Edoardo Sernesi, nato nel 1947,
è professore ordinario di Istituzioni di Geolnetria
superiore alla Terza Università di ROlna.
È autore del volunle Geometria 1, pubblicato
in questa collana 1989.

PROGRAMMA DI MATEMATICA, FISICA, ELETTRONICA
I\1ario Ageno, Elenlen ti di fisica
T. M. APOS101, Calcolo
Vol. l Analisi J
Vol. 2 Ge0111et ria
VoI. 3 Analisi 2
Michiel Bertsch, Istituzioni di /11alenlatica
Sci pio ne Bobbio e Emilio Gatti, Elettro/nagnetisl11o Ottica
Max Born, Fisica atol11ica
Stefano Campi, Massimo Picardello e Giorgio Talenti, Analisi /11atel11atica
e calcolatori
Vito Cappellini, Elaborazione nUll1erica delle il1ll11agini
Francesco Carassa, C0l11unicazioni elettriche
Sergio Carrà, Tennodinanlica: aspetti recenti e applicazioni alla chÙl1ica e
all'ingegneria
Ciro Ciliberto, Algebra lineare
Claudio Citrini, A nalisi 'nate/natica l
Claudio Citrini, Analisi 111atenlatica 2
P. A. M. Dirac, l principi della /neccanica quantistica
Albert Einstein, Il significato della relatività
Antonio Fasano e Stefano Marmi, Meccanica analitica con elenlenti di 111eccanica
statistica e dei continui
Enrico Fermi, Terl110dinal11ica
Bruno Ferretti, Le radici classiche della meccanica quantica
Giorgio Franceschetti, Ca/11pi elettromagnetici
Giovanni Gallavotti, Meccanica elenlentare
Enrico Giusti, Analisi /11atel11atica l
Enrico Giusti, Analisi 111atenlatica 2
Enrico Giusti, Esercizi e c0171plel11enti di analisi 111ate171atica (voI. 1)
Enrico Giusti, Esercizi e cornplelnenli di analisi 1natelnatica (voI. 2)
Angelo Guerraggio, Malenlatica generale
Hermann Haken e Hans C. Wolf, p--'isica atol11ica e quantistica
Werner Heisenberg, I principi fisici della teoria dei quanti
Gerhard Herzberg, Spettri ato/11ici e struttura ato/11ica
David A. Hodges e Horace G. Jackson, Analisi e progetto di circuiti integrati
digitali
Cha r les Kittel, Introduzione al/a fisica dello stato solido
Charles Kittel e Herbert Kroemer, Termodinanlica statistica
Serge Lang, Algebra lineare
Giorgio Letta, Teoria elell1entare dell'integrazione
P. F. Manfredi, Piero I\1aranesi e Tiziana Tacchi, L'alnplificalore operazionale
Jacob Millman, Circuiti e sistel11i 111icroelettronici
Jacob Millman e C. C. Halkias, Microelettronica
R. S. Muller e T. I. Kamins, Dispositivi elettronici nei circuiti integrati
Athanasios Papoulis, Probabilità, variabili aleatorie e processi slocastici
Wolfgang Pauli, Teoria della relatività
Giovanni Prodi, Analisi 111atel11atica
Antonio Ruberti e Alberto Isidori, Teoria dei sistelni
Walter Rudin, Analisi reale e cOlnplessa
H. H. Schaefer, Introduzione alla teoria spettrale
Edoardo Sernesi, Geolnetria J
Edoardo Sernesi, Geometria 2
I. M. Singer e J. A. Thorpe, Lezioni di topologia elenlentare e di geol11etria
\V. V. Smith e P. P. Sorokin, Il laser
Giovanni Soncini, Tecnologie micfoelettroniche
Guido Tartara, Teoria dei sistel11i di cOlnunicazione
Bruno Touschek e Giancarlo Rossi, Meccanica statistica

EDOARDO SERNESI
GEOMETRIA 2
CE
-
BOLLATI BORINGHIERI

Prima edizione ottobre 1994
@ 1994 Bollati Boringhieri editore S.L1. , Torino, corso Vittorio Emanuele 86
I diritti di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento totale
o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfihn e le copie fotostatiche)
sono riservati
L'editore potrà concedere a pagamento l'autorizzazione a riprodurre una porzione
non superiore a un decimo del presente volume. Le richieste di riproduzione vanno
inoltrate all' Associazione Italiana per i Diritti di Riproduzione delle Opere a Stampa
(AIDROS), via delle Erbe 2, 20121 Milano, teI. 02/86463091, fax 02/89010863
Stampato in Italia dalla Stampatre di Torino
CL 74 -9384-3 ISBN 88-339 -5548-6

Indice
Prefazione
VII
1 Spazi topologici e applicazioni continue
1 Spazi metrici, 3
2 Spazi topologici, lO
3 Sottoinsiemi di uno spazio topologico, 24
4 Applicazioni continue, 34
3
2 Esenlpi
5 Sottospazi, 42
6 Prodotti, 61
7 Quozienti, 72
42
3 Proprietà topologiche
8 Proprietà di separazione, 88
9 Compattezza, 101
lO Generalizzazioni della compattezza, 114
Il Connessione, 125
12 Connessione per archi, 135
88
4 Omotopia, gruppo fondamentale e rivestin1enti
13 Omotopia di applicazioni continue, 142
14 Il gruppo fondamentale, 145
15 Proprietà funtoriali del gruppo fondamentale, 151
16 Esempi ed applicazioni, 154
17 Rivestimenti, 162
18 Rivestimenti universali, 167
142

5 Varietà differenziabili
19 Funzioni e applicazioni differenziabili - Varietà, 173
20 Esempi di varielà differenziabili, 180
21 Spazi tangenti, 190
22 Di fferenziali, 195
23 Orientabilità, 202
24" Diffeomorfismi locali, 207
25 Immersioni e sottovarietà, 213
26 Summersioni, 221
27 Applicazioni differenziabili e insiemi di tnisura nulla, 231
28 Campi vettoriali, 238
29 Il teorcma di Whitney, 243
173
6 Geometria differenziale di curve e superfici 251
30 Curve differenziabili, 251
31 Classificazione delle curve rcgolari di R \, 255
32 Curve regolari di R 2 e di R 3, 263
33 Superfici di R "': isometrie e prima forma fondamentale, 275
34 Superfici di R J : operatore forma e seconda forma fondamentale, 288
35 Curvature, 292
36 Proprietà globali delle superfici di R 3, 308
37 Il Theorema Egregium, 313
38 Geodetiche, 319
39 Geometrie non euclidee, 324
7 Integrazione sulle varietà differenziabili 33 J
40 Algebra multilineare, 331
41 Varietà con bordo, 345
42 Forme differenziali, 353
43 Integrazione sulle varietà con bordo, 359
44 Differenziazione esterna, 365
45 Il teorema di Stokes, 369
Risoluzione degli esercizi 375
Bibliografia 383
Elenco dei siJnboli 385
Indice analitico 389

Prefazione
Questo 111anuale è un libro di testo per il corso di Ge()Jl1etria Il del Corso
di Laurea in Mate111atica e insiel11e al I1lio precedente Geometria ] c011'zpleta, per
quanto riguarda la geolnetria, l'insienle degli argo111enti istituzionali del priJno
biennio. In realtà il prog ranuna di un secondo corso di geo111etria varia anche di
Inolto da università a università: per que.)'to I1zotivo ho deciso di inserire I1zateriale
"in eccesso" in 11l0do da assicurare un Ùnpiego abbastanza flessibile del testo.
Mentre nel prÙno volu/ne il te/na d(nninante è l'algebra lineare, questo secondo
vohllne si occupa del!' aspetto topologico-d(ff'erenziale della geo111etria nelle sue
varie f'otlne.
Una prÙna parte è dedicata alla topologia generale. Pur sapendo che le si
dedica senzpre 111eno spazio nei corsi istituzionali, rbnango cOllvinto della sua
.funzione .t'or/nativa.
Quindi ad essa ho dato anlpio spazio (i prÙni 3 capitoli) in 1110do che lo
studente possa approfondire attraverso 17101ti esel11pi ed esercizi ciÒ che il docente
decide di svolgere a lezione. Il capitolo 4 tratta la teoria del gruppo fonda111entale
e dei rivestil11enti, prilno approccio alla tOjJologia algebrica.
Il resto del volu111e si occupa delle varietà difJerenziabili, concetto che deve
e,')'sere conosciuto da ogni /11atel7'zatico. Un obiettivo che Irti sono posto è di separare
l'aspetto top%gico-d(fferenziale da quello geoI11etrico-dijrerenziale. Ho pertanto
riservato il capilolo 5 ad un ll1inicorso di topologia d(fferenzia'f: nel quale il
leltore, COI1 l'ausilio di 1110lti esenlpi, puÒ .fal1ziliarizzarsi con tecniche e nozioni di
base dove non intervengo/1o questioni di natura metrica (su17unersioni, inl1nersioni,
partizioni del! 'unità, ecc.), spinxendol1zi fino a di1110strare illeore171a di il1l1J1ersione
di Whitl1e) Nel successivo capitolo 6 si studia invece la ge()/netria d{fJerenziale
classica di curve e supe/:fici. Qui vengono introdotte, seppure in Inodo elel1zelltare,
anche le supeljici rienlanniane e la ge(Jlnetria intrinseca; inoltre qualche spazio
è dedicato alla ge()Jl1etria iperbolica. Questa }ni ha dato /0 spunto per discutere
brevel1zente l' assi0111atica euclidea secondo Hilbert, un argo111ento culturabnente
inlportante che non aveva trovato posto nel prilno VO!U111e. Per il capitolo 6 n011

VIII
Prefazione
è necessario tutto il capitolo 5: se il docente vuole svolgere solo la geol11etria
dflerel1ziale classica può /Ùnitarsi ad introdurre le prime proprietà delle varietà
d(fferenziabili (** 19-23).
Il capitolo 7 tratta del! 'integrazione sulle varietà differenziabili supponendo
nota l'integrazione secondo Rielnann negli spazi R n . Questo arg0111ento .fonda-
111entale è svolto nella lnaggior parte dei testi di analisi matenzatica in lnodo
piuttosto affrettato e inadatto alle applicazioni geol1zetriche. PerciÒ /' ho inserito,
pur sapendo che non spesso troverà posto in un corso di Geometria Il.
In conclusione, il libro contiene I1zateriale a sufficienza da consentire al docente
una certa flessibilità di utilizzo, in parte anche in corsi di Istituzioni di Geometria
Superiore. Gli esercizi, niolti dei quali risolti, sono nUlnerosi. L'esposizione è
sistel1zatica e rigorosa, e per questo 1110tivo è possibile che questo testo possa
rendersi utile anche conze opera di consultazione a studenti del secondo biennio
e a laureati.
Quasi tutti i testi elencati nella bibliograjìa che si trova alla fine del volun'le
S0110 stati utilizzati e consultati nella preparazione del volume. Alcuni di essi
potranno j'ornire al lettore l'occasione per approfondinzenti degli argomenti trattati.
Diverse persone lni hanno aiutato nella preparazione di questo secondo volUlne
e del precedente. Desidero ringraziare E. Arbarello, G. Calnpanella, Ciro Ciliberto,
R. Salvati Manni, E. Sinestrari per utili suggerimenti e osservazioni. Ringrazio in
nlodo particolare il dottor M. Bruno della Bollati Boringhieri per il suo accurato
e c0111petente lavoro redazionale.
Un ringrazial11ento speciale va agli studenti dei l1ziei corsi, tra cui in particolare
A. Sanlbusetti, per aver preteso precisione e chiarezza. Spero di riuscire ad
accontentare i loro successori.
E.S.
AVVERTENZE
Come è consuetudine, denotercn1o con N, Z, Q, R, C gli insiemi numerici fondamentali.
La scrittura A := B significa "A è per definizione uguale a B". La fine di una
dil11ostrazione viene contrassegnata con il simbolo 11I. La composizione di due applicazioni
f : X ---+ Y, g : Y ---+ Z viene denotata g . f.
Per gli altri sin1bo1i utilizzati e diversi da quelli di uso COlllunc, rinviamo il lettore
alI' elenco che si trova al1a fine del vo1ume.

Geometria 

Capitolo l
Spazi topologici e applicazioni continue
1 Spazi metrici
Il concetto di continuità di una funzione f : R ---t R, dove R è la retta reale,
si esprime mediante quello di distanza: f si dice continua in x E R se per ogni
é > O esiste 8$ > O tale che
I/(x) - J(y)1 < 
per ogni y tale che Iy - xl < 8$' / si dice continua se lo è in ogni x E R. Analoga
definizione si dà per una funzione / : J  R definita in un intervallo J di R.
Si può estendere la nozione di continuità a funzioni f : R n  R m semplicemente
sostituendo il nlodulo di un numero reale con il modulo di un vettore. Più in
generale è possibile introdurre il concetto di continuità di applicazioni tra insiemi
su cui siano definite funzioni "distanza" soddisfacenti ad opportune condizioni.
Precisamente, uno spazio l11etrico è un insieme non vuoto X su cui sia definita
una distanza, cioè un' applicazione
d:XxXR
tale che per ogni x, x', x" E X
d(x, x') > O
d(x, x') = d(x', x)
d(x, x') + d(x', x") > d(x, x") (disuguaglianza triangolare)
d(x, x') = O se e solo se x = x'.
Quindi uno spazio metrico è una coppia (X, d): distanze diverse sullo stesso
insieme X definiscono spazi metrici diversi.

4
Spazi IOfJologici e applicazioni continue l Cap. J
Per esempIO R con distanza d(x x') = Ix - x'I è uno spazio metrico; più In
generale, è uno spazio metrico R n con la distanza euclidea
d(x, x') = Ilx - x'II,
dove
Ilx - x'll =
n
L (x. - X'.)2
. 'l 1.
1.=1
. - ( ) d I - ( I , ) . R n ( f ' .. 1 )
per ognI x - x J , . . . , X n e x - X l' . . . , X n In c r. eserCIZIO .
L'insieme C dei numeri complessi è uno spazio metrico se si definisce la
distanza ponendo d(z, w) = Iz - wl.
Su un insieme arbitrario X è sempre possibile introdurre una distanza ponendo
I { O se x = x'
d(x. x ) =
, ] se x =f x' .
Questa si dice distanza discreta su X.
Se X è uno spazio metrico con distanza dx c Y è un suo sottoinsieme non
vuoto, ponendo
dy(y, y') = dx(y, y')
per ogni y, y' E Y, si definisce una distanza dy su Y, detta restrizione di dx a
Y. Lo spazio metrico (Y, dy) si dice sottospazio di (X, d x), e questo è chiamato
]0 spazio alnbiente di (Y, dy).
Diremo che un'applicazione f : X  Z di spazi metrici, con distanze d x e dz
rispettivamente, è continua nel punto x E X se per ogni é > O esiste 8£ > O tale
che
dz(f(x), f(x'» < 
per ogni x' E X tale che dx(x, x') < 8£. f sarà detta continua se è continua In
ogni punto di X.
Si ottiene in questo modo una generalizzazione della nozione di applicazione
continua di un intervallo reale in R, o di R n in R m .
Le applicazioni costanti di uno spazio metrico in un altro e 1'identità di uno
spazio metrico qualunque in se stesso sono applicazioni continue. È anche continua
l'inclusione di un sotto spazio nel suo spazio ambiente.

l J Spaz.i metrici
5
Esercizi
1. DilTIOstrare che ognuna delle seguenti è una distanza in R n :
d(x, x') = Ilx -- X'I!;
n
d'(x, X') =?: IXi - x1
1 = I
d" (X, X') = nlX {!X'l - X l}
t
2. Di Illostrare che ponendo
d'" (x, x') = mn {Ix'l - x l}
'1.
non si dcfinisce una distanza in R n .
3. DiIllostrare che per ogni spazio metrico X con distanza d e per ogni r > O, ponendo
dr(x, x') = rd(x, x'), si ottiene una distanza.
4. Dimostrare che se X è uno spazio metrico con distanza d, anche
d(x, x') = d(x, x ' )/[ l + d(x, x')]
è una distanza su X.
Sia X uno spazio metrico con distanza d. Se x E X ed r > O, il disco aperto
di centro x e raggio r è
Dr(x) = {y E X : d(x, y) < r}.
Un sottoinsielne di X si dice aperto (rispetto alla distanza d) se è unione di
dischi aperti, oppure se è vuoto. Con questa defìnizione l'intero spazio X ed i
dischi aperti sono particolari insiemi aperti.
In R con la distanza euclidea i dischi aperti sono gli intervalli aperti e limitati
(a, b) (= D(b-a)/2((b + a)/2», a < b. Sono insiemi aperti ad esempio R, le senlirette
(-00, b) ed (a, +00), per ogni a, bER, c i complementari di insiemi finiti. Non
sono aperti gli intervalli del tipo [a, b), (a, b], la, b], a < b, gli insiemi finiti, e gli
insiemi Z e Q, dei numeri interi e dei numeri razionali rispettivamente. Inoltre
R\Z è aperto, mentre R\ Q non è aperto.
Esercizi
5. Dinl0strare che un sottoinsieme A di uno spazio metrico X è aperto se e solo se per
ogni x E A esiste r(x) > O tale che Dr(x)(x) sia contenuto in A.
6. Dire quali dei sottoinsiemi seguenti di R l sono aperti rispetto alla distanza euclidea:
A = {(XI, X2) : Xl = X2}; B = {(Xl, X2) : xlx2 fO};
C = {(Xl, X2) : X l > O}; D = {(XI, X2) : X2 < O}.

6
Spazi tOfJologÙ'i e applicazioni continue I Cup. I
7. Dire quali dei seguenti sottoinsiemi di R 3 sono aperti rispetto a]]a distanza eucJidea:
A = {x E R 3 : Ilxll > 2}; B = {(XI, x2: X3) : xT + x < l};
C = {(Xl,X2,X3): X3 = 1}: D = R l X Q = {(XI,X2,X3): x3 E Q}.
8. Dimostrare che i seguenti sottoinsiemi di R n non sono aperti rispetto alla distanza
euclidea:
zn. Qn, {x E R tl : l! x Il < l}, {x E R n : Il x Il = l}.
9. Sia X uno spazio metrico. Dilllostrare che
(a) 0 ed X sono insiemi apeJ1i;
(b) l'unione di una qualunque famiglia di insiemi aperti è un insieme aperto;
(c) l'intersezione di due insiemi aperti è un insieme aperto.
Una delle ragioni dell' importanza degli insiemi aperti sta nel fatto che è possi-
bile caratterizzare la continuità di un' applicazione di spazi metrici esclusivamente
in termini di tali insiemi, utilizzando quindi la distanza solo indirettamente.
1.1 TEOREMA Un 'applicazione f : X --? Y tra due spazi lnetrici è continua
se e solo se per ogni aperto A di Y l'insienle f- l (A) è aperto in X.
Dinlostraziolle. Denotiamo con dx e dy le distanze in X e in Y rispettivamente.
Supponiamo che f sia continua; sia A un sottoinsieme aperto e non vuoto di Y e
sia x E f I (A). Poiché f(x) E A che è aperto, esiste £ > O talc che De(f(x» c.A..
Per la continuità di f in x esiste 8(£) > O tale che
f(D8(s)(X» C Ds(f(x».
Ma allora D6(s)(X) C f l (A). Poiché x è un punto qualsiasi di f 1 (A) ne
discende che f I (A) è aperto.
Supponiamo viceversa che la condizione dell' enunciato sia soddisfatta e sia
x E X. Per ogni £ > O, Ds(f(x» è un aperto di Y e quindi f- l [Ds(f(x» J è aperto
in X. Poiché x E f- I [Ds(f(x»l, esiste 8(e) > O tale che
Db{s)(X) C f- I [Ds(f(x»].
Ma allora
f(D8(s/X» C D£(f(x»
cioè per ogni Xl E X tale che dx(x, Xl) < 8(e) si ha
dy(f(x\ f(x l » < e

I I Spazi metrici
7
e quindi f è continua In x. DaII"' arbitrarietà della scelta di x segue che f è
continua. !Il
Il teorelna precedente è concettualmente i,mportante perché esso afferma che per
poter parlare di continuità di applicazioni non è necessario conoscere le distanze
definite sul dominio e sul codominio. Tutto quel che serve è conoscere gli insielni
aperti. Questo è il punto di partenza del1a topologia, la quale studia insiemi su
cui siano assegnati dei sottoinsiemi, che si dicono "aperti" (senza necessariamente
far ricorso ad una distanza), in modo tale che il concetto di continuità si possa
definire e studiare efficacemente.
1.2 Ese111pi
l. È possibile che due diverse distanze su uno stesso insieme definiscano gli
stessi insiemi aperti. In questo caso le due distanze si diranno topologica111ente
equivalenti. Se ad esempio su X è definita la distanza d, ed r è un nUll1ero reale
positivo, ponendo
dr(x, y) = rd(x, y)
per ogni x, y E X si ottiene una distanza d r su X (cfr. esercizio 3) che è diversa
da d se r =I- l. Si ha ino1tre, per ogni é > O,
Dé(x) = D;é(X)
dove abbiamo denotato con D e con D r i dischi aperti rispetto a d ed a d r
rispettivamente; ne segue che la famiglia dei dischi aperti rispetto a d coincide
con quella dei dischi aperti rispetto a d r . Quindi d e d r sono topologicamente
equi valenti.
2. In R n le distanze d, d', d" introdotte nell'esercizio ] sono topologicamente
equi valenti.
Per dimostrarlo consideriamo due punti distinti
x = (x l, . . . , x n ), Y = (Yl, . . . , YnJ E R n .
Si ha
d fl (x, y) < d(x, y) < d' (x, y) < nd" (x, y).
[1.1]
La prima disuguaglianza discende dal fatto che
d(x,y) = I L (Xi - Yi)2 > I max {(Xi - Yi)l} = max {IXi - Yil}
z z

8
Spazi lop%gici e applicazioni continue I Cap. J
e la seconda è vera perché
.,
d(X,y)2=(Xi-yd < (IXi-Yilr =d'(X,y)2.
L'ultima disuguaglianza è evidente.
Fissati x E R n ed c > O, dalle r 1.1] segue che
D (x) :J De(x) :J D(x) :J D/n (x).
[1.21
Quindi se A è un aperto rispetto alla distanza d, per ognI x E A esiste un
e > O tale che De(x) C A e allora, per le r 1.21,
D(x) C De(x) C A e D/n(x) C Dc(x) C A,
quindi A è aperto anche rispetto a d" e a d'. Gli altri casi si verificano in modo
sin1ile.
3. Siano (X, dx) e (Y, d y ) spazi metrici e sia f : X -+ Y un'applicazione.
Sia x EX; se esi ste una costante M > O tale che per ogni x' E X si abbia
dy(f(x'), f(x» < M dx(x', x)
allora f è continua in x.
Infatti l'ipotesi implica che per ogni e > O
f(Dc/M(x» C Dc(f(x»,
e quindi prendendo tic = el M la condizione della definizione è soddisfatta.
4. Ogni applicazione lineare L : R n -+ R m è continua rispetto alle distanze
euclidee. Per dimostrarlo utiEzzeremo il criterio del1' esempio 3 applicato alle
distanze d'in R n ed in R m che sono topologicamente equivalenti alle distanze
euclidee (cfr. esempio 2).
Poiché ogni applicazione costante è continua, possiamo supporre che L non
sia l'applicazione nulla. Sia (aij)limljn la matrice che rappresenta L. Se x,
x' E R n si ha:
n n
d'(L(x), L(x'» =  alj(Xj - x.) +... +  arnj(Xj - x.) <
J=l }=l
n n
« mxlaljl) (Xj-x.) +...+(mxlamjl) (Xj-x') < Mmd'(x,x')
} }=1 J }=l
dove M = max laijl > O perché L non è l'applicazione nulla. Dal criterio del1'e-
sempio 3 segue che L è continua.

l! Spazi metrici
9
Casi particolari importanti di applicazioni lineari sono le proiezioni Pi : R n ---t R,
1: = l,..., n, definite da Pi(X) = Xi.
Più in generale siano l < i l < i 2 < . . . < i m < n; definiall10 la proiezione
. R n R m-
Pi].....i m . ---t
ponendo
P . . ( x ) = ( X' x. )
1,1"",Zm 7., ' . . ., 'lm .
Pii ...,im è lineare c quindi continua.
5. Siano X ed Y spazi metrici. Un'applicazione bicuiva f : X ---t Y SI dice
un' isol1zetria se per ogni x, x' E X si ha
dx(x, x') = dy(f(x), f(x'».
Un' isometria è un' applicazione continua; ciò segue da] criterio del!' esempio 3
con M = 1.
X e Y si dicono iS0111etrici se esiste un'isometria f : X ---t Y. L'identità di
uno spazio metrico in sé stesso, l'inversa di un'isonletria e la COI11posizione di
due isornetrie sono altrettante isometrie. Quindi l'isometria è una relazione di
equi valenza tra spazi metrici.
6. Siano X ed Y spazi metrici Un applicazione biettiva f : X -+ Y si dice un
0l11e01110rfis111o se è continua e se anche la sua inversa f 1 : Y ---t X è continua.
Ogni isometria è un omeomOrfiS1110, ma non è vero il viceversa. Ad esempio
l' appI icazione
exp : R ---t (O, +00)
definita da exp(x) ;::: eX, è un omeomorfismo perché ha inversa continua
log : (O, +00) ---t R
y  log(y).
Ma evidentemente exp non è un'isometria, perché manda l'intervallo (-00, Oj
nell' intervallo (O, l].
Due spazi metrici si dicono olneolnorfi se esiste un omeonlorfismo di uno sul-
l'altro. È inlmediato verificare che l'omeomorfismo è una relazione di equivalenza
tra spazi 111etrici.
7. L'insienle Q dei numeri razionali, con la distanza usuale, non è omeomorfo
ad R perché non esistono biezioni tra Q e R.

lO
SìJa:.i topoloxici e applicazioni continue j Cap. I
Esercizi
lO. Sia (X d) uno spazio lnetrico. Dimostrare che la distanza d definita nell'esercizio 4 è
topologicalnente equivalente a d.
11. Sia (X, d) uno spazio tnetrico ed y E X. DilTIostrare che l"applicazione f : X  R
definita da f(x) = d(x y) è continua.
12. DilTIOstrare che 1'intersezione di una famiglia qualunque di sottoinsiclni apcrti di uno
spazio metrico non è in generale aperta (suggerÙnen!o: si prenda la fmniglia di tutti
i dischi aperti di centro un punto fissato).
13. DilTIostrare che se dI e d2 sono distanze topologicamente equivalenti su un insieme
X, l'identità di X in se stesso è un omeolnorfìsmo se si considera il dOlninio con
distanza dI e il codolninio con distanza d2.
14. Dil110strare che un' applicazione lineare L: C n  cm è continua.
15. Un sottoinsierne 8 di uno spazio metrico X si dicc lil1zita!o se esistono x E X e r > O
tali che 8 C Dr(x).
Ogni sottoinsieme finito di uno spazio l11etrico è limitato. Gli intervalli di R della
forma (a, b), [a: b), (a, b], [a, b] sono lilnitati, Inentre non sono linlitati gli intervalli
(-00, b), (-oo,bj, (a, +00), [a, +(0), R.
Dire quali dei seguenti sottoinsiemi di R n . n > 2, sono limitati:
{X E R n : x n > O}; {X E R tl : x n = O};
{X E R n : IXi I < l, i = 1, . . . , n}; {x E R n : Ix l + . . . + x n I < l};
{x E R n : J x I + . . . + x n I > l}; {x ERri : x I x 2 .. . X n = l}.
16. Dilnostrare che l'unione di una famiglia finita di sottoinsienli lilTIitati di uno spazIo
nletrico X è un sottoinsieme limitato di X.
2 Spazi topologici
Sia X un insieme non vuoto. Una strutlura {opologica, o tOjJo[ogia, su X è
una famiglia non vuota T di sottoinsicmi di X, che si chiamano insiel11i aperti
della topologia, soddisfacenti alle seguenti condizioni:
(A l) 0 e X sono insie111i aperti;
(A2) l'unione di una qualsiasi jCl111iglia di insie/11i aperti è un insierne aperto;
(A3) l'intersezione di due insielni aperti qualsiasi è un insiel1ze aperto.
Uno spazio top%gico è un insieme X su cui sia assegnata una topologia T, e
si denota (X, T), o semplicemente X sottintendendo la topologia T per comodità
di notazione. Gli elementi di X si diranno punti. L'insieme X si dice supporto
dello spazio topologico (X, T).

2 I Spazi lop%gici /1
2. ] ESe111pl
1. Se X è uno spazio metrico con distanza d la famiglia degli insiemi aperti
rispetto a d è una {opologia su X (cfr. esercizio 1.9) che si dice indotta da d.
2. La topologia euclidea (o topologia naturale) su R n è la topologia [ indotta
dalla distanza euclidea d.
3. Su C la topologia euclidea (o naturale) [ è queIJa indotta dalla distanza
d(z, w) = Iz - wl; possiamo anche ottenere questa distanza, e quindi la topologia
naturale, identificando C ad R 2 (z = x + iy  (x, y» e considerando la distanza
euclidea in R 2 .
In modo analogo possiamo identificare C n ad R 2n . La distanza euclidea in
R 2n definisce .su C n una distanza e quindi induce una topologia [ che si chiama
topologia euclidea, o naturale, su C n .
In seguito, quando c0/1sidererel11o R n , oppure C n , COlne spazi topologici, sarà
sottinteso che ci riferirenuJ alla top%gia euclidea, a Ineno che nOll si specfichi
il contrario.
4. In un qualsiasi insieme non vuoto X la famiglia B = {X,0} soddisfa le
condizioni A l, A2, A3 ed è quindi una topologia su X; 8 si chiama topo!ogia
banale e (X, B) è uno spazio topologico banale.
Un' altra topologia su un qualsiasi insieme non vuoto X si ottiene considerando
aperto ogni sottoinsieme, cioè prendendo T = P(X). Questa si chiama topologia
discreta e (X, P(X») è uno .\pazio topologico discreto.
5. Uno spazio topologico (X, T) si dice Inetrizzabile se esiste su X una distanza
che induce la topologia T. Ad esempio ogni spazio discreto è ll1etrizzabile: la
topologia discreta è indotta dalla distanza discreta.
Non tutti gli spazi topologici sono metrizzabili; ad esempio uno spazio a
supporto finito e non discreto non è metrizzabile perché ogni spazio metrizzabile
e finito è discreto; la dimostrazione di questo fatto è lasciata come esercizio
(suggerÙnento: si cominci a dimostrarlo nel caso in cui X ha due punti).
Si noti che se (X, T) è uno spazio topologico metrizzabile, la distanza che
induce la topologia T non è uni vocamente determinata (cfr. esempio 1 .2.(2).
Nel considerare uno spazio top%gico I1zetrizzabile suppOrrel110 .r;enlpre Ùnpli-
cita111ente assegnata una distanza che ne induce la tOjJologia.
6. Sia Y un sottoinsieme non vuoto di uno spazio metrizzabile X con distanza
d x. Già sappiamo che la restrizione dy di d x è una distanza su Y; la topologia
indotta da dy su Y si dice top%gia indotta da X su Y.
Sia y E Y ed  > O. Si ha evidentemente
DY.é(Y) = DXé(Y) n Y

12
Spazi topoloxici e applicazioni continue I Cap. 1
(dove DY,é(Y) e DX.é(Y) sono i dischi aperti di centro y e raggio é in Y e in X
rispettivamente), e quindi gli aperti di Y sono i sottoinsiemi della forma Y n A,
dove A è un aperto di X.
Si noti che un sottoinsienle di Y aperto in Y non è necessariamente aperto
anche in X. Ad esempio un intervallo chiuso Y = r a, b J di X = R è aperto in se
stesso ma non in R.
7. Siano X un insieme non vuoto e K C P(X) la famiglia di sottoinsiemi di
X costituita dall'insieme vuoto e dagli insiemi il cui complementare è finito. K
è una topologia che si chiama top%gia cofinita su X. Se X è finito, e solo In
tal caso, K è la topologia discreta.
8. Nell'insieme X = {a b c, d, e} le famiglie
T = {X 0, {a}, {a b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}, {a, b, e}};
S = {X,0,{e},{a,e}{cd},{a,c,d}, {c,d,e}, {a, c,d, e}}
sono topologie, mentre
7= {)(,0, {a,b,c}{b,c,d},{a,b,c,e}},
9 = {X,0,{b,c},{a,b,c},{b,c,d}}
)1 = {0, {b}, {b, c}, {b c, d}}
non sono topologie.
Se T e T' sono due topologie su un insieme non vuoto X, diremo che T è
111enO fine di T', oppure che T' è più fine di T, se ogni aperto di T è anche
aperto di T', cioè se T C T'; scriveremo in tal caso T < T'.
l\d esempio la topologia banale è meno fine di ogni altra, mentre la topologia
discreta è pi ù fine di ogni altra.
Naturahnente può accadere che due topologie su X non siano confrontabili,
cioè che nessuna delle due sia più fine dell' altra. Ad esempio, le topologie T e
S dell' esempio 2. 1 (8) non sono confrontabili.
Esercizi
l.. Sia {7j'}jc.J una fanliglia di topo]ogic sull'insielnc non vuoto X. Dilllostrare che
T = n j 7j è una topologia su X.
2. Dare un csclnpio di due topologic TI e T]. su un insieme X tal i che TI U T2 non sia
una topologia.
Sia T una topologia sull'insieme non vuoto X. Una base di T è una famiglia
di aperti B C T tale che ogni aperto di T sia unione di elementi di 8. Detto in

2 I Spazi topologici
/3
altro modo, ma equi valente al precedente, B è una base di T se per ogni aperto
A di X e per ogni punto x E A esiste B E B tale che x E B C A. L'equivalenza
delle due definizioni di base si verifica subito.
Un esempio (banale) di base di T è costituito dalla famiglia T stessa.
Con1e esempio tipico di base si pensi alla fan1iglia degli intervalli aperti di R,
che costituiscono una base della topologia naturale. Più in generale, la famiglia
di tutti i dischi aperti in uno spazio metrico (X d) è una base della topologia
indotta da d.
Dalla definizione segue che se B è una base di T e B C C C T, allora anche
C è una base di T.
Come si fa a riconoscere una base di una topologia T su X? Se B è una base
di T, dati due quaJsiasi A, B E B la loro intersczione è un aperto ed è quindi
unione di elementi di B. Anche X, essendo aperto, è unione di elementi di B.
La proposizione seguente ci dice che queste due proprietà caratterizzano le basi.
2.2 PROPOSIZIONE Sia X un insienle non vuoto e B una f'cuniglia di sO{foin-
sienli di X tal i che:
(a) U B = X;
BE8
(b) dati cOlnunque A, B E 8, A n B è unione di elelnenli di B.
Allora esiste una topologia TB su X di cui B è una base; T8 è runica
{op%gia con tale proprietà.
DÙnostrazione. Se T8 csiste alJora è unica perché ogni suo aperto deve essere
unione di elementi di B e, viceversa, ogni unione di ele111cnti di B deve stare in
T8 perché gli elementi di B sono aperti in T8. Quindi T8 deve coincidere con la
falniglia dei sottoinsiemi di X che sono unione di elementi di B.
Pcr dimostrare che questa famiglia T8 è effettivamente una topologia si osservi
innanzitutto che X e 0 vi appartengono; il primo per l'ipotesi (a), e il secondo
come unione della fallliglia vuota di elementi di B. Se {U j } jE] è una famiglia di
clementi di T8 allora si deve avere, per ogni j E J:
Uj = U Bk Bk E B
kEK(j)
dove i K(j) sono opportuni insiemi di indici; quindi:
U Uj = U ( U Bk ) E T8
JEJ JEJ kEK(j)
Infine, se
U 1 = U Bh E T8, U 2 = U Bk E T8,
hEH kEK

/4
Spazi fopoloXici e applicazioni cOl1tinue I Cap. /
allora
U\ n U 2 = ( U Bh ) n ( U Bk )
hEH kEK
= U (Bh n Bk)'
hEH
kEK
Poiché per l'ipotesi (b), Eh n Bk E TB per ognI (h, k) E H x K, la loro
intcrsezione U I n U 2 sta in T8' Il
Un ricoprÙl1ento di un InSIeme non vuoto X è una famigEa 1 di sottoinsiemi
di X tale che
X= U F.
FEl
Più in generale, se A è un sottoinsieme non vuoto di un InSJel11e X, una
famiglia 1 di sottoinsiemi di X tale che
Ac U F
FEl
SI dice un ricopri111ento di A.
La condizione (a) della proposizione 2.2 afferma che 8 è un ricoprimcnto di X.
.:sercizi
3. Dimostrare che se 8 soddisfa le condizioni (a) e (b) della propOSIZIone 2.2, la
topologia T8 di cui si dimostra l'esistenza può anche caratterizzarsi come la topologia
intersezione di tutte quelle che contengono 8, cioè
T8= n T
8eT
o equivalentemente COIne la meno fine tra tutte le topologie che contengono B.
Una soltobase di una topologia T sull' insieme X è una famiglia S di insiemi
aperti tale che la famiglia
B = {U\ n . .. n Un: U J , . .. , UnE S},
costituita da tutte le intersezioni di un numero finito di elementi di S sia una base
di T. In altre parole, per ogni aperto U di X ed x E X deve essere possibile
trovare Uj,..., Un E S ta1i che
x E U\ n . . . n Un C U.

2 I Spazi lop%gici
15
È chiaro che è sufficiente verificare questa condizione per gli aperti U di una
base di T.
Si osservi che ogni base è anche una sottobase e che ogni sottobase è un
ricopri mento di X.
Un esempio di sottobase della topologia naturale di R è la fan1iglia S degli
intervalli aperti illimitati (a destra o a sinistra), cioè del tipo (-00, b), (a, +00).
Infatti la falniglia delle intersezioni finite di elementi di S coincide con la famiglia
di tutti gli intervalli aperti di R. Si noti che S non è una base.
Sia X uno spazio topologico. Un i ntorno di un punto x E X è un insieme N
che contiene un aperto A contenente x:
x E A C N.
Denotiamo con N (x) la fal11iglia di tutti gli intorni di x; questa famiglia si
chiama siste111a degli intorni di x. Si noti che N(x) non è vuoto perché X E N(x).
Più in generale ogni aperto contenente x sta in N (x); ne segue che un aperto
è intorno di ogni suo punto. Anche il viceversa è vero, come è affermato dalla
seguente
2.3 PROPOSIZIONE Un sottoinsielne A dello spaZIO X è aperto se e solo se
A E N(x) per ogni x E A.
DÙnostrazione. Se A E N(x) per ogni x E A, la definizione di intorno in1plica
che per ogni x E A esiste un aperto Ax tale che
x E Ax C A,
e allora
A = U Ax
xEA
è aperto. Il viceversa è ovvio ed è stato già osservato prima dcl1' enunciato della
proposIzIone. Il
Una base locale, o base di intorni, o sistema j'onda111enlale di intorni di un
punto x dello spazio topologico X è una famiglia 8 (x) di intorni di x tale che
per ogni intorno M di x esista un N E B(x) tale che N C M.
Si noti che nella definizione non si richiede che gli insiemi di 8 (x) siano
aperti. Ad esempio gli intervalli chiusi [x - r, x + r], r > O, costituiscono un
sistema fondamentale di intorni di x E R nella topologia euclidea. Gli intervalli
aperti (x - r x + r), r > O, costituiscono un sistema fondamentale di intorni aperti
di x E R. Più in generale per un punto x di uno spazio metrizzabile i dischi
Dr(x), r > O, costituiscono un sistema fondal11entale di intorni di x.

16
Spazi fopologici e applicazioni continue I Cap. l
Ovviamente il sistema }./ (x) di tutti gli intorni di x è un particolare sistema
fondamentale di intomi di x E X.
Se 8 è una base di X, la famiglia
B(x) = {B E B : x E B}
è un sistema fondamentale di intorni aperti di x. Viceversa, se per ogni x E X è
assegnato un sistema fondamentale di intorni aperti B (x) di x, allora
B = U 8(x)
XEX
è una base della topologia di X.
Uno spazio topologico X soddisfa il prÙno aSSi0/11a di nunlerabilità se ogni
suo punto possiede un sistema fondamentale di intorni numerabile, cioè se per
ogni x E X esiste una famiglia {Ni : i = 1,2,...} che è una base di intorni di
x. Si può sempre suppon.e che un sistema fondamentale di intorni numerabile di
x soddisfi l'ulteriore condizione Ni+l C N i per ogni i: altrimenti basta sostituire
{ N i } con {Mi : = n. Nj : i = J, 2, . .. } .
} 'S. 1,
Uno spazio topologico X soddisfa il secondo aSSl0/11a di nun1erabilità se X
possiede una base numerabile.
Ogni spazio metrizzabile (in particolare R n ) soddisfa il pnmo aSSloma di
nUll1erabilità. Infatti per ogni x E X la famiglia:
8(x) = {D1/n(x) : n > l intero}
è una base nUlnerabile di intorni di x.
R n soddisfa il secondo assioma di numerabilità perché la famiglia
8 = {D1/n(x) : n > l intero, x un punto a coordinate razionali}
costituisce una base della topologia euclidea (cfr. anche esempio 2.4(5) ed esercizio
9).
Se uno spazio topologico X soddisfa il secondo assioma di numerabilità al10ra
soddisfa anche il primo. Se infatti 8 è una base numerabile di X allora per ogni
x E X la famiglia
B(x) = {B E B : x E B}
è una base di intorni di x numerabile.
Il viceversa non è vero: ogni spazio discreto X soddisfa il primo assioma di
numerabilità, ma se X non è numerabile allora X non possiede una base nume-
rabile. Infatti ogni base della topologia discreta deve contenere tutti i sottoinsiemi
costituiti da un solo punto (cfr. esempi 2.4(4), (6».

2 I Spazi lopoloX ici
17
Sia X uno spazio topologico. Denotiamo con N+ l'insieme dei numeri naturali
positivi. Un' applicazione f : N+ ---t X si chiama una successione di elelnenti di
X. Per ogni n E N+ l'immagine X n = f(n) si chiama n-esÙno terlnine della
successione f. Di solito una successione viene denotata {x n : n = 1, 2, . . .} oppure
{x n }n l o più semplicemente {x n }, cioè viene identificata con l'insieme f(N+).
La successione {Xn}nl si dice convergente al punto x E X (e x si dice IÙnite
della successione) se per ogni intorno M di x esiste n(M) E N+ tale che X n E M
per ogni n > n(M); si scriverà
lim X n = X.
n --t 00
Una sottosuccessione di {x n : n = l, 2, . . .} è una successione {x nk : k = 1, 2, . . . }
ottenuta in corrispondenza di una successione crescente di interi positivi: nj < n2 <
< n3 < .. .. Equi valentemente una sottosuccessione del1a successione f : N+ ---t X
è una successione ottenuta come composizione f . p : N+ ---t X dove p : N+ ---t N+
è un' applicazione crescente.
Contrariamente a quanto accade per le successioni in R, una successione in uno
spazio topologico qualsiasi può convergere a più limiti distinti. Ad esempio, se X
è uno spazio topologico banale e {xn} è una successione in X si ha lim X n = x
n ----+ 00
per ogni x E X. In uno spazio metrizzabile se una successione ha un limite questo
è unico (cfr. esercizio 19 e proposizione 8.5).
2.4 Esen1pi
1. La famiglia
Ls = {(-oo,b): bER} u {0} U {R}
è una topologia su R strettanlente meno fine della topologia naturale [.
Analogamente,
Ld = {(a, +00) : a E R} u {0} U {R}
è una topologia meno fine di [.
Le due topologie Ls e Ld non sono confrontabi li.
La famiglia degli intervalli aperti a sinistra (e chiusi a destra) soddisfa alle
condizioni della proposizione 2.2 e quindi è base di una topologia is su R. Di
essa fanno ovviamente parte gli intervalli aperti a sinistra, che non sono aperti
nel1a topologia naturale; quindi is =1= £. D'altra parte, ogni intervallo aperto (a, b)
può scri versi come unione
(a, b) = U l (a, b -  ]
m> b--a
di intervalli aperti a sinistra, e quindi sta in is. Perciò f è strettamente più fine
di t.

lo
Spa:i tOfJ%gici e applicazioni continue I Cap. J
Ad una analoga conclusione si arriva se si considerano gli intervalli aperti a
destra (c chiusi a sinistra). L,a topologia id che si ottiene c la topologia is non
sono confrontabili: infatti non è possibile ottenere un intervallo aperto a destra
come unione di intervalli aperti a sinistra, e viceversa (perché?).
2. Se r > () ed x = (x l  X2) E R 2 , il sottoinsicnle di R 2
{ ') r r }
Qrex) = (YIY2) E R: IYI - xII < 2' IY2 -- x21 < 2:
SI chianla quadrato aperto con lati paralleli agli assi, di centro x e lato r.
Qrex) è un insieme aperto. Se infatti Z E Qr(X) c
{) = min { - IZI - xII,  - I Z 2 - x21 } ,
allora Qr(x) :J D6ez), perché se y E D(j(z) allora
I Yi - xi I < I Yi - zi I + I zi - xi I < {) + I zi - Xi I < , i = l, 2.
Faccianlo vedere che la famiglia di insielni aperti
.Q 2 = {Qr(x) : x E R 2 , r > O}
è una base della topologia euclidea di R 2 .
Allo scopo sarà sufficiente far vedere che ogni disco aperto Dp(Y), Y E R 2 ,
P > O, è unione di insielni Qrex) opportunaillente scelti.
Osserviamo preliminanl1entc che per ogni x' E Qr(x) si ha
d(x,x') < /2 .
Sia ora x E Dp(Y) e 8 = d(x, y). Allora
Qr(X) C Dp(Y)
dove r = J2(p --- 8) perché per ogni Z E Qr(X) SI ha:
d(yz) < d(yx)+d(x,z) < fj +(p -- 8) = p
e l' asscrto è provato (fìg. 2.1).
Se a < b e c < d l'insieme
')
R e a  b; c  d) = (a, b) X (c, d) = {( X I  X 2) E R - : a < x I < b, c < X 2 < d}
è un rettangolo aperto CO/1 lati paralleli agli assi. È immediato verificare che
R(a b; c, d) è unione di quadrati Qr(x) e quindi è aperto. DenotialTIO con 1<2 la

2
Spazi lopo!ogici
/9
+
I
! ///----,Q.J2(P-O)(X)
/ / Il \\
l 10\
t I \
I ..J I
I ",'" Y I
\",'" I
\",'" I
\ ", e I
\ ",'" I
/
\ I
\ I
" ....
"-
"-
.....
.....
/
",
",
.....
--.-..............__........-
Figura 2.1
fan1iglia di tutti i rettangoli R(a, b; c, d). Poiché
( r r r r )
Qr(x)=R XI-l' X\+2; X 2 - l , X 2 + 2 
si ha R 2 :) Q2 e quindi anche la famiglia R. 2 è una base della topologia euclidca.
Gli insiemi della forma (a, b) X R oppure R x (a, b) con a < b sono sottoinsiemi
aperti di R 2 che si chiamano strisce aperte parallele ad uno degli assi. Poiché
per ogni x E R 2 , r > O, si ha
Qr(X) = [(XI -, XI +) x R] n [Rx (X2-' X2+)]'
la famiglia 52 delle strisce aperte è una sottobase della topologia euclidea (fig.
2.2).
3. Sia X un insieme non vuoto ed fla famiglia dei sottoinsicmi di X costituiti
u
da un solo elemento. 1 soddisfa le condizioni della proposizione 2.2: la topologia
di cui 1 è base è la topologia discreta.
4. Ogni spazio discreto soddisfa il prinlo assioma di numerabilità, perché per
ogni x E X {{ x}} è un sistema fondamentale di intorni di x.
5. Sia B la famiglia degli intervalJi aperti di R della forma (x -- q, x + q), dove
X e q sono nun1eri razionali e q > O.
Evidentenlentc 8 è una falniglia numerabile di insienli aperti. Sia (a, b) un
intervallo aperto ed y un suo punto. Sia r > O tale che
(a b) :) (y --- r, y + r);

20
Spazi top%gici e applicazioni continue I Cap. 1
R x ( X -!..., x +  J
2 2 2 2
I
I
I ....
I
I
i ( X -!... f X +  J x R
I 1 2 1 2
I
I
I
I
I
I
I
I
I
_________J
r------------------------
------------------------
Figura 2.2
SIano x, q numcri razionali tali che
r r r
Iy -- xl < 3" e 3" < q < 2'
Allora
Y E (x - q,x+q) C (ab).
Quindi (a, b) è unione di intervalli appartenenti a B; ne deduciamo che B è
una base della topologia euclidea di R e quindi R soddisfa il secondo assioma di
nUIl1erabilità.
È facile dimostrare che anche R 2 soddisfa il secondo assiolna di nunlcrabilità,
sostituendo la famiglia B considerata in R con la seguente:
8 2 = {Q q (x) : q  x I, x2 E Q, q > O}.
Più in generale, R n soddisfa il secondo aSSlOlna di numerabili tà per ognI n
(cfr. esercizio 9).

2 l Spazi topologici
2/
6. Se uno spazio X soddisfa il prilTIO assioma di numerabilità, X non soddi-
sfa necessariamente il secondo. Un esempio è dato da uno spazio discreto non
numcrabile.
Un altro esempio è dato da R con la topologia id. Questo spazio soddisfa il
prin10 assioma di numcrabilità. Infatti per ogni x E R la famiglia
{ [x, x +  ) : n > 1 intero}
è un sistema fondamentale di intorni di x.
Ma (R, JdJ non soddisfa il secondo assioma di numerabilità. Sia infatti B una
base di id, Per ogni x E R deve esistere Ax E 8 tale che
x E Ax C r x, +00 )
perché [x, +00) è un aperto di Jd. Allora, se x < y SI ha Ax =I- Ay e quindi B
contiene l'infinità non numerabile di aperti
{Ax : x E R}
c pertanto B non è nUll1erabilc.
Alla stessa concI usione si arri va considerando la topologia is.
Esercizi
4. Per ogni x E R 2 ed r > O il sottoinsieme di R 2
ì
Nr(x) = {y E R- : IYI - xII + IY2 - x21 < r}
è un quadrato aperto con diagonali parallele aRli assi (fig. 2.3).
DiITIOstrare che la famiglia
'")
D2 = {lVr(x) : x E R-  r > O}
è una base della topologia euclidea di R::!.
5. Sia 112 .la faIniglia dei senlipiani aperti di R di una delle seguenti fornlc:
{x E R 2 : x I < a},
')
{x E R- : X2 < a},
')
{xER-:xI>aL
')
{x E R- : X2 > a}, a E R.
Dilllostrarc che A 2 è llna sottobase deHa topologia cuclidea.
6. Sia n 2: 1  per ogni x E R T !  r > O. sia
Qr(X) = { Y E R n : Iy, - x, I < i, i = l, . . . , n } .

22
Spazi !opolog;ci e applicazioni continue I Cap. I
/1"
/ I "
// : "", IV, (x)
/ "
/ r I "
// I "
/ I "
/ "
------------
" I X //
"... I /
. /
" I /
"" I /
" I /
" I /
"-.J//
-----JII-
Figura 2.3
Dimostrare che la fallliglia
Qn = {Qr(x) : x E R n , r > O}
è una base della topologia euclidea di R n .
Per ogni scelta di a = (al, . . . , a n ), b = (b!, . . . , b n ) E R ri tali che
al < bl:...,a n < b n ,
sia
R( a, b) = (a l , b l) X .. . x (a n , b n ) = {X E R n : ai < xi < bi, i = I, . . . , n }.
Di mostrare che la famigl ia
Rn = { R(a, b) : ai < bi, i = 1, .. . , n}
è un' altra base della topologia cucI i dea di R n .
7. Sia Ari la famiglia dei semispazi aperti di R n della forn1a
{x E R n : xi < a},
oppure
{xERn:Xi>a},

2 I .ìJaz.i lop%gici
23
per qualche a E R c per qualche i = 1, . . . , n. Dilllostrarc che ilu è una sottobase della
topologia euclidea.
8. Dilnostrare che in R n la famiglia di sottoinsielni
{Qr(X)\{x}:xER u , r>O}:
è una base della topologi a euclidea.
9. Dinl0strare che, per ogni n > 1, R n soddisfa il secondo aSSlOlna di nunlerabilità.
(SuggeriJnenlo. Dimostrare che la famiglia
{Qq(X): q x"...,xn E Q, q> O}
è una base della topologia euclidea).
lO. Se 7 è una falniglia di sottoinsielni di un insiellle non vuoto X, la topologia [neno
fine tra tutte le topologie T contenenti 7, cioè nelle quali gli insiemi di 7 sono
aperti. è
T (1) = n T.
YcT
T (7) si chiama lopologia generata da 7. Dimostrare che:
(a) 7 è una sottobase della topologia T (7) se e solo se 7 è un ricoprilnento di X.
(b) Un ricoprinlento di X è souobase di un'unica topologia; precisamente, se T è
una topologia di cui 7 è una sottobase allora T = T (7).
(c) Se 1 non è un ricoprinlento di X, allora una sottobase di T (7) è costituita dalla
famiglia 7 U {X}.
(d) Se 7 C 7' sono due fanliglie di sottoinsiell1i di X, si ha T (1) < T (7').
Il. Si fissi un nUlnero reale positivo r. Dimostrare che la fanliglia di sottoinsiclni di R n
Qn.r = {Qr(x) : x E R n }
non è una base della topologia euclidea. Qual è la iopologia generata da Qrl.r?
12. Sia T* la farniglia dei sottoinsiclni di R 2 costituita da 0, R 2 c da tutti i sottoinsicmi
il cui conlplementare è unione di un nUlnero finito di punti e di un nUI11erO fìnito di
rette. Dimostrare che T* è una topologia c che K < T* < {, dove K è la topologia
cofinita ed e è la topologia cuclidea.
Dire se e quali delle topologie K e T* soddisfano il prinlo oppure il secondo assiolna
di nUlnerabilità.
13. Sia x un punto dello spazio topologico X e N (x) il sisten1a degli intorni di x.
Dimostrare che }./ (x) ha le seguenti proprietà:
(a) Se N" N2 E N(x), allora N j n N'l. E N(x).
(b) Se N E N(x) e X =:) M =:) N. allora M E }/(x).
14.. Sia X un insieme non vuoto; supponiamo che per ogni x E X sIa assegnata una
falniglia }/(x) di sottoinsiclni di X con le seguenti proprietà:

24
Spazi topologici e applicazioni continue I Cap. I
(a) }/(x) =/=0 e ogni N E }/(x) contiene x.
(b) Se N 1 , N2 E }/(x) allora NI n N 2 E }/(x).
(c) Se N E .A/(x) e X =:) M ::J N, allora M E .N(x).
(d) Se N E .A/(r;), esiste M E .A/(x) tale che M C N ed M E .A/(y) per ogni y E M.
Dimostrare che esiste una ed una sola topologia T su X tale che per ogni x E X
}./ (x) sia il sistema degli intorni di x rispetto a T.
15. Nel}' insielne {a, b, c, d, e} si determinino le topologie generate dalle famiglie 7, g, ).{
dell'esempio 2. I (8).
16. Dimostrare che R con la topologia Ls (cfr. esempio 2.4( l») soddisfa il primo e il
secondo assiollla di nUlnerabilità.
17. Dimostrare che la famiglia degli intervalli chiusi e limitati
{ [a, b] : a < b}
non è base di aJcuna topologia su R e che la famiglia
{[a,b]:a<b, aEQ, briQ}
è base di una topologia su R.
18. Quali sono le topologie generate dalle due famiglie del!' esercizio 17?
19. Sia {xn }n;::: l una successione di elementi di uno spazio metrizzabile X. Dimostrare
che se {x n }n;? I converge in X il suo limite è unico.
20. Trovare tutte le topologie su un insielne X = {a, b, c} costituito da tre elementi.
3 Sottoinsiemi di uno spazio topologico
Sia X uno spazio topologico e S un sottoinsieme di X. Un punto x E X si
dice interno a 8 se esiste un intorno N di x tutto contenuto in 8. Il punto x E X
si dice esterno a 8 se esiste un suo intorno N tale che N n 8 = 0, cioè se x è
interno a X\8. Il punto x si dice punto di frontiera di S se x non è né interno
né esterno a 8; equivalentemente se, per ogni .lv E N(x),
N n k9 =I- 0
N n (X\S) =1= 0.
L'insieIne dei punti interni a k9 si chiama interno di 8, e si indica con Int(8).
Analogamente Est(S') denoterà 1'esterno di J..9, cioè l'insieme dei punti esterni a
S, mentre Fr(8) denota la .frontiera di 8, che è l'insieme dei punti di frontiera
di S. Ovviamente si ha:
Int(8) C S
Est(S) = Int(X\8)
l3.lj
[3.21

3 I Sotloillsiemi di uno spazio (opologico
25
c quindi
Est(8) n S = 0
[3.3J
Un punto x E FrC5') può stare o non stare in S; ad esempio
F r( [a, b» = {a  b }
dove la, b) C R è un intervallo aperto a destra, e ovviamente a E la, b) e b (j. la, b)
(cfr. esempio 3.4(2».
Per ogni sottoinsieme 1.-9 dello spazio topologico X si ha:
x = Int(8) u Est(S) U Fr(9)
(3.4J
dove l'unione è disgiunta.
3.1 PROPOSIZIONE Sia 8 un so!toinsienle di uno spazio topologico X. Allora.'
(a) lnt(.-") è l'unione di tutti gli aperti contenuti in S, cioè è il più grande
aperto contenuto in 8.
(b) S è aperto t.;e e S% t.;e S = Int(k9).
(c) k9 è aperto se e solo se S n Fr(S) = 0.
DÙnostrazione
(a) Sia A un aperto contenuto In S. Per ogni x E A si ha che A E }.I (x) e
quindi x E Int(S); dunque A C Int(S). Facciamo vedere che Int(.S) è aperto. Sia
x E Int(S'); per definizione esiste N x E }.I(x) tale che N x C 8 e quindi esiste
un aperto Ax tale che x E Ax C N x C S. Da quanto già dimostrato segue che
Ax C Int(8). Ma allora
Int(k9) = U Ax
xEIntlS)
è aperto.
(b) Segue subito da (a).
(c) Segue da (b) tenuto conto di [3.3] e di [3.4]. Il
La proposizione che ora dimostreremo caratterizza una classe importante di
sottoinsiemi di uno spazio topologico.
3.2 PROPOSIZIONE Le condizioni seguenti sono equivalenti per un sottoinsielne
8 di uno spazio fopologico X:
2

26
Spazi (op%gici e applicazioni continue I Cap. I
(a) Fr(8) C S.
(b) S = Int(8) U Fr(S).
(c) Il cOlnplementare X\S è aperto.
Dbnostrazione
(b)  (a). Banale.
(a)  Cc). Poiché Fr(.S) = Fr(X\S), dalla (a) e dalla [3.41 segue che:
Fr(X\A-9) n (X\S) = 0
e quindi X\S è aperto, per la proposizione 3.1(c).
(c)  (b). Dalla Cc), tenuto conto della [3.2] e della proposizione 3.1 (b), segue
che
X\S = Est(9)
e quindi
S = Int(/.9) U Fr(S)
per la [3.4]. .
Un s ottoin,rr enl£ S di uno spazio topologico X che soddisfa le condizioni
equivalenti della proposizione 3.2 si dice Jjliu:Q.
Denotiamo con 1la famiglia di tutti i sottoinsiemi chiusi dello spazio topologico
X. Dalle proprietà (A 1), (A2), (A3) degli insiemi aperti segue subito che la famiglia
1 gode delle seguenti proprietà:
(Cl) 0, X E 1.
(C2) L'intersezione di una qualsiasi famiglia di elelnenti di 1 appartiene ad
,.
(C3) L'unione di due (e quindi di un nUlnero finito qualsiasi di) elenlenti di
1 appartiene ad ,.
Viceversa, dato un insieme non vuoto X ed una famiglia 1 di sottoinsiemi di
X che gode delle proprietà (Cl), (C2), (C3), la famiglia T C P(X) definita da
U E T {:} (X\U) E 1
soddisfa evidentemente le condizioni (Al), (A2), (A3). Quindi T è una topologia
su X nella quale 1 è la famiglia degli insiemi chiusi. È evidente che T è l'unica
topologia che gode di tale proprietà. Ciò significa che una topologia su un insieme

3 I SOl/oinsiemi di uno spazio topologico
27
x # 0 può anche essere definita assegnando la famiglia degli insiemi chiusi rispetto
a tale topologia, cioè assegnando una famiglia J' che soddisfi le condizioni (C]),
(C), (C3).
Se r5 è un qualsiasi sottoinsieme di uno spazio topologico X la chiusura di
S, che si denota S , è definita come il più piccolo sottoinsieme chiuso di X
contenente 5, o equivalentemente come l'intersezione di tutti i sottoinsiemi chiusi
contenenti 5 (tale intersezione è un chiuso per la (C2». I punti di 9 si dicono
aderenti ad S, o punti di aderenza di S. Si ha:
S C 5,
[3.5 J
[3.6J
[3.7]
S è chiuso se e solo se S = 5 ,
S = X\Est(/S),
er poiché Fr(S) = Fr(X\S):
S = s U Fr(5) = Int(S) U Fr(S).
IScT9c T
[3.8J
[3.9J
Un punto x E X si dice punto di acculnulaz;one (o punto lin'lite) dell'insieme
S C X se ogni intorno di x contiene almeno un punto di 5 diverso da x, cioè se
(N\{x}) n S#0 per ogni N E N(x).
[3.10 J
L'insieme dei punti di accumulazione di S si chiama derivato di S e si denota
con D(S).
3.3 PROPOSIZJONE Per ogni sottoinsie11'le 5 di uno spaZiO tOfJologico X Si
ha:
s = s U D(S).
Dirnostrazione. Per definizione di derivato si ha
D(S) n Est(S) = 0
e quindi, per la [3.71:
SUD(S)C S .
Sia x E S . Se x  5 allora, per la [3.8], x E Fr(S). Quindi N n S # 0 per ogni
N E N(x) e poiché x  9 ne discende che x E D(S). Dunque S C Su D(S). Il

28
Spazi fOjJo!ORici e applicaz.ioni continue I Cap. l
3.4 PROPOSIZIONE Sia X uno spazio topologico e sia S un sottoinsie111e di
X.
(a) Un punto x E X è aderente a /3 se e solo se NnS=l=0 per ogni N E N(x).
(b) Un jJunto x E X è aderente a k.'3 se esiste una succes..';[one {x n } di elenzenti
di S che conveff.?e ad x. Se X soddisfa il prÙ1'lo assÙJlna di nU111erabilità
anche il viceversa è vero.
IJi lnosl razfol1 e
(a) SuppOnialTIO x E S. Se x E S la condizione è soddisfatta perché ogni
N E N(x) contiene x. Se x E D(S) la condizione è soddisfatta per la [3.10J.
Supponiamo viceversa che la condizione dell' enunciato sia soddisfatta. Allora
x ti. Est(sr) perché Est(k.'3) n S = 0 e Est(S), essendo aperto, è intorno di ogni suo
punto. Pertanto x E 1..'3 tenuto conto della [3.7].
(b) Supponiamo che {x n } sia una successione di elementi di F; tale che
lim X n = x. Per definizione di limite per ogni N E N(x) esiste X n E N, e quindi
n ---? 00
la condizione della parte (a) è soddisfatta; dunque x E S . Supponiamo viceversa
che x E S e sia {Nn : n = 1,2,...} un sistema fondamentale di intorni di x che
soddisfi la condizione N n + l C Nn per ogni n. Per la (a) per ogni n > 1 possiamo
trovare un punto X n E Nn ns. La successione {xn} converge ad x. Il
3.5 Ese111pi
l. Sia X uno spazio topologico e {xn : n = 1, 2 . . . } una successione in
X. Supponiamo che {xn} possieda una sottosuccessionc convergente {Xnk : k =
= l, 2, . . .} e sia x = linl x nk ; allora x E {x n } (proposizione 3.4(b)). Naturalmente
k-4(X)
ciò non significa necessariamente che x è un punto di accumulazione di {x n }: si
pensi ad esempio ad una successione costante in uno spazio metrico.
D'altra parte, se x E D( {x n }n21) non è neceSSarialTIente vero che esiste una
sottosuccessione di {Xn} che converge ad x. Ad esempio sia X = {a, b, c, d, e}
con la topologia T dell' esempio 2.1 (8), e siano x I ;::: a X n = c, n > 2. Allora
e E D( {x n }n I) ma {Xn }n I non possiede una sottosuccessione convergente ad e.
Se X è uno spazio nlctrizzabile e x E D( {x n }n2]) aIJora {x n }n2: l possiede una
sottosuccessione convergente a x. Per la dimostrazione rinvialTIO il lettore a un
risultato più generale che dilTIostreremo successivamente (proposizione 8.6).
2. In R gli insienli finiti (in particolare i punti), gli intervalli chiusi [a, b J e le
loro unioni finite sono insienli chiusi. Gli intervalli aperti a destra r a, b) e qucni
aperti a sinistra (a, b) non sono né aperti né chiusi.

3 I .Sot/oinsiemi di uno spazio fopologico
29
Ogni sottoinsieme finito di R ha derivato vuoto e interno vuoto e quindi
coincide con la sua frontiera.
Se a < b e S è uno qualsiasi degli intervalli (a, bl, [a, b), [a, b], (a, b), allora
Int(8) = (a, b), Fr(S) = {a, b}, D(S) = la, bJ.
Una successione {x n }n l è un insieme chiuso se non possiede sottosuccessioni
convergenti oppure se contiene il limite di ogni sua sottosuccessione convergente.
Ad esempio {n }nl è un insieme chiuso, mentre {l/n }nl non è chiuso e
{l/n }n1 = {l /n }nl U {O}.
L'insieme Q dei numeri razionali soddisfa
1nt(0) = 0, Est(Q) = 0, Fr(Q) = R
e quindi Q = R.
3. In un o spazio metrizzabiIe X si ha, per ogni x E X, r > O:
Drex) C {y E X : d(x, y) < r};
Fr(Dr(x» C {y E X : d(x, y) = r};
Ogni punto è chiuso in X. Per le successioni valgono le stesse affenl1azioni
fatte nell'esempio 2.
4. In R con la topologia cofinita gli insiemi chiusi sono gli insiemi finiti ed
R stesso. Quindi in questa topologia si ha, se a < b:
(a,b) =R;
Int«a, b» = 0;
Fr«a, b» = R.
3.6 PROPOSIZIONE Le seguenti condizioni sono equivalenti per un sottoinsielne
S di uno ..l)azio topologico X:
(a) 9 = X.
(b) Int(X\ST) = 0.
Cc) S interseca ogni insienle aperto non vuoto.
(d) Esiste una base 8 per la (op%gia di X tale che S intersechi ogni aperto
nOll vuoto appartenente a B.
DÙnost razione
(a)  (b). Segue dalla [3.7J.
(b) :::} (c). Se A è aperto e A n S = 0 allora A C Est(SI).

30
Spazi top%giei e applicazioni continue I Cap. I
Cc) =.} (d). Ovvio.
(d) =.} (a). Sia x E X\8. Per ogni N E N(x) esiste A E B tale che x E A C N.
Poiché A n ,,-9 =I- 0 si ha
(N\ {x}) n S =I- 0
e quindi x E D(S) C ,,-'3. Il
Un sottoinsielne di uno spazio topologico X che gode delle proprietà equivalenti
della proposizione precedente si dice denso in X.
Q è un esempio di sottoinsieme denso in R. Si osservi che se S C T C X e
S è denso in X allora segue dalla [3.9 J che anche T è denso in X.
Uno spazio topologico si dice se.PQ.ra.bile se possiede un sottoinsieme numerabile
che è denso. R è un esempio di spazio separabile perché Q è denso e numerabile.
3.7 PROPOSIZIONE
(a) Uno spazio X che soddi.tà il secondo assionla di nUlnerabilità è separabile.
(b) Uno spazio l11etrizzabile e separabile X soddisfa il secondo assiOfna di
nume rabilità.
Dinlostraziol1e
(a) Sia B una base nUlnerabile di X. In ogni aperto non vuoto A della base B
scegliamo un punto x A e sia
t.'3={XA :AE B}.
8 è un insieme nun1erabile che è denso perché soddisfa la condizione (d) della
proposizione 3.6; quindi X è separabile.
(b) Sia S un sottoinsieme denso numerabile di X e sia
B = {Dq(x) : x E S, q > O razionale}
la famiglia dei dischi aperti di centro punti di 8 c raggio razionale; B è una
famiglia numerabile. Facciamo vedere che B è una base per la topologia di X.
Sia A C X aperto ed y E A. Sia r > O tale che A :J Dr(Y). Poiché S è denso
esiste x E D r / 3 (y) n 8. AIIora se q è un numero razionale tale che
r 2r
-<q<-
3 3
SI ha
Y E Dq(x) C Dr(Y) C A
e q uindi A è unione di elementi di B. Il

3 I SotfoÙzsiemi di uno spazio topologico
31
3.8 Esempi
L Siano O < m < n interi ed R l'insieme dei punti di R n aventi esattall1ente
m coordinate razionali. Rn è denso in R n . Poiché R = Qn è numerabile, R n è
separabile e quindi soddisfa il secondo assioma di numerabilità.
2. (R, jd) è scparabile perché Q è denso nella topologia Jd, ma non soddisfa il
secondo assioma di numerabilità (cfr. esempio 2.4(6». Quindi (R jd) non è uno
spazio metrizzabilc.
3. Sia K un campo, n > 1 un intero e XI  . . . , X n indeterminate. Denotiamo con
P l'anello dei polinonli in XI, . . . , X n a coefficienti in K. Se S è un sottoinsieme di
P, denotiamo con (8) l 'ideale genq!o.1çL ,,9, che è l'intersezione di tutti gli ideali
contenenti S; ovvero, costrutti vamente, (S') è l'insieme di tutte le combinazioni
1ineari finite di elementi di S:
(B) = {PI/I +...+Phfh: fl,...,fh E ,,9, PI,...,Ph E P}.
Sia a = (ah. .. , a n ) un elemento del prodotto cartcsiano K rt . Diremo che a è
uno zero di S se I(a) = O per ogni 1 E S.
L'insieme degli zeri di S velTà denotato VeS), e si dirà sottoinsie111e algebrico
di K n , o semplicemente insienle algebrico. Dalla definizione costrutti va dell' ideale
(8) segue immediatanlente che
VeS) = V«8»)
per ogni S C P, e quindi non è restrittivo considerare solo gli insiemi algebrici
definiti da ideali. Si ha ino1tre:
(a) Il C 1 2 {:} V(II) :) V(I 2 );
(b) V (Il n 1 2 ) = V (Il) U V (1 2 ), Il, 1 2 ideali;
(c) V ( L lo: ) = n V(Io:) se {lo: }aEA è una falniglia di ideali, dove deno-
(}EA aEA
tiamo con L lo: l'ideale somnla degli ideali la, definito come
aEA
L la = ( U lo: )
(EA (EA
(d) se ma = (X] - al,... ,X n - arJ allora V(ma) = {a};
(e) per ogni ideale I di P, si ha V(I) = V( j/), dove
VI = {f E P : fS E I per qualche s > O}
è l'ideale radicale di I.

32
Spazi topologici e applicazioni continue I Cap. I
Le (a), (c), (d), (e) sono di dimostrazione immediata. Dimostriamo la (b).
Pcr la (a)
V(l] n 1 2 ) :J V(II) U V(I 2 ).
Viceversa, se a fI- V (I]) U V (1 2 ), siano Il E Il, 12 E 1 2 tali che li( a) =f O, i = 1, 2.
Allora Il f2 E Il n 1 2 e
(fl f2)(a) = Il (a)/2(a) =1= O,
quindi a  V(ll) U VeI2).
Si osservi che
o = VeCI»
K n = V«O»
sono insiemi algebrici. Dalle proprietà (b) e (c) segue allora che la famiglia dei
sottoinsiemi algebrici di K n ha le proprietà (Cl), (C2) e (C3) degli insiemi chiusi,
e quindi definisce una topologia Z su K n , nella quale gli aperti sono gli insiemi
il cui complementare è un insieme algebrico; Z si chiama lopologia di Zariski
su K n .
Si noti che per la (d) i punti di K n sono chiusi nel1a topologia di Zariski;
in particolare Z è più fine della topologia cofinita; se n = l le due topologie
coincidono.
In R n Z è meno fine della topologia eucJidea perché gli insiemi algebrici sono
chiusi nella topologia euclidea (cfr. esempio 4.3(4». Lo stesso vale in C n .
Esercizi
1. Dinlostrare con esempi che l'unione di una famiglia infìnita di sottoinsiemi chiusi di
uno spazio topologico non è in generale un sottoinsieme chiuso.
2. DilTIOstrare che dati comunque due sottoinsielni A, B di uno spazio top01ogico X si
ha
Fr(A n B) = Fr(A) n Fr(B)
Fr(A u B) c Fr(A) u Fr(B),
Int(A n B) = Int(A) n Int(B):
Int(A u B) :J Int(A) u Int(B),
AuB= A U B ,
- -
AnB c AnB.
Trovare esenlpi in cui le inclusioni precedenti sono strette.

3 I SOl1oinsiemi di uno spazio [opologico
33
3. In uno spazio topologico X siano E un sottoinsieme denso ed U un aperto. Dimostrare
che si ha:
E (ì U =:) U.
4. Sia X uno spazio topologico. Dimostrare che X è discreto se e solo se per ognJ
sottoinsieme A di X, D(A) = 0.
5. Sia A un sottoinsienle di uno spazio topologico X. Ditnostrare che Fr(A) =:) Fr(Int(A».
Dare un esempio in cui non vale l'uguaglianza.
6. Sia S la fmniglia di sottoinsiemi di N costituita da 0, N e da tutti i sottoinsiemi della
forma
An = {n, n + 1, n + 2, . . .}, n E N.
(a) Dimostrare che S è una topologia
Cb) trovare i punti di accumulazione dell' insieme
S = {3, 7, 51 , 107}
e determinare 8 .
(c) determinare i sottoinsienli di N il cui derivato è N:
7. Sia X = {a, b, c, d, e} con la topologia T dell'esempio 2.1 (8). Trovare la chiusura, il
deri vato, la frontiera e l'interno dei seguenti sottoinsiemi:
{a}, {e}, {d,e}, {a, c}, {a,b}, {a, d, e}.
8. Descrivere la chiusura, la frontiera, l'interno, 1'esterno e il deri vato di ognuno dei
seguenti sottoinsiemi di R3:
{x = (Xl,X2,X3): xI,x2,x3 E Q}
{x : x I + x2 = l}; {x: x I E Q};
{x : XI + X2 = 2, X3 > O}.
9. In R consideriamo il sottoinsieme
S = Ln: 1) : n = O, I, 2, . .. } .
Dimostrare che
S = 8 U { l} nella topologia euclidea,
S = R neHa topologia cofinita.
lO. Sia X un insieme non vuoto. Un operatore di chiusura su X è un'applicazione
C : P(X)  P(X) tale che
0(0) = 0,
0(8) =:) S per ogni S E P(X),
0(0(8) = 0(8) per ogni S E P(X),
OCA U B) = OCA) U O(B) per ogni A, B E P(X).

34
Spazi topologici e applicazioni continue I Cap. I
Dimostrare che se C è un operatore di chiusura su X c se T denota la famiglia
di tutti i sottoinsiemi 8 di X tali che C(X\S) = X\S, aDora T è una topologia.
Dimostrare che per ogni sottoinsieme B di X sì ha:
0(5) = S
nella topologia T.
Il. Sia X un insienle non vuoto. Un operatore di interno su X è un' applicazione
I : P (X) -t P (X) tale che
/(X) = X,
S ::J 1(8) per ogni B E P (X):
/(/(B» = 1(8) pcr ogni 8 E P(X),
/(A n B) = I(A) n [(B) per ogni A, n E P(X).
Dil110strarc che se [ è un operatore di interno su X e se T denota la famiglia di
tutti i sottoinsierni A di X tali che I(A) = A, T è una topologia. Dimostrare che per
ogni sottoinsieme S di X si ha /(8) = Int(S) nella topologia T.
4 Applicazioni continue
Siano X e Y due spazi topologici e f : X -4 Y un' applicazione. f si dice
continua nel punto x E X se per ogni intorno N di f(x) E Y esiste un intorno
M di x tale che f(M) C N.
f si dice continua se è continua in ogni punto.
È evidente che la definizione di continuità che abbiamo dato coincide con
quella data nel paragrafo ] qualora X e Y siano spazi metrizzabili.
L'insieme i cui elementi sono le applicazioni continue di X in Y si denota
C(X, Y).
4.1 PROPOSIZIONE Sia f : X  Y un'applicazione di spaZi topologici. Le
condizioni seguenti sono equivalenti:
(a) f è continua.
(b) f ] (A) è aperto in X jJer ogni aperto A di Y.
(c) f ] (C) è chiuso in X per ogni chiuso C di Y.
DÙnostrazione
(a) => (b) Sia A un aperto di Y e x E f - l (A). Poiché A è un intorno di f(x) e
f è continua esiste un intorno M di x tale che f(M) C A. Quindi x E M C f l (A)
e perciò f- ] (A) E N (x). Segue che f- l (A) è aperto perché è intorno di ogni suo
punto.

..f. I Applic a zio1li continue
35
(b) =.} (a) Sia x E X e N E N(f(x). Esiste un aperto A C Y tale che
f(x) E A C N. Allora M = f l (A) E N(x) e f(M) = A C N. Quindi I è continua
In x.
(b) {:} (c) segue facilmente dalla relazione:
f- I (Y\8) = X\I 1(8)
per ogni sottoinsieme S di Y. 11II
4.2 PROPOSIZIONE
applicazioni. Se I è
continua in x.
Quindi se I e g sono continue anche
Siano X, Y, Z spazi topoLogici, f : X ----7 Y, g : Y ----7 Z
continua in x e g è continua in f(x) E Y allora g. f è
la [oro c0l11posizione g' f è continua.
DÙnostrazione. Immediata. !Il
4.3 Eselnpi
l. . L'applicazione identità di uno spazio topologico in se stesso è continua. Se
X, Y sono due spazi topologici e Yo E Y, l'applicazione costante:
C Yo : X ----7 Y
che manda ogni x E X in Yo è continua.
Ogni applicazione di uno spazio discreto X in uno spazio Y è continua. Ogni
applicazione di uno spazio X in uno spazio banale Y è continua.
Siano T e T'. due topologie su un insieme non vuoto X e 1 X : X ----7 X
l' applicazione inità, Se si considera il dominio di 1 x con la topologia T'ed
il codominio con la topologia T allora l x è continua se e solo se T < T'.
2. Se X e Y sono spazi metrizzabili, un' applicazione f : X ----7 Y è continua se e
solo se è continua con1e applicazione tra spazi metrici. Ciò segue dal teorema 1.1.
In particolare sono continue 'l. applicazioni lineari L : R n ----7 R m (cfr. esempio
1.2( 4»; le traslazioni Ta : R n -t R n , a E R n , sono isometrie e quindi sono
continue. - Similmente sono continue le applicazioni lineari L : C n ----7 cm C le
traslazioni Ta : C n ----7 C n .
3. Sia X uno spazio topologico. Un' applicazione f : X ----7 R n è continua In
x E X se e solo se sono continue in x le composizioni:
Pi . f : X ----7 R,
i= 1.... , n.
) ,
dove Pi denota la i-esima proiezione di R n in R.
L'affermazione "solo se" segue dal fatto che le proiezioni Pi sono continue
perché lineari c dalla proposizione 4.2. Viceversa supponiamo che le applicazioni
li := Pi' I siano continue in x, e sia N C R n un intorno di f(x) = (fl (x) . .. , In(x».

36
Spazi topo logici e applicazioni continue I Cap. l
Esiste r > O tale che f(x) E Qr(f(x» C N, dove
Q r (f (x)) = {Y E R n : I Yi - li (x) I < , i = l, . . . , n }
(cfr. esempio 2.4(2)). Per la continuità di Il, . . . , In in x esistono intorni M], . . . , .J.n
di x tali che
li (Mi) C (li (x) - , li (x) + ; ), i = l, . . . , n.
Ma allora, posto M = MI n . . . n M n , si ha:
[(M) C I] (M]) x . . . x !n(M n ) C Qr(f(x» C N,
e quindi f è continua in x perché M E N(x).
4. Sia f : X -+ Y un' applicazione continua tra due spazi topologici. Gli insiemi
f - I (y), Y E Y, si chiamano fibre di f. Se i punti di y sono chiusi le fibre di f
sono sottoinsiemi chiusi di X. Le fibre di un'applicazione continua f : R n -+ R
si dicono insienli di Livello di f. Se L : R n -+ R è ]ineare gli insiemi di li vello
di L sono i sottoinsiemi di equazione
L(x) = a, a E R,
e cioè ipe rpiani affini di R n ; per n - 2, 3 SI ottengono rette e pla/u affini
rispettivamente.
Due iperpiani affini
L(x) = a,
L(x) = b, a, bER
definiti dalla stessa applicazione ]ineare si dicono paralleli. Più in generale un
sottospazio affine di R n è un sottoinsieme chiuso che è fibra di un' applicazione
lineare L : R U -+ R m . Quindi un sottospazio affine è un sottoinsielne di R n definito
da equazioni della forma
aJIxl +...+ alnX n = al
r 4.1]
amI XI +... + arnnX n = a m
cioè è il luogo delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari. Se il sistema è
omogeneo si ottiene un sotto spazio vettori aIe. Ogni sottospazio affine non vuoto
A è il traslato di un unico sottospazio vettori aIe V, quello delle soluzioni del
sistelna omogeneo associato al sistema l4.1 J che definisce A:
A = V + b = {v + b : v E V}

4 I Applicaz.ioni (,0/11iI1IU!
37
dove b E R n è un qualsiasi elemento di A, cioè una soluzione qualsiasi del sistema
[4.11. La dÙnensione di A è per definizione uguale alla dimensione dello spazio
vettori aIe V.
\: Siano X, Y spazi topologici. Un' applicazione f : X  Y si dice aperta se per
ogni sottoinsieme aperto A C X r insieme f(A) C Y è aperto; f si dice chiusa se
per ogni sottoinsieme chi uso C C X l'insieme I (C) è chi uso in Y.
La con1posizione di due applicazioni aperte (rispettivamente chiuse) è aperta
(chiusa).
:'.ic- L'applicazione I : X -) Y si dice un o1neo1110rfisll1o oppure un' equivalenza
lopologica se f è continua, biunivoca, e se l'inversa 1- I : y ---7 X è continua.
Un'applicazione biunivoca e continua è un omeomorfismo se e solo se è anche
aperta oppure chiusa. Un'iSOlnetria di spazi metrizzabili è un omeomorfismo (cfr.
esempio 1.2(6».
'''' Due spazi topologici si dicono 0lne0l11orfi, oppure topologicalnente equivalenti,
e si scrive X  Y, se esiste un omeomorfismo f : X  Y. Le tre proprietà
seguenti sono ovvie:
(a) l'identità di uno spazio in se stesso è un (J/neolnorjiSl1zo;
(b) se f : X  Y è un oI11eol11orjisl1lo, anche f ] : y  X è un (UneOnlorjiSI110;
(c) se f : X -) Y e g : Y  Z sono (nne0I1Z0rji.\'1ni, la c(nnposizione g. f : X  Z
è un o17zeolnoljìsI110.
Da queste proprietà segue che l'equivalenza topologica è una relazione di
equivalenza tra spazi topologici.
Una proprietà che una volta posseduta da uno spazio X è anche posseduta da
ogni spazio omeomorfo a X si dice proprietà topologica. Ogni proprietà che si
definisce solo in termini di insiemi aperti o chiusi e di applicazioni continue è una
proprietà topologica. i\d esempio soddisfare il primo oppure il secondo assioma
di numerabilità, l'essere separabile, l'essere uno spazio discreto o banale, sono
altrettante proprietà topologiche.
4.4 Esen1pi
l. Le proiezioni Pi : R n  R sono applicazioni aperte. Sia A C R n un aperto,
a E pi(A) e
x = (x l  . . .  Xi I, a Xi+h . . . , X n )
un qualsiasi punto di A tale che Pi(x) = a. Poiché A è aperto esiste r > O tale
che Qr(x) C A. Allora
a E Pi(Qr(X» C pi(A)
e Pi(Qr(X)) = (a -, a +) è un intorno di a: quindi pi(A) è aperto.

38
Spazi topologici e applicazioni continue I Cap. J
Se n > 2 le proiezioni non sono chiuse. Sia infatti l < j < n, j =f i, e
consideriamo il chiuso ,..') di R n di equazione:
XiX} - 1 = O.
Allora Pi(S) = R\ {O} non è chiuso.
2. Sia n < m e  : R n ---; R m l'inclusione lineare
t,(XI"'" x n ) = (XI,..., Xn, O,..., O).
L è continua e chiusa ma non aperta. La continuità segue dal1a linearità. Sia
G'V C R n chiuso e Y = (YI,..' , Ym) E Rm\t(C). Se Yj 10 per qualche j > n + l,
allora
D/YJI(Y) C Rm\t,(Rn) C Rm\t(C).
Se invece Yn+l = . . . = Ym = O, allora y = t(Y'), dove y' = (YI, . . . , Yn) E Rn\C.
Sia r > O tale che Dr(Y') C Rn\C. Allora
Dr(Y) C Rm\t(C).
Quindi ogni Y E Rm\t(C) è esterno a t(C), cioè L(C) è chiuso. Questo dimostra
che t è un' applicazione chiusa.
L'applicazione t non è aperta perché t(R n ) non ha punti interni.
3. Sia X uno spazio topologico. L'insieme Omeo(X) degli omcomorfìsmi di X
in se stesso è un gruppo di trasformazioni di X, cioé è un insieme di biezioni di
X in sé che costituisce un gruppo rispetto alla composizione (cfr. Sernesi 1989,
 ] 4).
e applicazioni lineari invertibili L : R n ---+ R n sono particolari omeomorfismi;
esse costrtuiscono un sotto gruppo di Omeo(R n ) che si può identificare con il
gruppo GLn(R) del1e matrici n X n reali inverti bili. Un altro sottogruppo di
"Omeo(R n ) è costituito dalle traslazioni:
Ta : R n  R n , Ta(x) = x + a x E R n .
11 gruppo delle traslazioni di R n si identifica con il gruppo additivo R n c verrà
denotato 817.'
Se Ta E 8n e L E GLn(R) la composizione
Ta,L := Ta · L = L . T L J(a)
è un' affinità di R n . Si ha:
Ta.L(x) = L(x) + a = Ax + a = (  aljXj + al,...,  anjXj + a n ) ,
) }

4 I Applicazioni continue
39
dove A = (aij) è la matrice che rappresenta L. Le affinità sono omeomorfismi
perché composizione di due omeomorfismi; esse costituiscono un sottogruppo di
Omeo(R n ) che denoteremo Aff(R n ) e che contiene GLn(R) e 8n COlTIe sottogruppi.
Un altro sottogruppo notevole di Aff(R n ) è il gruppo An delle omotetie: ricordiamo
che una Ol1'lotetia è un' affinità Ta:L in cui L = À 1 R n per qualche À E R\ {O}.
Le applicazioni lineari L : R n  R n in cui L è un operatore unitario, cioè è
rappresentato da una matrice ortogonale, costituiscono un sottogruppo di G Ln(R)
isomorfo al gruppo ortogonale O(n). Le affinità Ta,L E Aff(R n ) in cui L E O(n)
sono le iS0111etrie, o congruellze, di R n e costituiscono un sottogruppo Isom(R n )
di G Ln(R). Le iso/11etrie dirette, o sil1unetrie, di R n sono quelle isometrie Ta,L
tali che L E SO(n), cioè tali che det(L) = 1. Esse costituiscono un sottogruppo
IS0111o(R n ) di Aff(R n ) contenuto nel sottogruppo Affo(Rn) di Aff(R n ) costituito
dalle affinità .dirette, cioè dalle affinità Ta.L tali che det(L) > O.
Infine ricordiamo che una silnilitudine di Rn è un'affinità ottenuta con1ponendo
un numero finito di isometrie e di omotetie. Le similitudini costituiscono un
sottogruppo Simil(R n ) di Aff(R n ) (cfr. Sernesi 1989,  20).
Vediamo dunque che tutte le trasformazioni di R n considerate in geometria
affine e in geometria euclidea sono particolari omeo1110rfismi.
In modo simile si vede che Aff(C n ) è un sottogruppo di Omeo(C n ), cioè ogni
affinità di C n è un omeomorfismo (cfr. esercizio 11).
Esercizi
1. Sia f : X ---+ Y un"applicazione di spazi topologici, x E X e 8(f(x» un sistelna
fondamentale di intorni di f(x). Dimostrare" che f è continua in x se e solo se per
ogni N E 8(f(x» esiste M E }.!(x) tale che f(M) c N.
2. Siano X e Y due spazi topologici e f : X ---+ Y un' applicazione. Siano S e 8
rispettivamente una sottobase e una base del1a topologia di Y. Dimostrare che le
condizioni seguenti sono equi valenti:
(a) f è continua;
(b) f l (B) è aperto in X per ogni B E 8;
Cc) f '(8) è aperto per ogni 8 E S;
(d) f( V ) c f(V) per ogni sottoinsicnle V di X;
(e) f-' ( W ) ::J f- '(W) per ogni sottoinsieme W di Y.
3. Sia f : X ---+ Y un' applicazione di un insielne X in uno spazio topologico Y con
topologia T. Dilnostrare che la famiglia di sottoinsiemi di X:
f 'CT):={f-'(A):AET}
è una topologia su X rispetto alla quale l'applicazione f è continua. f-' (T) è
precisamente la meno fine lra tutte le topologie su X che rendono f continua, e si
chiama topologia indotta da f su X.

40
Spazi lopologici e applicazioni continue I Cap. 1
4. Sia I : X --+ Y un' applicazione di uno spazio topologico X con topologia T in un
insieme Y. Dimostrare che la famiglia di sottoinsiemi di Y:
f*(T) := {A C Y : f- I(A) E T}
è una topologia su Y, che r applicazione f è continua rispetto ad essa, e che ogni
altra topologia su Y che rende I continua è meno tìne di I*(T). Questa si chiama
top%gia indotta da I su Y.
5. Sia S un sottoinsieme di uno spazio topologico X e Xs : X ---+ R l'applicazione così
defìnita:
{ l se x E S
XS'(x) =
O se x F/: S
Dimostrare che Xs è continua in x se e solo se x r:f- Fr(S).
6. Dimostrare che le topologie jd e 1's su R sono omeomorfe.
(Su8gerÙnento. Verificare che rapplicazione x  -x è un omeon1orfismo).
7. Siano X uno spazio top01ogico, I, g : X -+ R applicazioni continue e a E R.
Dimostrare che ognuna delle seguenti applicazioni è continua:
al : X -r R,
Ifl : X -t R,
I + g : X ---+ R,
I g : X ---+ R,
(af)(x) = af(x):
If/(x) = II(x)!;
(f + g)(x) = I(x) + g(x);
(fg)(x) = I(X)g(X)1 X E X.
8. Siano X uno spazio topologico, f, g : X ---+ R rt applicazioni continue e a E R.
Dimostrare che ognuna delle seguenti appJicazioni è continua:
1+ g : X -) R n , (I + g)(x) = I(x) + g(x);
al : X -t R n , (af)(x) = al(x);
11/11 : X ---+ R, IIfI/(x) = /lf(x)/I.
9. Siano X uno spazio topologico e I : X --t R un' app1icazione continua tale che I(x) FO
per ogni x E X. Dimostrare che l'applicazione:
:7 : X --> R, (:7 ) (x) = f() ' x E X
è continua.
lO. Siano Il  . . .  In : R ---+ R applicazioni continue. Dimostrare che le applicazioni
1+ : R n ---+ R f+(x) = Il (x d + . . . + fn(x n );
IX : R n ---+ R, IX (x) = Il (XI). .. In(x n )
x = (x l, . . . , X n ), sono continue.
Il. Un'affinità conzplessa è un'applicazione I : C n --+ C n deHa forma
I(z) = L(z) + b, z E cn
dove b E C n e L E GLn(C). DirTIostrare che un 'affinità cOlllplessa è un omeomorfismo.

.f. I Applicaz.ioni continue
41
12. Sia X uno spazio topoJogico tale che per ogni sottoinsienle I C X sia abbia Int(I) = 0.
Dimostrare che ogni applicazione f : Y ---7 X da uno spazio topologico Y in X è
continua.
13. Sia f : R  R l'applicazione così definita:
f(x) = { X
x+l
se x < O
se x  O.
DiITIOstrare che f è continua se il codominio ha la topologia euclidea ed il dominio
ha la topologia id (cfr. esenlpio 2.4(1 ».
14. Sia n  ] un intero. Si identifìchi l'insieme Mn(R) delle matrici quadrate n x n a
2
elelnenti reali allo spazio cuclideo R n , associando a una matrice A = (ai}) il punto
R n2
(a] ] , . . . , a l n  a21  . . . , a2n, . . . , a nn ) E .
Dimostrare che l'applicazione
det : Mn(R) ---7 R A r-t det(A)
è continua.
")
15. In modo simile al caso reale dell'esercizio precedente, si identifìchi Mn(C) a cn e
si dilTIostri che det: Mn(C) ---7 C è un'applicazione continua.

Capitolo 2
Esempi
5 Sottospazi
Sia X uno spazio topologico con topologia T, e sia S un suo sottoinsieme
non vuoto. Consideriamo la famig1ia Ts dei sottoinsiemi di k.9 della forma S n A,
al variare di A tra gli aperti di X. È imlnediato verificare che Ts è una topologia,
che si chiama topologia relativa di S in X (ovvero lopologia indotta da X su S);
si ha Ts = i J(T), dove i : /..9 C X è l'inclusione (cfr. esercizio 4.3). In particolare
1'inclusione i è continua se S ha la topologia T8 (ed infatti T8 è la topologia
meno fine su S che rende i continua).
Nel caso particolare in cui X è metrizzabile la topologia relativa di k.9 in X è
q uella indotta dalla distanza (cfr. esempio 2.1 (6».
Considerato come spazio topologico con la topologia relativa, S si chiama
sottospazio lopologico (o brevemente sottospazio) di X e X si chiama spazio
alnbiente di S.
Si noti che dalla definizione segue che un sottoinsieme H C S è chiuso se e
solo se esiste un chiuso K C X tale che H = K nS. Come abbiamo già osservato
nel caso degli spazi metrizzabili, dal fatto che un sottoinsieme B di 8 sia aperto
(oppure chiuso) in S non segue necessariamente che B è aperto (risp. chiuso) in
X. Le principali proprietà dei sottospazi sono date dalla seguente
5.1 PROPOSIZIONE Siano X uno spazio tO!Jo!ogico e S un suo sottospazio.
(a) Se 0 =f T C k.9, la top%gia relativa di T in k.9 coincide con la tOjJologia
relativa di T in X.
Cb) Se B è una base della topologia di X, la janliglia
Bs={Bnk.9:BEB}
è una base della tOjJologia di S.

5 I SOllospazi
43
(c) Se 5 è una sottobase della {opologia di X, la famiglia
58 = {A n S : A E 5}
è una sottobase della topologia di 1..9.
(d) Sia x E S; un sottoinsielne U di S è un intorno di x 1n S se e solo se
esiste un intorno V di x in X tale che U = V n S.
(e) Se W è un sottoinsienle di S e denotialno con W r la chiusura di W in 8
- -r -
e con W la chiusura di W in X, allora W = W n S.
(f) S è aperto in X se e solo se l'inclusione i : S C X è aperta.
(g) S è chuso in X se e solo se l'inclusione i è chiusa.
DÙnosfrazione
(a) Se A C T è aperto nella topologia relativa di T in S esiste B aperto in S
tale che A = B n T; per la definizione di topologia relativa di S in X esiste un
aperto U di X tale che B = Un 1..9; quindi A = T n (8 n U) = T n U è aperto nella
topologia relativa di T in X. Il viceversa si dimostra in modo simile.
(b) Sia A un aperto di S e B un aperto di X tale che A = B nS. Poiché 8 è
una base di X si ha
B = U Bj, Bj E 8
JEJ
e perciò
A = B n 1..9 = ( .U Bj ) n 8 = .U (B) n 8);
}EJ }EJ
poiché ogni Bj n S E 88, ciò prova che 88 è una base della topologia di 1..9.
Cc) Segue in1mediatamente da (b).
(d) Se V è un intorno di x in X esiste un aperto B di X tale che x E B C V;
allora A = 1..9 n B è un aperto di S tale che x E A C V n S = U, e quindi U è
un intorno di x in S. Se viceversa U è un intorno di x in S ed A un aperto di
S tale che x E A C U, esiste un aperto B di X tale che A = B n S. Poniamo
V = B U U. Allora x E B C V, quindi V è un intorno di x in X e V n S = U.
Le dimostrazioni di (e), (f) e (g) sono lasciate al lettore. Il
Sia I : X ---t Y un' applicazione continua di spazi topologici e sia Y' un
sottospazio di Y tale che I(X) C Y'. Ponendo l'(x) = I(x), x E X, resta defi-
nita un' applicazione j' : X ---t Y' che, è immediato verificarlo, è continua; l' si

44
Esempi I Cap. 2
chiama applicazione di X in Y' indotta da I. I si dice inclusione continua se
r applicazione X  I(X) indotta da I è un oIneomorfislllo. In particolare se
f : X  Y. è un omeomorfismo allora f è un'inclusione continua.
L'inclusione di un sottospazio nel suo spazio ambiente è un inclusione continua.
Se Ti, T 2 sono due topologie su un insieme X =f 0 e Ti < 72 strettamente,
l'identità (X 7 2 )  (X, Ti) è un esempio di applicazione continua e biettiva che
non è un' inclusione continua.
Siano I : X  Y un' applicazione continua di spazi topologici, S un sottospazio
di X ed i : S C X l'inclusione. La composizione I . i : .9  Y è un'applicazione
conti nua che si chiama restrizione di I a 8, e si denota 118' Se viceversa g : S -4 Y
è un' applicazione continua, ogni applicazione continua I : X ---t Y tale che fls = g
si chiama estensione continua di g ad X.
Lasciamo al lettore la dimostrazione della seguente:
5.2 PROPOSIZIONE Siano X, Y spazi topologici, f : X  Y un orneolnoJ:fis111o
ed S un so!tospazio di X. Allora la restrizione fjs : S ---t Y è un 'inclusione
continua.
Supponiamo dati un ricopri mento 1 dello spazio X ed un'applicazione continua
I : X  Y. Per ogni F E 1 consideriamo la restrizione flF : F  Y. La famiglia
di applicazioni continue
{/,F : F -4 Y}FEf
soddisfa alle ovvie condizioni di c0l11patibilità
C/IFI)JF,0F2 = (!IF 2 )IF,nF 2 , per ogni Fh F'2 E ,.
Supponiamo viceversa dato un ricoprirncnto ]' dello spazio X ed una famiglia di
applicazioni continue
{IF: F  Y}FEf
soddisfacenti alle condizioni di compatibi1ità
(f F, )/F, nF 2 = (f F 2 )IF 1 nF 2 , per ogni F 1 , F 2 E 7.
[5.11
Possiamo allora definire l' incollal11ento delle applicazioni {I F} come l'applicazione
f : X -4 Y data da
f(x) = !F(X) se x E F.
Si ha ovviamente
fjF = IF per ognI F E 1,

5 l Sotlospazi
45
ma In generale f non è continua. Ad esempio l'applicazione f : R ---t R definita
da
{ O se x < O.
f(x) = - ,
1 se x > O
non è continua ed è l' incollamento delle applicazioni costanti
Co : (-00, O] ---t R, Cl: (O, +00) ---t R,
che sono continue.
La proposizione seguente dà delle condizioni che garantiscono la continuità
dell' incollamento di una famiglia di applicazioni continue.
5.3 PROPOSIZIONE Siano 1 un ricoprinlento dello .\l Ja Z io tOjJologico X, {f F :
F ---t Y} FEl una fan1iglia di applicazioni continue a valori in uno spazio to-
pologico Y, soddisfacenti alle condizioni di conlpatibilità [5. I 1, e f : X ---t Y
l'incollanlento delle {f F}. SuppOnial110 che una delle seguenti condizioni sia sod-
di.ratta:
(a) tutti gli F E 1 sono insielni aperti (si dice 111 questo caso che 1 è un
ricoprimento aperto);
(b) 1 è una .fanliglia finita di insiemi chiusi (]' è un ricoprimento chiuso finito).
Allora I è continua.
Dinl0strazione. Supponiamo soddisfatta la (a), e sia A un aperto di Y. Poiché
]' è un ricopri mento di X, si ha
f--'(A)=I I(A)n ( U F ) = U (I I(A)nF)= U fF1(A).
FEl FEl FEl
Per la continuità delle applicazioni f F, f F I (A) è aperto in F per ogni F E 1
e quindi è aperto in X, perché gli F sono insiemi aperti; ne segue che f l (A) è
aperto in X, e quindi f è continua.
N eH' ipotesi (b) la dimostrazione è simile: si considera un chiuso H C Y e si
verifica che 1- l (H) è chiuso in X. Il
5.4 Esenlpi
l. Se X e Y sono due spazi metrici e f : X ---t Y è un' applicazione tale che
dx(x, x') = dy(f(x), f(x'» per ogni x, x' E X, allora f è un'inclusione continua di
X in Y considerati come spazi topologici metrizzabili.

