Author: Бочаров А.В. Вербовецкий А.М. Виноградов А.М.
Tags: дифференциальная геометрия алгебраические и аналитические методы в геометрии геометрия топология математическая физика
ISBN: 5-88688-019-4
Year: 1997
Text
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
Институт Диффеотопии
СИММЕТРИИ
и законы сохранения
уравнений математической физики
Под редакцией
А. М. Виноградова и И. С. Красильщика
Москва „Факториал" 1997
ББК 22.151
С37
УДК 514.7
С37 Симметрии и законы сохранения уравнений математиче-
ской физики/А. В. Бочаров, А. М. Вербовецкий, А. М. Ви-
ноградов и др./Под ред. А. М. Виноградова и И. С. Кра-
сильщика. — М.: Изд-во «Факториал», 1997. — 464 с. —
ISBN 5-88688-019-4.
В этой книге описывается геометрическая теория дифференциальных урав-
нений. На многочисленных примерах авторы объясняют, что такое симметрии
дифференциальных уравнении и законы сохранения. Книга предназначена как
для математикиков-теоретиков, так и для специалистов в различных приклад-
ных разделах математики, механики и физики.
Библиогр. 157.
Рфи
Издание осуществлено при финансовой под-
держке Российского фонда фундаментальных
исследований. Проект № 95-01-02825.
Научное издание
Симметрии и законы сохранения уравнений математи-
ческой физики.
Формат 60 х 90/16. Усл. печ. л. 29. Бумага офсетная № 1. Гарнитура литературная.
Подписано к печати 15.06.1997. Тираж 1000 экз. Заказ №1846
Издательство «Факториал», 117449, Москва, а/я 331; ЛР № 063537 от 22.07.1994.
Орнгинал-макет подготовлен с использованием макропакета AP-TfeX.
Отпечатано во 2-й типографии издательства «Наука». 121099, Москва Г-99, Шубин-
ский пер., 6.
ISBN 5-88688-019-4
© И. С. Красильщик, 1997.
© Факториал, оформление.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................................... 7
Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения............. 13
§ 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения с точки зрения геоме-
трии .............................................................. 13
§ 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения произвольного поряд-
ка .............................................................. 19
§ 3. Симметрии распределений .................................... 24
§ 4. Некоторые приложения теории симметрий к интегрированию распре-
делений ......................................................... 33
4.1. Распределения и характеристические симметрии.......... 33
4.2. Симметрии и динамические системы ..................... 35
4.3. Симметрии и нехарактеристические симметрии............ 37
4.4. Итерирование уравнений в квадратурах ................. 38
§ 5. Производящие функции........................................ 49
§ 6. Пример использования симметрий для описания уравнений, разреши-
мых в квадратурах ............................................... 55
Глава 2. Уравнения первого порядка................................... 59
§ 1. Контактные преобразования .................................. 59
1.1. Контактные элементы и распределение Картана .......... 59
1.2. Контактные преобразования ............................ 66
1.3. Уравнение Клеро и его интегралы....................... 73
1.4. Контактные многообразия в механике ................... 75
§ 2. Инфинитезимальные контактные преобразования и характеристиче-
ские поля ....................................................... 77
2.1. Инфинитезимальные контактные преобразования........... 77
2.2. Инфинитизимальные симметрии уравнений ................ 84
2.3. Характеристические векторные поля и интегрирование уравне-
ний первого порядка........................................ 85
2.4. Симметрии н первые интегралы.......................... 91
§ 3. Полный интеграл дифференциального уравнения первого порядка . . 93
3.1. Полный интеграл и его свойства ....................... 93
3.2. Построение полного интеграла при помощи алгебры симме-
трий ...................................................... 94
3.3. Инвариантное определение полноТо интеграла ........... 97
3.4. Метод Лагранжа — Шарли............................... 100
Глава 3. Теория классических симметрий ............................. 105
§ 1. Уравнения и распределение Картаиа ......................... 105
§ 2. Многообразие джетов и распределение Картана................. ПО
2.1. Геометрическое определение пространства джетов........ НО
2.2. Распределение Картана................................ 113
2.3. Интегральные многообразия распределения Картана..... 117
§ 3. Преобразования Ли ......................................... 123
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
3.1. Конечные преобразования Ли .......................... 124
3.2. Поля Ли.............................................. 131
§ 4. Классические симметрии уравнений............................ 135
4.1. Определяющие уравнения .............................. 135
4.2. Инвариантные решения и размножение решений........... 138
§ 5. Примеры вычисления симметрий................................ 141
5.1. Уравнение Бюргерса................................... 141
5.2. Уравнение Кортевега — де Фриза....................... 144
5.3. Уравнение Хохлова — Заболотской...................... 144
5.3.1. «Физически осмысленные» симметрии ................... 145
5.3.2. Инвариантные решения................................. 147
5.4. Уравнения Кадомцева — Погуце......................... 148
5.4.1. Вычисление симметрий................................. 149
5.4.2. Инвариантные решения................................. 151
5.5. Размножение решений ................................. 154
§ 6. Факторизация уравнения по симметриям....................... 156
6.1. Уравнения второго порядка от двух независисмых перемен-
ных ...................................................... 159
§ 7. Внешние и внутренние симметрии............................. 167
Глава 4. Высшие симметрии........................................... 176
§ 1. Пространства бесконечных джетов и основные дифференциаль-
но-геометрические структуры на них .............................. 177
1.1. Многообразия J°°(ir) ................................ 177
1.2. Гладкие функции на J°°(ir) .......................... 178
1.3. Продолжения дифференциальных операторов.............. 183
1.4. Векторные поля на У°°(?г) ........................... 186
1.5. Дифференциальные формы на J°°(ir).................... 191
1.6. Горизонтальный комплекс де Рама ..................... 193
1.7. Распределения на J°°(ir) и их автоморфизмы........... 194
§ 2. Распределение Картана на J°°(ir) и его инфинитезимальные автомор-
физмы ........................................................... 197
2.1. Распределение Картана................................ 197
2.2. Интегральные многообразия ........................... 200
2.3. Вычислительный эксперимент.......................... 202
2.4. Эволюционные дифференцирования....................... 203
2.5. Скобки Якоби......................................... 209
2.6. Сравнение с полями Ли................................ 210
2.7. Линеаризации......................................... 213
§ 3. Бесконечно продолженные уравнения и теория высших симметрий .. 218
3.1. Продолжения.......................................... 218
3.2. Бесконечно продолженные уравнения ................... 220
3.3. Высшие симметрии .................................... 224
3.4. Внешние и внутренние высшие симметрии ............... 227
3.5. Определяющие уравнения для высших симметрий.......... 229
§ 4. Примеры вычислений ........................................ 231
4.1. Подготовительные замечания .......................... 232
4.2. Уравнения Бюргерса и теплопроводности ............... 236
4.3. Уравнения пластичности .............................. 246
4.4. Преобразование симметрий при заменах переменных..... 249
4.5. Обыкновенные дифференциальные уравнения.............. 251
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Глава 5. Законы сохранения .......................................... 258
§ 1. Элементарное понятие о законах сохранения .................. 258
§ 2. С-спектральная последовательность .......................... 261
2.1. Определение С-спектральной последовательности ...... 261
2.2. Член Ео............................................... 262
2.3. Член Е{: подготовительные результаты ................. 264
2.4. Обобщения ............................................ 269
2.5. Член Е^. случай J°°(ir)............................... 270
2.6. Член общий случай..................................... 275
2.7. Законы сохранения и производящие функции.............. 280
2.8. Уравнения Эйлера — Лагранжа .......................... 281
2.9. Гамильтонов формализм на ............................. 282
§ 3. Вычисление законов сохранения............................... 287
3.1. Общие сведения ....................................... 287
3.2. Примеры............................................... 289
§ 4. Симметрии и законы сохранения............................... 298
4.1. Теорема Нётер ........................................ 298
4.2. Гамильтоновы уравнения................................ 302
Глава 6. Нелокальные симметрии....................................... 308
§ 1. Накрытия ................................................... 308
1.1. Первые примеры........................................ 308
1.2. Определение накрытия ................................. 312
1.3. Накрытия в категории дифференциальных уравнений...... 313
1.4. Примеры накрытий ..................................... 314
1.5. Координаты............................................ 315
1.6. Основные понятия теории накрытий ..................... 316
1.7. Накрытия и связности.................................. 321
1.8. Горизонтальный комплекс де Рама накрытия и нелокальные за-
коны сохранения........................................... 322
1.9. Накрывающие уравнения................................. 324
1.10. Горизонтальные когомологии де Рама и накрытия ........ 326
1.11. Преобразования Беклунда .............................. 329
§ 2. Примеры вычислений*, накрытия............................... 331
2.1. Накрытия уравнения Бюргерса .......................... 332
2.2. Накрытия уравнения Кортевега — де Фриза............... 336
2.3. Накрытия уравнения ut = —(В(и)их)..................... 340
2.4. Накрытия уравнения /-Гордон........................... 341
2.5. Накрытия уравнения ихх + = <р(и) .................... 342
§ 3. Нелокальные симметрии....................................... 345
3.1. Определение нелокальной симметрии .................... 345
3.2. Как искать нелокальные симметрии?..................... 346
§ 4. Примеры вычислений: нелокальные симметрии уравнения Бюргер-
са .............................................................. 349
§ 5. Задача реконструкции симметрий ............................. 358
5.1. Универсальное абелево накрытие........................ 358
5.2. Симметрии в универсальном абелевом накрытии........... 359
5.3. Нелокальные симметрии уравнений, допускающих оператор ре-
курсии ................................................... 360
5.4. Пример: нелокальные симметрии уравнения Кортевега —
де Фриза.................................................. 360
5.5. Мастер-симметрия...................................... 362
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
5.6. Примеры................................................ 363
5.7. Общая проблема реконструкции нелокальных симметрий . . . 365
5.8. Конструкция Кисо....................................... 366
5.9. Конструкция накрытия rs ............................... 367
5.10. Универсальное свойство симметрии ST.................... 368
§ 6. Симметрии интегро-дифференциальных уравнений................. 371
6.1. Преобразование интегро-дифференциальных уравнений в гра-
нично-дифференциальную форму .............................. 371
6.2. Пространства (к, <7)-джетов............................ 378
6.3. Гранично-дифференциальные операторы.................... 383
6.4. Распределение Картана на J°°(ir; Q) ................... 388
6.5. (/-инвариантные симметрии распределения Картана
HaJ°°(ir;(?)............................................... 395
6.6. Высшие симметрии гранично-дифференциальных уравне-
ний ....................................................... 400
6.7. Примеры................................................ 403
Приложение. От симметрий дифференциальных уравнений к вторичному
(«квантованному») дифференциальному исчислению....................... 418
§ 1. От симметрий к концепциям ................................... 419
§ 2. «Смутное время» квантовой теории поля........................ 422
§ 3. «Лингвинизация» принципа соответствия Бора .................. 423
§ 4. Дифференциальные уравнения суть диффеотопы .................. 426
§ 5. Вторичные («квантованные») функции .......................... 429
§ 6. Вторичные («квантованные») скалярные дифференциальные операто-
ры высших порядков................................................ 432
§ 7. Вторичные («квантованные») дифференциальные формы............ 435
§ 8. Квантование или распространение особенностей? Гейзенберг или
Шрёдингер? ....................................................... 438
§ 9. Геометрические особенности решений уравнений в частных производ-
ных .............................................................. 441
§ 10. Волновая и геометрическая оптика и другие примеры ........... 446
Список литературы..................................................... 451
Предметный указатель.................................................. 458
ПРЕДИСЛОВИЕ
Классическая теория симметрий общих систем дифференциаль-
ных уравнений в частных производных была создана Софусом Ли
более ста лет тому назад. Концепции группы и алгебры Ли, столь
фундаментальные для современной математики, были обнаружены
С. Ли именно в ее контексте, хотя многие современные специалис-
ты по теории групп и алгебр Ли, даже и не подозревают об этом.
В то время как основополагающие идеи и результаты С. Ли, ка-
сающиеся групп преобразований, были впоследствии разработаны
в многочисленных работах, дифференциальные уравнения остались
практически в стороне от этого развития. Первые после работ Ли
систематические попытки применить теорию Ли к механике сплош-
ной среды были сделаны Л. В. Овсянниковым и его сотрудниками
в конце 50 и 60-х годах (см. [54]).
Новая, нелиевская эпоха в теории симметрий дифференциаль-
ных уравнений в частных производных началась с открытия «впол-
не интегрируемых» систем и последующего развития метода обрат-
ной задачи рассеяния [1, 31, 53, 104]. Как хорошо известно, каж-
дое вполне интегрируемое уравнение порождает целую иерархию,
состоящую из его «высших аналогов». Изучение этих аналогов поз-
волило интерпретировать их как симметрии некоторого уравнения.
Однако этот подход никак не вписывается в рамки лиевской тео-
рии. Развитая к этому моменту геометрия пространств джетов бес-
конечного порядка позволила разработать концепцию «высших сим-
метрий».
Нестрого говоря, классические, т. е. лиевские симметрии опи-
сываются аналитически в терминах зависимых и независимых пе-
ременных и их производных первого порядка, тогда как нелиевские
симметрии могут зависеть от производных сколь угодно высокого
порядка. Более существенно, однако, то, что классические инфини-
тезимальные симметрии являются векторными полями на подмного-
образии соответствующего пространства джетов, определяемом ис-
ходным уравнением, в то время как «высшие», т. е. неклассические
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
симметрии являются классами когомологий некоторого естествен-
ного дифференциального комплекса, определенного на так называе-
мом бесконечном продолжении исходного уравнения. По этой при-
чине высшая инфинитезимальная симметрия заданного уравнения,
вообще говоря, не порождает однопараметрической группы (локаль-
ных) диффеоморфизмов на пространстве его решений. Иными сло-
вами, традиционная связь между группами и алгебрами Ли больше
не имеет места в рассматриваемом контексте. Однако она продол-
жает существовать «виртуально» и материализуется каждый раз,
когда в задаче возникают надлежащие дополнительные условия (на-
пример, при рассмотрении краевых задач). Этот неклассический,
когомологический аспект оказывается гораздо более существенным
при построении теории законов сохранения. Заметим, что a’priori
было трудно даже предположить, что теория сохраняющихся вели-
чин (интегралов, токов и т. п.), допускаемых заданной системой
дифференциальных уравнений в частных производных, может опи-
раться на гомологическую алгебру и использовать в качестве ос-
новного аппарата теорию спектральных последовательностей и ок-
ружающую ее гомологическую алгебру.
Основы теории высших симметрий и законов сохранения бы-
ли развиты одним из нас в 1975-77 гг. [23, 15, 18]. В последу-
ющие годы было осуществлено ее вычислительное тестирование,
в результате которого были установлены достаточно эффективные
методы вычисления высших симметрий и законов сохранения для
конкретных систем дифференциальных уравнений в частных произ-
водных [22, 141].
Кроме того, были разработаны наиболее важные теоретические
детали [19], позволившие обнаружить удивительный параллелизм
между исчислением векторных полей и дифференциальных форм
на гладких многообразиях, с одной стороны, и высших симметрий
и законов сохранения, с другой. Это позволило предположить, что
такой параллелизм имеет гораздо более широкие рамки и может
быть распространен на все естественные понятия дифференциаль-
ного исчисления. Исследование этой гипотезы привело к открытию
вторичного дифференциального исчисления, являющегося, с одной
стороны, мощным инструментом исследования общих систем диф-
ференциальных уравнений в частных производных, а с другой —
представляющегося тем естественным языком, на котором совре-
менная квантовая теория поля может быть построена на непертур-
бативной основе.
Высшие симметрии и законы сохранения являются «локальны-
ми» величинами, т. е. зависящими от неизвестных функций (в фи-
ПРЕДИСЛОВИЕ
9
зике — «полей») и их производных сколь угодно высокого поряд-
ка. Однако в этих рамках не оказывается места для таких важ-
ных понятий, как, например, преобразование Беклунда и операто-
ры рекурсии, по той причине, что в большинстве практически ин-
тересных случаев они требуют привлечения «нелокальных» вели-
чин, т. е. величин типа интегралов от локальных объектов. Кро-
ме того, разработка теории симметрий и законов сохранения для
интегро-дифференциальных уравнений, т. е. уравнений, в которых
нелокальные величины фигурируют с самого начала, представляет
независимый интерес. Желаемое расширение теории нелокальными
величинами естественным образом достигается после введения по-
нятия накрытия (точнее, накрывающей системы дифференциальных
уравнений) [113].
Основы теории высших симметрий *) и соответствующие вычи-
слительные алгоритмы в настоящее время разработаны достаточно
хорошо. Что касается последних, то здесь следует различать алго-
ритмические методы, ориентированные на компьютерные приложе-
ния (см., например, сборник [141]), и аналитическую технику иссле-
дования различных модельных систем. Здесь нельзя не упомянуть
работы «уфимской школы» ([50, 61, 64, 139] и многие другие). Ре-
зультаты анализа конкретных уравнений и систем разбросаны по
необозримому множеству публикаций. Наиболее представительную
(но, к сожалению, постоянно устаревающую) сводку можно найти
в энциклопедии [91, 92].
Сейчас существует немало книг, посвященных геометрическим
аспектам дифференциальных уравнений и, в частности, их симме-
триям (см. [86, 78, 157, 33, 54, 55, 140]). Наиболее последователь-
ное изложение геометрических и алгебраических основ теории сим-
метрий и законов сохранения нелинейных дифференциальных урав-
нений содержится в монографиях [24, 111] и работе [148], однако
отнести их к категории «user-friendly» при всем желании трудно.
Частично недостатки этих текстов компенсируются статьей [147],
а также работами [112, 113] по нелокальной теории. Но и они не
компенсировали существующие пробелы в полной мере, к тому же
оставаясь малодоступными для русскоязычных читателей.
Поэтому идея написания более популярного, и в то же вре-
мя математически строгого текста по симметриям и законам со-
хранения возникла еще в 80-е годы, сразу после выхода в свет
книг [24, 111]. Тогда же эта идея и была частично реализована и
были написаны первые версии некоторых глав той книги, которую
*) В современной литературе используется также термин «обобщенные симме-
трии» (например, в [55]) и «преобразования Ли — Беклунда» (например, в [33]).
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вы держите сейчас в руках. Так, С. В. Дужиным был написан текст
по симметриям обыкновенных уравнений и черновой вариант главы
о классических симметриях, А. В. Бочаров написал главу об уравне-
ниях первого порядка, а И. С. Красильщик — о высших симметриях.
В силу целого ряда «объективно-исторических причин» этот проект
не мог тогда реализоваться, и мы смогли вернуться к нему только
через десять лет.
За это время изменилось многое, включая наши взгляды на
некоторые аспекты алгебро-геометрических основ теории симме-
трий. В связи с этим часть старых текстов была значительно пе-
реработана: основываясь на тексте А. В. Бочарова, Ю. Н. Торхов
написал окончательный вариант гл. 2, А. В. Самохину принадлежит
третья глава в ее нынешнем виде, а И. С. Красильщик подготовил
обновленный текст гл. 4. Мы посчитали, что книга будет непол-
ной, если не включить в нее материал о законах сохранения, и
соответствующая глава была написана А. М. Вербовецким. Нако-
нец, гл. 6 была написана Н. Г. Хорьковой и В. Н. Четвериковым
(ему принадлежит параграф, посвященный симметриям интегро-
дифференциальных уравнений). Мы также дополнили основной ма-
териал книги приложением, содержащим сокращенный и адапти-
рованный к общему контексту перевод статьи А. М. Виноградова
о вторичном дифференциальном исчислении и открывающим более
широкую перспективу геометрической теории уравнений в частных
производных.
В этой книге излагаются основы теории высших и нелокальных
симметрий и законов сохранения для общих систем дифференци-
альных и интегро-дифференциальных уравнений в частных произ-
водных. Сюжет книги разворачивается вокруг следующих тем.
Что такое высшие и нелокальные симметрии и законы сохра-
нения, допускаемые заданной системой дифференциальных уравне-
ний?
Каковы методы их эффективного вычисления?
Как можно использовать уже найденные симметрии и законы
сохранения.
Что касается последнего пункта, то мы вынуждены ограничить-
ся лишь самыми простыми и непосредственными приложениями по-
строенной теории. Более подробное их изложение потребовало бы
написания еще пары томов, которые мы надеемся написать со вре-
менем.
В книге мы постарались учесть интересы двух групп наших воз-
можных читателей: во-первых, тех, кто более интересуется теорети-
ПРЕДИСЛОВИЕ
11
ческими аспектами, и, во-вторых, тех, кого прежде всего интересует
прикладная сторона. Последним, а среди них мы видим специали-
стов по математической и теоретической физике, теории поля, меха-
нике сплошных сред, рекомендуется при чтении пропускать доказа-
тельства и обсуждение концептуальных тонкостей и непосредствен-
но обращаться к описанию тех конкретных алгоритмов и методов,
которые требуются при практических вычислениях. Мы надеемся,
что они изложены достаточно ясно. С другой стороны, мы не соч-
ли возможным сделать изложение более популярным, прибегнув к
стандартному в математической физике языку локальных коорди-
нат. Для понимания концептуальной стороны развиваемой теории,
так же как и для эффективного использования соответствующих ал-
горитмов, это было бы смертельно. Мы можем констатировать, что
очень многие работы, написанные по тематике этой книги, являют-
ся, по существу, скорее борьбой с координатами, чем с реальными
проблемами.
Мы надеемся, что, прочтя эту книгу, Вы не только по-иному
сможете взглянуть на различные проблемы, относящиеся к нели-
нейным дифференциальным уравнениям, но и, взяв в руки карандаш
и бумагу (или подойдя к компьютеру и обратившись к одному из до-
ступных пакетов для символьных вычислений), найти что-то новое
и интересное в Ваших собственных задачах. Формально говоря, что-
бы заняться поиском симметрий и законов сохранения, достаточно
знания математики в рамках стандартного вузовского курса и вы-
числительных формул, содержащихся в книге. Для настоящего же
понимания необходимы более углубленные сведения из
геометрии гладких многообразий и векторных расслоений над
ними [3, 51, 56, 32, 66, 67],
симплектической геометрии [25, 5],
теории групп и алгебр Ли [11, 57, 63],
коммутативной алгебры [6],
гомологической алгебры [9, 27, 29, 46, 126].
Кроме того, из «идеологических» соображений мы рекомендуем
также получить хотя бы предварительные представления об алгеб-
раической геометрии [74] и теории категорий [27, 46].
Авторы этой книги — многолетние участники семинара по
алгебро-геометрической теории нелинейных дифференциальных
уравнений, работающего на механико-математическом факультете
МГУ с конца 60-х годов. От лица всего авторского коллектива
мы хотели бы поблагодарить других участников семинара, обще-
ние с которыми было чрезвычайно полезно для формирования об-
12
ПРЕДИСЛОВИЕ
щей концепции книги и прояснения некоторых частных вопросов.
В особенности это относится к М. М. Виноградову, Д. М. Гесслеру,
В. В. Лычагину, В. Е. Шемарулину и В. А. Юмагужину.
Наша приятная обязанность — поблагодарить также Россий-
ский фонд фундаментальных исследований, без финансовой под-
держки которого эта книга не увидела бы свет на русском языке.
При написании книги работа А. М. Вербовецкого, И. С. Красильщи-
ка и А. В. Самохина (грант № 97-01-00462), а также Ю. Н. Торхо-
ва (грант № 96-01-01360), частично поддерживалась Российским
фондом фундаментальных исследований.
В заключение отметим, что эта книга может рассматриваться
как введение в серию монографий, посвященных изложению вто-
ричного дифференциального исчисления, осуществляемой по про-
грамме Института Диффеотопии Российской Академии Естествен-
ных Наук.
А. М. Виноградов
И. С. Красильщик
ГЛАВА 1
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Среди всех дифференциальных уравнений два класса — обык-
новенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных про-
изводных первого порядка с одной неизвестной функцией — выделя-
ются целым рядом свойств, облегчающих их изучение и делающих
их теорию более доступной с точки зрения приложений. В этой
главе мы рассмотрим геометрический подход к обыкновенным диф-
ференциальным уравнениям. Здесь, уже в простейших ситуациях,
мы введем понятия, которые будут широко использоваться на про-
тяжении всей книги. Мы покажем также, что геометрическая тео-
рия симметрий позволяет понять и обобщить стандартные приемы
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и по-
лучить новые результаты в этом направлении.
§ 1. Обыкновенные дифференциальные
уравнения с точки зрения геометрии
Хорошо известно (см., например, [4]), что обыкновенное диф'
ференциальное уравнение первого
порядка, разрешенное относитель-
но производной,
u=f(x,u) (1.1)
геометрически можно представ-
лять как векторное поле на пло-
скости (х,и). Для этого в каж-
дой точке (х0,и0) нужно рас-
смотреть вектор с координатами
(1, f (а:0, и0)), которому отвечает
оператор дифференцирования по
направлению этого вектора. Тра-
а э
ектории поля — 4- f(x0,u0) —
U £ U U
Рис. 1.1. Векторное поле X =
д д
= ——Ни-—, соответствующее
дх ди
дифференциальному уравнению и = и.
14
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
называются интегральными кривыми уравнения (1.1). Они пред-
ставляют собой графики решений рассматриваемого уравнения
(рис. 1.1).
Для того, чтобы интерпретировать таким образом уравнение
F(x, и,и') = О,
(1-2)
нужно разрешить его относительно производной и'. При этом воз-
никает следующее затруднение: некоторым значениям перемен-
ных х,и в силу уравнения (1.2) может соответствовать несколько,
или ни одного значения переменной и. Кроме того, в окрестности
9F
особой точки (т. е. точки, в которой 7—7 = 0, и поэтому теорема
ои
о неявной функции не применима) функция, выражающая и' че-
рез х и и, даже если она определена, может не быть гладкой.
Пример 1.1. Пусть
F(х, и, и') = и'2 4- и2 + х2 — 1.
Тогда и' = ±у/i -х2 — и2. Эта
функция определена в круге о:2 +
+ u2 1, причем в его внутренних
точках она принимает по два зна-
чения, а на границе круга ее про-
изводные обращаются в бесконеч-
ность (рис. 1.2).
Эти затруднения можно пре-
одолеть следующим образом. Рас-
смотрим пространство R3 с коор-
Рис. 1.2
динатами (х,у,р) и поверхность £, заданную соотношением
F(x,u,p) = Q. Всякому решению u = f(x) уравнения (1.2) отвечает
лежащая на этой поверхности кривая Lf, задаваемая уравнениями
«=7(®)> P = f'(x).
(1.3)
На этой кривой координата х может быть принята за параметр,
т. е. проекция этой кривой на ось х есть диффеоморфизм. Кроме
того, функции, выражающие координаты и и р через параметр х,
не произвольны: одна из них есть производная от другой. Поэтому
не всякая кривая в R3 может быть представлена в виде (1.3).
Так какр0=/'(а:0), то касательный вектор к кривой (1.3) в точке
$ 1. УРАВНЕНИЯ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ
15
а = (®ь, и0, р0) представляется в виде
+ (1-4)
ох ои ор
Поэтому этот вектор лежит в плоскости, заданной уравнением
(1.5)
т. е. в данной точке а он аннулирует 1-форму
u = du — pdx.
(1-6)
При этом очевидно, что линейная оболочка всевозможных векторов
вида (1.4) заметает всю плоскость (1.5).
Справедливо и обратное утверждение: всякая кривая в R3, яв-
ляющаяся интегральной кривой для 1-формы и (или, что то же са-
мое, для распределения С коразмерности 1, заданного формой и) и
диффеоморфно проектирующаяся на ось х, может быть представле-
на в виде (1.3).
Итак, геометрическая структура, которую нужно задать на про-
странстве R3 для того, чтобы в нем естественно выделялся класс
кривых, соответствующих решениям обыкновенных дифференци-
альных уравнений первого порядка, — это двумерное распределе-
ние С, заданное 1-формой (1.6) и называемое распределением
Картана.
При помощи этого распределения понятие решения дифферен-
циального уравнения переформулируется следующим образом: ре-
шение уравнения 8 с R3 — это интегральная кривая распределе-
ния С, лежащая на поверхности 8 и без особенностей проектирую-
щаяся на ось х.
Заметим, что 2-форма du = dx Л dp не может быть представ-
лена в виде 7 Л и, где 7 — некоторая 1-форма, и поэтому по тео-
реме Фробениуса (см., например, [66, 67]) распределение Картана
не интегрируемо. Следовательно, его максимальные интегральные
многообразия одномерны, а множество точек, в которых плоскости
распределения С касаются поверхности 8, является замкнутым ни-
где не плотным подмножеством 8. Точки этого множества назовем
особыми. Таким образом, множество неособых точек поверхности 8
открыто и всюду плотно.
Особые точки данного уравнения (1.2) можно найти из условия
колинеарности дифференциала dF и формы и в искомой точке. Это
условие можно записать в виде двух соотношений
dF
др
=о,
dF dF п
ta+₽a?=0'
16
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если точка а е 8 неособая, то пересечение касательной пло-
скости к поверхности 8 в точке а и плоскости Са распределения С
является некоторой прямой 1а, касающейся поверхности 8 в точке а.
Тем самым на 8 возникает поле направлений (одномерное распре-
деление) ai-»Za, которое мы будем обозначать через С£. Если неко-
торая кривая Г является интегральной для поля направлений С£, то
это эквивалентно тому, что Г является интегральной кривой рас-
пределения С и лежит на 8 (если выбросить из рассмотрения осо-
бые точки поверхности 8). Поэтому можно заключить, что решения
уравнения 8 — это интегральные кривые поля направлений С£, без
вырождения проектирующиеся на ось х.
Заметим, что, рассматривая произвольные интегральные кри-
вые распределения С£ как многозначные решения уравнения 8, мож-
но отказаться от условия невырожденности проекции на ось х.
Рис. 1.3. График поверхности
(За; - 2и)р =и, при р > —1/2.
Пример 1.2. Кри-
вая, заданная уравнениями
и3 — и + х = О,
Зи2р — р + 1 = О,
лежит на поверхности
(Зш — 2и) р — и
и является интегральной
для распределения Кар-
тана, но не имеет вида
(1.3). Следовательно, она
представляет собой мно-
гозначное решение урав-
нения (Зш — 2и)и' — и.
Пример 1.3. С геометрической точки зрения уравнение
является цилиндром 8 (рис. 1.4) в пространстве R3 переменных
(х, и, р), определяемым соотношением р2+и2 = 1. На этом цилиндре
можно ввести систему координат (х,<р), связанную с переменными
(и,р) соотношениями
u = siny>, p = cos^.
§ 1. УРАВНЕНИЯ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ
17
Тогда ограничение формы ш = du - р dx имеет вид
ш£ = cos d - х).
Распределение С касается цилиндра 8 в тех точках, где и>£ обраща-
ется в нуль. Очевидно, эти точки образуют пару прямых, которые
плоскостью р = 0 и которые
Рис. 1.4 можно рассматривать как осо-
бые решения и = ±1 данного
уравнения. Интегральные кривые распределения^, которые можно
найти из уравнения ш£ =0, сводящегося к уравнению d — х) = О,
являются винтовыми линиями
ф=х+с, сбй.
Все они проектируются на ось х без особенностей и представ-
ляют собой обычные решения уравнения 8. Выразив через и, мы
можем записать эти решения в явном виде:
и = sin(or + с).
В проекции на плоскость (х, и) решения рассматриваемого уравне-
ния заполняют полосу |u| 1 (рис. 1.5).
Особые решения (прямые и = ±1) являются огибающими сину-
соид.
Пример 1.4. Рассмотрим уравнение Клеро
du (du\
U Хdx yd®/’
где f — некоторая гладкая функция. Вид поверхности 8 = {и — хр =
= f (р)} зависит от конкретного выбора функции /. В качестве ко-
ординат на 8 можно взять переменные х,р. Форма ш в этих коор-
динатах имеет вид
ш£ = d(xp + f(p)) -pdx = (x + ftp)) dp.
2 Симметрии...
18
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Эта форма равна нулю в точках поверхности £, принадлежащих
кривой х = — Проекция этой кривой
на плоскость (ж, и) будет графиком осо-
бого решения уравнения Клеро. Для то-
го, чтобы указать его аналитический вид,
из уравнения х = —/'(р) нужно найти р
как функцию от х и затем подставить ее в
уравнение и - хр = f(p). Например, если
/(р) =р“, а <0, то
а
Отметим, что особое решение может быть
Рис- 1-6 многозначным (например, и = ±2^/х при
а — — 1, рис. 1.6).
Интегральные кривые распределения С£ на множестве £0 нахо-
дятся из уравнения ше =0 при условии, что х + f'(p) ^0.
Отсюда получаем, что dp = О,
р = с и и = сх + /(с), cgR.
Как и в примере 1.3, мы видим,
что особое решение является огиба-
ющей однопараметрического семей-
ства неособых решений.
Однако отметим, что кривая,
получаемая при формальном нахож-
дении огибающей, т. е. исключе-
нии р из системы уравнений
F(x,u,p) = 0,
dF(x,u,p) n (1.7)
др
может содержать также точки возврата и точки касания интеграль-
ных кривых*).
Рассмотрим, например, уравнение [60]
. (du V\3 а/1 (
(г-“Ц,+Ы} =“(.1+Ы) “>0-
*) Более подробно о нахождении огибающих см. [68, 58], об особых решениях
дифференциальных уравнений см. [65, 60, 2].
§ 2. УРАВНЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА
19
Нетрудно проверить, что решениями этого уравнения являются
функции, заданные соотношениями
(х-с)2/3 + (у-С)2/3 = а2/3,
а решения системы (1.7) имеют вид
х — и = ±а или. х — u = ±a/V2.
Это семейство кривых содержит как огибающие решений, так и точ-
ки возврата и точки касания интегральных кривых (рис. 1.7).
§ 2. Обыкновенные дифференциальные
уравнения произвольного порядка
Рассуждения, аналогичные тем, которые мы привели в § 1, поз-
воляют построить геометрическую теорию обыкновенных дифферен-
циальных уравнений любого порядка.
Уравнение
_/ du dku\ п
FI х, и, — ,..., — к | — О
\ dx dx )
можно рассматривать как гиперповерхность в (к 4- 2)-мерном про-
странстве R*+2 с координатами (х,и,рг,.. .,рк), заданную соотно-
шением F(x,u,pr,.. .,Рь) = 0.
Рассмотрим на R*+2 распределение размерности 2, задаваемое
набором 1-форм
— du Р} dx,
— dp^ p^ dx,
uk_i=dpk_l-pkdx.
При к = 1 это распределение совпадает с распределением, рассмо-
тренным нами в § 1, поэтому мы также будем называть его распре-
делением Картона и обозначать через С.
Заметим, что кривая в пространстве R* + 2 имеет вид графика
некоторой функции u = f(x) и ее производных
Lf = {u = f(x), р{ = f'(x),.. .,pk=fk(x)}
в том и только том случае, когда эта кривая без вырождения про-
ектируется на ось х и является интегральной кривой для распреде-
ления С (в § 1 мы доказали этот факт для к = 1).
2»
20
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В терминах распределения Картана С можно увидеть геометри-
ческую интерпретацию известного приема интегрирования обыкно-
венных дифференциальных уравнений, не содержащих явно незави-
симую переменную.
Пример 2.1 (см. также [55]). Рассмотрим уравнение 2-го
(du d2u\
и, д ] =0 или, иначе говоря, гиперповерх-
dx dx )
ность £, задаваемую в пространстве R4 уравнением
^(«,Pi,P2) = 0-
На эту гиперповерхность ограничим распределение, задаваемое
1-формами
= du — р^х, Wj = dpl — p2dx. (2-1)
Гиперповерхность £ и формы ш0, <л:1 (а значит, и распределение С)
инвариантны относительно преобразований параллельного перено-
са пространства R4 вдоль оси х, т. е. относительно преобразований
вида tc: (x,u,pl,p2)t-^(x + c,u,pl,p2), где с — некоторая постоян-
ная. Это позволяет профакторизовать рассматриваемое уравнение
по переменной х (точнее, по действию однопараметрической груп-
пы Т параллельных переносов tc), от которой уравнение не зависит.
Иными словами, рассмотрим отображение факторизации тг, ко-
торое отображает пространство R4 на 3-мерное пространство R4/T,
тг: (х,и,р1,р2)>-^(и,р1,р2).
При этом отображении гиперповерхность £ отобразится на гипер-
поверхность £]Т, причем образ гиперповерхности в пространстве
R4/Т будет задаваться тем же уравнением F(u,pl,p2) = 0. Пло-
скости распределения С при отображении факторизации проектиру-
ются без вырождения на плоскости пространства R4/T, определяя
в последнем двумерное фактор-распределение С/Т. Это распреде-
ление может быть задано при помощи 1-формы на R4/Т, которую
можно получить, рассматривая, например, следующую линейную
комбинацию соотношений (2.1):
~ Р2 j Pi j
(jj = ш,--- шп = dp,--- du.
Pi Pi
Итак, в результате факторизации мы получили 3-мерное про-
странство R^/T, 2-мерную поверхность £/Т с R4/T и 2-мерное
распределение, задаваемое уравнением ш = 0, т. е. обыкновенное
§ 2. УРАВНЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА
21
дифференциальное уравнение первого порядка. Для полного соот-
ветствия с § 1 нам осталось отождествить форму ш с канонической
формой ш. Для этого необходимо ввести в R4/T координаты
х' = и, и=р<, р = —. (2.2)
Pi
Тогда получим, что u = du' — pdx'. В новых координатах уравнение
поверхности £/Т имеет вид
F'(x',u!,p') = Q,
где F'{x ,и' ,p') = F(x' ,и' ,р'и).
Таким образом, отображение факторизации тг отображает ис-
ходное уравнение второго порядка в уравнение первого порядка —
так называемое факторуравнение
F'fz'X £0=0.
\ dx J
В этом и состоит геометрический смысл замены координат (2.2).
Замечание 2.1. Распределение С/Т можно задать другой
1-формой. Рассмотрим, например, форму 2
_. р. р. 1 f р. \
25 = ----- w,= du---L dp, =du---d I I.
P2 P2 P2 \ 2 J
Чтобы отождествить ее с канонической формой ш, мы должны сде-
лать замену координат 2
= и =и, р' = —,
2 Р2
которая сведет исходное уравнение к уравнению первого порядка
f(u',±V2^,^} =0.
\ du )
Подобным образом можно на единицу понизить порядок любого
уравнения, явно не зависящего от х. Факторизуя по х пространст-
во R* + 2 с координатами x,u,pv...,pk, мы получим пространство
Ra+2/T с координатами u,pv .. .,рк. При этом распределение Кар-
тана С на R*+2 отобразится на двумерное фактор-распределение
С/Т, задаваемое в R* + 2/T’ системой форм
Р2 j Р2 j
ш0 = ш1----ш0 = apj---- du,
~ Pt Pt
Шк-2 = шк- 1 ~ — w0 = dPk- 1 - du-
22
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В пространстве Ri+2/T перейдем от координат и,ру,...,рк
к координатам хуи,руу.. ,рк_1 таким образом, что в новых, ко-
ординатах фактор’распределение С/Т задается формами
— du ~ Ру dx , ..., _g —’ dpk g “’' рк ydx .
Это построение проведем по индукции, полагая, что х, и и
р1 = р'у определены по формулам (2.2). Так как
dp[=d(—) = — dp2-^dpy,
\PiJ Pi P2y
то в качестве формы можно взять выражение
Ч ~ Ц ^o = dp'y - du.
Pi Pi \Pi Pi /
П°ЭТ0МУ _ Рз _ Й
P? ~ 2 31
Pl Pl
Продолжая этот процесс, мы найдем искомую замену переменных.
Если при этом
F(u,py,...,pk) = Q
— исходное уравнение порядка к, то, заменив в этой записи пере-
менные и,...,рк на х'уи',...,р!к_у, мы получим факторуравнение,
имеющее порядок к — t.
Ранее уже отмечалось, что поскольку распределение Картана
на R*+2 двумерно, его ограничение С£ на гиперповерхность £ од-
номерно во всех точках, кроме нигде не плотного множества осо-
бых точек, в которых касательная плоскость к поверхности £ содер-
жит плоскость распределения С. Следовательно, распределение С£
можно задать при помощи одного векторного поля. Найдем явное
выражение одного из таких полей в координатах (х,и,р[у.. .,рк),
определив попутно условия, позволяющие отличить особые точки
от неособых.
Пусть
Y = а ——I- /30-—|- /Зу—-1-----К /Зк —
дх ди 1ару &Рк
— поле, лежащее в распределении С и касающееся поверхности £.
Условие принадлежности поля Y распределению Картана означает,
что
w.(y) = 0,
s 2. УРАВНЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА
23
т. е. для всех г кроме i = k, выполнено равенство /3,- =pi + ia. Условие
касания полем Y поверхности £ равносильно тому, что У(£)\е = О,
т. е. для некоторой функции А имеет место равенство
(9F 9F 9F 9F \ а 9F
а (to +Р' to +^ + ' • +Р‘в^) +Л8^=*F-
Очевидно, что для выполнения этого равенства достаточно
жить
(2-3)
поло-
9F 9F
9х 9и
. n 9F а 9F 9F 9F
А —0, а — — -—, (Зк — ——bPj-z—+ ---•
9Рк 9х 1 9и 9Рк-\
Итак, искомое векторное поле можно выбрать в виде
9F ( 9 > 9 9 \
г~~ёГк (to+P1to + "+p‘to^J +
(8F 8F 8F
+ <to +Р,л7 + '"+А0Р^;
д
дРк
В частности, для уравнения первого порядка F(x,u,p) = 0 по-
ле Yf имеет вид
9F / 9 , 9 \ (9F 9F \ 9 ,п
F~ 9р\9х+р9и) + \9х+Р9и)9р' (24)
Если уравнение разрешено относительно производной, т. е.
если F = — р + f{x, и), то £ = {р — f(x, и)} и
,,, # 5 z. .9
YF~di+pdu+{f*+pf"}dp
Проекция этого поля на плоскость переменных (х, и) имеет вид
9 ^9
— +f(x,u)—.
ох ои
Траектории полученного поля, как хорошо известно, являются ин-
тегральными кривыми данного уравнения.
Точка Р уравнения £ является особой, если соотношение (2.3)
в этой точке выполняется для любых значений а и вк. Поскольку
правая часть этого соотношения обращается в нуль на уравнении £,
то равенства
9F 9F 9F 9F п
F = to+p>to+-+Aa^ = to;=0
24
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
являются необходимыми и достаточными условиями для того, чтобы
рассматриваемая точка была особой.
Таким образом, особые точки гиперповерхности £ — это те точ-
ки, в которых поле YF обращается в нуль.
Поле YF называется характеристическим полем уравне-
ния £. Проекции его траекторий на плоскость переменных х, и пред-
ставляют собой графики решений этого уравнения.
Пример 2.2. Рассмотрим уравнение (3® - 2u)u' = и. Тогда
F = (3х — 2и)и'—и и по формуле (2.4)
—и мы получаем, что
---\ YF=(2u- 3x)~t-p(2u - Зх)^-+
х +^p~2p2^=^u~3x^~ui;+
4___
\ +(2Р-2Р2^
\ ар
(последнее равенство имеет место на
Рис- 18 уравнении, т. е. на поверхности £ =
= {(3® — 2и)р = «}), Считая ® и и ло-
кальными координатами на £, найдем траектории поля YF из систе-
мы уравнений
(х = 2и — 3®,
( й = — и.
Решив эту систему, получаем, что ® = С\ е+С2е 3t, и = С\ е "*.
Отсюда следует, что ®=u + a'u3, а = const. Семейство траекторий
поля Yf изображено на рис. 1.8. Заметим, что в точке (0,0,0) —
особой точке рассматриваемого уравнения — нарушается теорема
о единственности решений обыкновенных дифференциальных урав-
нений.
§ 3. Симметрии распределений
Так как решения обыкновенных дифференциальных уравнений
(включая многозначные) — это интегральные кривые соответству-
ющих распределений Картана, то изучение симметрий дифферен-
циальных уравнений мы начнем с обсуждения симметрий объектов
более общего характера — распределений.
Напомним (см. [66, 67]), что р-мерным распределением на
многообразии Мп называется сопоставление a*—>La, где а ЕМ, а
La — p-мерное подпространство касательного пространства ТаМ.
$ 3. СИММЕТРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
25
Распределение Р называется гладким, если для каждой точки а е
е М существует ее окрестность U и р гладких векторных полей
XV...,X , которые порождают распределение Р в каждой точке
точке окрестности U.
Пусть М —гладкое многообразие и Р — распределение на М.
Определение 3.1. Диффеоморфизм М -*М, сохра-
няющий распределение Р, назовем симметрией этого распреде-
ления.
Пример 3.1. Рас-
пределение Картана С на про-
странстве R3 с координатами
(х,и,р), определенное 1-фор-
мой w = du — pdx, очевидно,
инвариантно относительно пе-
реносов по а: и по и, т. е. диф-
феоморфизм = (® + а, и +
+ Ь,р) при любых а, b яв-
ляется симметрией С. Заме-
тим, что ^"(ю) = ш. Сдвиги
<р2 = (®> и, р + с) вдоль оси р
не являются симметриями С.
Действительно, = du-
— (р + c)dx, а эта форма не
пропорциональна ш.
Рассматриваемое распре-
деление имеет и менее триви-
альные симметрии.
Рис. 1.9. Распределение Кар-
тана на пространстве R3.
Например, нетрудно проверить, что симметрией является так
называемое преобразование Лежандра <р(х,и,р) = (р,и - хр, -х),
которое также сохраняет форму ш.
Близкое к нему по виду преобразование
V»: R3 —>R3, 4jj(x,u,p) = (р, хр — и, х),
уже не сохраняет форму ш, так как = —ш. Тем не менее,
преобразование является симметрией распределения С.
Совокупность всех симметрий распределения Р будем обозна-
чать через SymP. Очевидно, что композиция двух симметрий снова
является симметрией. Отображение, обратное к заданной симме-
трии, также является симметрией. Поэтому Sym Р образует группу
относительно операции композиции.
26
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Через PD обозначим С'°°(М)-модуль таких векторных по-
лей X, что в каждой точке аеМ вектор Ха принадлежит Ра. .
Если распределение Р порождено полями Xl,...,Xl &PD, то
определение 3.1 равносильно тому, что y>#(Xf)ePZ> для всех i =
= 1,..I, или, что эквивалентно,
¥>.(*,) = 52 Р.Л * = (3.1)
i
для некоторых функций на М.
Если дифференциальные формы шк, где dx.,
3
wi:j е С°°(М), задают распределение Р, то условие <р е SymP озна-
чает, что
¥>*(<«0 = 52^’ i = (3.2)
J
для некоторых функций А*. на М, или, что эквивалентно,
52 Ч/М®))^1 dxs - 52 А<,(®)%»(®М®.» г = 1, • •А:,
J, » 3 3,3
где з = 1,..., n = dim М. Поэтому симметрии р данного распреде-
ления можно искать как решения следующей системы уравнений
относительно функций
52 =52 <3-3)
3 3 3
где Аъ- — произвольные гладкие функции, i = 1,..., к; j — 1,..., п.
Задача отыскания решений этих уравнений не проще исход-
ной задачи отыскания интегральных многообразий данного распре-
деления. Более того, для произвольного распределения Р описать
множество SymP всех симметрий обычно не представляется воз-
можным. Однако при переходе на инфинитезимальную точку зре-
ния, т. е. при рассмотрении инфинитезимальных симметрий вместо
определенных выше конечных симметрий, ситуация существенно
упрощается.
Определение 3.2. Векторное поле X G В(М) называ-
ется инфинитезимальной симметрией распределения Р, если
преобразования сдвига At вдоль траекторий поля X являются сим-
метриями Р.
Совокупность всех инфинитезимальных симметрий распределе-
ния Р мы будем обозначать через Dp.
§ 3. СИММЕТРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
27
Как правило, для конкретных вычислений определение 3.2 неу-
добно. Однако оно допускает более конструктивную переформули-
ровку.
Теорема 3.1. Пусть Р — распределение на многооб-
разии М, Ху,.. ,,Х{ — поля, порождающие распределение Р, а
Шу,.. .,шк — 1-формы, задающие Р. Тогда следующие условия
равносильны:
1) ХеDp;
2) существуют такие гладкие функции р,^, что [X, Х, ] =
= P'ijX\ для всех i = 1,..., I;
У
3) существуют такие гладкие функции vt-, что Х(ш^ —
= и,-ш. для всех г = . .,к.
£-4 4 3 ’ ’
3
Доказательство. 1) => 2). Так как при любом t диффео-
морфизм Ау сохраняет распределение Р, то образ векторного поля
Xi е PD также будет принадлежать PD. Если
(дм*э=5>у(*)*у,
где -(t) — гладкие функции на М, зависящие от параметра t е К,
doc.(t)
то [X, JQ] = »цхр гяе Рц ==-•
j “* 4=0
2) => 3). Пусть поле X удовлетворяет условию 2). Тогда дока-
жем, что если 1-форма ш обращается в нуль на полях Х(,..., Xt, то
форма X(ш) также обладает этим свойством и, значит, может быть
представлена в виде линейной комбинации форм ш-у,..шк. В самом
деле, при любом i имеем
t = s
х(щмл->=-и*,ад==о.
3)=> 1). Во-первых, заметим, что из равенства А*+з = А^ о Д
следует, что
а
dt
Далее рассмотрим (к + 1)-формы, зависящие от параметра t,
Q<(t) = 4t*(wf>Aw1A...Awii.
Так как = ш{, то Ц(0) = 0. Докажем, что ПД<) = 0. В самом
деле,
л шуЛ...Ашк = ^
28
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Таким образом, набор (k + 1)-форм Ц(0,..ЦД0 является реше-
нием линейной однородной системы обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений, причем его начальное значение нулевое. Следова-
тельно, Of (0 = 0 при любом i.
Таким образом, А^(ш,) при любом t является линейной комби-
нацией форм .., изк , т. е. At —симметрия распределения Р. q
Следствие 3.2. Если X,Y е Dp, то аХ + 0Y е Dp,
(a,/?GlR). Кроме того, [X, У]6-Dp. Иначе говоря, Dp являет-
ся ^.-алгеброй Ли относительно операции коммутирования.
Доказательство. Воспользуемся условием (2) доказан-
ной теоремы. Пусть [X, XJ = ^^уХу, [У,Х,.] = £ Ао-Ху. Тогда
3 3
[аХ +/ЗУ, Xi] = ^(a^tJ.+/ЗА^.)Ху. Это показывает, что аХ +flY Е
EDp. i
Далее, в силу тождества Якоби
[[X, У], X.] = [[X, X.], У] - [[У, XJ, X] = У^зХз’у]-
-[\ .х., X]) = $2(м0Ай - \ .р.к)Хк + J2(X(At..) - У(мо))Х..
з, к j
Это доказывает, что [X, У] Е Dp. g
При помощи теоремы 3.1 выпишем координатные условия того,
что данное поле X = X17г— является симметрией распределе-
дх-
г г
ния, заданного системой 1-форм ..., изк, где из^. = ьз^бхв.
Справедливо равенство ’
Х(ы.) = V (х< Л dx„-
J дх- дх. 3'J
По условию 3) теоремы 3.1 1-форма Х(оь) должна иметь вид
S vjiui> т- е- существуют такие гладкие функции и~, что
i
/ .диз. дХг \ ч
У Хг-^ + — из.. 1 =У и..из. , (3.4)
дх. дх 31) 31 ,я’ '
i, s 4 9 3 ' i
где j = 1,..., k; з = 1,.. .п.
Заметим, что в отличие от (3.3) система уравнений (3.4) явля-
ется линейной относительно полей X1,..., Хк. Она называется си-
стемой линейных уравнений Ли, ассоциированной с системой
§ 3. СИММЕТРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
29
нелинейных уравнений Ли (3.3). Подобно тому, как нелинейные
уравнения Ли служат для определения конечных симметрий данно-
го распределения, линейные уравнения Ли служат для нахождения
его инфинитезимальных симметрий.
В дальнейшем мы будем в основном заниматься изучением
именно инфинитезимальных симметрий, которые для краткости бу-
дем называть просто симметриями.
Пример 3.2. Симметрии одномерного распределения, по-
рожденного векторным полем У, —это такие векторные поля X,
что [X, У] = АУ для некоторой функции А.
Пусть, например, У — векторное поле на сфере (рис. 1.10),
имеющее в «географических» координа-
тах вид У = —. Предположим,
dtp
что Х = a^Q + Тогда у1 =
д о 9
ар де + д<р'
Поле X является симметрией, если
а =0. Итак, симметрии данного распре-
9 п9
деления — это поля вида а —— + 0 тг-,
дв д<р
где 0 — произвольная функция на сфе-
ре, а а — функция, постоянная на параллелях.
Конечные симметрии этого распределения задаются парой
функций 0=/(0), <р=д(е,<р).
Пример 3.3. Найдем локальную структуру алгебры симме-
трий произвольного вполне интегрируемого распределения.
В подходящей системе координат вполне интегрируемое рас-
пределение Р можно задать при помощи базиса
х-А х- —
Л1~дх^ Al~dXi
Пусть Х=УуС-^. Тогда [Х.,Х] = £ Условие
i i i 3 i
dXi
[X,X ]ePD, j=l,...,l, равносильно тому, что ——=0,
dXj
Представляя поле X в виде суммы двух составляющих — про-
30
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
д д
дольной Y' Хг ——, и трансверсальной, X*-—, мы можем сфор-
' Эх-
i^i * i>i г
мулировать ответ в следующем виде. Поле X является симметрией
распределения Р в том
и только том случае, ес-
ли его трансверсальная
составляющая имеет ко-
эффициенты, постоянные
на листах, т. е. на мак-
симальных интегральных
многообразиях xt + ,=С( t,
..., хп = Сп, где Ct =
= const, распределения Р
(рис. 1.11).
Пример 3.4 Най-
дем все (инфинитезималь-
ные) симметрии распреде-
ления Картана С на R3, за-
Рис. 1.11
данного формой w = du — р dx. Если
— симметрия, то
X =(*?- + 0
дх ди др
(3.5)
X(ш) = (0х - рах - 7) dx + (Д, - раи) du + (J3p - рар) dp.
Условие пропорциональности X (ш) и ш записывается в виде систе-
мы уравнений
Г /Эр-Р“р=О,
, 0Х - - 7 = -Р - ?«„)•
Из этой системы следует, что симметриями распределения С явля-
ются векторные поля (3.5), где а,0 — любая пара функций, связан-
ных соотношением /Зр =рар, а 7 выражается через эти функции по
формуле 7 = 0х+р0и—рах—р2аи. Рассматривая функцию f=0—pa,
мы видим, что а = -fp, 0 = f - pfp, 7 = fx + Pfu, т. e.
X = + -Pfp^ + & +pf^-
rdx v du dp
Таким образом, симметрия распределения Картана X однознач-
но определяется некоторой функцией f = f(x,u,p), которая может
быть произвольной *).
’) В гл. 2 будет построена теория контактных векторных полей, в которой обоб-
щается этот результат.
§ 3. СИММЕТРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
31
Среди симметрий данного распределения Р можно выделить
симметрии специального вида. Это те векторные поля X, которые
сами лежат в распределении Р, т. е. X eDp C\PD. Они называ-
ются характеристическими, или тривиальными. Симметрии, не
принадлежащие PD, мы будем называть нетривиальными.
Утверждение 3.3. Пусть X, Y € Dp, причем симме-
трия Y тривиальна. Тогда симметрия [X, Y] также триви-
альна. Иными словами, тривиальные симметрии образуют
идеал алгебры Ли Dp.
Доказательство. Пусть Хх,...,Х1 — векторные поля, по-
рождающие распределение Р, и У = 12 ЛИз теоремы 3.1 следу-
ет, что [X, Xi ] = ^Hij-X.. Поэтому
J
[X, г ]=[ х, Е /Л, 1 = £ + Е Лм, А-
t i i,j
Таким образом, поле [X, У] лежит в Р. В силу следствия 3.2 оно
является симметрией распределения Р. q
Обозначим через char Р с Dp идеал тривиальных (характери-
стических) симметрий. По определению charP =DP C\PD.
Доказанное утверждение позволяет рассматривать факторал-
гебру Ли
sym Р — DP! char Р,
которую мы назовем алгеброй Ли нетривиальных симметрий рас-
пределения Р. Отметим, что поскольку для вполне интегрируемых
распределений charP =PD, в этом случае имеет место равенство
symP =Dp/PD.
Найдем характеристические поля вполне интегрируемого рас-
пределения Р. По теореме Фробениуса любое поле, лежащее в Р,
является для него характеристическим, так как при сдвигах вдоль
траекторий этого поля каждый слой распределения Р скользит сам
по себе. Напротив, если X — нетривиальная симметрия, то при
сдвигах вдоль траекторий поля X слои распределения Р перехо-
дят друг в друга.
Замечание, сделанное нами выше о характеристических полях
вполне интегрируемых распределений, справедливо и в более общей
ситуации.
Утверждение 3.4. Характеристическое поле распре-
деления Р касается любого его максимального интегрального
многообразия.
32
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Доказательство. Действительно, если характеристиче-
ское поле X не касается интегрального многообразия L, то, раз-
нося L по траекториям поля X, мы получим многообразие L =
= |JAf(Z), содержащее L.
t
Полученное многообразие также будет интегральным. В самом
деле, касательное пространство в произвольной точке х к многооб-
разию L является линейной оболочкой вектора Хх и касательного
пространства к подмногообразию АДЬ), проходящему через эту точ-
ку. А так как и то, и другое лежат в Рх, то там же лежит и TX(L). □
Замечание 3.1. Таким образом, всякое максимальное ин-
тегральное многообразие распределения Р «соткано» из его харак-
теристик, т. е. траекторий любого из его характеристических полей.
Аналогичная конструкция возникает в теории уравнений в частных
производных первого порядка — отсюда и сходство терминологии.
Как и в случае вполне интегрируемого распределения, нетри-
виальные симметрии произвольного распределения, в отличие от
характеристических, обладают тем свойством, что сдвиги вдоль их
траекторий переводят максимальные интегральные подмногообра-
зия друг в друга, переставляя их. Отметим, что действие элементов
из sym Р на максимальных интегральных многообразиях определе-
но корректно, так как согласно утверждению 3.4 каждое такое мно-
гообразие при действии тривиальных симметрий переходит в себя.
Утверждение 3.5. Характеристические поля обра-
зуют модуль над кольцом функций, т. е. если X 6 charP и
то fX 6 char Р.
Доказательство. Действительно, в этом случае для про-
извольного векторного поля Y ePD мы имеем
[fX,Y] = f\X,Y}-Y(J)X EPD,
поэтому fX е Dp. Кроме того, fX ePD, значит fXe charP. □
Следствие 3.6. Множество charP состоит из век-
торных полей, касающихся некоторого распределения.
Распределение, рассматривающееся в следствии 3.6 называется
характеристическим. Размерность слоев этого распределения в
отдельных точках может падать.
Теорема 3.7. Характеристическое распределение впо-
лне интегрируемо.
Доказательство этой теоремы непосредственно следует из того,
что пространство векторных полей charP, будучи идеалом в алгебре
Ли Dp, само является алгеброй Ли.
§ 4. СИММЕТРИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
33
Проиллюстрируем теперь введенные понятия на материале при-
меров 3.2-3.4.
В примере 3.2 мы рассматривали одномерное распределение,
заданное на сфере. Так как любое одномерное распределение вполне
интегрируемо, то в этом случае характеристическое распределение
совпадает с ним самим.
Характеристическое распределение вполне интегрируемого
распределения также совпадает с ним самим.
Пусть, далее, X — характеристическая симметрия распределе-
ния Картана, рассмотренного нами в примере 3.4. Поскольку X е
€ Dp, мы имеем
Х = + + & + pf^’
у OX v OU op
а так как X 6 charP, то w(X) = 0. Ho w(X) = X _l(du — pdx) = f.
Поэтому У = 0 и, следовательно, X = 0. Таким образом, характери-
стическое распределение в этом случае нульмерно.
§ 4. Некоторые приложения теории
симметрий к интегрированию распределений
В этом параграфе мы покажем, что знание симметрий распре-
деления облегчает задачу нахождения его интегральных многообра-
зий, а в некоторых случаях позволяет полностью ее решить.
4.1. Распределения и характеристические симметрии.
Рассмотрим типичную ситуацию. Так как максимальные интеграль-
ные многообразия сотканы из характеристик данного распределе-
ния, то, зная некоторое характеристическое векторное поле X, мы
можем по всякому интегральному многообразию L, трансверсально-
му к траекториям поля X, построить интегральное многообразие N
на единицу большей размерности, а именно, N =|J АДД), где At —
t
сдвиги по траекториям поля X. В частности, стартуя с многообра-
зия L, состоящего из одной точки, мы получим одну из траекторий
поля X, которая является одномерным интегральным многообрази-
ем.
Пример 4.1. В примере 2.2 мы рассматривали дифференци-
альное уравнение (Зж —2it)u' = u. Для распределения С£, заданного
ограничением формы du—pdx на £, было построено характеристи-
ческое поле Yf. Траектория этого поля
< x = (xq — и0)е +иое >
и = иое~*
3 Симметрии...
34
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
представляет собой параметрическую запись решения данного урав-
нения, проходящего через точку (ж0, и0, р0).
Пример 4.2. Рассмотрим многообразие М всех единич-
ных векторов, приложенных к точкам верхней полуплоскости R2
с координатами (х,у), и введем на этом многообразии локальные
координаты (ж, у, и), где х — произвольное действительное число,
у > 0, а и — угловая переменная, определенная по модулю 2тг. Далее
рассмотрим распределение Р, заданное 1-формой
. 1 — cos и , sin и ,
ш = du -|-------dx--------dy.
У У
Это распределение удовлетворяет условиям теоремы Фробениуса и,
следовательно, оно вполне интегрируемо.
Описанное распределение определяет так называемое орицик-
лическое слоение, геометрический смысл которого заключается
в следующем.
Напомним, что верхняя полуплоскость с метрикой ds2 =
dx2 + dy2 л
=------=--- является моделью плоскости Лобачевского, геодези-
У
ческими («прямыми») в которой являются дуги окружностей с цен-
тром на оси х, а также вертикальные лучи.
Слой орициклического слоения состоит из всех таких векторов,
что касающиеся их геодезические плоскости Лобачевского проходят
через одну и ту же точку на прямой у = 0.
Линии L = {и = тг, х =с}, где с — некоторая константа, являют-
ся интегральными многообразиями Р, так
Dx как ш обращается в нуль при ограничении
на них. Поле
_ Э 1 — cos и д
/ х Qx у Qu
является характеристическим для Р, так
[ как распределение Р вполне интегрируемо,
а поле Dx обращает в нуль форму ш. Кроме
(с,у0,л-)\ того, очевидно, что поле Dx трансверсаль-
\ / 9
\ г но полю —, которое касается линии L.
V 9у
1 Следовательно, рассматривая все тра-
ектории поля Dx, проходящие через L,
Рис. 1.12 можно построить двумерную интегральную
поверхность распределения Р.
§ 4. СИММЕТРИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
35
Для этого сначала, проинтегрировав систему уравнений
' х = 1,
( У = 0,
. 1 — cos и
и =---------,
У
найдем уравнения траекторий поля Dx:
y = Cv ®-yctg^ = C2,
где Ср С2 — постоянные.
Если некоторая точка (х, у, и) лежит на одной траектории с точ-
кой (с, у0, тг) е L, то у - у0, X - у ctg - = с - % ctg -. Отсюда следу-
ет, что х — у ctg = с. Это и есть поверхность U (L), полученная
«разнесением» линии L вдоль траекторий поля Dx. (см. рис. 1.12).
Рис. 1.13
Геометрически эта поверхность представляет собой множество та-
ких единичных векторов, что все окружности с центрами на оси х,
которых они касаются, проходят через одну и ту же точку этой оси
(рис. 1.13).
4.2. Симметрии и динамические системы. Многие стан-
дартные способы решений дифференциальных уравнений использу-
ют теорию симметрий. Вот один из примеров.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка, разрешенных относительно производной, рассматривается
как векторное поле X на многообразии (или, иначе говоря, как ди-
намическая система). Симметрией поля X принято называть всякое
векторное поле У, коммутирующее с X, т. е. такое, что [X, У] = 0.
Легко понять, что в этом случае сдвиги по траекториям поля У
3*
36
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
переводят траектории поля X в себя, как-то при этом их «пере-
мешивая». В случае, когда известна некоторая симметрия Y дина-
мической системы X, обычно делается замена координат, выпрям-
ляющая поле Y (т. е. выбираются такие координатные функции,
которые все, кроме одной, постоянны на траекториях поля У), и за-
тем система X переписывается в новых координатах. Если при этом
в новых координатах yv..., уп поле У имеет вид -—, то условие
&Уп
[X, У] = 0 означает, что коэффициенты поля X в этих координатах
не зависят от уп. Поэтому нахождение траекторий поля X сводит-
ся к интегрированию (п— 1)-мерной динамической системы и одной
квадратуре.
Пример 4.3. Рассмотрим 3-мерную динамическую систему
(х2 ж?
X'=t(x+^X3
\х3 ®2
, *Ei З/о
х2 = t —- +ж.,
ж2
£ _ *1*3.
' *2
_2
Ж1
х2
Векторное поле
д
д д „
1 дх, Х2дх2 + Хз дх3
является симметрией этой системы. Действительно, нетрудно про-
верить, что коммутатор векторных полей
*? \ & /*1*ч \ д х.х, д
\ \ж3 *2 / х2/ ®xl \ х2 / °х2 *2 дх3
и У равен нулю. Замена переменных
х> -
х2
' х' -
Ж2 - _ >
х3
х', = 1П X,
д
приводит поле У к виду -^-у, а динамическую систему X к виду
{ij = tx2,
х2 = tx'l}
А.' — г,!
®3 — .
$ 4. СИММЕТРИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
37
Отсюда следует, что нахождение траекторий динамической системы
X сводится к интегрированию 2-мерной динамической системы
ж{ =t®2,
и одной квадратуре Жз = I x[(t)dt.
Перейдем теперь к обсуждению применения нетривиальных
(т. е. нехарактеристических) симметрий к задаче интегрирования
распределений.
4.3. Симметрии и нехарактеристические симметрии. Ес-
ли поле X —симметрия распределения Р и {At} — соответству-
ющая группа сдвигов, то, зная некоторое интегральное многообра-
зие L распределения Р, мы можем
построить целое однопараметриче-
ское семейство {A((L)} таких мно-
гообразий.
Пример 4.4. Рассмо-
трим уравнение (Зж—2u)u'=u, опи-
санное в примере 2.2. Поле X =
з
= и —, записанное в локальных
дх
координатах (х,и) на Е, очевидно,
коммутирует с полем YF (см. при-
мер 2.2), ограниченным на 8 (про-
верьте, что это ограничение пред-
Q
ставляется в виде (2и — Зя)----
а дх
- и—). Поэтому X является сим-
ии
метрией одномерного распределе-
ния С£ на Е. Сдвиги вдоль траекто-
рий этого поля позволяют получить
Рис. 1.14
любое решение этого уравнения (кроме и = 0) из одного решения
{и = ж} = £. Действительно, диффеоморфизм сдвига по траекториям
поля X за время t задается соотношениями
( X = Ugt + х0,
Из этих формул очевидно, что образом прямой £ = {и=ж} является
кривая АД£) = {tu3 + и = ж} (рис. 1.14).
38
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Упражнение 4.1. Найдите такую симметрию этого урав-
нения, которая позволила бы получить любое (или почти любое)
решение из нулевого.
Замечание 4.1. Сдвиги по траекториям поля X, рас-
смотренного в примере 4.4, переводят решение и = 0 в себя. Это
решение называется инвариантным, или автомодельным.
Упражнение 4.2. Найдите автомодельное решение урав-
нения (Зх — 2u)u' = и относительно инфинитезимальной гомотетии
д д
xai+uai-
4.4. Интегрирование уравнений в квадратурах. Второй
аспект, на который мы хотели бы обратить внимание при обсужде-
нии применения нетривиальных симметрий, — это интегрирование
уравнений в квадратурах. Дело в том, что если у вполне интегриру-
емого распределения известна разрешимая алгебра Ли нетривиаль-
ных симметрий, размерность которой равна коразмерности данного
распределения, то интегральные многообразия этого распределения
можно найти при помощи квадратур. Переходя к описанию этой
процедуры, введем понятие первого интеграла распределения.
Определение 4.1. Первым интегралом распределе-
ния Р называется такая функция f е что Х(/) = 0 для
любого поля X е PD.
Очевидно, что если функция f является первым интегралом
распределения Р, то она постоянна на любом интегральном много-
образии этого распределения, или, иначе говоря, всякое интеграль-
ное многообразие целиком лежит на некоторой поверхности уровня
{/ =с} первого интеграла.
Найдем первые интегралы распределений, рассмотренных нами
в примерах 3.2-3.4. q
Первые интегралы поля X = ——, заданного на сфере, — это,
д<р
очевидно, произвольные функции, постоянные на параллелях сфе-
ры. Этот пример легко обобщается на случай произвольного одно-
мерного распределения *).
Первые интегралы вполне интегрируемого распределения Р,
локально задаваемого полями
Xi = •
1 дх{
. = д_
1 дх,’
*) Отметим согласование принятой терминологии с терминологией теории урав-
нений первого порядка в частных производных: если распределение Р задано вектор-
ным полем X, то его первые интегралы — это первые интегралы уравнения Х(у>)=О,
т. е. функции, постоянные на траекториях поля X. См. также гл. 2,
§ 4. СИММЕТРИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
39
имеют вид .., я„), где / —произвольная функция.
Наконец, пусть / — первый интеграл распределения Картана,
. „ , , гг д д д
задаваемого формой ш = аи — рах. Поскольку поля — и — +р—
др дх ди
л df df df п
лежат в распределении С, мы имеем = л—hp-^~ =0, откуда
др дх ди
следует что f = const. Итак, распределение Картана не имеет нетри-
виальных первых интегралов.
Знание первого интеграла распределения Р сводит задачу на-
хождения его интегральных многообразий к интегрированию рас-
пределения, заданного на многообразии, размерность которого на
единицу меньше размерности исходного многообразия. А именно,
к интегрированию распределения Р, ограниченного на поверхность
уровня функции у. Каждый новый независимый первый интеграл
приводит к дальнейшему понижению размерности на единицу. В том
случае, когда известны функционально независимые первые инте-
гралы Ур.-чД, где к = codimP, рассматриваемое распределение
можно задать набором точных 1-форм dfv ..., dfk. Тем самым это
распределение оказывается вполне интегрируемым, и его слои суть
совместные поверхности уровня функций ур .. .,fk, т. е. они имеют
вид {х еМ I f{(x) = cf}, где Cj,..., ск — некоторые константы.
Нахождение первых интегралов равносильно отысканию таких
точных 1-форм u = df в идеале дифференциальных форм, которые
обращаются в нуль на векторах, принадлежащих рассматриваемому
распределению. Действительно, в этом случае ш(Х) = Х(/) = 0 для
любого X е PD. В этих терминах полная интегрируемость распре-
деления означает существование к = codim Р независимых точных
1-форм, принадлежащих рассматриваемому идеалу.
Определение 4.2. Линейное подпространство У с sym Р
называется невырожденным, если для любой точки х G М и любого
поля X е У условие Хх е Рх равносильно тому, что X = 0.
Пусть х е М и Ух = {Хх | X е Если подпространство У невы-
рождено, то из определения 4.2 следует, что
dim У = dim Ух codim Р.
Пусть ..., шк — система форм, задающая распределение Р, и
Х1,...,Х1 — базис невырожденного подпространства У с PD. Тогда
f С к и функциональная матрица ЦшДХJ.)|| имеет ранг I в каждой
точке многообразия М. Если I = к, то det ||ш,-(Ху)|| 0 и можно
найти другую систему форм, задающую Р, скажем, ..., ш'к, что
Для этого достаточно домножить столбец
40
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
на матрицу, обратную к ||ш£ (Х)||. Если пространство У замкнуто
относительно коммутирования, то имеет место следующая теорема.
Теорема 4.1. Пусть Р — вполне интегрируемое
распределение, заданное 1-формами ш1,...,шк, и У — невы-
рожденная алгебра Ли симметрий этого распределения, ба-
зис в которой образуют векторные поля Х{,.. .,Хк, причем
<jJi(X,j) = 6ii. Тогда если
8
то J
i,3
Доказательство. По теореме Фробениуса найдутся такие
1-формы 74., что
3
Поскольку Х{ е PD, 1-форма Xt(ws) = _ldwe + d(Xt _Jwa) на P
обращается в нуль, а так как б(Х{ _1шя) = 0, то 1-форма Xf_ldws
также аннулируется распределением Р. Из равенства
3
следует, что формы ^s- обращаются в нуль на Р, т. е. для некоторых
а^. G С°°(М) имеют место соотношения 7(.. = 22 Значит,
»<i
С одной стороны, отсюда следует, что
*.) = <., i<j.
С другой стороны,
<Ч(^> * ) = ХДш,(Х.)) - Х.(ч(Хг)) - X.]) =
=-<•
Поэтому a’j. = — с^ и
<4 = “ 22 с^ц Л и. = 22 ciiui Л %-
i<3 i,3
§ 4. СИММЕТРИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
41
Следствие 4.2. Если выполнены условия теоремы 4.1
и У — коммутативная алгебра, то все формы замкнуты
и, следовательно, локально представляются в виде щ =dhit
где ht —гладкие в рассматриваемой окрестности функции.
Локально первый интеграл можно найти по формуле
а
h{(a)= j wt,
“о
где Oq —некоторая фиксированная точка многообразия М.
В частности, так как обыкновенное дифференциальное уравне-
ние fc-ro порядка сводится к одномерному распределению на (к 4-
4- 1)-мерном многообразии, то непосредственно из следствия 4.2 вы-
текает следующее утверждение.
Следствие 4.3. Если распределение, соответству-
ющее обыкновенному дифференциальному уравнению поряд-
ка к, обладает к-мерной коммутативной невырожденной
алгеброй Ли симметрий, то это уравнение интегрируется
в квадратурах.
Пример 4.4. Пусть задано уравнение 1-го порядка, разре-
шенное относительно производной, правая часть которого не зави-
сит от х:
du ff \
Соответствующее этому уравнению распределение задается на по-
верхности, определяемой уравнением р =f(u), при помощи 1-формы
u> = du — f dx. Векторное поле
Х = 4~
ох
касается данной поверхности и является нетривиальной симметрией
распределения С£.
В силу теоремы 4.1 и следствия 4.2 форма u£/f точна. В самом
деле,
11 /f du
—шЕ =—(du —fdx) = d { I ——
— х
В домножении на 1 // нетрудно узнать известный способ решения
уравнений указанного вида методом «разделения переменных». Та-
ким образом, по существу этот метод интегрирования заключается
в том, чтобы 1-форму, задающую распределение Картана на уравне-
нии, превратить в точную.
42
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Упражнение 4.3. Докажите, что на уравнении £ поле X
совпадает с полем q q
J я—
ди др
Предыдущий пример иллюстрирует общее замечание: для инте-
грируемых распределений коразмерности 1 (в частности, для обык-
новенных дифференциальных уравнений первого порядка) знание
одной нетривиальной симметрии позволяет описать слои этого рас-
пределения (в частности, решения этого дифференциального урав-
нения) в квадратурах. Если X — нетривиальная симметрия, а рас-
пределение Р задается 1-формой и>, то форма fw, где f = 1/ш(Х),
также задающая Р, будет замкнутой *). В этом случае слои распре-
деления Р совпадают с поверхностями уровня интеграла от этой
формы.
Пример 4.5. Рассмотрим распределение Р из примера 4.2.
Поскольку коэффициенты формы
1 — cos и sin и .
u = du-l---------dx-------dy
У У
Q
поле X = является его симметрией. Так как
ОХ
^0, поле X является нетривиальной симметрий
1
на зависят от х,
1-cosu
ЧХ) =
ей. Следовательно, интегрирующий множитель равен f = —- =
MX)
= --------и
1 — cos и
fa> = dx~ - - ? ^-~dy + -—-du = d(x-ycte-\
l-cos« l-cosu \ y й2/
и
Соотношение x-yc.tg-=c,c = const, задает все слои данного рас-
пределения, кроме слоя {« = 0} (при и = 0 функция / не определе-
на).
Пример 4.6. Всякое однородное уравнение £ первого по-
рядка /и\
и ~ Ч>I ~ I
/
д д
имеет симметрию X =хд^ Девствительно> если ® и и при-
нять за координаты на £> то распределение Картана на £ задается
*) Напомним, что функция f называется интегрирующим множителем.
§ 4. СИММЕТРИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
43
формой /и\
= du — I — I dx.
\х /
Легко проверить, что Х(9?) = 0 и Х(ш£) = ш£, поэтому рассматрива-
емое поле является симметрией. В качестве интегрирующего мно-
жителя можно взять функцию
u — xtp(—)
х
В частности, для уравнения (Зя—2и)и =и (см. пример 2.2), которое
всюду, кроме линии Зх - 2и = 0, равносильно уравнению
и
Зх — 2и ’
мы имеем
и поэтому
,л. f f Зх — 2и
tfi^)~3^2^, f~2u(x-u)’
, Зх — 2и 1 , и3
Ш£ 2и(х—и)Ш£ 2 Пх —и
Отсюда, как и раньше, находим решения данного уравнения в виде
и3
-----= с, с = const.
х — и
Пример 4.7. Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
апи<П> + • • • + a\U' +<1^4 = /,
где ап, ...,ах,ацу/ — функции, зависящие от переменной х. Нетруд-
но проверить, что поле
„ д , д (к} д
где р(Х) — произвольное решение соответствующего однородного
уравнения апг№+.. ,+а}и +а^и—О, является симметрией распреде-
ления, соответствующего рассматриваемому уравнению. Поля тако-
го вида образуют fc-мерную коммутативную алгебру Ли, и поэтому
применимо следствие 4.3. Так как ш^Х^) = (где, как и выше,
Ч —dpy -pi + ldx), то матрица HwJX )||, которую по ходу реше-
ния нужно обратить для нахождения интегрирующего множителя,
представляет собой матрицу Вронского фундаментальной системы
решений .., рк однородной системы.
44
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Предположим теперь, что известна невырожденная алгебра
Ли У симметрий вполне интегрируемого распределения Р, которая
не является коммутативной, и обозначим через 3^ ее коммутатор-
ную подалгебру
У1) = [ХУ] = {^[Х,У]|Х,Уеу}.
Предположим, что З^1' / З7- Тогда в У можно так выбрать базис
Хр..Хк, что Хг + 1,...,Хке У{1). В этом случае для любых по-
лей Х{ и Xj коммутатор [Xf, XJ 6 3;(1) и, следовательно, если з < г,
то с*у =0. Поэтому формы замкнуты. Пусть (локально)
=dhlt..шт =dhr. Поверхности уровня
= {/ii = Ср ..= сг} , c = (cp...,cr), ci € R,
инвариантны относительно коммутаторной алгебры поскольку
Xy(/it.) = шДХу) = 0 при « С г, У > г 4-1.
Обозначим через Рс ограничение распределения Р на поверх-
ность Нс. Тогда распределение Р. вполне интегрируемо. В самом
деле, слоение многообразия М, соответствующее исходному рас-
пределению Р, высекает слоение на поверхности Нс.
Тот же факт можно доказать и аналитически. Выписывая диф-
ференциал 1-формы з^г +1, и учитывая теорему 4.1, мы полу-
чаем 1
<4 = -? 12
»,i>r
Формы при i г обращаются на Нс в нуль. Следовательно, по
теореме Фробениуса распределение Рс вполне интегрируемо.
Заметим теперь, что 3^ представляет собой невырожденную
алгебру Ли симметрий распределения Рс. В самом деле, сдвиги по
траекториям произвольного поля X € во-первых, сохраняют
многообразие Нс и, во-вторых, переставляют слои распределения
Р. Следовательно, они переставляют и слои распределения Рс, по-
лученного ограничением Р на Нс. Точнее, невырожденность алгеб-
ры 3>(1) следует из того, что матрица юДХ), т < i < к, г <j ^к,
единична и поэтому невырождена.
Итак, мы вновь получили невырожденную подалгебру Ли, и
потому вправе прибегнуть к проделанной процедуре еще один раз.
А именно, рассмотрим коммутаторную подалгебру У^ алгебры З^1^
у2)
$ 4. СИММЕТРИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
45
Если У^/У0, ТО некоторые из 1-форм шт +1 |dffc,..ока-
жутся замкнутыми. Они порождают локальные интегралы распре-
деления Р. Это распределение в свою очередь можно ограничить
на совместную поверхность уровня этих интегралов и т. д.
Продолжая этот процесс указанным образом, мы получим ряд
подалгебр
юУ^эУ^э...
Если на некотором шаге в этом ряду подалгебр встретится коммута-
тивная подалгебра (это равносильно тому, что на следующем шаге
мы получим тривиальную подалгебру), наши рассуждения можно
закончить применением теоремы 4.1, а точнее, следствия 4.3.
Алгебра Ли У, обладающая тем свойством, что У® =0 при неко-
тором I, называется разрешимой. Этот термин разъясняется в сле-
дующих теоремах, доказательства которых следуют из приведенных
рассуждений.
Теорема 4.2. Если вполне интегрируемое распределе-
ние Р коразмерности к обладает к-мерной невырожденной
разрешимой алгеброй Ли симметрий У С symP, то полный
набор его первых интегралов можно найти в квадратурах,
т. е. вычислением интегралов от замкнутых 1-форм и ре-
шением функциональных уравнений.
Теорема 4.3 (Бьянки — Ли). Если обыкновенное диф-
ференциальное уравнение порядка к имеет невырожденную
к-мерную разрешимую алгебру симметрий, то оно интегри-
руется в квадратурах.
Именно в контексте этих теорем понятие разрешимости, воз-
никшее в теории Галуа алгебраических уравнений, проникло в тео-
рию групп и алгебр Ли. Отметим также, что вместо алгебр симме-
трий можно использовать группы Ли конечных симметрий, ибо от
группы Ли всегда можно перейти к соответствующей алгебре путем
рассмотрения инфинитезимальных образующих группы.
Пример 4.8. Рассмотрим уравнение
аи?и"' + Ъии'и" + си/3 = 0.
Оно обладает невырожденной трехмерной алгеброй симметрий, по-
Q
рожденной трансляцией по х (т. е. полем —) и произвольными
ОХ
д д
масштабными преобразованиями (т. е. полями вида ах-—I- ,
где а и Ь константы), сохраняющими распределение Картана (можно
46
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
доказать, что эти масштабные преобразования образуют двумерное
пространство). В качестве базиса этой алгебры удобно взять поля
Х1~дх>
v д 9 п д д л д
Х^-Хд^ + ид^+2р^+3р^2+4Рз^
„ а а а а
х^иа^+р'а^+Рг^+Рза^'
Замечание 4.2. Интересно, что в справочнике Э. Камке
по обыкновенным дифференциальным уравнениям для следующих
двух уравнений (7.8 и 7.9):
4и2и" — 18иии" + 15и'3 =0,
9и2и" - 45иии" + 40и'3 = О,
принадлежащих к типу, рассмотренному в примере 4.8, приведен
свой рецепт решения.
Упражнение 4.4. Докажите, что любое линейное про-
странство, состоящее из инфинитезимальных трансляций и инфи-
нитезимальных масштабных преобразований, образует разрешимую
алгебру Ли.
Для этого проверьте, что если У — алгебра Ли рассматрива-
емого типа, то коммутаторная подалгебра состоит только из
трансляций и, следовательно, она коммутативна.
Заметим, что всякая алгебра Ли размерности 2 разрешима.
Действительно, если Ху и Х2 — базис алгебры У, то подалгебра
порождена элементами вида и, следовательно, У^ =
= 0. Потому интегрирование любого распределения коразмерности
2, в частности, обыкновенного дифференциального уравнения вто-
рого порядка, можно завершить в квадратурах, если известна дву-
мерная алгебра Ли его симметрий.
Пример 4.9. Рассмотрим уравнение второго порядка
и" = и +ип —(4.1)
(n + 3)2 V
где — 3, пеК.
Поскольку это уравнение не содержит явно х, поле
1 дх
§ 4. СИММЕТРИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
47
1 — п
является его симметрией. Нетрудно проверить, что поле
’ д к + \ д fk(k + \) 1—к \ д'
дх+ 2 + t 2 U+ 2 Р) др\'
где к~-—также является симметрией рассматриваемого уравне-
п + 3
ния *). При рассмотрении этого примера мы будем далее обозначать
и через р, а и" через q.
Геометрический образ, связанный с данным уравнением, есть
гиперповерхность £ в четырехмерном пространстве с координатами
(x,u,p,q), заданная уравнением
2п + 2
(п+3)
вместе с одномерным распределением на £, базисными формы ко-
торого являются tUj = du — р dx и w2 = dp ~ q dx.
Функции x,u,p можно принять за координаты на £. Рассмо-
трим матрицу
I ~Р е ( и-p \
"НЦ(Х,.)||= \
\ ~ч е (-L~2u + ~2~p~q) '
Обратная матрица имеет вид
tx(k(k + l) 1 -к А кх(к + \ \\
(---2 Н—2~P~q) / I
9 -Р /
где A = detM = екхТ, а через Т обозначено выражение
_ к(к + 1) l-к 2 к + 1
т=----------------2-ир-----2~р +~2~uq'
Умножая матрицу М-1 на столбец, составленный из 1-форм щ и ш2,
получим новый базис форм, задающих распределение С£:
1 \Щк + \) 1 -к \ J fk + \ \ J 1 ,
— 1-------- 1—-p-qj du—I и-pj dp +dx,
ш2 = ^[qdu-pdp].
ол = —
1 т
2
*) В отличие от предыдущих примеров, где все симметрии были видны «невоо-
руженным глазом», найти поле Х2 не так просто. Способ, позволяющий это делать, —
аппарат производящих функций для симметрий распределения Картана — будет опи-
сан в § 5.
48
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
По теореме 4.1 форма должна быть замкнутой, поскольку
[XvX2] — kX2. Чтобы найти первообразную этой формы, заметим,
что
дт i-fc2 Z1 ,v n (k + i)2(k-1)
= — ?+(!-*)“+---------ts-----
ST /1 M
Поэтому при к / 1 форму можно переписать в виде
1 ГдТ J дТ J J
---:— — du 4- —— dp 4- dx =
(fc-l)T[du dp
т-Ц-Лп^е^"1^].
К 1
ш1 =
Таким образом, функция / = Te(fc-1^ является первым интегралом
рассматриваемого распределения. Заметим, что тем самым мы пони-
зили порядок уравнения (4.1), так как оно равносильно семейству
уравнений первого порядка вида
к-l 2 1 - к2 к+1 n+i
—Р2 + —j—«Р + —u +
+ _ се(1 - k)x = Oj (4 2)
о
где с — произвольная константа.
Ограничим теперь распределение С£ на поверхность Нс, задан-
ную соотношением (4.2). На этой поверхности переменную р можно
выразить через х и и следующим образом:
к 4- 1 , /1 4- fc n+i 2с (1 _
Кроме того, заметим, что на поверхности Нс выполняется равенство
Д = сеа:. Поэтому
Ле~хр2\ е~х( п к2 — 1 \ е~х 2j
шг1яс=-^( ~2ГJ + — (р + « +~4—u\du- —р dx,
(4-3)
где р определяется соотношением (4.3). Из доказательства теоре-
мы 4.2 следует, что эта форма замкнута. Следовательно, у нее есть
интеграл, который задается формулой
9=-2г(—u±vr^“
—X
к-\е )
§ 5. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
49
е~кх e~x(un+l (Ь+1)2 2
к(к-1) с \п+1 8
Соотношение 5= Ср с, = const, в неявном виде задает все реше-
ния рассматриваемого уравнения. По теореме Чебышева интеграл д
представляет собой элементарную функцию тогда и только тогда,
2
когда число----- целое.
п+ 1
Упражнение 4.5.
1. Проведите интегрирование до конца в случае n= -1.
2
2. Проинтегрируйте уравнение и" = и' + аеЬи — - при помощи
О
алгебры симметрий с образующими
d v .да 2d , 2d
Х} — х-> Х2 — е ——И ———Ь(р —•
дх [дх о ди о др
§ 5. Производящие функции
В этом параграфе мы опишем метод, позволяющий эффективно
описывать симметрии распределения Картана.
Пусть £ — обыкновенное дифференциальное уравнение поряд-
ка к, разрешенное относительно старшей производной:
uw=f(x,u,u™,...,u<k-l)). (5.1)
Переменные x,pQ,pl,.. где р0 = и, мы будем рассматри-
вать как координаты на поверхности £. В этих координатах ограни-
чение всякого векторного поля X на £ = {рк = f(x,u,pl,.. .,рк_1)}
записывается в виде
д д д
дж °dpb дрк-\
Заметим, что алгебра характеристических полей распределе-
ния С£ состоит из всех полей вида АР, где А — произвольная функ-
ция на £, a D — оператор полной производной по переменной х на
уравнении £, записываемый в виде
~ а---------------------------Ь/л-----• (5.2)
да; 1дро дрк_2 дрк_х
4 Симметрии...
50
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Заметим, что О(Р;)=р, + р i < к — 1, и, в соответствии с уравнением
(5.1),Й(р,_1) = /.
На факторпространстве всех полей по charCf имеет место ра-
венство д _ д д д
дх~ Pldp0 " Рк~1Эрк_2 &Рк-\
Следовательно, при нахождении нетривиальных симметрий уравне-
ния £ можно ограничится рассмотрением полей вида
Х=^ + ... + А.15£-. (5.3)
В пространстве 1-форм, определенных на многообразии £, для
удобства дальнейших вычислений введем операцию горизонтали-
зации И, которая определяется своими значениями на образующих
по формулам
И dp{=pi + ldx, i<k — l,
I dpk_j — f dx
и далее продолжается на все пространство 1-форм по линейности
над кольцом гладких функций.
Лемма 5.1. Справедливы следующие утверждения.
1. При операции горизонтализации 1 -форма обращается
в нуль в том и только том случае, если она аннулируется
распределением Картана.
2. Для произвольной функции у 6 С°°(£) выполнено равен-
ство _
~1 dg = D(g)dx.
Доказательство. 1) Пусть ш =-ydx + y^7tdpf. Тогда ра-
венство 1 ш = 0 означает, что 7 + + j + yk _ Д = 0. Следова-
тельно, *
ш=- (12^Pi+1 + - J)dx+12 4dPi=12
' i / i i
2) В самом деле, если g G C°°(£), то
$ 5, ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
51
Предположим теперь, что векторное поле X, имеющее вид
(5.3), является симметрией распределения Картана С£. В силу тео-
ремы 3.1 и леммы 5.1 это равносильно тому, что
X(dp{-pi + ldx) = Q, i<k-l, (5.4)
~\X(dpk_l-fdx) = 0. (5.5)
Из равенства (5.4) мы получаем, что
(Ж)-/3<+1)^=о.
Отсюда следует, что Pi + 1 = для всех i < к - 1. Обозначив /30
через р, мы можем записать поле X в виде
i-1 _ о
x = 'LD'Ma^ <5-в)
Таким образом, если поле X — симметрия распределения Картана,
то оно определяется одной функцией ip = X(и). Функция <р называ-
ется производящей функцией поля X, определенного соотноше-
нием (5.6). Симметрию с производящей функцией <р мы будем обо-
значать через Х^ Разумеется, производящая функция симметрии
не может быть произвольной. Из равенства (5.5) следует, что
Линейный дифференциальный оператор, стоящий в левой части
равенства (5.7), мы обозначим через lF, где F =рк- f (т. е. F —
функция, нули которой определяют поверхность £), а черта обозна-
чает ограничение рассматриваемого оператора на £. Оператор lF
называется оператором универсальной линеаризации*), соот-
ветствующим функции F (или нелинейному дифференциальному
уравнению F = 0).
Из приведенных рассуждений вытекает следующая теорема.
Теорема 5.2. Если уравнение £ задано в виде F = 0,
где F =рк — f(x,u,.. ^рк), то имеет место изоморфизм
kerfF = sym£,
определяемый формулой р i-> Х^. ц
*) Общая теория этих операторов будет изложена в гл. 4.
4*
52
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Замечание 5.1. Требование разрешимости относительно
старшей производной в теореме 5.2 несущественно. Из результатов
гл. 4 вытекает, что эта теорема справедлива для «почти любой»
функции F. В общем случае оператор lF определяется равенством
EdF
л—& '
OPi
Нетрудно заметить, что эта формула согласуется с приведенным
выше выражением для TF в случае, когда F = рк - f(x,u,.. .,рк).
Так как поля вида (5.6) находятся во взаимно однозначном со-
ответствии со своими производящими функциями, то при помощи
поля можно восстановить его производящую функцию у>. Дей-
ствительно,
99=Xlp_lw0 = w0(X(p), (5.8)
где о>0 = dp0 — pj dx. Заметим, что выражение, стоящее в правой
части (5.8), в факторпространстве по множеству всех характери-
стических полей зависит только от класса элемента Хр, так как
= 0.
Таким образом, для того чтобы найти производящую функцию сим-
метрии распределения Картана, совсем не обязательно приводить
это поле к виду (5.6).
Заметим еще, что поскольку форма о>0 содержит лишь члены
с dx и du, производящая функция поля X полностью определяется
двумя первыми коэффициентами выражения этого поля в коорди-
натах х, Ро> • • •> Pi -1 •
/ д ад \ о
Рассмотрим теперь такие симметрии X, коэффициенты а иЗ
которых зависят только от х и у. Геометрически это означает, что
соответствующее поле X согласовано с проекцией тг: R/c + 2^1R2,
заданной формулой тг(х,и, р{,.. ,,рк) = (х,и). Векторное поле на
плоскости К2, согласованное с X, обозначим через Хо. В координа-
тах (х, и) оно имеет вид
Хо = сЛ+0±.
дх ди
В рассматриваемом случае поле X однозначно определяется полем
Хо и называется поднятием поля Хо. Векторные поля на плоско-
§ 5. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
53
сти К2, представляющие собой такие инфинитезимальные преобра-
зования, которые смешивают зависимую и независимую перемен-
ные, в классической терминологии принято называть точечными
преобразованиями *).
Таким образом, точечные преобразования (точнее, поднятия то-
чечных преобразований) — это в точности те симметрии распреде-
ления Картана, производящие функции которых зависят лишь от х,
и и pt, причем от рг — линейно. Если производящая функция явля-
ется произвольной функцией от переменных х, и и то соответ-
ствующее векторное поле называется контактным. Симметрии,
производящая функция которых не имеет такого вида, называют-
ся высшими; общая теория высших симметрий будет построена
в гл. 4.
Приведем примеры наиболее популярных в приложениях то-
чечных преобразований вместе с их производящими функциями.
1. Трансляция по х; Хо = —. Производящая функция равна
ОХ
Хо — —. Производящая функция есть кон-
ои
-Pl-
2. Трансляция по и-.
станта 1.
3. Масштабное преобразование: Хо = ах-^- 4- Ьи-^-, где а, Ь —
__ ох он
константы. Производящая функция этого преобразования равна
bu — axpi.
Рассмотрим теперь систему обыкновенных дифференциальных
уравнений. Для простоты ограничимся случаем систем уравнений
первого порядка, разрешенных относительно производной:
Ui=Vi(x,Uv...,Un),
(5.9)
йп = ^п(х,и1,...,ип).
Геометрически система (5.9) описывается как многообразие £ с ко-
ординатами x,Ui,...,ип, снабженное распределением Картана. Ба-
зисные формы этого распределения имеют вид
' =dui — Vi dx,
< ..................
. шп = du — « dx.
' n n n
) Смысл этого термина прояснится в гл. 2 и 3 при рассмотрении более общих
контактных преобразований.
54
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Распределение С£ в этом случае также одномерно и, значит, вполне
интегрируемо (его интегральные многообразия являются графиками
решений данной системы). Однако, в отличие от случая одного урав-
нения, симметрия распределения Се описывается теперь не функци-
ей, а набором п функций (производящим сечением). Теорема 5.2
имеет следующий вид.
Теорема 5.3. Пространство нетривиальных инфи-
нитезимальных симметрий системы (5.9) изоморфно ядру
матричного оператора lF, действующего в пространстве
вектор-функций переменных х,щ,.. .,ип. Оператор IF име-
ет вид
rF = (в-р- ии^ 9у2 дщ dvl ди2 — dv2 D~d^2 dv{ дип dv2 ди п
где через D об dv dvn \ дщ ди2 д означен оператор -т- дх = dv ... D-—± дип д ч д - V —— п9ип
При этом сечению <р = (/рх,..., tpn)€ker TF соответствует
векторное поле
V I |
Так как симметрии распределения Картана удобно описывать
при помощи производящих функций, то естественно перенести
структуру алгебры Ли с пространства векторных полей на простран-
ство производящих функций (а для уравнения fc-ro порядка — на
пространство всех функций от u,pQ,.. .,pk_l). Для этого вычислим
О д
коммутатор полей Xv='^Di(<p)— и = ^DiW)-^:
j i x r j / r j
Полученное поле имеет производящую функцию которую
можно найти, подставив это поле в 1-форму w0 = dp0 — pi du. Легко
проверить, что
fc — 1
$ 6. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СИММЕТРИЙ
55
Скобку на пространстве функций от х,рг,.. определен-
ную этим равенством, мы будем называть высшей скобкой Якоби
(на уравнении £).
В случае системы уравнений вида (5.9) скобка Якоби на мно-
жестве производящих сечений описывается следующим образом.
Пусть 9? = (9?i,..., <рп) и гр = (^,..., грп). Тогда сечение % = {<р, гр}
имеет компоненты
У = 1,...,п.
Эту формулу нетрудно получить, заметив, что поле с производящим
д д
сечением имеет вид . .,^п-—, а коммутатор сечений
соответствует коммутатору полей.
§ 6. Пример использования симметрий для
описания уравнений, разрешимых в квадратурах
Найдем все уравнения вида
u" = u' + /(u), (6.1)
имеющие двумерную алгебру Ли точечных симметрий [123]. Как
уже отмечалось, двумерные алгебры Ли разрешимы, и поэтому все
такие уравнения будут интегрироваться в квадратурах.
Так как уравнение (6.1) не содержит явно х, то одна симметрия
очевидна — это трансляция по х. Поэтому задача сводится к тому,
чтобы найти условия, при которых это уравнение имеет еще одну
симметрию. Напомним, что производящая функция имеет вид
(р = ар + /3, (6.2)
где р = pj, а а и /3 — функции от х, и. При этом мы будем исключать
из рассмотрения тривиальный частный случай линейной функции /.
В качестве координат на поверхности 8, соответствующей урав-
нению (6.1), можно выбрать функции х,и, р. Оператор полной про-
изводной по х имеет вид
D = ^-+p^- + (p + f)-^-. (6.3)
дх ди др
Тогда производящая функция симметрии должна быть решением
уравнения
P2(^)-P(^)-/V=0.
56
ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Учитывая равенства (6.2) и (6.3), это соотношение можно перепи-
сать в виде
V3 + (2«u + 2ахи + 0VV)P2 + (3<V + ах + ахх + 20хи)Р +
+ (2axf+(3uf+(3xx-(3x-/3f,) = Q, (6.4)
где индексы х,и обозначают производные по этим переменным, а
производная функция f по ее единственному аргументу обозначе-
на штрихом. Полученное выражение представляет собой многочлен
относительно р. Так как коэффициенты этого многочлена не зави-
сят от р, то все они тождественно равны нулю. Таким образом,
уравнение (6.4) равносильно системе
1а =0,
UU ’
2а + 2а + в =0,
“ ™ Pmt ' (6.5)
3/au + ах + ахх + 2fixu = О,
Из первого уравнения этой системы получаем, что
а =7^ + 6, 7, ё Е С°°(х),
где через С°°(х) обозначено кольцо гладких функций от перемен-
ной х. Подставляя полученное выражение во второе уравнение си-
стемы, получаем, что
0 = _(7' + 7)«2 + г« + С, е,СеС°°(х).
Третье уравнение системы сводится к соотношению
3/7 = 3(7' + 7")и - S' - S” - 2е'.
Ввиду нелинейности функции / полученное уравнение равносильно
ft X - б - ё'
соотношениям: 7 = 0, е =--------, где х = const.
Нам осталось решить только последнее уравнение системы
(6.5), которое можно записать в виде
(eu + C)f'-Tif = eu + X, (6.6)
где т} = 2ё’ + е, 0 = е" — е', А = С" - С' — функции, принадлежащие
С°°(х).
§ 6. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СИММЕТРИЙ
57
Уравнение (6.6) представляет собой обыкновенное дифферен-
циальное уравнение относительно функции f(u), в которое пере-
менная х входит как параметр. При условии, что е / 0,ту/О, е / т),
его общее решение дается формулой
/(") = м("+|У+ (6.7)
где д е С°°(х).
Среди функций f вида (6.7) нам требуется выбрать функции,
которые не зависят от х и нелинейно зависят от и. При - 2 функ-
ция f имеет требуемый вид в том и только том случае, если
-=ь,
s
2=с
£ ’
ОС-еХ
—
£7?
д = а,
е — т)
(6-8)
где a,b,c,d,e — некоторые константы.
Учитывая связи между функциями 6, e,rj, О, А, из соотноше-
ний (6.8) легко найти, что
£ = Л(к + 1)екх, £ = Ье, т} = се, 0 = (к2-к)£, Х = ЪО,
где к = -—, a h — произвольная постоянная. Отсюда получаем,
с *{ о
ЧТ° 2с+ 2
f(u) = а{и 4- Ъ)с - ———j(и + Ь). (6.9)
(с 4-3)
Из связей между б, е,г), С,, 6 и А следует также, что если ту = 2е и
функция (6.7) не зависит от х, то она имеет вид (6.9) при с = 2.
Рассмотрим теперь вырожденные случаи. Если ту = О, t] = s, то
функция f(u) линейна. В случае же, когда £ = 0, уравнение (6.6)
имеет следующие нелинейные решения, не зависящие от х:
о
/(и) = ась“--,
а, Ь = const.
Итак, нами доказана следующая теорема.
Теорема 6.1. Среди нелинейных уравнений вида
и" = и + f (и)
двумерную алгебру точечных симметрий имеют лишь
следующие:
1) и' — и 4-а(и4-Ь)с------—^(u-1-b), аДсЕШ, с/1,—3;
(с 4-3)
2) и" = и' + аеь,,-1, а,ЬеШ, Ь^О.
и
58 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В первом случае базис производящих функций симме-
трий составляют функции
’ Ч>\=Р,
кх( к 4-1, ,А , 1 — с
¥>2 = е --g— (u + b)j, k=—^,
а во втором случае — функции
<Р1 =Р,
-х( 2\
*’2 = е и~ь)-
ГЛАВА 2
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В данной главе мы распространяем геометрический подход
к дифференциальным уравнениям и их решениям, рассмотренный
в предыдущей главе для обыкновенных дифференциальных уравне-
ний, на уравнения в частных производных первого порядка, содер-
жащие одну зависимую переменную.
При этом, как и в гл. 1, основные свойства дифференциальных
уравнений первого порядка мы будем интерпретировать в терминах
распределения Картана на этом уравнении. Это в первую очередь
относится к таким свойствам уравнения, как симметрия и интегри-
руемость.
Геометрическая теория уравнений первого порядка тесно свя-
зана с симплектической геометрией и, в частности, с гамильтоновой
механикой. Эти вопросы также будут обсуждаться в этой главе.
§ 1. Контактные преобразования
1.1. Контактные элементы и распределение Картана.
Пусть (хр..., хп) — координаты на пространстве R”. Дифференци-
альное уравнение первого порядка относительно неизвестной функ-
ции и в этих координатах имеет следующий вид:
„ / ди ди\
где F —гладкая функция от 2п+ 1 переменной.
ди ди
Обозначая через р1 = -—,.. .,рп = -— частные производные
неизвестной функции и, мы можем рассмотреть (2п + 1)-мерное
линейное пространство J^R71) с координатами (xlt.. .,хп,и,р1,...
• • ч Рп)> а затем интерпретировать дифференциальное уравнение как
гиперповерхность f = {F(®p.. .. .,р„) =0} в этом про-
странстве.
60
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Как правило, мы будем предполагать, что дифференциал
dF = У -—dx- + -j—du + 5 ~—dp-
dxt ди “J dpi
отличен от нуля на некотором всюду плотном подмножестве гипер-
поверхности £ = {F(xj,.. .,хп,и,р{,..рп)}.
При выполнении этого предположения любая другая функ-
ция G, также обращающаяся в нуль на гиперповерхности £, вблизи
этой гиперповерхности имеет вид G — pF, где р — некоторая глад-
кая функция от переменных (хр..хп,и, р{,.. .,рп).
В приложениях часто возникают ситуации, когда дифференци-
альное уравнение рассматривается на более сложном пространст-
ве, чем R”, например, на торе. Поэтому мы дадим бескоординатную
конструкцию многообразия Jl(M), где М — произвольное гладкое
многообразие размерности п.
Рассмотрим (п+1)-мерное многообразие = M xR, состо-
ящее из пар (х, и), где х е М, и — вещественное число. Контакт-
ным элементом в J°(M) называется пара (О, L), где 0eJ°(M) —
произвольная точка, a L cTe(J°(M)) — n-мерная плоскость. Кон-
тактный элемент (О, L) будем считать неособым, если плоскость L
не содержит вертикального касательного вектора д/ди.
Упражнение 1.1. Докажите, что множество всех неосо-
бых контактных элементов в J°(M) является гладким многообра-
зием.
Определение 1.1. Многообразием 1-джетов гладких
функций на М мы будем называть многообразие всех неособых кон-
тактных элементов в J°(M). Это многообразие обозначается через
Отметим, что определены проекции
тг1>0: тг1О(0,Ь) = 0 (1.1)
и
7Гр Jl(M)^>M, тгр тг((х, и), L) = х, (x,u)EJ°(M). (1.2)
При этом Jl(M) является векторным расслоением как над базой
так и над М. Модуль сечений расслоения (1.2) мы будем
обозначать через Jl(M).
Многообразие J*(Af) является основным объектом для гео-
метрической интерпретации дифференциальных уравнений первого
порядка.
§ 1. КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
61
Всякая гладкая функция / е С°°(М) обладает графиком Г(/) с
С J°(M), состоящим из точек b = (a, где а — точка, принадле-
жащая многообразию М. В каждой точке b = (а, f(a)) этого графика
определен неособый контактный элемент (6, L), где L — плоскость,
касательная к графику в этой точке. Наоборот, очевидно, что вся-
кий неособый контактный элемент в =(Ь, L9) е J\M) является ка-
сательным к графику некоторой функции.
Опишем рассматриваемый контактный элемент в локальных ко-
ординатах. Пусть гладкая функция / е С°°(М) в локальных коорди-
натах (хр ..., хп, и) имеет вид и = /(хр ..х„). Если b = (а, /(а)),
a ,п) — координаты пространства относитель-
„ д д д
но базиса -—,.., —, то касательная плоскость к графику
дх{ дхп ди *
функции задается уравнением
+ • • -+Рп£п’ О-3)
df t ч df , ч
гдер,=^(а), ...,p,= ^-(e).
Тем самым на многообразии 1-джетов мы ввели специальные
локальные координаты (хр ..хп, и, .. .,рп). Они имеют сле-
дующий геометрический смысл. Если в = (b,Le)G.Jl(M), где Le —
касательная плоскость к графику функции и — и(х{хп) в точке
b = (а,/(а)), то контактный элемент (b,Le) имеет координаты
...
Упражнение 1.2. Докажите, что Jl(M) = Т*(М) х R.
Из упражнения 1.2 следует, что определена проекция -тг:
Jl(M) —> Т*(М). В специальных локальных координатах она за-
дается формулой
7r(a:p...,a:n,u,pp...,pn) = (xp...,a:n,pp...,pn). (1.4)
Приведем геометрическую интерпретацию решения дифферен-
циального уравнения. Любой гладкой функции / е C°°(M) соответ-
ствует отображение
Л(/): a^(b,Lf(a)), (1.5)
которое каждой точке а е М ставит в соответствие неособый кон-
тактный элемент, состоящий из точки Ь = (а,/(а)) и касательной
плоскости к графику функции / в этой точке.
62
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Отображение jx(f) называется 1-джетом функции f, а его гра-
фик является n-мерным многообразием: = ^(/)(ЛГ) с Jl(M).
В специальных локальных координатах (xlt.. .,хп,и,р1,..рп) это
многообразие, очевидно, описывается уравнениями
' и = f(xi,...,xn),
„ . v ч
Pl~ 9х^ 1’"” п)’
(1-6)
Рп~ дх
п
Как и в случае одной независимой переменной, многообра-
зие Nf имеет весьма специальный вид. Его геометрическую ха-
рактеризацию мы дадим при помощи распределения Картана,
к описанию которого мы сейчас присту-
паем.
Пусть в = (b,Le) — произвольный
элемент из Jl(M) и £eC Tb(J°(M)).
Рассмотрим в касательном простран-
стве Te(Jl(M)) векторы, которые проек-
тируются в плоскость Le при отображе-
нии (7гг 0)ф:
Гиперплоскость Св называется карта-
новской плоскостью в точке в е Jl(M) Рис' 2,1
(рис. 2.1).
Определение 1.2. Распределением Картана на мно-
гообразии 1-джетов JX(M) называется соответствие
0»Св, 0eJl(M).
Утверждение 1.1. Пусть f е С°°(М)—произвольная
гладкая функция, а€М, 0 = jt(f )(а) 6 Nf. Тогда многообра-
зие Nj касается плоскости Св.
Доказательство. В самом деле, при отображении 0
многообразие Nf проектируется в график функции f. Поэтому ка-
сательная плоскость Тв (Nf) проектируется в касательную плоскость
к графику функции f в точке b = (a, f(a)), которая по определению
совпадает с Le. Следовательно, Te(Nf ) С Св. □
$ 1. КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
63
Из доказанного утверждения легко вытекает следующее пред-
ложение.
Следствие 1.2. Образ отображения
является интегральным многообразием распределения Кар-
тана.
Упражнение 1.3. а. Докажите, что слой проекции (1.1)
над фиксированной точкой (х0, и0) является интегральным многооб-
разием распределения Картана.
б. Пусть V — произвольное А:-мерное подмногообразие
1 к п — dim М. Докажите, что многообразие Р С J\M), состав-
ленное из таких контактных элементов (Ь, L), что b е V, LD ТЬ(Р'}
является интегральным многообразием распределения Картана.
Распределение Картана на многообразии Jl(M) можно задать
при помощи некоторой дифференциальной формы. Напомним, что
контактный элемент в состоит из пары (b,Le), где Ь е а
Le с Tb(J°(M)). Образ произвольного касательного вектора £ е
eTfl(J*(M)) при проекции тг, 0: тг, Q(0)=b, можно
0
однозначно представить в виде суммы ^0 = (тг, о)*(£)=
ои
где е Le. Определим форму 17, равенством 17,(£) = pf. Тогда оче-
видно следующее утверждение.
Утверждение 1.3. Вектор £ е Св в том и только
том случае, если 17,(£) = 0.
Следовательно, дифференциальная 1-форма 17, задает распре-
деление Картана. Выпишем форму 17, в локальных координатах.
Пусть (х,,..., хп, и, рх,..., рп) — специальные локальные ко-
ординаты на Jl(M) в окрестности точки в. Так как пло-
скость Lg С задается уравнением y—p^i + • • • + рп£„,
где п) — соответствующие координаты в пространстве
Tb(J°(M)), то мы имеем
П Q / п \ с\
ь
(1.7)
п д д ” д 1
Пусть е= Е +т1я~ + Е <• д— &Te(J (М)). Следовательно,
i = l ох{ du < = , dPi
п д д
(7ri,o).(0 = Е +Пд-- Тогда из (1.7) получаем, что
г — 1 г / п \ д
(wi,oMO = (п - + X’
1 = 1 '
64
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
где xeLe. Поэтому из определения формы 17, следует, что
17, =du- £ Pidxr (1.8)
i = i
Замечание 1.1. Симплектическая и контактная геоме-
трии обладают многими похожими свойствами. По существу, эта
общность объясняется тем, что J1(M) = T*M х R. Многие сведе-
ния о конактной геометрии можно найти в [97, 3, 5].
Так, например, на многообразии J 1(М) можно построить уни-
версальный элемент, аналогичный универсальной форме pdq в сим-
плектической геометрии [42].
Утверждение 1.4. На многообразии Jl(M) сущест-
вует единственный элемент р E.Jl(Jl(M)), такой, что для
любого сечения 0 € JX(M) имеем 0*(р) = 0.
