Б. Е. ПОБЕДРЯ
ЛЕКЦИИ
ПО
ТЕНЗОРНОМУ
АНАЛИЗУ
Издание третье, дополненное
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР в качестве учебного
пособия для студентов вузов, обучающихся
по специальности «Механика»
I НЕ БОЛЕЕ iИ КНИГИ В
\ ОДНИ РУКИ И 2ХВДВЕ !
К.0ЛОХ2А
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1986

УДК 152.972
Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу: Учеб. посо-
пособие. — 3-е изд. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. — 264 с.
Цель пособия — ознакомить начинающих с основами совре-
современного тензорного анализа, необходимыми для усвоения кур-
курсов аналитической механики, механики сплошной среды, теории
оболочек, теоретической фнзнкн, теории относительности. Даны
синтез алгебраического и геометрического описания тензорного
аппарата, теория тензорных функций и операторов, основы тео-
теории внешних форм Э. Картана, теории кривизны пространства,
представление тензоров третьего н четвертого рангов. В третьем
издании исправлены неточности, введён материал по теории
дифференцирования тензорнозначных функций по тензорному
аргументу и по времени, рассмотрены анизотропные тензорные
функции. В книге имеется большое число упражнений.
Для студентов физико-математических специальностей вузов.
Бнблногр. 15 назв. Ил. 18.
Рецензент:
кафедра механики сплошной среды
Ташкентского государственного
университета
1702040000—138 ,,р „. © Издательство Московского
077@2)—86 университета, 1986 г.

Предисловие к третьему изданию
С момента выхода в свет первого издания книги
прошло более десяти лет. За это время область при-
применения тензорного исчисления значительно расши-
расширилась. Сейчас практически в каждой монографии и
учебном пособии по механике и теоретической физи-
физике используются тензорные обозначения. Правда, ис-
используются по-разному, и с помощью индексов, и в
так называемой прямой, безындексной записи. ч При-
Применяются криволинейные координаты, а некоторые
авторы обходятся только прямоугольной декартовой
системой координат.
Данная книга предназначена начинающему. Из-
Изложение основ тензорного анализа начинается, что
называется, «с нуля». От читателя требуется только
умение дифференцировать и знание основных поло-
положений аналитической геометрии. А вот закончить чте-
чтение каждый может в зависимости от необходимости,
ибо, несмотря на совершенно элементарное начало,
книга содержит и некоторые «серьезные» вопросы тен-
тензорного анализа.
Настоящее издание дополнено главой, посвящен-
посвященной тензорным функциям в трехмерном евклидовом
пространстве. Потребность в изложении этого вопро-
вопроса в учебной литературе назрела давно. Автор — сви-
свидетель того, что даже на экзамене кандидатского ми-
минимума многих аспирантов ставит в тупик вопрос:
«Откуда следует, что симметричный тензор второго
ранга имеет три независимых инварианта, а несим-
несимметричный — шесть?». Возможно, было бы интерес-
интересно включить в книгу и материал, относящийся к тен-
тензорным функциям в четырехмерном псевдоевклидовом
пространстве, важным в теории относительности. Од-
Однако это заставило бы увеличить объем пособия.
В третьем издании добавлены «некоторые литера-
3

турные указания» и значительно расширен предмет-
предметный указатель, В первой главе появился параграф,
посвященный группам преобразований. Исправлены
некоторые ошибки и неточности.
Рукопись четвертой главы внимательно прочитал и
ввел полезные коррективы В. В. Лохии, за что автор
ему весьма благодарен.
Предисловие ко второму изданию
Во втором издании к третьей главе добавлен па-
параграф, посвященный представлению некоторых тен-
тензоров третьего и четвертого ранга, наиболее часто
встречающихся в приложениях. Сделаны некоторые
добавления и в другие параграфы. В частности, вве-
введено понятие квазилинейных соотношений для анизо-
анизотропных сред. В приложении добавлены выражения
оператора Лапласа от компонент вектора и тензора
второго ранга.
Исправлены замеченные опечатки и неточности. На
некоторые из них автору указали сотрудники кафедр
теории упругости Московского и Ростовского универ-
университетов, за что автор им "весьма признателен.
Предисловие к первому изданию
Замечательный педагог-механик профессор МГУ
Андрей Петрович Минаков, получив от студентов
первого курса определение вектора как «отрезка,
имеющего определенную величину, направление и
точку приложения», любил приводить следующий
пример. Пусть мы стоим на-площади Маяковского
(имеем точку приложения). И пусть каждый час по
Садовому кольцу (рис. 1) пробегает а машин, а по
улице Горького, перпендикулярной Садово.му коль-
кольцу, — Ь машин (имеем определенную величину и на-
направление). Представим эти значения в виде векто-
векторов. Тогда, складывая эти векторы по правилу
параллелограмма, заключаем, что каждый час в
здание Концертного зала им. П. И. Чайковского
врывается У^а* + 6а маший. • Слушая протестую-

щие выкрики студентов, Андреи Петрович делал
логическое заключение: «Если хочешь быть векто-
вектором, научись складываться с подобным сеое по
правилу параллелограмма».
Этот пример, хотя и в шутливой форме, убедитель-
убедительно доказывает важность выяснения векторной приро-
природы физических, ве-
величин. В механике
кроме скаляров
(температура, мас-
масса, плотность веще-
вещества), векторов (по-
(поля скоростей, уско-
ускорений, силы) встре-
встречаются объекты бо-
более сложной приро-
природы.
Так, из теорети-
теоретической механики из-
известно, что для подсчета кинетической энергии систе-
системы N 'материальных точек, с массой тк каждая, не-
необходимо знать систему величин
Рис. 1
N
A)
где Хк' V=h 2, 3) — прямоугольные декартовы коор-
координаты материальной точки к. При i=j величина
31 ц называется моментом инерции относительно плос-
плоскости х'=0, а при 1ф\ — центробежным моментом
инерции.
Рассмотрим далее растяжение деформируемого
стержня силой Р, отнесенной к единице площади
стержня (рис. 2). В сечении / «напряженное состой-
ние» определяется только силой Р, действующей
нормально к сечению (ап=Р). В сечении.// напря-
напряженное состояние определяется двумя составляющи-
составляющими:
нормальной Од ==
Pcosa
1/cosa
Р cos2 a,
Psina P ¦ n
касательной т_ = ¦— = — sin za.
l/cos a 2
B)

Понятно, что физические законы не должны за-
зависеть от выбора той или иной системы координат,
хотя в их формулировку могут входить величины ти-
типа A) или B), изменяющиеся (так же как и компо-
компоненты векторов) при переходе от одной системы ко-
координат к другой- В таком случае говорят, что фи-
физические законы должны иметь ковариантную форму
записи.
Во всяком физическом соотношении все слагае-
слагаемые должны являться геометрическим объектом од-
одной и той же структуры (говорят «иметь один и тот
же тензорный характер») и иметь одну физическую
размерность. Предметом изучения тензорного анали-
анализа и является исследование инвариантных характери-
характеристик геометрических объектов физических величин
при переходе от одной системы координат к другой.
Тензорный анализ для механика — это математи-
математический аппарат, с помощью которого не только co-
coll /Л кращаются многочис-
~Z ленные выкладки, но и
Z концентрируется фи-
~^~ Р зическая идея, так как
Z использование тензор--
А
, . - ного анализа позволя-
[ ет отодвинуть на вто-
второй план сложную гео-
Рис 2 метрическую картину
физического явления.
Этот курс читался автором с 1968 г. в течение ря-
ряда лет на мехаиико-математическом факультете МГУ
как полугодовой специальный курс, предназначенный
для ознакомления студентов-механиков второго кур-
курса с основами тензорного исчисления, необходимыми
для усвоения курсов аналитической механики, меха-
механики сплошной среды и теоретической физики. Начи-
Начиная с 1971/72 уч. г. стал читаться обязательный годо-
годовой курс дифференциальной геометрии, и автор наде-
надеется, что настоящие лекции могут служить учебным
пособием по этому курсу и пригодятся всем желаю-
желающим самостоятельно изучить основы тензорного ис-
исчисления. Автор стремился дать синтез алгебраичес-
алгебраического и геометрического описания тензорного аппара-
аппарата, максимально приблизив его к нуждам механика.
Знакомство с механикой и теоретической физикой у

читателя ие предполагается, хотя некоторые понятия
автор пытался сформулировать так, чтобы читатель
сразу мог перенести их на язык кинематики сплошной
среды, теории оболочек и теории относительности.
Предлагаемые упражнейия в большинстве являются
необходимой составной частью курса, и их результа-
результаты используются в дальнейшем изложении. В главах
1 и 3 рассматриваются трехмерные пространства, а
в главах 2 и 4 — пространства произвольного числа
п-измереиий.
Автор считает своим приятным долгом выразить
благодарность чл.-кор. АН СССР И. И. Воровичу,
профессорам П. К. Рашевскому и М. А. Колтунову,
доцентам А. В. Михалеву и Л. М. Зубову, сделавшим
ряд ценных замечаний, доценту В. Н. Кузнецову за
оформление рисунков, а также сотрудницам кафедры
теории упругости МГУ Л. С. Харьковом и П. В. Тру-
пашовой за помощь при подготовке рукописи.

ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Ковариантные и контравариантные
координаты вектора
Из аналитической геометрии известно, что всякий
вектор на плоскости х1х2 (цифры 1, 2 над буквой х
означают индекс, но не степень!) можно разложить
на две составляющие по единичным векторам базиса
При этом числа а1 и а2 называются прямоугольными
декартовыми координатами вектора а (рис. 3).
Если осн координат х1 и х2 не являются взаимно
ортогональными, то вектор а можно задать двояко*
Рис. 3
Рис. 4
разлагая его, как и прежде, по единичным векторам
базиса A.Ц, т. е. числами а1 и а2, а также с помощью
ортогональных проекций вектора а на оси координат
'(рис. 4).
Введем теперь два вектора е\ и е2, вообще говоря,
8

различной длины, направленных соответственно *юд*'
и х2 (рис. 5). Тогда для вектора а справедливо соот-
соотношение A.1). Пара чисел а1, а2 определяет однознач-
однозначно вектор а. Поэтому эти числа могут быть назващл
координатами вектора а (контравариантными).
Рассмотрим скалярные произведения
•*¦-*¦'
Обозначим длину вектора Ь через \Ъ\. Тогда из A.2)
по определению скалярного произведения име'ем
A.3)
ot* .
Рнс. 5
Рис. 6
где а\х*—ортогональная проекция вектора а на ось
Xх. Из ;A.2) и A.3) имеем
aU«=-—-; а|*.=^-. A.4)
Таким образом, по числам а\ и а2 можно определить
ортогональные проекции вектора а на оси координат
и, следовательно, сам вектор а. Тогда величины at и
а2 тоже можно назвать координатами вектора а, в
9

отличие от предыдущих — ковариантными, В даль-
дальнейшем всегда контраварнантные компоненты векто-
вектора а по отношению к некоторому базису будем обо-
обозначать верхними индексами, а ковариантные — ниж-
нижними. " -
—>.-¦¦ -».
Рассмотрим три некомпланарных вектора ей ег,ез,
и пусть а — произвольный вектор в трехмерном про-
пространстве. Тогда
а = аЧх + а% + а% =^0.%. A.5)
Условимся всякий раз, когда в одночлене встречается
какой-нибудь латинский индекс дважды, один
раз вверху- и одни раз внизу, считать, что происходит
•суммирование по этому индексу от 1 до л (п — раз-
размерность пространства, в данном случае я=3), а знак
суммы опускать, т. е.
3
¦][а'«,зв'«, A=1,2,3). A.6)
При этом, если из изложения не ясно и требуется уточ-
уточнить, какие значения пробегает индекс суммирования,
значения этого индекса заключаем в круглые скобки,
как показано в A.6). Если же встречается дважды
греческий индекс, то суммирование по нему не
производится. Если нужно уточнить, какие значения
может пробегать греческий индекс, заключаем его
значения в угловые скобки. Например, выражение
о?.<а = *,2,3> A.7)
-¦¦
представляет собой составляющую вектора а по
осн Xй.
Индекс, по которому происходит суммирование,
называется немым индексом. Его можно, как и пере-
переменную интегрирования в подынтегральном выраже-
выражении, заменить любым другим индексом. Например,
т. д.
(сравните: \f(x)dx—\f(t)dt). Индекс, встречающий-
- 10

ся в одночлене один раз, называется свободным "У.
дексом. При правильном написании любого выраже-
выражения каждое его слагаемое должно иметь одни и те же
свободные индексы, стоящие на одном и том же ме-
месте (вверху или внизу).
Обратим внимание на порядок написания индек-
индексов. Из записи х) следует, что индекс i стоит на пер-
первом месте, а индекс / — на втором. Чтобы подчерк-
подчеркнуть это, иногда пишут х\). Если порядок следова-
следования индексов ясен или" не имеет значения, будем пи-
писать х).
Упражнение 1.1. Представить в полной записи
d*kiXaykzl (k, I- 1, 2, 3), <а= 1, 2). •
-#.
Вектор а в косоугольной системе координат опре-
определяется, таким образом, своими контравариантными
а' и ковариантными а,- компонентами
a = aleit a{=a-ei. A.8)
Рассмотрим теперь криволинейную систему коор-
координат о1, а2, а3. Для этого зададим радиус-вектор г
как дифференцируемую вектор-функцию от трех пе-
переменных
~т=г(а\ а2, а3). A.9)
Векторное соотношение A-9) равносильно трем ска-
скалярным:
х'=х1(п\ а2, а3). A.10)
На рис. 6 показана координатная сетка линий а1
и а2. Если мы дадим приращение радиус-вектору г по
координатной линии Да1, то
до,1 Да'-*0 Ав1
Следовательно, вектор ^ является вектором, ка-
сательным к линии а1. Таким образом, в каждой точ-
точке пространства можно рассмотреть тройку векторов
дг ' ¦ ,
-г-т> которые можно принять за векторы базиса
(или репера\, если они не компланарны. Это условие
выполнено, если в каждой точке

т. е.
—
дх*
да*
дх*-
dot
дх3
dot
дг
да*'
дх1
да*
дх*
да*
дх?
да*
1L\
да?}^"'
дх*
да?
дх?
да?
дх?
да*
A.12)
A.13)
По теореме о неявных функциях_в этом случае суще-
существует обращение формул A.10):
о'-аЧ*1, х\ х% A.14)
¦ = Х'/(или X) и
так что якобиевы матрицы
За/
dxi
= * / (короче, Y) являются взаимно обратными.
Таким образом, при выполнении условий A.13) в
каждой точке пространства существует связанный с
криволинейной системой координат базис
дг
A.15)
' который поэтому называется локальным. Если А,- —
тройка единичных векторов, то локальный базис е,-
связан с ней соотношениями
Упражнение 1.2. Найти якобиевы матрицы X'/ и
* У', и локальный базис е,- цилиндрической системы
координат
«'^a^osa2,
*2=a1sina2,
~*3.=a3. #
Упражнение 1.3. Найти матрицы X и У и постро-
построить локальный базис ei в сферической системе коор-
координат
12

*3=a1sina3. #
Итак, в каждой точке вектор a (a1, a2, a3) пред-
ставляется в локальном базисе е,- своими коитравари-.
аитиыми компонентами *
• a = a'— = a'7t. A.17)
За'
Его ковариантиые. компоненты согласно A.8) опре-
определяются следующим образом:
¦ a/^a.-^-^a-^a^.-iy. A.18)
Определим теперь матрицу
которая, очевидно, является симметричной. Она-назы-
вается фундаментальной матрицей. Определитель этой
матрицы g=det |g,/| согласно условиям A.12) или
A.13) отличен от нуля. Следовательно, существует
матрица gi!, обратная по отношению к gij:
?*?*>=V, A.20)
где 6/ — элементы единичной матрицы {дельта Кро~
чекера):
A.21)
1, -1 = 1 • .
Из формул A.18) и A19) устанавливаем связь
между ковариантными и контравариантнымл компо-
компонентами вектора а:
a,=a'gi/. A.22)
Умножая левую и правую части этого соотношеиия иа
glh и производя суммирование по /, получим, исполь-
используя (Д.20), соотношение, обратное к A.22):
ciigib^aK A.23)
13

Обратим внимание на мнемоническое правило сум-
суммирования величин с1" с дельтой Кроиекера &\ ис-
использованное при выводе соотношения A.23):
У компоненты а' следует заменить индекс, по кото-
которому происходит суммирование с дельтой Кронекера,
на ее свободный-индекс.
С помощью формул A.22), A.23) и определения
A.19) скалярное произведение двух векторов а и
Ь можно выразить, четырьмя различными способами:
a • Ъ=a'b'gu=a'bi=g^afa = щЫ. A.24)
Рассмотрим теперь тройку векторов е', получаю-
получающуюся из базисных векторов еи следующим образом:
~ei=gllei. A.25)
Умножая скал^рно левую и- правую части равенства
A.25) последовательно на векторы ек и ек, получим
е'-в*=в/*, A.26)
^i.^ = glk A27)
-*.
Следовательно, вектор е\ например, ортогонален к
-*• -»¦
векторам е2 и е3, а его скалярное произведение с век-
вектором в\ равно единице. Систему векторов е1, е2 и е^
называют базисом, взаимным (или сопряженным) с
базисом еи е% е3.
Упражнение 1.4. Доказать иекомплаиариость век-
торов е\ е2 и е3.
Упражнение 1.6. Показать справедливость форму-
формулы
е,=?«Д • A.28)
-»-
Рассмотрим какой-либо вектор а. Из соотношений
A.23) и A.25) находим, что
а = а'ё{=Oigi'et=а,-вЛ A-29)
Умножая скалярно вектор а на ек, из A.29) получив
14

a • ek =» a/el-ek=atgik=a*. A.30>
Итак, всякий вектор а может быть разложен как
по векторам базиса ei (тогда компоненты его разло-
разложения являются коитравариантными), Так и по век-
векторам базиса ё' (с ковариантиымн компонентами)
'a = aiei=aiel. A.31)
При этом ковариаитиые и коитравариантиые компо-
компоненты вектора а определяются как скалярные произ-
-». -*¦ -¦
ведения вектора а на базисные векторы ei и е' соот-
соответственно
ai=a-et; al=a-eX A-32)
Это оправдывает название базиса е1, е2, еъ как взаим-
-»•-»¦-»¦¦
цого по отношению к eXi e% е3.
Отметим существенную разницу этих базисов. Ес-
Если векторы ei связаны непосредственно с системой ко-
координат (являются касательными к координатным ли-
ниям), то векторы е1 вводятся формально по форму-
формулам A.25) и, вообще говоря, не являются касатель-
касательными векторами ии к каким координатным линиям
{неголономный базис). Формулы A.22) и A.23) по-
показывают, что с помощью матриц gt, и g'1 можно
опускать и поднимать индексы у компонент вектора.
Иногда говорят, что с помощью этих матриц проис-
происходит жонглирование индексами.
Упражнение 1.6. Показать, что в прямоугольной
декартовой системе координат
§ 2. Преобразование координат. Ковариантная
производная вектора
Наряду со старой криволинейной системой коор-
координат (а1, а2, а3) рассмотрим новую систему коорди-
координат (а1, а2, а3), связанную со старой соотношения-
м*и
• a'' = a1' (a1, a2, a»). -. B.1)
15

Предположим, что преобразование B.1) в каждой
точке обратимо
¦а*=:а'(а*\а?,аР). B.2)
Для этого потребуем, чтобы определитель якобневой
матрицы
A''j^-^г (i,/-1,2,3) B.3)
был отличен от нуля, т. е.
i4sdet|^',|^0. B.4)
Тогда существует матрица В1 у, обратная к матри-
матрице B.3), так что
A*',Blr=&r; ffj-АГ , = 6'7. B.5)
Матрица В1? является якобиевой матрицей преоб-
преобразования B.2).
Векторы нового локального репера определяются
согласно формуле A.13) следующим образом:
Отсюда следует, что при переходе от одной системы
координат к другой векторы репера преобразуются
по законам
Ъ'^В'с, B.7)
"* 'el = eeAi\. B.8)
Рассмотрим произвольный вектор* а
W1 'B.91-
В новой (штрихованной) системе координат имеем
а = ё%. B.10)
Сравним выражения B.9) н B.10) и воспользуемся
соотношениями B.7)
*e. B.11)
16 .

Так как' векторы в< линейно независимы, то
д! = В'ео?. ¦ B.12>
Умножим левую и правую части B.12) на А!\ и
просуммируем'пр i от 1 до 3.. Используя первое ра-
равенство B.5) и отмеченное в § 1 свойство символов-
Кронекера, получим
Ai\d = X'iBled' = ^'eoy = ai\ B.13)
т. е. ¦ '
а<' = А\а1. B.14)
. Таким образом, при переходе от одной системы ко-
ордин'ат к другой по закону B.1) контравариантные-
компоненты произвольного вектора преобразуются
по закону B.14) с прмощью якобиевой матрицы
B,3).
" Посмотрим, по какому закону преобразуютсй ко-
ковариантные компоненты вектора а. Согласно A.18) к
B.7) имеем
ay —a- ey — a • e0y, B.15)~
т. e. . -
ar = ajB>r. B.16)
Из формулы B.16) вндим, что при переходе от од-
одной системы координат к другой ковариантные компо-
компоненты- произвольного вектора а преобразуются совер-
совершенно по другому закону, нежели контравариаитные-
компоненты, а именно с помощью матрицы, обратной
и транспонированной по отношению к якобиевой мат-
матрице B.3) преобразования B.1). Заметим, что векто-
векторы репера B.7) преобразуются по тому же закону,
что и-ковариантные компоненты вектора а. Поэтому
векторы репера ei иногда называют ковариантным ба-
базисом системы координат.
Посмотрим, как преобразуются векторы взаимного*
базиса^ Для этого разложим по векторам этого бази-
базиса произвольный вектор а:
1=а7е1. B.17)-
В новой системе координат согласно B.16) имеем
17 |J«.r ,_

. B.18)
Сравнивая это выражение с B.17) и учитывая про-
произвольность вектора а (а поэтому и его компонент
л,), получим
? = BV?'- B.19)
Умножая B.19) на А''{, суммируя по i и учитывая
свойство символов Кронекера, получим
?' = Л''|Р. B.20)
Таким образом, векторы взаимного репера при пе-
¦реходе к другой системе координат преобразуются
так же, как и контравариантные компоненты векто-
-»-
ра а. Поэтому векторы взаимного репера иногда назы-
называют контравариантным базисом системы координат.
Теперь можно дать формальное определение ко-
вариантным и контравариантным компонентам век-
вектора. А именно, ковариантными компонентами векто-
вектора (или векторного поля) а называется система трех
чисел щ, определенная в каждой точке пространства
и в каждой системе координат, которая при переходе
•от одной системы координат к другой B.1) преобра-
преобразуется по формулам B.16). Аналогично определяются
и контравариантные компоненты вектора (для кото-
которых закон преобразования от одной системы коорди-
координат к другой задается формулами B.14)).
Величины, которые не меняются при переходе от
•одной системы координат к другой, называются ин-
инвариантными относительно преобразований B.1). На-
Например, скалярные величины являются инвариантны-
инвариантными. Примерами таких величин могут служить плот-
плотность вещества, температура, энергия, энтропия и т. д.
Инвариантными объектами являются и векторы. В са-
самом деле, нелепо было бы предположить, что от того,
что мы рассматриваем течение жидкости в той или
иной неподвижной системе координат, меняется ско-
-рость течения этой жидкости. Однако компоненты этой
скорости изменяются по установленным выше зако-
законам (см. формулы B.12) и B.16)).
Упражнение 2.1. Показать, что длина вектора а
13

B.9) является инвариантом относительно преобразо»-
ваний B.1).
Упражнение 2.2. Пусть ф(а:, а2, а3) — диффе-
дифференцируемая функция криволинейных координат а'.
Зф -
Доказать, что ее частные производные ~д~~Г преоб-
преобразуются при переходе от одной системы координат к
другой как ковариантные компоненты вектора.
Упражнение 2.3. Доказать, что дифференциал
функции <р(а', а2, а3) является инвариантом относи-
относительно преобразований B.1)
d<p da. (
да'
^ Упражнение 2.4. Доказать, что при преобразова-
преобразованиях B.1) величины Цц и gt!, определенные в § 1, пре-
преобразуются по законам .
&'!'¦= A'tAi'tgti, B.22)
ir. B.23)
v Упражнение 2.5. Доказать, что символы Кроне-
кера б'/ в любой криволинейной системе координат
имеют одни и те же значения. #
Образуем теперь частные производные от векторов.
Qe.
репера —4т и выразим их в виде линейной комби-
комбинации от векторов репера вк (т. е. разложим по век-
векторам базиса)
-§-=Ц?. B.24>
Величины Гцк * называются символами Кристоф-
феля 2-го рода. Они симметричны по нижним индек-
индексам в силу определения A.13):
Символы Кристоффеля можно~пайти по заданной1:
* Иногда в литературе обозначают Г^= I..L
19

матрице gt/. В самом деле, дифференцируя A.19),
имеем
Подставляя в правую часть B.26) обозначение
\B.25), получим
^ B.27)
Меняя последовательно местами .индексы i, k и /, k
& равенстве B.27), получим
^ B-28)
B.29)
Складывая теперь равенства B.28) и B.29), вычитая
равенство B.27) кг учитывая^ симметрию Гц по
лижним индексам, находим
ia-*f.. B.30)
Умножая левую и правую части B.30) на ~8
ги суммируя по k, из равенства A.18) получим
B.31)
' ¦ 2. \ да' dai да*
Отсюда видно, что, например, в прямоугольной де-
декартовой системе координат все символы Кристоффе-
~ля' Г'/ тождественно обращаются-в нуль.
Рассмотрим некоторый вектор а в прямоугольной
декартовой системе координат xk. Очевидно, что его
частные производные имеют вид
¦* да да1 ? ,п зд.
дх*
Таким образом,»«омпоненты вектора пк получаются
•частным дифференцированием соответствующей ком-

лоненты вектора а.
В криволинейной системе координат (а1, а2, а3)
векторы репера et различны в разных точках. Поэтому
?J^7 ^^7i + rrka<7m, B.33)
да* да*
т. е.
B-34)
Следовательно, в этом случае для нахождения компо-
¦ ~ - -».
ненты вектора аь необходимо знать все компоненты
вектора аГ
Величина, заключенная в скобки в выражении
B.34), называется ковариантной производной контр-
авариантных компонент вектора а и обозначается че-
через
!^ B.35)
В литературе встречаются и другие обозначения
s=am\k. B.36)
Формулу B.34) можно записать, таким образом, в
виде . 'ч •
Us-^- = rf».i. B.37)
По аналогии с B.37) определим ковариантную
производную Om,k ковариантных компонент вектора
а из формулы
. а*==ат./Я' . B-38)
Умножая скалярно на еп левую и правую части соот-
соотношений B.38), получим
'-$- .?. = «,,. B.39)
- 21

Продифференцируем частным образом равенство»
.0-18)
,_ 7/+о А. . (
^ даМ ' dak
Используя равенства B.39), B.24) и A.18), получии
-»^ . ~/,№ I — jrf lit /»"¦
откуда •
B.42>
Упражнение 2.6. Доказать справедливость соотно-
соотношений
-ёг=-г'^- B:43>
Упражнение 2.7. Доказать, что при преобразова-
преобразовании криволинейных координат B.1) символы Кристоф-
феля 2-го рода преобразуются по закону
^',. B-44>
Упражнение 2.8. Доказать, что для ковариант-
ных производных а\ь и ai<k справедливы формулы
жонглирования
a1 ,k = gimam,k; ai,k^gimam>k. B.45>
Упражнение 2.9. Доказать, что при преобразова-
преобразовании B.1) коварнантные производные a'j и а,-,, преоб-
преобразуются по законам
ai-,r = ffi'Bfrai!, B.46>
cfis-AWra',. B.47>
¦4 Упражнение 2.10. Доказать
Упражнение 2.11. Символами Кристоффеля 1-го
22

рода называются величины П/,« *, определенные сле-
следующим образом:
Tii,k = gkJ?r Г^*~ B.49)
Тогда нз B.30) следует
Нетрудно видеть, что символы Кристоффеля 1-го ро-
рода tij,k симметричны по индексам ij и
B.51)
Доказать, что
^ ¦ B.52)
Упражнение 2.12. Показать, что закон преобразо-
преобразования символов Кристоффеля 1-го рода при переходе
к другой снстеме координат B.1) таков:
flVfti- B.53)
Упражнение 2.13. Показать, что при переходе от
одной прямоугольной системы коордннат к другой
прямоугольной снстеме координат коварнантные н
контравариантные компоненты преобразуются по од-
одному закону, т. е.
al=aL. # B.54)
Поэтому для прямоугольной системы координат
будем предполагать суммирование по повторяющему-
повторяющемуся индексу, даже если он иапнсаи оба раза внизу,
например
a = aiki (t=l, 2, 3). ; B.55)
§ 3. Группы преобразований
Отметим одно важное обстоятельство, касающееся
«инвариантности» рассматриваемых величин. Для
этого заметим, что от преобразования B.1) мы требо-
* В литературе иногда обозначают Tij,k^[ij, k].
23

вали лишь его обратимости B.2), т. е. выполнения ус-
условий B.4). Назовем такое преобразование общим.
Однако иногда нам нужно рассмотрение преобра-
преобразований более частного вида.
Например, в случае, если функции а''(а1, а2, а8}
являются линейными, соотношения B.1) и B.2) мож-
можно записать соответственно в виде
C.2>
Упражнение 3.1. Показать, что если соотношения
C.1) и C.2) взаимообратны, то выполняются условия
B.4), B.5) и условия
Л''=— А^В'\ В<=—В'сА'.Ф C.3>
Преобразования C.1), C.2) называются аффин-
аффинными преобразованиями координат.
Можно рассмотреть различные частные случав
этих преобразований.
Так, полагая в C.1) и C.2):
Л<' = 0, В< = 0, C.4>
получим так называемые центроаффинные преобра-
преобразования.
Преобразования (З.Г), C.2) называются эквиаф»
финными, если
Л
где А определяется формулой B.4).
Преобразования C.1), C.2) называются унимо~
дулярными, если
А = \, 'C.6*
лреобразрваниями переноса (трансляцией), если
Ж, = **',, BV = *V- C.7)-
Если рассматривается прямоугольная декартова
система координат xl = xh х2=х2, хъ=хг и переход к
новой прямоугольной декартовой системе координат
xv = xy, х2'^=х2', ху = ху и обратно осуществляет-
ся с помощью преобразований
C.9>
24

причем справедливы условия
ftr-iV* C1°)
и C.3), то преобразования C.8), C.9) называются
ортогональными.
Множество М элементов называется группой, если
в М установлена операция, ставящая в соответствие
каждой паре элементов а, Ь^М некоторый элемент
сеЛГ. Результат этой операции (обычно называемый
умножением) обозначается через ab:
с=аЬ. C.11)
При этом выполняются следующие аксиомы:
1°. Ассоциативность: для всяких трех элементов
а, Ь, сеМ выполнено соотношение
' {ab)c = a(bc). C.12)
2°. В М имеется левая единица, общая для всех
элементов группы, т. е. такой элемент е, что
еа=а C.13)
для каждого элемента аеЛ1.
3°. Для всякого элемента аеЛ1 существует левый
обратный элемент, т. е. такой элемент а-1, что
. аг^а=е. . C.14)
Если кроме этих аксиом в группе выполняется еще
условие коммутативности, т. е. для всяких двух эле-
элементов а, Ь^М имеет место равенство
ab = ba, C.15)
то группа называется коммутативной, или абелевой.
Упражнение 3.2. Доказать, что квадратные матри-
матрицы 3-го порядка, определители которых отличны от
нуля (неособенные матрицы), образуют группу.
Упражнение 3.3. Доказать, что . преобразования
?2.1) при условии B.4) образуют группу, причем роль
единичного элемента играет тождественное преобра-
преобразование, а роль обратного элемента к преобразованню
J2.1) — преобразование B.2). ф
Подгруппой N группы М называется подмножест-
подмножество элементов группы М, которые образуют группу в
силу того же закона умножения, который имеет мес-
место в М.
Упражнение 3.4. Показать, что преобразования ви-
25