46
Esempi I Cap. 2
2. I seguenti sottospazi di R n , n > 1, sono esempi che ricorrono frequentemente
in topologia:
I = [O, l J: l'intervallo unitario chiuso di R.
In = {X E R n : O < Xi < 1, i = 1  . . . , n}: l' n-cubo.
D n = {x E R rl : /lxll < l}: l'n-disco unitario chiuso.
S11. - 1 = {x E R n : Uxll = l} = Fr(D n ): l'(n - I )-.\fera.
s . 1 = {x E sn . l : x n > O};
S - ] = {x E S11. I: X 11. < O}; le (n-I )-senli.fere chiuse (o (n - l)-calotte chiuse).
/1n = {x E R n : x I + . . . + Xn < 1  Xi > O, i = l,. . . , n}: l' n-sÙnplesso.
Uno spazio X 01l1eOmor[o a D n si chiama n-cella.
Si verifica facilmente che ogni sottospazio affine A di '(dimensione m di R n
è omeomorfo a R m . Sia infatti A = V + b, b E R n , dove V è un sotto spazio
vettoriale di dimensione m in R n , e sia {v I, . . . , v m } una base ortonormale di V.
L'applicazione h : R m  R n definita da
h(y) = YI VI +. . . + Ym V m + b
induce un omeomorfismo di R m su A.
Un SOt!oillsienle K di R n si dice convesso se per ogni coppia di punti distinti
P, Q E K, il segmento che li congiunge
PQ ={(I-t)P+tQ:tEI}
è contenuto in K. Un solido convesso è un sottoinsieme convesso il CUI interno
è non vuoto.
In, D n e /111. sono solidi convessi (fig. 5.1); un sottospazio affine diverso da
R rt è convesso ma non è un solido; sn . l non è convesso.
,/
,/
/'
.......
,..,
,..,
.......
......
......
.......
Figura 5.1

5 I SO! lo.pazi
47
L'intersezione di una famiglia qualunque di insiemi conveSSI è un InSIeme
convesso, come segue subito dal1a definizione.
Se k.9 C Rn è un qualunque sottoinsieme, l'inviluppo convesso di S è il più
piccolo insieme convesso K(k.9) contenente S, cioè l'intersezione di tutti gli insiemi
convessi contenenti 8. Ovviall1ente l'in viluppo convesso di un insieme convesso
S è S stesso.
L'inviluppo convesso di sn - l è D n . 11rJ. è l'inviluppo convesso dell'insieme
finito {O,e),...,e n }, dove el,...,e n sono i vettori della base canonica di R n . Più
in generale l'inviluppo convesso di un insieme finito {P I  . . . , Pm} è
K(P" . . . , Pm) = {tI P, + . . . + tm.Pm : t, + . . . + t m = l, tj > O, j = 1, . . . , m}.
3. Per costruire oIneomorfismi tra sottospazi di R n useremo quando possibile
affinità o addirittura congruenze o similitudini.
Due sottospazi topologici S e T di Rn si diranno affinenzente equivalenti
(rispettivamente congruenti, risp. sÙnili) se esiste un' affinità (risp. una congruenza,
risp. una similitudine) f : R n --t R n tale che 1(8) = T.
Poiché le affinità sono omeomorfismi, segue dalla proposizione 5.2 che due
sotto spazi affinemente equivalenti (in particolare congruenti o simili) sono omeo-
m ortì..
Ad esempio D n ed sn l sono omeomorfl ad un qualsiasi disco chiuso Dr(x),
x E R n , r > O, e alla sua frontiera rispettivamen te, p erché è possibile, con una
opportuna similit udine (quale?) mandare D n su Dr(x ) in modo che sn - l abbia
per immagine Fr(Dr(x». Denoteremo d'ora in poi Fr(Dr(x» con 811. I(x,r).
4. Consideriamo DI (O) = Dn\sn -- I C R n , il disco aperto di centro l'origine e
raggio 1. L'applicazione
h : D l (O) --+ R n
definita da
h(x) = x/Cl - Ilxll)
è un omeomorfismo. Infatti h è continua e possiede un' inversa continua data da
h-1(y) = y/(l + 11yll).
So1tospazi di R
5. Siano [a, b J e [c, dJ due intervalli chiusi e limitati (a < b, c < d), considerati
come sotto spazi topo logici di R. L'applicazione
f : [a, b] --+ [c, d]

48
Esempi I Cap. 2
defini la da
d-c
f(x) = c + b _ a (x - a)
è la restrizione ad [a, b] di una affinità di R in R, che è un omcomorfismo. Per
la proposizione 5.2 f è un omeomorfismo. Con un' ulteriore restrizione otteniamo
omeomorfÌsmi tra
( a, b) e ( c, d),
l a, b) C [c, d),
(a,bl e (c,dJ.
L'olneomorfismo f che abbiamo considerato soddisfa f(a) = c, f(b) = d. Se si-
considera invece l'applicazione
g : [a, b]  l c, d]
defini la da
e-d
g(x) = d + (x - a)
b-a
si ottiene un olneomorfismo tale che g(a) = d, g(b) = c; g induce omeomorfismi di
la, b) su (c, d]
e di
(a, b l su [e, d).
Si noti che se b - a =I- d-c gli intervalli la, bJ e [e, d] non sono congruenti pur
essendo omeomorfi.
6. Siano e < b cd f : [c, b) --+ R definita da
f(x) = (x - e)/(b - x).
f è un'inclusione continua cioè induce un omeomorfismo di [c, b) sull'immagine,
che è l'intervallo [O, +00). Infatti f è continua e dotata di inversa f- I : [O, +00) --t
[e, b) data da
f - l (t) = (bt + c) / (t + l).
Per restrizione f definisce un omeomorfismo di ( c, b) su (O, +(0).
Analogamente, se a < c e se poniamo
g(x) = (x - c)/(x - a)

5 I Sottospazi
49
definiamo un omeomorfismo g : (a, c]  (-CX) OJ, il cui inverso è
g- 'Ct) = (c - at)/(l - t).
Anche qui per restrizione si definisce un omeomorfismo di (a, c) su (-00, O).
Il lettore può modificare facilmente questi esempi sostituendo [O, +00) e (-00, O]
con ld. +00) e (-00, dl per un qualsiasi d E R.
Se a < b e se poniamo c = C a + b) /2, possiamo definire
h : (a, b)  R
come incollamento di f e g definite qui sopra, ponendo cioè
x-c
h(x) = { X - a
x-c
b-x
se a < x < c,
se c < x < b.
Otteniamo in questo modo un omeoITIorfismo di (a, b) su R.
7. Riassumendo gli esempi 5 e 6, possiamo dire che: (C\!) due intervalli aperti,
lin1itati o no, sono omeomorfì; ((3) due intervalli chiusi e limitati sono omeomorfi;
(l') due intervalli aperti da una parte e chi usi dall' altra, limitati o no, sono
omeomorfi.
È possibile dimostrare che le classi (a), ({3) e (l') sono topologicamente distinte,
cioè che ogni intervallo di una di esse non è omeomorfo ad alcun intervallo di
un'altra. Dimostreremo questo fatto nel paragrafo Il (cfr. esempio 11.14(1)).
Sottospazi di R 2 e di C
8. Siano P" . . . , Pm, m > 2 punti di R 2 tali che Pj ,=1= Pj per ogni j = 2, . . . , m.
a poligonale di vertici P 1 ,...  Pm. è l'unione di segmenti
rr = rr C PI, . . . , p m) = P 1 P 2 U P 2 P 3 U . . . U P m. ,])rn.
La poligonale rr si dice chiusa se P 1 = P m ; rr si dice senlplice se non si
autointerseca, cioè se due qualsiasi dei segmenti che la compongono non hanno
punti in comun e, fatta ec cezione per 1'estremo comune a due segmenti c onsecutiv i
({Pj}=Pj--lPjnPjPj+l) e per il punto P 1 =P m (comune a P 1 P 2 e a Pm IP m )
nel caso in cui rr è chiusa (fig. 5.2). È facile dimostrare che una poligonale SClll-
plice e non chiusa rr CP}, . . . , Pm) è omeomorfa ad I. Un orneomorfismo è indotto
dall' immersione f : I -4 R 2 , definita come incollalnento delle applicazioni (j =

50
E'empi I Cap. 2
=2,...,m)
[ 1-2 i-l ]
Ij . U j: m-l  m - l
 R2
dove
.. [ i-2 i-l ]
U J . l ' l  I, U j (t) = (m - l)t - i + 2,
m- m-
e
fj:IR2 Jj(u)=(1-u)P j - 1 +uPjo
Una poligonale senlplice e chiusa TI = TI (P" . . . , Pm I, p]) (con m > 4) è
onleornorfa alla circonferenza Si.
P4
P2

Poligonale
né semplice né chiusa
P,



Ps
Poligonate
semplice non chiusa
P-,
Ps
Poligonale
semplice e chiusa
Figura 5.2

5 l Sottospazi
51
Per costruire un omeomorfismo h : SI  n Si ponga:
s+ : = {x = (x, y) E SI: y > O}, S -- : = {x = (x, y) E SI: y < O},
n' := n (Prn - J, . . .  P 2 , P 1 ), n" := n (Pm - I, P I ).
Essendo n'una poligonale semplice e non chiusa, dalla prima parte di questo
esempio otteniamo un omeomorfismo f : lO, Il  n'. Per ogni x E S+, si ponga
h' (x) = f ( x ; l ) .
. n '
Ovviamente h' : s+  è un omeomorfismo e si ha:
h' (l, O) = I( l) = P,;
h'(-l,O) = 1(0) = P m --!.
n "
Sia ora g: lO, Il  l'oilleomorfismo così definito: g(t) = (1 - t)P m ,-\ +tP,.
Per ogni x E S-, si ponga
h" (x) = g ( x ; 1 ) .
n "
Ovviall1ente h" : S-  è un omeomorfismo e si ha:
h"(-l,O) = g(O) = P rn - 1 ;
h" (1, O) = g( l) = P I .
Ne segue che h' c h" si incollano in un' applicazione h : S'  n. Inoltre h è
continua (infatti {S -,S+} è un ricoprimento fìnito e chiuso di SI) e dunque h è
un olTIcomorfismo come richiesto.
9. Il quadrato 1 2 ed il disco chiuso D 2 sono omeonl0rfi (cioè 1 2 è una 2-cella).
Possiamo sostituire 1 2 con il quadrato chiuso
Q = {(XI,X2) E R2: -l < X"X2 < l}
di centro l'origine e lato di lunghezza 2 : I::! e Q sono simili e quindi oll1eomorfi.
La similitudine s : 1 2  Q è data da
s(x) = (2x l -- 1, 2X2 - l)

52
Esempi I Cap. 2
e l'inversa è
s -- l (t) = C I ; ] , t l ;] ).
Costruiamo un omeomorfìsmo f di D 2 su Q nel modo seguente.
Per ogni x # O denotialTIO con x' E Fr( Q) il punto di intersezione con Fr(Q
della semiretta di origine O e passante per x. Definiamo
{ O se x = o.
I(x) = '
1/ x' "x se x E D 2 \ {O}.
L'applicazione f : D 2 ---t Q così definita è biunivoca perché ha inversa
f . I (y) = { ; / /I y'll
se y = O
se y E Q \ {O} .
La continuità di 1 e di f- ] segue da quella della funzione
Q\ {O} ---t R
y  l/y'll
la cui verifica ClelTIentare è lasciata al lettore (fìg. 5.3).
Si noti che f induce un omeomorfismo di S] sul1a poligonale Fr( Q). Si os-
servi anche che f non può essere la restrizione di un' affinità l : R 2  R 2 . Tale
affinità sarebbe infatti un' applicazione lineare (perché 1(0) = 1(0) = O) e quindi
.
I
I
!
Xl
Figura 5.3

5 I S()tlo.pazi
53
un'0l110tetia (per come è definita f). Ma ciò implicherebbe che Ilx'll è costante al
variare di x E S], il che è falso.
IO. Siano P,  . . . , Pm E R 2 , m > 3 punti distinti a tre a tre non allineati c tali
che per ogni j = 2, . . . , m i punti P"..., Pj - 2' Pj+l'.'" Pm, siano tutti in uno dei
due semipiani in cui R 2 è diviso dalla retta contenente Pj - l e Pj. L'inviluppo
convesso K(P],..., Pm) si chi,una poligono convesso di vertici Pj,..., Pm. Con
un metodo simile a quello dell' esempio 9 si dimostra che ogni poligono convesso
è una 2-cella.
Il. Un sottospazio topologico di R 2 omcomorfo a SI si chiama arco di Jordan.
Come dimostrato nell'eselnpio 8 una poligonale semplice e chiusa è un arco di
Jordan. La figura 5.4 rappresenta un arco di Jordan.
12. In molti casi è comodo identifìcare R 2 al piano complesso C e avere così
a disposizione il linguaggio e le proprietà dei numeri complessi per studiare la
topologia del piano.
Ad esempio, sia O < O < 21r e sia
Ao = {z E C\{O} : O < arg(z) < O}.
Se n > 2 è un intero, l'applicazione
C-tC
Z I-t zn
definisce per restrizione un oll1eomorfismo di AO/n su Ao per ognI O E (O, 21r J, il
CUI in verso è indotto dall' applicazione di C in C:
w  (detenninazione principale di wl/n) =
n/- I I ( ( arg(w) ) . . ( arg(w) ) )
= V W cos + l Sin .
n n
Figura 5.4

54
Esempi I Cap. 2
In particolare si trova che il semipiano
A1r = {z E C : 1 m( z) > O}
è omeomorfo al prinlo quadrante aperto
A1r/2 = {z E C : Re(z) > O, Im(z) > O}
e anche a
A 21r = C\ {x E R : x > O}.
Più in generale, qualsiasi siano 0 1 , O 2 E (O, 21r l gli aperti Ao, ed Ao sane
omeomorfi; un omeomorfismo
AO i ---+ A0 2
è definito da
-1
Z r+ (deternlinazione principale di Z02(}j )
= Izlo20 I (COS(02 0 ;- I arg(z» + i s.in(020 I arg(z»)
13. Considerian1o la funzione csponenzialc complessa
exp : C ---+ C
definita da
exp(z) = eX(cos(y) + i sin(y», se z = x + ly.
Questa applicazione è evidentemente continua. Inoltre
exp(zl) = exp(z2)
se e solo se
X2 = XI, Y2 = YJ + 2k7r per qualche k E Z.
Quindi exp è inietti va ad esempio nella striscia aperta
B = {z E C : O < I In( z) < 27r}
la quale viene mandata sull'aperto A 21f (fìg. 5.5). Su A 21r l'applicazione inversa
di exp è data dalla detenl1inazione principale del logaritl110 naturale complesso
In : A 2 'lf ---+ C

5
Soltospazi
55
'" '" '" '" - - -1- - _ _ _ _ ,
--------r-----
I
I
I
I
________-1______
----------,-------
l
I
I
I
l
I
I
,
I
I
-------------------
t
B
...
...
...
,
,
,
,
,
,
,
,
I
I
,
I
,
I
I
I O
\
\
\
\
\
\
,
,
,
"
"
,
"
,
"
"
I .
2JlI
"--__ I __-"';;
--t--
I
I
I
I
I
,
,
I
,
,
,
,
...
... A 2n
o
Figura 5.5
definito da
ln(w) = In jwl + i arg(w).
Poiché In è continua, abbiamo che B è omeomorfa ad A 21r e quindi, per quanto
visto prima, ad Ao per ogni () E (O, 21r J.
Si noti che exp trasforma i segmenti di B paralleli alJ' asse ilnrnaginario in
circonferenze di centro l'origine.
14. Il semi piano A7r C C e il disco aperto unitario
D = {z E C: Izl < l}
sono omeomorfi. Un omeornorfismo è indotto dall'applicazione
T : A1r  C
defini ta da
z -- I
T(Z) = ----:- .
Z + l
Per verifìcarlo osserviamo che r è ben definita e continua In tutto A7r e che
T(Z) E D per ogni Z E' A1r' Infatti Im(z) > O implica I Im(z - i) I < I Im(z + i)l, ed
essendo
Re(z - i) = Re(z + i)
SI ha Iz - il < Iz + il, cioè Ir(z)1 < 1.

56
Esempi I Cap. 2
D'altra parte consideriamo l'applicazione a : D -+ C definita da
w + 1
a(w) = i(w - 1) ;
a è continua e soddisfa a(D) C A1f' Quest'ultimo fatto segue osservando che
w + 1 -i(w + l)( w - l) -2 Im(w) + i(l - IWJ2)
- - .
i (w - l) (w - ]) ( w - l) I W 1 2 - 2 Re( w) + ]
il den0111inatore è reale positivo perché
Iwl 2 - 2 Re('l.u) + 1 > (Re(w) - 1)2 per ogni w E C;
la parte immaginaria del numeratore è l - Iwl 2 > O; quindi a (w) E A7r'
È immediato verificare che, per ogni z E A 1r , W E D, si ha
a(r(z» = z r(a(w» = w.
Questo dimostra che
a eD) = A7r r(A 7r ) = D
e che T e a sono inietti ve. Qui ndi r e a sono oI11eomorfi smi tra A1r e D uno
inverso dell' altro.
Altri esel11pi
15. Sia c E R 3 e H un piano di R J non contenente c; sia H c il piano para11elo
a H passante per c. Denotiamo con
7rc:H : R3\Hc -+ H
l'applicazione definita da
7rc.H(X) = H n r(c x)
dove abbiamo denotato con r(c, x) la retta contenente c ed x. 1fcH si chiama
proiezione di R 3 su H di centro c; c è il centro di proiezione.
Per la sua definizione geometrica è evidente che 7r cH è continua. Per verificare
questo fatto analiticamente sceglialTIO ad esempio H con1C il piano di equazione
X3 = O e c = (O, O, ]). Allora, identificando H a R 2 , l'applicazione
7rc:H : R3\Hc -+ R 2 (dove Hc è il piano di eq. X3 = 1)

5 I Sotlospazi 57
C = (O; 0,1)
/
/
___1_________
/
/
X
----------.
.
\ O
\
L / "+ (x) \
/ \
/ \.
/ \. /
/  /
Figura 5.6
è data da
7rc,H(X) = (xI/(1 - X3), x2/CI - xJ»,
ed è evidentemente continua.
La restrizione dì 7r c.H (con e e H come qui sopra) a 8 2 \ { e} si denota 7r + e si
chiama proiezione stereografica di S2\ {e} su R 2 (fig. 5.6). Questa applicazione è
un omeolTIorfismo di 8 2 \ {e} su R 2 . Infatti è dotata di inversa continua definita da
I ( 2y I 2Y2 YT + y - 1 )
7r + (Yh Y2) = 2 + 2 + l ' 2 + 2 + 1 ' 2 + 2 + 1 .
Y l Y2 Y l Y2 Y I Y2
Si noti che la restrizione della proiezione stereografica alla semisfera chiusa
S_ = {x E 8 2 : X3 < O} è un omeomorfismo di 8 su D 2 .
È evidente che cambiando opportunamente e E 8 2 e H è possibile definire in
più modi un omeomorfismo di S2, pri vata di un punto qualsiasi, su R 2 . L'unica
condizione che e e H devono soddisfare (oltre a c  H) è che Hc incontri S2
solo in c.
16. L'esempio 15 può facilmente generalizzarsi a R n , n > 2. Sia e E RrI., H un
iperpiano di R n non contenente c, e Hc l'iperpiano parallelo a H passante per c.
La proiezione di R n su H di centro e (il centro di proiezione) si definisce come
l'applicazione
7rc.H : Rn\Hc  H
data da
7rc,IfeX) = H n ree, x).
Se c = CO . . . , O, l) e H ha equazione X n = O, si ha
( Xl Xl X n I )
7rc,H(X) = 1 - ' l - ' . . .  1 - .
X n X n X n
3

58
Esempi I Cap. 2
La restrizione di 7r c.H a sn-- 1 \ { c} è un omeomorfismo di Sn - 1\ { C} su R n -] che
si denota 7r + e si chiama proiezione stereografica.
Nel caso particolare n = 2 si ottiene un omeomorfismo di SI \ {(O, l)} su R,
come illustrato nella figura 5.7.
17. Il gruppo lineare generale reale
GLn(R) = {a E Mn(R) : det(A) =f O} (n intero > l)
è un sottospazio aperto di Mn(R). Denotiamo con In E Mn(R) la matrice identità.
I sottogruppi di GLn(R):
O(n) = {A E Mn(R) : tAA = In} :
SO(n) = {A E O(n) : det(A) = l} :
SLn(R) = {A E Mn(R) : det(A) = l} :
gruppo ortogonale
gruppo ortogonale speciale;
gruppo lineare speciale reale,
sono sottospazi chiusi di Mn(R).
Sia g un intero > l e
( Og
J g =
-Ig
Ig )
E M 2g (R)
Og

c = (0,1) ,/
Figura 5.7

5 I So ttospazJ
59
dove Og E Mg(R) denota la matrice nulla. Il sottogruppo di GL 2g (R)
t gruppo simplettico
Sp(g, R) = {A E M 2g (R): AlgA = 19} : .
reale dI grado g
è un sottospazio chiuso di M 2g (R).
Le verifiche di questi fatti sono lasciate al lettore.
18. Similmente al caso reale (esempio 17), GLn(C) è un sottospazio aperto di
MnCC), mentre i suoi sottogruppi
U(n) = {A E Mn(C): t A A = In} :
SU(n) = {A E Un(C) : det(A) = l} :
SLn(C) == {A E Mn(C) : det(A) = l} :
gruppo unitario,
gruppo unitario speciale,
gruppo lineare speciale cOlllplesso.
sono chiusi in Mn(C).
È anche chiuso in M 2g (C) il gruppo simplettico complesso di grado g:
Sp(g, C) = {A E M 2g (C) : t AlgA = 19}.
Esercizi
1. Dimostrare che un sottospazio topologico di uno spazio soddisfacente il prilTIo (risp. il
secondo) assioma di numerabilità soddisfa anch' esso il primo (risp. il secondo) assioma
di nUlllerabilità.
2. Siano a, b numeri reali non nulli e C C R 2 l' ellisse di equazione
xT/a 2 + x/b2 = 1.
Con un Inetodo siInile a quello dell'eselllpio 9 si dilllostri che l'in viluppo convesso
K(C) è una 2-cella (fìg. 5.8).
3. Per ogni n 2: 3 dimostrare che In è una n-cella.
4. Sia S = {(XI,X2) E R2: -I:::; xl,X2 < l}.
Trovare un sottospazio X di R 2 contenente S nel quale S sia, rispetto alla topologia
relativa di X,
(a) aperto e chiuso,
oppure
(b) chiuso ma non aperto,
oppure
(c) aperto ma non chiuso.
5. Esercizio come il precedente, ma con
S = {(Xj,X2) E R2: -I < XI,x2  l}\{(O,O)}.

60
Esempi I Cap. 2
.
------JIIII-
K(C)
:Figura 5.8
6. Far vedere con un eselTIpio che la conclusione della proposizione 5.3 non è vera se
nell' ipotesi (b) non si suppone lì nito i l ricoprimento T.
7. Descrivere analiticmnente l'inversa della proiezione stereografìca 7r+ di sn-I\{(o,...,
O, l )} sul]' R ri - 1 di equazione X n = O.
8. Un sottoinsieme E di uno spazio topologico X si dice discreto se la topologia relativa
di E in X è la topologia discreta. Dimostrare che:
(a) E C X è discreto se e solo se ognI e E E possiede un intorno U e In X tale che
UenE={e};
(b) Z, {l/n: n E N+} sono sottoinsielni discreti di R, mentre Q, {l/n: n E N+}u {O}
non sono di screti.
9. Un' applicazione continua f : X ---+ Y si dice un ol11eol1uuiisl1Z0 locale se ogni x E X
possiede un intorno aperto che viene mandato da f omeomorfìcamentc su un aperto
di Y.
Ogni omeolnorfismo è un 01l1eonl0rfisl1l0 locale, ma non vale il viceversa: ad eselnpio
ogni applicazione di spazi discreti è un olneomorfismo locale, ma non è un OIne0I110f-
fislTIO se non è biettiva. Vari eselTIpi di omeolTIorfisllli locali verrano dati nei capitoli
seguenti. Si dinl0stri che un orTIeoITIorfisl1l0 locale è un' applicazione aperta.
DiITIostrare inoltre che un' inclusione continua f : X ---+ Y è un omeomorfislno locale
se e solo se è un' applicazione aperta.
IO. Di lTIOstrare che S:  s per ogni n  I.
Il. Sia X = {x E R 2 : x2 > O Ilxll  l}. Dire quali dei seguent: sottoinsielni sono chiusi
In X con la topologia di sottospazio di R2:
"
A = {x E R"": X2 > O, Il xii = l}
C = {(O, t) E R2: () < t < l};
'ì
B = {x E R": X2 2:: 1/2 Ijxll < l};
D = {(t, t) : O < t :; V2j2}.

6 I Prodotti
61
12. Sia X = {x E R 3 : IX31 :; ], XT + x < ]}. Dire quali dei seguenti sottoinsiemi sono
aperti in X con la topologia di sottospazio di R3:
A = {x E R 3 : O < X3 :; l, xT + x < 1 /2 } 
n = {x = (O, O, t) : O < t < l};
C = {x = (O, O, t) : O < t < l};
D={XER3:xT+x< 1/2, IX31 < l};
E = {x = (XI,X2, 1/2): xT +X < 1/2},
13. Sia X = {(XI, X2) E R 2 : x2  xI > O}. Dire quali dei seguenti sottoinsicmi sono apcrti
in X con la topologia 'di sottospio di R2:
. ,
 
A = {x E R'" : O < X I :::; X2 < l}  B = {x E R'" : 1 < X I < X2};
C = {x E R 2 : ] < Xl < X2}; D = {x E R 2 : Xl < x2, XI = l/n, n  l intero}.
14. Sia X = {(XI, X2) E R 2 : xI  O, x2 > O}. Dire quali dei seguenti sottoinsiclni ono
chiusi in X con la topologia di sottospazio di R2:
A = {(I,x2): X2 > O};
n = {(l/n, 1) : n  l intero};

C = {x= (XI,X2) E R"': xI +X2 = l, XI> O, x2 > O};
D = {e l, l/n) : n > 1 intero} .
15. Sia X = {x E R 2 : Il X Il < 1} U {x E R 2 : x l = O}. Dire quali dei seguenti sottoinsielni
sono chiusi in X con la topologia di sottospazio di R2:
A = {x E R2: Ilxl[ < l}; n = AU {eD, l)};
C=Bu{(O,-I)}; D={(XI,O): -1 <XI <l}.
6 Prodotti
In questo capitolo studieremo un procedimento per costruire nuovi spazi topo-
logici a partire da spazi assegnati, che consiste nel considerare il loro prodotto
cartesiano e su di esso definire un' opportuna topologia.
Descriveremo il pro:edimento inizialmente nel caso di due spazi Xl e X 2
con topologie Ti e 72 rispettivamente. Nel prodotto caltesiano X = XI X X 2
consideriamo la famiglia B dei sottoinsiemi che sono il prodotto di un aperto di
XI per un aperto di X 2 , cioè
B = {Al X Al : AI E TI, A 2 E 72}.

62
Esempi I Cap. 2
La famiglia B è un ricoprimento di X perché X = X] X X 2 E B. Inoltre se Al x A 2 ,
BI X B 2 E B, allora
(Al x A 2 ) n (B I x B 2 ) = (AI n B I ) x (A 2 n B 2 ) E B
perché Al n BI E Ti ed A 2 n B 2 E 72. Ciò prova che la famigli_. soddisfa le
condizioni della proposizione 2.2 ed è quindi base di un 'unica topolqgia T su X;
T si chiama topologia prodotto su X (delle topologie Ti e 7'2); con la topologia
T X si chiama spazio topologico prodotto (oppure prodotto topologico) di Xl
per X 2 .
Per definizione gli aperti di X sono i sottoinsiemi che si possono ottenere
come unione di insiemi appartenenti a B. Segue subito che un sottoinsieme N
di X è un intorno del punto (x l, X2) E X se e solo se esistono un intorno N I di
XI E XI ed un intorno N 2 di X2 E X 2 tali che N] x N 2 C N.
Un esempio importante è R 2 , che è il prodotto topoIogico di R per se stesso.
Per vederlo occorre ricordare che la famiglia dei rettangoH aperti
{R(a,b;c,d): a < b, c < d}
è una base per la topologia euclidea di R 2 (cfr. esempio 2.4(2». Tali rettangoli
sono particolari _elementi della base B chc definisce la topologia prodotto, quindi
questa topologia è più fine della topologia euclidea. Pcr concludere che di fatto
le due topologie coincidono è sufficiente verificare che il prodotto di due aperti
di R, cioè un elemento di 8, è un aperto nel1a topologia euclidea; la verifica è
immediata e si fa con lo stesso procedimento usato per dimostrare la seguente
proposizione, che generalizza quest'esempio.
6.1 PROPOSIZIONE Siano 8 1 e B 2 basi degli spazi topologici XI ed X 2 rispet-
tivalnente. La fa111iglia di so!toinsie111i
BI82={B,xB2:BIEBI' B 2 E8 2 }
è una base per la topologia prodotto di XI x Xl'
[JÙnostrazione. Poiché gli elelnenti di BI B 2 ono aperti nella topologia prodotto,
è sufficiente verificare che gli insiemi della forma AI x A 2 , Ai aperto in Xù i = 1,2,
sono unione di elementi di Bl B 2 .
Si ha
AI = U n1', A 1 = U B'
jEJ hEH
per opportuni B{ E B l , B E 8 2 , c quindi
Al X A 1 = ( .U B{ ) x ( U Bf ) = .U (B{ x B'). Il
}E.! hEH }EJ
hEH

6 I Prodotti
63
Il prossimo risultato ci dice che l'operazione di prodotto topologico è compa-
tibile con quella di considerare sottospazi.
6.2 PROPOSIZIONE Siano 1..9 1 ed S2 sottospazi degli spazi topologici XI ed
X 2 rispettival1lente. La topologia indotta da XI x X 2 su SI X S2 coincide con la
topologia prodotto delle topoLogie di SI e di Fi 2 .
DÙnostrazione. Se V C SI X 8 2 è un aperto nella topologia indotta da XI x X 2 ,
esiste un aperto U di XI x X 2 tale che
V = (1.."1 x 8 2 ) n U.
Per definizione di topologia prodotto U = W Aj x Bj per opportuni aperti Aj di
}EJ
XI e Bj di X 2 . Quindi
V = (SI x 8 2 ) n ( W Aj x Bj ) = '.U (SI x 8 2 ) n (Aj x Dj) =
lEJ }EJ
= W (SI nAj) x (92 nB j )
}EJ
e questo prova che V è aperto nella topologi prodotto. Il viceversa si dimostra
leggendo le stesse uguaglianze in senso inverso. !Il
Un caso banale di prodotto topologico si ha quando uno dei due spazi possiede
un solo punto. Se X è uno spazio topologico e {*} è uno spazio con un solo
.punJ9 *, allora {*} x X ed X x {*} sono omeomorfi ad X stesso; gli omeomorfismi
sono quelli ovvi:
X{*}xX X-4Xx{*}
X I-t (*, x)
X I-t (x, *).
Combinando la proposizione precedente con questa osservaZIone SI ottiene il
seguen te
6.3 COROLLARIO Nel prodotto topologico XI x X 2 dei due spazi XI ed X 2 ,
per ogni XI E XI e X2 E X 2 i sottospazi {XI} X X 2 e Xl x {X2} sono ()1ne01110rfi
a X 2 e a Xl rispettivalnente.
Dati due insiemi non vuoti XI ed X 2 , le applicazioni
PI : XI x X 2 -4 XI
P2 : XI x X 2 ---t X 2

64
Esempi I Cap. 2
definite da P1:(X" X2) = Xi, i = 1,2, si chiamano proiezioni. Per ogni sottoinsieme A,
di Xl si ha p '(A I) = A] X X 2 ; analogamente P2 '(A 2 ) = XI X A 2 se A 2 C X 2 . È chia-
ro quindi che se Xl e X 2 sono spazi topologici e Xl x X 2 ha la topologia prodot-
to, le proiezioni sono applicazioni continue. Più precisamente abbiamo la seguente
6.4 PROPOSIZIONE Siano Xl e X 2 spazi topologici. La topologia prodotto su
XI x X 2 è la lneno fine tra tutte le topologie risjJetto alle quali le proiezioni PI
e P2 sono continue.
Dinlostrazione. Siano Ti e 72 le topologie di Xl e di X 2 rispettivamente. La topo-
10gia meno fine tra quelle che rendono continue PI e P2 è generata dalla famiglia
PI- '(Ti) U P;- 1(7'2)
dove
Pj-- I(Ti) = {pi-'CA 1 ) = Al x X 2 : Al E Ti},
P '(72) = {p;-'(A 2 ) = X] X A 2 : A 2 E 72},
e quindi ha pcr base la famiglia di tutte le intersezioni finite di elementi di
PI '(Ti) U P;- 1(72). Ma poiché, come è evidente, PI '(Ti) e p;-](7'2) sono due
topologie, un'intersezione finita del tipo suddetto si riduce all'intersezione di
un elemento di PI' (Ti) con uno di p:;.' (7'2); quindi la topologia generata da
P l (Ti) u p:;' I (7;) ha per base la famiglia
{(AI x X 2 )n (XI x Al) = AI x A 2 : A, E Ti, Al E 72}
che è la base che definisce la topologia prodotto. !Il
Si noti che la proposizione 6.4 fornisce una definizione alternativa della topo-
logia prodotto. Un' altra proprietà delle proiezioni è la seguente:
6.5 PROPOSIZIONE Se XI e X 2 sono due spazi topo logici, le proiezioni Pi :
X, x X 2  Xi, i = 1, 2, sono aperte.
DÙnostrazione. Sia A C XI X X 2 aperto; allora
A = U (A' x A j ),
jEJ' 2
dove gli A{ e gli A{ sono aperti di Xl e di X 2 rispettivamente. Si ha
PI(A) = ,U p,(A' x A) = l) A{",
}EJ }
P2(A) = .U ] P2(A' x A) = l) A{,
}E }
che sono aperti. !Il

6 I Prodotti
65
Avevamo già verificato che le proiezioni sono aperte nel caso di Xl x X 2 = R 2
(cfr. esempio 4.4( l».
Se Il : Y  XI e 12 : Y  X 2 sono applicazioni di insiemi non vuoti, possiamo
definire un' applicazione
I : Y  XI X X 2
ponendo I(Y) = (/I(Y), 12(Y) per ogni y E Y. È evidente che l''è: l'unica applica-
zione di Y in XI x X 2 tale che PI . I = Il, P2 . I = 12; I si chiama applicazione
prodotto di II e 12 e si denota talvolta con Il x /2. La seguente proposizione
esprime la cosiddetta proprietà universale del prodotto topologico (vedi anche
esempio 4.3(3».
6.6 PROPOSIZIONE Siano Y, X" X 2 spazi topologici. Un 'applicazione I
Y  XI X X 2 è continua in y E Y se e solo se le applicazioni
Il = PI . I : Y  Xl,
12 = P2 . I : Y -+ X 2
S0110 continue in y.
DÙnostrazione. Se I è continua In y E Y, allora Il e 12 sono continue In y
perché lo sono anche p l e P2.
Supponiamo viceversa che Il e 12 siano continue in y E Y, e sjano Xl = Il (y),
X2 = 12(y). Scegliamo un intorno aperto A di I(y) = (x], X2), e siano A] e A 2
intorni aperti di XI e di X2 rispettivamente tali che A :J Al X A 2 . Per la continuità
di Il in y esiste un intorno aperto U I di y tale che Il (U I ) C Al; analogamente
esiste un intorno aperto U 2 di y tale che !2(U 2 ) C A 2 . Allora U] n U 2 è un intorno
aperto di y tale che
I(U I n U 2 ) C I](U I n U 2 ) x 12(U l n U 2 ) C AI x A 2 C A
e quindi I è continua in y. Il
La seguente proposizione è di dimostrazione immediata.
6.7 PROPOSIZIONE Siano Y, X}, X 2 spazi tO]Jologici. Un'applicazione g :
XI x X 2 -+ Y è continua in un punto (XI, X2) E XI X X 2 se e solo se per ogni
intorno N di g(XI, X2) E Y esistono un intorno N] di x I E XI e un intorno N 2 di
X2 E X 2 tali che g(N] x N 2 ) C N.
La generalizzazione della definizione di prodotto topologico dal caso di due
spazi a quello di un numero finito qualunque è molto semplice.

66
Esempi l Cap. 2
Se XI,.. . , X rn sono spazi topologici con topologie Ti,..., Tm rispettivamente,
la [opologia prodotto su XI X . . . X X m = X (delle topologie Ti,..., Tm) si definisce
come la topologia che ha per base la famiglia di sottoinsiemi di X
{ A I X . . . X A11' : Ai E li, i = I:..., m }.
Che questa fan1iglia ha le proprietà caratteristiche di una base (proposizione 2.2)
si verifica come nel caso m = 2. X, con la topologia prodotto, si chiama prodotto
(ojJologico (o spazio topologico prodotto) degli spazi XI,"" Xm.
La definizione di topologia prodotto su X può anche darsi in modo equivalente
per induzione su m > 2, scrivendo
XI X . . . X X m = XI X (X:! X . . . X X m ).
È facile verificare che le due definizioni sono equivalenti. I risultati dimostrati per
il prodotto di due spazi si possono estendere in modo ovvio al caso di un numero
finito qualsiasi di spazi. Ne lasciamo le dimostrazioni al lettore come esercizio.
6.8 Esenlpi
l. Per ogni n > 2 R n , con la topologia euclidea, è il prodotto topologico di R
per se stesso n volte. Ciò segue dal fatto che la famiglia
{ R( 3, b) : a j < b i, j = l,..., n }
che genera la topologia prodotto, è una base della topologia euclidea (cfr. esercizio
2.6). Dalla proposizione 6.2 segue che l'n-cubo In è il prodotto topo logico di I
per se stesso n volte.
2. Poiché C  R:!, il prodotto topologico C n di C per se stesso n volte (n > 2)
è on1eomorfo a R 2n .
3. Se X è un sottospazio di R m e n > m, il prodotto topologico X x R n -- m è
un sottospazio di R n che si chiama cilindro di base X.
L'esempio elementare del sottospazio Y di R 3 definito dall' equazione
XT + x = 1
è il caso particolare del cilindro di R 3 di base SI C R2; cioè In questo caso
y=SI x R (fig. 6.1).
4. Il prodotto di n copie della circonferenza S I per se stessa si chiama toro
n-dÙnensionale, o n-toro, e si denota T n . Poiché S I C R 2 , Tn è omeomorfo a un
. d . R 2n R 2 R ì
sottospaZlo l = x . . . x - .
Il 2-toro T 2 è omeomorfo al sotto spazio di R 4
T' = {(YI, Y2, Y3, Y4) : YT + Y = l = Y + yJ}.

(j I PrOdOlli
67
t
!
I
I
---
------
"..
!
iR
.igura 6.1
t
.........
}'igura 6.2
L'applicazione continua h : R 4 --+ R 3 definita da
h(Yl," . , Y4) = «YI + 2)Y3, (YI + 2)Y4' Y2)
manda T' omeomorficame nte sul sottospazio di R 3 (vedi fig. 6.2)
T = {(XI, X2, X3) : ( ..; XT, + x - 2)2 + x = l}.
Infatti evidenten1entc h(T') C T; inoltre l'applicazione k : T --+ R 4 così definita:
_ ( / 2 2 XI X2 )
k(xI, X2, X3) - XI + x 2 - 2, X3, V? 2 ' V? ?
Xl + X2 xl + Xl

68
ESeJl1pi I Cap. 2
è continua e soddisfa
k(T) C T'
h lT , . k = ] t 
k . h I T' = 1 T' .
Quindi h lT , e k sono omeomorfismi inversi uno dell'altro.
5. Se D = (O O 1), s = (O, O, -1), lo spazio S2\ {D, s} è omeomorfo a SI x R.
Identifichiamo S I x R al cilindro Y C R 3 di equazione xT + x = 1 (cfr. esempio
3). Un omeomorfìsmo h : S2\ {u, s} ---t Y si ottiene per proiezione da O, cioè
ponendo (vedi fig. 6.3)
h(x) = Y n (semiretta per x di origine O) =
( XI X2 X3 )
V X 2 + x 2 ' V X2 + x 2  V x2 + x 2 .
I 2 I 2 I 2
La veri fica che h è un omeomorfismo è lasciata al lettore conle esercizio.
y
5
....
---
-------
.....
Figura 6.3

6 I Prodotti
69
Consideriamo una famiglia qualsiasi {X s } SES di spazi topologici con topologie
Ts, s E 8, e il prodotto cartesiano
x = TI., XS = { I : S -+ U Xs: I(s) E XS S E S } .
sES sES
Se t E S e f E X, I(t) E Xt si chiama t-esil1Zu coordinata di f. L'applicazione
Pt : X -+ Xt
definita da pt(/) = I(t) si chiama t-esilna proiezione.
Definiamo su X una topologia nel modo seguente. Consideriamo la famiglia B
di tutte le intersezioni finite di insiemi p,; l (U s ), al variare di s E S e di U s E Ts.
La famiglia B è ovviamente un ricopri mento di X (= p; I (X s ) per un qualsiasi
s E S), e l'intersezione di due qualsiasi elementi di 8 è ancora un elen1ento della
famiglia B. Quindi 8 è base di una topologia T su X che si chiama topologia
prodotto delle topologie Ts, s E 1..9. Con la topologia T, X si chiama spazio
topologico prodotto (o prodotto topologico) della famiglia {Xs}SES'
Dalla definizione segue che rispetto alla topologia T tutte le proiezioni sono
continue e che T è la meno fine tra le topologie su X che rendono continue tutte
le Ps. Quindi, per la proposizione 6.4 e per la sua generalizzazione al prodotto di
un numero finito qualsiasi di spazi, la definizione di topologia prodotto data ora
coincide con quella data precedentemente nel caso di una famiglia finita di spazi
topologici.
Un caso particolare importante di prodotto topologico si ha quando tutti i fattori
Xs coincidono con uno spazio fissato Y. In questo caso
TI Xs = yS
sES
è l'insieme delle applicazioni di S in Y.
Se ad esempio S = N+ (i numeri naturali positivi), si ottiene come prodotto
l'insieme delle successioni di elementi di Y.
Per S = N ed I = [O, l J, il prodotto topologico IN si chiama cubo di Hilbert.
Un altro esempio notevole si ottiene prendendo S = (a, b), un interallo aperto
di R, e Y = R. In questo caso X = R(a,b) è l'insieme delle funzioni a valori
reali definite in (a, b). La topologia prodotto in R<a,b) si chiama topologia della
convergenza puntuale. Questo nome è dovuto al fatto che una successione di
funzioni {fn}nEN+ C R<a.b) ha un limite nella topologia prodotto T se e solo se
per ogni x E (a, b) la successione di numeri reali {fn(X)}nEN+ ha un limite. Se
infatti I = lim I n allora per ogni x E (a, b) e r > O deve esistere un n r tale che
n ---+ 00
per ogni n > n r
In E p;' ] (f(x) - r f(x) + r»,

70
Esempi I Cap. 2
cioè
!fn(x) - f(x)1 < T,
e quindi f(x) = lim fn(x),
17.-+00
Se viceversa per ogni x E (a, b) esiste il lim fn(x), allora ponendo
noo
f(x) = lim fn(x)
n-+oo
si definisce un elemento f E R(a,b); scelti XI,.'" xk E (a, b) e TI,"" Tk > O, SIano
nl, . . . , nk interi positivi tali che per i = 1, . . . , k si abbia
Ifn(Xi) - f(Xi)1 < Ti per ogni n > ni.
Allora per n > max(n I, . . . , nk) si ha
f n E p;,' ( (f (X ,) - r l, f (x I ) + TI» n . . . n p k l ( (f (X k) - T k , f (X k) + T k ) )
e questo prova che f = lim f n.
noo
Diamo ora la generalizzazione di due risultati già dimostrati nel caso del
prodotto di due spazi.
6.9 PROPOSIZIONE Sia X = TI XS' Allora:
sES
(a) Per ogni s E S la proiezione Ps : X ---t Xs è aperta.
(b) Un'applicazione g : Y ---t X di uno spazio Y in X è continua se e solo se
sono continue tutte le conlposizioni
gs = Ps . g : Y ---t Xs.
DÙnostrazione
(a) Sia U un aperto di X e s E S. Scelto comunque a E Ps(U) sia f E U
tale che ps(f) = a. Poiché U è aperto, esistono s"..., sk E A.9 ed aperti U 1 C
C X Sj , . . . , Uk C X Sk tali che, posto
v = P;, ' (U l) n .. . n P;k l (U k),
si abbia f E V C U. Ma allora a E Ps(V) C Ps(U) e
{ Xs se sE;l'{s)"."Sk}
Ps(V) =
U s se sE {s"...,Sk},
è un aperto. Ne segue che a è interno a Ps(U), il quale quindi è aperto.

6 I Prodotti
7/
(b) Se g è continua è ovvio che le composizioni gs sono tutte continue, stante
la continuità delle Ps. Supponiamo viceversa che tutte le gs siano continue. Per
dimostrare che g è continua sarà sufficiente dimostrare che, per ogni s E F; ed
ogni aperto U s di Xs, g- l (p; l (U s » è aperto (perché gli insiemi p I (U s ) formano
una sottobase di X). Ma
g- I (p; l(U s » = (Ps' g)-I(U s ) = gs' I(U s )
è aperto perché gs è continua. !Il
Esercizi
1. DiITIOstrare che se Xl e X2 sono spaZI topologici l'applicazione
(J : XI x X 2  X2 X Xl
definita da (J (x l, X2) = (X2, X d è un omeomorfislno.
2. Dilllostrare che se XI"." X m sono spazi topologici discreti (risp. banali) il prodotto
topologico XI x . . . X X m è discreto (risp. banale).
3. Dare un esempio di spazio X tale che X:::::: X x x.
4. Sia X uno spazio Inetrizzabile. Dimostrare che la distanza d : X x X  R è un' appli-
cazione continua rispetto alla topologia prodotto.
5. Siano S, e 82 sottoinsicmi degli spazi topologici Xl e X2 rispettivamente. Dimostrare
che nel prodotto topo logico Xl x X2 si ha:
SI X S2 = S I X S2,
Int(SI x 8 2 ) = Int(SI) x 1nt(52),
Fr(SI x 52) = (Fr(SI) x 8 2) u ( S l x Fr(S2».
6. Dimostrare che se O < a < b sono numeri reali, la corona circolare
Ca,b = {z E C: a:; Izl  b} C C
è omeomorfa a I x SI.
7. Dimostrare che Rn+I\{O} è omcomorfo a sn x R.
(Suggerimento. Usare f : sn x R ---+ R n + 1 \ {O} definita da f(x, t) = etx).
8. Dimostrare che se X, Y, Z sono spazi topologici ed X  Y, allora X x Z :::::: Y X Z.
9. Siano X' e X" due spazi topologici metrizzabili con distanze d' e d" rispettivamente.
DilTIostrare che il prodotto topologico X' x X" è mctrizzabile.
(Suggerimento. Dimostrare che
d« x' , x"), (y', y") = max { d' (x' , y'), d" (x" , y") }
è una distanza su X' x X" che induce la topologia prodotto).

72
Esempi I Cap. 2
lO. Sia X uno spaZIO topoIogico discreto ed Y uno spazIo qualsiasi. Dimostrare che la
proIezIone
Xxyy
è un olneomorfismo locale.
Il. DilTIOstrare che in K 2 (K un campo infinito) la topologia di Zariski è strettamente più
fine della topologia prodotto della topologia di Zariski su K per se stessa.
7 Quozienti
Considereremo ora un altro procedimento per costruire spazi topologici, che
è queJlo del passaggio al quoziente. Esso consiste nel costruire un nuovo spazio
topologico a partire da uno spazio dato mediante "incollamenti'" o "identificazioni"
ottenuti introducendo una relazione di equi valenza nell' insieme supporto dello
spazIo.
Sia X uno spazio topologico, Y un insieme e p : X  Y un' applicazione
surieuiva. La topologia quoziente su Y rispetto a p è
Tp = {U C Y : p - ] (U) è aperto in X}.
Con la terminologia dell'esercizio 4.4 Tp è la topologia indotta da p su Y. È
ovvio che se Y ha la topologia quoziente, p è un 'applicazione continua; inoltre
Tp è più fine di ogni altra topologia che renda p continua. Segue subito dalla
definizione che un sottoinsieme C di Y è chiuso rispetto a 7p se e solo se p-l (C)
è chiuso in X.
Un' applicazione continua e surietti va p : X --+ Y di spazi topologici si dice una
identificazione se Y ha la topologia quoziente rispetto a p. Dalla definizione segue
immediatamente che un'identificazione biunivoca è un'applicazione aperta e quindi
è un omeomorfismo. È chiaro che vale anche il viceversa: ogni omeomorfismo è
un' identificazione.
Daremo ora un criterio per verificare se una data applicazione di spazi topologici
è un' identificazione. Premettiamo che, data un' applicazione suriettiva di insiemi
f : S --+ T, un sottoinsielne A di S si dice saturo (rispetto a f) se A = f- l (f(A»;
equivalentemente, se ogni 8 E 9 tale che f(8) E f(A) appartiene ad A. Se A è un
qualsiasi sottoinsieme di S, la saturazione di A (rispetto a f) è f-- I (f(A», cioè
è il più piccolo sottoinsieme saturo di k.9 contenente A.
7.1 LEMMA
(a) Sia p : X ---+ Y un 'identificazione. C'è una corrispondelJza biunivoca tra i
sottoinsienli aperti (risp. chiusi) saturi di X e 'i sottoinsielni aperti (risp.
chiusi) di Y, che si ottiene associando ad A C X il sottoinsiel11e p(A) C Y.
(b) Condizione necessaria e sufficiente affinché un' applica,zione continua e su-
riettiva p : X ---+ Y sia un 'identificazione è che p(A) sia aperto in Y per
ogni aperto saturo A di X.

7 j Quozienti
73
DÙnoslrazione
(a) Se A è un aperto saturo, p(A) è aperto, perché p- I (p(A» = A è aperto in
X c p è un' identificazione. Ogni aperto B di Y si otticne in questo modo perché
B = p(p - ] (B» e p - l (B) è un aperto saturo. Se poi AI c A 2 sono aperti saturi tali
che p(A]) = p(A 2 ), allora Al = P l(p(Ad) = p -- l (P(A 2 » = A 2 .
L'affermazione riguardante i chiusi si ottiene osservando che A C X è un chiuso
saturo se e solo se X\A è un aperto saturo, e che in tal caso p(A) = Y\p(X\A).
Cb) La necessità è stata appena dimostrata. Supponianlo viceversa che p : X ---t Y
sia continua e surietti va c che la condizione dcll' enunciato sia soddisfatta. Se B
in Y è tale che p-l (B) sia aperto allora B = p(p- '(B» è aperto perché p--l(B)
è un aperto saturo. Ne segue, tenuto anche conto della continuità di p, che gli
aperti di Y sono -i sottoinsiemi B tali che p- '(B) sia aperto. !Il
Un esempio di identificazione è dato dall' applicazione (fìg. 7.1)
E : lO, l J ---t Si
definita da
E(a) = Ccos(21ra), sin(21ra» (= e 27ria se si considera Si C C)
E è continua e surictti va. Un aperto A C I è saturo precisamente se non
contiene né O né 1 oppure se li contiene entrambi. Nel primo caso A è unione
di intervalli aperti contenuti in I ed E(A) è unione dei corrispondenti archi aperti
di SI, quindi è aperto; nel secondo caso A è unione di intervalli aperti contenuti
o
1
È(O) = E(1) = 1
Figura 7.1

74
Esempi I Cap. 2
In I e di [O, r) U (l - r, 1] per qualche r > O. Anche in questo caso E(A) è
unionc di archi aperti e quindi è aperto. Dal lemma precedente segue che E è
un' identi ficazione.
Si noti che la restrizione di E all'intervallo (O, Il è continua e biuni voca ma
non è un omeomorfismo, perché non è un' identificazione: infatti A = (1/2, l J è
un aperto saturo di (O, l J, ma E(A) non è aperto in SI.
Se in un insieme X è definita una relazione di equivalenza p possiamo con-
siderare l'insiemc quoziente XI p i cui elclTIcnti sono le classi di p-equivalenza.
Chiameremo l'applicazione suriettiva p : X  XI p, che a ogni x E X associa la
sua classe di equivalenza, proiezione naturale (o proiezione canonica). Un sot-
toinsie111e S di X si dirà saturo rispetto a p (o p-saturo) se è saturo ri spetto a p,
cioè se contiene l'intera classe di equivalenza di ogni suo elemento.
Supponiamo che l'insieme X su cui è definita la relazione di equivalenza p
abbia una struttura di spazio topologico. XI p, con la topologia quoziente rispetto
alla proiezione canonica p si chiama spazio quoziente di X rispetto a p.
Si osservi che ogni applicazione suriettiva di insiemi f : X  Y può vedersi
come la proiezione naturale rispetto a una opportuna relazione di equivalenza.
Infatti si ha una biezione Y  XI p(f), dove p(f) è la relazione di equi valenza
su X così definita:
XI P(f)X2 {:} f(xI) = f(X2)'
7.2 PROPOSIZIONE Supponia111o che f : X  Y e g : Y  Z siano identifica-
zioni. Allora g' f : X  Z è un 'identificazione.
DÙnostrazione. Chiaramente g' f è continua e suriettiva. Se A C X è un aperto
saturo rispetto a g' f allora A è saturo rispetto a f e quindi f(A) è aperto in Y.
Poiché f(A) è anche saturo rispetto a g, g(f(A» = (g . f)(A) è aperto in Z; quindi
g . f è un' identificazione per il lemma 7.1. Il
7.3 PROPOSIZIONE Sia p : X  Y un'applicazione continua e suriettiva. Se p
è aperta oppure chiusa p è un 'identificazione.
DÙnostrazione. Se p è aperta allora in particolare per ogni aperto saturo A C X
p(A) è aperto; quindi p è un' identificazione per il lemma 7.1.
Se p è chiusa e A è un aperto saturo di X, allora p(A) = Y\p(X\.4) .è aperto;
la conclusione segue ancora dal lemma 7.1. Il
Dalle proposizioni 7.3 e 6.9 segue che, se X = 11 Xs è il prodotto topologico
sE8
di una famiglia {Xs} SES di spazi topologici, le proiezioni Ps : X  Xs sono
identificazioni. È facile dare esempi di identificazioni che non sono né aperte né
chiuse (cfr. esempio 7.6(5».

7 I Quozienti
75
7.4 PROPOSIZIONE Sia p : X ----+ Y un 'identificazione e Z uno spazio tOfJolo-
gico. Un 'applicazione g : Y ----+ Z è continua se e solo se g' p : X  Z è continua.
Inoltre g è un on1eonlor.fislno se e solo se è biettiva e g . p è un 'identificazione.
Dinl0strazione. È ovvio che g . p è continua se g lo è. Supponiamo viceversa
che g' p sia continua, e sia U un aperto di Z. Allora
p - I (g -- l (U» = (g . p)" l (U)
è un aperto di X e quindi g - l (U) è aperto in Y perché p è un' identificazione.
Quindi g è continua.
Se g è biunivoca e g. p è un'identifìcazione allora g è continua; inoltre per
ogni aperto A di Y
g(A) = (g . p)(P" I (A»
è aperto perché p' l (A) è un aperto saturo di X; quindi g è anche aperta, cioè è
un omeomorfismo. Il viceversa è ovvio. 11I
Se p è una relazione di equivalenza in un insieme X c Z è un insieme,
un'applicazione G : X  Z si dice cOlnpatibile con p se G(Xj) = G(X2) ogni volta
che x l PX2. Il seguente corollario è immediato.
7.5 COROLLARIO Se p è una relazione di equivalenza nello spazio topologico
X e Z è uno spazio topo[ogico, sussiste una corrispondenza biunivoca
applicazioni continue
{ applicazioni continUe } ----+
g : XI p ----+ Z
compatibili con p
G:X----+Z
data da
g 'r---t g . p
dove p : X  Xl p è la proiezione naturale, e la cui inversa è
G*  G.
J
dove
G*(p(x») = G(x) per ogni p(x) E XI p.
7.6 Esenlpi
l. Se n > m e 1 < il < ... < i m < n, la proiezione
. R n R m
Pi"...:i m . ----+
è un' identificazione perché è suriettiva, continua e aperta.

76
Esempi I Cap. 2
2. L'identificazione E : tO 1) -4 S' considerata a pagIna 73 è la restrizione
dell' applicazione continua
E : R -4 S'
E( a) = e 2 ?Tia.
Anche quest' applicazione è un' identificazione perché, come è facile verificare, è
aperta. È anche facile vedere che E è un omeomorfismo locale.
3. Sia X uno spazio topologico e S un suo sottoinsieme. Denotiamo con Ps
la relazione di equivalenza in X così definita:
XI PSX2 {:} x, = X2 oppure x,  X2 E S.
Le classi di equivalenza sono S e i punti di X\S. Per questo si dice che lo spazio
quoziente X/ P8 è lo spazio ottenuto da X ident(ficando S a un punto.
4. Un caso particolare dell'esempio 3 si ha prendendo X = [O, l], '3 = {O I}; in
questo caso XI Ps  SI, e l'omeomorfismo è indotto dall'identificazione E : I -4 SI
considerata prima.
Più in generale si prenda X = D n e k.'3 = sn - ]. Allora lo spazio X/ P8 è
omeomorfo a sn.
Diamo la dimostrazione nel caso n = 2, costruendo un' identificazione p :
D 2 -4 8 2 a cui sia associata la relazione di equivalenza psJ (cioè PSI = p(p)).
L'applicazione p è definita nel modo seguente:
p(u, v) = (2u V I - u 2 - v 2 , 2v V l - u 2 - v 2 , 2(u 2 + v 2 ) - l) , (u, v) E D 2 .
È facile verificare che p è surietti va, che p '( (O O, 1») = 8 l e che la restrizione
PID 2 \SI : D 2 \S' -7 S2\ {(O, O, l)}
è biettiva. Chiaramente p è continua. La verifìca che p è un'identificazione sarà
facile dopo che l'avremo interpretata geometricamente.
Sia
F = {(x" X2, X3) : x + x + (X3 - 1)2 = l} n {x E R 3 : X3 < l}
l'emisfero inferiore deIJa sfera di centro (O, O, 1) e raggio l, e
l: = {(x" X2, X3) : x + x + (x) - 1/2)2 = 1/4}
la sfera di centro (O, O, 1/2) e raggio 1/2 (vedi fig. 7.2).
Denotiamo con ç : F -7 R 2 la restrizione a F della proiezione PI.2 : R 3 -+ R 2 . ç
induce un omeomorfisnlo di F su D 2 che verrà denotato con lo stesso simbolo.

7 J Quozienti
77
F
Figura 7.2
Sia D = (O, O, 1) e definialTIO un' applicazione
w:FL
nel modo seguente:
w(x) = { 0 ( ' se X3 ) = l
L \ {n} n r(x, D), se X3 =f 1
dove r(x, D) denota la retta passante per x = (x" X2, X3) E F e per o. Sia infine
T : L --+ S2 l' orncomorfismo
T(SI, S2, S3) = (2s], 2s 2 , 2(S3 - 1/2».
Allora l'applicazione p è la composizione
c-I
p=T'W'
(la verifica è un esercizio). Poiché T e ç--' sono on1eornorfismi, e quindi identifi-
cazioni, per verificare che p è un'identificazione sarà sufficiente verificare che w
lo è.
Poniamo K = w- '(D) e sia A un aperto saturo di F. Poiché
WIF\K : F\K  L\{n}
è un omeomorfismo, se A n K = 0 w(A) è aperto in L \ {D} e quindi in L. Se
invece A n K =f 0, allora K C A perché A è saturo e K è una classe di equivalenza.
Ma allora A\K è aperto e w(A\K) è ancora aperto per quel che abbiamo appena
detto. Per verificare che
w(A) = w(A\K) U {n}

78
Esempi I Cap. 2
è aperto basta verificare che n è interno a w(A). Poiché A è aperto e contiene K
esiste r > O tale che A contenga
F n {(x,  X2, X3) : X3 > l -- r};
denotiamo con Fr quest' insieme. Allora w(A) contiene w(F r ), che è un disco
sferico aperto centrato in n; ne segue l' asselto (vedi fig. 7.3).
In generale per ogni n > 2 si definisce un' identi ficazione p : D n ---t sn che
induce un omeomorfismo D n / Psn - l  sn ponendo
p(U),...,U n )= (2Ul \h -L uJ,...,2u n J I-L uJ, 2L u; -1).
La verifica è simile a quella fatta nel caso n = 2.
5. Un'identificazione non è in generale né aperta né chiusa. Un esempio è dato
dallo spazio Y ottenuto da R identificando ad un punto l' intervallo lO, l) e dalla
proiezione canonica. p : R ---t Y. Il punto p( lO, 1» non è né aperto né chiuso e
p( [ O, l» = p( (O, l» = p( lO, 1/2 J).
6. In 1 2 sia k la relazione di equivalenza che identifica il punto (O, t) con il
punto (l, t) per ogni t E I, e lascia ogni altro punto equivalente solo a se stesso.
Il quoziente K = 12/k è omeomorfo a SI x I.
Per verificarlo identifichiamo S' x I al sotto spazio di R 3
SI X 1= {(X"X2,X3): xT+x = l, O < X3 < l}
e definiamo un' applicazione
f : 1 2 ---t S' x I
Figura 7.3

7 I Quozienti
79
ponendo
I(s, t) = (cos(21rs), sin(27rs), t).
f è chiaramente continua e surietti va, e p(/) = k.
Per verificare che 1 è un'identificazione consideriamo un aperto saturo A C 1 2 .
Sia
8 = {O, l} x I = ( {O} x I) u ( { l} x I).
La restrizione
I jI 2\8 : 1 2 \8  SI x 1
definisce un omeomorfismo di 1 2 \8 sulla sua immagine (perché 1 è invertibile su
1(1 2 \8» che è aperta in SI x I. Quindi se A C 1 2 \8 I(A) è aperto (cfr. fig. 7.4).
Se invece esiste x E A n S, allora x = (O, t) oppure x = (1 , t) per qualche t E I e
la classe di equivalenza di x è {(O, t), (l, t)}. Poiché A è un aperto saturo, esiste
r > O tale che
U r = ([O,r) x (t - r,t+r» U «1 - r, 1] x (t - r,t+r» C A.
f
........-
-...
........-

e
k
 ........-
---- ........-
Figura 7.4

80
Esempi I Cap. 2
Ma allora f(U r ) è un intorno di f(x) contenuto In f(A), cioè' f(x) è interno a
f(A). Questo prova che
f(A) = f(A n S) U f(A\A n 8)
è aperto perché f(A\(An9» è aperto e ogni punto di J(AnS) è interno a f(A).
Quindi J è un' identificazione.
7. Ancora in 1 2 consideriamo la relazione di equivalenza J..L che identifica il
punto (O, t) con il punto (1, l-t) per ogni t E I e lascia ogni altro punto equivalente
solo a se stesso. Il quoziente M = 1 2 / J..L si chiama nastro di Moebius (fig. 7.5).
Con una verifica simile a quella dell' esempio 6 si dimostra che l' appJicazione
g : 1 2 --+ R 3 definì ta da
g(S, t) = (cos(27rs) + (t - 1/2) sin(7rs) cos(21rs), sin(27ìs)+
+ (t - 1/2) sin(7rs) sin(27rs), (t - 1/2) cos(7rs»
induce un' inclusione continua di M in R 3 . L'aperto M O = I x (O, l) di M SI
J..L
chiama nastro di Moebius aperto.
8. Sia T la relazione di equi valenza in 1 2 che identifica il punto (O, t) con il
punto (l, t) per ogni t E I, il punto (s, O) con (s, l) per ogni s E I, e lascia ogni
altro punto equivalente solo a se stesso. Il quoziente 12/T è omeornorfo al toro
T 2 = Si X S'. L'omeolnorfismo è indotto dall'applicazione h : 1 2 --+ R 3 definita da
h(s, t) = «2 + cos(27rs» cos(27T't), (2 + cos(27rs» sin(27rt), sin(27rs».
la cui immagine è 'i'. La verifica è simile a quella del]' esempio 6.
9. Un gruppo topologico è un insieme G che è contemporaneamente un gruppo
c uno spazio topologico in modo che l'operazione gruppale e la struttura topologica
t
I
i
1 2
M
- ---JiIB-
Figura 7.5

7 I Quozienti
81
siano legate dalla seguente condizione:
l'applicazione G x e  e : (x, y)  xy---] è continua.
R e C, con l'operazione di somma e la topologia euclidea, sono gruppi topologici.
Ogni gruppo astratto munito della topologia discreta è un gruppo topologico; lo
è anche se munito della topologia banale.
')
GLn(R), SLn(R), O(n), SO(n), con la topologia di sottospazi di R n -, sono
gruppi topologici. Lo stesso è vero per i gruppi di matrici complesse GLn(C),
2
SLn(C), U(n), SU(n), con la topologia indotta da C n . Più in generale, ogni
sottogruppo di un gruppo topologico (e quindi ogni sotto gruppo di GLn(R) e di
GLn(C), cioè ogni gruppo lineare), con la topologia di sottospazio, è un gruppo
topologico.
Se H è un sottogruppo del gruppo topologico e, l'insieme e/H delle classi
laterali destre è uno spazio topologico con la topologia quoziente; è facile verificare
che la proiezione p : e  e/H è aperta. Lo stesso vale per l'insieme delle classi
laterali sinistre. Se il sottogruppo H è normale, e/H è un gruppo topologico.
Ad esempio la circonferenza Si  R/Z è un gruppo topologico; analogamente
il toro T n  R n /zn.
lO. Sia X un insieme e G un gruppo. Diremo che e agisce, o opera, su X
(a sinistra), oppure che X è un e-insielne (sinistro), se è definita un' applicazione
a:GxXX
tale che, denotata con gx E X J'immagine a(g, x) di (g, x) E G x X, SI abbia:
(gg')x = g(g'x), per ogni g, g' E e, x E X,
ex = x, per ogni x E X,
dove e è l'identità di e. L'applicazione a si dice un'azione (sinistra) di e su X.
Dalla definizione segue che per ogni g E G l'applicazione indotta g : X  X,
g(x) = gx, è una biiezione.
L'azione di e su X si dice libera se per ogni g =I- e e per ogni x E X si ha
gx=fx.
a si dice transitiva se, dati comunque x, x' E X, esiste g E G tale che gx = x'.
Se x E X, l'orbita di x è ex = {gx E X : g E e}; lo stabilizzatore di x è il
sottogruppo ex = {g E e : gx = x}.
Pcr definizione e agisce liberamente (risp. transitivamente) su X se e solo se
ex = {e} per ogni x E X (risp. se e solo se ex = X per ogni x E X).
Ogni gruppo e agisce transiti vamente per moltiplicazione sinistra sull' insielne
G / H delle classi laterali sinistre rispetto a un qualsiasi sottogruppo H:
e x e/H --+ e/H
(g, h) t--+ gh.

82
Esel1zpi I Cap. 2
In particolare G agisce transitivamente su se stesso per moltiplicazione a sinistra.
Se X è uno spazio topologico, ogni sottogruppo di Omeo(X) opera su X come
un gruppo di trasformazioni di X.
Se un gruppo C agisce su uno spazio topologico X in modo che per ogni
g E C l'applicazione g : X --+ X sia un omeomorfismo, X si dice un C-spazio. Se
l'azione è transiti va, X si dice un C-spazio o1110geneo; se 1'azione è libera, X è
detto C-.spazio principale.
R n è esso stesso un gruppo topologico. Un R n -spazio principale omogeneo è
uno spazio affine n-dimensionale.
Se X è un C-insien1e, due distinte C-orbite sono disgiunte; quindi C definisce
una relazione di equivalenza in X in cui le C-orbite coincidono con le classi di
equivalenza; se X è uno spazio topologico lo spazio quoziente si denota X/C e
si chiama spazio quoziente di X rispetto all'azione di C. Si verifìca facilmente
che la proiezione naturale p : X --+ XI G è aperta.
Infatti la saturazione rispetto a p di un sottoinsieme A di X è U gA se A è
gEG
, .. ,
aperto quest InSIeme e aperto.
Il. Sia n > O; in R n + 1 \ {O} consideriamo la seguente relazione di equivalenza "'-':
x  y {:> esiste À E R À =f () tale che Yi = ÀXi, i = O . . .  n.
Quindi due punti sono equivalenti se e solo se appartengono alla stessa retta per
l'origine. Lo spazio quoziente R n + 1 \ {O} I  si chiama spazio proiettivo reale di
dÙnensione n, e si denota con pn(R), o semplicemente pn. pl e p2 si chiamano
rispettivamente retta proiettiva reale e piano proiettivo reale. po consiste di un
solo punto.
Per definizione pn può essere identificato con l'insieme delle rette di R n + 1
passanti per l'origine; un insieme saturo è un sottoinsieme di R n + 1 \ {O} che è
unione di rette passanti per l'origine, private di O. Denoteremo con
7r : R n + 1 \ {O} --+ pn
la proiezione canonica. Se x = (xo, . . . , xn), denoteremo con lxo..., X n l il punto
7r(x) E pn  X = (xo, . . . , x n ) si dirà una (n + 1 )-upla di coordinate o111ogenee del
punto 1r(x). È chiaro dalla definizione che le coordinate omogenee di un punto
di pn sono individuate dal punto stesso solo a meno di un comune fattore di
proporzionalità non nullo.
Per ogni i = O, . . . , n sia
Ui = {l x o, . . . , X n J E pn : Xl: =f O} .
Evidcnteinente Un,..., Un sono aperti in pn e costituiscono un ricoprimento (ogni
punto di pn ha una almeno delle sue coordinate omogenee di versa da zero). Se
SI pone
Ri+l = 7r l (U 1 J = {(Xo,... xn) E R n + 1 \{O} : Xi=fO},

7 I Quozienti
83
la restrizione di 1r
. R n + I U
1ri. i  i
è un' identificazione (cfr. esercizio 4). Da ciò segue che l'applicazione continua
A... . R +I R n
'¥'l' 'l 
(X o,..., x n ) 1-+ (X O/Xi,".' Xi - l/Xi, Xi+I/Xi,'.., Xn/Xi),
essendo compatibile con 1ri, induce un' applicazione continua
'Pi : Ui  R n .
La 'Pi è biunivoca; la sua inversa è
'Pi l (Yo, . . . , Yi - I, Yi+}, . . . , Yn) = lYo, . . . , Yi - I, l, Yi+h . . . , Yn J
ed è anch' essa continua, perché è la composizione dell' inclusione continua
R n --+ R n + ' \ {O}
..' ...
(Yo, . . . , Yi - l, Yi+J, . . . , Yn) I---+' lYo,. . . , Yi I, 1, Yi+l, . . . , Yn]
con 1ri. Quindi ognuno degli aperti Ui C pn è omeomorfo a R?I.. Il complelnentare
Hi = pn\Ui si chiama iperpial10 all'Ùfinito (o Ùnproprio) rispetto a Ui. È facile
verificare che Hi  p11, - l e che Ui è denso in pn.
12. pn(R) può anche essere definito nel modo seguente. In S11, si consideri la
relazione di equivalenza così definita:
x  y {:} y = ::i: x,
che identifica ogni punto x E sn con il suo antipodale -x. Si noti che sn C
R n + 1 \ {O} e che la relazione "-J su sn è la restrizione della relazione "-' su
R n + 1 \ {O}.
Lo spazio quoziente S11, /  è omeomorfo a p11,. Per dimostrarlo osserviamo
prcliIninarmente che la proiezione naturale T : S11, --+ S11, / '"'-J è aperta e chiusa.
Infatti, se A C sn è aperto, l'insieme saturato di A è
T-1((A» = A U (-A),
dove -A = {-x: x E A} è l'imlnagine di A attraverso 1'omeomorfismo sn --+ sn
che manda x 1-+ - x, e quindi è aperto. Allora T(A) = T(A U ( - A» è l'immagine di
un aperto saturo e quindi è aperto. Nello stesso lTIodo si dimostra che T è chiusa.
Definiamo un' appJicazione continua
ji : Rn+l\ {O}  sn

84
Esempi I Cap. 2
ponendo
jt(x) = x/llxll.
La composizione
M = T . jt : R n + ' \ {O}  S11. I 
induce un'applicazione continua e biunivoca
- . P 11. 011. 1
M. o .
Quest'applicazione è un omeomorfismo se è aperta. Sia A C pn un aperto.
Allora
M (A) = M(7r- I (A» = T(jt(7r-- I(A») = T(Sn n 1[- I(A)
è aperto in sn /  perché T è aperta. Quindi M è un omeomorfismo.
13. pI è omeomorfo a SI. Pcr definire un omeomorfìsmo consideriamo la
circonferenza S C R 2 di centro (O, - 1/2) e raggio 1/2. Definiamo un' applicazione
continua, : SI  S ponendo
{ O
,(x) =
(9\ {O}) n r(x, O)
se x = (:l: 1 , O),
altrimenti,
(dove r(x, O) denota come al solito la retta contenente x c O; vedi fig. 7.6).
Anal i ticamente
,(x) = (-XIX2/ll x I1 2 , -x/llxI12).
Chiaramente , è continua ed aperta. Poiché ,(x) = ,(y) se c solo se y = :l: x,
, induce un onleomorfismo pl  9. Ma S  SI, quindi pl  SI.
14. Sia n > O un intero. È possibile definire lo spazio proiettivo c0111plesso
di dÙnensione n, denotato p11.(C), in lTIodo simile a come è stato definito pn(R),
come il quoziente di C n + 1 \ {O} rispetto alla relazione di equivalenza r"'.J
X r-.J Y {} esiste À E C, À =f0, tale che y?: = ÀXi, i = O,..., n
(dove, come nel caso reale, C n + 1 \ {O} si intende munito della topologia euclidca
indotta da C n + 1 ).
pl (C) e p2(C) si dicono retta proiettiva cOlnplessa e piano proiettivo cOlnplesso
rispettivamente. Denoteremo con
1[ : C n + J \ {O}  pn(c)

7 l Quozienti
85
51
Figura 7..6
la proiezione naturale; per ogni z = (zo,...  zn) E Cn;-I\{O}, il punto 7r(z) E pn(c)
si denoterà anche [zo,..., Zn L e (zo,..., zn) si dirà una (n + l)-upla di coordinate
oll1ogenee di 1r(z):
Ponendo
Ui = {r Zo, . . . , Zn J E pn (C) : zi # O} i = O, . . . , n,
si ottiene un ricoprilTIento aperto {U o , . . . , Un} di pn (C) in cui ogni Ui è omeomorfo
a C n tral11ite l'omeomorfismo
[Zo . . . zn] t----; (zo / Z1:' . . . , Zn I Zi).
Il cOmplelTIentare
H. = p n ( c\ \ u.
'l I 'l
S1 chianla iperpiano ali 'infinito (o Ùnproprio) rispetto a U i .
Le dimostrazioni di questi fatti si estendono parola per parola dal caso reale a
quello comp1esso.
È facile dimostrare che pl CC) è omeomorfo a S; esso viene spesso chiamato
.fera di Rienzanl1 (cfr. Sernesi 1989, p. 306).
Esercizi
1. Sia p la relazione di equivalenza su R così definita:
xpy {::} Ixl = Iyl.
DitTIostrare che RI p è o111eomorfo alla sellliretta chiusa [O +00).

86
Esempi l Cap. 2
2. Siano PI, P2 e P le seguenti relazioni di equivalenza in R2:
(XI, X2)Pl (YI, Y2) {::} X2 = Y2 e Ix" = lyI!.
(XI, X2)P2(YI, Y2) {:} X] = YI e I X 21 = IY21.
(XI  X2)P(Y], Y2) {::} IXII = IYII, I X 21 = IY21.
Dilllostrare che R 2 I Pl e R 2 I P2 sono entrambi omeomorfi a un semlplano chiuso, e
che R 2 I P è onleomorfo al quadrante chiuso
{(XIX2): XI  O X2  O} C R 2 .
3. Dimostrare la seguente proposizione:
Siano XI e X2 spazi topologici con relazioni di equivalenza PI e P2 rispettivaOlente.
Supponiamo che le proiezioni canoniche Pi : Xi -+ Xii Pi, i = 1,2, siano entralnbe
aperte" Nello spazio topologico prodotto X = X] X X2 sia p la relazione di equivalenza
(x], X2)P(Yl , Y2) {::} X l PI YI, X2P2Y2
e sia p : X -+ XI p la proiezione naturale. Allora l'applicazione
q:X-+Xllpl xX 2 1p2
t
q(XI,X2) = (Pl(XI),P2(X2»
induce un orneonlorfislTIO
q : XI P -+ XI I p] X X21p2.
4. Sia f : X -+ Y un' identificazione, n C Y un sottospazio aperto (risp. chiuso) e
A = f- I (B) C X. Dimostrare che l'applicazione
g:AB
indotta da f è un' identificazione.
5. Sia f : X -+ Y un'identificazione, A C X un sottospazio, B = f(A) C Y e g : A -+ B
l'applicazione indotta da f. ConsiderimTIo in B le due topologie
TI = topologia indotta da y
T2 = topologia quoziente rispetto a g.
DitTIostrare che TI < T2 e dare un esempio in cui TI =f T2. Dimostrare che se A è
aperto e f è aperta, oppure A è chiuso e f è chiusa, allora TI = T 2 .
6. In I x S I si consideri la relazione di equivalenza
(t, s)  (t', s') {::} (t, s) = (t'  s') oppure
t = t' = O
t = t' = ].
oppure
Dinlostrare che I x SI /  è omeolTIorfo a S2.

7 I Quozienti
87
7. Sia p : X  Y un' identificazione. Dimostrare che se D è un sottoinsie111e denso di X,
p(D) è denso in Y.
8. Interpretare pn(R) come spazIo quoziente rispetto a un'azione di R* := R\{O} su
R n +! \ {O}.
9. Dilnoslrare che uno spazIo quoziente di uno spazio separabile è separabile.
lO. Dinlostrare che pn (R) è omeonl0rfo al quoziente della semisfera S rispetto alla
relazione di equivalenza che identifica i punti dell'equatore {x E sn : xn+l = O}  sn - I
che sono diamctrahncnte opposti.
(Su/?/?erÌ1nento. Si utilizzi r esercizio 5 e il fatto che la proiezione sn  pn è chiusa).
Il. Dimostrare che se G è un gruppo topo logico e H è un sottogruppo discreto di G,
la proiezione G  G / H è un omeomorfìsmo locale (in particolare R n  T n è un
o lneolllorfi SIno locale).
12. Sia f : X  Y un'identificazione. Dimostrare che se X soddisfa il primo (risp. il
secondo) assioma di numerabilità allora Y soddisfa il primo (risp. il secondo) assioma
di numcrabilità.

Capitolo 3
Proprietà topologiche
8 Proprietà di separazione
In questo paragrafo studieremo una classe di proprietà topologiche, dette pro-
prietà di separazione.
Uno spazio di Hausdo11f (o spazio T 2 ) è uno spazio topologico X che soddisfa
il seguente assioma:
ASSIOMA DI SEPARAZIONE DI HAUSDORFF Dati c0l11unque u, v E X distinti,
esistono due aperti U, V di X tali che u E U, v E V e U n v = 0.
Gli esempi più importanti di spazi di Hausdorff sono gli spazi metrizzabili (in
particolare R n ): se u =/=v sono punti dello spazio metrizzabile X, allora d(u v) =
= r > O e gli aperti U = D r / 3 (u), V = D r (3(V) soddisfano ovviamente u E U,
v E V; inoltre U n V = 0. Infatti, se per assurdo esistesse w E U n V, si avrebbe
1. = d(u,v) < d(u,w)+d(wv) < rJ3+rJ3 = 2r/3.
Ogni spazio discreto è di Hausdorff; uno spazio topologico banale con almeno
due punti non è di Hausdorff. Ogni insieme inflnito con la topologia cofinita non
è uno spazio di Hausdorff.
8.1 PROPOSIZIONE Ogni sottospazio Y di uno spaZlO di Hausdorff X è di
Hausdor.ff:
DinuJstrazione. Se u, v sono due punti distinti di Y, esistono aperti U, V di
X tali che u E U, v E V e U n V = 0. Allora U ' = U n Y, VI = V n Y sono aperti
di Y tali che U E U', v E V', e U ' n V' = 0. Il
8.2 PROPOSIZIONE Il prodotto lOjJologico X di una ja111iglia {X s } sE8 di spazi
di Hausd(J1:ff' è uno spazio di Hausdo(ff.

8 I Proprietà di separazione
89
DÙnoSlrazione. Siano u, v due punti distinti qualsiasi di X. Poiché u =f v, esiste
un indi cc s E 8 tale che u(s) =f v(s) in Xs; e poiché Xs è di Hausdorff, esistono
aperti U s , V:5 in Xs tali che u(s) E U s , ves) E Vs, e U s n V s = 0.
Siano U e V gli aperti di X definiti da
u = Ps l(U s ) = {x E X: x(s) E U s };
V = Ps '(Vs) = {x E X : x(s) E Vs}.
Chiaramente u E U, v E V c U n V = 0. Quindi X è uno spazio di Hausdorff. Il
La seguente proposizione descrive una proprietà degli spazi T 2 che abbiamo
già osservato negli spazi metrizzabili.
8.3 PROPOSIZ[ONE In uno spazio di Hausdor.ff X ogni punto è un sottoinsieme
chiuso.
DÙnostrazione. Sia u E X. Pcr ogni v E X, v =fu, esistono aperti U, V tali che
u E U, v E V ed U n V = 0; in particolare v E V C X\{u}. Dunque X\{u} è un
intorno di v, e quindi è aperto, cioè u è chiuso. 11I
Uno spazio topologico i cui punti sono sottoinsiemi chiusi si dice spazio T,.
La proposizione 8.3 afferma che ogni spazio di Hausdorff è anche uno spazio TI.
Il viceversa non è vero, cioè ci sono spazi TI che non sono T 2 . Un esempio è
dato dalla topologia cofinita in un insieme infinito. Uno spazio banale con almeno
due punti è un esempio di spazio topologico che non è uno spazio T,.
8.4 PROPOSIZIONE Uno spazio lopologico X è uno spazio T, se e solo se
per ogni coppia di punti distinti u, v E X esistono aperti U, V tali che u E U,
v rt U, e v E V, u rt: v.
Dinlostraziol1e. Supponiamo che X sia uno spazio T,. Presi u, v E X distinti,
i sottoinsiemi U = X\ {v}, V = X\ {u} sono aperti e soddisfano le condizioni
richieste.
Supponiamo viceversa che X soddisfi le condizioni del1' enunciato, e sia u E X
un punto qualsiasi. Per ogni v E X\ {u} esiste per ipotesi un aperto V tale che
u E,l' V, v E V; quindi v E V C X\ {u}, cioè X\ {u} è un intorno di v. Poiché ciò
è vcro pcr ogni v E X\ { u }, X\ { u} è aperto, cioè {u} è chiuso. Il
Le proprietà delle successioni in uno spazio T, o in uno spazio di Hausdorff
sono simili a quelle delle successioni ncgli spazi metrizzabili.
8.5 PROPOSIZIONE Se una successione in uno spazio di Hausdol:[l X converge,
il suo lil1lite è unico.

90
Proprietà tOPO/oMiche I Cap. 3
Dinlostrazione. Sia {x n : n = l, 2, . . .} una successione in X, e supponiamo per
assurdo che x, x' E X siano distinti e tali che
l o ,
x = 1m X n = X .
n ---+ 00
[8.1]
Poiché X è di Hausdorff esistono U, V C X aperti tali che x E U, x' E V,
U n V = 0. Per la prima delle [8.11 esiste N > () tale che X n E U per ogni n > N.
D'altra parte la seconda delle [8.1 J implica 1'esistenza di N' > O tale che X n E V
per ogni n > N', e questa è una contraddizione. Il
La proposizione 8.5 si applica in particolare agli spazi metrizzabili, ma non
è vera per gli spazi TI. Infatti se ad esempio X è uno spazio infinito con la
topologia cofinita, allora X è TI ed ogni sua successione costituita da infiniti
punti converge a ogni punto dello spazio.
Una proprietà abbastanza sottile riguarda i punti di accumulazione di una
successione (cfr. esempio 3.5( l »). Il seguente risultato è utile in molti casi.
8.6 PROPOSIZIONE Sia {xn : n = l, 2, . . .} una successione in uno spazio
TI soddisfacente il prÙno assÙJ1na di nlllnerabilità, e sia x E X un punto di
acculnulazione di {x n }. Allora {xn} possiede una sottosuccessione convergente
ad x.
Din1ostrazione. Poiché X è TI ogni sottoinsieme finito di {x n } è discreto e
quindi x è punto di accumulazione di {x n : n > N} per ogni N > O. Sia {Uk}k>l
un sistema fondamentale di intorni di x tale che Uk+1 C Uk per ogni k > l.
Poiché x E D({x n }) esiste n} > O tale che x n ] E U 1 . Poiché x E D({x n : n > nl})
esiste n2 > n I tale che x n2 E U 1 . Procedendo indutti vamente possiamo trovare una
sottosuccessione {x nk : k = l, 2, . . .} tale che x nk E U k per ogni k > l. È chiaro
che x = lim x nk . !Il
k ---+ 00
La proposizione precedente si applica agli spazi metrizzabili e agli spazi TI a
base numerabile.
-Uno spazio regolare è uno spazio topologico X che soddisfa le seguenti
condizioni:
(R I ) X è uno spazio TI.
(R 2 ) Per ogni sotloinsielne chiuso F in X e ogni x E X\F esistono aperti U, V
tali che x E U, F C V e U n V = 0.
8.7 PROPOSIZIONE Ogni spazio regolare è di Hausdorfl
DÙnoslrazione. Sia X uno spazio regolare e u, v E X due punti distinti. Poiché
X è uno spazio TI, {v} è un insieme chiuso. Prendendo F = {v}, x = u, la

8 I Proprietà di separazione
9/
proprietà (R 2 ) assicura l'esistenza di aperti disgiunti U, V tali che u E U, v E V
e quindi X è di Hausdorff. Il
Uno spazio norl1lale è uno spaZIO topologico X che soddisfa alle seguenti
condizioni:
(N 1 ) X è uno spazio T,;
(N 2 ) per ogni coppia di sottoinsielni chiusi e disgiunti Fl' F 2 di X esistono aperti
U" U 2 tali che F, C U" F 2 C U 2 , U, n U 2 = 0.
8.8 PROPOSIZIONE Ogni spazio nornlale è regolare, e quindi di Hausdorff.
DÙ1'lostraziQne. Esercizio. 11I
Esistono spazi regolari che non sono normali e spazi di Hausdorff che non sono
regolari (cfr. esempi 8.11(1), (3»). Ogni spazio discreto è normale. Un'importante
classe di spazi normali è costituita dagli spazi metrizzabili.
8.9 TEOREMA Ogni spazio lnetrizzabile X è norlnale.
DÙnostrazione. Abbiamo già osservato che X è uno spazio di Hausdorff e
quindi è uno spazio T,.
Sia d : Xt x X  R la distanza che induce la topologia di X. Per ognI
sottoinsieme rion vuoto F C X, definiamo una funzione
dF : X  R
ponendo
dF(X) = inf {d(x, y)}.
yEF
Per verificare la proprietà (N 2 ) consideriamo due sottoinsicllli chiusi e disgiunti
F 1 , F 2 di X, che possiamo supporre entrambi non vuoti (la condizione (N 2 ) è veri-
ficata banalmente se almeno uno dei due insieIlli F, ed F 2 è vuoto). Consideriamo
i sottoinsiemi
U, = {x E X: dF1(x) - d F2 (X) < O},
U 2 = {x E X: dF1(X) - dF 2 (X) > O}.
Chiaramente U, n U 2 = 0.
Sia x E FI. Allora d F1 (x) = O. D'altra parte x (/. F 2 e quindi, poiché F 2 è chiuso,
esiste r > O tale che d(x, y) > r per ogni y E F 2 ; ne segue che dp)(x) > O, e
quindi che
d FI (x) - d F 2 (x) = - d F 2 (x) < O,
cioè x E U 1 . Quindi FI C U 1 . In modo sinlile si dimostra che F 2 C U 2 .

92
Proprietà lop%gìche I Cap. 3
Facciamo vedere che U I è un insieme aperto. Sia Xl E U I e poniamo
r = dF 2 (XI) - dF 1 (XI).
Si ha r > O; faremo vedere che D r / 3 (xd C U I , e questo proverà che U j è aperto.
Sia dunque x E D r / 3 (XI); dobbiamo far vedere che
dFJx) - dF'2(X) < O.
Si ha
dF 1 (x) - dF 2 (X) =
= r d FI (x) - d FI (x l ) l + [d F/ X d - d F 2 (x d l + [d F 2 (x l) - d F 2 (x) l = [8.21
= [dF 1 (x) - dF 1 (XI)] - r + [dF 2 (xd - dF](x)].
Ino1tre per ogni y E FI si ha
d(x,y) < d(x,xt)+d(xI,Y) < rl3 +d(x!,y)
c quindi
d FI (x) = i n f {d( x, y)} < r 13 + in f {d (x I , y)} = r 13 + d FI (x l ),
yEF I yEF j
cioè
dF1(X) - dFj(XI) < r13.
Analogamente si trova che per ogni y E F 2
d(XI, y) < d(XI, x) + d(x, y) < r /3 + d(x, y)
e quindi che
dF 2 (XI) = inf {d(x" y)} < rl3 + inf {d(x, y)} = rl3 + dF 2 (X)
yEF-:. yEF 2
cioè
d p, (x t> - d F., (x) < r 1 3 .
- -
Sostituendo nelle l8.2] si trova
d F, (x) --- d F 2 (x) < r / 3 - r + r 13 < ()
c l' asserto è dimostrato. In modo simile si din10stra che U 2 è aperto. !Il

8 I Proprietà di separazione
93
Le proprietà di separazione che uno spazio X può avere sono collegate all'e-
sistenza di applicazioni continue su X a valori reali.
Ad esempio su uno spazio topologico banale (che non soddisfa alcuna delle
proprietà di separazione considerate sopra) le uniche funzioni continue a valori
reali sono le costanti.
D'altra parte, se uno spazio X ha la proprietà che per ogni coppia di punti
distinti u, v E X esiste una funzione continua! : X -+ R tal c che f(u) =f f(v) (cioè
una funzione continua che "separa u da v") al10ra X è uno spazio di Hausdorff:
infatti, ponendo r = d(f(u), f(v» e
U = f- I «f(u) - r /2, f(u) + r /2»,
V=! 1«f(v)-r/2, f(v) + r/2),
U e V sono aperti disgiunti e u E U, v E V.
Ci si può aspettare che gli spazi normali, soddisfacendo alla proprietà di
separazione più forte, possiedano funzioni continue a valori reali con proprietà
molto forti. Ciò è quanto afferma il seguente
8.10 TEOREMA (Lemma di Urysohn) Siano Ao e Al due softoinsienli chiusi
non vuoti e disgiunti di uno spazio nornlale X. Esiste un'applicazione continua
f : X -+ ("O, l] tale che
{ O per ogni x E Ao
f(x) = .
1 per ognI x E A,.
Dhnostrazione. Denotiamo con D l'insieme dei numeri razionali diadici non
negativi, cioè dei numeri razionali della forma a/2 Q , dove a e q sono interi non
negativi.
Comincianlo col costruire una famiglia
1 = {U t : t E D}
di insiemi aperti di X tale che per ogni s, t E D, s < t, SI abbia
U s C U t .
Prendiamo
Ut = X per ogni t > l, t E D,
U j = X\A,.
Per la normalità di X esistono aperti M e N tali che Ao C M, Al C N,
M n N = 0. Prendiamo
U o = M.

94
Proprietà topologiche I Cap. 3
Si ha
U o C X\N C X\A, = U 1 .
Sia ora t E D tale che O < t < l. Possiamo scrivere in lTIodo unico t = (2m + 1) /2 n
per qualche m, n > O. Costruiremo Ut per induzione su n. Poniamo
a = 2m/2n = m/2n ]
(J = (2m + 2)/2 n = (m + I )/2 n ]
Se n = 1, allora a = O, (J = 1 e U O! = Un, U j3 = U, sono già stati costruiti In
modo che U ex C U/3'
Se n > 2, allora a < t < {3 e per l'ipotesi induttiva possiamo supporre di aver
costruito insiemi aperti U a e U/3 tali che U O! C Uf]. Allora U ex e X\U fJ sono due
insiemi chiusi c disgiunti; per la normalità di X esistono due sottoinsiemi aperti
V, W tali che
U O! C V, X\U/3 C W, W n V = 0.
Prendiamo U t = V. Si ha
U ex C U t , U t C X\W C UfJ'
È chiaro che se ti = (2h + 1) /2 n , t < t', allora U t e U t , costruiti in questo modo
soddisfano U t C U t ', perché si ha m < h e quindi
- - -...............
U ex C U t C U t C U/3 C U /3 C U ì C U t , C U t , C Utj,
dove '7 = h/2 n - " li = (h + 1 )/2 n I. Da ciò segue che la famiglia 1 costruita
induttivamente ha le proprietà volute.
Definiamo ora l'applicazione f : X -t [O, 1] ponendo
f(x) = inf{t E D: x E U t } per ogni x E X.
Si noti che la famiglia 1 ricopre X; quindi per ogni x E X 1'insieme {t E D :
x E U t } non è vuoto e il suo estremo inferiore è ben definito. Inoltre da come è
stata costruita la falniglia 1 segue subito che f(x) E l() l] per ogni x E X, e che
f(x) = { 
se x E Ao
se x E A,.
Ci resta da verificare che f è continua. A questo scopo sarà sufficiente verifièarc
che per ogni numero reale a tale che () < a < ] gli insiemi f '([ O, a» e f- '«(a, 1 ])
sono aperti in X (perché gli intervalli della fonna [O, a) ed (a, I] formano una
sottobase della topologia di [O, l]).

R I Proprietà di separazione
95
Consideriamo l'insieme
f '([O, a» = {x E X : f(x) < a}o
Per definizione di estremo inferiore quest'insieme consiste degli x E X tali che
x E U t per qualche t < a. Quindi
f l (fO, a» = U U t
tED
t<a
è un insieme aperto.
Per dimostrare che l'insieme
f-' (a, 1 J) = {x E X : f(x) > a}
è aperto sarà sufficiente dimostrare che
X\ f l ( ( a, 1 ]) = f ] (lO, a l) = {x E X : f (x) < a}
è un insieme chiuso.
Perché si abbia f(x) < a deve essere x E U t per ogni t > a, t E Do Quindi
f 1([O,aJ) = n Uto
tED
t>a
Faremo vedere che quest' insieme è chiuso mostrando che
n U t = n U t o
tED tED
t>a t>a
Ovviamente si ha
n U t C n Uto
tED tED
t>a t>a
D'altra parte per ogni t > a, t E D, esiste s E D tale che a < s < t perché D è
denso in R+; quindi U s C U t o Ne segue che
n U s C n U t . Il
sED tED
s>a t>a
Si noti che, viceversa, se X è uno spazio topologico tale che per ogni coppia
di sottoinsiemi chiusi non vuoti disgiunti Ao e A, esiste un'applicazione continua
f : X --+ [O, Il tal e che
f(x) = { 
se x E Ao
se x E A"
allora X è uno spazio che soddisfa (N 2 ).

96
Proprietà top%giche I Cap. 3
Infatti
Un = f I (lO, 1/2)), U l = f - I «( 1 / 2, 1 J)
sono due aperti disgiunti di X tali che Ao C U o , AI CUI'
8.11 Esempi
l. Spazio di Hausdorff non regolare.
Sia X = lO, l J C R e S il sottoinsieme {l/n : n = 1,2,3,...}. Sia T la
topologia meno fine contenente ogni sottoinsieme aperto di X\ {O} nella topologia
di sottospazio di R, e contenente inoltre ogni insieme Br, O < r < 1, definito da
Br = {x E X : X < r, X rt: S}.
Con la topologia T così definita X è uno spazIo di Hausdorff, ma non è
regolare.
DitTIostriamo che X è di Hausdorff. Siano u, v E X distinti, e supponiamo
u < v. Se 0=l-u, sia c = v - u; U = (O, u + e/2), V = (u + e/2, 1] sono due aperti
di X tali che u E U, v E V, U n V = 0. Se u = O, sia O < r < v, e prendiamo
U=B r , V=(v-r,lJ. U e V sono aperti in X; inoltre uEU, vE V, unv=0.
Quindi X è uno spazio di Hausdorff.
S è un sottoinsieme chiuso di X perché k9 = X\B 1 ; inoltre O rt: S. Facciamo
vedere che non esistono aperti U, V in X tali che O E U, S C V, U n V = 0.
Ogni aperto U contenente () deve contenere Br per qualche O < r < 1; d'altra
parte ogni aperto V contenente S ma non O è un aperto di X\ {O} nella topologia
euclidea; ma un V siffatto interseca ogni Br, O < r < 1, quindi la condizione
U n V = 0 non può essere verificata.
Questo dimostra che X non è regolare, perché non soddisfa la condizione (R 2 )
(si noti che X è TI perché è di Hausdorff).
2. Un criterio utile per costruire esempi di spazi non normali è il seguente
LEMMA Se uno spazio lopologico separabile X contiene un sottoinsienle
chiuso discreto nOI1 nUlnerabile S, X non è Il o rlna le.
Dilnostrazione. Sia D C X un sottoinsieme numerabile e denso (X è separabile)
e supponiamo per assurdo che X sia normale. Poiché k.9 è discreto e chiuso in
X, ogni sottoinsieme di S è chiuso in X. Quindi per ogni sottoinsieme proprio
A1-S esistono aperti U(A) e U(S\A) in X tali che A C U(A), S\A C U(S\A),
U(A) n U(S\A) = 0. Poiché D è denso, si ha:
U(A) n D =I- 0 per ogni sottoinsien1e non vuoto A 1- S.
[8.3 ]

8 I Proprietà di separazione
97
Inoltre, se A, B 1- S sono due sottoinsiemi non vuoti ed A 1- B, si ha
U(A) n D =I- U(B) n D.
[8.4 ]
Infatti, se A \B =I- 0, si ha
U(B) n U(S\B) n D = 0
mentre
U(A) n U(S\B) n D =I- 0
perché U(A) n U(S\B) è un intorno aperto di A\B e in particolare non è vuoto;
ne consegue che U(A) n D e U(B) n D sono distinti. Se invece B\A =I- 0 si ragiona
nello stesso modo.
Dal1e [8.3J e [8.4J segue che l'applicazione
P(S)  P(D)
definita da
A t---? U (A) n D, se A 1- S, A =I- 0,
St---?D
o t---? 0
è iniettiva. Ciò è assurdo perché P(S) ha cardinalità maggiore di quella di P(D).
!!Il
3. Applichiamo il lemma del]' esempio 2 per dare un esempio di spazio regolare
che non è nor111ale.
Sia S una retta di R 2 e X uno dei due semipiani chiusi individuati da S. Sia
D la famiglia dei dischi aperti di R 2 contenuti in X e }I la famiglia così definita:
}I = {D U P : P E S, D E D, D tangente a S in P}.
È immediato verificare che la famiglia D u}I soddisfa le condizioni della
proposizione 2.2 ed è quindi base di una topologia T su X. Si noti che S è
chiuso in (X, T) e che la topologia indotta da T su X\S è la topologia euclidea,
mentre quella indotta su S è la topologia discreta. Inoltre (X, T) è separabile
perché Q2 n X è un sottoinsieme denso. Dal lemma dell'esempio 2 segue che
(X T) non è uno spazio normale.
Ma (X, T) è uno spazio regolare. Infatti T è una topologia che soddisfa l' as-
sioma T], perché più fine della topologia euclidea (esercizio 8). Inoltre siano F un

9R
Proprietà lop%giche I Cap. 3
sottoinsieme chiuso di X e p E X\F. Se p rt: S, sia r > O tale che Dr(P) non
intersechi S né il chiuso (X\9) n F di X\k9. Allora Dr(P) n F = 0 c quindi
A = Dr/2(P) c n = X\Dr/2(P)
sono aperti disgiunti tali che p E A, F C B.
Supponiamo invece p E S. Poiché F è chiuso esiste un aperto D U P in }.I tale
che (D U P) n F = 0. Si scelga allora DI U P E }{ con DI iD. Si ha subito che
A = DI U P e B = X\D I U P
sono due aperti disgiunti, p E A, F C B.
4. Abbiamo visto (proposizione 8.2) che il prodotto topologico di una famiglia
di spazi di Hausdorff è ancora di Hausdorff. Di un' analoga proprietà godono gli
spazi TI e gli spazi regolari (cfr. esercizi 15 e 16). Ma la proposizione 8.2 non si
estende agli spazi normali. Un esempio è dato dal prodotto topologico di (R, Jd)
per se stesso. Infatti (R, Jd) è normale (esercizio 12), ma R 2 con la topologia
prodotto J d non è normale.
Per vederlo osserviamo che una base B di J d è costituita dai rettangoli della
forma la, b) X re, d), a < b, e < d.
Da ciò segue che Q2 è denso in R 2 rispetto a Jd, c quindi (R, Jd) è uno
spazio separabile.
Sia S la retta di equazione x+y = O (ma le stesse considerazioni si applicano ad
ogni retta di coefficiente angolare -< O). Per ogni P = (a, -a) E S esiste un aperto
A E 8 tale che AnS = {P}; basta prendere ad esempio A = fa, a+ l) X r -a, -a+ l)
(vedi fig. 8.1). Questo significa che S è un sottoinsieme discreto di (R 2 , Jd). Poiché
Figura 8.1

8 I Proprietà di separazione
99
evidentemente k.9 è anche chiuso, applicando il lemma dell'esempio 2 si vede che
(R 2  J d ) non è normale.
Si noti chc lo spazio (R, id) è normale ma non metrizzabile (cfr. esempio 3.8(2».
Se X è uno spazio nonnale metrizzabile, X x X è normale perché metrizzabile
(cfr. esercizio 6.9).
5. È evidentc che ogni SOftO,\}Jazio di uno spazio TI è U110 .\1)([zio TI. L'analoga
proprietà è stata dimostrata per gli spazi T 2 (proposizione 8.1).
È anche vero che ogni sottospazio Y di uno spazio regolare X è regolare.
Sia infatti F un sottoinsieme chiuso di Y e y E Y\F; sia F' un chiuso di X
tale che F = F' n Y. Poiché X è regolare e y rt. F' esistono aperti U', V' in X
tali che y E U', F' C V' e U' n V' = 0. Allora U = u' n Y e V = V' n Y sono
aperLi di Y e. y E U, F C V, U n V = 0. Quindi Y soddisfa la condizione (R2)
poiché inoltre Y è sotto spazio di uno spazio TI è anche uno spazio TI e quindi
è regolare.
In modo simile è facile dilTIOstrare che ogni sottospazio chiuso Y di uno .\})azio
110nnale X è norlnale (esercizio 17). Ciò non è più vero se si toglie la condizione
che Y sia chiuso: esistono esempi di sottospazi (non chiusi) di spazi normali che
non sono normali.
6. Una varietà topologica di dinlensione n (intero > 1) è uno spazio topologico
di Hausdorff X che soddisfa il secondo assioma di numerabilità e tale che ogni
x E X possieda un intorno aperto U x omeon10rfo a un aperto di R n .
Un omeomorfismo CPu di un aperto U di X su un aperto di R n si chiama carta
(o carta locale). Una famiglia {'Pu!} di carte tale che {Ui }iEI sia un ricoprimento
aperto di X si dice atlante. È evidente che per dimostrare che uno spazio di
Hausdorff X è una varietà topologica è sufficiente trovare un atlante.
Ogni aperto di R n , in particolare R n stesso, n > 1, è un esempio di varietà
topologica di dimensione n.
Per ogni n > 1, sn è una varietà topologica di dimensione n. Infatti sn è
evidentemente uno spazio di Hausdorff a base numerabile; un atlante costituito da
due sole carte si può ottenere in più modi considerando le proiezioni stereografiche
di centro due punti distinti.
Il prodotto X x Y di due varietà topologiche X e Y di dimensioni n e
m rispettivamente, è una varietà topologica di dimensione n + m (esercizio). In
particolare per ogni n > 2 l'n-toro T n è una varietà topologica di dimensione n.
Lo spazio proiettivo reale pn(R), n > 1, è una varietà topologica di dimensione
n (cfr. esercizio 18 ed esempio 7.6(11»).
Nella definizione di varietà topologica la condizione di essere spazio topologico
di Hausdorff non è ridondantc. In altre parole esistono spazi topologici non di
Hausdorff tali che ogni loro punto possieda un intorno aperto omeomorfo a un
aperto di R n per qualche n > 1 (indipendente dal punto). Un esempio è il seguente.