Доказательство. Прежде чем определить элемент р, сде-
лаем следующее замечание. Каждую точку leJ'(M) можно ин-
терпретировать как 1-джет некоторой функции / еС°°(М) в точке
а = я1(х)е.М, где тг,: Jl(M) —> М, я^а, f (a), Le) = а. Определим
теперь р следующим образом: pl,. =>!«(/))),., где х = у,(/)|а, а =
= 7г1(х). Проверим, что так определенный элемент р удовлетворяет
условию предложения. Пусть х и f таковы, как и выше, а сечение 0
выбрано так, что 0(a) = х. Тогда
S*(P)la = ^O1«(/))|J - У1(^Х(/))1О = Л(/)1а = * = #(«)•
Единственность элемента р следует из того, что если для неко-
торого элемента р' и всех 0 е Jl(M) выполнено равенство (0)*(р) —
— О, то р' = 0. □
Упражнение 1.4. Докажите, что локально элемент р
записывается в виде 52
i = 1
Используя разложение пространства J1(M) = T*(M) х R, вве-
дем оператор S: Jl(M)-> A*(M). Если ^(М) = А1(М)®С°°(М),
то по определению S(f, u) — df — ш. *)
*) Оператор S — это простейший оператор из серии операторов Спенсера Sk
В общем случае Sk l: Jk«Л1 -+ Jk~ 1 ®Ai + 1, Sk l(ajk(j)®u) = jk_{(j)®(daK
Aw). Cm. (24].
В данном случае рассматриваемый комплекс
О -----> С°°(М) ——> ^(М) —* Д‘(М) ——> о
аналогичен началу комплекса де Рама (хотя, в отличие от него, ацикличен), при этом
оператор S играет роль оператора d, а форма 17, выступает в роли «симплектической
структуры». Об операторах Спенсера см. [24].
§ i. КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ии
Упражнение 1.5. Докажите, что образ оператора
j\: С°°(М) —> Jl(M) совпадает с ядром оператора S.
Теперь нетрудно вычислить, что искомый элемент Z7( =S(p).
Используя следствие 1.2, можно убедиться, что n-мерное ин-
тегральное многообразие распределения Картана, «хорошо проек-
тирующееся на М», является графиком 1-джета некоторой гладкой
функции / е
Утверждение 1.5. Произвольное подмногообразие
N без особенностей проектирующееся на М при про-
екции тгр Jl(M) М, является максимальным интеграль-
ным многообразием распределения Картана тогда и только
тогда, когда оно имеет вид для некоторой функции
Доказательство. Действительно, если n-мерное много-
образие N с JX(M) проектируется на М без вырождения, то оно
описывается формулами
' U = f(xv...,xn),
. Pl =51(яр---,яп),
Pn = 9n(XV-,Xn)-
Многообразие N является интегральным многообразием распреде-
ления Картана тогда и только тогда, когда =0. Если (а^,..., хп)
приняты за координаты на N, то ограничение Ut на N записывает-
ся в виде -------g{ 1 dxt. Таким образом, N будет интегральным
многообразием тогда и только тогда, когда д^х{,..., хп) =df/dxit
i = 1,..., п, т. е. когда N является образом отображения (1.5) и,
следовательно, имеет вид N}. р
Таким образом, распределение Картана на Jl(M) — это та
структура, которая позволяет выделить из всех n-мерных подмного-
образий в Jl(M) графики 1-джетов.
Рассмотрим произвольное подмногообразие £с J'(M). Для лю-
бой точки 0 е £, положим С(£)в —Св Г\Те(£). Распределение С(£)
называется индуцированным распределением Картана на под-
многообразии £.
Определение 1.3. 1. Дифференциальным уравнением
первого порядка £ мы будем называть подмногообразие коразмер-
ности один многообразия J1 (М) с индуцированным распределением
Картана С(£).
5 Симметрии...
66
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
2. Обобщенным решением уравнения £ называется п-мерное
максимальное интегральное многообразие распределения Картана,
лежащее на поверхности £ С
Пример 1.1. Рассмотрим стационарное уравнение Гамиль-
( dS\2
тона — Якоби | —— I +q2 = C, С = const, описывающее одномерный
\dqj
гармонический осцилятор. Соответствующее уравнение р2 + q2 = С
определяет цилиндр в трехмерном пространстве (q,u,p). Нули рас-
пределения Картана за-
дают поле направлений
СЕ на этом цилинд-
ре Интегральные кри-
вые поля СЕ, лежащие
на цилиндре (рис. 2.2),
и есть обобщенные ре-
шения этого уравнения.
В данном случае оче-
видно, что эти кривые
проектируются на пря-
мую q с особенностя-
ми. На рис. 2.3 показа-
на проекция этих кри-
вых на плоскость (q,u).
Если касательное пространство Тв(£) ни в какой точке 0 е £ не
совпадает с картановской плоскостью Св, то индуцированное рас-
пределение Картана С(£) будет распределением коразмерности 1 в
Тв(£).
Определение 1.4. Точка в е£ называется особой точкой
уравнения £, если Тв(£) = Св.
Упражнение 1.6. Докажите, что начало координат явля-
ется особой точкой для уравнений
df 9f r fdfv fdfv r
x\-^~ + x2^~ = f и (p—) + ( Z— I = f-
oxl dx2 \dxlJ \ax2J
Далее, как правило, мы будем рассматривать дифференциаль-
ные уравнения первого порядка в окрестности неособых точек.
1.2. Контактные преобразования. Гладкое преобразование
Jl(M) —» переводящее распределение Картана в распреде-
ление Картана, называется контактным преобразованием.
§ 1. КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
67
Таким образом, преобразование F является контактным, если
выполнено одно из двух равносильных условий:
О F,(Ce)с CF(e), Для любой точки в е
2) F*(Ul) = XUl, где Ае
В координатах условие сохранения формы Ul записывается сле-
дующим образом:
(1.9)
где Xi = F'(x.), U=F*(u), Pt =F'(Pi), A e
Первоначально контактные преобразования возникли при опи-
сании таких преобразований плоскости, при которых образы двух
касающихся кривых с порядком 1 касаются друг друга с тем же
порядком. Такие преобразования были названы преобразованиями
прикосновения.
Для описания таких преобразований рассмотрим кривую I, за-
даваемую уравнением у — у(х) (рис. 2.4). Предположим, что иско-
мое преобразование F имеет вид
кривая I отображается на кривую
L и F(p) = P, pel.
Нетрудно проверить, что
Рис. 2.4
Представим эту дробь в виде
5*
68
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Очевидно, что —— не зависит от у" (а это и есть условие того,
аХ
что преобразование F является преобразованием прикосновения),
если выполняется равенство
и in
ду'\дх + дуУ) ду'\дх + дуУ)' >
Как нетрудно проверить, равенство (1.11) в точности означает, что
преобразование
F; Лк1)-» Л®1), F(j1(y(x))\p = jl(Y(X))\p,
сохраняет дифференциальную 1-форму dp — у dx.
Обобщим этот пример. Пусть произвольное гладкое преобра-
зование F многообразия J°(M) в локальных координатах (Xj,...
..., хп, и) имеет вид
(xi,..., хп, и) >-» (а1(х, и),..., ап(х, и), Ь(х, и)). (1.12)
Тогда это преобразование определяет преобразование пространства
Нетрудно найти закон преобразования для величин р. = -—.
ах.
Упражнение
(112)
1.7. Покажите, что при преобразовании
х
, дЪ дЬ ч
д^+р'д^
дь ’ дь
\дГп+Рпд^/
(113)
. . да, dat
где Д— это матрица с элементами Д.. = —— +
гк дх{ 1 ди
Упражнение 1.8. Докажите, что преобразование, зада-
ваемое формулами (1.12) и (1.13), является контактным.
Формулы (1.12), (1.13) определяют преобразование Jl(M)
которое называется продолжением гладкого преобразования
J°(M) на многообразие При этом отображении контактный
элемент (b, Ьв), отвечающий точке в е Jl(M), переходит в элемент
F(0)==(F(b),(Ft)b(Le)).
Поскольку 7Tj 0oF —F ottj о, и {FJb{Le) = Lp{0), имеет место
включение (Ft)b(Ce) С СР(еу
§ 1. КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
69
Итак, преобразование F переводит распределение Картана в се-
бя и, в частности, переводит интегральные многообразия этого рас-
пределения в интегральные многообразия *).
Контактные преобразования, полученные продолжением преоб-
разований называются точечными.
Множество контактных преобразований не исчерпывается то-
чечными преобразованиями.
Пример 1.2. Рассмотрим преобразование Лежандра
L:
71
j:=i
—> Xv г = 1,...,п,
(1.14)
где (xj,..., xn, u,pv.. .,pn) — специальные локальные координаты.
Упражнение 1.9. Докажите, что преобразование Лежанд-
ра сохраняет распределение Картана.
Упражнение 1.10. Пусть преобразование F имеет вид
F(х,и) = (/(а:), и), где /: М —>М — некоторое гладкое преобразо-
вание, х£М, ugR. Докажите, что продолжение F преобразова-
ния F сохраняет форму U{, т. е. F (Ui) = Ul.
Пример 1.3. Следующий вариант преобразования Лежанд-
ра называется преобразованием Эйлера:
Е:
Pi >
xi>
к
Г хяря - и,
Pi %,
. ।—> —р;, i = l,...,k; I = к + 1,..., п.
Нетрудно проверить, что Е*^) — — Ц, поэтому преобразова-
ние Эйлера является контактным.
Приведем, следуя [97], еще некоторые примеры контактных
преобразований.
*) Строго говоря, отображение F продолжается на Л(М) не во всех точках,
поскольку контактный элемент F{6) должен быть неособым. Аналитически это тре-
бование означает, что матрица Д должна быть обратимой. Далее мы будем рассма-
тривать только те точки, где выполнено это условие.
70
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Пример 1.4. Рассмотрим преобразование, заданное форму-
лами
-г г । Ор _ в -i i /1 1 е\
х —х -| -------— , и = и р —р. (1-15)
1/1+ZA i/i+f я2
у k=l у k=l
Упражнение 1.11. Докажите, что преобразование (1.15)
контактно. Является ли оно точечным преобразованием?
Пример 1.5. Преобразование R3, задаваемое формулами
Ч = ——, й =----------—, р = --, (1.16)
pq — и pq — и и
является контактным. Оно имеет следующую геометрическую ин-
терпретацию (рис. 2.5). Рассмотрим еди-
у ничную окружность
XxVT 92+u2=1-
'Х. / / Напомним, что полярой точки Р = (qQ, и0)
[ Y/ относительно этой окружности называет-
I ся пРямая задаваемая уравнением
\ р Qo^ + uorl-l=0-
Если точка Р лежит вне окружности, то
/ / ее поляра проходит через точки пересече-
£-р / ния касательных, проходящих через точ-
/ ' ку Р, с окружностью.
Рассмотрим проходящую через точ-
Рис. 2.5 ку Р прямую Ср, имеющую наклон р0.
Тогда на прямой Lp существует единст-
венная точка Р, для которой прямая Ср является полярой относи-
тельно окружности. _
Нетрудно проверить, что координаты точки Р задаются форму-
лами (1.16).
Аналогичные преобразования определены для произвольной
кривой второго порядка.
Пример 1.6. Рассмотрим преобразование R3, задаваемое
формулами
(хр — и)р _ хр — и _ хр2 — х — 2ир
а: = -----у-, й = —~----р =—у---------------—. (1.17)
1+р 1+р up —и + 2хр
§ 1. КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
71
Это преобразование является контактным и называется подэрным
преобразованием. Приведем его геометрическое описание.
Пусть О — начало координат. Рассмотрим точку Q = (а:0, и0) и
прямую L, проходящую через
эту точку с наклоном р. Из точ-
ки О опустим перпендикуляр
на прямую L. В точке пересече-
ния Q — (х0, й0) проведем каса-
тельную L к окружности с ди-
аметром OQ. Нетрудно прове-
рить, что формулы (1.17) зада-
ют координаты точки Q и нак-
лон касательной L (рис. 2.6).
Рассмотрим теперь дейст-
вие контактных преобразова-
ний на дифференциальные урав-
нения.
Преобразование F: Jl(M)
преобразует гиперпо-
верхность £, соответствующую
Рис. 2.6
некоторому уравнению, в некоторую (возможно, ту же самую) ги-
перповерхность. Так как распределение Картана сохраняется при
этом преобразовании, то образ уравнения £ «почти всюду» также
является дифференциальным уравнением. Заметим, что преобразо-
вание F устанавливает взаимно однозначное соответствие между
(обобщенными) решениями исходного и преобразованного уравне-
ний.
Определение 1.5. Уравнения £ и £' в J}(M) называ-
ются (локально) эквивалентными, если существует контактное
преобразование Jl(M), при котором образ уравнения £ (локально)
совпадает с £'.
Пример 1.7. Рассмотрим действие преобразования,
полученного продолжением преобразования J°(M): (xvx2,u)
(и, х2, Zj), на уравнение £х = {u = ~ Из формул (1.13)
получаем:
(rci, х2, u,pvp2)\—> (и, х2, ху, 1 /р,, -р2/рх).
Преобразованное уравнение £\ = {а:1 = ^/pz/Pi _ и2} равносильно
исходному в области х{ > 0, и > 0 и, как легко видеть, совпадает
с ним.
72
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим теперь действие этого же преобразования на
уравнение £2 = {4и — р2 — р2 = 0}. Так как (х1,х2,и,р1,р2) и-»
и-» (и, х2, хр 1/рр —Р2/Р1)’ то уравнение £2 преобразуется в уравне-
ние £2 — {4х1р2—1—р2=О}. График решения и=х2+х2 уравнения^
преобразуется в поверхность и2 = х{ — х2, являющуюся многознач-
ным решением уравнения £2. Точки (xj = х2, и=0) этой поверхности
являются особыми, поскольку в этих точках она касается вектора
д /ди.
В области х{ > х2 решения и = ±^/Xj — х2 однозначны и беско-
нечно дифференцируемы.
Определение 1.6. Пусть £ с Jl(M) — дифференци-
альное уравнение первого порядка. Контактное преобразование F:
Jl(M) —> Jl(M) называется конечной контактной симметри-
ей уравнения £, если F (£) — £.
Рассмотрим уравнение £, задаваемое гиперповерхностью Н =0,
где Н е )) — гладкая функция с ненулевым дифференци-
алом. Тогда очевидно, что контактное преобразование F являет-
ся симметрией этого уравнения в том и только том случае, если
^*(Я) = АЯ,
Очевидно также, что симметрия уравнения £ переводит его
(обобщенные) решения в (обобщенные) решения этого же уравне-
ния.
Пример 1.8. Преобразование Лежандра является конечной
контактной симметрией уравнения
(1-18)
Уравнение (1.18) допускает n-параметрическое семейство ре-
п
шений и = ^^Ь{х/, где Ь{ —числовые параметры, 1 i sC п. При
i = 1
каждом значении параметров мы можем рассмотреть соответству-
ющее решение — интегральное многообразие распределения Карта-
на. Рассматриваемое семейство решений инвариантно относительно
преобразования Лежандра в том смысле, что
л(ЕМ))= ь)-
\ = 1 7 7 \ = 1 г '
Рассмотрим теперь график 1-джета постоянной функции в
§ 1. КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
73
J1 (Rn). При преобразовании Лежандра
и =с,
Pi =0,
х1 = 0,
он переходит в интегральное многообразие, проекция которого
на многообразие независимых переменных вырождается в точку
(а:, = ... = а:п=0).
Сейчас на примере общего уравнения Клеро мы увидим, что
рассмотрение вырождающихся при проекции интегральных много-
образий не только осмысленно, но и весьма полезно.
1.3. Уравнение Клеро и его интегралы. Общее уравнение
Клеро имеет вид
Е\У2хгР1 ~и’ Р1> •••>?«) =0>
г = 1 '
(1.19)
где F —гладкая функция (п+1)-й переменной. Преобразование
Лежандра переводит это уравнение в уравнение
F(u,xl,...,xn) = 0,
(1.20)
' и — —с,
которое не содержит производных. Уравнение (1.20) задает п-мер-
ную поверхность в (п+ 1)-мерном линейном пространстве J°(Rn), а
соответствующее дифференциальное уравнение первого порядка —
это ее прообраз при проекции тг1 0: J*(Rn) —> J°(Rn).
Рассмотрим такую точку (ар..., ап, b)eJ°(Rn), что F(b, а1(...
..., ап) =0. Тогда слой проекции 0: J*(R”) —» J°(Rn) над этой
точкой является обобщенным решением уравнения (1.20).
Применяя преобразование Лежандра к этим обобщенным реше-
ниям, мы получим n-параметрическое семейство обычных решений
уравнения (1.19), которое называется полным интегралом урав-
нения Клеро.
С другой стороны, в окрестности неособой точки (т. е. там, где
-д— /0) существует единственное решение уравнения (1.20)
u — f(xl,...,xn),
(1-21)
которое получается разрешением уравнения (1.20) относительно и.
74
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Выясним, во что переходит это решение при преобразовании
Лежандра. Для этого заметим, что уравнение графика 1-джета функ-
ции (1.21) имеет вид
Of, »
" "а/(.......... ( <L22>
71
, F(u,xx,...,xn)=O.
При преобразовании Лежандра система (1.22) преобразуется
в систему
dft , ,
х‘ = а^.......
х = Уц- (1.23)
71 Q МЯ 5 • * Ч /zTi./5
*^71
(П к
=о
i = 1 '
которая является совместной.
Выражая из первых п уравнений элементы рх,.. ,,рп через пе-
ременные хх,..., хп, подставляя их в уравнение (1.19) и выражая за-
тем и через хх,..., хп в силу полученного соотношения, мы можем
получить конечное число решений исходного уравнения, которые
называются особыми интегралами уравнения Клеро.
Пример 1.9. Рассмотрим уравнение Клеро с двумя незави-
симыми переменными
1 . з 3.
ГЕ1Р1 + Х2р2 - U = -(рх +р2).
(1.24)
Применяя преобразование Лежандра, получаем уравнение
и — g (Х1 + х2 )>
при помощи которого легко найти полный интеграл исходного урав-
нения
и = аххх + - ^(af + <4),
О
(Zj, О, = const.
§ 1. КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
75
Для особых интегралов получаем совместную систему
и = xlPl + ге2р2 - |(рЗ + р3),
L -п2 о-25)
— Pi,
. х2 = р2.
Отсюда следует, что особые интегралы существуют лишь в квадран-
те > 0, х2 > 0 и имеют следующий вид:
Р2~а2\/^2’
и — |(а1х13/2 + а2х212), (1.26)
где а1 и а2 принимают независимо значения +1 или -1. Таким
образом, формулы (1.26) определяет четыре специальных интегра-
ла. Однако с геометрической точки зрения здесь имеется всего одно
обобщенное особое решение, а именно — интегральная поверхность
распределения Картана, задаваемая системой (1.25). Это поверх-
ность четвертого порядка в 7*(1К2), которая проектируется на ко-
ординатную плоскость (xvx2) с особенностями, и поэтому имеет
четыре ветви, каждая из которых является графиком отображения
для одной из гладких функций, определяемых формулой (1.26).
1.4. Контактные многообразия в механике. Аналогом сим-
плектического многообразия в контактной геометрии является кон-
тактное многообразие.
Определение 1.7. Контактным многообразием на-
зывается нечетномерное многообразие M2n+l с такой 1-формой в,
что в A (d0)n является формой объема.
Почти контактным многообразием мы будем называть
нечетномерное многообразие М с заданной на нем замкнутой 2-фор-
мой максимального ранга.
Из результатов п. 1.1 следует, что многообразие 1-джетов
J\M), конечно же, является контактным многообразием.
Заметим, что если М — произвольное контактное многообра-
зие, то ограничение формы d0 на нули формы в невырождено.
Если ш— 2-форма на многообразии М, то множество таких
векторов что £_1о>—0, называется характеристическим рас-
пределением формы и>. Характеристическим векторным по-
лем на почти контактном многообразии (М, ш) называется такое
поле X, что X J ш = 0.
76
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В этом пункте, следуя [77], мы приведем некоторые примеры
контактных многообразий, возникающие в механике.
Пример 1.10. Пусть (М,ш,Н) — гамильтонова система
(т. е. М — симплектическое многообразие с формой и>, Н — глад-
кая функция на М) и Не — регулярная поверхность энергии. Тогда
где i: Не-+М — включение, является почти контактным
многообразием. Гамильтоново поле Хн, ограниченное на Не, явля-
ется характеристическим полем на этом многообразии.
В самом деле, так как di*w =i*dw =0, то форма i*w замкнута.
Поскольку форма и> невырождена, а коразмерность Не равна 1, фор-
ма to имеет максимальный ранг на поверхности Не. Так как поле Хн
касается поверхности Не, то имеем Хн\н Ji*w = 0.
Пример 1.11. Пусть (М,ш) — симплектическое многообра-
зие. Рассмотрим произведение К х М и проекцию тг2: К х М -* М,
Tr2(x,t) = x. Многообразие (К х М, тг2(о;)) является почти контакт-
ным.
В самом деле, ^тг2(ш)=0. Следовательно, форма а> = тг2(а>) замк-
нута. Докажем, что ее ранг максимален. Для этого достаточно дока-
зать, что характеристическое распределение этой формы одномерно.
Если вектор ((£, г), vp) е p)(R х М) лежит в характеристическом
пространстве, то
r)> vp)> (G,«), %)) = 0
для любого вектора wp е ТрМ и s — Э/dt. В таком случае из опре-
деления формы тг2(а>) следует, что wp(yp, wp) = 0 для любого векто-
ра wp. Следовательно, t>p=0 и характеристическое распределение
задается векторным полем
= ((t, 1), 0) е T(t>p)(R х М) = TtR х трм.
(4. р)
Заметим, что если ш — d в и в — dt + тг2(0), где t: R х М -* R,
t(x, t) = t, то ш = d в и (R х М, и>) — контактное многообразие.
Гладкое отображение X: R х М —»ТМ называется векторным
полем на М, зависящим от времени, если при любом t е R отобра-
жение X: {t} х М ->ТМ является векторным полем на М. Для
любого векторного поля X, зависящего от времени, можно опреде-
лить векторное поле X на R х М, полагая X = — + X.
Рассмотрим функцию Н G C°°(R х М). При каждом t е R мы
можем рассмотреть гамильтоново векторное поле Хн , где Ht: М —>
—>R, Ht(x) — H(t, х). Тогда Хн: RxAf->ТМ, XH(t, х) = Хн (х) —
9
dt
§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
77
векторное поле, зависящее от времени и можно рассмотреть поле
Хн на Rx М.
Теорема 1.6 (Картан). Пусть (М, и>) — симплектиче-
ское многообразие, и Н €Е C°°(R х М). На многообразии R х М
рассмотрим 2-форму и положим
и>н — + dH A dt.
Тогда
1)(R х —почти контактное многообразие;
2) поле Хн порождает характеристическое распределе-
ние формы и>н;
3) если u> = d в и вн = + Н dt, то =d вн; при этом
если функция Н + нигде не равна нулю, то (R х
х М, вн) — контактное многообразие.
Упражнение 1.12. Докажите теорему 1.5.
§ 2. Инфинитезимальные контактные
преобразования и характеристические поля
В гл. 1 мы показали, что для теории обыкновенных дифферен-
циальных уравнений чрезвычайно полезным оказывается переход
на инфинитезимальную точку зрения. В этом параграфе мы рассмо-
трим инфинитезимальные преобразования на многообразии
2.1. Инфинитезимальные контактные преобразования.
Пусть At: Jl(M) — однопараметрическая группа конеч-
ных контактных преобразований. Рассмотрим векторное поле X =
= — А*. По определению контактного преобразования А*(Ц) =
dt 4 = 0
= XtUl, где А( е )), поэтому
X(Ul) = XU1, где А = ^ . (2.1)
at 4=0
Определение 2.1. Векторное поле X на многообразии
j'(Af) называется инфинитезимальным контактным преоб-
разованием, или контактным векторным полем, если оно сохраняет
форму Ux, т. е.
X(Ul) = XUl, где ХеС°°(Т'(М)),
78
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Упражнение 2.1. Докажите, что множество контактных
векторных полей замкнуто относительно коммутирования.
Нетрудно проверить, что каждое контактное векторное поле
порождает однопараметрическую группу конечных контактных пре-
образований.
Пример 2.1. Пусть (жр..., хп,и,рх,.. ,,рп)— специальные
локальные координаты на Jl(M). Векторные поля ——, ..., —— и
д , ®xi ®хп
поле — являются инфинитезимальными контактными преобразо-
ди э
ваниями, а поля ------нет.
dPi
Q
2.2. Пусть п = 2. Векторное поле X — х1----
О Хл
д
— р9-х— является инфинитезимальным контактным
Пример
д д
Х<2дх^Рхдр2
преобразованием. В самом деле, X (du — pldxi — p2dx2) = — p2dx{ +
+ р^х2 — ptdx2 +p2dxx = 0.
Пример 2.3. Рассмотрим векторное поле X € D(Jl(M)),
которое в специальных локальных координатах задается формулой
Х = Ё - “<)Р, (2.2)
где а1;...,ап,/? — константы. Нетрудно проверить, что X(Ul) =
—/3Ult и поэтому X есть инфинитезимальное контактное преоб-
разование.
В§ 1 было определено продолжение A: Jl(M)—*Jl(M) произ-
вольного гладкого преобразования A; J°(M)—> J°(M), которое, как
мы показали, всегда будет контактным преобразованием многообра-
зия Jl(M). В равной мере это относится и к инфинитезимальным
преобразованиям. Если X eD(J°(M)) и At —однопараметрическая
группа сдвигов вдоль траектории векторного поля X, то мы можем
A* eDiJ^M)), которое бу-
дет инфинитезимальным контактным преобразованием. Векторное
поле X называется продолжением векторного поля X на многооб-
разие 1-джетов Jl(M).
Все рассмотренные в предыдущих примерах векторные поля яв-
ляются продолжениями. Поля -—, — е D(Jl(M)) являются про-
аге. ди
рассмотреть векторное поле X = —
dt
§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
79
должениями векторных полей рассматриваемых на
(J (J и
Векторное поле из примера 2.2 является продолжением инфините-
д д
зимального вращения х{- х2——, а векторное поле из приме-
ра 2.3 — продолжением инфинитезимального масштабного преобра-
зования
Д+ +“а Д+Дe
В этом легко убедиться, выписав соответствующие формулы для
поднятий преобразований At.
Упражнение 2.2. Проверьте справедливость следующего
утверждения: инфинитезимальное контактное преобразование X е
6 D(Jl(М)) является продолжением некоторого векторного поля
Х(0) е в том и только том случае, когда в специальных
локальных координатах (ж, ~ ” - ч «<>
д
но равенство X, -— = с
функции на JX(M), 1 г, к п.
" / д д \
Пример 2.4. Векторное поле X — у I 2р; -—\-р{ — ] явля-
£ = ди
____ Г„ д 1
х ,u,pv .. .,р ) на J (М) выполне-
9 9
«и + • • • + где aik — гладкие
' д' д
ется контактным (так как X(U,) = 0), однако X, -— = —2---
[ <ЭР;] dxt
— 2р.— и поэтому X не может быть продолжением какого-либо
ди
векторного поля Х(0) е
Приведем теперь эффективное описание контактных векторных
полей [42].
Теорема 2.1. Каждое контактное векторное по-
ле X на Jl(M) однозначно определяется функцией f = Ul(X).
При этом каждой функции f G (М)) соответствует
единственное контактное векторное поле Xj. Соответст-
вие f Xj является R-линейным и обладает следующими
свойствами:
. ’dPi.
f +g f "г д’
80
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
X}g=fXg + gX} + fgXx,
x}{f) = xx(jyf.
Доказательство. Рассмотрим дифференциальную 2-фор-
му dU\. Докажем, что в любой точке в eJl(M) 2-форма
невырождена на картановской плоскости Св. Действительно, запи-
сывая 2-форму (dU\) в специальных координатах на нетруд-
но проверить, что вырожденное подпространство 2-формы (dUx)g
в пространстве Тд^*(М))— это прямая, порожденная вектором
д
Х]|в, где = —. Следовательно, эта 2-форма будет невырожде-
на на любой гиперплоскости, не содержащей вектор Х]|й. Так как
(?71)9(Л’1) = 1 /0, то Сд Очевидно также, что Xj|fl _ldU\ —0.
Так как форма dUl невырождена на плоскостях распределения
Картана, то отображение Y ь-> Y_idU{ является изоморфизмом меж-
ду векторными полями, на которых Ц обращается в нуль, и 1-фор-
мами, равными нулю на Хх.
Пусть X — контактное векторное поле на X(Ul) = hUl,
где he Представляя X в виде суммы двух полей
X=f-Xx+Y, где f eC°°(Jl(M)), Ux{Y) = 0, (2.3)
получаем, что
Y _ldU\ =Х 3dUl=hUl-d(X -JZ7J.
Таким образом
Y _ldUx =hUx — df. (2.4)
Подставляя в левую и правую части равенства (2.4) поле Хх, полу-
чаем, что h = Xx(f).
Поскольку Ц(У) = 0, при любом в е J{{M) вектор Ye лежит в
картановской плоскости Св, а поскольку 2-форма dUx невырождена
на пространстве Св, условие (2.4) позволяет однозначно восстано-
вить вектор Yg. Следовательно, поле X однозначно определяется
функцией / = Ux(X).
Обратно, если / — произвольная гладкая функция на j\M),
то определим поле Y равенством (2.4), где h = Xx(f), а поле X =
= Xj — равенством (2.3).
Остальные утверждения теоремы легко доказываются при по-
мощи равенств (2.3) и (2.4) и свойств производной Ли. □
Определение 2.2. Производящей функцией контакт-
ного векторного поля X на Jl(M) называется функция / = 171(Х).
§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
81
Упражнение 2.3. Используя теорему 2.1, докажите, что
для любых гладких функций Д,...,Д е С°°(^(МУ) и для любой
гладкой функции ip е C,oo(Ri:) выполняется равенство
к
..4> = £^Г/.' <2'5>
v^Yj=Xs-fXv
Вычислим в координатах поле X?. Из равенства (2.5) очевид-
но следует, что достаточно построить базисные характеристические
поля Y , Yu, Yp = п), используя при этом специальные
локальные координаты (ж,,..., хп, и, pt,..., рп). Непосредственно из
определений следует, что
• = !...". (2-6)
<2-7)
i = 1 1
и, наконец, & а
i = l,...,n. (2.8)
их. ои
г
Из формулы (2.5) получаем, что
y — +
f , &Pi dpi) du
~'1\^xi du J dp{
По определению Xf=Yf +fXlt поэтому
Замечание 2.1. Так как определена проекция тг: «71 (М)
->Т*(М), то каждой функции Н е С°°(Т*(М)) можно сопоставить
6 Симметрии...
82
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
гладкую функцию на Jl(M) при помощи отображения тг*. Рассмо-
трим / = 7г*(Н) и построим контактное векторное поле Xf. Его про-
екцией на Т‘(М) является гамильтоново векторное поле Хн, при-
чем XH_idw = dH, где dw — симплектическая структура на Т*(М).
Последнее утверждение следует из равенства Xj(U\) = X^f)^ и
того факта, что dUl = —ir*(dp).
Упражнение 2.4. Векторные поля (2.6), (2.7) и (2.8) об-
разуют в совокупности набор из 2n+ 1 векторных полей, однако в
каждой точке в они лежат в 2п-мерной картановской плоскости Сд.
Найдите линейную (над зависимость между этими по-
лями.
Упражнение 2.5. Рассмотрим произвольное векторное
поле Y е D(M) и продолжим его очевидным образом до поля в
J°(M) = M xR. Найдите производящую функцию контактного поля
Y — поднятия поля У.
Упражнение 2.6. Рассмотрим произвольную функцию
/ eC°°(J0(M)) и 7r*(/)eC°°(J1(M)), где тг —проекция, определя-
емая формулой (1.1). Докажите, что контактное поле Х^щ являет-
ся поднятием некоторого поля У eD(J°(M)). Вычислите поле У
в локальных координатах.
Наличие изоморфизма между контактными векторными полями
на Jl(M) и гладкими функциями позволяет определять различные
спаривания между функциями.
Пусть f,g€ а Х} и Хд —контактные векторные
поля с производящими функциями f и д соответственно. Коммута-
тор этих полей также является контактным векторным полем.
Определение 2.3. Скобкой Якоби {f,g} функций f и д
называется производящая функция контактного поля [Ху, X ], т. е.
{/,5} = ^([XpXJ).
Утверждение 2.2. Если f,д G )), mo спра-
ведливо равенство
{f,9} = Xf(g)-Xl(f)g. (2.11)
Доказательство. Из тождества Xf(Ux) = Xf __ldUl +
+ d(Xf_lU\) = Xf_ldU\+df и формулы Ху(У1) = Х1(/)-У1 следует,
что
dl/1(X/,Xs) = pX1(/)-Xs(/).
Следовательно,
{/,p} = ^i([^)^D = x/(C71(Xff))-xff(C71(x/))-dc/1(x/)xff) =
= Xf(g) - Xg(f) - gX^f) + Xg(f) = Xf(g) - Xtfjg. □
$ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
83
Теорема 2.3. Пространство функций на Jl(M) обра-
зует ^-алгебру Ли относительно скобки Якоби.
Доказательство. Кососимметричность и билинейность
(над R) скобки Якоби очевидны. Тождество Якоби легко выводится
при помощи формулы (2.11). □
Упражнение 2.7. Используя равенство (2.11), докажите,
что в специальных координатах скобка Якоби записывается следую-
щим образом:
it
’ ~ aPi &Pi 9xi J V' \ au dPi &u dPi J
+ fdu 9 du
Определение 2.4. Скобкой Майера [/,g] функций f и
g G C°°(Jl(M)) называется функция [f,g] = dUl(Xf,Xg).
Скобка Майера также билинейна (над R) и кососимметрична,
но вместо тождества Якоби для нее выполняется равенство
При помощи тождества
легко найти выражение скобки Майера в координатах:
f, fli=r/O.^ + ve
7,5 —J \ dxi aPi QPi dxi / Pi \du aPi du aPi J '
И, наконец, дадим определение скобки Пуассона.
Определение 2.5. Скобкой Пуассона (f, д) функций f
и дЕ C°°(Jl(M)) называется функция (/, д) = Xf(g)
Упражнение 2.8. Докажите следующие свойства скобки
Пуассона:
1) билинейность над R;
2) (f,g) + (g,f) = Xl(f)g + Xi(g)f;
3) (f,g) = [f,g] + xl(f)g;
4) (f,g) = {f,g} + xl(g)f.
В координатах скобка Пуассона имеет вид
’ r^[\axiaPi aPi9xiJ * \dudpi dudpiJ du
6»
84
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Замечание 2.2. Если ограничиться рассмотрением функ-
ций, которые являются поднятиями с Т*(М), то все три скобки
совпадут со скобкой Пуассона на Т'(М), так как Х1(тг*(Я)) = О
для любой функции Н.
2.2. Инфинитезимальные симметрии уравнений.
Определение 2.6. Пусть £ с Jl(M) — дифференци-
альное уравнение первого порядка. Контактное векторное поле
XgD(J1(M)) называется инфинитезимальной контактной
симметрией уравнения £, если в каждой точке 0 е £ вектор Хв
касается подмногообразия £.
В дальнейшем инфинитезимальные контактные симметрии мы
будем называть просто симметриями уравнения £. Имея в виду вза-
имно однозначное соответствие между контактными векторными по-
лями и производящими функциями, мы будем также говорить, что
/ е )) — симметрия уравнения £, если его симметрией яв-
ляется поле Xj.
Очевидно, что множество симметрий уравнения £ образу-
ет R-алгебру Ли относительно коммутирования векторных полей,
а множество производящих функций — алгебру Ли относительно
скобки Якоби.
Если уравнение £ (локально) имеет вид £ = {F = 0}, F е
е то векторное поле X является симметрией этого
уравнения, если X(F)|f=0 или, что эквивалентно, X(F)=pF для
некоторой функции де
Заметим, что из равенства Xf(F)=Xj(F)-F следует, что урав-
нение £ = {F =0} всегда имеет по крайней мере одну симметрию,
а именно, поле XF.
В качестве примера приведем ряд уравнений, обладающих неко-
торыми стандартными симметриями.
Пример 2.5. Уравнение £ = {F =0} будет иметь среди своих
инфинитезимальных симметрий векторное поле X из примера 2.3,
если функция F = F(хх,..., хп, и, р1,..., рп) квазиоднородна в сле-
дующем смысле: набор чисел (ар..., ап, (3) можно дополнить таким
числом 7, что для любого вещественного числа т выполнено тож-
дество:
F(raixv га”хп, т/}и,гр~а'р1,..., тр~п”рп) =
= t'1F(x1,.. .,xn,u,pv.. .,рп). (2.12)
В самом деле, пусть функция F удовлетворяет уравне-
нию (2.12) и 0 = (ж^,..., х^\ u(0), pf0),..., р^) Е £. Траектория век-
§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
85
торного поля X (см. (2.2)), проходящая через точку G, имеет вид
X. =x/0)eQi‘,
и =и^е?*,
Полагая т = е‘, найдем значение функции F в произвольной точке
(х{,..., хп, и,р1,..рп) рассматриваемой траектории:
хп> u,pv..., рп) = T>F{xf\..., х^\ и(0\ р<0),..., р<0)) - 0.
Итак, траектория векторного поля X, проходящая через точку О,
целиком лежит в £, поэтому X{F) = 0 на £.
Утверждение 2.4. Для того, чтобы контактное
9 ( 9 \ *
векторное поле —— I соответственно — было симметри-
dxi \ ди)
ей уравнения £, необходимо и достаточно, чтобы уравне-
ние £ в специальных локальных координатах имело вид {F =
= 0}, где F G C°°{Jl{M)) —функция, не зависящая от xi.
{соответственно от и).
Доказательство. В самом деле, если £ = {G = 0} и
-—G = pG, р G C°°{Jl{M)), то G — evF, где и— такая гладкая
дх.
ди
функция, что -— = р, a F — функция, не зависящая от х{. По-
скольку ev нигде не обращается в нуль, £ = {G =0} = {F =0}, что
_ п 9
и требовалось доказать. Для поля — доказательство аналогично, п
ди LJ
Упражнение 2.9. Докажите, что векторное поле из при-
мера 2.2 при п=2 является симметрией уравнения £ в том и только
том случае, если уравнение имеет вид
F{и, х* + x%,Pi +P2,xlpt+ х2р2) = 0.
2.3. Характеристические векторные поля и интегриро-
вание уравнений первого порядка. Напомним (см. гл. 1, § 3),
что характеристической симметрией некоторого распределения F
называется векторное поле, принадлежащее этому распределению
и сохраняющее его в результате действия производной Ли.
Утверждение 2.5. Распределение Картана на J1 {М)
не имеет ненулевых характеристических симметрий.
86
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Доказательство. В самом деле, характеристическая сим-
метрия X — это, по определению, такое контактное векторное поле,
что Ul(X) = 0. Следовательно, по теореме 2.1 X =0. □
Напомним, что переход на геометрическую точку зрения поз-
воляет свести вопрос о нахождении (обобщенных) решений диффе-
ренциальных уравнений к интегрированию распределения Картана,
ограниченного на поверхность, соответствующую этому уравнению.
Поэтому задачу нахождения всех обобщенных решений уравнения
первого порядка можно сформулировать следующим образом.
Рассмотрим уравнение £ С Требуется найти все
максимальные п-мерные интегральные многообразия инду-
цированного распределения Картана С{£) на гладком много-
образии £.
Напомним, что индуцированное распределение Картана С(£) за-
дается 1-формой 17, |^. Оказывается, несмотря на то, что распреде-
ление Картана на Jl(M) не имеет характеристических симметрий,
на любом уравнении первого порядка имеется выделенная нетриви-
альная характеристическая симметрия индуцированного распреде-
ления Картана С(£).
Для любой точки в € Jl(M) дифференциальная 2-форма (dU^g
невырождена на картановской плоскости Св. Если в — неособая точ-
ка дифференциального уравнения £ = {F = 0}, то
С(£)в =Св ПТд(£)
является гиперплоскостью в пространстве Св. На этой гиперплоско-
сти дифференциальная 2-форма (dU\)e имеет ранг 2п—2 и, следова-
тельно, вырождена. Таким образом, на всюду плотном подмножест-
ве, состоящем из точек общего положения уравнения £, возникает
поле направлений 1в СТв(£), где 1е сС(£)в —прямая, на которой
вырождается форма (dU^g.
Утверждение 2.6. Поле направлений 19 касается
любого обобщенного решения уравнения £.
Доказательство. Напомним, что n-мерная плоскостьRС
С Св называется лагранжевой относительно симплектической 2-
формы (dU^g, если ограничение (dU^g^ равно нулю. При этом ес-
ли R содержится в некоторой гиперплоскости S с Св, то плоскость
R обязана содержать прямую вырождения формы (dUx)g на этой
гиперплоскости.
Пусть N — обобщенное решение уравнения £, т. е. максималь-
ное n-мерное интегральное многообразие распределения Картана,
содержащееся в £. Так как U{\N =0, то имеет место равенство
§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
87
(dUi)N=Q, и поэтому при любом в е N плоскость Тв (N) с С(£)в С Св
является лагранжевой относительно формы (dU^g. Следовательно,
она содержит прямую 1в. Итак, 1в С Tg(N), что и требовалось дока-
зать. g
Направление 1в называется характеристическим в точке О е
а поле {19} — полем характеристических направлений. Ин-
тегральные кривые поля характеристических направлений называ-
ются характеристиками уравнения £.
Установим важное свойство характеристик. Пусть уравнение £
задается нулями гладкой функции F, F е
Утверждение 2.7. Характеристики являются
траекториями характеристического векторного поля YF.
Доказательство. Из равенства UX(YF) = 0 следует, что
(}р)9 еС9 для любой точки в е Из равенства
Yf -ldUl=Xl(F)Ul—dF (2.13)
(см. формулу (2.4)) получаем, что
Yf(F) = dF(YF) = Xl(F)Ul(YF) - dUx(YF, YF) = 0,
и поэтому поле YF касается каждой поверхности уровня функции
F. Итак, (YF)g еС(£)9 при любом в е£.
В силу равенства (2.13) форма YF _ldU\ тождественно равна
нулю на (2п— 1)-мерной плоскости С(£)в. Следовательно, (У^.)в яв-
ляется вектором вырождения 2-формы (dU\)e на указанной плоско-
сти, т. е. при любом 0 е£, имеем (YF)e eZ9, и траектории поля YF
на многообразии £ совпадают с характеристиками уравнения £, что
и требовалось доказать, g
Утверждение 2.8. Векторное поле YF является ин-
финитезимальной симметрией распределения С(£).
Доказательство. Поскольку YF = XF — FXV векторные
поля Yf и Xf совпадают на многообразии £ = {F =0}. Осталось за-
метить, что контактное поле XF является инфинитезимальной сим-
метрией распределения Картана. g
Перейдем к рассмотрению задачи Коши. Из утверждений 2.6-
2.7 следует, что решение нехарактеристической задачи Коши для
уравнения £ = {F = 0} сводится к решению системы характеристи-
88
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ческих уравнений
. дР
Xi ~ dPi ’
n Qp
" й = (2-14)
i = 1 *»
dF 9F
р< = ах,+р,'ай' , = l.......
описывающей траектории векторного поля YF.
Далее данными Коши для уравнения £ будем называть
(п— 1)-мерное интегральное многообразие распределения Картана,
лежащее на £.
Пример 2.6. Пусть Г с М — некоторая гладкая гиперпо-
верхность, и0(х) — некоторая гладкая функция на ней и и0 — такое
продолжение этой функции на окрестность гиперповерхности Г, что
(п — 1 )-мерный график (й0)(Г) целиком лежит в уравнении £. Этот
график представляет собой некоторые данные Коши.
«Почти всегда» график У1(й0)(Г) зависит лишь от исходной
функции и0, а не от выбора функции и0. Для того, чтобы убе-
диться в этом, заметим, что для любой точки а е Г n-мерная ка-
сательная плоскость к графику функции и0 в точке (а, и0(а)) обя-
зана содержать (п— 1)-мерную касательную плоскость к поверхно-
сти {(ж, Uq(x)) | х е Г}. Поэтому при выборе контактного элемента
j1(u0)(a) мы имеем одну степень свободы, и, следовательно, все та-
кие контактные элементы образуют одномерную кривую, которая в
«хорошем» случае пересекает уравнение £ в одной точке.
Рассмотрим частный случай этого утверждения. Предположим,
что локальные координаты вблизи гиперповерхности Г С М выбра-
ны таким образом, что Г = {жп = 0}, и уравнение £ приводится
к виду рп = f(xx,...,xn,u,pl,...,pn_l). Тогда для любой функции
и0 е С,0°(Г) и для любой точки a G Г искомый контактный элемент
j'i(u0)(a) определяется однозначно и имеет координаты
а1 > • • •> ап’ Uo(a)’ Qx >
ди0
’’ 5жп-1
. . дип
,/(a,u0(a), —,
. 0а!1 а
" ^„-1
Утверждение 2.9. Пусть £с Jl(M) — уравнение пер-
вого порядка, и Rc£ —такие данные Коши, что характе-
ристическое направление 1в не касается многообразия R ни
в одной точке О ER. В этом случае в окрестности много-
образия R существует обобщенное решение N уравнения £,
содержащее R.
§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
89
Доказательство. Действительно, для каждой точки в е R
существует такой отрезок Хд характеристики уравнения £, проходя-
щий через О, который (по условию) не пересекает R в других точках.
Рассмотрим объединение этих отрезков N1 = IJ Хд С £. Сужая при
е&R
необходимости N', в силу теоремы о гладкой зависимости решений
от начальных условий мы можем считать, что N' является гладким
многообразием.
Поскольку для в е R касательная плоскость Te(N') порожда-
ется плоскостью Te(R) с Св{£) и характеристической прямой 1в с
сСв(£), справедливо включение Te(N')cCe.
Рассмотрим точку 0 е TV', не лежащую в подмногообразии R.
Тогда при помощи сдвига по траекториям характеристического поля
эту точку можно отобразить в некоторую точку 0О е R. Заметим, что
многообразие N' можно считать инвариантным относительно это-
го сдвига. Так как характеристическое поле принадлежит распре-
делению Картана, а сдвиг вдоль его траекторий является контакт-
ным преобразованием, плоскость Te(N') отображается в плоскость
Тво(.ЛГ'), а пространство Се(£) — в пространство С^(£). Следователь-
но, имеет место включение Te(N') сСд.
Итак, сужая при необходимости многообразие N', мы получим
n-мерное интегральное многообразие N распределения С(£), содер-
жащее данные Коши R, которое и будет обобщенным решением
уравнения £. □
Пример 2.7. Рассмотрим уравнение с двумя независимыми
ди ди л „ _ _
переменными и — -—-—=0, т. е. £ = {и—р1р2 = 0}. Предположим,
их^
что необходимо найти решение, которое на гиперповерхности Г =
= {х2 = 0} совпадает с функцией и0(ж1) = ж12. График функции и0
однозначно достраивается до одномерных данных Коши
х{=т, х2 = 0, и = Т2, рг=:2т, р2 = и/рх —т /2,
где т — вещественный параметр.
Из формулы (2.9) следует, что характеристическое векторное
поле имеет вид
„ д д п д д д
Y' +р'а^+р'а^ +р^г
Параметрические уравнения траектории этого векторного поля, пе-
90
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ресекающей данные Коши, имеют вид
т(е‘ + 1)/2,
х2 = 2т(е* — 1),
' и= r2e2t,
Pi = 2те‘,
. р2 = те‘/2,
(2.15)
где t — параметр вдоль траектории.
Заметим, что соотношения (2.15) уже описывают график иско-
мого решения в параметрической форме. Исключая т и t из первых
двух соотношений и подставляя их в третье, мы получим решение
задачи Коши в явной форме: и = (4х1 + х2)2/16.
Пример 2.8. Рассмотрим уравнение Гамильтона — Яко-
би*)
n(q,^\=C,
, . ди (ди ди\ ~
где q = (g(,..., qn), — = I —,С — константа, т. е. функ-
ция Н не зависит от и.
Заметим, что поверхность Я(д,р) = с , как и распределение
Картана на J*(M), инвариантны относительно сдвигов вдоль тра-
Q
екторий поля —. В силу этого мы можем рассмотреть фактору-
равнение Гамильтона — Якоби и фактор-распределение Картана на
этом уравнении. Тогда образ формы —U{ совпадает с универсаль-
ной формой pdq, образ ее дифференциала -dU\ задает на Т*М
стандартную симплектическую структуру, а факторуравнение мож-
но рассматривать как подмногообразие Т*М. Система (2.14), опи-
сывающая уравнения характеристического поля, имеет вид
й =
дР
• Эр<’
5^ дР
дР . ,
Р< = ~дГ » =
*) Иногда уравнением Гамильтона — Якоби называют уравнение вида и( =
= we ® = uI = (uI)...uIn). Если положить xt =qit t = gn+1
и H(q. ug) = ut - >p(x, ux), то уравнение приводится к указанному виду.
§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
91
Заметим, что первое и третье уравнение этой системы определяют
гамильтоново векторное поле на Т*М.
Таким образом, уравнения характеристик описывается систе-
мой уравнений Гамильтона.
Инвариантная теория уравнений Гамильтона — Якоби (включая
решение задачи Коши) подробно описано в [25].
2.4. Симметрии и первые интегралы. Итак, вопрос о ре-
шении нехарактеристической задачи Коши в окрестности неособой
точки дифференциального уравнения первого порядка в частных
производных сводится к вопросу об интегрировании поля характери-
стических направлений 1в и, в конечном счете, к вопросу о решении
системы характеристических уравнений (2.14).
Напомним, что первым интегралом системы обыкновенных
дифференциальных уравнений (векторного поля) называется функ-
ция, постоянная на решениях этой системы (траекториях этого
поля). Мы будем говорить, что функция <р е является
пере ым интегралом уравнения £ — {F = 0} С J1 (М ), если она —
первый интеграл его характеристической системы (2.14). Симме-
трии уравнений и первые интегралы тесно связаны между собой.
Утверждение 2.10. Пусть и Х& — линейно неза-
висимые над (М)) симметрии уравнения £ = {F =0}.
Тогда функция f = /2/fi является первым интегралом урав-
нения £.
Доказательство. Действительно, пусть
A.F = X/{(F) = Yfi(F)+fiXl(F) = f{Xt(F) - YF&)
для некоторых гладких функций А,, е )), i = 1,2. Тогда
yF(fi) = mF)-\F и
YftfM = ( ВД2)Л - YAfM/fi =
=(fif2Xl(F)-X2flF-flf2Xl(F)+Xlf2F)/f^ = (A1/2~A2/1 ) F,
\ Ji /
что и требовалось доказать, ц
Упражнение 2.10. Докажите, что контактные векторные
поля Х^ и Xfi линейно независимы над тогда и только
тогда, когда они линейно независимы над R или, что тоже самое,
линейно независимы над R их производящие функции.
Пример 2.9. Уравнение
ди ди
дх}дх2 X'X*U “°
92
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
при с /2 обладает контактными симметриями Хаи , где а =
а+1 v b+l ри-х^
= 7^2’ И где = <7^2 ’ ПоэтомУ Функция f = ац2^
является первым интегралом этого уравнения.
Утверждение 2.11. Если уравнение £ С Jl(M) име-
ет (I + I)-мерную абелеву алгебру симметрий, то оно обла-
дает I независимыми первыми интегралами, находящимися
в инволюции относительно скобки Майера.
Доказательство. Нетрудно проверить, что для любых
функций f,g е C°°(J1(M)) выполнено равенство
[f,g] = {f,g} + f'g-g'f, (2.16)
где/' = *,(/), g^X^g).
Пусть Х^,..., Xjt ( — симметрии уравнения £, коммутирую-
щие между собой на £. Положим 5i + • • -,gt = ft/+ i и по-
кажем, что первые интегралы д{ и дк находятся в инволюции на
уравнении £.
Действительно, по определению скобки Якоби {/£,Д} =
= {/i + i> Al = {/( + i> А) = 0 на В СИЛУ ФОРМУЛЫ (2-16) на урав-
нении £ имеем
[Л,Л1=//Л-Л'Л-
При помощи формулы (2.5) нетрудно установить, что
ta.al=4~«+ ,(/.,/,! - Л1/.+1. 41 - 414. /,+,»=
Л + 1
=4-Уи|//л-л+ 1/»+лл+14'-/.+1/,'л+л; 1w=o
JI + 1
на уравнении £, что и требовалось доказать, g
Итак, если Х&, Х^,..Х^ — базис абелевой алгебры симме-
трий уравнения £, то первые интегралы д{ = fJfQt (г = 1,..., I) ха-
рактеристического распределения независимы и находятся в инво-
люции.
Пример 2.10. Уравнение вида F(и,р{,.. .,рп) — 0 имеет
n-мерную абелеву алгебру симметрий с образующими
_L = r
dxl pi’ dxn pn’
Отсюда непосредственно следует, что p2/Pi >•••> Рп/Pi — инволютив-
ная система первых интегралов этого уравнения.
§ 3. ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
93
§ 3. Полный интеграл дифференциального
уравнения первого порядка
В § 2 мы показали, что решение задачи Коши для уравнения
первого порядка сводится к интегрированию характеристической
системы рассматриваемого уравнения. Это наблюдение позволяет
развить еще один метод решения уравнений первого порядка — ме-
тод полного интеграла. О некоторых свойствах полных интегралов
см. [40, 65]. При построении полных интегралов важную роль игра1
ют симметрии.
ЗЛ. Полный интеграл и его свойства. Хорошо известно, что
система обыкновенных дифференциальных уравнений с п уравне-
ниями от п неизвестных в окрестности неособой точки имеет «-па-
раметрическое семейство решений. По аналогии с этим решения
уравнения £ в частных производных можно искать в виде
(3-2)
u = V(x1,...,a:n,a1,...)an). (3.1)
Дифференцируя это соотношение по xi, мы получаем соотношения
dv dv
Pl~d^' •••’ Рп~&гп-
Если из соотношений (3.1) и (3.2) можно исключить постоянные
о1,...,ави в результате получить исходное уравнение £, то функ-
ция V(xx,..., хп, ах,..., ап) называется полным интегралом. Запи-
сывая аналитически условие исключения постоянных а1,...,ап из
соотношений (3.1), (3.2), мы получаем следующее определение.
Определение 3.1 (координатное). Полным интегра-
лом уравнения £ в частных производных первого порядка с п неза-
висимыми переменными называется «-параметрическое семейство
решений этого уравнения
u = V(a:1,...,a:n,a1,...,an), (3.3)
где ах,..., ап — числовые параметры. Полный интеграл называется
невырожденным, если матрица
9V 9V
1
дах 0an
a2v d2v
да1дх1 дапдх,
92V d2V
\ дахдхп дапдхп /
(3.4)
94
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
имеет максимальный ранг (равный п) почти во всех точках.
Пример 3.1. Полным интегралом уравнения
(ди \2 ди п ди
\ дх{J 1 дх{ 2 дх2
является семейство
и — 2at х^ х2 “|“ а?2 ”1” и2х2.
Ранг матрицы (3.4) для этого полного интеграла падает на по-
верхности {ж2 = 0}. Вне этой поверхности полный интеграл невы-
рожден.
Пример 3.2. Уравнение вида F(pj,.. ,,рп) = 0 имеет полный
интеграл вида и - + .. ,ап_ lxn_ t 4- схп + ап, где ар ..., ап —
произвольные постоянные, а с определяется из равенства F(ait...
...,an_vc) = O.
Пример 3.3. Уравнение Клеро вида и = х1р1 + ...+
+/(рр • -,РП) имеет полный интеграл u = a1a:1-|-.. , + anxn+f(ai,...
• • > ап)-
3.2. Построение полного интеграла при помощи алгебры
симметрий. Рассматриваемый здесь метод интегрирования осно-
вывается на «интегрировании» самой алгебры инфинитезимальных
симметрий, т. е. на построении группы Ли конечных контактных
преобразований, для которой данная алгебра является алгеброй об-
разующих.
Пусть М — n-мерное гладкое многообразие, £ с J\M) — урав-
нение коразмерности один, а ,..., Хд — независимые инфините-
зимальные симметрии этого уравнения, являющиеся базисом неко-
торой алгебры Ли д. Предположим, что G — группа Ли с этой ал-
геброй Ли, реализована как группа Ли конечных контактных преоб-
разований. Это означает, что построено экспоненциальное соответ-
ствие, которое определено по крайней мере для достаточно малых
значений констант av...,an и которое каждому векторному полю
+ .. , + anXf ставит в соответствие конечное контактное пре-
образование А(а) а у причем
................J’/ =(V......+ •+му/,
для любой функции f
$ 3. ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
95
Пусть теперь N — «достаточно хорошее» обобщенное решение
уравнения £. Точнее, предположим, что линейная оболочка плоско-
сти Te(N), к которой добавлены векторы (Хд)9,..(Х} )9, имеет
размерность 2п почти во всех точках в eN. Так как конечная кон-
тактная симметрия А(01 > переводит обобщенные решения урав-
нения £ в обобщенные решения этого же уравнения, то
..<ч)=Ав1.....
есть n-параметрическое семейство обобщенных решений, т. е. пол-
ный интеграл уравнения £.
Выясним, какие частные решения можно использовать для по-
строения полного интеграла.
Пусть и = u(xlt..хп) — решение уравнения £. Касательная
плоскость к графику N = порождается векторами
_ _ д ди д у-к д2и д
’ дх. Эх. ди + " дх{дхк дрк'
Таким образом, для построения полного интеграла требуется, чтобы
матрица, составленная из коэффициентов полей
Tv...,Tn,Xfi,...,Xfn (3.5)
имела ранг 2п почти во всех точках многообразия N.
Пример 3.4. Как мы видели в примере 2.10, уравнение
F{nj pt,..., рп) = 0 имеет n-мерную алгебру контактных симметрий
с базисом
I дхг ’ ’ ‘ дхп ) '
Экспоненциальное соответствие для этой алгебры имеет вид
^(а1,..„ап): (Ж1> • • •! Хп) —* (®1 + aj, . . ., + ап).
Поэтому если и = и(х1.,хп) — достаточно хорошее в указанном
выше смысле решение, то
V(xl>..., хп, а1;..., an) = — aj,..., хп — ап)
— полный интеграл уравнения.
Заметим, что для невырожденности матрицы (3.5) требуется,
чтобы матрица
/ ди д2и д2и >
дхх дх]дх1 ''' дх1дхп
ди д2и д2и
\ дхп дхпдх{ ' ’ ’ дхпдхп /
96
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
почти всюду имела ранг п. Приведем несколько частных случаев.
а. Уравнение
ди ди _ а
дхх дх2
1
имеет решение й = ((2-а)2х1х2)2~а при а^2и решение w = e2v/5^
при а = 2. Поэтому полный интеграл этого уравнения можно запи-
сать в виде и = [(2 — а)2(х1 — а1)(х2 — а2)],^2_“) в первом случае и
и = _ в0 втором,
п / фу \ ”
б. Уравнение и = У^ \ ) имеет решение и = У^ х2/4Ь4,
г=1 ' 1' i=l
при помощи которого строится полный интеграл
~ь,)2
Ч-
Пример 3.5. Нетрудно построить экспоненциальное соот-
ветствие для абелевой алгебры контактных симметрий, состоящей
из инфинитезимальных трансляций и масштабных преобразований
(см. примеры 2.1 и 2.3). В этом случае каждое инфинитезимальное
преобразование можно интегрировать отдельно.
,, ди ди ди
Уравнение х{ -—-----и—— = аи
метрий с базисом ^х2 °х2
д д
Х1 дх{ дрх ’ дх2 ’
имеет абелеву алгебру сим-
д
Из частного решения этого уравнения, задаваемого формулой: и2 =
= 2х2(х1 —а), заключаем, что полный интеграл этого уравнения мож-
но задать формулой
V (ajj, х2, at, а2) — 2(х2 a2)(alxi а).
Рассмотрим пример построения полного интеграла при помощи
неабелевой алгебры контактных симметрий.
Пример 3.6. Пусть уравнение F (х3, и, pv р2, р3) = 0, поми-
. д
мо очевидных симметрии -— и
метрию следующего вида: 1
3 3
<3-6)
1 = 1 * i = 1 Гг
-—, имеет еще масштабную сим-
§ 3. ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
97
Рассматривая сдвиги вдоль траекторий этого поля, нетрудно полу-
чить следующие формулы для экспоненциального соответствия:
^(ар^.аз)' (®1> Х2’ Х3> U> Р1< Р2> Рз)
\(х + _5_V“1«3 _ а1 (х + °2 _ Q~2
А а1а3/ «1а3 \ а2а3/ а2а3
х3еа^,ие^,Р1е(р-а^,р2е^-^,р3е^-а^ .
Например, для уравнения
(\ 2 / ч 2
^жзРз>
Рз / \”з /
которое допускает симметрию (3.6) с а3 = 1 и (3 = 0, мы при помощи
частного решения u=xf+х2+х3 этого уравнения и найденного выше
экспоненциального соответствия строим полный интеграл
02,03)- Х2’ х3’ и’Р1’Р2< Рз)
_> [(х + _5_\е“1“з _ а1 (х + а2 Ае“2«з _ а~2
А а1а3/ а1а3 \ а2аЗУ а2а3
х3еа^,иераз,р1е{р-а1)^,р2е{13-^аз,р3е^-аз}аз .
3.3. Инвариантное определение полного интеграла.
Определение 3.2 (геометрическое). Пусть £ с J*(M) —
дифференциальное уравнение с одной зависимой переменной, п =
= dimM. Говорят, что в области Ос£ определен полный инте-
грал уравнения £, если эта область расслаивается на п-параметри-
ческое семейство обобщенных решений уравнения (n-мерных ин-
тегральных многообразий распределения С(£)), т. е. если имеются
такое n-мерное гладкое многообразие N и такое регулярное глад-
кое отображение irN: O—*N, что для каждой точки a&N гладкое
многообразие Na = Tr^l(a) является n-мерным интегральным много-
образием распределения С(£).
Установим эквивалентность определений 3.1 и 3.2. Для этого
заметим, что из координатного определения следует существование
области О с £, расслаивающейся на решения уравнения £^
Действительно, рассмотрим область параметров N =~{а =
= (ар ..., ап)} и определим отображение а: М хТТ -^> £ по фор-
муле (b, a) t-> j\(V(x, а))(Ь). Так как матрица (3.4) невырождена,
7 Симметрии...
98
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
это отображение имеет ранг 2п в каждой точке и поэтому является
локальным диффеоморфизмом. Следовательно, можно выбрать та-
кие открытые области U CM, N CN, Ос8, что отображение а
сузится до диффеоморфизма
a:UxN->O, (3.7)
причем при каждом aeN поверхность Wa — a(U х {а}) будет ре-
шением уравнения 8, определенным над областью U. При помощи
отображения а строится искомое расслаивающее отображение irN:
если а~\0) = ((3х(0),(32(0)), то для любой точки 0 G О положим
7tn(0) = /32(0). Очевидно, что = (а).
Применяя рассмотренную процедуру, мы получим в области
О С 8 локальные координаты
(aij,..., жп, Oj,..ап), (3.8)
в которых интегральные поверхности, составляющие полный инте-
грал, задаются уравнениями
а1 = ,
где ..., Сп — некоторые постоянные.
Упражнение 3.1. Докажите, что из геометрического опре-
деления полного интеграла следует координатное.
Зная полный интеграл, можно найти характеристическое рас-
пределение, не решая в явном виде систему уравнений (2.14).
Для этого заметим, что отображение а (см. (3.7)) задается сле-
дующими уравнениями:
и = V(x, а),
Pi = И. (х, а),
Рп = Кп(«»в),
которые явным образом описывают связь между специальными ло-
кальными координатами (ж, и, р) и координатами (3.8). В частности,
форма Ux в координатах (3.8) имеет вид
Ci = Ув1<Ц + .. .Vadan = Vej ( dax 4- -^-d^ + ... + ^dan
\ *“1 “1
§ 3. ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
99
Таким образом, поскольку без ограничения общности можно
считать, что локально V 0, распределение С(£) может быть за-
дано дифференциальной 1 -формой
V Va
tv = dal + ^-da2 + ... + -^!-dan.
^“1 ^“1
Выбрав в качестве первых 2п — 1 координат на £ функции
V V
ап
ап, У2=у~> •••, Уп=у-
“1 “1
и дополнив их произвольной независимой функцией ух, мы получа-
ем, что
w = dax + y2da2 + ... + yndat
Q
Поэтому -— есть направление вырождения формы dw на С{£) (т. е.
д д
-—_!ш = 0 и -—_!dw = 0), а функции а,,..., а. у2,..., w являются
ду, дух
первыми интегралами характеристического распределения.
Пример 3.7. Рассмотрим уравнение
_ J ди ди _ 1
Х} дхг 2дх2 J
Нетрудно проверить, что полный интеграл выражается формулой
V(ajj, х2, й|, а^) — Ь а(.
Для этого интеграла V = 1, рх = (х, + х2а2)/а2, р2—хх + х^,
откуда а2 — р2/рх, ах = и — р1р2/2. Исключая ах и а2 из V , мы по-
лучаем, что у2 — х — 2(ххрх + х2р2)/р2. Функции ах, а2, у2 являются
первыми интегралами характеристического распределения.
Пример 3.8. Рассмотрим уравнение
( ди ди ди ]
£ = Hi — ------и--------аи = О> .
I дхх дх2 дх2 )
Полный интеграл этого уравнения может быть найден из соотноше-
ния
и2 — V2 = 2(а1ж1 — а)(х2 — а^).
7*
100
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Нетрудно проверить, что
u _ ISl = „ - х _ а1р2
2 К, xiPi’ 2 PliayXi-aY
где ах — интеграл, определяемый из уравнения 2р1(а1х2 — а)2 =
= и2р2а1. Функции а1,а2,у2 образуют набор первых интегралов ха-
рактеристического распределения на уравнении £.
3.4. Метод Лагранжа — Шарли. В случае двух независимых
переменных для построения полного интеграла уравнения достаточ-
но знать один нетривиальный первый интеграл его характеристиче-
ского распределения. Соответствующий метод построения полного
интеграла называется методом Лагранжа — Шарли [65, 30].
Пусть £ = {F =0}, F е ^“^‘(R2)), a f е C°°(J *(К2)) — инте-
грал характеристического векторного поля YF, т. е.
YF(f) = 0. (3.10)
Будем искать обобщенные решения уравнения £, удовлетворяющие
условиям
Г F(xi,x2,u,pl,p2) = 0, <311)
I f(xl> х2> и> Pit Р2) = а1>
где as — произвольная константа.
Разрешая систему уравнений (3.11) относительно переменных
р2, мы получим
f Р1 — @1 (Х1 >х2,и> ®1 )>
I ?2 = 92(х1 ’Х2’и> а1 )•
Можно показать, что при выполнении условий (3.10) и (3.11)
форма dU{ — du — px dx{ —p2dx2 замкнута, и поэтому система урав-
нений
{ди _
-- 9l\x\i X21U) а1»
ди
= х2> U> а1 )>
совместна и имеет решение u = V(xt, х2, а19 а?), представляющее со-
бой искомый полный интеграл уравнения £.
гт г, „ г. п ди ди ди
Пример 3.9. Рассмотрим уравнение 2х. -— ----------и----Ь
ди п ,,
+с—— =0, где а — некоторая константа, отличная от нуля. Нетруд-
§ 3. ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
101
но убедиться, что величина р2 является первым интегралом характе-
ристического распределения уравнения £. Полагая р2 = а2, из урав-
нения £ находим р{ — са2/(и — х2а2). Итак, уравнения ди/дх2 = а2 и
ди/дхх =са2/(и — х2а2) совместны. Из первого уравнения получаем
u = a2x2 + v(xl), а из второго vXi — ca2/v, откуда v = Чса^ + Oj.
Поэтому и = V±(x1, х2, aj, Og) = а2х2 ±yjZca^x^ + а, представляет со-
бой полный интеграл уравнения £ при любом выборе знака.
Перед тем как изложить метод Лагранжа — Шарли в общем
случае, рассмотрим вопрос о совместности переопределенной си-
стемы уравнений:
/1=с1>
< ....................... (3.12)
- fr — cr >
Д 6 i = 1,.. .,г, ср .. .,сг — константы.
Утверждение 3.1. Для совместности системы урав-
нений (3.9) достаточно, чтобы при любых 1 i, к г скобка
Якоби {/р fk} была равна нулю на поверхности (3.12).
Доказательство. Прежде всего заметим, что характери-
стические векторные поля ..., Yf касаются (2п — г + 1)-мерной
поверхности в J*(M), задаваемой системой уравнений (3.12). В са-
мом деле, = [/f, fk] = 0 на этой поверхности, так что каждое
векторное поле Yf касается указанной поверхности.
Воспользуемся теперь следующим свойством коммутатора ха-
рактеристических векторных полей:
1У/> = yU,ff] + 9% - f'Yg + [/, g]Xp (3.13)
где f'= dUl([Xl,Xf]), g'=dUl([Xl,Xg]).
Упражнение 3.2. Докажите равенство (3.13).
В силу равенства (3.13) на поверхности (3.12) имеем , Yf ] =
По теореме Фробениуса отсюда следует, что векторные поля
Y^,..., Yf образуют вполне интегрируемое распределение Y на
поверхности (3.12).
Заметим, далее, что любое n-мерное интегральное многообра-
зие N распределения Картана имеет с поверхностью (3.12) пересе-
чение, которое по меньшей мере (п—г)-мерно. Выберем (п — ^-мер-
ное интегральное многообразие R распределения Картана, лежащее
102
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
на поверхности (3.12) и такое, что касательная плоскость Тв (R)
имеет нулевое пересечение с плоскостью, натянутой на векторы
(Yf)ei..., (Yf )в, при любом 0, принадлежащем R. Обозначим че-
рез N объединение интегральных многообразий распределения У,
проходящих через точки многообразия R. Тогда n-мерное многооб-
разие N является обобщенным решением системы (3.12) вблизи R.
Действительно, для каждой точки в ER пространство Тв (N)
есть сумма пространств Тв (R) С Св и С Св. Таким образом,
Тв (N) с Св для любой точки в G N вблизи R, что и требовалось
доказать. □
Напомним, что функция F, задающая уравнение £ = {F = 0},
выбирается так, что форма dF\£ почти везде отлична от нуля, и
что в этом случае любая функция / G COO(J1(M)), обращающаяся
в нуль на £, имеет вид f '= vF, где v G C°°(Jl(M)).
Если F удовлетворяет этому условию, то f G Coo(Ji(M)) тогда
и только тогда будет интегралом характеристического распределе-
ния для £ = {F = 0}, когда
{F,f} = XF для некоторой А G C°°(Jl(M)). (3.14)
Пример 3.10. Рассмотрим дифференциальное уравнение
В этом уравнении F = (pf + P2)h(xf + xf) — (х^ + x2p2 — u)2. Для
функции / = (x2Pi — х\Рг)1и имеем
[F, /] = YF(f) = —4—-F = 0.
X2Pi X1P2
Поэтому условие (3.14) выполняется, так что функцию / можно
использовать для построения полного интеграла по методу Лагран-
жа — Шарли.
Система уравнений (3.12) называется системой в инволю-
ции, если [Д, fk] = 0, 1 i, к г, в силу этой системы.
Сформулируем теперь метод Лагранжа — Шарли в общем слу-
чае.
Теорема 3.2. Пусть £ — {Р = 0} с Jl(M) — дифферен-
циальное уравнение первого порядка с п независимыми пе-
ременными, и пусть f2,..fn — такие гладкие функции на
Jl(M), что:
§ 3. ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
103
1) = \F, к = 2,...,п, XkeC°°(j'(M)), т. е.
.. ,,Xj — симметрии уравнения £;
2)"lW = \*F, 2^i,k^n, XikeC°°(Jl(M));
3) функции F, f2, . . fn функционально независимы.
Тогда полный интеграл уравнения £ может быть найден
из системы уравнений
( F =0,
. f = а .
Jn п
Доказательство. В силу утверждения 3.1 система (3.15)
определяет (п+1)-мерную поверхность Ра, а=(а2,..., ап), в £. Пусть
С(Ра) — индуцированное распределение Картана на этой поверхно-
сти, т. е. распределение, задаваемое дифференциальной 1-формой
ша = Щр (равносильным образом, С(Ра)в = Св ПТв(Ра) для любого
^еРа). °
Распределение С(Ра) вполне интегрируемо. В самом деле, ли-
нейно независимые векторы (YF)e, (Yj)e,..., (Yj )е образуют базис
в пространстве С(Ра)е =Св ПТв(Ра). 1^ак мы показали при доказа-
тельстве утверждения 3.1, векторные поля YF, Y&,.. .,Yf образуют
интегрируемое распределение на Ра.
Обозначим через Д интеграл этого распределения. Система
уравнений
F=0,
Чп = Ъп
задает некоторое обобщенное решение уравнения £ при любом вы-
боре констант ..., Ьп. Тем самым мы построили полный интеграл
уравнения £ (см. определение 3.2). Для доказательства регулярно-
сти параметризующего отображения следует воспользоваться тео-
ремой Фробениуса, g
Пример 3.12. Рассмотрим следующее уравнение с п неза-
висимыми переменными:
ди ди ди п
и-— • -— •... • —--х. xQ... ж = О.
дх{ дх2 дхп 1 2
104
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Величины
PiU1/n _ р2и1/'
Рп
являются первыми интегралами характеристического распределе-
ния для уравнения £ = {ир1р2... рп — . хп = 0}.
Нетрудно проверить, что интегралы /п находятся в ин-
волюции, так что система уравнений
Р114 / — >
р и1/п = А х
п п’
совместна для любых констант Ар..., Ап, причем она совместна
с исходным уравнением Е при Аг •... • Ап = 1. Решение этой системы
можно записать в виде
и = иг(xj, а,) + и2(х2, а2) + ... + ип(хп, ап),
где п
/п + 1 . 2. \ п+1 . ,
иг = \-^TAiXi +ai) ’ l = 1’
— константы интегрирования. Выбирая А, = А2 = ... = Ап = 1,
получаем, в частности, следующий полный интеграл уравнения £:
ГЛАВА 3
ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Методы гл. 2 основывались на представлении дифференциаль-
ного уравнения первого порядка в виде подмногообразия в простран-
стве Jl(M), рассматриваемого вместе с распределением Картана. В
этой главе мы распространим этот подход на произвольные системы
нелинейныех дифференциальных уравнений. Здесь рассматривает-
ся пространство fc-джетов и важнейшие геометрические структуры,
связанные с ним. Далее определяются классические симметрии диф-
ференциальных уравнений и на примере некоторых уравнений мате-
матической физики демонстрируются методы их вычисления. Кроме
того, обсуждается применение классических симметрий уравнений
к нахождению точных решений.
§ 1. Уравнения и распределение Картана
Рассмотрим систему нелинейных дифференциальных уравне-
ний в частных производных порядка к:
’ Fl(x,u,p) = 0,
..............
. Fr(x,t»,p) = O,
(1.1)
где Ft — некоторые гладкие функции, ® = (х{,..., хп) — независи-
мые переменные, и = (и1,..., ит) — неизвестные функции, а через р
обозначен набор частных производных р3 = —а = (г,,...
дх{1 ... дх**
..г ) — мультииндекс, |<т | = +... + in к.
Геометрический подход к изучению системы (1.1) заключает-
ся в том, что уравнения ^.(®,u,p) = 0, 1 ^г, рассматриваются
как условия, наложенные не на сами функции и, а на начальные
(до степени к включительно) отрезки рядов Тейлора этих функ-
ций. Это позволяет ввести некоторое конечномерное пространство,
координаты в котором соответствуют значениям функций и и их
производным.
106
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Итак, переменные
xi,...,xn, и1,...,ит, р*а, |<т| < к,
будем рассматривать как координаты в некотором пространстве
Jk(n,m), размерность которого равна
1- \ х-'' (n+i — 1\ (п + к\
dimJ (п, т) — п + т> l=n+m|
n-1 ) \ к J
Соотношения (1.1) задают в пространстве Jk(n, т) поверх-
ность £ коразмерности г, которая является геометрическим обра-
зом, соответствующим данной системе нелинейных дифференциаль-
ных уравнений. Эту поверхность в Jk(n, т) мы и будем называть
дифференциальным уравнением порядка к с п независимыми
и т зависимыми переменными. (Далее мы уточним это определе-
ние.) Поверхность £ является инвариантным объектом, в отличие
от ее записи в виде системы (1.1), так как аналитическая запись
одного и того же уравнения может быть различной.
Тот факт, что переменная р3а, а = (^,..., in), соответствует част-
ной производной и3 по X],..., хп, геометрически выражается следу-
ющим образом. Рассмотрим на Jk(n, т) распределение Картана
С = Ск(п,т), задаваемое базисными 1-формами
=dPa ~^Ра + 1{ dxn
i = i
| ст | Sj к — 1,
(1.2)
где lt = (0,..., 0,1,0,..., 0) и 1 стоит на г-м месте *). Непосредст-
венное вычисление показывает, что общее число базисных 1-форм
равно
п+ к — 1
п — 1
Нетрудно проверить, что формы ш3а линейно независимы в каждой
точке, и поэтому число N совпадает с коразмерностью распределе-
ния С. Следовательно, размерность распределения Картана равна
dim Ск(п, т) = dim Jk(n, т) — codim Ск(п, т) = п + т
Рассмотрим проекцию
7rfc: J\n, т) -4 R”, 7гА(®,и,р)|х)=«. (1.3)
*) Здесь и далее мы формально полагаем р^ 0; = “J.
$ 1. УРАВНЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА
107
Ранее мы показали (см. § 2 гл. 1 и § 1 гл. 2), что распределе-
ние Картана на многообразиях Jk(l, 1) и J*(n, 1) позволяет среди
всех сечений отображения (1.3) выделять те, которые соответству-
ют гладким функциям.
В общем случае справедлива следующая теорема.
Теорема 1.1. Пусть Q С Jk(n,m) -п-мерная поверх-
ность, которая в окрестности некоторой своей точки у G
6 Q проектируется на пространство независимых перемен-
ных IRn без вырождения. В окрестности этой точки поверх-
ность Q является интегральным многообразием распределе-
ния Картана С в том и только том случае, когда локально
ее можно задать соотношениями вида
и — f (з-р • •> хп),
Um = fm(xv...,xn),
(1.4)
i J
р j =-----------------
дх1\ ... дх1"
для некоторых гладких функций f[,..., fm, где а = (гр ..., гп)
и |ст| к.
Доказательство. Действительно, условие невырожден-
ности проекции в окрестности
точки у означает, что локально урав-
нение поверхности Q можно предста-
вить в виде
и3 ^f3^,...^),
Ра = Н (®1, • - ’>
j — 1,..., т, где /3, fj — некоторые
гладкие функции. Поверхность Q яв-
ляется интегральной для распределе-
ния С, если базисные 1-формы распре-
деления обращаются в нуль на этой
поверхности, т. е.
Рис. 3.1. Невырожденная
проекция Q на R"
Ша\а = dfa' ~ 12 f- + hdXi = 12 (foT ~ -АА-1.) dXi = °’
108
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
что эквивалентно выполнению равенств
d^fj
f j _ >___
° дх\ ...
для всех j = 1,..., т и |<т| к. q
Определение 1.1. Поверхность Q, заданную соотно-
шениями (1.4), будем обозначать через Гу и называть графиком
к-джета вектор-функции / = (/1,
Из теоремы 1.1 следует, что решение данного уравнения
£ С J*(n, т) есть не что иное, как n-мерное интегральное многооб-
разие распределения Картана Ск, без вырождения проектирующееся
на пространство Rn и целиком лежащее на поверхности £.
шЛс?=0> kerd7IJs =°> J/eQ, Qcf
Решения уравнения £ можно определить, не апеллируя к тому,
что £ — это поверхность в Jk(n, т). А именно, рассмотрим мно-
гообразие £ вместе с распределением С(£), которое «высекается»
распределением С на £. Плоскость распределения С(£) в каждой
точке у е £ является пересечением плоскости Су с касательной пло-
скостью Ту£ к поверхности £. Очевидно, что интегральные много-
образия распределения С(£), без вырождения проектирующиеся на
пространство независимых переменных Кп, совпадают с интеграль-
ными многообразиями распределения С, лежащими на £ и облада-
ющими тем же свойством. Поэтому можно сказать, что решения —
это n-мерные интегральные многообразия распределения С(£), диф-
феоморфно проектирующиеся на пространство Rn(®j,..хп). На-
помним, что именно с такого подхода к решениям уравнений мы
начинали гл. 1. Рассмотрение произвольных n-мерных максималь-
ных интегральных многообразий приводит к обобщенным решениям
уравнений.
Пример 1.1 (уравнение Бюргерса). Рассмотрим уравнение
Бюргерса ut — иих—ихх —0. В 8-мерном пространстве джетов J2(2,1)
ему соответствует поверхность £, задаваемая в стандартных коор-
динатах
X = Xl, t = Х2, U, P(iiO)>P(0,1)’ Р(1,1)’ Л0.2)’ ^(2,0)
соотношением
Р(0,1) ~ «Р(1,0) — Р(2,0) = 0-
$ 1. УРАВНЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА
109
Распределение Картана на J2(2,1) задается базисными 1-формами
оу —du — P(i,Q)dxi — Р(0 jx2,
ш(1,0) =C^P(l,0) ~P(2,0)^xl ~P(l,l)^x2>
ш(0, i) = dP(o,i) — P(it i)dx{ — р^0 2ylx2.
Решениями данного уравнения являются лежащие на £ двумерные
интегральные многообразия этого распределения.
Выбрав в качестве координат на поверхности Е функции х —
=Хр t —х2, и, р(1 0), Р(о, 1), P(i, i)> Р(о,2) и заменяя всюду Р(2,о) наР(о,1)—
-•up(i 0), мы получим распределение на 7-мерном пространстве, ко-
торое задается базисными формами
ш(0,0) = du — P(i Qjdxl — р^0 ^dx2,
^(1,0) ~ dP(i'O) ~ (P(0,i) ~ uP(i,O))dxi ~~ P(i,i)dx2> U-5)
Ш(0,1) = dP(fii i) — P(i, i)^®! — P(Q'2)dx2-
Двумерные интегральные многообразия этого распределения, на ко-
торых и, р{ выражаются через х{, х2 (что равносильно невырожден-
ности дифференциала проекции на R2(x, £)), соответствуют решени-
ям данного уравнения. Например, двумерная поверхность
U = —x/t, P(1Q) = — 1/t, Р(011) = x/t , Рр = 1/t , = —2x/t .
соответствует решению u = —x/t.
Отметим, что, в отличие от систем обыкновенных дифференци-
альных уравнений (n= 1), распределение Картана С на многообра-
зиях Jk(n,m), так же как и распределения С(£), получаемые при
ограничении С на уравнение с частными производными £, вообще
говоря, не является вполне интегрируемым. Тем не менее, для неко-
торых переопределенных систем распределение С(£) может оказать-
ся вполне интегрируемым.
Упражнение 1.1. Пусть т — к=1, п = г = 2. Рассмотрим
систему уравнений
Г ux=f(x,y,u),
I иу = д(х,у,и).
Докажите, что если эта система совместна, то распределение Кар-
тана, ограниченное на соответствующую поверхность, вполне инте-
грируемо.
по
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
§ 2. Многообразие джетов и распределение Картана
В этом параграфе мы рассмотрим основные объекты, которые
важны для геометрической теории дифференциальных уравнений.
Это многообразие джетов и распределение Картана на нем. Мы
уже встречались с этими объектами при изучении обыкновенных
дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных
первого порядка. Здесь мы приведем наиболее общие определения
и изучим основные свойства.
2.1. Геометрическое определение пространства джетов.
До сих пор мы рассматривали уравнения на вектор-функцию
и = (и1,..., ит), зависящую от пере-
менных х = (хр ..., хп). С геометри-
ческой точки зрения функция и —
= /(®) представляет собой анали-
тическую запись некоторого сече-
ния проекции R”1 х R" -+ К”. В са-
мом деле, задать функцию f(x) —
это значит сопоставить каждой точ-
ке х0 е К” точку /(г0) eR", кото-
рую можно рассматривать как точку
слоя R”*, расположенного над точкой х0 (рис. 3.2).
Для того, чтобы рассматривать уравнения на произвольном
многообразии, эту конструкцию следует обобщить. Рассмотрим про-
извольное гладкое m-мерное локально-тривиальное расслоение тг:
Е —* М над n-мерным многообразием М. Напомним, что сечением
расслоения л- называется такое отображение з: М —>Е, что тгоа —
тождественное отображение базы М. Иными словами, отображе-
ние з переводит точку х е М в некоторую точку слоя Ех. В част-
ном случае тривиального расслоения М х N —* М сечения — это
отображения М N. Далее для простоты изложения мы всегда
будем считать, что рассматриваемые расслоения являются вектор-
ными расслоениями, т. е. их слоями являются векторные простран-
ства, а функциями склейки — линейные преобразования. Однако
большинство конструкций, которые мы будем рассматривать, спра-
ведливы для произвольных расслоений [132, 24].
Пусть U СМ — некоторая окрестность, над которой рассло-
ение я тривиально, т. е. 7r-1(W) = U х Rm. Если через е1,...,ет
обозначить базис в слое расслоения тг — пространстве R”*, — то
всякое сечение над U представляется в виде s = fleY +... + fmem,
где /* — гладкие функции на U. Если U — координатная окрест-
§ 2. МНОГООБРАЗИЕ ДЖЕТОВ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА
111
ность на многообразии М с локальными координатами (хр ..хп),
то любая точка слоя определяется своей проекцией на U и координа-
тами (и1,.. .,ит) относительно выбранного базиса. Функции (xp...
..хп, и1,..., ит) являются координатами в и называются
адаптированными координатами для данного расслоения. Таким
образом, в адаптированных координатах сечение задается вектор-
функцией /= (/*,..., /т) от переменных (хр..., хп).
Определение 2.1. Сечения <£], <р2 расслоения тг, мы будем
называть касающимися над точкой х0ЕМ с порядком к, если век-
тор-функции и = f j(x),u=f 2(®), описывающие эти сечения, имеют
в точке xQ одинаковые частные производные до порядка к включи-
тельно.
Очевидно, что это условие равносильно совпадению отрезков
рядов Тейлора вектор-функций до порядка к включительно. По-
скольку сами функции можно рассматривать как производные ну-
левого порядка, при к = 0 условие касания сводится к совпадению
значений f ^(х^) и /2(ж0), т. е. графики сечений з1 и з2 должны пере-
секать слой EXq в одной и той же точке (рис. 3.3 а)). На рис. 3.3 б)
и в) показаны типичные случаи касания сечений с порядками 1 и 2:
прямая, касающиеся кривой, и дуга соприкасающейся окружности.
Упражнение 2.1.
1. Докажите, что определение 2.1 инвариантно, т. е. не зависит
от выбора адаптированных координат в расслоении я.
2. Докажите, что два сечения имеют касание порядка к, если
их графики (см. определение 1.1) касаются с тем же порядком.
Касание сечений с порядком к задает отношение эквивалент-
ности, которое мы будем обозначать следующим образом: st з2.
Множество классов эквивалентных сечений, т. е. множество
Рис. 3.3
всевозможных рядов Тейлора длины к, будем обозначать через Jx
и называть пространств ом к-джетов расслоения тг в точке х.
Точку этого пространства, которая есть класс эквивалентности се-
чения з, будем обозначать [з]*. Таким образом, если st ~ з2, то
112
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
[sj* = кгЙ- Пространство к-джетов расслоения тг— это объе-
динение Jx по всем точкам х G М:
я е м
Для любой точки в = [s]* G Jk(ir) положим тгк(0) = х. Тем самым
определена проекция тгА: М, причем тг^1^) = Jk
При к = 0 получаем, что J°(tt) = (J Ех = Е, т. е. «7°(тг) совпа-
хеЛ/
дает с тотальным пространством расслоения тг.
В качестве локальных координат на пространстве fc-джетов рас-
слоения тг можно рассматривать функции х{,и3 и р/, соответст-
вующие зависимым и независимым переменным и частным произ-
водным первых по вторым. Действительно, пусть (xt...хп, и1,...
..ит) — адаптированная система координат на расслоении тг над
некоторой окрестностью U точки хеМ. Рассмотрим множество
tt-1(W) С 7*(тг). Локальные координаты (хр ..., хп, и1,..., ит) до-
полним функциями р3а, которые определяются по формуле
лИ-/
Pa([s£) = -T7---J =
ах/ ...дх”
Далее координаты р3а мы будем называть каноническими ко-
ординатами, ассоциированными с адаптированной системой коор-
динат (х^и3).
Для данного расслоения тг можно рассматривать всевозможные
многообразия джетов 7*(тг), к =0,1,..., представляя их располо-
женными одно над другим в виде башни:
Джеты и проекции
/* + 1(тг)
Координаты в джетах
xvuJ,pt
1'ьо
7°(тг) = Е
1'
М
xitu3
§ 2. МНОГООБРАЗИЕ ДЖЕТОВ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА
113
Проекции 7rt + j t определяются по формуле
^ + 1,Г + "t + 1,t([a£+1) = [sL
2=0,..., к. Так как класс эквивалентности [s£+1 6 Jt + l(ir) од-
нозначно определяет класс [з£ G «7*(тг), то определение проекций
7rt + 1 t корректно.
Упражнение 2.2.
1. Докажите, что набор окрестностей ^(W) с координатны-
ми функциями х{,и3 ,р° задает структуру гладкого многообразия на
Лтг).
2. Докажите, что проекция тг*.: Jk(ir) —> М является гладким
локально тривиальным расслоением.
Упражнение 2.3. Докажите, что проекции irt + 1 f яв-
ляются гладкими локально тривиальными расслоениями. Докажите
также, что тг, о тг. . . = тг.. ..
2.2. Распределение Картана. Введем теперь на многообра-
зии Jfc(7r) основную геометрическую структуру — распределение
Картана. Прежде всего заметим, что если s — сечение рассло-
ения тг, то для любой точки х G М можно определить элемент
jk(s)(x) = е Jk(тг). Очевидно, что отображение jk(s): М ->
—> Jk (тг) — гладкое сечение расслоения 7rfc: Jk(ir) —»М. Оно назы-
вается к-джетпом сечения s. График fc-джета в пространстве Jk(ir)
обозначается через Г*.
Назовем R-плоскостъюв касательном пространстве Te(Jk(ir)),
0 G Jk(ir), n-мерную плоскость, которая касается графика fc-джета
некоторого сечения расслоения тг. Очевидно, что 72-плоскость гори-
зонтальна относительно проекции тг: Jk(M)~* М.
Заметим, что точку О'еЛк + {(тг) можно рассматривать как
пару, состоящую из точки 0 = тгА + 1 к(в') е Jk(ir) и /2-плоскости
/2в, cTe(Jk(ir)), которая определяется как плоскость, касательная
к графику fc-джета некоторого сечения з, определенного условием
[s]* + 1 = 6'. (Легко видеть, что эта плоскость однозначно определя-
ется джетом [з]* +1.) Говоря иначе, О' — это набор значений произ-
водных до порядка к + 1, а плоскость Rei с Тв«7*(тг) определяется
значениями первых производных от к-х производных.
Упражнение 2.4. Выпишите в координатах условие того,
что n-мерная плоскость в Te(Jk(тг)) является /2-плоскостью.
8 Симметрии...
114
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Зафиксируем точку в G /*(я) и
будем рассматривать различные точ-
ки О' е J* + 1(ir), проектирующиеся в
О при отображении тг4 + 1 к. Эти точ-
ки образуют слой расслоения тг4+1 к;
Jfe + 1(7r) Jk(n) над точкой О, кото-
рый мы будем обозначать через Fk+, к(в)
или Fe. Иначе говоря, мы фиксиру-
ем значение некоторой вектор-функции
и ее производных до порядка к, а
остальным производным порядка к + 1
Рис. 3.4. Слой
проекции т4 + 1 к
позволяем меняться произвольным образом. Когда точка О' переме-
щается вдоль слоя Fg, соответствующая ей n-мерная плоскость Re> с
СТв(/*(тг)) как-то поворачивается вокруг точки О', оставаясь при
этом всегда горизонтальной относительно проекции irk. Jk(ir)—*M.
Определение 2.2. Плоскостью Картана Св = С$ в
точке О G 7*(тг) называется линейная оболочка всех плоскостей Re>
при О' eFe, т. е. линейная оболочка всех касательных плоскостей
к графикам FJ fc-джетов сечений расслоения тг, для которых [а]* = 0,
Соответствие
С: 0^Ск
называется распределением Картана на Jk(ir).
Рис. 3.5. Базис
плоскости Ret.
Приведем теперь координатное описание распределения Карта-
на. Для этого, используя адаптированную систему координат (xj,...
..., хп,и*,.. .,ит), выпишем в явном виде базис плоскости Re>,
которая соответствует точке О' g Jk +
Координаты точки О' будем обозначать
через (х<(0'),и40'),р’(0')).
Рассматривая плоскость Re как ка-
сательную к графику С Jk(n) неко-
торого сечения з, такого что [з]*+1 =
состо-
проек-
С «! =
. Из соотношений
= О', выберем в ней базис,
ящий из векторов
ции которых на М
д
дхх
совпадают
д
''“,Vn~dxn
о п
(1.4), задающих поверхность rj, легко вывести следующие формулы
§ 2. МНОГООБРАЗИЕ ДЖЕТОВ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА
115
для базисных векторов у?:
* |<r|<fc У = 1
(2.1)
Нетрудно видеть, что часть суммы, соответствующая значени-
ям ст, |ст| < к, определяется точкой 0 и не зависит от выбора точ-
ки в', расположенной над 0. Таким образом, любая плоскость R^,
соответствующая т/ G Fe, может быть получена из данной плоско-
сти Re поворотом в «вертикальном направлении». Точнее говоря,
положение R^ относительно Re можно задать набором из п векто-
ров смещения 6{ = v? — v? (рис. 3.6), вертикальных относительно
проекции тг'=1гк к _ i. Обозначим пространство вертикальных векто-
' д
ров в точке 0 через Ve = Te(Fen), где в" = пк к_{(0); векторы —г,
’ °Р„
|ст| = к, образуют базис в этом пространстве. Заметим, что любой
вертикальный касательный век-
тор v е Ve можно рассматривать
как вектор смещения: для базис-
д , , ,
ного вектора ----г, |<т| = к, до-
дР„
статочно взять точку т) е Fe, все
координаты которой, кроме од-
ной, совпадают с соответствую-
щими координатами точки О’, а
Ра + 1(^) = Р/+1.(0') +1- Тогда 6{ = у?-у* =
°Р«
Из соотношений (2.1) следует, что распределение Картана
на J (тг) задается набором 1-форм =dp3a - ^2 Р3а + \ 1СТ1
• = 1 ‘
к — 1, которые называются формами Картана.
Геометрическая структура плоскостей Картана характеризует-
ся следующей теоремой.
Теорема 2. 1 Пусть С — распределение Карта-
на на многообразии Тогда справедливы следующие
утверждения:
1) плоскость Картана Св С Te(Jk(ir)) является прямой
сум мой вертикального и горизонтального подпространств
Св — Vg ®Rg,
(2.2)
8*
116
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
где Ve — касательное
Рис. 3.7. Структура
картановской плоскости
пространство к слою проекции irk к_1,
a Rg — R-плоскость, соответст-
вующая некоторой точке О, при-
надлежащей слою Fg над точкой в;
2) плоскость Картана Св со-
стоит в точности из таких каса-
тельных векторов в точке в, ко-
торые попадают в Re при проек-
ции кк k_v т. е.
(2.з)
Доказательство. Первое утверждение вытекает из пре-
дыдущих рассуждений. Заметим только, что в прямом разложении
(2.2) первое слагаемое, в отличие от второго, определено точкой О
однозначно.
Для доказательства второго утверждения заметим, что проек-
ция (тгк к _ j )„ отображает подпространство Ve в нуль, а плоскость Rg
взаимно однозначно отображает на Re. Поэтому Св С (7rfc к _ , )~l(Re).
Обратное включение следует из того, что полный прообраз точки
есть в точности Ve сСв. п
Следствие 2.2. Горизонтальное (относительно про-
екции як fcl) подпространство картановской плоскости Св
не может иметь размерность, превосходящую n = dimM.
Следствие 2.3. Плоскость Р С Св является гори-
зонтальной относительно проекции кк к_ j тогда и толь-
ко тогда, когда она горизонтальна относительно проекции
кк: Jk(ir) М (т. е. вырождение при проекции картановской
плоскости при отображениях Jk(^) —> Jk — 1 (тг) 7°(тг) —>
~^> M может происходить только на первом шаге).
Найдем координатную запись векторного поля X, лежащего
в распределении Картана Ск на многообразии 7к(тг). Для этого ис-
пользуем разложение (2.2). Базис вертикального пространства Ve
образует набор вертикальных векторных полей -г, j = 1,..т,
дРа
|<т| = к, в точке в. Базис горизонтального подпространства можно
выбрать в виде набора усеченных операторов полной производной
1 у = 1И<*
§ 2. МНОГООБРАЗИЕ ДЖЕТОВ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА
117
Таким образом, всякое векторное поле X, лежащее в распределении
Картана, можно разложить по указанному базису:
m _
X=2>D<‘>+£ Уст <2-5>
i = l |<r| = fc
Распределение Ск не является вполне интегрируемым, так как,
например, при |<т| = к — 1 коммутатор
9 D(k) = д
9Р>+li’ ' Ы
не имеет вида (2.5). Поэтому максимальные интегральные многооб-
разия распределения Ск имеют размерность меньше, чем dimC*.
Теперь мы наконец можем сформулировать определение диф-
ференциального уравнения порядка к, которое аналогично опреде-
лению дифференциального уравнения первого порядка.
Определение 2.3. Дифференциальным уравнением
порядка к в расслоении тг: Е—>М называется подмногообразие £ с
С Jk(ir), снабженное распределением Картана С(£): 0>->Ce(£)=Cj:n
Г\Тв(8), в G £. Максимальное интегральное многообразие распре-
деления Картана (размерности dimM) называется (обобщенным)
решением уравнения £.
Упражнение 2.5. Пусть тг: Е -+М — расслоение и тг, 0:
Jx(tt)-*E. Покажите, что сечения расслоения тг, 0 являются связ-
ностями на расслоении тг, а условие нулевой кривизны некоторой
связности определяет в расслоении тг, 0 уравнение первого порядка.
2.3. Интегральные многообразия распределения Карта-
на. В теореме 1.1 мы показали, что графики А:-джетов сечений Г,
являются интегральными многообразиями распределения Картана.
Здесь мы опишем локальное строение произвольных максимальных
интегральных многообразий.
Определение 2.4. Пусть Р с С£ “1 — некоторая пло-
скость размерности s, з dim М. Подмножество
i(p) = {eeFe\R^P}
слоя над точкой в называется лучевым подмногообразием
(лучом), соответствующим плоскости Р. Если N с Jk~ 1(тг) —
некоторое подмногообразие, то множество
L(M)= J l(TqN)
qeN
118
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Рис. 3.8. Лучевое многообразие
называется продолжением (или поднятием) многообразия N.
Упражнение 2.6. Докажите, что если Гу“1 сN, то Гу С
CL(N).
Пример 2.1. Рассмотрим многообразие 1-джетов скалярных
функций /‘(2,1) от двух аргументов с координатами (x,y,z,p,q),
где z — функция переменных х, у, a p,q — ее производные по х, у
соответственно.
Зафиксируем точку 0 е J°(R2) с координатами (х, у, z). Слой Fe
расслоения J*(R2) —» J°(R2) над этой точкой является плоскостью
д д д
с координатами (р, q). Пусть £ = Х-—\-Y — + Z -ненулевой
ах ay az
вектор в точке 0 и Р — порожденная им прямая. Найдем уравнения
соответствующего лучевого многообразия 1(Р).
Пусть точка 0 G Fe имеет координаты
р0, q0. Тогда соответствующая ей пло-
скость Rg описывается уравнением
dz — р0 dx — qQ dy — О,
а условие RgZ)P, т. е. £ имеет вид
Xp0 + Yq0 = Z. Следовательно, если ве-
личины X, Y, Z фиксированы, а р, q —
переменные, то подмногообразие ЦР) С
С Fe задается уравнением Хр + Yq = Z.
В общем положении ЦР) представ-
ляет собой прямую в плоскости Fg. Это и
есть уравнение подмногообразия ЦР)с
С Fg. Здесь р, q — переменные координа-
ты в Fg, а величины X, Y, Z фиксирова-
ны. Таким образом, в общем случае ЦР)
представляет собой прямую на плоскости Fg. Заметим, что направ-
ление этой прямой определяется проекцией (X, Y) вектора £ на
плоскость R2 , а положение ее начальной точки зависит также от
координаты Z. В исключительном случае, когда вектор £ вертика-
лен (т. е. X =У = 0, Z ^0), ЦР) пусто, так как Я-плоскость не
содержит вертикальных направлений.
Теперь рассмотрим подмногообразие N с J°(R2), которое про-
ектируется на R2 у без вырождения. В зависимости от размерно-
сти X его продолжение L(X) описывается следующим образом.
1. Подмногообразие АГ состоит из одной точки 0. Тогда L(N) =
= Fg — слой над точкой в.
$ 2. МНОГООБРАЗИЕ ДЖЕТОВ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА
119
2. Подмногообразие N — кривая, заданная параметрически:
/3(t),7(t)). Тогда L(N) — двумерная поверхность в пятимер-
ном пространстве J1, заданная уравнениями
x = a(t),
y = 0(t),
z=y(t),
. a'(t)p + /3'(t)q = z.
(2.6)
Кривую N c J°(R2) можно рассматривать как график некоторой
функции z(x, у), заданной вдоль некоторой лежащей в плоско-
сти R2 кривой х = a(t),y = 0(t). Последнее из уравнений систе-
мы (2.6) показывает, как связаны между собой частные производные
р = zx, q = zy данной функции на этой кривой.
3. Подмногообразие N — поверхность вида z = f(x, у). Тогда
каждая точка 0 eN однозначно определяет такую точку О gFe, что
R$ = Te(N). В самом деле, координаты p,q точки в должны совпа-
дать с угловыми коэффициентами касательной плоскости Te(N).
Таким образом, в = [/]^ и L(N) = — график 1-джета функции /.
Пример 2.2. Рассмотрим интегральную кривую N рас-
пределения Картана на J*(2,1) и ее поднятие в J2(2,1). Из
следствий 2.2 и 2.3 вытекает, что подня-
тие непусто только в том случае, ес-
ли кривая N горизонтальна относитель-
но проекции д-р J^R2) —>R2. В этом слу-
чае на R2 можно выбрать такие коорди-
наты (х, у), что проекция S кривой N Рис 3 9
в окрестности некоторой ее точки имеет
вид у = 0 (рис. 3.9). Сама кривая в этом случае может быть описана
соотношениями вида
У = 0,
z = a(x),
Р = 0(х),
9=7(®)-
(2-7)
Так как эта кривая — интегральное многообразие распределения
Картана, задаваемого уравнением (dz —pdx — qdy)\N =0, то /3 = а'.
Условия (2.7) означают, что нам известны значения функции z(x, у)
и значения производной z (х,у) при у = 0. Мы получили стандарт-
ный вид данных Коши для уравнений второго порядка. В этой ситу-
120
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
ации задачу поднятия можно интерпретировать как описание гра-
фиков джетов тех функций, которые удовлетворяют данным Коши.
Пусть 0(х, у, z,р, q) — точка кривой W и = (X, Y,Z,P,Q) —
касательный вектор. Опишем множество 1(£) в слое Fe. Обозначим
координаты в слое проекции J2(R2) —> J^R2) через r,s,t (они от-
вечают соответственно производным zxx, zxy, zyy). Тогда уравнения
Xr + Ys=P,
Xs + Yt=Q
описывают прямую /(£).
Заметим, что классическое понятие характеристик для уравне-
ний второго порядка основывается на рассмотрении системы (2.8)
совместно с исследуемым уравнением 8 с J2(R2).
Заметим теперь, что для любого невырожденного относительно
проекции на базу интегрального многообразия N с Jk (далее
такие подмногообразия мы будем называть «горизонтальными») со-
ответствующее многообразие L(N)cJk(ir) также будет интеграль-
ным. Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, применяя тео-
рему 2.1, что в любой точке 0 е L(N) образ касательного простран-
ства Tg(L(N)) при проекции кк к _ 1 содержится в R#. В силу опреде-
лений и построения L(N) имеем (кк k_l)t g(L(N))=T^(ir'(L(N))) =
— Te(N)cR^. Таким образом, L(N)— интегральное многообразие.
Тем самым мы получили способ построения интегральных многооб-
разий в 7к(тг), исходя из интегральных многообразий в 7*-1(тг).
Как мы докажем в теореме 2.7, описанная конструкция имеет
универсальный характер. Сейчас мы опишем локальную структуру
горизонтальных интегральных многообразий N и выведем формулу,
выражающую размерность L(X) через размерность N.
Утверждение 2.4. Всякое горизонтальное интеграль-
ное многообразие N распределения Картана в Jk(ir) локально
совпадает с графиком k-джета Гу некоторого сечения f.
Доказательство. Пусть г = dimN ^п. Введем в окрест-
ности точки a=irk(0), OeN, координаты xv ..., хп, в которых 7rfc(TV)
задается соотношениями + , = ... = = 0. Так как многообразие
N горизонтально, то оно не вырождено относительно проекции 7rfe:
Jk(ir) —>М. Следовательно, N задано уравнениями
х,.=0, 2>r, P^=//(xP...,xr),
Ограничивая формы Картана на N, получаем (ср. с доказательством
§ 2. МНОГООБРАЗИЕ ДЖЕТОВ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА
121
теоремы 1.1), что
+ дх{ ’
|<т| к — 1, i = 1,..п.
Поэтому Цх) = (f1,..., fm), задает требуемое сечение. □
Утверждение 2.5. Пусть тг: Е —> М — т-мерное рас-
слоение над п-мерным многообразием М и N С Jk(ir) — гори-
зонтальное интегральное многообразие распределения Кар-
тана размерности г ^.п. Тогда*)
.. г/яг\ . (п — г + к\
dim L(7V) = г + ml , .
\п — г — 1/
Доказательство. Зафиксируем некоторую точку в е N.
Через Р№ обозначим касательное пространство Te(N). В окрестно-
сти точки тгк(в) введем такую систему координат х1,...,хп, что
irk(N) задается в ней уравнениями хт + 1 =.. . — хп = 0. Тогда базис
плоскости Рв образуют векторы
(г\ Л \
(2-9)
где а3 { = ——-— для сечения / = (/’,.. .,fm), построенного в
’ охаох{
утверждении 2.4.
Условие принадлежности точки в, имеющей координаты р^ и
лежащей в слое над в, многообразию 1(Р), можно записать в виде
Р^+1. = al,i 1 < г> 1 < J С т.
Эта система линейных неоднородных уравнений относительно неиз-
вестных р3 совместна, т. е. для всех г, I, j, р выполняются соотноше-
ния ( = ej + 1 {. Следовательно, соотношения (2.9) позволяют
однозначно определить такие координаты р?, мультииндекс т кото-
рых, |т| = к 4- 1, отличен от нуля в первых г компонентах.
На другие координаты соотношений нет; число этих координат
при каждом фиксированном j = 1,..., т равно количеству всевоз-
можных мультииндексов т, |т| = к + 1, отличных от нуля только в
, f п — г + к\
п— г компонентах г + 1,..., п, т. е. , 1.
\п —г — 1 /
0=
*) При р < 0 мы полагаем
0.
122
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Итак dim ЦР) = т(П Г + , и так как многообразие L(N)
\п — г — 1)
расслаивается над W со слоем 1(Р9) над точкой в G N, то dim L(N) =
(n — r + k\
п — г — 1/ °
Следствие 2.6. Если = dim< r2 = dimN2, mo
dimL(^)^ dimZ>(.AF2), причеши равенство достигается лишь
в следующих случаях:
а) т = п = 1;
б) к = 0, т = 1.
Рис. 3.10. Регулярные и
особые точки проекции
Описание всех максимальных интегральных многообразий рас-
пределения Картана приводится в следующей теореме.
Теорема 2.7. Всякое интегральное многообразие Q рас-
пределения Картана на Jk(n) является максимальным то-
гда и только тогда, когда оно всюду, кроме, быть может,
подмногообразия меньшей размерности, в окрестности лю-
бой точки имеет вид L(N) для некоторого горизонтального
интегрального многообразия N С Jfc-1(7r).
Доказательство. Пусть
Q — максимальное интегральное мно-
гообразие в J*(tt). Докажем утвер-
ждение теоремы для любой точки
в € Q, в окрестности которой ранг
отображения 'т'= k-i- ^*(7Г) —*
—» Jfc — 1(тг) постоянен (очевидно, что
эти точки образуют открытое всю-
ду плотное подмножество Q, см.
рис. 3.10).
В дальнейшем нам понадобится
лемма, которая вытекает из теоремы
о неявной функции и приводится нами без доказательства.
Лемма 2.8. Пусть f: А—* В —гладкое отображение
многообразий, имеющее в окрестности точки a G А посто-
янный ранг р. Тогда множество f(A) является многообрази-
ем в окрестности точки b = f (а), причем его касательное
пространство есть образ касательного пространства к А:
Ть(ЦА)) = ЦТа(А)).
Вернемся к доказательству теоремы. Пусть в е Q и N =
= ir'(U) — проекция соответствующей окрестности U С Q на
По лемме 2.8, N —подмногообразие в Пусть
в' = 7г'(в). По той же лемме и теореме 2.1 Tei(N) = Tei(ir'(Q)) =
= tt'(T9(Q)c тг'(Св) =.Rfl. Отсюда следует, что N —горизонтальное
$ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ
123
многообразие и dim N ^п, т. е. применимо утверждение 2.1. Вклю-
чение Rg по определению означает, что в е L(N). Таким
образом, U С L(N), т. е. локально Q с L(N). В силу максимально-
сти Q = L(N).
Обратно, рассмотрим многообразие вида L(N). Как только что
было установлено, оно содержится в максимальном интегральном
многообразии А(АГ1) и dim L(N) dim(^). Но N = n'lLfN)), N\ =
= n'(L(Niy). Следовательно, N c и dimN dim АГ,. Отсюда, по
следствию 2.6, dimZ(^) dimL(TV), т. е. £(#) = £(#,). □
Отметим, что если N — график (к — 1 )-джета некоторого сече-
ния расслоения тг, то многообразие L(N) является графиком fc-дже-
та того же сечения. Отсюда следует, что графики джетов являют-
ся максимальными интегральными многообразиями распределения
Картана.
Из доказанной теоремы и следствия 2.6 вытекает следующее
утверждение.
Следствие 2.9. Исключая случаи т = п=1, к = т—1,
среди всех интегральных многообразий распределения Карта-
на на Jk(ir) наибольшую размерность имеют слои проекции
k-i> т- е' многообразия вида L(N), где N нульмерно.
Этот факт имеет фундаментальное значение для описания пре-
образований, сохраняющих распределение Картана. Этим преобра-
зованиям посвящен следующий параграф.
§ 3. Преобразования Ли
Говоря неформально, преобразование Ли — это такое преобра-
зование совокупности зависимых и независимых переменных и про-
изводных первым по вторым, при котором сохраняются дифференци-
альные связи между этими переменными. С геометрической точки
зрения, преобразования Ли являются диффеоморфизмами многооб-
разия джетов Jfc(w), сохраняющими распределение Картана, т. е.
ту геометрическую структуру, которая содержит информацию об
этих связях. Таким образом, преобразования Ли — это симметрии
распределения Картана. Симметрии многообразия т. е. кон-
тактные преобразования, были рассмотрены в гл. 2. По аналогии с
этим, преобразования Ли многообразия Jfc(w) уместно назвать кон-
тактными преобразованиями порядка к. Однако мы покажем, что
для одной зависимой переменной такие преобразования сводятся
124
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
к обычным контактным преобразованиям, а для нескольких зави-
симых переменных — к точечным преобразованиям, т. е. заменам
зависимых и независимых переменных.
3.1. Конечные преобразования Ли. Допустим, что имеет-
ся п независимых переменных xt,..хп и т зависимых переменных
и1,..ит. Пусть заданы формулы замены переменных
й3 = д3(х,и)
(3-1)
т
Тогда мы можем выразить частные производные р3 = через
d\r\ui Эх
х.,и3 ир3г = „ _ .
г Т ОХ'
Примеры.
3.1. Рассмотрим масштабное преобразование
х{ = а,жР и3 —/Зм3.
Производные р3. = при этом преобразуется следующим обра-
зом: dxi
-i Ъ i
Pi = — Pi
ai
Можно выписать действие продолжения этого преобразования на
производные любого порядка
Ра
где о/*1.= aj1 ... ар*
3.2. Трансляция (параллельный перенос) на постоянный вектор
в пространстве зависимых и независимых переменных описывается
формулами
Xi = Xi + —и* + rf-
Его действие тождественно на переменных р3а
Ра=Р1
3.3. Преобразование Галилея (переход в движущуюся с посто-
янной скоростью систему отсчета) задается формулами
t=t, х = х — vt, й = и.
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ
125
Продолжение этого преобразования на производные первого поряд-
ка имеет вид
Ut=ut+vu, й=и.
