '^{x'—x) vSA) (*—*") т*Ф (*"
— OO
CO
gi- J rfe,' rf»" (ф (У) T,5 (*' — x) ^S(x — x") ЪЬ {х") \DM (x' — x") +
— CO
CO
+ T" J rftu' (^(x)^(x -Х'У?(Х") + ?(x'M(-v'—x) t^(*))i -
— CO
<o/e(*—*')(*(*)vWW. ^i,oW + [fD ^i.o(^)l v*(*))i. 0-40)
где [см. (II.3.78)]
CO
? (x) = - -f- J rfco' Tv (D (*-
(ж—ж7) 5 (x—x')) т,ф (x') = 3/кс2^ (х). A.41)
Третий член выражения A.40) получается из
оэ
¦g- Jrf«'rf(o"(e[a, o']-s[a, o"])e[o', a"] X
X ft (*') f v5 (x' - x) T(l5 (x - x") f^ (««)), O^1» (*' - x") A.42)
при помощи тождества
(в [о, а'] — 8 [а, о"])е[О', о"] = в [з, о'] в [з, о"] — 1 A.43)
в силу равенства нулю величины
J da' dm" (ф (х') bS {x1 — х) T(l5 (x — х") Tv^ (x'% DW (х' — х") =
— ОО
ОО
=*—W Sd»' d«>" № С*7) т v {'V (*')> Ф (*)} т * X
X {ф (*), ф (х")| кЬ(х'% {Л,(*'), Ах(х"Iо- A-44)
Последнее утверждение является непосредственным следствием равенства A.25),
выражающего отсутствие реальных переходов первого порядка.
Подстановка [см. (II.3.77)]
в выражение A.40) позволяет заменить дна последних члена этого выражения на
-§г с> ад w ад + хад v> wv (L46>
где
со
),?(лг')!Ф(*'I- A-47)
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ III 85
Следует прежде всего заметить, что подингегральное выражение в A.47) в силу
соотношения са (х) — Ьтс^ (х) равно нулю, поскольку
-2- е(х — х')№ (х), 9 (л/)} ФС*') = —S(x — х') «и^ С*')- С1 -48)
С другой стороны, интегралы вида
A.49)
являются расходящимися, так как функции b(xf) и S (х — х') подчиняются
соответственно однородному и неоднородному уравненилм с одним и тем же
дифференциальным опера тором. Последний интеграл удобно представлять как
предельное значение конечной величины, получаемое, если видоизменить урав-
уравнение, которому подчиняется ty(x), подставив в качестве параметра массы
вместо х величину x-j-6-/, а затем произвести предельный переход 6х->0. Дру-
Другими словами, из дифференциального уравнения
следует
откуда
оо
j do>'S(x — x')^(x')= lim -^-<!<(*). A.52)
—оо
Можно показать, что если спинор, линейной функцией которого является х(х)
A.47), подчиняется уравнению Дирака с массой x-f-Sx, то у_(х) при 6х->0
принимает не равное нулю значение. Действительно, согласно соотношениям A.48)
и A.52),
оо
у (х) = lim Г dm'S (х — х') (с? (*') — Ьтс^ (х1)) =
5х~>0
—оо
ИЛИ
x')S {x — х')) i/j (х1) — отсЦ (дгI. A.54)
Удобное представление решения уравнения Дирака <1>х +?1Х (х') с изменегшьгм пара-
параметром массы через спинор i>x(x')y являющийся решением уравнения с перво-
первоначальным значением массы, дается выражением
r'j | Vl i I -V*. "V* 1 _- . r'l I \* \ ( 1 *^ ^ i
— I X \ У I—' \ '• ~^"^" X/ ^~ X \ У I Alt' tJ I
ox i
в силу соотношения
86 Ю. ШВИНГЕР
которое показывает правильность выражения A.55) с точностью до первого
порядка по 8х. Последнее выражение составлено так, чтобы имело место
равенство tyx+tx(x) = tyx(x). Таким образом,
дхх
Получающееся в итоге выражение для поправки второго порядка к опе-
оператору тока равно
со
(Vf (*))i.o = Ш 5 rfe/e (х — х!) Uf (ЛГ)' j* (х')]о ЬА^(ЛГ') —
— СО
со
/ da'da" ® (ЛГ'>к(х> ххх") Ф (*'0) A -58>
где
здесь
'^(ЛГ-^^(л/>' A -59)
^{х' — х, х — х") = К^{х' — х, х — х") + К^(х' — х, х — х"); A.60)
0-61)
' (L62)
F, -Ч) = - Т,5 (Q ^ •?- -ЧЛ Ф№ Sm G1) + D
- i it; E"
Эквивалентное выражение для функций K^(i, t\) и /С^(?, •»)) может быть дано
через функции
5±(дг) = 5(лг)±^-5A)(лг),
A.63)
а именно
)
l_(T1)^-F + '4))T,. A-64)
^ у f ^ (Z)+ ^) S+ A) - D- ^ S~ ™ ^ -
- i 4:k тт¦'(D+ F) 5+ G) ~ D-(S) 5- ('}) Tv8 G1) v A165)
В соответствии с рассмотрением части II первый член выражения A.58) пред-
представляет собой ток, который индуцируется электромагнитным полем, вызываемым
внешним током. Вторая часть выражения A.58) описывает заслуживающий осо-
особого внимания дополнительный эффект, проявляющийся, когда ток связан не
с внешней системой, а с полем частиц.
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ 41 87
Для нахождения значения Kv.(xr— х, х— х") будем подставлять разложения
входящих сюда функций в интеграл Фурье [см. (II. П. 10) и (II. П. 31)]:
{dk) *** ihk - х)
±р Г (dk)
A-66)
(всюду подразумевается, что берется главное значение 1/(А3 + х2) и I/ft2). При
этом использовано сокращенное обозначение д? для скалярного произведения
двух четырехмерных векторов ajb^. Функции A.63) имеют следующие интеграль-
интегральные представления:
5± (х) = -~ / (dk) е»» (iTft - х) (j^-r ± w8 (ft* + x*)),
J W * ( й )
(*) = да" J
Приведенные выражения могут быть записаны более компактно, если учесть,
что имеет место равенство
откуда следует
A-69)
причем подразумевается, что справа берется предел при в —>¦ -f-0.
Выражение для К^', получающееся из формулы A.61), имеет вид
' —х,х — х") = -J^ J (dk) (dk') (dk")
A.70)
Величины k' и ft^ удоб1го заменить величинами
p' = k +fe', о"=А +*", A.71)
непосредственно входящими в интеграл Фурье. Так как функция К^(хг—х, х—х")
умножается затем на ^(д;'), ^(дг") и интегрируется по х' и х", то существенны
только те значения р' и р", которые удовлетворяют соотношениям
р'а + х8 = р"а + *в = 0. A.72)
В результате подобной замены получаем
^ {х'_ХуХ_ Х"} = _J__ J (rfft) W) (dp") eip> ^ ~x) X
X eiP"{X-X\, (h (P' - A) - x) f, ОТ (P" - ft) - *) Tv X
^ LBA/>' — 2kp") Bkp') ~1~('2kp"-2kp')Bkpf') ~^ {2kp') {2kp")\' K 'lo)
38 Ю. 1ПВИНГЕР
Последний множитель в выражении A.73) может быть преобразован, если пере-
переписать его в виде
[(8 (fe2 2кр'] 3 ^ (§ {k" ~ 2kp"] - 5 (F))J A 4)
и учесть, что
~ C (&—2kp) — 8 (ft«)) = — f dub'(k*— 2kpu). A.75)
о
Из соотношения A.75) вытекает, что выражение A.74) равно
- 2kW-p») ! du [8' (** —2Ар'») — V(kn-- 2kp"u)]. A.76)
Последнему выражению в свою очередь может быть придан более компактный
вид:
~ J dv J udul"(k^—k(p'-^p"-\-(p'—p")v)u). A.77)
-1 о
Таким образом, получаем
г 1
' -х,х- х") = y^IT fdvf udu J (dk) {dp') (dp") e*'^' ~*> X
-i о
X eip"(x-x'\(it (p'—k)-x) ь (i-i (p"- k) -y.) Tv8" (fe« -k (p' + p" +
-\-{p'—p")v)u). A.78)
Если использовать для К^ выражение A.64), то множители, стоящие в выра-
выражениях A.70) и A.73) в скобках, заменяются величиной
1 , 1 1 11, 1 1 1
— Im—s г, = —Im . A.79)
я kA + х2 — is /г"г + ха — /е ?¦ — is я ?з—2/г//— is. й- — 2йр" — ie№ — ie
Но
1 1 1
а — 2kpr — is № — 2kp" — is. К — ie
ак что, выделив в последнем равенстве мнимые части и разделив их на те, мы
опять возвращаемся к выражению A.74). Вторая часть К^ [выражение A.62)]
также легко может быть представлена в виде интеграла Фурье:
<> (х- -х,х- х") = -^ J {dk) (dp') (dp") e'"'{x' -V"<*-"> X
Для нахождения значения произнодпых по р'} и р"х отметим, что имеет место
равенство
_/г)9-|-хй) = 0, A.82)
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ III 89
где функция f(x) равна 8(дг) или 1/дг. Дифференцируя и умножая левую часть
равенства на i~[{p—k)—х, получаем
Р ('Т (Р - А) - *) / «Р - ^J + *2) =
= (if (Р - Щ - *) 'ТР (»Т (Р - А) - *) I(&lSp] • i1 -83)
Таким образом,
)^OTP)(ni(^r) A-84)
в силу свойства 8-функции
Ъ'{х) = -Ур-. A.85)
Далее, согласно A.75),
Ц»-2кр) Ъ(№)\ С udub"№-
Таким образом, выражение A.81) принимает вид
К? (*' - *, * - л:") =-^nfuduj (dk) {dp') {dp") e* ^ -%**' (x-x>l) X
X [b" {& - 2ft/«) -^ т, (/f (p' - ft) - x) /Tp' (iT (p' - ft) - x) ТЛ, +
+ T, ^ Tv (П (P' - *) - *) hp" (h (P" — *) — ") Tv8" (^2 - 2ft/>"«)]. A.87)
Преобразование
приводит теперь входящую в выражение A.78) 8-функцию к виду
8"(/г2 + А2й2), A.89)
где
поскольку
После указанного иреобразонания содержащий дираковские матрицы мно-
множитель в выражении A.78) принимает вид
X (гт {р" - ^^ « - P^f~ uv) - х) Т., - Ч.Х. A-92)
Для получения этого результата мы использопали симметрию о-фуикции A.89)
относительно интегрирования по k и отбросили члены, линейные по kx, заменив
kxkt на -j-b-bjk-; мы использовали также следующее свойство матриц Дирака:
™,Tx=--2V A-93)
90 ю. швингер
Множитель A.92) можно еще упростить, опустив члены, линейные по v, которые
исчезают после интегрирования, и переставив остающиеся члены так, чтобы
получилось выражение
4*% A - и -1««) - Т,/е2 + 2х (« - ««) о^ (^ - ^) +
+ 2 (/ - Р"у т, A - «+-Ц^-3 иВ) +' 0 -
A.94)
Действие стоящего справа множителя 1-{р" -\-% эквивалентно действию оператора
fтг-\-% на К^{х'—х, х—х"). Последний оператор при интегрировании
"л дх'{
по частям при действии на функцию Ь(х") дает нуль. Аналогичным образом,
стоящий слева множитель i~{p'-\~* дает НУЛЬ ПРИ действии на функцию
Таким образом, в силу уравнения Дирака имеем
1 1
(х' — х, х — х") = -щ^ / dv j
-i о
0-95)
К двум членам выражения A:87) могут быть применены аналогичные с преоб-
преобразованием A.88) преобразования k -+k^-\-p' и и k^-*k -\-p"u. При этом обе
8-функции заменяются на 8" (А- -\- х9и'2), а мргожители, содержащие матрицы
Дирака, могут быть преобразованы к более простому виду:
^ Т, ('? (Р — Ь) — ""¦) hP (г'Т (Р — А) — *) Т, -»¦ — 2"/-2 (l — и — у «2) +
; (Ь96)
здесь р нужно заменить в случае первого члена выражения A.87) на р', а в слу-
случае второго члена — на р". Следовательно, из выполнимости уравнения Дирака
вытекает
1
? -х, х-х'') = --^ $ udu $
о
X8"(?2 + *2«2)[2*%(l-«--1ц2)_|т^2). A.97)
Для объединения членов К? и Л'р. достаточно проинтегрировать по частям
по v два первых слагаемых в подинтегральном выражении A.95), учитывая при
этом, что
1 1
J dv Ь" (/г2 + Х9и2) = 28" (й2 + у.2и2) — J rfw v —¦ Ь" (№ + Х9и"). A.98)
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ III
91
Входящие после интегрирования по частям вне знака интеграла слагаемые сокра-
сокращаются с К\?. Если выполнить явное дифференцирование по v для второго
слагаемого A.95), то получится интеграл по k:
Г (dk) № (А:2 + а2и?) = 1 Г (dk) k-> 4r S" (k~ + *2«2) = — 2 Г (dk) 8" (ft* 4. a2m2).
Следовательно,
-l
I
— и — Iк2)г»-^-1 8"(fe2 + Х2и2). A.100)
Теперь может быть выполнено интегрирование по к. Соответственно инте-
интегральному представлению
со
2) = —
получаем
J* (dk) 8"
" J
A.101)
~ J dW\w[
\w\
~~ оо
Отметим, что теперь нам нужно найти значение интегралов по а вида
1.102)
un+1du J(rf?)8"(?2-f а2и2) = .4 ja"-1^, A.103)
о 6
где и может принимать значения 0, 1 и 2. В случае и = 0 такой интеграл логариф-
логарифмически расходится.
Чтобы выяснить характер этой расходимости, переставим операции, привед-
приведшие к интегралу A.103), для получения нмссто интеграла A.103) расходя-
расходящегося интеграла по k, более просто поддающегося истолкованию. При и = 0
вместо A.103) получим интеграл
1
2^ / (dk) f du ± 6' (ft» -j- Vu*) = 2X5 J (dk) [or (к* -f л2) + 8' (feS)l. A.104)
о
Этот инвариантный интеграл можно переписать в трехмерных обозначениях сле-
следующим образом:
= ^ Г (rfk) rffe0
- ka) - 6 (fej - k2 - л2)], A.105)
причем входящие сюда 8-функции представляют соотношение между энергией
и импульсом у светового кванта и у частицы с массой hX/c. Выполнив интегри-
интегрирование по k0 в A.105), получаем выражение
92 ю. швингер
При подобной форме записи интеграла очевидно, что расходимость связана
с квантами нулевой частоты, т. е. эта расходимость представляет собой „инфра-
„инфракрасную катастрофу". Как мы покажем позднее, такая расходимость является
кажущейся; она устраняется при соответствующем учете эффектов, связанных
с б/^1' (х), т. е. с поправкой первого порядка к оператору тока. Расходящийся
интеграл A.106) можно выразить через ;иинимальное инвариантное волновое
число светового кванта &min посредством приравнивания его выражению
A-107)
Таким образом, после интегрирования по k и и для функции К^{х'— х, х — х")
получаем выражение
1
К* (*' — *, * - х") = ±. jdv j (dp') {dp") exp [/ SL+Л (J/ _ jj")J X
о
При этом для определения значения третьего слагаемого выражения A.100) иы
использовали равенство
= , ((/
в члене, получающемся от первого слагаемого правой части равенства A.109),
выполнено дифференцирование по v.
Отметим теперь, что в подинтегральное выражение A.108) входит только
величина р[— р". Благодаря этому удобно ввести новые переменные
Рх = р'{-р'„ A.110)
после чего может быть сразу выполнено интегрирование по Р; в результате этого
интегрирования получается дельта-функция о (х' — х"). Таким образом, получаем
(х'-х, х~х") = - ± Т, 8 (х' - х") 1 П [
x')]+±4xf-x'')<>t.^F<i(x-x'),
A.111)
где
FI. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ III 93
г 1 г •
Q(x)=jdv(l-{-1fi)l±ri( (dp)е»*
^[Ла( -_ *)_*(_?-_*)|. A.113)
- S J rfe/ da" $ (*') к, с*'-*» *-*")*(*"))г - ? ш 2^- i n2
(дг _ л;')] у, (*') rfe>'+^ 1 п2 J [¦j/'o (* - *0 + ^ (* - *0
1 С(дг-х')];,(дг')^ + |; с А |^0(дг-д:') т,.,(дг')^', (ПН)
где
"V (х) — ^ (<!< (х) о^ ф (д:))! = — -2- [4 (дг) 0^,6 (дг) — </ (дг) а^/J (х)). A.115)
Записанный в таких же обозначениях первый член выражения A.58) имеет вид
[см. (II. 2.44)]
^ J dm s (х — х ) [j.^ (дг), и (х )]„ 2ЛЧ (г') =
причем мы опустили член перенормировки заряда, предполагая, что значение е
соответствующим образом изменено. Повторный вывод этого иыражения с помощью
методов, родственных методам, описанным выше, приведен в приложегии. Оче-
Очевидно, что новая составляющая, соответствующая одночастичному оператору тока,
задаваемая выражением A.114), имеет, если не учитывать последнего члена этого
выражения, ту же самую природу, что и рассмотренный ранее эффект, описы-
описываемый выражением A.116). Последний член выражения A.114) дает добавку
к вектору тока вида
где
\(x — x')m^(x')d<ur. A.118)
Составляющую вектора тока подобного типа можно интерпретировать как диноль-
ный ток, определяемый антисимметричным дипольным тензором от.^, который
объединяет плотность электрического и магнитного моментов. Тензор т^ пред-
представляет собой характерный тензор теории Дирака, в которой собственные дииоль-
ные моменты пропорциональны аптисимметричг-ому спиномому тензору оач
с множителем пропорциональности, ранным магнетону Бора
е eh ,
Согласно выражению A.118), поправка к величине диполыюго тензора в некото-
некоторой точке зависит от среднего значения т^., в окрестности этой точки. Если все
величины мало изменяются на расстояниях порядка Ь>тс и за времена порядка h тс1,
то можно аналогично (II. 2.47) построить разложение в ряд по возрастающим
степеням оператора [З2. Для этой пели достаточно разложить в ряд знаменатель
в первом из выражений A.112); при этом получается
A.120)
94 ю. швингер
Итак,
к
"V (*)+•••]. о •!2о
так что при условиях, позволяющих преЕ1ебречь всеми членами этого ряда, кроме
первого, электрон будет вести себя так, как если бы он обладал дополнитель-
дополнительным спиновым магнитным моментом J)
8, = gVo- О-122)
Окончательным выражением для поправки второго порядка к одночастичпому
оператору тока является
(ojf (х)к о = ~ Ш ^- ~ П2 f IFO (х - х') + Ft (х - х')\ Д (л/) Л/ +
A.123)
При условиях медленного изменения ( —П2Д> mv.i<^-J^' "V») это выражение
сводится к виду
?(?Э i ^«^ 'V(*) (Ы24)
в силу разложения A.120) и аналогичного разложения для G(x):
^.. A.125)
Отметим, что полный заряд, соответствующий (8/^, (-*0)i, о, равен нулю, в согла-
согласии с очевидным условием сохранения заряда и тем формальным свойством, что
оператор полного заряда коммутирует со всеми операторами, относящимися
к одной частице. Кажущееся противоречие между приведенными двумя положе-
положениями и наличием члена перенормировки заряда разобрано в приложении, где
показано, что компенсирующий заряд порождается на бесконечности.
В нашем результате A.123) содержится только логарифмическая расходи-
расходимость, вызванная квантами с нулевой частотой. Однако следует отметить, что
величина (ь]\х' (х)\ о не полиостью описывает рассматриваемые радиационные
поправки. Для измерения поправок к току необходимо накладывать внешнее
поле. Такое ноле будет индуцировать испускание квангов, описываемое выраже-
выражением йД (х), с которым связаны, в частности, эффекты, компенсирующие расхо-
расходимости при низких частотах. Очевидно, что вследствие „инфракрасной ката-
катастрофы" поправки второго порядка к свойствам частицы не могут быть полностью
установлены без учета того, каким обратом эти свойства определяются во внеш-
внешнем поле. Поэтому мы обратимся к рассмотрению поведения отдельной частицы
во внешнем поле с учетом изменений, вызванных вакуумными флуктуациями
электромагнитного поля.
2. Радиационные поправки к формулам для рассеяния электронов
Рассмотрим теперь взаимодействие трех систем: поля частиц, электромагнит-
электромагнитного поля и заданных токов. Последние могут быть связаны либо с муклеонами,
либо с макроскопическими объектами; в обоих случаях обратные действия на
токи дают пренебрежимо малые эффекты. Этот случай описывается уравнениями,
1) Этот результат был сообщен в январе 1948 г. на заседании американского фпзи-
ческого общества. Фор.мула была приведена с опечаткой в заметке [9]. Эта опечатка
была, к сожалению, перенесена Розенфель.юм в его книгу [20] —Прим. авт.
И. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ Ш 95
имеющими в представлении взаимодействия вид
.. 8W Fol Г 1
тс „ . ¦=
где через ]^(х) и /^(х) обозначены векторы тока, связанные соответственно
с полем частиц и внешней системой. Оба тока взаимодействуют с электромаг-
электромагнитным полем, характеризуемым величинами Ал(х). Другой возможный способ
описания основан на выделении внешнего электромагнитного поля, действующего
на ток, связанный с полем частиц; при этом используются уравнения
ihc -щ^г = — у ;V (x) (Ла (х) -|- А{°> (х)) 1" [з], B.2а)
I ^ п/,-' v-\ ; /<-\ ^/^ f Гз] = О (О 9ft^
где
Для установления эквивалентности двух указанных способов описания доста-
достаточно показать, что уравнения B.2) получаются из уравнений B.1) посредством
канонического преобразования
W [а] -> е- VF [a], B.4)
где функционал / (а) определяется уравнением
Явным образом функционал /[а] выражается в виде
а
/ [,] = __!_ JV^'j^CrOA»', B.6)
—оо
при этом выбор нижнего предела интегрирования соответствует использованию
запаздывающих потенциалов в случае электромагнитного поля, порождаемого
заданными токами. Уравнение движения для нового вектора состояния имеет вид
йс ё$+ihceiJ[a] ^Йг т [aJ = [~т^ ^+^ (-v)) ei</wл^<*> e~" w]lF [a]
B.7)
Далее,
е^МЛЛх)е-^М=--ЛДх)+П/Ь1, ЛДх)]- 1 [7 [a], [/[о], ДДх)]]+...=
= Л,, (х) — A J D (х — .v') Л, (*') rf«' = Л, (х) + А\:} (х); B.8)
- со
приведенный ряд ограничивается двумя членами, поскольку компоненты тока /^ (х)
коммутируют друг с другом, согласно заданным свойствам этого тока. Легко
видеть, что потенциал
4е) (*) •¦= — ~ J D (x—х')J? (*')du/- B-9)
—со
II Зак. 573
96 ю. швингер
подчиняется уравнениям B.3). Действительно,
B.10)
У)) = 0. B.11)
— СЮ \
Кроме того,
So (x) oa (x) ' 2 [ oo (x) \ '
= — ~ У^ (x) Л,, (x) — I Уа (х)Л^!) (x), B.12)
так что преобразованное уравнение движения принимает вид
ihc ^1М =[_!;; (х) (Л, (х) + Л<? (х)) - 1 У, (х) A f (x)] W [а]; B.13)
это уравнение эквивалентно уравнению B.2а), поскольку член — ,у- У^ (х) Av (x\
описывающий самодействие заданных токов, не влияет на динамическое поведе-
поведение системы и может быть опущен.
Дополнительное условие B.16) аналогичным образом преобразуется в условие
- — Г D (х' — х) (j (х') + У (х)) da I W [a] = 0, B.14)
причем
ч
/,^)^". BЛ5)
Поскольку имеет место соотношение
1 г дЩл/ — л?) . , „ , „
— I ——, Jn [х ) аш —
с J ох
—оо г
а
= ± f±-,(D (х' - х") У, (х")) rf«" = 1 J D (x' - х) У, (х) rfv B.16)
—со I1 о
из B.14) и B.15) сразу следует условие B.26).
Уравнениям B.2) можно придать форму, позволяющую непосредственно при-
применить результаты предыдущего раздела. Преобразование перенормировки массы
V [а], ihc VV^f = 3&1 о (х) W[а] B.17)
переводит уравнение B.2а) в уравнение
ihc -ВД - [,>Г (*) + 3W«> (х)] Ч- [о], B.18)
где [см. A.3)]
еТ (х) = 30 (х) — 30и о (х)? B.19)
^'(") (х) == -1 у; (х) Л.1К) (х); B.20)
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ III 97
при этом в уравнение Дирака для 4 (х) входит экспериментальная масса. Даль-
Дальнейшее преобразование
1>|о]=С/[о]Ф[о], B.21)
где ?/[з] определяется уравнением
)Ula], [/[ —ooj = l, B.22)
является аналогом преобразования A.8). После этого преобразования вектор
состояния Ф(а) в присутствии внешнего поля будет изменяться согласно урав-
уравнению
the Щ~\ = U-i [a] Jj?(«) (x)UM Ф [а] = —1 j^ (х) <' (х) Ф [а], B.23)
соответствующему связи с оператором тока )^(х). Этот оператор включает изме-
изменения, вызванные вакуумом электромагнитного поля. Дополнительное усло-
условие B.26) после указанных преобразований принимает вид
l|Vt/[J j ?>(*' х)^(х)^]Ф[а] = 0. B.24)
Поскольку, однако, имеет место соотношение
8
i Г //гт_] /
tic* J
— CO
_ i_ С dw,, _д_ (D , _ х„ . „ . _^\_ r D , _ .
с J ^x" ^ с J :J
то соответствующее уравнению B.23) дополнительное условие просто сводится
к следующему
дА„ (х')
* , Ф [о] = 0. B.26)
В качестве первого применения уравнения B.23) разберем рассеяние элек-
электрона, вызванное его взаимодействием с внешним полем, рассматривая это поле
как малое возмущение1). Мы ограничимся случаем ноля, не зависящего от вре-
времени; такое поле, в частности, можно отождествить с кулоповским полем покоя-
покоящегося ядра.
Решение уравнения B.23) может быть взято в форме
ф [о] =/? [о] ф^ B.27)
причем
и
R[a[->1 при о->—оо. B.29)
Вектор состояния Ф; характеризует систему в начальном состоянии, в котором
имеется один электрон с определенной энергией и определенным импульсом и
нет световых квантов. Отнесенная к единице времени полная вероятность того,
что произошел процесс рассеяния, может быть получена посредством определе-
Ц Радиационные поправки к формулам рассеяния рассматривались многими авто-
авторамп. То обстоятельство, что после перенормировки заряда и массы эти поправки имеют
конечную величину, было незавпеимо отмечено Коба и Томонага [21], Льюисом [22] и
Швпнгером [9]. См. также работу Феинмана [23]. — Прим. авт.
11*
98 ю. швингер
ния скорости уменьшения со временем вероятности нахождения системы в началь-
начальном состоянии. Эта скорость равна
«, = _с J* Л, _*_ | (Ф1, ф [а]) р = - с J dv ^¦ | (Ф„ R [о] Ф,) \\ B.30)
причем интегрирование распространено по поверхности t=const, a dv означает
трехмерный элемент объема. Далее, имеет место соотношение
Икщ^ЦФ^ Я[°]Ф,)|2=(Ф„ /?-1[а]
— (Фа, R [а] Ф,) (ф„ tf-J [3] H (*) Фа). B.31)
В связи с тем, что мы трактуем Н(х) как малое возмущение, можно написать
а а
Я [з] = 1 - ^ J Н (*') rf«', /?-i [о] = 1 + ^ J H (*') Л/. B.32)
— со
Удобно ввести новый оператор
Н' (х) = Н (*) - (Ф:, Н (х) Ф,), B.33)
диагональные матричные элементы которого для начального состояния равны
нулю. Тогда
<з а
[а] = ехр [ - ^ J A | Н (х1) \ 1) Ло'] (l - ^ J H' (x') rf«'). B.34)
R
Фазовый множитель, очевидно, не изменяет соотношения B.31) и может быть
опущен. Таким образом, соотношение B.31) не изменяется при замене Н(лг)
на Н' (х). Следовательно, с точностью до первого порядка теории возмущений
получаем
dm' + JH' (xf) dm' H- {x) |
B.35)
w
==WcSdvdv'A\"'(X) / "'{X']dx'° + / "'(X'} ^o H'(¦*) I l) • B-36)
Учтем теперь, что диагональные матричные элементы для состояния с опре-
определенной энергией должны быть инвариантными но отношению к смещениям вре-
времени, вследствие чего можно записать
0
J dv dv'(l | J H' (*') dx'o H' (x) 11) = J dvdv' (l IH' (x) JV (x')^|l), B.37)
— CO Xo
oo
Полученный результат полностью эквивалентен более привычной формуле тео-
теории возмущений, в которой скорость перехода из начального состояния выра-
выражается в виде суммы скоростей переходов во всевозможные конечные состояния
равной энергии. Закон сохранения энергии, проявляется здесь при интегри-
интегрировании по времени, а суммирование по всем состояниям, кроме первоначального,
обеспечивается посредством исключения из Н (х) диагональных матричных эле-
элементов. Наша исходная формула при подсчетах скоростей переходов для
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ III
99
рассеяния частиц не зависящим от времени полем будет, таким образом, иметь вид
Ш
dv dv'
J Jv (*') <**о 11) •
B.39)
Мы не отметили явно, что из ja (х) должны быть исключены диагональные матрич-
матричные элементы, поскольку вместо этого достаточно исключить в окончательном
результате те переходы, при которых не происходит изменения состояния.
В первом разделе нами было показано, что с точностью до второго порядка
по е имеет место равенство
= U
где
- х') У,, (лг), /, (*')Ji А„ (х') rf«/ =
x А., (х') </ш' B.41)
со
tf (х)),, „ ,= iec f [-Их') Г,г (х — *') ^ (xOl! dm';
B.42)
ZZ fa lg „Г
-^svi^-FoD B.43)
При подсчетах поправок второго порядка к формулам для сечений рассея-
рассеяния внешним полем достаточно учитывать только приведенную часть вели-
величины 6/,[2)(х), относящуюся к одной частице при отсутствии световых квантов,
поскольку только эта часть ojp (х) связана с j^ix).
Теперь полную скорость перехода из начального состояния можно записать
в виде
w = WQ-\-ii)v B.44)
где величина
Wo=ш J dv dv' ^ ^ л-;!) (г/) ^ I ^ (*)+
сю
+ (b]f (л:)),, о) / (Л (*') + (^ (*%. о) dx011) B.45)
- СХ)
относится к рассеянию без излучения, в то время как величина
dv dv'
со
? (/) (l | S/f (x) f 8/v(I) (*0
B.46)
учитывает рассеяние, сопровождающееся испусканием одного кванта.
Чтобы проиллюстрировать способ использования приведенных формул, рас-
рассмотрим вычисление интеграла
B.47)
100 ю. швиигер
Его можно переписать в виде
6 (х) ъ О (х) f (х') Т./^ (*') | 1) rf*o, B.48)
причем подразумевается, что опущены процессы, при которых операторы
4(x)<j>(x) и ty(x')ty(x') не вызывают изменения состояния. Оператор '\>(х') может
либо уничтожить имевшийся первоначально электрон (при этом оператор
^(х')^(х') вызывает переход электрона в какое-то конечное состояние), либо
породить позитрон; в последнем случае оператор i(x')i(x') вызывает порож-
порождение пары. Однако второй из указанных процессов несовместим с законом
охранения энергии, проявляющимся при интегрировании но времени, и поэтому
может быть отброшен. Следовательно, может иметь .место только уничтожение
оператором i(x') первоначального электрона, так что ^(х/)Ф1 пропорционален
вектору вакуумного состояния. Такие же выводы можно сделать относительно
^+ (х)Ф1== ч4<!/(х)Ф1. Таким образом, для определения значения BЛь) требуется
только найти вакуумное среднее значение оператора <j (x) <\ (x'). Кроме того,
поскольку вначале возбуждено только одно состояние ноля частиц, описываемое
волновой функцией ие^х, мы приходим к результату
=U& 5(Л?) s (%~ро) s (q~+х2) "^ ^ ~~х) r>uei (р~ч!(г/"г); B-49)
здесь использовано соотношение
( 4. (х) ty (х') )о = — iSiP (х - х') =
==~WF f №)S(?2 + x2)('t? —"k^a(-e-'r'). B-50)
в.">о
Прежде чем производить преобразование выражения B.49) к более простому
виду, рассмотрим аналогичные задачи вычисления величин
B.51а)
/ A I (8/f (*))i. оЛ (х') | \)dx0, B.516)
входятцих п поправки к формулам для рассеяния без излучения. Выраже-
Выражение B.51а) можно записать в виде
со
-е*с* f dx[ J dm" A 14 (xj T[x«', (x) 6(x") \\ (xl — x") <b (x") \ 1). B.52)
--CO
Согласно соображениям, изложенным при рассмотрении выражения B.47), выра-
выражение B.52) эквивалентно
со
-еЧ^ J dx'o J flfu/'tt-fu. ( i (х) -У (х'О )о Г., (х' — х") ие*Р (¦'"-¦"> =
— СЮ
ОО
= (S J dx° J dm" J {dq^8 (<?2 + '^ "ъ(Щ-*)Гч(хг-х")ие*<Р-а <*"-*>. B.53)
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ III Ml
Подставив разложение Фурье функции Гч (х)
1\ (Р — Я) = / е~* ^>-«)ж Tv (х) rfa>, B.54)
получаем
= (Ёрг J Oty) 8 (?о - Ро) 8 (<79 + *8) «Т, ('Т<7 — *) Г., (р — ?) «*«*-«> f'-'^. B.55)
Объединив выражения B.49), B.55) и аналогичным образом преобразован-
преобразованное выражение B.516), находим
S d {dU 3 (?о - Ро) 2 (?а + --<2) J «-' <"•-«г ЛИ (г) ^ X
"° — Bг.)» h~c ,
x JV№-«)" Л(;;)(г') dv' и~(Т„. + IV (?- P))O'T? - *) (l< + Г, (P - ?)) «• B.56)
После интегрирования по q0 и | q | мы получаем величину wQ, выраженную
в виде интеграла по всем направлениям вектора q, кроме исходного
+ Г, (я - Р)) (г(Я - *) (Tfv + Г, (Р -Я)) и. B.57)
Это выражение следует интерпретировать как скорость перехода из начального
состояния, представленную в виде вероятности отклонения за единицу времени
в произвольный элемент телесного угла. Дальнейшее упрощение данного выра-
выражения может быть произведено посредством усреднения по двум спиновым
состояниям, в которых может находиться электрон. Для этой цели нам нужно
найти среднее значение uju^ по двум состояниям поляризации, соответствующим
заданной энергии и импульсу. Из значения антикоммутатора
{ % (х), 6?(х')} = 1 Sa? (х - х') = — JL- J (dp) 6 (ps-f x) s (p) (iw-y^eW*-*'\
B.58)
в который входят с равным весом все состояния частицы, можно вывести,
что для состояния с волновым вектором р^ имеет место равенство
( иаи?} = A (ifp — у)а-?. B.59)
Постоянную А для наших целей удобно выразить через среднее значение век-
вектора тока частиц в начальном состоянии:
при усреднении
S(inc) = ic^uau? -> гсЛ Тг у 0"ТР — х) = ~ 4сАР. B-6 г)
так что
/ ^\ iSi/. \ /о соч
(U И.ч ) = (tT/7 — z)a3- ^Z.D^j
Отсюда получается следующее выражение для полной скорости перехода из
начального состояния:
w0 = g^, -~ | S(inc> | J rfQ |J ef (P-«) v^~rdv~\lt [(iy) — -/.) X
X G4 + Г4 (? - P)) («т? - *) (T4 - Г4 (Р - <?))]. B.63)
102 Ю. ШВИНГЕР
причем непосредственно подставлен кулоновский потенциал покоящегося ядра.
Отсюда следует, что дифференциальное сечение для рассеяния на угол О в еди-
единицу телесного угла равно
___ 2 Г Za "Iй Х
B.64)
Преобразование Фурье функции Г4 удобно записать в форме
Г4 (Р —<!) = —?. Т4 [4аМ (л) +1 y (р - q) f о (X)] , B.65)
где
Л (л) — In 2^— (Fо (А) ¦+¦ Z7! (а)) -j- 4" f ^о (л) + 4 ^2 (A) + G Од)! B.66)
^IPZLSJ^IPisinl, B.б7)
— —^—!—--rr--—-, B.boa)
г»
Имеющее более сложный вид преобразование Фурье функции О (л) для дальней-
дальнейшего не потребуется. Входящий в выражение B.64) след дираковских матриц
подсчитывается без труда:
-\ tr | (iT/7 - у.) (Tl - f ¦ Г4 (q - р)) {ifq - у.) (^ + 1\ (р - д))] =
- 2 (/;;-; - х»а8) (l - Яа Я2Л (А)) - ^ * Wo (A); B.69)
отсюда следует, что
¦'¦'
о-> • о 6 \ Г-1 2я-о^ /,ч с ¦'¦' .,с /
-?-smSTj[l--AM (a)—--j—^ a8F0(
B.70)
при этом величина ? ^= | р |/р0 равна отношению скорости частицы к скорости
света с.
Для определения скорости переходов, сопровождающихся излучением, рас-
рассмотрим выражение
- U^(x")T)>7(x"-.r) -yHx)], J ЛсЦ [^(х0т,5(х'-х'")т,4(*'") +
\ / IJ \ ) 1 vl V / J1 ^^) V / ^^o \ ) \ )' \ }
Поскольку вектор Ф: определяет состояние без световых квантов, для величин
электромагнитного поля требуется взять только вакуумное среднее значение:
(х") Аа (х'") H = Ши D^ {х" - х'") = -|^ 8ь / (dk) 8 (fe«) e<*<*"-*'">. B.72)
fc>o
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА. ЧАСТЬ III ЮЗ-
Операторы поля частиц рассматриваются здесь аналогично тому, как и в пре-
предыдущем случае, причем получается следующий результат:
-со q0,
X (hq - у.) (чЛ(р - к) Tl + Тх5 (q + й) Tv) «• B-73)
Здесь величины
S(q+k)= f е~*(«+*> *S (x)dm = ?Lte + *)jZl- B.74)
5(р_Д.) = _/П^=|Ь^ B.75)
являются обращениями Фурье функции S (х). Интегрирование по х'о вводит усло-
условие сохранения энергии
Po=<7o+V B-76>
которое, очевидно, является законом сохранения энергии для процессов испуска-
испускания световых квантов.
Далее, можно выполнить интегрирование по q0 и по амплитуде величины q,
после чего получается выражение для wl в виде интеграла по всем направле-
направлениям рассеяния электрона и всем световым квантам, удовлетворяющим закону
сохранения энергии. Выполнив усреднение по всевозможным поляризациям началь-
начального электрона и взяв частный случай кулоновского поля ядра, находим
wl/- \ ( ^(Ч-\~к)—ъ г; (п — k)—-x \.. ...
X [(i4P - *) (т *ш^— ъ - ъ - "¦ 2pJ— f*) № -x) X
Теперь находим, что дифференциальное сечение рассеяния с излучением па угол 6
при потере энергии, не превышающей величину АЕ, равно
Л!(в,Д?) a V ,,чл/,,л |q| Г Za Т-> 1
-V--!? J (rf*W*2) tf hF^F^kir Ttr
A:u=0
+1* Tqk Ъ + Ъ. iyk Tf4) («T? - 'О (if* (^ -JU) + ^ I* ^ + T' ^ TO)' B'78)
где
К=т?- B-79)
Рассмотрим сначала простой случай, когда реакция испускаемого излучения
на электрон пренебрежимо мала. Иными словами, мы рассмотрим почти пол-
полностью упругое рассеяние, при котором излучается лишь небольшая доля кинети-
кинетической энергии электрона. При этом условии, которое можно выразить посред-
посредством неравенства Д2; <<^ V7 = Я—/ис2, выражение B.79) сводится к виду
104
Ю. ШВИНГЕР
Далее, имеем
(/>*)(**)
J = L/i_iUi Г
•)(qk) (q—p)k\qk qk) 2)
dv
(pk)(qk) (q-p)k\qk qk) 2 J I, p + q p — q \ f '
Отсюда с помощью интегрирования по частям получается
1 =_ fdw±.
B.81)
B.82)
Р+д , р—'
2 ~г 2
B.83)
"Следовательно,
B.84)
.Интеграл по k в последнем выражении можно записать в виде
-f(dk)-
2 ' 2
1
2 2 -^^
(?+!
— 2 J (dk) 8'
^Поскольку, однако, имеет место равенство
. B.85)
^-^о(«2), B.8о)
*0
то
X
; B-87)
.здесь мы отбросили члены, которые явным образом дают равные нулю слагаю-
слагающие после интегрирования по области 0 < k0 < К.
Первый из стоящих в скобках в B.87) интегралов в трехмерных обозначе-
обозначениях имеет вид
min
«ричем мы вновь ввели инвариантное минимальное волновое число для свето-
шых квантов с целью охарактеризовать логарифмическую расходимость, вызван-
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ Ш
J05
ную „инфракрасной катастрофой". Аналогичное выражение для второго стоя-
стоящего в скобках в формуле B.87) интеграла имеет вид
Таким образом,
к„=К
*„=о
где
Используя теперь тождество
мы можем придать выражению B.90) форму
ko=0
где
. B.89)
-о»)
X
B.91)
(о
B'
, B.93)
V ^2>.W^J pe
—ре J
J
Функция Я при малых скоростях стремится в пределе к постоянной
Я = !Aп2-1)_д-, р<;1. B.95)
В случае высоких энергий функция Н приближенно определяется формулой
, B.96)
Я = — 4/(9). ^
где
B.97)
106 ю. швингер
Последний интеграл может быть взят аналитически при 6 — тг, а именно,
Однако для остальных углов приходится прибегать к численному интегрирова-
интегрированию. Достаточно хорошее приближение, имеющее правильный асимптотический1
вид при малых углах, дается формулой
2 • V/.I, 1 , 1~C0S 2"
ел еч
-^l + cos-^-J
ч.) К/,
еч) К/,
cos -^l + cos-^-J ' [ 2^1 —cos
. B.99>
Эта формула является довольно точной даже в случае 6 = тс/2, когда значение,,
получаемое по B.99), лишь на 8,6°/0 превышает результат численного интегри-
интегрирования, равный
?) = 1,167. B.100)
Полное дифференциальное сечение рассеяния на угол 6 с потерей энергии,,
не превышающей АЕ, равно
; COScC g I X.
X (l -
A - 8 F, Щ), B.101)
где величина SF, ДЕ) является искомым парциальным уменьшением сечения,,
вызванным радиационными эффектами. Для почти упругого рассеяния, объединяя
формулы B.70) и B.80), получаем
8(9,
B.102)
Следует отметить, что .инфракрасная катастрофа", характеризующаяся появле-
появлением &mln, в данном выражении не сказывается. Однако в принципе можно рас-
рассматривать предел Д?-»-0, при котором величина 8 логарифмически расходится.
Как хорошо известно, эта трудность вызвана пренебрежением теми процессами,
в которых участвует более чем один квант низкой частоты [24]. В действитель-
действительности сечение упругого рассеяния при АЕ—>-0 должно обращаться в нуль, т. е.
явление рассеяния всегда сопровождается испусканием квантов. Это обстоятель-
обстоятельство описывают посредством замены множителя 1 — 8, выражающего радиацион-
радиационную поправку, на величину с-5, обладающую правильным поведением в пределе
при АЕ—*-0. Члены высших порядков в разложении величины е~5 соответствуют
эффектам процессов высших порядков, при которых происходит кратное испу-
испускание мягких квантов. Однако для практических целей подобное уточнение не
является необходимым. Точность, с которой может быть измерена в настоящее
время энергия частицы, такова, что предел АЕ—>0 не может быть реализован,
благодаря чему 8 в нынешних условиях всегда оказывается малым по сравнению
с единицей.
Для медленно движущейся частицы имеем
8F, Afi<:^) = ePssln*l[lag + g]f p<Cl; B.103)
И. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ Ш Ю7
:здесь использована предельная форма функции Н B.95) и предельная форма
функции Fn:
Таким образом, радиационная поправка линейно зависит от кинетической энер-
энергии частицы. С другой стороны, в ультрарелятивистской области выполняется
соотношение
, B.105)
так что в этом случае имеет место логарифмическая зависимость от энергии
¦частицы. Асимптотическое выражение B.105) остается достаточно пригодным и
для сравнительно умеренных энергий. Так, при 6 = 31,2, Д?=10 кэв и
1F=3,1 Мэв, чему соответствует — sin-rr —5, значение Ь, подсчитанное
•с помощью соотношения B.105), отличается от правильного значения
8 = 8,6.10-2 B.106)
только на доли процента. Из этого численного результата видно, что радиа-
радиационные поправки к сечениям рассеяния могут быть довольно значительными.
При выбранных частных условиях значительное увеличение Д? (но при сохране-
сохранении условия АЕ<^_ W) не приводит к сколько-нибудь существенному уменьшению 8.
Так, при Д?=40 кэв 8 = 6,3* 10 ~2, в то время как при ДЕ=80 кэв
¦8=5,1'Ю. Относительно зависимости величины 8 от энергии заметим, что
при заданной точности определения энергии АЕ Е значение 8 линейно зависит
¦От логарифма энергии. Так, при АЕ/Е — 0,04/3,6= 1,1 • 10~2 увеличение пол-
полной энергии в четыре раза вызывает увеличение 8 на 4,4 • 10~2, так что
8=11.10-2 при W=14 Мэв и 8=15-1О-й при W=57 Мэв.
Асимптотическая формула B.105) не описывает полностью зависимости вели-
величины 8 при релятивистских энергиях от углов, так как необходимое для спра-
справедливости этой формулы условие — sin-K-^>l не может быть выполнено при
малых 6. Действительно, величина 8 пропорциональна sin2-к- при углах, удовлет-
удовлетворяющих условию ^siriy^l. Формула B.105) все же может быть исполь-
использована в широкой области изменения углов даже при умеренных энергиях. Так,
при H^=3,l Мэв, Д?=40 кэв и 6 = я/4, чему соответствует —sin-^— 2,7;
значение 8, полученное из формулы B.105), только на 2°/о превышает правиль-
правильное значение 8 = 4,2 - 10~2. Зависимость величины 8 от углов наиболее легко
можно было бы использовать для экспериментальной проверки данных теорети-
теоретических предсказаний, касающихся радиационных поправок к электромагнитным
свойствам релятивистского электрона.
Мы подробно рассмотрели только почти упругое рассеяние электрона, при
котором радиационные поправки в основном связаны с виртуальными процес-
процессами. Если нужно подсчитать дифференциальное сечение для рассеяния с про-
произвольным значением наибольшей допустимой потери энергии Д?, то для этого
достаточно добавить к сечению почти упругого рассеяния, при котором макси-
максимальная потеря энергии АЕ' много меньше W(AE/<^_W), сечение для рассеяния
с испусканием светового кванта с энергией, лежащей в области от АЕ' до АЕ.
Последнему процессу соответствует известное сечение тормозного излучения,
.которое, конечно, согласуется с B.79).
108 ю. шбингер
Подсчитаем для иллюстрации дифференциальное сечение для рассеяния
медленно движущегося электрона при любой конечной энергии. Дифференциаль-
Дифференциальное сечение, отнесенное к единице телесного угла, для рассеяния электрона на
угол 0 испусканием светового кванта с энергией, заключенной в области от АЕ'
до W, равно
W/Пс
ЛЕ'/Па
в согласии с предельным нерелятивистским видом соотношения B.78). Здесь dm
обозначает элемент телесного угла, соответствующего направлению единичного
вектора п = k/ft0, a
|q| = (p2_2x?0)V--. B.108)
После интегрирования по всем направлениям испускания светового кванта и вве-
введения новой переменной интегрирования •? = |q|/|p| выражение B.107) прини-
принимает вид
8о/2о\9 г х Ixdx
'ЗЛ\рУ J 1+дг2 —2rcos6 1— х* .
о
- ( Za coser» 9 ? 8а Й8 «in» в Г In W Г 1~JC 2*d*l Г2 1 №
— \2ТрЦ С ТУ 3S Р Sln 7 [1П Д?"' ~ J 1+л»-2гсовв Т+^1 ' (-*•10Э)
о
Таким образом, слагающая величины 8, относящаяся к испусканию квантов
с энергией от АЕ' до W, равна
8аоо . в г. 4W . ,,, , в созв
3^ Р Sltl Т И" IF — ^ ~ °) ^ о" в" C0SeC
L
' B
Добавив эту величину к значению 8@, АЕ'), которое дается формулой B.103),
мы получаем искомый результат:
8@, V)=sg
B.111)
В заключение можно отметить, что соответствующее мезонно-нуклеарное
явление — радиационные поправки к рассеянию нуклеонов на нуклеонах, вызван-
вызванные испусканием виртуальных мезонов, будут приводить к сравнительно более
значительным эффектам из-за наличия в данном случае более сильной связи.
Вполне возможно, что именно этим обусловлено расхождение между наблюдае-
наблюдаемым значением нейтрон-протонного сечения рассеяния для нейтронов больших
энергий и большими по величине теоретическими значениями, получающимися
при различных предположениях о виде взаимодействия1).
ПРИЛОЖЕНИЕ
Мы дадим сначала новое рассмотрение поляризации вакуума внешним
полем, используя методы, развитые в предыдущей части.
Требуется подсчитать среднее значение величины
<Л(*)> = еП°], и{х)ЧГ[а]), (П.1)
где 1" [s] подчиняется уравнению
ihc Щх\ = -7
7U
Обзор результатов приведен в книге Розенфельда [20], стр. 450 и 454.—Прим. авт.
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ Ш IQQ>
Ар(х)—потенциал поля заданных токов. Подобной постановке вопроса можна
дать следующее физическое истолкование. В отдаленном прошлом поле частиц,
не взаимодействовало с внешним электромагнитным полем и вектор состояния
являлся вектором состояния вакуума
ЧГ[—оо] = Т0. (П.3>
Предполагается, что такое взаимодействие накладывается адиабатически, причем
внешнее поле не вызывает порождения реальных пар. Из последнего ограниче-
ограничения вытекает, что вектором конечного состояния поля частиц, получающимся
после адиабатического выключения взаимодействия, также будет Wo. Следовательно,
ЧПоо] — Ф[ — оо] = E — 1)Т0 = 0, (П. 4>
Решение уравнения (П. 2) можно строить 4в виде
?[о] = ?7[о]ЧГ0» (П. 5)
где функционал [/[о] определяется уравнением
Шс Щ=~tU (х) а» w и [а] (п- 6>
и
?7 loo] = 5, ?7[ —оо]=1. (П. 7>
Индуцированный в вакууме ток теперь можно записать в виде
(у, (х)) = <t/-i [о]Д (х) U [о]H. (П. 8>
Далее, имеем
оо
i J Ao'e [о, о'] ^ру- [/-1 [а] ;; (*) U [а'] =
i j „ Д(*) 5). (П.9>
Отсюда следует
?7-1 [о];; (х) U [о] = -1 (Д (*) + 5-i Д (х) 5) -f
ОО
+Ш J rf<0'e [0' °'] ?7 [0'] [;V W' Л Ml ^ I3'] ^v (*')¦ (п. Ю)'
Положив с правой стороны соотношения (П. 10) функционал U[a'] равным еди-
единице, мы получим выражение для первого приближения, пригодного при малом)
возмущении вакуума. Таким образом, учитывая (П. 4), имеем
оо
<U(*))=ш J da>'s (л;-д/) [^ (х)> л(j/)]o л'(дг'} (П> 11}
—оо
благодаря отсутствию тока в невозмущенном вакууме. Перепишем для удобства
эту формулу в виде
$ (П. 12>
где, согласно формуле (II. 2.10),
G^(x~x')=j tr [S^{xf-x)^S(x-x')^+S(x'-x)t^)(x-x')U. (П. 13)
Подстановка Фурье разложений функций 5W и 5 и нахождение значения следа
[см. формулу (II. 3.10)]
| tr [(- iTft' + х) v (iTfe"+x) т, + (- IT** + "¦) T, №' + x) TJ =
-Ь^к'к»-**) (П. 14)
ПО ю. швингер
дают следующее выражение для G^(x):
X [W + k'kl — h^k'k"-**)]. (П. 15)
Поучительно исследовать ограничения, которые накладываются на G^(x)
двумя связанными друг с другом условиями сохранения заряда и калибровочной
инвариантности. Согласно первому из них, очевидно, необходимо, чтобы
^ <>¦»(*) = 0. (П. 16)
Условие калибровочной инвариан'щюсти состоит здесь в том, что индуцированный
ток не должен изменяться при преобразовании
^^ (П. 17)
т. е. должно выполняться равенство
J 0^ (х — х') ^р- <*«>' = / ^ Q^ (x -x')-A (х1) Л/ = 0, (П. 18)
в котором опущенный член равен нулю вследствие адиабатического выключения связи
в отдаленном прошлом и будущем. Ясно, что условие (П. 18) удовлетворяется
при выполнении условия (П. 16), так как
G^(x) = G^(x). (П. 19)
Вычислив по формуле (П. 15) dG^(x)ldx^, получаем
J (rfft> eikX f
где
&,=
Выражение (П. 20) действительно равно нулю, если
J (dk") kp (k"' + x2) = 0. (П. 22)
Этот интеграл сильно расходится; однако равенство нулю может все же быть
однозначно получено с помощью какого-либо предельного процесса, в котором
•8-функция заменяется на соответствующую несингулярную функцию. В этом
смысле условия сохранения заряда и калибровочной инвариантности являются
выполненными. Отметим, что этот же интеграл получается при определении зна-
значения тока в невозмущенном вакууме [см. формулу (II, 1.73)J,
U, (*)>о = т tr т.**4 (°) = Jgs J (dk") Кь (k'A + **)> (п-23)
которое также должно равняться нулю.
Вернемся к вычислению G^ (x). Используем для преобразования выражения
(П. 15) тождество
k 'k" — х2 = 2 <*уН**"> _ (й/2 _|_ xS) kk?_ _ цр _j_ x2) № _ (П> 24)
Третий член последнего выражения можно отбросить, так как после интегри-
интегрирования величин с множителем (k -\- х2) 8 (&"а -j- x2) получается нуль. Второй
член соответствует в выражении для G^., (x) слагаемому вида
J (dk) (dk") e^* У? 8 (k + х»), (П. 25)
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ III
которое также равно нулю в силу условия (П. 22). Таким образом,
(П. 26,
Содержащий 8-функции множитель можно привести к более простой форме сле-
следующим образом:
— 4- jM>f^ + ^v + 4 (П. 27)
-1
После введения новых переменных k^ и р , определенных равенствами
(rL28)
функция G^{x) примет вид
1
X {КК — К^)8' (Р2 + + ? A - &)). (П. 29)
причем в силу того, что 8-функция зависит только от р2, опущены члены, ли-
линейные по рр, и вместо рррч подставлено -т-Ь^р2. Тем самым показано, что
где
1
1 Г •-" "^ г "--' " ' " "~A —«*)V (П. 31)
-1
Расходящуюся и конечную части функции G (х) можно разделить посредством
интегрирования по частям интеграла по v:
1
X J ¦о2 (l — у) dv J (rffe) e<** J (rfp) 8" (p2 4- x2 + ^ A — t»2)). (П. 32)
Инвариантный, логарифмически расходящийся интеграл, входящий в первый член
выражения (П. 32), можно записать с помощью трехмерных обозначений в виде
*2) = - J
= —1 Г №) 2тсНтAпП±Р_Л (П>33)
.где
po==(/»_f_xe)tfr. (П. 34)
12 Зши 573
112 Ю. ШБИНГЕР
Второй, сходящийся, интеграл из выражения (П. 32) получается из (П. 33) диф-
ференцированием по х2 с последующей заменой этой величины на х2-|-гХ
X A—1>2). Далее, получим
Г (^)8"(/,»+х»+?A - *«)) = ^ . (П. 35)
В силу полученных результатов функцию G (х) можно выразить следующим
образом:
G(x) — — т)т~2 И 0п 1)8 0*0 — б4~2^' П2(^1 (¦*) о-^гС^О» (П. 36)
где
BЯ) ^
Наконец, мы можем подставить выражение (П. 30) в формулу (П. 12), после
чего с помощью интегрирования по частям получим
(Jr. (*)> = 16*« / G (ж— У)У, (х')da', (П. 38)
где ^(дг)—вектор тока, порожденного внешним электромагнитным полем. Под-
Подстановка выражения для G(x) (П. 36) приводит к выражению
—lEF2(x-x'))jv.(x')d*', (П. 39)
первый член которого дает логарифмически расходящуюся часть перенормировки
заряда.
Следует отметить, что наличие члена перенормировки заряда с первого
взгляда противоречит сохранению заряда, поскольку в связи с этим членом в ва-
вакууме индуцируется не равный нулю полный заряд. В действительности же фор-
формальное определение полного индуцированного заряда будет давать значение,
равное нулю:
4 / и, (*)) <ч=ш* J • (* - *о [~ / и w d°y j- (х'){А- (¦«')d*'=°>
(П. 40)
так как оператор полного заряда коммутирует с вектором тока в каждой точке.
Выражение для (j^(x)) вида
'V (*)> = W4 ~? J G (x- x') Fv< (*"> <*"'>
где
формально совместимо с данным результатом, так как
т JU,(х))Ч =-? JKa4;-rf3'4)/0(*-*W*'>«*»'=o (п.43)
в силу тссрзмы
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ Ш ПЗ
Однако очевидно, что указанные формальные манипуляции оправданы только
в том случае, если подинтегральное выражение б (П. 44) достаточно быстро убы-
убывает в пространственно-подобных направлениях, что не имеет места в случае напря-
женностей поля, порождаемого распределением зарядов, не равных в сумме нулю.
Данную трудность можно обойти, если рассматривать истинное электро-
электромагнитное поле как предел пространственно ограниченного поля, для которого
полный индуцированный заряд равен нулю. Это удобно сделать, приписав све-
световому кванту конечную массу, которая впоследствии полагается равной нулю.
Запишем соответственно этому потенциалы поля, порождаемого зарядами, рас-
распределенными заданным образом, в виде
1 г - - дА» (х)
А, (х) ~-. -l- fD(x- х')У, (х>) Л/, -?— = О, (П. 45)
где
3kJ^ (П-46)
Индуцированный ток теперь может быть представлен в форме
U, (*)> = - j? / О (* - х') O'2D (х' - х") У, {х") Л/ dm" =
= ш ш 5eiHG {k) ki5 {k) J*{x ~S) {dk) ^ (n- 47)
во второе из этих выражений входят обращения Фурье функций G{x) и D(x):
1
Полный индуцированный заряд теперь может быть выражен через полный внешний
заряд
который не зависит от ?, а именно,
\
\п. 50)
Если положить е равным нулю до нахождения значения обращения Фурье при
kp — 0, то мы получим вычисленный ранее не равный нулю индуцированный
заряд
8Q - 4?Q [G (ft)] Vo - з^Q J №>8' ^ + x2)- (П- 51)
С другой стороны, если предельный переход е -*¦ 0 выполнить в конце вычисле-
вычислений, то мы, очевидно, получим 8Q=0.
Смысл указанного предельного процесса лучше всего пояснить замечанием,
что при этом в первом члене выражения (П. 39) J^ix) заменяется на
^(х) — **сАЛх), (П. 52)
поскольку потенциалы (П. 45) подчиняются дифференциальному уравнению
(Пв-е«)И11(д:)=-|У11(д:). (П. 53)
Далее, величина (П. 52) всюду. переходит в /^ (х) при е -> 0. Полный заряд,
подсчитанный с использованием выражения (П. 52), равен нулю. Это можно
\2*
114 Ю. ШВИНГЕР
проиллюстрировать на плотности заряда, связанной, согласно (П. 52), с точечным
зарядом в начале координат, т. е. с
(г)-^). (П. 54)
Из сказанного можно заключить, что в процессе поляризации вакуума к исход-
исходным зарядам добавляется не равный нулю и даже расходящийся по величине
заряд; компенсирующий заряд порождается на бесконечности.
Применим в заключение развитые в настоящей части вычислительные методы
для нахождения инвариантного выражения электромагнитной массы
Ьтс^ (х) = - ~ J Т, \D (х - х') S« (х-х') +
+ DU) (х — х1) 5 {х — х')} -гД (л/) da/. (П. 55)
Подстановка вместо входящих в подинтегральное выражение функций их пред-
представления Фурье дает
(х) = - е~ ±у J (dk) {dk') в*(»+*') (»-»') X
^)(*0л'. (п: 56)
Последнее выражение преобразуется к виду
- Т (S? / (*) №>> «* "'*'% ('' (Р - *) - ») If X
если ввести величину
/V = ^ + С (п-58)
которая фактически удовлетворяет условию
р2_(_х2 = 0 (П. 59)
вследствие подчинения функции <|<(л^) волновому уравнению. Далее, имеют место
равенства
1
2^ [8 (ft» - 2pk) - 8 (ft»)] = - J 8' (ft» - 2pku) du (П. 60)
"Гц (П (Р — k) — х) Tii = — 2 ('Т (Р — &) + 2х)» (П. 61)
откуда
§отса<};Слг) = Щ5 J (dft) (dp) J dee* (*-*') (tfft — x) 8' (&a — 2pfea) <J. (V) d(nr; (П. 62)
о
здесь мы использовали также то обстоятельство, что действие оператора iyp-\-x
на ф(д/) эквивалентно в данном случае действию оператора f^(d/dx')-\-y. и,
следовательно, дает нуль. Преобразование
fcii-^ftii + ZV* (П. 63)
приводит теперь к выражению
8тс2ф (х) = щг f (dk) (dp) J due*<*-*'> (fywi — x) 8' (ft» + x»a») ф (л:') de»f =
о
l
= _ JjL x J de J (dft) A + a) 8' (ft2 -f
П. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ IV Ц5
Следовательно,
1
(П. 65)
о
откуда, согласно (П. 33) и (П. 35), получаем
^j* /,пко±*:_г\ (п.б6)
ЧАСТЬ IV
ТЕОРИЯ КВАНТОВАННЫХ ПОЛЕЙ1)
Обычное обоснование квантовой динамики, основанное на принципе соответствия,
заменено здесь особым квантово-механическим принципом, из которого могут быть
выведены уравнения движения и перестановочные соотношения. Теория развивается
с помощью модели локализованных полей. Вначале дан краткий обзор общего квантово-
механического формализма операторов и собственных векторов, причем ударение сделано
на дифференциальной характеристике представителей и функции преобразования с rto-
мощью бесконечно малых унитарных преобразований. Фундаментальный динамический
принцип устанавливается как вариационный принцип для преобразующей функции, связы-
связывающей собственные векторы, отвечающие различным пространственно-подобным поверхно-
поверхностям, и описывающей развитие системы во времени. Оператор, порождающий бесконечно
малое преобразование, есть вариация операторного интеграла действия—пространственно-
временного интеграла от инвариантной операторной лагранжевой функции. Инвариант-
Инвариантность лагранжевой функции обеспечивает инвариантность формы динамического прин-
принципа при координатных преобразованиях, за исключением таких преобразований, которые
включают обращение положительного направления времени, когда необходимо особое
рассмотрение.
В разделе 3 показывается, что требование инвариантности относительно инверсии
времени накладывает такое ограничение на операторные свойства поля, которое оказы-
оказывается эквивалентным связи между спином и статистикой частиц. Для данной динамиче-
динамической системы изменение преобразующей функции происходит только от изменения
собственных векторов, связанных с двумя поверхностями, причем это изменение преобра-
преобразующей функции производится оператором, сконструированным из величин поля, соответ-
соответствующих данным поверхностям. Это приводит к операторному принципу стационарного
действия, из которого получаются уравнения движения. Перестановочные соотношения
получаются при помощи производящего оператора, связанного с данной поверхностью.
В частности, канонические перестановочные соотношения получаются для таких величин
поля, которые не ограничены уравнениями связи. Поверхностный производящий оператор
приводит к обобщенному уравнению Шредингера для представителей произвольного
состояния. Кратко рассматривается вариация интеграла действия, которая соответствует
изменению в самой динамической системе. Описывается метод конструирования преобра-
преобразующей функции в форме, пригодной для поля с целым спином, причем метод включает
решение уравнения Гамильтона'—Якоби для упорядоченных операторов. В разделе 3
отмечена особая природа инверсии времени, причем указано, что заряд и вектор энергии-
импульса ведут себя при инверсии времени соответственно как псевдоскаляр и псевдо-
псевдовектор. Это, между прочим, показывает, что положительные и отрицательные заряды
должны входить симметрично в полностью ковариантной теории. Различие между псевдо-
вектором энергин-импульса и истинным вектором перемещения указывает на то, что
инверсия времени не может быть описана в рамках унитарных преобразований. Это
обстоятельство находит фундаментальное отражение в основном динамическом принципе.
Важно отметить, что часть лагранжеьой функции для поля с полуцелым спином ведет
себя как псевдоскаляр в отношении инверсии времени. Найдено, что неунитарное преоб-
преобразование, необходимое для представления инверсии времени, выражается в замене
вектора состояния дуальным или комплексно-сопряженным вектором и одновременной
иерестановкой всех операторов. Фундаментальный динамический принцип будет тогда
]) Данная статья, опубликованная в 1951 г. н помещенная здесь как часть IV боль-
большой работы Швингера по квантовой электродинамике, является первой частью его дру-
другой работы, вторая и третья части которой опубликованы лишь в 1953 г. (Phys. Rev., 91,
713,728) и не вошли в настоящий сборник. Статья переведена М. Марианашвили.—
Прим. ред.
116 Ю. ШВИНГЕР
инвариантным при инверсии времени, если обращение порядка всех операторов в лагран-
жевой функции оставляет неизменной часть, соответствующую полю с целым спином,
и меняет знак у части, соответствующей полю с полуцелым спином. Это требование
включает в себя по существу коммутативность или антикоммутативность соответственно
компонент с целым и полуцелым спином, что выражает связь между спином и статистикой.
1. Введение
Несмотря на широкое развитие общих представлений и техники расчетов
квантовой теории поля, количественные успехи были достигнуты только в огра-
ограниченной области квантовой электродинамики. Более того, существование как
скрытых, так и явных расходимостей подчеркивает то обстоятельство, что совре-
современная квантовая теория является в некотором отношении неполной. Однако
нашей задачей является сейчас не решение этой основной проблемы, а такое пред-
представление общей квантовой теории поля, которое объединяло бы в себе несколько,
независимо друг от друга развитых методов и могло бы послужить формализ-
формализмом, в ря.мках которого можно было бы развить фундаментальные новые физи-
физические идеи.
Квантовая механика включает две различные совокупности гипотез: общую
математическую схему линейных операторов и векторов состояния с соответ-
соответствующей вероятностной интерпретацией и перестановочными соотношениями и
уравнения движения для данной динамической системы. Развиваемая нами
в дальнейшем точка зрении, заключается в замене ряда обычных допущений,
основанных на классической гамильтоновой динамике и принципе соответствия,
одним единственным динамическим принципом *). Мы считаем, однако, полезным
дать сначала краткое обозрение некоторых сторон математического формализма,
который в дальнейшем будет часто применяться для построения нашей теории.
Одновременные собственные векторы ЧР"(а') некоторой полной совокупности
коммутирующих эрмитовых операторов дают описание произвольного состояния
с помощью представителя
(*'|) = OF (а'). *). (LI)
который интерпретируется как амплитуда вероятности. Два таких представле-
представления, отвечающие различным полным совокупностям коммутирующих операторов,
связаны соотношением
), A.2)
где I d$' означает интегрирование и суммирование но всем собственным зна-
значениям J3' и
) A.3)
есть функция преобразования. В качестве частного примера выражения A.2)
имеем
(*/|"Г')=/(«'|Р')<'Р'(Р'1'Г/). A-4)
т. е. мультипликативный закон составления функций преобразования. Совокуп-
Совокупность коммутирующих эрмитовых операторов
~a=UaU-\ A.5)
которая получается из а с помощью произвольного унитарного оператора U,
обладает тем свойством, что ее собственные значения тождественны с собствен-
собственными значениями а, а ее собственные векторы даются соотношениями
W (a') =UW(a'), A.6)
') Х^тя наше внимание сосредоточено здесь на динамике поля, очевидно, что ана-
аналогичную схему можно развить и для квантовой механики частиц. — Прим. asm.
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА. ЧАСТЬ IV Ц7
где а и а —одна и та же совокупность собственных значений. Обратно, две
системы операторов, обладающие одинаковыми собственными значениями, будут
связаны унитарным преобразованием. Отметим, что функция преобразования (а | а )
рассматривается как матрица ?/-* в совокупности начальных собственных векторов
G | а") = {UW (а'), V (а") ) = {W (а'), U+Ч (а") ) = («' | V~x \ «")• A -7)
Унитарный оператор
U^l — jF, ?/-i=i+-^F, A.8)
в котором F есть бесконечно малый эрмитов оператор, индуцирует бесконечно
малое преобразование в коммутирующей совокупности операторов
oT=(/af/-1=a —За, A.9)
где
ihba-^aF— Fa = [a, F]. A.10)
Если система такова, что возможно получить оператор За, который коммути-
коммутирует с полной совокупностью а, то мы можем рассматривать 8я как произволь-
произвольное бесконечно малое число и W(x ) считать собственным вектором а с соб-
собственным значением a'-j-Sa. Ясно, что это соответствует специальному случаю,
когда а имеет непрерывный спектр собственных значений.
Понятие бесконечно малого унитарного преобразования может быть исполь-
использовано для дифференциальной характеристики представителя состояния или
функции преобразования. Изменение представителя (а' |), когда коммутирующая
совокупность операторов меняется с помощью унитарного преобразования, поро-
порожденного бесконечно малым эрмитовым оператором F, дается соотношением
8 (а' |) = ( (а _ Ьа)' |) — (а' |) = (№ (а'), V), A.11)
где
№ (а') = UW (а') — Ч? (а') = — ~ FW (а'). A.12)
Следовательно,
? ± A.13)
или
^ f F\*")da"(oi"\), A.14)
f
что является дифференциальным уравнением для представителя (а')). Аналогич-
Аналогичным образом мы можем охарактеризовать функцию преобразования (a' | $')
с помощью изменения двух коммутирующих систем операторов а и р в a — 8a
и р — Зр, индуцированных двумя бесконечно малыми производящими операто-
операторами Fa и Fp. Итак,
S (a' | p') = (W (a'), W (p')) + OP (a')> № (PO) = T (a' I (F« — Fp) |P') A.15)
или
Т\рз\Ю- (i-i6)
2. Квантовая динамика локализуемых полей
Локализуемое поле есть динамическая система, характеризуемая одной или
несколькими операторными функциями <?а(х) пространственно-временных коор-
координат. В этом утверждении содержится допущение, что операторы х^, предста-
представляющие измерение положения, коммутируют между собой:
[*, *J = 0 B.1)
118 ю. швингер
и, кроме того, коммутируют с операторами поля:
Ц» ?'1 = 0, B.2)
так что
(х | <?< | *') = 8 (* — *')<?*(*)• B.3)
Трудности современных полевых теорий могут быть поставлены в связь
с неявной гипотезой локализуемое™. Однако наше рассмотрение теории поля
будет ограничено именно такими полями, причем остается вне рассмотрения
вопрос о том, возможно ли включить другие поля в эту теорию.
Проблема построения полной совокупности коммутирующих операторов,
т. е. одновременно измеряемых физических величин, необходимо требует знания
характерных свойств полей. Тем не менее на основе общего принципа, связан-
связанного с релятивистскими требованиями, мы должны ожидать, что такие коммутирую-
коммутирующие операторы будут образованы из переменных поля в физически независимых
пространственно-временных точках, т. е. в точках, которые не могут быть сое-
соединены дяже световым сигналом. Непрерывная совокупность таких точек обра-
образует пространственно-подобную поверхность, которая является геометрическим
понятием, не зависящим от координатной системы. Следовательно, базисные
векторы системы ЧГ(С, о) должны быть заданы с помощью пространственно-
подобной поверхности о и собственных значений С полной совокупности комму-
коммутирующих операторов, сконструированных из волновых функций поля, связанных
с этой поверхностью. Изменению предъявления будет соответствовать, вообще
говоря, введение другой совокупности коммутирующих операторов на другой
пространственно-подобной поверхности. Особенно важным является преобразо-
преобразование С2о2—>С1; Oj, в котором С, и С2 являются подобно сконструированными
совокупностями операторов, обладающими одинаковым спектром собственных
значений и, следовательно, связанными унитарным преобразованием
C
Ci — c/12,2c/i2 , ЧГ (Ci, Oj) — Uj^? (,2> 02/> '•i —^2, B-4)
так что [ал. A.7)]
(Ci, oj | da, a2) = (& o, | f/Гз1 j С о2). B.5)
Ясно, что описание развития системы во времени будет получено путем
отыскания соотношения между собственными векторами, связанными с различ-
различными пространственно-подобными поверхностями, или, другими словами, нахо-
нахождением функции преобразования B.5). Соответственно этому мы должны ожи-
ожидать, что квантово-динамические законы найдут свое естественное выражение
с помощью функций преобразования; ниже мы найдем соответствующие диф-
дифференциальные формулировки.
Оператор U^1 описывает разритие системы от о2 к а1 и включает не
только детальную динамическую характеристику системы в этой пространственно-
временной области, но также и выбор коммутирующих операторов Cj и С2 на
поверхности <з1 и о2. Любое бесконечно малое изменение величин, от которых
зависит функция преобразования, вызывает соответствующее изменение U~^
8(d, о,| С?, oa) = (Cl, о, | Wa | С оа). B.6)
Далее заключаем, что следствием унитарности U12 является эрмитовость опера-
оператора lU^Uri. Соответственно этому напишем
\ B.7)
где 81^12—бесконечно малый эрмитов оператор. Таким образом,
8 (Сь ох | С a2) = -i- (Ci, о, | 8 Wn | <?, о2). B.8)
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ IV
Закон композиции преобразующих функций [см. A.4)]
(Ci, о, |Сз, о3) = J (С о, | <?, о2)dW(?, °21С, Оз) B.9)
накладывает ограничение на 81Г—производящий оператор бесконечно малого-
преобразования. Таким образом,
(м, а, | Wl31 С", Оз) = J (Ci, Ol 18Wia | С о2) rf?" (& а21 сГ, °3) +
-Г-/(Сь aJCs, os)rfC"(& o2j81T23|C a^ B.10)
или
8W13 = 8W12 + 81F23, B.11)
т. е. бесконечно малый производящий оператор удовлетворяет аддитивному закону
композиции. Наше основное допущений состоит в том, что 8И712 получается
вариацией величин, входящих в эрмитов оператор W12, который должен иметь вид
^ = ¦7 J>*)-24*1 B-12)
в соответствии с требованиями аддитивности B.11). Индивидуальная система
описывается установлением Jg в виде инвариантной эрмитовой функции волно-
волновых функций поля и их производных по координатам:
-2Ч*] = .2Ч?"(*|. <?<*))> ??(*) = fyp"(*)- B.13)
В соответствии с их классическими аналогами, мы назовем Ww Jg соответственно
операторами интеграла действия и лагранжевой функции. Инвариантность лагран-
жевой функции, а следовательно, и интеграла действия гарантирует, что наш
фундаментальный динамический принцип
a2) B.14)
не меняет свой вид при изменении координатной системы. При этом, однако,
должно быть сделано исключение для такого координатного преобразования,
которое включает в себя обращение положительного направления времени; оно
требует специального рассмотрения. Мы в дальнейшем увидим, что требование
инвариантности при инверсии времени накладывает общее ограничение на пере-
перестановочные свойства полей, которое оказывается просто связью между спином
и статистикой элементарных частиц.
Если параметры системы не меняются, вариация функции преобразования
в B.14) происходит только от бесконечно малого изменения Cj, a, и Cj, o2. Такое
преобразование может быть охарактеризовано бесконечно малыми производящими
операторами F (о,) и F (a2), которые действуют на собственные векторы
W (Ci, a^ и ЧГ(Сз, оа) и, следовательно, выражены через операторы, отвечающие
соответственно поверхностям Oj и о2. С помощью A.15) мы получим для таких
вариаций
SU712=F(a1)-F(a2). B.15)
Это есть операторный принцип стационарного действия, так как он утверждает,
что оператор интеграла действия не меняется при бесконечно малой вариации
полевых величин внутри области, ограниченной поверхностями Oj и о2, и зависит
120 ю. швингер
только от операторов, связанных с граничными поверхностями. Уравнения дви-
движения содержатся в этом принципе J).
Вычисление 8U^]2 включает суммирование независимых эффектов изменения
оо<э" (х) волновых функций в каждой точке и изменения области интегрирования
вследствие перемещения Ьх,^_ точек граничной поверхности. Таким образом,
12 = 1 J (dx) \J? +1 (J - J) d% Ьх,^3>, B.16)
где
Это выражение для Ьо^ надо понимать символически, так как порядок опера-
операторов в Jg не должен меняться при проведении вариации. Соответственно этому
для получения слгдствия из требования стационарности интеграла действия надо
принять во внимание перестановочные свойства 80<э\ Для простоты мы введем
явное допущение, что перестановочные соотношения 80<р* и структура лагранже-
вой функции должны быть связаны так, чтобы члены, отличающиеся друг от
друга только положением 30о% вносили одинаковые доли в выражение вариации.
Тогда мы можем вывести уравнения движения
д*<2>^Ж. B.18)
Из найденного вида §W12 мы получим бесконечно малый производящий опе-
оператор F(o), который действует на собственные векторы, связанные с поверх-
поверхностью о:
=\- J d% [|f ЪоГ + ЯЪх^. B.19)
Общая вариация 8oa (лт) составлена аддитивно из вариации S^o" (*) в точке х и
изменения в* (х), произведенного переходом от точки х на о к точке х -\- &х на
а-)-8о. При последнем вычислении мы должны будем учесть, что хотя полевые
компоненты р" (х) и заданы с помощью некоторой фиксированной координатной
системы, их гораздо удобнее отнести к локальной системе, определяемой поверх-
поверхностью о в точке х. Мы будем рассматривать только такие движения, которые
соответствуют локальному „жесткому" перемещению поверхности о. Это ограни-
ограничение, выражаемое соотношением
д^Ьхч = — д,1х.^ B.20)
будет условием того, что бесконечно малый пространственный вектор на о пере-
переходит в вектор равной длины на о-(-8о. Смещение, вызывающее изменение <p"(*)»
может быть получено изменением в координатной системе, которое в окрестно-
окрестности х сводится к эквивалентному координатному преобразованию. Итак, при
бесконечно малом координатном преобразовании
4 — •*> = — Ц» B-21)
где
Ц, = \ — V*^> е^ = — е,,, = д^ Ьх„ B.22)
волновые функции поля подвергаются линейному преобразованию
,.' (*', _ «р. (х) = j- | vj$ ?9 {х) B>23)
0 Следует учитывать, что в дальнейшем лагранжева функция простых систем обычно
рассматривается лишь до членов, квадратичных относительно компонент отдельных
полей. — Прим. авт.
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА. ЧАСТЬ IV 121
Следовательно,
«р.- (*) _ ?«(Х} = дхГ {Х) Ъх^ + ~± е^ ор (х) B.24)
и
оУ (х) = V/ (х) + ?; (*) «^ + { 4 ^8**^?Э (х). B.25)
В результате введения полной вариации бесконечно малый производящий
оператор F(v) примет вид
= J ^ [ц; scp- -f I .g»а^_ вд 5*„ — ^ ц*s$?p дха«,], B.26)
где
Для упрощения последнего члена в B.26) определим
тогда получим
. ут Щбь<? д^ 8л:ч =/.j.x, <?x.8jcv-{-^(/m.)., Sx.J ~\-dxfXi,4 ojcv, B.29)
так как два последних члена /^ симметричны относительно л и v и, следова-
следовательно, ввиду B.20) не сносят доли в B.29). Далее, так как Дь — —Aav> T0
0, B.30)
предполагая, что /^,8^у достаточно быстро стремится к нулю в бесконечно уда-
удаленных точках J). Итак, окончательно
F (а) = J dav [u; 8оа + j Т,,„, 8лг,] , B.31)
где
4 1 ?- <\А,, B-32)
«сть оператор тензора натяжений. Как мы докажем, этот тензор обладает свой-
свойством симметрии:
B.33)
выражающим закон сохранения момента количества движения.
Законы сохранения связаны с вариациями, которые оставляют инвариантным
интеграл действия, так как уравнение
8lT12=:F(a1)-/7(a2) = 0 B.34)
включает в себя постоянство соответствующего производящего оператора. Меха-
Механические законы сохранения для изолированной системы получаются из рассмо-
рассмотрения „жесткого" перемещения всего поля, или, что эквивалентно, координат-
координатной системы, причем это перемещение описывается бесконечно малым переме-
перемещением и поворотом поверхностей Oj и о2:
!) Все такие характеристики прострачственно-замкнутой системы с помощью опера-
операторов, стремящихся к нулю в бесконечности, надт понимать как ограничение состояниями,
для которых матричные элементы операторов обладают такими свойствами. — Поим. авт.
122 го. швингер
в комбинации с вариацией поля 8©" = 0. Производящий оператор перемещение
дается тогда формулой
?Ъх (°) = ^ (а) + 4 ^Р ("), С2-36)'
где
" °Jv, B-37)
Следовательно, имеем соотношения
Л(«1)-Р,(^ = 0. B-39>
^»Ы—/^(оа) = 0, B.40)
которые представляют собой, соответственно, законы сохранения вектора энер-
энергии — импульса и тензора момента количества движения. Так как поверхности
Oj и о2 произвольны, мы получаем соответствующие дифференциальные законы
сохранения
<MV = 0, B.42)
которые совместно приводят к симметрии тензора натяжений
<Mfx,4 = r,v-7va = 0. B.43)
Закон сохранения заряда можно получить из требования инвариантности
эрмитовой лагранжевой функции относительно преобразования фазы, т. е. умно-
умножения взаимно сопряженных эрмитовых пар полевых компонент на exp(ztq).
Мы рассмотрим бесконечно малое фазовое преобразование и, для удобства,
напишем
T-j>. B-44)
Таким образом, мы постулируем инвариантность Jg относительно бесконечно
малого преобразования
8о« = — ^ s* 8Хв", B.45)
где еа характеризует волновые функции поля и может принимать значения 0 или
~±~ 1. Соответствующий производящий оператор есть
- yc S *>*&>'<?'& = 4 Q(°)Ы, B-46)
где
tec-"-«-,«. B.48)
Выведенное соотношение
QW-W = 0 B.49)
есть закон сохранения полного заряда системы.
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ IV 123
Важно отметить неоднозначность лагранжевой функции, которая связана
с данными уравнениями движения. Так, две лагранжевые функции, связанные
соотношением
^ dj4 (<?', <$> B.50)
приводят к операторам интеграла действия, отличающимся поверхностным инте-
интегралом
Следовательно, принцип стационарного действия для W12 автоматически выпол-
выполняется в силу уравнений движения, получаемых из 1F12 и
«Wia=F(o,)— F(g2), B.52)
где
J B.53)
Итак, добавление к лагранжевой функции дивергенции произвольного век-
вектора не меняет уравнения движения, но модифицирует производящий оператор,
связанный с данной поверхностью. Эта неоднозначность лагранжевой функции
точно соответствует возможности подвергнуть коммутирующую совокупность
операторов на о произвольному унитарному преобразованию.
Мы проверим высказанное утверждение, специализируя общую теорию пре-
преобразования в виде унитарных преобразований на данной поверхности.
Введем новую систему коммутирующих операторов С на о, которая полу-
получается из С унитарным преобразованием
'
о) = #? (С', а), B.54)
где U характеризуется бесконечно малым эрмитовым производящим опера-
оператором Ъчю:
l2l-^=-~U-xbw. B.55)
Следовательно, аналогично B.8) имеем
8(Т, а 1С", <O = -g-(C#, а 18^| С", а), B.56)
lw = ?— F, B.57)
где F и F—операторы, производящие бесконечно малые преобразования С и С
соответственно. Но эти уравнения имеют точно вид B.53); обратно, используя
частную форму w, мы можем получить из B.56) дифференциальные уравнения
для преобразующей функции, которая определяет новое представление.
Перестановочные соотношения нашей теории неявно учтены в трактовке F
как бесконечно малого производящего оператора. Мы рассмотрим сперва такие
преобразования, которые не меняют поверхности о, так что 8;tv = 0. Удобно на-
написать
dv^n^do, B.58)
где л,,, — единичный временно-подобный вектор и rfo—численная мера элемента
поверхности. Чтобы избежать в дальнейшем сложных геометрических рассужде-
рассуждений, несущественных для нашего вопроса, мы ограничимся плоской поверхностью,
так что п^ будет постоянным на а. Отметим, что в этом случае производные
по координатам можно разложить на компоненты, нормальную и касательную к о:
-f-vOd,, B.59)
124 ю- швингер
и уравнения движения принимают вид
dnn<^y-0~dt,ji;. B.60)
Мы здесь ввели обозначение
1Г=иД[ B.61)
для величины, которая более точно должна быть записана в виде №(лг, а).
Производящий оператор будет теперь иметь вид
= J
B.62)
Другая важная форма, связанная с другой системой базисных векторов,
получается из B.53) с
Д = — ПУ. B.63).
Имеем
S J da.,/., = — 8 Г dall«<p* = — Г da (H'8e« + №<?«), B.64)
так что
F=Fm= — J da 8П"<?«. B.65)
Напомним снова, что эти операторные выражения носят символический характер
в том смысле, что действительные положения, которые занимают 8е>* и 811°,
зависят от структуры лагранжевой функции.
Для выяснения истинного смысла Fblf и Fsa необходимо указать, что неко-
некоторые из IIя могут быть тождественно равны нулю. Это выражает возможность-
того, что производные некоторых <э1 по временно-подобному направлению могут
не входить в лагранжеву функцию. Соответственно этому мы разделим вели-
величины <э* и Па на две группы:©0 и 11°, называемые каноническими переменными,,
и <рл и ПА, называемые переменными связей, причем вторая группа характе-
характеризуется условием:
1И =в 0. B.66>
Выбранное для о4 название обусловлено тем, что для этих величин урав-
уравнения движения B.60) вырождаются в уравнения связей
т. е. в соотношения между переменными на о.
Сущность этих соотношений можно сделать более очевидной, используя
требование, чтобы уравнение B.60) было независимо от координатной системы.
В дальнейшем мы покажем, что подразумеваемое ограничение структуры „g7
выражается соотношением
n^llt-nM^jirs^. B.68)
Из этого соотношения умножением на л., получим
nt = jriias;Un B.69)
что дает возможность написать уравнения связи в виде
-%% = т-д.Лаг&пу. B.70>
Теперь мы примем, что можно явно выразить левую часть B.70) через <ад, что.
дает явную форму переменных связей в виде функций канонических переменных..
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА. ЧАСТЬ IV 125
Это исключает системы, для которых <оА по существу неопределенны, вслед-
вследствие калибровочной инвариантности. Случай таких систем будет рассмотрен
впоследствии на примере электромагнитного поля.
Из приведенного рассмотрения и из структуры производящих операторов,
очевидно, следует
s = f
J
B.71)
так как на а динамически независимы только канонические переменные. Соот-
Соответственно Ftlf интерпретируется как оператор, производящий бесконечно малое
преобразование коммутирующей совокупности операторов С на а, что вызывает
изменение о" на о<*— So°. Аналогично, Fsn рассматривается как оператор, про-
производящий бесконечно малое преобразование совокупности С, при котором IIе
заменяется на II" — 8Ца. Итак, оа и IIе являются частным примером системы
независимых полевых координат; наиболее общая возможность содержится
в преобразовании B.53). С каждой совокупностью операторов связана сопря-
сопряженная совокупность, входящая в F, поскольку 11° является сопряженным к ?°,
а —©° — к Па.
Исследуем теперь изменение матрицы G (произвольной функции полевых
переменных на о), которое вызвано бесконечно малым преобразованием, произве-
произведенным, например, с помощью F^. Имеем
S(С, о|О|С, в) = (ЧГ.(С, a),
| |[ О, /%]|С", а). B.72),
С другой стороны,
8 (С, а | G | С", а) = (С, о | b^G | С, а), B.73).
где 8?G означает изменение G, произведенное увеличением 9° на 8о°. Это выра-
выражает просто тот факт, что замена о" на <эа—Soa как в G, так и в С не меняет
соотношения между ними, и, следовательно, матрица остается неизменной. Отсюда
мы выводим перестановочные соотношения
[G, Fe9] = tf89G, B.74)
вместе с очевидным обобщением для переменных поля; в частности,
[G, FiVL\ = №nQ. B.75)
Особенно важными являются результаты, получаемые из B.74) и B.75) для
G = <оа и II".'
?" (лг), I ds IP (х ) 8csft (х ) = /й 8с»а (лг),
B 76)
[П« (*), [ Л'П» (л:') 8«р» (л:')] = О,
И
F [ rfo' 811'' (О о^лг'), На(х) =--/лгП«(д:),
, B.77)
ва (лг) = О,
в которых мы учли динамическую независимость ?а и Па. Для получения в явном
виде перестановочных соотношений между <э° и На мы должны знать опера-
операторные свойства 8ср° и 211°. Требование инвариантности формализма в отноше-
отношении инверсии времени дает возможность установить эти свойства. В разделе S
Ю- ШВИНГЕР
будет показано, что 8<pb(j/) и fflb(*') коммутируют со всеми величинами <р°(лг),
П°(лг) на а, за исключением случая, когда как а, так и b означают компоненты
полей, обладающих полуцелым спином. В этом последнем случае они антиком-
мутируют. Соответственно этому перестановочные соотношения B.76) и B.77)
лриводятся к виду
Jrfa'[?»(*)» Пь(*01±&|
do' [П« (*), Пь (лг'I± Цъ (х') == О,
B.78)
jdo'8W(x') [9Ъ(х'), ?«(*)]±=O,
где
[А, В\_ = АВ—ВА, B.79)
[А, В\+ = АВ-\-ВА. B.80)
Так как 8<р° и Ш° совершенно произвольны, мы получаем основные переста-
перестановочные соотношения
(х')] ± = й 8аЬ % (х - х'),
0 ("
Здесь 8e(-v — j/) означает трехмерную 8-функцию, определяемую формулой
/(*)> B-82)
где / (л:) — произвольная функция. Перестановочные соотношения для <рА могут
быть теперь получены из их явных выражений через канонические переменные.
Так, согласно B.70),
<2-84)
Требование, чтобы для компонент поля с целым спином использовался ком-
коммутатор, а для компонент поля с полуцелым спином — антикоммутатор, дает
нам связь между спином и статистикой частиц. Следует заметить, что переста-
перестановочные свойства системы Бозе-Эйнштейна, т. е. поля с целым спином, могут
быть представлены дифференциальным оператором. Согласно A.13), подходящий
представитель произвольного состояния удовлетворяет уравнению
S К'> о I) = 4" «'> ° I ^ |) = 4 (V, о | J rfa№ S?a |) . B-85)
a
в котором а не меняется. Характерным свойством поля с целым спином является
то, что S®a коммутирует со всеми динамическими переменными и поэтому может
рассматриваться как число. Ясно, что представление, входящее в B.85), опре-
определено непрерывными собственными значениями <ра(#) во всех точках о. С по-
помощью формулы
8(?', a|) = J doST»' (x)-?— (?', а|) B.86)
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ IV 127
мы получим
B.87)
и аналогично
Дальнейшие применения общих перестановочных соотношений B.74) полу-
получаются, если последовательно положить G==PV, /^ и Q. Согласно B.30), по-
последний член в B.32) не вносит какой-либо доли в Р„ так что
Р, = — [ rfalla dv<pa -j- — Г d<s^. B.89)
аем выражение
j, (П" 8о«) = J сЬ„. dv (П^ 8?в) = J rfo dv (Па Ца), B.90)
При вычислении 8Р встречаем выражение
4
откуда
8Pv = J rfa (dvlla 8»° — 8Па dv?a). B.91)
Преобразование выражения B.90) включает использование формулы B.17), упро-
упрощенной с помощью уравнения движения, и допущения, что система простран-
пространственно замкнута. Таким образом, получим
1 B.92)
в силу коммутации Pv с 8оа и 8Ц« (что является следствием факта, что ком-
компоненты поля с полуцелым спином должны входить попарно в вектор Pv).
Между прочим, коммутатор [F^\ F^], который был вычислен с помощью рас-
рассмотрения действия на F<2> преобразования, произведенного оператором F^\ может
быть также рассмотрен с обратной точки зрения. Таким образом, соотношения
B.92) представляют величину Рч как производящую перемещение.
Тензор момента количества движения / легко привести к виду, аналогич-
аналогичному B.89):
Л» = — J аЛ1а [К ^ - *•> dJ ?° + Т $?9] + 7 / (da^c^-th^x^). B.93)
Доля, вносимая в 6/^^ вторым членом, вычисляется следующим образом:
3 11 {d^x^ - dopxj2>) = / №,Xv. dx (Dl 8?a) - d%x4 дх (ПГ 8?»)] =
= | dox (^ d, - *v ^) (Л? 8?a) + J (rfa,Ji: - rfavU;) 8?a =
= J </9 [(*„ d,, — x, dj (П* 8?a) + (я^П?— я JO S?°l; B.94)
следовательно,
+ J <*> [(^ d, — d^x.,) n°—j nbS*° + n^ — H,IIj] 8?a . B.95)
13 Зак. 573.
128 ю. швингер
Итак, мы получили перестановочные соотношения
^)a-nbS^ + ^(n^-nX), B,96)
которые характеризуют тензор J^ как оператор поворота и иллюстрируют
образование /^ как суперпозицию орбитального и спинового моментов. Третье
из соотношений B.96), утверждающее, что тождество Лл = 0 есть свойство,
не зависимое от координатной системы, уже было использовано в B.68).
Согласно B,47) и B.48), оператор заряда имеет вид
~-[ <М[»в«<р. B.97)
Следовательно,
IQ = — j J do (Ш°ао«а _j_ ца&а 6?а)( B.98)
откуда получим перестановочные соотношения
[?а Q] = es«?a, [П«, Q] = — ее°Па. B.99)
Эти соотношения указывают на значение е как элементарного заряда и
характеризуют Q как оператор, производящий фазовое преобразование. Отметим,
что вывод соотношений B.99), исходя из последней точки зрения, не ограничен
каноническими переменными, хотя это обстоятельство и не дает ничего нового.
Общий бесконечно малый оператор B.31) описывает преобразование от
совокупности коммутирующих операторов С на а к С — К на a + S" по фор-
формуле
[|]!;', a). B.100)
Оператор F составлен аддитивно из двух частей:
F =*?*, + ?**, B-101)
где Fty индуцирует изменение So<* в коммутирующей совокупности операторов,
определенной относительно локальной координатной системе, заданной с помощью-
фиксированной а:
W ((С- К)', о) = [l —g- />] ЧГ (С, а), B.102)
тогда как
/Vn^ BЛ03>
производит изменение в самой а, описываемое с помощью Ьх,,, для фиксированной
совокупности коммутирующих операторов, определенных относительно а:
(C/, а). B.104)
Согласно нашему ограничению плоскими поверхностями, мы рассмотрим
только „жесткое" перемещение а, для которого производящий оператор всегда
задан формулой B.36).
Дифференциальное уравнение, описывающее изменение представителя произ-
произвольного состояния, произведенное „жестким" перемещением, получается из соот-
соотношения
К (С7, а) = (8вЧГ (С, а), W) = jr (С, а | F,x). B.105)
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ IV 129
С помощью формулы
К (С a|) = S(A(C, *|) + ! vMC, °|) B.106)
мы получим обобщенные уравнения Шредингера х) для чистого перемещения
4 К (С, а |) = (С', а | Р, (а) |) = J (С, а | Р, (а) | С", а) Л" (С", а |) B.107)
и поворота
\ 8^ (С, а |) = (С, а | /a., (а) |) = J (С7, a 17a, (a) | C", a) dl" (C", a |). B.108)
Оператор G(a), который сконструирован из переменных поля на о, имеет
матрицу (С, o|G(o)|C", о), не зависящую от о, так как соотношение между О (а)
и С на а не меняется при изменении поверхности. Компоненты Р^(о), отнесенные
к осям, связанным с о, имеют именно такую природу; следовательно, матрица Р (а)
в B.107) включает ориентацию координатной системы относительно а, но в осталь-
остальном не зависит от а. Перестановочные соотношения между Р^, J^4 и О (з) полу-
получаются из этого свойства матрицы О (а). Таким образом, имеем
0 = 8^0@)—i[G (о), Ftx], B.109)
откуда
[G(a), P,] = |-8aG(a), B.110)
[О(о), /,,] = f V°(°)- B-111)
В качестве первой иллюстрации этих перестановочных соотношений выберем
О(а) = (ра(л;). Согласно B.25), имеем
[о* (х), PJ = j- д^« (х), B.112)
[Г (х), У,.,] = (х, -г д., - *., 4- dj) <?* (х) + S;W (х), B.113)
что находится в согласии с B.92) и B.96), но без ограничения последнего соот-
соотношения компонентами <?"•
Особенно простой пример получится при G(a) = Q, где Q—полный заряд.
Так как этот оператор не зависит от а, имеем соотношения
[Q, ^] = [Q. -/^] = 0, B.114)
которые, обратно, утверждают, что Р^ и /^ не изменяются при фазовых преобра-
преобразованиях. Эффект перемещения а на величину G (a) = Рхех (а), где ех (а) — произ-
произвольный вектор, жестко связанный с о, полностью получается из поворота век-
вектора ех(о)
8* СУх («)) = — VP(A (')• B. П5)
Следовательно, имеем
[^, /\] = 0, B.116)
— 8^PV). B.117)
i) Отметим, что эти уравнения Шредингера были получены из гейзенберговского
представления, в котором вектор произвольного состояния фиксирован (см. [25], раз-
раздел 32). — Прим. авт.
13*
130 ю- швингер
Приведем еще один, последний пример, выбрав О (о) = J^e^ (а) е^ (а), где
как eft (а), так и 42)(а) являются произвольными векторами, жестко связанными
с а. Этот пример, вообще говоря, есть обобщение рассмотренных типов опера-
операторов, так как
A.W -4 J4 ixA'T^-x^ VPJ B.118)
включает пространственно-временные координаты в дополнение к переменным,
поля. Необходимая модификация соотношения B.109) имеет вид
8,0 (а) =4 [G (а), Fbx]-\-dxG(o), B.119)
где dxG (а) означает изменение О (а), связанное с явным присутствием простран-
пространственно-временных координат. В примере, выраженном формулой B.118), dxG{p)
возникает из-за чистого перемещения а (но не поворота):
дх (Л.Л0) = (вЛ - sx/\) e[V?. B.120)
Комбинируя это с
MA»W>= - V.V^'2)- V-V» B.121)
мы опять получим соотношение B.117) и
1Л„ -U = Л (§хЛх + V«" + §"Л^ + V*)- B.122)
Следует отметить, как пример общего метода построения представления пере-
перестановочных свойств операторов, что равенства
[[?', Л,1 -U - [\Г, J+J, Л.] = [?'» 1Лх, J^\] B.123)
приводят к аналогичным перестановочным соотношениям для представителей
орбитального и спинового моментов вB.113).
В качестве последнего замечания, относящегося к перестановочным соотно-
соотношениям, отметим, что коммутаторы производящих операторов приобретают зна-
значение в связи с условиями интегрируемости для бесконечно малых преобразований,
произведенных этими операторами [26]. Если F<1} и FB> являются двумя такими
операторами, производящими бесконечно малые преобразования, то
(С, а) = W ((С — №КУ, а + 3<«о) — W (С7, а) = - | FW (С, а),
B.124)
(С, а) = W ((С — бИС)', а + °&v) — Т (С, а) == — ~ F® W (С, а).
Далее, разность между результатами, получаемыми двумя способами, которыми
можно последовательно произвести эти преобразования, можно рассматривать
как эффект третьего относительного преобразования
(80) 8B) — 8<2> Щ W (С', а) = +
; B.125)
а + (80) S<2> — 8<2) Щ а) — W (С, а) = —~ F^W (С, а).
Следовательно,
[/?(», FVj^MFW B.126)
есть необходимое условие интегрируемости уравнения B.124). Простой пример
такого рассмотрения дается „жестким" перемещением
*М _ A,2) A,2)
р{1,2)_ A,2)р ¦ 1 A.2), B.127)
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ IV 131
так как
S(V>)Xf.= -
$$ $$ <12> if B.128)
есть другое „жесткое" перемещение. Вытекающие отсюда соотношения даются
как раз соотношениями B.116), B.117) и B.122).
В нашем рассмотрении вариационного принципа B.14) мы имели дело со
свойствами данной динамической системы. Однако этот принцип применим и для
вариаций, при которых меняется сама система, что соответствует изменению
структуры функции Лагранжа. Для вариации подобного типа имеем
или
а1
(Ci, axIC0, a)X
X «С (С , о I о^ [х] | С , о)сС (!. , о|Ч2> ^г)! B.1оО)
где поверхность а содержит точку х. Если последовательно произвести две
вариации такого типа, то получим
1
J
lx')\$t a,)]. B.131)
a2
Введем здесь сцекиальное обозначение для хронологически упорядоченных опе-
операторов
[А(х)В(х\ (хо>х'о)
(А(х), В(хГЦ)+= B.132)
1 К
которое является инвариантным понятием, если предположить, что входящие сюда
операторы коммутируют, когда л: — х? есть пространственно-подобный интервал,
и что положительное направление времени сохраняется. Тогда уравнение B.131)
можно записать в более компактном виде:
1 i
= GУ J (**) / (rf*') (Ci, ax J (8<1J^* [at] «W^' Iat'D+1 ^ a,). B-133)
C2
Этот результат мы будем часто использовать в последующем.
132 ю. швингер
Мы закончим этот раздел указанием (имея в виду поля Бозе — Эйнштейна)
метода построения функции преобразования (CJ, ог | ??', з2), являющегося анало-
аналогом классической теории Гамильтона —Якоби механики поля. Действительное
движение системы неявно включено в форму, предполагаемую для вариации
интеграла действия
a 2
в котором мы попрежнему ограничиваемся плоской пространственно-подобной
поверхностью. Из B.134) следует, что W12 может быть выражена как функ-
функция <з1 и а2, а также величин 9° на этих поверхностях; подобным же образом
могут быть выражены П°, Р^ и J^, связанные с каждой из поверхностей.
С помощью перестановочных соотношений между <?а на ai и ?a Ha a2 можно
операторы в B.134) расположить так, что <р° на ai будет везде стоять левее,
чем о° на а2. Упорядоченное таким образом дифференциальное выражение обо-
обозначим через W(<olt аг\ ?2, а2)! отсюда получим дифференциальные уравнения,
связывающие различные упорядоченные операторы:
B-135)
где л^ и л;2 являются произвольными точками на о1 и о„ соответственно. В связи
с перестановочными соотношениями B.81) этот оператор Гамильтона — Якоби
может служить для определения упорядоченного оператора W (»lf oj; <э2, о2)
с точностью до аддитивной постоянной. Важно отметить, что W ф W^ и что,
конечно, оператор W не является эрмитовым г). Это есть следствие неперестави-
х) Элементарный пример свободной частицы в одном измерении иллюстрирует это
обстоятельство. Уравнения Гамильтона — Якоби, примененные при построении W (x(t{),
х fa), t), где t = tt —12, дают:
dx (ti) w ~ dx (t2) 0 p dt
Согласно решению уравнений движения, имеем
откуда
~ ж w=5(х ft) ~х т*=5[х"ih) -2х (к) х {h)+хЪ {т
Решение операторных уравнений Гамильтона — Якоби имеет вид
•№ = ~ [х* (h) - 2х (<t) х (t2) + X* (t2)} + i- ih In (At);
это решение следует сравнить с эрмитовым интегралом действия
1 ютЧ = -g- (* (<0 - ^ (*„))* = -g [*» ft) - 2^: ft) ^ (/,) + х {Щ -1 it).
В данном случае, аналогом уравнения B.138) будет уравнение
(х>, tt | х", у - exp |J- »»(л/, л*, о] = (Л*Г1/2 ехр
где постоянная А определяется как
А — ЧтЛЦт
из аналога уравнения B.139)
Hm (xf, t, | х", t2) = 8 {х' — лг").
*>о
— Прим. авт.
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ IV 133
мости сэ° на Oj и <э° на а2, обусловленной локализацией этих поверхностей.
Так, если оператор W12 сначала упорядочен, а потом проварьирован, результат
будет отличаться от того, что получится из упорядочения bWn- Вернемся теперь
к дифференциальной свойствам функции преобразования, характеризуемой соб-
собственными значениями оа на <зх и а2:
S (<?', Ol | ?", а2) = L (?', ах | 67^ (?1, olf- %, а2) | <?", а2). B.136)
Заметим, что ввиду упорядочения в bW операторы <?° на ai и а2 Действуют
непосредственно на соответствующие им собственные векторы, так что можно
заменить соответствующими собственными значениями
Ol|?", а2) = -^'(?'. о,; о", а2) (<?', 3l | о", а2). B.137)
Функция преобразования принимает тогда вид')
(<?', Ol | ?", а2) = ехр Ц- W (<?', а1; о", а2)] , B.138)
где постоянная интегрирования (которая аддитивно содержится в W), может быть
определена из условия
„»Д (»', Ol | ?", а2) = 8 (?' - ?")• B.139)
3. Инверсия времени
Общее физическое требование инвариантности относительно преобразований
координат применимо не только к чистому перемещению и повороту коорди-
координатной системы, но и к отражению координатных осей. Среди последних пре-
преобразований инверсия времени занимает особое положение. Его особая природа
проявляется в свойствах преобразования некоторых глобальных физических ве-
величин. Так, среднее значение вектора энергии—импульса
есть в действительности псевдовектор по отношению к инверсии времени.
Если плоская поверхность а будет выбрана перпендикулярно к оси времени,
то компоненты (Pv) получатся в виде трехмерных интегралов по объему:
= 1 Г
г C>2)
</>*> = 7/^(Го*) (ft = 1,2,3)
и инверсия времени л:0-> — х0, х1с -> хь приводит к тому, что (Ро) ->¦ (Ро),
(Рй)-> — {Р]с), согласно свойствам преобразования тензоров. Этот результат
отличается знаком от собственного векторного преобразования. В частности,
энергия не меняет знака при инверсии времени. В более общем виде это свой-
свойство компонент (Pv) получается из псевдовекторного характера dz^., пыражаю-
щего псевдоскалярную природу элемента четырехмерного объема по отношению
!) Экспоненциалытая форма уравнепия B.138)используется обычпо для установления
соответствия с классической формой Гамильтона — Якоби механики частиц. Дирак исполь-
использовал эту форму для исследования унитарных преобразований; в частности, оп отметил,
что уравнение Гамильтона — Якоби является точным как соотношение между упорядочен-
упорядоченными операторами (см. [25], конец раздела 32). В фейнмановском варианте квантовой меха-
механики [27] экспоненциальная форма использована для бесконечно малых интервалов вре-
времени, причем действительная часть W определяется как классический интеграл действия.
— Прим. авт.
134 Ю. ШВИНГЕР
к инверсии времени. Аналогично, среднее значение заряда
ведет себя как псевдоскаляр при инверсии времени. Поэтому это преобразова-
преобразование переставляет положительные и отрицательные заряды, и оба знака должны
входить симметрично в ковариантной теории. Действительно, в некоторых слу-
случаях требование зарядной симметрии может быть применено вместо более жест-
жесткого требования инвариантности относительно инверсии времени.
Замечательная особенность указанных свойств заключается в том, что ин-
инверсия времени не может быть включена в общую схему унитарных преобразо-
преобразований. Так, обращаясь к уравнению Шредингера для чистого перемещения B.107)
или аналогичному операторному уравнению B.110), мы встречаемся с противо-
противоречием между свойствами преобразования собственного оператора 8ц, и псевдо-
псевдовектора Pp. Эта трудность еще более усугубляется в нашем основном вариаци-
вариационном принципе B.14). Поскольку ^ ведет себя как скаляр „5", а (dx) как
псевдоскаляр, инверсия оси времени вносит знак минус в правую часть этого
уравнения. Однако важно отметить, что мы не можем сохранить скалярную при-
природу J3? Для той части лаграпжевой функции, которая описывает поле с полу-
полуцелым спином. Ясно, что эта часть „g" ведет себя как псевдоскаляр в отноше-
отношении инверсии времени *).