да C.1) образуют подгруппу группы преобразований
вида B.1), которая называется группой аффинных
преобразований (условия B.4) считаются. выполнен-
выполненными).
Упражнение 3.5. Показать, что преобразования ви-
вида C.1) прн условиях B.4), C.4) образуют группу,
которая называется группой центроаффинных преоб-
преобразований. ,
Упражнение 3.6. Показать, что преобразования ви-
вида C.1) при условии C.5) образуют группу, которая
называется эквиаффинной группой преобразований.
Упражнение 3.7. Показать, что преобразования ви-
вида C.1) прн условии C.6) образуют группу, которая
называется унимодулярной группой преобразованы.
Упражнение 3.8. Показать, что преобразования ви-
вида C.1) при условии C.7) образуют группу, которая
называется группой трансляций.
Упражнение 3.9. Показать, что преобразования ви-
вида C.8) прн условиях C.3), C.10) образуют группу,
которая называется полной группой движения в ев-
евклидовом пространстве #з, причем выполняется C.5)^
Упражнение 3.10. Показать, что преобразования
вида C.8) при условиях C.4), C.10) образуют груп-
группу /, которая называется полной ортогональной груп-
группой трехмерного евклидова пространства; она состо-
состоит из всех вращений и отражений в R$ (см. упражне-
упражнение 3.16).
Упражнение 3.11. Показать, что преобразования
C.8) при условиях C.4), C.10), C.6) образуют груп-
группу /о, которая называется собственной ортогональной
группой, илн группой вращения в R3.
Упражнение 3.12. Показать, что преобразования
*а' = Ха*а <<*= 1,2,3), C.16)
где ха — следующие наборы чисел (хь хг, из):
A, 1,1), (-1, 1, 1), A,-1, 1), A,1,-1),
.0.-1,-1), (-1, 1,-1), (-1,-1, 1), (-1,-1,-1),
C-17)
образуют группу О, которая является подгруппой
группы / и называется группой ортотропии.
Упражнение 3.13. Показать, что преобразования
вида
ху — хх cos ф + хг sin ф,
26

= —x2 sin ф + х2 cos ф, C.18)
где 0<ф<:я, образуют группу Ts, которая является
подгруппой группы /0 и называется группой трансвер-
сальной изотропии. #
В предыдущем параграфе было введено понятие
инвариантных величин относительно преобразований
B.1). Точно так же можно ввести понятие инвари-
инвариантных величин относительно преобразований C.1),
*3.8), C.16), C.18) и т. д.
Поэтому всякий раз, когда мы будем говорить об
инвариантности той или иной величины, мы будем
иметь в виду некоторую вполне определенную груп-
группу преобразований. Инвариант относительно общей
группы преобразований B.1) будем иногда называть
просто инвариантом.
' —>
Длина вектора а является инвариантом (см. уп-
упражнение 2.1), причем единственным для общей груп-
группы преобразований B.1). Однако относительно неко-
некоторых подгрупп этой группы вектор а может иметь
инвариантов больше одного.
Упражнение 3.14. Показать, что инвариантами от-
относительно группы преобразований -О (см. упражне-
упражнение 3.12) для вектора
a = uikl C.19)
являются величины
Iflil, М> Ы. C.20)
Упражнение 3.15. Показать, что инвариантами от-
относительно группы преобразований Г3 (см. упражне-
упражнение 3.13) для вектора "C.18) являются величины
Упражнение 3.16. Показать, что преобразования
<3.16), где ха — следующий набор чисел:
A, 1, 1), (-1, 1, 1), C.22)
образуют подгруппу группы О, которая называется
группой отражений относительно плоскости jci = 0.
Упражнение 3.17. Показать, что преобразования
iC.16), где Ха — следующий набор чисел:
27

A, 1,1), (-1,-1,-1), C.23>
образуют подгруппу группы О, которая называется
группой инверсии. ,
§ 4. Алгебра геометрических объектов.
Понятие тензора
Пусть в каждой системе координат (а1, а2,' а3) ив
каждой точке пространства задано 3n+m- чисел
Ф'-Ч,1....!т. D.1)
В этом случае будем говорить, что в пространстве
определен геометрический объект, или экстенси&~~C,
,порядка (валентности, ранга) (п+пг) с п контрава-
рнантными и tn ковариантнымн компонентами D.1).
Закон преобразования компонент геометрического-
объекта Q при новом выборе системы координат мо-
может быть весьма разнообразным. Примеры таких за-
законов см. в упр. 2.4, 2.7, 2.9, 2.12 и др. В частности,
если рассматривается геометрический объект 1-го по-
порядка и для его контраварнантных компонент спра-
справедлив закон преобразования B.14), то согласно опре-
определению, данному в § 2, такой геометрический объ-
объект называется вектором.
Рассмотрим алгебраические операции, производи-
производимые над геометрическими объектами.
1. Сложение. В сложении могут участвовать
два (или несколько) объекта (экстенснва) одинаково-
одинакового строения, т. е. число ковариантных (и контравари-
антных) компонент каждого слагаемого должно быть
одинаковым и, кроме того, одинаково чередование
коварнантных и контраварнантных индексов у каж-
каждого слагаемого. Например, суммой двух экстенснвов
Q и Р соответственно с компонентами Q'/*' и P'jkl на-
называется экстенснв S с компонентами S'/*', вычислен-,
ными по формулам
Si.ki=zq(jki + ptjki_ D.2)
2. Умножение на число. В результате ум-
умножения экстенснва Q с компонентами D.1) на число
а получается экстенснв Р с компонентами
-4.../m. D.3)
28

3. Произведение. Произведением двух эк-
стенсивов Q н Р произвольного строения, например
Qllk, Pm" называется экстенсив S, компоненты которо-
которого определяются следующим образом:
D.4)
Отсюда видно, что произведение экстенсивов неком-
некоммутативно. " • ¦
Заметим, что при сложении экстенсивов порядок
суммы равен порядку каждого слагаемого, при
умножении экстенсива на число его порядок не-
неизменяется. При произведении экстенсивов порядок
произведения равен сумме порядков сомножителей.
4. Подстановка индексов. Если у ком-
компонент некоторого экстенсива Q переставить произ-
произвольным образом один или несколько индексов, то по-
• лученные таким образом компоненты образуют неко-
некоторый новый экстенснв Р. Частным случаем подста-
подстановки индексов является симметрирование экстенси-
экстенсива по двум индексам
Операция симметрирования обозначается взятием
индексов,- по которым производится суммирование, в;
круглые скобки, т. е. нз D.5) следует
Piik = Q\m. D.6)
Если между индексами, участвующими в симметри-
симметрировании, стоят другие индексы, то их выделяют вер-
вертикальной чертой, например:
(S+S) D.7)
Операция симметрирования по трем индексам
определяется следующим образом:
= (Q + Qkn + Qiki + Qnk + Qkn + Qrt/). D.8)
Аналогично можно, определить операцию симметриро-
симметрирования по п индексам:
29

тде в правой части в скобках сумма я! членов с раз-
различными перестановками индексов.
Операция альтернирования или кососимметриро-
кососимметрирования экстеисива Р по двум индексам обозначается
взятием этих индексов в квадратные скобки и опре-
определяется следующим образом:
PmSS-L{Pkt-Ptk). D.10)
Аналогично определяется операция альтернирования
но п индексам (я>2):
тде в правой части в скобках стоит сумма nf/2 членов
со знаком плюс с четными подстановками индексов
•t"i, ..., in и я!/2 членов со знаком минус с нечетными
¦подстановками этих индексов.
5. Свертка. Операция свертки экстенсива мо-
может производиться только над экстенсивами, компо-
компоненты которых имеют не менее одного ковариантного
и одного контравариантного индекса. Свертка заклю-
заключается в замене одного ковариантного (контравариан-
(контравариантного) индекса на соответствующий контравариант-
ный (ковариаитный) индекс и проведения по повто-
повторяющемуся индексу суммирования от 1 до 3. В ре-
результате свертки порядок экстенсива уменьшается на
две единицы. Например, свертка экстеисива Q с ком-
компонентами Qijk по индексам /, k заключается в заме-
замене индекса / иа k (или индекса k иа /) и последую-
последующем суммировании
i i l D.12)
Скалярное произведение двух векторов, например,
содержит две операции: произведение двух экстенси-
зов и свертку.
¦ D.13)
Дадим определение тензора: если при переходе
ют одной системы координат к другой B.1) компо*
нёнты экстенсива D.1) преобразуются по закону
30

X Bh В1'. ... B^,df'Af, D.14)
ii /2 • in '"'"''"
то экстенсив Q — тензор относительно группы преоб-
преобразований B.1).
Экстенсив, являющийся тензором относительно
одной группы преобразований, может не быть тако-
таковым относительно другой группы преобразований.
Упражнение 4.1. Доказать тензорный характер ве-
величин gtf, g'l, б/', определенных в § 1. Таким образом,
величины gtj образуют так называемый фундаменталь-
фундаментальный тензор.
Упражнение 4.2. Определим экстеисив е с компо-
компонентами
О, если хотя бы два индекса совпадают,
+ 1, если все индексы различны и
образуют четную подстановку, D.15)
«*/* =
1, если все индексы различны и об-
образуют нечетную подстановку.
Доказать, что е является тензором относительно
группы /0 и не является тензором относительно бо-
более широкой группы / (см. упр. 3.10 и 3.11).
Упражнение 4.3. Доказать, что ковариантные про-
производные вектора а',; и а,-,; являются компонентами
тензора второго порядка.
Упражнение 4.4. Доказать, что частные производ-
За» да/ „ ^
ные —у и -—- не образуют тензора. О
Легко показать, что линейная комбинация тензо-
тензоров одного строения является тензором того же строе-
строения. В самом деле, пусть даны два числа а, р" (дей-
(действительных или комплексных) и два Тензора Т и Q
GV и Qi'). Тогда экстенсив S=aT+$Q является тен-
тензором. В самом деле, согласно определению суммы
экстенсивов и умножения их на число имеем
Sil^aTi'+HQil. D.16)
Так как экстенсивы Т и Q — тензоры, то при пере+
ходе к другой (штрихованной) системе координат
Т{: = ВМ{'71; Q{: = В\.А)'$. D.17>
Поэтому в новой системе координат
31 »

# = ЖА', (аТ{ + $ф = Bt'Al'Sl, D.18)
•что и требовалось доказать.
В частности, из доказанного следует, что сумма
тензоров является тензором и в результате умноже-
умножения тензора на число получается тензор.
Упражнение 4.5. Доказать, что произведением
двух тензоров является тензор, порядок которого ра-
равен сумме порядков сомножителей.
Упражнение 4.6. Доказать, что геометрический объ-
объект, образованный подстановкой индексов у тензора,
является тензором.
Упражнение 4.7. Доказать, что всякий ковариант-
ный тензор второго порядка (т. е. тензор, имеющий
коварнантные компоненты) можно представить в ви-
виде суммы симметричного . и косимметричного тензо-
тензоров. •
Покажем теперь, что геометрический объект, по-
полученный сверткой двух тензоров, является тензором.
Б самом деле, пусть два тензора T(Tikt) и Q(Qjm)
свертываются по индексам k = m. Тогда для геометри-
геометрического объекта S (S</)
S\, = TfQjm; S{/ = 4mU=m. D.19)
В новой (штрихованной) системе координат в
силу тензорного характера Т и Q
Si' ,'=~Ti- Qj'm\k'=m' —
= Bi'A^_kAt'lTlk'Blrff^Qlm\k^m/. D.20)
Так как матрицы Ai и В'у взаимно обратные, то
.для подчеркнутых величин имеем
АХЕС' | *•=«- = А?В%. = б?. D.21)
Подставляя D.21) в D.20) и используя свойство сим-
символов Кронекера, получим
Sjr = aMffi}'7?'Q/m, D.22)
что и требовалось доказать.
Упражнение 4.8. Доказать, что в результате пол-
полного свертывания тензора, имеющего одинаковое чис-
число ковариантных и контравариантных индексов, по-
получается скаляр. 0
32

При выяснении вопроса о тензориальности того
или иного экстенсива часто полезен так называемый
«обратный тензорный признак», который заключается
в следующем. Пусть дан некоторый экстенсив Q(Qj')
и известно, что для произвольного вектора S(SI) в ре-
результате свертки
QjiSi^T1 D.23)
получается вектор Т(Т'). В этом случае экстенсив
Q(Qil) является тензором.
В самом деле, в новой (штрихованной) системе ко-
координат
$.8'' = Г'. D.24
Кроме того, известно, что
S'^AiS1; T*' = M'7*. D.25)
Подставляя D.25) в D.24), получим
'QJ'.Ai'S'^A't'T'. D.26)
Умножая D.26) на flV, суммируя по i' и заменяя ин-
индекс k на (, имеем
Вычтем теперь из равенства D.27) равенство
D.23):
D.27)
нство
D-28)
Откуда в силу произвольности вектора S
0/ = Л^(#. D-29)
Умножим обе части D.29) на AfB'm-, используем
свойство символов Кронекера и, заменив в оконча-'
тельиом выражении k' на (', тп' на /', получим
D.30)
т. е. экстенсив Q является тензором второго порядка,
что и требовалось доказать.
Упражнение 4.9. Пусть для произвольных векторов
а (а1) и b(bf) и для экстеисива Q(Qi') выполняется
2 в-Е-пЪ^1ШЬпг\ зз
одни руки и 2х в две

тождество
Q,/a'6/=l. D.31)
Доказать, что Q — тензор. %'¦
В заключение покажем, как понятие ковариантной
производной, введенное в предыдущем параграфе
дл^ векторов (т. е. тензоров первого порядка), обоб-
обобщается на тензоры более высокого порядка. Прежде
веего обратим внимание на тот факт, что частные
производные скалярной функции 5{ах, а2, а3) по ко-
координатам являются ковариантными компонентами
вектора (см. упр. 2.2):
iZr ( >
да1 да-1
Поэтому можно сказать, что ковариантная производ-
производная скаляра совпадает с его частной производной.
Пусть теперь известно, что T(Tjl) — тензор второ-
второго порядка. Тогда путем свертки этого тензора с дву^
мя произвольными векторами b(bi) и с(с>') получим
скаляр
gr^Tfbici. ' D.33)
Продифференцируем частным образом равенство
D.33) и воспользуемся равенствами B.35) и B.42) i
ьс!+T' & + г16)с/+
D-34)
Отсюда
\ оа*
D.35)
Выражение в скобках в правой части D.35) со-
согласно обратному тензорному признаку носит тен-
тензорный характер. Назовем это выражение ковариаит-
ной производной компонент T'j тензора Т
¦ . T'i^^L + T^rU-TUT),. D.36)
34

Аналогично опеделяется ковариаитная произволь-
произвольная тензора любого строения, а именно: для того что-
чтобы образовать ковариантную производную произволь-
произвольного тензора Т (например, по k-и координате), необ-
необходимо составить сумму выражений трех типов.
При этом выражения 1-го типа составляются как
соответствующие частные производные по k-й коорди-
координате.
Выражения 2-го типа (со знаком плюс) составля-
составляются для каждого контравариантного индекса компо-
компонент тензора Т в виде произведения этой компоненты
на символ Кристоффеля 2-го рода. При этом один из
контравариантных индексов компоненты Т присваи-
присваивается символу Кристоффеля, а взамен его ставится
немой индекс, который приписывается символу Крис-
Кристоффеля (и по которому производится суммирование).
Вторым нижним индексом символа Кристоффеля яв-
является индекс коварнантного дифференцирования.
Выражения 3-го типа (со знаком минус) состав-
составляются для каждого ковариантного индекса компо-
компонент тензора Т аналогичным образом (но замене под-
подлежит каждый ковариантный индекс).
Упражнение 4.10. Доказать, что для ковариантно-
ковариантного дифференцирования справедливы правила диф-
дифференцирования суммы и произведения тензоров, ана-
аналогичные правилам для дифференцирования скаляр'
ных функций:
D.37)
• D.38)
Упражнение 4.11. Показать, что для фундамен-
фундаментальных тензоров (см. A.17), A.18)) выполняются
соотношения
ga.k = O; ?<•>,*= 0. • D.39)
Абсолютным дифференциалом тензора Т называ-
называется произведение его ковариантной производной на
дифференциал криволинейных координат с последую-
последующей сверткой. Например, для тензора Т(Т/() коорди-
координаты его абсолютной производной определяются сле-
следующим образом:
T^'da*. D.40)
35

Упражнение 4.12. Доказать, что абсолютный диф-
дифференциал тензора Т является тензором того же по-
порядка, что и тензор Т.
Упражнение 4.13. Доказать, что для любых векто-
ров а, Ь и любого скаляра х справедливы следующие
правила дифференцирования:
Z, D.41)
- DB+bj=D~a+Db, D.42)
D(-m)=y,Da+d%a. ф D.43)
§ 5. Физические компоненты тензоров
В механике и физике чаще всего используются ор-
ортогональные криволинейные системы координат, т. е:
системы координат, в которых три семейства поверх-
поверхностей, определяемых уравнениями A.9), взаимно пе-
пересекаются под прямыми углами. В этом случае ло-
локальный базис ei A.15) ортогональный и для фунда-
. ментального тензора gi,- A.19) имеем соотношение
?.7 = 0 AФ1). E.1)
Поэтому отличных от нуля независимых компонент
тензора gij только три. Иногда нх обозначают следую-
следующим образом:
/й» = Я„<р = 1,2,3>, E.2)
где величины /fp называются параметрами Ламе. По-
Поэтому для компонент сопряженного фундаментально-
фундаментального тензора получим
g™ = 1/Я|. E.3)
Определитель матрицы Ццш.
g=HlH2H3. E.4)
Символы Кристоффеля 1-го рода определим по фор-
формулам B.50):
36

; y= 1.2.3),
откуда по формулам B.51) находим символы Крис-
тоффеля 2-го рода:
E.6)
<P,Y= 1.2,3).
Символы Кристоффеля, у которых все индексы раз-
различны, тождественно равны нулю.
Пример 5.1. Рассмотрим сферическую систему ко-
координат (см. упр. 1.3)
д;' = а1 cos а2 cos а3,
я2=а1 sin а2 cos а3,
^3=aIsina3 (рис. 7). E.7)
Чтобы найти компоненты фундаментального тен-
тензора gij, можно воспользоваться формулами A.15) и
A.19). Однако мы используем другой подход. Для
этого отметим, что квадрат расстояния между двумя
бесконечно близкими точками ds2 может быть под-
подсчитан по формуле
ds2=d7-d7, E.8)
но
dr = -^- da'^da'. E.9)
да.1
Подставляя E.9) в E.8) и используя A.19), по-
получим
ds2=gCidaldal, E.10)
или, пользуясь тем, что сферическая система коорди-
координат E.7) ортогональна,
ds2=gf,,(daIJ+gf22(da2J+g33(rfa3J. E.11)
Рассмотрим теперь элементарный объем, ограни-
ограниченный координатными поверхностями а' и c'd'
37

Jt=l, 2, 3) (рис. 8). Очевидно, что квадрат расстоя-
расстояния между точками А и Е может быть подсчитан как
сумма квадратов расстояний АВ, AD и АС, т. е.
E.12)
Рис. 7
откуда находим матрицу
/10 0
ft,= 0 (а*)« О
\0 0 (аг sin а2J
' и векторы локального базиса
Рис. 8
E.13)
е,= A,0,0),
е2=@, а1, 0),
е8=@, 0, а1 sin а2). - E.14)
Из фор_мул E.14) видно, что если р = а' измеряет-
измеряется в единицах длины, а углы <р=а2 и 6 = а3 — в. ради-
радианах, то векторы е\ и е2 (или е3) имеют разную раз-
размерность. Это бывает неудобно при записи физичес-
физических соотношений. Поэтому вводят единичный базис h,
т. е. базис из единичных векторов
E.15)
Длина вектора ер подсчитывается по формуле
38

Для произвольного вектора а имеем
з -+
a = a% = V аР |Гр| _Я>- = а{ ftf, E.17)
где а(ф)' — компоненты вектора а в единичном бази-
базисе ki, причем
а?Ф) = аРЫ=«р1^ E.18)
-- • -»¦
Аналогично образуем единичный базис kl из векто-
векторов взаимного репера
Используя определение взаимного репера (или фор-
формулу A.28))» получим
8
?? = b*. E-20)
Следовательно, единичные базисы kl и kt совпадает.
Для коварнантных компонент вектора щ имеем
з ->-р
а = Щ71 = V а„ |ТВ | -1—=Щф,*', E.21)
S |е '
где
а№) = чУ~8™- E-22)
Учитывая E.20), из E.21) и E.17) получим
ат = аК*К E.23)
39

Величины ацф) (или а'<*>) называются физически-
физическими компонентами вектора а и ие преобразуются при
переходе от одной системы координат к другой по за-
законам B.14) или B.16). Поэтому они являются ком-
компонентами экстеисива, который, вообще говоря, не
есть вектор. Пользуясь физическими компонентами
векторов, следует помнить об этом.
Аналогично для любого тензора Т можно .ввести
физические компоненты." При этом для каждого ко-
вариантиого индекса компоненты тензора Т нужно
пользоваться формулой E.22), а для контравариант-
ного— формулой E.18),"например:
Та^ = Т*ау-^У^=Та*^. E.24)
Яр
§ 6. Матричная запись
Пусть задано соотношение
bt^Qfa, (t,]*-l, 2,3). F.1)
Его можно записать на «матричном языке», не ис-
используя индексов:
b = Qa. F.2)
При этом маленькими латинскими буквами будем
обозиачать односто'лбцовую матрицу
(<h\
a=\a2l
W
F.3)
а большими латинскими буквами — квадратные мат-
матрицы
Транспонированные MatpHUH будем помечать вол-
волной над соответствующей буквой *. Например,
* Часто транспонирование обозначают верхним индексом
т:ат.
40

a=(aia2a3). F.5)
В частности, для репера имеем
F.6)
Если две матрицы записаны одна за другой, будем
считать, что они перемножаются обычным образом.
Фундаментальную матрицу обозначим через G. Со-
Согласно A.19) имеем
Матрицу, обратную к квадратной невырожденной мат-
матрице Q, обозначим через Q-1.
Произвольный вектор а можно в матричной запи-
записи изобразить следующим образом:
а = ае~(ае) — еа. F.8)
Обозначим через 9 единичную матрицу. Вводим
взаимный базис е*:
e* = G-*e, F.9)
где
G-iG = GG-*=&. F.10)
Умножая F.9) слева на G, получим
e=Ge*. F.11)
Матрица Q называется симметричной, если Q = Q, и
кососимметричиой (или антисимметричной), если Q =
Упражнение 6.1. Доказать, что всякую матрицу Q
можно представить в виде суммы симметричной и ан-
антисимметричной матриц.
Упражнение 6.2. Показать, что для любой матри-
матрицы Q
41

Используя формулу F.11), дадим другое представ-
представление вектора а:
~a=ae=aGe*=a*e*, F.12)
где введено обозначение
aG=a*. F.13)
Из F.13), пользуясь симметричностью матрицы G,
получим
Ga=a*. F.14)
Упражнение 6.3. Пользуясь матричной записью,
показать, что
е*1=&\ её* = 3.т F.15)
Пусть теперь задан закон перехода от одной сис-
системы координат к другой. При этом новый локаль-
локальный базис е' выражается через старый следующим
образом:
е'=Се. F.16)
Тогда
2=ае=а'е'=а'Се, F.17)
откуда
а=а'С; af=C~la. F.18)
Для фундаментальной матрицы G
G'=e'e'=CeeC=CGC. F.19)
.Далее из формулы F.14) и второго соотношения
F.18), используя F.19), имеем
a*'=Grar=(CGC)C-ya=CGa=*Ca*. F.20)
Запишем теперь выражение F.11) в новой системе
координат и к левой части, применим соотношение
F.16). Тогда, воспользовавшись F.19), получим
Ce=GV=CGCe*', F.21)
откуда
e=GCe*'. __ F.22)
Воспользовавшись F.11), получим
Ge* = GCetf. F.23)
Умножив F.23) иа G~l, имеем
е*=Се*', F.24)
или
42

e*'=C-ie*. F.25)
Упражнение 6.4. Обозначим матрицу At , фигу-
фигурирующую в § 2, через А, а матрицу В<— через В.
Доказать, что эти матрицы связаны с матрицей С
следующим образом:
Л-гМ; В=С. • F.26)
Пусть матрицей Q задано преобразование F.2),
при котором каждый вектор а в некоторой точке
трехмерного евклидова пространства преобразуется
в вектор Ь.' Предположим, что длина вектора при
этом преобразовании не меняется:
v ЬЬ=аа. F.27)
Таким образом,
bb = aQQci = aci, F.28)
т. е.
ПО=°/ (ft 29\
Следовательно,
Q4=Q-\ F.30)
Матрица Q, для которой выполняется равенство
F.30), называется ортогональной. Из F.29) видно,
что для такой матрицы det | Q | = ± 1.
Пусть теперь задан закон преобразования от од-
одной системы координат к другой, в результате кото-
которого величины а и Ь преобразуются следующим об-
образом:
a'=Da; b'=Db. F.31)
Тогда в новой системе координат
fc'=QV F.32)
имеем . *
Db = Q'Da, F.33)
откуда
b=D-iQ'Da. F.34)
Сравнивая это выражение с F.2), получим
D-^D^Q, F.35)
или
Q'=DQD-K F.36)
В этом случае говорят, что матрицы Q' и Q свя*
заны между собой преобразованием подобия D.
43

Если матрица D коммутирует с матрицей Q, т. е.
DQ=QD, • F.37)
то матрица Q называется инвариантной относитель-
относительно преобразования D:
Q^DQD-^QDD-^QV^Q. F.38)
Например, единичная матрица 3 коммутирует с
любой матрицей, т. е. всякая матрица инвариантна
относительно тождественного преобразования, и, нао-
наоборот, единичная матрица 3 инвариантна относи-
относительно любого преобразования.
Упражнение 6.5. Доказать, что 3 — единственная
матрица, инвариантная относительно произвольного
ортогонального преобразования D. ф
Обозначим след,матрицы Q (т. е. Q*') через (Q).
Существуют и другие обозначения следа, например
trQ (английское trace), Sp Q (немецкое Spur).
Упражнение 6.6. Доказать следующие свойства
следов матриц:
а) <?> = <Q>. F-39)
б) (АВ)=*(ВА), F.40)
в) (ABC) = (CAB). F.41)
Упражнение 6.7. Доказать, что при преобразовании
подобия E.36) след матрицы не изменяется, т. е.
• - F.42)
С помощью матричного исчисления можно пост-
построить фундаментальные матрицы G и G~l. Обозначим
якобиеву матрицу преобразования A.10) (т. е. преоб-
преобразования, которым задается криволинейная система1
координат) чере^ X, а якобиеву матрицу обратного
преобразования A.14) — через Y. Тогда из A.19) или
{6.7) видно, что
G=XX. F.43)
Поэтому определить матрицы^
?=(det|*|J. F.44)
Из формулы F.43) имеем для обратной матрицы
G
F.45)
Очевидно, что каждая неособенная матрица треть-
44

его порядка определяет некоторое преобразование сис-
системы координат в евклидовом пространстве R3. Каж-
Каждая ортогональная матрица определяет преобразова-
преобразование одной прямоугольной декартовой системы коор-
координат в другую.
Поэтому группу / (см. упр. 3.10) можно описать с
помощью ортогональных матриц, а группу /0 (упр.
3.11) — с помощью ортогональных матриц, опреде-
определитель которых равен +1. Такое описание называет-
называется матричным представлением группы.
Например, группу инверсии (см. упр. 3.16) можно
описать с помощью матриц
—1
0
0
0
J
0 -
0
0
-1
?={010; С= 0—1 0 , F.46)
группу отражений относительно плоскости jci == 0 (см.
упр. 3.13) — матрицами
?=010, S1=\ 010, F.47)
\0 0 1У V 00 1/
а группу О (см. упр. 3.12) — матрицами
/10 UV /1 О О\ /—10 U\
S,- 01 0, Dx=' 0-1.0], D2 = 01 0
\oo-i/ \о o-i) v oo—i/
/—1 0 0ч / —1 0 0\
D,= | 0—101, С= 0-1 0. F.4
V о о 1/ V о о-1/
Описанные представления являются конечными груп-
группами G, ибо состоят из конечного числа элементов
(группы матриц F.46), F.47) из двух, а группа
F.48) — из восьми).
Группу Т3 (см. упр. 3.18) можно описать с по-
помощью бесконечного числа матриц
45

(cos ф sin ф 0\
—sin<p cos<p Of. F.49)
0 0 1/
To же относится и к группам / и /о-
Упражнение 6.8. Доказать, что матрицы F.49) об-
образуют группу (которая называется непрерывной).
Упражнение 6.9.-Доказать, что группу /<> (см. упр.
З.И) можно описать непрерывной группой матриц,,
каждый элемент которой представляется в виде про-
произведения
g = gfeffe&P. (° < <Pi. .Ф. < 2л> 0< 0 < я), F,50)
где ?ф1 и #ф, описываются формулой F.49), а
/10 0
ge = 0 cos 0 —sin 0 ), F-51)
0 \
—sin б I,
cos 6/
[0. sin 0
так что элементы g имеют вид
gn = cos фх cos ф2—cos & sin фх sin ф„
gla=s—cos фх sin ф2—cos6 sin фх cos ф?,
gl3 = sin фх sine, F.52)
g21 = sin^ tos ф2 + cos e cos фх sin фа,"
gi2 = —sin фх sin фа + cos 6 cos q>t cos фа,
g2Z=— cos ф, sin 8,
Матрица Q на'зывается изотропной, если она ин-
инвариантна относительно группы /, и гиротропной, ес^
ли оиа инвариантна относительно группы /0 (часто и
в этом случае матрицу Q называют изотропной).
Матрица Q называется ортотропной, если она ин-
инвариантна относительно группы.О (см. упр. 3.12), и
трансверсально-изотропной (монотропной), если она
инвариантна относительно группы преобразований Тъ
(см. упр. 3.13).
Характером матричного представления G группы
46

преобразований называется функция х(&)> определяе-
определяемая как след матриц g, образующих группу G
%№=(§)¦ ' F.53)
Упражнение 6.10. Показать, что характер пред-
представления F.46)
Х(?)=3, х(С)=-3. F.54)
Упражнение 6.11. Показать, что характер пред-
представления F.47)
Х(?)=3, x(S,) = l. F.55)
Упражнение 6.12. Показать, что характер пред-
представления F.48)
Х(?)=3, x(S1)=x(S2)=x(S3) = l, xPi) =
Упражнение 6ЛЗ-. Показать, что характер пред-
представления F.49)
%(§*) —1 + 2 cos ф. F.57)
Упражнение 6.14. Показать, что характер пред-
представления F.52)
X E) — cos (ф1 + ф2) + cos Э cos (ф1 + фг) + cos 9.
F.58)
§ 7. Диады
Совокупность двух векторов а и Ь называется диа-
диадой
Dj=~a®b. G.1)
Вектор а называется первым (или левым) вектором
диады, а вектор Ъ — вторым (или правым). Символ
% между векторами диады называется символом ди-
адного умножения. Совокупность чисел dlW называ-
называется компонентами диады D
1 G.2)
\а?Ь1 a*b2 a3ba)
Так как при переходе от одной системы координат к
другой контравариантные векторы базиса преобразу-
преобразуются по закону B.14), то для компонент диады
47

G.3)
Таким образом, компоненты диады D являются ком-
компонентами тензора, а значит, сама диада — тензором
второго порядка, правда, специального вида: напри-
например, из G.2) видно, что все строки (и столбцы) ком-
компонент этого тензора пропорциональны.
Обозначим скалярное произведение
7-а=х G.4)
и определим скалярное умножение диады D слева на
вектор с
<Г-?> = с"-а<8>Ь = к? G.5)
Таким образом, скалярное умножение некоторого век-
вектора слева на диаду как бы проектирует этот вектор
на направление правого вектора диады. Можно
видеть, что умножение некоторого вектора на диаду
справа проектирует этот вектор на направление лево-
левого вектора диады.
Транспонированием диады D называется операция
перестановки векторов диадиого произведения
D = Ь<2,а. G.6)
Диада называется симметричной, если
D=D. G.7),
Упражнение 7.1. Доказать, что векторы, образую-
образующие симметричную диаду, являются коллинеарными.
Упражнение 7.2. Доказать, что сумма двух диад
образует тензор. #
Обозначим тензор, образованный суммой двух
диад, через
p2=fl(i)®^i)+aB)®^B). G.8)
Умножим скалярно вектор с на Dp. слева и обозначим
скалярные произведения векторов
) ()X2. G.9)
Тогда
с-Аг=Х1ЬA)+х2Ь<2). G.10)
48

Таким образом, любой вектор с путем скалярного-
умножения на D2 преобразуется в некоторую линей-
линейную комбинацию векторов Ь(п и Ь^у Следовательно,,
комбинация двух диад G.8) операцией левого (пра-
(правого) скалярного умножения отображает векторное
пространство на плоскость, параллельную двум век-
•*-*-* «I
торам Ь(о и 6B) (fl(i) и 0B}), если эти векторы не кол-
линеарны.
Рассмотрим тензор, образованный суммой трех
диад, т. е. • ___ ^ ___ ^ ч ^
Ц> = 0(i) ® b(i) + 0B) ® ^2) + 0C) ® Ь(з). G.11>
Если среди векторов Ог (или bi) существует линейная
зависимость, то D$ сводится к D^ G.8) или D G.1 )>
Пусть, например,
л ) G.12V
Тогда
" + ОC) ® (Kx
или в компонентах, используя правило сложения мат-
матриц,
0з' = fl(i)b'i) + 0BNB) + 4з) (нМч + «аЬ('2)) =
= (o|i) +-х1ор)) b('i) + (ОB> + х^з)) &B). G.14>
Отсюда
-* -> -»¦ -> -»¦ -+
D3=
Так как в трехмерном пространстве всякие четы-
четыре вектора линейно зависимы, то сумму любого чис-
числа диад можно представить в виде G.11). Поэтому
^з называется полной диадой.
Полная диада, составленная из векторов основно-
основного и взаимного репера
?=е'®е), G.16)
называется единичной диадой. ,
49

Используя правило обращения с компонентами
диады как с матрицами, получим другие представле-
яия единичной диады:
G.17)
Умножая скалярно вектор а на диаду Е G.16) сле-
-»¦ ~ ¦>*
ва, получим разложение вектора а по векторам основ-
ного базиса, а умножая а скалярно на Е справа, по-
лучим разложение вектора а по векторам, взаимного
базиса:
l? ' G.18)
G.19)
Нетрудно видеть, что всякую диаду можно пред-
представить как разложение по девяти диадам, составлен-
составленным из векторов репера:
G.20)
Поэтому естественно назвать девятку этих диад
? G.21)
диадным базисом. Таким образом, компоненты диа-
диады D G.2) являются компонентами (или координа-
тами) именно в базисе е&е,-. Можно, разумеется,
выбрать вместо G.21) н другие базисы, например
G.22)
Но базис G.22) можно выразить через базис G.21):
~ei®ek = gklei®7i. G.23)
Упражнение 7.3. Показать, что в качестве диадного
базиса можно выбрать девятку диад
е*®^'. G.24)
При этом каждая диада G.21) выражается через ба-
базис G.24) следующим образом:
ikgi7ek.®el. " G.25)
50

Упражнение 7.4. Показать, что в прямоугольно*
системе координат разложение радиус-вектора г по-
векторам единичного репера kt можно представить
как скалярное произведение г на единичную диаду Е:
r=r.E=i4ki®ku # G.26>
Рассмотрим снова диаду D G.1) в виде разложе-
разложения ее по диадному базису G.21):
l G.27>
Используя формулы G.25) и правила жонглирования
индексами, получим
D = aWgikgjtf* ®el = akbi7k ® ?. G.28)
Таким образом, диаду D можно представить ковари-
антными компонентами, т. е. совокупностью ковари-
антных компонент векторов а и Ь. Такое представле-
представление диады D дается в диадном базисе G.24).
Упражнение 7.5. Доказать, что компоненты диады
G.28) являются компоиеитами тензора.
Упражнение 7.6. Доказать тензорный характер-
диадных базисов G.21), G.22), G.24).
Упражнение 7.7. Показать, что след диады, пред-
представленный в базисе G.22), равен скалярному произ-
произведению векторов, составляющих эту диаду, т. е.
a-fc. ф ' G.29)
Мы установили, что диада является тензором вто-
второго порядка, хотя и очень специальным. Далее мы
увидим, что всякий тензор второго порядка можно
представить в виде суммы диад, а следовательно, в
виде разложения по диадиому базису. Сами диады
(тензоры) носят инвариантный характер, т. е. не за-
зависят от выбора системы координат, а изменяются
только их компоненты, зависящие от выбора диадно-
го базиса;
Понятие диады можно обобщить, определяя сово->
купность более двух векторов. Так, выражение
T = a®6(g)c' G.30)
51

называется триадой и вообще совокупнорть п векто-
векторов (п>2) — полиадой
П = a(i) ®aB) <g>... <g}ct(n). G.31)
Упражнение 7.8. Доказать, что компоненты полиа-
являются контравариантными компонентами тензо-
тензора п-го порядка.