100
Proprietà topologiche I Cap. 3
Sia X = (- l, 2J C R con la topologia T così definita: U E T se e solo se
U = 0, X, oppure se è unione di insiemi della forma
(a, b), -l < a < b < 2,
(a, O) U (b, 2 L -1 < a < O, O < b < 2.
È facile verificare che T è una topologia e che T è meno fine della topologia
indotta da R (gli insiemi (b,21 non sono aperti in T).
X non è di Hausdorff perché ogni intorno di 2 interseca ogni intorno di O.
D'altra parte ogni punto x E X ha un intorno omeomorfo a un aperto di R. Ciò
è evidente se x =f 2. Se x = 2, allora
u = (-1/2, O) u (3/2,21
è un intorno di 2; è facile verificare che l'applicazione
f:U-+(-I,I)
definita da
{ 2u
f(u) =
4 - 2u
se -- 1/2 < u < O
se 3/2 < u < 2
è biunivoca, continua, con inversa g : (-1, l) -+ U continua definita da
{ t/2
g(t) = 2 _ t/2
se - 1 < t < O
se O < t < l.
Esercizi
1. Dimostrare che l'essere TI (rispettivamente T 2 , regolare, nonnale) è una proprietà
topo logica per uno spazio X.
2. DilTIOstrare che un insieme infinito con la topologia cofìnita non è n1etrizzabile.
3. Dimostrare che uno spazio banale con almeno due punti non è metrizzabilc.
4. Dimostrare che uno spazio X è di Hausdorff se e solo se per ogni x E X l' intersezione
di tutti gli intorni chiusi di x consiste del solo punto x.
5. Dimostrare che uno spazio X è di Hausdorff se e solo se la diagonale
={(x,X):XEX}
è chiusa in X x x.
6. Sia f : X ---+ Y un' applicazione di insiemi; il grafico di f è
r f = {(x, f(x)) E X x Y : x E X} C X x Y.
DÌlnostrare che se X e Y sono spazi topologici, Y di Hausdorff, e f è continua, il
grafico r f è chiuso in X x Y.

9 I COmpalieZZa
101
7. Siano f, g : X ---+ Y applicazioni continue, con Y di Hausdorff. Dimostrare che se
esiste un sottoinsieIne denso D C X tale che f(x) = g(x) per ogni x E D, allora f = g.
8. Din10strare che se T < U sono due topologie sull' insiemc non vuoto X e T è TI
(risp. T 1 ) allora U è TI (risp. T2).
9. Dimostrare che uno spazio quoziente di uno spazio X è uno spazio TI se e solo se
ogni classe di equivalenza è un sottoinsieme chiuso di X.
lO. Sia X uno spazio normale e 8 un sottoinsieme chiuso. Dimostrare che lo spaZIO
quoziente ottenuto da X identificando 8 a un punto è normale.
Il. Sia E un sottoinsieITIe di uno spazio T] e p un suo punto di acculnulazione. Dimostrare
che ogni intorno di p contiene infiniti punti di E.
12. Dinl0strare che (R, jd) (risp. (R, i8» è uno spazio normale.
13. Dilllostrare. che uno spazio TI X è rcgolare se e solo se per ogni p E X e ogni aperto
U contenente p esiste un aperto V tale che
P E V C V C U.
14. DirTIostrare che uno spazio TI X è nonnale se e solo se per ogni sottoinsieme chiuso
F c X e ogni aperto U contenente F esiste un aperto V tale che
F C V C V C U.
15. Dimostrare che il prodotto topologico di una famiglia di spazI TI è uno spaZIO TI.
16. Dimostrare che il prodotto topologico di una famiglia di spazI regolari è regolare.
17. Dimostrare che ogni sottospazio chiuso di uno spazio normale è normale.
18. Ditnostrare che lo spazio proiettivo reale pn(R) è uno spazio di Hausdorff.
(SuggerÙnento. Si usi la rappresentazione di pn COlne quoziente di sn).
9 COlnpattezza
U no spazio topologico si dice cOlnpatto se ogni suo ricoprimento costituito da
insiemi aperti (brevemente, se ogni ricoprÙnento aperto) possiede un sottorico-
primento finito, cioè possiede una sottofamiglia costituita da un numero finito di
insiemi che è ancora un ricopri mento dello spazio.
. Un sot1oinsie111e K di uno spazio topologico X si dice COlnpatto se con la
topologia relativa K è uno spazio compatto; equivalcntcmente K si dice compatto
se ogni ricoprimento di K con insiemi aperti di X possiede un sottoricoprimento
fini to.
Ogni spazio banale è compatto, come è anche compatto ogni spazio finito ed
ogni spazio con la topologia cotini ta.
Se X è uno spazio discreto, la famiglia {x} xEX è un ricopri mento aperto di X
tale che ogni. sua sottofamiglia non è un ricoprimento (cioè {x }XEX non possiede
sottoricoprimenti propri); quindi se è infinito e discreto X non è compatto.

102
Proprietà lopologiclze I Cap. 3
R non è compatto, perché ad esempio il ricoprimento aperto {( -n, n) }n I non
possiede un sottoricoprimento finito.
Ogni intervallo aperto (a, b) di R non è compatto. Infatti la famiglia di intervalli
aperti U = { (a + e, b - e) : O < e < b; a } costituisce un ricoprimento di (a, b); ma
ogni sottofamiglia finita di U ha come unione un interval10 ancora appartenente
ad U, e quindi diverso da (a, b). Abbiamo il seguente risultato classico:
. 9.1 TEOREMA (di Heine-BoreI) Ogni intervallo chiuso e linzitato la, b] C R è
'colnpatto.
DÙnostrazione. Sia U un ricopri mento di fa, b] con aperti di R. Consideriamo
il sottoinsieme
X= {x E [a,b]: fa,x] è ricoperto da un numero finito di aperti di U}.
È sufficiente far vedere che X = fa, b]. Innanzitutto X =f 0: infatti a E U per
qualche U E U, e quindi a E X. È anche evidente che X è un intervallo contenuto
in [a, bl.
X è aperto in la, b]. Se infatti x E X e U j ,..., Un E U sono tali che la, xJ C
C U 1 U . . . U Un, allora, poiché U j U . . . U Un è aperto, esiste r > O tale che:
[a,bln(x-r,x+r)c U] U...UU n
e quindi anche fa, bJ n (x - r, x + r) C X.
Sia z = sup X. Poiché X C fa, b J e [a, b J è chiuso e limitato, z E fa, b] e quindi
esiste V E U tale che z E V. Sia s > O tale che (z - s, z] C V n fa, bJ. Allora
z - s E X e quindi esistono VI,..., V m E U tali che la, z - sJ C VI U . . . U V m . Ma
allora
fa, zJ C VI U ... U V m UV
e quindi z E X; pertanto X è anche chiuso in [a, b l. Ma l'unico intervallo simul-
taneamente aperto e chiuso in la, bl è la, b] stesso; dunque X = fa, b]. !Il
Non tutti i sottospazi di uno spazio compatto sono compatti. Ad esempio un
intervallo aperto e limitato (a, b) non è compatto, ma è un sottospazio di [a, b],
che è compatto. Abbiamo però il seguente risultato:
9.2 PROPOSIZIONE
(a) Ogni sottoinsielne chiuso K di uno spazio cOlnpatto X è cOlnpatto.
(b) Ogni sottoinsienze cOlnpatto K di uno .\pazio di Hausd(J/ff. X è chiuso.
[JÙnostrazione
(a) Sia U un ricoprimento di K con aperti di X. Poiché X\K è aperto la famiglia
U U {X\K} è un ricoprimento aperto di X. Ma X è compatto e quindi questo

9 I Compatlezza
103
ricopri mento possiede un sottoricoprimento finito, cioè esistono U". . . , UnE U tali
che:
U, U . .. U Un U (X\K) = X.
Segue che K C U 1 U . .. U Un, cioè {U"..., Un} è un sottoricoprimento finito
di K e quindi K è compatto.
(b) Sia p E X\K. Poiché X è di Hausdorff per ogni x E K esistono aperti U x
e V x tali che x E U x , P E Vx, U x n V x = 0. La famiglia {U x }XEK è un ricoprimento
aperto di K e quindi, per la compattezza di K, possiede un sottoricoprimento
finito. Quindi esistono x, . .. , X n E K tali che K C U X1 U . . . U UXT/' L'aperto
V = VXI n . . . n V Xn soddisfa
P E V C X\K
e quindi p è esterno a K. Poiché p è arbitrario in X\K segue che K è chiuso. Il
Si noti che ogni sottoinsieme proprio non vuoto di uno spazio banale è compatto
ma non è chiuso: quindi nella proposizione 9.2(b) l'ipotesi che X sia di Hausdorff
è necessaria.
Come conseguenza della proposizione 9.2 abbiamo la seguente caratterizzazione
dei sottoinsiemi compatti di R.
9.3 COROLLARIO Un sottoinsie111e K di R è compatto se e solo se K è chiuso
e IÙnitato.
Dimostrazione. Supponiamo che K sia chiuso e limitato. Poiché è limitato, K
è contenuto in un intervallo chiuso e limitato J. Poiché è chiuso in R, K è chiuso
in J. Ma allora K è compatto per la proposizione 9.2(a) e per la compattezza di
J.
SuppOnial110 che K sia compatto. Poiché R è di Hausdorff K è chiuso per la
proposizione 9.2(b). Inoltre K deve essere limitato. Se non lo fosse {(-n,n)}n'
sarebbe un ricoprimento di K che non possiede un sottoricoprimento finito: infatti,
per ogni sottofamiglia finita
{( -n" nl),..', (-nk, nk)},
si ha
(-n" nl) U . . . U (-nk, nk) = (-n, n)
dove n = max { n l , . . . , nk }, che è un intervallo limitato e quindi non contiene K. Il
Abbiamo la seguente importante:

104
Proprietà tOjJologiche I Cap. 3
9.4 PROPOSIZIONE
(a) Ogni sottoinsien1e infinito Z di uno spazio cOlnpatto X possiede un punto
di accu111ulazione in X.
(b) Ogni successione di punti di uno spazio cOlnpatto TI che soddisfa il prÙno
assio111a di numerabilità possiede una sottosuccessione convergente.
DÙnostrazione
(a) Supponiamo per assurdo che Z non possieda punti di accumulazione: allora
Z è chiuso in X e quindi con1patto. Inoltre la topologia relati va su Z è la
topologia discreta: quindi Z è uno spazio topo logico discreto infinito e pertanto
non è compatto. Abbiamo una contraddizione.
(b) Se infiniti termini della successione coincidono essi formano una sottosuc-
cessione convergente. Se la successione contiene infiniti punti distinti essa, per la
prima parte della dimostrazione, possiede un punto di accumulazione ed in questo
caso la conclusione segue dalla proposizione 8.6. !Il
Una conseguenza importante della proposizione 9.4 è il seguente risultato
classico:
9.5 TEOREMA (di Bolzano- Weierstrass) Ogni successione lhnitata {xn }n 1 di
numeri reali possiede una sottosuccessione convergente.
Dimostrazione. Poiché {xn} è una successione limitata, esiste un N > O tale
che {xn} C [- N, N]. Ma r - N, N J è compatto, e quindi per la proposizione 9 .4(b)
{ Xn} possiede una sottosuccessione convergente. Il
È possibile caratterizzare la con1pattezza mediante una proprietà delle famiglie
di insiemi chiusi. Una famiglia 1 di sottoinsiemi di un insieme X si dice avere la
proprietà del!' inte rsezione finita se ogni sottofamiglia finita di 1 ha intersczionc
non vuota.
9.6 PROPOSIZIONE Condizione necessaria e su.fficiellte a,fjinché uno spazio
topologico X sia cOlnpatto è che ogni fa111iglia 1 di sotloinsielni chiusi di X che
ha la proprietà dell'intersezione finita abbia intersezione non vuota.
Di111ostrazione
Necessità. Supponiamo X compatto e sia 1 una famiglia di sottoinsiemi chiusi
di X: è sufficiente dimostrare che, se n F = 0, allora 1 non ha la proprietà
FEl

9 I Conlpattezza
105
dell'intersezione finita. Consideriamo la famiglia di insiemi aperti di X:
U = {X\F : F E l}.
Poiché
U U = U X\F = X\ [ n F ] = X,
VEU FEr FEr
U è un ricoprimento aperto di X. Per la compattezza di X esistono
U 1 = X\FJ, . . . , Un = X\Fn E U
tali che
x = U 1 U ... U Un = (X\F]) U... U (X\F n ) = X\(F] n ... n Fn).
Da queste uguaglianze segue che F, n . . . n Fn ::= 0, e quindi 1 non ha la
proprietà dell' intersezione finita.
Sufficienza. Supponiamo soddisfatta la condizione dell' enunciato e sta U un
ricoprimento aperto di X. Consideriamo la famiglia
1 = {X\U : U E U}
di sottoinsiemi chiusi di X. Poiché U è un ricoprimento di X la famiglia 1 ha
intersezione vuota: infatti
n F = n X\U = X\ ( U U ) = 0.
FEr VEli UEU
Quindi la famiglia l non ha la proprietà del] 'intersezione finita. Segue che
esiste una sottofanliglia finita:
{F] = X\ U, , . . . , Fn = X\ Un} C l
la cui intersezione è vuota, cioè tale che
0= (X\U,) n... n (X\U n ) = X\(U, u... U Un).
Da quest'uguaglianza segue che X = U, u . . . U Un e quindi U possiede un
sottoricoprimento finito. !Il
Un'altra importante proprietà della compattezza è il suo comportamento rispetto
alle applicazioni continue.

106
Proprietà lopologiche I Cap. 3
9.7 PROPOSIZIONE Sia f : X ---t Y un'applicazione continua di spazi 10polo-
gici. Se X è conlpatto, I(X) è conlpatto in Y.
DÙ11osfrazione. Sia U un ricoprimento aperto di I(X). La famiglia di sottoin-
siemi di X
v = {/- 1 (U) : U E U}
è un ricoprimento aperto di X. Per la compattezza di X esistono U"..., Un E U
tali che X = 1 l(U I ) u... u I-'(U n ). Si ha quindi
1 (X) = 1 (I '( U I ) U . . . u I. '( Un» CUI U . . . U Un.
cioè {U"..., Un} è un ricopri mento di I(X). Quindi f(X) è compatto. Il
9.8 COROLLARIO Sia X uno pazio topologico e 1 : X ---t R un 'applicazione
continua. Se X è cOlnpatto f aSSUlne un valore nlassimo ed un valore lninÙno su
X.
IJin10strazione. Dalla proposizione 9.7 segue che f(X) è un sottoinsieme com-
patto di R, e quindi è chiuso e limitato. Ne segue che I(X) contiene il suo
estremo superiore ed il suo estremo inferiore. 11I
9.9 COROLLARIO
(a) La cOlnpattezza è una proprietà topologica.
(b) Uno Lpazio quoziente di uno spazio cOlnpatto è compatto.
DÙnostrazione. Esercizio. .
Il semplice risultato seguente viene utilizzato spesso.
9.10 PROPOSIZIONE Sia X uno spazio co/npatto ed Y uno spazio di Hausdorff.
Se 1 : X ---t Y è un'applicazione continua allora f è chiusa. Se 1 è continua e
biunivoca allora 1 è un olneolnorjiSl110.
DÙnostrazione. Sia O C X chiuso. Allora O è compatto per la proposIzIone
9.2(a), e quindi 1(0) è compatto. Dalla proposizione 9.2(b) segue che 1(0) è
chiuso in Y; quindi 1 è un' applicazione chiusa. L'ultima asserzione segue dalla
prima perché un'applicazione biunivoca, continua e chiusa è un omeomorfismo. Il
Dimostreremo ora un importante risultato che afferma che il prodotto di una
famiglia di spazi compatti è uno spazio topologico compatto. La dimostrazione di

9 I Compattezza
107
questo fatto è molto più facile nel caso del prodotto di un numero finito di spazi
che nel caso gcnerale. Pcr completezza darcll10 le dimostrazioni separatamente nei
due casi, anche se la seconda dÙnostrazione è indipendente dalla prinla.
9.11 TEOREMA (di Tychonoff) Il prodotto topologico di una fal11iglia di spazi
cOlnpatti è COlnpatto.
DÙ110sfrazione. Diamo per prima la dimostrazione nel caso del prodotto topo-
logico X x Y di due spazi compatti X e Y. Sia {Uj} jEJ un ricoprimento aperto
di X x Y e, per ogni j E J, sia
Uj = U Vh X W h
hE h(j)
per opportuni aperti V h C X, Wh C Y. La famiglia
1 = {Vh X W h : h E H}
dove H = U h(j), è un ricoprimento aperto di X x Y. Sia x EX; {x} x Y è
jE]
un sottospazio compatto di X x Y perché omeomorfo ad Y, e quindi esiste un
sottoinsieme finito h(x) C H tale che:
{x}xYc U VhXWh
hEh(x)
e tale che ogni Vh contiene x. Pcr ogni x E X definiamo un intorno aperto V(x)
di x ponendo:
V(x) = n Vh.
hEh(x)
La famiglia V = {V(x) : x E X} è un ricoprimento aperto dcl10 spazio compatto
X, e quindi possiede un sottoricoprimento finito; pertanto esistono XI,'..' Xs E X
tali che
X = V(XI) U . . . U V(x s )'
La famiglia finita di aperti:
{V (XI) X W h : h E h(x])} U... U {V(x s ) X W h : h E h(x s )}
è un ricoprimcnto di X x Y. Inoltre per ogni i = I,..., s ed ogni h E h(Xi) l'aperto
V(Xi) x Wh è contenuto in Uj(ih) pcr qualche j(i, h) E J. Ne deduciamo che la
famiglia
{Uj(i:h) : i = l,. <., s h E h(Xi)}
è un sottoricoprimento finito di {Uj} JEJ e quindi X x Y è compatto.

f08
Proprietà lopologiche I Cap. 3
Questa dimostrazione si generalizza facilmente al caso del prodotto di un
numero finito qualunque di spazi compatti.
!JÙnosfrianl0 il feorelna nel caso generale.
Supponiamo che {XJ.l} J.lEM sia una famiglia di spazi compatti e sia X = TI XJ.l'
J.lEM
Consideriamo una famiglia qualsiasi 8 di sottoinsiemi di X avente la proprietà
dell' intersezione finita; dimostreremo che
n B =f0
BE8
[9.11
e da ciò seguirà la con1pattezza di X per la proposizione 9.6.
Per dimostrare la [9.1 J consideriamo la classe 1 di tutte le famiglie di sot-
toi nsiemi di X che hanno la proprietà del1' intersezione finita. La classe 1 è
parziahnente ordinata rispetto ali 'inclusione; se L è una catena in I la famiglia
FI. = U F appartiene a 1 ed è un estremo superiore per L. Dal lemma di Zorn
FEL
segue che I possiede un elemento lnassimale. È evidente che per dimostrare la
[9.1] non è restrittivo supporre che B sia proprio 1'elen1ento massimale di I. Da
quest' ipotesi segue che:
(a) ogni sottoinsieme di X che sia l'intersezione di un numero finito di elementi
di B appartiene a B;
Cb) se un sottoinsieme di X ha intersezione non vuota con ogni elemento di B
appartiene a B.
Sia J.L E M, PJ.l : X -4 XJ.l la proiezione e consideriamo la famiglia di sottoin-
siemi di XJ.l
BJ.l = {pJ.l(B) : B E B}.
La famiglia BJ.l ha la proprietà dell'intersezione finita e, poiché XJ.l è compatto,
IJ.l:= n pJ.l(B) =f 0.
BE8
Scegliamo un punto xJ.l E IJ.l per ogni indice Jl. E M, e sia x E X il punto definito
da
x(J.l) = xJ.l' J.L E M.
Dimostreremo che x E B per ogni B E B: da ciò seguirà la [9.1] e il teorema.
Sc eglia mo arbitrariamente J.l E M ed un aperto UJ.l C XJ.l contenente xJ.l. Poiché
xJ.l E pJ.lCB) per ogni B E B, si ha
UJ.l n pJ.lCB) =f 0 per ogni B E 8

9 I Compattezza
109
e quindi
p] (uJ1-) n B =I- 0 per ogni B E B. [9.2]
Dalla (b) segue che P I (U J1-) E B. Dalla (a) segue inoltre che ogni intersezione
U* di un numero finito di insiemi PJ1- l (U J1-) sta in B. Poiché tutti questi insiemi
contengono x, dalla definizione di topologia prodotto segue che gli aperti U*
costituiscono un sistema fondamentale di intorni di x; inoltre dal1a [9.2J segue
che ognuno degli U* interseca ogni B E B. Di conseguenza ogni intorno di x
interseca ogni B E B, cioè x E B per ogni B E B. !Il
9.12 COROLLARIO Un qualsiasi prodotto topologico di inten'alli chiusi e
lilnitati di R è uno .spazio COlnpatto di Hausdor.ff.
DÙnostrazione. Il corollario è immediata conseguenza della proposizione 8.2 e
del teorema di Tychonoff. /I
9.13 COROLLARIO Un sottoinsie111e K dello spaZiO euclideo R n è conlpatto
se e solo se è chiuso e lÙnitafo.
DÙnostrazione. Supponiamo K chiuso e lin1itato. Allora K è contenuto in un
prodotto di intervalli chiusi e lilnitati P = Il X . . . x In, che è compatto; essendo
inoltre chiuso in R n , e quindi in P, K è compatto. Supponiamo viceversa K
compatto. K è chiuso perché R n è di Hausdorff (proposizione 9.2(b». Se K
non fosse limitato la famiglia dei dischi aperti di centro 1'origine sarebbe un
ricoprimento di K che non possiede un sottoricoprilTIento fìnito, il che è una
contraddizione. 11I
9.14 Esempi, osservazioni e c0111plelnenti
1. Dal corollario 9.3 segue che in R gli unici intervalli compatti sono gli
intervalli chiusi e limitati. Sappiamo che due interval1i chiusi e limitati qualsiasi
sono omeomorfi (esempio 5.4(7»; quindi, poiché la compattezza è una proprietà
topologica, se J e J' sono due intervalli omeomorfi e J è compatto, anche J' è
compatto. Questo dimostra che la classe ((3) dell' esempio 5.4(7) è disgiunta dalle
classi (a) e (I)'
2. Se n > l segue dal corollario 9.13 che un disco aperto Dr(x) C R n , x E R n ,
r > O, non è compatto perché non è chiuso. Un ricopri mento aperto di Dr(x) da
cui non è possibile estrarre un sottoricoprimento finito è ad esempio:
{Dp(x):O<p<r}.
La n-cella D n è compatta e quindi non omeomorfa ad alcun disco aperto.
Il semi spazio aperto
Ln = {x E R n : x n > O}

110
Proprietà lopologiche I Cap. 3
non è compatto perché non è né chiuso né limitato; il ricoprimento aperto di Ln
{Ln.r : r > O reale}
dove
Ln;r = {x E R n : x n > r},
non possiede un sottoricoprimento finito.
3. La sfera sn, n > l, è compatta perché chiusa e limitata in R n + 1 . Lo
spazio proiettivo reale pn(R) è con1patto perché esiste un' applicazione continua e
suriettiva sn  pn(R) (proposizione 9.7). Il toro n-dimensionale Tn = Si X . . . X Si
(n volte) è compatto per il teorema di Tychonoff.
4. Il gruppo ortogonale O(n) è compatto. Infatti la condizione che definisce le
matrici A = (aij) E O(n) è t AA = In, cioè:
Lah1:ahj=81:j, l < i j < n.
h
In particolare si ha:
L ai = l. i = 1, . . . , n
h >
ovvero:
 ai = n.
h:'l
-")
Qui ndi O(n) si identifica ad un sottoinsieme chiuso di Rn contenuto nel disco
chiuso Do( vrz,). Pertanto O(n) è chiuso e limitato, cioè compatto. In modo simile
si dimostra che SO(n), U(n), SU(n) sono compatti.
5. Un sottoinsieme A di uno spazio topologico X si dice relativa11'lente compatto
in X se A è compatto. Ogni sottoinsieme limitato di R n è relativamente compatto.
Ogni sottoinsieme di uno spazio compatto è relativamente compatto (proposizione
9.2(a». Ogni sottoinsieme compatto di uno spazio di Hausdorff è relativamente
compatto perché è chiuso (proposizione 9.2(b».
Si osservi che uno spazio topologico A può essere relati vamente compatto
COll1e sottospazio di uno spazio X ma non esserlo come sotto spazio di un altro
spazio Y: ad esempio un intervallo aperto limitato (a, b) è relativamente compatto
in R ma non lo è in se stesso.
6. Ogni spazio COlnpatto di Hausd(J/1J' X è ilor/naie. Siano infatti A e B due
sottoinsiemi chiusi e disgiunti di X. Per la proposizione 9.2(a) A e B sono

C) I COInpattezza
111
compatti. Sia b E B. Poiché X è di Hausdorff per ogni a E A esistono intorni
aperti U a di a e Va di b tali che a E U a , b E Va, U a n Va = 0. La famiglia
{Ua}aEA è un ricoprimento aperto di A, e quindi possiede un sottoricoprimento
finito; pertanto esistono al,..., a n E A tali che A C U al U . . . U U an . Gli aperti
Ub := U a ] U . . . U U an e Vb := Vai n . . . n V an soddisfano:
A C U b , b E Vb, U b n Vb = 0.
La famiglia {Vb}bEB costituisce un ricopri mento aperto di B e quindi possiede
un sottoricoprimento finito. Pertanto esistono b l ,..., b m E B tali che B sia con-
tenuto nell' aperto V := Vb l U . . . U Vb m ' L'aperto U := U b , n . . . n U bm contiene A e
U n V = 0. Quindi X è normale.
7. Un' applicazione continua f : X  Y si dice propria se per ogni sottoinsieme
compatto K C Y l'insieme f- I (K) è compatto. Un esempio banale di applicazione
propria è l'identità di uno spazio X in sé. Se Z è uno spazio compatto e Y è
uno spazio qualsiasi, la proiezione Z x Y ---+ Y è propria.
È propria ogni applicazione continua f : X ---+ Y di uno spazio compatto X
in uno spazio di Hausdorff Y: infatti ogni compatto K C Y è chiuso e quindi
f I (K), essendo chiuso in X, è compatto.
8. Daremo ora una dimostrazione dl teorema fondamentale dell' algebra che
utilizza la nozione di compattezza e la proposizione 9.8.
TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA Ogni polino111io non costante a
coejjicienti conlplessi P(Z) = ao + al Z + . . . + anZ n possiede una radice in C.
DÙnostrazione. Possiamo supporre a n =f O, n > ]. L'applicazione:
IPj : C  R
IPI(z) = IP(z)1
è continua. Facciamo vedere che IPI possiede un minimo assoluto, cioè che esiste
u E C tale che !P(u)1 < jP(z)1 per ogni z E C. Scrivendo:
n ( an I ao )
P(Z) = anZ 1 + - z +... + zn
a n a n
abbiamo per ogni z =I- O:
n an l aO
IP(z)1 = lanz I 1 + - + . . . + --;;:
anz anz
e da quest' uguaglianza segue facilmente che per ogni costante reale C > O esiste
r(C) > O tale che IP(z)1 > C per ogni z E C tale che I zi > r(C). Inoltre per
ogni r > O la restrizione di !PI al disco chiuso Dr = Dr(O) ammette un massimo
e un minimo perché Dr è compatto (proposizione 9.8). Ma allora, scelto C > O

112
Proprietà [opologiche I Cap. 3
arbitrario e w E Dr(C), posto
R = max{r(C), r(IP(w)I)}
un punto u E DR in cui IPI 1DR al11mette un minimo soddisfa
IP(u)J < IP(z)j per ogni z E DR.
[9.31
In particolare
IP(u)1 < IP(w)1
perché w E D R ; quindi, essendo IP(w)1 < IP(z)1 per ogni z rt: DR, si ha anche:
IP(u)1 < IP(z)1 per ogni z rt: DR.
[9.41
Le [9.3J e [9.41 insieme ci dicono che u è un punto di minimo assoluto per
IPI.
Per concludere la dimostrazione dobbiamo far vedere che IP(u)1 = o. Suppo-
niamo per assurdo IP(u)j > O. Ponendo z - u = h, per ogni z E C possiamo
SCrI vere:
P(z) = P(u+ h) = Ao +A]h+... + Anhn
per opportuni Ai E C. Sia m il più piccolo intero pOSItIVO tale che Am =f O: m
esiste perché An #0. Osservando che Ao = P(u), c dividendo per P(u) primo e
secondo membro, otteniamo l'identità:
P(u+h) l m TI
P(u) = + Bm h +... + Bn h ,
[9.5 J
dovc abbiamo posto Bi = Ai . Poiché Bm 1- O, possiamo esprimerlo come:
Ao
Brn = r(cos(<p) + i sin(cp»
dove r = IBml > O. Analogamente scriviamo:
h = p(cos(¥') + i sin(¥'».
Pertanto si ha:
Bmhrn = rpm(cos(<p + m¥') + i sin(cp + m¥'».
Scegliendo 'ljJ in modo che si abbia <p + m'ljJ = 7r si ottiene:
B h m- m
m - -rp .

9 I Compattezza
113
Con questa scelta di h la [9.51 diventa:
P(u+h) l . m h m r n-m ]
P(u) = -rp + Bm+lh+...+Bnh
[9.6J
Scegliendo inoltre p > O tale che O < r pm < 1, cioè
o < p < VT,
SI ottiene:
O < 1 + Bm h m = 1 - r pm < 1.
Pertanto dalla [9.61 deduciamo:
P(u+h) 1 m m lB B h n 1n l.
p ( U ) < - r p + p m+ l h + . . . + n
[9.7]
L'espressione:
Bm+1h +... + Bn hn - m .
è una funzione di h che tende a O al tendere di h a O; quindi è possibile scegliere
p = I h I sufficientemente piccolo perché si abbia:
IBm+lh+...+Bnhn-ml < r.
Ma allora dalla [9.7J segue:
P(u + h)
< 1 
P(u)
il che contraddice l'ipotesi che IP(u)1 SIa un minimo assoluto per IPI. Il
Esercizi
1. Dimostrare che un sottoinsieme chiuso e discreto di uno spazio cOlllpatto è finito.
(Suggerilnenlo. Utilizzare la proposizione 9.2(a».
2. Sia X uno spazio topologico e siano Kl,..., Ks sottoinsiemi di X. Dilllostrare che se
K 1 , . .. , Ks sono compatti allora Kl U . . . U K.') è compatto.
3. seguenti sottoinsiemi di R n , n  2, non sono compatti:
Dn\{O}, Sn 1\{(I,O,...,O)}, {xERn:xn=O}, Int(I n ).
Di ognuno di essi trovare un ricopritnento aperto che non possiede un sottoricoprimento
finito.

J /4
Proprietà lopoloXiche I Cap. 3
4. Siano a < b numeri reali. Dimostrare che X = la, b] n Q non è cOlnpatto trovandone
un ricoprilTIento aperto che non possiede un sottoricoprimento finito.
5. DilTIostrare che l'unione delle circonferenze di centro O e raggio r E [O, 1] lÌ Q è un
sottoinsieme non compatto di R 2 trovandone un ricoprimcnto aperto che non possiede
un sottoricoprimcnto finito.
6. Ditnostrare che ognuno dei seguenti spazi topologici:
In. sn 1, !1 n , D'n, n  l
non è omeolTIorfo ad alcuno dei seguenti:
R n , Rn\r, R n \!1 rt , Rn\sn - l, Int(I n ), Int(n), n  I.
7. Sia X un insielne e (1 un numero reale non nullo. Un'applicazione f : R ---+ X si dice
periodica di periodo (1 sc per ogni x E R si ha:
f(x + (1) = f(x).
Ogni applicazione costante è periodica di periodo (J per ogni (J E R\ {O}. Eselnpi non
banali di appJicazioni periodiche sono le funzioni trigonometriche sin, cos : R ---+ R,
che hanno periodo 27r. Dimostrare che se X è uno spazio topologico e f : R ---+ X è
un'applicazione continua e periodica, f(R) è compatto in X.
8. Dimostrare che pn(c) è C0l11patto pcr ogni n  1.
9. DirTIostrare la proposizione 9.4 utilizzando la 9.6.
lO. Sia
In = r a n , bn.L n = 1,2, . . .
una successione di intervalli chiusi e limitati di R tali che In+l C In per ogni n.
Dimostrare che, se lim n Ib n -- anJ = O, allora n In è non vuoto e consiste di un solo
n
punto.
Il. Sia X uno spazio metrizzabile con distanza d, e SIano A, B sottoinsiemi chiusi non
vuoti di X. POniaIllO:
deA, B) = inf dea, b).
aEA
bEB
Dimostrare che se A oppure B è compatto allora
deA, B) = O {::} A n B =1=0.
Dare un esempio in cui A lÌ B = 0 e deA, B) = O.
lO Generalizzazioni della compattezza
lO.] DEFINIZIONE Uno spazio topologico X Si dice localmente compatto se
ogni punto p E X possiede un intorno COlnpatto.

IO I Generalizzazioni della cOInpallezza
//5
Sono esempi di spazi localmente compatti gli spazi compatti, lo spazio cuclideo
R n , i chiusi di R n , gli aperti di R n e più in generale le varietà topologiche, gli
spazi discreti.
Q, e pi ù in generale Qn, sono esempi di spazi non localmente cOlnpaUi.
10.2 eROPOSIZIONE
(a) Oglli sottospazio chiuso C di uno L\pazio locabnente C0l11patto X è local-
l1zen te c0111patto.
(b) Sia X uno spazio /ocabnente conlpatto di Hausd(J1:fJ Ogni punto di X
possiede un siste111a .fondalnentale di intorni relativamente conlpatti.
Dil11ostrazione
(a) Sia p E C e sia K un intorno compatto di p in X. Allora C n K è un
intorno di p in C che è chiuso in K e quindi è compatto.
Cb) Sia p E X e sia U un aperto contenente p. Poiché X è localmente compatto,
p possiede un intorno compatto K. Allora V := Int(K) n U è un intorno aperto
di p contenuto in U. Inoltre V C K = K, perché K è chiuso essendo compatto
in uno spazio di Hausdorff (proposizione 9.2(b ». Ma allora V è compatto perché
chiuso nel compatto K. 11I
10.3 PROPOSIZIONE Sia X uno spaZIo topologico locabnente cOlnpatto di
Hausdorff che soddisfa il secondo assi0111a di nU111erabilità. Allora X è unione
di una .fanziglia nUlnerabile di sottoillsie111i cOl1zpattì {Ki : i = 1, 2, . . .} tali che
K i C Int(Ki+J) per ogni i.
Dilnostrazione. Sia {U 1 : : i = J, 2, . . .} una base numerabile di X. Sia U un
aperto di X c sia x E U. Poiché X è localmente compatto, x possiede un intorno
compatto K, ed esiste i tale che x E Ui C Int(K) n U; come nella dilTIostrazione
della 1 O.2(b) si vede che U i è relativamente compatto. Quindi per ogni aperto U
ed x E U esiste U 1 : relativamente compatto tale che x E U i C U. Pertanto gli Ui
che sono relati vamente compatti costituiscono a loro volta una base numerabile
di X. Possian1o perciò supporre che {U i : i = 1,2,...} sia una base numerabile di
aperti relativamente con1patti di X. Per ogni i la chiusura Ui può essere ricoperta
da un numero finito di aperti Uj, la cui unione ha chiusura compatta Hi, essendo
gl i U j rclati vamente compatti. Pertanto si ha, per ogni i:
Ui C lnt(Hi)
c quindi
x = l) Int(H 1 J.
1.

1/6
Proprietà topologiche I Cap. 3
Poniamo K] = HI e induttivamente definiamo Ki+1 = U Hj, dove J(i) C N+
jEJ<i)
è un sottoinsieme finito tale che
Ki C U Int(Hj).
jEJ(i)
La famiglia {Ki} ha le proprietà volute. Il
La proposizione 10.3 si applica alle varietà topologiche e ad ogni sottospazio
X di R n che sia aperto oppure chiuso in R n .
L'esistenza di una famiglia numerabile di sottoinsiemi compatti {Ki : i =
= l, 2, . . .} con le proprietà dell' enunciato nel caso di aperti o di chiusi di R n si può
dimostrare direttamente. Se X è chiuso basta prendere ad esempio Ki = X n Di(p)
dove p è un fissato punto di X. Se X è aperto si prenda
Ki = {x E X : !lxll < i, d(x, Rn\X) >  } ,
dove per un qualsiasi sottoinsieme F di R n si pone:
d(x, F) := inf{ d(x, y) : y E F}.
Sia X uno spazio topologico e siano li e V due ricopri menti aperti di X.
Diremo che V è un raffina111ento di U, oppure che V è più .fine di li, se ogni
V E V è contenuto in qualche aperto di li.
Una famiglia 1 di sottoinsiemi di uno spazio topologico X si dice [oca[n1ente
finita se ogni punto p E X possiede un intorno U p che interseca solo un numero
finito di insiemi della famiglia ,.
10.4 DEFINIZIONE Uno 1)azio [opofogico X si dice paracompatto se ogni
ricoprÙnento aperto li di X possiede un raffina111ento V !ocabnente finito.
Ogni spazio compatto X è paracompatto: se infatti U è un ricopri mento aperto
di X, e V è un suo sottoricoprimento finito, allora V è un raffìnamento local-
lnente finito di li. È facile verificare che ogni sottospazio chiuso di uno spazio
paracompatto è paracon1patto.
La nozione di paracompattezza viene utilizzata nello studio delle varietà difTe.-
renziabili. È utile avere criteri per stabilire se uno spazio topologico è paracom-
patto. La seguente proposizione dà un criterio che utilizza nozioni più facili da
verificare della paracompattezza.
10.5 PROPOSIZIONE Sia X U110 spaZio top%gico loca/nzente COl1zpatto di
Hausdor,[l che soddì5/a il secondo assÌOl1za di l1ul11erabilità. Ogni ricoprinlento
aperto U di X possiede un rajjinal1zento locabnente finito 'V costituito al più da
un 'infinità nUl1zerabile di aperti. In particolare X è paraC0111patto.

/0 I Generalizzazioni della conlpattezza
/17
Dinzostrazione. Per la proposizione 10.3 esiste un ricoprimento nUlnerabile di
X costituito da sottoinsiemi compatti {K i : i = l, 2, . . .} tali che Ki C Int(Ki+l)
per ogni i. Pcr ogni i > O la famiglia
V 7 : = {[Int(Ki+2)\Ki l J n u : U E U}
(dove si pone Kj = 0 se j < O) costituisce un ricoprimcnto aperto di K 7 :+ 1 \Int(Ki),
che è chiuso in Ki+1 e quindi compatto. Pertanto Vi possiede un sottoricoprimcnto
finito {ViI,.", Via(i)} di Ki+l \lnt(Ki)' Poiché
U rK i + 1 \Int(Ki)] = X,
io
la famiglia
V = {Vih : 1: = O, 1, . . . , l < h < a(i)}
costituisce un ricoprimento aperto di X parametrizzato da un insieme numerabile.
Inoltre V è più fine di U per come sono stati definiti i ricoprimenti Vi. Sia x E X;
esiste i > 1 tale che x E Ki. L'aperto Int(Ki+l) è un intorno di x tale che
Int(Ki+l) n Vjh = 0 per ogni j > i + 2
e quindi interseca solo un numero finito di aperti del ricoprimento V. Pertanto V
è un raffinalnento localmente finito di U. !Il
10.6 COROLLARIO
(a) Sia X C R n . Se X è chiuso oppure aperto, allora X è paraC0l11patto.
(b) Se X è una varietà Topologica allora X è uno .\pazio paracol11pal1o.
DÙnostrazione. Immediata. 11I
Al tre generalizzazioni dcila nozione di cOìnpattezza sono le seguenti.
10.7 DEFINIZIONE Uno .)pazio topo!ogic() X si dice numerabilmcnte compatto
se ogni sottoinsienze infinito Z C X possiede un punTo di acculnulazione. Uno
spazio topologico X si dice C0l11patto per successioni se ogni successione di
ele/1zenti di X possiede ulla sottosuccessione convergente.
Oalla proposizione 9.4(a) segue che ogni spazio topologico compatto è nu-
lnerabilmente compatto. D'altra partc ogni spazio compatto per successioni è
numerabilmente compatto; infatti ogni suo sottoinsicn1e infinito Z contiene una
successione a elementi tutti distinti e questa, dovendo contenere una sottosucccs-

J /8
Proprietà topologiche I Cap. 3
sione convergente, possiede qualche punto di accumulazione. Quindi valgono le
seguenti implicazioni:
X compatto  X nUl11erabilmente cOlllpatto -<= X compatto per successioni
Nessuna delle implicazioni precedenti è un' equi valenza (cfr. esercizio 8). Di-
mostreremo tra poco che le tre nozioni di compattezza coincidono negli spazi
metrizzabili.
Sia U un ricoprimento aperto di uno spazio metrizzabile X. Supponiamo che
esista un numero reale £ > O tale che il ricoprimento VE costituito dai dischi
aperti di raggio £ sia un raffinamento di U. Il numero e > O si dice un nunlero
di Lebesgue del ricoprimento U.
Abbiamo il seguente utile risultato.
, 10.8 PROPOSIZIONE Sia X uno spazio Inetrizzabile C0l11patto per successioni.
Ogni ricoprÙnento aperto U di X possiede un nUlnero di Lebesgue.
DÙnostrazione. Per ogni x E X, sia e(x) > O l'estremo superiore dei numeri
ti > O tali che il disco D8(X) sia contenuto in un aperto del ricoprirnento U.
Poniamo
E'o = inf E'(x).
xEX
E'o
Se eo > O, prendendo e = 2 SI ottiene l'asserto. Supponiamo per assurdo che
eo = O; allora esiste una successione {Xn} di punti di X tale che
lim e(x n ) = O.
noo
Poiché X è compatto per successioni, a l11eno di sostItuIre {xn} con una sua
sottosuccessione, possiamo suppon'e che esista Xo E X tale che lim X n = Xo. Sia
noo
no tale che d(xo, x n ) <  t(xo) per ogni n > no. Allora si ha
D E (XO)/4(X n ) C D E (xo)/2(XO) per ogni n > no
. d . ( ) E'(xo) . P
e qUln I c X n >  per ognI n > no. ertanto
. e(xo)
11m e(x n ) > _ 4 > O
noo
una contraddizione. 11I
Possiamo ora dil110strare il seguente:

IO I Generalizzaziol1i della compattezza
/19
] 0.9 TEOREMA Sia X uno spazio lnetrizzabile. Le seguenti condizioni sono
equi valen ti:
(a) X è COlnpatto.
(b) X è l1u111erabihnente COlnpatto.
(c) X è COlnpatto per successioni.
DÙnostrazione
(a) =? (b) è la proposizione 9.4(a).
(b) =? (c). Sia {x n : n = ]  2, . . .} una successione in X. Se infiniti termini della
successione coincidono essi formano una sottosuccessione convergente. Se {xn}
contiene infiniti punti distinti essa possiede un punto di accumulazione perché X
è numerabilmente compatto; in questo caso, poiché X è uno spazio metrico, per
la proposizione 8.6 {xn} possiede una sottosuccessione convergente.
(c) =? (a). Sia U un ricoprimento aperto di X e sia é > O un numero di Lebesgue
di U. Supponiamo per assurdo che U non possieda un sottoricoprimento finito.
Allora neanche il ricoprimento V.s costituito dai dischi aperti di raggio é possiede
un sottoricoprimento finito. Pertanto, scelto arbitrariamente un punto XI E X, esiste
X2 ti. D.s(x]). Procedendo per induzione supponiamo di aver trovato {XI, X2, . . . , xn}
ta1i che Xk ti- D.s(Xh) per ogni 1 < h < k < n. Poiché {D.s(X l), . . . , D.s(Xk)} non
è un ricoprimento di X esiste X n +l ft D.s(Xh) per ogni h = l,..., n. Pertanto è
possibile costruire una successione {xn : n = l, 2, . . .} di punti di X tali che
d(Xi, Xj) >  per ogni i =f j. D'altra parte la compattezza per successioni di X
implica l'esistenza di una sottosuccessione convergente {Xnk : k = l, 2 . . .}. Sia
X() = lim X nk . Sia ko > O tale che
k ---+ 00
c
d(xo, x nk ) <"2 per ogni k > ko.
Allora, per ogni h, l > ko, si ha:
d(x nh , xnJ < d(x nh , xo) + d(xo, xnl) < é,
una contraddizione. Ciò conclude la dimostrazione. 11I
Originariamente la nozione di compattezza è stata introdotta negli spazi metrici
sotto forma di compattezza per successioni. Solo successivamente si è passati alla
definizione utilizzata oggi.
Un'altra caratterizzazione della compattezza negli spazi metrizzabili viene data
attraverso la nozione di "completezza".

/20
Proprietà lopofogiche I Cap. 3
10.10 DEFINIZIONE Sia X uno spazio metrico con distanza d. Una successione
di Cauchy in X è una successione {xn }n l di elell1enti di X tale che per ogni
é > O esiste Né > () tale che d(xn  X'1L') < é per ogni n, n' > Né'
Se {xn }n2: l è una successione convergentc allora è di Cauchy.
Sia infatti x = lim X n e sia é > O. Poiché la successione converge esiste Ne
n-+oo
c
tale che d(x, x n ) < 2" per ognI n > Né' Pertanto, se n, n' > Ne, si ha:
é é
d(x n , x n /) < d(x n , x) + d(x, x n ') < 2" + 2 = é.
Viceversa non è sempre vero che una successione di Cauchy converge. Ad
esempio la successione di numeri reali {  : n = 1,2,...} converge a O e quindi
è di Cauchy; questa stessa successione, considerata nello spazio metrico (O, 1], è
ancora di Cauchy ma non converge.
10.11 DEFINIZIONE Uno spazio metrico X si dice completo se ognl succes-
sione di Cauchy in X converge.
Dai corsi di Analisi Matematica è ben noto al lettore che R, e più in generale
R n , sono spazi metrici completi, mentre Q non è completo. Ogni sottospazio
chiuso di uno spazio metrico completo è ancora completo: la dimostrazione di
questo falto è lasciata al lettore.
Si osservi che la completezza, a differenza di tutte le altre proprietà studiate
fin qui, non è una proprietà topologica. In altre parole due spazi metrizzabili
omeomorfi possono essere l'uno completo e l'altro no. Ad esempio l'intervallo
(O, 1) ed R sono duc spazi metrizzabili onlcomorfi, ma R è completo mentre (O, 1)
non lo è.
10.12 DEFINIZIONE Uno spazio 1nel rico X si dice totalmente l ilnitato se per
ognl é > () esso possiede un ricoprÙnento .finito costituito da dischi chiusi di
ragglo c.
La totale limitatezza è equi valcnte all' esistenza, per ogni é > O, di un numero
finito di punti tali che ogni p E X abbia distanza al più é da uno di cssi.
Ogni spazio metrico totalmente linlitato è limitato perché l"unionc di un numero
finito di sottonsiemi limitati è limitato. Il viceversa non è vero: esistono spazi
metrici limitati che non sono totalmente limitati (cfr. esercizio 7). Neanche la
totale linlitatezza è una proprietà topologica degli spazi lTlctriCi. Un esenlpio è
nuovamcnte fornito dall'intervallo (O 1) e da R.
Abbiamo la seguente caratterizzazione degli spazi metrizzabili compatti.

IO I Generalizzaz;oni della C0/11pattezza
/2/
10.13 TEOREMA Uno spazio metrizzabile X è COfnpatto se e solo se eo/ne
,)pazio /netrieo è eo/npleto e totalmente linlitato.
DÙnostrazione. Supponiamo X compatto. Allora X è totalmente lilnitato perché
per ogni é > O il ricopri mento costituito dai dischi aperti di raggio é possiede un
sottoricoprimento finito.
Inoltre X è completo. Sia infatti {xn} una successione di Cauchy e fissiamo
é > O. Sia N' tale che d(xn, x m ) <  per ogni n, m > N'. Per la compattezza è
possibile trovare una sottosuccessione convergente {x nk }. Sia x = lim X nk e sia
k -HXJ
k  O tale che nk > N' e d(x, x nk ) < . Allora, per ogni n > N' si ha:
d(x, x n ) < d(x, x nk ) + d(x nk , x n ) < é
e quindi x = lim X n ; pertanto {xn} converge e quindi X è completo.
n -jo 00
Supponiamo viceversa X completo e totalmente limitato. Sarà sufficiente dimo-
strare che X è compatto per successioni. Sia dunque {Xn} una successione in X.
Possiamo supporre che contenga infìniti termini distinti, altrimenti essa certamente
possiede' una sottosuccessione convergente. Consideriamo un ricoprimento di X
con un numero finito di dischi chiusi di raggio 1. Poiché {xn} è un insieme
infinito, almeno uno di tali dischi, diciamo B 1 , contiene infiniti termini distinti
della successione, corrispondenti a un insieme infinito di indici Il C N+. Conside-
riamo ora un ricoprimento di X con un numero finito di dischi chiusi di raggio
. Poiché la sotlosuccessione {xn : n E I,} contiene infiniti termini distinti, uno
di tali dischi, diciamo B 2 , contiene infiniti termini distinti della sottosuccessione,
corrispondenti ad un insieme infinito di indici 1 2 C Il' Proseguendo in questo
modo possiamo costruire indutti vamentc per ogni intero k > l un insieme infinito
Ik di numeri naturali tale che Ik+l C Ik e tutti i termini X n per n E Ik siano
contenuti in un disco di raggio . Ora costruiamo una sottosuccessione {Xnk}
k
scegliendo nl < n2 < . .. tali che nk E Ik per ogni k. Per ogni i, j > k si ha:
2
d(x n1 , x ni ) < k
perché X n , e xn j sono entrambi contenuti in un disco di raggio ; quindi {x nk } è
una successione di Cauchy. Poiché X è completo questa successione è convergente
c quindi {Xn} possiede una sottosuccessione convergente: dunque X è compatto
per succeSSIOni. 11I
È interessante notare che il teorema precedente caratterizza una proprietà to-
pologica degli spazi metrizzabili, la compattezza, mediante due proprietà non
topologiche.

122
Proprietà lopo{ogiche I Cap. 3
10.1 4 TEOR EMA Sia X uno spazio metrico completo. Per ogni successione
{Dn = Dr n (x n ) }nl di dischi chiusi in X tali che DI :) D 2 :) ... e lim r n = O, si
n-+oo
ha:
n Dn =I 0.
n
Dinlostrazione. La successione {xn} dei centri dei dischi Dn è una successione
di Cauchy perché se é > O e N è tale che r N < , allora per ogni n, m > N si
ha X n , x m E DN e quindi
d(xn, x m ) < 2r N < é.
Sia x = liro Xn. Facciamo vedere che x E n Dn. Per ogni n > 1 il disco
noo n
Dn contiene i termini X n , Xn+h X n +2,'.' della successione. 11 punto x, essendo
punto di accumulazione di {x n }, lo è anche dell' insieme {x rn : m > n}: pertanto
x appartiene a Dn perché quest'insieme è chiuso. Il
Per un caso particolare di questo risultato si veda l'esercizio 9.1 n. Vedremo
tra poco una conseguenza interessante del teorema 10.14.
10.15 DEFINIZIONE Uno spazio topologico X si dice di prima categoria se
è unione di una Jcuniglia nUlnerabile di sottoinsiemi chiusi aventi interno vuoto.
AltrÙnenti X si dice di seconda categoria o di Baire.
10.16 TEOREMA (di Baire) Ogni spazio Inetrico con1pleto è di seconda cate-
gorla.
Dimostrazione. Supponiamo che X sia uno spazio metrico completo e che
{C n }n I sia una famiglia numerabile di insiemi chiusi aventi interno vuoto. Sia
DI un disco chiuso di raggio 1. Poiché Cl ha interno vuoto, anche Cl n DI ha
interno vuoto e quindi esiste un disco chiuso D 2 di raggio minore di 1/2 contenuto
in DI e tale che D 2 n Cl = 0. Similmente C 2 n D 2 è un chiuso avente interno
vuoto, e quindi esiste un disco chiuso D3 di raggio minore di 1/3 contenuto
in D 2 tale che D3 n C 2 = 0. Continuando in questo modo possiamo costruire
induttivamente una successione di dischi chiusi {Dn }n I tali che DI :J D 2 :)
. . ., Dn n (C n l U . . . u Cd = 0 e tali che Dn abbia raggio rn < l/ n per ogni
n. Pcr il teorema 10.14 esiste x E n Dn. Per costruzione x rt. U C n e quindi
n n
U C n =IX. Il
n
Dal teorema di Baire segue che R n è uno spazio di seconda categoria. Invece
Q, e più in generale Qn, è di prima categoria perché è numerabilc e i suoi punti
sono chiusi a interno vuoto. Uno spazio discreto è banalmente di seconda categoria

IO I Ceneralizzazioni della compattezza
/23
perché non possiede sottoinsiemi chiusi non vuoti ad interno vuoto. Un' altra classe
di spazi di seconda categoria costituita dagli spazi compatti di Hausdorff, come
ora dimostreremo.
10.17 TEOREMA Ogni spazio C0111patto di Ha usdorjj' X è di seconda categoria.
DÙnostrazione. Sia {C n }n I una famiglia numerabile di sottoinsiemi chiusi di
X a interno vuoto. Poiché X è normale (cfr. esempio 9.14(6» e poiché X\C 1 =I- 0 è
possibile trovare un aperto non vuoto U I C X\C I tale che U I n CI = 0. Similmente,
poiché U 1 è compatto di Hausdorff, e quindi normale, e poiché U I nC 2 è un chiuso
a interno vuoto, possiamo trovare un aperto non vuoto U 2 C U 1 tale che U 2 C U I
e U 2 n C 2 = 0. Procedendo induttivamente si costruisce una successione di aperti
{Un}nl tali che U n + 1 C Un e U n n (C n U ... U Cl) = 0. La famiglia di chiusi
{ U n }n I ha la proprietà dell' intersezione finita e quindi, per la compattezza di
X, esiste x E n U n. Per costruzione x rt: U C n e pertanto LJ C n =l-X. Il
n n n
Terminiamo il paragrafo con alcuni risultati riguardanti gli spazi di funzioni.
Siano X un insieme e (Y, d) uno spazio metrico. Nell'insieme Y x delle applicazioni
di X in Y definiamo una distanza ponendo per ogni I, g E yX:
8(/, g) = sup {d(/(x), g(x»)}.
xEX
È immediato verificare che 8 è una distanza, che è chiamata distanza del sup o
distanza della convergenza un {forme. La topologia definita da 8 in Y x si chiama
topologia della convergenza un iforl1ze.
I I 10.18 PROPOSIZIONE Se (Y, (1) è uno spazio /netrico conlpleto allora (Y x, 8)
è uno spazio 111etrico con1pleto.
DÙnostrazione. Sia {In} una successione di Cauchy In Y x. Poiché, per ognI
n, m c x E X,
d(ln(x), 1m, (x) < 8(/11.' 1m),
la successione {fn(x)} di elen1enti di Y è di Cauchy per ogni x E X. Poiché
Y è completo, per ogni x E X esiste Yx E Y tale che Yx = lim In (x). DefinialTIo
I : X  Y ponendo, per ogni x E X,
I(x) = Yx.
Facciamo vedere che I = lim In- Fissato é > O, sia N > O tale che 6Un, 1m) < 

/24
Proprietà lopologiche I Cap. 3
per ogni n, m > N. Allora, per ogni x E X e n > N, si ha:
- - 
d(ln(x), I(x» = lim d(ln(x), Im(x» < _ 2 < é
m-+oo
e quindi 8(111.' I) < é per ogni n > N. Il
Il caso più importante della proposizione 10.18 si ha quando X è uno spazio
topologico. In questo caso possiamo considerare il sottoinsieme C(X, Y) di yX
costituito dalle applicazioni continue. Si ha il seguente risultato.
10.19 TEOREMA Siano X uno l)azio top%gico e (Y, d) uno pazio 111etrico.
Allora C (X, Y) è chiuso in Y X rispetto alla topologia della convergenza unifornle.
In particolare, se Y è conlpleto anche C(X, Y) è cOlnpleto.
DÙnostrazione. Sia I E Y X un elemento appartenente alla chiusura di C (X, Y)
e sia {In} una successione di elementi di C(X, Y) convergente a f. Fissato é > O,
sia n > O tale che 8(fn, f) < . Sia x E X. Per la continuità di in esiste un
intorno U di x tale che, per ogni x' E U
-, c
d(ln(x), !n(x» < 3'
Pertanto si ha:
- I -, / -, - é é é
d(J(x ), J(x» < d(J(x ), fn(x »+d(Jn(x ), Jn(x»+d(fn(x), f(x» < 3+3+3 = c
e quindi I è continua in x. Segue che J è continua in ogni punto, e quindi è
continua.
L'ultima affermazione dell'enunciato segue dalla proposizione 10.18 e dal fatto
che C (X, Y) è chiuso in Y X. Il
Il teorema 10.19 generalizza il ben noto risultato dell' Analisi Matematica se-
condo il quale se una successione di funzioni continue a valori reaH definite in un
intervallo J converge unifonnemente, allora il suo limite è una funzione continua
su J.
Esercizi
L Dimostrare che Q è uno spazio paracolllpatto, ma non locahnente compatto.
2. Dinlostrare che il prodotto di una falniglia di spazi localmente compatti è localmente
cOlllpatto.
3. Dimostrare che la compattezza locale, la paraColnpattezza c la compattezza per suc-
cessioni sono proprietà topologiche.
4. Dilllostrare che uno spazio 111etrico conlp]eto è scparabile.

J I J Connessione
/25
5. Sia X uno spazio metrico non compatto. Dimostrare che esiste una funzione continua
e non limitata f : X  R.
6. Dimostrare che in uno spazio metrizzabile X un sottoinsieme Y è compatto se e solo
se è chiuso e compatto per successioni.
7. Sia h l' insien1e costituito dalle successioni {xn : n = 1, 2 . . .} di numeri reali tali che
la serie L X;l, sia convergente, cioè tali che L X < 00. Si dilTIostri che ponendo
n n
d( {x n }, {Yn}) == L (X n - YrJ2
n
si definisce in l2 una struttura di spazio metrico. Si dimostri che la sfera unitaria
SI (O) C l2 4i centro la successione O a valori costanti uguali a O, con la metrica
indotta da l2, è uno spazio metrico limitato ma non totalmente limitato.
(SuggerÙnento. Oli infiniti punti el = {l, O, O, . . .}, e2 = {O 1, O, .. .}, e3 = {O, O, l, () . . .},
. .. di SI (O) hanno tra loro distanza V2).
8. In N si consideri la topologia I generata dagli insiemi {2n - l, 2n}, n > 1. Dimostrare
che (N, I) è numerabilmente compatto ma non è compatto né compatto per successioni.
9. Dimostrare che uno spazio metrico completo privo di punti isolati non è numerabile.
lO. Dimostrare che uno spazio topologico X è di seconda categoria se e solo se l'inter-
sezione di una qualsiasi famiglia numerabile di insiellli aperti densi è non vuota.
Il Connessione
Uno spazio topologico X si dice connesso se gli unici sottoinsiemi di X
che sono contemporaneamente aperti e chiusi sono X e 0. Altrimenti X si dice
sconnesso; quindi X è sconnesso se esiste un sottoinsieme aperto e chiuso A di
X non vuoto e diverso da X.
Un sottoinsiel11e Y di uno spazio X si dice connesso (risp. sconnesso) se con
la topologia di sottospazio Y è uno spazio connesso (risp. sconnesso).
Il.1 PROPOSIZIONE Le condizioni seguenti per uno spazio topologico X. sono
equivalenti:
(a) X è sconnesso.
(b) X è unione di due soltoinsie111i aperti non vuoti e disgiunti.
(c) X è unione di due sottoinsienli chiusi non vuoti e disgiunti.
Dilnostrazione. (a) {:} (b). X è sconnesso se e solo se esiste A f 0, )( aperto
e chiuso in X; in tal caso A e B = X\A sono entrambi aperti, disgiunti e non vuoti
e X = A U B. Viceversa, se X = A U B con A e B aperti non vuoti e disgiunti,

/26
Proprietà topologiche I Cap. 3
allora A e B sono ciascuno sia aperto che chi uso e di versi da 0 e da X; quindi
X è sconnesso.
L'equivalenza (a) {:} (c) si dimostra nelIo stesso modo. Il
Sono sconnessi gli spazi discreti con almeno due punti perché ogni loro sot-
toinsieme è aperto e chiuso. Ogni spazio banale è connesso. Un qualsiasi punto
di uno spazio topologico è un sottoinsieme connesso.
Per ogni x E R, R\ {x} è sconnesso perché unione dei due aperti (- oo x)
e (x +(0). Analogamente, se J è un intervallo aperto di R e x E J, J\ {x} è
sconnesso.
Se r è la retta di R 2 di equazione L(x) = O, dove L(x) = aXl + bX2 + c, R2\r è
unione dei due aperti
u = {x E R 2 : L(x) < O}, U+ = {x E R 2 : L(x) > O},
e quindi è sconnesso.
11.2 TEOREMA Gli intervalli di R, in particolare R stesso, sono connessi.
DÙnosfrazione. Supponiamo che J sia un intervallo sconnesso; dunque esistono
due chiusi A, B di R tali che J C A U B, e A n J e B n J siano non vuoti e
disgi unti.
Siano a E A n J e b E B n J, e supponiamo a < b. Poiché J è un intervallo,
[a, b l C J. L'insieme A n r a, b] è un chiuso di R, quindi contiene il suo estremo
superiore, che chiamiamo z. Poiché z E A n [a, bJ e b E B, si ha z < b; e poiché
z = sup{An [a,b]} l'intervallo (z,b) è contenuto in B. Ma B è chiuso e perciò
z E B, e questa è una contraddizione. !Il
Vale anche un teorema inverso, e cioè
Il.3 TEOREMA Ogni sottoinsieJ11e connesso di R è un intervallo.
DÙnost razione. Per il teorema precedente è sufficiente dimostrare che un sot-
toinsieme Y di R che non è un intervallo è sconnesso se contiene almeno due
punti. Siano dunque a =f b due punti di Y; poiché Y non è un intervallo pOSSialTIO
sceglierli in modo che esista c E R\Y tale che a < c < b. Poniamo A = (-00, c).
Allora
A n Y = A n Y;
quindi A n Y è un sottoinsieme di Y non vuoto e diverso da Y, aperto e chiuso
in Y. Il
Dimostreremo ora alcune proprietà degli insiemi e degli spazI connessI.

Il] Connessione
127
11.4 PROPOSIZIONE Siano Y, Z sottoinsiemi dello spazio topo logico X tali
che Y C Z C Y . Se Y è connesso anche Z è connesso.
DÙnostrazione. Sia F C Z un sottoinsieme aperto e chiuso in Z. Esistono un
aperto A e un chiuso C di X tali che F = Z n A = Z n C. Poiché Y è connesso
e F n Y è aperto e chiuso in Y si ha
F n Y = 0 oppure F n Y = Y.
Nel primo caso
0=FnY=AnY=An Y
perché A è aperto e quindi anche F = A n Z = 0.
Nel secondo caso
Y = F n Y = C n Y, cioè Y C C
quindi Y C C, perché C è chiuso. Segue che F = Z n C = z. Il
11.5 PROPOSIZIONE Se f : X  Y è un'applicazione continua e se Z è un
sottoinsielne connesso di X, f(Z) è un sottoinsien1e connesso di Y.
DÙnos{razione. È sufficiente dimostrare che, se f : X  Y è continua e
surietti va e X è connesso, allora anche Y è connesso.
Supponiamo per assurdo che A sia un sottoinsieme aperto e chiuso di Y,
diverso da Y e da 0. Per la continuità di f, f. l (A) è un sottoinsieme aperto e
chiuso di X; poiché f è suriettiva f l (A) non è vuoto e è diverso da X; questo
contraddice la connessione di X. Il
11.6 COROLLARIO
(a) La connessione è una proprietà (opologica.
(b) Uno spazio quoziente di uno spazio connesso è connesso.
DÙnostrazione. Esercizio. Il
Il.7 PROPOSIZIONE Se due sottoinsienli connessi Y e Z di uno spazio topo-
logico X hanno un punto in COl11une, Y U Z è connesso.
/JÙl1os1razione. Supponiamo che A sia un sottoinsieme aperto e chiuso di YUZ.
Se A =I- 0 sarà ad esempio A n Y =I- 0. Poiché A n Y è aperto e chiuso in Y connesso,
si ha Y = A n Y. Poiché per ipotesi Y n Z =I- 0, anche A n Z =I- 0; dal1a connessione
di Z segue che A n Z = Z e quindi A = Y U Z. Il

128
Proprietà topologiche I Cap. 3
Due punti dello spazio topologico X si dicono connessi in X se esiste un
sottoinsieme connesso di X che li contiene entrambi.
11.8 PROPOSIZIONE Se scelti cOlnunque due punti dello spazio topologico X,
questi sono connessi in X, lo L\pazio è connesso.
DÙl1ostrazione. Supponiamo che A sia un sottoinsieme non vuoto, simultanea-
mente aperto e chiuso di X, e facciamo vedere che A = X.
Poiché A =I- 0 esiste p E A. Sia q un qualsiasi altro punto di X; per ipotesi
esiste un sottoinsieme connesso Y C X tale che p, q E Y. A n Y è aperto e chiuso
e non vuoto in Y, quindi A n Y = Y; ne segue che q E A. Quindi .A. = X. Il
C0111binando le proposizioni 11.7 e 11.8 si dimostra il seguente
11.9 COROLLARIO L'unione di una jClIniglia di sottoinsielni connessi di uno
spazio lopologico X aventi un punto in comune è connessa.
Dbnostrazione. Sia Y = U Ki, Ki sottoinsiemi connessi di X tali che n Ki =I- 0,
iEI iEI
e sia Yo E n Ki' Siano YI, Y2 E Y due punti arbitrari; siano i l, i 2 E I tali che
iEI
y, E Ki , e Y2 E Ki 2 . Allora Ki l U Ki 2 è connesso per la proposizione Il.7, perché
Yo E Ki l n Ki 2 . Quindi y, e Y2 sono connessi in Y; dalla proposizione 11.8 segue
che Y è connesso. Il
In uno spazio topologico X possiamo introdurre una relazione binaria p ponendo
ppq {:} p e q sono conneSSI in X.
È facile verificare che p è una relazione di equivalenza (per la transitività si
utilizzi la proposizione Il.7). Le classi di p-equivalenza si chiamano cornponenti
connesse di X; per ogni p E X denoteremo con C(p) la componente connessa che
lo contiene, e la chiameremo la conzpol1ente connessa di p. Per la proposizione
11.8 X è connesso se e solo se possiede un'unica componente connessa.
11.10 PROPOSIZIONE Per ogni p E X, C(p) è il più grande so{{oinsiefne
connesso di X contenente p.
DÙnostrazione. Supponiamo che Y sia un sottoinsieme connesso di X conte-
nente p. Se q E Y allora per definizione p e q sono connessi in X, cioè q E C(p);
quindi Y C C(P).
D'altra parte C (p) è connesso. Infatti per ogni x E C (p) esiste un sottoinsieme
connesso Y(x) C X tale che p, x E Y(x); come abbiamo appena dimostrato

Il I Connessione
129
Y(x) C C(P). Si ha quindi
C(P) = U Y(x)
xECCp)
e poiché
P E n Y(x)
xEC(p)
per il corollario Il.9 C (p) è connesso. Il
Il.11 COROLLARIO Per ogni punto p dello spazio X, la c(J/nponente connessa
di p è un sottoinsien1e chiuso di X.
Dimostrazione. Poiché C (P) è connesso, anche C (P) è connesso per la pro-
posizione 11.4. Oalla proposizione 11.10 segue che C(P) C C(P), e quindi vale
l'uguaglianza. !Il
Il.12 TEOREMA Il prodotto topologico di una qualsiasi famiglia di spaZI
connessi è uno spazio connesso.
Dinlostrazione. Diamo prima la dimostrazione nel caso del prodotto X x Y di
due spazi connessi X e Y.
Siano (Xl, YI), (X2, Y2) E X x Y. I sottospazi X x {Y2} C {Xl} X Y di X x Y
sono omeomorfi a X e a Y rispettivamente e quindi sono connessi. Ne segue che
in X x Y
(XI, YI )P(XI, Y2)
(X l, Y2)P(X2, Y2).
Per la transitività
(X l, YI )P(X2, Y2),
quindi X x Y è connesso per la proposizione Il.8.
Per induzione si dimostra facilmente che il prodotto topologico Xl x . . . X X m
di un numero finito di spazi connessi Xl"", X m è connesso.
Dimostriamo ora il teorema nel caso generale.
Sia X = rr Xp, il prodotto topologico di una famiglia {Xp,} j.LEM di spaZI
p,EM
connessi, e sia p E X un suo qualsiasi punto. Consideriamo un arbitrario aperto B
della base che definisce la topologia prodotto. Per definizione esistono un numero
finito di indici J-ll,'.., J-lk E M e aperti non vuoti Al C Xp,1 , . . . , Ak C Xp,k tali che
B = {x E X : x (J-li) E Ai, i = l  . .. , k } .

/3()
Proprietà topologiche j Cap. 3
Fissiamo al E AI, . . . , ak E Ak; denotiamo con q il punto di B così definito:
{ a.
q(J.l) = 'l
p(J.l)
se J.l = J.li per qualche i = l,.. . , k;
altrimenti.
Consideriamo il sottoinsieme di X
G = {x E X : x(J.l) = p(J.l) per ogni J.l =I- J.ll, . . . , J.lk}'
G è connesso perché omeomorfo a XJ.LI x ... X XJ.Lk e con'tiene l punti p e q.
Quindi q E C(P); ne segue che C(P) n B =I- 0.
Poiché B è un arbitrario aperto di una base di X, C(p) è denso in X; ma C(p)
è anche chiuso; quindi C(p) = X, cioè X è connesso. Il
11.13 COROLLARIO Per ogni n > 1, R n , In, sn e pn(R) sono connessi.
DÙnostrazione. La connessione di R n e di In segue dal teorema precedente
applicato a n copie di R e di I = [O, l J, che sono connessi per il teorema Il.2.
La connessione di sn segue dal fatto che per un qualsiasi p E sn si ha
sn = sn\{p}
e sn \ {p} è omeon10rfo a R n , quindi è connesso.
pn (R) è connesso perché è un quoziente di sn che è connesso. Il
11.14 Esen1pi e applicazioni
l. Sia J un intervallo aperto (limitato o no) di R. Un intervallo J' è omeomorfo
a J se c solo se J' è aperto.
Se infatti J' è aperto aJlora è omeomorfo a J, come abbiamo già dilTIOstrato
(esempi 5.4(5), (6». Se invece J' è chiuso e limitato, è compatto e quindi non
isomorfo a J, che non è compatto.
Supponiamo poi che J' = (a, b] sia un intervallo aperto a sinistra, e che esista
un omeomorfismo f : J' ---t J. Poiché ! è un' applicazione biunivoca si ha
!(J'\ {b}) = J\ {f(b)}.
J'\ {b} = (a, b) è connesso e, poiché f è continua, !(J'\ {b}) è connesso. Ma
questo è assurdo perché J è un intervallo aperto e quindi J\ {f(b)} è sconnesso.
Analogamente si dimostra che un intervallo della forma J' = [ a, b) non può essere
omeomorfo a J.
Tenuto conto dell'esempio 9.14(1), questo dimostra che le 3 classi (a), (f3),
('7) dell' esempio 5.4(7) sono disgiunte.
2. Generalizzando il ragionamento dell' esempio l è facile dimostrare che I e
SI non sono omeomorfi.

11 I Connessione
13/
Supponiamo infatti per assurdo che esista un omeomorfiSll1o
f: I ----+ SI.
Poiché f è bi uni voca si ha
f((O, l» = SI\{f(O), f(I)}.
Dalla continuità di J segue che questo sottoinsieme di S' è connesso, perché (O, 1)
è connesso. Ma
SI\{f(O)}  R
e, poiché J(O) 1- J( I),
SI\{f(O), J(I)}  R\{un punto}
che è sconnesso; questa è una contraddizione.
Si noti che I e S 1 sono entrambi compatti e connessi.
3. Le componenti connesse di uno spazio topologico sono chiuse (corollario
Il.11) ma in generale non sono aperte.
Si consideri ad esempio il sotto spazio T di R così definito:
T={O}U{l/n:n > 1 intero}.
Allora CCO) = {O} non è aperto in T, perché O E D(T).
4. Siano (X], TI) e (X 2 , 7;) due spazi topologici. La loro SOlnma topo logica si
definisce come lo spazio (XI 11 X 2 , T) dove X] 11 X 2 è runione disgiunta di Xl
e X 2 , e la topologia T è definita nel modo seguente:
A E T se e solo se A n XI E TI e A n X 2 E 7;.
Si noti che X, e X 2 sono sottospazi di Xl 11 X 2 simultaneamente aperti e
chiusi. Quindi Xl 11 X 2 è sconnesso.
In modo simile si definisce la somma topologica di una famiglia qualsiasi di
spazi topologici.
Esercizi
1. Dil1l0strare che l' insielne dei numeri razionali Q C R è sconnesso.
2. Riconoscere quali dei seguenti sottoinsiemi di R 2 sono sconnessi:
A = R 2 \{(x,0): x=F0}.
B = P\{(O, y) : y irrazionale}, dove P = {(x, y) : -1  x, y:; l}
C = D,(I,O) U D,(-I,O)
D=C
E = C u {(O, O) }.

132
Proprietà topologiche I Cap. 3
3. Dimostrare che R con la topologia id (rispettivamente is) è sconnesso.
4. Sia S un sottoinsienle dello spazio topologico connesso X. Diremo che S sconnette X
se X\S è sconnesso. Dimostrare che un iperpiano sconnette R n e che un sottospazio
affine di dimensione m < n - 2 non sconnette R TL , n 2:: 2.
5. Dimostrare che R non è olneomorfo a R n per ogni n > 2.
(Suggerilnento. Usare il fatto che un punto sconnette R mentre nessun punto sconnette
R n ).
6. Dimostrare che l'unione del1e circonferenze di centro (O, O) e di raggio razionale  ]
è un sottoinsieme sconnesso di R 2 .
7. Sia f : RrI, ---+ R n un'applicazione continua e biunivoca tale che f(sn l) = sn - l.
DiITIostrare che f(D I (O» = DI (O).
8. Uno spazio topologico X si dice totalmente sconnesso se per ogni x E X C(x) = {x}.
DiITIOstrare che ogni spazio metrizzabile numerabile con almeno due punti è totalmente
sconnesso (in particolare Q è totalmente sconnesso).
9. Dinl0strare il seguente teorema:
TEOREMA DEL PUNTO fISSO Ogni applicazione continua
f : [a, b] ---+ [a, b]
di un 'intervallo chiuso e limitato la, b], a < b, 111 se stesso ha un punto fisso, cioè
esiste x E [a,bJ tale che f(x) =x.
lO. Uno spazio topologico X si dice localmente connesso in un punto p E X se ognI
intorno di p contiene un intorno connesso di p. X si dice 10cal1nente connesso se è
localmente connesso in ogni suo punto.
Ogni spazio discreto è localmente connesso pur essendo totalmente sconnesso.
Il sottospazio di R
T = {O} U {1/n : n;:: 1 intero}
è locahnente connesso in tutti i suoi punti eccetto che in {O}; si noti che T è
totalmente sconnesso.
U no spazio connesso non è necessarialTIente localmente connesso (cfr. esempio 12.6(2».
DilTIostrare che:
(a) se uno spazio X è localmente connesso nel punto p, allora p è un punto interno
d i C (p) ;
(b) ogni sottospazio apel10 di uno spazio localmente connesso è localmente connesso;
(c) per ogni punto p di uno spazIo localmente connesso X C (p) è un sottoinsieme
aperto di X;
(d) la connessione locale è una proprietà topologica.
Il. Dimostrare che per ogni t E R il sotto spazio di R 2
Xt = {(x, y) : xy = t}
non è omeomorfo ad R.

1 l I Connessione
133
12. Sia X C R 2 l'unione di due circonferenze di raggIo 1 e centri (1, O) e (-1, O)
rispettivamente, tangenti nel1' origine (fig. 11.1).
Dimostrare che:
(a) X non è omeomorfo a S I ;
(b) X non è on1eomorfo a I.
Figura Il.1
13. Si consideri la SOlnma topologica X n = S I Il. . .Il s l di n  1 copie di SI, e sIa Fn
lo spazio quoziente di X n ottenuto identificando a un punto il sottoinsieme
{ ( l , O) 1 , . . . , (1 , O)n } ,
dove (1, O)j è il punto (1, O) de11a j-esima copia di SI. Fn si chiama fiore ad n pela li
(se n = 1, FI = SI).
Per ogni intero n 2:: ] si consideri poi il sottospazio di R 2
n
Y n = U Cj
j=]
dove Oj è la circonferenza di centro il punto (j, O) e raggio j (fig. 1] .2).
Di mostrare che:
(a) per ogni n > 1, Fn  Y;-t
(b) se n =f1n. Fu *' Fm.
4
I
I
I
Figura Il.2

/34
Proprietà lopologiche I Cap. 3
14. Sia Y C R 3 il cilindro di equazione
xf + x = l
e Z il cono di equazione
xf + x - x = O.
Dimostrare che Y e Z non sono omeomorfi.
15. Dil110strare che GLn(R) e O(n) sono sconnessi.
16. Dire quali dei seguenti sottoinsiell1i di R 3 sono connessi:
A = {(l,O,t): O  t  l} U {(XI,X2,D): xy +X = l} U {(XI,X2, 1): xT +x = l};
B = A\{(l,O, l)};
C = A \ {(O, 1, O)};
D = {(l,O, t) : O < t < l} U {(Xl,X2, l): xT +x = l}.
17. Dire quali dei seguenti sottoinsiemi di R 2 sono conneSSI:
A = {x E R 2 : x2 = nx l, X l > O, X2 > O, n intero tale che l  n < 3};
..,
n =Au {x E R": x2 = l};
C = A U {x E R 2 : X2 = O};
D = A U {x E R 2 : x l  O, X2 < O}.
18. Dire quali dei seguenti sottoinsielni di R 3 sono connessI:
A = {x E R 3 : Ilxll < l, (XI, X2) =F(O, O)};
B = {x E R 3 : Il x ll < 1, Xl + X2 + X3 =F 0 };
C = {x E R 3 : 1/2 < Ilxll < l, Xl =F 0 };
D = {x E R 3 : Ilxll = l, (XI, X2) =F(O, O) =F(XI, X3), (X2, X3) =F(D, O)}.
19. Siano Z] = {x E R2: IIx- (1,(»11 < l},
Z- I = {x E R 2 : Il x - (-1,0)11 < l};
dire quali dei seguenti sottoinsielni di R 2 sono conneSSI:
A = Z] U Z- l ;
B = A u {(D,O)};
C = A u {( -2, O), (2, O)};
D = A U {x E R 2 : X2 = l};
')
E = A U {x E R : X2 = D}.

J 2 I C01lnessione per archi
/35
12 Connessione per archi
Un arco, in uno spazio topologico X, è un'applicazione continua a: I  X
dell'intervallo chiuso e limitato I = [O, 1 J in X. I punti a(O), a( 1) E X si dicono
gli estrelni di a, C rispettivamente punto iniziale e punto finale di a.
Se per ogni p, q E X esiste un arco a tale che a(O) = p e a( l) == q, X si dice
connesso per archi (fig. 12.1).
Un sottoinsielne Y di uno spazio X si dice connesso per archi se come
sotto spazio è connesso per archi.
Per ogni n > 1 R n è connesso per archi. Infatti, se x, y E R n ,
a (t) = (1 - t)x + ty
è un arco in R n di estremi x ed y (è il segmento di estremi x e y). Analogamente
sono connessi per archi i sottoinsiemi convessi di R n ; in particolare i dischi aperti,
D n , In, f1 n sono connessi per archi.
La connessione per archi è una proprietà pi ù forte della connessione:
12.1 PROPOSIZIONE Uno spazio connesso per archi è connesso.
Dil1lostrazione. Siano x, y E X. Per ipotesi, esiste un arco a : I  X tale che
a(O) = x, a( l) = y. Gli elementi x e y appartengono al sottoinsieme connesso a(I)
di X: dunque x e y sono connessi in X. Ne segue, per la proposizione Il.8, che
X è connesso. 11I
La proposizione 12.1 non si può invertire: esistono spazi connessi che non
sono connessi per archi (cfr. esempio 12.6( l». Dalla proposizione 12.1 segue che
uno spazio sconnesso non è connesso per archi.
Un'altra proprietà importante è data dalla seguente proposizione (si noti l'ana-
logìa con la proposizione Il.5):
a
p=a(O)

Figura 12.1

136
Proprietà lopologiche l Cap. 3
12.2 PROPOSIZIONE Se f : X  Y è un 'applicazione continua e se Z è un
sottoinsieme connesso per archi di X, f(Z) è un sottoinsieme connesso per archi
di Y.
Dimostrazione. È sufficiente dimostrare che, se f : X  Y è continua e
suriettiva e X è connesso per archi, allora Y è connesso per archi.
Siano Yh Y2 due punti qualsiasi di Y; per la suriettività di f esistono XI, X2 E X
tali che f(xi) = Yi, i = 1,2. Sia a: I -t X un arco in X di estremi XI e X2. Allora
f . a : I -t Y è un arco in Y e
(f. a)(O) = YI, (f. a)(l) = Y2. Il
12.3 COROLLARIO
(a) La connessione per archi è una proprietà topologica.
(b) Uno spazio quoziente di uno spazio connesso per archi è connesso per
a rc h i.
Dimostrazione. Esercizio. !Il
L'analogia tra connessione per archi e connessione si ha anche per il concetto
di "componenti connesse per archi" di uno spazio, che ora definiremo.
Sia dato uno spazio topologico X; introduciamo in X una relazione binaria e
ponendo xey se esiste un arco a in X tale che a(O) = x, a( 1) = y.
È facile verificare che e è una relazione di equivalenza. La riflessività xex per
ogni x E X segue dal fatto che 1'applicazione costante a : I -) X, a(t) = x per ogni
t E I, è un arco. Se xey, cioè esiste un arco a tale che a(O) = x, a(l) == Y, allora
yex perché b : I -t X definito da b(t) = a(1 - t) è un arco tale che b(O) == a(l) = y,
b( 1) = a(O) = x; quindi e è simmetrica. La transitività: se xey, yez, allora esistono
archi a, b in X tali che
a(O) = x, a(l) = y = b(O), bel) = z.
Definiamo c : I -t X ponendo
{ a(2t)
cCt) =
b(2t -- 1)
se O < t < 1/2
se 1/2 < t < 1.
c è un arco, e c(O) = x, c( l) = z, quindi xez.
Le classi di E'-equivalenza si chiamano componenti connesse per archi di X;
la componente connessa per archi contenente un punto p E X si denota Ca(P).
X è connesso per archi se e solo se possiede un' unica componente connessa per
archi. Si ha la seguente

/2 I Connessione per archi
/37
12.4 PROPOSIZIONE Per ogni punto p di uno spazio topologico X, Ca(p) è il
più grande sottoinsielne connesso per archi di X contenente p.
DÙnostrazione. Se Y è un sottoinsieme di X connesso per archi contenente p,
e q E Y, per definizione esiste un arco a in Y tale che a(O) = p, a( 1) = q. La
composizione di a con l'inclusione di Y in X è un arco in X di estremi p e q;
quindi peq, cioè q E Ca(p). Ne segue che Y C Ca(P).
D'altra parte Ca(p) è connesso per archi. Infatti se q E Ca(p) esiste un arco a
in X tale che a(O) = p, a( 1) = q; per concludere è sufficiente far vedere che a è
un arco in Ca(P), cioè che a(I) C Ca(p). Sia s E I. Definiamo b s : I -+ X ponendo
bs(t) = a(ts), t E I.
b s è un arco in X di estremi p ed a(s); quindi a(s) E Ca(p); poiché ciò è vero
per ogni s E I si ha a(I) C Ca(p). Il
Vale anche il seguente
12.5 TEOREMA Il prodotto topologico di una .fanliglia qualsiasi di spaZl
connessi per archi è uno spazio connesso per archi.
DÙnostrazione. Sia X = Il XJ.l' XJ.l connesso per archi per ogni J.l E M. Siano
J.lEM
p, q E X. Per ogni J.l E M esiste un arco 0:J.l in XJ.l di estremi p(J.l) e q(jj), perché
XJ.l è connesso per archi. Definiamo a : I -+ X ponendo
a(t)(J,l) = aJ.l(t).
Per le proprietà della topologia prodotto, a è un arco in X; inoltre
a(O)(J,l) = aJ.l(O) = p(J.l),
cioè a(O) = p; analogamente a(]) = q, quindi X è connesso per archi. Il
] 2.6 Esempi
l. In R 2 consideriamo il sottoinsieme
c = {( 11 n, y) : O < Y < J, n > ] intero} 
e l'intervallo unitario dell' asse x
Ix = {(x O) : O < x < l}.

138
Proprietà lop%g;che I Cap. 3
È facile vedere che Ix U C è connesso per archi, e quindi connesso. Si osservi
infatti che
Ix U C = U (Ix U C n ),
n]
dove
C n = {( 11 n, y) : O < Y < l}.
Poiché ognuno degli insiemi Ix U C n è connesso per archi e
n (Ix U C n ) = Ix U ( n Cn ) = Ix,
n1 n
dall' esercizio 1 segue l' asscrto.
Sia p = (O, l). L'insieme
x = {p} u Ix u C
è connesso perché
P E Ix U C
(chiaramente p E D(I x u C». D'altra parte X non è connesso per archi; per
dimostrarlo sarà sufficiente far vedere che se a : I  X è un arco tale che
a(O) = p, allora a(t) = p per ogni t E I.
II sottoinsieme
G = a '(p) C I
è chiuso perché a è continua. Sia to E G e D = Dl/2(P); per la continuità di a
esi ste é > O tale che
a«to-e, to+e»CDnX.
Ma aCeto - c, t o + c» è connesso c contiene p, quindi coincide con p perché ogni
sottoinsieme di D n X contenente p è sconnesso se contiene altri punti. Quindi
(t o - é, t o + é) C G;
ne segue che G è aperto e chiuso in I; dunque G = I perché I è connesso.
2. Uno spazio topo logico X si dice localmente connesso per archi in un punto
p E X se possiede un sistema fondamentale di i n torni connessi per archi di p. Ciò
equi vale a dire che per ogni intorno U di p esiste un intorno V C U di p tale che

12 I Connessione per archi
139
per ogni q E V esista un arco
a q : I  V
tale che aq(O) = p, aq(l) = q.
È evidente che se X è localmente connesso per archi in p allora X è localmente
connesso in p (cfr. esercizio Il.10)).
X si dice locabnente connesso per archi se è localmente connesso per archi
in ogni suo punto.
Ogni aperto di R n è localmente connesso per archi, perché i dischi aperti di
R n sono connessi per archi. Ogni varietà topologica è localmente connessa per
archi.
Uno spazio discreto con almeno due punti è localmente connesso per archi,
ma non è connesso per archi.
Viceversa uno spazio connesso per archi non è necessariamente anche local-
mente connesso per archi.
Ad esempio si consideri il sottoinsieme Ix U C C R 2 dell' esempio l, e si prenda
Y = Ix U C = Ix U C U Iy,
dove
Iy = {(O, y) : () < Y < l}.
Y è connesso per archi perché
y = U (Ix U C n ) U (Ix U I y ),
n1 .
ognuno degli insiemi Ix U C n e Ix U Iy è connesso per archi e
(Ix U Iy) n [ n (Ix U CnJ ] = Ix =f 0
n?1
(cfr. esercizio 1).
D'altra parte Y non è localmente connesso in p = (O, l) (e quindi non è
localmente connesso per archi in p). Infatti ogni intorno di p della forma
Dr(P) n Y, o < r < 1
non contiene intorni connessi di p (fig. 12.2).
3. Le componenti connesse per archi di uno spazio topologico non sono chiuse
in generale, a differenza di quel che accade per le componenti connesse.

/40
Proprietà fopologìche I Cap. 3
t
i
I
v
y
...
I
x
Figura 12.2
Ad esempio lo spazio X dell' esempio l SI decompone In due componenti
connesse per archi:
X = {p} u (Ix u C).
La componente {p} è chiusa, mentre la componente Ix U C non è chiusa perché
p è aderente a Ix U C.
Esercizi
1. Dimostrare che l'unione di una famiglia di sottoinsiemi connessi per archi di uno
spazio topologico X aventi un punto in comune è connessa per archi.
t
I
v
-....
B
Figura 12.3

/2 l C01lnessione per archi
141
2. Dimostrare che i seguenti sottoinsiemi di R n , n 2: 2, sono conneSSI per archi:
{x E R n : x n > O}; sn - ]; {x E R n : X n f O} u {O}.
3. Dimostrare che uno spazio topologico connesso e ]ocalmente connesso per archi X è
connesso per archi.
4. Dimostrare che ogni aperto connesso di R rt è connesso per archi.
5. Si considerino i seguenti sottoinsiemi di R2:
Iy = {(O,y): O  y  l}, n = {(x,y): O < x < l, y = cos('lt-jx)}.
Si dimostri che X = Iy U B è connesso ma non connesso per archi (vedi fig. 12.3).

Capitolo 4
Omotopia, gruppo fondamentale e rivestimenti
13 Omotopia di applicazioni continue
In questo capitolo studieremo l' omotopia, che è una relazione di equivalenza
tra app1icazioni continue di importanza fondamentale in topologia, e ne daremo
diverse applicazioni. Denoteremo come al solito con I l'intervallo chiuso lO, Il di
R.
Siano X e Y due spazi topologici e lo, Il : X ----+ Y due applicazioni continue;
una olnotopia tra lo e Il è un' applicazione continua:
F:XxI----+Y
tale che F(x, O) = lo(x) e F(x, 1) = Il (x) per ogni x E X. Se un'omotopia F esiste
diciamo che lo è 0171otopa a Il e scriviamo F : lo  Il, o più semplicemente
fo  Il'
Nella pratica risulta essere più utile la seguente nozione più generale. Siano A un
sottoinsieme di X e fa, l, : X ----+ Y due applicazioni continue tali che foCa) = Il (a)
per ogni a E A; una onlo[opia tra lo e Il relativa ad A è un' omotopia F : fo  Il
tale che
F(a, t) = foCa) = fl (a)
per ogni a E A, t E I. Se F esiste diciamo che fo è olnotopa a Il relativalnente
ad A e scriviamo F : fo rel A Il, o più semplicemente fo rcl A Il. Ovviamente
prendendo A = 0 si riottiene la nozione di omotopia.
13.1 LEMMA Siano X e Y due spazi fopologici e A un sot!oinsienle di
X. Ne!l'insien1e delle applicazioni continue di X in Y la relazione rc] A è di
equivalenza. In particolare l'oln%pia è un relazione di equivalenza.
Dirnostrazione. La riflcssività si dimostra prendendo F(x, t) = f(x) per ogni
f : X ----+ Y. Se F : fo rel A Il allora G : Il :::rcl A lo, dove G(x, t) = F(x, 1 - t):

13 I Omotopia di applicazioni conTinue
/43
quindi. la relazione è simmetrica. Per dimostrare la transitività supponiamo F :
lo ""' reI A Il e G : Il rcI A 12; allora:
{ F(x, 2t)
H(x. t) =
, G(x,2t - l)
() < t < 1/2
1/2 < t < 1
xEX
definisce un'omotopia tra lo e 12 relativa ad A. !Il
Se lo rel A Il diremo che lo e Il sono 0111otope relativalnente ad A (oppure
che sono olnotope se A = 0). lntuitivamente fa e Il sono omatope se è possibile
deformare con continuità lo in Il: infatti un' omotopia è essenzialmente una fa-
miglia di applicazioni continue Ft : X  Y, t E I, dove Ft(x) = F(x, t) per ogni
x EX.
13.2 Ese111pi
l. Siano I, g : X  R m . due applicazioni continue da uno spazIo X In R m .
Ponendo
F(x, t) = I(x) + t(g(x) - I(x»
si definisce un' omotopia tra I e g. In particolare F(x, t) = tx + (l - t)y definisce
un'omotopia F : R n x I  R U tra l'applicazione costante Cy (dove y E R n è un
punto fissato) e 1'identità 1 R n .
2. Sia Y uno spazio topologico. Un'applicazione continua f : SI  Y è omotopa
a un' applicazione costante se e solo se f si estende a un' applicazione continua
g : D 2  Y. Supponiall1o infatti che g esista: allora ponendo F(x, t) = g(tx) si
ottiene un' omotopia F : cg(O)  I. Se viceversa esiste un' omotopia F : c p  f per
qualche p E Y l'applicazione g : D 2  Y definita da
g(x) = { ; ( IIII ' Ilxll)
se x =I- O
se x = O
è continua e estende f.
Due spazi topalogici X e Y si dicono 0111otopicalnente equivalenti (oppure dello
stesso tipo di 0f1101opia) se esistono applicazioni continue f : X  Y, l' : Y  X
tali che
l' . f "-' 1 x , f. l'  1 y .
Le applicazioni I e l' si dicono equivalenze omotopiche tra X e Y una inversa
del!' altra.

/44
Omo{opia, gruppo fondamentale e rivestinlenti I Cap. 4
13.3 LEMMA L'equivalenza olnotopica è una relazione di equivalenza tra
spazi topologici.
Dimostrazione. La riflessività c la simmetria sono ovvie per definizione. Di-
mostriamo la transitività. Siano f : X  Y, g : Y  Z equivalenze omotopiche,
di inverse omotopichc g' : Z  Y e f' : Y  X. Quindi esistono omotopie:
F : l' . I  l x, F': f . l'  1 y
C .,  1 c , . ,  l
.g 'g- y, .g'g - z.
Si ottiene un'omotopia H : (f' . g') . (g . f)  Ix ponendo
{ f'(G(f(x),2t»
H(x, t) =
F(x,2t - l)
o < t < 1/2
1/2 < t < 1.
Un'omotopia H' : (g. f). (f' . g')  1z è invece data da:
, { g(F'(g'(z), 2t»
H (z, t) =
C' (z, 2t - l)
O < t < 1/2
1/2 < t < 1. Il
Ovviamente se X e Y sono omeolTIorfi allora X e Y sono anche omotopi-
camente equivalenti, ma non vale il viceversa. Ad esempio R n , n > l, non è
omeomorfo a un punto {p} ma è omotopicamente equivalente a {p}. Definiamo
infatti
I : {p}  R n
ponendo f(p) = O, e sia g : R n  {p}. Allora g . f = l {p} mentre un'omotopia
F : f . g  1 R n è data da F(x, t) = tx. Quindi f e g sono equivalenze omotopiche.
Uno spazio topologico si dice contraibile se è omotopicamente equivalente a
un punto. Dalla verifica precedente segue che R n è contraibile.
] 3.4 Esempio
Sn - l e R n \ {O} sono omotopicamente equivalenti per ogni n > 2. Infatti l'in-
clusione  : sn - l  R n \ {O} e l'applicazione (J : R n \ {O}  sn l definita da
u(x) = Il:11 sono equivalenze omotopiche: un'omotopia F :  . u ::::: l Rn\{O} è data
da F(x, t) = xe(t -l)lnllxll.
Esercizi
1. Siano x, y punti di uno spazio topologico X. Dimostrare che le applicazioni costanti
cx, C y : I ----+ X sono omotope se e solo se x e y appartengono alla stessa componente
connessa per archi.

J 4 I Il gruppo fondanlentale
145
2. Dimostrare che uno spazio X è contraibile se e solo se l'applicazione l x è omotopa
a un' applicazione costante di X in se stesso.
3. Dimostrare che un sottospazio convesso di R n è contraibile. In particolare D n , In, f1n
sono contraibili.
4. Dinl0strare che uno spazio contrai bile è connesso per archi.
14 Il gruppo fondamentale
In questo paragrafo vedremo come, utilizzando la nozione di omotopia, sia
possibile associare ad ogni spazio topologico un gruppo. Le proprietà aJgebriche
di questo gruppo riflettono le proprietà topologiche dello spazio.
Siano X uno spazio topologico e f, g: I  X due archi tali che J(I) = g(O).
La cOlnposizione, o prodotto di I per g, è l'arco I * g così definito:
{ 1(2t)
(/*g)(t)=
g(2t - l)
O < t < 1/2
1/2 < t < l.
Due archi I, g : I  X si dicono equivalenti, e SI scrive I "" g, se sono
omotopi relativamente a {O, l}. In particolare se I "-' g allora 1(0) = g(O) ed
f ( 1) = g( 1 ) (fig. 14.1).
14.1 LEMMA Siano lo, go, Il, g] : I  X archi tali che fo "-' Il e go "-' gl. Se
lo( l) = go(O), allora Il (l) = gl (O) e lo * go "-' Il * gl.
Dhnostrazione. L'affermazione Il (1) = gl (O) è ovvia. Siano
F : lo rel {n,l} fI, G: go ::=rel {o, l} gl.
Allora:
{ F(2s, t)
H(s, t) =
G(2s - l, t)
O < s < 1/2
1/2 < s < l
è un'omotopia lo * go :::rcl {O:l} Il * gl (fig. 14.2). 11I
Fissiamo un punto Xo E X. ChiamereIl10 cappi di base Xo gli archi chiusi
di punto iniziale e finale Xo. Denotiamo con 7rl (X, xo) l' insienle delle classi di
equivalenza di cappi di base Xo. Se f è un cappio di base Xo denoteremo con
li J E 7r1 (X, xo) la sua classe di equivalenza.
Si noti che, dati I, g cappi di base Xo, la composizione f * g è definita ed è
ancora un cappio di base X(). Pertanto, dati [Il, [g J E 7r1 (X, xo), definiamo il loro
prodotto nel modo seguente:
r I J 19 J = r f * g].

/46
Omotopia, gruppo fondamentale e rivestimenti I Cap. 4
9
Xo
x,
F
x, = f(1) = 9(1)
f
f
Figura 14.1
(* g
, ,
f,
g,
u
Xo x, x 2 X 2
Xo x, x,
f*g fo 9 0
o o
H F G
Figura 14.2

/4 I Il gruppo fOlldamentale
147
Per il lemma precedente quest' operazione è ben definita.
14.2 PROPOSIZIONE Sia c Xo : I  X il cappio costante di base Xo ed I, g, h
cappi di base Xo. Allora:
(a) (I * g) * h  I * (g * h);
(b) C Xo * I  f  I * c Xo ;
(c) I * fa  C Xn  l° * I, dove l° : I  X è il cappio di base Xo cosÌ definito:
10(s) = 1(1 - s), s E I.
DÙnostrazione
(a) Per definizione
[(f * g) * h](s) =
I ( 4s )
g( 4s - 1)
h(2s - l)
1(2s)
g(4s - 2)
h(4s - 3)
[I * (g * h)J(s) =
0 < s < I/4
1/4 < s < ] /2
1/2 < s < ]
O < s < 1/2
1/2 < s < 3/4
3/4 < s < l.
Un'on1otopia F : (I * g) * h :::rcl {O,I} I * (g * h) è data da:
I (4s)
1 + t
F(s, t) =
g(4s - t - l)
h(4s-t-2)
2-t
l + t
0<8<-
- - 4
l+t 2+t
-<s<-
4 - - 4
2+t
-<8<1.
4 - -
Quest' omotopia è illustrata dalla figura 14.3.
(b) Dimostreremo che C Xo * I "-' I lasciando al lettore il compito di dimostrare
in modo simile che f "-' f * c xo ' Definiamo:
F(s, t) =
1(2s + t-l)
l + t
Xo
l - t
O<s<-
- - 2
1 - t
-<s<1
2 - -
OttcnialTIO così un' omotopia F : C x !) * f :::rel {o, l} f che è illustrata dalla figura
14.4.

148
Omotopia, gruppo fondamentale e rivestimenti I Cap. 4
f
9
h
f
Xo
Xo
f 9 h c f
Xo
Figura 14.3 Figura 14.4
f fO
c
Xo
Figura 14.5
(c) Poiché (foy) = I è sufficiente dimostrare una delle due affermazioni. Di-
nl0streremo che c Xo r'-J I * fO. Per definizione
(f * fO)(s) = { f(2s)
1(2 - 2s)
o < s < 1/2
1/2 < s < 1.
L'applicazione
{ 1(2st)
F(s, t) =
1«2 - 2s)t)
o < s < 1/2
1/2 < s < 1
è un'omotopia C Xo rcl {o. I} I * l° (fig. 14.5). Il
14.3 COROLLARIO Ri.\lJetto al prodotto, 7r] (X, xo) è un gruppo il cui elelnento
neutro è [c xo ] e in cui I.fl' = [fO] per ogni [f] E 1[1 (X xo).
Di171ostraziol1e. È una conseguenza immediata della proposizione 14.2. !Il

14 I Il gruppo fondamentale
/49
7r] eX, xo) si chiama gruppo ,fondall1entaLe, o prÙl10 gruppo di olnolopia, di X
con punto base Xo.
Se X è dotato della topologia discreta, in particolare se X = {xo} consiste di
un solo punto, allora 1[1 (X, xo) = {lcxoJ} è ridotto al solo elemento neutro. Più in
generale segue subito dalla definizione che
7r1 (X, xo) = 1[1 (Ca(x(), XO)
(Ca(Xo) è la componente connessa per archi di xo).
Se Xo e XI sono due punti di X, che relazione c'è tra 7r) (X, xo) e 7rl (X, XI)?
Se Xo e X I appartengono a componenti connesse per archi distinte allora non c'è
alcuna relazione tra i due gruppi fondamentali perché, come già osservato, essi
dipendono solo dalle rispettive componenti connesse per archi. Nel caso in cui
invece Xo e XI siano estremi di uno stesso arco i due gruppi sono isomorfi, come
ora dimostreremo.
14.4 PROPOSIZIONE Siano Xo, XI E X e supjJol1ialno che esista un arco
a : I  X tale che 0:(0) = Xo ed 0:(1) = X,. Allora l'applicazione:
7r a : 7rl (X, xo)  7r, (X, XI)
de,fin ita da:
7r a ClfJ) = [0:0 * f * al
è un iSOI1UJ1fisnzo di gruppi.
DÙnostrazione. Lasciamo al lettore iJ compito di dimostrare che 7r a è ben
definita utilizzando il lemn1a 14.1. Se [I], [g] E7rl(X,XO) si ha:
7r a ([fHgJ) = 7r a ([f * g]) = [ao * f * g * al =
= [ao * I * a * 0:0 * g * al = [0: 0 * f * aH.ao * g * al = 7r a ([f])7r a «(gJ)
e quindi 'fra è un omomorfìsmo di gruppi. Inoltre si verifica immediatamente che
l' Onl0ITIOrfismo
7r al! : 7r1 (X, X d ---+ 7rl (X, XO)
soddisfa
( 7r a() . 7r a) ([ f l) = [I]
( 7r a . 7r (o ) [ g l = (g I
per ognI rf J E 7r, (X, xo)
per ogni [g J E 7r1 (X, X d
c quindi 7rfY. e 7r a o sono isolllorfìsmi uno inverso dell'altro. !Il

/50
Omotopia, xruppo fondamentale e rivestimenti I Cupo 4
Una conseguenza immediata della proposizione 14.4 è che se X è uno spazio
connesso per archi allora 7r] (X, xo) e 1r] (X, x I) sono gruppi isomorfi per ogni xo,
XI E X; quindi, a meno di isomorfismo, si può parlare del gruppo fondalnentale
di X senza far riferimento a un punto base. Va osservato che l'isomorfismo 7r Q
definito dalla proposizione precedente non è canonicamente definito ma dipende
dall' arco a (cfr. esercizio 4). Se però 7r1 (X, xo) è commutativo allora l' isomorfismo
7r Q è indipendente da a (cfr. esercizio 6).
Uno spazio topologico X si dice selnplicelnente connesso se X è connesso
per archi e ha gruppo fondamentale ridotto al solo elemento neutro. IJ pi ù ovvio
esenlpio di spazio semplicemente connesso è uno spazio costituito da un solo
punto. Vedremo nel prossimo paragrafo che ogni spazio contraibile è semplicemente
connesso; in particolare lo sono R n c D n .
Esercizi
1. Sia X uno spazio topologico. Dimostrare che dati due archi f, g : I  X tali che
1(0) = Xo = g(O), /(1) = g(1) si ha f  g se e solo se 1* gO  CX(P dove gO(s) = g(1 - s),
s E I.
2. Sia X uno spazio topologico e sia cp : I  I un' applicazione continua tale che cp(O) = 1,
cp( l) = O. Dimostrare che per ogni arco I : I  X si ha l°  I o cp.
3. Sia X uno spazio topologico. Dimostrare che se I, g, h: I  X sono tre archi tali
che 1(1) = g(O) e g(l) = h(O) allora (I * g) * h  1* (g * h).
4. Sia X uno spazio topologico, Xo, x I E X e a, (3 : I  X due archi tali che
a(O) = Xo = (3(0), a( l) = X l = (3( l). Dimostrare che
'Ir(30 . 'Ira : 'Ir,(X,xo)  'lrl(X,XO)
coincide con l' autolnorfismo interno
[I]  l a * (30] I [1][ a * (30).
5. Sia X uno spazio topologico e siano Xo, Xl E X e a, {3 : I  X come nell'esercizio
precedente. Dimostrare che se a  {3 allora 'Ira = 1rfJ.
6. Sia X uno spazio topologico. Dimostrare che se XO, XI E X appartengono alla stessa
cOlnponente connessa per archi, l'isomorf1smo
'lro : 'lrl (X, xo)  'lrl (X, Xl)
è indipendente dall'arco a: I  X di estremi Xo ed XI se e solo se 'lr1(X,XO) è un
gruppo abeliano.
7. Dimostrare che un sottospazio convesso V C R n è senlplicemente connesso.
(Suggeri1nento. Se I. g : I  V sono cappi di base v E V si defìnisca F: I rcl {O, l} g
ponendo F(s, t) = 1(8) + t(g(s) - I(s»)).