Если бы мы рассматривали только такое поле с полуцелым спином, то
основной динамический принцип сохранил бы структуру при инверсии времени,
но при этом нарушились бы общие свойства преобразования всех физических
величин; при инверсии времени заряд останется неизменным, а энергия изме-
изменит знак. Последняя трудность указывает просто на то, что при включении
части, относящейся к полю с полуцелым спином, различные части _g* преобра-
преобразуются различно, что опять указывает на общий недостаток уравнения B.14),
не разрешающего инверсию времени свести к унитарному преобразованию.
С целью исследования расширенного класса преобразований, который тре-
требуется для включения инверсии времени, введем некоторые новые обозначения. Ска-
*) Основной инвариант поля со спином 1f2 есть^ = ^+ъ^- Преобразование у = Щ,
представляющее собой инверсию времени, может быть рассматриваемо как эквивалент
вращения на угол те в плоскости D5); R = exp in -=-<sib = ёо45. Соответственно этому
что указывает на псевдоскалярный характер лагранжевой функции поля со спином '/г
в отношении инверсии времени. Соответствующее поведение полей с другим спином
может быть получено из учета того обстоятельства, что спинор ранга п содержит поля со
спинами -=-и, -=- п — 1,... Основной инвариант н оператор инверсии времени для тен-
тензора ранга п имеют вид
Следовательно,
fV = ф+я-i JJ
что указывает на псевдоскалярную природу лаграижевой функции для полей с полуце-
полуцелым спином. — Прим. авт.
П. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ IV 135
лярное произведение двух векторов ЧГО и ЧГЬ будем писать в виде
C.4)
причем эта величина рассматривается как инвариантная комбинация вектора Wt
с дуальным, комплексно-сопряженным вектором ЧГ„. Мы допустим, что операторы
действуют как слева, так и справа векторов ЧГ и ЧГ*. Так, связанный с А,
транспонированный оператор Лт, определяется следующим образом1):
AW = WAT, W*A = A TW* C.5)
или
TW*a. C.6)
Определим также ассоциированный с А комплексно-сопряженный оператор
(ЛЧГ)* = Л*Ф*. C.7)
Связь с эрмитово сопряженным оператором А+ получается из определения
последнего:
(ЛЧГ)* = ЧГ*Л+, C.8)
а именно,
А+ = А*Т. C.9)
В обычной квантовой механике рассматриваются преобразования только
внутри пространства векторов ЧГ и контраградиентные преобразования внутри
дуального пространства векторов ЧГ*. Мы будем рассматривать теперь пре-
преобразования, переставляющие оба пространства, именно
Преобразование (ЗЛО) приводит к следующему:
(a\&) = Wyb = W-% = (b\a) C.11)
= (b\AT\a). C.12)
В более общем виде, если
где R — унитарный оператор, то имеем
(а\д) = (Ь\а), (а[А\д) = (д\А\а) C.14)
J= (RAR-if. C.15)
Далее, _
AB = (RABR-if=(RBR-4T(RAR-if=BA C.16)
и, следовательно,
(а|[Л, В] | *) = — (Ь\[А, В] |а) C.17)
Мы как раз получаем здесь изменение знака, которое и требуется для сохра-
сохранения структуры уравнений, подобных BЛ10), при инверсии времени.
Выясним теперь, возможно ли удовлетворить требованию инвариантности
при отражении времени с помощью преобразований типа (ЗЛЗ). Если мы произ-
произведем преобразование координат
хо = — хо, хк = хк, k=l, 2, 3 (ЗЛ8>
:) Отметим, что из этого определения следует и обычное свойство транспонирования
ABW = А (ЧГВ)Т= WBTAT. — Прим. авт.
136 ю. швингер
одновременно с преобразованием собственных векторов
ЧГ«(С', о) = ЛЧГ(С', а), C.19)
то основной динамический принцип примет вид
а,) = -^р, о21 8 J" (rf*) J> | С'ъ oj , C.20)
где _
^ = (Я^Я-1)Т = ^Т((Я?"Я-1)Т, =t^(^i?-i)T). C.21)
В последней формуле знак zh указывает на эффект координатного преобразова-
преобразования C.18) на компоненты градиентного вектора, тогда как обозначение J?T{ )
символизирует обращение порядка всех множителей, произведенное операцией
транспозиции. Оператор R надо выбрать так, чтобы произведенное им линейное
преобразование
RfR-1 = Я'У C.22)
компенсировало эффект преобразования градиентного вектора. Итак, имеем
!Г, ^?^), C.23)
где знак (zh) указывает на тот факт, что структура лагранжевой функции для
полей с полуцелым спином может быть сохранена только ценой изменения знака.
Мы теперь видим, что если
^=^(?«т ^,т)г C.24)
то форма нашего основного динамического уравнения сохраняется при инверсии
времени, так как выражение C.20) отличается от B.14) только заменой <ва на <раТ
(подходящую переменную поля) и перестановкой ох и а2, что просто отражает
инверсию временного направления, в котором прослеживается динамическое раз-
развитие системы.
Итак, инвариантность относительно инверсии времени требует, чтобы обра-
обращение порядка всех множителей в лагранжевой функции оставляло скалярный
член неизменным и меняло знак у псевдоскалярного члена. Это, конечно, может
быть выполнено с помощью явной симметризации и антисимметризации различных
членов в J27. Когда так упорядоченная лагранжева функция будет применена
в принципе стационарного действия, вариации 80<ва будут также расположены
симметричным и антисимметричным образом. Мы должны теперь напомнить, что
уравнения движения B.18), которые явно не зависят от перестановочных свойств
поля, были получены постулированием равенства таких членов в Ьо^, которые
в основном различаются только положением 8о?"- Так как подобные члены входят
с одними и теми же знаками в скалярную часть Jg и с противоположными
знаками в псевдоскалярную часть, мы выводим отсюда соответственно наличие
коммутативности и антикоммутативности между 80«* и другими операторами
в отдельном члене Ьо^.
Полученные таким образом сведения относительно перестановочных свойств
ограничены операторами в общей пространственно-временной точке, так как
этим свойством обладают члены в Jg. Перестановочные соотношения между
полевыми величинами, локализованными в различных точках пространственно-
подобной поверхности, получаются из общего требования совместимости физи-
физических величин, разделенных пространственно-подобным интервалом. Волновые
функции полей с целым спином и билинейные комбинации волновых функций
полей с полуцелым спином являются теми основными физическими величинами,
к которым применяется это требование совместимости. Рассматривая общие воз-
возможности связи между различными полями, мы можем, из этих двух выражений,
обладающих требуемой релятивистской инвариантностью, вывести следствие, что
вариации 8<рь (х'), а следовательно, и сопряженные вариации Шь (я/) коммути-
II. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА, ЧАСТЬ IV 137
руют или антикоммутируют с <?"(х) и Па(д:) для всех х и х' на данной о,
причем антикоммутативность имеет место тогда, когда a vi b относятся к компо-
компонентам полей с полуцелым спином. Легко проверить совместимость этого
утверждения с общими перестановочными соотношениями, которые могут быть
выведены из него. Производя независимые вариации канонических переменных
в B.81), получим
[ф°(*), 8ф6(*')]± = [П° (х), Ыь (х')]± = О,
[ф° (*), 8ПЬ (*')]± = [П° (х), Ш6 (лг')]± = 0. C.25)
Эти соотношения справедливы для всех х и х' на о. Кроме того, согласно соот-
соотношению B.81), все физические величины коммутируют в различных точках на о.
Итак, мы приходим к выводу, что связь между спином и статистикой частиц
неявно включена в требование инвариантности относительно преобразований коор-
координат !).
ЛИТЕРАТУРА
1. D 1 г а с Р. А. М., Ргос. Cambr. Phil. Soc, 30, 150 A934); Н е I s e n b е г g W., Zs. f. Phys.,
90, 209 A934); Heltler W., Peng H. W., Proc. Cambr. Phil. Soc, 38, 296 A942).
2. S e r b e r R., Phys. Rev., 49, 545 A936); В e t h e H. A, Oppenheimer J. R., Phys.
Rev, 70, 451 A946).
3. W e I s s k о р f V., Phys. Rev., 56, 72 A939).
4. L a m b W. E., Jr., R e t h e r f о r d R. C, Phys. Rev., 72, 241 A947).
5. Mack J. E., Austern N., Phys. Rev., 72, 972 A947).
6. Nafe J. E., Nelson E. В., Rabi I. I., Phys. Rev., 71, 914 A947); N a gi e D. E.,
Julian R. S., Z'acharlas J. R., Phys. Rev., 7?, 971 A947).
7. Kusch P., Foley H. M., Phys. Rev.,72, 1256 A947); Foley H. M., КusсhP.,Phys.
Rev., 73, 412 A948).
8. BetheH. A., Phys. Rev., 72, 339 A947).
9. Sch winger J., Phys. Rev., 73, 415 A948).
10. Toraonaga S., Progr. Theor. Phys., 1, 27 A946). [См. статью I настоящего сборника.]
11. Dlrac P. A. M., Phys. Rev., 73, 1092 A948).
12. Schwinger J., Phys. Rev., 72, 742 A947) н неопубликованные записи лекций.
13. Serber R., Phys. Rev., 48, 49 A935).
14. DIra с Р. А. М., 7-e Conseit Solvay, 203 A934).
15. H e i s e n b e r g W., Zs. f. Phys., 90, 209 A934).
16. Ue filing E. A., Phys. Rev., 48, 55 A935).
17. Paul! W., Rose M. E,, Phys. Rev., 49, 462 A936).
18. Welsskopf V., Zs. f. Phys., 89, 27 A934); 90, 817 A934), Phys. Rev., 56, 72 A939).
19. Sell winger J., Phys. Rev., 75, 898 A949).
20. Rose nf eld L. Nuclear Forces, New York, 1949.
21. Koba Z., Tomonaga S., Prog. Theor. Phys., 3, 290 A948).
22. Lewis H. W., Phys. Rev., 73, 173 A948).
23. Feynman R. P., Phys. Rev., 74, 1430 A948).
24. В 1 о с h F , N о r d s I e с k A., Phys. Rev., 52, 54 A937).
25. D Ira с Р. А. М., The Principles of Quantum Mechanics, 3 ed., Oxford, 1947.
26. Weyl H., The Theory of Group and Quantum Mechanics, New York, 1931.
27. Feynman R. P., Rev. Mod. Phys., 20, 367 A948).
28. PauliW., Phys. Rev., 58,716 A940). [См. Паули, Релятивистская теория элементар-
элементарных частиц, И. Л., 1947 (Дополнение).]
29. Paul! W., В elf nfante F. J., Physfca, 7, 177 A940).
30. Feynman R. P., Phys. Rev., 76, 749 A949). [См. статью III настоящего сборника
*) Рассмотрение связи между спином и статистикой, проведенное Паули [28], в неко-
некотором смысле имеет негативный характер, хотя и основано на физических требованиях,
аналогичным нашим. Так, Паули отмечает, что квантование поля с полуцелым спином,
согласно Бозе — Эйнштейну, приводит к энергии, не имеющей нижней границы, и что
квантование по Ферми — Дираку поля с целым спином приводит к алгебраическому про-
противоречию с перестановочностью операторов физических величин, локализованных
в точках с пространственно-подобным интервалом. Другой примененный постулат, касаю-
касающийся зарядной симметрии [29], достаточен для определения характера перестановочных
соотношений ряда простых систем. Как мы отмечали, этот постулат является след-
следствием инвариантности относительно инверсии времени. Замечания Фейнмана [30] относи-
относительно поляризации вакуума и статистики являются иллюстрацией к требованию зарядной
симметрии, так как при этом устанавливается наличие противоречия, когда зарядно-сим-
метричная трактовка вакуума применяется к бозе-эйнштейновскому полю со спином 1B,
или к ферми-дираковскому полю со спином 0.— Прим. авт.
HI. ТЕОРИЯ ПОЗИТРОНОВ
Р. ФЕЙНМАН
R. P. Feynman, Phys. Rev., 76, № 6, 749 A949)
Рассматривается задача о поведении позитронов nf электронов в заданном внешнем
поле при пренебрежении их взаимодействием, причем вместо теории дырок используется
теория, основанная на новой интерпретации решений уравнения Дирака. Полное решение
задачи оказывается возможным выразить через граничные условия, налагаемые на'волно-
вую функцию. Из этого решения автоматически вытекают все случаи виртуального
(и действительного) порождения и уничтожения пар, а также обычные процессы рассея-
рассеяния, причем получаются правильные относительные знаки различных членов.
.Состояния с отрицательной энергией* входят в данное решение таким обра-
образом, что их можно истолковывать (согласно Штюкельбергу) как волны в четырехмерном
пространстве, движущиеся попятно по времени под действием внешнего потенциала.
Практически такие волны соответствуют позитрону, который движется в сторону возра-
возрастания потенциала и аннигилирует с электроном. Частица, движущаяся в сторону возраста-
возрастания времени (электрон), может быть рассеяна внешним полем либо вперед по времени
(обычное рассеяние), либо назад (аннигиляция пары). Если частица движется попятно по
времени (позитрон), то она может быть рассеяна либо назад по времени (рассеяние пози-
позитрона), либо вперед (порождение пары). Для указанных частиц анализируется амплитуда
перехода из начального в конечное состояние в любом порядке по внешнему потенциалу;
при этом принимается, что частица испытывает последовательность подобных рассеяний.
Амплитуда для процесса, в котором участвует много электронов и позитронов, является
произведением амплитуд перехода для отдельных частиц. Принцип Паули требует, чтобы
для подобных сложных процессов брались антисимметрические по отношению к пере-
перестановке частиц комбинации амплитуд. Последовательное истолкование становится воз-
возможным только при помощи принципа Паули, который не требуется учитывать в проме-
промежуточных состояниях. При этом для зарядов, не взаимодействующих друг с другом, не
возникает никаких связанных с вакуумом проблем; тем не менее указанные проблемы
разбираются в связи с рассмотрением в дальнейшем квантовой электродинамики.
Результаты выражаются также в импульсном представлении. В приложении дока-
доказывается эквивалентность используемого метода и вторично кваитоваиной теории дырок.
1. Введение
Настоящая работа является первой из серии статей, посвященных решению
проблем квантовой электродинамики. В основу будет положено непосредственное
использование не самих дифференциальных уравнений Гамильтона, а их реше-
решений. Здесь мы рассмотрим движение электронов и позитронов в заданном внеш-
внешнем поле. Во второй статье будет обсуждаться взаимодействие этих частиц,
т. е. квантовая электродинамика.
Задача движения зарядов в заданном поле обычно разбирается с помощью
вторичного квантования электронного поля и использования теории дырок.
Мы покажем, что эту задачу можно рассматривать иначе — посредством
подходящего выбора и соответствующей интерпретации решений уравнения
Дирака; при этом новый способ в принципе не более сложен, чем метод Шре-
дингера рассмотрения одной или нескольких частиц. С обычной точки зрения
на электронное поле введение различных операторов порождения и уничтожения
¦становится необходимым вследствие несохранения числа частиц, т. е. вследствие
возможности порождения и уничтожения пар. С другой стороны, величина заряда
сохраняется, и это наводит на мысль, что результаты удастся упростить, если
кы будем следить не за частицами, а за зарядом.
Ш. ТЕОРИЯ ПОЗИТРОНОВ 139
В приближении, даваемом классической релятивистской теорией, порожде-
порождение электронной пары (электрон А, позитрон В) может быть представлено
двумя мировыми линиями, которые начинаются в точке порождения /. Мировая
линия позитрона будет продолжаться, пока не произойдет его аннигиляция с дру-
другим электроном С в мировой точке 2. Таким образом, в отрезке времени (tv t2)
имеются три мировые линии, а до момента tx и после момента t2 — только по
одной. Однако мировые линии С, В к А составляют вместе одну непрерывную
мировую линию с „позитронной частью" В, направленной попятно по времени.
Если следить за зарядом, а не за частицами, то эту непрерывную мировую
линию нужно рассматривать в целом, а не разбивать на части. Здесь дело
обстоит так же, как в том случае, когда летящий низко над дорогой пилот видит"
некоторое время вместо одной дороги три, хотя на самом деле имеется только_
двойной поворот одной и той же дороги. ~
Подобная общая четырехмерная точка зрения приводит к значительному
упрощению многих проблем. При этом можно одновременно учитывать процессы,
которые пришлось бы, действуя обычным образом, рассматривать по отдельности.
Например, при рассмотрении рассеяния электрона во внешнем поле автомати-
автоматически учитываются эффекты виртуального порождения пар. То же уравнение
Дирака, которое описывает отклонение мировой линии во внешнем поле, может
описать (и столь же простым образом) отклонение, происходящее в случае поля,
достаточно сильного для изменения направления временной составляющей миро-
мировой линии, что соответствует аннигиляции пары. В квантовой механике напра-
направления мировых линий заменяются направлением распространения волн.
Подобный подход радикально отличается от гамильтоновского метода,
в котором будущее является непрерывным развитием прошедшего. В нашем
методе мы сразу представляем всю последовательную пространственно-времен-
пространственно-временную историю процесса. В случае рассеяния подобная общая трактовка сложных
процессов аналогична методу 5-матрицы Гейзенберга. Временной порядок собы-
событий в течение рассеяния, который детально определяется дифференциальными
уравнениями Гамильтона, не является существенным. Связь указанных двух точек
зрения будет значительно подробнее разобрана во введении ко второй статье,
в которой рассматриваются более сложные виды взаимодействий.
Наши выводы основываются на том положении, что в нерелятивистской
квантовой механике амплитуда для заданного процесса может рассматриваться
как сумма амплитуд для каждой допустимой пространственно-временной тра-
траектории [1]. В связи с тем обстоятельством, что в классической физике пози-
позитроны можно считать электронами, движущимися вдоль мировой линии попятно
по времени (см. примечание 2 на стр. 146), ранее нами была сделана попытка
отбросить в релятивистском случае ограничение, что траектории должны быть
направлены всегда в одну сторону по времени. Затем было обнаружено, что
получающиеся результаты могут быть значительно проще истолкованы с более
привычной физической точки зрения, относящейся к рассеянию волн. Подобная
трактовка используется в настоящей статье. После физического истолкования
уравнений было найдено доказательство эквивалентности данного метода и тео-
теории вторичного квантования1).
Мы сначала рассмотрим соотношение между дифференциальными уравнениями
Гамильтона и их решениями, беря в качестве примера уравнение Шредингера. Ана-
Аналогичным образом мы разберем затем уравнение Дирака и покажем, как можно
интерпретировать решения, относящиеся к позитронам. Последовательная интер-
интерпретация, повидимому, не была бы возможной, если бы электроны не подчинялись
принципу Паули. (Заряженные частицы, подчиняющиеся уравнениям Клейна — Гор-
Гордона, могут описываться аналогичным образом, при этом, однако, для сохранения
') Эквивалентность всего метода (включая фотонные взаимодействия) с методом Швин-
гера и Томонага была показана Дайсоном [2]. — Прим. авт
140 Р- ФЕЙНМАН
последовательности метода требуется подчинение бозевской статистике1).) Далее
мы приводим представление через импульсные переменные, которое удобно для
подсчетов матричных элементов. В приложении дано доказательство эквивалент-
эквивалентности данного метода и вторично квантованной теории дырок.
2. Рассмотрение уравнения Шредингера с помощью функции Грина
Сначала мы кратко рассмотрим связь между нерелятивистским волновым
уравнением и его решениями. Затем полученные положения будут распростра-
распространены на релятивистские частицы, подчиняющиеся уравнению Дирака. Наконец
в следующей статье будут рассматриваться уже взаимодействующие релятивист-
релятивистские частицы, т. е. квантовая электродинамика.
Уравнение Шредингера
<•? = "* A)
описывает изменение волновой функции ty за бесконечно малое время Д/ как
результат действия оператора ехр (—iH At). Таким образом, можно ответить на
вопрос, какова волновая функция при 4 > tv если известна волновая функция
4>(хр (г) в точке Xj в момент tv Можно во всех случаях написать
B)
где К— функция Грина для линейного уравнения A). (Мы ограничиваемся одной
частицей с координатой х, но приведенные уравнения являются, очевидно, более
общими.) Если Н—не зависящий от времени оператор, обладающий собствен-
собственными значениями Еп и собственными функциями <рп, так что функция fy(xv tj)
может быть разложена в ряд 2 ?«?« (х)> т0 имеет место равенство
п
<]> (х, fcj) = ехр (— iEn (f2 — fj)) С„ф„ (х).
Так как
для t2 > t1 в данном случае получаем
К B, 1) = 2 ?„ (х2) <?*„ (*a) ехр (- iEn (t2 - f,)) C)
(вместо координат хг, ^ написана цифра /, а вместо х2, ?2 написана цифра 2).
Впоследствии выяснится, что при ?2 < tx удобно положить функцию Грина
К B, 1) равной нулю. [Формула B) не будет при этом справедлива при Д><С^1-
Легко показать, что функция К в общем случае может быть тогда определена,
как то решение уравнения
которое равно нулю для t2 < tx; здесь с B, /) = 8(Y2— ^)8(лг2 — хг)^(у^—^i)X
X 8 (^2 — zi)> a индекс 2 у оператора Н2 означает, что данный оператор дей-
действует на переменные 2 в функции КB, 1). Если оператор Н зависит от вре-
времени, то уравнения B) и D) остаются справедливыми, хотя функция Грина К опре-
определяется при этом более сложным выражением, чем (ЗJ).
') Это является частным проявлением общей связи между спином и статистикой, ука-
указанной Паули [3]. — Прим. авт.
2) Для нерелятивистской свободной частицы, когда <?„ = ехр (ipx) и Еп = ра/2от,
соотношение C) дает, как известно.
Ко B, 1) = J ехр[ — i (pXl — рх2) — 2^ Р2 D — К
{-S- im (х2 — Xi)a (t2 — h)-
при t2 > tx и Ко = 0 при t2 < ti. — Прим, авт.
III. ТЕОРИЯ ПОЗИТРОНОВ 141
Величину К[2, 1) можно назвать полной амплитудой перехода в точку
Ха, 4 из точки хр tv Она получается сложением амплитуд expiS для каждой
пространственно-временной траектории между данными точками; здесь 5—дей-
5—действие вдоль траектории [1]. Амплитуда нахождения частицы в состоянии
/(х2, t$) в момент tv если эта частица находилась в момент tt в состоянии
ty(Xi, й), равна
Квантово-механическая система описывается заданием функции К так же полно,
как и заданием гамильтониана Н, из которого эта функция К может быть полу-
получена. В некоторых случаях для описания системы использование функции К
является более простым и наглядным. Мы предполагаем рассмотреть квантовую
электродинамику именно с этой точки зрения.
Чтобы ближе познакомиться с функцией К и соответствующими методами,
рассмотрим простую задачу теорий возмущений. Пусть имеется частица в сла-
слабом поле с потенциалом U(x, t), зависящим от пространственных координат и
времени. Подсчитаем КB, 1) в случае, когда потенциал U отличается от нуля
только для значений t, лежащих между tx и t2. Разложим для этого функцию К
в ряд по возрастающим степеням U:
/СB, /) = /С0B, /)-Ь Km B, /) + КО B, /)+... F)
Функция КB, 1), имеющая нулевой порядок по U, совпадает с функцией КоB, 1)
для свободной частицы. Для исследования поправки первого порядка /?A)B, /)
рассмотрим сначала тот случай, когда U отличается от нуля только на беско-
бесконечно малом временном интервале Д^3 между моментами времени t3 и ta-\-At3
(^<*з<^)- Тогда, если <ЬA) — волновая функция в точке х1э tu то волновая
функция в точке х3, *3 будет равна
поскольку в интервале между tx и ts частица свободна. Для узкого интер-
интервала At3 берем решение уравнения A) в виде
4- (х, t3 + Д4) = ехр (— Ш Щ if (х, *„) = A — iH0 Ats — Ш Щ ф (х, ts).
Здесь мы положили //=//0-|-t/, причем Но—гамильтониан свободной частицы.
Таким образом, выражение ^ (х, ts -\- At3) отличается от значения, которое эта
функция имела бы при потенциале, равном нулю, а именно, от A — /Но А4)^ (х> h)>
на дополнительный член
дф = —д/Гхв, <8)ф(х8, 4)д;3, (8)
который мы будем называть амплитудой рассеяния. Волновая функция в точке 2
задается выражением
i (х2, t2) = J Ко (xg, i!2; x3, t3 + А^з) ^ (х3, t.d -\
так как после момента ts-\-At3 частица снова свободна. Следовательно, вызван-
вызванное внешним полем изменение волновой функции в точке 2 равно [подставляем
выражение G) в (8) и затем (8) в выражение для
Дф B) = -iJKo B, 3) U C) Ко C, /) ф (/) dHt d*x3 At3.
В случае, когда потенциал действует продолжительное время, изменение вол-
волновой функции в точке 2 можно рассматривать как суммарный эффект от
каждого интервала Д^3, так что в этом случае нужно произвести интегрирование
не только по х3, но и по t3. По определению B) функции К, мы, следовательно,
получим
B, /) = _ / J Kq B> 3) U C) Ко C, 1) Л„, (9>
142
Р. ФЕЙНМАН
где интеграл теперь может быть распространен по всему пространству и времени
«?т3 = cPx^dt. Влияние потенциала U C) при значениях t.A, лежащих вне интер-
интервала (tv t%), автоматически исключается, поскольку по определению К0B, /) = 0
для t% < tv
Мы можем истолковать результат, выражаемый формулами F) и (9), сле-
следующим образом. Представим себе, что частица, движущаяся от точки к точке
так, как если бы она была свободной, рассеивается полем с потенциалом U.
Таким образом, полная амплитуда попадания в точку 2 из точки / может рас-
рассматриваться как сумма амплитуд, соответствующих различным альтернативным
путям перехода. Возможен пря-
Рассеянная
волна Но B,3)
К0D,3)со9ержит
положительные
и отрицательные
энергии
I Падающая волна '
мой переход из точки / в
точку 2 [амплитуда К0B, /),
соответствующая члену нуле-
нулевого порядка в выражении F)].
Частица может также (см. фиг.
1, а) перейти из точки / в точ-
точку 3 [амплитуда К0C, /)], быть
рассеянной там внешним полем
[амплитуда рассеяния —Ш{3),
отнесенная к единице объема
и времени] и затем перейти
из точки 3 в точку 2 [ампли-
[амплитуда /Со B, 3)J. Так как рассея-
рассеяние может произойти в любой
точке 3, суммирование по всем
альтернативным возможностям
и дает выражение (9).
Кроме того, частица может
быть рассеянной внешним полем
дважды (фиг. \,б). При этом
она переходит из точки / в
точку 3 [амплитуда К0{3, /)],
претерпевает там рассеяние [ам-
[амплитуда — iUC)l, затем дви-
движется до некоторой другой
точки 4 в четырехмерном пространстве [амплитуда КоD, 3)), вновь рассеивается
1амплитуда— ШD)\ и, наконец, переходит в точку 2 [амплитуда К0B, 4)]. Сум-
Суммируя по всем возможным положениям и временам для точек 3 и 4, находим,
что составляющая второго порядка полной амплитуды /СB) B, /) равна
Пространство
а; первый порядок,vp.(9) ($)второй поряЗок,ур.(Ш)
Фиг. 1. Уравнение Шредннгера (и аналогично урав-
уравнение Днрака) можно трактовать как описание того
обстоятельства, что плоские волны последовательно
^рассеиваются внешним полем.
Случай а иллюсгрнрует положение, возникающее при рассея-
рассеянии первого порядка. Ядро Ко B, 3) является амплитудой свобод-
свободной частицы, переходящей из точки 3 в 2. Заштрихованная об-
область укавывает на присутствие поля с потенциалом Д, который
вызывает рассеяние в точке 3 с амплитудой—1А C), рассчитан-
рассчитанной на 1 см"-сек [уравнение (9)].
Случай б иллюстрирует процесс второго порядка [уравнение A0I,
когда волна, рассеянная в точке 3, вновь рассеивается в точке 4.
В одноэлектронной теории Дирака ядро Ка D, 3) представляло
бы электроны как с положительными, так и с отрицательными
энергиями, движущиеся от точки 3 к точке 4. Этого можно избе-
избежать за счет выбора другого рассеивающего ядра К+ {4, 3)
(см. фиг. 2).
Ь B, 4) U D) Ко D, 3) U C) Ко C, 1) d4 rfv
A0)
Этот результат можно непосредственно получить из формулы A), анало-
аналогично тому как было получено выражение (9). Подобным же образом можно,
очевидно, выписать любой из членов разложения F)г).
!) При этом мы просто решаем методом последовательных приближений интеграль-
интегральное уравнение [следующее непосредственно из уравнения A) при H=HU+U и урав-
уравнения D) при Н — Но]
<\,B)=-i f Ко B,3) U C) 4- C) dx3 + f Ко{2,1) 4- A) dHb
где первый интеграл распространен по всему пространству и всем временам ta, большим
чем ti\ кроме того, t2j>ti. — Прим. авт.
III. ТЕОРИЯ ПОЗИТРОНОВ 143
3. Рассмотрение уравнения Дирака
Применим теперь развитый в предыдущем разделе метод к уравнению Ди-
Дирака. Для этого, очевидно, достаточно рассматривать в предыдущих уравнениях
Н как дираковский гамильтониан и считать <|» величиной с индексом, пробегаю-
пробегающим четыре значения (для каждой частицы). Тогда ядро Ко, которое можно
попрежнему определять посредством выражений C) или D), будет 4><4-матри-
цей, действующей на начальную волновую функцию и дающей при этом конеч-
конечную волновую функцию. Величина U{3) в A0) может быть заменена на вели-
величину Ai C)—аАC), где через Л4 и А обозначены соответственно скалярный и
векторный потенциалы, умноженные на заряд электрона, а я — матрицы Дирака.
Используем в дальнейшем рассмотрении следующие релятивистские обозна-
обозначения. Четырехмерный вектор вида х, t мы будем изображать символом х^, где
|i=l, 2, 3, 4 и координата x± = t действительна. Так, векторным и скаляр-
скалярным потенциалом (умноженным на г) А и А, будет А^. Четыре матрицы л и J3
можно считать преобразующимися как четырехмерный вектор ^ (наши ^ отли-
отличаются от соответствующих величин у Паули на множитель i для [i= 1, 2, 3). Мы
подразумеваем суммирование по одинаковым индексам а^Ь^ = а4Ь4—агд^—аф9—
— а.лЬ.л = а • (?. В частности, если а^— некоторый четырехмерный вектор (но не
матрица), то мы записываем а = а,^^, так что а является матрицей, соответ-
соответствующей вектору (символ а часто будет использоваться вместо а^ для обозна-
обозначения вектора). Матрицы ^ удовлетворяют условиям -^Yv + TvTi<-== 28^.,, где
844 = -j- 1, 311 = 22,2 = 8.33 = —1, а все остальные 8^ равны нулю; вследствие
нап.их обозначений Ъ^а^ — а^, 8^ = 4. Заметим, что ab-\-ba — 2a-b и что
величина а2 = а^а^ = аа является обычным числом. Символ д/дх^ будет обо-
обозначать д dt при {л == 4 и —д;дх, —д/ду, —djdz при [1=1, 2, 3. Положим
^ д д
V = ?[li3—==$~м~\~ФлЧ- В дальнейшем мы будем для удобства считать, что
и* ? . ¦ *
в выражении C) функция <эп заменена на сопряженную функцию »П=»ПЭ-
Тжим образом, уравнение Дирака для частицы с массой т во внешнем
поле А = Ад имеет вид А
{17 — m)tj = Ab, A1)
а уравнение D), определяющее движение свободной частицы, примет вид
(iVa — m)K+{2, /) = ЙB, /), A2)
где индекс 2 у оператора V2 означает, что дифференцирование производится
по коор шнатам х<,„, обозначенным в функциях К+ B, /) и 8 B, /) цифрой 2.
Функция К+ B, /) определена для случая отсутствия внешнего поля. Если
имеется внешнее поле с потенциалом А, то можно определить аналогичную
функцию, которую мы обозначим через К^B, 1). Функция К^B, 1) будет
отличаться от К+ B, /) в первом порядке на поправку, которая по аналогии
с (9) равна
АГ? B, l) = — lJK+B, 3)AC)K+C, l)dx3. A3)
Эта поправка соответствует амплитуде перехода частицы без воздействия поля
из точ.^и / в точку 3, рассеянию в точке 3 [матрица Л C) заменяет теперь UC)]
и последующему свободному переходу в точку 2. Поправка второго порядка по
аналогии с A0) равна
Kf B, /) = — J JV+B, 4) А D) К+{4, 3) А C) К+ C, /) dzt dz3 A4)
и т. д. Вообще, функция К^ удовлетворяет уравнению
(*V8 — AB)-m)K(^B, /) = /8B, /), A5)
14 Зак. 573. .
144 Р- ФЕЙНМАН
а последовательные члены A3), A4) и т. д. дают разложение в степенной ряд,
решения интегрального уравнения
B, 1) = К+ B, l) — if К+ B, 3) А C) К?} C, 1) d4. A6)
Теперь, казалось бы, следовало выбрать частное решение уравнения A2)
в виде К+ = Ко, где функция Ко B, 1) равна нулю при t2 < tlt при t% > *i
определяется выражением C), в котором вместо <оп и Еп подставлены соответ-
соответственно собственные функции и собственные значения энергии для частицы,
подчиняющейся уравнению Дирака, а <р„ заменено на <вп.
Однако получающиеся при подобном выборе х) формулы страдают тем не-
недостатком, что они применимы лишь для одноэлектронной теории Дирака и не
родятся для дырочной теории позитрона. Рассмотрим, например, электрон после
рассеяния внешним полем, действующим в малой области 3 четырехмерного про-
пространства (фиг. 1, а). Одноэлектронная теория утверждает [согласно выраже-
выражению C) при К+ = К0], что амплитуда рассеяния в другой точке 2 будет всегда
изменяться при возрастании времени как с положительной, так и с отрицатель-
отрицательной энергией, т. е. как с положительной, так и с отрицательной скоростью
изменения фазы. Волн, рассеянных в сторону времен, предшествующих вре-
времени рассеяния, нет. Именно таковы свойства функции К0B, 3).
С другой стороны, согласно позитронной теории, электрон после рассеяния-
не может занимать состояний с отрицательной энергией'. Таким образом, выбор
К+ = Ко является неудовлетворительным. Имеются, однако, еще другие решения,
уравнения A2). Мы выберем одно из них, определив /С+ B, /) так, чтобы
К+ B, 1) при t^ > tx было суммой вида C) только по состояниям с поло-
положительной энергией. Это новое решение должно удовлетворять уравнению A2)
при всех временах для того, чтобы представление было полным. Отсюда сле-
следует, что разность между новым и старым решением должна удовлетворять
однородному уравнению Дирака. Из определения ясно, что данная разность
Ко — К+ является суммой вида C) по всем состояниям с отрицательной энер-
энергией до тех пор, пока t^ > tv Поскольку, однако, рассматриваемая разность
должна быть решением однородного уравнения Дирака во всем времени, то
она должна представляться той же самой суммой по состояниям с отрицатель-
отрицательной энергией и при t% < tv Так как в этом случае К0=0, то, следовательно,
наше новое ядро К+ B, /) при t% < tx является взятой со знаком минус
суммой вида C) по всем состояниям с отрицательной энергией. Итак,
пол. Е '
* _ A7>
К+{2, 1) = — 2 ?»B)?„(/)ехр( — /?„(*2 — <j)) для<а<<1.
При подобном выборе /С+ наши уравнения, например A3) и A4), будут
давать результаты, эквивалентные результатам теории дырок.
В частности, правильность до второго порядка выражения A4) для описа-
описания перехода в точку 2 электрона, находившегося первоначально в точке /,.
можно проверить следующим образом (фиг. 2).
Возьмем тот случай, когда t% > tt и внешнее поле не равно нулю лишь на
интервале tf2— tv так что как момент t3, так и момент t± лежат между време-
временами tx и t2. Предположим сначала, что ti > t3 (фиг 2, б). Тогда (поскольку
/3 > 2j) электрон, находящийся по предположению сначала в состоянии с поло-
положительной энергией, переходит в этом состоянии [К+ C, /)] в точку 3, где он
1) Вопрос о выборе того или иного вида 1( является по существу вопросом о вы-
выборе одной из функций Грина уравнения Дирака (см. вступительную статью). Подробное
рассмотрение вопроса о правильном выборе гриииана квантованных уравнений поля,
приводится в статье VII настоящего сборника. — Прим. ред.
III. ТЕОРИЯ ПОЗИТРОНОВ
145
2 К.B,3),полошит, энергия
,3),отрицат
/ энергия
а) Первый порядок, ур.113)
претерпевает рассеяние [А C)]. Далее, данный электрон движется к точке 4,
причем он должен вести себя как электрон в состоянии с положительной энер-
энергией. Этот результат правильно описывается выражением A4), так как ЛТ+ D, 3)
содержит в своем разложении только компоненты с положительной энергией,
так как t4 > ts. После рассеяния в точке 4 электрон движется к точке 2, на-
находясь обязательно вновь в со-
состоянии с положительной энергией,
так как 12 > t4.
В позитронной теории воз-
возможность виртуального порожде-
порождения пары приводит к дополни-
дополнительному слагающему для рас-
рассеяния (фиг. 2, в). Пара может
быть порождена внешним полем
А D) в точке 4, причем элект-
электрон этой пары является как раз
тем электроном, который впо-
впоследствии обнаруживается в точ-
точке 2. Позитрон (или, лучше ска-
сказать, дырка) движется к точке 3,
где он анкигилирует вместе с
электроном, попавшим в точку 3
из точки 1.
Указанная возможность уже б/Виртуальное
предусмотрена в выражении A4)
той частью подинтегрального вы-
выражения, для которого t4 < t3;
ее исследование позволит нам фиг. 2. Уравнение Дирака имеет решением
К+ B, 1), если считать, что рассеянные внеш-
внешним полем волны могут двигаться попятно во
времени [случай а; уравнение A3)]. Случай б
(виртуальное рассеяние; t4^>ts) и случай в (вир-
(виртуальные пары) иллюстрируют процессы второго
порядка [уравнение A4)], причем в случае в
имеется возможность (виртуального) порождения
в точке 4 пары с аннигиляцией в точке 3 позит-
позитрона, движущегося из точки 4 по направлению К
точке 3. Этот процесс можно описать подобно
обычному рассеянию (случай б), за исключением
того, что электрон движется попятно во времени
при переходе из точки 3 в точку 4. Волны, рас-
рассеянные из точки 3 в точку 2' (случай а),
описывают возможность перехода позитрона в
точку 3 из точки 2' и аннигиляции электрона,
исходящего из точки /. Подобная трактовка экви-
эквивалентна теории дырок, причем движущиеся по-
попятно во времени электроны обнаруживаются
как позитроны.
ц 3
только ^отрицат.
е)Виртуальные энергии
пары
Ьторой порядок,yp.(l'i)
дать интерпретацию К+ D, 3)
при t4 < t3. Величина К+ B, 4)
описывает электрон, движущийся
после порождения пары из точ-
точки 4 в точку 2. Аналогично ве-
величина ЛТ+ C, 1) описывает элек-
электрон, движущийся из точки 1 в
точку 3. Величина К+ D, 3) дол-
должна, таким образом, представлять
распространение позитрона, или
дырки, из точки 4 в точку 3.
Что дело обстоит именно так, не
вызывает никаких сомнений. То
обстоятельство, что в теории ды-
дырок позитрон движется, как элек-
электрон с отрицательной энергией,
отражается здесь в том, что зна-
значение К+ D, 3) при t4 < ts равно взятой со знаком минус сумме компонент,
отвечающих только отрицательным энергиям. В теории дырок действительная
энергия подобных промежуточных состояний является, конечно, положительной.
Это остается верным и здесь, так как в фазах ехр (—iEn{ti — ^)), входящих
по определению A7) в К+D, 3), являются отрицательными и значение Еп и1
значение разности t4 — ts. Поэтому подобные составные части ядра К+D, 3)
изменяются с изменением ts как ехр (—i\En\(ts—14)), т. е. так, как они
изменялись бы, если бы энергия промежуточного состояния равнялась \Еп\. То,
что при подсчете КD, 3) вся сумма берется с отрицательным знаком,
связано с изменением знака амплитуды в теории дырок соответственно прин-
принципу Паули и соответственно тому, что электрон, попадающий в точку 2,
146 Р. ФЕЙНМАН
возник в результате обмена с электроне м фона *). Подобным образом правильно
описываются все включающие виртуальные пары процессы как рассматриваемого,
так и высших порядкоз.
Выражения, подобные A4), могут попрежнему сопоставляться с переходом
-электрона из точки / в точку 3 [К+ C, /)], рассеянигм его в точке 3 [АC)],
последующим пгргходом в точку 4 [К+ D, 3)], новым рассеянигм [А D)] и,
наконец, попаданием в точку 2. Однако при этом рассеяния могут происхо-
происходить как в направлгнии будущего,- так и в направлении прошлого, причем
электрон, распространяющийся попятно по врамени, считагтея позитроном.
Это наводит на мысль, что компоненты с отрицательной энаргией, образо-
образовавшиеся при рассеянии внешним полем, должны рассматриваться как волны,
распространяющиеся из точки рассеяния в направлении прошлого, и что подоб-
подобные волны представляют распространение позитрона, аннигилирующего затем
с электроном под действием внешнего поля 2).
Подобная интерпретация дает правильное описание событий также и в слу-
случае де ютвительного порождения пары (см. фиг. 3). Так, если, в частности,
в выражении A3) t1 < t.3 < ts, то это выражение дает амплитуду того, что при
находившемся ранее в точке / в момент tx электроне будет иметься лишь один
(рассеянный в точке 3) электрон, расположенный в точке 2. С другой стороны,
если to меньше t.6, например, если t2 = tl <C t;i, то это же выражение дает ампли-
амплитуду аннигиляции в точке 3 пары, электрона, в точке / и позитрона в точке 2,
по ле чего не останется ни одной частицы. Аналогично, если значение t% и tx
больше L, то мы получаем (со знаком минус) амплитуду нахождения одиночной
пары, электрона в точке 2 и позитрона в /, порожденной полем А C) из вакуума.
При /j > tj > t% выражение A3) описывает рассеяние позитрона. Все эти ампли-
амплитуды отнесены к амплитуде того, что вакуум будет оставаться вакуумом, кото-
которая принята за единицу. (Этот вопрос более полно будет рассмотрен ниже.)
Можно без труда вывести формулу, аналогичную формуле B) 3). Именно,
ф B) = / К+ B, 1) NA) ф (/) tPVv A8)
при этом rf3Vj обозначает элемент объема замкнутой трехмерной поверхности
простр.шетвенно-временной области, окружающей точку 2, а величина NA) равна
^ii('lTxi где МрA) — направленная внутрь единичная нормаль к поверхности
в точке /.
') Часто отмечается, что одноэлектронная теория дает, очевидно, такие же матрич-
матричные элементы для подобного процесса, как и теория дырок. Проблема заключается
в нахождении интерпретации, приводящей к правильным результатам и в других слу-
случаях; например, при рассмотрении задачи о собственной энергии. — Прим. asm.
'-) Идея о том, что позитроны могут быть представлены как электроны с собствен-
собственным временем, направленным противоположно истинному времени, обсуждалась автором
и некоторыми другими, в особенности Штюкельбергом [4, 5]. То обстоятельство, что
в классической теории действие (собственное время) непрерывно возрастает вдоль траек-
траектории, отражается в квантовой механике в том, что фаза, которая равна |?„||^2 — 'il>
всегда возрастает при переходе частицы от одной точки рассеяния к другой. — Прим. asm.
8) Умножив уравнение A2) справа на (—iVx—т) и заметив, что Pt6 B, 1) =—V25 B,1),
мы пол)чим, что К. у B, 1) удовлетворяет также уравнению К+ B, 1) (—iV\ — т) = ib B,1),
где опера юр Vt действует на координаты точки 1 в Kv B, 1), но написан после этой
,фуи.> ции для сохранения правильного порядка ?-матриц. Умножим это уравнение на ^A),
я ураьнение A1) (при 4 = 0) умножим на К+ B, 1); получившиеся выражения вычтем
друг h.s аруга и проинтегрируем результат по некоторой области пространства — вре-
времени. Интеграл, стоящий с левой стороны получившегося уравнения, может быть пре-
образов.,н в интеграл по поверхности пространственно-временной области. Правая сто-
сторон, i уравнения равна $B), если точка 2 лежит внутри взятой области; в противном
«случае она равна нулю. (Тот случай, когда трехмерная поверхность содержит световую
линию н\левой длины и не имеет, следовательно, однозначной единичной нормали, не
требугт особого рассмотрения, так как можно добиться настолько большого удаления
подобных точек от точки 2, что их вклад в подинтегральное выражение будет исчезающе
¦м алы м.) — Прим. авт.
111. ТЕОРИЯ ПОЗИТРОНОВ
147
Таким образом, волновая функция ty{2) определена (в данном случае для
свободной частицы) везде внутри четырехмерной области, если заданы значения
функции на поверхности этой области.
Рассмотрим для интерпретации полученного положения тот случай, когда
трехмерная поверхность состоит в основном из всего пространства в некоторый
момент t = 0, предшествующий вре-
времени а!2, и из всего пространства
при Т > t%. Дополнение указанных
поверхностей до замкнутой поверх-
поверхности можно считать расположенным
настолько далеко от точки х2, что
взятая по нему часть интеграла A8)
не будет сказываться на значении
<Нх2), так как ядро К+ B, 1) экспо-
экспоненциально убывает в пространст-
пространственно-подобных направлениях. По-
Поскольку направленная внутрь нор-
нормаль N будет в этом случае (при
"d = Р) равна р или —р, то
при этом t]_ = 0 и 4'= Т. Первый Фиг. 3. Одна и та же формула описывает
Ря Разлиных процессов в зависит от
интеграл не равен нулю лишь для
обладающих положительной энергией
(электрон) компонент 4(/), а второй
Ряд Различных процессов в зависимости от
соотношения временных переменных t2 и tt.
Так' величина ^К^- '> " есть веРоят-
л ность того, что: а — некоторый электрон, ис-
интеграл, наоборот, не равен нулю ходящий из ТОЧки /, будет рассеян в точку 2,
лишь для обладающих отрицатель- причем в вакууме не будет образовываться
ной энергией (позитрон) компонент пар; б—произойдет аннигиляция электрона,
Ш'\. Следовательно, амплитуда на- движущегося из точки /, и позитрона, движу-
т ч ' п 2
т п
хождения заряда в точке J зависит
как от амплитуды нахождения элек-
дущ , р, ду
щегося из точки 2, и после этого не оста-
нется частиц; в — произойдет порождение одной
пары из вакуума; г — позитрон, движущийся из
трона в предшествующем по вре- точки 2, рассеивается в точку /. (Ядро
B, /) включает эффекты рассеяния всех по-
рядков; Pv — постоянная нормировки.)
мени измерении, так и от амплитуды
нахождения позитрона после изме-
рения. Это можно считать выра-
выражением того обстоятельства, что даже в задаче с одним зарядом ампли-
амплитуда порождения заряда в точке 2 не определяется, когда известны лишь
амплитуды нахождения электрона (или позитрора) в предшествующие моменты
времени. Возможно, что вначале нет вообще ни одного электрона, но в про-
процессе измерения (или под действием другого внешнего поля) происходит порожде-
порождение пары. В подобном случае амплитуда нахождения заряда определяется ампли-
амплитудой нахождения позитрона в будущем.
Мы можем теперь получить для амплитуд перехода выражения, подобные E).
Зададим, например, вопрос: какова амплитуда нахождения электрона в момент t=T
в состоянии с волновой функцией g"(x), соответствующей положительной энергии,
если в момент а! = 0 электрон находится в Состоянии с волновой функцией /(х),
также соответствующей положительной энергии? Амплитуда нахождения элек-
электрона где-либо после момента t = 0 определяется выражением A9) с заменой там
ф(/) на /(х), причем второй интеграл равен нулю. Следовательно, для амплитуды
перехода в состояние g{x) получаем аналогично E) выражение (t^=T, t1 = 0):
7(х») РАГ+ B,
l) d* Xl d? x2,
B0)
так как
148 Р- ФЕЙНМАН
Если действие внешнего поля имеет место где-либо на отрезке времени между
О и Г, то ядро К+ заменяется на К(+]. В таком случае эффект первого по-
порядка в амплитуде перехода, согласно A3), равен
+ B, 3)АC)К+C, /)Р/(х1)^х1йРх2 А8. B1)
Подобные выражения могут быть упрощены и входящие в них интегралы по
трехмерной поверхности, неудобные для релятивистских вычислений, могут быть
устранены следующим образом. Вместо определения состояния посредством вол-
волновой функции /(х), взятой в некоторый заданный момент времени ^ = 0, опре-
определим состояние с помощью функции /(/) от четырех переменных xlf tv являю-
являющейся решением уравнения для свободной частицы при всех ^ и равняющейся
/(х,) при ^ = 0. Конечное состояние определяется аналогичным образом с по-
помощью функции g B), определенной во всем четырехмерном пространстве. Теперь
наши поверхностные интегралы могут быть преобразованы, в связи с тем что
х1=/C) и
Для эффекта первого порядка получаем выражение
-ijgC)AC)fC)d4, B2)
причем интеграл распространен теперь по всему пространству — времени. Ампли-
Амплитуда перехода второго порядка, согласно A4), равна
-fjgB)A B) К+ B, 1) А (/)/ (/) Aj d^ B3)
(частица, попавшая в точку / с амплитудой /(/), рассеивается [А(./)], движется
к точке 2 \К+ B, /)], вновь рассеивается [ДB)|, после этого ставится вопрос
об отыскании амплитуды нахождения частицы в состоянии gB)). Если функ-
функция g B) соответствует состоянию с отрицательной энергией, то это означает,
что решается проблема аннигиляции электрона с волновой функцией /(/) и позит-
позитрона с волновой функцией g{2) и т. п.
До сих пор делалось ударение на процессах. рассеяния, однако очевидно,
что аналогично можно рассматривать также и задачу движения в постоянном
внешнем поле с потенциалом V, в частности задачу о водородном атоме. Если
последнюю задачу рассматривать сначала как задачу рассеяния, то можно поста-
поставить вопрос об амплитуде <?&G) того, что имевший первоначально свободную
волновую функцию электрон был рассеян k раз ползм с потенциалом V либо
вперед, либо назад по времени и оказался в точке /. Тогда амплитуда после
добавочного рассеяния будет равна
?»+1 B) = -1 S К+ B, /) V(l) % (/) А,. B4)
Выражение для полной амплитуды
fc = 0
попадания в точку / либо непосредственно, либо после любого числа рассеяний
получается суммированием выражения B4) по всем k от 0 до оо. Очевидно,
ф B) = ?0 B) - i J К+ B, /) V{1) «!¦ (/) d~n. B5)
Рассматривая проблему как задачу устойчивых состояний, мы можем получить,
в частности, то начальное условие для о0 (или, точнее, для ф), которое приводит
к периодическому движению для ty. Это большей частью практически делается,
III. ТЕОРИЯ ПОЗИТРОНОВ 149
конечно, посредством решения уравнения Дирака
(/V —m)«j»(/)= v (/ж/), B6)
вытекающего из B5), при учете уравнения A2) после действия на B5) с обеих
сторон оператором (iV2 — т), благодаря чему исключается о0. Приведенный при-
пример наглядно иллюстрирует взаимосвязь между различными точками зрения.
Во многих . задачах полный потенциал A-\-V можно расщепить на две
части, а именно, на независящую от времени часть V и на часть А, рассма-
рассматриваемую как возмущение. Если величина К+ определена так же, как и вели-
величина /(+* в формуле A6) с заменой там потенциала А на V, то выражения,
подобные B3), остаются пригодными при замене К+ на К+\ при этом волновые
функции свободных частиц /(/) и gB) заменяются решениями (во всем четы-
четырехмерном пространстве) уравнения Дирака B6) с потенциалом V".
4. Случай нескольких зарядов
Теперь мы рассмотрим случай, когда имеется два (или более) различных
заряда, _к?Оме пар, кото2Ы?.^рни__м.огут образовывать .в B^Tya^bjm^^ocjoaHiwx.
В последующей статье мы будем рассматривать взаимодействие между подобными
зарядами. Здесь же мы предположим, что взаимодействия нет. В этом случае
поведение каждой частицы не зависит от других частиц. Мы можем ожидать,
что если имеются две частицы а и Ь, то амплитуда перехода частицы а из точки хх
при t = tlB точку х8 при t = t.a и частицы b из точки х2 при t = t2 в точку х4
при t=ti равна произведению
КC, 4; 1, 2) = К+аC, 1) К+ь D, 2).
Индексы а, b обозначают, что матрицы в АГ+ действуют на четырехкомпонент-
ный дираковский спинор, относящийся либо к частице а, либо соответственно
к частице b (индекс у волновой функции принимает теперь 16 значений). В слу-
случае наличия внешнего поля величины К+а и К+ь переходят в К(+а и АГ^ь, где
ядро К+а определяется и подсчитывается так же как и для отдельной частицы.
Величины К+Д и K+t> коммутируют друг с другом. В последующем индексы а
и b могут быть опущены, так как указания пространственно-временных пере-
переменных в ядрах достаточно для определения того, на что эти ядра действуют.
Учтем теперь, что рассматриваемые частицы одинаковы и подчиняются
принципу Паули, который лишь требует, чтобы для получения истинной ампли-
амплитуды попадания зарядов в точку 3 и 4 подсчитывали разность К C, 4; 1, 2)—
— КD,3', 1, 2). (Имеется еще нормировочное условие, состоящее в том, что когда
интегрирование включает, например, точки 3 и 4, то интеграл нужно делить
на 2, так как электроны тождественны.) Данное выражение справедливо также и
для позитронов (см. фиг. 4). Например, амплитуда того, что электрон и позитрон,
находившиеся первоначально в точках х, и соответственно х4 (пусть ^ = г!4), нахо-
находятся впоследствии в точках х3 и х2 (t2 = ta > tx), дается аналогичным выражением
К(? C, 1) ЛГ(+Д) D, 2) - ЛГ(+А) D, 1) К(? C, 2). B7)
Первый член представляет амплитуду того, что электрон переходит из точки /
в точку 3, а позитрон — из точки 4 в точку 2 (фиг. 4, Ь), в то время как вто-
второй член представляет амплитуду того, что пара в точках / и 4 аннигилирует,
а внешнее поле снова порождает пару. Обобщение на большее число частиц не
вызывает затруднений. В этом случае каждая частица привносит дополнительный
множитель /С+ и каждый раз берется антисимметрическая комбинация величин К-
В промежуточных состояниях принцип Паули учитывать не требуете^.
В качестве примера рассмотрим вновь выражение A4) при t2 > tx и примем,
что tt < ta, так что описывается та ситуация (см. фиг. 2, в), когда в точке 4
150
Р. ФЕЙНМАН
или
или
порождается пара, электрон которой движется в точку 2, а позитрон — в точку 3,
где он аннигилирует с электроном, прибывшим из точки /. Может быть выдвинуто
возражение, что в том случае, когда электрон, порожденный в точке 4, оказы-
оказывается в том же самом состоянии, что и электрон, движущийся из точки /;
получается противоречие с принципом Паули, и значит подобный процесс не
нужно включать в выражение A4).
. Однако мы сейчас покажем, что при
- учете принципа Паули потребуется вве-
ввести еще и другие изменения, которые
в совокупности вновь приводят к ста-
старому выражению.
Мы подсчитываем отгосительные
амплитуды при условии, что вакуум
в момент ?j будет оставаться вакуумом
в момент t%.
Нам важно знать изменение ампли-
амплитуды вакуума, вызванное присутствием
'• -в точке / электрона. Единственным
процессом, который можно в этом
случае представить себе происходя-
происходящим в вакууме, является порож-
порождение пары в точке 4 и последующая
аннигиляция той же самой пары в точ-
точке 3. (Подобный процесс мы будем на-
называть замкнутой петлей.) Если, однако,
имеется реалькый электрон в опре-
определенном состоянии /, то следует ис-
исключить те пары в вакууме, у кото-
которых порождаемый электрон находится
тоже в состоянии /.Поэтому мы должны
вычесть из нашей относительной ампли-
амплитуды член, соответствующий таким про-
процессам. Указанный член как раз равен
взятому с обратным знаком члену, ко-
который, как мы утверждали, не должен
включаться в выражение A4). Таким
образом, действительно, можно полно-
полностью не учитывать в промежуточных
состояниях принцип Паули.
Все полученные нами амплитуды —
относительные, их квадраты дают от-
относительную вероятность различных со-
событий. Для получения абсолютных
вероятностей относительные вероятно-
вероятности нужно умножить на Р„ — вероят-
вероятность того, что если частиц не было
в начале, то их не будет и в конце.
Pv можно
6
Зе-
или
в
Фиг. 4. Ряд задач, включающих два раз-
различных заряда (помимо возможных виртуаль-
виртуальных пар).
Величина
C,
) D, Z)-
2)\2
является вероятностью того, что а —электроны из то-
точек / и 2 рассеиваются в точки 3 и 4 и не образуется
никаких пар; б— электрон выходит из точки 1, обра-
образуется пара и в итоге имеются позитрон в течке 2
и электроны в течках 3 и 4; в—пара, находившаяся
в точках 1 а 4, обнаруживается в точках 3 и 2 и т. д.
Принцип Паули требует, чтобы вычитались ампли-
амплитуды процессов, получающихся друг из друга в ре-
результате перестановки двух электронов.
Величину Ип можно вычислить, введя
такую нормировку относительных вероятностей, чтобы сумма вероятностей
всех взаимоисключающих возможностей равнялась единице. [В частности,
если вначале имеется вакуум, то можно подсчитать относительную вероятность
(равную единице) того, что вакуум остается вакуумом, вероятности порож-
порождения одной пары, двух пар и т. д. Сумма получающихся величин равна Р~г.\
Приведенная к подобной форме теория является замкнутой и не включающей
никаких расходимостей. Истинные процессы совершенно не зависят от того, что
происходит в вакууме.
Ш. ТЕОРИЯ ПОЗИТРОНОВ
Однако если учесть, как будет сделано в последующей статье взаимодей-
взаимодействие между зарядами, то положение перестанет быть столь простым. В этом
случае появляется возможность электромагнитного взаимодействия виртуальных
электронов вакуума и реальных электронов. По этой причине в следующем раз-
разделе разбираются процессы, происходящие в вакууме; кроме того, там рассма-
рассматривается независимый метод получения величины Pv.
5. Вакуумные проблемы
Другим путем получения абсолютных амплитуд является умножение всех
относительных амплитуд на Cv — амплитуду перехода вакуума в вакуум, иными
словами — на абсолютную амплитуду того, что частиц нет ни в начале, ни в конце.
Можно положить С„=1, если в рассматриваемом интервале не действует внеш-
внешнее поле, в остальных случаях величина С„ подсчитывается указанным ниже
образом. Эта величина не равна тогда единице, так как, например, может быть
порождена пара, которая в конечном счете вновь аннигилирует. Траектории
частиц подобных пар будут на пространственно-временных диаграммах иметь вид
замкнутых петель. Сумму амплитуд, получающихся от всех подобных замкнутых
петель, мы обозначим через L. В первом приближении величина L выражается
в виде
т = J / /tr [К+ B' 7)А <7) Х К+ (/> 2) А B)i rfti dx* B8>
(Действительно, электрон и позитрон пары, которая может быть порождена, напри-
например, в точке /, могут оба перейти в точку 2 и там аннигилировать.) След Sp берется
потому, что нам нужна сумма по всем возможным спинам у пары. Появление
множителя '/з вызвано тем, что одна и та же петля может начинаться и в точке /
и точке 2, а минус является следствием того, что здесь входят два множителя — /А.
Следующим членом разложения L будет х)
т = + Т J J / tr [*+ <2' 7) А W К* ('• 5) А W K+ C, 2) А B)] d4 Ла <*cs
и т. д. Сумма всех подобных членов равна L 2).
Кроме появления рассмотренных одиночных петель возможно также порож-
порождение и последующая аннигиляция двух независимых пар. Эти пары могут обра-
образовывать в вакууме по две замкнутых петли, и появляющийся вследствие этого
член в искомой амплитуде равен квадрату члена, появляющегося вследствие
*) В действительности этот член равен нулю, как это видно из следующего рассуж-
рассуждения. В каждом следе знак всех ^-матриц можно изменить на обратный. Изменение
знака у f в К± B, 1) переводит эту величину в величину, транспонированную к К+ (¦/. 2),
так что порядок множителей и переменных становится обратным. Так как интеграл
берется по всем значениям tj, т2 и т3, то при подобной перестановке общий результат
не изменяется и мы получаем, что № = (—1K/,B) вследствие изменения знака у А.
Таким образом, значение следа равно нулю. Петли при нечетном числе величин А дают
нуль. Физически это вызвано тем, что каждую петлю электрон может обойти в двух
направлениях, и мы должны складывать амплитуды обеих возможностей. Но при изменении
направления движения электрона он начинает вести себя, как частица с положительным
зарядом, так что изменяется знак у каждого А и сумма амплитуд становится
равной нулю, если число входящих взаимодействий нечетно. Данная теорема принад-
принадлежит Фарри [6]. — Прим. авт.
2) Получение замкнутого выражения для L представляет затруднения из-за множи-
множителя 1/и в и-м члене. Однако легко получить приращение М, вызванное малым измене-
изменением потенциала ДД. В этом случае множитель 1/и сокращается вследствие добавления
изменения ДЛ к каждому из п потенциалов. Результат, получающийся после суммирова-
суммирования по п, равен [при учете соотношений A3), A4) и уравнения A6)]
U = - i J tr [(/с?> A,1) - К+ A, 1)) ДА A)] d4. B9)
Член с К+A' -0 Дает после интегрирования нуль. — Прим. asm.
152 Р- фейнман
одиночных петель, деленному на два (последнее необходимо, так как иначе
каждая пара петель учитывалась бы дважды; при этом попрежнему справедливо
пренебрежение в промежуточных состояниях принципом Паули). Полная вакуум-
вакуумная амплитуда будет равна
C=l-Z. + ^-f+...=exp(-L), C0)
причем отдельные слагаемые соответствуют последовательно отсутствию петель,
наличию одной петли, двух петель и т. д. То обстоятельство, что одиночные
петли дают слагаемое — L, является следствием принципа Паули. Рассмотрим,
например, такой случай, когда порождаются две пары частиц. Обе эти пары
впоследствии уничтожаются, так что мы получаем две петли. В некоторый за-
заданный момент может произойти обмен электронами, причем получится имеющая
форму восьмерки фигура, относящаяся уже к одиночным петлям. Поскольку
составляющие амплитуды, отличающиеся перестановкой электронов, входят с раз-
различными знаками, то ряд C0) должен быть знакопеременным. (Аналогичным обра-
образом, благодаря принципу Паули, амплитудой для порожденных пар является не
величина —К+, а величина -\-К+.) Симметрическая статистика привела бы к выра-
выражению
+
Величина L содержит бесконечную мнимую часть (вследствие L^; члены
высших порядков конечны). Мы обсудим это обстоятельство в связи с поляри-
поляризацией вакуума в следующей статье. Оно не влияет на постоянную нормировки,
так как вероятность того, что вакуум остается вакуумом, дается, согласно C0),
выражением
Л,= |С,|2 = ехр (—2ReL),
где Re L — вещественная часть L. Данное значение Pv совпадает с значением,
получающимся при нормировке относительных вероятностей. Вследствие уравне-
уравнения Дирака и свойств К+ действительная часть L оказывается положительной,
так что величина Pv меньше единицы. Статистика Бозе приводит к значению
Cv = ехр (-\- L) и, следовательно, к значению Pv, большему чем единица, что,
очевидно, бессмысленно, если сохранить за этой величиной придаваемое ей
здесь значение. Несомненно, что при нашем выборе вида ядра К+ требуется выполне-
выполнение принципа Паули.
Заряды, подчиняющиеся уравнению Клейна — Гордона, также могут рассма-
рассматриваться с помощью метода, использованного здесь для электронов Дирака.
Вопрос о том, как это сделать, будет более детально рассмотрен в последую-
последующей статье. Для уравнения Клейна—Гордона вещественная часть L оказывается
отрицательной, так что в этом случае становится, очевидно, необходимым исполь-
использование статистики Бозе [3].
6. Импульсное представление
В ряде задач практическое определение матричных элементов часто упро-
упрощается, если использовать в качестве переменных не пространственные и вре-
временную координаты, а энергию и импульс. Дело в том, что хотя сама функция
К+ [2, 1) имеет довольно сложный вид, ее представление Фурье, как мы пока-
покажем, является очень простым; последняя величина равняется (*/4тг2) (р — /га),
так что
К+ B, /) = ^ J О - и) ехр (- ipxn) d% C1)
где рлг21 = рлг2 — рхг = р^х^ — РрХщ, Р — р^р и d4p означает элемент инте-
интегрирования Bтг)-2dp1dp2dp^dpi, а интеграл взят по всем значениям р. Правиль-
Ш. ТЕОРИЯ ПОЗИТРОНОВ 153
.яость выражения C1) непосредственно следует из уравнения A2), так как предста-
представлением оператора /V — от в пространстве энергетических (р4) и импульсных пере-
переменных (/?•,, ps, р3) является величина р — т, а представлением Фурье для функции
-8 B, /) является постоянная. Матрицу (р—т)~1 можно приравнять матрице (/>-j~w)X
X Qt>2—те2), так как /»2—т2 = (р—т) (р-\-т) является обычным числом и
•не содержит матриц f. Таким образом, можно при желании написать
К+B, l) = i(iV2 + m)I+B, 1),
где
/+ B, 1) = Bт:)-2 J (р2 - w2) exp (- ipx21) d*p C2)
есть уже не матричный оператор, а функция, удовлетворяющая уравнению
П&+B, 1) — тЧ^B,1) = ЪB, /); C3)
здесь
Интегралы C1) и C2) определены еще не полностью, так как подинте-
гральные выражения имеют полюсы, когда/>2— те2 = 0. Мы можем определить
следующий способ оценки этих полюсов, состоящий в том, что к массе т доба-
добавляется бесконечно малая отрицательная мнимая часть. Именно, величина т заме-
заменяется на т — /8 и берется предел при 8, стремящемся сверху к нулю. Пра-
Правильность указанного положения можно подтвердить, представив себе, что мы
вычисляем значение К+, интегрируя сначала по р4. Если мы положим Е =¦
= +[(«2 + Pi + Pt + Рз)'/г, то интегралы по р4 примут вид J ехр (—ipA (t2— ^
y(_dpi(pl—E2)~l с полюсами у подинтегрального выражения при pi==-\-E и
pi = — Б. Замена т на. т — г'8 приводит к появлению у величины Е малой мни-
мнимой отрицательной части; первый полюс оказывается при этом ниже, а второй —
выше действительной оси. Если теперь tf2 > tv то можно взять замкнутый кон-
контур, состоящий из действительной оси и лежащего ниже действительной оси
полукруга с единственным находящимся внутри контура полюсом р4 = -f" E,
дающим вычет — B?)ехр(—iE(t2 — tjj). Если t2—tx < 0, то должен исполь-
использоваться полукруг, лежащий выше действительной оси, и браться вычет в полюсе
pi = — Е. Получающаяся при применении подобного метода функция в каждом
случае ведет себя так, как это требуется определением A7).
При использовании других подстановок получаются другие решения уравне-
уравнения A2). В частности, если считать, что величина рА в множителе (/>2—/и2)-1
имеет положительную мнимую слагающую, то К+ заменяется на Ко — дираков-
ское одноэлектронное ядро, равное нулю при U<Jtv В явном виде г) (х, t = #21|i)
/+ (x, t) = - Dic)-1 8 (s2) + (^J 7/f> (ms), • C4)
где s = (f2—x2)"= при /2>х2 и s = — l(x3— /9)"<> при *2 < x2, Я}2) — функция
Ханкеля и 8(s2) — дельта-функция Дирака от переменной s2. Функция /+ асимп-
асимптотически ведет себя как ехр (—ims), убывая в пространственно-подобных
направлениях экспоненциально к нулю 2).
1) Функция /+ (х, t) равна {1i)~l (Dj (x, t) — ID (x, t)), где Dx и D — функции, опре-
определенные Паули [7].—Прим. авт.
2) Если величина —^3 сохраняется при т в функции /+, то последняя становится
равной нулю при бесконечно больших положительных и отрицательных t. Это может
быть использовано при общих рассмотрениях, поскольку становится возможным прене-
пренебречь усложняющими особенностями, вызванными учетом бесконечно удаленных поверх-
поверхностей.— Прим. авт.
154 Р- ФЕЙНМАН
С помощью указанных преобразований легко вывести матричные элементы,
подобные B2*> и B3). Волновой функцией свободного электрона с импульсом рх
является функция вг ехр (— ipxx), где иг — постоянный спинор, удовлетворяющий
уравнению Дирака рхих = muv так что р\ = тге2. Матричным элементом B2) пере^
хода из состояния pv ux в состояние, характеризующееся импульсом р2 и спи-
спинором в2, является величина — 4тг9/ (и^а (q) иг), причем мы считаем потенциал А
разложенным в интеграл Фурье
А (/) = J а(д) ехр (— iq • xj d*q
и выбираем компоненту импульса, равную <Jf = />2—рх.
Члену второго порядка B3) соответствует матричный элеменг перехода из иг
в в2
— 4*4 J (а (р2—рх — q)) (P^q — m)^ a (g) d*q, C5)
так как в этом случае электрон с импульсом рх может изменить импульс на
величину q под действием потенциала a(q) и двигаться далее с импульсомрх-\-д
[множитель CjOj —j— q — /re)-1] до нового рассеяния потенциалом я(/>2— А — Я)
с изменением импульса на величину /»2— />-, — q, причем в конце концов остается
импульс р2. Поскольку все значения q допустимы, по q производится интегри-
интегрирование.
Те же самые матрицы непосредственно применимы в случае задач с пози-
позитроном, так как если временная компонента, например, у рх отрицательна, то
данное состояние представляет позитрон с четырехмерным импульсом —рг; если
при этом /»2 соответствует электрону, т. е. имеет положительную временную
компоненту, то мы имеем дело с порождением пары и т. д.
Вероятность некоторого события, матричный элемент которого равен {и^Мих\
пропорциональна квадрату модуля этого элемента. Квадрат модуля матричного
элемента можно записать в виде (и1Ми2)(и2Мих), где М получается из М заме-
заменой порядка операторов на обратный и заменой входящих явно множителей i
на —i (M, умноженное на |3, является комплексно-сопряженной транспониро-
транспонированной относительно РЖ матрицей). Во многих задачах нас не интересует спин
в конечном состоянии. В подобных случаях можно суммировать вероятности
по двум функциям, соответствующим двум спиновым направлениям. Это еще
не полный набор спиновых функций, поскольку оператор /»2 имеет еще одно
собственное значение —т. Чтобы иметь возможность суммировать по всем
состояниям, мы можем вставить оператор проектирования Bт)~1 (р2-\- т), полу-
получая тем самым значение Bт~1)(и1М(р2-\-т)Ми1) для вероятности перехода
из состояния pv ux в состояние р2 с произвольным спином. Если начальное
состояние неполяризовано, мы можем просуммировать также и по его спинам,
при этом получится выражение
Bт)-Чт[(р1-\-т)М(р2-\-т)М]> C6)
дающее удвоенную вероятность того, что электрон с произвольным спином
и с импульсом рх перейдет в состояние с импульсом р2. Те же выражения при-
пригодны и для позитронов, если только ввести значение р' с отрицательными
энергиями и использовать приведенную выше интерпретацию временных соотно-
соотношений. [Мы используем нормировку (ии) = 1 вместо обычной нормировки
(и|3в) = (в*в) = 1. В нашем масштабе (#Cв) = энергия/от, так что вероятности
должны быть изменены на соответствующие множители.]
Автор должен поблагодарить большое число лиц, и в особенности Бете
и Дайсона, за плодотворное обсуждение содержания статьи.
Ш. ТЕОРИЯ ПОЗИТРОНОВ 155
ПРИЛОЖЕНИЕ
а) Связь с теорией вторичного квантования. Здесь мы покажем экви-
эквивалентность приведенной теории и дырочной теории позитронов [2j. Согласно
теории вторичного квантования электронного поля в заданном внешнем поле1),
состояние электронного поля в некоторое время представляется волновой функ-
функцией /, удовлетворяющей уравнению
где
Н = J W* (х) (« • (— /V — А) 4- Ai -+- да?) ЧГ (х) rf'x,
а \Р(х)—оператор аннигиляции электрона в точке х, в то время как ЧГ* (х) — соот-
соответствующий оператор порождения. Мы рассмотрим тот случай, когда при t = О
имеется ряд электронов в состояниях, представляемых обычными спинорными
функциями /] (х), /2(х), ..., которые считаются ортогональными, а также ряд
позитронов. Последние описываются как дырки в фоке отрицательных уровней,
причем электроны, которые должны были бы заполнять эти дырки, имели
-бы волновые функции рх (х), рч(х), ... Возникает вопрос: какова амплитуда
того, что в момент времени Т электроны будут находиться в состояниях g-^ (x),
^2(х), ..., а дырки — в состояниях qi (x), 9г(х)> •••? Если Викторами, пред-
представляющими начальное и конечное состояния, являются в данном случае век-
векторы Х^ и соответственно ~/р то нам нужно подсчитать матричный элемент
т
R = (у*.ехр(-/ J ЯЛ) Хг) = Ыртц). C7)
о
Мы предположим, что внешнее поле действует только на временном интервале
между 0 и Г, так что в эти моменты можно определить вакуум. Пусть вектор х0
соответствует вакууму (все состояния с отрицательной энер1ией заняты, а все
состояния с положительной 3Hepinei свободны). Тогда амплитуда того, что при
t= T будет сохраняться вакуум, если вакуум имелся при t = 0, равна
т
при этом S означает ехр Г—/ Г Hdi). Нам нужно наЯти значение R и пока-
о
зать, что оно пропорционально С„, причем множитель пропорциональности
содержит функции /С+1' таким же образом, как и соответствующие величины,
рассмотренные в предыдущих разделах.
Выразим для этого сначала Xi через /0. Оператор
*(x)y(x)d"x C9)
•является оператором порождения электрона с волновоЗ функцией <р(х). Анало-
Аналогично оператор Ф= I <а* (х) • xF(\)d''x соответствует уничтожению электрона
с волновой функцией <?(х). Следовательно, в начальном состоянии волновая
функция уг равна -ц = F*\F\ • • • P2P<j • • • Хо> а в конечном состоянии волновая
функция равна G*G*> ... Q,Q., ... х0, где Ft, Ot, Plt Q.t—операторы, опреде-
определенные подобно Ф в формуле C9) с заменой ® соответственно на fu gh pu qf,
так как начальное состояние получается из вакуума порождением электронов
См., например, [8], гл. Ч. — Прим. авт.
156 Р. ФЕЙНМАН
в состояниях /j, /2, ... и уничтожением электронов в состояниях pv р%, .. .
Таким образом, нам нужно найти выражение
R = (»••• G&I • • • O2QxSFlFl ...РХРЪ... &>). D0)
Для упрощения этого выражения нам нужно найти перестановочные соот-
соотношения между операторами Ф* и S. С этой целью возьмем величину
t t
expf—/I Hdt'}<&* expf-f- '¦ Г Hdfj и, выразив ее через \Р* (х), положим, что
о о
она равняется Г \Р* (х) <р (х, 2) rf8x [определение ср (х, *)]. Из предыдущего, еслиг
положить, что
* t
W (x, t) = ехр (+ i J Я <#') W (x) exp (— j JHdf),
о о
следует
J ?* (x) <p (x) a*x = J ?* (x, *) cp (x, <) ^ftc. D1}
Как известно, оператор \Р(х, t) подчиняется уравнению Дирака [для доказатель-
доказательства достаточно продифференцировать W (x, t) no t и применить перестановоч-
перестановочные соотношения между Н и ч7]
+ дар) ? (Х) /}> D2)
в (а (_ у
Отсюда получается, что ср(х, t) также должно удовлетворять уравнению Дирака
[для доказательства дифференцируем D1) по t, используем уравнение D2) и
интегрируем по частям].
Таким образом, если <а(х, Т) есть решение уравнения Дирака в момент Т,
совпадающее с функцией о (х) при t = 0, и если положить Ф* = Г W* (x) cp (x) dH.
и Ф7* = J W* (х) о (х, Т) dh., то Ф'* = 5Ф*5~! или
D3)
Теперь можно на простом примере проиллюстрировать доказательства. Пусть
и в начале и в конце имеется только один электрон. Ищем значение
o). D4)
Мы можем попытаться переставить операторы F* и S, используя соотношение D3);
именно SF* = F'*S, где функция /', входящая в оператор /?/*= Г \Р* (х)/7 (х) <Рхг
является волновой функцией в момент Г, переходящей в функцию /(х) при
/=0. Итак,
г == {xlGF'*SU) = J ff* (х)/' (х) ^хС0- (x:F'*G5Xo); D5)
второе равенство следует из определения С„ C8) и общего перестановочного
соотношения
= j*
получающегося при учете свойств оператора W(x). Далее, величина Хо^"'* в0 вто"
ром слагаемом в D5) является комплексно-сопряженной к величине F'x0. Следо-
Следовательно, если функция f содержала только компоненты с положительной
энергией, величина F'x0 обратилась бы в нуль, и мы свели бы г к величине,
пропорциональной Cv. Однако величина Fr содержит компоненты с отрицатель-
отрицательной энергией, порожденные потенциалом А, и данный метод должен быть
несколько изменен.
III. ТЕОРИЯ ПОЗИТРОНОВ 157
Перед тем как переставлять F* с оператором S, прибавим к F* другой
оператор F"*, соответствующий функции /" (х), содержащей только компоненты
с отрицательной энергией и выбранной так, чтобы получающаяся после пере-
перестановки функция /' (х) содержала только компоненты с положительной энер-
энергией. Иными словами, мы полагаем
S(F*+ + F'") = F';S; D6)
при этом индексы „-}-" и „—u служат для указания знака энергии у компо-
компонент оператора. Соотношение D6) можно использовать в виде
'"
SF*+ = F"S — SF'". D7)
В разбираемой задаче с одним электроном величина г после подстановки D7)
распадается на два слагаемых
г = (
Первое из них сводится, согласно предыдущему, к величине
так как значение F'+y0 теперь равно нулю; в то же время второе слагаемое равно
нулю вследствие того, что оператор порождения F_ при действии на вакуум,
где все состояния с отрицательной энергией заняты, дает нуль. Именно в этом
и заключается основная идея доказательства.
Поставленная в соотношении D6) проблема состоит в следующем: задана
функция /+ (х) при /=0, требуется найти величину/^(х), соответствующую
отрицательным энергиям, которую нужно добавить к функции /(х) для того,
чтобы получающееся в результате решение уравнения Дирака /+(х) при t = T
имело только компоненты с положительной энергией. Эта проблема является
краевой задачей, при которой используется ядро К(+\ Нам известны компоненты
с положительной энергией в начальный момент (/+) и компоненты с отрицатель-
отрицательной энергией в конечный момент (равные нулю). Используя формулу A9), полу-
получаем, что в данном случае для компонент с положительной энергией в конечный
момент имеет место соотношение
/'+ (х2) = { К? B, 1) р/+ (Xl) Лх, D8)
где t2 = Т, t1 = 0. Аналогично для компонент с отрицательной энергией в началь-
начальный момент выполняется соотношение
/1' (х2) = / К<? B,1) Р/+ (хО Лх - /+ (х2), D9)
где значение t% стремится сверху к нулю и t± = 0. Величина /+ (х2) вычитается
здесь для того, чтобы в /_(х2) оставались только те волны, которые возвра-
возвращаются после рассеяния внешним полем, и не входили приходящие без рассея-
рассеяния волны, соответствующие слагающей К+B,1) ядра Кг+\2,1), при t2-+0.
Мы можем, следовательно, написать
/! (х2) = J [К(? B, 1) - К+ B,1)} р/+ (хО с? xv E0)
Отсюда для задачи с одним электроном получается из D8), что
г = / g (х)/'+ (х) ЛС„ = С„ JY (х2) <А) B,1) р/(х,) d% Л2,
как этого и следовало ожидать, если исходить из результатов предыдущих раз-
разделов [т. е. из формулы B0) при замене там К+ на *
158 р. фейнман
Данное доказательство легко распространить на общий случай величины R
D0), который можно анализировать по индукции. Сначала с помощью соотно-
соотношения, подобного D7), Fi заменяется на /ч и Ft , причем получаются два члена
В первом члене после этого переставляются операторы F1+ и Qv при этом
образуется дополнительный член, состоящий из величины \ gl (x) f[+(x) d3x,
умноженной на выражение, которое имеет вид R, но содержит на один электрон
меньше в начальном и конечном состояниях. Затем оператор Fj+ переставляется
с G2, причем опять получается дополнительный член, состоящий из величины
I g2(x)f[+(x)dsx, умноженной на выражение вида R, и т. д. до тех пор, пока
оператор F1+ не окажется рядом с Qu Затем Fi+ сдвигается до положения
соседнего с xo(f"i+ антикоммутирует с г2); последнее выражение равно нулю.
Во втором члене аналогичным образом сдвигается оператор Fi-, который анти-
антикоммутирует с F2, и т. д. При перестановке оператора F с Рх получается
дополнительный член вида R (с меньшим количеством частиц), умноженный
на ~р I р*(х)Д_ (x)dsx, или, что, согласно D9), то же самое, на
=р J р[ (х2) KlA) B,1) РД (хх) Л, Л,
при /2 = tx = 0 [дополнительный член с Д (х2) в D9) дает здесь нуль, так как
функция Д (х2) ортогональна к pj (x2)]. Получающееся выражение описывает
аннигиляцию пары, электрона Д и позитрона р1; как и следовало ожидать,
если исходить из результатов предыдущих разделов. Подобным образом F-
последовательно сдвигается до положения, соседнего^с функцией )г0, при дей-
действии на которую оператор F_ дает нуль. После выполнения этих операций
величина R сводится к более простым величинам, содержащим на два оператора
меньше чем R, умноженным на множители, которые имеют согласующийся с пре-
предыдущим изложением вид и входят с правильными чередующимися знаками, тре-
требующимися принципом Паули. Получившиеся величины опять могут быть сведены
к более простым и т. д. до тех пор, пока не будут исчерпаны все оаераторы F*,
после чего аналогичные операции производятся с операторами Q*. i последние
сдвигаются относительно S в противоположном направлении так, что получается
оператор, относящийся в момент /=0 только к отрицательным энергиям; при
этом используются соотношения, подобные D6)—D9). В итоге получается
ожидавшаяся величина, умноженная на С„ (при предположении, что полный
заряд один и тот же в начальном и в конечном состояниях).
Указанным образом записывается решение общей задачи движения электро-
электронов в заданном внешнем поле. Множитель С„ получается в результате норми-
нормировки. Однако в случае фотонных полей желательно иметь явное выражение
для С„ через потенциалы внешнего поля. Это выражение дается формулами C0)
и B9) и можно без труда показать, что оно также согласуется с теорией вто-
вторичного квантования.
б) Анализ проблемы вакуума. Вычислим Cv из теории вторичного
квантования методом индукции, т. е. рассматривая последовательно задачи, зна-
значение потенциала в которых от задачи к задаче все более и более приближается
к нужному нам значению. Предположим, что известно С„ для задачи, подобной
той, которую нам желательно рассмотреть, причем в этих обеих задачах значения
потенциала на временном интервале между некоторым ^иГ совпадают, а на интер-
III. ТЕОРИЯ ПОЗИТРОНОВ 159
вале между t=0 и t=T в задаче с известным значением Cv потенциал равен
нулю. Обозначим указанное значение С„ через С„(/о), соответствующий гамиль-
гамильтониан через Ht0 и сумму составляющих С„ (/„) от всех одиночных петель
через L(t0). Тогда при t0— T потенциал для всех моментов времени будет равен
нулю, пары не могут образовываться, L(T) — Q и С„G)=1. При @ = 0 у нас
будет тогда уже полная задача, так что С„ @) есть то же самое, что и С„,
определяемое по C8).
В общем случае имеем
т т
Cv (t0) = (ll exp (— / J Htodt) Xo) = (xlexp (- / J Htadt)
0 t0
так как Ht0 совпадает с постоянным вакуумным гамильтонианом Нт при t < t0,
а х0 является собственной функцией этого вакуумного гамильтониана с собствен-
собственным значением (энергией вакуума), которое можно положить равным нулю.
Значение С„ {t0 — Д/о) относится к гамильтониану Н^-м„, который отличается
от Hto на малом интервале At0. С точностью до первого порядка по Дг!0 имеем
= (f0exp (- i J Hfu di) [l - / Д^о f W*(x) (- «A (x, д+Л4 (х, g) W(x
отсюда для производной от Cv получаем выражение
т
- Ё?яг=- 1(*оехр (-' / Ht°dt) S w* w
которое сводится к величине, пропорциональной Cv (tQ), при помощи метода,
аналогичного методу, использованному при преобразовании R. Представим опе-
оператор W в виде суммы двух операторов Ч?'+ и Ф"_, первый из которых действует
на состояния с положительной энергией, а второй — на состояния с отрицатель-
отрицательной энергией. Оператор W при действии на /0 дает нуль, так что в плотности
тока остается в этом случае только два слагаемых: }?+$AW_ и 4г_рЛ4г_. Послед-
Последний член, т. е. ^_рЛЧр_, равняется значению (ЗД, усредненному по всем состоя-
состояниям с отрицательной энергией (оператор \Р_{ЗЛЧГ1 при действии на /0 дает
нуль), и соответствует усредненному по вакууму току электронов фона. Член,
соответствующий этому току, должен быть, как обычно, вычтен из исходного
гамильтониана.
Оставшееся слагаемое Ф"+рЛ?_, или, что эквивалентно, Ч^рДЧГ, можно
представить в виде \P*(x)f+(х), где f + (х) обозначает обладающую положитель-
положительной энергией компоненту величины $AW (x). Далее, получившийся оператор
^* (х) f + (х), или, более точно, его составляющая \Р* (х), может быть переставлен
т
с оператором ехр Г—i Г Hdt\ полностью аналогичным соотношению D7) образом.
(Другой вывод этого результата получается при учете того, что оператор \Р(х, f),
подчиняющийся уравнению Дирака, удовлетворяет также соответствующему линей-
линейному интегральному уравнению.) Таким образом, соотношению E1), согласно
15 Зак. 573.
160 Р- ФЕЙНМАН
D8), E0), можно придать вид
X А {1L{xjtt^ A2x0) + /(x;exp(- iJHdt) X
to
X / / ^*(х2) \^А) B,1)- К+ B,1)] А (/) ? (xt) Л,
где в первом слагаемом ?2=7\ а во втором t%-+tQ — tv В ядре /С+1' значок
сверху соответствует той части потенциала А, которая относится к временам,
ббльшим /0. Первое слагаемое обращается в нуль, так как оно включает [вслед-
[вследствие наличия К+\2,1)] только обладающие положительной энергией компоненты
оператора \Р*Ь которые при действии на /* дают нуль. Во втором слагаемом
остаются только компоненты оператора \Р* (х2), соответствующие отрицательной
энергии. Так как оператор \Р* (х2) при действии на х0 дает нуль, то после пере-
перестановки ЧГ* (х2) и \Р (х2) из обычных коммутационных соотношений для W*
и \Р следует
CA^ j a>(/>/) _ к+ (/j/)) A (;)] ^]Сщ (to)t E2)
Множитель перед С„(^о) в формуле E2), умноженный на —At0, равен^
согласно B9), разности L (/0 — Д^о) — L (t0), поскольку эта разность связана с изме/
нением потенциала ДЛ = А, имеющим место в течение короткого интервала вре-
времени Д^о. Отсюда следует
dCv (tp) _ , (dL (tn)\
d^~ ~* + {~dl^
Интегрирование этого уравнения or to= T до to = O подтверждает правильность
формулы C0).
Исходя из теории вторичного квантования электромагнитного поля и исполь-
используя совершенно аналогичный способ доказательства, можно получить также вывод
уравнений квантовой электродинамики, применяемых в следующей статье. Как
очевидно, теория Паули — Вайскопфа уравнения Клейна — Гордона тоже может ана-
анализироваться по существу таким же методом, как и метод, использованный здесь
для электронов Дирака.
ЛИТЕРАТУРА
1. FeynmanR. P., Rev. Mod. Phys., 20, 367 A948).
2. D у s о п F. J., Phys. Rev., 75, 486 A949). [См. перевод в сборнике: Сдвиг уровней
атомных электронов, ИЛ, 1950.]
3. Р а и И W., Phys. Rev., 58, 716 A940). [См. перевод: П а у л и В., Релятивистская теория
элементарных частиц, ИЛ, 1947.]
4. Stuckelberg Е. С. С, Helv. Phys. Acta, 15, 23 A942).
5. F е у п m а п R. P., Phys. Rev., 74, 939 A948).
6. Furry W. H., Phys. Rev., 51, 125 A937).
7. Paul! W., Rev. Mod. Phys., 13, 203 A941). [См перевод: Паули В., Релятивистская
теория элементарных частиц, ИЛ, 1947.]
8. Wentzel G., Einfiihrung in die Quantentheorie der Wellenfelder, Leipzig, 1943. [См.
перевод: Венце ль Г., Введение в квантовую теорию волновых полей, М., 1947.J
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Р. ФЕЙНМАН
R. P. Feynmann, Phys. Rev., 76, 769 A949)
Содержание настоящей статьи можно разделить на две части. Во-первых, показы-
показывается, что можно значительно упростить способ записи матричных элементов для слож-
сложных электродинамических процессов. При этом для матричных элементов устанавливается
физическое истолкование, с помощью которого их можно сразу записывать для каждой
частной задачи. Однако получающиеся значения матричных элементов, устанавливаемые
в рамках новой интерпретации обычной электродинамики, оказываются для сложных
процессов расходящимися. Во-вторых, в статье электродинамика модифицируется за счет
изменения взаимодействия электронов на близких расстояниях. Все матричные элементы
становятся после этого конечными, кроме связанных с поляризацией вакуума. Конечные
результаты для последних матричных элементов получаются по способу, предложенному
Паули и Бете. Единственными следствиями указанной модификации являются изменения
массы и заряда электронов. Подобные изменения не могут быть непосредственно наблю-
наблюдаемы. Наблюдаемые эффекты не зависят от конкретного характера модификации
(кроме крайне высоких энергий). В случае таких эффектов можно брать предел при
стремлении области изменения взаимодействия к нулю. Полученные выводы согласуются
с результатами Швингера. Подобным образом получается полный однозначный и не со-
содержащий, повидимому, внутренних противоречий метоп расчета для всех процессов
с участием электронов и фотонов.
Упрощения в записи различных выражений достигаются в результате использования
общей пространственно-временной точки зрения при изучении решений уравнений
электродинамики. Рассматривается связь подобного подхода с более привычной гамиль-
тоновской точкой зрения. Предлагаемые в статье видоизменения взаимодействия было
бы очень трудно выполнить, если остаться на гамильтоновской точке зрения.
Указанные методы пригодны также для зарядов, подчиняющихся уравнению Клей-
Клейна— Гордона, н могут быть использованы в случае различных мезонных теорий ядерных
сил. В работе приводятся соответствующие примеры. Хотя для всех мезонных тео-
теорий модификация, подобная производимой в электродинамике, и приводит к исключению
бесконечностей из матричных элементов, однако положение о том, что непосредственно
наблюдаемые эффекты не зависят от детального характера модификации, в ряде случаев
теряет силу.
Конкретное вычисление интегралов, входящих в матричные элементы, облегчается
в простейших случаях при использовании методов, описанных в приложении.
Настоящую статью следует рассматривать как прямое продолжение пред-
предшествующей работы [1], в которой было проведено исследование движения
электронов при пренебрежении взаимодействием, причем рассмотрение основыва-
основывалось на непосредственном использовании не самих дифференциальных уравнений
Гамильтона» а их. решения. Здесь тот же самый способ применяется при введе-
введении взаимодействия; прй~этом получается простой метод решения задач кван-
квантовой электродинамики. ¦ ч
В большинстве конкретных подсчетов квантовой электродинамики решение
обычно выражается через матричные элементы. Искомая матрица разлагается
в ряд по степеням е2/йс, причем возрастание степени e2/hc соответствует уве-
увеличению числа виртуальных квантов, учитываемых при выводе данного члена
рада. Оказывается, что в случае сложных процессов можно добиться значитель-
значительного упрощения записи указанных матричных элементов. Кроме того, каждому
члену разложения по степеням e2jhc может быть дано истолкование, аналогичное
использованному в статье [1] пространственно-временному истолкованию процес-
процессов различных порядков. Задачей последующего изложения является описание
намеченного метода. Мы обсудим так^ке способы трактовки тех матричных эле-
элементов, в которые входят расходящиеся интегралы.
15*
162 Р. ФЕЙНМАН
Получающееся у нас упрощение формул вызвано главным образом тем
обстоятельством, что мы отказались от принятого в предыдущих методах
излишнего разделения процессов, которые физически тесно связаны. Например,
1в соответствии с тем, что при обмене квантом между двумя электронами элек-
электрон, испускающий квант, и электрон, поглощающий квант» могут переменяться
ролями, в выражение, описывающее этот процесс, входит два члена. Однако
при рассмотрении виртуальных состояний временные соотношения совершенно
несущественны. Требуется сохранять лишь порядок операторов. Кроме того, как
было показано в статье [II, процессы, связанные с образованием виртуальных
'пар, можно объединить с процессами, в которых участвуют только электроны
с положительной энергией. Можно также объединить эффекты, вызываемые
поперечными и продольными волнами. Проводившееся ранее разделение основы-
основывается на соображениях, являющихся нерелятивистскими (это отражалось в том
обстоятельстве, что в промежуточных состояниях выполнялся закон сохранения
импульса, но не выполнялся закон сохранения энергии). После объединения и
упрощения отдельных членов становится очевидной релятивистская инвариант-
инвариантность получающихся результатов.
Сначала мы рассмотрим зависящее от пространственных и временной коор-
координат решение уравнения Шредингера для частиц с мгновенным взаимодействием.
Получающиеся результаты можно непосредственно обобщить на случай запазды-
запаздывающего взаимодействия релятивистских электронов; подобным образом выра-
выражаются законы квантовой электродинамики. Далее, мы показываем, как можно
прямо получать матричные элементы для любого процесса. Будет, в частности,
выписано выражение для собственной энергии.
До сих пор шла речь только об обычной электродинамике в новой форму-
формулировке, так что выражение для собственной энергии оказывается расходящимся.
В последующем изложении производится некоторое видоизменение выражения
взаимодействия *) между зарядами и показывается, что в таком случае собствен-
собственная энергия становится конечной величиной и соответствует добавке к массе
электрона. После изменения массы электрона на эту добавку для всех осталь-
остальных реальных процессов получаются конечные выражения, не чувствительные
к параметру обрезания взаимодействия 2).
Предлагаемое изменение теории, к сожалению, не является полностью удо-
удовлетворительным, так как оно приводит к ряду трудностей, связанных с законом
сохранения энергии. Все же это изменение является, повидимому, пригодным для
определения матричных элементов для всех реальных процессов в рассматривае-
рассматриваемом здесь пределе, когда параметр обрезания стремится к нулю. Сходный
метод, предложенный Паули и Бете, может быть применен к проблеме поля-
поляризации вакуума, причем имеет место перенормировка заряда. Однако и в этом
случае применяемые для получения сходимости правила не имеют строгого физи-
физического обоснования.
После перенормировки заряда и массы для всех реальных процессов можно
устремить параметр обрезания к нулю. Получающиеся при этом результаты
эквивалентны результатам Швингера3), который в явном виде не использовал
множителей сходимости. Метод Швингера состоит в установлении членов, соот-
соответствующих изменениям заряда и массы, и устранении их из выражений для
реальных процессов еще до выполнения вычислений. Преимуществом такого
подхода является то, что непосредственно видна строгая независимость резуль-
результатов от частного выбора способа обрезания. С другой стороны, при исследо-
исследовании ряда свойств, входящих в теорию интегралов, Швингером используются
J) Обсуждение подобного изменения в классической теории см. в работе Фейн-
мана [2]. — Прим. авт.
2) Краткое описание методов и сводка получающихся результатов даны в статье
Фейнмана [3J.—Прим. авт.
3) См. статьи Швингера [4]. Доказательство указанной эквивалентности дано Дай-
соиом [5]. — Прим. авт.
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 163
формальные свойства инвариантных перестановочных функций. Но одним из
свойств этих функций является расходимость рассматриваемых интегралов, и не
ясно, насколько доказательства теряют вследствие этого свою силу. Практиче-
Практическое преимущество настоящего метода состоит в более простом разрешении
вопроса о неоднозначностях; именно, производится непосредственное вычисление
интегралов, имеющих в другом случае расходящееся значение. Однако пока
нельзя считать окончательно решенным, что множители сходимости не нару-
нарушают физической согласованности теории. Хотя оба метода приводят в пре-
пределе к согласующимся результатам, однако ни один из них не является, оче-
очевидно, полностью удовлетворительным с теоретической точки зрения. Все же
можно, повидимому, считать, что мы теперь имеем в квантовой электродина-
электродинамике практически пригодный, полный и определенный метод расчета физических
процессов с точностью до любого порядка.
Сама по себе предлагаемая теория является полной, поскольку с ее помощью
мы можем записать решение любой физической задачи. Однако с более общей
точки зрения она несовершенна в двух отношениях. Во-первых, хотя можно
написать каждый член разложения по возрастающим степеням е2/йс, все же
желательно найти способ получения конечных выражений, включающих сразу все
степени е2/йс. Во-вторых, хотя физически очевидно, что получающиеся резуль-
результаты совпадают с результатами, следующими из обычной электродинамики,
необходимо провести также и математическое доказательство данного положе-
положения, чего здесь не сделано. Оба эти пробела будут восполнены в следующей
статье (см, также работу Дайсона [5]).
Возникновение данной теории можно кратко описать следующим образом.
Обычная электродинамика была выражена через посредство лагранжева форма-
формализма квантовой механики, описанного в статье [6]*). Уравнение движения
осцилляторов поля удалось проинтегрировать (см. [6], § 13), причем получаю-
получающийся результат выражал запаздывающее взаимодействие. После этого стало
возможным видоизменить взаимодействие, содержащее ё-функцию, совершенно
аналогично соответствующему классическому случаю, описанному в статье [2].
Полученную теорию еще нельзя было считать законченной, поскольку лагранжев
формализм детально был разработан только для частиц, подчиняющихся нереля-
нерелятивистскому уравнению Шредингера. Поэтому данный формализм затем был
обобщен на случай уравнения Дирака и явления порождения пар. Это было
сделано просто посредством введения новой интерпретации теории дырок [1].
Наконец, получающиеся выражения были разложены для конкретных подсчетов
в ряды по степеням е*}Ьс. При этом выяснилось, что каждый член указанных
рядов имеет простую физическую интерпретацию. Поскольку оказалось, что
полученные результаты легче истолковать, чем ведущие к ним рассуждения, то
было решено сначала опубликовать эти результаты сами по себе без вывода.
Значительное время пришлось затратить на то, чтобы сделать предыдущую и
настоящую статьи настолько законченными и настолько физически правдопо-
правдоподобными, насколько это возможно без ссылок на лагранжев метод, так как он
не является достаточно привычным. Такое описание метода без его прямого
вывода, очевидно, недостаточно для того, чтобы можно было отбросить все
сомнения в его правильности. Тем не менее, чтобы сохранить простоту описания
простых соотношений, мы приведем изложение упомянутого прямого вывода
в другой статье.
В настоящей статье также кратко рассматривается применение предлагаемых
методов к различным мезонным теориям. Приводятся формулы, относящиеся к за-
заряженным частицам нулевого спина, движение которых подчиняется уравнению
Клейна — Гордона. В приложении дается способ вычисления интегралов, входя-
входящих в матричные элементы для простых процессов.
Применения к электродинамике подробно описаны в работе [7\. — Прим. авт.
164 Р. ФЕЙНМАН
Используемый здесь способ рассмотрения взаимодействия зарядов отли-
отличается от более привычного подхода, принятого в теории поля. Кроме того,
обычный гамильтонов формализм квантовой механики отличен от используемой
здесь общей пространственно-временной точки зрения. Поэтому раздел 1 по-
посвящен сравнению различных способов рассмотрения.
1. Сравнение с гамильтоновым методом
Электродинамику можно рассматривать двумя эквивалентными способами,
которые взаимно дополняют друг друга. Одним из них является описание по-
поведения поля (уравнения Максвелла). Другим способом является описание прямого
(но запаздывающего во времени) взаимодействия на расстоянии между зарядами
(решения Льенарда и Вихерта). С последней точки зрения свет следует рас-
рассматривать как взаимодействие зарядов источника света и зарядов, поглощаю-
поглощающих этот свет. Подобный подход неудобен, потому что одни и те же эффекты
вызывает совершэнно различные источники. При полевой точке зрения общая
проблема разделяется на две более простые задачи: порождение света и погло-
поглощение света. С другой стороны, эта полевая точка зрения менее удобна при
рассмотрении близких столкновений частиц (или их действия друг на друга),
так как в этом случае трудно разделить источник и поглотитель света. Здесь
происходит взаимный обмен квантами. Поля при этом настолько сильно зависят
от движения частиц, что оказывается более выгодным не разделять проблему
на две отдельные задачи, а рассматривать сразу весь процесс как непосред-
непосредственное взаимодействие. Грубо говоря, полгвой подход более удобгн при рас-
смотрэнии задач, в которых участвуют реальные кванты, в то время как при
рассмотрении задач, в которых участвуют виртуальные кванты, предпочтитель-
предпочтительнее использовать представление о взаимодействии. В этой статье мы будем ocq-
бенно выделять способы решения, основанные на представлении о прямом взаи-
взаимодействии, так как, во-первых, эти способы являются менее привычными и,
во-вторых, важнейшие стороны задач, которые нам предстоит рассматривать,
связаны с эффектами, включающими виртуальные кванты.
Гамильтонов метод мало пригоден для описания непосредственного дей-
действия зарядов друг на друга на расстоянии, поскольку это действие является
запаздывающим. В методе Гамильтона будущее представляет собой развитие
настоящего. Иными словами, если в данный момент извастен полный набор ве-
величин, то значение этих величин в последующие моменты времени может быть
вычислено. Однако если между частицаш1имеет место.^адаз№в_а
1
действие, знания_движения частил^холька_в_1и.астоящий момент недостаточно,для
предсказания бу_дущего_. Следует также знать, каково было движение частиц
в прошлом, поскольку это прошлое может оказать влияние на движание частиц
в будущем. В гамильтоновской электродинамике этого, очевидно, достигают, по-
потребовав, чтобы для определения будущего поведения частиц, кроме их настоя-
настоящего движения, была задана также совокупность новых переменных (координат
осцилляторов поля), которые „сохраняют память" о прежнем движении данных
частиц. Использование гамильтониана вынуждает, таким образом, заменить пред-
представление о непосредственном взаимодействии на полевую точку зрения.
Во многих задачах, в частности при рассмотрении близких столкновений
частиц, нам безразлично, какова точная временная последовательность событий.
Можно иначе сказать, что нас не интересует, какое положение имеет место
в каждый момент времени во время столкновения. Знать последовательность
событий нужно только в тех случаях, когда процесс протекает продолжитель-
продолжительное время и когда мы можем без труда получить сведения о том, что проис-
происходит в этот промежуточный период. В случае столкновений значительно
проще трактовать весь процесс как одно целое1). Формула Меллера для
С точки зрения теории 5-матрицы Гейзенберга. — Прим. авт.
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 165
взаимодействия двух электронов не намного сложнее нерелятивистской фор-
формулы Резерфорда; тем не менее математический аппарат, используемый для по-
получения первой формулы из квантовой электродинамики, несравненно более
сложен, чем метод получения второй формулы, основывающийся на уравнении
Шредингера с членом взаимодействия е2/г12. Это различие вызвано лишь тем,
что в то время как в последнем случае действие передается мгновенно и поэтому
гамильтоновский метод не требует введения дополнительных переменных, в реля-
релятивистском случае действие является запаздывающим и метод Гамильтона стано-
становится очень громоздким.
В последующем мы будем рассматривать не дифферанциальные (по времени)
уравнения, а лишь их решения. При этом оказывается, что в связи с принятой
общей пространственно-временной точкой зрения легче истолковать запаздываю-
запаздывающие, чем мгновенные действия.
К тому же надо добавить, что релятивистская инвариантность получаемых
выводов будет непосредственно очевидной. Уравнения в гамильтоновой форме
определяют будущее по заданному мгновенному настоящему. Однако для наблю-
наблюдателей, движущихся относительно друг друга, мгновенное настоящее оказы-
оказывается различным, так как оно в каждом случае соответствует различным трех-
трехмерным сечениям пространства — времени. Следовательно, для различных наблю-
наблюдателей различны временные соотношения между событиями, и поэтому уравнения
Гамильтона описывают один и тот же процесс каждому наблюдателю различным
образом. Однако подобные различия не переносятся на решения, которые сохра-
сохраняют свой вид в любой пространственно-временной системе координат. Таким
образом, слияние теории относительности и квантовой механики можно произ-
произвести наиболее естественно, если отказаться от метода Гамильтона.
Приведенные положения мы поясним в слэдующем разделе при изу-
изучении решений уравнения Шредингера для нерелятивистских частиц, связан-
связанных мгновенным кулоновским взаимодействием [формула B)]. Видоизменив эти
решения так, чтобы учитывались эффекты запаздывания и релятивистские свой-
свойства электронов, мы получим выражение законов квантовой электродинамики
{формула D)].
2. Взаимодействие между зарядами
Рассмотрим взаимодействие между двумя частицами, используя тот же метод
и те же обозначения, что и в статье [1). Изучим сначала нерелятивистский
случай, описываемый уравнением Шредингера (см. [1], уравнение A)). Волновая
функция в заданный момент времени есть функция ${ха, хй, t) от координат
ха и хь обеих частиц. Обозначим теперь через К(ха, хъ, t; Ха, хъ, t) ампли-
амплитуду того, что частица а, находящаяся в точке х'а в момент f, перейдет в точку
ха в момент /, в то время как частица Ь, находящаяся в точке х'ъ в момент t',
перейдет в точку хь в момент t. Если частицы свободны и на взаимодей-
взаимодействуют, то
К(ха, хь, t; х'а, х'ь, t') = KOa{xa, t, ха, /)К0Ь(хь, t; xb, I),
где Коа — функция Ко для свободной частицы. В этом случае мы можем, оче-
очевидно, ввести аналогичную величину, в которой, однако, времена t и if не должны
быть обязательно одинаковыми для частиц а и Ь; иначе говоря, величину
/СоE, 4; /, 2) = КоаC, 1)КоЬ{4, 2) A)
можно считать амплитудой того, что частица а переходит из точки Xj при
/ = /j в точку х3 при t = t3 и что частица b переходит из точки х2 при t — t^
в точку х4 при t—tv
В случае взаимодействия между частицами величину КC, 4; 1, 2) можно
• строго определить, только если данное взаимодействие исчезает в моменты
166 Р- ФЕЙНМАН
времени между tx и t2 и между /3 и tt. В реальных физических системах это
не имеет места. Однако введение подобной величины оказывается настолько
выгодным, что мы будем попрежнему ее использовать, предполагая, что взаимо-
взаимодействием в моменты времени между tx и t2 и между t3 и ^ можно пренебречь.
В практических задачах это равносильно выбору настолько длинных временных
интервалов t3—/х и t^—t2, что эффекты взаимодействия вблизи конечных точек
этих интервалов оказывались сравнительно незначительными. В частности, в за-
задачах рассеяния вполне может иметь место такое положение, при котором
частицы в начале и в конце разделены настолько, что взаимодействие между
ними в эти моменты времени пренебрежимо мало. К тому же, значения энергии
можно измерять по средней скорости изменения фазы за столь большие вре-
временные интервалы, что погрешностями в начальный и конечный моменты этих
интервалов можно вполне пренебречь. Ввиду того, что каждая физическая про-
проблема может рассматриваться как задача рассеяния, введение указанного при-
приближения не приводит к какому-либо значительному сужению области примени-
применимости теории. Без данного ограничения релятивистское изучение взаимодействую-
взаимодействующих частиц оказывается довольно затруднительным, так как необходимое в этом
случае условие ^ = ?3 и х1=^=х3, соответствующее абсолютной одновременности
обытий, происходящих в различных точках пространства, не может быть опре-
.^Л?но.^|НЕ1а2иантным_^бразом. Достаточно снять введенное ограничение как
вновь придется по существу вернуться к сложной структуре старой квантовой
электродинамики.