ГЛАВА 2
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Линейное (векторное) пространство
Рассмотрим n-мерные пространства. Но прежде
всего напомним определение линейного (векторного,
аффинного), пространства, известное из курса линей-
линейной алгебры. Пусть дано множество 52 с элементами
а, Ъ, с, ..., называемыми векторами, и пусть в 91 за-
задана операция сложения, ставящая паре векторов а,
-*. -*¦ -+
Ь однозначно определенный элемент а+Ь, и операция
умножения на число а из некоторого поля Ж. Если
Ж — поле комплексных чисел, то 91 называется комп-
комплексным линейным пространством; если Ж —>• поле
действительных чисел, то 91 — действительное ли-
линейное пространство.
Введенные две операции должны удовлетворять
следующим аксиомам:
1°. a+b = b + a (коммутативность).
2°. (а+6)+с^=а+ (Ь + с) (ассоциативность).
3°. Существует элемент 0, называемый нулевым,
такой, что для любого ае>#
а+0=а.
4°. Для каждого вектора а&91 существует обрат-
обратный — а, такой, что
а+ (—а) =П).
5*. о (о + Ь) = аа + ab.
6". (а+р)а=шН-ра.
53

7е. (сф)а=а(ра).
8е. 1а = а.
Линейные пространства, определенные аксиома-
аксиомами 1°—8°, могут быть конечномерными, а могут быть
и бесконечномерными. Заметим также, что эти аксио-
аксиомы не используют понятия системы координат.
Упражнение 1.1. Показать, что следующие множе-
множества являются линейными пространствами:
а) множество, состоящее из нулевого элемента 0
(нуль-пространство);
б) совокупность всех векторов на плоскости;
в) множество всех непрерывных функций, опре-
определенных на отрезке [0. 1].
Упражнение 1.2. Доказать, что следующие множе-
множества не образуют лннейнбго пространства:
а) множество конечного числа элементов;
б) совокупность векторов, лежащих на двух вза-
взаимно перпендикулярных прямых на плоскости (см.
пример Минакова в предисловии);
в) многочлены степени п. %
Базисом пространства 91 называется последова-
-¦-»-¦-
тельность элементов ей е%, ..., еп этого пространства,
если любой элемент ае$ однозначно представим в
виде
'е( = о^ (t=l n), *.A.1)
где ft — любое натуральное положительное число
(или оо), которое называется размерностью прост-
пространства 91 (правила суммирования см. на с. 10). Чис-
ла а)^.Ж называются координатами вектора а в ба-
базисе в[.
Базисом A.1) обладает всякое, конечномерное про-
пространство (среди бесконечномерных пространств счет-
счетным базисом обладают сепарабельные пространства).
Подпространством 9L\ линейного пространства
-¦-
^Ж) называется совокупноеть элементов
-*•-*¦ ¦+
таких, что из а,\, (h^Si\ следует
54

Пусть Ж и JC — два линейных пространства. Го-
Говорят, что на множестве 91<^Ж задан оператор } со
значениями в JC (оператор, действующий из 91 в /С),
если каждому элементу ае52 поставлен в соответст-
соответствие элемент Ъ^/С
"МЙ- A.2)
Множество 91 называется областью определения опе-
оператора if, а совокупность всех элементов b&Jf, пред-»
ставимых в виде A.2), называется областью значений
оператора } и обозначается через 9l\{9l), 9L\<=,JC
Если множество 91 является линейным простран-
ством и для любых аь а2е# и oi,
A.3)
то оператор J называется линейным и записывается
часто в виде
УЙН& . A-3I
Если значениями оператора f являются числа, то
оператор J называется функционалом, а если при
этом его область определения является числовым мно-
множеством, то оператор f называется функцией.
В частности, если Ж — множество всевозможных
систем из п чисел (си, ..., an),.составляющих прост-
пространство вп, то f называется функцией п переменных.
Пространство 6п называется n-мерным арифметиче-
арифметическим пространством.
Упражнение 1.3. Доказать, что для всякого ли-
линейного оператора ?, действующего из 9t в 91\
¦ ?@)=<Г • A.4)
Всякому линейному оператору, действующему из
n-мерного векторного пространства 91 в себя в неко-
некотором базисе
<?i еп A.5)
пространства 91, можно поставить в соответствие мат-
матрицу. В самом деле, пусть линейный оператор } пере-
переводит каждый, из векторов базиса A.5) в некоторый
вектор
"W(?). A.6)
55

Так как каждый вектор Ь*е$2, то он однозначно»
разлагается по векторам базиса е,- A.5):
УЙ)в?=В,/? A.7)
Следовательно, для любого вектора аеЗ?
>Ь = ?(а)в?(а'е7)=а7(е7)-а|Я*'в7. A.8)
-** -*•
откуда для вектора b = bi'e/
Ь1=В№. A.9)
Значит, оператор J в базисе A.5) представляется в
виде матрицы ?;' A.9).
Пусть даны множества Ж и /С (совпадающие или
нет). Множество упорядоченных пар элементов (т.е.
взятых в определенном порядке), из которых первый
принадлежит Ж, а второй — Jf, называется декарто-
декартовым произведением множеств Ж и Jf и обозначаете»
ЖХ/Р. Назовем отношением эквивалентности между
элементами одного и того же множества Ж отноше-
отношение ~аЖХЖ, обладающее следующими свойствам»
для любых а, Ь, с^Ж:
1) а~а (рефлексивность);
2) а~Ъ = Ъ~а (симметричность);
3) из а~Ъ и Ь~с следует' а~с (транзитивность)»
Пусть R — векторное пространство над полем чи-
чисел Ж. Введем в нем отношение эквивалентности
~, обладающее следующими свойствами. Если два
вектора а\ и а2е52 эквивалентны, т. е. cti~a2, то для
любого Ье5Й и числа
A.10)
A.11)
Множество всех элементов, эквивалентных векто-
ру а, образует класс {а}, который обозначим чере*
та. Множество всех таких классов обозначим через т
и назовем класс ха+ь (т. е. множество всех векторов,
эквивалентных вектору а + Ь) суммой классов ха и хьу
а класс хаа (т. е. множество всех векторов, эквива-
лентных вектору аа) — произведением класса та на
число а.
56

Упражнение 1.4. Доказать, что множество т яв-
является векторным пространством.
Пространство т называется фактор-пространством
пространства 91 по отношению эквивалентности ~.
Упражнение 1.5. Пусть SB является подпростран-
подпространством векторного пространства 91. Говорят, что век-
торы а и Ъ сравнимы по модулю & и пишут
аг=Ь(mod 2), A.12)
-*• -¦•
если а—Ь&2\ Доказать, что сравнимость по модулю
SB является отношением эквивалентности и простран-
пространство 91 распадается на классы векторов, сравнимых по
модулю SB.
Упражнение 1.6. Доказать, что если
A.13)
то
"a+aiS&Tb + bi) (mod^); aas=ab(modS). A.14)
Упражнение 1.7. Доказать, что фактор-пространст-
фактор-пространство х пространства 91 по модулю SB, где 5^=0 (т. е.
SB является нуль-пространством), совпадает с прост-
пространством 91, а фактор-пространство х пространства 91
по модулю 91 является нуль-пространством. #
Векторное пространство 9t называется алгеб-
алгеброй, если в нем определена операция умножения век-
векторов ±, дистрибутивная и перестановочная с опера-
операцией умножения на число:
A15)
A.16)
A.17)
Если умножение подчиняется ассоциативному закону
"а±(Ь1^) = (ахГIс", A.18)
то алгебра называется ассоциативной.
Упражнение 1.8. Доказать, что трехмерное вектор-
векторное евклидово пространство с введенной операцией
векторного умножения является алгеброй, причем не-
ассоцнативной. #
Итак, если множество Л наделяется некоторой
57

структурой, т. е. операциями иад элементами самого
множества {внутренние операции) или над элемента-
элементами множества Ж и некоторого другого множества Л*
(внешние операции), а также определенными пра-
правилами, которым подчиняются эти операции, то мно-
множество Л превращается в некоторое пространство.
Бинарной внутренней операцией называется за-
закон (обозначим его символом JL), дающий возмож-
возможность по произвольным элементам а^Ж, Ь^Ж, взя-
взятым в определенном порядке, однозначно определить
их произведение с^Ж
а±Ь = с. A.19)
Множество Ж с заданной на нем бинарной операцией
-L называется группоидом. Другими словами, струк-
структура группоида состоит во введении в множестве JC
внутренней операции A.19). Структура полугруппы
заключается во введении в множестве Ж ассоциатив-
ассоциативной внутренней бинарной операции A.19).
Наряду с бинарной операцией можно ввести нуль-
арную, которая ставит в соответствие каждому эле-
элементу а&Ж один и тот же элемент е из Ж (называе-
(называемый единичным элементом)
а°=е, . A.20)
обладающий таким свойством, что для произвольного
ае=Ж
а±е=е±а = а. A.21)
Полугруппа с единичным элементом называется мо-
моноидом.
Унарная внутренняя операция ставит в соответст-
соответствие каждому элементу oeif так называемый обрат-
обратный элемент а~], такой, что
а-Ча*=а±а-* = е. A.22)
Моноид с унарной операцией, обладающей свойством
A.22), называется группой. (В § 3 предыдущей гла-
главы структуру группы мы ввели несколько иначе.)
Бинарной операцией -L, обладающей свойствами
A.15)—A.17), мы ввели структуру алгебры.
Для введения структуры векторного пространства
нам понадобилось наряду с внутренней операцией
(сложением векторов) ввести еще внешнюю операцию
(умножения вектора на число), причем эти операции
обладают свойствами Г—8°.
58

* § 2. Сопряженные пространства
Пусть 91— векторное пространство. Рассмотрим
множество всех линейных функционалов, заданных на
М. Часто эти функционалы называют линейными фор-
формами на 91. Выберем в пространстве 91 произвольный
базис в\, ..., еп- Каждый вектор а^.91 можно пред-
представить в виде A.1)
а=а1еи B.1 К
где а' — некоторые числа (а'^Ж). Тогда в силу ли-
линейности каждого функционала f A.3) имеем
B.2)
Обозначим числа, являющиеся значениями функцио-
функционала f на векторах базиса ец через
х,=Н*)- B-3)
Разумеется, эти числа зависят от выбора базиса про-
пространства 91.
Упражнение 2.1. Показать, что если в 91 задан
другой базис ег, причем
«=?Ж7„ B.4)
то значения линейного функционала f на новых ба-
базисных векторах выражаются через его значения на
старых базисных векторах по тем же формулам
xi' = A\'Xi. • B.5)
Итак, всякий линейный функционал f, заданный
на 91, может быть представлен в базисе {ei} по фор-
формуле
f{a) = xta?u B.6)
где а1 — компоненты вектора а в этом базисе, a Xi —
некоторые числа, определяющие функционал f в этом
же базисе. Следовательно, правая часть B.6) пред-
представляет собой значение функционала f на векто-
векторе а.
Назовем суммой двух линейных функционалов fl
69

и f2 функционал, ставящий в соответствие каждому
вектору а число fl(o)+f(a), а произведением линей-
линейного функционала f на число а — функционал, ста-
ставящий в соответствие каждому вектору а число
af(a).
Упражнение 2.2. Доказать, что множество 91*
всех линейных функционалов, определенных на 52,.об-
52,.образует векторное пространство. #
Это пространство 91* называется сопряженным
(или дуальным) к пространству 91. •
Упражнение 2.3. Доказать, что если пространство
91 является n-мерным, то пространство 91* тоже п-
мерное. ф
Будем обозначать элементы сопряженного прост-
пространства 91* через а, Ь, ... . Эти векторы часто назы-
называют ковариантными, а векторы пространства 91 —¦
контравариантными. Само пространство 91 можно на-
назвать контравариантным векторным пространством, а
сопряженное к нему пространство 91* — ковариант-
ным векторным пространством. Если в пространстве
91* выбрать какой-либо базис е' (i—l, ..., п), то вся-
всякий ковариантный вектор а может быть однозначно
представлен в виде
а = ар. B.7)
Однако мы сейчас найдем специальный базис прост-
пространства 91*, связанный определенным образом с вы-
выбранным базисом пространства 91.
Рассмотрим всевозможные наборы из п-линейных
функционалов f' (i=l п) и обозначим значения,
принимаемые этими функционалами на векторном ба-
базисе пространства 91, через
Ь/ = ЛЙ). B.8)
Очевидно, что если определитель матрицы I*/ |
отличен от нуля, то в качестве векторов базиса про-
пространства 91* можно принять векторы el = {b\,
К,. ¦ ¦ , bit}. Рассмотрим теперь такой набор линей-
линейных функционалов f, для которых Ъ) = Ь), т. е.
60

f (?)=«',. ' B.9>
Назовем эти функционалы базисными. Базис прост-
пространства 91* ^ = {1, 0, ..., 0}, ..., е" = {0, 0, .... 1},
определенный базисными функционалами, назовем1
взаимным к базису {et} пространства 91.
-Базисные функционалы ставят в соответствие каж»
дому вектору а&$ его соответствующую координату-
В самом деле,
a>. B.10*
Каждому линейному функционалу / соответствует
некоторый-вектор х. В самом деле, значения этого
функционала xi на векторах базиса ei
? B.11)
«
определяют единственный вектор х, являясь его ком-
компонентами разложения по векторам взаимного бази-
базиса е1:
Покажем, что каждому линейному функционалу <р
на 91* соответствует линейный функционал f на 91.
В самом деле, пусть х^.91* и q> — некоторый линей-
линейный функционал на 91*:
Xi<p(el) =Xial. B.13)
Определим вектор ае52, компонентами которого в ба-
базисе e-i являются числа а1. Тогда из B.6) и B.13) ви-
видим, что
ф)=Ка). B.14)
Если теперь выберем в пространстве 91* произ-*
вольный базис е1 и рассмотрим п линейных функцио-
функционалов <р/, определенных на 91*, таких, что
то видим, что базису е1 в пространстве 91* соответст-
61

вует ei в 91. Поэтому базисы ei и е1 называются вза-
взаимными по отношению друг к другу, или каноничес-
каноническими, а пространства 91 и 91* — взаимно сопряжен-
сопряженными. Таким образом, всякий линейный функционал
в 'пространствах 91 и 91* можно представить в виде
B.6) и B.13), где а1 — компоненты вектора a^9l, a
Xi — компоненты вектора х^91* во взаимных базисах.
Упражнение 2.4. Доказать, что если {eft и {el} —
произвольные базисы ъ 91 и 91*, то линейные функ-
функционалы f и ф представляются в виде
J(a)=b,lalxr, ф.Й=с,^а', . B.16)
где величины Ь/ определены формулами B.8), а
Значением вектора #е$2* на векторе аей? назы-
называется значение линейного функционала /, соответст-
соответствующего вектору х, на этом векторе а (и обознача-
-*- -¦•
¦етея х(а)). Нетрудно видеть, что если выбраны ка-
канонические базисы, то
*х(а) = Х1а1. B.17)
Упражнение 2.5. Пусть в 91 и 91* выбраны кано-
канонические базисы. Вычислить значение вектора х=*
= A, 1, ..., 1) на векторе а=A, 1, .... 1). ,
Упражнение 2.6. Пусть дано множество линейных
операторов А, действующих из одного векторного про-
пространства 91\ в другое 9L% Зафиксируем некоторый
линейный функционал /г, которому соответствуют век-
векторы Х2^91ъ*. Очевидно, что можно рассмотреть ли-
линейный функционал fi (которому соответствуют век-
торы х\^91\*), такой, что
МЛо,)=Ыо1). B-18)
Оператором А*, сопряженным к оператору А, на-
называется оператор, определяющий отображение й2* в
Mi* по закону ^_ ^
Xi,=A*Z. B.19)
62

Пусть имеются два линейных оператора Л* (из &\ &
52г) и В* (из 522 в 91%). Доказать, что
(М)*=>5*. J2.20)
Упражнение 2.7. Пусть в некотором базисе е{ про-
пространства # линейный оператор Л представляете»
матрицей А.]-. Доказать, что сопряженный опера-
оператор Л* в этом же базисе представляется матрицей;
л,:.©
Рассмотрим теперь евклидово пространство, т. е.
действительное векторное пространство, в котором
определено скалярное произведение, — каждой паре
векторов а, Ь^Я поставлено в соответствие число, ко-
которое обозначается через а-.Ъ или (а, Ъ), при этом
удовлетворяются аксиомы:
1°.{а,Ь) = (Ь,а),
2°. (да, 6)=а(в, Ь),
3°. (ai + аТ, 6|= (аТ, Ь) + {at, Ь),
4°. (о,-а)=в||о||»>0,
--»¦->¦
причем длина вектора а равна нулю (||а|| = 0) только-
при а=0.
Упражнение 2.8. Доказать неравенство Коши—Бу-
няковского
(А 6)<||о|||Й. . B.21>
Упражнение 2.9. Доказать неравенство треуголь-
ника
||а+6||.<||оЦ + ||Й. • B.22>
Векторы а и b называются ортогональными, если
(а, 6)=0. B.23)
Если {ei} — базис пространства ш, то матрица
gi,-, составлейиая из попарных скалярных произведе-
произведений векторов базиса
gii = er~ei^(ei,7i), B.24)
называется фундаментальной. В курсе линейной ал-
алгебры доказывается, что во всяком «-мерном евклидо-
евклидовом пространстве существуют ортонормированные ба-
базисы, т. е. базисы, для которых
63

1, если i = /.
Теорема Рисса. Всякий линейный функционал f
в п-мерном евклидовом пространстве 52 можно пред-
представить в виде скалярного произведения
. f(a) = (b,c?j, B.26)
где Ь — фиксированный вектор ^St, однозначно опре-
определяемый функционалом f. И обратно,' каждый вектор
Ь^Я определяет линейный функционал f.
В самом деле, выберем в 91 ортонормированный
базис {ei) (i=l, 2 п) и рассмотрим вектор Ь,
имеющий компоненты в этом базисе xl—xi (в ортонор-
мированной системе координат ковариантиые и контр-
авариантные компоненты совпадают). Тогда
(а, Ь)=а*е1х1е,=а1х{. * B.27)
Сравнивая B.27) с B.6), заключаем, что в Я найдет-
найдется такой вектор Ь, что выполняется равенство B.26).
' Для доказательства единственности этого представ-
представления предположим противное, т. е. существуют bt
и Ь2, такие, что
fB) = Й bt); f(a) = (а, Ь2). B.28)
Следовательно, для любого а
(а, гГ,-гГ2)=0, B.29)
откуда
Ъх = Ъг. . B.30)
Теорема доказана.
Умножим обе части равенства B.9) на gkt и про-
просуммируем по i от 1 до п:
' Ы1(е,)=8н,. B.31)
Сравнивая это выражение с B.24), имеем
- (еьЪ)=дыр(е,). B.32)
Применяя к B.32) теорему Рисса и используя опре-
деление взаимного базнса е\ получим
64

ek=gkiel. B.33)
Следовательно, в евклидовом пространстве исчезает
разница между взаимными базисами ei и е\ а значит,
пространства R и R* можно считать тождественными*.
Упражнение 2.10. Показать, что в евклидовом про-
пространстве
PJ ' B.34)
где g'1 — матрица, обратная к фундаментальной.
Упражнение 2.11. Доказать, что
g4=;&lj).. B.35)
Упражнение 2.12. Пусть в пространство 9L выбран
базис е* и дан закон перехода к новому базису е,- "
7г«в;.'.в,. 4 B.36)
Доказать, что в этом случае взаимный базис изменя-
изменяется по закону
>=Л!'г?, " B.37)
где матрица А B.37) является транспонированной к
матрице, обратной к матрице В B.36).
§ 3. Многоточечные тензоры
Пусть 9t\, Шг Шт — тп векторных пространств
над полем Ж. Рассмотрим множество элементов их
декартоэа пронзведення Я1ХМ2Х ••• ХМт, т. е. мно-
->¦
жество упорядоченных наборов т элементов а(е^2г
(i= 1, 2, ..., т) вида
а=(а1г а2, ..., am). C.1)
Образуем векторное пространство $1, базисом которо-
которого являются наборы C.1), т. е. элементы пространст-
пространства .$4- будут формальными линейными комбинациями
элементов вида C.1):
* а^М- C-2)
3 Б. Е. Победря 55

Будем говорить, что два элемента А и В&$? свя-
связаны отношением. ~, если существуют выражения эле-
элементов Л и В, сводящиеся друг к другу при помощи
следующих преобразований.
Г. Если сг=а( + Ь,-; а,-, bu с^&и то
,-*-*¦ ~* ¦ ¦*¦
fe (d, Сц, ..., С{, :. . , Cm) ~
2е. Если Ь,=ааг, а?, Ь,е^?,-, aeJ{f, то ч
Bs(&,, ..., Ь,- &т)~а(Ь;, ..., а,-, ..., bm).
Другими словами, Л~В тогда и только тогда, когда
существует конечная последовательность элементов
пространства S&, в которой первым элементом являет-
является Aj а последним — В, причем любые два соседних
элемента связаны между собой введенным отношени-
ем ~V ' . '
Упражнение 3.1. Доказать, что введенное усло-
условиями Г и 2° отношение является отношением экви-
эквивалентности (т. е. показать, что выполняются аксио-
аксиомы 1, 2, 3, введенные в § 1). •
Упражнение 3.2. Доказать, что размерность вектор-
векторного пространства S& равна п^щХг^Х ... ХЛщ, где
щ — размерность пространства 5&. #
Построим фактор-пространство пространства А
(см. § 1) и дадим следующее определение:
Тензорным произведением Ri® &Rm вектор-
векторных пространств Я\, ..., Sim называется фактор-про-
фактор-пространство Хт пространства -S4- по отношению введен-
введенной (п. 1° и 2°) эквивалентности.
Элементы пространства тт называются тензорами
тп-го порядка (яг-точечными).
. -Пусть е{ — базис пространства 52/. Рассмотрим
полиады вида
. В^^®^,®...®^. C.3)
'12 m
Очевидно, что эти полиады являются тензорами т-го
порядка, так как они принадлежат пространству хт.
Упражнение 3.3. Доказать, что тензоры C.3) ли-
линейно независимы. #

Таким образом, тензоры C.3) можно принять за
базис пространства хт .(будем говорить, что простран-
пространство, Хт «порождается» базисом C.3)), Тогда всякий
тензор Tj^Xm может быть представлен в базисе .C.3)
следующим образом
Т = tili'~ л«чя& 7it ® ... ® 2. C.4)
¦ ~ 1J 2 от
Коэффициенты /'»'»•--'m называются компонентами
тензора Т (m-точечного) относительно базиса .C.3),
Если пространство хт является, тензорным произведе-
произведением, образованным из m экземпляров одного вектор-
векторного пространства 91: 91® ... ®52, элементами прост-
пространства Хт являются одноточечные тензоры (в гл. 1
рассматривались только одноточечные тензоры).
Пусть даны векторные пространства 9t\, 91$.
.... 91т соответственно размерности щ, /й, ...» /W
Рассмотрим их сопряженные пространства 91%*,
&2*, ...» 91т* и построим тензорное произведение
.C.5)
Выберем в каждом из пространств 5?/* базис е1,
взаимный к базису et пространства 91\, и рассмот-
рассмотрим полиады вида
Е" = ?• ® ?»® ... ® "еЧ C.6)
"2 т j.
Тогда каждый элемент Р пространства Г» можно
представить в виде ,
P = pil...im&<8> ?'О ... ® V«. C.7)
'ч^ Ll 2 от '
Коэффициенты P.,...iOT являются компонентами тен-
тензора Р (m-точечного) относительно базиса C.6).
Пусть в каждом пространстве 9L выбран новый
базис еу, причем (см. упр. 2.12)
а .
^=вД;?'-Л''Я C.8)
а а а а а а
где
3* 67

C.9)
Тогда
из
C.4)
и
C.7)
1
i' =&
т 1
ВИДНО,
' г D /
что
т
.. В
т
1
С
'т
i
т
Pw....<m.
C.
C.
10)
11)
т. е. компоненты тензора Т преобразуются по каждо-
каждому индексу как контравариантные компоненты векто-
вектора в каждом пространстве 3L, а компоненты тензора
Р *— как ковариантные компоненты вектора в каждом
пространстве 9La*. Поэтому тензоры Г иногда называ-
называются контравариантиыми, а тензоры Р — ковариант-
«ыми тензорами m-го порядка. Если тензоры Т и
Р являются одноточечными "(все пространства 9U.,
сс= 1,..., m. совпадают), то компоненты тензора Т на-
называются контравариантными, компоненты тензора
Р — ковариантными.
Можно рассмотреть смешанные тензоры, т. е. тен-
тензоры, являющиеся элементами тензорного произведе-
произведения пространств, часть из которых является основны-
основными векторными пространствами 9l\, 5Z2, ..., Mi, а дру-
другая часть — сопряженными к соответствующим век-
векторным пространствам <S/+i 3i m.
В качестве базисных тензоров таких пространств
можно выбрать полиады вида
Е ="eix ® ... ®^,® e"'l+1® .. • <8> еЧ C.12)
Очевидно, что среди одноточечных тензоров /n-го по-
-¦¦ *-
рядка при выбранных взаимных базисах ei и е1 суще-
существует 2т различных наборов базисных полиад.
Упражнение 3.4. Подсчитать, сколько будет раз-
различных наборов таких полиад среди многоточечных
тензоров m-го порядка. (Ответ: m\2m) %
Определим алгебраические операции, производи-
производимые над тензорами. Прежде всего заметим, что самим
определением тензоров как элементов некоего вектор-
векторного пространства вводятся операции сложения тензо-
тензоров и умножения их на число.
68

1. Йроизведениё тензоров. Если Т —
элемент тензорного произведения / пространств 5Г:,...
..., Яи а Р — элемент тензорного произвел ,-ния
(т—/) пространств Xi+i, ..., 31т, то произведение
S = T®P C.13)
есть тензор S, принадлежащий тензорному произведе-
произведению т пространств 31\, ..., 31т- Таким образом, если
—' ft*t® • • • ?*,» C.14)
Р = рг'+1"'т1г,+1® ... ®^т, C.15)
то
S = s " т ви ® ... 0 в? . C.16)
~ 1 . тт
Упражнение 3.5. Доказать, что произведение
двух тензоров дистрибутивно относительно сложения
и ассоциативно, т. е.
T0(P+5)=T®P + T®S|
~ ~ ~ ~ ~ ~1 C-17)
• C.18)
Пользуясь свойствами C.17), C.18), можно опре-
определить произведение k тензоров
Тх®Т2®...®Т^ C.19)
В частности, полиада C.3) есть не что иное, как тен-
зорное произведение векторов eit,... , etm. Это и
1 ttl
позволяет записывать любой тензор т-го порядка в
виде C.4).
2. Подстановка индексов. Операция, со-
согласно которой каждому тензору' т-го порядка
т = <|--'*-|«-'«^ ®... ®1 ®..® ®
~ . 1 кк i «
C.20)
69