3.4. Произвольный диффеоморфизм плоскости х, и (т. е. замена
одного зависимого и одного независимого переменного)
х = А(х, и),
и — р(х, и)
(3-2)
порождает преобразование трехмерного пространства х,и,р, кото-
рое дробно-линейно по переменной р. Нетрудно проверить, что р =
= du/dx как отношение дифференциалов, и мы получаем, что
-=du = + pudu = рх + рир
dx Xxdx + Audu Ax + Aup
Упражнение 3.1. Пусть m = n, т. e. число независимых
переменных совпадает с числом зависимых. Рассмотрим замену пе-
ременных
х{=иг, и? =Xj, i, j = 1,.. ,,п=т.
Это преобразование называется преобразованием годографа. Вы-
ведите формулы для действия продолжения этого преобразования
на первые производные.
Рассмотрим теперь общую геометрическую конструкцию, соот-
ветствующую заменам переменных и продолжению действия этих
замен на производные по независимым переменным.
Пусть тг: Е —>М — некоторое расслоение. Тогда формулы (3.1)
можно интерпретировать как координатную запись некоторого диф-
феоморфизма пространства Е. Напомним, что такие преобразова-
ния называются точечными преобразованиями.
Диффеоморфизм А: Е —> Е для любого к 1 порождает диф-
феоморфизм АУ1’: Jfc(?r) —> определяемый следующим обра-
зом. Пусть в — некоторая точка многообразия 7к(тг), Ь и а — ее
проекции в Е и М соответственно. Выберем такое сечение <р, что
0 — и рассмотрим его график Г.СЕ. Под действием преобра-
зования А точка Ь переходит в некоторую точку Ь' € Е, а график
в подмногообразие -4(1^) с £. Если это подмногообразие в окрест-
ности точки Ь' будет имеет вид графика некоторого сечения <р', то
положим в' = где а — тг(Ь'), и Д(А)(0) = в'.
126
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Упражнение 3.2. Докажите, что точка в' не зависит
от выбора сечения <р; она однозначно определяется fc-джетом сече-
ния <р в точке а, т. е. точкой в.
Преобразование называется к-м поднятием точечного
преобразования А. Вообще говоря, оно определено не на всем мно-
гообразии Jk(ir), а (как это будет видно из дальнейшего) только в
некоторой открытой всюду плотной области J*(tt). Этот геометри-
ческий факт соответствует тому «формульному» наблюдению, что в
процессе преобразований производных могут появляться «члены в
знаменателе», обращение которых в нуль задает множество значе-
ний переменных, где преобразование не определено (ср. с равенст-
вом (3.3)).
Пример 3.5. Рассмотрим преобразование годографа одной
независимой и одной зависимой переменной
х = и, и = х.
du _ du
Пусть р = р = Тогда, как это следует из упражнения 3.1,
dx dx
р=\/р. Заметим, что хотя исходное преобразование А было всюду
определенным диффеоморфизмом пространства R3 = J’(R), преоб-
разование А(1) определено в пространстве R3 = J’(R) везде, кроме
плоскости р = 0.
Из приведенной конструкции преобразования видно, что в
области своего определения оно является симметрией распределе-
ния Картана С*. В самом деле, подпространства Ск являются линей-
ной оболочкой Я-плоскостей R$, в е Jfc + 1, а касательное отображе-
ние А^ переводит такие плоскости друг в друга. В самом деле, если
A(i;)=i> а*=м*+1 и 0'=kt+I> то а<;>(л9~)=я9~,.
Определение 3.1. Диффеоморфизм F: —> Jk(ir)
называется преобразованием Ли, если Ftg(Ck) = Cpe для любой
точки в G Jk(n).
Поскольку распределение Картана локально задается набором
формул (1.2), диффеоморфизм F является преобразованием Ли в
том и только том случае, если для всех j = 1,..., т и |<т| к — 1
локально выполнены равенства
т
1=1
где A£J —гладкие функции на У*(тг).
$ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ
127
Пример 3.6. Выведем еще раз формулы поднятия в
точечного преобразования плоскости (3.2), пользуясь толь-
ко что сформулированным свойством преобразований Ли. Функ-
цию р(х,и,р) будем искать из условия, что образ распределения
du - pdx = 0 при отображении (3.2) совпадает с распределением
du — pdx = 0. Это требование означает, что, заменяя в выраже-
нии du —pdx все переменные на соответствующие функции х,и,р,
мы должны получить дифференциальную форму, пропорциональную
du —pdx. Вычисляя, получаем
du — pdx = uxdx + uudu — p(xxdx + xudu =
= (“u ~Pxa)du + (ux — pxx)dx = A(du -pdx),
откуда йх — p xx = — р(йи — pxu), и, значит,
в соответствии с формулой (3.3).
Рассуждая аналогично, мы получим формулы поднятия в 7*(тг)
произвольного точечного преобразования (3.1). А именно, функ-
ции *) Pf, t = l,...,n, j = 1,..., т, определяются из т систем ли-
нейных уравнений (для j = 1,..., т)
D^) ... D^xJX/p’X fD^)\
............... • .• = • • • > (34)
Dn(xn)/ \Pn' \Dn(u])J
где D. — оператор полной производной no переменной x-, дей-
ствующий на функции /(Хр..., хп, и1,..., ит) по формуле
’ J = 1
Определитель матрицы, стоящей в левой части равенства (3.4),
уместно назвать «полным якобианом» системы функций . ,,хп.
Отметим, что обращение в нуль этого якобиана на некотором откры-
том множестве влечет функциональную зависимость функций х,-.
Поскольку замена (3.1) является локальным диффеоморфизмом,
*) В следующей формуле, и далее в аналогичных случаях, мы будем для кратко-
сти писать р{ вместо рг
128
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
функции х{ независимы и уравнения (3.4) почти всюду однознач-
но определяют значения р? .
Упражнение 3.3. Докажите, что если поднятие А(,) точеч-
ного преобразования А: У0(тг) —> У°(тг) определено в окрестности
точки в g то поднятие определено в окрестности любой
точки в', проектирующейся в 0 при отображении тгк Jfc(?r) -»
^J*(7r).
Преобразование поднятия применимо не только к диффеомор-
физмам многообразия зависимых и независимых переменных Е —
= <7°(тг), но и к преобразованиям Ли произвольного многообра-
зия джетов J*(tt). В самом деле, пусть дано преобразование Ли
A: Jk(ir)-+ Как мы знаем, многообразие J* + 1(tt) контакт-
ных элементов порядка к + 1 можно представлять себе как множе-
ство всех горизонтальных n-мерных интегральных плоскостей (R-
плоскостей) в Jk(n). Плоскости, которые «не опрокидываются» пре-
образованием А (т. е. такие плоскости L, что AJL) горизонтальна)
образуют в этом многообразии открытое всюду плотное множество.
На множестве этих плоскостей определено преобразование подня-
тия А^1, которое плоскость L отображает в At(L).
Пример 3.7. Рассмотрим в пятимерном пространстве
J*(2,1) преобразование Лежандра (см. также § 2 гл. 2)
' х = —р,
У = -Ч,
< й _ и — хр — yq, (3.5)
р =
. Я = У-
Как мы уже показали в гл. 2, это преобразование контактно, и,
следовательно, оно является преобразованием Ли. Для того, чтобы
описать поднятие этого преобразования в восьмимерное про-
странство J2(2,1), необходимо выразить вторые производные
_ д2й _ д2й - д2й
дх2’ 3 дхду' 4 ду2
через х, у, и, р, q, г, з, t. Так как распределение Картана инвариант-
но, то 1-формы
dp — rdx — sdy — dx + rdp + sdq,
_______ — — (3.6)
dq — sdx — tdy = dy + sdp + tdq
$ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ
129
представляются в виде линейных комбинаций 1-форм
du — pdx — qdy, dp — rdx — ady, dq — sdx — tdy.
Поэтому выражение (3.6) тождественно обращается в нуль при за-
мене dp на rdx + sdy и dq на adx + tdy. Отсюда мы получаем
систему уравнений
(г з \ (г з X _ ( -1 ОХ
\ a t / \а t ) \ О — 1 / ’
из которой следует, что
t 8 т_ г
rt—a2> rt — з2’ rt — з2
(3-7)
Упражнение 3.4. Пусть Л: Jk(ir)-* Jk(ir)— преобра-
зование Ли. Докажите, что всюду, где определено поднятие А(г+я):
Ji + i+ '’(тг)—» Jfc + / + *(7r), I, s е N, имеет место равенство =
= А(, + а).
Мы закончим этот параграф полным описанием преобразований
Ли.
Теорема 3.1. Всякое преобразование Ли X многообра-
зия джетов Jk(ir), k 1, описывается следующим образом:
1) при dim тг = 1 преобразование X является (к — ^-крат-
ным поднятием некоторого (произвольного) контактного
преобразования пространства ^(тг);
2) при т = dim тг > 1 преобразование X является к-
кратным поднятием некоторого (произвольного) диффео-
морфизма пространства зависимых и независимых перемен-
ных У°(тг) (т. е. точечным преобразованием).
Замечание 3.1. Из теоремы следует, что в случае т = 1
контактная геометрия порядка к содержательнее, так как среди кон-
тактных преобразований J1 (тг) имеются как поднятия произвольных
диффеоморфизмов J°(ir), так и преобразования, не имеющие тако-
го вида. Примером контактного, но не точечного преобразования
может служить преобразование Лежандра (3.5).
Доказательство. Доказательство этой теоремы основы-
вается на установленном выше факте: среди всех максимальных ин-
тегральных многообразий распределения Картана на J*(tt) наиболь-
шую размерность имеют слои проекции ?rfc к _ j (см. следствие 2.9).
Случай т = п = 1 будет рассмотрен особо.
9 Симметрии...
130
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Предположим, что тп> 1. Пусть A: Jk(7r)—> Jk(ir) преобразо-
вание Ли, причем к 2, если т= 1, и к 1, если т> 1, Поскольку
преобразование А сохраняет распределение Картана, оно переводит
его максимальные интегральные многообразия в максимальные ин-
тегральные многообразия. При этом, так как А — диффеоморфизм,
сохраняется размерность этих многообразий. Следовательно, А пе-
реводит слои проекции тг4 к _, друг в друга.
Таким образом, А порождает некоторое преобразование А1 мно-
гообразия J*-1(7t): если A(nk'k_l(0)) = nklk_i(T]), то А1(0) = г].
Так как А{ является проекцией преобразования Ли А, то А{
само является преобразованием Ли. Рассмотрим преобразование А
и поднятие (Aj)(1) преобразования At. Оба они являются сим-
метриями распределения Картана Ск, сохраняют слои проекции
7r**-i: Jk(^) Jk и индуцируют одно и то же преобразо-
вание J*-1(7r). Поэтому диффеоморфизм А' = А(1)оА-1 является
преобразованием Ли, тождественным на Jk~l(n).
Упражнение 3.5. Докажите, что преобразования Ли про-
странства J*(tt), проекция которых индуцирует тождественное пре-
образование Jk 1(тг), являются тождественными.
Следовательно А = А^. К преобразованию А, можно приме-
нить те же рассуждения, что и к исходному преобразованию А, и
так продолжать до тех пор, пока мы не получим некоторое преоб-
разование пространства Jl(n) (в случае т = 1) или J°(tt) (в случае
т> 1). Для завершения доказательства теперь следует воспользо-
ваться упражнением 3.4.
В случае т = п = 1, доказательство теоремы вытекает из
следующих рассуждений. Рассмотрим канонические координаты
x^Po>Pi> • ’Рк на ^(1, О- Распределение Картана С на J*(l, 1)
двумерно, оно
д
«=п
порождено векторными полями Z = -— и D = -—I-
дрк дх
Достаточно доказать, что всякое преобразование Ли
А переводит поле Z в себя, т. е. является симметрией одномерного
распределения V, порожденного полем Z; дальнейшие рассуждения
аналогичны приведенным ранее для общего случая.
Лемма 3.2. Пусть С' = [С, С] — распределение на мно-
гообразии Jk(l, 1), к 2, порожденное коммутаторами век-
торных полей, лежащих в некотором распределении Карта-
на С. Тогда, если через £>(Р) обозначить совокупность всех
векторных полей, лежащих в распределении Р, а через 'PD —
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ
131
совокупность всех таких полей X, что [X,D('P)]C.D(T>), то
D(V) = D(C)nC'D.
Доказательство леммы. Очевидно, что распределение С
трехмерно. Оно порождено полями Z, D и [Z, D1 = --= Y. Лег-
д ^Pk — 1
ко видеть, что [Z, У] = О, [У, £)] — X = --. Пусть поле S —
°Рк-2
= aZ + PD является симметрией распределения С'. Тогда [У, S]G
е D(C), т. е. [У, S] представляется в виде линейной комбинации
полей Z, D, У. Но так как
[У, $] = [У, aZ + PD] = У(a)Z + Y(p)D + рХ
и поскольку поля X, D, Z линейно независимы в каждой точке мно-
гообразия Jk, отсюда следует, что р = 0. Таким образом S е D(V),
что и доказывает лемму.
Пусть теперь A: J*(l, 1) —> J*(l, 1). Тогда очевидно, что
A*D(C) — D(C), AtC' = С' и А,Ср —C'D. Поэтому в силу доказанной
леммы AtD(V) = D(V). Теорема доказана, q
3.2. Поля Ли.
Определение 3.2. Векторное поле X на многообразии
Jk(n) называется полем Ли, если сдвиги по его траекториям явля-
ются преобразованиями Ли.
Пусть X — поле Ли на Jk(n) и {АД — соответствующая этому
полю (локальная) группа преобразований многообразия Jfc(w). По
определению, At — преобразования Ли, и, следовательно, определе-
ны их поднятия АД на многообразие 7*+/(тг), также являющиеся
контактными преобразованиями Ли. Поле Х^1\ соответствующее од-
нопараметрической группе {АД} называется поднятием поля X.
Как и в случае поднятий преобразований Ли, для любых натураль-
ных чисел I и s имеет место равенство = Х(/ + я).
Теорема 3.3. Всякое поле Ли на к 1, имеет
вид-.
а) X® при dim тг > 1, где X — некоторое векторное поле
на пространстве
б) X<k при dim?r= 1, где X —некоторое контактное
векторное поле на пространстве
Заметим, что в силу обсуждавшихся выше свойств преобразо-
ваний Ли, всякое векторное поле на J°(tt), как и всякое контактное
поле на могут быть продолжены до поля Ли на
9*
132
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Переход на инфинитезимальную точку зрения имеет два преи-
мущества. Первое заключается в том, что поднятие поля Ли, в отли-
чие от поднятия конечного преобразования Ли, всегда определено
на всем многообразии. Действительно, для того, чтобы вычислить
вектор поля Х(1) в некоторой точке в € J* + 1(tt), нужно знать сколь
угодно малый участок траектории, проходящей через эту точку при
действии соответствующей однопараметрической группы контакт-
ных преобразований. Точке в соответствует Я-плоскость Le в 7*(тг),
без вырождения проектирующаяся на базу М. Остается заметить,
что при достаточно малых преобразованиях образ этой плоскости
также будет проектироваться на базу без вырождения, т. е. задавать
некоторую точку в 7* + 1(тг).
Вторым преимуществом использования полей Ли вместо конеч-
ных преобразований является то, что существуют явные вычисли-
тельные формулы, выражающие компоненты векторного поля
через компоненты поля X. При этом возникает возможность ис-
пользования производящих функций (см. ниже).
Рассмотрим расслоение тг: Е -»М и канонические координа-
ты в окрестности точки в е Заметим, что поле X на Jk(ir)
является полем Ли в том и только том случае, если для любой фор-
п k
мы Картана ш3а = dp3a — $2 Р3а + 1. на и1") локально выполнено
равенство »= i п’
Е ед-
1 = 1 |г|«*-1
Теорема
3.4. Если
П t
т
(3-8)
3
— поле Ли, то коэффициенты Ь3 вычисляются по рекур-
рентным формулам п
<4. и О-»)
где 0^ lai к — 1, а 3 = 1
i &
* ” дх{ +
• (Г
— оператор полной производной по х{.
Доказательство. Пусть X — поле Ли вида (3.8). Тогда в
силу инвариантности распределения Картана формы
п
X(^) = dbi - £(^ + 1> dx, +p3ff + ii da,) (3.10)
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ
133
являются линейными комбинациями форм Картана.
Упражнение 3.6. Покажите, что любая 1-форма на J*(tt)
однозначно представима в виде
п
“ = +шс, (3.11)
« = 1
где —функция на Jk + l(ir), а шс — линейная комбинация форм
Картана.
В частности, для любой гладкой функции р на Jfc(w) имеет
место равенство
d<P = £ + (3.12)
*7^ OTr
1 j, <r
Заметим, что форма ш, представленная в виде (3.11), обраща-
ется в нуль на распределении Картана тогда и только тогда, когда
коэффициенты тривиальны. Применяя это утверждение к равен-
ству (3.10), получаем
+S \ ‘,D‘M dx‘ + “Ь
i з
откуда следует (3.9). □
Упражнение 3.7. Проверьте, что равенства (3.9) согла-
сованы с представлением контактных полей на Jl(M) в виде
“ др{ dxt \ "др( ди) \ дх{ * ди ) др{
Введем теперь понятие производящего сечения поля Ли. Для
этого рассмотрим эволюцию графиков сечений расслоения тг под
действием соответствующих однопараметрических групп сдвигов по
траекториям.
Пусть X = а,- — 1- Ь3+ • • • — поле Ли на ^(я") и {А) —
соответствующая ем^ однопараметрическая группа локальных пре-
образований многообразия J*(tt). Рассмотрим некоторое сечение /
расслоения тг. График его fc-джета Гу с Jfc(?r) является п-мерным
интегральным многообразием распределения Картана на J*(tt), без
вырождения проектирующимся на базу М. Как уже отмечалось, при
достаточно малых t многообразие АДГу) также имеет вид графика
&-джета некоторого сечения, которое мы обозначим ft: Д4(Гу) = Гд.
134
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Таким образом, преобразования семейства А* порождают эво-
люцию ft сечения /. Найдем скорость — ft этой эволюции
t=o
в начальный момент времени. Чтобы вычислить эту производную,
представим поле X в виде суммы двух полей, одно из которых вер-
тикальное, а второе касается многообразия Гу.
Если сечение / локально задается функциями и3'= f3(xl,...
..., ®), j — 1,.. ,,тп, то векторные поля, касающиеся многообра-
зия Гу, можно записать в следующем виде (заметим, что на поверх-
d^f3
ности Гу имеют место равенства р3а = & 1СТ1 к):
D^ = —
’ дх,.
y-fy- j д ул dM + xf3 д \
+ ^Л,LPa + l'dp3;+,, дх°дх. др3)'
j = 1 |<т| <к l0*!^ *
Следовательно, поле, касающееся графика Гу, имеет вид
4 = 1
а вертикальная компонента поля Ли X равна
х, = х - £ a(D/> = £(Ь’ - ад/) ® +...
« = 1 i,3
Так как поле Х2 сдвигает многообразие Гу по себе, то оно не влияет
на эволюцию. Что же касается поля Хр то его коэффициенты при
у-j в точности равны скоростям изменения компонент сечения f t =
= (ft> • • •> Л”*) П°Д действием рассматриваемого потока:
Вектор-функцию = (уз1,..<^т), где
= Ь3 ~ У <^iPi
» = i
(3.13)
(3.14)
назовем производящим сечением (или, в случае т= 1, произво-
дящей функцией) поля Ли
п я т я
+ + - (3-15)
1=1 1 j=l
§ 4. КЛАССИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЙ
135
Упражнение 3.8. Покажите, что в случае тривиального
расслоения тг: йхМ->М данное определение производящей функ-
ции совпадает с определением производящей функции контактного
векторного поля, приведенным в гл. 2.
Из этого упражнения, а также из теоремы 3.3 вытекает следу-
ющее
Утверждение 3.5. Поле Ли X на Jk(ir) однозначно
определяется своим производящим сечением <р — (<р1,..., <рт).
При этом компоненты производящего сечения вычисляются
по формулам
„)0),
где ш(р,.. „о)=du3 - Е Pi dxi
Заметим, что в случае т> 1 производящее сечение <р = (ч>1, ..
..., рт) линейно зависит от переменных р/, причем для любых i, j,l
имеют место равенства
др- др! ’ др'
Рассмотрение произвольных производящих сечений приводит к
теории высших симметрий, которая будет рассмотрена в гл. 4.
§ 4. Классические симметрии уравнений
4.1. Определяющие уравнения. Пусть £ С Jk(n)— уравне-
ние порядка к.
Определение 4.1. Классической (конечной) симме-
трией уравнения £ С Jk(^) называется такое преобразование Ли
А-. Jk(ir) -> 7*(тг), что А(£) с £.
Определение 4.2. Классической инфинитезимальной
симметрией уравнения £ С Jk(n) называется поле Ли, касающе-
еся £.
Очевидно, что эти определения являются естественным обоб-
щением основных конструкций, рассматриваемых в гл. 1 и 2.
Непосредственным следствием определений и рассуждений
§ 1-3 является*)
*) Далее в этой главе, говоря о симметриях мы будем всегда подразумевать
классические симметрии.
136
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Утверждение 4.1.
1. Пусть A: Jk(ir) —» Jk(ir) — симметрия уравнения 8 С
С J*(?r) и f — решение этого уравнения, т. е. такое сече-
ние расслоения к, что его график Г* содержится в 8. Тогда
А(Г*) — обобщенное решение уравнения 8. В частности, ес-
ли многообразие А(Г^) имеет вид Г*/ для некоторого сечения
f = A*f, то f' —также решение уравнения 8.
2. Если X — инфинитезимальная симметрия уравне-
ния 8 и f — его решение, то для любой точки в € Г* най-
дется такая окрестность U Эб и такое £ >0, что при лю-
бом t 6 [—е, е] многообразие А^ЦЛ) локально имеет вид
т. е. X определяет поток на множестве решений уравне-
ния 8. □
С практической точки зрения конечные симметрии, разумеет-
ся, предпочтительнее; однако искать их нелегко. Общих алгорит-
мов поиска таких симметрий в сущности нет, и, кроме очевидных
соображений, найти их можно лишь случайно или используя «фи-
зические» соображения. Напротив, поиск инфинитезимальных сим-
метрий происходит по вполне определенному алгоритму, приводя-
щему, с технической точки зрения, к решению (как правило, силь-
но переопределенных) систем линейных дифференциальных урав-
нений. Это объясняется тем, что поля Ли можно эффективно опи-
сать при помощи производящих функций. Поэтому далее обычно
мы будем употреблять термин «симметрия», имея в виду инфините-
зимальную симметрию, а чаще всего — даже производящее сечение
инфинитезимальной симметрии. Последнее отождествление не мо-
жет вызвать недоразумений, поскольку соответствие между полями
Ли и их производящими функциями взаимно однозначно.
Пусть v? и — симметрии уравнения 8 С Jfc(?r), т. е. поля Ли
Х^ и Х^ касаются многообразия 8 (s = к при т > 1 и з = к — 1
при т= 1). Тогда, очевидно, коммутатор [X^s), также является
симметрией уравнения 8 и, следовательно, имеет вид Х^ для неко-
торого производящего сечения р. Это сечение называется скобкой
Якоби производящих сечений и V’ и обозначается через
Очевидно, множество симметрий образует R-алгебру Ли отно-
сительно скобки Якоби.
Если х1(..., хп, и1,..., ит, ...,р3а — канонические координаты
на *7*(тг), то из определения коммутатора векторных полей и ра-
$ 4. КЛАССИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЙ
137
венств (3.9) следует, что j-я компонента скобки Якоби имеет вид
i=la=l
v ^а\д^
дх{ Р* дир ) др“
9^а A Bdil>a\d<pj\
(4.1)
Выведем теперь локальные условия того, что поле Ли X явля-
ется симметрией уравнений 8 С Jfc(?r). Для этого выберем в J*(tt)
канонические координаты и предположим, что подмногообразие 8
задается в этих координатах соотношениями
Г“=0, а = 1,...,г, (4.2)
где Fa — гладкие функции на Jfc(7r). Предположим, что система
(4.2) локально имеет максимальный ранг. Тогда условие касания
полем X многообразия 8 = {F = 0}, где F = (F ,..., FT), имеет
вид
X(F“)=£a“F“, а = 1..........г, (4.3)
д = 1
для некоторых гладких функций А^, или, что эквивалентно,
Х(Г“)|£ = 0, а = 1,...,г. (4.4)
Представляя поле X в виде Х<*\ где з=к или з = к— 1 в зависимости
от размерности расслоения тг, и выражая коэффициенты поднятия
поля Ху через производящие функции с помощью равенств (3.9), из
соотношений (4.2) или (4.3) мы получим систему уравнений на <р.
Эти уравнения называются определяющими уравнениями.
Пример 4.1. Рассмотрим в J2(2,1) общее уравнение вто-
рого порядка от двух независимых и одной зависимой переменной:
F(®j, Х2, U, р^, р2, Р(2,0)> Р(1,1)> Р(0,2))— О*
Пусть Хр — контактное векторное поле в J!(2,1),
Тогда коэффициенты при
д
<4-5)
i + j = 2, поднятия поля
138
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
в J2(2,1) имеют следующий вид:
ь(2,0) =Р(2,0)¥’„ + ¥>S|I) + 2p!<pXiU + 2р(2О)РХ1Р1 + 2р(1>1)^1Р2 + Pi2V’ua+
+2PiP(2,o)^P1 +2p1P(1>1)^ +P(2,o)¥’P1P1 +2p(210)P(i, +?£,
b(l, 1) =P(1 .l^u+V’^+Pi^u+Pl^u+Pil, 1)^1Р1+Р(0,2)<PXlp2+P(2,0)‘PX2pi+
+P(1, 1)<PX2P2+P1P2<Puu+(P1P(1, l)+P2P(2,0))V’«P1 +(P1P(O,2)+P2P(1,1))^ +
+P(2,0)P(l,l)¥’P1P1 + (P(2,0)P(0,2) +P(2l,l))(Pp1P2 +P(l,l)P(012)V’p2p2>
Ь(0,2) =P(0,2)<Pu + + 2Р2ФХ2и + 2P(1,1)^P1 + 2^0,2)^ +P22<P«u+
+2p2P(l, 1)<PUP1 +2p2P(0,2)PUP2++P(21,1)^P1P1 +2p(l, l)P(0,2)Ppip2+Pto,2)'Pp2p2-
Тогда X^F = XF, где коэффициенты поля X^\ вычисленные по
приведенным выше формулам, являются определяющими в рассма-
триваемой ситуации.
Упражнение 4.1. Выведите аналогичные формулы для
системы двух уравнений второго порядка от двух зависимых пере-
менных.
4.2. Инвариантные решения и размножение решений.
Пусть X — инфинитезимальная симметрия уравнения £ с J*(tt),
/0 — его решение, Гуо = с £. Пусть, далее, {AJ — одно-
параметрическая подгруппа диффеоморфизмов векторного поля X.
Тогда подмногообразие At(Tyo)c Jfc(w) является интегральным для
распределения Картана; если же АДГуо), как и Гуо, горизонтально
относительно проекции на базу М, то А(Г)0) = 1д для некоторого
сечения ft. Кроме того, в силу определения симметрии, АДГу )с£.
Таким образом, по крайней мере локально, ft является однопараме-
трическим семейством решений уравнения £; jk(f t)(M) = Гу с£.
Переход от исходного решения f к семейству ft называется разм-
ножением решения / при помощи симметрии X.
Если <р — производящая функция поля X =XV, то поиск ft
сводится к решению системы уравнений
^(х, t) = <р (х, t), Цх, 0) = f0(x), (4-6)
или, покомпонентно,
что следует из (3.13).
§ 4. КЛАССИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЙ
139
Если v?|rt(x, t) = 0, то f(x,t)=f(x,O) для всех допустимых
значений t, т. е. /0 является неподвижной точкой для однопараме-
трической группы преобразований {А} при ее действии на сече-
ниях. Иными словами, многообразие инвариантно относительно
поля Xv.
Определение 4.3. Если Гуо инвариантно относительно
поля то /0 называется р-инвариантным решением уравне-
ния £.
Введенные понятия имеют следующее естественное обобщение.
Пусть G — группа Ли, алгебра Ли g которой реализована как по-
далгебра в алгебре инфинитезимальных симметрий (или, что то же
самое, в алгебре производящих функций симметрий) уравнения £.
Тогда, начиная с любого решения /0, мы получим (dim д)-параме-
трическое семейство решений {fg 15(1уо) = Гу , geG} уравнения £
(при условии горизонтальности многообразий <?(Гуо) относительно
проекции на базу М).
Определение 4.4. Если f д =f0 для всех д е G, то f0
называется G -инвариантным решением уравнения £ (или g-ин-
вариантным, если мы рассматриваем соответствующую алгебру Ли).
Пусть угр ..., рв — производящие сечения, являющиеся обра-
зующими алгебры Ли g. Тогда отыскание g-инвариантных решений
сводится к решению переопределенной системы дифференциальных
уравнений
fW) = 0,
Fr(0) = O,
^(0) = О,
(4.7)
U,(0) = 0,
где в е J*(tt), Fp ..., FT — функции, задающие уравнение £. В част-
ности, Xv -инвариантные решения находятся из системы (4.7) с
единственным добавочным по отношению к £ уравнением = 0.
Отметим одно важное обстоятельство. Наличие у уравнения
одной классической симметрии X позволяет на единицу понизить
количество независимых переменных при поиске инвариантных для
этой симметрии решений. Действительно, рассмотрим для просто-
ты случай dim7r = l. Тогда уравнения <pi = 0,..., рв = 0 можно
рассматривать как систему уравнений относительно неизвестных
140
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
pv...,pn. Естественно рассматривать случай, когда эта система
имеет максимальный ранг. Тогда без ограничения общности мож-
но считать, что она имеет вид
( Pn-s + l=?i(X>U'Pl’---’Pn-3)’
( РП=№,«,Р1>-.
Подставляя эти равенства в исходное уравнение, мы получим урав-
нение, не содержащее производных по первым п — з переменным.
Очевидно, что в случае нескольких зависимых переменных редук-
ция числа независимых переменных осуществляется так же.
Наличие двух симметрий позволяет снизить число независимых
переменных на два и т. д. В частности, при dim g = п— 1, где п-1 —
число независимых переменных, поиск инвариантных решений сво-
дится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, а
при dim g = п получаемые уравнения будут «алгебраическими», т. е.
не содержащими производных. Ниже будут приведены соответству-
ющие примеры.
Мы закончим этот раздел несколькими замечаниями.
1. Вообще говоря, даже при малых t нельзя ожидать, что мно-
гообразия А(Г/0) будут горизонтальны. Поэтому при размножении
регулярного решения мы, вообще говоря, будем получать интеграль-
ные многообразия распределения Картана размерности dim М об-
щего вида, т. е. «обобщенные решения» или «решения с особеннос-
тями». В некоторых точках касательная плоскость к таким решени-
ям при проектировании на базу вырождается (что соответствует об-
ращению в бесконечность некоторых производных /t(®)), поэтому
однозначность решения может нарушаться. Подобные обобщенные
решения вполне обычны при анализе распространения разрывов,
ударных волн, в теории катастроф и т. д. Физический смысл таких
решений обусловливается содержательным контекстом задачи.
2. Для многих нелинейных уравнений бывает удобно сначала
найти инвариантное решение для какой-нибудь симметрии, а затем
размножать его при помощи других симметрий. Нередко это един-
ственная возможность получать явные формулы.
3. Понятие инвариантного решения включает в себя как част-
ный случай понятие автомодельного решения: автомодельными
называются решения, инвариантные относительно так называемых
масштабных симметрий, т. е. симметрий вида
j д
а-х{—---1- в-и3—г.
* 'дх. >3 ди3
§ 5. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИММЕТРИЙ
141
§ 5. Примеры вычисления симметрий
Многие примеры вычисления симметрий, построения инвари-
антных решений и другие вопросы можно найти в [55, 140, 141, 91,
92, 86].
5.1. Уравнение Бюргерса. Уравнение Бюргерса имеет вид
и. = ии + и (5.1)
Это уравнение описывает движение слабо нелинейных волн в газах,
в ситуации когда достаточно учитывать эффекты диссипации только
в первом приближении. При стремящейся к нулю диссипации это
уравнение дает адекватную интерпретацию решения для невязкой
среды. Первоначально предложенное Бюргерсом для описания одно-
мерной турбулентности, впоследствии оно использовалось для изу-
чения волновых явлений. Уравнение Бюргерса линеаризуется (при-
водится к уравнению теплопроводности) подстановкой и=ух/у. Это
указывает на наличие большого запаса симметрий.
Переписывая уравнение (5.1) в канонических координатах на
У2(2,1):
Xj = X, Х2 = t, Pq = и, pl =UX, p2—Ut, 0) = Uxx’
имеем
Рг = РоР1 ~^Р(2,0)-
Тогда определяющие уравнения, полученные в примере 4.1,
принимают вид
- Рг^Р! + Ро&х, + PiV’po) + ^2,0)^ + <Рх,х, +
+ 2Р1^1Р0 + 2Р(2,0)<Рх1Р1 + 2р(1> 1)¥>1]Р2 + р2^ + 2р1р(2>0)<рПР1 +
+ 2p1p(i)1)¥?W2 +Р(22,о)¥’р1Р1 +2p(2,o)P(i,i)¥’p1p2 + P(2i, “
“ “ Рг^ = А(РоР1 + Р(2,0) - Рг)> (5-2)
где А — гладкая функция на J2(2,1). Анализ этого уравнения пока-
зывает, что функция должна иметь вид
93 ~ > х2’ Po)Pl 4" &(х1 > х2> Ро)Р2 <-'(х1 > х2’Ро)'
Отсюда, с учетом (5.2) получаем, что функции А, В, С удов-
летворяют уравнению
PlMpo + Pl А*2 + В^Р2 + Сх2 + СкР2 ~ PoPl(А, + Р1 Ао) ~
- р№хх + Р1Чо) -PiC~ 2^М)Р(2,0) - Dx(Ax{ + ApJPl -
-^+^) = 0, (5.3)
142
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
где Dx — оператор полной производной по переменной х — хх.
Последнее уравнение полиномиально по рх и р(20). Поэтому
коэффициент при Р(2,0)> равный -4Арор1 + - 2AX|, должен обра-
титься в нуль. В свою очередь этот коэффициент полиномиален по
рх, и коэффициенты этого полинома также тривиальны*).
Итак, А^ = 0 и BXi~2AXi =0. Подставив эти равенства в (5.3),
получим
Р1Л2 +POPiAxl+Cx2~PoCxi -Pic-PiAx,x, “
-С —2р. С -р2.С =0 (5.4)
Х1Х1 fl х1Ро fl Яо₽0 К /
Последнее равенство квадратично по р1, откуда следует, что
\ + Ро Ах, -С- АХ1Х1 - 2СХ1Р0 = 0; (5.5)
^-Ро^-^х^О.
Дифференцируя второе уравнение (5.5) по р0, получим **)
Ах = (5.6)
Из первого уравнения системы (5.5) следует, что С линейно
по Pq.
С = г(хх,х2)р0 + з(хх,х2).
Подставляя это выражение в последнее уравнение системы (5.5),
получим квадратичное по р0 равенство
Гх,Ро + % - РоГх, - Ро9хх - РоГхххх - Sx,x, = °-
Приравнивая нулю коэффициенты при степенях р0, получим соот-
ношения
г = О, г. — = 0, s — sT _ = 0. (5.7)
’ а?2 I| ^2 ' '
Первое из них означает, что С =0. Учитывая (5.6), получаем,
что
Ахх =0-
Х1Х1
*) Такое рекурсивное рассуждение с понижением рассматриваемых порядков
старших производных весьма характерно для первого этапа решения определяющего
уравнения.
**) Вообще говоря, на втором этапе нахождения симметрий типичным является
извлечение дифференциальных следствий и использование условий совместности си-
стемы уравнений на коэффициенты симметрии, полученной за счет полиномиально-
сти определяющих уравнений по старшим производным.
§ 5. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИММЕТРИЙ
143
Дифференцируя второе уравнение (5.7) по переменной и учиты-
вая первое уравнение, получаем з = 0, т. е.
s — w(x2)xl + v(x2).
С учетом третьего уравнения (5.7), имеем соотношение sl2 =0, т. е.
s = wxl -|- v, w, v € R. (5-8)
Если продифференцировать второе уравнение (5.7) по х2 при усло-
вии (5.8), получим г = 0, и, значит,
г = тх2 + п,
(напомним, что г не зависит от х{ в силу первого из уравнений
(5.7)). Поэтому из второго уравнения (5.7) получаем m = w.
В результате получаем соотношения (w, v, п,к,1 е К)
А = (wx2 + v)xx + nx2 + к,
В = wx2 + 2wx2 +1,
С = (WX2 + v)p0 + VXj + n.
Отсюда следует, что базис (над R) пространства симметрий
уравнения Бюргерса образуют функции
xix2Pi Х2Р2 ”1” хгРо ”1” xi> xiPi + ^х2р2 + Pq,
(5.9)
Х2Р1 "Ь ?Р Р2'
Если вернуться к «физическим обозначениям», эти функции
можно представить в виде
xtu + t2u. + tu + х, хи +2tu. +u,
1 x t > (5.10)
tux + l, Ux, Ut.
Выпишем наконец поля Ли на J°(2,1), соответствующие пере-
численным производящим функциям <р:
9 9 2 9
(tu + x)---tx-----1 —,
ои ox at
9 9 n Э и7Г~хя ou ox at (масштабная симметрия),
д d ou ox (галилеевская симметрия), (5.11)
d dx (трансляция вдоль оси х),
9 9t (трансляция вдоль оси t).
144
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
5.2. Уравнение Кортевега — де Фриза. Другим известным
уравнением, широко применяемым при изучении нелинейных про-
цессов, является уравнение Кортевега — де Фриза
и. — 6uur + = О
t X XXX
Слагаемые иих и иххх отвечают, соответственно, диссипативным и
дисперсионным явлениям при описании нелинейных волновых про-
цессов. Оно было предложено Кортевегом и де Фризом в 1895 г.
для моделирования волн малой, но конечной амплитуды для боль-
ших отрезков времени. Другие приложения этого весьма популярно-
го уравнения включают описание вращающегося потока жидкости в
трубе, теорию ионно-звуковых или магнитогидродинамических волн
в низкотемпературной плазме, продольных волн в упругих стержнях
и др.
С точки зрения математики интерес к уравнению Кортевега —
де Фриза вызван особыми свойствами как самого уравнения, так и
его решений. В частности, оно обладает решениями в виде уединен-
ных волн (солитонов), обладает бесконечным набором коммутиру-
ющих законов сохранения и бесконечномерной алгеброй (высших)
симметрий (см. гл. 4).
Опуская выкладки, которые отличаются от проделанных для
уравнения Бюргерса лишь деталями, мы сразу приведем ответ. Ба-
зис (над R) алгебры симметрий образуют следующие производящие
функции
хих + 3tut + 2и, 6tux + 1, их, ut,
которым соответствуют поля Ли
д д д
2и~---х------3t — (масштабная симметрия),
ди дх dt
ди дх
д
дх
д
dt
5.3. Уравнение Хохлова — Заболотской. Процесс распро-
странения ограниченного трехмерного звукового пучка в нелиней-
ной среде описывается уравнением, безразмерная форма которого
имеет вид
(галилеевская симметрия),
(трансляция вдоль оси х),
(трансляция вдоль оси t).
(5.12)
(5.13)
д2и 1 д\и2) д2и д2и
g1,g2>0> -оо < g3, g4 <+оо.
(5-14)
$ 5. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИММЕТРИЙ
145
В этом уравнении величина и пропорциональна отклонению плот-
ности среды от равновесной плотности, а безразмерные переменные
91>9г>9з>94 выражаются через время t и пространственные коорди-
наты х, у, z следующим образом:
t — xlcn ____ 2и 2и
91 = - г=-гх/Ро^^ 92 = М*> <h = \~y, q4 = \ —z,
у 7 + 1 у со V с°
где с0 — скорость звука в среде, 7 — показатель адиабаты, х — коор-
дината в направлении распространения пучка, у — малый параметр,
р0 — равновесная плотность среды. В координатах qi, ра уравнение
(5.14) принимает вид
—Р(1,1,0,0) + иР(2,0,0,0) 4" Р1 + Р(0,0,2,0) "* Р(0,0,0,2) = 0- (5.15)
Это уравнение и называется уравнением Хохлова — Заболотской.
Теорема 5.1. Алгебра всех классических симметрий
уравнения Хохлова — Заболотской (5.15) порождена следую-
щими симметриями*):
' f (4) = A'(hPi + 2ЛРз + ^'9з>
g(B) = B'q4pt + 2Вр4 + B"q4,
h(C) = cP1+c,
< Т2 = р2, (5.16)
В = 9i Pi + q2p2 + q3p3 + q4p4,
М = 291р, + 4g2p2 + Зд3р3 + 3q4p4 + 2u,
. м34 ==94Рз-9зР4>
где А, В, С — произвольные гладкие функции от q2.
5.3.1. «Физически осмысленные» симметрии. Выделим из
алгебры всех классических симметрий уравнения (5.15) «физически
осмысленные» симметрии, т. е. сохраняющие условие убывания ре-
шения на бесконечности.
Рассмотрим симметрию f(A). Тогда
Xf(A} = A'<h-X- ~ 2АТГ~ + Л"9з^--
Я*) dqt dq3 Лди
*) Отметим, что вычисления, доказывающие эту теорему, крайне трудоемки. По-
этому при вычислении симметрий полезно пользоваться программами символьных
вычислений. Детальный анализ этих и последующих выкладок см. в [137, 43, 122]
10 Симметрии...
146
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Легко видеть, что поток этого поля задается системой уравнений
91 = AA'r2 + A'g^r+gJ>)
9г = 9г >
д3 = 2Ат+д3, >
?4 = 94 >
и = -АА"т2-А"д°т+и0,.
(5.17)
где w°, д?, ?2 > 9з ’ ?4 — начальные данные.
Рассмотрим произвольное решение и° = u°(g°, g° > 9° > 9°) УРав"
нения (5.15), убывающее на бесконечности, т. е. удовлетворяющее
условию и° —> 0 при ||(g°, д2, g3, gj)|| —»оо. Тогда поток (5.17) пере-
ведет его в решение
и = - АА"т2 - А!'д3т + u°(g°, , д°, д4) =
= и(АА'т2 + А!д3т + д°, д°, 2 Ат + д£, д°).
Пусть ||АА'т2+Л'дзТ-|-д°, 2Ат+д°, д4||-юо при фиксированном
значении параметра т. При А!' 0 условие убывания и на бесконеч-
ности не будет выполняться, так как в этом случае при д3 —> оо полу-
чим и—юо. Следовательно, А" = 0. Очевидно, это условие является
также достаточным для убывания решения на бесконечности.
Из условия А!' = 0 следует, что А = Схд2 + С2, где СХ,С2 —
константы. Таким образом, из бесконечного множества симметрий
вида / (А) физически осмысленными являются только две:
71з=Рз> лз = g3pi + 2д2р3,
Точно так же симметрии вида д(В) дают две физически осмы-
сленные симметрии:
Т4 = р4 R4 = д4рх + 2д2р4,
а симметрии вида h(C) дают одну физически осмысленную симме-
трию
= Pi-
Легко проверить, что симметрии 7j, Т2, М, М34 сохраняют
условие убывания решения на бесконечности, а симметрия L —
нет.
§ 5. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИММЕТРИЙ
147
Однако нетрудно проверить, что следующие линейные комби-
нации L и М физически осмысленны:
Mj = 2(М + 2L) = 2q{p{ + ад + ад - 2и,
М2 = (М -L) = 2q2p2 + q3p3 + q4p4 + 2u.
Таким образом, подалгебра физически осмысленных симметрий
порождена следующими производящими функциями:
= рг-, i = 1,2,3,4 (трансляции);
М34 = g4p3 - q - Зр4 (вращения);
Afj = 2qjPi + q3p3 + q4p4 - 2u, (масштабные
M2 = 2q2p2 + q3p3 + q4p4 + 2u; симметрии);
^з = 9зР1 + 2д2Рз."
R4 = Я4Р1 + 2?2P4-
Трансляции Т\ =p{, i = 1, 2,3,4, отвечают за однородность четырех-
мерного пространства-времени, вращение соответствует изо-
тропности пространства в плоскости, перпендикулярной направле-
нию распространения пучка, М2 соответствуют инвариантно-
сти уравнения Хохлова — Заболотской относительно преобразова-
ний подобия
4$°: u(q)^e-2Tu(e2Tqv q2, eTq3, eTq4),
A$2): u(q)^e2Tu(qlt e2rq2, eTq3, eTq4).
Наконец, R3 и R4 соответствуют инвариантности уравнений отно-
сительно преобразований
А$3): u(q) u(ql + rq3 + r2q2, q2, q3 + 2rq2, q4),
u(q) u(9j + rq4 + T2q2, q2, q3, q4 + 2тq2).
5.3.2. Инвариантные решения. Найдем решения, инвари-
антные относительно некоторых подалгебр алгебры всех классиче-
ских симметрий уравнения Хохлова — Заболотской (5.15).
Рассмотрим подалгебру симметрий Q, порожденную М{, М2,
R3, R4. Структура алгебры Ли в <7 относительно скобки Якоби в
базисе е, =(Ml+M2)/2, e2 = (—M2+Ml)/2, e3=R3, e4—R4 задается
соотношениями
[е2>ез]:=е3’ le2’e4) = e4> [еЗ’е41~0>
[в1,е,] = 0, г =2,3,4.
ю*
148
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Таким образом, Q — разрешимая алгебра с коммутантом
G2 = [д, д] = ®е3 © йе4.
Рассмотрим произвольную трехмерную подалгебру Н С д, со-
держащую д2. Каждая такая подалгебра порождена элементами
в3, е4’ "\е1 ^2^2'
Опишем W-инвариантные решения уравнения (5.15). Если At +
+ А2 0, то Ti-инвариантные решения и(д) имеют вид
u(q) = xXv(x 2 Ху),
где х = q2, y = 4qlq2-ql~ql, А = - Подставляя это выра-
Aj + А2
жение в уравнение Хохлова — Заболотской, получаем уравнение на
u(t):
vv" + (у')2 + atv = О,
(5.18)
. —2 — A A9 — A.
где!=х =
Замечая, что левая часть уравнения (5.18) имеет вид (vv1 +
+ atv' — av)1, приходим к уравнению
vv' + atv' — av — const.
В случае const = 0 это уравнение имеет решение
v In v + av = at,
где а — некоторая постоянная.
5.4. Уравнения Кадомцева — Погуце. Это уравнение яв-
ляется упрощением общей системы уравнений магнитогидродина-
мики (МГД), в котором опущены некоторые детали, несуществен-
ные с точки зрения задачи удержания высокотемпературной плаз-
мы в установках типа «Токамак». Авторы статьи [34] исходили из
идеальных МГД-уравнений, поскольку характеристические време-
на наиболее интересных в этом контексте физических процессов
значительно меньше характерного времени диссипации, вызванной
вязкостью и электрическим сопротивлением плазмы. Кроме того,
было учтено, что для устойчивости плазмы необходимо, во-первых,
чтобы давление плазмы и поперечная компонента давления магнит-
ного поля были много меньше давления, создаваемого продольной
компонентой магнитного поля; во-вторых, желательно, чтобы мень-
ший радиус токамака был бы много меньше внешнего радиуса.
$ 5. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИММЕТРИЙ
149
В результате была получена система двух скалярных уравне-
ний, которые при подходящей нормировке имеют вид
dz э (5.19)
+ [Vxу?, V±A±¥>]z = тттД^ + V±A±V»]Z,
* ОТ/
( д д 'l
где = (ai' ajp “ a? + a? 34 = eCTb
2-компонента векторного произведения [u, v] векторов и и v.
Здесь функции <р и ip суть потенциалы скорости и попереч-
ной компоненты магнитного поля соответственно (их можно также
понимать как потенциал электрического поля и z-компоненту век-
торного потенциала магнитного поля). Система координат выбрана
так, что ось z направлена вдоль оси токамака.
Мы будем называть (5.19) уравнениями Кадомцева — Погу-
це. В литературе также встречается название «редуцированные
МГД-уравнения».
Относительная простота уравнений Кадомцева — Погуце дала
возможность построить на их основе теорию кинк-нестабильности,
получившую экспериментальное подтверждение; эти уравнения так-
же использовались при численном анализе нестабильности [156].
5.4.1. Вычисление симметрий. Мы отступим здесь от общих
обозначений координат в пространствах джетов в пользу индивиду-
альных, что сделает формулы более доступными для чтения. Для
координат в базе мы оставим обозначения независимых координат
х, у, z, t, а для обозначения координат в слое «7°(4, 2) будем исполь-
зовать обозначения <р и ip. Вместо символов pj, р2 будем писать
соответственно, где a = к,Г), |а| = г +j + k +
+ 1. В этих обозначениях уравнения (5.19) приобретают форму
+ (5-20)
F2 = + Wy + <Рх<Ру3 ~ ^x3 - ^^3,2-
- ipx2z - ipyiz - ipxipxy2 - ipxipy3 + 1py1px3 + ipyipxyi =0. (5.21)
Система уравнений Кадомцева — Погуце содержит две зависи-
мые переменные <р и ip, поэтому производящая функция для нее
является двухкомпонентной:
<S — S + Арх + В<ру AClpzA E<pt,
Т = Т + Aipx + Bipy + Cipz + Eipt.
(5.22)
150
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Здесь A,B,C,E,S,T — функции на J°(4,2), т. е. функции коор-
динат X, у, z, t.
Теорема 5.2 [59]. Алгебра классических симметрий
системы уравнений Кадомцева — Погуце порождена как ли-
нейное пространство над R симметриями с производящими
функциями вида
к
-г -г j
и = ( -W+P&z-Vt) \
с = ( Y(x2 + у2)+ 2-у (yipx-хру)\
у \Y(x2 + у2) + 2у(уфх-хфу) ) '
р =( -б'(х2 + у2) + 26(у<рх - х<ру) \
6 \ 6'(х2 + у2) + 26(уфх - х-фу) )
a _(yGt+G<px\ н _( -xHt+H<p \
У° -\yGz + G^x)' Пн~\ -хНг+Нфу) ’
£ = / ip + zipz+tipt\ M=fx>px + y>py + 2z<pz+2t>pt\
\ф + zipz+tipt) ’ \xipx + yipy + 2zipz + 2tipt J '
Здесь a=a(z+t), (3—(3(z—t), у =y(z+t), 6 — 6(z—t), G — G(z,t),
H =H(z,t), К =K(z,t) —произвольные функции и
«н=^. №>=^. ««л
dQ di] d£ du
Векторные поля на J°(4, 2), соответствующие перечисленным
выше производящим функциям, имеют вид:
ХАа = а'(^ + ( ' д_ д_\ _ (д_ 9_\
\э а_\ _ (д__ з_\ ^dtp дф) dt) ’
хс7 =7/(з;2 + у2) f э d \ п f d d \dtp dфJ \ dx dy
XV(=6\x2+y2) (A. 9s( 9 _ 9 ' dф) ydx xdy>
$ 5. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИММЕТРИЙ 151
ХНн~ xHtQtp ХН*дф Нду'
Х,ск=к*д^+К^
v & > & & &
Х‘ = ^ + Фаф~га1 аё
хм*-*г*ъ*
м дх Уду dz dt
Перечисленные симметрии имеют следующий физический
смысл: £ и At — масштабные симметрии; С7 и Р{ — обобщенные
повороты в плоскости х, у (повороты в случае 7 = 6 = const); Aa и
Вр — обобщенные трансляции (переносы) по z и t (в случае a =
= /3 = 1 обычные трансляции являются их линейной комбинацией);
симметрии Qe и "Нн — обобщенные трансляции по х и у соответст-
венно (обычные трансляции при G =Н = 1); наконец, К,к —калиб-
ровка на тривиальное решение.
О структуре алгебры симметрий дает представление таблица
коммутационных соотношений (см. табл. 1).
5.4.2. Инвариантные решения.
Ла-инвариантные решения. Условия инвариантно-
сти имеют вид
«'(¥> + ‘Ф) + + <pt) = 0, а'(<р + ф) + а(фг + i/jt) = 0.
Решая эту систему, получим
<р = (a(z + t))~lA(x, y,z-t) + В(х, y,z-t);
ф = (a(z + t))~lA(x, y,z-t) + B(x, y,z-1),
причем функции А а В подчиняются следующим соотношениям,
вытекающим из (5.20) и (5.21):
А„ = В А - АВ.
Г} х у X у>
Д.А =В Д.А +А Д.В -АД,В -ВД,А,
± т] xLy ‘ х ± у х у 1 х>
(5.23)
где г) = z — t. Отметим, что уравнения (5.23) одинаковы для всех а.
152
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Таблица 1
Коммутационные соотношения в алгебре классических
симметрий уравнения Кадомцева — Погуце
[,] ^7 а»
•^а 2j^aa'-a'a 0 -2^7 7 а 0 ^a(Gt + Gx)
Вв 0 20 , > 0 “Ч? ^P<Gt-Gs)
С, 2С ,~ Ya 0 0 0 -2«~ 01»
T>t 0 Ч'д 0 0 -2G?„ oil
QG ^(Gt+GJ -С~ y?(Gt-Gz) 24g 2И7„ 01я 0
Мн ~^н -2^ 0 Л -К.яа (jil
~сК»(к^кг) СЛ/3(^-Кг) 0 0 0
1С -гА‘ + г)?-а -If "‘'(z+t'ff - *)? + zGz
тМ 0 0 0 0 mHH
Таблица 1 (продолжение)
[,] ~Kk IC mM
•^a ^(Kt+K.) ^(t+x)af -a 0
П0(Н1-Нг') Ка(ъ-кг) lB(z-W-a 0
C, 0 fclt+tyr' 0
Чя 0 0
Gg ^5 Oil 0 lGzGz + tGt -ff^G
Hh 0 0 l^tHt+zHz —mHg
0 0 TX-tKt+zKz —2mK.K
IC ~г%я4 + гя2 ~lKtKt+zKz 0 0
mM mMg. 2тК.-л Л 0 0
§ 5. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИММЕТРИЙ
153
^-инвариантные решения. Условия инвариантности
даю\> = -(Gt/G)xy + А(у, z, £); = -(GjG)xy + В(у, z,t),
причем А и В удовлетворяют линейной системе
-Bt+Az = (y/G)[GzA-GtB]y,
(At — Bz)y2— (y/G)[GtA —GzB]y3.
С-инвариантные решения. Условия инвариантности
дают „ „
Ч> = г20^'/2^ + A(r, z, £); = г2 6 у' /2^ + B(r, z, t),
где г и 0 — полярные координаты на плоскости х, у. При этом функ-
ции А п В удовлетворяют линейной системе
-Bt+Az = (r1'/21)(A-B)r
^(At - Bz) = [(г7'/27)Д± + (27'/r7)](A - B)r.
Интересно, что Cy -инвариантные решения однозначно опреде-
лены лишь в секторе |0 — 0О| < тг для некоторого 0о. Из таких «кусков»
можно строить разрывные решения.
Приведем примеры решений, инвариантных относительно неко-
торых двумерных подалгебр.
Аа, Вр-и н в а р и а н т н ы е решения. Эти решения имеют
вид
Ч> = (a(z + t))~lA(x, у) + (0(z - i))_1B(x, у),
(5.24)
il>='(a(z + t)) 1 А(х,у) — (/3(z — t)) lB(x,y).
Таким образом, эти решения представляют собой произвольную (так
называемую альфвеновскую) волну, распространяющуюся вдоль оси
z со скоростью сА — 1 с амплитудой, зависящей от х, у. При этом
А В - А В = О,
х у ух ’
А ДВ - АДВТ + В ДА, - В ДА = 0.
\ х у у X х у ух
Из первого уравнения системы следует, что В = f(A). Из второго
уравнения имеем
/'(А)(АХ ДАу - Ау ДАЖ) + f"(A)[Axy(A2 -A2)- Аху(Ах2 - А^)] = 0.
В частности, при В — А имеем
ДА = Г(А). (5.25)
154
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Другие примеры инвариантных решений для системы уравне-
ний Кадомцева — Погуце, в том числе для подалгебр размерности
три, можно найти в статье [99].
5.5. Размножение решений. Пусть (<р0, ^0) — решение си-
стемы (5.20), (5.21), a Q = (Q1, Q2) — его симметрия. Напомним,
что решение системы
дт \Ф) \Q )
с начальным условием (ip, Ф)\т = 0 = (р0, Фо) Дает зависящее от т как
от параметра семейство решений уравнения (5.20), (5.21). Таким
образом решение (</>о,^о) оказывается «размноженным» или «де-
формированным» при помощи симметрии Q. Приведем несколько
примеров.
-размножение. В этом случае следует решать уравне-
ния
¥>т=7'г2/2+7¥>9 , ¥’|т=0 = ¥’0(г,^,«,*), (5 26)
Фт ='г'г2/2 + ’уф№, Ф\т=0 = ^0(.г,е,г,1).
Решениями являются tpT=y'r2T/2+tp0(r, О+т-у, z, t), фт =^'г2т/2+
+ фо(г,0 +ry,z,t). Можно заметить, что решение получается од-
нозначным, в то время как инвариантные решения этой симметрии
неоднозначны (см. выше).
Вид формул для семейства <р и ф показывает, что фазу в мож-
но отклонить вдоль оси z при помощи бегущей с альфвеновской
скоростью волны 7(2: + t), но при этом возникает поправка 7Г2т к
решению. Заметим, что -размножение приводит к аналогичным
формулам (и к отклонению t6(z — t) в фазе). Если решение перио-
дично по z (например, ось z токамака замкнута и имеет длину I), то
возникает условие «квантования» параметра т. Например, взяв отк-
лонение фазы равным тz = r[(z+t)+(z-t)]/2, получим требование
т1 = 2irn, т = 2itn/l. Однако этот эффект может и не проявиться,
если отклонение периодично (например, если имеется «дрожание
фазы» вида 7 = sin[7rN(z + £)//]).
^-размножение. В этом случае
<Р = yrGt + ¥>0(аг + tG, у, z, t); ф = yrGg + ф0(х + rG,y, z,t).
Здесь решение отклоняется вдоль оси х и возникает поправка
к исходному решению, равная (yrG^yrG*). Вполне аналогично,
Нн-размножение представляет собой сдвиг по оси у на тН. Ком-
бинируя сдвиги, можно, скажем, изогнуть решение по спирали.
$ 5. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИММЕТРИЙ
155
Следует, однако, отметить, что указанная свобода в выборе де-
формаций несколько иллюзорна: с физической точки зрения сильная
деформация приводит, по-видимому, к необходимости учета давле-
ния плазмы, и, следовательно, к добавлению соответствующих сла-
гаемых в исходные уравнения.
Аа-размножение. Для решения системы
<РТ = <*(</>*+4>t)+ <*'&+
•Фт = а(-фг + V»t) + «'(т3 + V»)
вычтем и сложим ее уравнения:
& + V0T = <*[(¥> + VOz + (</> + VOJ + 2а'(^ + V»)
(т3 - = «[(т3 - + (т3 - VOJ-
Преобразованную систему нетрудно решить относительно но-
вых неизвестных функций +‘Ф), — ф). Приведем ответ:
a(S) + a(z +1) a(S) — a(z + t)
75 “ 2a(z + t) ^Х’У’Z,T}+ 2a(z + t) ^о(Ж’У’Z,T)’
a(S) — a(z + t) . „ a(S) + oAz +1) „
“ 2a(z + t) 7’о(ж’ У’ Z'T) + 2a(z + t) У’ Z'T}'
Здесь z + t
^ = V-\T + V(z + t)), r(z+t) = l j
,Z = i(z-t+S), r = |(t-^ + E),
а Г1 — обратная функция. Для конкретных значений а получаются
явные формулы. Например, при tpo = O и a = z+t имеем «сминание»
решения:
V? = (l +eT)<p0(x,y,eT(z + t),z -t)/2.
Интересно отметить, что если взять разрывную симметрию,
изначально гладкое решение включается в семейство разрывных.
Так, если t/>0 = 0, a=£~l, £ = z + t, то
73 = 5(1 + |^|(т + £2)~1/2)р0(х, у, sgn(£)\/T+£2> z ~f)/2-
При £ = 0, т 0 возникает бегущий разрыв, пропорциональный ве-
личине
У’оС®- У, z ~ О “ У’оС33’ У> ~z ~ О-
156
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Хотя разрыв потенциала <р и не допускает непосредственной физи-
ческой интерпретации, при четности у>0 возникает разрыв градиен-
та, что уже физически осмысленно.
Приведем еще один пример использования инвариантных реше-
ний для размножения [99]. Выберем Аа, Bfj-инвариантное решение
(5.24), взяв а =2, /3 =-2 и такие функции А и В, что А = В и
выполнено равенство ДА = ехр А (ср. (5.25)). А именно, в качестве
решения возьмем функцию
, [г4 .2/cos б» А’
A(z, 0) = - In — shz I-----bl).
L 2 \ r J
Тогда соответствующее инвариантное решение имеет вид
{у> =0,
V» — А.
Полученное таким образом решение статично (т. е. не зависит
от времени) и постоянно вдоль оси z. Подвергнем его (^-дефор-
мации, где a(z + t) = - ехр(—(z + t)). При т = 1 из формул (5.26)
получим, что
_2
г2 . (г4 2[cos0 — e-(z + t) 11
Ф = (2 + t)-ln{ — shz ------------+ 1 k
2 I 2 [_ r J J
На рис. 3.11 изображена магнитная поверхность уровня
ф(х, у, z, 0) = 5. Стрелкой показано направление альфвеновской ско-
рости вдоль оси z. Таким образом, после деформации решение утра-
тило статичность и стало неоднородным вдоль оси z.
На рис. 3.12 представлен результат деформации того же част-
ного решения при последовательном применении £G- и Нн -дефор-
маций, где G = (sin20z)/20 и Н = (cos 20z)/20.
§ 6. Факторизация уравнения по симметриям
Группа симметрий уравнения состоит из диффеоморфизмов
пространства джетов, не меняющих самого уравнения и переводя-
щих каждое решение этого уравнения в некоторое другое решение.
Что получится, если рассмотреть факторобъект такого действия,
§ 6. ФАКТОРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ПО СИММЕТРИЯМ
157
Рис. 3.12
т. е. пространство орбит? Или, более общо, рассмотреть простран-
ство орбит по действию какой-либо подгруппы полной группы сим-
метрий?
Рассмотрим уравнение £ с 7к(тг), для которого полной группой
158
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
симметрий является группа Ли G, и пустьHcG — подгруппа Ли
HcG. Распределение Картана С = Ск инвариантно относительно
симметрий, и решения уравнения являются n-мерными максималь-
ными интегральными многообразиями распределения Ск(£). Рассмо-
трим пространство орбит по действию Н и обозначим через д отоб-
ражение факторизации *):
£ ------> Jk(Rn)
£' -----> 7*(КП)/Я
На £' определено фактор-распределение С', имеющее почти всюду
ту же размерность. Действительно, положим С'а = Для
€ Jk(n)/H. Определение корректно ввиду того, что С инвариантно
относительно Н. Кроме того, касательные векторы к орбитам Н
почти всюду не лежат в распределении С. Действительно, пусть Ъ €
е <7*(тг) и Нь — орбита точкам Ъ под действием группы Н. Тогда
отображение Н —> Нь, h(b) е Нь, порождает эндоморфизм
алгебры Ли Я группы Ли Н на касательное пространство ТЬ(НЬ).
Потому всякий вектор Хь еТь(Нь) имеет вид |ь, где — некото-
рое производящее сечение из алгебры инфинитезимальных симме-
трий 7Y. Пусть ХьеСь. В частности, это означает, что
п
J(du> - £ pi dXi))b = ^(Ь) = 0.
г — 1
Поэтому почти для всех Ь € <7*(тг) имеем Сь П ker |6 — 0 и, следо-
вательно, dim С = dim С'.
Решения уравнения £ — максимальные интегральные п-мерные
многообразия распределения С — проектируются, вообще говоря,
в n-мерные интегральные многообразия распределения С', лежащие
в £'. Подчеркнем, что нас интересуют не все интегральные много-
образия С', а именно те, которые являются образами решений ис-
ходного уравнения (поскольку оно и является, в конечном итоге,
объектом изучения). Поэтому условие, выделяющее нужные нам
интегральные многообразия распределения С' в £', и будет фактор-
уравнением **).
*) Мы предполагаем, что пространство орбит является гладким многообразием,
а проекция р — гладким расслоением.
“) Если, конечно, его удастся реализовать (хотя бы локально) как некоторое
подмногообразие в J*(7r').
$ 6. ФАКТОРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ПО СИММЕТРИЯМ
159
Пусть L' с 8' является образом некоторого решения L уравне-
ния 8. Тогда
<*(£') = Я(£)= (J h(L). (6.1)
Аен
Обозначим через iL> вложение д-1(1/) <-> «7*(тг). Тогда ограничение
распределения Картана на задается дифференциальной си-
стемой T>Ll=iltT>, где 2>cA1(J*:(7r)) — дифференциальная система,
порожденная формами Картана и задающая С. Легко видеть, что
распределение T>Li вполне интегрируемо: каждое из h(L) является
его интегральным многообразием, а их объединение составляет все
д-1(£'). Условия Фробениуса dT>L, с полной интегрируемости
распределения T>Li и оказываются условиями, выделяющими те L',
которые являются образами решений исходного уравнения при фак-
торизации по Н. Таким образом, именно эти условия и являются
факторуравнением.
В разобранных ниже частных ситуациях такие факгоруравне-
ния удается явно выписать в координатах за счет удачного соотно-
шения размерностей участвующих в них объектов; в более общих
ситуациях явную координатную форму получить затруднительно.
6.1. Уравнения второго порядка от двух независи-
мых переменных. Рассмотрим уравнение второго порядка от
двух независимых и одной зависимой переменных, на кото-
ром действует без неподвижных точек двумерная группа Ли
Н. Точнее, пусть 8 с J2(2,1) с каноническими координатами
91,92> u> Р1> Р2> Р(2,0)> Р(1,1)> Р(0,2)- ТогДа dim £ = 7, dim 8/Н = Ь. В этих
же координатах базис дифференциальной системы Р, задающей рас-
пределение Картана, есть
uQ = du-pldq1 — p2dq2,
cUj =dpi “P(2,o)d?i — P(i,i)d?jj
u2 = dp2 ~P(iti)dql — P(o,2)^^2>
и, следовательно, в точках общего положения размерность карта-
новских плоскостей равна 4.
Как уже объяснялось, векторные поля, образующие алгебру
Ли 7Y группы Н, почти всюду не пересекаются с распределением
Картана, и поэтому фактор-распределение Картана С' на пятимер-
ном многообразии 8/Н также четырехмерно. Следовательно, задаю-
щая его дифференциальная система Р' одномерна и (по крайней ме-
ре локально) распределение С' можно задать одной дифференциаль-
ной формой w. В ситуации общего положения одна форма на нечет-
160
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
номерном многообразии задает контактную структуру и, в соответ-
ствии с леммой Дарбу, в подходящих координатах xltx2, v, ylfy2 на
£/Н ее можно записана в виде
w = dv — yxdx{ — y2dx2.
Таким образом, само фактормногообразие £/Н может быть (локаль-
но) отождествлено с J*(R2).
В этих координатах (опять-таки локально) «почти все» макси-
мальные интегральные многообразия формы w могут быть заданы
как 1-джеты графиков функции двух переменных:
t \ д9 д9
w = s(xt,x2), = у2 = -^.
Обозначим это многообразие через V. Условия Фробениуса dDv с
С Dv полной интегрируемости являются уравнениями в частных
производных первого порядка на функции, задающие график 1-дже-
та и, следовательно, уравнениями второго порядка на саму
функцию д. Фактически же в разобранных примерах возникает од-
но уравнение второго порядка, которое и будет являться искомым
факторуравнением. Его решениям, как это следует из самой кон-
струкции, соответствуют двупараметрические семейства решений
исходного уравнения.
Пример 6.1. Рассмотрим уравнение Лапласа £ = {р(2 Oj +
+ Р(о,2) = О}. Группа Н порождена трансляциями вдоль ql,q2; ее
алгебра Ли Н соответственно имеет базис
Э<11 dq2
Форма w, задающая контактную структуру на £/Н, определяет-
ся в этой ситуации однозначно с точностью до пропорциональности
условиями
д * п д * л
— _J/zw = 0, —_1дш = 0,
oqi oq2
^-(yw) = Q, ^-(/w) = 0,
</^1 oq2
причем y*w = aowQ + + а2ш2.
С учетом последнего условия, (6.2) приводит к системе
(6.2)
(а0Р1 "Г “1Р(2,0) + а2Р(1, i))lf ~ 6,
(а0Р2 + aiP(i, 1) + “2Р(0,2))Ь = °>
$ 6. ФАКТОРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ПО СИММЕТРИЯМ
161
откуда, с точностью до пропорциональности,
«о = (Рц, 1) “ Р(2,о)Р(о,2))1г> ai = (Р1Р(о,2) ~ РгР(1,
q2 = (РгР(2,О) — Р1Р(1,1))1г
Вторая пара условий (6.2) означает, что P*w не зависит от qvq2.
Поэтому рассматриваемое отображение факторизации ц можно
отождествлять с проекцией на плоскость {gj = q2 = 0} С J2(R). Та-
ким образом,
Р w = f • [(P(i 1) — P(2,o)P(o,2))^u ~ (Р1Р(0,2) — РгР(1,1))б^Р1 ~
“ (РгР(2,0) ~ P1P(1, l))^P2Hf
где f — некоторая функция (коэффициент пропорциональности).
Положим f =(P(2i>t) - Р(2,о)Р(о, 2))-1 • Так как на уравнении вы-
полнено равенство Р(0,’2) = — Р(2,о)> имеем
W=du -
Р(2,0)+Р(1,1) Р(2,0)+Р(1,1)
где С обозначает ограничение £ на уравнение. Учитывая, что w =
= dv — yldxl — y2dx2, получим
v-u x - n w _РгР(1,1)+Р1Р(2,о) _Р1Р(1,1)-РгР(2,о)
v ~ u> xi ~ Pit У1 — _2 . _ > «2— —2
P(2,0)+P(l,l) P(2,0)+P(1,1)
Отсюда, в свою очередь, можно найти, что
__ __ _ *^[У\ &2У2 _ *^\У2~^~ Х%У\
U = V, Pi=x., Р(2,0) = ~~2 _|~2~~ ’ P(l,l)= •
У[ +2/2 У1 ' «2
В этих новых координатах ограничение форм Картана на урав-
нение имеет вид
u/q ~~ dv ~~ xtdqt x2dq2j
У1 + У2 Vi + 2/г
_ Z1P2+:e2P1j Х\У\ ~Х2У2^
ш2 = dx2 - 1 2 i ldqx + -f <dq2.
У1 + 2/г 2/i + 2/г
Рассмотрим теперь в £/Н многообразие вида Vg, являющееся
1-джетом функции д(хх,х2)\
(6.3)
_ , ч _ дд
V — У> ~ Qx '
11 Симметрии...
162
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Этими же уравнениями задается и многообразие Vg — у. 1 Vg с
С J2(K2). Обозначим ш- = . Поскольку =0, имеем
а0ш0 + а1 + а2ш2 = 0’
т. е. формы {ш?} линейно зависимы*). Поэтому можно, например,
считать, что в области а2 = —у2^0 ограничение распределения Кар-
тана на Vg задается формами wf. Следовательно, условия инте-
грируемости этого распределения имеют вид:
dwfi A А ш® = О, dwf A wjj А ш’ = 0. (6.4)
С другой стороны, используя (6.3), можно получить следующие
выражения для базисных форм Wq,w®:
—ff^dx^ + ffX2dx2 — xtdqt — x2dq2,
^=dx, - dg2.
УI + У2 Vi + У2
Довольно трудоемкая выкладка показывает, что при подстанов-
ке этих выражений в (6.4) первое из условий (6.4) выполняется
тождественно, а второе равносильно уравнению у2(5Х1Х1 + — 0.
Однако, в выбранной нами области у2 0, поэтому равенство
о + о - О
и есть условие, выделяющее нужные функции. Иными словами, это
и есть факторуравнение для уравнения Лапласа **).
Итак, факторизация снова приводит к уравнению Лапласа (от-
метим, что уравнение Лапласа линейно, и полная группа его сим-
метрий, следовательно, бесконечна). В соответствии с изложенной
выше теорией из совпадения исходного уравнения и факторуравне-
ния следует, что с каждым решением уравнения Лапласа связано
двумерное семейство решений этого же уравнения.
В самом деле, если д(х1,х2) — решение уравнения Лапласа, то
многообразие Vg является интегральным многообразием для распре-
деления Картана и ограничения Р® полных производных Dg на Vg
*) Легко заметить, что а0 = 1, а1 = —j/p а2 = — так как v>=dv-yl dxl—y2dx2.
**) Отметим, что этот результат не зависит, разумеется, от выбора удобной для
выкладок области у2 ф 0: при иных предположениях факторуравнение получается тем
же.
§ 6. ФАКТОРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ПО СИММЕТРИЯМ
163
имеют вид
_ / д 9 9 9 \
Dqi ~ + Pl9u + P^9Pl + p^9pJ
9 Ж1У1 - Д2Уг 9 , х1У2 + х2У1 9
9(h У1+У2 9xi У1+У2 дх2
(6-5)
Г д 9 9 9 \
“ Ug2 +P1a« +P(1’2)5P1 +pWdPJ
0 xly2 + x2yl 9
992 У1 + J/2 ^«1
Х1У1~Х2У2 9 .
У1+У2 9x2
99
здесЬ = 9^.
искать в виде*
. Уравнения интегральных многообразий на V будем
qx=<p(xvx2), д2^ф(х1,х2).
Функции </> и ф находятся из условий
Dl(qi-<p) = O, PJfo-^) = O, г = 1,2.
Последнюю систему можно записать явно, используя формулы
9ip 9ф
(6.5). Разрешив ее относительно -—, -—, получим следующие фор-
oxi ох-
мулы (где г = (х2 + х2)~1):
9ц>
9хг
дд 99 \
19хх Х29х2)Г
(г dg дд V
Эх2 \ гдх2 2дх{}
дф _.( 9д 9д \
9хх \ l9x2 Xi9xl)
9ф
9х2
(9g 9g \
\29x2 Xl9xJr
х
Таким образом, при заданной g функции <р,ф определяются прос-
тым интегрированием.
Например, если g = х2, то <р = arctg(x1/a:2) + Clt ф = 1п(х2 +
+ х2)/2 + С2. Возвращаясь к стандартным координатам на J2(K2),
получим следующие соотношения, справедливые на Vg, где g = х2:
и—Р2> Р(2,0)— Р(0,2): Р(2,0) — Р2’’ Рр
ci + 91 = arctg^/p,); С2 + q2 = Info2 + р2)/2 Ц, С2 G R.
Выражая р2 =и через qit получим искомое двупараметрическое се-
мейство решений уравнения Лапласа:
u = eft + C2sinfo 4-Cj).
11*
164
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Пример 6.2. Рассмотрим уравнение Лапласа £ = {р(2 0) +
+ Р(0 2):=0}- Группа Н соответствует алгебра Ли Н, порожденной
' д д v д д
полями Л = -------h q, —, X = -----Н q2^~.
91 dpt 1ди Ъ др2 гди
Действуя по аналогии с примером 6.1, получим, что фактору-
равнение снова совпадает с уравнением Лапласа. Каждому реше-
нию g факторуравнения соответствует двупараметрическое семей-
ство решений исходного, которое можно найти явно из соотношений
« = p(9i,92) + 9iPi+92Р2,
Р(0,2) = “Р(2,0)>
_ 9i9qi ~ 9г9й
Р<2,0) - 2 , 2 ’
91 +9г
919^ + 919^
Р(М) =-------л2 -2 >
91 +92
Pi =¥>(91,92) +Ср
. Р2 = V>(9i, 92) + С2,
где Cj и С2 — произвольные вещественные константы. В свою оче-
редь, функции <р, ф определяются из соотношений
9qdqi + 9^92 + 9i <iPi + 92dp2 =
= 9i(9? + 9г)^(Р1 ~ ¥>) + 92(9? + 922)d(P2 “ V>),
(9i2 + 92)dPi + (9gi9i ~ 9ft92)^9i + (9,^1 + 99192)^92 =
= (9i2 + 9г)^(Р1 ~ ¥>)•
В частности, для g=q{ получим следующее двупараметрическое
семейство решений уравнения Лапласа:
« = 91(С1 - ln(qf + q2)/2) + q2(C2 + arctg(g, /q2)),
Пример 6.3. Волновое уравнение р^2 0> — р^ 2) = 0. Рассмо-
трим группу Н трансляций по независимым переменным; ее алгебра
д д
Ли Н порождена полями -—, -—.
091 dq2
В этом случае факторуравнение также совпадает с исходным
волновым уравнением. Каждое решение g факторуравнения соот-
ветствует двупараметрическому семейству решений исходного, ко-
$ 6. ФАКТОРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ПО СИММЕТРИЯМ
165
торое можно явно найти из соотношений
' u = g(pvp2),
Р(2,0) =Р(0,2)>
Pi9Pt -РъРъ
Р<2'°>- 52 _ 2 ’
( ЭР1 аР2
Рг5Р1 -Р13р2
2 2 >
УР2
91 =С1 -+-¥>(РрР2)>
. q2 = C2 + ^(pvp2),
где Ц и С2 — произвольные вещественные константы. В свою оче-
редь, функции определяются из соотношений
, - Pi 9Pl Р29Р1 -Р^,
d<P = —------2~^dPi +-----2----г^Р»
Р2-Р1 Р2-Р1
, . Р25Р1 “ Pi% , РгРр, ~ PiffP1 ,
d4> =----2---2 dPi + —---------2~^Р2-
Р2-Р1 Р2-Р1
В частности, для g=q{ получим следующее двупараметрическое
семейство решений волнового уравнения:
u = e9l+Cl ch(q2 + C2).
Пример 6.4. Рассмотрим уравнение теплопроводности р1 =
= Р(0 2>- Выберем группу Н трансляций по независимым перемен-
’ Q Q
ным; ее алгебра Ли “Н порождена полями —, -—.
04i 0Ч2
В подходящих координатах х,у, v факторуравнение является
квазилинейным уравнением параболического типа:
“ 2(г^)(г/ - xvy)vxy + (у - xvy)vyy = 0.
Упражнение 6.1. Покажите, что факторуравнение урав-
нения теплопроводности по группе масштабных симметрий и w ти
совпадает с уравнением Бюргерса.
Пример 6.5. У равнение Бюргерса р2 + ирх + р(2 0) = 0. Рас-
смотрим группу Н, алгебра Ли которой Н порождена полями -—
oqx
„ п д , д
и ~42~q^ + ~q~ т- е- трансляцией по qx и галилеевой симметрией.
166
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
В подходящих координатах х, у, v факторуравнение имеет вид
„,2 _2 ,,
v ~^- + v — + —— Зге=0.
хх 2v x2v 2v
Пример 6.6 (эволюционные уравнения с одной пространст-
венной переменной). Здесь изложены некоторые из результатов
статьи [61], относящейся к эволюционным уравнениям с одной про-
странственной переменной. Большая часть примеров, приведенных
в этой статье является частным случаем ситуации, разобранной в
этом параграфе. Однако, в силу специального вида уравнения ut =
= F(t, х,и,их,ихх,...), почти на все вопросы, связанные с проце-
дурой факторизации, можно ответить более или менее исчерпыва-
ющим образом.
Функции, постоянные на орбитах группы Н или продолжения
ее действия, на джеты более высокого порядка, называются скаляр-
ными дифференциальными инвариантами этой группы [10, 152, 3].
В статье [61] доказано, что если dim Н — т, то в ситуации общего
положения число независимых дифференциальных инвариантов на
Jm(R2) равно трем.
Эти три инварианта выбираются в качестве одной зависимой
и двух независимых координат (т. е. координат в J°(R2)) на фак-
торуравнении. В качестве полных производных по новым коорди-
натам выбираются «инвариантные дифференцирования», т. е. такие
линейные комбинации pDt + qDx, что [pZ)t 4- qDx, Л] = О для любой
производящей функции h е Н. Выбор как самих инвариантов, так
и инвариантных дифференцирований, естественно, неоднозначен, и
в статье приводятся рациональные правила, приводящие к возмож-
но более простому виду факторуравнения. На этом пути удается
получить, например, следующие результаты.
1. Пусть алгебра Ли <70, состоящая из симметрий уравнения
£, содержит идеал Если обозначает факторизацию, опреде-
ляемую алгеброй и — соответствующее факторуравнение, то
алгебра всех симметрий уравнения £0 содержит подалгебру Ли U
~Qa/Qx. При факторизации р по подалгебре U справедливо равен-
ство р0 = р о р^.
2. Результатом факторизации эволюционного уравнения вто-
рого порядка является либо снова эволюционное уравнение, либо
уравнение, приводящиеся точечным преобразованием к уравнению
вида
Vtt + 2vVxt + V\x + $(wt ,Vx,V,X,t)=0.
В частности, оно всегда имеет параболический тип.
$ 7. ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИММЕТРИИ
167
3. Для уравнений вида ut = ихх + h(t,x)u в число симметрий
. . д , .
входят поля a(t,x)—, где a(t,x) есть решение этого уравнения
ои
(сдвиг на решение). Факторизация его по любой конечномерной ал-
гебре, составленной из таких симметрий, приводит снова к линей-
ному уравнению того же вида, но, вообще говоря, с другим потен-
циалом h. В частности, для одномерной алгебры факторуравнение
имеет вид
Vt = Vxx +(/l + 2(lna)xa>-
Оказывается, что факторизация в этом случае совпадает с процеду-
рой «одевания», применяемой в обратной задаче рассеивания. При
этом переход от Л к Д + 2(1п а)хх — это ни что иное, как преобразо-
вание Дарбу.
§ 7. Внешние и внутренние симметрии
До настоящего момента под симметриями уравнения мы по-
нимали преобразования Ли в <7к(тг). Такой подход соответствует
изучению уравнения как бы «извне». Однако концептуально более
оправдан другой подход, основанный на рассмотрении ограничения
С(£) распределения Картана на уравнение £ с Jfc(?r) и диффеомор-
физмов £, сохраняющих С(£). Такая точка зрения соответствует
изучению внутренней геометрии уравнения и представляется бо-
лее адекватной задаче изучения индивидуального уравнения, хотя,
с вычислительной точки зрения, является значительно менее удоб-
ной. По счастью, для весьма широкого класса уравнений оба под-
хода оказываются эквивалентными. В этом параграфе описываются
достаточные для этого условия; уравнения, для которых такая эк-
вивалентность имеет место, мы называем ниже жесткими. Наше
изложение основано на результатах [24, 19].
Введем несколько основных понятий, необходимых для даль-
нейшего. Напомним, что распределение С(£) определяется в каждой
точке следующим образом: С(£)в =Ск ПТ9(£).
Определение 7.1. Диффеоморфизм многообразия £ назы-
вается внутренней симметрией, если он сохраняет распределение
С{£). Векторное поле на £ называется внутренней инфинитези-
мальной симметрией, если сдвиги вдоль траекторий этого поля
сохраняют распределение С(£).
Обозначим через Syme(£) группу внешних симметрий, опре-
деленных в § 3.6, а через Symjf) — группу внутренних симме-
трий уравнения £. Операция ограничения приводит к естественному
168
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
отображению
Syme 8 — Symt. £.
Уравнения, для которых это отображение эпиморфно, будем назы-
вать ординарными. Жесткость уравнения соответствует биектив-
ности этого отображения. Разумеется, жесткие уравнения ординар-
ны, однако обратное неверно (например, для уравнений первого по-
рядка от одной зависимой переменной, см. ниже).
Определение 7.2. Уравнение 8 с J*(?r) называется С-
общим, если:
1) множество ^к k_i(8) всюду плотно в <7* ~1 (л-);
2) слои отображения = 7rfc к _ i : 8 —> тгк к _ t (£) связны, при-
чем они и только они являются интегральными многообразиями мак-
симальной размерности распределения С(8).
Оказывается, всякая внутренняя симметрия С-общего уравне-
ния 8 С Jk(n) определяет некоторое преобразование пространства
Jk -1(тг). А именно, справедливо
Утверждение 7.1. Если 8 С Jk(n)—С-общее урав-
нение и А — его симметрия, то найдется такой диффео-
морфизм А1 пространства J*-1(7r), что коммутативна ди-
аграмма
8 > 8
Доказательство. Пусть вк_j G кк к_j(£). Тогда по опре-
делению является интегральным многообразием мак-
симальной размерности распределения С(8). Поскольку А — авто-
морфизм распределения С(8), то ^(тг^^_1(0к_1)) — тоже интеграль-
ное многообразие максимальной размерности, и, следовательно, оно
имеет вид мя некоторой точки 0к_{ Етгк к_{(8). По-
ложим Az(0fc_ j) = ^_j. Коммутативность диаграммы при этом оче-
видна. п
Выясним теперь, когда отображение А' будет преобразованием
Ли пространства Для этого понадобится еще два понятия.
Определение 7.3. Уравнение 8 с Jk(?r) называется С-
полным, если для любой точки 0к _ t G irk к _ j (8) линейная оболочка
$ 7. ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИММЕТРИИ
169
множества *)
U Я..СТ,, j‘-'«
Е 1 (fy - 1)
совпадает с картановской плоскостью •
Таким образом, уравнение С-полно, если оно целиком опреде-
ляет картановские плоскости в точках пк
Обозначим через £® С У* + /(тг) l-е продолжение уравнения £,
т. е. уравнение, состоящее из всех дифференциальных следствий
порядка I уравнения £ **).
Определение 7.4. Уравнение £c.Jk(ir) называется 1-раз-
решимым (в точке 0к G £), если 7г1 + к к: £т —> £ — сюръекция (в
точке 0к G £), т. е. £(,) П 7г,"+\ к(0к) / 0.
Утверждение 7.2. Если С-общее уравнение 1 -разреши-
мо и С-полно, то отображение А', построенное выше, явля-
ется преобразованием Ли. Более того, 1 -поднятие А', огра-
ниченное на £, совпадает с А.
Доказательство. Уравнение £ является С-полным, поэ-
тому для доказательства первого утверждения достаточно показать,
что если v G R9k, 0к G 1 (0к _ t), 0к _ j G irk к _ j (£), то A't(v) G CA,(gk_ j>.
Пусть точка 0j. + 1g£(1) такова, что тг4+ 1к(6к + J = 0к. Тогда
Я^ + 1 СТ^(£) и (7г*|1к_1),(Я^+1) = Явк. Поэтому найдется такой
вектор ViCR^, что (ттД^) = и. Тогда А'Ди) = ^((тгД^)) =
= (тг^),(-4,(^1)). Но А — автоморфизм распределения С(£), поэтому
4»(ul) е С ^А(вку
С другой стороны, = Raw, так что A't(v) G
еЛА(«*)ССЛ'№_1)-
Диффеоморфизм А совпадает с ограничением на £ поднятия
преобразования Ли А!. Это означает, что A't(Rgk) = R^gy, ^кЕ£.
Но предыдущими рассуждениями показано, что A'*(Rgk) С RA(gky, а
так как А' — диффеоморфизм и dim Rgk = dim RA(gky = n, то и это
утверждение доказано, g
Уравнения, удовлетворяющие требованиям утверждения 7.2,
мы будем называть нормальными.
*) Напомним, что RSk — это Я-плоскость в Jk ~1 (тг), определяемая точкой 0к е
G Jk(ir); см. § 3.2.
**) Геометрическое определение см. в § 3 гл. 4.
170
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Поясним, почему нормальности уравнения достаточно для его '
жесткости. Условие С-полноты в случае 1-разрешимости мож-
но заменить на следующее: линейная оболочка подпространств
К,k -1 )АСвк(£)) С Сйк_ (, где 6к G тг"1 (0к_1), совпадает с Свк_,. Дей-
ствительно, в этом случае имеем Re сСв (£) для вк + 1 е £(1) и
i)*(^0t+1)= = (^м-Поэтому (irk к_j)»(£$ (£)) =
= Ra .
Последнее замечание показывает, что понятие нормальности ‘
является «внутренним» в том смысле, что его можно сформулиро- <
вать, зная только многообразие £ и распределение С(£) на нем. '
Действительно, интегральные многообразия максимальной размер- ;
ности распределения С(£) зададут в этом случае расслоение и, базу ;
которого В можно снабдить распределением
(ВэЬ)ь->(С6= линейная оболочка плоскостей {i',(Cy(^))|!/Gi'_1(b)}).
В рассматриваемом контексте B = и описанное распреде-
ление есть распределение Картана на J*-1(7r). Если, далее, рас-
смотреть многообразие В1 всех n-мерных максимальных интеграль-
ных подпространств построенного на В распределения, то £ С В1 и
В1 = Jfc(?r). Эта процедура показывает, что условия нормальности >
позволяют восстановить «внешнее окружение» уравнения £, т. е.
восстановить вложение £ с /к(тг), исходя только из распределения
С(£) на £. Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 7.3. Нормальные уравнения являются жест-
кими. (~|
Выпишем теперь в явном виде условия 1-разрешимости и
С-общности, входящие в требования нормальности.
Пусть уравнение £ задано как множество нулей вектор-
функции: y = F(0,u,p<r'), или £ = {^(в,«,ро.) = 0| 1 ^г}. Тогда
локально F можно рассматривать как отображение F:
—> /°(тг'), где тг' — некоторое г-мерное расслоение над той же ба-
зой. Пусть точка 0к + 1 е /к + 1(тг) представлена в виде пары (О, L),
где L — некоторая R-плоскость в точке ^ = тгк + 1 к(0к + 1)е
Тогда для почти всех 0к + 1 плоскость F,(L) будет Л-плоскостью
в точке G(6k). Следовательно, полагая F(l\0k + i) = (F(ek),FJL)),
мы получаем отображение /к + 1(тг) —>/’(тг'). В силу определений
$ 7. ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИММЕТРИИ
171
следующая диаграмма коммутативна:
+ ^±1^ J‘(tt) М
F
(7.2)
7°(тг')
м.
Из коммутативности этой диаграммы следует, что пересечение £(1)П
П7ГГ+1 k№k) непусто, если ограничение на слой,
<1,*(**)->(<o)"W)),
сюръективно. Однако это ограничение есть не что иное, как стар-
ший символ отображения F: в координатах он представляется ма-
9G
трицей —т, |сг| = к. Таким образом, уравнение 1-разрешимо, если
др3а
старший символ задающей его вектор-функции сюръективен.
Если уравнение является определенным (число уравнений со-
впадает с числом зависимых переменных), то размерность слоев
проекции <7* + 1(тг) —► Jfc(?r) больше размерности слоев проекции
*71 (тг') —► *7°(тг'). Поэтому в ситуации общего положения требуе-
мая сюръективность всегда имеет место. Если, например, dim тг =
=dim тг' — 1 и £ = {д=0}, то символ сюръективен при условии /
9Ра
^0 хотя бы для одного а, |сг| = к. Таким образом, 1-разрешимость —
весьма слабое требование.
Условие С-общности связано с простыми соображениями раз-
мерности.
Утверждение 7.4. Если £ с. Jk(n), dimTr = m, dim Л/ — п
и слои проекции тг£ связны, то уравнение £ является С-общим
при условии
„ (п+к- 2)!
codim С т ' ---у- - 2.
(к — 1)!(п — 1)!
Доказательство. Действительно, число
(п + *-2)! ,
(fc — 1)! (п—1)! 1
равно разности размерностей интегральных многообразий, проек-
ции которых на Jk “1 (тг) имеют размерности г = 0 и 1 (см. утвер-
ждение 2.5). Поэтому при ограничении распределения Картана на
172
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
£ размерность максимальных (г = 0) интегральных многообразий
упадет не менее чем на A. q
Если £ — определенное уравнение, то условия последнего пред-
ложения выполняются во всех случаях, кроме: а) к = 1, б) п = 1, в)
т = 1, к = п — 2.
Приведем примеры уравнений, для которых внешние и внутрен-
ние симметрии не совпадают.
Пример 7.1. Пусть вк G Jk(ir), где к 0 при dimтг > 1
или к 1 при dim тг = 1. Пусть, далее, £ = тг^|, к(0к). Тогда £ — не
жесткое и даже не ординарное уравнение.
Действительно, для каждой точки 0fc + 1 е£ касательная пло-
скость Твк j (£) лежит в распределении Картана и поэтому ((£)=
= Тдк t (£). Поэтому множество внутренних симметрий этого урав-
нения совпадает с группой всех его диффеоморфизмов. Однако, каж-
дая внешняя симметрия £ определяется некоторым преобразовани-
ем Ли пространства Jk(ir), оставляющим на месте точку 0к.
Пример 7.2. Уравнения первого порядка с одной зависимой
переменной являются ординарными, но не жесткими.
Пусть к = dim тг = 1. Мы ограничимся случаем определенных
уравнений, т. е. codim £ = 1. Сначала напомним некоторые сведения
из гл. 2.
Контактная структура на J1 (тг) определяется любой из форм
вида шх = XU^ir), где функция A G нигде не обращается
в нуль. В дальнейшем, чтобы избежать топологических рассмотре-
ний, мы будем предполагать, что найдется функция А, для которой
форма </шл|£ невырождена. Локально это всегда выполнено. Далее,
мы полагаем ш — шх, ш = шл|£.
Теперь нетрудно описать структуру внутренних инфинитези-
мальных симметрий уравнения £. Очевидно, что X G Symt. £ тогда
и только тогда, когда Х(а>)=цш, цеС°°^£). Так как X(a>)=X_ldo5+
+ d(X Jw), то, обозначая X Jw через /, легко проверить, что X G
е Sym{ £ тогда и только тогда, когда
цш = Х -lduj + df (7.3)
Форма du> невырождена, поэтому отображение
Г: D(£)—>Al(£), Г: Y^-YJdw,
является изоморфизмом С'°°(£)-модулей векторных полей и 1-форм
на £. Применив отображение Г-1 к равенству (7.3), найдем, что
X G Symf £ тогда и только тогда, когда
$ 7. ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИММЕТРИИ
173
где Ye=rl(0),eeAl(£).
Заметим теперь, что Ye _10 = —Ye _1(У^ Jdo?) = 0. Поэтому
(м*Ь)(с) = (М^~) + d(jiY~ _l w) = -p,w,
т. е. pY~ & Symt £ (нетрудно видеть, что поля вида pY~ направлены
по характеристикам уравнения £). Поэтому X е Sym,. £ в том и
только том случае, если Ydft Symf £. Но
yrf/(S5)=yd/~jd2+d(yd/~js)=d((x+/zys)JS)-d7=d(xjS)-d/=o.
Поэтому У^-€ Sym£ £ тогда и только тогда, когда У^_1ш = /.
Перепишем последнее условие в более наглядном виде:
Y.r _JS = -Уг_1 Y~ _Jd2 = У- _l У = У- _l(-d/) = -Y~(f\.
Тем самым доказано следующее предложение.
Утверждение 7.5. Поле X G D(£) тогда и только
тогда является внутренней симметрией уравнения £, когда
оно имеет вид
где р — некоторая, функция и Y~(f) = —f. При этом Х(и>) =
= рш.
Заметим, что поле Ydh, h е С°°(£), является гамильтоновым с
гамильтонианом h относительно той симплектической структуры на
уравнении £, которая задается 2-формой dw. Поэтому внутренними
симметриями уравнения £ являются только те гамильтоновы поля
на £, гамильтонианы h которых удовлетворяют условию Y~(h) = —h.
Выясним теперь, как связаны между собой Symf £ и Syme £.
Напомним, что контактное поле X на У^тг) однозначно определяет-
ся своей производящей функцией f = Х _1ш, являясь единственным
решением системы двух следующих уравнений
X Jda> +df=Xx(f)u, f=XAu, (1A)
v d
где поле X, = -— однозначно определяется условиями
О
X1_lw = l, Xj_ldw = 0.
Теорема 7.6. Контактное поле Xj тогда и только
тогда является внешней симметрией уравнения^ первого
порядка с одной зависимой переменной, когда Y~(f) = f.
174
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ
Доказательство. Из (7.4) следует, что
Xg(f) + Хд АХ} _ldw = Xg(df + Xf _1<М = Xg_lXx(f)w = gXt(f).
Аналогично, Xf(g) + Xj _1Хд_ldu) = fXi(g). Так как X? _JXg_ldu> +
X____l-Xy_idw = 0, to
X}{g) + Xg(j) = fXx (5) + gXx(J) = Xx(Jg).
Пусть локально 8 — {g = 0}, dge / 0, 0 G 8. Тогда из последнего
равенства следует, что
X}{g)\£ = -Xg{J) + fXx{g)\£, (7.5)
где X обозначает ограничение поля X на 8, если X касается 8
(напомним, что поле Хд всегда касается гиперповерхности {<7 = 0}).
Ограничивая равенство — Xg_ldw = dg — Хх(д)ш на 8, получаем
—Xg_idw = aw, а — —Хх(д)\£.
Поэтому, в соответствии с введенными выше обозначениями,
X =aY~,
д w
и, значит, (7.5) можно переписать в виде
X}(g)\£ = aY~(f)-af.
Таким образом, равенство ХДд)\£ = 0 (т. е. условие касания поля
Xj многообразия 8) будет выполнено тогда и только тогда, когда
>-(/) = /, так как а = —Хх(д)\£ /0. Последнее следует из того, что
Xjlj Тв(8), так как Хх G kerdw|e, a du\£ — 0. g
Следствие 7.7. Для уравнения первого порядка с одной
зависимой переменной отображение Syme 8 —»Symt. 8 являет-
ся эпиморфизмом.
Доказательство. Рассмотрим функцию h — f + Xg, A G
G C'°°(J1(7r)), A/0, и постараемся подобрать функцию А так, чтобы
выполнялось равенство Xh = pYtw + Ydj. Согласно доказанной те-
ореме, поле Х^ является внутренней симметрией уравнения 8, и
поэтому, согласно утверждению 7.5, выполнено равенство
Xf = vY~ + Ydf, иеС^(8).
$ 7. ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИММЕТРИИ
175
Далее, как было показано в гл. 2, Х^ — (рХ11)+'фХ1р-^'фХ1. Отсюда
и из (7.5) следует, что
X.=XX=aXY~, A = AL.
лд д ш1 lb
Поэтому, выбрав в качестве А такую функцию, что
a = ~xi(9)\£,
мы можем считать, что Xh = pY~ + Ydj-. q
Пусть Xj — pY~ + Ydp Тогда, ограничивая равенство
Xf (w) = Xf _l dw + df - Xt (f )w
на уравнение £ и учитывая, что Xf касается £, получаем
Xj(w) = Xf -idu + df (3 = Xx(f)\£.
С другой стороны, как показывает утверждение 7.5, если Y =
= /j.Y~ + Уф то У(о5) = /Зи>. Поэтому (3 = ц. Таким образом, справед-
ливо следующее предложение.
Следствие 7.8. Пусть Y=pY~+Ydf-e Sym,. £. Тогда Xf =
= Y в том и только в том случае, когда f\£=f и Xl(f)\£ = р.
Из двух последних следствий непосредственно выводится глав-
ное утверждение.
Следствие 7.9. Уравнения первого порядка относи-
тельно одной зависимой переменной являются ординарны-
ми, но не жесткими.
ГЛАВА 4
ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
В гл. 3 мы рассматривали нелинейные дифференциальные урав-
нения в частных производных как подмногообразия в пространствах
снабженные распределением Картана, и на основе этого под-
хода построили теорию симметрий. Оказывается, что при рассмо-
трении дифференциального уравнения не «самого по себе», а вме-
сте со всеми его дифференциальными следствиями *) теория симме-
трий допускает естественное обобщение. При этом дифференциаль-
ные следствия образуют так называемое бесконечное продолжение
уравнения, а «естественной средой», в которую эти продолжения
помещаются, являются пространства бесконечных джетов. На
них также существует распределение Картана, которое, в отличие
от рассматривавшихся ранее, вполне интегрируемо. Изучение авто-
морфизмов этого распределения приводит к понятию высшей сим-
метрии дифференциального уравнения. Широко известный при-
мер таких симметрий — это серия высших уравнений Кортевега —
де Фриза, а также аналогичные серии для других интегрируемых
нелинейных систем (см. например, [31]).
Пространства бесконечных джетов, как и бесконечные продол-
жения большинства уравнений, являются бесконечномерными мно-
гообразиями, и поэтому мы начинаем изложение с описания основ-
ных дифференциально-геометрических конструкций (гладких функ-
ций, векторных полей, дифференциальных форм и т. д.) на этих мно-
гообразиях (§ 4.1). В § 4.2 вводится распределение Картана на про-
странстве бесконечных джетов и изучаются его инфинитезимальные
автоморфизмы. Приводится полное описание этих автоморфизмов в
терминах эволюционных дифференцирований (обобщений полей
Ли) и их производящих функций. Следующий параграф посвящен
геометрическому определению бесконечных продолжений и выводу
определяющих уравнений на высшие симметрии. Наконец, в § 4.4
рассматриваются некоторые примеры вычислений.
*) Отметим, что при рассмотрении внешних и внутренних симметрий (§ 7 гл. 3)
мы уже сталкивались с необходимостью рассмотрения дифференциальных следствий
уравнения.
$ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ
177
§ 1. Пространства бесконечных джетов и основные
дифференциально-геометрические структуры на них
Пространство бесконечных джетов сечений расслоения тг: Р —>
—> М — это обратный предел башни конечных джетов относительно
проекций тгк j к: 7* + 1(тг)—>7*(тг). Задача настоящего параграфа —
определить основные элементы анализа и дифференциальной геоме-
трии на 7°°(тг) (гладкие функции, векторные поля, формы и т. д.),
необходимые для построения теории высших симметрий. Решение
этой задачи наталкивается на некоторые методологические труд-
ности, источник которых — бесконечная размерность 7°°(тг). Для
преодоления этих трудностей мы переходим к двойственному алгеб-
раическому языку колец гладких функций на этих многообразиях.
Алгебро-геометрический дуализм значительно упрощает определе-
ние необходимых понятий и позволяет сделать все рассмотрения
достаточно прозрачными. Чтобы убедиться в этом, достаточно отка-
заться от использования локальных координат и попытаться после-
довательно изложить этот материал, пользуясь только инвариант-
ными алгебро-геометрическими средствами.
1.1. Многообразия 7°°(тг). Пусть М — гладкое многообразие
размерности п и тг: Р —»М — гладкое векторное локально триви-
альное расслоение над М, слой которого имеет размерность т.
Рассмотрим цепочку проекций (см. гл. 3)
M^-P^s- 7‘(тг) <---...<---+ <-- ... (1.1)
и для каждой точки х & М выберем последовательность точек
G /'(тг), I = 0,1,..., k,..., так, чтобы имели место равенства
тг1 + 1 ((01 + 1) =01г тг(0о) = х. В силу этих равенств, определения про-
странств 7г(тг) и леммы Бореля [48] можно выбрать такое локальное
сечение s расслоения тг, что вк = [з]^ при любом I. Таким образом,
каждая точка 0г определяется производными сечения з в точке х
вплоть до порядка I, а вся последовательность точек {0,} содержит
информацию о всех производных сечения з в точке х. Обозначим
через 7°°(тг) множество последовательностей указанного вида. Оче-
видно, что точки пространства 7°°(тг) можно интерпретировать как
классы сечений расслоения тг, имеющие касание бесконечного по-
рядка, или, что то же самое, как бесконечные ряды Тейлора этих
сечений.
12 Симметрии...
178
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
Для каждой точки ^оо = {х, 0k}keriE положим 7r00j*;(^00) =
= вк и 7^(0^) = х. Тогда для всех к > I > 0 имеют место коммута-
тивные диаграммы
J°°(7r) Jfc(7T)
J*(7T)
М
j'(Tr)
(1-2)
т. e. выполнены равенства тгк о тг^ к = тг^ и тгк 1 о тг^ к = тг^ г. Кроме
того, если з — сечение расслоения тг, то определено отображение
Ло(з): М -> J°°(7r), задаваемое равенством joo(s)(x) = {x, [s]*}fc6N.
При этом справедливы соотношения тг^ к о j^s) = jk(s) и
тГоо 0 = idM> W idM—тождественный диффеоморфизм мно-
гообразия М.
Определение 1.1. Сечение ^(з) расслоения тг^: J°°-»
—>Л/ называется бесконечным джетом сечения з еГ(тг).
Как и пространства 7*(тг), к оо, множество J°°(ir) наделяется
естественной структурой гладкого многообразия, однако, в отличие
от первых, оно является бесконечномерным. Координаты в 7“(тг),
возникающие над окрестностью U С М, — это xv.. .,хп и всевоз-
можные функции вида р^, где |<т| имеет произвольное (но конечное)
значение.
Определение 1.2. Расслоение тг^: J°°(7r) —»М называ-
ется расслоением бесконечных джетов, а пространство J°°(7r) —
многообразием бесконечных джетов расслоения тг.
Нашей ближайшей целью будет построение аналогов основных
дифференциально-геометрических понятий, встречающихся в диф-
ференциальном исчислении на конечномерных многообразиях. При
этом мы будем руководствоваться следующим, пока неформальным,
но крайне важным принципом: любая естественная конструкция,
возникающая на J°°(7r), должна «помнить» о том, что многообразие
бесконечных джетов является пределом башни проекций конечно-
мерных многообразий (1.1). Начнем с понятия гладкой функции на
J°°(7r).
1.2. Гладкие функции на J°°(7r). Пусть М — гладкое мно-
гообразие и С°°(М) — множество гладких функций на нем. Ес-
ли М' — некоторое гладкое многообразие и G: М' —> М —глад-
кое отображение, то оно порождает отображение G*:
—> действующее по правилу G*(f)(x') = f(G(x')), fe
е R, х1 е М1, и удовлетворяющее соотношениям G*(/j + /2) =
= С’(/1) + СШ G'*(/i/2) = G*(/i)G!*(/2) и G*(a/) = aG*(/) для
$ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ
179
любых fiff2ifER и a G R. Иными словами, G* — гомоморфизм
R-алгебр. Если G — субмерсия, то, как легко видеть, G* — моно-
морфизм, т. е. kerG* = O. Рассмотрим теперь последовательность
субмерсий (1.1) и обозначим через ^(тг) кольцо гладких функций
на многообразии к^О, а через Т’-оДтг)— кольцо
Тогда в соответствии с (1.1) определена цепочка вложений R-алгебр
-> ^о(тг) J-Дтг)----> Л + 100 -> • • •>
где 1/ = тг* и + =
Определим теперь Т = J’(tt) — алгебру гладких функций на
J°°(7r). Из существования проекций тг^ fc: J°°(7r)—»7*(тг) следует,
что каждая из алгебр ?к =7^(0 с помощью некоторого гомоморфиз-
ма ик должна вкладываться в алгебру Из равенств тг, о тгк , — тгк,
к > I (см. гл. 3), и коммутативности диаграммы (1.2) вытекает, что
диаграмма
также коммутативна. Поэтому алгебра Т должна содержать в себе
объединение всех алгебр Ук, к = — оо,0,1... С другой стороны, по-
скольку 7°°(тг) полностью определяется всеми своими проекциями
на многообразия 7*(тг), естественно предположить, что 7 исчер-
пывается этим объединением. Итак, положим J’(tt) = |J ^(тг). Из
к
этого определения следует, что каждая из функций <р на
однозначно определяется своим ограничением на какое-то многооб-
разие 7*(тг) с достаточно большим номером к. Это число называ-
ется фильтрацией функции <р и обозначается deg(y>). Очевидно,
что множество F является коммутативной R-алгеброй, операции в
которой следующим образом связаны с фильтрацией:
deg(y>1 + ч>2) max(deg(y>1), deg(y>2)),
deg( 9?2) = max(deg(9?!), deg(y>2)), (1.3)
deg(ay>) = a deg(y>), <p G J’, a G R, a/0.
Алгебры Тк являются подалгебрами в T, определяемыми усло-
виями 7^ = {у> g Т | deg(y>) fc}. Алгебра Т вместе с функцией deg:
Т —»Z, принимающей целочисленные значения (а также, если это
необходимо, значения ±оо) и обладающей свойствами (1.3), назы-
12*
180
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
вается фильтрованной, или алгеброй с фильтраций. Фильтрация
на алгебре F является алгебраическим соответствием башни про-
екций (1.1). Теперь мы можем уточнить сформулированный выше
неформальный принцип.
Все естественные дифференциально-геометрические
конструкции на должны быть согласованы со струк-
турой фильтрованной алгебры в
Пример 1.1. Пусть G: 7*(тг)—► <7к(тг) — преобразование Ли
пространства к-х джетов. Тогда, как было показано в предыдущей
главе, G является к-м поднятием некоторого диффеоморфизма Go
пространства 7°(тг), если dim(7r)> 1, и (к — 1)-м поднятием неко-
торого контактного преобразования G{ многообразия J^tt), если
dim(ir) = 1. При этом совокупность всех поднятий отображе-
ния Ge (е равно 0 или 1 в зависимости от размерности тг) согласо-
вана с проекциями тг; г1 и определяет автоморфизм G* алгебры Г.
При этом если 9? G У и deg(y>) > е, то
degG(p) = deg(<p).
Поэтому можно считать, что всякое преобразование Ли (рассма-
триваемое вместе со всеми его поднятиями) определяет диффео-
морфизм пространства J°°(7r).
Определение 1.3. Отображение G: где
тг: Е —>V и £: Q М —векторные расслоения, называется глад-
ким, если для всякой функции Gэлемент G*(<p) — <poGe
& ^(тг) является гладкой функцией на пространстве J°°(7r) и най-
дутся такие целые числа 4 и 10, что
degG*(y>) = deg(y>) + /
для всех <р е Д<), deg(^) 10.
Ниже мы опишем широкий класс гладких отображений, кото-
рые в отличие от отображений, построенных в примере 1.1, повы-
шают фильтрацию. Для этого нам понадобится следующая интер-
претация элементов <р е J’(Tr).
Пусть <р е Т = ^(тг) и deg(y>) = fc, т. е. G 7^. Рассмотрим про-
извольное сечение s расслоения тг. Тогда, как мы знаем, ему соот-
ветствует сечение jk(s) расслоения тгк, а композиция p°jk(s) = <p(s)
является гладкой функцией на многообразии М. Иными словами,
функция сопоставляет гладким сечениям расслоения тг элементы
С°°(М) и, поскольку точки, лежащие на графике сечения jk(s), суть
отрезки длины к ряда Тейлора этого сечения, значения функции
у>(з) определяются производными сечения з до порядка к включи-
§ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ
181
тельно. Таким образом, функция <р каноническим образом определя-
ет нелинейный скалярный дифференциальный оператор на множест-
ве сечений расслоения тг, причем порядок этого оператора совпадает
с фильтрацией элемента р. Это соответствие становится еще более
наглядным при переходе к координатным рассмотрениям: если U —
окрестность в М и (хх,..хп,.. .,р3а,...) — соответствующие ло-
кальные координаты в 7°°(тг), то р является функцией аргументов
г = 1,..n, j = 1,..., тп, |сг| к, и если з = (з\х),..sm(x)),
то p(s) = р I Xj,..хп,..... ). Иногда удобно разли-
\ дх^ ... дх1” /
чать функции р е У и соответствующие им дифференциальные опе-
раторы. В этих случаях оператор, определяемый функцией р, будет
обозначаться через Д^, а функция, соответствующая оператору Д,
через <рд.
Построим теперь аналогичное соответствие для матричных диф-
ференциальных операторов. Локально, над некоторой окрестностью
UcM, всякий матричный оператор, определенный на сечениях рас-
слоения 7г|м, должен принимать свои значения в вектор-функциях,
т. е. в сечениях прямого произведения тг'|м: U х Rm —>U, и на пе-
ресечении И Г) И' двух таких окрестностей эти значения должны
быть согласованы. Переход на глобальную точку зрения, т. е. изу-
чение операторов, определенных над всем многообразием М, тре-
бует рассмотрения некоторого расслоения тг', ограничение которого
на U совпадает с расслоениями 7г'|м: И х R'—Иными словами,
глобальным аналогом матричных дифференциальных операторов яв-
ляются операторы, действующие из сечений локально тривиального
расслоения тг в сечения локально тривиального расслоения тг' над
тем же многообразием М.
Пусть Д — матричный дифференциальный оператор порядка к,
з — сечение расслоения тг и х е М. Тогда значение сечения Д(з)
в точке х определяется значениями частных производных вплоть
до порядка к сечения з в той же точке или, что то же самое, к-м
джетом сечения з в точке х. Иначе говоря, оператор Д позволяет
сопоставить каждой точке 0к е 74(тг) точку слоя расслоения тг', ра-
стущего над х — тгк(вк). Последнее можно интерпретировать двояко.
Во-первых, это означает, что Д определяет некоторое сече-
ние <рд расслоения тг£(тг') над Это расслоение индуцированно
из расслоения тг' с помощью проекции тгк. Действительно, тотальное
пространство индуцированного расслоения тгк(тг') состоит из таких
точек (вк, е 7*(тг) х 7°(тг'), что пк(0к) = тг'(0о), и мы можем по-
ложить Фд(^) = (0к, (Д(з))(х)), где 0к = [s]*, з е Г(тг), рис. 4.1.