Мы стремимся сделать запаздывающее взаимодействие основой всей элек-
электродинамики. Результаты этого запаздывающего взаимодействия выражаются
особенно просто, если можно приближенно сохранить смысл величины К{3, 4; 1, 2).
Чтобы понять, как это можно сделать, представим себе сначала, что имеет
место только простое взаимодействие, представляемое кулоновским потенциалом
?2/г, где г—расстояние между частицами. Если это взаимодействие осущест-
осуществляется только короткое время между tQ и t0 -\- At0, то используя очевидное
обобщение на случай двух частиц вывода, приведшего к равенству (9) в статье [1],
легко получить поправку первого порядка к КC,4; 1,2):
К' C,4; 1,2) = — ie* J J КОа C, 5) Коь D, 6) пеКоаE,1) К0ЬF, 2) d*x5d46 At0,
где tb = te =¦ t0. Если же рассматриваемое кулоновское взаимодействие осуще-
осуществляется все время (так что величину К формально можно строго определить
только при /4 = tA и tx = /2), то для получения эффекта первого порядка при-
приведенное выражение нужно проинтегрировать по t0. Интегрирование по t0 можно
заменить на два интегрирования по t5 и t6, если ввести в качестве множителя
дельта-функцию 8(?- — ^6). Таким образом, вызванный взаимодействием эффект
первого порядка дается вьгражением
АГ« C,4; 1,2) = - ie* J J KOa C, 5) Kob D, 6) r? X
X 8 &6) Koa E, /) KQb F, 2) d-z, dz6, B)
где 4g = t6 — te и dz = dH. dt.
Из классической электродинамики, однако, известно, что кулоновское вза-
взаимодействие на самом деле не является мгновенным, а запаздывает на время rgg,
если принять скорость света равной единице. Это наводит на мысль, что для
описания запаздывания при действии частицы а на частицу Ъ достаточно за-
заменить множитель г^хЬAт) в формуле B) на выражение вида /"^(^e — гж)-
Простой переход от выражения гй^С^б) к '-5в18Dб — гт) будет не совсем
правильным1), так как если считать, что взаимодействие связано с фотонами,
!) Подобная замена приводит к теории, которая в классическом пределе описывает
взаимодействие посредством полусуммы опаздывающих и опережающих потенциалов.
Классически это эквивалентно одним эффектам запаздывания в замкнутом сосуде, вепро-
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 167
то эти фотоны должны обладать только положительной энергией, в то время
как разложение Фурье функции 8 (/б6 — гт) содержит частоты обоих знаков.
Вместо этого для описания запаздывающего действия частицы а на частицу Ь
нужно использовать функцию 8+ (tm— гб6), где
i. C)
Непосредственно в интеграл следует подставить полусумму величин
/'5618+ (tm — гбб) и Г5б18+(—tm— rgg). Второе выражение соответствует случаю,
когда t5<.tQ и частица а испускает квант, а частица b данный квант погло-
поглощает. Так как
Br)-i (8+ (t - г) + 8+ (-1- г)) = 8+ (fi - г*),
то это означает, что множитель г^Ь (tm) заменяется при учете запаздывания на
8+ (sj^), где 5^6 = #в— rj?e—релятивистски инвариантный квадрат интервала между
точками 5 и 6\ Поскольку в классической электродинамике, кроме кулонов-
ского взаимодействия, существует еще взаимодействие, зависящее от векторного
потенциала, то при полном учете всех членов взаимодействия в интеграл B)
следует подставить выражение A — (УбУе))8+ (smI или, в релятивистском
случае,
A - яаЯь) 8+ D)—рАтаДьЛ Dв).
Таким образом, для электронов, подчиняющихся уравнению Дирака, мы полу-
получаем
№ C,4;1,2) = - ie* j J K+a C, 5) К+ ь D, 6) Ta[lTb[l X
X 8+ Dв) К+а E, /) К+ ь F, 2) dzb dz6, D)
где f0|1 и f6lJl—матрицы Дирака, действующие на спиноры, относящиеся соот-
соответственно к частицам а и b (множители ра и |36 включены, согласно формуле
A7) статьи [1], в К,а иК+ь).
Соотношение D) мы положим в основу электродинамики. Оно соответствует
обмену одним квантом между двумя электронами и поэтому имеет первый-
порядок по е2. Это соотношение будет для нас служить образцом, исходя из
которого мы выпишем члены, описывающие обмен двумя или более квантами
между двумя электронами, а также самодействие одного электрона. Релятиви-
Релятивистская инвариантность соотношения D), следующего из обычной электродина-
электродинамики, непосредственно очевидна. Поскольку в этом соотношении производится
суммирование по jx, в него входят релятивистски симметричным образом одно-
одновременно эффекты продольного и поперечного полей.
Дадим теперь соотношению D) интерпретацию, которая укажет нам способ-
перехода к членам высшего порядка. Данное выражение можно истолковать
(см. фиг. 1) как поправку первого порядка к амплитуде перехода частицы а
из точки / в точку 3 и частицы b из точки 2 в точку 4, вызванную возмож-
возможностью обмена квантом между этими частицами. Так, частица а может перейти
в точку 5 [амплитуда К+ E, /)], испустить квант (продольный, поперечный или
скалярный, fav) и затем перейти в точку 3(К+C, 5)). Тем временем частица fr
переходит в точку 6 (К+ F,2)), поглощает квант ("(bv) и затем переходит
в точку 4 (К+ D,6)). Квант в это время переходит из точки 5 в точку 6
с амплитудой 8+ Dв). Мы должны суммировать по всем возможным поляризациям
пускающем наружу света (см., например, [2, 8]). В квантовой механике имеются анало-
аналогичные теоремы, но мы не будем их здесь обсуждать, так как это увело бы нас далеко-
в сторону.—Прим. авт.
168
Р. ФЕЙНМАН
Фиг. 1. Основное взаимодействие, описывае-
описываемое выражением D). Обмен одним квантом
между двумя электронами.
кванта ji, а также по всем возможным координатам и моментам времени
точки испускания 5 и точки поглощения 6. В случае, когда tb > tQ, лучше
сказать, что испускание происходит в точке 6, а поглощение — в точке 5; на
это, однако, можно не обращать специально внимания, поскольку формула D)
автоматически учитывает все возможности.
Поправочные члены высшего порядка по еъ, а также члены, относящиеся
к большему числу электронов (взаимодействие электронов самих с собой или
попарно), можно выписать, основы-
основываясь на аналогичных соображениях;
это будет проиллюстрировано в даль-
дальнейшем. В последующей статье всг
эти члены будут также выведены
из обычной квантовой электродина-
электродинамики.
Основывающееся на соотноше-
соотношении D) вычисление матричного эле-
элемента перехода между состояниями
свободного электрона с положитель-
положительными энергиями приводит, если
принять во внимание принцип Паули,
к меллеровскому рассеянию двух
электронов.
Учет принципа Паули в случае
взаимодействующих частиц произ-
производится точно так же, как и в слу-
случае невзаимодействующих частиц
(см. [1]). Так, например, при на-
наличии двух зарядов для получе-
получения полной амплитуды перехода за-
зарядов в точки 3 и 4 достаточно вычислить разность КC, 4; 1,2) — КD,3; 1,2).
В промежуточных состояниях учитывать принцип Паули не нужно. Как будет
видно, из данной формулировки непосредственно следуют рассмотренные Баба
интерференционные эффекты при рассеянии электронов на позитронах. При
применении формул к позитронам эти формулы следует интерпретировать рас-
рассмотренным в статье [1] образом.
Так как нас главным образом интересуют процессы с виртуальными кван-
квантами, то мы не будем приводить здесь детального анализа процессов, в которых
в начальном или конечном состоянии имеются реальные кванты, и ограничимся
только формулировкой используемых в этом случае положенийх). Как и следовало
1) Хотя кванты, входящие в выражения, которые выводятся по аналогии с соотно-
соотношением D), и считаются виртуальными, подобное ограничение по существу не обяза-
обязательно. Один из способов получения из формулы D) правил, пригодных для реальных
квантов, следует из того, что в замкнутой системе все кванты могут рассматриваться
как виртуальные (поскольку у этих квантов имеются известные источники и в конце
концов они будут поглощены), так что в такой системе приведенный метод эквивалентен
обычному и является полным. В частности, могут быть выведены соотношения между
коэффициентами Эйнштейна А и В. Более удобный прямой вывод выражений для слу-
случая наличия реальных квантов будет дан в последующей статье. Укажем в данной связи
лишь то, что формуле D) может быть придан вид, соответствующий описанию действия
.) Тц.ЛТ+ (б, 2) dte. Это поле
соответствует уравнению Максвелла — ОЦь = 4я4- пРичем ток Jv.(s) = е%К+{4,6)Х
XTit ЛГ+- (& 2) переносится частицей Ь при ее переходе из точки 2 в точку 4. Именно,
вместо D) можно написать
К® C, l) = i J К+ C,5) А E) К+ (S, 1) dib.
Это удается сделать вследствие того, что функция Ъ+ подчиняется уравнению
E)
на частицу а поля с потенциалом А^ E) = е* Г К+ D,6)Ь
М ПМ
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 169
ожидать, в результате анализа получается, что в случае реальных квантов можно
действовать таким же образом, как и в случае виртуальных процессов при
условии такой нормировки всех величин, чтобы они соответствовали одному
кванту. Так, например, амплитуда того, что электрон в момент перехода из
точки / в точку 2 поглощает квант, которому соответствует надлежащим
•образом нормированный вектор-потенциал с^ ехр (— ikx) = С^ (х), равна как раз
выражению A3) статьи [1] для рассеяния внешним полем, если заменить там
АC) на СC). Взаимодействие электрона с каждым квантом имеет место только
однажды (либо в момент испускания, либо в момент поглощения), и члены,
подобные выражению A4) статьи [1], появляются только тогда, когда в процессе
участвует более чем один квант. В промежуточных состояниях во всех случаях
можно не учитывать, что кванты подчиняются статистике Бозе. Влияние стати-
статистики сводится лишь к изменению весов начального и конечного состояний.
Пусть, например, среди квантов в начальном состоянии имеется п одинаковых,
тогда вес данного состояния будет отличаться на множитель 1/га! от веса, полу-
получающегося, если считать эти п квантов различными. Для конечного состояния
имеет место аналогичное положение.
3. Проблема собственной энергии
Исходя из члена, который описывает взаимодействие двух зарядов, нам
нужно получить аналогичные члены, представляющие взаимодействие заряда
с самим собой. При определенных условиях два раз-
различных электрона могут, очевидно, рассматриваться,
согласно статье [1], как один электрон (а именно,
в том случае, когда один из электронов порождается,
в паре с позитроном, который в последующем анни-
аннигилирует с другим электроном). Следовательно,
взаимодействие между такими электронами должно
соответствовать возможности действия одного элек-
электрона на самого себя х).
Учет подобного самодействия существенен при
рассмотрении проблемы собственной энергии. Рас-
Рассмотрим самодействие электрона с точностью до
первого порядка по е2 в области, где нет никаких
внешних сил. Разность между амплитудой К{2,1)
перехода отдельной частицы из точки / в точку 2
и величиной К+ B,1) с точностью до первого по-
порядка по е1 равна
[ J> B,4) % К+ D, 3) Т|1 X
F)
к.1ь,з)
Фиг. 2. Самодействие
электрона [формула F)].
Появление этой разности F) связано с тем, что электрон (см. фиг. 2) вместо
того, чтобы прямо перейти из точки / в точку 2, может перейти сначала
в точку 3 (АГ+ C,1)), испустить квант (т^), перейти, далее, в точку 4(К+ D,3)\
поглотить испущенный квант (-^) и лишь затем перейти в точку 2 (К+ B, 4)).
Квант при этом переходит из точки 3 в точку 4 (8+($4з))-
Указанные соображения и определение собственной энергии свободного
электрона связаны следующим образом. Предположим, что в начальный момент ^
имеется один электрон в состоянии /(•/), которое, как мы будем считать, соот-
соответствует решению уравнения Дирака для свободной частицы с положительной
*) Из данных рассуждений следует, что предложенная Уиллером и Фейнманом [8]
концепция об отсутствии самодействия у электрона вряд ли окажется плодотворной
-в квантовой электродинамике. — Прим. авт.
170 Р- ФЕЙНМАН
энергией. Через продолжительный промежуток времени /2 — tx возмущение из-
изменят вид волновой функции, которую после этого можно будет рассматривать
как суперпозицию решений, соответствующих свободным частицам [в действи-
действительности в эту суперпозицию будет входить только /(/)]. Амплитуда тогог
что данная частица перейдет в состояние gB), была вычислена в статье [1]
[см. формулу B1)]. В соответствии с этим вычислением при g=f получаем
диагональный матричный элемент
G)
Временной 'интервал T—t2 — tv а также пространственный объем V, по
которому производится интегрирование, должны' быть взяты очень большими,
поскольку данные выражения являются лишь приближенными (ср. соображения,,
приведенные ранее в случае двух взаимодействующих зарядовI). Это обстоя-
обстоятельство связано, в частности, с тем, что здесь неправильно учитываются кванты,
которые испускаются непосредственно до момента t2, а поглотиться должны были
бы после t2.
Если подставить явный вид функции К{1) B, 1) из формулы F) в G), то
поверхностные интегралы можно преобразовать подобно тому, как это было сде-
сделано в статье [1] при выводе формулы B2). При этом получится выражение
- fe» J J J{4) ЬК+ D, 3) bf C) 8+.D) dtB dxt. (8)
Приравняв / (/) плоской волне и ехр (— 1рхг), где р^ — энергия (р4) и импульс
электрона (р2 = т2), а и — не зависящая от времени величина, состоящая иа
четырех компонент, вместо (8) получим
— ie2 J J («Tf,X+ D, 3) -^и) ехр (ip (xi — дг3)) 8 + D) dz% dzA,
причем интегралы распространены по объему V к временному интервалу Т. По-
Поскольку функция К+ D, 3) зависит только от разности xi3v, координат точек 4
и 3, то интегрирование по т4 дает результат, который не зависит всюду (за
исключением границ области) от координат точки 3. В связи с этим интегриро-
интегрирование по т3 приближенно сводится к умножению на VT. Пропорциональность V
имеет место потому, что волновые функции были нормированы на единицу объема.
При нормировке волновых функций на объем V окончательное выражение будет
пропорционально только величине Т. Этого и следовало ожидать, так как, если
эффект эквивалентен изменению энергии на величину А?, то амплитуда перехода
в состояние / в момент t2 изменяется на множитель ехр(—ihE(t2 — ^)) или,
с точностью до первого порядка, на —i{LE)T. Таким образом, получаем
Д? = е* J (п^К+ D, 3) Т[1«) ехр (ipxi3) 8+ D) dxv (9)
где интегрирование распространено по всему пространственно-временному
объему rfx4. Данному выражению можно придать более простой вид. При
истолковании выражения (9) мы молчаливо предполагали, что волновые функции
нормированы так, что (в*м) = (м^4м)= !• Поэтому, чтобы сделать выражение (9)
независимым от выбора нормировки, можно заменить в (9) стоящее слева АЕ на
величину (АЕ) {щАи) или, так как (u-f4u) = — (мм) и т Am = Е АЕ, на Am (мм),
где Am — эквивалентное изменение массы электрона. В таком виде инвариант-
инвариантность выражения (9) является очевидной.
J) Этот вопрос рассмотрен в [6, 7], где отмечается, что представлению о волновой
функции нельзя придать строгого смысла при наличии запаздывающих взаимодействиЁ.—
Прим. авт.
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 171
Аналогичным образом можно получить выражение для сдвига уровня энергии
электрона в водородном атоме. Для этого достаточно всего лишь заменить в фор-
формуле (8) ядро К+ на ядро К*^? — для электрона в поле (V= J3e2/r) атома, а вме-
вместо / взять волновую функцию (пространственно-временную) в атоме водорода.
Получающееся значение Д? не будет, вообще говоря, вещественным. Мнимая
часть ДЕ оказывается всегда отрицательной и, следовательно, соответствует
экспоненциально убывающему с ростом времени множителю в ехр (— iAET). Это
связано с нашей постановкой задачи; именно, мы считаем, что в начале и в мо-
момент Т имеется один атом и нет фотонов. Следовательно, если атом может излу-
излучать, то амплитуда перехода должна с увеличением времени Т убывать. Вычи-
Вычисление мнимой части АЕ действительно приводит к правильному значению для
величины излучения в отдельных состояниях атома. Для основного состояния и
для свободного электрона излучение равно нулю.
В нерелятивистской области выражение для АЕ может быть выведено подобно
тому, как это было сделано Бете [9]. В релятивистской области (интервал между
точками 3 и 4 меньше комптоновской длины волны) ядро АГ+^', входящее в (8),
может быть заменено с точностью до первого порядка по V на сумму К+-\~К1'+B, 1)
(где второе слагаемое определяется выражением A3) статьи [1]). Задача в этом
случае становится во многих отношениях аналогичной рассматриваемой ниже
задаче рассеяния без излучения.
4. Рассмотрение в импульсном пространстве
Нахождение значения выражения (9), а также оценка других более сложных
выражений, появляющихся в рассматриваемых задачах, значительно упрощаются
при использовании в качестве независимых переменных не пространственных и
временной координат, а энергии и импульса. Для перехода к новым переменным
нам потребуется обращение Фурье для функции 8+ E21), которое имеет вид
_8+D) = ^~1 J exp(— ikx^k-Wk. A0)
Формула A0) может быть получена из формул C) и F) или из соотношения C2)
статьи [I], в котором величина /+ B, /) при /ге2 = 0 совпадает с 6+ (s^), как
это следует из формулы C4) статьи 11]. При этом k~-i означает (k ft)-1, или,
более точно, предел при 8—»-0 от выражения (kk-^-iS)'1, а Фк означает
Bи)~2 dkx dk2 dks dk±. Если считать, что кванты являются частицами с массой,
равной нулю, то можно установить общее правило для устранения всех полюсов;
именно с этой целью необходимо к массам частиц и квантов добавлять беско-
бесконечно малую отрицательную мнимую часть.
Основываясь на этих результатах, мы получаем, что собственная энергия (9)
представляет собой матричный элемент (между мим) матрицы
при этом использовано преобразование Фурье (формула C1) статьи [1]) для
функции К+. Подобная формула для собственной энергии удобнее выраже-
выражения (9).
Выражение A1) можно истолковать (фиг. 3), представив себе, что оно опи-
описывает возможность того, что электрон с импульсом р испускает (^ц) квант
с импульсом k, движется далее с импульсом р — k, пока не произойдет следую-
следующее событие [множитель (р — k — m)~l\, заключающееся в поглощении кванта
(второе fa). Амплитуда распространения квантов равна k~2, причем на каж-
каждый виртуальный квант приходится множитель е-/т. Интегрирование A1)
•соответствует учету всех имеющихся возможностей. Причина, по которой
172
Р. ФЕЙНМАН
распространение электрона с импульсом р описывается множителем 1/(р — т),
связана с тем, что этот оператор является обратным к оператору урав-
уравнения Дирака, которое мы, таким образом, просто решаем. Аналогично рас-
распространение света определяется величиной Ilk2, так как эта величина является
оператором, обратным оператору волнового уравнения Даламбера для света.
Первая матрица представляет ток,
порождающий поле, описываемое
векторным потенциалом, вторая
матрица "Сц. является оператором
скорости, на которую умножается
в уравнении Дирака указанный
векторный потенциал при дей-
действии внешнего поля на электрон.
Импульс h, С помощью аналогичных соо-
мнотитель Н 2 бражений в импульсном простран-
пространстве можно решать также и дру-
другие задачи. Рассмотрим напри-
например рассеяние внешним полем
с потенциалом А = А^р., завися-
зависящим от координат и времени как
а ехр (—iqx). Электрон, находив-
находившийся сначала в состоянии с им-
импульсом /jj = PjaYn» переходит
после рассеяния в состояние с им-
импульсом />2, где р2~ Pi ~\~Ч' Ре~
шение с точностью до нулевого
порядка будет в этом случае да-
даваться просто матричным элементом а между состояниями / и 2. Будем те-
теперь искать радиационные поправки первого порядка (по е2), появляющиеся
вследствие возможности виртуального излучения одного кванта. Этот виртуаль-
виртуальный процесс может происходить несколькими различными путями. В первом слу-
случае, иллюстрируемом фиг. 4, а, получается матрица
Импульс р-Л,
М1южитель(р-к-т)~
Взаимодействие,
- Импульс р
Фиг. 3. Самодействие электрона [формула A1),
импульсное пространство].
е2 Г
—~ Ча(р2 — * — 7W)~1«(Pi — k—т)-1
A2)
Поскольку сначала1) испускается квант -^ с импульсом k, причем электрон
приобретает импульсрх — k, то появляется множитель (рх — k — m)~l\ затем элек-
электрон рассеивается внешним полем (матрица а) и приобретает при этом дополни-
дополнительный импульс q, после чего он распространяется [множитель Q»2 — k — т)~Ц
с новым импульсом до момента поглощения испущенного ранее кванта ("f^). Квант
распространяется от точки испускания до точки поглощения (?~2), при этом мы
интегрируем по всем возможным квантам (йЩ и суммируем по всем поляриза-
поляризациям ц. Выполнив интегрирование по &4, можно показать, что получившийся
результат полностью совпадает с выражениями A6) и A7) статьи [3] для того
же процесса, причем входящие в последние выражения различные члены соот-
соответствуют вычетам полюсов подинтегрального выражения A2).
С другой стороны, если квант испускается и вновь поглощается до того,
как произойдет рассеяние, то получается (см. фиг. 4, б)
A3)
1) Понятия „сначала", „затем" и т. п. относятся здесь не к порядку по истинному
времени, а к последовательности событий вдоль траектории электрона, т. е., более точно,,
к порядку расположения матриц в соответствующих выражениях. — Прим. авт.
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 17S
В случае, если и испускание и поглощение имеют место после рассеяния (см.
фиг. 4, в), получается
4 / ^ (Ра - * - и) Тц 0»2 - «Г1
A4)
Подробное рассмотрение этих двух членов будет приведено ниже.
Нам удалось получить простые выражения для матричных элементов, соот-
соответствующих виртуальным процессам. Переход к процессам, в которых в началь-
начальный и конечный моменты
имеется определенное коли-
количество реальных квантов, не
представляет (при правиль-
правильной нормировке) никаких
затруднений. Рассмотрим,
например, эффект Комптона
(фиг. 5, а). В этом случае °
электрон, находившийся в
состоянии с импульсом pv
поглощает квант с импуль-
импульсом qt и вектором поля-
поляризации е1а (так что взаимо-
взаимодействие определяется выра-
выражением e1aYlt = ei) и затем
переходит' в конечное со-
стояние с импульсом о иг
стояние с импульсом />2, и с-
Пуская ДРУГОЙ Квант С ИМ-
р, -К
6,ур.(Щ
фиг- 4- Радиационные поправки к рассеянию (импульс-
ное пространство).
а_уравнение A2), ^-уравнение A3). «-уравнение A4).
пульсом —q2 и поляриза-
поляризацией е2. Матрицей для такого процесса будет матрица
Полной матрицей для эффекта Комптона будет матрица
*2 Oi + Qi — т)-1 е1 + <?j (pj H- q2 — /и) <?2; A5)
появление второго слагаемого вызвано тем, что испускание второго кванта е2
а 6
Фиг. 5. Комптоновское рассеяние [формула A5)].
может предшествовать поглощению первого кванта ех (фиг. 5, б). Для получения
формулы Клейна — Нишины нужно взять матричный элемент матрицы A5), соот-
соответствующий переходу между начальным и конечным электронными состояниями
(рг-\-q1= Ръ—92)' Этой же матрицей описывается двухфотонная аннигиляция и
ряд других сходных процессов, причем позитронными состояниями являются
174 р- фейнман
состояния, соответствующие отрицательной временной компоненте у вектора р.
Кванты при этом испускаются или поглощаются в зависимости от того, положи-
положительной или отрицательной является временная компонента вектора q.
5. Сходимость выражений, описывающих процессы
с виртуальными квантами
Как было отмечено, наш способ записи различных выражений представляет
«собой просто новую формулировку обычной квантовой электродинамики. В связи
с этим многие из приведенных выражений оказываются, как и раньше, лишен-
лишенными смысла. Так, например, выражения для собственной энергии (9) или A1) при-
приводят после вычислений к расходящемуся результату. Очевидно, появление этой
расходимости связано с совпадением точек сингулярности ядра К+ D, 3) и функ-
функции 8+ (s%). Только в этом пункте оказывается действительно необходимым выйти
за рамки обычной электродинамики; все остальные предложенные нами изменения
сводятся лишь к переходу к более простой записи.
Попытаемся видоизменить квантовую электродинамику подобно тому, как это
было сделано в случае классической электродинамики в статье |2], в которой
функция 8(s?2), входящая в выражение для взаимодействия, заменялась Ha/(s?2)i
где f(x)— некоторая функция, отличная от нуля и принимающая большие зна-
значения только на узком интервале изменения х.
Соответствующее видоизменение квантовой теории состоит, очевидно, в за-
замене функции 8+ (s2), входящей в выражение для квантовомеханического взаимо-
взаимодействия, на новую функцию /+ (s2). Можно постулировать, что если разложение
Фурье классического выражения f(s%) является интегралом по всем k от выра-
выражения /7(fe2)exp(—ikx^d^k, то разложение Фурье функции /+ (s-) будет инте-
интегралом от этого же выражения, взятым только по положительным значениям
частот й4 при ^2 > ^ и только по отрицательным значениям частот ki при /2 < tv
При этом связь между функциями / и /+ окажется аналогичной связи между 8 (s2)
и 8+ (s2). Функцию / (s2) = / (х х) можно записать в виде1)
f
k),
где g{kk) — величина, равная умноженной на kZ1 плотности осцилляторов и мо-
могущая быть представленной при положительных kt в виде (см. формулу A6)
статьи [2])
оо
g (fc2) = J (8 (?2) — 8 (*« — Щ G (к) dl,
причем Г О (к) dk = 1 и значения к, входящие в О, велики по сравнению с т.
о
Это означает, что амплитуда для распространения кванта с импульсом k равна
теперь не k~2, a
со
_ F+ (ft») = «-1 J (fc~2 — (fc2 — X2)-1) G (к) dk.
Таким образом, если положить F+(fc2) = — ц-1й~2С(й2), то функция /+ (s212)
определяется равенством
= я" / ехр (— to xl2) k~* С{k*) d*k. A6)
х) В статье [2] это соотношение приведено с ошибкой [формула, предшествующая
формуле A6)]. — Прим. авт.
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 175
В каждый интеграл по всем промежуточным состояниям с виртуальными кван-
квантами, содержащий в подинтегральном выражении множитель dikjk2, будет теперь
добавочно входить множитель сходимости С (ft2), равный
оо
С (ft2) = J — X2 (ft — л2)-1 О (л) dl. A7)
о
При подсчете этого интеграла в полюсах подинтегрального выражения величину ft2
следует заменять на ft2-|-$ и затем переходить к пределу 8->0. Другими сло-
словами, принимается, что величина к- имеет бесконечно малую отрицательную
мнимую составляющую.
Функция /+ (Siz) может еще претерпевать скачок на световом конусе. Подоб-
Подобный скачок не влияет на электрон Дирака. Однако если частицы подчиняются
уравнению Клейна — Гордона, то в выражение для взаимодействия входит градиент
потенциала, благодаря чему в этом выражении в случае скачкообразных функ-
функций / вновь появляется й-функция. Требование отсутствия скачков на световом
конусе у функции / означает, что величина k-C(k9j должна стремиться к нулю,
когда ft2 стремится к бесконечности. Это равносильно тому, что должно выпол-
выполняться равенство
СО
A8)
Данное равенство будет также использовано при обсуждении сходимости инте-
интегралов, получающихся при рассмотрении поляризации вакуума.
Матрица собственной энергии будет теперь представляться выражением
A9)
которое сходится, поскольку С (ft2) убывает по крайней мере как I/ft2. Примем
теперь для удобства, что величина С (ft2) равна просто—X2/(ft2—X2), подразу-
подразумевая, что окончательный результат будет „усредняться" но значениям л с весом
G(K)dK. Поскольку для всех процессов импульс кванта входит в подинтеграль-
ные выражения самое меньшее в одном множителе вида (р—ft — tri)~^, пред-
представляющем распространение электрона при наличии в его поле кванта, то сле-
следует ожидать, что все интегралы по виртуальным состояниям будут при введении
Подобных множителей сходимости давать конечный результат. Таким образом,
для всех процессов будут получаться определенные конечные выражения (исклю-
(исключение составляют рассматриваемые ниже процессы с замкнутыми петлями, в кото-
которых расходящимися являются интегралы не по импульсам квантов, а по импуль-
импульсам электронов).
Интеграл A9) при C(ft2) = — л2 (ft2—X2)-1 и при учете того, что/?2 = «г2
и к~^> т, с точностью до слагаемых порядка т/к равен (см. приложение, раз-
раздел А)
Отсюда для электрона в состоянии с импульсом р, подчиняющегося уравнению
ри = ти, получается следующее изменение массы (см. формулу (9) статьи [3]):
6. Радиационные поправки к формулам рассеяния
Теперь мы можем завершить рассмотрение радиационных поправок к фор-
формулам для рассеяния. Введем множитель сходимости С{№) в соответствующие
интегралы, чтобы они ¦ стали сходящимися при больших k. Интеграл A2)
16 Зак. 573.
176 Р- ФЕЙНМАН
расходится также на нижнем пределе в связи с „инфракрасной катастрофой".
По этой причине мы будем производить вычисление интеграла, предполагая (как
это было разобрано в статье [3]), что фотоны обладают малой массой
Amin<^/re<^4. Выражение A2) преобразуется тогда в интеграл
/ у.(Р2— k — m)-i a(Pl — k— m)-i 7 (Jfe2 — к^)'1 d*kC{k*— ЛЦ),
интегрирование которого (см. приложение, раздел Б) приводит к значению (опу-
(опущен множитель е2/2т:)
[2 Aп х~г - г) 0 - Л) +9 * ° + й /t Н +i ^«^
здесь (#2I''2 = 2т sin 8; предполагается, что матричный элемент берется между
состояниями с импульсами рг и Рч=рх-\-Ц\ кроме того, отброшены члены
порядка kmijm, т'к и q^[l?. Единственным членом в формуле B2), зависящим
от множителя сходимости, является слагаемое га, где
Вскоре мы увидим, что другие интегралы A3) и A4), входящие в полное выра-
выражение, дают после интегрирования члены, которые сокращаются со слагаемым га.
Остающиеся слагаемые при малых д преобразуются к виду
?(«<*—•>+?• ('¦=-*))• B4>
откуда следует изменение магнитного момента и сдвиг энергетического уровня,
как это было более подробно разобрано в статье [3] 1).
Теперь мы должны рассмотреть выражения A3) и A4). Интеграл по k в выра-
выражении A3) может быть [после введения множителя С (ft2)] взят, так как он
сводится к интегралу A9) для собственной энергии, причем полученный после
интегрирования оператор должен действовать на функцию начального состояния uv
подчиняющуюся уравнению ргиг = тих. Именно множитель, стоящий после мно-
множителя а(р1 — >п)~1, оказывается равным как раз Am. Однако если попытаться
раскрыть оператор 1/(р1 — т) = (рг -)- nt)/f/>J—m2), то получится бесконечность,
поскольку />2 = /те2. Этого же следует ожидать из качественных физических
соображений, так как квант может быть испущен и поглощен в любой момент,
предшествующий рассеянию. Подобный процесс приводит к изменению массы
электрона в состоянии 1 и, следовательно, к изменению энергии на АЕ, а также
к изменению амплитуды с точностью до первого порядка по АЕ на величину
— i AEt. Здесь t—время протекания данного процесса—будет бесконечным»
Таким образом, основное влияние члена A3) будет компенсироваться эффектом
изменения массы Am.
1) На ошибочность выражения A9) статьи [3] автору повторно указывали в частной
беседе Вайскопф и Фреич в связи с тем, что вычисления, проводившиеся ими независимо
и завершенные в начале 1948 г., привели к другому результату. Френч затем показал^
что предшествующее выражению A9) выражение для рассеяния без излучения (формулы
A8) или B4) статьи [3]) является правильным и что ошибка заключается в неправильном
сшивании с нерелятивистским результатом Бете. Как показал Френч, вместо использо-
использованного автором соотношения In 2?max — 1 = In Xmin следует взять соотношение In 2?raax —
—g- = In Xmin. Это сводится к добавлению слагаемого — Ve K логарифму в выражении A9)
статьи [3], после чего результат будет совпадать с соответствующими результатами Френча
и Вайскопфа [10], а также Кролля и Лэмба [11]. Автор считает себя ответственным за
значительную задержку в опубликовании результата Френча, связанную с указанной
ошибкой.— Прим. авт.
ГУ. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 177
Возникшая ситуация может быть проанализирована следующим образом.
Предположим, что электрон, рассеиваемый полем с потенциалом а, не был сво-
свободным все предшествующее рассеянию время, а претерпел в некоторый момент
в далеком прошлом рассеяние внешним полем с потенциалом Ь. Если ограни-
ограничиться рассмотрением эффекта, вызываемым добавкой Am, и эффекта виртуаль-
виртуальною излучения одного кванта между двумя указанными рассеяниями, то каждый
из таких эффектов будет хотя и большим, но конечным, и разность между ними
будет также конечной. Распространение из точки рассеяния полем с потенциалом &
в точку рассеяния полем с потенциалом а представляется матрицей
а(р' — т)~Ч, B5)
причем в некоторых случаях, в зависимости от деталей процесса, нужно взять
интеграл по р'. (Если время между рассеяниями велико, то энергия опре-
определяется в очень узких пределах и значение р' очень близко к /те2.)
Сравним влияние, которое оказывает на матрицу B5) эффект виртуальных
квантов и изменение массы Am. В первом случае получается выражение
(p'- m)~%{p'-k- т)~^ {р'- m)-^bk-^ d*kC (ft*), B6)
а во втором случае — выражение
а (р' — т)-1 Am (p' — т)-^6; B7)
нас интересует разность этих двух выражений B6) и B7). Простой метод нахож-
нахождения указанной разности состоит в выполнении интегрирования по k в B6) и
в последующем вычитании из.получившегося результата выражения B7), в кото-
котором подставлено значение Am из B1). Получающаяся разность пропорциональна
невозмущенной амплитуде B5) с множителем пропорциональности — г (р'г) и может
быть представлена в виде
— г(р'2)а(рг — m)-ift. B8)
Этот результат равносилен [с точностью до величин того же порядка, что и
величина B8)] замене потенциалов а и 6 в выражении B5) на A —-^г (р'2)\а
и A ^¦r(p/2)jb соответственно. В пределе прир/2->«г2 чистому эффекту
^ 1
рассеяния соответствует тогда выражение н- га, где множитель г, являющийся
пределом от г (р'2) при />/2->/ге2, точно равен (в предположении, что с инфра-
инфракрасной стороны выполнено обрезание) множителю г, входящему в формулу B3).
Слагаемое равной величины н- га входит еще из-за виртуальных переходов
после рассеяния, описываемых интегралом A4); таким образом, в полком выра-
выражении все члены, содержащие га, сокращаются.
Тот факт, что величина га равна значению выражения A2) при ^2=0",
можго также подтвердить без помощи прямого подсчета следующим образом-
Обозначим через р вектор с длиной т, совпадающий по направлению с />', так
что если р'2 = т A -\- еJ, то р' = A -|- е) р. Пусть величина з очень мала и
имеет порядок Т~1, где Т— время между рассеянием полем с потенциалом а
и полем с потенциалом Ь. Так как (р'—m)-1 = (p'-\- m)j(p/2—тР) я^ (р-\- тI2тЧ>
то выражение B5) имеет порядок е-1, или Т. Вычислим поправки к этому
16*
178 р. фейнмлн
выражению только того же порядка s в пределе при е—>-0. Член B7) можно
приближенно ]) записать, используя выражение A9) для Дот, в виде
J J a (p'—m)-% (p—k—m)-%(pJ—m)-1bk-*d*kC(k*).
Суммарный результат двух эффектов будет, следовательно, приближенно 2) описы-
описываться выражением
— ^ f а(р' — я»)-1ТA (p — k — т)-Чр (p — k — m)~%{p'—m
Получившийся член имеет желаемый порядок 1/з [поскольку (/>'—m)~ltt
?и(р-\-т){2т?г)~1]. Сравнение с формулой B8) приводит к следующему выра-
выражению для г:
Рл^~ f Т, (А - k - /в)-! (Plm-^) (p,~k- m)-%k-*d*kC{k«). B9)
Величина входящего сюда интеграла может быть сразу получена; так как она
совпадает со значением интеграла A2), если в последнем положить q — 0,
причем а заменяется здесь на pjm. Таким образом, интеграл равен г(р^т),
что при действии на состояние иг совпадает просто с г, так как р1и1 = тиг.
По этой же причине множитель {рх -\- т)/2т в формуле B9) можно заменить
на единицу, так что в итоге вместо выражения B9) остается величина г, опре-
определяемая равенством B3) 8).
При решении более сложных задач со свободным электроном в начальном
состоянии члены подобного типа появляются вследствие эффектов виртуального
испускания и поглощения, происходящих до других процессов. Эти члены,
следовательно, содержат опять тот же множитель г, и поэтому вместо того,
чтобы в каждом отдельном случае заново подсчитывать подобные перенормиро-
перенормированные интегралы, можно прямо пользоваться выражением B3).
В рассмотренной задаче нахождения радиационных поправок к формуле
рассеяния окончательный результат оказывается не чувствительным к выбору
способа обрезания. Очевидно, это означает, что посредством простой переста-
перестановки членов до интегрирования можно избежать необходимости применения
множителей сходимости (см., например, работу Льюиса [12]).
Данная задача решалась здесь указанным образом только для того, чтобы
проиллюстрировать способ применения множителей сходимости. Даже в подоб-
J) Данное выражение не является точным, так как использованная подстановка
[вместо Am интеграл A9)] справедлива только в том случае, если оператор р действует
на функции таких состояний и, в которых р можно заменить па т., т. е. ри = та. Ошибка
здесь имеет порядок величины а(р'— /я) (р — "О (р'—т)-1Ь, т. е. порядок
Поскольку, однако, jo2 = 7722, так что имеет место р (р — т) = — т (р — т.) — (р — т)р,
то ошибка оказывается приближенно равной о (р — т) Ъ/4т*, причем порядок ее вели-
величины не первой степени по 1/е, а меньше, так что в пределе ею можно пренебречь.—
Прим. авт.
3) Мы применили' с точностью до первого порядка соотношение (пригодное для любых
операторов А и В)
(А + В)-1 = А-1 — А-^ВА-! + A-^BA~lBA-i— ...
для разложения разности операторов (/>' — k — т)~1 и (р — k — т)~1 (при этом А =
= p — k — т, В=р' — р = ?/>). — Прим. авт.
3) Члены перенормировки, получившиеся в статье [3] [уравнения A4) и A5)], не дают
при простом переходе к обозначениям настоящей статьи удвоенного выражения B9),
а приводят к выражению, получающемуся из B9) при замене там множителя (/>!«-') на
mtJEi, где ?j = />ia при ,a = 4. > После интегрирования в этом случае получится
га ((pi +тI2т) (miilEd или га— га (miJE,) (pi — т)/2т (так как р^ + чфх = 2ЕХ),.
что равно га, поскольку piUi — mui. — Прим. авт.
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 179
ном случае, когда введение таких множителей не является по существу необхо-
необходимым, их применение все же может несколько облегчить решение задачи,
поскольку становится возможным переставлять в выражениях члены, каждый из
которых в отдельности расходится.
Необходимость замены функции й+ именно на функцию /+, определяемую
равенствами A6) и A7), не следует с однозначностью из аналогии с классиче-
классическим случаем. В классическом пределе можно без труда дать интерпретацию
только вещественной части функции 6+ (т. е. как раз функции 8). Возникает
вопрос, на что должна заменяться при переходе к классическому пределу мни-
мнимая часть функции S+, т. е. 1/(tusJ. Сделанный здесь выбор [при определении распре-
распределения полюсов в подинтегральном выражении в A7)] произволен и, скорее всего,
даже неправилен. Так, если подсчитать радиационное трение в атоме, взяв мни-
мнимую часть выражения (8), то результат будет зависеть, хотя и не очень сильно,
от вида функции /+. С другой стороны, испускаемое излучение на большом рас-
расстоянии от источника не зависит от этой функции. Полная энергия, поглощае-
поглощаемая отдаленными системами, оказывается, следовательно, по своей величине не
равной энергии, теряемой источником. Мы, таким образом, приходим к поло-
положению, аналогичному положению, возникающему в классической теории, если
там оставить в полной функции / только те части, которые соответствуют
запаздывающему взаимодействию (см. приложение в статье [2)). Вообще, жела-
желательно иметь более глубокое разъяснение описанного обстоятельства, чем ссылка
на аналогию с классическим случаем, рассмотренным в статье [2|. В настоящее
время этот вопрос нами разбирается.
Из предыдущего следует, что сделанная здесь попытка нахождения внутренне
непротиворечивого видоизменения квантовой электродинамики удалась не пол-
полностью (см. также рассмотренный ниже вопрос о замкнутых петлях). В свою
очередь, может оказаться, что какой-либо выбор вида функции/+, который гаран-
гарантирует сохранение энергии, не позволит одновременно сделать конечным инте-
интеграл, входящий в величину собственной энергии. Опубликование данной статьи
до завершения анализа вопроса о правильном выборе функции /+ вызвано стрем-
стремлением сделать общедоступным метод упрощения расчетов квантовой электро-
электродинамики. Можно попытаться встать на ту точку зрения, что, поскольку ука-
указанная трудность с энергией отпадает в пределе при к —>¦ оо, для получения
правильных физических результатов следует после перенормировки массы
устремлять к к бесконечности. Я не проверял математическую обоснованность
подобной процедуры, но маловероятно, что данное предположение приведет
к удовлетворительным результатам. (Вообще, весьма сомнительно, что удастся
найти удовлетворительный вид функции /+.)
7. Проблема поляризации вакуума
При анализе радиационных поправок к формулам для рассеяния нами не
были рассмотрены члены одного из типов. Рассмотрим в данной связи следую-
следующий процесс. Пусть внешнее поле, потенциал которого, как мы можем считать,
имеет вид а[1ехр(—iqx), порождает пару электронов с импульсами ра и —рь
(см. фиг. 6). Пусть затем эта пара вновь аннигилирует с испусканием кванта
с импульсом q=pb—ра. Пусть, далее, первоначальный электрон переходит
при рассеянии на данном кванте из состояния 1 в состояние 2. Матричный эле-
элемент для такого процесса (при добавлении процессов, получающихся переста-
перестановкой порядка указанных событий во времени) равен
- 5 (W«i) / tr tfo. + Я — тГ1 у, (ра- ту\\ d*Paq-*C(q2) ач. C0)
Вид выражения C0) определяется тем, что в процессе внешнее поле порождает
пару с амплитудой, пропорциональной д.,уч; порожденные электроны распростра-
распространяются с импульсами ра и —(Pa-\~q) до аннигиляции, при которой порождается
180 Р- фейнман
квант (множитель Тц)> распространяющийся [множитель g-^C(q2)] до поглощения
другим электроном (матричный элемент от ^, взятый между состояниями 1 и 2
исходного электрона: и^^и-^). Все импульсы ра и все спиновые состояния вир-
виртуальных электронов являются допустимыми, в связи с чем берется след (сум-
(суммирование по спиновым состояниям) и выполняется интегрирование по d4pa.
Можно также представить себе, что движение пары электрон — позитрон по
замкнутой траектории, имеющей вид петли, вызывает ток
4*;; = Л.л, C1)
который является источником квантов, действующих на другой электрон.
Величина
§ / тУ'ъ (Р - т)-%] d*p C2)
играет основную роль при рассмотрении проблемы поляризации вакуума.
Сразу видно, что выражение для /^ является сильно расходящимся. Замена
функции 8 на функцию / изменяет амплитуду, с которой ток j^ действует на рас-
рассеиваемый' электрон, но никоим образом не делает
интеграл C2) и связанные с ним эффекты конечными.
Один из способов устранения подобных трудностей
сразу бросается в глаза. Согласно одной из точек
зрения, рассматриваются все те пути, по которым
заданный электрон может перейти из одной про-
пространственно-временной области в другую, т. е. может
Ра*Ц\ у Ра |р, попасть из источника электронов в измерительные
приборы. С этой точки зрения имеющие вид петли
замкнутые траектории, которые приводят к выраже-
выражению C2), являются неестественными. Можно пред-
предположить, что имеют смысл только те пути, кото-
Ф и г. 6. Влияние поляри- рые начинаются из некоторого источника и которые
зации вакуума на рассеяние •
[формула C0)]. непрерывно (возможно, с многократным изменением
направления) доходят до места обнаружения элек-
электрона. Замкнутые петли в данном случае исклю-
исключаются. Мы уже нашли, что это можно сделать при движении электрона в за-
заданном внешнем поле.
Однако против указанного предположения можно выдвинуть определенные
возражения. Наличие замкнутых петель является следствием обычной теории
дырок. Наличие петель необходимо, между прочим, для сохранения значений
вероятностей различных событий. Вероятность того, что внешнее поле не поро-
порождает пар, не равна единице, причем это отклонение от единицы связано
с наличием мнимо-i части у величины /ач. Кроме того, при исключении замкнутых
петель однажды порожденная пара электронов не может сама по себе снова
аннигилировать, так что должно отсутствовать рассеяние света на свете и т. п.
Хотя экспериментального доказательства существования подобных явлений нет,
все же, повицимому, они указывают на необходимость замкнутых петель. Воз-
Возможно, конечно, что положение с сохранением вероятности и тому подобные
результаты будут получаться в случае взаимодействующих частиц столь же
просто, как и в случае частиц в заданном внешнем поле. Однако отсутствие дока-
доказательства приведенного предположения говорит как раз о том, что трудности
с поляризацией вакуума нельзя обойти каким-либо простым образом 1).
1) Было бы крайне интересно определить величину лэмбовского сдвига настолько
точно, чтобы можно было проверить, действительно ли имеет место значение, равное
20 мггц, которое следует из теории при предположении о действительном существовании
поляризации вакуума.'—Прим, авт. (В настоящее время такие измерения выполнены.
См. в данной связи статью XI настоящего сборника и вступительную статью. — Прим. ред.)
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ Igl
Другой способ устранения указанных трудностей состоит в принятии рас-
рассмотренного в статье [3J предположения о том, что использовавшаяся до сих
пор функция К+ B, 1) является неправильной и что ее нужно заменить на моди-
модифицированную функцию К' , не имеющую особенностей на световом конусе.
После подобной замены в каждый интеграл по электронным импульсам войдет
множитель сходимости С(р-— от2I). Подинтегральное выражение в формуле C2)
будет при этом умножаться на С(/>2—т2) С((/>-\- qf— от2), поскольку исходный
интеграл, из которого получено выражение C2), содержал в подинтегральном
выражении множитель 8(ра — Pb~\~Q)diPadiPb- Новый интеграл будет схо-
сходиться. Однако получающийся результат оказывается неудовлетворительным2).
Следует ожидать, что ток C1) удовлетворяет закону сохранения, т. е.
q^j' = О, или q^J^,, = 0. Следует также ожидать, что ток отсутствует, если
потенциал av имеет вид градиента, т. е. если величина av равна величине q4, умножен-
умноженной на постоянную. Поскольку величина У^ симметрична, следующее отсюда усло-
условие J^q^ = 0 эквивалентно условию qj?.-, — 0- Однако после интегрирования
выражения C2) с введением множителей сходимостей указанного вида выясняется,
что приведенное условие в этом случае не удовлетворяется. Заменив ядро К на
другое ядро К', не подчиняющееся уравнению Дирака, мы теряем калибро-
калибровочную инвариантность и вместе с ней выполнимость закона сохранения заряда
и общую непротиворечивость теории.
Лучше всего можно показать прямым подсчетом величины J^q.,, исходя из
выражения B3). Величина, стоящая под знаком Sp, принимает в этом случае
вид {p-\-q — т)~1д(р — /и)"-^; это выражение можно записать в виде разности
двух членов: (р — /и)-1^ — {p-\-q—"O^Ti*- Каждый из этих двух членов дает
после интегрирования по d*p без введения множителя сходимости один и тот же
результат, так как первый член переходит во второй при сдвиге начала отсчета р
(при замене р на p' = p-\-q)- Этот результат, однако, не сохраняется при вве-
введении множителей сходимостей, так как данные множители при замене р на
p-\~q изменяют свой вид.
Способ изменения интеграла C2), позволяющий получить сходящееся зна-
значение без потери калибровочной инвариантности, был найден Бете и Паули3).
Появление множителя сходимости для света может рассматриваться как резуль-
результат наложения эффектов квантов различных масс (некоторые из последних отри-
отрицательны). Аналогичным образом, если мы принимаем, что множитель С (у?2—от2)
равен — А2(/>2 — от2— А2)-1, так что (р2 — от2)-1 С(р2— от2) = (/>2— от2)-1 —
— (Р2—' ™? — ^2)—1, то мы тем самым берем разность результатов для элек-
электрона с массой от и электрона с массой (k2 -J- от2I'2. Однако мы берем эту
разность для каждого распространения электрона в промежутке между его
взаимодействиями с фотонами. В отличие от этого Бете и Паули принимают, что
однажды порожденный с определенной массой электрон должен сохранять одну
и ту же величину массы при всех взаимодействиях с внешним нолем до того,
как он достигнет положения, в котором его траектория замыкается в петлю.
Таким образом, если обозначить интеграл C2), взятый по некоторой конечной
области значений импульса р через J^., (от2), а аналогичную величину,
*) Подобный прием позволяет также сделать конечными интегралы, входящие
в выражение для собственной энергии и в выражение для рассеяния без излучения, даже
без замены функции о + на/+ (см. статью [3]), а следовательно, и без введения множи-
множителя С(Щ для квантов. — Прим. авт.
-') В дополнение к членам, приведенным ниже [выражение C3)], в этом случае при
С (Щ = — )?(№— X2)-1 получается еще член 1U(>^ — 2^ -f 1/з9а)V-*- нарушающий кали-
бровочную инвариантность (в перенормировке заряда к величине логарифма добавляется
значение — 7/6). — Прим. авт.
в) Излагаемый прием получения регуляризированных калибровочно-инвариантных
результатов в случае эффектов поляризации вакуума подробно описан в статье Паули и
Вилларса, перевод которой помещен в сборнике: Сдвиг уровней атомных электронов,
ИЛ, 1950. См. также статью IX настоящего сборника. — Прим. ред.
182 Р. ФЕЙНМАН
соответствующую замене массы т на (от2 -\- Х2)"г, обозначить через У (от2 -\- X2),
то следует вычислять разность
Уи (/в8) — У^, (от2 + X2)] G (X) rfX, C2')
со со
причем функция G (к) удовлетворяет условиям Г G(k)dk=l и Г G(k)X2dk = 0.
о о
После этого в выражении для У^ конечную область интегрирования по р можно
заменить на всю область значений р, так как интеграл теперь сходится. При
использовании подобного способа после интегрирования по d*p получается
(см. приложение В) интеграл по d\ с весом G(X) от выражения
где q'=
Калибровочная инвариантность этого выражения является очевидной, поскольку
q^iq^q., — q^S^) —0. В случае потенциала а,,, дивергенция которого (как это
всегда будет иметь место) равна нулю, величина (q^q^—b^q^a., равна—фо.^,
т. е. просто равна результату действия оператора Даламбера на потенциал, что
в свою очередь равно величине тока, вызываемого полем с данным потенциа-
потенциалом а^. Член о"Рп(—j)(#u.#v — G9V')) соответствует, следовательно, току,
пропорциональному по величине тому току, который индуцирует поле. Резуль-
Результат введения этого члена равносилен изменению величины заряда, т. е. появле-
появлению разницы Д(е2) между значением е2 и экспериментально наблюдаемым заря-
зарядом е2-{~А(е2). Эта разница аналогична разнице между величиной от и наблю-
наблюдаемой массой. Величина Л(е2) логарифмически зависит от границы обрезания:
Д(е2)/<?2 =— Bе2/3тс) In (Х/от). После выполнения подобной перенормировки
заряда все эффекты перестают зависеть от формы обрезания.
В выражении C3) после перенормировки заряда остается только последний
член, определяющий обычным образом эффект поляризации вакуума [13]. Для
свободных квантов (q2 = 0) этот эффект оказывается равным нулю. При малых q%
последний член выражения C3) ведет себя как 2/]бG21 благодаря чему в выра-
выражении для эффекта Лэмба к логарифму добавляется величина —1/5. При ^2>BтJ
этот член становится комплексным, причем его мнимая часть представляет умень-
уменьшение амплитуды. Такое уменьшение обусловлено уменьшением со временем вероят-
вероятности того, что поле, могущее порождать пары ((G2I/2 > 2от), не породило пары.
[Для получения требующегося аналитического продолжения представим, что т
содержит малую отрицательную мнимую часть, так что величина [1—(д-/4т~)]':*
переходит в —г[(^2/4от2)—1]V«, когда величина q% возрастает от значений,
меньших 4от2, до значений, больших 4от2. При этом 0 = (ir/2) -J- iu, где
sh и = + [(?2/4от2) — I]1/» и — 1/tg 9 = ith и = -L Ия*— 4/и2I'2 (q*)-'-*.\
Наличие замкнутых петель, соответствующих большему числу квантов или
взаимодействиям более чем с двумя полями, не вызывает никаких затруднений;
эффекты от петель с нечетным числом взаимодействий вообще равны нулю
(см. примечание в статье [1]). В случае четырех или более потенциалов взаимо-
взаимодействия получающиеся интегралы оказываются, как известно, сходящимися даже
без введения множителей сходимости. Аналогичное положение имеет место для соб-
собственной энергии. После преодоления трудностей, связанных с одиночными
петлями, не появляется никаких добавочных расходимостей, обусловленных более
сложными процессами!).
') Имеются петли, совершенно не связанные с какими-либо взаимодействиями
с внешним полем. В частности, возможно, что виртуально порождена пара вместе с фото-
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 18а
8. Продольные волны
В обычной трактовке квантовой электродинамики продольные и поперечные
волны рассматриваются раздельно. При этом при рассмотрении поперечных волн
уравнение (дА^/дхJ W = 0 вводится как некоторое добавочное условие. В настоя-
настоящей формулировке квантовой электродинамики введение подобных специальных
условий не является необходимым, так как мы имеем дело с решениями уравне-
уравнения — ?2^11= 4ту , причем входящий в него ток /^ подчиняется закону сохра-
сохранения djp/дх^ = 0. Это означает, что по меньшей мере имеет место равенство
П2(дЛ[1/сЦ1) = 0; в действительности же наше решение удовлетворяет также
соотношению дА^/дх^ = 0.
Для доказательства правильности последнего утверждения рассмотрим
амплитуду испускания (реального или виртуального) фотона и покажем, что рас-
расходимость этой амплитуды равна нулю. В амплитуду для испускания фотонов,
поляризованных в направлении ц, входят матричные элементы матрицы •($.• Таким
образом, нам достаточно показать, что обращаются в нуль соответствующие
матричные элементы qif.4p = q- Так, например, эффекту первого порядка соответ-
соответствует матричный элемент q, взятый между двумя состояниями р1 ир%—Р\-\~Ч-
Однако поскольку q=p^ — рг и (и^рхиг) = т (и2И)) — (и^р^и^, то этот мат-
матричный элемент равен нулю, что доказывает правильность нашего утверждения
в данном частном случае. Подобное положение имеет место также и в более
сложных случаях [в основном, в силу приведенного ниже соотношения C4)]
(например, положим e2 — q% в матрице A5) для комптон-эффекта).
Приведем теперь общее доказательство. Пусть величины щ (i принимает
значения от 1 до ./V) представляют набор плоских волн, соответствующих воз-
возмущающим полям и несущих импульсы qt (в частности, некоторые из них могут
быть испущены или поглощены в виде одинаковых или различных квантов).
Рассмотрим матрицу переходов из состояния с импульсом р0 в состояние с импуль-
N-1
сом pN следующего вида: aN ТТ (р{—т)~1ар где Pi==pi_lJrQi (множители
пишутся в произведении слева направо в порядке убывания i). В общем случае
матричный элемент является линейной комбинацией подобных выражений. Рас-
Рассмотрим затем матрицу переходов между состояниями р0 и pN~\-q в том слу-
случае, когда, кроме полей с потенциалами щ, действует также другое внешнее
поле с потенциалом а ехр (— iqx), где a — q. Пусть действие этого поля пред-
предшествует действию остальных полей, тогда для соответствующей матрицы полу-
получается выражение «уД0°г + 9—m)~lai(P0~\-Q — m)-lq, которому можно при-
придать вид +#л*1Т(/^ + 0 — m)~iai > так как (Р0~\~Ч — m)~lq эквивалентна
(po-]~q—tn)~l(/>о + q—m) в связи с тем, что действие оператора р0 на функцию
начального состояния равносильно умножению этой функции на т. Аналогичным
образом, если поле с потенциалом а действует после всех остальных полей,
то получается матрица q(pN—m)~laNT\(Pi — яг)-1а^ которая эквивалентна
— алТТ(А~'гс)~1а<» посколькУ ПРИ действии оператора pN-f- q — tn на функцию
конечного состояния получается нуль. Кроме того, это поле может действовать
между полями с потенциалами ак и ак+1 при любом k. В этом случае получаем
JV-I N-1 к-1
2>aN П (А + 0 — т)-1 Oifa-jrq — m)~
Л=1 i=k+l
ном. Затем эта пара аннигилирует поглощая данный фотон. Подобные петли не учиты-
учитываются по той причине, что они не связаны с взаимодействием с какими-либо объектами
и поэтому являются полностью ненаблюдаемыми. Все косвенные эффекты, которые могут
быть вызваны такими петлями, в силу принципа Паули, были уже учтены заранее. —•
Прим. авт.
184 Р- ФЕЙНМАН
Но
— т)-1 = (рк — я»)-» — (pk + q — т)-\ C4)
так что входящая в предыдущее выражение сумма разбивается на разность двух
сумм, первая из которых переходит во вторую при замене к на к — 1. Таким
образом, остаются только следующие крайние члены:
N-l JV-1
aN Ц (Pi — m)~4 — ап Д
Эти члены сокращаются в сумме с двумя предыдущими, так что окончательный
результат равен нулю. Следовательно, каждая испускаемая волна будет удовлет-
удовлетворять условию дА^/дХр— 0. Подобным образом продольные волны (т. е. волны,
у которых Ap = d<p дХр, или а ~ q) не могут поглощаться и не вызывают
никаких эффектов, так как для них матричные элементы для испускания и для
поглощения одинаковы. (Сказанное выше равносильно тому положению, чЛ
потенциал вида А^^до/дх^ не влияет на электрон Дирака, поскольку после пре-
преобразования </=ехр(—iv)ty подобный потенциал обращается в нуль. Правиль-
Правильность этого утверждения легко подтвердить также в координатном представлении,
используя интегрирование по частям.)
Из предыдущего вытекает то практически важное следствие, что при под-
подсчете вероятностей переходов для неполяризованного света можно брать сумму
квадратов матриц по всем четырем направлениям, а не только по двум напра-
направлениям вектора поляризации. Пусть матричный элемент для некоторого процесса
со светом, поляризованным в направлении е^, равен е^М^. Если волновым век-
вектором света является пектор q,^, то, согласно приведенным выше соображениям,
имеет место равенство q^M^= 0. Для неполяризованного света, распространяю-
распространяющегося в направлении z, обычно подсчитывается величина М%-\-Му. Однако
вместо этого можно также брать сумму М% -J- Mly -J- Ml — м\, так как из усло-
условия для q^My. получается, что Mt = Mz, поскольку для свободных квантов
qt = qz. Это показывает, что понятие о неполяризованном свете является реля-
релятивистски инвариантным. Отсюда также вытекает способ упрощения подсчетов
вероятностей переходов для неполяризованного света.
Как было показано, взаимодействие виртуальных квантов определяется чле-
членами вида Уц ¦ •. Yjjfe*^. Реальные процессы соответствуют полюсам в фор-
формулах для виртуальных процессов. Полюсы имеются, когда ft2 = 0; с первого
взгляда может показаться, что в сумму по всем четырем значениям индекса (i
величин Уц • •. Уц входит при этом четыре различных поляризации. Однако после
сказанною выше ясно, что в данном случае фактически учитываются только два
направления, перпендикулярных к k.
Обычный способ исключения продольных и скалярных виртуальных фотонов
(определяющих мгновенное кулонов^кое взаимодействие) может быть, конечно,
применен также и в данном случае (хотя этот способ не является особенно
удобным).
Члены, описывающие виртуальные переходы, имеют вид у^ ... ^к~^Фк,
где точки обозначают некоторые матрицы. Зшадим значения ]х, время t, напра-
направление вектора К, составляющего трехмег^ю часть четырехмерного вектора к,
и два перпендикулярных направления / и 2. Выражения, соответствующие этим
двум направлениям / и 2, при исключении продольных полей изменять не тре-
требуется, поскольку они описывают поперечные кванты. Остается только найти
значение разности (yf • • • ff)—(ук ••• Тк)- Так как имеет место равенство
k = k it — /<7К, где Я"= (КК/'Ч и поскольку мы ранее показали, что при замене
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 185
8 членах, описывающих виртуальные переходы, матриц -^ на k получается выра-
выражение, равное нулю, то Кук можно заменить на 1
Следовательно, можно написать
(т« • • • т«) - (тк • • • тк)
а после умножения на k~2 ^k = й^А (kl — /С2) окончательно получается выра-
выражение — (ff ... "(t)(d4k К'2). Величина *ц как Раз соответствует скалярным волнам,
т. е. полю, порождаемому зарядами. То обстоятельство, что величина 1/ДГ2 не
зависит от &4, означает возможность провести интегрирование сначала по k^
это приводит к мгновенности данного взаимодействия. Ясно также, что остаю-
остающийся после указанного интегрирования в подинтегральном выражении множи-
множитель d К/К2 представляет собой кулоновский потенциал 1/г в импульсном про-
пространстве.
9. Уравнение Клейна — Гордона
Рассмотренные методы могут быть без труда обобщены на случай частиц,
обладающих равным нулю спином и подчиняющихся уравнению Клейна — Гордона2)
^ ^A^. C5)
Основным ядром является теперь величина /+ B, 1), определяемая форму-
формулой C2) статьи [1|. В случае свободной частицы волновая функция tyB) удо-
удовлетворяет уравнению + П2^— т?6 = 0. В точке 2 внутри некоторой про-
пространственно-временно Ч области фупкция <J* B) определяется, как это легко показать,
используя обычный метод доказательства теоремы Грина, посредством равенства
* (Ч - / [¦ A) *i?H - & I, <2,
') Несколько более тщательного рассмотрения требует случай, когда и первая и
последняя матрицы Y(i действуют на одну и ту же частицу. Положим Х = ^4^*"Т"^к
и рассмотрим выражение (k ... х) Ч- (X • • • *). Подобное выражение получается, когда
некоторая система, находящаяся во внешнем поле, которое обладает потенциалом х
и импульсом — k, возмущается другим внешним полем, обладающим потенциалом X
и импульсом -\- k (то обстоятельство, что импульсы в промежуточных множителях
во втором слагаемом х .. ¦ k вхочят с обратным знаком, несущественно, поскольку впо-
впоследствии проводится интегрирование по всем k). Следовательно, согласно указанному
выше, все рассматриваемое выражение обращается в нуль, а так как (k... х) +
+¦ (х ••• k) = k\(-it... Yf) — /С2(Гк •¦¦ Тк)> то можно заключить, что (тк...Тк):=
= k\K ~2 (ff ... tt). — Прилг. asm.
s) Разбираемые в данном разделе уравнения выводятся из формулировки уравнения
Клгйна — Гордона, приведенной в разделе 14 статьи [5]. Функция 6 имеет при этом только
одну компоненту и не является спинором. Другой формальный способ получения урав-
уравнений, пригодных для спина, равного нулю, а также для спина, равного единице, связан,
повидимому, с использованием матриц Кеммера — Дуффина C^, удовлетворяющих переста-
перестановочным соотношениям
Если считать, что величина а равна не ял»' н0 а\$и.< т0 все уравнения для данных частиц
оказываются формально тождественными с уравнениями для частиц со спином 1/i; при
этом только величину (р — т)-1 нельзя более интерпретировать как (р-\-т)(р*~ — w2),
так как р* более не равно числу pp. Однако величина р3 остается равной (рр)р, так
что вместо (р — от)-1 можно писать (тр -{- от2 + Р2~РР)(РР — т^-^т-1. Отсюда полу-
получается, что в координатном пространстве в случае частиц со спином, равным нулю
и единице, функцию К+B,1) нужно брать равной К+{2,1) = [(Я2 + т) — т~х X
X(V;;-f-D2)]^+B> 1), где V2 = р^ д/дх^. Все это следует нз того обстоятельства, что
компоненты волновых функций ty E компонент для спина, равного 0, и 10 компонент
для спина, равного 1) удовлетворяют уравнению (/V — т) 4> = А4>, которое формально
совпадает с уравнением Дирака. См. в связи с этим статью В. Паули [14].— Прим. авт.
186
Р. ФБЙНМАН
причем интеграл берется по всей трехмерной гиперповерхности, ограничивающей
данную область (Л/^ — вектор нормали к этой гиперповерхности).
Если функция «Ji в подинтегральном выражении соответствует точке, пред-
предшествующей по времени точке 2, то в интеграл входят только компоненты ф
с положительными частотами, а если функция ty соответствует точке, следующей
за точкой 2, то в Штеграл входят только компоненты <|i с отрицательными
частотами. Компоненты с положительными и отрицательными частотами могут
интерпретироваться как электроны и соответственно как позитроны полностью
аналогично тому, как это делается в случае уравнения Дирака.
Можно считать, что выражение, стоящее с правой стороны уравнения C5),
является источником новых волн, причем последовательность выписанных членов
представляет матричные элементы процессов возрастающего порядка. Новые
особенности появляются при этом только из-за члена А^А^, благодаря которому
возможно одновременное взаимодействие с двумя квантами. Предположим, напри-
например, что три кванта или три потенциала аAехр(—iqax), ^ехр(—iq^pc)
и с^ ехр (— Щсх) действуют на частицу в таком порядке, что частица, обла-
обладавшая первоначально импульсом pOv,, обладает последовательно импульсами
Ра^Ро + Яа* Ръ=Ра-УЯъ и в К01Ш-е приобретает импульс pc=pb + ?c.
Матричный элемент будет при этом суммой трех слагаемых (соответствующие
три возможности проиллюстрированы на фиг. 7) (р2 = р^р^):
(рсс + рьс) (pi - т*)-г {РьЬ + раЪ) (/>* - я*2)"* (раа
- (Рвс + Рьс) {Р\ - я*2) <ра) - {сЬ) (Pl -
оа) -
) (раа + роа). C6)
Рс
Рь
\ь
Ра
be хх
Первое из этих слагаемых относится к тому случаю, когда влияние каждого'
из трех полей вызывается двумя членами id{Av}b)jdxv_-\-iAv_{d^jdxif). Дей-
Действие входящих сюда операторов
градиента заменяется в импуль-
импульсном представлении на действие
операторов импульса, (до действия
оператора А^ во втором члене и
после действия оператора А^ в
перном члене). Второе слагаемое
в выражении C6) относится к
ах - - ( возможности одновременного дей-
действия полей Дц и Ь^, соот-
соответствующего члену АуА^. Об-
Общий импульс, связанный с по-
полями а^ и Ь^, равен qby.~\~4ay->
так что после действия операто-
a-b хч
а \
Ро
Ро
\Ро
.
р
Ф и г. 7. Частица Клейна—Гордона под действием ра Ьа импульс частицы принимает
трех полей [формула C6)]
ц рд
трех полей [формула C6)].
значение
т. е. ръ.
ро + а + ь ъ
Связь с электромагнитным полем описывается здесь, напри- Последнее слагаемое в C6^ отно-
относится к сходному с предыдущим
случаю, когда одновременно дей-
действуют поля с„
ъ,.
Таким
мер, выражением р„а+р а. При этом появляется также но-
новая возможность (б) одновременного рзаимодействия с двумя
квантами, описываемая выражением ab. Множитель, пред-
представляющий распространение частицы с импульсом р^, равен
теперь (рр—/и!).
образом, наличие слагаемого ^^
в правой стороне уравнения C5) разрешает процессы нового типа, в которых
одновременно либо испускаются, либо поглощаются два кванта, или же одни
квант испускается, а другой поглощается. При принятом порядке действия по-
потенциалов таких слагаемых, в которые входил бы оператор ас, быть не может.
Однако в практических задачах, кроме членов, подобных C6), учитываются так-
также члены с измененным порядком действия квантов a, b и с. В эти члены бу-
будет входить также и оператор ас.
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 187
•. В качестве другого примера рассмотрим собственную энергию частицы
¦с импульсом р,А) равную
— k) ((р — ftJ — /к2) -1 Bр — k),x — 8
2r.im
¦причем величина 8№ = 4 получается вследствие наличия члена А^А^ и предста-
представляет возможность одновременного испускания и поглощения одного и того же
виртуального кванта. Входящий в это выражение интеграл квадратично расхо-
расходится, если отбросить множитель С (ft2), и окажется расходящимся, если взять
C(ft2) = — /Ч2Д&2 — л2). Поскольку в выражение для взаимодействия входят гра-
градиенты потенциала, здесь необходимо использовать более сильный множитель
сходимости; в частности, можно взять С (ft2) в форме л4/(й2— л2J или, вообще,
со
в виде A7) при условии, что Г G(X)^dk = O. В последнем случае собствен-
0
¦ная энергия принимает конечное значение; однако это значение квадратично
зависит от параметра обрезания л и не является достаточно малым по сравнению
с величиной собственной массы т. Радиационные поправки к формулам для рас-
рассеяния оказываются не зависящими от вида обрезания после перенормировки
массы так же, как и в случае уравнения Дирака.
При наличии нескольких частиц для того, чтобы была учтена ста-
статистика Бозе, достаточно использовать правило, что если два процесса приводят
к одному и тому же состоянию, но с переставленными двумя электронами, то их
амплитуды следует складывать (а не вычитать, как в случае статистики Ферми).
Доказательство эквивалентности данного метода и основанного на вторичном
квантовании способа рассмотрения Паули и Вайскопфа совершенно аналогично
соответствующему доказательству для случая электронов Дирака, приведенному
в приложении в статье [1]. При применении статистики Бозе знак составляющей
выражения для поляризации вакуума, получающейся вследствие наличия замкну-
замкнутых петель, оказывается противоположным знаку, получающемуся в случае ста-
статистики Ферми (см. статью [1]). Имеем (рь=Ра~\~Я)'-
X (Pi - w2) - 8,v (P3a - m2)-1 - 8^ (pi - m2) ~Ц d*pa
откуда
[обозначения здесь те же, что и в формуле C3)]. Появление положительной
мнимой составляющей у величины /^ при (д2I^ > 2т соответствует, так же
как и раньше, вызванному возможностью порождения пар уменьшению вероят-
вероятности того, что конечное состояние будет вакуумом. Статистика Ферми давала бы
в этом случае увеличение вероятности.
10. Применения к мезонным теориям1)
Теориям, развитым для описания мезонов и взаимодействия между нуклео-
нами, легко может быть придан вид, соответствующий используемому здесь
способу рассмотрения. С точностью до низшего порядка по взаимодействию
можно без трула выполнить вычисления в любой из этих теорий; однако ни в одном
• ') Со времени появления данной статьи Фейнмана вопрос о распространении фор-
формализма на мезодинамику исследовался довольно интенсивно. Рассмотрение возникающих
при этом проблем и изложение наиболее важных результатов приведены в статье XI
настоящего сборника и во вступительной статье. — Прим. ред.
188 Р. ФЕЙНМАН
из случаев не удается получить согласия с экспериментом. Скорее всего, все
имеющиеся варианты являются в данном случае количественно неудовлетвори-
неудовлетворительными. В связи с этим мы ограничимся лишь кратким описанием методов,
которые могут быть использованы.
Предположим, как обычно, что нуклеоны подчиняются уравнению Дирака;
тогда множитель, представляющий распространение нуклеона с импульсом р,
равен (р— М)~г, где М — масса нуклеона (отсюда следует возможность порожде-
порождения нуклеонных пар). Примем, далее, что нуклеоны взаимодействуют с мезо-
мезонами, причем вид этого взаимодействия различен в каждой из мезонных теорий.
Рассмотрим сначала случай нейтральных мезонов; наиболее близкой к элек-
электродинамике является тогда теория векторных мезонов с векторной связью.
В этом случае множителем, представляющим испускание или поглощение мезона,
является g^y., если данный мезон „поляризован" в направлении ц. Коэффи-
Коэффициент g, который называют „мезонным зарядом", заменяет здесь электрический
заряд е. Амплитуда распространения мезона с импульсом д в промежуточных
состояниях равна (д^—н-2) (в отличие от света, где эта величина равна g~2)t
причем [J. означает массу мезона. Получающиеся в теории интегралы становятся
так же, как и в электродинамике, сходящимися при введении множителя
сходимости С(д2—jx2). Случай скалярных мезонов со скалярной связью отли-
отличается от приведенного случая только заменой в выражениях для испускания и
поглощения матрицы ^а на 1. При этом нет различных направлений поляриза-
поляризации ]А, по которым следовало бы суммировать. В случае псевдоскалярных
мезонов с псевдоскалярной связью матрица fa заменяется на f6 — г'т-вТрТгТ**
В частности, в последнем варианте теории матрица собственной энергии нук-
нуклеона с импульсом р равна
-у?)-г С {&-)?).
Остальные виды мезонных теорий получаются при замене матрицы ^ на другие
выражения [можно, например, заменить -^ на тгОуд,— ТДц) с последующим
суммированием по всем \>. и всем v для виртуальных процессов]. Случай ска-
скалярных мезонов с векторной связью получается при замене матрицы ^ на jj.?»
где величина д равна разности конечною и начального импульсов нуклеона,
т. е. равна либо импульсу поглощенного мезона, либо импульсу испущен-
испущенного мезона, взятому с обратным знаком. Как хорошо известно, данная теория
нейтральных мезонов приводит при описании любых процессов к равным нулю
выражениям. Это было фактически нами доказано при рассмотрении продольных
волн в электродинамике. Случай псевдоскалярных мезонов с псевдовекторной
связью соответствует замене матрицы -^ на у-~хЧьЯ> а случай векторных мезо-
мезонов с тензорной связью соответствует использованию вместо f^ матрицы
B\>.)~1 (ч^д—^"Сц)- Введение дополнительных градиентов в выражения для связи
вызывает опасность появления расходимостей более высокого порядка при опи-
описании реальных процессов. Так, например, введение матрицы ^ьд приводит к лога-
логарифмически расходящемуся выражению для взаимодействия между нейтроном
и электроном [15]. Хотя подобные расходимости и могут быть устранены посред-
посредством применения соответствующих множителей сходимости, получающиеся при
этом результаты оказываются очень сильно зависящими от использованного метода
обрезания и от величины к. Для процессов низшего порядка псевдовекторное
взаимодействие vL~1T6^r эквивалентно псевдоскалярному взаимодействию 2M\t~1fb,
поскольку если иг — волновая функция нуклеона с импульсом р, а к2—волновая
функция нуклеона с импульсом Ръ = рг-\-д, то имеет место равенство
так как ^б антикоммутирует с р2 и так как действие оператора р2 на Функ-
Функцию и2 и действие оператора рх на функцию иг эквивалентно умножению этих
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ]8Э>
функций на М. Отсюда следует, что псевдоскалярное взаимодействие в нереля-
нерелятивистском пределе крайне слабо (так, например, среднее значение оператора -[ь
для свободного нуклеона равно нулю); однако, так как величина ^ = 1 не является
малой, члены взаимодействия второго порядка оказываются в случае псевдоска-
псевдоскалярной связи более существенными, чем члены взаимодействия первого порядка.
Таким образом, константа псевдоскалярной связи должна выбираться так, чтобы
привести к правильным значениям ядерных сил при учете основных процессов
второго порядка [16]. Эквивалентность псевдоскалярной и псевдовекторной связи
имеет место только для процессов первого порядка и теряется в случае процессов
высших порядков, соответствующих наиболее значительным эффектам, вызываемым
псевдоскалярной связью. Таким образом, эти два выбора вида связи в больи ин-
стве практических задач будут приводить к совершенно различным результатам.
Результаты, получающиеся при подсчете вызванных порождением виртуаль-
виртуальных мезонов поправок к формулам для рассеяния нуклеона нейтральным вектор-
векторным мезонным полем (f^), оказываются, аналогично соответствующим результатам
электродинамики, сходящимися без введения обрезания и зависят только от гра-
градиентов мезонного потенциала. В случае скалярных A) или псевдоскалярных (^5)
нейтральных мезонов соответствующие результаты логарифмически расходятся,
так что приходится применить of резание. Однако составляющие выражения для
рассеяния, зависящие от обрезания, оказылаются при этом прямо пропорциональ-
пропорциональными мезонному потенциалу и, следовательно, исключаются при перенормировке
мезонного заряда g. После такой перенормировки результаты зависят только
от градиентов мезонного потенциала и являются по существу не зависимыми
от вида обрезания. Кроме этого, нужно учитывать перенормировку мезонного
заряда, вызванную возможностью порождения мезоном виртуальных нуклеонных
пар (по аналогии с поляризацией вакуума в электродинамике). В случае скаляр-
скалярных и псевдоскалярных мезонов имеется еще некоторое отличие от электро-
электродинамики, состоящее в том, что поляризация приводит тг.кже к появлению соста-
составляющей в индуцированном токе, пропорциональной мезонному потенциалу и при-
приводящей тем самым к дополнительной перенормировке массы мезона, величина
которой квадратично зависит от обрезания.
Рассмотрим теперь заряженные мезону в отсутствие электромагнитного поля.
При этом можно ввести обычным образом операторы изотопического спина
[в частности, для этого нужно заменить, например, матрицу т(б на ifi§ и затем
просуммировать по значениям /=1, 2, причем tx = т+ -f-i_ и i% = i(i+ — z_),
где ?+ — оператор, переводящий нейтрон в протон (при действии х+ на про-
протон получается нуль), а •:_— оператор, переводящий протон в нейтрон].
В кснкретгых задачах при помощи диаграмм, соответствующих матричным
элементам, можно также просто различать, является ли частица протонем или
нейтроном. В этом случае ряд определенных процессов не может осуществляться.
Так, например, при рассеянии отрицательного мезона (переход из состояния
с импульсом q1 в состояние с импульсом q^) нейтроном сначала должен быть
испущен (имеется в виду не порядок событий по времени, а порядок располо-
расположения операторов) мезон с импульсом q%, так как нейтрон не может поглотить,
отрицательный мезон до тех пор, пока он не превратится в протон. Таким
образом, если проводить сравнение с формулой Клейна — Нишины A5), то при-
рассеянии отрицательных мезонов нейтронал.и нужно брать только член, анало-
аналогичный второму члену выражения A5) (см. фиг. 5, б), в то время как при рас-
рассеянии положительных мезонов нейтронами нужно учитывать только член, анало-
аналогичный первому члену указанного выражения (см. фиг. 5, г).
Источник мезонов заданного заряда не является неограниченным. Так, ней-
нейтрон, способный испускать отрицательные мезоны, теряет эту способность после
превращения в протон. Приведенное при рассмотрении продольных электро-
электромагнитных волн доказательство того, что действие оператора q приводит
к выражениям, равным нулю, оказывается теперь непригодным. Вследствие
этого в случае векторных мезонов с векторным взаимодействием (-^) не
190 Р- ФЕЙНМАН
будет выполняться условие равенства нулю дивергенции потенциала. Если
нужно устранить реальное испускание мезонов с дивергенцией мезонного потен-
потенциала, не равной нулю, то в случае испускания в выражение взаимодействия
следует подставлять 3) матрицу f— \>-~^с/^9, оставляя попрежнему в случае
поглощения матрицу f . (Поправочный член \L~*q.j.q равен нулю в случае ней-
нейтральных мезонов.) Отсутствие симметрии между' испусканием и поглощением
является при этом только кажущимся, так как очевидно, что подобное введе-
введение \ь~^С[р.д равносильно вычитанию из старых выражений ^,х ... у члена
\>-~2q ... q. Иными словами, если опустить член —l*?^» то теория будет
объединять мезоны со спином единица и мезоны со спином нуль. Мезоны со
спином нуль, связанные с нуклеонами векторной связью q, устраняются посред-
посредством вычитания члена \>-~^q ... q.
Два добавочных градиента, входящих в выражение q ... q, еще более
усложняют проблему сходимости интегралов (так, например, соответствующее
обмену двумя заряженными векторными мезонами выражение для взаимодействия
между двумя протонами оказывается квадратично зависящим от обрезания, если
при его подсчете не использовать каких-либо особых приемов). Это в извест-
известной мере побуждает выбрать выражение ^.. . ^ и согласиться с выбором смеси
мезонов спина нуль и мезонов спина единица. Однако оказывается, что при таком
выборе обычный формализм приводит к отрицательным энергиям у компонент
с нулевым спином. Данное обстоятельство показывает одно из преимуществ
метода вторичного квантования мезонных полей перед настоящей теорией.
Подобные ошибки в знаке вызываются здесь, очевидно, тем, что мы можем
записывать пригодные с виду выражения, которые тем не менее приводят
к абсурдным результатам. Использование псевдовекторных мезонов с псевдо-
псевдовекторной связью соответствует введению в выражение взаимодействия матрицы
Тб(Та — У-'^Я^Я) Ддя поглощения и матрицы ^ьЧу. Для испускания как в случае
заряженных, так и в случае нейтральных мезонов.
В присутствии электромагнитного поля всякий раз, когда нуклеон является
протоном, он взаимодействует с этим полем таким же образом, как и электрон.
Скалярный или псевдоскалярный мезон взаимодействует с электромагнитным
полем как частица, подчиняющаяся уравнению Клейна — Гордона. При подсчетах
здесь существенно использовать метод вычисления Бете и Паули, т. е. исполь-
использовать предположение, что виртуалыгые мезоны обладают одной и той же
Потенциал векторного мезонного поля <рц, удовлетворяет уравнению
д
где источник векторных мезонов s^ представляет собой матричный элемент f между
состояниями нейтрона и протона. Взяв дивергенцию djdx^, от обеих сторон этого урав-
уравнения, получаем д%/дх^ = 4к|».-а (dsv/dxv). Таким образом, взятое уравнение может быть
переписано в форме
В - импульсном представлении правая сторона получившегося уравнения принимает вид
Т —Р~гЧуЯч1ч1 левая — вид (q2 — \^)~г, а член взаимодействия s^fy. в лагранжиане дает
для случая поглощения ту.
Продолжая приведенные рассуждения, можно показать, что частицы со спином еди-
единица представляются четырехмерным вектором и,,, (который для свободной частицы
с импульсом q удовлетворяет условию qu = 0). Переход виртуальных частиц с импуль-.
сом q из состояния ч в состояьие (л представляется при этом умножением на четырех-
четырехрядную матрицу (или тензор) Р^ = (8^—V-^q^q,) (q2— i*2)- Взаимодействию первого
порядка (из уравнения Прока) с электромагнитным полем, обладающим потенциалом
аехр(—ikx), соответствует умножение па матрицу ?F, = (q2a-\-qia) орт — q-ita^ — q^a-,,
где через <?t и q% = qi-\-k обозначены импульсы частиц до и после взаимодействия.
Наконец, два потенциала а и b могут действовать одновременно, чему соответствует
матрица ?^v = — (аЪ) 5^ + Ь^ат — Прим. авт.
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 191
„массой" в течение всех актов своего взаимодействия с электромагнитным полем.
При этом следует также брать разность между выражением для взаимодействия
с массой [х и выражением для массы С^а —{— X2)Vs и интегрировать эту разность по
всем значениям А. с весом G(k). Если не брать для каждого распространения
мезона между двумя взаимодействиями с электронами один и тот же множитель
сходимости, не будет сохраняться калибровочная инвариантность. Если выраже-
выражение для взаимодействия включает градиент, например, в виде члена с y-q, где
q — разность между начальным и конечным импульсом нуклеона, то из импульса
протона следует вычитать вектор—потенциал А. Таким образом, появляется
дополнительная связь ±-{ьА (знак плюс берется в случае перехода протона
в нейтрон, знак минус — в случае перехода нейтрона в протон), представляющая
возможность одновременного испускания (или поглощения) нуклеоном мезона и
фотона.
Испускание положительных виртуальных мезонов и поглощение отрицатель-
отрицательных виртуальных мезонов описывается одним и тем же членом, причем знак
заряда определяется как и в случае электронов и позитронов временным соот-
соотношением событий.
Подобным образом могут быть без труда выполнены вычисления с точ-
точностью до первого порядка по квадрату постоянной связи для таких эффектов,
как взаимодействие иуклеонов, рассеяние мезонов на иуклеонах, порождение
мезонов при столкновениях нуклеонов и f-лучей, нуклеарпые магнитные момен-
моменты, расстояния нейтронов на электронах и т. д. Однако ни в одном из случаев,
когда может быть проведено сравнение вычислений с опытом, это сравнение пе
привело к удовлетворительным результатам. Повидимому, все указанные формули-
формулировки являются ошибочными. Приведенное заключение нельзя все же считать оконча-
окончательным, поскольку вычисления проводились лишь с точностью до первого
порядка по g"iftc, и поэтому эти вычислеЕШя могут оказаться недействительными,
если g't/tic велико.
Автор обязан проф. Бете за данное им разъяснение метода получения
конечных и калибровочно-инвариантных результатов при рассмотрении поляризации
вакуума. Автор также благодарен проф. Бете за его критические замечания
и за многочисленные дискуссии, имевшие место во время выполнения настоящей
работы. Автор должен также поблагодарить проф. Эшкииа, внимательно прочи-
прочитавшего работу в рукописи.
ПРИЛОЖЕНИЕ
В данном приложении будет проиллюстрирован метод, с помощью которого
можно непосредственно вычислять простейшие интегралы, встречающиеся в задачах
электродинамики. Интегралы, появляющиеся при описании более сложных
процессов, приводят к довольно громоздким функциям; описываемый метод
облегчает изучение соотношений между подобными интегралами и позволяет сво-
сводить их к более простым интегралам.
В качестве типичного примера рассмотрим интеграл A2), получающийся при
рассмотрении задачи рассеяния без излучения с точностью до первого порядка:
f(Pa — Ь — my^aip, — k — т)-> bk-*d*kC(&), (la)
где С (ft2) принимается, как обычно, равным —X2(ft2— X2); символ d4k озна-
означает Bг.)~~ dk1dk9dk^dki. Представив множитель (р — k — т)-1 в виде
(р— k-\-m){(p — kf— /к2), получаем вместо интеграла Aа) интеграл
J ь{p^ — k + m)a{Pi — k-i-т)ък~*d*kC(ft2) X
X ((р,— kf — т*)~ЩРг — kf — /к2)-*. Bа)
17 Зак. 573.
192 р. фейнман
Входящее сюда матричное выражение можно преобразовать к более про-
простому виду. Оказывается, что это преобразование выгоднее проводить не до,
а после интегрирования. Из равенства АВ — 2АВ — В А, где АВ = А^В—число,
коммутирующее с любыми матрицами, следует равенство \А —— А~[^-\-2А}/л
из которого получается соотношение
V^ifc = — АтЛ + 2ЯЛ 5 (За)
здесь R обозначает какое-либо выражение, а матрица А соответствует вектору.
Соотношение (За) позволяет по индукции сводить к более простым выражениям
выражения вида ^ ... ^. Будут использованы следующие частные случаи этого
соотношения:
Ту ¦ ; А
= 2 (+ ) ,
,( Dа)
где Л, 5, С—любые матрицы, соответствующие вектору (т. е. линейные ком-
комбинации четырех матриц -^).
Для вычисления интеграла Bа) представим его в виде суммы из трех сла-
слагаемых {k = k^a):
Tu. (#> + т) а (/>! + т) т/, — [ vr.e (р1 -f m) T^. +
+ Ти- (Ра + w) аТЛ^1 Л + ТаТГ.вТтТГ^в» Eа)
где
Принятое здесь обозначение соответствует тому, что в интеграле Jt скобка
A; ka; kakz) заменяется на 1, в интеграле Ja — на ka, а в интеграле 73 — на
В случае более сложных процессов первого порядка в интегралы входит
большее число множителей вида ((ps — k)- — от") и в связи с этим возрастает
число величин типа kak^k4 в введенных выше символических скобках. Процессам
высшего порядка, с участием двух или более виртуальных квантов, соответ-
соответствуют аналогичные интегралы, в которых только вместо ft может стоять ft~|-ft'
и интегрирование ведется уже по k--d4kC(k")k'~^ dik'C{k'i). Подобные инте-
интегралы также могут быть преобразованы с ломсшью методов, аналогичных при-
примененным в случае процессов первого порядка.
Множители (р—ft)'2 — т2 можно записать в виде
(р — ftJ — /и2 = ?2_ 2pk — Д, Gа)
где Д = /и2—р2, Aj = т^—р\ и т. п.; подобным образом мы можем рассмот-
рассмотреть общий случай, соответствующий различным значениям т. Хотя в нашей част-
частной задаче Fа)/^ = ти2 и, следовательно, Ах = 0, мы все же будем стре-
стремиться сохранять общность выкладок.
Возьмем теперь множитель C(ft2)/ft2 в виде —X2(ft2 — l?)-lk--\ тогда этот
множитель можно записать в следующей форме:
(*• - L)-«. (8а)
о
Таким образом, мы можем заменять множитель ft~2C(ft2) на множитель (ft2—Z.)~2
с последующим- интегрированием рассматриваемых выражений по L от нуля до А2.
Во многих практических задачах величину А2 можно считать очень большой по-
сравнению с т2 или р2. В случае, если исходный интеграл сходится без введе-
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 193
ния множителей сходимости, правильность приведенного утверждения является
очевидной, поскольку интеграл по L сходится, даже если распространить инте-
интегрирование до бесконечности. Если для интеграла имеет место „инфракрасная
катастрофа", то можно просто предположить, что кванты обладают некоторой
малой массой Amin, и интегрировать не от нуля до X2, а от l?min до X2.
Таким образом, мы должны рассмотреть интегралы вида
— L)-*{kZ — 2p1k-~b1)-1(k* — 2p<,k — A<!)-1, (9a)
где символ A; k3; kak.) означает в различных случаях либо 1, либо k,, либо kak..
В более сложных задачах входит большее число множителей (k2— 2ptk— Д*)",
а также появляются такие же множители в других степенях [величину (ft2— L)~2
можно рассматривать как частный случай подобных множителей с /^ = О и
Aj = L]. Полюсы при этом во всех случаях определяются посредством предпо-
предположения, что величины L и Д имеют бесконечно малые отрицательные мнимые
части.
Будем вести рассмотрение, переходя по индукции от более простых инте-
интегралов к более сложным. Начнем с простейшего сходящегося интеграла
2 — Z.)-3
и покажем, что имеет место равенство
d*k(k2 — L)-s = (8iL)-1. A0a)
Данный интеграл равен Г BTz)-2dkidaK,(k*—КК — L)~%, где К обозначает
вектор с модулем Д'=(КК)''2 и компонентами kv &2, k%. При интегрировании
по ki появляются два полюса третьего порядка при ki = -\- (К2 -\- LI'3 и
ki =— (K2~\~L). Если положить, в согласии с нашими определениями, что
у L имеется малая отрицательная мнимая часть, то ниже вещественной оси ока-
оказывается только первый полюс. Контур интегрирования рассматриваемого инте-
интеграла может быть замкнут без изменения значения этого интеграла проходящим
ниже вещественной оси полукругом бесконечно большого радиуса, поскольку
вклад от полукруга в пределе исчезает. Получающийся замкнутый контур
обходит полюс в точке ki = -\- (К2 -\- L.Y1', так что значение интеграла по ki
равно вычету в этом полюсе, умноженному на — 2ш. Положив величину 64
равной 64 = (К* + bf* -\-а и разложив выражение (k\ — К2 — L)~3 = е~3(г -)-
-\-2 (К2-\-L.yls)~3 по степеням е, получаем, что вычет, являющийся коэффи-
коэффициентом в члене се, равен &B(К^-\-1У1г)~ь. Таким образом, наш интеграл
равен
]
о
откуда следует равенство A0а).
Из симметрии ^-пространства далее следует, что Г kad4k(k"—Z-)-8 = 0..
Полученные результаты можно записать в виде
8/ J*(l;
* = (\; 0I-», (Па)
при этом из скобок A; ka) и A; 0) нужно брать соответственно первые или
вторые символы.
Положив в формуле A1а) k = k'—р и обозначив L — р2 через Д, находим.
8/
17*
194 Р- фейнман
После дифференцирования обеих сторон равенства A2а) по Д или по р. сразу
получается соотношение
241 J A; k,\ k3k.) d*k (ft2 — 2pk — Д)-« =
1 + ]. A3а)
Дальнейшее дифференцирование позволяет получить значения интегралов, содер-
содержащих большее число множителей k в числителе и включающих высшие степени
(ft2— 2pk— Д) в знаменателе подинтегрального выражения.
Рассмотренные до сих пор интегралы содержали только один множитель
в знаменателе подинтегрального выражения. Для перехода к случаю наличия двух
множителей учтем тождество
1
a-i?-i = § dx(ax-\-b(\ — л:))-2 A4а)
о
(использованное в одной из работ Швингера при исследовании гауссовских инте-
интегралов). Это .тождество позволяет выразить интегралы с двумя множителями
в знаменателе подинтегрального выражения через интегралы с одним множителем
в знаменателе подинтегрального выражения. В случае высших степеней а и b
мы будем использовать тождества, подобные тождеству
а-Ч-^ = f 2xdx (ах + b(I — лг))-8, A5а)
о
получающиеся из тождества A4а) последовательным дифференцированием по а
или по Ь.
Для преобразования интегралов вида
8/ J(l; fta)^/j(ft2— 2pxk — Aj)-2(*2 — 2p2fe — Д.) A6a)
запишем, используя формулу A5а), тождество
i
(ft^ — 2Plx— Дл)-*^— 2p2k — Д3)-1 = J 2xdx (ft2 — 2pxk — AJ-b,
о
где
-f A — лг)/»2 и Дл = ^Д1 + A —л:)Д2 A7а)
(отметим, что Дх не равно т" — р\). Таким образом, интеграл A6а) равен инте-
интегралу 8/ Г 2х dx ГA; ka)dik(k^—2pxk — Дж)~3, который можно оценить с по-
о
мощью A2а); именно, получаем, что интеграл A6а) равен
1
J (l;pxaJxdx(pi-[-Ax)-\ A8a)
6
где величины рх и Дж определяются формулой A7а). Интеграл A8а) является
элементарным интегралом от отношения дпух полиномов, причем полином,
стоящий в знаменателе, есть полипом второй степени по х. Несмотря на это
получающееся без труда после окончательного интегрирования общее выражение
представляет собой довольно сложную комбинацию корней и логарифмов.
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 195
Значение других интегралов также может быть получено с помощью диффе-
дифференцирования по параметру. В частности, дифференцирование A6а) или A8а)
по параметрам Дй или р2. дает соотношение
8/ / A; К; ? A) ^k (** — 2Plk — Д^'2 (*2 — 2p2k — Д2)~2 =
с правой стороны которого опять стоят элементарные интегралы.
Рассмотрим в качестве примера случай, когда второй множитель подинте-
грального выражения равен (?2— L)~2, а в первом множителе положено рг—Р
и А1 = А; тогда рх — хр и LSB = xL-\-{\—x)L. При этом получается
8i J A; ks; kakr) d*k (А:2 — L)~2 (№ — 2pk — Д)-2 ^
+ bx)-*. B0a)
Получившиеся интегралы с тремя множителями в подинтегральном выраже-
выражении могут быть с помощью тождества A4а) сведены к интегралам, содержащим
в подинтегральном выражении два множителя, т. е. могут быть сведены к инте-
интегралам с двумя параметрами (см., например, приведенное ниже исследование для
случач радиационных поправок к формулам рассеяния).
Предлагаемый в данной статье метод вычислений прост при применении
к процессам низшего порядка. С возрастанием порядка рассматриваемых про-
процессов резко возрастает количество различных усложнений, так что данный
метод в его настоящей форме в таких случаях становится практически неприме-
неприменимым.
А. СОБСТВЕННАЯ ЭНЕРГИЯ
Интеграл собственной энергии A9) имеет вид
A9)
при его рассмотрении [в случае использования равенства (8а)] требуется выпол-
выполнить интегрирование по L от 0 до А2 выражения
f Т^ (/> — * + "О v**fe (*2 — L)-* (*» — 2pk)-\
так как имеет место равенство (р — Kf — m- = k2 — 2pk, поскольку jt>2= m2.
Последнее выражение имеет вид интеграла A6а) с Аг = L, /?, = 0, Аа= 0, jt»2=jt»;
из A8а) в этом случае вытекает [так как рх = (\—х)р, Ax = L
8i J A; ke) d4k (& — L)-2 (Л2 — 2pk)~^ = J(l; A-х) /»,) 2x rfjc (A ~xJ «s+jcL).
о
Выполнив интегрирование по L [см. формулу (8)], г.аходим
8i ГA; k ) d4kk~2C (k2) (й9 — 2pk)~1 = Г A; A — x) ps) 2 </x In ^ ,~Г "Т
Предположив теперь, что Я2 ^> от2, пренебрежем в аргументе логарифма
членом A—хJ/га2 по сравнению с членом хА2; при подобном пренебрежении
196 Р- ФЕЙНМАН
этот аргумент становится равным (Л2//и2) [хЦ1—хJ]. Далее, поскольку
1 1
jdxln(x(l — *)-2)=l и J(l — x)dxln(x(l— д;)-2) = — -i, находим
о о
n^ + 2; Р.('п^ —If))'
Подстановка этого результата в интеграл A9) после замены множителя (р—k—т)~1
на (p — k + m) (kn- — 2/j/s)-1 дает
2 Ш ? + 2) -/ ( ? )] т,
h(^)(^)] B0)
при этом для исключения матриц f использовались соотношения Dа). Последнее
выражение согласуется с приведенным в тексте выражением B0) и дает после
замены р на т значение собственной энергии B1).
Б. ПОПРАВКИ К ФОРМУЛАМ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ
Для определения члена A2), входящего в выражение для рассеяния без излу-
излучения, после приведения матричного знаменателя к рациональному виду и исполь-
использования равенств р\ = рг = т2 требуется, как мы видели, рассмотреть инте-
интегралы (9а). Подинтегральное выражение такого интеграла содержит в знаменателе
три множителя, которые мы учтем в два этапа. Объединим сначала с помощью
тождестка A4а) множители (й2 — 2pjfe) и (k- — 2р2&), введя параметру следую-
следующим образом,
1
(к* — 2Plfe)-i (*2 — 2/72/г)~1 = J dy (k2 _
где
Py = yPi+(l—y)p2- B1a)
Теперь нам, следовательно, нужно найти значения интегралов
81 J (I; k,; feA) d'k (*2 — ^) (*^ — 2р^)-2, B2а)
а затем проинтегрировать эти значения по у от 0 до 1. Интегралы B2а) сразу
получаются из интегралов B0а), если положить в них р=ру, Д == 0; именно,
1 1
1 1
интеграл B2а) = — J J A; хруа; х"руару-,
Перейдем теперь к интегрированию по L, как это требуется согласно
(8а). Первый элемент A) из скобки A; fe3; kakx) не приводит ни к каким
трудностям при больших L; однако при L, равном нулю, в подинтегральном
выражении остается величинах"" Ру2, вызывающая расходимость интеграла по х,
когда х стремится к нулю. Для анализа такой „инфракрасной катастрофы" ниж-
нижний предел в интеграле по L заменяется на Amm! при этом для последнего члена
должен быть сохранен верхний предел, равный А2. При предположении
42 интегрирование остающихся интегралов по х проводится, как и
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 197
в случае собственной энергии, тривиальным образом. В результате получим
— 8/ J (k2 — ALa) d*kC(k2 — Х^п) (*2 — 2^/гГ1 Х
1 о2
X (*2 — 2pafe)-i = f jfy*rfyln "^-. B3a)
0 mm
1
— 8/ J* kak-WkC(k*) {k^—2p1k)-i (A;2 — 2p2fe)-i = 2 J pyapy2dy, B4a)
о
— 8/ J kJtJt~4*kC(A:2) (A:2 — 2^)-! (A:2 — 2p2/e)-! =
i i
= J Py,Py,Py2dy — \ 80T J rfy ln X'p + ^33T. B5a)
о о
Интегрирование по у дает
3 9
J py2 dy ln (/4лш?„) = 4 (m2 sin 20)-1 Го ln (тк^п) — J « tg a da], B6a)
о о
l
/ Py,Py2 dy = 6 (/re2 sin 20Г1 (pj+p^), B7a)
о
г
J />yJW»»2 ^ = & B/«2 sin 20)-i (Ple + Plx) (ps, + ftt)+^-s?e^ A-6 ctg 0), B8a)
о
i
J dy ln (л2/;) = In g) + 2 A - Й ctg 6). B9a)
Указанное интегрирование по у выполнялось следующим образом. В связи с тем, что
имеет место равенствор^=рг-j-q, где q—импульс поля, из равенств pl—p\ = m2
вытекает, что 2р^ = — q2, так что р\=т2 — я'гуA—у), посколькуру= рх +
-\-qO-—у). Оказывается также удобным произвести подстановку 2_у—l=tg<x/tgb,
где 0 определяется равенством 4m2sin 26 — q2, поскольку в этом случае
рг = m2 (sec2 a/sec2 р) и p~'dy = (/re2 sin 26)-1 da, причем a изменяется от —0
до + 0. После подстановки полученных результатов в исходную формулу для
рассеяния Bа) получается выражение B2), причем при преобразованиях
многократно используется то обстоятельство, что действие оператора рг на функ-
функцию начального состояния и аналогично действие оператора р2 на функцию
конечного состояния эквивалентно умножению этих функций на т. [Для упро-
упрощения выражения
члены вида qaq = — q^a -f- 2 (aq) q могут быть заменены на — q2a, поскольку
матричный элемент для q=p2—P1=z tn — т равен нулю.]
В случае члена перенормировки нужно взять соответствующие интегралы
при специальном выборе q = 0.
В. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА
При рассмотрении поляризации вакуума требуется вычислить значения /^ C2),
и C2'), т. е. в данном случае — значение интеграла
1„ (О = - -g- J tr [T(l (p -1 q + m) т, (p + \q + »»)] rf*P X
, C2)
198 р. фейнман
где мы заменили величину р на р—1/2 q с целью некоторого упрощения под-
подсчета. Поясним метод вычисления на примере интеграла
/(/в*) = / PcP,d*p ((/» —1 qj-m*)'1 ((/» +Т tf-
Множители в знаменателе /?2 — pq — га2 -j- -^- д2 т& p2-\-pq — m2 -(- -j- #2 объеди-
объединяются, как обычно, с помощью тождества (8а), причем для симметризации про-
производится подстановка х = -j A + tj), A — лг) = -~- A — *)) и интегрирование про-
производится по ч\ от —1 до -j-1.
+i
/(me)=J pj>&p{f— ripq-mz + ^qty2^. C0a)
Значение получившегося интеграла по р не может быть найдено при помощи наших
формул, так как он сильно расходится. Однако, как это было указано в раз-
разделе 7 [см. формулу C2)], нам нужно не значение / (т2), а значение интеграла
СО
Г \1 (т2) — I(m2-j- A2)] G (k)dX. Мы можем вычислить разность 1{т2) — i
о
подсчитав сначала производную /' (т- ~\- L) от / по т2 при значении аргумента,
равном m9-\-L, и затем проинтегрировав эту производную по L от нуля до А2.
Продифференцировав (ЗОа) по т2, находим
+1
= f
Этот интеграл также расходится, ко мы можем продифференцировать его снова,
причем получается уже сходящийся интеграл
+1
/ »(/яв + L) = 3 J pePxd*p (jt>2 — riPq - т2 — L + ~ q^ d-ц =
i
= -(80-! J (^т^/)-2-18ат/)-1)л1 C1а)
-1
/1 \
( здесь D — —г- (yf — 1) q2 -4- т2 -4- L 1, значение которого находится из фор-
мулы A3а), если положить там р = -^ t\q и A — m2-\-L jq2- Далее, для по-
получения /' мы можем взять неопределенный интеграл от /" по L и выбрать
любую подходящую произвольную постоянную интегрирования. Это связано
с тем, что наличие добавочной постоянной С в производной V приводит к по-
появлению в выражении /(/и2) — 1(т'2-\-Х2) добавочного члена —СА2, обращающе-
обращающегося в нуль после умножения на G(k)dk и интегрирования по А, так как
со
Г a.2G (a) da = 0. Отсюда следует, что появление логарифма после интегрирова-
о
ния по L выражения C1а) не вызывает в действительности каких-либо трудно-
трудностей. Мы можем положить
+
J
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 199
после чего второе интегрирование по I и последующее интегрирование по ч\ не
составляют труда. В итоге получается следующий результат:
- 8i J p,p,d'p ((р — | <,)' - т?) "' ((р + -J
*) -
X Зот [(А2 + да») In (Х»да-» + 1) — С'А2], C2а)
причем мы предположили А2 ^> т2 и объединили ряд не зависящих от А5 (но,
вообще говоря, зависящих от q-) членов в произвольную постоянную С. Кроме
того, было положено <72 = 4/re2sin20.
Совершенно сходным образом может быть взят интеграл в случае, когда
в числителе стоит величина т2. При этом, конечно, также оказывается необхо-
необходимым дифференцировать по т2 и подсчитывать /' и /". После выполнения ука-
указанных операций получается следующий результат:
= Am- A — 0 ctg 0) — -^ -|~ 2 (А2 -|- m2) In (/Are-2 + 1) — С"А2, C3а)
где С"—еще одна несущественная постоянная. Для окончательного решения за-
задачи требуется теперь взять интеграл
- 8г J A; р.) *р ((/»- 4- *)*- '«? "' ((/> + у
= A, 0) D A — Octg4)-j-21n(A2/re-2)). C4а)
Умноженное на т2 значение интеграла C4а) отличается, очевидно, от значения
C3а), поскольку выражения, стоящие здесь с правой стороны равенства, факти-
фактически равны не интегралам, стоящим слева, а разности между указанными
интегралами и интегралами, получающимися из них при замене т'1 на т'2-\~к2.
Объединив полученные результаты в выражение C2), отбросив постоянные С
и С" и подсчитал след, мы приходим к выражению C3). Следы подсчитываются
в этом случае обычным образом, причем учитывается, что след любого произве-
произведения нечетного числа матриц у ранен нулю и что tr (AB) — tr (BA) для любых
матриц А и В. Имеет также место равенство tr(l)=4, так что
-j tr !Oi + Щ) СРо — т.,)] = pjp2 + тлт.>, C5а)
X tr [(A + mi)(Р-2 — 7>h) (Рй +
(P2P4 — m2mi) ~г (PiPt — »hm4) (p^p3 — m2m&); C6a)
при этом pi и тг могут быть соответственно любым четырехмерным вектором и
любой постоянной.
Представляет интерес, что в данном случае сами по себе исключаются члены
вида X2 In А2, так что перенормировка заряда зависит от А2 только логарифми-
логарифмически. Подобное положение не имеет места в случае мезонных теорий. Электро-
Электродинамика представляет собой любопытное исключение по относительной слабости
появляющихся в ней расходоюстей.
Г. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ ЗАДАЧИ
Матричные элеменш для более сложных задач могут быть получены так же,
как и в простейших случаях. Мы проиллюстрируем метод на примерах получения
поправок высшего порядка к формулам для меллеровского рассеяния и к формулам
для комптоновского рассеяния и на примере получения поправок высшего порядка
к выражению для взаимодействия между нейтроном и электромагнитным полем.