бтавятся в соотЁетствие тензор tn-to порядка
Р = <"""'/""'»-'"Ч1® ... ®*.® .., ® * ® ... ® *„,
"-. 1 / - ft m
C.21)
называется операцией подстановки индексов {k, /}.
Если пространства 52* и 5?г имеют одну размерность и
при операции подстановки индексов {k, 1} Т=Р, то
тензор Г называется симметричным по индексам k и
/; если же при операции подстановки индексов {k, 1}
Т~—Р, то тензор Т называется антисимметричным
(или кососимметричным) по индексам k и I.
Упражнение 3.6. Пусть векторные пространства
9ik и 9li имеют одинаковую размерность (tik = ni). До-
Доказать, что всякому тензору /п-го порядка Т C.20)
может быть поставлен в соответствие тензор tn-го по-
порядка S, симметричный по индексам {К I). Построить
этот тензор.
Упражнение 3.7. Доказать, что при условиях, вы-
высказанных в предыдущем упражнении, каждому Гмо-
жет быть поставлен в соответствие тензор пг-го поряд-
порядка А, антисимметричный по индексам {k, l}. Постро-
Построить этот тензор. #
Пусть дан одноточечный тензор т-го порядка Т,
т. е. определенный в пространстве 5?®5?<8> ... ®Я. Го-
Говорят, что тензор 5^получен операцией симметрирова-
симметрирования, например, по первым / индексам A<тп), если в
базисе
в*,®^.®...®^ C.22)
_его компоненты имеют вид
C.lt...tm=stii\...i^M^m^_i_ J Л"'»-1», C.23)
где сумма распространяется по всем перестановкам
индексов ti, ..., U. Аналогично определяется опера-
операция альтернирования, например, по первым / индек-
индексам (см. § 3 гл. 1). Компоненты тензора А, получен-
полученного этой операцией, имеют в базисе C.22) вид
70

где сумма распространяется по всем перестановкам
индексов t'i, ..., и; причем четные перестановки бе-
берутся со знаком плюс, а нечетные — со знаком минус.
Рассмотрим одноточечные тензоры 2-го порядка
Tj=9l®9l. Обозначим
а®6== — (а®1> +Г®а). C.25)
Упражнение 3.8. Доказать, что пространство, по«
рождаемое базисом C.25), является пространством
симметричных тензоров
S==s'/?®5 = s>'7<<8)e7. • C-26)
Пусть теперь образован базис, для любых двух
векторов а, Ь^& которого справедливо
~a<gb= (а®Ь "&®а). C.27)
Упражнение 3.9. Доказать, что пространство, по-
порождаемое базисом C.27), является пространством
антисимметричных тензоров
. C.28)
Упражнение ЗЛО. Проделать все выкладки этого
параграфа для случая одноточечных тензоров т-го
порядка (т>2). #
Тензор, получающийся из данного при перестанов-
перестановках индексов в базисных полиадах, называется изо-
изомером тензора. Например, а — изомер тензора а^
§ 4. Полилинейные формы
В § 2 мы рассматривали линейные функционалы,
действующие в линейном пространстве Ш. Рассмотрим
теперь обобщение линейных функционалов, а именно
полилинейный функционал (или полилинейную фор-
форму), которым называется функционал, зависящий от/я>
векторов fleiS/(/=l, ...,"!) и линейный относи-
относительно каждого аргумента. Например, для -
71

a = ;
III
f(a, a, ... , a, ... , a) = / (a, at... , b, ... , a) +
I 2 I m 12 / m
+ /(а,а,...,",,.., а), D.1)
1 2 / m
/(а", а2, ... ,(аа), ..'. ,~a) = af(a,a, ... , а, ... ,а).
D.2)
Заметим, что, векторы а, фигурирующие в форму-
формулах D.1) и D.2), могут быть выбраны из одного прот
странства 91. В этом случае говор'им, что полилиней-
полилинейный функционал задан на 91. Другим частным случа-
случаем является случай, когда р векторов а выбираются
из пространства 91 A=1, 2, ..., р), а остальные q
векторов {д = т—р) выбираются из пространства 91*,
сопряженного к 91:
/(а,а, ... ,а, а, а,... ,а). , D.3)
12 Р 1 2 q
Полилинейные функционалы типа D.3) называют
функционалами типа (р, q). В частности, как следует
из результатов § 2, функционал типа A, 0) является
линейным функционалом, определенным в простран-
пространстве 91, т. е. вектором пространства 91*.
Упражнение 4.1. Доказать, что каждому линей-
линейному оператору из 91 в 91 однозначно соответствует
билинейный функционал типа, A, 1) и, обратно, каж-
каждому билинейному функционалу типа A, 1) соответ-
соответствует линейный оператор, действующий из 9t в 91. %¦
Выберем в каждом из пространств <#,- произволь-
произвольный базис
ГцТа, .... 7Я/ (i= 1, 2, .... /и). D.4)
Каждый вектор a^Stt можно представить в виде
!=\,2 nt), (t=l,2 m). D.5)
72

Тогда в силу свойств D.1) и D.2) полилинейный (т-
линейный) функционал f можно представить в виде
f(a, a,... ,a) = akmk'...af(kl,k
12 т 1 2 т 12" . т .
(kt=\,2 tit). , D.6)
. Числа, являющиеся значениями полилинейного функ-
функционала f на векторах базиса D.4), обозначим через
**Л..кт = /(f*,;4. • • • . «*J• D-7)
12 m
Упражнение 4.2. Показать, что при переходе к дру-
другому базису D.4)
в*- = В*'*в*(*\А=1,2,...,п?), {(=1,2 m> D.8)
i i i
система величин D.7), определяющая значения поли-
полилинейного функционала f иа новых векторах базиса,
выражается через значения этого полилинейного функ-
функционала на старых векторах базиса по закону
*lV*m m 1*12*2 m*m
Таким образом, всякий полилинейный функционал
f D.6) может быть представлен по формуле
/ (а, а,.... а) = ak>ak* ...ат хкк.. мт, D. Ю)
12 т 1 2 m m
где а'— компоненты вектора а в базисе D.4), а
%*,...*„—некоторые числа, определяющие полилиней-
полилинейный функционал f в базисе D.4), выбранном в каж-
каждом 9li, т. е. правая часть D.10) представляет собой
значение полилинейного функционала на векторах
-*-¦¦-¦¦
а, а, ... ,а.
12т
В частности, если полилинейный (т-лииейный)
функционал задан на Ж, то значения такого функцио-
функционала можно записать также в виде D.10), при этом
о'-- компоненты вектора а в базисе еи ег, .... бп,
i I
общем для всех а.
i
73

Выберем ё каждом из пространств Л/* базис
е*,ё*, ... ,е l U= 1,2, ... ,т). D.11)
Каждый вектор a^St*i запишем в виде
a=akek{k=l,2 п,) <i=l,2, ... ,т). D.12)'
i I I
Опять-таки в силу свойств D.1) и D.2) полилиней-
полилинейный функционал f представим следующим образом:
«- «- «- *- ¦¦- +-4
/ (а, а, ... , a) — Okflk,... akj (е*«, ек;.... , е т)
12 т12 т т 1 2 т
(*,= 1,2, ...,лг). D.13)
Числа, являющиеся значениями полилинейного функ-
функционала f на векторах базиса D.11), обозначим через
xklk""km = f {ек\ е*«, ... ,*ект). D.14)
'12 m
ч Упражнение 4.3. Показать, что при переходе к дру-
другому базису D.11)
?' = A1' ^(i, i'= 1,2,..., па), {а = 1,2 т) D.15)
а а а." ;
система величин D.14), определяющая значения поли-
полилинейного функционала f на новых векторах базиса
D.15), выражается через значения этого полилиней-
полилинейного функционала на старых векторах базиса .D.11)
по закону
X —X « /,Д (,•¦•/> i . t* Ift.luj
1 2 m m
Используем теперь определение многоточечного
тензора, данное в § 3. Сравнивая выражения D.16)
с C.10), а D.9) с C.11), заключаем, что величины
D.7) являются ковариантными компонентами, а ве-
величины D.14) —. контравариантными компонентами
m-точечного тензора. Тем самым каждому полилиней-
полилинейному (m-линейному) функционалу .D.10) или ,D.13)
соответствует многоточечный тензор яг-го порядка
74

^®.-.Об'т. . D.17)
. В частности, каждому полилинейному (т-линей-
ному) функционалу, заданному на Ж, соответствует
тензор (одноточечный) m-го : орядка
В евклидовом пространстве 91 всякий тензор Г
m-го порядка может быть скалярно умножен на век-
вектор а. При этом под [i] -скалярным произведением
тензора Т m-го порядка на вектор a (l<j<m) будем
понимать тензор (тп—1)-го порядка А, образованный
из тензора Т скалярным произведением >тр вектора
базисной полиады на вектор а. Например, [2] -скаляр-
-скалярным произведением тензора Т
Т=tii4i®ei®ek D.19)
на вектор a=a'ei называется тензор А г
А = [2] Т • а = ^*е7® е7{е* а)= ^ца%®ек. D.20)
Аналогично под [t, /]-скалярным произведением
тензора m-го порядка^1 на векторы (а, Ь) A «*'</<:
<т) понимаем тензор (т—2)-го порядка А, получен-
полученный из тензора Т скалярным произведением /-го век-
вектора базисной полиады на вектор а и /-го вектора по-
полиады на вектор Ь. Под полным скалярным произве-
произведением тензора m-го порядка Т на совокупность век-
торов (а, а а) понимается скаляр, образован-
1 2 m
ный из тензора Т скалярным умножением каждого
i-ro вектора полиады на вектор а:
75

A = T ¦ (a, a, .,. , a) = F*' Ч.а,, ... e, . D.21)
~ 1 '2 m 12 mm
Упражнение 4.4. Доказать обобщенную теорему
Рисса: всякий полилинейный (m-линейный) функцио-
функционал в п-мерном евклидовом пространстве ж можно
представить в виде полного скалярного произведения
D-22)
1 m " Г m
где Г — фиксированный тензор m-го порядка, одно-
однозначно определяемый полилинейным функционалом^
И обратно, каждый тензор Т определяет полилиней-
полилинейный функционал.
Упражнение 4.5. Доказать, что можно устано-.
вить взаимно однозначное соответствие между поли-
полилинейными (m-линейными) функционалами на 91 и
линейными функционалами на пространстве т, являю-
являющемся m-кратным тензорным произведением прост-
пространств 01 (т# Ж
§ 5. Внешние формы
Рассмотрим подпространство si- антисимметрич-
антисимметричных тензоров 2-го порядка пространства 52*®52*
(упр. 3.9). В этом пространстве произвольно выбран-
выбранные базисные диады gl <>p обладают свойством
?®е"'=— е?®?. E.1)
Элементы А этого пространства si- назовем внеш-
внешними формами 2-го порядка (степени), а сами базис-
базисные диады E.1) обозначим следующим образом:
^_ а *. *. <_
е/®е>==е/Ле/.
Очевидно,
А=аи Р Л е> = — ан Р Л е>. E.2)
Так как внешние формы 2-го порядка являются
тензорами, то они обладают всеми свойствами тензо-
тензоров и дополнительно свойством E.1) (или E.2)).
Аналогично рассмотрим подпространство Qo прост-
76

ранства Q, образованного m-кратным тензорным про-
произведением /г-мерного пространства Я* на самого се-
себя, т. е.
Q=#*<g>#*<g> ... ®91\ E:3)
При этом считаем, что базисные диады, составленные -
из любой пары векторов 52*, обладают свойством ан-
антикоммутативности E.1) и записываются в виде E.2).
Элементы Ф пространства Qo назовем внешними фор-
формами m-го порядка (степени)
: Ф = (pti...ijh Л ?• Л • • • Л 7т. E.4)
Назовем внешним умножением (произведением) про-
произвольного числа векторов результат альтернирования,
тензорного произведения этих векторов (см. C.24)).
Так, внешним умножением двух внешних форм Ф и
Ч* m-го и р-го порядка соответственно называется
внешняя форма 9 (т+р)-го порядка
E.5)
Справедливы следующие утверждения.
1°. Внешнее произведение т векторов, среди кото-
которых хотя бы два совпадают, равно нулю.
2°. Если Ф — внешняя форма р-го порядка, а Ч' —
внешняя форма <7-го порядка, то
E.6)
3°. При перестановке двух любых векторов, уча-
участвующих во внешнем произведении, знак внешнего
произведения изменяется на противоположный.
4°. Каждая внешняя форма порядка больше чем
п равна нулю (т. е. имеет компоненты, равные нулю).
5°. Число базисных элементов порядка т в я-мер-
ном пространстве равно числу сочетаний из п элемен-
элементов по т: С".
Упражнение 5.1. Доказать справедливость выска-
высказанных выше утверждений Г—5°. #
Существуют различные формы записи внешних
форм. Так, кроме записи внешней формы в виде E.4)
в литературе встречается следующая запись:
Ф-Л...^ [*•...>!. E-7)
77

Рассмотрим для примера внешнюю форму 3-го по-
порядка -
." E.85
Пользуясь свойством E.3), произведем объединение
подобных членов в E.8):
+ Ь231—Ьпз—Ьш—6Ш) ?Ле*лЯ E.9)
Воспользовавшись операцией альтернирования (см.
гл. 1, § 3)', запишем 'E.9) в виде
В = 3! b[i23j ^Ле"аЛ? = Ь1т Рл?Лв». E. Ю)
где 6[i/ft) — альтернированный коэффициент внешней
формы В, антисимметричный относительно всех ин-
индексов. Таким образом, всякую внешнюю форму E.7)
можно представить с помощью альтернированного ко-
коэффициента в виде
= Фк.-..«в'«Л...ЛеЧ E.11)
Назовем внешними формами нулевого порядка
элементы произвольного поля чисел Ж '(скаляров), а
внешними формами первого порядка — векторы про-
странства 3?. Так как множество линейных функцио-
функционалов '(линейных форм) векторного пространства 5?*
Образует векторное пространство 5? (см. § 2), то
внешние формы первого порядка называют линейны-
линейными формами. Систему гиперкомплексных единиц ал-
алгебры Гцассмана образуют единицы нулевого поряд-
порядка — числа поля Ж, единицы первого порядка — ли-
линейные формы, единицы второго порядка — внешние
формы второго порядка и т. д. В качестве элементов
алгебры Грассмана принимаются формально" пост-
построенные полиномы вида
? ?+ ... +<к1..лт е7' Л • • • ЛвЧ E.12)
78

Над этими полиномами устанавливаются кольцевые
операции сложения (почленного) и внешнего умноже-
умножения (прочленное с сохранением порядка членов).
Упражнение 5.2. Доказать, что алгебра Грассма-
на конечна (т. е. содержит конечное число элементов).
Упражнение 5.3. Доказать, что алгебра Грассма-
на содержит 2" базисных элемента, где Л — размер-
размерность векторного пространства 31*.
Упражнение 5.4. Пусть имеются три внешние фор-
формы Ф, 0, Ч^ соответственно порядка р, q, т. Доказать,
что
,?Л§Лу~1— П^+^лвЛФ. • E,13)
Рассмотрим внешнюю форму А, образованную
¦ ¦«- +-
внешним произведением двух векторов х и yt
Значением внешней формы А на векторах а и Ь яв-
является, очевидно, значение билинейного функционала
f, соответствующего А на этих векторах (см. § 4):
ио
аГЫхцу/i— —
a'xt b'xt
а1 Уi V
x(a)x(b)
E.16)
У(а)у(Ь)
Следовательно, значение внешней формы, состав*
ленной из внешнего умножения векторов х и у, на
векторах а и 6 равно определителю, составленному из
значений векторов х и у на векторах а и 6:
x(a)x[b)
УЙ УФ)
Аналогично, значение любой внешней формы
Ф=-*<,Л ...• Ах{
19
E.17)
E.18)

на вектроах att, ..., atmимеет вид
a a ...
Jm\
х{т1=
М ...хг(ат)
••¦xM(am)
E.19)
Рассмотрим базисные кососимметричные полиады
в'пространстве Q E.3), образованном n-мерным век-
векторным пространством 3t:
ех/\е2/\ ... /\еп. E.20)
Пусть теперь в 52* выбран другой базис е'', при-
причем -"
М'=1;2 п).
E.21)
Тогда
^ ... Л'» з Pf Л ... Л V". E.22)
во
L
п|
А'» ... А1*
E.23)
Упражнение 5.5. Доказать, что значением внешней
формы, составленной из внешнего умножения векто-
ров е1' (i =1, ... ,/г)на векторах ei, Является опре-
определитель матрицы A't1 iE.21).
Следовательно, при переходе от одного базиса к
другому E.21) в 9L* базисные полиады пространства
Q преобразуются с помощью определителя матрицы
перехода E.21). #
Назовем е — объектом совокупность величин
е'Л"'т; %t.,..tm (h, h • • • . *««= 1,2 п) E.24)
80

со следующим свойством: ^,...( (или el>m) рав-
равны нулю, если хотя бы два индекса совпадают; рав-
равны + 1, если все индексы различны и образуют чет-
четную подстановку; равны —1, если все индексы раз-
различны и образуют нечетную подстановку.
В силу свойства косой симметрии полиад E.20)
имеем тождество
или по-другому
/и!
E.26)
С другой стороны, ввиду очевидного Тождества
E.27)
согласно E.22) имеем
А ... /Сетг=
*е
Л • • • А *ет. E.28)
Сравнивая E.26) и E.28) и учитывая формулу E.23),
получим '
1г...1„
s6f.t. E.29)
Упражнение 5.6. Доказать, что
gfi.-fm^Q ПрИ т-^>Пш
Упражнение 5.7. Доказать, что при т<п
E.30)
E.31)
Упражнение 5.8. Доказать, что при m<n
6!ltl'.!m =n(n—\) ... {п—т +1)
81

(ilt /2, ... im = 1,2, ... , rt),
откуда, в частности, следует _
'«••'л
E.32)
E.33)
Рассмотрим теперь т (т<я) произвольных векто-
векторов а":
ак=а*е~1 (i=l, 2, .... я,- *=-!, 2, .... т). E.34)
Образуем внешнее произведение этих векторов.
Тогда
>=<4
,.. Л>=<4 • •. <О 5. Л .!.. Л>. E.35)
Альтернированный коэффициент внешней формы А
представляет собой определитель
1
/п!
... а
\т
E.36).
Прн этом элементы этого определителя взяты из мат-
матрицы
E.37)
т. е. из матрицы E.37) выбрано т столбцов.
Покажем, что справедлива
Теорема. Необходимым и достаточным условием
линейной зависимости векторов является равенство
нулю их внешнего произведения.
В самом деле, пусть векторы а" E.34) линейно за-
зависимы. Тогда матрица E.37) является вырожденной,
так как все определители порядка m равны нулю. Сле-
Следовательно, внешнее произведение E.35) равно нулю.
Пусть, обратно, внешнее произведение векторов
J5.34) равно нулю
82

а'Л . • • Лат=О. {5.38J
Тогда коэффициенты в E.35) после приведения по-
подобных членов должны равняться нулю. Следователь-
Следовательно, все определители ю-го порядка равны нулю, а
значит, матрица E.37) — вырожденная и векторы
E.34) линейно зависимы.
Из этой теоремы вытекает
следствие: •
необходимым и достаточным условием линейной
независимости векторов является отличие от нуля их
внешнего произведения.
Упражнение 5.9. Доказать, что всякую систему
линейно независимых векторов E.34) можно допол-
дополнить до базиса, т. е. если имеется m линейно незави-
независимых векторов а1, ..., ат и tn<.n, то можно найти
\п—т) векторов am+I, ..., qn, таких, что
"а1 Л'. • • XWo. • {5.39j
Как следует из результатов § 2, множество линей-
линейных форм, определенных на векторном пространстве
52*, образует векторное пространство 52. Очевидно,
что все высказанные утверждения этого параграфа
остаются справедливыми, «ели в качестве исходного
векторного пространства выбрать М. Так, например,
внешнюю форму m-го порядка Ф, определенную на
52, можно записать в виде
ф = ф'А-'*ед, Л X Л ... Л е1т. .E.40)
Упражнение 5.10. Доказать следующее утвержде-
утверждение (лемма Картана).
Пусть ё1, ..., ет — линейно независимые векто-
-*¦ -*¦
ры. Линейные формы аи ..., ат удовлетворяют урав-
уравнению
тогда и только тогда, когда они имеют вид
a^afi U/=1,2, ...,7i), 15.42)
причем коэффициенты ац удовлетворяют условиям
пц -в/i. Т5.43 J
83

§ 6. Дифференциальное кольцо Картана
В предыдущем параграфе при построении Грас-
смановой алгебры использовалось кольцо (поле) ко-
коэффициентов Ж (внешние формы нулевого порядка).
Рассмотрим теперь в качестве кольца коэффициентов
функции я переменных
а(х\х*,..:,хп). F.1)
Эти функции будем считать в некоторой n-мерной об-
области принадлежащими классу С* (<7>1), т. е. д раэ
непрерывно дифференцируемыми, а следовательно,
обладающими непрерывными частными производны-
производными порядка q включительно.
В качестве базисных элементов выберем диффе-
дифференциалы независимых переменных
dx\ dx2 dxn F.2)
и будем смотреть на них как на абстрактные едини-
единицы. Всякую внешнюю форму, построенную на этих-
единицах, например
«=»«,...?„ (х1 x»)dxb Л • • .A dxim, F.3)
назовем внешней дифференциальной формой т-го по-
порядка. Очевидно, внешние дифференциальные формы
обладают всеми свойствами внешних форм и потому
для них справедливы все утверждения, высказанные
в предыдущем параграфе. Грассманова алгебра, по-
построенная на базе внешних дифференциальных форм,
носит название дифференциального кольца Картана.
В этом кольце введем операцию внешнего диффе-
дифференцирования по следующим правилам.
1°. Внешний дифференциал от функции F.1) опре-
определяется как обычный дифференциал этой функции
cra^da=-^-dx'(i=l,2,...,n). F.4)
2°. Внешний дифференциал от внешней дифферен-
дифференциальной формы F.3) определяется так:
да,
." dx'Л dxh Л •.. Л dx1™. F.5)

Таким образом, операция внешнего дифференцирова-
дифференцирования увеличивает порядок внешней дифференциальной
формы на единицу.
Легко установить основные свойства внешнего
дифференцирования.
1\ Внешний, дифференциал алгебраической суммы
двух внешних дифференциальных форм равен алгеб-
алгебраической сумме внешних дифференциалов этих форм
?>(ю±8)=*?>ю±'?>е, F.6)
где форма со имеет вид F.3), а
6 = Ьи.. лт (хх,..., *")'<&<• А ... Л Же'». F.7)
В самом деле, из F.3) и F.7) следует, что
© ± в = (ак...,т ± bit..jj <&'• Л .«• Л <&'», F.8)
а из правила Г ^внешнего дифференцирования —
® (ю ± в) = (dak..Лт + dbk...Q Л d^'^ Л ... Л 4х{*.
F9)
Отсюда и следует форма F.6).
2°. Пусть внешняя дифференциальная форма <й име-
имеет порядок т F.3). Тогда внешний дифференциал от
внешнего произведения формы со на некоторую дру-
другую ф подсчитывается по формуле
2>'(<оЛч>) =2)юЛф+ (—1)тсоЛ^ф. F.10)
В самом деле, пусть для определенности внешняя диф-
дифференциальная форма <р имеет порядок q
Ф = ?/,...//х'''Л .../\dx!4. F.11)
Тогда
3) {Oit...imdx^ А .. Л dx1™ Л ch...lqdxi* Л ... Л йх!я =
lq
m , и. ¦ im d%. ig) Л dx^ Л • • • Л ^fl'm Л
. • • Л <Ы<\ = dmt...im Л dxl> Л ... Лdxl™ Л
.../\dxi'*/\dch...,4/\dxi</\.../\dxl9. F.12)
85

3°. Второй внешний дифференциал от внешней
дифференциальной формы тождественно равен нулю
(теорема Пуанкаре).
•25.0cus=O. F.13)
Пусть ю имеет вид F.3). Тогда ее внешний диффе-
дифференциал подсчитывается по формуле F.5). Диффе-
Дифференцируем выражение F.5) внешним образом:
2®» = /^"'"Ж^ЛЖеУАЖ* Л ... Л Ж;'» . F.14)
ОХ10Х*
В силу предполагаемой Падкости функций F.1)
¦'-'»•- ''•••'"•. F.15)
dxidx*
Однако внешняя форма dxk Л dx? Л dx^ ... Л dxtfn
кососимметрична по индексам k и /. Отсюда следует
F.13).
Упражнение 6.1. Доказать, что если внешний диф-
дифференциал некоторой внешней дифференциальной фор-
формы ю равен нулю, то форма <а сама является внеш-.
ним дифференциалом другой внешней дифференци-
дифференциальной формы.
Упражнение 6.2. Пусть задано невырожденное пре-
преобразование
1=1,2 я). F.16)
Доказать, что базисные внешние формы
Ж^ЛЖ^А"... f\dxin F.17)
преобразуются из старых базисных внешних форм
dx!l Л •.. ЛЖс1» F.18)
с помощью якобиана преобразования F.16)
dxv Л •••
У
dxlA...dxn.
Дифференциалы независимых переменных мы рас-
рассматриваем как функции независимых переменных
dx{=l4x\.,.,x«), .F.19)
86

?>то означает, что Мы рассматриваем векторные и
тензорные поля, определенные в некоторой точке
арифметического пространства с координатами х\...
..., хп. Точнее говоря, мы имеем дело с многообра-
многообразием, строгое определение которого будет дано позже.
Введем т символов дифференцирования
d,...,d. • F.20)
1 т
Каждый из этих символов определяет направление
смещения. Условимся, что два символа дифференци-
дифференцирования перестановочны
ddxk = ddxk. F.21)
ар pa
Тогда дифференциал функции F.1) имеет вид
-dx
дх* а
F.22)
ч Рассмотрим выражение dda(&, ••• »**)• Очевид-
Очевидно,
d
дхкдх1 а
дх*
F.23)
Отсюда видно, что'если символы дифференцирования
F.21) перестановочны для независимых переменных
F.19), то они перестановочны и для функций.
Упражнение 6.3. Шказать, что свойство переста-
перестановочности для символов дифференцирования не за-.
висит от выбора независимых переменных. #
Значением внешнего произведения
dxilЛ ... Adx1™
на дифференциалах ¦ "
dxlt dxlt ... tdx?
1 2 r m
естественно назвать выражение (см. упр. 5.5)
... dx1"
ml
dx1' ... dx1™
[1 m]
l ' l
dx'1 ...dx''"
F.24)
F.25)
F.26)
87.

а Значением внешней дифференциальной формы й
' F.3) на дифференциалах F.25) —
ю (d, ...», d) =ак..лтdxl> ... d*4 F.27)
1 т [1 m]
(, ) к.лт
1 т [1 m]
Вычислим значение внешней • дифференциальной
формы F.5) на дифференциалах F.25)
да, ,
3><o(d d)= '••"¦ dx' Adx^A ...Adxi"> =
1 «m OX> о 1 m
= dau i dx^dx1* ...dx1™ =d(ais i dx^ ... dxim).
[0 ml 2 " mj |0 ml mj
F.28)
Отсюда видно, что значение формы SDm на дифферен-
дифференциалах F.25) равно значению 'формы ю на диффе-
дифференциалах . d,d, ... ,d
U 1 tn
3>(x>(d, ... ,d)==©(d,d, ... ,d) = dw(d d).
1 m 0 1 m [0 1 m]
F.29)
Пример 6.1. Рассмотрим линейную Дифференциаль-
Дифференциальную форму *
a^Pdx+Qdy. F.30)
Подсчитаем ее внешний дифференциал
-(-^-|-)лл^ F.31)
Значением формы F.30) на дифференциале б явля-
является выражение
G>(b)=Pbx+q8y. F.32)
Из формулы F.29) имеем
(б) = © (б, б) = 2бм (б) = б© (б) —б© (б) =
12 [1 2] 1 2 2 1
= ЬРЬх + l>Qby—bP&x —&Q6y =
12 12 2 1 2 1
= ("Г—Г") (Ьх&у-Ьх&у). F.33)
88

Упражнение 6.4. Доказать, что внешняя диффе-
дифференциальная форма равна нулю тогда и только тог-
тогда, когда тождественно равно нулю ее значение.
Упражнение* 6.5. Доказать, что при значении
формы <а, равном нулю, интеграл
м
<o(d) F.34)
между двумя точками Мо(хо1, ..., *от) и Mi(xi\...
..., Х\п) не зависит от выбора пути интегрирова-
интегрирования. #
Больщое значение имеют внешние дифференци-
дифференциальные формы при изучении многократных интегра-
интегралов, Ввиду того что замена переменных в интеграле
приводит к умножению подынтегральной функции на
якобиан матрицы соответствующего преобразования,
естественно записывать многократные интегралы 8
виде
f ak..
m (*» х») dxh Л ... 'Л d*'«» = f ©, . F.35)
m f
. . В
С помощью внешних дифференциальных форм можно
доказать
Теорему:
Пусть в п-мерном пространстве задан п-мерный
объем V, ограниченный замкнутой поверхностью 2 с
выбранной ориентацией. Пусть дана внешняя диффе-
дифференциальная форма п-го порядка
® = att...indxtl Л •, • Л фс'". F.36)
Тогда справедлива формула Стокса
F.37)
= f®.
2
Упражнение 6.6. Убедиться, что из F.37) следует
формула Грина
Я (?) ,6.38)
(положив (о по формуле F.30)).
89

Упражнение 6.7. Убедиться, что из F.37) сле-
следует формула Остроградского
дх ду дг )
= I I' {Pxdydz + P2dzdx + PJxdy), F.39)
(положив
a^Pidx + Pidy+Psdz). ф F.40)
С помощью внешнего дифференцирования легко
объяснить, .почему криволинейные координаты мы
снабжаем верхним индексом а'. Рассмотрим евкли-
евклидово пространство &п. Дифференциалы независимых
переменных--da' являются контравариантными ком-
компонентами вектора (гл. 1, упр. 2.3). Поэтому по опре-
определению
dai=g,.idai {i, /=1, 2, .... п). F.41)
Для того чтобы наряду с системой координат а*
существовала система координат щ, необходимо, что-
чтобы левая часть F.41) была полным дифференциалом^
т. е. второй внешний дифференциал от а» по теореме
Пуанкаре должен обращаться в нуль
dgnAdal-0. . F.42)
Отсюда по лемме Картана
JL=JL F.43)
За* да) v
или (см. гл. 1, упр. 2.11)
Г*г,/=1>,*. F.44)
Итак, условия F.43) или F.44) — необходимые
и достаточные условия существования координат хц.