182
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
Рис. 4.1. Построение сечения у>д
Во-вторых, из сказанного следует, что оператору Д соответст-
вует отображение пространств Фд: 74(тг) —> 7°(тг'), согласованное
с их проекциями на многообразие М, т. е. обладающее тем свойст-
вом, что 7г'офд = тгк. Если 0fc = [s]* е <7*(7г), s еГ(тг), то мы полагаем
ф(0д.) = [Д(з)£ = (Д(з))(х). Тем самым определена следующая ком-
мутативная диаграмма:
(1-4)
т. е. Фд является морфизмом расслоения 7rfc в расслоение тг'. Заме-
тим, что для любого оператора Д: Г(тг) —>Г(тг') порядка к выполнено
тождество
д = фд°Л>
которое можно принять за определение. Здесь Фд: Г(тгк)—>Г(тг') —
отображение, порожденное морфизмом Фд.
$ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ
183
Пример 1.2. Построенный выше оператор jk является
оператором порядка к, действующим из расслоения тг в расслоение
7rfc: Ja(tt) —>М. Соответствующее ему сечение сопоставляет
каждой точке 0к е 7к(тг) ту же самую точку, но рассматриваемую
как элемент слоя индуцированного расслоения Tr£(Trfc), растущего
над 9к. Иными словами, является диагональю. Легко также ви-
деть, что отображение Ф^: 7к(тг) —> 74(тг) = 7°(тгА.) является тож-
дественным.
1.3. Продолжения дифференциальных операторов. Пусть
Д: Г(тг) —> Г(тг') и Д': Г(тг')—>Г(тг")—два дифференциальных опе-
ратора порядков к и к' соответственно. Тогда их композиция Д' о Д
является дифференциальным оператором порядка не более к + к'.
Чтобы установить этот (локально очевидный) факт, заметим следу-
ющее.
Во-первых, для всякого морфизма Ф расслоений тг: Р —> М и
Q —> М определены его поднятия
Ф<‘>: Jfc(7r)^Jfc(O, Ф(*)([з]‘) = [Фоз]‘
При этом справедливы соотношения
ф(О) = ф, фСОотг, . = £, .оФ<*>, Аоф^тг,, к^1.
Во-вторых, для любых к, к' > 0 можно построить отображение
где 9к = [а]*. Тогда пк — Фк к, о (irk)ki и, как легко видеть,
фк,к'(Л+к'(«))=Л'(Л(в))> т- е-> таким образом, &kklOjk+kl = jk>o jk.
Иными словами, Фк к> =^^0,к> и это доказывает, что композиция
Л' ° Зк является дифференциальным оператором порядка к + к'.
Вернемся к случаю произвольных операторов Д, Д' и рассмо-
трим диаграмму
184
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
Из коммутативности этой диаграммы следует, что для любого сече-
ния в 6 Г(7г) выполняется равенство
Д'(Д(а)) = Фд,(Ф(2')(Фк,к'и + .'(в)))))
т. е.
ФД'оД=ФД'ОФд)оФМ'’
что и доказывает искомый результат.
В частности, для любого оператора Д определена его компо-
зиция Дг с оператором jt: Г(тг') —> Г(тг,)> 0- Пусть Фд = Фд :
Jfc+,(ir) —> — соответствующее отображение многообразий
джетов. Тогда, как легко видеть, диаграмма (1.4) достраивается до
следующей коммутативной диаграммы:
Совокупность отображений Фд = {Фд}1>0 определяет гомоморфизм
Фд: ^(тг') -* ^(тг), который обладает свойством
deg®^(<p) = deg(y>) + А:, </> G Дтг').
Таким образом, Фд является гладким отображением многообразия
J°°(7r) в многообразие J°°(7r').
Определение 1.4. Оператор Д; называется l-м продол-
жением нелинейного дифференциального оператора Д.
Как мы увидим ниже, это понятие играет чрезвычайно важную
роль в исследовании дифференциальных уравнений. Пусть UC.M —
координатная окрестность в М, (хр..., хп, и1,..., ит, —
соответствующие координаты в а (®р.. .,хп, v1,..., vm,...
..., qi ,...) — координаты в |у. Если
ip ..., хп, з*(а:),..., зго(х),..., —-—г,... I ,
дх.1 .. .дх" /
3 е Г(тг|м),
(1-5)
§ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ
185
— координатное представление оператора Д и
Л(«)(®1»
(1.6)
xt..... х ..... —.
" дх'^.. .дх%£
— координатное представление операторов Д и jk соответственно,
то, как легко проверить, первое продолжение оператора Д описы-
вается соотношением (1.5), а также соотношениями
I д / ( \
(Д(а))'=—'
oxi
dtp3 х л v а ,
= —----1-> . -----.-----1 = 1,..., п;
дх{ др3 дх{ дхг.1... дх1п
или, эквивалентно, — соотношениями
Г v3' = p3\x,...,p3tr,...),
I q3' = Вур3', г = 1,..., п,
q к т q
где D{ = -—h ^2 Р3а + г —J — операторы полных производных.
Xi |<r| = Oj = l ®P<r
Аналогично Z-е продолжение оператора Д определяется систе-
мой соотношений
q^=DT<p3\ =
где DT = D1/ о... о D1”, если т = (/р..I
Пример 1.3. Пусть Д — оператор, определяющий уравне-
ние Бюргерса (см. гл. 3) и в координатах представленный в виде
V = Р(0,1) _ иЛ1.0) — Р(2,оу (1-8)
Тогда его первое продолжение имеет вид
V ~P(Q,l) ~ иР(1,0) — Р(2,0)’
9(1,0) =P(l, 1) “Лио) - UP(2,0) ~Лз,О)>
9(0,1) =Ло,2) -Л1.0)Р(0,1) — иР(\,\) — Р(2,\у
a Z-e продолжение представляется в виде
9(., j) = 7?i7?2(P(o, i) _ P(0,0)P(i,0) — P(2,o))=
‘ /.\ i / л\
P(a,P)P(i + \-a,j-Py
д<р3' д д^з3
I,
(1-7)
P(i + 2J)
186
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
Упражнение 1.1. Опишите 1-е продолжение оператора jk.
Рассмотрение матричных дифференциальных операторов при-
водит к отображениям объектов, имеющих более общий характер,
чем алгебры вида ^(тг). Напомним, что всякий дифференциаль-
ный оператор V: Г(тг)—►Г(0 порядка к отождествляется с сечени-
ем расслоения л£(0. Обозначим множество таких сечений через
^(тг, £). Как и для алгебр ^(тг), имеет место цепочка вложений
^_«>к о=по о -.. • - о л+1 (*, о • • •
оо
и, следовательно, определено множество ^(тг, 0 = U ^.(тг, 0,
к = —оо
фильтрованное подмножествами ^.(тг,0. Элементы ^(тг, 0 мож-
но складывать друг с другом и умножать на элементы из ^(тг),
причем эти операции согласованы с фильтрацией, т. е. -/-"(тг, 0—
фильтрованный модуль над фильтрованной алгеброй ./’(тг).
Если теперь рассмотреть некоторый оператор Д: Птг) -> Г(тг') по-
рядка I и его композицию с другим оператором V. Г(тг') —> Г(0
порядка к, то мы получим оператор, действующий из Г(тг) в Г(0 и
имеющий порядок к+l. Таким образом, мы имеем систему отображе-
ний Фд ^(тг', 0-*<Ft+J0r, 0 или, что то же самое, отображение
Фд,е С) —* F(ir, 0> повышающее фильтрацию на I. При этом
выполнены равенства
фд,^1 + ^2) = фд,е(9М +
фд,«(9’9’1) = фд(9’)фк,«(9’1)> ¥>i,¥>2€^«0, <pe^(ir).
Иными словами, для любого расслоения £ отображение Фд( яв-
ляется гомоморфизмом фильтрованных модулей, действующим над
гомоморфизмом Фд фильтрованных алгебр.
Упражнение 1.2. Постройте гомоморфизм Фд , исходя
из гладкого отображения Фд: J°°(7r) —>
1.4. Векторные поля на Перейдем теперь к анализу
понятия векторного поля на многообразии J°°(7r). Пусть Хв — каса-
тельный вектор в точке 0 6 J°°(7r). Тогда по естественным соображе-
ниям проекции тГдр к и тг^ должны определять последовательность
касательных векторов (тг^ k)t(Xg) в точках 0к = тг^ к(0), а также
касательный вектор е ТХ(М), х = 7^(0). Теперь, следуя
уже знакомой читателю логике, мы определим касательный век-
тор Хд к многообразию J°°(7r) в точке 0 как совокупность (Хх, Х^}
§ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ
187
таких касательных векторов к многообразиям М и 7к(тг) в точ-
ках х = 7^(0) и 0к = 1гж t(0) соответственно, что (я\+1,Л(^+1)=
=ХвкЛч)АХвк)=Хх; см. рис. 4.2.
Если U сМ — координатная ок-
рестность точки х G М и (х{,..., хп, ...
• • • • •) — канонические координа-
ты в то всякий касательный к
J°°(7r) вектор Хв в точке 0 представля-
ется в виде бесконечной суммы
Рис. 4.2. Касательный вектор к
многообразию J°°(7r)
в которой коэффициенты суть
действительные числа. При этом
71 к 771
i=l * |<r|=0 j'=l
1=1 1
Пусть Хв — касательный вектор к
J°°(7r) в точке 0 и Xg* — его проекция в
TeJj‘(7ij). Тогда вектор Xg* можно по-
нимать как дифференцирование алгеб-
ры гладких функций на Jfc(?r) в поле
констант R, т. е. как отображение Xej
Fk —> R, обладающее свойством
где 99j, </?2 е 7^. Условие согласованности системы векторов Х^, Хх
с проекциями тг^ k, irk означает, что Х%+1 °vk + i,k=Xgk,Xgoov = Xx,
т. е. что диаграмма
188
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
коммутативна. Иными словами, как и в случае конечномерных мно-
гообразий, касательный вектор Хв интерпретируется как дифферен-
цирование алгебры Т со значениями в поле действительных чисел:
W2)^1(W + ^)W, (1.Ю)
где , <р2 е У.
Если теперь рассмотреть семейство X = {Хв} касательных век-
торов на J°°(7r), параметризованных точками в е J°°(7r), т. е. вектор-
ное поле на j°°(7r), то формула (1.10) преобразуется в соотношение
Х(^^2) = ^Х(^2) + ^2Х(^), (1.11)
справедливое для всех гладких функций <р2 на ^°°(7Г). Чтобы за-
вершить наши рассуждения, осталось вспомнить о наличии фильтра-
ции в алгебре ^(тг) и определить векторное поле на многообразии
J°°(7r) как такое дифференцирование алгебры ^(тг) (т. е. R-линей-
ное отображение X: У —> Т, удовлетворяющее тождеству Лейбни-
ца (1.11)), что
deg X(ip} = deg(y>) + к,
где к — некоторое не зависящее от р целое число, которое мы обо-
значим deg(X). Через Р(тг) обозначим множество векторных полей
на J°°(7r).
Определение 1.5. Поле X е D(ir) называется верти-
кальным (или к-вертикальным), если Х(тг^(<р)) = 0 для любой
функции р е С°°(М) с Т7.
Множество вертикальных полей обозначается через £>”(тг).
Упражнение 1.3. Покажите, что если X,Y е Р(тг) и
р 6 Т, то X + У, ч>Х и [X, Y] = X oY — Y о X также являются
векторными полями на /“(тг), причем выполняются тождества
[Х,У] + [У,Х] = 0,
[X,tpY] = X(<p)Y + p[X,Y],
[X, У + Z] = [X, У] + [X, Z], Z е 2?(тг),
[X, [У, Z]] + [У, [Z, X]] + [Z, [X, У]] = о,
т. е. множество векторных полей на У°°(7г) обладает теми же ал-
гебраическими свойствами, что и поля на конечномерных многооб-
разиях, и, в частности, образует R-алгебру Ли. При этом Dv(ir) —
ее подалгебра.
Пример 1.4 (поднятия векторных полей). Пусть X — век-
торное поле на многообразии М, <р — гладкая функция на
для которой deg(y>) = к, и А = Д : Г(тг) —> С°°(М) — соответствую-
§ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ
189
щий ей дифференциальный оператор. Тогда, поскольку X является
дифференциальным оператором первого порядка, действующим из
С°°(М) в С°°(М), определена композиция X о Д: Г(тг) —>
являющаяся дифференциальным оператором порядка к +1. Обозна-
чим через Х(р) функцию на X, соответствующую оператору X о Д.
Упражнение 1.4. Покажите, что соответствие X: р •->
ь->Х(<р) является векторным полем на У°°(тг) с deg(X) = 1.
Дадим геометрический вариант определения поля X. Пусть х е
6 М и 0к — точка в Jfc(7r), лежащая в слое расслоения 7rfc над х.
Тогда 0к = [в]* для некоторого сечения з Е Г(тг). Если — глад-
кая функция на Jfc(?r) в окрестности точки 0к, положим Хвк(р) =
= Хх(з*(<р)). Очевидно, правая часть последнего выражения не за-
висит от представителя з точки 0к. Таким образом, Хвк — касатель-
ный вектор к Jk(ir) в точке 0к. Если теперь {ж, — последователь-
ность точек, определяющая точку 0 е J°°(7r), то, как легко видеть,
К + 1,Л(*в*+1) = -Ч и ^к)АХек) = ХХ’ т- е- последовательность
векторов определяет касательный вектор к многообра-
зию У°°(7г) в точке 0.
Определение 1.6. Поле X на J°°(7r) называется подня-
тием векторного поля X Е D(M) на пространство бесконечных
джетов.
Непосредственно из определения вытекают следующие свойст-
ва операции поднятия:
fX+^Y = fX+gY, (1.12а)
[X?Y] = [X,Y], (1.126)
X(f<p) = X(f\p + fX&), (1.12в)
где f, g E ^f,X,Ye D(M). Равенства (1.12a) — (1.126)
означают, что операция поднятия является гомоморфизмом алгебры
Ли векторных полей на М в алгебру Ли 2?(тг), а из равенства (1.12в)
следует, что проекция на М поднятия в J°°(7r) всякого поля X Е
Е D(M) совпадает с исходным полем. Иными словами, соответствие
X w X есть плоская (интегрируемая) связность в расслоении тг^.
Этот факт играет фундаментальную роль в геометрии многообра-
зий J°°(7r), и мы будем неоднократно обращаться к нему при после-
дующем изложении. По причинам, которые станут понятны в § 2,
эта связность называется связностью Картана.
Если (хх,.. ^х^и1,.. ,,ит,.. .,pi,...) — координаты в
над некоторой координатной окрестностью UсМ, то всякое поле
190
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
X е D(M) представляется в виде бесконечной суммы
Х-Х,£ + ...+*.£ + ...+Х'Д + .., (1.13)
9х1 °Хп ор3а
где XitX3 е^(тг м), причем, начиная с некоторого к0 >0, для всех j
и таких а, что |а >fc0, выполняются равенства deg(X/) = |сг|+к, к =
= deg(X). Вертикальные поля характеризуются тем, что для них все
коэффициенты при Х{ равны нулю. Отметим, что бесконечность чи-
сла слагаемых в правой части выражения (1.13) не вызывает вычис-
лительных трудностей типа проверки сходимости и т. п., поскольку
в силу определения алгебры Л(тг) каждая функция р G ^(тг) может
зависеть только от конечного числа аргументов и, следовательно,
количество слагаемых в выражениях Х(<р) для конкретной функ-
ции р также всегда конечно.
Приведем координатное представление поднятий векторных по-
лей из D(M). Как показывает равенство (1.12а), это достаточно
Q
сделать для полей вида -—. Пусть р = p(xv ..., хп,..., р3а,...) е Т
ОХ^
и з = (з1,..., sm) G Г(тг). Тогда
( д л \ . х 9 ( \
_ др + др
дх. + “ дх-дха др3
* j,<r * “<г
Поэтому
п ос т q
СИ)
1 1 |сг|—0 J —1
Q
Таким образом, поднятия базисных векторных полей -— совпадают
дх.
с операторами полных производных по направлению х.. Равенст-
во (1.126) показывает, что [Df , Р^]=0 для всех ivi2 = 1,..., п. От-
метим, что поля Dt переводят функции на fc-x джетах в функции на
(к + 1)-х джетах, и потому не определяют никаких векторных полей
на многообразиях джетов конечного порядка. Поэтому трактовка
«усеченных» полных производных как векторных полей, использо-
вавшаяся в предыдущей главе, некорректна (хотя обманчивый вид
их координатной записи может привести к противоположным выво-
дам). Сказанное является одной из иллюстраций пользы перехода к
бесконечным джетам.
§ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ
191
Замечание 1.1. Конструкция поднятия имеет место в бо-
лее общей ситуации. Пусть V: Г(£) —> Г(£') — линейный диффе-
ренциальный оператор, <^> £). Рассмотрим оператор Д = Ду>:
Г(тг)—>Г(£) и композицию VoA: Тогда, полагая V(y>) =
= “Pvoд> получим отображение V = V,: ^(тг, —> ^(тг, £'), являю-
щееся R-линейным оператором.
Упражнение 1.5. Дайте точечное определение операто-
ра V аналогично тому, как выше было сделано для поднятий век-
торных полей, и выпишите оператор V в координатах.
1.5. Дифференциальные формы на Обсудим
понятие дифференциальной формы на J°°(7r). Пусть Л‘(7г*.) =
= Д,(УА:(7г)) — модульг-х форм на Проекции тг и тгк+1 к по-
рождают бесконечную последовательность вложений
Л’(М) А ЛЦтго) М . - Л*(гг4) Д‘(^ +1} _...
Не вдаваясь в уже знакомые читателю мотивировки, опреде-
00
лим модуль Л*(тг) г-х форм на J°°(7r), полагая Л’(тг)= (J Л’^).
4 = 0
В частности, Л°(7г) = 5’(гг). Положим также Л*(гг) = ф^=0Л’(гг). Как
и выше, модули Л’(тг) и Л*(тг) фильтрованы своими подмодулями
A^ttj.) и Л*(тгд.) соответственно*). В силу данного определения лю-
бой элемент из Л*(тг) на самом деле является формой на некото-
ром многообразии конечных джетов, поэтому для таких элементов
определены операция Л внешнего умножения и дифференциал d,
обладающие обычными свойствами.
Пусть X е D(ir) — векторное поле и ш G Л’(тг) — дифферен-
циальная форма на /°°(7г). Определим операцию подстановки _1,
сопоставляющую этим двум объектам форму X 6 Л* ~1 (тг). Пусть
в = {х, G — точка в J°°(7r) и Хв = {Хх, Хвк} — вектор поля
X в этой точке. Рассмотрим такое число к, что ш G Л’^); оно все-
гда существует по определению модуля Л’(тг). Положим (X -1^)й =
=Хвк-1шв . Для любого к'^к имеет место равенство 4),(-Х^,) =
= Xeh< поэтому имеем Xe^_J(7r^fcu>)^z =Хвк-1швк, так что данное нами
определение корректно. Если при этом deg(X) = l, то вектор Хвк
*) Точнее говоря, вложения vk + l к являются гомоморфизмами модулей над соот-
ветствующими вложениями алгебр Fk -+ Тк +!. Чтобы получить фильтрацию модуля
A*(ir) системой ^-подмодулей, следует рассмотреть подмодули в Л*(тг), порожден-
ные элементами из A*(irt), т. е. состоящие из дифференциальных форм на
коэффициенты которых могут быть произвольными функциями из
192
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
определяется точкой вк+1 е Jk+l(ir), так что X _1о> е А* С
сЛ’-1(7г). В частности, операция подстановки векторного поля в
1-форму определят изоморфизм
Р(7Г)^ЬОШОМ(Л1(7Г),^(7Г)), (1.15)
где horn® обозначает множество -^(^-гомоморфизмов, сохраняю-
щих фильтрацию. При этом изоморфизме каждому полю X Е D(ir)
сопоставляется гомоморфизм fx: Л^тг) —>^(тг), действующий по
правилу fx(d<p) = X(<p), ^еДтг).
Теперь мы можем определить производную Ли Lxw формы
ш е Л*(тг) вдоль векторного поля X е О(тг). Для этого, воспользо-
вавшись инфинитезимальной формулой Стокса, положим
Lxw = X + Jw). (1.16)
Очевидно, если а>еЛ‘(тгд.) и deg(X) — I, то Lxw Е Л.г(тгк + 1). Для
производной формы ш вдоль поля X мы будем также использовать
обозначение Х(ш).
Введенные нами на множестве Л*(тг) операции (внешнее умно-
жение, дифференциал де Рама, подстановка и производная Ли) об-
ладают всеми свойствами, которые характерны для их прототипов в
конечномерном случае. То же относится и к их координатному пред-
ставлению. Если U — координатная окрестность в многообразии М
и (®j,..хп,.. .,р3а,...) — соответствующие координаты в ^(W),
то всякую форму ш £ Л1 (тг) можно представить в виде
о> = У' ’Лл iAxi ^•••Adxi Adp3} Л... Adp3f>, (1.17)
Z—< • •-,’a, Jl>- *1 га rapl \ /
a + P = i
где |<7jI,..., |<73| < k, a ~ гладкие функции на ^(W).
Тогда координатная запись дифференциала имеет вид
du> = V d(Pil’"’iP , ,• Adxt A...Adx. A dp3' Л ... A dp3/,
Z—< •••># ‘1 la Г<г1
a+fi = i
где
. „.............................*. ......................«.,
...<!.),..if =E —+L —
Упражнение 1.6. Выпишите координатные формулы для
операции подстановки и для производной Ли на У°°(7г).
$ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ
193
1.6. Горизонтальный комплекс де Рама. Среди всех форм
на J°°(7r) мы выделим специальный класс Л^(тг), элементы которого
будут называться горизонтальными формами.
Определение 1.7. Форма 6 Л*(тг) называется горизон-
тальной, если X _1о> = 0 для любого вертикального поля X eDv(ir).
Поскольку всякое вертикальное поле локально имеет вид
из представления (1.17) следует, что форма горизонтальна тогда
и только тогда, когда в координатном представлении она имеет вид
w = ...<„% еЛ’г)- (1.18)
Таким образом, локально всякая горизонтальная форма является
линейной комбинацией форм на многообразии М с коэффициен-
тами из Т‘. ш = +... + <р1щ, где <р1, ^(u), w1(..cu, G
Е А*(М). Пусть Д»,..Д' — нелинейные дифференциальные опе-
раторы, соответствующие функциям и действующие из
сечений расслоения тг в С°°(М). Тогда форме можно сопоставить
оператор Ды, действующий по правилу
Аш(з) = Д1^)^ +... + Д'(з)^, s е Г(тг),
и сопоставляющий сечениям расслоения тг дифференциальные фор-
мы на многообразии М. Обратно, всякому такому оператору со-
ответствует форма вида (1.18). Итак, горизонтальные формы на
•/“(тг) — это нелинейные дифференциальные операторы на рассло-
ении тг со значениями в дифференциальных формах на многооб-
разии М. Модуль горизонтальных г-форм на /“(тг) обозначается
через А^(тг).
Если через <*: Т*(М)—>М обозначить кокасательное рассло-
ение многообразия М, а через A*(t*) — расслоение фА‘(£*), то из
сказанного выше вытекают отождествления , = 1
Д’(тг) = Л*’(О), Щ*) = Л*(О)-
Заметим теперь, что оператор d = dM внешнего дифференцирования
форм на многообразии М — это линейный дифференциальный опе-
ратор первого порядка, действующий из сечений расслоения Л*(£*)
в сечения Л*+ *(<*), г =0,..., п. Используя определение поднятия
13 Симметрии...
194
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
линейного оператора (см. замечание 1.1), мы получим оператор
d: ^(тг, A*(t*))—A’ + ,(t*)). При этом поскольку d оd = 0, то и
d2(w) = 0 для любой горизонтальной формы сиеА^тг). Действитель-
но, <Р(а>) = (d о d)(o>) = (d о d)(o>) = 0. Таким образом, определена
последовательность
О^^Д^тг)-^...
... - А^(тг) X Л’+ Чтг) ... - Л^(тг) -0, (1.19)
в которой композиция любых двух соседних операторов тривиальна.
Определение 1.8. Последовательность (1.19) называется
горизонтальным комплексом де Рама расслоения тг.
Выпишем оператор d в координатах. Это достаточно сделать
для горизонтальных 0-форм, т. е. для функций на 7°°(тг). Пусть
ip — <p(xv ..., хп,.. ,,р^,...) е ^(тг|м), где U — координатная окрест-
ность в М, и s G Г(тг). Тогда
- / d|,7|sJ \
(<M(s) = d(<p(s)) = dtp I xt,..., rrn,..., ... I =
^fd<p dip\, .,
= ПаГ +S a^ap)ix° = E
ct = 1 4 a а ' a = 1
Таким образом,
п
d(ip)^Da{ip)dxa, (1.20)
a = l
где Da, a = 1,..., n, — введенные выше операторы полных произ-
водных.
1.7. Распределения на J°°(ir) и их автоморфизмы. Послед-
ний вопрос, который нам предстоит обсудить в настоящем парагра-
фе, — это распределения на многообразиях По аналогии с
конечномерным случаем (см. § 1.3) под распределением Р на
следует понимать соответствие Р: в >->Рв cTe(J°°(7r)), сопоставля-
ющее каждой точке 0 6 касательное подпространство, «глад-
ко зависящее от 0*. Однако, в силу специфических особенностей
многообразия J°°(7r), связанных с его бесконечномерностью, это
определение нуждается в уточнении. Пусть для каждого к > 0 на
многообразии 7*(тг) задано распределение Рк: 0k^PgkCTek(Jk (к)),
причем
(^+1,Ж++!)с^+1,^+1) о-21)
для всех к 0 и точек 0к+, 6 Jfc + 1(7T).
§ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ
195
Определение 1.9. Систему распределений Р = {Рк},
удовлетворяющую условию (1.21), мы будем называть прёдраспре-
делением на Скажем, что два предраспределения Р и Р
эквивалентны, если найдется такое fc0 > 0, что Рк = Рк для всех
к к0, и класс эквивалентных предраспределений будем называть
распределением на
Будем говорить, что вектор Хв е лежит в распреде-
лении, если k)t(Xe) *(в) Д’451 всех и какого-то предста-
вителя Р этого распределения.
Упражнение 1.7. Покажите, что отношение принадлеж-
ности вектора распределению не зависит от выбора представителя.
Рассмотрим в модуле А^тгд.) подмножество Р^А1, состоящее из
1-форм, аннулируемых векторами из распределения Рк\ положим
также РкА* = А* (тгк) /\Рк А'. Элементы последнего множества име-
ют вид и — 52 А ш где е А*(тг.) и w € РкА1. Множество РкА*
замкнутое относительно сложения и умножения на произвольную
форму из A*(7ri;), называется идеалом распределения Рк. Из вло-
жений (1.21) следует существование цепочки вложений
Р°Л* сР’Л* с ... сРкА* cPfc + 1A* с ...,
которая определяет идеал РА* = |J РкА* в Л*(тг). Этот идеал на-
к^О
зывается идеалом распределения Р. Очевидно и обратное: всякий
идеал в Л*(тг) указанного вида определяет распределение на J°°(7r).
Воспользовавшись теперь изоморфизмом (1.15), мы можем дать
двойственное определение распределения на J°°(7r) как множест-
ва РИ(тг) таких векторных полей X на J°°(7r), что Х_1ш = 0 для
любой формы ш еРЛ^тг).
Упражнение 1.8. Докажите, что РА* и PD(rr) не зависят
от выбора представителя распределения Р.
Напомним, что подмногообразие N конечномерного подмного-
образия М с распределением Р' называется интегральным, если для
любой точки х eN имеет место вложение Tx(N)dPx. Оно макси-
мально, если локально не содержится ни в каком другом интеграль-
ном многообразии. Распределение Р' называется вполне интегриру-
емым, если через любую его точку проходит единственное макси-
мальное интегральное многообразие этого распределения. Класси-
ческая теорема Фробениуса [66] утверждает, что распределение Р'
вполне интегрируемо тогда и только тогда, когда для любой формы
ш G Р'A1 (N) имеет место равенство du = QAo/, где и ЕР'Л1 (N),
13*
196
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
a Q — некоторая форма на М. Иными словами, при действии опе-
ратора d идеал Р'А* переходит в себя, т. е. является дифференци-
ально замкнутым. Исходя из этого, мы будем говорить, что распре-
деление Р на J°°(7r) вполне интегрируемо, если его идеал РД*
дифференциально замкнут.
Упражнение 1.9. Покажите, что распределение Р на
/°°(7г) вполне интегрируемо в том и только том случае, если мно-
жество Р£>(тг) замкнуто относительно операции коммутирования
векторных полей, т. е. является подалгеброй Ли в D(ir).
Пример 1.5. Пусть Р7 — распределение в М. Рассмотрим
в D(ir) подмодуль Р'Р(тг), состоящий из линейных комбинаций
(с коэффициентами из JF(tt)) полей вида Х,Х e'P'D(M). Тогда
множество Р'Р(тг) определяет в J°°(7r) некоторое распределение
Р = Р'. Если Р7 вполне интегрируемо, то вполне интегрируемо и
распределение Р. Действительно,
[<рХ, j>Y] = v>XW)Y - 1>Y(V)X + У].
Но [X, У] = [X, У] в силу (1.12), так что правая часть последнего
равенства лежит в Р£>(тг), если X, У е Р'Р(М) и 6 Р.
Пусть теперь Р — вполне интегрируемое распределение на
/°°(7г). В соответствии с результатами п. 1.3 векторное поле X е
Е D(n) назовем (инфинитезимальным) автоморфизмом рас-
пределения Р, если
ЬХРД*(7Г)СРД*(7Г).
Двойственным образом автоморфизмы распределения Р можно оп-
ределить условием
[Х,РЯ(7г)]сРР(тг). (1.22)
Обозначим через DP(ir) множество автоморфизмов распределе-
ния Р.
Упражнение 1.10. Докажите, что DP(ir) — алгебра Ли,
a P-D(tt) с DP(ir) — ее идеал.
Элементы факторалгебры Ли
sym(P) = Dp(7r)/PZJ(7r)
будем называть (инфинитезимальными) симметриями распределе-
ния Р.
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА
197
§ 2. Распределение Картана на J°°(»)
его инфинитезимальные автоморфизмы.
В этом параграфе мы определим распределение Картана на
J°°(7r). Исследуем его максимальные интегральные многообразия,
инфинитезимальные автоморфизмы и симметрии. Это приведет нас
к понятию эволюционного дифференцирования на играюще-
му ключевую роль в теории симметрий нелинейных дифференци-
альных уравнений.
2.1. Распределение Картана. Пусть, как и выше, тг: Р —>
М — гладкое векторное расслоение и J°°(tt) — многообразие его
бесконечных джетов. Рассмотрим точку 0 = {я, 0к} в 7°°(тг) и карта-
новские плоскости в каждой точке 0к е /*(тг). Тогда, если точку 0
представить как бесконечный джет [з]^° некоторого сечения з 6 Г(тг)
в точке х е М, плоскость при проекции тгА + j к спроектирует-
ся в Я-плоскость Le^ с С* С (7*(тг)), где f — касательная
плоскость к графику джета jk(s) в точке 0к. Таким образом, мы ви-
дим, что для всех к имеют место вложения (7rfc + 1 fc)*(C£+})С
т. е. система распределений Ск определяет распределение С = С(тг)
на 7°°(тг).
Определение 2.1. Распределением Картана на мно-
гообразии бесконечных джетов называется распределение С(тг).
Из сказанного следует, что каса-
тельный вектор Хв к многообразию
J°°(7r) тогда и только тогда лежит
в плоскости Cg, когда его проекция
^ек = касается многооб-
разия Le*. Воспользовавшись этим
замечанием, дадим более эффектив-
ное описание распределения Карта-
на на 7°°(тг). Именно, если Хв =
= j — произвольный каса-
тельный вектор и р е ^(тг) — глад-
кая функция на J°°(7r), то рассмо-
трим проекции Xgk каждого из век-
торов Хвк на слой расслоения пкк_х:
Jk(ir) Jk~{(ir) над точкой 0к_х
вдоль плоскости Lgk ( (рис. 4.3). То-
гда Xg = /о, Xg* j — также касатель-
Рис. 4.3. Построение элемента Ux
198
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
ный вектор в точке 0 и, применяя его к функции <р, можно по-
лучить некоторое число. Если теперь X е D{k) — векторное поле,
то, повторяя описанную конструкцию в каждой точке 0 е У°°(7г),
мы вначале получим вертикальное поле X” е £>”(тг), которое затем
применяется к функции tp 6 Т. Таким образом, для каждой функции
е Т мы получаем 1-форму на J°°(7r), обозначаемую через ^(у?)
и определенную равенством
Х_|С71(¥>) = Х», ХеР(тг), (2.1)
Из (2.1) видно, что соответствие Ц: ^(тг)—►А^тг) является диф-
ференцированием алгебры Т со значениями в ^-модуле А^тг), т. е.
1^1(у>,<^2) = ipJJx(ip^ + Д'151 любых функций iplt е
Возвращаясь к началу наших рассуждений, мы видим, что спра-
ведливо следующее утверждение.
Утверждение 2.1. Поле X е Р(тг) тогда и только
тогда лежит в распределении Картана С на J°°(k), когда
X _л\(ч>)= О
для всех функций ip G ^(тг). Иными словами, идеал СА*(тг) с
С Л*(7г) распределения Картана порожден формами ви-
да Ux(tp).
Формы вида Ux(ip) мы будем называть формами Картана*).
Далее нам понадобится более удобное с вычислительной точки
зрения описание оператора Ux и, следовательно, форм Картана. Что-
бы получить такое описание, заметим следующее. Из проведенных
выше построений вытекает, что каждое векторное поле X 6 D(k)
допускает каноническое разложение
Х=Х°+Х\ (2.2)
где, как уже отмечалось, поле Xv вертикально, а поле Xh = X —
— Xv обладает тем свойством, что касается всех подмногообра-
зий вида j^s^M), т. е. графиков бесконечных джетов сечений з
расслоения тг. Поэтому равенство (2.1) можно переписать в виде
X -lU^tp^iX -Xh)(<p) = X(ip)-Xh(ip). Заметим, что первое сла-
гаемое в правой части полученного равенства есть X -idtp. Чтобы
переписать в требуемом виде второе слагаемое, сравним выражение
Xk(tp) с определением формы dtp. В силу точечного определения
операции поднятия (см. п. 1.4) ограничение формы dtp на график
бесконечного джета сечения s G Г(тг) имеет вид X Av(s). Поскольку
*) Ниже мы уввдим, что это определение обобщает координатное представление
форм Картана, рассматривавшееся в предыдущих главах.
$ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА J°°(?r)
199
форма dtp горизонтальна, имеет место равенство X _ldp = Xh-ldp.
Наконец, в силу того, что поле Xh касается каждого подмногообра-
зия joc(s)(M), а через каждую точку в G /°°(тг) проходит хотя бы
одно такое многообразие*), выполняется равенство Xhdp = Xh(p).
Итак, мы приходим к следующему важному равенству
U{=d-d.
(2-3)
Таким образом, оператор [7, «измеряет», насколько полный диффе-
ренциал функции р 6 Т отличается от горизонтального.
Теперь мы опишем множество СР(тг), т. е. такие векторные
поля X е Z?(tt), которые аннулируют формы Картана на J°°(7r),
или, иными словами, которые удовлетворяют равенствам Х{р} =
= Х _1 dp для всех гладких функций р Рассмотрим поле X 6
6 Р(тг) и его ограничение Хм = X(т): С°°(М) —> ^.(тг), которое
является дифференцированием кольца С°°(М) со значениями в ал-
гебре ^.(тг) (существование такого к обеспечивается тем, что X —
дифференцирование, согласованное с фильтрацией в ^(тг)). Нефор-
мально дифференцирование Хм можно понимать как поле на М, ко-
эффициентами которого являются функции из Точнее, поле Хм,
по крайней мере локально, может быть представлено в виде
+ • • + (2-4)
где Xv..Х{ е D(M) — «настоящие» векторные поля на многооб-
разии М, a pv.. .pt 6^(тг). Пользуясь представлением (2.4), опре-
делим поле Хм е D(ir), полагая Хм — <р1Х1 +... + р{Х{. Поскольку
в силу точечного определения операции поднятия в каждой точке
0 = [s]“ G <7°°(тг) векторы вида (Х{)е касаются графика бесконеч-
ного джета сечения s G Г(тг), тем же свойством обладает и вектор
(^м)е = +•• + Поэтому Хгм = 0 и, значит,
Хм _1 U\(p) = Х^(р) = 0 для любой функции р е Т.
Рассмотрим (также локально) поле X' — X —Хм. Так как по
определению Хм= Хм =Х^ поле X' вертикально и,
следовательно, X'Л7х(р)=Х\р) для любой функции р С дру-
гой стороны, как только что было установлено, Хм .AU^p) — ®, и
если X eCD(tt), то и X _lt7j(9s) = O. Таким образом, Х'(р)—0 для
любой функции р e!F. Значит, X' = 0 и, следовательно, X = ХМ.
Резюмируя сказанное выше, мы получаем следующий результат.
*) Это следует из леммы Бореля [48].
200
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
Утверждение 2.2. Множество CD(ir) векторных по-
лей, лежащих в распределении Картана, порождено подняти-
ями на полей с многообразия М:
CD{K)=^Xx+...+<plXl\vi^), X^D(M), 1=1,2,...J.
2.2. Интегральные многообразия. Из утверждения 2.2 и
примера 1.5 предыдущего параграфа следует, что распределение
Картана на J°°(7r) является вполне интегрируемым. Изучим его мак-
симальные интегральные многообразия. Для этого прежде всего от-
метим два факта: а) картановская плоскость Св в точке в G У°°(7г)
не содержит ненулевых вертикальных векторов — это следует из
построений, которые в начале настоящего параграфа мы использо-
вали для определения форм Ux(tp)\ б) размерность пространства Св
совпадает с размерностью многообразия М — это вытекает из толь-
ко что доказанного утверждения. Пусть Н°° — максимальное инте-
гральное многообразие распределения Картана. Тогда из а) следует,
что проекции тг^д^оо: П°° —>7^ = 7^ (ft00) С k = Q, 1,..., и
TTooIr00' *ft = С M суть локальные диффеоморфизмы.
С другой стороны, как это видно из б), dim TZk = dim К°° п. Рассмо-
трим проекцию 7t|r0: »К,. Поскольку она является локальным
диффеоморфизмом, существует такое отображение s': И —> ft0, что
тг|яо os' — тождественное на ft отображение. Иными словами, s' —
частично определенное сечение расслоения тг. Очевидно, что можно
выбрать такое сечение в 6 Г(тг), что а|я = s'. Предположим теперь,
что вложение ft с М строгое, т. е. dim Hk < п. Тогда условия того,
что многообразия Г* = jk(s)(M)с Jk(ir), k=0,1,..., оо, содержат в
себе многообразия TZk для соответствующих к, являются условиями
на нормальные относительно И производные сечения s. Из теоре-
мы Уитни о продолжении [48] следует, что всегда можно построить
сечение, удовлетворяющее этим условиям, что противоречит мак-
симальности Н°°. Поэтому справедливо следующее утверждение.
Утверждение 2.3. Всякое максимальное интеграль-
ное многообразие распределения Картана на J°°(Tr) локально
имеет вид графика бесконечного джета некоторого сечения
расслоения тг.
Таким образом, через каждую точку 0 е проходит хо-
тя бы одно максимальное интегральное многообразие распределе-
ния Картана, и у нас имеется полное описание этих многообразий.
Конечно, такое многообразие определено неоднозначно. Например,
$ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА J°°(ir)
201
если тг: Ж х Ж -> Ж — тривиальное расслоение, то через начало коор-
динат в 7°°(тг) наряду с графиком бесконечного джета нулевого се-
чения проходит и график бесконечного джета функции и=ехр(—х2).
Вообще, если тг — произвольное расслоение и 9 = [s]“ е то
через точку в проходят графики бесконечных джетов сечений рас-
слоения тг, отличающихся от а на плоское в точке х 6 М сечение.
Полученные здесь результаты полез-
но сравнить с тем, что известно о мак-
симальных интегральных многообразиях
распределения Картана на пространствах
конечных джетов. Как отмечалось в пре-
дыдущей главе, распределение Картана
на Jk(ir), k < оо, содержит вертикальные
векторы, а именно, любой вектор, каса-
тельный к слою расслоения тг^^.р ле-
жит в картановской плоскости C# . Это
приводит к тому, что множество инте-
гральных многообразий, проходящих че-
рез точку 9к € <7*(тг), можно разбить на
различные типы, причем тип многообра-
Рис. 4.4. «Раздувание»
Я-плоскости
зия характеризует степень его вырожде-
ния при проекции на 7к-1(тг) (или размерность пространства вер-
тикальных векторов, касающихся в данной точке рассматриваемого
интегрального многообразия). В частности, графики джетов сече-
ний расслоения тг являются многообразиями типа 0 и характеризу-
ются тем, что проектируются на 7*_1(тг) локально диффеоморфно.
Причины различий между случаями конечных и бесконечных дже-
тов становятся весьма наглядными, если встать на аналитическую
точку зрения. Действительно, зафиксировав точку 9к е при
k < оо, мы получаем информацию о всех частных производных се-
чений а е Г(тг) в точке х = тгк(0А) € М вплоть до порядка k. Проводя
через точку 9к графики джетов различных сечений, мы располагаем
свободой выбора, которая инфинитезимально измеряется вектора-
ми, касательными к слою проекции 1гк к _ j (рис. 4.4). Это приво-
дит к тому, что jR-плоскость в точке 9к «раздувается» на множество
тгк fc_j -вертикальных векторов. В противоположность описанной си-
туации выбор точки 9 Е 7°°(тг) фиксирует все частные производные
сечения а е Г(тг) в точке х, и в силу очевидных соображений наша
свобода ограничивается теперь классом плоских функций. Отметим,
что наблюдаемая на <7°°(тг) картина связана с наличием в расслое-
нии тг^ связности Картана и ее интегрируемостью.
202
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
Теперь мы начинаем исследование автоморфизмов и симметрий
распределения Картана на многообразиях 7°°(тг). Прежде чем пере-
ходить к обсуждению фактов общего характера, проделаем неслож-
ные координатные вычисления, которые полезны для выработки ин-
туитивных представлений о том, какого рода результаты нас ожи-
дают.
2.3. Вычислительный эксперимент. Здесь, как впрочем и
в дальнейшем, нам понадобится координатное представление кар-
тановских форм Пусть х G.M и U Эх — координатная ок-
рестность. Рассмотрим, как обычно, локальные координаты (а^,...
..., хп,.. .,р3а,...) в окрестности тг^1. Тогда, пользуясь формулами
(1.20) и (2.3), а также тем, что оператор Ux: J’(tt) —>Л1 (тг) является
дифференцированием, легко убедиться в том, что модуль Картана
£4*001,-100 порожден формами вида
п
^ = Ul(Pa) = dPJa-Y,P<r + ladxa’ (2-5)
где j = 1,..т, |<т| — 0,1,..., т. е. формами Картана, определенны-
ми в гл. 3. В частности,
п
ш30 = Ul(u3) = du3 - Pladxa- (2-6)
а — 1
Рассмотрим одномерное расслоение тг: над прямой. Пусть
х = aij — координата в базе и = и,..., р^ =рк,... — координаты
в 7°°(тг). В силу (2.5) модуль Картана СЛ*(тг) в этом случае порож-
ден формами вида
“k = dPk ~Pk + \dx, (2-7)
д °° д
где к =0,1,.... Пусть поле X = а-—Ьк -— е а, Ък е^(тг),
дх к = 0 °Рк
является автоморфизмом распределения Картана. Это равносильно
тому, что Х(шк) = ^^кш{ Для всех или> чт0 т0 же самое>
i
dbk~bk + idx - Pk + ida = ^2Xk(dPt- Pi + \dx}- (2-8)
Выписывая входящие в левую часть (2.8) дифференциалы в явном
виде и приводя подобные члены, мы получаем следующую систему:
( dbk t . v* (®bk да\ ,
(к + E «<я =
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА 7°°(тг)
203
которая равносильна системе
дЪ. да
d^-bk+l-Pk+lQ^^
дък _ да _ • .
dPi Pk + VdPi~ Лк,г,‘
(2-9)
Подставляя полученные выражения для Хк в первое уравнение (2.9),
мы видим, что
= D(bk) - pk + lD(a), (2.10)
где D = Dl —оператор полной производной по х. Как и выше, раз-
ложим поле X на горизонтальную и вертикальную составляющие,
положив Xh = a-^- = aD иХ“=Х -Xh. Пусть Xю — то-
ож к дрк
гда Ък = Ък + арк + j для всех к 0. Подставляя полученные выраже-
ния в (2.10) и учитывая, что D(pk)—pk + i, мы получаем следующие
выражения для коэффициентов Ьк:
bk+l=D(W, * = 0,1,...,
или
bvk=Dk(bv0)> к = 0,1,...
Таким образом, всякий инфинитезимальный автоморфизм распреде-
ления Картана на представим в виде
X=aD + YlDkWy£-, (2.11)
fc = 0
где Ь^=Ь0 — арр и, следовательно, однозначно определяется сво-
им ограничением на подалгебру С°°(М) с P(ir) (первое слагаемое
в представлении (2.11)) и некоторой функцией Ь£ б^тт) (второе
слагаемое). Оказывается, полученный результат носит общий ха-
рактер.
2.4. Эволюционные дифференцирования. Вновь вернемся
к произвольному векторному расслоению тг: Р —>М и рассмотрим
инфинитезимальный автоморфизм X 6 Dc(ir) распределения Карта-
на на 7°°(тг).
204
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
Утверждение 2.4. Всякое векторное поле X Е Dc(ir)
однозначно определяется своим ограничением на подалгебру
^0(7Г) = С00(7°(7Г))С^(7Г).
Доказательство. Поскольку для любых двух полей
X, X' е Dc(k) их разность также лежит в Dc(n), нам достаточно
показать, что если X | _ = 0, то и XI _ =0 для всех fc > 0. Докажем
это индукцией по к. Первый шаг индукции (к = 0) — это условия
утверждения.
Пусть теперь к > 0 и X |^. = 0. Нам нужно показать, что тогда
дифференцирование ХЦ ( также тривиально. Пусть р Тогда
X(Ul(p)) = X(dp-dp) = dX(p)-X(dp),
или, в силу предположения индукции,
Х(Ц(^)) = -Х(^).
С другой стороны, поскольку X 6 2?с(тг), найдутся такие функции
fa,ga Е а = I,.. „I, что Х(Ц(<р)) = Е/вСГ1(^), т. е.
а
x(d<p) = ~XfMga)- (2-12)
а
Форма, стоящая в правой части равенства (2.12), принадлежит мо-
дулю Картана, и, значит, ее ограничение на график джета любого
сечения s е Г(тг) равно нулю.
Воспользуемся теперь тем, что для любой функции р Е ^(тг)
форма dp горизонтальна, т. е. ее можно представить в виде dp =
= ^pidhi, где Pi Е Т и \ G С°°(М) с^0. Следовательно,
i
X{dp) = Yj{X(pi)dhi+p.dX(hi)') ^x{Pi)dhi,
i i
так как в силу предположения индукции Х(Л,) = 0. Таким образом,
X(dp) — также горизонтальная форма, причем из (2.12) и сказан-
ного выше следует, что ее ограничения на графики джетов сечений
тривиальны. Поскольку горизонтальные формы определяются свои-
ми ограничениями на графики джетов (см. § I), мы получаем, что
X(dp)=0 (2.13)
для любой функции Р Е^..
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА 7°°(тг)
205
Рассмотрим в М произвольную координатную окрестность и
соответствующие локальные координаты (®р..хп,.. .,р^,...). Вы-
берем в качестве одну из координатных функций р£, где |ст| к.
Тогда в силу (2.13) имеем
Х(&.)=X (£Р'+= Е X W+!, = о-
4 = 1 ' i=1
Значит, Х(р^ + 1.) = 0 для всех ст, |ст| к, i = 1,..п и j = 1,...
..т. Иными словами, действие поля на все координатные функции
многообразия Jk + l(ir) тривиально, т. е. X | =0. Это доказывает
шаг индукции, а вместе с ним и все утверждение. □
ЦМ)
Рис. 4.5. Вертикальное поле
Пусть по-прежнему X G Dc(ir) — автоморфизм распределения
Картана на Рассмотрим ограничение Хм поля X на под-
алгебру С°°(М) с У и соответствующее поднятие Хм 6 2?(тг). По-
скольку, как мы уже знаем, Хм 6 CD(n) с Dc(ir), поле Xv = X -
—Хм также является автоморфизмом и, кроме того, оно вертикаль-
но. Тогда ограничение Х^ = Хи|>. является дифференцированием
алгебры Jo со значениями в алгебре для некоторого конечно-
го к. Так как поле Xv вертикально, дифференцирование Х% можно
отождествить с семейством векторов, параметризованных точками
пространства Jk(ir) и направленных вдоль слоев индуцированного
расслоения тг£ (тг) (рис. 4.5). С другой стороны, поскольку тг — ли-
нейное расслоение, касательные векторы к его слоям можно отож-
дествить с точками самих слоев. Сводя воедино проделанные выше
206
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
построения, мы получим отображение
£>с(7г)-^^(7Г,ТГ), (2.14)
причем, как показывают утверждения 2.2 и 2.4, поле X при этом
отображении переходит в нуль тогда и только тогда, когда X 6
еС2?(тг). Изучим образ отображения (2.14).
Пусть — некоторое сечение расслоения тг£(тг). Рассмотрим
координатную окрестность U С М и окрестность 1Лк = (W) С
С По аналогии с результатами, полученными выше в вычис-
лительном эксперименте, определим в окрестности 1Лк поле
Э,.« = ЕС>')Д. (2.15)
у, о-
где tpi — j-я компонента ограничения сечения на окрестность 1Лк,
a Da — композиция полных производных, соответствующая мульти-
индексу ст. Покажем, что дифференцирование (2.15) в рассматрива-
емой окрестности является автоморфизмом распределения Картана.
Действительно, пусть фЕР. Тогда
- Й) = Л(Э^и(ф)) - Э^ф). (2.16)
В силу соотношений (1.20) и (2.15) имеем
Э^и(Аф) = X
°р«
Но, как легко видеть,
/7Z>iW = 4(i,»)-2—« + 0,(^4). (2-17)
др3а дРа-1{ \dp3aJ
где
. ( 1, если i-я компонента ст отлична от О,
6(г,а) — < п
(О, в противном случае.
Поэтому
Э„,и(^) = 52 =
г, j, а
= 12 dA<p j) (S(i >°) + Di ( dx, =
V’ >др1"_к \dpJ) •
=2(о.(/)«(«>)^-+л(о.(«’,)^)-1>,+1,(«>’)^х‘.
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА
207
В полученном выражении первое и последнее слагаемые аннулиру-
ют друг друга, и поэтому
^,«(^)= Е Di =d(9v^)).
\ OP„ /
i,3,a
Возвращаясь к равенству (2.16), мы видим, что
^,w(^1(V’)) = d(3^(V’))-d(3ViW(^)) = t/13ViW(^). (2.18)
Равенство (2.18) показывает, что дифференцирования вида
Э м коммутируют с оператором Ux и, стало быть, являются ин-
финитезимальными автоморфизмами распределения Картана. При
этом ограничение Э и на подалгебру ,F0(Tr|w) отождествляется с
сечением у>. Итак, мы научились (пока локально) строить по сече-
нию некоторый автоморфизм распределения Картана. Пусть те-
перь U, И' сМ — две координатные окрестности в М. Тогда ограни-
чения полей U и Эр у/ на алгебру ^о(7Гкпм') совпадают, откуда,
в силу утверждения 2.4 следует, что над пересечением Ur\U' совпа-
дают и сами эти поля. Итак, наши построения корректным образом
определяют некоторое вертикальное векторное поле на всем про-
странстве 7°°(тг), являющееся инфинитезимальным автоморфизмом
распределения Картана. Иными словами, отображение (2.14) эпи-
морфно и, значит, доказана следующая теорема.
Теорема 2.5. Всякий инфинитезимальный автомор-
физм X распределения Картана на однозначно пред-
ставляется в виде
X=3V+XM,
где <р — некоторое сечение из тг). При этом алгебра
s,ymC(ir) = Dc(tt)/CD(tt) симметрий распределения Картана
отождествляется с модулем тг) сечений индуцированно-
го расслоения тг^(тг):
зутС(тг)с± ^(тг, тг).
Остановимся более подробно на полях вида Э^. В предыдущей
главе мы видели, что поля Ли, будучи автоморфизмами распределе-
ния Картана на многообразиях конечных джетов <7*(тг), порождают
потоки на множестве сечений расслоения тг. Тем же свойством об-
ладают и поля вида хотя они, вообще говоря, не порождают
(см. ниже) однопараметрических групп преобразований на беско-
нечномерном многообразии 7°°(тг). Действительно, пусть з е Г(тг) —
208
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
некоторое сечение и е^,(тг, тг). Ограничим поле Э* на график
fc-ro джета сечения з. Тогда при отождествлении касательных про-
странств к слоям тг с самими слоями компоненты этого ограничения
будут иметь вид а = 1,..т. Поэтому движение сече-
ния з вдоль траекторий Эр, если бы эти траектории существовали,
должно было бы управляться уравнениями
-дГ = <Лх'
= |а| к,
где t — параметр вдоль траектории. Иными словами, дифференци-
рование задает эволюцию сечений расслоения тг, а «поток», соот-
ветствующий Эу, определяется эволюционными уравнениями вида
( д^и1 \
— = = |a|O- (2.19)
ot \ ox 1
Определение 2.2. Поля называются эволто^ионкы-
ми дифференцированиями; соответствующее сечение <р 6 ^(тг, тг)
называется производящим сечением эволюционного дифференци-
рования.
Заметим, что специальный вид коэффициентов эволюционного
дифференцирования (см. формулу (2.15)) обеспечивает согласован-
ность эволюций всех производных функций
9 дми
dt дхТ
=(DT^)(®,..,O-?
V их
(2.20)
Равенство (2.20) является координатным выражением того,
что Э — автоморфизм распределения Картана.
Интересно отметить, что при трактовке эволюционных диффе-
ренцирований как векторных полей на «многообразии» Г(тг) сечений
расслоения тг оператор Ц: ^(тг)—^(тг) играет роль, аналогичную
той, которую внешний дифференциал d: С°°(М) —> Л.1(М) играет
в классической дифференциальной геометрии. Действительно, ес-
ли X — эволюционное дифференцирование, то для него (см. разло-
жение (2.2)) Xv = Х, и поэтому в силу определения оператора U\
X JCZ1(^) = X(^). (2.21)
Равенство (2.21) является точным аналогом равенства
y_id/ = y(/),
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА
209
справедливого для полей Y и функций f, определенных на неко-
тором конечномерном многообразии. Таким образом, оператор Ux
можно назвать универсальным эволюционным дифференциалом.
2.5. Скобки Якоби. Выше мы показали, что соответствие
Э: ^(тг, тг) —► sym(Tr) = Рс(тг)/С1?(тг),
сопоставляющее каждому сечению <р G /*(тг, тг) эволюционное диф-
ференцирование Э?, является взаимно однозначным. С другой
стороны, поскольку множество эволюционных дифференцирований
отождествляется с факторалгеброй Ли эут(тг), коммутатор двух
эволюционных дифференцирований вновь является эволюционным
дифференцированием. Поэтому для любых двух элементов <р,ф &
G /’(тг, тг) можно определить их коммутатор {у>, 6 ^(тг, тг), пола-
гая
(2.22)
или
3{^} = [^,ЭД (2.23)
Определение 2.3. Элемент {<р, ^}, определенный равен-
ством (2.22), называется высшей скобкой Якоби сечений <р и ip.
Поскольку эволюционные дифференцирования вертикальны и
образуют алгебру Ли относительно операции коммутирования век-
торных полей, модуль ^(тг, тг) является С°°(М)-алгеброй Ли от-
носительно скобки Якоби. Действительно, покажем, например, что
скобка {•, •} удовлетворяет тождеству Якоби. В силу (2.23) имеем
Э{р,{^х}} = = =
=[P„, эд эх]+[Э^, [Э„, эд=э{Ь,Лх}+Э{Му>х}} =
~ Ф},х} +
т. е.
{<£, {Ф, х}} + {Ф, {х, Y’}} + {х, {</’, Ф}} = 0
для любых сечений <р,ф,х^ •^г(7Г, п). Аналогичным образом прове-
ряются остальные свойства алгебр Ли.
В локальных координатах скобка Якоби двух сечений (риф,
как это следует из (2.15) и (2.23), имеет вид
/ = 1,...,т. (2.24)
rr.а ' 'о’ '
14 Симметрии...
210
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
2.6. Сравнение с полями Ли. В предыдущей главе мы опре-
делили поля Ли как такие дифференцирования Y бР(7к(тг)), кото-
рые сохраняют распределение Картана на Поскольку каждое
поле Ли может быть каноническим образом поднято в любое про-
странство <7к+,(тг), где оно вновь будет полем Ли, мы получаем поле
Y* е Р(тг). Условие того, что все поднятия поля Ли сохраняют рас-
пределение Картана на соответствующих пространствах конечных
джетов, означает, что Y* G Рс(тг), т. е. бесконечное поднятие поля
Ли является автоморфизмом распределения Картана на 7“(тг). Ха-
рактерной особенностью дифференцирования Y* является то, что
оно сохраняет фильтрацию элементов из ^(тг): deg(y*) = O. Обрат-
но, пусть некоторый автоморфизм X е Dc(ir) обладает этим свойст-
вом. Тогда найдется такое число 1%, что при всех k^k0 ограничения
Хк —Х\^ являются дифференцированиями алгебр Гк в себя и, зна-
чит, определяют поля Ли на «7*(тг), причем
-^* + 1 0 = + (2.25)
т. е. эти поля согласованы с проекциями тгк + 1 fc: <7*+1(тг)—> <7*(тг).
В силу теоремы о характеризации полей Ли, доказанной в преды-
дущей главе, для каждого поля Хк существует и единственным об-
разом определено поле Ли Хк е D(J*(*)), для которого Хк явля-
ется (k — е)-поднятием *). Используя равенства (2.25), мы видим,
что Хк+1 есть поднятие поля Хк на Jfc+1(?r) и, таким образом,
X имеет вид У*, где У — поле Ли. Итак, справедливо следующее
предложение.
Утверждение 2.6. Автоморфизм X Е Dc(ir) тогда
и только тогда имеет вид X = Y*, где У — поле Ли, когда
deg(X) = O.
Определение 2.4. Автоморфизмы распределения Карта-
на, удовлетворяющие условиям утверждения 2.6, мы будем назы-
вать полями Ли на многообразии
Пусть X — такое поле. Тогда в силу теоремы 2.5 имеет место
каноническое разложение
Х = Э_р+Хм. (2.26)
Заметим, что в силу координатного представления для эволюцион-
ных дифференцирований (см. равенство (2.15)) поле повышает
фильтрацию элементов из ^(тг) на величину, равную deg(^). С дру-
*) Напомним, что е = 0 при dim тг > I и е = I при dim it = 1, причем в первом
случае Хк — вообще говоря, произвольное поле на J°(?r), а во втором — является
контактным полем на 7*(тг).
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА J°°(?r) 211
гой стороны, deg(XM) = 1 для любого поля Хм eCD(ir). Поэтому
из утверждения 2.6 следует, что если X — поле Ли, то сечение <р,
фигурирующее в разложении (2.26), лежит в модуле ^(тг, тг), т. е.
deg(^) = 1. Вспомним теперь, что всякое поле Ли на <7*(тг) определя-
ется своим производящим сечением, и сопоставим выражение полей
Ли через производящие сечения, полученное в предыдущей главе
(см. § 5 гл. 3), с определением дифференцирования (см. (2.15)).
Тогда нетрудно видеть, что равенство (2.26) можно записать как
(2.27)
где X* — поднятие поля Ли Х^ с производящим сечением G
G^(тг,тг) в 7°°(тг), а <р*,.. .,<рт — компоненты этого сечения. При
этом, как мы знаем, если dim7r= 1, то сечение произвольно, а
при dim тг > 1 оно должно иметь вид
п
^ = ао + £р1.а<’ J = %,..., апе J’o(Tr).
. = 1
Таким образом, производящие сечения полей Ли, определенные в
главе 3, совпадают с рассматриваемыми здесь.
Упражнение 2.1. Покажите, что если Xv и Х^—два
поля Ли, то
и;, =1^- v=э<».л - Ё №<
i = 1
Иными словами, если и — производящие сечения полей Ли,
то скобка Якоби этих двух сечений, определенная раньше, совпада-
ет со скобкой Якоби, введенной в настоящем параграфе. Учитывая,
кроме того, что в силу (2.27) Xv =0 в том и только том случае, если
соответствующее эволюционное дифференцирование также триви-
ально, мы можем сформулировать следующее утверждение.
Утверждение 2.7. Отображение, сопоставляющее
полям Ли соответствующие им эволюционные дифферен-
цирования, является мономорфизмом алгебр Ли. При этом
множество производящих сечений полей Ли является подал-
геброй Ли в алгебре Ли ^(тг, тг) относительно скобки Якоби.
Таким образом, теория симметрий распределения Картана на
7°°(тг) является естественным обобщением теории полей Ли на мно-
гообразиях конечных джетов.
Пусть X — поле Ли на 7°°(тг). Тогда, рассматривая однопараме-
трические группы сдвигов, соответствующие полям jlt^y мы
14*
212
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
убедимся, что полю X также соответствует однопараметрическая
группа сдвигов, действующая на многообразии Оказывает-
ся, что любой автоморфизм распределения Картана на J°°(7r), обла-
дающий однопараметрической группой сдвигов, может быть пред-
ставлен как поле Ли, возможно, действующее в некотором новом
расслоении; [88]. Поясним сказанное, пользуясь не вполне формаль-
ными рассуждениями.
Пусть тг: Р -»М — расслоение, X 6 Dc(ir) — интегрируемое
поле и At — соответствующая однопараметрическая группа. Тогда
tk
At = exp(tX) = id +tX + ...+ —Xk +... (2.28)
Из (2.28) следует, что найдется такое I, что Хк(Р0)сР1 для всех к.
Действительно, если бы это было не так, то преобразование А* не
могло бы перевести многообразие <7°(тг) ни в какое конечное много-
образие Jk(ir), что противоречит определению гладкого отображе-
ния многообразия 7°°(тг).
Рассмотрим в кольце подкольцо Р(Х), порожденное
элементами вида Х(у>), <р е т. е. множество сумм вида
X(y3j) •... • Х(узг), <р.е Ро. Из сказанного следует, что подколь-
цо Р(Х) инвариантно относительно действия поля X: Х(Р(Х))с
С Р(Х). Перейдем на двойственную точку зрения и рассмотрим мак-
симальный вещественный спектр кольца Р(Х), т. е. пространство,
точками которого являются ядра гомоморфизмов Р(Х) —Обо-
значим это пространство через Рх. Тогда локально, в окрестности
точки общего положения, имеет место коммутативная диаграмма
Л*) Рх
М
где <рх —отображение, двойственное вложению Р(Х)^Р. В силу
инвариантности Р(Х) относительно X поле X определяет на Рх
некоторое поле Хо. Совокупность всевозможных продолжений
отображения у>х определяет гладкое отображение ip*x. —►
—»J°°(7rx), для которого диаграмма
и*
Г°(тГх)
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА
213
также коммутативна. Пусть X — поднятие поля Ли Хо в J°°(nx).
Тогда в силу конструкции поднятия и того, что X — интегрируе-
мый автоморфизм распределения Картана в отображение <рх
переводит X в ограничение поля X на подмногообразие £х =
= ipx(J°°(ir)) с 700(тгх). Таким образом, поля X и локально
«устроены одинаково», что и требовалось показать.
2.7. Линеаризации. Заметим, что соответствие между эво-
люционными дифференцированиями и производящими сечениями
позволяет сопоставить паре (у>, ^>), 6 ^(тг, тг), V’ ^(тг), новое
сечение Э^ф) е ^(тг). При этом, если фиксировано, а ф произ-
вольно, мы получаем эволюционное дифференцирование в алгебре
^(тг). Переходя теперь на «сопряженную» точку зрения, т. е. фик-
сируя сечение ф и оставляя «свободным», мы получим некоторый
оператор действующий из модуля ^(тг, тг) в алгебру ^(тг) по
правилу
^<Р) = Э^ф). (2.29)
Что это за оператор? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся
к равенствам (2.15) и с их помощью перепишем определение (2.29)
в виде
J, а
ИЛИ
4 = У'-^РУ), (2.30)
j,<r
где символ означает, что оператор Da применяется к j-й компо-
ненте соответствующего сечения. Проанализируем равенство (2.30)
более подробно.
Пусть з — некоторое сечение расслоения тг. Поскольку каждое
из полей касается всех максимальных интегральных многообра-
зий распределения Картана на <7°°(тг) и, значит, допускает ограни-
чение на графики бесконечных джетов, такое ограничение, в силу
(2.30), допускает и оператор Точнее, это означает, что для лю-
бого з G Г(тг) имеет место коммутативная диаграмма
^(тг, тг) —^(тг)
Дл- Цтг)
(2.31)
214
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
где — рассматриваемое ограничение. Объединяя диаграм-
му (2.31) с равенством (2.30), мы видим, что для любого сечения
Ч> G Г(тг) имеет место равенство
V4 —
3,<т а
дмуз3'
~д^-‘
(2.32)
Формула (2.32) показывает, что оператор s есть линеаризация
оператора Д^, соответствующего функции ф, на сечении з G Г(тг).
Все такие линеаризации получаются путем ограничения операто-
ра I* на соответствующее сечение.
Определение 2.5. Оператор называется операто-
ром универсальной линеаризации нелинейного дифференциально-
го оператора Д^.
Перечислим еще раз основные свойства универсальной линеа-
ризации:
1) оператор 1^. ^(тг, тг) -»^(тг), ф е ^(тг), линеен;
2) он допускает ограничение на графики бесконечных джетов;
3) оператор является двойственным к эволюционным диф-
ференцированиям: (ф('р) = Эч)(‘ф).
Заметим также, что если ф — линейная по всем переменным р3а
функция (т. е. оператор Д^ линеен), то имеет место равенство
^ = ДГ (2.33)
Построенный выше оператор был определен для нелиней-
ных дифференциальных операторов вида Д^: Г(тг) —> С°°(М). Обоб-
щим конструкцию универсальной линеаризации на произвольные
операторы Д: Г(тг) —> Г(тг'), где тг', как и тг, — некоторое локально
тривиальное векторное расслоение над многообразием М, dim(7r') =
= т'. Пусть ф е ^(тг, тг') — представляющее сечение оператора Д.
Рассмотрим произвольный элемент <р G ^(тг, тг) и такое гладко зави-
сящее от t 6 Ж семейство элементов 6 ^(тг, тг), что -=-* =
t=o
Пусть Vt = V^: Г(тг) —»Г(тг) — соответствующее семейство опера-
торов И ipt Положим
t = 0
(2-34)
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА 7°°(тг)
215
Упражнение 2.2. Покажите, что определение (2.34) кор-
ректно, т. е. не зависит от выбора семейства ^t, удовлетворяющего
dy>t
условию =<р.
ot t=0
Оператор ^(тг, тг)—>^(тг, тг') называется универсальной ли-
неаризацией нелинейного дифференциального оператора и в ло-
кальных координатах имеет вид ||, где \\1фР || — (т х ^-ма-
трица, элементы которой суть
= а = 1,...,т, /3 = 1....т. (2.35)
Очевидно, что при т = 1 этот оператор совпадает с оператором,
введенным выше. Более того, он обладает перечисленными выше
свойствами (1) — (3), с той лишь разницей, что оператор , опре-
деленный равенством Э’ (V’)=^(¥’)> действует теперь не на алгебре
Дтг), а в модуле ^(тг, тг'). При этом если £ ^(^> я') и f е ^(тг),
то операторы Э’ и Э связаны между собой равенствами
+/э;'(^). (2.зб)
Таким образом, мы видим, что каждое сечение <р тг) определя-
ет семейство дифференцирований : ^(тг, тг') -♦ ^(тг, тг'), причем,
как это следует из (2.36), каждый оператор Э’ является диффе-
ренцированием модуля ^(тг, тг) над дифференцированием 9V алгеб-
ры ^(тг).
Замечание 2.1. Связь между эволюционными дифферен-
цированиями и линеаризациями становится более наглядной, если
вновь обратиться к аналогии с классической дифференциальной гео-
метрией. Действительно, если М и М' — гладкие конечномерные
многообразия и G: М —> М' — гладкое отображение, то линеари-
зация (дифференциал) G* отображения G в точке х е М строит-
ся следующим образом: берется кривая xt в М, проходящая через
ы dxi
точку х, xQ = x, рассматривается касательный вектор v =
к этой кривой в точке х и показывается, что равенство Gt(v) =
= — G(xt) определяет касательный вектор к М' в точке G(x), за-
висящий только от выбора v. Если X — векторное поле на М, то
t=o
216
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
эта конструкция, вообще говоря, не позволяет построить соответ-
ствующее векторное поле GJX) на М'. Понимая, однако, вектор-
ные поля как сечения касательного расслоения, мы можем каждому
полю X &D(M) каноническим образом сопоставить сечение GJX)
расслоения над М, индуцированного из касательного расслоения
над М' с помощью отображения G.
В нашей ситуации роль точек рассматриваемых «многообразий»
играют сечения расслоений л- и тг' соответственно, а роль отобра-
жения G — нелинейный дифференциальный оператор Д = Д^ (а
точнее, отображение Фд: 7°°(тг) —> 7°°(тг'), см. п. 1.3). Взяв кри-
вую в Г(тг), мы должны рассмотреть семейство сечений s(t) G Г(тг).
Как мы знаем, «касательные векторы» к таким кривым определяют-
ся эволюционными дифференцированиями в ^(тг), выполняющими
роль векторных полей на Г(тг), т. е. сечениями у> 6 ^(тг, тг). Если
V — оператор, соответствующий сечению у>, то кривая s(t) задает-
ся эволюционным уравнением
й—*
а «касательный вектор» к ее образу находится из равенства
иь
Таким образом, как и в конечномерном случае, линеаризация опре-
делена на векторных полях, т. е. на эволюционных дифференци-
рованиях, причем возникающая неоднозначность устраняется, если
расслоение (7г^0)*(тг/) (аналог касательного расслоения) индуциро-
вать на 7°°(тг) с помощью отображения G = ФД: J°°(7r'),
определяемого всеми продолжениями оператора Д (см. рис. 4.6).
При этом, как легко видеть,
(фд)* «)*(7Г') = « 0 фдГ (7Г') = С(7Г')-
Операторы и эволюционные дифференцирования вида
позволяют в удобном виде переписать некоторые из полученных
в настоящем параграфе соотношений. Прежде всего заметим, что
если id: Г(тг)—>Г(тг) — тождественный оператор, то его линеариза-
ция /’(тг, тг)—>/’(тг, тг) также является тождественным операто-
ром. Поэтому для любого сечения G /’(тг, тг) выполнено равенство
9vM = lid(v>) = V>-
(2.37)
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА
217
Рис. 4.6. Действие линеаризацией на эволюционные поля
Сопоставляя (2.37) с определением скобки Якоби, мы видим, что
[э;> э;] ш=э; (э>,а)) -э; (э;^))
т. е.
= (2.38)
Другое выражение для скобки Якоби, непосредственно следующее
из (2.38), имеет вид
{^,^} = Э’(^)-^(^)
или
= (2.39)
Сопоставляя равенство (2.27) с координатным представлением уни-
версальной линеаризации, можно убедиться также, что если л- —
тривиальное одномерное расслоение, то поле Ли X* на 7°°(тг) мо-
жет быть представлено в виде
К = 9V - tv + у 1) = {¥>,.} + ^(1), (2.40)
где 1 — сечение расслоения ^(тг): J°°(7r) х R —> J°°(7r), тождест-
венно равное 1 в каждой точке многообразия
Эволюционные дифференцирования и универсальные линеари-
зации играют важную роль в теории высших симметрий нелинейных
дифференциальных уравнений, к изучению которой мы приступаем.
218
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
§ 3. Бесконечно продолженные
уравнения и теория высших симметрий
В предыдущем параграфе, исследуя инфинитезимальные авто-
морфизмы распределения Картана на <7°°(тг)> мы пришли к понятию
эволюционного дифференцирования, которое неформально можно
понимать как векторное поле на «многообразии» сечений Г(тг). Наш
следующий шаг состоит в распространении этого подхода на про-
извольные дифференциальные уравнения 8 с <7к(тг). Пытаясь выяс-
нить, что есть векторное поле на «многообразии» Sol 8 решений
уравнения 8, мы придем к теории высших симметрий нелинейных
дифференциальных уравнений, которая естественным образом обоб-
щает теорию классических симметрий, развитую ранее.
Поскольку решения уравнения 8 — это такие сечения з G Г(тг),
что Г* = jk(s)(M) с 8, естественно предположить, что по крайней
мере некоторые из искомых полей на Sol 8 должны получаться пу-
тем ограничения полей, определенных на объемлющем простран-
стве Г(тг), т. е. эволюционных дифференцирований. Однако если
мы возьмем произвольное эволюционное дифференцирование на
J°°(7r) и попытаемся ограничить его на 8, т. е. применить к функ-
циям из С°°(5), то если deg(^)^O, наша попытка окажется неудач-
ной — функция V’ С°°(8), уже не будет являться элемен-
том алгебры С°°(8). Если же использовать поправки к на поля
вида Хм, то в этом случае получаемые «поля» на Sol 8 будут ис-
черпываться уже известными классическими симметриями уравне-
ния 8. Причины происходящего понятны — вспомним, что эволюци-
онные дифференцирования возникли при переходе от пространств
конечных джетов <7*(тг) к башне ...«- Jk(ir)«- Jk + l(ir)«- ... и
рассмотрении распределения Картана на J°°(7r). Аналогом этой
конструкции для уравнения 8 служит цепочка его продолжений
8{l\ 1=0,1... , приводящая к бесконечно продолженному уравне-
нию 8°° с J°°(7r). Заметим, что понятие продолжения играет важ-
ную роль в таких вопросах, как теория формальной разрешимости
дифференциальных уравнений, особенности их решений (разрывы,
ударные фронты) и т. д.
3.1. Продолжения. Пусть 8 С <7*(тг) — уравнение порядка к,
локально задаваемое условиями
8 = {еке Jk(ir) \Fl(0k) = ...= Fr(0k) = О, Fv ..., Fr G Л(тг)} .
Если з сГ(тг) — некоторое решение уравнения 8, т. е. если
/ \
§ 3. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
219
то з должно удовлетворять и всем дифференциальным следствиям
системы (3.1)*). В частности,
9Fa ypdFadM + 1sj
9х{ + 99х{9ха
для всех i = 1,..., п, или
;Г, j =
(3.2)
Ok + 1(S))*A(-Fa) = °> » = a = l,...,r, (3.3)
где Di — операторы полных производных. Объединение систем (3.1)
и (3.2), возникающее как дифференциальное следствие системы
(3.1) порядка 1, определяет некоторое уравнение С 7к+1(тг)
порядка к + 1 и называется первым продолжением уравнения £.
Чтобы определить понятие первого продолжения инвариантным
образом, выясним, при каких условиях точка 0к+1 е Jk + ^тг) принад-
лежит множеству 8Во-первых, очевидно, для этого необходимо,
чтобы точка 0к = 7rfc+1 fc(0fc+i) лежала на уравнении 8. Далее, пред-
ставим точку 0к^х е£(1) в виде 6k+l = [s]* + 1, з бГ(тг), и подставим
отрезок ряда Тейлора длины fc+1 сечения з в уравнение (3.1). Раск-
ладывая результат подстановки в ряд Тейлора и сопоставляя полу-
ченное выражение с равенствами (3.2), мы убеждаемся, что точка
0к + 1 лежит в 8^ тогда и только тогда, когда соответствующее се-
чение з е Г(тг) удовлетворяет уравнению 8 в точке 0к с точностью
до бесконечно малых второго порядка. Иначе говоря, точка 0t + 1 =
= [s]* + 1 в том и только в том случае лежит в £(1), если многообразие
jk(s)(M) касается уравнения £ в точке 0к = [з]*. Это и есть искомое
инвариантное определение первого продолжения. Естественным об-
разом обобщая его, мы приходим к следующему определению.
Определение 3.1. Множество £с Jk+i(7r), состоящее
из таких точек ^+j=[s]*+,I что график ук(з)(М) fc-ro джета сечения
з G Г(тг) касается уравнения £ в точке 0к = [з]* с порядком > I,
называется l-м продолжением уравнения 8 С <7* (тг).
Очевидно, условия, задающие Ге продолжение уравнения £,
являются дифференциальными следствиями условий (3.1) вплоть
до порядка I включительно, т. е. имеют вид
DT(Fa) = 0, И С/, а = 1,...,г, (3.4)
*) Т. е. всем уравнениям, полученным в результате дифференцирования рассма-
триваемой системы.
220
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
где т — мультииндекс, a DT — соответствующая композиция опера-
торов полных производных.
Пусть теперь £ — некоторое расслоение размерности г над М
и Д: Г(тг)—>Г(£)— оператор порядка к, определяющий уравнение,
т. е. обладающий тем свойством, что 0к G £ тогда и только тогда, ко-
гда <^д(0к) = О. Сопоставляя выражения (1.7), полученные в § 1 для
продолжений нелинейных дифференциальных операторов, с уравне-
ниями (3.4), мы получаем следующий результат.
Утверждение 3.1. Если уравнение £cJk(ir) зада-
но дифференциальным оператором Д: Г(тг)—>Г(£), то его 1-е
продолжение £® С Jfc+Z(7r) задается оператором Д{ = о Д:
Упражнение 3.1. Пусть уравнение £ таково, что его 1-е
продолжение является гладким подмногообразием в J* + z(tt). Пока-
жите, что в этом случае справедливо равенство (£(Z))(f) =£</+‘) для
всех t ^0. Это, в частности, означает, что в такой ситуации (/ + 1)-е
продолжение можно определить индуктивно: £(, + 1) = (£(Z))(1).
Упражнение 3.2. Приведите примеры уравнений, для
которых £^ не является гладким подмногообразием в 7к + 1(тг).
3.2. Бесконечно продолженные уравнения. Итак, для каж-
дого к 0 мы построили множество £(Z) с Jk+l(ir) — l-е продолже-
ние уравнения £. Поскольку касание порядка I + 1 влечет за собой
касание со всеми меньшими порядками, имеют место естественные
отображения £<z+1) —► £(/), согласованные с проекциями объемлю-
щих пространств джетов:
Jfc + Z+1(7r)D£<, + 1>
"*+1+1,*+<^ | (3.5)
Jfc + Z(7r) D f(Z)
и также обозначаемые через 7rfc+z + 1 к + 1. Однако, в отличие от про-
екций джетов, отображение 7rfc + z+1 k + l: £(Z + 1) —»£(Z) может не яв-
ляться сюръективным.
Упражнение 3.3. Приведите примеры уравнений, для
которых отображение 7гк + 1 к: £^ -*£ не сюръективно.
Цепочка отображений
£ = £(Р) + £(1) f (0 ,’г* + ' + 1’* + 1 (3.6)
§ 3. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
221
позволяет определить обратный предел £°° = lim ind 8® продолже-
I —> 00
ний уравнения 8, называемый бесконечным продолжением это-
го уравнения. Множество 8°° лежит в многообразии бесконечных
джетов J°°(7r), и его точкам можно дать следующую наглядную ин-
терпретацию.
Как мы знаем, точка, лежащая на £(/), — это отрезок ряда Тей-
лора сечения расслоения тг длины k + l, удовлетворяющий 8 с точ-
ностью до бесконечно малых порядка Z +1. С другой стороны, точки
многообразия 7°°(тг) — это полные ряды Тейлора сечений расслое-
ния тг. Поэтому точка 0 = [s]~ е тогда и только тогда принад-
лежит множеству 8°°, когда ряд Тейлора сечения з в точке х G М
удовлетворяет уравнению 8. Иными словами, точки 8°° суть фор-
мальные решения уравнения £. Отсюда, в частности, видно, что
необходимым условием разрешимости уравнения 8 в точке х е М
является непустота множества 8°° П
Определим алгебру гладких функций на 8® как совокупность
ограничений гладких функций, определенных на объемлющем мно-
гообразии 7* + г(тг):
W) = {v>- —К|3$5 е^+/(тг): =
В случае, когда 8®— гладкое подмногообразие в Jk + l(ir), имеет
место равенство J7l(8) = C°°(8^). Наличие коммутативной диаграм-
мы (3.5) позволяет по цепочке отображений (3.6) построить цепочку
гомоморфизмов коммутативных алгебр
Го(8) = С°°(8) ^(£) ^... ^ ^(8) Г1+ г(8) ...,
прямой предел которой ^(8) = lim dir Я(8) называется алгеб-
I ~» 00
рой гладких функций на бесконечно продолженном уравнении 8°°.
Для всякого I 0 определены естественные гомоморфизмы алгебр
поскольку Im«>Jfe+/) dm я* +z + 1, алгебра
F(8) фильтрована образами этих гомоморфизмов. Образ гомомор-
физма тг^ k+i в F(8) можно отождествить с кольцом гладких функ-
ций на множестве 8t = тгто k + l(£°°) С 8® С 7*+г(тг). Поэтому если
все отображения 8°° —► 8^ сюръективны, можно считать, что алгеб-
ра F(8) фильтрована подалгебрами Ft(8). Как легко видеть, урав-
нения, для которых сказанное справедливо, обладают следующим
важным свойством: любое решение такого уравнения, построенное
с точностью до бесконечно малых порядка I, может быть достроено
до формального решения.
222
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
Если У: Р' ->М —другое расслоение над М, то можно также
ввести 5’;(^)-модули
W, тг') = {у> 6 ЦеДтг')) I 3£ 6 Г(<+г(7г')): = ¥>} ,
где е, : £V^Jk+l(v) — каноническое вложение, и построить филь-
трованный ^(^)-модуль Р(£, тг') = lim dir Р,(£, тг').
I-+0O
Из определения алгебр Pt(£) следует, что при всех I 0 име-
ют место эпиморфизмы Л+/(7Г) Полагая £(,) = £. =
= 7Г* k+i(£) ПРИ <0 и соответствующим образом определяя алгебры
Jj(£), мы приходим к коммутативной диаграмме
- - - Л -100 - ЛЮ -... - Л+1Ю - Ъ+1+1Ю -...
♦
-00
*
-1
е0
(3.7)
е
ЛЮ- ЛЮ Л+1Ю--
где Л^Ю = С,о“(7гоо(^ос))- Обозначим через It(£) ядро эпиморфиз-
ма Ег*. Тогда Ij(£) — идеал алгебры Рк+1(£), обладающий тем свой-
ством, что функция <р в том и только том случае лежит в этом
идеале, если у>(0) = О для всех точек в е£^1\ Из коммутативности
диаграммы (3.7) следует, что для всех I е Z определены вложения
ЛЮ С Л+1Ю- Поэтому система идеалов {ЛЮ} определяет идеал
/(£) = U ЛЮ фильтрованной алгебры Р(£), называемый идеалом
1ег
уравнения £.
Пусть X eD(ic)— векторное поле на 7°°(тг), обладающее тем
свойством, что идеал Ц£) замкнут относительно дифференцирова-
ния X: X (I(£)) с I(£). Тогда X порождает дифференцирование
Х\£ факторалгебры Р(тг)/1(£), т. е. векторное поле на £°°. В этом
случае мы говорим, что поле X касается многообразия £°° или до-
пускает ограничение на это многообразие.
Заметим, что без ограничения общности мы можем считать, что
гомоморфизм является изоморфизмом, т. е. £<-оо) = ^(f00) =
= М. Действительно, если проекция тг^^х,: £°° —>М не является
сюръекцией, мы можем ограничить расслоение тг на подмногообра-
зие ^(f00) с М (или, если это необходимо, на его неособую часть)
и в дальнейшем рассматривать все необходимые конструкции в этом
ограничении. Более того, по аналогичным соображениям можно счи-
тать также, что £^ = тг0о 0(£°°) = 7°(тг). Поэтому в дальнейшем мы
полагаем, что £°° сюръективно проектируется на многообразие ну-
левых джетов J°(tt).
$ 3. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
223
Пусть Fa =0, а = 1,..., г, — соотношения, определяющие урав-
нение £. Тогда идеал 1Л£) порожден образующими Fa е Fk(n), т. е.
любой элемент <р е/0(с) имеет вид р = <plFl +.. .+<ргГг, ipa еFk(£).
Добавляя к этим образующим элементы вида i = I,..п, мы
получим, как это следует из (3.2), идеал 1Х(£) и т. д. Наконец, идеал
1(£) порожден всеми элементами вида DT(Fa), |т| >0, а = 1,..г,
причем Il(£) — I(£)nFk+l(ir). В частности, идеал 10(£) тривиален
(а его тривиальность эквивалентна сюръективности отображения
Лоо, о | £«>) в том и только том случае, если среди следствий условий
Рт(Га) = 0 нет равенств вида /(г,«) = 0, т. е. если в уравнение £
не входят (может быть, неявным образом) функциональные соот-
ношения. Если же такие соотношения существуют, мы можем ло-
кально выбрать в них подсистему максимального ранга и выразить
с ее помощью часть переменных через оставшиеся перемен-
ные. Эта операция является координатным эквивалентом описанной
выше процедуры редукции произвольного уравнения £ к такому
уравнению, для которого 0(£°°) = 7°(тг).
Данное описание идеалов It(£) показывает, что идеал 1(E) урав-
нения £ обладает следующими двумя важными свойствами:
а) он является идеалом фильтрованной алгебры, т. е.
адп^+^)=/Д£), /(о= U МО;
IeZ
б) для любого векторного поля X е D(M) идеал 1(£) замкнут
относительно поднятия X G -О(тг): Х1(£) с 1(£).
(Свойство б) идеала 1(£) называется дифференциальной замк-
нутостью.)
Обратно, пусть в алгебре F(ir) задан фильтрованный диффе-
ренциально замкнутый идеал I, дифференциально порожденный*)
конечным числом образующих-Г,,..., Fr е^(тг), являющихся функ-
циями Яр.. ,,хп,.. .,р£,..., |ff| к. Определим множество £т г С
С Jk+l(n) как многообразие нулей идеала Л — п •^*+г(7Г):
£л( = {0 6 7а+'(7г) М0) = OV<pGl;}.
Тогда, как легко видеть, £I t =£f\ где I > 0 и £t = 0, а I =
Итак, существует взаимно однозначное соответствие между подмно-
гообразиями вида £°° в /“(тг) и конечно порожденными дифферен-
*) Мы говорим, что идеал I дифференциально порожден образующими F{l...
..., Fr, если он алгебраически порожден элементами DTF^ |т| > 0, j = 1,..., г.
224
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
циально замкнутыми фильтрованными идеалами алгебры J’(tt). От-
метим параллель этого соответствия с известной в алгебраической
геометрии двойственностью между алгебраическими многообразия-
ми и идеалами коммутативных алгебр (см., например, [74]).
3.3. Высшие симметрии. Пусть £ С «7*(тг) — уравнение,
7Гоо о(^°°) = ^°(7Г) И Д£)с^г(7Г) — идеал этого уравнения. Тогда фак-
торалгебра ^(тг)//^) = !F(£} является фильтрованной алгеброй и
отождествляется с алгеброй гладких функций на многообразии £°°.
Теория дифференциальных объектов (полей, форм и др.) на £°° стро-
ится точно так же, как это было сделано в § 1 для случая J°°(7r).
Так, векторное поле на £°° — это дифференцирование алгебры ?(£),
согласованное с фильтрацией, модуль Л1 (8) = A‘(£°°) г-х внешних
форм является прямым пределом модулей А’(£^) и т. п.
Определим распределение Картана С(£) на £°°, полагая *)
СД£) = Тв(£°°)пСв, 0е£°°,
где Св — соответствующий элемент распределения Картана на мно-
гообразии J°°(7r). В силу определения бесконечного продолжения
распределение С(£) нетривиально. Из описания максимальных инте-
гральных многообразий распределения Картана на 7°°(тг), данного
в § 2, и определения распределения С(£) следует, что максималь-
ными интегральными многообразиями последнего являются много-
образия вида Г^° = j^o(s)(Af), s е Г(тг), лежащие в £°°, и только они.
Заметим, что если Г£° с£°°, то многообразие тг0о*(П°) = Г* лежит
в 8, т. е. s является решением уравнения 8. Обратно, для всякого
решения s уравнения £ соответствующее многообразие Г^° лежит
в £°° и, естественно, является максимальным интегральным много-
образием распределения С(£). Таким образом, максимальные инте-
гральные многообразия распределения Картана на £°° суть решения
уравнения 8.
Замечание 3.1. Кажется более естественным определить
картановскую плоскость Св(£) в точке 0 6 £°° как линейную оболоч-
ку касательных плоскостей к решениям уравнения £, проходящим
через эту точку. Однако этот путь обладает рядом существенных
недостатков: во-первых, для его реализации необходимо знание ре-
шений уравнения £ и, во-вторых, он приводит к теории, значитель-
но более бедной, чем излагаемая нами. Подход, описываемый нами,
*) Мы используем для распределения Картана на £°° то же обозначение, что
и для распределения Картана на £. Это не приведет к двусмысленности, поскольку
в дальнейшем мы будем иметь дело только с бесконечными продолжениями.
§ 3. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
225
состоит, если так можно выразиться, в построении распределения
Картана на £°°, исходя из «касательных плоскостей к формальным
решениям уравнения».
Определим модуль картановских форм на £°° как совокупность
СА1^00) с А1^00) таких 1-форм, которые в каждой точке 0 е£°°
аннулируются векторами распределения С(£).
Упражнение 3.4. Покажите, что имеет место равенство
CAl(£°°) = CA1(7r)|f00, т. е. всякая форма weCA1^00) может быть
представлена в виде ограничения на £°° некоторой картановской
формы на J°°(7r).
Из § 2 и сказанного выше следует, что идеал СЛ1(£00)лЛ*(£00)
дифференциально замкнут относительно дифференциала де Рама d:
A*(£°°)—>Л*(£“), т. е.
d (СЛ1^00) Л Л*(£°°)) с CA‘(£“) Л А*(£°°). (3.8)
Далее, следуя уже знакомым из предыдущего параграфа мотивиров-
кам, введем множества
CD(£°°) = {х е Р(£°°) | X _lw = 0, Vw G СЛ1^00)}
и
Dc(£°°) = {Хе D(£°°) I [X, CD(£°°)] С CP(£°°)}.
Из определения следует, что множество Dc(£°°) является подалгеб-
рой Ли в алгебре Ли векторных полей на £°°, a CD(£°°) — идеал
в D-(£°°). Дословно повторяя рассуждения § 2, мы вводим R-алгеб-
ру Ли
sym£ = Pc(£“)/CZ>(£“)
симметрий распределения Картана на £°°, неформально отождеств-
ляя ее элементы с векторными полями на множестве максимальных
интегральных многообразий этого распределения, т. е. на «многооб-
разии» Sol £ решений уравнения £.
Определение 3.2. Элементы алгебры Ли sym£ называ-
ются высшиуии (инфинитезимальными) симметриями урав-
нения £.
Наша ближайшая цель — описание алгебры sym £. Для этого
прежде всего заметим следующее.
Пусть X G D(M) — векторное поле на многообразии М. То-
гда, поскольку идеал 1(£) уравнения £ дифференциально замкнут,
т. е. имеет место вложение X(!(£)) С 1(£), дифференцирование X:
^(тг)-» ^(тг) определяет некоторое дифференцирование Х^ филь-
трованной алгебры Jr(£) = J:(‘ir)/I(£), т. е. векторное поле на £°°.
Иначе говоря, любое поле вида Х,Х G D(M), допускает ограни-
чение на £°°. Сказанное, очевидно, справедливо и для всех опе-
15 Симметрии...
226
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
раторов, порожденных такими полями, т. е. операторов вида Д =
В частности,
как видно из геометрического определения полей X, это справед-
ливо для полей из С-О(тг). Иначе говоря, имеет место гомоморфизм
алгебр Ли
CD(ir)CD(£°°). (3.9)
Далее нам понадобится следующая лемма.
Лемма 3.2. Пусть уравнение £cJk(ir) таково, что
£°° сюръективно проектируется на некоторое многообразие
7г°(тг), lQ < к. Тогда для любого I и любого дифференциро-
вания X: ^j_fc(7r)—найдется такое дифференцирование
Х'\ что диаграмма
W Д’г)
коммутативна.
Доказательство. Условия
I 10 отображение
Представим (локально) дифференцирование X в
п г\ 7П Г\
леммы означают, что при
— изоморфизм, т. е. ^(тг) = Д£).
' ' ” виде X =
д _ ЗА,
~ / / . / . ° этом представлении <р; — функ-
др’
ции на некотором конечном продолжении £^ уравнения £, и их
можно продолжить до гладких функций на объемлющем многообра-
зии 7* + Г(7г). |-|
Напомним, что выше мы свели рассмотрение произвольных
уравнений £ С Jk(ir) к таким, для которых £°° сюръективно проек-
тируется на 7°(тг). В этой ситуации из доказанной леммы следует,
что отображение (3.9) эпиморфно, т. е. всякое поле X е CD(£°°)
является ограничением на £°° некоторого поля X' tCD(Tr). Исполь-
зуя утверждение 2.2, мы видим, что тогда X представляется в виде
х = Е ViX{, где <р{ е ?(£), а X, е D(M).
Пусть теперь X е Dc(£°°). Ограничивая X на ^(f00) = М,
мы получим дифференцирование Хм: С°°(М) —> .F(£), которое
в силу эпиморфности (3.9) продолжается до дифференцирования
Х'м: С°°(М)!Г(тг). Рассматривая его поднятие Х'м'. ^(тг)
—>^(тг), Х'м eCD(n), и ограничивая последнее на £°°, мы получим
дифференцирование СХ, лежащее в CD(£°°).
§ 3. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
227
Упражнение 3.5. Покажите, что СХ однозначно опреде-
ляется полем X е Dc(£°°), т. е. не зависит от способа расширения
дифференцирования Хм ЛР Х*м.
Обозначим через Dvc(£x) с Dc(£°°) множество вертикальных
автоморфизмов распределения Картана на £°°, т. е. таких элементов
X е Dc(£'x>), что А-)соо =0. Из построения поля СХ следует, что
соответствие v: X wXv =Х - Xv определяет отображение
v. DC(£~)^D”C(£°°). (3.10)
Лемма 3.3. Отображение (3.10) — проектор, т. е. Xv =
= Х для всех XeDc(£°°).
Доказательство. Действительно, если X — вертикаль-
ное поле, дифференцирование Хм = X |c<x>(Af) тривиально. Поэтому
из определения поля СХ следует, что оно также тривиально. □
Из доказанной леммы вытекает, что имеет место прямое разло-
жение
Рс(£~) = ^°°)®кег(и).
Очевидно также, что ker(v) = C£>(£°°). Поэтому справедливо следу-
ющее утверждение.
Утверждение 3.4. Если проекция многообразия £°°
на М сюръективна, то алгебра Ли Dc(£°°) раскладывается
в полупрямое произведение подалгебры D^(£°°) вертикальных
полей и идеала CD(£°°):
Dc(£x) = Dvc(Ex)QCD(Ex). (3.11)
Следствие 3.5. Разложение (3.11) индуцирует изо-
морфизм алгебр Ли
sym£~Z>”(£°°).
3.4. Внешние и внутренние высшие симметрии. Вернемся
теперь к алгебре symC(7r) = Dc(n)/CD(ir) симметрий распределе-
ния Картана на У°°(тг) и заметим следующее. Поскольку элементы
класса смежности % G symC(7r) отличаются друг от друга на диф-
ференцирования из СР(тг), то либо ни один из них не касается
многообразия £°°, либо, наоборот, все они касаются этого многооб-
разия. В последнем случае элемент % порождает некоторую симме-
трию уравнения £ и называется внешней (высшей) симметрией
этого уравнения. Поэтому, как и в случае классических симметрий
(§ 7 гл. 3), встает проблема сравнения внешнего и внутреннего под-
хода к определению высших симметрий.
15*
228
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
Обозначим множество внешних симметрий через syme £. Оче-
видно, имеет место гомоморфизм алгебр Ли
syme £ —> sym £, (3.12)
определяемый операцией ограничения. Из результатов § 2 нам из-
вестно, что в каждом классе смежности у е зушС(тг) имеется кано-
нический представитель — вертикальное поле, являющееся эволю-
ционным дифференцированием. Поэтому для того, чтобы проверить,
является ли некоторый элемент у Е sym С(тг) внешней симметрией
уравнения £, достаточно убедиться, что соответствующий предста-
витель касается £°°. Основываясь на этих замечаниях, мы сейчас
покажем, что отображение (3.12) эпиморфно. Для этого понадобит-
ся следующая лемма.
Лемма 3.6. Высшие симметрии коммутируют со все-
ми полями вида Y, Y Е D(M). Точнее, для любого элемента
X eDq{£°°) справедливо равенство [X, У] = 0.
Доказательство. Поскольку поле Y (точнее, его ограни-
чение на £°°) лежит в множестве CD(£°°), которое является идеа-
лом алгебры Ли Dc(£°°), коммутатор [X, У] также лежит в CD(£°°).
Пусть теперь f Е С°°(М) — функция на многообразии М. Тогда
У(/) = У(/) также принадлежит Поэтому в силу верти-
кальности поля X имеют место равенства Х(/) = 0 и Х(У(/)) = 0.
Это означает, что [X, У](/) = X(Y(f)) — Y(X(f)) = 0, т. е. поле
[X, У] вертикально. Отсюда, используя разложение (3.11), можно
сделать вывод, что [X, У] = 0. □
Рассмотрим симметрию X е D^(£°°) уравнения £ и ограничим
ее на многообразие тг^ 0(£°°) = J°(tt). В силу леммы 3.2 получен-
ное дифференцирование Хо: ^0(тг) -»Т{£) может быть продолжено
до дифференцирования Х'ц. ^0(тг) —> ^(тг). Далее, из результатов,
полученных в предыдущем параграфе, следует, что существует и
единственным образом определен такой вертикальный автоморфизм
X' eD^,(k) распределения Картана на J°°(7r), что X'I^^^Xq. При
этом Х'1^. (jr) = Х|^. (jr), т. е. Х'(<р) = Х(у>) для любой функции <р Е
е-^оС71’)-
Пусть Yl,...,Yl — произвольные поля на М и Y* = Yr о.. ,oYt —
композиция их поднятий на Тогда в силу леммы 3.6 имеет
место равенство
i
[x,yj=£y;o...o[x, Эдо...оу^=о,
«=i
§ 3. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
229
откуда следует, что
= £(*(?)) = = X’fyp»- (3-13)
Итак, мы показали, что Х\ф) = Х(ф) для любой функции V’ ви-
да V1 — К.(У’), <Р €F0(7t). Выберем локально в качестве <р коорди-
натные функции Pq = uj, а в качестве У* — композицию полных
производных Da. Поскольку Da(u?) = р]а, из (3.13) следует, что
Х'(р1) = ^(Pa|foo) для всех а и j = 1,.. .,т. Так как любая глад-
кая функция на J°°(7r) локально является функцией аргументов
xt,..zn,pJ, отсюда вытекает равенство X'= X(^|f00) для всех
•ф 6 F(tt). Иными словами, доказана следующая терема.
Теорема 3.7. Если уравнение £ С 7*(тг) таково, что
’’’со 0^°°) ~ •^°(7Г), то отображение (3.12) эпиморфно, т. е.
всякая внутренняя высшая симметрия уравнения £ может
быть представлена в виде ограничения на £°° некоторой его
внешней симметрии. Точнее, для любого поля X 6 D^(£°°)
найдется такое поле X' Е что _Х’/|£.ОО =Х.
Напомним, что в классической теории аналогичное утвержде-
ние, вообще говоря, несправедливо (см. § 7 гл. 3).
3.5. Определяющие уравнения для высших симметрий.
Теперь, используя теорему 3.7, мы дадим аналитическое описа-
ние алгебры symf, необходимое для конкретных вычислительных
применений. Пусть £ с Jk(n) — произвольное уравнение поряд-
ка к, бесконечное продолжение которого сюръективно проектиру-
ется на «7°(тг). В силу полученных выше результатов любая выс-
шая симметрия уравнения £ может быть получена путем ограни-
чения на £00 некоторого эволюционного дифференцирования е
е (тг), <р е я). В свою очередь все эволюционные дифферен-
цирования, допускающие ограничение на £°°, определяются услови-
ем
Э^1(£))С1(£), (3.14)
где I(£) с — идеал уравнения £. Пусть уравнение £ задается
соотношениями Fa =0, Fa eFk(ir), а = 1,..., г, причем в каждой
точке в е £ дифференциалы <LeFa линейно независимы. Это означа-
ет, что множество {Fp...,Fr} является системой дифференциаль-
ных образующих идеала 1(f):
l(£) = L е Iф = £ Фа,МРа), К е Дтг)|.
' а, о '
230
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
Поэтому условия (3.14) равносильны тому, что для любых функций
Vv 6 Л7Г) найдутся такие функции ip'r е ^(тг), что
^fe*..A<F.)) = E<A<F«>- <315>
'а,<7 ' а,а
Но —дифференцирование, коммутирующее с операторами пол-
ных производных, и поэтому
э, fe = Е ШЛИ+Е
' а,<7 а,<7
Значит, условие (3.15) достаточно проверить только на образующих
идеала 1(£), т. е. равенство (3.14) равносильно системе уравнений
а, <т
. э,(^)=Е<ЛДГ.). (31в)
а, <т
а, (г
относительно неизвестного сечения <р G ^(тг, тг), где
€,^^(4 а,/3 = 1,...,г, |ст| O + deg(y>).
Применяя определение оператора универсальной линеариза-
ции, которое было дано в § 2, перепишем систему (3.16) в виде
= = (3-17)
а, (7
Среди решений системы (3.17) имеются тривиальные, соответст-
вующие ядру эпиморфизма (3.12) и характеризующиеся тем, что
ограничение дифференцирования на 8°° для этих решений дает
нулевое векторное поле на 8°°.
Упражнение 3.6. Покажите, что множество тривиальных
решений системы (3.17) совпадает с идеалом 1(8) уравнения £.
Чтобы исключить из рассмотрения тривиальные решения,
вспомним, что в силу представления (2.23) оператор универсальной
линеаризации выражается через операторы полных производных и,
следовательно, допускает ограничение на многообразия вида 8°°.
Положим и ограничим уравнение (3.17) на 8°°. Тогда,
§ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
231
поскольку в правой части стоят элементы идеала 1(£), мы придем
к системе уравнений
4а(^) = 0, $ = Ч>\£^
решения которой находятся во взаимно однозначном соответствии
с высшими симметриями уравнения £. Более того, при этом соот-
ветствии коммутатор двух симметрий переходит в элемент
{<£, Я}£ = (V>) = {ф, V’Jlgoo, = V’lgoo.
Сводя воедино полученные результаты, мы видим, что имеет место
следующая теорема.
Теорема 3.8. Если £ С Jk(ir) — такое уравнение, что
= J°(7r), и Flf...,Fr —образующие идеала 1(£), то
алгебра Ли sym£ изоморфна алгебре Ли решений системы
уравнений
££J>p) = Q, а = 1,...,г, ipeF(£,K), (3.18)
в которой структура алгебры задана скобкой {•, *}£.
Легко видеть, что если Д: Г(тг) —► Г(тг') — оператор, определяю-
щий уравнение £ и выбранный таким образом, что соответствующее
ему сечение F = у>д е F(ir, тг') трансверсально к базе расслоения
7г*(тг') (точнее, образы нулевого сечения и сечения F трансверсаль-
ны в точках их пересечений), то систему (3.18) можно переписать
в виде
££F(<p) = 0, <p&F(£,k), FeF(ir,4 (3.19)
Уравнения (3.18) и (3.19) называются определяющими для нахож-
дения высших симметрий.
§ 4. Примеры вычислений
В этом параграфе мы демонстрируем технику вычисления выс-
ших симметрий на примере некоторых уравнений математической
физики. Другие иллюстрации можно найти, например, в сборни-
ке [141]. Теоретической базой приводимых ниже расчетов служит
теорема 3.8, причем обе части ее утверждения оказываются суще-
ственными в технике вычислений: представление симметрий (точ-
нее, их производящих функций) в виде решений линейной системы
(3.18) позволяет получить «верхнюю и нижнюю оценки» для алгеб-
ры Ли sym£, а замкнутость относительно высшей скобки Якоби
232
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
{•, *}г дает возможность уточнить полученные оценки и в некото-
рых случаях прийти к точному описанию алгебры симметрий. Мы
опираемся также на факт совпадения внешних и внутренних симме-
трий, используя в вычислениях внутренние, координаты на мно-
гообразии £°°.
Упражнение 4.1. Для получения «верхней оценки» ал-
гебры sym£ полезно также использовать коммутаторное тож-
дество
[^-^,^] = Ро4, (4.1)
где р — симметрия, и I — ограничения соответствующих опе-
раторов на £°°, а 2? — оператор вида 2> = J2a0.P(r. Докажите это
тождество. °
Начнем со спецификации общих конструкций применительно к
скалярным эволюционным уравнениям второго порядка.
4.1. Подготовительные замечания. Рассмотрим уравнение
вида
ut = $(x,t,u,ux,uxx). (4.2)
Бесконечное продолжение £°° этого уравнения является подмного-
образием в пространстве J°°(7r) бесконечных джетов тривиального
одномерного расслоения над плоскостью М = R2 независимых пере-
менных х — х{ и t = ж2, а координатой в слое расслоения я служит
зависимая переменная (неизвестная функция) и. В J°°(7r) возника-
ют стандартные координаты а, /3 0, однозначно определяе-
мые равенствами
да+03
Л“,0)1ло(«)— Qxadt^ ’ (4.3)
где s = s(x,t) — произвольное сечение расслоения я, т. е. гладкая
функция на R2. Из (4.3), в силу определения полной производной,
следует, что p{a fj) = D“D$(u), где
„ "д' д д д
D‘-^=ъ+•''+р^>а^+''
_ д д д д
+-+•• •
Поэтому в силу (4.2) на £°° имеют место равенства
Р(а,Д+1)=^^(Ф)>
§ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
233
и в качестве внутренних координат на £°° можно выбрать функ-
ции х, t и P(a,o)|f” В этих координатах ограничения полных
производных на £°° имеют вид
n def п | д v-ч Э
a>0 Иа
а система (3.18), определяющая высшие симметрии уравнения £,
сведется к уравнению
04<Р=Фо¥’+Ф1-0^+Ф2-0®¥’> (4-5)
где tp = tp(x, t,p0,.. ,,рк) — ограничение производящей функции
def
искомой симметрии на £°°, а Ф. = -—. Максимальное число к, для
dtp dPi
которого <рк = /О, назовем порядком симметрии и обозначим
deg 9р. дРк
Далее нам требуется:
а) определить, для каких Ф (в пределах некоторого класса) (4.5)
имеет решения сколь угодно высокого порядка;
б) по возможности описать все такие решения. Оказывается,
что для получения ответов на эти вопросы технически более удоб-
но перейти от уравнения (4.5) к вытекающей из него системе урав-
u , „ def dtp
нении относительно функции <z>. = где tp — решение системы
dPi
(4.5). С этой целью введем операторы
т^-оР“, если а, /в^О,
Рр
, 0 в противном случае,
действующие в кольце функций на £°°.
Лемма 4.1. Для любой функции tp = tp(x,t,p0,.. .,рк) и
любых целых а,/3 имеет место равенство
< др.
к , \
(4.6)
где по определению
отрицательно.
если хотя бы одно из чисел а, Ь
234
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
Доказательство. Проведем индукцию по а. При а=0
утверждение очевидно. Пусть а > 0 и при а — 1 тождество (4.6)
доказано. Заметим, что из (4.4) и (2.17) следует, что
Rap=Rap~A+DxORap~x.
Поэтому
я^)=^:11(^)+РЛГ1^) =
= Vf “ ” 1 >\Da~p+i(<p.) + D V( “-1 ^P“_^+l-1(<p.) =
v"-/3+V * W, xf^Q~?+ix ' J
= V f “ 1 " 1 ) Da~p+i((p.) =
^[Да-/3+г7 Va-/3 + i-i;j x
= V ( ° (<₽•)• □
^-'\a—/3+i) x
a = 0 ' '
Замечание 4.1. Из равенства (4.6) следует «асимпто-
тическое разложение» величин Dx<p по старшим перемен-
ным , полезное при конкретных вычислениях. Именно, поскольку
deg 25“^.а — /3 + г +к, порядок правой части (4.6) не пре-
восходит а - /3 + 2к. Поэтому при четных а справедлива оценка
к
2r + t
2r '\D2r~p+i<p.+
„.о*. ,.о '
i = 0 ' 7
а при нечетных —
2r+t+l к z п । 1 \
D^'v= £ «’«ЁВ, й1+1)Г.!’^+<+'»’.+О(г+«:-1),
р 1 \1г—р-Н + 1 /
Д—J_l. .’—П \ Л" 1 1 /
где О (г) — функция на Е°°, не зависящая от р0 при /3 >i.
Продолжим рассмотрение уравнения £F(<p) = 0 и применим к
Q
этому уравнению операторы -—, /3 > 2. В силу (4.4) имеем
Ау’/з + 12 Ra^ =фо(Рр +ф1л^ +^Rp<P-
а О
§ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
235
Используя результаты доказанной леммы и учитывая принятое вы-
ше соглашение о значениях биномиальных коэффициентов, это со-
отношение можно привести к виду
k г/ • \ / • \
М^) + Е L \)^(ф.) + (i _ * J )D^ '(Ф,)+
i \Di-P+\
i-/3 + 2j х
(ф2) +(/3- 1)^(Ф2)^_1 = 2<f>2Dx^_{).
Итак, мы можем сформулировать следующее утверждение.
Утверждение 4.2. Если функция <р— <p(x,t,p0,.. .,рк),
к 3, является решением уравнения £F(<p) = Dt(ip) — Ф0<р —
— Ф1Рх(у>) — Ф21)2(у>) = 0, т. е. высшей симметрией уравнения
ut =$(x,t,u, их, ихх) порядка к, то функция /3 = 2,...
&Р/з
.. .,к, удовлетворяет следующей системе уравнений:
kDx($2ypk=2$2Dx(<pk),
фо+^-°а!(ф1)+
+(к-1)В1(Ф2)^_1=2Ф2В,(^_1),
+ С-,3+2)О"Л+!(Ф1)]
—2ф2.Ра.(у>0_1),
Система (4.7) имеет диагональный вид, и, по сравнению с ис-
ходным уравнением tF(<p) — O, ее исследовать удобнее. Рассмотрим
подробно такое исследование на примере одного класса эволюцион-
ных уравнений.
236
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
4.2. Уравнения Бюргерса и теплопроводности. Опишем
уравнения вида
Ut= uxx+f(u’ux)’
(4-8)
имеющие симметрии сколь угодно высокого порядка, и вычислим
соответствующие алгебры симметрий.
В случае уравнения (4.8) система (4.7) преобразуется к виду
2-Dx(^-l)=^(^)+ /о+ , Ч(/1)
Из вида системы (4.9) ясно, что может препятствовать наличию у
уравнения (4.8) высших симметрий: предположим, что нам удалось
решить первые i уравнений системы (4.9); тогда условием разре-
шимости (г 4- 1)-го уравнения является принадлежность его правой
части (которая выражается через ранее полученные решения) обра-
зу оператора Dx, что, в конечном счете, определяется видом функ-
ции f. Продемонстрируем, как работает этот механизм, сделав для
упрощения выкладок замену <ра = 2a~ki/>a.
Из первого уравнения системы (4.9) следует, что
= ak(t).
(4.Ю)
Подставляя чрк во второе уравнение, получаем
^k = ilk + kDx(f^k,
da,
где ак = —*. Отсюда следует, что
UI
^k-l =itkx + kflak + ak-l(t)-
(4.Н)
§ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
237
Подставив выражения (4.10) и (4.11) в третье уравнение системы
(4.9) и произведя необходимые преобразования, получим
= акх + (к - 1)аА [/1 + xDx(fl)] +
+4 [2Dx(f0) + (k-2)flDx(f1) + (k-2)Dix(fl) + Dt(fl)] +
+DX ^*®2+(A:-l)aAa:/1+fca^2/0+l(fc-2)/12+(fc-2)PI(/1)) +
+ (*-!)«*_ i/i + *а*Д(/1)-
Таким образом, если deg(y>) = fc, то для разрешимости третьего урав-
нения необходимо и достаточно выполнения условия
(4-12)
(заметим, что это означает, что Д является законом сохранения
уравнения (4.8), см. гл. 5).