/5 I Proprietà funtoriali del gruppo fondcunentale
15/
15 Proprietà funtoriali del gruppo fondamentale
Il gruppq fondamentale non sarebbe di alcuna utilità se non avesse la proprietà
di essere compatibile con le applicazioni continue, nel senso che ora spiegheremo.
Consideriamo due spazi X, Y e un' applicazione continua 1/; : X  Y. Sia
Xo EX; definiamo un' applicazione:
1/;* : 7r1 (X, xo) ----+ 7r} (Y, 1/; (xo)
ponendo
1/;*(l/)) = f1/;. IJ.
È facile verificare che l'applicazione 1/;* è ben dcfinita (la verifica è lasciata al
lettore ).
15.1 TEOREMA Siano X, Y e Z spazi [opologici e Xo E X.
(a) Per ogni 1/; : X  Y continua l'applicazione
1/;* : 7r} (X, xo)  11"} (Y, 1/;(xo»
è un onl0nzorfisI110 di gruppi.
Cb) Siano 1/; : X  Y, 'P : Y  Z applicazioni continue. Si ha:
('P .1/;)* = 'P* . 1/;* : 7r1(X, xo)  1[)(Z, (<.o .1/;)(xo»
dove 1/;* : 1[1 (X, xo) ----+ 11" l (Y, 1P(Xo» e <.0* : 1[1 (Y, 1/;(xo» --+ 1[1 (Z, ('P . 1/; )(Xo».
Cc) (Ix)* : 7r1 (X, xo) --+ 7r1 (X, xo) è l' 011UJlnorjisnuJ identità.
DÙnostrazione
(a) 1/;*(f!J[g]) = 1/;*(ll * gJ) = l1P . (I * g)] = [(1/; . f) * (1/; . g)1 = r1/; . fJ[1P . gl =
= 1/;*([!])1P*([gJ).
Le proprietà (b) e (c) sono ovvie. Il
Le (a), (b) e (c) del teorcnla 15.1 si dicono proprietà .funtoriali del gruppo
.fondanlentale. Se 1/; : X ----7 Y è un' applicazione continua e Xo E X chiameremo
1P* : 1[1 (X, xo) ----+ 7r1 (Y, 1/;(xo» l' onunnOrfiSl1UJ indotto da 1P.
15.2 COROLLARIO Se 1/; : X -+ Y è un 0111e01110r.fis111o e X() E X, l' 01110-
11l0l:fiSJ110 indotto 1P* : 1[1 (X, xo)  1[1 (Y, 1/;(xo) è un isolnorfis111o. In particolare,
due spazi connessi per archi aventi gruppi .fondal11entali non iSOt11orji non S01l0
olneolno(fi.

/52
Olnolopia, gruppo fondcllnentale e rivestimenti I Cap. 4
DÙnostrazione. Dalle (b) e (c) del teorema 15.1 segue che
(1/;-1)* . 1/;* = (l x )* = l 1r \(x.xo)
1/;* . ('ljJ 1)* = (1 y)* = 11["1 (Y1 (xo))
e quindi 1/;* e (1/; ])* sono isomorfìsmi uno inverso dell' altro. Il
L'ultima asserzione del corollario è particolarmente importante. Essa fornisce
infatti un criterio sufficiente affinché due spazi siano omeomorfì. Purtroppo il
gruppo fondamentale è in generale difficile da calcolare e quindi il corol1ario 15.2
in molti casi non può essere applicato.
Cercheremo di aggirare questa difficoltà studiando la relazione tra gruppo
fondamentale e omotopia di applicazioni continue. Utilizzeremo il seguente lemma.
15.3 LEMMA Sia X uno .lJazio topologico e E : I x I ---t X un 'applicazione
continua. Ponicuno jet) = E(O, t), g(t) = E(I, t), h(s) = E(s, O), k(8) = E(8, l).
Allora:
jO * h * g :::rel {o1 1 } k
DÙnostrazione. Poniamo Xo = k(O), x I = k( 1) c definiamo G : I x I ---t X nel
modo seguente:
Xo
o < 8 < t/3
t/3 < 8 < 1/3
1/3 < 8 < 2/3
1/3 > 1 -- 8 > tl3
1 - 8 < t13.
G(s t) =
J(1 +t - 38)
E(38 - 1, t)
g(t + 3s)
XI
c
Xo
k
C
X 1
E(3s-1,t)
X 1
g{t + 3s)
f O
h
9
Figura 15.1

J 5 I Proprietà funtoriali del gruppo fondanzentale
153
È immediato verificare che G : fO * h * g rel {o, l} k. L'omotopia G è illustrata
dalla figura 15.1. Il
15.4 PROPOSIZIONE Siano X, Y spazi topologici, <p,1/;: X  Y applicazioni
continue e F : X x I  Y un' onlotopia tra <p e 1/;. Siano Xo E X e a : I  Y l'arco
di estrenli <p(xo) e 1/;(xo) definito da a(t) = F(xo, t), t E I. Si ha un diagranlma
conunutativo di on101110rfislni:
7r1 (X, xo)  7r1 (Y, <p(xo»
1/;*  l 1ra
7r 1 (Y, 1/; ( x o ) )
In particolare <p* è un ison10r.fislno (ri.spettivalnente iniettiva, suriettiva) se e
solo se 1/;* è un isolnorjisl110 (rispettivamente iniettiva, suriettiva).
Dimostrazione. Sia f : I  X un cappio di base Xo e sia E I x I  X
l'applicazione continua definita da: E(s, t) = F(f(s), t). Si ha:
E(s,O) = (<p. 1)(s), E(s, l) = (1/;. f)(s)
E(O, t) = a(t) = E(l, t).
Per il lemlna 15.3
1/;*([/]) = [1/; . /1 = lao * (<p' f) * a] = 11"a(<P*(lfJ». Il
15.5 COROLLARIO Siano X, Y spazi topologici e <p : X  Y un 'equivalenza
olnotopica. Allora <p* : 7r] (X, xo)  7rl (Y, <p(xo» è un isolnorjis111o per ogni Xo E X.
DÙnostrazione. Sia 1/; : Y  X un'inversa omotopica di <p. Dalla proposizione
} 5.4 applicata a 1/;. <p e 1 x si deduce che
(1/; . <p)* = 1/;* . <p* : 1[) (X, xo)  1[1 (X, 1/;( <p(X o »),
dove 1/;* : 1[1 (Y, <p(xo»  1[1 (X, 1/;(<p(X o ») è un isomorfismo: pertanto <p* è iniettiva
e 1/;* è suriettiva. Applicando ancora la proposizione 15.4 a cp.1/; e 1 y si deduce
che
(<p . 1/;) * = <p * . 1/; * : 7r I (Y, <p ( x o»  7r l (Y <p ( 1/; ( <p (X o) ) ) ) ,
dove ora <p* : 7r1 (X, 1/;(<p(X o »)  7r1 (Y, <p(1/;(cp(X o »» è un isomorfismo. In parti-
colare 1/;* è inietti va. Segue che 1/;* è un isomorfismo. Ma allora anche
<p* : 7r1 (X, xo) --7 1[} (Y, <p(xo»
dev' essere un isomorfÌsmo. 11I

154
Omotopia, gruppo fondamentale e rivestimenti I Cap. 4
Quindi il gruppo fondamentale di uno spazio topologico è invariante per equi-
valenza omotopica oltre che per omeomorfismo. In particolare abbiamo:
15.6 COROLLARIO Ogni .\pazio contraibile è selnplice111ente connesso.
Un' altra utile conseguenza della proposizione 15.4 è il seguente
15.7 COROLLARIO Supponiamo che 'P : X --+ Y sia un'applicazione conti-
nua 01110topa a un 'applicazione costante. Allora 'P* : 7r] (X, xo) --+ 7rj (Y, <p(xo») è
l' 01710111orfis111o nullo per ogni Xo E X.
DÙnostrazione. Immediata. 11I
1'6 Esempi ed applicazioni
Fino a ora gli unici spazi di cui abbiamo calcolato il gruppo fondamentale
sono quelli contraibili, che abbiamo visto essere semplicemente connessi.
Il primo esenlpio di spazio non semplicemente connesso di cui calcolerenlo il
gruppo fondamentale è SI. Consideriamo l'applicazione continua
E : R --+ S]
data da E(x) = e 21rÌX , x E R, dove abbiamo identificato SI all'insieme dei numerI
complessi di modulo 1. E è anche un olTIomorfismo di gruppi. Inoltre E è aperta
ed è un omeomorfismo locale. Più precisamente per ogni x E R l'intervallo
aperto (x - , x +  ) viene mandato da E omcomorficamcntc su Si \ { - E(x)}.
Denoteremo con
I ( 1 1 )
çx :  \ { - E(x)} --+ X - 2 ' x + 2
l'omeomorfismo inverso.
Utilizzeremo i seguenti due lemmi.
16.1 LEMMA ( di sollevamento) Se a è un arco in S I di punto iniziale 1,
esiste un unico arco a' in R di punto iniziale O tale che E. a/ = a. a' è chial1zato
sollevamento di D: a R.
DÙnostrazione
Esistenza. Poiché I è compatto e a è continua, possiamo suddividere I in sot-
tointervalli rto td, [t}, t 2 1,..., [tn "t n ], 0= to < tI < ... < t n = l tali che si abbia

J 6 j Esenzpi ed applicazioni
155
la(t)-a(t')1 < l per ogni t, t' E [ti l, tiJ, e quindi tali che a(rti I, tiJ) sia contenuto
in Si \ { -a(ti _ l)}' per ogni i = ],..., n. In particolare a([O, td) è contenuto in
Si \ { -]} e possiamo quindi definire un' applicazione continua al : [O, td  R
come la composizione di alro,t,1 con ço : SI \ { -]} -+ (- , ); evidentemente
al (O) = () e E. al = ajro,td' Procediamo per induzione su i: supponiamo di aver
definito ai : [O, ti]  R continua tale che ai(O) = O e E . ai = a1fo,t i !. Se i < n - l
possiamo definire ai+l : lO, ti+d  R continua come l'incollamento di ai con la
composizione di ajl t t,t1+iJ con
. l ( l l )
çat(t/) . S \ { -a(ti)}  ai(ti) - 2' ai(ti) + 2 .
Evidentenlente ai+1 (O) = O e E. ai+1 = allo,tH11' L'arco a' = a n ha le proprietà
volute.
Unicità. Supponiamo che a' e a" siano due archi in R tali che a' (O) = a" (O) = ()
c E. a' = E. a" = a. L'arco a' - a" : I  R soddisfa E. (a' - a")(t) = ] per ogni
t, c pertanto si ha (a' - a")(I) C Z. Ma poiché I è connesso a' - a" dev'essere
costante, e da a' (O) = a" (O) segue a' = a". Il
16.2 LEMMA (di sollevamento dell'omotopia) Se a e (3 sono due archi in SI
di punto iniziale l tali che esista un' omotopia
F : a rcl {O,I} (3
allora esiste un 'unica 0111otopia F' : a' rel {o, l} (3' tale che E . F' = F.
Dbnostrazione
Esistenza. Sia Ft : I  Si la restrizione di F : I x I  Si a I x {t}. Ft è un
arco in S l di punto iniziale 1, c quindi, per il lemma 16.1, possiede un unico
sollevamento a un arco F£ : I  R di punto iniziale O. Definiamo F' : I x I  R
ponendo F'(s, t) = Ff(s). Si ha E . F' = F.
Resta da din10strare che F' è continua. Poiché F è continua e I x I è compatto,
esiste é > O tale che IF(y) - F(y')1 < 1 per ogni y, y' E I x I tali che \y - y'l < c.
Da ciò segue che esistono O = So < SI < . . . < Sm = 1 e O = t o < t I < . . . < t n = l
tali che per ogni j = 1,. . . , m, i = l, . . . , n, si abbia
F( l S j ], S j} x [ti I, ti]) C SI \ { - F( S j }, t?: I) }.
Pcr ogni i = 1,...,n l'insieme F'([O,sd x [ti--I,til) è connesso perché gli
insiemi F'([O,sd x {t}) = F;(rO,sI1), t E [ti l,ti], sono connessi e contengono
F' (O, t) = O; ma allora
F' ([ O, S d x [t i I, t i]) C
( _! ! )
2' 2

156
On'lolopia. gruppo j()l1damenlale e ril'estime1l1i I Cap. 4
e quindi la restnzIone di F' a [O, sll X [t 1 : -- l, ti] coincide con la composizione
ço . Fì[O.SI1X[t l I :tIJ' che è continua. Per incollamcnto segue che lI'r o ,sllxI è continua.
Procediamo per induzione: supponiamo di aver dimostrato che lIo,sJ IxI è continua
per qualche 1 < j < m-l. Per ogni i= 1,...,n F'([sj,sj+d x [ti l,ti l) è un
sottoinsieme connesso di R perché gli insiemi F'([sj, sj+Il x {t}) = F!(rsj, Sj+l.J)
sono connessi e intersecano F' ( { S j} x l ti l, ti]) che è connesso per J' ipotesi
induttiva. Ma allora
F' (r S j , S j+ d x [ti I , ti 1) C (F' ( S j, ti - I) - , p' ( S j , ti I) +  )
e quindi, come nel caso precedente, segue che la restrizione lI'[sJsJ+Jlxrt! _ ht!J
è continua; per incollan1ento deduciamo che lIo:sJ+llxI è continua e il passo
indutti vo è dimostrato. Quindi F' è continua. F' è un' omotopia tra a' e (3' perché
F'(s, O) = (s) = a'(s), F'(s, l) = F{(s) = [3(s); per definizione F'(O, t) = O per
ogni t E I; inoltre F'(l,t) è contenuto in E-1(a(1» perché F(l,t) = a(l) = (3(1)
per ogni t E I, e dalla connessione di {l} x I segue che F' è costante su {l} x I:
. d , F " (3 ,
qUln I : a rcl {o I } .
Unicità. Sia F" : a' rcl {O,IÌ (3' un'altra omotopia tale che E. F" = F. Pcr ogni
t E I la restrizione di F" a I x {t} deve coincidere con il soJlevamento Ff di Ft,
e quindi F" = F'. Il
Dalla dimostrazione del lemma 16.2 segue immediatan1ente il seguente:
16.3 COROLLARIO Per ogni arco a in SI, il punto .finale a'(I) del sollevalnento
a' dipende solo dalla classe di Ol1'lotopia relativa a {O, l} di a.
16.4 TEOREMA 7r1 (8 I, 1) '= Z.
DÙnostraziol1e. Definiamo un' applicazione
{) : 1[1 (8 I, 1) -+ Z
ponendo b(lfJ) = f'(l). Per il corollario 16.3 ti è ben definita. Inoltre 8 è un
omomOrfiS1110: se r f J, (g J E 1[1 (8 I, 1), sia g" : I -+ R l'arco definito da g" (t) =
= f'(l) + g'(t), t E I. Si ha E. g" = g, c quindi l'arco f' * g" è il sollevamento di
f * g e
8(lfJlgJ) = 80f * g]) = (f' * g")(l) = f'(l) + g'(l) = 8([/]) + 8([gJ).
£5 è suriettiva: per ogni n E Z sia () : I -+ R dcfinito da (J(t) = nt. Allora
(Jn :=E'(J. soddisfa £5([(Jn])=n.

/6 I Esempi ed applicazioni
/57
ti è inictti va: se 8 ([ /]) = O, allora l' è un cappio in R. Poiché R è semplicemente
connesso /' rcl {o, l} C(), e quindi / :::rcl {o. l} C h cioè r /] = re Il. /I
In particolare vediamo che S] non è semplicemente connessa. Poiché S] è
OITlotopicarncnte equivalente a R 2 \ {O}, si ha anche:
1r1 (R 2 \ {O}, (], O» == z.
Per calcolare il gruppo fondamentale di altri spazi topologici è utile la seguente
proposIzIone:
16.5 PROPOSIZIONE Siano X, Y .l)azi topologici e Xo E X, Yo E Y. Si ha un
iso/no rfisn'lo:
1r1 (X X Y, (xo, Yo» == 1r1 (X, xo) X 1r] (Y Yo).
DÙnostrazione. Le proiezioni PX : X x Y -+ X, py : X x y --+ Y inducono
omomorfismi:
PX* : 1r] (X x Y, (xo, Yo» --+ 1r1 (X, xo)
PY" : 1r] (X x Y, (xo, Yo» --+ 7r] (Y, Yo)
che definiscono un omomorfismo:
(PX*,PY*): 1r1(X x Y,(xo,Yo» --+ 1f](X,xo) X 1r1(Y,YO)'
Per dimostrare chc questo è un isomorfismo verifichialTIO che possiede un
inverso. Per ogni ([ / J, [g J) E 1r] (X xo) X 1r1 (Y, Yo) definiamo un cappio / x g in
X x Y di base (xo, Yo) ponendo (/ x g)(s) = (/(s), g(s», s E I. È facile verificare
che l'applicazione:
7r} (X, xo) X 7r1 (Y, Yo) --+ 7r1 (X X Y, (xo, Yo»
che manda ([/J, [g]) in [/ x g] è ben definita cd è l'inversa di (px*,Py,J. Il
Abbiamo il seguentc imn1ediato
16.6 COROLLARIO
(a) Il gruppo fonda/nel1tale del toro T 2 = SI X SI è iS(J/nolj'o a Z2.
Cb) Il gruppo ,fol1dalnentale del cilindro R x S I è iso/nor:fo a Z.
In particolare il toro ed il ci1indro non sono semp1icen1ente connessi e non
sono o111comorfi tra loro.

158
Omotopia, Rruppo fondamentale e rivestimenti I Cap. 4
Un sottospazio X dello spazio Y si dice un ritratto di Y se esiste un' applica-
zione continua p : Y -+ X la cui restrizione a X sia ]' identità, cioè sia tale che
p .  = Ix, dove f., : X -+ Y è l'inclusione; un' applicazione p siffatta si dice una
retrazione di Y su X.
16.7 TEOREMA S l non è un ril ratto di 0 2 .
Dimostrazione. Sia  : SI --+ D 2 ]' inclusione. Se esistesse una retrazione p :
0 2 --+ SI si avrebbe:
P* . f.,* = (l s l)* = 11["1(81,1) : 1[1(SI, l) --+ 1[1(0 2 , l) --+ 7r1(SI, l).
Ma ciò è impossibile perché 7rl (SI, 1) == Z, mentre 1ft (D 2 , l) è banale essendo
D 2 semplicemente connesso. 11I
16.8 COROLLARIO (Teorema del punto fisso di Brouwer) Ogni applicazione
continua f : 0 2 --+ D 2 ha abneno un punto fisso, cioè soddLfa f(x) = x per
qualche x E D 2 .
Dinl0Slrazione. Se esistesse una f : D 2 --+ 0 2 priva di punti fissi sarebbe
possibile definire una retrazione g : 0 2 --+ SI ponendo g(x) = y, dove y è il punto
di intersezione di SI con la retta (x, f(x») più vicino ad x (fig. 16.1). Il
Il teorema precedente si estende a on per ogni n > 1, cioè si dimostra che
ogni applicazione continua f : D n --+ D n possiede un punto fisso. Una versione
differenziabile di questo teorema sarà dimostrata nel paragrafo 45 (teorema 45.4).
Questi risultati sono a loro volta casi particolari di altri "teoremi di punto fisso"
(quali ad esempio il teorema del punto fisso di Lefschetz; cfr. Guillemin e Pol1ack
1974) i quali affermano che, sotto opportune ipotesi, un'applicazione continua di
uno spazio in se stesso possiede un punto fisso.
I teoremi del punto fisso sono interessanti perché hanno svariate applicazioni
in matematica. Il seguente risultato ne è un esempio.
Figura 16.1

16 I f..sempi ed applicazioni
159
16.9 TEOREMA Sia A una lnatrice 3 x 3 ad elelnenti nUlnerl reali positivi.
Allora A possiede un autovalore reale positivo.
DÙnostrazione. Sia D = S2 n {(x], X2, X3) : XI > O, X2 > O, X3 > O}. D è
omeomorfo a D 2 e quindi, per il teorema di Brouwer, ogni applicazionc continua
di D in sé ha un punto fisso. Sia F : R 3 ---+ R 3 l'applicazione lineare dcfinita dalla
matrice A. Se x E D allora F(x) ha tutte le coordinatc positive per l'ipotesi su A
e perché le coordinate di x sono tutte non negative. Quindi ponendo f(x) = 11:11
si definisce un'applicazione continua I : D ---+ D. Sia v E D un punto fisso di f;
si ha:
IIF(v)llv = F(v)
e quindi v è un autovettorc di F con autovalore IjF(v)1I > O. Il
Il prossimo risultato che dimostreremo è utile per calcolare il gruppo fonda-
nlentalc in molti casi. Esso è un caso particolare del teorema di Van Kampen, il
quale esprime il gruppo fondamentale di uno spazio della forma X = U U V, con
U, V aperti, in termini dei gruppi fondamentali di U, V c U n V. La dimostrazione
del teorema di Van Kampen va però al di là degli scopi di questo testo; il lettore
intcressato può consultare Greenberg (1967).
16.10 TEOREMA Sia X = U U V, con U, V aperti semplicelnente connessi e
tali che U n V sia connesso per archi. Allora X è semplicelnente connesso.
DÙnostraziolle. Sia Xo E U n V e sia f : I ---+ X un cappio di base Xo. Sarà
sufficiente dimostrare che I è equivalente a un cappio interamente contenuto in
U. Pcr la compattezza di I esistono O = to < t l < ... < t n = 1 tali che, per ogni
i = 1,..., n, f(lti I, ti]) sia contenuto in U o in V. Scegliamo una suddivisione
siffatta tale chc il numero n sia il nlinimo possibile.
Allora feti) E UnV per ogni i. Supponiamo infatti che ad csempio feti) rt: U: al-
lora I(rti hti1) e f([titi+ll) sono contenuti in V, e quindi anche f([ti l,i+d) C V;
n1a allora possiamo omcttcre ti dalla suddi visione, e ciò contraddice la minimalità
di n.
Pcr ogni i = l  . . . , n sia li : I ---+ X l'arco ottenuto riparall1etrizzando la
restrizione di I a [ti-l,ti l, cioè definito come fi(t) = f(l-t)ti l +tti). Per
costruzione fi è un arco interamente contenuto in U oppure in V. Facciamo
vcderc che se fi non è contenuto in U allora è equi valente ad un arco contenuto
in U.
Poiché gli estremi di li appartengono a U n V, per la connessione per archi
di U n V esistono archi a, b in U n V tali che a(O) = Xo, a( 1) = fiCO), e b(O) = Xo,
bel) = fi(l) (fig. 16.2).

160
Omotopia, gruppo fondamentale e rivestimenti I Cap. 4
.1 .
; ' '. .'< e\. . 6J "'"
""\ b
,
I a '/
xo/
f.
I
Figura 16.2
La composIzIone a * li * bO è un cappio in V di base xo; per la semplice
connessione di V questo cappio è equivalente in V, e quindi anche in X, al
cappio costante c Xo ; pertanto li è equivalente in X all'arco aO*b, che è interamente
contenuto in U, essendo addirittura contenuto in U n V. Sia Fi : li :::rcl {o, l} aO * b
un' omotopia che rea1izza l' equi valenza. Ri parametrizzando e incollando le Fi
otteniamo un' applicazione F : I x I -+ X così definita:
( s - ti . l )
F(s, t) = Fi . . ' t
t'l - t'l - l
S E r ti - l, ti J.
Per costruzione F è un'omotopia reI {O, l} tale che F(s, O) = I(s), e F(s, 1) E U
per ogni S E I. Il
16.11 COROLLARIO La sfera sn è selnplicelnente connessa per ogni n > 2.
DÙnostrazione. Sia O < é < l, e siano
U = {x E sn : Xn+l > -e}, V = {x E Sn : Xn+l < .s}.
U e V sono aperti di sn semplicemente connessi perché omeomorfi a D n , e
U n V è connesso per archi. Dal teorema 16.10 segue che Sn è semplicemente
connessa. !!Il
Terminiamo questo paragrafo con una dimostrazione del teorema fondamentale
dell' algebra che utilizza l' omotopia.
16.12 TEOREMA FONDAMENTALE DELL"ALGEBRA Ogni pO/Ù101nio non costante
a coe.f!icienti c0111plessi P(Z) = ao + al Z + . . . + anZ n possiede una radice in C.

16 I Esempi ed applicazioni
161
DÙuostrazione. Possiamo supporre a n = I, cioè che P(Z) = ao + al Z + . . . + zn
sia monico di grado effettivo n > l. Sia:
Q(T) = ao +  T + . . . +  T n - l + T n
c n c n - l C
dove c E C è una costante non nulla. Per ogni t E C si ha:
P(ct) = cnQ(t)
e quindi un numero complesso t è radice di Q(T) se e solo se ct è radice di P(Z).
Pertanto ai fini della dimostrazione del teorema non è restrittivo sostituire P(Z)
con il polinomio Q(T); inoltre se scegliamo c in modo che lei  O i coefficienti
di Q(T) soddifano:
I ao I I a l I I an l I
c n +  +... +  < l.
Pertanto, salvo sostituire P(Z) con Q(T) per un opportuno c, possiamo supporre
che P(Z) soddisfi la condizione:
I ao I + I a l I + . . . + I a n - 11 < J.
Faremo vedere che P(Z) possiede una radice nel disco unitario D 2 . Supponiamo
per assurdo che P(z) =I- O per ogni z E D 2 . Allora P definisce un' applicazione
continua
p : D 2  C\ {O}
la cui restrizione a Si
q : SI  C\ {O}
è omotopa a una costante (cfr. esempio 13.2(2». Per ogni (z, t) E Si X I poniamo:
F(z, t) = zn + t(a n _ l zn - l + . . . + al z + ao).
Si ha
IF(z,t)1 > Iznl-It(an _lZn -l +...+alz+ao)1 >
> ] - t ( I a n - l Z n-Il + . . . + I aO I) =
= 1 - t(laol + lall + . . . + la n Il) > O.
Pertanto F : S l X I  C\ {O} dcfinisce un' omotopia tra l'applicazione zn : S l 
 C\ {O} e q, e quindi zn è omotopa a una costante. D'altra parte zn : SI -t C\ {O}
è la composizione di zn : S l  S l con l'inclusione SI -+ C\ {O}: la prima

162
Omolopia, gruppo fondamentale e rivestimenti I Cap. 4-
applicazione induce l' omomorfismo
1[1(8], 1)  1r1(SI, 1),
"moltiplicazione per n", che è diverso da zero, mentre l'inclusione SI  C\ {O}
induce un isomorfismo di gruppi fondamentali perché è un' equivalenza omotopica;
quindi
(zn)* : 1r1 (SI, l)  1rl (C\ {O}, l)
è non nullo e zn non è omotopa ad una costante. Abbiamo ottenuto una contrad-
dizione e il teorema è dimostrato. !Il
17 Rivestimenti
Un'applicazione continua di spazi topologici p : R  X è un rivestinlento se
è suriettiva e se ogni x E X possiede un intorno aperto U x tale che p l (U x ) sia
unione disgiunta di aperti ognuno dei quali viene mandato da p omeomorficamente
su U x . Un aperto U x con tale proprietà si dice ben ricoperto.
È ovvio che ogni rivestimento è un olneomorfisnlo locale. Il viceversa è
falso perché un omeomorf1smo locale non è in generale suriettivo: ad esempio
un'immersione aperta A C X è un omeomorfismo locale ma non è un rivestimento
se A"1 X. L'applicazione E : R  SI, E( x) = e 27rix , è un rivestimento; la sua
restrizione a un qualsiasi aperto proprio di R è un omeomorfismo locale ma non
è un rivestimento.
U 11 altro esempio di rivestimento è la proiezione naturale T : sn  pn.
Il lemnla seguente descrive alcune proprietà generali dei ri vestimenti.
17.1 LEMMA Sia p : R  X un rivesti/nenlo.
(a) Per ogni aperto U C X, la restrizione PU : p - l (U)  U è un rivestinlento.
(b) Se Y è una cOfnponente connessa di R e X è connesso e /ocalnIente
connesso, la restrizione q : Y  X è un rivestÙnento.
Cc) Per ogni x E X P I (x) è un sottospazio discreto di R.
(d) Se X è connesso e locabnente connesso e se per qualche x E X P ](x)
è un insielne finito costituito da n punti, ciò è vero per ogni altro punto
x' E X. Il nUlnero n si dice grado del rivestimento p.
D i,nost ra zi on e
( a) è lasciata al lettore.
(b) Dalla definizione di rivestimento segue che anche R è localmente connesso.

/7 I Rivestimenti
163
Poiché Y è aperto in R (cfr. eserCIZIO 11.10) e p è aperta, p(Y) è aperto in X.
D'altra parte, sia x E p(Y) e sia U x un intorno connesso di x ben ricoperto. Si
ha p l (U x ) n Y # 0 perché U x n p(Y) # 0 e quindi Y contiene qualche componente
connessa di p l (U x ) che viene nlandata da p omeomorficamente su U x . In parti-
colare x E p(Y), cioè p(Y) è anche chiuso. Poiché X è connesso, p(Y) = X, cioè
q è suriettiva. L'esistenza di intorni ben ricoperti di ogni punto si verifica subito.
(c) Sia U C X un aperto ben ricoperto contenente x. Ogni r E p l (x) è
contenuto in un aperto V r mandato da p omeomorficamente su U, e quindi non
contenente alcun altro r ' E p 1 (x).
(d) Sia Z C X il sottoinsieme CostItUIto dai punti z E X tali che p ] (z)
consiste di n punti. Z # 0 perché x E Z. Sia z E Z e U z un intorno connesso di z
ben ricoperto. Poiché p- l (z) consiste di n punti, p ] (U z ) possiede n cOIllponenti
connesse, e quindi p - I (z') consiste di n punti per ogni z' E U z cioè U z C z:
pertanto Z è aperto. D'altra parte, se t E Z , e se U t è un intorno connesso di t
ben ricoperto, U t n Z # 0 e quindi, ragionando come prima, si deduce che U t C Z:
in particolare t E Z e quindi Z è anche chiuso. Poiché X è connesso, si ha
Z = X, cioè l'asserto. Il
Per comodità, nel seguito di questo paragrafo considereremo coppie (X, xo)
costituite da uno spazio topologico X e da un suo punto xo; chiameremo una
coppia siffatta spazio topologico puntato (o con punto base); un 'applicazione
continua (un olneonlorjisnlo, un rivestÙnento, ecc.) di spazi topologici puntati I :
(X, xo) ---7 (Y, Yo) è un' appJicazione continua (un omeomorfismo, un rivestimento,
ecc.) t : X -4 Y tale che I(xo) = Yo.
Dimostreremo una serie di risultati che mettono in relazione il gruppo fonda-
mentale di uno spazio con i suoi rivestimenti. La teoria che svilupperemo è basata
su opportune generalizzazioni dei lemmi 16.1 e ] 6.2.
17.2 TEOREMA (di unicità del sollevamento) Siano p : (R, ro) ---7 (X, xo) un
rivestinzento e t : (Y, Yo) -4 (X, xo) un'applicazione continua di spazi lopologici
puntati con Y connesso. Se esiste un'applicazione continua l' : (Y, Yo) ---7 (R, ro)
tale che p' l' = t (cioè un sollevamento di f), essa è unica.
Dimostrazione. Supponiamo che l'' : (Y, Yo) ---7 (R, ro) sia un altro sollevamento
di f. Siano
A = {y E Y : l' (y) = t" (y ) }
B = {y E Y : t' (y ) # t" (y ) } .
Si ha Y = A U B, A n B = 0, e A#0 essendo ,Un E A. Dimostreremo che sia A
che B sono aperti: da ciò seguirà che B = 0 e che A = Y perché Y è connesso.

164
Omotopia, gruppo fondamentale e rivestimenti I Cap. 4
Sia f} E Y e sia U C X un intorno aperto di I(f}) ben ricoperto. Se y E A il punto
l' (f}) = l'' Cf}) appartiene a un aperto V di R mandato da p ol11eomorficamente su
U; sia q : U  V l'omeomorfismo inverso. Allora j' - I (V) n f" - I (V) è un intorno
aperto di f} contenuto in A perché per ogni y E j' I (V) n j" I (V) si ha:
j'(y) -= q(f(y») = f"(y);
pertanto A è aperto.
Se f} E B allora i punti f' (f}) ed j" (f}) di R appartengono ad aperti disgiunti
V' e V" rispettivamente, mandati da p ol11eomorficamente su U. Allora f' I (V')n
nf" - l (V") è un intorno aperto di fj contenuto in B, e quindi B è aperto. .
17.3 TEOREMA (di sollevamento degli archi) Siano p : (R, ro)  (X, xo) un
rivestimento e a un arco in X di punto iniziale Xo. Esiste un unico arco ao 1n
R di punto iniziale ro tale che p' a() = a; ao si dice sollevamento di a.
Dimostrazione
Esistenza. Supponiamo dapprima che X sia ben ricoperto; SIa V C R un
aperto contenente ro Inandato da p omeomorficamente su X e sia q : X ---+ V
l'omeomorfismo inverso. Allora a' = q . a è un sollevamento di a.
Passiamo al caso generale. Poiché I è compatto ed a è continua, possiamo sud-
dividere I in sottointervalli [to, td, lt" t2], ..., [t n -}, tnJ, O = to < tI < . . . < t n = 1
tali che a(lti. l, ti D sia contenuto in un intorno ben ricoperto di a(ti l) per ogni
i = l, . . . , n. Ragionando come nella prima parte della dimostrazione vediamo che
esiste al : [to, tI l ---+ R continua tale che al (O) = TO e p' al = allo,tl1' Procediamo
per induzione su i: supponiamo di aver definito ai : [O, ti l ---+ R continua tale
che ai(O) = ro e p' ai = allo,til' Nuovamente, ragionando come nella prima
parte della dimostrazione possiamo sollevare al 1 t ntt ...11 a un' applicazione continua
(J1: : [ti, ti+d  R tale che (Ji(ti) = ai(ti) e p. (Ji = a!tti,t J +!1' Incollando ai con ai
otteniamo Q;i+1 : [O, t 1 :+ I ] ---t R continua tale che ai+1 (O) = To e p' ai+l = al[O,tt+ll'
Allora l'arco a' = a n è un sollevamento di a.
Unicità. Segue dal teorema 17.2. /I
Ovviamente il sollevamento ao dipende dal punto iniziale ra. Per ogni altra
scelta di r E p l (xo) il teorema fornisce un diverso sollevamento a di a di punto
iniziale r.
17.4 TEOREMA (di sollevamento dell' omotopia) Siano p : (R, ro) ---t (X, xo) un
rivestimento, a un arco in X di punto iniziale Xo ed a' = a() il sollevan1ento di
a. Per ogni o1notopia F : I x I ---t X tale che F(s, O) = a(s) per ogni s E I esiste
un 'unica olnotopia F' : I x I ---t R tale che p' F' = F e F'(s, O) = a'(s) per ogni
sEI.

17 I Rivestimenti
/65
Dilnostraziolle. La dimostrazione è molto simile a quella dcl lemma 16.2. Per
ogni S E I sia Fs : I --t X l'arco di punto iniziale a(s) definito da F.e;(t) = FCs, t).
Per il teorema 17.3 esiste un unico sollevan1ento F : I --t R di Fs tale che
F(O) = a'(s). Definialllo F' : I x I -+ R ponendo F'(s, t) = F(t) per ogni
(s, t) E I x I. L'applicazione F' soddisfa p' F' = F e F'(s, O) = a'(s) pcr ogni s E I;
inoltre F' è unica con queste proprietà, per l'unicità dei sollevamcnti F.. Resta
da verificare che F' è continua.
Poiché I x I è compatto e F è continua, anche FCI x I) è compatto; gli aperti ben
ricopcrti di X costituiscono una base, e quindi esiste una famiglia finita di aperti
ben ricoperti {U],..., UN} che ricopre F(I x I). Gli aperti F-- I (U I ), . . . , F I (U N)
ricoprono I x I. Siano O = So < SI < . .. < sm = 1 e O = t o < ti < . . . < t n = 1 tali
che per ogni j = 1, . . . , m, i = 1, . . . , n si abbia r sii, si l x [ti - I, ti] C FU l (U k) per
qualche k.
Pcr ogni j = l, . . . , m, F'(lsj - I, si l x [O, tI]) è un sottoinsieme connesso di R
pcrché gli insiemi F'( {s} X [O, tIl) = F(rO, td), s E [S} h si J , sono connessi e in-
tersecano l'insieme conncsso F' C[ si - I, s} l x {O}) = a' ([ Sii' si J). Quindi, avendosi:
p( F' C [ S j - I , si J x [O, t I ]» = F (r S) I, S} l x [O, t d) C U k
per qualche k, F'Clsj - l, SjJ x [O, tIl) è contenuto in un aperto Vk n1andato da p
omeomorficamcntc su U k; pertanto:
.Fj'[Sj I.S]]X[OtIJ = (PIV k ) l. FìIS} I,S]]X[o.tll
è continua. Pcr incolIamcnto segue che lI'Ix[o,td è continua. Per induzione suppo-
niamo di aver dimostrato che lI'Ix[o,t z l è continua per qualche 1 < i < n - l. Per
ogni j = l,..., m, F'([si ], S}] X [ti, ti+d) è un sottoinsieme connesso di R perché
i sottoinsiemi
F' ( { s} x r ti, t i + l ]) = F:: ([ t i, t i+ Il ) , s E [s j -- I , S j l ,
sono connessi e intersecano F'([sj l, SjJ x {ti}), anch'esso connesso per l'ipotesi
induttiva. Da ciò seguc come prima che  I ' [ _ J lt t J è continua, e per incolla-
s] - ] ,s] X n HI
mento anche lI'I x lt t ,t z +d lo è. Di nuovo per incollamento deduciamo che Fì'Ixlo,ti+d
è continua, e quindi F' è continua. Il
17.5 COROLLARIO Siano p : (R, TO) -+ (X, xo) un rivestÙnento e a, {3 due archi
in X di punto iniziale Xo. Se a rel {n,I} {3 allora i loro sollevamenti soddisfano
ao rel {o.]} {3o. In particolare ao (1) = {3() (l ).
Dimostrazione. Sia F : a rel {O,l} {3 un'omotopia relativa e sia F' : I x I  R
il suo sollevamento. Si ha F' (s, O) = a' (s) per ogni S E I; inoltre F' (O, t) = TO per

166
Omolopia, gruppo fondamentale e rivestimenti I Cap. 4
ogni t E I perché FJ : I  R è il sollevamento dell'arco costante Fo : I  X,
Fo(t) = F(O, t) = Xo; similmente F'(I, t) = ao(l) per ogni t E I perché F{ : I  R
è il sollevamento dell'arco costante FI : I  X, FI(t) = F(l,t) = a(l). Quindi
F' è un'omotopia relativa a {O, l}. Inoltre F'(s, 1) = f3o(s) per ogni s E I perché
F'(O, 1) = TO e F(s, ]) = f3(s). Quindi F' : a() rcl {o, l} f3(). Il
17.6 COROLLARIO Se p : (R, TO)  eX, xo) è un rivestimento, l' 01110morjislno
indotto P* : 7r1 (R, T()  7rl (X, xo) è iniettivo.
Dimostrazione. Se l' è un cappio in R di base ro tale che p' l' ""' rei {o l} C Xo '
cioè tale che p*(f/'l) = [cxoL allora segue dal corolIario 17.5 che l' :::rel{o,l} Cro,
cioè [l'J = [cro]' Il
Consideriamo un rivestimento p : R  X e un cappio a : I  X di base un
punto Xo E X. Per ogni r E p I (xo) il sollevamento a : I  R è un arco di punto
iniziale r il cui punto finale a( 1) dipende solo da r e da r a l E 7rl (X, xo), per il
corollario 17.5, e appartiene a p I (xo). Si ottiene in questo modo un' applicazione:
p - ] (xo) X 7r] (X, xo)  p-l (xo)
( r, l a J)  a e 1 ).
[17.11
17.7 PROPOSIZIONE Sia p : R  X un rivestinlento e Xo E X. La r 17.11
definisce un'azione di 7r1 (X xo) su p-I (xo):
r[aJ = a(I)
In cui lo stabilizzatore di un punto ro E p I (xo) coincide con il sottogruppo
p*(7rl(R, ro» di 7r1(X, xo). L'azione è transitiva se e solo se p- I(xo) è contenuto
ln una cOlnponente connessa per archi di R.
DÙnoslrazione. La proprietà T[C xo l = T per ogni T E P l (xo) è ovvia. La verifica
del fatto che T([ a H(31) = (r[a])[f3) per ogni [a], [f3] E 7r] (X, xo) e r E p l (xo) è
lasciata al lettore.
Affinché r al E 1ft (X, xo) stabilizzi il punto TO E p- l (xo) è necessario e sufficiente
che si abbia D:o (1) = TO, cioè che ao sia un cappio di base TO; poiché D: = P . ao'
ciò significa che [aJ E P*(7rl (R, ro». L'ultima asserzione è conseguenza del fatto
che ogni arco di estremi due punti TO, TI E P l (xo) è della forma ao per qualche
cappio a : I  X di base Xo (la sua proiezione). Il
L'azione descritta dalla proposizione precedente è chiamata lnonodrolnia del
rivestimento p sulla fibra p l (xo). La monodromia associa ad ogni [a] E 7r1 eX, XO)
una biezione dell 'insieme p- ] (xo) in sé stesso, cioè una permutazione di p ] (x().

18 I Rivestimenti universali
167
L'insieme delle permutazioni di p ] (xo) così ottenute costituisce un sottogruppo del
gruppo di tutte le permutazioni di p- I (xo), che si chiama gruppo di nlonodr(J1nia
del rivestimento p nel punto Xo.
17.8 COROLLARIO
(a) Sia p : (R, TO)  (X, xo) un rivestÌ/nenio di spazi topologici puntati, con R
connesso per archi. C'è una corrispondenza biunivoca naturale tra l'insienle
p l (xo) e !'insienze delle classi laterali destre di P*(7r] (R, TO» in 7r1 (X, xo).
Quindi se p l (xo) è finito la sua cardinalità è uguale all'indice di P*(7r1 (R, ro»
in 7r] (X, xo).
Cb) Sia p : R  X un rivestÙnento tale che R sia connesso per archi. Allora
tutte le fibre p - ] (x) hanno la stessa cardinalità.
Dbnost razione
(a) La corrispondenza è indotta dall'azione [17.1 J e associa a una classe laterale
p*(7rI(R,ro»[O:] l'elemento rolo:J = O:o(l). La biunivocità segue dalla proposizione
17.7.
(b) Siano Xo, XI E X, To E p-I(XO)' TI E p-l (x]), sia 0:': I --+ R un arco tale
che 0:'(0) = ro, 0:'(1) = TI, e sia o: = p . 0:' : I --+ X. È immediato verificare che il
diagramma:
7r a' : 7r1 (R, ro) --+ 7r1 (R, TI)
P* l P* l
7r a : 7rl (X, XO) --+ 1r1 (X, XI)
è commutativo. Pertanto l'isomorfìsmo 1ra manda il sottogruppo P*(1rj (R, ro» sul
sottogruppo P*(1rI (R, TI», e quindi induce una biezione dell'insieme delle classi
latcrali destre di P*(7r1 (R, TO» su quello delle classi laterali destre di P*(7r1 (R, r] ».
Il
Esercizio
1. Siano p : R ---+ X, q : S ---+ Y rivestimenti. Dimostrare che l'applicazione p x q : R x S ---+
---+ X X Y, (p x q)(r, s) = (p(r), q(s», è un rivestimento.
18 Rivestimenti universali
Uno spazio topologico T si dice [ocalnIente connesso per archi se ogni punto
t E T possiede un sistema fondamentale di intorni aperti connessi per archi.
/n questo paragrafo tutti gli spazi che considereremo si supporranno implici-
tal1lente connessi per archi e locabnente connessi per archi.

168
Omo{opia, gruppo fondamentale e rivestimenti I Cap. 4
18.1 DEFINIZIONE Un rivestimento p : R ---+ X in cui R è semplicemente
connesso è detto un rivestimento universale di X.
Un esempio di rivestimento universale è l'applicazione
E : R  S], E (x) = e 21rÌx
che abbiamo studiato nel paragrafo 16.
18.2 PROPOSIZIONE Sia p : (R, ro)  (X, xo) un rivestÙnento universale di
spazi topologici puntati. C'è una corrispondenza biullivoca naturale tra p- l (xa) e
7rl(X, xo).
Dimostrazione. È un caso particolare del corollario 17.8. Il
18.3 Esempio
Sia pn lo spazio proietti vo reale di dimensione n > 2, e sia T : sn --+ pn la
proiezione naturale. T è un rivestimento e, poiché sn è semplicemente connessa,
T è un rivestimento universale. Per ogni p E pn la fibra T l (p) consiste di due
elementi: segue dalla proposizione 18.2 che 7rl (pn) è un gruppo costituito da due
elementi. Quindi' 7r] (pn) '::::! Zj2. Invece pl è omeon10rfo a SI e quindi 7r) (Pl) == Z.
In particolare pn non è semplicemente connesso per ogni n > 1.
La proposizione 18.2 mette in evidenza una proprietà importante dei rivesti-
menti universali. Anche il prossimo risultato ha conseguenze importanti nel caso
particolare dei rivestimenti universali.
18.4 TEOREMA Sia
(R, ra)
!p
f : (Y, Yo)  (X, xo)
[18.1]
un diagralnlna di applicazioni continue tra spazi topologici puntati, con p un
rivestimento. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
(a) esiste un sollevamento g : (Y, Yo) --+ (R, ra) di f;
(b) f*(7r] (Y, Yo» C P*(1r] (R, ro».
Dimostrazione
(a)  Cb) Segue dalle proprietà funtoriali del gruppo fondamentale.
(b) =.} (a) Definiamo g nel modo seguente. Per ogni y E Y sia o: : I --+ Y un

18 I Rivestimenti universali
169
arco tale che a(O) = Y(h a( 1) = Y; l'arco f. a : I -+ X soddisfa (f. a)(O) = Xo,
(f . 0:)( 1) = I(y); sia (f. a)o : I -+ R il suo sollevamento di punto iniziale ro.
Poniamo g(y) = (f . a)o(l).
Verifichiamo che g è ben definita. Se (3 : I -+ Y è un a1tro arco tale che
(3(0) = Yo, {3C 1) = y allora a * {30 è un cappio di base Yo e f(a * (30) è un cappio in
X di base Xo. Per ipotesi lf(a * {30)J E P*(7r1 (R, ro» e quindi f(a * (30) si solleva a
un cappio di base ro (proposizione 17.7). Ciò significa che i sollevalnenti di I. a
e di f. (3 hanno lo stesso punto finale, cioè che (f. a)o (l) = (f . {3)() (1), e quindi
g è ben definita.
g è continua. Sia infatti y E Y, e sia, come nella prima parte della dimostrazione,
o: : I -+ Y un arco tale che a(O) = Yo, a( 1) = y; sia U C R un intorno aperto di
g(y), che possiamo supporre essere mandato da p omeomorficamente sull' ape110
p(U), e sia V C Y un intorno aperto di y connesso per archi tale che f(V) C p(U).
Per ogni y' E V esiste un arco (J : I -+ V tale che (J (O) = y, (J ( 1 ) = y': poiché a * (J
è un arco di punto iniziale Yo e finale y', si ha g(y') = (/C a * (J ) )o (1) = (f . (J )(y)( l),
e questo punto appartiene a U perché f. (J è contenuto in p(U) e (f. (J )(y)(O) E U.
Quindi g(V) C U, e pertanto g è continua in y; per l'arbitrarietà di y E Y ciò
dimostra che g è continua. 11I
18.5 COROLLARIO
(a) Sia dato un diagranlnlu [18.1 J di applicazioni continue tra spazi topologici
puntati, con p un rivesfÙnento. Se Y è senlplicemente connesso allora un
sollevamento g di f esiste.
(b) Se p : (R, ro) -+ (X, xo), q : (T, to) -+ (X, xo) sono due rivestinlenti universali
di X, esiste un unico 01ne01110rfismo <I> : (R, ro) -+ (T, to) tale che q. cI> = p.
DÙnostrazione. La (a) è evidente. Dimostriamo la (b). Il teorema 18.4 applicato
prima al rivestimento q e poi al rivestimento p implica l'esistenza di cI> : (R, ro) -+
---t (T, t o ) e di \}J : (T, to) -+ (R, ro) tali che q' <I> = p e p . '¥ = q, e quindi tali che
q . <l> . \}J = q, p. \}J · <I> = p. Per l'unicità del sol1evamento (teorema 17.4) applicata
ai diagrammi
(T, t o )
L q
q : (T, t o ) -+ (X, xo)
e
(R, ro)
Lp
p : (R, ro) -+ (X, XO)

/70
Om%pia, f?ruppo fondamentale e rivestimenti I Cap. 4
rispetti vamentc, si ha <p. 0/ = l T, qt. <I> = l R, e quindi <P e \fJ sono omeomorfismi
inversi uno dell'altro. L'unicità di <P segue ancora dal teorema 17.4. 11I
Dal corollario 18.5(b) segue dunque che un rivestimento universale di uno
spazio X, se esiste, è unico a meno di omeomorfismo. Un caso particolare della
(a) del corollario 18.5 è la seguente:
18.6 PROPOSIZIONE (Proprietà universale dei rivestimenti universali) Sia p :
(R, ro) ---t (X, xo) un rivestÌ1nento universale. Per ogni rivestÙnento q : (Y, Yo) ---t
---t (X, xo) esiste un 'unica applicazione continua g : (R, ro) ---t (Y, Yo) tale che
q . g = p, e g è un rivestÙnento.
DÙnostrazione. Resta solo da dimostrare che g è un rivestimento; la verifica è
un semplice esercizio che lascialllo al lettore. !Il
Un caso particolare della proposizione 18.6 è il seguente:
18.7 COROLLARIO Se g : (R, ro) ---t (X, xo) è un rivestÙnento, con X se111pli-.
celnente connesso, al/ora g è un (J1neonUJrjislno.
Vogliamo ora occuparci del problema del1'esistenza del rivestimento universale
di un dato spazio topologico X.
Osserviamo innanzitutto che se p : R --+ X è un rivestimento universale e
V c X è un aperto ben ricoperto, allora per ogni cappio a : I ---t V esiste
un'omotopia reI {O, l} in X tra a e un cappio costante: infatti a si solleva a un
cappio a' in R il quale, per la semplice connessione di R, è omotopo reI {O, l}
ad un cappio costante e l'omotopia induce un'omotopia in X tra a e un cappio
costante. Pertanto X soddisfa la seguente condizione:
Ogni punto x E X è contenuto in un aperto V tale che ogni cappio di base x
contenuto in V è omotopo reI {O, l} in X al cappio costante c x .
U no spazio X soddisfacente questa condizione si dice [ocabnente senlplicelnente
C011nesso. Quindi una condizione necessaria affinché X possieda un rivestimento
universale è che X sia localnlentc semplicemente connesso.
18.8 Esenzpio
Sia X = U C n C R 2 , dove C n C R 2 è la circonferenza di centro il punto
n
(  , o) e raggio  (fig. 18.1). Questo spazio è connesso per archi e localmente
connesso per archi, ma non è locahnente semplicemente connesso perché la
condizione della definizione non è soddisfatta nell' origine. Quindi X non possiede
un rivestimento uni versale.

/8 I Rivestimenti universali
/71
Figura 18.1
Dimostreremo ora un teorema di esistenza per i rivestimenti.
18.9 TEOREMA Se X è uno spazio connesso pera rchi, /ocabnente connesso
per archi e locabnente se11'lplicelnente connesso allora X possiede un rivesti/nenlo
un ive rsale.
Dimostrazione. Fissiamo Xo E X. Sia A(X; xo) l'insieme degli archi in X
aventi per punto iniziale Xo e sia "",," la relazione di equivalenza, già introdotta
nel paragrafo 14: a  (3 se a e (3 sono omotopi relativamente a {O, l}. In parti-
I Il l ) l S . R A(X; xo) l ,. . .
co are se a '"'-' (3 a ora a( = (3(). la = InSIeme quozIente e per
..........,
ogni a E A(X; xo) sia [a] E R la classe di equivalenza di a. Definiamo p : R -io X
ponendo p(laJ) = a(I). Introduciamo una topologia in R assegnandone una base
nel modo seguente. Per ogni [aJ E R e per ogni aperto V C X contenente p(laJ)
SIa
l a, V] = {[ a * (3 J : (3 arco in V di punto iniziale a( l)} C R.
Ovviamente a E la, V] e gli insiemi la, V] ricoprono R. Inoltre, se l(3] E
E [al, Vd n [a2, V 2 ] allora [f1] E l(3, VI n V 2 ] C la!, Vd n [a2, V:d; quindi [a" V,l n
n[a2, V 2 1 è unione di insiemi [a, V]. Pertanto la famiglia di insiemi {[ a, V]} è
base di un' unica topologia su R.
p è continua: sia U C X un aperto e sia a E p- l (U). Allora [a, Ul è un aperto
di R contenente a e pela, Un C U; dunque p è continua.
p è aperta: infatti p([ a, Vl) è la componente connessa per archi di V contenente
p(a): pertanto pela, Vl) è aperto in V e quindi in X perché V, come X, è
localmente connesso per archi.

172
Omotopia, gruppo fondamentale e rivestimenti I Cap. 4
p è un rivestilnento: sia x E X e sia U un aperto contenente x, connesso per
archi e tale che ogni cappio in U di base x sia omotopo reI {O, l} al cappio costante
c x . Per ogni a E p I(U) si ha p(la UJ) = U. Inoltre se [a*{j], [a*{1'l E fa, U] sono
tali che p([a*{1J) = p([a*{1']) allora iJ(l) = iJ/(l) c, per la scelta di U, {1 rcl {o1} {1';
quindi r a * {3] = r a * {1'1. Pertanto la restrizione di p a la, U J è biunivoca su U
oltre che continua ed aperta. Dunque p manda [o:, Ul omeomorficamentc su U.
Pertanto, poiché p ] (U) è unione disgiunta degli aperti la U], U è ben ricoperto
c quindi p è un l'i vesti mento.
R è connesso per archi. Sia [cxoJ E R la classe del cappio costante in Xo. È
sufficiente costruire, per ogni [a l E R, un arco in R di punto iniziale lc xo l e punto
finale [a]. Poniamo as(t) = a(st) per ogni s, t E I. L'applicazione a: : I  R,
cPa(s) = [a s ], soddisfa cPa(O) = [cxoJ, <Pa(l) = [al, p' cPa = a. Inoltre cPa è continua:
per ogni s E I e per ogni intorno aperto V di a(s) = P(<Pa(s», sia e > O tale che
a«s -, s + e» C V; si verifica subito che <Pa:(s - e, s + e» C [<pa:(s), VJ = [O:s, V],
e quindi <Pa è continua.
R è selnplicelnente connesso. Sia <P : I  R un cappio di base [c xo l e sia a = p.cP.
Per l'unicità del sollevamento si ha <P = <Pa:. Quindi la] = cjJ(l) = [c xo ] perché cP è un,
cappio. Ne discende che a "-J C Xo e quindi anche <P è omotopicamente equivalente
al cappio costante di base r CXo l per l'iniettività di P* : 7r1 (R, r C Xo D  7rl (X, Xo). Il
Le ipotesi del teorema 18.8 sono in particolare soddisfatte dalle varietà topo-
logiche connesse. Quindi deduciamo il seguente
18.9 TEOREMA Ogni varietà topo[ogica cOllnessa possiede un rivestinlellto
universale.
Ad esempio il toro T 2 = SI X SJ possiede il rivestimento universale:
p : R 2  T 2
p(x, y) = (E(x), E(y» = (e 21rix , e 21riy )
(cfr. esercizio 17.1).
La sfera sn, n > 2, essendo semplicemente connessa, è rivestimento universale
di se stessa, cioè ha come rivestin1ento universale l'identità sn  sn.

Capitolo 5
Varietà differenziabili
In questo capitolo abbandoneremo la generalità della topologia per passare a
considerare le varietà differenziabili studiandone le principali proplictà. La nozione
di varietà differenziabile è una delle più importanti di tutta la matematica. Molti
degli spazi topologici che abbiamo considerato nei capitoli precedenti sono esempi
di varietà differenziabili, e ora li tratteremo in modo diverso utilizzando strumenti
del calcolo differenziale di più variabili.
19 Funzioni e applicazioni differenziabili - Varietà
In questo paragrafo introdulTemo alcune nozioni di calcolo differenziale di più
variabili reali che vengono utilizzate nello studio delle varietà differenziabili. Ci
limiteremo ad alcuni richiami che hanno soprattutto lo scopo di fissare notazioni
e terminologia. Per maggiori dettagli rinvieremo il lettore ai testi di Analisi
I\1atematica, nei quali questi argomenti vengono sviluppati in modo sistematico e
approfondito.
Denoteremo con U l, . . . , Un le funzioni coordi nate in R n . Sia U un aperto di
R n , a = (aI,..., a n ) E U, v E R n e sia F : U -+ R una funzione. La funzione
con1posta:
t  a + tv  F(a + tv)
è definita in un intorno di O E R. La sua derivata in O, cioè il limite
l . F(a + tv) - F(a)
1m
t-+o t
se esiste, si dice derivata direzionale di F in a nella direzione v, o rispetto a v,
e si denota v(F)a.

/74
Varietà diflerenziabili I Cap. 5
Se v = ej, il j-esimo vettore della base canonica, la derivata direzionale ej(F)a
si dice j-esÙna derivata parziale di F in a, o anche derivata parziale di F in a
. d . d h 8F
rIspetto a Uj, e SI enota anc e _ 8 (a).
u.
}
19.1 PROPOSIZIONE Siano U C R n un aperto, a E U, v, w E R n , F, G :
U  R funzioni, e a, bER. Valgono le seguenti identità ogni volta che prÙno e
secondo lnelnbro esistono:
(av + b\\')(F)a = av(F)a + bw(F)a
v(aF + bG)a = av(F)a + bv(G)a
[19.11
v(FG)a = v(F)aG(a) + F(a)v(G)a
La din10strazione è lasciata al lettore.
Una funzione F : U  R sarà detta di e/asse C(O) in U se è continua in U,
di classe C(I) se è continua e tutte le S1J_ dJriY_l t;:ntfziali pim_e:.iJQDO in 9g[l}_
p un .t9 di U  sono funzioni continue in U. Le derivate parziali seconde, terze ecc.
di F si definiscono induttivamente. F sarà detta di classe C(k), k > O, in U se è
di classe C(O) e tutte le sue erivate parziali di ogni ordine minore o uguale a k
esistono in ogni punto di U e sono funzioni continue in U. F è di classe C(DO)
se è di classe C(k) per ogni k > O.
Ovviamente, se F è di classe C<k) in U, F è anche di classe C(h) in U per
ogni O < h < k.
Se F è di classe C<k\ k > 2, la sua derivata parziale di ordine h < k eseguita
rispetto alle variabili Ui l' ui 2 ,..., ui h nel punto a E U si denota
ahF
(a).
aUi I aU 1 : 2 . . . aUi h
Per funzioni di classe C(k) le derivate parziali successi ve sono indipendenti
dall' ordine in cui vengono eseguite; cosicché ad esempio, se k > 2 si ha:
a 2 F (a)= a 2 F (a)
au.au' 8u .au'
'l} } 'l
per ogni i =I- j e a E U.
Se U C R n è un aperto cF: U  Rrr è un'applicazjQne, per ogni x E U SI
ha:
F(x) == (F, (x), . . . , Fm(x»
dove FI".', F:;;,.,,;: U  R sono le .funzioni coordinate (o c()lnp0n.,nti) di f. Diremo
F di classe C(k) in U se le funzioni F j , . . . , F m sono di classe C<k)- in U; similmente
diremo F di classe C(OO) in U se F"..., Fm soo di classe C(ro) in U.

19 l Funzioni e applicazioni differenziabili - Varietà
/75
Un fatto evidente, che va però sottolineato, è che la restrizione di un'appli-
cazione F : U ---t R m di classe C(k) (risp. di classe C(DO» a un aperto V C U è
ancora un' applicazione di classe C(k) (risp. C<DO». Inoltre l'identità di R n in sé è
un' applicazione di classe CeDO), e quindi l'inclusione U C R n è di classe C(OO).
Le applicazioni di classe C(k) o C(oo) si possono compon.e. Precisamente, se
U C R n e V C R m sono aperti, F : U ---t R m e G : V ---t RP sono applicazioni di
classe C(k) (risp. C(OO» tali che F(U) C V, allora la composizione G. F : U ---t RP
è una funzione di classe C(k) (risp. C(OO».
Se U, V sono due aperti di R n , una biezione F : U ---+ V si dice un df
.f'eoI110rjìsI11o di classe C(k) (risp. C<OO» se le composizioni F : U ---t V C R n e
F ' : V ---t [I C R n sono entrambe applicazioni di classe C(k) (risp. C(OO». Se un
diffeomorfismo F : U ---t V esiste, anche F- l è un diffeomorfismo e U e V si
dicono diffeol1zor.fi di classe C(k) (risp. C(OO».
È utile estendere le nozioni di applicazione di classe C(kJ o C(OO), a insiemi di
definizione qualsiasi, nel seguente modo.
Sia X C R n un sottoinsieme, e sia F : X ---t Rrr un'applicazione. Diremo F di
classe C(k) (risp. C(OO» in X se per ogni x E X esiste un intorno aperto U x di x
in Rn ed un' applicazione F : U x ---t R m , di classe C<k) (risp. C(OO)") tale che:
Fjxnu x = Flxnu x '
Se X C R n ed Y C R m , un' applicazione F : X ---t Y si dirà di classe CCk)
(risp. C(CO» se la composizione F : X ---t Y C R m è di classe C<k) (risp. C(OO» in
X. F si dirà un dfffeo/norfis111o di classe C(k) (risp. C(OO» se è biettiva e anche
F ] è di classe C(k) (risp. C(OO»; se una tale F esiste diremo X e Y diffeonl0rfi
di classe C(k) (risp. C(OO».
La composizione di applicazioni di classe C<k) o e(CO) definite su insiemi
qualsiasi è ancora di classe C(k) o C(OO), come segue subito dalla de0nizione.
Inoltre, la restrizione di un' applicazione F : X --+ Y a un sottoinsieme X' C X è
di classe C(k) (risp. Cl OO » in X' se F è di classe Ctk) (risp. C(CO).
19.2 DEFINIZIONE Sia X uno spazio topo[ogico. Una coppia (U, 'Pu) dove
U C X è un aperto e 'PU è un olneo11zorfis111o di U su un aperto di R n sì dice
una n-carta locale, oppure un n-sistema di coordinate locali, in X. Due n-carte
locali (U, 'Pu), (V, 'Pv) in X si dicono C(k) -compatibili, oppure differenziabilmente
compatibili di classe C(k) (k > O oppure k = 00) se U n v = 0 oppure se U n v =I- 0
e l'applicazione:
'PV . 'Pu' : 'Pu(U n V) ---t 'Pv(U n V)
[19.21
è un d{ff'eo1110r.fi.nno di classe C<k) (vedi fig. 19.1).
Se (U, 'Pu) è una n-carta locale in X, con abuso di notazione diremo talvolta
che l'applicazione 'PU : U ---t R n è una n-carta ocale in X relativa all'aperto U.

176
Varietà differenziabili j Cap. 5
Scriveremo
<p u (p) = (x, (p), . . . , X n (p) )
dove x G._ ._,-:r-B : U ---t R sono le _ (!:l1J_ioni com ponenti dell' applicazione <pu.: U --+
--+ R n , che chiameremo coordinate locali in U definite da 'PU' Chiameremo talvolta
U un aperto c()ordinatizzato di X. Un aperto contenuto in U è ancora un aperto
coordinatizzato perché la restrizione di una carta locale ad un aperto più piccolo
è ancora una carta locale.
Nel caso k = O la condizione [19.2J è automaticamente soddisfatta perché
'PV . <Pu' è composizione di omeomorfismi e quindi è un omeomorfismo. Quindi
due n-carte locali in uno spazio X sono sempre C(O)-compatibili.
In R le coppie (R, t), (R, t 3 ) sono l-carte locali che }J.g!J sono C(l)-compatibili
perché la funzione \IX, pur essendo un omeomorfisillo di R in sé, non è di classe
CC!) in O.
Si osservi che se due n-carte locali (U, <pu), (V, 'Pv) in X sono C(k) -compatibili
allora sono anche C(h)-compatibili per ogni O < h < k.
Siano (U, <pu), (V, <pv) due n-ca11e locali in X tali che U n V =I- 0, siano
x"..., X n : U  R le coordinate locali definite da CPu, e Yl,..., Yn : V --+ R
le coordinate locali definite da 'Pv. Le componenti dell' applicazione [19.2] sono
funzioni a valori reali sull' aperto <pu(U n V) di R n che si diranno funzioni di
transizione dalle coordinate XI,..., X n alle coordinate YI, . . . , Yn'
<l'v
I
J
<t'v
-1
<t'v . <l' v
l
...
Figura 19.1

19 I Funzioni e applicazioni differenziabili - Varietà
177
19.3 DEFINIZIONE Un n-atlante differenziabile di classe C(k) nello spazio
topologico X è una falniglia di n-carte locali {(U,\  'P >J} AEA tale che {U A} ÀEA sia
un ricoprimento di X e le carte locali (UÀ 'PA) siano a due a due C(k)-compatibili.
Uno spazio topologico di Hausdorff a base numerabile in cui sia assegnato
un n-atlante differenziabile di classe C(k) per qualche intero n > O si dice varietà
differenziabile di classe C(k), se k > 1 oppure k = 00, e si dice varietà topologica
(() di classe' c (O) ) se'--k '=:'0 (cfl: anche esel1zpio 8.11 (6»). L'intero n è la dimensione
della varietà X.
Direnlo anche che l'atlante {(UA, 'PÀ)}ÀEA definisce in X una struttura di varietà
differenziabile di classe C(k) (se k > 1, o k = (0) oppure una struttura di varietà
topologica (se k = O). Scriverenlo dim(X) = n se la varietà X ha dÙnensione n.
È evidente che una varietà di classe C(k) è anche una varietà di classe C(h) per
ogni O < h < k. In particolare ogni varietà differenziabile è una varietà topologica.
D'ora in poi, per semplificare la trattazione, quando parleren10 di d(ffeomorfislni
senz' altro specificare, soUintenderel1zo che si tratti di diffeonzorfis11'zi di classe C(OO),
I1zentre parlando di varietà e di applicazioni differenziabili sottinfenderen1o che
esse siano di classe C(OO). Molte delle cose che diremo si estendono dal caso C(OO)
al caso C(k), per un qualsiasi k > 1.
Le condizioni che lo spazio topoIogico X sia di Hausdorff e soddisfi il secondo
assioma di numerabilità non sono ridondanti (cfr. esempio 8.11(6». Molte pro-
prietà locali delle varietà differenziabili si mantengono senza tali ipotesi, le quali
hanno però lo scopo di escludere esempi patologici assicurando che le varietà
differenziabili non siano oggetti troppo generali (si veda a questo proposito il
successivo 9 29).
DireIIlo che due diversi n-atlanti differenziabili
{(UÀ, 'PA)}ÀEA, {(VjL' 'lj;P,)}P,EM
sono equivalenti, oppure definiscono la stessa struttura di varietà dtJerenziabile
su X se e solo se la loro unione
{(UÀ,'PÀ), (Vp,,1/;p,):ÀEA, J.lEM}
è ancora un atlante differenziabile. Ciò equivale a dire che ogni carta locale
(UÀ, 'P À) è differcnziabilmente c0111patibile con ogni carta locale (Vp,,1/;/1-)'
Da questa definizione segue che per una data struttura di varietà differenziabilc
su X esiste un atla1.te dij]erenziabile lnassÙnale, ottenuto prendendo l'unione di
tutti gli atlanti che definiscono quella struttura. In pratica tutti gli esempi di varietà
differenziabili vengono assegnati mediante un particolare atlante differenziabile,
spesso costituito da un numero finito di carte locali; la nozione di atlante differen-
ziabile massimale è però utile nel trattare questioni generali e nelle dimostrazioni.
Nel considerare una varietà differenziabile sottintenderemo che le carte locali consi-

/78
Varietà dijferel1ziabili I Cap. 5
derate siano elementi di un dato atlante differenziabile. Lasceremo al lettore di
verificare di volta in volta che una data condizione soddisfatta in un dato atlante
è soddisfatta anche in ogni altro ad esso equivalente.
L'esempio più semplice di varietà differenziabile di dimensione n è lo spazio
R rt , in cui la struttura di varietà può essere definita da un atlante costituito un' unica
carta locale: {(R n , l R n ) }.
Ogni aperto U di R n è un esempio di varietà differenziabile di dimensione n
in cui un atlante è costituito da ua sola carta locale {(U,)}, dove  : U  R n è
l'inclusione.
Più in generale ogni aperto A di una varietà differenziabile X è ancora una
varietà differenziabile della stessa dimensione che si dice una sottovarietà aperta
di X. Infatti se {(U À, <p >J} ÀEA è un n-atlante differenziabilc in X, allora la famiglia
{(U À n A, cP ,\!<uAnA)} ÀEA*, dove A * C A è il sottoinsieme costituito dagli indici À
tali che U,\ n A =f 0, è un n-atlante differenziabile in A.
Ogni spazio discreto X è una varietà differenziabile di dimensione O, in cui
le applicazioni {p} -7> RO = {O}, P E X, sono carte locali che costituiscono un
atlante di ffercnziabi le.
Una varietà differenziabile (topo logica) di dimensione 2 è detta superficie
d(tTerenziabile (topologica).
L' il'l}.2ortana delle varietà differenziabili, ......_.lel,.. att'? ce. ad esse è possibile
apJ2Ufare g1i _ strument ed "I risuiiati del calcolo infinitesimale in più variabili
utilizzando le carte ocali per riçondursi allo spazio euclidco. Ad esempio, una
junzione
F:A-+R
definita su un aperto A della varietà differcnziabilc X si dice dijJ'erenziabile se
per ognì carta locale (U, 'Pu) tale che U n A =f 0 la funzione
F . 'Pc/ : 'Pu(U n A) --t R
è differenziabile; si osservi che F. 'Pu l è una funzione delle coordinate U I, . . . , Un
in R n definita nell'aperto CPu (U n A) di R n .
Siano X ed Y varietà diffcrcnziabili, diln(X) = n, dim(Y) = m. Un' applicazione
F:X-+Y
sì dice difJerenziabile, oppure un nlorjiSl110, se per ogni carta locale (U, 'Pu) in X
e per ogni carta locale (V, 1/;v) in Y, la composizione:
1/;v . F . 'Pu' : 'Pu(U) -+ R rn
è differenziabile COIne applicazione dell'aperto 'Pu(U) C R n in R m . F si dirà un
d(ffeol11orfis111o se è un omeomorfismo e se F e F l sono differenziabi1i.

19 I Funzioni e applicazioni d(fferenziabili - Varietà
179
L'identità di una varietà in se stessa è un esempio di diffeomorfismo. Segue
dalla definizione che se F : X  Y è un diffeomorfismo anche F- l : y  X è un
diffeomorfismo. È facile verificare che la composizione di morfismi è ancora un
morfismo. In particolare la composizione di di fTeomorfì.sm i è un diffeomorfismo.
Se esiste un diffeomorfismo F : X  Y diciamo che X è diffeolnolfa ad Y
e le varietà X ed Y si dicono diffeol1101fe. Lo studio delle varietà differenziabili
e delle proprietà che una varietà ha in comune con quelle ad essa diffeomorfe è
l'oggetto della topologia differenziale.
Per le varietà differenziabili di dimensione 1 non useremo il termine "curva"
perché, conformemente alla tradizione, riserveremo questo nome per qualcosa
di un po' diverso. Precisamente, sia X una varietà differenziabile; una curva
d(ff'e renziabile in X è un' applicazione di classe C«(X»):
o::JX
dove J C R è un intervallo (se J non è aperto ciò significa che l'applicazione è
definita c di classe C((X») su un 'intervalIo aperto contenente J). Quindi una curva
differenziabile è un' applicazione; due curve differenziabili diverse possono avere
la stessa immagine.
Esercizi
1. Dimostrare che un' applicazione lineare L : R n  R m è di classe C(OO), e che è un
diffeomorfismo se e solo se è invertibile, cioè n = m e det(L) =1=0. Dimostrare inoltre
che una traslazione è un diffeomorfismo. Dedurre che affinità, isometric c silnilitudini
sono diffeomorfismi.
2. Dimostrare che l'applicazione f : R  R, I(t) = (i è un On1COlTIOrfìslno di classe C(oo)
ma non è un diffeomorfislTIo.
3. Dimostrare che i due atlanti (R, t), (R, t 3 ) su R, pur non essendo equivalenti, definiscono
su R due strutture di varietà differenziabili diffeomorfe.
4. Generalizzando l'applicazione I dell' esercizio 2 definire un olneomorfismo di classe
C(oo) I: R n  R n che non è un diffeomorf1smo.
5. Siano a, bER, con a < b. Dimostrarc che r applicazione
b-a b+a
f : R  R I(t) = -y- tanh(t) + 2
dove
h( sinh( t)
tan t) = -
cosh(t)
e t --- e t
Cl + e t'
definisce un diffeomorfismo di R sull' intervallo (a, b). In particolare, due intervalli
aperti qualsiasi di R sono diffeomorfì. Verifìcare se romeonlorfisrno h : (a, b)  R
dell'esempio 5.4(6) è un diffeomorfismo oppure no.

ISO
Varietà d(fferenz.iabi/i I Cap. 5
6. Dimostrare che la funzione <p : R  R:
{ e- I/x2
<p(x) =
O
x>O
xO
è di classe e(oo).
7. Trovare un diffeomorfisn10 di R n sul1'aperto (O, l)n.
8. Dimostrare che l'applicazione f : R n -+ Dn\sn -I, f(x) = I + IXII è un diffeomorfismo.
9. Dimostrare che le seguenti applicazioni di R 2 in sé sono diffeolllorfismi e determinarne
le inverse:
(a) F(u,v)=(veU,u)
(b) F(u, v) = (u 3 , v - u);
(c) F(u,v)=(1 +2u--2v, 1-2u+v)
(d) F(u,v) = (u+e v , 1 +v).
lO. Dimostrare che
f : R 2 \ {O}  R 2 \ {O}
( u -V )
f(u,v) = ì 2 ' 2 i
u- + v u + v
è un diffeomorfìsmo, e determinarne rinverso.
Il. Verificare che l'applicazione di classe e(oo):
") ')
f : R-  R-
') ì
f(u, v) = (u - v-, 2uv)
non è un diffeomorfismo sulla sua imlnagine.
20 Esempi di varietà differenziabili
Come al solito identificheremo C con R 2 , c quindi potremo considerare C e i
suoi aperti COlne delle varietà differenziabili. Una funzione di variabile complessa
f : U  C definita su un aperto U di C è differenziabile se la parte reale e
la parte in1maginaria di j(z) = f(x + iy) sono differenziabili come funzioni di
(x, y). Tutte le funzioni olomorfe sono differenziabili di classe C(OO) nell' aperto di
definizione. In particolare lo sono i polinon1i a coefficienti complessi e le funzioni
trascendenti elementari, cioè e Z , le determinazioni di ln(z), sin(z), cos(z) ecc. e
le loro inverse. Il coniugio z  z è un diffeomorfismo di C in sé.
Gli esempi principali di varietà diffcrenziabili sono ottenuti come "sottovarietà
di R N " per qualche N, secondo la seguente definizione.

20 I I'.'empi di varietà differenz.iabili
/8/
20.1 DEFINIZIONE Un sOllospazio X di R N si dice sottovarietà differenziabile
di dilnensione n se ogni punto x E X possiede un intorno aperto in X che, C0/11e
sottoinsie111e di R N , è d(ffeo111orfo li un aperto di R n .
Quindi, in base alle definizioni date nel paragrafo precedente, X C R N è
una sottovarietà se per ogni x E X esiste un intorno aperto U di x in R N e
un' applicazione differenziabile F x : U ---t R n che induce una biezione Fx di U n X
su un aperto V di R n , tale che Ja biezione inversa V ---t U n X sia differenziabile
COl11e applicazione di V in R N . Se queste condizioni sono soddisfatte le coppie
(U n X Fx) sono n-carte locali tra loro differenziabilmente compatibili al variare
di x E X, e quindi costituiscono un atlante differenziabile in X; X è pertanto una
varietà differenziabile di dimensione n.
Un modo per assegnare sottovarietà di R N è mediante "parametrizzazioni".
20.2 DEFINIZIONE Una paralnetrizzazione in R N è un 'applicazione dijJ'eren-
ziabil e
f : A ---t R N
definita su un aperto A di R U che è un diffeol1zorfisnlo sull 'Ùnn1agine. In tal caso
f(A) è ulla sottovarietà di dimensione n di R N .
Quindi una parametrizzazionc è essenziahnente l'inversa di una carta locale.
Se p E R N e v è un vettore non nullo di R N allora
I (t) = p + tv = (p I + tv l  . . . , Pn + tv n )
[20.1 J
è una parametrizzazione I : R -7> R N della retta r passante per p e di direzione (v);
pertanto r è una sottovarietà di dimensione 1 di R N . Silniln1ente un sottospazio
affine X di dimensione n è un esempio di sottovarictà differenziabile di R N di
dimensione n, ottenuta come immagine di una parametrizzazione di X (Sernesi
1989, p. IO!).
Ovvianlente non ogni sottovarietà di R N si può ottenere come immagine di
una parametrizzazione, perché non è detto che possegga un atlante costituito da
una sola carta locale. Però se X è una sottovarietà di R N , allora per defìnizionc
esistono parametrizzazioni lÀ : A,\ ---t R N , À E A, tali che U lÀ (A)..) = X e gli
insien1i f À (A À ) sono aperti coordinatizzati di X. À
L'applicazione
f : R ---t R 2
l20.2]
J(t) = (r cos(t), r sin(t))
ha per imn1aginc la circonferenza 8'(0, r) di centro O e raggio r > O che è una
sottovarietà di R 2 (vedi oltre) ma I non è una pararnetrizzazione perché non è
bi uni voca.

/X2
Varietà dUlerenziahili I Cap. 5
Figura 20.1
Sia A = (O, 7r /2) U (7r /2, 27r) C R, e sia a : A -+ R 2 definita da
a( O) = (cos( O), sin(20»
[20.31
a è differenziabilc e biunivoca ma non è una parametrizzazione, perché a(A)
è connesso, mentre A è sconnesso (fig. 20.1).
Si osservi che la [20.1] e la [20.2J sono curve differenziabili in R N . La [20.3]
non è una curva differenziabile perché non è defìnita in un intervallo, ma la sua
estensione a R lo è.
Una sottovarietà di dimensione n in R n + 1 è detta ipersupeI:ficie differenziabile.
Nel caso n = 1, 2 si hanno le curve piane dfJerenziabili e le superfici differenziabili
di R 3 che forniscono esempi classici e ben conosciuti di varietà differenziabili.
Per costruire ipersuperfici differenziabili di R n + 1 si utilizza spesso il seguente
20.3 LEMMA Sia U C R n un aperto, e sia f : U -----7 R un 'applicazione
d(ffe renziabil e. L'applicazione:
. U R n+ l
c.p. -+
<p(x) = (x, f(x»
è una para111etrizzazione e quindi ha per inunagine una ipersuperjicie dijj'erenzia-
bile di R n + ' .
DÙnostrazione. c.p è differenziabile perché tali sono le sue componenti; inoltre <p
è biunivoca, e la sua inversa <p l: c.p(U) -+ U è c.p-l(X,y) = x, che è differenziabile
essendo la restrizione a c.p(U) della proiezione R n +] -+ R n sulle prime n coordinate.
Il
La parametrizzazionc c.p definita nel lemma 20.3 si dice una paralnetrizzazione
di Monge (fig. 20.2). La sua il11magine è il grafico dellaful1zione f. Dal lemma 20.3

20 I Esempi di varietà differenziabili
183
A.
u
+
I
----......
Figura 20.2
segue immediatamente che sono curve piane differenziabili i grafici di funzioni
differenziabili f : U -+ R definite in un aperto U di R. Simihl1ente sono esempi di
superfici differenziabili di R 3 i grafici di funzioni differenzi abili di due variabili
reali definite su un aperto U di R 2 .
La circonferenza SI C R 2
L'applicazione:
cp:(-I,I) -+SI
cp(x) = (t, V 1 - t 2 )
è una parametrizzazione di Monge dell'aperto V = {(x, y) E SI : y > O}; per il
lemma 20.3 cp' 1, che è la proiezione PI sulla prima coordinata, è una carta locale
in SI relati va all'aperto V.
Similmente l'applicazione:
'P' : (- 1, l) -+ SI
'P'ex) = (t, - V 1 - t 2 )
è una parametrizzazione di Monge dell'aperto V' = {{ (x, Y) E SI : y < O} e quindi
la sua inversa, cioè la proiezione PI sulla prima coordinata, è una carta locale in
SI relativa all'aperto V'. Le due carte locali (V, pd, (V' pd non costituiscono un
atlante perché i punti (-1, O) e (l  O) non appartengono a V U V'. Per ottenere un
atlante differenziabile consideriamo anche le altre due pararnctrizzazioni di Monge
1jJ: (-1, l) -+ SI
1/;' : (- 1, l) -+ SI

/H4
Varietà diflerenziabili I Cap. 5
definite da:
'ljJ (t) = ( v' l - t 2 , t), 1/;' (t) = ( -- v' 1 - t 2 , t)
che hanno per inversa la proiezione P2 sulla seconda coordinata definita rispetti-
vamente sugli aperti W = {(x,y) E Si : x > O} e W' = {(x,y) E SI : x < O}. Le
quattro carte locali { (V, PI ) , (V', PI), (W, P2), (W', P2)} sono differenziabilmente
compatibili perché V I - t 2 è differenzia bile in (-1,1); quindi cos6tuiscono un
l-atlante differenziabile per Si, e S 1 è una varietà differenziabi le di di l11ensione l
(fig. 20.3).
Un altro modo di assegnare carte locali nella circonferenza è dato dalle proie-
zioni stercografiche. La proiezione stereografica
1[+ : Sl\{(O, l)} -+ R
di centro il punto (O, l), che è definita da:
x
7r+(x, y) = 1
-y
è di classe C(OO) ed è dotata di inversa di classe C(OO):
1[+ l : R -+ Sl\{(O, l)}
l ( 2t t 2 - l )
7r + (t) = i 2 + l ' t2 + 1
quindi 7r + è una coordinata locale in SI. L'analoga proiezione stereografica
7r : Sl\{(O, -l)} -+ R
di centro i 1 punto (O, - l), definita da
x
7r (x,y)= 1 +y
ti;' (t)
1jJ(t)
...
Figura 20..3

20 I Esempi di varietà d{U"e1-e n ziabili
/85
fornisce un' altra coordinata locale che insieme alla precedente definisce un atlante
differenziabile per SI, perché si verifica immediatamente che le due carte locali
sono differenziabilmente compatibili. Ricordiamo che 7r= I è definita da:
_ I ( 2t 1 - t 2 )
7r. (t) = 2 1 . ') 1 .
t + J t- +
poiché S] è compatta non esiste un atlante differenziabile costituito da una sola
carta locale: quindi 2 è i I minimo numero di carte locali necessarie per ottenere
un atlante differenziabile di S]. Tutto quanto detto per S I si trasporta con ovvi
cambiamenti ad una circonferenza qualsiasi SI (c, r) C R 2 , c E R 2 , r > O.
La .fera S2 C R 3
Come ne] caso di SI, è possibile costruire un atlante differenziabile per la sfera
8 2 in più modi. Ad esempio possiamo utilizzare due proiezioni stereografiche:
7r+ : 8 2 \ {(O, O, l)}  R 2
7r+(x], X2, X3) = ( ] XI , X2 )
-- X3 l - X3
c
7r _ : S2\ {(O, O, -I)}  R 2
( XI X2 )
7r-(X"X2,X3)= 1 ' 1 '
+ X3 + X3
le quali definiscono due carte locali sugli aperti S2\ {(O, O, l)} e S2 \ {(O, O, -I)}
rispettivamente che insieme formano un atlante differenziabile (la verifica del
fatto che le due carte sono di fferenziabilmente compatibili è lasciata al lettore).
Si osservi che poiché
7r ] : R 2  8 2 \ {(O, O, -I)}
I _ 1 2 2
7r (x,y)- 1 2 ') (2x,2y,1-x -y)
+ x + y-
la composizione 7r + . 7r _ I è definita su R 2 \ {O} e ha la seguente espressione:
_ I 1
(7r+ . 7r )(x, y) = 2 2 (x, y).
x +y
Se la si interpreta come un'applicazione di C\ {O} in C, SI ottiene:
I l
(7r+.7r_ )(z) = =.
z
In modo simile si verifica che la sfera sn C R n +] è una varietà differenziabile
7

/86
Varietà differenziabili I Cap. 5
di dimensione n per ogni n > 3 (cfr. eserCIZIO l). Anche in questi casi è facile
estendere le considerazioni precedenti ad una sfera qualsiasi sn(c, r) C R n + 1 ,
c E R n + 1 , r > O.
20.4 PROPOSIZIONE Se X ed Y sono varietà differenziabili, dim(X) = n,
dim(Y) = m, il loro prodotto cartesiano X x Y ha una struttura di varietà
differenziabile di dinlensione n+m tale che le proiezioni X x Y  X e X x Y  Y
siano I1zorjismi.
Di1nostrazione. Sia (U, cpu) una carta locale in X e (V, 1/;v) una carta locale in
Y. Allora U x V C X x Y è un aperto. Definiamo:
CPu x 1/;v : U x V  R n x R m
ponendo:
(CPU x 1/;v )(a, b) = (cpu(a), 1J';v(b».
(U x V, CPu x 1/;v) è una carta locale in X x Y. È immediato verificare che
se (U ' , cpu') e (V', 1/;v') sono altre carte locali in X ed in Y rispettivamente,
allora (U x V, CPU x 1/;v) e (U' x V', CPu' x 1/Yv') sono differcnziabilmente compatibili.
Quindi, al variare di (U, cpu) in un atlante in X e di (V, 1/;v) in un atlante in Y, la
carta locale (U x V, CPU x 1/Yv) varia in un (n + m)-atlante differenziabile in X x Y.
Pertanto X x Y è una varietà diffcrenziabile di dimensione n + m. La verifica che
le proiezioni sono morfismi è lasciata al lettore. Il
Il cilindro
Segue dalla proposizione 20.4 che il cilindro K = S l X R C R 2 X R = R 3 è una
superficie differenziabile e che un atlante differenziabile è costituito ad esempio
dalle due carte locali:
(1r+, lR): [S'\{(O, l)}] x R  R 2
(x, y, u)  C : y ' u)
(1r , IR): lSl\{(O, -l)}] x R  R 2
(x, y, u)  ( 1 : y ' u)
ottenute a partire dalle due proiezioni stereografiche di centro (O, 1) e (O, - l) e
dall' identità di R. Il lettore verifichi che il cilindro è anche una superficie di R 3 .

20 I Esempi di varietà differenziabili
187
Il toro
Ancora appl icando la proposizione 20.4 deduciamo che il toro T 2 = S 1 X S I C
C R 2 X R 2 = R 4 è una superficie differenziabile. Un atlante differenziabile costituito
da quattro carte locali può essere ottenuto a partire da due proiezioni stereo grafiche
per ciascun fattore S I nel modo seguente:
TI = (1r+,1r+): [Sl\{(O, l)}] x [SI\{(O, l)}] --+ R 2
T2 = (7r +, 7r -) : [S I \ { (O, l)} l x [S 1 \ { (O, - 1 ) }] --+ R 2
T3 = (7r ,1r+): [Sl\{(O, -l)}l x rSI\{(O, l)}] --+ R 2
T4 = (1r-,-): rS1\{(O, -I)}] x fS 1 \{(0, -l)}] --+ R 2 .
Lo 1)azio proiettivo reale pn(R)
Sia
7r : R n + 1 \ {O} --+ pn = pn(R)
la proiezione e [xo,..., xn] = 7r(xo, . . . , x n ). Per ogni i = O, .. . , n SIa
Ui = {r xo, . . . , X n 1 : Xi f O}
c
'Pi : Ui --+ R n
( Xo x 1 : - l Xi+l X n )
'Pi(lxo,...,XnJ)= -,...,-, ,..., .
Xi xi xi xi
'Pi è un omeomorfismo di Ui su R n , il cui inverso è
'P l (uo, . . . , Ui ], Ui+ I , . . . , un) = [uo, . . . , Ui l' l, Ui+ I , . . . , Un ]
(cfr. esempio 7.6(11». Sia i =I- j e per sell1plicità di notazioni supponiamo i < j.
Per ogni u = (uo,..., Ui--], Ui+li"" un) E 'Pi(U i n U j ) si ha Uj =1-° e:
('Pj . 'P?: I )(u) = 'Pj([ Un, . . . , Ui I, 1, Ui+l, . . . , Un 1) =
= ( Un , . . . , J-., . . . , U j - l , U j + l , . . ., un )
U' U. U' U' U.
} } } } }
è un  applicazione differenziabile di 'Pi(Ui n Uj) in R n . Quindi 'Pi e <p j sono
differenziabilmente compatibili e pertanto {(U o , 'Po), . . . , (Un, 'Pn)} è un n-atlante
diffcrenziabile per pn. Dunque pn è una varietà differenziabile di dimensione n.
Nel caso n = l sappian10 che pl è omeomorfo ad SI: è facile verificare che

/88
Varietà dijJerellziabili I Cap. 5
con la struttura di varietà differenziabile che abbiamo definito su pl e con quella
che abbiamo definito su S I in precedenza pl e S I sono diffcomorfe.
La g ra.\'slnanniana Gr,N degli r-sottospazi di R N
Siano O < r < N interi. Denotiamo con Gr,N l'insieme i cui elementi sono i
sottospazi vettori ali di dimensione r di R N ; se V C R N è un tale sottospazio,
lo denoteremo con lV] quando lo considereremo come elemento di Gr,N' Gr,N
si dice grassmanniana degli r-sottospazi di R N . Per r = 1 si ottiene come caso
particolare Gl,N = pN I (R).
Dato lV J E Gr,N, sia {v],..., v r } una base di V dove:
Vi = (Vi l , vi2, . . . , viN ).
La matrice r x N:
VII VI2 V1N
V21 V22 V2N
Vrl V r 2 VrN
ha rango r. Viceversa, una matrice r x N di rango r:
mll ml2 mlN
m21 m22 m2N
M=
mrl m r 2 mrN
definisce un elemento di Gr,N: il sottospazio di R N generato dalle sue righe. Due
matrici M, M' E Mr,N(R) di rango r definiscono lo stesso sottospazio V se e solo
se esiste A E GLr(R) tale che AM = M'; diremo in tal caso che M e M' sono
equivalenti. Quindi Gr,N si identifica con l'insieme delle classi di equivalenza di
matrici di rango r di Mr.N(R). In analogia con il caso r = ] gli elementi mi} della
matrice M possono essere considerati come coordinate olnogenee generalizzate di
[V]. Identifichiamo Mr,N(R) con lo spazio euclideo R rN . Poniamo
Mr,N(R)r I = {M E Mr,N(R) : rg(M) < r - l}.
Mr,N(R)r I è un chiuso di Mr,N(R). Abbiall10 un'applicazione:
7r : Mr,N(R)\Mr,N(R)r I --7 Gr,N
che identifica Gr,N al quoziente di Mr,N(R)\Mr,N(R)r - I rispetto alla relazione di
equivalenza definita sopra. Considerian1o Gr,N con la topologia quoziente.

20 I Eselnpi di varietà dijferenziabili
189
Fissiamo r indici distinti 1 :::; il < ... < i r < N, e sia [ = {il, i 2 , . . . , i r } C
C {l,..., N}. Detta MI la sottomatrice r x r di M costituita dalle colonne i l,
. .
i 2 , . . . , 'lr, ponIamo
UI = {M E M r1 N(R) : det(MI)#O}.
È evidente che ogni M E Mr,N(R) di rango r appartiene ad U I per qualche [.
Inoltre, se M E UI allora ogni M'equivalente a M appartiene a UI e pertanto
UI è un aperto saturo di Mr,N(R)\Mr:N(R)r--l' Poiché per ogni A E GLr(R) si ha
(AM)I = AMI, ogni matrice M E UI è equivalente a una e una sola matrice N
tale che NI = Ir, la matrice identità r x r: basta prendere N = (MI l )M. Quindi i
punti di Gr,N che hanno coordinate omogenee in UI corrispondono biunivocamente
all'insieme delle matrici N E UI tali che NI = Ir. I restanti r(N - r) elementi
di una matrice N siffatta possono considerarsi come coordinate locali in Gr,N:
infatti è immediato verificare che essi definiscono un omeomorfismo dell' aperto
G I := 7r(UI) di GrN su Rr(N - r). Non è difficile verificare, in modo analogo al
caso dello spazio proietti vo, che se [ e J sono due insiemi di r indici distinti
compresi tra 1 e N al10ra le corrispondenti carte locali sono differenziabilmente
compatibili. Al variare di [ tra tutti gli insiemi di r indici distinti in {l,..., N}
gli ape11i G I ricoprono GrN' In conclusione le carte locali che abbiamo costruito
definiscono un r(N - r )-atlante differenziabile in Gr,N, che quindi è una varietà
differenziabile di dimensione r(N - r).
Esercizi
1. Costruire un atlante differenziabile per la sfera sn c R n + l utilizzando il lemma 20.3
e generalizzando quanto è stato fatto nel caso n = l.
2. Costruire atlanti differenziabili per il toro e per il cilindro a partire dall'atlante
differenziabile {(V, pd, (V', p}), (W, P2), (W', P2)} di SI.
3. Verificare quali degli omeomorfismi considerati negli esenlpi 5.4 sono diffcomorfismi
tra varietà differenziabili.
4. Sia p E R N e sia v un vettore non nullo di R N . Dimostrare che l'applicazione
ì : R -t R N
ì(t) = a + vt 3
è biunivoca e ha per immagine la retta r passante per p c di direzione (v) ma non
è una parametrizzazione di r.
5. Utilizzare la rappresentazione pn = sn , dove r-.; è la relazione di equivalenza che
r-.;
identifica punti antipodali, per verificare che pn è una varietà differenziabile. Dimostrare
che la proiezione sn -t pn è un morfismo.
6. Dimostrare che l'unione degli assi coordinati non è una sottovarietà di R 2 .

190
Varietà differenziabili I Cap. 5
7. In ciascuno dei seguenti casi dimostrare che f : R 2 ---+ R 3 è una parallletrizzazione:
(a) f(u,v)=(uu+v,u-v);
(b) f(u, v) = (u 2 , u 2 + v, 2u);
') '")
(c) f(u,v)=(u"-+v,u-v-v);
Cd) f(u,v) = (u 3 - v 2 ,u+ l,v);
(e) f(u, v) = (e u + v  uv e U - V).
21 Spazi tangenti
La nozione di vettore tangente ad una varietà differenziabilc in un suo punto
verrà data generalizzando i vettori di R n interpretati come derivate direzionali.
Sappiamo che dato un punto p E R n , ad ogni vettore v di R n si associa la derivata
direzionale rispetto a v in p, che opera sulle funzioni differenziabili in un intorno
di p e che gode delle proprietà [19.1]. In particolare il j-esimo vettore della base
canonica e j opera come derivata parziale rispetto ad U j. Dalle [19.1] si deduce
che se
v = (v I , . . . , v n ) = V l e I + . . . + V n e n
allora si ha
aF BF
v(F)p = VI _ 8 (p) +... + V n _ a (p)
UI Un
per ogni funzione differenziabile F definita in un intorno di p, e quindi v è
individuato dal modo in cui opera sulle funzioni, perché in particolare
Vi = V(Ui)P'
Questa osservazione permette di introdurre la nozione di vettore tangente ad
un punto qualsiasi di una varietà differenzia bile detìnendolo come un operatore
sulle funzioni definite in un intorno del punto, che gode di proprietà analoghe
alle [1 9. l ].
Sia dunque X una varietà differenziabile e p E X. Denotiamo con £(X,p)
l'insieme i cui elementi sono le funzioni a valori reali che sono definite in
qualche intorno di p E X. Si osservi che se F, G E [(X, p) le funzioni F + G e
FG:
(F + G)(x) = F(x) + G(x), (FG)(x) = F(x)G(x)
sono ben definite in un intorno di p, che è l'intersezione degli intorni di definizione
di F e G, e quindi sono elementi di £ (X, p).