ГЛАВА 3
ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ
ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Формы записи тензоров
Рассмотрим прежде всего тензоры второго ранга
в трехмерном евклидовом пространстве 5?з, ибо имен-
именно такие тензоры чаще всего встречаются в приложе-
приложениях. Пусть в Мз выбрана система координат а' (?=
= 1, 2, 3) и построена в каждой точке система базис-
йых векторов ei, связанная с этой системой коорди-
координат (см. § 1 гл. 1), Тогда, вводя фундаментальный
тензор
??ifr "¦¦)
можем построить в каждой точке" &¦& взаимный репер
?=?'¦?/. • A.2)
Если теперь в #з задан тензор второго ранга
Т, то его можно в каждой точке представить одним
из следующих способов:
Т j i 7
= F;iI®^. A.3)
Нетрудно видеть, что
T4'=-Tuglkgil=Tkigu'='Tlkg'4. A.4)
Разумеется, что в 01% можно выбрать в каждой точке
произвольный локальный базис щ, не связанный с
системой координат а' (неголономный базис, приме-
ром-которого является базис е'). При этом предпола-
предполагается, что заданы функции Q^(a'» °2« °3г) перехода
tit от некоторого голономного базиса;
91

A.5)
Тензор 2-го ранга Т может быть представлен и в
этом неголономном базисе
. A.6)
причем
tiiQ.kQ.i^fki A J)
Мы уже встречались с операцией скалярного про-
произведения тензора Т на вектор а, в результате чего
' получается вектор. Если тензор Т не симметричен, то
это скалярное произведение некоммутативно
7-ТфТ-а. A.8)
В литературе встречается и такая запись указан-
указанного скалярного произведения:
Га; Т.а. A.9)
При этом первое выражение в A.9) означает, что век-
вектор а умножается скалярно на первый вектор базис-
базисной диады тензора Г, а второе — что вектор а умно-
умножается на второй вектор диады. В такой записи пол-
полное скалярное произведение тензоров Т и Р имеет вид
T:P=t4pti. ~ ~ A.10)
При этом верхний значок скалярного умножения ука-.
зывает на то, что умножаются первые векторы днад
тензоров Т и Р, а нижний — что умножаются вторые
векторы этих диад. Точно так же запись
означает, что первые векторы диад тензоров_Г н Р
умножаются тензорно, а вторые — скалярно.
В результате умножения A.11) получится тен-
тензор S:
s4=Pkpik'. ' A-12)
Для того чтобы записать скалярное произведение
Двух тензоров Т и Р, в котором участвует первый век-
вектор диады Р и второй вектор диады Т, нужно снача-
сначала транспонировать тензор Т, а затем воспользовать-
воспользоваться записью A.9): 7" Р. Знак тензорного умножения,
при этом часто опускают:
92

S - T • P==tikeiek ¦ pt'etei^ Hp^e,. AЛЗ)
Заметим, что записью A.8) можно воспользовать-
ся, чтобы одному вектору а поставить в соответствие
другой вектор Ь:
. Ь=Тм. A.14)
Тем самым тензор второго ранга ? A-3) можно рас-
рассматривать как преобразование вектора в вектор. Это
третье определение тензора (считая первым определе-
определение с помощью преобразования его компонент C.14)
главы 1, а вторым «бескоординатное» определение,
данное в § 3 гл. 2).
Заметим также, что запись A.14) носит инвари:
антный характер и не зависит от координат. В ней
тензор jT — не матрица его компонент, как было в За-
Записи E.2) гл. 1, а инвариантный объект, не связан-
связанный с выбором того или иного базиса.
Поэтому такая запись, так же как и A.8), A.9),
A.11), называется безындексной записью. При такой
форме записи не нужно обращаться к выбору системы
координат, что и определяет ее инвариантный ха-
характер.
1 Замечание. В дифференциальной геометрии построение урав-
уравнения структуры в методе подвижного репера заключаете* в слб"
дующем. В произвольной точке М пространства Ж* выбирается.
репер щ (тройка некомпланарных векторов). Определяется ии-
финнтезимально близкий к этому реперу трехгранник приращени-
приращением радиус-вектора вершины dr и векторов репера dn,.
Таким образом, имеем систему уравнений
В частности, для го л оно много репера, связанного с системой
координат а',
dr-eida'; <Ге<=Г'«<*а*е/. A.16)
Пусть теперь справедливы формулы A.5) связи неголономно-
хо репера m с голономным е<. Подставляя A.5) в A.15) и срав-
сравнивай с A.16); получим
A.17)
dQ,*=(?>№,*—Qi"Q/mr?B<»'.
Если система координат а' является прямоугольной декарто-
декартовой, то
d'Qi; dQ,J>=a,iiQik. A.18)
93

Пусть дан тензор Т. Для него справедливы формулы A.7), при-
причем J4=const. Дифференцируя выражение A.7), пелучим урав-
ненне
O, A.19)
которое носит название структурного уравнення тензора.
Упражнение 1.1. Доказать, что для матрицы Pj,
обратной к Qt1, справедливо уравнение
dPii=—P^(nJ. . A.20)
Упражнение 1.2. Вывести структурные уравнения
O, A.21)
. A.22)
Упражнение 1.3. Доказать, что интегралом урав-
уравнений A.19) является A.7).
Упражнение 1.4. Доказать, что интегралом урав-
уравнений A.21) и A.22) являются соответственно вы-
выражения -
tPlPi T A.23)
A.24)
При исследовании различных физических вопро-
вопросов, связанных с исследованием алгебраических
двойств тензора 4-го ранга, часто бывает удобно пе-
рейтн от трехмерного тензора 4-го ранга к матрице
9-го порядка, элементы которой, как у всякой матри-
матрицы, зависят от двух индексов. Этот переход осущест-
осуществляется путем замены пары индексов ij ((, /=1, 2, 3)
одним индексом а (а=1, 2, ..., 9). Тем самым каж-
каждому трехмерному тензору 2-го ранга ставится в со-
соответствие девятимерный вектор. Если тензор 2-го
ранга симметричен, то ему соответствует шестимер-
шестимерный вектор, а тензору 4-го ранга, симметричному по
первой и второй паре индексов, — шестимерный тен-
тензор 2-го ранга. При этом стараются сохранить соот-
соответствие между одним из инвариантов тензора Тц и
инвариантом шестимерного вектора i:
TyP'-M» .(W=l,2,3;? = l,...,6); .A.25)
поэтому полагают
*1=*Щ ^2=^22» ^3 — ^88»
и. A.26)
94

Упражнение 1.5. Доказать, что всякий тензор 2-го
ранга Т можно представить в виде суммы двух тен-
тензоров симметричного S и антисимметричного А
T=S+A. ф A.27)
~* ** г**
Очевидно, что в евклидовом пространстве можно
выбрать ортонормироваиный базис ki, в котором раз-
различие между ковариантными н контравариантными
компонентами векторов и тензоров исчезает. Поэтому
в таком базисе тензорные соотношения могут быть
записаны,-как уже указывалось, только при помощи
одних нижних индексов. Например, для вектора а в
ортонормированном базисе ki можно записать
~ A.28)
а тензор, скажем, 2-го ранга а
A.29)
где суммирование производится по повторяющимся
нижним индексам. Фундаментальная матрица, соот-
соответствующая этому базису, будет единичной и запи-
записывается с помощью символов Кронекера (щ.
§ 2. Псевдотензоры
В главе 2 были установлены свойства е-объектов,
согласно которым, например, определитель матрицы
Оц (обозначим его через \а\) имеет вид
| а! = в{,иа\ М\ I a | <?mnZ = etjk alm dn a*
(i,/, k= 1,2,3). B.1)
Умножая второе соотношение B.1) на emn' и сумми-
суммируя по индексам пг, п, I от 1 до 3, получим
Из формул E.29) гл. 2 имеем для трехмерного случая
95

e'i*ei/»=2fti'-6. B.3)
Обозначим через Aim алгебраическое дополнение к
элементу ате'. Так как по определению
то из формулы B.2) имеем
\ ? "* Л (/Я я f * \ * /
2
Умножая B.5) на fls', суммируя по I и воспользовав-
воспользовавшись второй формулой B.1), получим теорему Кра-
Крамера
B.6)
Введенные е-объекты позволяют проводить анали-
аналитические выкладки с определителями. Так, например,
пусть нам нужно подсчитать,определитель разности
двух матриц а{а{1} и Ь {&/'}. Как и прежде, обозна-
обозначим след матрицы а через (а). Воспользовавшись фор-
формулой B.2), запишем
\Ь\: B.7)
Здесь В — алгебраическое дополнение матрицы Ь.
-*¦-*¦-*¦
Обозначим значение внешней формы а/\Ь/\с на век-
торах базиса е\, е^, вз через
S(aAbAc). B.8)
-*¦ •*
Рассмотрим два вектора а, Ь. Их векторным про-
произведением называется такой вектор с,
с=оХб7 B.9)
что для любого вектора *е=52з значение внешнего про-

изведения векторов а, Ь, х
S(aAbAx)=c^x. B.10)
Пусть, например, в качестве векторов а и b вы-
выбраны векторы ортонормированного репера k\ и k%, a
-». -»•
в качестве х — вектор &з- Тогда из формулы B.10)
получим
"с-?3=1. B.11)
-»¦ -»¦
Таким образом, вектор с совпадает с вектором кг,
%=\х%. B.12)
Если вектор х выбрать лежащим в плоскости векто-
ров а и Ь, to правая часть B.10) обратится в нуль.
Следовательно, вектор с B.9) ортогонален к векто-
->¦ "*•¦
рам оиб.
Ранее было установлено, что при переходе от од-
одного базиса к другому по формуле
7r=X*r7t; ?,= У!'7|. B.13)
внешнее произведение векторов базиса преобразуется
по закону
AA?2A?3- B.14)
Если в качестве ei взять ортонормированный репер
ki, ТО
S Gс Л в/' Л ek') = Vgei-i-k', B.15)
так как
}* B.16)
(см. гл. I, F.44)). Поэтому значение внешней формы
at\b/\x на векторах ортонормированного репера ki
имеет вид
8(аАЬЛх) = е{,ка1Ь1хк,. BЛ7)
4 Б. Е. Победря 97

а на векторах репера е,-, полученного из ортонормиро-
ванного преобразованием B.13), —
B.18)
Сравнивая B.18) с правой частью B.10), получим
7 = aXb=Vge{,kalbllk,- B.19)
так^как
, ~c-x=ckxk; 7=Ckek. B.20)
Упражнение 2.1. Определив значение внешней
формы B.8) на векторах взаимного репера е1, дока-
доказать, что из определения B.9), B.10) следует
c=ax6=-^-=-e'/*flj6/S. B.21)
: У В
Упражнение 2.2. Пользуясь "определениями B.19),
B.21) и формулами B.3), доказать,.что
= b(a-c)—c(a-b), B.22)
Рассмотрим тройку некомпланарных векторов аи
—*
Построим другую тройку векторов а1 по формулам
«г?1 B>23)
или
fl = —. a2= p—, a3 = jp-, B.24)
где ' •- -* -*
V^S{al/\a2/\a3). B.25)
Умножим скалярно обе части равенства B;23)
на ас
i = WsUbb/tf) = №**#« _* B.26)

Тройки векторов, обладающие свойством B.26),
называются взаимными. В частности, если е,- — трой-
тройка векторов репера, то нз формул B.19) и B.23) вы-
вытекает
JX*. B.27)
Упражнение 2.3. Доказать справедливость форму-
формулы
T,= ^etl?x?. • B.28)
Умножим B.27) на e,mn и просуммируем по L
Воспользовавшись второй формулой B.3), получим
7=
отсюда
B.30)
Упражнение 2.4. Доказать, что
Сравнивая формулы B.19) и B.20), видим
. B.32)
Умножим теперь B.32) на eklm и просуммируем по к.
Тогда, воспользовавшись формулой B.3), получим
—^=-eklmck. J2.33)
Следовательно, векторное произведение aXb мож-
можно представить в виде кососимметричного тензора
2-го ранга, компонентами которого являются величи-
величины, стоящие в левой части соотношений B.33). Вооб-
Вообще, любой кососимметрнчный тензор 2-го ранга мож-
можно представить в виде вектора и, обратно, каждому
вектору соответствует кососимметричный тензор 2-го
ранга.
Пусть а'1 — компоненты кососимметрнчного тензо-
4* 99

pa 2-го ранга \аЧ=—а1!). Тогда
а11 = — (а11—а11) = — (б^ Ь'т —
= —eki>eklmalm. B.34)
Обозначим '
ak~V~8 ekimalm- B.35)
Тогда из B.34) следует
1 1
1 nil , _ GK4rt. I / Лг\\
2 4l/^-
Следовательно, взаимно обратное соотношение
между вектором а и кососимметричным тензором вто-
второго ранга а представлено соотношениями B.35) и
B.36). Правда, нужно еще доказать, что величины
B.36) являются компонентами тензора а и всякий ли
вектор можно, представить в виде B.35). (Ведь в век-
векторном анализе вектор, который является векторным
произведением двух полярных векторов, называют
осевым (аксиальным) вектором.) В самом деле, во-
вопрос о тензориальности величин B.35), B.36) нужда-
нуждается в уточнении.
Прежде всего заметим, что соотношение B.1)
eitka\,a\, a*, = \а\еГГк' B.37)
можно рассматривать как преобразование компо-
компонент е-зкстенсива гци при переходе от одной систе-
системы координат к другой .B.13). Поэтому е-объект, во-
вообще говоря, тензором не является. Однако ввиду
большого распространения величин типа B.37) в фи-
физике придумано специальное название — относитель-
относительные тензоры.
Предположим, что det | Х[. |>0, тогда экстенсив
2-го ранга
B.38)
называется относительным тензором веса р, если при
переходе от одной системы координат к другой B.13)
компоненты этого тензора преобразуются по закону
\\yX',Yi'Q{. B.39)
100

Относительный тензор веса нуль называется истин*
ным тензором нлн просто тензором. Нетрудно дать
обобщение этого определения на относительные тен-,
зоры любого ранга н произвольной размерности про-
пространства Шп. Таким образом, е-объект является от-
относительным псевдотензором 3-го ранга веса — 1.
Упражнение 2.5. Доказать, что экстенсив, компо-
компонентами которого являются величины е'**, является от-
относительным псевдотензором 3-го ранга веса +1. ф
Легко видеть, что для метрического тензора gii
gn,=X\,Xilgii, B.40)
поэтому
\, B-41)
откуда следует, что величина Vg — относительный
скаляр веса 1.
Упражнение 2.6. Доказать, что тензорное произ-
произведение двух относительных тензоров, один из кото-
которых имеет вес +р, а другой —р, является истинным
тензором. _
Упражнение 2.7. Доказать, что величины Vi eljk
и _ ellk являются компонентами истинных тензо-
ров 3-го ранга, которые называются тензорами Леей-
Чивиты. ф
Всюду ранее мы предполагали, что преобразова-
преобразование B.13) — непрерывное, т. е. непрерывно, может
быть получено из тождественного. Если же это не так,
то det|A|., | может быть и отрицательным. Обозначим
через' \Х\, | абсолютное значение det|X\, |:
|X|,|a|det|X{,||. B.42)
Пусть х — знак определителя det|Xt(,|
х == sign det \X\,\. B.43)
Дадим' определение, обобщающее B.39). Пусть
дан экстенснв
P = {Pil-Cmi,..in}- B.44)
101

Экстенсив Р B.44) называется относительным псевдо-
псевдотензором (т+п)-го ранга веса р, если при переходе
от одной системы координат к другой B.13) компо-
компоненты этого экстенсива преобразуются по закону*
' ' /» in i
i\...fn ~% '' h '" ln '¦« " '
...?\тРи'тп...1п. B.45)
Если х=1, то /^называется относительным тензором
(пг+п)-го ранга веса р.
Относительный псевдотензор веса нуль называется
истинным псевдотензором или просто псевдотензо-
псевдотензором, а относительный тензор веса нуль — абсолют-
абсолютным тензором (или истинным, или тензором).
Упражнение 2.8. Доказать, что величины
являются компонентами абсолютного тензора шестого
ранга, трижды 'ковариантного и трижды контравари-
антного. #
В случае, если допускается значение и=—-1, счи-
считаем, что
g-\det\g{f\\. B.46)
Упражнение 2.9. Доказать, что величины
V g eijk и г— eilk являются компонентами псевдо-
у е
тензора 3-го ранга ковариантного и контравариантно-^
-го соответственно. #
С помощью полученных формул B.23) можно до-
доказать следующую теорему (см. гл. 1, § 6).
Теорема. Всякий тензор 2-го ранга Т можно пред- -
ставить в 5?3 суммой трех диад, в которых в качест-
качестве первых или вторых векторов диад можно выбрать
три произвольных лшейно-неЪависимых вектора.
Для доказательства выберем три произвольных
некомпланарных вектора а,- и положим
Т^ = Ь7. B.47)
Построим- три вектора а1 по формулам B.23) или
B.24). Тогда тензор Т можно представить в виде
* При этом вид самого экстенсива Р также меняется.
102

B.48)
В самом деле, умножая скалярно B.48) на а,-
справа, получим в силу B.26) выражение B.47). Но
тензор, удовлетворяющий условию B.47) для двух
фиксированных троек векторов- aL и bit может быть
только один. Предполагая противное, для V имеем
' T'.at = bt. B.49)
Следовательно,
(Т— Г)-~п1 = 0. B.50)
Но тогда тензор Т—Т при скалярном умножении
справа на произвольный вектор с даст нулевой век-
вектор, ибо всякий вектор с можно единственным обра-
образом разложить по векторам а,-. Поэтому тензор Т—7^
является нулевым, что и требовалось доказать.
Упражнение 2.10. Доказать последнее утверж-
утверждение, а именно: если при скалярном умножении за-
заданного тензора Т на произвольный вектор с
Г-е=0, B.51)
TOjs=0.
Упражнение 2.11. Провести доказательство тео-
теоремы, умножая векторы с,-- слева на тензор Т. #-
§ 3. Инварианты тензора второго ранга
Из соотношения B.6) следует, что для произве-
произведения матриц А и а справедливо соотношение
Аа=3\а\. C.1)
При этом формулу B.4) в матричном виде можно
представить так: •
А = -04-: C.2)
да
Упражнение 3.1. Доказать, что для симметричной
матрицы справедливы соотношения
№

д(а*)
да
да
C.4)
C.5)
Упражнение 3.2. Обобщая предыдущие формулы
для n-й степени матрицы а
ЕО/ flij . . . flfn-1flf , (О.Ь)
sai'e,- . ..a"-iar , C.7)
доказать, что
да
C.8)
Упражнение 3.3. Обобщить формулы C.3), C.4),
C.5) и C.8) на случай несимметричной матрицы
а. # •
Раскрывая формулу B.2), получим
: 6L б!
Ь'т Ч
т On
б? 6^ б/) а^ а«а»-
отсюда
(/j/\3 i 9/7^ qP1 dn 3fl^
/' fl I fit fl
1 f / \ q
C.9)
C.10)
Дифференцируя выражение C.10) согласно C.2)
и используя соотношения C.3) — C.5), получим
А = а*+-\-{аУ&-+г{а*)$-{а)а. C.11)
Подставляя C.11) в формулу C.1), получим
± \a\&. C.12)
104

Выражение 'C.12) иосит название формулы Гамиль-
Гамильтона — Цели.
Согласно этой формуле любую степень матрицы
выше второй можно выразить. через первые две сте-
степени матрицы а и единичную 2f, причем коэффициен-
коэффициентами являются полиномиальные функции от следов
матриц а, а2 и а3. Из этой же формулы следует, что
след любой степени «>3 матрицы а C.7) может быть
выражен в виде полиномиальной функции через сле-
следы матриц а, а2, а3. А так как всякий тензор 2-го ран-
ранга в каждой точке Ш% имеет компонентами матрицу
второго порядка, то всякий симметричный тензор вто-
второго ранга S имеет три независимых алгебраических
инварианта *. В качестве этих инвариантов можно
выбрать величины
<s),(s*), <s3) или<«>, <s*>, \s\ C.13)
и т. д., где под s будем понимать матрицы," образую-
образующие, вообще говоря, смешанные компоненты тензора
^=s№®7,, C.14)
т. е.
( s2) = s, V=gllgklSaSki=si,sic=gugkjs4skl;
= gugkngmjSi>SktSmn;
61S\ = e4mn Sj S/1 Sfe = 8eW eimnSil S>m Skn =
± '. C.15)
Под следами (S), E2), E3) понимаем следы соот-
соответствующих матриц C.15), вычисленные в каждой
точке М пространства #3. При этом из соотношений
A.4) видно, что
sii=skiglk = slkgkK C.16)
Пусть с помощью тензора Т задается преобразо-
вание, т. е. каждому вектору ае#з ставится в соот-
соответствие некоторый вектор
* Вопрос о функционально независимых инвариантах будет
рассмотрен в § 3 гл. 4.
105

Ь=*1-а C.17)
—>
или, разлагая векторы и тензор по базису et,
l^*e*; ~Zre*k=W. C.18)
Следовательно,
blei = ttfale'i, C.19)
или
6' = /г,а/. ' C.20)
Преобразование C.20) задается в каждой точке М
пространства Мз-
Отыщем теперь такой вектор а, который'йосле пре-
преобразования C.17) в некоторой точке М остается кол-
линеарным самому себе, т. е. не поворачивается:
^=ЯоТ Ь'^Ха1. C.21)
Такой вектор называется собственным вектором
тензора Т, направление собственного вектора — глав-
главной осью тензора Т в точке М, а число Я, называется
собственным значением Г в точке М. Согласно C.-20)
и C.21) имеем .
(№,—#1H1 = 0. C.22)
Для нахождения собственных значений нужно ре-
решить систему алгебраических уравнений C.22) отно-
относительно компонент вектора а. Эта система однород-
однородная. Следовательно, определитель этой системы нуж-
нужно приравнять нулю. В матричной записи имеем
Р&)ш*\ХЗГ—*|=0, , C.23)
где Р(Х) — характеристический полином. Найдем его
корни. Для этого воспользуемся формулой B.7)
4 Р(к) = \ХЗГ—t\=X3—X2(t)+k(T)—\t\=Q, C.24)
где Т — алгебраическое дополнение матрицы t.
Заметим, что характеристический полином не из-
изменяется при любом преобразовании подобия Q (см.
§ 6 гл. 1). В самом деле, пусть
?=QtQ-\ C.25)
тогда
106

t\.' C.26)
Таким образом, характеристический полином инва-
инвариантен по отношению ко всем преобразованиям по-
подобия. Поэтому всякий тензор Т имеет три независи-
независимых инварианта ' •
(*), Ю, \t]. . C.27)
Согласно основной теореме алгебры уравнение C.24),
как » всякое кубическое, имеет три корня. Sfcp кор-
корни и являются собственными значениями тензора Т в
точке М. Если тензор Т симметричный, то корнн явля-
являются действительными. В самом деле, обозначим че-
рез а* вектор, комплексно сопряженный к вектору а
(т. е. компоненты образуются из а,- комплексным со-
сопряжением). Умножим равенство C.22) на а? и про-
просуммируем по I. Получим
Xaiai* = ti'alat*. C.28)
Производя теперь операцию комплексного сопря-
сопряжения над левой и правой частью C.28) и учитывая
симметрию тензора Т, получим
•k*ai*ai = tilai*a'\ C.29)
из сравнения C.28) и C.29) вытекает, что
%=%*. C.30)
Далее, предположим, что %\ — собственное значе-
значение, соответствующее собственному вектору а(о, a
%2 — собственное значение, соответствующее собст-
венному вектору aB>. Тогда •
tj'a'd^Ua'd); ^M^MW C.31)
Умножим первое равенство C.31) на а<2м, а второе
равенство C.31) — на u(du просуммируем по i и выч-
вычтем одно равенство из другого. Тогда получим
(%г—X2)a1(i)aB)i = 0. C.32.)
Отсюда следует, что при %\ф%2
giia{(l)a!i2) = 0, C.33)
т. е. собственные векторы симметричного тензора
Т, соответствующие различным собственным значе-

ниям, взаимно ортогональны. Поэтому если все соб-
собственные значения симметричного тензора Т различ-
различны, то он имеет три взаимно ортогональных собствен-
собственных вектора, которые можно считать единичными (оп-
(определены с точностью до константы). Эти три вектора
могут быть выбраны в качестве локального репера
в точке М. Если система координат в 9t% ортогональ-
ортогональна, то три собственных вектора тензора Т могут слу-
служить базисными векторами для всего пространства $з>
а м^рица //', выражающая тензор в этой системе ко-
координат, будет диагональной. В случае общей криво-
криволинейной системы координат матрица t,' является диа-
диагональной, вообще говоря, только в точке М.
§ 4. Поверхность Коши
Со всяким симметричным тензором второго ранга
Т в каждой точке М можно связать центральную по-
поверхность 2-го порядка. Рассмотрим в точке М квад-
квадратичную форму
2f=tijXlxi. D.1)
Очевидно, что поверхность
f= const D.2)
является либо эллипсоидом, либо гиперболоидом (или
их вырождением). Поверхность f D.2) называется тен-
тензорной поверхностью тензора Т или его поверхностью
Коши в точке М. Из D.1) следует, что
или
#=gradf. . D.4)
Таким образом поверхность D.2), соответствующая
квадратичной форме D.1), связанной с тензором S,
допускает следующее геометрическое толкование. Вся-
Всякому вектору
"дс -x% D.5)
поверхность Коши ставит в соответствие вектор
У=У1в1, . D.6)
причем для него справедливо выражение D.4).
108

Пусть, например, поверхность Коши тензора Т яв-
является эллипсоидом (рис. 9). Очевидно, что если три
полуоси этого эллипсоида имеют различные значения,
то существуют только три взаимно перпендикулярных
направления, по которым вектор х коллинеарен век-
вектору у. Эти направления и называются главными на-
направлениями тензора Г в точке М.
Пусть теперь Т — произвольный симметричный тен-
тензор в 9L%. Рассмотрим соответствующую ему в точке
Рис. 9
М квадратичную форму D.1). Найдем экстремальные
значения функции / на единичных векторах х, т. е.
при дополнительных условиях
giixix>=l. D.7)
Для решения поставленной задачи на условный экст-
экстремум воспользуемся методом Лагранжа, т. е. разы-
разыщем экстремум функции
F=*2f—%\guXlxi—\). D.8)
Для этого приравняем нулю частные производные
этой функции
ох?
Умножая левую часть D.9) на gu и суммируя nof,
получим систему C.22), а значит, для определения
109

экстремальных значений тензора Т в точке М нужно
решить характеристическое уравнение C.24), т. е.
экстремальными значениями тензора Т являются его
главные значения.
В главных осях уравнение D.2), таким образом,
имеет вид
U (*1J+Я2(*2J+V(*3J=const. D.10)
Если все h>0, то поверхность Коши является эл-
эллипсоидом.
Итак, всякий симметричный тензор 2-го порядка Г-
порождает в каждой точке М преобразование, перево-
переводящее всякую сферу в поверхность 2-го порядка.
Поверхностью Коши для единичного тензора явля-
является сфера. Поэтому тензор
D.11)
где р — некоторый скаляр, называется шаровым тен-.
зором.
Девиатором D называется симметричный тензор
2-го ранга, след которого равен нулк>, т. е.
D.12),
Девиатором симметричного, тензора Т называется
тензор Т
7=7 1-(ТLГ, ' D.13)
или для компонент тензора Т
7 U
()g, . D.14)
О. ""
где след (Т) тензора- Т определяется формулами
C.15) или!4.12). Z -
Упражнение 4.1. Доказать, что всякий симметрич-
симметричный тензор 2-го ранга можно разложить на сумму ша-
• рового н девиатора. - .-.'¦
ПО

Упражнение 4.2. Доказать, что у девиатора Т
тензора Т имеется только два независимых инвари-
инварианта, ф
Инвариант l/^T2) называется интенсивностью
тензора Т и обозначается tH:
D.15)
направляющим тензором Т называется тензор Т
Т = ТЦЯ. - D.16)
Так как „ •
(J>=0; <Г*> = 1, D.17)
то направляющий тензор Т тензора Т имеет толь-
только один 'независимый инвариант, т. е. определяется
в каждой точке М тремя углами Эйлера, характери-
характеризующими положение главных осей тензора Т, и, на-
например, инвариантом \Т\.
Упражнение 4.3. Доказать, что
<7У«3<Г2>, J4.18J
т. е.
_}1/: D.19)
Упражнение 4.4. Доказать, что
т. е.
Упражнение 4.5. Доказать, что для девиатора и
направляющего тензора 7 поверхностью Коши явля-
является гиперболоид.
Упражнение 4.6. Доказать, что преобразование
D.3), ставящее в соответствие каждому вектору х
вектор у, можно записать в виде
111

#. D.22)
Очевидно, что величина
N = y-x = x~-T-x=2f D.23)
При условии D.7), т. е.
*-лГ=1, D.24)
является инвариантом тензора Г, зависящим от на-
направления* х. Величина N имеет экстремальные зна-
значения, соответствующие экстремальным направлени-
ЯМ X.
В механике сплошной среды часто бывает нужным
представить вектор у в виде суммы двух составляю-
составляющих: вектора п, коллинеарного единичному вектору х,
n=Nx*, ~ D.251
и вектора т, ортогонального вектору п,
~у=п+%. D.26)
Из D.22) и D.23) следует, что
•?=ytytgtt—!itiiXtxi)*=t№titWl—xtx})xkxt. D.27)
Положим, что z — единичный вектор, причем
т=Г~г; z.z^=l. D^8)
Тогда из D.26) следует, что
, Tz^y^-Nx. D.29)
Умножая D,29) скалярно на вектор ей получим
z< = -^^ = f&/-^,)*'. D.30)
Упражнение 4.7. Доказать, что формулы D.27)
и D.30) могут быть записаны только через девиатор
тензора Т или через направляющий тензор Т:
D.31)
112

D.32)
При заданном тензоре Т формула {4.27) или D.31)
позволяет построить так называемую поверхность Ко-
Колосова, определяющую изменение величины Г, т. е.
модуля. векторахт в зависимости от направления век-
вектора х. Предположим, что в точке М выбран единич-
—*
ный репер ki, векторы которого коллинеариы главным
направлениям тензора Т. Введем полярные коорди-
координаты: т=~ радиус' (направлен по вектору х) и
'и
углы 6 и <р (рис. 10). Тогда компоненты единичного
вектора х имеют координаты в базисе kf. ¦¦
jri=sin8cos(p, jC2=sin8 sintp, X3=cos6, D.33)
направляющий тензор Т в главной системе координат
выражается диагональной матрицей. Обозначим его
компоненты (т. е. главные значения) через ?i, t%,
\
Рис. 10
?з- Тогда согласно D.17) имеем
h+72+Г3=0;
f*S=l.
Упражнение 4.8. Доказать, что экстремальные зна-
значения величины Г
D-34)
; зна-
D.35)^
находятся в направлениях вектора х:
113

/2/2
1=-; *¦ = (); ^=±-1=-; D.36)
^ = ±--1=-; * = (); ^=±-1=-
yl П. r2 . |_ * . yS |_ *
jf — U, JC — rt ^- , ДГ— rt ^_ .
: Упражнение 4.9, Доказать, что компоненты 1ц
тензора Т^в ортогональной системе координат, опре-
определяемой одним из направлений D.36) вектора х
I например, х \ —т=-~, —т^* 0} ). вектором k$ и векто-
-*¦ -*
ром xxk3, имеют экстремальные значения и связаны
с главными: значениями тензора Ft, h д h соотноше-
соотношениями **" i
Упражнение 4.10. Значение величины Г в направ-
направлении вектора *
^ТГ^ТГ^ТГ.!, D.38,
называется Г-октаэдрическим и обозначается Ги. До-
Доказать, что
^аа D-39)
Условиям D.34) можно удовлетворить, полагая
уcos а . у sin«
Г ™«+""«^ D.40)
3 K2 + sin2o' V '
где угол а является единственным параметром, пол-
полностью определяющим направляющий тензору в глав-
главных осях.
Уравнение поверхности Колосова принимает вид
D-41)
114

Упражнение 4.11. Доказать, что начало координат
М принадлежит поверхности Колосова.
Упражнение 4.12. Доказать, что величина Г имеет
экстремальные значения при следующих г:. •
2B + sin2a)
, ,fl я , _
_i_ / 5 + 4 sin 2o — 3 cos 2ot « я
2~ " 2B + sin2o) "'" -~T'
Ф = —; — я; D.42)
Y 2 2 ¦ '
1 /1—sin2o. 0 я . ч я . 3
^тКй^1 е=Т' Ф==Т' т
Упражнение 4.13. Доказать, что при
4 4 4
,4.43,
. Упражнение 4.14. Пусть г* — максимальные значе-
значения из величин Ti (?=1, 2, 3) D.42). Доказать, что
2/2 ^ г„ .
Упражнение 4.15. Доказать, что плоскости
0 = 0; 6 = —, ф = 0; 6 = —, ш = —
2 2 2
являются плоскостями симметрии поверхности Коло-
Колосова. #
В теоретической механике часто пользуются по-
понятием тензора моментов инерции ?. Этот симметрич-
симметричный тензор 2-го ранга определяется следующим об-
образом (см. предисловие):
Jij=Xtn(xkXkgu—xtxj). D.45)
Здесь х* — координаты радиус-вектора х=хкеь не-
некоторой материальной точки, m — масса этой мате-
115

риальной точки. Суммирование происходит по всем
таким материальным точкам, причем индекс сумми-
суммирования опущен.
Шаровая часть этого тензора /
J0s±Jijg<i = 2mxkxk D.46)
называется полярным моментом инерции, а диаго-
диагональные члены в прямоугольной декартовой системе
координат — осевыми моментами-инерции. Например,
/,1«2т[(*2)8+(*з)«] D-47)
— осевой момент инерции относительно оси Х\.
Упражнение 4.16. Образовать девиатор тензора мо-
момента инерции
7tj^Jii~Jogn D.48)
и записать его выражения в случае прямоугольной
декартовой системы координат. #
- В этом случае его диагональные члены называют-
называются моментом инерции относительно соответствующей
плоскости, а недиагональные (общие для полного тен-
тензора и его девиатора) — центробежными моментами
инерции.
§ 5. Тензоры третьего ранга
В этом параграфе рассмотрим представление не-
некоторых, тензоров, наиболее часто встречающихся в
приложениях. Это представление будет напоминать
представление тензора второго ранга, которое было
дано в виде суммы антисимметричного тензора (псев-
(псевдовектора), шарового тензора (скаляра) и девиатора.
Рассмотрим тензор -третьего ранга
e = aWfc?®P®e». E.1)
Очевидно, его уже нельзя, как тензор второго ранга,
представить в виде суммы антисимметричного и сим-
симметричного тензоров. Поэтому выделим из него со-
составляющую, антисимметричную по всем трем индек-
индексам, и составляющую, симметричную по всем трем ин-
индексам. Оставшуюся часть обозначим через
116