Рассмотрим, при каких / условие (4.12) выполнено. Имеем*)
Д (Л) = (?2 + /)/о1 + (Рз + Д (/))Л1 =
= (Р2 + /)(/01 - Д (А1» + °Л<Р2 + /)/11 )•
Иными словами, £>t(/j) G в том и только том случае, если
(Р2 + /Х/01 _ Д(Л1))е1тД- (4.13)
Из (4.4) очевидно, что любой элемент, принадлежащий образу опе-
ратора Dx, линеен относительно старшей входящей в него перемен-
ной ра; с другой стороны, выражение (4.13) имеет вид/н^2+0(1).
Таким образом, для выполнения условий (4.12) необходимо равен-
ство нулю третьей производной /ш. Итак,
f=Ap2l+BPl+C, (4.14)
где А, В, С — функции р0. Подставляя полученное выражение в
(4.13) и производя аналогичные вычисления, можно убедиться, что
условие (4.12) выполнено тогда и только тогда, когда функции А, В
и С в (4.14) удовлетворяют уравнениям
АВ0 = Вт, С Во = const. (4.15)
*) Ниже через обозначена частная производная
имеют символы
-—7—. Аналогичный смысл
др{др]
238
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
Заметим теперь, что любое уравнение
ut = ихх + + В(и)их + С(и)
заменой переменных и (->Ф(и), где функция Ф, Фа/0, удовлетворяет
дифференциальному уравнению
Фаа + А(Ф)Ф* = О,
может быть приведено к виду
ut=uxx + B(u)ux + C(u).
Следовательно, без ограничения общности в (4.15) можно положить
А=0 и считать, что В = /31и-|-/30, /30, =const и = const. Теперь
имеются две возможности: /3j /0 и /3{ =0. В первом случае исходное
уравнение приводится к виду
ut = ихх +(/?!«+ А)К + 7 > 7 = const, /3t / О,
во втором — к виду
Ч=ихх+0оих + С(и).
Первое из этих уравнений заменой
Х'~>Х 2 ,
(4.16)
M+7t-/30
приводится к виду
(4.17)
ut = ti + ии ,
t XX X3
т. е. эквивалентно уравнению Бюргерса.
Если теперь вернуться к системе (4.9), то можно убедиться в
том (мы опускаем соответствующие выкладки, которые просты и
теперь уже мало поучительны), что для (4.17) четвертое уравнение
этой системы разрешимо, а в случае (4.16) для разрешимости необ-
ходима линейность функции С (и). Иначе говоря, уравнение (4.16)
должно иметь вид
Щ^ихх+13оих+Ъи+'Уо-
Последнее уравнение заменой
и w и ехр
71 4 Г 2Х
'О’
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
239
где и0 — произвольное решение соответствующего однородного ура-
внения, приводится к виду
uf = и„.
t XX
Таким образом, доказан следующий результат.
Утверждение 4.3. Всякое уравнение
ut =uzx +f(u,ux),
имеющее симметрии сколь угодно высокого порядка, эквива-
лентно либо уравнению Бюргерса
и, — и + ии.
либо уравнению теплопроводности
и. — и.
t XX
Наша следующая цель — показать, что эти уравнения дейст-
вительно обладают бесконечными алгебрами высших симметрий, и
описать эти алгебры. При этом мы следуем работе [21]. Нам пона-
добятся некоторые сведения об алгебраической структуре искомого
множества симметрий.
Из равенств (4.10) и (4.11) следует, что любая симметрия по-
рядка к, если она существует, имеет вид
/1 к \
¥>Да] = ар* + ^ax + -^fla + a'\pk_l + O(k-2), (4.18)
где а, о! — функции t, и, как легко видеть, однозначно, с точностью
до симметрии более низкого порядка, определяется функцией а
(здесь fl=p0 в случае уравнения Бюргерса и /] = 0 для уравне-
ния теплопроводности). Пусть у>г[Ь] — также функция вида (4.18).
Вычислим скобку Якоби функций <^Да] и у>ДЬ]. Для любых функций
ip е !F(E), deg(y>) = к, deg(V>) = I, имеем (см. (2.24))
i к
{*>, =52 - 52 ^(Wr
t = 0 j = о
Среди слагаемых, входящих в правую часть этого равенства, мак-
симальный (равный к +1) порядок имеют слагаемые ^(у>)^
и —Dx(i/>)<pk. Но в силу замечания к доказанной выше лемме
= &kPk + i + +1 ~ Wp
5‘(Ж = (^А+1 + °(нг-1))¥>г
240
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
Поэтому deg{y>, i/>}e = к +1 — 1. В частности, для функций у>Да] и
у>г[Ь] с точностью до порядка к +1 - 3 справедливы равенства
-Dk
X
{¥>*[«], = {«Pi, bPi}£ + |apA, Qbx + ^b + b'^p^ J
f /1 k \ "]
+ | (ja® + 2^a + a)Pk-1,bpiJ£ + °(k+l~3) =
= Dlx(apk)b - Dk(bPl)a + Dl~\apk)(Ux + Ub + H -
( 2aa:+2^a + a )p*-i
^x + ~flb + b'^pl_l
-Dkx-\bPl)(^ +
a + Dlx
Ь-
= g (lab - kba)pk+{_ 2 + О (к +1 - 3).
Таким образом, в силу замкнутости алгебры высших симметрий от-
носительно скобки Якоби, из того, что функции у>Да] и явля-
ются симметриями, следует, что функция ^+(_2[с]> где
с = ± (lab — kba), (4.19)
также является симметрией уравнения £.
Напомним, что в предыдущей главе мы вычислили классиче-
ские симметрии уравнения Бюргерса; они имеют вид:
< Р? = Р1,
< Pi1=<Pi + l,
< Р° =Рг+РоР1>
< Р2 = *Р2 + (*Ро + 2х)р1 + 2Ро’
у>2 = t2p2 + (t2pQ + tx)Pl + tp0 + X.
Аналогичные вычисления показывают, что для уравнения теплопро-
водности классические симметрии таковы:
«Р-оо = У’-оДя, <)> гДе У’-» — произвольное решение
уравнения теплопроводности,
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
241
<Ро=Ро’
<P?=PI,
¥>l=tPi + |®Po>
о
^2 — ₽2’
<Р2 =tP2+2XPl’
<Рг = f2P2 + txPl + ( I®2 + У)ро-
Пусть 9?fc[a], k > 2, — симметрия; тогда — также
симметрия, которая, в силу проделанных выше вычислений, имеет
вид
{¥»*[<*]> Ч^е = 2йр*-1 + °<к ~ 2>‘
Применив к—2 раза оператор {•, ^}е к функции у>Да], мы получим
классическую симметрию вида
.к-2„
2-‘+г^?й+О(1).
at
Но у классических симметрий рассматриваемых уравнений коэф-
фициент при р2 является полиномом по t степени не выше, чем 2.
Поэтому а также является полиномом по t, степень которого не
превосходит к.
Покажем, что всякий такой полином определяет некоторую
симметрию. С этой целью заметим, что рассматриваемые уравнения
обладают симметрией вида y>3[t ]. А именно, прямыми вычислениями
можно установить, что уравнение Бюргерса имеет симметрию
<Рз = *Рз + \(х + 3*А))Р2 + 1tPi + (|® + РоР1 + \р&
а уравнение теплопроводности — симметрию
¥»з =*Рз + ^®Р2-
В силу равенства (4.19) симметрия следующим образом дейст-
вует на функции <рДа]:
{¥»*[<*]» У’зЬ = |(3й* - ка)Рк+1 +О(к).
16 Симметрии...
242
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
В частности, применяя к функции = рх оператор {•, у>$}е к раз,
мы получим симметрию вида
(-2)kk\Pk + i+O(k),
что доказывает существование симметрий
^[1] = ^=% + O(fc- 1), fc = l,2,...
Наконец, рассмотрим симметрию которая следующим образом
действует на функции у’Да]:
{¥>*[<»]» РгУе = t(ta- ка)рк + О (к - 1).
Следовательно, применение i раз оператора {•, <р%}£ к симме-
трии <рк, i к, даст, с точностью до постоянного множителя, сим-
метрию вида
rf]=4=6>*+o(fc-i).
Все сказанное в равной степени относится как к уравнению
Бюргерса, так и к уравнению теплопроводности. Сделаем ряд за-
мечаний, специфичных для последнего уравнения. Во-первых, отме-
тим, что любая симметрия уравнения теплопроводности линейна по
всем входящим в нее переменным р0,р{,.. .,рк, т. е. имеет вид
к
<р = А(х, t) + * )Р<,
дА д2А Q * ° к
причем — = —у. Это легко следует либо из непосредственного
дх‘
анализа уравнения tF = 0, либо из рассмотрения системы (4.7).
Следовательно, А(х, t) — тоже симметрия, и величины <р£ можно
считать линейными однородными функциями координат р0,.. .,рк.
Поэтому
{Ро. vlh== (г А -1)ri=О,
'а > 0 Уа '
а величина
{<Pk> У’-ооЪ = Э^-оо) - = -^(ЧР-оо) =
к
Е
а = 0
др
а=0 Уа
9^9а<р_х
дра дха
зависит только от х и t и, следовательно, является решением урав-
нения теплопроводности. Заметим также, что
{Ро><Р-оо}£ = <Р-0о>
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
243
Итогом всех проведенных здесь рассуждений является следую-
щая теорема.
Теорема 4.4. 1. Любое уравнение видаut =uxx+f(u,их),
имеющее симметрии сколь угодно высокого порядка, эквива-
лентно либо уравнению Бюргерса ut =ихх + иих, либо уравне-
нию теплопроводности ut = ихх.
2. При каждом к > 0 эти уравнения имеют ровно по к + 1
симметрии порядка к вида
+ 9, г = к.
3. Симметрии <р'к образуют ^.-алгебру Ли А+(£), причем
fak’ Pl^e = 2^г ~ кЗ)Рк + 1 -2 + *^< к +1 - 2’
где <S<t+I_2 — симметрии порядка < к + 1 — 2. Алгебра А+(£)
имеет три образующие и где — plt а
<р2 = t2p2 + (*2Ро + М + Pi + <Ро + Ж’
Рз = 1Рз + |(ж + 30>о)?2 + РоР1 + |ро
для уравнения Бюргерса и
pi=*2р2+txPi+Q®2+1
¥>з=*% + ^
для уравнения теплопроводности.
4. В случае уравнения Бюргерса алгебра высших симме-
трий sym£ совпадает с алгеброй А+(£). Для уравнения теп-
лопроводности алгебра symf является полупрямым произ-
ведением А+(£) и идеала Aq(£), состоящего из функций ви-
да ар0 + «Р-ооС®, t), где а = const и — произвольное решение
уравнения теплопроводности. При этом функции <рк линей-
ны по всем входящим в них переменным ра, а =0,1,..., к,
{'Рк’НРо + 'Р-хУе zl др дха
а = 1
U
{а'р0 + е-оо, а"Ро + V’-oole «'VLoo - “V-oo-
16*
244
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
Замечание 4.2. Каждая из построенных выше симме-
трий определена с точностью до симметрий более низкого поряд-
ка; соответствующая неопределенность возникает и в коммутацион-
ных соотношениях между <рк (см. п. 3 предыдущей теоремы). Для
уравнения Бюргерса степень этой неопределенности может быть
значительно уменьшена с помощью следующего приема.
Припишем переменным х, t и и веса следующим образом:
grx=l, grt = 2, gru = —1.
Относительно этой системы весов уравнение Бюргерса становится
однородным. Положим также grpt = — к — 1, а для любого монома
вида М = ха^р^°р]1. ..Pkk определим его вес как сумму весов вхо-
дящих в него сомножителей:
k
gr М = а + 2/3 - 7»(i + 1 )•
»=о
Рассмотрим в кольце F(£) функций на бесконечно продолженном
уравнении Бюргерса подкольцо Р(£), состоящее из функций, по-
линомиальных по всем переменным. Тогда, как легко видеть, Р{£)
замкнуто относительно операторов lEF и {•, , причем их ограниче-
ния на Р{£} являются однородными относительно введенных нами
весов. При этом если — однородные полиномы, то
gr^(y>) = gr^-2, gr{p,^}£ = grp + gr^ + l.
Следовательно, если <р е Р(£) является решением уравнения
£^(<р) = 0, то и любая однородная компонента полинома также
является решением этого уравнения.
Далее, симметрии ip®, р% и р$ полиномиальны и являются об-
разующими алгебры Ли sym £; следовательно, sym £ с Р(£). Таким
образом, из сказанного вытекает, что функции р'к можно считать
однородными, причем gr^ = 2i - к - 1. Отсюда видно, что усло-
вие однородности однозначно определяет классические симметрии
уравнения Бюргерса, а также симметрии вида рк и рк.
Пусть рк, <р(0 — две однородные симметрии. Тогда, поскольку
порядок симметрии {<р°, р^}£ меньше к +1 — 2, ее вес, не больше
к +1 - 3 и не меньше 1 — к — I (если она отлична от нуля). Но, с
другой стороны,
grfrfc> = gr Р° + gr = -1 - к -I.
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
245
Полученное противоречие показывает, что {99°, = 0, т. е. сим-
метрии вида 99°, к = 1,2,..попарно коммутируют.
Рассмотрим подробнее действие операторов {99°, »}£ и {99°) *}£.
Имеем
+ Dx- Qx
а>0
{‘/’г > *)г = — =
а>0
Da(p2 + Р0Р1)^~ -Pi- PoDx -£>*=%--fi-
Поскольку действие {99°, рассматривается на симметриях урав-
нения Бюргерса, т. е. на решениях уравнения £р (</?) = О, в итоге
имеем
г о х — ®
9t-
Следовательно, симметрии вида 9? ° не зависят от ж и t. Далее, для
однородных компонент, очевидно, имеют место равенства
{‘Pif<Pk}£ = ~2^k-i> {‘P2>(Pk}e = -,Pk-
Поэтому симметрии 99* линейны по х и t. Таким же образом эле-
ментарной индукцией доказывается, что 99'к является полиномом г-й
степени по t их.
Замечание 4.3. Вернемся к уравнению теплопроводности
и укажем для него простой способ построения высших симметрий.
В этом случае оператор £F имеет вид Dt — Dx и, следовательно,
коммутирует с оператором Dx. Поэтому если 99 — симметрия, то
= Вх(£р‘Р) = О»
т. е. Dxip — тоже симметрия уравнения теплопроводности. Этот
факт является проявлением более общего результата.
Пусть 8 = {F = 0} — линейное уравнение и Д = — соответ-
ствующий линейный дифференциальный оператор. Тогда (см. фор-
мулу (2.33)) £р = Д. Пусть д — другой линейный оператор, для ко-
торого
Д од = д' о Д,
где д' — также линейный дифференциальный оператор. Положим
Т1 = д. Тогда
£ро7^ = До5 = До5=5'оД = 5'о£р
2* Г
246
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
и, таким образом, оператор И действует в алгебре sym £. Такие опе-
раторы называются операторами рекурсии и широко используют-
ся для построения высших симметрий [ПО]. В частности, использо-
вание оператора рекурсии будет продемонстрировано в следующем
примере. Однако, для нелинейных уравнений ситуация оказывается
более сложной, и мы вернемся к ее обсуждению в гл. 5.
4.3. Уравнения пластичности. Рассмотрим систему £ урав-
нений
Г ax = 2k(0xcos20 +0ysin20),
( try = 2k(0x sin 20 — 0y cos 20),
описывающую плоское напряженное состояние пластичной среды
Мизеса, где а — гидростатическое давление, 0 — угол между осью
абсцисс и главным направлением тензора напряжений, к 0 —
постоянная пластичности. При описании симметрий этого уравне-
ния*) мы следуем работе [134].
Заменой
= fc(f + 77),
«=|(ч-е)>
x=ucos -(7} - О - V sin -(7} - О,
2 2 (4.21)
у = usin -(j?-£) + v cos ~{т] - О,
где и, v — новые зависимые, а £, т] — новые независимые перемен-
ные, система (4.20) приводится к системе
u, + |v = 0,
< [ (4.22)
. ^+2“ = °’
которую мы также обозначим через £, и оператор универсальной
линеаризации для которой имеет вид
D( 1/2 \
1/2 Dj-
Выберем на £°° внутренние координаты £, р, ик, vk таким образом,
„ дки „ дки
что ик соответствует производной —к a vk — производной —к.
дт} д£
*) В последующем мы не останавливаемся подробно на технических деталях
вычислений и акцентируем внимание на структуре доказательств и наиболее инте-
ресных специфических моментах. Восстановление опущенных деталей — полезное
упражнение в практическом вычислении симметрий.
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
247
Тогда ограничения полных производных на £°° запишутся в этих
координатах в виде
« = 2v°a^ + 4^u*-1a^ + ^v*+1a^’
4 ° fc>l * *>0 к
_ д 1 d ' д 1 д
” = “ 2и°д^ + ^nUk + 1dirk + 4 Vk~ld^k
' ° t>o « *>i *
и если Ф = — симметрия порядка к, то определяющие ее урав-
нения будут иметь вид
dtp 1 dtp dtp /1 dtp dtp\ \
~dl~2Vod^+V1 d^+^ d^+Va+1 dv~a)+2
“T1 (4.23)
dip dip 1 dip ( д'Ф 1 \ 1 л
d^+Ul&^~2u°d^+^l v“+1a^+4v“-1a^;+2v’-0‘
Решая систему (4.23) при к 1, мы получим классические сим-
метрии уравнения (4.22), любая из которых является линейной ком-
бинацией следующих симметрий:
о _ (~vo/2\
9l~\ Ч J
77U1 + и0/3 + £v0/2 \
~ «о/2 “ ’/“о/2/ ’
а также симметрии вида Н = I I, где и = /, v = g — произвольное
решение уравнения (4.22). '9'
Исследование (4.23) «при больших fc» дает следующее «асим-
птотическое разложение» ее решений, если таковые существуют:
f Аик~2Вvk-i+auk-\ + 2(B>^^-2+^-4^ )Ч-2+О(к~3^
k Bvk-^A4-i+bvk-i+^(A'-a)4-2+h-^BJvk-2+O(k-3) у
где А, а, а — функции у, В,Ъ,@ — функции а «штрих» обозначает
производную по £ или г]. Обозначим это решение через Фк(А,В).
248
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
(4.24)
Следуя замечанию 4.3, построим для уравнения (4.22) операто-
ры рекурсии первого порядка. Как нетрудно убедиться, такие опе-
раторы существуют и имеют вид
+сп +с12
\ “21^4 + С21 а‘2зР^ 4" ^22^\ + с22 / '
где ап,сп, &22,с22 — произвольные функции £ и г/,
а21=2с11+а1, Ь12 = 2с22 + а2, , а2 = const,
°22 ~ — а2)£ 4- ^11 = 2^а2 ~ 4" /?2> /^1 > /^2 = const>
с12 = 2^ОП ~ “22)» С21 = 2^22 — &11)-
В частности, среди операторов вида (4.24) имеется оператор
тг-Ре Н
применение которого к функциям вида Фа(А, В) дает следующее
уравнение:
И1Фк(А,В) = Фк + 1(0,В) + Фк(0,В') + ^Фк_х(А,0) + 0(Ь~2).
С другой стороны, если на функцию Фк(А, В) подействовать симме-
триеи fi, мы получим
{Ф4(ДВ),/’}е=Дф,(ДВ)=*,(Л',0)-1ф,.2(0,В')+0(к-3).
Поэтому
W, В), /?}е = |ф4_ t(A', -В') + О (fc - 2). (4.25)
Теперь индукцией по к (основанием индукции служит данное вы-
ше представление классических симметрий уравнения (4.22), а шаг
индукции состоит в использовании равенства (4.25)) легко показы-
вается, что всякая симметрия порядка к > 0, если она существует,
является линейной комбинацией следующих симметрий:
/;=*fcO7‘',o), р’=фдо,г), оо'О.
Для доказательства существования этих симметрий заметим, что
среди операторов рекурсии вида (4.24) есть оператор
/ -т?В€ + t]D7i + | |(£ - ту) \
= 1 1 ’
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
249
применение которого к раз к симметрии So дает, с точностью
до постоянного множителя, симметрию Sk. Далее, применение
к - i раз оператора {•, f°}£ к симметрии Sk приводит к симметрии
fk. Наконец, применив к — i раз оператор {•,к симметрии Sk,
мы докажем существование д*к.
Приведенные здесь сведения можно объединить в следующий
результат.
Теорема 4.5. Алгебра высших симметрий систе-
мы (4.22) является полупрямым произведением коммута-
тивного идеала sym0£, состоящего из симметрий Н =
где f,g — произвольное решение (4.22), и алгебры sym+ S, ко-
торая как векторное пространство порождена элементами
Sk,fk,g'k, 0i < fc, к = 0,1,..., а как алгебра Ли — элемента-
ми /j°, SQ, 5j,..., Sk,... При этом симметрия Sk имеет вид
Sk=T^(S0).
4.4. Преобразование симметрий при заменах перемен-
ных. Чтобы переформулировать полученные результаты в терминах
исходного уравнения (4.20), необходимо выяснить, как при заме-
нах переменных преобразуются производящие сечения симметрий
и операторы рекурсии. Для этого заметим следующее.
Пусть в j‘(ir) локально задана каноническая система коорди-
нат S = ит, р},..р™), где р/ = р?.. Рассмотрим в
той же окрестности другую каноническую систему координат S =
s= (£j,..., хп, и1,..., 2™, р},..., fff), согласованную с имеющейся в
j'(ir) контактной структурой *). Распределение Картана в Jl(ir) за-
дается системой картановских форм
= du1 - ^Pladxa, шт = dun - ^J?^dxa,
а а
которые мы будем представлять в виде столбца Q = (w1,..., о>т)‘.
С другой стороны, в системе S набор форм Q определяет, в си-
лу сказанного, то же самое распределение, и поэтому имеет место
равенство
П = (4.26)
где Л = ||Ад|| — невырожденная матрица перехода £ Л?;аА
Р
*) Это означает, что преобразование замены координат х = х(х,и), й =
= й(х,и),р = р(х,и,р) является преобразованием Ли (см. гл. 3).
250
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
Пусть X —поле Ли на J^tt). Тогда его производящее сечение
в системе координат S, также представленное в виде вектор-столбца
ip = (<р1,..определяется равенством <р =Х_JQ = (X Jw1,...
...,Х (см. гл. 3). По той же причине производящее сечение
поля X в новой системе координат представляется в виде ip =Х JQ.
Поэтому, используя (4.26), получаем
ip=X _JQ = X jAQ = A¥>, (4.27)
что и дает искомое правило преобразования производящих сечений
при заменах координат.
Пусть теперь Л — некоторый оператор, действующий в про-
странстве производящих сечений и записанный в системе коорди-
нат <$. Тогда из (4.27) следует, что его запись в системе S имеет
вид
7г = лтгл-1. (4.28)
Поскольку в обсуждаемом контексте нас интересуют операторы ре-
курсии, имеющие вид Л= || $2 aijDa + \JI> необходимо также вы-
а
яснить, каким образом при заменах координат преобразуются опе-
раторы полных производных.
Пусть Dt. =DX и D.=D~ , i = 1,..., п. Поскольку поля , рав-
но как и поля D., образуют базис распределения Картана в J°°(7r),
должны выполняться равенства =52 а так как О{(ха) = 6{а,
а
где 6ia —символы Кронекера, то =О{(ха) и, следовательно,
п
Д = ЕД(Ж«)Р«’ i = 1> •••>”• (4-29)
а = 1
Вернемся к уравнению (4.20). Для преобразования (4.21) ма-
трица перехода имеет вид
/ -axcosO -crysin0, ах sin 0 - ау cos 0 \
\ -0х cos 0 - 0у sin 0, 0х sin 9 - Оу cos 6 J ’
а операторы полных производных —
Ь Г <7 /т
°, = 7 ’
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
251
где I = ахву — сгувх. Поэтому симметриям H,S0,f° и д® преобразо-
ванного уравнения соответствуют симметрии
fi = D( cos в “ ау sin 0)/, (ах sin 0 - ау cos 6)д \
\ (-0Х cos 0 - 0у sin 0)/, (0Х sin 0 - ву cos 0 )д J ’
С _ / ~хах - У°у )
Т)_ ( к + 2^У<Тх~ХаУ^\ ^(к~2^~х^
“ I 1 1 I ’ 91 = I 1 1
V - 2 + М - Ч) / к 5 - “ Ч)
Lt Lt Lt Lt
исходного уравнения, а оператору рекурсии 7£2 — оператор
£-(%> Г12)
'г21> г22>'
где
гп = £Д + ^(02 + 0у2 + сД(<£) - <£Д(с)) -
r12 = 2fc20 Д + у (с2 - d2 - Д(1)) 4- 4fc(c Д(й) - </Д(с)),
r2i = 7ГД + |(сД(<0 “ d&(c) + с2 “ d2) + т>
*хК 1 *х
Г22 = у д + ^(СA(d) - d Д(с) - е2 - 62) -
К л J.
с = -6 cos 0 - 0„ sin 0, d = 0, sin 0 - 0 cos 0, Д = ст D„ — a„D^..
* у * Ji у ' л у у ж
Применяя оператор 7^ к симметрии Sq, мы получим симметрии Sk,
а применяя (к - г) раз операторы {•,и {•, к Sk, мы полу-
чим (с точностью до постоянных множителей) соответственно сим-
метрии fk и д'),. Таким образом, имеется возможность эффективно
вычислить любую симметрию уравнения (4.20) (хотя, конечно, по-
лучаемые при этом явные выражения будут весьма громоздки).
4.5. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Мы
завершаем эту главу исследованием высших симметрий обыкновен-
ных дифференциальных уравнений. Помимо фактов, касающихся
высших симметрий, мы приводим также результаты, связанные с
классическими симметриями этих уравнений.
252
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
Пусть М = R и тг: Rm х R —> R — тривиальное расслоение. Рас-
смотрим определенную систему обыкновенных дифференциальных
уравнений £ с 7*(тг), т. е. такую систему, для которой codim £ =
= dim тг = т. Поскольку база расслоения тг одномерна, это означа-
ет, что размерность многообразия £ совпадает с размерностью про-
странства Jk ~1 (тг), равной т(к -1)4-1. Назовем точку в е £ точкой
общего положения, если проекция тгА к _ j |£ в ней имеет максималь-
ный ранг т(к-1)4-1, и ограничимся рассмотрением уравнений, все
точки которых находятся в общем положении (в противном случае
все последующие рассуждения будут справедливы в окрестности
такой точки). Это означает, что £ диффеоморфно проектируется на
7*-1(тг), или, что то же самое, рассматриваемое уравнение раз-
решимо относительно всех входящих в него старших производных
дЧ1 дкит
—г,. •------ir> где х — х, — единственная независимая перемен-
дат дхк
ная. Следовательно, £ можно представить в виде
£ = 3(7*-*^)), (4.30)
где s = s0: -> Jk(ir)— сечение расслоения тгАА_Р Пред-
ставление (4.30) позволяет получить удобное описание многообра-
зия £“ и распределения Картана на нем.
Именно, рассмотрим произвольную точку 0 6 £ и некоторую
72-плоскость L (в нашем случае L является прямой), лежащую в
пространстве Тв(£). Пусть L' — другая такая плоскость и v € L, v' €
е L1 — такие векторы, что тгк к _ i (v) = тгк к _ j («'). Тогда v — v1 явля-
ется 7rifc_1-вертикальным вектором, лежащим в Тв(£). Но в силу
(4.30) пересечение Тв(£) и касательного пространства к слою рас-
слоения 7rt к _ j в точке 0 тривиально. Значит, v = v и L = L1, т. е.
распределение Картана на £ в каждой точке содержит не более
одной 72-плоскости. Покажем, что такая плоскость всегда сущест-
вует. Действительно, представим точку 0 е£ в виде пары (0',Le),
где 0' = тгк к _, (0) и Le — 72-плоскость в точке 0', определяемая точ-
кой 0. Тогда, очевидно, 72-плоскость Lg =st(Le) лежит в Тв(£). Та-
ким образом, распределение Картана на £ совпадает с полем на-
правлений £° = {Lg | 0 € £}. Заметим, что сечение з осуществляет
изоморфизм между многообразием 7*-1(тг), оснащенным полем на-
правлений С = {Lg 10 е £}, и парой (£, 4°).
Далее, пара (0, L°g), 0е£, определяет точку 0t е Jk+1 (тг), и мно-
жество таких точек заполняет многообразие £<’\ При этом, очевид-
но, £^ представляется в виде s^J1*“’(тг)), где Sj — сечение рассло-
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
253
ения 7rfc + 1 а распределение Картана на £(1) совпадает с полем
направлений
£(1) = | = (S1)XL9), в. = S1(0), в е £}.
Продолжая этот процесс, мы придем к следующему утверждению.
Утверждение 4.6. Пусть £ С dim(M) =
= 1, codim(£) = dim(7r), обыкновенное дифференциальное урав-
нение, разрешимое относительно старшей производной. То-
гда при любом I = 0, 1,..., оо многообразие £^ представимо в
виде £^ = Sl(Jk~l(тг)), где з1еГ(кк + Цк_1) и 31 = тгк + 1 + 1 к + 1оз1 + 1,
а распределение Картана на £® совпадает с полем направ-
JlG'HiUU
= {L\ I L\ = (Sl)t(Le), et = 3t(0), e e £}.
Таким образом, все £® (включая £°°) как многообразия с рас-
пределениями попарно изоморфны и изоморфны многообра-
зию Jfc-1(7r), оснащенному полем направлений
Предположим, что уравнение £ удовлетворяет условиям утвер-
ждения 4.6, и рассмотрим некоторую его высшую симметрию X 6
е sym £. В силу утверждения 4.6 для всякого I поле X однознач-
но проектируется в векторное поле Xt на £^1\ причем последнее
сохраняет соответствующее распределение Картана. В частности,
Хо е D(£) является классической внутренней симметрией уравне-
ния £. Рассматривая множество Sym(. £ таких симметрий, мы, таким
образом, получаем гомоморфизм алгебр Ли
sL: sym £ -»Symt. £. (4.31)
Изучим его более подробно, для чего заметим следующее. Посколь-
ку в рассматриваемой ситуации £°° является конечномерным мно-
гообразием, симметрия X определяет на нем однопараметрическую
группу сдвигов {At}. Применяя преобразование At к некоторому ре-
шению f е Г(тг) уравнения £, мы вновь получим решение ft = A^(f)
этого уравнения. В силу теоремы о гладкой зависимости решений
обыкновенных дифференциальных уравнений от начальных данных,
множество Sol £ решений уравнения £ является гладким (возмож-
но, с особенностями) многообразием, a At — однопараметрической
группой. Обозначая через X* соответствующее векторное поле, мы
получаем отображение X определяющее гомоморфизм алгебр
Ли
sD: sym £ —> D(Sol £). (4.32)
Совершенно аналогично строится гомоморфизм
LD: Symt.(£)->D(Sol£). (4.33)
254
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
Обратно, пусть Y e-D(Solf) и {Bt} — соответствующая однопара-
метрическая группа преобразований. Рассмотрим точку 0 е£°° и ре-
шение , проходящее через нее (такое решение существует и един-
ственно). Сопоставим точке в точку = [Bt(/e)]“, х = тгоо(0).
Тогда {Bt'}— однопараметрическая группа преобразований много-
образия £ , элементы которой сохраняют распределение Картана.
Соответствующее векторное поле вертикально и определяет выс-
шую симметрию уравнения 8. Таким образом, мы построили гомо-
морфизм
Da: В (Sol 5) —»sym£, (4.34)
очевидно, являющийся обратным к гомоморфизму (4.32). Легко ви-
деть, что построенные нами гомоморфизмы согласованы друг с дру-
гом в следующем смысле.
Утверждение 4.7. Пусть 8 — уравнение, удовлетво-
ряющее условиям утверждения 4.6. Тогда построенные отоб-
ражения sD,Ds,sL и LD являются изоморфизмами алгебр
Ли, причем sD о Da = id и LD о sL = sD. Иными словами, в
рассматриваемой ситуации алгебры Ли высших симметрий,
внутренних классических симметрий и диффеоморфизмов
многообразия решений изоморфны.
Доказательство. Равенства sD о Ds = id и LD osL = sD
вытекают из построений. Поэтому sL — мономорфизм, a LD — эпи-
морфизм. Следовательно, для заверше-
ния доказательства достаточно, напри-
мер, показать, что LD не имеет ядра.
Из определения гомоморфизма LD сле-
дует, что его ядро состоит из симметрий,
для которых все решения являются ин-
вариантными, а из данного выше описа-
ния распределения Картана на 8 мы ви-
дим, что эти симметрии должны лежать
в распределении Картана. Но распреде-
ление Картана на 8°° не содержит вер-
тикальных полей. □
Итак, в рассмотренной ситуации ис-
пользованная аналогия между симме-
триями и полями на многообразии Sol 8
приобретает точный смысл.
Заметим, что утверждение 4.6 поз-
Рис. 4.7. Поле направлений Le
на 7*-1(тг)
воляет наглядно проиллюстрировать не-
совпадение алгебр внешних и внутрен-
них классических симметрий обыкно-
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
255
венных дифференциальных уравнений (см. § 9 гл. 3). Действитель-
но, внутренние симметрии отождествляются с полями на J*-1(ir),
сохраняющими поле направлений £ = {Le}, которое содержится в
распределении Картана на (рис. 4.7). С другой стороны,
внешние симметрии должны сохранять как это поле направлений,
так и само распределение Картана на Поэтому если поря-
док уравнения больше 1, внешние симметрии образуют собственную
подалгебру в алгебре Ли внутренних симметрий.
Перейдем теперь к координатным вычислениям и рассмотрим
уравнение вида
w,s[(s) +E4W’(£)]/w-»w
L \ Z 0 \ Z J
(4.35)
где А{ суть тх т матрицы и f ,д — тп-векторы. Ниже «симметрия»
означает высшую инфинитезимальную симметрию.
Уравнение (4.35) эквивалентно уравнению
/ J \ п 1 ✓ т \
L X / Q X Z J
(4.36)
Эквивалентность задается преобразованием
где f*(x) — некоторое решение (4.35). Уравнение (4.36) определяет
подмногообразие £ в J"(R, Rm) вида
£ =
Продолжения £, обозначаемые £^ с J"+JV(R, Rm) задаются урав-
нениями
О к N <оо,
где
— полная производная по х. Пространство решений (4.36) изо-
морфно Rd, d = т- п, так как п начальных условий на тп-вектора
/(0\.. однозначно определяют решение. Зафиксируем неко-
256
ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ
торый базис {R. j 1 ^г^т-п} в пространстве Kerb решений (4.36).
Тогда для любого решения f уравнения (4.36) мы получим
d 4 = 1 (4-37)
где константы ct. = c(/)eR. Зависимость c от / явно задается при
помощи вронскианов:
C_W) *“ W (4.38)
3necbW = W(Rl,...,Ri,...,Rd),
/ Ri R, Д» \
W = det r{ ... я; ... R'd (4.39)
... Я,*”-0 ... я***-1*/
и Wi(f) = W(Rv
( R. ... №) . •• \
Wi(f) = det я; ... f(x) . и1 1 d . (4.40)
(я***-0 ... . .. R<*-»/
Соответствия f i-> И<(/) или / суть дифференциальные
линейные операторы порядка n— 1. Будем интерпретировать их как
функции на пространстве джетов Jn-1(R, Rm). Определим
/ Ъ ••• = det I ••• ХЯ^-1’ ... Р° ••• Rd X р1 ... Я' р0*-1* ... я<п-1)> (4.41)
Тогда W;.(/) = W|.n i(/). Определяющее уравнение в этой ситуации имеет вид
Л— 1
(4.42)
д\£^=о,
4 — 0
где D — ограничение оператора Dx на £°°.
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
257
При этом любая точечная симметрия должна иметь вид
/З^УЖ^-р1 (4.43)
и удовлетворять (4.42). Здесь х, £ — скаляры, р°, Ьр1 и /3 суть
т-векторы.
Координатным аналогом утверждения 3.4 является следующее
утверждение.
Утверждение 4.8. Полная алгебра симметрий sym£
изоморфна алгебре векторных полей на пространстве Sol £
решений (4.36). Изоморфизм задается формулой
2_^^i(ci> • 4cd) qc w J
i = 1 * «= 1 ' '
Имеет место также следующий факт, уточняющий структуру
алгебры Ли sym £.
Теорема 4.9. Пусть d = dim Sol £. Тогда набором функ-
ций
W, W л
Ро> ^*> W? ’ l,k = l,...,d
и
W
^Rk, =
порождают в sym £ подалгебры, изоморфные gl(d + 1, R) и
gl(d,R) соотв етств енно.
Следующий результат описывает подалгебру точечных симме-
трий в symf *).
Теорема 4.10. Любая точечная симметрия уравнения
(4.36) имеет вид
9= (-+ м}р° + ^х)-р1+Ь(х), (4.44)
где £ — скалярная функция, Ъ — некоторое решение (4.36)
и М —постоянная тхт-матрица, коммутирующая со все-
ми коэффициентными матрицами At(x) в уравнении (4.36).
Следствие 4.11. Размерность N алгебры точечных
симметрий уравнения (4.35) удовлетворяет неравенству
т-п+1 .У (тп + п) • m + 3.
*) Подробные вычисления приведены в статье Samokhin А. V. Symmetries
of ordinary differential equations // AMS Transl. 2.— 1995.—V. 167.
17 Симметрии...
ГЛАВА 5
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
В этой главе рассматривается теория законов сохранения диф-
ференциальных уравнений. Мы начинаем с исследования концеп-
ции закона сохранения. Оказывается, что наиболее естественный и
в то же время эффективный подход к законам сохранения состоит
в отождествлении их с элементами одного из членов С-спектралъ-
ной последовательности [14, 15, 148]. Эта последовательность
возникает из рассмотрения в комплексе де Рама на £°° фильтра-
ции, образованной степенями идеала картановских форм. Теория
С-спектральной последовательности, изложенная в § 2, позволяет
каждому закону сохранения сопоставить некоторую производящую
функцию. В § 3 на различных примерах мы иллюстрируем техни-
ку вычисления законов сохранения, основанную на производящих
функциях. В § 4 обсуждается связь между симметриями и закона-
ми сохранения дифференциальных уравнений, а также рассматри-
вается теорема Нётер и гамильтонов формализм на пространстве
бесконечных джетов.
Отметим, что теория С-спектральной последовательности изло-
жена в § 2 довольно лаконично и многие вычисления вынесены в
упражнения. С другой стороны, читатель, интересующийся в боль-
шей степени результатами и примерами, а не доказательствами, мо-
жет читать § 3 и § 4 сразу после § 1.
§ 1. Элементарное понятие о законах сохранения
Прототипом закона сохранения может служить закон неразрыв-
ности движущейся жидкости. Если р(х, t) — плотность жидкости, а
v(x, t) = (v1 (х, t), v\x, t), v3(x, t)) — скорость в точке x = (xj, x2, x3)
в момент времени t, то это уравнение имеет вид
дР d(pv') . д(ру2) д(ру3)
dt дхх дх2 дх3
§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ПОНЯТИЕ О ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ
259
Воспользовавшись теоремой Гаусса — Остроградского, можно пере-
писать уравнение неразрывности в интегральной форме
—f р(х,t)dx= [(pv-n)dcr. (1.2)
CIC J J
V 9V
Здесь V — некоторая фиксированная область пространства, 9V —
ее граница, п — единичная внешняя нормаль к 9V, da — элемент
поверхности. Интеграл по поверхности представляет собой поток
жидкости из области V, и уравнение (1.2), таким образом, гласит,
что масса жидкости внутри V уменьшается на массу вытекшей жид-
кости. В частности, если нормальная компонента скорости «п равна
нулю, получаем уравнение сохранения массы
j p(x,t)dx — const.
v
Сходным образом описываются многие другие сохраняющиеся
величины. Пусть S — плотность некоторой сохраняющейся величи-
ны, например плотность энергии, компонента плотности импульса
или момента и т. п.; в только что рассмотренном примере S = р.
Плотности S сопоставляется вектор S = (Sl,..Sn_r) — плотность
потока величины S, где_(п— 1) — число пространственных перемен-
ных. В нашем примере S = pv. Уравнение сохранения, обобщающее
(1.1), будет иметь вид
9S 9St
i = 1 *
(1.3)
или, в интегральной форме,
~"ТГ 1 Sdx= I S-nda.
dt J J
v dv
Сохраняющимся током называется n-мерный вектор S = (S{,...
..., Sn_,, S), удовлетворяющий соотношениям (1.3).
Рассмотрим теперь уравнение (1.3) с точки зрения теории диф-
ференциальных уравнений. Предположим, что мы изучаем физиче-
скую систему, описываемую уравнением £ = {F =0} С Jk(ir). Тогда
S и можно считать функциями на £°°, и уравнение (1.3) записы-
вается в виде
(«,)=«. (1-4>
» = 1
17*
260
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
где Sn = S, — ограничения операторов полной производной D{
на уравнение £°°, п — число независимых переменных. Это замеча-
ние позволяет определить сохраняющийся ток для уравнения £
как вектор-функцию S = (Sp ..Sn) на £°°, Si е ?(£), удовлетворя-
ющую на £°° уравнению (1.4).
В том случае, когда одна из независимых переменных выде-
ляется как время t = хп, а остальные переменные (а:,,.. ,,жп_1)
рассматриваются как пространственные, компоненту Sn называют
плотностью сохраняющейся величины, а вектор-функцию (Sl,...
• • •> Sn_ J — плотностью потока (или просто потоком).
Существует один очень простой способ построения сохраня-
ющихся токов. Возьмем произвольный набор функций 6 ^(тг),
1 г У п, и положим
j<i i<j
Разумеется, такие сохраняющиеся токи, называемые тривиальны-
ми, никак не связаны с интересующей нас системой уравнений *).
Чтобы избавиться от них, отождествим все токи, отличающиеся
друг от друга на тривиальный ток. Полученные таким образом клас-
сы эквивалентности назовем законами сохранения уравнения £.
(В качестве синонима используется также термин интеграл дви-
жения.)
Упражнение 1.1. Пусть £ — система обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. Убедитесь, что понятие закона сохране-
ния в этом случае эквивалентно понятию первого интеграла.
Замечание 1.1. В отличие от обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, нелинейные уравнения в частных производ-
ных, как правило, не обладают (даже в малой окрестности) пол-
ным набором законов сохранения**). Вопрос о том, можно ли обоб-
щить определение закона сохранения таким образом, чтобы испра-
вить эту ситуацию, остается интересной и интригующей задачей.
*) Это не означает, что такие токи обязательно неинтересны с физической точ-
ки зрения. Например, в калибровочных теориях большую роль играют так называе-
мые несобственные токи, которые получаются с помощью теоремы Нётер из ка-
либровочных симметрий (см., например, [52, 37, 85, 84]). Такие токи всегда триви-
альны и, следовательно, не зависят от уравнений теории, однако они содержат ин-
формацию о структуре калибровочной группы, относительно которой эти уравнения
инвариантны.
**) Набор называется полным, если всякое решение рассматриваемого уравне-
ния полностью определяется отвечающими ему значениями сохраняющихся величин.
§ 2. С-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
261
Здесь мы ограничимся тем, что сформулируем гипотезу, высказан-
ную в [20, 151]: любое регулярное уравнение обладает полным на-
бором нелокальных законов сохранения по крайней мере в доста-
точно малой окрестности (о нелокальных законах сохранения см.
п. 1.8 гл. 6).
Определение закона сохранения (в той форме, как мы его сфор-
мулировали), конечно, нельзя использовать для практического на-
хождения всех законов сохранения заданного уравнения. Для это-
го следует научиться описывать целые классы сохраняющихся то-
ков. Решение этой задачи достигается переформулировкой опреде-
ления закона сохранения в терминах горизонтальных когомоло-
гий де Рама (т. е. когомологий горизонтального комплекса де Рама,
см. п. 1.6 гл. 4), что позволяет воспользоваться средствами гомоло-
гической алгебры. В § 2 мы рассмотрим эту когомологическую те-
орию. (Читатели, интересующиеся главным образом практической
стороной поиска законов сохранения, могут перейти сразу к § 3.)
§ 2. С-спектральная последовательность
С-спектральная последовательность, впервые рассмотренная
в работах [14, 15], имеет фундаментальное значение в теории за-
конов сохранения. Подробности и обсуждение близких вопросов
можно найти, например, в [148, 152, 153, 16, 81, 142, 144, 145,
96, 146, 125, 87, 78, 79, 157, 93, 95, 47, 114, 55].
2.1. Определение С-спектральной последовательности.
Пусть £°° с J°°(7r) — бесконечно продолженное уравнение и А*(£) —
= ^Al(£) — алгебра дифференциальных форм на £°°. Рассмотрим
i >0
идеал СА*(£) = ^2СЛ‘(£) в алгебре Л*(£), состоящий из карта-
во
новских форм (т. е. форм, обращающихся в нуль при ограничении
на распределение Картана: шеСЛ1(£) тогда и только тогда, когда
cu(Xt,..., XJ = 0 для любого набора Xt,.. ,,Xi G CD(£)\ см. п. 2.1
гл. 4). Через CfcA*(£) обозначим fc-ю степень идеала СА*(£), т. е.
подмодуль в А*(£), порожденный формами вида Л ... A где
щ е СХ*(£). Очевидно, что идеал СА*(£) (а следовательно, и все
идеалы СкК*(£)) устойчив относительно действия внешнего диффе-
ренциала d, т. е.
d(CkA*(£))cCkA*(£).
262
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Поэтому можно рассмотреть фильтрацию
AV) Э СА*(£) D C2A*(£) d ... D СкА*(£) D... (2.1)
комплекса де Рама на £°° его подкомплексами (СкА*(£), d). Спек-
тральная последовательность*) (Ер’9(£), dp’9), построенная по этой
фильтрации, называется С-спектральной последовательностью
уравнения £. Исходная фильтрация конечна в каждой размерности,
т. е.
Ак(£) D ClAk(£) D С2Ак{£) D... D СкАк(£) DCk +1 Ак(£) = О,
поэтому спектральная последовательность сходится к когомологиям
де Рама Н*(£°°) уравнения £°°.
Как обычно, число р называется фильтрационной степенью, а
р + q — полной степенью.
2.2. Член Е$. Рассмотрим член Ео(£) = Е^’9(£) С-спек-
тральной последовательности. Р,ч
По определению
СрАр + 9(£)
р°,2 кэ ... й7
Ло, 1 Г
Л 1,0 Ео . . . ЕР,0
Дифференциал d^9: Е^’9(£) —> Е%’9 + 1(£) индуцирован внешним
дифференциалом d. Представим себе, как это обычно приня-
то, что член спектральной последовательности Ер’9 расположен
в вершине (р, ц) решетки на плоско-
сти (рис. 5.1). Тогда дифференциал d0
можно изобразить стрелкой, направлен-
ной вертикально вверх. Таким образом,
Ео(£) является прямой суммой ком-
плексов
0—>Ец°(£)—*Ец*(£)—>...
...-+Ер’9(£)^Е%’9 + 1(£)^...,
которые изображаются на плоскости Рис- 5-1
вертикальными столбцами. Нулевой
столбец члена Ео образует горизонтальный комплекс де Рама
(см. п. 1.6 гл. 4):
Еоч(£) = АЧ£>7сА9(£Г d^=^
*) О теории спектральных последовательностей можно прочитать, например,
в [46, 126, 27, 29].
§ 2. С-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
263
Когомологии Нч{£) горизонтального комплекса де Рама на £°°
тесно связаны с законами сохранения уравнения £. Действитель-
но, пусть S = (5Р..., Sn) — сохраняющийся ток. Сопоставим ему
горизонтальную (п — 1)-форму
п
ws = У^(—dxt А... Adxi + l Л.. .Adxn.
i = l -ч
Тогда условие (1.4) означает, что dws =0, причем ток S тривиален
тогда и только тогда, когда форма ws точна: = dw'.
Определение 2.1. Законом сохранения для уравне-
ния £ называется (п— 1)-й класс когомологий горизонтального ком-
плекса де Рама на £°°.
Таким образом, Нп~\£) — группа законов сохранения урав-
нения £. Иногда законами сохранения называют элементы группы
Нч(8) при q < п— 1. Однако для большинства уравнений, встречаю-
щихся в приложениях, такие группы имеют чисто топологическую
природу *). Наконец, группу Нп(£) следует рассматривать как сово-
купность лагранжианов (см. пп. 2.5,4.1) в лагранжевом формализме
со связями, выражаемыми уравнением £ **).
Чтобы завершить описание члена £?0(£), заметим, что из
очевидного разложения Л’(£) = СЛ!(£) ® Л^(£) следует .Eq’?(£) =
= С?Л?(£)® Л£(£). При этом дифференциал dj’’ совпадает с компо-
зицией
СРКР (£) ® А1(£) 4 Ср +1 Лр +1 (£) ® Л’(£) ф СРКР(£) ® Д’+1 (£) 4
ЛСрЛр(£)®Л’+1(£),
где а — проекция на второе слагаемое. В частности, все ненулевые
члены Ер,9(£) расположены в полосе 0 < q п.
Упражнение 2.1. Покажите, что имеет место вложение
d(C”Ap(O ® Щ£)) с Ср+1 Лр +1 (£) ® Л*(£) ф СРЛР(£) ® Л’+1 (£).
Воспользуйтесь для этого прямым разложением d = d + Ul и свой-
ствами оператора Ul (см. п. 2,1 гл. 4).
*) Содержательные «законы сохранения», принадлежащие Й*(£), ? < п-1, мож-
но найти, например, в калибровочных теориях (см. [85, 84, I03J я пр.).
**) Существуют различные неэквивалентные формулировки лагранжева форма-
лизма со связями. Мы имеем в виду задачу Лагранжа о стационарном значении
функционала действия в классе сечений расслоения я, являющихся решениями урав-
нения £. В этом случае уравнения Эйлера — Лагранжа определяются ограничением
соответствующего лагранжиана на £°°.
264
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
2.3. Член Е1: подготовительные результаты. Здесь мы до-
кажем несколько важных утверждений, необходимых для описания
члена jEj С-спектральной последовательности.
Начнем со следующего определения. Р(£)-модуль Р называется
горизонтальным, если он изоморфен модулю сечений Р(£, £) на £
для некоторого конечномерного векторного расслоения £: ->М.
Упражнение 2.2. Покажите, что Р =Г(£)
Горизонтальный модуль Р фильтрован своими подмодулями
РЬ=^,О=Г(О®СКак было показано в п. 2.1 гл. 4,
Ag(£) является горизонтальным модулем.
Рассмотрим теперь два векторных расслоения, £: и
р: Пусть Р = F(£,£), Q = F(£,rf). Дифференциальный
оператор Д: Р —называется С-дифференциальным (или гори-
зонтальным), если он имеет вид Д = Oj + /2d2 +... + frПр, где
—поднятия (см. замечание 1.1 гл. 4) некоторых линейных диф-
ференциальных операторов Г(£) —> Г(т]), /• G ?(£), г = 1,..., г.
Например, С-дифференциальными операторами являются все опе-
раторы вида (универсальные линеаризации). Будем обозначать
Р(£)-модуль всех С-дифференциальных операторов из Р в Q через
CDiff(P, Q), а его подмодули, состоящие из операторов порядка не
более к, — через CDifffc(P, Q).
Упражнение 2.3. Проверьте, что в локальных координа-
тах скалярные С-дифференциальные операторы порядка не более к
записываются в виде
k
л- Е
Н=о
где Da = о... о D^, о = (стр..., стп), аа € Р(£).
Упражнение 2.4. Покажите, что CDiff(P,Q) — горизон-
тальный модуль.
Пусть Pj, Р2,..., Рг, Q — произвольные горизонтальные модули.
Положим
CDiff(P!, Р2,..., Pz; Q) = CDiff(Pj, CDiff(P2,..., CDiff(P„ Q)...))
и рассмотрим комплекс
О CDiff(P1, Р2)..., />; ?{£)) A CDiff(Pj, Р2,..., Pz; А*(£)) А...
... A CDiff(Pj, Р2,..., Pz; Л$(£)) -> 0, (2.2)
где w(V) = d о V, V 6 CDiff(Pp Р2, ...,Pt-, Ag(£)).
$ 2. C-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
265
Теорема 2.1. Когомологии комплекса (2.2) равны
нулю в членах CDiff(P1,P2,.. ,,Pt; Aq(£)) при q<n, а его груп-
па когомологий в члене CDiff(P1,P2,.. .,Pt;A%(£)) изоморфна
CDiff^, Р2,..., Рг_ j; Рг), где Р( = НотЯ(£)(Р1,Л%(£)).
Доказательство. Обозначим через CDifffc(P1,Р2,...
...,PpQ) подмодуль в CDtfi(PvPi,...,Pi;Q), состоящий из таких
операторов V, что при любых pj G Р{, р2 6 Р2, ..., р1_1еР1_1 опе-
ратор V(p1,p2, • • •iPi-i): Pi —> Q имеет порядок не более к (здесь и
всюду ниже V(p1,p2,.. обозначает V(pj)(p2)... (р,_1)). Та-
ким образом,
CDifffc(Pp Q) =CDiff(P!,..., Pt_ t; СТВД, Q))
и вложения CDifft(P„ Q)cCDifft+1(P„ Q) индуцируют гомоморфиз-
мы подкомплексов (через • обозначено выражение Рр.. .,fj)
| | (2.3)
->сия,..+,-1(«;Л4(е)) -^см,..+((.;Л<+1О -
Поэтому определен факторкомплекс
О - CDiff(.; S,_.(P,)) -t CDiff( •; S4_„+ ,(Р,) ® Л"(г)) Л...
... Л CDIfff.; S,(P,) ® AJ(f)) О, (2.4)
где • обозначает Р1,...,Р1_1 и
с zpv CDiffr(P,P(£)),
sAp)- /CDiffr _ j (Р, Р(£)).
Если мы докажем, что комплекс (2.4) точен при к > 0, то это будет
означать, что комплексы (2.3) при к > 0 имеют одинаковые когомо-
логии и, следовательно, когомологии комплекса (2.2) совпадают с
когомологиями комплекса
O-*CDiffo(P1,.. .,Р1;Л^(£)) —>0.
Тем самым теорема будет доказана.
Дифференциалы 6 в комплексе (2.4) являются Р(£)-гомомор-
физмами. Поэтому точность (2.4) достаточно проверить в каждой
266
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
точке в е£. Поскольку функтор CDiff(P, •) точен, можно считать,
что I = 1. Таким образом, мы должны доказать ацикличность ком-
плексов
>, ^.„+1(п®важ -.. т,
при к > 0. В качестве базиса в пространстве 5г(Р)0 выберем эле-
менты |сг[ = г, где —базис в (Рв)*, а в пространстве
Ао(£)е — элементы dx^ А... /\dxt |0, 1 <»,<...<» ^ п. Тогда диф-
ференциал 8 запишется следующим образом:
п
^e^D^dx^.. .Ndx* |9) = Adrr А.. ,\dxi |fl.
i = 1
Тем самым комплекс (2.4) является комплексом Кошуля алгебры
многочленов (см., например, [9]), и поэтому точен при к > 0. □
Упражнение 2.5. Покажите, что вложение
if. CDiff (^ j; Я) - CDiff(P1,..., Pf, AJ(£)),
порожденное вложением Pt --- Нот^£)(/^,Ло(£)) —►CDifffF^, Aq(£)),
расщепляет естественную проекцию
Дг: СЕЖ^,...^;^))-
-> CDiff(Pj,..., Pf Л£(£))/ im w = CDiH(Pj,..Ptj; Pt).
Тем самым CDtff(Pp.. = оказывается прямым слага-
емым в модуле CDiff(Pp.. .tPt;J^{£)).
Рассмотрим произвольный С-дифференциальный оператор
А: Р —► Q. Он индуцирует цепное отображение комплексов (2.2)
0 СВ1П(Р. ?(£)) -^СШ(Р, Л*(£)) . ~^CDiff(P, Л£(£)) 0
д'| д'| д'|
0 CDiff(Q, Р{£))^CDiff(Q, A^(f ))-^... -^CDiff(Q, A"(f ))-> 0,
где Д'(V) = V о Д, V е CDiff(Q г К${£)). Применяя теорему 2.1, мы
видам, что отображение Д' порождает отображение когомологий
A*: Q—>Р. Оператор А* называется сопряженным к оператору А.
Упражнение 2.6. Покажите, что
§ 2. С-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
267
а) если Д = У — скалярный С-дифференциальный опера-
тор, то Д* — °
(Г
б) если С-дифференциальный оператор Д в локальных коорди-
натах записывается в виде матрицы Д= || Д^.Ц, то Д* = ||Д*г. ||.
В частности, из этого упражнения следует, что Д* — С-диф-
ференциальный оператор, порядок которого совпадает с порядком
оператора Д.
Упражнение 2.7. Докажите, что для любого Д €
G CDiff(P, Q) и любых р G Р и q G Q существует такая форма
^1?<Д)е^-5(^, что
$<Д(р)) - (Д‘(«))(Р) = Н>?(Д). (2.5)
Упражнение 2.8. Убедитесь в том, что для любых двух
С-дифференциальных операторов Д,: Р —> Q и Д2: Q —> R выпол-
няется равенство (Д2 о Д,)‘ — Д, о Д2.
Упражнение 2.9. Пусть X G CDiffj(.P(£),A£(£)). Покажи-
те, что X + Х* еЛ$(£), т. е. X + Х* — оператор нулевого порядка.
Упражнение 2.10. Покажите, что естественная проекция
Мг: CWfffPp..,^;^))^
CDiff(Р>,..., Pi, A£(£))/ im w = CDiff^,...,Pt_»; Pt)
задается формулой:
Мг(V)(P!,..Pt _!) = (Vfpj,..., pt _!))*( 1).
Обозначим через CDifiy^P; Q) модуль CDiff(P,.. .,P; Q), a
i
через СМдо(Р;Q)— подмодуль в CWff(l)(P;Q), состоящий из
всех кососимметрических операторов, т. е. таких операторов V 6
6 CDiff(/)(P; Q), что
V(pj,..Pi, Pi +!,..Pt) = - V(P1,..., Pi +1, Pi,...,p^
для любых элементов ..., pt G P, » = 1,— 1.
Рассмотрим комплекс (2.2) для Pt = P2 =... = Pt — P:
W , w
0 ->CDiffw(P; P(£))) CDiff(J)(P; A^(£)) ...
...-^CDiffw(P;AS(P))^O. (2.6)
268
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
На этом комплексе действует симметрическая группа 5t:
т(У)(Р1 = V(pT(1),..., рт(/)), т 6 S,.
Действие этой группы, очевидно, коммутирует с дифференциа-
лом w. Поэтому из теоремы 2.1 следует, что кососимметрическая
часть комплекса (2.6), т. е. подкомплекс
О - СОИ$(Р; Р(£))) CDif$(P; Л&)) -^ ...
...^СШ$(Р;Лда)-О, (2.7)
ацикличен во всех размерностях, отличных от п, а его n-я группа
когомологий изоморфна некоторому подмодулю в j)(P;P),
который мы будем обозначать через К^Р).
Явное описание модуля Kt(P) может быть получено следую-
щим образом. Прежде всего заметим, что вложение (см. упр. 2.5)
¥ CDiff(Pp .. ->CDtff(Pv .. ,Рг;Л^-))
коммутирует с действием подгруппы Sl_lc St, оставляющей непод-
вижным l-й аргумент. Поэтому определено вложение
^(PJcCDiff^^PjP).
Рассмотрим теперь действие транспозиции т € St, меняющей
местами j-й и l-й аргументы, j < I, на произвольный опера-
тор Д € CDiff(/_jj(P,P). Зафиксируем некоторые элементы рр...
• • •> Pj -1, Pj +1, • • ч Pi _ i 6 Р и рассмотрим оператор
□(р) = Д(рр...,ру_1, p,pj+v.. ;Pl_l).
Из формулы (2.5) следует, что
n(p)(p')-n*(p')(p)eimd
для любых р,р' еР. Поэтому оператор т(Д) может быть записан в
виде т(Д)(Р1,..., pl _ j) = □*(₽,).
Тем самым мы доказали следующую теорему.
Теорема 2.2. Комплекс (2.7) ацикличен в чле-
нах CDiff^(P; Л^(£)) при q < п. Группа когомологий в чле-
не CDiff^ (Р; Л£(£)) изоморфна модулю Kt(P) С CDiff^L у(Р; Р),
состоящему из всех таких операторов V, что для любых эле-
ментов Pj,..., _ 2 € Р выполнены равенства
(V(Pj,. ..,Рг_2)Г = -V(Pj,...,pz_2).
§ 2. С-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
269
2.4. Обобщения. Приведем полезное обобщение теорем 2.1
и 2.2. Для этого нам понадобится следующее утверждение.
Упражнение 2.11. ПроизвольномуС-дифференциальному
оператору Д: —>Р2 сопоставим семейство операторов /Цр^р^Е
eCDiff(P(£),P(£)), где
Д(РрРг)(/) = Рг(А(/Р1))’ Pl^Pf Рг ^отЯ(£)(^2»
Докажите, что семейство Д^^р,) определяет оператор Д однознач-
но, и что для любого семейства A[pt, р2] Е CDiff(P(£), Р(£)), pt Е Рг,
р2 Е Нот^(£)(Р2,Р(£)), удовлетворяющего условиям
=ЕЛД[Р1,^], ^Y^fiPvPl =£Д[рЬрЛ%
L i i f
найдется такой оператор Д eCDiff^,/^)- что Д[РрР2] = Д(РрРг)-
Пусть Q —левый модуль над кольцом CDiti(F(£),P(£)). Так
как
Р(£) = CD1HO(P(£), Р(£)) с CDiff(P(£), ?(£)),
модуль Q является также Р(^)-модулем. Предположим, что как
Р(^)-модуль он горизонтален. При помощи упражнения 2.11 опе-
ратору Д eCDiff(PpP2) сопоставим такой оператор До eCDiff(Pj ®
® Q,P2® Q). что
Aq[Pi ® Ч, Pz ® 9*] = 9*(Д(РрРг)«)-
Таким образом, любой комплекс С-дифференциальных операторов
Д*
...-РА—Pfc+1-...
можно умножить на Q и затем рассмотреть комплекс
(Afc)Q
• • • ~® Q * Рк+1 ® Q ~* • • •
В частности, умножая комплекс (2.2) на Q, мы получаем комплекс
О -> CDiff(Pj,..., Р,; Р(£)) ® Q -> CDiff(Pj,..., Р,; Л^(£)) ® Q ->...
... -»CDiff(Pj,..Рр AJ(£)) ® Q -> 0. (2.8)
Повторяя дословно доказательство теоремы 2.1, получаем следую-
щую теорему.
270
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Теорема 2.3. Когомологии комплекса (2.8) равны
нулю в членах CDiff(Pp Р2,..., Рг; Л^(£)) ® Q при i < п. Группа
когомологий в члене CDiff(Pj, Р2,..., Р{; Л£(£)) ® Q изоморфна
CDiff(P[,^2’ • • -1 >-fj) ® Q•
Теорема 2.2 также допускает аналогичное обобщение.
Упражнение 2.12. Покажите, что на модуле СРЛ.Р(£) су-
ществует ровно одна такая структура левого CDiff(P(£), Р(£))-мо-
дуля, что
X-u=Lx(w), XeCD(£).
2.5. Член Et'. случай J°°(tt). Рассмотрим теперь член Ех
С-спектральной последовательности для «пустого» уравнения £°° =
= В этой ситуации мы будем использовать обозначения
п. 2.1, заменяя символ £ на тг; например, САЛ’(тг) и т. п.
По определению первый член Ех спектральной последователь-
ности — когомология ее нулевого члена Ео. Таким образом, нулевой
столбец состоит из групп горизонтальных когомологий пространст-
ва 7°°(тг): Е°’’(тг) = Я’(тг). Чтобы описать члены Ер,ч(к) при р >0,
мы должны вычислить когомологии комплексов (см. п. 2.3)
0-»• СрЛр(тг)-Л СрАр(тг)®Л£(тг)-^ ...
...^СрЛр(тг)®Л*(тг)-»О. (2.9)
Пусть х(тг) = Р(тг, тг) — Р(тг)-модуль эволюционных дифферен-
цирований. Каждой форме ш е СрЛр(тг) сопоставим оператор Vw е
eCDiff^(z(Tr); J’(tt)), полагая
V„(Xp • •Хр) = ЭХр _1(.. ,(ЭХ1 _1 от)...), (2.10)
где е х(тг).
Лемма 2.4. Соответствие (2.10) является изомор-
физмом Г(£)-модулей СрЛ.р(л) и CDiff^(z(Tr); J’(tt)).
Доказательство. Построим отображение, обратное к за-
данному отображению ш Vw. Пусть V е CDiff^(х(тг); !F(£)). Каж-
дый вертикальный вектор (, в точке в е можно представить
в виде 3Je для некоторого х (это следует, например, из коорди-
натного выражения для Эх (см. равенство (2.15 гл. 4))). Зададим
форму tuv е СрЛр(тг) условием
^vb(e1,...,Q = V(x1,...>xp)(0),
§ 2. C-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
271
где = Эх |0. Очевидно, что отображение V есть требуемое
обратное отображение. Остальные детали доказательства мы остав-
ляем читателю в качестве упражнения. □
Таким образом, комплекс (2.9) можно переписать в виде
О - CDiff^(z(7r); Дтг)) -Л СМ$(х(тг); (тг)) -Л ...
W tx
...—►CDiff^t)(5t(7r);A£(7r))^O. (2.11)
Упражнение 2.13. Докажите, что дифференциалу w со-
ответствует дифференциал d в комплексе (2.9).
Когомологии комплекса (2.11) известны из теоремы 2.2. В ре-
зультате мы приходим к следующему описанию члена Ех на У°°(тг).
Теорема 2.5. Пусть тг — гладкое локально триви-
альное расслоение над гладким многообразием М, dimM —п.
Тогда'. _
1) Е?'ч(7г) —Нд(к) для всех q ^0;
2) Е[’’(тг) = О npup>0, q^n;
3) Ер’п(к) = Кр(х(к)), р>0.
Поскольку в рассматриваемом случае С-спектральная последо-
вательность сходится к когомологиям де Рама многообразия У°°(тг),
теорема 2.5 имеет очевидное следствие.
Следствие 2.6. 1) £^’’(тг) =0, 1 г оо, еслир>0,
q^n или р = 0, q > п;
2) Ер’’(тг) = ^’(7г) = Я’(7оо(7г))^Я’(/0(7г)), q<n-,
3) Ep’n(K) = E^n(K) = Hp + n(J!X>(K)) = Hp + n(J0(Tr)), р^О.
Упражнение 2.14. Докажите равенство =
= Я’(/(тг)).
Обратимся теперь к дифференциалам dp’n.
Упражнение 2.15. а. Покажите, что оператор
Е10’п(тг) = Яп(тг)^и Е11’"(тг) = х(тг)
задается формулой d°’n([w]) = ^*(1), где шеЛ^(тг), [ш]— горизон-
тальный когомологический класс формы ш. (Выражение £ш имеет
смысл, поскольку ш — горизонтальная n-форма, т. е. нелинейный
дифференциальный оператор, действующий из Г(тг) в ЛП(М).)
б. Записав оператор d®'n в координатах, убедитесь, что он со-
впадает со стандартным оператором Эйлера (т. е. оператором, ставя-
272
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
щим в соответствие каждому лагранжиану соответствующее урав-
нение Эйлера — Лагранжа (см. ниже и п. 4.1)).
Вычислим оператор df ’п, р > 0.
Пусть оператор □ G CDiff^ + ^(«(тг), А£(тг)) определен равенст-
вом
р+1
□(Х1, • •Хр + j) = Е<“1)’’+19Xi (V(X1,..Х{, • • , Хр +1))+
4 = 1
+ Е (-1)< + ^({х1>хД,Х1,...,Х<,...,Хр...,Хр + 1). (2.12)
1 <з<р + 1
Упражнение 2.16. Докажите, что если Vе2Ср(«(тг)), то
<*Г’п(Я = Мр+1(п).
Замечание 2.1. Формула (2.12) следует, разумеется, из
стандартной формулы внешнего дифференциала. Необходимо, одна-
ко, убедиться, что мы действительно можем воспользоваться этой
формулой, не альтернируя оператор V.
Из (2.12) получаем
□(Х1, •> Хр + 1) = ; Xi, • , Xp))(Xp + l)+
1 = 1
+ • •’ *i> • • •> *p’ Эх<(Хр + 1))+
4 = 1
+(-1)4P+1(W •••,*₽))+
+ E (_1)<+yV({X,.,Xj}>X1)...,^.,...,xJ.,...,Xp + i)+
1<3<p
+ E(“l)*+₽ + 1V({xf,Xp + 1}’Xi)...,Xi,...,Xp) =
i = 1
= E(-l)i + 13Xj(V(X1, Xp))(Xp + i)+
4 = 1
+ E (-1),+'?V({X.>Xj}>Xl>---> Xt>-..,Xp---,Xp + i)+
1 <«' <3 <P
+ E("1)< + 1V(X1, • •> Xi, • • •>Xp,^,.(Xp + i))+(-1)^v(X1.xp)(Xp + l)-
4 = 1
§ 2. С-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
273
Следовательно,
<’”(V)(X1, - • ; Хр) = ДР + 1(П)(Х1, • • Хр) =
J2(-l)‘ + 19Xi(V(x1,...)^,...,Xp))+
i = 1
+ J2(-1)’!+J V({Xi, Xj}, Xi, • • -, X,-, • • •> Xj, • -, Xp)+
i <3
+ ^(-l)i + 1€;(V(X1,...,i,...,x,)) + (-l)’^ta.v(l). (2.13)
i — 1
Используя легко проверяемое равенство
^(V)(1) = ^(¥’) + ^(V’), V’Gx(’r),
(ср. упр. 2.17), преобразуем последнее слагаемое в (2.13) следую-
щим образом:
1 р
...х,»(1)=- D-d1^ я W>=
1 ₽
=р ..............я...«А»+с, wx............й. х,т-
Наконец, получаем:
К n(V)) (Xi, • • Хр)=Х(-1У+% (V(X1,..., Z. • • •> Хр))+
1 = 1
+ J2(-l)‘+jV({xi, хД, Х1, • • ; Xi, • • ; Xj, • • ; Хр)+
i<j
4 h-i)'+i«p-iK(v(x„Хр))-^,....................s...^,(Х,)).
В частности, при р = 1 имеем
^i1’"(V’)(¥’):=3y(^)-^*(y>)=^(^)-^*(^), V’Gz(Tr), ¥>6х(тг),
4nW) = ^-^- (2.14)
Заметим, что горизонтальный комплекс де Рама на J°°(7r) мож-
но объединить с комплексом (Ef’n(7r),dpn) при помощи операто-
18 Симметрии...
274
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
_n _п d°>n
pa Е, равного композиции отображений А£(тг) —> Нп(к) и Нп(к);—>
d°’n
—> Е}’п(к), первое из которых — каноническая проекция*). Таким
образом, на 7°°(тг) определен комплекс:
d . d d Е
0->JF(£)—> Л^ТГ)—» ...—
jl,n j2,n
— —> ... (2.15)
Когомологии этого комплекса равны Я‘(^°(7Г)) (следствие 2.6).
Оператор Е (см. упр. 2.15 б)) — это оператор Эйлера. Каждой ла-
гранжевой плотности а> 6 Л£(тг) он ставит в соответствие уравнение
Эйлера — Лагранжа Е(ш). Таким образом функционал действия
s w J Л»(в )*(<*>)> з€Г(7г),
м
стационарен на сечении з тогда и только тогда, когда j^(s)* (E(w))=
= 0.
Комплекс (2.15) часто называют (глобальным) вариационным
комплексом расслоения тг. Если когомологии пространства 7°(тг)
тривиальны, то этот комплекс точен. Из этого результата сразу вы-
текает ряд следствий. Приведем три важнейших:
1) ker E=im d («если вариационная производная лагранжиана
равна нулю, то он является дивергенцией»);
2) div = 0 тогда и только тогда, когда форма а> имеет вид ш =
=dij, ш еЛ$~1 (тг) («все нулевые дивергенции суть полные роторы»);
3) тогда и только тогда, когда форма ф имеет вид
ф = Е(ш), ф 6 х(тг) (это утверждение составляет решение обратной
задачи вариационного исчисления).
Упражнение 2.17. Пусть Р — горизонтальный модуль
и Д е CDiff(P, Л^(тг)). Докажите, что для любого р 6 Р выполнено
равенство
Е(Д(р))=^(Д*(1)) + ^.(1)(р).
Выведите отсюда, что для всех <р е ж(тг) и ш е Л^(тг) справедливо
соотношение
E(3V(W)) = 3V(E(W)) + /;(E(W)).
*) В дальнейшем оператор d°,n: Яп(тг)-»£!11’п(7г) мы будем также обозначать
через Е.
§ 2. С-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
275
2.6. Член общий случай. Перейдем теперь к описанию
члена Ег(£) С-спектральной последовательности на уравнении £°°.
Пусть I(£) с Р{£) — идеал уравнения £. Напомним, что если
уравнение £ С Jh(ir) имеет вид £ = {F =0}, где F еРк =Fk(n, 0 для
некоторого расслоения £: N^->M над М, и сюръективно проекти-
руется на М, то
I(C) = CDiff(P,^(Tr))(F),
где Р = Р(тг, £) (т. е. компоненты вектор-функции F суть диффе-
ренциальные образующие идеала !{£)). Назовем такие уравнения
регулярными. Как отмечалось в гл. 4, условие регулярности, разу-
меется, не обременительно и, как правило, выполняется для урав-
нений, встречающихся в приложениях.
Для регулярных уравнений модуль СА!(£) может быть описан
следующим образом. Пусть х=х(тг)/Т(£’)-х(7г) — ограничение моду-
ля х(тг) на С00. Рассмотрим в CDiff(x, F(£)) подмодуль L, состоящий
из операторов вида По^, где □ £ CDiff(P, Р(С)), £р = £F . Здесь
Р=Р(£, £) — ограничение модуля Р(тг,^) на уравнение £°°. (Да-
лее мы будем обозначать модули и их ограничения на £°° одной и
той же буквой.) Следующие два утверждения являются обобщением
леммы 2.4.
Лемма 2.7. Сопоставим каждой форме ш £ СА*(£) опе-
ратор £ CDiff(x, F(£)), действующий по (формуле
^М=^эх), хех. (2.16)
Если £ —регулярное уравнение, то соответствие (2.16) яв-
ляется изоморфизмом Р(£)-модулей С А1 (£) и CDiff(x, F(£))/L.
Доказательство. Очевидно, чтоСА1 =CDiff(x,F(£)), где
СА1 — ограничение С А1 (к) на £°°. Ядро L' естественной проек-
ции СА1 —»СА1(£) порождено формами вида dvf, где fel(£), а
dv: Р(тг)—>СА*—композиция дифференциала d: Р(тг)—►А1(тг) и
проекции А^тг)—►СА1. В терминах С-дифференциальных операторов
это означает, что Lr порождено операторами вида tj, где f &!(£}.
Поскольку £ регулярно, функцию f el(£) можно представить в виде
f = V(P), VeCDiff(P, Р(тг)). Тем самым = Vo£p и, следователь-
но, L' = L. g
Упражнение 2.18. Покажите, что
C₽A₽(£) = CDiff5(x;P(£))/Lp,
где Lp = alt(CDiff^‘_ })(х; F(£)) ® L) (через alt обозначена операция
альтернирования alt: CDiff^(х; F(£)) —> CDiff^x; ?(£)))
18*
276
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Таким образом, для регулярного уравнения £ имеется точная
последовательность Т(£ )-модулей
CDiff(P, ?(£}} ->CDiff(z, ?(£}} -> СА1 (£) -> 0.
Левая стрелка не является, вообще говоря, вложением, т. е. опера-
тор Do^, □ е CDiff(P, !F(£)), может быть равен нулю при нетри-
виальном операторе □. Регулярные уравнения, для которых после-
довательность
0 -> CDiff(Р, ?(£)) -> CDiff(z, Р(£)) -> СА1 (£) -> 0 (2.17)
точна, называются (.-нормальными.
Для того, чтобы выяснить, является ли данное уравнение ^-нор-
мальным, полезно следующее утверждение.
Утверждение 2.8. Пусть £ — регулярное уравне-
ние с п независимыми переменными. Если в каждой коор-
динатной окрестности на £°° можно выбрать такое множе-
ство «внутренних» координат в, что функции i = 1,...
..., п — 1, могут быть выражены через внутренние координа-
ты, то уравнение £ является (-нормальным.
Доказательство. Очевидно, что локально (возможно, по-
сле подходящей замены переменных) рассматриваемое уравнение
имеет вид
P(6,...,o,Jtr) = /r> ir 6Ac{l,...,m}, r = \,...,l, kr>Q,
где fr — функции от внутренних координат, причем в качестве по-
следних можно выбрать xt,..., хп, р*, а = (о-j,..., стп), <тп < кТ, если
iT = i е А. Следовательно, оператор (р имеет вид £р = Д - (j, где
/ = (Л, •••,//), Д = ||Д0.|| — (Z х т)-матрица, причем Arir=D%, г =
= 1,...,I, а остальные компоненты Д- тривиальны. Отсюда стан-
дартным образом следует, что если По(р =0, □ е CDiff(P, Р(£))< то
о=о. П
Таким образом, если рассматриваемое уравнение не переопре-
делено, т. е. число уравнений не больше числа неизвестных (I т),
оно в большинстве случаев оно будет ^-нормальным. Приведем, тем
не менее, пример определенного, но не ^-нормального уравнения.
Пример 2.1. Рассмотрим уравнение
’ Р2 - Рз + “2Р4 - u3pI = °,
< pl-pl + u^l-^p^O, (2.18)
.Рг-Р2+и1р1-и2р14=0.
$ 2. С-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
277
Система (2.18) представляет собой условие интегрируемости трех-
мерного распределения в четырехмерном пространстве с координа-
з
тами (хр х2, х3, х4), задаваемого формой ш = dx4 — и' dx{.
t = i
Упражнение 2.19. Найдите оператор □, для которого
выполняется условие Do^ = 0, где F —левая часть (2.18).
(Ответ: □ = (D{ + ulD4 -р\, D2 + u2P4 - р2, D3 + u3D4 - p4)).
Замечание 2.2. Примерами уравнений, не являющихся
^-нормальными, являются уравнения Максвелла, Янга — Миллса и
Эйнштейна. Неформально это можно пояснить следующим образом.
Все эти уравнения симметричны относительно некоторой псевдо-
группы, т. е. существует такой нетривиальный С-дифференциальный
оператор R: Q —> х, где Q — некоторый горизонтальный модуль, что
lF oR=0. Отсюда получаем, что имеет место равенство R*o£F =0 и,
поскольку рассматриваемые уравнения являются уравнениями Эй-
лера— Лагранжа (т. е. lF =lF), имеем R* о=0. Таким образом,
оператор R* нарушает условие ^-нормальности.
Несмотря на эти примеры, существенно подчеркнуть, что £-нор-
мальные уравнения — это наиболее важный класс непереопределен-
ных уравнений, охватывающий подавляющее большинство уравне-
ний, встречающихся в приложениях.
Начиная с этого момента, мы рассматриваем только £-нор-
мальные уравнения*). Для такого уравнения £ последователь-
ность (2.17) точна и, следовательно, имеется точная последователь-
ность комплексов
0 - CDiff (Р, Ag(£)) -> CDiff (х, Ag(£)) -> Ag(£) 0 СЛ1 (£) - 0.
Умножим каждый из этих комплексов на С ~ 1АР ~ \£) (см. упр. 2.12):
0 - CDiff (Р, Ag(£)) ®Cp-1Ap-l(£)^ CDiff (ж, Ag(£)) ®CP ~ lAp ~1 (£)
-> Ag(£) ® CA1 (£) ® Cp ~ lAp “1 (£) -> 0. (2.19)
Из точной когомологической последовательности для (2.19) и тео-
ремы 2.3 получаем следующее утверждение.
Утверждение 2.9. Пусть £ — I-нормальное уравне-
ние. Тогда когомологии комплекса
Q^CA\£}®Cp-xAp-x(£)^CA\£)®Cp-xAp-l{£)®A^(£)^...
... -> С А1 (£) ® Ср " 1АР -1 (£) ® А%(£) -> 0 (2.20)
*) Более подробный анализ С-спектральной последовательности, чем тот, что мы
предприняли в этой книге, позволяет вычислять законы сохранения и для уравнений,
не являющихся ^-нормальными (см. [148, 146]).
278
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
тривиальны во всех размерностях, отличных от п— 1 и п.
Группы когомологий в размерностях п — 1 и п изоморфны
соответственно ядру и коядру оператора
Упражнение 2.20. Пусть Vw е CDiff^ (х; Р) — оператор,
соответствующий Р-значной форме ш еСрАр(£)®Р (см. лемму 2.7).
Покажите, что если Д eCDif^P^Pj), то оператор
ДсрЛя(£>: СРЛР(£) ®РХ^ Ср№(£) ® Р2
переводит Vw в Д о Vw.
Комплекс
0 -> СРКР(£) -> Aj(£) ® СРКР(£) Л£(£) ® СРЛР(£) -> 0
является, очевидно, прямым слагаемым в комплексе (2.20). Поэто-
му его когомологии тривиальны во всех размерностях, отличных от
п — 1 и п. Группы когомологий в размерностях п— 1 и п изоморфны
соответственно антисимметрическим частям ядра и коядра операто-
ра (^)(р-1)-
Упражнение 2.21. Если ш е ker С Р ®
®Ср-1Ар-1(£), то, как следует из предыдущего упражнения, со-
ответствующий оператор Vw 6 CDiff^j j(x;P) удовлетворяет соот-
ношению
р-i
(^)‘(vw(x1,...,xp_1)) = £^(x1,..,xi,...,xp_1)(4U))
1 — 1
для некоторых операторов z\ еСВИ1^‘_2)(х;СО1ГГ(Р, х)). Докажите,
что ш принадлежит антисимметрической части кег^)^ ^ тогда
и только тогда, когда
VW = (-1)₽~A‘ mod^.^P,
где * означает сопряжение по последнему аргументу (т. е. по Р),
a Lp_l — модуль, определенный в упр. 2.18.
Упражнение 2.22. Покажите, что шб coker С х®
® Ср-1Ар-1(£) лежит в кососимметрической части coker
$ 2. С-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
279
тогда и только тогда, когда оператор Vw 6 CDiff^‘_ ^(z; z), отвечаю-
щий ш, удовлетворяет условию
vw = -vu mod LP-\
(символ означает сопряжение по г-му аргументу).
Упражнение 2.23. а. Покажите, что оператор
^0-’‘-1(£) = яп“1(£)->£11’п-1(£) = кег(^)‘сР
имеет вид
где h = [ш] 6 Нп~ 1(£), ш е Л^-1(£) и □ € CDiff(P, А£(£)) — некото-
рый оператор, удовлетворяющий условию dw = O(F).
б. Убедитесь, что член Е2’п-1(£) можно описать как фактор-
множество
{V£CDiff(z,Р) | (/|)*oV = V*o/«}/0,
где е = {□ о tsF | □ е CDiff(Р, Р), = □}.
в. Покажите, что оператор d\,n~l: Ell,n~1(£) = ker(£F)*
—>Е2’п-1(£) имеет вид
4n-1W = (^ + A*) mode,
где Д 6 CDiff(Р, z) — некоторый оператор, удовлетворяющий усло-
вию £F(tp) = Д(Р).
г. Опишите операторы df,n и для всех р > 0.
Собирая вместе все сказанное выше, мы приходим к следующе-
му описанию члена Ех(£) С-спектральной последовательности.
Теорема о двух строчках. Пусть £—£-нормаль-
ное уравнение. Тогда
1) Ei’q(£) = 0 если р > 1, q^n — 1,п;
2) Ef’n~l(£) (соответственно, Е[’п(£)) совпадает с
антисимметрической частью ядра (соответственно, коядра)
оператора
(4)^-0 = P®Cp-1Ap-1(£)->z®C₽-1Ap-1(f).
280
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Эта теорема имеет очевидное следствие.
Следствие 2.10. Группы E*'q{£) С-спектральной по-
следовательности удовлетворяют следующим условиям:
1) E^’q(£) = 0 если р^ 1, q^n — 1, n, 1 г оо;
2) Е^(£) = Е^(£)-,
3) E"'q{£) = E^q{£) = Hq{£°°), q^.n — 2;
4) E^n-1(£) = E^n-l(£) = Hn~i(£o°):
5) E^n-l(£) = El^-l(£).
2.7. Законы сохранения и производящие функции. При-
меним теперь результаты предыдущего пункта к вычислению зако-
нов сохранения £-нормального уравнения £.
Прежде всего отметим, что для формально интегрируемого
уравнения £ проекции £(fc + 1) —> £<*) являются аффинными рассло-
ениями, поэтому £(к + г> и £^ имеют одинаковый гомотопический
тип. Следовательно Н*{£°°) = Н*{£).
Далее, из теоремы о двух строчках вытекает существование
следующей точной последовательности:
а0,п-1
0->Яп-1(£)-»Яп-1(£) —> ker (£*)*.
Напомним, что группа Нп 1{£) — это группа законов сохране-
ния уравнения £ (см. определение 2.1). Законы сохранения шЕ
е Нп~1(£) С Нп *(£) называются топологическими, поскольку
они определяются только топологией уравнения £. В частности, со-
ответствующие сохраняющиеся величины не меняются при непре-
рывной деформации решений уравнения £. Поэтому топологические
законы сохранения *) для нас здесь не очень интересны, и мы рас-
смотрим факторгруппу с\(£) = Нп {£)/Нп1(£), элементы кото-
рой называются собственными законами сохранения уравнения £.
Из теоремы о двух строчках непосредственно вытекает следующая
теорема.
Теорема 2.11. Если уравнение £ является £-нормаль-
ным, то
с1(£) с ker {tp}*.
Если, кроме того, Нп(£) С Нп{£) {например, Нп(£) = 0), то
cl(£) = kerdj’n~1.
*) О них можно прочитать, например, в книге [75].
§ 2. С-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 281
Элемент ip G кег (£р)*, отвечающий закону сохранения [о>] G
G с1(£), называется его производящей функцией.
Теорема 2.11 дает эффективное описание группы (собствен-
ных) законов сохранения с1(£). Мы проиллюстрируем ее примене-
ние в § 3.
Упражнение 2.24. Покажите, что производящую функ-
цию любого закона сохранения можно продолжить на все простран-
ство таким образом, что выполнено равенство
rFW) + r<,(F) = Q. (2.21)
Докажите, что
а) равенство (2.21) выполнено тождественно, если 'ф-О(Р) и
□ = —□*;
б) решения (2.21) вида i[> = □(F) для некоторого оператора □,
□ = □*, соответствуют топологическим законам сохранения;
в) двум топологическим законам сохранения соответствует
одно и то же решение, описанное в б), в том и только том случае,
если они отличаются на элемент из образа естественного отобра-
жения Нп~ ‘(./“(тг)) = Я”' ‘(тг) -> Нп~ \£).
Отметим еще один важный факт. Пусть е кег £р — симметрия,
а [ш]еЯп“!(£) — закон сохранения уравнения 8. Тогда |эДш)] по
очевидным соображениям опять будет законом сохранения для 8.
Упражнение 2.25. Докажите, что если -ф е кег (£р)* —
производящая функция закона сохранения [ш] некоторого -нор-
мального уравнения 8, то производящая функция закона сохранения
^(ш)} имеет вид 3^0/») + Д*(^), где Д е CDiff (Р,Р) определяется
условием (F ) = Д(Я).
2.8. Уравнения Эйлера — Лагранжа. Рассмотрим некото-
рое уравнение Эйлера — Лагранжа 8 = {Е(£) = 0}, отвечающее ла-
гранжиану £ = [ш] е Яп(тг). Пусть <р е х(к) — нётерова симметрия
лагранжиана £, т. е. Э^(£) = 0.
Упражнение 2.26. Убедитесь, что нётерова симметрия
лагранжиана £ является также симметрией уравнения Эйлера —
Лагранжа 8, т. е. sym £ С sym 8.
Упражнение 2.27. Покажите, что если Е°’п(8) = 0, то
нахождение нётеровых симметрий лагранжиана £ = [ш] сводится к
решению уравнения Е(£ш(у>)) = 0.
282
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Пусть 3v(u) = du, где 1/бЛ£_1(тг). При помощи (2.5) получаем
-du = tjp) -du = <(!)(¥>) + ,(£„) - du =
= E(£)(y3) + d(^il«)-I/) = O.
Положим
^ = Ч,1(^)-^»еЛ0п-1(О.
Таким образом, d7?|f» =0, т. е. форма т/ определяет закон сохранения
[??] 6_ffn-1(£) уравнения 8. Отображение
вутГ-нЯ"-1^), ^[7?],
называется отображением Нетер.
Упражнение 2.28. Проверьте, что отображение Нетер
определено однозначно с точностью до образа естественного гомо-
морфизма Нп~ ‘^“(тг)) = Нп~1 (тг) -ч. Нп~\8).
Замечание 2.3. Как видно из конструкции отображения
Нётер, оно определено для любого, необязательно £-нормального
уравнения Эйлера — Лагранжа.
Упражнение 2.29. Докажите, что для £-нормального урав-
нения Эйлера — Лагранжа 8 выполнено равенство
d?’”-1» = ¥>, (2.22)
т. е. отображение d°’n~1 является обратным к отображению Нётер.
Замечание 2.4. Отображение Нётер можно понимать как
нахождение сохраняющегося тока, отвечающего данной производя-
щей функции закона сохранения.
Упражнение 2.30. Используя предыдущее упражнение,
покажите, что если F = 0 — уравнение Эйлера — Лагранжа, то 9V
является нётеровой симметрией его лагранжиана тогда и только
тогда, когда 9V(F) + £*(F) = 0.
2.9. Гамильтонов формализм на J00^). В заключение оста-
новимся на гамильтоновом формализме на У°°(7г).
Пусть А е CDiff(z(ir), ж(тг)) — некоторый С-дифференциальный
оператор. Определим скобку Пуассона на Яп(тг), соответствующую
оператору А, формулой
{^1> W2>A = <^(E(wi))> Е(ш2>)>
§ 2. С-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
283
где {, ) — естественное спаривание z(tt) х z(tt) -+ Яп(тг).
Упражнение 2.31. а. Пусть AeCDiff(z(7r),F), где Р —
произвольный Р’(тг)-модуль. Докажите, что если ДоЕ = 0, то А = 0.
б. Пусть AeCDiff(i)(z(7r), А^(тг)). Докажите, что если для любых
е Hn(ir) элемент A(E(a>j),..., Е(ш;)) принадлежит образу
оператора d, то imAcimd, т. е. д,(А) = 0 (см. упр. 2.5 и 2.10). В
частности, если для любого элемента а> еЯп(тг) имеет место равен-
ство 3v(w) = {tp, Е(ш)) =0, tp е z(tt), то р =0. Отметим, что равен-
ство = {tp, Е(ш)) вытекает из соотношений
{tp, ад) = <*>, СО» = {iM, О = W, 1).
в. С помощью пп. а. и б. убедитесь, что если для любых ю,, ш2
их скобка тривиальна, то А = 0.
Оператор А называется гамильтоновым, если его скобка Пу-
ассона задает на Я”(тг) структуру К-алгебры Ли, т. е. если
(2.23)
{{Ч> W2>A> ШзЬ + {{^2> Шз)л> )л + {{ш3> Ш1 }л> w2)a = °-
(2.24)
Скобка { , }л называется гамильтоновой структурой.
Упражнение 2.32. Докажите, что скобка Пуассона, от-
вечающая оператору А, кососимметрична, т. е. условие (2.23) вы-
полнено тогда и только тогда, когда оператор А кососопряжен (т. е.
А* = -А).
Теперь мы сформулируем критерии, позволяющие определить,
является ли кососопряженный оператор А 6 CDiff(z(7r), z(tt)) га-
мильтоновым. Для этого заметим следующее. Пусть Р=Р{к, £),
Р' = £') — горизонтальные модули и Д: Р —>Р' — С-диффе-
ренциальный оператор. Пусть Da = D"1 о.. .oD’n. Тогда для любого
а|<т|
сечения зеГ(тг) имеет место равенство j00{s)*(Daf) = -—0те(з)*/)
(см. гл. 4). Поэтому Д можно рассматривать как нелинейный диффе-
ренциальный оператор, действующий из сечений расслоения тг, зна-
чения которого суть линейные дифференциальные операторы Г(£)~>
—>Г(£'). Универсальная линеаризация этого оператора, которую мы
обозначим через £д, есть элемент модуля CDiff(z, CDiff(P, Р')) =
= CDiff(z, Р;Р'). Для произвольного С-дифференциального опера-
тора A: z(tt) —> z(tt) и t[> е z(ir) определим С-дифференциальный
оператор tA z(vr) z(tt), полагая
284
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Упражнение 2.33. Докажите, что
Теорема 2.12. Пусть A G CDiff(«(vr), ж(тг)) — кососопря-
женный оператор. Тогда следующие условия эквивалентные
1) А — гамильтонов оператор;
2) равенство
(£а(А(^Ш2), V-з) + <^а(А(^2))(^з)> V-i) + V>2) = О
выполнено для любых элементов ^2> ^3 *(7Г)>
3) равенство ^^1(A(V’2))-^,^(j4(V’1))=A(^^(V’i)) выпол-
нено для любых элементов V’p ^2 бх(тг);
4) выражение £a ^(A(i/>2))+^A(£a ^(Фг)) симметрично от-
носительно ф1,ф2Е х(тг);
5) для любого элемента ф 6х(тг) имеет место равенст-
во*)
[Э^)> ‘‘М = ^А{ф) ° А + А О 1дц,у
При этом условия 2)-5) достаточно проверять на эле-
ментах ф{ 6 im Е.
Доказательство. Пусть wv ш2, ш3 е Нп(к) и i/>. = E(a>t).
Тождество Якоби (2.24) имеет вид
{{^1> ш2>л> шзУа + (Цикл.) = -Э^/А^), Ф2) + (цикл.) =
= -Paw(A)0M, Ф2) - (А(£ф1(А(ф3))),ф2) -
~ М(^), + (цикл.) =
= + (А(ф2), ^(А(О) -
- Ж)>^(А(ф3))) + (цикл.) =
= -<<1(А(^Ж), ^2> + (цикл.) = 0, (2.25)
где (цикл.) обозначает слагаемые, получаемые циклической пере-
становкой индексов. Из упр. 2.31 следует, что равенство (2.25) вы-
полняется для любых элементов ф{ G «(тг). Критерий 2) доказан.
*) Пусть Р = F(ir,(), Р' = Р(тг,^') — два горизонтальных модуля и F: Р —>
—>Р' — некоторое отображение. Тогда для любого G Рфг, тг) определен коммутатор
[3v,F]=f3^ oF -F оЭ^, поскольку всякое поле определяет семейство диффе-
ренцирований Э^: F(ir,0-^ F(Tr,$) (см. гл. 4).
§ 2. С-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
285
Перепишем теперь тождество Якоби в виде
+ MWi), ^з) = 0.
Используя упр. 2.33, получаем
- «^(А(А))> V-з) - {А , V-з) =0,
откуда, ввиду упр. 2.31, следует критерий 3).
Эквивалентность критериев 3) и 4) вытекает из упр. 2.33.
Критерий 5) эквивалентен критерию 3) в силу очевидных ра-
венств
[ЭА(^АШ^£а^А^2)),
£а,Ф° а — £а(Ф)° А —Ао£фо А.
Теорема доказана, ц
П^сть А: х(тг) -» ж(тг) — гамильтонов оператор. Для каждого
ш е Н (тг) эволюционное дифференцирование Хш = ЭЛ(Е(ы)) называ-
ется гамильтоновым векторным полем, отвечающим гамильтони-
ану от. Очевидно, что
*Ы1(^2) = <ЛЕ(Ш1 )> E(w2)) = {u>v и2}А.
Отсюда вытекает, что
х{ш^}А = ш2)а’ = {^1, {^2> - {Ш2> {Ч> =
= о Х^-Х^ о Xui)(«) =
для всех ш е Нп(тг), следовательно,
Хи1(^) = [ХШ1,Х^]. (2.26)
Как и в конечномерном гамильтоновом формализме, из равен-
ства (2.26) следует результат, аналогичный теореме Нетер.
Для каждого Н е .и (тг) эволюционное уравнение
ut = A(E(W)), (2.27)
отвечающее гамильтонову полю с гамильтонианом Н, назовем га-
мильтоновым эволюционным уравнением.
286
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Теорема 2.13. Гамильтонов оператор А отображает
производящие функции законов сохранения уравнения (2.27) в
симметрии этого уравнения.
Доказательство. Пусть
w0(t) + ^(i) A dt eAJ(7r)ffiA^-1(7r)Adi
сохраняющийся ток для уравнения (2.27). Это означает, что
Pt(w0(i)) = 0, где %(<) е Нп(к) — горизонтальный когомологиче-
ский класс, отвечающий форме 20(i), a Dt — ограниченная на урав-
нение полная производная по t. Далее,
= ~Q^ + ^A(E(W))(U’o) = + W %}•
Отсюда получаем, что
^X4, + [X„,XJ=O.
Следовательно, поле X — w — симметрия уравнения (2.27).
Остается заметить, что Е(а>0) — производящая функция рассматри-
ваемого закона сохранения (ср. упр. 3.2). Теорема доказана. □
Упражнение 2.34. а. Кососопряженный оператор
В 6 Е?’п(к) с CDiff(«(7r), х(тг))
называется симплектическим, если df’n(B) = O. Докажите, что
следующие условия эквивалентны:
1) В — симплектический оператор,
2) равенство
У’з) + (МУ’гХУ’з)» ¥>1> + (My’sXy’i), У’г) = 0
выполнено для всех <р{, <р2, <р3 е «(тг);
3) равенство ^>Р1(¥>2) “ = £в,₽1(¥>2) имеет место Л"51
любых ^,¥>2,6 «(тг);
4) выражение (у>)—(SP2) симметрично по <рг, <р2, е «(тг);
5) ^вМ = *в,ч> ~ *b,V’ гДе> как и выше> оператор tB vi е
е CDiff(z(Tr), ж(тг)), <р е «(тг), определяется равенством ^Bvi(v>2) =
б. Эволюционное уравнение ut = ip, ip 6 «(тг), называется га-
мильтоновым (относительно симплектического оператора В),
если В(у>) = Е(Н) для некоторого гамильтониана Н е Aq(tt). Выяс-
ните, как связаны симметрии и законы сохранения такого гамиль-
тонова уравнения.
$ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
287
§ 3. Вычисление законов сохранения
В этом параграфе мы рассматриваем теорию С-спектральной
последовательности с точки зрения приложений. Прежде всего мы
описываем процедуру нахождения законов сохранения, основанную
на теореме 2.11. Использование аппарата производящих функций
позволяет, во-первых, эффективно описывать законы сохранения,
т. е. сохраняющиеся токи по модулю тривиальных, и, во-вторых,
находить все законы сохранения рассматриваемого уравнения. Да-
лее приводятся некоторые конкретные результаты, иллюстрирую-
щие технику вычисления законов сохранения.
3.1. Общие сведения. В этом пункте мы формулируем основ-
ные результаты, касающиеся производящих функций законов сохра-
нения, в координатной форме, удобной для конкретных вычислений.
Этот материал можно читать независимо от § 2.
Пусть S = (Sj,..., Sn) — сохраняющийся ток для уравнения 8 =
= {F=0} с п независимыми и т зависимыми переменными. Тогда
равенство (1.4), выполняющееся на 8°°, эквивалентно равенству
п I
£ад>-Еол). <31>
i = 1 j = 1
где I — число уравнений, П;. = о?а Da — скалярные дифференци-
(7
альные операторы, F = (Fv..., Ft).
Напомним, что операторы вида $2 aaDg называются С-диффе-
(7
ренциальными или горизонтальными, и что если А=52 aaDa — ска-
(7
лярный С-дифференциальный оператор, то А* = 52(_1)|,т|^а —
<Г
(формально) сопряженный с А оператор. Если Д= ||А^|| — ма-
тричный С-дифференциальный оператор, то А* = ||A*J|.
Имеет место следующий фундаментальный факт (см. теоре-
му 2.11).
Теорема 3.1. Пусть — операторы, удовлет-
воряющие равенству (3.1). Тогда ограничение ^ = (Dj(l),...
..., □*(1))|£00 вектор-функции (Dj(l),..., Ц*(1)) на уравне-
ние 8°° удовлетворяет уравнению
$)*W=0.
Заметим, что вектор-функция неоднозначно определяется по
сохраняющемуся току S.
288
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Упражнение 3.1. Убедитесь, что такая неоднозначность
имеет место для уравнения (2.18).
Если для рассматриваемого уравнения вектор-функция опре-
деляется по сохраняющемуся току однозначно, то она, очевидно,
не меняется при добавлении к S тривиального тока. Таким обра-
зом, V’ одинакова для всех эквивалентных сохраняющихся токов, и
поэтому характеризует соответствующий закон сохранения. Такая
вектор-функция $ называется производящей функцией закона со-
хранения.
Упражнение 3.2. Докажите, что для эволюционных урав-
нений
ut=f(x,u,ux,uxx,...)
производящая функция, соответствующая сохраняющемуся току
(SQ, Sv..., Sn), где SQ — 1-компонента, имеет вид ^=1^(1), т. е.
— левая часть уравнений Эйлера — Лагранжа, отвечающих ла-
гранжиану So, если последний понимать как функцию только пере-
менных х, и, их, ихх,...
Важнейший класс уравнений, для которых каждому закону со-
хранения однозначно соответствует производящая функция, состав-
ляют регулярные и определенные (I = т) уравнения. Такие уравне-
ния называются I-нормальными уравнениями (см. п. 2.6). Почти
все встречающиеся на практике уравнения l-нормальны.
Выясним, насколько однозначно определяется закон сохране-
ния своей производящей функцией. Если рассматриваемое уравне-
ние 8 является I-нормальным, то любой класс когомологий де Рама
£ eHn~i(E) может быть проинтерпретирован как закон сохранения
уравнения 8. Такие топологические законы сохранения, разуме-
ется, малоинтересны (см., однако, [75]), поскольку они постоянны
на всех решениях, получающихся друг из друга непрерывной дефор-
мацией. Из результатов п. 2.7 следует следующая теорема.
Теорема 3.2. Пусть 8 —t-нормальное уравнение. Два
закона сохранения уравнения 8 имеют одну и ту же произ-
водящую функцию тогда и только тогда, когда они отлича-
ются на топологический закон сохранения.
Факторгруппа всех законов сохранения по топологическим на-
зывается группой собственных законов сохранения.
Таким образом, для l-нормальных уравнений вопрос о нахож-
дении собственных законов сохранения эквивалентен вопросу о вы-
числении их производящих функций, т. е. о решении уравнения
(4)*^)=о.
(3-2)
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
289
Однако не всякое решение (3.2) является производящей функцией
некоторого закона сохранения. Процедура «отбраковки» ненужных
решений состоит в следующем.
Пусть — решение уравнения (3.2). Это означает, что ££(^) =
= A(F), где Д — некоторый матричный С-дифференциальный опе-
ратор размерности т х I. Если существует такой матричный С-диф-
ференциальный оператор V размерности I х I, что
^ + (A|£=o)‘ = V|£0Oo^,
v* = v,
то гр является производящей функцией некоторого закона сохране-
ния, и наоборот. Это было доказано в п. 2.6. (См. упр. 2.23 в. и
следствие 2.10 4.)
В заключение опишем действие симметрий уравнения £ = {F =
= 0} на его законы сохранения в терминах производящих функций.
Пусть е sym С и гр е кег (££)* — производящая функция закона
сохранения. Тогда Э (F) = A(F), где Д— некоторый С-дифферен-
циальный оператор. Из упр. 2.25 следует, что действует на про-
странстве производящих функций по формуле гр г-* Э^гр) + Д*(^).
Упражнение 3.3. Выведите аналог коммутаторного тож-
дества (4.1) гл. 4 для законов сохранения.
3.2. Примеры. В этом пункте мы приводим несколько приме-
ров, иллюстрирующих описанный выше алгоритм вычисления зако-
нов сохранения*).
Пример 3.1. Мы начнем с вычисления законов сохранения
уравнения Бюргерса:
F = + ииг — и, = 0.
XX ' X t
Оператор teF, £ = {F = 0}, имеет вид £F=D2 + uDx +p{—Dt (обо-
значения см. в п. 4.1 гл. 4), следовательно,
(4)* = D2X - Dx о и + pi + Dt = D2 - uDx + Dt.
Будем искать производящую функцию в форме гр(х, t,u,
где к 0 и ^0. Тогда, используя формулы для Dx и Dt из п. 4.1
*) Вычисление законов сохранения в техническом плане совершенно аналогич-
но вычислению симметрий, которое было подробно разобрано в гл. 4. Поэтому мы не
останавливаемся здесь на подробностях вычислений. Детали вычислений, относящи-
еся к примерам 3.2, 3.7, 3.9-3.11, можно найти в [141].
19 Симметрии...
290
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
гл. 4, получим
D№)=PM-^ + O(k + l),
D,W=Pt^+O(l: + l).
Таким образом,
^)'W) = 2P1+!^+O(t + l),
Л /
и равенство (/£) (^) = 0 означает, что -— =0. Полученное проти-
“Рк
воречие доказывает, что ф = ф(х,1) и, следовательно,
№)* W0 - 1>хх + ^ - ™1>х = 0.
Поскольку ф не зависит от и, то фх = 0. Следовательно, V’t = 0.
т. е. ф — const. Сохраняющийся ток, соответствующий производя-
/ и2\
щей функции ф = 1, имеет вид I -и,их + — I. Итак, мы доказали,
что группа законов сохранения уравнения Бюргерса одномерна и
/ «2\
порождена сохраняющимся током I —и, их + — I.
Пример 3.2. Рассмотрим многомерное уравнение типа урав-
нения теплопроводности
г*4 = Д(и“)+ /(«), Д = «^0.
дх?
В этом случае из уравнения (3.2) легко следует, что ф зависит толь-
ко от переменных (t, х), причем
Л \
— -Ьа^-’Д) ф + /'(и)ф=0. (3.3)
0L J
Простой анализ уравнения (3.3) показывает, что рассматриваемое
уравнение имеет законы сохранения только в том случае, если вы-
полнено равенство
/(и) = аи“ + Ьи + с.
Тогда если а £ 1, то ф = v(x)e~bt, причем функция v = v(x) удов-
летворяет уравнению Ди + av = 0. Если а = 1, то f(u) — Ьи + с и
функция ф = ф(х, t) удовлетворяет уравнению ф1 + Д^ + Ьф = 0.
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
291
Сохраняющийся ток, отвечающий производящей функции
имеет вид
(фи, фХ1иа — афиа~1их^ — с | ф (Их^ф^и0 — афиа~1их^,.,.
..Фхиа — афиа
Пример 3.3. Если 8 = {Д = 0} — линейная система урав-
нений, заданная оператором Д, то, очевидно, всякому решению со-
пряженной системы 8* = {Д* = 0} соответствует некоторый закон
сохранения (ср. с примером 3.2 в случае, когда а = 1).
Упражнение 3.4. Выясните, являются ли линейные за-
коны сохранения из примера 3.3 полным набором законов сохра-
нения (см. § 1) для /-нормального линейного уравнения.
Пример 3.4 [76]. Уравнение
п п2
ut ~ &Ut = Д = S (3-4)
7^1 dxi
описывающее процесс фильтрации жидкости в трещиновато-пори-
стой среде, обладает полным набором линейных законов сохране-
ния. Продемонстрируем это на примере краевой задачи с условиями
и(х, 0) = ч>(х), х е V,
u(x,t) = h(x,t), xEdV, t>0,
где V с Кп — ограниченная область с кусочно гладкой границей dV,
ip(x) = h(x,0) при xedV. Будем искать производящие функции
v(x,t) линейных законов сохранения уравнения (3.4), т. е. решения
уравнения
vt — Д vt + Ди = 0, (3.5)
удовлетворяющее однородным граничным условиям
и(ж>О1ау =0, />0. (3.6)
Воспользовавшись для этого стандартным методом Фурье разделе-
ния переменных, получим полную и ортогональную в L2(V) систему
функций, удовлетворяющих уравнениям (3.5) и (3.6):
vk(x,t) = e^Xk(x), А^-^, fc = 1,2,3,...,
1 + Лк
19»
292
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
где Хк и Хк(х) — собственные значения и собственные функции
задачи Штурма — Лиувилля
ДХ+АХ=0,
X|9V=0.
Закон сохранения с производящей функцией v(x,t) в интегральной
форме имеет вид
d С. . . , f (. .dv / dut ди\ \ ,
-) (<“ +“>^- (а? + <3 7>
V 9V
где п — единичная внешняя нормаль к dV, a da — элемент поверх-
ности. При заданной функции v(x,t) в правой части формулы (3.7)
из начальных и граничных условий известны все величины, поэтому
можно найти значения интеграла j (y-&v)udx в произвольный мо-
V
мент времени, если известно его значение в начальный момент t =0.
Это позволяет найти коэффициенты Фурье ck(t) функции и(х, t) по
ортогональной системе {«*}, поскольку
с. (i) = ——й ( v.udx —---U----f (v. — Avt)u dx.
‘ W2J * (1 + \)W2J k k
Таким образом, полнота системы функций {vk} в пространстве
L2(V) означает полноту системы законов сохранения с произво-
дящими функциями vk(x,t).
Пример 3.5. Уравнение Кортевега — де Фриза
и = Оии —
t X XXX
обладает, как хорошо известно, бесконечной серией законов сохра-
нения (см., например, [47, 1, 53, 55, 93, 95]), начинающейся с зако-
нов сохранения массы, момента количества движения и энергии:
«t + (-3«2 + «a!a!)a!=0)
(«2)t + (—+ 2иихх ~их)х= О,
(3 , 1 2 1 , Л 4 . о 2 с 2 , 1 2 1 л
и 4- — и I 4- I —и 4- би и — огш 4- и и и — U.
2Ж/ \ 2 ХХ X 1 X XXX 2 XX J
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
293
Доказательство теоремы о существовании бесконечной серии зако-
нов сохранения и их вид были получены различными авторами и раз-
личными способами (см., в частности, утверждение 4.1). Решение
этой проблемы привело к открытию знаменитого метода обратной
задачи рассеяния (о котором в настоящее время имеется обшир-
нейшая литература, см., например, книги [1, 53, 31, 93, 95, 104] и
содержащуюся в них библиографию). Описанная выше техника вы-
числений позволяет не только без особого труда получить бесконеч-
ную серию законов сохранения, но и доказать, что других законов
сохранения у уравнения Кортевега — де Фриза нет.
Упражнение 3.5. Докажите, что эволюционные урав-
нения ut — f(x,ux,uxx,...) четного порядка не могут иметь бес-
конечное множество законов сохранения с неограниченным ростом
входящих в них производных.
Пример 3.6. Нелинейное уравнение Шрёдингера
" Э2
г^ = Д^ + |^|2^, Д =
имеет два физически очевидных закона сохранения:
(1Ж +iV(W - V>W) = 0, V = (
(|W|2 - W)t +*7((Д^ + IV-I2^)^ - (Д^ + M2^)W) = 0.
Если число пространственных переменных п = 1, то, как и урав-
нение Кортевега — де Фриза, оно обладает хорошо известной бес-
конечной серией законов сохранения. Напротив, при п > 1 других
законов сохранения у этого уравнения нет.
Замечание 3.1. Всплеск интереса к уравнению Кортеве-
га— де Фриза и нелинейному уравнению Шрёдингера в конце 60-
начале 70 гг. привел к открытию довольно большого класса нелиней-
ных уравнений, обладающих полным набором законов сохранения и
допускающих, благодаря этому, решение методом обратной задачи
теории рассеяния. К нему относятся уравнения Буссинеска, Кадом-
цева — Петвиашвили, Гарри — Дима, sin-Гордон и многие другие.
Пример 3.7. Рассмотрим систему уравнений Захарова, опи-
сывающую процессы нелинейного взаимодействия двух волн раз-
294
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
личных пространственно-временных масштабов:
'i^t + 'Фхх~п'Ф=<^
< nt+ux=Q,
lut + n^ + (l^|2)a.=0-
(3.8)
Эта система уравнений неинтегрируема, хотя она обладает целым
рядом свойств, характерных для «солитонных уравнений». Прямое
вычисление законов сохранения с помощью (3.2) в данном слу-
чае оказывается практически невозможным. Доказать неинтегриру-
емость (3.8) удается лишь с использованием техники гамильтоновых
структур (см. п. 4.2).