21 I Spazi tangenti
191
21.1 DEFINIZIONE Sia X una varietà differenziabile e p E X. Un vettore
tangente a X in p è un'applicazione
v:£(Xp)R
tale che:
v(aF + bG) = av(F) + bv(G)
[21.1 ]
v(FG) = v(F)G(P) + F(P)v(G)
per ogni F, G E £(X p), a, bER.
L'insiel11e di tutti i vettori tangenti a X in p SI denota Tp(X) e Si chiama
spazio tangente a X in p.
Dimostriamo alcune proprietà che discendono dalla definizione.
21.2 PROPOSIZIONE
(a) Se c : X  R è una funzione costante, allora v(c) = O per ogni v E Tp(X).
(b) Se F, G E £(X,p) coincidono in un intorno U di p allora v(F) = v(G) per
ogni v E Tp(X).
DÙnostrazione
(a) Sia l : X  R la funzione costante uguale a l; si ha:
cv( 1) = v( c l) = v( c) 1 + cv( I) = v( c) + cv( l )
e quindi v(c) = O.
(b) Sia l u : U  R la funzione identican1ente uguale a 1 su U. L'ipotesi
significa che 1 u F = 1 uG. Pertanto si ha:
v(luF) = v(lu)F(p) + v(F) = v(luG) = v(lu)G(P) + v(G).
Poiché F(P) = G(p) si deduce che v(F) = v(G). Il
Supponiamo dim(X) = n; sia cp : U  R n una carta locale definita in un intorno
U di p e siano x]  . . .  X n le funzioni coordinate locali definite da cp. Definiamo i
vettori tangenti
( 8 ) ' ( 88, ) ,..., ( f- ) ETp(X)
] p XL. P X n P
ponendo:
( 8' ) (F) = 8(F8'u l) (!p(p», i = 1, . .. ,.n,
 p z

192
Varietà dijJerenziabili l Cap. 5
dove U l, . . . , Un sono le funzioni coordinate in R n ; scriveremo anche ( a F )
ax,
1, p
invece di ( ai ) p (F). Si osservi che F. rp - I è una funzione definita in un aperto
di R n contenuto in ep(U) e contenente ep(P). È immediato verificare che i ( aa )
Xz p
soddisfano le condizioni [21.1]. Essi sono le generalizzazioni a X dei vettori
tangenti in R n definiti dalle derivate parziali. Segue subito dalla definizione che
( ax. )
ax- p = Dij.
21.3 LEMMA Sia dim(X) = n, p E X, e siano x l, . . . , X n coordinate locali
ll1 intorno di p tali che Xi(P) = O, i = 1,..., n. Per ogni F E [(X, p) esistono
F I , . . . , Fn E [(X, p) tali che in un intorno di p sussista l'identità di funzioni:
n
F = F(P) +  XiFi
1,=1
[21.21
dove F(p) è La funzione costante, con va/ore F(P).
DÙnostrazione. Sia 'P : U  R n la cal1a locale che definisce le coordinate
XI, . . ., X n , e sia C := F.ep- 1 E [(R n , O). Supponiamo di aver dimostrato l'esistenza
di n funzioni C I, . . . , C n E [(R n , O) tali che:
n
C = C(O) +  UiCi
1,=1
[21.31
dove U I , . . . , Un sono le funzioni coordinate in Rn. Allora si ha:
n
F = C . ep = F(P) + L (Ui . ep)( C i . ep).
i=l
Poiché Xi = Ui . ep, ponendo Fi = Ci . <p SI ottiene la l21.2]. Pertanto sarà
sufficiente dimostrare la [21.3].
Sia D C R n un disco aperto di centro O la cui chiusura sia contenuta nell'aperto
di definizione di C. Per ogni u = (Ul, . . . , un) E D e s E [O, l] si ha:
d  ac dUi(SU)  ac
- d C(su) = L _ a (su) d =  _ a (SU)Ui
S Ui S Ui
e quindi:
l I I
C(u) = C(O)+! :s C(su)ds = C(O)+ ! L : (sU)Ui ds = C(O)+L Ui ! : (su)ds.
o o o

21 I Spazi tanxenti
/93
l
Ponendo Ci(U) = f ac (su)ds si ottiene la [21.3 J. Resta da verificare che le
8Ui
o
funzioni Ci sono differenziabili. Ciò segue facilmente dal fatto che le funzioni
ac (su) sono di classe C(OO) in u, s e dal seguente risultato di calcolo in più
8Ui
variabili per il quale rinviamo a un testo di Analisi: se una funzione f(u, s) è di
l
classe C(l) in un aperto U x V di R n + 1 , allora la funzione g(u) = f I(u, s)ds è di
o
classe C(I) in U e
l
8g f af
- (u) =:; - (u, s)ds. Il
au. au.
z z
o
21.4 PROPOSIZIONE Ponendo
(v + w)(F) = v(F) + w(F)
(av)(F) = o:[v(F)J
per ogni F E £(X,p), o: E R, v, w E Tp(X), si definisce su Tp(X) una struttura
di spazio vettoriale reale tale che
dim(Tp(X» = dim(X).
Dinl0strazione. La verifica del fatto che v + w e o:v sono vettori tangenti
è lasciata al lettore. Segue immediatamente che Tp(X) è uno spazio vettoriale.
Supponiamo dim(X) = n; sia <p : U ---+ R n una carta locale definita in un intorno
U di p e siano x l, . . . , X n le funzioni coordinate locali definite da cp.
Dimostriamo che (  ) , (  ) ,..., ( a a ) costituiscono una base di
aXI aX2 X n
p p p
Tp(X). Supporremo cp(P) = O, il che non è restrittivo: infatti, se a = cp(P), 1j;(x) =
= cp(x) - a è una carta locale che soddisfa 1j;(P) = O e, dette Yl, . . . , Yn le coordinate
locali definite da 1/;, si ha ( aa ) = ( aa ) per ogni i = l, . . . , n.
x p y", p
Sia F E £ (X, p). Si ha, utilizzando la [21.21:
( a F ) = (  ) ( F(P)+t x.p. ) =
ax, ax' ) =1 J J
z p z p
=O+ [( x ) Fj(p)+Xj(P) ( F ) ] = Fi(P)'
} l X P X'" P

/94
Varietà diflerenziabili I Cap. 5
Se v E Tp(X) si ha:
v(F) = v [ F(P) + t XjF j ] =
}=I
n
= O +  [v(xj)Fj(p) + Xj(p)v(Fj)J) =
}=I
n ( 8F )
= v(Xj) _ 8 . .
}=l x} P
Poiché quest' uguaglianza è vera per ogni F E £ (X, p) deducianlo che
v = L v(Xj) ( aJ p
e quindi (  ) , (  ) ,..., (  ) generano Tp(X). Inoltre se
aXI aX2 aX n .
p p p
[ 21.41
v =La. (  )
} ax. '
} p
allora
v(x.)=L a. ( 8X i ) =L a.{j.'=a.
z .} 8 .} 'l} Z
} x. }
) p
e quindi ( aa ) , ( aa ) ,..., ( a a ) sono anche linearmente indipendenti. Il
XI P X2 p X n p
Nel caso X = R n gli spazi tangenti Tp(R n ) si identificano ad R n mediante la
base canonica (  ) , ( a a ) ,..., ( a a ) .
aUI p U2 p Un p
Se {XI,"" Xn} e {YI,..., Yn} sono due sistemi di coordinate locali nell'intorno
del punto p E X, allora la formula [21.4] applicata a ( ai )p dà:
( aJ p =7 ( :n p ( aJ p
Questa formula esprime il passaggio dalla base { ( ai ) p} alla base { ( ai ) p }
per mezzo della matrice ( ( :. ) p)' che è chiamata matrice di transizione dalle
coordinate {XI,"" Xn} alle {YI"", Yn} nel punto p.
[21.5 ]

22 I Differenziali
/95
Esercizio
1. Calcolare le matrici di transizione degli atlanti di S l c di S2 considerati nel * 20.
22 Differenziali
Se f : X  Y è un morfismo di varietà differenziabili e p E X, allora per ogni
F E [(Y, f(P» si ha F. f E [(X, p). Resta pertanto definita un'applicazione:
f*p : Tp(X)  Tf(p)(Y)
ponendo
f*p(v)(F) = v(F . f)
per ogni F E [(Y, f(P»).
È immediato verificare che f*p è un 'applicazione lineare, che chiameremo
d{fferenziale di f in p.
Ovviamente, per ogni p E X, il differenziale (Ix )*p del morfismo identità Ix
è l'identità di Tp(X).
Più in generale, se X è una sottovarietà aperta di una varietà Y e  : X  Y
è l'applicazione di inclusione, allora *p è un isomorfismo in ogni punto p E X.
Infatti un sistema di coordinate {x l , . . . , xn} in un intorno di p in X è anche un
sistema di coordinate in Y e L*p ( ( ai ) p) == ( ai )p' i == l, . . ., n.
Se o: : J  Y è una curva differenziabile nella varietà Y, dove J è un intervallo
aperto, e se to E J, il vettore
a*to ( ( :t )t) E T,,<to)(Y)
do:
si chiama vettore velocità di o: in t o e si denota con o:'(t o ), oppure con dt (to).
Se Y = R N , e se
0:( t) = (o: l (t), .. . , o: N (t) ),
allora l'i-esima coordinata di o:'(to) rispetto alla base corrispondente alle coordinate
Ul,'..,UN è
d( Ui . 0:) ( ) _ dai ( )
dt to - dt to.
Quindi, identificando Ta(to)(R N ) = R N si ottiene:
o:'(t o ) = (a (t o ), a(to),. .. ,00N(to»)
da-
dove abbiamo denotato a(to) = dt't (t o ), i = I, . . . , N.

196
Varietà dijJerenziabili I Cap. 5
22.1 PROPOSIZIONE Siano X, Y e Z varietà differenziabili e siano
I : X ---t Y, g: Y ---t Z
Inorjisnli. Per ogni punto p E X si ha:
(g . f)*p = g*f(p) . f*p : Tp(X)  Tg(f(p»(Z)
dove
f*p : Tp(X) ---t Tf(p)(Y), g*f(p): Tf(p)(Y) ---t Tg(f(p»(Z)
sono i differenziali di I e di g in p e in f(p) rispettivamente.
Dimostrazione. È lasciata al lettore. Il
22.2 COROLLARIO
(a) Se f : X ---t Y è un diffeomorfismo allora per ogni p E X il dfferenziale
I*p : Tp(X) ---t Tf(p)CY) è un isomorfi.\'1no.
(b) Se A C R n è un aperto e I : A  X è l'inversa di una carta locale allora
f*p : Tp(A)  Tf(P)(X) è un isonl0rfismo per ogni p E A.
Dimost razione
(a) Sia f- l : Y ---t X il diffeomorfismo inverso di I. Per la proposizione 22.1
si ha:
( l x ) * p = (I - l . I) * p = (f - l ) * f (p) . f *p
(l Y )*f(p) = (I. 1- 1 )*f<p) = !*p' (!-l)*f(p)
e poiché (l x )*p e (1 Y)*f(p) sono le identità di Tp(X) e di Tf(p/Y) rispettivamente,
la conclusione segue.
Cb) Sia cp : I(A) ---t R n l'inversa di !. Per la proposizione 22.1 si ha:
(<p . !)*p = C <p )*f(P) . I*p
e poiché (<p' I)*p è l'identità di Tp(A) = Tp(R n ), I*p è iniettiva. Il
Se X è una sottovarietà di R N di dimensione n, allora per ogni p E X esiste
un aperto A C R n ed una parametrizzazione I : A ---t R N la cui immagine è un
aperto U C X contenente p, e la cui inversa è una carta locale <p : U  R n .
Sia p E A tale che f(p) = p. Dal corollario 22.2(b) segue che f*p è iniettiva
ed ha per immagine t*p(Tp(X» dove t : X C R N è l'inclusione. Quindi t*p

22 I Differenziali
/97
identifica Tp(X) ad un sottospazio di Tp(R N ) = R N . Per questo motivo nel seguito
considereremo gli spazi tangenti ad una sottovarietà di R N come dei sottospazi
vettoriali di R N . Spesso è utile considerare lo spazio tangente affine a X in R N ,
che è definito come il sotto spazio affine p + Tp(X) di R N (fig. 22.1).
Sia I : X --+ Y un'applicazione differenziabile e a : J  X una curva diffe-
renziabile. La composizione I. a : J -+ Y è una curva differenziabile in Y. Sia
p == a(to), e sia v = a' (to) E Tp(X) il vettore velocità di a. Per la proposizione
22.1 si ha:
I*p(v) = (I . a)' (io),
[22.1 J
cioè il differenziale f*p può essere calcolato sul vettore v come il vettore velocità
della curva f. a. Quest'osservazione è utile perché un vettore velocità è facile da
calcolare in pratica e perché ogni vettore tangente a una varietà in un suo punto
qualsiasi è il vettore velocità di qualche curva differenziabile, come ora dimostre-
remo. Quindi la [22.1] fornisce un metodo pratico per calcolare il differenziale di
un morfismo.
22.3 PROPOSIZIONE Sia X una varietà difJerenziabile, p E X e sia v E Tp(X).
Esiste una curva differenziabile a : J --+ X definita in un intervallo J contenente
O tale che a(O) = p e a' (O) = v.
Dbnostrazione. Se X = R U possiamo definire a : R --+ R n come a(t) = p + tv.
Nel caso generale sia A C R n un aperto e sia q; : A  X l'inversa di una
carta locale tale che q;(u) = p per qualche U E A. Per la proposizione 22.2(b) il
I
i
----
Figura 22.1
f

198
Varietà differenziahili I Cap. 5
differenziale cP*u : Tu(A) -+ Tp(X) è un isomorfismo. Sia w E R n = Tu(A) tale che
v = cP*u(w). Allora o:(t) = 4J(u + tw) è la curva cercata. Il
Una curva o: che gode delle proprietà descritte dalla proposizione 22.3 si dice
adattata a v.
Supponiamo che f : X -+ Y sia un morfismo di varietà differenziabili e sia
p E X. Consideriamo coordinate locali {x I, . . . , xn} in un intorno di p e coordinate
locali {YI, . . . , Ym} in un intorno di f(p), dove n = dim(X) e m = dim(Y). VogJiamo
determinare la matrice che rappresenta f*p : Tp(X) -+ Tf(p) (Y) rispetto alle basi
( f ) , ( - 8 8 ) ,..., ( - 8 8 ) di Tp(X)
x I P X2 p X n p
e
( ) , (  ) , . . ., ( a a ) di T f (p) (Y).
a:, f(p) aY2 f(p) Ym f(p)
Si ha
!* (( aj )J =E (( a(.f) )J ( a:J f(p)'
I coefficienti della somma a secondo membro formano la j-esima colonna del1a
matrice cercata, la quale ha pertanto la forma seguente:
J !(p) := ( ( a(.f) )J =
( 8(YI . f» )
8xI
p
( 8(y I . f» )
8X2
P
( 8(Yl . f» )
8x n
p
( 8(Ym' f» ) ( 8(Ym' f» )
8XI p 8X2 P
( 8(Ym . f» )
8x n
p
Questa matrice si chiama matrice jacobiana di f in p. Abbiamo dimostrato la
seguente
22.4 PROPOSIZIONE Sia f : X -+ Y un morfismo di varietà differenziabili,
p E X, {Xl"", xn} coordinate locali in un intorno di p e {YI,..., Ym} coordinate
locali in un intorno di f(p). Il differenziale f*p : Tp(X) -+ Tf(p)(Y) è rappresentato
dalla matrice jacobiana J f(P) rispetto alle basi
( aJ p' ( aJ p"'" ( a:n )p di Tp(X)

22 I Differenziali
/99
e
( aa ) , ( aa ) ,..., ( f- ) di Tf(p) (X).
Y] f(p) Y2 J(P) Ym J(P)
U n caso particolare della proposizione precedente si ha quando I : U  R m è
un'applicazione diffcrenziabile definita su un aperto U di R n a valori in R m .. Se
f] , . . . , / m : U  R sono le componenti di / si ha in p E U:
ali (p) af] (p) al] (p)
aXl 8X2 aX n
J f(p) =
a/m (p) al m (p) al m (p)
aXI aX2 aX n
cioè la matrice jacobiana è la matrice delle derivate parziali delle componenti di
I calcolate in p.
Se / è una parametrizzazione allora, per il corollario 22.2, J I(p) ha rango
massimo in ogni p E U.
22.5 Eselnpi
l. Se f : R m  R m è una traslazionc allora f*p = l R Tti mentre se g : R n  R m
è un' applicazione lineare allora g*p = g per ogni p E R n . Quindi se F : R n -t R m
è un' affinità con parte lineare L, allora F*p = L per ogni p E R n . Segue che se X
è una sottovarietà di R n allora la restrizione .Fìx : X -t R m ha per differenziale
(.fìx )*x in ogni x E X la restrizione di L a Tx(X).
2. Se U è un intervallo aperto di R e a : U  R N è una curva differenziabile,
in un punto to E U la matrice jacobiana è
a (to)
a ( t o)
J a(to) =
a(to)
cioè t(Ja(t o » = a'(to) è il vettore velocità di a in io. Quindi se è una parame-
trizzazione a ha vettore velocità non nullo in ogni punto.
Per esempio la curva a : R -t R 2 , a(t) = (t 2 , t 3 ), ha vettore velocità a'(i) =
= (2t, 3t 2 ) che si annulla in i = O. Quindi, pur essendo un omeomorfismo, a non
è una parametrizzazione.
3. Se U C R n è un aperto e cp : U  R N è un'applicazione differenziabile tale
che cp(U) C X, dove X è una sottovarietà di R N , allora per ogni U E U
cp*u(Tu(U» C T<p(u)(X)

200
Varietà differenziabili I Cap. 5
(proposizione 22.1). In particolare, se dim(X) = n e Cp*u è inietti va si ha l'ugua-
glianza; quindi, se la matrice jacobiana J cp(u) ha rango n le sue colonne generano
T<p(u) (X).
Ad esempio, lo spazio tangente ad S] (O, r) C R 2 , r > O, in un suo punto
p = (x y) è il sottospazio (y, -x») di R 2 . Infatti l'applicazione [20.2], che ha per
immagine ...'3 l (O, r), ha matrice jacobiana
( -r Sin(t» )
J I(t) =
r cos(t)
per ogni t E R.
Analogamente, sia r > O e:
. R 2 R 3
ep. --+
[22.2J
ep(u, v) = (r cos(u) cos(v), r cos(u) sin(v), r sin(u».
L'applicazione cp è un morfismo la cui immagine è la sfera 8 2 (0, r) di centro
l'origine e raggio r in R 3 . La matrice jacobiana di ep in un punto (u, v) E R 2 è:
Jep(u,v) =
-r sin(u)cos(v)
-r sin(u) sin(v)
r cos(u)
-r cos( u) sin( v)
r cos( u) cos( v)
O
Questa matrice ha rango massimo precisamente nei punti In cui cos( u) # o.
Pertanto cp* ha rango massimo ad esempio nell'aperto (- ; , ; ) x R, la cui
immagine è 8 2 (0, r) privata dei due poli (O, O, ::!:r). Se p E 8 2 (0, r)\ {(O, O, ::!:r)} le
colonne di J cp( u, v) generano il piano p.l... Naturalmente per eseguire lo stesso
calcolo si può utilizzare l'atlante costituito dalle proiezioni stereografiche.
Più in generale si può calcolare facilmente che Tp(sn) = p..l, cioè che lo spazio
tangente a sn in un suo punto p è il sottospazio di R n + 1 ortogonale e p.
4. Sia U un aperto di C e I : U --+ C un' applicazione di classe CC 1). Sia
f(z) = I(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)
dove u, v : U --+ R sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di
I. La matrice jacobiana di I nel punto z è:
au (z) au (z)
ax ay
av (z) av (z)
ax ay
a (dx,dy) E Tuz
,
J I(z) =
Associando
il numero complesso dz = dx + idy, lo spaZIO

22 I Differenzìali
201
tangente Tu,z si identifica a C. Quindi per ogni dz = dx + idy E Tu,z si ha:
( au au ) . ( av av )
I*z(dz) = ax (z)dx + ay (z)dy + 1 ax (z)dx + 8y (z)dy .
Se f è olomorfa allora:
l' (z) = dI =! ( a f _ i a f ) =  [ 8U + av + i ( av _ au ) ] .
dz 2 ax ay 2 dx ay ax ay
Poiché
8u
dx
8v 8u
8y' ay
av
-
ax
calcolando si trova:
l'(z)dz = f*z(dz).
Si osservi che se f è olomorfa allora det(J/(z» = Il'(z)1 2 .
5. Toro in R 4 . L'applicazione:
cp : R 2 ---t R 4
[22.3 J
<p(u, v) = (cos(u), sin(u), cos(v), sin(v»
ha per immagine il toro T 2 = S l X Si. La matrice jacobiana di cp è:
- sin(u) O
cos(u) O
Jcp(u,v) = O - sin( v)
O cos( v)
e ha ovunque rango 2. Pertanto il piano tangente a T'l in cp( u, v) è generato dalle
colonne di Jcp(u,v).
Esercizi
1. Dimostrare che se f : X ---+ Y è un' applicazione costante tra varietà differenzÌabili
allora f*x : Tx(X) ---+ Tf(x)(Y) è l'applicazione nulla per ogni x E X.
2. Verificare che per ogni n > 1 il morfìsmo
. R n R n+l
<p. -+
<p(Ol, . . . , On) = (r cos(O}) . . . COS(On l) COS(On), r COS(O}) . . . COS(On" l) sin(On),
[22.4 ]
r cos(O]) . . . cos(On - 2) sin(On .- l), . .. , r sin(OI»

202
Varietà differenziabili I Cap. 5
ha per immagine la sfera sn(o, r) di centro l'origine e raggio r in R n + 1 e che la
matri cc j acobi an a di 'P ha rango massi mo nei punti dell' aperto (-  ' ; ) x R n - I, e
ha imlllagine sn(o, r)\ {(O, . .. , O, r), (O, . . . , O, -r)}.
23 Orientabilità
Le varietà differenziabili sono definite in modo da essere localmente diffeomorfe
allo spazio euclideo, cioè in modo che ogni punto abbia un intorno diffeomorfo a
un aperto di R n per qualche n. Ciò significa che la loro geometria non presenta
alcuna particolarità da un punto di vista locale, cioè la loro struttura è la stessa
nell'intorno di ogni punto. Ciò che distingue tra loro varietà non diffeomorfe della
stessa dimensione sono le cosiddette "proprietà globali": trovare un diffeomorfismo
F : X --+ Y tra due varietà equi vale a stabilire che esse sono globalmente identiche
dal punto di vista della topologia differenziale, mentre per dimostrare che due
varietà non sono diffeomorfe occorre scoprire che hanno qualche diversità globale.
La proprietà globale più semplice a definirsi è la "orientabilità".
Sia X una varietà differenzi abile, e siano {x l, . .. , Xn} e {Yl,'.', Yn} due si-
stemi di coordinate locali definiti negli aperti U e V rispettivamente. I due sistemi
di coordinate si dicono orientati concordelnente (discordelnente) in p E U n v
se det ( ( :. ) p) > O « O), dove ( ( : ) p) è la matrice di transizione dalle
coordinate {XI, . . . , xn} alle {Yl, . . ., Yn} nel punto p. Poiché det ( ( : ) J è una fun-
zione di p continua e mai nulla il suo segno è costante sulla componente connessa
di p in U n V. Quindi in tale componente connessa i due sistemi di coordinate
sono ovunque concordemente orientati oppure ovunque discorden1ente orientati.
23.1 DEFINIZIONE Una varietà diff'erenziabile X si dice orientabile se possiede
un atlante differenziabile {(U;\, CP)J} ÀEA tale che in ogni p E U À n UN i sistemi di
coordinate locali definiti da cp;\ e da CP;\' siano orientati concordelnente per ogni
coppia di indici À, )./ E A. Un atlante siffatto si dice orientato. Se non possiede
un atlante orientato X si dice non olientabile.
Due atlanti orientati si dicono concorden1ente orientati (o concordi) se la loro
unione è un atlante orientato, altrimenti si dicono discordemente orientati (o di-
scordi). Due atlanti orientati sono discordi se e solo se in ogni punto ogni sistema
di coordinate definito dal primo atlante è discordemente orientato da ogni sistema
di coordinate definito dal secondo. È evidente che l'essere concordemente orientati
è una relazione di equivalenza tra atlanti orientati. Pertanto se X è orientabile
l'insieme di tutti gli atlanti orientati è ripartito in due classi disgiunte ognuna
costituita da atlanti tra loro concorden1ente orientati. Queste due classi si dicono
le orientazioni di X. X possiede due orientazioni, ognuna delle quali è indi-

23 I Orientabilità
203
viduata assegnando un atlante orientato che la rappresenta. Se in X è assegnato
un atlante orientato la diremo una varietà orientata; l'atlante orientato definisce
una orientazione in X.
In pratica la scelta di una orientazione di una varietà equi vale alla scelta di
una orientazione in tutti i suoi spazi tangenti "in modo coerente"; una volta as-
segnata una orientazione della varietà X si assegna una orientazione in ognI
Tp(X) che varia con continuità al variare di p e che è definita dalla base
{ ( al ) p , . . . , ( an ) p }, dove {XI,"" xn} sono coordinate locali in un intorno
di p definite da una carta locale appartenente ad un atlante orientato che definisce
l' orientazione di X.
Dalla definizione segue immediatamente che se X è orientabile ogni sua sotto-
varietà aperta è orientabile; il viceversa è ovviamente falso, perché ogni varietà,
orientabile o no, possiede un aperto diffeomorfo a un aperto di R n e quindi
orientabile (cfr. il successivo esempio 23.2(1 ». Quindi per dimostrare che una
varietà X non è orientabile è sufficiente trovare una sua sottovarietà aperta che
non è orientabile. Se dim X = O, un' orientazione su X si definisce attribuendo un
segno, + 1 o - 1, ad ognuno dei suoi punti.
23.2 Esempi
1. Poiché ogni carta locale è concordemente orientata con se stessa, ogni varietà
che possiede un atlante consistente di una sola carta locale è orientabile. Quindi
sono orientabili gli aperti di R n (in particolare R n stesso), e le sotto varietà di R N
che sono immagini di una parametrizzazione.
È pure orientabile ogni varietà che possiede un atlante consistente di due carte
locali {(UI, 'P l), (U 2 , <P2)} tali che U I n U 2 sia connesso. Se infatti {(U I , <p]), (U 2 , 'P2)}
è un atlante non orientato allora è orientato l'atlante {(U I , 'P l), (U 2 , 1/;2) }, dove 1/;2
è la carta locale definita cambiando di segno la prima componente di 'P2.
In particolare le sfere sn, n > 2, sono varietà orientabili perché l'atlante
costituito dalle due proiezioni stereografiche 7r + e 7r soddisfa la condizione.
2. Nella circonferenza SI l'atlante {7r +, 7r--} costituito da due proiezioni stereo-
grafiche non è orientato. Infatti si ha:
1
(7r- . 7r I)(t) = -
t
1
e la matrice di transizione è ì' Però sostituendo a 7r la carta locale -7r - SI
t-
ottiene un atlante orientato. Quindi S] è orientabilc.
3. Il nastro di Moebius aperto MO. Ricordiamo (cfr. esempio 7.6(7» che MO
è il quoziente di I x (O, 1) rispetto alla relazione di equivalenza J.l che identifica
tra loro i punti (O, t), (1, l - t) E I x (O, l) per ogni t E (O, l).

204
Varietà differenziabili I Cap. 5
Sia O < E < . L'applicazione differenziabile
g: (-c,I +e) x (0,1) -+ R 3
definita da
g(s, t) = ( cos(211" s) + (t - ) sin(11" s) cos(211" s),
sin(211"s) + (t -  ) sin(11"s) sin(211"s), (t - ) COS(11"S»)
ha immagine omeomorf a a MO. Inoltre per ogni So E I l'aperto (so - c, So +e) x (O, 1)
viene mandato da g diffeomorficamente sulla sua immagine, che è un aperto di
MO. Quindi M O è una superficie differenziabile. La proiezione
ç: (-c, l +e) x (O, l) -+ M O
è differenziabile e per ogni x E (-c, l + c) x (O, 1) il differenziale
ç*x : Tx« -c,l + c) x (0,1» -+ Tç(x)(Mo)
è un isomorfismo; ciò segue dal fatto che la restrizione di g a un intorno suffi-
cientemente piccolo di x è una parametrizzazione.
Il segmento (-E, l +E) X { } C (-E, l +E) x (O, l) ha immagine ç (( -E, l +E)X
{  }) ditfeomorfa a SI. In ogni punto x = (S, ) E (-E,l + E) x { } conside-
riamo la base canonica {el, e2} di Tx« -c,l + c) x (O, I »: essa viene trasformata
dall' applicazione ç* in una base di Tç(x)(M) che ne definisce una orientazione.
Quando x varia da (O, ) a (1,  ) il punto ç(x) descrive interamente SI
tornando al punto di partenza y := ç ( (O, )) = ç ( (1, )) ma le basi di
Ty(MO) trasformate dclla base canonica di
T( o: t ) « - c, I + c) x (O, 1»
e di quella di
T( I ,  ) ( ( - e, 1 + c) x (O, 1»
sono discordemente orientate (fig. 23.1): quindi le due orientazioni di T.lI(MO)
possono essere ottenute una dall' altra con variazione continua di un' orientazione
in Ty,(MO) al variare di y' E SI. Ciò non avverrebbe se MO fosse oricntabilc.
Quindi MO è una superficie non orientabilc.

23 I Orientabilità
205
v,
V1
Figura 23.1
4. Il piano proiettivo reale p2(R) contiene un aperto diffeomorfo al nastro di
Moebius aperto e quindi è un esempio di superficie differenziabile compatta non
orientabile.
Per verifìcarlo si consideri la rappresentazione di p2 come quoziente della
sfera T : S2 ---t p2. T è un morfismo la cui restrizione alla semisfera chiusa
S = {x E S2 : X3 > O} è un' identificazione
(J : S: ---t p2
che realizza p2 come quoziente di S ottenuto identificando tra loro punti dia-
metralmente opposti del1a circonferenza SI = {x E S : X3 = O}. L'immagine
(J (S l) = T(S l) è la retta impropria di equazione X 3 = O. Sia O <  < 1, e sia
Sé = {x E S2 : O < X3 < é}.
(J (Se) è un aperto di p2 contenente la retta impropria e diffeomorfo a MO (fig.
23.2). La verifica di questo fatto è lasciata al lettore.
Nel capitolo 4 abbiamo verificato che S2 e p2 non sono omeomorfi perché hanno
gruppi fondamentali non isomorfi (cfr. esempio 18.3). Ne consegue che queste
due superfici non sono neanche diffeomorfe. La stessa conclusione discende dal
fatto che S2 è orientabile e p2 non lo è. Si osservi che p2 è ottenuto dal piano R 2
con l'aggiunta di una retta proietti va, cioè di un S I , di punti all' infinito. Invece
S2 è ottenuta dal piano R 2 con l'aggiunta di un punto all' infinito; in altre parole
per ottenere S2 si devono identificare ad un unico punto tutti i punti della retta
impropria di p2. Questa identificazione ha 1'effetto di restituire l' orientabilità.

206
---
---
a
--
---
----------------------
Varietà differenziabili
---------------
---
--
--
Se
b
---
---
---------------
---
a 
--
--- -- .....
---
c
J b
.......
---
---
-------------------
b
a
t
a
t
t
c
.....
c
t
b
, ,
..... ,
" ,
, "
, '
, "
, "
_..c:;.
,
"
b

---
- -
..... -----
Figura 23.2
.......-

a
.,..----....
,-
,
"
,
,
,
,
,
',-
--,
, ,
" ,
" ,
- ......
, ,
--
a (Se)
I Cap. 5

24 I Diffeomorfismi locali
207
Esercizi
1. Dimostrare che lo spazio proiettivo complesso pn(c) è una varietà diffcrenziabile
orientabile di dimensione 2n per ogni n 2:: l.
2. Dilllostrare che p2(R) è omeomorfo allo spazio ottenuto dal nastro di Moebius M
identificando ad un punto la circonferenza 8M := M\Mo.
3. Sia X una superficie topologica. Un atlante {U i , 'Pi }iE=I si dice 0/0111011'0 se per ogni
i, j E I tale che U 1 : n Uj 1= 0 l'applicazione
'Pj . 'Pi I : 'P1"(Ui n Uj)  C
è ololl1orfa (dove si è identificato R 2 con C). Due atlanti ololnor:fi in X si dicono
equivalenti se la loro unione è ancora un atlante olomorfo. Una classe di equivalenza
di atlanti OlOlTIOrfì in X si dice struttura c()1nplessa su X. Una superficie topologica
dotata di una struttura complessa si dice superficie di Riel11ann. Dimostrare che una
superficie di Riemann è una superficie differenziabile orientabile.
24 Diffeomorfismi locali
Le proprietà algebriche dei differenziali di un nlorfismo di varietà differenziabili
danno informazioni sul comportamento del morfismo stesso. In questo paragrafo c
nei successi vi investigheremo queste proprietà e le loro conseguenze geometriche.
Un risultato fondamentale dell' Analisi che utilizzeremo è il seguente.
24.1 TEOREMA (della funzione inversa) Sia U C R n un aperto, e sia F :
: U ---t R n un'applicazione di classe C( l). Supponia1110 che esista a E U tale che
il differenziale F*a : R n ---t R n sia un isomorji.wno. Allora esiste un aperto V C U
contenente a tale che F(V) è un aperto e la restrizione Flv : V ---t F(V) è un
diffeolnol:fis1110 di classe C( 1).
Per la dimostrazione di questo teorema nnVIamo a un testo di Analisi Mate-
matica.
N el paragrafo 22 abbiamo dimostrato che, se un' applicazione F : U ---t Rn
è un diffeomorfismo di U su un aperto, allora F*a è un isomorfismo per ogni
a E U (corollario 22.2). Il teorema 24.1 inverte questo risultato. Si osservi che
dall' enunciato del teorema 24.1 e dal corollario 22.2 segue in particolare che se
F*a è un isomorfismo in un punto a E U allora F*x è un isomorfismo in ogni
punto x appartenente ad un intorno aperto di a; in altre parole il luogo dei punti
x E U in cui F*x è un isofnorjislno è aperto.
Ciò che è notevole nel teorema 24.1 è che esso permette di concludere che
un n10rfismo ha una proprietà topologica c differenziale molto forte a partire
dall ' informazione, molto semplice da verificare, che F*a è un isomorfismo, cioè
che la matrice jacobiana J F(a) ha determinante diverso da zero.

208
Varietà differenziabili I Cap. 5
Ad esempio, sia U un aperto di C e f : U ---t C un' applicazione olomorfa.
Segue dall' esempio 22.5(4) che I è un diffeomorfismo locale in un punto z E U
se e solo se l' (z) =I- O.
Consideriamo un morfìsmo di varietà differenziabili f : X ---t Y. Diremo f
un diffeolnorfismo locale nel punto x E X se f induce un diffeomorfismo di un
intorno aperto di x su un intorno aperto di f(x). f si dirà difjeoln()J:{ismo locale
se lo è in ogni punto x E X.
Un diffeomorfismo locale è anche un omeomorfismo locale.
Ovviamente un diffeomorfismo è un diffeomorfismo locale, ma il viceversa non
è in generale vero: ad esempio, il morfismo
E : R ---t SI, E(x) = e 21rix
è un diffeomorfismo locale ma non è un diffeomorfismo. Ogni inclusione aperta
è un diffeomorfismo locale ma non è un diffeomorfismo se non è suriettiva. Si
osservi che se esiste un diffeomorfismo locale f : X  Y allora dim(X) = dim(Y).
Segue immediatalnente dalla definizione che, se I : X ---t Y è un diffeomorfismo
locale in x E X e g : Y ---t Z è un diffeomorfismo locale in I(x), allora g . I è un
diffeomorfismo locale in x; quindi la composizione di diffeomorfismi locali è un
diffeomorfismo locale.
Il teorema 24.1 può anche enunciarsi così: se F*a è un isomorfismo, F è un
diffeomorfismo locale in a. In tale forma questo risultato ammette un' immediata
estensione a morfismi tra varietà.
24.2 TEOREMA Sia f : X ---7 Y un lnorfismo di varietà differenziabili ed
x E X. f*x è un ison10rjislno in x se e solo se I è un diffeomorfismo locale in x.
La dimostrazione del teorema è un facile esercizio sull'uso delle carte locali e
viene lasciata al lettore.
24.3 Eselnpi
1. Sia I : SI  R, I(x, y) = x, il morfismo indotto dalla proiezione. Il
differenziale f*x si annulla in x = (-1, O), (l, O), i punti in cui la retta tangente
è parallela aH' asse y. In un qualunque intorno di uno di questi punti f non è
biunivoca e quindi non è un diffeomorfismo locale. In ogni altro punto di SI I
è un diffeomorfismo locale (fig. 24.1).
2. Sia s : R 2  R 2 , s(u, v) = (u, uv). Siano (u, v) coordinate nel dominio e
(x, y) nel codominio. La matrice jacobiana di s in un punto (u, v) è:
J s( u, v) = ( : )

24 I DiffeomollisI11i locali
209
Figura 24.1
e quindi s è un diffeomorfismo locale in tutti i punti che non appartengono alla
retta u = O. Infatti la restrizione di s a R 2 \ {u = O} è un diffeomorfismo
R 2 \{u = O}  R 2 \{x = O}
il cui inverso è
b: R 2 \{x = O}  R 2 \{u = O}
b(x, y) = (x, ) .
Tutta la retta u = O viene mandata da s nell' origine. Quindi
Im(s) = [R 2 \{x = O}l u {O}
non è aperta.
11 fatto di essere un diffeomorfismo locale è una proprietà locale dei morfismi,
che si verifica punto per punto; invece la proprietà di essere un diffcomorfismo
è di natura globale perché un diffeomorfìsmo dev' essere necessariamente un' ap-
plicazione biunivoca. La biunivocità è anche sufficiente perché un difTeOlTIOrfislTIO
loca1e sia un diffeomorfismo:
24.4 PROPOSIZIONE Se f : X  Y è un diffeol1un:fislno locale e un' applica-
zione biettiva, allora f è un diffe ()In o rfisl1 10.

2/0
Varietà differenziabili I Cap. 5
DÙnostrazione. Poiché f è biettiva l'applicazione inversa f- l : Y  X è
definita. Inoltre, essendo f un diffeomorfismo locale, ogni punto y E Y possiede
un intorno aperto V tale che la restrizione di f ] a V sia un diffeomorfismo; in
particolare f-] è un morfismo. Quindi f e f- l sono diffeomorfismi uno inverso
dell' altro. Il
Un esempio di diffeomorfislTIo locale suriettivo che non è un diffeomorfismo è
l'applicazione z 1--7 e Z , di C\{O} in sé; la controÌ111magine di ogni punto w E C\{O}
è un insieme infinito discreto: questa proprietà è un caso particolare di un risultato
generale che ora dimostreremo.
Consideriamo un morfìsmo I : X -+ Y di varietà e supponiamo dim(X) =
= dim(Y). Un punto y E Y si dirà valore regolare di I se f è un diffeomorfi-
smo locale in ogni punto x E f '(y); altrimenti y è detto valore critico di f. Questa
definizione rientra in una più generale che daremo nel prossimo paragrafo. Si os-
servi che dalla definizione segue che ogni punto y E Y tale che f- '(y) = 0 è un va-
lore regolare perché la condizione della definizione è banalmente soddisfatta in y.
24.5 TEOREMA Sia f : X -7 Y un lnorfislno di varietà e supponialno dim(X) =
= dim(Y). Sia y E Y un valore regolare di I. Allora:
(a) L' insie111e f l (y) è un sottopazio discreto di X (eventualmente vuoto).
(b) Se X è cOlnpalto allora I '(y) è un insielne finito ed esiste un aperto
V C Y contenente y tale che ogni y' E V è un valore regolare di f e gli
insien1i 1--] (y) ed f l (y') hanno lo stesso nUlnero di elen1enti. In particolare
l'insielne dei valori regolari di f è un aperto di Y.
DÙllostrazione
(a) Sia x E f- ] (y). Poiché f è un diffeomorfismo locale in x, esiste un intorno
aperto U di x mandato da f diffeomorficamente su un intorno aperto di y; in
particolare f è bi uni voca in U e quindi f I (y) n U = {x}.
(b) f-' (y) è un sottoinsieme chiuso e discreto di uno spazio compatto e quindi
è fìnito. Sia f - I (y) = {x" . . . , x n }, e per ogni i = 1, . . . , n sia Ui un intorno aperto
di X'i Inandato da f diffeo1110rficalTIente su un intorno aperto di y. Al10ra
V = r f(U]) n . . . n !(Un)]\f(X\(U, u . . . U Un»)
è un aperto di Y contenente y che ha le proprietà volute. 11I
L'ultima asserzione del teorema può anche esprin1ersi così. Sia W C Y l'aperto
dei valori regolari: la funzione W --+ N che associa a y E W il numero # f '(y) dei
punti dell' insieme f - l (y) è locahl1ente costante, cioè è costante su ogni componente
con nessa di W.

24 I D iffeom()/fismi locali
211
Anche se è molto sen1plice, il teorema 24.5 ha notevoli conseguenze. Vediamone
alcune.
Identifichiamo C al piano euclideo R 2 e sia 7[+ : S2\ {(O, O, l)} --+ C la proiezione
stereografica. Sia F : C  C un morfismo. Direrno che F si estende all'infinito
se esiste un morfismo F : S2 --+ S2 tale che F = 7[+ . F . 7[ l, cioè se esiste fr la
cui espressione nelle coordinate locali determinate da 7[ + è F. Segue dal teorema
24.5(b) che se F si estende aH' infinito e possiede almeno un valore regolare
(per esempio è olomorfa) allora esiste un aperto non vuoto W di C tale che
# F" l (w) < 00 per ogni w E W. Ciò non avviene ad esempio per la funzione
esponenziale z 1--+ e Z , la quale ha tutto C come insieme di valori regolari, ma
ognuno di essi ha controimmagine infinita: pertanto e Z non si estende all' infinito.
La stessa cosa avviene per tutte le funzioni olomorfe intere f : C --+ C dotate di
una singolarità essenziale aH' infinito.
Una classe di morfÌsmÌ che si estendono alI' infinito sono i polinomi. Se
p (Z) = ao + a l Z + . . . + a n Zn
è un polinomio a coefficienti complessi di grado effettivo n (a n =I- O), allora la
corrispondente funzione P : C --+ C si estende all 'infinito. Infatti la restrizione di
7[+ l. P '7[+: S2\{(0,0, l)} --+ S2
a S2\ {(O, O, l), (O, O, -l)} è, nelle coordinate locali date da 7[ , la funzione:
( l ) zn
Q(z) = P = = - - - n
Z ao + al z + . . . + anz
(cfr. 920). Poiché Q(z) si estende a una funzione (olomorfa e quindi) di classe
C(OO) in un intorno di O, 7[ l . P . 7[+ si estende a un morfismo P : S2 --+ S2.
Il teorema 24.5 permette di dare una nuova semplice dimostrazione del teorema
fondamentale deIl' algebra.
24.6 TEOREMA FONDAMENTALE DELL"ALGEBRA Ogni polirunnio non costante
a coefficienti c(nnplessi possiede una radice in C.
Di1nost razione
Sia P(Z) = a() + al Z +. . . + anZ n un polinomio a coefficienti complessi di grado
effettivo n > l, e sia P : C  C la corrispondente applicazione. Sarà sufficiente
dimostrare che P è suriettiva. Sia z E C: P è un diffeomorfismo locale in z se
e solo se p' (z) =f O. Poiché i l polinomio p' (Z) non è identicamente nullo, esso si
annulla in un numero finito di punti {Zl  . . . , Zk} e quindi C\ {P(ZI)' . . . , P(Zk)} è
l'insieme dei valori regolari di P. Poiché P si estende all'infinito, per il teorenla
24.5(b) la funzione #p-l(w) è costante al variare di w E C\{P(z}),...,P(Zk)}'
essendo quest' insieme connesso. Ma # P l (w) non è zero ovunque e quindi è
posi ti vo ovunque. Ciò significa che P è surietti va. /I

212
Varietà d(fferenziabi li I Cap. 5
Esercizi
1. Verificare che la proiezione naturalc T : S2  p2 è un diffeomorfismo locale.
2. Determinare i valori regolari della proiezione
f : sn  R n ,
f(Xj,..., xn+d = (X],..., x n ).
3. Sia f : R  R un diffeomorfismo locale. Dimostrare che Im(!) è un intervallo aperto
e che f definisce un diffeomorfismo di R su Im(f).
4. Dimostrare che se Il : XI  Y 1 , 12 : X2 -4 Y2, . . . ,Ik : Xk ---+ Yk sono diffeomorfismi
locali allora:
f = fl X . . . X fk : XI x . . . X Xk  Y I X . . . X Y k
f(x] , . . . , Xk) = (f] (x d, . . . , I(xk»
è un diffeomorfìsmo locale.
5. Sia U = {(p, O) E R 2 : p > O} e
?
P : U  R-
p(p, O) = (p cos( O), p sin( O».
Dimostrare che p è un diffeomorfìsmo locale. Determinare un aperto massimale V C U
tale che la restrizione PIV sia un diffeomorfismo sull'inlmagine, e determinare p(V). p
J
è detta applicazione di passaggio da coordinate polari a coordinate cartesiane in R 2 .
6. Sia U = {(p,O,<p) E R3: p > O} e
s : U  R 3
s(p, O, cp) = (p cos(O) COs(<p), p sin(O) cos(<p), p sin(<p».
Dinl0strare che 8 è un diffeorTIorfìsmo locale. Determinare un aperto massimale V C U
tale che la restrizione slv sia un diffeol110rfismo su]]'immagine, e determinare s(V).
S è detta applicazione di passaggio da coordinate polari (o jferiche) a coordinate
. . R 3
carle.5lane ln . .
7. Sia W = {(p, O, z) E R 3 : p > O} c
c : W  R 3
c(p, O, z) = (p cos(O), p sin(O), z)
Dimostrare che c è un diffeomorfismo locale. Detenllinare un aperto massimale V C W
tale che la restrizione clv sia un diffcolTIorfisrTIo sull' immagine, e determinare c(V). c
è detta applicazione di passaggio da coordinate cilindriche a coordinate cartesiane in
R J .

25 I Immersioni e sotlovar;età
213
8. Sia X uno spazio topologico di Hausdorff soddisfacente il secondo assioma di numera-
bilità, e Y una varietà differenziabile. Supponianlo che f : X  Y sia un omeomorfismo
locale. Dimostrare che X possiede una struttura di varietà differenziabile tale che f
sia un diffeomorfismo locale.
9. Siano X, Y, Z varietà differenziabili, f: X  Y un diffeomorfismo locale che è un
rivestinlento e g : X  Z un nlorfismo. Supponiamo che si abbia g(x) = g(x') per ogni
x, x' E X tali che f(x) = f(x'). Dimostrare che ponendo per ogni y E Y:
h(y) = f(x),
dove x è un elemento qualsiasi di f- l (y), SI definisce un morfismo h : Y  Z tale
che h. f = g.
25 Immersioni e sottovarietà
25.1 DEFINIZIONE Sia X una varietà differenziabile. Un sottospazio Z C X si
dice sottovarietà differenziabile di dinlensione..,:!!i 'di X se per ogni z E Z esiste un
intorno aperto U z di z in X e un'applicazione differenziabile Fx : U z ---t R m che
induce una biezione Fz di Uznz su un aperto V di B tale che la biezione inversa
V ---t U z n Z sia dijJerenziabile COlne applicazione di V in X. Se dim(X) = n,
l'intero n - m si dice codimensione di Z in X.
Se Z è una sottovarietà di dimensione m di X, allora ogni coppia (U z n Z, Fz)
è una carta locale in Z. La condizione che Fz e la sua inversa siano differen-
ziabili implica che due qualsiasi di queste carte locali sono differenziabilmente
compatibili. Pertanto {(U z n Z, Fz)} zEZ costituisce un m-atlante differenziabile in
Z, e quindi Z è una varietà differenziabile di dimensione m.
Nella definizione 25.1 rientrano come casi particolari le sottovarietà di R N
(definizione 20.1; vedi fig. 25.1).
Una sottovarietà di dimensione O è un sottoinsieme discreto di X.
Una sottovarietà di dimensione n di una varictà differenziabile X di dimensione n
è una sottovarietà aperta. Ciò segue facilmente dal teorema 24.2 (cfr. esercizio l).
Segue subito dalla definizione che l' applicazione  : Z  X di inclusione di
una sottovarietà Z in X è un morfismo di varietà. Inoltre in ogni punto z E Z il
differenziale
*z : Tz(Z) ---t Tz(X)
è inietti vo: la dimostrazione è simile al caso delle sottovarietà di R N (cfr. corollario
22.2) e vicnc lasciata al lettore.
25.2 DEFINIZIONE Un lnorfisl11() di varietà dijj'erenziabili f : X -+ Y è
un 'ÌIl1mersione nel punto x E X se f*x : Tx(X) ---7 Tf(x)(Y) è iniettivo. f è
un 'immersione se è un 'Ùn111ersione in ogni x E X.

2/4
Varietà difj'erenziabili I Cap. 5
Figura 25.1
La definizione di immersione è data e si verifica punto per punto; è quindi una
nozione di natura locale. Se I è un' immersione in qualche punto x E X, allora
dim(X) < dim(Y), e se vale l'uguaglianza allora I è un diffeomorfismo locale.
Se f : X ---t Y è un'immersione in x E X e g : Y ---t Z è un'immersione in
I(x), allora g' f è un'immersione in x; pertanto la composizione di immersioni è
un' immersione.
Un morfismo di varietà differenziabili F : X ---t Y è un' inclusione differenziabile
se induce un diffeomorfìsmo di X su una sottovarietà di Y, cioè se I(X) è una
sottovarietà di Y e I : X ---t f(X) è un diffeomorfismo.
Se X è una sotto varietà di Y, l' applicazione  : X C Y che manda X in se
stessa è un esempio di inclusione differenziabile, che si chiama inclusione naturale
della sottovarietà X in Y. L'applicazione di R n in R n + m che manda
(x l  . . . , xnJ  (x I, . . . , x n , O, . . . , O)
[25.1 ]
è un' inclusione differenziabile e un  imlnersione.
25.3 PROPOSIZIONE Ogni inclusione differenziabile è un 'inunersione.
Dimostrazione. Immediata. Il
Il viceversa non è vero. Ad esempio l'applicazione [20.2] non è un'inclusione
differenziabile perché non è iniettiva; ma è un'inllnersione perché
J I(t) = (-r sin(t), r cos(t»
è di rango l per ogni t E R.

25 I Immersioni e sotlovarietà
215
In compenso la proposizione 25.3 può essere invertita localmente.
25.4 PROPOSIZIONE Se I : X ----) Y è un 'imlnersione allora ogni punto x E X
possiede un intorno aperto V tale che la restrizione Ilv : V ----) Y sia un 'inclusione
diffe re nziab ile.
DÙnostrazione. Poniamo y = I(x). Siano cp : A ----) X l'inversa di una carta
locale in un intorno di x, 1/J : B ----) Y l'inversa di una carta locale in un intorno
di y, dove A C R n e B C R m sono aperti. Siano a E A, b E B tali che cp(a) = x,
1/;(b) = y, e supponiamo, come è lecito fare, che si abbia I( cp(A» C 1jJ(B). Si ha
un diagramma commutativo:
f
----)
X
cp i
A
Y
i1/;
B
----)
H
In cui H = 1jJ l . f . cp. Per costruzione H(a) = b. Per ipotesi H*a è iniettiva:
pertanto la matrice jacobiana J H(a) ha rango massimo n, c, salvo riordinare le
variabili, possiamo supporre sia della forma:
JH(a) = C)
dove M E GLn(R), N E M m n,n(R).
Definiamo K : A x R rn - n ----) R m nel JTIodo seguente:
K(v, w) = H(v) + (O, w).
Allora K(a, O) = H(a) = b e
JK(a,O) = ( ImO-n)
dove O è la matrice nulla n x Cm - n). Si ha det(J K(a, O» = det(M) #0: per
il teorema 24.1 K è un diffeomorfìsmo locale in (a, O). Anche la composizione
1/; . K è un diffeomorfìsmo locale in (a, O): pertanto esiste un aperto W C A x
R rn n contenente (a, O) tale che la restrizione (1jJ. K)IT-V : W ----) Y sia una carta
locale relativa a un intorno di y. Poniamo U = W n (A x {O}). Allora j : U C
W è un'inclusione differenziabile e quindi anche r(1/;. K)lw J . j è un'inclusione
differenziabile.
X
CPIU i
U
f
----)
Y
i (1jJ. K)lw
W
----)
j

216
Varietà difJerenziabili I Cap. 5
Poiché 'PIU : U ---t X è l'inversa di una carta locale in un intorno di x, l'asserto
è dimostrato. 11I
Si osservi che dalla dimostrazione della proposizione 25.4 segue che esistono
coordinate locali in un intorno di x e in un intorno di Y tali che f si esprima in
coordinate locali nella forma [25.11.
Affinché un' immersione sia anche un' inclusione differenziabile è necessario che
sia un' applicazione inietti va. L'inietti vità non è però sufficiente: non è difficile dare
esempi di immersioni che sono inietti ve ma che non sono inclusioni differenziabili
(cfr. il successivo esempio 25.6(1)). L'iniettività è sufficiente nel caso in cui il
dominio dell' applicazione è una varietà compatta.
25.5 PROPOSIZIONE Sia f : X ---t Y un' Ùnnze rsione lluettiva. Se f è un' ap-
plicazione propria allora è un 'inclusione differenziabile. In particolare se X è
conlpatta f è un 'inclusione differenziabile.
Dimostrazione. L'ultima affermazione segue dalla prima, perché se X è com-
patta allora f è propria perché Y è di Hausdorff.
Dimostriamo la prima affermazione. lnnanzitutto faremo vedere che l' applica-
zione X  f(X) è aperta e quindi è un omeomorfismo. Sia U C X aperto e
supponiamo f(U) non aperto in f(X); allora esiste una successione {Yi }i l di
punti di f(X)\f(U) che converge ad un punto Y E f(U). Siano {x} = F- l (y),
{x 1 :} = f l(Yi), i = 1,2,.... Poiché {y} U {Yi : i = 1,2,...} è compatto anche
{ x } U {Xi : i = 1, 2, . . .} è compatto, e quindi, a meno di sostituire {Xi }i2: l con una
sottosuccessione, possiamo supporre che esista x' := lim(xi) E X. Ma allora si ha:
F(x') = lin1 F(Xi) = lim(Yi) = y = F(x)
e, per l'iniettività di f, x' = x: quindi lim(xi) = x. l\1a x E U, mentre xi rt: U per
ogni i, e ciò contraddice il fatto che U è aperto. Quindi F(U) è aperto. Dunque
X ---t f(X) è un omeomorfismo. Ma per la proposizione 25.4 F è localmente
un'inclusione differenzi abile; pertanto f(X) è una varietà e X ---t f(X) è un
diffeomorfismo locale biunivoco; dunque, per la proposizione 24.4, X ---t f(X) è
un diffeomorfìsmo. !Il
Ogni parametrizzazione f : U ---t R" 1V , dove U C R n è un aperto, è un' incl usione
differenziabile e, in particolare, un' immersione. Spesso è possibile, per una data
sotto varietà X C R N di dimensione n, assegnare un' immersione f : U ---t R N ,
con U C R n aperto, ta1e che f(U) = X ma che non è una parametrizzazionc:
questo morfismo, di volta in volta opportunamente ristretto, fornisce, grazie alla
proposizione 25.4, parametrizzazioni le cui immagini ricoprono tutta la varietà
e le cui inverse ne definiscono quindi un atlante. Un'immersione f con queste
proprietà si dice talvolta una rappresentazione paralnetrica di X, c le con1ponent i

25 I Immersioni e sottovarietà
2/7
di 1 si chiamano equazioni parametriche di X. Un esempio di rappresentazione
parametrica della circonferenza SI è costituito dall'immersione [20.2]; altri esempi
sono descritti più avanti.
25.6 Esen1pi
l. Sia 1 : R  R 2 definita da 1(0) = (cos(O), sin(20». Si verifica immediatamente
che 1 è un' immersione. La sua restrizionc alI' aperto  = (O, 7r /2) U (7r /2, 27r) è
biunivoca, ma l'inversa non è continua perché I() = I(R) è connesso, mentre
11 è sconnesso. Quindi /16. è un' imn1ersione iniettiva che non è un' inclusione
differenziabile (fig. 25.2).
2. Le applicazioni [22.21 e [22.4] non sono rappresentazioni parametri che perché
non sono ovunque immersioni. La restrizione della [22.21 a (- ; , ; ) x R è una
rappresentazione para!netrica di 8 2 (0, r)\ {(O, O, ::f:r)}. La restrizione della l22.41
all'aperto (- ; , ; ) x R n - I è una rappresentazione parametrica di 8 n (0, r)\
\ {(O,..., O, ::f:r)}.
3. L'applicazione:
cp : R 2  R 3
cp(u, v) = (r cos(u), r sin(u), v)
è una rappresentazione paraITIctrica del ci lindro con asse l'asse Z, e sezione oriz-
zontale la circonferenza S I (O, r) C R 2 .
4. Toro in R 4 . L'applicazione:
. R  R 4
ep. 
ep(u, v) = (cos(u), sin(u), cos(v), sin(v»
è una rappresentazione paranlctrica del toro T 2 = SI X SI (cfr. esempio 22.5(5».
J1'igura 25.2
ti

2/8
Varietà dijj'erenziabili I Cap. 5
,5. Superfici rigate. Una superficie rigata di R N è una superficie descritta da una
retta (o da un suo aperto) che varia in dipendenza di un parametro. Di solito una
rappresentazione parametrica di una superficie siffatta è ottenuta assegnando una
curva o: : J -+ R N e, per ogni u E J, una retta r( u) passante per 0:( u), assegnata
mediante un suo vettore di direzione v( u) # O, in modo che la con.ispondente
applicazione v : J -+ R N sia di classe C(OO). Una rappresentazione parailletrica
della superficie è quindi, in forn1a vettoriale:
cp(u, v) = o:(u) + vv(u),
[25.21
dove (u, v) varia in un opportuno aperto U di J x R. Le rette r(u) si dicono
generatrici, e la curva o: direttrice, della superficie rigata. Affinché la [25.21
definisca un'immersione è ovviamente necessario che la sua matrice jacobiana
abbia rango 2, il che si traduce in opportune condizioni su 0:, su v e su U.
Precisamente è immediato calcolare che la [25.21 è un'immersione nell'aperto
U costituito dagli (u, v) per cui i vettori a/(u) + vv'(u) e v(u) sono linearmente
indi pendenti.
Il cilindro descritto nell' esempio 3 è una superficie rigata di R 3 in cui
o:(u) = (r cos(u), r sin(u), O)
e v( u) = (O, O, 1) è costante.
Più in generale chiameremo cilindro una superficie rigata tale che le generatrici
siano parallele tra loro; se la superficie è assegnata con rappresentazione parame-
trica [25.21, si può sempre fare in modo che v(u) = Va sia costante al variare di
u. Una sua rappresentazione parametrica è pertanto:
cp(u, v) = o:(u) + vV().
Una superficie rigata in cui la curva direttrice è costante, cioe In cui tutte le
generatrici passano per uno stesso punto p, si dice un cono di vertice p. Una sua
rappresentazione parametrica è:
cp ( u, v) = p + v v( u), v # O
6. Superfici di rotazione in R 3 . Se o: : J  R 3 è una rappresentazione para-
metrica di una l-varietà la cui immagine è contenuta in un piano H, e r è una
retta di H tale che r n o:(J) = 0 allora, al variare del piano H nel fascio di asse
r, o:(J) descrive una superficie detta di rotazione.
Per verificare che si tratta effettivamente di una superficie, supponiamo per sem-
plicità che H e r siano un piano e un asse coordinati, ad esempio il piano z = O
c l'asse y = z = O. Poiché r n o:(J) = 0 possiamo supporre che a(J) sia contenuta ad

25 I Immersioni e sottovarietà
2/9
esempio nel sell1ipiano y > O. Pertanto sarà a(u) = (a] (u), a2(u), O), con a2(u) > O
per ogni u E J. Allora il luogo descritto è l'immagine dell' applicazione:
ep : J x R -4 R 3
ep(u, v) = (al(u), a2(u)coS(v), a2(u) sin(v».
Infatti, per ogni fissato uo, 'P(uo,') : R -+ R 3 ha per immagine la circonferenza
del piano di equazione x = al (Un), di centro il punto (al (Uo), O, O), descritta dal
punto o:(uo) quando H varia attorno a r. La matrice jacobiana di ep è:
J'P =
a ( U )
aj(u) cos(v)
o:i(u) sin(v)
O
- O:2( u) sin( v)
a2(u)coS(v)
Poiché per ipotesi O:2(U) > O e (a (u), a(u» =1-(0, O) per ogni u E J, Jep ha
ovunque rango massimo e quindi 'P è una rappresentazione parametrica. Da ciò
segue che ep(J x R) è una superficie.
7. L'immagine di un n1orfis111o X -+ Y di varietà differenzi abili non è in
generale una sottovarietà di Y. L'applicazione s considerata nell'esempio 24.3(2)
ha per in1magine [R 2 \ {x = O} J U {O}, che non è una sottovarietà di R 2 nell'intorno
di O (perché?).
8. La superficie r0111QnG di Steiner. Si consideri t'applicazione
I : R 3 -+ R 3
/(u) = I(uo, U], U2) = (U]U2, UOU2, UOUI)
che è evidentemente differenziabile. La matrice jacobiana di I è:
() U2 U l
J I = U2 O Un
UI Uo O
e det(J I) = 2U()Ul U2. DenotialTIo con Po, PI, P2 i tre piani coordinati di R 3 .
J I ha rango 3 su R 3 \(Po U Pl U P2), ha rango 2 su (Po U Pl U P2)\ {O}, e ha
rango O nell' origine. Quindi f è un diffeomorfismo locale in ogni punto dell' a-
perto R 3 \(po U p] U P2) che viene mandato suriettivamente su se stesso; per ogni
u E R 3 \(po UPI UP2) si ha I(u) = I(-u) e quest'applicazione è "2-]", cioè la
controimmagine di ogni punto di R 3 \ (Po L) Pl U P2) consiste di due punti. Invece
la restrizione di I a po U Pl U P2 manda Po U Pl U P2 sull'unione TO U TI U T2 dei tre

220
VarietlÌ d(fferenziabili I Cap. 5
Figura 25.3
assi coordinati. La controimmagine f '(x) di un punto x E Tj\{O} è un'iperbole
del piano Pj. Infine
f- I (O) = To U TI U r2.
La restrizione di f alla sfera S2 è un' immersione. Infatti si calcola subito
che per ogni u E S2 n (Po U PI U P2) la restrizione di f*u a TuCS 2 ) è inietti va. E
poiché su S2 si ha f(u) = f(v) se e solo se v = :l=u, f induce un'immersione
4J : p2(R)  R 3 . L'immagine R := 4>(P2(R) si chiama superficie di Steiner, o
supel:ficie ronlana (fig. 25.3), così chiamata da J. Steiner che la scoprì durante un
viaggio a Roma nel 1844. La superficie di Steiner è un modello in R 3 del piano
proietti va reale ma non è una superficie differenziabile. L'immersione 4J non è
un' inclusione sull 'unione delle rette coordinate Ho U H, U H 2 e quindi R non è
diffeo1l10rfa a p2(R).
Esercizi
1. Dilllostrare che una sottovarietà di din1ensione n di una varietà differenziabile X di
diITICnsione n è aperta in X.
2. Detenninare il più grande aperto U in cui r applicazione
f : R 2 ---+ R 2
f(u, v) = (u 2 , v 2 , uv)
è unill1mersione. Verificare se fi U è un'inclusione differenziabile.

26 I Summersioni
221
'")
3. Verificare che l'applicazione I : R  R"-
I(t) = (sin(t), sin(t)cos(t))
è un  imInersione e determinarne l'immagine.
4. Sia
I : R 2 ---+ R 3
I(u v) = (sin(u), sin(2u), v).
Determinare "il luogo in cui I è un'immersione.
26 Summersioni
26.1 DEFINIZIONE Un lnorfislno di varietà differenziabili f : X  Y è una
summersione nel punto x E X se f*x : Tx(X) -+ Tf(x)(Y) è suriettivo; f è una
summersione se è una sunlnlersione in ogni x E X. Il punto x è detto punto
regolare per f se f è una sumnlersione in x. Se non è un punto regolare:, x è
detto punto critico per f. Un punto y E Y si dice valore regolare di f se ogni
x E f ! (y) è un punto regolare; altrÙnenti y è detto valore critico per f.
In particolare, se y  Im(f), y è un valore regolare di f; se dim(X) < dim(Y)
ogni x E X è un punto critico e y E Y è un valore regolare per f se e solo se
y  lm(f).
Anche la nozione di summersione, come quella di immersione, è di natura
locale. Se f è una summcrsione in qualche punto x E X allora dim(X) > dim(Y),
e se vale l'uguaglianza allora f è un difJeomorfismo locale in x.
Se f : X  Y è una summersione in x E X e g : Y  Z è una summersione in
f(x), allora g. f è una summersione in x; pertanto la composizione di summersioni
è una summersione.
Un esempio tipico di sunlmersione è la proiezione:
. R n + rn R rn
p . ----t
L 26.1 ]
P(XI, . . . , xn+m) = (Xn+l, . . . , x n + m ).
Per ogni punto y E R m la fibra p I (y) è uno spazio euclideo R U , e quindi è
una varietà differenziabile di dimensione n. Un risultato analogo è vero per ogni
sumnlerSlone.
26.2 TEOREMA Sia f : X  Y una sUl1unersione nel punto x E X, e Sia
:ti = f(x). Allora f-- 1 (y) è una sottovarietà difJèrenziabile di X di dÙnensione
dim(X) - dim(Y) in un intorno di x.

222
Varietà d(flerenziabili I Cap. 5
DÙnoslrazione. Supponiamo dim(X) = n + m e dim(Y) = m. Sia cp : A ---t X
l'in versa di una carta locale in un intorno di x, 1jJ : B ---t Y l'in versa di una carta
locale in un intorno di y, dove A C R n + m e B C R m sono aperti. Siano a E A,
b E B tali che cp(a) = x, 1P(b) = y. Possiamo supporre che si abbia f(cp(A» C 1P(B)
e quindi che si abbia un diagramma commutativo:
-L y
X
cp i
A
i1P
B
---t
H
in cui H = 1P. l . f . <p. Per costruzione H(a) = b. Per ipotesi H*a è suriettiva e
quindi possiamo supporre (salvo a riordinare le variabili) che la matrice jacobiana
di H in a sia della forma:
JH(a) = (N M)
dove M E GLm(R), N E Mm,n(R). Definiamo K : A ---t R n + m ponendo:
K(v) = (VI, . .. , V n , H(v».
Allora K(a) = (al, . . . , a n , b) e
JK(a) = ( :)
dove O è la matrice nulla n x m. Poiché det(J K(a» = det(M) # O, segue dal
teorema 24.1 che K è un diffeomorfismo locale in a e quindi esiste un intorno
aperto di (ah,'" a n , b) in R n + m , che possiamo suppon.e della forma R x S, con
R C R n e 1..9 C R m ape11i, in cui è definito il diffeomorfisn1o inverso K- 1. Inoltre
per costruzione si ha H = p . K, dove p è la summersione [26.11. Pertanto
4J := cp . K l : R x S ---t X
è un diffeomorfismo su un intorno di x, cioè è l'inversa di una carta locale in x,
e si ha un diagramma commutativo
X -L y
4J i i'l/J
RxS ---t B
p
Allora la composizione:
. 4>
a . R  R x ...9 --+ X,
in cui il primo morfismo è l'inclusione x t---+ (x, O), ha per immagine un intorno
di x in f ] (y), e a(R) è una sottovarietà di X. Il
Il seguente corollario è immediato:
......

26 [ Swnmersioni
223
26.3 COROLLARIO Sia I : X ---t Y un lnorfis111o di varietà differenziabili. Se
y E Y è un valore regolare di f, allora l° l (y), se 1lon è vuota, è una sottovarietà
di dinzensione dim(X) - dim(Y) di X.
Dalla proposizione 26.2 e dal suo corollario 26.3 segue che le fibre di una
summersione sono varietà aventi tutte la stessa dimensione. Ciò in generale non
avviene per un morfismo qualsiasi: la struttura di un morfismo che possiede punti
critici può essere molto complicata (cfr. esempio 25.6(8».
26.4 PROPOSIZIONE Sia f : X ---t Y un l1un:[isl11o di varietà differenziahili,
y E Y un valore regolare di f, e Z = f ] (y). Per ogni punto z E Z si ha:
Tz(Z) = N[!*z : Tz(X) ---t Ty(Y)l.
DÙnoslrazione. Poiché Ilz : Z ---t Y è costante, (!i Z )*z : Tz(Z) ---t Ty(Y) è
l'applicazione nulla. Pertanto, essendo commutativo il diagramma
Tz(Z)
L*z l

C/jZ )*z
1J (Y)
Tz(X)
---t
f*z
per la proposizione 22.1 ed essendo L* inietti va, si ha Tz(Z) C NC/*z). Poiché f
è una summcrsione in z si ha
dirn[N(/*z)J = dim(X) -- dim(Y) = dim(Z).
Ma si ha anche dim(Tz(Z» = dim(Z), e quindi Tz(Z) = N(/*z). Il
I risultati precedenti forniscono un metodo molto semplice per costruire varietà
differenziabili senza dover assegnare carte locali: gli esempi che seguono illustrano
questo metodo.
26.5 Esenzpi
1. Per verificare che la sfera sn è una varietà difTercnziabile senza costruirne
carte locali si può utilizzare il corollario 26.3, osservando che sn è il sottoinsieme
di R rH1 , n > l, definito dall'equazione IlxW = 1, cioè
sn = l-l(l)
dove I : R n + 1  R è l'applicazione f(x) = II x ll 2 = xf + .. . + X.+l' Poiché
JI = (2x],...,2x n +I),
l è un valore regolare di f, e dal corollario 26.3 discende che sn è una sottovarietà
di dimensione n di R n + l .

224
Varietà dij]"erenziabili I Cap. 5
2. Sia P(X, Y) E RlX, Y] un polinomio non costante nelle indeterminate X,
Y a coefficienti reali, e sia C = {(x, y) E R 2 : P(x, y) = O} C R 2 la curva piana
definita da P. Se in ogni punto p E C si ha
( 8P 8P )
ax (p) ay (p) #(O O)
[26.21
allora O è un valore regolare dell' applicazione P : R 2 ---t R definita dal polinomio
P(X, Y), e quindi C è una varietà di dimensione l.
In generale l'insieme dei punti p E C in cui la condizione [26.2 J è soddisfatta
è un aperto di C che è una varietà di dimensione l. C può consistere di di verse
componenti connesse, alcune delle quali possono ridursi a un punto. In un punto
isolato di C si devono annullare entrambe le derivate parziali di P, perché
altrimenti un intorno del punto in C sarebbe una varietà di dimensione l.
Ad esempio la curva di equazione
y 2 = X 2 (X - l)
che è una cubica di tipo speciale ("parabola campaniforme puntata"; cfr. Sernesi
1989, p. 352), consiste di due componenti connesse, una delle quali è ridotta al
solo punto O, e in O le derivate parziali si annul1ano.
3. Gli esempi 1 e 2 sono casi particolari di ìpersuperfici algebriche di Rn+l.
Sia n > l e sia P(X) E R[X I = R[X 1  . . ., Xn+1 J un polinomio non costante in
n +] indeterminate a coefficienti reali, n > l, e sia X C R n + 1 il luogo dei punti
in cui si annulla P. Se in ogni punto p E X si ha
( ap ap )
8X 1 (p)..., aX n + 1 (p) #(0,...,0)
[26.31
allora O è un valore regolare di P e X è una sottovarietà di dimensione n di
R n +! chiamata ipersuperficie algebrica non singolare.
Più in generale l'insieme dei punti p E X in cui la condizione [26.3] è sod-
disfatta è un aperto di X che è una varietà di dimensione n.
Sono esempi di i persuperfici algebriche le quadriche Q C R n + 1 , che hanno
equazIone:
n+1 n+1
 aJ'jXj + 2 .  aijXiXj + 2  aOjXj + aoo = O.
)=1 I::S;) <}::;n+1 J=I
[26.4 ]
Per una quadrica la condizione [26.31 è soddisfatta in ogni punto se e solo se
la quadrica è non degenere cioè se la matrice simmetrica dei suoi coefficienti
A = (aij) soddisfa det(A) # O.
La classificazione euclidea delle quadriche di R 3 consiste delle seguenti 5
quadriche non degeneri Q in forma canonica (vedi fig. 26.1), a cui ogni quadrica

26 I Summersiolli
(a)
(c)
225
)la.
(b)
I
I
l
I
(d)
.... .::.. \
----_\-_------_\
/'"
(e)
Figura 26.1

non degenere è congruente (cfr. Sernesi 1989, p. 380):
X 2 y2 Z2
(a) --;;- + b 'ì + -;;- = 1
a- .. c-
X 2 y2 Z2
(b) - + - - - = l
a 2 b 2 c 2
X 2 y2 Z2
(c) - - - - - = l
a 2 b 2 c 2
X2 y2
(d) - + - -- Z = O
a 2 b 2
X2 y2
(c ) - - - -- Z = O
a 2 b 2
226
Varietà differenziabili I Cap. 5
(a > b > c > O)
ellissoide
(a > b > O, c > O) iperboloide iperbolico (a una ,falda)
(a > O, b > c > O) iperboloide ellittico (a due ,falde)
(a > b > O)
parab%ide ellittico
(a, b > O)
parab%ide iperbolico
La condizione [26.3 J è soddisfatta in ogni punto di ciascuna delle (a),..., (e) e
quindi queste quadriche sono superfici differenziabili. Le quadrichc (b), (e) sono
caratterizzate dalla condizione det(A) > O e sono superfici rigate (cfr. esempio
35.9(9», mentre le (a), (c), (d) sono caratterizzate dalla condizione det(A) < O e
sono superfici a punti elI ittici (cfr. esempio 35.9(8).
"I
4. GLn(R) si identifica all'aperto di Mn(R) = R n - definito dalla condizione
det(A) =I- O, c quindi è una varietà- di dilTIensione n 2 . Sia SLn(R) C GLn(R) il
gruppo lineare speciale. Si ha SLn(R) = det l (l), dove:
det: GLn(R) -t R.
è la funzione determinante, che è differenziabile.
FaccialTIO vedere che l è un valore regolare di del. Se A E SLn(R), la matrice
jacobiana J(det)A è una lnatrice 1 x n 2 il cui elemento di posto i, j è:
a(det(A» _ a  eSltr)
a - _ a L (--1) altrO) . . . antr(n)
a.. a.. (T
l] l]
= (__l)i+j det(A(1 ..... .nll...).. .n»
cioè è il complemento algebrico di a 1 :j nella nlatricc A. Poiché det(A) =I- O non tutti
i complementi algebrici dei suoi elementi sono uguali a O, cioè J(det)A =I-(O . . . , O).
Quindi 1 è un valore regolare di del. Dal coroIlario 26.3 segue che SLn(R) è una
sotto varietà di dimensione n 2 - I di GLn(R).
5. Sia O(n) C GLn(R) il gruppo ortogonale. Una matrice A = (aij) E GLn(R)
appartiene a O(n) se e solo se soddisfa la condizione ulteriore t AA = In, dove
In E GLn(R) è la matrice identità. Consideriamo l'insieme Simm(n, R) C Mn(R)
costituito dalle matrici sin1metricheo Simm(n, R) si identifica a un sottospazio
. l d " d " . n(n + l) d . R n'2 d fi . d Il ".
vettona e I ImenSlone 2 I ( e nIto a e equazioni ai) = aji,
l " . ) " d . .. " .. d o f 'i' . b . 1 d " d . . n (n + l)
< 't < J < n e qUln I e una vancta 1 lerenZla 1 e l lmenSlone 2

26 J SUl1ll1lerSiOl1;
227
L'applicazione:
w : GLn(R) -+ Simm(n, R)
A  t AA
è un morfismo, e O(n) = W U l (In).
Dimostriamo che In è un valore regolare di w. Sia A E GLn(R). Identifichiamo
TA(GLn(R» = Mn(R)
,
perché GLn(R) è un aperto di Mn(R) = R n -, e
Tw(A)(Simm(n, R» = Simm(n, R)
perché Silnm(n, R) è uno spazio euclideo. Interpretiamo i vettori tangenti come
vettori velocità di curve differenziabili e il differenziale per 111eZZO dei vettori
velocità. Sia M E TA(GLn(R». Allora M è il vettore velocità della curva:
t  A + tM
e
w*A(M) = dlt(A + tM)(A + tM) I (O) =
dt
= d[tAA + t(tM A ::AM) + t 2 (tMM) (O) = (MA + (AM.
Supponiamo A E O(n) e N E Simm(n, R). Allora
( AN ) 1 _ l
W*A 2 = 2 It (AN)A + tA(AN)] = 2 (tN + N)] = N.
Ciò prova che in A il differenziale W*A è suriettivo, cioè che A è un punto
regolare. Quindi In è un valore regolare di w. Segue dal corollario 26.3 che O(n)
è una varietà di dimensione:
') n(n + l)
n- - =
2
n(n - 1)
2
6. Un gruppo di Lie è una varietà differenziabile G che è anche un gruppo
con prodotto J..L : G x G -+ G e inverso i : G -+ G che sono morfismi di varietà.
Negli esempi 4 e 5 abbiamo dimostrato che i gruppi GLn(R), SLn(R) e O(n)
sono varietà differenziabili. È illlmediato verificare che le rispettive operazioni J..L
e  sono applicazioni differenziabili e quindi GLn(R), SLn(R) e O(n) sono gruppi
di Lie.

228
Varietà differenziahili I Cap. .5
7. Sia 7r: R 2 \{0} ----tpl, 1r(XO,Xl) = [xo,xIJ, la proiezione canonica, e sia
r(1r) = {«xa, XI), fxo, xtJ)} C [R 2 \ {O}] x pl
il grafico di 1r. Consideriamo r(7r) come un sottoinsieme di R 2 x pl e SIano
n = r(7r)
la chiusura di r(7r) in R:! x pl e
..,
a : il ----t R.:.
la proiezione. r(7r) è defìnito in [R 2 \ {O} l X p' dall'equazione
Xo Y, - x l Y() = O
in cui (xa, x l) sono coordinate in R 2 e [Y(), Y 1 ] sono coordinate omogenee in pi.
La stessa equazione definisce un chiuso C in R 2 x pl che coincide con n. Infatti
n c C perché C è chiuso. Inoltre sia il\r(7r) che C\r(7r) sono contenuti in
{O} x pl; d'altra parte ogni punto «O, O), [Yo, yd) E {O} x pl appartiene a fI perché
«O, O), [Yo, Yl J) = lim «tyo, tYI), ryo, Yl J)
to
e «tYO,tYI), [yo,yIJ) E r(7r) per ogni t=fO.
In particolare vediamo che
n = r( 1r) U ( {O} x P I)
c
a l (O) = {O} x pi
mentre (J I «xo, xd) consiste del solo «xo, XI), [xo, xIl) per ogni (xo, xd =f(0, O) (fig.
26.2).
Verifichiamo che fI è una superficie differenziabile. Definiamo:
..,
Fo, Fl : R" ----t n
Fo(u, v) = «u, uv), [1, v])
F] ( u, v) = «uv, v ), l u, 1]).
L'immagine di Fa è l'aperto fI n (R 2 x Uo) di n, dove:
Un = {[Yo, yIJ E pl : Yo =f0}.

26 I Summersioni
{O} X p1
22Y
L'applicazione
G o : n n (R 2 X Un) ---t R 2
((XO,XI), [YO,Yl]) 1--+ ( xo, '#..!.. )
Yo
a
Figura 26.2
è inversa di F(); quindi C o è una carta locale in n. Similmente l'immagine di F]
è l'aperto n n (R 2 x U 1 ) di O, dove:
U j = {rYo,Yd E pl: Yl #O}
e
Cl: nn (R 2 x U 1 ) ---t R 2
((Xo, Xl), [Yo, Yd) I-> (  , XI)

230
Varietà d(fferenziabili I Cap. 5
è l'inversa di F 1 , e quindi G] è una carta locale in n. Poiché:
( C l . G  l) ( u, v) = (C l . Fa) ( u, v) = (v - l , uv)
vedian10 che C o e C I sono differenziabilmente compatibili e quindi
{(n n (R 2 x U o ), C o ), (D n (R 2 x U 1 ), Cl)}
costituisce un 2-atlante differenziabile per n. Pertanto n è una superficie diffe-
renziabile. Si osservi che la composizione (J . Fo coincide con l'applicazione s
considerata nell' esempio 24.3(2).
L'applicazione (J : il -+ R 2 è differcnziabile. Le fibrc (J ]«xa xd), (xo, xd #(0, O),
sono ridotte a un solo punto e quindi sono varietà di dimensione O. La fibra
(J - l (O) = {O} X pl è una varietà che ha dimensione l > O = din1(n) - dim(R 2 ). In
particolare (J non è una summersione nei punti di (J l (O) anche se la fi bra (J ] (O)
è una sottovarietà di n.
La superficie n è detta scoppianlento (o tra.\formazione 11101loidale) di R 2
in O.
Esercizi
-")
1. Sia n 2:: 2 e Mn(R) lo spazio delle ITIatrici n x n a e]cITIcnti reali, identificato a R n -.
Denotiamo con Mn(R)s il chiuso costituito dalle matrici di rango  s. Dilnostrare che
l'applicazione:
det: Mn(R)\Mn(R)n 2 ---+ R
è una sUlllmersione. Dedurre che il luogo delle tnatrici di rango n - l è una sottovarietà
di Mn(R) di dimensione n 2 - l.
2. Siano n, m > l e l  r  min{ n, m}. DilTIOstrare che nello spazio Mn.m(R) dclle
Inatrici n X m a elementi reali, identificato a R nm , il luogo V r delle Inatrici di rango
r è una sottovarietà di codinlcnsionc (m - r)(n - r).
(SuggerÌJnento. Se A E Mm,n(R) ha rango r al10ra possiede una sottomatrice quadrata
A(il ... irlil .. .jr) di rango r. L'applicazione <p : Mm.n(R) ---+ R(rn-r)(n-r) che associa a
n E Mm.n(R) gli (rn - r)(n - r) minori ottenuti orlando nei, .. .irli, .. .jr) è differen-
ziabile ed esiste un intorno U di A tale che U n V r = c.p - 1 (O). Verificare che <p è una
SUlllI11ersione in A).
3. In ciascuno dei seguenti casi verificare se il sottoinsicllle 8 di R 3 definito dalI' equazione
assegnata è una superfici c differenziabile:
(a) X 2 - y 3 + Z4 = l:
(b) Xy Z = O;
( c) Xy Z = 1;
(d) X 3 - Y = l;
(e) XY+YZ+XZ= l;
(f) Xly + Xy 2 = Z.
In caso negativo determinare il più grande sottoinsieme di S che è una superficie
differenziabile.

27 I Applicazioni d(fléren::.iabili e insiemi di misura nulla
23/
4. In ognuno degJi esclnpi delr esercizio 3 si consideri il piano 1r : X - y = O, e SI
verifichi se S lÌ 1r è una varietà diffcrcnziabilc di ditnensionc I.
5. Detern,inare i valori del paralnctro t E R per cui il sottoinsieme S di R 3 definito dallc
equazioni X + Y = t, X 2 + y 2 = ], è una sottovarietà differenziabile di dimensione 1.
27 Applicazioni differenziabili e insiemi di misura nulla
U n valore critico di un' applicazione differenziabi le f : X  Y tra varietà è
un punto al di sopra del quale il morfismo ha un comportamento in qualche
modo ilTcgolare, o perché la fibra ha dimensione superiore a dim(X) - dim(Y)
oppure perché non è una varietà. È importante avere informazioni su quanto
numerosi possono essere i valori critici. Una risposta completa a questa questione
è fornita dal lemma di Sard, il quale afferma che tali punti non possono essere
troppi, perché costituiscono un insieme 'di misura nul1a". In questo paragrafo
discuteren10 il lemnla di Sard dandone la dimostrazione solo in un caso particolare
che utilizzeremo nel paragrafo 29.
Siano a = (al"", a n ), b = (b l ,..., b n ) n-uple di numeri reali tali che al <
< b], . . . , a n < b n , e sia
R( a, b) = (a I , b l) X . . . X (a n , b n ) C R n ,
il prodotto cartcsiano dcgli n intervalli aperti (a" b]),..., (a n , b n ); R(a, b) SI dice
un plurirettangolo (aperto) di R n e il volu11'le di R(a, b) è definito come
n
voI(R(a, b» = n (bi - ai)'
1,=1
27.1 DEFINIZIONE Un sottoinsiellle :3 di R rt si dice di misura nulla (o di
misura n-dimensionale nulla) se per ogni e > O esiste una f(uniglia nUlnerabile di
ex:>
plurireftangoli {Rj } J l tale che 9 C URj e  vol(Rj) < e.
}=I
27.2 Eselnpio
L'iperpiano H C R r1 di equazione X n = O ha misura nulla. Infatti, fissato e > O
( j j" (n - l) ) ( . .. (n I) )
C posto 3j = - 2 ' . . . , - 2 ' -- } 2 2 +j é ,b j =  , . . .,, } 2 2 +j é si ha:
H C l) R(aj, b j )
J
ex:> ex:>
 vol(R(aj, b j » =  2 (l+j)e = - 2 e .
J=I )=1

232
Varielà differenz.iabili I Cap. 5
27.3 LEMMA
(a) Un sotloinsien1e di un insielne di l11isura nulla ha ,nisura nulla.
(b) Se {Sj } } I è una falniglia llul1lerabile di insieJ1zi di l1zisura nulla, S = l) Sj
J
è un insienle di Inisura nulla.
(c) Se R è un plurirettangolo di R n e {Rj }I una .falniglia nU111erabile di
00
plurireftangoli tali che R C UR j , allora voleR) <  voleRi)'
J=l
DÙll0s1razione. (a) e (b) sono lasciate al lettore CalDe esercizio.
(c) Sia R(c, d) un plurirettangolo. Il numero di interi nell'intcrvallo (Ci, di) è
almcno uguale a max{O, di - ci - l} e al più uguale a max{O, di - Ci + l}; quindi
se si ha di - ci > 1 per ogni i = l,..., n il numero di punti a coordinate intere in
n n
R(c, d) è maggiore o uguale a n (di -- ci - 1) e minore o uguale a n (di - ci + 1).
z=l z=l
Supponiamo R = R(a, b) e R i = R(a f , ))l'), dove ai = (a{' . . . , a), IY' = (b{, . . . , b).
Poiché R è compatto è ricoperto da un numero finito di Rj che possiamo supporre
essere R"..., Rs. Pcr ogni -nU111erO reale p > O c per ogni plurirettangolo R(e, d)
poniamo pR( c, d) = R(pc, pd). Sia po tale che per ogni p > Po si abbia bi - ai > 1
s
e b{ - ai' > l per ogni i = 1,..., n, j = 1, . . . , s. Allora, poiché pR C W pRj, e il
)=]
numero di punti a coordinate intere in pR non è superiore a quello dei punti a
coordinate intere in pR 1 U . . . U pRs, si ha:
n s n
n (pbi - pai - l) <  n (pbi' - pai' + 1)
z=] )=1 z=]
per ogni p > POI Dividendo an1bo i membri per pn e passando al limite per p  00
si ottiene la conclusione. !Il
Poiché ovviamente gli insiemi costituiti da un solo punto sono di misura nulla,
dal lemma 27 .3(b) segue che i numeri razionali costituiscono un sottoinsieme Q
di misura nulla di R: in particolare un insicIl1e di misura nulla può essere denso.
Ogni insieme con interno non vuoto contiene la chiusura di un plurirettangolo:
quindi dal lemma 27.3(a), (c) segue che un tale insieme non ha misura nulla. In
particolare esistono insielni che non hanno l1zisura nulla, e ogni insielne di 111isura
nulla ha interno vuoto. Segue che ogni insienze di l1lisura nulla ha cOlnplel11entare
denso.
Gli insiemi di misura nulla godono della proprietà di essere trasformati in
insiemi di misura nulla da applicazioni di classe C(oo):
27.4 TEORE1\1A Sia U un aperto di R n e sia k.9 C U un insielne di 111isura
lZulla. Per ogni applicazione f : U  R n di classe C(OO) l'insiel1le f(S) ha 111!sura
nulla.

27 I Applicazioni d{fferel1ziabili e insiemi di misura nulla
233
DÙnostraz.ione. Poiché esistono sottoinsiemi 1..9 1 , S2  . . ., tali che S = l) Sj e Sj
J
è compatto e contenuto in U per ogni j, per il lemma 27.3 possiamo supporre
che S sia compatto e contenuto in U. Sia V un intorno aperto di S tale che
V sia compatto e contenuto in U. Fissiamo é > O. Per la compattezza di S
possiamo ricoprire S con un numero finito di plurirettangoli RI  . . . , Rk tali che
vol(R]) + . . . + vol(Rk) < é, e poiché V è aperto, possiamo supporre che R 1 , . . .  Rk
siano contenuti in V. Per la compattezza di V esiste M > O tale che
d(f(x), f(Y» < M d(x, y) per ognI x, Y E V.
Ma allora esiste una costante N > O tale che I(Ri) sia contenuto in un
plurirettangolo R tale che vol(R) < N vol(). Segue che f(1..9) è ricoperto
k
da plurirettangoli Ri  . . . , R tali che  voleRi» < Né. La conclusione segue
1,=1
dall'arbitrarietà di c. Il
27.5 COROLLARIO Sia U un aperto di R n e sia f : U ---t R rrl un'applicazione
di classe C(OO), con n < m. Allora f(U) ha l1zisura nulla.
DÙnostrazione. Sia g : U x R rn n ---t R rn l'applicazione definita da g(x I, . . . , x m ) =
= f(XI...,Xn). g è di classe C(OO) e g(Ux{O}) = f(U). Poiché Ux{O} è contenuto
nell'iperpiano Hn, che ha misura nulla (esempio 27.2), segue che U x {O} ha misura
nulla e quindi g(U x {O}) ha misura nulla per il teorema 27.4. Il
Un sottoinsielne S di una varietà X di din1ensione n si dice di 111isura nulla
se per ogni carta locale 4; : U ---t R n , dove U C X è un aperto, il sottoinsieme
4;(8 n U) ha misura nulla.
Abbiamo il seguente teorema:
27.6 TEOREMA Sia f : X ---t Y un I1zorjis111o di varietà difjerenz.iabili con
dim(X) < dim(Y). Al/ora f(X) è un sottoinsienze di ,nisura nulla di Y.
DÙnostrazione. Siano n = dim(X), m = dim(Y). Poiché X e Y sono a base
nun1erabile, possiamo trovare un ricopri mento numerabile {Ui }£EI di X costituito
da aperti diffeomorfi a aperti di R n e un ricoprimento {Vi }iEI di Y costituito
da aperti diffeomorfi a aperti di R m e tali che f(Ui) C Vi. Per il lemma 27.3 è
sufficiente dimostrare che ognuno degli insiemi f(Ui) ha Il1isura nulla e ciò segue
dal corollario 27.5. Il
Il teorema precedente ha in particolare la conseguenza che l'ilnmagine di un
nUnfiS1110 f : X ---t Y, con X e Y tali che dim(X) < dim(Y), ha complel1zentare
denso. Ciò segue dalla proprietà già osservata in precedenza degli insiemi di ll1isura
nulla di R m di avere complementare denso. Esistono però morfismi I : X ---t Y
con din1(X) < dim(Y) tali che anche f(X) sia denso in Y.

234
Varietà dijj'erenziabili I Cap. 5
27.7 Eselnpi
l. Sia T 2 = SI X SI C R 4 il toro e sia
R '" '"
cp: - ---t T-
cp(U, v) = (cos(27ru), sin(27ru), cos(21rv), sin(27rv»).
Fissato m E R consideriamo la retta in R 2 di equazioni paralTIetriche:
a(t) = (t, mt), t E R
e la composizione 1 = cp . o: : R ---t T 2 . 1 è un' immersione perché composizione di
due ilnnlersioni.
Se m = E è razionale allora I(q) = 1(0), e quindi I(R) == l(lO, q 1) è chiuso:
q
quindi l'immagine di 1 è una sottovarietà di dinlensione 1 di T.
Supponiamo m irrazionale e denotiamo con la] la parte intera di un numero
reale a, che è i1 più grande intero che non supera a. Per ogni h, k E Z il punto
a(h) = Ch, mh) E R 2 è congruente al punto (O, mh -lmh] + k) modulo Z2. Pertanto
f(R) contiene l'immagine tramite 'P di tutte le rette parallele a o:(R) e passanti per i
punti (O, mh -lmh 1+ k). Poiché m è irrazionale l'insieme {mh - r mh J + k : h, k E Z}
è denso in R, e quindi l'unione di tutte le rette suddette è densa in R 2 . Segue
che f( R) è denso in T 2 (fig. 27.1).
2. La curva di Peano. Un' applicazione continua, ma non differenziabile, di
una varietà l-dimensionale in una superficie può essere suriettiva. L'esempio più
noto di questo fatto è la curva di Peano, che è un'applicazione continua e suriettiva
L : I ---t 1 2 (I e 1 2 non sono varietà, ma da questo eselllpio non è difficile dedurre
(o,mh - [mh] + k)
...
Figura 27.1

27 I Applicazioni d(tTerel1ziabili e insiemi di misura /lulla
235
Lo Lo G )
:Figura 27.2
L 1
L, (  J
Figura 27.3
L 1 (1 )
un'applicazione f : X  Y continua e suriettiva di varietà tali che dim(X) = l e
dim(Y) = 2).
Definiremo L come limite di una successione di applicazioni. Consideriamo
l'applicazione continua Lo : 1  1 2 descritta dalla figura 27.2. Lo è composizione
di due applicazioni lineari, definite rispettivamente su [O, ] e su [, I] .
Ora consideriamo l'applicazione continua L I : I  1 2 descritta dalla figura 27.3.
Si ha
Lo ((» = L I (O) = (O, O), Lo () = L I () = (, ), Lo (1) = L I (1) = (1 , O).
L d l .. Il ' [ i i + 1 ] . O 3 " . 4 d .
l man a g l lnterva l 4' 4 ' 'l = ,..., " rispettI vamente nel qua ratI
[o,] x [o, ], [o,] x [, l]' U, l] x [, l], [  , l] x [o,] contenuti in 1 2
riproducendo l'applicazione Lo su ognuno di essi. Ora definiamo L 2 modificando
d . . Il ' [ i i + l ] . O 3 Il d "
L l su ognuno ei quattro lnterva 1 4' 4 ' 'l = ,..., , ne o stesso mo o In CUI
si è modificata Lo per ottenere L ,. L'applicazione £2 è descritta dalla figura 27.4.
Induttivamente definiremo un'applicazione continua Ln : I  r la cui restri-
zione ai sottointervalli di ampiezza n di I ha immagine in un quadrato di J2 di
lato 2 ln ed è analoga alla Lo (fig. 27.5).


MI-.::t
'-----"'"
N
-.!
,--------
I
I
i
i
N
-.!
E
N
-.I
g
N
-.I

r:
M

s...
:I
es;
fZ

27 Applicaz.iolli dUrerenz.labili e insiemi di misura 11ulla
237
Ln (O) Ln (1)
Figura 27.5
Otteniamo in questo modo una sucsessione {Ln} di elementi di C(I,1 2 ). Con-
sideriamo la distanza in 1 2 :
d"(x, y) = max {Ix, - yd, I X 2 - Y21}
e la distanza 6 in C(I, fZ):
8 (f, g) = su p { d" (f ( t ), g ( t » : t E I}.
(1 2 , d") è uno spazio metrico completo perché compatto (teorema 10.13). Quindi
C(I, )2) è completo (teorema 10.19).
Fissato é > O sia N > O tale che 2 < é. Se n > N, la restrizione di Ln
a ognuno dei sottointervalli di I di ampiezza 4 ha immagine contenuta in un
quadrato di lato 2 . Quindi per ogni n, m > N si ha:
d"(Ln(t), Lm(t» < 2 < é per ogni t E I,
e da ciò segue che 8 (Ln, Lm) < é. Pertanto {Ln} è una succeSSIone di Cauchy.
Sia:
L = lim Ln E C(I,1 2 ).
Facciamo vedere che L(I) = 1 2 . Sia x E 1 2 . Per ogni n esiste t E I tale che
" l
d (x, Ln(t» < 2 n

238
Varietà d{lferellz.iabili I Cap. 5
perché x appartiene ad uno dei quadrati di 1 2 di lato dn ed esiste t E I tale che
Ln(t) appartenga a quello stesso quadrato. D'altra parte, dato é > O, e scelto N
l 1 . h l e . d ." ( ) é
ta c che 2 N ] < €, Si a b(LNL) < 2 N < 2' e qUI n l d (LN t),L(t) < 2" per
ogni t E I. Quindi esiste i E I tale che
l l 1
d"(x, L(i» < d"(x, LN(i» + d"(LN(t), L(i» < 2 N + 2 N = 2 N l < c
e ciò implica che L(I) è denso in 1 2 . Ma I è compatto e quindi L(I) è chiuso in
1 2 ; dunque L(I) = 1 2 .
Il teorcma 27.6 è caso particolare del seguente risultato più generale:
27.8 LEMMA DI SARD Sia f : X  Y un 11101:{tSl1UJ di varietà d(fferenziabili.
L'insielne dei valori critici di f è un insie11'le di 111isura nulla di Y.
Il lemma di Sard garantisce che i valori critici di un morfismo non sono
troppi, ed implica in particolare che i valori regolari sono densi in Y. Poiché i
valori regolari devono essere considerati come punti di Y al di sopra dei quali i l
morfismo f ha un comportamento particolarmente buono e prevedibile, il lemma
di Sard afferma che un morfismo non può comportarsi in modo complicato se non
al di sopra di un sottoinsieme abbastanza piccolo di Y. Si osservi che il lemma
di Sard si riferisce ai valori critici, e non ai punti critici. Infatti i punti critici di
un morfismo non costituiscono in generale un insieme di Inisura nulla: si pcnsi
al caso dim(X) < dim(Y), nel quale ogni punto di X è un punto critico, ma X
non ha misura nulla in se stesso a meno che dim(X) = O.
28 Campi vettoriali
Siano X una varietà differenziabile e S un sottoinsieme di X. Un Call1pO
veuoriale (definito) su 8 è il dato V di un vettore tangente V(x) E Tx(X) per
ogni x E S.
Se U C X è un sottoinsiclne aperto e F : U ----7 R è una funzione differenziabile,
otteniamo una funzione V F : U n S ----7 R ponendo per ogni x E U n S:
(VF)(x) = V(x)(F).
Questa funzione non è necessariamente diffcrenziabile, sia perché U n S non
si è supposto aperto, sia perché nessuna ipotesi è stata fatta su V che garantisca
la differenziabilità di V F.
Se F, G : U ----7 R sono funzioni differenziabili, e a, bER, allora sono
soddisfatte le seguenti identità:
V(aF+bG)=aVF+bVG
V(FG) = (VF)G + FVG
[28.1 J
che seguono direttamente dalle corrispondenti identità scalari [21.1].

28 I Campi vettoriali
239
Un Call1jJO ve1toriale V si dirà differenziabile, o di classe C(OO), se è definito su
un aperto A e se per ogni aperto U C X tale che U n A =f 0 e per ogni funzione
differenziabile F : U  R la funzione V F : U n A  R è differenziabile.
Se x I, . . . , X n sono coordinate locali in un aperto A, allora per ogni i = 1  . . . , n,
ponendo
a ( a )
- (x) =
8Xi ax 1 : x
per ogni x E A,
8
SI defìniscc un can1po vettoriale su A.
8Xi
I campi vettoriali a a ,...,  sono diffcrcnziabili: infatti per ogni funzione
x] 8x n
F : U  R di classe C(OO) la funzione a aF : U n A --> R è la derivata parziale di
Xi
F rispetto ad Xi e quindi è di classe C(OO).
Supponiamo che V sia un campo vettori aie su un sottoinsiellle ...9 di X, e
SIano x I, . . . , X n coordinate locali in un aperto A. In ogni punto x E 8 n A si ha
l'identità:
a a
V(x) = v](x) - (x) +... + vn(x) - (x)
aXI aX n
per opportuni VI (x), . . . , Vn(X) E R. Al variare di x restano definite in questo modo
delle funzioni
VI, . . . , V n : S n A  R
che si diranno .funzioni coordinate di V rispetto alle coordinate locali x l, . . . , Xn.
Se Y], . . . , Yn è un altro sistellla di coordinate locali in un aperto B di X, e se
W l , . . . , W n : S n B  R
sono le funzioni coordinate di V rispetto aIIe Yh..., Yn, allora in ogni punto
x E S n A n B le coordinate Vi(X) e le coordinate Wi(X) sono legate tra loro dalla
matrice di transizione dalle coordinate locali Xi alle coordinate locali Yi. Quindi
si ha l'identità di funzioni definite su S n A n B:
n
Wi = L Vj aYi .
}=I aXj
28.1 PROPOSIZIONE Sia A un aperto della varietà dif.ferenziabile X e sia V
un Call1pO vettoriale su A. V è dijJ'erenziabile se e solo se per ogni sislenla di
coordinate locali x l, . . .  X n definite su un aperto W di X le funzioni coordinate

240
Varietà d(flerenziabili I Cap. 5
V I, o . . , V n di V ri.pet1o alle x I, . . . , X n sono funzioni differenziabili sul!' aperto
WnA.
DÙnostrazione. Se V è differenziabile allora le Vi sono di fferenziabil i perché
Vi = Vx 1 : per i = 1,.. o, n (cfr. [21.41). Viceversa supponiamo che la condizione sia
soddisfatta, e sia F : U  R una funzione differenziabile definita su un aperto U
di X. Sia x E U n A e siano Xl, . . ., X n coordinate locali in un intorno W di x. In
W n U n A si ha:
( n a ) n aF
VF= L v. (F)=L v',
. z a . z a
1.=1 Xi 1,=1 Xl:
P o h " . . . l . a a d O ff ' . b O I ' l f o . aF
OIC e l campI vettorla I _ a ' . . . , _ a sono 1 ercnZla I l, e unZlonl _ 8 ' . . . ,
XI X n XI
a aF sono diffcrenziabili in W n U n A, come pure lo sono, per ipotesi, le funzioni
X n
VI, . . . , V n . Quindi V F è diffcrenziabile in W n UnA. Poiché ciò avviene in un
intorno di ogni punto di U n A, la funzione V F è differenziabile in U n A, e
quindi V è un campo vettori aIe differenziabile. /I
Se V e W sono calnpi vettoriali su k.9 C X e F, G sono funzioni a valori reali
definite sull'insieme S, allora ponendo:
(FV + GW)(x) = F(x)V(x) + G(x)W(x), X E k.9,
si definisce un campo vettoriale FV+GW su S. Se S è aperto e F, G, V, W sono
differenziabili, allora il campo vettoriale FV + GW è differenziabile. La verifica
di questo fatto è lasciata al lettore.
28.2 Esen1pi
l. Sia X = R n . Identificando a R n ogni spazio tangente TuCR n ), un calnpo
vettoriale su un sottoinsieme U C R n è un' applicazione
V : U  R n .
Le componenti VI,..., v;". di V sono le funzioni coordinate di V rispetto al
campi vettoriali .....  determinati dalle coordinate standard UI,..., Un.
aUI J Jau n
Se U è aperto il campo vettori aie V è differenziabile se e solo se lo sono le
funzioni VI, . . . , v;,t. L'implicazione "solo se" segue dalla proposizione 28.1, l11entre
il viceversa è un'immediata conseguenza della dimostrazione della 28.1.
Supponiamo U C R n aperto e sia F : U  R una funzione di classe C(OO). La
funzione:
grad(F) : U  R n
( aF BF )
grad(F)(u) = BUI (u),..., BU n (u)
SI dice gradiente di F, e dcfinisce un campo vettoriale differenziabile su U.

2 I Campi vettoriali
241
Se V, W sono due campi vettori ali definiti su U pOSSIamo definire il loro
prodotto scalare come la funzione
V.W:U----tR
(V . W)(u) = V(u) . W(u), U E U.
Se U è aperto e V, W sono differenziabili, allora V. W è una funzione
differcnziabile.
2. Consideriamo la sfera sn C R n + ' . Se per ogni x E sn identifichiamo Tx(sn)
a un sotto spazio di R n + 1 = Tx(R n + 1 ), allora Tx(sn) = x-1. Un campo vettoriale sulla
varietà sn è un' applicazione
V : sn ----t R n + l
tale che V(x). x = O per ogni x. V è differenziabile se lo è come applicazione,
cioè se lo sono le sue funzioni componenti. Ad esempio, per un fissato k > l
ponIamo
V(XlX2,...,X2k IX2k)=(X2,-Xl,...,X2k,--X2k I)'
Otteniamo un campo vettoriale differenziabile V su S2k - l. Questo campo vetto-
riale è ovunque non nullo. Invece sulle sfere S2k di dimensione pari non esistono
campi vettoriali ovunque non nulli. Questa è una proprietà globale delle sfere di
dimensione pari la cui dimostrazione necessita di strumenti che non svilupperen10
in questo testo e che il lettore interessato potrà ritrovare, ad esempio, in Guillemin
e Pollack (1974).
Sia X una varietà differcnziabile e SIa:
T(X) = U Tx(X)
xEX
l'unione disgiunta degli spazi tangenti ad X nel SUOI punti. T(X) è chiamato
fibrato tangente a X. Si denoterà con
7r : T(X) -+ X
r applicazione che a ogni v E Tx(X) associa il punto x.
T(X) ha una struttura di varietà differenziabile di dimensione 2 dim(X) che si
definisce nel modo seguente.
Sia n = dim(X). Sia 'P : U ----t R n una carta locale, e siano x I, . . . , X n le corri-
spondenti coordinate locali su U. Definiamo
cI> : 7r I (U) -+ R 2n

242
Varietà d(fTerenziahili I Cap. 5
ponendo:
<P(v) = ((<p . 1r)(V) VI, . . . , V n )
dove VI,..., v n sono le coordinate di v nella base a a (1r(v»,...  a a (1r(v» di
XI X n
T 7r (v) (X). Otteniamo così una carta locale in T(X).
Se 1/J : V  R n è un' altra carta locale in X con coordinate loca1i YI,..., Yn e
\fl : 1r I (V)  R 2n
è la corrispondente carta locale in T(X), SI ha
(\fJ . <I> 1)( U, V I, . . . , v n ) =
- ( ( tjJ . cp - I )(u), t Vj a(YI . cp - I) (u), . . . ,t Vj a(y. cp I) (u) )
}=I au} J=1 u J
per ogni (u,v"...,v n ) E <I>(1r I(U nV». Poiché <p e 1j; sono differenziabihllcnte
compatibili, segue che anche <P e \fJ lo sono. Pertanto al variare di (U, <p) in un
atlante diferenziabile per X la coppia (1r I (U), <1» descrive un 2n-atlantc diffcren-
ziabile per T(X), e T(X) è una varietà difIerenziabile di din1ensione 2n.
È immediato verificare che la proiezione
1r : T(X)  X
è un' applicazione differenziabile.
Esercizi
l. Sia X una varietà differenziabile. Dinl0strarc chc la proiczionc 7r : T(X) ---+ X è una
SUl11lnerSlone.
2. Sia X una sottovarietà differenziabile di R N . Dinl0strarc che T(X) è una sottovarietà
di R 2N .
(Suggerinu!l1to. Sia  : X ---+ R N r inclusione, e si definisca un' applicazione
G : T(X) ---+ R N X R N
poncndo
G(v) = ((7r(v», 1'*1i(V)(v».
G(T(X») è il sottoinsiclne {(x: v) : x E (X), v E Tx(X)}.)