E.2)
тогда
E.3)
Легко подсчитать, что первое слагаемое в правой ча-
части E.3) содержит всего одну независимую компонен-
компоненту, причем
j Р * 7 /\ Р Де*,
б^ E.4)
1
т. е. тензору а ставится в сбответствие псевдоска-
псевдоскаляр. Второе слагаемое содержит десять независимых
2 2 2 2 222 2
компонент: аш, а222, а338, я122, аш. а2Ц, а283, ат,
2 2
а а При этом из это
вать вектор путем свертки
а«1к)В11=Рк. E.5)
Выделяя эту векторную составляющую, получим
2 о
a,-,ft=-g-Pa.gr/ft) + sI/ft, E.6)
где . .
E.7)
2 2
а а При этом из этого тензора можно образо-
образо— так называемый септор [13], который имеет семь
независимых компонент (отсюда и название).
Так как тензор а E.1) имеет 27 компонент, то на
долю тензора b E.2) остается 16 независимых компо-
компонент. Записав разложение E.3) для аьц и Од,- и вос-
воспользовавшись определениями C.7) н C.11) гл. 1,
получим тождество
Ьцк+ЬкС1+Ь1к1=0. E.8)
117

Упражнение 5.1. Показать, что для компонент тен-
тензора E.2), удовлетворяющих тождеству E,8), спра-
справедливо представление
'2 2
b (b + b) +
(blink + [tk]i) + (illki + illKi). E.9)
Упражнение 5.2, Доказать, используя формулу
E.9), что
eii"bifk=0. • E.10)
Так как каждому антисимметричному тензору второ-
второго ранга можно поставить в соответствие псевдотен-
псевдотензор и, обратно, каждому псевдотензору — антисим-
антисимметричный тензор второго ранга (формулы B.35) и
B.36)), то тензору третьего ранга .
E.11)
кососимметричному по первым двум индексам, мож-
можно поставить в соответствие псевдотензор второго ран-
ранга
о *= offi <g) e' = ю"е, ® е, E.12)
по формуле
him ^Vgeiim<&=VgemijgkPlm- E.13)
Аналогично вводим псевдотензор второго ранга
v = vlfr (g) 7-, = v1'^ <g) Tl% E.14)
такой, что
VTY mjgnv^. E.15)
Упражнение 5,3. Используя формулу B.3), пока-
показать, что из E.13) следует
el'"bgkl ± gkl*4E.16)
= =
Упражнение 5.4. Показать, что из формулы- E.15)
следует выражение для тензора v: .
j. « E.17)
118

Таким образом, компоненты тензора Ь можно
представить, используя формулы E.13) и E.15), в
виде
3
Упражнение 5.5. Показать, что из выражений
E.16) и E.17) следует, что
(olngin=0, E.19)
v'"gm=0. • E.20)
Разобьем теперь тензоры ш и v^Ha симметричную
и антисимметричную части:
E.21)
E.22)
причем, как следует из E.19) и E.20), симметрич-
симметричные части тензоров « и v являются девиаторами ю, .v,
т. е. имеют по пяти независимым составляющим
atri^tn). - E.23)
vfn=v<fn). E.24)
Антисимметричные составляющие тензоров Ъ и v
можно выразить с помощью формулы B.36) через со-
соответствующие псевдовекторы
е/%, E.25)
E.26)
где согласно B.35)
щ == Y~g eme>Vrt = Vgektma1^, E.27)
; E.28)
причем так как © и v — псведотензоры, то © и v —
истинные векторы.
Таким образом, тензор Ь может быть выражен че-
-¦•-»•'
рез два вектора о и v и два девнатора псевдотензо-
псевдотензоров со и v, которые в общей сложности имеют 16
119

Независимых компонент. Подставляй выражений
E.21) — E.26) в E.18) и используя формулы
B.3), получим
3
+ у У1[етщВщ^1т + ekmugiyiv1]- E.29)
Итак, искомое представление произвольного тен-
тензора третьего ранга а имеет вид
3 2
— P(igik) + —
—g (emnjgk)itoim + ekm{jgm\lm) + s{/k,
E,30)
где компоненты векторов р, со, v выражаются соот-
соответственно по формулам E.5), E.25), E.26), девиа-
торов и и V— E.23), E.16); E.24), E.17), а сеп-
тора s — по формуле E.7).
Пусть теперь тензор а E.1) симметричен по пер-
первым двум индексам. Именно такие тензоры чаще все-
всего встречаются в физике. Рассмотрим для простоты
прямоугольную декартову систему координат. Как
отмечалось в § 1, в такой системе координат исче-
исчезает разница "между ковариантными и контравариант-
ными компонентами, а фундаментальная матрица сов-
совпадает с символами Кронекера б,/. Тогда E.1) можно
записать в виде
a = af/ft^(g)^(g)^; alik = a,ik. E.31)
Обозначим теперь компоненты векторов, полученные
сверткой тензора E.31) с единичным тензором, сле-
следующим образом:
aijkbu=pk, E.32)
aiik&ik=qi. E.33)
Компоненты септора s,/* обладают, очевидно, сле-
следующими свойствами:
120

SiiAi = O, sllkblk = O, slikeilk = O. E.34)
Тем самым накладывается 11 ограничительных соот-
соотношений на, вообще говоря, 18 независимых компо-
компонент тензора третьего ранга, симметричного по пер-
первым двум индексам. Следовательно, и в этом случае
имеется только семь независимых компонент септора.
Упражнение 5.6. Доказать, что компоненты орто-
ортогонального тензора E.31) представляются в виде
2 1 1
altk = РАPfi
+ -~ <7(A>ft + — ekm(iG>j)m + sijk, E.35)
где «ijro — компоненты девиатора симметричного теи-
зора о) = ®'{jk{ ® ~k-, определяемые соотношениями
uin = amelkn-)r — eikn{cik—pk). E.36)
Упражнение 5.7. Показать, что в произвольной кри-
криволинейной системе координат представление E.35)
имеет вид
2 1 1
аць — — Pkgii —g- Pvgflk —- Qkgcf +
^i T E.37)
О О
где
E.38)
-j <*1п (qk -pk), E.39)
а компоненты септора удовлетворяют соотношениям
= 0, smg>k = 0, sljke'* = 0. fE.40)
§ 6. Тензоры четвертого ранга
Рассмотрим теперь тензор четвертого ранга
С=с''*'^®е/®<Г*®е7. F.1)
Пусть выполняются свойства, связанные с симметри-
121

ей этого тензора:
cW = c/'H=c'i'* = c*"/. • F.2)
Благодаря этим свойствам тензор С имеет всего 21 не-
независимую компоненту. • ¦ ¦ •
Образуем два тензора второго ранга:
==a4, F.3)
=biK F.4)
Из F.2) следует, что тензоры aub являются симмет-
симметричными. Разложим их на шаровую и девиаторную
составляющие:
в" = -i- ag?1 + ?', о а (в) = cflgtl; F.5)
3 ""
*>" = 4-
3
Определим теперь тензор четвертого ранга
n=ni'"'ei®ei®7k®ei, F.7)
который удовлетворяет следующим 12 соотношениям:
л'/«?« = Р,. 'п"*%ш=0. F.8)
Очевидно, этот тензор имеет всего девять независимых
компонент и поэтому называется нонором [13].
Упражнение 6.1. Доказать, что тензор С может
быть представлен в виде
с,т =
35 ¦ 70
—\ №ка" + 8'ta'k
.L (gikyi + gttyk + ^/*ft/» + ^/f&'ft) + n'l», F.9)
7 >
или
cfl* =¦ -^-gil8kl + -&=*: (8lk811 + 8"g'k)
. + y (guakt + gkla") - ±
122

7
+ y te b
Следовательно, каждый тензор четвертого ранга С
F.1), обладающий свойствами F.2), может быть вы-
выражен через два скаляра, два девиатора и специаль-
специальный тензор четвертого ранга — нонор.
Упражнение 6.2. Пусть два симметричных тензора
второго ранга
o—o{feiQei', e=Eijel®e* F.11)
связаны между собой с помощью тензора С F.1), .
F.2):
а1}=стШш F.12)
Обозначим разложение тензоров а и е на шаровую и
девиаторную составляющие следующим образом:
а'7 = — Qglt + s*7, в = (а) = a'lgif, F.13)
з "~
3 *^
Доказать, что соотношения F.12) могут быть запи-
записаны в виде - ^
' 0= -jaQ + eW , . F.15)
¦si, - -j atfi + -^ «у + ^- e(fl) ft, -
где .
eM—a'ieij, ef, ^ — (a? eft/ + a,- efei), F.17)
Если соотношения F.12) можно обратить, т. е. вы-
выразить тензор ? через а:
— A j-ettl /А 1 О\
С// — t*f/ft/O 1 \О» 1 »7^
123

то очевидно тензоры С F.1) и D:
D=dilki7i®ei®ek®e' F.20)
являются взаимообратными:
C:D=D:C=A, F.21)
где А — так называемый единичный тензор четвер-
четвертого ранга:
А = -L (Ь^Ь'п + & б;«) 7,®е/ ®> ® 7п. F.22)
Поэтому соотношения F.21) в «индексной» записи
имеют вид
(«U +&6L). F.23)
Тензор ?> обладает такой же симметрией, что и тензор
С F.2). Образуя симметричные тензоры второго ран-
ранга р и ?,
Р</ = 4
О
Чч = 4- <?> ft/ + ft/, ft/=rf«/ie*'. F-25)
можно и для тензора Z) построить разложения, ана-
аналогичные F.9), F.10)."
Упражнение 6.3. Доказать, что
4- <а><р> + а'/р«эа«/»0=3. F.26)
Упражнение 6.4. Выбрав в качестве девяти неза-
независимых компонент нонора
г „2222^ „1122
F.27)
показать, что остальные его компоненты с учетом сим-
симметрии F.2) выражаются через них следующим об-
образом:
124

„2213 = „1223 ==_ („1113 + „3313) ^
„3312 = „1323 = _(„1П2+ «2212)/
„1 123 = „1213 = _ („2223 + ft3323)t
*.
§ 7. Вычисление площадей и объемов
Пусть в евклидовом пространстве 523 даны векто-
ры а и Ъ. Тогда их скалярное произведение имеет вид
li-b=gtiaibi = g4aibi~albl=aibi, G.1)
где gij — фундаментальная матрица
gii^ereh ~ G.2)
а векторы ei называются векторами локального бази-
базиса
е^-^г G-3)
(г — радиус-вектор). Очевидно, что площадь парал-
лелограмма s, построенного на векторах а # b в каж-
каждой точке &ъ:
s=ia|.|*"|sin«, . G.4)
где a — угол между векторами с и Ь, а длины векто-
векторов а и 6 выражаются согласно G.1)
G.5)
Далее (как следует из § 2)
а х b--= VJeijkaibl'ek = ~— e'^aib,^. G.6)
Выберем теперь такую систему координат а', что
векторы а и Ь являются кол линеарными базисным
векторам ех и е2 соответственно, т. е.
a = aie7, 6 = &2^2. G.7)
125.

Тогда из'формулы G.4) согласно G.5) имеем
s = Vex*** Уё*Ф%Ьг sin a, G.8)
а формула G.6) принимает вид
. G.9)
Для косинуса угла между векторами а и b соглас-
согласно той же формуле G.5) и G.1)
44
\a\\b\
Так как для компоненты g33 матрицы gil, обратной к
фундаментальной матрице ga, справедливо
g33=j(gngM-gi2), - G.11)
где g, как и прежде, обозначает определитель матри-
матрицы gn, то
sin a
- Vg'Kg55
G-12)
Поэтому для G.8) имеем
s
и из G.9)
|а х Ъ\ = /Jo1**|е"| = V~g аЧгУ?3. G.13)
Сравнивая G.12) и G.13), находим
s=|axb|. G.14)
т. е. площадь параллелограмма, построенного на век-
векторах а и Ь, равна длине вектора, полученного век-
векторным произведением этих векторов.
Упражнение 7.1. Доказать, что формула G.14)
справедлива для произвольной ориентации векторов
а и b относительно векторов репера, т. е. *
126

s= |a-x b\ - y
G.15)
Обозначим теперь векторное произведение ^векто-
->¦->¦ ->¦
ров с и Ь вектором d:
2=aXb, G.16)
и пусть вектор с не лежит в плоскости векторов а и &,'
т. е. не ортогонален вектору d. Тогда объем v парал-
лелепипеда, построенного на векторах а, Ъ, с, равен
¦ ->¦
v~s\c\ cosa, G.17)
или (в силу G.16))
t>=d-c=(ax~&)-"c. G.18)
Сравнивая теперь формулы G.18), B.10) и B.18)
или B.21), приходим к заключению, что
±;ck, G.19)
т. е. объем v параллелепипеда, построенного на век-
->-¦¦-*¦
торах а, Ъ, с, равен смешанному произведению- этих
векторов.
Учитывая, что cosa в G.17) может быть отрица-
отрицательным, нужно в формулах G.19) взять абсолютное
значение соответствующих выражений, т. е.
о = VII вц-^Ыс* | = -у=г | ?'%b,ck |. G.20)
Рассмотрим теперь преобразование пространства
523, которое назовем деформацией пространства и ко-
которое заключается в том, что каждому радиус-векто-
-* . ¦ -*¦
ру ге523 соответствует некоторый радиус-вектор Re
е&г таким образом, что каждой тройке базисных
векторов G.3) соответствует тройка некомпланарных
векторов ¦ ч
127

При этом каждому вектору ое^з соответствует век-
вектор ЛеЗЙз', а тензору второго ранга fe523®523 — тен-
тензор второго ранга ГеЗЙз'Ф^з', причем компоненты,
вектора а в базисе G.3). совпадают с компонентами
вектора А в базнсе G.21), а компоненты тензора ?в
базисе G.3) — е соответствующими компонентами
тензора Т.
Обозначим фундаментальную матрицу пространст-
пространства &г через Gii
Q,,**%.%, G.22)
определитель этой матрицы G, а матрицу, обратную
к Gij, через G1'. Тогда в 523' базис, взаимный к G.21),
выражается следующим образом:
Ъ^ОЩ. G.23)
Итак, в результате деформации квадрат линейно-
линейного элемента
dso*=gtidalda? G.24)
преобразуется в
ds*=GiSdalda}, G.25)
так что изменение расстояния между двумя беско-
бесконечно близкими точками / подсчитывается по фор-
формуле
giidafda.1 V ;
-¦¦ ¦
Пусть п — единичный вектор в 5?3. характеризующий
площадку s, построенную • на векторах а и Ь. Из
G.15) следует, что
7, G.27)
откуда
VFl. G.28)
Пусть N — единичный вектор в &г'
N=NtEl, JW-1, G.29)
128

характеризующий площадку S, построенную на век-
векторах А и В, в которые перешли соответственно век-
векторы а и Ь в результате деформации. Таким образом,
G.30)
откуда
oiVft = у (j Gi/ifiO'. (l.ol)
Сравнивая G.28) и G.31), видим, что в результате
деформации площадь бесконечно малого параллело-
параллелограмма s, построенного на векторах а и Ь, связана с
площадью 5 бесконечно малого параллелограмма, по-
построенного на векторах А и В, следующим образом
(индекс k заменим на а):
SN" ' f~ G.32)
= а'Е{,
. G.33)
причем
Если теперь построим на векторах а, Ь, с парал-
параллелепипед, то его объем v выразится по формуле
G.20). Объем параллелепипеда V, построенного на
векторах А, В, С, в которые перешли векторы а, Ь,
с, в результате деформации, подсчитывается по фор-
формуле
G.34)
Сравнивая G.20) и G.34), находим
G.35)
Формулы G.32) и G.35) можно объединить
«"а V V 8
5 Б. Е. Победря 129

Рассмотрим теперь некоторую точку М евклидо-
евклидова пространства 91г. И пусть дан некоторый вектор д
W*i. G.37)
Проведем плоскость, ортогональную вектору q и
проходящую на расстоянии h от точки М (рис. 11).
Тогда эта плоскость пересечет линии направлений
векторов е\, еч и е% соответственно в точках Р, Q, R.
Обозначим объем тетраэдра MPQR через vh а пло-
Рис. 11
щадь его грани MQR — через su площадь треуголь-
треугольника MPR— через S2, треугольника MPQ — J?epe3 s3,
а треугольника PQR — через S. Обозначим также
^ *7 G.38)
MR=c=c3e3.
Тогда согласно формулам G.20) и G.15)
G.39)
130

Так как объем тетраэдра MPQR равен
G.40)
Vlh
о
то из G.39) следует, например,
G 41)
Обозначим через Р угол между векторами q и е3.
Тогда очевидно, что
Учитывая G.38), получим
^ G-43)
Для косинуса угла Р из G.37) следует
cosp=. J'H__ = ^3 . G.44)
l<7 I Kgss Vg>i4l4' /Виз
Обозначим
1Й?? 'G-45)
Тогда формулы G.41) можно записать в виде
9t
Упражнение 7.2. Пусть ft — единичный вектор,
—>¦
сонаправлениый вектору <7 G.37):
~n=ntel, пт1~\. ' G.47)
Доказать, что
«i=-*L. G.48)
Упражнение 7.3. Тензором деформации называет-
называется симметричный тензор второго ранга е, компоненты
которого определяются соотношениями
5* 131

G-.49>
Вектором перемещения и называется разность двух
->¦->¦ i
радиус-векторов Run
Я =7+ ti. G.50)
Доказать, что
Упражнение 7.4. Относительным удлинением на-
называется величина е
e^V—dF-- G-52>
Доказать, что для вектора %^&з удлинение подсчи-
тывается по формуле ,
+1-и G53)
Упражнение 7.5. Пусть два вектора g и /jn колли-
—*¦ —»¦
неарны соответственно е\ и ег. Доказать, что cos a
(а — угол между векторами, соответствующими ? и
¦Л после деформации) подсчитывается по формуле
cosa= 7aa G.54)
У(й + 2в)(в+2е)
§ 8. Дифференциальные операторы
и интегральные теоремы
Мы познакомились с тремя видами умножения
векторов в евклидовом пространстве 91%. Пусть даны
векторы a, b^9t%. Тогда в результате скалярного про-
произведения этих векторов
->¦ ->¦
с-6 = с,-6' ' (8.1)
получается скалярная величина. В результате их век-
векторного произведения
132

с х 1 = —~ е<1кафрк (8.2)
получается вектор, а в результате их тензорного про-
произведения
(8.3)
получается тензор второго ранга. При этом, как уже
было отмечено, в литературе иногда символ тензор-
тензорного произведения опускается, т. е. соотношения (8.3) •
могут быть записаны в виде
(8.4)
Конечно же, указанные выше операции умножения мо-
могут быть применены и к тензорам произвольного ран-
га. Отметим только, что если в умножении участвуют
тензоры а и Ъ, один из которых имеет порядок п, а
другой т, то при их скалярном произведении резуль-
результирующий тензор имеет порядок п+т—2, при вектор-
векторном произведении — порядок п+т—1, а при тензор-
тензорном произведении т+п.
Введем дифференциальный вектор-оператор V
(иабла), компонентами которого служат ковариант-
ные производные:
V=?Vi. (8.5)
Умножим формально оператор У иа некоторый
вектор а каждым из указанных выше способов, т. е.
подействуем на векторное поле с (а1, а2, а3) диффе-
дифференциальным оператором V соответствующим обра-
образом. \
В результате скалярного произведения имеем со-
согласно (8.1) t
V.c=V,-a'=a'(<-. (8.6)
В векторном анализе такая операция называется ди-
дивергенцией вектора а и обозначается
div a=a\i. (8.7)
Следовательно, формальное скалярное произведение
оператора V называется оператором div, т. е.
133

V- = div. (8.8)
Умножим теперь вектор-оператор V на вектор а
векторно (8.2)
V X а = -у^е^а, 7k = -Л=^1"а,^к. (8.9)
Такая операция в векторном анализе носит название
ротора или вращения вектора а
rot a = -4^eiikVta, 7k. (8.10)
V й
Итак,
Vx=rot. (8.11)
Теперь подвергнем воздействию оператором V не->
которую скалярную функцию <р(а1, а2, а3) путем тен-
тензорного произведения. Тогда согласна (8.3) или
(8.4) получим
V^ = V<p = Vf<p<?=gradq>. (8.12)
Тем самым операцию градиента можно записать фор-
формально в виде
V(g) = grad. (8.13)
Разумеется, все эти операции можно проводить с
тензорами произвольного ранга. Так, например, гра-
"* • t
диент вектора и
gradu = V(g)«r=V(H/^<g)e' (8.14)
является тензором второго ранга. Транспонирование
этого выражения означает следующее:
grad и =«®V= V/"*?®^' • (8.15)
/
Тем самым симметрирование градиента вектора и да-
дает оператор деформирования def, который благодаря
;(8.14) и (8.15) имеет вид *
= —- (v®«+ «®V) =
Y (V.«/ + V/"*)? ® 2 •' <8.16)
134

Аиалогичио оператор rot, примеиеииый к тензору вто-
второго ранга, дает в результате тензор 'второго ранга
rot е = -~- eU^fifi <g> 7k. (8.17)
~ г 8
Транспоиироваииое выражение (8.17) имеет вид
rot в = —!=- в"*V/вц ? ® ?ft. (8.18)
Тем самым оператор несовместимости Ink имеет вид
Inke = rot rote= — el'ikelmny{ymsliek®~en. (8.19)"
В математической физике часто встречается опера-
оператор Лапласа ' ¦ '
A=divgrad=V-V<g>=g''VfVj<8>. (8.20)
Например, для скалярной функции ф(а', а2, а3)
. (8-21)
Упражнение 8.1. Доказать формулу
\ди* , 'и{ д ,/•—
(8-22)
Упражнение 8.2. Вычислить оператор Д в цилинд-
цилиндрической и сферической системах коордииат примени-
применительно к скалярной величине ф, т. е/ Дф.
. Упражнение 8.3. Вычислить оператор Д в цилинд-
цилиндрической и сферической системе координат примени-
применительно к векторной величине ф, т. е. Дф и доказать
различие величин Дф и Дф'.
Упражнение 8.4. Пусть дано векторное уравнение
относительно некоторого симметричного тензора 2-го
ранга а и заданного вектора f:
diva =7. (8.23)
причем тензор а связан с другим симметричным тен-
тензором 2-го ранга е следующим образом:
135»

Ц? (8.24)
где Я, (i — некоторые постоянные, а тензор е связан
с вектором и дифференциальными соотношениями (см.
86)
e=defu. . (8.25)
Доказать, что в этом случае уравнения (8.23) можно
записать в виде
, Л-ы=7, (8.26)
где Л — дифференцнальцый тензор-оператор 2-горан-
га (оператор Ламе)
As^+uJV^V + jxV-V^. (8.27)
Упражнение 8.5. Доказать, что
rotgrad^O, divrat=O, (8.28)
rot rot = grad div—div grad. (8.29)
Упражнение 8.6. Доказать, что если ?=def и, то
Inke^O. #
Из математического анализа известно, что для не-
прерывных однозначных векторных функций а, для
которых существуют непрерывные частные производ-
,ные в некотором объеме V евклидова пространства
91% и на поверхности 2, ограничивающей этот объем
(причем V ограничен и пространственно односвязан,
а 2 замкнута и регулярна), справедливы: теорема
Остроградского — Гаусса (теорема о дивергенции)
-adS, (8.30)
теорема Стокса (теорема о роторе)
Jrotady= jraxadS, jrota-ttd2= ф a- dr~, (8,31)
V 2 XL
где п — единичный вектор внешней нормали к поверх-
поверхности 2
«=я!е', ntnjg4=l, (8.32)
136

а вектор dr, касательный к контуру, определяет по-
положительное направление контура L:
dr=da.Qi. (8.33)
В силу того что формулы (8.30) — (8.31) имеют
инвариантный характер, они могут быть применены к
тензорам более высокого ранга. Например, для тензо-
тензора 2-го ранга с^(8.31) следует,
J divadV = J п¦ adS, J <х"дdV = J a"" n, d2. (8.34)
V ~ S ^ V 2
Упражнение 8.7. Доказать, что для гладкого тен-
тензора 2-го ранга а справедливо

ГЛАВА 4
ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Группа симметрии тензора
Пусть в трехмерном евклидовом пространстве Яз
задан закон перехода от одной системы координат (а1,
а2, а3) к другой (а1', а2', а3'):
а'=а''(а\а2,а3) A.1)
и обратно
а'" = а''(а1', а2', а3'). A.2)
Разумеется, как и прежде (§ 2 гл. 1), мы считаем, что
определители якобиевых матриц
¦•'<--?-• *'-& (L3)
отличны от нуля и связаны между собой соотноше-
соотношениями
А*',В1Г = ЫГ, В'ГАГ, = &{. A.4)
Рассмотрим теперь некоторый произвольный тензор а^
а= eft,'" ¦ •'» \ <g> > ® \ ® ... ®\ A.5)
относительно группы преобразований A.1). Очевидно,
что
а. ,' =А (,fl.f-i4. 1...-A ?„а.?, • A-6)
Если группа преобразований A.1) не изменяет
значений компонент тензора а, т. е. из A.6) следует
138

то говорят, что группа преобразований A.1) являет-
является группой симметрии тензора а (группой Ga), или
что тензор является инвариантным относительно груп-
группы преобразований A.1).
Разумеется, группа симметрии Ga тензора ji отно-
относительно группы преобразований A.1) может быть
подгруппой группы преобразований A.1). Например,
тензор, а, для которого справедливы соотношения
A.6), называется инвариантным относительно группы
/ (полной ортогональной группы трехмерного ев-
клидового пространства):
xy=Qi'iX{, ', A.8)
где
Qi'iQi', = b{l, QrtQri=her* A-9)
если из
^ч = ^.^--Л^^ <1Л0)
следует A.7), т. е.
В этом случае группой симметрии Ga тензора а явля-
является группа /. Если к A.9) добавить требование
Qssdet|Q,'i|=1, A.12)
то группой симметрии Ga тензора а будет группа
/о (собственная ортогональная группа).
Упражнение 1.1. Показать, что множество тензо-
тензоров заданного ранга п, инвариантных относительно
группы Ga,- образует конечномерное пространство
/?. #
Обозначив через fl(o, a<2), .. •, й(*> базис этого про-
пространства, любой тензор а ранга п с группой симмет-
симметрии Ga можно4 представить в виде линейной комби-
комбинации
*
яа(П\> *<3", - A-13)
где Yo — некоторые скаляры.
С помощью теории характеров матричных пред-
139

ставлений (см. § 6 гл. 1) можно подсчитать^ — чис-
число независимых компонент тензора а ранга га, инва-
инвариантного относительно группы Ga, или, что то же са-
самое, размерность линейного, пространства R (см.
упр. 1.1):
^? A-14)
где N — порядок группы Ga (число ее элементов), а
сумма производится по всем элементам g группы Ga:
Величины %°(g) подсчитываются по формуле
Х° (ё) = -х- У X fe'O X (ёи) ¦ • • X (Л A-15)
где Np — порядок симметрической группы индексов
тензора а ранга п, % — характер матричного пред-
-ставления группы Ga, а 1\, 1% ..., 1п — длины циклов
подстановок группы &.
Пусть, например, нам нужно найти число незави-
независимых компонент тензора четвертого ранга С, обла-
обладающего симметрией (см. F.2) гл. 3):
Сц и — Сум — Cijik = Cklij. A16)
Нетрудно видеть, что симметрия A.16) определяется
группой подстановок 9:
е; A2); C4); A2) C4); A3) B4);
* A4) B3); A423); ;A324), A.17)
где е — тождественная подстановка. Таким образом,
имеем 8 элементов ра группы 9* (а=1, ..., 8) с дли-
длинами циклов
pi: Л=/2=/з=/4=1,
р2\ /i = 2, /2 = /з=1,
р3: /, = 2, /2 = /3=1,
' Р*: h = h=%
р5: /, = /2=2,
Ре: к = к=2,
РГ. /i=4, ,.
р8: /. = 4. A.18)
Поэтому формула A.15) для данного случая имеет
вид
140

Xе (g) = -i- Ix4 (g\ + 2x (g2) X2 (g) + 3x2 (g2) + 2x (g%
A.19)
Пусть, например, рассматривается ортотропная среда.
Тогда, цспользуя характеры F.56) представления
F.48) группы О (глава 1), получим
Х° Ы =-г (З4 + 2-3-З2 + 3-З2 + 2-3) = 21,
. О
— [(—1L + 2-3-(—1J + 3-32+2-3] = 5, A.20)
8
где
gi=E, gz=Su g3=S2, g4=S3, gb = D\,
gt=D2, g7^D3, g8 = C. A.21)
Поэтому из A.14) имеем
fe=—B1 + 3-5+3-5 + 21) = 9. A.22)
8
Упражнение 1.2. Показать, используя формулы
A.14), A.19) и F.55), F.47) гл. 1, что для тензора
четвертого ранга С, инвариантного относительно груп-
группы отражения относительно плоскости *i = 0 и обла-
обладающего симметрией A.16), число независимых ком-
компонент ?=13.
Упражнение 1.3. Показать, используя формулы
A.14), A.19) и F.54), F.46) гл. 1, что для тензора
четвертого ранга С, инвариантного относительно груп-
группы инверсий и обладающего симметрией A.10), число
независимых компонент &=21. ф _
Для тензора третьего ранга, симметричного отно-
относительно первых двух индексов, группа & состоит из
двух элементов:
141

e, A2), A.23)
причем
Pi: /i = /2=/3=l, , A-24)
Pa: /i=2,/2=1.
Поэтому из A.15) имеем
x°te) = -^[x3te) + xte2)xte)]. A-25)
Для симметричного тензора второго ранга группа" 9*
также состоит из двух элементов A.23), причем
Pi: /i = /2=l, A.26)
р2: h=2.
Тогда из A.15) получается
Г (8) = Yfe2te) + xte2)J. A-27)
Заметим, что если тензор л-ранга не обладает ника-
никакой симметрией, то
%4g)=Xn(g), A.28)
и в этом случае формула A.14) имеет вид
Упражнение 1.4. Показать, что для тензоров, ин-
инвариантных относительно группы О (ортотропных
тензоров), число независимых компонент k: а) равно
нулю для любого тензора нечетного ранга (что сле-
следует из A.29)), в частности, для тензора третьего
ранга, симметричного по первым двум индексам (что
следует из A.25); б) равно 3 для симметричного тен-
тензора второго ранга (что следует из A.27)).
Упражнение 1.5. Показать, что для тензоров, ин-
инвариантных относительно группы отражений относи-
относительно плоскости Xi=0, число независимых компонент
к: а) равно 10 для тензора третьего ранга, симмет-
симметричного по первым двум индексам; б) равно 4 для
симметричного тензора второго ранга; в) равно 2 для
вектора. %
Для непрерывных групп формула A.14) несколь-
несколько видоизменяется. Так, для группы Т3 трансверсаль-
142

ной изотропии
2я
• k =~-^%0(g)d^, A.30)
с
а для собственной ортогональной группы /0:
2Я 2Я. я
Jxa(g)sinede. A.31)
0 0
Упражнение 1.6. Показать, используя формулу
A.30), что для тензоров, инвариантных относительно
группы Г3 (трансверсально изотропных), число не-
независимых компонент k; а) равно 5 для тензора чет-
четвертого ранга, обладающего симметрией A.16), что
следует из A.19) и F.57) гл. 1; б) равно 4 для тен-
тензора третьего ранга, симметричного по первым двум
индексам, что следует из A.25); в) равно 2 для сим-
симметричного тензора второго ранга, что следует из
A.27); г) равно 1 для вектора, что следует из зс°(&) =
=%{§)¦
Упражнение 1.7. Показать, используя формулу
A.31), что для тензоров,'инвариантных относитель-
относительно группы /0 (изотропных тензоров), число независи-
независимых компонент k; а) равно 2 для тензора четвертого
ранга, обладающего симметрией A.16), что следует
из A.19) и F.58) гл. 1; б) равно нулю для всех тен-
тензоров нечетного ранга, в том числе и для тензора
третьего ранга, симметричного относительно первых
двух индексов, что следует из A.28) и A.25); в) рав-
равно 1 для симметричного тензора второго ранга, что
следует из A.27). %
Часто при рассмотрении групп бесконечного по-
порядка полезной оказывается теорема о том, что любой
тензор ранга r<Ln, инвариантный относительно груп-
группы поворотов вокруг некоторой оси на углы, кратные
2я/я, инвариантен также и относительно группы по-
поворотов вокруг той же оси на любой угол <р.
§ 2. Тензорный базис
В предыдущем параграфе мы дали определение
группы симметрии произвольного тензора а. Любой
тензор произвольного ранга в трехмерном евклидовом
143