Уравнение (3.8) обладает восемью законами сохранения:
(1 1 2 2\
^Шх ~ М>х) ~ пи, к(1^|2)яя - 2Ш2 - и|^|2 ~ у ~ у)
(закон сохранения квази-импульса)
(2 2 1
Ш2 + ПМ2 + у + у, j(i>xx^x - $хх-фх)+
+'т(Ф‘Фх ~ + nu- ulV’l2)
(закон сохранения квази-энергии)
3) (|^|2,г(^^-WJ)
(закон сохранения квази-частиц)
4) ^£|^|2 + tn — хи, — x\tp\2 — xn + tuj
/ t2 - -
5) 1 12|^> |2 + (x2 + t2)n — 2txu, —('Ф'ФХ — ,Ф'ФХ)—
—2tx\^\2 — 2txn + (x2 + t2)uj
6) (tu — xn, tn — XU + t\'l/>\2)
7) (n, u)
8) («, n+lV’l2)
Пример 3.8 [134]. Уравнения пластичности (см. п. 4.3
гл. 4): !
ue + -v = 0,
<
1
Л+2и = °’
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
295
допускают бесконечную серию законов сохранения, которая полу-
чается из одного закона сохранения с производящей функцией
действием симметрий /2‘к, д2к, О О ^2fc, и применением оператора
^2*) > k =0,1,2,... (см. теорему 4.8 в гл. 4). Эта серия вместе
с законами сохранения, производящие функции (В^, т]),В2(£,т]У)
которых являются решениями системы
-о
I ае 2Вг“ °’
Ш-Ь1=о,
к от] 2
образуют все пространство законов сохранения уравнений пластич-
ности.
Упражнение 3.6. Проверьте, что производящей функции
(ф{,ф2) отвечает сохраняющийся ток (иф^иф^.
Пример 3.9. Уравнение Хохлова — Заболотской нелиней-
ной акустики ограниченных звуковых пучков (см. п. 5.3 гл. 3) имеет
вид
d2u 1 д2(и2) д2и д2и _
dqldq2 + 2 Qq2 + dq% + dq%~
Оно обладает большой группой законов сохранения, производящие
функции которых описываются следующим образом;
Ф = 91 Л(92, 9з> 9*) + в(«2> 9з> 9^,
где Л и 5 — произвольные решения системы
{Л Ч” Л — О,
ЧЗЯЗ «4 «4 ’
в +в =л .
«3«3 42
Сохраняющийся ток, отвечающий функции ф, равен
/ и2
( (?1 Л - £)(гшд] - %) - Лу, Ли,
(?1 Л + Bju* - (?!Л% + В^и, (91Л + 8)*^ - (9,Лд< + BgJu I.
296
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Двумерный аналог уравнения Хохлова — Заболотской выглядит
следующим образом:
д2и 1 д2(и2) д2и
dq1dq2 + 2 dq2 + dq%
Производящие функции законов сохранения для этого уравнения
имеют вид
з о2
Ф = 91 ®(92)9з + а'(92) 6 + 91Ь(9г) + Ь'(9г) % + с^2)?з + d(92), (3.9)
где а, Ь, с, d — произвольные функции от q2.
Для осесимметрического уравнения Хохлова — Заболотской
д2и 1 с?2(и2) д2и 1 ди _
dq^ dq2 + 2 dq2 + dq% + q3 Qq3 ~
производящие функции законов сохранения записываются следую-
щим образом:
1 з
Ф = 91 «(92)93 1п 93 + 4 а (92 )93 (1п 9з “ 1) +
1 з
+ 91 Ь(92)?з + 4Ь (92)9з + с(92)93 1п93 + d(q2)q3, (3.10)
где вновь a, b, с, d — произвольные функции от q2.
Упражнение 3.7. Найдите сохраняющиеся токи, соответ-
ствующие производящим функциям (3.9) и (3.10).
Пример 3.10. Уравнения Навье — Стокса движения вязкой
несжимаемой жидкости в трехмерной области
{ди „ __ а
— +и • Vu = -Vp + i/Дм,
dt
Vu = 0
(здесь u = (и\и2,и3) — поле скоростей, р—давление) обладают
7-мерным пространством законов сохранения. Базисные производя-
$ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
297
щие функции имеют следующий вид:
=(ж2> — ж1>0> ulx2 ~ u2;e1)>
Ф2 = (®3> ®1)’
V’s ~ (0, ®3> ®2> U Х$ U 3Jj)>
= (aj(i), 0,0, ti ttj(i) —
Ф5 ~ (О> О, U ~ а2^)х2^
Фз = (О> °з(0> и3°з(0 ~ аз(^)хз)>
Ф7 = (0,0,0,
где ар 02, Og, f —произвольные функции переменной t.
Упражнение 3.8. Найдите сохраняющиеся токи, отве-
чающие этим производящим функциям, и определите физический
смысл всех законов сохранения.
Пример 3.11. Уравнения Кадомцева — Погуце (см. п. 5.4
гл. 3), описывающие нелинейные процессы в высокотемпературной
плазме, записываются в виде:
’ dtp _ ,, д<р
^Дх¥> + [Vx¥>, VxAxV>], = + [VXV>, VXAX^]„
„ ( 9 9 \ . 92 92 Г 1
где vx = —, 3-), Дх = —s + —9, [u, v] = и v - и v ,
x \dx dy J x dx2 dy2 v v
(x,y,z,t)— стандартные пространственно-временные координаты,
<p и чр суть потенциалы скорости и поперечной компоненты магнит-
ного поля соответственно.
Производящие функции законов сохранения этого уравнения,
зависящие от производных порядка не больше трех, выглядят так *):
= ((a® + by + c)G(z, t), 0),
92 = (а(х2 + у2), -4а),
93 = (0(х2 + у2), 4/3),
^4 = (7(¥> “ Ф), ~ Д1¥>))>
05 = (8(<р + V>), + AiVO),
*) По-видимому, другими законами сохранения уравнение Кадомцева — Погуце
не обладает.
298
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
где G = G(z,t), a = a(z — t), (3 =(3(z + t), 7 = 7(2: — i), S — S(z + t),
a, b, c — произвольные константы.
Упражнение 3.9. Найдите сохраняющиеся токи для функ-
ций 01,...,05. Какова физическая интерпретация закона сохране-
ния, соответствующего производящей функции в4?
Упражнение 3.10. Убедитесь, что законы сохранения,
отвечающие функциям 02 и 04, переводятся в законы сохранения,
отвечающие функциям 03 и 05, с помощью преобразования t н-> -z,
<р i-> — тр, являющегося дискретной симметрией уравнений Кадомце-
ва — Погуце.
§ 4. Симметрии и законы сохранения
4.1. Теорема Нетер. Как известно, законы сохранения уравне-
ний, возникающих из вариационного принципа, происходят из тех
или иных симметрий действия. В этом состоит (первая) теорема
Нётер [52]. Поскольку до работ [14, 15, 148] по С-спектральной по-
следовательности эта теорема служила единственным общим мето-
дом нахождения законов сохранения, до сих пор распространено
мнение, что существование сохраняющихся величин всегда явля-
ется проявлением каких-либо свойств симметрии рассматриваемо-
го уравнения. Однако примеры, приведенные в § 3, показывают,
что это, вообще говоря, не так. Скажем, уравнение Бюргерса имеет
лишь один закон сохранения, тогда как алгебра симметрий в этом
случае бесконечномерна (теорема 4.4 гл. 4).
В то же время ясно, что концепции симметрии и закона сохра-
нения нельзя рассматривать как совершенно независимые: для их
нахождения приходится решать взаимно сопряженные уравнения
(3.19) гл. 4 и (3.2). Этот факт проясняет природу теоремы Нётер.
Напомним (см. п. 2.5), что уравнение F = 0 (локально) является
следствием некоторого вариационного принципа в том и только том
случае, если tF =t*F. Поэтому в данном случае системы (3.19) гл. 4
и (3.2) совпадают и, значит, всякому закону сохранения отвечает
некоторая симметрия. Из равенства (2.22) следует, что построен-
ное таким образом отображение законов сохранения в симметрии
представляет собой обращение отображения Нётер, которое всякой
нётеровой симметрии лагранжиана сопоставляет закон сохранения
соответствующего ему уравнения Эйлера — Лагранжа (см. п. 2.8).
Напомним, что лагранжианом (действием, или вариацион-
ным функционалом) £— 1 L(x,u,pla)dx, где dx =dxl Л.. .t\dxn,
§ 4. СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
299
называется функционал, определенный на сечениях некоторого рас-
слоения тг и имеющий вид
f д|<т|з’
s i-> I L(x, з(х),..—-,.. .)d®i Л ... Adxn, sG Г(тг).
м
Функция L G Р(тг) (или форма LdxGA^(7r)) называется плот-
ностью лагранжиана. Лагранжевой (вариационной) производной
лагранжиана £ = j Ldx называется функция
^4 = Е(-1)|аЧ (^4) е^тг).
Sul ° \др)
(У 4 * <7 '
Упражнение 4.1. Убедитесь, что лагранжева производ-
bL С
ная —у однозначно определяется функционалом £=1£с1а;ине
ои J
зависит от выбора плотности L.
г-iА гъ~
Оператор Е(£) = I —г,..., 7-^ I называется оператором Эи-
\Su ои )
лера, а уравнение Е(£) = 0 — уравнением Эйлера — Лагранжа,
отвечающим лагранжиану £. В п. 2.5 мы доказали, что уравнение
Эйлера — Лагранжа тривиально в том и только том случае, когда
плотность L является полной дивергенцией, т. е. когда для некото-
рых Рр Р2,.. .,Рпе Р(тг) выполнено равенство
L = Dl(Pl) + D2(P2) + ... + Dn(Pn).
Кроме того, в п. 2.5 было показано, что уравнение F — 0 является
уравнением Эйлера — Лагранжа для некоторого лагранжиана тогда
и только тогда, когда
4 =С.
Г Г
Эволюционное дифференцирование называется нётеровой
симметрией лагранжиана если Э^(£) = 0, т. е. если сущест-
вуют такие функции Рр Р2,..., Рп G Р(тг), что
Э^Ь) = D^PJ + D2(P2) + ...+ Dn(Pn).
Если F = 0 — уравнение Эйлера — Лагранжа, отвечающее лагран-
жиану £, т. е. F = Е(£), то Э является нётеровой симметрией £ в
том и только том случае, если
3¥,(F) + ^(P)-0 (4.1)
300
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
(см. упр. 2.30). В частности, — симметрия уравнения F = 0 (об-
ращение последнего утверждения неверно!).
Из результатов, обсуждавшихся в п. 2.8, вытекает следующая
фундаментальная теорема.
Теорема Нётер. Пусть 8 = {Е(£) = 0} — I -нормаль-
ное уравнение Эйлера — Лагранжа, отвечающее лагранжиа-
ну £,. Тогда эволюционное дифференцирование является
нётеровой симметрией лагранжиана С, тогда и только то-
гда, когда tp — производящая функция закона сохранения для
уравнения 8 *).
Пример 4.1. Рассмотрим уравнение sin-Гордон
w, = sin и.
ху
Оно является уравнением Эйлера — Лагранжа (проверьте условие
= £f!) для лагранжиана с плотностью
Т 1
Ь = nUXUV ~ C0S“•
2 у
Упражнение 4.2. Применяя (4.1), проверьте, что функции
1 з
5 о 5 п 3 5
to- = и Ч—и и -I—и и -I—и
гз ххххх 1 2 х ххх ' 2 х хх т 8 х
являются нётеровыми симметриями рассматриваемого лагранжиа-
на.
Замечание 4.1. Симметрии <plt <р2 и <р3 получаются одна
из другой с помощью известного оператора рекурсии H = D^ + u^~
~uxDxl -ихх’ 4>2 = R(.4>\)> v>3 = R(v>2) = R2(tPi)-
По теореме Нётер функции <plt <р2 и <р3 являются производящи-
ми функциями законов сохранения уравнения sin-Гордон.
*) Как уже упоминалось выше, важнейший класс уравнений Эйлера — Лагран-
жа, не являющихся ^-нормальными, составляют уравнения, обладающие калибровоч-
ной инвариантностью, такие как уравнения Максвелла, Янга — Миллса, Эйнштейна.
У этих уравнений ядро отображения Нётер, т. е. множество нётеровых симметрий,
дающих тривиальные законы сохранения, совпадает с множеством калибровочных
симметрий.
§ 4. СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
301
Пример 4.2. Рассмотрим задачу о движении г материаль-
ных точек с массами т1,.. ,,тТ в некотором потенциальном поле.
Пусть х3 = (х{,х^,х3) — координаты точки с номером j. Как хорошо
известно, ньютоновские уравнения движения
j . ТТ ( ди ди ди \ . .
3 “ 6 3 \ дх3' дх32 дх33)
где U(t,x?) — потенциальная энергия, являются уравнениями Эй-
лера — Лагранжа для лагранжиана с плотностью
L = S ^mj«xi)2 + )2 + (®з )2) “ и-
i=i
В этом примере мы рассмотрим классические нётеровы симметрии,
производящие функции которых имеют вид
= xi) ~ а(^> k = I = 1,2,3.
При этом ограничимся симметриями, удовлетворяющими условию
X(1)(Ldt) = 0,
где X = a(t, х3-)^- + У 6,*(t, а Х(1) — поднятие поля X в
dt dxi
пространство 1-джетов (см. гл. 3).
По теореме Нётер такой симметрии отвечает первый интеграл
У т.Ь3х3 — аЕ = const,
г 1 * °
где Е = У -m((if)2 + (^2 )2 + (®з )2) + — полная энергия систе-
> = 1 2
мы (проверьте!).
Если потенциальная энергия U не зависит явно от времени,
ди п i -j
т. е. = О, то, как легко проверить, — нетерова сим-
метрия. Получающийся первый интеграл есть энергия Е = const.
Мы сталкиваемся здесь с обычной в физике ситуацией: сохранение
энергии есть проявление инвариантности рассматриваемой системы
относительно сдвигов по времени.
Если функция U инвариантна относительно пространственных
сдвигов в каком-то фиксированном направлении l = /3)€R3, то
302
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
<р/ = lf — нётерова симметрия. Соответствующий первый интеграл
есть импульс
ЕтД.х? = const.
j г i
i-.j
Мы видим, что сохранение импульса связано с трансляционной ин-
вариантностью.
Еще один пример такого же рода: инвариантность U относи-
тельно вращений влечет за собой сохранение момента количества
движения. Возьмем, например, ось z. Соответствующая нётерова
симметрия имеет вид = —х£, =Х1'> ‘Рз =0, и ей отвечает со-
хранение z-компоненты момента импульса:
У (х^х£ — х(х^ = const.
з
Замечание 4.2. Из нашего обсуждения теоремы Нётер
видно, что соответствие симметрий законам сохранения, задавае-
мое обратной теоремой Нётер, имеет место для значительно более
широкого класса уравнений, чем уравнения Эйлера — Лагранжа, а
именно для таких уравнений £ = {F =0}, для которых имеет место
равенство
(4)*=А4, XeF(£).
Простейший пример уравнения такого рода — кососопряженное
уравнение их = иу. Для этого уравнения мы имеем (^) = —£р.
4.2. Гамильтоновы уравнения. В этом пункте мы
обсуждаем гамильтоновы дифференциальные уравнения. Даль-
нейшие подробности заинтересованный читатель может найти
в [16, 81, 93, 95, 114, 55, 47] и др.
Матричный С-дифференциальный оператор ||A*J|| размер-
ности т х т, At3 = > AljD„, называется гамильтоновым, если
’ / а а1 г
v
соответствующая ему скобка Пуассона
{£,,£,} = ( у ^da.
1 1 2/ J \8и3 J 8и
г,3
где £[ и £2 — лагранжианы, задает структуру алгебры Ли на
пространстве лагранжианов. Кососимметричность скобки Пуассо-
на равносильна кососопряженности оператора А, т. е. выполнению
равенства А* = —А. Для проверки тождества Якоби на практике
§ 4. СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
303
используют один из следующих четырех эквивалентных критериев
(см. § 2):
О ^з)Ж(^2»Ш (4Ж)> ^2>=
= 0;
2)
3) выражение lA ^(Л(^2)) + -A(^ ^(Vb)) симметрично по ip1
и ^2;
4) [эа«о> = 1А(ф) 0 А + А о t*AW, где ^. = (^?,..., — век-
тор-функции, £А ф — матричный С-дифференциальный оператор раз-
мерности п х п, определяемый по формуле
к, а
Упражнение 4.3. а. Выпишите условие гамильтоновости
в координатной форме.
б. Покажите, что = <^(^1) (ср. упр. 2.33).
Пример 4.3. Рассмотрим случай одной зависимой и од-
ной независимой переменной п = т— 1. Простейший гамильтонов
оператор первого порядка — это оператор Dx.
Упражнение 4.4. Опишите в рассматриваемой ситуации
все гамильтоновы операторы первого порядка.
Пример 4.4. Очевидно, что любой кососопряженный опера-
тор с коэффициентами, зависящими только от х, является гамиль-
тоновым.
Упражнение 4.5. Докажите, что в случае n= 1 оператор А
вида A = 2LDX+DX(L), где L — некоторая симметрическая матрица
с коэффициентами, зависящими только от ж и и*, гамильтонов.
Упражнение 4.6. Докажите, что в случае п=т= 1 имеет-
ся 2-параметрическое семейство гамильтоновых операторов третье-
го порядка
Го,д = D3X + (а + /3u)Dx + |/3ux. (4.2)
Эволюционное дифференциальное уравнение называется га-
мильтоновым (относительно гамильтонова оператора А), если
для некоторого функционала действия Н, называемого гамильто-
нианом, оно записывается в виде
‘ Ьи1
304
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Можно показать (см. теорему 2.13), что оператор А отображает
производящие функции законов сохранения гамильтонова уравне-
ния в его симметрии.
Пример 4.5. Уравнения Захарова (3.8)
< nt+ux=0,
«t + «s + (|^12)х=о
гамильтоновы относительно оператора
| ° 0 >
ООО
0 0 —D
0 ~DX 0 /
с функционалом энергии
И 2 2 \
W2 + nW2 + y + j) dx
в качестве гамильтониана.
Упражнение 4.7. Используя пример 3.7, найдите все
гамильтоновы симметрии уравнений Захарова*).
Пример 4.6. Уравнение Кортевега—де Фриза
и = 6uu —
t X XXX
можно записать в гамильтоновой форме двумя различными спосо-
бами. Первая гамильтонова структура совершенно очевидна:
ut=DC3u2—u ) = D (—(и3 + — = А, — W,,
‘ х\8и\ 2XJ J 18и 1
где Aj = Dx — гамильтонов оператор, W, =
мильтониан.
3,^2
и +
2 ®
dx — га-
Вторая гамильтонова структура записывается следующим обра-
зом:
ut = (D3-4uD — 2и }(— = А,—Н..
‘ \ ’ х XJ \6и\ 2)) 26и
) На самом деле других симметрий у уравнений Захарова нет.
$ 4. СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
305
Здесь А, = Д? _ 4un _ 2и, Нп = ( Г-^«2 | dx. Гамильтонов one-
ратор А2 принадлежит семейству (4.2), так как А2 = Г04.
Как мы знаем (см. п. 5.2 гл. 3), базис пространства классиче-
ских симметрий уравнения Кортевега — де Фриза составляют сле-
дующие производящие функции
< р1 = их (трансляция вдоль х),
ip2 = ut (трансляция вдоль £),
< р3 = &tux + 1 (преобразование Галилея),
< р4 = хих + 3tut + 2и (масштабная симметрия).
Относительно гамильтонова оператора А, = Dx первые три симмет-
рии гамильтоновы, т. е. имеют вид
$ = 1,2,3, (4.3)
ои
Таким образом, Qt суть сохраняющиеся величины (^ = — со-
ответствующие производящие функции). Четвертая симметрия
не имеет вида (4.3), и ей не соответствует закон сохранения. От-
метим, что рассматриваемый гамильтонов оператор Aj = Dx имеет
одномерное ядро. Это означает существование еще одного закона
сохранения с производящей функцией tp—\ (закон сохранения мас-
сы Qq = j udx).
Перейдем ко второму гамильтонову оператору A2—Dx—4uDx —
— 2их. В этом случае симметрии ipl, <р2 и у>4 гамильтоновы:
$
<Pi=A2TT,pv » = Г,2,4,
ои
20 Симметрии...
306
ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
где
f 1 ,
~ J ^udx — 2^0’
—2^ б,х ——Q^
Р4 = j 2хи ~ 2^2) dx = ~2^3'
Симметрия <р3 не является гамильтоновой.
Закону сохранения энергии Q2 не отвечает ни одна из класси-
ческих симметрий. Это означает, что он происходит из некоторой
высшей симметрии, производящая функция которой имеет вид
<р= = А,—Q, = — + 10uu„ + 20ii u — 30u2u
Г О z ХХХХХ 1 XXX 1 X XX X
Симметрия 9?g, оказывается, удовлетворяет условию гамильтоново-
сти (4.3) для оператора Av и соответствующий функционал
л f ( 1 2 _ о 4 A j
S5 = | ( ~2ихх - 5uux ~2U )dx
служит еще одним законом сохранения для уравнения Кортевега —
де Фриза. Способ, с помощью которого мы из сохраняющейся вели-
чины Q2 получили сохраняющуюся величину Qs, можно применить
к самой Qs и получить новую сохраняющуюся величину и т. д. Ина-
че говоря, имеет место следующее утверждение.
Утверждение 4.1. Существует такая бесконечная
последовательность сохраняющихся величин уравнения Кор-
тевега — де Фриза "Но, Нк, ..., что
1) ^о = j ~^u2dx;
А^Пп = А2^йПп~х'’
3) функционалы "Н. попарно находятся в инволюции от-
носительно обеих скобок Пуассона;
{'Hk,'Hl}Ai ={'Hk,'Hl}Ai =0 для любых к,1^0;
4) симметрии <р. =Al—'Hi =А2-^Н.{ _ р i >0, отвечающие
гамильтонианам , попарно коммутируют:
= 0 для всех k, I > 0.
§ 4. СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
307
Доказательство мы оставляем читателю в качестве
упражнения, g
Заметим, что оператор '7^=A2o24^1 =D*—4и—2uxDxl переводит
симметрию <рк в симметрию у\ + 1.
Упражнение 4.8. Докажите, что И является операто-
ром рекурсии (см. замечание 4.3 гл. 4) для уравнения Кортевега —
де Фриза (оператор рекурсии Ленарда).
Упражнение 4.9. Уравнение Гарри — Дима имеет вид
ut =
Убедитесь, что это уравнение обладает двумя гамильтоновыми
структурами:
6 6
Ut=A^Hl=A28^Ho'
где А, = 2uD + их, dx, А2 = Dx = Го 0,
J \2Vu3 8Vu5/
На = | 2л/йЛх. Проанализируйте симметрии и законы сохранения
этого уравнения и докажите для него аналог утверждения 4.1.
ГЛАВА 6
НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
§ 1. Накрытия
В предыдущих главах мы имели дело с локальными объек-
тами (симметриями, законами сохранения и др.), т. е. объекта-
ми, дифференциально зависящими от неизвестных функций и1,...
..ит. Например, производящие сечения симметрий, будучи эле-
ментами модуля /(%, тг), являются дифференциальными оператора-
ми в расслоении я. Естественно напрашивающееся обобщение —
рассмотрение «интегро-дифференциальных зависимостей» — анало-
гично известной в теории алгебраических уравнений процедуре рас-
ширения основного поля. За этим, на первый взгляд, формальным
шагом лежат весьма общие геометрические конструкции — накры-
тия над бесконечно продолженными дифференциальными уравне-
ниями [22, 112, 113]. Переписывая на языке накрытий основные
элементы развитой выше теории, мы приходим к теории нелокаль-
ных симметрий и законов сохранения дифференциальных уравне-
ний. При этом оказывается, что многие известные конструкции (раз-
личные дифференциальные подстановки, преобразования Беклунда,
операторы рекурсии и т. д.) являются элементами теории накры-
тий [113].
1.1. Первые примеры. Рассмотрим несколько примеров, про-
ясняющих механизм возникновения нелокальных объектов.
Пример 1.1. Уравнение Бюргерса £ = {ut =иих Ч-г^}.
Алгебра sym Е локальных симметрий этого уравнения отождествля-
ется с ядром оператора lF = D2X + p0Dx +p}-Dt (см. гл. 4), где
^ = ^ + Spk+i^’ A = ^ + 525x(poPi+P2)^-
к К к К
$ 1. НАКРЫТИЯ
309
Попытаемся найти простейшую «интегро-дифференциальную» сим-
метрию уравнения Бюргерса, производящая функция которой зави-
сит от «интегральной» переменной р_г = j pQdx = D~l(p0). С фор-
мальной точки зрения это означает, что мы должны расширить мно-
гообразие 8°° до многообразия 8, добавив к внутренним координа-
там на 8°° еще одну, полная производная которой по х равна р0.
Полную производную по t этой новой переменной естественно опре-
делить следующим образом:
А(Р-1) = A(^;*(Po)) = D~x\Dt(p0)) =
= D~x(p2 +PoPi)=Pi + ^Pq + c,
где c—c(t) — «константа интегрирования», которую можно поло-
жить равной нулю. Иначе говоря, вместе с расширением многооб-
разия^00 мы должны «расширить» и операторы полных производ-
ных Dx и Dt, полагая
б,=в,+(?1+Й)а^;-
Очевидно, что при этом сохраняется «условие интегрируемости»:
[5а,Д] = о.
Оператор lF в этом случае естественно расширяется до опе-
ратора
= Dx + Ро^х + Pi ~ -Df
Нелокальной симметрией уравнения Бюргерса, зависящей от р_р
можно назвать решение уравнения ^F(<p) = 0.
Если функция зависит только от переменных х, t,p_l и р0,
то уравнение /F(<p) = 0 легко решить в явном виде и получить, что
/ -1» .
<Р=<Ра= I аРо~2д^ Iе 2 ’
где a = a(x,t) — произвольное решение уравнения теплопроводно-
сти at = ахх.
Чтобы показать применение проделанных вычислений, найдем
решения уравнения Бюргерса, инвариантные относительно некото-
рой симметрии у>а. Согласно общей теории (см. гл. 4), такие реше-
ния определяются следующей системой уравнений:
и. = +ии ,
С XX X'
( ода\ 4
аи — 2— I е z
\ Эх)
udx
= 0.
310
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
Из этой системы, в частности, получаем, что и = 2ах/а, т. е. мы
получили подстановку Коула — Хопфа, сводящую уравнение Бюр-
герса к уравнению теплопроводности.
«Интегро-дифференциальные» симметрии естественным обра-
зом возникают при исследовании уравнений, допускающих опера-
тор рекурсии.
Пример 1.2. Рассмотрим уравнение Кортевега — де Фри-
за*)
£ = {ut=uxxx +гшх}.
Оператор
_____________________ 9 1 _
R = D2X + -р0 + gPl-Da; 1
коммутирует с оператором универсальной линеаризации
h +Ро-°х+Р1 ~ Д’
Следовательно, если £р(<р) = 0, то = R(tF((p)) = 0. Это
означает, что если <р € sym £ и /?(<р) € :F(£°°), то Я(<р) также являет-
ся локальной симметрией уравнения £. Такие операторы называют
операторами рекурсии (см., например, [55]).
Уравнение Кортевега — де Фриза имеет бесконечную серию ло-
кальных симметрий <pk = Rk(Pi), где р, —трансляция по х, а так-
же еще две симметрии, галилееву и масштабную, причем оператор
рекурсии переводит первую во вторую. Эти две симметрии можно
рассматривать как начало второй серии симметрий. Однако, легко
убедиться в том, что применив оператор рекурсии к масштабной
симметрии, получим выражение, содержащее Dxl(pQ).
т V? ^2=Рб+РоРз+Р1Р2+РоР1 * T.R т о ? Т 4 4 1 о tp2+X(p1+-p2+-p2+-p1I); 1Ро? ]R х 1 2
<Pi=P3+PoPi* ]R ¥’о=Р1* • + gZPl + 3Р0 ]R • tpl + 1
*) Приведенная здесь нормировка уравнения КдФ отличается от рассмотренной
в гл. 3, 4. Очевидно, что обе формы эквивалентны и переводятся друг в друга мас-
штабным преобразованием.
$ 1. НАКРЫТИЯ
311
Тем не менее, введя дополнительную переменную р_х и расширив
________________________________________________________ Q ~ _
операторы Dx,Dt и tF до операторов Dx = Dx 4-р0-—» Dt = Dt +
/ 1 2\ а ~ dp~l
4- I р2 4- кРо ) я— и £F=DX + PqDx +pl-Dt соответственно, мы
\ z /ор 1 4 4 2 1
обнаружим, что функция t<p2 + х^ + - р2 4- „ Pq + „ PjP-j является
о У У
решением уравнения ^(^)=0и, следовательно, может быть назва-
на нелокальной симметрией уравнения Кортевега — де Фриза.
Упражнение 1.1. Покажите, что оператор R—Dx+„Р0+
4- g PiD-1 является оператором рекурсии для уравнения Бюргерса.
Пример 1.3. Рассмотрим теперь потенциальное уравнение
Кортевега — де Фриза
с ) . 1 2 I
Е = < u, = и 4- —и~ >.
1 t ххх О ® I
Для этого уравнения процедура введения новой переменной
р_х = D~l(pb) оказывается более сложной. А именно, попробуем
вычислить
= Dt(D-x\p0)} = D-x\Dt(p0)) =
= (p3 + |р!2) = Р2 + ^‘(pf).
Здесь мы сталкиваемся с необходимостью ввести еще одну перемен-
ную w, полная производная по х от которой равна pf. Тогда
Dt(w) = = Dx\Dt(pl)) = 2PJ1(Pi(P4 +Р1р2)) =
п( 1 2 1 з\
= 2^Р1Рз - 2₽2 + gPlJ-
Таким образом, операторы Dx и Dt надо расширить до операторов
^I = ®"+So9p_I + P10w’
5, = D, + (р, + !«,) Л-. + 2 (рЛ - 1 +1 р?) А.
Упражнение 1.2. Попробуйте ввести переменную р_1
для уравнения £ = {ut= иххх 4- и’}.
312
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
Последние два примера показывают, что попытки применить
приведенные выше построения в более общей ситуации наталки-
ваются на технические трудности. Это заставляет вспомнить, что
на самом деле у нас нет никаких оснований — кроме формальной
аналогии с локальной ситуацией — считать «нелокальные» реше-
ния уравнения £р(<р) = 0 нелокальными симметриями (см., напри-
мер, [35, 69]). Ясно, что здесь нужен концептуальный анализ само-
го понятия нелокальной симметрии. По этим причинам необходимо
подойти к определению нелокальной симметрии, анализируя гео-
метрические структуры на многообразии £, ведь именно так было
получено определение локальных симметрий уравнения £°°.
1.2. Определение накрытия. Пусть £ — дифференциальное
уравнение в расслоении тг: Еп+т —> Мп, £°° — его бесконечное
продолжение. Напомним, что в каждой точке 0 G £°° определено
n-мерное подпространство Св сТв(£°°)— картановская плоскость.
Распределение Картана С = {Сй}йе£<х> на £°° является интегриру-
емым распределением, т. е. оно удовлетворяет условиям классиче-
ской теоремы Фробениуса. В локальных координатах распределение
Картана на £°° задается системой п векторных полей Dx,...,Dn,
где X); — ограничение на £°° оператора полной производной по г-й
независимой переменной. Процедуру расширения многообразия £°°,
рассмотренную в предыдущем разделе на примерах, можно форма-
лизовать, введя понятие накрытия.
Определение 1.1. Мы будем говорить, что задано на-
крытие г: £ —> £°° уравнения £, если заданы:
некоторое, вообще говоря, бесконечномерное*) многообразие £,
n-мерное интегрируемое распределение С на £ и
такое регулярное отображение т многообразия £ на £°°, что
для любой точки 0 е £ касательное отображение т# й является изо-
морфизмом плоскости Св на картановскую плоскость Ст(№) уравне-
ния £°° в точке т(0).
Размерностью накрытия называется размерность слоя отобра-
жения т. Ниже через F(£) обозначается кольцо гладких функций
на £.
Из определения накрытия вытекает, что при действии т лю-
бое n-мерное интегральное многообразие U с£ распределения С =
*) Все рассматриваемые здесь бесконечномерные многообразия являются об-
ратными пределами цепочек проекций конечномерных многообразий. Дифференци-
альная геометрия таких объектов строится так же, как для многообразий вида S°°
(см. гл. 4), что позволяет избежать известных топологических трудностей.
§ 1. НАКРЫТИЯ
313
= {Св }e eg отображается в n-мерное интегральное многообразие U —
— т(Ы) С £00 распределения Картана на £°°, т. е. в решение уравне-
ния £. Обратно, если U с£°° — некоторое решение уравнения £, то
ограничение распределения С на прообраз Ы = т~1(Ы)с£ являет-
ся, как нетрудно видеть, интегрируемым n-мерным распределением.
Если, в частности, dim r~l(6) = N < оо, в еИ, из этого следует, что
локально многообразие 1Л расслаивается на N -параметрическое се-
мейство интегральных многообразий распределения С\ц.
Итак, всякому решению уравнения £ соответствует целое се-
мейство интегральных многообразий, лежащих в £. Элементы этого
семейства удобно понимать как решения уравнения £, параметри-
зованные некоторыми нелокальными величинами. В примерах 1.1
и 1.2 параметром можно считать константу интегрирования.
1.3. Накрытия в категории дифференциальных уравне-
ний. Если «забыть» о распределениях на многообразиях £°° и £,
то гладкое отображение т: £ —>£°° гладких многообразий являет-
ся расслоением. Использование термина «накрытие» для введенного
понятия можно объяснить параллелью между категорией дифферен-
циальных уравнений (далее — категория DE) и категорией гладких
многообразий.
Ниже мы приводим простейшее определение категории DE, ко-
торое достаточно для наших целей, хотя следует отметить, что име-
ется более глубокий подход к определению этой категории (см.,
например, [24]).
Объектами категории DE являются бесконечномерные мно-
гообразия О, снабженные вполне интегрируемым конечномерным
распределением Р.
Очевидно, что бесконечно продолженное дифференциальное
уравнение £°° вместе с распределением Картана С является объ-
ектом этой категории.
Морфизмами в категории DE являются такие гладкие отобра-
жения у?: О —»О', для которых во всех точках 0 6 О имеем <pt(Pe)C
СР^ру где Р и Р1 — распределения наОиО' соответственно.
Размерностью объекта (О, Р) в категории DE будем называть
размерность распределения Р.
Проводя аналогию с понятием накрытия в категории гладких
многообразий, определение накрытия в категории DE естественно
дать в следующем виде.
Определение 1.2. Эпиморфизму: О —» О' называется
накрытием в категории DE, если он сохраняет размерности,
т. е. dim О dim О' и для любой точки 0 еО имеем <р„(Рв) = “Р^еу
314
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
1.4. Примеры накрытий. Приведем несколько примеров, ко-
торые продемонстрируют различные ситуации, в которых возникают
накрытия.
Пример 1.4 (накрытие, ассоциированное с дифференци-
альным оператором Д: Г(тг) —> Г(тг')). Пусть Д: Г(тг) —»Г(тг') —
дифференциальный оператор fc-ro порядка, действующий из сечений
расслоения тг: Е—>М в сечения расслоения тг': Е'-*М. Опера-
тор Д и его продолжения Дж = ja о Д определяют семейство гладких
отображений = Jk + a(w) —► J'’(tt') (см. пп. 1.2, 1.3 гл. 4),
которые включаются в следующую коммутативную диаграмму
... -» 7*+ж(тг) ... -> <7*(тг)
^+i| *’*{ j,
... -» Js+1(ir') —+1^ J'(tt') -> ... — J°(Tr')=E' M.
Легко видеть, что если оператор Д является регулярным (т. е. все
отображения <ра сюръективны), то система отображений <р = {<ра}
определяет накрытие <р: J°°(tt) —> 7°°(тг'). Мы будем говорить, что
это накрытие ассоциировано с оператором Д.
Если дано уравнение 8 С <7*(тг'), то, используя только
что рассмотренную конструкцию, можно построить накрытие
^-1 (£<»)_^о° Подобные накрытия соответствуют дифференциаль-
ным заменам переменных вида
vl = <pi(x,ul,...,um,...,u3tr),
где и* и т? — зависимые переменные в расслоениях тг' и тг соот-
ветственно. В следующих двух примерах мы рассмотрим накрытия
этого типа.
Пример 1.5 (Преобразования Лапласа). Рассмотрим урав-
нение 8 следующего вида
uxy + Aux + Buy + Cu = Q. (1.1)
Напомним (см. [54]), что инвариантами Лапласа уравнения
д д
(1.1) называются функции h = ——I- АВ -С и1= ——I- АВ — С.
ох оу
Предположим, что h, I ^0 и рассмотрим одномерные накрытия урав-
нения 8°°, задаваемые операторами
тл: и = (w* + w1 )/h (s-преобразование Лапласа),
т;: и = (wy 4- w2)/l ({/-преобразование Лапласа).
§ 1. НАКРЫТИЯ
315
Несложно показать, что пространства этих накрытий изоморфны
уравнению (£')°°, где £' имеет вид (1.1) с некоторыми новыми функ-
циями А, В и С. Обозначим возникающие уравнения через £h и
соответственно. Если инвариант Лапласа I уравнения £h не равен
нулю, то можно рассмотреть уравнение (£Д (или, аналогично, урав-
нение (£i)h), которое оказывается эквивалентным уравнению £. Та-
ким образом, мы получаем двумерное накрытие уравнения £00 над
самим собой. Если, продолжая этот процесс, мы получим уравне-
ние, у которого хотя бы один из инвариантов h или I обратился в
нуль, то мы сможем построить формулу для общего решения рас-
сматриваемого уравнения (подробности можно найти в [54]).
Пример 1.6 (накрытие, ассоциированное с локальной сим-
метрией). Пусть дано уравнение £ С 7“(тг) и пусть <р — произво-
дящая функция некоторой симметрии этого уравнения. Тогда, как
было показано в примере 1.4, возникает накрытие <р: <р~1(£°°)—>£°°.
Если уравнение £ задается дифференциальным оператором Д, т. е.
£ = {<рд = 0}, то функция <р удовлетворяет уравнению £^(<р) = 0, где
£д — оператор универсальной линеаризации для Д, ограниченный
на £°°. Таким образом, пространство рассматриваемого накрытия
определяется системой уравнений
Г4М=о,
I. tp3 =u3, j = 1,..dim тг.
Если £ — линейное уравнение, то можно считать, что = Д.
Это означает, что пространством накрытия является само уравне-
ние £°°.
Пример 1.7 (факторизация дифференциальных уравнений).
Пусть дано уравнение £ С Jk(ir) и пусть F — конечномерная под-
группа группы его классических симметрий. Легко понять, что отоб-
ражение факторизации (см. гл. 3, § 6) irF: £°° -+ £°°/F является
накрытием.
Например, уравнение теплопроводности ut = uxx допускает од-
нопараметрическую группу масштабных симметрий u ей, е &
6 R. Соответствующее факторуравнение эквивалентно уравнению
Бюргерса. Таким образом, возникает накрытие уравнения Бюргерса
уравнением теплопроводности.
1.5. Координаты. Рассмотрим координатную интерпретацию
определения накрытия.
Многообразие £ и отображение т: £ —> £°° (в силу регуляр-
ности г) локально можно реализовать как прямое произведение
316
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
£°° х W (И' CR'V — открытое множество, 0 < N оо) и естест-
венную проекцию £°° х W —> £°° соответственно. Тогда распреде-
ление С на £ — £00 х W может быть задано системой векторных
полей (рнс. 6.1)
(1-2)
О
где Х^Х^д-. г-вер-
У=1 i ~
тикальные поля на £, wv w2,... — стан-
дартные координаты в F. В этих тер-
минах условие Фробениуса эквивалентно
тому, что [D{, Zh] = 0, i, j = 1,..., n, или,
что равносильно, выполнению равенств
(i-з)
г — 1,..., п,
Рис. 6.1
для всех i, j = 1,..., п, 0^ к N (по-
скольку [£\, D}.] = 0).
Соотношения (1.3) представляют собой систему дифференци-
альных уравнений на функции описывающие всевозможные
N -мерные накрытия уравнения £.
Координаты wi будем называть нелокальными переменны-
ми.
1.6. Основные понятия теории накрытий. В этом пункте
собраны некоторые понятия теории накрытий, которые понадобят-
ся в дальнейшем.
Определение 1.3. Два накрытия т{: £i—>£°°,i = l,2,
называются эквивалентными, если существует диффеоморфизм
а: £х —> £2, для которого диаграмма
коммутативна и а,(Су1) = С^у) для всех точек уе£1.
Упражнение 1.3. Покажите, что если диффеоморфизм а
устанавливает эквивалентность накрытий rt и т2 уравнения £°° с
§ 1. НАКРЫТИЯ
317
распределениями, задаваемыми полями
Д'^Д+Е^.
д
ди>™'
I
г = 1,.... п, соответственно, то а = т. е.
> г • » * I I ’
“.Д'” = D, + £
к к
г = 1,...,п, (1.4)
где — нелокальные переменные в накрытии т{, г = 1,2, и
= (®,-,Ра> al(xi>P£> W1°, w2l)’ •), О12(х{,р3а, wj0, ...),.. .).
Соотношения (1.4) можно переписать также в виде
D^(ak) = a\X^). (1.5)
Пусть теперь 8°° — некоторое дифференциальное уравнение,
распределение Картана на котором задают поля D{,..., Dn. Рассмо-
трим одно специальное накрытие над £°°. Положим 8=8°° х , т =
= рГдг: 8 = 8°° х —> 8°° — проекция на первый сомножитель, а
распределение на 8 задается полями Dv..., Dn.
Определение 1.4. Накрытие т: 8—>8°° называется
тривиальным, если оно эквивалентно накрытию prw для некото-
рого 0 < N < оо.
Упражнение 1.4. Покажите, что если накрытие т: 8 —>
—> 8°° тривиально, то накрывающее пространство 8 расслаивается
на интегральные подмногообразия, изоморфные 8°°.
Пример 1.8. Пусть 8 = {ut = ихх + иих} — уравнение Бюр-
герса. Рассмотрим одномерное накрытие т: 8 —>£°°, где 8 = 8°° х
х R1, т — проекция на первый сомножитель, и — нелокальная пе-
ременная, а распределение на 8 задается полями
д д
DX=DX+Pl—, Dt = Dt + (p2+pQpl)—.
Покажем, что это накрытие эквивалентно одномерному триви-
альному накрытию уравнения Бюргерса. Определим отображение
318
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
а: 8°° х R1 —>8°° х Ж1 =8, полагая a(x,t,pk, w) = (x,t, рк, w +р0).
Тогда а — послойный диффеоморфизм и
a*Dx =Dx+ Dx(w + Ро)Д = Dx + Pi Dx,
Q.A =Dt+Dt(w + p0) = Dx + (p2 + poP1) A = Dt.
Таким образом, отображение а устанавливает эквивалентность на-
крытий pfj и т.
Приведем теперь одну конструкцию, играющую важную роль
в теории накрытий. Пусть i;: 8{ —>8°°, i = 1,2, —два накрытия
уравнения 8°°. Рассмотрим прямое произведение 8^ х 82 и выделим
в нем множество 8Х ®82 таких точек (урУ2), Pi € Sv у%е 82, что
Ti(Pi)= г2(Рг)- Тогда определена проекция Tj © т2: 8} © 82 —> 8°°,
для которой (7j ®т2)(у1,у2) = т1(у1) = т2(у2). Очевидно, имеет место
коммутативная диаграмма
£°°
в которой отображения Tj(t2) и т2(т,) индуцированы проекциями на
левый и правый сомножители соответственно. Иначе говоря, Tj®t2:
® 82 —> 8°° есть сумма Уитни расслоений ij: 8{ —> 800, г = 1,2.
Определим теперь на многообразии 8Х ® 82 распределение С®, по-
лагая С® й) = ('Г1(т2))“1(С^)П(т2(т1))71(С^), (ур у2) е 8Г ®82. Оче-
видно, это распределение интегрируемо, причем ('П®'г2)* (C(y11S2)) =
= ^(п ф^г)(г/1,уз)’ т’ е‘ пРоекЦия Т1 ®т2 и распределение С® определяет
на многообразии 8г © 82 структуру накрытия над 8°°. Это накры-
тие называется суммой Уитни накрытий т{ и т2. Заметим также,
что проекции Tj(r2) и t2(tj) являются накрытиями над объектами 8г
и 82 соответственно.
Координатная интерпретация накрытия ® т2 такова. Пусть
RN“ — слой накрытия та; ги^, ... — координаты в слое проек-
ции Тр w^\ ... — координаты в слое проекции т2. Пусть накры-
тия т, и т, локально задаются полями = D- и Dj2) = Dt +
А А » • I Z 1
$ 1. НАКРЫТИЯ
319
+х/2), » = 1,.
п, соответственно,
где Х,(а) = У'М“)-^-т,
’ Y dwk
а =
= 1,2. Тогда слоем накрытия т, ф т2 является пространство RX) ф
ф R^ с координатами w^',..w}2\ w^2),..а распределение
на £L ф £2 задаётся полями
i = 1,..n.
Аналогичным образом определяется сумма Уитни произвольно-
го числа накрытий.
Конструкция суммы Уитни удобна при анализе эквивалентно-
сти накрытий. А именно, справедливо следующее утверждение.
Утверждение 1.1. Пусть т\ и г2—два накрытия
конечной размерности N = dim i\ = dim т2 уравнения £°°. Эти
накрытия эквивалентны в том и только том случае^ если
существует такое инвариантное многообразие *) X С £х ®е2
распределения С9 коразмерности N, для которого ограниче-
ния Ti(r2)|^ и сюръективны.
Доказательство состоит в простой проверке опреде-
лений. Действительно, пусть накрытия и г2 эквивалентны и
а — диффеоморфизм, реализующий их эквивалентность. Положим
А* = {(у,а(у))| ye£}}a£i®£2. Очевидно, codim Af = АГ, Ti(t2)|^
и — сюръекции, и, поскольку at переводит распределе-
ние в С2, подмногообразие X инвариантно относительно рас-
пределения С®. Обратно, пусть X С £t ф £2 — подмногообразие,
удовлетворяющее условиям утверждения. Тогда соответствие у н-»
((т1('г2))-1(у)п A?), ye£v определяет изоморфизм рассло-
ений Т| и т2, являющийся, в силу инвариантности X, эквивалент-
ностью накрытий. □
Введем еще одно понятие. ~
Определение 1.5. Накрытие г: £—>£°° уравнения
£°° называется приводимым, если оно эквивалентно накрытию
Tj ФрГд,, где —некоторое накрытие уравнения £°°, a N >0. В
противном случае накрытие называется неприводимым.
Локальный аналог этого определения формулируется естест-
венным образом.
Если т: £ —> £°° — приводимое накрытие, то через каждую
точку в € £ можно провести такое инвариантное многообразие X
Многообразие X С £ называется инвариантным относительно распределе-
ния С на £, если в каждой точке х 6 X имеет место включение ТхХ э Сх.
320
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
распределения С, что ограничение т\х: X—проекции т сюръ-
ективно и это отображение вместе с ограничением распределения С
на X задают в X структуру накрытия над £°°.
При помощи утверждения 1.1 легко доказывается следующее
утверждение.
Утверждение 1.2. Пусть тх и т2 — неприводимые
накрытия конечной размерности N = dim 7] = dim т2 уравне-
ния £°°. Тогда, если сумма Уитни £х ®£2 этих накрытий при-
водима, причем коразмерность инвариантных многообразий
распределения С® равна N, то почти во всех точках в е£
накрытие rt эквивалентно накрытию т2.
Доказательство. Рассмотрим инвариантные многообра-
зия^аспределения С®. Почти все они сюръективно проектируются
на £1 и £2 при отображениях и т2(т\) соответственно. Дей-
ствительно, в противном случае их образы при проекциях тх(г2)
и T2(Ti) являлись бы инвариантными многообразиями распределе-
ний Cj и С2 соответственно, что противоречит неприводимости на-
крытий Tj и т2. Выбирая одно из таких многообразий, мы приходим
к утверждению 1.1, и это завершает доказательство, □
Следствие 1.3. Если т\ и т2—одномерные нетриви-
альные накрытия над уравнением £ и их сумма Уитни при-
водима, то почти во всех точках в 6 £ накрытие эквива-
лентно накрытию т2.
В локальных координатах вопрос о приводимости накрытия сво-
дится к изучению системы линейных дифференциальных уравнений.
Точнее, имеет место следующее утверждение.
Утверждение 1.4. ПустьUQ£°° такая область, что
многообразие U = (U) представимо в виде прямого произ-
ведения U х N = 1,2,..., оо, отображение т\^: И -+U яв-
ляется проекцией на первый сомножитель, а поля Dv.. -,Dn
задают распределение С на U. Тогда накрытие г локально
неприводимо в том и только том случае, если решения си-
стемы уравнений
Л(^) = 0, ..., Рп(^) = 0, (1.6)
где € Т{£), состоят из одних констант.
Доказательство. Предположим, что накрытие г локаль-
но неприводимо, но существует функция <р const, являющаяся ре-
шением системы (1.6). Тогда, так как решениями системы
2>1(<р) = 0, ..., Пп(у>)=0
§ 1. НАКРЫТИЯ
321
являются только константы, то зависит хотя бы от одной нело-
кальной переменной. Без ограничения общности можно считать,
что / 0 в некоторой окрестности U' х W, U' GU, W С R\
owl
Определим диффеоморфизм a: U' х W —> a(U' х W) формулой
->Wn) = Так как а.Д =-С>; +
v $
+ У Х{. ——, то локально накрытие т эквивалентно накрытию
з>1
pq фТ| для некоторого накрытия 7j, т. е. т приводимо.
Предположим теперь, что решениями системы (1.6) являются
только константы, но накрытие т локально приводимо, т. е. ло-
кально эквивалентно некоторому накрытию вида и пусть
отображение а устанавливает эту эквивалентность. Тогда, если
У —гладкая функция на пространстве накрытия рг^, то функция
a = У* &?(£) является решением системы (1.6).
Очевидно, что найдется такая функция f на пространстве накры-
тия рг^, что функция У*е^(<?) не является константой. Мы опять
получили противоречие, которое доказывает наше утверждение. □
1.7. Накрытия и связности. Пусть т: £ —*£°° — произволь-
ное накрытие и пусть v е Св. Тогда для любой точки 0 е £, которая
при действии отображения проектируется в 0, однозначно опре-
делен вектор v е Сд, для которого Ttv = v.
Пусть £ с J*(tt). Напомним, что в расслоении тг^: J°°(7r) —>
—»М имеется картановская связность, которая векторному полю
X е D(M) ставит в соответствие векторное поле X е
(см. п. 1.4 гл. 4). Все векторные поля X, построенные таким об-
разом, касаются £°° и порождают распределение Картана на этом
многообразии. Поэтому любому полю X е D(M) можно однознач-
но сопоставить такое поле X eD(£), что т*(Х) = Х. Кроме того,
очевидно, что если поля X, Y е D(£) являются поднятиями полей
X, Y е D(M) соответственно, то [X, У] = [X, У]. Таким образом,
накрытие т: £—>00 определяет в расслоении 7? = %^от: £—>М
плоскую связность, согласованную с картановской связностью. Лег-
ко убедиться в том, что верно и обратное утверждение. Более точно,
имеет место следующая теорема.
Теорема 1.5. Пусть £ Q Jk(n)—уравнение и т: £—►
—► £°° — некоторое расслоение. Тогда следующие утвержде-
ния эквивалентны:
1) в расслоении т задана структура накрытия;
21 Симметрии...
322
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
2) в расслоении п = пхот: £ —► М задана связность
VT: D(M) —> D(£), VT(X) = X, которая обладает свойства-
ми а) [X, У] = [Х, У] для любых векторных полей X, У eD(M)
(связность VT плоская); б) т*(Х) = Х (VT согласована с кар-
тановской связностью).
Отметим, что для любой точки 9 е£ плоскость Сд порождена
векторами вида Х^, X eD(M).
В локальных координатах связность в накрытии т: £ —> £°°
определяется соответствием и-» Dit i = 1,..., п, которое позволя-
ет поднимать на £ С-дифференциальные операторы Д: F(£°°) —>
—>F(£°°). А именно, если Д = ^,aaDa: F(£°°)—► F(£°°)— неко-
а
торый С-дифференциальный оператор, то его можно продолжить до
оператора Д: F(£) —> F(£), полагая
В частности, если £°° = J°°(7r) и тг': Е'-*М — еще одно век-
торное расслоение, то для любого элемента F е F(ir, тг') определено
поднятие tF соответствующего оператора универсальной линеари-
зации. Следуя гл. 4, положим 9V(F) = £F(<p), где <р —сечение ин-
дуцированного расслоения тг*(тг'). В координатах поле имеет вид
. ор„
<г,»
где <р{ е F(£), а штрих у знака суммы означает суммирование по
всем внутренним координатам.
1.8. Горизонтальный комплекс де Рама накрытия и
нелокальные законы сохранения. Если задано некоторое на-
крытие т; £ —>£°° уравнения £°°, то горизонтальный комплекс де
Рама на £°° также может быть поднят на £, поскольку входящие в
него дифференциалы являются С-дифференциальными операторами.
Локально это поднятие описывается следующим образом. Горизон-
тальные fc-формы на £ имеют вид
\...ikdxix ^••^dxik, ikeF(£); (1.7)
<1 <•<’£
дифференциал d действует следующим образом
(п \
^ydxA \dxixN...Ndxik. (1.8)
•i" - У=1 '
$ 1. НАКРЫТИЯ
323
Когомологии горизонтального комплекса де Рама на 8 будем
обозначать через Нк{8). Группу Нп~х(8) по аналогии с локальней
ситуацией будем называть группой нелокальных законов сохра-
нения уравнения 8°°.
Заметим, что горизонтальный комплекс де Рама на 8 может
быть определен непосредственно, подобно горизонтальному ком-
плексу де Рама на 800 (т. е. без использования процедуры поднятия
С-дифференциальных операторов в пространство накрытия). Введем
для этого два понятия. ~
Векторное поле X на 8 называется вертикальным, если
Х((т о тГдо)*/) = 0 Для любой функции / е С°°(Мп).
Дифференциальная форма и е А*(£) называется горизонталь-
ной, если ш(Х) = 0 для любого вертикального векторного поля X
на £. ' ~
Горизонтальные формы степени к образуют подмодуль в Л.к(8),
который будем обозначать А^(£).
Упражнение 1.5. Покажите, что в локальных координа-
тах форма шеЛ$(8) записывается в виде (1.7).
Дифференциальная форма и е Л*(£) называется картанов-
ской, если ш(Х^ = 0 для любого векторного поля X, лежащего в
распределении С.
Картановские формы степени к образуют подмодуль в Л*(£),
который будем обозначать СЛ.к(8). Имеет место разложение
л.к(8)= £ лдалсАЧг). (1.9)
а 4- Р = к
Дифференциал де Рама d: Л.к(8)—>Л*+1(£) действует на фор-
му ш G Л£(£) Л Cf^{8) следующим образом:
du = iOq + wc,
где w0G А£ + 1(£)ЛСА^(£), шс еЛ$(8)АСЛ£ + 1(8). При помощи раз-
ложения (1.9) можно ввести отображение
d: h^{8)KCh.\8)^h^ + \8)\CK\8),
полагая du = ш0.
Легко убедиться в том, что d^ = 0 и что в локальных коорди-
натах оператор действует по формуле (1.8), т. е. комплекс
{ЛоЮ,^ — горизонтальный комплекс де Рама на 8.
21*
324
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
1.9. Накрывающие уравнения. Рассмотрим накрытие т:
£ —*£°°. Выясним, когда накрывающее многообразие £ имеет вид
(£')°° для некоторого уравнения £' с <7г(тг'). Для того, чтобы отве-
тить на этот вопрос мы ограничимся следующей ситуацией.
Пусть имеются два расслоения тг: Е —> М и. W —> М над
многообразием М. Тогда имеет место следующая коммутативная
диаграмма, где через тг*(£): W* —> Jk(ir), i — 1,2,..оо, обозначены
индуцированные расслоения:
W°° -------> ... ----> W1 -------> W° ------> W
J°°(tt) --> ... ----> J’Ctt) ---> E ------> M
Обозначим через т проекцию тг^(£) и предположим, что в расслое-
нии т: W°° —»7°°(тг) задана структура накрытия. Как было показано
в теореме 1.5, это означает, что в расслоении тг^от имеется пло-
ская связность VT, коэффициентами которой являются функции на
7°°(тг), т. е. дифференциальные операторы, действующие из Г(тг) в
Пусть f еГ(тг) — сечение расслоения тг. Тогда в расслоении
« £ естественным образом индуцируется плоская связ-
ность, которую будем обозначать через VT(J). Другими словами,
структура накрытия в т определяет дифференциальный оператор,
который сечению расслоения тг сопоставляет плоскую связность в
расслоении £. Обозначим через degr порядок этого оператора и
назовем его также порядком накрытия т.
Рассмотрим теперь точку в е Wk, в = ([/]*, w0), где хеМ, f е
еГ(тг) и woe £-1(ж) С W. Так как в расслоении £: W —>М имеется
плоская связность VT(/), мы можем рассмотреть сечение д, прохо-
дящее через точку w0. Пара (/, д) определяет сечение суммы Уитни
тг ф £ расслоений тг и £. Положим
Pk(0) = [(f,g)]keJk(K®^.
Семейство р = {рА} отображений pk: Wk —> 7к(тг ф£) обладает
следующими свойствами:
1) отображение рк является вложением для любого к;
2) для любого к имеет место следующая коммутативная диа-
грамма:
+ 1 Рк+± +
j,
Wk —7*(тг®£)
$ 1. НАКРЫТИЯ
325
3) если ко =max(l, degr) и £т =р^(ИЛ*°) С J*°(7r ф£), то для
всех к>к0 выполнено равенство pk(Wk) = (£т)(А-*<));
4) распределение С на W°° под действием рх ф отображается
на распределение Картана уравнения (£т)“.
Другими словами, пространство накрытия т: W°° —> У“(тг),
рассматриваемое как многообразие с распределением, изоморфно
бесконечно продолженному уравнению (£т)°°. В случае, когда ба-
зой накрытия является уравнение £°° с ./“(тг), проводя аналогич-
ные рассуждения, можно показать, что пространство накрытия £
изоморфно бесконечно продолженному уравнению (£ п£т)“ = £°° П
П(^т)°°. Мы будем говорить, что уравнение £г накрывает £. Урав-
нение £г будем называть также накрывающим уравнением ддя £.
Если в локальных координатах распределение С на £ задается
W Q
полями D. =D; + V Х Дж wl)q—, i = 1,..n, то накрыва-
ющее уравнение £т локально определяется соотношениями
^ = Х^ха,и^), i = l,...,n, j = (1.10)
Тот факт, что связность VT в расслоении т: £ —>£°° является
плоской, означает, что условия совместности системы (1.10) пред-
ставляют собой дифференциальные следствия уравнения £. Каж-
дому решению этого уравнения соответствует N -параметрическое
семейство решений накрывающего уравнения, причем параметры
этого семейства являются аналогами констант интегрирования для
системы (1-Ю).
Пример 1.9. Рассмотрим одномерное накрытие уравнения
Кортевега — де Фриза £ = {uf = иих + иххх}, задаваемое полями:
~ / 1 2\ 9
D = В + рп + -иг I -—,
X X ^0 g J Qw>
к _ ( 1 1 , 1 . \ a
D' =D< + (”!+ з”р' + 3₽° + 18"
Исключив и из системы
{1 2
Wx=U+qW ,
1 1 2 1 2
wt = uxx + зwux + 3U + j8w u'
326
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
получим, что накрывающим уравнением для уравнения Кортеве-
га — де Фриза является модифицированное уравнение Кортевега—
де Фриза
1 2
wt = wxxx ~ Zw wx-
Г 1 2
Связь переменных и и w, даваемая уравнением wx=u+ - w,
есть не что иное, как преобразование Миуры — Гарднера [127, 128].
Упражнение 1.6. Покажите, что в одномерном накрытии
уравнения Кортевега — де Фриза, задаваемом полями
_ 0
Dx = Dx+p0—,
Dt=Dt+(p2 + yp*)-^,
накрывающим уравнением является потенциальное уравнение
Кортевега — де Фриза wt = wxxx + -wx.
1.10. Горизонтальные когомологии де Рама и накрытия.
В этом разделе мы установим связь между группой (п - 1 )-мерных
горизонтальных когомологий де Рама Н1^00) и накрытиями урав-
нения £°° специального~вида.
Пусть сначала т: £ —> £00 — одномерное накрытие уравне-
ния £°°, £ = £°° х R, т — проекция на первый сомножитель, а рас-
пределение на £ задается полями
(1.Ц)
Сопоставим этому накрытию горизонтальную форму
* = 1 _ _
Условия (1.3) в данном случае имеют вид jDt.(Xy) = Ру(Х£) или
d(w) = 0, т. е. в горизонтальном комплексе де Рама форма ш замк-
п
нута. Обратно, горизонтальной замкнутой 1-форме ш = Е
i = 1
соответствует одномерное накрытие над £°°, локально задаваемое
полями (1.11).
Нетрудно доказать следующие два утверждения.
Утверждение 1.6. Пусть т: £—>£°° —одномер-
ное накрытие вида (1.11), которому соответствует 1 -фор-
ма ш. Накрытие т тривиально, тогда и только тогда, когда
$ 1. НАКРЫТИЯ
327
форма ш точна, т. е. ш порождает тривиальный элемент
в группе когомологий Н (£°°).
Утверждение 1.7. Пусты.’ £.—>£°°, » = 1,2 — два
одномерных накрытия над £°° вида (1.11), которым соот-
ветствуют формы lj1 и ш2. Накрытия г, и т2 эквивалентны,
тогда и только тогда, когда соответствующие классы ко-
гомологий [u>j] и [о>2] совпадают.
Упражнение 1.7. Докажите утверждения 1.6 и 1.7.
Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие
между элементами группы Н (£°°) и классами эквивалентности од-
номерных накрытий над £°° специального вида (1.11).
Пусть теперь т: £—>£°° — N -мерное накрытие уравне-
ния £°°, где £ = £°° х R77, т — проекция на первый сомножитель, а
распределение на £ задается полями
+
3 = 1 J
Легко видеть, что горизонтальные 1-формы
п
»• = !
замкнуты. Значит, они порождают некоторые элементы [wj,...,
[wjv] группы Н1(£°°). Пусть V(r) — подпространство линейного
пространства Н (£°°), порожденное элементами [wj,..., [о^]. Име-
ет место следующее утверждение.
Утверждение 1.8. Пусть т^. £.—>£°°, г = 1,2—ло-
кально неприводимые накрытия уравнения £°° конечной раз-
мерности N, £{ =£х х R7^, — проекции на первый сомножи-
тель, а распределения на £{ задаются полями
>=•....." i=1-2-
k k
Тогда накрытия Tj и т2 эквивалентны в том и только в том
случае, если V(Tj) = V(т2).
Доказательство. Пусть накрытия и т2 эквивалентны
и послойный диффеоморфизм а: £\ —► £2 устанавливает их эк-
вивалентность. Тогда aJD^) = т. е. а \X^) = D^(ak), где
w^) = (xi,p3a,a1(xi,p3a,w^)),a2(xi,p3a, w™),...) (см. (1.5)).
328
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
д
= 0 ДЛЯ лю-
jk ( ) ’ О j ’ th//1)]
бых j, k, s. Поскольку накрытие т\ неприводимо, из утверждения 1.4
dot № /1 \
следует, что = скз = const, т. е. ак= £ скзш{з > + ч>к(х,р'а). От-
сюда получаем,’что N
a = 1
п N
42)=52 x}kdxj=5l
j=l S=1
и
Таким образом, при любом к = 1,..N. Проведя ана-
логичные выкладки для диффеоморфизма а-1, получим, что €
е V(т?) при любом к = 1,..., N. Следовательно V(t1) = V(т2).
Пусть теперь V(tj) = V(т2) = V. Так как накрытие т\ неприво-
димо, то можно считать, что формы определяющие на-
крытие тр образуют базис пространства V. Тогда имеем разложение
MVEeJu,'1’], e„eR,
или ’=1
N
nwe~).
«-1
Легко видеть, что подмногообразие пространства £t ф £2, задавае-
мое уравнениями
wp-^Ck^-Vk = Q’ k = l,...,N,
8 = 1
является инвариантным подмногообразием распределения С® и име-
ет коразмерность N. Из утверждения 1.2 следует, что накрытия i\
и т2 эквивалентны. □
Упражнение 1.8. Докажите, что конечномерное накры-
тие т рассматриваемого вида неприводимо тогда и только тогда,
когда dim V(т) = dim т.
Замечание 1.1. Из сказанного выше следует, что в слу-
чае dim М = 2 (т. е. уравнение £ имеет две независимые перемен-
ные) имеется взаимно однозначное соответствие между одномер-
ными накрытиями рассматриваемого вида и законами сохранения
уравнения £.
$ 1. НАКРЫТИЯ
329
1.11. Преобразования Беклунда. Примеры, которые были
рассмотрены, показывают, что теория накрытий является удобным
и корректным языком описания различных нелокальных эффектов,
возникающих при изучении дифференциальных уравнений. В част-
ности, было продемонстрировано, что такие конструкции, как под-
становка Коула — Хопфа и преобразование Миуры — Гарднера име-
ют общую природу и естественным образом интерпретируются в
терминах теории накрытий. В § 2 мы увидим, что продолженные
структуры Уолквиста — Эстабрука являются частными случаями
накрытий, а в этом пункте приведем определение преобразований
Беклунда на языке теории накрытий.
Напомним [115, 130], что преобразованием Беклунда между
уравнениями 8 и £' называется система дифференциальных соот-
ношений на неизвестные функции и и и', которая обладает следу-
ющим свойством: если функция и является решением уравнения £
и функции и и и' удовлетворяют этим соотношениям, то функция и
также является решением уравнения £'.
На языке накрытий это определение звучит следующим обра-
зом [113].
Определение 1.6. Преобразованием Беклунда между
уравнениями £ и £' называется следующая диаграмма, в которой
отображения тит' являются накрытиями
Если £°° = (£')°°, то преобразование Беклунда уравнения £ ино-
гда называют автопреобразованием.
Пример 1.10. Рассмотрим следующую систему уравнений £
wx = a sin w, wv = ^ s*n a e a 0’
в двумерном расслоении тг: R2 х К2 —> R2. Тогда, оператор нулево-
го порядка (т. е. морфизм расслоений) Д+: v = w 4- w определяет
накрытие т+: 7°°(тг)-> J°°(£), где £: RxR2-+R2 (см. п. 1.4). Огра-
ничение этого накрытия на £00 определяет накрытие уравнения £ =
= {% = sin(v)} уравнением £°°. Аналогичным образом оператор Д-:
v = w - w определяет еще одно накрытие т-: £°° 8°°. Таким обра-
330
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
зом, мы имеем автопреобразование Беклунда уравнения sin-Гордон
которое совпадает с открытым Беклундом [83].
Укажем один естественный способ построения преобразований
Беклунда. Рассмотрим диаграмму
£} £2
b ь
£™ £2
в которой вертикальные стрелки — накрытия, а отображение —
изоморфизм. Тогда, очевидно, т2о<р: £ —► — накрытие и мы по-
казали, что уравнения £™ и £“ связаны преобразованием Беклунда.
Следующие примеры показывают, что известные преобразова-
ния Беклунда могут быть получены именно таким способом.
Пример 1.11. Рассмотрим модифицированное уравнение
Кортевега — де Фриза
(112)
Векторные поля Dx — Dx + X, Dt =Dt + T, где
Х = Р°^ + (Ро + а Sin(w +
, д >
Т = (Р2 + Ро )б~ + (Р2 + 2аР1 C0S(W + «О + 2Р0 +
OW
+ 2ар^ sin(w 4- го) + 2а2р0 + a3 sin(w + го))трс,
определяют двумерное накрытие т: £°° = R2 х£°°—>£°°. С помощью
замены переменных го н-> го, го н-»• го мы получаем новое накрытие.
Следовательно, если u(t, х) — решение уравнения (1.12), а функции
w(t,x) и го(<,ж) удовлетворяют соотношениям
u = wx, wx — wx = a sin(w + w),
то функция u = wx также является решением уравнения (1.12).
Это хорошо известное преобразование Беклунда модифицирован-
ного уравнения Кортевега — де Фриза [120].
§ 2. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ: НАКРЫТИЯ
331
Пример 1.12. Рассмотрим уравнение Кортевега — де Фриза
и,=и, + 12гш„
t ххх 1 х
Над этим уравнением имеется двумерное накрытие, определя-
емое полем X следующего вида
Y д il I ~\2\ 9
(вычисление поля Т мы оставляем читателю). Как и в предыду-
щем примере, помощью замены w w w, w\-+w [120], мы получаем
преобразование Беклунда
u = wx, wx+ wx = a - (w - w)2, u = wx.
§ 2. Примеры вычислений: накрытия
В этом параграфе мы найдем накрытия специального вида для
некоторых популярных уравнений математической физики с двумя
независимыми переменными.
Процесс построения накрытий для конкретных дифференци-
альных уравнений представляет собой вычислительную процедуру,
аналогичную той, которая применялась для нахождения симметрий
дифференциальных уравнений. Именно, накрывающее пространст-
во 8 любого накрытия локально диффеоморфно прямому произведе-
нию 8°° х Rx, а отображение г: 8 = 8°° х —>8°° является про-
екцией на первый сомножитель. Поэтому локально накрытие опре-
деляется распределением С, которое в случае уравнения с двумя
независимыми переменными задается двумя полями Dl=Di+Xl и
N д
52 = Р2 + Х2,гдеХ,. = ^Х,..—, Xij&^(8), я = 1,2; w1(w2,...
,• = 1 з
...,wN — координаты в слое (нелокальные переменные), 0<
< N оо. Условие интегрируемости этого распределения [Z>,, D2] =
= 0 имеет вид
[Л1,Х2] + [Х1,Р2] + [Х1,Х2] = 0. (2.1)
Это соотношение представляет собой систему дифференциаль-
ных уравнений на функции XijE^‘(8), описывающие всевозможные
332
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
TV-мерные накрытия уравнения £°°. Решив эту систему, мы найдем
все накрытия рассматриваемого уравнения. При установлении эк-
вивалентности накрытий мы пользуемся следствием 1.3.
2.1. Накрытия уравнения Бюргерса [113]. Рассмотрим
уравнение Бюргерса
£ = ]ut=uu +u
Lt х 1 ххJ
В качестве внутренних переменных на £°° возьмем функции
х, t, р^..., рк,... (см. п. 4Л гл._4).
Полные производные Z>x =D1 и Dt =D2 на £°° имеют вид
к гк j. ^к
Пусть распределение на £ задается полями
Dx=Dx+X, Dt = Dt+T,
где
г=Етч£? х^е^).
j з к к
Тогда условие интегрируемости (2.1) имеет вид
+ S pi +1 ~ ~dt ~S+р2)^- + Н> Т1 = °- (2-2)
Q
где операторы -— действуют на поля X и Т покомпонентно (коэф-
“Рк
фициенты полей X и Т зависят от х,1,рг,.. .,рк,...., wN).
Мы ограничимся случаем, когда все функции Х^, Тк не зависят от
переменных x,t и i > 1. В этом случае уравнение (2.2) запи-
сывается в виде
ЭТ дТ , ч дХ
(2.3)
°Р\
Левая часть (2.3) полиномиально зависит от р2 и р3. Поэтому
коэффициенты при р2 и р3 равны нулю, откуда следует, что функ-
v дт дх
ция X не зависит от р. и -— = ——, т. е.
dpi др0
пп дХ „
(2-4)
$ 2. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ: НАКРЫТИЯ
333
где коэффициенты поля R не зависят от р{. Подставляя теперь со-
отношение (2.4) в уравнение (2.3), получаем
fdR дХ Г дХ'
2 +Р1\др0 Р°дРо + ’ дРо.
Так как поля X и R не зависят от последнее уравнение экви-
валентно системе
^=0,
9Ро
dR дХ
дРо ~Р°др0
[Х,7?] = 0.
Из первого уравнения этой системы следует, что
X = р0А + В,
2 52X
oPo
8R 8Х
дРо И°др0
+ [Х,Я] = О.
ЭХ'
dPoJ’
(2.5)
(2-6)
где коэффициенты полей А и В зависят уже только от перемен-
ных wk. Иначе говоря, А и В являются полями в слое накрытия Rx.
С учетом (2.6) второе уравнение системы (2.5) приобретает вид
57? t г 1
— =РОА + [А,В], или
аРо
R —РоА + ро[А,В] +С, (2.7)
где С — поле на Наконец, подставляя выражения (2.6) и (2.7)
в последнее уравнение системы (2.5), получаем уравнение
Ро ([А, [А, В]] + | [В, А]) +р0([А, С] + [В, [А, В]]) + [В, С} = О,
которое эквивалентно соотношениям
[А,[А,В]]=1[А,В], [В, [В, А]] = [А, С], [В,С] = 0. (2.8)
А
Таким образом, мы доказали следующее утверждение.
Теорема 2.1. Всякое накрытие уравнения Бюргерса,
где коэффициенты полей X и Т не зависят от переменных
t,x и pk, k > 1, определяется полями вида
Dx = Dx +PqA + B,
Bt = Dt + fpj + -p02jA + p0[A, B] + C,
334
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
где А, В и С — произвольные поля в слое накрытия, удов-
летворяющие соотношениям (2.8).
Замечание 2.1. Отметим здесь одно замечательное
обстоятельство. Рассмотрим свободную алгебру Ли Q с образую-
щими а, Ь и с, которые удовлетворяют соотношениям
[а, [а, Ь]] = |[а, Ь], [6, [Ь, а]] = [а, с], [Ь, с] = 0.
Тогда алгебра Ли, порожденная векторными полями А,В и С, явля-
ется образом алгебры Q при некотором ее представлении в алгебре
Ли векторных полей на многообразии Rx. Таким образом, теоре-
ма 2.1 показывает, что накрытия уравнения Бюргерса рассматрива-
емого класса однозначно определяются представлениями алгебры Q
в векторных полях. По этой причине мы будем называть алгебру
Ли Q универсальной.
Замечание 2.2. Универсальные алгебры впервые поя-
вились в так называемых продолженных структурах Уолкви-
ста — Эстабрука [155, 105]. Примеры универсальных алгебр,
построенные для различных эволюционных уравнений, а также
некоторые их конкретные представления можно найти в рабо-
тах [94]. Отметим, что понятие продолженной структуры Уолкви-
ста — Эстабрука является частным случаем понятия накрытия.
Опишем теперь одномерные накрытия уравнения Бюргерса
рассматриваемого типа. Пусть w — нелокальная переменная. Тогда
А = а—, В-=Р-^~, где а,/3,7 е C'0O(R), и (2.8) сво-
aw ow aw
дится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений на
функции а,/3 и 7.
Рассмотрим сначала случай А = 0. Тогда система (2.8) сводится
к соотношению [В, С] = 0, или /3'7 - /З7' = 0, где штрих обозначает
производную по w. Если поле В отлично от нуля, то координату w
_ , г, д
на R можно локально выбрать так, что В = —, откуда следует, что
7 = const. Отметим, что, выбирая новую координату в слое, мы в
действительности переходим к новому накрытию, эквивалентному
исходному. Если же В = 0, то С 0 0 и этот случай рассматривается
аналогично. Таким образом, координату w локально всегда можно
выбрать так, чтобы /3,7 = const. Поэтому система полей
^ = ^+/3/-, Dt=Dt+y~
х х dw ‘ 1 dw
имеет нетривиальное ядро, порожденное функцией w—(Зх—yt. Ина-
че говоря, многообразие £ расслаивается на инвариантные подмно-
§ 2. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ: НАКРЫТИЯ
335
гообразия вида Хх — {w — fix — = A}, A G R, изоморфные много-
образию £°°, т. е. рассматриваемое накрытие тривиально.
Перейдем теперь к случаю А / 0 и изучим структуру возника-
ющих при этом накрытий в окрестности неособой точки поля А.
Выберем в рассматриваемой окрестности координату w так, чтобы
Q
А = —. Тогда система (2.8) принимает вид
= (/3')2-^" = 7', /3'7=17?
и имеет решения двух типов:
/3 = const, 7 = const
и
в = /iew/2 + v, 7 = — ^(/хеш/2 + 1'), /х = const/0, v = const (2.9)
Все накрытия первого типа попарно эквивалентны и заменой коор-
динат w I-» w — (Зх — ч t приводятся к виду:
+ Ро А = Dt + | Ро2) •
Рассмотрим накрытия второго типа и обозначим накрытие, за-
даваемое соотношениями (2.9) через v. Тогда накрытия т
и эквивалентны в том и только том случае, если sign рх =
= sign д2 и vx =
Итак, мы доказали следующее утверждение.
Утверждение 2.2. Каждое нетривиальное одномер-
ное накрытие уравнения Бюргерса £ = {и( —иих + ихх], где ко-
эффициенты полей X и Т не зависят от переменных t, х
и Pk> > 1, локально эквивалентно одному из следующих:
т“:
о<=в< + (л + 5Л2)^.
D,=Dx + ^ + e-l2 + v)^
D -П + (г> + -п2 4- 1₽ш/2п - —еш/2 ”2\ 9
Ч-^+^Р1 + 2Ро + 2е Р° 2 2)dw'
336
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
D - D 4- -п2 - -ew/2o + —ew/2 ~—\ —
ut-ut + ^1 + 2Р° 2 Ро+2 2 ) dw'
и = const. Эти накрытия попарно неэквивалентны.
В каждом из перечисленных случаев многообразие £ контактно
диффеоморфно некоторому многообразию вида (£')°°, где £' — эво-
люционное уравнение второго порядка. Соответствующие замены
переменных имеют вид
и = wx — для накрытия т°;
и = wx — ew?2 — v — для накрытий т*;
и — wx + еШ/2 “ v — накрытий т~.
Упражнение 2.1. Выпишите накрывающее уравнение в
каждом из перечисленных случаев.
Замечание 2.3. Аналогичные, но более громоздкие рас-
суждения, позволяют описать накрытия более высоких размер-
ностей над уравнением Бюргерса. Так, например, имеется шесть
3-параметрических и по одному 4-х и 1-параметрических семейств
нетривиальных и попарно неэквивалентных двумерных накрытий.
2.2. Накрытия уравнения Кортевега — де Фриза. Рассмо-
трим теперь уравнение Кортевега — де Фриза
£ = {Ut=UUx +Uxxx}-
В качестве внутренних переменных на £°° возьмем функции
x,t,pl,.. .,рк,... Полные производные на £°° имеют вид
^t = dt +Рз)^“-
к * к
Пусть распределение на £ задается полями
D =D +Х, Dt=Dt+T,
где
j 3 к k
Мы будем решать уравнение (2.1) в предположении, что все функ-
ции Тк не зависят от переменных x,t и pit i >2. Тогда рас-
суждения, аналогичные проведенным в п. 2.1, приводят к следую-
щему результату.
Теорема 2.3. Всякое накрытие уравнения Кортеве-
га — де Фриза, где коэффициенты полей X и Т не зависят
$ 2. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ: НАКРЫТИЯ
337
от переменных t,x и рк, к >2, определяется полями вида
Dx=Dz+PoA + PoB + С’
Bt=Bt + (2№г -Р1+ |ров +
+ Рх [В, О'] + | р02 [В, [С, В]] + р0 [О', [С, BJJ + D,
где А,В,С,D — векторные поля в слое накрытия, удовлет-
воряющие соотношениям
[ЛВ] = [ДС] = [С-,Р] = 0,
[В, [В, [В, О']] = О, [В, В] + [С, [С, [С, В]]] = о,
и, В] +1 [О', В] +1 [В, [С, [С, В]]]=О.
Замечание 2.4. Свободная алгебра Ли с четырьмя образу-
ющими и соотношениями (2.10) является универсальной алгеброй
уравнения Кортевега — де Фриза. Она появилась при исследовании
продолженных структур [155]. Известно, что эта алгебра бесконеч-
номерна [136].
Опишем одномерные накрытия уравнения Кортевега — де Фри-
за. Легко видеть, что для того, чтобы накрытие было нетривиаль-
ным, необходимо, чтобы хотя бы одно из полей А или В не было
равно нулю. Предположим, что А / 0. Тогда нелокальную перемен-
Q
ную w можно выбрать так, что А = —, и из (2.10) легко следу-
ow
ет, что
в=Р^~, С=Ч1Г, D = S1T'
где /3,7,5 — константы. Таким образом, любое накрытие над урав-
нением КдФ с А / 0 эквивалентно накрытию, задаваемому полями
* = (Ро+0Ро + 7)^р
Т = ^2рор2 - Pi2 + | Ро + /3 (р2 + •
(2.П)
Из результатов п. 1.6 легко следует, что накрытия вида (2.11)
нетривиальны. Для того, чтобы проверить есть ли среди этих на-
крытий эквивалентные, рассмотрим сумму Уитни двух накрытий
вида (2.11)
~ д д
вх=вх + (Ро +0iPo + 71)^ + (Ро +/32Ро + т2)^,
22 Симметрии...
338
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
(2 ( 1 \ \ Q
2р0Рг ~Pi2 + 3Р0 + ft (Рг + 2Р°) + у dw[ +
/л о 2 я _ ( 1 2\ с\ д
+ (^РоР2 “ Pi + 3Р0 + ft (ft + 2?° J + ft J
и линейную систему
р,(/)=о, Д(/)=о,
где J — функция на пространстве суммы Уитни. Легко видеть, что
эта система эквивалентна следующей
df df df
dx dwx + dw2
Pldwx +P2dw2'
^д-А-^Д-А-^-О
dt ldw. 2dw2 ’
df df n <212)
dwx dw2
где f =f(x, t, wx, w2). Решения (2.12) отличны от констант тогда и
только тогда, когда (Зх = ft- Используя (2.12), легко показать, что
классы эквивалентностей накрытий с А / О параметризуются вели-
чиной (3 и их представители могут быть записаны в виде
^=(Ро+М)^>
т = (2PqP2 - Р12 + |?о + 0 (р2 +
(2.13)
Предположим теперь, что А=0. Тогда В /0 и в подходящей системе
координат поле В может быть записано как . Тогда соотноше-
dw
ния (2.10) преобразуется к следующему виду
dw3~ ’ dw~ |dw’ J’
££-lr Ir ^£11
dw ’ ’ dwj.
[C-,P]=O.
Эта система имеет решения двух типов:
/1 2 а \ д
С= Rw +^w+7 >
\ 6 J dw
D=(p2-^\
d
dw
и
§ 2. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ: НАКРЫТИЯ
339
где /3, 7, 8 — константы. Соответственно мы имеем два типа на-
крытий:
х =(Ро + lw2 + /3w + y
\ О / OW
гг. ( Л Л 1 2 ( 1 2 1 „ Л2 1 \
Г=(р2+Р1( 3W + ^ ) + 3Р0 + ( |gw +з^ + р -д7 )р0+
-/?, мы можем преобразовать
О
у (п \ Т f 2 , <Л
x~\?°+1)di’ т = \.й + 2Яо+7л»'
В первом случае, делая замену wi-»w—
накрытие к виду
Х=(р„+^! + а)А (2.14)
m ( 1 1 , ( 1 2 1 \ 2/1 2
Г =1 Р2+ gWpj + -р0 + I —W ~ 3 Г°~ 3\ 6^ +Q!
где а — произвольная постоянная. Накрытия этого семейства по-
парно неэквивалентны.
Во втором случае все накрытия эквивалентны между собой. В
качестве представителя этого класса можно взять, например,
<2j6>
Легко видеть, что все накрытия (2.13)-(2.15) попарно неэкви-
валентны. Таким образом, мы получили полное описание одномер-
ных накрытий уравнения КдФ рассматриваемого класса. Подведем
итог.
Утверждение 2.4. Каждое нетривиальное одномер-
ное накрытие уравнения Кортевега — де Фриза £ — {tzf =иих +
+иххх}, г&е коэффициенты полей X иТ не зависят от пере-
менных t,x и рк, к >2, локально эквивалентно одному из
следующих
Т°'- ^x = Dx+p°d^’
А = Л + (р2 + |ро2)^,
22*
340
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
(1 \ Q
рп Н—го2 + а | —,
‘° 6 J dw'
~ - ( 1 1 2 ( 1 2 1 А
Dt = Dt + u>2 + зwPi + 3P0 + ( Ygw - 3aJPo~
2 <1 2 \\ d
- -a +« ) )х~, a eR,
3 \ 6 77 dw
Tl- Dx = Dx + (p2 + 0po^,
Dt = Dt + (2PqP2 ~ Pi + 3P0 + 0 (p2 + 2P°2)) ~dw ’ e K-
Эти
u = w
X
накрытия попарно неэквивалентны.
В каждом из перечисленных случаев многообразие £ контактно
диффеоморфно некоторому многообразию вида (£')°°, где Е' — эво-
люционное уравнение третьего порядка. Соответствующие замены
переменных имеют вид
и — wx — для накрытия т°;
1 2 3 . ,
- -w — -а —для накрытии та ;
и = — а ± 02 + wx — для накрытий т2.
Как мы уже видели (см. п. 1.9), накрывающим уравнением
для накрытия т° является потенциальное уравнение Кортевега —
де Фриза wt = wxxx + -го2, а для накрытия rj, при а = 0, модифи-
цированное уравнение Кортевега — де Фриза wt — wxxx — ^w2wx.
2.3. Накрытия уравнения ut = ^-(В(и)их). Приведем без
доказательства еще один результат вычисления накрытий [36].
Утверждение 2.5. Каждое нетривиальное одномер-
Q
ное или двумерное накрытие уравнения £ — {ut = —(B(u)ux)},
где коэффициенты полей X и Т не зависят от переменных
t,x и pk, к> 1, локально эквивалентно одному из следующих
D =D + Рп--,
х х Podw’
Dt = Dt+B(p0)Pi~,
§ 2. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ: НАКРЫТИЯ
341
2.
5- = В-+й>8^+”’18<
р, = р, + в(Ро)Р1Д+в(Ро) Д,
д д
Ъ^в- + а^~тэ^’
D, = Dt + IBIfJ -
Неприводимых накрытий, размерность которых больше 2,
нет.
В заключение рассмотрим два примера, в которых исходное
уравнение не является эволюционным.
2.4. Накрытия уравнения /-Гордон. Пусть £{ = {иху = /},
где / = /(и)— произвольная функция, зависящая от и. Выберем в
качестве координат на £J° функции х, у, u,pl, q{,.. .,pk, qk,..., где
x = xv у = х2^ и = р(0 0), pk=p(k^ qk=P(0,ky Рассмотрим такие
накрытия т: £_f = £]° хRx —+ £™, Dx — Dx+X, Dy = Dy + Y, Dx =
= Dv Dy=D2, что коэффициенты полей X и Y не зависят от
переменных х,у и р£,<?£, i > 1. В этом случае условия (2.1) пре-
образуются к виду
дХ dY _0
^91 дР\
dY t(9Y dX\ dX ,v n
Pnr+f + =
k ou у J ou
Результаты анализа этой системы в случае одномерных накры-
тий рассматриваемого типа следующие.
Утверждение 2.6. Каждое нетривиальное одномер-
ное накрытие уравнения £ = {иху =/}, ^0, где коэффици-
енты полей X и Y не зависят от переменных х,у и р{^{,
( с^Х
i > 1, локально I в окрестности любой точки, где -=- 0 и
9Y2 \ ' дР1
—z- / 0 1 эквивалентно следующему
dq{ 1
-rf-
5, = Р, + (<ч>? + 2F)А р, = Р, + («’ + 2aF) А
U
где а еК, F(u)= J f(u)du. Эти накрытия попарно неэквива-
о
лентны при разных значениях параметра а.
342
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
Рассмотрим уравнения £. и 8 и приравняем правые части ра-
f
венств, определяющих накрытие , к правым частям соответст-
вующих равенств, определяющих накрытие rj. В результате мы
получим систему
аиг 4- 2F(u) = /3vx 4- 2G(v),
о , (2-16)
и2 4- 2aF(u) = v2 + 2/3G(v).
Простая проверка показывает, что если v = v(x, у) — такое реше-
ние уравнения 8д, что система (2.16) совместна, то любая функция
и = и(х, у), являющаяся решением (2.16) при заданном значении v,
и для которой аих 4- и / 0, является решением уравнения 8^. Та-
ким образом, система (2.16) определяет «частичное преобразование
Беклунда» между уравнением 8f и 8д.
Замечание 2.5. В работе [135] изучались продолжен-
ные структуры уравнения 8f. Полученный результат можно пере-
формулировать следующим образом: уравнение 8{ обладает нетри-
виальными одномерными накрытиями, для которых коэффициен-
ты полей X и Y линейны по и q{ соответственно, в том
и только том случае, если функция f удовлетворяет уравнению
d2f
—2 = af, а = const. В частности, если f = sin и, то многообра-
зен ~
зие 8 контактно диффеоморфно (£sinu)°° и соответствующее на-
крытие представляет собой классическое преобразование Беклунда
уравнения sin-Гордон. Если f =е“, то 8{ контактно диффеоморф-
но многообразию (£0)°° и соответствующее накрытие определяет
преобразование Беклунда между уравнением Лиувилля и волновым
уравнением.
2.S. Накрытия уравнения ихх + «« = ¥’(«) [ИЗ]. Рассмо-
трим теперь уравнение 8V = {ихх 4- нуу — y>(u)}, где — некоторая
гладкая функция, зависящая от и. Выберем в качестве координат на
8°° функции х, y,u,Pl,qi,.. .Lpk, qk2..., где рк = р(к 0), qk = р(к _ , 1}.
Тогда полные производные Dx и Dy на 8°° имеют вид
= Э д V-—\ д \ д
Dx = d^+Pld^ + ^Pk+1dFk+^qk + lo7k’
к гк к ^к
= д д д V-—\ —4.1 . О
= + <’>“Рг)аГ-
Положим Dx=Dx+X, Dy = Dy+Y и предположим, что коэффици-
енты полей X и Y зависят только от переменных w,,.. .,ws,u,pl,ql.
§ 2. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ: НАКРЫТИЯ
343
(2.17)
В этом случае условия (2.1) преобразуются к виду
dY дХ п дУ дХ п
а-----------------Ь -- = 0, д---д--- = 0,
дрх dq{ dq{ др{
дУ дх дх tv ,Z1 п
Рх~х--91 л---Ч> + PC У = °-
ди ди dqx
Введем новые комплексные переменные z =px+iqx, Н = X + iY.
Тогда из первых двух уравнений (2.17) следует, что Н —аналити-
ческая функция переменной z:
ОО
H(z) = ^Hkzk, Hk = Hk(w,u) = Xk+il
к = 0
а третье уравнение этой системы приобретает вид
.дн дн (дн дн\ гтт п
г—-г—+ -— -Я,Я=0,
ди ди \dz dz )
Подставляя (2.18) в (2.19), получаем
^(zzk^--zzk^^^k^{zk-xHk-zk~xHk}\
(2-18)
к’
(2.19)
4 = 0
kJ = 0
откуда следует, что
У(Я, - Я,) = [Я„, Яо], - 2уЯ, = [Я„, Я,],
= <‘ + »Л + ,=[Я.,Яо1,
du du (2.20)
= [Я*,Я.] = 0, k,j>\,k^j.
Заметим, что с помощью замены переменных в слое накрытия
поле -—ЬХ, можно преобразовать в —. Тогда уравнения (2.20)
ди ди
примут вид
2i<pYl=[H0,H0], 2<рН2 =
^=0, (к + 1)рНк + 1=[Нк,Н0],
[Hk’Hj] = °> k,j>\,k^j.
д_
ди
(2.21)
344
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
Для поля Y{ имеются две возможности; а) У] = 0 и б) Y{ 0.
Для первого случая имеем
2г[Я0,Я0] = 0, 2^Я2 = ^,
^=0, (к + 1)<рНк + 1 =[Нк, HQ], (2.22)
[Як,Яу] = 0, к, j
В случае б) после подходящей замены координат в слое поле
У, преобразуется в поле -—, где w = wp и система (2.21) при-
нимает вид
2^^ = [Я0,Я01, 2^Я2=г^,
^=0, (* + 1)^Як + 1=[Я*Ло1, (2.23)
[Я4>Я,] = 0, k,j>\,k>j,
где £ = w + iu. Решая системы (2.22) и (2.23) в случае dim т =
= 1, получаем, что
и
Я = (2д2Ф + д0 +Д22:2)-—, Ф= I ipdu,
ow j
“о
где <р — произвольная функция, д е С.
Для = 0 (и уравнений, которые могут быть преобразованы к
такому виду) имеем
Н = +iz]-^-, теК
' 4/1 ' W
И
& dw
Если = и, то
тт ( \ 9
H^^ + ^+iz)—.
Для
1 /1 \
¥’ = о -+7
2 \7 /
sh(27u),
7 е К, 7 / 0,1,
$ 3. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
345
имеем
Н = (cos(7O + -sin(7O + i-2 ,
\ 7 / ow
и для
¥’ = п(---7 ) sin(27u), 7^R, 7^0,1,
2 \7 /
имеем
(1 \ л
chfrf) + - sin(7f) + iz ) —.
7 ) dw
В первом случае (для произвольного р) классы нетривиальных
накрытий представлены следующими полями
Н = (2 ехр(г’0)Ф + ехр(—гв)г2 ) 0б[0,2тг).
\ / ow
Анализ остальных случаев оставляется читателю.
§ 3. Нелокальные симметрии
3.1. Определение нелокальной симметрии. Пусть т: £—>
—► £°° — накрытие уравнения £°°. Нелокальной симметрией
уравнения £ назовем всякую локальную симметрию объекта £. Ина-
че говоря, нелокальная симметрия уравнения £ — это преобразова-
ние (конечное или инфинитезимальное) объекта £, которое сохра-
няет распределение С на £. Отметим, что определение нелокаль-
ной симметрии подразумевает задание некоторого накрытия урав-
нения £°°. Чтобы это подчеркнуть, нелокальные симметрии в на-
крытии т: £ —>£°° мы будем называть нелокальными симметрия-
ми типа т или нелокальными т -симметриями. В дальнейшем будут
рассматриваться только инфинитезимальные нелокальные сим-
метрии, поэтому прилагательное «инфинитезимальная», будет опу-
скаться и такие симметрии будем называть просто нелокальными.
Поскольку дифференциально-геометрическое строение накры-
вающих многообразий £ вполне аналогично строению бесконечно
продолженных уравнений, определение нелокальных инфинитези-
мальных симметрий в точности соответствует определению высших
симметрий дифференциальных уравнений.
Определение 3.1. Алгеброй нелокальных симметрий
типа т или нелокальных т-симметрией уравнения £, называ-
ется факторалгебра Ли
symT £ = Dc(£) j CD(£),
346
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
где
СР(£)=К>Д|^6.Р(£)|,
k* = i J
a Dc(£) состоит из таких векторных полей X на £, что [X, CD(£)] с
С CD(£).
Упражнение 3.1. Докажите, что если накрытия т1
и т2 эквивалентны, то алгебры Ли нелокальных симметрий sym^ £
и sym^ £ изоморфны.
3.2. Как искать нелокальные симметрии? Процедура на-
хождения нелокальных симметрий для конкретного дифференциаль-
ного уравнения естественным образом распадается на два этапа:
сначала необходимо построить некоторое накрытие т рассматрива-
емого уравнения, а затем найти т-симметрии.
Задача отыскания накрытий подробно обсуждалась в § 2. Отме-
тим здесь, что выбранное накрытие должно быть специально подо-
бранным с точки зрения симметрий: вообще говоря алгебра symT £
может оказаться беднее алгебры sym£. Таково, например, накры-
тие уравнения Кортевега — де Фриза модифицированным уравнени-
ем Кортевега — де Фриза (см. пример 3.1). Кроме того, некоторые
нелокальные симметрии могут быть неинтересны для приложений
(например, симметрии тривиального накрытия).
Рассмотрим теперь задачу вычисления алгебры нелокальных
симметрий заданного накрытия т: £ —> £°°. Если накрывающий
объект £ имеет вид £ = (£')°°, то задача сводится^ вычислению ло-
кальных симметрий уравнения (£')°°. Если же £ не задан явно в
таком виде, то процедура вычисления нелокальных симметрий мо-
жет быть основана на одной из двух теорем, доказываемых ниже.
Примеры вычисления нелокальных симметрий будут приведены в
следующем параграфе.
Теорема 3.1. Алгебра symT £ изоморфна алгебре Ли
векторных полей X на £, которые удовлетворяют следую-
щим условиям:
1) X —вертикальное векторное поле, т. е. X(r*(f)) = 0 для
любой функции f 6 С°°(М) С ^(£°°);
2) [Х,Д.] = 0, г = 1,..., п.
Доказательство. Заметим, что условие 1) означает, что
д
в координатах коэффициенты поля X при -—, ? = 1,..., п, рав-
ох.
ны нулю. Поэтому пересечение множества вертикальных векторных
§ 3. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
347
полей на £ с алгеброй CD(£) тривиально. С другой стороны, в каж-
дом классе смежности [X ] е symT £ существует один и только один
вертикальный представитель X”. Действительно, пусть X — про-
п __________________________________________________
извольный представитель класса [X]; тогда X” = Х — 12 аЛ’ где
д « = 1
—коэффициенты поля X при . ц
Теорема 3.2. Пусть накрытие т: £=£°°x'HlN—>£°° ло-
w д
кально задается полями D{ =D{+^^ —> г = 1,..., n, Х^. G
j = 1 1
tJ\£), где wp w2,... —нелокальные переменные. Тогда любая
нелокальная симметрия типа г уравнения £ = {F = 0} име-
ет вид
N
3 = 1
д
диз^ ’
где = A-(av .. .,aN), <pif ay GТ(£), причем функ-
ции <р{,а^ удовлетворяют уравнениям:
4(*’) = 0. (3-1)
Д<%) = ^,^(ХО). (3.2)
Доказательство. Пусть S G symT £. Воспользуемся тео-
ремой 3.1 и запишем вертикальное поле S в локальных координа-
тах на £ в виде
tr, k j = 1 3
где штрих над знаком первой суммы означает суммирование по
всем внутренним координатам р* уравнения £. Приравняв к нулю
коэффициент при —г в коммутаторе [5, D], получим уравнения
9pv
Di(bk) = bk + l или РДЬ*) = S(pk + 1 ) в зависимости от того, явля-
ется или нет р* + 1. внутренней координатой на £°°.
Решая эти уравнения аналогично тому, как это делалось для
локальных симметрий, получим
b*=Da(bk0), tF(b0) = O, b0 = (b10,...,b^).
348
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
В частности S = Э^ А, где tp = Ь0. Тогда уравнения (3.2) представ-
ляют собой результат приравнивания к нулю коэффициентов при
—— коммутатора [S, £>,]. q
Заметим, что если N конечно, то накрывающее уравнение ло-
кально имеет вид (£')°°, где £' = {F' = 0}, а
, / dw. \
F i = 1”3 =
и система уравнений на его локальные симметрии с производящей
функцией гр = (</>, А) в точности совпадает с системой (3.1)-(3.2).
Упражнение 3.2. Докажите следующее тождество
= &X,C’
где х = Э1р,Л(^)-Э^в(^), С = 9^ А(В)-Эф в(А).
Замечание 3.1. Если накрытие нульмерно (при этом,
естественно, = 0), т. е. т — локальный изоморфизм, то уравне-
ния (3.2) выполняются тривиальным образом, а система (3.1)-(3.2)
сводится к уравнению £к(у>) = 0. Таким образом, локальная теория
симметрий естественным образом вкладывается в нелокальную. Бо-
лее точно, алгебра локальных симметрий уравнения £ совпадает с
алгеброй нелокальных симметрий в накрытии id: £°° —*£°°.
Если дано некоторое накрытие т: £—► £°° уравнения £°° и
функция 4>eF(£) удовлетворяет уравнению (3.1), то, вообще го-
воря, симметрии вида 9 А может не существовать, так как может
оказаться, что система уравнений (3.2) для данного <р не имеет ре-
шений. В частности, не всякая локальная симметрия Э , peF(£°°)
может быть продолжена до симметрии 9^ А в накрытии т: £ —г£°°.
Пример 3.1. Рассмотрим одномерное накрытие т: £ = £°° х
х R1 —г£°° уравнения Кортевега — де Фриза £ — {ut — иххх 4-uu^},
задаваемое полями
~ - / 1 2\ &
Dx = Dx + \ Ро+ Zw -s—>
\ о / dw
~ / I 1 2 1 2 \ д
О< = О1+(чй+з“’?1 + зИ1 + 18“’ Я,)
Как мы уже видели (см. пример 1.9), £ = (£')°°, где £' есть
модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза
1 2
w. = w,,^. — -w w.
t XXX Z2 X
§ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ: НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
349
Рассмотрим локальную симметрию уравнения КдФ с производя-
щей функцией =tpj +1 (галилеева симметрия) и попытаемся про-
Q
должить ее до симметрии Э = Э +а——, аеР(8), в накрытии т.
v aw
Для этого надо решить следующую систему уравнений на функ-
цию а е Р\8);
~ / 1 1
Р1(а) = Э¥>,а (Ро+бш +
Dt(а) = а (р2 + 4- + Jg ™2Ро) =
—о. 1 — /2 1 оА (1 1 А
= DXW) + 3wDxW)+ I 3Р0+ 18ш ) У’ + М 3Р1 + gwPoJ •
Нетрудно убедиться в том, что эта система не имеет решений.
Таким образом, симметрии Э а, где <р — галилеева симметрия, в
рассматриваемом накрытии не существует и для данного накрытия
алгебра нелокальных симметрий оказывается беднее алгебры ло-
кальных симметрий. Однако, мы можем рассматривать различные
накрытия и можно надеяться, что таким образом удастся расши-
рить алгебру симметрий данного уравнения. Проблеме продолже-
ния симметрий будет посвящен § 5.
§ 4. Примеры вычислений: нелокальные
симметрии уравнения Бюргерса.
Рассмотрим теперь задачу нахождения нелокальных симме-
трий уравнения Бюргерса в накрытиях, описываемых теоремой 2.1
(см. [112]). Пользуясь теоремой 3.1 мы будем отождествлять эле-
менты алгебры symT 8 с такими полями S на 8, что S =Р + Ф, где
— ф=Уф —
dpi' 7^0 3dwi’
где и [S,Dx] = [S,Dt] = 0.
С учетом равенств (2.8) эти соотношения принимают вид
I5’ ^+Р°А+[ф> =°’
350
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
[S. Д1=£(Е 4- +ft))-D,(p(>)^-+
+ (P, + PopoM+P0[A P] + [ф> Al=0-
~ ~
Коэффициенты полей [Ф, DJ и [Ф, DJ при для всех г > 0 равны
нулю, т. е. эти поля вертикальны относительно проекции т. Поэтому
первое из полученных соотношений равносильно тому, что
Р0А + [Ф, Dx] = 0, Pi + l= DX(P& i = 0,1,...,
откуда следует, что Р{ = Б1х(гр), где через гр обозначена функция Ро,
т. е. Р = Эф = Рх(У') б—• Аналогично, второе соотношение эк-
Pi
Бивалентно равенствам
(A(V>) + PqV'M + V>[A В] + [Ф, Al = °>
(4.1)
(4.2)
Так как [3^,1)^] = 0, то уравнение (4.2) при г >0 получается
применением оператора £>* к равенству (4.2) при г = 0, т. е.
А,(РоР1 +Рг) = Ш
или, что то же самое,
А^) + Р0А W + Р^ = A (V0-
Таким образом, мы доказали следующее утверждение.
Утверждение 4.1. Всякая нелокальная симметрия
уравнения Бюргерса в накрытии (2.8) имеет вид + Ф, где
Q
гр, Ф^. fzF(E) причем функция гр и поле Ф удов-
j^o
летворяют следуюгцим уравнениям
(A(V>) + Ро'ф)^ + V’l А, В] + [Ф, Dt ] = 0, (4.3)
4(^) = ^(^)+роА(^)+Р1^ - А(^)=о,
где F — функция, задаюгцая уравнение Бюргерса.
§ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ: НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
351
Дальнейший анализ системы (4.3) должен опираться на конк-
ретные реализации универсальной алгебры уравнения Бюргерса.
Начнем с изучения нелокальных симметрий в накрытиях, описыва-
емых утверждением 2.4. Рассмотрим накрытие т°. Пусть Ф = —.
Тогда для накрытия т° система (4.3) принимает вид w
^ = Dx((p),
Dx(^) + poip = Dt(^),
W) = 0-
(4-4)
Заметим, что мы получили бы ту же самую систему уравнений,
если бы воспользовались теоремой 3.2.
Нетрудно видеть, что третье уравнение системы (4.4) является
следствием первых двух, поэтому рассматриваемую систему можно
преобразовать к виду
V' = ^x(¥’)>
+ p0Dx(^) = Dt(ip).
Обратим внимание на то, что второе уравнение имеет вид
(</?)=О, где — оператор универсальной линеаризации для урав-
нения £' — = vxx + ±vx }. Это согласуется с тем, что уравнение
£ контактно диффеоморфно многообразию (£')°°. Диффеоморфизм
устанавливается с помощью следующей замены координат
х = х, w = Pq, t=t', pk=p'k + l, fc = 0,l,...
где x',t',pk — стандартные координаты на (£')°°. Отсюда следует,
что symTo £ = sym£'. Вычисляя алгебру sym£' по схеме, описанной
в гл. 4, и используя описанный диффеоморфизм, мы получим, что
алгебра sym£' аддитивно порождена элементами вида
¥’-oo = J?(a:>0e"w/2, = =
(Pk=t'Pk + ^((fc + + + O(k - 2),
k=0,1,..., i =0,1,..., к 4-1,
где функция O(r) зависит только от переменных x,t,p0,.. ,,рг.
352
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
Обратим внимание на то, что вид системы (4.3) существенно
зависит от выбора координаты в К, т. е. от формы записи поля А.
Если А = a(w)——, а В и С по-прежнему равны нулю, то соотно-
ow
шения (4.3) приводятся к виду
Ф = ~ (tDx(<P) ~ PoaV),
D2x&) + (1 - 2a')P0Dx(P) + ((a')2 “ aa" ~ = Dt{p)-
Перепишем последнее равенство в виде Ц<р) = 0, где
L = D2 + (1 - 2a')p0Dx -Dt + ((a')2 - aa" - ~a'
Оператор L приобретает более простой вид, если положить a =
= ^w. Тогда L = D2 - Dt.
В этом случае £ = (£")°°, где £" — уравнение теплопроводно-
сти wxx = wt. Таким образом, при подходящем выборе координаты
в слое рассматриваемое накрытие т0 приводится к виду (£")°° —>
—> £°° и, более того, уравнение Бюргерса £ при этом оказывается
факторуравнением уравнения теплопроводности £" по однопараме-
трической группе его преобразований (симметрий) wi->ew, где е —
параметр. Заметим, что такая группа преобразований допускается
всеми линейными уравнениями. В рассматриваемой системе коорди-
(1 д \
т. е. когда А = 2Wdw ) °^РазУющие алгебры symTo£ —
= sym £" имеют вид
= w (f pk + | ((fc + l)t% +ixt* ~ pk_ j + O(k - 2)
k=Q, 1,..., i =0, 1,..., к + 1.
Рассмотрим накрытия т±. Система (4.3) для этих накрытий без
труда приводится к виду
□(¥>) = 0,
‘Ф = Рх(<Р)-0'(Р,
(4-5)
§ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ: НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
353
где /3 = ±ew/2 + и и
□ = Ь2Х +pqDx — Dt — P'(pQ + /3). (4.6)
Система (4.5) (сводящаяся к одному уравнению П(у>)=0) реша-
ется точно так же, как и уравнение tF((p)=O, определяющее высшие
симметрии уравнения Бюргерса (см. гл. 4). При этом оказывается,
что алгебры symT±£ изоморфны алгебре symf. Функции <р, явля-
ющиеся решениями уравнения (4.5), и зависящие от переменных
х, t, w, р0 и pt, являются линейными комбинациями нижеследующих
=Ро + 0»
<pll=t(p0 + P)-(P,ri,
¥>2 =Р1 + ^Ро + 0РО~ (4-7)
¥’г =* (pi + + ^(х “ vt) + +
¥>г =*2 (pi+7>P0^ +(t2p'+xt)p0+^P(2xt-vt2)+(vt-x)(P')~l+2t.
Соответствующие им функции ip имеют вид
'/’I =tPi + |(Ро + ^(РТ1 + 2»
л»
^2=P2+PoPv
V>2 =t{P2 +РоР1) + +Ро) ~ + ^)(Z3')"1>
^=t2(p2+p()pl) + t(xpl +p0)-^v(p0 + Wyi+
+ (^х(Ро + Р + 2р')-^(13'Г1-
Пусть Sj — симметрия, соответствующая функции у>‘. Тогда из (4.7)
следует, что симметрии 5° и 5° локальны, симметрия sf суще-
ственно нелокальна, если v / 0, симметрии S} и S22 существенно
нелокальны.
Наличие изоморфизма алгебр symT± £ и sym £ позволяет вы-
сказать предположение, что пространство £т± накрытия контакт-
но диффеоморфно бесконечному продолжению £°° уравнения Бюр-
герса £. Чтобы проверить эту гипотезу, попытаемся представить
23 Симметрии...
354
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
многообразие £т± в виде (£')°°, где 8'— некоторое дифференциаль-
ное уравнение. Считая, что х и t — независимые переменные на 8,
a w — зависимая переменная, введем на 8Т± координаты x,t,y0 =
= w,...,yi = Dx(w),... Тогда, как легко видеть, Dt(w) = у2 + ^у? -
— Ру{, т. е. искомое уравнение 8 имеет вид
Wxx + Н Wx - PWx = Wt • (4.8)
(4.9)
При этом, как и следовало ожидать, оператор универсальной лине-
аризации для уравнения (4.8) совпадает с оператором (4.6).
Далее, замена v = —[3 ew^2 — v переводит уравнение (4.8) в
уравнение Бюргерса vt =vxx + vvx. Итак, выбрав на 8т± координаты
х, t, = ..., 2/' = 5‘(v), ...,
мы обнаружим, что что 8т± «£°° и, в силу этого, отображение
можно рассматривать как отображение уравнения Бюргерса в себя.
Явная формула для этого отображения находится из соотношения
vx = Dx(v) — + /3) = + v)(u — и), откуда имеем, что
2».
U —----2-
V + V
Таким образом, мы пришли к следующему замечательному результа-
ту. Если v — решение уравнения Бюргерса, то и функция и, опреде-
ляемая формулой (4.9), также является решением уравнения Бюр-
герса при любых значениях параметра и.
В заключение рассмотрим одно бесконечномерное накрытие
уравнения Бюргерса. Положим
л »
dwx
п w,/2 д д д
в = ‘ 8^ + Ю!9^ + “’’а^+-'
с = ewl/3-^— + w2-^~+w3~ + ...
(j'UJq 0UJ^ 010^
Очевидно, что поля А,ВиС удовлетворяют соотношениям (2.8) и
поэтому задают бесконечномерное накрытие над уравнением Бюр-
герса. Пусть S — 4- Ф£ —-------нелокальная симметрия в этом
(4.Ю)
§ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ: НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
355
накрытии. Тогда, поскольку [Л, В] =
сматриваемом случае имеет вид
2 dw2
система (4.3) в рас-
Ф1=2е^25х(Ф2),
ф2 = ^(фз)>
Ф3 = -ба(ФД
Pi Ф + Po-^x(V') + D2 (V») =
м>+адо=ад),
ф+ ^р0Ф1—2е~т^25х(Ф2),
Ф1 = 2е-^25Х(Ф3),
ф2=ад),
ф*_1=Я(ф*), Фк_2=р,(ФД
Как легко проверить, эта система эквивалентна следующей:
^5“ W Ю - II II II " tn ti н н 1 Z-4 >UW СО \ S.Z N3 — * .’=> е кэ р^Ф +р0ох(ф) + ^2(Ф) = Ь^ф), р0р1(Ф1) + 512(Ф1) = Д(Ф1)) 52(Ф2) = Д(Ф2), Ч2(Фз) = Д(Фз). (4-Н)
ф*=^(ф*+1). 6М)=Д(*,).
Прежде, чем решать эту систему дифференциальных уравне-
ний, в алгебру J\£) введем фильтрацию, полагая deg <р = к для
dip
любого ip е ?(£), если —— = 0 при всех г > fc; deg оз = -к, если
dpi.
dip dip
-— = 0 при всех j < fc; —— = 0 при всех г > 0. Далее заметим,
dp{
что если элемент удовлетворяет всем уравнениям левого столб-
ца системы (4.11), и если -ф удовлетворяет уравнению с номером к
из правого столбца, то ф удовлетворяет всем уравнениям систе-
мы (4.11) при i < к.
23*
356
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
Для дальнейших рассуждений удобно рассмотреть два случая:
a) deg02 4 и б) deg<52 < 4. В первом из них, поскольку опе-
ратор Dx повышает фильтрацию на 1, из уравнений левого столб-
ца следует, что найдется такой номер к, начиная с которого функ-
ции Ф£ будут зависеть только от переменных t, х, w4, w5,... Пусть
(ф,Ф1,Ф2,.. ,,Ф4) — решение (к + 1) уравнения системы (4.11) и к
таково, что
дФ
®k=®k(t>X’wVw5’---’Wr)’ ^Г=0’ к^2- (Э 4 * * * * * * *-12)
Для функций вида (4.12) уравнение системы (4.11) для Ф4 пре-
образуется к виду
$4 , „А 52Ф, , $4 дФк
i = 4 1 i,j = 4 i г
Применяя индукцию по г можно показать, что всякое решение
этого уравнения линейно зависит от переменных wt, т. е.