'200
Р. ФЕЙНМАН
Рассмотрим в случае меллеровского рассеяния два электрона, один из кото-
которых находится в состоянии нг с импульсом pv а другой — в состоянии н2 с импуль-
импульсом р2. Пусть впоследствии они обнаруживаются в состояниях м3 с импульсом р3
и соответственно н4 с импульсом р4. Это может иметь место благодаря (пер-
(первый.порядок по e2jhc) возможности обмена квантом с импульсом q=p1—/>з =
—Pi—Р2 между данными
^Рз'РгЯ / \ / двумя электронами [см. соотно-
'Р^Рг'Я \^ У шение D) и фиг. 1]. Матрич-
q-fc / [jXf ный элемент для такого про-
(yv f д цесса пропорционален [согласно
переводу D) в импульсное
пространство] выражению
(м4т^м2) (%T[iHi) Я~2- C7а)
Рассмотрим поправки к вы-
выражению C7 а) в следующем
приближении по e^jhc. [Имеется
также возможность того, что
электрон, находившийся сна-
сначала в состоянии 2, переходит
в состояние 3, а электрон, на-
находившийся в состоянии /, пе-
переходит в состояние 4 благо-
благодаря обмену квантом с импуль-
импульсом р.й — р2. Амплитуду подоб-
подобного процесса [ид^щ) (гг8тк.и2)Х
Xl/'a—Pii)~%2 следует, соответ-
соответственно принципу Паули, вы-
вычесть из выражения C7а). Ана-
Аналогичное положение имеет место
во всех порядках, так что до-
достаточно подробно вычислить
только поправочный член к вы-
выражению C7а) и затем вычесть
из него аналогичный член,
в котором переставлены со-
состояния 3 и 4.\
Одна из причин, вызывающих появление поправок к C7а), связана с воз-
возможностью обмена двумя квантами, подобно тому как это проиллюстрировано
на фиг. 8, а. Полный матричный элемент для всех обменов подобного тина равен
Фиг. 8. Взаимодействие между двумя электронами
с точностью до еа/Й2с2.
В вычислениях складываются составляющие, соответствующие
¦ каждой из диаграмм, включающей два виртуальных кванта.
(Pi — k —
(«Л,
C8a)
как это следует из фиг. 8, а и из общего правила, что электрону с импульсом р
между взаимодействиями ту соответствует амплитуда (р—т)~х, а кванту с им-
импульсом k — амплитуда k~2. Интегрируя по d^k и суммируя по ц и v, мы учи-
учитываем все различные возможности обмена типа, изображенного на фиг. 8, а.
Если поглощение -^ кванта с импульсом k электроном 2 происходит после (по
времени) поглощения 7^ кванта с импульсом q—k, то это соответствует появле-
появлению позитронного виртуального состояния с импульсом p9-\-k, так что выраже-
выражение C8а) разлагается на более чем тридцать членов при применении обычного
метода анализа.
Благодаря интегрированию в выражении C8а) мы учитываем все возможные
изменения описываемого фиг. 8, а процесса, которые сохраняют порядок событий
вдоль траекторий. Однако при этом мы не включаем возможностей, описывае-
описываемых фиг. 8, б. Соответствующая составляющая амплитуды, как легко проверить
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 201
с помощью диаграммы, равна
^j / OsTv (Pi — k — m)-1 Tf^j) (й^ (p2 -f- 9 — A; — m)-1 f,K2) X
C9a)
Вообще следует просуммировать составляющие от всех возможных путей проте-
протекания данного события. Это означает, что следует взять с равным весом сумму
интегралов, соответствующих всем топологически различным диаграммам.
К составляющим рассматриваемого порядка приводит также возможность,
описываемая фиг. 8, г, которой соответствует член
7J J («sT, (P. — *-«)-% (Pi - * — "O-'f A) (Wa) к-Ц-Ч^к.
Входящий сюда интеграл по й точно совпадает с получающимся при рассмотре-
рассмотрении радиационных поправок к формулам для рассеяния интегралом A2), значение
которого было нами найдено*. Данный член объединяется с членами перенорми-
перенормировки, получающимися вследствие эффектов, вызываемых изменением массы, и
членами, отвечающими фиг. 8, е и 8, ж. Фиг. 8, д, 8, з и 8, и анализируются
аналогичным образом.
Наконец член, соответствующий фиг. 8, в, связан, очевидно, с поляризацией
вакуума, так что после выполнения в этом члене интегрирования получается
величина, пропорциональная (M4fliH2) (u.^^u-^) J^q. После перенормировки заряда
слагаемое с In (А//и) в выражении для J C3) исключается, и рассматриваемый
член перестает зависеть от обрезания.
Единственными новыми интегралами, которые нам требуется вычислить,
являются сходящиеся интегралы C8а) и C9а). Эти интегралы могут быть пре-
преобразованы посредством приведения знаменателя подинтегрального выражения
к рациональному виду и объединения стоящих в нем множителей с помощью
тождества A4а). Например, в подинтегральное выражение C8а) входят множи-
множители (k2 — 2p1k)-1(kP-\-2p2k)-1k-*{q/!i-\-№i — 2<7&)~2. Первую пару множителей
можно объединить соответственно тождеству A4а) с введением параметра х.
Вторую пару множителей можно объединить с помощью тождества, получаю-
получающегося после дифференцирования тождества A5а) по Ь; входящий при этом
параметр обозначим через у. В результате в подинтегральном выражении полу-
получается множитель (k2—2pxk)-2(k--\-yq2—2yqk)~4, так что интегралы по d4k
могут быть теперь взяты с помощью методов, описанных ранее в настоящем
приложении. Дальнейшее интегрирование по параметрам х и у является техни-
технически очень сложным и детально выполнено не было.
В случае рассмотрения заряженных мезонов количество членов в выражении
амплитуды часто значительно уменьшается. Так, например, при рассмотрении
взаимодействия между протонами, вызванного обменом двумя мезонами, следует
учитывать только член, аналогичный члену, описываемому фиг. 8, б. В частности,
член, соответствующий фиг. 8, а, отпадает, потому что если первый протон
испустил положительный мезон, то второй протон не сможет прямо поглотить
этот мезон, так как положительные мезоны поглощаются только нейтронами.
В качестве второго примера рассмотрим радиационные поправки к формуле
для комптоновского рассеяния. Как следует из рассмотрения выражения A5) или
фиг. 5, подобное рассеяние описывается двумя членами, так что мы можем рас-
рассматривать по отдельности поправки к каждому из этих членов. Фиг. 9 иллю-
иллюстрирует типы членов, возникающих благодаря поправкам к члену фиг. 5, а.
Если обозначить через k импульс виртуального кванта, то фиг. 9, а будет соот-
соответствовать член
J Тц (Ра — k —
202
Р. ФЕЙНМАН
интеграл в котором сходится без обрезания и может быть сведен к простым
интегралам с помощью методов, описанных в настоящем приложении.
Остальные члены определяются сравнительно просто. Члены, соответствую-
соответствующие фиг. 9, б и 9, в, тесно связаны с выражениями для радиационных поправок
/ / / [хотя найти их значение несколь-
S / у/ ко более трудно вследствие того,
r-t—*- А 4-\-~~ чг0 одно из рассматриваемых
здесь состояний не является со-
состоянием свободного электрона,
так что (рг ~\- </J Ф т2]. Члены,
соответствующие фиг. 9, д и 9, е,
связаны с перенормировкой. Из
члена, отвечающего фиг. 9, г,
следует, очевидно, вычесть эф-
эффект, связанный с изменением
массы Д/я, соответственно тому,
как это было разобрано в случае
соотношений B6) и B7), причем
получается выражение B8) с под-
подстановкой там р' — рх-\- q, а = е»,
b — ev Члены, соответствующие
фиг. 9, ж и з, равны нулю, так
как поляризация вакуума не влияет
на свободные световые кванты;
й\ =0) Ч\ — 0- Окончательное
объединенное выражение не за-
зависит от параметра обреза-
обрезания X.
В получающемся результате
имеет место „инфракрасная ката-
катастрофа". Если произвести обре-
обреФ и г. 9. Радиационные поправки к члену выраже-
выражения для комптоновского рассеяния, соответствую-
соответствующему фиг. 5, а.
зание на нижнем пределе, то эффект, пропорциональный 1п(/иДт!п), опреде-
определяется величиной
— lnr^-O—¦ 20 ctg 20),
я лт1п
D0а)
умноженной на неисправленную амплитуду, причем (р2—/>iJ = 4m2 sin2 0.
Данное выражение совпадает с радиационной поправкой к рассеянию с
отклонением />2 — pv Подобный метод физически очевиден, так как кванты,
соответствующие длинным волнам, не должны влиять на промежуточные состоя-
состояния, существующие короткое время. Инфракрасные эффекты вызываются [17J
конечным временем установления поля, при переходе от асимптотически убываю-
убывающего кулоновского поля, соответствующего электрону с импульсом рг перед
столкновением, к полю, соответствующему движущемуся в новом направлении
электрону с импульсом р2 после столкновения.
Окончательное выражение для поправки является очень сложным и включает
трансцендентные интегралы.
В качестве последнего примера рассмотрим взаимодействие нейтрона с электро-
электромагнитным полем, обязанное тому обстоятельству, что нейтрон может испускать
виртуальный отрицательный мезон. Выберем, в частности, случай псевдоскаляр-
псевдоскалярных мезонов с псевдовекторной связью. Изменение амплитуды, вызванное дей-
действием электромагнитного поля с потенциалом Л = аехр(-—iqx), определяет
рассеяние нейтронов этим полем. В пределе при малых q рассеяние будет опре-
определяться выражением aq—qa, которое представляет взаимодействие с полем
частицы, обладающей магнитным моментом. Взаимодействие первого порядка
между электроном и нейтроном определяется с помощью таких же вычислений,
IV. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 203
как и при рассмотрении обмена квантом между электроном и нуклеоном.
В последнем случае а^ равно q~2, умноженному на матричный элемент ^ между
функциями начального и конечного состояния электрона, импульсы в которых
отличаются друг от друга на q.
Рассматриваемый эффект может произойти вследствие возможности того, что
нейтрон с импульсом pv испустив отрицательный мезон, превратится в протон,
который взаимодействует с полем и затем вновь поглощает мезон (фиг. 10, а).
Матричный элемент для такого процесса имеет вид (р.2 = рх ~\- q)
_[x2)-irf4fe. D1а)
С другой стороны, возможно, что с полем взаимодействуют мезоны. Примем,
что это взаимодействие происходит аналогично взаимодействию со скалярным
полем, подчиняющимся уравнению Клейна — Гордона C5) (фиг. 10, <5):
- J
(Pi - *i -
D2а)
где мы положили k9 = kx -\- q. Изм
мезоны отрицательны. Наконец, име-
имеются два члена в амплитуде, появляю-
появляющиеся вследствие наличия части убя
в псевдовекторной связи (фиг. 10, в
и 10, а):
X
Х(Тб«)(*9—
D3а)
нение знака вызвано тем,
Нейтрон i
Рг /
/^
Протон 1\
p2kfy—W \ Мезон
*'" "У,,.
/ s
/ Нейтрон
что виртуальные
/Рг
РГ*.
/
ха
А
/ Pi
/ 6
fBe)(/»i — * — ^ГгХ
X(Ts*)(*2— i*2) я?4/е. D4а)
Значение каждого из этих инте-
интегралов может быть получено при
помощи рассмотренного способа ис-
использования множителей сходимости.
При разложении общего результата
по степеням q первый член, не зави-
зависящий от обрезания, дает магнитный
момент нейтрона, а следующий член,
логарифмически зависящий от пара-
параметра обрезания, дает амплитуду
рассеяния медленных электронов на
нейтронах.
Приведенные выражения могут
быть объединены и преобразованы
к несколько более простому виду еще до выполнения интегрирования. Подобное
преобразование делает в известной мере более простым интегрирование, а также
выясняет связь со случаем псевдоскалярных сил. Так, например, в выраже-
выражении D1а) второй из множителей -fb& может быть записан в виде ^ъ[к — рх-\-М),
поскольку при действии на функцию начального состояния нейтрона р. = М.
Последнее выражение равно сумме двух слагаемых: (рг—k — M)ib-X-2M^~,
поскольку fs антикоммутирует с рх и k. Первое из этих слагаемых при подста-
подстановке в D1а) дает член, сокращающийся с членом D3а). Аналогичным образом
первый множитель fbk в выражении D1а) может быть записан в виде суммы
> — Та (Pz—* — Щ, после подстановки которой в выражение D1а) один
Г, а
Фиг. 10. Согласно мезонной теории, нейтрон
испустив сначала виртуальный заряженный ме-
мезон, взаимодействует с электромагнитным по-
потенциалом а. Данная диаграмма иллюстрирует
случай псевдоскалярных мезонов с псевдовек-
псевдовекторной связью (приложение, раздел Г).
204 р- ФЕЙНМАН
из получающих членов не содержит более в подинтегральном выражении множи-
множителя (р2 — k — М)-1 и может быть объединен с аналогичным членом из D4а).
Подобным способом заменяются также множители fe^i и ?5*2 в члене D2а).
В окончательном выражении остаются члены вида D1а) и D2а), в которых только-
вместо множителя f5k стоит соответствующий псевдоскалярной связи множитель
2iWf6 и нет членов вида D3а) и D4а); кроме того, в окончательном выражении,
проявляется член, представляющий различие между псевдовекторной и псевдо-
псевдоскалярной связью. Этот последний член в отличие от остальных членов, соот-
соответствующих псевдоскалярной связи и не чувствительных к обрезанию, логариф-
логарифмически зависит от параметра обрезания. Наличие данного члена влияет на
электронно-нейтронное взаимодействие; однако магнитный момент протона от него
не зависит.
Взаимодействие протона с электромагнитным полем можно проанализи-
проанализировать аналогичным образом. При этом на электромагнитные свойства протона
виртуальные мезоны влияют даже в том случае, когда они нейтральны. Дело
здесь обстоит так же, как и при рассмотрении обусловленных виртуальными
фотонами радиационных поправок к формулам рассеяния электронов. Сумма маг-
магнитных моментов нейтрона и протона в случае заряженных мезонов равна моменту
протона, получающемуся в предположении, что мезоны нейтральны. Дейст-
Действительно, как легко видеть из сравнения соответствующих диаграмм, для
любых д матрица рассеяния для протонов в случае нейтральных мезонов равна
с точностью до первого порядка относительно электромагнитного потен-
потенциала сумме матриц рассеяния для нейтрона и протона, получающихся если счи-
считать мезоны заряженными. Это положение сохраняет силу при любом выборе
различных комбинаций связи нуклеонов с мезонным полем (при пренебрежении
разностью масс нейтрона и протона).
ЛИТЕРАТУРА
1. Feynman R. P., Phys. Rev., 76, 749 A949). [См. статью III настоящего сборипка.]
2. Feynman R. P., Phys. Rev., 74, 939 A948).
3. Feynman R. P., Phys. Rev., 74, 1430 A948).
4. Sen winger J., Phys. Rev., 74, 1439 A948); Phys. Rev., 75, 651 A949). [См. статью II,
настоящего сборника.]
5. Dyson F. J., Phys. Rev., 75, 486 A949). [См. перевод в сборнике: Сдвпг уровней
атомных электронов, ИЛ, 1950.]
6. F е у п m a n R. P., Rev. Mod. Phys., 20, 367 A948).
7. Gronnewold H. J., KoninkHjke Neder'andsche Akademia van Weteschappen. Proce-
Proceedings, LII, 3 B26), 1949.
8. Wheeler J. A., Feynman R. P., Rev. Mod. Phys., 17, 157 A945).
9. В e t h e H. A., Phys. Rev., 72, 339 A947). [См. перевод статьи в сборнпке: Сдвиг
уровней атомных электронов, И. Л. 1950.]
10. French J. В., Weiss k opf V. F., Phys. Kev., 75, 1240 A949).
11. Kroll N. H., Lamb W. E., Phys. Rev., 73, 388 A949).
12. LewlsH. W., Phys. Rev., 73, 173 A948).
13. UehUng E. A., Phys. Rev., 48, 55 A935); Serber R., Phys. Rev., 48, 45 A935).
14. Pauli W., Rev. Mod. Phys., 13, 203 A940). [См. перевод: Паули В., Релятивистская
теория элементарных частпц, ИЛ, 1947.]
15. Slotnlck M., He! tier W., Phys. Rev., 75, 1645 A949).
16. В е th e H. A., Bull. Am. Phys. Soc. 24, 3, 73 A949).
17. Bloch F., Nordsieck A., Phys. Rev., 52, 54 A937).
V. S-МАТРИЦА В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Ф. ДАЙСОН
F. J. Dyson, Phys. Rev., 75, № 11, 1736 A949).
На основе ковариантной формулировки квантовой электродинамики, предложенной
Томонага, Швингером и Фейнмапом, производится общее рассмотрение задач рассеяния
с участием электронов, позитронов и фотонов. Процессы рассеяния с порождением или
уничтожением данных частиц полностью описываются S-матрицей Гейзепберга. Показано,
что элементы этой матрицы могут быть вычислены с помощью последовательного приме-
применения теории возмущений с точностью до любого порядка постоянной топкой струк-
структуры. Даны подробные правила выполнения подобного вычисления и доказано, что рас-
расходимости, связанные с радиационными поправками высшего порядка, могут быть устра-
устранены из S-матрицы посредством использования представления о перенормировке массы
и заряда.
В статье не рассматривается случай связанных состояний *) и не дано доказатель-
доказательство сходимости результатов при стремлении порядка приближения теории возмущений
к бесконечности.
1. Введение
В предыдущей статье [I]2) теория излучения Томонага [2] и Швингера [3]
была применена для подробного исследования проблемы радиационных поправок
в случае движения одиночного электрона в заданном внешнем поле. Было пока-
показано, что правила вычисления поправок подобного рода тождественны с прави-
правилами, полученными Фейнманом [4] в его теории излучения. В задаче с одним
электроном радиационные поправки полностью опысываются оператором Нт
([1], формула B0)), который выступает как „эффективный потенциал" после
того, как посредством контактного преобразования исключено взаимодействие
электрона со своим собственным полем. Различие между теориями Швингера
и Фейнмана заключается здесь только в частном выборе представления, в кото-
котором вычисляются матричные элементы оператора Нт ([1], раздел 5).
В настоящей статье рассматривается соотношение между теориями Швин-
Швингера и Фейнмана без ограничения случаем задач с одним электроном. При этих
более общих условиях указанные теории скорее дополняют друг друга, чем
являются тождественными. Метод Фейнмана представляет собой по существу
совокупность правил для вычисления элементов .S-матрицы Гейзенберга, соот-
соответствующих некоторому физическому процессу; этот метод может быть непо-
непосредственно применен при рассмотрении любых процессов рассеяния8). Предло-
Предложенный Швингером метод определения радиационных поправок основан на выде-
') Способ распространения формализма на задачи о связанных состояниях был рас-
рассмотрен впервые в статье Зальпетера и Бете, помещенной в настоящем сборнике, а также
в работе Гель-Мана и Лоу [G е 11-М a n n, Law, Phys Rew., 84, 350 A951)]. Метод реля-
релятивистского рассмотрения задач о связанных состояниях приводится также в работах
Швингера [Proc. Nat. Acad. Sc!.. 37, 452, 455 A951)] и Галанина [ЖЭТФ, 23, № 5, 48»
A952)]. — Прим. ред.
а) Имеющая более частный характер и содержащая ряд неточностей статья [1] поме-
помещена в сборнике: Сдвиг уровней атомных электронов, ИЛ, 1950. — Прим. ред.
3) Идея об использовании обычной электродинамики в качестве исходного пункта
при явном вычислении S-матрицы развивалась ранее Штюкельбергом [5J. Штюкельберг
предвосхитил некоторые положения теории Фейнмана и, в частности, использование функ-
206 Ф- ДАЙСОН
лении этих поправок как дополнительных членов в уравнении Шредингера для
системы частиц и является особенно удобным в случае задач, относящихся к свя-
связанным состояниям. Несмотря на приндипиальное различие оба метода при пра-
практическом применении связаны с вычислениями сходных выражений; более того,
теория, лежащая в основе этих вычислений, оказывается во всех случаях одной
И той же. Систематизированные приемы Фейнмана, истолкованию которых посвя-
посвящена вторая половина статьи [1] и большая часть настоящей статьи, являются,
следовательно, пригодными для определения значения не только 5-матриды, но
и большинства операторов, входящих в теорию Швингера.
Первостепенная роль, которую играет в данной статье 6"-матрица, обязана
практическому удобству ее использования в качестве связующего звена между
способом вычислений Фейнмана и гамильтоновским формализмом квантовой электро-
электродинамики. Это практическое удобство сохраняется вне зависимости от того, счи-
считать ли в согласии с Гейзекбергом, что 5-матрица может заменить гамильтониан,
или нет. Остается пока невыясненным вопрос, следует ли автоматически из ко-
конечности .^-матрицы конечность всех наблюдаемых электродинамических величин,
таких, как уровни энергии связанных состояний, вероятности оптических пере-
переходов и т. д. Утвердительный ответ на этот вопрос не является ни в какой
мере необходимым для подтверждения аргументов, изложенных в настоящей
статье. Даже если из конечности 5-матрицы сама по себе не следует необхо-
необходимость конечности остальных наблюдаемых величин, все же вероятно, что все
эти величины будут конечными; для подтверждения указанного положения необ-
необходимо повторить приведенный в данной статье анализ, более придерживаясь
исходной теории Швингера, чем это оказалось здесь возможным. Нет никаких
оснований приписывать 5-матрице более фундаментальное значение, чем другим
наблюдаемым величинам, как это предполагал сделать Гейзэнберг ¦). В последнем
разделе статьи сделана попытка синтеза гамильтоповского и гейзенберговского
методов.
2. Теория Фейнмана как теория S-матрицы
S-матрица первоначально была определена Гейзенбергом чергз стационарные
решения задачи рассеяния. Типичное стационарное решение представляется не
зависящей от времени волновой функцией W, у которой имеется часть, описы-
описывающая падающие волны и имеющая асимптотический вид Wt, а также часть,
описывающая рассеиваемые волны и имеющая асимптотический вид \Р2. При этом
.S-матрица является оператором преобразования S, обладающим тем свойством,
что имеет место равенство
W', = SW[ A)
для каждого стационарного состояния W.
В разделе 3 статьи [1] был определен оператор U(oo) и было установлено,
что этот оператор тождественен с 5-матрицей. Поскольку оператор ?/(оо) был
определен для зависящих от времени волновых функций, при подобном отож-
отождествлении требуется некоторая осторожность. Действительно, уравнение
4^ = 1/@0L^ B)
сохраняет силу, когда функции *Рг и Ч? являются асимптотическими выраже-
выражениями для относящихся к падающим и рассеянным волнам частей волновой функции
ции Dp (в обозначениях Штюкельберга D ) для представления запаздывающих, т. е.
причинно-обусловленных электромагнитных взаимодействий. Обзор более ранней части
этой работы приведен в [GJ. Использование неренормировки массы в задачах рассеяния
предложено впервые Льюисом [7]. — Прим. авт.
J) Более подробная критика представлений Гейзенберга дана в статье VI настоящего
сборника (см. также А. Соколов, Д. Иваненко, Квантовая теория поля, М.,
1952, стр. 609). — Прим. ред.
V. S-МАТРИЦА В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 207
ЧГ в W-представлении статьи [1] („представление взаимодействия" по Швин-
геру [3j). Далее, не зависящая от времени волновая функция W выражается
через зависящую от времени в шредингеровском представлении волновую функ-
функцию, как
ехр [—i E/J Ф',
где величина Е равна полной энергии состояния; в представлении взаимодействия
этой функции соответствует волновая функция
где Ио—полный гамильтониан свободных частиц. Однако обе рассматриваемые
асимптотические части функции W представляют свободно двигающиеся частицы
с полной энергией Е и являются, следовательно, собственными функциями опе-
оператора Но для собственного значения, равного Е. Отсюда в силу C) вытекает,
что асимптотические части ХР1 и \F2 функции W являются в действительности не
зависящими от времени и равными соответственно Wi и \F2. Таким образом,
соотношения A) и B) тождественны, и оператор ?/(оо) действительно совпадает
с 5-матрицей. Кроме того, оператор U(oo) в данном случае также совпадает
с „инвариантным оператором столкновения", введенным Швингером [3].
Оператор ?/(оо) раскладывается в ряд по аналогии с формулой C2) статьи [1]
следующим образом:
(^)^ // dxnP (И, (хО, ...,Н1 (хп)). D)
га=0
Здесь символ Р имеет тот же смысл, что и в разделе 5 статьи [1J, и
Я1(дг) = Я1(лг)-1-Яе(л;) (о)
является суммой энергии взаимодействия электронного поля с фотонным полгм
и потенциала внешнего поля. Теория излучения Фгйнмана дает набор правил
вычисления матричных элементов выражения D) между состояниями с любым
числом падающих и рассеянных частиц. Таким образом, правила Фейнмана
непосредственно относятся только к величинам, входящим в выражение D).
Поэтому теорию Фейнмана правильно охарактеризовать как теорию 5-матрицы.
Один из частных способов исследования оператора U (оо) состоит в исполь-
использовании соотношения E) для разложения выражения D) в ряд по возрастающим
степеням Не. Подстановка E) в выражение D) дает
U{oo) = 2 2 (~ шТ+ПШ\ fdxi--' / dxm+nP(№ (*,), ..., № {xj X
F)
В получившемся двойном ряде член нулевого порядка по Не равен значению S(oo),
приведенному в формуле C2) статьи [1]. Член первого порядка равен
оо
причем значение HF определяется формулой C1) статьи [1]. Очевидно, что ве-
величина 5(оо) является 5-матрицей, описывающей рассеяние электронов и фото-
фотонов друг на друге в отсутствие внешнего поля, а величина Ux представляет
собой ^-матрицу, описывающую дополнительное рассеяние, которое вызывается
внешним полем в первом борновском приближении; введение члена высшего по-
порядка из ряда F) соответствует использованию второго или более высокого
18 Зак. 573.
208 *• ДАЙсон
борновского приближения. Играющий в статье [1] важную роль опера-
оператор Нр никак не связывался там с борновским приближением; однако этот опе-
оператор вводился в указанной статье в известкой мере неестественным образом и
лишь соотношение G) разъясняет его физический смысл. В действительности
оператор HF можно определить тем условием, что величина
должна равняться добавке к 5-матрице, получающейся вследствие действия внеш-
внешнего потенциала с напряженностью Не за короткий интервал времени 8^ в мало»
объеме 8а> в окрестности пространственно-временной точки х.
Остающаяся часть настоящего раздела посвящена формулировке правил
Фейнмана для определения значения ?/<». Доказательства при этом не приводятся,
поскольку данные правила являются тривиальным обобщением указанных в статье [1)
правил для определения матричных элементов величины Нр в случае одно-
электронных переходов.
При определении значения U(oo) мы не будем как-либо разграничивать части
электромагнитного поля, соответствующие внешнему полю и излучению; это физи-
физически оправдано, поскольку выделение „внешнего" поля является в данном слу-
случае в известной мере условным. Энергия взаимодействия, входящая в выраже-
выражение D), будет тогда равна
#! (ж) = — ieA (x) ^(Х) т„4 (х) — ЫсЦ (х) ф (х), (8)
где потенциал А^ соответствует полному электромагнитному полю, а член с мно-
множителем бот введен, чтобы учесть то обстоятельство, что в представлении
взаимодействия берется полная масса электрона, включающая его „электромаг-
„электромагнитную" массу йот (см. раздел 4 статьи [1 \). Первый этап определения ?/(оо)
заключается в подстановке выражения (8) в выражение D) и в подробной записи
операторов 4„ и 6?, приведенных в (8) в виде матриц. После подобной подста-
подстановки выражение D) примет вид
со
?/(оо)=2Л„ (9)
Я = 0
где оператор Jn является я-кратным интегралом, подинтетральное выражение
которого является полиномом относительно операторов tya, фэ и А^.
В общем случае матричный элемент оператора Jn получается, если считать,
что часть операторов tya, ty и А^ вызывает уничтожение имеющихся в начальной
состоянии частиц, часть операторов порождает частицы в конечном состоянии,,
а остальные сгруппированы в пары, вызывающие последовательное порождение
и уничтожение частиц в промежуточных состояниях. Операторы, которые не
объединяются в пары и способны к реальному порождению или уничтожению
частиц, называются „свободными"; тип матричного элемента оператора ]п опре-
определяется заданием числа входящих в него свободных операторов и числа опе-
раторов, объединяемых в пары. Как описано более подробно в разделе 7
статьи [1], каждый тип матричных элементов оператора Jn однозначно предста-
представляется „диаграммой" О с п вершинами (обозначенными xv ..., хп) и всевоз-
всевозможными линиями, оканчивающимися в этих вершинах.
Соотношение между типом матричного элемента оператора Jn и его диа-
диаграммой G следующее. Каждой ассоциированной паре операторов (^(х), ty(y))
сопоставляется на диаграмме направленная электронная линия, соединяющая
точки х и у. Каждой ассоциированной паре операторов (.4 (х), А (х)) сопо-
сопоставляется ненаправленная фотонная линия, соединяющая вершины х и у*
Каждому свободному оператору ^(лг) соответствует направленная линия, идущая
из вершины к краю диаграммы, а каждому свободному оператору &(х)—линия^,
V. 5-МАТРИЦА В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 209
идущая от края к вершине. Каждому свободному оператору А (х) соответствует
ненаправленная линия, идущая из вершины х к кра'О диаграммы. Наконец, для
любого определенного матричного элемента оператора ]п характерно, что
в каждой вершине xi действует либо часть оператора Нх (лг,4), включающая А^(х{),
либо часть, содержащая множитель от; в зависимости от этого в каждой вер-
вершине х{ диаграммы G либо только кончается одна электронная линия и начи-
начинается другая электр' иная линия, либо еще начинается одна фотонная линия.
Линии, начинающиеся и кончающиеся в одной и той же точке, запрещены.
На каждой диаграмме G электронные линии образуют конечное число т
незамкнутых ломаных линий, начало и конец которых лежит на краю диаграммы,
и, кроме того, возможно, / замкнутых многоугольников. В соответствующий тип
матричных элементов оператора Jn входят т свободных операторов ^ и от сво-
свободных операторов ф; два конечных отрезка каждой незамкнутой ломаной линии
относятся к двум свободным операторам (один к ij/, а другой к ф), которые мы
будем называть „свободной парой". Матричные элементы Jn вычисляются теперь
при помощи оператора J (G), который определен для каждой диаграммы Gen
вершинами и получается из Jn после следующих пяти операций.
Во-первых, в каждой вершине хг оператор //г (лгг) следует заменить либо
на первый, либо на второй член правой стороны соотношения (8), в зависимости
от того, исходит из этой точки Xi фотонная линия или нет. Во-вторых, соот-
соответственно числу элгктронных линий, соединяющих точки х и у диаграммы G,
соответствующее число пар операторов ^а (ж) и ^ 00 !5 Jn BIIe зависимости от
их положения следует заменить функцией
isF?Ax—у)' (Ю)
определенной формулами D4) и D5) статьи [1]. В-третьих, если имеется фотон-
фотонная линия, соединяющая на диаграмме G вгршины х и у, то два оператора,
входящие в /„, вне зависимости от их положения следует заменить функцией
^bcb^DF{x-y), A1)
определенной формулой A1) статьи [1|. В-четвертых, все свободные операторы
в /„ следует оставить без изменения, причем не нужно считаться с порядком, уста-
устанавливаемым Р-операторами; порядок свободных опграторов ^ и ty следует
изменить так, чтобы члены каждой свободной пары входили в порядке 4"У>
порядок свободных пар относительно друг друга и порядок всех свободных
операторов А^ остается произвольным. В-пятых, все выражение следует умно-
умножить на
(-l)""Z"m. A2).
Правила Фейнмана для нахождения оператора ?/(оо) по существу содержатся
в приведенном выше определении операторов J (G). Каждому значению п соот-
соответствует конечное число диаграмм G и каждый допустимый матричный эле-
элемент U (со) получается при подстановке в выражение (9) вместо Jn суммы всех
соответствующих операторов J (G). Необходимо только ещэ определить, как сле-
следует записывать матричный элемент какого-либо оператора J (G), соответствую-
соответствующий заданному рассеянию.
Матричные элементы J (G) для определенного процесса могут быть полу-
получены, вообще говоря, посредством замены каждого свободного оператора в J(G)
на волновую функцию той частицы, которая по предположению порождается
или уничтожается. Точнее говоря, каждый свободный оператор ^ может либо
порождать электрон в конечном состоянии, либо уничтожать позитрон в началь-
начальном состоянии; наоборот, оператор ^ либо уничтожает электрон, либо поро-
порождает позитрон. Таким образом, в случае переходов из состояния, в котором
18*
210 «*>• дайсон
имеется А электронов и В позитронов, в состояние, в котором имеется С элек-
электронов и D позитронов, в матричные элементы входят только операторы /(G),
содержащие (А-\-D) = (В-\-С) свободных пар. В каждом таком операторе J(G)
следует последовательно заменить (A -\-D) свободных операторов ty на всевоз-
всевозможные комбинации волновых функций имевшихся в начале А электронов и
образовавшихся в конце D позитронов и аналогично заменить (В-\-С) свобод-
свободных операторов <Ь на комбинации волновых функций исходных позитронов и
образующихся электронон; результаты всех подобных подстановок следует сло-
сложить со знаком плюс или минус, учитывая, что полная волновая функция
системы должна быть антисимметрична относительно волновых функций отдель-
отдельных частиц. В случае свободных операторов А^ следует поступить несколько
иначе, поскольку каждый такой оператор отвечает либо порождению фотона
в конечном состоянии, либо уничтожению фотона в исходном состоянии, или же
просто представляет собой потенциал внешнего поля. Следовательно, в случае
переходов из состояния, в котором имеется А фотонов, в состояние с В фото-
фотонами в матричный элемент будет входить каждый оператор J(G) с не менее
чем (А-\-В) свободными операторами А^. Если число свободных операторов А
в J (G) равно (А-]-В-\-С), то эти операторы следует последовательно заменить
на все возможные комбинации (А-\-В) соответствующим образом нормированных
потенциалов, относящихся к начальным и конечным фотонным состояниям, и на
потенциал внешнего поля, умноженный на С; результаты этих подстановок сле-
следует сложить, учитывая симметрию полной волновой функции относительно
отдельных фотонных состояний.
Практически редко встречаются задачи рассеяния с участием более чем
двух одинаковых частиц. Замена свободных операторов в J(G) на волновые
функции может быть обычно выполнена при вычислениях, так что определение
матричных элементов ?/(оо) является по существу завершенным как только
выписаны операторы J(G).
Приведенные правила вычисления оператора U(oo) соответствуют положе-
положению, имевшему место до выполнения каких-либо операций, смысл которых состоит
в выделении и устранении различных расходящихся частей получающихся выра-
выражений. В частности, в выражения входят составляющие от всех диаграмм G и
в том числе от тех диаграмм, которые описывают только эффекты собственной
энергии. По этой причине сформулированные правила внешне отличны от при-
приведенных в разделе 9 статьи [1] правил для одноэлектронной задачи, которые
соответствуют положению, возникающему после того, как устранен ряд расхо-
димостей. Очевидно, что указанные здесь правила не являются полными до тех
пор, пока к ним не добавлены положения, устраняющие из теории все беско-
бесконечные величины; в разделах 5—8 настоящей статьи будет показано, каким
образом формальная структура ^-матрицы позволяет, повидимому, выполнить
подобное полное устранение бесконечностей.
Другое существенное ограничение теории с 5-матрицей вызывается исполь-
использованием разложения D). Все рассматриваемые в данной статье величины раз-
разлагаются в ряд подобным образом, причем предполагается, что не только взаимо-
взаимодействие с излучением, но и внешнее поле настолько мало, что его можно
считать возмущением. Как хорошо известно, разложение по степеням потенциала
внешнего поля не дает удовлетворительного приближения ни в задачах о связан-
связанных состояниях, ни в задачах рассеяния при малых энергиях. В частности, когда
в задаче рассеяния имеется возможность того, что одна из исходных частиц перехо-
переходит в связанное состояние, то процесс захвата не представляется оператором ?/(оо),
поскольку начальными и конечными состояниями, соответствующими этому опе-
оператору, могут быть только свободные состояния. Разложение в ряд по степеням
потенциалов внешнего поля оказывается непригодным, когда возможны процессы
захвата. Поэтому следует подчеркнуть, что использованная в этой статье теория
возмущений применима только к ограниченному классу проблем и что в осталь-
остальных случаях следует использовать теорию Швингеря в ее первоначальной форме.
V. S-МАТРИЦА В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 211
3. 5-матрица в импульсном прэстранстве
Как для практического решения частных задач, так и для общего теорети-
теоретического рассмотрения S-матрицу U(co) удобно выразить через импульсные пере-
переменные. С этой целью достаточно рассмотреть обозначенное нами буквой М
выражение, являющееся типичным примером члеков, из которых построены
все матричные элементы оператора U (оо). Пусть фиксировано некоторое целое
число и и некоторая диаграмма Оси вершинами, а также построен по способу,
указанному в предыдущем разделе, оператор J (G); М определяется как вели-
величина, получающаяся при замене каждого свободного оператора в J (G) на какую-
либо одну волновую функцию свободной частицы. Точнее говоря, вместо каждого-
свободного оператора ф (х) в J (О) следует подставить функцию
«Kft)«*W, A3)
где kp — некоторый постоянный четырехмерный вектор, представляющий либо
энергию и импульс электрона, либо взятую со знаком минус энергию и импульс
позитрона, и ty(k)—постоянный спинор. Вместо каждого свободного опера-
оператора ty (х) следует подставить функцию
Ъ{к')е-*к*х», A4)
где ^ (k') — также постоянный спинор. Вместо каждого свободного оператора А^ (х)
подставляется выражение
А^(к")е<^, A5)
где Ау_ {k") — постоянный четырехмерный вектор, являющийся в одном случае
вектором поляризации кванта, вектор энергии — импульса которого равен либо k^.,
либо — ky., а в другом случае компонентой разложения Фурье потенциала внеш-
внешнего поля, соответствующей некоторому волновому числу и частоте, которые
определяются четырехмерным вектором k". Потенциал внешнего поля можно
считать разложенным на компоненты Фурье вида A5) без какой-либо потери
общности. После подстановки в J (Q) функций A3)—A5) получающееся выра-
выражение М будет иметь вид я-кратного интеграла по всему пространству —
времени; кроме того, это выражение будет параметрически зависеть от Е постоян-
постоянных четырехмерных векторов в импульсном пространстве, где Е равно числу
свободных операторов в J {О).
Диаграмма О будет содержать Е внешних линий, т. е. таких линий, один
из концов которых совпадает с вершиной диаграммы, а другой лежит на гра-
границе диаграммы. Каждой из этих внешних линий соответствует один постоян-
постоянный четырехмерный вектор, который можно обозначить символом k\. (i = 1,..., Е),
и один входящий в М постоянный спинор или вектор поляризации, т. е.
либо if(k\ либо b(k4), либо A^ifi1).
Предположим, что диаграмма G содержит F внутренних линий, т. е. таких
линий, и начало и конец которых совпадает с вершинами диаграммы. Каждой
из таких линий соответствует в М одна из функций DF или SF, опргделяемых
формулами A1) и A0). Эти функции были выражены Фейнманом в виде простых
четырехмерных интегралов Фурье:
/*~^8 (pVp A6)
A7)
где х0 — величина, обратная комптоновской длине волны электрона,
A8)
212 *¦ длйсон
а функция 8+ определяется соотношением
оо
iJte A9)
Подстановка выражений A6) и A7) в М придает этой величине вид F-кратного
интеграла по импульсному пространству. В М войдет столько же четырехкрат-
четырехкратных интегралов с четырехмерными векторами в качестве переменных интегриро-
интегрирования, которые мы обозначим р? (/= 1, ..., F), сколько имеется на диаграмме G
внутренних линий. После подобной подстановки пространственно-временные
переменные хг, ..., хп будут входить в М только посредством экспоненциаль-
экспоненциальных множителей, так что по этим переменным может быть выполнено интегри-
интегрирование. В результате интегрирования по Xj получается выражение
B*)*8(ty), B0)
где символ 8 обозначает обычную четырехмерную дельта-функцию Дирака, qj
представляет собой четырехмерный вектор, получающийся при алгебраическом
сложерии векторов kl и р*, соответствующих линиям, сходящимся к точке Xj.
Наличие множителя B0) в подинтегральном выражении величины М выражает
сохранение энергии и импульса в процессе взаимодействия, который имеет место
в точке Xj. Таким образом, мы окончательно выразили М черэз импульсные
переменные. Подводя итоги, укажем, что М имеет теперь вид F-кратного
интеграла с четырехмерными векторами pi в импульсном пространстве в качестве
переменных. В подинтегральное выражение, кроме численных множителей,
входят:
1) постоянные спиноры, или векторы поляризации, т. е. либо *(&*), либо ф (k*),
либо A^ik*), отвечающие каждой внешней линии на диаграмме G;
2) множители
?>(р«) 8((><)*), B1)
отвечающие каждой внутренней фотонной линии на диаграмме G;
3) множители
S(*)[ + fo8((*)* + ?). B2)
отвечающие каждой внутренней электронной линии на диаграмме G;
4) множители
ЧЪ), B3).
отвечающие каждой вершине на диаграмме G;
5) операторы ^ из формулы (8), отвечающие каждой вершине на диаграмме
G, где имеется фотонная линия.
Важнейшая особенность приведенного рассмотрения состоит в том, что все
составные части величины М теперь сопоставлены определенным линиям и вер-
вершинам диаграммы G. Поэтому можно связывать однозначным образом „доба-
„добавление" или „исключение" определенных групп множителей из величины М
с изменением диаграммы G, состоящем в добавлении или исключении из этой
диаграммы определенных вершин и линий. В качестве примера подобного метода
анализа мы кратко рассмотрим применение формализма ^-матрицы к случаю
„лэмбовского сдвига" и связанных с этим сдвигом явлений.
Предположим, что диаграмма G определенной степени сложности содержит
вершину xv в которой встречаются две электронные линии и одна фотонная
линия. Эти три линии могут быть либо внутренними, либо внешними; соответ-
соответствующими им четырехмерными векторами могут быть либо р\ либо k1; эти
четырехмерные векторы обозначаются символами t1, t2, Iй (см. фиг. 1). Вер-
Вершине хх в величине М будет соответствовать множитель
— /^ B«)<8(/i—/а —/3), B4)
V. 5-МАТРИЦЛ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
213
ричем два спинорных индекса матрицы -^ используются здесь при матричном
множении множителя B4) справа и слева на матрицы, которые соответствуют
величине М двум электронным линиям, сходящимся к вершине хг Предполо-
сим теперь, что G' есть диаграмма, тождественная всюду с G, за исключением
бласти вблизи вершины xv где добавлены две новые вершины и три новые
инии (см. фиг. 2). С этими тремя новыми линиями, каждая из которых является
Фиг. 1.
Фиг. 2.
1нутренней, связаны три четырехмерных переменных вектора р1, р3, р3, входя-
цих в качестве переменных интегрирования в выражение М', образуемое при
гомощи диаграммы (У, подобно тому как выражение М образуется при помощи
шаграммы О. Можно доказать, что в силу формул B1)—B3) величина М'
юлучается из выражения М простой заменой в М множителя B4) на выра-
кение
- -Ц- B«)» / / J dp' dp* dp* 8 (fi — p* + p«) 3 (p« — pt — fi) 8 (pi - p» - fi) X
~ *„) T,
B5)
бактериальные коэффициенты из выражения D) полностью сокращаются в связи
: тем обстоятельством, что две новые вершины диаграммы (У могут быть
л-f- 1) (я -f- 2) способами (га — число вершин диаграммы О) обозначены посред-
;твои х(, Xj. В выражении B5) две из четырехмерных 8-функций могут быть
;разу исключены посредством интегрирования по р1 и р2, в то время как третья
13 них сводится к 8-функции, входящей в B4). Таким образом, величина М'
«ожет быть получена из М заменой в множителе B4) оператора ^ на оператор
B6)
X К ((Р +
+ ((Р + П2 + *1)К (Р2)-
Здесь а — постоянная тонкой структуры, равная в единицах Хевисайда e-jinhc.
Методом, развитым Фейнманом, оператор L^ может быть без особого труда най-
найден в виде явной функции четырехмерных векторов t1 и ft.
В том частном случае, когда фиг. 1 представляет всю диаграмму G, вели-
величина М является матричным элементом для рассеяния одиночного электрона
внешним полем. Фиг. 2 представляет тогда также всю диаграмму G', а М'
является радиационной поправкой второго порядка к выраженио, описывающему
рассеяние электрона внешним нолем. В этом случае оператор L^ определяет
лэмбовский сдвиг и связанные с этим сдвигом явления. Однако'приведенное
рассмотрение применимо с тем же успехом и к выражению М, входящему где-
либо среди матричных элементов оператора [/(со) и представляющему любой
физический процесс с участием электронов, позитронов и фотонов. Вместе
с выражением М в оператор U (оо) всегда будет входить член М, предста-
214 Ф. ДАЙСОН
вляющий радиационные поправки второго порядка для того же процесса; по
одному члену М' возникнет от каждой точки из С, в которой кончается фотон-
фотонная линия, при этом величина М' во всех случаях получается из выражения М
заменой в М оператора -^ на оператор L^. Далее, при независимой подстановке
оператора L^ вместо -^ в случае двух'или более точек диаграммы G будет
получаться ряд радиационных поправок высшего порядка к выражению М.
„Вершинной частью" некоторой диаграммы будет называться связная часть
диаграммы, которая состоит только из вершин и внутренних линий, соединяю-
соединяющихся двумя электронными линиями и одной фотонной линией с остальной
частью диаграммы. Центральный треугольник на фиг. 2 является примером такой
вершинной части. Иными словами, вершинной частью диаграммы является такая
ее часть, замена которой на одиночную вершину фиг. 1 дает результат, имею-
имеющий физический смысл. Далее, аргументы, при помощи которых было показано,
что замена фиг. 1 на фиг. 2 эквивалентна замене ^ на оператор L^, могут
быть также использованы в случае замены вершины фиг. 1 на более сложную
вершинную часть. Если G— некоторая диаграмма с вершиной xv подобной изо-
изображенной на фиг. 1, а диаграмма G' получается из диаграммы G заменой хх
на какую-нибудь вершинную часть V и если М и М' — элементы оператора
U {оо), связанные соответственно с G и G', то величина М' может быть полу-
получена из величины М заменой в последней оператора ^а на оператор
Af. = Av.(V, t\ fl), ' B7)
зависящий только от части V и четырехмерных векторов t1 и t2 и не зависящий
от G.
Резюмируя, можно отметить, что была показана возможность расчета с по-
помощью формализма 5-матрицы всевозможных радиационных процессов высшего
порядка при использовании операторов в импульсном пространстве. Подобные опе-
операторы связаны с радиационными поправками к основному взаимодействию между
электронно-позитронным и фотонным полем и могут быть использованы, после
того как они один раз вычислены, в различных частных задачах электро-
электродинамики.
4. Дальнейшее преобразование S-матрицы
В разделе 7 статьи [1] было показано, что в случае рассматриваемых там
одноэлектронных процессов необходимо учитывать только связные диаграммы.
В общем случае построения .^-матрицы это положение более не имеет места;
несвязные диаграммы соответствуют матричным элементам оператора U(oo),
представляющим два или более одновременных процесса столкновения в отдель-
отдельных группах частиц; подобные процессы реально осуществляются. Несвязную
диаграмму допустимо отбросить лишь тогда, когда одна из ее связных компо-
компонент не содержит никаких внешних линий; подобные компоненты без внешних
линий вызывают только появление дополнительного постоянного фазового мно-
множителя в матричных элементах оператора U(co) и поэтому лишены физического
значения.
С другой стороны, приведенная в разделе 7 статьи [1] трактовка диаграмм
с „частями, соответствующими собственной энергии", полностью применима без
каких-либо изменений в обшем случае формализма 5-матрицы. „Соответствую-
„Соответствующей собственной энергии частью" диаграммы является связная часть, состоящая
только из верп ин и внутренних линий, которую можно вставить в середину
одиночной линии диаграммы G так, чтобы получилась имеющая смысл диа-
диаграмма G'. На фиг. 3 показан пример подобной подстановки в одну из линий
фиг. 1. Пусть М и М' — выражения, полученные описанным в предыдущем
разделе способом из диаграмм G и G', части которых изображены на фиг. 1 и 3.
Предположим для определенности, что линия, обозначенная t1, является внутрен-
внутренней линией диаграммы G, тогда, согласно формуле B2), ей будет соответство-
V. 5-МАТРИЦА В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 215
вать множитель Sp (f) в выражении М. При помощи соображений, аналогичных
соображениям, приведенным в связи с формулой B6), можно, показать, что
величина М' может быть получена из величины М заменой в последней вели-
величине множителя 6>(^) на
B8)
I1
Фиг. З.
Подобным же образом, если диаграмма О' получена из О посредством подста-
подстановки в линию V- какой-либо части собственной энергии W, то величина Мг
получается из М заменой множителя S-g{tx) на
S?{t^{W, fi)ST(P), B9)
где ? — оператор, зависящий только от W и t1 и не зависящий от О. Если бы
линия t1 была бы внешней линией диаграммы О, то величина М' получалась бы
из М посредством замены множителя ^(t1) на
b(f)L(W, t*)SF(fl). C0)
В частном случае W может состоять из одной точки; тогда в этой точке
действует содержащий Ьт член выражения (8) и оператор Е сводится к посто-
постоянной
(^p) C1)
Оператор iV(^) в формуле B8) описывает вклады второго порядка в собствен-
собственную энергию электрона и в так называемое явление „поляризации вакуума
второго рода", рассмотренное в разделе 8 статьи [1]. Предполагается, что сла-
слагаемое, связанное с собственной энергией, сокращается с выражением C1);
постоянная 8ч0 является степенным рядом по а, причем для сокращения отно-
относящейся к собственной энергии части выражения B8) достаточно линейного
члена; члены высшего порядка компенсируют эффекты собственной энергии
у операторов L (W, tl) высшего порядка. Формализм S-матрицы разъясняет то
важное обстоятельство, что поскольку операторы ? (W, t1) являются универ-
универсальными операторами, не зависящими от диаграммы G, эффекты собственной
энергии электрона будут всегда компенсироваться постоянной 8ч0 вне зависи-
зависимости от конкретной физической ситуации, при которой эти эффекты имеют
место.
Если соответствующая собственной энергии часть W вставляется в фотон-
фотонную линию диаграммы О, например в линию, обозначенную на фиг. 1 через ts,
то вызванное этим изменение величины М может быть вновь представлено
посредством функции ПA^/, fi), не зависящей от О. В частности, если линия fi
216 *• ДАЙСОН
на диаграмме G является внутренней, то величина М' получается из М в резуль-
результате замены множителя DF(fi) на
). C2)
Если линия ts внешняя, то множитель А^(Р) заменяется на
\(Р)Щ№, fi)DF(fi). C3)
Кроме членов вида C3), в М войдут члены вида
fi); C4)
однако в силу калибровочного условия, которому подчиняются потенциалы А„
последние члены равны нулю. Аналогичные члены с множителем tH3 будут также
входить вместе с выражением C2); можно показать, что в этом случае такие
дополнительные члены обращаются в нуль вследствие уравнения сохранения
заряда, которое выполняется для электронно-позитронного поля. Функции
H(W/, f8) представляют собственную энергию фотона и явление „поляризации
вакуума первого рода", описанное в разделе 8 статьи [1]. Согласно Швил-еру,
нет необходимости явно вычитать из функций II(W, f6) части, относящиеся
к расходящейся фотонной собственной энергии, поскольку доказывается, что
данные части равны нулю в силу калибровочной инвариантности электро-
электродинамики.
В разделе 7 статьи [1] было показано, каким образом можно последова-
последовательно исключать из всех диаграмм части, относящиеся к собственной энергии,
причем влияние этих частей представлялось соответствующим изменением функ-
функций Dp и Sp. Анализ проводился в конфигурационном пространстве и ограни-
ограничивался случаем одноэлектронных задач. Мы распространим теперь этот метод
на общий случай формализма 5-матрицы, ведя рассмотрение в импульсном про-
пространстве; при этом будут исключаться не только части диаграмм, относящиеся
к собственной энергии, но и определенные в предыдущем разделе „вершинные
части".
Каждая диаграмма G имеет однозначно опргделяемый „остов", получающийся
в результате исключения из диаграммы G всех частей, относящихся к собствен-
собственной энергии, а также всех вершинных частей. Диаграмма, совпадающая со своим
остовом, называется „неприводимой", все ее вершины принадлежат к типу, пред-
представленному на фиг. 1. Из каждой неприводимой диаграммы Go можно построить
диаграммы G, остовом которых будет Go, подстановкой различных частей
в любые линии и вместо любых вершин диаграммы Go; такие диаграммы G
составляют определенный класс Г. Здесь придется ввести термин „собственно
вершинная часть", обозначающий такую вершинную часть, которая не распа-
распадается в свою очередь на две части, соединенные одиночной линией. Вершинную
часть, не являющуюся собственной, можно не учитывать, поскольку ее всегда
можно разбить на собственно вершинную часть и на одну или несколько
частей, соответствующих собственной энергии. Все входящие в класс Г диа-
диаграммы получатся, таким образом, подстановкой некоторых или всех вер-
вершин диаграммы Go собственно вершинных частей и подстановкой в некоторые
или во все линии частей, относящихся к собственной энергии, если каждая из
подстановок производится независимо во всех возможных комбинациях.
Предположим, что величина М является составной частью матричного эле-
элемента оператора 0 {об), получающейся из диаграммы Go описанным в разделе 3
образом. Тогда каждая диаграмма G класса Г будет давать дополнительную
составляющую того же матричного элемента оператора ?/(оо); обозначим сумму
всех таких составляющих, включая М, через Ms. Вследствие рассуждений,
которые привели к выражениям B7), B9) и C2), а также вследствие статисти-
статистической независимости подстановок у различных вершин и в различных линиях
диаграммы Go, сумма Mg получается из величины М следующим образом. Каж-
V. 5-МАТРИЦА В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ <2ХТ_
дый соответствующий внутренней электронной линии диаграммы Go множи-
множитель SF(p*) в М заменяется на выражение
SF (р«) = SF (pi) + SF (p^ E (p«) SF (p*), C5)
где величина 11 (p*) представляет собой сумму величин S (W, р*), распростра-
распространенную по всем соответствующим собственной энергии электронов чаотям W.
Каждый соответствующий внутренней фотонной линии множитель Dpfj)'1) заме-
заменяется на выражение
Dp (pi) = DF (pi) + DF (p*) П {f) DF (p<), C6)
где величина П (p*) представляет собой сумму величин П (W, р*), распростра-
распространенную по всем соответствующим собственной энергии фотонов частям W'.
Относящиеся к внешним линиям множители Л (/г*), $(к*) и A (k*) заменяются
соответственно на
Л^ (й1) = л„ (й*) П (k*) DF (k
Каждый оператор у^, соответствующий вершине диаграммы Go, в которой схо-
сходятся несущие импульс частицы, как показано на фиг. 1, заменяется на вы-
выражение
Г,С1, Р) = Ъ + \Р, *"), C8)
где величина АД*1, t2) является суммой величин ЛДУ, f1, t2), распространенной
но всем собственным вершинным частям V. Для правильного подсчета матрич-
матричных элементов оператора U(oo) после подстановки выражений C5)—C8) доста-
достаточно учитывать только те составляющие матричных элементов, которые соот-
соответствуют неприводимым диаграммам.
Для вычисления операторов А , ? и П необходимо в явном виде выписать
соответствующие интегралы по импульсному пространству; примерами таких
интегралов являются выражения B6) и B8) для некоторой относящейся к соб-
собственной энергии части W и для собственно вершинной части V. При рассмо-
рассмотрении эффектов выше второго порядка части W и V часто оказываются приво-
приводимыми, а также содержат части, относящиеся к собственной энергии, и
вершинные части. В этом случае также удобно опустить подобные приводимые
части V и W и учесть вызываемые ими эффекты посредством подстановки
выражений C5)—C8) в интегралы, соответствующие неприводимым V и W. При
этом, вообще говоря, получаются не явные формулы для А^, Е и П, а инте-
интегральные уравнения. Например, получается соотношение
Л^ = «/ДЛ, Е, Щ, C9)
где /р, — интеграл, в который явным образом входят величины А^, Е и П.
К счастью, наличие с правой стороны уравнения C9) множителя а дает возмож-
возможность без труда решать такие уравнения методом последовательных приближе-
приближений, при этом при подстановке в интегралы выражений для А , - и II, пра-
правильных с точностью до величин порядка а»*-1, получаются выражения, правиль-
правильные с точностью до величин порядка о.п.
Функции D'F и S'F формул C6) и C5) являются обращениями Фурье для
соответствующих функций статьи [1]. Приведенная в разделе 8 статьи [1]
интерпретация этих функций может быть очевидным образом распространена
также на оператор Г^. Поскольку величина tyy ty является четырехмерным векто-
вектором электронного тока без радиационных поправок, то величину ^Г^ можно
интерпретировать как переносимый электроном „эффективный ток", получаю-
218 Ф. ДАЙСОН
щийся при учете эффектов обменного взаимодействия между данным электроном
и окружающим электронно-позитронным полем.
Теорема Фарри [8] позволяет еще более уменьшить число таких диаграмм,
которые фактически необходимо учитывать при построении оператора Щоо).
Как показано Фейнманом, эта теорема изящным образом вытекает из его теории.
„Замкнутой петлей" на некоторой диаграмме G называется составленный из
электронных линий замкнутый многоугольник, на вершинах которого начинается р
фотонных линий; петля называется четной или нечетной в зависимости от чет-
четности р. Если диаграмма G содержит замкнутую петлю, то будет иметься дру-
другая диаграмма G, которую также нужно учитывать при построении оператора ?/(оо)
и которая получается из диаграммы G при изменении направления электронных
линий, составляющих петлю, на противоположное. Если теперь величины Ж и Ж
являются составляющими, соответствующими диаграммам G и G, то Ж полу-
получается из М при перемене местами электронных и позитронных состояний
в каждом из взаимодействий, относящихся к вершинам петли; подобная опера-
операция называется „зарядным сопряжением". Швингер показал, что его теория
инвариантна по отношению к зарядному сопряжению, если только при этом
одновременно изменять знак перед постоянной е (данное положение эквивалентно
известному свойству зарядной симметрии в теории дырок Дирака). Из фор-
формулы (8) очевидно, что постоянная е входит в величину М от каждой замкну-
замкнутой р-петли в степени р, равной числу вершин петли, в которых начинаются
фотонные линии; остальным вершинам петли в выражегии М соответствуют только
постоянные множители Ьт, являющиеся четной функцией от е. Следовательно,
в силу принципа зарядной симметрии имеет место равенство
Ж=(— \)РМ. D0)
При нечетном р из равенства D0) вытекает теорема Фарри: все составляющие
оператора U(co), соответствующие диаграммам с одной или более нечетной
замкнутой петлей, тождественно равны нулю.
„Нечетной частью" диаграммы называется каждая состоящая только из вер-
вершин и внутренних линий часть, которая связана с остальной диаграммой нечет-
нечетным числом фотонных линий и к вершинам которой не подходит ни одной
электронной линии, принадлежащей остальным частям диаграммы. Простейшим
возможным типом нечетной части является одиночная нечетная замкнутая петля.
Легко также видеть, что каждая нечетная часть должна включать по крайней
мере одну нечетную замкнутую петлю. Таким образом, теорема Фарри позво-
позволяет не учитывать при вычислении оператора ?/(оо) все диаграммы с нечет-
нечетными частями.
5. Исследование расходимсстей S-матрицы
Определяемая формулой A9) функция 8+ обладает тем свойством, что если
f(a) — некоторая аналитическая в окрестности вещественной точки b функция,
то выполняется соотношение
^f)j^da, D1)
где стоящий слева интеграл распространен по включающему точку b отрезку
вещественной оси, а интеграл, стоящий справа, распространен по этому же
отрезку за исключением малого участка пути интегрирования, который обходит
точку b в расположенной под действительной осью части комплексной плоскости.
В матричные элементы оператора U'(со) входят интегралы вида
-fl-{-c*), D2)
V. 5-1ЛАТРИЦА В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 219
распространенные по всем вещественным значениям переменных pv p2, рй, р0.
В силу соотношения D1) интегралам D2) можно придать форму
— (dp-
2r.i J
-F<*\ _ D3)
причем предполагается, что интегрирование производится здесь по всем веще-
вещественным значениям переменных pv p2, р3, а по переменной р0 интегрирование
ведется по вещественной оси с двумя малыми отклонениями в комплексную
плоскость: одним над точкой -\-{р\-\-р\-\-pl~\-c~)ll* и другим под точкой
— (pf-f Р\~\-Р1~\-с2У1г- Приравнивание выражений D2) и D3) является безу-
безусловно правильным в том случае, когда функция F{p) является аналитической
при критических значениях переменной р0. Практически приходится иметь дело
с интегралами типа D2), в которых сама функция F(p) содержит функции 8+
[см., например, формулы B6) и B8)]; в этом случае является оправданной замена
каждой функции 8+ на величину, обратную к ее аргументу, с независимым
обходом при интегрировании по переменной р0 каждого полюса подинтегрального
выражения при условии, что никакие два полюса не совпадают друг с другом.
Таким образом, каждая составная часть величины М из оператора U(oo) при
использовании вместо B1) и B2) величин
W D4)
D5)
может быть записана в виде интеграла от рациональной алгебраической функции
импульсных переменных. Подобное представление функций Djr и Sp в виде
рациональных функций в импульсном пространстве было предложено и широко
использовалось Фейнманом.
В выражении М могут содержаться расходимости трех различных родов,
а именно: 1) особенности, вызванные совпадением двух или более полюсов
в подинтегральном выражении; 2) расходимости при малых импульсах, вызван-
вызванные присутствием множителя D4) в подинтегральном выражении; 3) расходи-
расходимости при больших импульсах, связанные с недостаточно быстрым убыванием
всего подинтегрального выражения на бесконечности.
Особенности первого типа в настоящей статье разбираться не будут.
Подобные особенности возникают, например, в том случае, когда процесс рас-
рассеяния с участием многих частиц может быть при специальных значениях импуль-
импульсов частиц разбит на два независимых процесса, в которых участвуют различ-
различные группы частиц. Повидимому, все особенности такого типа имеют подобный
простой физический смысл; такие расходимо-ти уже давно известны в форме
знаменателей нулевой энергии в обычной теории возмущений и никогда не вызы-
вызывали каких-либо серьезных затруднений.
Расходимости второго типа, представляющие собой так называемую „инфра-
„инфракрасную катастрофу", как известно, обусловлены непригодностью разложе-
разложения в ряд по степеням а для правильного описания излучения мягких квантов.
Подобные расходимости можно было бы, повидимому, исключить из теории
посредством использования метода Блоха—-Нордсика [9], но мы этого здесь
делать не будем. Практически указанную трудность можно обойти, применяя
в соответствующих случаях вместо функций D4) функцию
220 *• ДАЙсон
где А— некоторый не равный нулю импульс, меньший чем импульс любого
кванта, имеющего значение для рассматриваемого частного процесса *).
Главным препятствием для построения последовательной квантовой электро-
электродинамики всегда были расходимости третьего типа; исключение таких расходи-
мостей является как раз целью настоящей теории. В последующем все внимание
будет обращено на расходимости третьего типа; при употреблении слова „схо-
„сходящийся" всегда будет подразумеваться оговорка: „не считая особенностей первого
и второго типов".
Расходящееся выражение М называется примитивным в том случае, если
при фиксированном значении одного из четырехмерных векторов импульса в под-
интегральном выражении интегрирование по всем остальным переменным дает
сходящееся значение. Соответственно этому примитивной расходящейся диаграм-
диаграммой называется такая соответствующая расходящемуся выражению М связная
диаграмма G, которая после замены одной внутренней линии на две внешние
линии превращается в диаграмму, соответствующую сходящемуся выражению М.
Для анализа расходимостей теории достаточно учесть примитивные расходящиеся
диаграммы О и соответствующие им выражения М и исследовать их свойства.
Пусть О — примитивная расходящаяся диаграмма с к вершинами, Е внеш-
внешними и F внутренними линиями. Соответствующее выражение М будет инте-
интегралом по F переменным pi от произведения F множителей вида D4) и D5) и
п множителей вида B3). Поскольку диаграмма О является связной, входящие
в подинтегральное выражение в М 8-функции B3) позволяют выразить (л—1)
из переменных pi через остальные (F — п-\-\) переменных р* и постоянные ft',
причем в подинтегральном выражении останется одна 8-функция, содержащая
только постоянные kl и выражающая закон сохранения энергии и импульса для
всей системы. Примером такого интегрирования по о-функциям является вывод
выражения B6) из выражения B5). После выполнения указанной операция
остальные интегралы в выражении М могут быть взяты в следующем порядке:
четвертые компоненты (F—п-\-\) независимых переменных р* записываются
в виде
Р{='Р$ = ЙЯ5 D7)
и сначала выполняется интегрирование по а; затем производится интегрирование
по 3 (F — я+1) независимым переменным р\, р!г, р* и по (F—п) отноше-
отношениям тг*. Величина М имеет при этом вид
М
= J dpf dpi dpi die* J RaF-"da, D8)
где R — рациональная функция от а, знаменатель которой представляет собой
произведение F множителей вида
~ (««5 + c'f. D9)
Постоянные it* и с* определяются здесь из условия
Р{ = Ipi = IЫ + "О, / = 1, 2, .. ., F. E0)
Таким образом, постоянные с*, соответствующие (F—и+1) независимым пере-
переменным pi, равны в силу формулы D7) нулю, а остальные с1 являются линейными
комбинациями постоянных /г';; (га—1) из величин ¦% являются линейными ком-
!) Введение величины X для устранения инфракрасных расходимостей должно про-
производиться с известной осторожностью. Швингер показал, что долго существовавшее
несоответствие между двумя различными расчетами лэмбовского сдвига вызвано неосто-
неосторожным употреблением в одном из них величины X. — Прим. asm. (Оригинальный метод
исключения трудностей, связанных с „инфракрасной катастрофой', используется в статье XI
настоящего сборника. — Прим. ред.)
V. S-МАТРИЦА В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 221'
бинациями независимых величин vl, определенных формулой D7). В соответствии
с формулой D3) мы принимаем, что переменные интегрирования в выражении D8)
являются вещественными за исключением переменной а, интегрирование по кото-
которой нужно проводить вдоль контура С, отклоняющегося от вещественной оси
в каждом из 2F полюсов функции /?. При этом в общем случае должно выпол-
выполняться правило, что контур С отклоняется вверх от вещественной оси при а > О
и вниз от вещественной оси при а < 0; обратное положение будет иметь место
только в некоторых полюсах, соответствующих таким знаменателям D9), для
которых имеет место условие
(pb'+lplf + Wif+ ?*<№. E1)
Подобные полюсы будут называться „переставленными". Интеграл по а всегда
является абсолютно сходящимся. Поэтому при повороте контура С против часо-
часовой стрелки до совпадения с мнимой осью значение М не изменится, если не
учитывать вычетов в переставленных полюсах.
Величина М сложным образом зависит от параметров №, описывающих при-
приходящие и уходящие частицы; эта зависимость резко изменяется, как только
одна из постоянных с* принимает критическое значение, начиная с которого соот-
соотношение E1) становится разрешимым при некоторых значениях р\, р*, р* и обра-
образуется новый переставленный полюс. Данное обстоятельство легко истолковать,
если учесть, что переставленные полюсы появляются тогда, когда возникает воз-
возможность, чтобы одна из учитываемых выражением М виртуальных частиц дей-
действительно испускалась в виде реальной частицы. Следует ожидать, что поведе-
поведение выражения М должно изменяться, когда описываемый этим выражением про-
процесс начинает конкурировать с другими реальными процессами. Характерной
чертой обычной теории возмущений является то, что если процесс А про-
проходит через промежуточное состояние /, которое непрерывно изменяется
в известных пределах, включающих состояние //, являющееся конечным состоя-
состоянием конкурирующего процесса, то матричный элемент для процесса А содержит
интеграл по состоянию / с особенностью в точке, соответствующей состоянию//.
В обычной теории возмущений всегда бралось главное значение в смысле Коши
данного несобственного интеграла, который не привносил каких-либо реальных
расходимостей в матричный элемент. В излагаемой в настоящей статье теории
переставленные полюсы вызывают появление аналогичных несобственных интегра-
интегралов; эти интегралы подходят под определение особенностей первого типа и
в дальнейшем рассматриваться не будут.
Если фиксировать значения переменных р\, р\, р\, удовлетворяющие соот-
соотношению E1), то значение величина /?* в данном переставленном полюсе будет
определяться формулой E0). Соответствующая переставленному полюсу соста-
составляющая выражения М равна с точностью до постоянного множителя величине,
получающейся, если фиксировать в исходном интеграле М четырехмерный век-
вектор р{; поскольку М является примитивным расходящимся выражением, эта
составляющая будет сходящейся. Полная составляющая величина М от t-ro пере-
переставленного полюса будет интегралом от указанной величины, распространенным
по конечной сфере и поэтому конечным. Строго говоря, в данном случае необхо-
необходимы не только сходимость выражения, но и равномерная сходимость в конечной
области; как будет, однако, пидно в дальнейшем, сходящиеся интегралы в настоя-
настоящей теории являются сходящимися для больших импульсов вследствие резкого
роста знаменателей в подинтегралышх выражениях, а получающаяся подобным
образом сходимость всегда является равномерной в конечной области.
Таким образом, выражение М равно с точностью до конечных слагающих
интегралу М', получающемуся при замене а на la в выражениях D8) и D9).
С другой стороны, выражение М' получается из первоначального интеграла М
при подстановке вместо каждой переменной р? величины
0—0^ E2)
222 *• ДАйсон
с последующим истолкованием 4 (F— п-{-1) независимых переменных pi,
jx=l, 2, 3, 4, как обычных вещественных переменных. В интеграле М' зна-
знаменатели в подинтегральном выражении имеют вид
(pD2+(pit-+(piJ+v-2+(pi - a+о <оз E3)
и растут равномерно для больших значений р*. Сходимость М' может быть те-
теперь установлена просто посредством подсчета степеней /?* в знаменателе и
числителе подинтегрального выражения. Поскольку известно, что выражение М'
сходится, когда один из переменных векторов р* фиксирован и интегрирование
проводится только по остальным переменным, то для сходимости всего выраже-
выражения М' достаточно, чтобы выполнялось условие
K=2F — Fe — 4[F — n+l]>l. E4)
Здесь число 2F есть степень поликома в знаменателе подинтегрального
выражения, a Fe—степень поликома в числителе, равная, согласно форму-
формулам D4) и D5), числу внутренних электронных линий на диаграмме G. Пусть
число внешних электронных и фотонных линий на диаграмме G равно соответ-
соответственно Ее и Ер и пусть число таких вершин на этой диаграмме, из которых
не выходят фотонные линии, равно ns. Тогда из структуры диаграммы G следуют
равенства
так что условие сходимости E4) можно переписать также в виде
К = ^Ее-\-Ер + пв — 4>1. E5)
Отсюда вытекает тот важный вывод, что возможны только такие примитивные
расходящиеся диаграммы, у которых Ее = 2, Ер = 0, 1 или Ев=0, Ер=1, 2,
3, 4. Далее, случаи ?е = 0, Ер=1, 3 отпадают, поскольку им соответствуют
диаграммы с нечетными частями, которые, как доказано в разделе 4, можно здесь
отбросить. Следует отметить, что, согласно ходу рассуждений, „если числа Ее
и Ер не имеют определенных малых значений, то интеграл М является сходя-
сходящимся на бесконечности"; теперь не остается никаких возражений против сде-
сделанной в формуле D8) перестановки порядка интегрирования в выражении для М,
так как такую перестановку требуется фактически делать только тогда, когда
выражение М абсолютно сходится.
Все возможные примитивные расходящиеся диаграммы, найденные выше,
имеют известный физикам характер. Случай Ее = 2, Ер = 0 соответствует
эффектам собственной энергии одиночного электрона, случай Ее = 0, Ер = 2 —
эффектам собственной энергии одиночного фотона, случай ?е—2, Ер=1—рас-
Ер=1—рассеянию одиночного электрона электромагнитным полем, случай Ее = 0, Ер = 4—
„рассеянию света на свете". Далее, из формулы E5) вытекает, что расходимость
в третьем и четвертом случаях будет не выше логарифмической, в первом слу-
случае— не выше линейной и во втором случае — не выше квадратичной. Таким
образом, оказывается, что насколько бы ни продвинулось дальнейшее исследо-
исследование в квантовой электродинамике взаимодействий многих частиц и явлений
высших порядков, все равно не появится существенно новых типов расходимо-
стей. Данный результат дает сильное подтверждение в пользу правильности той
точки зрения, что „вычитательный формализм" типа, использованного Швингером
и Фейнманом, достаточен для превращения квантовой электродинамики в после-
последовательную теорию.
V. S-МАТРИЦА В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 223
6. Выделение расходимостей в S-матрице
Прежде всего будет показано, что „рассеяние света на свете" в действи-
действительности не привносит в теорию каких-либо расходимостей. Примитивная, воз-
возможно расходящаяся, величина М в случае ??е = 0, Ер=4: будет иметь вид
8 {ki + &2 + кз + щ Ах {к') а,^ (Щ А„ (№) Ар (й*) /v.,p, E6)
где /X(V,p— не более чем логарифмически расходящийся интеграл типа
E7)
a R—некоторая определенная рациональная функция постоянных kf и перемен-
переменных р{. В любой физической проблеме, когда, например, величины A (k) пред-
представляют собой потенциалы, соответствующие некоторым падающим и рассеян-
рассеянным фотонам, в операторе U(oo) появляются матричные элементы, являющиеся
суммой выражения E7) и 23 подобных выражений, которые получаются из E6)
при всевозможных перестановках индексов в величине /x,j.vp. Поэтому можно
сразу ечитать, что функция R^9 симметризована, т. е. что взята сумма по всем
возможным перестановкам индексов у Ri^; тогда выражение E6) будет суммой
составляющих, соответствующих 24 или меньшему числу (в зависимости от имею-
имеющейся степени симметрии) диаграммам О.
Если в формуле E7) вычесть из функции R, стоящей под знаком интеграла,
значение R при /г1 = /г2 = /г3 = /г4 = 0, т. е. R@), то в подинтегральном
выражении при больших \р*\ появится дополнительный множитель |р*|-1 и
интеграл станет абсолютно сходящимся на бесконечности. Следовательно,
VP = A^@) + All4p, E8)
где /@)—интеграл, могущий быть расходящимся и не зависящий от /г*, а / —
сходящийся интеграл, обращающийся в нуль, когда все k1 равны нулю. Для
удобства физического истолкования полученного результата перейдем в фор-
формуле E6) обратно к пространственно-временным переменным, при этом полу-
получится формула
/ @) Ах (х) Л, (х) Ач (х) Ар (х) dx + N, E9)
М = /
где N— сходящееся выражение, содержащее производные от А (х) по простран-
пространственным и временной координатам. Первый член в формуле E9) физически не-
неприемлем; он не является калибровочно-инвариантным и вызывает, например,
рассеяние света на электрическом поле, зависящем от абсолютной величины ска-
скалярного потенциала, что не имеет физического смысла. Вследствие этого вели-
величина /@) должна тождественно равняться нулю, так что все выражение E6)
является сходящимся.
То обстоятельство, что рассеяние света на свете в первом неисчезающем
приближении конечно, выяснено уже давно1. Это было также подтверждено Фейн-
маном путем прямого вычисления с использованием предложенной им теории,
описанной в настоящей статье. Диаграммы, соответствующие низшему неисчезаю-
щему порядку для подобного рассеяния, изображены на фиг. 4. Оказывается, что
расходящиеся части соответствующих этим диаграммам величин М сокращаются
друг с другом при сложении или,, что то же самое, при симметризации функ-
функции R\r,r Отсутствие расходимостей при рассеянии света на свете связано, веро-
вероятно, во всех случаях с аналогичными сокращениями, и доказательство этого
*) См. [10] и [И]. В ранних вычислениях рассеяния света на свете применялась
гейзенберговская электродинамика, в которой ряд расходимостей исключался с самого
начала посредством специального приема с использованием недиагональных элементов
матрицы плотности Дирака. С другой стороны, в вычислениях Фейнмана конечный резуль-
результат получается без каких-либо вычитательных операций. — Прим. авт.
19 Зак. 573.
224
Ф. ДАЙСОН
с помощью вычислений не должно быть сложным; тем самым можно устранить
необходимость обращения к условию калибровочной инвариантности.
Три остальных типа примитивных расходящихся выражений М являются
в действительности расходящимися. Однако эти выражения являются как раз теми.
\«'
К3/
к2/ \ К'
X2/
к24
Ф и г. 4.
выражениями, которые были рассмотрены в разделах 3 и 4, причем было пока-
показано, что они полностью описываются операторами А^, S, П. Более подробно,
при Ее=2, Ер=0 выражение М примет форму
№)s(w, ^ж*1). F0)
где W—некоторая соответствующая электронной собственной энергии часть
диаграммы. При Ее=0, Ер=2 выражение М будет иметь вид
A^&WiW, V)\{&), F1)
где W* — некоторая соответствующая фотонной собственной энергии часть диа-
диаграммы. При Ее=2, Ер=1 выражение М примет вид
ф (#) А,, (V, k\ №) if (й«) А^ (fti — /г2), F2)
где V—некоторая вершинная часть. Следовательно, если удастся найти какие-
либо средства для выделения и устранения расходящихся частей операторов А^,.
Е> П, то определенные в разделе 4 „неприводимые" диаграммы не приведут к по-
появлению в теории новых особых расходимостей, так что указанные в разделе 4
правила будут давать метод построения 5-матрицы, свободной от расходимостей.
При рассмотрении в разделе 4 операторов А^, ?, П было выяснено, что
вершинные и относящиеся к собственной энергии части диаграмм удобно подраз-
подразделить на сводимые и несводимые. Несводимая относящаяся к собственной энер-
энергии часть диаграммы W должна не только не содержать в качестве составных
частей вершинных или относящихся к собственной энергии частей, но и быть
„собственной", т. е. также не должна состоять из двух раздельных участков,
соединенных только одной линией. В разделе 4 было показано, что для устра-
устранения излишних усложнений оператор А^ следует определить как сумму, распро-
распространенную только по собственным вершинным частям V. В силу тех же аргу-
аргументов, чтобы формулы C5)—C7) были правильными, существенно определить
операторы ? и П как суммы, распространенные как по собственным, так и по
несобственным частям, относящимся к собственной энергии. Однако можно опре-
определить Sp и Dp только через собственные части, относящиеся к собственной
энергии, за счет замены явных определений C5) и C6) на неявные. Пусть вели-
величина И*(/?*') является суммой операторов Е (W, /?*), распространенной по всем
собственным частям W, относящимся к электронной собственной энергии, и пусть
величина И*(р*) определена аналогичным образом. Каждая часть Wявляется соб-
собственной или же состоит из собственной части W, соединенной одиночной элек-
электронной линией с другой собственной или несобственной частью, относящейся
V. S-МАТРИЦА В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 225
к собственной энергии. Таким образом, на основании формулы C5) величину S&
можно выразить двумя эквивалентными способами:
-SF(p*)Z*(pt)S'F(pi),
F3>
Аналогичным образом
D'v(p<) = DF(p<) + DF(p*) П* {p*) D'F(pi),
F4)
Операторы 2* и П* в некоторых случаях удобно использовать вместо ? и П.
Рассмотрим составляющую ^(W, f) оператора 2*> соответствующую части W,
относящейся к электронной собственной энергии. Предположим, что часть W
является неприводимой и не будем пока учитывать эффектов возможных подста-
подстановок в часть W частей, относящихся к собственной энергии, и вершинных частей.
Предположим также, что часть W не состоит из одной только вершины, соответ-
соответствующая которой составляющая дается формулой C1). Тогда часть W имеет
четное число 2/ вершин, в каждой из которых кончается фотонная линия, и ве-
величина %(W, t1) будет иметь форму
(fi, p*)dp*, F5)
где R определенная рациональная функция от Р и р*, а интеграл расходится не
более чам линейно. Подинтегральное выражение в формуле F5) можно записать
в виде
R(/1, р*) = R@, р*)-\-% /|?@, р<)\ + Rc(ft, p*), F6)
причем при больших значениях |р'| последний член Rc будет стремиться к нулк>
быстрее, чем R, а именно", как \pi\iR. Поэтому в полной аналогии с форму-
формулой E8) можно написать
2 (W, t1) = e°J {А + Bjl + 2С (W, ?)]; F7)
здесь А и Ва — постоянные расходящиеся операторы, a 2C(W, tl) — ковариант-
ный и абсолютно сходящийся интеграл. Из соображений ковариантности следует,
что величина Sc (W, t1) должна иметь форму
tfiC^ + ^WKv F8)
где /?х и /?2 — некоторые функции от (?1J; по той же причине вгличина В^ должна
иметь форму Вуц, где В — некоторый определенный расходящийся интеграл.
Если f1 есть четырехмерный вектор энергии—импульса свободного электрона, то
(^J = — *?, ^Т, = «о- F9)
Удобно записать )lc (W, t1) в виде
Sc(W, fi)=A> + В' (^ - /х0) + (tfa - «„) 5 (W, ?) G0)
[величина S (W, t1) равна нулю, если Р удовлетворяет соотношениям F9)] и
включить первые два слагаемых в постоянные Л и В из формулы F7); подоб-
подобное выделение величины S(W, P) является однозначным, поскольку все слагае-
слагаемые в выражении G0) конечны. Таким образом, вместо F7) получается анало--
гичное соотношение, где
2С (W, Iх) = Dт, - «о) S (W, Z1). G1)
19*
226 Ф. ДАЙСОН
Суммируя выражение F7) по всем неприводимым частям W и используя C1), по-
получаем для оператора ?* выражение
Е* (?) = А — 2«8х0 + ВDт, - «о) + (^ — «0) 5C (г1). G2)
Следовательно, согласно формулам F3) и D5),
S'F {Р) = (А- 2КЙх0) 5, (fi)S'F
В выражениях G2) и G3) величины А и В представляют собой бесконечные
постоянные, a Sc является свободным от расходимостей оператором, который
обращается в нуль, когда выполняются соотношения F9); величины А, В и So
являются степенными рядами по е, начинающимися с члена, в который входит е2.
Однако в формулах G2) и G3) эффекты поправок высшего порядка к самому
оператору 2(W, t1) еще не учтены.
Аналогичное выделение расходящихся частей может быть выполнено в слу-
случае величины TL(W, t1), где W— неприводимая, относящаяся к фотонной собствен-
собственной энергии часть. Интеграл F5) может в этом случае расходиться квадратично,
так что вместо формулы F6) необходимо использовать
R{t\ p*) = R@,
и вместо F7) получится
П (W, P) = e» [A + 5^1+ % tl t\ + Пс {W, fi)]. G4)
Величины А, В^, С^ч являются постоянными числами (а не дираковскими опе-
операторами); поэтому из условия ковариантности следует, что В^ = О, С^ = СЬ^.
Величина He{Wf, t1) выражается в виде абсолютно сходящегося интеграла; она
должка быть инвариантной функцией от (^J вида
HC(W, fl) = (fi)*D(W, t1), G5)
где функция D{W\ t1) обращается в нуль для значений tl, удовлетворяющих
соотношению
W9 = 0, G6)
заменяющему здесь соотношение F9). Суммирование выражения G4) по всем-
неприводимым частям W дает
П* (/') = А' + С (fi? + (^J D, (/'); G7)
следовательно, согласно формулам F4) и D4),
D'F «1) = A'DW (P) DF (fi) + за CD'F (fi) + DF (ft) +^DC (fi) Dp (<i). G8)
Входящая в формулы G7) и G8) величина Dc обращается в нуль для значений tl,
удовлетворяющих соотношению G6), и не содержит расходимостей.
Постоянная А' в формуле G7) представляет собой квадратично расходя-
расходящуюся фотонную собственную энергию. Ей соответствуют в операторе U(об)
матричные элементы вида
j ^(х)А^(х)с1х, G9)
которые не являются калибропочно-рнвариантными и должны быть исключены
из теории. Это можно сделать подобно тому, как был исключен первый член
правой стороны равенства E9), приняв, что величина А' равна нулю. Данное
V. S-МАТРИЦА В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 227
положение было подтверждено Швингером [3] посредством прямых вычислений
с точностью до составляющих низшего порядка величины А'1).
Выделение расходящихся частей оператора Л^ также производится ^о спо-
способу, намеченному для оператора ?*• Поскольку интеграл, соответствующий
здесь интегралу F5), расходится только логарифмически, то в выражение F6)
не нужно вводить члена с производными, и аналогом формулы F7) в данном
случае будет формула
Л,(К, е- i») = e«[L|fc + Avie(V, fi, *»)], (80)
где L^ — постоянный расходящийся оператор, а величина Л^ сходится и при
fi = fi = 0 равна нулю. В формуле (80) оператор L обязательно должен иметь
вид Lf|i.- Если t1 = f1 и величина t1 удовлетворяет условию F9), то оператор Л^с
будет пропорционален ^ и может быть в этом случае включен в член Lf^.
Поэтому можно считать, что величина А^с обращается в нуль, не при tf1 —?2=0,
а когда tx~fi и величины t1, t2 удовлетворяют условию F9). Физический смысл
этого заключается в том, что соответствующая оператору Л^о составляющая энер-
энергии одиночного электрона в случае постоянного внешнего потенциала равна
теперь нулю, так что весь измеряемый статический заряд электрона включен
в член Lfp. Суммируя выражение (80) по всем неприводимым вершинным частям V
и используя формулу C8), получаем
A^i, fi):^L^ + A^fi, fl), (81)
Г, {t\ t*) = A + L) % + Л,с {t\ fi). (82)
В выражениях (81) и (82) также еще не учтены эффекты поправок высшего
порядка относительно А^(У, t1, t2). Формально соотношение (82) отличается от
формул G3) и G8) тем, что оно содержит неизвестный оператор Г^ лишь с одной
стороны равенства.
7. Устранение расходимостей из 5-матрицы
Наша последняя задача при обсуждении формул G3), G8) и (82) заключается
в том, чтобы показать, как можно выделить расходящиеся части из операторов
Гц, Sp, Dp за счет включения в них поправок к самим этим операторам, вызван-
вызванных радиационными членами, которые в свою очередь описываются этими же
операторами. Иными словами, нам нужно учесть радиационные поправки к радиа-
радиационным поправкам, перенормировку перенормированных членов и т. д. до бес-
бесконечности. Данная задача не столь громоздка, как это может показаться.
Отметим сначала, что операторы Л^ ?* и П* определяются интегральными
уравнениями вида C9), которые будут называться в дальнейшем просто интеграль-
интегральными уравнениями. Более подробно рассмотрим составляющую A^V, t1, P) опе-
оператора Лр., представляемую формулой (80) и соответствующую вершинной части V
с B/-J-1) вершинами, / фотонными линиями и 2/ электронными линиями. Дан-
Данная составляющая задается в виде интеграла, аналогичного интегралу F5), при
этом подинтегральное выражение представляет собой произведение 21-\-1 опе-
операторов "(рг I функций Dp и 21 операторов Sp. Точное значение Л^ (V, t1, f2)
получается при замене указанных множителей соответственно на Г^, Dp, Sp
так, как это описано в разделе 4. Предположим теперь, что величина Sp в под-
интегральном выражении представляется, например, с точностью до порядка е2п,
в виде суммы оператора Sf и конечного числа конечных произведений Sp на
абсолютно сходящиеся операторы S(W, tl), подобные оператору, входящему
в формулу G1); аналогично пусть функция DF представлена в виде суммы,
в которую в качестве слагаемых входит функция Dp и конечное число конечных
!) Вентцелем [12J были выдвинуты возражения против предложенной Швингером;
трактовки вопроса о фотонной собственной энергии. — Прим. авт.
228 *• ДАйсон
произведений Dp на функции D(W, tl), входящие в формулу G5), и пусть
оператор Га представлен в виде суммы, в которую в качестве слагаемых вхо-
входят матрицы Y(i и конечное число операторов A^e(V, t1, P) из формулы (80).
Тогда интеграл A^(V, t1, /2) будет определен с точностью до порядка е2п+п;
поскольку операторы S(W, t1), D{W, t1) и А^С(У, t1, fi) всегда имеют доста-
достаточное число множителей в знаменателе для обеспечения сходимости, то теория
раздела 5 может быть применена для доказательства того, что данный интеграл
Ap.(V, t1, P) будет расходиться не более чем логарифмически. Поэтому опять
может быть выделена новая величина ЛДК, t1, t2) в форме (80). Суммой таких
величин A^(V, t1, fi) будет выражение А (Р-, ?2) вида (81), причем постоян-
постоянная L и сходящийся оператор А^с определяются с точностью до порядка е2п+2.
Таким образом, формула (82) дает для величины Га новое выражение с точ-
точностью до порядка ?2«+2.
Из вышеизложенного следует общий метод выделения конечной части из
составляющей оператора Г^, соответствующей сводимой вершинной части Vr.
Во-первых, часть Vr разбивается на несводимую вершинную часть V и различ-
различные вставленные части W, W, V; соответствующая части Vr составляющая Г^
представляет собой интеграл M(Vr), который является расходящимся не только
в целом, но расходится также, если вести интегрирование только по перемен-
переменным, относящимся к одной из вставленных чястей W, W', V, и фиксировать
«стальные переменные. Расходимости следует устранять из интеграла M(Vr)
последовательно, начиная с расходимостей, связанных с вставленными частями,
и кончая расходимостью, связанной с частью V. Подобное последовательное
устранение расходимостей является полностью определенным, поскольку каждые
две вставленные в V части либо совершенно не перекрываются друг с другом,
либо расположены так, что одна из них полностью содержится в другой.
При подсчете составляющих операторов S* и П*, соответствующих приводи-
приводимым относящимся к собственной энергии частям, появляются дополнительные
усложнения. В действительности, имеется только одна несводимая часть, отно-
относящаяся к фотонной собственной энергии, а именно, часть, которая обозначена
w W'
Ф н г. 5.
на фиг. 5 буквой W\. Имеется также, если не считать относящейся к собствен-
собственной энергии части, состоящей из одной точки, только одна неприводимая относя-
относящаяся к электронной собственной энергии часть; эта часть обозначена на
фиг. 5 буквой W. Все остальные относящиеся к собственной энергии части
могут быть получены посредством различных подстановок в части W и W.
Однако все неприводимые относящиеся к собственной энергии части исчерпываются
уже в результате подстановок вершинных частей не у обеих, а только у одной
вершины диаграмм W, W; подстановка у обеих вершин привела бы к тому, что
одни и те же диаграммы учитывались бы несколько раз. Составляющая M(Wr)
оператора Е*> относящаяся к приводимой части Wr, будет в общем "случае пред-
представлять собой интеграл, который будет содержать независимые расходимости,
соответствующие каждому из способов, которым часть Wr может быть построена
посредством подстановок вершинных частей вместо одной или обеих вершин W. Дан-
Данное усложнение вызвано тем, что в том (и только в том) частном случае, когда
две вершинные части входят в относящуюся к собственной энергии часть и содер-
содержат по одной граничной вершине этой последней части, возможно, что две
вершишые части перекрывают частично друг друга, но ни одна из них не содер-
содержится полностью в другой.
V. S-МАТРИЦА В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 229
Конечную часть величины M(Wr) следует выделять следующим образом.
Часть Wr однозначным образом получается из W посредством подстановок
некоторой вершинной части Va у вершины а и частей собственной энергии Wa
и Wа в две линии диаграммы W. Вычтем сначала из M(Wr) все расходи-
расходимости, связанные с частями Va, Wa и Wа; обозначим выражение, остающееся
после такого вычитания, через М'(Wr). Рассмотрим затем часть Wr, считая,
что она получена из W посредством подстановок некоторой вершинной
части Vb у вершины Ъ и частей собственной энергии Wb и Wb в две линии
части W. Интеграл М'(Wr) будет еще содержать расходимости, соответ-
соответствующие части Vb (частям Wb и w'b уже не будет соответствовать ника-
никаких расходимостей); эти расходимости следует вычесть, после чего полу-
получится выражение М"'(Wr). Конечная часть М"(Wr) может быть окончательно
выделена посредством применения ко всему интегралу метода, описанного в раз-
разделе 6; в результате для М"(Wr) получа'ется выражение вида A7), причем
величина 2С определяется формулой G1), следовательно, конечная часть М(We)
является полностью определенной величиной и представляет собой оператор
вида G1).
Поведение составляющих высшего порядка операторов ?* и П* является
теперь качественно ясным; можно дать точные правила вычисления этих опера-
операторов с помощью индуктивной схемы, аналогичной схеме, приведенной выше
для случая Ац. Не считая постоянного члена (—2ir/8x0), ?* совпадает с состав-
составляющей, соответствующей части W на фиг. 5; составляющая ?(№, t1) предста-
представляется интегралом вида F5) с/—1. Подинтегральное выражение в формуле F5)
представляет собой, согласно предыдущему, произведение двух операторов у^,
одного оператора Df и одного оператора Sf. Для получения точного значения
EAF, fi) в этой формуле следует заменить оператор Dp на Dp, оператор Sp
на Sp и только один из множителей f^ например у^, соответствующий вер-
вершине а диаграммы W, на Гц. Предположим, что оператор Sp в подинтеграль-
ном выражении представлен с точностью до порядка е2" в виде суммы, слагае-
слагаемыми которой являются оператор Sp и конечное число конечных произведений Sp
на операторы S (W, t1), подобные тем операторам, которые входят в формулу G1).
Предположим также, что величины Dp и Г^ выражаются аналогичным образом.
Тогда величина 2A^, tl) будет определена с точностью до порядка ein+* и
будет представлять собой сумму интегралов, подобных интегралу М'(WR) пре-
предыдущего абзаца, содержащему, кроме расходимостей, соответствующих диа-
диаграмме W в целом, расходимости, соответствующие вершинным частям, вставлен-
вставленным у вершины b диаграммы W. Если отбросить все эти расходимости, то
получится конечное выражение ?C(W, t1), подстановка которого вместо 2*
в формулу F3) дает также конечное и определенное с точностью до е2п+2
выражение для SF.
В описанном выше способе исходят из заданных выражений для Sp, Dp
и Г^, представленных с точностью до порядка е2И в виде сумм, слагаемыми
которых являются соответственно оператор Sp и конечное число произведений Sp
на S(W, tl), оператор Dp и конечное число произведений Dp на D^(W, t1),
г„ и конечное число выражений Л (V, tl, ft). Из этих трех заданных выраже-
ний получаются новые выражения для Sp, DF, Гц, в которые входят новые схо-
сходящиеся операторы S(W, t1), D(W't1) и А^С(У, t1, ft), определенные с точ-
точностью до порядка ?2п+2; в расходящиеся члены, которые выделяются из новых
выражений и отбрасываются, входят расходящиеся коэффициенты А, В, С, L,
подобные коэффициентам, входящим в формулы G3), G8) и (82), но опреде-
определенные с точностью до порядка е-п+2. После того как отброшены все расходя-
расходящиеся члены, новое выражение для Г^ (82) представляет собой сумму, слагае-
слагаемыми которой являются -f^ и конечное число величин A^C(V, t1, t2), новое
230 *• ДАЙсон
выражение для SF G3) представляет собой сумму, слагаемыми которой являются
величина Sf и конечное число произведений SF на S (W, t1), и, наконец, новое
выражение для DF G8) представляет собой сумму, слагаемыми которой являются
величина DF и конечное число произведений DF на D{W'tl). Новые выражения
Г^, SF и DF можно опять подставить в интегралы вида F5), при этом полу-
получится третий набор выражений для операторов Г^, SF и D'F, определяемых уже с
точностью до порядка е2п+4, причем вновь могут быть выделены конечные и беско-
бесконечные части. Подобным образом можно методом последовательных приближений
вычислить конечные части операторов Г^, SF и DF, опуская на каждом этапе
вычисления перед подстановкой в интегральное уравнение расходящиеся члены
и беря в качестве нулевого приближения величины ^, SF и DF. После подобных
подстановок конечные части Гц, SF и DF будут определены с точностью до
порядка е2".
В заключение необходимо оправдать отбрасывание расходящихся членов.
Мы это сделаем, показав, что „истинные" величины Г„, SF, DF, получающиеся
без отбрасывания расходящихся членов, совпадают с соответствующими вели-
величинами, получающимися после отбрасывания расходящихся членов, с точностью до
численных множителей, которые в свою очередь могут быть исключены из тео-
теории при последовательном применении идей перенормировки заряда и массы.
Пусть Т^(е), SF1(e), DFi(e)— операторы, полученные последовательными под-
подстановками с отбрасыванием расходящихся членов; эти операторы будут пред-
представлять собой степенные ряды по е с конечными операторными коэффициентами
(чтобы не возник вопрос о сходимости данных рядов, будем предполагать, что
все величины определяются только с точностью до некоторого конечного
порядка e2N); мы покажем, что в этом случае истинные операторы Г^, SF и DF
будут иметь вид
T^zr1^^), • (83)
SF = Z2SF1(ei), (84)
DF = Z%DFl{e,), (85)
где Zv Z%, Z3— постоянные, которые надлежит определить, а величина ег
задается равенством
e1 = ZT1Z^2e. (86)
Эта величина ег окажется „истинным" зарядом электрона.
Нам достаточно доказать, что при подстановке выражений (83)—(85)
в интегральные уравнения, определяющие операторы Ги, SF, DF, эти уравнения
удовлетворяются, если постоянные Zv Z2, Z3 и Sx0 выбраны соответствующим
образом.
Относительно операторов Г^г(е), SFi(e), DFl(e) известно, что при их под-
подстановке в интегральные уравнения последние удовлетворяются, если в них
дополнительно включить определенные расходящиеся члены. Эти дополнительные
расходящиеся члены состоят отчасти из слагаемых, которые содержат величины
А, В, С, L, входившие в формулы G3), G8), и отчасти из слагаемых, появ-
появляющихся (только в случае операторов SF и DF) из-за особенностей поведения
вершин b и Ь' на фиг. 5. Такие слагаемые, связанные с вершинами b и Ь',
были рассмотрены ранее; их можно назвать для сокращения ?-расходимостями.
Первоначально, конечно, расходимости, соответствующие в S* вершинным частям,
вставленным у двух концов а и b диаграммы W, входили симметричным обра-
образом; асимметрия была привнесена нами в результате включения расходимостей,
связанных с вершиной а, в коэффициент Zf1 формулы (83), в то время, как
для точки b оператор у^ не заменялся на Г^ и расходимости, связанные с вер-
вершиной Ь, учитывались другим образом. Таким образом, следует ожидать, что
V. 5-МАТРИЦА В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 231
влияние й-расходимостей подобно влиянию а-расходимостей сведется только
к умножению всех составляющих оператора 2* на постоянную Z^1. Аналогично
мы предполагаем, что наличие расходимостей, связанных с точкой Ь', вызывает
умножение величины П* на постоянную Z^1. С помощью подробного доказатель-
доказательства, которое слишком сложно и поэтому здесь не приводится, можно строго
подтвердить правильность высказанных предположений. (Интересующемуся чита-
читателю рекомендуется выяснить самому, рассмотрев составляющие оператора ?*,
соответствующие различным относящимся к собственной энергии частям, почему
конечные члены определенного порядка всегда входят в члены высшего порядка,
умноженными на одни и те же расходящиеся коэффициенты.) Таким образом,
полными выражениями, получающимися при подстановке Гщ (е), SFi(e) и D^ (е)
в интегральные уравнения, определяющие операторы Л^, ?* и П*, будут
v (87)
(e) = — 2mov.oSF + Zf1 (a (e) SF + ~ В (е) -|~JL Se (e)), (88)
DFul(e) = Zr1 (~С(е) + ± Dc (e)). (89)
Здесь величины А(е), В(е), С(е), L(e) представляют собой полностью опреде-
определенные степенные ряды по е с коэффициентами, расходящимися не сильнее, чем
степень логарифма. Если отбросить расходящиеся члены, то конечные операторы
A}U1(e), Sc(e) и Dc (е) вновь приведут нас к величинам Ги(е), SF1{e) и йп(«),
которые были сначала подставлены; таким образом, согласно формулам C8),
F3) и F4),
(«). (870
S'F1 (г) = SF + ^r Sc (e) SF1 (e), (880
D'F1 (e) = DF+±. Dc (e) DFl (e). (890
Формулы (87)—(89) и (870—(890 описывают, каким образом величины Г^ (е),
SFi (e) и DFi (e) удовлетворяют при подстановке интегральным уравнениям при
добавлении расходящихся членов. Из изложенного легко вывести, что операторы
(83)—(85) также будут удовлетворять при подстановке тем же уравнениям.
Рассмотрим, например, результат подстановки выражений (83)—(85) в член
S(W, tl), определяемый формулой F5) при /=1. Подинтегральное выражение
в F5) представляет собой произведение, в которое входит один множитель Г^,
один множитель f^, один множитель SF и один множитель DF. Таким образом,
в результате рассматриваемой подстановки получится
где %Q(W) — выражение, получающееся из F5) при подстановке операторов
Г^! (еД SFi (ех), DF1 {ex), не умноженных на постоянные Z. Далее, произведение
множителей, стоящих в выражении (95) перед 20 (W), и множителя е2 из выра-
выражения F5) равно
Т -7-1 2
причем остальные входящие в20AГ) величины (кроме выделенного множителя е2
явно зависят не от величины е, а от е1% Таким образом, выражение (90) равно
выражению
2C-2 *• ДАйсон
где ?i(W, ё) — величина, получающаяся в результате подстановки операторов
Т^(е), SF1 (e), D'F1(e) в %(W, fi). Таким образом, величина S* С*1)» получаю-
получающаяся при подстановке выражений (83)—(85) в выражение F5), совпадает
с величиной, получающейся при подстановке в последнее выражение операторов
Г^(е), Spi(e) и DF1{e) с последующей заменой е на ех и умножением всего
выражения (кроме постоянного члена с 8х0) на Z^Z^. Более точно, можно,
используя формулу (88), сказать, что величина ?*, получающаяся при подста-
подстановке выражений (83)—(85), равна
(91)
Затем оператор SF, получающийся при подстановке выражений (83)—(85)
в интегральное уравнение, задается формулой (91) и соотношением
s'F = SF+Sr2*Sf. (92)
Теперь легко проверить, используя формулу (88), что выражение SF, опреде-
определяемое формулами (91) и (92), будет совпадать с выражением (84) при усло-
условии, что
Z^l+-^B{ex), (93)
b*Q = -^Z;xA{eJ. (94)
Аналогичным образом оказывается, что выражение DF, получающееся при
подстановке выражений (83)—(85) в интегральные уравнения, может быть свя-
связано с выражением для Ili(e) (89). Данное выражение DF будет совпадать
с выражением (85) при условии
Z^l+^CK). (95)
Наконец можно показать, что выражение Гц, получающееся при подстановке
•выражений (83)—(85), будет равно
причем величина A[il(ej берется из формулы (87). Используя формулу (87'),
получаем, что это выражение Г^ будет совпадать с выражением (83) при условии
Zj = 1 — L (ej. (96)
Следовательно, установлено, что если постоянные Zv Z2, Z3 и 8х0 определены
формулами (96), (93), (95) и (94), то формулы (83) — (85) дают правильные
выражения для операторов Гц, SF, DF, причем учитываются все эффекты радиа-
радиационных поправок, привносимых этими операторами как в самих себя, так и
друг в друга. Использование точных выражений (83)—(85) позволяет значи-
значительно проще разделить расходящиеся и конечные части указанных операторов,
чем использование приближенных выражений G3), G8), (82).
Рассмотрим теперь результат, получающийся при использований точных зна-
значений операторов (83)—(85), для подсчета составляющей М оператора U {со);
при этом составляющая М строится из определенной неприводимой диаграммы О0
по правилам раздела 4. Пусть, например, диаграмма О0 будет иметь Fe внут-
внутренних и Ее внешних электронных линий, Fp внутренних и Ер внешних фотон-
фотонных линий и
n*=Fe + ±-Ee = 2Fp + Ep (97)
вершин. В выражении М будет тогда -=- Ее множителей ,<J/ (k*), -^ Ee множите-
лей 4/{&) и Ер множителей A^k1), определяемых соотношениями C7). В Л'(&*)
V. S-МАТРИЦА В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 233
величина ft* является четырехмерным вектором энергии — импульса электрона,
подчиняющимся условиям F9), а величина Sc (ft*) в формуле G3) равна нулю
на каждом этапе последовательного определения оператора S^ (е). Следова-
Следовательно, из формул (84), C5) и C7) в свою очередь получается
S'F (ft*) = Z^SF (ft*), S (k*) = 2ic (Z2 — 1) (Afr — w0),
(98)
Y (ft1) = Ф m + 2u (Z9 - 1) S, (ft*) (ft^ - w0) ф (ft*).
Выражения (98) являются неопределенными, так как оператор (&J. ^— «о) ПРИ
действии на <j>(ft*) дает нуль, а .действуя на SF(k{) дает постоянную 1/2я.
Таким образом, в зависимости от порядка, в котором определяются множители,
выражение (98) будет давать для 6' (ft*) либо значение ^(ft*), либо значение
Z2«l*(ft*). Аналогично величина <\' (Щ остается неопределенной и равной либо <5>(ft*)>
либо Z2^(ft*); исключая пока тот случай, когда величины ^(ft*) представляют
компоненты Фурье разложения потенциала внешнего поля, находим, что вели-
величина Лр. также получается неопределенной и равной либо Av_(ki), либо ZbAv_(ki).
В каждом из этих случаев из соображений ковариантности следует, что вели-
величины У (ft*), У (ft1) и Ay. (ft*) должны быть пропорциональны соответственно
Ф (&')» 4* (&0 и ^ii (^0- Таким образом, неопределенным остается только посто-
постоянный множитель пропорциональности, на который умножается все выражение М.
Матричные элементы оператора U (со) в этом случае не могут быть в какой-
либо мере неопределенными, поскольку данный оператор по условию является
унитарным. Неопределенность в действительности заключается только в норми-
нормировке электронных и фотонных волновых функций <!>(ft*), <KftO и Ар(№), кото-
которые можно считать либо не считать измененными вследствие взаимодействия дан-
данных частиц с окружающими их вакуумными полями. Можно показать, что если
волновые функции везде нормированы обычным образом, то кажущаяся неопре-
неопределенность устраняется и следует положить
(99)
Как будет выяснено, формула (99) определяет геометрический смысл двузнач-
двузначности, получающейся из соотношений (98).
Если величины А^ (ft*) представляют собой компоненты Фурье потенциала
внешнего поля, то, вообще говоря, (ft*J Ф 0 и величины А^ (ft*) не являются
неопределенными, а задаются "с помощью формул C7) и (85) в виде
A',, (ft*) = 2idZaD'F1'?ei) (ft*J A^ (ft<). A00)
Однако единицы, в которых измеряется потенциал внешнего поля, определяются
в связи с динамическими эффектами действия этого поля на известные заряды;
эти динамические эффекты описываются как раз теми матричными элементами
оператора ?/(оо), в которые входит выражение A00). Следовательно, множитель Zs
в выражении A00) не имеет физического значения и изменится, если измерять А
в практических единицах. Правильное значение постоянного множителя, полу-
получающееся в случае использования практических единиц, равно Z^2; это следует
из того, что фотонные потенциалы А^ в формуле (99) были нормированы к прак-
практическим единицам, и из того, что выражение A00) должно сводиться к выра-
выражению (99) при (ft*J ->• 0, если потенциалы внешнего поля и фотонного поля
измерены в одних и тех же единицах. Таким образом, правильной формулой для
234 *• ДАйсон
величин А' включающей как случай потенциалов внешнего поля, так и случай-
потенциалов фотонного поля, будет
^ (ft*) (ft*)» # 0, A01)
В выражение Ж, кроме множителей типа (99) и A01), будет входить Fg
множителей S'F, Fp множителей D'w и п множителей Г . Следовательно, на осно-
основании (97) получается, что постоянные Z войдут в выражение М только через
посредство постоянного множителя
Согласно формуле (86), этот множитель в точности превращает множитель еп
остающийся в выражении М от первоначального взаимодействия (8), в множитель е»_
Таким образом, как величина е, так и множители Z будут входить в выражение М
только в виде их комбинации ег через операторы Г^ (ej, S'F1 (ej, D'Fl (ej и.
через множитель е*. Если отождествить теперь ех с конечной наблюдаемой вели-
величиной электронного заряда, то в выражении М не останется никаких расходя-
расходящихся величин. Поскольку выражение М представляет собой самый общий случай
составляющей оператора U {со), то тем самым достигнуто исключение расходи-
мостей из 5-матрицы.