пространстве /?з, инвариантный относительно задан-
заданной подгруппы G полной ортогональной группы /,
можно представить в виде линейной комбинации тен-
тензоров, составленных при помощи операций тензорно-
тензорного умножения и свертывания из соответствующих на-
наборов тензоров, определяющих эту подгруппу G ('см.
раздел «Некоторые литературные указания» [4.5]).
Таким образом, для каждой группы преобразова-
преобразований G можно построить некоторый конечный тензор-
тензорный базис (каждый тензор, входящий в него, являет-
является инвариантным относительно группы G) и на его
основе конструировать различные тензоры, инвариант-
инвариантные относительно рассматриваемой группы G. Тензо-
Тензоры, входящие в такой базис, будем называть также
образующими тензорами группы G.
Чтобы найти эти образующие тензоры группы О/
рассмотрим некий полином Р от х векторов 6A),
ЬB), ..., Ык\ являющийся инвариантом относительно
группы G. Это означает, что если
n=l,2,...,x, B.1)
где матрица Q является элементом группы G, то
Р (Ьа\ Ь12\ ..:,biK)) = Р(Ь'{1>, b'l2>, .... Ь'ы). B.2)
Предположим, что полином Р имеет вид
* = «*...<„«...*?,. B.3)
где коэффициенты ailit...lK удовлетворяют услови-
условиям A.10), A.11), инвариантны относительно группы
G (которая является подгруппой группы /). Тогда из
B.1) имеем
т., е. Р инвариантен относительно группы G.
1 Таким образом, если коэффициенты полинома Р
векторов ЬA), ..., Ь(х), линейного относительно каждо-
каждого вектора, инвариантны относительно некоторой
группы G, то и сам полином инвариантен относитель-
относительно этой же группы.
144

Справедливо и обратное утверждение. В самом де-
деле, пусть полином Р, линейный относительно каждого-
-»- -¦¦
из векторов ЬA), ..., Ь(х), инвариантен относительно
группы G; Р — Р', т. е.
Сравнивая первое и последнее выражения и учитывая,,
что каждый индекс ja (а= 1, ..., х) — немой, получим
a<t...ix = aL.v B.6)
т. е. коэффициенты полинома Р инвариантны относи-
относительно группы G. Предположим теперь, что какой-то*
полином Ра составлен только из векторов ЬA), feB>, ...
... ,t Ь(а)(а<х), полином Рр — из векторов Ь<а+1>,
Ь'а+2), ..., Ь'Р) (а<:^<х) и т. д., полином Рх составлен
из векторов Pv+*\ Ь(у+2>, ..., Р*\а< р < ... < Y < х).
Пусть все указанные полиномы инвариантны относи-
относительно группы G, причем полином Р может быть
представлен в виде некой суммы ^
P==2Aat...*PaPt.:.PK. B,7)'
В силу того что полином Р линеен относительнр каж-
каждого из векторов Ы1\ Ь&\ ..., ЬС), то и каждый из по-
полиномов Ра, Р?, ¦.., Рх обладает таким же свойством.
Очевидно^ что
а. д"р -ул1 а"^рбР)
- - B.8)
Следовательно, любой тензор с компонентами а*,...*
инвариантный относительно группы G, можно пред-
представить в виде суммы произведений тензоров типа.
145

Рассмотрим, например, группу ортотропии О (см.
упр. 3.12 гл. 1). Тогда полином, линейный относи-
относительно каждого из векторов Ьт, ..., й<а) и коэффици-
коэффициентами которого являются компоненты искомого тен-
тензора, инвариантного относительно группы ортотропии,
должен быть инвариантным относительно преобразо-
преобразований, описывающих группу ортотропии, т. е. полином
не должен изменяться в результате данных преобра-
преобразований. Поэтому должны выполняться, например, со-
«отношения
\.... ь\а) (- ) )
Ь^)). ' B.9)
-Отсюда видно, что полином Р должен выражаться че-
через полиномы
Ъ?Ч?\ ЬГЬ<Р, b%4f\ a?=p. B.10)
Следовательно, для ортотропного тензора обра-
образующими будут тензоры:
3»№f>6p>)
YC) = з з = . .
" db^dbf '
Поэтому любой ортотропный тензор можно выразить
через эти три линейно независимых тензора. '
Упражнение 2.1. Доказать, что всякие ортотроп-
ные тензоры второго и четвертого рангов (см. F.3) и
^6.1) гл. 3) могут«€ыть выражены в виде

= cA A AAi + c2bi26j26k26[2 +
8/3 + C4 (б^б/ААг 4 б^бдб
+ Съ F,-ААз^/З + ^t^j^kl^tl) + ^6 (Si26/26*36/3
+ 6,36/36*2612) + c-i Fa6fci6/26i2 + б{1д«1дцд/1) -t-
B.13)<
Упражнение 2.2. Доказать, что образующие тен-
тензоры группы трансверсальной изотропии Тз могут
быть выбраны, например, в одном из следующих ви-
видов:
«и. «si, B.14) '
вивл + вввя, б3(. B.15)
Упражнение 2.3. Доказать, что образующими тен-
тензорами гиротропии, т. е. тензорами, инвариантными
относительно собственно ортогональной группы /0
(группы вращений), являются тензоры
6и, e,jft. B.16)
Упражнение 2.4. Доказать, что образующим тен-
зором -изотропии, т. е. тензором, инвариантным отно-
относительно полной ортогональной группы /, является
единственный тензор
««. B.17)
Упражнение 2.5. Доказать, что трансверсально изо-
изотропные тензоры второго и четвертого рангов, обла-
обладающие симметрией, указанной в упражнении B.1),
могут быть представлены в виде
atf = at (б,гб/х + б,2б/2) + а.фз1д3}, B.18)
^зФы + 6«б8.б8/) +
6/ft63(-63, + bifofisk)- B-19)-
Упражнение 2.6. Доказать, что изотропные и ги-
ротропные тензоры второго и четвертого рангов, об-
обладающие указанной в предыдущих упражнениях сим-
симметрией, выражаются однозначно в/ виде
ац=а8ц, ' B.20)
147

= cxbifbkl + c2 Flkbft + «««/*). • B.21)
В § 4 предыдущей главы было показано, что вся-
всякий симметричный тензор второго ранга может быть
однозначно представлен в виде суммы шарового тен-
тензора и девиатор-а
Ь (Ь)оУ + Ь B.22)
или для компонент тензора (в этой главе мы рассмат-
рассматриваем исключительно прямоугольные декартовы сис-
системы координат):
ЬЧ=\(Ь)ЬЧ + ЬИ. . (?23)
Заметим, что тензоры^ и 5 ортогональны между со-
собой:
&:# = М,/ = 0. , B.24)
Кроме того, шаровой тензор, как следует из упраж-
упражнений 2.3, 2.4, инвариантен относительнЬ групп /, /о.
Покажем, что всякое, в том числе ортогональное, пре-
преобразование
xe = QeiXi, QsQyi^bry, Ое&ч=6ч B.25)
переводит девйатор в девиатор. В самом деле, пусть
bi^Qti'Qji'b'cr. B.26)
По'определению девиатора и из B.24)
&;твг/' = О . ' B.27)
следует, что
Qu-Qirb'i4'K = 0, . . . , B.28)
откуда, учитывая B.25), получаем
ЬеГЬ-г = 0. ' B.29)
Таким образом, пространство симметричных тензо-
тензоров второго ранга разбивается на два взаимно орто-
ортогональных подпространства, инвариантных относи-
относительно полной ортогональной группы /.
148

Рассмотрим теперь какую-нибудь подгруппу G пол-
полной ортогональной группы /. Всякий симметричный
тензор второго ранга можно разложить на сумму по-
парио ортогональных симметричных тензоров второ-
второго ранга (спектральное представление тензора):
Ь=у ры, п<6, B.30)
а=1
/>«*>: р<Р) = 0, если а=^р. B.31)
Если каждая матрица группы G отображает подпро-
подпространство р-тензоров gW в себя, .то это подпростран-
подпространство инвариантно относительно" G. Очевидно, что ве-
величины *
/о ==(/><«>:?<«>) i/2 B.32)
будут инвариантами тензора Ь.* Объединяя B.31)
B.32), имеем. ~ '
«ар-
/О QQ\
(.1.66)
Инвариант 1Х B.32) назовем линейным, если
)
где а^.— компоненты тензора а(х), инвариантного от-
относительно группы G, причем всегда можно их вы-
выбрать так, чтобы выполнялись условия
t '
(х) (р)
Итак, разложение произвольного симметричного тен-
тензора второго ранга Ь иа взаимно ортогональные тен-
тензоры, принадлежащие инвариантным подпространст-
подпространствам относительно подгруппы G полной ортогональной
группы /, имеет вид
m fl(x) n
149

Если подгруппой G является сама группа /, то, как
следует цз B.23),
я = 2, /и-1, <#} = 6Ф йх= К ^
1г = Ья = У^ф $} = \{Ь)Ьф ?$ = ЬЧ. B.37>-
Упражнение 2.7. Показать, что если подгруппа Q
является группой траисверсальной изотропии Т3, то в»
B.36) можно положить я=4, пг—2:
olf = *iAt. «¦ = 1,B.38).
— (& + ^)^ = &
/3=JJ /(&„-&„)¦+46?2, /. = ^2F?3 + б1з), B.39>
2
^i 2) + Ьа'А As—
-bt^-bflfit,, Pf) = bi36i3 + bi36i3~2b33bis6l3. B.40>
Упражнение 2.8. Показать, что если подгруппой ff
является группа ортотропии О, то в B.36) можно по-
положить я=6, т = 3:
О,? = в|х«м. Qx = ! (х = !' 2' 3)'
/х = 61О«(х= 1,2,3), /4=
x (и= Ь 2- 3)' p^=
Упражнение 2.9. Показать, что тензоры B.38)
&"\ ч=1, 2, инвариантные относительно группы*
трансверсальной изотропии Т3, могут быть выбраны
с точностью до одного параметра ф, если выбрать их
компоненты в виде
150

/1*0 0 \
af}}'= I 0 cos2 ф — sin ф cos ф I,
\0 —sin ф cos ф sin2 ф /
/°
= 0
lo
0
вт2ф
sin ф cos
Ф
0 \
sinФ cos ф I.
COS2 ф /
B.44)
Упражнение 2.10. Показать, что тензоры B.41)
\ x=l, 2, 3, инвариантные относительно группы ор-
тотропии О, могут быть выбраны с точностью до трех
параметров: q>i, ф2, 8, если выбрать их компоненты в
виде
(к=1.2, 3), B.45)
где величины gxU g*2, g*z (x= 1, 2, 3) определены
формулой F.52) гл. 1.
Упражнение 2.11. Показать, что тензоры B.44) и
B.45) удовлетворяют условиям B.35). ф
Мы всюду выбирали ось трансв,ерсальной изотро-
изотропии, совпадающей с координатной осью х$ прямо-
прямоугольной системы координат. Однако можно ее вы-
выбрать произвольно ориентированной в пространстве и
характеризующейся единичным вектором с. Более то-
того, этот вектор с может зависеть от координат. В та-
таком случае трансверсальная изотропия называется
криволинейной и образующие тензоры группы транс-
версальной изотропии вместо B.14) можно выбрать в
виде
g (ga), ?= c?< (glf'ci = 1). B.46)
Упражнение 2.12. Показать, что для криволиней-
криволинейной трансверсальной изотропии можно положить вме-
вместо B.38) — B.40):
а'7 = ga —ctch flx = V% af = c,c,, a2 = 1, B.47)
.151

B.48>
p<3j = 6?/ — Jy- Ix {gtj— CtCj)
— C
B.49>
Pi*-» = cft (ft*iC/ + hfid-2IiClC(. •
Точно так же для криволинейной ортйтропии мож-
можно выбрать три единичных вектора с<11), ?с=1, 2, 3, за-
зависящих от координат и характеризующих три глав-
главных направления ортотропии в каждой точке прост-
ранства, причем
gtiqocjf» - 6^ (х,- Р = 1, 2, 3). B.50>.
Упражнение 2.13. Доказать, исходя из B.50), что
для матрицы, составленной из образующих векторов
с(х) (х=1, 2, 3) ортотропии в прямоугольной декар-
декартовой системе координат
следует, что:
а) сумма квадратов элементов- одной строки или
столбца B.51) равна 1;
б) сумма произведений соответствующих элемен-
элементов двух строк или двух столбцов B.51) равна нулю.
Упражнение 2.14. Показать, что для криволинейной-
ортотропии можно положить вместо B.41) — B.43)
а<*> = с<*> df, а» = 1 (Й = 1, 2, 3), B.52)
-ft (х= I, 2, 3), B.53>
152

(x= 1, 2, 3).
B.54)
§ 3. Независимые инварианты тензора
В § 3 гл. 1 было показано, что инвариант (скаляр-
(скалярный инвариант) относительно одной группы G\ может
не являться инвариантом относительно другой G2.
Очевидно, однако, что если группа G2 является под-
подгруппой группы GI( то инвариант относительно группы
Gi является одновременно и инвариантом группы G2
(но не наоборот). Поэтому если имеется последова-
последовательность групп GIt G2 Gn такая, что каж-
каждая Gn+1 является подгруппой группы Gn
GiZGaHG3H..'.BGnE-...* C.1)
то с возрастанием номера п число инвариантов отно-
относительно группы Gn, вообще говоря, возрастает.
В § 3 гл. 1 было показано, например, что вектор
(теизор первого ранга) имеет одни инвариант относи-
относительно полной ортогональной группы / в /?з, два ин-
инварианта относительно трансверсально изотропной
группы Т$ и три относительно ортотропной группы О.
В § 3 гл. 3 было подчеркнуто, что симметричный
тензор второго ранга имеет три независимых инвари-
инварианта, ибо след всякой .степени п (я>3) такого тензора
<?} = ь&ь?...-ь?ъ? C.2)
согласно формуле Гамильтона — Кели (см. C.12)
гл. 3) выражается через следы первых трех степеней
тензора.
Однако сама формула Гамильтона — Кели спра-
справедлива не только для симметричного тензора. Так
,может быть и несимметричный тензор второго ранга
имеет три независимых инварианта относительно об-
общей группы преобразований? Для того чтобы разо-
разобраться в этом вопросе, посмотрим, какими способа-
способами формируются инварианты тензора. Для симмет-
симметричного тензора второго ранга, кроме инвариантов
типа C.2), могут быть образованы также инварианты
с помощью тензоров Леви-Чивиты (см. упр. 2.7
153

гл. 3). Например, таким инвариантом являетсяопре-.
делитель тензора b (см. B.2) гл. 3). Для несиммет-
несимметричного тензора второго ранга ? число возможностей
построения его инвариантов повышается. Ведь всякий
несимметричный тензор второго ранга с может быть
представлен в виде суммы симметричного Ъ и анти-
антисимметричного*) (упр. 1.5 гл. 3):
с = 6 + со; Ь~— (с + с), со==— (с—с), C.3>
причем со всяким антисимметричным тензором с*
можно однозначно связать аксиальный вектор со {см.
B.35) гл. 3,). .
Упражнение 3.1. Доказать, что всякая четная сте-
степень антисимметричного тензора является симметрич-
симметричным тензором; "а нечетная степень — антисимметрич-
антисимметричным. #
Следовательно, инварианты несимметричного тен-
тензора можно образовать с помощью следов произведе-
произведений (и сверткой с тензором Леви-Чивиты) различных
степеней симметричной части этого тензора и четных
степеней несимметричной его части.
Возможности получения новых инвариантов тензо-
тензоров увеличиваются, если рассматривать подгруппы G
полной ортогональной группы / евклидового прост-
пространства Яз. В этом случае можно образовать инвари-
инварианты путем сверток различных их степеней с тензо-
тензорами, образующими G (базисными тензорами).
В § 2 мы ввели понятие линейных инвариантов
симметричного тензора второго ранга Ь. Эти инвари-
инварианты как раз и строятся с помощью свертки тензора^
с тензорами второго ранга, составленными из тензо-
тензоров, образующих группу G.
Упражнение 3.2. Доказать, что для симметричного
тензора второго ранга 6 линейный инвариант относи-
относительно группы / всего один и имеет вид
h = b:3 = bi,biji={b). .C.4)
Упражнение 3.3. Доказать, что тензор Ъ имеет два
линейных инварианта относительно группы Г3"
154

b33. , . C.5)
Упражнение 3.4. Доказать, что тензор^ имеет три
линейных инварианта относительно группы О:
(х= 1,2,3). ф C.6)
Вообще говоря, каждый тензор имеет бесконечное
число инвариантов относительно группы G. Однако
между этими инвариантами могут существовать вся-
всякого рода зависимости. Одним из видов таких зави-
зависимостей является алгебраическая. Примером алгеб-
алгебраической зависимости служит уже- упомянутое след-
следствие теоремы Гамильтона — Кели, согласно которо-
которому среди следов произвольной степени тензора второ-
второго ранга C.2) независимыми могут быть только три,
-все остальные через них выражаются. Между инвари-
инвариантами могут существовать и неалгебраические зави-
зависимости или полиномиальные соотношения, которые
«е сводятся к полиномиальной зависимости какого-ли-
какого-либо из инвариантов от остальных инвариантов (такие
соотношения называются сизигиями).
При исследовании тензорных функций большое
значение имеют функциональные зависимости между
инвариантами (если их рассматривать как функции от
компонент тензоров, из которых эти инварианты об-
образованы). При этом важно установить функциональ-
функционально независимые инварианты. Рассмотрим, например,
симметричный тензор второго ранга Ь. В каждой сис-
системе координат он имеет шесть независимых компо-
компонент, а так как мы рассматриваем евклидово прост-
пространство Яз, то в качестве системы координат всегда
можно выбрать прямоугольную декартову. Согласно
известной теореме алгебры . можно выбрать ¦ такую
прямоугольную систему координат, в которой тензор Ь
будет представляться диагональной матрицей. Следо^
вательно, всякий инвариант тензора b будет зависеть
не более чем от трех компонент Ьц, Ь22, &зз (более
подробно этот вопрос будет изучен в следующем па-
параграфе). Поэтому функционально независимых ин-
инвариантов симметричного тензора Ь будет не более
трех.
Если же мы рассматриваем инварианты относи-
относительно группы G, являющейся подгруппой полной
155

ортогональной группы L то допустимыми будут не все
ортогональные преобразования и поэтому не всякую
симметричную матрицу с помощью таких преобразо-
преобразований хожно привести к диагональному виду. Поэто-
Поэтому число функционально независимых инвариантов
тензора Ь относительно группы G может повыситься.
Однако в любом случае их не может быть более ше-
шести, ибо в любой системе координат симметричный
тензор b имеет не более шести независимых компо-
компонент, которые можно считать аргументами инвариан-
инвариантов, рассматриваемых как функции.
Очевидно также, что функционально независимых
инвариантов относительно группы / для несимметрич-
несимметричного тензора убудет не более шести. В самом деле,,
представляя тензор с в виде C.3), т. е. суммы симмет-
симметричного Ь и антисимметричного ю тензоров и приво-
приводя ортогональным невырожденным х преобразованием
тензор b к диагональному виду, мы будем в 'некото-
'некоторой специальной системе координат иметь не более
трех независимых компонент тензора b и трех незави-
независимых компонент тензора^). Поэтому все инварианты
тензора с можно рассматривать как функции не бо-
' лее чем шести аргументов, а значит, и число функ-*
ционально независимых инвариантов тензора с не бо-
более шести.
Обратимся теперь к р-представлению симметрич-
симметричного тензора второго ранга b B.30). Очевидно, что
каждый нз тензоров р(а), составляющих это пред-
представление, линейно зависит от компонент тензора^
Поэтому инвариант
'а — Рч Рц -
\
зависит квадратично от компонент тензора Ь. .,
Эти соображения помогают отыскать независимые
инварианты относительно группы G тензора Ь. Пост-
Построим всевозможные инварианты путем сверток раз-*
личных степеней, тензора Ь и образующих тензоров
группы G. Оставим среди этих инвариантов только»
линейные (определение линейных инвариантов данов
§ 2) и квадратичные C.7). Если число таких инвари-
инвариантов п не превышает шести, то это и независимые ин-
156 . •

варианты. В противном случае, среди них следует вы-
выбрать шесть функционально независимых, инвариан-
инвариантов.
Упражнение 3.5. Показать, что для симметричного
тензора b с помощью образующего тензора группы /
B.16) можно построить только один, линейный (т=
= 1) и один квадратичный инвариант (и = 2), см.
B.37)
/I = btlHtl = (Ь) = V3 /„ h == bikbki6t, = btfa = 1\ +1\.
C.8).
Упражнение 3.6. Показать; что для симметричного-
тензора b с помощью образующих тензоров группы Г3
B.15) можно построить только два линейных (т = 2)
и два квадратичных инварианта, (л = 4), см. B.39)
1\ = bxi («««л + б,-26у-„) = Ьи + Ь22 =
h — bifi3fi3i = &зз> 'з = b
= blkbkl + b2kbk2 -
= blkbkj {bixbn + б<26/2)
/| + -L /|,
U =bikbkjbm\i = b3kbk3:=,l\ + — 14.
Или для криволинейной трансверсальной изотропии
B.48):
h = Ь^с® = IV+I\ + ±.1\, C.10)
Упражнение З.7. Показать, что для симметричного^
тензора b с помощью образующих тензоров группы О
B.11) можно построить только три линейных (т=3)
и три квадратичных инварианта (и = 6), см. B.42):
i
(x= 1, 2, 3),
C.11)'
157

"Или для криволинейной ортотропии B.53): '
> ==VX (x= 1,2,3). C.12)
§ 4. Матричные функции
В механике очень часто встречается ситуация, ког-
когда один тензор является функцией другого (а иногда
даже оператором).-При этом в основном рассматрива-
рассматриваются тензоры второго ранга. Итак, пусть в каждой
точке евклидова пространства 9t% каждому тензору
второго ранга а ставится в соответствие некоторый
тензор второго ранга b
~b=f(a), D.1)
причем закон соответствия D.1) называется тензор-
тензорной функцией.
Ясно, что такое определение почти ничего не дает,
так как не определяет свойств тензорной функции f.
Эта функция уожет быть тензором второго ранга, об-
образованным из различных тензорных степеней тензо-
тензора а,, может быть тензором более высокого ранга, ко-
который свертывается с тензорными степенями тензора
а, образуя тензор.второго ранга.
Для некоторых случаев понятие тензорной функ-
функции f вводится естественным образом. Так, если под
?_ понимается полиномиальная функция л-го порядка,
то
b~f{a) =ao^+aia+a2a2+.. .+una?, D.2)
где каждое слагаемое в D.2) имеет очевидный смысл,
а <2f (i = 0, ..., я) — некоторые скаляры.
Чаще всего в механике рассматриваются тензор-
тензорные функции симметричного тензора а, инвариантные
относительно какой-либо группы преобразования,свя-
преобразования,связанной, например, с материальной симметрией. Пусть
некоторая группа преобразования б характеризуется
в некоторой точке 5?з матрицей Q. В системе коорди-
координат с базисом ei
158

. D.3)-
Поэтому соотношение D.1) можно записать в виде
) 1 .- D.4)
Тогда при переходе к другой системе координат пре-
преобразованием, определяющим группу G,
*' = 0&, D.5)
для тензорной функции f, инвариантной относительно
группы преобразования G и характеризующейся мат-
матрицей Q, можно записать в матричном виде выра-
выражение
Q-)bQ = f(Q-*aQ). ¦ D.6)
Если под G понимается полная ортогональная /
группа евклидова пространства 5?з, то тензорная функ-
функция f, удовлетворяющая соотношениям D.1) и D.6)
для всякой ортогональной матрицы Q, называется
изотропной. Как известно из алгебры, всякая симмет-
симметричная матрица а путем некоторого невырожденного
ортогонального преобразования Q приводится к диа-
диагональному виду. Таким образом,
D.7).
где к\, ta, кз — собственные значения (спектр) мат-
матрицы а.
Можно рассмотреть частный случай изотропной
тензорной функции, обычно рассматриваемый в тео-
теории матриц [10]:
0 f(k^} 0
0 f(ks)
Q-lbQ=l 0 f(k^} 0 , D.8)
V 0 0 f(k)J
т. е. с каждой тензорной функцией f можно естест-
естественным образом, связать скалярную #функцию f(k),
значения которой на спектре матрицы а определяют
матрицу b D.1) в некоторой специальной системе ко-
координат. Так как D.1) отражает ковариантную за-
зависимость двух тензоров, то, зная эту зависимость в
159

'Одной системе координат, можно вычислить ее в лю-
любой другой. .
Пусть скалярная функция f{K) может быть пред-
представлена в окрестности некоторой точки Хо степен-
степенным рядом
= ? с((Л-А)', - D.9)
1=0
сходящимся в некотором круге сходимости \Х—Яо|~<
</?. Тогда, очевидно, это разложение сохраняет силу,
если скалярный аргумент заменить матрицей а, соб-
собственные числа которой лежат внутри этого круга ехо-
димости. Тем самым определяются тензорные функ-
щии
а
е
•-if
i=0
cos a = У ±^L a", sin а = V J=i>L a«+i, D.11)
~ Li B1)! ~ ~ jLi Bi + 1)! ~ ¦
л—1
D.12)
т. д., D.13)
1=1
причем на главные значения тензоров а в D.10) и
D.11) не накладывается ограничении, для D.12)
предполагается выполненным условие |ЛУ|<1, а для
D.13) — \К,—1|<1 (/ = 1, 2, 3). Разумеется, правые
"части выражений D.2), D.10) — D.13) можно 'с по-
помощью формулы Гамильтона — К^ели C.12) гл. 3
свернуть так, чтобы тензор b выражался через степе-
степени тензора а не выше второй:
b = f{a) = ^ol+^a + ^, D.14)
где функции Эо» Рь Рг являются соответствующими
скалярными функциями трех независимых инвариан-
инвариантов тензора а.
160 .

Для того чтобы построить явную зависимость этих
функций от инвариантов, воспользуемся тем обстоя-
обстоятельством, что матрица Ь, выражающая тензор b в
некоторой системе координат, полностью определяется
по значениям функции f на спектре матрицы а. Сле-
Следовательно, нужно отыскать скалярную функцию f.,
принимающую в трех точках к\, Я2, Яз спектра матри-
матрицы а заданные значения ?(&i), f(i2), /(Я3)«
Предположим вначале, что все значения Яь Яг,
Яз различны между собой и отличны от нуля. Полином
. Р(Я)=ао+а1Я+а2Я2, D.15)
принимающий заданные значения в точках Яь Яг, Яз,
называется интерполяционным полиномом Лагранжа.
Для отыскания коэффициентов этого полинома ао, аь
аг нужно решить алгебраическую систему уравнении
D.16)
Определитель этой системы является определителем
Вандермонда
d= ;(Я1-Я2) (Я2-Яз) (Я3-Я1), D.17)
который в силу сделанных предположений отличен от
нуля. Решение системы D.16) имеет вид '
+ /(Я3)Я1Я2(Я2-Я1)],
«1 = ~r [- f (К) (ti-ti) + f (К) (^з-Я?)-
a
r
a
~-f(rs)(X22-Xbh D.18)
<h = -j[f (К) (К-ЮЧ (K) (K-K) + f (h) (h-h)l
Подставляя D.18) в D.15), получим искомый поли-
полином
(aj — Л2) (A.j — л3)
Б. Е. Победря 161

**) /Д 1 Q\
Так как функция f(k) и полином Р(л) совпадают
на спектре матрицы а, то
Учитывая, что 5
^ + Я,2 + ^8=<а) = /,
=(а2) = //, D.21)
и разрешая D.21) относительно инвариантов /, //,
///, а затем подставляя в D.20), получим D.14) и яв-
явное выражение скалярных функций ($о. Эь Эг от ин-
инвариантов /, //, ///..
Если теперь ^2=Л,з, но К\ф%2, то получим соотно-
.шения D.1), совершая в D.20) предельный пере-
переход-
f{Mf№ D.22)
т. е. в этом случае для непрерывности тензорной
функции f необходимо потребовать дифференцнруе-
мости соответствующей ей скалярной функций f,
точно так же для случая ki=ft,2=ta нужно потребо-
потребовать существования (и ограйичеиности) второй про-
производной
D-23)
Упражнение 4.1. Доказать, что при ^2=^з спра-
справедлива формула
^W-f^f^- D-24)
Aj — Aj
162

Упражнение 4.2. Доказать, что при Л,1 = Л,2=Л,з тен-
тензор b является шаровым:
b^fCKiKr. - D.25)
Упражнение 4.3. Какие условия требуется нало-
наложить, чтобы-последовательность матриц
2
&@) = 0 - D.26)
сходилась к положительнй-определенному квадратно*
му корню из матрицы а, т. е.
Ь2=а. D.27)
Упражнение 4.4. Найти все -решения уравнения
D.27), имеющие вид
D.28)
где xi и Хг — некоторые скаляры.
Упражнение 4.5. Выразить с помощью формулы
D,14) a-1, где а — матрица, соответствующая девиа-
тору некоторого тензора а.
Упражнение 4.6. Доказать, что
-l.e~. = «r®a D.29)
dt ~
.(использовать формулу D.10)). ф
Следует еще раз отметить, что выведенные форму-
формулы справедливы только для симметричного тензора а.
В случае, если тензор а несимметричен, формулу
D.14) необходимо дополнить тензорами, которые об-
образуют линейно независимый базис н среди которых
могут встречаться выражения
а в качестве инвариантов, от которых зависят скаляр-
скалярные функции, могут быть выбраны следы следующих
тензоров: '
Ь, б2, b*, c\c2-b, c^bj^-bc-^, D.30)
где b — тензор, образованный из а симметрировани-
симметрированием, а"с — образованный из а антиснмметрированием.
&к* 163

Упражнение 4.7. Построить вид изотропной тен-
тензорной функции от несимметричного тензора 2-го ран-
ранга ^ [12].
Упражнение 4.8. Доказать, что для тензорных
функций Ь — а. Ь — а-а^ невозможно подобрать ^ вида
D.14). Найти f для этих случаев. #
Изотропная тензорная функция f симметричного
тензора а называется квазилинейной, если в D.14)
Рг^О. D.31)
Легко доказать, что в этом случае скалярные функ-
функции Ро и Эь входящие в D.14), зависят только от
двух инвариантов тензора а. В самом деле, как следу-
следует из D.20), условие D.31) означает, что
/fa) _ /fa)
(Х3 — к{) (Х3 — к9) (А.1 — Хг) (А.1
/fa)
fa •— ^i) fa — ^з)
Подставляя D.32) в D.20), получим
D.32)
D.33)
Упражнение 4.9. Пусть с — тензор-девиатор, у ко-
которого в некоторой системе координат ct-3=0 (t=l,
2, 3), и пусть для некоторой функции f(X)
f@)=0. D.34)
Доказать, что для того, чтобы изотропная тензорная
функция была квазилинейной, необходимо и доста-
достаточно, чтобы она была нечетной, т. е.
= -f (_fc). ф - • D.35)
Тензорная функция f(a) называется потенциаль-
потенциальной, если существует такая скалярная функция W
тензора а, что
"лГ = ?&)• D-36>
функция W называется в 3tqm случае потенциалом
функции 1(а).
Из определения тензорной изотропной функции,
164