Фк = ^4Ш4 + ^5Ш5 + - + М+ ¥Чо>
причем функция является решением уравнения теплопроводно-
ди>.п
сти —Ч*1 = -х;а функции <pki, г — 4,..., г, должны удовлетво-
рят t'*
рять следующей системе дифференциальных уравнении:
5*И=0,
дх
, о^5 дЧ>ы
дх2 дх dt ’
ЭУ1 „dPki = d(Pkr-i
дх2 дх dt
di<Pkr д*кг
дх2 dt
(4.13)
Легко доказать, что все решения системы (4.13) полиномиаль-
ны по х и t, причем <рк4 — произвольный полином степени г — 4,
зависящий только от t. Для вычисления нелокальных симметрий в
рассматриваемом накрытии нам необходимо найти такие решения
системы (4.13), которые определены с точностью до решений, об-
§ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ: НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
357
ладающих свойством <рк4 = 0. Это пространство имеет размерность
г — 3, его базис определяется значениями ipk4 = 1, t,..tr 4.
Пусть Ф*=¥’mw4+^5w54-. . •+¥’fcrwr+¥’fc0 — некоторое решение
fc-ой пары системы (4.11). Чтобы найти соответствующую нелокаль-
ную симметрию уравнения Бюргерса, необходимо построить такие
0fc + i, i = 1,2,..удовлетворяющие (к +г)-й паре системы (4.11),
что Ф4 = б,(Ф,+1), Ф, + 1 =-б,(Ф1+!),... Положим
ф»+1=ЕЕ<-')"+1
па — 1
g..-.
дха~х *+“
(4.14)
i = 4 а > О
Поскольку, как было сказано выше, все функции полино-
миальны по х, функция Ф4 + 1 определена соотношением (4.11) кор-
ректно. Вычисляя Б^(Фк + J и 1)4(Ф4 , J и используя соотношения
(4.13), легко убедиться в том, что Фк + 1 удовлетворяет (к + 1)-й
паре уравнений из (4.11). Точно так же строятся функции ФА + 2,...
• • ->Ф&-цч • • • и доказывается, что они удовлетворяют соответствую-
щим уравнениям системы (4.11).
Приведенные рассуждения с незначительными изменениями пе-
реносятся на случай б), когда Ф2 = Ф2(*, х, w5,..., wr).
Обозначим через Ф^, где к —2, г > О, симметрию, для ко-
торой функция ФА+4 имеет вид Ф4+4 = t’w4 + Ф(4,ж, w5,..., wr), а
через Ф*, где к < -2, г 0, симметрию, для которой функция Ф2
равна Ф2 = t1w2_k + Ф(£, х, w2_t + 1,..., wr). Тогда справедлива сле-
дующая теорема.
Теорема 4.2. Алгебра Ли нелокальных симметрий
уравнения Бюргерса в накрытии г, определяемом поля-
ми (4.Ю), аддитивно порождена образующими Ф*к, где к =
= 0, ±1, ±2,..., i = 0, 1,2,..., а также симметриями, для ко-
торых Ф2 =Ф2(ж,£) —произвольное решение уравнения теп-
д2Ф, дФ,
лопроводности & 2 =
Заметим, что образующим Ф*л при k>0, i < к, соответствуют
локальные симметрии вида = tlPk + О(к — 1); у остальных об-
разующих нет соответствующих локальных симметрий. Например,
образующей Ф°,2 соответствует производящая функция ip = (2w2 —
— w3p0)e“W1^2, образующей Ф°, — функция ip = 1 — w2poe-W1^2, обра-
зующей Ф[ — функция ip=tpi—2w2poe~Wi^2+5, а если Ф2 — решение
уравнения теплопроводности, то ip = (2^ - — »n |е"’"1'/2.
\ dt дх /
358
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
§ 5. Задача реконструкции симметрий
Пусть т: £ —> £°°— произвольное накрытие уравнения £°°, а
<р е F(£, тг) — некоторое решение уравнения lF{p) = 0, £ = {F =
= 0}. Как было показано в гл. 4, если <р е F(£°°, тг), то Э — локаль-
ная симметрия уравнения £°°. Назовем задачей реконструкции
симметрии нахождение для функции <р eker^F симметрии типа
N q
т вида А = 3V + Как мы Уже видели (см. пример 3.1),
1 = 1 1
эта задача в общем случае не имеет решения. Ниже для произволь-
ного дифференциального уравнения мы строим одно накрытие, для
которого эта задача всегда разрешима. Оказывается также, что в
этом накрытии возникают дополнительные серии нелокальных сим-
метрий уравнений, имеющих оператор рекурсии.
5.1. Универсальное абелево накрытие [72, 73]. Среди всех
накрытий (1.2) над уравнением £°°, где Xi} eF(£°°) есть одно вы-
деленное: сумма Уитни одномерных накрытий, определяемых эле-
ментами базиса пространства Н1(£°°). Это накрытие обозначим Тр
£(1>—>£°°. Затем возьмем сумму Уитни всех одномерных накрытий
над £(1), определяемых элементами базиса пространства Я1(5(1)).
Получим накрытие т2 £(2>—>£(1) над £(1), которое определяет на-
крытие т2 = т, от21: £(2) —>£°° над £°°. Продолжая этот процесс,
получим башню накрытий*) над £°°:
т^+ 1, fe £*(k) k ~ 1 g(k — 1) — I, t 2 т2,g(l) т£оо j
обратный предел которой обозначается через т*: £* —>£°°. Назо-
вем т* универсальным абелевым накрытием уравнения £°°.
Замечание 5.1. Условие Н 1(£*)~ 0 удобно переформули-
ровать следующим образом. Пусть локально накрытие т* задается
полями £>,,..., Dn. Тогда, если Ар..., Ап е F(£*) и
Д.(А.) = 5.(Д), (5.2)
*) Возникающие здесь бесконечномерные многообразия могут не являться об-
ратными пределами цепочек проекций конечномерных многообразий. Такая ситуация,
например, имеет место, если уравнение для некоторого k 0 имеет семейство
законов сохранения, зависящее от функционального параметра. Построение соответ-
ствующей теории, подобной изложенной в гл. 4 для многообразий £°°, выходит за
рамки данной книги.
$ 5. ПРОБЛЕМА РЕКОНСТРУКЦИИ СИММЕТРИЙ
359
то существует такая функция AgF(£*), что А{ — DJA) для лю-
бого г.
5.2. Симметрии в универсальном абелевом накрытии.
Далее до конца этого параграфа волна над знаком оператора будет
обозначать его поднятие в накрытие т*.
Теорема 5.1. Пусть т*: £*—>£°° —универсальное
абелево накрытие уравнения £ = {F— 0}. Тогда для любой
вектор-функции <рт), 6 F(£*), удовлетворяющей
уравнению £г(<^)=0, существует набор функций A = (aia),aia 6
€ F(£*) таких, что А есть нелокальная симметрия ти-
па т* уравнения £.
Доказательство. Будем считать, что локально рас-
пределение на £* задается векторными полями Df = £),. +
+ У^-Х~на 1 EF(£), где индекс i нумерует независимые пе-
j, ar За
ременные, индекс j — этажи башни, а а на j-м этаже нумерует
элементы базиса пространства Я*(£(?)). Функции удовлетво-
ряют условиям
А(^) = ^(^“). (5.3)
Отметим, что по построению есть функция на £^ - (£(0) = £°°)
при любых г, а, т. е. не зависит от wka при к j. Мы должны
доказать разрешимость уравнений
= (5-4)
при любом р G ker tF
В силу замечания 5.1 достаточно доказать существование та-
ких функций (aJQ) = А, что функции А{ = Э А(Х°Л, 1 i п, при
любых фиксированных j и а удовлетворяют (5.2). Доказательст-
во проведем индукцией по j. Пусть j = 1. Поскольку [£),., =
> а — функции на £°°, то для
3, “ •?“
любого набора функций Л = (а^.в) на £ имеем
Д(^М(А“1)) = ^>Л(Д(Х“)) = ~dViAW)) = Л(^,а(ХЛ))
(второе равенство имеет место в силу (5.3)), что влечет разреши-
мость уравнений (5.4) при j = 1.
360
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
Предположим теперь, что разрешимость уравнений (5.4) дока-
зана при j <s, и пусть а°а, j <s — произвольные решения. То-
гда для любого набора А = (aja), где а-а = a°Q при j < s, а осталь-
ные Oja произвольны, имеем л] =0. Поскольку X? 6
G^f*-1), аналогично случаю j = 1 получаем равенство (5.2) для
А =^,а(А»)> Теорема доказана. □
5.3. Нелокальные симметрии уравнений, допускающих
оператор рекурсии. Рассмотрим теперь ситуацию, когда уравне-
ние £ — {F =0} имеет оператор рекурсии R. Операторы рекурсии,
рассматриваемые в литературе, вообще говоря, не являются диф-
ференциальными операторами, а потому выражение R(p), где р —
симметрия данного уравнения, может быть не определено. Имеют-
ся различные интерпретации выражений для рекурсий (см., напри-
мер, [129, 64, 109]). Мы предлагаем вместо оператора R рассматри-
вать оператор R, который в ряде случаев оказывается определенным
на множестве ker^F. Выделим один класс уравнений, оператор ре-
курсии которых обладает этим свойством (другие примеры см. в
п. 5.6).
Утверждение 5.2. Пусть эволюционное уравнение
£ = (ut = Dx(h(x, t,u,ult.. ,,ик))} имеет оператор рекурсии R =
N ~
= fiD'x, fi 6 F(£°°). Тогда для любой симметрии Э А в
. = -1
накрытии т* существует симметрия А>, где <р' = R(<p).
Доказательство. Существование функции р легко выте-
кает из замечания 5.2. Действительно, так как А — симметрия,
функция р удовлетворяет уравнению ^к(</?) = 0, которое в рассма-
триваемом случае имеет вид Dt(p) — Dx(th(p)), что совпадает с
уравнениями (5.2). Поэтому найдется такая функция р', что р =
— Dx(<p') или р' = Существование симметрии Э , обес-
печивается теоремой 5.3. q
5.4. Пример: нелокальные симметрии уравнения Корте-
вега — де Фриза. Рассмотрим уравнение КдФ £ = {ut =иххх+иих}.
В силу утверждения 5.4 это уравнение имеет серию нелокальных
симметрий Э, А, где ^П = ЯП(*Р1 +1), R = Dl + ^p0 + ^piD;1. Ока-
зывается, что G F(£^) при любом п. Это вытекает из следую-
щего утверждения.
Утверждение 5.3. Пусть уравнение £ и его оператор
рекурсииR удовлетворяют условиям утверждения 5.2. Пред-
$ 5. ПРОБЛЕМА РЕКОНСТРУКЦИИ СИММЕТРИЙ
361
положим также, что существует локальная симметрия
уравнения £, порождающая с помощью оператора R беско-
нечную серию локальных симметрий S = {7?п(у>) | n = 0,1,...},
причем f_! G <S. Пусть — поднятие оператора R в на-
крытие Тр £^—>£°°, wa —нелокальные переменные в на-
крытии Tj. Тогда, если Ф = 52 +Ф€ ker^F, где под знаком
суммы отлично от нуля только конечное число членов, G
G S, Ф € ^(Е00), то функция R^fQ) лежит в F(£(l)) и имеет
аналогичный вид.
Доказательство. Буквы с индексом «лок» будут обозна-
чать функции на £°°. Их точный вид нам не понадобится.
Имеем ^>(0) = £ WiR{ip.} + Л15;‘(ф - £+
+ ФЛОК, поскольку по формуле Грина (см. [148, 147])
D~\wiVt) = (wjp;1^,.)).
Положим Хлок = Ф - Е и покажем, что 54(ХЛ0к) =
= Dx(TmK) для некоторой функции Тлок. Так как это означает, что
Хлокйге + Тлокй£ — локальная сохраняющийся ток, то утверждение
будет доказано. Имеем
Д‘(*). £ «-.ДЧа)+Д‘(Ло«)+4,„.
Отсюда и из равенства РДФ) = Dx(t (Ф)) следует, что
Д(Д-1(Ф)) = D-x\Dt(Ф)) = Г,(Ф) = £ «/><) + Влок-
С другой стороны, так как у>. — симметрия, имеем
D, (Д1 (Ф>) - Д (£ «« Д-‘(ф,) +Д’1 (Ло«) + Л»») =
=Е а Д (Д' (а-))+Д (Д‘(Лок))+Лок=
=Е *»/,(а)+Д (Д'(Лок))+л».-
Сравнивая эти два выражения, получаем
^t(^X (-\лок)) = Длок — ^ЛОК = ^ЛОК’
утверждение доказано, g
Выпишем несколько первых симметрий из нелокальной серии
уравнения Кортевега — де Фриза. Введем нелокальные переменные,
362
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
определяемые равенствами DxwQ = pQ, Dxw{ =
2^0> ^xW2~ q<Po
— 3pj2),..., и положим <рк —Rkpr, к^О. Тогда
^0=^0 + ь
1 2
V’i =^i + з®<Ро+ з?о’
, 1 4 4 2 1
V>2 = ^2 + зж^1 + з?2 + 9?0 + 9 ^0W0>
, 1 / X 2 8 з 1 1
*l>3 = t(P3 + зж^2 + 2Dx(<Pi) + 3Р0Р2 + 27Р0 + 9^0 + 9 <A)W1 •
5.5. Мастер-симметрия. Рассмотрим в накрытии т* уравне-
ния Кортевега — де Фриза симметрию А, и пусть 9v в — еще
одна т*-симметрия, где функция <р — локальная симметрия, не за-
висящая от переменных х и t. Прокоммутировав эти две симме-
трии, получим новую т*-симметрию Эх с = А, в], где х —
~ ~ Э<р вОАг) е ker^F. В результате несложных выкладок,
можно убедиться в том, что функция х является локальной сим-
метрией уравнения Кортевега — де Фриза, не зависящей от пере-
менных х и t. Действительно, так как <р —локальная симметрия,
a ч[>2 зависит только от одной нелокальной переменной w0, которая
удовлетворяет соотношению Dxw0 = p0, то х = -
— -pj-D^'ip, т. е. функция х может зависеть только от локальных
У
переменных и переменной w0.
Далее, так как локальные симметрии уравнения Кортевега —
де Фриза, не зависящие от переменных х и t, коммутируют между
собой, в частности, {<р, <pj} = {<р, <р2} = 0, получаем
X = 1^1|^+Эф(^)-Э¥!(Ф)-|р1Г>11<р, (5.5)
О (/ уj у
т 4 4 2 1
где Ф — - р2 + - р0 + т-<рошо. Из выражения (5.5) следует, что х
о У У
не зависит от х и t. Расписав подробно эволюционные дифферен-
цирования, легко убедиться, что х не зависит от w0. Итак, х —
локальная симметрия, не зависящая от переменных х и t.
Пусть s — 2к +1 — порядок симметрии <р, т. е. = const / 0 и
dPs
§ 5. ПРОБЛЕМА РЕКОНСТРУКЦИИ СИММЕТРИЙ
363
Qp
—— =0 для всех j>s. Тогда, легко видеть, что функция х имеет вид
OPj
1 др
X = ч3Р. + <>ъ-Ьслагаемые меньшего порядка =
3 ора
= срк + 1 +симметрии меньшего порядка,
1 др
где с — -з-— — const.
3 дра
~Это означает, что оператор коммутирования с т*-симметри-
ей А действует на первую компоненту производящей функции
т*-симметрии 3v в с точностью до симметрий меньшего порядка,
так же, как и оператор рекурсии R. Таким образом, оператор ком-
мутирования с первой нелокальной симметрией уравнения Корте-
вега— де Фриза выполняет функцию оператора рекурсии.
Отметим, что аналогичная ситуация имеет место и для уравне-
ний, рассматриваемых в следующем пункте.
5.6. Примеры. В этом пункте приводятся примеры уравне-
ний с операторами рекурсии, которые формально не попадают под
утверждение 5.2, но тем не менее в накрытии т* у них возникают
дополнительные серии нелокальных симметрий.
Рассмотрим уравнение с двумя независимыми переменными х =
= xv t —х2 и оператором рекурсии вида
м
R^^fiDi + aD;1 о b, f{,a,be F(£°°).
i=0
Для того, чтобы доказать существование функции Rp е F(£*) для
любой р G ker£F, достаточно показать, что выражение Ьр является
полной производной, т. е. bp = Dxi!> для некоторой функции ф G
eF (£*). Этот факт будет установлен, если будет доказано сущест-
вование такой функции Т eF(£*), что Dt(bp) = Dx(T). В каждом
конкретном случае выполнение этого условия несложно проверить.
Пример 5.1. Модифицированное уравнение Кортевега —
де Фриза
£ = {ut=uxxx + u\}. (5.6)
Оператор рекурсии для этого уравнения имеет вид [55]:
364
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
Покажем, что оператор R может быть применен к любой функ-
ции <peker£f. Действительно,
Д (рор) = Dx ((р2 + |р3) tp + р0(52х(р) + р2р) - р^Ьх(р) - |р03^,
Dt (р) = D*x(tp) + р*Ьх (р) + 2ад р.
Поэтому уравнение (5.6) имеет серию нелокальных симметрий
где
V’n = Яп (Рз + РоР1) + 1ХР1 + |ро) •
Пример 5.2. Уравнение sin-Гордон
£ = {uxt=sinu}- (5.7)
Если р удовлетворяет уравнению DxDt(p) = р cosp(0 0), то
поскольку Dt(p{2 Q}p) = Dx(pn OyDt(p)), оператор рекурсии R =
= Ь2Х + p(2 0) - p(1 Q)DXX O p,2 0. (cm. [55]) определен на kerZF.
Следовательно, уравнение (5.7) имеет серию нелокальных симмет-
рии \,A’ где ^ = £n(2:p(i o)-<P(o,i))-
Пример 5.3. Система уравнений типа Шрёдингера
f ut=iu +2ии v
1 t XX X
( vt = — ivxx — 2uvvx
имеет следующий оператор рекурсии [8]
/ Ьх + i(р{р;1 о р02- i(рх0D~x о р\ + р*Ь~х о Рх) \
R_ ~PoDzl °Pi+PoPo)
i (Po^z1 0 Pi + ° Po) ~^z + * (P2^z1 ° Po ~
V . -Po^oPi’+PoPo2)7
Здесь plk — p[0, =x, x2 = t.
Для того, чтобы проверить, что оператор R порождает беско-
нечную серию нелокальных симметрий типа т*, достаточно пока-
зать, что D~1(p2p-p[i{>), Dxl (р^р +Pqi{>) е для любой вектор-
функции (р, е ker^F. Это вытекает из следующих равенств:
D^(PiP-Pi^) = Dx(i(plDxp-plp+pliDxi/j-pili/j) +
+ 2роРо(Р1^-Р12|Р)),
^(РоР + PoV0 = Px(i(Po&xP ~ PiP +Р11^х'ф - pxi/j) -
- 2PoPo(PoV> - PoP))-
§ 5. ПРОБЛЕМА РЕКОНСТРУКЦИИ СИММЕТРИЙ
365
Итак, оператор R определен на symT. £ и симметрия
. , 1 1 1 о 1 о 1 о,
ф= (tp2 + 2XP1 ’tP2 + 2XPl + 2Р°
порождает серию нелокальных симметрий рассматриваемой систе-
мы.
5.7. Общая проблема реконструкции нелокальных
симметрий. Рассмотрим теперь общую ситуацию. Именно, пусть т:
£ —> £°° — произвольное накрытие уравнения £°°, a р G F(£, тг) —
произвольное решение уравнения — где £ — {F =0}. Для то-
го, чтобы найти симметрию типа т вида
jv д
VVEfl.^-Ha«0
«=1 »
найти функции ар ..., aN, cr eF(£), удовлетворяющие уравнениям
Д(^) = ^,Л(Х.7). (5.8)
Однако, как мы уже видели, для данного р эта система мо-
жет не иметь решений. Поэтому заметим, что формальные условия
совместности системы (5.8) имеют вид
Д(^) = 5.(^), (5.9)
где через Yij обозначены правые части (5.8). Далее заметим, что
условие интегрируемости распределения С на £, D.] = 0, i, j =
= 1,..., п, в локальных координатах имеет вид (см. (1.3))
Di(Xjk) = Dj(Xik), (5.10)
~ - N д
где = D{ + Xi} -—, i = 1,..., п. Условия (5.9) и (5.10) имеют
j = l Wi
одинаковую структуру. Пользуясь этим, построим новое накрытие
Тр £} —>£—>£°°, введя новые нелокальные переменные а1?...
..., aN и определив новые полные производные i — 1,п,
на £{ формулой —• Вводя накрытие
Тр £{ —>£—>£°°,
мы получаем возможность решить систему (5.8), однако это не яв-
ляется решением первоначальной задачи, так как поле Э д = Э +
N я
Ед
а--— может не быть симметрией в накрытии тР Это поле
i = 1 3
366
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
надо продолжить до поля вида
i z 3 j
на многообразии причем функции bj должны удовлетворять си-
стеме уравнений, аналогичной (5.8), которая может не иметь реше-
ний. Поэтому описанную процедуру построения нового накрытия
придется повторить, и в результате мы получим цепочку накры-
тий, подобную той, что возникала при построении универсального
абелева накрытия. Более формально эта процедура реализуется в
следующих двух разделах.
5.8. Конструкция Кисо [106]. Пусть дано произвольное на-
крытие т: £—*£°° уравнения £ — {F = 0}, задаваемое полями (1.2),
и пусть е ker tF, р = (pl,..<pm), <р{ E F(£). В работе [106] для
эволюционных уравнений с одной пространственной переменной по-
строено накрытие т : £v —>£°°, в котором функция <р порождает
симметрию. Ниже приводится обобщение этой конструкция на про-
извольные уравнения.
Положим £ = £ х R°°. Пусть wj, j = 1,..., N, 1 = 1,2,... —
координаты в Ис° (новые нелокальные переменные). Отображение
т,: £ —>£°°, есть композиция проекции на первый сомножитель
и отображения т.
Определим векторные поля Df на £ формулой
5.-= А+Е«’+»-)'Ы^ < = 1,(5.11)
где *) ' ^*1(93к)_~т> $ = \ ' w1 +1 w° — w-.
А ’ v <г^к,Эпк w 3 Bin1 3 3
rr, k jt I v wj
Утверждение 5.4. 1) [Df, Df] = 0, i, к = 1,..., n, m. e.
совокупность полей (5.11) задает структуру накрытия в £^.
2) Если <р е ker tF, <р =(y>v.. -,рт), ^еЕ(£), то [Э^ +
—
+ 5Ш, Df ]=0, i = 1,..., п, т. е. + Sw — симметрия типа
уравнения £°°.
*) Штрихом обозначено суммирование по внутренним координатам.
§ 5. ПРОБЛЕМА РЕКОНСТРУКЦИИ СИММЕТРИЙ
367
Доказательство. Покажем сначала, что если £к(у>) — О,
то [3^ + Sw, Df] = 0, i = 1,..., п. Имеем
— (v) — к—— l д v—л —'(.“р) Q
|э“+Д..Д’1=£ <4 +«-> <ЛГ,р—
сг, к “a j,l>0 j
£ (3;,+sJ’,(x„)Ar =
а, к j,l>0
=E'(^(?;+,,)-5,tli(Vj))A=0.
а, к г#
Далее рассмотрим коммутатор [Df,Dk]. Так как [£\., DJ — 0 и
координаты векторных полей не зависят от wj, то
[Df, Df] = £ {Df{3™ + Sw) (Xkj) - Df(3™ + SJ (X,.)}—T.
ГЛ л UW.
jJ>0 3
В силу п. 1 доказываемого утверждения имеем
[Df,Df]= £ (3y + Sw)(Df(Xkj)-Df(Xij))—r=0,
ZKo dwi
так как Df(Xkj) - Df^) = D^) - ёк(Х,.) = 0. Утверждение
доказано. □
5.9. Конструкция накрытия ts [73]. Положим £т —£ х R°°,
где координатами в R°° (нелокальными переменными) являются пе-
ременные *) V1-, j = 1,..N, 1 — 1,2,... р^\ к>0.
Отображение rs: £т —►f00 является композицией проекции на
первый сомножитель и отображения т.
Систему полей Df,..., Df на £т определим так:
б;=д“ +Е te+s.)‘(*<,)/? i=1’ •"• (512)
1>о, j avj
где
cf=^+s'^+11)=i>. <s-13>
’ Z>0,<7 up<r
*) Здесь верхний индекс у переменной ра, соответствующий номеру зависимой
переменной, для упрощения обозначений опущен. Верхний индекс, взятый в скобки,
нумерует новые нелокальные переменные.
368
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
«,= Ей+лЛ.
Z>0, a °Va i>Oij uuj
V°- = W
J 3
(5.14)
Утверждение 5.5. 1) [DT, D£] = 0, i, к = 1,..., n, m. e.
совокупность полей (5.12) задает структуру накрытия в £ .
2) Векторное поле ST = Sp+Sv является нелокальной сим-
метрией типа ts уравнения £°°.
Доказательство. Из формул (5.12)-(5.14) легко следует,
что [Sr, DT] = 0, i = 1,..., п, т. е. ST является нелокальной симме-
трией. Вычислим теперь коммутатор [ST, DT]:
i5;,5u=S'{o; -б; («>,+.,))} ^> +
+Е {б; («; W) - б; («I (х„))} £г=
~Е {п< +
+ESJ{5’ (хА)-В; (х(4)}Д=о,
так как [Pf, Dk] = [_РР DJ = 0. Утверждение доказано. □
Следствием утверждений 5.4 и 5.5 является следующая тео-
рема.
Теорема 5.6. Для любого накрытия г: £ —>£°° уравне-
ния£ = {Р =0} существует такое накрытие т': £т—*£—*£°°,
что любая вектор-функция <р = (у>р..., <рт), € Р(£Т), удов-
летворяющая уравнению £F(<p) =0, где tF —поднятие опера-
тора £f на £ , порождает нелокальную симметрию типа т'
уравнения 8.
5.10. Универсальное свойство симметрии ST. В заключе-
ние обсудим связь конструкций п. 5.8 и п. 5.9. Имеет место сле-
дующее утверждение.
Утверждение 5.7. Пусть т: £—> £°°—накрытие
уравнения £ = {F =0}. Тогда для любой вектор-функции <р €
€ ker tF, ip = (ipl,..<рт), ipf G TF(£) существует такое вложе-
§ 5. ПРОБЛЕМА РЕКОНСТРУКЦИИ СИММЕТРИЙ
369
ние i •. £v —> £т, что диаграмма
коммутативна. При этом =^(^) является интеграль-
ным подмногообразием распределения на £Т, задаваемого по-
лями (5.11) и
«,1п.=<и.(эГ+«.)'
Дт|„,=(*,>.вг
Доказательство. Определим вложение i формулой
\,(pj = (Р„ \ «}), где Ра} (pj, v\ = w^. Тогда много-
образие задается уравнениями р^ — + sQ (?„.). Покажем,
что поле ST =Sp + Sv касается П^. Действительно,
так как (Э + SJ (ра) = Э^р^) = Da(93). Докажем теперь, что для
24 Симметрии..
370
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
любой функции f имеет место равенство
Действительно
= +s.) = <С>’1 +S.) (/>•
' <У ' Ц_
ЭЧ> +Sw)‘
Покажем, что поля DT касаются П^, у> € ker£F, т. е. что П^ —
инвариантное подмногообразие. В самом деле,
=«X+)|п> - Дг< V =
=s‘(#,+1, >|п> - o;r‘ (<§,+=
-^(a+jL -(•;) 'fe+s.)'fc+,,))=o.
Покажем, наконец, что Z>tT Действительно, для
~ и*
произвольной функции f еР(^) имеем
В, + Е&+®.)'(Х,7) /т)(/»=(.;)-'£?(/)
Утверждение доказано. □
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
371
§ 6. Симметрии интегро-дифференциальных уравнений
Построенная выше теория нелокальных симметрий основывает-
ся на понятии накрытия, т. е. на введении нелокальных переменных
в пространство бесконечно продолженного уравнения. Напомним,
что такие нелокальности носят характер неопределенных интегра-
лов. Теперь мы рассмотрим ситуацию, когда исходный объект яв-
ляется нелокальным, причем входящие в него нелокальности суть
определенные интегралы. Такими объектами являются интегро-
дифференциальные уравнения, и ниже мы развиваем теорию сим-
метрий этих уравнений.
6.1. Преобразование интегро-дифференциальных урав-
нений в гранично-дифференциальную форму. Представим си-
стему интегро-дифференциальных уравнений в виде
Gj(x,u,p<r,I) = 0, У = 1,...,тпр (6.1)
где х = (rcj,..., геп) — независимые переменные, и = (и1,..., ит) —
зависимые переменные, ра = (р\,..., р™) — производные зависимых
по независимым, / = (1Р.. .,7^) — интегралы. Значения интегра-
лов могут зависеть как от выбора точки х, так и от выбора сече-
ния и. Наиболее известные интегро-дифференциальные уравнения
(см. [71]) содержат интегралы трех типов:
ь
f(x,3,u(a+x))d3, (6.2)
а
х
f (t, x,s,u(t, в), u(t, х — ^рА*’8)^*^-8))*18’ (6-3)
о
ь
f(t,x,s,u(t,s))ds, (6.4)
а
где t,x — независимые переменные, и — зависимая переменная,
ра — ее производные, з — переменная интегрирования. Эти (и мно-
гие другие) типы интегралов объединяются в одну форму следу-
ющим образом.
Пусть М — многообразие независимых переменных х = (xv...
..., xn), N — многообразие независимых переменных и переменных
интегрирования (х, з) = (х1,..хп, з1г.. .,s ), р: N —» М — соот-
ветствующее расслоение (возможно с особенностями), Nx — слой
24*
372
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
над точкой х G М расслоения р. Заметим, что подынтегральная
функция зависит от х, з и и(х) и существуют гладкие отображе-
ния 7it.: N —> М, г = 1,..т2, которые позволяют записать (6.2)-
(6.4) в виде
j s, h*(pv),..., h*(u), h^p^ds. (6.5)
Пример 6.1. Для интеграла (6.2) имеем: М — R, N =
= {(ж, s) G R21 а з fe}, Nx — отрезок [а, Ь] для любого х, 1 = 1,
h: (х,з) и-» х + з.
Пример 6.2. Для интеграла (6.3) имеем: М = {(t,x)e
G R2 | х 0}, N = {(£, х, з) е R3 | х.^ О, 0 < в re}, N(t х) — отрезок
[О, х] (в особых точках {х = 0} отрезок стягивается в точку), I = 2,
h{: (t, х, в) I-» (t, s), h2: (t,x, s)i-> (t,x — s).
Пример 6.3. Для интеграла (6.4) в случае b = оо имеем:
М = {(£, х) G R2 | х a}, N = {(£, х, з) е R3 | х а, з а}, —
луч {з > а}, 1 = 1, h: (t,x, в) н* (t, з). Случай конечного b рассма-
тривается аналогично.
Для упрощения дальнейших формул будем считать, что все
встречающиеся интегралы одномерны. Случай кратного интеграла
может быть рассмотрен аналогично, для этого достаточно предста-
вить его в виде повторного.
Если интеграл (6.5) одномерен, то Nx есть или отрезок, или бес-
конечный полуинтервал, или прямая. В случае Nx = введем
нелокальную переменную v, зависящую от х,з, так, чтобы
dv
— = f(x, 3, hf(u), h*(pa),..., ht\u), h^P")),
os (O-O)
vl =0.
I»=“x
Значение интеграла (6.5) в точке х G М совпадает в этом случае с
величиной . Введем отображения
а: М—>N; х^(х,ах), b: х>-^(х,Ьх).
Тогда
vL=Ol=a*(v)> wL=il=b*(u)-
Случай АГ. = [а^., оо) (аналогично (—оо, 6J и (—оо, оо)) может
быть сведен к случаю отрезка переходом к новой переменной ин-
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
373
тегрирования. Такой переход осуществляется построением диффе-
оморфизма р: N —> 7V', при котором бесконечные интервалы ин-
тегрирования Nx = [ах, оо) переходят в конечные полуинтервалы
= [аа> М- Добавляя к многообразию N' предельные точки
{Ьх | ге еМ] полуинтервалов p(Nx), мы получаем многообразие N
и расслоение р: N —»М, ограничение которого на подмножество
N'cN совпадает с отображением pop~l, а слои расслоения р суть
отрезки (р)-1 (х) = [&,,Ьд.], хЕМ. Таким образом, мы можем огра-
ничиться случаем, когда множества Nx, х е М, отрезки (см. также
замечание 6.1 ниже).
Итак, систему (6.1) можно записать в виде
G!J(a:)u,Pff,...,bfc*(vfc),...) = 0, j = l,...,^,
а/(^) = 0, fc = l,..-,m2, (6.7)
ofc
-Q^k =fk(x’ av • • •> (^)*(u)> (hi )*(рЛ • • •), k=l,...,m2,
где x — (rcj,..., xn) — координаты на многообразии M, и = (и1,...
..., ит) — сечение расслоения тг над М, ра — (рха,..., р™) — его про-
изводные, vk — функция на многообразии Nk, Ьк, ак — вложения М
в Nk, hk, г = 1,. ..,1к — проекции Nk в М, к = 1,..гп2. При этом,
так как переменные vk, к = 1,..., т2, однозначно определяются по
переменным и3, j = 1,.. ,,т, с помощью второго и третьего урав-
нений (6.7), то системы (6.1) и (6.7) эквивалентны в том смысле,
что решения одной восстанавливаются по решениям другой.
Система (6.7) — это система на сечения над разными многооб-
разиями М, Nv..., N^. В случае, когда многообразия Nv...,
диффеоморфны между собой, мы можем представить все функции
и сечения, входящие в систему (6.7), как функции и сечения над
одним многообразием. Действительно, пусть N — многообразие,
Fk: N —>Nk, & = 1,...,тп2, — диффеоморфизмы,^: М —>N —неко-
торое вложение (например, а,, = Fx~l о aj, Лц: N —> М — гладкое
отображение, обратное слева к Oq, т. е. /i0 о Oq = idM. Положим
u = /i0*(u), vk=Fk*(yk), к = \,.. ,,т2.
Тогда
Оо*(й) = = (7i0 о ao)*(u) = и,
vk = (Fk')\vk), (hk)\u) = (hk)\^(u)) = (% O hky<u),
374
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
Ьк*(»к) = )‘(«fc)) = (Ffc-1 о bkY(vk)
и т. д. Используя эти равенства и действуя гомоморфизмом h0* на
первое и второе уравнения (6.7), переписываем эти уравнения в
виде
hM, • • ; K(vk),. . .) =0, (6.8)
^(®fc)=o,
где bk = Ffc-1 о bk о h0, ak = о ak о h0 — отображения N в N. Ha
третье уравнение (6.7) подействуем изоморфизмом Fk*. Используя
равенство
(О \
-— I — векторное поле на N, получаем уравнение
°8к/
Xk(vk) = fk(Fk*(x), Fk*(sk), (hk)*(u), (6.9)
где hk = Oq о hk о Fk — отображение N в N.
Заметим, что функции вида h0*(p^) можно представить как про-
изводные функций йг, если
= ^W)> i = l,...,n.
В этом случае
и т. д. А значит, hQ*(p^) есть функция от х,з,й и ра. Кроме то-
го, й — сечение вида h*Q(u), ибГ(тг). Такие сечения, и только они,
удовлетворяют уравнению
(% о /i0)*(w) = й. (6.10)
Действительно,
((Zq о /i0) (и) = h0 ((Zq (й)),
и можно положить и = ао*(й). Если й = hg(u), то
(% о Л0)*(й) = (hQ о Oq о /i0)*(u) = hQ*(u) = й,
так как h0 о = idM.
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
375
Таким образом, система (6.7) (а значит, и система (6.1)) эквива-
лентна системе уравнений (6.8)-(6.10), j = 1,..., т1, к = 1,..., т^.
При этом функции й*, йк, входящие в эти уравнения, суть функции
на N, abk,ak,hk,h0 = a0oh0 — отображения W в N. Возвращаясь к
предыдущим обозначениям, т. е. обозначая через и сечение (й1,...
.. .,йт, v1,..й"*2) над N, а через x = (xv,.., хп+т^) — координаты
на N, эту систему записываем как систему уравнений вида
G(x,u,pa,g*(u),g*(p<r)) = Q, (6.11)
где д = gv .. .,gt — отображения из N в N. Будем называть урав-
нения вида (6.11) гранично-дифференциальными, имея в виду,
что в примерах, как правило, образ дк, к = 1,.. .,т2, принадле-
жит границе N, а значение дк*(и) определяется значениями и на
границе N. Другое название таких уравнений — функционально-
дифференциальные (см. например [71]).
Для продолжения уравнений вида (6.11) мы можем использо-
вать как операцию дифференцирования, так и действие гомомор-
физма д*, где д — некоторое отображение из N в N. Легко видеть,
что новое (продолженное) уравнение будет содержать сечения вида
P*(s,t*('w)) = (<7,- 0 Р )*(«), гДе Рр • • •, Р; — отображения, используемые
в записи системы уравнений (6.11). Поэтому кроме д мы должны
рассматривать все композиции од, i = 1,..., I. Если в качестве д
брать только отображения, входящие в уравнения (6.11) и различ-
ные их продолжения, то мы должны будем рассмотреть полугруппу,
содержащую д1,...,д1, тождественное отображение д0 = idN и раз-
личные композиции отображений gv.. .,gt. Будем называть эту по-
лугруппу полугруппой системы гранично-дифференциальных
уравнений (6.11) и обозначать через Q.
Пример 6.4. Пусть система £0 интегро-дифференциальных
уравнений содержит один интеграл типа (6.3) и один интеграл
типа (6.4) с а = О, Ъ = оо. Найдем полугруппу отображений для
соответствующей системы £х гранично-дифференциальных уравне-
ний. Многообразие независимых переменных системы £0 есть М =
= {(<, х) | х > 0} (см. примеры 6.2 и 6.3). Многообразие Nx для инте-
грала (6.3) есть №, = {(£, х,з)|х>0, для интеграла (6.4) —
2V2 = {(£, х, в) | х > 0, з > 0} (а = 0, Ь = оо). На этих многообразиях
заданы отображения (рис. 6.2)
Замечание 6.1. Приведенная выше схема преобразо-
вания интегро-дифференциального уравнения к системе гранично-
дифференциальных уравнений требует, чтобы мы свели несобствен-
ный интеграл типа (6.4) с Ь = оо к определенному интегралу с ко-
376
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
Рис. 6.2.
/lp (t, X, s) (t, s),
h2: (t, x, s) i-t (t, x — a),
ap (t,x) >-»(t,a:,O),
bp (t,x) t-*(t,x,x),
h: (t, x, s) (t, s),
Oj: (t,x) H-»(t,z,0),
b2: (t,x) >->(t,x,oo).
нечными пределами интегрирования. Это осуществляется постро-
ением диффеоморфизма ц: N2^>N2 и многообразия N, которое
получается из N2 добавлением некоторых предельных точек (см.
с. 372). Такой подход существенно усложняет уравнения. Вместо
этого мы будем считать, что к многообразию N2 добавлены множе-
ства {(£, х, оо), (t, оо, з), (t, оо, оо) | х > 0, s ^0}, а гладкая структура
на полученном множестве вводится через определение кольца глад-
ких функций. А именно, гладкой функцией на новом многообразии
называется гладкая функция / от t,x,s, для которой существуют
пределы
f(t,x, оо) = lim f(t,x,s),
f(t,oo,s)= lim f(t,x,s),
X —» 00
fit, oo, oo) = .Kmy^, X, s),
«—♦00
равные значениям функции f в добавленных точках. Полученное
многообразие, которое в дальнейшем мы также будем обозначать
через N2, диффеоморфно АГ2. Аналогичные гладкие структуры мы
вводим на М и TVj. При таком подходе отображения b2, д3 (см. ниже)
и различные композиции, содержащие д3, однозначно определены.
Многообразия N\ и N2 диффеоморфны и F: N2 —» N{:
(t, х, s) i-> (t, x 4- s, s) — диффеоморфизм. Выберем в качестве мно-
гообразия независимых переменных искомой системы гранично-
дифференциальных уравнений многообразие N =N2, в качестве вло-
жения — отображение Oq = F~1 о : М —> АГ, а в качестве обратного
левого к нему — отображение hQ = h2oF: N —»М. Тогда отобра-
жения
gl=al=h2 — F~i o^o^oF =a2 = a2oh2oF;
g{i (t,x,s)^(t,x,O),
g2^bl=Fl ob^h^F; g2: (t,x,s)>-> (t,O,x),
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
377
<73 = 52 = fe2 о Л2 of; д3; (t, х, s) н-+ (t, x, oo),
g4 = ~F 1 o/ii oF —h=F~l oa, oh; g4; (t, x, s) i-> (t, s, 0)
порождают полугруппу Q, а вся полугруппа состоит из 11 элемен-
тов: д0 = idM, д2, <?з, д4, д2, g^g^t !7з°04> 54°5з> 9з°94°9з-
Пример 6.5. Найдем систему гранично-дифференциальных
уравнений для уравнения коагуляции Смолуховского [138, 26]:
du(t,x) _ 1 f
dt — 2 J
К(х — s, s)u(t, х — s)u(t, s)ds—
О оо
—u(t,x) j K(x,s)u(t,s)ds, (6.12)
о
где K(x,s) — заданная функция, удовлетворяющая равенству
К(з,х) — К(х,з) для любых гО 0 и О0. Повторим для этого урав-
нения рассуждения, приведенные выше для общего случая. Уравне-
ние (6.12) содержит один интеграл типа (6.3) и один интеграл ти-
па (6.4). Многообразие N и полугруппа описаны в примере 6.4.
Для каждого решения u(t,x) уравнения (6.12) вводим функцию
vl(t,x,s) на 7V, и функцию v2(t,x,s) на N2:
dv1
-^—=K(x — 3,s)hl*(u)h2(u), (6.13)
v S
a1‘(v*) = 0, (6.14)
O 2
= K(x,s)h*(u),
03
<(«2) = 0 (6.15)
(отображения h, hv h2, ap bv a^, b2, F определены в приме-
ре 6.4). Тогда уравнение коагуляции записывается в виде
^ = k*(«1)-ufe2*(«2)- (6.16)
(71
Вводя обозначения u1 = (h2 о F)*(u), и2 = F*(vl), и3 = и2,
действуя на уравнения (6.14), (6.15) и (6.16) гомоморфизмом
(h2oF)*, а на уравнение (6.13) — изоморфизмом F*, и исполь-
/т-1-к / d . д д
зуя равенство (F *)(-—) = ----—, получаем систему гранично-
as оз ох
дифференциальных уравнений
5ц1 1 »/ 2\ 1 »/ 3\
-^- = 2^2 (и )-“ 9з (“ )>
378
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
ди2 ди2 , 1 !
91,(u1) = u1, = s,*(u3) = 0,
(6.17)
которая эквивалентна уравнению (6.12).
Дадим геометрическую интерпретацию гранично-дифференци-
альных уравнений, воспользовавшись аналогией с дифференциаль-
ными уравнениями.
6.2. Пространства (к, 0)-джетов. Обобщим понятие про-
странства джетов так, чтобы гранично-дифференциальные уравне-
ния можно было интерпретировать как подмногообразия этого про-
странства. Пусть тг: Е М — гладкое векторное локально триви-
альное расслоение над многообразием с краем М, к е Z+ и{оо}, тгА:
Jk(ir) —»М — соответствующее расслоение fc-джетов, a б — конеч-
ное множество гладких отображений М в М, содержащее тожде-
ственное отображение idM. Обозначим через тг£ сумму Уитни инду-
цированных расслоений: rrf = ф д*(кк). Через /*(тг;£7) обозначим
seO
тотальное пространство расслоения тг®. Множество <7*(тг; б) есть
конечномерное гладкое многообразие, если к конечно, и бесконеч-
номерное многообразие, если к бесконечно.
Каждая точка из Jk(ir; б) над х е М представляет собой на-
бор fc-джетов 0к G Jk(n), деб, удовлетворяющих условию тгк(0к) =
=д(х). Для каждого д е б найдется такое гладкое сечение зд рассло-
ения тг, что [sg]kg{x}=0k. Набор fc-джетов {[Sj]*(a:)}s е д будем называть
(fc, б)-джетом семейства сечений {зд} в точке х. Каждое семей-
ство сечений {вд}де0 определяет сечение ^({*Д) расслоения тг®:
*({»,})(») = {[»,{<.>},« (6-18)
Если все сечения зд, деб, совпадают с сечением з, то соответ-
ствующий набор джетов будем называть (к,бюджетом сечения з
в точке х и обозначать [«]<_ Сечение я: будем обозначать
через зк(з), а подмножество (fc, (7)-джетов сечений расслоения тг—
через 7к(тг; б)й- Геометрически (fc, </)-джет сечения в интерпрети-
руется как класс сечений расслоения тг, касающихся с порядком > fc
сечения з во всех точках д(х), дЕб (рис. 6.3). Назовем многообра-
зие Jk(ir,6) многообразием (пространством) (к,б)-джетов, а
расслоение тг®— расслоением (к, бюджетов.
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
379
Опишем подмножество «7(тг; Q)o. Если точка х е М такова, что
все точки д(х), д Z.Q, отличны друг от друга, то для любого набо-
ра сечений найдется гладкое сечение в, которое касается
сечения зд в точке д(х) с порядком > к для каждого д € Q. Сле-
довательно, слой (тг^)-1(ге) лежит в Jk(ir;6)0. Если же для точки
х еМ существуют два таких отображения gv д2 е б, дх / д2, что
дх(х) = д2(х), то (&,£7)-джет семейства сечений {sg]gES является
(к, <7)-джетом сечения только в случае, когда
fssi L1C*) ~ [%]»(»)’
Гранично-дифференциальным уравнением порядка к на
сечения расслоения тг относительно множества отображе-
ний б (или просто уравнением} будем называть подмногообразие
£ многообразия 7к(тг; Q). Решениями уравнения £ С «7*(тг; б) бу-
дем называть такие сечения з еГ(тг), что jk(s)(M) с£.
Замечание 6.2. Подмногообразия вида jk(s)(M) содер-
жатся в Jfc(7r;0)o. Казалось бы, в гранично-дифференциальном слу-
чае, в качестве аналога пространства 7к(тг) следует взять множе-
ство Jfc(?r; б)0. Но поскольку в дальнейшем будет использоваться
дифференциально-геометрический язык, а множество Jk(ir;6)0 не
является многообразием, то мы расширили Jk(ir, <?)0 до многообра-
зия Jk(ir,6) и в качестве аналога 7к(тг) взяли 7к(тг;5).
Введем на многообразии Jk(ir;6) следующую каноническую
систему координат. Пусть (хи..., геп)— координаты в окрестно-
сти U с М, (и\...,ит) — координаты в слое расслоения тг^,
(хг, р3а, i — I,.. .,п, j = I,.. .,т, |ст| к) — соответствующие ко-
ординаты в 7к(тг). Тогда, обозначая через соответствующие
380
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
координаты в слое расслоения д*{тгк), получаем систему координат
(^> Pj9), г = 1,...,п, j = дев, (6.19)
на <7*(тг; Q). При этом р-координаты (к, <7)-джета семейства сечений
{зэ}эе$ в точке х равны
al<r|sJ'
где Sg,..., s™ — компоненты сечения зд. На многообразии J°°(ir; Q)
имеем ту же каноническую систему координат (6.19), но без огра-
ничений на |<т|.
Упражнение 6.1. Опишете множество J°°(7r;Q)o в ка-
нонических координатах.
Как и в случае обычных джетов, для к > I и для к — оо опре-
делено расслоение
Jfc(7r; £)--* У'(7г; 0), (6.20)
а именно:
(6.21)
При этом выполняется равенство
(6.22)
где {sg}geG— произвольное семейство сечений расслоения тг.
Упражнение 6.2. Покажите, что пространство бесконеч-
ных джетов J°°(7t; Q) является обратным пределом башни конечных
джетов, порожденной отображениями nf+ । р 1^0.
Если t/j — подмножество Q, то формула
(6.23)
определяет расслоение
7rf’ei: J'(7r;^^j\7r;^), (6.24)
причем справедливы равенства
01 0,0) 0 *к °пк *=<> (6.25)
_Ci _ Gt в, б\ д ^к,107Гк ~п1 О7ГМ’ (6.26)
°Л(Ч})=Л(Ч}96{;1)> (6.27)
где {s9} — произвольное семейство сечений расслоения тг и д G б,
а через {зд}дЕв1 обозначены те сечения зд, для которых д G <7j.
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
381
Замечание 6.3. Если множество Q состоит только из
тождественного отображения, то Jfc(?r; {idM}) совпадает с обычным
пространством джетов 7к(тг), определенным в гл. 3 и 4. Если же
множество Q кроме тождественного имеет другие отображения, то
«7°(тг; Q) / Е = J°(tt). Отметим, что для любого к имеется рассло-
ение
*0,{ldA'} 0 <0= A*; Q) - А*; в) -> Е.
В случае бесконечного множества Q многообразие (k,Q)-
джетов определяется следующим образом. Пусть {Qa} — всевоз-
можные конечные подмножества множества Q, содержащие id^.
Тогда для любой пары Qa определены отображения тг?'
Jk(rr;Q^) —> Jk(n;Ga), причем тг^’б“ о тг^7’^ = тг^7’5", если С
Сб7. Определим Jk(ir;Q) как обратный предел многообразий
Jk(n;Ga) относительно системы отображений сб^. Ины-
ми словами, точкой 0к множества Jk(ir; Q) назовем набор таких то-
чек вка 6 7а'(тг; @а), что Qa — произвольное конечное подмножество
Q, а если Qa с G0, то
= (6-28)
В этом случае отображение тгк: Jk(ir;Q) —> М определим форму-
лой тгк (0к)= А (А )< где А — произвольный элемент набора 0к =
= {0касд. Из формул (6.25) и (6.28) следует, что точка тг^7(0®7)е
G М не зависит от выбора элемента Oj? из набора 0к.
Так как точки 0ка 6 Jk(ir; Qa) в случае конечного множества Qa
сами являются наборами fc-джетов {0к}дев , а условие (6.28) озна-
чает только, что набор {0к}дед есть часть набора если
Qn с т0 ТОЧКУ Jk(^> Q) в случае бесконечного множества Q мож-
но понимать, как бесконечный набор &-джетов {0к }дед или точнее,
как {[ss]p(x)}seg- Формулы (6.21), (6.23), (6.18) определяют отоб-
ражения (6.20), (6.24), ^({sff}): М -»Jk(ir; Q) и в случае беско-
нечного Q, причем, как и в конечном случае, справедливы равенст-
ва (6.22), (6.25), (6.26), (6.27), а также тгк °jk({sg}) = idM и т.п.
(см. гл. 4).
Как и J°°(7r), множество Jk(rr;ff) в случае бесконечного Q и
конечного или бесконечного к наделяется структурой бесконечно-
мерного многообразия. Координаты в Jk(ir;Q) задаются набором
382
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
функций (6.19), но с бесконечным множеством Q. Понятие гладкой
функции, гладкого отображения, касательного вектора, векторного
поля, дифференциальной формы и т. д. вводятся на <7к(тг;(7) так
же, как на j°°(7r) (см. гл. 4).
Обозначим через ^(тг; Q) и ^(тг; Q) алгебры гладких функций
на J°°(7r; Q) и на Jk(n; Q) соответственно, а через А*(тг; Q) — мо-
дуль дифференциальных форм на У°°(7г; Q). Мономорфизмы (тг® к)*
и (тг^’® )*, где Q' С Q, вкладывают алгебры ^(тг; Q) и ^(тг; Q') в ал-
гебру ^(тг; Q). Образы этих мономорфизмов будем обозначать также
через ^(тг; Q) и ^(тг; Q'). В частности, ^(тг) = ^(тг; {idM}) есть по-
далгебра алгебры ^(тг;^). Указанные вложения позволяют ввести
на алгебре 7"(тг; Q) (аналогично, на модуле А*(тг;<7)) две фильтра-
ции: фильтрацию по к, аналогичную фильтрации ^(тг) (см. гл. 4), и
фильтрацию, соответствующую вложениям конечных подмножеств
Qa множества Q. Вторая фильтрация ставит в соответствие функции
из ^(тг; Q) конечное подмножество Qa множества Q, если у явля-
ется функцией на Jk(^‘,Qa)- Для первой фильтрации выполняются
равенства (4.5) гл. 4. Для второй фильтрации равенства (4.5) сле-
дует переписать следующим образом: под deg у? следует понимать
соответствующее подмножество Qa С Q, а неравенство заменяет-
ся на включение С.
Для упрощения дальнейшего мы не будем использовать поня-
тие фильтрации, хотя дальнейшее изложение будет совершенно ана-
логично гл. 4. Так, под гладким отображением G из У°°(7г; Q) в
J°°(£,•</'), где £: Q —> М —векторное расслоение, a Q' — второе
множество отображений М в М, мы будем понимать такое отоб-
ражение множеств, что для всякой функции <р элемент
G*(yj) = yj°G является гладкой функцией на пространстве
и для любого числа к и любого конечного подмножества Qa С у най-
дутся такое число I и конечное подмножество с Q, что
с*(^(е;^))с^(тг;^).
Касательный вектор Х9 к многообразию в точке в
определяется как совокупность {Хх, Xffga } таких касательных век-
торов к конечномерным многообразиям М и Jk(ir, Qa) в точках х =
= тг£(0) и 0ка = 7г®’®“(7г® fc(0)) соответственно, что
= (4а),(х^)=хх.
Векторное поле на многообразии У°°(7г; Q) есть по определению
такое дифференцирование X алгебры ^(тг; Q), что для любого числа
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
383
к и любого конечного подмножества Qa С Q найдутся такое число I
и конечное подмножество Qp С Q, что
Множество векторных полей на 7°°(тг; д) обозначим через £>(тг; д).
Подстановка векторного поля X на д) в форму и еА’(тг; д)
дает нам форму X J и G А* “1 (тг; д), значение которой в точке 0 =
= {х,0^а} равно X д. -Iw ал, если и является формой на Jl(n;ge).
ei ei р
Упражнение 6.3. Дайте определение дифференциала du
и производной Ли Х(и) в случае и G А*(тг; д,), X € Р(тг; д2), /
^2-
6.3. Гранично-дифференциальные операторы Пусть тг и
тг' — гладкие векторные локально тривиальные расслоения над мно-
гообразием М,д — конечное множество гладких отображений М в
М, содержащее тождественное отображение idM. Отображение Д:
Г(тг)—»Г(тг') называется гранично-дифференциальным операто-
ром порядка к относительно множества д, если для любого
сечения з G Г(тг) значение сечения Д(з) в произвольной точке х е М
определяется fc-джетами сечения з в точкахд(х), дед. Аналогично
дифференциальному случаю (см. гл. 4) каждое сечение ip расслое-
ния (тг®)*(тг') определяет гранично-дифференциальный оператор Д^:
Г(тг) —> Г(тг') порядка к с помощью формулы
Щ*) = (6.29)
В координатах (®р..хп,..р3ад,...) на 7*(тг; д) это соответствие
выглядит следующим образом. Если = {v‘(®n • • .. .,р3д,...)},
( ( (9^з3\
as = {s](a:11..,i1I)}, то Ду,(з)=^‘ •••, ®п, •••,/( -^г J, •••) >•
Особенностью гранично-дифференциального случая является
то, что не всякому гранично-дифференциальному оператору поряд-
ка к соответствует сечение расслоения (тг®)*(тг'). Это объясняется
тем, что с помощью формулы (6.29) по оператору Д^ мы можем
восстановить только значения сечения <р в (к,б)-джетах сечений
расслоения тг, т. е. в точках подмножества /к(тг; <7)0. Поэтому фор-
мула (6.29) определяет гранично-дифференциальный оператор Д^
не только в случае, когда <р — сечение расслоения (тг®)*(тг'), но и
в случае, когда — сечение ограничения расслоения (тг^)*(тг') на
подмножество 7*(тг;<7)0.
384
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
Пример 6.6. Пусть М = К, тг = тг': К2 —> К — тривиаль-
ное расслоение, множество Q состоит из двух отображений: тож-
дественного отображения да = idR и проекции д многообразия К в
точку 0 6 К. На 7°(тг;<7) имеем систему координат (х,р0до,р0д). В
этой системе координат точки множества 7°(тг; Q) \ 7°(тг; <7)0 об-
разуют плоскость {х = 0} без прямой {х = О,рОдо =рОд}. Гранично-
дифференциальный оператор
ехр( ^-KsCzO-sfO))2)’
х > О
х О,
Д: з н-> <
где з 6 Г(тг), определяет гладкую функцию на J°(tt; Q)o, которую
нельзя продолжить на все 7°(тг;<7).
Упражнение 6.4. Докажите это.
В дальнейшем гранично-дифференциальными оператора-
ми мы будем называть только операторы вида Д^, где р — сече-
ние расслоения (тг^)*(тг'). Поскольку этому условию не удовлетво-
ряют только гранично-дифференциальные операторы весьма «экзо-
тического» вида (см. пример 6.6), то это ограничение не будет су-
щественным. Через ^(тг, тг'; Q) мы будем обозначать множество се-
чений расслоения (тг^ )*(тг'). Как и в дифференциальном случае, для
любого к имеются вложения
Л(7Г>7Г'; £)с Л+Л”-»7г'-’ £)•
Поэтому мы можем положить
k = 0
Покажем теперь, что композиция гранично-дифференциальных
операторов вида Д^ есть гранично-дифференциальный оператор ви-
да Д . Докажем это сначала для композиции ° , где через
мы обозначаем оператор, отображающий произвольное сечение з
какого-либо расслоения тг в сечение jk(s) расслоения тг^. В ком-
позиции j^' о jG оператор отображает сечения расслоения тг£ в
сечения расслоения (тг^)^,. Обозначим через QoQ' множество отоб-
ражений многообразия М вида д о д', д eQ, д' е Q'. Построим
отображение
ф?:?': Jk+k\^ Jk'(^’
положив
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
385
Тогда для любого сечения s 6 Г(тг) имеем
° ° (б.зо)
т. е. # °3k = &v> где V — сечение расслоения
определенное отображением Ф®’®,. Поэтому композиция oj^ есть
гранично-дифференциальный оператор порядка к + к' относительно
множества до д'.
Для всякого морфизма Ф расслоений тг и тг' определим его под-
нятие
Ф(к): J*(ir; Q) -> 7*(тг'; Q)
формулой
**’«(•,ft.)},
Тогда, очевидно, для любого сечения s G Г(тг) выполнено равенство
ф(А!)оЛ(5) = Л(Фоз). (6.31)
Пусть теперь Д^: Г(тг) —► Г(тг') и Д^: Г(тг') —> Г(тг")—два
гранично-дифференциальных оператора порядка к н к' относитель-
но множества отображений Q и у соответственно. Тогда, используя
последовательно равенства (6.29), (6.31) и (6.30), получаем
^'(^(з)) = A/(V ° Лб(3)) = </ ° &(<Р 0 Jk («)) =
= Ч>' о <р(к) о Jv of (з)) = (р'° Ф(к} ° фк’к' ° Зк + к'(3У
А значит, отображение
Ф = <р' о о ф£- £: Jk + к'(тг; Q о д') -> Е",
где Е" — пространство расслоения тг", есть сечение расслоения
(тг®°®,)*(тг"), задающее оператор Д^оД^. Иными словами компози-
ция Д^ о Д^ = Дф, является гранично-дифференциальным операто-
ром порядка к + к' относительно множества отображений д о д'.
Если Д: Г(тг) —> Г(тг') — гранично-дифференциальный оператор
порядка к относительно множества отображений д, а д' — второе
множество отображений многообразия М, то композиция
ДГ =/оД: Г(тг)->Г(тг'?)
является гранично-дифференциальным оператором порядка к + I
относительно множества отображений д о д'. Оператор Д^ бу-
дем называть (I, д')-продолжением гранично-дифференциального
оператора Д.
25 Симметрии...
386
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
Упражнение 6.5. Пусть Q и д' — множества отображений
многообразия М, содержащие тождественные отображения, причем
Q конечно. Покажите, что совокупность отображений
{^: Jk+\ir,gOg')^Jltf;g')}l>0
I
является гладким отображением многообразия У°°(7г; д о д') в мно-
гообразие J°°(Tr';g').
Пусть теперь V: Г(£) -* Г(£') — линейный гранично-дифферен-
циальный оператор относительно множества отображений д’, тг —
расслоение над той же базой М, что и £, и £', <7 — множество отоб-
ражений М. Как и в дифференциальном случае, определим под-
нятие
V: Лтг, о £')
оператора V. Пусть в —точка пространства J°°(7t;17), {sg}gf=g—
семейство сечений, бесконечный джет которого в точке х есть 0,
Ч>— сечение расслоения (тг^)*(£). Положим по определению
Упражнение 6.6. Докажите равенство V(y>) — д, где
Д = Д , в точках J°°(7r; <7)о. Приведите пример, когда это равенство
неверно в остальных точках пространства У°°(7г; д). Таким образом,
мы не можем воспользоваться «глобальным» определением подня-
тия, данным в гл. 4.
Векторное поле X на многообразии М и гомоморфизм д{*,
где 5] —отображение из М в М, являются линейными гранично-
дифференциальными операторами из С°°(М) в С°°(М) относитель-
но множеств отображений {idM} и {idM,gt} соответственно. Поэ-
тому определены поднятия X в д*.
Упражнение 6.7. Убедитесь, что X есть векторное поле
на J°°(7t;17) и для него выполнены равенства (1.12) из гл. 4 при
р 6 ^(тг; д).
Гладкое отображение gt: М -+ М поднимается до гладкого
отображения
д,-. Jk(7r,goggi)^jk(ir,g),
где дд} — {idM, дх}, к = 0,1,..., оо. А именно, отображение дх отоб-
ражает точку 0к = {^}девов в точку 0к = гДе = вк°3'
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
387
При этом если тг^(0) = я, то 0% есть fc-джет в точке д(х), а 0® есть
к-яжет в точке gfa), где х{ = д1(х). Следовательно, диаграмма
Jfc(7r;0O0ft) —*-> Jfc(7r;^)
|Г'* (6.32)
М —5—> м
коммутативна, так же как и диаграмма
Лтг^о^) Jk(n-,g)
(6.33)
Jk(n,g'oggi) -A- jk^,g'),
где д' С д. Кроме того, верна формула
9\ 0Л({3г}) = Л({^})051> (6.34)
где д 6 д О ggi, д € д, sg = sgogi, поскольку
9\ (зк({^})(хУ) = 91 ({[srffa)}s е д о дд1) =
~ })(5i (*с))-
Отображение д{ является гладким для к = 0,1,..., оо, так как
для любого числа I > 0 и конечного подмножества да с д имеем
(^)*(^(^^))С^(7г;^о^).
Упражнение 6.8. Покажите, что в случае к = оо спра-
ведливо равенство д* =д*.
Заметим, что равенство д ° д^ = д означает инвариантность
множества отображений д относительно правого действия gv т. е.
<7 о (/j 6 <7 для любого д ед. Если множество д инвариантно относи-
тельно правого действия и gv и д2, то справедливо равенство
5P^=5i052- (6.35)
Действительно, д2({0%}дед) = №дед, где 0* = 0fcffO92, а
^({^}гее) = {^°Л}геб = {0Гг1°Ч6б = 07^2(теб)-
Равенство (6.35), например, справедливо в случае, когда д — полу-
группа, a 5j, д2 — ее элементы.
25*
388
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
Приведем координатное представление поднятий векторных
полей и отображений, а также координатное представление
(I, ^^-продолжения гранично-дифференциального оператора. Пусть
(Хр ..хп,.. .,р3ад, ...) — координаты на J°°(7r; Q), X = —, <р =
= <р(х1,...,хп, ...,р3д,...) 6 ^(тг; 0) и з = (з1,...,зт)бГ(тг). Тогда
dtp у-» 9 / dtp
dx, + " dx. v \ dxa J) др3
♦ 3)0)9 1 4 ' ' ' *09
n д t 9g (xi) * 9
Поэтому в силу равенства -— о g = > —-——д о -— имеем
дх, дх, дх.
V дз*^ з JL_
дх, дх, дх, Pa + ll'sdpi'
(6.36)
Г}
Как и в дифференциальном случае, оператор -— будем обозначать
дх,
через D, и называть полной производной по переменной х,.
Отображение д,, где дх — отображение из М в М, индуцирует,
очевидно, следующие действия на координатные функции: д1*(х,) =
= 9i(xi)> 9i*(Pag)=P3agr г«е 92 = 9 0Si-
Наконец, пусть Д: Г(тг) -» Г(тг') — гранично-дифференциаль-
ный оператор, (хх,.. .,xn,vl,.. .,vm ,..q^gl,...) — координаты на
J°°(7r'; О'), и оператор Д определяется соотношениями
V3 ^tp3 (х1,...,хп,...,р3д,...), 3 =
Тогда (/, ^^-продолжение оператора Д определяется соотношени-
ями
vj' = tpj', (6.37)
qJTg' =9*(Dt4>3\ = |т| = 0,..., I, д'ев'.
где DT = D\l о ... о D1", если т = (Jp..., ln).
6.4. Распределение Картана на J°° Если Q — ко-
нечное множество, то по аналогии с дифференциальным случаем
через обозначим касательную плоскость к графику сечения
3k({s3}) в точке 3k е ji(7r; 9), где {зд}дед — семейство сечений рас-
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
389
слоения тг, (к + 1,<7)-джет которого есть 0*. + 1 G Jk + 1(ir;G), а 0к =
~^k + i + В случае конечных Q и к, распределение Карта-
на Ск на Jk(ir,Q) в точке 0к определим как линейную оболочку
подпространств L^, где вк + 1 е (^+1А)_1(0А).
Из формул (6.22) и (6.27) следует, что проекции 7rf>fc_j и irf’5*,
где — подмножество Q, отображают график сечения jfc({sff}) в
графики аналогичных сечений. Для касательных отображений из
этого факта следуют равенства
где в» = «?+|.4(е1+1), + А значит,
(6.39)
(6.40)
где0к_1=тг^_1(0Д 0k = ^’s‘(0k).
Формула (6.39) означает, что распределение Ск на Jk(ir;Q)
определяет распределение С=С(тг; Q) на Q) в случае конечно-
го множества Q. Если Q — бесконечное множество отображений, то
формула (6.40) позволяет определить распределения Ск на Jk(ir;Q)
и С = С(тг; на 7°°(тг; Q). Так, касательный вектор Х9 = {Хх, Хвоа }
к многообразию J°°(7r; Q) в точке 0 = {х, 0ка} по определению при-
надлежит плоскости С9, если для любого числа fc > 0 и любого ко-
нечного подмножества Ga с Q вектор Х9да лежит в распределении
Картана Ск на Jk(ir',Ga) в точке 0к". Будем называть распределе-
ние С9, 0 G J°°(%; G), распределением Картана на Q). Опи-
шем распределение Картана на Q) с различных точек зрения.
Утверждение 6.1. В произвольной точке 0 =
= JOO(7r; картановская плоскость С9 является
касательной плоскостью к графику сечения в точке
0. А именно, вектор Xg — {Xx,X9sa} лежит в плоскости С9
в том и только том случае, когда для любого числа k^O и
любого конечного подмножества Qa<^Q вектор Xgga касается
подмногообразия jk({sg})(M) с Jk(^;Ga)-
Доказательство. Если вектор Х9 = {Хх,Хвоа} в точке
0 = {х,0ка} принадлежит плоскости С9, то по определению распре-
деления Картана для любого числа к 0 и конечного подмножества
390
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
С С Q вектор Х„да лежит в плоскости С*?1. Поэтому из (6.39)
**+i ®*+i
получаем:
V = (”Ь ,.*).( V.’6 V. =г.Мл({«,})(м)),
к ж +1 ж +1 *
« »={[«,£,>},«, a ={[•,&:>'},ео.-
Наоборот, если вектор Xgga касается подмногообразия
7*.({8г})(М), то он лежит в распределении Картана на Jk(ir;Ga).
А так как это верно для любых к 0 и Qa CQ,roXe={Xx,Xega}e
ZCg- □
Утверждение 6.2. Распределение Картана на
Q) задает связность в расслоении тг£: в каждой точ-
ке в G J°°(7r; Q) касательное отображение (тг^,)* в изоморфно
отображает картановскую плоскость С9 на касательное про-
странство Тх(М), где х = тг£(0).
Доказательство. В каждой точке в = {х, } е У°°(7г; Q)
построим обратное отображение к отображению (тг^), й: С9 —>
ТХ(М). Для любого числа и конечного подмножества
Qn с Q касательное отображение (7rf“)t 9да изоморфно отображает
плоскость L9ga на пространство ТХ{М}. Поэтому каждый вектор
Хх 6 ТХ(М} однозначно определяет такой набор векторов Х$да е
eLega , k^O, QaGQ, что (тГка)*(Хвоа) = Хх. Из однозначности
определения этого набора и формул (6.38) следует, что для лю-
бого числа к 0 и конечных подмножеств Q& с Qa множества Q
выполнены равенства
- 1).( V ) = V ,, ) = Х д,.
А значит, набор векторов {Хх, Xgga } задает касательный вектор Х9,
лежащий в картановской плоскости С9. Из однозначности определе-
ния набора векторов {Xffga } следует также, что построенное отоб-
ражение Хх ^Х9 является обратным к отображению (тг^,),|с • □
Докажем теперь обобщения утверждений 2.1-2.3 гл. 4.
Утверждение 6.3. Множество CD(ir;Q) векторных
полей, лежащих в распределении Картана, порождено подня-
тиями на J°°(7r;0) полей с многообразия М:
CD{^Q) = {^Xx+...+vlXl\pi&P^-G), XteD(M), l =
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
391
Доказательство. Докажем, что любой вектор вида Хв,
где 0 = {х,0^а} е X eD(M), лежит в плоскости Св.
Это эквивалентно тому, что любая проекция Xffga вектора Хв на
конечномерное пространство джетов Jk(if,Qa) лежит в соответ-
ствующей плоскости Lega . Рассмотрим произвольную функцию
к + 1
(р на постоянную вдоль графика сечения }), где
— семейство сечений расслоения тг, (к + 1,<7а)-джет кото-
рого равен 0%+\- Тогда
ЗДО = Хвда (у>) = Х(Л({^})*(^))(^) = X(const)(x) = 0.
Так как это верно для любой такой функции у, вектор Хвда касается
графика сечения Л.({«г}). а значит лежит в Lega . Отсюда Х9 е
е Св и X G С£)(тг; д).
Рассмотрим теперь произвольное поле X из СТ>(тг; Q). По
определению векторного поля существует такое число к, что
Х(С°°(М)) с .ТДтг; 0). Аналогично дифференциальному случаю
(см. гл. 4) ограничение Хм поля X на С°°(М) может быть ло-
кально представлено в виде Хм = <р1Х1+...+‘р1Х1, где Х{,..., Xt 6
6 D(M), <plt..у>1 G ТДтг; д). Покажем, что локально поле X со-
впадает с полем
Хм = + • • • + € С£>(тг; д).
Для этого рассмотрим произвольную точку 0 = {х, 0^"} е J°°(7r; д),
где определено поле Хм. Векторы Хв и Хм в лежат в Св, и по
построению поля Хм их проекции на М вдоль отображения тг£
совпадают. Отсюда и из утверждения 6.2 следует равенство Хв =
= Хм 9. Применяя стандартное рассуждение с использованием раз-
биения единицы [51], получаем глобальное представление поля X
в виде ч>1Х1 + ... + ч^Хр q
У тверждение 6.4. Поле X G£)(тг;д) тогда и толь-
ко тогда лежит в распределении Картана на g), когда
для каждой функций ip € ^"(тг) и каждого отображения g &g
справедливо тождество
X 3{go^Y(U^))=^
где Ul(<p) — форма Картана на a gg —множество,
состоящее из двух отображений idM ид.
392
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
Формы вида будем называть формами Кар-
тана на б). Модуль, порожденный этими формами, будем
называть модулем Картана и обозначать через СЛ‘(тг;(7).
Доказательство. Из формул (6.34) и (6.27) следует, что
отображения g и сохраняют распределение Картана. Поэтому,
если Xff еСв> 0 е то
Так как расслоение тг£ есть сумма Уитни расслоений
5*(7Гоо)> 9 е то для произвольной точки х е М слой (тг£)_1(х)
представляет собой прямое произведение слоев (<7*(’г0о))1(®)>
g е б- С другой стороны, по определению расслоения <7*(’гоо) сл°й
(5*(7Гоо))1(а:) совпадает со слоем ^(^(а:)). Отсюда получаем ра-
венство
(^Г’(а:)= П 7Гоо1('7(^))-
Отображение (g °)-•(,) является проекцией на компоненту
^(«/(х)) этого прямого произведения. Действительно, каждая точ-
ка 0 слоя (л^,)"1^) представляет собой набор {0s}jeg бесконечных
джетов в соответствующих точках д(х), д еб, т. е. 0я G ir^(g(x)).
Отображение тг£,б« отображает точку 0 в набор из двух джетов
{0я0,0s), где <70 = idM, а отображение д отображает этот набор в
джет 0я.
Отсюда следует, что линейное пространство вертикальных век-
торов расслоения в точке 0 € J0o(%; б) является прямой сум-
мой линейных пространств вертикальных векторов расслоения тг^
в точках 0я е J°°(%) по всем д еб‘-
Ve{J°°^6))^ ф W°°0r))>
где через Vff обозначено пространство вертикальных векторов соот-
ветствующего расслоения джетов в точке 0.
Из утверждения 6.2 следует, что касательное пространство к
многообразию J°°(%; б) в точке 0 есть прямая сумма пространства
вертикальных векторов и картановской плоскости Св. Отсюда по-
лучаем разложение
Те (J°°(я; б)) — 0 = {0я}зед. (6.41)
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 393
При этом касательное отображение (<7 ° тг^,’5')» изоморфно отобра-
жает компоненту С9 в картановскую плоскость СдЯ С Tes(J°°(7r)),
компоненту l^,(J°°(7r))— тождественно на себя, а остальные ком-
поненты отображает в нуль.
Рассмотрим теперь произвольный касательный вектор Х9 к
многообразию J°°(%;^) в точке 0 и его разложение в представле-
нии (6.41): Х9 = гДе XgS eVgl(J°°(Tr)), Yg еСд. Если век-
9 € G
тор Хд не лежит в распределении Картана, то существует по край-
ней мере одно такое отображение дх € Q, что вертикальный вектор
Хвц отличен от нуля. Тогда из утверждения 4.2.1 следует, что най-
дется такая функция у е^тг), что ХдЯ{ Отсюда имеем
в,а
г1т^))=
\ G G G.G
£ Хе J -I (£ ° 1 )*№)) + Yg J (£ о тгоо 4 =
дед '
= (51 о ^S1)_|Ц(¥>) + 0 = _1 и^) /О,
т. е. в этом случае Х9 не удовлетворяет нашему тождеству. □
Утверждение 6.5. Всякое максимальное интеграль-
ное многообразие распределения Картана на Q) локаль-
но имеет вид графика бесконечного джета некоторого семей-
ства {sj}ff6g сечений расслоения тг.
Доказательство аналогично доказательству утвержде-
ния 2.3 гл. 4. А 'именно, пусть 7£°° — максимальное интегральное
многообразие распределения Картана на J°°(7t; Q). Проекции
<tk»: к = 0,1,...,
и
4к°°: =
суть локальные диффеоморфизмы, так как картановские плоскости
Св, 0 € У°°(тг; Q) (а значит, касательные пространства к 72.°°) не со-
держат ненулевых вертикальных векторов (см. утверждение 6.2).
Поэтому проекция тг® |я0: 7?.° —► 7£ также является локальным диф-
феоморфизмом. Следовательно, существует такое отображение s':
7?.—>72.°, что тг® ко °з' есть тождественное отображение. Продолжим
отображение s' аналогично дифференциальному случаю (см. гл. 4)
394
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
до сечения s расслоения тг®. Так как тг® есть сумма Уитни рас-
слоений <7*(тг0) — д*(тг), д &G, сечение s расслоения тг® представ-
ляет собой набор {зг}геб сечений расслоения тг. Многообразия
J*.({sff})(M)c Jk(ir, Q) при к —О,1,..., оо, являются интегральными
многообразиями распределения Картана и содержат в себе многооб-
разия Ик для соответствующих к. А так как И°° есть максимальное
интегральное многообразие, то, по крайней мере локально, много-
образия И°° и ^({зд})(М) совпадают, ц
Из этого утверждения следует, что кроме многообразий
^(аДМ), которые соответствуют решениям уравнения £ с
С «7*(тг; Q), могут существовать и другие максимальные интеграль-
ные многообразия распределения Картана на J°°(7r;<7). Выделить
среди всех максимальных интегральных многообразий нужные нам
позволяет следующее утверждение.
Утверждение 6.6. Пусть множество Q является
полугруппой отображений многообразия М, a N — график
сечения расслоения тг£. Тогда N есть график сечения вида
jx(s), a Е Г(тг), в том и только том случае, когда N явля-
ется максимальным интегральным многообразием распре-
деления Картана на Q), инвариантным относительно
любого отображения g, д EQ, т. е. g(N) с N.
Доказательство. Из определения распределения Карта-
на на следует, что многообразие N =j0O(s)(M) является
максимальным интегральным многообразием этого распределения.
Кроме того, если в — [a]^°°’S) 6 N, то д(в) = [sG АГ.
Пусть теперь АГ — максимальное интегральное многообразие,
инвариантное относительно Q. Так как АГ есть график сечения
расслоения тг£, то 1Z = тг£(ЛГ) — М и s' есть сечение расслоения
тг®, определенное во всех точках М (см. доказательство предыду-
щего утверждения). Следовательно, N есть график сечения вида
ХДОД), гДе — семейство сечений расслоения тг, опреде-
ленное сечением s'.
Рассмотрим произвольное отображение дх Е Q, произволь-
ную точку х многообразия М и соответствующую точку в =
= JTO({ss})(a;) = {[sJ^)}ffeff многообразия АГ. По условию, точка
<^(0), которая по определению д{ является бесконечным джетом в
точке xt =д1(х), лежит на многообразии N = ^({аДДМ). Поэтому
5i(0) = JJkzWi)- Следовательно,
и, значит,
Га 1°° =ls 1°°
1 д°чя°1 д>(д°дд(х)
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
395
для любых д EQ. Подставляя в это равенство д — idM и обозначая
sidj(f через з, для любого дг Е<3 получаем равенство ]“(l) = [s]“(l).
А значит,
Так как это верно для любого х Е М, то N = З^У^М). гл
Везде далее будем считать, что Q — полугруппа отображений
многообразия М.
6.5. (/-инвариантные симметрии распределения Карта-
на на «/“(я; Q). Опишем инфинитезимальные преобразования про-
странства J°°(7t;(7), «сохраняющие» максимальные интегральные
многообразия вида < (з)(ЛТ). Заметим, что любое многообразие
jJS)(M) лежит в Поэтому такое преобразование есть,
вообще говоря, преобразование множества £7)о. Но по сообра-
жениям, сформулированным в замечании 6.2, мы будем считать, что
наше преобразование X продолжено на все пространство J°°(7r; Q).
При этом из утверждения 6.1 следует, что касательные плоскости к
многообразиям вида Joo(s)(M) есть картановские плоскости в точ-
ках множества J°°(7r; Q)a. А значит (см. гл. 4), в точках множества
«7°°(<;$7)о мы имеем вложение
X (СА1 (тг; 0)) с СА1 (%;£)• (6.42)
С другой стороны, поле, лежащее в СТ>(тг; Q), касается всех ин-
тегральных многообразий распределения С(тг; Q). Поэтому оно ка-
сается многообразий вида joo(s)(M), а значит является искомым,
но «тривиальным» преобразованием (ср. с гл. 4). По этой причи-
не нам достаточно найти только вертикальные инфинитезимальные
преобразования, сохраняющие класс многообразий вида Joo(s)(Af).
Пусть X — такое вертикальное поле, 0 — произвольная точ-
ка многообразия N = joo(s)(M), Q — полугруппа отображений мно-
гообразия М, а д — ее элемент. Предположим также, что по-
ле X обладает локальной однопараметрической группой диффе-
оморфизмов {At}. Любое многообразие Nt = At(N) имеет вид
), st Е Г(тг), а значит g(Nt)cNt (см. утверждение 6.6). От-
сюда <7(Д(0)) 6 Nt. Так как д(0) Е g(N) С АГ, точка At(g(0)) также
лежит на Nt. При этом, поскольку X — вертикальное поле, отоб-
ражение At сохраняет каждый слой расслоения тг£. Отсюда и из
коммутативной диаграммы (6.32) имеем
$40(«))) = ^(р(0)) =5(^(0)),
а также
А (*)))=s(4(A(0)))=9^ )).
396
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
Следовательно, точки At(g(0)) и £(At(0)) проектируются в одну точ-
ку при отображении тг£ и лежат на графике Nt сечения расслоения
%£. Поэтому эти точки совпадают. А так как N — произвольное
многообразие вида Уоо(а)(М), то в —произвольная точка множе-
ства J°°(7r; Q)o. Следовательно, в точках множества J°°(ir; б)0 для
достаточно малых t мы имеем равенство At о д = д о А,, а для любой
функции р е Х(тг; б) — равенство р*(А/(у>)) = А^*(д (</?)). Диффе-
ренцируя последнее равенство по t в точке t = 0, получаем формулу
д*(Х(<р)) = Х(д*(<р)), которая верна в точках множества J°°(7r,^)0
для любой функции <р G Х(тг; Q).
Таким образом, вертикальное поле X, сохраняющее класс под-
многообразий вида ^(«XAf), з еГ(тг), и обладающее однопараме-
трической группой диффеоморфизмов, должно удовлетворять усло-
вию (6.42) и коммутировать с любым гомоморфизмом д*, д еб- Эти
условия должны выполняться только в точках множества G)o.
Но если замыкание множества У°°(7г;^)0 совпадает со всем про-
странством J°°(ir,6) (а в рассматриваемых примерах ситуация
именно такая), то поле X удовлетворяет этим условиям во всех
точках пространства J°°(n; б). Это объясняет, почему мы должны
рассматривать вертикальные поля X на У°°(7г; б), удовлетворяющие
условиям (6.42) и д* оХ = Х од* для любого де б- Будем называть
такие поля б-инвариантными (инфинитезимальными) сим-
метриями распределения Картана на J°°(ir, б)- Обозначим че-
рез зутбС(тг) множество таких полей.
Утверждение 6.7. Всякое векторное поле X G
G symffC(7r) однозначно определяется своим ограничением на
подалгебру Х0(тг) С F(iv,6)-
Доказательство. Автоморфизм X распределения Карта-
на на J°°(7r; б), равный нулю на подалгебре Х0(тг) с Х(тг; б), равен
нулю и на 5-(тг) с^тг;^). Этот факт доказывается абсолютно так
же, как утверждение 2.4 гл. 4, причем то, что X — дифференциро-
вание алгебры F(ir; б), а не F(ir), несущественно.
Пусть X е зутеС(тг) и X |= 0. Рассмотрим в М произволь-
ную координатную окрестность и соответствующие локальные коор-
динаты (xj,..хп,..., р3ад,...) в J°°(7r; б). Если gQ = idM, то р3адо е
€^(тг) и Х(р^) = 0. Если g^gQ, то
Х(р33) = Х(д*(р3а30)) = 9*(X(pigo)) = 0.
А значит X = 0. □
Пусть X е symsC(7r). Тогда, аналогично дифференциальному
случаю (см. гл. 4), ограничение Хо = X |я (ж) является дифферен-
цированием алгебры ^(тг) со значениями в алгебре ?к(тг‘,ба) для
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
397
некоторого числа к > 0 и конечного подмножества Qa С Q. Следо-
вательно, в каждой точке € «4(тг; </о) вектор Хов отождествля-
—1
ется с касательным вектором к слою тг (х) расслоения тг, где х —
= тг^а(бк). Так как тг — линейное расслоение, то касательные векто-
ры к его слоям отождествляются с точками самих слоев. Поэтому
вектор Хо вк отождествляется с точкой слоя тг-1 (ж), а дифференци-
рование Хо — с сечением расслоения (тг^“)*(тг). Таким образом, мы
получаем отображение
эутеС(тг)-> ^(тг, тг; С?). (6.43)
Инъективность этого отображения следует из утверждения 6.7. До-
кажем сюръективность отображения (6.43).
Пусть — некоторое сечение расслоения (7г^“)*(тг). Рассмо-
трим координатную окрестность U С М и соответствующую окрест-
ность Z/°° = (тг£)-1 (Z/) С J°°(ir; G)- Определим в окрестности U°° поле
j,<r,g ^ая
где <р7 —У-я компонента ограничения сечения ip на окрестность
U°°, Do — композиция полных производных, соответствующая муль-
тииндексу а. Покажем, что дифференцирование и в окрестно-
сти W°° является {/-инвариантной симметрией распределения Кар-
тана на 7°°(7г;<7).
Поле и вертикально. Докажем, что оно коммутирует с лю-
бым гомоморфизмом д[, Для любого i = 1,..., п функция
$1(я:,) = 51*(®,) есть функция на М, и, значит,
9v>,u(g*i(xi)) = o=rl(9vU(xi)).
Для функции pig, используя формулу (6.35), получаем
= 9v^gogi) = (g^Y(Da(ip*)) =
= (9*i 09*)(D{r(p3)) = g*x(9v U(p^g)),
т. e. равенство Эд> и(д1('ф)) = д1(Э1р и('ф)) верно для любой коорди-
натной функции на U°°, а значит, для любой функции на U°°.
Рассмотрим форму Картана
Q G
398
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
где <?! G Q, ip 6 ^(тг). Из коммутативной диаграммы (6.33), где к =
= оо, G' — {id w } , a Q о Qg^ — Q, поскольку Q — полугруппа и д} е Q,
получаем
"М4’{Мм}°£Г0Ш))-
Так как (7r£’^ldM^)* есть вложение модуля Л1(тг) в Л^тг;^), имеем
w = Si*(^i(’/’))• Отсюда имеем
^>г» - э^аЛи.Ш) = =
= 9C[d34>u^)-^3v<u{Di^))dx^.
Используя выкладки аналогичные дифференциальному случаю (см.
гл. 4), и то, что г/} G ^(тт), легко доказать равенства
Э„,м(Р,-(^)) = А^С/О), i = 1,.... п.
Поэтому
= 5? - £ D, (3v ^))dx}.
x i '
Форма ^ = d3lfi U(il}) — '^lDi(3ifi U(il>))dxi является элементом моду-
i
ля Картана, так как элементы этого модуля и то'лько они равны нулю
на распределении Картана (это легко вывести из утверждения 6.4),
a D- JQ = O, j = 1,.. ,,п. Отображение сохраняет распределение
Картана (см. формулу (6.34)), поэтому индуцированное отображе-
ние дх* сохраняет модуль Картана, а значит,
Э„>иМ = 5;‘(О)еСЛ1(7г;а) И 3vU(CK\kQ))cCK\^Q).
Так как ограничение поля 3V и на подалгебру ^o(7r]w) есть
, 1 д т д
дифференцирование —г + ... 4-
дРо дРо
жении (6.43) переходит в сечение ц>\и. Пусть теперь U,U' с М —
две координатные окрестности в М. Тогда ограничения полей 3^ и
и 3^ на алгебру ?ro(7rlwnw') совпадают. Отсюда в силу утвержде-
ния 6.7 получаем совпадение этих полей в окрестности (тг£)'1(^Г>
nZ/'). Таким образом, аналогично дифференциальному случаю, каж-
дое сечение расслоения (?rf )*(тг) определяет поле 3,, е symeC(7r).
Итак, доказана следующая теорема.
, поле 3 и при отобра-
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
399
Теорема 6.8. Всякая Q-инвариантная симметрия
распределения Картана на имеет вид Эф, где tp 6
G ^(тг, тг; G). При этом алгебра sym6C(ir) отождествляется с
модулем F(ir, тг; Q).
Как и в дифференциальном случае, дифференцирования Э^, tp е
€ Дтг, тг; Q), называются эволюционными дифференцирования-
ми и задают эволюцию сечений расслоения тг, которая определяет-
ся эволюционными уравнениями
д^и1 \ \ .
——= tpJ I х,..а I г---- 1 = 1, ...,т.
dt * \ \ дх J J
Поле 9^, tp е ^(тг, тг; можно понимать и как поле на
^“(тт; <7'), и как поле на любом пространстве джетов 7°°(тг;(7),
где Q — такая полугруппа отображений, что Q' с Q. В тех случа-
ях, когда необходимо указать, что поле Э^ действует на 7°°(тг; Q),
будем использовать обозначение Э®.
Утверждение 6.9. Если Q' — подполугруппа полу-
группы Q и tp G ./’(ir, тг; </), то при отображении тг^’® поле 3^
проектируется в поле 3” .
Доказательство. Индуцированное отображение (тг^;Q')*
вкладывает алгебру E(ir; &') в ^(тг; Q). Из определения полей Э®
и следует, что эти поля совпадают на алгебре ^(тг; Q'). А значит,
в произвольной точке 0 6 J°°(tt; Q), для произвольной функции f е
6 ^(тг; G'), имеем
|,))(/)=
r«eS'=»£v(S)eJ“(»-;S'). &1едовательно, Ог£|?).(Э’|,)=Э£'||,. D
Из утверждения 6.9, в частности, следует, что для любой по-
лугруппы Q классическим симметриям распределения Картана на
J°°(ir) соответствуют (/-инвариантные симметрии распределения
Картана на 7°°(тг; Q}. Эти симметрии будем называть классически-
ми симметриями распределения Картана на Q).
Скобка Якоби {<р,'ф} двух сечений tp,^ е ^(тг, ir; Q) опреде-
ляется формулой
Э{ч>,ф} ~
400
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
При этом верно равенство — Эф(<р), а в локальных
координатах — равенство
а,а,д Рад Рад
Упражнение 6.9. Докажите приведенные равенства.
Формула
определяет оператор универсальной линеаризации нелиней-
ного гранично-дифференциального оператора Д^,, i/> € ^(тг; Q). Опе-
ратор I* действует из ^(тг, %; Q) в ^(тг; Q), и его свойства анало-
гичны свойствам соответствующего оператора в дифференциальном
случае (см. гл. 4). Кроме того, легко доказывается формула
г7(у,)=5*0^-
Упражнение 6.10. Сформулируйте и докажите указанные
свойства оператора 1^.
6.6. Высшие симметрии гранично-дифференциальных
уравнений. Введем сначала понятие бесконечного продолже-
ния гранично-дифференциального уравнения. Пусть 8 с Q) —
уравнение порядка к, Q — полугруппа. Продолжением порядка
I уравнения 8 называется множество 8® С Jk+l(iv,G), состоящее
из таких точек 0k + l = {[sg]k(^}geff, что все точки g(0k), дЕО, где
0к — ^k + i^^k + i)’ лежат в £, а график сечения jk({sg}) касается с
порядком >I уравнения 8 во всех точках д(0к), д EQ.
Замечание 6.4. Множество 8^ всегда лежит в 8, хотя,
в отличие от дифференциального случая, 8<® может не совпадать
с 8. При этом уравнение 8 может быть не инвариантно относитель-
но отображений д, д Ев, но любое его продолжение 8^, в том
числе 8™, инвариантно относительно этих отображений.
Если уравнение 8 определяется системой
„ ( \ л . .
Gy I х,..., д I J,.. . I — 0, j — 1,..., г,
где s1, I = 1,..., т, — компоненты сечения s G Г(тг), |ст| к, д Ев,
то его нулевое продолжение 8^ задается системой
/ /д^з'Ч \
Gj\9\*^),...,(gog})*\—-S- ),•••) =0, У=1,...,г, дх Е Q,
а 1-е продолжение £(i) — уравнениями
^*(^(^)) = 0, j = l,...,r, |а|^1,
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
401
где Da — композиция полных производных, соответствующая муль-
тииндексу ст. Таким образом, для получения всех следствий урав-
нения £ с мы должны использовать как операции взятия
полной производной Dif i = 1,..., п, так и действия гомоморфиз-
мов 5/, 6 Q.
Упражнение 6.11. Покажите, что если уравнение
£ С У*(тг; Q) задано гранично-дифференциальным оператором А:
Г(тг) —» Г(£), то его /-продолжение £® с «7* + ,(тг; Q) задается (I, Q)-
продолжением Af = j, о Д: Г(тг) —> Г(^) этого оператора.
Как и в дифференциальном случае (см. гл. 4), для любо-
го I множество £(1 + > проектируется в множество £^ при отоб-
ражении 7rf+j j к + 1. Обратный предел башни уравнений £^\ I
0, порожденной отображениями flf+/+i fe+1, называется беско-
нечным продолжением уравнения £ и обозначается через £°°.
Точка 0 = 6/“(тг; (/ктогда и только тогда принадлежит
множеству £, когда ряды Тейлора сечения з в точках д(х) 6
е М, д eQ, удовлетворяют уравнению £. Поэтому точки множест-
ва £°°Г1/“(тг; Q)q естественно назвать формальными решениями
гранично-дифференциального уравнения £.
Совокупность ограничений на гладких функций, опреде-
ленных на объемлющем пространстве Jk + l(ir;Q), обозначим через
^(£). Для любого 1^0 имеем вложение ^(f)C^i + 1(f). Элементы
ОО
множества Г(£ )= |J будем называть гладкими функциями на
! = 0
бесконечно продолженном уравнении £°°. Множество ?(£) являет-
ся алгеброй, так как алгебрами являются множества ГЛ£).
Если в = е £°°, то график сечения касает-
ся множества £°° в точке в. Отсюда и из утверждения 6.1 следует,
что картановская плоскость Сд в точке в 6 £00 лежит в касательном
пространстве Тв(£°°). Распределение Св(£) = Св, в е£°°, назовем
распределением Картана на £°°. Из этого определения следует,
что максимальные интегральные многообразия распределения С(£)
одновременно являются максимальными интегральными многообра-
зиями распределение Картана на Q). Кроме того, так как лю-
бое конечное продолжение уравнения £ инвариантно относительно
любого отображения д, д EQ, то этому условию удовлетворяет и
бесконечное продолжение £°°. Отсюда и из утверждения 6.6 полу-
чаем следующее утверждение.
Утверждение 6.Ю. График сечения расслоения
является максимальным интегральным многообразием рас-
пределения Картана на £°°, инвариантным относительно
любого отображения д, д E.G, в том и только том случае,
26 Симметрии...
402
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
когда он имеет вид где з 6 Г(тг) —решение урав-
нения 8.
Ограничение на 800 отображения g, g EQ, будем обозначать
также через д.
Так как плоскости распределения Картана на Q) в точ-
ках 8°° совпадают с плоскостями этого распределения на 8°°, любое
поле, лежащее в распределении Картана на 7°°(тг; Q), касается урав-
нения 8°°. Будем обозначать множество ограничений на 8°° таких
полей через CD(8°°).
Как и в дифференциальном случае, определим модуль картанов-
ских форм на 8°° как множество СА1(8°°) с А1(8СО) таких 1-форм,
которые в каждой точке 0 е £°° аннулируются векторами распре-
деления С(8). Будем называть высшей (инфинитезимальной}
симметрией уравнения 8 С Jk(ir, Q) такое вертикальное поле X
на 8°°, которое удовлетворяет условиям
XfCA1^00)) сСА1^00), 5*оХ=Хо5*
для любого g EQ. Множество таких полей образует алгебру Ли,
которую мы обозначаем через sym(£).
Ограничение на 8°° (/-инвариантной симметрии распределения
Картана на Q), касающейся 8°°, является высшей симметри-
ей этого уравнения. Будем называть такие симметрии внешними
симметриями.
Теорема 6.11. Если уравнение 8 С Jk(ir, О) таково, что
(7г0б’{адо4о)(^0°) = Л’г), (6.44)
то всякая высшая симметрия уравнения 8 есть ограничение
на 8°° некоторой его внешней симметрии.
Доказательство этой теоремы аналогично доказатель-
ству теоремы 3.13 гл. 4. А именно, если X — высшая симметрия
уравнения, то ограничение X на ^(л) продолжается до дифферен-
цирования Х^. ^(тг)->F(ir, Q). Дифференцирование Xq определяет
такое эволюционное дифференцирование Э?, что Э?|= Х^ (см.
рассуждение после доказательства утверждения 6.7). Ограничение
поля 3V на 8°° совпадает с X. Действительно, любая координат-
ная функция на J°°(k; Q) получается из элементов алгебры Е0(к)
действием полей Y, Y eD(M), и гомоморфизмов g*, geQ. Коорди-
натные функции на 8°° получаются ограничением на 8°° некоторых
координатных функций на J°°(k; Q). А так как поля Э? и X комму-
тируют и с Y, и с д*, а = X (1г), то поля Э? и X совпадают
на любой функции на 8°°. q
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
403
Выведем уравнения на высшие симметрии. Пусть уравнение £
задается соотношениями
G.=0, G.eJ-Дтг;^), j = l,...,r. (6.45)
Из теорем 6.8 и 6.11 следует, что всякая высшая симметрия урав-
нения £ может быть получена ограничением на £°° некоторого эво-
люционного дифференцирования Э , е ^(тг, тг; Q), касающегося
уравнения £°°. Аналогично дифференциальному случаю (см. гл. 4)
условие касания поля уравнения £°° записывается в виде
= Е J • • •>г-
Правые части этих равенств равны нулю на £°°, а левые имеют вид
эдс.)|£ОО=У = h • •, г,
где = Ig=Ig\£o°. Обозначим через F(£, ir,G) множество
ограничений на £00 элементов модуля ^"(тг, тг; (?) и определим для
элементов ip, 6 ?(£, тг; Q) скобку
{<?, V’h =1ф(ч>) - = {ч>, ^}|гоо,
где <р = <р|£0о, $ = V’lf»-
Теорема 6.12. Если уравнение £ С «7*(тг; Q) задается
соотношениями (6.45) и удовлетворяет условию (6.44), то
алгебра Ли sym(£) изоморфна алгебре решений системы урав-
нений
£>) = 0, J = l,..-,r, <pe^(£,n;S), (6.46)
структура алгебры Ли в которой задана скобкой {•, *}£.
Упражнение 6.12. Выпишите систему (6.46) для системы
гранично-дифференциальных уравнений (6.17).
6.7. Примеры. Производящие сечения <р симметрий интегро-
дифференциальных уравнений имеют значительно большее количе-
ство аргументов, чем соответствующие сечения в дифференциаль-
ном случае. По этой причине решать уравнение (6.46) без приме-
нения компьютера затруднительно.
Анализ методов решения уравнений типа (6.46) (см. примеры
из гл. 3-6), показывает, что основным приемом решения является
26*
404
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
дифференцирование обеих частей уравнения по какой-либо пере-
менной. Чаще всего такая переменная содержится в уравнении, но
от нее не зависят компоненты сечения либо от нее зависят одна
или две компоненты. После дифференцирования мы получаем но-
вое уравнение на компоненты 93. Если новое уравнение достаточно
просто и содержит производную компоненты 93’ по некоторой пере-
менной v, то, решая его, мы определяем зависимость компоненты р1
от переменной и. Подставляя найденный вид 93 в уравнение (6.46) и
дифференцируя по другой переменной (например, по и), мы получа-
ем новые уравнения и повторяем эту процедуру до окончательного
решения уравнение (6.46).
Первый из приведенных здесь примеров рассчитан с исполь-
зованием программы, написанной средствами MAPLE V, которая
выписывает и анализирует систему уравнений (6.46), осуществляет
поиск подходящих переменных дифференцирования, операцию диф-
ференцирования по этим переменным соответствующих уравнений
и выбор из полученного списка новых уравнений наиболее простых.
Решение последних уравнений осуществлялось вручную и описано
ниже. При этом использовалась следующая лемма, которая может
быть полезна и при решении других уравнений.
Лемма 6.13. 1) Пусть подмногообразие N многообра-
зия М задается уравнениями
f.^0, 'i = l,...,k,
где 6 С°°(М) и ковекторы dft | , i = 1,..., к, линейно незави-
симы в каждой точке х € N. Тогда любая функция / на М,
равная нулю на N, представляется в виде
к
(6.47)
i — 1
где aif i = 1,..к, —некоторые гладкие функции на М.
2) Пусть, кроме того, второе подмногообразие Nx С М
задается уравнениями
gj = Q,
и ковекторы df(\x, г = 1,..., k, j = 1,.. .,1, также линейно
независимы в каждой точке х 6 Nl. Тогда любая функция f
на М, равная, нулю и на N, и на Nit представляется в виде
(6.48)
».з
где b{j е i = l,...,k, j =
Доказательство следует из леммы 2.1 гл. 3, [48]. g
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
405
Пример 6.7. Найдем симметрии уравнения (6.12). Это
уравнение эквивалентно системе гранично-дифференциальных урав-
нений (6.17). Используем следующие обозначения. Пусть Q — по-
лугруппы отображений из примера 6.4. Если v — какая-либо коор-
дината слоя пространства джетов с полугруппой Q, то через v2 и
г>3 будем обозначать координаты, соответствующие производным v
по х, з и t соответственно. Так, например, координата и,3 соответ-
“ и КА
ствует производной —Через <7^, где буквы а,Ь есть символы
О, х, з или оо, обозначим отображение из полугруппы Q, которое
отображает точку с координатами (t,x,s) в точку с координатами
(t,a,b). Так 51 92 = д[0х] и т. д. (см. пример 6.4). Через v[oi],
где v — какая-либо функция на пространстве джетов, обозначим
функцию 5(a6]’(v). Например, д2(ц2) = и2йх}, зГ(-^-) = “}[1о1 и т. п.
Вместо будем писать просто v. Заметим, что если ограничение
функции v на сечение jk(h) есть f(t,x, з), то ограничение функции
г>[а6] на Л(М есть /(*,“,fc)-
Упражнение 6.13. Опишите e,f через a, b, c,d, если
5[е/] ^аЬ] °g[cd]-
Используя введенные обозначения, систему (6.17) перепишем
в виде
и3 = 2и[0х] ~ U'Up:oo]’ и2 = и1 + ^и[з0]и1 > (g 4g)
U2 = №t,0J, «[хО] = и > и|гО] = 0> U^0] = О"
Линеаризация системы (6.49) имеет вид
С’зСу’1) ~ ~ — “fxoojV’1’ (6.50)
D2(lfi2) = Dl(V>2) + Kulle0]<fil (6.51)
D2(p3) = K4>{MV (6.52)
^0] = ^’ (6.53)
^о]=О> (6-54)
^[хО]= (6.55)
где DvD2,D3 — полные производные по x,s,t соответственно,
и т-д-
406
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
Будем решать систему (6.50)-(6.55) в предположении, что
искомые функции ip1,^2, р3 зависят только от координат на
<1(£°°) С т. е. от переменных
X,S,t,U ,U ,U ,Ul,Uf,U3,Ul, П3,г«[00р “[ооОр “[eOp “[Ооор
“[О»]’ “[Ох]’ “(оооор “[зоо]’ “[zoo]’ “[Ооо]’ “[Овр “[От]’ “[оооор
“[Loop “(loop “1[00]> “1[оо0р “1[«0]> “1[0оо]> “1[0»р “1[0®р
2 2 2 2 2 2 2
“Цоооор “1[лоо]’ “1[тоор “3[0оо]> “3[0зр “3[0а:р “3[оооор
2 2 3 3 3 3 3
“З[зоо]> “з[хоор “1[0оо]> “1[0зр “l[0z]> “1[оооор “ifsoop
“l[zoop “з[Ооор “з[Озр “з[0хр “3[оооор “3[зоор “з[тоор
(6.56)
Из уравнения (6.53) следует, что функция <р1 зависит только
от тех переменных, которые получаются из (6.56) действием гомо-
морфизма 5^,0]*’ а именно, от переменных
Х> “(OOP “[ооОр “* ’ “(0оор “(Ох]’ “foooop “[Loop “(Ооор
“[Охр “(Loop “[Loop “1(00]’ “1[оо0]> “1 ’ “1[0оо]’ “1(0хр
2 2 2 2 2 2 3
“1[оооор “1[тоор “з[Ооор “3[0а:] ’ “3[оооор “3[тоор “1[0оор
33 3 3 3 3 3
“1[0х]> “1[оооор “1[хоо]> “3[0оор “3[0хр “3[оооор “3[тоор
Программа дифференцирования, о которой говорилось в начале
этого пункта, применялась к уравнениям (6.50)-(6.52). Результатом
каждого применения является набор новых уравнений. Те уравне-
ния, которые существенны для дальнейшего, выписываются ниже
и анализируются.
Этап 1. Дифференцирование указанных уравнений по пере-
менным, соответствующим производным второго порядка, дает нам
уравнения, из которых следует, что функция р1 не зависит от пе-
ременных
222 2222 2
“1[0оор “1[0хр “1[оооор “1[хоор “3[0оор “3[0х]> “3[оооор “3[хоор
3 3 3 3 3 3 3 3.
“1[0оо]> “1[0хр “1[оооор “1[хоор “3[0оо]> “3[0хр “3[оооор “З[хоо]’
функция <р2 — от переменных
331 1 2 2 2 2 2 2
“р “3, МцзО]’ “1[х0]’ “l[0s]’ “1[0х]> “1[»оор “1[хоо]’ “3[0я]’ “3[0а:р
2 2 3 3 3 3.
“Зроор “3[хоо]’ “фоор “1[хоор “3[зоор “3[хоо]>
$ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
407
функция у>3 — ОТ
и1> и3> “1(»0)> «ЦО-р “1[яоор “з(0»р “з(лоор “1[лоор и3|яоор
Э т а п 2. Дифференцирование уравнения (6.51) по переменным
и1< «1[0»р “l(Oa:pUl[*oo]>Ul(soopUl(«oo]>ul(a!ool И УРаВНенИЯ <6-52) П0 пе’
ременным и\, ицщ, Ицлоор “ц^оо] доказывает независимость функции
¥>2 от переменных
“3> “(Lp “(Lp u[t<xp “(loop “(Lop “^OOp
и функции <p3 — от переменных
“2> “(ООО “(лоо]> “(Lof
Этап 3. Дифференцируя уравнение (6.50) по «3[a:oop уравне-
ние (6.51) —по «рьр^оор^Р^рЧл]’ и Уравнение (6.52) — по
“(0»р “ц«ор получаем следующие равенства
dul~i ’ (6.57)
дЧ> Kul дЧ> к _9Ки1 дУ1 д 2 Ku[s0] Q 3 К[0х] ~ -К «(-01 д 2 аи3 СТ“3[0з] "“[Oz] (6.58)
ДЛ',.! лД 1 TS _.1 TfnA ди\ (s0J dub, [Ох1 1,01 О <5[U3j dtp1 ди? , * [гоо] (6.59)
Эи>2 д<р2 1 t dtp^ -^ + ^Kuw-Kuw/t=0' ди ди^ ди^ (6.60)
d<f2 у ^У>2К- l_grf 1^^[L)] ^иЗ(0«] ^“3 ^“[Ол] (6.61)
Чо] аЧ<0]’ (6.62)
я 3 [0-1 а 3 “ а 2 ’ ^u3[0s] ^и3 ^“[0»] (6.63)
__ & d^lsO] Эи^о] (6.64)
408
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
4 др1 с _ dp1 4 с
Положим р = —р, р — 2—5—• Тогда функции р , р зависят
^U\ ^U[0x]
от тех же переменных, что и р1, т. е. от
t, Ujoop «[ооО], «[Ооор U[oooop U[0oo|’ Ufoooo]> Ul[00p Ul[oo0] (6.65)
и (здесь учтено уравнение (6.57)).
Умножая уравнение (6.58) на и1, складывая с уравнением (6.59)
и сокращая на Ku^Oj, получаем равенство
fy' 5
—з— = — и tp .
du*
(6.66)
(6.67)
dtp1
ди\
Правая часть уравнения (6.63) есть Кр*я0^ а значит, она за-
висит от переменных (6.65) и х, s, «[s0]» иЦвО]» ирвр “pej» ul«|' Левая
часть этого уравнения не зависит от «фор u(Lp u[*soop Поэтому tp5
не может зависеть от «}, «^.p «®Iooj. Из уравнения (6.64) и анало-
гичных рассуждений следует, что функция tp4 также не зависит
от ul’uPbl’uU°r
Так как
^[*0] _
e«iM
уравнение (6.62) переписывается в виде
— Ки1р?0].
Чо)
Продифференцируем уравнение (6.60) по u^. Функция
= р4 не зависит от и^, а из уравнения (6.67) мы получаем
д2 2 а2,„2
d р п dp 4
al а 2~0 И al а 1 — ^^[«Ор
Поэтому дифференцирование уравнения (6.60) дает нам равенство
dp2 4 4
—у — р + <р[яОр
dux 1 1
и уравнение (6.60) переписывается в виде
др2 _ „ 1 4
(6.68)
(6.69)
$ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
409
Из сравнения производных уравнения (6.68) по и1 и уравне-
ния (6.69) по и2 следует независимость функции <р4 от и1.
Из равенства (6.67) легко вывести, что производные функ-
ции <р2, входящие в уравнение (6.58), не зависят от Поэтому
уравнение (6.58) расщепляется на два уравнения:
-^=0.
Аи3
ии310х]
(6.70)
(6-71)
Аналогично из (6.69) следует расщепление уравнения (6.61) на ра-
венства
д<р2
(6‘73)
аиЗ[(Ъ]
Из уравнений (6.70) и (6.72) получаем равенство
Его левая часть может зависеть только от переменных (6.65) и
правая — от (6.65) и s, u[0s]- Поэтому функция <р5
зависит только от переменных (6.65).
Представим функции «р1,^2, у>3 в виде
р1 = А! + <А 1 /2^ - «Ц31ОО]) + <р6, (6.74)
У’2 = + (^4 + V’lloifal + V’M + V7’ (6.75)
(6.76)
где <р6, <р7, — некоторые функции. Просмотрев списки аргумен-
тов функций <р4, <р5, ¥>£Ор легко увидеть, что функции <р6, <р7, <р&
могут зависеть только от переменных, от которых зависят
у?1, у?2 и <р3 соответственно. Дифференцируя уравнение (6.74) по
U[L]’ u[*oo]» “i и используя формулу (6.66) и определения у>4, ip5, мы
получаем, что <р6 не зависит от ы3хоо] и ur Аналогично дока-
зывается, что ф7 не зависит от и^, и2, и1, и2, и^р и|[Олр а — от
и? Ор Для этого достаточно продифференцировать уравнения (6.75)
и (6.76) по соответствующим переменным и использовать уравне-
ния (6.67)-(6.71), (6.73) и (6.64).
410
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
Этап 4. Дифференцированием уравнения (6.51) по uf полу-
чаем равенство
t(dp4\ д<р4 , , д<р4
{дх дх +K^]uw9la0] з к[0х]и д11з ~и-
Так как функция р4 не зависит от и1 и имеем
, / <?9з4\ _ д<р4
51в°1 \ ~д7 I ~ ~д7‘
-^-=0
Мы ’
Из последнего равенства следует, что производная не зави-
сит от х. Следовательно, 9г4 = р?х + ^9, где 9г9 и у? — функции,
зависящие только от переменных (6.65).
Подставляя в уравнения (6.75) и (6.54) полученные представле-
ния для функций <р , р4 и учитывая равенства ицх = 0, «3^0] = 0.
которые выводятся из пятого уравнения системы (6.49), переписы-
ваем (6.54) в виде
^К[хо]и1и[оо] + У’м] = 0-
Так как функция р1 не зависит от и1, то 9г,7 0, также не зависит
от и1, и поэтому ^9 = О = 9?^.О]. Отсюда <р4 = <р9х.
Этап 5. На этом и следующих шагах при вычислении ¥^)ОО]
необходимо учитывать равенство 9[Si00|*(^H[so]s) которое следу-
ет из сходимости несобственного интеграла уравнения (6.12). Двой-
ное дифференцирование уравнения (6.51) по переменным и1 и
дает уравнение
где
9<A90i 9 9<р7 др>6
-71 + 9 + -А " ТТ =°>
9u|s0] ди* ди1
, 1 / дк дК
9 = 1 + Н’а7+*а7
(6.77)
(6.78)
— функция от х и з. Функция 9/ линейно зависит от и1, так как в
равенстве (6.77) первые три слагаемые не зависят от w1. Подставляя
в (6.77) выражение 9?6 = и1у>10+у>11, где у>10, у,11 — некоторые функ-
ции, зависящие от всех аргументов функции 9г6, кроме и1, получаем
/ = и2(9>10 + ¥Й- А) + <А
где функция 9212 зависит от всех аргументов функции <р7, кроме и2.