29 I Il teorema di \Vhitney
243
29 Il teorema di Whitney
Un importante risultato della topologia differenziale afferma che ogni varietà
differenziabile X è diffeomorfa a una sottovarietà di R N per qualche N, e quindi
che la classe delle varietà differenzi abili, che abbiamo introdotto in modo astratto,
non è pi ù generale di quella delle sottovarietà di R N . Un celebre teorema di
Whitney completa il precedente, affermando che ogni sotto varietà di dimensione
n di R N è diffeomorfa a una sottovarietà di R 2n + 1 .
In questo paragrafo dimostreremo il primo risultato solo ne] caso di varietà
compatte: la dimostrazione nel caso generale è più complicata e va al di là degli
scopi di questo testo. Dimostrercmo invece il teorema di Whitney sia nel caso
compatto, in cui la dimostrazione non è difficile, che nel caso generale, in cui si
fa uso dell' esistenza di "partizioni dell' unità", un importante risultato tecnico che
viene impiegato frequenten1ente in topologia differenziale. Iniziamo il paragrafo
introducendo le partizioni dell' unità.
Sia X uno spazio topologico e p : X ----+ R una funzione continua. L'insieme
chi uso
suPP(p) = {x E X : p(x) #O}
SI dice supporto di p.
Ricordiamo che una famiglia {Sa} aEA di sottoinsiemi di X si dice locabnente
.finita se ogni x E X possiede un intorno aperto U x tale che Sa n U x # 0 solo per
un numero finito di a E A.
29.1 DEFINIZIONE Sia X una varietà dif.1èrenziabile. Una partizione dell'unità
su X è una .falniglia di funzioni di classe C«(X)) {Pa : X ----+ R}aEA a valori nOI1
negativi tale che..
(a) la .fanziglia {supp(p{)} è [ocabnente .finita;
(b) L Pa(X) = l per ogni x E X (si noti che la S0I11111a è .fìl1ita per la condizione
(
(a)).
Sia U un ricoprÙnento aperto di X; una partizione del1' unità {Pa }aEA si dice
subordinata al ricoprirnento U se per ogni D: E A esiste U E U tale che sUPP(Pa) C U.
Pcr costruire partizioni dell' unità si utilizza la funzione di classe C«(X)):
ep:R----+R
I/X2
(x) = { 
x>O
x < O
(cfr. esercizio 19.6) e Je seguenti funzioni costruite a partire da ep. Se a < b la

244
Varietà d{fferenziabili I Cap. 5
funzione
1P:RR
1P(x) = <p(x - a)<p(b - x)
è di classe C<oo>, positiva in (a, b) e nulla altrove; quindi suPP(1P) = la, b].
La funzione:
ç:RR
x
J 1P(t )dt
ç(x) = 00
+00
J 1P(t)dt
- 00
è di classe C(oo) e soddisfa:
ç(x) = O se x < a,
ç(x) = 1 se x > b,
O < ç(x) < 1 se x E (a, b).
Se O < a < b la funzione:
g : R N --? R
g(x) = ç( -llxll + a + b)
è di classe C(oo) e soddisfa:
g(x) = 1,
l > g(x) > O,
g(x) = O,
se !lxll < a,
se a < Ilxll < b
se Ilxll > b.
29.2 LEMMA Sia U un aperto di R N e sia K un insiel11e C0111patto 110/1
vuoto contenuto in U. Esiste una .funzione f : R N --? R di classe C(oo) a ,s'upporto
cOl1zpatto contenuto in U e a valori in lO,] l tale che f(x) = 1 per ogni x E K.
l f") . . S U -/.. R N. O b d (K, R N \ U)
..;l1110sfraZl0l1e. e T ponlan10 a = , = 2 e
f (x) = ç ( d (x, R N \ U) -- b).
Se U = R N poniamo a = -1, b = O C
f(x) = .( -d(x, K».

29 I Il teorema di Whitney
245
La funzione f : R N -7 R così definita ha le proprietà volute. Il
Il teorema seguente permette di costruire partizioni dell 'unità in infiniti modi.
29.3 TEOREMA Sia X una varietà differenziabile e U = {Ua}aEA un ricopri-
11'zento aperto di X. Allora:
(a) esiste una partizione dell'unità l1ulnerabile {Pi : i = 1,2, . . .} subordinata al
ricoprÙnento li tale che ogni Pi abbia supporto cOlnpatto;
(b) esiste una partizione dell'unità {1/;a}aEA tale che supp(1/;a) C Uo: per ogni
a E A, e tale che 1/;a 11011 sia identica111ente nulla per al più un 'bfinità
nU/11erabile di indici a.
Di,nostrazione
(a) Ogni punto x E X possiede un intorno aperto W x tale che W x sia compatto,
e sia contenuto in un aperto coordinatizzato e in U a per qulchc a E A. Il
ricoprimento W = {W x : x E X} è un raffinamento di U. Poiché X è una varietà, e
quindi è uno spazio di Hausdorff 10cahl1ente compatto c soddisfacente il secondo
assioma di nUlTIerabilità, per la proposizione 10.5 W possiede un raffinamento
numerabile localmente fìnito V = {Vi : i = l, 2, . . . }. Pcr costruzione per ogni i si
ha, per qualche a E A:
Vi C Bi n U cx
dove Bi è un aperto coordinatizzato e Vi è compatto. Sia 'Pi : Bi -7 R n una carta
locale. Per il lemll1a 29.2 per ogni i > l esiste una funzione li : R n -7 R di
classe C(oo) a supporto compatto contenuto in 'P 1: (B 1 : ) tale che !i(X) = l per ogni
x E 'P 1: (1!;;). Poniamo
{ (li' 'Pi)(X)
a'(x) =
z O
se x E Bi
se x rf- Bi.
La funzione (J i è di classe C(oo) perché lo sono le sue restrizioni ai due aperti
00
Di e X\SUPP(!i' 'Pi). Poiché V è locahnente finito la funzione ?= (J 1: è ben definita
1,=1
in tutto X; inoltre, essendo tutte le funzioni a i a valori non negati vi ed essendo
00
(J1:(X)=fO per qualche i in ogni punto x E X,?= ai(x) > O per ogni x E X. Pertanto
1,=1
ponendo
a i(X)
Pi(X) = 00
?= (Jj(x)
}=l
SI ottiene una ben dcfìnita funzione Pi . X -7 R di classe C(OO) a valori non

246
Varietà d(flerenz.iahili I Cap. .5
negativi ed a supporto compatto. La successione di funzioni {Pi : i = 1,2,...}
costituisce la partizione dell'unità cercata.
(b) Sia {P1:: i = 1,2,...} la partizione dell'unità costruita nella prima parte della
dimostrazione. Per ogni z: = l, 2, . . . sia a(i) E A tale che SUPP(Pi) C U Qci). Poniamo
1/Ja - O se o: =I- o:(i) per ogni i = l, 2, . . .; altrimenti definiamo 1/;a =  Pi, cioè
Q'( Z ):::::Q'
come la son1ma del1e funzioni Pi tali che o:(i) = 0:. È evidente che {1/JQ' }Q'EA è
una partizione dell'unità su X e che al più un'infinità numerabile tra le funzioni
1/JQ' non è identicamente nulla. Inoltre per ogni o: E A si ha:
supp( 1/JQ') C U SUPP(Pi)
Q':::::Q'( i)
e, poiché la fan1iglia di chiusi {SUPP(Pi)} è localmente finita, si ha:
U SUPP(Pi) = U SUPP(Pi);
Q:::::Q'(i) a=Q'(i)
pertanto supp( 1/Ja) C U ex e quindi {1/Ja} è una partizione dell' unità subordinata al
ricopri mento U. !Il
Si osservi che la partizione dell'unità considerata nella parte Cb) del teorCll1a è
indicizzata dallo stesso insieme che indicizza il ricopri mento a cui è subordinata;
ma in generale le funzioni 1/Ja che la costituiscono non hanno supporto compatto.
Ad esempio, se X non è compatta e si considera il ricoprimento costituito dal
solo aperto X si ottiene una funzione 1/J tale che supp( 1/J) = X.
Il teorema 29.3 verrà utilizzato nella dimostrazione del teorema di Whitney
attraverso il seguente corollario:
29.4 COROLLARIO Per ogni varietà dijjerenziabile X esiste una funzione
propria di classe C(CO) p: X  R.
Dinl0straziol1e. Sia U il ricopri mento di X costituito dagli aperti aventi chiusura
cOll1patta, e sia {Pi : i = 1,2, . . .} una partizione dell'unità numerabile subordinata
ad U. La funzione
00
p = :?::: i Pi : X --+ R
1,:::::1
è ben defìnita e di classe C«(X). Poiché ogni cOlnpatto di R è contenuto in
r -n, n] per qualche n, è sufficiente verifìcare che P-- l (l-n, n D è compatto per
ogni intero positivo n. Ma se p(x) < n allora Pi(X) =I- O per qualche i < n, e quindi
p l (l-n, nJ) è un chiuso contenuto in SUPP(Pl) U . . . U SUPP(Pn), che è compatto;
dunque p - l ([ --n, nJ) è con1patto. !Il
Un altro utile corollario del teorema 29.3 è il seguente:

29 I 11 teorema di Whitney
247
29.5 COROLLARIO Sia X ulla varietà differenziabile, e siano 0 =j:. C C A C X
con A aperto e C chiuso. Esiste una funzione di classe e COO ) a valori non negativi
F : X -+ R tale che F(x) = 1 per ogni x E C e supp(F) C A.
DÙnostrazione. Sia {F, G} una partizione dell' unità subordinata al ricoprimento
{A, X\ C} tale che supp(F) C A e supp( G) C X\ C. Allora F è la funzione cercata.
11I
Dimostriamo ora un importante risultato.
29.6 TEOREMA Sia X una varietà d{fferenziabile C0J11patta. Esiste un 'inclu-
sione dfferellziabile di X in R N per qualche N.
!JÙl1os1raziol1e. Per ogni punto x E X sia V x un intorno aperto di x tale che V x
sia compatto e sia contenuto in un aperto coordinatizzato. Sia V = {VI, . . . , 5} un
sottoricoprimento finito del ricoprimento W = {V x : x E X}. Per ogni h = l, . . . , s
siano Bh un aperto coordinatizzato contenente Vh e 'Ph : Eh --+ R n un sistema di
coordinate locali. Per il lemma 29.2 esiste una funzione f h : R n --+ R a supporto
compatto contenuto in 'Ph(Bh) tale che jh(X) = l per ogni x E 'Ph( Vh ). Per ogni
h = l, . . . , s poniamo
{ (/h . 'Ph)(X) se x E Eh
Cl h(X) =
O se x rt: B h .
Le funzioni (J I  . . . , Cl s sono di classe C(OO) su X. Definiamo un nl0rfÌsmo:
F : X --+ RS(rl.+])
ponendo:
F(x) = (Cl] (x), . . . , (J s(x), (J I (x)'PJ (x) . . . , (Js(x)'Ps(x».
F è ben definita e di classe CCOO) perché le funzioni Cl h(X)'Ph(X) sono ben
definite e di classe e COO ) in tutto X, essendo (J h(X) = O per x rt: Bh'
Supponiamo che x, Y E X siano tali che F(x) = F(y). Allora in particolare
(Jh(X) = (Jh(y) per h= 1...,s. Se xEVi1. allora (Jh(Y) = (Jh(X)=j:.O e quindi yEB h .
Ino l tre
Cl h(X)'Ph(X) = (J h(Y)'Ph(Y)
e quindi 'Ph(X) = 'Ph(Y)' Segue che x = Y perché 'Ph è biunivoca su Bh' Pertanto
F è biunivoca.
Poiché X è compatto, per la proposizione 25.5 sarà sufficiente dimostrare che
F è un' immersione. Sia Xo E Vh. Pcr calcolare F*xo utilizzeremo la carta locale 'P h.
Posto Uo = 'Ph(Xo), dobbiamo dimostrare che la matrice jacobiana J(F. 'P/] )(uo)
ha rango n. Ma per ogni u in un intorno di Uo si ha f h (u) = 1 e quindi:
((J h'Ph) . 'Ph j )(u) = ('Ph . 'Ph I )(u) = u.

248
Varietà d(flerenziabili I Cap. 5
Pertanto la sottomatrice ( a((a hj. 'Pi, l )i (u o ») di J(F. 'P h l )(uo) è la matrice
identità n X n. Da ciò segue che J(F. 'P h l )(uo) ha rango n. 11I
Il teorema 29.6 si estende con qualche ulteriore difficoltà tecnica a tutte le
varietà differenziabili, non necessariamente compatte, ma non daremo la dimo-
strazione di questa estensione; il lettore interessato può consultare, ad esempio,
de Rham (1960) e Munkres (1966). Questi risultati implicano che per studiare le
varietà differenziabili è sufficiente limitarsi a studiare le sottovarietà degli spazi
euclidei R N . Nel trattare questioni generali è però di solito più comodo conside-
rare varietà astratte piuttosto chc sottovarietà di uno spazio euclideo, anche perché
molti esempi di varietà, come ad esempio gli spazi proietti vi, le grassmanniane, i
gruppi di Lie GLn(R), SLn(R), O(n) e altri, sono definiti in modo astratto e non
come sottovarietà di R N .
Il teorema 29.6 fornisce un'inclusione differenziabile di una data varietà X
di din1cnsione n in uno spazio euclideo R N , ma l'intero N dipende dal metodo
di dimostrazione e non viene fornita alcuna informazione su quanto piccolo si
possa prendere N. Questa informazione viene invece data dal teorema di Whitney
che dimostreremo tra poco. Iniziamo con una sua versione "locale" che afferma
r esistenza di in1mersioni.
29.7 TEOREMA Sia X una sottovarietà differenziabile di dÙnensione k di R N .
Esiste un 'Ùnlnersione iniettiva X -4 R2k+l.
DÙnosfrazione. Se N < 2k + l la composizionc dell' inclusione i : X -4 R N con
un' inclusione di R N in R 2k + l cOlne sottospazio vettori aIe fornisce 1'immersione
cercata. Supponiamo dunque N > 2k + l: procedendo per induzione su {; = N +
-- (2k+ 1) sarà sufficiente dimostrare che esiste un'immersione iniettiva X  R N .. l.
Allo scopo dimostreremo l'esistenza di o E R N tale che la composizione di i
con la proiezione ortogonale di R N su 0-1 sia ancora un' in1mersione inietti va:
identificando l'iperpiano 0-1 a R N I si otterrà l'asserto. Definiamo un morfismo
H : X x X x R -+ R N ponendo
H(x x', t) = t[ i(X) - i(X'»).
Definiamo inoltre un morfìslllo L : T(X) -+ R N ponendo:
L(x v) = i*x(V), x E X, v E Tx(X).
Poiché dim(X x X x R) = 2k + l e din1(T(X») = 2k, per il teorema 27.6 le
iInmagini di H e di L hanno Inisura nulla. In particolare esiste o E R N \[Im(H)U
U 1m (L ) J; è n # O perché O E hl1(H).
Sia 7r : R N  0..L la proiezione ortogonale e sia f = 7r . f., : X -4 0-1.

29 I Il teorema di vVhilney
249
Il morfismo f è inietti vo. Supponiamo infatti che esistano x, x' E X distinti
tali che f(x) = f(x'): allora (x) - (x') = tn per qualche t E R, t =1-0, e quindi
n = H (x, x', f ), una contraddizione.
f è un'immersione. Supponiamo infatti che SI abbia f*x(v) = O per qualche
x E X, v E Tx (X), v"# O. Allora:
0= f*x(v) = [1f*L(X)' *xJ(v) = 1f(*x(v» = 1f(L(x, v».
Poiché  è un' immersione *X (v) =I- O, e quindi esiste t f O tale che tn = *X (v),
ovvero tale che
n = f *x(v) = *X () = L (x, : ) ,
una contraddizione. !Il
Se nel teorema 29.7 si suppone che X sia una varietà compatta di dimensione
k allora, per la proposizione 25.5, l'inlmersÌone iniettiva X  R2k+l di cui si
dimostra l'esistenza è un'inclusione differenziabile. Combinando questo risultato
con il teorema 29.6 otteniamo il seguente
29.8 COROLLARIO Sia X una varietà differenziabile c(J/npatta di dÙnensione
k. Esiste un 'inclusione differenziabile di X in R2k+l.
Concludiamo questo paragrafo con la dimostrazione dell 'importante
29.9 TEOREMA (Whitney) Sia X una sotlovarietà diflerenziabile di dinlensione
k d . R N E . , . l . d . ffi . b . 1 X R 2k+ l
l . slste un lnc uSlone  erenZla l e  .
DÙnostrazione. Per il teorema 29.7 esiste un'immersione iniettiva X  R2k+l.
Con1ponendo con il diffeomorfismo
T : R2k+1 --> R2k+l, T(p) = l + IPII
otteniamo un'immersione iniettiva f : X  R2k+l tale che 11/(x)11 < l per ogni
x E X. DefinialTIO un morfismo F : X  R2k+2 ponendo F(x) = (/(x), p(x», dove
p : X  R è una funzione propria di classe C(OO) (p esiste per il corollario
29.4); evidentemente F è un'immersione iniettiva. Ora, procedendo come nella
dimostrazione del teorCllla 29.7, scegliamo n E R2k+2 in modo che la composizione
di F con la proiezione ortogonale 1f : R2k+2  01- sia un' immersione inietti va.
Poiché l'insieme degl i n per cui ciò avviene è denso in R2k+2, possiamo scegliere
o =I-(O . . . , O, t) per ogni t E R. Faremo vedere che 1f.F : X  n1- è propria e, grazie
alla proposizione 25.5, ciò implicherà che 1f. F è un'inclusione differenziabilc,
conc1udendo la dinl0strazione.
9

250
Varietà d(fferellz.iahili I Cap. 5
Per dimostrare che 1r . F è propria è sufficiente far vedere che per ogni c > ()
l'insieme {x E X : 11(1r' F)(x)11 < c} è compatto; e poiché p è propria, ciò seguirà
se faremo vedere che per ogni c > O esiste d > O tale che
{x E X: 11(1r' F)(x)11 < c} C {x E X: Ip(x)1 < d}.
Supponiamo per assurdo che ciò non sia vero. Allora esiste una successione
di punti {Xi}il tale che 11(1r.F)(Xi)11 < c per ogni i= 1,2,... e limjp(xi)1 =00.
Possiamo supporre P(Xi) =f O per ogni i, e considerare i vettori di R 2k + 2 :
l
Yi = - ( ) [F(Xi) - (1r . F)(Xi)J.
P Xi
Quando i tende all' infinito si ha:
l . l . F(Xi) l . (1r . F)(Xi)
1m y. = 1m - 1m .
Z P(Xi) P(Xi)
Il secondo limite è O, perché 11(1r' F)(Xi)11 < c mentre lin1Ip(Xi)1 = 00. Quindi:
l . l . F(Xi) l . ( f(Xi) l ) «() O l )
un Y i = 1m ( = 1m ) , = , . . ., ,
p Xi) P(Xi
perché Ilf(Xi)11 < 1 per ogni i. Ma per definizione di 1r ogni Yi è parallelo a n,
e quindi tale è (O,..., O, 1) = lim Yi; ciò contraddice la scelta di n, e conclude la
dimostrazione. !Il
Il teorema 29.9, combinato con la generalizzazione del teorema 29.6 al caso
non compatto, implica che ogni varietà differenziabile di dimensione k possiede
un'inclusione differenziabile in R2k+l.
Il teorema di Whitney non dà il risultato migliore possibile. Whitney stesso di-
mostrò che sotto le medesime ipotesi esiste un'inclusione differenziabile X  R 2k .
La dimostrazione di questo risultato è molto più difficile.

Capitolo 6
Geometria differenziale di curve e superfici
N cgl i spazi topologici le proprietà che vengono studiate sono assai generali
perché l'omeomorfismo è una relazione di equivalenza molto debole. Nel ca-
pitolo 5 abbian10 iniziato a studiare le varietà differenziabili. I diffeomorfismi
sono applicazioni più particolari degli omeomorfismi ma lasciano invariate solo
alcune proprietà geometriche, e nel caso di sottovarietà di R N non mantengono
le distanze e le altre grandezze di natura metrica. In questo capitolo studieremo
curve e superfici dello spazio euclideo, principalmente di R 3 , da un punto di
vista metrico. Le proprietà metriche delle varietà differenziabili dello spazio eu-
clideo dipendono dalla loro immersione in R N e possono variare drasticamentc
per varietà diffeomorfe ma immerse in modo diverso.
30 Curve differenzia bili
In questo paragrafo studieremo le curve differenziabili in R N . Sarà utile per
il seguito considerare la seguente estensione della nozione di campo vettoriale al
caso delle curve differenziabili.
Sia a : J ---t R N una curva differenziabile in R N , dove J C R è un intervallo
aperto. Un CG111pO vettoriale (sottinteso differenziabile) su a è un' applicazione
che associa ad ogni t E J un vettore V(t) E Ta(t)(R N ) = R N , in modo che
V : J ---t R N sia un' applicazione di classe C(OO). Parleremo di canlpo di versoti su
a se IIV(t)11 = 1 per ogni t E J.
Un esempio di campo vettoriale su a è il campo dei vettori velocità a'(t).
I campi vettoriali su a si possono sommare, moltiplicare per funzioni di classe
C(OO) f : J ---t R e moltiplicare scalarmente tra loro.
Un'altra operazione naturale su un campo vettori aie su a è la derivazione. La
derivata del call1jJO vettoriale V(t) = (VI (t), . . . , V N(t» su a è il campo vettoriale
V'Ct) = (V/(t),..., Vfv(t» le cui componenti sono le derivate delle componenti di
V. Denoteremo V' anche con il simbolo 

252
Geometria d(fferenziale di curve e superfici I Cap. 6
- -
Siano J, J C R intervalli, O : J ---) J un diffeomorfisnlo. Per ogni curva
differenziabile a : J  X in una varietà differenziabile X la composizione
-
f3=a.O:JX
f3(s) = a(O(s»
è una curva differenziabile in X chiamata ripara/netrizzazione di a. Diremo f3
orientata cOl1cordenlente (rispettivamente discorde/nenie) con a a se O' (s) > O
(rispettivamente O'(s) < O) per ogni s E J. Una riparanletrizzazione di a è una
curva che ha la stessa immagine di a, ma ha vettore velocità in generale di verso
in ogni punto e, se orientata discordelllente con a, verso di percorrenza discorde
da quello di a. Quando si vogliono studiare proprietà geometriche del luogo a(J)
non è restrittivo sostituire ad a una sua riparanletrizzazione.
30.1 Eselnpio
Siano a, v E R N . La curva differenziabile in R N :
a(t) = a + vt
ha per immagine la retta passante per a e di direzione (v). La curva:
f3(s) = a + cVs
è un riparalnetrizzazione di a per ognI c E R\ {O}. Invece la curva:
ì( s) = a + v s3
non è una riparametrizzazione di a perché t = 8 3 non è un di fTcomorfismo In O.
La restrizione '1'IR\{o} di '1' a R\{O} è una riparamctrizzazione di O:IR\{o}'
In accordo con la terminologia usata più frequentemente, chiameremo curva
regolare una curva differenziabile a : J ---) R N tale che il suo vettore velocità sia
non nullo in ogni punto t E J, cioè che sia una immersione.
Sia dunque a : J  R N una curva regolare. La velocità di o: nel punto t
è v(t) = Ila'(t)ll. La velocità è una funzione differenziabile v : J  R a valori
positivi. Se ti, t 2 E J la lunghezza di a tra tI e t2 è il nun1ero reale
t2 tl
J 1IG\"(t)lldt = J J G\'\ (t)2 + . . . + G\'(t)2 dt
ti ti
""
Se (3(8) = a(0(8)) è una ripara111etrizzazione di a, dove J è un intervallo e
-
O : J  I è un diffeomorfismo, in ogni punto s E J il vettore velocità di (3 è
f3'(s) = o/(O(s»O'(s) e quindi la velocità di /3 è:
11f3'(s)11 = Ila'(O(8)IIIO'(s)1 > O;
in particolare f3 è ancora una curva regolare.

30 I Curve d(fTerenziabili
253
Se s}, 82 E J sono tali che O(sd = t l , 0(S2) = t2, allora la lunghezza di (3 tra S1
ed S2 è:
'<?h S" t"
!11J3 1 (S)lIdS = !lla/(o(s))IIIO'(s)ldS = !lIal(t)lIdt,
SI SI ti
cioè uguale alla lunghezza di a tra t l e t 2 .
Quindi una riparametrizzazione di una curva regolare ha in generale velocità
diversa in ogni punto, ma è una curva regolare che ha la stessa lunghezza della
curva originaria a. Dimostreremo ora che è possibile riparametrizzare la curva
regolare a in modo che la nuova curva abbia velocità costante uguale ad l.
30.2 PROPOSIZIONE Se a : J ---t R N è una curva regolare esiste una rlpara-
lnetrizzazione di D: che ha velocità costante uguale a l.
DÙnoslrazione. Fissato un punto t o E J, la funzione lunghezza:
s:J---tR
t
s(t) = f Ila'(u)lldu
to
è di classe C(OO) c tale che s'(t) = Ila'(t)11 > O per ogni t E J. Quindi s definisce
un diffeomorfisn10 di J sull' immagine s(J) che è un intervallo j. Sia () : J ---t J la
funzione inversa di s. Per ogni s = sCt) E j si ha O'Cs) = s'Ct)- 1 = Ila'(t)ll- l > O e
quindi (3(s) = a(O(s» è una riparametrizzazione di a. Inoltre:
Il (3' ( s ) Il = Il a' ( ()( s » 111 0 ' ( s ) I = Il a' (t) 1111 a' (t) Il l = 1. Il
La riparametrizzazionc (3 descritta dalla proposizione precedente non è univoca-
mente determinata, ma dipende dalla scelta del punto t o e dal verso di percorrenza.
Ogni ulteriore sostituzione della forma s = :f:u + c, con c E R costante, dà luogo
ancora a una riparamctrizzazione con le stesse proprietà.
Se Ila'(t)11 = 1 per ogni t E J, la curva regolare a si dirà a velocità unitaria.
30.3 Ese111pi
1. Siano 3, v E R N . La retta:
a( t) = 3 + vt t E R
[30.1 J
è a velocità unitaria se e solo se v è un versorc.
2. Sia r E R, r =f O. La curva regolare di R2:
a(t) = (Cl + r cos(t) C2 + r sin(t», t E R

254
Geometria differenziale di curve e supeljìci I Cap. 6
ha per immagine la circonferenza di centro (Cl, C2) e raggio Irl. La sua velocità è
Il a' (t) Il = I r I
e quindi o: è a velocità unitaria solo se Irl = l. Una sua riparametrizzazione a
velocità unitaria è:
f1( s) = (c I + r cos (;) , C2 + r sin (;) ) s E R.
3. Siano r E R, r =f O, c E R N , e siano b I, b 2 E R N due versori tra loro orto-
gonali. La curva regolare di R N :
a(t) = c + r cos(t)b 1 + r sin(t)b 2 t E R
[30.2 J
ha per immagine la circonferenza di centro c e raggIo Jrl contenuta nel piano
affine passante per c e avente giacitura (bI, b 2 ).
4. Siano a, b > o. La curva di R3:
,(t) = (a cos(t), a sin(t), bt), t E R,
è un' elica circolare (fig. 30.1).
Il suo vettore velocità in t è:
/(t) = (-a sin(t), a cos(t), b)
e la sua velocità è:
Il,' (t)11 = v a 2 + b 2
Una riparametrizzazione a velocità unitaria di ì è:
g(s) = (c cos(t), C sin(t), dt)
dove
c= a . d= b
v a 2 + b 2 / v a 2 + b 2
Esercizi
1. Calcolare le lunghezze delle curve degli escnlpi 30.3 tra t l = O e t'l = l.
2. Calcolare i campi vettoriali tangenti ad ognuna delle curve degli esempi 30.3.
3. Dilnostrare che se una curva di R N ha vettore velocità costante allora coincide con
la restrizione della [30.1] ad un intervallo per qualche 3, v.

3/ I Classificaz.ione delle curve l'eRo/ari di R N
255
........
....
"
,
,
,
+ \
\
,.....
I ....
"
,
,
,
\
\
,
....
........
....
---------
Figura 30.1
31 Classificazione delle curve regolari di R N
Consideriamo una curva
a : J  R N
a(t) = t(al (t) . . . , aN(t»)
cd un' isometria di R N , cioè un' affinità <P : R N  R N della forma:
<I>(x) = Ax + c
dove A = (aij) E O(N), c = t(Cj,... , C N). La curva
(3 : J  R N
( ) l31.11
f3(t) = <I>(a(t)) = c + Aa(t) = CI + 1 aipj(t),.. . ,C N + 1 aNjaj(t)

256
Geometria differenziale di curve e superfici I Cap. 6
si dice congruente ad a. La congruenza è una relazione di equivalenza, come è
immediato veri ficare. Il vettore velocità di /3 nel punto t E J è:
{3' ( t) = Aa' (t)
e quindi se a è regolare (rispettivamente ha velocità unitaria) anche (3 è regolare
(rispettivamente ha velocità unitaria).
Supponiamo a regolare. Vogliamo studiare le proprietà di a(J) che restano
invarianti rispetto ad ogni isolTIetria di R N , cioè le proprietà che a(J) ha in
C0111une con ogni (3(J) al variare di /3 nella classe di congruenza di a. Tali
proprietà si diranno proprietà Inetriche della curva a; parleremo di invarianti
nletrici di a riferendoci a tutte le entità associate ad a(J) che sono invarianti
rispetto ad ogni isometria. Per la proposizione 30.2 nello studio di invarianti
metrici non è restrittivo supporre che la curva a abbia velocità unitaria.
Allo scopo di costruire invarianti metrici consideriamo il campo vettoriale
tangente a' sulla curva a e le sue derivate successive, cioè i campi vettoriali:
,,, (N')
aa ...,a .
Per ogni t E J i sotto spazi vettoriali di R N :
8, (t) = (a' (t) ), 8 2 (t) = (a' (t), a" (t»), . .. , 8 N l (t) = (a' (t), . . . , a(N l \ t) )
sono detti rispettivamente prinlo, secondo,..., (N - 1 )-esÙno spazio osculatore ad
a in t. Si ha ovviamente:
8] (t) C 8 2 ( t) C . . . C 8 N - , (t).
Se a'(t), a"(t), . . .  a(N l)(t) sono linearmente indipendenti allora dim(8k(t» = k;
in questo caso 8, (t) è detta retta tangente, 8 2 (t) piano osculatore, ad a in t.
31.1 PROPOSIZIONE Sia a : J -7 R N una curva a velocità unitaria tale che
a'(t), a"(t), . . . , a(N - l) (t) siano IÙzearnzente indipendenti in ogni t E J. Esistono
canlpi vettoriali b"..., b N su a con le seguenti proprietà per ogni t E J:
(l) {b 1 (t), . . . , bN(t)} è una base ortollorlnale di R N orientata positivalnente.
(2)8k(t)=(b,(t)...,bk(t»), k=l,...,N-I.
(3) bk(t). a(k)(t) > O, k = 1,..., N-L
I campi vettoriali b 1 ,...  b N sono univOCa111ellte deterlnÙzati dalle proprietà
(1), (2), (3). L'insielne di can1pi vettoriali {b 1 ,..., b N} ,')'u a è chianzato base
mobile di Frenet.

3/ I Classificazione delle curve regolari di R N
257
DÙnostrazione. Sia t E J. Poniamo:
b l (t) = 0:' (t),
i l
Ci ( t) = 0:( i) ( t) -  l b i (t) . 0:( i) ( t ) ] ) b i ( t ) , i = 2, . . . , N-l .
J=1
l31.2 J
Ci ( t)
bi(t) = Ilci(t)1I .
[31.3 J
Si calcola subito che b, (t), . . . , b N l (t) costituiscono un insieme ortonormale e
soddisfano la condizione (2). bN(t) è univocall1ente definito dalla condizione (1).
Da:
k I
Ck(t) . o:(k) = 110:(k)11 2 -  lbj(t) . a(k)(t)]2 =
J=l
N k l
= I: lb -(t) . 0:(k)(t)]2 - I: [b -(t) . 0:(k)(t)]2 > O
- } - J
J=I }=I
segue la (3). L'unicità di b1(t),..., bN(t) segue ilnmediatamente da (2) e (3). Per
verificare che b l ,..., b N sono campi vettoriali su o: procediamo per induzione.
Supponendo b l ,..., b i __ l campi vettori ali, i coefficienti bj(t). o:(i)(t) che interven-
gono a secondo membro delle [31.2] sono funzioni di classe C(OO) di t E J, e
pertanto ci è un campo vettoriale su a. Segue che la funzione IICi(t)11 è di classe
C(OO) su J, e quindi anche b i è un campo vettori aIe su 0:. !Il
La base mobile di Frenet è definita dalla geometria di 0:. Considerando le
derivate dei campi vettori ali b l , . . . , b N ed esprimendole come combinazioni lineari
di b 1 ,..., b N si ottengono informazioni geometriche su a.
31.2 TEOREMA Sia o: : J ---t R N una curva a velocità unitaria soddifacente
le ipotesi della proposizione 31.1, e sia {b],..., b N} la base mobile di Frenet.
Esistono funzioni KI,..., KN -. l : J ---t R di classe C(OO) con le proprietà
Ki( t) > O, i = l, . . . , N - 2
per ogni t E J se N > 3, e tali che si abbia identican1ente:
db i
dt = - Ki I b i l + Ki b i +], i = l, . . . , N
[31.4 J

258 Geometria diflerenziale di curve e superfici I Cap. 6
dove si è posto K() = KN = O e b o = b N +] = O. Equivalente111ente si ha l'identità:
b' O KI O O b]
]
-KI O O O
=
O O O KN. I
b' O O -KN I O b N
N
K I, . . . , K N - I sono invarianti 111etrici di a.
Dil11ostrazione. Per ogni t E J si ha:
b'. = L a' . ( t ) b . ( t )
z . 'l) }
J
dove, poiché {b](t),..., bN(t)} è una base ortonormale, aij(t) = b(t). bj(t); in
particolare i coeffi.cienti ai} sono funzioni di classe C(OO). Derivando ambo i membri
delle identità
b..b.-8..
1, ] - 1.J
SI ottiene
b: . b} = - b i . b. .
c pertanto la matrice di funzioni (ai}) è antisimmetrica. Inoltre dalla [31.2] e dalla
[31.3] segue che b k è combinazione lineare di a/, a", . . . , a Ck ), e quindi che b è
combinazione lineare di a', a",..., a(k+I): pertanto b(t) E 8k+l(t) per ogni t E I,
e b è combinazione lineare di b],..., b k + l . Questa circostanza implica che:
al3 =... = alN = O,
a24 =... = a2N = O,
aN 1,N = O
e utilizzando l'antisimmetria di (ai}) SI deduce che la matrice ha la forma voluta
con:
] = a 12, 2 = a13, . . . , K N - I = a N - l,N.
Se N > 3 per ogni i = l,. .. , N - l dalla [31.4 J deduciamo:
i = b · bi+ l .
D'altra parte deri vando la [31.2] otteniamo:
b = Ilcill la(i+]) + v
[ 31.51

31 I Classijicazione delle curve regolari di R N
259
dove v è un campo vettoriale su a tale che v(t) E 8 i (t) per ogni t E J. Pertanto:
b ' b - (l ' 11 - l ci+J) ) b - Il Il 1 ci+l) b
"'i = i. i+ l - I Ci a + v · i+ J - ci a · i+]
e quindi "'1:(t) > O per ogni t E J e 1 < i < N - 2, per la (3) della proposizione
31.1.
Lasciamo al lettore la verifica del fatto che "'I, . . . , "'N 1 sono invarianti metrici
di a. !Il
Le [31.4] sono dette .forlnule di Frenet per a. Le funzioni "'J,..., "'N - J :
J  R si chiamano rispettivamente prÙna, seconda,..., (N - 1 )-esilna curvatura
di 0:. La base mobile di Frenet {b"..., b N} c le curvature '" I, . . . , "'N -- 1 insieme
costituiscono il cosiddetto apparato di Frenet.
Il teorema precedente afferma in particolare che se N > 3 le curvature '" I, . . . , K; N - 2
sono ovunque positive, ma non assegna alcuna condizione sull'(N - I)-esima
curvatura "'N l' Infatti può anche essere "'N 1 < O: se ad esempio a : R  R 2 è
la retta parametrizzata a(t) = p+vt, dove Ilvll = l, allora si ha b l = V, b = O = "'I b 2
e quindi '" 1 = O identicamente. Vediamo un altro esempio.
31.3 Esenlpio
Sia
a : R  R 4
a(t) = (  cos(t),  sin(t), cos (  ) ,sin ( - ) ) .
Si ha:
a' =  ( - sin(t), cos(t), - sin (  ) ,cos (  ) )
" l ( . ) ] ( t ) l. ( t ))
a = -12 - cos(t), - sm(t , - -12 cos -12 ' - -12 sm -12
"' 1 ( . 1 . ( t ) 1 ( t ) )
a = -12 sm(t), - cos(t), 2: sm -12 ' - 2: cos -12 .
Poiché Il a' Il = l c a' . a" = O identicamente, si trova:
b] = a'
a" 2 ( . 1 ( t ) l. ( t ) )
b 2 = Ila"ll = ..j6 - cos(t), - sm(t), - -12 cos -12 ' - -12 sm -12 .

260
Geometria differenziale di curve e superfici I Cap. 6
Inoltre, essendo 0/" . 0/' = 0, 0/". 0/ = -  si ha:
", 3, 1 ( 1. l 1 . ( t ) 1 ( t ))
C3 = a + 4 a = J2 4 SIn(t), -4 COs(t), -4 SIn J2 '4 cos J2
1
II c 311 = 4
e quindi:
b 3 = II:II =  (Sin(t), - cos(t), - sin (  ) ,cos (  ) ) .
Infine con il campo di versori:
b _ 2 ( l ' ( '\ l,. ( ) , ( t ) . ( t ) )
4 - ..j6 - J2 cos t), - J2 SIn t , cos J2 ' SIn J2
si ottiene la base ortonormale mobile {b" b 2 , b 3 , b 4 } per a. È facile calcolare che:
b ' " b . d . Il " 11 /3
l = a = K] 2 e qUIn I K, = a = T .
b ' b l b . d . 1
') + K l , = r:J. "} e q UI n l Kì = n
"- 2v 3 .1 - 2v 3
b + 2b2 = -  b 4 e quindi 3 = -  .
, 2
b 4 = ..j6 b 3 .
Quindi le curvature di a sono
/3 1 2
KI = T K2 = 2/3 ' KJ = - ..j6
(in particolare sono funzioni costanti) e le formule di Frenet sono, in forma matri-
ciale:
b' O /3 O .0 b l
-
1 2
b' /3 O ] O b 2
-- -
2 2 2/3
-
b' O l O 2 b:3
-- --
3 2/3 ..j6
b' O O 2 O b 4
-
4 ..j6

31 I Class(ficazione delle curve regolari di R N
26/
Dimostreremo ora che le curvature Kt,...  KN l sono sufficienti ad individuare
la classe di congruenza di a e che quindi esse costituiscono in un certo senso un
insieme completo di invarianti lnetrici per a.
3 1.4 TEOREMA Siano a : J  R N e (3 : J  R N due curve a velocità
unitaria soddi5facenti le ipotesi della proposizione 31.1 e siano rispettivanlente
{al, . . . , aN} e {b 1 ,..., b N} le loro basi lnobili di Frenet. Supponianlo che le loro
curvalure soddisfino Kai = Kj3i, i = l, . . . , N-L Allora a e (3 S0110 congruenti.
[Ji1nostrazione. FissiaJno un punto t o E J e sia <P(x) = Ax + c l'isometria di R N
tale che
<P(a(to» = (3(t o )
[31.61
Aai(tO) = bi(to), i = l, . . . , N.
Ponendo Ki = KaJ = K{3,i' i = l,..., N - l, le formule di Frcnet per (3 sono:
db.
dt'l = -Ki- l b i"l + Kibi+l.
D'altra parte, applicando A ad ambo l membri delle formule di Frenet per a
SI ottiene:
A dai = _IL". A A
dt '''1, l ai l + Ki ai+ l .
Quindi i campi vettoriali b l ,..., b N ed i campi vettori ali Aal,'.., AaN soddi-
fano lo stesso sistema di N equazioni differenziali lineari ordinarie; inoltre essi
soddisfano le stesse condizioni iniziali [31.6 J: pertanto si ha b i = Aai, i = 1, . . . , N.
In particolare (3' = Aa' e quindi:
t t
<P(a(t» - <P(a(to» = f Aa'(u)du = f j3'(u)du = j3(t) - j3(t o )
to t o
per ogni t E I. Dalla prilna delle [31.6] segue che <I>(a(t» = (3(t) per ogni t E I
cioè (3 = <1>( a). Il
Vedremo ora che per assegnare una classe di congruenza di curve è sufficiente
assegnare le funzioni curvatura.
31.5 TEOREMA Siano K l, . . . , K N l : U -+ R funzioni di classe C(OO) definite
in un intorno U di O E R tali che Ki(t) > O per ogni t E U e i = l,..., N - 2.
Esiste un intervallo J contenente O e contenuto in U e una curva a velocità
unitaria a : J -+ R N che soddifa le ipotesi della proposizione 31.1 e le cui
.funzioni curvatura sono le restrizioni a J di Kl,'.', KN - l,

262
Geometria d(fferellziale di curve e supe/:fici I Cap. 6
DÙnostrazione. Consideriamo la matrice antisimmetrica di funzioni su U:
o KI
-KI O
o
O
O
O
M(t) =
O
O
O
O
O KN I
-KN - I O
ed il sistema di equazioni differenziali lineari:
13'(t) = lkf(t)13(t)
[31.7 J
dove 13 = (b ij ) è una matrice N x N di funzioni incognite bij su U, con condizioni
iniziali 13(0) = IN. Per il teorema di Cauchy, per il quale rinviamo a un testo di
Analisi Matematica, il sistema [3].7] ammette un' unica soluzione B( t) definita in
un intervallo J C U contenente O. Deri vando ogni termine de1Ja matrice prodotto
t13(t)13(t) si ottiene la matrice:
(tB(t)B(t»' = t(M(t)B(t»B(t) + tB(t)M(t)B(t) =
= tB(t)tM(t)B(t) + tB(t)M(t)B(t) = O
perché M(t) è antisimmctrica. Pertanto la matrice tB(t)13(t) è costante e vale:
tB(t)B(t) = tB(O)B(O) = IN.
TI (t)
Se ne deduce che B(t) è una matrice ortogonale. Chiamiamo T(t) =
la prima colonna di B(t) e poniamo:
t
! TI(s)ds
o
TN(t)
t
a(t) = ! T(s)ds =
o
t
! TN(S)ds
o
La curva D: ha vettore velocità T(t) In t. Poiché T(t) è un versore per ognI
t E I, la curva D: è a velocità unitaria. Dalla [31.71 segue che le colonne di B
sono la base mobile di Frenet per D: e che le [31.71 sono le sue formule di Frenet.
In particolare D: ha curvature K l, . . . , K N l' Il
Esercizi
l. Sia Q; : J  R N una curva a velocità unitaria soddisfacente le ipotesi della proposizione
31.1 e sia f3 = Q; . O : j  R N una riparametrizzazione di Q; a velocità unitaria, dove

32 I Cu rve regolari di R 2 e di R 3
263
o : J  J è un diffeomorfìsmo. Dimostrare che anche /3 soddisfa le ipotesi della
'"
proposizione 31.1 e Ka.i(O(S)) = K{3.i(S), per ogni S E J e i = l, . . . , N-l.
. J R N" I ."
2. SIa a:   una curva a ve oClta
iperpiano affine H. Supponendo che a
identicamente KN - l = O.
3. Sia a : J  R N una curva a velocità
sottospazio affine H. Di mostrare che a',
di H.
unitaria tale che a(J) sia contenuta in un
possieda apparato di Frenet dÌ1110strare che
unitaria tale che a(J) sia conten1lta in un
a"  . . . , a(N l) sono contenuti nella giacitura
32 Curve regolari di R 2 e di R 3
Sia a : J  R 2 una curva piana a velocità unitaria. Le ipotesi della proposizione
31.1 sono automaticamente soddisfatte perché si riducono a a' =f O, e quindi la
base mobile di Frenet per a è definita: essa consiste dei campi di versori {t, n},
dove t = a' e D è definito dalla condizione che {t(t),n(t)} costituiscano una base
ortonormale positivamente orientata per ogni t E J. n è detto cafnpo di versori
nO/7nali ad 0:. Se a(t) = (x(t), y(t», allora t(t) = (x'(t), y'(t» e n = (-y'(t), x'(t».
La curva possiede un'unica funzione curvatura", : J  R, c le formule di Frenct
prendono la forma:
t' - "'D
D' = - ",t
l32.1]
Diamo una dimostrazione diretta delle [32.1 J. La prima segue dall'identità
t . t = l, da cui si ottiene, derivando primo e secondo membro, 2t. t' = O, e
quindi che t' è un multiplo di D. Dalla t. D = O, derivando ambo i membri, segue
che D' . t = - t' . D = - "', mentre dalla D. n = l segue, come in precedenza, che
D' . D = O: donde la seconda delle [.32.11.
La curvatura ",(t) è positiva o negativa a seconda che n(t), applicato in a(t),
sia diretto verso la concavità o verso la convessità di o:(J). Se ",(t) = O allora a(t)
è un (punto di) flesso. Se ",(t) =f O, allora _ ( 1 è detto raggio di curvatura di a
'" t)
in a( t), ed il punto
l
cCt) = o:(t) + - ( D(t)
K, t)
1
è il centro di curvatura di o: in a(t). La circonferenza di centro cCt) e raggio
",(t)
si dice cerchio osculatore ad o: in a(t) (fig. 32.1); ha equazioni parametriche:
1(0) = cCt) +  ) cos(O)t(t) +  ) sin(O)D(t).
"'Ct ",(t
Se ",(t) = O il raggio di curvatura si prende per definizione uguale a +00.

264
Geornetria differenziale di curve e sU/)(!I:fici I Cap. 6
Figura 32.1
Consideriamo ora una curva a : J  R 3 a velocità unitaria. Le ipotesi della pro-
posizione 31.1 sono che t = a' e t' = a" siano ovunque linearmente indipendenti.
Derivando primo e secondo membro dell'identità t.t = 1 si deduce che 2t.t' = O,
e quindi che t' è ortogonale a t. Pertanto la condizione che t e t' siano linearmente
indipendenti è equivalente alla condizione che t' sia ovunque di verso da O. Quindi
se t' è ovunque diverso da O la curva a possiede apparato di Frenet. Sotto
questa ipotesi la curvatl:lra di a è la funzione ",(t) = Ilt'(t)ll. Si definisce il campo
di versori normali ad a come o = Il::11 ° Il campo vettori aIe b = t/\o si dice campo
di versori binormali ad a. La base mobile di Frenet per a è {t, D, b} (fig. 32.2).
Il piano (t, D) è il piano osculatore di a in t, mentre i piani (n, b) e (t, b) sono
detti rispettivamente piano nornlale e piano rettificante di a in t.
La seconda curvatura "'2 è chiamata torsione di a, e viene di solito denotata
T. Le formule di Frenet diventano in questo caso:
t' - "'D
D' - -Kt
+7b
[32.2]
b' - - TD
Per comodità del lettore ne diamo una dimostrazione indipendente dal teorema
31.2. La prima delle [32.2 J è vera per definizione di D e di "'. Differenziando primo
e secondo membro delle identità b. b = l e b. t = O si ottiene rispettivamente:
b ' . b = O, b / . t = - b . t' = - b . "'D = O
e quindi b ' è un multiplo di D, e possiamo scrivere b' = -TD, identità che definisce
T; ciò dimostra la terza delle [32.2]. Per dimostrare la seconda osserviamo che
dalla D. t = O si deduce:
D' . t = - n . ti = - D . x;D = - K;

32 I Cun'e re()lari di R 2 e di R 3
265
Figura 32.2
inoltre n ' . n = O perché n è un versare, e dalla D. b = O si ottiene:
n'. b = -D. b ' = -n. (-Tn) = T;
pertanto:
D' = (D' . t)t + (D' . n)D + (D' . b)b = --x;t + rb.
Sotto l'ipotesi che ti sia ovunque non nullo, per defìnizione si ha (t) > O per
ogni t E J. Allora  ) è detto raggio di curvatura di a in a(t), e il punto
K(t
1
cCt) = a(t) + - ) n(t)
K(t
è il centro di curvatura di a in a(t). Il piano osculatore ad a in o:(t) è (t(t), nCt») =
= (t(t), t' (t»). Il piano affine o:(t) + (t(t), n(t») passante per o:Ct) cd avente per
giacitura il piano osculatore si dice piano osculatore affine ad a in a(t); esso
contiene il centro di curvatura c(t). La circonferenza 1 del piano osculatore affine
di centro cCt) e raggio _ ( l si dice cerchio osculatore ad a in a(t). Sue equazioni
K t)
parametri che sono:
1 ) 1. )
1(0) = cCt) + KCt) cos(O t(t) + K(t) sln(O)n(t .
Curve a velocità arbitraria. L'apparato di Frenet è stato definito per curve
regolari a velocità unitaria. Quasi tutte le curve regolari che si considerano in
pratica non sono però a velocità unitaria e una loro riparametrizzazione a velocità

266
Geometria differenziale di curve e superfici I Cap. 6
unitaria è il più delle volte molto complicata se non impossibile da ottenere
esplicitamente (si veda 1'esempio 32.2(3». Non è però difficile calcolare 1'apparato
di Frenet di curve regolari senza conoscerne una riparametrizzazione a velocità
unitaria. Vediamo in che modo.
Sia o: : J --+ R 3 una curva regolare. Sia (3(s) = o:(t(s», s E j, una sua ripa-
rametrizzazione a velocità unitaria, e a(t) = f3(s(t». Supporremo (3 orientata con-
cordemente con 0:. Denotiamo con v(t) = 1100'(t)llla vclocità di o: in t E J. Allora
SI ha:
v(t) = Ila'(t)1I = dj1(s(t» _
dt
df3 ds df3
---- =
ds dt ds
ds
dt
ds
-
dt
[32.3 ]
Sia t il campo di versori tangenti a (3 e sia T(t) = t(s(t». T è un campo di
versori tangenti ad o: e si ha:

0:' = do: = df3 ds = T v
dt ds dt
[32.41
e
0:" = dT v + T dv = dT v 2 + T dv
dt dt ds dt
[32.5]
La condizione che f3 sia dotata di apparato di Frenet è equivalente alla condi-
zione che  sia ovunque diverso da O, e per le [32.4J, [32.5J questo equivale
alla condizione che 0:' e 0:" siano ovunque linearmente indipendenti.
Supponiamo dunque 0:' e ali ovunque linearmente indipendenti. Siano n e b i
campi di versori normali e binormali di (3, c siano K, T : J --+ R le sue funzioni
curvatura e torsione rispetti vamente. Componendo t, n, b, K, T con la funzione
s : J -+ J otteniamo campi vettoriali su 0::
T(t) = t(s(t», N(t) = n(s(t», B(t) = b(s(t»
c funzi on i
K(t) = K(S(t», T(t) = r(s(t»,
che possiamo chiamare apparato di Frenet sulla curva 0:. È immediato verificare
che l'apparato di Frenet su o: è indipendente dalla scelta della riparametrizzazione
a velocità unitaria {3.
Sostituendo KN al posto di dT nella [32.5] otteniamo la seguente espressione
ds
di 0:":
" - dv T K 2 N
o: - dt + v .
La [32.6J è una formula familiare in cinematica: essa afferma che se un punto si
muove con velocità costante allora la sua accelerazione ha direzione perpendicolare
[32.6]

32 I Curve regolari di R 2 e di R 3
267
alla velocità ed è direttamente proporzionale alla curvatura e al quadrato della
velocità; se la velocità non è costante allora 1'accelerazione a" possiede anche
una componente in direzione tangenziale.
Le formule di Frenet esprimono le derivate di t, n, b rispetto al para/netro s
in funzione di t, n, b. Se invece deriviamo rispetto al parametro t, cioè deriviamo
i campi vettoriali T, N, B, otteniamo le seguenti formule che generalizzano le
[32.21 :
T' = KvN
N ' - -KvT
+TvB
[32.7 J
B' - -TvN
Si ha infatti:
T/= dT = dt ds = KvN.
dt ds dt
Le al tre due formule si ottengono in modo simile.
Pcr poter calcolare l'apparato di Frenet su a dobbiamo darne l'espressione in
termini di a stessa, senza cioè far intervenire la riparametrizzazione (3.
32.] PROPOSIZIONE Sia o: : J ---t R 3 una curva regolare tale che a' e ali siano
ovunque linearnzente indipendenti. Allora a possiede apparato di Frenet e si ha:
a' a' 1\ a"
T = TI' N = B /\ T, B = Il ci /\ Q: Il Il ;
110: ' 1\ ali Il a' /\ a" . a'"
K = 11Q:'11 3 ' T = Il Q:' /\ Q: Il 11 2 .
Dimostrazione. Il fatto che a possiede apparato di Frenet è gia stato dimostrato.
L'espressione di T è la [32.4 J. Utilizzando la [32.6 J si trova:
Q:' /\ Q:" = (vT) /\ (  T + KV 2 N) =
[32.81
= (vT) /\ (  T) + Kv 3 T /\ N = Kv 3 B.
Pertanto:
Il a' /\ a" Il = K v 3
[32.9]
perché K e v sono positivi. Dividendo primo e ultimo membro della l32.8] per
110: ' /\ a"i l e tenendo conto della [32.9] si trova l'espressione di B. Dalla [32.9],
di videndo per v 3 , discende l'espressione cercata di K. L'identità N = B /\ T è vera
per definizione. Resta da calcolare T. Calcoliamo (a' /\ ali) . a"'; poiché a' !\ a"

268
Geornetria d(fJerenziale di curve e superfici
Cap. 6
è parallelo a B, sarà sufficiente per questo calcolare la componente di a'" nella
direzione di B. Abbiamo, tenuto conto del1e [32.71:
d " (d ) '
'" a v,.-, 2 2 , 2
a =(ft= dt I + KvN =KvN+...=Kv(-KvT+TvB)+...==
= KTv 3 B + . . .
dove abbiamo denotato con ". tutti gli addendi che non sono paralleli a B. Segue
che:
(a' 1\ a") . a'" = (Kv 3 B) . (KTv 3 B) = K2Tv 6 .
Dividendo per Il a' !\ a"112 otteniamo l'espressione di T cercata. !Il
32.2 Esel11pi
1. Sia a : J  R 2 una curva piana a velocità arbitraria che soddisfa a' (t) # O
per ogni t E J. Sia f3(s) = a(t(s», s E A, una sua riparametrizzazione a velocità
unitaria orientata concordemente con a, C a(t) = [1(s(t». Sia {t, n} la base mobile
di Frenet di (3, K la sua funzione curvatura, e siano
0/
T = t(s(t)) = 110:'11
N = n(s(t»
K(t) = K(S(t».
La [32.6 J si deduce come nel caso di curve di R 3 , e moltiplicandone scalarmente
per N ambo i membri si ottiene:
a" . N
K = Il 0:' 11 2 .
[32.10]
La [32.101 può anche essere usata per calcolare la curvatura di curve di R 3 .
Sia ad esempio c = (c l , C2) E R 2 e sia r > O. Consideriamo la circonferenza
a : R  R 2
[32.111
a(t) = (c] + r cos(t), C2 + r sin(t»
di centro c e raggio r. Abbiamo
a'(t) = (-r sin(t), r cos(t», Ila'(t)11 = r
N(t) = (- cos(t), - sin(t»
a"(t) = (-r cos(t), -r sin(t»

32 I Curve regolari di R 2 e di R
269
e quindi per la [32.10 J:
1
K = -.
r
La curvatura è positiva perché il versare normale è diretto verso l'interno. Il
raggio di curvatura è uguale a r e il cerchio osculatore coincide con a in ogni
punto. Se riparametrizziamo la circonferenza con orientazione opposta:
(jet) = (Cl + r cos(t), C2 - r sin(t»
. 1
allora ottenIamo K = - -.
r
2. Calcoliamo l'apparato di Frenet dell' elica circolare
1 : R -+ R 3
1(t) = (a cos(t), a sin(t), bt) a, b > O
in cui supponiamo a'2 + b 1 = 1, cosicchè I ha velocità unitaria.
Abbiamo:
t = (-a sin(t), a cos(t), b)
t' = (-a cos(t), -a sin(t),O)
",(t) = a,
n = (- cos(t), - sin(t),O),
b = t /\ n = (b sin(t), -b cos(t), a).
b' = (b cos(t), b sin(t), O) = -bn
quindi T = b. Il piano osculatore affine nel punto 1(t) ha equazione
b . (x - 1(t» = O
cioè:
b sin(t)X - b cos(t)Y + aZ - abt = O.
3. Consideriamo la cubica gobba
. R R 3
a . -+
a( t) = (t, t 2 , t 3 ).
Questa curva ha velocità
v(t) = V I + 4t 2 + 9t 4

270
GeOlnetria differenz.iale di curve e supeJjìci I Cap. 6
e quindi non ha velocità unitaria. La sua funzione lunghezza è:
t
s(t) = f v' I + 4u 2 + 9u 4 du.
o
L'inversa di questa funzione, che è necessario conoscere per riparametrizzare
a a velocità unitaria, non è esprimibile per mezzo di funzioni elementari (è una
funzione ellittica). Quindi già una curva semplicissima come la cubica gobba
presenta un problema di riparametrizzazione molto complicato. Procediamo quindi
a calcolarne 1'apparato di Frenet utilizzando le formule della proposizione 32.1.
Si ha:
a' = (I, 2t, 3t2) a" = (O, 2, 6t) a'" = (O, O, 6)
a' !\ a" = (6t 2  -6t, 2 ),
!la'll = V I + 4t 2 + 9t 4 , Il a' /\ a"ll = V 4 + 36t 2 + 36t 4
e quindi:
T - l 2. 1 2
- v' (I, 2t, 3t), B = v' (3t , -3t, 1)
l + 4t 2 + 9t 4 l + 9t 2 + 9t 4
l
N = (-9t 3 - 2t, -9t 4 + 1, 6t 3 + 3t);
V C] + 4t 2 + 9t 4 )(1 + 9t 2 + 9t 4 )
K,(t) = 2v'1 + 9t 2 + 9t 4 . r(t) = 3 .
V (1 + 4t 2 + 9t 4 )3 ' 1 + 9t 2 + 9t 4
Come segue dai teoremi 31.3 e 31.4, la curvatura e la torsione caratterizzano
tutte le proprietà geometriche di una curva. È quindi logico aspettarsi che a
funzioni curvatura e torsione particolari corrispondano curve particolari. Vediamo
un esempio.
32.3 PROPOSIZIONE
(a) Una curva piana a : J ---t R 2 avente curvatura identica/nente nulla ha
Ùnn1agille contenuta in una retta.
(b) Una curva a : J ---t R 3 tale che a' e ci' siano ovunque indipendenti è
contenuta in un piano se e solo se ha torsione identicanlente nulla.
Dhnostrazione
(a) Dall'ipotesi segue che a"(t) = (O, O), c quindi a(t) = (CI + tVI, C2 + tV2) per
qualche Cl, C2, VI, V2 E R.
(b) Supponiamo che a SIa contenuta In un plano. Allora per un opportuno
v E R J si ha:
(o:(t) - a(to» . v = ()

32 l Curve regolari di R 2 e di R 3
271
identicamente. Derivando si ottiene:
I Il O
a eV=a eV=
e quindi il piano osculatore (D:'(t) ali (t») è costante. Pertanto il versore binormale
B è costante e dalle formule di Frenet segue che T = O.
Viceversa supponiamo T = O. Allora B è costante. Fissato t o E J poniamo
F(t) = (a(t) - a(to» e B.
Poiché:
F'(t) = a' e B = O, F(to) = O
si ha F(t) = O identicamente, cioè a(t) - a(t o ) appartiene al piano perpendicolare
a B per ogni t E J. Quindi a è contenuta in un piano perpendicolare a B. Il
Altre caratterizzazioni di proprietà geoll1etriche di curve mediante curvatura e
torsione sono date negli esercizi.
32.4 Ese111pi
1. Siano a, b > O. La curva plana regolare a(t) = (a C()s(t) b sin(t», t E R,
X2 y2
parametrizza l' ellisse di equazione cartesiana a 2 + b 2 = l. Si ha:
a'(t) = (-a sin(t), b cos(t»
a"(t) = (-a cos(t), -b sin(t» N(t) = (- cos(t), - sin(t»
) a COS(t)2 + b sin(t)2
K(t = .
a 2 sin(t)2 + b 2 COS(t)2
La curva piana regolare (3(t) = (a cosh(t), b sinh(t», a, b > O, t E R, parame-
. . X2 y2
trizza un ramo dell' iperbole di equazione carteslana a 2 - b 2 = 1. La curvatura
di f3 è:
-ab
K(t) = .
y (a 2 sinh(t)2 + b cosh(t)2r
La curva piana regolare 1(t) = (2at, at 2 ), a > O, t E R, parametrizza la parabola
di equazione cartesiana X 2 = 4a Y. La sua curvatura è:
2a
K( t) = .
vi ] + t 2

272
Geometria differenziale di curve e superfici I Cap. 6
2. Sia o: : J -? R 2 una curva piana regolare a curvatura ovunque diversa da O.
Al variare di t E J il centro di curvatura di o: in t descrive una curva piana detta
evoluta di 0:. Quindi ]' evoluta di o: è la curva:
1
cCt) = o:(t) + ",(t) N(t).
L'evoluta di una circonferenza [32.11 J è la curva costante cCt) = c perché il
centro di curvatura c(t) coincide con il centro c per ogni t E R.
La cicioide è la curva
o:(t) = (t - sin(t), l - cos(t», O < t < 21r;
o: è descritta da un punto di una circonferenza di raggio che rotola sull' asse
X (fig. 32.3). La sua curvatura è:
1
",(t) =
2 \1' 2(1 - cos(t»
e la sua evoluta è:
cCt) = (t - 2 sin(t), 2 - 2 cos(t».
3. Sia o: : J -? R 2 una curva piana regolare. Un' elica su o: di passo b > O è la
curva regolare:
(3 : J  R 3
(3 ( t) = (o: 1 (t), o: 2 ( t), bt).
Se o: è una circonferenza si ottiene un' elica circolare. Ad esempio:
(3(t) = (cos(t), sin(2t), bt) t E R
è un'elica sopra la curva piana dell'esempio 25.6.1.
La curva (jet) = (2at, at 2 , bt), a, b > O, t E R, è un'elica sopra una parabola
(fig. 32.4).
a(t)
I
I
Figura 32.3

32 I Curve regolari di R 2 e di R 3
273
Figura 32.4
La sua curvatura è
2a v b 2 + 4a 2
K;(t) =
V (4a 2 (1 +t 2 )+b 2 )J
mentre r = O. Dalla proposizione 32.3 discende che ,.B(R) è contenuta in un piano:
si tratta del piano bX - 2aZ = O.
La curva (J(t) = (cosh(t), sinh(t), t) è un'elica sopra un'iperbole. La curvatura e
la torsione sono:
l
K(t) = r(t) = . .
slnh( t)2 + cosh( t)2 + l
Esercizi
l. Sia a : J ---7 R 2 una curva piana regolare avente curvatura costante I\, > o. Dinlostrare
che a(J) è contenuta in una circonferenza di raggio .
K
2. Sia a : J ---7 R 3 una curva dotata di apparato di Frenet, avente cl!vatura costante K > O
e torsione identicamente nulla. Dimostrare che a(J) è contenuta in una circonferenza
. . l
dI raggIo -
K
3. Sia a : J ---7 R 3 una curva dotata di apparato di Frenet la cui imlnagine sia contenuta
in una sfera di raggio r. Dilllostrare che per ogni t E J la curvatura I\, di a soddisfa
l
I\,(t)-.
r
4. Calcolare la curvatura della curva plana a(t) = (t, <p(t)), t E R, dove <p : R ---7 R € la
funzione dell' esercizio 19.6.

274
Geometrii:. d(lferenz.ialf! di curve e superfici I Cap. 6
5. Calcolare la curvatura di una catenaria, che è una curva piana regolare di equazIonI
parametriche a(t) = (t, a cosh () ), a > 0, t E R (fig. 32.5).
.. -- - -------JIIrIoo-
Figura 32.5
6. Calcolare l'evoluta di una spirale logaril111ica, che è una curva piana di equazioni:
a(t) = (e bt cos(t), e bt sin(t» b > O, t E R (fìg. 32.6).
t
..
Figura 32.6
7. Di 1110strarc che ognuna deJle seguenti curve è regolare e calcolarne l'apparato di Frenet
nel punto indicato:
(a) a(t) = (sin(t)2, cos(t)\ l + cos(t) sin(t» In a(1r /2).
(b) a(t) = (cos(ty, cos(t), sin(t» in a(O).
(c) a(t) = Ct, tc t , t 2 e t ) in a(O).
(d) o«t) = ( ; , ; ,ln(t») in 0<(1).

33 I Supel:lici di R N : isometrie e prima forma fondamentale
275
33 Superfici di R N : isometrie e prima forma fondamentale
In questo paragrafo inizieremo lo studio delle proprietà metriche delle superfici
di R N , cioè delle proprietà che dipendono dalla loro forma e dalla loro strut-
tura l11ctrica interna. COllle sottoinsieme dello spazio metrico R N ogni superficie
differenziabilc S C R N ha una struttura di spazio metrico. Se però voglianlo
studiare proprietà metriche "intrinseche" delle superfici è più opportuno definire
una distanza nel modo seguente.
33.1 DEFINIZIONE Sia S C R N una superficie differenziabile. Per ogni coppia
di punti XI, X2 E k.9 la distanza intrinseca di XI da X2 è definita COl1ze
p(x" X2) = inf{ lunghezze delle curve d(fferenziabili in S di estrelni XI e X2}'
In generale p(x" X2) > d(x" X2) (dove d( -, -) denota la distanza euclidea in
R N ) perché p(x" X2) è calcolata per mezzo di curve vincolate ad essere contenute
in S, mentre d(XI, X2) è la lunghezza del segn1cnto di estremi Xl e X2. Se ad
esempio S è una sfera di raggio r > O in R 3 , la distanza intrinseca di due punti
antipodali è 7fT, mentrc la loro distanza euclidea è 2T. Per ovvi motivi pratici è
molto più importante conoscere la distanza intrinseca piuttosto che quella euclidea:
si pensi alla superficie telTestre, omologabile a quella di una sfera, oppure alla
superficie terrestre in zone limitate, ad esempio montagnose, dove la distanza
euclidea ha una scarsa iportanza pratica.
Nello studio delle proprietà metriche di una superficie S C R N si utilizza la
cosiddetta "prima forma fondamentale". Il prodotto scalare standard in R N induce
in ognuno degli spazi tangenti T x (,,9), X E S, una forma bilineare simmetrica,
che 'si chiama prÙna forn1a fondan1entale su Tx(S), e che si denota con Ix( -, -),
oppure con I( -, -) quando non vi sia possibilità di equivoco; lo stesso nome viene
dato a]Ja forma quadratica associata, indicata con Ix( -) o semplicemente l( - ).
Essendo la restrizione del prodotto scalare su R N , la prÙna fornza .fol1darnentale
è defìnita positiva.
33.2 DEFINIZIONE Siano 1..9 C R N e 1..9 C R M due superjìci dijj'erenziabili.
Un 'isometria di 1..9 il1 S è un difleol1uJljìslno f : S  1..9 tale che per ogni X E S
il d(fJerenziale !*x : Tx(S)  Tf(X)(k.9) sia un 'isol1zefria di spazi vettoriali euclidei,
cioè soddisfi:
Ix(v, w) = I f(x)(!*x(v), f*x(w» per ogni v, w E T X (1..9).
Se esiste un 'is(J1netria f : 8  S direl1zo 1..9 e "C; isometrichc.
È ovvio che il diffeomorfisI110 identità di una superficie differenziabilc in sé
è un'isometria; inoltre è immediato verificare che l'inversa di un'isometria e la

276
Geometria differenziale di curve e supeJjici I Cap. 6
composizione di due ison1etric sono isometrie. Quindi l'isometria è una relazione
di equivalenza tra superfici differenziabili che è più fine del diffeomorfismo,
cioè superfici isometriche sono diffeomorfe. Il viceversa è in generale falso. Ad
esempio, il diffeomorfismo
I : R 2  R 2
I(u) = eU
con c =f O, ], non è un' isometria (ma è un' applicazione confonne, cfr. esercizio 1).
Il motivo per il nome "isometria" che abbiamo utilizzato nella definizione 33.2
viene dal seguente risultato:
33.3 TEOREMA Siano S C R N e S C R M due super:fici d(fferenziabili. Un
diff'eonzor.fislno f : S  S è un 'is(J1netria se e solo se per ogni curva regolare
o: : J  1..9 e per ogni t" t'l E J la lunghezza di Q tra tI e t 2 è uguale alla
lunghezza della curva regolare I. o: : J  S tra t I e t2. In particolare, se f è
un 'iS0111etria allora
P(XI  X'l) = p(/(x]), !(X2»
per ogni Xl, X2 E S.
[Ji1nostrazione. Supponiamo che / sia un'isometria. La lunghezza di o: tra ti
e t'l è:
t t
f Ila'(t)lldt = f VIa(t)(a'(t)) dt
ti ti
mentre la lunghezza di f. o: tra tI e t 2 è:
t2 t
f Il (f . a)' (t)lldt = f I<fo",)(t) I (f . a)'(t)J dt =
tI ti
t2
f I<fo"')(t)r J.a(t)(d(t))] dt.
t}
Per defìnizione di iSolnetria
IQ(t)(o:'(t» = I(!.aHt)l!*a<t)(o:'(t»]
per ogni t E J e quindi le lunghezze di a e di f. o: tra t I e t'2 coincidono.
Supponiall1o viceversa che la condizione sia soddisfatta. Sia x E S, v E
E Tx(A.-'J)\ {O} e sia a : (-£, £)  S una curva adattata a v, che possiamo supporre

33 I Supelfici di R N : isol11etr;e e prima forma fondamentale
277
regolare prendendo c > O sufficientemente piccolo. Allora, fissato co E (-cS, c), la
lunghezza di D: tra co e t E (-c, cS) è una funzione differenziabile
t
l(t) = f lIa'(r)lldr
E'o
la cui deri vata in O è
 (O) = lIa'(O)1I = y'Ix(v) ;
D' altra parte per i patesi si ha anche:
t
l(t) = f 1I(f. a)'(r)lldr
So
e quindi
 (O) = 11(f . a)'(O)11 = I !ex><!* x (v)).
Confrontando si deduce
y' Ix(v) = I !(X)(!*x(v»
e, poiché la prima forma fondamentale è defìnita positiva, segue che Ix(v) =
= I!(x)(!*x(v». Quindi! è un'isometria.
L'ultima affennazione segue dal fatto che la distanza intrinseca è calcolata per
mezzo delle lunghezze delle curve regolari. !Il
Le proprietà e le nozioni che vengono preservate dalle ison1etrie, cioè quelle
proprietà che sono comuni a tutte le superfici tra loro isometriche, si dicono
in trin."J'eche e il loro studio è l'oggetto della geo111etria intrinseca delle superfici
euclidee. Questa terminologia è giustificata dal teorema 33.3, il quale affernla tra
r altro che p(--, -) è una nozione intrinseca. Da questo risultato segue che la
prima forma fondamentale su una superficie, la quale dipende dal modo in cui
la superf1cie è immersa nello spazio euclideo, può essere calcolata utilizzando
le lunghezze delle curve sulla superficie, le quali invece dipendono solo da pro-
prietà geo111etriche interne della superficie. Questo fatto notevole ha una grande
importanza concettuale.
II nostro obiettivo è di studiare proprietà e grandezze invarianti rispetto ad
isoll1ctrie, cioè intdnseche. Inizierell10 con lo studio del1e proprietà intrinseche di
natura locale, cioè con le proprietà intrinseche delle superfici nel1' intorno di un
punto.
Per studiare le proprietà locali delle superfici cuclidee considercrcnlo una pa-
rametrizzazione x : U -+ R N , dove [J è un aperto di R; l' ilnmagine S = x(U) è

278
Geometria d(flerenziale di curve e superfici I Cap. 6
una superficie di R N che consiste di un solo aperto coordinatizzato, cioè possiede
un atlante consistente di una sola carta locale {(8, x l)}. Chiameremo una super-
ficie siffatta ele111entare. Vogliamo dunque concentrare la nostra attenzione sulle
superfici elementari.
Se V C R 2 è un altro aperto e cf> : V  U un diffeomorfismo, la COlllposizione
y = x . 4J : V  R N è un'altra parametrizzazione che soddisfa y(V) = 8 e prende
il nome di ripara111etrizzazione di 8. Diremo che cf; l1zantiene oppure call1bia
l'orientazione a seconda che sia del(4J(u» > O oppure det(cf;(u» < O per ogni
UE U.
Supponiamo d'ora in poi, in questo paragrafo, N = 3. Denotianlo con u = (u, v)
un punto variabile in U, e sia x(u) = (Xl (u), X2(U) X3(U». Se x E S lo spazio
tangente Tx(S) verrà come al solito considerato come un sottospazio vettoriale di
R 3 . I canlpi vettori ali differenziabi li:
0_ ( ax] 8X2 aX3 ) '_ ( 8xI aX2 8X3 )
Xu.- au' au' au  Xv.- av' 8v' 8v
definiscono in ogni punto x = xCu) E 1..9 una base di T x (8) perché si ha:
xu(x) =, r*u ( ( :u t), xv(x) = x*u ( ( :v )J
e X*u : Tu(U)  T x (8) è un isomorfismo. Poiché le componenti di Xu e di Xv sono
funzioni di u è più naturale scrivere xu(u) e xvCu) anziché, rispettivamente, xu(x)
e Xv (x). Pertanto nel seguito adotteremo questo piccolo abuso di notazione. Spesso
on1etteremo addirittura il riferimento ad u per maggior semplicità di notazione.
È naturale esprimere i vettori di Tx(S) e la pril11a forma fondamentale per mezzo
della base {xu(u), xv(u)}. Omettendo il riferimento ad u, se (du, dv) E Tu(U) sia
X = x*u(du, dv) = xudu + xvdv E Tx(FJ);
SI ha allora:
I(X) = Edu 2 + 2Fdudv + Gdv 2
dove abbiamo posto:
E = Xu . xu, F = Xu . Xv, G = Xv . Xv-
Abbiamo utilizzato la notazione (du dv) per le coordinate di un vettore di
Tu(R2), in accordo con l'uso tradizionale in geonletria differenziale. Questa no-
tazione vuole suggerire il fatto che un vettore tangente deve essere considerato
COlTIe un increlllento infinitesimo del punto u = (u, v). E, F, G sono i coefficienti
della prima forma fondamentale e sono funzioni di classe C(OO) di u E U. La
matrice della prima forma fondan1cntale è:
(; )
[33.1 ]

33 I SupeIjìci di R.lv: ismlletrie e prima forma fondamentale
279
Poiché I è definita positiva si ha:
E > O G > O, EG - F 2 > O.
Queste disuguaglianze possono anche essere verificate direttamente: infatti E =
= IIX u l1 2 e G = IIXvl12 sono positivi perché i vettori Xu ed Xv sono non nulJi, mentre
2 2 O
EG - F = (xu . xu)(xv . Xv) - (x u .. Xv) >
[33.21
per la disuguaglianza di Schwarz.
Tramite l'isomorf1smo X*u : Tu(U) -+ T X (1..9) la prima forma fondamentale si
trasporta su Tu(U); denotando questa forma quadratica su Tu(U) con lo stesso
simbolo I( -), abbiamo:
I(du, dv) = I (x*u ( :u )u du + ( :v t dv ) = I(xudu + xv dv ) = Edu 2 + 2Fdudv + Gdv 2 ,
Pertanto la prima forma fondamentale su Tu (U) si esprime, nella base cano-
nica { ( :u t ' ( :v ) u }, con la stessa matrice [33.11 con cui la I( -) su Tx(S) si
esprill1e nella base {xu(u), xv(u)}.
Vediamo in che modo la prima forma fondamentale interviene quando si cal-
colano grandezze di natura metrica su S quali lunghezze di curve, angoli ed
aree.
Consideriamo una curva regolare o: in S, definita in un intervallo J, che
supporremo assegnata come immagine tramite X di una curva regolare (u(t), v(t»,
t E J, in U, cioè come o:(t) = x(u(t), v(t». Allora, per ogni ti, t 2 E J, la lunghezza
di a tra tI e t 2 ha la seguente espressione:
t2 tl
f !la'(t)!ldt == f
ti ti
du dv
Xu - d + Xv - d dt =
t t
t, I
f - ( ( du d V ) ( du d V ) ) 1 2
= Xu dt + Xv dt · Xu dt + Xv dt dt =
ti
[33.3 J
t2 ( ", ", ) 1/2
du .. du dv dv 
= f E ( dt ) + 2F dt dt + G ( dt ) dt.
tI
Due particolari classi di curve regolari su S' sono le immagini tramite X dei
segmenti di rette parallele agli assi coordinati in U, cioè le cosiddette u-curve:
o:(u) = x(u, vo) Vo fisso

280
Geometria differenziale di curve e superfici I Cap. 6
e v-curve:
(3( v) = xC Uo v) Uo fisso.
Per ogni punto x = x(uo, va) E S passano un'unica u-curva ed un'unica v-curva,
cui vettori velocità in x sono rispettivamente Xu ed xv.
Se X = xudu + xvdv, Y = xu8u + xv8v E TxCS), il coseno dell'angolo convesso
() da essi formato è:
cos(O) = X · Y = Edu8u + F(du8v + dv8u) + Gdv8v
, IIXIIII Y II (Edu 2 + 2Fdudv + GdV 2 )1/2(E8u 2 + 2F8u8v + G8V 2 )1/2
In particolare il coseno dell' angolo formato dai vettori Xu ed Xv in x è:
Xu . Xv F
=
IIxullllxvll VEG
La condizione di pcrpendicolarità di X ed Y è:
Edu8u + F(du8v + dv8u) + Gdv8v = O
[33.4 ]
che nel caso X = Xu ed Y = Xv diventa:
F=O
[33.5]
Poiché Xu ed Xv sono rispettivamente i vettori velocità della u-curva e della
v-curva per x, la [33.51 è anche la condizione affinché queste due curve siano
perpe nd i co l ari.
Dal calcolo di più variabili (si veda anche l'esempio 43 .4( 4» sappiamo che
l'area A( S) della superficie elementare S, se finita, è data dall' integrale doppio:
f IIxu!\ xvll dudv .
u
Tenuto conto dell'identità (Sernesi 1989, teorema 18.2(6»
Ilxu !\ x v l1 2 = EG - F 2
[33.6 ]
l'integrale precedente fornisce la seguente formula:
A(S) = f V EG - F 2 dudv
u
[33.7]
Poiché l'integrando dipende solo dalla prima forma fondamentale, deduciamo
la seguente
33.4 PROPOSIZIONE Due supel:fici elen1entari iSol1zetriche di area .finita hanno
la stessa area.

33 I Supei.fìcì di R N : isometrie e prima forma fondamentale
28/
33.5 Esenzpi
1. Consideriamo un piano O, ad esempio quello di equazioni parametriche
x(u, v) = (u, v, O).
Allora
Xu = (1, O, O), XV = (O, 1, O)
E= l, F=O, G= 1
c quindi la prilna forma fondamentale è:
I(du, dv) = du 2 + dv 2 .
2. Sia r > O e consideriamo l'applicazione
. R 2 R 3
X. -4
X(u, v) = (r cos(u), r sin(u), v)
X è una rappresentazione paramctrica del cilindro r di asse l'asse Z e di
raggio r, che ristretta opportunamente fornisce una parametrizzazione nell'intorno
di ogni punto di r. Le u-curve sono archi di circonferenze su piani perpendicolari
al piano Z=O; le v-curve sono rette parallele all'asse Z (fig. 33.1). Quindi le
u-curve e le v-curve sono perpendicolari, e possiamo perciò predire che si abbia
F = O identicamente.
Calcoliamo:
Xu = (-r sin(u), r cos(u), O)
Xv = (O, O, l)
E ::: r 2 . F = O. G = l.
v = costo
u = cost.
Figura 33.1
10

282
Geometria differenziale di curve e superfici I Cap. 6
Qui ndi
I(xu du + xv dv ) = r 2 du 2 + dv 2 .
Riparametrizziamo r ponendo u = r IW, cioè ponendo:
y(w,v) = (r cos(r 'w),r sin(r-'w),v)
con (w, v) E R 2 . Allora si ottiene
Yw = (cos(r 'w), sin(r-1w), O), Yv = (O, O, l)
e questa nuova rappresentazione parametrica soddisfa E = 1 = G, F = O. Quindi
la prima forma fondamentale su r si esprime in questa nuova parametrizzazione
come:
I(Yu du + yv dv ) = du 2 + dv 2 .
Ciò significa precisamente che localmente y induce un'ison1etria di R 2 su r,
cioè che ogni punto U E R 2 possiede un intorno aperto che vicne mandato isome-
tricamente su un aperto di r. Diremo pertanto il piano ed il cilindro locabnente
isonletrici. Una superficie isometrica a un aperto del piano si dice sviluppabile.
Una superficie localmente isometrica a un aperto del piano si dice locaZ,nente
sviluppabile. Quindi il cilindro è localmente sviluppabile.
3. Sia J un intervallo aperto, a : J -+ R 3 una rappresentazione paramctrica
di una l-varietà la cui immagine sia contenuta nel piano Z = O, e supponiamo
che a(J) sia contenuta ad esempio ne] semipiano Y > O. Pertanto sarà a(u) =
= (al(u), a2(u), O), con a2(u) > O per ogni u E J. L'applicazione
x : J x R -+ R 3
X(u, v) = (al (u), a2(u) cos(v), a2(u) sin(v»,
è una rappresentazione parametrica di una supe rfieie di rotazione S ottenuta
facendo ruotare a(J) attorno all'asse X (cfr. esempio 25.6(6». Anche in questo caso
possiamo predire che si avrà F = O perché le v-curve sono archi di circonferenze
perpendicolari alle u-curve, che sono curve ottenute ruotando a(J) (fig. 33.2).
Calcolando si trova:
Xu = (a', (u), a(u) cos(v), a(u) sin(v»
Xv = (O, -a2(u) sin(v), a2(u) cos(v»
E = Ila'(u)ll\ F = O, G = a2(u)2
I(xudu + xv dv ) = Ila'(u)11 2 du 2 + a2(u)2dv 2 .

33 I Supelfici di R N : isometrie e prinza forma fondamentale
u = costo
283
'\
\
\
\
\
I
I
I
a(J)
Figura 33.2
Se la curva a è a velocità unitaria si ha Ila'(u)11 2 = l e quindi:
I(x-u du + xv dv ) = du 2 + a2( u)2dv 2 .
Nel caso particolare della sfera di centro r origine e raggio r abbiamo:
x(u, v) = (r cos(u), r sin(u) cos(v), r sin(u) sin(v», (u, v) E (- ; , ; ) x R
e
xu = (-r sin(u), r cos(u) cos(v), r cos(u) sin(v»
Xv = (O, -r sin(u) sin(v), r sin(u) cos(v)
E = r'l, F = O, G = r 2 sin( u)2
I(x-u du + xv dv ) = r 2 du 2 + r'l sin(u)2dv 2 .
Nessun aperto della sfera, per quanto piccolo, è isometrico ad un aperto del
piano. Questo fatto verrà din1ostrato nel paragrafo 37; esso corrisponde al fatto ben
noto in cartografia che ogni rappresentazione cartografica della superficie terrestre
necessariamente introduce qualche distorsione.
4. Sia a : J -+ R J una parametrizzazione di una varietà l-dimensionale e v
un campo vettoriale su a tale che v( u) =f O per ogni u E J. La corrispondente
superficie rigata S è definita vettorialmente come:
x(u, v) = a(u) + vv(u)

284
Geornetria differenziale di CltrVe e supe/:fici
Cap. 6
al variare di (u, v) in un conveniente aperto U di J x R sul quale x definisca
una parametrizzazione (cfr. esempio 25.6(5». Quindi una paramctrizzazione x(u,v)
defìnisce una superficie rigata se le sue componenti sono poli n 0111 i di primo grado
in uno dei parametri. Si ha:
Xu = a/(u) + vv/(u), Xv = v(u).
Supponiamo che a sia a velocità unitaria e che Il''11 = ] identicamente. Allora
si ha v. v' = O identicamente e:
E = l + 2va/ (u) . v'(u) + v 2 11v'112  F = a' (u) . v(u), G = l.
Se in particolare v = a', cioè S è la rigata delle tangenti (o rigata tangente)
di a allora Il v' 11 2 = Il a/' 11 2 = ",2, dove '" è la curvatura di a e quindi:
E = 1 + v 2 ",2, F = 1, G = l
I(xudu + xv dv ) = (1 + v 2 ",2)du 2 + 2dudv + dv 2 .
Osserviamo che se consideriamo una curva piana (3 : J ---t R 2 a velocità
unitaria avente curvatura "', uguale alla curvatura di a, la rigata delle tangenti
di (3 è un aperto A del piano, e la sua prima forma fondamentale, rispetto alla
parametrizzazione
y(u, v) = (3(u) + v(3'(u),
coincide con quella di S. Dunque S ed A sono localmente isometriche, e quindi
S è localmente sviluppabile.
11 cilindro r considerato nell' esempio 2 è una superficie rigata. Abbiamo
verificato che r è localmente sviluppabile pur non essendo una rigata tangente.
5. Come casi limite di superfici rigate abbiamo i cOlli (cfr. esempio 25.6(5».
Sia C il cono di vertice p E R 3 di equazioni:
x(u, v) = p + vv(u)
dove (u v) variano in un opportuno aperto del semipiano v > () e v(u)#O per ogni
u. Quindi una parametrizzazione x(u, v) definisce un cono se le sue componenti
sono polinomi di primo grado in uno dei parametri tali che i tern1ini costanti
siano costanti anche rispetto aIl' altro parametro.
Possiamo supporre Ilvll = l, cioè che la curva v sia contenuta nella sfera 8 2 .
Poiché si ha:
I
Xu = vV  Xv = V

33 I Supeljìci di R N : isol11etrie e prima fOrlna fOlldanzel1tale
285
affinché x sia un'immersione è necessario che v e v' siano ovunque indipendenti
e, poiché sono ortogonali tra loro, ciò equi vale all' essere v' =f O ovunque. Possiamo
quindi supporre Il v'I! = l, cioè che v abbia velocità unitaria. Abbiamo:
E=V2 F=O G=]
I(xudu + xv dv ) = v 2 du 2 + dv 2 .
Il cono C può essere localmente riparan1etrizzato mediante il cambiamento di
variabili x = v cos(u), y = v sin(u). Nelle nuove coordinate locali la prima forma
fondamentale diventa I(dx, dy) = dx 2 + dy2. Quindi C è localmente sviluppabile.
Sia U C R 2 un apel10 e sia
x : U -4 S C R 3
una paral11etrizzazione della superfìcie elelnentare S. Utilizzando il diffeomorfislTIo
x, la prÌ1TIa forma fondamentale Ix( -, -) su ciascuno spazio tangente T x (8) si tra-
sporta agli spazi tangenti Tu(U), sui quali vengono in tallTIodo definiti dei prodotti
scalari. Pertanto la geometria intrinseca di 1.-9, dipendendo solo dalla prima fonna
fondamentale, può essere studiata direttamente su U. In particolare la lunghezza
delle curve, gli angoli, le aree possono essere calcolati su U utilizzando le formule
[33.31, . . . ,[33.6]. I prodotti scalari su Tu(U) variano con u, e i coefficienti E, F,
G della matrice ( E F ) che li definisce rispetto alla base canonica variabile
F G
{ ,  } sono funzioni differcnziabili su U. Per an.ivare a ottenere questi dati
8u av
non è però necessario disporre di una parametrizzazione: in altre parole nulla ci
ilnpedisce di assegnare a priori prodotti scalari in ogni spazio tangente Tu(U) di
un aperto U di R 2 in nlodo che i coefficienti della matrice che li definisce rispetto
alla base canonica siano funzioni differenziabili su U. In questo modo si deflnirà
una "geonletria intrinseca" su U la quale non proviene necessariamente, per lo
nleno a priori, da alcuna pararnetrizzazione di una superficie di R N .
Più in generale consideriamo una superficie differenziabile S e supponiamo
assegnato su ogni spazio tangente Tx(S) un prodotto scalare in modo che in ogni
carta locale gli elementi della l11atrice che lo definisce siano funzioni differenziabili.
Questo dato si dice l11etrica rielnanl1iana su S. La superficie S dotata di una metrica
rielnanniana è detta superficie rien1Qnniana.
Siano 1.-9 e ,,9 due superfici riemanniane. Un diffeomorfismo f : ,,9 -4 S è detto
iS()J11etria se per ogni x E ,,9 il differenziale f*x : Tx(,,9)  Tf(x/{') è un'isometria
di spazi vettori ali euc1idei.

286
Geometria d(fferenziale di curve e supeljici I Cap. 6
33.6 Eselnpi
1. Consideriamo la parametrizzazionc
x : R 2 --t S2 C R 3
l
x(u, v) = 1 + lI u l1 2 (2u, 2v, u 2 + v 2 - 1)
inversa della proiezione stereografica:
7r+: S2\{(O,0, l)} --t R 2
7r+(X,y,z) = ( l x Z ' l ) .
z
Calcolando si trova:
4
E = G = (1 + IlulJ2)2 ' F = O
e quindi la prilna forma fondamentale ha la seguente espressione su T u (R 2 ):
4 22
I(du, dv) = (1 + lIulJ2)2 (du + dv ).
Questa metrica riemanniana in R 2 verrà chiamata lnetrica stereografica. Rispetto
ad essa le semirette di origine O, essendo le immagini dei semimeridiani, hanno
lunghezza 7r. Verifichiamolo calcolando la lunghezza della semiretta a(t) = mt,
t > O, dove m = (mI, m2) è un versore:
00 00
f I(a'(t»dt = 4 f (1 ::2)2 = 2 ( l  t2 + arctg(t»)  = 1L
o o
In vece le immagini dei paralleli di S2 sono le ci rconferenze di centro l'ori-
gine. La loro lunghezza stereografica, all' au]nentare del raggio, di ve.nta sempre
più piccola perché uguaglia quella di paralleli in S2 di latitudine sempre più
alta. Verifichiamo anche questo fatto calcolando la lunghezza stereografica della
circonferenza di raggio r:
a(t) = r cos(t)el + r sin(t)e2, O < t < 27r.
La lunghezza di a è:
27r
f 87rr2
l(a) = I(a/(t»dt = (1 + r 2 )2
o
la quale evidentemente tende a O al tendere di r a 00. Si noti che prendendo r = l
si ottiene l(a) = 27r, la lunghezza dell'equatore di S2.

33 I SupeJ:fici di R N : i.')()Jllelrie e prima forma fondamentale
287
Inoltre è facile calcolare che, dati comunque vettori X, Y E Tu(R2), l'angolo
che essi formano rispetto alla metrica euclidea uguaglia l'angolo che essi formano
rispetto alla metrica stereografica. Ciò è quanto dire che la proiezione stereografica
1r + preserva gli angoli tra vettori (e infatti 7r + è un' applicazione conforme; cfr.
esercizj l e 2).
2. Un esempio interessante di metrica riemanniana si ottiene sul disco aperto
unitario D = {u E R 2 : Iluli < l} di R 2 modificando opportunamente la metrica
stereografica. Precisamente per ogni u E D consideriamo su Tu(D):
4 2 2
l(du, dv) = (1 _ IIUW)2 (du + dv ).
La metrica rieITIanniana così definita su D si dice lnetrica iperbolica. D dotato
di questa metrfca si chiama disco iperbolico e si indica con D.
Un'altra metrica riemanniana strettamente collegata alla precedente si introduce
sul semipiano H = {u = (u,v): v > O} ponendo in Tu(H):
d "'I d ?
I(du, dv) = u"  v- .
v-
H, dotato di questa lnetrica, si chiama senzipiano di Poincaré e si indica con
}.I. La sua relazione con il disco iperbolico sta nel fatto che essi sono isometrici,
cioè esiste un' isometria:
T : ).{ --+ D.
L'isometria T è data, In notazioni complesse, da:
Z - 1
T(Z) = T(U + iv) = ----;- .
Z+l
È ovvio che T è un'applicazione differenziabile. Nell'esen1pio 5.4(14) abbiamo
verificato che T è un OmeOlTIorfì.smo e quindi, poiché anche la sua inversa è
differenziabile, segue che T è un diffeomorfismo. Ometteremo di verificare che
T è un'isoll1etria perché non la utilizzeren10 nel seguito. Nei paragr,afi 38 e 39
ritornereITIO su questi esempi.
Esercizi
l. Siano S C R N e 1.9 C R M due superfici differenziabili (più in generale Siano S e S
due superfici riemanniane). Un'applicazione cOl?fonne è un rnorfismo
1:8--'18
tale che esista una funzione differenziabilc J-L > O su S tale che per ognI x E S SI
abbia
I f(x)(f*x(V) f*x(W» = JL(x)Ix(V, W)

288
Geometria differe1lziale di curve e supeifici I Cap. 6
per ogni V, W E Tx(S). Se J.L(x) = 1 per ogni x E S allora f si dice un' isometria
locale.
Dimostrare che:
(a) ogni isometria è un'isometria locale;
Cb) se f è un'applicazione conforme, f preserva gli angoli, cioè per ogni x E S e per
ogni V, W E Tx(S) l'angolo convesso tra V e W è uguale all'angolo convesso
tra f*x(V) e f*x(W).
2. Dimostrare che la proiezione stereografica 1r + : S2\ {(O, O, l)}  R 2 è un' applicazione
con forme.
34 Superfici di R3: operatore forma e seconda forma fondamentale
In questo paragrafo studieremo la geometria locale delle superfici di R 3 . A
tale scopo considereremo una superficie elementare S C R 3 , assegnata mediante
una parametrizzazione x : U ---t R 3 , dove U è un aperto di R 2 . Manterremo le
notazioni del paragrafo 33.
Nel seguito considereremo campi vettoriali sulla superficie S considerata come
sottoinsieme di R 3 . In quest' accezione un campo vettoriale V su 8 è il dato di
un vettore V(x) E R 3 = Tx(R3) per ogni x E S. Se V(x) E Tx(S) per ogni x E S
parleren10 di can1po vettoriale tangente ad S. Diremo che il calnpo vettoriale V
su S è differenziabiLe se le componenti VI (x), V 2 (x), V 3 (x) di V(x), dove x = x(u),
sono funzioni differenziabili di u. Dato w E T X (k9), applicando w alle funzioni VI,
V 2 , V, componenti di V si ottiene un vettore
V' w(V) = (w(V]), w(V 2 ), w(V,» E R 3 = Tx(R3)
che si dice derivata di V rispetto a w, e che indichiamo anche con V w V
(omettendo le parentesi). Un modo equi valente di definire la derivata è il seguente.
Si consideri una curva differenziabile o: : J ---t S adattat.a a w e la restrizione o:*(V)
di V ad 0:, cioè il campo vettoriale su a definito da o:*(V)(t) = V(o:(t»; allora:
V w V = 0:* (V)' (O).
Si osservi che
\7 xu (V) = (  (u),  (u),  (u))
\7 x" (V) = (  (u), :2 (u), 1 (u)) .
La derivata di un campo vettoriale V su S può essere definita anche rispetto ad
un campo vettori aIe W tangente ad 8. Essa dà luogo a un nuovo campo vettoriale
che denoteremo \7 W V, che è definito nel modo ovvio, e cioè come:
(V\V V)(x) = Vw(X)(V) per ogni x E S.

34 I Superfici di R3: operatore forma e .'ieconda forma fondamentale
289
Se W e V sono differenziabili anche \7 w V è un campo vettoriale differenziabiJe.
La derivata gode delle seguenti proprìetà che seguono facilmente dalle proprietà
dei vettori tangenti:
\lw(V I + V 2 ) = \7 W V 1 + \7W V 2,
\lu+w(V) = \7u V + \7wV,
\7 FWV = F(\lwV),
[ 34.11
\lw(FV) = (W F)V + F\lw V,
W(V] . V 2 ) = (\7w V ]). V 2 + VI · (\lW V 2),
per ogni scelta di campi vettoriali differenziabili U, W, V, V I, V:2 con U e W
tangenti a S, e di una funzione differenziabile F : S  R.
Al1a carta locale x resta associato un campo di versori su S:
N = xu!\ Xv .
Il Xu !\ Xv Il
Per ogni x = x(u) E S il versore N(x) è perpendicolare a TxCS), e pertanto
N è detto can1po di versori normali a S. Le coordinate di N(x) sono funzioni
differenziabili di u = (u, v) e quindi N è un campo vettoriale differenziabile. Per
ogni U E U i vettori xu(u), xv(u), N(u) costituiscono una base di R 3 positivamente
orientata (si noti che in generale non si tratta di una base ortonormale perché
xu(u) e xv(u) non sono versori né sono tra loro perpendicolari). Ponendo
,(x) = N(x)
si definisce un morfismo
'7 : S  S2
di 8 nel1a sfera unitaria di R 3 , che si dice applicazione di Gauss di S. Quest' ap-
plicazione mette in relazione la geometria di S con quella di S2. Se ad esempio S
è un aperto coordinatizzato di 8 2 allora, è l'inclusione di S in S2; in generale '7
dà informazioni sulla geometria locale di S e su quanto S si discosta dall' essere
una sfera.
Per studiare localmente l'applicazione di Gauss dobbiamo indi viduarne il dif-
ferenziale. Poiché per ogni x E S si ha
T ì (x}(S2) = N(x).1. = Tx(S)
il differenziale ,*x : Tx(S) --7 T ì (x)(S2) può interpretarsi come un operatore su
T x (8):
'7*x : Tx(S) --t T"(k9).

290
Geometria differenziale di cUr\le e supel:fiÒ I Cap. 6
34.1 PROPOSIZIONE ì'*x(V) = \7 vN per ogni x E S e per ogni v E Tx(S).
DÙnostrazione. Osserviamo che \l vN E Tx(S) per ogni x E S e per ogni
v E Tx(S). Infatti poiché N. N = l si ha:
o = v(N . N) = 2N . \7 "N
c pertanto il vettore \7 "N, essendo perpendicolare a N, è tangente ad S in x.
Sia a : (-e,c) ---t ...9 una curva adattata a v. La curva ì' o: : (-£,e) ---t S2 è
definita da (1' a)(t) = N(o:(t)) cosicché:
I.X(V) = d( I . a) (O) = dN(a(t» (O) = '\7 v N . .
dt dt
Dalla dimostrazione della proposizione segue che ponendo:
L(v) = - \l vN per ogni v E Tx(S)
resta definito un operatore lineare:
L : Tx(S) ---t Tx(S).
L è detto operatore .(ornIa o anche operatore di Weingartell. Il nome proviene
dal fatto che L(v) descrive la variazione infinitesima del versore normale nella
direzione v, e tale variazione dipende unicamente dalla forma della superficie ...'3
in un intorno di x. Il segno - neJla definizione di L ha reffetto di eliminare
mol ti segni - nei calcoli successi vi.
La proposizione 34.1 può venire rifonnulata nell'identità seguente:
J*X = -L
cioè l'opposto dell'operatore fOrIna su Tx(S) coincide con ì'*x, il differenziale
dell' applicazione di Gauss in x.
Si osservi che L dipende dalla parametrizzazione x perché dipende dal versore
normale: se y : V ---t R 3 è una riparametrizzazione di x che cambia l' orienta-
zione, N cambia di segno e quindi anche L cambia di segno. Se invece y non
cambia l' orientazione allora si mantengono invariati sia N che L. Una proprietà
fondamentale dell' operatore f ornla è descritta dalla proposizione seguente.
34.2 PROPOSIZIONE Per ogni x E S ['operatore .{orlna L : Tx(S) ---t Tx(,8) è
un operatore sÙnnlelrico (autoaggiunto) ri.1)etto alla prÙna j'orlna ./,ondaluentale,
cioè si ha:
I(L(v), w) = I(v, L(w») per ognl v, w E TxCS).

34 I Superfici di R3: operatore .forma e seconda .forma .fondal1zentale
29/
DÙnoslrazione. Poiché {xu, xv} è una base di T x (8), è sufficiente dimo$trare
che
I(L(x u ), xv) = I(x u , L(x v ».
Allo scopo osserviamo che, essendo N e Xv = O = N e XU, SI ha:
o = xu(N e xv) = (\7 xuN) e Xv + N . Xvu
e
o = XV (N . xu) = (\7 x 1 , N) e Xu + N . Xuv
dove abbiamo posto:
xuv = \7 Xu Xv , Xvu = \7 Xv Xu .
Pertanto, poiché Xuv = Xvu per l'indipendenza dall' ordine di derivazione:
I(L(x u ), xv) = (- \7 xuN)exv = Nexvu = Nexuv = (- \7 xt,N)exu = I(x u , L(xv». Il
La forma bilineare su Tx(S):
II(v, w) = I(L(v), w) = L(v) e W = - \7 vN e W
[34.2 ]
è detta seconda jorl11a fondamentale. Anche II( -, -), come L, dipende dal segno
di N e quindi dalla parametrizzazionc x.
34.3 COROLLARIO Per ogni x E 1..'3 la seconda .fornla fondal1zentale II( -,-)
è una fonna bilineare sÙnnzelrica su Tx(S).
DÙnostrazione. Per ogni v, w E T x (8) si ha:
II(v, w) = I(L(v), w) = I(v, L(w» = I(L(w), v) = II(w, v). Il
I coefficienti della seconda forma fondamentale rispetto alla base {xu, xv} di
T x (8) sono:
£ = II(x u , xu) = ( - \7 XU N) .. Xu = N · Xuu
M = II(x u , xv) = (-\7xu N ). Xv = N. Xuv
}J = II (xv, xv) = (- \7 Xv N) e Xv = N e Xvv
dove si è posto:
xuu = \7 X 11 XU, Xvv = \7 Xv xv, Xuv = \7 Xu xv, Xvu = \7 x 1 ; Xu.