Едва ли нужно специально обращать внимание на то, что в ходе рассужде-
рассуждений в настоящем разделе многократно производились различные операции
с бесконечными величинами. Подобные манипуляции имеют лишь формальный
смысл и могут быть оправданы лишь a posteriori в связи с тем обстоятель-
обстоятельством, что они в конечном счете приводят к ясному разграничению конечных
и бесконечных выражений. Подобное оправдание a posteriori вызывающих со-
сомнение операций представляет собой неизбежную особенность каждой теории,
которая стремится получить имеющий смысл результат, исходя из не полностью-
последовательных предположений.
В заключение мы сделаем два отдельных замечания. Во-первых, равенство
Z1 = Z2 выполняется, повидимому, тождественно (нами это было доказано только
с точностью до порядка е2). Если это предположение является правильным, то
все эффекты перенормировки заряда вызываются только множителем Z3 и все
рассуждения настоящей статьи могут быть в известной мере упрощены. Во-вто-
Во-вторых, формулы (88') и (89'), определяющие основные операторы 5^ и D'FV могут
быть разрешены относительно этих операторов; при этом получается
SF, (88")
DF. (89">
В электродинамике величины Sc и Do представляют собой малые радиационные
поправки, так что разложение выражений (88") и (89") в ряд всегда является
оправданным и удобным. Однако при применении методов настоящей статьа
к мезонным полям с большой константой связи, подобные выражения желательно-
не разлагать; таким образом можно надеяться частично устранить ограничения,
накладываемые на теорию вследствие использования приближения, которое осно-
основывается на малости константы связи.
8. Сводка результатов
Полученные в предыдущих разделах результаты делятся на две группы.
С одной стороны, указана совокупность правил, с помощью которых может быть
вычислен элемент 5-матрицы, соответствующий любому заданному процессу рас-
V. S-МАТРИЦА В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 235
сеяния, причем ничего не говорится о входящих в теорию расходимостях.
С другой стороны, произведено подробное описание расходящихся выражений и
дана интерпретация этих выражений как множителей перенормировки заряда и
массы.
Первую группу результатов можно подытожить следующим образом. Пусть
задана конкретная задача рассеяния с определенными начальным и конечным состоя-
состояниями; тогда соответствующий матричный элемент 'оператора U(oo) будет сум-
суммой составляющих, связанных с различными диаграммами G так, как это опи-
описано в разделе 2. Каждая определенная составляющая М, соответствующая
некоторой диаграмме G, записывается в виде интеграла по импульсным пере-
переменным, согласно правилам раздела 3; при этом подинтегральное выражение
представляет собой произведение множителей <]»(?*), <Н**)> ^(k*), $я(Р*)*
Df(p*), 8 (q{) и 7[j.» каждый из которых соответствует определенным образом
линиям и вершинам диаграммы G. Согласно разделу 4, учитываются только со-
составляющие М, относящиеся к неприводимым диаграммам G; влияние приво-
приводимых диаграмм учитывается посредством замены в выражениях М множителей
<!», ф» Ay., Sw, Af> ffj. на соответствующие величины C7), C5), C6), C8).
Затем в разделе 7 показывается, что подобная замена эквивалентна замене
в выражениях каждого множителя Sf на величину Spi(e), каждого множителя Dр
на величину ?>и(е), каждого множителя ^ на величину ГA,1(е), каждого множи-
множителя Ар, если он представляет потенциал внешнего поля, на величину
2mDF1 (е) {V? А^ (ft*); A02)
множители 4*. ф» Ау., представляющие волновые функции частиц, при этом оста-
оставляются без изменения, а величина е в том случае, когда она входит в выраже-
выражение М, заменяется на е1# Определение М завершается нахождением операторов
S'Fl(e), D'F1(e) и Г[11(е); именно с вычислением этих операторов связаны главные
трудности теории. Метод нахождения указанных операторов, описанный в пер-
первой части раздела 7, состоит из последовательных подстановок и интегрирова-
интегрирований; подсчитываемые подобным образом операторы не содержат расходимостей,
поскольку расходящиеся части на каждом этапе вычислений отбрасываются после
отделения от конечных частей по способу, примененному в разделе 6.
С помощью приведенных выше правил каждая составляющая М оператора
U(oo) определяется в виде свободного от расходимостей выражения, зависящего
¦от наблюдаемой массы т и наблюдаемого заряда гх электрона, причем обеим
этим величинам приписываются их эмпирические значения. Расходящиеся части
входят в теории в ненаблюдаемые постоянные Ьт и е и поэтому не влияют на
вычисление U(oo). Известная неоднозначность может появиться на том этапе
определения составляющих Ж, когда при вычислении операторов SF1(e), D'F1(e)
и r^j (е) по методу раздела 6 выделяются конечные части S (W, tl), D(W, tl)
и \e{V, t1, P) из выражений F7), G4) и (80). Однако даже и в этом случае
правила раздела 6 указывают однозначный способ выделения конечных частей;
остается только сомнительным, нельзя ли подобрать другой столь же обоснован-
обоснованный способ такого выделения. В частности, можно выделять конечные части из
величины S (W, tl), согласно формуле F7), и не использовать дополнительно
формулы G0) для выделения конечной части величины S (W, tl), которая обра-
обращается в нуль при выполнении условий F9). В действительности легко установить,
что применение подобного нового способа не приводит к изменению значения
составляющей и лишь делает определение этого значения более сложным; при
этом получается выражение для М, в котором одна (бесконечная) часть, соот-
соответствующая перенормировке заряда и массы, включается в постоянные Ьт и е,
в то время как другая конечная часть, соотвэтствующая перенормировке заряда
я массы, сохраняется явным образом в формулах. Именно в исключении послед-
последних конечных эффектов перенормировки и состоит смысл выделения величин
236 Ф. ДАЙСОН
S(W, t1) и A(lrC(V, t1, ft). Поэтому можно сделать заключение, что правила
вычисления оператора U (со) не только не включают расходимостей, но и являются
однозначными.
Как известно каждому, кто знаком с историей лэмбовского сдвига [13],.
к утверждению о том, что некоторое частное правило вычислений является одно-
однозначным, требуется подходить с особой осторожностью. Приведенные в настоя-
настоящей статье правила являются однозначными в том смысле, что с их помощью
каждая величина представляется в виде абсолютно сходящегося на бесконечности
интеграла в импульсном пространстве; такой интеграл всегда имеет полностью
определенное значение. Однако данные правила перестали бы быть однозначными,
если допустить расщепление подинтегральных выражений на отдельные слагаемые
и раздельное интегрирование этих слагаемых с последующим сложением полу-
получающихся результатов; неоднозначности появляются тогда, когда какой-либо
частный интеграл сходится не абсолютно. Расщепление интегралов на условно
сходящиеся части кажется неестественным в контексте данной статьи, однако
такое расщепление получается само по себе при использовании теории возмуще-
возмущений в случае раздельного рассмотрения электронных и позитронных состояний.
Абсолютная сходимость интегралов в настоящей теории тесно связана с тем
обстоятельством, что в теории нигде не разделяются электронная и позитронная
части электронно-позитронного поля; алгебраически это выражается в том, что
квадратичный знаменатель в выражении D5) нигде не разделяется на составляю-
составляющие. Следовательно, отсутствие неоднозначностей в правилах вычисления опера-
оператора U (со) достигнуто за счет введения в теорию по существу новой физической
гипотезы, а именно, представления о том, что электронно-позитронное поле
выступает всегда не как комбинация двух раздельных полей, а как единое целое.
Аналогичная гипотеза принята для случая электромагнитного поля; именно при-
принято, что это поле также действует как единое целое, а не как сумма двух
частей, относящихся соответственно к испусканию и поглощению фотонов.
В заключение нужно отметить, что указанное в настоящей статье доказа-
доказательство конечности и однозначности оператора U (со) никоим, образом не пре-
претендует на полноту и строгость. Крайне желательно, чтобы приведенные общие,
соображения были возможно скорее приложены к явному вычислению по крайней
мере одного радиационного эффекта четвертого порядка с целью получить уве-
уверенность в том, что в этом порядке не возникает никаких неожиданных труд-
трудностей.
Вторая группа результатов данной теории заключается в определении
постоянных Ът и е посредством формул (94) и (86). Хотя оба этих равенства»
строго говоря, не имеют смысла, так как содержат с обеих сторон расходимости,
все же можно считать удовлетворительным, что они определяют не поддающиеся
наблюдению постоянные Вт и е как степенные ряды по наблюдаемой постоянной е„
а не наоборот. Таким образом, в принципе не возникает возражений против
отождествления величины ех с наблюдаемым зарядом электрона и против записи.
" Л A03)
4кЯс 137 *
Входящие в выражение (8) постоянные будут, следовательно, согласно форму-
формулам (94) и (86), равны
..), ' (Ю4)
•-.). (г<>5)
причем At и В{ представляют собой логарифмически расходящиеся численные,
коэффициенты, не зависящие от т и ег
V. S-МАТРИЦА В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 23?
9. Обсуждение дальнейших перспектив
Наиболее поразительной особенностью теории 5-матрицы, изложенной в на-
настоящей статье, является ее успех в устранении трудностей. Исходя из методов
Томонага, Швингера и Фейнмана и не используя никаких новых идей или прие-
приемов, мы приходим к 5-матрице, в которую автоматически, как бы по договорен-
договоренности, не входят известные расходимости. Подобное автоматическое исчезновение-
расходимостей представляет собой эмпирический факт, значение которого следует
должным о,бразом оценить при рассмотрении будущих перспектив электродина-
электродинамики. Парадоксальным образом конечности S-матрицы противостоит то обсто-
обстоятельство, что вся теория построена на основе гамильтонова формализма с выра-
выражением для взаимодействия (8), которое является бесконечным и поэтому
лишенным физического смысла.
Рассуждения данной статьи носят в значительной мере математический харак-
характер и ограничиваются рассмотрением следствий некоторого математического фор-
формализма. Чтобы попытаться оценить значение этих рассуждений для будущего,
нужно перейти от языка математики к языку физики. Следует предварительно,
предположить, что математический формализм отражает нечто существующее
в природе и затем выяснить до какой степени парадоксальные результаты фор-
формализма можно примирить с данным предположением. В соответствии с указанной
программой можно истолковывать различие между содержащим расходимости
гамильтоновым формализмом и формализмом с конечной 5-матрицей как различие
между двумя картинами мира, рассматриваемого двумя наблюдателями, которые
имеют в своем распоряжении различные измерительные приборы. Первую картину,
представляющую собой набор квантованных полей с локализованными взаимодей-
взаимодействиями, видит воображаемый наблюдатель, аппараты которого не имеют атомной
структуры и точность измерений которого ограничивается только существованием
фундаментальных постоянных с и Л. Такой наблюдатель будет называться
в последующем „идеальным". Вторую картину, представляющую собой набор
наблюдаемых величин (по терминологии Гейзенберга), видит реальный наблюда-
наблюдатель, аппараты которого состоят из атомов и элементарных частиц и точность
измерений которого ограничивается не только постоянными с и А, но также
такими постоянными, как а и от. Реальный наблюдатель выполняет спектроско-
спектроскопические наблюдения и производит эксперименты, включающие бомбардировку
атомных систем различными типами взаимодействующих субатомных снарядов,,
однако он, насколько нам сейчас известно, никак не может измерить напряжен-
ностей отдельного поля, не возмущенного в результате взаимодействия этого
поля с другим полем. Идеальный наблюдатель, используя свои аппараты так,
как это было описано при анализе гамильтонова формализма Бором и Розен-
фельдом [14], [15], производит, наоборот, измерения как раз последнего рода,
и именно в связи с такими измерениями интерпретируются перестановочные
соотношения для полей. Выражение для взаимодействия (8) будет, повидимому,
всегда оставаться не наблюдаемым для реального наблюдателя, который способен
определять положение частиц только с ограниченной точностью и который должен
всегда получать конечные результаты при своих измерениях. Наоборот, считается,
что идеальный наблюдатель, используя свои не имеющие атомистического харак-
характера аппараты, положение которых в пространстве и времени известно с бесконеч-
бесконечной точностью, способен отделить одиночное поле от его взаимодействий с другими
полями и измерить величину взаимодействия (8). По аналогии с соотношением
неопределенности Гейзенберга можно, повидимому, считать, что получение иде-
идеальным наблюдателем бесконечных значений при измерениях является как раз
следствием допущения бесконечно точного задания положения.
Если приведенный выше анализ правилен, то расходимости электродинамики
связываются непосредственно с тем обстоятельством, что гамильтонов формализм
основывается на идеализованном понятии измеримости. Парадоксальные следствия»
получающиеся в нынешней теории, не состоят в простом сосуществовании.
238 ¦• ДАйсон
конечной 5-матрицы с бесконечным выражением для взаимодействия. Устанавли-
Устанавливаемая эмпирически связь между бесконечными выражениями и выражениями,
которые являются ненаблюдаемыми для реального наблюдателя, становится физи-
физически понятным и приемлемым результатом теории. Парадокс заключается
в действительности в том, что в настоящей статье при выводе конечных выра-
выражений приходится исходить из бесконечных выражений. Соответственно этому
следует ожидать, что будущая теория будет представлять собой не столько изме-
изменение настоящей теории в сторону замены всех бесконечных величин на конеч-
конечные, сколько такую перестановку отдельных частей теории, после которой
конечные величины станут первичными, а бесконечные — вторичными.
Следует ожидать, что в будущем станет возможной последовательная фор-
формулировка электродинамики, свободная от расходимостей и включающая только
физические константы т и ev причем из этой формулировки можно будет
вывести для соответствующим образом идеализованных условий гамильтонов
формализм с взаимодействием (8), содержащим бесконечные коэффициенты Ьт
и е. Гамильтонов формализм должен выступать как предельная форма описания
мира, рассматриваемого наблюдателем определенного типа; при этом данный
предел достигается тогда, когда допустимая для наблюдателя точность измерений
стремится к бесконечности.
Сущность будущей теории не является подходящим предметом для тео-
теоретических гаданий. Будущая теория будет построена, во-первых, на основе
будущих экспериментов и, во-вторых, в результате разъяснения связи между
электромагнитными и мезонными и ядерными явлениями. Предыдущие замечания
приведены только для того, чтобы указать, что теперь более не нужно считать,
как это казалось в прошлом, обязательным, что будущая теория откажется от
ряда существенных положений современной электродинамики. Современная элек-
электродинамика наверное не является полной, но ее нельзя считать безусловно
неправильной.
В заключение автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность
проф. Фейнману за многие из идей, на которых основывается настоящая статья,
и проф. Оппенгеймеру за ценные дискуссии.
ЛИТЕРАТУРА
1. Dyson F. J., Phys. Rev., 75, 486 A949).
2. Tom on a ga S., Prog. Theor. Phys., 1, 27 A946) (см. статью I настоящего сборника);
KobaZ., Tati, TomonagaS, Prog. Theor. Phys., 2, 101 A947); 2, 198 A947);
Kanesawa S., TomonagaS., Prog. Theor. Phys., 3, 1 A948); 3, 101 A948);
Tomonaga S., Phys. Rev., 74, 224 A948); I to S., Kob a Z., T omona ga S.,
Prog. Theor. Phys., 3, 276 A948); Kob a Z., Tomonaga S., Prog. Theor. Phys.,
3, 290 A948).
ASchwingerJ., Phys. Rev., 73, 416 A948); 74, 1439 A948); 75, 651 A949). (См. статью II
настоящего сборника.)
4. Feynman R. P., Phys. Rev., 74, 1430 A948).
5. Stueckelberg E. С G., Helv. Phys. Acta, 14, 51 A941); 17, 3 A944); 18, 195A945);
19, 242 A946); Nature, 153, 143 A944); Phys. Soc. Cambridge Conference Report, 199
A947); Stueckelberg E. С G., Rfvier D., Phys. Rev., 74, 218 A948).
6. Wentzel G., Rev. Mod. Phys., 19, 1 A947).
7. Lewis H. W., Phys. Rev., 73, 173 A948).
8. Furry W. H., Phys. Rev., 51, 125 A937).
9. В1 о с h F., N о r d s I e с k A., Phys. Rev., 52, 54 A937).
10. Euler H., Кос k el В., Naturwlss., 23, 246 A935).
11. Euler H., Ann. d. Phys., 26, 398 A936).
12. Wentzel G., Phys. Rev., 74, 1070 A948).
13. Beth e H. A., Report to Solvay Conference, Brussels A948).
14. Bohr N., Roscnfeld L., Kgl. Dansk. Vld. Sels. Math.-Phys. Medd., 12, No 8 A933)
15. Pais A., Developments In the Theory of the Electron, Princeton, 1948.
VI. О ЗНАЧЕНИИ КАУЗАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ Dc В КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ
М. ФИРЦ
М. Ficrz, Hetv. Phys. Acta, 23, 731 A950)
Введение
Как было показано Штюкельбергом (см. [1]) и Фейнманом [2, 3], в теории
квантованных полей важную роль играет особая функция, обозначенная Штю-
Штюкельбергом Dc. В частности, в электродинамике эта функция выражает распро-
распространение запаздывающего взаимодействия между электронами.
Упомянутые авторы с помощью наглядных рассуждений дали данной функции
простое истолкование. Штюкельберг прежде всего подчеркивает, что она пред-
представляет только такое действие, которое переносится полем с положительной
энергией. Поскольку тем самым правильно описывается причинный порядок
событий, функция Dc была названа Штюкельбергом „каузальной D-функцией".
Рассуждения обоих авторов очень сходны и в основном правильны. Однако
в отдельных деталях они не являются достаточно четкими. Это вызвано главным
образом тем, что в указанных работах не учитывается дополнительность энерге-
энергетических и временных соотношений.
Как у Штюкельберга, так и у Фейнмана функция D(,(x.2—лгг) характери-
характеризуется тем, что при U > tx она может быть выражена функцией, содержащей
только положительные частоты, в то время как при 4 <С t\ ее выражение содержит
только отрицательные частоты. В данной связи возникает впечатление, что якобы
допустимо задать знак изменения энергии частицы при процессе, происходящем
в некоторый заданный момент времени t, = tv что, конечно, невозможно. Подоб-
Подобный способ рассмотрения приводит к кажущемуся введению взаимодействий,
распространяющихся со скоростью, превышающей скорость света.
Функция Dc (лг) может быть записана в виде
где Ds(x) — симметричная функция Грина волнового уравнения, a Dx (х)— сим-
симметричное решение однородного волнового уравнения. Функция Dx {x) не обра-
обращается при пространственно-подобных х в нуль, что соответствует упомянутым
взаимодействиям, распространяющимся со скоростью, большей скорости света.
Следует, однако, принять во внимание, что момент времени, в который проис-
происходит квантовый переход, не может быть, вообще говоря, точно установлен.
Если учесть это обстоятельство, то функцию De можно истолковать в смысле
Штюкельберга и Фейнмана, не приходя к каким-либо физически бессмысленным
выводам.
В настоящей статье будет дана, как нам кажется, правильная трактовка
функции Dc.
Физическое истолкование Dc оказывается особенно полезным при обсуждении
матрицы рассеяния, получающейся в общей теории, не могущей быть сформули-
сформулированной с помощью функции Гамильтона.
Мы рассмотрим подробнее предложенную недавно Гейзенбергом [4] теорию,
не содержащую расходимостей. В этой теории в определенных матричных эле-
элементах матрицы рассеяния вместо функции Dc ставится функция Д,. Из интер-
интерпретации Dc становится ясным, что благодаря этому в теории Гейзенберга вза-
взаимодействие частично переносится квантами с отрицательной энергией.
20 Зак. 57а
240 м- фирц
1. Чтобы избежать излишних усложнений, ограничимся обсуждением электро-
электромагнитного взаимодействия между электронами. Легко, однако, видеть, что
такое ограничение не является существенным. В частности, безразлично, какой
статистике, Ферми или Бозе, подчиняются частицы, переносящие взаимодействие.
Рассмотрим матричный элемент, соответствующий меллеровскому взаимо-
взаимодействию:
const J {dxf J {dyf ф (x) Т^(x)Dc(х—у)Ь(у)T;J4(у). A.1)
Чтобы переходы, описываемые оператором A.1), не ограничивались законом
сохранения импульса, примем, что электроны движутся во внешнем поле, кото-
которое должно обязательно учитываться.
Представим функцию Dc (x) в A.1) следующим образом. Возьмем решение
неоднородного уравнения *)
П/(х)= — Ь±(х), A.2)
где
Уравнение A.2) может быть проинтегрировано с помощью опережающих или
запаздывающих потенциалов. Обозначим эти решения соответственно через
^^^^M^M). 0.3)
Здесь
Тогда имеет место равенство
Dc = Dr+et + Z)-. A.4)
Для полноты изложения приведем выражения остальных D-функций через D*T
ret
D8 =~ (D+t + ?>а+у + D7et + АГт),
Do = D+t — D+r + D~t — AT™ A.4a)
Представление A.4) для Dc отличается от обычно применяемого в литера-
литературе. Это представление оказывается все же целесообразным, поскольку в кван-
квантовой теории поля, вне зависимости от спина и статистики квантов поля, поло-
положительные и отрицательные частоты сопоставляются определенным образом
операторам испускания или поглощения в зависимости от того, положительна
или отрицательна соответствующая частота (частота e*lv|* считается положи-
положительной). _
Отсюда следует, что компоненты Фурье операторов tyf^ относятся к пере-
переходам, при которых энергия увеличивается или уменьшается в зависимости от
того, являются ли соответствующие частоты положительными или отрицательными.
Рассмотрим теперь оператор
J (dxy J {dyf ф {х) Т^ (х) Dc (х-у)Ъ (у) т^ (у), A.5)
г) Здесь л: обозначает четырехмерный вектор (х, у, г, t), а г — пространственный
вектор (х, у, г). — Прим. авт.
VI. О ЗНАЧЕНИИ КАУЗАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ Z>c В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 241
где Vx и Vy — определенные конечные четырехмерные области, по которым
производится интегрирование. Оператор A.1) может рассматриваться как сумма
операторов вида A.5).
Выражение A.5) описывает электромагнитное действие электронного пере-
перехода в области Vx на электронный переход в области Vy.
Если временная протяженность области V х достаточно велика, то можно
установить знак изменения энергии, связанного с переходом в данной области.
Если, например, энергия убывает, то этому физически соответствует испускание
светового кванта. Данный квант затем поглощается в области V,r Согласно
изложенному, следует ожидать, что в подобном случае соответствующий матрич-
матричный элемент A.5) лишь тогда не равен нулю, когда область Vy лежит позднее
области Vx. Поскольку области Vx и Vy имеют определенную временную про-
протяженность, сказанное следует понимать так, что в области V'х должны иметься
точки, которые могут быть связаны с точками в области Vy направленным
в будущее световым лучом. Действие Vx на Vy должно, таким образом, опи-
описываться запаздывающим потенциалом. Если же, наоборот, увеличивается энергия
в области Vx, то действие Vx на Vy должно описываться опережающим потен-
потенциалом или, иначе говоря, должно учитываться запаздывающее действие Vff
на Vx. Такая связь между знаком изменения энергии при электронных пере-
переходах и временным порядком этих переходов характерна для теории, в ко-
которой взаимодействие переносится полями с положительной энергией.
Представление Dc A.4) показывает, что оператор A.5) обладает описанными
свойствами.
Рассмотрим, например, случай, когда в области Vx происходит переход,
при котором энергия электронов уменьшается в среднем на AvQ. Пусть область
Vx лежит вокруг точки ^=0 и имеет протяженность, равную по порядку вели-
величины Т. Подставим соответственно этому в A.5) вместо ^ (•*:) "у^ <Н-*0 функцию
pll(x)e-^-<*V2n>, A.6)
причем при интегрировании по (dxL можно будет интегрировать по всем момен-
моментам времени.
Так как изменение энергии в рассматриваемом процессе должно быть от-
отрицательным, выражение A.6) не должно содержать положительных частот. Это
будет иметь место с большой точностью тогда, когда
v0T»l. A.7)
Тогда само изменение энергии будет полностью определенным. Если выполнить
интегрирование по t, то отличный от нуля результат будет давать только составляю-
составляющая Dr+t функции DCj причем получится
{dxf ^ {аУу9.^)^е^у-^{) е-1*у-{тШ^{у)^{У). A.8)
•* vv
Здесь |г| = |х — у|, a vx обозначает элемент трехмерного объема.
Множитель e-tfyHIW24 описывает „причинную" связь. Он лишь тогда
заметно отличается от нуля, когда tyaa\r\ в интервале zt T, что соответствует
продолжительности процесса в <ох.
Если область Vy действительно располагается позднее Vx, то должно вы-
выполняться неравенство ty > Т. Тогда |r|vo^>l> и рассмотрение ведется в вол-
волновой зоне относительно происшедшего в области <ох перехода. В этой зоне
поле, порожденное электронами из Vy, может рассматриваться как свободное
световое поле. Истолкование взаимодействия с помощью представления об ис-
испускании и последующем поглощении световых квантов будет поэтому в дан-
данном случае совершенно оправданным. Одновременно с явным введением световых
квантов в теорию становится также возможным выполнение закона сохранения
энергии для процессов испускания и поглощения по отдельности.
20*
242 м- фирн.
Если в матрицу рассеяния вместо Dc входит другая функция Грина, также
составленная из D+y и D~et, то закон сохранения энергии в отдельных процес-
процессах может быть выполнен лишь при введении квантов с отрицательной энергией.
Если же отказаться от введения подобных квантов, то представление об энергии
ограничивается намного больше, чем это уже имеет место в квантовой теории
из-за дополнительности энергии и времени.
Таким образом, использованный Штюкельбергом постулат причинности
равносилен требованию, чтобы возможности описания энергетического протека-
протекания процесса ограничивались только дополнительностью энергии и времени и
чтобы взаимодействие переносилось квантами положительной энергии.
2. Гейзенбергом [4] недавно была предложена теория поля, не содержащая
расходимостей. Однако эта теория не является „причиной" в описанном выше
смысле. Это можно легко установить на основе наших рассуждений.
Сначала кратко изложим основания теории Гейзенберга в несколько упро-
упрощенном виде.
Рассмотрим достаточно большое число спинорных полей fyk, которым сопо-
сопоставлены массы v.k. Эти поля квантуются обычным образом. Энергия поля
должна задаваться просто в виде суммы энергий отдельных полей. Чтобы свя-
связать эти поля, будем действовать следующим образом. Составим сначала
* = 2ед*; Ф = 2ад*. B.1)
к к у '
Величины ЧР и W не будут сопряженными в обычном смысле, так как коэффи-
коэффициенты Ск должны быть частично мнимыми. Вследствие перестановочных соот-
соотношений для Ьк имеет место равенство
{W (х), W (у)} = I 2 ClSk (х -у) = 5? (* -у). B.2)
к
Здесь Sk (х) — соответствующая Do спинорная функция, относящаяся к массе хй.
Величины С* подбираются так, чтобы функция Sf (x) была регулярной. Для этого
необходимо, чтобы среди С| были как положительные, так и отрицательные
величины.
Введем теперь неэрмитову матрицу
H(x)r=A{W(x), W(x))[W(x), W(x)) B.3)
и с ее помощью построим неунитарную матрицу
^r / / ny Р [И{хх) . .. Н(хп)\. B.4)
Здесь Р — введенный Дайсоном оператор, устанавливающий хронологический
порядок множителей И(хк) в B.4). Заведомо регулярная вследствие предполо-
предположения о С% матрица Т не может, однако, интерпретироваться как матрица рас-
рассеяния, поскольку Н(х) неэрмитов и не может поэтому соответствовать функ-
функции Гамильтона.
Строим теперь унитарную матрицу
'!T, B.5)
которую Гейзенберг истолковывает как матрицу рассеяния 3) (если Н{х) эрми-
эрмитова, то Т= S).
В Т сохраняется хронологический порядок множителей Н(х), так что в дан-
данном случае в матричный элемент входит „причинная" функция Sc(x), соответ-
!) Тождественность обоих выражений B.5) для S показана Гейзенбергом в еще пе
опубликованной работе, о которой автор узнал от проф. Паули [5]. — Прим. авт.
VI. О ЗНАЧЕНИИ КАУЗАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ Z>c В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
243
ствующая Dc. В отличие от этого в S хронологический порядок множителей
нарушен, так что теперь вместо S0(x) входит другая функция Грина.
Если разложить S по А, то члены второго приближения, содержащие*А2,
будут иметь вид
= - f J [dxx
+ ^L J (dXiy f
). B.6)
Здесь .& и 3 — вещественная и мнимая части Н:
; 3 = W=-(#—#*); B-7)
s (л:) равно -f~1 или — 1 в зависимости от того, больше или меньше нуля
Для рассмотрения выражения B.6)
введем следующее обозначение: назовем
частицы, которым соответствует величина
С| > 0, а-частицами, а частицы, ко-
которым соответствует С* < 0, C-части-
цами. Тогда ф описывает процессы, в ко-
которых взаимодействует четное число а-
и C-частиц, а 3 описывает процессы,
в которых взаимодействует нечетное
число частиц. Очевидно, второй член
в выражении B.6) является наиболее су-
существенным. В нем содержатся матричные
элементы, которые могут быть охарактеризованы диаграммой, изображенной на
фиг. 1. Эти матричные элементы имеют вид
Фиг. 1.
const
f (dxf
J
X S9 (x — x') <JT (x) ^;. {x'). B.8)
Здесь ф+ — операторы порождения и уничтожения а-частиц; S${x — х') озна-
означает функцию, относящуюся к соответствующим C-частицам. Она может быть
представлена в смысле A.4) и A.4а) следующим образом:
г (х) S? (х) = 1 (.9r+et + Sa+T + Snt + 5ГТ).
B.9)
Согласно истолкованию раздела 1, функции S~et, Sa+ сопоставляются действиям,
переносимым квантами с отрицательной энергией.
В действительности у матрицы рассеяния нет матричных элементов, кото-
которым соответствовало бы наличие таких квантов в конечном состоянии. Кванты
с отрицательной энергией в конце концов всегда поглощаются. Однако это по-
поглощение может наступить лишь через довольно значительное время, так что
таким квантом с отрицательной энергией следовало бы все же приписывать
физическую реальность.
Во всяком случае, теория Гейзенберга отличается от обычной гамильтонов-
ской теории не только тогда, как это утверждал Гейзенберг на стр. 258 своей
работы, когда частицы подходят на расстояния, меньшие „универсальной длины".
В этой теории частицы, даже разделенные сколь угодно большим временно-
подобным интервалом, оказывают друг на друга действия, которые можно ис-
истолковать только с помощью представления о квантах с отрицательной энер-
энергией. В связи с этим предлагаемый Гейзенбергом путь решения проблемы
244 м- ФИРЦ
расходимостей в теории квантованных полей представляется неудовлетворитель-
неудовлетворительным. Причина недостаточности современной теории полл заключается скорее всего
в том, что в основу кладутся свободные поля, которые лишь в дальнейшем
связываются друг с другом посредством добавления взаимодействия. Подобный
образ действий является неудовлетворительным как с логической, так и с физи-
физической точки зрения. Он, однако, сохраняется без изменений в теории Гейзен-
берга.
В заключение следует указать, что теория рассмотренного выше типа может
строиться i:e только для частиц спина 4%.
Кроме поля ЧГ B.1), можно ввести еще векторное поле
причем опять величины Щ выбираются определенным образом. С помощью связи
можно построить, подобно Гейзенбергу, регулярную матрицу Г и из нее полу-
получить матрицу рассеяния S. Если попрежнему назвать поля, которым соответ-
соответствуют отрицательные значения с\ и Щ, ^-полями, то в пределе при массах
fi-квантов, стремящихся к бесконечности, получится регуляризированная теория
типа электродинамики.
Добавление автора
1. Я имел возможность обсудить в Принстоне с проф. Гейзенбергом воз-
возражения, выдвинутые против его теории. При этом выяснилось следующее.
В моем рассмотрении неявно предполагается, что матрица S (t), описывающая
состояние в момент t, будучи задана в момент ?=0, обладает групповым свой-
свойством S(f) S(t') — S(t-\-&). Гейзенберг надеялся, что его матрицы S(t) =
~'T(i)(T* (t)T(t))-'k образуют по крайней мере приближенно группу, когда ве-
величины t и f велики по сравнению с минимальным временем т. Однако наши
соображении показывают, что это не имеет места при сколь-угодно больших
t и f. Матрицы 5 (t) будут, однако, образовывать группу лишь при явном введе-
введении в теорию квантов с отрицательной энергией.
2. Иост обратил мое внимание на то, что теория „типа электродинамики",
которая была указана в конце данной работы, не является калибровочно-инва-
риантноЯ, поскольку ток (Ч^ЧГ) не удовлетворяет никакому уравнению сохра-
сохранения. Таким образом, предложение Гейзенберга не может быть использовано
и как вспомогательное средство для регуляризации теории.
ЛИТЕРАТУРА
1. См. RIvler D., Helv. Phys. Acta, 22, 265 A949). Там же приведена остальная литера-
литература.
2. Feynman R. P., Phys. Rev., 76, 769 A949). [См. статью Ш настоящего сборника.]
3. Dyson P. J., Phys. Rev., 75, 486, 1736 A949). [См. перевод в сборнике: Сдвиг уров-
уровней атомных электронов, ИЛ, 1950.]
4. Helsenberg W., Zs. f. Naturforsch., 5a, 251 A950).
5. Helsenberg W., Zs. f. Naturforsch., 5a, 367 A950).
VI . ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ СТОЛКНОВЕНИЙ
Д. ВИК
G. С. Wick, Phys. Rev., 80, № 2, 268 A950)
Указывается упрощение дайсоиовского способа сведения S-матрицы Гейзенберга
к сумме членов, сопоставленных графикам. Вводятся удобные обозлачеяия и доказы-
доказывается теорема, позволяющая трактовать проблему сведения достаточно просто и притом
аналогичным образом для различных типов полей.
1. Введение
В настоящее время фейнмановский метод вычисления вероятностей пере-
перехода [1] используется настолько часто, что желательно, чтобы сущность данного
метода была в достаточной степени разъяснена широкому кругу лиц. Важный
шаг в этом направлении был сделан Дайсоном [2], который дал прямое обосно-
обоснование метода Фейнмана, исходя из простого выражения для S-матрицы. Однако
педагогическое значение доказательства Дайсона, как нам кажется, в известной
мере обесценивается вследствие наличия в нем пропусков и ряда неясностей;
кроме того, некоторые алгебраические выкладки ДаЛсона являются более слож-
сложными, чем это на самом деле необходимо. Задача настоящей заметки состоит
в изложении прямого и простого обоснования способа вычислений Фейнмана.
Все особенности данного метода мы продемонстрируем на достаточно общем
примере электронно-позитронного поля, взаимодействующего с квантованным
электромагнитным полем.
Пусть ${х)— оператор дираковского поля в пространственно-временной
точке х, спинор 4+ является эрмитово-сопряженным с ty, сопряжении-i спинор
ty равен (J) = <^+р и Ар (х) обозначает [а-ю компоненту электромагнитного потен-
потенциала. S-матрица для системы может быть записана в виде
+..., A)
где Sn — член n-го порядка по заряду электрона; он представляется в форме
кратного интеграла от произведения множителей ty, <{i, А [см. формулу A8)].
Перейдем теперь, следуя Фейнману, к задаче сведения Sn к сумме членов. В связи
с этим отметим, что поля ty и А представляют собой линеЯные комбинации
операторов порождения и уничтожения. В частности, ф (х) = 2ra/Jv (х), где
tyr (х) — нормированные функции состояний свободной дираковской частицы, а
аг — операторы уничтожения (порождения), если г обозначает состояние поло-
положительной (отрицательной) энергии. Объединяя все состояния с положительной
энергией в член а(х) и все состояния отрицательной энергии в член v(x), мы
можем записать
$ u (x), B)
где оператор и (и) уничтожает (порождает) электроны, а оператор ¦о('о) уничто-
уничтожает (порождает) позитроны 1).
!) Мы положили и = и+|3, v = w+p или v = pw+; отсутствие симметрии в опреде-
определении и и v пе приводит в дадпом случае к каким-либо затруднениям. — Прим. авт.
246 Д. вик
Аналогично мы можем написать
А^(х) = а^{х)-^а^(х), B')
где оператор а^(а?) уничтожает (порождает) фотоны1).
Подставке приведенные выражения в произведение операторов полей, мы
можем разложить любое такое произведение на сумму произведений, в которых
каждый множитель будет оператором порождения или уничтожения.
Следуя идее Урье и Кинда [3], мы затем переставим в полученных про-
произведениях множители так, чтобы все операторы порождения стояли слева от
операторов уничтожения; например, положим
и (х) v(y) = — v (у) а{х), и О) и (у) = {и (х), и {у)} — п (у) и (х),
где антикоммутатор {и, и} = ии~\-ии является с-числом. Подобным образом
можно преобразовать произведение операторов порождения и уничтожения
в „упорядоченное" произведение тех же множителей плюс дополнительные члены,
в которых некоторые пары множителей заменены на их коммутаторы или анти-
антикоммутаторы, в то время как остальные множители „упорядочении" в указан-
указанном выше смысле. Преимущество подобной записи состоит в том, что, когда
мы берем матричный элемент от упорядоченного произведения, между началь-
начальным и конечным состоянием все операторы уничтожения должны уничтожать
частицы, фактически присутствующие в начале, а все операторы порождения
должны порождать частицы, фактически присутствующие в конце. Виртуальные
процессы порождения и последующего уничтожения при помощи обычной тео-
теории возмущений описываются коммутаторами и антикоммутаторами. Главная
проблема, которую нужно решить для выполнения указанной программы, заклю-
заключается в выработке алгебраической техники, т. е. в подборе удобных обозна-
обозначений для простого описания процессов перестановок и для компактной записи
получающихся результатов. Это достигается, как мы полагаем, с помощью при-
приведенных ниже теорем 1 и 2.
2. Алгебраический анализ
Каждый из „простых" множителей в произведении операторов ty(x), ty(y\
и (х), и (у), ..., А (х), а (у), а (г) будет обозначаться также прописной буквой,
например U, V, W, ...
В случае (не рассмотренном Урье и Киндом) антикоммутирующих полей
перестановка в произведениях приводит к изменению знака, например, как это
имело место в простом случае, рассмотренном выше. Мы будем называть JV-произ-
ведением2) „упорядоченное" произведение с измененным соответствующим обра-
образом знаком. Введенный символ будет подчиняться следующим правилам.
Правило А. Дистрибутивный закон
N(U ... Vi{ (*) W ... Z) = N(U ... Vu{x)W ...Z)-\- N{U ... Vv{x) W... Z).
ЛА-произведепие может быть разложено на сумму iV-произведений, содержащих
только операторы порождения и уничтожения.
Правило Б. N-произведение последнего типа определяется равенством
..W, C)
где обычное произведение с правой стороны равенства включает множители U,
V, ..., упорядоченные в указанном выше смысле (операторы порождения — слева,
J) Оператор а* эрмитово-сопряжен с а^ (или — а^, если (х == 4). Относительно трак-
трактовки продольных фотонов см. раздел 4. — Прим. авт.
2) Здесь изменено неудачное обозначение автора, употреблявшего термин S-произ-
ведение и ставившего с обеих сторон соответствующих упорядоченных произведений
двоеточия. — Прим. ред.
VII. ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ СТОЛКНОВЕНИЙ 24Г
уничтожения — справа) и где знаковый символ Ьр равен ±1 в зависимости от
четности перестановки при упорядочивании одних только электронно-позитронных
множителей.
Множитель Ьр учитывает упомянутые выше изменения знака. Операторы по-
порождения (соответственно уничтожения) можно переставлять между собой, н&
меняя правой стороны равенства C).
Пример iV-произведения:
= — ~а {У) и (*) + и (х) v (у) -j- v(x) а (у) + v (x) v (у). D)
Очевидно, имеет место равенство
в то время как антикоммутатор
ФМФО0 +Ф(у)^(х)^{ *(х), ф(у)}
не равен, вообще говоря, нулю.
Отметим также, что
) * 00) = Ф(*) Ф 00. ^ W (*) Ф (^)) = Ихц (у).
Читатель может сам без труда получить следующий результат.
Правило В. Множители под знаком ЛА-произведения могут переставляться
так, „как если бы" антикоммутаторы {ty, ф } ... и коммутаторы \А, А] и т. п.
были равны нулю.
Дираковский ток можно записать в виде ЛА-произведения
) = и Ц (^.зл^р), F)
где s — заряд электрона и fi» ..., f4 — матрицы Дирака. Запись тока в виде
Л/-произведения эквивалентна обычному правилу исключения бесконечного заряда
отрицательного фона.
Другой важный вид упорядочения содержится в хронологическом произве-
произведении, или Г-произведении, в котором время растет справа налево.
Этот символ может использоваться, конечно, только если каждый из мно-
множителей U, V, ... в произведении отнесен к определенному времени.
Правило Г. Г-произведение определяется посредством
T(UV...Z) = bPXY ..., G)
где справа множители U, V, ... переставлены в хронологическом порядке.
Наше Г-произведение отличается от дайсоновского Р-произведения наличием
знакового множителя Ьр. Это упрощает в дальнейшем определение свертывания
[см. формулу (8)].
Пример:
ПФ (*)ф СУ)) = <И*)ф00, если хо>уо;
т№(х)С/{у)) = —!,(у)Ц(х), если хо<уо.
Имеем
Т®{хЦ(у)) = 4/(х№(у) и т. д.
Правило В'. Г-произведение подчиняется правилу, полностью аналогич-
аналогичному правилу В.
Дальнейшее обобщение Г-произведения производится ниже в связи с выра-
выражением (8) для S-матрицы. Если два или более „простых" множителя в произ-
произведении относятся к одному и тому же времени, то 7-символ не определяет
их порядка. Однако в рассматриваемом случае оказывается, что либо порядок
248 Д- вик
является несущественным (различные поля), либо он задается ^/-правилом по-
подобно F). Символ вида
T{UVN{WXY) ...Z) G")
будет, например, обозначать, что множители W, X, У (относящиеся к одному
моменту времени) выступают, взятые в виде TV-произведения, в роли одного из
множителей хронологического Г-произведения. Такой символ можно назвать сме-
смешанным Г-произведением.
Обратимся теперь к основной проблеме представления Г-произведения из
выражения A8) к виду суммы N-произведений. Используем с этой целью обо-
обозначение Урье и Кинда символа „свертывания", или „контракции", предста-
представляющего коммутатор или антикоммутатор, возникающий при перестановке двух
множителей. Свертывание будет обозначаться соединением обоих множителей
черточкой снизу. Так, в простейшем случае
T(UV) = UV-\-N(UV). (8)
Заметим, что определение Урье и Кинда использовалось для сведения
обычного произведения к упорядоченному. В отличие от этого определение (8)
относится непосредственно к интересующей нас редукции Г-произведения и
устраняет сложные преобразования, необходимые в противном случае для полу-
получения простых формул Фейнмана. Результат свертывания различных полей, напри-
например Ф и А, равен нулю. Также имеют место равенства
С другой стороны,
) ()} ИЫ)$Л) если хо>уо;
|К*)Ф (У) — — {v (*)> •о (У)} = — 2j <iv С*) Ф, (У), если х0 < у0,
где знак г > (г <) означает, что сумма берется только по состояниям положи-
положительной (отрицательной) энергии. Правая сторона в равенстве A0) является,
очевидно, тем „таинственным" ядром, которое по-разному обозначается в разных
работах (к+ у Фейнмана [1], ttSf У Дайсона [2] и т. д.).
Мы опустим в АГ+ знак плюс и будем вместо этого явно выписывать спи-
норные индексы. Отметим главные формулы:
fy (у) = — ФрООФ. (*) = - к?, (у - х), A16)
^-y), (Ив)
где DF определен, в частности, Дайсоном [2J.
Условимся еще относительно символов. Нам нужно разъяснить смысл TV-произ-
TV-произведения с одним или большим числом свертываний. Чтобы различать в произве-
произведении различные свертывания, мы будем соединять соответствующие множители
различными черточками снизу. Если символ свертывания относится к двум со-
соседним множителям, то его значение, задаваемое по A1), можно рассматри-
рассматривать как с-число; остающиеся множители образуют собственно /V-произведение.
Свертывание двух не стоящих рядом множителей определяется следующим образом.
VII. ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ СТОЛКНОВЕНИЙ 249
Правило В". Множители под знаком TV-произведения с одним или более
свертыванием (включая свернутые множители), подчиняются правилуJ), анало-
аналогичному правилу В. Например, если все U, V, ... являются антикоммутирую-
щими полями, то
= — (UY)(WX)N(VZ), A2)
= -\-(UY)(WZ)N{TVX). A3)
Перейдем теперь к доказательству основных теорем. Покажем сначала, что
если N(UV... XY) является Af-произведением и Z множителем, соответствую-
соответствующим моменту времени, предшествующему каждому из времен, для которых заданы
U, V, ..., . .., Y, то
N{UV ...XY)Z = M{UV ... XYZ)~\-
+ N(UV ... XYZ) + ... + N(UV ... XYZ) + N(UV ... XYZ). A4)
I—I I 1
Очевидно, что достаточно доказать соотношение A4) для случая, когда
каждый одиночный множитель является оператором порождения или уничтоже-
уничтожения, a Z представляет собой оператор порождения (случай, когда Z предста-
представляет собой оператор уничтожения, является тривиальным). В силу правил В,
соотношение A4) остается справедливым при перестановке UV...XY, и мы можем
всегда выбрать порядок так, чтобы U, V, ..., X, Y с самого начала образовы-
образовывали ЛА-произведение. Докажем теперь справедливость соотношения A4) при
предположении, что все множители U, V, ..., X, Y являются операторами
уничтожения; кроме этого, слева может быть добавлено любое число опера-
операторов порождения. Доказательство производится по индукции. Во-первых,
соотношение A4) справедливо для одного множителя
YZ = Т (YZ) = YZ + M{YZ).
Предположим теперь, что соотношение A4) выполняется для п множителей, и
сверх того умножим его слева на оператор уничтожения Т:
TN(UV ...XY)Z= TN(UV ... XYZ) ¦+-... + TM(UV ... XYZ).
Поскольку U, V ... Y—операторы уничтожения, то символ N, стоящий между Г
и концом соответствующего выражения, может быть сдвинут относительно Т
влево во всех слагаемых, кроме последнего. Далее,
N{UV ... XYZ) == bpZUV ...XY,
где Ьр определено обычным образом. Поскольку (считая, что Т „позднее" Z)
TZ= T(TZ)=TZ-\-N{TZ)=TZ-\-bQZT
(Q — четность перестановки электронно-позитронных операторов при переходе
от TZ к ZT), для последнего члена без труда получается равенство
TN(UV ...XYZ) = bpTZ{UV ... Y) =
= bP{TZUV ... r-fSgZn/ ... Y) = N{TUV ... YZ)~\-bPbQZTU ... Y.
1
Далее, bpbQ=bE, где R соответствует перестановке^ переводящей ZTU ... Y
в TU ... YZ, так что последнее слагаемое равно M(TU ... YZ). Тем самым
доказательство для (п -J- 1) множителей завершено.
*) Непротиворечивость данного правила обеспечивается в силу соотношения A16).
Можно, кроме того, проверить, что любые две перестановки, не разъединяющие свер-
свернутые множители, будут давать один и тот же результат. — Прим. авт.
250 Д- вик
Мы можем, далее, обобщить соотношение A4). Если свернуть в нем U
и V во всех слагаемых, то это соотношение останется справедливым, поскольку
свернутое произведение UV является просто множителем, добавляемым слева.
Аналогичным образом можно произвести несколько подобных свертываний. Затем
можно переставить порядок множителей соответственно правилам В, так что
соотношение A4) сохраняет силу, если в выражении A4) предусматривается
любое (по одно и то же в каждом из слагаемых) число свертываний.
Теорема 1. Г-произведение можно представить в виду суммы /V-произ-
ведений следующим образом:
Т (UV . . . XYZ) = N(UV . .. XYZ) -\-N{UVW ...YZ)-j-
+ N(UVW. . .XYZ)-\- ... + .. .-\-N{UVW.. .XYZ), A5)
где члены справа представляют собой сумму всех возможных свертываний. В дей-
действительности можно опустить члены с свертываниями, равными тождественно
нулю, подобные tyif, if А и т. д.
Соотношение (8) является, очевидно, простейшим частным случаем A5).
В общем случае доказательство производится без труда но индукции. Пусть
равенство A5) имеет место для п множителей. Умножим его справа на множи-
множитель Q, предшествующий по времени всем остальным множителям
T(UV ... Z)Q = M(UV ... XYZ)Q + N(UVW ... XYZ)Q-j- ...;
применим в каждом слагаемом справа формулу A4) и используем то обстоя-
обстоятельство, Что
T(U ...Z)Q--=T(UV ...ZQ).
Подобным образом теорема доказывается для (я-(-1) множителей. Ограниче-
Ограничение, накладываемое специальным выбором времени для Q, может быть устра-
устранено посредством перестановки порядка множителей с помощью правил В. :
Теорема 2. Смешанное Г-произведение типа G") может быть разложено
по формуле, аналогичной A5), только без свертываний между Л/-упорядоченными
множителями [в частности, в случае G") без WX, WXY, XY].
Читатель сможет сам получить общее доказательство, ориентируясь на при-
приводимое исследование частного случая {!"). Мы можем, как обычно, предполо-
предположить, что каждый множитель W, X, Y является либо оператором порождения,
либо оператором уничтожения. Будем, далее, рассматривать G") как предел
выражения
T{UVWXY ... Z),
в котором время, соответствующее операторам порождения из числа W, X, Y,
лежит позднее (на бесконечно малую величину) времени, соответствующему опе-
операторам уничтожения. Далее, можно применить формулу A5). При этом члены
со свертываниями, которые следует опустить согласно теореме B), действительно
равны нулю, что подтверждает теорему 2.
3. Физические применения
Несколько утомительные детали, подробно изложенные выше с целью яс-
ясности, не затемняют, как нам кажется, того обстоятельства, что весь метод
в целом является весьма простым и даже в известной степени тривиальным.
Хем не менее он позволяет свободно оперировать с довольно сложными выра-
выражениями.
VII. ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ СТОЛКНОВЕНИЙ 251
Введем для удобства сокращенные обозначения
и
^А if (х) для 2 ф. (*) Лз (х) фв (*)• A7)
Как показал Дайсон, член n-го порядка Sn в выражении A) может быть
записан в виде кратного интеграла по п координатам х, у, ..., z в пространстве—
времениа)
Sn = [Цй~J / T(NFA^(x)) NU'a^ (у)) ...N (Щ (z)) (dx) (dy). .. (dz), A8)
где (dx) = dx1dx.2dx.idx0 и т. д. Указанный интеграл содержит смешанное
7"-произведение, которое может быть разложено с помощью теоремы 2. Дальней-
Дальнейший анализ проводится в основном так же, как и в разделе 7 статьи Дайсона [2],
причем дайсоновские „ассоциированные пары" взаимно уничтожающихся множи-
множителей заменяются на видоизмененные „свертывания" Урье и Кинда, определенные
выше. Появляется, однако, ряд дополнительных упрощений. Благодаря прави-
правилам В мы можем трактовать yV-нроизведения A5) настолько просто, что не полу-
получается никакого преимущества от сведения метода к набору механических
рецептов. Поэтому дадим сейчас не рецепты, а лишь несколько указаний лучшего
выполнения вычислений в каждом отдельном случае.
Предположим, что выражение A8) разложено, согласно теоремам 1 и 2, па
сумму членов, каждый из которых является интегралом от Л/-произведения
с некоторым числом свертываний. В частности, в S.s входит член
. A9)
Если переставить сочетания tyA'i (используя для соответствующего переноса
свертываний правило В") и затем, изменив обозначения переменных х, у, г,
восстановить их старый порядок в произведении, то получится, вообще говоря,
другой возможный член разложения 53. Число подобных „эквивалентных" членов
в случае A9) равно 3!, так что можно просто опустить множитель 3! в знамена-
знаменателе. Однако в общем случае п\ перестановок ^А'1>-групп не приводят к п\ раз-
различным членам'2), поскольку заданный набор свертываний может не измениться
в силу допустимости подгруппы g перестановок (автоморфизм набора переста-
перестановок), причем g одинаково для двух „эквивалентных" наборов3). Следовательно,
в этом случае число различных эквивалентных членов заданного вида будет
равно nl/g и соответствующей им составляющей в Sn будет
1-] • J ЛГ-произведение {dx).. .(dz); B0)
при этом берется какое-либо одно из эквивалентных iV-произведений со сверты-
свертыванием.
„Диаграмма" теперь выступает просто как краткий способ записи Л/-про-
изведения, интересующего нас типа. Действительно, как только обозначены
вершины х, у, ..., z, то тем самым подразумевается, что каждой точке
1) Мы используем едипицы с Й= 1, с-- 1. — Прим. авт.
2) Ср. аналогичное рассмотрение в работе [3], где, однако, выражешк; „эквивалент-
„эквивалентный члеп" имеет песколько отличный смысл. Соображения [3] воспроизводятся здесь для
здобства читателей в измененном виде. — Прим. asm.
3) Если Р-автоморфизм набора s (можпо записать Р$ — s) и Т переводит s в эквива-
эквивалентами пабор s'(s'= 7s), то s' — Ts — TPs — TPT~xs' и, следовательно, ТРТ~1 будет
автоморфизмом для s'. Тем самым устанавливается одпозпачпое соответствие обычпого
типа между автоморфизмами для различных паборов. — Прим. авт.
252 Д. вик
сопоставляется множитель N(<bAfy). Если, например, имеется свертывание между опе-
операторами А (х) и А (у), то проводится пунктирная (фотонная) линия от х к у. Если
же свертываются операторы iji(x) и 4 (у), то проводится направленная сплошная
линия от х к у. Свободные множители ф, О, А могут быть аналогичным обра-
образом представлены с помощью линий, не кончающихся в вершинах, а именно
с помощью линий, направленных „внутрь" диаграммы (множитель i), направлен-
направленных „наружу из" диаграммы (множитель, <{i) и ненаправленных пунктирных линий
(множитель А). Например, выражение A9) представляется диаграммой, в кото-
которой направленная линия входит в диаграмму, проходит последовательно через
вершины х, у и z и затем выходит из диаграммы; пунктирная линия соединяет
точки у и z.
На данном этапе вычислений возникает вопрос о знаке. Действительно, знаки
входят в свертывания (На) и A16), множители 8р C) и т. п. Можно, не запоми-
запоминая никаких рецептов, свести появляющиеся и связи с этим усложнения к минимуму,
если записать группы iiAij в удачном порядке (это не сказывается на окончатель-
окончательном результате). Именно, если незамкнутая ломаная линия проходит через точки
1, 2, 3,...,т, то эти точки следует записывать в том же порядке, как
в N-произведении: _
N$A'\> (т)... ^А6 (З)фАф (ЩА<]> A)).
Все свертывания будут тогда производиться между сопряженными множи-
множителями типа (Па) без знака минус. Если точки 1, ..., т образуют замкнутую
петлю, то добавится свертывание между <Ь(ти) и фA). В этом случае следует
перенести $(т) в положение справа от ty(l), причем ф(т) будет переставляться
с нечетным числом операторов ^ и <Ь. В результате получится дополнительный
множитель — /СA, т) с одним минусом. В конечном итоге войдет по одному
множителю (—1) от каждой петли1).
Что касается свободных множителей <|>, ф, то в представляющих интерес
случаях их имеется два или, самое большее, четыре. Все вопросы, связанные со
знаком, легко решаются (после того, как установлено, какую из частей — и
или и от i}, и или v от (|i — следует брать) с помощью простых правил В.
4. Продольные волны
В электродинамике продольные волны требуют всегда особого рассмотрения.
В нашем случае нужно отметить, но-первых, что относящуюся к уничтожению
часть аа следует понимать в том смысле, что это есть часть оператора с зави-
зависимостью от времени вида е~ш (<о > 0). В случае ai подобное определение
в действительности соответствует порождению временно-подобных фотонов; тем
не менее, поскольку подобные фотоны обладают отрицательными энергиями,
член уничтожения оказывается выбранным совершенно правильно. Во всяком
случае такой выбор приводит к (Ив).
Другой более важный пункт связан со следующим. В рассмотрении Дайсона
имеется неоднозначность в определении вакуумного среднего значения А^{х) X
X А-, (у), и необходимо доказательство того, что данная неоднозначность является
несущественной. Это было сделано недавно Дайсоном [4].
Хотя в нашем случае в определении свертывания А^(х) Ач(у) нет никакой
неоднозначности, связанной с указанным вопросом, данная проблема проявляется,
как и следовало ожидать, в другом пункте. Рассмотрим, например, переход,
описываемый диаграммой, включающей определенное свертывание А^ и Ач.
г) Соответственно множителю (—1)г в формуле Дайсопа E1) в работе [2]. Мпожи-
тель (—1)" появляется вследствие различия между нашим ядром К и дайсоповским
ядром S. — Прим. авт.
VII. ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ СТОЛКНОВЕНИЙ 253
С первого взгляда можно, казалось бы, получить составляющую для того же
самого перехода также из другого члена S-матрицы, содержащего обратное
Л/-произведение А^ и А,,. Это в действительности не должно иметь места; труд-
трудность возникает вследствие наличия неопределенного числа продольных и временно-
подобных фотонов как в начальном, так и в конечном состояниях. Следовало бы
поэтому доказать, что последние дополнительные члены фактически дают нуль.
Нам, однако, стало известно, что этот вопрос подробно разбирается в недавно
опубликованной статье Костера и Яуха [4]1), к которой мы и отсылаем чита-
читателя.
ЛИТЕРАТУРА
1. Feynman R. P., Phys. Rev., 76, No 6 A949). [См. статью IV настоящего сборника.]
2. Dyson F., Phys. Rev., 75, No 11 A949). [См. статью V настоящего сборника.]
3. Houriet Л., Kind A., Helv. Phys. Acta, 22, 319 A949).
4. Dyson F., Phys. Rev., 77, 421 A950).
5. Coester, Jauch, Phys. Rev., 78, 149 A950).
1) В этой работе используется близкий к нашему метод Урье и Кинда. — Прим. сит.
VH1. О КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОЛЯРИЗАЦИИ
ВАКУУМА
Ю. ШВИНГЕР
J. Schwtnger, Phys. Rev., 82, № 5, 664 A951)
Настоящая статья основывается на том простом замечании, что получение кали-
бровочно-инвариантных результатов из формально калибровочно-инвариантной тео-
теории обеспечивается использованием таких способов решений, в которые входят только
калибровочно-инварнантные величины. Мы иллюстрируем приведенное утверждение на
примере проблемы поляризации вакуума внеишим электромагнитным полем. Вакуумный
ток заряженного дираковского поля, который может быть выражен через гриповскую
функцию данного поля, вызывает появление добавки в интеграле действия для электро-
электромагнитного поля. Далее, эти величины удается связать с динамическими свойствами неко-
некоторой „частицы", пространственно-временные координаты которой зависят от параметра
собственного времени. Записанные при помощи собственного времени уравнения движе-
движения содержат только иапояжепиости электромагнитного поля и представляют собой
калибровочно-инвариаптную основу рассмзтрешш всей проблемы. Строгие решения
данных уравнений могут быть получены в случае постоянного поля и в случае поля пло-
плоской волны. Перенормировка нанряженпостей поля и заряда, примененная в модифици-
модифицированной лагранжевой функции для постоянного поля, даст конечный калибровочно-
инвариаитный результат, означающий нелинейный характер электромагнитного поля
в вакууме. В работе приводится также лагранжева функция, соответствующая
заряженному полю пулевого спина. После аналогичной перенормировки напря-
женпостей поля модифицированные физические величины, описывающие плоскую волну
в вакууме, в точности сводятся к соответствующим величинам мдксвелловского поля;
таким образом, дли одиночной плоской волны произвольной напряженности и спектраль-
спектрального состава не имеют места никакие нелинейные явления. Результаты, полученные для
постоянного (т. с. для медленно меняющегося) поля, применяются для рассмотрения
двухфотонного распада нейтрального мезона нулевого спина, обязанного поляризации
протонного вакуума. Мы получаем приближенные калибровочно-инварнантные выраже-
выражения для эффективного взаимодействия между мезоном и электромагнитным нолем, при-
причем природа ядерной связи может быть скалярной, псевдоскалярной и псевдовекторной.
Непосредственное установление эквивалентности между псевдоскалярным и псевдовек-
псевдовекторным взаимодействиями становится возможным при правильном определении входя-
входящих в вычисления предельных процессов. В случае произвольно .меняющихся полей
могут быть применены методы теории возмущений для уравнений движения (согласно
рассмотрению в приложении А) или же использовано разложение по степеням вектор-
потенциала. Последний метод автоматически дает калибровочно-инвариантные резуль-
результаты при условии, что интегрирование по собственному времени откладывается на конец
вычислений. Это характеризует важнейшую особенность метода, заключающуюся в том,
что все расходимости сводятся только к расходимостям в интегралах по собственному
времени, которые не зависят от системы координат и калибровки. Обсуждается соотно-
соотношение между методом собственного времени и приемом „инвариантной регуляризации".
Кроме того, из мнимой части интеграла действия электромагнитного поля выводится
вероятность реального порождения пар. Наконец, в качестве применения гриновской
функции для постоянного поля строится оператор массы электрона в слабом однородном
внешнем ноле и выводится дополнительный спиновый магнитный момент, равный [l-f-(cc/2«)]
магнетонов, причем используется метод теории возмущений, в котором роль энергии
играет собственная .масса.
F. Введение
Характерным свойством квантовой электродинамики является релятивист-
релятивистская и калибровочная инвариантность. Тем не менее конкретные подсчеты,
выполняемые обычными методами, могут приводить к результатам, противореча-
противоречащим указанным условиям инвариантности; причиной этого являются содержа-
содержащиеся в существующей теории расходимости. Подобные затруднения, касающиеся
релятивистской инвариантности, были устранены посредством применения фор-
VIII. О КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА 255
мулировки теории, явно инвариантной по отношению к преобразованиям коор-
координат, и посредством сохранения этой явной инвариантности в течение всего
хода вычислений. Сохранение калибровочной инвариантности считалось, невиди-
невидимому, более сложной задачей. Однако очевидно, что обе проблемы полностью
аналогичны и что трудности с калибророчной инвариантностью естественным
образом отпадут, если применить метод решения, основанный па использовании
только калибровочио-инвзриантпых величин.
Высказанное утверждение мы поясним на примере рассмотрения с по-
помощью калибровочно-инвариантного метода ряда аспектов проблемы поляри-
поляризации вакуума заданным электромагнитным полем. Вычисление тока, связан-
связанного с вакуумом поля заряженных частиц, включает построение функции
Грина для поля частиц в заданном электромагнитном иоле. Подобный вакуум-
вакуумный ток может быть представлен в виде вариации некоторого интеграла дей-
действия относительно вектор-потенцичла; это действие фактически добавляется
к действию максвелловского поля при описании поведения электромагнитного
поля в вакууме. Мы свяжем указанные проблемы с задачей решения уравнений
движения частицы, содержащих в качестве параметра собственное время. Кали-
Калибровочная инвариантность нашего рассмотрения будет обеспечиваться использо-
использованием с самого начала уравнений движения, содержащих только напряженности
электромагнитного поля.
Явные решения получаются п двух случаях: случай постоянного поля и слу-
случай поля, распространяющегося со скоростью спета в виде плоской волныJ).
Для постоянмых (т. е. медленно меняющихся) полей перенормировка наирггжеп-
ности поля и величины заряда приводит к измененной функции Лаграпжа, отли-
отличающейся от функции Лагранжа максвелловского поля на слагаемое, которое
означает наличие нелинейности в погед°нии электромагнитного ноля. Получаю-
Получающийся результат полностью согласуется с выводами, сделанными ранее с иной
точки зрения с помощью других методов [2]. Преобразованные физические вели-
чини, характеризующие плоскую волну в вакууме, сводятся вновь к выраже-
выражениям для макспелловского поля с перенормированными нацряженностями. В случае
слабых произвольно меняющихся полей для решения уравнений движения могут
быть применены методы теории возмущений. Этот вопрос будет рассмотрен
в приложении А.
Получающиеся выводы могут быть использованы в целом ряде проблем,
в которых встречаются трудности с калибровочной инвариантностью \'А], как,
например, в случае распада нейтрального мезона на фотоны. Без каких-либо
дополнительных сложных расчетов мы получим приближенное калибровочно-инва-
риаптное выражение для взаимодействия нейтрального мезона пулевого спина
с двумя фотонами, причем входящее в промежуточные вычисления ядерное
взаимодействие может быть либо скалярным, либо псевдоскалярным или псевдо-
псевдовекторным.
Удобство примененного в настоящей стятье метода вычислений с собствен-
собственным временем заключается, кроме возможности получения строгих решений
в нескольких частных случаях, еще в изоляции расходимостей, которые входят
только в интегралы по собственному времени — параметру, не связанному с си-
системой координат и калибровкой. В самом деле, мы покажем, что обычный
метод теории возмущений, состоящий в разложении в степенные ряды по век-
вектор-потенциалу, дает калибровочно-инвариантные результаты, если только отло-
отложить на конец интегрирование но собстпешюму времени. Прием „инвариантной
регуляризации" Паули и Вилларса [4] представляет собой частный случай метода
собственного времени, при котором используются интегралы по сопряженной ве-
величине— квадрату собственной массы со специальным весом.
г) Возможность точного решения уравнения Дирака в поле плоской волны была
показана Волковым [1]. — Прим. авт.
21 Зак. 573.
256 ю. швингер
Наконец, в приложении Б мы используем функцию Грина электрона в сла-
слабом однородном внешнем поле для вычисления составляющей второго порядка
электромагнитной массы, что позволит получить простой вывод поправки вто-
второго порядка к магнитному моменту электрона.
2. Общая теория
Уравнения поля, перестановочные соотношения и вектор тока для дираков-
ского поля имеют видг)
Та (— id,, — еАу. (х)) ф (*) -4- тЪ (х) = 0, B.1)
(id,. — е.\ (х)) 6 (х) Ь + nv\ (х) = 0,
{ Ф (х, х0), i (х', х,)) =--= То8 (X — х'), B.2)
U(x) = YeMx), v
где
То = — г'Т4> То = 1- B.5)
Структура оператора тока
Л (*)= — *(т^э. 4-1*» (*)' ^ (*)ь B-6)
получающаяся в результате явной симметризации но знаку заряда, является
также симметричной по времени, что можно подтвердить с помощью введения
хронологизирующих операторов. Так, в обозначениях
(А (х0) В «))+ - | А <*•>В <**' Х° > 4 B.7)
| В (хо) А (х0), х0 < лг0
и
{ 1, Хп > ДГо
в(*-^)- ' °-^ , B.8)
I — 1 > •*¦<) <^ -*o
мы имеем
(a)^@)+(oi ; ; , :
{ —bix)^(X!, -«о < По-
Последовательно, имеет место равенство
[^ И ^ (*)! № (*) ^ (*')) (« ')]
С2-10)
при условии, что справа берется среднее арифметическое дг.ух выражений,
получающихся при стремлении х' к д: со стороны будущего и соответственно
со стороны прошлого. Нас в данном случае интересует среднее значение у (jr)
в вакууме дираковского поля
^x, B.Ц)
где
G(x, xf) = i (D (х) <М*0)+ ) в (*- д:'), B.12)
а знак tr обозначает диагональную сумму по спинорным индексам.
а) Мы используем единицы, в которых Л = с — 1. Отмстим также, что ^ =
матрицы fof(i. ((* = 0, 1, 2, 3) являются эрмитовыми. — Прим. авт.
VIII. О КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА 257
Функция G (х, х') удовлетворяет неоднородному дифференциальному уравне-
уравнению, которое получается, если учесть, что
П v— w — fc" I-*// ~Т~ mJ *-* v-*» •* / '— \ io I ' v*v> т \x ) ) / ° l-*o — ¦*o/l- l^.ld)
Здесь правая часть выражает скачкообразное изменение при переходе от х'—0
к jfg-j-O. Поэтому, согласно B.2), получаем
[Т (— id — еА (х)) -\-m\G (х, х') = 6 (д: — х'). B.14)
Следовательно, функция G(x, x') представляет собой функцию Грина для дира-
ковского поля. Мы не будем сейчас обсуждать, какой конкретно из функций
Гриш, задаваемых соответствующими граничными условиями, инлг.етсн "а;:>а
функции, поскольку не возникает ги1:акой неоднозначности, если и вакууме не
происходит, как зто мы принимаем, действительного порождения пар.
Функцию G{x, x') удоСно рассматривать как матричный элемент опе-
оператора G, в котором состояния нумеруются пространственно-временными коор-
координатами и опущенными в дапгой записи спинорными индексами
G(x, х') = (х | G|х'). B.Щ
Исходные дифференциальные уравнения для гринонской функции рассматри-
рассматриваются при этом как матричный элемент операторного уравнения
(TlI-{-7»)G=l, B.16)
где оператор
Щ = Р, — е\ B.17)
характеризуется следующими свойствами:
\х,^ II.J = i81M, [II^, H,] = ieF^, B.П)
причем
F^=^dvA,, — d,Ay, B.19)
является антисимметричном тензором напряженности пол5!. С помощью разви-
развитого формализма легко показать, что вектор тока в вакууме
О: /v\ \ ;«, *г «, I v Ст I v\ С) 9П\
получается варьированием интеграла действия по А,, (х). Для этого выразим
8W'(i) — J {dx) 5Л„. (х) (у,, (х)) == ietttf AG B.2П
в виде полного дифференциала относительно ЬА^(х), обращающегося в нуль на
бесконечности. В другом варианте записи o\V^ через 8/1а обозначен оператор
с матричными элементами
(х | ЗЛА | х') = S (х — х') оЛ,А (х), B.22,
а символ tr обозначает полное диагональное суммирование как но спинорным
индексам, так и по непрерывным простраиственпо-г.ременным координатам. Далее,
— е~(оА = о (-(II - -\- т) B.23)
и
о
так что
оо
0
21*
258 ю- швингер
поскольку след обладает следующим основным свойством:
UAB = hBA. B.26)
Таким образом, с точностью до аддитивной постоянной мы получаем для
выражение
W(i) = / J ds s-'e-i»>« tr exp {— /TIIs j = J (dx) J&W (x). B.27)
о
Здесь лагранжева функция J&W (x) имеет вид
x) = i j ds s-Je-<ms tr (* | exp ( — /TIIsj ( x). B.28)
о
Другое представление для G, которое будет использоваться п вычислениях,
находится из записи
G = (— тН+ '«)[«¦¦' — (ТИJ]-' -- [«г" — (тЦJ]-1(— fll + m), B.29)
из которой следует
ГО
G = (—fll + m)i Г rfs exp [ — I (иг2 —Cvll)")s| :¦--
о
ш
= г Г tfs exp ! — г («г2 — (f 1 If) s] (— 7II + /и). B.30)
о
В силу обращения в пуль следа нечетного числа -у-матриц [причем здесь опять
учтено основное свойство следа BE)) имеем
<ГУ
ie tr i ЬА G ~ — tr 6 (-11) xTI Г ds exp [— / (от-1 — (-1 ГJ )s] --=¦-
0
оо
^'"8[^"/ f dSS lexPf—хЧ'ла-"(тИJM] I. B.31)
0
Итак, для J?^ (x) получаем
CO
\ г
I . t I //of — ^ PYlW--- //A/ -C 1 f Г f' f IJ (Я\ \'^\
2 ,f B.32)
где
= — (Tllf = IT" i w^r,., B.33)
Отсюда видно, что построение G (дг, лг') и JfV (x) сводится к определению
(л-' \U(s)\ х") = (х 0?)' | * @)"). B.35)
Последняя запись обозначает, что U(s) можно рассматривать как оператор,
описывающий изменение во „времени" s системы с „гамильтонианом" $0, причем
матричный элемент U(s) является функцией преобразования из состояния, в ко-
котором х (s = 0) имеет значение х'[, в состояние, в котором х (s) имеет значе-
значение х'у Таким образом, мы пришли к динамической задаче, в которой простран-
VIII. О КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА 259
ственно-временные координаты „частицы" зависят от параметра собственного
времени, причем эта зависимость задается уравнениями движения
= 2^, Д1, — B.36)
Функция преобразования определяется дифференциальными уравнениямиг)
id. (x (s)' | * (Of) = (* (s/ \3V\x (Of), B.37)
(- 4 — eAy. (x')) (x (s') | x@}") -(* (s)' | П, (s) | * @)"), B.38)
(<- e/^(*")) (* (*)'1 * @)") = (* (s)' | П, @) [ * @)") B.39)
и граничным условием
X"). B.40)
Мы проиллюстрируем теперь метод, который будет использоваться в по-
последующих разделах, на простейшем примере F = 0. В этом случае уравнения
движения принимают вид
откуда
И,E) = П,@) B.42)
(j^^^m^ B>43)
S '
Следовательно,
<$? = Дв = 1S-2 (* (s) — 4
+ 4" *"а !*(*)» ^@)]==-J-s-2(x2E) — 2x(s)x@) + x2@)] — 2fe-i, B.44)
так как
[х„, (s), x,, (О)] = [Xv. @) + 2stt.^ @), x, @)] = - 2/s3F,. B.45)
Переставив операторы координат так, чтобы x(s) всюду стояло слева от лг(О),
мы получаем возможность сразу определить матричный элемент оператора &в
в уравнении B.37), принимающем теперь вид
ids (х (Sy | * @)") = [-i s~s (*' —х"? ~ 2is'x] (x WIx (°П' B-46)
решением которого является
(лг (sY |x @)") = С(*', x")s-* exp [-J——?— ]. B.47)
Для определения функции С^7, дг") используем равенство
(л: (s)' I Па (s) J л: @)") = (х (s)' | Ца @) I д: @)") = _ti:.V ^ ^у . х (ду/^ B.48)
!) Волновое уравнение с собственным временем для квадрированного дираковского
оператора рассматривалось Фоком [5] (см. также Намбу [6]). — Прим. авт.
260 ю- швингер
откуда с учетом B.38) и B.39) имеем
(— id'y. — еАр (*')) С (х1, х") = {idl — еА^ (х")) С (х', х") = 0, B.49)
С(х', х") = СФ(х', х"),
B.50)
, х") = exp [ie J dx^ (*)J.
Криволинейный интеграл и формуле B.50) не зависит от пути интегрирования,
поскольку F^ — Q. Наконец, постоянная С фиксируется граничным условием
B.¦!¦.!). Очевидно, что выражение B.47) принимает характер 8-функции, когда
v стремится к нулю, в случае если
Cs-2j(tf*)expD^),-=l. B.51)
Следовательно,
С = —Ц4т:)-2 B.52)
и
(х (s/ \ х (Of) = — i Dя)"9 Ф (xr, x") s-n- exp [——^ ]• B.53)
Получающаяся функция Грина имеет пит
со
G (лг', х") = г [ ds exp (— itri's) (x (s)' | (— ~(U -1- w) | л- @)") —
о
:¦-: Dт:)-2Ф(д-', лг") [ dss--? exp (—»и25) Г— f -*'~~-) -f /«) exp f 4— I. B.54)
о
Эквивалентны;'!, но более привычный метод состоит в использовании пред-
представления, в котором состояния определяются собственными значениями Па.
Имеем
(П (s)' | II @)") = (П @)' \U(s)\ II @)") = 6 (II' — II") exp (— i\I/3s), B.55)
при этом (х (s)' | II (s)'), определяющееся уравнением
(_ 4 _ еА^ (х')) (х (s)' 11[ (s)') ^ П.! (х (S)' | II (s)') B.56)
и нормировочным условием
J (П (sf | * (sY) (dxr) (x (s)' [ II {s)") = S ([Г — И"), B.57)
имеет вид
(х (s)' III (if) = B-)-2 exp lie f </лг Л ] exp (глг'И'). B.58)
Следовательно,
(* (s)' | * @)") = [ (x (Sy | II (s)') (tfiV) (II (s)'; ! I (O)'O (rfll") Ш @)" I a- @)") -_,
= Bтг)-4 Ф (xr, x") j (rfU'j exp |i (^ — *") II' — i\ir3s] B.59)
и
CO
G {xr, x") = / Bir)-« Ф (д:', лг") f ds j (rill') exp [г (.г' — *") II'] X
о
X (- ТП' + m) exp [— i(W2 -f ms) s]. B.60)
Последнее выражение сводится к B.53) и B.54) после интегрирования
по II'.
VIII. О КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА 261
3. Постоянные поля
Уравнения движения B.36) дают в этом случае
или в матричной записи
^? = 211, ~ = 2eFIl. C.2)
ds ' ds '
Символическим решением этих уравнений является
' . C-3)
откуда
И @) = eF {c2eF!i — I) (г (s) — х @)) -= у eF/T'** sir1 fcFs) (* (s) — -v @)) C.4)
и
П (S) = 1 ,,/vfs sh-1 (е/Ъ) (дгE)—x(Г))) -= (л: (s)-*@)) у е/7^-^'8 sh-1 (eFs). C.5)
В последнем выражении учитывается то обстоятельство, что
F = — F (F^ = —F^). C.6)
Рассмотрим теперь
Зв + ^ ет/7 = IF (si) = (л- (s) — л: @)) /<¦(* E) — * @)),
C.7J
ЛГ=— eiF*s\\-i(cFs).
Используя следующее перестановочное соотношение
[х (s), *@I = [х @) -|- (eF)-i (е^-й _ i) и @), х @)] = г (е/')-! (е^я _ 1}) C.8)
получаем из C.7)
<???+ у ет/7 = х (s) /Or (^) — 2х (s) Кх @) + х @) /Се @) — 1 г tr eF cth (eFs), C.9)
где tr, как и раньше, обозначает диагональное суммирование; при этом исполь-
использовано также равенство
tr (/=¦)-= о, C.10)
вытекающее из формулы C.6). Получающееся в результате дифференциальное
уралнение B.37)
ida (x (s)' j x @)") = - j e?F -; - (*' — x") К (х' — x") —
— ~ I tr eF cth {eFs)\ (x' (s) j x (Of) C.11)
имеет решение
1,ДГ (S) I X (V) ) — С V.V , X ) L 'A X
X exp — i(x' — x") eFctli (eFs) (x' — x") j exp (/--,-esFs), /g ^2)
L E') = 1- tr In [(eFs)-1 sh (eFs)}.
262 ю. швмпгер
Для определения С {х', х") используем вытекающие из формул
С* (s)' | П E) | * @)") =-= A \eF cth (eFs) + eF\ (x' — x") (x (s)' | * @)") C.3 3)
и
(x (s)' 111@) [лг @)") = A [eF cth (eFs) — eF\ (x' — x") (x (.?)' \ x @)") C.14)
при подстановке C.12) дифференциальные уравнения
iv.(x') — ~eF,i,_.,(x' — x"y} C(x', x") --= 0, C.15)
id" — еА,, (х") — A eF^., (х' — х")., j С (*', х")=0. C.16)
Решение уравнения C.15) имеет вид
а;'
[Г / 1 \ 1
/л I Атг\ Л ( v\ —I — Р I v v 1 ('Ч 1 7^
i/ \ *- / j
а;"
Входящий здесь интеграл не зависит от пути интегрирования, поскольку вихрь
Ар (х) -\- -?г F^ (x—х").> равен нулю. Взяв в качестве пути интегрирования прямую
линию, соединяющую х' и х", мы можем в силу C.6) написать решение C.15)
и C.16) а виде
С(х', х")^СФ(х', х"),
C.18)
их /1 ул ) ,
х"
Ф (*', х") --= exp lie J dx A
где С—постоянная, равная
С = — /Dit)-«, C.19)
поскольку предельное выражение (х (s)' | x @)") при 5 -*¦ 0 не зависит от внеш-
внешнего поля.
В итоге имеем
(х' (s) | * @)") = — I D«)-s Ф (*', х") e-i(«)s-a X
X exp Гг i- (л:' — х") eF cth (eFs) (x' — х")\ exp ("i -g- ea^sl. C.20)
При этом для функции Грина из формулы B.30) получаются два эквивалентных
выражения:
оо
G (*', *") = tfds exp(—ш«5) 1-Т[1 (д:(s)' \ П, E) | * @)")+/» (* (s/ | * @)")],
C-21)
G(x', д;") == I J Лехр(-/тв«)[-(*(«)' [n,,@)|x@r)T,+^(x(s)'|x@)")],
0
для нахождения явного вида которых нужно подставить сюда C.13), C.14)
и C.20).
Вычисление лагранжевой функции дает в этом случае
(х) = ±if dss-i exp (- im?s) tr (* (s/ | *@)"]^,, x,,^x =
0
CX)
== -g^_ Г .^s 5":!exp (— im?s) rJW trexp Гг 1 eaFs) . C.22)
VIII. О КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА 263-
Мы можем представить последнюю величину в явно вещественном виде, де-
деформировав путь интегрирования, что по существу равносильно замене s —> — is,
——L_ Г ds5~s exp (— m*s) <?-»(*> tr exp (-leaFs),
о ' C.23)
/(s) = i-trln [(eFs)-* sin (eFs)].
Мы могли бы, конечно, с самого начала использовать интегральное предста-
представление
со
[от2 — (тПJ]-1 == ( ds exp [— (m« — (T1IJ) s], C.24)
о
которое имеет место вследствие исключения реального порождения пар. Это,
однако, затруднило бы истолкование, основывающееся на введении собственного
времени.
Для нахождения входящего в C.23) следа используем следующее свойство
дираковских матриц:
где
при этом величина е^,/>х равна 1 или —1, если (jivA.x) представляет собой четную
или соответственно нечетную перестановку из (I 2 3 4), и равна нулю в осталь-
остальных случаях. Используя дуальный тензор напряженности поля
мы можем написать
В последнее выражение входят составленные из напряженностей поля основные
скаляр
и псевдоскаляр
9 = If1x.,f;v = e-h. (з.зо)
Из
(-2"^/= 2 (SF~[-T5 9) (З-31)
и равенства f?== — 1 вытекает, что -w°F имеет следующие четыре собствен-
собственных значения:
A «,^' = ±B(^/8))». C.32)
Следовательно,
tr exp (±- eaFs) = 4Re ch es B (& -f / g))'•'= = 4Re cli esX. C.33)
Здесь знак Re означает, что берется вещественная часть соответствующего
выражения. Отметим, между прочим, что
J. C.34)
264 ю. швингер
Чтобы построить ехр(—/(s)), нужно знать собственные значения матрицы
=(Fv.4). Для их получения можно использовать легко проверяемые соотношения
l = — 8^8 C.35)
F»iFi, — FyxFx, = 2o^f. C.36)
Из уравнения собственных значений
F^=F\ C.37)
и из получающегося из него при помощи C.35) уравнения
/?А = —tt-Q^ О*-38)
вытекают соотношения
F^.fy., = (F')^, F^fi^ - ^ 8 %¦ C-39)
Тождество C.36) дает теперь для собственных знамениi уравнение
(F'L-\- 2® (Fy — V,'2 =-- 0 C.40)
с решением ± Р^\ -+z F*-2', где
C.41)
? t(^+г'8 )Vf"~(SF""г'8 у'1-
Подставив найденные собственные значения, получаем
) 2 (^)'
/
sln(e//()*)sln(?>/?^).v) соз<?*(/-() — /-4')— созеь^/-^0-^/-'^) '
или
-т== (?^!в ; C.43)
Ira ch (?sA ;
здесь 1ш означает .мнимую часть соответствующей величины.
Окончательно для Jg^ получаем выражение
со
о
при этом мы добавили аддитивную постоянную, необходимую для того, чтобы
в отсутствие ноля „g^1) обращалось в нуль. Первым членом разложения M
для слабого поля будет
—m*s)Sr: C.45)
о
Выделил; этот член и добавив лагранясеву функцию максвелловского ноля
^т г,-= — $ = у (Е2 — Нй), C.46)
.мы получаем для полной лаграижевой функции выражение
со
^ = — [ 1 + yjl.r J rf«-i exp (— m"s)j 3= —
ОО
- 8Т J dss->exp(-m>s)[(eS)?T-h—^-1 —j(«)^J. C.47)
VIII. О КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА 265
Логарифмически расходящийся множитель, на который умножается лагранжева
функция максвелловского поля, может быть включен в изменение масштаба
всех полей и в соответствующее изменение величины заряда, т. е. в перенор-
перенормировку заряда. Если обозначить использовавшиеся до сих пор величины индек-
индексом нуль и ввести новые единицы напряженности поля и величины заряда по
формулам
el i ? C.48)
77iT Г dss-iexv(— m?s),
12** J ^ h
(l + Cel)
то получим конечный калиброчочно-шгаариаптный результат:
= ^ (Е9 — №) + -^ Щ^- |(Е* - Н";2 + 7 (Е • НЛ +... C.49)
1-5 последнем выражении мы вернулись к обычным рациональным единицам, при-
причем ¦:: - = е'2'4т:Ьс.
Отметим, что добавок к лагранжсой функции, соотпетствукмдий заряжен-
заряженным частицам спина нуль, получается ил выражения C.23), если исключить
оттуда след дираковских матриц и умножить вес иыражепие на (—2). Таким
образом,
Здесь |х обозначает массу бесспиногой частицы; при этом нами была добавлена
так же, как и в случае C.44), аддитивная постоянная. Выделив явно первый
член разложения для слабого поля, получаем
со
= —4-?г ,f ds s'1 exP (~ А) ^ +
fS^-1+^(^4 C.51)
Если учесть наличие заряженных частиц со спином 0 и со спином 1/2, то для
лагранжевой функции получается выражение
^ + ^ + 3$h C.52)
перенормировка вида C.48) с
оо со
C--:C0-t-C,u-----r^- Г dss~'> ехр(— и.%)+-Тт4гг f dss^ e\p{—m'-s) C.53)
0
дает в этом случае
,,.-_fr__i_ J <fes--exp(— m"s)[<csr>o (j^)— 1 —1(«)'^
p _ ^-(-!-^|t(E»-№)9+(E.H)«+. . .C.54)
266 К). ШВИНГЕР
Физические величины, характеризующие поле, объединяются тензором энер-
энергии-импульса
Максвелловский тензор
получается из соотношения «5? = — с?, т. е. из приближения к выражению C.49)
в случае слабого поля. Следующие члены в разложении Jg* дают
-8ll,Ae.i^!DffS4-78»)... C.57)
4. Поля плоских волн
Плоские волны, распространяющиеся со скоростью света, характеризуются
тензором напряженности поля
^,=/;х,/^), (;) = >W D.1)
где п^ — изотропный вектор,
4 = 0, D.2)
a F ($)— произвольная функция. Постоянный тензор /av и дуальный к нему
тензор /^.v подчиняются условиям
п^, = 0, я^, = 0, D.3)
из которых вытекают соотношения
^ D.4)
Последнее из этих соотношений также включает условие, касающееся мас-
масштаба Д„.
Уравнения движения с собственным временем в подобном внешнем поле
ш, 1 <4-5)
-? = 2eF (|) Д.,Ц, + naeF' (&) ^ ^Д,
допускают несколько первых интегралов. Так,
'J5U«>-0 ,4.4
Кроме того,
Та = - VF (?) — , D.8)
поскольку
§ 2«11 D.9)
и, следовательно,
==0, D.10)
VIII. О КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА 267
где
D.11)
При получении уравнения D.10) нужно учесть, что dZ-ds коммутирует с ?
в силу равенства
|6, nII]-=[/yV п.Дч] = inl = 0. D.12)
Поскольку пИ является постоянной движения, уравнение D.9) может быть
проинтегрировано, причем получается
DЛЗ)
[6 (s), \ @)] = 25 [я11, 6 @)] = 0. D.14)
Постоянный вектор, входящий после интегрирования уравнения D.10),
ДЛ + п^еА (?) = С,, D.15)
обладает следующими очевидными свойствами:
Исключение Д„И., с помощью D.15) из уравнений движения дает
4?Г = w\2C-eA ®—"Л*-А* E) + л^/7 («) 4-«/1, D-17)
откуда следует
"¦V- 2 ds
где D^—постоянная интегрирования. Отметим, между прочим, равенство
fl-Ah = fl,D4, D.19)
из которого видно, что /jIvIIv не зависит от s в согласии с уравнением D.7).
Интегрируя D.18) по 5, находим
us. D.20)
После подстановки постоянной ?>;J. из D.20) выражение D.18) принимает вид
5@)
X [2С^еА (;) — п^-А* (S) + «^F (S) у qf] - D.21)
Мы можем, наконец, определить Са следующим образом:
/uv(xv(s) —хч@)) яа У
5@)
Построение функции преобразования зависит от перестановочных свойств
рассматриваемых операторов. Эти перестановочные свойства сильно упрощаются
в избранном частном случае внешнего поля. Примером этого является установ-
установленная ранее перестановочность i^s) и $@). Определим теперь [^@), лгД.?)]
268 ю- ншингер
с помощью соотнон1ения D.21), которое позволяет выразить лг^@) через x^is),
11^E), i(s) и S@). Поскольку
, Xf. (s)] = 2^ D.23)
и поскольку я^Сц = «,1 = 0, просто получаем
[^ E), ^ @)] = [— 25ИЛ E), х,, (s)] -= Ш. D.24)
Используя значения полученных коммутаторов (все остальные перестановки рачиы
нулю), &6 можно придать вид
5 (о) (, :o)
из которого видно, что к А (;) можно добавлять произвольную постоянную
в согласии с соответствующей неоднозначностью, следующей из уравнения D.11).
Решением дифференциального уравнения B.37) будет
—— Jx
X ехр [ - у^ f d\ [^Д2-eF±-a/] ] ехр [«(?/-^ f ^еА)*\, D.26)
где
D'27>
Функция С(лг', лг") определяется дифференциальными уравнениями B.38) и B.39)
совместно с D.26). Именно,
__.—!_ С dUA(t))\C(x', x") = :0. D.28)
Решение этого уравнения получается в пиле криволинейного интеграла, не зави-
зависящего от пути интегрирования. Взяв опять в качестве пути интегрирования
прямую линию, находим сразу и силу антисимметрии Д.,
.с'
С (х', х") = С ехр lie ( dx,, А,, (х) 1 ¦- -¦¦ СФ (х', х"). D.29)
Очевидно,
С = —/Dт:)~2. D.30)
При рассмотрении явления поляризации вакуума существенно поведение
функции преобразования только при х' т^,х". В случае $'лг?", согласно соотно-
соотношениям D.1) и D.4),
S^(S)- ^^ frfME)l2«1L(g'-r^F*f4(S4-S")l, D.31)
[ / ]-1
g' _ 5")« Z72 = (*' -x'X п^п„ (х' - x"), = -(*'_.v"), F,^,., (*' - x")v. D.32)
VHr. О КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА 269
Следовательно, при х\яах"
(х (s)r | х @)") яй — / Dтг)~2 Ф (х', х") 5-2 X
X ехр Гii-s-i {x'—x"\ (б + i-(es)« F Х/О (j/_*")Л exp (A «o^F s).
D.33)
Это выражение совпадает с выражением функции преобразования для случая
постоянного поля благодаря упрощениям, вносимым частным характером рас-
рассматриваемого теперь поля, для которого
8=^0, 9=0. D.34)
Даже не проводя дальнейших вычислений, мы можем заключить, что физи-
физические величины, характеризующие поле плоских волн, т. е. компоненты- тен-
тензора энергии-импульса Т^.„ будут по форме тождественны с соответствующими
величинами для постоянного ноля, подчиняющегося условиям D.34). Обращаясь
к выражению C.57), мы видим, что для плоской волны тензор Т^., имеет такси
же вид, как и для максвелловского поля:
Таким образом, для плоской волны произвольной напряженности и спектрального
состава не имеют места никакие нелинейные вакуумные явления.
5. у"Распад нейтральных мезонов
В этом разделе мы применим результаты метода, основанного на введении
собственного времени для вычисления возникающей вследствие поляризации про-
протонного вакуума эффективной спязи между нейтральными мезонами нулевого
спина и электромагнитным полем. Подобное взаимодействие проявляется в само-
цроизпольном распаде нейтрального мезона на два фотона.
Лагранжева функция для бесспинового нейтрального мезонного поля в слу-
случае скалярного взаимодействия с протонно-антипротонным нолем задается в виде
-2*= — у KW -I" 1* V 1 — ?<? у I& «И • E.1)
Для нахождения приближенного выражения результирующей связи между полем
нейтральных мезонов и электромагнитным полем заменим величину 1/2 [ty, <ij
па ее среднее вакуумное значение в присутствии однородного электромагнитного
поля. Использование подобного поля для представления фотонов, испускаемых
при самопроизвольном распаде нейтральных мезоном, приводит лишь к незначи-
незначительной ошибке, измеряемой квадратом отношения массы мезона к массе про-
протона (и. М)"яй 1/40. В то же время, пренебрегая влиянием мезоксого поля на
протонный вакуум, мы получаем только низшее приближение теории возмущения.
Согласно B.30) и (.31), имеем
(j $ (*), 4 (*) 1) "-- i tr G (x, x) =
- — M J ds exp (- Ш%) ti(x\U(s)\x)--=- Щпг1 ¦ E.2)
о
Таким образом, член в эффективной лагранжевой функции, соответствующий
связи между нейтральным мезоном и электромагнитным полем, имеет вид
.t E.3)
270 ю- швингер
что, очевидно, также непосредственно следует из уравнения движения протон-
протонного поля
\1 (— id — eA) + M -]- go] Ъ = 0, E.4)
если использовать приближение, в котором <?(х) рассматривается как слабое
медленно меняющееся заданное поле. Если ограничиться только главным членом
разложения jg1'^ для случая слабого поля [выражение C.45)], то приближенно
будет иметь место равенство
Ш М Jds exp (- M"s)§ = -IЖ &•
о
Следовательно, член эффективной связи представляется выражением
описывающим распад покоящегося мезона на два параллельно поляризованных
фотона, причем
1!^
¦с 144»» tic \М) К 1 >
(¦г — с'редгее время жизги).
При псевдоскалярном взаимодействии между бесспиновым нейтральным мезон-
ным полем и протонным полем член связи в лагранжевой функции имеет вид
^ E.8)
В нашем случае E.8) можно заменить на
--= — go (х) М [ ds exp (— iA/Ps) tr f6 (x \ U (s) \ x). E.9)
6
С помощью функции преобразования C.20), заменив ¦—is на s, получаем
2 exp(— iWes)e-4")irf6exp (-^esFs). E.10)
Далее, учитывая собственные значения -^oF [см. C.31)], находим
tr-f5exp (-—ejFsj --=¦ — 4 Im ch esX. E.11)
Теперь ii силу C.43) без каких-либо добавочных приближений получаем
оо
??' = /Г? -?? М J ds exp (— APs) 9 = ~ -§j ?E • Н. E.12)
о
Этот эффективный член связи определяет распад покоящегося мезона на два
перпендикулярно поляризованных фотона, причем
Член псевдовекторного взаимодействия
шд**{х) -ш п(х)' w> (x)i E-н)
в рассматриваемом случае формально эквивалентен во взятом приближении
члену E.8). Это подтверждается интегрированием по частям с использованием
VIII. О КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА 271
уравнения Дирака B.1). Тем не менее подтвердить данную эквивалентность,
сравнивая результаты фактических вычислений, оказалось затруднительным [3, 7].
Подобные расхождения между формальными и явными подсчетами вызываются,
повидимому, недостаточным учетом предельных процессов, содержащихся в фор-
формализме. Мы покажем, что при достаточной тщательности вычислений можно
действительно подтвердить соответствующую эквивалентность между псевдовек-
псевдовекторной и псевдоскалярной связями.
Эффективное псевдовекторное взаимодействие между мезонным и электро-
электромагнитным полями задается лагранжианом
(^j(x, x)\. E.15)
Последнее выражение получается в результате интегрирования по частям. Отме-
Отметим теперь, что входящая сюда производная имеет следующий смысл:
<5„ [tr YsTu.^ (¦*» ХУ\ = l'm [(<5(i — Iе А„ (х )) ~\~
+ (dp -j- геЛ {х"))\ tr YsT.a^ (х', х"). E.16)
При этом структура правой стороны равенства диктуется тем условием, что
должны использоваться только калибровочно-инвариантные величины. Мы пока-
покажем теперь, что из E.16) просто получается выражение для псевдоскалярной
связи E.12).
Соответственно C.21)
tr ТбТ,G (*', х") = —i tr TbVYv J ds exp (—i M*s) {x (s)' \ IIV (s) | x @)") =
0
oo
= —«tr T ЛбТ^. J rf5 exP (— ШЧ) (x (s)' I П, @) | x@)"). E.17)
о
В результате усреднения приведенных двух эквивалентных выражений получаем
со
^ (д/, х") = г tr T5 J ds exp (— Ш%) (* (s)' | i- (П,(s) —
* @)") -
- tr T5o^ J ds exp (-UVPs) (x (s)' | -I (П., (s) + Ц,@)) | x @)"). E.18)
0
Мы ограничимся оценкой E.18) в приближении слабого поля. Из C.4), C.5)
и C.20) при учете C.25) и C.27) вытекает, что главный член в этом прибли-
приближении имеет вид
tr UbG (xf, x") = - -^ tr TbV,oXx (x' — х")„ FXJ> (x', x") X
XI /У С С~* 2 руП ( 1 ЛА^-о\ PYti I , I - . р С у« у« \ *Тл /у* v \ Vw/
I t*o о CA-Jr \ f*"i ol CXJJ 1 — I —• ^ ^p / u,v l*V Л /.i А 1Л Jt ) /C
^ |_ 5 _J О71* r"\ / v, / ' ^
0
X I Л 5~2 exp (— Ш25) exp . E.19)
J I S 1
22 3«c. 57a
272 ю. швингер
Поскольку нас интересуег поведение данной величины только в случае x'ttx",
мы можем воспользоваться этим условием при нахождении интеграла по соб-
собственному времени. При л/я^лг"
" \i~(x'-x"y> I » Г/1(х'-х"K
I dss~2 exp (— iM'2s) exp ¦ « I ds s-2 exp —
exp
~ (x^},. E.20)
Следовательно,
*")«^Ф(*. x")F%(x— x\{x' — x")~\ E.21)
Для определения искомой величины E.16) используем то обстоятельство,
что согласно C.15) и C.16) имеет место равенство
[(< — UA^ (х)) + (< + ieAf. {х"))\ X Ф (*', *") F% (х - х'\ {х - х")-1 -- -=
Однако согласно C.35)
г , х )Гр.,(д; —х )v г,и (х —х >,. (лг —х ) .
> (*'—А к* & - А == 9 ^' — ¦*•")'" E-23>
(лг, лгI =- - ^г Cj lim Ф (j/, *") = — Щ- g. E.24)
Следовательно, из E.15) получаем
^"_Л-|е.Н E.25)
в полном согласии с E.12).
6. Теория возмущений
Рассмотрим теперь приближенное определение
со
U7U) = i±. j ds s~! exp (— im?s) tr C/(s) F.1)
0
посредством разложения по степеням еА„_ и е/7^.,. С этой целью запишем J%? в виде
&е = зюй-\-т» F.2)
где
J#j =,_= — е (рА -j- Лр) — 4 ezF-1- е'-^Л2. F.4)
Для нахождения разложения trf/E) no степеням еЛ?а используем то обстоятель-
обстоятельство, что U(s) подчиняется дифференциальному уравнению
\-3V1)U{s). F.5)
VIII. О КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА 273
Оператор
V(s) = UoX(s)U(s), F.6)
где
Uo (s) = ехр (— iSVqS), F.7)
определяется уравнением
id,,v (s) ~ Uo1 (s) Ji?i f/0 E) V E) F.8)
и условием
V@) = l. F.9)
Формулы F.8) и F.9) можно заменить интегральным уравнением
S
V(s) = I —ifds'Uo1(/)SeiUo(s') Vfs') F.10)
и
и строить решение с помощью итераций
S
1/E)-- 1 —1 j as u0 !(s) otL^u^ )-~
u
« s'
-:- (- «¦ ,2 J //s't/ -] E') ^ <70 E0 / ds"v-i {s") m, u0 is") -j-... F.11)
о о
Вноди нопыс переменные интегрирования, согласно формулам
s' = suv s" = 5'«,„ ..., F.12)
получаем разложение
У E) — ехр (— ii/Cs) = Uo (s) -\- (— is) Г йигио (A — и3) s) 3@гио(и^) ~\- .. . -\-
и
I 1
+ (— is'fj и"~' сГи, .. . I* йГ«яС/0 (A — и/) 5) s^^o Г«! A — «1) s) . .. X
о 6
Вместо того чтобы прямо брать след этого выражения, что связано с излишними
усложнениями, мы возьмем соотношение
tr
U(s) — tr Uo (s) -= — is J dk tr [S^-i exp (— / {Жо-\- kffljs)\ F.14)
и
и подставим туда вместо ехр [—i(S?6Q-{-кЗ@х)s] разложение F.13). Подобным
образом получаем
tr U (si = tr Uo (s)-;- (— is) tr \&вхий (s)] -\ !y (— isJ [ dux X
о
1 t
х tr[^ц,((i — u,)s) зехиь(m,5)i4- • • • + -(irfT' J u""Irf«! • • ¦ /<fc»x
i' a
X +Г [^i^o I A — «j) 5) ^?a . . . ^jf/f, f«i . . . Uns)\ -f- . . . F.15)
22*
274 ю. швингер
Оставим только первые неисчезающие зависящие от поля члены данного
разложения; тогда
со
W О) = 1 ie2 f dss-1 exp (— tVwV) I— is tr [Л3 exp (— /p2s) 1 -j-
о
l
+1 (_й)я J 1 dv tr [(рЛ + Лр)ехр (— ф2 -1 A — v)s) X
-i
X (рД + Ap)ex? (- ф2 j A + v) s)] +
i
+ j (— «K J -j dv tr [1 aFexp (- /p* 1A— o) *) X
l
X 1 aF exp (—ip* l(I+o)s)]}. F.16)
Ради удобства вычислений переменная «j заменена здесь на -^-(l-j-t»). Следы,
входящие в выражение F.16), просто берутся в импульсном представлении.
В матричные элементы переменных поля, зависящих от координат, входят только
разности импульсов
F.17)
и
(Р\4\Р) = BтсГ* J {dx)Al{x) = Br.)~i J (dk) A^—k) Av.(k). F.18)
Следовательно,
CO
/ dS S~* 6XP {im^ {is J
о
-1
X exp [— i( 1J1
l
1
i
-f j(- «)» J y dvf(dk) J (dp)^trloF(-ft) X
Входящие сюда интегралы берутся без труда:
J (dp) exp (— lp*s) = — w8s-«, F.20)
J (dp) exp[— f (pa -\-f?)s-\-ipkvs] = - ^5-2exp[—/^A — ^M] F.21)
_ exp (-г| Й25)(w)-e(g|-) (-^) / (dp) exp (- ip*s
-2(_/ ^. s-18^, -f 1 v%A) exp [—i 1 A2 A — ^M]. F.22)
VIII. О КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА 275
Член, содержащий 8^., в интеграле F.22), удобно заменить на выражение, даю-
дающее эквивалентную величину после интегрирования по v. Именно, исходя из
= 1—fe-i-ft» J±<b^exp[— 1~кЦ\— W«)SJ, F.23)
мы получаем в данном случае
J (dp) PV.P, exp [— / (p2 -f ~ A2) s -f ipAws] =
1 1 Г 1
2 i11 4 ^ ¦¦"•'' [<.¦'•' ^ 4 Г "
Подставив значения интегралов и использовав равенство
(ftjA — г^,А2) Ла (— А) Л, (А) = — i F,,., (— A) Fj,,, (й), F.25)
мы сразу получаем калибровочно-инвариантное выражение для WW (при
5 -* /5)
1
о
со
X f dss-'expj— Г|»а+-^-АвA — v*)\s\. F.26)
6
При выводе этого выражения не использовалось никаких специальных приемов;
было лишь отложено на конец интегрирование по собственному времени.
Важное разделение членов получается при интегрировании по частям инте-
интеграла по v, согласно формуле
1 сю
J rfz> A — z>2) J dss-1 exp /— \т* -1- — ft2 A — o] si ==
1
1
3
о
J dss'1 exp (— mb) — ~& f dv[v*- — ^v^ X
0
oo
X / ds exp {— [/я2 + -I ft* A - O] s\. F.27)
о
Прибавляя к WW интеграл действия максвелловского поля, выражающийся в им-
импульсном пространстве в виде
WO = - J (dft) | F,, (- k) F^ (k), F.28)
мы получаем модифицированный интеграл действия
со
w- - [l +ii J ds s~" exP (- m^] J W т ^' (- &) ^(A^+
о
1 V" (\ — V- I
276 Ю- швингер
Перенормировка напряженностей поля и заряда C.48) приводит затем к конеч-
конечному калибровочно-инвариантному результату г)
W=
4я /re J
. F.30)
Накладывавшееся до сих пор ограничение, согласно которому исключается
возможность реального порождения пар, соответствует тому условию, что вели-
величина 1+ (А2/4/и2)A—v1) нигде не обращается в нуль. Это условие реализуется,
если для всех k^, входящих в разложение Фурье поля, выполняется неравенство
— ft2 < 4т2. В самом деле, из энергетических соображений очевидно, что для
порождения пары с поглощением одиночного кванта вектор энгргии-импульса
последнего должен быть временно-подобным и должен превышать по абсолютной
величине 2т. Сейчас мы заметим только то, что для распространения наших
результатов на случай полей, порождающих пары, достаточно всего лишь доба-
добавить бесконечно малую отрицательную мнимую постоянную в знаменателе выра-
выражения F.30) и истолковать величину
как вероятность того, что не произошло действительного порождения пар. Вве-
Введение бесконечно малой мнимой постоянной по типу
Нш -1— = Р± + 1сЙ(х) F.32)
является обычным приемом рассмотрения рэальных процессов. Из выражения F.30)
получаем
1
2 Im W = i« J (dk)\Fr>{~k)Fri{k)^ J dvifi (l -?)* [l +?j(l-^)]=
о
= a J (^)(_ljFFj(_fe)^(A:)(l-[i^)U'i-B+^y). F.33)
В случае слабых полей выражение F.33) прямо равно вероятности порождения
пары полем. Можно отметить, что для поля, порождающего пары, величина
-1 ^ (~ k) *V. (А) = -J- [ | Е (ft) I'-' — i H (ft) |«] F.34)
является фактически положительной. Это получается, в частности, если учесть,
что в специальной системе координат, в которой не равна нулю только времен-
временная компонента ?.А, магнитное поле обращается в нуль.
Другой вид выражения F.33) получается, если заменить в нем поле на соот-
соответствующий ток с помощью уравнений Максвелла
k,,Fh, (ft) + V> (k) = 0.
Используя равенство
Щ,~, (— k) /% (ft) = 2k,F.,,, (— ft) k^ (k) - 2/, (- k) /, (к), F.36)
') Соответствующий результат для заряженных полей нулевого спина получается,
если отбросить в выражении F.19) еппповое слагаемое и умножить оставшиеся члены
та (—!/,). Это равносильно замене [г;3 ^- v*) на -^-г;4 в выражении F.30).—Прим. asm.
VIII. О КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА 277
получаем г)
2 Im W= g^ J^ (dk)^(-ft) J^(k){\-T)*T 1 B + T), F.37)
где
t = S- F-38)
Следует теперь обратить внимание на то, что интеграл C.49), представляю-
представляющий лагранжеву функцию постоянного поля, содержит особенности, если не
выполняются условия g = 0, §¦ > 0, требующие наличия только одного маг-
магнитного поля в некоторой специально подобранной системе координат. Это является
аналитическим выражением того обстоятельства, что пары порождаются постоян-
постоянным электрическим полем. В частности, если g = 0, — 2JF— $а > 0, что является
инвариантным определением наличия одного электрического поля, то входящий
в лагранжеву функцию интеграл по собственному времени
_2»=1|2 — JL J rfss-3exp(— /»2s)[egsctg(egs) — l+~(eSs)aJ F.39)
о
имеет особенности при
Если считать, что путь интегрирования лежит над вещественной осью, т. е. исполь-
использовать один из вариантов способа вычислений, характеризующегося формулой
F.32), то мы получим положительную мнимую составляющую к лагранжевой
функции
оо оо
2 Im *=к 2s" ехр <- тЧ^ = S ^2 S»~fехр
»=1 П=Х
Последняя величина является отнесенной к единице времени и единице объема
вероятностью того, что постоянное электрическое поле порождает пару.