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
411
Этап 6. Дифференцируя уравнение (6.50) по и}, и3хоо1, и3^,
u3[iooj и уравнение (6.51) — дважды по и2 и и1, получаем равенства
xD3(p9) + ul Фи?.8 , =0 ди\ (6.79)
Cr'Lhf 1 [хоо] (6.80)
ди,, , 1[яоо] С) = v 3[хоо] (6.81)
^-=0. ^и(0х] (6.82)
При этом уравнение (6.51) после учета всех уравнений, которые
получаются из него дифференцированием, принимает вид
ду>12 д<р12
ds дх
(6.83)
Подставляя в уравнение (6.54) полученное представление
для <р2, имеем = 0. С учетом уравнения (6.83) р2 есть функ-
ция следующих аргументов:
¥>12 = ¥>(я + 3, U30s], UqOs], t, Ufooj, UjooOj, Wg)oo]> “foooop “[Ooo]»
U[0x]’ U[oooop Ul[00p Ul[ooOp Ul[0oop Ul[oooop U3(0oo]>
2 3 3 3 3 3 \
U3[oooop Ul[Ocx>p Ul[0a:p Ul[oooo]> U3[0oo]> U3[oooop-
Гомоморфизм 0[яО)* меняет только первые три аргумента функ-
ции </>12:
¥’(Lo] = ир»]> и1[00р *> U[00]’ U[oo0p U[Ocx>p ирюоор и^0оо]!
U[0®]> U[oooo]> и1[00р Ul[ooOp U 1[0оо]> ul[oooop U3[0oo]>
u3(oooop ul[0oop и1[0г]> Ul[oooop u3[0oo]> U3[oooo])> (6.84)
а так как аргументы функции (6.84) независимы, из равенства
V’fxO] = 0 получаем равенство <р12 = р — 0.
Слагаемые хР3(у>9) и в уравнениях (6.79) и (6.80) не зави-
сят от и1. Поэтому, полагая в этих уравнениях и1 =0, получаем
£>3(</) = 0, (6.85)
¥>"=0. (6.86)
412
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
(6.87)
Из уравнений (6.86) и (6.80) следует равенство
^“[хоо]
Уравнения (6.87) и (6.81) показывают, что мы упростим урав-
нение (6.50), положив
8 3 гч / 5\ 3 9 1 3 5 1 13
=u D3(tp ) —+ u3</j + ‘Р >
где у?3 — функция тех же аргументов, что и у?8.
Этап 7. На этом этапе мы дифференцируем уравнение (6.85)
по переменным, от которых не зависит функция <р. В результате
получаем уравнения, из которых следует, что функция р9 не зави-
сит от переменных
U[oo0]’ “[Ооор “[Loop “[Ооор “[Loop “цООр “1[оо0р
Значит, она может зависеть только от и t. Таким образом, урав-
нение (6.85) принимает форму
из jV
dt “[ОО^Ооо]^
=0,
9
откуда следует, что — константа.
Этап 8. Дифференцирование уравнения (6.52) по U[g0] дает
равенство
W3) = (<* - ^9 - D3(<p5))K, (6.88)
где
X =К^-7 + К,^-!+Кш-25- + К'||.|-^5— ,
аи3 'аи3 |0,|а4,| 1
Уравнения (6.50), (6.52) и (6.55) после учета их дифференциальных
следствий переписываются в виде
о,(га)+г^,=о,
&[%)]= О-
(6.89)
(6.90)
$ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 413
Таким образом функция <р13 зависит от переменных
tZ3, U3, U3, U3[03], X, t, идо], UjooO],
’ u[0oop “[0®P “[Loo]’ “[loop “[Lop “[Lp “{Loop
“[loop “1 ’ “l[00p “ifooOp “l[Ooop “l[ftr]’ “l[oooop (6.91)
“l[xoop “3[0oop “3[0xp “3[оооор “3[хоо]> “1[0оо]> “1[0х]>
3 3 3 3 3 3
“1[оооор “l[zoop “З[0оор “3[О®]> “З[оооор “з[«оор
Равенство (6.90) означает, что. функция </>13 равна нулю на подмно-
гообразии N =im5[l0j. В пространстве координат (6.91) подмного-
образие N задается равенством нулю функций
“ » “i > “з> “[ООО “1[0«р “з[0я[ (6.92)
(см. последнее уравнение системы (6.49)). Поэтому из первой части
леммы 6.13 получаем представление
13 3 1* 321.33* 3 4 • 3 5 1 3 6 ло\
—u ti “(“fljfl “I-u^fl “Ь Ujoe]fl Ч- ^3[0л]® > (6.93)
где а*, i — 1,..., 6, — некоторые гладкие функции переменных (6.91)
Подставляя представление (6.93) в уравнение (6.89) получа-
ем равенство
^(^ °) + “[loo] “[loo] + “llsooj^LooJ + “Ifxool^xoo) +
13 4.3 5.3 6 r\
+ “[0oo]a[xoo] + “l[0oo]a[xoo] + “3[0oo[a[xoo] — 0-
Так как функция P3(<^10) не зависит от переменных
“[Lop “Loop “Loop “L°P “1[0оор “з[0оор
из последнего равенства получаем уравнение Р3(9з10) = 0. Значит
(см. решение уравнения (6.85) на этапе 7 и уравнения (6.82) и
(6.89)), функция 9?10 зависит только от х, и мы имеем равенство
‘/’[LL] = Последнее означает, что функция </>13 равна нулю на под-
многообразии =im5[Ioo], которое в пространстве координат (6.91)
задается равенством нулю функций
“3 ~ “[loop “1 “ “Loop “з “ “Loop /д
ззз зз з (6.94)
“[Оз] _ “[Ооор “1[0з] ~ “1[0оор “3[0з] ~ “3[0оо]-
Отсюда и из второй части леммы 6.13 мы получаем представление
^13 = Е
414
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
где через ft, i = 1,.. .,6, обозначены функции (6.92), через д-, j =
= 1,..., 6, — функции (6.94), а — некоторые функции перемен-
ных (6.91).
Подставляя полученное представление для функции у>13 в урав-
нение (6.88), получаем в его левой части выражение
Е л (Е * w)+Е», (Е *«*,)
» 4 3 ' з' 4 • '
При этом функции, стоящие в правой части (6.88), не зависят от
переменных, которые входят в запись функций f{,.. .,f6,glt.. .,д6.
Следовательно,
¥’Й]-^-£,з(/) = О- (6-95)
Функции и ip5 не зависят от х. Поэтому при <р9 ф 0 из
равенства (6.95) следует, что д также не зависят от х. Но так
как эта функция симметрична относительно х и з (это следует из
ее определения (6.78) и симметричности функции К(х, з)), в этом
случае д не зависит и от з. Следовательно, произведение <р9д яв-
ляется константой. Из (6.95) следует, что не зависит от з, а
ю 1 1
значит, <р — константа.
Обозначим
</4 = </0-<Л, </5 = /-¥>14t.
Уравнение (6.95) переписывается в виде jD3(<£15)=0. Отсюда и из
этапа 7 следует, что <р15 —также константа. Таким образом,
р1 — ^9(м} + и1 д) + + tu\) + 9з15и3. (6.96)
Заметим, что если <р1, <р2, <р3 — решение системы (6.5О)-(6.55),
то функции <р2 и <р3 однозначно определяются функцией <р1. Дей-
ствительно, функции <р2 и р3 задают эволюцию переменных и2
и и3. Переменные и2 и и3 однозначно определяются переменной и1
(см. (6.49)). Поэтому достаточно найти какие-нибудь функции <р2
и <р3, удовлетворяющие вместе с р1 системе (6.50)-(6.55). Поло-
жив <р13=0, получаем
<р2 = <p9(su22 + хи2 + и2 д) + <р14(2г? + tu23) + <pi5u23,
<р3 = <р9(зи2 + и3д + хи3) + ^14(u3 + u3t) 4-
Легко видеть, что функции (6.96)-(6.97) удовлетворяют систе-
ме (6.50)-(6.55) и задают классические симметрии, соответствую-
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
415
щие поднятию полей
9 / 1 & & \ 14 / 1 \ 15
* Г - м + * b - ^)+ * эё
где 939,9314,9г15— константы. При этом, если 9г9 отлична от нуля,
то д — константа, и из уравнения (6.78) следует, что К(х, з) —
однородная функция с коэффициентом однородности а = д - 1.
Упражнение 6.14. Проверьте справедливость приведен-
ных в этом примере выкладок и рассуждений.
В работе [89] исследовалась другая система гранично-
дифференциальных уравнений, также эквивалентная уравне-
нию (6.12), но с большей полугруппой. Алгебра симметрий оказа-
лась та же. В работе [90] приведен результат вычисления симме-
трий обобщения уравнения (6.12). При этом искались симметрии
наиболее близкого вида к найденным симметриям (6.96)-(6.97). Вы-
числения не оказались слишком громоздкими, несмотря на значи-
тельное усложнение уравнения, и результаты были получены без
использования компьютера.
Замечание 6.5. Выбор полугруппы для заданного уравне-
ния не является однозначным. Всегда можно расширить полугруп-
пу, а в некоторых случаях уменьшить ее (ср. полугруппы уравнения
коагуляции (6.12) в [89] и в примере 6.4). Изменение полугруппы
может привести к изменению алгебры симметрий (см. замечание
из § 5 в [90]). Возникает задача выбора полугруппы для получения
наиболее широкой алгебры симметрий. Можно показать, что в диф-
ференциальном случае расширение полугруппы, которая состоит из
одного элемента — тождественного отображения, может привести
только к «тривиальному» расширению алгебры симметрий. Напри-
мер, пусть наше уравнение имеет симметрию 93(c), зависящую от
произвольной константы с, и имеется интегральная (или гранично-
дифференциальная) величина v, которая не зависит от независимых
переменных уравнения. Например, v — значение зависимой пере-
менной в какой-нибудь точке. Тогда, заменяя с на v, мы получаем
новую симметрию <p(v). Если симметрия <р(с) зависит от произволь-
ной функции с какой-либо независимой переменной z, то абсолют-
но так же мы можем заменить с на величину v, зависящую только
от г, и получить новую симметрию <р(у). Такое расширение алгеб-
ры симметрий мы называем «расширением с помощью фиктивной
константы». Оно тривиально в том смысле, что в слое v = с нашего
уравнения симметрии <р(у) и <р(с) совпадают.
Пример 6.8. Уравнение Хохлова — Заболотской (см. п. 5.3
гл. 3) обладает симметрией
<Р = Q3P2gPl + 2Р9?3 + 93?229>
416
ГЛАВА 6. НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ
где д: (gt, д2,9з> Ч*) (°»92’ с). а>Ь,с — произвольные числа. Эта
симметрия получена из симметрии f(A) (см. (5.16) гл. 3) заменой
произвольной функции A(q2) на рд.
Замечание 6.6. В случае, когда рассматриваются не все
решения дифференциального уравнения, а только удовлетворяющие
дополнительным условиям (граничным или интегральным), расши-
рение полугруппы может привести к нетривиальному расширению
алгебры симметрий. Пример нахождения интегральной симметрии
дифференциального уравнения читатель может найти в книге [70].
В ней авторы ищут симметрии системы уравнений Максвелла. Они
находят классические симметрии Фурье-образа этой системы, и с
помощью обратного преобразования Фурье получают из этих сим-
метрий интегральные симметрии системы, которая состоит из урав-
нений Максвелла и уравнений, представляющих собой условия су-
ществования соответствующего Фурье-образа.
В заключение приведем пример использования преобразова-
ния Лапласа для нахождения интегральной симметрии интегро-
дифференциального уравнения.
Пример 6.9. Рассмотрим уравнение (6.12) в случае
К(х, s) = x + s. Преобразование Лапласа по переменной х преобра-
зует это уравнение в гранично-дифференциальное уравнение
Ф2 = ФЛФ1+ФЫФ-ФФ„ (6.98)
где
ОО
Ф = Ф(р, t)= j и(х, t)e~pxdx,
о
ОО
Фд = j и(х, t)dx = Ф(0, t),
о
f 9Ф
Ф1А~" J xu(x, t)dx = — (0, t),
о
Ф1 и Ф2 — производные Ф по р и t соответственно. Полугруппа это-
го уравнения состоит из двух отображений: тождественного и Л:
(р, t) *-> (0, t). Уравнение на производящую функцию симметрии
имеет вид
X (#>) - Ф, А*Щ) + ФА*(Р1(V0) + (Ф1А -Ф^, (6.99)
§ 6. СИММЕТРИИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
417
где X =D2- $aDx + Ф-Dj. Нулевое продолжение уравнения (6.98)
представляет собой пространство переменных р.^Фд.Ф^^Ф,.
Если искать функцию ф, зависящую только от координат нулево-
го продолжения, то X можно считать векторным полем на нулевом
продолжении и легко найти первые интегралы этого поля:
91=ф1А, д2 = Фле-’'‘, д3 = Фе~^,
д4 = 91р + Фл-Ф, q5 = - 1)е’>‘.
Уравнение (6.99) в этом случае нетрудно решить. Общее решение
без учета слагаемых, отвечающих за «тривиальное» расширение ал-
гебры классических симметрий, полученных в примере 6.7, есть
Ф = (f " + у-е’1* А*(,
91 91 \9<к/
(6.100)
ХЧ. Я f
где / — такая функция от , q2, q3, q4, q5, что Л*(-—) = 0. Подстав-
^9з
ляя / =g1q3qi в формулу (6.100), получаем
Ф = 9394ф1 = фе (9jP + фл - Ф)Ф!.
Соответствующая симметрия уравнения (6.12) при К(х, з) = х +
+ з имеет вид
X *1
<р=е~?1‘ j j и(х — 3l,t)u(sl — 32,t)u(s2, t)ds2dsl —
о о
X X
— <?J j u(x — 3,t)3u'3(3,t)ds — Qj j u(x — s,t)u(s,t)ds —
о 0
oo x
X f f
— — | u(s,t)ds I u(x — з, t)u(3, t)ds ,
0 . 0
oo
где 9i = - j su(s,t)d3.
о
Упражнение 6.15. Убедитесь в справедливости форму-
лы (6.100) и, используя ее, найдите все симметрии уравнения (6.12)
при К(х, з) = х + а, содержащие двойные интегралы.
27 Симметрии...
ПРИЛОЖЕНИЕ
От симметрий дифференциальных уравнений
к вторичному («квантованному»)
дифференциальному исчислению* *)
Но наука — это не просто каталог установленных фак-
тов о вселенной; это способ прогресса, иногда мучитель-
ного, иногда — неуверенного. И наш интерес к науке —
это не просто желание услышать о последних фактах,
добавленных в коллекцию, мы хотим обсуждать наши
надежды и опасения, возможности и ожидания.
Сэр А. Эддингтон
Введение
Предысторией рациональной механики было изучение так на-
зываемых простых механизмов. В то время был сделан ряд попыток
объяснить всю Природу как машину, составленную из этих меха-
низмов. «Стандартные схемы» и «модели» современной квантовой
теории поля (КТП) очень напоминают эти простые механизмы.
Возможно, эта аналогия проясняет причины широко распро-
страненного чувства, что КТП пока еще не является «настоящей»
сформировавшейся теорией. Ниже мы пытаемся проанализировать,
почему это так и какие ингредиенты необходимо добавить в раствор,
чтобы добиться искомой кристаллизации.
Имея это в виду, мы начнем с некоторых общих наблюдений о
происхождении крупномасштабных теорий. Эти вводные страницы
придадут последующим рассуждениям необходимый начальный им-
пульс. Следуя ему, мы придем в конечном итоге ко вторичному,
или, выражаясь более спекулятивно, к квантованному диффе-
© 1994. Elsevier Science В. V. All rights reserved.
*) Сокращенный перевод статьи А. М. Виноградова: From symmetries of partial
differential equations towards secondary (quantized) calculus // J. Geom. Phys. —
1994 —V. 14,—P. 146-194.
Печатается с любезного разрешения издательства Elsevier Science — NL, Sara
Burgerhartstraat 25, 1055 KV Amsterdam, the Netherlands.
§ 1. ОТ СИММЕТРИЙ К КОНЦЕПЦИЯМ
419
ренциальному исчислению, у которого, по-видимому, есть неко-
торые шансы стать математическим аппаратом, необходимым для
перехода от «стандартных моделей» к «настоящей» теории.
С самого начала хотелось бы подчеркнуть, что вторичное исчи-
сление является лишь языком, на котором, как мы надеемся, КТП
можно будет построить естественно, т. е. без «перенормировок»,
«аномалий» и т. п. Если это так, то фундаментальную проблему
перевода КТП на язык вторичного исчисления предстоит решить
отдельно. Безусловно, для достижения этой цели необходимы на-
копленные к настоящему времени результаты и опыт исследования
конкретных моделей.
Этот текст не является ни обзором, ни отчетом об исследова-
ниях; к нему следует относиться как к расширенной мотивировке
построения такого вторичного исчисления. Мы неформально опи-
сываем некоторые принципиальные идеи и уже полученные в этой
области результаты, а также останавливаемся на проблемах и перс-
пективах, которые кажутся сейчас наиболее интересными.
В наши намерения не входило систематическое и строгое изло-
жение вторичного исчисления, и это едва ли возможно в рамках та-
кого текста. Поэтому мы ограничиваемся общей панорамой, которая
могла бы помочь заинтересовавшемуся читателю вникнуть в пред-
мет, пользуясь приводимой в конце книги библиографией. С некото-
рыми деталями и методами читатель уже познакомился в основном
тексте книги; в качестве дополнительного материала можно предло-
жить также работы [147, 150, 19], вслед за которыми рекомендуется
прочесть [3, 24, 148, 142, 152, 144, 145, 108, 113, 149, 44].
И, наконец, оговоримся, что первые, «философские» страницы
настоящего приложения нужно читать полусерьезно, помня о прин-
ципе неопределенности: чрезмерное уточнение смысла используе-
мых здесь слов убивает мотивирующие импульсы, которые, как мы
надеемся, они источают.
§ 1. От симметрий к концепциям
То, что источником всякой теории являются весьма простые
понятия, — банальность. Но что это за понятия? В обыденном языке
слово «простой» имеет много значений. В линейном приближении
их можно представить следующей диаграммой:
БАНАЛЬНЫЙ — ------------ — СИММЕТРИЧНЫЙ
в которой точки обозначают «промежуточные состояния». Другими
словами, у нас есть достаточно причин интерпретировать термин
27*
420
ПРИЛОЖЕНИЕ. ВТОРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
«симметричный» как «простой, но не банальный». Детали лишь за-
слоняют симметрию. Поэтому модели, отражающие только суть яв-
лений, по необходимости симметричны. Вспомним евклидову геоме-
трию, планетарную систему Коперника, законы механики Ньютона
или специальную теорию относительности, которые иллюстрируют
эту мысль. Следовательно, в качестве руководящего принципа мы
принимаем то, что начальной стадией в генезисе теорий является
изучение симметричных моделей. (Конечно, эти замечания приме-
нимы только к достаточно масштабным ситуациям.)
При изучении таких моделей соображения симметрии доста-
точно хорошо заменяют концептуальное мышление. Вот почему они
хорошо работают вначале, особенно для математически обоснован-
ных теорий, поскольку в этом случае «симметричность» влечет за
собой «разрешимость» и «интегрируемость».
В этот момент теория переходит к следующей стадии своего
развития, доминирующая парадигма которой утверждает, что все со-
ставлено из простых (симметричных) элементов, изученных ранее,
и что остается только понять, каким именно образом. Схематически
этот период можно охарактеризовать как время, когда оперативные
концепции будущей «истинной», но еще не открытой теории заме-
няются их «морфемами» и когда более или менее механистическая
мозаика последних заменяет исчисление этих концепций. Вот поче-
му мы называем эту стадию «морфологической».
Серьезным недостатком морфологических схем является то, что
их приходится постоянно корректировать, чтобы оставаться в со-
гласии с новыми экспериментальными данными и теоретическими
требованиями. Это порождает многочисленные схемы типа теории
возмущений, очень характерные для морфологической эры.
Планетарная система Птолемея с ее многочисленными эпи- и
гипоциклами и квантовая электродинамика с ее перенормировками
хорошо это иллюстрируют. Кроме того, из этих примеров можно по-
нять, что неправдоподобно точное соответствие экспериментам —
еще не все, что требуется от «настоящей» теории. Конечно, нет ни-
чего плохого в использовании теории возмущений для технических
нужд, но едва ли было бы разумно возводить небоскреб на «слегка
расшатанном» фундаменте.
После этого для теории наступает стадия концептуальной само-
организации или, лучше сказать, «смутное время». Безусловно, это
самый длительный, загадочный и даже драматичный период в про-
§ 1. ОТ СИММЕТРИЙ К КОНЦЕПЦИЯМ
421
цессе рождения новой теории. В это время какие-то скрытые меха-
низмы, действующие в соответствующем научном сообществе, шаг
за шагом отбирают необходимые новые понятия, и в один прекрас-
ный день выясняется, что эти понятия составляют тот единственный
язык, на котором рассматриваемые явления можно выразить вполне
адекватно и, следовательно, элегантно. Это и есть день рождения
новой теории.
По-видймому, теория Дарвина вполне применима к процессу
отбора концепций. Например, в ходе этого процесса возникает мно-
жество фантастических созданий (вспомним историю развития КТП
последних десятилетий). Таковы типичные ситуации, когда вырази-
тельные возможности языка не соответствует описываемому пред-
мету.
Резюмируя, представим нашу мысль о генезисе математически
обоснованных теорий с помощью схемы:
симметричное начало
(«прекрасная эпоха»)
морфологическая ___
эра
___ концептуальная самоорганизация
(«смутное время»)
концептуальный
хэппи энд * '
Конечно, на деле указанные периоды перемешиваются друг
с другом, и иногда это происходит очень любопытным образом.
Например, в наши дни синтетические геометрии — создания, весь-
ма типичные для морфологической эры, — почти вымерли, усту-
пив место дифференциальной геометрии. С другой стороны, теория
меры — морфологическая реализация идеи интегрирования — мир-
но уживается со своим будущим победителем — теорией когомоло-
гий де Рама.
Переход от попыток смоделировать область действия новых яв-
лений в терминах «старого», уже существующего математического
языка, к новому языку более высокого уровня, выразительный по-
тенциал которого в точности отвечает новым требованиям, — суть
схемы (1). Мы используем здесь слова «математический язык» в
духе термина «язык программирования». Это дает нам возможность
учитывать антропоморфные элементы, неявно присутствующие в те-
ориях в силу того, что индивидуальный человеческий мозг и на-
учные сообщества иногда похожи на компьютеры и компьютерные
сети соответственно. История метрической геометрии от ее элли-
нистической симметричной формы, основанной на обыденной логи-
422
ПРИЛОЖЕНИЕ. ВТОРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ке, до современной римановой формы, базирующейся на дифферен-
циальном исчислении, — идеальная иллюстрация описанной выше
схемы.
§ 2. «Смутное время» квантовой теории поля
В предположении, что схема (1) верна, становится совершен-
но ясно, что КТП переживает сейчас свое «смутное время». Даже
некоторые слова из современного словаря КТП — «перенормиров-
ки», «нарушение симметрии», «аномалии», «духи» и т. п. — указы-
вают на глубокие противоречия между физическим содержанием и
используемым математическим аппаратом. Кроме того, мы встреча-
ем слишком много групп и алгебр Ли (вплоть до квантовых и квази-
квантовых) и основанных на них соображений симметрии, играю-
щих фундаментальную роль в современной КТП. Это говорит о том,
что теория еще недалеко ушла от своего симметрического начала.
В действительности самым сильным и очевидным свидетельством
«смутного времени» служит широкое использование теории возму-
щений в современной КТП. Однако отсутствие реальных альтер-
натив и устойчивые привычки снизили ценность этого аргумента
почти до нуля.
Мы понимаем, что скептически настроенный читатель, даже
поверивший в это «смутное время», предпочтет продолжить свои
текущие исследования в ожидании, когда упомянутый выше меха-
низм отбора завершит свою работу. Так что мы обращаемся глав-
ным образом к тем, кому интересно заняться поисками возможных
механизмов искусственного отбора, которые, как хорошо известно,
работают гораздо быстрее.
С этого момента, используя в качестве мотивировки упомяну-
тую выше эволюционную теорию, мы займемся поисками «языка
программирования» для КТП. Конечно, для правильного понима-
ния этот язык следовало бы изложить гораздо детальнее. Однако
мы не рискнем двигаться в этом направлении дальше, памятуя об
отношении к любой философии, господствующем в конце нашей
«теоретико-множественной эпохи». Вместо этого мы приглашаем
читателя после прочтения текста до конца снова вернуться к этому
месту. Развитие изложенных идей можно найти также в [3, гл. 1].
В частности, там мы касаемся таких тем, как антропоморфные фак-
торы, стоящие за попытками положить в основание всей математики
теорию множеств, и объясняем, почему правильно понятое диффе-
ренциальное исчисление является языком классической физики.
§ 3. ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ БОРА
423
§ 3. «Лингвинизация» принципа соответствия Бора
Начальные данные мы находим в следующих двух общих посту-
латах, представляющихся несомненными.
I. Дифференциальное исчисление является языком классиче-
ской физики.
II. Классическая механика является предельным случаем кван-
товой при hО («принцип соответствия Бора»).
Для нас это начальные значения координат и импульсов соот-
ветственно.
Чтобы избежать недопонимания, подчеркнем, что слова «диф-
ференциальное исчисление» понимаются здесь и ниже в своем пря-
мом смысле, т. е. как система понятий (скажем, векторные поля,
дифференциальные формы, дифференциальные операторы, джеты,
когомологии де Рама, Спенсера и т. д.), связанная общими правила-
ми или формулами (типа«/2 = 0, Lx—ixod+doix,...). Как было по-
казано в [12], все они составляют «алгебру логики» в силу того фак-
та, что дифференциальное исчисление можно на самом деле постро-
ить чисто алгебраически над произвольной (супер)коммутативной
алгеброй А (см. также [24, гл. 1]). Построенное алгебраически диф-
ференциальное исчисление совпадает со стандартным в случае ал-
гебры гладких функций А = С°°(М). Кроме того, алгебраический
подход — и это очень важно подчеркнуть — помогает выяснить, что
для замыкания этой алгебры логики, т. е. для построения всего исчи-
сления, требуется еще многое понять. Высшие аналоги комплексов
де Рама [17] являются примером такого рода.
Итак, первый постулат побуждает нас заняться поисками рас-
ширения стандартного дифференциального исчисления, а второй
уточняет направление, в котором нужно искать. Имея это в виду,
попытаемся выделить математическую суть принципа соответствия
Бора. Следующая диаграмма иллюстрирует, как это можно сделать:
уравнения квантовой механики (уравнения Шредингера) Л-0 квантование уравнения классической механики (уравнения Гамильтона)
«математизация»
дифференциальные уравнения в частных производных CHARq обыкновенные дифференциальные уравнения
424
ПРИЛОЖЕНИЕ. ВТОРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Здесь CHARe обозначает отображение, сопоставляющее данной си-
стеме уравнений в частных производных £ систему обыкновенных
уравнений £Е, описывающую, как распространяются особенности
типа S решений системы £. Что подразумевается под особеннос-
тями решений типа S и что, в частности, понимается под упо-
мянутым выше типом Q, мы обсудим позднее (см. также рабо-
ты [13, 149, 45, 44]). А сейчас мы объясним, каковы основания по-
лагать, что отображение CHARq описывает принцип соответствия
Бора.
Во-первых, отметим, что переход от волновой оптики к геоме-
трической математически может быть представлен в виде £—*£fold>
где FOLD обозначает особенности типа складки многозначных ре-
шений уравнения £ (см. § 9). С другой стороны, многозначность
решений связана с неоднозначностью решения задачи Коши и, сле-
довательно, с теорией (би)характеристик.
Замечание 1. Существует двойственный путь перехода к
геометрической оптике, предложенный Лунебургом [ 121 ] и основан-
ный на изучении разрывных решений. Однако переход на эту точку
зрения не приведет к существенным изменениям в последующих
рассуждениях.
Во-вторых, памятуя о том, что Шрёдингер открыл свои знаме-
нитые уравнения, отталкиваясь от аналогии с волновой и геоме-
трической оптикой, можно ожидать, что аналогичная схема рабо-
тоспособна и при переходе от квантовой к классической механи-
ке, [133]. Говоря точнее, кажется естественным предположить, что
уравнения классической механики суть Q-характеристические урав-
нения соответствующих уравнений квантовой механики. По отно-
шению к соответствующим типам особенностей «квантовых» реше-
ний эти гипотетические Q-характеристические уравнения должны
играть ту же роль, какую стандартные характеристические уравне-
ния играют для сингулярной задачи Коши. Эта гипотеза становится
почти очевидной в рамках подхода Маслова к квазиклассическим
асимптотикам [49]. Мы отсылаем читателя также к лекциям Леви-
Чевиты [117] и к работе Ракаха [131], одной из первых попыток
продвинуться в этом направлении.
Все сказанное приводит нас к формуле
КВАНТОВАНИЕ = CHAR^1. (2)
Эта формула послужит нам путеводным принципом, и мы займемся
поиском следствий из нее.
§ 3. ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ БОРА
425
Прежде всего, попытка непосредственного применения (2) к
КТП сразу приводит к проблеме, иллюстрируемой следующей диа-
граммой:
квантованные поля Л--»0 классические поля
0 «математизация» 0
? CHARq дифференциальные уравнения в частных производных (3)
Иными словами, нам нужно ответить на следующий вопрос: какие
математические объекты следует поместить в нижний левый угол
диаграммы (3), или, точнее, какова математическая природа уравне-
ний, распространение особенностей решений которых описывается
дифференциальными уравнениями в частных производных? Следу-
ющая схема
обыкновенные дифференциальные уравнения CHAR дифференциальные уравнения в частных производных CHAR ?
дает основание назвать эти еще не известные математические объ-
екты вторично квантованными дифференциальными уравне-
ниями.
Таким образом, следующая подлежащая рассмотрению пробле-
ма формулируется так:
Что такое вторично квантованные дифференциальные
уравнения? (4)
Все предыдущие рассуждения не дают нам необходимого им-
пульса к ее решению. В поисках такого импульса рассмотрим про-
стейшую ситуацию, когда возникает отображение типа CHAR:
* *
Другими словами, мы рассмотрим переход от векторных полей
к обыкновенным дифференциальным уравнениям и попытаемся при
этом понять, каковы должны быть вторичные («квантованные») век-
торные поля.
426
ПРИЛОЖЕНИЕ. ВТОРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Воспользуемся тем, что рассматриваемая ситуация проста и по-
этому, в полном соответствии с § 1, симметрична. Точнее, инфини-
тезимальные симметрии системы xi = ai(x) — это векторные поля
Y = ciд/д xi - коммутирующие с полем X — 22 °чд/д х{, а, как хо-
рошо известно, любое векторное поле локально допускает множест-
во коммутирующих с ним полей. Для наших целей важно заметить,
что симметрии системы х* =а{(х) — это объекты той же природы,
что и дифференциальный оператор (а именно, X = а{д/д х{),
определяющий член первого порядка в исходном уравнении
Х(и) = Ь. По этой причине представляется весьма вероятным, что
вторично квантованные векторные поля идентичны симметриям
уравнений в частных производных.
Чтобы проверить эту гипотезу, целесообразно рассмотреть тео-
рию дифференциальных уравнений с категорной точки зрения, кото-
рая позволила бы систематически проводить аналогии с категорией
гладких многообразий.
§ 4. Дифференциальные уравнения суть диффеотопы
Естественное обобщение понятия бесконечно продолженного
уравнения, возникающее при факторизации (гл. 3), рассмотрении
нелокальных симметрий (гл. 6) и в других ситуациях, дается следу-
ющим определением.
Определение 1. Многообразие О, снабженное ин-
тегрируемым распределением*) С, называется диффеотопом**),
если локально ***) оно имеет вид бесконечно продолженного урав-
нения £°°.
Размерность п распределения С называется размерностью
диффеотопа О и обозначается Dim О. Конечно, она отличается от
«обычной» размерности многообразия О, которая, как правило, бес-
конечна.
Пример 1 (проективный диффеотоп). Пусть Е = Еп¥т —
гладкое (п + тп)-мерное многообразие. Рассмотрим множество Е*,
точками которого являются пары (0, где 0 е Е, a —
класс подмногообразий размерности п, проходящих через точку 0
*) Интегрируемость понимается здесь формально — должны выполняться усло-
вия Фробениуса.
**) По английски diffiety (=DIFFerential varlETY).
***) Конечно, надо также потребовать, чтобы «функции склейки» сохраняли соот-
ветствующие распределения.
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СУТЬ ДИФФЕОТОПЫ
427
и касающихся друг друга с порядком к. Вспоминая конструкцию
пространств к = 0,..., оо, читатель без труда убедится, что
I) множества Ек снабжены естественной структурой гладкого
многообразия;
2) имеют место естественные проекции Ek + l Ек;
3) пространство J°°(E,ri) = Е™, определяемое как обратный
предел этих проекций, снабжено естественным интегрируемым рас-
пределением.
Очевидно также, что локально J°°(E, п) имеет вид J°°(7r) для
некоторого m-мерного расслоения тг над n-мерным многообразием
и является диффеотопом размерности п.
Диффеотопы являются объектами категории, морфизмы кото-
рой суть гладкие отображения, сохраняющие распределения. Эту
категорию естественно назвать категорией дифференциальных
уравнений.
Все естественные конструкции геометрической теории диффе-
ренциальных уравнений буквально или в несколько модифицирован-
ном виде переносятся на произвольные диффеотопы. В частности,
локальный изоморфизм т: О' О называется накрытием в ка-
тегории дифференциальных уравнений, а симметрии объекта О' —
г -нелокальными симметриями для О. Конечно, нелокальные сим-
метрии типа т образуют алгебру Ли, совпадающую с sym О'. На
первый взгляд кажется абсурдным пытаться найти коммутатор двух
нелокальных симметрий, определенных в разных накрытиях. Оказы-
вается, однако, возможным построить этот коммутатор в некотором
третьем накрытии. Поэтому для того, чтобы снабдить множество
всех нелокальных симметрий объектно алгебраической структурой,
например, структурой алгебры Ли, следует одновременно рассма-
тривать все накрытия над О.
Все накрытия данного диффеотопа естественным образом об-
разуют категорию, которую в [ИЗ] мы назвали «паутиной». Эта
конструкция влечет множество важных для вторичного исчисления
следствий, но в настоящее время это всего лишь прекрасная перс-
пектива для будущих исследований.
Заметим также, что диффеотопы являются аналогами аффин-
ных многообразий в алгебраической геометрии, в то время как па-
утины — аналоги полей рациональных функций на них.
Имеются два естественных вложения категории гладких мно-
гообразий в категорию дифференциальных уравнений: а) Мп =>
=> п) и б) Мп => В первом случае п-мерные
многообразия переходят в n-мерные (в диффеотопическом смысле)
428
ПРИЛОЖЕНИЕ. ВТОРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
объекты, во втором — в 0-мерные. Эти два способа в некотором смы-
сле двойственны друг другу, и поэтому их наличие указывает на
существование двойственности в теории дифференциальных урав-
нений. В то же время можно убедиться, что традиционная «диф-
ференциальная» математика (анализ, геометрия, уравнения и т. д.),
рассматриваемая как часть теории диффеотопов, становится кон-
цептуально замкнутой только в том случае, если все многообразия
понимать как 0-мерные диффеотопы. Иными словами, стандартная
«дифференциальная» математика составляет нульмерную часть те-
ории диффеотопов. Это замечание вызывает подозрение, что боль-
шая часть математики, необходимой для того, чтобы естественно
проквантовать классические поля, еще не открыта.
Вернемся теперь к гипотезе, сформулированной в конце преды-
дущего параграфа, и спросим себя, к чему сводится понятие сим-
метрии дифференциального уравнения в случае нульмерного диф-
феотопа (т. е. обычного многообразия М). Очевидно, что symAf =
= D(M), где D(M) — алгебра Ли всех векторных полей на мно-
гообразии М. В произвольной системе координат их..ит на М
стандартное выражение
. ои
I
для любого векторного поля X на М является частным случаем
формулы (2.15) гл. 4 для эволюционного дифференцирования
э = Ул (<р )-^-
Ч> ди1
»,а
Напомним, что эволюционному дифференцированию отвечает
эволюционное уравнение (2.19) гл. 4
— = <pi(x,u,...,u3<r,...), i = (5)
В случае X = система (5) принимает вид
Обыкновенные уравнения (6) представляют собой уравнения
v V4 т
характеристик для операторов первого порядка X = > <р.—г. Та-
ди
ким образом, аналогия X Э^, (6) > (5) мотивирует следующее
заключение.
§ 5. ВТОРИЧНЫЕ ФУНКЦИИ
429
Если <Р = (<Pi, • •-,<Рт) —производящая функция симме-
трии х € sym то система (5) дифференциальных урав-
нений в частных производных может естественным об-
разом рассматриваться как характеристическая систе-
ма для оператора %.
Сопоставляя этот результат со схемой (3), мы получаем реше-
ние проблемы (4):
симметрии дифференциальных уравнений в частных
производных суть вторично квантованные дифференци-
альные операторы первого порядка.
Это утверждение будет для нас отправной точкой в поисках
вторично квантованных дифференциальных операторов высших по-
рядков.
§ 5. Вторичные («квантованные») функции
Кажется естественным определить вторично квантованные диф-
ференциальные операторы высших порядков как композиции опе-
раторов первого порядка. Но на этом пути немедленно возникает
следующая трудность.
Вторичные дифференциальные операторы первого порядка —
суть элементы алгебры sym О. С другой стороны, последние — это
не «обычные» дифференциальные операторы, а классы их эквива-
лентности. Поэтому встает вопрос: как перемножать эти классы?
Заинтересованному читателю мы предлагаем проверить, что прямо-
линейный подход к этой задаче не приводит к ее решению.
Другой аспект этой проблемы возникает из аналогичного во-
проса: на какого сорта объектах действуют вторичные дифферен-
циальные операторы? Несомненно, вторичные операторы должны
быть «настоящими» операторами, т. е. действовать на каких-то объ-
ектах. В качестве таковых нельзя взять обычные функции. В этом
можно убедиться, попытавшись определить действие алгебры sym О
на Единственный естественный способ сделать это — поло-
жить %(/)= Х(/) для % е sym О, X eDc(O), х=Х mod CD(O)
и f € Но такое определение некорректно. Действительно,
если XitX2e DC(O) и Х{=Х2 mod CD(O), то, вообще говоря,
адиX2(f) при Х^Х2.
Однако с лингвистической точки зрения ясно, что вторичные
операторы должны действовать на вторичные функции, и мы изме-
ним вопрос, попытаясь выяснить, что это такое. Следующая анало-
гия поможет нам это сделать.
430
ПРИЛОЖЕНИЕ. ВТОРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пусть А*(ЛТ) — пространство дифференциальных г-форм на
многообразии М. Дифференциал де Рама
СХ(М)^А1(М)
(7)
дает «универсальное решение» экстремальных задач для гладких
функций на М. Понимая гладкие многообразия как 0-мерные диф-
феотопы, мы видим, что аналогом (7) должно быть отображение,
дающее универсальное решение вариационных задач с кратными
интегралами. Но это хорошо известное отображение Эйлера — Ла-
гранжа:
вариационные функционалы,
или «действия»
дифференциальные
операторы
(8)
Е
т. е. Е сопоставляет «действию» j Ldxx.. .dxn левую часть соответ-
п
ствующего уравнения Эйлера — Лагранжа. Из аналогии между (7) и
(8) следует, что в качестве вторичных (или «квантованных») функ-
ций следует взять «действия». Эта мысль требует уточнения, по-
скольку стандартное понимание «действия» содержит одну излиш-
нюю для наших целей деталь, которую необходимо исключить из
определения. Эта деталь — точное указание области интегрирова-
ния Q. Так что наша следующая задача — найти смысл иероглифов
типа j Ldxx ... dxn (без П!). Мы решим ее, интерпретируя их как
некоторые когомологические классы (более детальные мотивировки
см. в [100]). Но прежде сделаем несколько предварительных заме-
чаний.
Пусть О — диффеотоп, Dim О = п. Заметим, что, как и в слу-
чае бесконечно продолженных уравнений, на О можно построить
горизонтальный комплекс де Рама. Действительно, рассмотрим в
А’(О) подмодуль С А* (О), состоящий из форм, ограничение которых
на контактное распределение в О тривиально:
weCA'(O)«>w(Y;,...,^) = 0 VY;,...,y<eCD(O),
и положим
Aj)(O) = A,(O)/CAt(O).
Элементы модуля А^(О) называются горизонтальными формами
на О. Очевидно, Aq((9) = 0 при i > п.
§ 5. ВТОРИЧНЫЕ ФУНКЦИИ
431
Легко видеть, что d(CA‘(O)) с CAt+(O), и поэтому определен
горизонтальный дифференциал
d: Л^(О)—> Aj>+*((?).
Конечно, d2 = 0, и мы получаем горизонтальный комплекс де Рама
диффеотопа О, когомологии которого называются горизонтальны-
ми когомологиями де Рама и обозначаются Нг(О), i =0,..., п.
В итоге мы приходим к следующему основополагающему утвер-
ждению.
Вторичные {или «квантованные») функции на О суть
элементы группы когомологий Нп(О).
Иными словами, мы понимаем группу когомологий Нп(О),
Dim О = п, как аналог алгебры гладких функций во вторичном ис-
числении.
Чтобы обосновать сделанный выбор, напомним координат-
ное представление «горизонтальных конструкций» для случая О =
= J°°{E, п) (см. гл. 4 и 5). Прежде всего заметим, что класс экви-
валентности дифференциальной формы w eA*(Joo(E, п)) по модулю
CAl(J°°(E, п)) содержит единственный элемент вида
Р = 52 %,.-Л •• -)da\ A.-.Adx^,
1 . .к{ п
где aki к G C°°(J°O(E, п)). Характерная черта этих форм состоит
в том, что дифференциалы вида du3,du3a не входят в их коорди-
натное выражение. Следовательно, модуль A^(J°°(E, п)) локально
можно отождествить с модулем форм такого вида.
Как уже отмечалось, горизонтальный дифференциал де Рама
выглядит следующим образом:
52 DAakl,...ki)dx*^dxki Л... Adz*.,
где Ds — s-я полная производная. В частности, всякую горизонталь-
ную (п- 1)-форму можно однозначно представить в виде
р =У~^(-1)'~1а^ххЛ.. .\dx{ _ + jA.. ./\dxn, а{ eC0O{J°°(E, n)),
i
причем
dp — div(A) dxx A... A dxn,
432
ПРИЛОЖЕНИЕ. ВТОРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
где А = (а1,..ап) и div(A) = £ А(аД Кроме того, горизонтальные
i
n-формы имеют вид
L(x,u,.. .,ui,.. .)dx{ Л... Adxn, L € C°°(J°°(E, n)),
и в них легко узнать лагранжевы плотности. Таким образом, мы
видим, что горизонтальные когомологии п)) можно ло-
кально отождествить с линейным пространством классов плотно-
стей лагранжианов на J°°(E, п) относительно следующего отноше-
ния эквивалентности:
Z1 ~ Ъ2 4» Lj - L2 = div(A) для некоторого А.
С другой стороны, действия j Ь^х{ /\.. ./\dxn, i = 1,2, эквивалент-
п
ны, т. е. приводят к одинаковым уравнениям Эйлера — Лагранжа,
в том и только том случае, если L, ~ Ь2 и эта эквивалентность
не зависит от выбора области Q. По этим причинам иероглифы
j LdX' Л ... f\dxn естественно отождествить с классами п-мерных
горизонтальных когомологий.
Отметим в заключение, что аналогичные рассуждения справед-
ливы и для произвольных диффеотопов.
§ 6. Вторичные («квантованные») скалярные
дифференциальные операторы высших порядков
Прежде всего нам нужно оправдать принятое выше определе-
ние вторичных функций, показав, что вторичные дифференциальные
операторы первого порядка на самом деле на них действуют. Иными
словами, мы должны найти естественное действие алгебры sym О
на пространстве ЯП(О). Это можно сделать непосредственно.
Во-первых, заметим, что если X &DC(O), а>еСА'(О) и Lx
обозначает производную Ли вдоль поля X, то Ех(ш) € С Л! (О). Это
следует из определений и того факта, что
CAi(O) = CA1(O)AAi‘1(O), « > 1.
Поэтому мы можем определить производную Ли от горизонтальных
форм, переходя к фактормодулям:
Lx-. А*(О)->4(0).
§ 6. ВТОРИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
433
Положим далее
sym О, х = Х mod CD(O) для X в DC(O),
ееНп(О), mod dA^-1(O) дляшеЛ£(О).
Определим теперь действие х на 0, полагая
х(в) = Ьх(ш) mod d$-'(O)tHn(O).
Корректность этого определения непосредственно вытекает из сле-
дующих двух фактов:
1) LY(u) e ‘(О), если w е Л£(О) и У е СР(О);
2) Lx od =d о Lx.
Оба они — прямые следствия определений.
Теперь мы видим, что данное выше определение вторичной
функции хорошо согласуется с другими «вторичными» конструкци-
ями, и потому может служить примером при продвижении к бо-
лее сложным «вторичным» понятиям. Отметим, например, что нам
удалось определить действие одного фактормножества (а именно,
sym О = Dc(O)/CD(O)) на другое (на Нп(О) = AJ(O)/dAJ"1(O))
благодаря следующим фактам:
1) модуль DC(O) состоит из дифференциальных операторов пер-
вого порядка, действующих на С°°(0)-модуле Л£(О), оставляя ин-
вариантным подмодуль dA£-1(O);
2) образы элементов из Л£(О) при действии операторов первого
порядка из CD (О) содержатся в dA£-1(O).
Мы придем к искомому определению вторичных дифферен-
циальных операторов высших порядков, просто заменяя выше
слово «первый» на «fc-й». Точнее, пусть Difft(A^(O)) обозначает
С°°(О)-модуль «обычных» дифференциальных операторов порядка
к, действующих в Л£(О). Положим
= {А € Difffc(A^(<P)) I 1 (О)) с d^~ 1 (О)},
Diff ДО) = {Д е DiffJ^O)) | Д(Л£(О)) с »(О)}.
Тогда пространство скалярных вторичных {«квантованных»)
операторов порядка к определяется как фактормодуль
WtP) = DiffJO)/Difffc(O). (9)
Конечно, всякий вторичный оператор Д 6 fe(O) можно на са-
мом деле понимать как оператор
Д: Нп{О)^Нп{О),
28 Симметрии...
434
ПРИЛОЖЕНИЕ. ВТОРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
действующий на вторичных функциях. Действительно, если
Д = 5 mod DiffA(O) для g е Diff ь(0).
0 = w mod для ш € Л£(О),
то класс горизонтальных когомологий
A(0) = 6(w) mod dA^~1(O)
определен корректно, т. е. не зависит от выбора представите-
лей S и ш.
Для О = п) определенные таким образом вторичные
дифференциальные операторы допускают следующее координатное
представление. Операторы вида
Л it i д'
zL/ <4.-• . .ди*’
Л = 1
а],..tra
где а,,.. .,<т3 —мультииндексы, называются вертикальными (от-
носительно выбранной системы координат). Можно доказать, что
каждый класс
Д = 6 mod Diff k(Jx(E,n)) S e Diff JJ°°(E, n»,
содержит единственный вертикальный оператор. Поэтому фактор-
модуль (9), состоящий из вторичных дифференциальных операторов
можно локально отождествить с множеством всех вертикальных
вторичных операторов. Эти последние, если они имеют порядок
к, можно представить в виде
т____ п
i = 1 а гр
где V = (V1,...,V’n), Vf eDiftk_i(Cao(Jao(E,n))), являются произ-
вольными С°°( J°°(E, п))-вертикальные операторы и
для а = (ip.. .,ia). Производящий оператор V является аналогом
высшего порядка производящих функций эволюционных дифферен-
цирований, но, в отличие от них, не определен однозначно при к > 1.
§ 7. ВТОРИЧНЫЕ ФОРМЫ
435
Вторичные операторы порядка > 1 не сводятся к композициям
операторов первого порядка, и этот факт весьма поучителен в связи
с рассуждениями начала § 5.
Заметим, что явное описание вторичных дифференциальных
операторов на произвольных диффеотопах — значительно более
сложная задача.
Дальнейшие детали, результаты и альтернативные точки зре-
ния на вторичные дифференциальные операторы можно найти в ра-
боте [100].
Наконец, возвращаясь к вопросу (4), мы можем представить
простейшее линейное вторичное (квантованное) дифференциальное
уравнение fc-ro порядка в виде
Д(Я) = 0, Д eS)iff,(O), НеНп(О).
Следует однако отметить, что эти уравнения образуют всего лишь
очень специальный класс вторичных дифференциальных уравне-
ний. Например, дифференциалы С-спектральной последовательно-
сти df’4 — dl’4(O) (см. гл. 5 и § 7), являются другими примерами
вторичных операторов и, следовательно, вторичных уравнений. Од-
но из них имеет вид
j Ldx^ =0,
где j Ldx е Нп(О), а Е — оператор Эйлера, сопоставляющий дей-
ствию j Ldx соответствующее уравнение Эйлера — Лагранжа. Это
следует из уже известного нам факта, что Е = п. Заметим так-
же, что операторы d?'4 имеют конечный порядок, скажем, 7r(fc) при
ограничении на элементы фильтрации к, но 7r(fc) -+ оо при fc —> оо.
Например, 7r(fc) = 2fc для оператора Е.
§ 7. Вторичные («квантованные»)
дифференциальные формы
В этом параграфе мы рассмотрим еще один аспект вторично-
го исчисления — вторичные («квантованные») дифференциальные
формы. Что это такое? Ответить на этот вопрос сложнее, чем на
уже рассмотренный вопрос о вторичных дифференциальных опера-
торах. По этой и некоторым другим причинам мы опустим пред-
варительные мотивационные соображения, приводящие к точным
определениям. Однако приведем некоторые апостериорные оправ-
дания.
28*
436
ПРИЛОЖЕНИЕ. ВТОРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пусть О — диффеотоп. Сохраняя обозначения § 6, рассмотрим
алгебру
Л‘(О) = £Л‘-(О)
«>о
всех дифференциальных форм на О и ее идеал
CA*(O) = 52CA'((9).
i >0
Обозначим fc-ю степень этого идеала через С*А*(О). Тогда все иде-
алы СкЛ*(О) замкнуты относительно внешнего дифференциала d, и
мы получаем фильтрацию
А‘(О) э СК* (О) D С2Л*(О) D ... э СкК*(О) D ...
комплекса де Рама на диффеотопе О его подкомплексами
{CkK*(O),d}, причем идеалы СкК*(О) естественно градуированы:
CkK*(O) = ^CkKk + s(O),
оо
где
СкКк *S(O) = СкК*(О) п Кк + s(O).
Таким образом, как и в гл. 5 для бесконечно продолженных урав-
нений, в случае произвольного диффеотопа О мы можем построить
спектральную последовательность
ег(О) = £ег₽?(О), dr = Xdr'^
Р,Ч Р,Ч
называемую С-спектральной последовательностью диффео-
топа О. Если Dim О — п, то нетривиальные члены Е?’Ч(О) рас-
положены в полосе р > О, 0 < q п, т. е. так же, как и в случае
бесконечно продолженных уравнений.
Определение 2. Элементы группы Ех(О) называются
вторичными (квантованными»} дифференциальными фор-
мами диффеотопа О.
Некоторые аргументы в пользу этой интерпретации таковы.
Пусть М — конечномерное многообразие, понимаемое как 0-мер-
ный диффеотоп (см. § 4). Тогда член Ег соответствующей С-спек-
тральной последовательности вырождается в нулевую строку вида
А°(М) А'(М) А₽(М) АП(М)
§ 7. ВТОРИЧНЫЕ ФОРМЫ
437
причем df’° = d. Иными словами, мы видим, что комплекс де Рама
многообразия М совпадает с первым членом его С-спектральной
последовательности этого многообразия.
Можно заметить, что стандартные конструкции и формулы,
связывающие «обычные» векторные поля и дифференциальные фор-
мы, остаются справедливыми для их вторичных («квантованных»)
аналогов. Например, как оператор подстановки вторичных вектор-
ных полей («симметрий») во вторичные дифференциальные формы,
так и соответствующие производные Ли, корректно определены. Бо-
лее того, они связаны между собой с помощью вторичного аналога
инфинитезимальной формулы Стокса
L % — г % о d —I- d о i ,
в которой внешний дифференциал d следует заменить его вторич-
ным аналогом, т. е. d^O).
Наконец, отметим, что вторичные дифференциальные формы
являются биградуированными объектами в отличие от «обычных»,
несущих только одну градуировку; причина кроется в двумерности
члена Ег. Это служит иллюстрацией того, что вторичные объекты
богаче и сложнее своих «первичных» аналогов. Ту же мысль можно
выразить по-другому, сказав, что «обычные» (или «первичные») ма-
тематические объекты являются вырожденной формой вторичных.
Это утверждение можно рассматривать как математический пара-
фраз принципа соответствия Бора:
вторичное дифференциальное Dim->o дифференциальное
исчисление исчисление
Теория нелокальной паутины (§ 4) позволяет придать точный смысл
выражению Dim —> 0, поскольку Dim (но не dim!) является R-знач-
ной функцией в этой ситуации.
В гл. 5 мы видели принципы работы С-спектральной последо-
вательности. Сделаем еще несколько замечаний относительно чле-
на Е2. В случае бесконечно продолженных уравнений член Е2(£°°)
состоит из характеристических классов бордизмов, «сотканных» из
решений уравнения £. Стандартную теорию «дифференциальных ха-
рактеристических классов» можно получить, подходящим образом
выбрав уравнение £ (см. [152, 10]). Однако этот подход приводит
к более тонким характеристическим классам — например, к специ-
альным характеристическим классам. Проиллюстрируем это
на примере решений (вакуумного) уравнения Эйнштейна (или мно-
гообразий Эйнштейна). Пусть £ — система уравнений Эйнштейна
438
ПРИЛОЖЕНИЕ. ВТОРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
на многообразии М. Тогда можно показать, что
f00/Diffeo(M) = £'°°,
где Diffeo(M) — группа диффеоморфизмов многообразия М, есте-
ственно действующая на £°°, а£' — некоторая система дифференци-
альных уравнений. На самом деле £' не зависит от многообразия М
и, следовательно, ее решения — в точности классы диффеоморфиз-
мов многообразий Эйнштейна. Соответствующие специальные ха-
рактеристические классы являются элементами группы Е2(£,<х>).
§ 8. Квантование или распространение
особенностей? Гейзенберг или Шрёдингер?
На предыдущих страницах мы достигли берегов terra incog-
nita, т. е. диффеотопов и вторичного исчисления на них, предска-
занных с помощью лингвистической версии принципа соответствия
Бора (§ 3). Будучи точным аналогом алгебраической геометрии для
дифференциальных уравнений в частных производных, эта область
математики заслуживает систематического исследования — может
быть, гораздо большего, чем сама алгебраическая геометрия — вне
зависимости от возможных физических приложений, стимулировав-
ших нашу экспедицию. Немного позже мы обсудим некоторые дру-
гие темы, связанные со вторичным исчислением. Но сейчас пришло
время вернуться к тому, насколько мы продвинулись в решении
проблемы квантования полей, получив в качестве инструмента вто-
ричное дифференциальное исчисление.
С самого начала следует подчеркнуть, что переход к «лингви-
низированному» варианту принципа соответствия Бора стоил нам
потери его исходного физического содержания. С другой стороны,
накопленный опыт работы со вторичным исчислением убеждает нас,
что любая естеств енная конструкция классического анализа име-
ет вторичный аналог, который можно найти с помощью более или
менее регулярной процедуры. Поэтому можно ожидать, что фунда-
ментальные уравнения КТП могут быть выведены путем «овторичи-
вания» модельной ситуации, в которой и источник, и цель принципа
соответствия Бора лежат в области классического дифференциаль-
ного исчисления.
Очевидно, квантовая механика частиц является в точности та-
кой моделью, поскольку здесь принцип соответствия берет начало
в дифференциальном уравнении (уравнении Шрёдингера) и закан-
чивается также дифференциальными уравнениями (уравнениями Га-
мильтона). Однако, чтобы проделать нашу процедуру, принцип Бора
$ 8. ГЕЙЗЕНБЕРГ ИЛИ ШРЁДИНГЕР?
439
следует переформулировать полностью в терминах дифференциаль-
ного исчисления, и это ключевой момент.
Искомая переформулировка неочевидна и, в частности, она не
должна опираться на переход h -+ 0, разложения в формальные ряды
по h, деформации, гильбертовы пространства и т. п. В качестве пер-
вого приближения мы берем формулу (2). Тогда наш подход к КТП
можно выразить в виде
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ = CHAR"^,
где 5 обозначает переход к вторичным объектам. Следовательно,
вопрос, на который следует ответить в первую очередь, таков: что
такое тип (или типы) особенностей решений, о котором говорилось
в § 3?
Последняя проблема относится к теории особенностей реше-
ний уравнений в частных производных, которая еще не достаточно
разработана, чтобы дать немедленный ответ. Поэтому мы отложим
попытки прямого подхода к ней и ограничимся кратким обзором
теории некоторых особенностей специального вида, которые назы-
ваются геометрическими. Помимо всего прочего читатель сможет
извлечь для себя из этой модели более точные представления об об-
щей теории, а равно и более детальные мотивировки формулы (2).
Но вначале мы позволим себе некоторые замечания исторического
характера.
Как хорошо известно, в основании квантовой механики лежали
два подхода — Гейзенберга и Шрёдингера. Говоря современным язы-
ком, первый базировался на формальной некоммутативной деформа-
ции коммутативной алгебры классических наблюдаемых, а второй
исходил из аналогии с оптикой. Оба они были объявлены эквива-
лентными (были даже даны доказательства этого), и именно это мы
хотели бы поставить здесь под сомнение. По-видимому, теорему об
эквивалентности более точно следует формулировать так:
Точка зрения Шрёдингера становится эквивалентной
подходу Гейзенберга после подходящей редукции.
Ниже мы приводим некоторые краткие соображения общего ха-
рактера в пользу этого утверждения, а читателя просим в дальней-
шем не путать слова «подход» и «картина».
Во-первых, подход Гейзенберга «запрограммирован» на языке
операторных алгебр, в то время как подход Шрёдингера — на языке
дифференциального исчисления. Первый принципиально не подда-
ется локализации, и в этом его главный недостаток, если говорить о
440
ПРИЛОЖЕНИЕ. ВТОРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
приложениях к фундаментальным (не техническим!) проблемам фи-
зики. В частности, пользуясь только этим языком, нельзя выразить
переход от одной области пространства — времени к другой (см.,
например, [101]). Но очевидно, что фундаментальные физические
теории — как на классическом, так и на квантовом уровне — по са-
мой своей природе должны быть локализуемы. С другой стороны,
дифференциальное исчисление является единственным локализуе-
мым языком, поскольку операторы, допускающие локализацию, —
это дифференциальные операторы.
Во-вторых, в подходе Гейзенберга классическая механика воз-
никает как предельной случай квантовой и, наоборот, последняя
рассматривается как некоммутативная деформация первой. Это,
в частности, означает, что обе они суть вещи одной природы, отли-
чающиеся друг от друга только параметром. В подходе Шрёдингера
дело обстоит не так. На самом деле, как это следует из общих мате-
матических основ перехода от волновой оптики к геометрической,
последняя является частным аспектом первой. Итак, используя ана-
логию между квантовой механикой и оптикой, обнаруженную Шрё-
дингером, мы заключаем, что
классическая механика является частным аспектом
квантовой.
В связи с этим уместно также отметить, что постоянная План-
ка действительно есть величина постоянная и, следовательно, вы-
ражение *h —► 0» может служить лишь эвристическим трюком, но
не краеугольным камнем теории.
Таковы вкратце соображения в пользу точки зрения Шрёдинге-
ра. С другой стороны, ясно, что у нее не было шансов реализоваться
математически в период построения квантовой электродинамики и
других квантовых теорий поля. Поэтому подход Гейзенберга, бла-
годаря его формальному и абстрактному характеру, явился един-
ственным возможным путем развития этих теорий. Это было его
бесценным историческим преимуществом, потенциал которого сей-
час начинает исчерпываться. Наконец, добавим, что развиваемые
здесь идеи можно рассматривать как попытку дополнить подход
Шрёдингера таким математическим аппаратом, который позволил
бы распространить его на КТП.
§ 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ
441
§ 9. Геометрические особенности решений
уравнений в частных производных
В этом параграфе мы обсуждаем геометрические особенности
решений (нелинейных) уравнений в частных производных и неко-
торые общие результаты о них, связанные с нашим обсуждением
проблемы квантования. В следующем параграфе собраны примеры,
иллюстрирующие общую теорию и, в частности, механизм связи
между волновой и геометрической оптикой.
Особенности решений, которые мы называем геометрически-
ми, естественно возникают в контексте теории многозначных реше-
ний (нелинейных) уравнений в частных производных. Существует
несколько способов реализовать идею многозначности, и мы выби-
раем один из них, основанный на понятии ^-многообразия.
Напомним (см. гл. 3 и 4), что подмногообразие W С
С Jk(E,n), 0 к оо, называется интегральным, если TffW С
сСв для любой точки 0 е Jk(E, п) (через Се обозначена плоскость
распределения Картана в точке 0). Интегральное многообразие W
называется локально максимальным, если никакая его откры-
тая область не принадлежит другому интегральному многообразию
большей размерности.
Определение 3. Локально максимальное интегральное
многообразие в Jk(E, п) размерности п называется R-многообра-
зием.
Частным случаем R-многообразий являются графики джетов се-
чений L^ — Mk некоторого расслоения к: Е —>М. Они характери-
зуются двумя следующими свойствами:
1) многообразие локально максимально,
2) ограничение проекции
«к,к-i- Jk(E,n)^Jk~l(E,n)
на является иммерсией.
Таким образом, опуская требование 2), мы получаем многознач-
ный аналог многообразий т. е. ^-многообразия.
Замечание 2. Напомним, что в Jk(E, п) существуют раз-
личные типы интегральных многообразий, отличающиеся размер-
ностью. Один из них — это слои проекции 7rfe к _ j; они имеют мак-
симально возможную размерность.
Неформально говоря, Я-многообразия можно понимать как
негладкие n-мерные подмногообразия в Е — J°(E,n), особенности
442
ПРИЛОЖЕНИЕ. ВТОРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
которых разрешаются при поднятии в подходящее пространство
Jk(E,n).
Определим теперь многозначное решение уравнения в част-
ных производных £ с Jk(E, п) как Я-многообразие (скажем, W),
лежащее в одном из продолжений £^ с Jk + '(E, п), 0 з < оо.
Если W С Jk(E, п) — ^-многообразие, то его особенностями, или
точками ветвления, называются особые точки проекции
Jk(E,n)—> Jk~l(E,n), ограниченной на W (см. рис. 1). Множест-
во особых точек многообразия W будет обозначаться через sing W.
Подчеркнем, что W является гладким (неособым) многообразием
в Jk(E, п), так что прилагательное «особый» относится только к
проекции пк fe_j.
За этими простыми определениями стоит очень богатая и ин-
тересная структурная теория, которая не сводится к стандартной
теории особенностей (или катастроф). Напротив, последняя явля-
ется специальным вырожденным случаем первой.
Мы начнем с классификации геометрических особенностей,
что, безусловно, является первой структурной проблемой, кото-
рую надлежит решить. В соответствии с «общими принципами», мы
должны классифицировать з-джеты Я-многообразий в Jk(E, я) для
заданного натурального з относительно группы контактных преоб-
разований этого пространства джетов. Для наших целей достаточно
рассмотреть случай з = 1.
Пусть W с Jk(E,n) — Я-многообразие и 0 е singW. Под-
пространства касательного пространства Тв Jk(E, п), имеющие вид
ТвW, называются сингулярными R-плоскостями (в точке 0). Та-
ким образом, наша задача состоит в классификации сингулярных
Я-плоскостей.
Пусть Р = Тв W — сингулярная Я-плоскость в точке 0. Подпро-
странство РосР, состоящее из векторов, проектирующихся в нуль
при отображении (тгк к_ называется меткой плоскости Р. Ока-
зывается, что сингулярные Я-плоскости эквивалентны тогда и толь-
§ 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ
443
ко тогда, когда эквивалентны их метки. Определим тип Я-плоско-
сти (сингулярной или неособой) как размерность ее метки:
type Р = dim Ро, 0 type Р^п.
Очевидно, type Р = 0 в том и только том случае, когда Р — неособая
плоскость.
Пример 1. Ветвящиеся римановы поверхности совпадают
с многозначными решениями классического уравнения Коши — Ри-
мана. Пусть W — одно из таких решений. Тогда множество sing W
состоит из набора изолированных точек, скажем, 0а. В этом случае
type Ра = 2 для любой плоскости Ра = Тв W.
Окончательный результат классификации меток таков [154].
Теорема 1. Классы эквивалентности меток геомет-
рических особенностей находятся во взаимно-однозначном
соответствии с классами эквивалентности унитарных
коммутативных ^.-алгебр, причем размерность метки со-
впадает с размерностью соответствующей алгебры.
Напомним, что всякая унитарная коммутативная конечно-
мерная алгебра раскладывается в прямую сумму алгебр F(fej,
k = 1,2,..., где F(fc) обозначает унитарную F-алгебру, порожденную
одним элементом £, для которого £* = 0, a /0 (здесь F = R
или С). Такое разложение не является единственным, однако крат-
ность, с которой данная алгебра F(Jt) в него входит, не зависит от
способа разложения. Следовательно, эти кратности полностью опре-
деляют класс изоморфных алгебр рассматриваемого вида.
Ниже мы говорим об A-типе геометрической особенности, под-
разумевая связанную с ней в силу сформулированной выше теоремы
коммутативную алгебру А.
Пример 2. Поскольку единственной одномерной R-алгеб-
рой является само поле R, существует только один тип геометриче-
ских особенностей с одномерными метками. Этот тип реализуется
Я-многообразиями, проектирующимися на многообразие независи-
мых переменных в виде складки. По этой причине такой тип обо-
значается FOLD. В теории FOLD-особенностей естественную роль
играет стандартная теория характеристических ковекторов.
Пример 3. Существуют три класса изоморфных двумерных
унитарных коммутативных алгебр: С, С I ч = 0} и R® R.
Для уравнений с двумя независимыми переменными геометриче-
ские особенности С-типа имеют вид точек ветвления римановых по-
верхностей; в случае п независимых переменных это (п—2)-мерные
444
ПРИЛОЖЕНИЕ. ВТОРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
семейства таких точек. В четырехмерном пространстве — времени
особенности С-типа можно рассматривать как вихри, окружающие
движущуюся кривую. Это вызывает подозрение, что С-особенности
могут играть важную роль в будущей теории турбулентности.
При исследовании конкретных уравнений сразу возникает сле-
дующий вопрос.
Какие типы меток особенностей решений допускает
данная система уравнений в частных производных?
Это чисто алгебраическая задача. Не вдаваясь в общие рассуж-
дения, мы проиллюстрируем ее следующими примерами.
Пример 4. Система уравнений в частных производных до-
пускает особенности FOLD-типа только в случае, когда у нее есть
нетривиальные характеристические ковекторы. Например, у реше-
ний эллиптических уравнений не может быть FOLD-особенностей.
Пример 5. Пусть £ — скалярное дифференциальное уравне-
ние с двумя независимыми переменными. Тогда оно допускает толь-
ко один из перечисленных выше типов двумерных особенностей: это
С-тип для эллиптических уравнений, К(2)-тип для параболических и
(R ф К)-тип для гиперболических.
Более тонкая задача — описание подмногообразий вида
singE W для многозначных решений W данного дифференциального
уравнения с заданным типом особенностей S. Здесь singE W с W
обозначает подмногообразие S-особых точек в W. Иными словами,
мы интересуемся определением формы S-особенностей, допускае-
мых данным уравнением.
Решение этой проблемы кратко можно описать следующим об-
разом. Пусть зафиксирована метка особенности типа S. Тогда с дан-
ной системой £ уравнений в частных производных можно связать
другую систему £Е, для которой многообразия вида singE W яв-
ляются решениями, когда W —решение системы £, и, наоборот,
всякое решение £Е имеет вид singE W для некоторого (возможно,
формального) многозначного решения системы £.
Если п — число независимых переменных уравнения £, то в £Е
входит п — з независимых переменных, где з — размерность метки
S. Конструкция уравнения £Е не столь проста, чтобы воспроизво-
дить ее здесь. В следующем параграфе мы приведем некоторые при-
меры, которые помогут читателю понять ее суть. Говоря неформаль-
но, если £ описывает физическую субстанцию, скажем, поле или
непрерывную среду, то £Е описывает определенного вида особенно-
сти этой субстанции, которые можно охарактеризовать метками ти-
па S. В случае, когда £ относится к независимым пространственно-
§ 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ
445
временным переменным, £Е описывает распространение S-особен-
ностей в соответствующей субстанции.
Обозначим через CHARE функтор, сопоставляющий уравне-
нию 8 соответствующее уравнение £Е. Проблема
в какой степени поведение особенностей данного типа
определяет исходную физическую систему?
очевидно, имеет фундаментальное значение, а поиск области об-
ратимости функтора CHARE — возможно, наиболее важный ее ас-
пект. Следующий результат является поучительным примером та-
кого рода.
Теорема о FOLD-восстановлении Любая ги-
перболическая система дифференциальных уравнений в
частных производных полностью определяется ассоции-
рованной с ней системой 8mui.
Другими словами, гиперболическую систему 8 можно выписать
явно, зная только систему £F0LD.
Эту теорему можно сформулировать иначе, сказав, что функ-
тор CHARe обратим в классе гиперболических уравнений. С другой
стороны, он не является обратимым в классе эллиптических урав-
нений, поскольку множество £FOLd в этом случае пусто.
Общая проблема восстановления уравнения по особенностям
может иметь разные оттенки в зависимости от выбранного типа осо-
бенностей (не обязательно геометрических) решений. Например, ее
частным случаем можно считать классическую задачу поля и источ-
ника. Другие интересные примеры можно найти в электродинами-
ке. Замечая, что элементарные законы электричества и магнетизма,
такие как законы Кулона и Фарадея, описывают поведение некото-
рых особенностей электромагнитного поля, мы видим, что решени-
ем соответствующей проблемы восстановления являются уравнения
Максвелла.
Важность теории многозначных решений проявляется также
в ее связях с теорией Соболева — Шварца обобщенных решений
линейных уравнений в частных производных. Эти связи основыва-
ются на наблюдении, что обобщенное решение данного линейного
уравнения можно получить простым суммированием ветвей соот-
ветствующего многозначного решения. На самом деле процедура
построения обобщенного решения по многозначному является бо-
лее тонкой, чем простое суммирование, и основывается на выборе
теории когомологий типа де Рама и правильного класса пробных
446
ПРИЛОЖЕНИЕ. ВТОРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
функций. Тогда возникают характеристические классы типа клас-
сов Маслова, являющиеся препятствиями к реализации этой про-
цедуры, и их природа зависит от выбранной теории когомологий
(см [45, 149, 44]).
Следует подчеркнуть, что обобщенные решения, сопоставляе-
мые многозначным решением без FOLD-особенностей, являются на
самом деле гладкими. Это замечательно согласуется с хорошо из-
вестным фактом, что обобщенные решения эллиптических уравне-
ний исчерпываются гладкими, т. е. однозначными, в то время как
те же уравнения допускают нетривиальные многозначные решения
(например, ветвящиеся римановы поверхности в случае уравнений
Коши — Римана) без особенностей FOLD-типа. Этот и подобные
факты показывают, что многозначные решения являются адекват-
ной заменой обобщенных для нелинейных уравнений, для которых
последние определить нельзя. Более того, многозначность является
более тонким понятием даже в линейном случае.
Дальнейшие детали и результаты, связанные с обсуждаемой
темой, читатель может найти в книге [24] и в лекции [149], а также
в [154]. Много интересных аспектов теории особенностей решений
рассмотрены в обзоре В. В. Лычагина [44].
Многозначные решения были введены в работе [13], за которой
последовала техническая, но поучительная работа А. П. Крищенко
[38]. Затем последовала важная серия работ В. В. Лычагина. К сожа-
лению, эти имена почти полностью исчерпывают тех, кто работал в
этой области. Полную библиографию можно найти в [24, 44, 154] *).
§ 10. Волновая и геометрическая оптика и другие примеры
Здесь общие рассуждения предыдущих параграфов будут
проиллюстрированы некоторыми простыми примерами, взятыми
из [119]. Мы не вдаемся в технические детали и в интерпретацию
рассматриваемых уравнений, отсылая читателя к [119].
1. S-характеристические уравнения. Пусть тг: Е —> М —
расслоение, £ С »У*(7г) — система дифференциальных уравнений и
S — метка типа особенностей ее решений. S -характеристиче-
ская система, соответствующая метке S, — это система диффе-
ренциальных уравнений, решения которой имеют вид 7rfe(sings W),
где 7rfc: >М —естественная проекция, a W — многозначное
решение системы £.
*) См. также недавнюю статью А. Б. Гивенталя [98] (добавлено при переводе).
§ 10. ПРИМЕРЫ
447
Обозначим S-характеристическое уравнение системы 8 через
8^ и заметим, что вся система получается из 8^ добавлением
некоторых уравнений, которые мы называем дополнительными.
Если 8 содержит независимые переменные пространства — време-
ни, то £е управляет движением S-сингулярных областей рассматри-
ваемой физической системы, а дополнительные уравнения описыва-
ют внутренние структуры S-особенностей.
Классические характеристические уравнения, теорию кото-
рых начал изучать Гюгонио, а систематически продолжил Адамар
(см. [102]), естественным образом возникают при исследовании од-
нозначности решения задачи с начальными значениями. Как мы
уже отметили, задача единственности входит в теорию FOLD-oco-
бенностей. Поэтому не удивительно, что FOLD-характеристиче-
ские уравнения совпадают с классическими. Мы рекомендуем рабо-
ты [117, 116, 131], в которых были сделаны первые попытки приме-
нить классические характеристические уравнения к квантовой ме-
ханике и теории относительности.
Координатное представление FOLD-характеристических урав-
нений имеет следующий вид. Пусть основное уравнение 8 задано
соотношениями
Fj(x,u,...,i/<r,...) = 0, У = 1..1,
где Fj. €Fk(ir). Введем характеристическую матрицу уравнения
8, полагая
MF = \|al = fc
dF,
duf
где р" =р\' •.. .-Pni если с = (г,,..., гп). FOLD-характеристическое
уравнение тривиально, т. е. имеет вид 0 = 0, если I < т. Если I т,
мы получаем FOLD-характеристическое уравнение f£0LD на £‘син’
гулярные области вида хп = <p(xt,..., хп_ j), заменяя в MF перемен-
ные pf на ду/дх^ apn — на —1 и приравнивая к нулю все т-миноры
полученной таким образом матрицы.
Замечание 3. Строго говоря, описанная процедура при-
менима только к формально интегрируемым уравнениям 8.
448
ПРИЛОЖЕНИЕ. ВТОРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2. Уравнения Максвелла и геометрическая оптика. Рас-
смотрим уравнения Максвелла в вакууме («волновую оптику»):
divE = 0, rotE = —
с at
1 дЕ
divtf = 0, rot# = -—.
с at
В этом случае п—4, т=6, 1 = 8, так что характеристическая матри-
ца — это прямоугольная матрица размера 8x6. Прямые вычисления
показывают, что все ее миноры шестого порядка имеют вид
/ 1 \2
х I 2 , 2 , 2 1 2 \
Н Pl + Р2 + Рз-2 Pi / ’
\ С /
где А = 0 или ±PiPj. Таким образом, полагая х4 = t, мы видим, что
уравнение f£0LD совпадает со стандартным уравнением эйконала
\UX^J \OX2J уиХ^/ с
Следовательно, мы получаем интерпретацию этого известного фак-
та в терминах теории особенностей решений. Однако это дает нам и
нечто большее: дополнительные уравнения, которые вместе с урав-
нением эйконала составляют всю систему £F0LD. Они имеют вид
div hE = grad <р • rot hH,
rot hE -I- div hH - grad tp = grad tp x rot hH.
Здесь hE и hH — сингулярные значения, т. e. значения на сингу-
лярной поверхности t = <р(х{, х2, х3), электрического и магнитного
поля соответственно.
3. О дополнительных уравнениях. Из процедуры, описан-
ной в п. 1, видно, что самые разные дифференциальные уравнения
могут иметь одно и то же характеристическое уравнение. Напри-
мер, уравнение эйконала (10) является характеристическим и для
уравнения Клейна — Гордона
1 д2и , 2 л
-» —о — Ди — ти = 0.
с2 dt2
Поэтому нельзя восстановить исходное уравнение, зная только его
характеристическое уравнение. В силу теоремы о восстановлении,
$ 10. ПРИМЕРЫ
449
сформулированной в § 9, вся остальная информация, необходимая
для восстановления, содержится в дополнительных уравнениях. По-
этому независимая и прямая интерпретация величин, входящих в
эти уравнения, позволила бы получить нужную для решения проб-
лемы восстановления информацию. Теперь видно, что эта задача ин-
терпретации особенностей очень важна. Например, для сплош-
ной среды решение этой задачи предоставит нам регулярный метод
вывода уравнений, описывающих соответствующую
сплошную среду, из наблюдения за распространением
особенностей заданного типа.
Это весьма привлекательная альтернатива современному фено-
менологическому состоянию механики сплошной среды.
Ясно, что квантование «а 1а Шрёдингер» также можно понимать
как такую интерпретационную задачу. В этом контексте к класси-
ческим уравнениям Гамильтона—Якоби, понимаемым как Q-харак-
теристические уравнения, необходимо добавить подходящие допол-
нительные уравнения. Естественно предположить, что стандартный
метод квантования «а 1а Гейзенберг» как раз заполняет ту брешь,
которую образует отсутствие этих гипотетических дополнительных
уравнений.
4. Альтернативные особенности через переход к одно-
родности. Классическое, т. е. FOLD-характеристическое, уравне-
ние для уравнения Шрёдингера
<А^+^Д'1’-Г*=О (11)
для сингулярных областей, имеющих вид t=x^ = tp(xv х2, ж3), запи-
сывается как
\ 2 / д<р \ 2 / dtp \ 2
дх^ \dx2J \9х3)
Это показывает, что геометрических особенностей недостаточно для
описания соответствия между квантовой и классической механикой.
Гипотетические особенности «квантового» типа (см. § 3) должны
описываться Q-характеристическим уравнением £q вида
dt 2т \ dx.J
i = 1 ' * '
(12)
29 Симметрии...
450
ПРИЛОЖЕНИЕ. ВТОРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Можно, однако, интерпретировать (12) как характеристическое
уравнение «однородного аналога» уравнения Шрёдингера
d2^ 1 Дл d2i/)
dtds 2т dx? + ds2
1 = 1 >
(13)
записанного в пятимерном пространстве — времени (aij, х2, х3, t, з),
в предположении, что сингулярные области имеют вид з —
— <p(x1,x2,x3,t) = 0. С другой стороны, уравнение (13) сводится к
(11) на функциях
tp — fl)(x,t)exp
Это приводит к мысли определить Q-особенности как редукцию
FOLD-особенностей на функции (14). Делается это, однако, не столь
прямолинейно, и мы отсылаем читателя к [119] за дальнейшими де-
талями.
5. йф-характеристические уравнения. Здесь мы опишем
некоторые аналоги уравнения Гамильтона — Якоби для расширен-
ных (не точечных) сингулярных областей. Для простоты мы выбра-
ли волновое уравнение
д2и 1 д2и _
1 = 1 *
в качестве исходного. Так как R(1) = FOLD, то К(1)-характеристи-
ческое уравнение совпадает со стандартным уравнением эйконала
(Ю).
Для k = 2 и сингулярных областей вида
ГГ2 = У>(3, t), rr3=V’(s,£) При 3=31,
й(2)-характеристическое уравнение имеет вид
(dip dtp dp dtp'? 2
\ dt дз dt ds )+ \dt )+\dt ) \ ds J \ ds J
Его решения — двумерные поверхности, касающиеся светового ко-
нуса.
Наконец, -характеристическое уравнение на сингулярные
кривые вида xt = x^t), i = 1,2,3, имеет вид
х2 + х2 + х2 =с2.
Другие примеры, результаты и дальнейшее обсуждение можно най-
ти в [119].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи.—
М.: Мир, 1987.
2. Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Харьков:
ГНТИ Украины, 1939.
3. Алексеевский Д. В., Виноградов А. М., Лычагин В. В.
Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии // Итоги науки и техни-
ки. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 28. —
М.: ВИНИТИ, 1988.
4. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: На-
ука, 1984.
5. Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая гео-
метрия // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. —
1985, —Т. 4, —С. 7-139.
6. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру.—
М.: Мир, 1972.
7. Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие.—М.: Изд-во
иностр, лит., 1963.
8. Боголюбов Н. Н. (мл.) и др. Нелинейная модель типа Шредин-
гера: законы сохранения, гамильтонова структура и интегрируемость // ТМиМФ. —
1985. — Т. 65, № 2. — С. 271-284.
9. Бурбаки Н. Гомологическая алгебра.—М.: Наука, 1987.
10. Вербовецкий А. М., Виноградов А. М., Гесслер Д. М.
Скалярные дифференциальные инварианты и характеристические классы однородных
геометрических структур // Матем. заметки. — 1992.—Т. 51, № 6. — С. 15-26.
11. Ви ибер г Э. Б., О ни щи к А. Л. Семинар по группам Ли и
алгебраическим группам. — М.: Наука, 1988.
12. Виноградов А. М. Алгебра логики теории линейных дифференци-
альных операторов // Докл. АН СССР. — 1972. —Т. 205, № 5. — С. 1025-1028.
13. Виноградов А. М. Многозначные решения и принцип классификации
нелинейных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. — 1973. — Т. 210,
№ 1, —С. 11-14.
14. В иноградов А. М. К алгебро-геометрическим основаниям лагран-
жевой теории поля // Докл. АН СССР. — 1977. —Т. 236, № 2. —С. 284-287.
15. Виноградов А. М. Одна спектральная последовательность, связанная
с нелинейным дифференциальным уравнением, и алгебро-геометрические основания
лагранжевой теории поля со связями // Докл. АН СССР. — 1978. — Т. 238, № 5. —
С. 1028-1031.
16. Виноградов А. М. Гамильтоновы структуры в теории поля // Докл.
АН СССР, —1978,—Т. 241, № 1, —С. 18-21.
17. Виноградов А. М. Некоторые гомологические системы, связанные
с дифференциальным исчислением в коммутативных алгебрах // УМН. — 1979. —
Т. 34, вып. 6. — С. 145-150.
18. Виноградов А. М. Теория высших инфинитезимальных симме-
трий нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Докл.
АН СССР. — 1979. —Т. 248, № 2. — С. 274-278.
29*
452
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
19. Виноградов А. М. Геометрия нелинейных дифференциальных уравне-
ний // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. Т. 11. — М. ВИНИТИ, 1980. —
С. 89-134.
20. Виноградов А. М. Интегрируемость и симметрии // Нелинейные
волны. Структуры и бифуркации. — М.: Наука, 1987.—С. 279-290.
21. Виноградов А. М., Красильщик И. С. Один метод вы-
числения высших симметрий нелинейных эволюционных уравнений и нелокальные
симметрии // Докл. АН СССР. — 1980. —Т. 253, № 6. —С. 1289-1293.
22. Виноградов А. М., Красильщик И. С. К теории нелокаль-
ных симметрий нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных //
Докл. АН СССР. — 1984. —Т. 275, № 5. — С. 1044-1049.
23. Виноградов А. М., Красильщик И. С., Лычагин В. В.
Применение нелинейных уравнений в гражданской авиации. — М.: МИИГА, 1977.
24. Виноградов А. М., Красильщик И. С., Лычагин В. В.
Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1986.
25. Виноградов А. М., Купершмидт Б. А. Структура гамильто-
новой механики // УМН.— 1977.—Т. 32, вып. 4.—С. 175-236.
26. Волощук В. М. Кинетическая теория коагуляции. — Л.: Гидромете-
оиздат, 1984.
27. Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры.
Т. 1. Введение в теорию когомологий и производные категории. —М.: Наука, 1988.
28. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики. —
М.: Мир, 1981.
29. Г о д е м а н Р. Алгебраическая топология и теория пучков. — М.: Изд-во
иностр, лит., 1961.
30. Гюнтер Н. М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных
производных. — Москва — Ленинград: ОНТИ Г1 ГГИ, 1934.
31. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны
и нелинейные волновые уравнения. —М.: Мир, 1988.
32. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.
Современная геометрия. — М.: Наука, 1979.
33. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физи-
ке.— М.: Наука, 1983.
34. Кадомцев Б. Б„ Погуце О. П.//ЖЭТФ. — 1973. — Т. 65, № 2.
35. К а п ц о в О. В. Расширение симметрий эволюционных уравнений //
Докл. АН СССР. — 1982. —Т. 256, № 5. — С. 1056-1059.
36. К и р н а с о в Е. Г. О накрытиях типа Уолквиста — Эстабрука над урав-
нением теплопроводности // Матем. заметки. — 1987. —Т. 42, № 3. —С. 422-433.
37. Коноплева Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля.—
М.: Атомиздат, 1980.
38. К р и щ е н к о А. П. О загибаниях Я-многообразий // Вести. Моск,
ун-та. Сер. 1. Математика, механика. — 1977. — № 1. — С. 17-20.
39. Купершмидт Б. А. О геометрии многообразий джетов // УМН.—
1975,—Т. 30, № 5, —С. 211-212.
40. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964.
41. Лезнов А. Н., Савельев М. В. Групповые методы интегрирования
нелинейных динамических систем.—М.: Наука, 1985.
42. Лычагин В. В. Локальная классификация нелинейных дифференци-
альных уравнений в частных производных первого порядка // УМН. — 1975. — Т. 30,
вып. 1,—С. 101-171.
43. Лычагин В. В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциаль-
ные уравнения второго порядка // УМН. — 1979. —Т. 34, вып. 1. — С. 137-165.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
453
44. Лычагин В. В. Геометрическая теория особенностей решений нелиней-
ных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии.
Т. 20. —М.: ВИНИТИ, 1980, —С. 207-247.
45. Лычагин В. В. Геометрия и топология ударных волн // Докл. АН
СССР, — 1982, —Т. 264, № 3, —С. 551-555.
46. Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966.
47. Манин Ю. И. Алгебраические аспекты нелинейных дифференциальных
уравнений // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Т. 11.—
1978, —С. 5-152.
48. Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. — М.: Мир,
1968.
49. Маслов В. П. Асимптотические методы и теория возмущений. —
М.: Наука, 1988.
50. Михайлов А. В., Шабат А. Б., Я м и л о в Р. И. Симметрий-
ный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых
систем // УМН. —1987. — Т. 42, № 4. — С. 3-53.
51. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной
геометрии и топологии. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1980.
52. Н ё т е р Э. Инвариантные вариационные задачи // Вариационные прин-
ципы механики.—М.: Физматгиз, 1959.
53. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989.
54. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравне-
ний.— М.: Наука, 1978.
55. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. —
М.: Мир, 1989.
56. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие
многообразия. — М.: Наука, 1987.
57. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и
алгебры Ли. — М.: Наука, 1982.
58. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. —
М„ Л.: ГИТТЛ, 1950.
59. Самохин А. В. Нелинейные МГД-уравнения: симметрии, решения и
законы сохранения // Докл. АН СССР. — 1985. — Т. 285.—С. 1101-1106.
60. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 2.—
М.: Изд-во иностр, лит., 1954.
61. Свинолупов С. И., Соколов В. В. Факторизация эволюционных
уравнений // УМН. - 1992.—Т. 47. —С. 115-146.
62. Седов Л. И. Методы подобия и размерность в механике.—М.: Наука,
1987.
63. С е р р Ж. - П. Алгебры Ли и группы Ли. — М.: Мир, 1969.
64. Соколов В. В., Шабат А. Б. Необходимые условия нетривиаль-
ности алгебры Ли —Беклунда и существование законов сохранения/Препр. — Уфа,
1982.
65. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: ГИТТЛ,
1953.
66. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. — М.: Мир,
1970.
67. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. —
М.: Мир, 1987.
68. Фиников С. П. Курс дифференциаьной геометрии.—М.: Гостехиздат,
1952.
454
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
69. Фущич В. И., Владимиров В. А. О дополнительной ин-
вариантности для векторных полей // Докл. АН СССР. — 1981. — Т. 257, № 5.—
С. 1105-1109.
70. Фущич В. И., Никитин А. Г. — Симметрия уравнений Максвел-
ла.— Киев: Наук, думка, 1983.
71. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений.—
М.: Мир, 1984.
72. X о р ь к о в а Н. Г. Законы сохранения и нелокальные симметрии //
Матем. заметки. —1988.—Т. 44, вып. 1. — С. 134-144.
73. X о р ь к о в а Н. Г. Законы сохранения и нелокальные симметрии //
Тр. МВТУ, —1988, —№512, —С. 105-119.
74. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. В 2 т. —
М.: Наука, 1988.
75. Шварц А. С. Квантовая теория поля и топология.—М.: Наука, 1989.
76. Ш е м а р у л и н В. Е. Прямой метод решения краевых задач // (в
печати).
77. Abraham R., Marsden J. Foundation of mechanics. — Reading:
Benjamin, Cummings Publ., 1978.
78. Anderson I. M. Introduction to the variational bicomplex // Contemp.
Math. V. 132. Mathematical Aspects of Classical Field Theory. — Providence (USA, R. I.):
Amer. Math. Soc., 1992. — P. 51-73.
79. Anderson I. M. The variational bicomplex. — Boston: Academic Press
(to appear).
80. Anderson R. L. Ibragimov N. H. Lie—Backlund transformations
in applications // SIAM Stud, in Appl. Math. —Philadelphia, 1979.
81. Astashov A. M., Vinogradov A. M. On the structure of Hamil-
tonian operators in field theory // J. Geom. Phys. —1986. — V. 3. — P. 263-287.
82. В a c k I u n d A. V. Zur Theorie der Flachentransformationen // Math.
Ann. — 1882. — Bd. 19. — S. 387-422.
83. Backlund transformations. — Lecture Notes in Math. V. 515. — Springer-Ver-
lag, 1976.
84. Barnich G., Brandt F., Henneaux M. Local BRSTcohomology
in Einstein—Yang—Mills theory // Nucl. Phys. B. — 1995. — V. 445. — P. 357-408.
85. Barnich G., Brandt F., Henneaux M. Local BRSTcohomology
in the antifield formalism. I. General theorems // Commun. Math. Phys. — 1995. —
V. 174, —P. 57-91.
86. В1 u m a n G. W., К u m e i S. Symmetries and differential equations. —
New York: Springer-Verlag, 1989.
87. Bryant R. L., Griffiths P. A. Characteristic cohomology of differ-
ential systems: general theory // J. AMS (to appear).
88. Chetverikov V. N. On the structure of integrable C-fields // Diff.
Geom. Appl. —1991,—V. 1, —P. 309-325.
89. Chetverikov V. N„ Kudryavtsev A. G. A method for computing
symmetries and conservation laws of integro-differential equations // Acta Appl. Math. —
1995,—V. 41, № 1-3. —P. 45-56.
90. Chetverikov V. N., Kudryavtsev A. G. Modelling integro-
differential equations and a method for computing their symmetries and conservation
laws // AMS Transl. 2,- 1995.-V. 167.-P. 1-22.
91. CRC handbook of Lie group to differential equations. V. 1. Symmetries, exact
solutions and conservation laws/Ed. Ibragimov N. H. —Boca Raton: CRC Press, 1994.
92. CRC Handbook of Lie group to differential equations. V. 2. Applications in
ingeneering and physical sciences/Ed. Ibragimov N. H. — Boca Raton: CRC Press, 1995.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
455
93. Dickey L. A. Soliton equations and Hamiltonian systems. — Singapore:
World Scientific, 1991.
94. Dodd R., F о r d у A. The prolongation structures of quasi-polynomial
flows // Proc. R. Soc. London.— 1983. — V. A385.—P. 389-429.
95. Dorfman I. Dirac structures and integrability of nonlinear evolution
equations. — Chichester: John Wiley & Sons, 1993.
96. G e s s 1 e r D. On the Vinogradov C-spectral sequence for determined systems
of differential equations // Diff. Geom. Appl. — 1996 (to appear).
97. G i a q u i n t a M., Hildebrandt S. Calculus of variation. V. 2. The
Hamiltonian formalism. — Berlin: Springer-Verlag, 1996.
98. G i v e n t a 1 A. B. Whitney singularities of solutions of partial differential
equations // J. Geom. Phys. — 1995. — V. 15. — P. 353-368.
99. Gusyatnikova V. N., Samokhin A. V., Vinogradov A. M„
Yumaguzhin V. A. Symmetries and conservation laws of Kadomtsev—Pogutse
equations // Acta Appl. Math. —1989. — V. 15. — P. 24-64.
100. Gusyatnikova V. N., Vinogradov A. M., Yumagu-
zhin V. A. Secondary differential operators /Г J. Geom. Phys. — 1985.—V. 2,
№ 2,—P. 23-66.
101. Haag R. Local quantum physics.-Springer-Verlag, 1992.
102. Hadamard J. Legons sur la propagation des ondes. — Paris: Hermann,
1903.
103. Henneaux M., Knaepen B., Schomblond C. Characteristic
cohomology of p-form gauge theories // 1996. — hep-th/9606181.
104. Important developments in soliton theory/Eds. A. S. Fokas, V. E. Zakharov. —
Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1993.
105. Каир D. J. The Estabrook—Wahlkwist method with examples of appli-
cations // Physica D. — 1980. — V. 1. — P. 391-411.
106. К i s о К. Pseudopotentials and symmetries of evolution equation // Hokkai-
do Math. J. —1989.—V. 18, № 1, —P. 125-136.
107. Konopelchenko B. G. Nonlinear integrable equations (Recursion
operators, group-theoretical and Hamiltonian structures of soliton equations) // Lecture
Notes in Physics. V. 270. — Berlin: Springer-Verlag, 1987.
108. Krasil’shchik I. S. Some new cohomological invariants for nonlinear
differential equations // Diff. Geom. Appl.— 1992. — V. 2. —P. 307-350.
109. Krasil’shchik I. S., Kersten P. H. M. Deformationsand
recursion operators for evolution equations in partial differential equations // Geometry
in partial differential equations/Eds. Prastro A., Rassias Th. M. — Singapore: World
Scientific, 1994. —P. 114-154.
110. Krasil’shchik I. S., Kersten P. H. M. Graded differential
equations and their deformations: a computational theory for recursion operators // Acta
Appl. Math. — 1995. —V. 41. —P. 167-191.
111. Krasil’shchik I. S., Lychagin V. V., Vinogradov A. M.
Geometry of jet spaces and non linear partial differential equations. — New York: Gordon
and Breach, 1986.
112. Krasil’shchik I. S., Vinogradov A. M. Nonlocal symmetries
and the theory of covering // Acta Appl. Math. — 1984. — V. 2. — P. 79-86.
113. Krasil’shchik I. S., Vinogradov A. M. Nonlocal trends
in the geometry of differential equations: symmetries, conservation laws, and Backlund
transformations // Acta Appl. Math.— 1989. — V. 15. — P. 161-209.
114. Kuperschmidt B. A. The variational principles of dynamics.—
Singapore: World Scientific, 1992.
115. Lamb G. L. Backlund transformation at the turn of the century //
Lecture Notes in Math. V. 515. — Springer-Verlag, 1976. — P. 69-79.
456
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
116. Levi-Civita Т. Caratteristiche е bicaratteristlche delle equazlonl grav-
Itazionali di Einstein // Rend. Accad. Naz. Lincei (Scienze Fis., Mat. Nat.).— 1930.—
V. 11.—P. 3-11, 113-121.
117. Levi-Civita T. Caratteristiche dei sistemi differenzlall e propagazione
ondosa. — Bologna: Zanichelli, 1988.
118. Lie S. Gesammelte Abhandlungen. Bd. 1-4. — Leipzig: Teubner, 1929.
119. Lizzi F., Mar mo G., Sparano G., Vinogradov A. M.
Eikonal type equations for geometrical singularities of solutions in field theory // J. Geom.
Phys. —1994, —V. 14.
120. Lonngren K., Scott A. (eds). Soliton in action.—Acad. Press:
1978.
121. Luneburg R. K. Mathematical theory of optics. — Berkeley: Univ,
of California Press, 1964.
122. Lychagin V. V. Singularities of multivalued solutions of nonlinear
differential equations and nonlinear phenomena // Acta Appl. Math. —1985. — V. 3. —
135-173.
123. Lychagin V. V. Lectures on geometry of differential equations.—
Roma, 1992.
124. Mar van M. On the C-spectral sequence with “general” coefficients //
Proc. Conf, on Differential Geometry and its Applications (Brno, 1989)/Eds. JanyJka J.,
Krupka D. — Singapore: World Scientific, 1990.— P. 361-371.
125. Mar van M. On zero-curvature representations of partial differential
equations // Differential Geom. and Its Appl. Proc. Conf. (Czechosl., Opava, 1992). —
Silesian Univ., 1993. —P. 103-122.
126. McCleary J. A user's guide to spectral sequences. — Wilmington (USA,
Delaware): Publish or Perish, 1986.
127. Miura R. M. Korteweg—de Vries equation and generalisations.
A remarkable explicit nonlinear transformation // J. Math. Phys. — 1968. — V. 9. —
P. 1202-1204.
128. Miura R. M., Gardner C. S„ Kruskal M. D. Korteweg—
de Vries equation and generalisations. — Existence of conservation laws and constants
of motion // J. Math. Phys. —1969.—V. 9. —P. 1204-1209.
129. 01 v e r P. J. Evolution equation possessing infinitely many symmetries //
J. Math. Phys. — 1977. — V. 18, № 6. — P. 1212-1215.
130. Pirani F. A. E., Robison D. C., Shadwick W. F. Local
jet bundle formulation of Backlund transformations. — Dordrecht: D. Reidel, 1979.
131. Racah G. Characteristiche delle equazioni di Dirac e principle di indeter-
minazione // Rend. Accad. Naz. Lincei. — 1931,—V. 13.—P. 424-427.
132. Saunders D. J. The geometry of jet bundles. — Cambridge: Cambridge
Univ. Press, 1989.
133. Schrddinger E. Abhandlungen zur Wellenmechanik. — Leipzig: Barth,
1927.
134. Senashov S. I., Vinogradov A. M. Symmetries and conservation
laws of 2-dimensional ideal plasticity // Proc. Edinburgh Math. Soc. —1988. —V. 31. —
P. 415-439.
135. S h a d w i с к W. F. The Backlund problem for the equation z = f (z) //
J. Math. Phys. —1978.—V. 19, № 11, —P. 2312-2317.
136. S h a d w 1 с к W. F. The KdV prolongation algebra // J. Math. Phys. —
1980,—V. 21, № 3,—P. 454-461.
137. Sharomet N. Symmetries, invariant solutions and conservation laws
of nonlinear acoustic equation // Symmetry of partial diffnentlal equations (conservation
laws—applications—algorithms). — Dordrecht: Kluwer, 1989.—P. 83-120.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
457
138. Smoluchowsky М. Drei Vortrage fiber Diffusion, Brownische Be-
wegung und Koagulation von Kolloidteilchen. — Phys. Ztschr. — 1916. — Bd. 17. —
S. 557-585. [Имеется перевод в кн.: Броуновское движение. — М.: ОНТИ, 1936.—
С. 332-417.]
139. Sokolov В. V., Shabat А. В. Classification of integrable evolution
equations // Sov. Scientific Rev. Section C. — New York: Hardwood Acad. Publ., 1984. —
V. 4,—P. 221-280.
140. Stephanl H. Differential equations: their solutions using symmetries.—
Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989.
141. Symmetry of partial differential equations (conservation laws—applications—
algorithms)/Ed. Vinogradov A. M. — Dordrecht: Kluwer, 1989. [Reprinted from Acta
Appl. Math.-1989.-V. 15, 16.]
142. Tsujishita T. On variation bicomplexes associated to differential equa-
tions // Osaka J. Math. — 1982. — V. 19. — P. 311-363.
143. Tsujishita T. Characteristic classes for families of foliations // Folia-
tions. Advanced Studies in Pure Math. № 5. — Tokyo: Kinokuniya, 1985. — P. 195-210.
144. Tsujishita T. Formal geometry of systems of differential equations //
Sugaku Exposition. — 1989. —V. 2. — P. 1-40.
145. Tsujishita T. Homological method of computing invariants of involutive
systems of differential equations // Din. Geom. Appl. — 1991. —V. 1. —P. 3-34.
146. Verbovetsky A. M. Notes on horizontal cohomology // Contemp.
Math. — Providence (USA, R. I.): Amer. Math. Soc. (to appear).
147. Vinogradov A. M. Local symmetries and conservation laws // Acta
Appl. Math. —1984 —V. 2, № 1. —P. 21-78.
148. Vinogradov A. M. The C-spectral sequence, Lagrangian formalism,
and conservation laws // J. Math. Anal. Appl. —1984. —V. 100, № 3. —P. 1-129.
149. Vinogradov A. M. Geometric singularities of solutions of partial
differential equations // Proc. Conf, on Differential Geometry and its Applications (Brno,
1986). —Dordrecht: Purkyne Univ., Reidel, 1987. —P. 359-379.
150. Vinogradov A. M. An informal introduction to geometry of jet
spaces // Proc. Conf, on Differential Geometry and Topology (Cala Gonone, 1988). —
Rendiconti del Seminarlo della Facolta di Scienze dell’Universitk di Cagliari. — 1988. —
Suppl. al v. 58. —P. 301-329.
151. Vinogradov A. M. Symmetries and conservation laws of partial dif-
ferential equations: basic notions and results // Symmetry of partial diffnential equations
(conservation laws—applications—algorithms). — Dordrecht: Kluwer, 1989.—P. 3-21.
152. Vinogradov A. M. Scalar differential invariants, diffieties and char-
acteristic classes // Mechanics, Analysis and Geometry: 200 Years after Lagrange/Ed.
M. Francaviglia. — Elsevier Science, 1991.—P. 379-414.
153. Vinogradov A. M. From symmetries of partial differential equa-
tions towards secondary (“quantized") calculus // J. Geom. Phys. — 1994.— V. 14,—
P. 146-194. [Имеется перевод в настоящем издании, с. 418-450.]
154. Vinogradov А. М. On geometric solution singularities // (to appear).
155. Wahlquist H. D„ Estabrook F. B. Prolongation structures
of nonlinear evolution equations // J. Math. Phys. — 1975. —V. 16, № 1. — P. 1-7.
156. White R., Monticello D., Rosenbluth M. N., Strauss H.,
Kadomtsev В. B. Numerical study of nonlinear evolution of kink and tearing modes
in tokamaks // Intern. Conf, of Plasma Physics (Tokyo, 1974). V. 1.—Vienna: IAEA,
1975. —P. 495-504.
157. Zharinov V. Geometrical aspects of partial differential equations. —
Singapore: World Scientific, 1992.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм распределения 196
----инфинитезимальный 196
алгебра внешних классических симме-
трий 254
— внутренних классических симме-
трий 254
— высших симметрий уравнения Бюр-
герса 243
------- уравнения пластичности 249
— контактных симметрий абелева 96
------- иеабелева 96
— Ли нелокальных симметрий уравне-
ния Бюргерса 357
— симметрий распределения Картана
207
----уравнения Кадомцева—Погуце
150
-------Хохлова—Заболотской 145
— физически осмысленных симметрий
147
— фильтрованная 180
Базис пространства симметрий 143
Гамильтониан 285, 303
график Л-джета 108
группа нелокальных законов сохранения
323
Действие 298
джет бесконечный 178
диффеотоп 426
дифференциал де Рама 430
дифференцирование эволюционное 208
Задача реконструкции симметрии 358
закон сохранения 237, 260
----для уравнения 263
---- линейный 291
----нелокальный 261, 323
----собственный 280, 288
----топологический 280, 288
Идеал дифференциально порожденный
223
— распределения на I95
— уравнения 222
— фильтрованный, дифференциально
замкнутый 223
инвариант Лапласа 314
интеграл движения 260
— первый 91, 260
----распределения 38
— полный 93, 97
----невырожденный 93
исчисление дифференциальное вторич-
ное 418
----квантованное 418-419
Картановская плоскость 62
категория дифференциальных уравнений
427
— DE 313
----, морфизмы 313
----, накрытие 313
----, объекты 313
----, размерность объекта 313
квантование 424
— вторичное 425
класс когомологический 430
— характеристический специальный
437
когомология де Рама горизонтальная
261, 431
комплекс вариационный 274
— де Рама горизонтальный 194, 262
-------горизонтальный, накрытие
322
координаты внутренние 232
— канонические 112
— специальные локальные 61
коэффициенты поля Ли 132
Лагранжиан 298
линеаризация универсальная 51, 214,
215
луч 117
Мастер-симметрия 362
матрица характеристическая 447
метка 442
метод Лагранжа—Шарли 100
— бесконечных джетов 178
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
459
многообразие интегральное 120, 441
— интегральное горизонтальное 120
----локально максимальное 441
----максимальное 122, 123
-------распределения Картана 200
— контактное 75
— симплектическое 77
— 1-джетов 60
— (к, <7)-джетов 378
множитель интегрирующий 42
модуль горизонтальный 264
— Картана 392
— фильтрованный 186
Накрытие 312
— абелево универсальное 358
— , ассоциированное с оператором 314
— в категории дифференциальных
уравнений 427
— в категории DE 313
— горизонтального комплекса де Рама
322
— неприводимое 319
— , порядок 324
— приводимое 319
— , сумма Уитни 318
— тривиальное 317
— универсальное абелево 358
направление характеристическое 87
Оператор вертикальный 434
----вторичный 434
— гамильтонов 283, 302
— горизонтальный 264, 287
— гранично-дифференциальный 384
----порядка к 383
— полной производной по переменной
127
— рекурсии 246
— симплектический 286
— скалярный вторичный 433
----квантованный 433
— сопряженный 266, 287
— Спенсера 62
— универсальной линеаризации 51,
214, 400
— формально сопряженный 287
— Эйлера 299
— С-дифференциальный 264, 287,302
операция горизонтализации 50
— подстановки 191
оптика волновая 448
— геометрическая 448
особенность 442
отображение гладкое 180
— Нётер 282
Паутина 427
переменные нелокальные 316
перенос параллельный 124
плоскость Картана 114
— картаиовская 62
— лагранжиана 299
плотность потока 260
подмногообразие горизонтальное 120
— лучевое 117
поднятие векторного поля 52, 131
------- на пространство бесконечных
джетов 189
— контактного преобразования крат-
ное 129
— многообразия 118
— точечного преобразования кратное
126
поле векторное вертикальное 188, 323
---- вторичное 425
----гамильтоново 285
---- квантованное 425
---- контактное 79, 131
----на /“(тг) 186
---- характеристическое 24, 75
— Ли 131, 132
----на /“(тг) 210
— характеристических направлений
87
— л-вертикальное 188
полугруппа системы гранично-дифферен-
циальных уравнений 375
порядок накрытия 324
последовательность С-спектральная
258, 262
----диффеотопа 436
поток 260
предраспределение 195
представление координатное картанов-
ских форм 202
преобразование Беклунда 329
— Галилея 124
— годографа 125
— контактное 66, 129
----инфинитезимальное 77
— Лапласа 314
— Лежандра 69, 128
— Ли 123, 126
---- конечное 124
— масштабное 53, 96
460
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
преобразование подэрное 71
— точечное 53, 69, 125
— Эйлера 69
продолжение векторного поля 78
— гладкого преобразования 68
— дифференциального оператора 184
— многообразия 118
— уравнения 169
---- бесконечное 401
---- первое 219
----1-е 219, 400
производная вариационная 299
— Ли 192
— лагранжева 299
пространство бесконечных джетов сече-
ний расслоения 177
— к-джетов расслоения 112
-------в точке 111
Размерность диффеотопа 426
— накрытия 312
— распределения Картана 106
размножение решений 138, 154
распределение вполне интегрируемое
196
— гладкое 25
— Картаиа 15, 19, 62, 197
---- индуцированное 65
----на £°° 224
----на Jk(n, т) 106
----на У*(тг) 113,114
----на/“(тг; (7) 389
----, размерность 106
----, симметрии (/-инвариантные 396
— на 195
— характеристическое 32, 75
— р-мерное 24
расслоение бесконечных джетов 178
— (fc, <7)-джетов 378
решение автомодельное 38, 140
— дифференциального уравнения 117
— инвариантное 38, 138
----уравнения Кадомцева—Погуце
151
-------Хохлова—Заболотской 147
— многозначное 442
— обобщенное 66, 117
— разрывное 155
— формальное 401
— G -инвариантное 139
— д-инвариантное 139
— (^-инвариантное 139
Связность Картана 189
сечение производящее 54
----поля Ли 133,134,135,211
----эволюционного дифференцирова-
ния 208
сечения касающиеся 111
симметрия 136
— внешняя 173, 227, 232
— внутренняя 167, 232
----высшая 229
----инфинитезимальная 167, 172
— высшая 225, 227
----обыкновенного дифференциаль-
ного уравнения 251
— галилеева 165
— инфинитезимальная 225
— классическая 135
---- для уравнения теплопроводности
240
----инфинитезимальная 135
— конечная 135
— контактная инфинитезимальная 84
---- конечная 72
— лагранжиана нётерова 299
— масштабная 140
— нелокальная 345
----инфинитезимальная 345
— распределения 25, 196
----инфинитезимальная 26, 196
----Картана (/-инвариантная 396
— физически осмысленная 145
— характеристическая 31
система в инволюции 102
— S-характеристическая 446
скобка Майера 83
— Пуассона 83
— Якоби 82, 136, 399
----высшая 55, 109
следствие дифференциальное 169
слоение орициклическое 34
соотношения коммутационные 152
структура гамильтонова 283
— Уолквиста—Эстабрука продолжен-
ные 334
сумма Уитни накрытий 318
Теорема Бьянки—Ли 45
— Нётер 300
— о FOLD-восстановлении 445
тождество коммутаторное 232
ток сохраняющийся 259, 260
— тривиальный 260
точка ветвления 442
— особая 23
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
461
трансляция 53, 124
— инфинитезимальная 96
Уравнеине Бюргерса 108, 141, 165,236,
243, 289
----, закон сохранения 289
----, накрытие 308, 332, 335
----, нелокальные симметрии 349,
357
— волновое 164
— Гамильтона—Якоби 90
— гамильтоново 303
— Гарри—Дима 307
-------, гамильтоновость 307
— гранично-дифференциальное 375
----порядка к 379
— дифференциальное обыкновенное
251
----первого порядка 65
----порядка к 117
— жесткое 167, 170, 175
— Захарова, закон сохранения 294
— иитегро-дифференциальное 371
— Клеро 17,73
— коагуляции Смолуховского 377
— Кортевега—де Фриза 144,292,331
--------, гамильтоновость 304
--------, закон сохранения 292, 306
--------, накрытие 310, 325, 331,
336, 339, 348
--------, нелокальные симметрии
360
----------модифицированное 330
----------модифицированное, опера-
тор рекурсии 363
---------- потенциальное 311
----------потенциальное, накрытие
311
— Лапласа 160, 162
— накрывающее 325
— нормальное 169, 170
— определенное 171
— ординарное 168, 175
— первого порядка 175
— пластичности 246, 294
----, закон сохранения 294
— регулярное 275
— теплопроводности 165, 236, 240,
290
----, закон сохранения 290
— функционально-дифференциальное
375
— Хохлова—Заболотской 145, 295
-------, закон сохранения 295
— Шрёдингера 293
----, закон сохранения 293
----, оператор рекурсии 364
— Эйлера—Лагранжа 299
— /-Гордон 341
----, накрытие 341
— С-общее 168
— t-нормальное 276, 288
— R^j-характеристическое 450
уравнения дифференциальные вторично
квантованные 425
— дополнительные 447
— Захарова 294
----, гамильтоновость 304
— Кадомцева—Погуце 148, 154, 297
-------, закон сохранения 297
— локально эквивалентные 71
— Максвелла 448
— Навье—Стокса 296
— определяющие 137, 141, 231
— эквивалентные 71
Факторизация 20, 158
факторраспределение 158
факторуравнение для волнового уравне-
ния 164
— для уравнения Бюргерса 166
-------Лапласа 162
------- теплопроводности 165
фильтрация 179
форма горизонтальная 193, 323, 430
— дифференциальная вторичная 435,
436
----квантованная 435, 436
— Картана 115, 198, 392
— картановская 323
функционал вариационный 298, 430
функция вторичная 429
— гладкая на 178
— квантованная 429
— производящая 51, 53
----закона сохранения 281, 288
----контактного векторного поля 80
----поля Ли 134
Характеристика 87
Элемент контактный 60
----неособый 60
Я-многообразие 441
Я-плоскость 113
— сингулярная 442
(1, (^-продолжение 385