292
Geometria d(ff'erenziale di curve e supeliici I Cap. 6
La matrice della seconda forma fondamentale è:
( )
[34.31
e si ha:
II(v, w) = £ac + M(ad + bc) + )./ bd
per ogni v = ax u +bxv, w = ex u +dx v E Tx(S). I coefficienti £, .M, }J sono funzioni
di classe C(OO) su S.
35 Curvature
Manteniamo le notazioni del paragrafo precedente. La seconda forma fonda-
mentale e l'operatore forma contengono molte informazioni sulla geometria della
superficie elementare k.'3 C R 3 nell' intorno del suo punto x. Per rendercene conto
consideriamo un qualsiasi piano di R 3 contenente x e parallelo al vettore N(x).
Un piano H siffatto si dice normale a k.9 in x.
35.1 LEMMA Per ogni piano !1ornlale H a 1..9 in x ['intersezione H n S è una
varietà di dÙnensione l in un intorno di x.
Dilnostrazione. Sia u E U tale che x = x(u). Sia aX 1 + bX 2 + eX 3 + d = ()
un' equazione cartesiana di H e consideriamo la funzione h. x : U  R ottenuta
componendo la funzione h : R 3  R, h(XI, X2, X3) = aXI + bX2 + CX3 + d, con la
parametrizzazione x. Poiché In1(x*u) = T X (1..9) ct H = N(h*x), si ha (h. x)*u #0 e
quindi u è un punto regolare del1' applicazione h. x. Pertanto (h. x) l (O) è una
sottovarietà di dimensione l di U in un intorno di u (teorema 26.2). Poiché x è
un'immersione anche x«h. x) I (O» = H n S è una sottovarietà di dimensione l. 11I
Dal lemlna segue che per ogni H piano normale a S in x esiste una curva a
velocità unitaria aH : J ---t S che è una parametrizzazione di H n Fi in un intorno
di x. Una curva siffatta verrà detta sezione nonnale di S in x (fig. 35.1). Al
variare di H le sezioni normali descrivono un intorno di x E S ed è evidente che
le loro proprietà geometriche sono strettamente legate a quelle di S.
35.2 DEFINIZIONE Sia e E T X (k.9) un versore tangente alla superficie S nel
punto x. La curvatura normale di S in x nella direzione (e) è:
K( e) := (- \l eN) e e;
equivalentemente:
K(e) = L(e) e e = II(e, e).

35 I Curva/un)
293
"'igura 35.1
Si noti che K(e) = K( -e) e quindi la definizione è ben posta. Il segno della
curvatura normale, come quello della seconda forma fondamentale, dipende dal
segno di N(x) e quindi dalla parametrizzazione x. Per definizione K(e) è la
componente secondo -e della derivata di N rispetto a e. Abbiamo anche la
seguente interpretazione geometrica di (e):
35.3 PROPOSIZIONE Sia H un piano nor/nale a S in x. La cunJatura della
sezione nor111ale aH di S in x è uguale in valore assoluto alla curvatura Ilonnale
(a) di S in x nella direzione (a). Se (a) =I- O allora aH volge la concavità
verso N(x) oppure no a seconda che K(aH) sia positiva o negativa.
DÙnostrazione. Poniamo a = aH. Poiché a'(t) è perpendicolare a N(t) si ha:
O = (N - a')'(t) = \l a'(t) N - a'(t) + N(t) - a"(t)
e quindi, essendo a"(t) = (t)n(t), dove n(t) è il versare normale e K(t) la curvatura
di a in t:
(a') = II(a'(t), a' (t» = - \l a'(t)N - a'(t) = N(t) - a"(t) = N(t) - ((t)n(t» = :1:K(t).
L'ultima affermazione segue dal fatto che (t)n(t) è rivolto verso la concavità
di a . !Il
Qui ndi la curvatura normale di S in x nella direzione (e) è uguale in modulo
alla curvatura della sezione normale relati va al piano normale di giacitura (N (x), e).
Poniamo:
S(S) = {e E Tx(S) : !lell = l}.

294
Geometria d(fferellziale di curve e supel:fici I Cap. 6
La curvatura normale è una funzione
K, : S(SI) --7 R.
i cui valori K,(e), al vanare di e E siCS), sono le curvature di tutte le seZlonl
normali.
Poiché S(S) è con1patto e K, è continua, K, aSSUlne un valore massimo e un
valore minimo, che si chiamano curvature principali; le direzioni in cui K, assume
le curvature principali si dicono direzioni principali. Se in particolare K, è costante
si ha una sola curvatura principale e tutte le direzioni sono principali; in questo
caso il punto x è detto (unbe/icale.
35.4 TEOREMA (Rodriguez) Le curvature principali sono gli autovalori di L.
Se x è un punto on1belicale l' ope ra to re L è l' on10tetia di fattore la curvatura
principale k, cioè è la lnoltiplicazione per k.
Se x non è un punto olnbeLicale ci sono esattalnente due direzioni principali,
che sono gli au(ospazi di L e sono ortogonali tra loro.
DÙnostrazione. Sia {eh e2} una base ortonormale di Tx(S) tale che e] sia una
direzione principale, e quindi K,(ed = k, sia una curvatura principale. Poniamo
k 2 = K,(e2) = L(e2) . e2 c k 12 = L(e]) . e2 = L(e2) . e,. Allora per ogni O E R si ha:
K,(B) := K(e] cos(O)+e2 sin(B» = L(e, cos(O)+e2 sin(O»e(e, cos(O)+e2 sin(O» =
= COS(B)2k] + 2 cos(O) sin(O)k]2 + sin(B)2k 2
e
; = 2 cos(O) sin(B)(k 2 - k,) + 2(cos(of - sin(of)k ,2 o
Poiché K,(O) = K,(ed è un valore stazionario per K(O), SI ha
dK
O = dO (O) = 2k'2'
Segue che anche:
dK ( 7r )
dB 2 = -2k'2 = O
e quindi anche x: ( ; ) = x:( e2) è un valore stazi o nario per x:( B), e cioè e2 è una
direzione principale e k 2 è una curvatura principale. Ora osserviamo che:
L(e,) = (L(el). e,)el + (L(el). e2)e2 = k}e,
L(e2) = (L(e2) . el )e] + (L(e2) . e2)e2 = k 2 e 2
c quindi e) e e2 sono autovettori di L con autovalori associati k, e k 2 rispettiva-

35 I Curvature
295
mente. Ora la conclusione segue facilmente: se k l = k 2 allora L è la moltiplicazione
per k e quindi K:(e) = L(e)ee = k per ogni e: in questo caso x è un punto ombelicale.
Se invece k j =f k 2 allora le curvature principali k] e k 2 sono autovalori di L e le
corrispondenti direzioni principali sono autospazi di L e sono tra loro ortogonali.
Non ci sono altre direzioni principali perché nella dimostrazione ogni direzione
principale può essere scelta come (e]) e quindi è un autospazio di L. !Il
Per la proposizione 35.3 le direzioni principali corrispondono alle sezioni nor-
mali le cui curvature assumono valori lnassimo o minimo. Conseguenza notevole
del teorema di Rodriguez è che tali direzioni sono tra loro perpendicolari, qualun-
que sia la superficie S, a meno che il punto x non sia ombelicale. Nel considerare
una sezione nOrIl1ale di S in x si può supporre, dopo averne eventualmente
can1biato l' orientazione, che essa sia orientata in modo che il suo versare nor-
lnale coincida con N(x). Per semplicità ci riferiremo a sezioni normali siffatte
nell'enunciato del seguente immediato corollario:
35.5 COROLLARIO x è un punto (J1nbelicale di k.9 se e solo se tutte le sezioni
l10nnali di S in x hanno la stessa curvatura in x. Se x non è un punto olnbe-
ficale, le curvature lnassÙna e lninin1a delle sezioni nor111ali vengono ottenute in
corrispondenza a piani l10rlnali a S tra loro orfogonali.
Segue ad esempio dal corollario precedente che ogni punto di una sfera di
raggio r è un punto ombelicale perché tutte le sezioni normali sono circonferenze
di raggio costante uguale a r: la curvatura principale in questo caso è uguale a
:I:! (in dipendenza del segno di N; cfr. anche l'esempio 35.9(3)).
r
Per mezzo dell' operatore forma e delle curvature principali si definiscono due
importanti grandezze relative al punto x E S.
35.6 DEFINIZIONE La curvatura gaussiana di S in x è:
K(x) = det(L) = k l k 2
dove k l e k 2 sono le curvafure principali di S in x. La curvatura media di S in
x è:
l 1
H(x) = 2 tr(L) = 2 (k j + k 2 );
Le definizioni precedenti sono valide anche nel caso di un punto ombelicale
se si intende k 1 = k 2 = k. Si ha in tal caso K(x) = k 2 , H(x) = k. In particolare in
un punto ombelicale si ha K(x) > O. Un punto ombelicale tale che K(x) = O si
dice planare.
Nel caso della sfera di raggIo r troviamo K(x) = J, per ogni x (cfr. esempio
r-
35.9(3) ).

296
Geometria differenziale di curve e supet:fici I Cap. (j
Si noti che la curvatura gaussiana, a differenza della curvatura media, non
cambia di segno se cambia il segno di N, cioè se si riparametrizza k.9 cambian-
done l' orientazione. La curvatura gaussiana si interpreta geometricamente come il
determinante del differenziale dell' applicazione di Gauss, cioè
K(x) = det( ì'*x).
Per calcolare esplicitan1ente K(x) e H(x) per mezzo dei coefficienti delle forme
fondamentali denotiamo con
( alI a12 )
a2l a22
la matrice di L rispetto alla base {xu, xv} di T x (..9). Dalla l34.2J segue che:
(
)v( ) = t ( alI
J.I a2l
a l2 ) ( E F )
a22 F G
[35.11
e pertanto:
£J.I - )v(2
K(x) = EG _ F2 .
[35.2]
Inoltre; moltiplicando ambo i membri della [35.1 J a destra per
(; )I
e prendendo le trasposte, deduciamo l'identità:
( a]1
a21
a l2 ) 1 ( G -F )( £
a22 - EG - F2 - F E M
) .
[35.3]
Calcolando la traccia del secondo membro si ottiene la formula:
H(x) = EJ.I+G£-2FM
2(EG - F2)
[35.4 J
Se H = O identicamente allora S è detta una superficie lnillinza.
Il segno di K(x) è già sufficiente a dare una distinzione qualitativa tra i punti
delle superfici:
35.7 DEFINIZIONE Un punto x E S si dice ellittico se K(x) > 0, o equivalen-
tenlente se £ J.I - )v( 2 > O in x. Il punto x si dice iperbolico se K(x) < O, cioè se
£ J.I - M 2 < ° in x. Se K(x) = O, equivalentenzente se £ J.I - .M 2 = O in x, allora
x è detto punto parabolico.
x E S è ellittico se e solo se tutte le seZionI normali volgono la concavità

35 I CUJ1JQture
297
dalla stessa parte in x; quindi in un intorno di x la superficie S non attraversa il
piano tangente. L'opposto avviene per un punto iperbolico e quindi ogni intorno
per quanto piccolo di x in 8 attraversa il piano tangente. Un punto parabolico
è caratterizzato dal fatto che il minimo delle curvature delle sezioni normali è ()
(fig. 35.2).
35.8 PROPOSIZIONE Sia x E 8. Se S contiene un seglnento aperto di una
retta passante per x, allora K(x) < O.
Di1nostrazione. n segmento di retta è una sezione normale e ha curvatura O
in x. Pertanto non può essere K(x) > O perché ciò implica che tutte le sezioni
normali in x hanno curvatura non nulla. !Il
35.9 Eselnpi
l. Consideriamo il piano di equazIonI pararnctrichc
x(u, v) = (u, v, O).
Punto parabolico
I
I
I
I
I
.
I
I
I
I
I
I
I
i
I
I
I
I
I
I
I
\
\
\
\
\
.,,--------
Punto ellittico
Punto iperbolico
Figura 35.2

298
Geometria differenziale di curve e superfici I Cap. 6
Allora £ = M = }J = O, e quindi l'operatore forma è nullo, ogni punto è
ombelicale con curvatura principale O e sono identicamente O sia la curvatura
media che quella gaussiana.
2. Consideriamo il cilindro r di equazioni parametriche:
X(u v) = (r cos(u), r sin(u), v).
Allora (cfr. esempio 33.5(2»
E = r 2 , F = O, G = l
N = (cos(u), sin(u), O)
Xuu = (-r cos(u), -r sin(u), O), Xuv = Xvv = (O, O, O)
£ = Xuu . N = -r, .M = }J = O,
e quindi K = O identicamente. La matrice dell' operatore forma rispetto alla base
{ Xu, xv} è:
1 ( 1 O ) ( -r O ) ( -r l
r 2 O r 2 O O = O
)
principali
1
2r'
L'operatore forma del cilindro r è in ogni punto diverso da zero, a differenza
di quel che avviene per il piano, dove l'operatore è identicamente nullo. Ciò
mostra che L non appartiene alla geometria intrinseca in quanto r è localmente
sviluppabile. Analogamente vcdiamo che la curvatura nledia del cilindro è diversa
da quella del piano che è nulla.
c quindi le curvaturc principali sono k l = _!, k 2 = O, corrispondenti alle direzioni
r
Il:: Il = (- sin( u), cos( u), O) e Xv = (O, O, l). La curvatura media è H =
3. Pcr la sfera di centro l'origine e raggio r di equazioni paranletriche:
X(u, v) = (r cos(u), r sin(u) cos(v), r sin(u) sin(v»
si ha (cfr. esempio 33.5(3»:
E = r 2 , F = O, G = r 2 sin( u)2
N = (cos(u), sin(u) cos(v), sin(u) sin(v»
Xuu = (-r cos(u), -r sin(u) cos(v), -r sin(u) sin(v»
Xuv = (O, -r cos(u)sin(v), r cos(u)cos(v»
Xvv = (O, -r sin(u) cos(v), -r sin(u) sin(v»

35 I Curvature
299
e quindi:
£ = -r, M = O, }J = -r sin(u)2.
Pertanto:
') . ( ) "
r- sIn u 
K=
r 4 sin( U)2
l
')
rL.
cioè la sfera di raggio r ha curvatura gaussiana costante uguale a . La matrice
rL.
dell'operatore forma rispetto alla base {xu, xv} è:
l ( r2 sin(u)2
r 4 sin(u)2 O
o ) ( -r
r 2 O
o ) ( - I
-T sin(u)2 = -
O_I )
-r
e quindi ogni punto della sfera è ol11belicale ellittico.
4. Consideriamo la superficie di rotazione S di equazioni parametrichc:
x : J x R -+ R 3
[35.5]
x(u, v) = (al(u), a2(u)coS(v), a2(u) sin(v»,
dove J C R è un intervallo aperto, a : J -+ R 3 è a(u) = (al (u), a2(u), O), con
a2(u) > O per ogni U E J (a(J) è contenuta nel semipiano Y > O del piano Z = O).
Abbiamo calcolato (cfr. esell1pio 33.5(3» che
E = Ila'112 F = O, G = a.
Inoltre:
x'U 1\ Xv = (a2a, -a'l a 2 cos(v), --a'la2 sin(v», I!xu 1\ xvII = a21I a 'I];
Xuu = (Q't, a cos(v), a sin(v»
xuv = (O, -a sin(v), a cos(v»
xvv = (O, --a2 cos(v), -a2 sin(v»
e quindi:
£=
a'/ ai - a a
Ila'll
I
Ql a 2
M = O, .N = M
a' (a" a' - a' a")
K= J l 2 l 2
a2«a)2 + (a)2)2
Si osservi che K è indipendente dal parametro v. Il denominatore della [35.61
è positivo e quindi il segno di K coincide con quello di a (a' ai - a a). Se a
[35.6 ]

300
Geometria d(Uérellziale di curve e super:fici I Cap. 6
ha velocità unitaria allora
K = o: ( o:' o:i - o: o:) .
0:2
[35.7 J
5. Nell'esempio precedente prendiamo:
u
Q:[(u) = f V ] - e- 2t dt, Q:2(U) = e- u , u > O.
o
La curva o: ha velocità unitaria. Essa è caratterizzata dalla proprietà seguente:
la retta tangente ad o: in 0:( u) interseca l  asse X in un punto che ha distanza
costante uguale ad 1 dal punto a(u).
La superficie di rotazione S ottenuta facendo ruotare o: attorno aH' asse X è
chian1ata pseud{).fera. La sua curvatura gaussiana ottenuta dalla [35.71 è K = -1
(fìg. 35.3).
6. Sia o: : J -+ R 3 una parametrizzazione di una varietà l-dimensionale e
v un campo vettorialc su o: tale che v(u) #0 per ogni u E J. Consideriamo la
corrispondente superficie rigata S, definita vettorialmente come:
x(u, v) = o:(u) + vv(u)
al variare di (u, v) in un opportuno aperto U di J x R. Per la proposizione 35.8
S ha ovunque curvatura gaussiana non positiva, cioè una super.ficie rigata non
possiede punti ellittici. Nel paragrafo 33 abbiamo visto gli esempi del cilindro r
(p. 281) e delle rigate tangenti (p. 284): calcoliamone la curvatura gaussiana.
Figura 35.3

35 I Curvature
301
Per il cilindro r possiamo aspcttarci K = O perché In ognI punto il piano
tangente non è attraversato dalla superficie. Calcoliamo:
X Ull = (-r cos(u) --r sin(u), O),
Xuv = (O, O, O) = Xvv
N = (cos(u), sin(u), O)
£ = -r, .M = N = O
e quindi K = O come previsto. La matrice dell' operatore di Weingarten è:
r 12 (
O ) ( -r O ) = ( r - I O )
r 2 O O O O
e quindi le direzioni principali, con1e era geometricamente prevedibile, sono la
direzione della retta generatrice (xv) e la sua ortogonale (xu), cOlTispondente alla
sezione normale che è una circonferenza di raggio r, e quindi di curvatura r - I.
Il caso della rigata tangente è geometricamente meno evidente. Mantenendo le
notazioni dell' esempio 33.5(4) abbiamo:
"'" " O
Xuu = a + va , Xuv = a , Xvv =
( ' Il ) , ( " ' )
Xu /\ Xv = a + va !\ a = v  !\ a
N = :t:b
dove b è i l versare binormale di a e :t: è il segno di v. Denotando con K, e T la
curvatura e la torsione di a, si deduce:
£ = Ivlo:'" .. b = IvIT"', .M = }J = O
c quindi di nuovo K = O identicamente.
7. Consideriamo una funzione differenziabile I : U -+ R definita In un aperto
U di R 2 . Sia:
X : U ---t R 3
X(u, v) = (u, v, I(u, v»
la parametrizzazione di Monge definita da I e S = x(U). Abbiamo:
Xu = (1, O, lu), Xv = (O, 1, Iv)
E = 1 + !, F = lu/v, G = 1 + I;
N = (- lu, - Iv, 1)
1 + I + !;
Xuu = (O, O, luu), Xuv = (O, O, luv), Xvv = (O, O, Ivv).

302
Geometria diflerenz.iale di curve e supe(fici I Cap. 6
Quindi la curvatura gaussiana di S è:
K fuulvv - fv
- (l + f + fJ)l(1 + f)(I + f;) - ff;J
Ad esempio la superficie S di equazioni parametriche:
x(u, v) = (u, v,  (lu 2 + 2muv + nV 2 »)
è a punti ellittici, iperbolici o parabolici a seconda che si abbia
>0
')
in - m = O
< O.
Si noti che S coincide con la quadrica di equazIone:
2Z = lX 2 + 2mXY + ny2
e le tre possibilità per il segno di in - m 2 corrispondono rispettivamente ai seguenti
casi (cfr. 26):
> O paraboloide ellittico
in - m 2 = O quadrica semplicemente degenere
< O paraboloide iperbolico
Analizziamo le quadriche più in dettaglio.
8. Quadriche a punti ellittici. Le quadriche non degeneri a punti ellittici sono
1'ellissoide, 1'iperboloide ellittico (a due falde) e il paraboloide ellittico.
Ellissoide
Ponendo:
x(u, v) = (a cos(u), b sin(u) cos(v), c sin(u) sin(v»,
dove U = {(u, v) E R 1 : -7r /2 < u < 7r /2}, e a, b, c > O, SI ottiene una parame-
trizzazione dell' ellissoide:
X 2 y2 Z2
Q: a2 + b 2 + c 2 = 1
la cui imn1agine è Q\ {(O, O, :ic)} (fig. 35.4).
Dall' espressione di x( u, v) vediamo che se b = c, allora Q è una superficie di
rotazione, ottenuta per rotazione di un' ellisse di semi assi a, b del piano Z = O
attorno all'asse X; dalla [35.6] deduciamo che in questo caso si ha
')
aL.
K= >0
(a 2 sin(u)2 + b 2 COS(u)2)2

35 I Curvature
303
+

Figura 35.4
e quindi Q è a punti cllittici. Anche nel caso generale si calcola che l' cllissoide
è a punti elli ttici.
Iperboloide ellittico (a 2 falde)
Siano u, b, c > O, U = {(u, v) E R 2 : u#O}, e
x : U  R 3
x(u,v) = (a sinh(u)cos(v)b sinh(u)sin(v),c cosh(u».
x è una paramctrizzazione di una falda dell'iperboloide ellittico (fig. 35.5):
x 2 y2 Z2
Q: a 2 + b2 - c 2 = - l .
Anche questa è una superficie a punti ellittici. È facile verificarlo per a = b,
\
\
\
\
r-------__
I
I
-----r-
I
I
r
I
.Figura 35.5

304
Ge()Jnetria differenziale di curve e superfici I Cap. 6
cioè nel caso in cui la superficie è ottenuta per rotazione di un ramo di iperbole
del piano Y = O attorno all' asse Z. In tal caso si calcola facilmente che:
?
C'-
K = '). 2 2 h "I 2 > O.
(c- slnh(u) + a cos (u)-)
Parab%ide ellittico
Siano a, b> O, U = {(u,v) E R2: u > O}, e x: U  R 3 definita da:
x(u, v) = (au cos(v), b.u sin(v), u 2 ).
x è una paramctrizzazione di un aperto del paraboloide ellittico (fig. 35.6):
x2 y2
Q ; Z = a 2 + b 2 .
Se a = b allora la superficie è ottenuta per rotazione di una parabola del
piano Y = O attorno all'asse Z. La curvatura gaussiana in questo caso si calcola
facilmente essere:
K= 4 O
(4u 2 + a 2 )2 > .
9. Quadriche a punti iperbolici. Le rimanenti quadriche non degeneri sono
tutte a punti iperbolici e sono superfici rigate.
....
Figura 35.6

35 I Curvature
305
Iperboloide iperbolico
Siano a, b, c > O e
. R 2 R J
X. ---+
x(u, v) = (a(cos(u) - v sin(u», b(sin(u) + v cos(u», cv).
x è una parametrizzazionc dell'iperboloide iperbolico (fig. 35.7):
x 2 y2 Z2
Q : 2'" +  b 2 - 2 = 1.
a c
Possiamo scrivere:
x(u, v) = (a cos(u), b sin(u), O) + v( --a sin(u), b cos(u), c)
donde si vede che. Q è una superficie rigata di direttrice un' ellisse del piano Z = O.
La stessa quadrica può essere anche parametrizzata nel modo seguente:
y(u, v) = (a(cos(u) + v sin(u», b(sin(u) - v cos(u», cv) =
= (a cos(u), b sin(u), O) + v(a sin(u), -b cos(u), c)
che ne evidcnzia una struttura di superficie rigata con stessa curva direttrice, ma
con generatrici diverse.
Si ottengono quindi due sistemi di rette su Q. Le rette di ogni sistema sono a
due a due sghembe, mentre rette di sistemi di versi si intersecano.
-....
Figura 35.7

306
Geometria differenziale di curve e supeljici I Cap. 6
Una terza parametrizzazione dell'iperboloide iperbolico è:
z(u v) = (a cosh(u) cos(v), b cosh(u) sin(v), c sinh(u».
Da questa parametrizzazione si vede che, se a = b, Q è una superficie di
rotazÌone, òttenuta facendo ruotare attorno alI' asse Z un ramo di iperbole del
piano Y = O. Calcolando la curvatura gaussiana in questo caso troviamo:
')
-c'"
K = ') . ') 2 < O.
(c- cosh(u)2 + a 2 slnh(u)-)
Paraboloide iperbolico
Siano a, b > O. Ponendo:
x(u, v) = (a(u + v), b(u - v) 4uv), (u, v) E R 2
si definisce una parametrizzazione del paraboloide iperbolico di equazione Z =
X2 y 2 .
= -:;- - - b 1 (fig. 35.8). SCrIvendo:
a- ...
x(u, v) = (au, bu, O) + v(a, -b, 4u) = (av, bv O) + u(a, b, 4v)
vediamo che Q è una superficie rigata in due modi diversi.
Nel primo modo la direttrice è la retta f(u) = (au, bu, O), mentre il secondo
modo ha per direttrice la retta g(v) = (av, bv, O). Si ottengono quindi due sistemi
di rette su Q. Anche in questo caso le rette di ogni sistema sono a due a due
t
....
, I
i \ I
--- l l--------- I
-------.1
!
[
- .....
Figura 35.8

35 I Curvature
307

Figura 35.9
sghembe, mentre rette di sistemi diversi si intersecano. La curvatura gaussiana di
Q è:
-2ab
K = 2 2 4 ì ') 2 2 < O.
a b + a - (u + v)- + 4b (u - v)
lO. Elicoide. Siano a, b > O. La superficie k.'3 di equazIonI parametriche
x(u, v) = (av cos(u), av sin(u), bu),
")
(u, v) E R",
è un'e/icoide (fig. 35.9). Si calcola facilmente che:
-b
K = H = O.
a 2 (b 2 + a 2 v 2 )'
Quindi S è una superficie minilna a curvatura gaussiana negativa.
J1:sercizi
l. Siano H e K le Cllrvature Inedia e gaussiana delJa superficie elclnentare S nel punto
x. Dilnostrare che le curvature principali sono soluzioni dell' equazione in z:
?
z-  2Hz + K = O.
2. Sia a : J ---+ S una curva a velocità unitaria nella superficie elelnentare S tale che a'
e a" siano linearmentc indipendenti in un intorno di t E J. Dinl0strarc che:
II(a'(t), a'Cl» = K(t)N(t). n(t)

308
Geometria d(tJerenziale di curve e su/}(!/jici I Cap. 6
dove N(t) = N(a(t», n(t) è il versore normale e ",(i) la curvatura di Q in t. Dedurre
il seguente
TEOREMA (Meusnier) Nelle stesse ipotesi:
II(a'(t), a'(t» = "'Ct) cos(O)
dove () E [o, Ì] è l'angolo acuto tra N(t) e il piano oscu!atore ad Ct 111 Ct(t).
3. Dal teorema di Mcusnier (esercizio 2) dedurre il seguente
TEOREMA Se due curve a velocità unitaria a, f3 nella superficie elel11entare S passanti
per uno stesso punto x E S e dotate di apparato di Frenet hanno il 111edesÙno piano
osculatore in x, e questo è diverso da T x (8), al/ora a e {3 hanno la 111edeshna
curvatura in x.
4. Sia D = {(u v) E R 2 : u 2 + v 2 < l}, e x : D  R 3 l'applicazione così definita:
x(u, v) = (u, v Vu '2 + v 2 ).
Ditnostrare che x è una paralnetrizzazione e in xC 1, I) calcolare curvatura media,
curvatura gaussiana, curvature principali e piano tangente affine.
5. Sia U = {(uv) E R2: v#O} e
x : U  R
x( u, v) = ( u, 2 , 2 _ ' ) .
DilTIOstrare che x è una parametrizzazione e calcolare in x( l, I) curvatura nledia,
curvatura gaussiana, curvature princi pal i e piano tangente affìne.
6. S i a U = { (t, s) E R 2 : - Ì < s, t < ; } e
x : U  R 3
x(t, s) = (sin(t) cos(t) cos(s), sin(s».
Dimostrare che x è una paran1etrizzazione c calcolare in 1:(0, O) curvatura Inedia,
curvatura gaussiana, curvature principali e piano tangente affine.
36 Proprietà globali delle superfici di R 3
Nei paragrafi 34 e 35 abbialllo studiato superfici elementari in R.1, cioè superfici
consistenti di un solo aperto coordinatizzato, allo scopo di ottenere inforn1azioni
sulle proprietà locali delle superfici euclidce. L'ipotesi che la superficie fosse
elementare è stata utilizzata attraverso l'uso delle coordinate locali e del campo
di versari nOrIllali N. In questo paragrafo estenderemo a superfici qualsiasi di R 3
ciò che è possibile estendere e daremo qualche applicazione.

36 I Proprietà globali delle superfici di R 3
309
Nel paragrafo 34 a una superfìcie elenlentare S abbiamo associato 1'applicazione
di Gauss
ì : S  S2
la cui definizione dipende dal can1po di versori nonnali N, il quale a sua volta è
definito a partire dalla parametrizzazione x : U  ...9 C R 3 . Se si sostituisce x con
un' altra paraInetrizzazione y : U  S C R 3 il campo N resta invariato o viene
sostituito dal suo opposto a seconda che y sia concordemente o discordemente
orientata con x. Le altre grandezze introdotte o non dipendono affatto da x, oppure
dipendono solo da N. Ad esempio la prima forma fondaInentale non dipende da
x ma solo dall' inclusione di S in R 3 . L'operatore forma L, e la seconda fonna
fondamentale dipendono da N. Anche la curvatura nonnale, le curvature principali
e la curvatura n1edia cambiano di segno al cambiare di segno di N. Invece le
direzioni principali e la curvatura gaussiana sono indipendenti da N e lo sono
perciò anche le nozioni di punto ellittico, iperbolico, parabolico, e olnbelicale.
Pertanto se ...'3 C R 3 è una superficie differenziabile qualsiasi, su di essa sono
ben definite priIna forma fondan1entale (come già abbiamo osservato nel 933),
direzioni principali e curvatura gaussiana in ogni punto. Sono anche ben definite
le nozioni di punto ellittico, iperbolico, parabolico, e ombelicale.
Pcr poter parlare di "operatore forma" su tutta la superficie, e quindi definire
in ogni punto la seconda forma fondamentale e le curvaturc norn1ali, è invece
necessario poter definire su S un can1po di versori norma1i. Questa possibilità
è equivalente all' orientabilità della superficie S, come evidenziato dal seguente
lemma.
36.1 LEMMA Assegnare su una supeljicie differenziabile S di R 3 un canzpo
vettoriale dijJ'erenziabile di versori l10nnali è equivalente ad assegnare un' 0-
rientazione della supelfìcie. In particolare è possibile definire su 1..'3 un calnpo
dij{erenziabile di versori l1orl1udi se e solo se 1..9 è orientabile.
Dinlostrazione. Se x : [J  S e y : V  8 sono due paralnetrizzazioni di
un intorno del punto x E S, i campi di versori normali da esse definiti sono
rispettivamente
Xu /\ Xv
Il Xu /\ X 11 Il
Y'U /\ Yv
C
Ily'U 1\ Yv Il
Poiché si ha:
( OYj )
Yl1 /\ Yv = det _ a . (X'U !\ ,z;v)
X z x
i due campi vettori ali sono concordi o discordi a scconda che il segno di
det ( : t sia positivo o negativo, cioè a seconda che i due sistemi di coordinate
siano concordemente o discordclnente orientati. Pertanto se su S è assegnato un

310
Geometria d(flerenziale di curve e supeJjìci I Cap. 6
atlante orientato su ogni aperto coordinatizzato esso definisce un campo diffe-
renziabile di versori normali, e questi campi vettori ali sono tra loro compatibili,
dando quindi luogo a un campo di versori normali su tutta S. Viceversa, se è
assegnato un campo di versori normali N su S, ed è dato un atlante differenziabile
su "" è possibile modificare l' orientazione di ogni sua carta locale in modo da
renderla compatibile con N. Il nuovo atlante così ottenuto è orientato. 11I
La scelta di un campo di versori normali su una superficie 8 di R 3 e In un
certo senso equivalente a distinguere su tutta ..'3 una faccia esterna e una interna.
Orientare 9 è dunque equivalente a effettuare una tale distinzione.
Se /3 C R 3 è una superficie differenziabile di equazione f(X, Y, Z) = c, dove
I : A -+ R è un' applicazione differenziabile definita in un aperto A di R 3 c c E R
è un valore regolare di f, allora S è una superficie orientabile. Infatti il campo
di vettori
( al al al )
grad(/)= ax  ay ' az
grad(f)
su S è un campo di vettori normali mai nulli, e quindi è un campo di
Il grad(f) Il
versori normali su 1..9.
Dopo queste premesse passiamo a studiare le superfici di R 3 . Vogliamo innan-
zitutto caratterizzare le superfici che consistono interamente di punti ombelicali.
36.2 PROPOSIZIONE Supponialno che 1..9 sia una superfìcie differenziabile con-
nessa di R 3 . Tutti i punti di S sono olnbelicali se e solo se S è contenuta in
un piano oppure in una .jèra. In tal caso la sua curvatura principale è costante,
uguale a O nel caso planare e diversa da O nel caso sferico.
DÙnostrazione. Se S è contenuta in un piano oppure in una sfera allora ogni
suo punto è onlbelicale con curvatura principale costante uguale a O nel caso
piano (eselllpio 35.9( I) e diversa da O nel caso sferico (esempio 35.9(3».
Supponiamo viceversa che ogni punto x E S sia ombelicale. Poiché S è
connessa possiamo suppon-e che 1..9 sia elClllentare. In x si ha, rispetto a una
fìssata parametrizzazione x : U -+ ...9:
- \7 xuN = kxu, - \7 Xv N = kxv
[36.1 ]
dove k è la funzione curvatura normale in S. Quindi:
\7 x u (\7 Xl' N) = -k\l XuXv - kuxv
\7 x L' (\l XU N) = - k \7 Xv X 1.(, - kv x u .
Poiché i due primi nlembri sono uguali deduciamo:
-k\7 XuXv - kuxv = -k\l XvXu - kvxu

36 I Proprietà glohali delle supe/:Iici di R
311
e, essendo V" Xu Xv = V" Xv Xu, si deduce:
-kuxv = -kvxu
e quindi ku = kv = O perché Xu e Xv sono linearmente indipendenti: deduciamo
che k è costante.
Se k = O, allora V" Xu N = V" Xv N = O e quindi N è costante. In questo caso S è
contenuta in un piano. Fissiamo infatti p E S e poniamo
f:S-+R
f(x) = (x - p) . N.
Abbiamo:
xu(f) = Xu . N = O
xv(f) = Xv . N = O
e quindi f è costante. Poiché f(p) = O si ha f(x) = O per ogni x E S e quindi S'
è contenuta nel piano passante per p e normale a N.
Se invece k =I- O allora le [36.11 danno:
\7 xu (i N + x) = O
V' x" (i N + x) = O
e quindi:
1
-N+x=c
k
un vettore costante. Pertanto:
l
!Ix - elI = k 
cioè la distanza di x E S da c è costante, c quindi x appartiene alla sfera di centro
. 1
c c raggIo k . Il
La proposizione 36.2 implica che una superficie connessa 8 non può consistere
di punti ombelicali a curvatura principale variabile: in altre parole per poter
avere su una superficie connessa punti ombelicali di diversa curvatura principale
è necessario che vi siano anche punti non ombelicali. Abbian10 anche la seguente
immediata conseguenza:
36.3 COROLLARIO Sia /, una superficie COlnpatta e connessa di R 3 consistente
interal1zente di punti ol11belicali. Allora S è una sfera.

3/2
Geol1zetria dfJerel1ziale di curve e superfici I Cap. 6
Una sfera ha curvatura gaussiana costante positiva. Che cosa avviene se una
superficie compatta connessa di R 3 possiede curvatura gaussiana ovunque positiva
ma non necessariamente costante? Un esempio di superficie con queste proprietà
è l' ellissoide di equazione:
x 2 y2 Z2
- + - + - =] a, b, c > O
a 2 b 2 c 2
(cfr. esempio 35.9(8»). La classe di queste superfici è molto ristretta, se ci si limita
a considerare quelle orientabili.
36.4 TEOREMA Sia S C R 3 una superficie COl1lpatta connessa orientabile
avente curvatura gaussiana ovunque positiva. Allora 8 è diffeomorfa a S2.
DÙnostraziol1e. Fissata un' orientazione di S possiamo SuppolTe assegnato un
campo di fferenziabile di versori nonllalÌ N su S. A N è associata un' applicazione
di Gauss:
'7 : S ---t S2
'7(x) = N(x).
Poiché K(x) = det( '7*(x» > O il differenziale di ì è ovunque non degenere e
quindi '7 è un diffeomorfislTIO locale. Poiché S è cOlllpatta, ì è anche suriettiva
perché è aperta (teorema 24.5(b »). Quindi '7 è un rivestimento di S2. Ma S è
connessa e S2 è semplicemente connessa, e quindi '7 è un omeomorfismo (corollario
18.7). Si conclude che ì è un difTeomorfismo (proposizione 24.4). Il
Il teorema seguente pone un vincolo importante alla curvatura gaussiana di una
superficie compatta.
36.5 TEOREMA Sia S una superficie d{lJerenziabile compatta di R 3 . Esiste
abneno un punto p E k.'3 tale che K(p) > O.
DÙnostrazione. Sia
<l> : 8 ---t R
<I:>(x) = IIxl12 = x. x.
Poiché S è cOlllpatta e <I> è differenziabile, in particolare continua, cI> assume
un massimo in un punto p E S. Sia a : J ---t S una curva differenziabile tale che
a(t o ) = p, e sia a'(t o ) = v E T p (i.9). La funzione
ep.a=a.a:J ---t R

37 I Il Theorema Egregiwn
313
è differenziabile e possiede un massimo assoluto in to; quindi:
d(<I:> . a) ( ) =0 d 2 (<!>. a) ( ) < O
dt t o , dt2 to - .
Esplicitando la prima di queste due relazioni si trova:
2a' (to) . a(to) = 2v . P = O.
Quest'uguaglianza significa che v è perpendicolare a p e quindi che Il:11 è
un versore normale a S in p, perché v E Tp(S) può essere un vettore tangente
qualsiasi. Supponiamo ora che a sia un sezione normale di k.9 in p; la seconda
delle [36.2 J dà:
[36.2]
2a' (t o ) . a' (to) + 2a" (to) . a(to) = 2v . v + 2a" (t o ) . P =
=2+2a"(t o ).p < O
e quindi, per il teorema 35.3:
I " I p 1
K:(v)1 = 1K:(a)(to)1 = la (to) · MI > IIpll
dove K(V) è la curvatura normale di S nella direzione (v) calcolata rispetto al ver-
sore normale Il:11 . Poiché questa disuguaglianza è valida per tutti i v E S, le cur-
vature normali sono diverse da O e quindi K(p) > O. !Il
[36.31
Dal teorema 36.5 discende immediatamente il seguente corollario:
36.6 COROLLARIO In R 3 non esistono superfici differenziabili compatte tali
che K(x) < O per ogni x E S.
Ovviamente la compattezza di S è esenziale perché la conclusione del corol-
lario sia vera. Si pensi ad esempio alla pseudosfera, che ha curvatura costante -},
ma non è conlpatta (cfr. esempio 35.9(5»). Abbiamo anche il seguente risultato:
36.7 COROLLARIO In R 3 non esistono superfici IninÙne (cioè tali che H _ O)
C0111patle.
DÙnostrazione. Se in un punto p E 1..9 si ha H(p) = O, allora K(p) < O. !Il
37 Il Theorema Egregium
N el paragrafo 35 abbiamo introdotto l'operatore fOrIl1a L in un punto di una
superficie elementare k.'3 e l'abbiamo applicato allo studio della geometria locale
di S. L è definito per mezzo del call1po di versori normali alla superficie, e
11

314
GeOlnetria dflerellziale di curve e supeJfici I Cap. 6
coincide con il differenziale, cambiato di segno, dell' applicazione di Gauss. Quindi
L dipende dallo spazio ambiente R 3 e infatti si verifica facilmente che L non
appartiene alla geometria intrinseca di S (cfr. esempio 35.9(2». Conseguentemente
non possiamo a priori aspettarci che siano intrinseche le altre grandezze che
abbiamo introdotto per mezzo di L (seconda forma fondamentale, curvature e
direzioni principali, curvatura media e curvatura gaussiana). In questo paragrafo
scopriremo un fatto inaspettato, e cioè che la curvatura gaussiana è una grandezza
intrinseca.
Sia S una superficie elementare di R 3 . Manteniamo le notazioni del paragrafo
precedente. Nel paragrafo 34 abbiamo introdotto la derivata 'VyZ di un campo
vettoriale differenziabile Z sulla superficie S rispetto ad un campo vettori aIe
tangente Y. Questa operazione definisce un campo vettori aIe che in generale non
è tangente ad S anche quando Z è tangente ad S. È possibile definire un' operazione
analoga a \7 y, che trasforma campi vettoriali tangenti in campi vettoriali tangenti.
37.1 DEFINIZIONE Siano Y e Z can1pi vettoriali diff'erenziabili tangenti a ...9.
La derivata covariante di Z rispetto a Y è il CQlnpO vettoriale:
DyZ = \7yZ - (L(Y) . Z)N
() equivalentel11ente:
DyZ = \7yZ + ((\7yN). Z)N.
Osserviamo che Dy Z è un campo vettoriale tangente a S. Infatti si ha:
(DyZ) . N = (\7yZ) . N + (\7yN). Z = Y(Z. N) = O
perché N è perpendicolare a Z. Utilizzando l'identità precedente possiamo anche
SCrIvere:
DyZ = \7yZ + ((\7yN) . Z)N = \7yZ - ((\7yZ). N)N
e da questa espressione si vede che in ogni punto x E 1..9 la derivata covariante
(DyZ)(x) è la proiezione di (\7yZ)(x) su T x (...9).
La deri vata covariante gode di proprietà analoghe alle l34.11. Precisamente si ha:
37.2 PROPOSIZIONE Dati c(J1nunque i calnpi vettoriali differenziabili X, Y, Z
tangenti a S e una funzione difjerenziabile F : S -4 R, si ha:
Dy(X + Z) = DyX + DyZ
Dx+y(Z) = DxZ + DyZ
DFyZ = F(DyZ)
Oy(FZ) = (Y F)Z + F(DyZ)
Y(X. Z) = (DyX) . Z + X. (DyZ).
[37.1]

37 J Il l11eorema Egregium
315
DÙnostrazione. Le prime quattro delle l37.1] seguono dalle analoghe [34.1 J e
dalla linearità di L. Dimostriamo l'ultima. Si ha:
Y(X. Z) = CVyX). Z + X. (\lyZ) =
= [DyX + (L(Y) . X)Nj . Z + X. rDyZ + (L(Y) . Z)N] =
= D y X . Z + X . D y Z. Il
L'importanza della derivazione covariante sta nella seguente proposizione.
37.3 PROPOSIZIONE La derivata covariante è un 'operazione intrinseca.
Din10strazione. Osserviamo che \l Xu Xv = Xvu = Xuv = \l Xv Xu per la simmetria
delle derivate 'seconde rispetto all'ordine di derivazione, e quindi, per la proposi-
zione 34.2:
Dxu xv = \l XuXv - (L(x u ) · xv)N = \7 x,JXu - (x u · L(xv)N = Dxvxu.
l37.2]
Inoltre utilizzando l'ultima delle [37.1] si ottiene:
Eu = xu(xu · xu) = 2(D xu x u ) · Xu
Fu = xu(xu . xv) = (Dxu xu ) · Xv + (Dxu xv ) · Xu
C u = xu(xv · xv) = 2(D xu x v ) · Xv
Ev = xv(xu · xu) = 2(D xv x u ) · Xu
Fv = xv(xu . xv) = (Dxt. xu ) · Xv + (Dxv xv ) · Xu
C v = Xv (xv · xv) = 2(D xv x v ) · Xv.
Combinando queste identità con la simtnetria [37.21 si deduce che:
1
( D x x v) . Xu = (Dx xu) · Xu = - E v
U 't; 2
l
(Dxvxu) · Xv = (Dxuxv) · Xv = 2 C u
l
(Dxu xu ) · Xu = 2 Eu
[37.3 ]
l
(Dxu xu ) · Xv = Fu - 2" Ev
l
(Dxv xv ) · Xv = 2 C v
(Dxv xv ) · Xu = Fv -  G u .

3/6
Geometria diflerenziale di curve e supe/:fici I Cap. 6
Quindi le componenti di Dxuxu, Dxuxv, Dxvxu, Dxvxv rispetto alla base mobile
{xu xv} si esprimono come combinazione lineare delle derivate di E, F, G rispetto
a Xu e a Xv e pertanto sono intrinseche. Dalla linearità di Oy X rispetto a X e a
Y segue che D y X è intrinseca. .
Dalla proposizione 37.3 deduciamo che la deri vata covariante può essere definita
su una qualsiasi superficie riemanniana. Come conseguenza della proposizione 37.3
otteniamo il seguente:
37.4 TEOREMA (Theorema Egregiunl di Gauss) La curvatura gausslana è
intrinseca.
Vista l'importanza di questo teorema ne diamo due dimostrazioni.
PrÌlna dÙl1ostraziol1e. Sia Z un campo vettori aie differenziabile tangente a 1.-9.
Vogliamo calcolare la componente tangenziale del campo vettoriale \7 Xu (\7 XV Z). A
tale scopo non ci preoccuperemo di calcolarne i termini che sono multipli di N,
che verranno quindi sostituiti da punti di sospensione. Si ha:
\7 Xu (\7 XV Z) = \7 Xu (D xv Z + (L(x v ) . Z)N) =
= \7 Xu (D xv Z) + \7 Xu N(L(x v ) . Z) + (. . .)N =
= Dxu (DxtJZ) - (L(x v ) . Z)L(x u ) + (. . .)N.
Similmente:
\7 Xv (\7 xu Z ) = DXv(DxuZ) - (L(x u ). Z)L(x v ) + (.. .)N
Poiché:
o = \7 Xu (\7 XV Z) - \7 Xv (\7 Xu Z)
anche la componente tangenziale del secondo l11embro è O, c quindi sostituendo
le espressioni trovate sopra si ottiene:
O = Dxu (Oxt.Z) - (L(x v ) . Z)L(x u ) - [Ox t ; (Ox u Z) - (L(x u ) . Z)L(x v )].
Deduciamo l'identità:
DXt. (Ox tJ Z) - Dxu (DxvZ) = (L(x u ) . Z)L(x v ) - (L(x v ) . Z)L(x u ).
Sostituiamo Z = Xu e moltiplichiamo scalarmente per XV, Otteniamo:
[Dx!,COxuxu)]. Xv - [Dxu(OxtJxu)J. Xv =
= (L(x u ) . xu)(L(x v ) . xv) - (L(x v ) . xu)(L(xu) . xv) = det(L) = K.

37 I /I l1worema Egregium
317
Il primo membro può essere riespresso tramite le l37.3] per mezzo dei coeffi-
cienti E, F, G e delle loro derivate, e quindi è una funzione intrinseca su S. Se
ne deduce che K è una funzione intrinseca. 11I
Seconda dÙnostrazione. Questa dimostrazione fornisce anche una espressione
esplicita di K per mezzo dei coefficienti E, F, G e delle loro derivate. Tenendo
conto della [33.61 abbiamo:
l' N Xuu · Xu /\ Xv
-x . -
- uu - V EG-F2
.M N Xuv · Xv. !\ Xv
-x . -
- uv - V EG-F2
[37.4 J
1/ N Xvv · Xu !\ Xv
.N - X . -
- vv - y EG _ F2
Sostituendo le l37.4] nell'espressione L35.2] di K otteniall1o:
K(EG - F2)2 = (£N - .M 2 )(EG - F2) =
= (x uu .. Xu !\ xv)(xvv . Xu !\ xv) - (x uv . Xu !\ xv)2.
Esprimendo ognuno dei fattori tra parentesi come un determinante, cd esplici-
tando i prodotti di determinanti come determinanti di prodotti di matrici otteniamo:
Xuu t 2
Xvv Xuv
K(EG - F2)2 = Xu Xu Xu -
Xv Xv Xv
Xuu · Xvv Xuu · Xu Xuu · Xv Xuv · Xuv Xuv · Xu Xuv · Xv
Xvv · Xu E F Xuv . Xu E F =
Xvv · Xv F G Xuv · Xv F G
O Xuu · Xu Xuu · Xv
E F
= (x uu · Xvv - Xuv · xuv) + Xvv · Xu E F +
F G
X'Ov · Xv F G
o Xuv · Xu Xuv · Xv
Xuv · Xu E F
Xuv . Xv F G
Ora consideriamo le seguenti identità:
1 1
Xuu · Xu = 2 Eu Xuv. Xu = 2 Ev '-V'
1
Xvv · Xv = 2 G v
l
Xuu · Xv = Fu - 2 E'O
[37.5 ]
1
Xuv · Xv = - G u
2
1
Xvv · Xu = Fv - 2 G u

318
Geonzetria differenziale di curve e superfici I Cap. 6
dalle quali deduciamo:
d d 1 1
Xuu · Xvv - Xuv · Xuv = dv (xuu · xv) - du (x uv · xv) == Fuv - 2 Evv - '2 G uu .
Sostituendo nell'espressione ottenuta precedentemente otteniamo infine:
l
K = (EG _ F2)2
(Fuv -  Evv -  Guu) ;
F
G
+
[37.6]
l l O l 1
O -E  --E -E "2 Gu
2 u u 2 v 2 v
] l E F
+ Fv - '2 G u E E -E
2 v
1 G l G
'2 G v F 2 Gu F
La [37.6J esprime K per mezzo di E, F, G e delle loro derivate pnme e
seconde, e mostra che K è intrinseca. !Il
Il teorema 37.4 è sorprendente perché la curvatura gaussiana è il prodotto delle
curvature principali, che non sono grandezze intrinseche. Lo stesso Gauss ne fu
sorpreso quando lo dimostrò e per questo lo chiamò "Theorema Egregium".
La [37.6J è nota come Jor111ula di Brioschi per la curvatura gaussiana. Essa
permette di calcolare facilmente K una volta nota la prima forma fondamentale.
Tale espressione non richiede per la sua validità che la superficie S sia definita
in R 3 , ma solo che su di essa sia definita la prima forma fondamentale e pertanto
può essere presa come definizione della curvatura gaussiana su una qualsiasi
superficie riemanniana. In particolare il "Theorema Egregium" permette di definire
la curvatura gaussiana per una superficie differenziabile di R N oppure per un aperto
del piano su cui sia definita una metrica riemanniana. Il lettore può ad esempio
verificare facilmente che il semipiano di Poincaré ).( e il disco iperbolico D hanno
curvatura gaussiana costante uguale a-l.
n "Theorema Egregium" può anche essere utilizzato per verificare che due su-
perfici non sono isometriche: infatti esso implica che due superfici aventi curvature
gaussiane diverse non sono isometriche. Ad esen1pio nessun aperto di una sfera
di raggio r è iSol1zetrico a un aperto del piano perché le curvature gaussiane del
piano e della sfera sono costanti, rispettivamente K == O e K == J" ma diverse tra
r-
loro. Similmente, una sfera non è localmente isometrica a una superficie rigata.

3 I Geodetiche
3/9
38 Geodetiche
Sia S C R 3 una superficie differenziabile. Una curva differenziabile a : J  8,
dove J C R è un intervallo aperto, è una geodetica di ,..9 se la sua accelerazione
a" è normale a S. In altre parole la componente tangenziale dell' accelerazione di
una geodetica è nulla.
38.1 LEMMA Sia S C R 3 una superficie difJ'erenziabile e o: J  8 una
geodetica. Allora o: ha velocità costante.
Di1nostrazione. Si ha:
d ( ' ' ) 2 " , O
-a. a = a.a=.11
dt
Ogni curva costante è banalmente una geodetica. Se ad esempio a(t) = p + vt è
una retta a velocità costante contenuta neIJa superficie S allora a è una geodetica
perché la sua accelerazione a" è identicamente nulla. Quindi le geodetiche sono
curve che generalizzano le rette parametrizzate a velocità costante.
Ne] piano R 2 ogni curva a ha accelerazione a" tangente al piano. Quindi
l'unica possibilità perché a sia un geodetica è che a" = O, cioè che a sia una
retta. Pertanto le geodetiche del piano sono le rette a velocità costante.
Per ogni curva D: sulla superficie S possiamo scrivere:
0:" = \l a.,a' = Da,a' + (L(a') . a')N
c a è una oeodetica se e solo se
b
Da,a' = O.
In altre parole una curva è una geodetica se ha velocità costante dal punto di
vista della geometria intrinseca di S. Poiché la derivata covariante è intrinseca,
questa condizione può essere presa come definizione di geodetica su una superficie
differenziabile di R N o più in generale su una superficie riemanniana.
38.2 DEFINIZIONE Sia,..9 una superficie riel11anniana. Una curva a : J  k.'3,
dove J C R è un intervallo aperto, è una geodetica di k.'3 se:
Da,a' = O
Su una superficie riemanniana le geodetiche esistono In abbondanza, come
risulta dal seguente teorema di esistenza.
38.3 TEOREMA Sia S una supel:ficie rielnanniana, x E S e v E Tx(S) un
vettore tangente a S in x. Esiste un intervallo aperto J contenente O E R e una

320
Geometria differenziale di curve e superfici I Cap. 6
geodetica o: : J  S tale che 0:(0) = x, 0:'(0) = v; la geodetica o: su J con queste
proprietà è unica.
DÙnostrazione. Sia U C R 2 un aperto e x : U  S una parametrizzazione di
un intorno aperto di x in S. Sia UE U tale che x(u)=x, e sia V=VIXu+V2Xv.
La geodetica o: di cui vogliamo dimostrare ]' esistenza può supporsi della forma
a(t)::: x(al(t), a2(t)), dove a(t) = (a]Ct), a2(t» è una curva a : J  U tale che
a(O) = u, (a (O), a(O) := (v!, V2).
[38. l J
L'accelerazione di o: è:
" do:' d, ,
o: = dt = dt (a1x u + a2 x V) =
" I ( I , ) " I ( ' I )
= al Xu + al XUUa] + x uV a 2 + a 2 Xv + a2 xVUa] + x vV a 2 .
a è una geodetica se e solo se si ha 0:" . Xu = O = 0:" . Xv. Esplicitando queste
condizioni e utilizzando le [37.51 si ottengono facilmente le equazioni:
a' E + a F +  ra2 Eu + 2a aEv + a2(2Fv - G u )) = O
l38.21
a;1 F + a G +  [a2(2Fu - Ev) + 2a; aGu + a2Gv l = O
Nelle l38.2J i coeffìcienti E, F, G c le loro derivate vanno considerati come
funzioni di t. Poiché identicamente EG - F 2 > O le l38.2] sono equivalenti a un
sistema di equazioni differenziali in al, a2 della forma seguente:
" /( " )
a I = l a l , a2, a l , a 2
" /( , l )
a 2 = 2 a l , a2, a l , a 2
con condizioni iniziali [38.1]. Per un fondamentale teorema di esistenza per i
sistemi di equazioni differenziali (per il quale rinviamo a un testo di Analisi
Matematica) esistono un intervallo J contenente O e funzioni al, a2 differenziabili
in J soddisfacenti le [38.11 e le [38.2]. L'unicità di aj, a2 segue dallo stesso
risultato. Le a l, a2 definiscono nel modo detto sopra la geodetica cercata. 11I
Il teorema 38.3 non dà alcuna informazione sull' intervallo J: la geodetica o:
potrebbe estendersi a un intervallo più grande. Una geodetica che non è estendibile
a un intervallo più grande si dice una geodetica massinlale.
38.4 Esenlpi
l. Piano. Le rette a velocità costante o:(t) = P + vt, t E R sono geodetiche
massimali in un piano H. Poiché per ogni p E H e per ogni v # O c'è una retta

38 I Geodetiche
321
passante per p con vettore velocità uguale a v, dal teorema 38.3 segue che le
rette sono tutte le geodetiche non costanti di un piano.
2. Cilindro. La parametrizzazione x(u, v) = (r cos(r- IU), r sin(r- I U ), v), -1[ <
< U < 1[, è un' isometria di un aperto del piano su un aperto del cilindro di R 3 di
asse l'asse Z e raggio r. Pertanto le geodetiche del cilindro sono le trasformate
delle geodetiche del piano, cioè delle rette. Si ottengono in questo modo le rette
generatrici (le rette u = cost.), le circonferenze direttrici (le curve v = cost.) e le
eliche circolari immagini delle altre rette del piano, cioè le curve:
a(t) = (r cos(r It), r sin(r-- I t ), ct), c > o.
3. Sfera. Sia S una sfera di R 3 , che supponiamo di raggio T e di centro l'origine.
Sia a una circonferenza massima su S parametrizzata a velocità costante. a è
una geodetica (lnassimale) perché la sua accelerazione è normale a a e parallela
al piano di a, quindi è normale a S. Poiché per ogni punto di S esistono
circonferenze massime per quel punto aventi vettore velocità preassegnato, le
circonferenze maSSIme sono tutte le geodetiche massimali non costanti di una
sfera.
Come abbiamo osservato all'inizio del paragrafo, le geodetiche generalizzano
la proprietà delle rette di un piano di avere vettore accelerazione costante. Un' altra
proprietà importante delle rette è di essere curve di minima lunghezza tra tutte
quelle passanti per due punti assegnati. Anche questa proprietà si trasporta alle
geodetiche, e anzi le caratterizza, ma solo localmente, mentre in grande la pro-
prietà non sempre vale. Precisamente, se P, Q sono due punti di una superficie
riemanniana contenuti in uno stesso aperto coordinatizzato, allora esiste un' unica
geodetica che li contiene e contenuta nell' aperto, e questa è la curva di lunghezza
minima passante per P e Q (enunciamo questo risultato senza dimostrazione; il
lettore interessato può consultare, ad esempio, Stoker 1969). Ma questa proprietà
non vale per punti qualsiasi. Ad esempio due punti P, Q non antipodali su una
sfera di raggio r sono contenuti in un' unica circonferenza massima, ma se di
questa circonferenza si prende l'arco di ampiezza maggiore di 1fT che contiene
P e Q, allora certamente questo non ha lunghezza minima; se poi i due punti
P, Q sono antipodali allora esistono infinite geodetiche che li contengono. Un
altro esempio: due punti su una retta generatrice di un cilindro sono contenuti in
infinite eliche, che sono tutte geodetiche, ma la geodetica di minima lunghezza è
la retta generatrice che li contiene.
In generale non è facile determinare sistematicamente tutte le geodetiche su
una data superficie. Però è talvolta possibile determinare particolari geodetiche
quando si ha una parametrizzazione opportuna della superficie S. Allo scopo è
utile il seguente risultato.

322
Geometria differenziale di curve e supe/fici I Cap. 6
38.5 LEMMA Sia k.'3 una superficie rielnanniana e U C S un aperto coordi-
natizzato. Supponialno che i coejJicienti E, F, G della prÙna forn'la j'onda11'lentale
in U soddisfino le condizioni Eu = Ev = F = O. Allora le u-curve in U sono
geodetiche.
DÙnostrazione. Su una u-curva a il campo vettoriale a' coincide con la restri-
zione ad a di Xu, e la sua accelerazione con il campo vettori aIe Xuu = \7 Xu Xu.
Affinché questo sia perpendicolare a S si deve avere Xuu . Xu = Xuu . Xv = O. Ma
a
o = Eu = au (xu · xu) = 2xuu · Xu.
Inoltre O = F = Xu . Xv implica:
a
o = Fu = au (x u · xv) = Xuu · Xv + Xuv · Xu.
[38.31
Ma essendo:
a
o = Ev = - (x u . xu) = 2xuv . Xu
av
sostituendo nella [38.31 si ottiene anche Xuu . Xv = 0.-11
Si osservi che le condizioni Eu = Ev = F = O del lemma equivalgono a:
I(du, dv) = cdu 2 + G(u, v)dv 2
dove c =f O è una costante.
38.6 Esenlpio
Vogliamo calcolare le geodetiche del senlipiano di Poincaré
).( = {(u,v): v > O}
che ha metrica riemanniana
I(du, dv) = du 2  dv 2
V
(esempio 33.6(2». Consideriamo il plano R 2 con metrica riemanniana
I(dx, dy) = dx 2 + e 2X dy2.
Per il lemma 38.5 le rette y = cost. sono geodetiche. Il diffeomorfismo:
F : R 2 ---t ).(
u = y, v = e x

38 I Geodetiche
323
è un'isometria perché calcolandone la matrice jacobiana si trova:
F*(dx,dy) = (_-x ) (::)
e quindi:
I(F*(dx, dy» == e 2X (dy2 + e 2Xdx2) = e 2X dy2 + dx'2.
Pertanto sono geodetiche massimali in }.I le trasformate delle rette y = cost.,
cioè le semirette verticali u = cost.. Per trovare le altre geodetiche massimali
consideriamo un qualsiasi punto (uo, O) e le coordinate polari in }.I centrate in
questo punto. Otteniamo la parametrizzazione:
U = Un + p cos(O), v = p sin(O),
dove O < p, O < O < 7L In queste coordinate la prima forma fondamentale diventa:
dp2 + p 2 d0 2
I(dp, dO) = ) . (0)2 =
p- S l n
l d 2 ] dO'2
p2 sin( 0)'2 p + sin( 0)2
e, con l'ulteriore cambiamento di coordinate:
e _
'ljJ = f dO_
sin( O)
7r(J
(dove O < 1ro < 1r) si ottiene un si stema di coordinate (p, 1j;) rispetto al quale la
prima forma fondamentale è:
I( dp, d'ljJ) = E(p, 'ljJ )d p 2 + d'ljJ2.
Deduciamo, per il lemma 38.5, che le 'ljJ-curve sono geodetiche per ogni scelta di
uo. Quindi sono geodetiche, e evidentemente l11assimali, in ).( le semicirconferenze
centrate in un qualsiasi punto dell' asse u.
,
\
,
,
,
,
,
,
,u
,
\
,
'\
'\
\
'\
'\
,
\ '\ (u0/0)
Figura 38.1

324
Geometria differenziale di curve e supeljici I Cap. 6
Per ogni punto u = (u, v) E }.I e per ogni direzione non verticale in u esiste
una semicirconferenza centrata in qualche punto (uo, O) passante per u e avente
per tangente la direzione assegnata (fig. 38.1). Segue dal teorema di unicità 38.3
che non ci sono altre geodetiche tnassimali non costanti oltre le semicirconferenze
della forma suddetta e le semirette verticali.
39 Geometrie non euclidee
Lo studio della geolnetria su basi logiche, svincolato dall'intuizione, fu iniziato
nella Grecia antica. Negli Elenlenti di Euclide la geometria viene studiata per
mezzo di assiomi formulati in modo esplicito. L'assiomatica degli Elel11enti è stata
sostituita in tempi recenti da quella proposta da D. Hilbert alla fine del XIX secolo
(Hilbert 1970), nella quale si distinguono, per la geometria piana, cinque diversi
tipi di assiomi, e precisamente quelli di incidenza, ordine, congruenza, parallele
e continuità.
Nell' assiomatica di Hilbert si assumono come oggetti primitivi i punti (denotati
nel seguito con lettere maiuscole A, B, C,...) e le rette (denotate con lettere
minuscole a, b, c,...) tra i quali sussistono delle relazioni primitive che sono:
l'appartenenza di un punto A a una retta a (A E a),
il giacere di un punto B tra altri due A e C (diremo che B sta tra A e C),
la congruenza di segmenti e la congruenza di angoli (i segmenti e gli angoli
vengono definiti per mezzo degli assiomi, si veda più avanti).
Gli oggetti e le relazioni soddisfano ai seguenti assiomi:
(I) ASSIOMI DI INCIDENZA
(l) ])ati due punti distinti A e B, esiste un 'unica retta AB che li contiene.
(2) Ogni ,'"etta con1iene alnleno due pU1Zti distinti.
(3) Esistono abneno tre punti nO/1 su una stessa retta.
(Il) ASSIOMI DJ ORDINE
(1) Dati tre punti A, B, C su una stessa retta, uno e uno solo di essi sta tra
gli altri due.
(2) Se A e B sono due punti distinti, esiste alnleno un punto C E AD tale che
B stia tra A e C.
Dati due punti distinti A e B, l'insieme dei punti della retta AD che stanno tra
A e B si chiama segnlento di estremi A e B, e si denota con AB. Per definizione
A e B non appartengono a AB.

39 I Geomet rie non euclidee
325
(3) (Assioma di Pasch) Se A, B, C sono tre punti non su una stessa retta e
a è una retta che non contiene nessuno di essi 111a interseca il segmento
AB, allora a interseca il seg/nento BC oppure il seglnento AC.
A partire dagli assiomi di ordine si introducono in modo ben noto le nozioni
di senliretta, senzipiano e angolo dcfinito da due semi rette a, b di origine uno
stesso punto, denotato L(a, b). Se A, O e B sono tre punti non allineati, l'angolo
definito dalle semirette di origine O e passanti per A e B rispettivamente, si denota
L(A, O, B). Se due segmenti AB e CD sono congruenti si scriverà AB - CD.
Se due angoli L(a, b) e L(a', b') sono congruenti si scriverà L(a, b) = L(a', b').
(111) ASSIOMI DI CONGRUENZA
(1) Dato un seg111ento AB, una retta a, un punto A' E a e una delle se/nirette
a' definite da A' in a, esiste un unico punto B' su a' tale che AB sia
cong ruente a A' B'.
(2) Se due segl1zenti sono entranzbi congruenti a un terzo, essi S0110 congruenti
tra [oro.
(3) Se A, B, C sono tre punti tali che B stia tra A e C e Ah B I , CI sono
tali che BI stia tra Al e CI, e se AB - AlBI e BC - B]C I , allora
AC - AlCI.
(4) Siano L ( a, b) un angolo, a' una selniretta e (J uno dei due semipiani
definiti dalla retta di a'. Allora esiste una e una sola semiretta b' in (J
avente la stessa origine di a' tale che si abbia L(a, b) _ L(a', b'). Inoltre
L(a, b) L(a, b).
(5) Siano A, B, C tre punti non allineati, e Al, BI' C] tre altri punti non
allineati tali che AB - AIBb AC - AIC], L(B,A,C) - L(BI,A],C]);
allo ra
L(A, B, C) L(A" B], CI)'
(IV) ASSIOMA DELLE PARALLELE Data una retta a e un punto A rt. a, esiste
una e una sola retta a' passante per A che nOI1 interseca a (le rette a, a' si
dicono parallele).
(V) ASSIOMI DI CONTINUITÀ
(l) (Assioma di Archimede) Dati due segmenti AB e G'fD, esiste un numero
finito di punti Al, A2'.." An della retta AB tali che:
CD - AAl - AIA2 ... An-IAn
e B sta tra A e An.

326
Geometria d(flerenziale di curve e supeJjici I Cap. 6
(2) (Assioma di completezza lineare) Se a è una retta e a' è un sottoinsielne
del piano contenente a i cui punti soddisfano gli assionzi (Il), (111)( l) e
(V)( 1) rispetto ad a, al/ora a' = a.
Hilbert dimostrò la non-contraddittorietà di questo sistema di assiomi costruen-
done un modello per mezzo di coordinate, essenzialmente riconducendosi alla
non-contraddittorietà dei numeri reali. La geometria che si ottiene è un modello
di geometria euclidea piana. Un modello sostanzialmente equi valente a quello di
Hilbert è un qualunque piano euclideo, cioè un piano affine reale defìnito su un
piano vettoriale euclideo (studiato nei corsi di Geometria I).
Come è noto l'indipendenza degli assiomi della geometria euclidea è stata a
lungo messa in dubbio, specialmente quella dell'assioma delle parallele rispetto agli
altri. La questione fu risolta nella prima metà del secolo XIX con la scoperta da
parte di N.I. Lobacevskjj e J. Bolyai di un modello della cosiddetta geolnetria non
euclidea iperbolica. Successivamente Riemann costruì un modello di ge(J1netria non
euclidea ellittica, che differisce sia dalla geometria euclidea che dalla geoll1etria
iperbolica.
In entrambe queste geon1etrie l'assioma delle parallele è sostituito da un altro.
Nella geometria el1ittica esso è sostituito dal seguente:
(IV)' Data una retta a e un punto A ft a, ogni retta passante per A interseca a.
Un modello di geometria ellittica è costituito dalla sfera S2 in cui si prendono
come rette le circonferenze massime. Poiché due circonferenze massime qualsiasi
si intersecano, 1'assioma delle parallele non vale ma vale l' assioma (IV)'. In questa
geometria valgono gli assiomi di incidenza, ma non quelli dell' ordine, perché le
rette di questa geometria sono curve chiuse e quindi non è possibile decidere di
tre punti allineati quale stia tra altri due. Una descrizione della geometria ellittica
si trova in Hilbert e Cohn- Vossen (1990), a cui rinviamo il lettore per maggiori
dettagli. Poiché nella geometria ellittica l' assioma delle parallele non è l'unico
a non valere, essa non dimostra che tale assi orna è logicamente indipendente da
tutti gli altri.
Tale requisito è invece posseduto dalla geometria iperbolica, ncJla quale l' as-
sioma delle parallele è sostituito dal seguente:
(IV)" Data una retta a e un punto A (j. a, esistono abneno due rette passanti
per A che non intersecano a.
Un modello di geometria iperbolica è costItUIto dal semIpIano di Poincaré ).(
nel quale le rette sono definite come le immagini delle geodetiche non costanti, e
cioè le semirette verticali e le semicirconferenze di centro un punto dell' asse x;
chiameremo queste curve rette iperboliche.
Dati due punti distinti P, Q E }.I, esiste un'unica retta iperbolica contenente P
e Q: se i due punti hanno la stessa ascissa allora sono contenuti in una stessa

39 I Geometrie non euclidee
327
p
\
\
\
\
'\
\
\
\
\
Figura 39. I
semiretta verticale; se invece hanno ascisse diverse allora sono contenuti nella
semicirconferenza di centro il punto dell' asse x ottenuto come intersezionc con
la retta perpendicolare al segmento PQ e passante per il suo punto medio (fig.
39.1). È evidente l'unicità della retta iperbolica contenente P e Q e quindi gli
assiomi di incidenza sono soddisfatti. La relazione di ordine è definibile in questa
geometria e gli assiomi di ordine sono soddisfatti, come è facilmente verifica bile.
Gli angoli iperbolici, i segmenti iperbolici, le semirette e i semi piani si defi-
niscono in modo ovvio.
Per definire le relazioni di congruenza tra segmenti e tra angoli procederemo in
modo analogo al caso euclideo. Le relazioni di congruenza nel piano euclideo sono
definite per mezzo delle congruenze, che costituiscono un gruppo di trasformazioni
del piano. Nel semipiano di Poincaré le congruenze sono sostituite dalle isometrie
di }!, che costituiscono un gruppo di trasformazioni di ).( denotato Aut(}!). La
validità degli assiomi di congruenza si verifica per mezzo delle proprietà del
gruppo Aut(}.(), come ora vedremo.
Consideriamo il gruppo PSL 2 (R), che consiste delle trasformazioni T : ).( -+ ).(
della forma seguente (in notazione complessa):
T(z) = az + b
cz+d
l39.1 J
dove a, b, c, d E R e ad - bc > O.
39.1 PROPOSIZIONE PSL 2 (R) è un sottogruppo di Aut(}.().
Dilnostrazione. Sia T E PSL 2 (R). Se z E }.(, cioè se z = x + iy, con y > O, allora
cz + d =I- O e quindi T(z) E C è definito; inoltre:
( ) (az + b)(cz + d) (aczz + bd) + (adz + bcz) .
T z = = = U + IV
Icz + dl 2 Icz + dl 2
dove:
_ (ad - bc)y O
v - Icz + dl2 > .

328
Geonletria differenziale di curve e supel:fici I Cap. 6
Quindi T(}I) C }I. D'a1tra parte si ha:
T l ( w) = dw - b , w E }I
-cw + a
e quindi T()I) = }I e T è un diffeomorfismo di }I in sé. Per verificare che T è
un'isometria di }I osserviamo che, posto dz = dx + idy si ha
I(dz) = I(dx, dy) = dx 2 + dy2 = Idzj2
y2 y2
Poiché:
dT
dz
ad - bc
(cz + d)2
otteniamo (cfr. esempio 22.5(4»:
dT ad - bc
T*z(dz) = - d dz = ( d)? dz
z cz + -
e quindi:
2
ad - bc dz
(cz + d)2
I(T*z(dz» =
v 2
2
_ ad - bc dz
(cz + d)2
Icz + dl 4
(ad - bc)2y2 = I(dz).
Dunque T è un'is6metria, cioè T E Aut(}I). Il
Poiché le geodetiche sono definite intrinsecamente esse sono mandate in sé
da un'isometria. Segue da ciò e dalla proposizione 39.1 che ogni T E PSL 2 (R)
manda rette iJ}erboliche in rette iperboliche.
Per ogni Zo = Xo + iyo E ).( la trasformazione
1
Tzo(z) = - (z - xo)
Yo
appartiene a PSL 2 (R) e soddisfa:
Tzo(ZO) = i.
Pertanto Aut(}I) agisce transitivalnente su )I, perché per ogni Zo, zl E )I si ha:
(T;i 1 . Tzo )(zo) = Zl.
Sia () E R. La trasformazione:
z + tg ()
S()(z) =
l-ztg()

39 I Geonletrie non euclidee
329
appartiene a PSL 2 (R), lascia fisso il punto i e induce sul plano tangente in l la
rotazione di angolo (). Infatti si calcola facilmente che:
dS ( ' ) _ iO
dz l - e .
Pertanto componendo opportunamente trasformazioni Tzo e Se vediamo che
PSL 2 (R) agisce transitivamente sull 'insienle delle coppie (zo, lo) in cui Zo è un
punto di ).( e lo una retta iperbolica. Segue che Aut(}.() agisce transitiva/nenie
sul! 'insienle delle selnirette di ).(.
Le trasformazioni di PSL 2 (R) sono le analoghe delle congruenze del piano
euclideo che preservano l' orientazione. La trasformazione
R(z) = -z
lascia fissa lo. retta immaginaria e scambia tra loro i due semipiani x > O e x < O.
Si verifica immediatamente che R E Aut(}.()\PSL 2 (R). COlllponendo R con gli
elementi di PSL 2 (R) si ottengono elementi di Aut().() della forma:
T(z) = a + b
cz+ d
con a, b, c, d E R tali che ad - bc < O, ognuno dei quali viene detto una riflessione
ipe rhof ica.
È evidente che le proprietà del gruppo Aut().() che abbiamo descritto implicano
la validità degli assi orni di congruenza.
L'assioma delle parallele è sostituito dall' assioma (IV)". Infatti si verifica in
In odo elementare che, data una retta iperbolica l e un punto z rt. l esistono infinite
rette iperboliche contenenti z e disgiunte da l.
L'assioma (V)( l) dell' ordine afferma la possibilità di misurare i segmenti. Ciò
è possibile mediante lo. nozione di lunghezza di una curva che è definita in una
superficie riemanniana. La validità dell' assiorna (V)(2) è ovvia.
Figura 39.2

330
Geometria differenziale di curve e superfici I Cap. (j
Quindi }I è un modello di geometria non euclidea ipcrbolica.
Sappiamo che }I è isometrico al disco iperbolico D (cfr. esempio 33.6(2».
Quindi anche D è un modello di geometria non euclidea iperbolica. In D le rette
iperboliche sono le intersezioni con D delle circonferenze perpendicolari a S l (fig.
39.2).
Come già osservato in precedenza, D e }I hanno una grande importanza con-
cettuale perché dilTIostrano l'indipendenza logica dell' assioma delle parallele dagli
altri assiomi, risolvendo un problema rill1asto in sospeso per molti secoli. Lo
studio della geometria di D e }I è anche interessante indipendentemente da questo
fatto perché si coJ1ega a problemi assai profondi in teoria dei numeri, in analisi
complessa, nella teoria delle superficie di Riemann. Il lettore interessato a questi
sviluppi può consultare ad esempio Berger (1980), ]ones e Singerman (1987),
Lobacevskij (1994). Per un' esposizione elementare delle geometrie non euclidee
rinviamo a Hilbcrt e Cohn- Vossen (1990) e Rees (1988).

Capitolo 7
Integrazione sulle varietà differenziabili
40 Algebra multilineare
Consideriamo uno spazio vettoriale V di dimensione finita, definito su un
campo K che SUppOlTcmo di caratteristica O. Sia r > 1 un intero; un r-tensore
(sottinteso covariante), o i'orlna r-lineare (o .fonna f71ultilineare di grado r) su V
è un' applicazione:
F : V r ----t K
dcfinita sul prodotto cartesiano V r = V X . . . x V e a valori nel calupo K, che è
lineare rispetto ad ognuno degli argomenti indipendentemente; in altre parole per
ognI i = 1, . . . , r F soddisfa:
F( v] , . . . , V i ], a Vi + a' V, V i+ I , . . . , V r) =
= a F ( v J, . . . , v i " V i, V i+ I , . . . , V r) + a' F (v , , . . . , V i I, v, v i + h . . . , V r )
. . I v , K
pel ognI v,,"',Vi I,Vi,V i ,vi+l,...,V r E , a,a E .
Uno O-tensore è definito come una funzione costante V -+ K.
Se r = l si ottienc la nozione di fonna lineare, o .funzionate lineare, F : V  K
(cfr. Sernesi 1989, p. 133). Nel caso r = 2 F è una .fornla bilineare F : V x V  K
(cfr. Sernesi 1989, p. 190). Il determinante
det : K n ---+ K
alI al2 al n
a2I a22 a2n
det(v}, . . . , v n ) = det
an] a n 2 a nn
ali
dove v. =
z
è un esempio di n-tensore su K n .
ani

332
Integraz.ione sulle parietà d(fferenziabili I Cap. 7
L'insieme di tutti gli r-tensori su V si denota Tr(v). In particolare TO(V"') = K,
e T I (V'"') = Y'" è lo spazio duale di V. La somma di due r-tensori F, C E Tr(v,",)
è un r-tensore F + G che è definito come:
(F + C)(v],..., v r ) = F(v] ..., v r ) + C(VI,'.., v r ) per ogni v] ..., v r E Y.
È immediato verificare che F + C è r-lineare. 11 prodotto di un r-tensorc F per
uno scalare a E K è un r-tensore aF che si definisce nel modo seguente:
(aF)(VI...,vr)=aF(v]",.,Vr) per ogni VI,...,V r E Y.
Si verifica subito che, dotato di queste operazioni, T r (Y"') è un K-spazio
vettori aie in cui il vettore nullo è l' r-tensore identicamente nullo O : y r ---t K.
Supponiamo che F E Tr(y"'), C E TS(Y"') siano rispettivamente un r-tensore
e un s-tensore su V. Il prodotto tensoriale F @ G è l'(r + s)-tensore su V così
definito:
(F  C)(VI,..., V r , Vr+I,"', v r + s ) = F(vI,..., vr)C(Vr+I,..., v r + s )'
Si verifica immediatamente che F @ C è (r + s )-lineare. In questo modo resta
definita un' applicazione
Tr(V"') x TS(V"') ---t Tr+s(V"')
che gode delle seguenti proprietà:
(F + Ff)  C = F  G + F f  C
F  (C + C') = F  C + F  Cf
l40. 1 ]
(aF)  C = a(F @ C) = F @ (aG)
(F @ C) @ H == F  (C  H) (proprietà associativa)
per ogni F, F' E Tr(V"'), G, Cf E TS(V"'), H E Tt(V), a E K. Le verifiche sono
elementari e vengono lasciate al lettore. Si osservi che in generale F  C =f G  F.
Inoltre grazie alla proprietà associativa è ben definito il prodotto tensoriale F] 
 . . .  Fk di un numero finito qualsiasi di tensori Fl"." Fk; se Fi E T ri (V"')
allora
F]  . . .  Fk E Trl+...+rk(Y"').
Poniamo:
T*(Y"') == EB r 2:o TT(V"').

40 j AIRebra multilineare
333
Dalle l40.1 J segue che con l'operazione di prodotto tensoriale T * (V) è una
K-algebra associativa graduata, che si chiama algebra tensoriale di V'"".
Un r-tensore F si dice decolnponibile se esistono 'P I, . . . , 'Pr E V = T I (V'"") tali
che
F = 'PI @ . . . @ 'Pr.
In tal caso si ha:
F(VI,"', v r ) = 'Pl(vd'P2(V2)... 'Pr(v r ) per ogni VI,.," v r E V.
40.1 DEFINIZIONE Un r- multiindice su n elel1zenti è un elel11ento I del prodotto
carte siano {l,..., n }r, cioè è una r-upla ordinata I = (i I, . . . , i r ) di indici tali che
l < i}, .. . , i r < n. Scrivere/no 111 = r. Dire/no I crescente se l < il < . . . < i r < n;
ovvia/nente se I è crescente allora r < n.
Sia {e l  . . . , e n } una base di V e sia {x I, . . . , xn} la base duale; ricordian1o che
{XI,"" xn} è la base di V'"" definita dalle condizioni:
Xi(ej) = 8ij;
quindi, per ogni v = aie, + a2e2 + . . . + ane n SI ha:
Xi(V) = ai.
Per ogni scelta di un r-multiindice I = (i I, . . . , i r ) su n elementi possiamo
considerare l' r-tensore decolnponibile xii @ . . . @ Xi r ' Pcr definizione si ha:
(Xii @...  Xir)(VI,..., v r ) = ai l l a i 2 2'" airr
se Vj = alje, + a2je2 +... + anje n , j = l,..., r. In particolare, se J = (Jt,... ,ir)
allora:
(Xii ...  xi )(ejl,ei."... ,ej) = { O se Ij.J [40.2]
r J - r l se I = J.
Denoteremo talvolta Xil' . ,@Xi r con il simbolo xi 1 i 2 ...i r , o ancora più brevemente
con x I. Gli r-tensori della forma x 1 : j  . . . @ Xi r sono in numero di n r .
Abbiamo il seguente risultato.
40.2 PROPOSIZIONE Fissata una base {e],..., e n } di V, e detta {x"..., xn}
la base duale, i tensori {Xi I @ . . . @ Xi,. : 1 < i" . . . , i r < n} costituiscono una base
di Tr(VV). In particolare dim(Tr(VV» = n T .
DÙnostrazione. Siano F, G E T r (VV). Se per ogni r-multiindice I si ha
F( ei I , ei 2 , . . . , ei,.) = G (ei I , ei 2 , . . . , ei,J
[40.31

334
bztegraziolle sulle varietà differenziahili J Cap. 7
allora, per la multi1inearità, segue che F = G. Pertanto, dato F E Tr(V''''), e posto
G = L F( e 1 : 1 ,ei", . . . , ei )x I,
III=r  r
SI deve avere F = G, perché dalle [40.2J segue che le [40.3J sono soddisfatte.
Quindi i tensori XI generano Tr(V'""). D'altra parte, se
F = L alxI = O
111=r
allora per ogni r-multiindice J si ha:
0= F(ejl' ci:."'" e}) = I / L , _ alxl(ejl"'" eJ) = aJ
I -r
e quindi gli x I sono anche lineannente indipendenti. 11I
40.3 DEFINIZIONE Un r-tensore F : V r -t K si dice alterno se per ogni coppia
di indici i, j tale che I < i < j < r e per ogni scelta di (VI,..., v r ) E V r si ha:
F( v I , . . . , Vi, . . . , v j, . . . , V r) = - F( V I . . . , V j, . . . , Vi, . . . , V r )
r 40.41
11 tensore determinante su K n è un esempio di n-tensore alterno. Ogni 1-
tensore è alterno perché la condizione della defìnizione è soddisfatta banalmente.
L r-tensore nullo su uno spazio V è alterno. Un prodotto scalare su uno spazio
vettoriale reale è un esempio di 2-tensore che non è alterno.
L'insieme di tutti gli r-tensori alterni su Y si denota t/V'"". È immediato vc-
rificare che t/V'"' è un sotto,pazio vettoriale di Tr(v'""). Porremo l\ o V'" = TOy'" = K.
Denotiamo con (J r il gruppo simmetrico su r elementi, cioè il gruppo del le
permutazioni di {l,...,r}. Come d'uso, per ogni 7r E (Jr denoteremo con e(7r)
il segno di 7r. Se F E T r (YV) e 7f E a r, possiamo definire un nuovo tensore
F 7r E Tr(v"') ponendo
F 7r (vr,..., v r ) ::: F(V1[(I),"', v 1r (r).
40.4 LEMMA
(1) Sia F E I\rv. Se VI,..., v r E Y sono linear111ente dipendenti allora
F(VI, . . . , v r ) = O. In particolare I\ryv = (O) se r > dim(V).
(2) Un r-tensore F E Tr(v"') è alterno se e solo se
F 7r = £(7r)F per ogni 7r E a r .
[ 40.51

40 I Algebra multilineare
335
Dill1ostrazione
( 1) L'ultima affermazione è ovvia conseguenza della prima. Per dimostrare la
prima possiamo suppon'c, salvo riordinare i vettori VI  . . . , V r , il che non cambia
la validità della conclusionc, chc si abbia V r = al V I + . . . + a r - l V r - I. Allora
r - 1
F(VI,...,V r )=?= aiF(Vl".,Vr l,Vi).
1.=1
Poiché F è alterno si ha F(v]".,vr I,Vi)=O pcr ogni i= l...,r-l perché
due dei vettori VI,..., V r -- I, Vi sono uguali; quindi F(VI,..., V r ) = O.
(2) La condizione [40.4] è equivalente a F T = e(r)F per ogni trasposizionc
r. Quindi se la condizione [40.5 J è soddisfatta allora F E !\rv"'. Se viceversa
F E !\rv'" allora F T = e(r)F pcr ogni trasposizione r. Poiché F(7r o 7r') = (F7r)7r' per
ogni 7r, 7r' E (J r, la l40.51 segue dal fatto che ogni permutazione è prodotto di
trasposizioni. !Il
Per ogni F E Tr(v"') definiamo un nuovo r-tensore Alt(F) poncndo
AIt(F) =  2: e(1r)F 1r .
r. 7rEa T
Esplici tamcnte si ha:
Alt(F)(v], . . ., v r ) =  2: e(1r)F(v 1r (IJ"'" v 1r (rJ)'
r. 7rEa T
Si osservi che l'ipotesi che K abbia caratteristica O assicura che r! =f O in K e
quindi che questa definizione sia ben posta.
40.5 LEMMA
(l) Alt(F) E !\rv'" per ogni F E Tr(V"').
(2) F E !\rv'" se e soLo se A1t(F) = F. In particolare Alt(Alt(G» = C per ogni
C E Tr(V"').
(3) Alt è un'applicazione lineare suriettiva
Alt : T r (Y"') --+ /\ry'"
Dimostrazione
(1) Poiché (C + H)7r = C1f + H'Tr per ogni C, H E Tt(V"'), 1f E (Jr, abbiamo:
AIt(F)P =  2: e(1r)F 1r 'P = e(p)  2: e(1r' p)F 1r 'P =
r. 1fEu T r. 1fEu T
= e(p)  2: e(a )F" = e(p)Alt(F)
r. u Eu T

336
Integrazione sulle varietà dijJerellziahili I Cap. 7
e la conclusione segue dalla (2) del ICITIma 40.4.
(2) Se Alt(F) = F, allora F E /\rv per (1). Se viceversa F E l'/V, al1ora:
l  l  1
Alt(F) = ---, L e(1r)F 7r =, L e(1r)e(1r)F = ---, Cr!F) = F
r. 7rEu r r. rrEu r r.
(3) Che Alt sia un'applicazione suriettiva da Tr(v) a l'/v segue da (l) e (2).
La verifica della linearità è lasciata al lettore. !Il
Il prodotto tensoriale F @ G di due tensori alterni F E /\rv"', G E /\ sv'" non è
alterno in generale. Per ovviare a questo inconveniente utilizziamo l'applicazione
Alt definendo il prodotto esterno di F E I\rv e G E /\sv come l'(r + s)-tensore
alterno
F 1\ G := Alt(F @ G).
40.6 LEMMA Se F E Tr(v"'), G E TS(V"') e Alt(F) = O, allora
Alt(F @ G) = Alt(G @ F) = O
DÙnostrazione. Siano V],..., v r + s E V. Allora:
Cr + s)! Alt(F @ G)(v], . . . , V r + S ) =
= I: e(1r)F(v 1r (l),"', v rr (r)G(V 7r (r+lb v 7r (r+s).
1fEu r+s
[40.61
Denotiamo con L1 il sottogruppo di (J r+s consistente delle permutazioni 8 tali
che
8(r+ 1)=r+ 1,...,8(r+8)=r+s,
cioè che lasciano fissi r + 1, . . . , r + s. Sia p E (J r+s e SIa
'p={8'p:8E}
la classe laterale destra di L1 rispetto a p. Poniamo DI = p(v]), . . . , U r + s = p(v r + s ).
Allora per ogni 8 E  si ha:
e(8 . P)F(V(b.p)(I), .. . , V(6 o p)(r)G(V(8 o p)(r+I)' . . . , v(òop)(r+s) =
= e(p)e(8)F(u6(!), . . . , U6(r)G(u r +1, . . . , U r + S )

40 I Algehra multilineare
337
e pertanto:
L .s(7r)F(v 7r (l),"', v 7r (r)G(v 7r (r+l), . . . , v 7r (r+s) =
1rE.p
= [ e(p) L e(8)F(Uc5(I)"'" U b(r) ] G(Ur+I,. .. , Ur+.J =
bEl!1
[ 40.71
= e(p)r! Alt(F)(Ul,.", ur)G(Ur+h.", u r + s ) = O
Poiché a r+s è unione disgi unta di classi laterali A. p, il secondo membro della
[40.61 si scompone in un numero finito di sommatorie [40.7], e quindi è O:
pertanto Alt(F @ C) = O. In modo simile si dimostra che Alt( C @ F) == O. Il
40.7 PROPOSIZIONE Il prodotto esterno gode delle seguenti proprietà:
(l) (F + F') !\ G = F /\ C + F' !\ C
(2) G !\ (F + F') = C !\ F + G !\ F'
(3) (aF) !\ C = a(F !\ C) = F !\ (aG)
(4) C /\ F = (-1 )rs F /\ C
(5) (F /\ G) /\ H = F !\ (C !\ H)
per ogni F, F' E !\rv"', C E !\ sV..., H E /\tV"', a E K.
Dimostrazione. La dimostrazione delle (1), (2), (3) non presenta difficoltà ed
è lasciata al lettore.
(4) Siano V],..., v s + r E V. Allora:
(C @ F)(v],..., v s + r ) = G(VI,.'., v.JF(vs+h"" v s + r ) =
= F(Vs+I,.'" vs+r)G(VI,"., Vs) = (F  C)(VS+h..., V s + r , VI,.'.' VS) =
= (F @ C)O" (v l , . . . , V s+r )
dove a E (Js+r è la permutazione
(J(t) = s + I,... ,a(r) = s +r, (J(r + l) = l,... ,(J(r + s) = s.
Pertanto, osservando che e(a) = (- 1 )rs, si ha:
C!\ F = Alt(C  F) = Alt«F @ CYI) = e(a) Alt(F  G) = (_l)rs F!\ C.
(5) Poiché
Alt(F /\ C -- F @ G) = Alt(F /\ G) - Alt(F @ C) = F /\ C - F !\ C = O

338
Integrazione sulle varietà differenziabili I Cap. 7
dal lemma 40.6 e dalla (1) segue che
(F 1\ C) 1\ H - Alt(F @ C @ H) = Altr(F 1\ G) @ H - (F @ C) @ HJ =
= Altl(F 1\ G - F @ C) @ H J = O
Quindi
(F 1\ G) 1\ H = Alt(F @ G @ H).
In modo simile si dimostra che anche
F 1\ (C 1\ H) = Alt(F @ G @ H)
e la conclusione segue. ..
Considerianlo la somma diretta
* V "" r V ""
1\ := EBro 1\ .
La proprietà associativa (5) implica che è ben definito il prodotto esterno
Fl 1\ . . . 1\ Fr di un numero finito qualsiasi di tensori alterni F"..., Fr. Più in
generale dalla proposizione 40.7 segue che rispetto al prodotto esterno 1\ *V"" è
una K-algcbra associativa graduata, che si chiama algebra esterna, o algebra di
Grassl1Ulnll, di V"".
Supponiamo che <p\,..., <Pr E 1\ \ V'" = V"'. Dalla (4) della proposizione 40.7
segue che se l < i < j < r allora
r v ..,
<p \ 1\ . .. 1\ <p j 1\ . .. 1\ <Pi 1\ . . . /\ <Pr :::: - <p l 1\ . . . 1\ <Pi 1\ . . . 1\ <p j 1\ . . . 1\ <Pr E 1\ .
In particolare, se <Pi = <Pj per qualche i =1= j allora
<p i 1\ . . . !\ <Pr = O.
Più in generale, se <p \, . . . , <Pr E V'" sono IÙzear111ente dipendenti allora
<p I 1\ . . . /\ <Pr = O.
La dimostrazione è simile a quella della (1) del lemma 40.4 e viene lasciata
al lettore.
Vogliamo ora descrivere in modo più esplicito gli spazi I\ r v"'.
40.8 TEOREMA Sia {e\,...  e n } una base di V, e sia {x I, . . . , xn} la base
duale. Allora per ogni r > 1 i tel1sori alterni
{Xi l /\ . . . 1\ X 1 : r : l < i l < . . . < i r < n}
[40.8 J

40 I Algebra multilineare
339
costituiscono una base di /\rv"'. In particolare
dim(/\TVV) = {  : )
se l < r < n
se r > n + 1
DÙnostrazione. L'ultilTIa affermazione, riguardante la dimensione di /\rv"', se-
gue dal fatto che gli r-multiindici crescenti su n elementi sono in numero di (n)
sc 1 < r < n C non ce ne sono se r > n. r
Se I è un r-multiindice in cui qualche indice è ripetuto, allora xii /\. . ./\ xi r = O
per la (4) della proposizione 40.7 (cfr. lc osservazioni precedenti). Inoltre, sen1pre
per la (4) della proposizione 40.7, se un r-multiindice J è ottenuto da un r-
lTIultiindice I mediante una pern1utazione di segno e, allora
X il /\ . . . /\ x 1'r = eXi l /\ . . . /\ Xi 1"
Pertanto il sottospazio di /\ rv'" gcnerato dagli r-tensori alterni Xi I /\ . . . /\ xi r al
variare di I tra tutti gli r-multiindici è uguale a quello generato dai soli tensori
Xi I /\ . . . /\ x 1 : r rclati vi a r-multiindici crescenti, cioè dai tcnsori r 40.8].
Ciò premcsso, sia F E /\rv"'. Pcr la proposizione 40.2 esistono coefficienti
ai,i 2 ...i, E K tali che F = IT ai,i 2 ...i,xi,i 2 ...i,' Pertanto
F = A1t ( F ) = Alt ( La.. . x.. . ) = L a.. . A1t ( x" . ) =
III=r 1,11,2."1,1' 1'11,2...1.1' III=r ZJ12'''1.1' 1. I 1.2...1. r
= L ai l i?...i' Xi i /\ . . . /\ xi .
I I I =r - r r
Pcr quanto abbiamo premesso ciò dimostra che F è cOll1binazione lineare degli
r-tensori [40.81, e quindi essi generano /\rv"'.
Dimostriamo che i [40.8] sono linearmentc indipendenti. Sc I è un r-multiindice
crescente e J è un r-multiindicc qualunque, allora
Xii /\ ... /\ Xi1'(eil ..., ei1') = [Alt(Xi l i 2 ...i 1' )](ei\'.." eir) =
=  L e ( 7r ) x" . ( e. e . )
r! 7rEa r 1. I 1.2 '''Zr )r.( l)' . . ., )..(1') .
Quindi:
{ ]
::i:-
xi, /\ . . . /\ Xi, ( e jl , . . . , e j) = or!
se J è una permutazionc di I
altrinlcnti
Ciò posto, suppOnialTIO che si abbia:
0= L ajXil/\.../\Xir.
III=r
I crcsc.

340
Integrazione sulle varietà d(/lerenziabili I Cap. 7
Allora, per ogni r-multiindice crescente J si ha
o = L a/Xi, A... A Xi,(ej"..., ej) =  aJ
r.
e quindi tutti i coefficienti aJ sono nulli. !Il
Si osservi che, in particolare, segue dal teorema precedente che dim(/\ n V"') = l
e quindi ogni n-tensore alterno su V è multiplo del tensore x]/\. . ./\x n . Scopriremo
tra poco qual è questo tensore. Pi ù in generale vogliamo renderei conto di come
sono dcfiniti esplicitamente i tensori xii /\ . . ./\ xi r . Nei primi casi ciò è facile. Ad
esempio, se r = 2, allora
1
x i I /\ X i 2 (v] , V 2) = "2 l x i I @ X i 2 - Xi 2 @ x i I .]( v I , V 2) =
l 1
== "2 (ai,l ai2 - ai 2 ] ai l 2) = "2
aill
ai l 2
ai 2 1
ai 2 2
dove Vi = aliel + . . . + a n1 :e n .
In generale abbiaITIO il seguente risultato.
40.9 TEOREMA Siano <p],..., 'Pr E V'" e vI,..., v r E V. Allora:
l
'P l /\ . . . /\ 'Pr (V j , . . . , V r) = ,
r.
'Pl(VI)
'P2(V I)
'P 1 (V2)
'P2(V2)
'Pl(V r )
'P2(V r )
[ 40.9 ]
'Pr(V J) 'Pr(V2)
'Pr(V r )
Dil1lostrazione
r!'PJ /\.../\ 'Pr(V',..., V r ) = r! Alt('Pj Q9... @ 'Pr)(V],..., V r ) =
= L e(7r)'P1 @... @ 'Pr(V 7r (lJ,'.', V 7r (r) =
7rEa r
= L e(7r)'P1 (V 7r (I». . . 'Pr(V 7r (r) = det('Pi(Vj». Il
7rEa r
Dunque i] determinante è il tensore alterno fondamentale per mezzo del quale
ogni altro si può esprimere. Ad esempio, se {e]  . . . , e n } è una base di V e
{x I, . . . , xn} è la base duale allora
l
XI /\ . .. /\ xn(v,  .. ., v n ) = ,. det«aij»
n.

40 I Algehra mu[tilineare
34/
dove Vj ::: aJje] + a2je2 + . . . + anje n , j = 1, . . . , n. Più in generale, segue immedia-
tan1ente dalla l40.9J che se V],..., v r E V e
a]1 al2 al r
a21 a22 al r
A=
a n I a n 2 a nr
è la l11atrice delle loro coordinate, allora
1
Xii !\...!\Xir(V],...,v r )=, det(A])
r.
dove abbiamo denotato con AI la sottomatrice quadrata di A costituita dalle righe
'lI, 'l2,..., "'1'.
Sia L : V  W un'applicazione lineare di K-spazi vettoriali. Ad essa è associata
un' applicazione lineare, detta trasposta di L:
L * : W""  V'"'
L*(ep) = ep' L per ogni ep E W'"'.
Più in generale per ogni r > l 1'applicazione
L r : V r  W r
Lr(Vl,"', v r ) = (L{v]),..., L(v r »
induce un' applicazione:
L * : T r (W"')  71' (V'"')
che ad ogni r-tcnsore F : W r  K su W associa la composizione F. £1' : V r  K;
è immediato verificare che £ *(F) := F . L T è un r-tensore su V. È evidente che
quest'applicazione è lineare e che induce un'applicazione lineare
L * : (\rw,",  !\rv"'.
Esplicital11ente, per ogni F E !\1'W"" si ha:
[L*(F)}(Vl"", v r ) = F(L(v]),..., L(v r ».
Le applicazioni L * sono cOlllpatibili con il prodotto esterno, cioè si ha:
L *(F) /\ L *(C) = L *(F 1\ G)

342
Integrazione sulle varietà d(fferenziabili I Cap. 7
per ogni F E /\rw, G E /\ sW. In altre parole le applicazioni L * definiscono un
omomorfismo di algebre esterne:
L * : /\ * W'"  /\ * V.
La verifica è lasciata al lettore.
40.10 TEOREMA Se L : V  V è un'applicazione lineare, e dim(V) = n,
allora
L*(F) = det(L)F
per ogni F E /\nv.....
Di1nostrazione. Sia {e"..., e n } una base di V, e sia {XI,..., xn} la base duale.
Poiché /\ n V è generato da x I /\ . . . /\ X n , sarà sufficiente dinl0strare che:
L*(x] /\.../\ x n ) = det(L)xj /\ .../\ X ni
ovvero che
[L*(x, /\.../\ xn)J(v],..., v n ) = det(L)[x] /\.../\ Xn(V"... i V n )]
per ogni v],..., V n E V.
Applicando il teorema 40.9 trovialllo:
X\(L(V1» x{ (L(V2»
l x2(L(V1» x2(L(V2»
=
n!
xn(L(v, » X n (L(V2»
x,(vd XI (V2)
l X2(V,) X2(V2)
= "I det(L)
n.
xn(v, ) X n (V2)
[L*(xI /\.../\ xn)](VJ,... i V n ) = [L*(xd /\.../\ L*(xn,)J(v"..., V n ) =
x} (L(v n »
x2(L(v n »)
xn(L(v n »
Xl(V n )
X2(V n )
Xn(V n )
= det(L) [x] /\ . . . /\ X n (v l , . . . , V n) J. 11I
Esaminiamo ora il caso di uno spazio veuoriale euclideo, cioè di uno spazio
vettori aIe reale V, che supporremo di dimensione finita, in cui è definito un
prodotto scalare .. Diamo la seguente definizione.