Рассмотрим теперь в рамках взятой специальной задачи связь между нашим
методом, в котором используется собственное время, и „инвариантной регуляри-
регуляризацией". Связанный с поляризацией вакуума добавок к интегралу действия имеет
общую структуру
= j (ifft) A^ (- ft) K^ (k, m?) A,, (ft). F.42)
При использовании метода собственного времени коэффициент K,x.,(k, /иа) полу-
получается в виде
со
Кг> {К т% = J ds ехр (— im*s) K^., (ft, s), F.43)
о
где Kp,,(k, s)—конечная калибровочно-инвариантная величина; бесконечности
появляются только на конечном этапе вычислений при интегрировании по s до
нуля. По существу в данном методе нижний предел интеграла по собственному
времени заменяется на s0 и переход к пределу s0 -> 0 откладывается на конец
вычислений. Если в отличие от этого не вводить явным образом собственного
времени, то величина К^., (k, trfi) будет представляться в виде расходящихся инте-
интегралов, приводящих, вообще говоря, к не обладающим калибровочной инвариант-
г) Данная формула может быть примепепа, например, при рассмотрении порождения
пары при ядерном переходе j = 0 -» 0 [8]. — Прим. авт.
278 ю. швингер
ностью результатам. При использовании метода регуляризации данная трудность
устраняется посредством введения интегрирования по квадрату собственной массы
с некоторым весом; тем самым К,^,(к, т2) заменяется на величину
со
Kr> (k, m*)]B = j Лср(х) К„ (k, х). F.44)
„Регулятор" р (х) должен сводиться в соответствующем пределе к о (х — ;я2);
при этом калибровочно-инвариантные результаты получаются, если выполнены
следующие условия:
J Лр (у.) = 0, J dv./.p (у.) = 0. F.45)
— СО —СО
Взяв обращения Фурье
со
R(s) = J d%e~"s p(x),
F-46)
— QO
имеем
CO
K.yi (k, m*)]R = jdsR (s) K.,, (k, s); F.47)
— CO
при этом условия, налагаемые на р (¦/.), принимают вид
/? @) = 0, Я'@) = 0, /?(s)->exp(— im'ts). F.48)
Отметим теперь, что в методе собственного времени величина К^,(k, m~) дается
в виде F.47), причем в этом случае
R (s) = ехр (— im?s) при s>sQ, F.49)
R(s) = 0 при s < s0. F.50)
Данное выражение для R (s) и все его производные обращаются в нуль вначале,
чем удовлетворяются условия F.48). Таким образом, оказывается, что прием
регуляризации, используемый для обеспечения калибровочной инвариантности,
равносилен в основном методу, основанному на введении собственного времени.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Мы применим теперь уравнения движения с собственным временем B.36)
для подсчета тока, индуцируемого в вакууме слабым произвольно меняющимся
полем
F*> W = (W J W ei"xFv-< (*)¦ (АЛ>
При отсутствии поля решением уравнений движения будет
ЗД = 11,@), ^E) = *,@)-{-211Д0)б-. (А.2)
Соответственно этому в качестве первого приближения для слабых полей мы
берем уравнение
k* Т°*ЛЧ (Qе**1*Р)+*Щ*>•). (А.З)
VIII. О КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА
279
Интегрируя это уравнение по s, получаем
,(s)~ П, @) = ^ / (dk) F,4 (к) / ds'
, цч
8
J
(A.4)
Второе интегрирование дает
откуда следует
0
^А^^ J W F.,, (ft)
(A>5)
i4o).'). (A.6)
Индуцированный ток представляется двумя эквивалентными выражениями
со
Ун- (*» = е tr Тр. (* I № — от) J rfs exp (— /m2s) /7 (s) *) =
о
OD
= е f ds exp (- im*s) tr Т)Л, (д: (s/ 1II, (s) | * @)")]^^ ^^ (A.7)
exp (— im*s) U (s
= e j ds exp (— wPs) tr T,Ta (x (s)' | IT., @) | x @)")]^, ^^ (A.8)
Беря полусумму этих двух выражений, находим
со
(Д (*)) = — е j ds exp (— im*s) tr (* (s/ 11 (IT, (s) + II, @)) | * @)")]ж, ^„^^ —
0
со
-ie f <fsexp(—ijBSs)troa4(*(sy 1 (П, (s)) — II., @)) *@)"I . (A.9)
0
Здесь следует отметить, что при отсутствии поля тока нет, так как
и, следовательно, для определения выражения (А.9) в первом порядке нужна
только функция преобразования для случая отсутствия поля.
Имеем
tr о,, (х (s)' | -I (И, (s) - II., @)) | х (Of) = ^ J {dk) ^ (ft) s J \- dv X
-l
X (дг («У j exp [/ (kx (s) ^(i + v) + kx @) i- A — «)] | * @)"). (A.I 1).
280
Ю. ШВИНГЕР
Здесь переменная s' заменена на V по формуле
sr = lU + *l. (A.12)
Операторы kx (s) и kx @) не коммутируют:
[kx(s), kx@)] = 2s [ftll(O), kx @)] = — 2isft2. (A.13)
Однако мы можем использовать простую теорему
имеющую место для операторов А и В, переставимых с коммутатором [А, В\.
С помощью этой теоремы получаем
exp [t (ft* (s) 1 A + г») + &х @) у A - «г))] =
= exp \ikx (s) -j (!+•»)] exp \ikx @) -i A — v)\ exp Г— /A2 -1 A — г»2) sj, (A .15)
так что
tro
= B^ J /
Аналогичное рассмотрение дает
1(IIV(S) + IL,(O)) x@)")]
1
S т ^w (* H {exp
lx',x"->x
Последнее выражение с помощью перестановочных соотношений
[в
сводится к виду
tr (* (s)' -i (П. E) + П^ @)) х @)"I =
Таким образом, мы получаем выражение
J
X
X
/ ds s-1 exp | — [«а +1 А2 A — чР) 1 s 1, (А.20)
о
в котором вновь сделана подстановка s-*¦ — is. Это выражение совпадает с
выражением для тока, получающимся из интеграла действия UW) F.26), и даль-
дальнейшее рассмотрение может проводиться так же, как и в разделе 6.
VIH. О КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА 281
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Электрон, взаимодействующий со своим собственным полем излучения и
внешним полем, описывается модифицированным уравнением Диракаа)
Т* (— Ю+ — е\ (х) ) 6 (х) + / (</*') М (х, х') «|» (х') = 0. (Б. 1)
С точностью до второго порядка по е оператор массы М(х, х') задается
в виде
М (х, х') = т0о (х — *') + ie%G (x, x') ^D+ (x — х'); (Б.2)
здесь G (х, х') — функция Грина уравнения Дирака во внешнем поле, а
D+(x — х') — фотонная функция Грина, взятая в виде
^] (Б.З)
Предположим, что внешнее поле является слабым и постоянным. Тогда функ-
функция преобразования (x(s)\x@)'), входящая в выражение для G(x, x'), может
быть приближенно задана в виде
(* (s) | х @)') « — / D1г)-«Ф (х, х1) s-2 ехр [/ {-~~] ехр (/ - erf). (Б.4)
Таким образом, члены, линейные по напряженностям поля, входят только в соче-
сочетании с дираковским спиновым магнитным моментом. Соответствующее приближение
для гриновской функции при усреднении двух эквивалентных выражений C.21)
дает
со
G {х, х') яа Dя)-2 Ф (лг, х/) Г ds s~2 ехр (— im?s) X
(^)} (Б.Б)
Оператор массы приближенно представляется посредством
оо оо
М (х, х') = то8 (л: — л:') + &* -щл Ф (-^, ^') | rfs .s-2 |" d»~2 ехр (—
(Б.6)
или
М(х,
то S
X J rfss-2 ехр (— im*s) J й?да да-2 ехр Гi(л" ~J/K1 X
о о
* — У), iWf}], (Б.7)
при этом мы заменили переменную ? на да соответственно
m)-i==s-i_j_^-i (Б.8)
!) Этот вопрос будет подробно рассмотрен в последующих статьях. — Прим. авт.
282 ю- швингер
и использовали свойства матриц Дирака, в частности
ТЛ.Лх = °- <Б-9)
Используя также равенство
(х — *% * (х, х') exp [i(*7/}'] = 2w (—id* - еМх) —
ехр
получаем
."JO
М (лг, х) = /яоо (лг — х') -\- jttyi I "S s~2 ехр (— im^s) X
о
XJT(—й
в силу соотношения
±\ id — eA). (Б. 12)
Применим теперь метод теории возмущений, предполагая, что оператор
массы играет роль, приписываемую в таких случаях обычно энергии. Для опре-
определения Г (dxr) М (лг, х') 4* (л/) мы заменим <!> (л/) на невозмущенную волновую
функцию, являющуюся решением уравнения Дирака с массой т (и данном при-
приближении можно не различать действительную массу т и механическую /я0).
Интегрирование по х' может быть тогда легко выполнено:
J (x (w) | х (О)') {dxf) $ (xf) = J (л: I U {w) |x') (dxf) ^ (V) == exp (im*w) ty (x), (Б. 13)
так как ty(x) является собственной функцией оператора effi с собственным
значением —/и2. Таким образом, отбрасывая члены, содержащие оператор ди-
раковского уравнения, которые не входят в выражение
§{dx){dx>)b{x)M{x, *0'М*0,
мы получаем
Гт( —й —еЛ) + /й —ja'4-o^I * = 0, (Б.14)
где величина
ОО S
т — т0-4- ?- т Г ds s~u Г d-ws-^[2 — —) ехр [ — /m2 (s — w)\ (Б.15)
0 0
выражает массу свободного электрона, а
представляет дополнительный спиновый магнитный момент. Оба интеграла без
труда берутся после подстановки
« = 1-^ (Б.17)
VIII. О КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА 283
и замены s —> — is, причем получается
со 1
т + d 1
= от0 + ~ m i ds s'1 \ du A -\- и) ехр (— m?us) =
dsIduuA ~~
Мы получаем, таким образом, что спиновый магнитный момент, связанный
с эффектами второго порядка в электромагнитной массе, равен я/2я магнетонов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Volkow D. M., Zs. f. Phys., 94, 25 A935).
2. Helsenberg W., Euler H., Zs. f. Phys., 93, 714 A936); Welsskopf V., Kgl.
Danske VId. Seisk. Math.-Fys. Medd., 14, No 6 A936).
3. Fukuda H., Miyamoto Y. Progr. Theor. Phys., 4, 347A949).
4. Paall W., Vlllars F., Rev. Mod. Phys., 21, 434 A949).
5. Фок В. A., Sow. Phys., 12, 404 A937).
6. Nambu Y., Progr. Theor. Phys., 5, 82 A950).
7. S t e 1 n b e r g e r J., Phys. Rev., 76, 1180 A949).
8. Oppenhelmer J. R., Sch winger J., Phys. Rev., 56, 1066 A939).
IX. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ
I. СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА
Р. КАРПЛУС и А. КЛЕЙН
R. Karplus and A. Klein, Phys. Rev., 85, № 6, 972 A952)
Вакуумные флуктуации фотонного поля и поля частиц вызывают изменение взаимо-
взаимодействия электрона с электромагнитным полем. Влияние указанного изменения па уровни
энергии удобно описывать при помощи оператора массы и потенциала поляризации ва-
вакуума. В работе сначала выводится калибровочно-инвариантное выражение для опера-
оператора массы в случае движения электрона в слабом внешнем электромагнитном поле;
данное выражение включает члены, квадратичные по полю, и учитывает электромагнитные
поправки только низшего порядка. Далее вычисляются поправки к формуле Ферми путем
подстановки в качестве внешпего поля кулоновского и магнитного дилольного полей ядра
и подсчета матричного элемента операторов для S-состояния водородоподобяых атомчв.
Все изменепия можно описать как поправку h.g =— 2Zcfi(-=—1п2| к гиромагнитному от-
отношению для электрона. Значение постоянной тонкой структуры, вычисленное из резуль-
результатов измерений сверхтонкой структуры, равно ое-1 = 137 0364.
1. Введение
Успех новой ковариаитной формулировки квантовой электродинамики за-
заключается в первую очередь в том, что она позволила предсказать наблюдае-
наблюдаемые эффекты, вызванные связью электрона с вакуумными флуктуациями фотон-
фотонного поля. Экспериментальное исследование таких эффектов сводится в основ-
основном к опытам с водородоподобными атомами. С помощью этих опытов удается
проверить предсказания теории, касающиеся эффективного статического магнит-
магнитного момента электрона [1, 2] и электродинамического сдвига энергетических
уровней (лэмбовского сдвига) [3, 4] (в работе [4] приводятся дальнейшие лите-
литературные ссылки). Кроме того, подстановка полученного значения магнитного
момента в исправленную формулу Ферми [5] в сочетании с тщательным опреде-
определением сверхтонкой структуры расщепления основного состояния водорода F|
представляет собой самый точный способ определения постоянной тонкой струк-
структуры а [5].
За исключением вычисления статического магнитного момента, выполнен-
выполненного до поправок четвертого порядка (а2) включительно, все остальные имею-
имеющиеся теоретические предсказания являются, как известно, во многих отноше-
отношениях неполными. Именно: найдены только члены, линейно занисящие от поля
ядра, причем для медленно меняющегося поля; не полностью выяснены элек-
электромагнитные поправки порядка а2; ядра везде считаются бесструктурными
частицами, обладающими зарядом и магнитным дипольным моментом.
Цель настоящей и последующей части состоит в описании методов рас-
рассмотрения заданного ядерного поля (или любого другого электромагнитного поля)
в высших приближениях. Получающиеся результаты применяются в двух случаях.
Во-первых, мы найдем поправки к формуле Ферми, вызванные взаимодействием
между кулоновским и дипольным полями ядра. Во-вторых, будет вычислен член
формулы лэмбовского сдвига, квадратичный по кулоновскому полю.
Исследование основывается на уравнении Дирака с изменениями, вызванными
учетом собственной энергии электрона и потенциала поляризации, индуцируемой
в вакууме [7]. Собственная энергия описывается при помощи оператора массы,
IX. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. I. СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА 285
представляющего собой интегральный оператор, общая структура которого была
проанализирована в предыдущих работах1).
Мы ограничимся рассмотрением электромагнитных поправок порядка а.
Оператор массы явным образом зависит от поля только через функцию Грина
электрона во внешнем поле. Ранее был развит ряд методов для представления
этой зависимости с желаемой степенью приближения'2). В настоящей части мы
опишем один из указанных методов, пригодный для случая слабого поля, при
котором разложение в степенной ряд является допустимым. Построение функ-
функции Грина сводится к построению функции преобразования и связанных с ней
операторов импульса [8]. Последние выражаются в виде калибровочно-инва-
риантных величин с точностью до второго порядка по внешнему нолю посред-
посредством прямого разложения и ряда преобразований. В получающемся операторе
массы выполняется отделение бесконечной части, не зависящей от поля и пред-
представляющей собой перенормировку массы, от конечной и зависящей от поля
части, которая кладется в основу дальнейшего рассмотрения.
Условие слабости ноля выполняется в случае исследования связи электрона
с дипольным полем протона sj. Главная составляющая, представляющая собой
хорошо известную (<*/2т:) поправку к статическому магнитному моменту, полу-
получается при пренебрежении высшими компонентами разложения Фурье магнитного
поля в члене, линейном по полю. В случае б'-состояния соответствующая
магнитная энергия зависит в формуле Ферми только от плотности электронной
волновой функции в начале. Существенно новые результаты включают члены,
имеющие по сравнению с предыдущей поправкой относительный порядок Zct.
Из структуры оператора массы вытекает, что эти поправки вызваны поведением
электрона на расстояниях от ядра, меньших комптоновской длины волны, и су-
существенны поэтому только в 5-состоянии. В частности, в случае Р-состояния
входит еще один добавочный множитель Za, связанный с уменьшением плотности
вероятности вблизи начала.
Настоящее рассмотрение недостаточно для исследования лэмбовского сдвига,
когда приходится сталкиваться с известной „инфракрасной катастрофой", вызы-
вызываемой тем обстоятельством, что большая часть эффекта связана с поведением
электрона вне ближайшей окрестности ядра. Здесь начинает играть существенную
роль испускание мягких виртуальных квантов, в результате чего становится не-
непригодным разложение по степеням поля. Изложение измененного приближения,
в котором не содержится указанной трудности, и оценка результатов будут
приведены в последующей части.
2. Предварительное рассмотрение
А. ОПЕРАТОР МАССЫ; ФУНКЦИИ ГРИНА
Описание движения электрона в заданном электромагнитном поле при учете
эффектов поляризации вакуума и собственной энергии будет основываться на
модифицированном уравнении Дирака [7, 8] вида
X, (— id,. — е\ (х)) 4 (х) + J М (х, х1) $ {х') Фх' = 0. B.3)
') См. [7, 8]. Мы будем следовать обозначениям статьи [8]. — Прим. авт.
~) См. [8]. Некоторые из подобных методов были рассмотрены Фейнманом [9]. —
Прим. авт.
;!) Как выяснится в дальнейшем, такое взаимодействие существетю в S-состоянии
тогда, когда электрон находится па расстоянии от ядра, не превышающем комптонов-
скую длину волны A////). На этом расстоянии кинетическая энергия электроиа/>2/2/й'~ л;,
тогда как потенциальная энергия (в кулоновском поле) a/r ~ а/и. Магнитная связь еще
меньше, почти на множитель, равный по порядку величины отношению масс электрона
и протона. Таким образом, оба упомянутых вида связи могут рассматриваться в данном
случае как малое возмущение. Отсюда также ясно, почему мы в дальнейшем нигде не
рассматриваем членов, квадратичных по магнитной связи. — Прим. авт.
286 р- КАРПЛУС и А. КЛЕЙН
Здесь А^(х) — четырехмерный потенциал внешнего поля, сложенный с потен-
потенциалом поля, индуцированного в вакууме. Величина М (х, х') представляет собой
оператор массы, формально включающий эффекты собственной энергии всех
порядков. В низшем порядке по е (электромагнитные поправки второго порядка)
этот оператор задается в виде
М (х, х') = mQb (х — х1) + ie%G+ (x, У) bD+ (x — х% B.2)
где G+(x, xf) — функция Грина для уравнения Дирака в присутствии внешнего
поля, a D+ (х — л/)— фотонная функция Грина (принята сокращенная запись:
b ^ b b)
?>+ (х — х/) = Г B-)-Ч
оо <х>
= J Bt:)-*rf*fee« <*-e'>i [ dt exp [— it№\ = Dя)-« J i! dt expГf (x~x')%-1. B.3)
о о
В выражении B.3) подразумевается, что под № следует понимать &2— /г, где
г— малая положительная величина, благодаря чему в функцию Грина ?>+ (х — х1)
входят только расходящиеся волны в отдаленном прошлом и будущем.
Используемый способ получения физических выводов из уравнения B.1)
основывается на применении соответствующего приближения теории возмущений,
причем невозмущенным считается волновое уравнение в заданном поле, а как
возмущения рассматриваются потенциал поляризации и второй член уравнения
B.2). Влияние первого из указанных возмущений уже было ранее вычислено
с требующейся нам точностью. С другой стороны, предыдущие исследования
эффектов собственной энергии ограничивались, за исключением нерелятивист-
нерелятивистского подсчета Бете, рассмотрением выражения B.2) в первом борцовском при-
приближении. Нашей первой задачей будет изучение способов представления опера-
оператора массы в явном виде в высшем порядке приближения по внешнему полю.
Рассмотрим сначала один из таких способов, основанный на прямом разложении
G+ (л:, х'), пригодном, когда поле может считаться слабым. Подобный метод
пригоден для выражения функции Грина или какого-либо оператора, содержа-
содержащего эту функцию, в калибровочно-инвариантном виде до конкретизации вида
электромагнитных потенциалов. Он был уже использован в ряде случаев в статье
[8] при рассмотрении поляризации вакуума медленно меняющимся полем произ-
произвольной напряженности. Мы кратко повторим указанное рассмотрение, имеющее
отношение к исследуемой проблеме.
Функция Грина частицы удовлетворяет операторному уравнению
(тП + тH+ = 1, B.4)
решение которого может быть записано в симметричной форме:
0+ = ±-{т — чП, [иг2 —(тПJ]-1}^! Г ds exp [lmss] ~ {m — тИ, ехр [/ (ТП)а5|}.
о B.5)
В интегральном представлении B.5) подразумевается, что у т2 имеется малая
отрицательная мнимая часть, так что функция Грина G+ соответствует распро-
распространению волн из источника с возрастающей фазой во всех временно-подобных
направлениях. Следует сразу подчеркнуть, что нас будут интересовать только
действительные части матричных элементов оператора массы, поскольку мы
ограничиваемся рассмотрением сдвига энергетических уровней. Поэтому для нас
в дальнейшем будет несущественным наличие малой мнимой составляющей у №
в B.3) и у массы в B.5), введение которой делает выражение B.5) однозначно
определенным. Когда мы будем в конце концов выполнять интегрирование по s,
будет правильным трактовать осциллирующие экспоненты как убывающие.
Говоря более формально, мы вправе сделать подстановку s' — is и интегриро-
интегрировать по s' вдоль положительной вещественной оси.
IX. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. I. СВЕРХТОПКАЯ СТРУКТУРА 287
Функция Грина электрона является матричным элементом оператора B.5)
относительно четырехмерных координат
G+(x',x") = (x'\G+\x"). B.6)
Мы используем символ
(д/1 ехр [/ (ТПJ5] | х") = {х11 U (s) | х") э (х' (s) | х" @)), B.7)
который будет называться „функцией преобразования";
(х' | U^U(s) | х") = (л:' (s) | П, E) | х" @)) = (- ^ — *><) (У (s) | х" @)) B.8)
и
(х' 11/ (s) II, | х") = (j/ is) 111^ @) | х" @)) = («; — eAl) (x/ (s) | лг" @)) B.9)
представляют собой соответствующие матричные элементы операторов импульса.
Функция Грина может, таким образом, быть записана в виде ])
оо
G+ (х', х") = i Г ds ехр [— im?s\ \m (x' (s) \ х" @)) —
о (
— \ Т W (s) III (s) | *" @)) — -i- (*' (s) 1 И СО) I at" @)) Т] • B.Ю;
Теперь надо найти разложение (х'(s)\x"@)) до членов, квадратичных по внеш-
внешнему полю, причем результат следует выразить в калибровочно-инвариаптпой
форме. После этого можно буает получить при помощи выражений B.7) и B.8)
матричные элементы операторов импульса и подставить их затем в оператор
массы B.2). Детали намеченного вычисления изложены в разделе 3.
Б. СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА
Чтобы охарактеризовать способ применения результатов раздела 3 к вычисле-
вычислению поправок к формуле сверхтонкой структуры Ферми, кратко изложим исход-
исходные положения.
Полный векторный потенциал, входящий в уравнение B.1), имеет вид
А„.{х) = А%{х) + Л*{х)+А*Г{х) + А™р(х), B.11)
где индексы Е и М обозначают соответственно электрический и магнитный
потенциалы, а дополнительный индекс Р—потенциал поляризации вакуума. Вели-
Величина А \х) представляет собой ку.тоновский потенциал ядра
Ал=0, ЛВ=— Z-^ B.12)
(е — заряд электрона) и входит в невозмущенное уравнение. Величина Ам(х)
является векторным потенциалом протона, рассматриваемого как точечный диполь.
Он задается выражением
.м _ у. X г _ v / у. \ Ам 0 B13)
где {I — оператор диполыюго момента протона. В формулу Ферми входит диаго-
диагональный матричный элемент взаимодействия А с электронным током в основном
состоянии водорода. Поскольку в данном случае существенен только поляриза-
поляризационный ток электрона, энергия взаимодействия АЕ0 имеет вид
А?о = -{-щ){ dr *° W в*» (r) H (г>- BЛ4)
') Комбинация матричных элемеятов оператора импульса, входящая в уравнение
B.10), будет в дальнейшем для удобства условно записываться в виде
23 3». 573.
288 Р- КАРПЛУС и А. КЛЕЙН
В 6"-состоянии благодаря сферической симметрии магнитное поле сводится
к 8-фуикции:
Соответствующее представление больших и малых компонент волнопой функции
в кулоновском поле <!>е(г) посредством шредингеровской волновой функции »0(г)
приводит затем к формуле Ферми с поправкой Брейта [10, 11]:
Д?о = —f ft,'^) | с?0 @) |2 (l +| (Za)*). B.16)
Поправки, которые мы получим, будут выражены в виде величин, пропорцио-
пропорциональных главному члену формулы B.16).
Основной поправкой электромагнитного происхождения является, конечно,
изменение спиновой плотности электрона на относительную величину а/2г; эта
поправка будет вновь получена в наших вычислениях. Другие поправки имеют
по меньшей мере относительный иорядок Zo.2 no сравнению с приведенным чле-
членом и могут быть истолкованы как следствие пространственною размазывлпия,
свойственного эффектам квантовой электродинамики. Высказанное утверждение
проще всего проиллюстрировать па примере предварительного рассмотрении эф-
эффектов, вызванных взаимодействием электронного тока с потенциалом поляри-
поляризации вакуума. Для этой цели оказывается удобным воспользоваться разложе-
разложением в четырехмерный интеграл Фурье
= J
B.17)
Аналогичным образом разлагаются ток /„. (х) и тензор поля F^S) (x). В дальнейшем
нами будут использоваться также следующие величины:
¦3 B.18)
2тсН (ft) = 6 (ft0) гк X (* X |
~Jo (k) = — о (ft0) Ze,
Второе выражение для H(k) является обращением Фурье формулы B.15). Со-
Согласно [12], имеет место равенство
1 dv г/2 (\ — 4-
ihW r—-1— С2-19)
IX. ЭЛГКТРОМАГМИТИЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНКЙ. I. СВЕРХТОПКАЯ СТРУКТУРА 289
Отсюда, используя B.18), получаем
Нр (ft) =~- гк X AjYP (ft)= -^ -^^- &5Н (к) Г • р — ¦-. B.20)
о 4~ г
Соответствующая энергия взаимодействия равна
о 4
Из приведенного выракечип очевидно, что действие магнитного поля пере-
перестает ограничиваться качал ом; пеппляется размазывание по области с ра '.мерами
порядка комптоповской длигы электрона 1//«. Действительно, если приближенно
положить 0с(г) равным vo(O), то вы[^а>кемие B.21), как легко видеть, обращается
в нуль. Для получения пеисчезающего результата необходимо использование более-
точного приближения для волновой функции в окрестности начала координат:
»* (г) ? (г) ^ ! ?0 @) |'- A _ IZ'jrm). B.22)
Матричный элемент B.21) принимает при этом вид
~ dw-(\ тг)
B.23)
^а I атак. ,0 j V 3 7
r -j^r^-rk-m ^
Дальнейшее исследование выражения B.23) будет проведено в разделе 6,
где будут также рассмотрены аналогичные составляющие энергии, соответствую-
соответствующие кулоновскому потенциалу поляризации при учете влияния магнитного поля
на волновую функцию. Отметим еще только то обстоятельство, что выраже-
выражение B.23) имеет типичный вид, поскольку оно содержит один множитель а
электромагнитного происхождения и множитель Za. куло:ювскою происхождения
и линейно относительно магнитной связи.
Поправки порядка Za~, связанные с матричными элементами оператора массы.,
будут рассмотрены в разделах 4 и 5.
3. Оператор массы
Мы выведем теперь выражение для оператора массы в слабом произвольно
меняющемся внешнем электромагнитном поле с точностью до членов второго»
порядка по этому полю. Поскольку получающиеся формулы оказываются довдчьно
сложными, удобно предварительно найти с требующейся точностью матричный
элемент функции преобразования U(s). Вычислив затем, исходя из этой функции,
импульсы Ц^, мы получим возможность построить функцию Грина, полностью
определяющую зависимость оператора массы от внешнею поля.
Чтобы явно выразить калибровочную инвариантность функции преобразова-
преобразования, запишем ее в виде
(x'(s)\x"@))^(x'\U(S)\x") =
= - i Dю)-2ф (х\ х") ехр [ '{х' - x"f ] V (s; x', x"), C.1)
где функция U'(s; х1, х") должна зависеть от поля калибровочно-инвариантным
образом и должна в случае отсутствия поля равняться единице. Разложение
23*
290 Р- КАРПЛУС и А. КЛЕЙН
вида, рассмотренного в разделе 6 статьи [8], дает оператор преобразования
1
U (s) = ехр [— isp*] + ise Ji- dv exp [— top2 -j A — «)] X
X (рЛ + /Эр +1 of—M«) exp [— top2 ~ A + *)] + (tee)» J" 1 ^ J Irf^ X
X exp [- top» 1 A — О] (рЛ + /5p +1 of) X
X exp [— to^ 1 (t»x —1>2)] (рЛ + /Эр + -i of) exp [— top8 у A +1>2)] C.2)
с матричным элементом
(У 11/ (s) I a:") = J Bit)-« d*petp {x'-x'r) | exp [— isp*] +
+ toe J 1 dv J BЯ)-^йД " (а!'+а>') exp [- to (p + i-ft)8-! A - ^)] X
X [2рЛ -f i- of — e J Bit) - 2 <f4&M (й') Л (Й — fe')l X
t и,
X exp [- is(p — A&J i- (i + *)] + (to*)« J 1 ^t J ¦'- rf^2 B*)-* X
ехр [- to(p +1 (&a + kSf -\- A - t»x)] X
X [Bp + &2) Л1 +1 of i] exp [- to(p — j k, + i &,)' 1 (^ -¦?>„)] X
X[Bp —^)^2 + lof]exp[-to(p —-&!—2-&9J4(l+f2)]j»
(/5^ (^) = A; = J B7Г)-2 <****-**<% (*)). C.3)
Сдвиг импульсных координат
\ ( ) С3-4)
в линейном и квадратичном членах разложения позволяет исключить из экспонент
все скалярные произведения (pk)u приводит к обычному множителю ехр[—isp2].
После этого можно выполнить интегрирование по р^ (используется интегрирова-
интегрирование по частям);
J {2^)-4ipeip(x'-a!\ exp [- top2] = J Bic)-*d*peip {x'-x"} \ to~i X
X [-щ) exp [-isp*] = f {2Ti)-Wpeip<¦*-"Bs)-» (У — x'\ exp [- tops] =
= _ i Dта)-8 Bs)-i (x' — x"l exp ^-ii?^?^ j . C.5)
Вводя обозначение {xf — x")^ = Д v^, получаем
J Bv)-Wpeipi° exp [- top2] {1; p^; р^рч; p^px\ = - / D«)-' X
l; Bs)-1 A*,. 4
Bs г» А*„ Д^, Д^х —' &s)-\b&4 Д^х 4- 8,д A*, + Kx A*^)} • C-6)
IX. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. I. СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА 291
Определяемая формулой C.1) функция U' (s; х', х") теперь может быть записана
в виде
1
V 0; х', х") = [Ф (х', х")]-1 ' 1 + ise J -jdv J Bя)-зd^ke^ X
X ехр[- wl кЦ\ — ^)] [((-^) + kv) A +1oF — e J B«)-»</*йМ (ft') X
1 о,
X Л (Л — ft')] + (weJ /-§-rfvi f ^dviet*^e*ilAB-K)-id*k1d%X
-г -i
X exp [_ is{-K*] { [((-^) + К A + *9) + M:) ^ +1a/'1] X
Здесь
с, = 1. \х' (I -i-v.')-\-x"(l—v V C.7'}
И
/B = А1(]-.^-2№A-^)Aт^)+^A-^
Теперь посредством довольно длинных преобразований можно показать, что
с точностью до членов второго порядка по внешнему полю функция U'(s; x', х")
действительно зависит только от калибровочно-инвариантных величин. Мы дадим
прямое доказательство этого утверждения для членов первого порядка:
1
ise
-1
Последний член в скобках входит из разложения зависящей от калибровки вели-
величины [Ф(лг', х")\~1. Интегрирование второго слагаемого выражения C.8) но
частям
• ехр Г— /s-i- fta (I — г>'I = {isk2)-1 eih"- (exp Г— is^ &2 X
-l
J4-dv {2'K)-n-d^kei^ I U~p) +ftt»] A exp Г— is- kn- A—va)l—(^-) A 1. C.8)
показывает, что C.8) тождественно с
1
ise f±.dv Bit)
так как
ft2^^ — К (kA) = — ik,F.^ = Jr C.1
« (-M) (exp [ -fcl fta A _ t»°)] - l), C.10)
Аналогичным образом члены второго порядка, входящие из разложения
[Ф(лг', лг")] от линейного и квадратичного членов разложения, могут быть
объединены в одно выражение, зависящее только от папряжепностей поля, плот-
плотности тока и их производных. Вводя сокращенные обозначения для экспонен-
экспоненциальных множителей
t (s) = exp [— fe-1 k\(I — t>J)] , E{s) = exp[— fe-^/C2] C.12)
292 ' Р- клргтлус и а клкин
и для интегральных операторов ,
И
[ d*K~ Г -l-dv, Г lrdv.y Г BT.)-idik,d4k.Aeik^eik^y C.13)
-i -l
для функции U' (s; x", х") получаем
U' (s; х', х") = 1 -J- ise Г d4t { (Ах -Jp) (e(s)—l)-\- -}- cFe (s)) - j- (isef X
X I d'Ki I Ax - 1 / Ax — i f?Ys) e (s) c>(s)-{~ l!-{— /1 J'F^ ——— | X
f,) x
\ sk2 J
X \E(s) - e, (s)} + ±aF* (-*??-) [E(s)-e, (s)] + [i-o /*?A
- \ ^2 (-?- j A -1»S\ E (s) - A - v,) A +
l. C.14)
Теперь можно перейти к определению матричных элементов операторов
импульса:
(х (s) 11 [^ (s) | л:" @)) = (- idl - М, (/)) (х (s) |./ @)) =
= _ l44w)-2 ехр [^] Ф (д:', лг'0{ [(^) + * / ^ f A + ^ (^"^j,] X
и
(x' (s)! 11^ @) I x" @)) = (Й* — eA[L [x")) {x' (s) | *" @)) -.
X if (s; х, х") — id'.f.lf (.?; .v', jc") ;¦ C.1Ъ)
exp
[f ^1] Ф (V, л-") | j ^/- — e | d^ -'- A - v) (F Дх);л] X
X (W (s; x', x") + i^'t/' (s; л:', jc") }. C.16)
Поскольку импульсы входят в оператор массы в виде комбинации -,.•(¦jll (s) -f-
—|— П @) -у), подробное выражение будет получено только для этой величины.
В связи с тем обстоятельством, что оператор массы представляет собой дира-
ковскую матрицу, естественно подразделить составляющие импульса и функции
преобразования по их спипорным свойствам. Так, имеется скалярная часть (про-
(пропорциональная етипичной матрице), „спиновая" часть (пропорциональная орт) и
псевдоскалярная часть (пропорциональная -E), которая получается путем разбиения
у oFi i cF2 _,, A F^F°- — itr [F^F*] + ^ ~ F^F'1* C.17)
и содержит величину, дуальную F^,
F te
C.18)
IX. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. I. СВЕРХТОПКАЯ СТРУКТУРА 293
При помощи интегральных операторов, определение которых дается ниже,
мы можем теперь записать функцию Грина для дираковского поля в виде
оа
G+ (х', х") = ijds exp [— im*s\ (x' (s)[m— ~ № (s) + П @) т) | х" @)) =
-s fs-*ds exp [ — im°-s -f-1 {^f\ Ф (x't x") X
о
X ([« -|X][1+/1(S) + C(s)\ — T, [A+(l (s) + C+i
+ -J-» ItG_ (s). tr I^]^2i] + [TG_ (s) + /mG (s)] 1 TeF^''*). C.19)
Использованные обозначения имеют следующий смысл:
A (s) == /w J d*k ~- [e {s) — 11, C.20а)
]
4„.(*) = fe<? / ^4&-2" ^[- ' (^)^~ ^,] * (*); C-206)
B{s)=ise f d*ke(s)
[так как j5(s)-}j oF =.-= ise J fl!4&~оF^(<?)!; C.20b)
ll (s) == ise j d^k ~ vk^e (s); C.20r)
5.,,. (i-) = ise j d'k~ k^e (s); C.20д)
X fftg Алг A + v2) — ftj Ад: A — t»j) + sfelwi A — »i) — s*^a A + ^I E (s) -f-
SrA~'°i)~~S^?A+) i?(sJ+(t>i "+V{0^ F1F'~'E {s))'C>20e)
) = {isef j d*K {-1 ^ 4 4Дг [^ W (^i + "f A + ^))-^A (*)J - -J "/Ж
? /1 ^ l\ | X
X [A*, ^ (Ma + M2), - »V] ^ (s) - { rot (F1 Дд:)^ (^) [? (sj - e, (s)\ -j-
2
1 fc>8 (F2 Длг)^ (^) [E (s) - «2 (s)] + [} ^J (*i*i A - «0 - l&b A + «,)) +
^\^(kj C.20ж)
294 Р. КАРПЛУС и А. КЛЕЙН
(s) = (ise? / d*K { ^ (? (s) - е2 (*)) + A + о,) (ft9 -?-) ? (s)}, C.20з)
= (&е)а J d*K { ^ (? (s) — ех (s)) - A -¦?>,) (ft, ~) ? (s)}, C.20и)
/Д, (s) = («*)« J d*K { {t>2fe2F ^ (E (s) - е2 (s)) -
+ \{^)); C.2Эк)
u (s) = (ise)* JdtK^vfo^ (E (s) - e, (s)) -
E(s)-\ V-Jl [v, - Щ A - v,)] E {S) -
-1 (ftlVl + A2t>2), (^) ? (s)}; C.20л)
ZI., (s) = (fe
Z)!,, (S) = (faeJ J
C-20H)
О (s) = (ise)" J d8KE (s); C.20o)
+, (s) = (fee)8 J ^8/C 4 (&Л + ft^ ? (s), C.20n)
_, (*) = (ise)* J <W i (ftj -!- ftaV ? (s). C.20p)
Следует отметить, что Л и С являются скалярными частями, в то время как
В, D и G представляют собой спиновые части, а О — псевдоскалярную.
Нам еще остается построить полный оператор массы и выделить из него
ту часть, которая представляет добавку к массе покоя электрона. С помощью
функции Грина фотонного поля в представлении собственного времени опера-
оператор массы записывается в виде
ОО
М (х', х") = т0Ь (х' — х") -J- ie- Bit)-* Ф (xr, x") J s~* ds X
[ ^]Т)Д )Тх. C.21)
о
Здесь символ ( ) обозначает выражение в круглых скобках в формуле C.19)
и вместо t из B.3) введена переменная w = (s~1
IX. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. I. СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА 295
Теперь заметим, что главные члены поправки к массе покоя
- / D«,)- exp [i <§f ] [- Am - 2 (Щ C.22)
являются также главными членами разложения оператора
(х> («,) | _ Am - -J (ТП (да) + П @) т )| х" @)) = 5т (да; х', х"), C.23)
для которого волновая функция, удовлетворяющая уравнению
№ + !»)<!<== 0, C.24)
является собственной функцией
J Ьт(w; х\ х"L(х")Фх" = — 2тB — —¦)exp [imPw] ф(х7). C.25)
Если трактовать электродинамические поправки как возмущение и учитывать
их только в первом порядке, то можно использовать волновые функции, удо-
удовлетворяющие уравнению C.24), и переписать C.21) в виде
J М (х', х") ф (х") Фх" = j (j»8 (л:' — *") -f 7W (ж', х")) ^ (х") </**", C.26)
где подставлено значение наблюдаемой массы свободного электрона [7]
со я
= «г0 -)- (J) J s-2 rfs J dw B — ^-) exp [— Ш2 (s — w)} C.27a)
о о
т
и конечный оператор, описывающий влияние вакуумных флуктуации поля
на поведение электрона во внешнем поле:
СО Si
М (х', х") = — (-?А j ds exp [— im*s] j dwl s~* U' {w) 4m-\-
0 0
+ -J GЦ(w) + П@)G)) Ix" @)) + w~\(x'(s)\m-
- -} GП (s) + П @) T) I x" @)) Tx exp [1 / (Д*)* (да-i - s-i)] ). C.276)
Сравнивая с C.19) в силу спинового характера матричного элемента, мы можем
объединить дна слагаемых выражения C.276). При этом используются сле-
следующие тождества:
= 4; C-28а)
C.286)
TxV^ = 0' C-28в)
Тх 1Ти., °-Р] Тх = — 2 [V <\,1; C.28г)
2Э6 Р- КАРПЛУС и А. КЛЕЙН
Разложение оператора массы C.276), аналогичное выражении C.19) для
функции Грина, теперь может быть записано при помощи операторов A(w),
В (w) и т. д.
СО 8
М (хг, х") = — ш Dтс)~3 J S-2 ds J ад-2 dw exp f — im"s -f ^ 1 Ф (xr, x") X
о о
X ([4m + T ^] И (*)-^ (ад) + СE) — С(«)] + 2Т, [A+V.(s) — A^(
+ С+и. (s) — C+|l («)] + Am [ Я («;) 1 oF + Я1 И ~ о/72 + 0* (да)^- а/71 —
— Ю (w) tr [Fb/72] + (О (s) + G (w)) «f6 ~
1г)(л (s)+в (да))- т
в (да))- тa/7} +
, 1 cFj - { TDV (s) + -J TDV («,) + (T §) (D1
D1 («.)), i- oF* ) - |ТЛ5+ E) + -J TZ)L; («,) + ^ ( }
j I TO+ (s) + -J TO+ И + (^) (O (s) + О (да)), tr
(s) - -у ТД- (w), -J a/7*] + [ TDl (s) - -J 7OI (да), 1 oFi] -
->*]). C.29)"
_(s)—~7О_(да),
Следует заметить, что этот оператор сушестпешю отличен от пули только при
(Ах")<. т~'', так как в противном случае наличие быстро осциллирующих экспо-
экспоненциальных множителей при интегрировании по параметрам собственного вре-
времени дает исчезающее значение.
4. Составляющая первого порядка
Поскольку мы хотим получить результат с точностью до слагающих, квадра-
квадратичных по полю, то, очевидно, матричные элементы тех членов ¦* равнения C.29),
которые зависят от поля линейно, т. е. всех операторов А и В, должны вычи-
вычисляться более тщательно, чем в случае квадратичных членов. В частности, зави-
зависящие от поля члены, которые входят в соотношения между 7LI и ^ b.xj2s C.15)
и C.16), следует оставлять в членах первого типа, тогда как и квадратичных
членах ими можно пренебречь. Аналогичным обраюм, в квадратичных членах
множитель Ф(х', х") может быть положен равным единице, в то время как
в линейных членах должны быть учтены линейные составляющие его разложения.
Дальнейшие преобразования будут производиться без ограничения общности
векторного потенциала А^. Однако мы примем, что матричный элемент оператора
массы берется относительно волновых функций, удовлетворяющих уравнению C.24);
следовательно, операторы 7[—W — еА(х')\ и 7 I'd" — еА(х")\, стоящие соот-
соответственно справа или слева от волновой функции, могут сдвигаться к ней
посредством интегрирования по частям и затем заменяться на (—т).
IX. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. I. СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА 297
Мы полепим метод вычислений на примере преобразования первого члена
выражения C.29I):
Am ехр | i 4
= 4ж fee J (~7) [ 7 (- »' - еЛ (•) — | /г
- * J d% 1 A + ex) (F1 Д.г)) Т^ + 7^7 (»" — ^ (ж") +1 k A — г») +
+ e J rf^ft, I A - *,) (Fi Дг))] Ф (хг, к") Л ехр [^] rf"& (e (s) - е (w)) ^
- 4« ехр [^] Ф (.,', х") {ie J rf*A f2»T/ - ^ |
)9 да J d% d% Г/772 (у/71 Дг) -^ A — o,) —
M^. D.1)
При выполнении приведенного преобразования, как и при рассмотрении
остальных членов первого порядка, применяются следующие тождества:
7&}=0, D.2а)
2 2 D.26)
[
Если разложить теперь до членов первого порядка множитель, зависящий от
калибровки, то получатся составляющие оператора массы, линейные по внеш-
внешнему полю,
со я
— / а Г Г
Ат& ,/ ,)
U О
X Г B-п:)-4 d4pe:p Ах ехр [— iw (р2 + тГ)] ie Г d4i ' \2tn'!w (i — х-\ + -w X
J J * [_ \ s / s
Мы здесь вновь подставили разложение в интеграл Фурье
— i'{4'K'w)~^ехр I / —-j— ^^ I Bя)~*dipe ехр[—iwp^\. D.4)
Заметим, что в d4A включается зависимость от координат х' и х".— Прим. авт.
298 Р- КАРПЛУС и А. КЛЕЙН
Остальные части рассматриваемых членов имеют явный второй порядок по
полю
СО S
Щ (xr, x") = ~fs-^dsf dw exp [— да2 (s — w)] f B*)~4 d*pep ** X
о о
X exp [— iw (p2 + я*2)] {ief J d% rf<*2 j 1 Ш (t^ — v2) ftF1 Ддг) (Дл:У2) Х
X bfl)yWJ -1 /« (t^ { T^1 A*, 4 aF2 } + вЛ [Трт Д*. 1 aF2]) X
X [ва (.) + =¦-, («)] + (ТЛ) (^ А-) [2-?- B - ?-) + Щ №tz?m-f
+ 4- (тЛ (A1 д*) [s + w—vl (s — да) | eo (s) — m f-i ^H (Л1 A*) ^ fl—-) e2 (s)\.
D.5)
Они будут исследованы в последующем совместно с членами второго порядка
С, D и G выражения C.29).
При нахождении матричного элемента оператора D.3) для S-состояния атома
водорода
Ml = J dx' dx" df% (xf) M, {x1, x") % (x") D.6)
следует учитывать, что нужны только поправки порядка а и Za2 относительно
матричного элемента плотности энергии сверхтонкой структуры -^-oF. Поскольку
множитель а входит сразу явным образом, все остальные множители следует
рассматривать только до порядка Za. Таким образом, энергия электрона может
быть приближенно положена в данном случае равной энергии покоя, так что
можно выполнить интегрирование по t", если учесть, что для статического потен-
потенциала имеют место равенства
^ и <!>„(*)=-%(г) «-'«*. D.7)
Тогда получаем
СО 8
М1 = j dr'dr'%(r')~ J s~*ds $ dwexpl— im?{s — w)\
а о
1 » ! ,ы •„ ,,,,
X V-4rexp[-top*]w/-i^ JB*)-2Ae^MrA+8J+rM { }60(r"), D.8)
где символ { } обозначает выражение в фигурных скобках в формуле D.3).
Присутствие в каждом члене экспонент e(s) и e(w) совместно с множите-
множителем е2 обусловливает то обстоятельство, что основная часть величины Мг
связана с пространственной областью вокруг начала с радиусом, равным компто-
новской длине волны электрона \/т. Следовательно, в самом грубом приближе-
приближении величина Л1г получится, если пренебречь малыми компонентами функции ^о
и подставить вместо нее значение <sQ ¦О) волновой функции Паули вначале. В этом
IX. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. I. СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА 299
случае не обратится в нуль только последнее слагаемое в выражении D.3), причем
получится (а = 1 ——J
со 1
J da exp [— imbu] 2и A — и) X
о
X 4 ft <<Щ> | % @) |» = -4 |*0 <<тц> | То @) I2 ?• D-9)
Приведенная формула дает добавок в расщеплении тонкой структуры, связанный
с аномальным магнитным моментом }j.0<»/2ir.
Для нахождения дальнейших поправок к данному результату необходимо
использовать более точные решения уравнения C.24). Эффекты первого порядка
по магнитному полю учитываются в выражении
Gc (*, *') YA» (г') фс (ж') </«*', D.10)
которое включает точную кулоновскую волновую функцию 6Д (х) и функцию
Грина в кулоновском поле Gc. При рассмотрении последнего слагаемого можно
ограничиваться самым грубым приближением, поскольку входящий в него вектор-
векторный потенциал в сочетании с линейным по полю оператором массы дает члены,
обладающие явной квадратичной зависимостью ог поля. Таким образом, вместо Ос
можно взять функцию Грина для свободной частицы
О(х, *') =
и приближенно положить энергию состояния равной энергии пркоя
*-'т'- D-12)
После интегрирования по If для зависимости волновой функции от простран-
пространственных координат получается выражение 1)
* (г) = bjr) + J Bn)-9 (&?)-i Л dr'eik (r-r') [m A + То) - Yk] TA^ (r') ^e (r'). D.13)
Выражая через волновые функции Паули большие компоненты функции D.13),
получаем для 5-состолния
7t)~3 (k*)'1 <& dr'e1* (г-г' > <sk<skM (r') o0 (г') я^
2
~?o(r) + e J B^)-8(^)-1rfk^(a(kXAJr(fe))?0@)-> 4^ . DЛ4>
Здесь учтено, что постоянная ?0@) является достаточным приближением к медленно
меняющейся волновой функции; кроме того, в последнем выражении заранее вы-
выполнено усреднение по углам в матричном элементе. Наконец, малые компоненты
волновой функции D.13) с требуемой точностью имеют вид
—гщ-ъ<Т)- DЛ5)
') На необходимость учета этой магнитной поправки нам любезяо указа» Нормая
Кроль. — Прим. asm
300 Р. КАРПЛУС и Л. КЛЕЙН
При подстановке приведенных волновых функций в выражение D.8) получаются
члены четырех типов:
^0 (г') r(j\ (г") -» ^ ?; (г') [ecJM (k) <j (р —I k A - V)) -f
+ а (р +1 к A + v)) eaJM (к)] ?0 (г")-* ~ j ^ <° ¦ V-) *>* (г') ?0 (г";, D.16)
о'г')«Рп@) ^(О)?о(-")] ,. ._,
^г— +" -р J, D-37)
12
% (r') e \ oF\ (r") -»¦ 21- у « (*ii> ?o (O ?0 (r"), D.18)
io (r'j e ' aFFi>0 (r") -*¦ 0. D-19)
Из симметрии уИ: (л:', .v") относительно г' и г" и из того обстоятельства, что
эта величина велика только иблиг.и начала, следует, что в выражение. D.8) можно
приближенно подставить разложение кулоповской волновой функции
ср0(г) = <?0@) A — Zctrtn),
сэ* (г') сэ„ (г") — I »„ СО) I- A — 2Zo.r'm). (л <ш\'
После всех указанных приближений матричный элемент принимает более про-
простой вид:
со 1
~7Т 2.
— 2 а Г Г
Мх = -г:- jj-o (ст • ji) I <р0 @) г к- I //и3 ^/s I ом ехр [— ism-u] X
X 14й
а
1 . 1
— A — 2Zar'tnJu{\ — u)e{s)\. D.21)
Интегрирование по г" и р выполняется без труда в силу равенства
JB1t)-e</r"exp[/rff(ik(l —-D) —p)j = 8(p—lk(l —¦»)). D.22)
Интегралы по /¦' и k приводят к выражениям вида
J B*)-W rfk^--' expl-—-wA?^,l { 1; fta; г'; л'&°; (//г^-i. (r') ) ==
= { 1; 0; 2 {iXn -JJA; -4 (Дп^)-"»; - (/ ^?J"; 2 (/V«)"lfc } (я .= 1, 2), D.23)
где
X, = A — v) B — и A — о)) [член с в (s)],
Л2 = 2A — чз) A — и) [член с <?(s(l— и))}. ( ' '
Интегралы по собственному времени представляют собой Г-функции. После
описанных операций М1 получается в виде интеграла по двум параметрам кип:
1 1
Ж, = 4 !х0 (вц) | ?0 @) |9 A J da 11 ^ { - 2 A - и) A - 2Z«e-'*XlA) +
О -1
+ [— 2Za + 4Z« (— 1) j [2 (и-'/.A — ^) —
— и"'-A-й)) (Al''— ^')— 2B — и — iW8)ir*ArI/kj}. D.25)
IX. Э/ТКТРОД'/ГИИТНЫЙ СДРИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. I. СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА 301
Отсюда при помощи табличных интегралов получается
^1=-|-l*o<«I*>l?o(o)le {^-l^-2 F0 Ш 2-23)}. D.26)
5. Члены второго порядка
Совокупность членов второго порядка в выражениях C.29) и D.5) теперь
следует рассмотреть так же, как были рассмотрены члены первого порядка,
только волчовую функцию теперь можно положить приближенно равной ее зна-
значению в точке, где расположено ядро:
40(лг)^?0@) <?-'«•*. E.1)
Для того чтобы выполнить интегрирование по координатам, удобно вернуться
к импульсным переменным, используя соотношения D.4) и C.6):
Ax.x Ax., -*¦ 4w*p^p., -j- 2/u|8jlv, E.2)
Дх„ Ах., Ддг^ —»• &w''p,,p pi -}- 4 /W EЛ.,/?^ -j- o.,\p., -'— Ъ^хр^).
После этого интегрирование по координатам дает о-функции Дирака, связываю-
связывающие импульсные переменные kv &.2 и р, в результате чего для /И.> получается
следующее выражение:
оо а
— о. Г С С
/И3 = т- s~^ds c?wexp[—»/ia(s—г»)! BЯ)-1 rfkjrfko^pexp [—iw(p94-r
4Я J J ' J
о
1
X И2 / -2" ^i J Y <*V (k, + k2) 8 (p -f-1 k, (wx - ee)) 8 (Po_m) ?0* @) { } ?0 @).
-i -l E.3)
Здесь скобки { } обозначают соответствующие выражения в C.29) и D.5);
члены последнего симметризуются по til и гц. Определение данных скобок
облегчается тем обстоятельством, что существенен только тот случай, когда
аргументы 8-функций обращаются в нуль, т. е. когда
кх = — k2, p = ykjAt> = — укэДг>; Av = v1 — о2. E.4)
Приведенные соотношения в совокупности с тем обстоятельством, что два век-
вектора поля являются сочетанием электрического поля с магнитным полем и что
конечное ин-гариропание по кх не дает нуль только в случае сферически сим-
симметричных членов, сильно упрощают выражение E.3). Легко проверить, что, кроме
антикоммутаторов ил C.29) и D.5), в выражении D.5) не исчезают только два
члена J):
; @) -J- of Mi АхЪ @) -> |- (<jji) | ?0 @) Г- BZa) gj E.5а)
?о @) [ТЯ, ^ Ах] ?0 @)->|- (<jji) | ?0 @) |s BZa) -™. E.56)
') Рассмотрим, например, первый член в C.20е)
Ч*о @) ДлгУ! Дл:/-% @) -> | ч>о @) |* D®^ (рЛ) (pJ^) + 2iw
имеем tfjM -= 0, поскольку УЕ = @, У^), Уж = (}ш, 0). Далее,
p</f (к,) pJ^ (kj -* - rnJ* (i Afk2JM (k2)) = 0.
— Прим. asm.
302 р- КАРПЛУС и А. КЛЕЙН
Антикоммутаторы определяются следующим образом [для сокращения ниже исполь-
используются обозначения C.20) и предполагается, что сделана подстановка E.2)]:
@) |« BZa) 4 (mW - m) [ 2? (s) - *, (s) -
* B? И - ex И - e2 («))] , E.5в)
^ @) [{ т (DV (S)-f у DV («,)), 1 o/* }+{7 (D2+ (S)+H. D^ (W)), A.
-> ^ 4 ( ^) I ?0 (°) I2 BZa) (- 2s) f №J™ (E (s) + (~J E («»))
-A*0s(E(S) + (^)8?(W))], E.5r)
- *?° @) { (t |f) (O (s) + О («)), tr (F'a^)) ?o (o) _>
((|)a) E.5д)
E-5e)
c?* @) {TFi Д*. -I aF2} ?0 @) -> JLy <aii> | ?0 @) |9 BZa) D«w До). E.5ж)
Один из экспоненциальных множителей сводится к виду
Е (s) = ехр | — ~ isk] &v B — Д-о)!, E.6)
в то время как остальные могут быть объединены [см. E.5в)];
id, 11
I Ж»! J -j Л»а («, (s) + е2 (s)) -> J | Л>, J ~ do8 e2 (s), E.7)
1 1
J
-1 -1
так что они будут взяты вместе с составляющими E.5а\ E.56), E.5ж) выра-
выражения D.5).
Затем, после введения параметра и = 1—(w/s), производится оставшееся
интегрирование по импульсам.
Соответствующие формулы имеют вид
J rfk ехр [ -1 &ft%] {1; (fe2)-1} = {8«'л(^)-%; 4^'(А4)-'/г}, E.8)
где Х4 принимает следующие значения:
Х1 = Дг) 2 — At») из
—и) из |),
« + (До)аA — и) из eg(s), E-9)
* + (ДоЛA — «) из
tX. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. I. СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА 303
Интегрирование по собственному времени дает, как и раньше, Г-функции
от полуцелого аргумента. После этого интегрирования получаются две составляю-
составляющие величины энергии сверхтонкой структуры:
Mi — -|- ;i0 (ар,) | с?0@)I2 BZ ~) Г у dv1 Г -^ dv2 Г с?м {4 A — ufu~°u X
-1 -1 0
X (ЯГ*-*»-*) + 4 A — и) и-'/г BХГ'/2-A-и) А2-"?)-4 («"'Д© A—bv) + и"''2
X XfV* — 4к"'- A — иJ Ьък2Ъ) = -I Н-о ('I1) I ?o (°) I2 4ZoB A — In 2) (о.
1
?o @) I2 ^) J4 <*°1 J4 ^2 J
— uf
Сумма всех трех поправок равна
6. Поляризация вакуума
Теперь мы получим составляющие для выражения, описывающего влияние
поляризации вакуума, которое обсуждалось в разделе 2. При применении ана-
аналога выражения B.14)
Жр = — е JV(r)YAP<Hr)tfr F.1)
совместно с выражением B.19) можно прямо использовать вычисленные матрич-
матричные элементы D.16) и D.17). Получающееся выражение
1 t/2 (l— -1-^
X \BT:)-bdrd\!Lelkr(rk'>- — -)m\dv ~—J—, F.2)
в котором применено разложение B.22), включает выражение B.23) в качестве
первой составляющей. Вторая составляющая содержит матричный элемент плот-
плотности электрического заряда. После подстановки
выражение F.2) принимяет форму, полностью соответствующую D.21). Интегри-
Интегрирование по пространству, импульсам и собственному времени выполняется здесь
точно так же, как и в указанном случае. Последнее интегрирование по пара-
параметру v дает
1
о I (%г) ](—\ 4fl) X
о
4A — *>*)-I/wl == — |-1»0<(трь)!
24 Зак. 573.
304 Р- КАРПЛУС и А. КЛЕЙН
7. Выводы
Выражения E.12) и F.4) дают две составляющие формулы Ферми
Таким образом, формула Ферми B.16) принимает вид1)
если учесть поправки четвертого порядка к магнитному моменту [2].
Полученные поправки вызывают изменение значения постоянной- тонкой струк-
структуры по сравнению с экспериментально найденным.
В обозначениях Дюмонда и Коэна [5j имеем
Г= 1,807а2-]- 2- Ю-6; 8 (а-1) =— 0,880а—-1,5 • 10-* = —0,0065.
Следовательно,
a-i = 137,0364 ± 0,0009.
Недавние экспериментальные и теоретические исследования [6, 15] проблемы
дейтерона показывают, что наша трактовка протона как точечного магнитного
диполя с бесконечной массой не является полностью удовлетворительной. Оценк*
необходимых в связи с этим поправок дается в статье [15].
Авторы считают своим приятным долгом указать на неоднократную помощь
со стороны Швингера и Кролля.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кое nig, Prod ell, Kuech, Phys. Rev., 83, 687 A951).
2. Каг-plus R., Kroll N., Phys. Rev., 77, 536 A950).
3. Lamb W. E., Retherford R. C, Phys. Rev., 81, 222 A951).
4. В e t h e H. A., Brown, S t e h n, Phys. Rev., 77, 370 A950).
5. Dumond J. W. M., Cohen E. R., „A Least-Squares Adjustment of the Atomic Con
stants as of December 1950" (A report to the Natl. Research Council). См. также
Phys. Rev., 82, 555 A951).
6. Pro dell A. G., Kusch P., Phys. Rev., 79, 1009 A950).
7. Sch winger J., Proc. Natl. Acad., 7, 432, 455 A951).
8. Sch winger J., Phys. Rev., 82, 664 A951) (см. статью VIII настоящего сборника).
9. F е у n m a n R. P., Phys. Rev., 84, 108 A951).
10. F e r ml E., Zs. f. Phys., 60, 320 A930).
11. Brelt G., Phys. Rev., 35, 1447 A949).
12. Sch winger J., Phys. Rev., 76, 790 A949).
13. Karplus R., Klein A., Sch winger J., Phys. Rev., 84, 597 A951).
14. Kroll N. M., Pollock F., Phys. Rev., 84, 594 A951).
15. Low F. E., Salpeter E. E., Phys. Rev., 83, 478 A951).
!) Приводимый результат уже сообщался ранее Карплусом, Клейном и Швинга-
ром [13]. Такое же выражение было получено Кроллем и Поллаком [14] другим методом.—
Прим. авт.
X. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ
II. ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ
Р. КАРПЛУС, А. КЛЕЙН и Ю. ШВИНГЕР
R. Karplus, A. Klein, J. Schwfnger, Phys. Rev., 86, No 3, 288 A952).
Вакуумные флуктуации фотонного поля и поля пар вызывают изменение взаимодей-
взаимодействия электрона с электромагнитным полем. Влияние указанного изменения на уровни
анергии описывается в работе с помощью представляющего ряд преимуществ метода,
основывающегося на введении оператора массы и потенциала поляризации вакуума.
С целью отделения той составляющей, которая относится к мягким квантам, когда внеш-
внешнее электромагнитное поле не может считаться слабым, используется операторное рас-
рассмотрение. Остальные составляющие выражаются в виде рядов по степеням поля. Допол-
Дополнительный сдвиг относительного порядка Z» по сравнению с опубликованными значе-
значениями для лэмбовского сдвига получается при подстановке в качестве внешнего поля
кулоновского поля ядра в результате вычисления матричных элементов операторов для
5-состояния водородоподобных атомов. Оказывается, что nS-уровень сдвигается иа ве-
величину
Теоретическое значение лэмбовского сдвига для атома с бесконечно тяжелым ядром
получается в результате равным 1058,42 мгц. Учет влияния конечности массы и размеров
ядра приводит к уточненным значениям 1057,8 и 1058,9 мгц для водорода и дейтерия
соответственно.
Введение
В предыдущей статье [1] мы рассмотрели влияние вакуумных флюктуации
фотонного и электронно-позитронного полей на движение электрона в заданном
внешнем поле. В частности, нами был приближенно выведен оператор массы
в виде разложения по полю до членов второго порядка, описывающий влияние
виртуального испускания и поглощения одиночного фотона. При вычислениях
предполагалось, что потенциальная энергия электрона мала по сравнению с его,
кинетической энергией. Полученное приближение оказывается достаточным для
вычисления поправок относительного порядка Za2 к сверхтонкой структуре
расщепления основного состояния атома водорода. Поскольку с указанной точ-
точностью рассмотренные эффекты разыгрываются на расстоянии от ядра, не пре-
превышающем комптоновскую длину волны электрона, то основное условие при-
пригодности разложения по полю является в данном случае выполненным. Однако
это условие, как известно, не выполняется, если обратиться к рассмотрению
лэмбовского сдвига [2] — электромагнитного смещения энергетических уров-
уровней 25i/2 и 2Pi/2. Уже самое первое исследование этой проблемы [3] показало*
что порядок величины сдвига можно вычислить, считая движение электрон»
нерелятивистским и используя дипольное приближение для виртуальных квантов.
Таким образом, данное явление зависит в основном от поведения электрона на
расстояниях от ядра порядка боровского радиуса, а не комптоновской длины,
волны. Это обстоятельство явилось причиной непригодности всех попыток пол-
полного рассмотрения лэмбовского сдвига с помощью непосредственного разложения
эффектов собственной энергии по степеням внешнего поля. Последующие рас-
рассмотрения релятивистских уточнений1) к вычислениям Бете показали, что в дей-
действительности недостаточность разложения в ряд является не очень существенной.
Посредством введения в релятивистские вычисления обрезания при низких
1) См. [4, 5] с поправками в [6, 7]. — Прим. авт.
24*
306 Р- КАРПЛУС, А- КЛЕЙН и Ю. ШВИНГЕР
энергиях можно связать результаты релятивистских и нерелятивистских вычи-
вычислений так, что с рассматриваемой точностью (поправки порядка Z<x In а и Z*
к формуле тонкой структуры) результаты получатся независимыми от пара-
параметра о'резания.
Цель настоящей статьи заключается в установлении поправок относитель-
относительного порядка Z<x к имеющейся формуле для энергетического сдвига. Основной
возникающей при этом проблемой является задача отделения нерелятивистских
эффектов, определяемых главным образом структурой атома, от релятивистских
эффектов, которые от деталей структуры атома почти не зависят. Было бы
нерационально пытаться использовать и в данном случае методы обрезания, при-
примененные в предыдущих вычислениях, поскольку с рассматриваемой теперь точ-
точностью эти методы не да от результатов, не зависящих от способа обрезания.
Можно, однако, доказать, что поправки к нерелятивистской части сдвига уровня
вызываются только тонкой структурой энергетических уровней агома и имеют
поэтому относительный порядок (Z<x). С другой стороны, релятивистские эф-
эффекты, которые с точностью до первого порядка по полю определяются пове-
поведением вначале, будут давать поправки относительного порядка Z<x при правиль-
правильном учете особенностей движения электрона как нелокализованного объекта
в неоднородном поле. В связи с этим, естественно, подобные эффекты будут
зависеть от скорости. Поэтому следует ожидать, что эти эффекты будут зна-
значительны только при больших скоростях электронов, т. е. тогда, когда электрон
находится вблизи ядра. Как раз при этом условии поле можно считать слабым.
Правильность приведенных аргументов подтверждается результатами настоящей
статьи
На всех этапах вычислений нами применяются операторы с матричными
элементами, свободными от инфракрасных расходимостей. Это становртся воз-
возможным благодаря использованию нового способа рассмотрения оператора массы.
В разделе 2 указанный метод применяется для нахождения полного сдвига
первого порядка без использования какого-либо искусственною обрезания.
В разделах 3—5 приводятся более точные вычисления. При этом оказы-
оказывается, что если выделить и рассматривать по методу раздела 2 некоторую
часть оператора массы, включающую известный нерелятивистский результат, то
остальная часть оператора массы при разложении по слабому полю будет давать
полностью конечный матричный элемент. В разделе 7 приводится и обсуждается
окончательный результат, в котором учитывается малая составляющая, связанная
с эффектами поляризации вакуума (раздел 6).
2. Новый вывод выражения первого порядка для лэмб^вского сдвига
Мы изложим здесь облачающий следующими особенностями метод рассмо-
рассмотрения оператора массы. Оператор рассматривается не в каком-нрбудь частном,
а в собственном представлении; перенормировка массы может быть выполнена
во всех порядках по внешнему полю. Оператор масс.и оказывается возможным
разГить на две части, одна из которых включает все составляющие, относящиеся
к медленно движущейся част! це, тогда как другая часть может быть разложена
по степеням внешнею поля. В этом разделе мы сосредоточим внимание на
методе отделения нерелятивистских эффектов. Начнем с рассмотрения структуры
оператора массы.
При помо.ци интегральных представлений B.3) и B.5) статьи [1| оператор
массы может быть записан п видег)
') Возможность включениямтожителя e\p\iq(x'—х")] представления Фурье в фото тиую
функцию Гри1а следует из калибро >оч того преобра.юва тия Ла (х) -*¦ А^ (х) + A/е) д^ (дх).
Пр. -»¦ Иц — 9A. 'фя учете соответствую цего изметепия фазы дираковских вол :овых
функций. Можчо также считать, что произведено смещение типа
ехр [1д (л/ — х")\ (х' [ Па | х") - (х' | ei'i»-u^e-ivr | х") =- {х' \ П,, - ^ \х").
— Прим. авт.
X. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. П. ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ 307
М = т0 — /в2 J Bit)-*rf*^ J' dsj dt exp [— infis \ ^x у Im — 7 (П — q) X
о о
00 1
Xexp [— is (m—qf—e^-aF} — itqA] Tx = mQ —ie* J Bir)-^ J s ds J u~
о о
о о
Xexp[— tsm»e]Tjll{m— T(U — ?), e-*?}Tx, B.1)
где
<p = — вв-ЧтС? — иП)J + 'и;^> = 5и-1(9 — аПJ — swei-oF + wJ^, B.2)
Ji? — квадрированный оператор Дирака:
ЗГв = — (тПJ + от2, е^1^^^)» B-3)
а параметры а и •ш, определяемые формулами
/ = wh-1, w = s(l— м), B.4)
имеют тот же смысл, что и в статье [1]. В том случае, когда внешнее поле
обращается в нуль
B.5)
можно переставлять дираковские матрицы в выражении B.1) с экспоненциаль-
экспоненциальным оператором и произвести смещекие
q^-*(q + Hu\. B.6)
Выполнив интегрирование по импульсам виртуальных фотонов, мы получим для
оператора массы в отсутствие поля
exp [— im^s^-iw^JIf] [4/re+2fII(l—a)], B.7)
для которого дираковская волновая функция является собственной функцией
с собственным значением, равным полной массе электрона [8]. Следовательно,
оператор массы в присутствии внешнего поля должен представляться в виде
М = М0AГП) + М, B.8)
где в М содержатся наблюдаемые эффекты внешнего поля.
Учитывая вид выражения B.8), произведем предварительное преобразование
Тху{«—Г[П— q\, е-<?}Тх = — {2m + fII(l—а), е~<ч}—A—а) [ПхПх. е~*Ц ]—
-4-{т + тПA-в), [Тх[Тх, «-''iD + yTxW^ —«Щ, в-")Тх- B-9)
Формула B.9) существенна в нескольких отношениях. Прежде всего, как
видно из B.4), близкие к нулю значения параметра а соответствуют большим
значениям фотонного „собственного времени" t и малым значениям фотонного
импульса. Следовательно, всякая инфракрасная расходимость, могущая войти
в оператор массы, будет относиться к расходимостям на нижнем пределе и = О
данного параметра. Таким образом, относительная степень в (а также на даьиом
этапе степень фотонного импульса) является характеристикой того, к каким*
сравнительно высоким или низким энергиям относятся составляющие сдвига
уровня, соответствующие различным членам B.9). Как будет показано, по край-
крайней мере для всех членов, квадратичных по кулоновскому полю, все инфракрас-
инфракрасные трудности содержатся в первых двух слагаемых выражения B.9). [Мы
можем полагать ^П равным —/ив тех членах, в которых (fll) является край-
крайним множителем.]
308 Р. КАРПЛУС, А. КЛЕЙН и Ю. ШВИНГЕР
Непосредственно для нас пажно сейчас то обстоятельство, что первый член
выражения B.9) совпадает с подинтегральным выражением в Ж0(^П), если заме-
заменить ехр (— щ) следующим образом:
ехр[—к>@)] = ехр[— isii^g* — iw&€\ B.10)
и выполнить интегрирование по д. Дальнейшее разложение физически суще-
существенной разности
[ехр (— /») — ехр (— i<s @))]
по степеням поля представляло бы собой повторение метода статьи [1],
относящегося к слабому полю. Из рассмотрения B.2) очевидно, что практиче-
практическая необходимость введения того или иного разложения ехр (— /«) вызывается
только неспособностью выполнить интегрирование по д в первоначальном выра-
выражении. С другой стороны, как уже отмечалось, разложение ехр(—/ср(О)) не
является в данной связи необходимым. Поэтому вместо прямого разложения
естественно взять разложение ехр(—io) вблизи ехр(—г©@)). После этого, как
будет показано ниже, удается получить оператор, матричный элемент которого
воспроизводит известную полную формулу для лэмбовского сдвига, включая
логарифмический член, полученный Бете. Значение указанного разложения проще
всего будет понять после вычислений.
Мы используем тождество
ехр [— Ь] = ехр [— /<s @)j + J dk ~ ехр [— Ь (к)}, B.11)
о
где, как легко видеть, величина
1
<р(А) = — su.-1 [f (д— XwII)]2-\- wего = su~l (д — Хи11J-j- л2su c-^-ar -\-w&v
B.12)
в пределе при X = 1 и X = 0 обращается в « и ® @) соответственно.
Разбираемый метод можно пояснить на примере рассмотрения1)
1 1 1
Г d^g Г dk ~ exp [— г» (X)] = Г d*g Г dk Г dv ехр [ — iv <э (X)] X
0 0 0
X his (?П — Хй1Р) + 2/Xsae ~ ofl ехр [— i A — v) >s> (к)]. B.13)
Спиновый член в B.13) имеет явный первый порядок по полю. Чтобы предста-
представить остальные члены в аналогичном виде, выполним интегрирование по частям:
1
I d*g -к— Г dv ехр [— гоо (X)] П^ ехр [— / A — t») ср (X)] = 0 =
1 1
dig I dv I dy {exp[—ггпга(Х)](—2isu~1v) (g — Хи11)„ехр[ — iv(l—J/)?(X)|X
J J ^
и о
X IV exp [—/(I—*) ? (X)] + exp [— iv в (Х)] П„ X
-гA— v)(l— .y)e(X)]} , B.14)
J) Мьг пользуемся формулой
d . exp [ — i<? (X.) — i ДХ <p' ().)] — exp [ — if (Щ
= J <fv exp l — lvi (Щ (- V (X)) c.xp[ -1 A -
получающейся после разложения первого экспоненциального множителя и перехода
к пределу. — Прим. авт.
X. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. II. ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ 309
откуда после соответствующего изменения параметра в двух слагаемых следует
Г d*q Г dv ехр [— ivy (X)] qR exp [— / A — v)<? (X)l —
о
1 V
= 2Хи J d*q Г dv Г dz exp [—i (v — г) ср (л)] Ц^ X
о о
X exp [— iz « (X)j П.А exp [— г A — v) « (X)j. B.15)
Мы можем теперь написать
J d*q J dk ^ exp [- /? (X)] = J* d*q J rfX 2X A exp [— /? (X)| =-
о о
l
= fd^ — expf— te(X)] x=o— frf4? f^(X2)(X2—-l)f-^Yexp[— to(X)], B.16)
о
причем
J d*q ~ exp [— /o (X)] )=n = J d*qisu exp (— от ф] Х
\ С С
Xj 2 rff ^гехр[—iSffw(v — ^)llla exp[—i$6wz] II(Ji exp [—i3vw(l—f)) —
о о
1
— С dv exp [—iefttwv] (д2 — e -^ aF] exp [— /e^w A — v)\ \ B.17)
J d*q (AJ exp [_ ь (X)] = J rf*9 isu (^) { 2 J dv J ^ X
X exp [— i (г» — г) в (X)] П^ ехр [— /2<р (Х)| П„. X
1
Хехр[—/A — w)<? J
B.18)
В дальнейшем мы не будем учитывать члены вида B.18), поскольку можно
показать, что они не дают составляющих лэмбовского сдвига периого порядка.
С другой стороны, выражение B.17) может быть приведено к виду, позволяю-
позволяющему связать его с первым членом B.9), так как экспоненциальные операторы,
входящие в соответствующее выражение в качестве крайних множителей, могут
быть заменены на единицу в силу уравнения Дирака. Получающееся выражение,
являющееся уже частично матричным элементом, можно записать после интегри-
интегрирования по q в виде1)
dv{\— г»)Пх[ехр(— iSVwv) — 1]Ы, \. B.19)
x) Скобками ( ) мы будем обозначать, что матричный элемент берется относи-
относительно состояний удовлетворяющих уравнению Дирака; обозначения ( H будут относиться
к матричному элементу для nS-уровня водородного атома.—Прим. авт.
310 Р. КАРПЛУС, А. КЛЕЙН и Ю. ШВИНГЕР
Проведем аналогичное рассмотрение для остальных слагающих выраже-
выражения B.9); поскольку эти члены обращаются при отсутствии внешнего поля
в нуль, оказывается, как это и должно иметь место, возможным выделить все
составляющие первого порядка без подсчета производных по X. Таким образом,
учитывая формулу
[Т,1. e~i<el = — j dv4v [ехр (~~ iw& Ь ехр (—г'(! — ¦») ?I =
о
1
= Г dv ехр (— го») [т^, — Ь] ехр (— / A — г>) ?), B.20)
о
мы находим, что второй и третий члены выражения B.9) имеют явный первый
порядок. Первый из них равен
(A— и) f d*q [кх[е-*, ъИ) =
dvlU.u ехр(— к>?) 2se (Т/=)х ехр (—/A—
о
1
П). ехр [— iS&wv] e (f F)}—е (^F)x ехр [—i
+ A — и) J dk J d*q ?• [Пх, ехр (_го? (X)) 2se (TF),, exp (-/ A -w)»(X))]). B.21)
о
При выводе B.21) мы применили формулу D.2) статьи [1], разложение типа B.11)
и выполнили интегрирование по импульсам виртуальных фотонов, используя при
этом в первом члене уравнение Дирака.
Ряд аналогичных операций приводит для третьего члена в B.9) к выра-
выражению
х, ехр (—• икр) is I Tx, e±-aF\exp(—i(l— »)»)]) =
0
X ехр (— i^fw A — v)) + ехр (— i^?«w) [ть в ^ о/7] 1тх. ехр (—i#?w A—о))]} -
1 1
~~ Т н / dk S dv J d"q Ж [fx' exp (~iv?(X))& x
о о
X [тх. в 4 о/*] ехр (- / A - v) ? (к))]). B.22)
Второе слагаемое выражения B.22), которое входит в часть оператора, опреде-
определяемую при к = 0, имеет явный второй порядок по полю. Это слагаемое запи-
записано в исходном виде для того, чтобы показать, что его появление связано
с некоммутируемостью дираковских матриц.
X. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. II. ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ 311
Теперь остается оценить последний член B.9). Используя равенство
1
Г diq-{q ехр (— /») = Г d*q \ dv ~{\ ехр (— ига) и Пх ехр (— i A — 1») «), B.23)
о
доказательство которого аналогично доказательству B.15), можно написать1)
1
J* d4q {^ (q — иП), е~1ч} = J d*q j* dv {-ft, ехр (— го») мПх ехр (— i A — ¦»)?)} —
о
— {tПи, е-*?} I = J d4q ^ dv {[^, ехр (— го»)] иНх ехр (— i A — v)<o) —
о
— ехр (— i A — v) с?) иПх [^х, ехр (— да)] -j- [ехр (— го»), ^Пи] X
X ехр (— / A — v) <р) — ехр (— i A — v)») [ехр (— го»), ^Пи]}. B.24)
Первые два слагаемых из B.24) лишь несущественно отличаются от оператора,
определяемого формулой B.21) и, как можно без труда проверить, имеют вид
iiz4h~1 J dv A —1>) «т^Х ехР (— i&etiov) II,. — Пх ехр (— г
о
1 1 в
-j- j d\ j d4q j dv j d2~ {exp [— г (г» — г) в (X)] 2иив (^Кехр [— гг« (Х)]Х
О 0 0
X Щ ехр [— / A — v) ? (X)] — ехр [— i A — v) о (X)] Щ X
X ехр [— /г» (А)] 2«ме (f/^ ехр [— i {v — z)<s (X)]} ). B.25)
Наконец, остальные члены выражения B.24) мы преобразуем последовательно
следующим образом:
1
/ Г d*q Г dv {A — v) exp (— го<?) Bisu) [qR, ^Щ ехр (— i (I — v) «) —
о
— г» ехр (— го?) Bisu) [qR, 4П] ехр (— i A — г»)«)} \ = / Г d*q ( dv \ dz 2/sw2 X
о о
X A — 2г>) {ехр (— i (v — z)«) П>. ехр (— iz<?) [Щ, f П] ехр (— г A — v) ®) —
— ехр (— г A — v)») [Пъ тП] ехр (— izd) Пх ехр (— i (v — г)«)} ) =
= /2/it2«*s~I I dvv{\—v) {Пхехр(—igfflwv)e{"\F\—e(f/7)),exp(—iS&wv)R\}-\-
0
1 1 v
j dv ^ dz{2isa2){\ — 2v){ }V {2.26)
о о
') Отметим, что имеет место равенство
Т{(
Можно показать, что последние два слагаемых имеют по меньшей мере второй порядок,
поскольку главный член их /.-разложения обращается в нуль после интегрирования
по q. — Прим. авт.
312 Р- КАРПЛУС, А. КЛЕЙН и Ю. ШВИНГЕР
В последнем случае скобки { } обозначают соответствующее выражение из пре-
предыдущего равенства, в котором только вместо « подставлено <?(А). При полу-
получении B.26) мы использовали соотношения, аналогичные B.20) и B.15), пре-
преобразовали для удобства параметры и выполнили интегрирование по д.
Объединим теперь результаты B.9), B.16), B.17), B.21), B.22), B.25)
и B.26). Если пренебречь всеми членами, о которых было указано, что они
имеют по меньшей мере квадратичный порядок по полю, то мы получим для
оператора массы B.1) приближенное выражение
<М> = «о + -^ / s-1 ds f du A -f и) ехр [— ism.4] — {—} J ds J du2u(l-a)X
oo oo
oo 1 1
X exp [— ism4\ / e ~ oF\ -f ~ j* ds J du 2u A -f- и) ехр [— ism?u\ j dv A — v) X
0 0 0
oo 1
X <ПХ [exp (— iSBwv) — 1 ] Пх) + -^ J ds J du exp [— ism*u\ X
X / dv [A — a) + и A — v) — u?v A — v)\ { e {^F)x exp (— iSVwv) Ux —
о
— Пхехр(— i§Bwv)e{4F\). B.27)
При используемых в этом разделе ограничениях (ограничение членами, имеющими
явный первый порядок по полю и рассмотрение матричных элементов для состоя-
состояний, удовлетворяющих уравнению Дирака во внешнем поле) предпоследнему
слагаемому из B.27) можно придать форму, подобную форме последнего сла-
слагаемого из этого же выражения. Выполним сначала интегрирование но частям
по параметру собственного времени
оо
J / {тЧ)-1 -^ (ехр [— ism^u]) [ехр (— i36wv) — l]ds =
о
со
= — v(l — и) (тЧ)-1 Г ds ехр [— ism?u\ &в ехр [— iSW-wv], B.28)
о
так как вынесенный за знак интеграла член исчезает. Далее, отметим следующее
преобразование:
Щ) = (Пх (т — fll) (m -f ТП) ехр [— i
= ( 2тИх (т -\- ТП) ехр [— ifflwv] Пх — [Пх, fU] ехр [— iStfwv] (m -f- ТП) П,.) =
== (— ime {*{F\ ехр [— i3№wv\ Пх -\- imllx ехр [— iSffwv] e {•\F)X —
exp [- iitfwv] (tF)x). B.29)
Пренебрегая слагаемым B.29), имеющим явный второй порядок, мы после выпол-
выполнения элементарных интегрирований в спиновом члене получаем, что оператор
массы может быть записан в виде
оо 1 1
"h. / ds J du exp [~ ism'u] § dv\\ — 2v {l — v) — uv-\- иЧ A — v)\ X
oo о
X (e(iF)i exp [— i&ewv\ Ux — Hx exp [— i?Vwv] e {^F\). B.30)
X. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. П. ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ 313
Здесь т означает уже перенормированную массу, второе слагаемое соответствует
известному изменению магнитного момента, а последнее содержит, как будет
показано, правильное выражение члена зарядного взаимодействия.
Последнее утверждение может быть доказано несколькими способами. Пред-
Предварительно отметим, что, если отбросить оператор ехр (— iefflwv), то зависящий
от поля множитель примет вид
, B.31)
где Д—ток, соответствующий внешнему полю. В этом случае остающиеся
интегрирования могут быть выполнены тривиальным образом. Однако получаю-
получающееся выражение
[/*{] B-32)
оказывается неудовлетворительным. Оно содержит логарифмическую расходимость
на нижнем пределе и = О, связанную с „инфракрасной катастрофой". Выраже-
Выражение B.32) представляет собой как раз тот результат, который получился бы
в случае использования прямого разложения по степеням поля при ограничении
низшим порядком, подобно тому как это делалось в статье [1]. С другой
стороны, наши усилия направлены по существу на то, чтобы найти экспонен-
экспоненциальный оператор, который позволил бы получить правильное описание атомной
структуры. В связи с этим достаточно специально рассмотреть лишь слагаемое,
содержащее множителем [1 — 2^A— v)], поскольку только оно расходится на
инфракрасном пределе. Выполним интегрирование по частям
1 1
J* du ехр [— is (тЧ — &6v A — и))] = J* du ехр [— isS€v A — и)] X
X (— ism2)-1 -^ ехр [— ism2u] = (— ism2)-1 [ехр (— ism2) — ехр (— is
du mvm-2 exp [— is (тЧ -f 3tiv A — и)]. B.33)
-f- J
о
Второй член выражения B.33) приводит к составляющей второго порядка в силу
, Пх]>. B.34)
Искомый оператор примет, таким образом, вид
1 со
^ffdv(l — 2v(l— v)) fs-*ds (e(TF)X [ехр (— ism*) — ехр(- is&€v)\ Пх —
о о
— Пх[ехр(—ми») — ехр {—is^v)\ e(fF)х> = —-^ J dv(l — 2v(l ~v))X
X <е (Т^ '«-? П, - И, 1п -^ е
если сделать подстановку
^[] B.36)
где ko{nQ, l) представляет энергию возбуждения как функцию от главного и ази-
азимутального квантовых чисел, определенную и вычисленную Бете [9]. Обоснова-
Обоснование этой подстановки дано в приложении. Следует отметить, что матричный
элемент ^J нужно подсчитывать для состояния (к0, 0).
314 Р- КАРПЛУС, А. КЛЕЙН и Ю. ШВИНГЕР
Составляющая периого порядка матричного элемента может быть теперь
выражена через эффективный оператор
J ^0 (*') М, (х1, х") ^ (х") dx' dr" df =
В случае S-состояния выражение B.37) дает известный результат для сдвига уровня
энергии, если добавить в член зарядного взаичоце .ствия слагаемое (—1/5),
входящее из-за поляризации вакуууа. При завершении подсчета следует учесть,
что оператор в B.37) является диагональным в координатном пространстве.
Интегрирование по координатам, отмеченным двумя штрихами, выполняется затем
тривиальным образом и из выражения ижлючается время, входящее через
посредство функций стационарного состояния
Фо(*) = Фо 0") «-**¦*¦ B-38)
Далее, имеем
B.39)
2^ ^) B.40)
для сферически симметричного состояния после сведения ty к большим и малым
компонентам. Получающиеся сдвиг уровня эгер!ии, включающий член, обусло-
обусловленный поляризацией вакуума, равен [9]
---l- B-41)
6 5 I
п^ Зг. I 2k0 (я0, 0) ^ 6 5
Для состояния с 1ф0, в случае которого входят только член спин-орбитальгого
взаимодействия, получающийся из спиновых слагающих, и член с логарифмом,
аналогичным образом находим [9]
АЕ(п0, Г) = -Т- — Яу\\п 1 Ч- \, B.42)
v 0> ' п\ Зг. Ч А0(л0,0 8 2/+lJ V
где
СУ=7Т1 Для У = '+¦§-• B.43а)
Сц = —1 для У = / — \. B.436)
Смысл рассмотрения настоящего раздела может быть, повидимому, лучше
всего разъяснен посредством следующего замечания; можно сказать, что вместо
того, чтобы разлагать зависящий от поля экспоненциальный оператор вблизи
его значения для свободной частицы
с» 1 1
^ B.44)
0 0 0
[см. B.27) и B.32)], мы „разложили" этот оператор вблизи зависящей от поля
величины
оо 1 1
* J ds J da exp [_ is («*« + #?(!-«)*,]= f da --Л-—; B.45)
X. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. П. ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ 315
[см. B.33)]. Тем самым мы сохранили естественный нижний предел частот вир-
виртуальных квантов, определяемый структурой атома. Наш метод достаточно гибкий
в том смысле, что позволяет всюду, где можго считать вычтенными все не-
нерелятивистские эффекты, разложить на каждом этапе остающуюся часть опе-
оператора в степенные ряды. Метод, ведущий к более полным вычислениям, осно-
основанный на изложенных соображениях, приводится в следующем разделе.
3. Разложение оператора массы
Разложение в степенной ряд и перенормировку массы можно просто выпол-
выполнить с помощью описанного выше Х-процесса. Подобный способ особенно удобен
для отделения релятивистских эффектов, вызываемый которыми сдвиг уропней
не зависит от деталей строения атома. Соответствующие члены обычно опреде-
определяются степенными рядами. В отличие от этого зависящие от структуры атома
поправки, связанные с виртуальными квантами малой энергии, не могут рас-
рассматриваться с помощью разложения по слабому полю. Для их получения при-
приходится, следовательно, применить описанный выше метод. Нужно отметить, что
указанное разделение никоим образом не является однозначным. Сделанный здесь
выбор основывается только на соображениях удобства и связи с вычислениями,
выполненными в статье [1].
Рассмотрим оператор
оо
U (А2, п) = — /е2 f 2n-*d'q f srfsa-2exp[— ism2a]i-^ {m — т11A — и)-\-
o
+ XT (q — ХШ), exp [- to (X)] } v C.1)
Здесь значение интеграла по и равно, очевидно, при X = 1 электромаггитной
добавке к массе электрона. Для отделения изменения массы покоя от эффектов,
зависящих от поля, разделим оператор на две части
$ (X2, и) = %А (X2, п) + %в (X2, и), C.2)
¦получающиеся естественным образом при исключении дираковских матриц Тц
«з C.1):
'X2, и) = /е2 J B*)-4*q J s ds и~2 exp [— ism.4] X
о
Х{2/и + тПA—и), ехр(-Ь(Х))}, C.3а)
ОО
^в (X2, и) = — /<?2 J B7г)-*^<7 J 5 ds и-2 exp [— isrtf-u] X
— та), ехр(-;?(Х))}Т„ + 1{/п + ТПA— и) X
XIV 1ехР[— '?(*)] Т,Л 1 +A—«) [П^[ехр[—Ь(Х)], TJl). C.36)
Для перво \ части получается особенно простое выражение при X = 0. Интегри-
Интегрирование по импульсам виртуальных фотонов может быть тогда выполнено, при-
причем в результате получается
316 Р- КАРПЛУС, А. КЛЕЙН и Ю. ШВИНГЕР
т. е. перенормировка массы, обсуждавшаяся ранее в связи с формулой B.7).
Физически существенные составляющие оператора массы, таким образом, содер-
содержатся в выражении
1 11
M = J"rfa[3f(l, «)-3?л@, a)]=frfa[8fB(l, и) + /Ла(-^) %А(Xе, и)]. C.5)
в оо
Выкладки, выполненные в разделе 2, показывают, что эффекты первого
порядка, связанные с мягкими виртуальными квантами, полностью включаются
в выражение [см. B.19) и B.21)]
о
Отсюда следует, что подстановка
М = М0 + М\ C.7)
1 1
М' = / du / dk* [&B (X», и) + A - X») W1 (Ав, «)] C.8)
а о
отделяет составляющую, для которой разложение в степенной ряд является
наверняка непригодным, от составляющей, которую можно пытаться рассматри-
рассматривать с помощью подобного разложения. Обе составляющие нужно определить
с требующейся степенью точности; в первом случае будут применены методы
раздела 2; вторая же составляющая будет получена и виде степенных рядов.
Правильность такого рассмотрения требует особого доказательства.
Калибровочное преобразование (см. примечание на стр. 306)
И;1-^ + ^-<7, C.9>
с
Л=1 —и + а2и C.10)
позволяет выразить координатный матричный элемент от Q? (X2, и) в виде про-,
изведения эффективной фотонной функции Грина на эффективную электронную
функцию Грина, взятых в представлении собственного времени:
(Х«, и) | х") = — le* f s ds exp [- im*s] (j-J u~* (— i) (^O"" X
о
Xexp [^рЦ (xf |-iT, {«- АТП, exp [is' (TU)»]} T|l| *"). C.11)
В указанных двух функциях в качестве параметра собственного времени высту-
выступают величины
Хотя приведенное выражение не имеет физического смысла для значений X, не
равных единице, оно все же является полезным, так как зависимость от элек-
электромагнитного поля теперь полностью входит в операторы, разложения которых
по слабому полю приведены в работе [1]. Действительно, матричный элемент C.11)
получается непосредственно из C.29) статьи [1], если отбросить там члены,
зависящие от собственного времени w, заменить всюду в больших скобках .у
на s' и умножить все члены, связанные с операторами импульса, на множитель А.
X. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. II. ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ 317
В результате получается выражение
оо
(х' | $ (X2, и) х") = — /я Dя)-» Г — ехр [— Ш25] Ф (х\ х") w~2 X
- { МВ+ (s') -4- (т 4f) В (А Т о/? } + [ATS- (О, у
E'), ~ ]
1 - i [ATG_ E'),
Здесь через ^ обозначено разложение в степенной ряд оператора % с точностью
до членов второго порядка. Разложение в степенной ряд для %А (X2, и) полу-
получается аналогичным образом. Подстановка C.9) в выражение C.3а) позволяет
легко выполнить интегрирование по q, что дает
{к\ и) | *") = i«s J 5 rf5 ехр [- ism*\ (j-f (-1) DтгО~2 X
о
X ехр [/ Щ (д/1 { 2т + ТП A - а) + ^ат -^) , ехр [и' (ТПJ]} | х"). C.14)
Разложение данной величины в ряд может быть получено из C.14) и C.19)
статьи [1]:
:_ /д—Ч-З С S рул Г rm^ci (Т) (х1 у"\ qn-1 V
J S
(т 4г)DS E')> то/71} -''[A - и) ^°- (s'} tr (/Г1о/7^1 - * {(! - «> т
/?1 [в ^5') то/="+Dl ^ iо/72+°2 № ioF1
¦+¦ О И (Те у /71/72* - г"(г (/:'!а'р2))] — 2 A - а) Т0- E0 Тбу ^Z72*). C.15)
Степенной ряд для матричного элемента $в (X2, м) получается проще всего вычи-
вычитанием C.15) из C.13).
Отметим, что приведенные степенные разложения функций f?(X2, и) и 3?А(Ха, и}
не содержат явно X2 и зависят от X2 только через А.
,318 Р. КАРПЛУС, А. КЛЕЙН и Ю. ШВИНГЕР
4- Определение М'
Вычислим теперь матричные элементы для степенных рядов операторов Q?,
$а и $в в слУчае ^-состояния водородоподобного атома. Указанное вычисление
проводится точно таким же образом как и вычисление в разделах 4 и 5 статьи [1].
Единственное отличие заклю 'ается в том, что теперь внешнее поле состоит
только из одного электрического поля ядра. Используя преобразование D.1)
статьи [1] в случае Q? и $А, получаем для членов, линейных по полю, выражения
оо
(*' | & (Х«, и) | х") = ? J Ц ехр [- im*su] J B«)-"* </*/«* д- X
(i2
\\ S
D.1)
(*' I &u (Xя, a) I*") = J J ? exP f- ™25Ml J <2:r) d^e* "X X
о
X exp : - iw (^ + W2)l /e J d*k [ Bm"w B - ^) +» ^) (e (sf) - 1) T ^ +
4-1 A — u) v* (s' - w) e(sr) T/ -j- m (i2s'—w) e {s')-w B — ^) (e E';-1)) -iaFJ.
D.2)
Отсюда следует
oo
»,«) I *") = й / t exP I— /m5sBi J t2*)"' dV«*л" X
0
X exp \—iw (p2 + /re2)] is J rf4^ I ~ (A E' + да) —
))е;«')Т-/— 2mA(s — w)e(s') у o/r}- D-3)
да)
Кроме того, в ^ входят имеющие явны i второй порядок члены С, D и G,
являющиеся аналогами D.5; статьи |1 , а f? и ^д содержат еще член
(л:' | 3=0 (а) | л:") = - /a Du)- J ? «,-" ехр [/ ^J Ф (*т, х") Dт + Т 7) • (И
о
не зависящи i от X.
Входящие в матричные элементы волновые функции в кулоновском поле
могут быть приближенно ириравн '.ны волно.!Ы\1 функциям Паули; точное пред-
представление для волновых функци следует брать только вблизи положения ядра
(см. D.12', D.2 ) и E.1) статьи [t|i. После этою операторы, входящие в $,
либо дают нуль, лию переходят в следующие выражения (ср. E.2) и E.4)
X. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. II. ЛЭМЬОВСКИЙ СДВИГ 319
статьи [1], а также соображения, приведенные и связи с E,5) статьи [1|):
То Ю eV% (О -> 2Za \ ?0 @) |а A _ 2Zy.r'm); D.5а)
D.56)
,2 2imw'1 Av; D.5b j
'¦?o CO) i2 ''ffi' — ; D. о г)
, (г') е* (Л i Ax) (vy^) 60 (r") -> BZaJ | ?Q @) |2 2w -™ ; D.5д)
i0 (r'j ^ (Ах/1) (Ал:/2) 60 (г") -* BZ-/J1 <р0 @) |2 Dm2w2 — 2/ау); С4.5е)
2Zc(f\ во(О)|й(— «¦ш8/я;5+ 12/да%); D.5ж)
D-5з>
То (r'j ^ ! 1; Т A.v J | К Ах A + »а) — А, Д* A — fj] У '7»60 (г") -+
-> BZaJ1 <р0 @) |2 ^2да дФ B __ дФ) 11 - _2wm }; D.5и)
То (т>) е* {1; т Ах} (/yifi Ал A - «,; — /У1/72 Дх A + v,)) % (г") -*
-> BZaJ1 в0 @) I2 w Av B — Av) [ 1; — 2даи j; D.5к)
f ^(OBZJ;@)!2 <-1: ^да> ; D.5л)
4
D.5м)
То (г') ^2 (Р1) (^J'2) Фо (<•")->% (<•')е* (Р2) (AxJ1) % (r")^BZocJ1 ?0 @) |2 2mw; D.5,,)
J ! ?0 @) |2 Р [е. (s') -4- е.2 (s')] 2mws'. D.5o)
Здесь в формулах D.5а) и D.56) приведены операторы, входящие в $j,# фор-
формулы D.5в) — D.5д) связаны с D.5) статьи [1]; формулы D.5е) — D.5л) отно-
относятся к члену второго порядка С(/), формулы D.5м) и D.5н) связаны с членом
второго порядка С+1Л (а*'); наконец, формула D.5о) дополнительных разъяснений
не требует. Интересно отметить, что совокупность членов, рассмотренная здесь
в связи со сдвигом уровне!!, и совокупность членов, входящих в тонкую струк-
структуру, не перекрываются друг с другом. Это обстоятельство является следствием
ортогональности двух векторных потенциалов.
25 Зак. 573.
320 Р- КАРПЛУС, А. КЛЕЙН и Ю. ШВИНГЕР
После указанных подстановок матричный элемент оператора $ (А2, и) для
5-состояния примет вид
(8? (*2, и))о = < So (и))о + 2Z«21 ?о @) i2 J т ехр [~ "И<25И] {'Х
X J \dv J Bк)-а dkrfr' ехр Г— iw\k*{\ — г-2)] A—2Zar'm) f
1 I),
ldv1 j 1 rfw2i2 J Bт:)-2dkj ехр [— ш \k\ (Avf 1 [
±
X J Bт:)-2й?к2 ехр Г— iw i- ft" (Д^J1 ["to» f 1 — yj X
Оставшиеся в последнем выражении интегралы по координатам и импульсам
имеют вид D.23) и E.8)статьи flj, а также
J Bтг)-3 dr' dke*r (ехр Г— is \ k%l _ l) jg = _ -L (is^f3*-4, D.7a)
J B.
Величины 7jj принимают следующие значения:
¦4, = 2A— v)[l— «(l—ix«(l + «F))]; ^, =A—^) A-й), D.8a)
ila = 2 Д^ I" 1 — и (l — \ X2 B — A*))] ; ^ = (Дг>J A-й), D.86)
^1 — и). D.8в)
После интегрирования по собственному времени окончательно получаем
<3? (^ и))о = <3?о («)>о + B^2 li2^J!) X { / у ^ [- т А A - Л «-2 X
X B A — и2) — и A — и)) + Аи-1 (l — и +1 Х«и A — f2)) _ 1 и-1 A _ и) А +
+ 2Za (a-V. (Т(;/2 _ ^,) ^_ A _ вв) _ | и A _ ц)) _
X. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. П. ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ 321
1 V,
+ 2Za f±dvx Jl^a[_3(l-H)H-V2(^_^)(i(l-«2
+1 Аи-'Ц-'А DA — и2) A«f B — A«f) — -1 A + и) X Л Д*» C —
1 1
+ A — и)» (ДяJ + A — а) А До A — A«f))] -f- 2Za J I rf«F, J -i «foa X
-l -l
X [и-1/э «• - ^) (i - «) - \ «-% «/2 — v'-'O X
X(l - «J (A — «) (Д«0а — A -j- a) «f, A*)]}. D.9)
Аналогичным образом получаются выражения для $• ^ (л2, и) и ^в (Ла, и):
&4 (X», «)>0 = (%0 (и)>0 + BZa2 l-^g^) X
1
а) + 2Za (и-«/. (^/, _^) A A — „'2) — | я A _
1 j,
a | -i-rf^ J i rf^2 [-3M-5/,A-й) X (r,V. -<
-l -l
^ и-'Цг1'' A — м) (у A + «) Л Д^ B — Д^) — -2- Л2 А© C —
«J(Д^J + ЛA- u)Av(l - A«f))] +2Za J-i rf^ J lrf^2 X
X (A — и) (A«F)» — A -|- a) ^ A«f/| J D.10)
+ А — 2Z« (i- B-V-itf, (Л (А + 1 — в) —
1 и,
+ IZz J I rf«Ft J 1 rf«F2 [1 a-'^-1^ A - a) X
i i
]} D.И)
Исследование этих функций показывает, что они обладают особенностями при
и —0. Слагаемые ^А первого порядка ведут себя как и~2, слагаемые вто-
второго порядка — как и~5/-; особенности в $в на одну степень ниже. Однако из вида
зависимости А и -г^- от X2 следует, что дифференцирование по этой переменной
будет приводить к уменьшению расходимости на одну степень. Отсюда следует,
что вторая производная от %А и первая производная от %в будут представлять
25*
322 ''• КА1М1ЛУС, Л. КЛЕЙН ii 10. ШВИНГЕР
собой конечные интегралы по переменной и. Матричный элемент оператора,
определяемого C.8), может быть, следовательно, приближенно представлен в виде
степенного ряда; соответствующие величины могут быть без труда выведены
из выражений D.10) и D.11). В результате получается
; UH} D.1»,
Как будет видно из результатов следующего раздела, интегрирование по /.-
в выражении C.8) полезно провести до выполнения остальных операций. В этом
случае можно записать
1
{M'H=fdtt{(&[l, и) —$л@, «))—5в@, и) —Зл@, и))о, D.13)
о
где правая сторона попрежнему, конечно, разлагается по степеням внешнего поля.
Хотя интегралы от отдельных слагаемых в D.11) оказываются расходящимися
и их, строго говоря, не имеет смысла рассматривать раздельно, мы все же
выпишем их значения:
j du {%в @, и)H = BZ«2i^l2) {(- in a),,.,0-l_Za [4 (и~Ч%=0- 4*1}, D.15)
A
/du {&л @, а)H - BZa« Mi*) {- А (- in «)„„„ - ^ +
[|(«-'-).во-^-]}. D.16)
5. Определение Мо
Чтобы завершить определение матричного элемента оператора массы для
S-состояния, нужно подсчитать составляющую C.6). Рассмотрим по порядку обе
части этой составляющей.
После определения значений коммутаторов [см. B.20)] и выполнения инте-
интегрирования по импульсам в операторе ^в @, и)
оо
<3?в @, и)) = — ?( J ds exp [— ism.4] I Aimu (I — и) е
о
е J rf-o B — и) (Ha exp [iwStf'O] (f/7),. — (т/% ехР 1— '»*] П,,)
о
1
J
ma A-е) (i^),, exp |—
члены первого порядка могут быть отделены от членов второго порядка. Далее,
в S-состоянии и в членах, имеющих явный второй порядок, можно пренебречь
полем в экспонентах и взять обычное приближение для волновой функции. Пере-
Переход к импульсному представлению для экспонент облегчает интегрирование
но времени в матричном элементе (см. D.6) статьи [1]). Дираковские матрицы
исключаются из выражения в силу того, что отличными от нуля диагональными
X. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. II. ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ 323
элементами обладают только матрицы f0 и — "i\- В частности, последний член
выражения E.1) при учете B.18) статьи [3] принимает вид
е2 ((т/% ехр [- tw&Bv\ bF)J0 ->
-* К@) |2 е2 J Bя)-з rfp ехр [- шр'М (J </г'/%, (г') е<рг') (J Л-"/у, (r") <Г':р1"') =
= 16 (Zz? | % @) 2 J ^ ехр [- «*«/>*] = 8 W I ?о @) Р (^f. E.2)
Первый член выражения E.1) крайне прост [см. B.40)]:
(те ~ ?F (г))о = - 1-Za | <р0 @) f. E.3)
Часть остальных членов выражения E.1) преобразуется соответственно B.33)
к виду
с J da exp [— ism*u] (Па exp [— iwS
0
= -— (Ga exp [— iw$$v —
-\ -,- du exp I— im2su) AJ7 SB exp [-
о
= J~ (П, (exp [-wA] - exp [- is3&v\) (-(F).,) -
i
—1~ Г rf« exp [— isnfiu] ((ff), (m — уП) exp [— iwM!v\ {-iF)\. E.4)
0
После симметризации последнего выражения матричный элемент для членов пер-
первого порядка определяется при помощи B.35), в то время как в случае членов
второго порядка матричный элемент можно получить, основываясь на замечаниях,
приведенных перед формулой E.2). Последнюю составляющую удобно проинте-
проинтегрировать по s по частям:
со
ds(—2u-\-u2) ехр [—ism2u\ A1^ ехр [—iw?78v] ("(F),,) — (i —j- J {eil^F),,)—
о
с»
— A — и) v J dsexp [— ism*u] ((fF)^(m — fll)exp [— iw&6v\ (iF\x)] . E.5)
Полный матричный элемент ^в@, и) будет, следовательно, равен [см. B.35I
t
со
2 -f- и -\- A — и) -j- ZfltT:-1.'» J rfs exp [— /sot2h) X
X I— 32 (ism2)V» A — iifl* u(l—v) v-ll° -f-16 (is
4-16 (/s/B2)-V= ^ B — и) A — ф] }, E.6)
откуда следует
i
J du ( ^B @, «)>0 = BZ«2^f) { .„ g-^ + 4,Z, }. E.7)
324 Р. КАРПЛУС, А. КЛЕЙН и Ю. ШВИНГЕР
Оператор ^@, и) [см. B.19))
оо
{фА @, u)) = -fcf I ds 2m B -j- и) ехр [- isnfiu] X
о
1
x(^eoF+2 fdv(l — v)B^exVl-iw$Vv) — 1)П„) E.8)
о
определяется аналогичным образом. Он дает составляющие
Если добавить эти составляющие к выражению, получающемуся из членов
разложения в степенной ряд D.12), то получится полный сдвиг S-уровня, свя-
связанный с оператором .массы1):
Если сравнить этот результат с выражением D.14), то становится ясным,
что точное определение эффектов мягких квантов может быть дано следующим
образом:
( 2 . , . 76 „ ,,\ 2 , т ,13 /г их
— -г (— In И) — й- Z<XU-*" -У -,,- 1П —г- ггг + — . E.11)
\ ^ &д /it—(I 3 t-KQ \ilQ) "} JO
Последовательно усиливающиеся инфракрасные расходимости в степенном ряде
являются результатом разложения логарифма из правой части по нулевому зна-
значению энергии k0 „свободной частицы". Сравнение показывает, что поправок по-
порядка Za к самому логарифму нет. Это неудивительно, поскольку релятивистские
поправки к структуре атома водорода имеют относительный порядок (ZaJ.
6. Поляризация вакуума
Теперь нам остается подсчитать составляющую сдвига, появляющуюся из-за
поляризации вакуума кулоновским полем. Энергия возмущения в этом случае
имеет вид
(МРH=е fdr%(r) VF(r)%(r)= f Bir)-»rfrrfk%(r) eVF(k) eik'r% (r), F.1)
где, согласно B.19) статьи [1],
оо 1
eVP(k) = — Zoc2 С ids \ dvv*(\ — ~v2)ехр \ — ism*—-is ±-&2A— v)] . F.2)
о о
Используя обычное приближение для волновой функции B.22) статьи [1] и инте-
интегралы D.23) статьи [1], сразу получаем численный результат
-A-j-.A^Zal. F.3)
7. Сводка результатов
Подстановка значения волновой функции для атома водорода
1) Такой же результат был получен в вычислениях Барапжера [10]. Мы обязаны
Бете, сообщившему об этих вычислениях, и Баранжеру, предоставившему экземпляр своей
диссертации. — flpu.v. авт.
X. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ СДВИГ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. II. ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ 325
(я0—главное квантовое число) в формулы E.10) и F.3) приводит к следующим
более наглядным выражениям:
Вычисленные в настоящей статье поправки высшего порядка 'соответствуют
дополнительному сдвигу 25-уровня па величину1)
14
g [ Зкз (l + ii _ 1 щ 2 + A) j Ryoo = 7,
Для полной оценки поправок до относительного порядка я к сдвигу 25i/2—-2A/S
следует также учесть электромагнитные поправки четвертого порядка; однако
из них нам известна только поправка, связанная с магнитным моментом. Она
уменьшает расщепление на 0,94 мггц. Использование нового значения а приво-
приводит в итоге к уточненному теоретическому значению лэмбовского сдвига в атоме
с бесконечно тяжелым ядром:
Д?оо" 1058,42 мггц.
Эта величина хорошо согласуется с опубликованным экспериментальным значе-
значением для водорода, равным 1062zt5 мггц. Поправки относительного порядка
a2 In a, которые получаются при более точном рассмотрении кулононского поля,
повидимому, много меньше 1 мггц.
В связи с тем, что сейчас выполняются значительно более точные экспери-
эксперименты по определению сдвига уровне;! в водороде и дейтерии, важно учесть
влияние структуры и конечности массы ядер. В нерелятивистском приближении [3|
поправки на приведенную массу учитываются посредством использования соот-
соответствующего значения постоянной Ридберга. В результате сдвиг уровней умень-
уменьшается в водороде на 0,6 мггц и в делтерии на 0,3 мггц. Наиболее заметный
эффект структуры ядра вызывается движением протона внутри дейтерона. Полу-
Получающееся изменение энергии кулоновского взаимодействия определяется средним
квадратом расстояния между нейтроном и протоном в дейтроне
Эта величина может быть выражена с помощью асимптотического выражения
для волновой функции дейтерона с достаточной точностью через размер дей-
дейтрона d= 4,314 • 10~13 см и эффективный триплетный радиус р = 1,71- 10~1а см:
Уровень 25 повышается, таким образом, на 0,75 мггц., в то время как уровни 2Р
остаются неизменными. Учет указанных ядерных взаимодействий приводит к сле-
следующим значениям сдвига уровней:
= 1057,8 мггц, Д?о = 1058,9 мггц
соответственно для водорода и дейтерия.
Мы благодарим Кролля за многочисленные дискуссии.
Здесь исправлена небольшая численная ошибка, допущенная ранее [И].—Прим.авт.
326 Р. КЛРПЛУС. А. КЛЬЙН и Ю. ШВИНГЕР
ПРИЛОЖЕНИЕ
Здесь мы подтвердим правильность подстановки B.36), сделанной в тексте.
Нам нужно, следовательно, установить с точностью до порядка (Za)" правиль-
правильность тождества
dr" dt^' ^^i!-yi\Pno^(En-E()ln^I^]ior (П. 1)
В первое выражение входит релятивистский матричный элемент, а во втором
стоит сумма по перелятивис гским шредипгеровским состояниям, вычисленная
Бете и др. [9]. Отметим сначала, что имеет место
в связи со стационарным характером состояния ''^(х). Индекс г обозначает
здесь релятивистский; дополнительные индексы 1 или 2 введены для различения
гамильтонианов первого и второго порядков; оператор II, представляется в пиле
П, = (р, Ero—V). (П.З)
где V — кулоновский потенциал. Из структуры (П.2) очевидно, что в дальней-
дальнейшем достаточно учитывать только пространственную часть ТТ>., поскольку соста-
составляющие с четвертой компонентой П^ дают всюду нуль, за исключением члена
с двумя множителями потенциальной энергии. Интегрирование по отмеченным
двумя штрихами пространственно-временным координатам сводит затем рассма-
рассматриваемый матричный элемент к не зависящему от времени выражению
(г') р (Нл - ?J) In —~-=- Р% (г') dr -
- 0
Сумма по состояниям положительной энергии может быть сразу отождествлена
(если не учитывать поправок тонкой структуры) с нерелятивистской суммой
из (П.1). В сумму по состояниям отрицательной энергии входят большие раз-
разности Егп — ЕЪяа—-2т. Кроме того, легко показать, что |Р0„_|2^йа4 | РОге+ р,
так что в нашем случае суммой по состояниям отрицательной энергии можно
пренебречь.
ЛИТЕРАТУРА
1. KarpIusJR., Klein A., Phys. Rev., 85, 972 A952). (См. статью JX настоящего сбор-
сборника.)
2. Lamb W. E., R ether ford R. С, Phys. Rev., 81, 222 A951).
3. Be the H. A., Phys. Rev., 72, 339 A947).
4. Kroli N. M., Lamb W. E., Phys. Rev., 75, 380 A949); French J. B.,Weis-
skopf V. F., Phys. Rev., 75, 1280 A949).
5. Feynman R. P., Phys. Rev., 74, 1430 A948).
6. Feynman R. P., Phys. Rev., 76, 769 A949). (См. статью IV настоящего сбориика.)
7. Sch winger J., Phys. Rev., 76, 790 A949). [См. статью 11 (часть 11) настоящего
сборника.]
8. Sch winger J., Phys. Rev., 82, 664 A951). (См. статью VIII настоящего сборника.)
9. В е t h e H. A., Brown, S t e h n, Phys. Rev., 77, 370 A950).
10. Bar anger M., Phys. Rev., 84, 866 A951).
11. Karplus R., Klein A., Schwinger J., Phys. Rev., 84, 597 A951).
XI. ПЕРЕНОРМИРОВКА МЕЗОННЫХ ТЕОРИЙ
П. МЭТТЬЮС и А. САЛЛМ
Р. Т. Matthews and A. S а 1 a m, Rev. Mod. Phys., 23, № 4, 311 A951)
Связанное с именами Томонага, Швингера и Фейнмана недавнее развитие
квантовой электродинамики (теории взаимодействия фотонного и электронно-по-
зитронного полей) завершилось (в вопросах, связанных с перенормировкой массы
и заряда) в работе Дайсона [1], опубликованной в 1949 г. Объединив способ
графического изображения событий Фейнмана [2] и инвариантный метод вычи-
вычитания расходимостей Швингера [3], Дайсон пришел к двум важным выводам.
Он, во-первых, доказал, что в любом сколь угодно высоком порядке теорий
возмущений могут встретиться три и только три типа расходящихся инте-
интегралов; во-вторых, им было доказано, что все эти расходимости исключаются
посредством перенормировки массы и заряда. Как было показано, данная теория
очень хорошо согласуется с экспериментом ').
После выполнения программы Дайсона возникает, очевидно, проблема рас-
распространения его рассуждений иа различные мезонные теории и выяснения того,
могут ли быть получены в какой-нибудь из этих теорий результаты, аналогич-
аналогичные полученным в случае электродинамики. Такая работа сейчас выполнена и
цель настоящей статьи состоит в том, чтобы отметить некоторые из возникаю-
возникающих при этом трудностей, а также суммировать главные из полученных выводов.
Следует подчеркнуть, что мы касаемся здесь только чисто математической
задачи о том, какая из мезонных теорий может быть сделана подобным образом
внутренне непротиворечивой. Вопросу о связи теории с экспериментом будет
отведено очень мало места.
Прежде чем разбирать мезонные теории, напомним кратко метод вычи-
вычислений Дайсона. Как теперь известно [1, 2], матричный элемент для некото-
некоторого определенного электромагнитного процесса (элемент S-матрицы) может
быть явным образом записан в виде интеграла в импульсном пространстве
с помощью соответствующей диаграммы, причем подынтегральное выражение
получается сопоставлением электронным и фотонным линиям функций распро-
распространения SF(p) и DF(p)~) и подстановкой множителей е?а (матриц Дирака,
умноженных на заряд) соответственно каждой из вершин диаграммы. Рассматри-
Рассматривая получающиеся подобным образом интегралы, Дайсон нашел, что полная сте-
степень расходимости3) некоторой определенной диаграммы может быть опреде-
1) Эта теория замечательным образом объясняет лэмбовский сдвиг (ссылки па опуб-
опубликованные работы см. в [4]; сейчас выполняются более точные вычисления) и аномаль-
аномальный магнитный момент электрона [5]. — Прим. авт.
2) Эти функции являются функциями Грипа, выражающими (причинпо обоснованно)
взаимодействие полей в различных точках. См. статью Фирца [б]. (В обозначениях Фирца
Dp = D . В обозначениях Фейнмана Ор—Ъ+, Sf = K+.) — Прим. авт.
8) Под „полной степепью расходимости" подразумевается степень расходимости
интеграла по всем переменным диаграммы, для которой интеграл по некоторому меньшему
числу переменных является конечным (или становится конечным после соответствую-
соответствующих вычитаний). Хотя получающиеся интегралы являются сложными, степень расхо-
расходимости может быть просто определена с помощью подсчета степеней в подиптеграль-
ном выражении. В случае электродинамики степень расходимости зависит только от числа
внешних линий.—Прим. авт.
328
П. МЭТТЬЮС и А. САЛАМ
лена по ее внешним линиям. Пусть Ef означает число внешних линий фермио-
нов (термин фермионы обозначает частицы с полуцелым спином), а Ер — число
внешних фотонных линий. Соответствующий диаграмме интеграл может расхо-
расходиться только при условии
iEf+E,< 5. A)
Из этого основного неравенства следует, что имеется только конечное число
типов диаграмм, могущих привносить расходимости в теорию. Сюда относятся
диаграммы собственной энергии
электрона и фотона и вершинные
части; простейшие примеры таких
диаграмм приведены на фиг. I
(а, б, в). Еще один тип расходя-
расходящихся диаграмм соответствует
рассеянию света на свете (фиг. 1 г).
Однако в этом случае все же по-
получается сходящийся результат
благодаря калибровочной инва-
в риантыости теории [7]. Кроме
Фиг. 1. Пунктирные линии относятся 1С фотонам, того> формально возможны рас-
сплошные — к электронам. ходящиеся диаграммы с одной
или тремя внешними фотонными
линиями, однако они исключаются в силу аргументов, основанных на зарядной
симметрии. Диаграммы а, б" и б являются, таким образом, представителями всех
типов расходимостей теории, и если эти расходимости могут быть устранены
посредством перенормировки заряда и массы, то, очевидно, вся 5-матрица мо-
может быть сделана конечной.
Метод использования диаграмм может быть без труда распространен на
случай взаимодействующих мезонов и нуклеонов, причем анализ возможных
типов расходимостей может быть выполнен аналогичным образом 1). Различные
виды взаимодействий мезонов с нуклеонами распадаются на два класса. Для
(псевдо) скалярного взаимодействия (псевдо) скалярных мезонов с нуклеонами
необходимым условием расходимости является неравенство
5,
B)
где Ет — число внешних мезонных линий. Во всех остальных случаях, включая
случаи взаимодействия с парами мезонов и связи фермиевского типа четырех
фермионов, данное условие имеет вид
?<б + л, C)
где Е—линейная функция Е+ и Ет, а п — число вершин диаграммы. В подоб-
подобных случаях имеется, вообще говоря, бесконечное число типов расходимостей
(поскольку для каждого процесса может быть получена расходящаяся диаграмма,
если взять достаточно большое п), так что нет никакой надежды на возмож-
возможность устранения этих расходимостей посредством перенормировки конечного
числа постоянных. Единственным исключением является случай векторной связи
для нейтральных векторных мезонов. Как было показано, в том, что касается
расходимостей, здесь имеет место эквивалентность с электродинамикой и, еле-
]) См. работу Мэттьюса [8]. В указанной работе дону щепы ошибки (см. первый раз-
цел статьи [9]). — Прим. авт.
XI. ПЕРЕНОРМИРОВКА МЕЗОННЫХ ТЕОРИЙ 329
довательно, выполнима программа перенормировки *) [9]. Однако этот случай
физически мало интересен.
Что касается частиц нулевого спина, подчиняющихся условию B), то, оче-
очевидно, у них имеются все возможные типы расходимостей электродинамики.
В случае заряженных мезонов части с одной или тремя внешними мезонными
линиями исключаются в силу сохранения заряда, так как входящий и выходя-
выходящий заряды должны быть равными; для нейтральных псевдоскалярных мезонов
подобные части обращаются тождественно в нуль, как это можно показать, рас-
рассмотрев поведения поля при пространственных отражениях. В случае нейтраль-
нейтральных скалярных мезонов такие части приводят к действительным расходимостям.
Во всех случаях имеются также расходимости, соответствующие рассеянию мезо-
мезонов на мезонах (фиг. 1, г) в дополнение к расходимостям, соответствующим
вершинным и относящимся к собственным энергиям частям в электродинамике.
Для этого класса мезоиных теорий программа перенормировки может быть, оче-
очевидно, успешно выполнена и мы рассмотрим вопрос более подробно.
Общее доказательство Дайсона в электродинамике основывается на том
важном обстоятельстне, что три типа расходящихся диаграмм, входящих в ка-
качестве составных частей в ботьшие диаграммы, могут быть истолкованы как
модифицирование отдельных линий или вершин. Таким образом, можно внести
наряду с функциями распространения также функции, учитывающие влияние
включения в линию всех возможных частей, относящихся к собственной энер-
энергии, и функции, учитывающие влияние подстановок вершинных частей вместо
вершины. Эти новые функции обозначаются через
sF> d'f и i;
и являются, конечно, расходящимися. Имеющая физический смысл конечная часть
этих функций Spy, Dpi и Га1 получается после вычитания бесконечных постоян-
постоянных 2) ковариаптным образом.
Дайсон, далее, показал, что после соответствующей перенормировки
массы конечные и бесконечные функции связыиаются друг с другом следующим
образом:
D'F^Z.,D'F1, D)
1 у. Л1 l [/.1'
где Zs — бесконечные постоянные. Таким образом, эти замечательные уравнения
позволяют интерпретировать по-новому вычитание бесконечных постоянных как
выделение бесконечных постоянных множителей.
Рассмотрим теперь какой-нибудь процесс, не входящий в число расходя-
расходящихся типов. Для подсчета матричного элемента для этого процесса мы можем
взять только те соответствующие ему диаграммы, которые не содержат вер-
вершинных или относящихся к собственной энергии частей в своих линиях и верши-
нах> т. е. „несводимые" диаграммы. Интеграл, соответствующий подобной диа-
диаграмме, является сходящимся в силу выполнения нерявенства A) (он удовлетво-
удовлетворяет условию, указанному в примечании 3 на стр. 327, так как по определению
в нем нет расходящихся частей). Подинтегральное выражение является функ-
функцией от SF, DF и е*{ вида enI{Sv, Dp, f ), где п есть иопрежнему число вер-
') Имеется также поддающаяся перенормировке предложенная Фсйпманом смесь
псевдоскалярных и псевдовекторпых мезопов с одинаковыми массами и постоянными
связи и при псевдовекторяой связи [10J. — Прим. авт.
<х>
2) Бескопечпые постоянные имеют вид I x~x dx. Если нодинтегральпые выражения
о
совпадают, то подобные постоянные приравниваются. — Прим. авт.
330
II. МЭТТЬЮС и A. CA.'IAM
шин диаграммы. Все радиационные поправки к диаграмме получаются однозначно
посредством подстановок в ее линии и вершины всех возможных вершинных и
относящихся к собственной энергии частей. Аналитически этому соответствует
замена в / функций Sp, Dp и f на функции S'F, D'F и Га. Интеграл становится
расходящимся; однако с помощью уравнений Дайсона D) для полного вклада от
диаграммы, включая все поправки, получается выражение
en/(S'F, D'F, rj =
lt Z2, Z3)I(S'FV D'Fl, I.;,).
E)
Вид множителя F' (Z) находится при рассмотрении типичной вершины какой-либо
неприводимой диаграммы. Части, относящиеся к собственной энергии, и вершинные
части могут быть включены, как
это показано на фиг. 2, приводя к
появлению множителей Z. Каж-
Каждому множителю е соответ-
соответствует, таким образом, множитель
Zr^gZ-i*. (Берется корень из от-
относящихся к линии множителей,
так как каждый из них умно-
умножается на заряд дважды, в на-
начале и в конце линии. Внешние
линии требуют особого рассмот-
рассмотрения.) Таким образом,
Z?\bT = e», F)
Ф и г. 2. Пунктирным кругом обведена „основ-
„основная ячейка" диаграммы. Из таких ячеек конструи-
конструируются все (неперекрывающиеся) диаграммы.
следним равенством. Если теперь
отождествить е^ с эксперименталь-
экспериментальным значением заряда, то правая
сторона равенства E) превра-
превратится в
Pni(c' ту т1 *)
так что каждая несводимая диаграмма будет давать составляющую искомого
матричного элемента, имеющую вид произведения конечной постоянной на абсо-
абсолютно сходящийся интеграл. При этом учитываются физически существенные
части всех возможных диаграмм.
Изложенное рассуждение является простым и изящным. Главная трудность
заключается в установлении соотношений D), которые должны правильно учи-
тынать поправки к поправкам. Мож-
Можно опять производить изменение ли-
линий и вершин неприводимых диа-
диаграмм, относящихся к собственной
энергии и вершинным частям; однако
Ф и г. 3. правила вычислений перестают быть
тогда однозначными. Рассмотрим,
например, диаграмму, изображенную на фиг. 3. Она может рассматриваться как
видоизменение фигуры посредством подстановки вершинной части вместо каж-
каждой из двух вершин. Две вершинные части перекрываются по центральной ли-
линии. Для нахождения сходящегося, имеющего физический смысл слагаемого,
требуется расширение вычитательного метода, причем наличие подобных „пере-
„перекрывающихся" частей значительно усложняет вывод уравнений D). К счастью,
указанные перекрывающиеся части яе!ляются единственными в своем роде в элек-
электродинамике, так что Дайсон мог их выделить и рассматривать особыми спосо-
способами (см. также [11]). Однако трактовка перекрывающихся частей оказывается
центральной проблемой при распространении метода Дайсона на мезонные теории,
так что ее приходится рассматривать в наиболее общей форме [121-
XL ПЕРЕНОРМИРОВКА МЕЗОННЫХ ТЕОРИЙ 331
В случае заряженных скалярных мезонов и заряженных или нейтральных
псевдоскалярных мезонов, подчиняющихся условию B), требуется учитывать
только один дополнительный тип расходимостей (фиг. 1, г). Поскольку этот тип
не является изменением каких-либо из имеющихся вершин, мы вводим такие
першины, добавляя в лагранжиан контактное взаимодействие между мезонами
(X -{- 8л) <р4. При этом предполагается, что X — бесконечная постоянная, подобран-
подобранная так, чтобы компенсировать
расходимости нового типа, а 2Х
конечно и может быть опреде-
определено экспериментально. Для под-
тверждения выполнимости этой
программы нужно доказать, что Ъ\ " ¦
может быть выбрано так, чтобы
сокращались расходимости, возни- Ф и г. 4.
кающие из-за новых диаграмм, ко-
которые входят в рассмотрение вследствие введения новой вершины. Следует, кроме
того, доказать, что введение указанного члена в лагранжиан не мешает определить
множители Z, несмотря на появление более сложных перекрывающихся частей
в диаграммах. Эта задача является очень сложной. Характер возникающих труд-
трудностей можно понять из рассмотрения фиг. 4, где рассеяние мезонов на мезо-
мезонах перекрывается с вершинными частями внутри сравнительно простой диаграммы
собственной энергии.
В действительности намеченная программа может быть выполнена [12|;
однако прежде чем переходить к дальнейшему изложению, рассмотрим взаимодей-
взаимодействие мезонов с фотонами '). В этом случае имеет место аналогичное положение
с одним дополнительным усложнением. Для мезонов спина единица в условие
[имеющее вид C)] расходимости диаграммы вновь входит п, так что здесь нет
никаких надежд на успех. Для мезонов спина нуль получается условие
Ет + Ер<5, G)
являющееся несколько менее ограничительным, чем условие B). В данном слу-
случае остаются те же типы истинных расходимостей, что и в электродинамике
(пунктирные линии соответствуют теперь фотонам, а сплошные — мезонам), и,
кроме того, добавляются расходимости, соответствующие рассеянию мезонов на
мезонах (Ет=4) и эффекту Комитона (Ею=2, Ер—2). Однако гамильтониан
содержит при этом, кроме членов, линейных по е, еще член е-Л2д<?2, приводя-
приводящий к появлению вершин как раз последнего указанного типа. Вследствие этого
новые расходимости, соответствующие комптоновскому эффекту, можно рас-
рассматривать как результат изменения этих вершин, которым можно попытаться
сопоставить новый множитель Z~l. Мы вновь вынуждены ввести дополнитель-
дополнительный член (Л —{— SA) ср4 со всеми связанными с ним трудностями. Далее, после
выделения множителей мы должны доказать, что к вершинам с е'1 относится
всегда некоторая комбинация множителей Z, соответствующая комбинации мно-
множителей Z, относящихся к вершинам с с. Для выполнения этого необходимо
наличие определенных соотношений ~) между множителями Z. Проблема пере-
перекрывающихся частей здесь еще более усложняется. В частности, диаграмма
фиг. 4 содержит двенадцать перекрывающихся расходимостей. Тем не менее,
]) См. [13, 14]. Вычитательная процедура для перекрывающихся частей в последней
работе является ошибочной. — Прпм. авт.'
-) Приняв соотношения вида D), легко вывести „основную ячейку" для вершины с е-
(подобпо фиг. 2) и показать, что опа будет приводить к множителю a-Z4~'ZjZ3. Для под-
подтверждения непротиворечивости перенормировки необходимо доказать, что Z±1Z2Z.A -.-.
= (Zt Z^Z\ )a. В действительности Zl-—Z.i=~Zi и фактическая перепормировка заряда
определяются только множителем Z3. Это верпо также н в случае электродипамики, где
7\ — Z.t [15].—-Прим. авт.
332 П. МЭТТЬЮС и А. САЛАМ
намеченная программа может быть выполнена, и вся теория становится после
перенормировки конечной j 16].
Мы не будем входить здесь в детали доказательства, однако уже должно
быть достаточно ясно, что главная трудкость распространения рассуждений Дай-
сона на мезонные взаимодействия заключается в определении того, какие беско-
бесконечности нужно вычесть из перекрывающихся частей так, чтобы остался одно-
однозначный, ковариантный и абсолютно сходящийся остаток. Только после решения
этой проблемы можко пытаться истолковать вычитание подобных бесконечностей
как выделение бескогечгых множителей Z и искать связь между получающимися
множителями.
Мы ограничимся указанием правильного вычитателыого приема. Рассмо-
Рассмотрим интеграл, например, по трем основным переменным с подинтегральным
выражением
i{tv 4, *,).
Сначала нужно рассмотреть интегрирование только по tv Если оно приводит
к расходимости, то следует вычесть но правилам Дайсона расходящуюся часть,
умноженную на оставленгый без изменений остаток подинтегрального выраже-
выражения. Именно, следует взять
/ft, t2, д-О(^)Я((.2, Q.
Такую же операцию следует сделать независимо для ^ и t3, причем получится
выражение
/(tx, t2, ts) - D (*,) Я (t2, ts) — D (QR (ts, tj — D (y R (tv ?,). (8)
Затем аналогично рассматривается интегрирование по парам переменных, причем
при интегрировании по txU следует учитывать в поаинтегралыюм выражении
первые три слагаемых (8), при интегрировании по 4Д5 — первое, третье и четвер-
четвертое слагаемые и т. д., не меняя в каждом случае остающегося члена. Относя-
Относящиеся к этим интегрированиям расходящиеся члены, подлежащие вычитанию,
записываются в виде
2 (9)
Последнее вычитаемое выражение D(t,,t2, ?а) получается при применении приема
Дайсона к полному выражению (8) — (9). После всех вычитаний получается
остаток, сходящийся при интегрировании по любой комбинации из tv t>, t3 ж
представляющий собой физически существенную часть диаграммы.
Было получено общее доказательство того, что в случае поддающихся
перенормировке теорий подобное правило вычитания приводит к конечному
остатку искомого вида [17 и что это правило может быть истолковано как
введение множителей Z1). Хотя метод доказательства кажется очень громоздким,,
заключенная н нем идея по существу крайне проста. Как и во всей указанной
работе, трудность в данном случае заключается только в нахождении сжатых и
достаточно легко понятных для читателя и автора обозначений.
Сделанный краткий обзор можно pe3K>MHpof?Tb посредством утгерждения,
что простейшей теорией, поддающейся перенормировке как для заряженных,
так и для нейтральных мезонов, является теория псевдоскалярных мезонов
с псевдоскалярной связью с нуклеонами. В подобной теории требуется вводить
дополнительный член в лагранжиане (X-J-SA)»4- Как было устаговлено, сово-
совокупность взаимодействующих мезонного, нуклеонного, фотонного и электронно-
позитронного полей можно рассматривать без введения кнких-либо суще-
существенных новых усложнений |18]. Другой также поддающейся перегорми-
ровке теорией является теория скалярных мезонов со скалярным взаимо-
взаимодействием. В этом случае требуется вводить другой дополнительный член
Общее рассмотрение выделения множителей Z приведено в введении к [16].—
Прим. авт.
XI. ПЕРЕНОРМИРОВКА МЕЗОННЫХ ТЕОРИЙ 333
для компенсации расходимостей, соответствующих частям с тремя
внешними мезонными линиями.
Следует во всяком случае считать удовлетворительным, что из приведенных
чисто теоретических соображений вытекает в согласии с экспериментом заклю-
заключение о равенстве нулю спина мезонов, непосредственно взаимодействующих
с нуклеонами. Кроме этого вывода из теории в ее настоящей форме можно
получить мало результатов. Подсчеты со скалярной теорией -приводят к ма-
малой постоянной связи; однако результаты в этом случае определенно не со-
согласуются с экспериментом. С другой стороны, псевдоскалярная теория тре-
требует столь большой постоянной связи для получения правильных порядков
величин, что перестает быть пригодной теория возмущений и какое-либо срав-
сравнение с опытом становится гевозможным. Проблема нахождения метода вычисле-
вычисления сечений рассеяния, не зависящего от величины постоянной связи, является
крайне сложной, но, повидимому, пока она не будет решена, какие-либо дей-
действительные успехи в теоретическом поленом истолковании ядерных явлений
будут невозможными.
В гелеренормируемых теориях конечные сечения могут быть пока получены
только посредством произвольных вычитательных процедур, являющихся либо
внутренне противоречивыми, либо несовместимыми с перенормировкой и тем са-
самым противоречащими опыту').
ЛИТЕРАТУРА
1. Dyson F. J., Phys. Rev., 75, 486 1736 A949). (См. статью V настоящего сборника.)
2. Feynmaii R. P., Phys. Rev., 76, 749, 769 A949). (См. статью III и IV настоящего
сборнр/ка.)
3. S с h w I п g е г J., Phys. Rev., 74, 1439 A948); 75, 651 A949); 76, 790 A949). (См. статью II
настоящего сборника.)
4. Lamb W. E., Re th erf ord R. С, Phys. Rev., 79, 549 A950).
5. Kush P., Foley H. A., ^hys. Rev., 74, 750 A948); Schwlnger J., Phys. Rev.. 73,
415 A948); Karplus R.. Kroll N. M., Phys. Rev., 77, 536 A950); Ко enl g,
Prod ell, Kusch, Phys. Rev., 687 A951).
6. Fierz M, He'v. Phys. Acta, 23, 731 A9o0). (См. статью VI настоящего сборника.)
7. Ward J. C, Phys. Rev., 77, 293 A950).
8. Matthews P. Т., Pliyi. Mag., 41, 185 A950).
9. M a 11 h e w s P. Т., Phys. Rev., 80, 293 A950).
10. Beard D. В., Be the H. A., Phys. Rev., 83, 1106 A951).
11. W aid J. C, Proc. Phys. Soc. (London), 64, 54 A951).
12. S a lam Abdus, Phys. Rev., 82, 217 A951).
13. Matthews P. Т., Phys. Rev., 80, 292 A950).
14. Rohrlfch F., Phys. Rev., 80, 666 A950).
15. Ward J. C, Phys. Rev., 78, 182 A950).
16. Sal am Abdus, Phys. Rev. (в печати).
17. S alam Abdus, Phys. Rev., 84, 426 A951).
18. Matthews P. Т., Phys. Rev., 80, 292 A950); Phil. Mag., 42,221 A951); Salam Abdus,
Phys. Rev., 79, 910 A950).
19. Heftier W., Proc. Cam. Phyl. Soc, 37, 291 A941).
20. Matthews P. Т., Phys. Rev., 81, 936 A951).
21. Ning Ни, Phys. Rev., 80, 1109 A950).
22. Uh I en beck G. E., Phys., Rev., 79, 145 A950).
*) I римером может служить теория радиационного трения Гайтлера (см. [19] и
многочисленные последующие статьи), не дающая лэмбовского сдвига и аномальных
магнитных моментов нуклеонев, или рассмотренная недавно одним из нас [20] теория
.регуляризации". Интересный вычитательный прием был недавно предложен Нияг Ху [21],
однако вследствие вхождения постоянной связи в знаменатель функции распространения
у Нинг Ху очевидно, что подобное вычитание нельзя истолковать как перенормиро-ку.
Кроме того, модифицированная функция распространения Нинг Ху аналогична (ио более
обща) функциям распространения, рассмотренных и отвергнутых Пайсом и Улеи-
беком [22], и ее введение вызывает, повидимому, возражения, аналогичные возражениям,
приведенным этими авторами. — Прим. авт.
XIF. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ
СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ
Е. САЛЬ ПЕТЕР и Г. БЕТЕ
Е. Е. Sal peter and Н. А. В е t h e, Phys. Rev., 84, N 6, 1232 A95П
Фейнмановский релятивистский формализм ^-матрицы применяется в случае задачи
о связанных состояниях двух взаимодействующих дираковских частиц. Связанное
состояние описывается волновой функцией, зависящей от двух особых для каждой
частицы временных координат. Для дайной волновой функции выводятся два различных
интегральных уравнения с ядрами, представленными в виде разложения по степеням
¦безразмерной постоянной связи g2. Каждый член этого разложения дает лорентц-инва-
риантиые уравнения. В работе обсуждается пригодность и физический смысл выведенных
уравнений; в нерелятивистском пределе и в низшем порядке по g2 эти уравнения сво-
сводятся к соответствующему уравнению Шредиигера.
Одно из полученных интегральных, уравнений применяется к задаче об основном
состоянии дейтерона для случая переноса взаимодействия скалярными мезонами с массой [»
при скалярной связи. Для нейтральных мезонов лорентц-инварнантное взаимодействие
сводится к сумме мгновенного юкавского взаимодействия и поправочного члена, учиты-
учитывающего запаздывание. Значение, полученное для g*, отличается только на слагаемое
относительного порядка (ц/ЛГ)8 от значения, получающегося при использовании феноме-
феноменологического юкавского потенциала.
В случае переноса взаимодействия одними заряженными мезонами поправочный
член получается посредством прямого решения релятивистского интегрального уравнения
при учете только первого члена в разложении для ядра. Наличие этой поправки связано
с тем обстоятельством, что нуклеон может испускать и поглощать положительные и
отрицательные мезоны только последовательно. Постоянная g^ увеличивается в этом
случае на слагаемое относительной величины 1,1 (р/М), т. е. на 15%.
1. Введение
За последние несколько лет Дайсоном, Фейнманом, Швингером и Томонага
были развиты математически различные, но физически эквивалентные форма-
формализмы для релятивистского рассмотрения задач рассеяния в случае двух или
более частиц. Цель настоящей статьи состоит в изложении способа обобщения
формализма Фейнмана [1, 2] па задачи о связанных состояниях с несколькими
частицами.
В данной работе в дальнейшем нсюду будет предполагаться, что имеются
две дираковские частицы, связанные между собой некоторым произвольным
(электромагнитным или мезонным) взаимодействием, и отсутствуют внешние
силы, другие частицы и кванты. Излагаемый метод может быть в принципе
непосредственно распространен на случай более сложных задач о связанных
состояниях, хотя при этом, возможно, встретятся значительные вычислительные
трудности.
В случае задачи рассеяния с участием двух частиц формализм Фейнмана
состоит по существу в задании правил записи амплитуды (или ядра) КC,4; 1,2),
представляющей амплитуду вероятности перехода одной частицы из простран-
пространственно-временной точки х,х, в точку лг^.. и перехода другой частицы из точки
xv& K -rsU" ^з этого смысла амплитуды вытекает, что состояние системы следует
описывать волновой функцией ф (х,и, х„„) с 16 спинорными компонентами,
зависящими как от различных временных, так и от пространственных координат
каждой из двух частиц. Подобный подход в известной мере сходен с много-
временным формализмом Дирака, Фока и Подольского [3] и Блоха [4J. Если
известна функция <|»(/,2), т0 гю правилам, изложенным в статьях \1, 2], может
XII. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ 335
быть получена функция 4C,4) чисто формальным образом с помощью ампли-
амплитуды КC,4; 1,2). Амплитуда К{3,4; 1,2) определяется в виде двойного беско-
бесконечного ряда; однако для нее получается сравнительно простое интегральное
уравнение. Исходя из этого уравнения может быть получено интегральное
уравнение для ЬC,4) с неоднородным членом, зависящим от &A,2). Амплитуда
КC,4; 1,2) подчиняется также интегро-дифференциальному уравнению, из кото-
которого получается однородное интегро-дифференциальное уравнение для <1{3,4),
не включающее явно граничных условий при tt и t2.
Указанные уравнения выводятся в разделе 2, а их законность разбирается
в разделе 3. В разделах 4 и 5 с помощью этих уравнений рассматривается
основное состояние дейтерона для случая скалярных мезонов со скалярным
взаимодействием.
2. Вывод уравнений
В данной статье мы будем всюду, где это только возможно, использовать
обозначения статей [1, 2] и положим ^,=с=1. Сначала будет дан формальный
вывод двух уравнений для волновой функции ty(l,2) и амплитуды КC,4; 1,2),
основывающийся на выражении для КC,4; 1,2), приведенном к статье [2];
обсуждение законности полученных уравнений откладывается до следующего
раздела.
Рассмотрим две лираковские частицы с массами та и ть соответственно
(электроны или иуклеоны), способные взаимодействовать друг с другом „посред-
„посредством виртуального испускания и поглощения квантов" (фотонов или мезонов).
Пусть Q(l.2) будет (пропорциональной безразмерной константе связи g2) функ-
функцией взаимодействия, соответствующей простому обмену одним квантом и
записанной в лорентц-ипвариантной форме. В случае электродинамики
0A, 2) = **т«т*8+E|5). A)
Для скалярных мезонов со скалярной связью 0A, 2) будет релятивистским
обобщением потенциала Юкава и т. д. (о дальнейших подробностях см. раздел 10
статьи [2]). Определим теперь приводимые и неприводимые диаграммы подобно
тому, как это было сделано Дайсопом [5], т. е. будем называть диаграмму при-
приводимой, если ее можно расщепить на две более простые диаграммы, проведя
разрез, проходящий только по одному разу через линии каждой из двух частиц
и не пересекающий линий квантов. Остающиеся неприводимые диаграммы можно
подразделить но степени постоянной if2, входящей в сопоставляемое диаграмме
выражение; эта степень равна половине числа вершин на диаграмме. Первой
степени g'1 соответствует только одна диаграмма, обозначенная цифрой 1 на фиг. 1.
Введем еще две величины О' и QW посредством соотношений
0G, 2)=-.YaA\zQ'{l, 2),
GO)A, 2; :i, 4) = 0A, 2)WA, 3)8<«>B, 4), B)
где ^4(/, 3) — четырехмерная 8-функция
и Га, „верши-нгая часть", — оператор, составляемый из дираковских матриц, отно-
относящихся только к частице а, а Гй — оператор, составляемый из дираковских матриц,
относящихся только к частице Ь. Индекс ~ соответствует суммированию по компо-
компонентам операторов (четырем в случае электродинамики; одному, четырем или
шестнадцати и случае простерших мезонных теорий и т. п.). Величина О' A, 2),
описывающая распространение кванта, является функцией (х^—х^3) и не содер-
содержит дираковских операторов. Другим неприводимым диаграммам мы сопоставим
26 За«. 573.
336
Е. САЛЬПЕТЕР и Г. БЕТЕ
величины от) (/, 2; 3, 4). Величинами, соответствующими трем диаграммам 2 Л,
2 В и 2 С, изображенным на фиг. 1, будут выражения
(/, 2; 3, 4) = - Го. ГЬт /С+й C, /) /С+ь D, 2) ГЙТ Гь, G' (/, 4) О' B, 3), (За)
3, 5)Гвт/Г+в E,/) X
ХГа,Г*О'(Л 3H'B, 5), (Зб>
0^)A, 2; 3, 4) = -iJ^B8(*>B, 4) X
X VaaK+a C, 5) Г05 К+а E, 1) Гат ГЬт О' C, 5) С (/, 2), (Зв)
где К+а{1, 3) — амплитуда распространения частицы а в том случае, когда она
является свободной. Выраже-
Выражения, соответствующие диаграм-
диаграммам 2 С и 2 D и относящиеся
к членам собственной энер-
энергии и перенормировки массы,
должны быть взяты совместно с
выражением, соответствующим
диаграмме 2 В. В качестве при-
примера более сложной диаграммы
возьмем диаграмму ЗА, для
которой
A,2; 3,4) =
, 5)X
ЗА ^ ^ ЗВ
Ф и г. 1. Неприводимые диаграммы различных поряд-
ыошные линии обозначают дирако!
стицы, пунктирные линии — кванты
, 2)ГЬтС'C,
XG'E,2)G'A,4). D)
Из приведенных примеров ста-
становятся ясными правила пост-
построения G<n)(/, 2; 3,4) в общем
случае. Следует отметить, что
вне зависимости от степени
сложности диаграммы (п) ве-
величина GM явно зависит только
от четырех переменных: ха1,
ков. Сплошные линии обозначают дираковские ча- л>2» х'
Приведенное в статье [2]
выражение для амплитуды
КC, 4; 1, 2) представляет собой двойную бесконечную сумму слагающих, соот-
соответствующих каждой возможной приводимой или неприводимой диаграмме, плюс
член К+аC, 1) К+ъD, 2), соответствующий распространению частиц без обмена
квантами. Несводимая диаграмма (и) привносит член
К^C, 4; J:2)^= — i
ХК+аC,5)К+ьD, 6) 0Ш) {5, 6; 7, S) 1<+аG, 1)К+Ь(8, 2). E)
Приводимой диаграмме, которую можно расщепить на две неприводимые диаграм-
диаграммы (п) и (т), соответствует член
7, 8; 1, 2). F)
ХК+аC, 5)К+Ъ{4, 6) от) E, 6; 7,
XII. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ
337
Для диаграммы, расщепляющейся на три неприводимые диаграммы, мы получаем
член
#».т- к > C, 4; 1, 2) = - I jjfj dx6 d-6 d-~ d-8X
XK+aC, 5)K+bD, 6) O(»> E, 6; 7, 8) &m- *> G, 8; 1, 2) G)
и т. д. для каждой приводимой диаграммы. Пусть О A, 2; 3, 4) будет суммой
всех выражений О<»' (/, 2; 3, 4), относящихся ко всем неприводимым диаграммам.
4" °BВ) + 0Bк) + °(ЗА) +••¦}¦
О
(8)
В разделе 3 статьи [1], исходя из выражения в виде одинарной бесконечной
суммы, выведено интегральное уравнение с простым ядром для амплитуды оди-
одиночного электрона во внешнем поле. Основываясь на аналогичных аргументах и
используя выражения E) — (8), мы получаем, исходя из двойной суммы,
интегральное уравнение для амплитуды КC, 4; 1, 2), в ядро которого входит
бесконечная сумма 0A, 2; 3, 4):
КC, 4; 1, 2) — К+а{3, 1)К+Ь{4, 2) =
bdz6d^td^K+aC, 5) K+bD, 6) 0E, 6; 7, 8)КG, 8; 1, 2). (9)
Выражение (8) для 0A, 2; 3, 4) является разложением в ряд но степеням
постоянной связи. Каждый член этого разложения может быть в принципе вычи-
вычислен, однако замкнутого выражения для
G(/, 2; 3, 4) до сих пор найдено не
было и поэтому описываемый метод не
может быть непосредственно применен
в задачах со связанными состояниями,
когда постоянная связи велика. В тех же
задачах, в которых постоянная связи от-
относительно мала, метод, использую-
использующий функции О, приводит к значитель-
значительным упрощениям по сравнению с рассмо-
рассмотрением, в котором проводится суммиро-
суммирование по всем приводимым диаграммам.
Если, например, заменить величину О в уравнении (9) на первый член ее
разложения G^\ то это будет эквивалентно учету в бесконечной двойно:! сумме
кроме неприводимой диаграммы бесконечного числа приводимых диаграмм „лест-
„лестничного типа", подобных приведенным на фиг. 2. Это означает, что при таком
приближении одна часть диаграмм, соответствующих высшим степеням g2,
автоматически учитывается, а другая — пет. Значение этого приема для случая ма-
малого g2 может быть, повидимому, разъяснено с помощью следующих физических
рассуждений. В связанном состоянии частицы взаимодействуют друг с другом
бесконечное (или, по крайней мере, очень большое) время. Если величина g-
очень мала, то мала вероятность „нахождения одного виртуального кванта
в поле", а вероятность „нахождения двух виртуальных квантов одновременно
в поле" будет еще меньше. Хотя вероятность обмена квантом в течение
малого временного интервала достаточно мала, за бесконечное время существо-
существования связанного состояния может произойти последовательно обмен бесконеч-
бесконечным числом квантов. Именно подобные процессы и представляются диаграммами
лестничного типа. С другой стороны, псе диаграммы, опускаемые при подобном
приближенном рассмотрении, за исключением диаграмм, относящихся к собствен-
собственной энергии и перенормировке массы, содержат либо пересеченные квантовые
линии (например, диаграммы 2 А и 3 Л), либо слагающие типа лэмбовского сдвига
(например, диаграмма 2 В). Подобные диаграммы соответствуют процессам, при
Ф иг. 2. Приводимые диаграммы, влияние
которых учитывается одним членом 00).
26*
338 Е- САЛЬПЕТЕР и Г. БЕТЕ
которых в поле одновременно находятся два или более квантов и которые дей-
стнительно несущественны, если постоянная связи мала. Итак, если заменить
в уравнении (9) О на О'1', то это интегральное уравнение сводится с помощью
соотношения B) к более простому уравнению, включающему 0A, 2).
Если желательно учесть члены высшего порядка из разложения О, то допол-
дополнительное упрощение может быть получено за счет модификаций Га_, О' и т. д.,
подобно тому как это было указано Дайсоном [5]. Так, за счет модификации G'
в выражение, соответствующее диаграмме 1, может быть автоматически вклю-
включено выражение, соответствующее диаграмме 2а (член поляризации вакуума).
Диаграмма 2>а будет тогда включаться в диаграмму 2 А и т. д. Аналогично мо-
модификации Гох и ГЬа приведут к включению диаграммы 2 Я (типа лэмбовского
сдвига) в диаграмму 1, диаграммы 3 В в диаграмму 2 Л и т. д. Модификация G<2A)
приведет к включению диаграмм, содержащих части, подобные диаграмме 4а,
в диаграммы, содержащие части, подобные диаграмме 2 А, и т. д.
Мы можем снова чисто формально записать, согласно предписаниям статей
[1, 2| (см. формулу A8) статьи [1|), уравнение распространения волновой функ-
функции ty(l, 2), используя для этого КC, 4; 1, 2);
C, 4; 1, 2)N»A)№B)C/A, 2)tPVlif-Vi, A0)
где для любого 4-вектора Д, положено
В хц,-пространстве интегрирование выполняется в пространстве — времени
по замкнутой трехмерной поверхности, окружающей точку х.хЛ. Основными
частями этой поверхности являются две пространственно-подобные поверхности,
а именно, все трехмерное пространство при tx <C t:i и все трехмерное пространство
при t[ > ty Вектор N представляет собой направленную внутрь нормаль к поверх-
поверхности. В момент времени tx существенно входят здесь только те компоненты
6(/, 2), которые соответствуют положительной энергии частицы, а от момента
времени t'i — только компоненты, соответствующие отрицательной энергии. Для
пространства хп.ь и частицы b имеют место аналогичные правила.
Обозначим через ?i,a C,4) выражение, получающееся для оC, 4) при подста-
подстановке К+аC, 1)К+ЬD, 2) в формулу A0) вместо КC, 4; 1, 2). Тогда <?i,2C, 4)
будет волновой функцией, зависящей от L и t± так, как зависит волнован двух
свободных частиц, и равной <^(/, 2) при t-6~-t] и t^--U. Подставив (9) в фор-
формулу A0), получим неоднородное интегральное уравнение для &C, 4):
4 C, 4) = ?1,, C, 4) — / J J" J J d-b Л« Л, d-b X
X tf+oC, 5)К+ЬD, 6)~О E, 6; 7, ЩG, 8). A1)
Удобно отделить движение центра масс от относительного движения. При этом
возникают известные затруднения, вызванные тем, что в релятивистской теории
нельзя определить координаты центра масс. Однако может быть определен пол-
полный импульс, являющийся импульсом движения центра масс. Можно затем более
или менее произвольно выделить некоторую координату, представляющую абсо-
абсолютное положение в пространстве и времени и использовать, кроме нее, только
относительные координаты. Обозначим „абсолютную" координату через Х.^;
в качестве нее можно, в частности, взять положение частицы или линейную
комбинацию
^ = «^ + A— «)*.,<, A2)
с некоторой произвольной константой а. Обозначим затем относительную коор-
координату через
-*V = л-,м — х,,2. A2а)
XII. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ 339
Штрихованные величины дг', X' и т. п. будут обозначать соответствующие
выражения, получающиеся при замене 1 на 3 и 2 на 4. Если функция взаимо-
взаимодействия 0A, 2) не зависит от внешних факторов, то она будет функцией G(x.,)
только от х{1. Величина 0A, 2: 3, 4) будет тогда зависеть от относительных
пространственно-временных координат хs и х'и и от разности двух „абсолютных"
координат (Х„— X'), ионе будет зависеть от самих координат. В этом случае
мы можем искать решение для нашей волновой функции is частном ниде
4 (Л 2)==ехр(//С,ВД(*Л A3)
где K.j. — некоторый произвольный постоянный четырехмерный вектор. Подобная
волновая функция представляет собой собственную функцию очераторп полного
импульса Р„ и, следовательно, является стационарным состоянием с полной
энергией К4. Условием того, что это состояние является связанным, будет не-
неравенство
К-'^К,КуГЛт11-1гть^. A4)
Любое решение уравнения A1) может быть разложено по k-очпочептам Фурье
вида A3). Если мы выберем компоненту Фурье, удовлетворяющую условию для
энергии A4), то для этой компоненты член (pi, 2 C, 4) должен и уравнении A1)
обращаться в нуль, поскольку он представляет свободное состояние двух частиц
и, следовательно, при этом не может выполняться условия A4). Поэтому для свя-
связанного состояния мы получаем уравнение без неоднородного члена:
фC, 4)=~ — i f j f f d-z.odzudx~d?HK+nC,5)K+bD, 6HE,6; 7,8)^G,8). (lla)
Точно такое же уравнение было строго выведено из квантовой теории поля
Гель-Маном и Лоу [6]. Связь этого уравнения с формулами для состояний „по-
„положительной энергии" становится наглядной, если учесть, что в каждом стацио-
стационарном состоянии происходит бесконечное число рассеяний, так что каждая
функция свободных частиц, подобная <?i:2C, 4), которая могла „первоначально"
присутствовать, будет разрушаться с течением времени.
В противоположность строгим рассуждениям Гель-Мапа и Лоу, мы только
формально вывели соотношения (9), A1) и (На) из соотношения A0) и выражения
Фейнмана для КC, 4; 1, 2) в виде двойной суммы. Гель-Ман и Лоу [6] пока-
показали, что данное выражение для КC, 4; 1, 2) и, следовательно, уравнение (9)
могут быть строго выведены из квантовой теории поля. В действительности
уравнение A0) перестает быть правильным, если нельзя пренебречь взаимодей-
взаимодействием между моментами времени t} и 4- Если взаимодействие остается постоян-
постоянным в течение всего времени, то будет правильным не уравнение (И), а уравне-
уравнение (Па).
3. Дальнейшее исследование полученного уравнения
Для дальнейшего исследования удобно перейти к импульсным переменным.
Если у_(ра, р4) — обращение Фурье функции tyC, 4), то уравнение (На) пре-
преобразуется в
У.(Рз> Рд = г'/ J dPndPs №% — "U f^.i — mi,l J °(Pv /Y' /V Ps) У- (Pv P^>
где
; PV pH) = B-)-8 f$ff d-6 dzn d-4 d^ X
— p^x, — pHxy}\ 0E, 6; 7, 8).
Символы /?3 и т. п. означают четырехмерные векторы, а символы р-лхъ—четырех-
р-лхъ—четырехмерные скалярные произведения; каждый из интегралов в уравнении A5) распро-
340 Г;. САЛЫ1ЕТКР и Г. БЕТЕ
странен по всему четырехмерному пространству. Индекс а у р® означает, что
используются "^-операторы Дирака, относящиеся к частице а.
Далее, можно ввести полный и относительный импульсы. Определяя коор-
координаты согласно формулам A2) и A2а), получаем для сопряженных импульсов
выражения
Р\>- —idx., = Ф — *) дЛц1 — ю дх^
Здесь Ри является, очевидно, однозначно определенным полным импульсом, в то
время как определение относительного импульса может быть изменено в зависи-
зависимости от выбора постоянной а. Для облегчения перехода к нерелятивистскому
пределу удобно взять частное значение
я== ^^; A2в)
тогда в нерелятивистском пределе координата A2) перейдет в координату центра
масс. Однако все вычисления настоящего раздела не зависят от выбора по-
постоянной а.
При выборе переменных, определяемых формулами A2)—A2»), уравнение A5)
сводится к виду
•b(Pj= i J d*p'&->Q(p, p; КЖРр.
где
G(p, р'; К) = B-)-* fffdixd->x,dz?_x, X
рх — Р'х']) О(х, х'; Х —
§¦ = Г ^L_ Ка_±_ра_ и I [ !Lb__ Кь _ рЬ _
|_'?/а + '"Ь ' п\11Па + 1'<Ъ
Уравнение A6) представляет собой интегральное уравнение для волновой функ-
функции в импульсном пространстве <Ji (p^), зависящей только от четырех переменных,
а именно, от компонент относительного импульса двух взаимодействующих
частиц. Эта функция отличается от обычной шредингеровской волновой функ-
функции п импульсном пространстве наличием „относительной энергии" е = р4 в ка"
честве четвертой независимой переменной. Величина О(р, р'\ К) является обоб-
обобщенной функцией взаимодействия в четырехмерном импульсном пространстве.
Представляется заманчивым упростить уравнение A6) [или уравнение A5)]
за счет умножения его с обеих сторон на оператор SF, который не зависит от
переменных интегрирования р', Р'. При этом получается уравнение
^ (/>,.) = ' J d'p'G (р, р'- К) ф (pp. A7)
Из уравнения A7) можно получить эквивалентное уравнение в координатном
пространстве:
34, (xj = / J dix. О(х, х'; К) ф (¦<), A8)
где
О(х, х'; К) = f d-x, exp \iK{X—X')\ G(x, x'; X—X'),
и ра следует уже рассматривать как дифференциальный оператор Na == if? a дх^.
Так как >j(pj зависит от „относительной энергии" р,р то b(xj в уравнении A8)
зависит не только от трех пространственных координат, по также и от „отно-
„относительной временной переменной" ?==х.,. Уравнение A8) также явно реляти-
релятивистски инвариантно и его следует рассматривать как уравнение в четырехмер-
XII. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ 341
ном пространстве для задачи о собственных значениях с величиной К2 в качестве
собственного значения при энергии связи, равной [та-\-ть—\К\].
Интегродифференциальное уравнение, подобное уравнению A8), может быть
получено без использования понятия о центре масс системы и уравнения A3)
посредством действия на уравнение A1) или (На) оператором (Л?"— '«о) X
X O'Vf — ть), после чего получается
e)(/Vj — т*ЖЗ, 4) = i J jdx,dxu0(i, 4; 5, 6NE, 6). A9)
«e
Уравнение A9) является в нашем случае аналогом уравнения для дираковской
частицы во внешнем поле. Как было разъяснено в статье [1], для получения
результатов, эквивалентных результатам теории дырок, следует принять, что
обе массы в уравнении A9) [а также в уравнениях A7) и A8)] обладают беско-
бесконечно малой отрицательной мнимой слагающей.
Если постоянная связи g2 мала, то мы получим разумное приближение,
заменив 0G, 2; 3, 4) на GA)(/, 2; 3, 4). Такая подстановка значительно упро-
упрощает уравнения A1), (На), A5) — A9), в силу наличия о-функций в выраже-
выражении B). В подобном приближении уравнение A7) сводится к уравнению
К), A7а)
где функция взаимодействия в импульсном пространстве О (ktJ) представляет
собой четырехмерное обращение Фурье функции 0A, 2). Аналогично, уравне-
уравнения A8) и A9) сводятся при этом к простым дифференциальным уравнениям
A8а)
2b — ть) -ИЛ 2) = 10 (Л 2) Ф V> 2)- A9а)
Хотя каждое решение уравнения (Па) удовлетворяет также уравнению A9),
однако обратное положение не является всегда справедливым, поскольку урав-
уравнение A9) выводится из A1) или A1а) умножением на два дифференциальных
оператора. Решения уравнения A1а) или эквивалентных ему уравнений A5)
и A6), соответствующие заданному значению полной энергии, однозначно опре-
определяют стационарные состояния системы. Практически, однако, оказывается
более удобным решать уравнение A9) или, что эквивалентно, уравнения A7)
и A8), чем уравнение (Па). Так как выполнимость уравнения A9) является
необходимым, но не достаточным условием, то только те решения этою урав-
уравнения будут физически приемлемыми, для которых доказывается, что они удо-
удовлетворяют уравнению (Па). С практической точки зрения более желательно
иметь некоторые критерии „хорошего поведения" волновой функции 6(/, 2),
непосредственно определяющие без обращения к уравнению (Па), какие из
решений уравнения A9) соответствуют физическим состояниям. Пока не найдено
полностью удовлетворительного набора таких критериев; однако последующее
рассмотрение некоторого воображаемого адиабатического варьирования постоян-
постоянной связи g2 может быть пригодно для их нахождения, а также для более глу-
глубокого истолкования физического смысла волновой функции Л(/, 2j.
Пусть Т будет временной координатой ХА центра масс is той системе
координат, в которой этот центр масс покоится. Допустим, что функция 0A,2)
не совсем неизменна, а что константа связи g2 является бесконечно медленно
изменяющейся в зависимости от Т (адиабатической) функцией g'2{T), причем
для очень больших положительных и отрицательных значений 7' величина ^'2G}
сколь угодно мала, а при —То < 7< То величина g2 (T) практически постоянна
и равна своему истинному физическому значению g'^. Предположим, что мы
нашли совокупность таких решений уравнения A8) (но одному для каждого
чпачения g'2 между нулем и g*), что как К'*, так и {\(х.,) оказываются „гладкими"
342 Е. САЛЬПЕТЕР и Г. БИТЕ
непрерывными функциями от g-. В пределе бесконечно медленной вариа-
вариации g2(T) волновая функция будет задаваться адиабатическим приближением
т
'I (х,,; X, Г) = ехр | ЩХ -f / { dVK. \$р(Г)\} ф [*,; if2 (Г)]. B0)
Для придания решению Ь{хл; X, 7') физического смысла, необходимо, чтобы вол-
волновая функция 41 !ха> ЙG'Л ПРИ ?"'-(:^~. оо) — О описывала две свободные дкра-
дкраковские частицы с массами mlt и mh соответственно. Если частная совокупность
решений уравнения A8) удовлетворяет этому „граничному условию", то эта
совокупность удовлетворяет уравнению (ИI).
Рассматривавшиеся до сих пор связанные состояния в том случае, когда
постоянная связи адиабатически стремится к пулю, перехолят в состояние,
в котором присутствуют только две частицы и нет др\гих нар чисти,; или
квантов. Когда взаимодействие „выпадает", функции <i{/, 2) представляет лишь
частную амплитуду вероятности наличия только двух частиц. Однако в принципе
должно быть возможно выразить частные амплитуды вероятности для случаен
наличия любого числа дополнительных пар частиц и квантов только через ty(/, 2)
и /С- (g2). Такие выражения будут состоять из разложений но положительным
степеням g2 и будут обращаться в нуль в пределе при g-, стремящемся к пулю.
Могут существовать также более сложные виды связанных состояний. Н част-
частности, может существовать связанное состояние с двумя частицами и одним
квантом. (При достаточно больших значениях g'' сами кванты могут также
оказаться связанными с двумя частицами.) Исходная волновая функция для
подобного связанного состояния будет иметь вид ^A, 2; </,Д где q,& обозначает
координаты кванта, и будет удовлетворять более сложному уравнению типа (Па).
Амплитуды вероятности наличия двух частиц и ни одного кванта, двух частиц
и двух квантов и т. д. будут тогда выражаться через Ъ{1, 2; q) и будут
стремиться к нулю при стремлении g'~ к нулю.
В нерелятивистском пределе в случае малой постоянной связи изложенный
формализм сводится к обычному нерелятивистскому уравнению Шредингера для
связанного состояния двух частиц. Соответствующий пример, а также способ
практического решения уравнения A9) приведены в следующем разделе.
4. Скалярные мезоны. Предельный нерелятивистский случай
Рассмотрим задачу основного состояния дейтерона, используя теорию скаляр-
скалярных мезонов со скалярной связью. Мы будем решать только приближенное
уравнение A9а), получающееся из уравнения A9) при замене там О на первый
член разложения О'2). Наиболее удобно использовать эквивалентное уравнение
в пространстве относительных импульсов A7а), которое принимает вид
& + ра _ Ж) (I. кь _ рь _ ) )
= _ ?2D^)-i J #k \k\ - ,*«]-! ф (pv + kv), B1)
где мы подставили релятивистское обобщение потенциала Юкава
0{K) = g-\^{ki-<nV\ B2)
J) Как будет видно, датшый критерий „хорошего поведения" должен быть доста-
точаым; однако оп пе является однозначным, так как адиабатическая вариация воллозой
функции пе подлостью определена для такого значения g2(T), которое соответствует
связаипому состоянию с пулевой энергией связи. — Прим. asm.
'-) Другой, более удобный метод приближенного решения уравнения A9) указав.
в статье ХП! настоящего сборника. — Прим. ред.
ХП. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ 343
Постоянные М и w представляют собой соответственно массу луклеона и
массу мезона, каждая из которых включает бесконечно малую отрицательную
мнимую часть, a g'* является безразмерной постоянной связи, эквивалентной
постоянной тонкой структуры квантовой электродинамики. Без потери общности
мы можем вьк'рять так}ю систему координат, в которой центр масс покоится.
Первые три компоненты K,t будут тогда равны нулю, а /С, будет собственным
значением уравнения B1).
Радии с ядерных сил велик по сравнению с комитоновской длиной волны
нуклеоиа, и, следовательно, ласса келона ц мала в сравнении с массой иукле-
она М. Кроме того, энергия связи дейтерогга лшньше, >;ем ч- М. При этих усло-
условиях перелятииистский подсчет задачи дейтеро;а показывает, что постоянная
связи (т- имеет порядок величины \i.M и, следовательно, мала по сравнению
с единицей. Далее, найдено, что распределение импульсов в нуклеопе резко
обрывается для импульсов, больших чем \i, т. е. „скорости" в дейтероне имеют
порядок величины g- и, следователь:.о, малы. Поэтому подобное переляшнисгское
рен.-ение должно быть хорошим приближением и должно совпадать с нереляти-
нерелятивистским пределом для уравнения B1).
Волновая функция ^(р.х) или <!/ (ха) является шесгнашатмхоипопентным
спинором, причем каждая из 16 компонент относится к одному in двух воз-
возможных направлений сни1;а и одному из двух возможных знаков энергии каждой
из двух частиц. По аналогии с обычной трактовкой нерелятивистского предела
уравнения Дирака мы будем проводить сведение к „Голмыим компонентам" урав-
уравнений A9а) или B1), т. е. будем искать приближенное уравнение, содержащее
только спинорные компоненты, относящиеся к обеим частицам в состояниях
с положительной энергией. Это можно выполнить разными способами, аналогич-
аналогичными различным способам, которые использ'.ются в случае уравнения Дирака G).
Один из таких путей состоит в перекосе члена, содержащего О, на левую сто-
сторону уравнения A9а) и умножении этого уравнения слева па оператор
HP" ~\~ma) (р^,-г"гь) — iOl, после чего получается уравнение
! (Pi - ml) (Pi - ml) — i\Q, (p-pl _j_ mmb)\ + +
+ i[G, (p1,nb +/>>„)]. - O*\ 6 A, 2) = 0, B3)
где p'l-— ц^дх ; уравнение B3) рассматривается как обычное дифференциаль-
дифференциальное уравнение в конфигурационном пространстве. Аналогичное уравнение может
быть получено из уравнения B1). Далее, берем разложение в ряд но степе-
степеням р М и #2 (которые имеют один и тот же порядок величины) и ограничи-
ограничиваемся только первыми двумя неисчезающими членами в этом разложении
(р* и рь:М соответственно). Пространственные компоненты ^а имеют порядок pjM.
Из уравнения B4), которое будет выведено, вытекает, что О имеет порядок
величины р^ уИ2. Следовательно1), третье и четвертое слагаемые уравнения B3)
дают лишь члены порядка p6jM~ и выше. Пусть ?е=B./И—/Q) будет энергией
связи, е==р( — переменной относительной энергии и р == ра =—рь—трехмер-
=—рь—трехмерным относительным импульсом. Уравнение B3) сводится тогда к следующему
приближенному уравнению для „больших компонент" в пространстве относитель-
относительных энергии и импульса:
, е+ш). B4)
Это уравнение вообще не содержит дираковских (т. е. спиновых) операторов.
Поскольку в уравнении B1) и величину М (но не в рА) входит бесконечно
!) Доказательство этого требует только алгебраических выкладок. — Прим. авт.
344 Е. САЛЬПЕТЕР и Г. БЕТЕ
.малая отрицательная мнимая часть, то величина -^-Е в обоих множителях в урав-
уравнении B4) также содержит отрицательную мнимую часть.
В следующем разделе будет описан метод решения уравнения B4) методом
итераций. Однако мы уже сейчас покажем, что если опустить слагаемое отно-
относительной энергии uj2 в знаменателе правой части уравнения B4), то это урав-
уравнение непосредственно сводится к обычному уравнению Шредингера для двух
перелятивистских частиц. Подобное отбрасывание слагаемого ш2 эквивалентно
замене релятииистски инвариантного и, следовательно, запаздывающего юкавского
взаимодействия на мгновенное взаимодействие в системе центра масс. Заменим
переменную интегрирования ш на (ш-j-s) и введем функцию
оо
?(р) = J* rfs' ф (р, Ю- B5)
—со
Правая сторона преобразованною уравнения B4) не будет уже содержать г,
а с левой стороны 6 будет умножаться па число (а не на оператор). Мы можем
поэтому записать преобразованное уравнение B4) в виде
7:9(#» + ^]-1. B6)
От е зависят теперь только два первых множителя в уравнении B6); их легко
проинтегрировать по г, учитывая то обстоятельство, что Е содержит малую
отрицательную мнимую часть. После интегрирования получается простое урав-
уравнение для <э (р):
+ ?)?<Р)= -г2/^А?(р + к)[2т:»(А»+}1»)]-1. B7)
Уравнение B7) совпадает с уравнением Шредингера и импульсном пространстве
для двух нерелятивистских нуклеонов, взаимодействующих через посредство
статического центрального потенциала Юкава.
Для описания относительного движения двух нуклеонов можно вместо ^ (л:л)
или *(/?(<•) брать „смешанную" волновую функцию '{'(р, t), получающуюся, если
взять обращение Фурье от 6(х, t) только по трем пространственным коорди-
координатам, но не по относительному времени. Функция <s(p), являющаяся обычной
волновой функцией в импульсном пространстве, будет, очевидно, совпадать с точ-
точностью до постоянного множителя с <Ь (р, t) при частном значении t = О, т. е.
при одних и тех же временах у обеих частиц. Общее выражение для 6 (р, t)
может быть получено из уравнений B6) и B7), при этом полная волновая функ-
функция пропорциональна о (р) с коэффициентом пропорциональности, равным
4)^-*2^i^l для t < °>
-/^<1} для <> 0.
Можно сказать, что эта волновая функция B8) соответствует распространению
в „будущее" в виде свободной волны (частота ра/2ЛГ) и распространению в „прош-
„прошлое" более сложным „связанным" образом.
5. Строгое решение нерелятивлстского уравнения
Решения уравнений B4) и B6) отличаются на члены относительного по-
порядка g-. Было найдено, что непосредственное использование разложения тео-
теории возмущений в ряд по степеням «~2 с решением уравнения B6) и ка-
качестве нулевого приближения приводит к неверным результатам даже при
XII. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ 345
очень малых значениях g2. Это вызвано тем обстоятельством, что одно из
подинтегральных выражений, входящих в решение уравнения B4), имеет полюс
при некотором значении s, для которого решение уравнения B6) является очень
плохим приближением. В статье [8| был описан способ решения интегральных
уравнений типа, подобного уравнению B4), с помощью метода итерации, кото-
который не включает какого-либо разложения по степеням g'1.
Такой метод итераций был применен |9] для решения уравнения [27] для
основного состояния дейтерона с исходной пробной волновой функцией вида
?0 (р) =[(? + |f) (Р2«-2 + !*2)] . B9)
где а—безразмерный параметр. Исходя из аналогии с методами статьи [8],
мы возьмем для решения уравнения B4) исходную пробную волновую функцию
основного состояния дейтерона в виде
](P2«-s-ee*"s + i*a)-1. C0)
где а и b — безразмерные коэффициенты, которые надлежит определить; ири
этом считается, что Е и jj. имеют малую отрицательную мнимую часть. При зна-
значениях е, малых в сравнении с [а, функция ^0 мало отличается от соответствую-
соответствующего решения уравнения B6). Из рассмотрения первого множителя выражения C0)
следует, что наиболее существенны значения ^(р, е) при |е|, равном по порядку
величины }ь-:М, т. е. при |г|, действительно много меньшем, чем ;х. Выраже-
Выражение (ЗЭ) для ty0 подставляется затем вместо <Ъ в интеграл с правой стороны
уравнения B4), что дает следующее приближение для ty(p, e), а именно, первую
итерированную функцию "^(р, е):
X[4r8/(ft9_ ш2+!х2)]-1. C1)
Подобные итерации могут быть в принципе повторены любое число раз.
Так как энергия связи дейтерона известна, мы будем считать Е заданным,
а g^ будем рассматривать как собственное значение уравнения B4). После этого
мы получим последовательные приближения g'*, g:t и т. д., потребовав
фп+1@, 0) = 0w@, 0). C2)
Для упрощения вычислений удобно ввести две функции ап (р) и Ьп (р, е) сле-
следующим образом:
Удобство введения функций ап и Ъп связано с тем, что они медленно изме-
изменяются при изменении pus. Определим далее „разумные" значения а и Ь,
потребовав, чтобы при специально подобранных значениях риз имели место
соотношения
За более детальным рассмотрением используемого метода отсылаем к статье [8].
Выбор массы мезона \ь, равной 275 we, хорошо согласуется как с массой
заряженного тт-мезона [10], так и с вычислениями эффективной области взаимо-
взаимодействия нейтрон — протон в триплетом состоянии |11|. В связи с этим мы по-
положим величину |х/7И равной 0,150. Для отношения (ЕМ)Ч*1\ь примем значение 0,32,
что соответствует энергии связи дейтерона Е = 2,226 Мэв и указанной
346 Е- САЛЬПЕТЕР и Г. БЕТЕ
величине массы мезоиа. Определим значение а, применив условие C4) при />=«.
В случае предельною нерелятивистского уравнения B6) аналоютный выбор [9J
дает для а значение, равное приблизительно 1,85; из трехмерных уравнений,
эквивалентных уравнениям C1) и C2), при п =¦¦¦-¦ 0 следует значение для g'*, рав-
равное 2,39 \i-IM. Это значение g\ отличается от точного значения g2, соответ-
соответствующего уравнению B6), только на доли процента [9].
Оценка зьачения & и случае четырехмерною уравнения B4) может быть легко
получена с помощью соотношений C1) и C5) для четырех случаев (/; и z либо
очень малы, либо очегь велики в сравнении с а); при этом оценка значения а.
получается и:; соотношений C1) v C4). Подобные подсчеты могут быть в прин-
принципе выполнены при любой величине \i. M; однако они окалываются довольно
сложными, так как соотношения (Ы) и C5) являются связанны\:и уравнениями
для дьух неизвестных а и Ь. Для упрощения вычислений нами было взято раз-
разложение по степеням [i M с сохранением только первых двух членов этого раз-
разложения. В этом приближении в соотношение A.35) вместо а входит «ели-
чипа 1,85 и при /?<СС[* и г<^а получается #—1,31; при р<^1\>- и г^^!1
получается #=1,93; при р^>\>- и любом значении е получается #- 1,85.
В последующих вычислениях используется в известной мере произвольное зна-
значение ?=1,6. Далее, нами было решено уравнение C4) при р = а, для чего
пришлось произвести небольшое численное интегрирование. В случае полученных
значений для а и # уравнения C1) и C2) дают при я--0 следующее значе-
значение для g\:
« =-1,85 (l— (>,¦%?.), #=1,6;
() C6>
Входящие в уравнение C1) интегралы не могут быть взяты аналитически
при любых р и е; однако численное вычисление при какой-либо частной паре
значений р и е, включающее определение ^(р, а), не очень сложно; функция с, (р)
вещественна при всех значениях р; функция #, (р, е) вещественна при s < [j. и,
вообще говоря, комплексна при е > и-. Функция я, (р) и абсолютная вели-
величина #j (pv s) являются медленно меняющимися функциями и изменяются на всем
интервале 0 < р, s < М не более чем примерно на 50%. Следовательно,
можно определить величины tyj (р, е), ах (р) и #, (р, s) лишь при нескольких
значениях р и s и пользоваться интерполяцией для вычисления ал (р) и Ьл (р, г)
при промежуточных значениях риг. Следующее приближение g* для константы
связи в уравнении B4) может быть затем получено с помощью еще одного дву-
двукратного интегрирования с использованием уравнения C1) при я = 1. Однако
величина g^, повидимому, отличается от g\ не более чем на 1—2%. Так как
при выводе уравнения B4) члены относительного погядка величины (u/ЖJ > 0,01
в каждом случае опускались, то подсчет g* не представляет интереса.
Смешанной волновой функцией, соответствующей %(р, е), является функция
\2 т 2/И
exp f dr ib (p-a -2 + jj.2)'''2 f]
C7)
где знак плюс берется при t < 0, а знак минус при t > 0. Первый член в фор-
формуле C7) имеет тот же вид, что и выражение B8); второй член дает составляю-
составляющую волновой функции, которая не соответствует распространению в „будущее"
в качестве свободной волны и связана с тем обстоятельством, что использовалось.
XII. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДПЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ 347
запаздывающее взаимодействие. Два различных знаменателя, входящих в первый
и второй члены выражения C7), имеют порядок величины \j.2/M и и. соответ-
соответственно. Таким образом, абсолютное значение второго члена меньше абсолютного
значения первого члена примерно в ix/M раз.
Выражение C6) для g\ показывает, чго в случае использования реляти-
релятивистской запаздывающей функции взаимоде 1ствия {К1 — си--}-^2)- получается
результат, сильно отличающийся от результата, получающегося при использова-
использовании мгновенной функции взаимодействия (&2-j-у,2). Значение этой разницы
легче понять, если вывести из уравнения B4) приближенное уравнение, содержа-
содержащее трехмерную волновую функцию. Определим снова о» (р) посредством соот-
соотношения
оо
з'4>„(р, &').
В отличие от уравнения B6) в уравнении B4) нельзя исключить s и а>, если
неизвестна зависимость &(р, г) от г. Однако если подставить в уравнечие C1)
выражение C0), то интегрирование по ш может быть выполнено. Найденное
таким образом выражение для ^, (р, е) может быть затем проинтегрировано по е,
причем получается выражение для ог (р), не содержащее е или ш. Далее, под-
интегральное выражение в получившейся формуле для ю, (р) можно выразить
через »0(р). Пренебрегая членами порядка (\>-Щ)* в сравнении с единицей, полу-
получаем
*Ч~1 {1 ~\~F(P> k)}?0(p-rk), C8)
1
2 l y
Уравнение C8) совпадает с уравнением для функции ?i (p), получающимся
из уравнения B6), если не считать появления дополнительного члена с множи-
множителем F (р, к). Таким образом, различие между запаздывающей и мгновенной
функциями взаимодействия может быть учтено с точностью до первого порядка
по \>-1М в уравнении для обычной трехмерной волновой функции <?(р) посредством
прибавления дополнительного члена к (fe--j-jj.'-J)~1. Этот дополнительный член
является функцией р и к и представляет собой поэтому потенциал, зависящий
от скорости. При р, k-^i \i. величина F (р, к) имеет порядок цЖ
Из уравнения C8) может быть также получено несколько более точное
чем g"{ приближение к ц'1. Если опять считать отношение щ'М малым и брать
разложение по степеням этого отношения, то функция F(p, k) будет мала в срав-
сравнении с единицей во всей области, в которой подинтегральное выражение фор-
формулы C8) заметно отлично от нуля. Поэтому мы можем взять первое приближе-
приближение теории возмущений, считая решение уравнения B7) для основного состояния
невозмущенной волновой функцией и рассматривая (и9-]-u.-)-1 F(р, к) как возму-
возмущающий потенциал. Следует отметить, что попытка применения теории возмуще-
возмущений непосредственно к уравнению B4) была бы эквивалентна неоправданному
отбрасыванию второй части выражения C9) для F{p, к). Нами было найдено
первое приближение теории возмущений для уравнения C8) с использованием
выражения B9) как приближения к невозмущенной волновой функции. После
ряда довольно утомительных численных и аналитических интегрирований мы
нашли, считая энергию связи дейтерона постоянной,
Выражение D0) дает только первые два члена разложения но степеням u-'TW.
Коэффициент 1,07 во втором слагаемом в формуле D0) вычислен с точностью
до 10%; он совпадает, как и следовало ожидать, с соответствующим коэффи-
коэффициентом в менее точной формуле
348 Е. САЛЬПЕТЕР и Г. БЕТЕ
6. Обсуждение результатов
Из полученной формулы D0) следует, что значение g2, требующееся для
получения правильной величины энергии связи дейтерона, отличается в реляти-
релятивистской теории от соответствующего нерелятинистского значения на величину
относительного порядка \>-[М, т. е. на величину того же порядка, что и постоян-
постоянная связи g2 или среднее значение отношения р/М в основном состоянии дей-
дейтерона. Таким образом, мы получаем поправку относительного порядка v с, где
v — средняя скорость иуклеонов, в противоположность известному результату
для атома водорода, где релятивистские эффекты (тонкая структура) имеют отно-
относительный порядок (¦о/сJяь(е2/йсJ.
Подобный неожиданный результат не вызван какими-либо погрешностями,
поскольку при выводе уравнения B4) из релятивистски инвариантного уравне-
уравнения B1) отбрасывались члены лишь порядка р/М2 и выше. В действительности
мы подтвердим, что полученный результат является правильным с точностью до
членов относительного порядка (р/МJ, если только нуклеонами могут испускаться
и поглощаться заряженные мезоны. С другой стороны, в случае нейтральных
мезонов, как и в случае электромагнитного взаимодействия, имеющего место
в водородном атоме, результат предыдущего раздела должен быть исправлен.
Действительно, уравнение B1), лежащее в основе вычислений предыдущего
раздела, отличается от полного уравнения A9) заменой полной функции взаимо-
взаимодействия О на функцию одномезонного взаимодействия GA). Однако в случае
нейтральных мезонов следует также принимать во внимание все остальные состав-
составляющие G(ra>; в частности, диаграммы 2А — 2D фиг. 1 будут давать составляю-
составляющие, содержащие только па одну степень g2 больше, чем „главный" член G ,
единственно учитывавшийся в уравнении B1). Следует поэтому ожидать, что
данные члены будут давать поправки к выражению D0) порядка g2^i\>.[M, т. е.
того же порядка, что и величина отличия выражения D0) от нерелятивистского
результата. В случае заряженных мезонов диаграммы 2А — 2D, как будет пока-
показано ниже, можно не учитывать.
Соответственно примеру тонкой структуры атома водорода следует ожидать,
что составляющая от „двухмезонных диаграмм" 2А — 2D не только имеет тот же
самый порядок, что и релятивистская поправка в формуле D0), но даже просто
сокращается с ней, оставляя только поправки к нерелятивистскому результату,
имеющие относительный порядок (а/ЖJ. Действительно, при обычном выводе
уравнения B7) из теории поля отбрасываются, очевидно, только члены относи-
относительного порядка (р МJ. Правильность этого подтверждает подробный реляти-
релятивистский анализ проблемы, сделанный Данковым [12]. Поэтому мы должны пока-
показать, что наша теория также дает результат, совпадающий с точностью до (\х/МJ
с результатом нерелятивистской теории. Это можно, конечно, было бы сделать,
вычислив явным образом составляющие, соответствующие диаграммам 2А—2D
и показав, что эти составляющие точно сокращаются с членом релятивистской
поправки в формуле D0); однако подобный способ доказательства является
сложным и неубедительным. Вместо этого мы произведем модификацию теории,
приводящую непосредственно к искомому результату; это преобразование к тому же
удобно при практическом применении теории к случаю нейтральных полей.
Данное преобразование в известной мере аналогично преобразованию, исполь-
использованному в разделе 8 статьи [2] для исключения продольного поля в квантовой
электродинамике. Фейнман показал, что формальное включение определенной
функции взаимодействия, явно зависящей от изменения энергии взаимодействую-
взаимодействующей частицы, в матричные элементы для любых процессов, претерпеваемых
частицей (находящейся в начале и в конце в свободном состоянии), не влияет
на полную амплитуду каждого подобного физического процесса. В случае
электродинамики добавление таких членов к двум продольным составляющим
запаздывающего электромагнитного взаимодействия приводит как раз к мгно-
XII. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ 345
венному кулоновскому взаимодействию. Теперь мы покажем, что формальное
включение несколько измененной функции взаимодействия не будет влиять на
полную амплитуду каждого физического процесса, происходящего с участием
нейтральных скалярных мезонов. Добавление такого взаимодействия к запазды-
запаздывающему скалярному мезонному взаимодействию B2) приводит к мгно-
мгновенному юкавскому взаимодействию и более сложному, но малому запаздываю-
запаздывающему взаимодействию.
Рассмотрим амплитуду вероятности, соответствующую некоторой произволь-
произвольной диаграмме с „вершинной частью" Г, для двух дираковских частиц, находящихся
в начале и в конце в свободном состоянии и взаимодействующих N раз через
посредство некоторых сил. В частном случае скалярных мезонов со скалярной
связью определенные в формуле B) величины Г равны единице. Рассмотрим
дополнительное взаимодействие, включающее изменение энергии — импульса q^
с зависящей от скорости вершинной частью А,
)ТТ4 — ш, D1)
где ру. и тт^ ^= (р^ -j- q^) — векторы энергии — импульса до и соответственно
после взаимодействия, ш — изменение энергии <74 и р, я — трехмерного импульса.
Данная функция взаимодействия аналогична использованной в статье [2] при
замене f4 на единицу.
Изменим теперь произвольно указанную диаграмму, включающую N Г-взаимо-
действий, введением дополнительного взаимодействия с вершинной частью Л в пер-
первом случае до первого Г-взаимодействия частицы а, во втором случае между
первым и вторым взаимодействием и т. д., причем соответствующие вершинные
части для частицы b оставляются произвольными. Просуммируем, далее, ампли-
амплитуды, соответствующие полученным N-\- 1 измененным диаграммам, следуя спо-
способу, описанному в статье [2]. Составляющая этой суммы, соответствующая
первому слагаемому выражения D1) для Л, действующему между л-м и («-j-l)-M
взаимодействием, а также второму слагаемому выражения D1), действующему
между (п—1)-м и л-м взаимодействием, содержит следующие множители:
... (/,„_! - Ж)-' Ги (ря— Щ-* [(/>„ - М)
— ... {рп_х — Ж)"* [тг4 (яя_! — М)] (*й_, — Ж)-* Гя («„ — Ж)-*. .. D2)
Составляющие, соответствующие первому члену уравнения D1), действующему
до первого Г-взаимодействия, и второму члену, действующему после послед-
пего Г-взаимодействия, равны нулю, так как частица а в начале и в конце
является свободной. Сумма амплитуд, соответствующих данным {N-\- 1) изменен-
измененным диаграммам, равна поэтому сумме по iV измененным диаграммам, у каждой
из которых одно из N Г-взаимодействий заменено на комбинированное взаимо-
взаимодействие с вершинной частью
Л' = ГТ4—ГД1. D3)
Если Г равно единице, то Л' равно нулю и введение Л-взаимодействий не будет
влиять на полную амплитуду. Выражение для А, использованное в статье [2]
(где вместо ^4 берется единица), приводит к А', равному нулю при любых Г.
В системе центра масс (рО11=—Ръ^^Р]/) мы определяем взаимодействие
между частицами а и Ь, включающее передачу энергии — импульса q^ = (ко)
с помощью зависящей от скорости функции взаимодействия L{p^) k; <в):
L==?2[4^(/e2 — tsfl+ !/.*){&-\-y.*)\-i {А«(А5 — 2со) + (Аа + 2о>)А»}. D4)
Мы можем записать релятивистски инвариантную функцию взаимодействия
G(k, <») для случая скалярных мезонов (выражение B2) как {[G—L\-\-L).
Используя выражение D4) и формулу D1), получаем
350 F- САЛЬПЕТЕР и Г. БЕТЕ
Первые два члена выражения D5) точно совпадают с функцией мгновенного
юкавского взаимодействия, причем при подстановке величины G они приводят
не к уравнению B4), а к уравнению B7). Второй член, представляющий взаимо-
взаимодействие, зависящее от скорости и спина, меньше первого члена примерно в ([аДМJ
раз, так как все величины р, k и |уМ| имеют порядок ;х. Так как в случае
скалярных мезонов Г равно единице, то из формулы D3) следует, что допол-
дополнительная функция взаимодействия -\-L не должна в этом случае входить
в полную амплитуду какого-либо взаимодействия между двумя частицами.
Можно считать, что „пересеченная" диаграмма 2А соответствует „одно-
„одновременному присутствию двух распространяющихся мезонов". Первая часть выраже-
выражения D5) представляет мгновении i обмен мезонами и
следовало бы ожидать, что подобное взаимодействие
не будет вносить никакого вклада в член (У--А\ отно-
относящийся к диаграмме 2А. Действительно, так как диа-
диаграммой 2А учитываются также процессы с промежу-
промежуточными состояниями отрицательной энергии (см. фиг. 3),
данный вклад в G<-sA^ не равен полностью нулю, однако
Фиг. 3. Диаграмма для он меньше величины Gis4> для запаздывающего взаимо-
включаемого в диаграм-
диаграмму 2 процесса с участием действия B2) примерно в (а/М)- раз. Второй член вы-
виртуального иорожде- ражения D5) уже сам по себе мал, а соответствующая
ния и уничтожения пары. еМу составляющая в СИзА) будет меньше еще на поря-
порядок (i/ЛГ; сумма выражений [&-2В)-\- QW-j- G^n>] должна
иметь такой же порядок, что и данная составляющая. Таким образом, мы по-
показали, что замена О на функцию мгновенного юкавского взаимодействия
g'2;2~2 (k- -)- jj.-) приводит только к ошибкам относительного порядка (|а/Ж)'2,
причем главный поправочный член связан со вторым слагаемым выражения D5).
Однако в случае только одних заряженных мезонов положение коренным
образом изменяется, если предполагать, что нуклеон не может превращаться
при испускании и поглощении заряженных мезонов в обладающий двойным
зарядом или же отрицательно заряженный протон, и если предполагать, что
совершенно отсутствует связь пуклеонон с нейтральными мезонами. В этом
случае положительные и отрицательные мезоны могут испускаться (или погло-
поглощаться) нуклеоном только чередуясь друг с другом, так что диаграмма 2Л,
а также диаграмма лэмбовского сдвига 2В полностью запрещаются законом
сохранения заряда. Поскольку нуклеспы в дейтероне не являются свободными,
диаграммы собственной энергии и перенормировки массы 2С и 2D могут давать
при совместном учете не равные нулю члены; однако эти члены, так же как и
члены, соответствующие более сложным диаграммам, имеют меньший порядок
величины, чем член О~' \ связанный с функцией запаздывающего скалярного
взаимодействия. Следовательно, выражение B4) и приближенное решение,
выведенное в связи с ним в предыдущем разделе, дают правильные два первых
члена разложения по степеням и/М в случае заряженных скалярных мезонов
(при отсутствии заряженных нуклеонов). Следует отметить, чго выполненное выше
для нейтральных мезонов преобразование основывается на том условии, что
Л-взаимодействие может быть введено в любой точке каждой диаграммы. Если мы
ограничиваемся только заряженными мезонами и нейтронами и протонами, то это
условие не выполняется (ввиду сохранения заряда) и данное преобразование про-
произведено быть не может.
В случае одних заряженных мезонов постоянная связи if9 для взаимо-
взаимодействия должна, следовательно, быть примерно в 1,1 а/Ж раз больше
(на 15%), чем постоянная связи в случае одних нейтральных мезонов.
Для смеси Сербера заряженных и нейтральных мезонов (не дающей сил
в /7-состояниях) данчое превышение составляет только одну четверть указан-
указанной величины; в случае кеммеровской зарядио-сим.метричной смеси имеется по
грубой оценке в четыре раза большее уменьшение. Следует подчеркнуть, что
XII. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ 351
вычисления проводились со скалярными мезонами в основном лишь для иллю-
иллюстрации развитого метода, а не из-за убеждения, что такой выбор является
физически правильным.
Описанные в этой статье уравнения применяются сейчас для исследования
релятивистских поправок к тонкой и сверхтонкой структуре водорода. Пока
не было найдено способа применения данного уравнения к задачам, в которых
постоянная связи не является малой, т. е. к дейтерону с псевдоскалярными
мезонами. Однако если задать некоторый феномекологический потенциал взаимо-
взаимодействия, то всегда можно найти его релятивистски инвариантное обобщение.
Найденная релятивистски инвариантная функция взаимодействия может быть
затем подставлена в формулу A9), при этом получится релятивистское фено-
феноменологическое уравнение длл связанных состояний двух частиц. Нами намечается
исследование подобным способом теории Ферми и Янга |13].
Ангоры выражают благодарность проф. Фейнману и ряду своих коллег
но Принстопскому институту и другим организациям за стимулирующие дискуссии,
а также Гель-Ману и Лоу за сообщение полученных ими результатов до публикации.
ПРИЛОЖЕНИЕ
СВОДКА УРАВНЕНИЙ, ВЫВЕДЕННЫХ В РАЗДЕЛАХ 2 и 3
Амплитуда КC,4; 1,2) однозначно определяется неоднородным интегральным урав-
уравнением (9). Такое определение полностью равносильно определению в виде двойных
бесконечных рядов, данному Фейл'маном. Из уравнения (9) вытекает уравнение A1) или
(На) для волновой функции в коордиптгном пространстве 0/A,2). Уравнение A1) полу-
получается, если взаимодействие .включено" только конечное время, а уравнение (На),—
если взаимодействие происходит постоянно. Уравнение A1) включает граничное условие
в форме неоднородного члена «Pi,aC,4) и поэтому имеет только одно решение. Иптегро-
дирференциальное уравнение A1а) является однородным и имеет бесконечное число
решений, каждое из которых соответствует „физически допустимому состоянию". Урав-
Уравнение A5) для волновой функции в импульсном пространстве х(Ръ Pi) представляет
собой преобразование Фурье уравнения (Па).
В случае постоянного во всем временном интервале взаимодействия можно искать
частные решения для волновой функции в виде A3). Подобные решения соответствуют
состояниям с определенной полной энергией и полным импульсом. Для таких состояний
уравнение (Па) сводится к более частному уравнению (не записанному явно в тексте),
а уравнение A5) — к частному уравнению "A6).
Действуя определенными операторами на уравнение (На) или A1), мы получаем
уравнение A9); эквивалентное уравнение (не приведенное явно) может быть получено
из уравнения A5). Действуя эквивалентными операторами на уравнение A0) и на его
аналог в координатном пространстве, мы получаем соответственно уравнения A7) н A8).
Полученные четыре производных уравнения более удобны при практическом решении,
однако их выполнимость является только необходимым, но недостаточным условием.
При замене в уравнениях выражения О на первый член его разложения GO, уравнения
A7)—A9) переходят в приближенные уравнения A7а), A8а) и A9а) соответственно.
ЛИТЕРАТУРА
1. Feynraan R. P., Phys. Rev., 76, 749 A949). (См. статью 111 настоящего сборника.)
2. Feynman R. P., Phys. Rev., 76, 70S) A949). (См. статью IV настоящего сборника.)
3. D I г а с, F о с k, P о d о 1 s к i, Sow. Phys., 2, 408 A032).
4. В loch F., Sow. Phys., 5, 301 A934).
5. Dyson F. J., Phys. Rev., 75, 486, 1730 A949). (См. статью V настоящего сборника.)
6. G ell-Mann M., Low F., Phys. Rev., 84, 350 A951).
7. В с the H. A., Handb. d. Phys., 24/1, 304 AP33). (См. перевод: Бете Г., Квантовая
механшеа простейших систем, М. — Л., 1934.) Kramers H. A., Hand. п. Jahrbuch
der chemlschen PhysiK, Akad. Verl., V. I, Leipzig, 1938, b. 29).
8. Sal peter E. E., Phys. Rev., 84, 1226 A951).
9. Goldstein J. ;$., S a 1 p e t e r E. E. (is печати).
10. Smith, В ar ka s, В I sh op, Bradner, Gardner, Phys. Rev., 73, 86 (A) A950).
11. S a 1 p e t e r E. E., Phys. Rev., 82, f>0 A951).
12. Dancoff S. M., Phys. Rev., 78 382 A950).
13. Fermi E., Yang C. N., Phys. Rev., 76, 1739A949).
27 Зак. 573.
ХШ. МАССОВЫЕ ПОПРАВКИ К ТОНКОЙ СТРУКТУРЕ
ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ
Е. САЛЬПЕТГ.Р
Е. Е. Salpcter, Phys. Rev., 87, ЛЬ 2, 328A9512)
Дастся дальнейшее рассмотрение выведенного ранее релятивистского четырехмер-
четырехмерного волнового уравнения для связанных состояний системы из двух тел. Из этого урав-
уравнения получаетсн в случае „мгновенной" функции взаимодействия точное трехмерное
уравнение, близкое, но не совпадающее с уравнением Ьрейта. Развивается теория воз-
возмущений для малого дополнит! лыюго иемгповешюго взаимодействия.
С помощью данного коваршштпого метода вычисляются поправки относительного
порядка а (ш/М) к тонкой структуре водорода, связанные с конечностью массы ядра.
В предыдущем приближенном рассмотрении, основывающемся на уравнении Ьрейту.
в этом порядке не получалось никаких членов. Часть из полученных членов содержит
множителем in а. I оказывается, что подобные члены могут быть получены из обычноь
квантовой электродинамики с помощью теории возмущений.
Найденные поправки к тенией сцуктуре составляют 0,379 м?гц для 2в-состояння
атома водорода и — 0,017 мггц для 2/лсчстс и:ня. Для ведо] сдоподобпых атомов с более
тяжелыми ядрами соответствующие поправки примерно в Z'"(A раз больше, чем поправки
для водорода.
1. Введение
В случае водородоподобного атома с бесконечно тяжелым ядром уравнение
Дирака позволяет получить точное выражение для тонкой структуры. Если при-
принять, что бесконечно тяжелое ядро обладает заданным магнитным дипольныи
моментом паулиевского типа, то из уравнения Дирака может быть также выве-
выведено точное выражение для сверхтонкой структуры. В случае ядра у.ассы М
появляются поправки к указанным выражениям, вызываемые движением ядра
(помимо того, что в нерелятивистском приближении в экергию связи подставляется
приведенная масса jj.). Следует ожидать, что такие поправки будут пропорцио-
пропорциональны отношению от/ТИ, где m — масса электрона, и гекоторой степени посто-
постоянной тонкой структуры а. Поскольку выражения .тля топкой структуры и для
сверхтонкой структуры сами по себе являются существенно релятивистскими,
для нахождения поправок к этим выражениям, обусловленных движением ядра,
требуется произвести релятивистское рассмотрение задачи о связанных состоя-
состояниях для системы двух тел.
Приближенный релятивистский способ рассмотрения подобной задачи был
уже довольно давно предложен Брейтом [1]. Согласно Брейту, спадала точно
(или хотя бы с требу-щейся точностью) решается урсвж-пие Брейта для электрона
и ядра, причем берется только шновенное кулоновское взаимодействие. Затек
учитывается, по крайней мере приближенно, эффект запаздывания посредством
добавления к гамильтониану так называемого брейтовского взаимодействия. Это
брейтовское взаимодействие эквивалентно члену, получающемуся во втором
порядке теории возмущений в квантовой теории поля, вследствие обмена одним
поперечным фотоном между электроном и ядром при пренебрежении отлачей
в промежуточных состояниях. Если, далее, принять, что указанное брейтовское
взаимодействие следует рассматривать как малое возмущение и искать лишь
его среднее значение, то весь расчет может быть проделан без особых затруд-
затруднений. По сути дела подобная программа была тщательно выполнена для
тонкой структуры Брейтом и Брауном |2, и для сверхтонкой структуры Брей-
Брейтом, Брауном и Арфкеном [3] для водородоподобных атомов. С помощью раз-
XIII. МАССОВЫЕ ПОПРАВКИ К ТОНКОЙ СТРУКТУРЕ ВОДОРОДОПОДОБПЫХ АТОЛ1ОВ 3i3
ложения по степеням т\М они прежде всего нашли поправочный множитель
[1—(т/М)] для тонкой структуры. Эга по травка может быть включена в дира-
ковское выражение для тонкой структуры посредством замены массы элек-
электрона т на приведенную массу р.. Брейт, Браун и Арфкеп затем показали, что
при упомянутых выше предположениях не получается никаких поправок отно-
относительного порядка а(т\М) ни к тонкой, ни к сверхтонко.1 структуре.
Однако, как было отмечено ранее Брестом и другими, рассмотрение, основы-
основывающееся на уравнении и члене вчаиуо действия Б ре f-. та, является только при-
приближенно релятивистским, причем горяг.ок величины допускаемых ошибок
оценить довольно трудно. Главная задача настоящей статьи состоит в том,
чтобы показать, что при использовании полностью релятивистского рассмотре-
рассмотрения для тонкой структуры получаются поправки относительного порядка с.(яг /И);
при этом находятся выражения /'..ля этих поправок. В основной части данной
статьи мы разбираем только сл>чаЯ водор >ла и считаем про; он. составляющий
ядро, точечной дпраковской частицей, пренебрегая внутренней структурой про-
протона (аномальным магнитным моментом, облаком заряженных мечоноп и т. п.).
В рассматриваемых членах не появляется никаких расходимостей даже для
точечной частицы. В разделе 7 дается простое приближенное обобщение па
случай ядра, состоящего из нескольких нуклеонов. В последующей статье
будут рассмотрены эффекты ядерной структуры, ие учтенные в настоящей
работе, а также различные поправки к лэм'ювекому сдвигу. В другой статье
будет покачано, что поправки того же относительного порядка получаются я
для сверхтопкой структуры.
Недавно Сальпетером и Бете \А\ было выведено из формализма Фейн-
мана [5] четырехмерное полностью релятивистское волновое уравнение для
связанных состоя! ий двух .'-иракопских частиц с произвольным взаимодействием.
Строгий вывод этого уравнения из кванте вой теории поля был дан Гель-Мано.ч
и Лоу [6]. Со :ержание настоящей статьи носи г двоякий характер. Во-первых,
предлагается метод приближенного решения общего уравнения указанного ти:1а
для слуая, когда главный член взаимодействия является мгновенным и постоян-
постоянная связи мала. Во-вторых, развитый метод применяется для вычисления попра-
поправок порядка а(т Л4) = Д?(Ь) к выражениям, полученным Брестом и сотруд-
сотрудниками для тонкой структуры.
В разделе 2 бугет показано, что если функция взаимодействия, входящая
в четырехмерное волновое уравнение, явл..ется мгновенной, то может быть
выведено точное трехмерное волновое уравнение, сходное, но не тождественное
с уравнением Брейта. В разле.-к: 3 о'тцая теория раз 1ела 2 применяется к спе-
специальному случаю кулоновского взаимодействия в водороче. при этом исполь-
используется разложение по степеням т М. В разделе 4 показывается, каким образом
из четырехмерного уравнения могут быть потучены нонпавеные члены, связан-
связанные с обменом поперечными фотонами. Некоторые из поправочных членов
порядка am M содержат также множитель In а. В разделе о показывается,,
что такие члены могут быть очень просто получены непосредственно из квантовой
теории поля с помощью обычной (не полностью релятивистской) теории возму-
возмущений. В разделе 6 вычисляют точные выражения для всех поправочных членов,
порядкаа тМ к топкой структура водорода (при т<^М).
2. Мгновенное взаимодействие и теория вэзмущ^ний для четырехмерного
уравнения
А. МГНОВЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Всюду, где это возможно, будут использоваться обочнлч-шия статей 14]
и [5], причем мы положим Й = с = 1. В формализме Фейчмача в счучае
двух дираковскнх частиц рпвчого и противоположного по зга;<у электрического
заряда е могут использоваться два различных выражения для функции электро-
27*
354 Е. САЛЬПЕТЕР
магнитного взаимодействия. В импульсном пространстве эти функции имеют вид
где Tjj. — обычный дираковский матричный четырехмерный вектор, индекс а
соответствует частице a, k,^ обозначает переносимый четырехмерный импульс и к
обозначает трехмерные составляющие последней величины. Посредством k'1
обозначено |к[2, ^означает \k\ — [к|2]. Первый член в B) представляет мгно-
мгновенное кулоновское взаимодействие в частной системе отсчета. Второй член в B),
который мы будем называть поперечной частью, представляет собой сумму
по двум взаимно перпендикулярным направлениям поляризации, каждое из которых
перпендикулярно к к.
Можно было бы предпочесть явно релятивистски инвариантное выражение A),
в случае использования которого можно прямо применить изящные методы инте-
интегрирования, развитые Фейнмапом. Однако при применении выражения A) для
рассмотрения данной конкретной проблемы высшие члены G(re) разложения полной
функции взаимодействия G, определенной в статье [4], оказываются довольно
громоздкими, и получаются пары поправок определенных степеней но а, сокра-
сокращающиеся в окончательном результате друг с другом. Аналогичное положение,
имеющее место в случае дейтерона, взаимодействующего со скалярными мезонами,
было разобрано в статье [4]. По этой причине более удобно использовать ныра-
жение B). Потеря внешней релятивистской инвариантности компенсируется при
таком выборе тем обстоятельством, что нерялитивистское рассмотрение, при
котором используется только первая часть выражения B), будет всегда давать
в этом случае довольно хорошее приближение.
Рассмотрим сначала решения общего четырехмерного волнового уравнения
типа, выведенного в статье [4], в котором только полная функция взаимодей-
взаимодействия G(k^) заменена на функцию G(k), зависящую лишь от первых трех
компонент переносимого импульса к и имеющую в остальном совершенно общий
вид. Обращение Фурье функции G(k) представляет собой мгновенный потенциал
в координатном пространстве. Подобная функция взаимодействия не является,
конечно, релятивистски инвариантной. После отделения движения „центра масс"
рассматриваемое уравнение примет вид [4]
v- — ?Vt? — "h) Ъ (Рр) =
= —Bт)-* fd'kGWMPy.+ kJ, C)
где К—заданный четырехмерный вектор (вектор энергии — импульса „центра
масс"), пространственные компоненты которого равны нулю, а четвертая компо-
компонента равна Е. При этом Е представляет собой собственное значение данного
уравнения. Четырехмерный вектор р является вектором относительного четырех-
четырехмерного импульса; величины р,^ и р^р. отличаются тем, что входящие в них
операторы действуют на различные частицы. Безразмерные коэффициенты и.а
и |хй определяются формулами
Волновая функция <Ь{р^) представляет собой шестнадцатикомпонентный спинор.
Умножая уравнение C) на ^474» получаем
XIII. МАССОВЫЕ ПОПРАВКИ К ТОНКОЙ СТРУКТУРЕ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ 355
где
F (Pf) ^ [,*„? — На (р) + е] [у.„Е — Нь (р) - в],
Н„(р) = (/«„р» + р • ««), Яь (р) = (ть?ь — р • а"),
Величина G' (к) носит совершенно общий характер за исключением того, что она
не зависит от ki и может включать дираковские матрицы. Чтобы наше уравне-
уравнение отвечало дираковской теории дырок, следует соответственно правилам фор-
формализма Фелнмана считать, что как у т„, так и у ть имеются бесконечно малые
отрицательные мнимые части. Так же как и в статье [4], мы введем трехмерную
волновую функцию ср (р)
со
?(Р)= / ^Ф(Р, ?)- E)
—оо
Поскольку G' (к) не зависит от ki == ш, мы можем сразу выполнить и правоЧ
части уравнения D) интегрирование по ш, что дает
Г (р) = _ Bw)-i [ d4G' (к) в (р + к). F)
Введем обычным образом операторы проектирования Казимира для частицы а:
2Ea(P)
Л-№~ 2Еа{р)
где
и аналогично для частицы Ь. Определим затем четыре волновые функции
Ф++(р,) = л:(р)а^(рЖр,).
, (о)
'i_ + (р,) = А1 (р) Аь+ (р) 6 (Pv) и т. д.
После этого можно записать уравнение D), используя F), в виде системы
из четырех уравнений.
F+ + (р, в) ^+ + (р, в) - Л; (р) А"+ (р) Г (р), (9а)
F-+(p, e)^_+(P- е) = А1(р)Л^(р)Г(р), (96)
F+ _ (р, в) ^+ _ (р, е) = ЛТ fp) Ai (p) Г (р), (9в)
^_ - (р, е) ф_ _ (р, е) --= А1 (р) Аь_ (р) Г (р), (9г)
где
\]libb(p) ],
, е) = [!*„?+?„ (р) +8 — Й] [;*ft?—?ft(p) —в-Й1 и т. д.
В A0) явно выписаны мнимые члены, получающиеся из мнимых отрицательных
составляющих та и щ; при этом о обозначает беско!1ечно малую вещественную
положительную величину.
Правые части уравнений (9) не зависит от переменной е. Мы можем раз-
разделить каждое из этих четырех уравнений на соответствующую функцию F (р, е),
не содержащую теперь дираковских операторов. Тогда справа в уравнениях (9)
356 li. САЛЬИЕТЕР
от s будет зависеть только множитель F~l (р. г), и эти уравнения можно будет
проинтегрировать но г. С помощью соотношений
A1)
J da (a -:. г j 6 | — s)-i (* ^' 131 + 3)-1 ^ °
— CO
и определения E) прои!:тегрирог!апные уравнения (9) могут бить сведены к четы-
четырем связанным трехмерным уравнениям:
++ (Р) = Л% (р)Л+ (р) j dkG'(k)-f (p-|~k), A2a)
[E + E« W + Eb (P)] ?_ _ (P) = — At (p) At (p) J rf-W (k) ? (p -j- k), A26)
?_+(p) —?+_(p) = 0, A2b)
где трехмерные волновые функции »++. (р) т; т. д. получаются и:! »(р) аналогично
тому, как функции 6++ (р) и т. д. получаются из ¦) (р). Четыре сиязаиных
уравнения A2) можно переписать в виде одного олерлторного уравнепия
[Е-На (р)-Н„ (р)] о (р)=)А'; (р) А* (р)-А 1[р)Ль_(р)
вывод которого является основным результатом настоящего раздела. При выводе A3)
мы использовали тождество
[М (р) Ай+ (р) + Д° fр) А6Ь (р) + A't (р) Аь_ (р) + А'1 (р) Ab_ (p)J = 1. A4)
Зависимость '\{р^) от з становится полностью схфеделениол, и волновая
функция может быть записана в гиде
8I-V.«P), A5)
где /_(р)—шестнадц.тгикомгюнентны!) спинор, не зависящий от г, причем
? (р) = [ At (р) А*, (р) - А» <р) At (p)} -/_ (р). A5а)
Используя A5) и (9), находим
\Е — Ни (р) — Нь (р)] ¦/ fp)= J rf^G' (k) ?(p + k). A56)
Отметим, что уравнение A3) близко соответствующему уравнению Бреита для
рассматриваемо i задачи:
IE — Ha(p) — Ilb(p)\<?(p)= [rf^G'(k)?(p + k). A6)
Отличие от A3) заключается лишь в наличии и A3) члена в фигурных скобках
с правой стороны, содержащего операторы iv оектирочагия. В нерелятинист-
ском пределе в случае, ког/а о'е частицы находятся в состояниях с положи-
положительной энергией, существенно только ? + + , так что в -пом прет>чле уравнения A3)
и A6) становятся тождественными. При'.чижеяное уравнение вида, аналогичного
уравнению A3), было ранее выведено Брауном и Равенхолом [7].
Представляет известный интерес, к каким изменениям к уравнениях приведет
использование одноэлекфог.г-гол теории «место теории дырок. В формализме Фе ,н-
мат*а единственное различие заключается только н том, что в последнем случае
бесконечно малая ьп.имая слагающая включается уже не в та и ть, а в Е. Это
означает, что знак перед й во всех выражениях A0) должен быть одним и
гем же. При этом ери кнтегргроиапи-и (9) «место уравнения A3) получтея
ч точности ура!?нс;!иэ !>рейта A6). В их релятивистском пределе, например а слу-
XIII. МАССОВЫЕ ПОПРАВКИ К ТОНКОЙ СТРУКТУРЕ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ 357
чае одного электрона и одною протона, находящихся в состояниях отрицатель-
отрицательной энергии, существенно только '?__, и кинетические энергии будут отрица-
отрицательны. При использовании уравнения Брейта энергия взаимодействия будет также
отрицательна и связанных состояний получаться не будет, что согласуется с одно-
электронной теорией. Если же использовать уравнение A3), то энергия взаимо-
взаимодействия будет положительной и связанные состояния будут получаться; при
этом кинетическая энергия, энергия взаимодействия и энергия связи будут равны
и противоположны по знаку соответствующим величинам для такого связанного
состояния, в котором обе частицы находятся в состояниях положительной энергии.
Можно сказать, что подобные волновые функции соответствуют связанному состоя-
состоянию позитрона и отрицательного протона. Таким образом, если постулировать
мгновенное взаимодействие, то уравнение Брейта соответствует одноэлектронной
теории и не согласуется с теорией дырок.
Б. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Введенная в D) функция F зависит не только от переменных (р, а), но и
является также квадратичной функцией постоянного собственного значения Е.
Таким образом, в нате основное уравнение Е входит не линейно, как в трех-
трехмерное уравнение Шредипгери, а квадратично. Для получения результатов, соот-
ветству ощих результатам первого порядка теории возмущений, нам придется
поэтому применить способ вычистемий, несколько отличающийся от обычного.
Уравнение A3) представляет собой обычное уравнение Шредингера в гамиль-
гоноиской форме. Пусть <эя(р) — волновая функция, а Еп — собственное значение
энергии некоторого стационарного состояния данного уравнения. Волновая функ-
функция Ьп (р^) будет тогда определяться соотношеш ем A5), где вместо Е подста-
подставлено Еп. Функция уп(р) будет определяться по A56). Примем, что о» удовле-
удовлетворяет следующему нормировочному условию:
(р)?(Р)=jdP [?*+1. (р) ?++<р)—?!._ (р) ?__ (p)i = 1.