40 I Algebra mullilineare
343
40.11 DEFINIZIONE Sia n = dim(V), e sia {el"", e n } una base ortonorn1ale
di V. Se V"..., v n E V, il volume n-dimensionale orientato di (v h.", v n ) è
el e VI e, e V2
el e V n
e2 e V I e2 e V 2
e2 e V n
vol(v"..., V n ) = det((e 1 : e Vj» =
e n e v, e n e V 2
e n e V n
Il volume n-dimensionale (non orientato) di (V"..., V n ) è Ivol(vt,..., vn)l.
Osserviamo che il volume orientato è definito per una n-upla ordinata di vettori.
Se V"..., V n sono linearmente dipendenti, allora vol(v"..., v n ) = O, lTIentre se
sono linearmente indipendenti VOI(VI,.", v n ) è un numero positivo o negativo a
seconda che la base {v"..., v n } sia concordemente o discordemente orientata con
{e" . . . , e n }. Nel caso n = l si ha Ivol(v,)1 = Ilv,ll.
Se {x"..., x n } è la base duale di {el'''., e n }, allora, per la [40.9J:
vol(vl, . . . , v n ) = n! x, /\ .. . !\ xn(v". .. , v n ).
La definizione di vol(vI,..., v n ) dipende dalla base {e"... ,e n }: se si cambia
base ortonormale il volume mantiene lo stesso valore assoluto, e cambia di
segno se e solo se la nuova base è discordemente orientata con {el,..., e n }.
In particolare, vol(v, , . . . , v n ) dipende solo da Il 'orientazione definita in V da
{el...,en} c Ivol(v"...,vn)1 dipende solo dalla n-upla non ordinata V"...,V n .
Questi fatti seguono facilmente dal teorenla 40.10, oppure dal seguente risultato,
che consente di calcolare il volume orientato senza utilizzare la base ortonormale
{ e,  . . . , e n } .
40.12 PROPOSIZIONE Supponiamo assegnata una base ortol1orl1zale {el, . . . , e n }
di V. Per ogni n-upla ordinata (VI,..., v n ) di vettori di V si ha:
VI e VI VI e V2
VI e Vrz '/2
vol(vl,..., V n ) = cJ:. V det((Vi. Vj» = cJ:.
V2 e VI
V e V2
V2 e V n
V n e V, V n e V2
V n e V n
dove si deve prendere il segno pOSitlVO (negativo) se {v,  . . . , v n } è una base
cOllcordefnente (discordel1zente) orientata con {el"..' e n }.
Di1nostrazione. Abbiamo:
VOl(VI,...  V n )2 = detct(ei e Vj) det«ei e vi» = det[t(ei e Vj)(ei e Vj))'

344
Integrazione sulle varietà differenziabili I Cap. 7
Ora osserviamo che l'elemento di posto h, k della matrice t(ei . Vj)(ei . Vj) è:
n
 (Vh · ei)(ei · Vk) = (Vh · Vk)
z=l
perché {el,"" e n } è ortonornlale. Quindi t(ei. vi)(ei. vi) = (Vi. Vi) e segue che:
vol(vl, . . . , V n )2 = dct((vi . Vj»'
L'ultima affermazione riguardante il segno di VOI(VI,..., v n ) è un'ovvia conse-
guenza della definizione. !Il
Nel caso n = l la proposizione afferma che IIVlll2 = vol(vd 2 .
È facile verificare che in R n con prodotto scalare standard Ivol(VI,"', vn)1
eguaglia il volume del parallelepipcdo determinato dai segmenti orientati applicati
in un punto p che rappresentano i vettori V),..., V n (cfr. esercizio 2).
Esercizi
1. Se VI,..., Vk sono k :; n vettori linearmente indipendentj di uno spazio vettoriale
euc1ideo V allora è ben definito il volume k-dimensionale Ivol(VI,..., vk)1 conside-
rando VI,"" Vk come elementi de110 spazio vettori aIe euclideo (VI,..., Vk). Se invece
VI, . . ., Vk sono linearmente dipendenti poniamo VOI(VI,..., Vk) = O. Dimostrare che:
ali
al2
al n
Ivol(VI, . . . , Vk)! =
akl
ak2
akn
Wk+11 Wk+12 Wk+ln
W n I 'W n 2 W nn
dove le righe della matrice a secondo Inenlbro sono le coordinate rispetto a una base 01'-
tonarmale {el,...,e n } di V dei vettori VI,...,V n , "'k+I,''',W n , essendo {Wk+l,''',W n }
una base ortonormale di (VI"",Vk)..l tale che {VI,,,,,Vk, Wk+',''',w n } sia concor-
delnente orientata con {el,"', e n }.
2. Dimostrare che in R rt con prodotto scalare standard Ivol(vl,..., vn)1 eguaglia il volume
(nel senso della teoria della l11isura elementare) del parallelepipedo determinato dai
segnlenti orientati applicati in un punto p che rappresentano i vettori VI,..., V n .
3. Supponianlo che V sia uno spazio vettori aie euclideo di dimensione 3 orientato.
Dil110strare che Ivol(vi  V1)j = IlvI 1\ v211, dove VI 1\ V2 è il prodotto vettori aIe di VI e
V2.

41 I Varietà COI1 bordo
345
41 Varietà con bordo
Per la teoria dell' integrazione è opportuno considerare oggetti geometrici che
introdurremo in questo paragrafo, più generali delle varietà differenziabili, che
chiameremo "varietà con bordo". Le varietà con bordo comprendono come casi
particolari le varietà differenziabili; sono inoltre varietà con bordo gli intervalli
chiusi di R e i dischi chiusi.
Siano R e RL i selnispazi chiusi di R n , n > l, definiti da:
R = {u E R n : un > O}
R = {u E R n : Un < O}
La frontiera di R e di R, cioè l' iperpiano coordinato di equazione Un = O,
verrà denotata R - l .
Sia U C R un aperto, e sia F : U  R una funzione. In accordo con la
definizione data neI paragrafo 19 (p. 178), diremo F differenziabile di classe C(k)
(k > l, oppure k = (0) se F possiede un'estensione di classe C Ck ) a un aperto
di R n contenente U. Questa definizione di differenziabilità coincide con quella
usuale se U è contenuto in R\ R l perché in tal caso U è già aperto n R n .
Diren10 una applicazione F : U  R m diff'erenziabile di classe C(k) se le sue
componenti sono funzioni differenziabili di classe CCk). Se U C R, V C R:n sono
due aperti, un'applicazione F : U --t V è differenziabile di classe CCk) se lo è
come applicazione a valori in R m . Se U, V C R sono aperti un diffe(J1norfismo
di classe C(k) F : U  V è un'applicazione che possiede inversa G : V  U e
tale che F e G siano differenziabili di classe C Ck ).
Considerazioni analoghe alle precedenti possono farsi se si sostituisce R con
R n .
Nel seguito ci IÙniterel1lo a considerare esclusivalnenie funzioni e applicazioni
differenziabili di classe C(OO); pertanto il termine "differenziabi1e" sarà d'ora in
poi sinonimo di "differenziabile di classe C(OO)".
41.1 LEMMA Siano U, V due aperti di R (rispettivalnente di R) e sia
F : U  V un dffeomorjisn1o. Allora F induce un diffeomor.fislno U n R - l 
 V n R l.
DÙnostrazione. Consideriamo solo il caso di R. Sia G il diffeomorfismo
inverso di F. U n R l e V n R - I sono aperti di R - l = R n l, e le restrizioni
di F a U n R - l e di G a V n R - l sono differenziabili. Quindi sarà sufficiente
dimostrare che
F(U n R 1) C V n R - l
G(V n R - l) C U n R l
12

346
Integrazione sulle \'arictà d(lfercnziahili I Cap. 7
Dimostriamo la prilna inclusione. Supponiamo per assurdo che F(u) E V\ Vn
n Rg , per qualche u E U n Rg '. Per definizione F possiede un' estensione
differenziabile F a un aperto U di R n contenente U. La cOlnposizione F. G è
l'identità in V\VnR -1 perché coincide con F.G. Pertanto G è un diffeo1110rfismo
locale, e quindi manda un intorno W di F(u) in V\ V n Rg -] in un intorno C(W)
di u in R n . Ma C(W) non è contenuto in R, e quindi non è contenuto in U,
una contraddizione. La seconda inclusione si dimostra in modo simile. !Il
Consideriamo uno spazio topologico X di Hausdorff a base numerabile. Una
coppia (U, cpu) in cui U C X è un aperto e CPu è un orneomorfismo di U su un
aperto di R, n > l, si dirà una n-carta locale con bordo in X. Due n-carte
locali con bordo (U, cpu) e (V, CPv) in X si diranno dfferenziabibnel1te c0l11patibili
se U n V = 0 oppure se U n V =f 0 c l'applicazione
CPv . CPu' : cpu(U n V) -+ R
è diffcrenziabile. La terminologia introdotta nel paragrafo 19 a proposito delle
carte locali si estende in modo ovvio a questo caso. Parleremo in particolare di
coordinate locali, aperti coordinatizzati, ecc.
Un n-atlante d(fferenziabile con bordo in X è una famiglia di n-carte locali con
bordo {(UÀ, CP)J} ÀEA tale che {UÀ} ÀEA sia un ricoprimento di X e le carte loca1i
(U>.., cP >..) siano a due a due differenziabilrnente compatibili. Se in X è assegnato un
n-atlante differenziabile con bordo diren10 che X è una n-varietà (d(fferenziabile)
con bordo; diremo n la dÙllensione di X. Diremo che l'atlante assegnato definisce
una struttura di varietà con bordo. Le nozioni di equivalenza tra n-atlanti dif-
.ferellziabili con bordo e di atlante d(flerenziabile COll bordo 111assÙnaie vengono
date come nel paragrafo 19.
D'ora in poi utilizzeremo anche la dicitura a-varietà come sinonimo di "va-
rietà con bordo". Parleremo anche di varietà senza bordo per riferirei a varietà
differenziabili nel senso della definizione 19.3.
Ne] caso n = I è opportuno ammettere nella definizione di l-varietà con
bordo che le immagini delle l-carte locali siano aperti di R o di R' indifferente-
mente, altrimenti avremmo difficoltà nella definizione di orientazione (cfr. esempio
41.4(1».
Sia X una n-varietà con bordo. Il bordo di X è il sottoinsieme ax consistente
dei punti x E X che sono controimrnagine di punti di Rg -- I rispetto a qualche
carta locale (fig. 41.1). Nel caso in cui ax = 0 la varietà X è una varietà senza
bordo di dimensione n perché la struttura di varietà in X è definita da un 11,-
atlante differenziabile con bordo le cui carte locali hanno per immagine aperti
di Rn, e quindi sono carte locali nel senso del paragrafo 19, e sono a due a
due differenziabilmente compatibili. Viceversa se X è una varietà senza bordo, ogni
sua carta locale può supporsi a valori in R\ R - " dopo aver1a eventualmente

4/ I VarietlÌ con bordo
347
ax
,
\
\
\
\
\
\
\
\
I
I
I
I-
I
I
I
I
I
I
/
ax
x
Figura 41.]
composta con il diffcomorfismo:
ç : R n -t R:\ R l
ç( U l, . . . , Un) = (u l , . . . , Un l, e Un )
e quindi X è una varietà con bordo (il cui bordo è vuotO). Pertanto le varietà
senza bordo sono casi particolari di varietà con bordo.
R è un esempio di varietà con bordo, in cui l'identità di R in sé è una
carta locale che costituisce un atlante; ovvimente aR = Rg l. Più in generale,
se L : R n -t R è un' applicazione lineare affine non costante, per ogni c E R il
sottoinsieme {u E R n : L( u) > c} è una varietà con bordo di dimensione n, il cui
bordo è {u : L(u) = c}. Un aperto Y di una varietà con bordo X è una varietà
con bordo della stessa din1ensione e ay- = Y n ax.
41.2 PROPOSIZIONE Se X è una a-varietà di di1nensiolle n allora ax, se non
è vuota, è una varietà senza bordo di dÙnensione n - l.
DÙnostrazione. Sia {(U À, 'P)J} ÀEA un n-atlante differenziabile con bordo in X.
Sarà sufficiente far vedere che per ogni À, J.l E A
l ( R 'f1- l ) U - l ( R n - l ) U
'PÀ o n J-L = 'PJ.l () n À,
l41.1J
cioè che se un punto x E X appartiene a ax come elernento di un aperto coordi-
natizzato UÀ, allora x appartiene a ax rispetto a ogni altro aperto coordinatizzato
a cui appartiene. Infatti una volta di mostrato questo fatto seguirà che per ogni
.À E A la restrizione di 'PÀ a U À n ax è un omeomorfismo su un aperto di R ]
c quindi che la famiglia {(U À n ax, 'P.x)} ÀEA è un (n - 1 )-atlante differenziabile
in ax.
La l41.11 è equivalente all'uguaglianza
'P J.l . <p A l [ 'P À (U.x n U J-L) n R - l ] = 'P J-L ( U À n U J.l) n R l
la quale segue imlTIcdiatarnente dal lemma 41.1. Il

348
Integrazione sulle varietà dijj'erenziabili
Cap. 7
La definizione di a-sottovarietà di una a-varietà si può introdurre in modo
analogo alla definizione 25.1 di sottovarietà. Lasciamo al lettore il compito di
darne la formulazione.
La nozione di funzione differenziabile F : X  R su una a-varietà X si dà come
per le varietà senza bordo. Similmente si dà la nozione di 1110rfis111o f : X ----? Y
di X in un' altra a-varietà Y, e quindi anche la nozione di diffeo111orfis111o tra due
a-varietà.
Se p E X denoteremo con £ (X, p) l'insieme costituito dalle funzioni differen-
ziabili a valori reali definite in un intorno di p. Un vettore tangente a X in p è
un' applicazione
v : [(X, p)  R
soddisfacente alle condizioni [21.11. L'insieme di tutti i vettori tangenti a X in p
si chiama spazio tangente a X in p e si denota Tp(X).
Le dimostrazioni del lemma 21.3 e della proposizione 21.4 si estendono alle
varietà con bordo permettendo di concludere che Tp(X) è uno ,\pazio vettoriale
di dimensione uguale a dim(X) per ogni p E X. Se p E ax al10ra Tp(aX) è un
sottospazio vettoriale di codimensione l di Tp(X) (fig. 41.2).
Se j : X  Y è un morfismo di varietà con bordo e p E X, il differenziale di
f in p
f*p : Tp(X) -t Tf(p)(Y)
è l'applicazione lineare definita nel modo usuale:
f*p(v)(F) = v(F . f)
per ogni v E Tp(X), F E £ (Y, j(p». La proposizione 22.1 e il corollario 22.2 si
estendono senza difficoltà.
Se U è un aperto di R:, per ogni x E U n r(R\Rg I)] lo spazio tangente
Tx(U) si identifica a R n nel modo usuale. Se x E U n R - l l'identificazione di
Figura 41.2

4 J I Varietà con hordo
349
Tx(U) con R n corrisponde alla base di Tx(U) costituita dalle derivazioni parziali
{  (x), . . . ,  (X) } ; si deve però tenere presente che a a (x) associa a F E
aUI 8u n _ ui
E E(U, x) la derivata parziale a aF (x) di un'estensione F di F a un aperto (; di
u.
z
R n contenente U (il lettore verifichi che questa derivata parziale è indipendente
dall' estensione F di F). Lo spazio Tx(U n R I) è il sottospazio di Tx(U) che
ha per base {  (x), . . . , a a (x) } .
au 1 Un - 1
Se f : U -4 V è un morfismo di U in un aperto V di R, e x E Un[(R\R- I)],
il differenziale f*x si calcola per mezzo della matrice jacobiana di f nel modo
usuale. Se invece x E U n R - I, allora f*x si calcola per mezzo della matrice
jacobiana di una qualsiasi estensione ] di f a un aperto (; di R n contenente U.
Considerazioni simili possono farsi per aperti di R.
Anche la nozione di calnpo vettoriale si estende senza cambiamenti al caso
delle varietà con bordo. Nel seguito, salvo esplicita menzione contraria, parlando
di un campo vettori aIe su una a-varietà X lo si supporrà sempre implicitamente
differenziabile.
41.3 PROPOSIZIONE Sia X una varietà senza bordo e sia F : X -4 R un' ap-
plicazione difJerenziabile. Se c E R è un va/ore regolare di F allora i so!toinsiel1li
di X:
{p E X: F(p) > c} = F I(lc, +(0»
{p E X: F(p) < c} = F 1«-00, cl)
se non vuoti, sono a-varietà il cui bordo, se 110n è vuoto, è F I (c).
Dil11ostrazione. Sia n = dim(X). I sottoinsiemi F- 1 «c, +(0» e F 1« -00, c»
sono aperti di X e quindi sono varietà di dimensione n. Supponiamo F- l (c) =I- 0.
Dalla dimostrazione del teorema 26.2 segue che ogni punto p E F I (c) possiede
un intorno coordinatizzato in cui 1'applicazione F è equivalente alla proiezione
7r : R n -4 R
7r(x) = Xn.
Poiché l'enunciato è ovvio per la proiezione 7r, segue la conclusione. 11I
La proposizione precedente pern1ette di costruire facilmente esempi di varietà
con bordo. Ad esempio il disco chiuso
D n = {x E R rL : Ilxll < l}

350
Integrazione sulle varietà differenziabili I Cap. 7
è una varietà con bordo perché
Dn=F 1«(-00,11)
dove F : R n  R è l'applicazione F(x) = Ilx112. Similmente, le n-semi sfere chiuse
S e S in R n + ' (cfr. esempio 5.4(2)) sono n-varietà con bordo. Per altri esempi
rinviamo agli esempi 41.4 e agli esercizi alla fine del paragrafo.
Una nozione importante che si estende alle varietà con bordo è quella di
orientabilità. Supponiamo n > l. Un n-atlante con bordo in una a-varietà X si dice
orientato se le carte locali che vi appartengono sono a due a due concordemente
orientate, avendo questa nozione una definizione del tutto analoga a quella del
paragrafo 23. X si dice orientabile se possiede un atlante orientato. Come nel
paragrafo 23, sì definisce una orientazione su X. Se è orientabile, X possiede
esattamente due orientazioni, che si dicono opposte. Una a-varietà X in cui è
assegnata un' orientazione si dirà orientata. Una orientazione su una varietà di
dimensione O è definita come la scelta di un segno, + l o - 1, per ogni punto
della varietà, cioè come un' applicazione c : X ---t {l, -1 }.
Assegnata un' orientazionc sulla a-varietà X, per ogni p E X resta assegnata
un'orientazione sullo spazio tangente Tp(X) per mezzo della base { a1 (P),...,
an (P)} di Tp(X), dove x I, . .. , X n sono coordinate locali in p.
Siano X e Y a-varietà orientate della stessa dimensione n e f : X -t Y
un diffeomorfismo. Supponiamo che le orientazioni di X e di Y siano definite
rispettivamente dall'atlante orientato {(UÀ 'P>J}'\EA in X e dall'atlante orientato
{(VJ.L' 1PJ.l)} J.lEM in Y. Diremo che f lnantiene le orientazioni se per ogni À E A
e J.L E M la COIllposizione 1Pj.L . f . 'P 1 ha determinante jacobiano positivo in ogni
punto in cui è definita.
Supponiamo n > 2. R possiede un'orientazione naturale defInita dalle coordi-
nate locali (UI" .. , un), che in ogni D corrisponde alla base {  (u), .. . , a 8 (D) }
aUI Un
di Tu(R). Si dcfinisce l' orientazione indotta da R su aR = R - 1 come (-I)n
l' orientazione dcfinita dalle coordinate locali (u l, . . . , Un - d in R. l, cioè come
l' orientazione di (u 1  . . .  Un - I) O l'opposta a seconda che n sia pari o dispari.
Nel caso n = I converremo che l'orientazione indotta da R su {O} sia -l,
lnentre l' orientazione indotta da R su {O} sia + 1.
Queste definizioni, anche se possono sembrare a prima vista artificiose, hanno
una motivazione geometrica e permettono di eliminare i segni dall' enunciato del
teorema di Stokes (cfr. 45). Estendiamo ora questa nozione al caso di una varietà
qualsiasi.
Sia X una a-varietà orientata di dimensione n > 2 e supponiamo ax =f 0. Per
ogni punto p E a X l'atlante orientato di X definisce coordinate locali (x l  . . .  xrJ
in un intorno di p in X tali che (Xh.'., X n - d siano coordinate locali in un

41 I Varietà con bordo
35/
intorno di p in ax. È facile verificare che al variare di p E ax si ottiene in
questo modo un atlante orientato su ax: definiamo l' orientazione indotta da X
su ax come (-1)n l'orientazione definita da questo atlante orientato in ax. In
particolare vedianlo che se X è orientabi le anche a x lo è, cioè una varietà
senza bordo che è bordo di una a-varietà orientabile è anch' essa orientabile. Per
ulteriori chiarimenti sull'orientazione indotta sul bordo di una a-varietà rinviamo
gli esempi 41.4 e agli esercizi 3, 4, 5.
Su una varietà con bordo X una partizione dell' unità si definisce come nel
caso delle varietà senza bordo, cioè come una famiglia di funzioni differenziabi1i
{Pex : X --+ R}exEA a valori non negativi tale che:
(a) La fal11iglia {suPP(PaJ} è localmente finita;
(b) L Pa.(X) = 1 per ogni x E X.
ex
Se U è un ricoprimento aperto di X la partizione dell 'unità {Pa. }a.EA si dice
subordinata a U se per ogni a E A esiste U E U tale che supp(Pa.) C U.
Il teorema 29.3 che afferma l' esi stenza di partizioni dell' uni tà subordinate a
un dato ricoprimento ape110 di una varietà senza bordo si estende con identico
enunciato al caso delle varietà con bordo. La dimostrazione è la stessa; si deve
solo sostituire al lemma 29.2 un analogo enunciato relativo ad aperti di R (cfr.
esercizio 6).
41.4 Esen1pi
1. Sia J = la, bl C R un intervallo chiuso e limitato. J è una a-varietà l-di-
mensionale e aJ = {a, b}. Supponiamo J orientato secondo il verso delle t crescenti,
cioè dall'atlante orientato {(la, b), l,a), «a, b], Lb)}' dove
La : la, b) --+ R, La(t) = t - a
Lb : (a, b] ---t R, Lb(t) = t-b.
Allora l' orientazione indotta da J su aJ è -1 su a e + 1 su b.
Più in generale, se f : J  X è un diffeomorfismo di J su una l-varietà
connessa con bordo, J induce, tramite f, un' orientazione su X corrispondente al
verso di percorrenza secondo le t crescenti. L' orientazione indotta su ax è -1
nel punto iniziale f(a) e + l nel punto finale f(b) (fig. 41.3).
2. Supponiamo che X = A, dove A è un aperto connesso di R 2 tale che
Fr(A) = Fr(X) sia una sottovarietà l-dimensionale senza bordo di R2; nella let-
teratura X è spesso chiamato dominio a frontiera regolare. È facile verificare
che X è una superficie con bordo tale che ax = Fr(X). L' orientazione natu-
rale di R 2 induce un' orientazione su X, che in ogni U E X è definita dalla base
{ a (u),  (U) } . Qual è l'orientazione, cioè il verso di percorrenza, indotta da
uUI aU2

352
Integrazione sulle varietà diflerenziabili I Cap. 7
+1
f(b)
f(a)
-1
Figura 41.3
x su aX? Se T è il campo di versori tangenti a ax definito dall'orientazionc, e
se N è il campo di versori nannali esterni a X, in ogni punto U E ax l'orientazione
definita da {N(u), T(u)} è concorde con quella definita da { al (u), a2 (u) }
(cfr. esercizio 5). La figura 41.4 si riferisce all'orientazione antioraria del piano,
nel qual caso il verso di percorrenza di ax è quello illustrato con una freccia in
ogni sua componente connessa.
3. Sia X = A, dove A è un aperto connesso di R 3 tale che Fr(A) = Fr(X)
sia una superficie senza bordo di R3; anche in questo caso X è spesso detto
dOlninio a ji"ontiera regolare di R 3 . Si verifica facilmente che X è una a-varietà
di dimensione 3 tale che ax = Fr(X). L'orientazione naturale di R 3 induce
un'orientazione di X, che induce un'orientazione della superficie ax. Questa
orientazione è quella che corrisponde, nel senso del lemma 36.1, alla scelta del
campo N di versori normali esterni a X. Infatti se x : U  ax è una para-
metrizzazione di un aperto di ax, e se con le notazioni del lemma 36.] si ha
N = Il Xu 1\ Xv Il ' ali ora l' orien tazione de fi ni ta sua x dalla base {xu, xv} è tale che
xu !\ Xv
in ogni punto p E ax la base {N, XU, xv} di Tp(X) sia concordemente orientata
con la base canonica. E quindi, per l'esercizio 5, essa coincide con l' orientazione
indotta da X.
--------
Figura 41..4

42 I Forme d(ffe renzia li
353
Lasciamo al lettore come eserCIZIO il compito di generalizzare la nozione di
d0/11inio a fiYJl1tiera regolare di R11. e di estendere a questo caso le considerazioni
che abbiamo fatto riguardanti l' orientazione indotta sul bordo.
Esercizi
1. Sia X una varietà con bordo. DiITIostrare che ax è chiuso in X. In particolare se X
è cOInpatta ax è una varietà senza bordo compatta.
2. DilTIOstrare che se X è una varietà con bordo e Y è una varietà senza bordo, allora
il prodotto X x Y è una varietà con bordo e a(X x Y) = ax x Y.
3. Sia U E R( 1 e sia {e l , . . . , e n l} una base di Tu (R o -- l) che appartiene all' orientazione
indotta da R. Dimostrare che la base {- an (u), el, .. ., e n l} di Tu(R:) è concor-
demente orientata con la base canonica { a1 (u),..., an (U)}.
4. Sia p E 8X, dove X è una 8-varietà non necessariamente orientabile di dimensione n.
Sia U C R: un aperto contenente O, e sia <p : U ---+ X un diffeomorfìsmo su un aperto
di X (cioè l'inverso di una carta locale) tale che <p(O) = p. Nello spazio tangente
Tp(X) l'iperpiano T p (8X) = <p*o(lh(RIT -- l» definisce due semi spazi chiusi, che sono
<p*o(R:) e <p*o(R). I vettori di <p*o(R:)\T p (8X) si dicono interni a X, mentre i vet-
tori appartenenti a <p*o(Rn)\Tp(aX) si dicono esterni a X. Ad esempio <P*o (  (O» )
8u n
è un vettore interno a X. DÌ1110strare che la definizione di vettore tangentc interno o
estcrno a X in p non dipende dalla scelta del diffeomorfismo <p.
5. Sia X una 8-varietà orientata, e sia p E ax. Dimostrare che se {el,"., e n l} è una
base di T p (8X) che appartiene al1'orientazione indotta da X su 8X, e se v E Tp(X)
è una vettore esterno a X, allora {v,el,...,en-l} appartiene all'orientazione di X.
6. Sia V un aperto di R: e sia K C V compatto e non vuoto. Dimostrare che esiste una
funzione differenziabile g : R: ---+ R a supporto compatto contenuto in V e a valori in
lO, l] talc che g(u) = l per ogni u E K.
7. Sia X una ipcrsuperficie di R n + l . Dilnostrare che orientare X è equivalente ad assegnare
un campo di versori normali ad X.
42 Forme differenziali
L'integrazione sulle varietà differenziabili con bordo è resa possibile da una
con"etta definizione di integrando". Le forme differenziali sono oggetti a prima
vista piuttosto macchinosi definiti sulle a-varietà, che però forniscono appunto la
giusta nozione di integrando. Come tra poco vedremo, esse permettono di dare
n
un significato a espressioni formali come ad esempio  !i(X)dxi, che intervengono
1,::::1
come integrandi nella definizione di integrale di Riemann in R n .

354
Integrazione sulle varietà d(fferenziabili I Cap. 7
42.1 DEFINIZIONE Sia X una a-varietà differenziabile. Sia r > 1 un intero.
Una r- forma differenziale (o forma differenziale di grado r) w su X è il dato
w(p) di un r-tensore alterno sullo .\lJaZio tangente Tp(X) per ogni p E X. In altre
parole w assegna un ele111ento w(p) E /\rlTp(X)"'l ad oglli p E X.
Una Q-forma è una funzione su X a valori reali.
Le operazioni definite tra tensori alterni si possono applicare in ogni p E X
per definire operazioni tra forme differenziali. CosÌ, se w I, W2 sono due r-forme
differenziali su X la loro SOl1llna Wl + W2 è definita COlne:
(Wt+W2)(P)=WI(p)+W2(P) per ogni pEX
mentre il prodotto cw di una r- forma differenziale su X per uno scalare c E R è:
(cw)(P) = cw(p) per ogni p E X.
Se W è una r-forma c  è una s-forma, allora SI definisce una (r + s)-forma
w /\ ç ponendo:
(w /\ ç)(p) = w(P) /\ ç(p) per ogni p E X.
Come caso particolare di questa definizione si ha il prodotto Fw di una funzione
a valori reali (una O-forma) per una r-forma, che è una r-forma. Si ha ovviamente:
ç"/\ w = (_l)rs w /\ ç.
[ 42.11
Una l-forma associa a ogni punto p E X un funzionale lineare
w(p) : Tp(X)  R.
Ad ogni funzione differenziabile F : X  R pOSSIamo assoCIare una l-forma
dF che in p E X è il differenziale di F in p:
dF(p) = F*p : Tp(X)  R
dF è detta differenziale di F.
Nel caso particolare di R n , o di un aperto U di R:', le funzioni coordinate
UI, . . .  Un danno luogo alle l-forine dUI, . . . , du n , che in un punto U E U agiscono
su Tu(U) = R n come proiezioni:
dUi(U)(Xl, . . ., x n ) = Xi;
cioè {dUI (D), . . . , dun(o)} è la base di (Tu(U)f duale della base canonica { a1 (D),
. . . , an (D)}. Se I è un r-multiindice, poniamo
du I = dUi I /\ . . . /\ dUi r '

42 j Forme differenziali
355
Otteniamo un r-forma differenziale su U. Dal teorema 40.7 segue immediata-
mente la seguente proposizione:
42.2 PROPOSIZIONE Oglli r-jornza d(fferenziale w su un aperto U di R o di
R n si può esprÙ11ere in lnodo unico conle:
w = L l]dUI
r 42.2]
dove la sonuna è estesa agli r-111ultiindici crescenti I e le Il sono funzioni a
valori reali su U.
Se w è una }- forma sull' aperto U di R:, allora la sua espressione
n
W = L f 'du'
. 1, 1,
1,=1
può essere calcolata facilmente tenendo conto del fatto che
w ( aJ = E li [dUi ( aJ ] = li
perché dUi (  ) = 8ij. Più in generale, se w è una r- forma su U, i cocfficienti
aUj
della sua espressione l42.2] sono dati dalla seguente formula:
( a a )
. . =w - ....- .
l}) ...}r a ." a .
U}l u Jr
r 42.3 J
Se ad esempio F è una funzione differenziabile a valori reali su U, il difTe-
renziale dF ha la seguente espressione:
n '-'F
dF =  ? dUi
1,=1 aUi
[ 42.41
perché:
[dF ( ai ) ] (u) = F*u [ ( ai ) (u)] = :. (u) per ogni u E U.
Un esempio importante di n-forma su un aperto U di R è la cosiddetta forma
di volulne
du 1 !\ . . . !\ dU n
su cui torneremo più avanti.
Sia f : X  Y un morfismo di a-varietà, e sia w una r-forma differenziale su
Y. Definiamo una r-forma f*w su X ponendo:
f*w(P) = (/*p)*lw(f(P»J

356
Illtex ra ziolle sulle varietà differenziahili I Cap. 7
dove
(/*p)* : A r [Tj(p)(Y)'"'1  Ar[Tp(X)V]
è l'applicazione indotta da I*p (cfr. p. 341). Diremo I*w la r-j'orlna Ùnl1zagine
inversa di w in X. Se r = O, cioè se w è una funzione su Y, allora f*w = w . f.
Le seguenti fOflllule sono facili da verificare e le loro dimostrazioni vengono
pertanto lasciate al lettore:
f*(WI + W2) = f*Wl + f*W2
r 42.51
f*(w A ç) = (f*w) A (f*ç).
Inoltre segue ilnrnediatamente dalla definizione che l'immagine inversa è com-
patibile con la composizione di morfismi, cioè che se f : X  Y e g : Y  Z
sono morfisrni di a-varietà e w è una T-forma su Z, allora si ha l'uguaglianza di
r-forme su X:
(g . I)*w = I*(g*w).
Siano U C R, V C R:n aperti, e I : U  V un' applicazione differenziabile.
Dette x l, . . . , Xm le funzioni coordinate in R m , C Il,,,,, I m le componenti di f,
per ogni u E U il di fferenziale:
f*u : R n  R m
è l'applicazione lineare definita dalla matrice
J I(u) = ( :; (U») ,
e l'applicazione lineare indotta:
(I*u)* : (Rm)  (Rn)
agisce come:
(!*u)*rdxiCf(u»] =  a a li (u)duj(u) = d!i(u),
} Uj
perché è definita dalla matrice t J f(u). Quindi, per la [42.4]:
* d  a li
f x. = L - du . = d i -
z . a J Z.
} Uj
Segue dalla seconda delle [42.5 J che per ogni r-multiindice I
f*dxf = dl l (= d/ il A . .. A d/ ir )

42 I Forme differenziali
357
e quindi applicando le [42.5] per una qualunque r-forma differenziale w = L aldxI
su V si ha:
f*w :::: L (/* al )dI I .
r 42.6]
Il risultato seguente descrive l'immagine inversa della forma di volume rispetto
a un diffeomorfismo.
42.3 PROPOSIZIONE Siano U, V aperti di R () di R n , e sia I : U -+ V un
diffe 0111 O rfiS1110. Allora:
f*(dui !\ . . . !\ dunJ = det(J f)dul 1\ . . . !\ du n .
DÙnostrazione. Per la [42.6 J abbiamo:
I*(dul !\ . . . !\ dun)(u) = d/ l (u) !\ .. . !\ dln(u) =
= [1 : (U)dUj(U)] !\ . ..!\ [1 :: (U)dU/U)] =
= dct(J f(U»dul (u) /\ . . . !\ dUn(u)
dove l'ultima uguaglianza è conseguenza del teorema 40.10. !Il
Una r-.forl1lQ differenziale w su un aperto V di R: si dirà difJerenziabile
(sottinteso di classe C(OO) se nella sua espressione r 42.2] le funzioni f I sono
di fferenziabili.
Sia X una a-varietà differenziabile di dimensione n, e sia w una r-forma
differenziale su X. La forma differenziale w si dirà difJerenziabile se per ogni
morfismo cP : V -? X da un aperto V di R che sia un diffeomorfismo su un
aperto di X la forma differenziale <p*w su V è diffcrenziabile. Perché w sia
differenziabile è sufficiente che la condizione sia verificata rispetto agli inversi
delle carte locali di un atlante differenziabile {Uj,CPj}jEJ, cioè che (cp: 1)*W sia
differenziabile per ogni j E J.
D'ora in poi cOllsidererelno soltanto fonne differenziali diff'erenziabili, e pertanto
parleremo di forme differenziali sottintendendo l' aggettivo differenziabile".
Se X è una a-varietà differenziabile e w è una r-forma differenziale su X, il
supporto di w è la chiusura dell'insieme dei p E X tali che w(p) #0. Quindi il
supporto dì w è un chiuso, che denoteremo supp(w).
42.4 PROPOSIZIONE Una a-varietà differenziabile X di dÌ1nensione n è orien-
tabile se e solo se possiede una n-for-,na differenziale ovunque non nulla.
Din1ostrazione. Supponiamo che w sia una n-forma differenziale ovunque non
nulla su X. Sia {(U,\,CP'\)}'\EA un atlante su X. Per .À E A si ha in U,\:
(cp,\)*(du, /\ . . . /\ du n ) = F,\w

358
Integrazione sulle varietà diflerellziabili I Cap. 7
per un' opportuna funzione differenziabile F). su U). ovunque non nulla. A meno
di sostituire la funzione coordinata Ul con -u] possiamo supporre che F).. sia
ovunque positiva per ogni À E A. Ma allora per ogni À, J.l E A la funzione (se
definita)
'PJ.L . 'P). I : 'P).(U). n UJ.L) -+ R
trasforma la forma di volume dUI !\ . . . !\ dU n in un suo multiplo positivo. Per la
proposizione 42.3, det(J('PJ.L' 'P I» > O, e quindi {(U)., 'P).)} è un atlante orientato.
Viceversa supponiamo che X possieda un atlante orientato {(U)., 'P),)} ).EA' Allora
('P/-l' 'P). l)*duI /\...!\ dU n = J).J.L du l!\.'.!\ dU n
dove J).J.L è una funzione ovunque positiva su 'P).(U). n UJ.L)' Quindi su U). n uJ.L:
<,o:du, !\...!\ dU n = ('PJ).J.L)'Pdul /\...!\ dU n
[42.71
dove ('PJ).J.L) è una funzione positiva in U). nuJ.L. Poniamo w). = 'Pdu,!\,. .!\du n
per ogni À E A e definiamo w = L p).w)., dove {p). : U). -+ R} è una partizione
).
dell'unità subordinata al ricopri mento {U).}. Per la [42.7J in ogni punto p E U).
w(P) è somIna di multipli positivi di w). (P), e quindi w(P)=j:.O. Dunque w è ovunque
non nulla. Il
Dalla dimostrazione della proposizione 42.4 segue che assegnare una orienta-
zione su una a-varietà X di dimensione n è equivalente ad assegnare una n-forma
differenziale ovunque non nulla su X, e quindi per orientare X occorre e basta
scegliere una forma differenziale siffatta. Ad esempio l' orientazione standard su
R n corrisponde alla scelta della forma di volume dUI !\ . . . /\ du n , mentre l'orien-
tazione opposta alla scelta della forma differenziale -du] /\ . . . /\ du n . Altri esempi
ed applicazioni di questo risultato verranno dati nei prossimi paragrafi.
Esercizi
1. Dimostrare che se U è un aperto di R n , F: U  R è una funzione differenziabile e
v E Tp(U) per qualche p E U, allora
dF(p)(v) = v(F)p
2. Sia f : X  Y un morf1snlo di a-varietà differenziabili e sia F : Y  R una funzione
differenziabile. Dimostrare che:
f*(dF) = d(f* F).

43 l Integrazione sulle varietà COI1 bordo
359
43 Integrazione sulle varietà con bordo
In questo paragrafo introdurremo la nozione di integrale su una a-varietà
differenziabile: ciò si otterrà riconducendosi aH' integrazione nello spazio euclideo
per mezzo di carte locali. Mentre nello spazio euclideo si può parlare di integrale
di una jill1zione, ciò non è possibile in una a-varietà qualsiasi, dove parleremo
invece di integrale di una !or111a d(fferenziale. Il IDOti vo di ciò emergerà tra poco.
La definizione di integrale che adotteremo in R n è quella di Riemann: per essa
e per le sue principali proprietà rinviamo a un testo di Analisi Matematica.
Un risultato importante riguardante l'integrazione in R n è la cosiddetta .fonnula
del cal1zbianlento di variabili, che può enunciarsi nel modo seguente.
43.1 TEOREMA Sia 1 : V  U un diffeomor.fisl1Z0 tra due aperti di R n , e sia
F una .funzione integrabile su U. Allora:
f Fdxl... dXn = f (F . nldet(J n\ dYI . . . dYn.
U V
[43.1 J
Un enunciato analogo sussiste se U e V S0110 aperti di R.
In questa formula abbiamo denotato con x I  . . . , X n le variabili correnti in U,
e con YI,..., Yn quel1e in V; inoltre le scritture Fdxl'.' dXn e CF'. l)jdetCJ 1)1
dYl . . . dYn denotano gli integrandi nella usuale notazione utilizzata nella teoria
dell'integrazione in uno spazio euclideo. La l43.1) afferma che se si effettua il
calDbiamento di variabili determinato da f la trasformata F. f della funzione
integranda F non è la funzione integranda rispetto alle nuove variabili: la nuova
funzione integranda è invece CF. f)ldetCJ 1)1. Il fattore IdetCJ 1)1 serve a compensare
la distorsione intìnitesimale di volume operata da f.
Se U è un aperto di R n o di R e F : U  R una funzione differenzia bile,
considerialDo la forma differenziale su U:
w = Fdx l 1\ . . . 1\ dXn.
Se F è integrabile su U (ad esen1pio se F ha supporto compatto in U) pOSSialTIO
definire l'integrale di w esteso ad U come
! w := f Fdx]... dXn.
U U
Se V è un altro aperto di R n o di R e 1 : V  U un diffeolDorfìsmo, per Ja
proposizione 42.3 si ha:
f*w = (F . f) dct(J I)dy, 1\ . . .1\ dYn

360
Integrazione sulle varietà d(fferenziabili I Cap. 7
e quindi dalla [43.1] deduciamo la formula:
J w =  J j*w
U v
143.2 ]
dove si è supposto che det(J f) abbia segno costante, e il segno a secondo membro
è positivo o negativo a seconda che det(J f) sia ovunque positivo oppure ovunque
negativo su V, cioè a seconda che il diffeomorfìsmo f mantenga J' orientazione
oppure no.
La formula [43.2J riesprime la r 43.11 in modo più semplice e naturale. Ciò
è dovuto alla proposizione 42.3, cioè al fatto che tramite un diffeOlTIOrfismo una
forma differenziale si trasforma, a meno del segno, nello stesso modo in cui si
trasforma un integrando. È questa proprietà che rende le forme differenziali gli
oggetti più naturali da utilizzare come integrandi e che permette di estendere la
definizione di integrale alle a-varietà orientate. Vediamo in che modo.
Sia X una a-varietà differenziabile di dilllensione n orientata, {U a, 'Pa} aEA un
atlante orientato per X c sia w una n-forma differenziale a supporto COlnpatfo su
X.
Se supp(w) è contenuto in U a per qualche o: E A pOnialTIo:
! w:= ! (<pI)*W
X 'PaCU Q )
[43.3 ]
Se invece questa condizione non è soddisfatta consideriamo una partIZIOne
dell'unità {Pa }aEA subordinata al ricoprÌ1TIento {Ua}aEA. Per ogni D: E A la forma
differenziale PaW ha supporto compatto contenuto in U a. Possiamo quindi porre:
! w:= I: ! PaW
aEA
X X
[43.41
Il risultato seguente assicura che la definizione [43.4] è ben posta.
43.2 PROPOSIZiONE La definizione 143.41 dell'integrale ! w è indipendente
x
dall'atlante orientato {U(x, 'Pa} che definisce !'orientaziol1e di X e dalla partiziol1e
dell 'unità {Pa}.
DÙnostrazione. Sia {V,B, 1/;,8} ,BEn un atlante orientato che definisce la stessa
orientazione di {Ua,'Pa}, e {(J,8},8EB una partizione dell'unità subordinata al ri-
coprì mento {Vfi}' Osservando che sUPP(Pa{J fJw) C U a n VfJ per ogni 0:, (3 tali che
U O! n V,8 =I- 0 si ha:
('PO! .1/;,BI)*[('PI)*(pO!(J,Bw)] = (1/;,Bl)*(Pa(J{3W)

43 I Integrazione sulle varietà CO/1 bordo
361
e pertanto, poiché 'PO'. c 1/;fJ sono orientate concordemente:
f ('P a' )*(Pa(J (3w) = f ('P 1)* (Pa(J (3w) =
'Pa cU o:> 'P(.I'(uunVrd
= f
1j;{3(U Q nVr;)
('Pa' 'ljJfi')*r('Pa 1 )*(Pa(J(3W)] = f ('ljJfi')*(Pa(J(3w) =
1/J {1 ( U a n V{3 )
= f ('ljJ /3 ' )* (Pa(J (3w),
1/J{3(V a )
Poiché L Pa = l e L (J fJ == ], sfruttando la linearità dell' integrale In R n SI
aE A fJEB
ha:
 f ('Pal)*(PaW)= f
'Pa(U 0:) 'P (){(U(){ )
L ('PI)*(pQ(J,8w) =
fJ
= L f ('PI)*(pO'.(J(3w) = L f ('l/JI)*(pQ(Jj3w) =
afJ afJ
'Pa(U a ) 1/Jr,(V{3)
= L f L (1/;(1')*(Pa(JfJw) = L f ('l/Jfil)*«(JfJW), Il
fJ Q fJ
1/J{3() 1/J{3()
È facile verificare che l'integrale su una a-varietà orientata X gode delle se-
guenti proprietà
f (Wl + W2) = f Wl + f W2
X X X
f (cw) = c f W
X x
comunque si prendano n-forme differenziali a supporto compatto Wl e W2 e c E R.
L
Si tenga presente che l'integrale J W dipcnde dall'orientazione di X. Segue
X,
immediatamente dalla [43.2] che _s.e_. L.._çJ!m..9j l'Qrienazione di K l'integale
cambia ,di segno. Più precisamente, la [43.2J ha la seguente generalizza zio ne.
43.3 PROPOSIZIONE Se X e Y sono a-varietà differenziabili COllnesse orientate
di dinlensione n, e f : X ---t Y è un diffe()Jnor.fi.\'1no, allora per ogni n-fonna
differenziale W a supporto C0l11patto su Y si ha:
f j*w =  f W
x y

362
Integrazione sulle varietà d(ffèrenziabili
Cap. 7
dove il .",egno a secondo lne11'zbro è positivo o negativo a seconda che il diffeo-
1110rfis111o f l1lantenga l' orientazione oppure no.
La din1ostrazione è un facile esercizio e viene lasciata al lettore.
Una r-forma differenziale w, con r =f n, su una a-varietà X di dimensione
n non può essere integrata; ma se si ha un morfismo f : Y  X da una 8-
varietà r-dimensionale orientata Y si può considerare l'immagine inversa f*w e
integrare questa forma differenziale su Y. In particolare possiamo considerare una
8-sottovarietà orientata Y di X di dimensione r e integrare la restrizione di w a
Y.
Le applicazioni più immediate dell'integrazione sulle a-varietà si hanno al
calcolo di lunghezze, aree e volulni. Negli esempi che seguono esamineremo
brevemente questo aspetto.
43.4 Ese111pi
1. Se X è un insieme finito, cioè una varietà compatta di dimensione O,
e : X  {:f: l} è una orientazione di X, e F : X  R una funzione su X,
interpretata come una O-forma differenziale, si ha:
J F = L e(x)F(x).
xEX
X
2. Sia U un aperto lin1itato di R n . Allora si ha:
J dUI 1\ . . .1\ dUn = mis(U)
u
dove mis(U) è la misura di U nel senso della teoria dell' integrazione secondo
Riemann. Ciò giustifica 1'aver chiamato du l !\. . .!\ dUn "forma di volume standard".
3. Sia C C R n una varietà l-dimensionale con bordo orientata, immagine
diffeo1110rfa di un intervallo chiuso e limitato J:
o: : J  R N .
La l-forma differenziale ç su C definita come:
ç(p)(v) = vol(v) = v . t per ogni v E Tp(C) p E C
deve t = Il:::;II ' è detta forma di lunghezza su C. La sua immagine Inversa su
I è:
o:*(ç) = V (o:D2 + . . . + (Q;)2 dt
l43.5 ]

43 l Integrazione sulle varietà COI1 bordo
363
e
L(C):= f ç= f a*(ç) = f "; (a)2+...+(a)2dt
C J J
è la lunghezza di C, come è stata defìnita nel paragrafo 30 (p. 252). Per verificare
la [43.5] si osservi che:
a*(ç) ( :t ) =ç (a* ( :t )) =a* ( :t ) .t= "; (aD2+...+(a)2.
Nello stesso modo si defìnisce la lunghezza di una l-varietà compatta Im-
magine di un morfìsmo o: : [a, bJ  R N tale che a(a) = o:(b) (ad esempio una
circonferenza) .
4. Sia X C R N una a-varietà orientata relativamente compatta di dimensione
n, e sia ç la n-forma differenziale su X definita da:
(P)(Vl, . . ., v n ) = VOI(VI, .. ., vn)
per ogni VI,. . . , v n E Tp(X), p E X, dove il volume è calcolato rispetto al prodotto
scalare standard di R N e all' orientazione di X.  si chiama jornla di volu111e su
X e l'integrale f ç è il volume di X, indicato con val(X). Se U C R n è un
x
aperto e x : U  X è una parametrizzazione di un aperto di X, si ha
x*(ç) = "; det((x u , . xu))dui !\ ...!\ dUn
dove abbiamo denotato
X U1 = x* ( a, ) = ( ::1, ' :: ' . . ., :: ) .
z 'l. Z Z
Si osservi che:
(x u ! . x u }) = l(JX)Jx
e quindi
x*(ç) = y' det(l(Jx)Jx)dul !\ ...!\ du n .
[43.6J
Nel caso n = ] riotteniamo la .forn1Q di lunghezza definita nell'esempio prece-
dente. Nel caso n = 2 parlerenlo di fonna di area e di area della superficie X,
indicata con A(X).

364
Integrazione sulle varietà dijferenziabili I Cap. 7
5. Sia S una a-superficie relativamente compatta di R 3 . Se x : U  X è una
parametIizzazione di un aperto di X allora:
x*() = V EG - F2 du !\ dv,
dove E, F, G sono i coeffìcienti della prima forma fondamentale su X, e quindi
l'area dell'aperto x(U) di 1..9 si calcola nlediante l'integrale [33.7].
6. Sia F : U'  R una funzione differenziabile definita in un aperto limitato
U C R 2 ,
<I> : U  R 3
<P( u, v) = (u, v, F( u, v»)
la corrispondente parametrizzazione di Monge e sia X = <I>(U) C R 3 il grafico di
F. Poiché
J<I> =
l
O
o
l
Fu Fv
SI ha
A(X) = f V I + FJ + FJ du !\ dv.
u
7. Per calcolare in pratica il volume di una a-varietà compatta o relativamente
cOlnpatta X di R N , o pi ù in generale per integrare una forma differenziale w
su X, è sufficiente avere a disposizione una parametrizzazione f : U  X la
cui imnlagine sia un aperto il cui complementare abbia volume n-dimensionale
nullo (ad esempio sia una sottovarietà di dimensione minore di n) e integrare
l'in1n1agine inversa f* o f*w su U.
Ese..cizi
1. Dilnostrarc che nel caso in cui X è un aperto lilnitato di R N la fonna di volume 
introdotta nell' csenlpio 43.4(4) coincide con la fonna di volume standard.
2. Sia X una ipersuperfìcie relativamente conlpatta e orientata di R n + 1 e sia N =
= (N 1 , . . . , Nn+d il campo di versori nonnali che definisce l'orientazione di X. Dimo-
strarc che la [orIna di volume  su X ha la seguente espressione:
n+l
ç = I:: ( -1 )i+ l N 1 "dx l 1\ . . . 1\ dXi -- l 1\ dx z + l 1\ . . . 1\ dx n + l.
i=!

44 I Differenziazione esterna
365
3. Dimostrare che la forma di volume sulla sfera sn di R n + l orientata dalla normale
esterna è
n+l
ç = L (-I)i+lxidxI /\... /\ dXi 1/\ dXi+l/\'" /\ dX n +l.
i=l
4. Calcolare l'area della sfera S (O, r) di centro l'origine e raggio r di R 3 .
5. Calcolare l'area della superficie Z =  (u 3 / 2 + v 3 / 2 ), dove (u, v) varia nel triangolo
aperto detenllinato dalle rette u = O, v = O, u + v = 3.
6. Calcolare l'area della finestra di Viviani, che è la a-superficie di R 3 contenuta nella
sfera di equazione X 2 +y2+Z2 = r 2 ed interna al cilindro di equazione X 2 +y2_ r X = O,
dove r > O.
7. Sia w la l-forma differenziale su R 2 \{0}:
w(x, y) = ( 2 -y 2 ) dx + ( ") x 2 ) dy.
x + Y XL. + Y
Calcolare f w. dove X è una circonferenza di centro l'origine e raggio r, orientata
x
dalle normali esterne.
8. Sia S una superficie senza bordo compatta e orientata di R 3 . L'integrale
K:(S) = f K
s
dove K : 8  R è la curvatura gaussiana di S, si chiama curvatura totale di S.
Dimostrare che la curvatura totale di una sfera S(p, r) di centro un punto p e raggio
r > O è 47r.
44 Differenziazione esterna
Le forme differenziali possono anche essere differenziate, oltre che integrate.
Lo abbiamo già visto nel caso delle O-forme, perché abbiamo definito un l-forma
dF per ogni funzione differenziabile F : X  R su una a-varietà X.
Per estendere questa operazione a tutte le forme differenziali iniziamo dagli
spazi euclidei. Sia U un aperto di R n (o di R) e sia w = L f/du] una forma
/
differenziale di grado r su U. Definiamo il differenziale esterno (o derivata esterna)
di w come la (r + I)-forma differenziale su U:
dw = L d!] /\ du/.
I
44.1 PROPOSIZIONE La derivata esterna di forme differenziali su un aperto
U di R n (o di R:') gode delle seguenti proprietà:
13

366
Integrazione sulle varietà differenziabili I Cap. 7
(a) d(Wl + W2) = dWI + dW2 (linearità) per ogni coppia di T-fonne Wl e W2 su U;
(b) d(w!\ () = (dw)!\ 0+ (-l)r w !\ (dO) per ogni T-forma W e s-forma O su U;
(c) d( dw) = O
per ognI T-forma W su U.
Dinlostrazione
(a) è ovvia.
Cb) Per la (a) è sufficiente dimostrare la (b) nel caso:
W = aili2...irduil !\...!\ dUir, 0= bid2...jsduil !\... /\ du}.
Abbiamo
d(w !\ O) = df ai I i 2 ...i r bid2...is dUi I !\ . . . /\ dUi r !\ du i\ !\ . . . !\ du}] =
 ( 8a" .
- L- 111,2... 1, r b.. . +a" .
- h=l 8Uh )]J2...}s 1]12", 1, r
8b.. . )
}1J2...Js
aUh dUhAdui, A. . . Adui, AdujJ A. . .AduJ =
( n )
8a" .
= E :." dUh A . . . A dUi, A bj,j2...j, dUj, A... A dUJ +
+( -lr ai, i 2 ...i, dUi, A . . . A dUi, A (E ab'hj, dUh A dUj, A . . . A dUj,) =
= (dw) !\ O + (_1)r W /\ (dO).
(c) Si ha:
( n 8f )
dw = L dl I !\ dUI = L  a  dUi /\ dUI
I I 1,= l U z
e
d(dw) =  E ( ::j dU J ) A dUi A dUj.
Ma poiché
a 2 II
8u'u'
l }
a 2 Il
=
aUiUi
e
du . !\ du' - -du. /\ du .
} 1, - I }
i termini della somma precedente si cancellano a due a due. !Il

44 I }Jiflerenziaziolle esterna
367
Per estendere la definizione di derivata esterna alle a-varietà SI utilizza il
seguente risultato:
44.2 PROPOSIZIONE Sia 1 : V  U un diffeonlorfisnzo tra due aperti di Rn
(o di R) e sia w una r-forma differenziale su U. Allora si ha l'identità di
(r + 1 )-j'orlne differenziali su V:
d(/*w) = I*(dw).
!Jinlostrazione. È suffìciente dimostrare la proposizione nel caso:
w = a£,i2...irduil !\... /\ dUir'
Chiamando x l , . . . , X n le coordinate correnti in V si ha:
d(f*w) = d(f*(ai 1 i 2 ...i r )dfi l 1\ .. . !\ d/ ir ) =
n
" a ( a" . . I)
= L ZIZ2... Z r dXh /\ dfi l /\ . . . /\ d/i r '
h= l a x h
D'altra parte:
f*(dw) = f* (È aa;:..i, dUk A dUi, A . . . A dUi') =
n ( )
aa" .
= L f* "2."" dfk A dfi l A . .. A dli, =
k=l uk
= t ( /* ( aaili2...ir ) t a fk d Xh ) !\ d/il 1\ . . . /\ d/ ir =
k=l aUk h=] aXh
= ( t ( t f* ( aaili2...ir ) a fk ) d Xh ) !\ d/ il !\ . . . !\ d/ ir =
h=1 k=l BUk aXh
n
= L a(ai,i 2 ...i, . f) dXh A dfi A... A d!i = d(f*w). .
h=] a x h I r
Ora possiamo definire la derivata esterna di una r-forma differtnziale w su una
a-varietà qualsiasi X. La definizione verrà data localmente nel modo seguente.
Sia ep : U -4 R una carta locale in X, e definiamo dw su U come cp*[d(ep- I*W)].
Se 'ljJ : V  R è un' altra carta locale in X, poniamo
f = 1/J . ep I : <p(U n V)  R.

368
Integrazione sulle varietà d(fferenziabili I Cap. 7
Allora:
f*[d(1P- I*W)] = d[f*(1P I*W)J = d[1P- 1 . f)*wl = de'P l*w)
e quindi su U n V si ha:
<p*[d(<p I*W)] = 'P*[f*(d(1P- l*w»] = (f. <p)*[d(1P- 1 *w)1 = 1P*[d(1P- 1 *w)].
Pertanto le definizioni locali di dw sono compatibili tra loro, dando luogo ad
una ben definita (r + 1 )-forma differenziale dw su X, che chiamerelllo derivata
esterna (o differenziale esterno) di w. La derivata esterna sulle -varietà X gode
di proprietà analoghe a quelle descritte dalla proposizione 44.1, che sono riassunte
nel seguente enunciato.
44.3 TEOREMA La derivata esterna su una a-varietà X gode delle seguenti
proprietà, per ogni scelta di r-forme Wl  w2, W e di una s-forlna O:
(a) dCw] + W2) = dWl + dW2'
Cb) d(w !\ O) = (dw)!\ O + C -l)r w !\ (dO).
C c) d( dw) = O.
(d) Se F : X  R è una funzione differenziabile la derivata esterna dF coincide
con il differenziale di F.
La dimostrazione del teorema 44.3 è un facile esercizio e viene lasciata al let-
tore. Enuncialno anche il seguente risultato, che descrive una importante proprietà
della derivata esterna.
44.4 TEOREMA Sia f : Y  X un 111orfismo di a-varietà e sia W una .tornla
differenziale su X. Allora
d(f*w) = f*(dw).
DÙnostrazione. Il teorema è vero per le O-forme (esercizio 42.2). Inoltre, se è
vero per due forme W e O allora è anche vero per W !\ O, grazie alla Cb) del teorema
44.3. D'altra parte ogni forma su X è localmente esprimibile come I: a]dx] per
]
opportune funzioni a I, X l, . . . , X n e quindi il teorema vale localmente per ogni
fonna w. Ma poiché la definizione di dw è locale la conclusione segue. !Il
Una fonna differenziale w sulla a-varietà X si dirà chiusa se dw = O; w si dirà
esatta se esiste O tale che w = dO. Per la (c) del teorema 44.3 ogni forma esatta
è anche chiusa; il viceversa non è vero (esercizio 1).

45 I /I teorema di Stokes
369
Esercizi
1. Dimostrare che la forma differenziale
w = ( 2 - Y 2 ) dx + ( 2 x 2 ) dy
x +y x +y
SU R 2 \ {O} è chiusa ma non è esatta.
2. Sia X una a-varietà, r > O e siano
Zr (X) = {r-forme differenziali chiuse w}
Br (X) = {r-forme differenziali esatte w}.
(a) Dimostrare che zr(x) e Br(X) sono spazi vettoriali reali e che Br(x) è un
sottospazio di zr(x). Lo spazio vettori aIe quoziente HDR(X) si chiama r-esÙno
gruppo di coolnologia di De Rhaln di X.
(b) Sia f : X ---+ Y un morfismo di a-varietà. Dimostrare che f induce un'applicazione
lineare
f* : HVR(Y) ---+ Hf)R(X),
(c) Dimostrare che f* gode delle seguenti proprietà:
(1) l X è l'identità di HVR(X),
(2) (g. f)* = f* . g* : HDR(Z) ---+ DVR(X) per ogni coppia di morfislni:
f : X ---+ Y, g: Y ---+ Z.
Le (l) e (2) si dicono proprietà funtoriali della coomologia di De Rham.
(d) Dedurre dalle (c) che se X e Y sono a-varietà diffeomorfe allora HVR(X) e
HDR(Y) sono isomorfi per ogni r  O.
45 Il teorema di Stokes
Le operazioni di derivazione esterna e di integrazione delle forme differenziali
sulle varietà con bordo, che sono di natura analitica, hanno una relazione notevole
con l'operazione di natura geometrica che ad una 8- varietà X associa i l suo bordo
ax. Questa relazione è contenuta nel teorema di Stokes generale, che generalizza
un grande numero di formule dell' Analisi Matematica, e che interviene in il10lte
circostanze in cui esistono relazioni tra geometria e analisi. Il suo enunciato è il
seguente.
45.1 TEOREMA (Stokes) Sia X una varietà con bordo orientata di din1ensione
n, e w una (n - 1 )-.fOrl1lQ differenziale a supporto conlpatto su X. Allora
f dw= f w
x ax
dove 8 X si intende dotato dell' orientazione indotta da X.
[45 .1 J

370
lntexrazio/le sulle varietà d(f1erenziabili I Cap. 7
Prima di dare la dimostrazione del teorema di Stokes vogliamo considerare
alcuni esempi.
45.2 Esenlpi
1. Sia fa, b] un intervallo chiuso e limitato e F : r a, b J -4 R una funzione
differenziabile. Allora il teorenla fondanlentale del calc% afferma che
b
f F'(t)dt = F(b) - F(a).
a
l45.2]
L' identi tà l45.2] è un caso particolare della r 45.1] in cui si è presa X =
= r a, b l orientata nel verso delle t-crescenti e w = F. Quindi il teorema di Stokes
è una generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo.
2. Sia X un dominio a frontiera regolare di R 2 (cfr. esempio 41.4(2») compatto,
con l' orientazione indotta da quella naturale di R 2 . B X è una varietà l-dimensionale
compatta r orientata dalla normale esterna (fig. 45.1).
Sia
w = P(x, y)dx + Q(x, y)dy
una l-forma differenziale su X. Allora:
( 8 Q BP )
dw =  - - dx /\ dy.
8x By
La l45.1 J diventa in questo caso:
f (P(x, y)dx + Q(x, y)dy) = f (  - : ) dx !\ dy.
r x
l45.31
Questa identità è nota come .lor'lnula di Green nel piano.
3. Sia X un dominio a frontiera regolare di R 3 (cfr. esempio 41.4(3» compatto,
con l' orientazione indotta da quella naturale di R 3 . II bordo a X è una varietà
2-dimensionale compatta r orientata dalla normale esterna.
Sia
w = P(x, y, z)dx !\ dy + Q(x, y, z)dx !\ dz + R(x, y, z)dy !\ dz
una 2-forma su X. Allora:
( 8P 8Q BR )
dw = - - - + - dx!\ dy !\ dz
az ay 8x

-45 Il/teorema di Stoke.\
37/

Figura 45.1
c la formula [45.]J dà in questo caso:
f (P(x, y, z)dx !\ dy + Q(x, y, z)dx !\ dz + R(x, y, z)dy !\ dz) =
r
f ( 8P BQ BR )
= - - - + - dx!\ dy !\ dz.
8z By Bx
X
Questa identità è conosciuta come teorelna della divergenza.
4. Un altro caso particolare della [45.11 è il seguente. Sia X una superficie
con bordo compatta c orientata di R J . 8 X è una varietà l-dimensionale compatta
orientata (fig. 45.2).
Se
w = P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz
è una l-fonna su X, allora
( BQ BF ) ( 8R BP ) ( aR 8Q )
dw = -;- - - dx /\ dy + - - - dx!\ dz + - - - dy /\ dz
8x By Bx Bz By Bz
e la [45.]] dà:
f (Pdx + Qdy + Rdz) =
ax
f [( BQ BP ) ( 8R BP ) ( BR 8Q ) ]
= - - - dx!\ dy + - - - dx /\ dz + - - - dy!\ dz .
8x 8y Bx Bz By Bz
x
Questo è il classico teorelna di Stokes in R J .

372
Integrazione sulle varietà differenziahili I Cap. 7
Dimostrazione del teorema 45.1. Poiché primo e secondo membro della [45.1J
sono lineari in w, possiamo utilizzare una partizione dell 'unità e ridurci al caso
in cui w ha supporto compatto contenuto in un aperto coordinatizzato U. Sia
4J : U  R una carta locale.
Supponiamo dapprima che U n ax = 0, cioè che 4J(U) sia un aperto di R n . In
questo caso
f w=o
ax
mentre
f dw = f (cjJ-I)*(dw) = f d[(cjJ-I)*wJ
X c/>( U) R n
perché (cP 1)* w ha supporto compatto. Supponiamo che:
n
(cP-- I)*W = L (_l)i-- JaidxI !\...!\ dXi- 11\ dXi+1 !\...!\ dXn.
i=I
Allora:
d[(4J-I )*w] = ( t a aa ) dXI !\ ... !\ dXn
=I X
e quindi:
f n f aa-
d[(cjJ- J)*w] = E ax: dXI /\.../\ dXn.
R n R n
[45.4]
Per calcolare l'i-esimo addendo del secondo membro applichiamo il teorema
di Fubini integrando prima rispetto a Xi. Otteniamo:
f ::: dXI/\" ./\dxn = f ( J ::: d Xi ) dXI!\" .!\dXi.. l !\dXi+l!\.' .!\dx n .
R" R 1I I - 00
Figura 45.2

-15 I Il teorema di Stokes
373
Poiché ai ha supporto compatto, se r » O abbiamo:
+00 T
f aa' f aa'
 dXi = --1. dXi = ai(r) - ai(-r) = O - O = O
ax, 8x'
z z
00 r
Riassumendo otteniamo f dw = O e il teorema è dimostrato in questo caso.
x
Supponiamo ora che <jJ(U) sia un aperto di R ma non necessariamente di R n .
Per calcolare f dw possiamo ragionare come prima riducendoci alla [45.4]. Il
x
calcolo del secondo membro della [45.4] può essere ripetuto per tutti gli addendi
tranne l'ultimo. Si ottiene pertanto:
f 8a'
8x: dXI !\ . . . !\ dXn = O
R"
i= l,...,n - l.
L'ultimo addendo è invece:
( +00 )
aa n 8a n
f 8x n dXj !\ . . · !\ dXn = f f 8x n dXn dXI!\ . . . !\ dXn -- I =
R" R n .- I o
f -an(x"..., X n "O)dx]!\...!\ dXn- I
R n - 1
dove l'ultima uguaglianza segue dal fatto che an ha supporto compatto e quindi:
00 r
f aan f aan
aX n dXn = 8x n dXn = O - an(xl, . . . , X n - l, O)
o o
se r »0. Riassumendo otteniamo:
J dw = f -an(xI,..., X n - "O)dxI !\ . .. !\ dXn - I.
X R"--'
r 45.5]
Si ha d'altra parte:
f w = E f (- l)i - ] ai (x] , . . . , X n - I , O )dx I !\ · . . !\ dXi - I !\ dx i+ l !\. . . !\ dx n =
ax Rn l
o
= f (-1) n - l a n (x" . . . , X n - " O )dx I !\ . . . !\ dXn - I
Rn I
o

374
Integrazione sulle varietà difJerenziabili I Cap. 7
perché dXn = O su R - l. Ora, ricordando la definizione dell'orientazione indotta
da R su R - l deduciamo che si ha:
f e _l)n - 1 a n ex I, . . . , X n "O)dx l 1\ . .. 1\ dXn - l =
R n -- ]
o
= e _1)n f e -1) n -- I a n e x" . . . , X n - " O )dx l 1\ . . . 1\ dXn - l =
Rn - I
f a n e x" . . . , X n l , O )dx 1 1\ . . . 1\ dx n - l.
R Ti - '
Confrontando con la r 45.51 otteniamo la conclusione. !Il
Un' utile conseguenza del teorema di Stokes è il seguente risultato.
45.3 TEOREMA Siano X una a-varietà COlnpatta orientata di dimensione n+ l,
Y una a-varietà di dÙnensione n, e f : ax --+ Y un lnorfL\'lno. Se f possiede
un' estensione ad un nl0rfislno l : X --+ Y allora per ogni n-forma differenziale w
su Y si ha.'
f j*w =0.
ax
Dbl1ostrazione. Per il teorema di Stokes si ha:
f f*w = f f*w = f dcJ*w) = f fedw) = O
ax ax X x
perché dw = O essendo una (n + I)-forma su Y che ha dimensione n. 11I
Come applicazione del teorema 45.3 dimostriamo la seguente versione difj'e-
renziabile del teorema del punto fisso di Brouvver:
45.4 TEOREMA Ogni morfismo f : D n + 1 --+ D n + 1 del disco unitario chiuso In
sé possiede un punto fisso.
Dimostrazione. Se f non ha punti fissi è possibile definire un morfismo
g : D n + 1 --+ sn
in modo simile a quanto fatto nella dimostrazione del corollario 16.8. g è un' e-
stensione dell'identità sn --+ sn. Dal teorema 45.3 applicato all'identità di sn segue
che f w = O per ogni n-forma differenziale su sn, c ciò è assurdo. .
sn

Risoluzione degli eserCIZI
 1
6. B e C.
7. A c B.
*2
14. Se T esiste deve coincidere con la famiglia
{U C X : U E N(x) per ogni x E U}
e quindi è unica. Facciamo vedere che questa fmniglia è una topologia. Banalmente
o E T. Sia {Uj} jEJ una famiglia di eleInenti di T ed U = l) Uj. Se x E U allora
)
x E Uj per qualche j E J e quindi Uj E N(x); dalla (c) segue che anche anche
U E N(x), quindi U E T.
Siano U"..., Un E T ed x E U, n . . . n Un. Allora U 1  . . ., Un E N(x) e per la (b)
U, n . . . lÌ Un E N(x). Quindi U] n . . . n Un E T. Dimostriamo che X E T. Per ogni
x E X segue dalla (a) che esiste N E N(x) contenente x; per la (c) X E N(x): quindi
XET.
Dilllostriamo infine che per ogni x E X N (x) è il sistema degli intorni di x nella
topologia T. Se N E N(x) allora, per la (d), esiste M E T tale che x E M C N:
quindi N è un intorno di x. Se viceversa N è un intorno di x, allora per definizione
di intorno esiste un aperto U tale che x E U C N e, per la definizione di T, U E N (x).
Ma aJ1ora, per la (c), anche N E N(x).
4
2. (a) => Cb) e (a) => (c) sono OVVIe.

376
Risoluzione degli eserciz.i
(b) => (a) Sia x E X e N E N(/(x». Sia B E 8 tale che I(x) E BeN. Allora
f 1 (B) E N(x) e I(i o l (B» C BeN. Quindi f è continua in x.
(c) => (a) Sia x E X e N E N(/(x». Siano poi 8 1 "", 8n E S tali che f(x) E 8 1 n. . . n
n Sn C N. Allora f- I (SI n .. . n Sn) = 1- ] (Sd n .. . n 1- ] (Sn) è un intorno aperto di x;
inoltre
I(f" 1 (SI n . . . n 8n» c 81 n . . . n Sn C N
e quindi f è continua in x.
(a) => (d) Poiché
V C i - I (/(V» C I - I ( /(V» ,
e i- I ( /(V» è chiuso, si ha V C 1- I ( /(V» e quindi I( V ) C I(V) .
(d) => (e) Poniamo V = 1- I (W). Per la (d)
- - -
I(V) C f(V) C W
e prenden do le immagini inverse, I I (/( V » C I I ( W ). Poiché
1- ] (W) = V C 1- ] (f ( V »
si ottiene 1-] (W) C I ] ( W ).
(e) => (a) Sia C un s ottoinsi eme chiuso di Y. Per la (e)
/- 1 (0)::: i" I( C ) =:) i-I (C)
e quindi iO"] (C) è chiuso.
5
Il. A e D.
12. A e D.
13. A e B.
14. A e D.
15. C e D.
7
Il. Poiché H è discreto esiste un intorno aperto U di e tale che U n H = {e}. Per la
continuità dell' applicazione
GxGG
(gl, g2)  glg2 ]
esiste un aperto V C U contenente e tale che gl g2 l E U per ognI g], g2 E V. V è
l'aperto cerc ato.

Risoluz.ione degli esercizi
377
8
13. Supponiamo X regolare e sia F = X\U. Esistono aperti disgiunti A e B tali che
p E A e F c B; si prenda V = A. Allora V C X\B C U.
Viceversa supponiamo la condizione soddisfatta e dimostriamo che X è regolare. Sia
F C X un sottoinsieme chiuso e p ft F. Poiché F è chiuso esiste un aperto U
contenente p e tale che F n U = 0. Sia V un aperto tale che p E V C V C U. Allora
A = V, B = X\ V sono due aperti disgiunti e p E A, F C B; quindi X è regolare.
15. Sia X = TI XJ1.' XJ1. spazi TI e siano u, v E X punti distinti. Sia 1J E M tale che
}tEM
u(/.l)=!=v(/J); siano U tl ' VJ.L aperti di XJ1 tali che u(/.l) E UJ.t, v(1J) f/. UJ1.' u(J.L) ft VJ1'
v(J.l) E L' Gli aperti di X:
U = p I (U J1)' V = PJ1. ] (VJ1)
soddisfano
U E U, v ft V, U ft V, v E V.
16. Sia X = TI XJ1' X/l- spazi regolari. Per dimostrare che X è regolare useremo la
J1.EM
caratterizzazione data nell'esercizio 13. Per l'esercizio precedente X è uno spazio TI.
Sia u E X e U un aperto contenente u. Possiamo supporre U della forma:
U = P J1. / (U d n . . . n p} (U s)
dove /.lI,..., /.ls E M, Uj C XJ1.) aperti opportuni contenenti Uj = u(J.lj). Per la regolarità
degli XJ1. esistono aperti Vj C XJ.t) tali che:
Uj E V)' C Vj' C U j .
Allora
v == p  / (VI) n . . . n p J1.s' (V s )
è un aperto tale che:
- -)- -1- I I
U E V C V C P/l-I (V)) n . .. n P J1b (V s ) C P J11 (U]) n . .. n PJ1.s (U s ) = U.
 lO
8. Rispetto a T lo spazio N è numerabilnlente compatto perché ogni sottoInSIeme non
vuoto S C N possiede un punto di accumulazione: se infatti s E S allora s + l oppure
s - l è un punto di accumulazione a seconda che s sia dispari oppure pari.
(N, T) non è compatto perché {{2n - l, 2n}, n > l} è un ricoprimento aperto privo di
sottoricoprimenti finiti.
(N, T) non è compatto per successioni perché la successione {n} non possiede sotto-
successioni convergenti.

378
Risoluzione degli eserciz.i
 Il
1. Sia z E R\Q. Allora (-ex:> z) = (-ex:>, z) In Q.
2. C.
9. Non è restrittivo supporre la, b] = [-1, l J, perché due intervalli chiusi e limitati qualsiasi
sono omeomorf1. Supponiamo per assurdo che f(x) =/=x per ogni x E [-1, l] e definiamo
un' applicazione continua s : [-1, 1 J  R ponendo:
x - f(x)
s(x) = Ix _ f(x)1 - l :; x < l.
La continuità di s segue da que]]a di f e da11' ipotesi che f non abbia punti fissi. Si
ha evidentemente:
s(x) = :f:: l , -]:; x  ],
s( -1) = -I, s(]) = 1.
Quindi s(l-I,]]) = { -1, l}. Ciò è assurdo perché [-], I] è connesso mentre {-], 1 }
è sconnesso.
Il. Se t=/=O allora Xt è un'iperbole equilatera, che ha due componenti connesse e quindi
non è omeomorfa a R che è connesso. Se t = O allora Xo = Tx U Ty è l'unione degli
assi coordinati: X\ {O} ha quattro componenti connesse mentre, per ogni a E R, R\ {a}
ha due sole con1ponenti connesse. Quindi non può esistere un omeomorfismo di Xo
su R.
12. (a) Nessun punto sconnette SI, mentre l'origine sconnette X.
(b) X\ {O} ha due componenti connesse omeomorfe a R mentre, per ogni x E I, 1\ {x}
è connesso oppure ha due componenti connesse ognuna delle quali è omeomorfa a
un intervallo aperto da una parte e chiuso dall'altra e quindi non a R. (cfr. esempio
11.14(1 ».
16. A, C e D.
17. B c G Y .
18. A e D.
19. B, D e E.
 12
1. Sia Y = U Kj, Kj sottoinsiemi connessi per archi di X tali che n Kj =/= 0, e sia
JEJ jeJ
x E n Kj. Siano y, z E Y due punti qualsiasi. Esistono À, Il E J tali che y E K).,
JEJ
z E KJ1.. Poiché K). e KJ1. sono connessi per archi c x E K). n KJ1. esistono archi
a : I  K)., b: I  KJ1.
tali che
a (O) = y, a ( 1) = x = b( O) , b( l ) = z.

Risoluzione degli esercizi
379
L'applicazione c : I ---+ Y definita da:
I
se O < t < -
- - 2
l
se - < t < 1
2 - -
{ a(2t)
cCt) =
b(2t - 1)
è un arco In Y di estremi y e z.
3. Sia p E X un punto qualsiasi; poiché X è connesso sarà sufficiente dimostrare che
Ca(p) è un insieme aperto e chiuso in X. Sia q E Ca(p); sia U un intorno connesso per
archi di q e sE Ca(p)nu. Esiste un arco a: I ---+ U tale che a(O) = s, a(l) = q; quindi
ssq in U, e a maggior ragione ssq in X. Poiché pss segue che psq, cioè q E Ca(P).
Sia ora q E Ca(p); per la locale connessione per archi di X esiste un intorno U di q
connesso per archi; quindi U C Ca(q) = Ca(p) e quindi Ca(p) è aperto.
 20
5. Consideriarno il caso n = 2. Le semi sfere aperte di S2:
Li = {x E S2 : XI > O}, L2 = {x E S2 : x2 > O}, L3 = {x E S2 : x3 > O}
vengono mandate da p omcomorficamente su altrettanti aperti di p2 che ricoprono p2.
Precisamente p(Ld = Ui = {[x] = [XI, X2, X3] : Xi fO}. Definiamo un'applicazione
..,
<PI : U I ---+ R'"
( X2 X3 )
cpIClx]) = ì .., ' .., .., '
V x- + '1'2 + X'" V x- + x2 + x'"
I """2 3 l 2 3
<p l è un omeomorfìsmo di U I sul disco aperto D 2 perché la composIzIone <p l . P :
LI ---+ R 2 coincide con la proiezione P23 sul piano XI = O, che è una carta locale in S2
(perché inv ersa della parametrizzazione di Monge definita dalla funzione f : D 2 ---+ R,
f(u,v)= V l-u 2 -v 2 ). Quindi (UI,<pt) è una carta locale in p2. Similmente sono
carte locali (U2, <P2) e (U3, <P3), dove:
cP']. : U2 ---+ R 2
( XI X3 )
<P2([X]) = .., , ')
V x- + x2 + x2 V x'" + x2 + x2
I 2 3 l 2 3
e
<P3 : U3 ---+ R 2
( XI X2 )
<P3([X]) = , .
V x 2 + x2 + x2 V x2 + x2 + x2
l 2 3 l 2 3
Resta da verificare che queste carte sono differenziabilmente compatibili. Ciò segue
dall'esserlo le corrispondenti carte locali su S2 : (L3,P12), (LI,P23), (L2,P13). Oppure

380
Risoluzione degli esercizi
può essere verificato direttamente. Ad esempio <p I (UI n U 2 ) = D 2 n A, dove A = {( u, v) E
E R 2 : ufO}, e si ha
- I D 2 A R 2
<P2 . <P I: n ---t
l<P2 . 'PIO l J(u, v) = ('yl I - u 2 - v 2 , v)
che è un' applicazione differenziabile.
Quindi {CUr,'P)),(U2,'P2),(U3,<P3)} è un 2-atlante differenziabile su p2 che è una
superficie differenziabile.
Nel caso generale n  3 la costruzione di un n-atlante differenziabile su pn è simile.
6. Nessun intorno di (O, O) in XY = O è omeomorfo a un intervallo perché l'origine lo
disconnette in almeno quattro componenti connesse.
7. È sufficiente verificare che la composizione di f con l'applicazione differenziabile g
è l'identità di R 2 , dove g(x, y, z) è detìnita in ciascun caso come segue:
( y - Z )
(a) g(x, y, z) = x,----z-
(b) g(x, y, z) = (, y - x )
( c) g (x, y, z) = (y + z2 , z)
( d ) g (x, y, z) = (y - l, z)
( ) ( ) = ( ln(x) + ln(z) ln(x) - ln(z» )
e g x, y, z 2' 2 .
 23
3. Sia {Ui, 'Pi hEI un atlante olomorfo In X. Per ognI , j E I tali che Ui n Uj 1= (/)
l'applicazione
<Pj . <pi I : <Pi(Ui n Uj)  C
essendo olomorfa, è anche 0 00 , quindi X è una varietà differenziabile. Siano u e v
rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di <Pj' <pi l. La matrice jacobiana
ha determinante
") ?
( : r + ( : r
il quale è positivo in ogni punto per l'olomortìa dell'applicazione inversa di <Pj' <pi I.
 32
5. K(t) =
a-I cosh (D
( 1 + sinh G Y Y

Risoluzione degli esercizi
381
6. cCt) = (-be bt sin(t), be bt cos(t)).
]
7. (a) T = (0,0, -1), N = (-1,0,0), B = (O, l,O), K = 2, T = -3; raggio di curvatura: 2'
centro di curvatura: (, O, I ); piano osculatore: Y = O.
(b) T = (O, O, I), N = (- 5s , - Js , O ), B = ( Js , - 5s , O ), K = V5. T = O; plano
osculatore: X - 2Y + I = O; centro di curvatura: (, , O ) .
(c) T= (  ,  ,o), N= (- V; , V; , V; ), B= ( '7 ,- '7 , '7 ); K=vf
l . O d " ( 1 l 2 )
T = 2:; plano osculatore: X - Y + Z = ; centro l curvatura: - "3' "3' 3" .
d T- ( J3 V3 /3 ) N= (   - ) B- ( -   ) K=
() - 3' 3 ' 3' J42' J42' J42' - y'14' JT4' y'14 ,
JT4 3 . ( 5 25 15 ) . 5
= 3y'3 ' T = 7; centro dI curvatura: 7' 21' -14  plano osculatore: 3X+2Y+Z+ 6 = O.
 35
3 l 3 l l] l l
4. E = 2' F = 2' G = 2' £ = 4' .M = - 4' N = 4' K = O, H = 4' k j , k 2 = 2:' o.
N = ( -, -,  ), piano tangente: y"i(X - I) + y"i(Y - I) - 2(Z - y"i) = O.
- l
5. E = 2, F = -l, G = 2; £ = 1, M = O, )J = - l, K = - 3"' H = O,
( 1 l 1 ) . l
N = - y'3 ' /3 ' y'3 ; plano tangente: -X + Y + Z + "3 = O.
6. E = l, F = O, G = l, £, = l, M = O, N = 1, K = l, H = 1; plano tangente: Y = O
k] = k2 = 1 (è un punto ombelicale).
l
k l, k2 = 1: V3 .
 41
6. Sia U un aperto di R n tale che V = U n R: e sia f : R n ---+ R la funzione del lemma
29.2 relativa a U e K. La restrizione g di faR: è la funzione cercata.
 43
5.
116
15
6. 27rr 2 - 4r 2 .

Bibliografia
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THORPE J.A., Elemenlary Topics in J)ifferential Geol1zetry, Springer, Berlin 1979.

Elenco dei simboli
Dr(x)
N(x)
/;s, (l.d)
isV'd)
Qr(x)
Q2
R(a, b c, d)
R.2
Nr(x)
D 2
Jb
Qn
R( 3, b)
R. n
An
Int(S)
Est(S)
Fr( S)
S
D(S)
VeS)
C (X, Y)
c YO
XY
OIneo(X)
il disco aperto di centro x e raggio r 5
il sistema degli intorni di x 15
la topologia degli intervalli illimitati a sinistra (a destra) 17
la topologia degli intervalli aperti a sinistra (a destra) ] 7
il quadrato aperto con lati paralleli agli assi di centro x e raggIo r 18
la famiglia dei quadrati aperti con lati paralleli agli assi 18
il rettangolo aperlo con lati paralleli agli assi 18
la famiglia dei rettangoli aperti con lati paralleli agli aSSI 18
il quadrato aperto con diagonali parallele agli assi di centro x e
raggIo r 21
la famiglia dei quadrati aperti con diagonali paraHcle agli assi 21
famiglia di semipiani aperti di R 2 21
la famiglia degli n-cubi aperti di R n con lati paralleli agli aSSI 22
pl urirettangolo aperto di R n 22
la famiglia dei plurirettangoli aperti di R n 22
famiglia di semispazi aperti di R n 22
l'interno di S 24
l'esterno di 5' 24
la frontiera di S 24
la chiusura di S 27
il derivato di S 27
il sottoinsieme algebrico di K n definito da S 31
l'insieme delle applicazioni continue di X in Y 34
l'applicazione costante di valore Yo 35
X è omeomorfo a Y 37
l'insieme degli omeomorfismi di X in sé 38

386
811.
An
I j .')
I
In
D n
sn l
sn 1 sn l
+
!!1 n
PQ
K(S)
sn -- l (X, r)
7r c :H
71"+
T n
Tp
E
X/p
p(/)
pn (R)
pn (C)
r j
Ln, Ln.r
d(x, F)
8(/,g)
C(p)
Xl II X2
C a (p)
lo  Il
lo rel A Il
Ig
71"1 (X, Xo)
[I)
I*g
l°
1/;*
eX, xo)
v( F)a,
Elenco dei simboli
il gruppo delle traslazioni di R n
il gruppo delle omotetic di R n
la restrizione di f a S
l'interva110 unitario chi uso lO, 1) di R
l'n-cubo di R n
l' n-disco unitario chiuso di R n
l' (n - ] )-sfera unitaria di R n
le (n-l)-semisfere (o (n-l)-calotte) chiuse
l' n-simplesso di R rt
il segmento di eSlrenli P e Q
l'inviluppo convesso di S
la (n -- 1 )-sfera di centro x c raggio r
la proiezione di centro c sul piano H
la proiezione stereografìca
il toro n-dill1ensionale
la topologia quoziente rispetto a p
r insieme quoziente di X modulo la relazione di equivalenza p
la relazione di equivalenza definita da un' applicazione I
lo spazio proiettivo reale di dimensione n
lo spazio proiettivo complesso di dimensione n
il grafico dell' applicazione f
semispazi aperti di R n
la distanza del sup (o della convergenza uniforme) tra f e g
la componente connessa di p
la somma topologica di Xl e X 2
la componente connessa per archi di p
lo è onlotopa a I l
lo è omotopa a Il relativalnente ad A
gli archi I e g sono equivalenti
l'insieme delle classi di equivalenza di cappl di base XQ
la classe di equivalenza del cappio I
la composizione dei cappi f e g
l' omomorfismo indotto da 1/;
spazio topologico puntato
la derivata direzionale di F In a nella direzione v
38
39
44
46
46
46
46
46
46
46
47
47
56
57
66
72
73
74
74
82
84
100
109- ] O
116
123
128
131
136
142
142
145
145
145
]45
147
151
163
]74

Elenco dei sinlboli
8F (a)
BUj
C(k), C(oo)
dim(X)
Gr.N
£(X,p)
Tp(X)
f*r
J f (p)
vol(R(a, b)
VF
grad(F)
V.W
T(X)
supp(p)
8 k (t)
{b1,...,b N }
K, l , . . . , Kn l
K(t)
cCt)
K, T
p(XI , X2)
Ix(-,-),Ix(-)
E, F, G
A(S)
D
).(
\7w, \7w
N
1
L
II( -, -)
£, M, N
K(e)
SI
x
K(x)
H(x)
DyZ
PSL 2 (R)
la j-esima derivata parziale di F in a
la dimensione della varietà X
la grassmanniana degli r-sottospazi di R N
l'insieme delle funzioni reali definite in qualche intorno di p E X
lo spazio tangente a X in p
il differenziale di f in p
la matrite jacobiana di f In p
il volume del plurirettangolo R(a b)
il gradi ente della funzione F
il prodotto scalare dei campi vettoriali V e W
il ti brato tangente a X
il supporto della funzione p
il k-esimo spazio osculatore
la base mobile di Frenet
le curvature della curva Q
la curvatura di una curva piana nel punto t
i 1 centro di curvatura
curvatura e torsione di una curva di R 3
la distanza intrinseca di x I da X2
la prima forma fondamentale
i coefficienti del1a prima forma fondamentale
l'area della superficie elementare S
il disco iperbolico
il semi piano di Poincaré
deri vata rispetto al vettore w o rispetto al campo vettori aIe W
i l campo dei versori normali
l'applicazione di Gauss
l'operatore forma (o di Weingarten)
la seconda forma fondamentale
i coefficienti della seconda forma fondamentale
la curvatura normale nella direzione (e)
la curvatura gaussiana di S in x
la curvatura nledia di S in x
la derivata covariante di Z rispetto ad Y
387
174
174
177
188
]90
19]
195
198
23]
238
240
241
24]
243
256
256
257
263
263
264
275
275
278
280
287
287
288
289
289
290
291
291
292
293
295
295
314
327

388
T t (V")
FG
T *(V")
1\ r (V")
Alt( F)
F 1\ G i) prodotto esterno di F e G
1\ *(V") l'algebra esterna (o algebra di Grassmann) di V
VOI(VI, . . . , v n ) il volume n-dimensionale orientato di (VI,".' V n )
R n R n Rn I
+, -, o
lo spazio degli r-tensori su V
il prodotto tensoriale di F e G
l'algebra tensoriale di V
lo spazio degli r-tensori alterni su V
ax il bordo di X
w 1\ 
dF il differenziale di F
fw
X
L(O)
A(X)
K(S)
dw
HDR(X)
la lunghezza di C
l'area di X
la curvatura totale di S
il differenziale esterno (o derivata esterna) di w
l' r-esimo gruppo di coomologia di De Rham di X
Elenco dei sbnboli
332
332
332
334
335
336
338
343
345
346
354
354
360
363
363
365
365
369

Indice analitico
Affinità, 38
complessa, 40
dirette, 39
Algebra:
di Grassmann, 338
esterna, 338
tensoriale, 333
Aperto, vedi Insieme aperto; Sottoinsieme aperto
Apparato di Frenet, 259, 266
Applicazione(i):
aperta, 37
chiusa, 37
compatibile con una relazione di equivalenza, 75
conforme, 287
continua, 3, 34
di classe C(k) o cro, 174
differenziabile, 178, 345
di Gauss, 289
indotta, 44
omotope, 142
periodica, 1 14
prodotto, 65
propria, 111, 2 I 6, 246
trasposta, 341
Arco(i), 135
di J ordan, 53
equivalenti, 145
Area di una superficie, 363
elementare, 280
Assioma(i):
di numerabilità, 16
di Hilbert, 324
di separazione di Hausdorff, 88
Atlante(i), 99
concordemente (discordemente) orientati, 202
differenzia bile, 177
con bordo, 346
massimale, 177
olomorfo, 207
orientato, 202, 350
Azione, 81
Base:
di intorni, 15
di una topologia, 12
locale, 15
mobile di Frenet, 256
Bordo di una a-varietà, 346
Calotta chiusa, 46
Campo:
di versori, 251
binomiali a una curva, 264
normali a una curva, 263-64
normali a una superficie, 289
vettoriale, 238, 349
differenziabile, 239, 288
su una curva, 251
su una superficie, 288
tangente, 288
Cappio, 145
Carta(e) locale(i), 99, 175
con bordo, 346
differenziabilmente compatibili, 175, 346
Catenaria, 274
Cella, 46
Centro di curvatura, 263, 265
Cerchio osculatore, 263, 265
Chiuso, vedi Insieme chiuso; Sottoinsieme chiuso
Chiusura, 27
Cicloide, 272
Cilindro, 66, 186,218,281,321
Circonferenza, 183, 203, 254
Componenti connesse, 128
per archi, 136
Congruenze, 39

390
Cono, 218, 284
Coordinate:
cartesiane, 212
cilindrichc, 212
locali, 176, 346
omogenee, 82
polari in R2, 212
polari (o sferiche) in Rl, 212
Cubica gobba, 269
Cubo, 46
Cu bo di Hil bert, 69
Curva(e):
adattata a un vettore, 198
a velocità unitaria, 253, 266
congruenti, 255-56
differenziabile, 179
di Peano, 234
piana differenziabile, 182
regolare, 252
Curvatura(e):
centro di, 263, 265
del semipiano di Poincaré, 322
di una curva, 259
di una quadrica, 302-07
di una sfera, 298
di una superficie di rotazione, 299
di una superficie rigata, 300
di un cilindro, 298
gaussiana, 295
media, 295
normale, 292
principali, 294
raggio di, 263, 265
totale, 365
Derivata:
covariante, 314
direzionale, 173
di un campo vettoriale, 251, 288
esterna, 365, 368
parziale, 174
Derivato, 27
Diffeomorfismo, 175, 178, 345, 348
che mantiene (o cambia) l'orientazione, 278, 350
locale, 208
Differenziale:
di una funzione, 354
di un morfismo, 195, 348
esterno, 365, 368
Dimensione di una varietà differenzia bile, 177
con bordo, 347
Direttrice, 218
Direzioni principali, 294
Disco:
aperto, 5
iperbolico, 287
unitario chiuso, 46
Indice analitico
Distanza( e), 3
del sup (o della convergenza uniforme), 123
discreta, 4
euclidea, 4
intrinseca, 275
topologicamente equivalenti, 7
Dominio a frontiera regolare, 35 I, 352
Elica:
circolare, 254, 269
su una curva piana, 272
Elicoide, 307
Ellisse, 271
Ellissoide, 226, 302
Equazioni parametriche, 2 I 7
Equivalenza:
di atlanti differenziabili, 177, 346
omotopica, 142
topologica, 37
Estensione continua, 44
Esterno, 24
Estremi di un arco, 135
Evoluta, 272
Famiglia localmente finita, 116
Fibrato tangente, 241
Fibre, 36
Finestra di Viviani, 365
Fiore ad n petali, 133
Flesso, 263
Forma:
di area, 363
differenziale, 354
chiusa, 368
differenziabile, 357
esatta, 368
di lunghezza, 362
di volume, 355, 363
fondamentale:
prima, 275
seconda, 291
Ì1TImagine inversa, 356
lTIultilineare, 332
Formula(e):
del cambiamento di variabili, 359
di Brioschi, 318
di Frenet, 259
di Green nel piano, 370
Fron tiera, 24
Funzione(i) :
coordinate, 174
di un campo vettoriale, 239
di classe C(k) o C oc, 174
differenziabile, 178, 345, 348
di transizione, 176

Indice analitico
G-insieme, 8]
G-spazio, 82
Generatrice, 218
Geodetica, 319
massimale, 320
Geometria:
intrinseca, 277
non euclidea:
ellittica, 326
iperbolica, 326
Gradiente, 240
Grado di un rivestimento, 162
Grafic6:
di una funzione, 182
di un'applicazione, 100
Grassmanniana, 188
Gruppo:
di coomologia di De Rham, 369
di Lie, 227
di monodromia, 167
fondamentale (o primo gruppo di omotopia),
149, 150
del cilindro, 157
del toro, 157
di pn, 168
di SI, ]56
di S 1/, 160
lineare, 58, 81
ortogonale, 58, 110, 226
simplettico, 59
topologico, 80
unitario, 6, 59
Ideale, 31
Identificazione, 72
Immersione, 213
Inclusione:
continua, 44
differenziabile, 214
naturale, 214
Incollamento di applicazioni, 44
I nsielne(i):
algebrico, 31
aperto, lO
ben ricoperto, 162
coordinatizzato, 176, 346
di livello, 36
Integrale di una fOrIna differenziale, 359-60
Interno, 24
Intorno, 15
Invarianti metrici di una curva, 256, 258
Inviluppo convesso, 47
Iperbole, 271
lperboloide:
ellittico (a due falde), 226, 303
iperbolico (a una falda), 226, 305
391
Iperpiano(i):
affini, 36
paralleli, 36
all 'infinito, 83, 85
Ipersuperficie:
algebrica, 224
differenziabile, 182
Isometria(e), 9, 39
dirette, 39
di superfici, 275
locale, 288
Lemlna:
di Sard, 238
di sollevalnento dell' omotopia, 155
di U rysohn, 93
Logaritmo naturale complesso, 54
Lunghezza:
di una curva, 252
di una I-varietà orientata, 363
Matrice(i):
di transizione, 194
jacobiana, 198
simmetriche, 226
Metrica:
iperbolica, 287
riemanniana, 285
stereografica, 286
Monodromia, 166
Morfismo, 178, 348
Multiindice, 333
Nastro di Moebius, 80, 203
Numero di Lebesgue, 118
Omeomorfismo, 9, 37
locale, 60
Omotetia, 39
Omotopia, 142
relativa, 142
Operatore:
di chiusura, 33
di interno, 34
di W eingarten, 290
forma, 290
Orbita, 8]
Orientazione, 202, 350
indotta da una a-varietà sul bordo, 350-51
Parabola, 271
Paraboloide:
ellittico, 226, 304
iperbolico, 306

392
Parametrizzazione:
di Monge, 182
in RN, 181
Parte interna di un nUlnero reale, 234
Partizione dell'unità, 243, 351
Piano(i) :
affini, 36
geodetiche del, 320
normale:
a una curva, 264
a una superficie, 292
osculatore, 256, 265
proiettivo:
complesso, 84
reale, 82, 205
rettificante, 264
Plurirettangolo (aperto), 231
Poligonale, 49
chiusa, 49
senlplice, 49
Poligono convesso, 53
Prodotto:
di cappi, 145
di varietà differenzia bili, 186
esterno, 336
scalare di due campi vettoriali, 241
tensoriale, 332
topologico, 62, 66, 69
Proiezione(i), 9, 56, 64, 69
naturale (o canonica), 74
di Sn su pII, 83
stereogra fica, 57, 58
Proprietà:
delI'intersezione finita, 104
di separazione, 88
funtoriali:
del gruppo fondamentale, 151
della coomologia di Re Rham, 369
intrinseche, 277
nletriche di una curva, 256
topologica, 37
universale dei rivestimenti universali, 170
universale del prodotto topologico, 65
Pseudosfera, 300
Punto(i) :
aderente (o di aderenza), 27
connessi, 128
critico, 221
di accumulazione, 27
di frontiera, 24
ellittico, 296
esterno, 24
iniziale e finale di un arco, 135
interno, 24
iperbolico, 296
Indice analitico
limite, 27
ombelicale, 294
parabolico, 296
planare, 295
regolare, 221
Quadrato aperto, 18, 21
Quadrica(e), 224
a punti ellittici, 302-04
a punti iperbolici, 304-07
non degenere, 224
Radicale di un ideale, 31
Raffinamento, 116
Raggio di curvatura, 263, 265
Rappresentazione parametrica, 216
Restrizione, 44
Retrazione, 158
Retta(e):
affini, 36
iperboliche, 326
proiettiva:
complessa, 84
reale, 82
tangente, 256
Rettangolo aperto, 18
Ricoprimento, 14
aperto, 45
chiuso finito, 45
Riflessione iperbolica, 329
Rigata delle tangenti (o tangente), 284
Riparametrizzazione:
di una curva, 252
di una superficie elementare, 278
Ritratto, 158
Rivestimento, 162
universale, 168
Saturazione, 72
Scoppiamento (o trasformazione monoidale) di
R2 in O, 230
Semipiano di Poincaré, 287, 322, 326
Semisfera chiusa, 46
Semi spazi chi usi, 345
Sezione normale, 292
Sfera, 46, 99, 185, 200, 223, 321
di Riemann, 85
Similitudine, 39
Simmetrie, 39
Simplesso, 46
Sistema(i) :
di coordinate locali, 175
orientati concordemente (discordemente), 202
(fondamentale) di intorni, 15
Solido convesso, 46

Indice analitico
Sollevamento, 154, 163
Somma topologica, 131
Sottobase, 14
Sottoinsieme:
algebrico, 31
aperto, 5
che sconnette uno spazio topologico, 132
chiuso, 26
compatto, 101
connesso, 125
connesso per archi, 135
convesso, 46
denso, 30
di misura nulla, 231, 233
discreto, 60
limitato, lO
relativamente compatto, 110
saturo, 72, 74
sconnesso, 125
Sottospazio(i) :
affine, 36
metrico, 4
topologico, 43
affinemente equivalenti, 47
congruenti, 47
simili, 47
Sotto successione , 17
Sottovarietà:
aperta, 178
differenziabile, 213, 348
di R N, 181
Spazio(i) :
ambiente, 4, 43
duale, 332
isometrici, 9
metrico(i), 3
completo, 120
omeomorfi, 9
totahnente limitato, 120
osculatori, 256
proiettivo:
complesso, 84, 114, 207
reale, 82,99,101,110,187
tangente, 191, 348
affine, 197
topologico(i), IO
banale, Il
compatto, 101
compatto per successioni, 117
connesso, 125
connesso per archi, 135
di Hausdorff, 88
di prima cetegoria, 122
discreto, Il
393
di seconda categoria (o di Baire), 122
localmente compatto, 114
localmente connesso, 133
localmente connesso per archi, 139, 167
localn1ente semplicemente connesso, 170
metrizzabile, Il
nonnale, 91
numerabilmente compatto, 117
omeon10rfi, 37
omotopicamente equivalenti (o dello stesso
tipo di omotopia), 143
ottenuto identificando un sottoinsieme a UD
punto, 76
paracompatto, 116
prodotto, 62, 66, 69
puntato, 163
quoziente, 74
rispetto all'azione di un gruppo, 82
regolare, 90
sconnesso, 125
semplicemente connesso, 150
separabile, 30
TI, 89
T 2 , 88
topologicalnente equivalenti, 37
totalmente sconnesso, 132
Spirale logaritmica, 274
Stabilizzatore, 81
Strisce aperte, 19
Struttura:
complessa, 207
di varietà differenziabile, 177
topologica, IO
Successione(i), 17
di Cauchy, 120
in uno spazio TI o in uno spazio di HausdorfC
89-90
Sumlnersione, 221
Superficie(i):
differenziabile, 178, 182
di Riemann, 207
di rotazione, 218, 282
elementare, 278
isolnetriche, 275
locahnente sviluppabile, 282
n1inima, 296
riemanniana, 285
rigata, 218, 284
romana di Steiner, 219-20
sviluppabile, 282
Suppono:
di una forma differenziale, 357
di una funzione, 243
di uno spazio lopologico, lO

394
Tensore, 331
alterno, 334
decomponi bile, 333
Teorema:
della divergenza, 37]
della funzione inversa, 207
del punto fisso, 132
di Baire, 122
di Bolzano- W ei erstrass, 104
di Brouwer, 158, 374
di Heine-Borel, 102
di Meusnier, 308
di Rodriguez, 294
di sollevamento degli archi, 164-
di sollevamento dell' omotopa, 164
di Stokes, 369
in R3, 371
di Tychonoff, 107
di Withney, 249
Egregium, 316
fondamentale:
dell'algebra, 111,160,211
del calcolo, 370
Termine di una successione, 17
T opologia, lO
banale, Il
cofinita, 12
della convergenza puntuale, 69
della convergenza uni forme, 123
differenziale, 179
discreta, Il
di Zariski, 32
euclidea, Il
generata da una famiglia di sottoinsiemi, 23
Indice analitico
indotta:
da un'applicazione, 39
da una distanza, Il
su un sottoinsieme, Il, 42
meno fine, 12
naturale, Il
più fine, 12
prodotto, 62, 66, 69
quoziente, 72
relativa, 42
Toro, 66, 99,110,187,201,217
Torsione, 264
Traslato, 36
Valore:
critico, 210, 221
regolare, 210, 221
Varietà:
diffeomorfe, 179
differenziabile, 177
con bordo, 346
senza bordo, 346
orientabile (non orientabile), 202, 350
orientata, 203, 350
topologica, 99
Velocità di una curva, 252
Veuore:
esterno, 353
interno, 353
tangente, 191, 348
velocità, 195
Volume:
di una varietà, 363
di un plurirettangolo, 231
n-dimensionale, 343