Обозначим для сокращения интегральный оператор с ядром — Btc/)-1G/ (k)
через у. Уравнение D) примет тогда вид
С»—8) *» = <>•
Для некоторого произвольного постоянного значения ?д , необязательно равного Е,.,
мы можем определить две новые функции
Ф» GV =- — 1?л — На (р) — Нь (р)] [2niFu (p, 8)]-*х„ (р), A9)
?»(p,)=-[f* — Я„(р) — Hb(p)\ [2~iF,{p, з)Г'хп(р). A9а)
где FA есть выражение F, в котором величина Е имеет значение ?д. Используя
то обстоятельство, что О'(к) па зависит от /г., а также соотношения E), A1),
A56) и A9), можно показать, что
(^ - 8) ''Л - - Bт:/) (?л - ?„) Х„, B0)
7Л (/"д — 9) = - B«/J-i (?л — Еп) х«. B0а)
Уравнение B0а) имеет место в том смысле, что правая и левая его части будут
давать тождественные выражения, есла их умножить спрака на произвольную
функцию <1/ (р^) и проинтегрировать по dAp.
Рассмотрим теперь уравнение, подобное уравнению D), в котором только
х G' (ky) добавлена дополнительная функция взаимодействия G'A (k.L), рассматри-
рассматриваемая как малое возмущение и, вообще говоря, зависящая также и от &.,. Возь-
Возьмем частное решение Wn(p^) этого видоиз\1ененногоуравнения, сводящееся к Ьп{рг)
358 Е. САЛЬПЕТЕР
при обращении G^ в нуль. Пусть собственное значение энергии такого состоя-
состояния будет равно
Eh = En-\-AE. B1)
Обозначив интегральный оператор с ядром —Bit/)~1Gl(A;[t) через 9а> полу-
получим уравнение
(т? (О ?> ч \тг л /"99\
V* А о Од/ п — и> \Л*/
где в выражении F\ величина Е имеет значение Яд. Удобно ввести новую функ-
функцию <1>д следующим- образом:
фд ==ЧР"„ — <Ьп, B3)
где <!/„ определено так же, как и в A8). Уравнение B2) можно теперь пере-
переписать в виде
С^д— %)^п-\-(Рь— 9)^д= 9аФя-Ь 9а^д- B2а)
Поскольку предполагается, что §д „мало" по сравнению с Q, то АЕ будет
?
мало по сравнению с Еп и фд мало по сравнению с <]>?, так что ф? будет при-
приближенно равно фп.
Умножим уравнение B2а) слева на ф» и проинтегрируем по d*p. Используя
B0а), в результате получим
= — B«) Ф» g а (^ + Фд). B26)
Первые члены правой и левой частей уравнения B26) представляют собой вели-
величины первого порядка малости, а вторые члены — величины второго порядка
малости. Мы получим поправку первого порядка теории возмущений Д/?1' к АЕ,
опустив указанные два члена второго порядка малости и заменив в членах пер-
первого порядка малости ty? на фп. Проинтегрировав получающееся приближенное
уравнение по d*p, с помощью E) и A7) получим искомое выражение для ^)
-B*/) J <**/>?. 0>,) ЗА*» (/V)= // <*V ^**Ф» (РЛ Ga (&,) фя (p^+ft^). B3a)
U3. Мгновенное кулоновское взаимодействие
Теперь применим общую теорию предыдущего раздела к специальному слу-
случаю двух дираковских частиц с зарядом, равным е и (—ё) соответственно:
Возьмем выражение B) для электромагнитного взаимодействия G(k^) и ограни-
ограничимся в этом разделе учетом только первого слагаемого этого выражения, соот-
соответствующего мгновенному кулоновскому взаимодействию
| B4)
Эффекты поперечной части взаимодействия Gy (k^) будут рассмотрены в сле-
следующих трех разделах с помощью видоизмененной теории возмущений.
Четырехмерное уравнение для данной задачи имеет вид
Р (Р. в) 4- (/V) = -BЮ)-1 / *k { Ос (р) + О'сР (Ад + .. . } ф (р, + Ад. B5)
Как было указано в статье D), в ядро этого интегрального уравнения входит
не только Go (k), но также все выражения, соответствующие неприводимым диа-
диаграммам высшего порядка. Из всех этих выражений в рассматриваемом прибли-
приближении необходимо учесть только Оса- Последнее выражение соответствует диа-
диаграмме 1, показанной на фиг. 1, т. е. соответствует „пересеченному двойному
фотонному" члену, включающему два мгновенных кулоновских взаимодействия.
Как было разобрано в статье [4], такой член при использовании теории дырок
XIII. МАССОВЫЕ ПОПРАВКИ К ТОНКОЙ СТРУКТУРЕ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ 359
не равен тождественно нулю *), причем конечная составляющая получается в связи
с наличием промежуточных состояний, в которых одна из двух частиц находится
в состоянии с отрицательной энергией. Однако этот член мал, его вклад в энер-
энергию связи имеет порядок a AE(fs), и он будет трактоваться как возмущение в выра-
выражении теории возмущений первого порядка B3), выведенном в предыдущем
разделе.
Рассмотрим в связи с этим уравнение B5), заменив в нем полное ядро на
первый член его разложения Go (к). Данная функция не зависит от k4, и, следо-
следовательно, в этом случае применимо рассмотрение предыдущего раздела, привед-
приведшее к формуле A3). Мы, таким образом, получаем трехмерное уравнение вида A3):
\Е—На (р)—Нь (р)] ср (р) = {Л+ (Р) Л+ (Р)—А- (Р) А- (Р)} isr Г d4k~^ (p + к).
2 J B6)
В нерелятивистском пределе это уравнение переходит в обычное нереляти-
нерелятивистское уравнение Шредингера:
[„2 -\ Диаграмма 1 . Диаграмма 2
w-fb()
Диаграмма За Диаграмма 36
а&&-2сро(р + к), B7)
где
W=E-ma-mb, y. = ~f^.
Данное приближение для энергии свя-
связи W отклоняется, конечно, от истин-
истинного значения на величину относитель-
относительного порядка а (полностью опускается
тонкая структура). Величина ошибки
в приближенной волновой функции
<р0 (р) имеет относительный порядок
[(p-j-po)/[A]2, где р0—боровский им- Фиг. 1. Фейнмановскиедиаграммы,соответ-
пульс ствующие различным членам взаимодей-
е2 1 СТВИЯ.
Ро г> fa 137 03 ' Тонкие сплошные линии обозначают электроны, а
* B8) жирные ^инии — протоны. Горизонтальные пунктирные
а2и линии обозначают мгновенные кулоновские взаимо-
ду = -^—. действия, наклонные пунктирные линии соответствуют
2 поперечным фотонам.
Функция ср0 (р) будет давать поэтому плохое приближение при р ~^L [а. Полезно
отметить, что лучшее приближение к волновой функции 9i (p) может быть
получено посредством однократного применения метода итераций к уравнению B6)
с использованием ©о (?) в качестве нулевого приближения. Для функции срг (р)
при этом получится выражение
ср, (р) = [Е-На (р) - Нь (р)J-1 {Л^ (р) А\ (р) —
-Л«(р)Ль_(р)}(-^'
причем в <?i(p) ошибка имеет относительный порядок а [(р~\-ро)/(р-{-\>-)], т. е.
меньший или равный а при всех значениях р 2). Это увеличение точности вызы-
вызывается тем обстоятельством, что волновая функция св(р) убывает более быстро
с ростом р, чем потенциал Go (p). При больших р основную роль в интегралах
уравнений B6) и B9) играют подинтегральные выражения при значениях |p-j-k|,
равных по порядку величины р0, для которых функция <?0(р + к) является хоро-
хорошим приближением.
*) Он, однако, был бы равен нулю, если бы использовалась одноэлектронная тео-
теория.— Прим. авт..
2) Точнее, при всех р <^ рй ехр A37). — Прим. авт.
360
Е. САЛЬПЕТЕР
Рассмотрим теперь случай электрона массы та = т и протона массы тъ = М,
считая для простоты, что М~^$>т. Аналогичное рассмотрение может быть,
вообще говоря, выполнено для любых значений та и ть (например, для пози-
позитрония). Уравнение Брейта A6) для кулоновского потенциала имеет следу-
следующий вид:
/ B6а)
В*табл. 1 указывается порядок величин четырех компонент и т. д. для решения
уравнения B6а) при т<^М.
Таблица I
ПОРЯДОК ВЕЛИЧИНЫ ЧЕТЫРЕХ КОМПОНЕНТ СОБСТВЕННЫХ
ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРОВ ПРОЕКТИРОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ? УРАВНЕНИЯ
БГЕЙТА B6а)
\ра = am означает боровский импульс, т — массу электрона и М—массу протона]
Р<Рп
1
о? (т1М)~
а4 (те/МJ
Рп<р<т
(Ра!р)
a4 (mjpf
a* (m/pf
а* (т\р) (т/М)-
a< (mjp)
Р>М
a* (mjp)-
Отметим, что при р<~р0 последние три компоненты о меньше ?++ по
крайней мере на порядок множителя сА Порядок величичы ?+ + и ? решения
уравнения B6) тот же, что и указанный в табл. 1, но о_+ и о+_ равны нулю.
Очевидно, что для выполнения нормировочного условия A7) с требующейся
точностью достаточно, чтобы »++ было нормировано к единице.
В настоящей статье мы будем пренебрегать всеми членами, имеющими поря-
порядок величины, меньший чем amlM(ls). В этом приближении в уравнении B6)
можно опустить член с AlAl. Интересно отметить, что в низшем приближении
Hi уравнения B6) может быть сразу просто получена топкая структура. Если
полностью пренебречь mjM и произвести разложение по степеням р\т и kjm,
то уравнение B6) сведется к следующему приближенному уравнению:
где a — спиновый оператор Паули для электрона, и у <р (р) теперь вместо
шестнадцати только две спинорные компоненты. Стоящий с правой стороны
уравнения B6) множитель в квадратных скобках является приближением к Л"
(см. приложение). Можно показать, что уравнение B6а) в точности совпадает
с обращением Фурье приближенного уравнения, получающегося для тонкой
структуры в обычной трактовке с использованием сведения к „большим ком-
компонентам" [8].
Вместо того чтобы фактически вычислять собственные значения энергии
для уравнения B6), более просто и в то же время поучительно оценить лишь
разность между энергиями, получающимися при настоящей трактовке, и из уран-
нения Брейта B6а). С требующейся точностью уравнение B6) сводится к
C0)
— :?г) At (р) А*- (Р) / d--kk-si?+ + (p + к) + ?_ , (р + к)],
= (- з&
) Л- (Р) А*+ (р) / d* kk-"-
(р + к) + ?_ + (р + к)], C0а)
XIII. МАССОВЫЕ ПОПРАВКИ К ТОНКОЙ СТРУКТУРЕ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ 361
где через е>+ + и т. д. вновь обозначены величины, получающиеся из <э умно-
умножением на два проектирующих оператора. В рассматриваемом приближении
членами, содержащими г?+_ и »__ (состояния отрицательной энергии для ялра),
можно пренебречь. Приближенное выражение для е>_ + через <р++ с точностью
до низшего порядка по а. можно получить, если опустить с правой стороны
уравнения (ЗЭа) член с ?_+(p-j-k). Используя данное приближение, мы прихо-
приходим к уравнению, содержащему только '-?+ + :
е2 \ 2 а b г г- (PkcPp'xt (р + М Хь+ (р + к) <f>+ + (р')
w) л + (р)л+ (р) J j -kT^,-z^^i^jET'^Tp + k)~Щр+Щ
С указанной точностью уравнение B6) совпадает с уравнением C1) за исключе-
исключением того, что с правой стороны нехватает одного члена, имеющего порядок аД?(Гя).
Нам придется вычислить только составляющую энергии связи, соответствующую
этому члену, используя первое приближение теории возмущений.
В нашем рассмотрении мы должны добавить к соответственному значению
энергии, получающемуся из уравнения B6), среднее значение члена взаимодей-
взаимодействия Gan, используя B3). В это выражение войдут два „энергетических" зна-
знаменателя вида уОаТа —т- Вместо того чтобы использовать фейнмаиовекгй метод
вычисления подобных интегралов, разобьем сначала выражение для среднего
значения с помощью тождества A4) на четыре слагающих. Знаменатели r каждом
из этих четырех слагающих не будут содержать дираковских матриц. Исполь-
Используя B3) и беря выражение для G!yr, приведенное в статье |4], получлм, что
составляющая собственной энергии будет тогда задаваться собственным значением
ta (p-l-k)-f-з + ш-гЗ
где е, г' заме1гяет pi и р'^ соответстпенчо. Не выписанные явно в C2) три допол-
дополнительных члена (содержащие Л"Л + , Л+Л_ и Л"Л1) не дают составляющих
рассматриваемого порядка малости.
Нам достаточно определить интеграл C2) с точностью до низшего порядка
по а. С этой точностью b(p.L) и ^(pv.) можно заменить на 6+J. (р ) и •|'++(ри.)
соответственно; при этом i>++(p^) является явной функцией решения уравне-
уравнения B6) rf1-+(p), задаваемой формулой A5):
+(P, зI~1?++(р). Aбв)
Зависимость подынтегрального выражения в C2) от s и е? определяется в этом
случае явным образом, и интегрирование по s и &' может быть выполнено. При
этом оказывается, что основную роль играют значения подинтегралыюго выра-
выражения при
р, // — р0; &~/я. C3)
После интегрирования в C2) по s, s' и ш и разложения результата по стеле-
кям а получается следующее выражение (если ограничиться низшим порядком
но а):
f е3 \2 г Г Г dApdz kd"р'<?' (р) Л" (р -j- k) Хь. (>' — к) ? и , (/;')
[ I I I I — '¦'
\2г.-У J J J № (p' — p - k)- [(|J.tt — [Xh) Ё -,- У;а (p + k) + Lbt p' - k)| •
Среднее значение C4) в нашем рассмотрении следует сравнить с эквива-
эквивалентным членом рассмотрения Брейта — средним значением оператора из второй
строки C1). В пределе, когда отношение mjM стремится к нулю, получается,
362 Е. САЛЬПЕТЕР
что эти две величины равны. Этого и следовало ожидать, поскольку в данном
пределе уравнение Брзйта C0) сводится в точности к уравнению Дирака для
одиночного электрона, которое во всяком случае правильно, если ядро беско-
бесконечно тяжело. Однако при конечной массе М ядра упомянутые две величины не
равны и разность между ними дает ошибку в собственном значении, получаю-
получающуюся при использовании метода Брейта. Возьмем разложение этой раз-
разности по степеням mjM и ограничимся первым неисчезающим членом этого
разложения.
Обозначим поправку к брейтовскому собственному значению энергии ]раз-
]разность выражения C4) и среднего значения второго члена C1)] через кЕоп.
Существенны будут значения подинтегрального выражения только в области,
задаваемой C3), т. е. при р, p'<^k<^M. С точностью до низшего порядка
по а и до первых двух порядков по (mjM) оператор проектироват'ия Л+ в обоих
выражениях может быть заменен на единицу, а оператор A'L(p-j-k) — на
\Ea(k)—m]jAEa(k). Так как существенны только значения р, р' ¦—¦ а/я, то мы
можем также заменить <р++ решением нерелятивистского уравнения B7) ©0. Тогда
получим с требующейся точностью
— _ f^LY С С С d3pdS kd%p^(p) {E
ес"~~ \2W J J J K'M[Ea(k) +
Это выражение легко проинтегрировать по duk, после чего получим
J *»Р*о (Р) Г = - (~) I % @) I2, C5)
где %(г) — трехмерное обращение Фурье от ?0(р), т. е. нерелятивистская шре-
дингеровская волновая функция в координатном пространстве для водородо-
подобного атома.
Приближение для подинтегрального выражения, использованное при выводе
C5), пригодно только при р, р'<^т. Истинное нодинтегральное выражение
убывает более быстро с ростом р и р' при р, р' > т, чем использованное
приближение, и интеграл по р в C5) следует в действительности распростра-
распространять только до р ~ т, а не до бесконечности. Однако поскольку мы исполь-
используем не дираковскую волновую функцию, а шредингеровскую волновую функ-
функцию <?о(Р)> то составляющие интеграла C5), относящиеся к области р~^>ат,
всегда малы и ошибка, получающаяся из-за распространения интеграла до беско-
бесконечности, оказывается меньшего порядка величины, чем члены, рассматриваемые
в настоящей статье. В настоящей статье <р0 @) всюду будет обозначать значе-
значение нерелятивистской волновой функции (в трехмерном координатном простран-
пространстве) в начале.
Для всех атомных состояний с не равным нулю моментом выражение C5)
обращается в нуль (в рассматриваемом порядке). Для ^-состояния с главным
квантовым числом п поправка AEqj к брейтовскому собственному значению
энергии будет равна в случае водорода
Этот член имеет порядок а (т/М), но входящий в него численный коэффициент
мал. В водороде C6) соответствует энергетическому сдвигу, равному всего
¦—0,037 мггц для 25-состояпия.
4. Поправки, связанные с поперечными фотонами
До сих нор мы ограничивались только эффектами мгновенного кулонов-
ского взаимодействия; теперь нужно рассмотреть влияние второй части выра-
выражения B), которую мы обозначим через Gt^jJ, соответствующей обмену попе-
поперечным фотоном. Применим прежде всего к этому члену метод статьи [4],
XIII. МАССОВЫЕ ПОПРАВКИ К ТОНКОЙ СТРУКТУРЕ ПОДОРОДОПОДОЕНЫХ АТОМОВ 363
включающий разложение по степеням а. Вместо D) мы будем иметь полное урав-
уравнение
где
г=1 И-
(аа обозначает дираковскую матрицу для частицы а). В C7) через Gai> обо-
знячеко введенное в статье [4] выражение, соответствующее „пересеченной двой-
двойной фотонной" диаграмме с взаимодействием, задаваемым Gq, и с другим взаи-
взаимодействием, задаваемым Оу(фиг. 1, диаграмма 2); Gtt' обозначает эквивалентное
выражение, для которого оба взаимодействия задаются Gy (фиг. 1, диаграмма За).
С правой стороны C7) входят также выражения, соответствующие неприводимым
„'C! „ ^/B) ,,/C)
диаграммам высшего порядка Goit, и т. д. Члены Gar и Gtt дают энергети-
энергетический сдвиг только порядка a (m/M) AE(fs), и для определения этого сдвига
достаточно воспользоваться вычислением его в первом порядке четырехмерной
/B)
теории возмущений, подобно тому как это делалось для Gro- В то же время
член Gt 1'меет порядок OT/AJ(fs)<-—а2 (т/М) W. С первого взгляда можно ожи-
ожидать, что ошибка, получающаяся при рассмотрении этого члена с помощью тео-
теории возмущений в первом порядке, будет иметь пренебрежимо малую величину
порядка а4 (от MJW\ Однако в действительности ошибка будет иметь порядок
а (т М)М. Это связано с тем известным обстоятельством, что, хотя среднее
значение некоторых дираковских матриц мало, квадрат таких матриц дает
единицу.
Вернемся теперь к рассмотрению теории возмущений, использованной в раз-
разделе .2, взяв в качестве мгновенного взаимодействия G(k) выражение Gn и
в качестве возмущения вд — выражение Gt- Все уравнения до B26) включи-
включительно останутся неизменными. Поскольку \Е имеет только порядок а- (т/М) R,
получаем с требующейся точностью, что второй член левой стороны уравне-
уравнения B26) может быть опущен, а ф?, ^„ — заменены на 6п и '/„соответственно.
Однако второй член правой части уравнения B26), который ранее также опу-
опускался в приближенном уравнении B3), дает в данном случае поправку порядка
а (т/М) АЕ (fs). Нам поэтому нужно найти приближенное ныражение для -!*д с точ-
точностью до низшего порядка по а.
Используя B0) и B26), мы получаем точное соотношение
+ §д<Ы- C9)
Если бы мы использовали неизмененную теорию возмущений, то следовало бы
сохранить первые два члена в квадратных скобках правой части C9). Однако
в рассматриваемом случае электродинамики получается достаточно точное
приближение для ^д, если опустить все члены в квадратных скобках и заменить
Fk, "W» на Fn и <1>п, т. е. если взять
^—/Т1^»- C9а)
Используя данные приближения и интегрируя B26) по d4p, мы получаем
вместо выражения B3)
le = —B«о]>р*„ IЯ д+ 8 a F-19 д кч=J fd*Pd*h%n(Pf) о! (/д .;.„ (Pv. -f kj -
n (Pf) Gl(/g F?(Pp+kJ Gl (p'^—p^-kj Mpl). D0)
Отметим, что второй член правой стороны D0) в известной мере подобен
среднему значению Gtt • В действительности, этот член равен фейнмаиовскому
364 Е. САЛЬПЕТЕР
выражению для последовательного обмена двумя поперечными фотонами между
двумя частицами (обозначенному Gtt на диаграмме 36, фиг. 1).
В предыдущем рассмотрении мы пренебрегали влиянием неприводимых диа-
диаграмм высшего порядка Gcct и т. д. (фиг. 1, диаграмма 4). Можно ожидать,
что эти члены будут давать в энергии только составляющие порядка
о.2 AE{is)(mM) или меньше. Однако имеет место эффект, аналогичный в некото-
некоторой мере „инфракрасной катастрофе". Рассмотрим какую-либо неприводимую
диаграмму, соответствующую обмену одним поперечным фогоном с трехмерным
импульсом k, а также некоторому числу мгновенных куло ювских взаимодей-
стви i. Оказывается, что составляющая энергии, соответствующая подобной диа-
диаграмме, для значений k^ap0.—'W хотя и конечна, ио имеет порядок
а (т М) A?((s), которым нельзя пренебрегать. Грубо говоря, можт о сказать, что
обмен фотоном импульса k протекает за время порядка ft*1, а мгновенное куло-
ногхкое взаимодействие — за время порядка W'1. Следовательно, если /г <С^ 5ф0,
то за „время перелета" одного поперечного фотона с таким импульсом может
произойти много кулоновских взаимодействий.
Очевидно, что не имеет смысла брать для получения поправок порядка a AE(is)
сумму бесконечного числа составляющих. Это затруднение связано с тем обстоя-
обстоятельством, что в методе, предложенном в статье [4], используется фейпмапопскаи
функция распространения К+, соответствующая распространению в качестве сво-
болнол частицы. Наиболее изящный прием преодоления подобной трудности
состоит, повидимому, в видоизменении метода статьи [4] па основе соображе-
соображений, развитых недавно Дайсоном [9]. Подобная трактовка была бы эквивалентна
разделению электромагнитного взаимодействия на „низкочастотную" и „высоко-
„высокочастотную" части релятивистски инвариантным образом. При этом пришлось бы
сначпла решить задачу для одной низкочастотной части без использования раз-
разложения но степеням а. После нахождения эквивалентной фейнмановской фуик-
Ш'и распространения для данной проблемы можно было бы рассмотреть высоко-
высокочастотную часть с помощью разложения, предложенного в [4], которое теперь
быстро бы сходилось.
В настоящем случае, однако, трудности связаны только с нерелятивистскимк
частотами или импульсами k~ap0. Следовательно, можно воспользоваться зна-
значительно более простым способом, состоящим в расщеплении поперечных фотон-
фотонных членов Or и т. д. на две части, соответствующие переносимому импульсу
k <. А и & > Л (в системе центра масс, определенной в статье [4]), где
ар0 <С А <С р0. D1)
Для мгновенного кулоновского члена Go подобное разбиение не производится и
уравнение B6) получается и решается сначала так же, как и в предыдущем
разделе. Для низкочастотной части Gi'(k) (k < А) мы используем не формализм
статьи [4] и Фейнмана, а „обычную" квантовую электродинамику и теорию
возмущений. Иными словами, мы берем решение <р(р) уравнения B6) в качестве
гевозууше! ной трехмерной вол! овой фугкции, рассматривай в качестве
возмущения обычные операторы испускания и поглощения поперечник фотонов
с импульсом, меньшим А, и определяем собственное значение энергии в четвер-
четвертом порядке теории возмущений. Для высокочастотно! части G;r(k)(&>/1) мы
используем метод статьи [4], подобно тому как это было описано выше.
Подобное перелятивистское рассмотрение для низкочастотной части попе-
поперечного взаимодействия хотя и не является особенно изящным, ио зато очень
просто. Некоторые из поправочных членов порядка а (т/М) АЕ (Is) содержат
множитель 1п а и больше по величине, чем члены без этого множителя. Если
указанное нерелятивистское рассмотрение выполнить не только для значений
импульса k. меньших вепичины А из D1), но и до значений k, меньших или
раг>ных по порядку величине т, то члены, содержащие In а, могут быть очень
просто найдены. Такое вычисление будет произведено в следующем разделе.
ХШ. МАССОВЫЕ ПОПРАВКИ К ТОНКОЙ СТРУКТУРЕ ВОДОРОДОПОДОЕНЫХ АТОМОВ 365
Все же для сравнительно простого вычисления всех членов порядка а(т M)AE([Sy
наиболее выгодно, повидимому, приведенное четырехмерное рассмотрение1).
Как и при рассмотрении кулоиовского взаимодействия, км не будем явно
определять собственное значение энергии, а только вычислим разность между
точным выражением и выражением, получающимся при использовании метода
Брейта [2]. Полное уравнение Брейта имеет вид
\Е-На (р) - Нь (р)] <? (р) --= ~;?- J d*kk-* [l — 2 «?«?] <?(Р Ч-к). D2)
Это уравнение решается сначала без члега с afa%. Такое уравнение CD) рас-
рассматривалось в предыдущем параграфе. Влияние члена, включающего <*"»?, учи-
учитывается затем с помощью теории возмущений в первом порядке.
5. Трехмерное рассмотрение с помощью теории возмущений
Возьмем волновую функцию в координатном пространстве <1>п (Г), соответ-
соответствующую решению уравнения B6), в качестве невозмущешюй волпоьой функ-
функции. Рассмотрим член возмущения и гамильтониане
н'~е 2 2 {«^^/kre+?*>"'Iiro)-aJ(?/'>/I'r''+?*.1^"ftru)!. D3)
где q^v. и q1}? t— обычные операторы испускания и поглощения фотона с импуль-
импульсом (— k) и направлением поляризации i. Их матричные элементы для переходов
между состоянием с одним таким фотоном и состоянием без фотонов равны
Bтг &)'"*• Энергия, соответствующая Н', будет равна во втором порядке теории
возмущений
4^
J
t S Ц^D4)
k<A
где Ет и En — невозмущепные собственные значения энергии для промежуточ-
промежуточного и начального атомного состояния соответственно. Появление множителя 2
связано с тем обстоятельством, что виртуальный фотон может быть как испущен
частицей а и поглощен частицей о, так и, наоборот, испущен частицей b и
поглощен частицей а.
Если опустить в знаменателе выражения D4) слагаемое (Еп — Еш) (пре-
(пренебречь „отдачей"), то для суммирования по промежуточным состояниям т
может быть использовано правило сумм. Получающееся при подобном пренебре-
пренебрежении выражение тождественно с эквивалентным членом взаимодействия Брейтя.
Мы будем поэтому вычислять только разность между точным выражением D1)
и эквивалентным брейтовским выражением. Эта разность имеет порядок
a{mjM)Eta', нам достаточно найти ее значение с точностью до низшего порядка
по а и по (т/М). Заменим поэтому га относительным расстоянием г и гь — па
нуль (индекс а соответствует электрону с малой массой т, а индекс b — протону
с массой М). Перейдем затем к нерелятивистскому приближенно, заменив дира-
ковские матрицы оЛ на pjm и «(' на-—pJM, где р ~- — /Vr. При этих при-
приближениях разность энергий примет вид
-sSa- J <* S S
J) Отметим, одпако, что полученные в этой статье члены были вычислены Борону
Гурари, Кроллем н Лэмбом с помощью метода, в котором только электрон (но не про-
протон) трактовался релятивистски. — Прим. авт.
366 Е. САЛЬПЕТЕР
Брейтовское взаимодействие представляет обмен виртуальным поперечным
фотоном между электроном и ядром. Аналогичным образом поперечная собствен-
собственная энергия электрона может рассматриваться ^ как результат обмена фотоном
электрона самим с собой. Лэмбовский сдвиг в нерелятивистском приближении
равен разности между собственной энергией связанного электрона, находящегося
в атомном состоянии, и эквивалентным выражением без члена Е1Ч— Еп в знаме-
знаменателе. Таким образом, имеется известная математическая аналогия между рас-
рассматриваемой поправкой D5) и лэмбовским сдвигом. В действительности выра-
выражение D5) тождественно с выражением для лэмбовского сдвига, полученным
Бете [10J при нерелятивистском подсчете в формуле (f>) с точностью до мно-
множителя 2 (либо электрон, либо ядро испускает фотон), множителя eikT (импульс к
переносится от одной частицы к другой) и множителя т/М (отношение скоро-
скоростей ядра и электрона). Поскольку верхний предел А для k много меньше, по
предположению, чем р0, то k очень мало по сравнению со „средним" импульсом
в атомном состоянии и множителем eiUr можно пренебречь. Атомные волновые
функции могут быть также заменены шредингеровскими нерелятивистскими
функциями. Выражение D5) будет равно соответствующему выражению для
лэмбовского сдвига, умноженному на 2т!М,
О-*0»19- D6)
Для 25- и 2р-состояний величина (Ет— En)Kv была ранее точно вычислена [1!];
подставив ее значение для 25-состояния, получаем
1) 1
Для состояний с не равным нулю орбитальным моментом соответствующая
величина очень мала (она составляет -[-0,004 мггц для 2р-состояния).
Высокочастотная часть (k > Л) будет строго рассмотрена в следующем
разделе. Здесь же мы покажем, что составляющие, содержащие множитель In «,
могут быть получены из нерелятивистского приближения. Пусть
а><СД<С*я; D7)
рассмотрим выражение D5) с Л в качестве нижнего предела для k и
с В—в качестве верхнего предела. Член (Ет — Еп) в знаменателе будет в этом
случае мал по сравнению с k и может быть опущен. В числителе Ет заменяется
на невозмущенный гамильтониан Ио, действующий на состояние т, и Еп — на
гамильтониан Но, действующий на состояние п. При этом может быть вновь
применено правило сумм для исключения суммирования по т. Используя то
обстоятельство, что
где V(r) — — е-/г, находим выражение
A
D8>
Для 2а'-состояния определение собственного значения D8) дает при использова-
использовании нерелятикистской шредингеропской волновой функции с точностью до низ-
низшего порядка по а и т.'М выражение, не зависящее от В,
Верхний предел логарифмического множителя имеет порядок боровского
импульса р0, а не т, как это имеет место в случае лэмбовского сдвига. Это
связано с множителем еЛт, которы i обрезает составляющую, относящуюся к
области частот k ^> р0.
ХШ. МАССОВЫЕ ПОПРАВКИ К ТОНКОЙ СТРУКТУРЕ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ 367
Для 25-состояния водорода сумма D6а) и (,48а) равна
In (^ Ry) + § } == + 0,721 мггц. D9)
Для всех состояний, за исключением s-состояний, соответствующее выражение
мало. Для 2р-состояния находим
АЕт, в = — (-f^L) = — 0,012 лггг,, D9а)
и АЕст равно, таким образом, для 2.р-ссстояния —0,008 мггц. Выражение D6)
является единственным членом порядка a (m/M) AE(is), относящимся к области
частот k < А. Имеется еще один член, соответствующий значениям k, лежащим
между р0 и тп, и рассматриваемый строго в следующем разделе, для которого
можно получить простое приближение с помощью иерелятивистского рассмотре-
рассмотрения настоящего раздела.
Рассмотрим энергию возмущения четвертого порядка, соответствующую Н'
[формула D3)]. Эта энергия включает член, связанный со следующим процес-
процессом: одна из двух частиц испускает виртуальный поперечный фотон с импуль-
импульсом к и переходит в состояние с отрицательной энергией. После этого та же
самая частица испускает другой поперечный фотон с импульсом q — k и воз-
возвращается в состояние с положительной энергией. Вторая частица поглощает
затем один из двух фотонов и переходит в состояние отрицательной энергии.
В конце вторая частица поглощает оставшийся фотон, и весь атом возвращается
в начальное состояние.
Единственная составляющая порядка a (mjM) In a AE(fs), входящая в указан-
указанный член, относится к значениям импульсов р, q и к, удовлетворяющих усло-
условиям pQ,<^.k<^m и р~q/—'р0. Следовательно, (q — k) можно приближенно
приравнять —к. Для таких значений k входящие в знаменатель энергии трех
промежуточных состояний ммут быть апроксимированы величинами (¦—2т),
(— k — | q — k j) и (— 2M) соответственно. При этих приближениях для выпол-
выполнения суммирования по трем промежуточным состояниям может быть использо-
использовано правило сумм. Подобным образом получается следующее приближенное
выражение для энергии возмущения в четвертом порядке:
т - 2
p., i = ij-i
Используя равенство
рыражеяие E0) мои-.ье представить а зкде
Соответствующие выражения для состояний с не равным нулю орбитальным
моментом в этом случае опять очень малы.
6. Четырехмерное рассмотрение „пеперечных" членов
Определим теперь строго члены порядка а (т;М) АЕ (is), которые включают
обмен по крайней мере одним поперечным фотоном между электроном и протоном
в водороде. Соответственно рассмотрению раздела 4 мы используем уравне-
уравнение C7), беря в качестве пределов для входящих туда интегралов по импульсам
фотонов величину А |см. D1)] и бесконечность. Возьмем четырехмерные реше-
решения $п(Рр), соответствующие решениям уравнения B6), в качестве невозмущен-
невозмущенных решений и используем видоизмененную теорию возмущений, полученную
368 Е. САЛЬПЕТЕР
в разделе 4. Поскольку мы в предыдущем разделе уже разобрали низкочастот-
низкочастотную часть k < А, то мы можем пренебречь членами высшего порядка, не запи-
записанными явно в выражении C7). Используя C7) и D0), мы получим в этом
случае следующую составляющую собственного значения энергииг
АЕп = J J d*p <1Щп (pv) [G'T+ Got + О'тт+ О'тт\ (&,)фп (р, + kj, E1)
где G™yd означает едополнительный член, соответствующий второму слагае-
слагаемому правой части уравнения D0), который получается в нашем видоизменении
теории возмущений в первом порядке. Первые и последние два из четырех
слагаемых E1) будет удобно рассматривать совместно.
А. „ГЛАВНЫЙ ЧЛЕН"
Рассмотрим первое слагаемое правой части E1). Используя тождество A4),
можно записать соотношение
и аналогичное соотношение для ^(р^). С помощью этих соотношений рассма-
рассматриваемый член, содержащий G'T, можно разбить на шесшадиагь членов. Из
этих шестнадцати членов только один, включающий <!*+ + и Ь+ + , дает составляю-
составляющую рассматриваемого порядка малости. С помощью A5) и A9aj мы можем
выразшь 'L++ и <Ь++ через решение уравнения B6). Явная зависимость под-
интегрального выражения в E1) от s = ps и з7 == (/?4-j-& J станет тогда изве-
известной, что позволяет выполнить интегрирование по этим двум переменным.
Первый член E1) можно в этом случае записать в виде
^ J J
(p, p') >T a«or»o++ (p'), E2)
где
<л In п'\ = Г Г ds d'J [Е~ Е" ip) ~ Еь {Р)] [? ~ Е" ipf) ~" Е" ФЯ ¦
0(р> v> J J Brjyf++(p, z)f++(p\ i')[k- — \t' — = |- — a] '
Соответственно правилам Фейнмана, мы должны в выражении для §(р, р')
приписывать фотону бесконечно малую отрицательную мнимую массу (—/Л).
Входящие в последнее выражение интегралы могу г быть взяты, что дает
S(p. р') = {[?2 —
2k [k + En (p) + Eb (p') — E][k- Eb ip) + Eb (/>')) '
i [E-Eo(p')-Eb(p')} .
^ 2k [ft + Ea (p') + Eb (p) - Щ[ft - Eb (Pr) + Eb (>>J
При брейтовском рассмотрении получается выражение, совпадающее с E2),
только вместо g (р, р7) входит k~2 и ts++(p) заменяется на эквивалентное
решение уравнения Брейта с кулоновским взаимодействием С требуемой точ-
точностью первый член E3) при подстановке в E2) дает такую же составляющую
энергии, что и член Брейта.
Рассмотрим теперь выражение, получающееся при подстановке в E2) треть-
третьего члена E3). Оказывается, что для этого нужно приближенное выражение
для <?'.+(р) в области р~р0, правильное с точностью до низшего порядка
по а. Поэтому мы будем апроксимировать »'++(р) нерелятивистской шрединге-
ХШ. МАССОВЫЕ ПОПРАВКИ К ТОНКОЙ СТРУКТУРЕ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ 369
ровской функцией <?*(р) из B7). Вместо о++(р') удобно использовать полу-
полученную с помощью итерации волновую функцию ?1+ + , определяемую форму-
формулой B9) и дающую хорошее приближение также и при р' ~ т. После выпол-
выполнения этих подстановок и изменения переменных интегрирования рассматригае-
мая составляющая энергии примет вид
где фх(р, р')— оператор, содержащий интарал по k. В полите!ралькое выра-
выражение входит знаменатель перною члена E3). Далее, k^>A^>Ry и оказы-
оказывается, что составляющие искомою порядка получаются только гри лшчекшзх к,
удовлетворяющих условию k<^m. Знаменатель третьего члена E3) может быть,
следовательно, приближенно положен рапным Bk-). В этом случае получаем
о
?>н'(р, РО = / d4 2 «?я»А« (Р + к) А» (р + к) Bft=>)"г (р' - Р — к). E5)
Рассмотрим теперь одну из частей второго слагаемою правой стороны ра-
равенства E1). Соответствуй щее выражение эквивалентно выражению C2), только
вместо кулонорского взаимодействия с импульсом к стоит импульс поперечного
фотона к:
2 Ф (Pj а1К (р + к) Аь+ (р' - к)
-|- . . . E6)
Не выписанные явно в E6) три остальных члена (содержащих А + А_, Л_Л +
и Л_х\_) не дают составляющих требующегося порядка. Далее оказывается,
что в данном приближении 6 (р^) и Ь(р') можно заменить '1++(р„) и ?>++(р'1)
соответственно. Последние две функции могут быть в свою очередь выражены
с помощью A5), A56) и A9а) через о"++(р^) и ?++(/>')• Подобным образом
находится явная зависимость подинтегралыюго выражения E6) от ?e=/>(,
w~=k4 и е.'=р^, так что становится возможным выполнить ин-rei рирование
по этим трем переменным. При этом оказывается, что подинтегралыюе выра-
выражение дает составляющие требующегося порядка только в области
Р, Р'~-Ро; ^<^</'о- E7)
В связи с этим можно, далее, заменить о*++ и о++ на нерелятивистские шре-
дингеровские волновые функции <р^ и <у0- С требующейся точностью по а и
(mjM) выражение E6) сводится тогда к выражению вида E4), в котором
(
вместо .?j стоит .?>2:
Ф-. (Р, РО = - Г d»k 2 afAa+ (p + к) А^. (р' — к) *ь{ Bk3)-1 (р — р — k)'\ E8)
J i = \
До сих пор мы рассыатрвв?ли только третий член E3) и половину члена,
содержащею G^V- В этих двух выражениях матрицы а" входят слева от А+-
Второй член (S3) дает выражение, эьч.'ивалснтЕое E4), только ф, заменяется
и нем аналогичным оператором ф.,, в котором матрицы af входят справа от А + .
Подобным образом вторая половика Ост (ссотве'гстк)к:щая перестановке порядка
кулокорского и поперечного в?аимодейстр.ни) д?ет новое выражение, где .?\,
370 К- САЛЬПЕТЕР
заменено оператором ф4, и котором матрицы а" входят также справа от Аа+-
Сумма данных четырех операторов равна
X 2 {[«?Л+ (р + к) - Л^ (р' - к) А\ 1*«Л + (Р + к) - Л'; (р' — к) а? ]}• E9)
Подставим, наконец, E9) в выражение E4). В области интегрирования E7)
член в фигурных скобках в E9) можно приближенно заменить на [-- (р'. —р.^/тМ].
После этого мы получаем следующую составляющую энергии:
2 '
V /•„J__/J.J(p'_p ...k)-
2
Интегрирование по & в F0) распространяется от А до бесконечности. Подин-
тегральное выражение при k ~В не дает составляющих требующегося порядка.
В связи с этим, учитывая свойства нерелятипистского уравнения Шредингера
для атома водорода, можно легко показать, что выражение F0) тождественно
с эквивалентным выражением D8), полученным с помощью трехмерного рассмо-
рассмотрения.
Добавим теперь к F0) составляющие D6), относящиеся к области k < A.
Сумма данных членов АЕат с точностью до порядка a (m 'М) AE(fs) равняется
выражению, полученному в предыдущем разделе. Для s-состояний коэффициент
перед членом с 1п а может быть также просто получен непосредственно из F0).
При k<^_p0 член в квадратных скобках в F0) сводится к 2/:, и выражение F0)
переходит в
! Г / dkk > (s ,^) I *л @) !* J
Интеграл но k берется в пределах от k—ар0 до k ~ р0 и поэтому имеет поря-
порядок In a-1. Выражение F1) совпадает со слагаемым строгого выражения,
содержащим 1п ее1.
Ь. „ПОПЕРЕЧНЫЙ ДВУХФОТОННЫЙ" ЧЛЕН
Рассмотрим, наконец, последние два члена E1), представленные на фиг. 1
иаграммами За и 36, соответствующие обмену двумя поперечными фотонами
„накрест" в случае G(-fV и „последовательно" в случае G™'1. Для точного Oiipe-
деления этих членов наиболее удобен, повидимому, изящны"! метод интегриро-
интегрирования Фейнмана. Однако указанные члены сами по себе имеют порядок
1. (т'М) A?(fs), так что в рамках поставленной задачи достаточно определить
их с точностью до низшего порядка по а и (т 'М). Для это i цели наиболее
удобно использовать метод, который мы применили при рассмотрение G'fi\
ii
Как и в предыдущих случаях, находим, что четырехмерные волновые функ-
функции i/ можно приближенно заменить на 'J»+ + . Последние функции опять выражаются
через трехмерные функции 9++' вместо которых используется нерелятивистское
приближение <р0. Каждый член, далее, вновь расщепляется па четыре слагаемых
с помощью тождества A4). Оказывается, что из этих четырех слагаемых только
те из них, которые содержат Л"л!1 и Л+Л1, дают составляющие требующегося
порядка. Это вызывается те.м обстоятельством, что с каждой стороны Ль стоит
по одной дираковской матрице, относящееся к протону. Для иллюстрации
ХШ. МАССОВЫЕ ПОПРАВКИ К ТОНКОЙ СТРУКТУРЕ ВОДОРОДОПОДОБЛЫХ АТОМОВ Д71
метода мы выпишем один из данных членов, относящийся к G™y' и А" Ль. При
подстановке в E1) этот член даст
й4 г г г dipd4kd4p'
8ЙЧ J J J '(W=r^^]zj-X
2
х - ^ *^zi—: : , F2)
(А"_|е' —г —<о|2/6)[!Л/; + ?(рМ«L5|<й /SJ [;ль/:)?ь (р + к) s o> /?]
2 2 $<pj ах'- (р
:
где
к' = р' — р — к.
Выразив *|»(р,А) через ?0(р), как было указано выше, и проинтегрировав по з,
о> и &', мы получим из F2)
где
- (fff J/ «?W?o (p) 2! (р, р') % (р'), F3)
«1 (Р, РО = / d'k^aUt (p + k) x\L (p + к) а^й (р." р'; к),
а Я — функция, не содержащая дираковских операторов. Если ро<
то Я с требуемой точностью имеет вид
\т -j- 2k + ?о (ft)] [8Afft8 [w + k + ?„ (ft)|sJ - * при ft > Д.
Составляющая Gyt дает член, аналогичный F3), только 8, заменяется в нем
другой функцией 8„, зависящей от той же самой функции Я F4) и содержа-
содержащей еще различные дираковские операторы. С рассматриваемой точностью до-
допустимо сделать подстановку
-J -] (") [а"Л- *-Р + k) Kj"+ я?л°-(р' — к) «?1 X
X 1а?А!!. (р -}-- к) а? -)- «jA^ (р' — к) а\ \ -> 2 [1 -]- cos2 Oj [»г -[- ?f/ (ft)] rjjr тпг , (('б)
где 0—угол между направлениями к и к'. Доказательство правильности F5)
дано в приложении. С помощью формул F4) и F5) можно вычислить сумму
члена Д.Сут F3) и эквивалентного члена с &2 для любого частного атомного
состояния.
Выведенное ранее с помощью трехмерного рассмотрения приближенное выра-
выражение E0а) для данного члена может быть также просто получено настоящим
методом. Так как при po<^k<^m k лй — k', то, следовательно, cos 0^1.
Функция Я(р, р'; к) может быть в этом случае приближенно приравнена
[16/HMft3], а выражение F5) заменено на множитель 4. После интегрирования
от ft-~p0 до ft~/« Miii получим приближенное выражение для АЕ'тт
которое совпадает с E0а).
Точное вычисление АЕ?т может быть произведено для каждого частного
атомного состояния при учете F3) — F5). Интегрирование по k производится
от нуля до бесконечности. При вычислении не получается никаких бесконеч-
372 Е. САЛЬПЕТЕР
носте.Ч и область интегрирования k < А не дает ссигавляющих требующегося
порядка. Для 2х- и 2у-сосгояний атома водорода получаем в результате
— ~ — 0,41 ll = — 0,438 мггц, F6)
2/7: АЕтт = — (^jf) "-¦= - 0,009 лгг«. F6а)
Слагаемое (—0,411) в выражение F5) потучим в результате численного ипте-
срирования довольно сложного интеграла.
Рассмотрим, наконец, член Етт, эквивалентный АЕтт, в котором только
вместо операторов проектирования Л"Л_ стоят операторы Л"Л_. Этот член
можно определить таким же (но несколько более простым) способом, что и член
АЕтГТ- В результате для всех состояний в водороде получим
|J) {in 2 +1} | Аи @) •*; F7)
эта величина раина 0,132 мггц для 25-состояния и нулю для 2р-состонния.
Члены АЕсп, АЕу.в, АЕтт и АЕтт для каждого атомного состояния можно
записать в виде средних значений в частном состоянии операторов „поправоч-
„поправочного потенциала" (одних и тех же операторов для всех состояний). В случае
АЕпа и АЕттэти операторы будут равняться с точностью до численных множи-
множителей, не включающих In я (при записи в конфигурационном пространстве)
(y."JmM) оC (г). В случае АЕоа и АЕтт соответствующие операторы будут при
/*•>*= 0 пропорциональны afijmMr* и поэтому будут давать конечные, хотя и
малые, составляющие также и для состояний с не равным нулю моментом коли-
количества движения. Эги операторы, обладающие сильными особенностями вначале,
могут быть выражены с помощью предельного перехода
Оператор = (~) lirr^ {[«In а + АтЛ In tqI 3<*> (r) -1- G^r}; F8>
здесь а и 6—численные постоянные, равные по порядку величины единице.
Полная поправка порядка a(nilM)E(fs) к тонкой структуре водорода АЕ
будет, таким образом, равняться сумме четырех слагаемых АЕ^п, АЕдт>
и Етт- Для 25-состояния из C6), D9), F6) и F7) следует
В формуле F9) первый член в квадратных скобках относится к
а второй — к (АЕтт-\~АЕтт)-
Численные значения для 2s- и 2р-состояний водорода равны ]
2s: AE = -\- 0,379 мггц,
2р: АЕ = — 0,017 мггц.
7. Обобщение на сложные ядра
В данной статье мы показали, что имеются поправки к тонкой структуре
водорода АЕ порядка a (m!M) AE(fs), обязанные своим происхождением конечности
массы ядра. Эги поправки были вычислены в предположении, что ядро (протон)
является одиночной дираковской частицей с электрическим зарядом (-[- е); при
этом мы пренебрегали эффектами структуры ядра, подобными аномальному
магнитному моменту, мезонному облаку и т. п.
Пренебрежем опять специфическими мезонными и структурными эффектами
и будем рассматривать протоны и нейтроны в ядре как дираковские частицы
ХШ. МАССОВЫЕ ПОПРАВКИ К ТОНКОЙ СТРУКТУРЕ ВОДОРОДОПОДОБПЫХ АТОМОВ 373
с зарядом (--j- e) и нуль соответственно и с взаимодействием, описываемым
посредством некоторого феноменологического потенциала. В этом случае мы
можем обобщить рассмотрение нашей статьи на случай любого водородо-
подобного атома. Поправочный член ДЕ обусловлен обменом фотонами или
кулоновским взаимодействием, соответствующий которому импульс k<^m.
Эти импульсы очень малы по сравнению с импульсами нуклеонов в ядре
(длины волн фотонов велики гго сравнению с радиусом ядра), а также малы но
сравнению с энергиями связи нуклеонов в ядре. Члены АЕ^п и АЕат включают
промежуточные состояния только с положительной энергией для ядра и поэтому
являются относительно ядра полностью нерелятивистскими. При рассмотрении
этих членов любое ядро можно, по крайней мере приближенно, трактовать как
одиночную частицу с зарядом -j-Ze и массой /И = АМр, где Мр—масса про-
протона, Z—атомный заряд и А— атомный вес. Поэтому мы можем использовать
формулы, выведенные в настоящей статье, подставив Ze вместо е и полную
массу ядра вместо М.
Далее, покажем несколько более подробно, что аналогичный результат полу-
получается1) в случае членов АЕтт и АЕтт- Это обстоятельство является далеко не
очевидным, поскольку в указанных членах дираковские операторы ег индуци-
индуцируют переходы нуклеонов в состояния отрицательной энергии. Таким образом,
изменения энергии при виртуальных переходах имеют порядок 2Мр и, следова-
следовательно, велики но сравнению с энергией взаимодействия нуклеонов. Прогоны по
отдельности связаны с полем излучения и с первого взгляда можно предполо-
предположить, что ядро будет участвовать во взаимодействии не как единое целое, а что
протоны будут переходить в состояния отрицательной энергии независимо друг
от друга. Подобкал проблема аналогична случаю перелятивисгского предела ядер-
ядерно/о комптон-эффекта ллл сложного ядра. При комптоиовском эффекте фотон ма-
малого импульса поглощается одним из протонов ядра и испускается другой фотон;
в настоящем случае протонами ядра испускаются (или поглощаются) два вир-
виртуальных фотона.
Рассмотрим, например, часть членов АЕтт, соответствующих последователь-
пому испусканию двух фотонов с импульсами k и k' сложным ядром с атомным
номером Z и атомным весом А. Применим трехмерную теорию возмущений раз-
раздела 5 и рассмотрим только множитель в матричном элементе, соответствую-
соответствующий испусканию двух фотонов ядром. Пусть перед испусканием фотонов ядро
находится в своем основном состоянии с полно! энергией Ео (все нуклеоны
занимают состояния положительной энергии). После испускания первого фотона
ядро может перейти в какое-либо „возбужденное" состояние, включая те из них,
в которых некоторые нуклеоны занимают состояния отрицательноч энергии.
Обозначим энергию этого промежуточного состояния через Еп. После испуска-
испускания обоих фотонов ядро (по не атом) должно вернуться в свое основное состоя-
состояние. В стоящей в знаменателе энергии первого промежуточного состояния мы
можем пренебречь энергией атомной связи и эффектом отдачи. Рассматриваемая
часть матричного элемента будет тогда равняться
где аЛ — дираковская матрица в направлении [поляризации i для г-\о протона.
По z и г' производится суммирование от единицы (до Z. Мы везде пренебре-
пренебрегаем ядерными обменными силами.
Рассмотрим сначала состояния п, в которых один из прогонов занимает
состояние с отрицательной энергией. Поскольку тогда k <; m <-ё^_ Мр, мы можем
в G1) знаменатель (Ео — Еп — k) приближенно приравнять (-\-2Мр). После
>) Этот факт автору был впервые указал Крэллсм.—Прим. aiti.
374 R- САЛЬПЕТЕР
этого можно с помощью правила сумм произвести суммирование по п, в резуль-
результате чего получим
2<О|«5»Г|О>^-. G1а)
В иерелятивистском приближении эта величина примет вид
Zcos6
(где 0—угол между двумя направлениями поляризации), совпадающий с точ-
точностью до множителя Z с видом соответствующего выражения для одиночного
свободного протона.
Однако в случае сложного ядра промежуточные состояния положительно!!
энергии п дают в G1) составляющие такого же порядка величины, что G1а).
Заменим для этих состояний аЛ нерелятивистским приближением p\jM;, где /Я —
компонента импульса z-ro протона в /-м направлении. При этом величина Е„
лаже для наинизшего возбужденного состояния будет больше Ео на несколько
Мэв для большинства ядер. С другой стороны, А <;/и ж 0,5 Мэв, и мы, следо-
следовательно, получим хорошее (но не безупречное) приближение, опустив в знаме-
знаменателе G1) в данных членах k. При указанном приближении мы получим допол-
дополнительную составляющую
которая может быть записана в виде
cos 0
~~ш„
н
где fon — сила осциллятора для дипольного перехода. При пренебрежении
обменными силами сумма 2/оге равна (А — Z)Z/A [12]. Складывая G1а) и
G16), получаем
cos fl \7 (A —Z)Z\_ cos Q { &\ .„
¦mv\ а \"~ 2мр V"А )• { '
Из рассмотрения G3) вытекает, что даже в случае членов ДЕуг выражение
для одиночного фотона следует, помимо подстановки соответствующего значения
|t"j@)j2, умножать на (Z2/A). Иными словами, множитель e'\Mv следует заменять
(ZeJfAMp, что равносильно применению результатов настоящей статьи для ядра,
рассматриваемого как частица с зарядом (Ze) и массой {АМр). Для дейтерия
полный эффект будет в этом случае вдвое меньше, чем для водорода. В общем
случае величина полного эффекта будет немного меньше, чем соответствующая
величина для водорода, умноженная на {Z"°IA), поскольку логарифмические мно-
множители в АЕат и ЬЕтт несколько убывают с возрастанием Z.
В выводах настоящего раздела делались многочисленные приближения. Пре-
Пренебрежение запаздыванием приводит к относительной ошибке, самое большее
порядка отношения длины волны виртуальных фотонов к радиусу ядра, т. е.
меньше чем одной пятидесятой. Пренебрежение k и сравнении с (Ео — ?„)
в случае промежуточных состояний положительной энергии дает малую относи-
относительную ошибку порядка mj2Mp или меньше. Большую ошибку дает пренебре-
пренебрежение величиной kf(E0 — ?,„) в случае промежуточных состояний с положитель-
положительной энергией ядра. В частности, для дейтерия наименьшее возможное значение
Ео — Еп, равное энергии связи дейтерона, составляет всего лишь 2,3 Мэв. По
аналогии с фотораспадом дейтерона можно ожидать, что „среднее" значение
Ео — Еп будет вдвое больше, т. е. будет равняться примерно 5 Мэв. В слу-
случае АЕат, ^</?о'^"г и соответствующая ошибка пренебрежимо лгала. В слу-
XIII. МАССОВЫЕ ПОПРАВКИ К ТОПКОЙ СТРУКТУРЕ ВОДОРОДОПОДОШШХ ЛТОЛЮВ 375
чае АЕтт член, включающий логарифмический множитель, относится к области
k<^m и допускаемая ошибка также будет мала. Однако АЕаа и некоторые
составляющие АЕтт, не включающие логарифмического множителя, относятся
к значениям k порядка т. Вследствие частичного взаимного сокращения АЕат
и АЕТт члены, относящиеся к области k ~ пг, равны по величине полному
результату Д?. Поэтому ошибка в полном результате в случае дейтерия может
составлять 0,5 Мэв\Ъ Мэв, т. е. 10%. Влияние ядерных обменных сил пока
не было исследовано; однако, повидимому, оно мало.
Вычисленные в настоящей статье массовые поправки к тонкой структуре
различны для 2.9- и 2/я-состояний и должны, следовательно, обнаруживаться при
анализе опытов по лэмбовскому сдвигу. Однако, кроме них, имеются массовые
поправки к самому теоретическому значению лэмбовского сдвига, обладающие
таким же порядком неличины, что и поправки, вычисленные в настоящей статье.
Имеются еще другие поправки к тонкой структуре и лэмбовскому сдвигу, свя-
связанные с конечностью размеров сложного ядра и внутренней структурой ядер.
В последующей статье будут рассмотрены нее эти поправки в связи с лэмбов-
ским сдвигом.
Брейтовский способ рассмотрения был применен |19] в случае тонкой
структуры позитрония в низшем порядке; поправочные члены относительного
порядка а могут быть вычислены так же, как и в случае водорода [2, 3].
Ошибки порядка о.\Е{Щ, получающиеся при брейтовском способе рассмотрения,
могут быть определены для позитрония с помощью методов, описанных в настоя-
настоящей статье.
Из содержания настоящей статьи также следует, что не имеется никаких
поправочных членов порядка aAE(hfs) ~- ж (/к/Ж) \E(is) к сверхтонкой струк-
структуре (т. е. членов, включающих операторы ядерного спина). Однако если
в разложениях по степеням т/М сохранять на одну степень больше, поправки
к сверхтонкой структуре будут иметь место. Эти поправки, имеющие порядок
у.(т!М) In (Mjm) A?(hlsj, будут рассмотрены в последующей статье.
Автор глубоко благодарен Бете за многочисленные советы и разъяснения,
касающиеся настоящей статьи. Автор обязан также Дайсону, Карилусу и
Кроллю за ценные дискуссии и Баранжеру за проверку вычислений настоящей
статьи.
ПРИЛОЖЕНИИ
В настоящей статье мы использовали волновые функции в импульсном про-
пространстве 4(р, е) и в(р), представляющие собой шестнадцатикочноиентные спи-
спиноры с четырьмя индексами для частицы а и четырьмя индексами для частицы Ь.
Выведенные в данном приложении формулы имеют одинаковый вид для <|» (р, е)
и о(р), и поэтому мы для простоты разберем только случай ?(р). Определим
обычные операторы проектирования Казимира
-: ,пл)
и|3 + ар
в отдельности для частиц а и дг). Каждую волновую функцию »(р) можно
затем записать в виде суммы из шестнадцати собственных функций оператора
На(р)Нь (р). Эти шестнадцать функций расщепляются на четыре набора
с четырьмя вырожденными функциями в каждом (по два спиновых состояния
для двух частиц):
?±ЛР) = Л$(Р)Л±(Р)?(Р). (П.2)
Каждая и.ч данных шестнадцати функций будет в свою оч^ре ;ь ;;рои введением
двух четырехкомпонентпых спиноров.
1) В тексте статьи мл обо;на:глп нелишну (ш[1 — ар1' ".¦!¦: -i.icvmu:,; Ь чер;:.; Н(р).—
Прим. пот.
376 F- гдлытткр
Выведем теперь использованные в тексте приближенные выражения для
матричных элементов некоторых операторов, включающих различные дираков-
дираковские матрицы обеих частиц. При этом требуются только матричные элементы,
взятые между волновыми функциями типа а++ (р) и о+ + (р'), где р, р'<^тп, ть.
Поскольку дираковские матрицы для частицы а коммутируют с дираковскими
матрицами для частицы b и поскольку волновые функции являются произведе-
произведением двух четырехкомпонентных спиноров, то указанные матричные элементы
будут представлять собой произведение двух отдельных матричных элементов,
относящихся к одной частице. Поэтому определим только матричные элементы
операторов для отдельной дираковской частицы, взятые между волновыми функ-
функциями, представляющими собой четырехкомпонентиый спинор.
Введем опять
?±(p) = A, (р)<?(р) (П.З)
и рассмотрим только матричные элементы, содержащие <s+. Функция «+ (р)
может быть записана в виде 2X1 матрицы [<э+, »-], где ъ+ и о-— двух-
компонентиые спиновые функции Паули. В этом обозначении можно записать
'°Л • "°N- (П.4..
П (Р) = (» Р) С» -\- Е(р)\~^ + (р), (П.5)
где а — спиновой вектор Паули.
Разберем сначала вывод уравнения B5а) из D6), где оператор Л + заменен
ь
единицей и Аь_—нулем. С помощью соотношения (П.5) гфупкция «+(р) явно
выражается через »_}; (р). Получим подобным образом из B6) уравнение, содер-
содержащее только о+ (р) и <s+(p-}-k). Используя (II.1), (П.4) и (П.5), находим
точное соотношение
[*Ч(р)?+(р4~к)]+---
_{. ,. (» р) (-J • к) + {С (р) - ? (Р + к)] [Е (р) - т]
В перелятивистском приближении (р, k<^m) множитель, стоящий в (II.6)
в фигурных скобках, сводится к множителю в квадратных скобках из правой
части уравнения B6а). Беря подобное приближение для (II.6), мы получим из BG)
уравнение B6а), в котором вместо в? стоит ср.
Нам, далее, нужны матричные элементы различных дираковских операто-
операторов О, взятых между волновыми функциями о+ (р) и в+ (р') с точностью до
низшего порядка по р^т и p'jm. В этом случае матричный элемент оператора О
равен матричному элементу оператора Af(p)O. Используя соотношения (П.1),
(П.4) и (П.5), можно, далее, представить величину [А+(р) О?+ (р')]+ в виде
U'z>+ (р'), где U— оператор, содержащий только паулиевскуга спиновую матрицу а
и не включающий дираковских операторов. С требующейся точностью дираков-
ский оператор О может быть после этого заменен паулиевским оператором II.
Ограничимся записью операторов U, соответствующих определенным опера-
операторам О, в низшем порядке по pjin и p'jm при произвольном k:
О = Я<Л _ (р -(- к) у./, U ,-¦-- Vj \Е (к) + тI 2^~ . (П.9;
о =-= 3<л + (р + к) а/, и --= *ъ -^ " ^ -. (п. 1 о:
XIII. МАССОВЫЕ ИОПРАВКИТОПКО И К СТРУКТУРЕ ВОДОРОДОПОДОЫ1ЫХ АТОМОВ 377
Для случая р, р', k <^ т получаем в низшем порядке по р/т, p'jtn и k\m:
О = Л+(р'-к;^; t/=[2p;-^4-/[kX4}-2!,7- (ПЛ2)
При выводе приведенных соотношений в данном приложении использовалось
следующее свойство матриц Паули:
При получении ил (П.11) и (П.12) прпближгнного выражение подставляемого
в тексте и формулу F0), использовалось то обсто ггельство. что направление
поляризации / перпендикулярно к импульсу фотона к, так что компонента kj
раина пулю. При получении формулы F5) применились иереегапоночмыг соотно-
соотношения:
о? = 1, {4-у з,з,]--0, A1.13-
где / и j-—дна взаимно перпендикулярных направлении.
Л И Т Е Р \ Т У Р А
1. И г с ft G.. Phys. Rrv.. 34, .V>3 (НШ).
2. НгсН О.. Brown Cj. I-:.. Phys. Rev., 74. 12Г8 (VMS).
3. Hrrii. Brown. Arl'kcn. 1'iivs. Hrv.. 76, i_)(.i(.» (li'l')).
¦I. SalpcttT К. П., He Hi i' H. Л'., Pliys. Rev.. 84. li'W (ШЛИ. (C.v.. ct.ui.io XII ii.ictok-
Щ1то сборника.)
.">. F с у ii m a ii R. P.. Pliys. Rrv.. 76. 7W A940). (См. отлило IV нлсгоащ^со еиооии.сл.)
(i. Oi'll-Manii M. }, o\v h\. Plus. Rrv.. 84, :У>0 AЯ.)!).
7. Brown G. 1-... R л v r 11 Ii a 1 I D. G., Pioc. Roy. Soc. (London). A2f)S, Гм2 (Г>11).
<S. В с 1 Ii с H. A., Hnndb. d. Phy-s. 24 1. ЗО."> A!K3). (См. нп.п'мп: В с г г Г.. Кн-ционля
механика iipocicihiiux гд:тгм. М. — jl.. ИКй.)
!). Dyson К. J., Phys. Rev., 82, 428 (I У"> I j; 83, <iOS. 1207 (!!Г>1); Pn>c. Rov. Soc. (l.ondo-i),
A207. ;j!).")(l!).-,l);
10. В ft he H. A.. Phys. U. v.. 72. 33') A047).
И. И с the 11. Д.. lir'own. Strliii. Phys. H.v.. 77, 370 ( H)",0).
12. I. cviugiT J. S.. Bi'thc 11. A.. PUvs. Rrv.. 78. 113 (H):>0).
13. Fcrrcli R. A., Phys. Rrv.. 84. «>8 (ИГЛ): Pirrnnr .1.. Arch. Sc'.. 2S, :Ш (i:U«il; 29.
121. 207. 2l>:> (I!M'~); V> с р с с т <¦ ц к и и Н. Ь., Ж»ТФ. 29. ИЗО A14;)).
XIV. ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ БЕЗ ТЕОРИИ
ВОЗМУЩЕНИЙ 1)
С. ЭДВАРДС
S. F. Edwards, Phys. Rev., 90, Nof2, 284 A953)]
: С помощью уравнений в форме Швингера, описывающих взаимодействие электрона
с электромагнитным полем, выводится линейное интегральное уравнение для оператора то-
тока Г, ядро которого представляет ссб^й разложение в ряд по степеням а. Взято первое при-
приближение этого ядра; полученное интегральное уравпепие решено без помощи теории возму-
возмущений. Найденные, исходя из первого приближения, значения собственной эпергии ока-
оказываются конечными. Даны исследования их аналитического поведения. Применение этого
метода к мезонной теории показывает возможность классификации по видам получаемых
интегральных уравнений. Обсуждается еозкожпость дальнейшего развития метода.
1. Введение
После выполнения программы перенормировки в квантовой электродина-
электродинамике теория возмущений смогла чрезвычайно успешно объяснить эксперимен-
экспериментальные результаты. Хотя почти все экспериментальные результаты связаны
с рассмотрением различных взаимодействий, в которых содержатся интегралы,
полностью сходящиеся после перенормировки, получение конечных результатов
для значений собственной энергии, а также для других коэффициентов пере-
перенормировки, оказалось совершенно невозможным. При таком положении дел можно-
стать на одну из двух точек зрения: 1) исходный лагранжиан не применим
для получения значений собственной энергии, но достаточно точен для учета
взаимодействий, так что для исследования первой проблемы требуются какие-то
новые идеи; 2) можно, однако, возразить, что, если до сих пор использовались
только такие простейшие формы решений, как непосредственное разложение
в ряд, то теперь требуется более точное приближение, которое должно быть
более пригодным, чем теория возмущений, при большой константе снязи. На-
Например, собственная энергия электрона выражается в теории возмущений рядом
т =
а -j-
где все т{ бесконечны. Такое разложение законно, если те~9 аналитично по е°
в начале координат, причем не существует априорных соображений в пользу
последнего утверждения. Последний аргумент в пользу второго способа трактовки
заключается в том, что некоторые теории, например мепонная теория с градиент-
градиентной связью, имеют расходимости даже после перенормировки, причем остается
неясным, не происходит ли это вследствие применяемого метода решения.
Мы здесь рассмотрим второй способ трактовки. Ниже предложена попытка
найти решение проблемы квантовой электродинамики электрона без обращения
к теории возмущений. При этом мы пользовались формулировкой Швингера [1] 2).
В его работе показано, что функции распространения удовлетворяют опре-
определенным функциональным интегро-дифференциальным уравнениям. После пере-
перенормировки этих уравнений в настоящей статье мы пытаемся свести проблему к
решению линейного интегрального уравнения, ядро которого выражается степен-
степенным рядом по константе связи. Мы взяли первое приближение к этому ядру,
решили соответствующее интегральное уравнение и произвели исследование
*) Перевод этой статьи выполнен Г. Е. Пустоваловым. — Прим. ред.
-) Мы следуем обозначения?,; Швипгера.—Ilyt.v. acm.
XIV. ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ БЕЗ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 379
решения. Этот метод является лишь частичным отступлением от теории возму-
возмущений, однако есть надежда, что он будет иметь методический интерес, так
как с его помощью получены интересные результаты, касающиеся поведения
решений уравнения, как функций константы связи «, а также ряда физических
величин.
Метод применим к различным вариантам мезонных теорий; он также дает
возможность классифицировать разные типы получаемых уравнений.
2. Вывод уравнения
В случае лагранжиана
Frxv +{F^, д^ д,Д,} +
-[-эрмит. сопр. величины B.1)
уравнения, которым удовлетворяют гриновские функции электрона G, фотона D
и оператор тока Г, имеют в пространстве импульсов следующий вид:
]О^1, B.2)
[А* + Я]Д=1, B.3)
Г=—--Д-О» B-4)
B.5)
Р =^=—ie'^GVG. B.6)
В этих уравнениях опущены индексы и переменные; кроме того, подразумеваются
выполненными „матричные" произведения. Величины А и -у рассматриваются
как матрицы в конфигурационном пространстве:
т F; х, х') = f8 (I — *) 8 (х — х'), B.7)
(л:|Л|л/) = 8(л: — дг')^(х), B.8)
~ак что
г'е 6—„фотонная координата". Величины О и Ж являются функциями коорди-
н г электрона: G(at, лг'), М {х, х'), причем
=-- J Ж (л:, хО О (дг7, дг") ^д:'. B.10)
В /равнении B.2) это произведение имеет вид Ai(p)Q(p). Функция Г пред-
стг.чляет собой обобщение оператора f, взятого с учетом вакуумных поправок,
и 5 чляется функцией трех переменных:
\-4x, .v'). B.11)
Функции D и Р зависят от двух фотонных координат:
P(k, &') = — ie^hj-iil; x, xr)G{x', x") V (?; х", x'")G(x'", x)X
X d*x dKx' dAx" dKv'". B.12)
Подробности получения этих выражений можно найти в статье Швингера [1J.
Мы сейчас сосредоточим свое внимание на функции Г. С помощью итера-
итераций написанное выше уравнение можно выразить в виде ряда по степеням е2:
B.13)
оеЛ х' J v
380 с- эдвардс
Так как GG~y—\, имеем
4 G + ^G_0) B.щ
ЬеА ' оеА ' '
Г = т + /е2т GrOFD — /e2f О -^- ГО, B.16)
и т. д. Это выражение для Г может быть использовано для нахождения О и D
в виде степенных рядов, и дальнейшее разложение может быть проведено
с помощью выражений G1 = \^(p — eAj-j-m]-1 и Ог —(№)-*. Как уже от-
отмечалось выше, хорошо известно, что этот способ ведет к ряду, состоящему из
расходящихся членов, и необходимо произвести перенормировку, чтобы при-
придать этим уравнениям физический смысл. Экспериментально массе соответ-
соответствует величина М для свободно движущегося электрона, т. е. величина, для
которой G = -(р-\-М = 0. Величиной Г для излучения свободным электроном
фотона с пренебрежимо малым импульсом будет -у. и гриновские функции сво-
свободного электрона и фотона с пренебрежимо малым импульсом будут иметь вид
жР. BЛ7>
Дайсон [2] показал, что уравнения B.2)—B.6), выраженные через эксперимен-
экспериментальные значения массы и заряда, могут быть решены с помощью теории воз-
возмущений до любого порядка по е2. Для получения перенормированиой теории
возмущений над рядом производятся определенные операции. Если эти операции
произвести над точными уравнениями B.2)—B.6) в предположении, что резуль-
результирующие функции G', V и D' существуют, и если бы эти функции можно
было бы получить, не прибегая к теории возмущений, то затем можно было бы
получить снова разложение в соответствующий ряд теории возмущений. Так как
в этой статье мы полностью не смогли избежать применения теории возмуще-
возмущений, то этот способ не может быть строго доказан, однако он представляется
нам вполне разумным.
Перенормировка производит изменение величин G, Г, D и е". Для этого
разложение B.16) должно быть выражено в симметричной форме. Таким обра-
образом, если мы напишем
Г = т + Л, B.19)
Л может быть полностью выражено через Г:
Г = т—«^-^-(Г —A)G1\D= B.20)
= -г — ie2 -yV ГОГ/) + ie- -А-т- I— /e2 -A-r- VGTd] G№ + .. . B.21)
1 ЬеА ' оеА i ЬеА j ' v
В теории возмущений эта операция соответствует перегруппировке членов раз-
разложения. Если мы теперь обозначим через Г', Л' такие величины, что ZV' — Г
и ZA' = А, то, поскольку еА и e2D должны не меняться при такой замене
вследствие калибровочной инвариантности [3], из определения Г следует:
Gf = Z->G, B.22)
ZT' = 1 — ie2 -^j- Z (V — A') G'V'D',
lv = Z-i-y — «e2-^- (Г' — У) CTID, B.23)
или
Г' = Z-лч -j-Л' = Z-*f — JeT'GT'GT'D' -f члены порядка e* -f- ... B.24)
Этот результат не изменится при перенормировке заряда, при которой
e'=Z*V.e, ^/ = (Z*)-'M, n'=----Z*^D,
D'-1=Z*-i№ — 1е'*(Г' — A')GT'G'.
XIV. ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ БЕЗ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 381
Здесь Z выбраны так, что
, B.26)
где нулевой иидекс обозначает величину этих функций для свободного элек-
электрона и свободного фотона, т. е.
Уравнение для Г" представляет собой нелинейное интегральное уравнение
возрастающей сложности по мере продолжения разложения и не может быть
чепосредственно решено в этом виде.
Наш метод заключается в разложении в ряд по теории возмущения всех
операторов, стоящих справа, за исключением одного Г', что приводит к линей-
линейному интегральному уравнению с ядром, разложенным в ряд. Наиболее простое
приближение получается при оставлении того Г', которое возникает в каждом
члене в результате действия (8/беЛ) на оператор массы М. В этом случае ин-
интегральное уравнение включает в себя только одну переменную величину и может
быть написано в следующем виде (который является символическим, так как
при перенесении Г" направо должны быть учтены перестановочные соотношения):
по
Г (k, j) = Z~ Ч + Г Г' (к, I) [2 е**К,, (/, j; k)\ d% B.27)
J о
где Г'(&> /) получается преобразованием Фурье из Г'(Е; х, х'), зависящей от
% — х, х—хг, а Кп не зависят от е-.
В явном виде соотношение B.27) перепишется в форме
T'=Z-1-( — /е2-^ГО^?>1 +члены порядка е\ B.28)
причем Z-1 определяется граничными условиями для B.28).
3. Решение уравнения
Существование и поведение решения зависит от свойств ядра интегрального
уравнения. Выражение в виде степенного ряда приносит мало пользы, так как
из поведения нескольких первых членов разложения можно сделать очень мало
заключений относительно поведения самой функции. Мы взяли простейшее при-
приближение, в котором присутствует только Ко (возможность лучшего приближе-
приближения рассматривается в дальнейшем). Способ рассмотрепия можно пояснит!, следую-
следующим образом. Из бесконечного числа членов полного разложенш; теории
возмущений B.27) отброшен бесконечный ряд и, кроме того, в остающемся
выражении пренебрегаются члены порядка е* и выше !).
При вычислении с помощью интегрального уравнения сумма ряда полу-
получается в виде замкнутой функции, которая при разложении должна снопа дять
ряд теорий возмущений, но которая может быть использована и пне круга схо-
сходимости степенного ряда.
Уравнение, которое надо решить, имеет вид (штрихи опушены)
IV(к, ;) = ?-%- /е» J ТА (| + /) г, [к, I) о,(/--*-) х
!) Можно видеть, что это упрощение ведет к „ступекчлтому" приближению, предло-
жепиому для уравнения двух тел Бете и Сальпетером. Согласно терминологии диаграмм
Фейнмаиа, мы оставляем только те из фотонных липки, которые не пересекаются, причем
замкнутые петли и части, относящиеся к собственной энергии электрона, опущены.
„Ступенчатое" приближение проблему двух тел в некоторых случаях ведет к описывае-
описываемым здесь интегральным уравнениям. Решение уравнения двух тел в этом приближении
с точки зрения интегрального уравнения было исследовано Гольдштейном, которому
автор обязан некоторыми илтереслымн замечаниями. — Прим. амп.
382 с- эдвардс
Здесь Z/-1 — постоянная перенормировки для этого уравнения, не равная
в общем случае Z-1. Решение является оператором, который описывает излу-
излучение фотона с импульсом k через посредство электрона с импульсом /', Z~x^
представляет собой вклад „голого" электрона, а следующий член — действие
фотонного поля, которое в этом приближении трактуется по теории возмуще-
возмущений, причем оставлены только те эффекты, которые происходят вследствие не-
перекрещивающихся излучения и поглощения виртуальных фотонов. Интеграль-
Интегральное уравнение C.1) сингулярно, так как пределы интегрирования бесконечны.
Более того, так как Г i^.O^fixi^i расходится, обычные методы Неймана и
метод Фредгольма не могут быть применены вследствие наличия у ядра по-
полюса на бесконечности.
Здесь применяется метод, заключающийся в нахождении собственных функ-
функций однородной части уравнения C.1) и исследовании возможности построения
из него полного решения, удовлетворяющего граничным условиям. При этом
можно заметить, что, хотя такое уравнение содержит только часть общего
решения, в нем сохраняются все трудности, поскольку расходимости, связанные
с прямым разложением, остаются в силе. Единственное соображение в пользу
возможности решения C.1) вместо B.27) по теории возмущений заключается
в том, что расходимости, связанные с ядром, так слабы, что замена Г" —^-|-
+ Л' — (Л)'о может быть оправдана.
Уравнение C.1) представляет еще значительные трудности. Поэтому его
упрощают следующим образом. Так как интегральное уравнение действует только
на J, го возможно рассмотреть случай, когда k = 0, который является особенно
простым. Тогда мы можем выбрать решение в форме -^/ (/"')> пренебрегая чле-
членами а^.р.,, и т. д. и конечной частью, возникающей вследствие перестановоч-
перестановочных свойств -у- Мы получим
h;2 Г Ш d±-
Отброшенные здесь члены можно всегда учесть позже на основании решения
уравнения C.2). В мезонной теории с fr,fU~) уравнение C.2) фактически будет
полный. В случае уравнения C.2) решение можно получить в замкнутой форме
для однородного уравнения
подробности решения которого дамы к Приложении.
Так как этот метод по пригоден для k ¦¦/¦ 0 или когда имеется конечная
масса мезона, то для решения C.3) найден иной способ, который можно обобщить
на эти случаи. Чтобы сделать более ясной структуру уравнения C.3), исполь-
используем преобразование, сводящее это уравнение к одномерному интегральному
уравнению. Напишем / в форме „преобразования Стильп.еса"
где к знаменателю добавляется малая мнимая часть, которая придает выражению
форму суперпозиции функций распространения. Интегрируем обычным способом:
Jfil*) d4 Г > Г F (a)d4
J \ ' . I ///> I —-— ~•.:.,;
(/» + т-) U — 0* ~ J J (/2 + »'") С'"' + й) (/и - 2У + /")
1 1
г л г д:/-' (a) d4
^}da\dx)dy jSxy(l_xy) + mtx{l-:--T---.~-]- ^
о о
1 1
= -i BuJ J rfa J оГлг J dyF (a) x [pxy A — xy) -j- e A — *) + /712лг A — j
XIV. ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ БЕЗ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 383
Теперь обращаем преобразование C.4)
.<*/Л/^A_*)-./[?^^ 13.5)
О (I
Отсюда можно получить
со
[ m2)C(l— С|С-; 1|- \v)). C.6)
Граничным условием теперь будет /@)----1; так как в / под интегралом вхо-
входят только положительные аргументы, мы можем рассматривать одномерное
уравнение с положительной переменной ;—/-. Для распространения решений на
отрицательные значения $, когда / принимает явно неоднозначную форму, подра-
подразумевается, что в формуле C.4) к знаменателю добавлена небольшая мнимая
величина, гарантирующая существование и однозначность функции.
Так как обычный способ получения собственных значений и собственных
функций здесь не применим, мы рассмотрим уравнение при очень больших ?.
Тогда уравнение C.6) примет вид
/(S) « a J dy j' UC/(C) iC + *A -у)]2. C.7)
Это уравнение принадлежит к общему классу уравнений, для которых /
является решением, если /(?) есть решение, причем решения будут иметь
вид %~®х). Подставляя решение в такой форме в C.6), где по соображениям
сходимости 0 < /?;3 < 1 и $ <^ /и2, получим
т. е. j3 —- - [1 rt A — 4л)''г], что при малых к дает ?5 = л, 1—л и является
комплексной величиной при л > -г- . Других решений не существует 2). Поэтому
общим решением будет С1~^-\-В1~'^, где PJj и Р2 — два корня для данного л.
Спектр уравнения C,6) является непрерывным, так что собственные функции
неинтегрируемы квадратично, и ни один из известных методов не может быть
использован для построения ортоиормированной системы. Возвращаясь к C.2), мы
вынуждены сделать заключение, что Zr~1 = 0 и что при z'-— 0 существует
решение C.2) для всех значений е*/4ъ-—а, причем «=8гл. Решение для C.2)
получено в замкнутой форме в виде гипергеометрической функции в Приложе-
Приложении; кроме того, ряд результатов, сообщенных выше, доказывается там более
строго. Для решения уравнения C.2) и более общего уравнения мы исходим
из поведения \~х на бесконечности (л — меньший корень), написав его в форме,
эквивалентной разложению в окрестности точки А; например, * функция
Ак (у2-)-/»--{- A)"k ведет себя регулярно и в начале коорди1г;;т и на бесконеч-
') Это преобразование предполагает, что / имеет в качестве особенностей только
полюсы и точки ветвлении. Для вынолпепии интегрирования должно 6i,m. изг.естпо рас-
расположение оеобенпостен; иреобразовапие является специальным приемом, применяемым
для этой цели. С его помощью сравнительно легко можно проинтегрировать в смысле
Фейпмапа многие сложные функции. — Прим. авт.
2) Это строго доказало для ядра (х-\-у)~1 Харди и Тичмаршем (см., например, [4]).
Способом, ириведеппым в Приложении, это доказывается строго для уравпеяия C.3),
причем предполагается, что результат вереп и для более общих уравнении. Об уравнениях
такого типа имеется довольно значительная, хотя и пе систематизированная литература
(см., например, [WJ). — Прим. ант.
384 с эдвардс
ности. Можно думать, что более общим разложением будет разложение вдоль
линии, например,
т. е.
Г 'з (х) (-—--,¦ ., I dx, C.8)
l
l
где с? (л:) :=t; 1, I о (x) dx — 1. В Приложении показано, что для :;ыражс1 ия C.2)
о
у (х) = x~l (I-j-/.), откуда получается
if @, ;):^7, Jj—",. {"'fx+'jS-T* dx~ C-9)
Это находится в согласии с разложением но теории возмущений из B.2):
1
Когда р отрицательно, нужно считать, что дробь подставлена в форме C.4).
Несмотря на то, что в C.2) мы имеем дело с очень упрощенным случаем,
приведенные соображения являются весьма общими. Случай 1гфО может быть
рассмотрен (а также и несимметричные члены вроде <^1Ь1р.,) тем же способом,
хотя со значительными математическими трудностями.
4. Анализ оператора Г(о)
Оператор Г<0) в замкнутой форме выражает размазывание электрона, вызы-
вызываемое полем, которое ясно выражено, если мы будем рассматривать Г(°' в конфигу-
конфигурационном пространстве для статического случая p = k? — т2 (k — трехмерный
вектор); причем мы находим распределение Са-1г-'л+^Яку_(г), где %(г) конечна
в начале координат и спадает экспоненциально.
С помощью Г<°> можно подсчитать собственную полевую энергию электрона
и поляризацию вакуума. При этом надо принять условие, что, как и при нахожде-
нахождении Г<0), в интегралах полностью сохраняется только одно Г(о), а все остальные
берутся в первом приближении. Обе интересующие нас величины оказываются
порядка единицы, тогда как в теории возмущений сделано предположение, что
они должны быть порядка а; тем самым в теории возмущений сделана попытка
включить полюсы в степенной ряд, которая и приводит к ряду из расходящихся
членов.
Когда а. отрицательно, для Г(о) решения не существует. Поэтому надо
считать, что Г^ определено только для а > 0, так же как и все величины,
вычисляемые с его помощью. Казалось, что теория возмущений дает решения,
одинаково действительные для любого знака а, что, однако, с настоящей точки
зрения несправедливо. Дайсои предполагал это, исходя из общих физических
соображений, и хотя Г'0' является только частным решением, это можно рас-
рассматривать как иллюстрацию к замечанию Дайсона|.5].
На первый взгляд кажется странным, что Z/-1 —0, так как это подразу-
подразумевает отсутствие „голого" электрона. В теории возмущений Z — 1 -j- Zj a"Z^,
где все Zn бесконечны. Это должно бы получиться и здесь, если бы Z'~l
мы взяли именно в такой форме. Разница в результатах возникает вследствие
XIV. ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ БЕЗ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 385
различных точек зрения, в зависимости от того, характеризуем ли мы единицей
только „голый" электрон и пытаемся выразить влияние фотонов в виде ряда по
степеням а, или же, напротив, сосредоточиваем наше внимание на влиянии фото-
фотонов, благодаря чему Z'~l оказывается нулем, как в методе интегрального
уравнения.
С помощью Г можно найти гриновскую функцию, хотя для этого случай
/е = 0 ке пригоден. В результате получается, что при очень больших р- имеем
G(p)tt ("(р-\-т)(р2)~"'й11. Для получения конечного результата надо использо-
использовать упомянутое выше условие, так как последующее употребление этой функ-
функции может изменить сходимость М или Г.
5. Применение к мезонной теории
В мезопной теории наиболее интересным является случай сильной связи.
Это уменьшает пригодность методов настоящей статьи, но, несмотря на это, мы
будем применять их к различным вариантам мезонных теорий, так как они
все-таки представляют значительный интерес и, кроме того, иллюстрируют тины
уравнений, которые получаются при снязях разного типа.
А. НЕЛИНЕЙНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
В качестве примера теории, которая представляет меньше трудностей, чем
электродинамика, рассмотрим скалярное поле, связанное с самим собой членом о3.
Его лагранжиан, «ключающий функцию источника 1(х), имеет вид
-2* = Y Н ?J 4~ {¦
Эта теория особенно проста, так как включает только один тип частиц. Функ-
Функция Грина Д к обозначениях Швингера определяется формулой
А (х' *') = -Щ^Г •¦= '' <? to ? ^'))+ -'' <? to) (? (*')>¦ E-2)
В этой теории существует вспомогательная функция 2, аналог функции Г:
2 (х, х, х ) — щ-(?Г ¦ УЪ-6>
Из уравнения движения
(— ? A- v.2)'-? — I'f =¦ 1 E.4
следует
E.5)
E.6)
2=1-1- Д2 BДОД9Д) 4- /ха Д ~ Д. E.7)
Последнее уравнение можно решать методом итераций. Интегралы, которые
появляются в E.7) после итераций, оказываются конечными, и перенормировка
может быть отложена до разрешения уравнения. За исключением неренорми-
неренормировки массы, которая по теории возмущений является бесконечной, эти уравне-
уравнения можно рассматривать без дальнейших изменений. Линейное интегральное
уравнение имеет следующий вид:
Q=l-\- Л229 (Д0Д0Д0 4- л4 • • •) = 1 + ^Ы'^ 2 Ъ-» К„. E.8)
29*
386 с- ЭДВАРДС
Интегралы \ K,n(j Л d* j конечны, так что можно пользоваться решением по
методу Фредгольма до любого порядка. При условии сходимости ряда 2^2пК„
метод Фредгольма гарантирует конечность решения1).
В. ПСЕВДОСКАЛЯРНАЯ МЕЗОННАЯ ТЕОРИЯ С ПСЕВДОСКАЛЯРНОЙ СВЯЗЬЮ
Эта теория представляет значительный интерес и принадлежит к тому же
классу, что и электродинамика. Ее основные уравнения удобно установить,
используя методы статьи Швингера с учетом того, что для полной теории
с присутствием фотонов требуется третья вариация лагранжиана:
3"8'(8.2» (*)>-=
Г (dxr) (dx") \{Ъ?Р (х) b'jg? (х1) о' Jg ix"))+ — (Zj? (x) о",
i
j -
4-2(8^(х)) $'J2>(x)) {V'S' (x"))\. E.9)
Приведем полную формулу для лагранжиана
? ДНИ ' '
г
- j 14S (— id, - eTAv) i + тф] + V -i
-}- V K{ ot -J- -л- [<V, vj -J- ,^2A N (o 1 e)^ (o L^'f)j -J- эрмит. сопряж. всех чле-
_ i
НОВ'С <}J, ф.
Здесь ^тф и т. д. есть сокращенная запись для 2^гч?г> причем <?i имеет
три компоненты. Обычно индекс с при g и К будет опускаться. Функция $
имеет два ряда компонент в изотопическом пространстве. Величины $, Т и U
являются матрицами сохранения заряда:
о 1 о\ /
-= -1 00, (et/9)= 3^
ооо/ V
ri> -^(i. ^Q являются источниками диракокского, максвеллонского и мезонного
полей соответственно. Они приводят к появлению трех типов гриновских функ-
функций О, Д и D, причем под этими обозначениями мы будем подразумевать их
компоненты. Функция G имеет 4 компоненты, две из которых имеют отличные
от нуля средние значения, Д имеет три компоненты и D—одну. С помощью их
можно определить ряд вспомогательных функций2):
]) Ряд 2 }.inKn, согласно [6], не сходится, та.'; как для его вычисления применяется
теория возмущений. Если мы, однако, последуем интерпретации Херста, согласпо которой
разложение является асимптотическим и для получения наилучших результатов должно быть
оборвано па некотором члене, приведенные выше аргументы могут считаться справедли-
справедливыми. — Прим. arm.
а) Это наиболее полезное определение. Однако можпо (а ппогдз и необходимо)
употреблять и другие способы. Например,
е~- (^--\ (-А-) Д7,1 и (~Ь ) A\О)-= DV' Гг Д + f—. —Прим. авт.
XIV. ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ БЕЗ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 387
дг^ JL А_д--1. E.14)
Здесь опять подразумевается, что 1\ имеет две компоненты, Гй — шеси.
(две из которых равны нулю) и т. д. Например (в полной записи),
Окончательные уравнения для гриновских функций имеют вид
\-;p~j~M]G^l, E.15)
E.16)
E.17)
где
Ж = м + ig^4 БОГБД + *е27%ОГ>А,, E-18)
TxG, E.19)
^ЪА + &2 tr -г6ОГ6О + ^*^nAAA/V; E.20)
здесь п — матрица сохранения заряда.
Эти уравнения могут теперь рассматриваться так же, как прежний случай
электродинамики, только с большим числом перенормировок, требуемым большим
числом полей, при учете отсутствия калибровочной инвариантности. При нали-
наличии члена в4 можно показать, что ряды теории возмущений сходятся [7].
Можно вывести интегральные уравнения для Г^., Г5, Cyi, V^ и N, которые
все оказываются того же типа. Мы остановим нате внимание на операторе Г5,
удовлетворяющем уравнению
Г5 = f6Z'-1 + /?* J Т5тОГ0Отг6-Л. E.21)
Решение в виде T6 = 4sf не является приближенным, насколько это касается уБ,
однако получить решение в замкнутой форме оказывается невозможным. Поэтому
приходится пользоваться приближенным методом. Величина-: имеет значения -j- 1 >
0, — 1 в зависимости от того, будет ли применяемая теория зарядо-симмет-
ричной или нейтральной, причем только первой можно пользоваться при данном
методе решения. Функция /@, _/) для больших (jJ ведет себя как (р)~*', где
При р = 1!2 решение является логарифмическим. Для больших g-, т. е. g-jAr. > 2т.
p = ^-dr/s. Это значит, что при больших р решение ведет себя как cos In (у2),
причем можно думать, что функция Грина будет также иметь целый ряд корней.
Поскольку такое поведение должно быть исключено по физическим соображе-
соображениям, то можно считать, что оно определяет верхний предел константы связи,
до которого применим рассматриваемый метод.
388 с- эдвардс
Если j3 = Vo, то разложение (j-)~''' в степенной ряд по g- теряет всякий
смысл. Приближенным-же решением для р < 1/2 будет
Тб" J С1 — Р) {i»a-« + *a {х-1 — 1)}Р {У2* A — *) + m2x-j- х2 A — х)\ -Р Ac. E.22i
о
Выражение E.22) отличается от соответствующего выражения в случае
электродинамики членом с х2, который можно интерпретировать в виде частицы,
обладающей плотным ядром с радиусом, равным комптоновской длине волны
нуклеона, окруженным размазанной областью с размерами порядка комптоповской
длины мезона.
Взаимодействие электромагнитного поля с нуклеоном описывается с по-
помощью Г^ и, повидимому, имеет смысл попытаться определить разницу масс
протока и нейтрона. Так как в операторе .массы преобладает мезонная часть, то
приближенное интегральное уравнение примет вид
Д К,А E.23)
Рассмотрим сначала только первый и второй члены справа. Они дают интеграль-
интегральное уравнение, по существу совпадающее с E.21), причем соотношение Z~l — О
является условием его разрешимости. Здесь подразумевается, что изотопические
матрицы в Га удовлетворяют соотношению t = Cxitzi, т. е. t=\ и не равно
Tf(l-f-iy). Это показывает, что если мезоны присутствуют всегда, то как про-
протон, так и нейтрон взаимодействуют с электромагнитным полем аналогичным
образом, а различие заключается в заряде мезонного облака. Таким образом,
доля собственной энергии, возникающая вследствие члена ie-F^GT.^D, одинакова
для протона и для нейтрона. Для нахождения доли собственной энергии, возни-
возникающей вследствие взаимодействия мезоков друг с другом, можно применить
соображения из теории возмущений. Таким образом, разница в массах возникает
из-за взаимодействия мезонов с нуклеонами, которое одинаково по величине и
противоположно по знаку в этих двух случаях. Применявшиеся приближенные
методы, очевидно, ке пригодны для решения этого вопроса. Однако можно ви-
видеть, что поскольку действие Г, V сводится к обрезанию, которое делает резуль-
результат конечным, и поскольку результат в основном обязан членам, которые в тео-
теории возмущений бесконечны, то можно ожидать, что знак искомого результата,
повидимому, будет совпадать со знаком бесконечных членов теории возмущений.
Рассматривая первые члены, например, ^2е2Г5ОГ[^ОГ5ДК!ЛД, мы получаем непра-
неправильный знак. Однако отсюда еще нельзя вывести какого-либо окончательного
заключения.
В. ПСЕВДОСКАЛЯРНЫЕ МЕЗОНЫ, ГРАДИЕНТНАЯ СВЯЗЬ
Единственная разница в лагранжиане по сравнению с лагранжианом в случае
псевдоскалярной связи будет в члене -jr eg [^, "^VS'l <V?- Первым приближением
интегрального уравнения будет
Q = Z'-iTrBTlA — #«ТбТГЛ01а01ТГбТГ^А- E-24)
Здесь 2 является аналогом Г.
Ядро этого уравнения имеет линейную, а не логарифмическую расходимость.
Если вместо 2 в однородное уравнение подставить его значение из этого же
уравнения, то получится уравнение, которое должно содержать все решения
самого однородного уравнения. Тогда мы будем иметь
Q = —
Однако если проделать вспомогательные интеграции в этом уравнении, это при-
недет к расходимости ядра; для этого уравнения существует только тривиаль-
XIV. ТРАКТОВКА КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ БЕЗ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 389
ное решение, а уравнение E.24) вовсе не имеет решений. Приведенные сообра-
соображения не исключают полностью возможность решения полного уравнения, так
как приближение, используемое для вывода уравнения E.24), зависит от наличия
его решения. Однако ясно, что если решение и существует, то требуется более
эффективный метод для его нахождения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ПЕРСПЕКТИВЫ
Мезонпые теории дают возможность классифицировать тины уравнений,
которые могут быть разрешимы в смысле Фредгольма, разрешимы, но неогра-
ничены, и неразрешимы в зависимости от того, будет ли ядро для боль-
больших k2 вести себя как (fe-)-5, (ft2), (k°)~~'2+i (8 > 0); эти категории
подобны классам, которые получаются в теории возмущений: тривиально ренор-
мируемые, нетривиально ренормируемые и нереиормкруемые, причем эта класси-
классификация может быть расширена для более сложных типов теории, общая клас-
классификация которых недавно обсуждалась в работах Саката и др. [8, 9]. Однако
нужно указать, что такая классификация не является окончательной, так как
если ядро, которое в B.27) разложено в ряд, представить в замкнутой форме,
то оно может попасть в другой класс ]). Окончательный ответ на этот вопрос
можно дать только после получения замкнутой формулы. Например, электроди-
электродинамика в этой форме может быть разрешима в смысле Фредгольма и иметь
Z~1=^=0, в то время как вообще она может быть неразрешима. Главная труд-
трудность лежит в разложении, стланном с перенормировкой, так как приближение,
в котором полагается rO = fGi. законно только для больших импульсов, причем
функциональная производная может заменяться в некоторых случаях частной
производной, которая, хотя и не является систематически применяемым мето-
методом, дает результаты, согласующиеся с решениями, найденными выше. Мы
выбрали первый член в выражении B.27). Однако можно было бы выбрать
любой другой член и получить решение, ведущее себя как квадрат импульса
в степени, кратной а, для малых а и больших импульсов (несмотря на допол-
дополнительные степени а, появляющиеся впереди ядра, которые компенсируются
большей степенью расходимости ядра). По аналогии можно сказать, что вклад
в собственную энергию электрона от каждого из этих ядер будет порядка
единицы, и если такой способ вычисления дает сходящийся результат, то эту
сходимость нельзя отнести за счет малости а. Тогда у пас не будет критерия
сходимости.
Автор благодарен Швингеру, а также Опненгеймеру, Пайсу и Гольдштейпу
за советы и указания.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Мы дадим здесь полное исследование приближенного интегрального уран-
нения. Будем рассматривать уравнение
) — * — 4pJ (й*
Возьмем однородное уравнение и положим (k2-\-m2)~lf—f-s,
(/¦ + *•) ? = Л/Jjl&**. (П.2,
Применим преобразование типа C, 4):
') Это замечание справедливо даже, сели ряд пе сходится; это верпо для произво-
производящей функции при условии, что ряд является асимптотическим. — Прим. авт.
390 с. эдвардс
Умножаем на р. Полагая р = х и дифференцируя дважды по х, мы получим
исходное уравнение
[*'(* + !) ?(¦*)]" = — Х<?(*). (П.5)
Теперь вернемся к /. Тогда получим
или
*(дг+1)/"+2(*+1)/' + А/=0. (П.7)
Заметим, что в процессе дифференцирования вводятся произвольные постоянные,
так что решение (П.7) содержит также решения уравнения
«> _ л _|_ - — — f W^
где А и В произвольные постоянные.
Уравнение (П.7) имеет характеристическое уравнение на бесконечности
pfr—1)-}-л = 0, A1.9)
которое было уже получено ранее. Такие функции нельзя использовать для
построения полного ряда в интервале, содержащем бесконечно удаленную точку,
и поэтому А = О, т. е. Z-1 = 0. В начале координат индексы равны 0 или — 1,
что можно было ожидать вследствие присутствия коэффициента В в уравнении
(П.8), поэтому решение, содержащее этот коэффициент, должно быть отбро-
отброшено. При лг-|-1 = О, т. е. в точке, где мы хотим использовать наше гранич-
граничное условие, решение имеет вид
оо оо оо
2<V*r» и 2«„0М*и+2*и*й,
11 О
причем последнее является единственно пригодным для этой задачи. Оно дано
в замкнутой форме Уиттекером и Ватсоном [10]. Удобной для нашей цели фор-
формой будет
1
z-?(l — zf(l + xz)-2dz.
о
Здесь р является корнем (П.9), т. е. |3я=!а/8тг, или в обозначениях C.9) и нор-
нормированном виде
1
J
- J [ 1 _ (e/8r.)J \ (»z + m*) /
о
что совпадает с полученным ранее менее обоснованным решением.
ЛИТЕРАТУРА
1. Sch winger J. S., Proc. Natl. Acad. Sd., 37, 452 A951).
2. Dyson F. J., Phys. Rev., 75, 1736 A949). (См. статью V настоящего сборника.)
3. Ward J. C, Phys. Rev., 78, 182 A950).
4. Wldder D. V., The Lap'ace Transform, Princeton, 1941.
5. Dyson P. J., Phys. Rev., 85, 631 A952).
6. Hurst С. А-, Proc. Camb. Phil. Soc, 48, 625 A952).
7. Matthews P. Т., Sal am A., Rev. Mod. Phys., 23, 311 A951).
8. Sakata, U m e z a w a, Karacfuchi, Prog. Theor. Phys., 7, 337 A952); U m c-
zawa H., Prog. Theor. Phys., 7, 551 A952).
У. Whit taker E. Т., Watson G. N.. A Course of Modem Analysis, New York, 1940.
10. Carle man Т., Sur les equations integrates singulieres, Uppsala, 1923; Тнчмарш Е.,
Введение в теорию интегралов Фурье, М., 1948.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Вступительная статья Ш
1. Вводные замечания Ш
2. Основные формы представлений квантовой электродинамики V
3. Решение уравнений квантовой электродинамики XIV
4. Замечания о методах Фейнмана XXIF
5. Поляризация вакуума и перенормировка заряда XXV
6. Полевая энергия электрона и перенормировка массы XXIX
7. Лэмбовский сдвиг XXXIV
8. Различные вакуумные эффекты XL
9. Релятивизация проблемы двух тел XLII
10. Квантовая мезодипамика XLJV
11. Квантовая теория гравитации XLV/
12. Регуляризация XLVIИ
Приложение. Сингулярные функции LII
I. Дираковская 8-функция; разрывная функция 0; знаковая функ-
функция е; оператор упорядочения Р L1I
П. Решения однородного клейновского уравнения LIH
Ш. Решения неоднородного клейповского уравнения LV
IV. Каузальные функции LVH
V. Сингулярные функции волнового даламберовского уравнения . . LIX
VI. Сингулярные функции дираковского уравнения LX1
Заключение LX II
Литература LXIII
I. Релятивистски инвгриЕнтнгя формулировка квгнтовой теории волновых
полей (С. Тсмонага) 1
1. Формализм обычной квантовой теории волновых полей 1
2. Четырехмерная форма перестановочных соотношений 2
3. Обобщение уравнения Шредипгера 4
4. Обобщенная амплитуда вероятности 8
5. Обобщенный функциопал преобразования 9
6. Заключительные замечания 10
Литература И
И. Квгнтоеея электрсдиннмика (Ю. Швин-гер) Y2
Часть 1. Ковариактпая формулировка 12
Введение 13
1. Ковариантпое рассмотрение в гейзенберговском представлении .... 15
2. Представление взаимодействия 24
3. Ковзриаитпое исключение продольного поля 31
4. Иивариаптпый оператор столкновения 37
Часть JJ. Поляризация вакуума и собственная энергия 40
1. Определение вакуума 41
. 2. Поляризация вакуума 49
3. Собственная эпергия электрона 57
Приложение 73
Часть IJJ. Электромагнитные свойства электрона. Радиационные поправки
к формулам рассеяния 78
1. Поправки второго порядка к оператору тока 79
2. Радиационные поправки к формулам для рассеяния электронов .... 94
Приложение 10.4
Часть IV. Теория квантованных полей 115
1. Введение 116
2. Квантовая динамика локализуемых полей 117
3. Инверсия времени 133
Литература 137
392 ОГЛАВЛЕНИЕ
HI. Теория позитронов (Р. Фейнман) 138
1. Введение 138
2. Рассмотрение уравнения Шредиягера с помощью функции Грина . . . 140
3. Рассмотрение уравнения Дирака 143
4. Случай нескольких зарядов 149
5. Вакуумные проблемы 151
6. Импульсное представление 152
Приложение 155
Литература 160-
IV. Пространственно-временная трактовка квантовой электродинамики
(Р. Фейнман) 161
1. Сравнение с гамильтоновым методом 164
2. Взаимодействие между зарядами 165
3. Проблема собственной энергии 169
4. Рассмотрение в импульсном пространстве 171
5. Сходимость выражений, описывающих процессы с виртуальными
квантами 174
6. Радиационные поправки к формулам рассеяния 175
7. Проблема поляризации вакуума 179
8. Продольные волны 183-
9. Уравнение Клейна — Гордона 185
10. Применения к мезонным теориям 187
Приложение 191
A. Собственная энергия 19.*
Б. Поправки к формулам для рассеяния 196
B. Поляризация вакуума 197
Г. Более сложные задачи 199
Литература 204
V. S-матрица в квантовой электродинамике (Ф. Дайсон) 205
1. Введение 205
2. Теория Фейнмана как теория S-матрицы 206
3. S-матрица в импульсном пространстве 211
4. Дальнейшее преобразование S-матрицы 214
5. Исследование расходимостей S-матрицы 218
6. Выделение расходимостей в S-матрице 223
7. Устранение расходимостей из S-матрицы 227
8. Сводка результатов 234
9. Обсуждение дальнейших перспектив 237
Литература 238
VI. О значении каузальной функции Da в квантовой теории поля (М. Ф :рц) 239
Введение 239
Добавление автора 244
Литература 244
VII. Вычисление матрицы столкновений {Д. Вик) 245
1. Введение 24 >
2. Алгебраический анализ 246
3. Физические применения 250
4. Продольные волны 252
Литература 253
VIII. О калибровочной инвариантности и поляризации вакуума (Ю. Шшнгер) 254
1. Введение 254
2. Общая теория 256
3. Постоянные поля 261
4. Поля плоских воля 266
5. у-распад нейтральных мезонов 269
6. Теория возмущений 272
Приложение А 278
Приложение Б 281
Литература 283>
ОГЛАВЛЕНИЕ 393
IX. Электромагнитный сдвиг атомных уровней. I. Сверхтонкая структура
(Р. Карплус и А. Клейн) .... 284
1. Введение 284
2. Предварительное рассмотрение 285
А. Оператор массы; функции Грина 285
Б. Сверхтонкая структура 287
3. Оператор массы . 280
4. Составляющая первого порядка 296
5. Члены второго порядка 301
6. Поляризация вакуума 303
7. Выводы 304
Литература 304
X. Электромагнитный сдвиг атомных уровней. Н. Лэмбовский сдвиг (Р. Кар-
Карплус, А. Клейн и Ю. Шаингер) 305
1. Введение 305
2. Новый вывод выражения первого порядка для лэмбовского сдвига . . 306
3. Разложение оператора массы 315
4. Определение М' 318
5. Определение Мо 322
6. Поляризация вакуума 324
7. Сводка результатов 324
Приложение 326
Литература 326
XI. Перенормировка мезонных теорий (П. Мэттьюс и А. Салам) 327
Литература 333
XII. Релятивистское уравнение для связанных состояний (Е. Сальпетер
и Г. Бете) 334
1. Введение 334
2. Вывод уравнений 335
3. Дальнейшее исследование полученного уравнения 339
4. Скалярные мезоны. Предельный нерелятивистский случай 342
5. Строгое решение нерелятивистского уравнения 344
6. Обсуждение результатов 348
Приложение. Сводка уравнений, выведенных в разделах 2 и 3 351
Литература 351
XIII. Массовые поправки к тонкой структуре водородоподобных атомов
(?. Сальпетер) 352
1. Введение 352
2. Мгновенное взаимодействие и теория возмущений для четырехмерного
уравнения 353
А. Мгновенное взаимодействие 353
Б. Теория возмущений 357
3. Мгновенное кулоновское взаимодействие 358
4. Поправки, связанные с поперечными фотонами 362
5. Трехмерное рассмотрение с помощью теории возмущений 3i>5
6. Четырехмерное рассмотрение „поперечных" членов 357
А. „Главный член" 3fi8
Б. „Поперечный двухфотонпый" члея 370
7. Обобщение па сложные ядра 372
Приложение 375
Литература 377
XIV. Трактовка квантовой электродинамики без теории возмущений (С. Эд-
Эдварде) 378
1. Введение 378
2. Вывод уравнения 379
3. Решение уравнения 381
4. Анализ оператора ТЧ°) 384
5. Применение к мезониой теории 385
A. Нелинейное скалярное поле 385
Б. Псевдоскалярная мезонпая теория с псевдоскалярной связью . . . 386
B. Псевдоскалярные мезоны, градиентная связь 388
Заключение и перспективы 389
Приложение 389
Литература 390
Сборник
НОВЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ
КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Редактор К. П. Гуров
Технический редактор Б. И. Корнилов
Корректор А. Ф. Рыбалъченко
Переплет художника М. М. Малкина
Сдано в производство S/VH 1953 г.
Подписано к печати 19/ХП 1953 г.
Т-09064. Бумага 70х L08y1B=14,4 бум. л.
39,4 печ. л. Уч.-издат. л. 45,6.
Изд. № 2/1383. Цена 33 р. 90 к. Зак. 573.
Издательство иностранной литературы,
Москва, Ново-Алексееискан, 52,
4-я типография им. Евг. Соколовой
Главиздата Союзполиграфпрома
Министерства культуры СССР.
Ленинград, Измайловский пр., 29.