данного выше, следует, что если скалярная функция
f(X) интегрируема, то всегда существует потенциал
W. Если же под функцией ? понимается изотропная
функция тензора а и еще- некоторых шаровых тензо-
тензоров, то такого утверждения сделать, вообще говоря,
уже нельзя.
Пусть W зависит от инвариантов симметричного
тензорам*, т. е. W (/, //, ///). Тогда
. f , ч dW dW dl . dW dll , dW dill
~ ~K ~ da dl da dll da dill da
74.37)
Из формул C.3) —C.5) гл. 3 и D.21) следует, что
JL = &t*L = 2a,2!L = &. D.38)
da ~ da да ~
Подставляя D.38) в D.37), получим
^ ^L ^-. D.39)
Сравнивая D.39) с D.14), заключаем, что
^ ^^ ^^ " D.40)
А если W — дважды непрерывно дифференцируемая
функция своих аргументов, то .
аР dft dp afe ap ар /44П
дП dl ' dill dl ' dill dll
Из D.41) следует, что для квазилинейной тензор-
тензорной функции (см. D.31)) функции W, р0 и Pi зави-
зависят только от первых двух инвариантов I, II, и, кро-
кро*
ме того, выполняются условия взаимности *
dll dl
D.42)
Аналогично можно рассмотреть изотропные тензор-
тензорные функции нескольких тензорных аргументов. За
*Победря Б. Е. — Механика полимеров, 1967, № 4,
с. 645-658.
6 В. Е. Победря 165

подробностями мы отсылаем читателя к книге [12].
Здесь же мы приведем без доказательства наиболее
общий результат, касающийся ортогональных симмет-
симметричных тензоров второго ранга, а именно: пусть из-
известно, что тензор Ь является изотропной функцией N
симметричных тензоров аи а2, ..., aN; ЛГ>2:
& = /(а1(а2 aN). D.43)
Тогда эту функцию можно представить в виде
& = ? а(-„?@, ft<6, D.44)
где E(i) — произвольные линейно независимые тензо-
тензоры из набора
+ amafa2k,
, D.45)
а коэффициенты а<о зависят от следов следующих
тензоров:
^n, a2a2aman,
пр, ala,ananap, 2;kaiamanakaq, D.46)
где числа, k, I, m, n, p, q представляют собой всевоз-
всевозможные наборы из N, все различные. (Среди инвари-
инвариантов D.46), разумеется, нужно выбрать функцио-
функционально независимые.)
Обобщением тензорных функций являются тензор-
Ш6

ные операторы, которые играют важную роль при
построении новых моделей механики сплошной сре-
среды. Частным случаем таких операторов являются тен-
тензорные функции нескольких тензоров, а также неизо-
неизотропные функции.
В сёязи с этим введем понятие дифференциала D?
тензора-оператора f и его функциональной производ-
производной, а именно
Dj{a, Л> = [.|Ц1= JL J{a+ Щ^о. D.47)
При этом будем считать, что Df линеен относительно
h. Пусть тензоры второго ранга hjl), АB), ..., Л(т) дри-
надлежат некоторым линейным нормированным про-
пространствам Еи Е2, ..., Ет. Назовем т-линейной фор-
формой выражение
D.48)
г*
где ei — векторы репера пространства 31%.
Форма называется однородной, если
Однородная форма второй степени называется квад-
квадратичной. Сумму однородных форм
мм
?А?... А = ? Л>» D.49)
т=0 ' ' т—0
т
назовем многочленом М-степени относительно h.
Пусть теперь оператор 2 в окрестности точки ji =
= 0 представляется в виде ряда, сходящегося внутри
некоторого круга сходимости радиуса R:
M D-50)-
т=0
Очевидно, что характеристические числа матрицы h
должны лежать внутри этого круга сходимости. Вели-
6* 167

чины Ат, входящие в выражение {4.50), представля-
представляют собой тензоры-операторы 2 (т+1)-го ранга. Если
тензоры ft и Ъ симметричны, то тензоры Л^'1'1 ¦••'mWt®
®^- также симметричны по индексам i, \,
h, jk {k=l, ..., от). Кроме того, они симметричны по
парам индексов ikjk, uji (&=1, .... от). Если они еще
' симметричны по парам индексов // и t*/*:
А*1'1-1&-*"*" = АШл-ч-'*~, D.51)
то говорят, что выполнены условия взаимности. В со-
соотношениях D.51) df/da представляет собой тензор-
оператор четвертого ранга. Можно определить тен-
тензорные функциональные производные второго и более
высокого порядка.
Заметим, что если оператор f представим в окрест-
окрестности точки а в виде ряда Тейлора, то под Ат в вы-
выражении D.50) понимается от-я тензорная функцио-
функциональная производная в данной точке (которая явля-
является тензором 2 (/п+1)-го ранга), поделенная на т]
Очевидно, чтобы тензорный оператор ?, представимый
в виде D.50), был инвариантен относительно группы
преобразования G, необходимо, чтобы каждая от-ли-
нейная однородная форма была инвариантна относи-
относительно G. Если под f понимается функция f, a G яв-
является полной ортогональной группой /, то, подстав-
подставляя в D.50) выражения тензоров Ат в виде комбина-
комбинации единичных тензоров, получим D.2), а после при-
применения формулы Гамильтона — Кели — выражение
D.14).
Оператору называется квазилинейным, если он яв-
является тензорно-линейным, а его нелинейность отра-
отражается нелинейной зависимостью от инвариантов тен-
тензора-аргумента. Оператор f называется потенциаль-
потенциальным, если существует такой скалярный оператор №,
что
6-/{e)e4JL. D.52)
Если оператор f аналитический (т. е. существуют все
его производные по Фреше), то его всегда можно
168

представить в виде D.50). Если^ является непрерыв-
непрерывным, то его можно аппроксимировать с наперед за-
заданной точностью выражением D.50) *. Легко ви-
видеть, что выполнение условий взаимности D.51) эк-
эквивалентно потенциальности оператора J D.52).
Теорема. Если оператор f является квазилинейным
и потенциальным (выполнены условия взаимности),
то в правую часть выражения D.50) не могут входить
скалярные степени тензора а выше второй.
Скалярной степенью т симметричного тензора
а называется выражение /
1т — Ц\\ (К)afc (К) ¦ ¦ ¦ а\тт-х (A.«-i) atm (U. D.53)
а тензорной степенью т этого же тензора — выраже-
выражение
1т =¦ а\,(X,)Ж,(К).. . 'off (*„,_,)a'f (XmOt®3. D.54)
где h — значения параметра Ле[/о, h]. В самом де-
деле, пусть оператор f
Ь^Ца) D.55)
является квазилинейным и потенциальным. Тогда со-
соотношения D.55) в силу D.52) можно записать в
виде
ыт ы^ т1т_х D56)
dlm да да
Так как Ъ выражается квазилинейно через а, то в раз-
разложение D.56) должны входить только 1т (/я<2.
h^3f — единичный тензор). Для этого, как следует
из D.56), нужно потребовать, чтобы
' sO,'m>2, D.57)
din
что и требовалось доказать. '
Упражнение 4.10. Доказать, что справедлива и об-
• FrechetM. M. — Ann. L'Ecole Normal Superieure, 1910,
v. 27. •
169

ратная теорема. Если оператор^/ допускает разложе-
разложение D.46) и квазилинейный, то выполняются условия
взаимности и оператор J является потенциальным.
§ 5. Общее определение тензориой функции
В предыдущем параграфе мы рассмотрели частное
определение тензорной функции, основанное на изве-
известном определении функции от матриц [2]. Здесь мы
рассмотрим общий случай.
Будем говорить, что тензор S ранга г является
тензорной функцией от тензоров 7<!), 7<2), .... T(tl)
(соответственно, рангов ri = m, г2 гы^п)
Г<2>, ..., 7W), E.1)
если независимо от выбора системы координат ком-
компоненты тензора S являются одними и теми же функ-
функциями компонент тензоров Г*1', Г<2', ..., 7(JV). Иначе
говоря, если в некоторой фиксированной системе ко-
координат а1, а2,.а3 имеем
S-i, =F-t, г{1 и-•¦/„. ••-.'*. ). \ь-г)
то в любой другой, полученной из исходной преобра-
преобразованием A.1),
причем
, k "), E:з)
...,B%aXaX...aX^-:\ E.4)
где взаимно обратные матрицы А я В являются яко-
биевыми матрицами преобразований A.1) и A.2) со-
соответственно.
Обозначим группу симметрии тензора S через Gs, a
170

группы симметрии тензоров Г'1', Г<2), ..., TW — че-
через Gj, G2, ..., GN.
Упражнение 5.1. Доказать, что группа симметрии
Gs тензора^, являющегося тензорной функцией E.1),
содержит в себе пересечение групп симметрии тензо-
тензоров, являющихся аргументами этой функции, т. е.*
• - E.5)
В силу того что множество тензоров ранга г, ин-
инвариантных относительно группы Gs, образует конеч-
конечномерное линейное пространство К (см. упр. 1.1),
можно представить тензор 5^ в виде линейной комби-
комбинации тензорного базиса пространства К:
J]. E.6)
где Й(Л, .Л, /р) — скалярные функции совместных
инвариантов 1и ..., /р тензоров Л1', Г<2>, ..., Г(Л°, a
тензоры S(a) образуют базис пространства К. Число
элементов этого базиса k (размерность пространства
К) совпадает с числом независимых компонент тензо-
тензора JJ и в зависимости от его ранга г, симметрии и ха-
характера группы Gs может быть подсчитано по фор-
формулам A.14), A.30), A.31) и т. п.
В число аргументов функций Qa(h, ¦¦-, /р) долж-
должны быть включены, разумеется, только функциональ-
функционально независимые инварианты. Их число {$ не должно
превышать числа функционально независимых инва-
инвариантов у (относительно Gs) тензора S.
В самом деле, пусть Yu ..., Ут — независимые ин-
инварианты тензора S. Тогда, как следует из E.6), су-
существуют скалярные функции *
ri=M/b/2,...,/f>),
Y2=Y2(IUI2, ...,/р), . E.7)
Если предположить, что Р>у. то из E.7) следовало
бы, что инварианты /T+i, /т+2, •.., I& можно было бы
* Это утверждение по существу является математической
формулировкой известного в физике принципа Неймана.
171

выразить через 1\, ..., /т, откуда следовало бы, что
инварианты /ь ..., /р функционально зависимы. По-
Поэтому должно быть:
0<Y. E.8)
Упражнение 5.2. Доказать, что число функциональ-
функционально независимых инвариантов у тензора ? не может
быть больше числа независимых компонент этого тен-
тензора к. Поэтому
?<y<k. ф E.9)
Рассмотрим, например, случай, когда один симмет-
симметричный тензор второго ранга является изотропной
тензорной функцией другого симметричного тензора
второго ранга.
Очевидно, r=2, п = /п = 2 и в качестве второго ар-
аргумента тензорной функции E.1) можно выбрать еди-
единичный тензор (или тензор g), т. е. r2ssAf=2. Тогда
в некоторой прямоугольной декартовой системе коор-
координат можно записать
• Sij = Fi}{Tki, 6mn). E.10)
Группой симметрии единичного тензора 3 является
группа /, а симметричного тензора Т—группа орто-
тропии О„ так как поверхность Коши тензора 7 (см.
§ 4 гл. 3) имеет три плоскости симметрии. Таким об-
образом группой симметрии, тензора S является пересе-
пересечение этих групп, т. е. группа О.
Число независимых компонент тензора S, инвари-
инвариантного относительно группы О, равно трем (упр. 1.4).
Поэтому в разложении E.6) следует положить k=3,
а число функционально независимых инвариантов
h, ..., /р и Yh ..., Y-, согласно E.9) будет не более
трех (положим Э=у = 3).
Очевидно также, что тензоры Т и 21 являются ин-
инвариантными относительно группы О. Для того чтобы
найти недостающий тензор базиса S(a> в E.6), вос-
воспользуемся теоремой, сформулированной в § 1, о том,
что любой тензор, инвариантный относительно группы
О, можно представить в виде операций тензорного
умножения и свертывания тензоров Т и 3. Выберем,
например, тензор 72._ Тогда из E.6) имеем для дан-
данного случая
S = Q,(/,; /2, hKf+Q2(Iu I2, I»)T+Q»(Ih h, /з^,
E.11)
172 -

где. в качестве функционально независимых инвари-
инвариантов можно выбрать, например,
/2 = <Г2), /з = <Р). (
Итак, мы пришли к выражению изотропной функции
E.11), совпадающей с представлением D.14), полу-
полученным в предыдущем параграфе из частных предпо-
предпосылок.
В качестве другого примера рассмотрим случай,
когда симметричный тензор второго ранга является
трансверсально изотропной тензорной функцией дру-
другого симметричного тензора второго ранга. Совершен-
Совершенно очевидно (см. упр. 5.1), что для этого в число ар-
аргументов функции E.1) необходимо включить обра-
образующие тензоры группы 7"з B.15). ,
Таким образом, аргументами функции E.1) явля-
являются симметричные тензоры с компонентами 7\/, 6ц и
вектор с компонентами 6а. Следовательно, г= 2, пэ
з=т=2, г2 = 2, г3==ЛГ=1. х
Если ни одна из главных осей тензора Т не совпа-
совпадает с осью хз, то группа симметрии Gs тензора S со-
согласно E.5) состоит только из единичной матрицы.
Применяя формулы A.30) и A.27), получаем, что-
число независимых компонент тензора S & = 6. Соглас-
Согласно теореме, сформулированной в § 1, в качестве тен-
тензоров S<a> E.6) можно выбрать, например, тензоры с
компонентами
6г/, б/зб/з, Tij, баГэ/Ч-буз^з», TikTkj, ТцТц. E.13)
В качестве функционально независимых инвариантов
можно выбрать, например, дополнительно к инвари-
инвариантам E.12) еще следующие [12]:
/4=Г3з, h = TziTiz, (
т. е. P=y=5, и неравенства E.9) удовлетворяются.
Таким образом, для трансверсально изотропной;
функции имеем из E.6):
S(/ = Q, (•) 6„ +-Q, (•) Муз
где функции Qo(-) (a = l, ..., 6) являются функция-
функциями инвариантов h, •¦-, h 15.14), E.12).
173

Упражнение 5.3. Показать, что для случая, когда
-симметричный тензор второго ранга S является ор-
тотропной функцией симметричного тензора второго
ранга Т: у = Р = &=6 и представление E.6) имеет вид
a=l
3
a=l
тде функции Qa(-) (a=l,..., 6) зависят, например, от
инвариантов
*=Тт (х=1, 2, 3), /2P+i = rPi7ip (р=1, 2, 3). E.17)
Итак, для того чтобы построить тензорную функ-
функцию, инвариантную относительно подгруппы G пол-
полной ортогональной группы /, связывающую два сим-
симметричных тензора второго ранга S и 7, нужно рас-
рассмотреть функцию E.1), включив в число аргумен-
аргументов кроме тензора Т (группой симметрии которого яв-
.ляется группа ортотропии О) конечное число обра-
образующих тензоров группы G:
дA) лB) , д(та) E 18)
(для кристаллографических точечных групп и текстур
эти тензоры имеют ранг 1, 2, 3, 4 и 6 [4.6]).
Группа симметрии Gs тензора S определится тог-
тогда пересечением групп О и G:
Gs^OflG, E.19)
.а тензорный базнс S<a> E.6) будет состоять из k ли-
линейно независимых тензоров (&<:6), выбранных из
¦тензоров
^, Т, Т\ E.20)
и симметричных тензоров второго ранга, образован-
образованных из набора E.18) и тензоров, полученных путем
тензорного умножения и свертывания тензоров E.18)
и E.20). При этом функции Qa E.6) зависят от JJ
(Р<&) функционально независимых инвариантов тен-
тензоров S(«) (a=l, ..., k).
Назовем построенную таким обазом тензорную
«функцию квазилинейной, если среди тензоров S'a) в
174

разложении E.6) оставлены только тензоры, линей-
линейно зависящие от тензора 7 или не зависящие от него
вовсе, а среди инвариантов h, ..., /р, .являющихся
аргументами функций Qa E.6), — только линейные и
квадратичные инварианты тензора 7 (см. § 3).
Заметим, что для некоторых групп G можно по*
строить квазилинейные функции без введения каких-
либо предположений, ограничивающих общность.
Так будет, если возможно на основе тензоров 3f, T и
3E.18) образовать не менее k (&<6) тензоров базиса
S<a), линейно зависящих от тензора 7 или вовсе не
зависящих от него. Для этого достаточно, чтобы кро-
кроме единичного тензора 3f нашлось не более двух ли-
линейно независимых тензоров второго ранга, построен-
построенных на основе тензоров E.18) путем тензорного умно-
умножения и сверток. Например, ортотропная тензорная
функция E.16), построенная из общих соображений,
является квазилинейной функцией.
Упражнение 5.4. Пусть два .симметричных тензора
5 и 7, обладающие одной группой симметрии G, име-
имеют спектральное представление B.36) в виде
S= ? Z**», 7= ? р«*> (n< 6), E.21)
~ a=l ~ ~ a=l ~
где -
р(а)р(Э) n^nty
Доказать, что квазилинейная тензорная функция
5=^G), E.23)
инвариантная относительно группы G, может быть
представлена в виде
Fff = ls.p% (a=l, 2 я), E.24)
'а
где Ya — некоторые функции инвариантов 1а:
Y-a=Ya(Iu ...,f*) (a=l, 2 п). E.25)
Упражнение 5.5. Показать, что если тензорная
функция потенциальна D.36), то число независимых
инвариантов р равно числу линейно независимых тен-
175

зоров S<a), составляющих .базис. В частности, для
трансверсально изотропной потенциальной функции
в предположении, что существует скалярная функция
W(IU ...,75) инвариантов E.12) и E.14), из E.15);
следует, что
га/, а/,
2e = 0. E.26>
§ 6. Производная по тензорному аргументу
При изложении материала мы не раз сталкивались
с проблемой дифференцирования скалярных и тензор-
тензорных функций по тензорному аргументу (см. § 3
гл. 3, предыдущие параграфы настоящей главы).
Теперь мы займемся этим вопросом подробнее.
Для этого обратимся к понятиям дифференциала и-
функциональной производной D.47), введенным в §4.
Прежде всего заметим, что дифференциал тензор-
тензорной функции (или оператора) имеет тот же ранг, что
и сама функция.
Из E.1) согласно D.47) будем иметь
•.+ dT(N) °i
^ [р (Т + |бТ, ...... Jw + i6T(iV))h=0( F.1)
<*s ~ ~ ~ ~ ~
где под точкой понимается скалярное произведение
порядка, равного рангу соответствующего тензора 7Ч'>
(t=l N). (Здесь под б Л'"' мы понимаем «прира-
«приращение» тензора _Л'>, по которому линеен дифферен-
дифференциал DF и который в § 4 мы обозначали через h.)
Запишем выражение F.1) в компонентах, исходя
из E.2) и D.47):
176

,.,.im, ..., Tkl + 667ftl }E=0 =
F.2)
Естественно назвать производные
It' * • //t
F.3)
которые являются тензорами ранга
r+r2, .... r+rjv^r+«, производными тензорной функ-
функции по тензорному аргументу.
Следовательно, для того чтобы вычислить произ-
производную скалярной или тензорной функции по тензор-
яому аргументу Г(а), необходимо по формуле F.1)
найти дифференциал рассматриваемой функции. Вы-
Выражение при 6J(a) и будет искомой производной. При
этом индексы компонент тензора 67Ч"> должны совпа-
совпадать с индексами компонент тензорного аргумента
TW, по которому ведется дифференцирование. Для
этого иногда следует воспользоваться заменой немо-
немого индекса или операцией жонглирования индексов
'(см. § 1 гл. 1).
Пус№, например, нужно вычислить производную
-S-; S',- = 7V*-. . ' F.4)
Нетрудно видеть, что величины F.4) являются ком-
компонентами тензора четвертого ранга.
Образуем согласно F.1) дифференциал
d (si),- 6s':t) = -i. [(г*+1 er'ft) (i*.) + |67*;)h=0=
fl? erfiT?>, F,5)
177

но аргументом дифференцирования в F.4) являются
компоненты Ттп. Поэтому выражаем
bTk] = bTmngkmb", вт!*=агпяг"»«2. F.6)
Подставляя F.6) в F.5) и рассматривая выражение
при ЬТтп, получаем искомую производную
±- =
6" + glmbnkTk) = Timbnj + Tnjg"". F.7)
Заметим, что если тензор Т, по которому ведется
дифференцирование, — симметричный (Тт„г=Гпт)>
то выражения F.6) нужно записать так, чтобы эта
симметрия была учтена:
<6.8>
Тогда, подставляя F.8) в F.5), получим вместо
F.7).:
^ 4 1Т
L
Tin6f
F.9)
Упражнение 6.1. Показать, что если тензор»
Т — антисимметричный (Ттп=—Тпт), то соотноше-
соотношения F.7) имеют вид
Tnjgim—Tmjgin). • F.10)
Если считать, что все действия происходят в ев-
евклидовом пространстве Яз, то, используя в базисных
полиадах различные наборы векторов ковариантного»
и контравариантного базисов, производным тензор-
ных-функций по тензорному аргументу, носящим ин-
инвариантный характер, можно придать различные фор-
формы записи. Например,
ес
178

И Т. Д. '
Поэтому выражения F.6) в инвариантной форме-
(бескоординатной записи) будут иметь вид
6Т=А:67\ F.12)
где А — единичный тензор четвертого ранга (см.
F.22) гл. 3), а выражения F.7), учитывая F.4), в
виде
5S 571*
Частным случаем рассматриваемых производных
являются производные скалярных функций тензорно-
тензорного аргумента, а еще более частным — производные-
инвариантов по тензору.
Упражнение 6.2. Показать, что производные ин-
инвариантов E.12) и E.14) по симметричному тензору-
'Г имеют вид
1 / a/j a/j \ , а/» , а/а 'т , т
а/» , а/я „„,.*„, 1 / а/а а/д \ . .
+ ~Г = в»^8/ + «8/^. F-
Упражнение 6.3. Показать, что ортотропная по-
потенциальная функция E.16) имеет вид
з з
бб
где потенциал W зависит от шести инвариантов E.17).
Упражнение 6.4. Показать, что для изотропной
потенциальной функции E.11) производная симмет-
симметричного тензора S по симметричному тензору Г име-
имеет вид
179

F.16)
где потенциал W зависит от трех инвариантов E.12).
§ 7. Дифференцирование тензорного поля
по параметру
Дифференцирование тензорных полей по парамет-
параметру (в качестве которого в приложениях нередко вы-
выступает время t) можно понимать в различных смыс-
смыслах. С одним из них, основанным на так называемом
абсолютном дифференцировании, мы познакомимся в
следующей главе. Можно рассматривать также диф-
дифференцирование тензоров, принадлежащих некоторой-
«движущейся» поверхности в евклидовом пространст-
пространстве /?з>
Здесь мы рассмотрим дифференцирование по па-
параметру тензоров при деформации пространства R$.
Пусть задана криволинейная.система координат
.введением функций
' 7=/-1а1, а2, а3). G.1)
Известным способом мы вводим векторы локального
базиса ей фундаментальные матрицы gij и gl/. Де-
Деформация пространства /?з описывается согласно § 7
тл. 3 законом
R=R(a\ а2, а3, t), ' G.2)
где t — некоторый параметр. Мы вводим локальный
базис Ei, фундаментальные матрицы Gij, G'i и т. д.
Записав соотношения G.2) в виде
' Б?=&'(«!. а2. «3. О, G.3)
* См., например, работу: Повстенко Ю. 3., Подстри-
г а ч Я. С. Дифференцирование по времени тензоров, заданных на
^поверхности, движущейся в трехмерном евклидовом пространст-
пространстве. — ПММ, 1983, т. 47, вып. 6, 6. 1038—1045.
180

где i1, I2, I3 — некоторая криволинейная система ко-
координат, можно ввести локальный базис эг.
*-§, G,4)
Будем считать, что при некотором фиксированном
значении параметра t (в некоторый момент времени t)
все три базиса е\, Ей Эс совпадают между собой f 10].
(Два первых базиса связаны с лагрцнжевой системой
координат а1, а третий — с эйлеровой |?.)
Тогда каждому вектору а соответствует вектор А,
причем
G.5)
Согласно сделанному предположению при фиксиро-
фиксированном t et=Ei и поэтому (см. § 7 гл. 3)
А'=А', Ai=*Au G.6)
Однако в последующие моменты t\>t уже ec=?=Ei и
хотя по определению А*=А1 и при t\, но
^ Aj^gaA^Ai-GjiA1. G.7)
Разумеется, можно в связи с деформацией простран-
пространства поставить в соответствие вектору а вектор А так,
чтобы в момент tx>t At=Ai, но при таком соответст-
соответствии уже, вообще говоря, А'ФАК
Перейдем "теперь к вопросу о дифференцировании
векторов базиса по параметру. Прежде всего заме-
заметим, что из G.1) при фиксированных координатах
а' следует
(?Ы4) G-8)
Введем теперь понятие вектора скорости v, исполь-
используя определение G.4):
Ptf *) SLl; G.9)
dt \ dt
Согласно G.21) гл. 3 имеем
181

поэтому
а 5а' д* 5а1"
G.11)
где V,- — символы ковариантной производной, по-
построенные с использованием фундаментальной мат-
матрицы dj. С другой стороны,
(
dt fa daidt dai { dt
Сравнивая G.11) и G.12), получаем
_L +-^15/-. . G.13)
dt / ^ 9а'
Предположим, что в фиксированный момент време-
времени t: Ei=ej, %l = a' и потому из G.13) следует, что
I-тг- \ =T'ikVk9j. GJ4)
• \ « /6
Упражнение 7.1. Используя формулу
Е'-Е, = Ъ). G.15)
показать, что из G,11) следует
Упражнение 7.2. Используя формулу
Р-Г/ = в}, G.17)
показать, что из G.14) следует
Упражнение 7.3. Используя формулы G.8), G.11),
.G.14), .G.16), G.18) дифференцирования по пара-
182

.метру t векторов базиса, показать, что из. G.5) сле-
следует ,
<dt
ЛА
da (дк\ ^ (ьаЛ ? G19)
G.20)
;
G.21)
^Заметим, что если в момент времени t
/ аЯ< \ _ / ал1 \ <ш _ I ел, л ? _, d^ ,7 22,
VlTJa'Virj.1 "dT^liT) l~~dT' {L Z)
то в момент /х > /
4 = ^ + i4*V^' G'23)
причем если (— ; (_) (_)_. __
(do' \ / 5a,- \
I И I —-1
* la \ dt }a
таковыми не являются.
Формулу G.21) можно переписать в виде
где и — так называемые полные производ-
dt at .
ные по параметру /.
Таким образом, можно вводить производные по
параметру t в различных смыслах, причем полученные
183

формулы легко обобщаются на случай тензора про-
произвольного ранга.
Упражнение 7.4. Показать, что из G.20) и G.21)
следует
дА?
dt Ja da* \ dt Ja
+ ak-^-, G.26)
где L — так называемая производная Ли [13]:.
. Lal=viW)al—aiWjVl, Lai=viVjai+ajVivL G.28)
Упражнение 7.5. Показать, что для тензора
й = В^'"• ¦%® ?'• ® е73® • • • ®7,Л, G.29)
Х?п G.30)
справедливо /
где
\ G.32)
Полученные выражения упрощаются, если соот-
соотношения G.2) описывают движение среды как жест-
жесткого целого. Положим, например,
-(?-?o), J7.33)
где Q — ортогональный тензор:
a Ro — радиус-вектор некоторой точки, которой в на-
184

чальнйй момент t соответствует точка с радиус-век-
радиус-вектором г.
Дифференцируя G.33) по времени, получаем
ю = щ+-^--(г—?0). G.35)
Выражая согласно G.34) г—г0" через R—Ro из G.33)
г—/V=g-(Я—Яо) G.36)
н подставляя в G.35), получим
y = Uo + _^..Q.(/?_#o). G.37)
Согласно G.34)
-=i-"Q'+Q--=-= 0 G.38)
и поэтому тензор 5
является антисимметричным. Следовательно (см.
B.35), B.36) гл. 3), с ним можно однозначно связать
осевой вектор о:
. S" = у=- в*'Ч. % = 2 /G eftZmS"«. G.40)
Тогда соотношение G.37) можно переписать в виде
~v = 'vo+a>X(R—Ro), G.41)
что соответствует известной теореме Эйлера в теоре-
теоретической механике.
Из G.33) следует, что
?(в^и=0Й. - G.42)
поэтому, дифференцируя по t соотношение G.5)
A^A^i^^Qj/u G.43)
7 Б. Е. Победря 185

получим
dA = dAi g -д dE*i _ dA1 ? , ^ Щ!
dt = dt l ' dt ~ dt ' dt
dAi -* dQ|.f ^-* dA1 ?
+ x, JdL = ^dL?i.- G.44)
dt dt dt .
Производные по параметру, вычисленные в под-
подвижной системе координат, когда вектор скорости име-
имеет вид G.41), называются производными Яумана
[10].
Вектор со при этом может быть связан с некото-
некоторым тензором второго ранга согласно так называемой
теореме о полярном разложении..
Упражнение 7.6; Доказать, что всякий невырожден-
невырожденный тензор второго ранга b==biiei®ej может быть
представлен в виде произведения
где Q — ортогональный тензор, а 5 и Г положитель-
положительно-определенные симметричные тензоры, однозначно
определяемые тензором Ь, причем
T=J2-S-Q, S = Q-r-Q, G.46)
b-5=Р~ b\=S*7 Q~=I~l'}^Ь'$ГХ> С7-47)
где T-1 — тензор, обратный к Г, a S-1 — обратный
к S.

ГЛАВА 5
РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО
§ 1. Элементарное многообразие
До сих пор мы задавали криволинейную систему
координат евклидова пространства &ъ введением ра-
радиус-вектора
7=7(tt1, a2, a?) A.1)
с отличным от нуля якобианом
-¦• -* -*
дг дг дг
да* да? да?
A.2)
т. е. предполагали, что существует некоторая декар-
декартова система координат с базисом ki, общим для все-
всего пространства ЗИъ.
Собственно говоря, такое пространство называет-
называется аффинным, а евклидовым оно становится после
введения соответствующей «метрики»
gu=e'i-ei, A.3)
где
векторы локального репера. В локальном репере, во-
вообще говоря, уже невозможно представить радиус-
вектор г, так как он принадлежит «целиком всему
пространству Мз», а локальный базис «ответствен»
только за бесконечно малую окрестность некоторой
точки М пространства Шъ-
Под заданием вектора а в пространстве 31% мы по-
понимали задание векторного поля а {а1, а2, а3), т. е. в
7* 187

каждой точке М пространства &ъ рассматривался век-
вектор а как объект алгебраического векторного прост-
пространства, «пришпиленного» в точке М и порождаемо-
порождаемого векторами локального базиса е(. Поэтому в каж-
каждой точке М вектор а мы раскладывали по векторам
базнса ei или взаимного с ним базиса е':
a—aiei=aiei. A.5)
Для достаточно гладкого векторного поля а(а\ а2,а3)
его частные производные да/да1 выражались через
векторы локального репера
да t "
A.6)
в силу того, что из формул A.1), A.3) можно было
вычислить изменение векторов локального репера
~г = г</еь A-7)
да'
при этом
гк 1 „fti / dgu I dgli дёЦ \ /i o\
" 2 S \ **' Заг 3a' j
Разумеется, все сказанное для векторов, т. е. тен-
тензоров первого порядка, справедливо и для тензоров
более высокого порядка. С введением новой системы
координат а1', а2', а3' (гл. 1, § 2), мы устанавливали
закон перехода компонент различных геометрических
объектов при переходе от нештрихованной сис-
системы криволинейных координат а1, а2, а3 к штрихо-
штрихованной a1', a2', a3'.
Подчеркнем еще раз, что всюду мы пользовались
следующим обстоятельством: криволинейная система
координат вводится формулами A.1), т. е. законом
перехода от некоторой декартовой системы координат.
Откажемся теперь от выделения среди координат-
координатных систем особенной (декартовой) и будем счи-
считать всё системы равноправными. Тогда совокупность
точек М перестает быть евклидовым и даже аффин-
аффинным пространством и становится некоторым абстракт-
188

' иым множеством, которое наделяется теми или ины-
иными геометрическими свойствами. Не будем вдаваться
в подробности определения многообразия, являющего-
являющегося важным понятием дифференциальной геометрии, а
дадим только не вполне строгое определение, которое
позволит нам в дальнейшем рассмотреть некоторые
свойства римановых пространств, широко используе-
используемых в современной механике.
Назовем элементарным многообразием п измере-
измерений класса D некоторое множество Un, для которого
задано взаимно-однозначное отображение иа связную
область изменения п переменных а1, а2 а" с точ-
точностью до произвольного преобразования этих пере-
переменных:
а'' = а>' (а1, а2, ... ,а"), A.9)
а'= «'(«»', а2', ... ,а"'), A.10)
при этом функции A.9) и A.10) считаются достаточ-
достаточное число раз дифференцируемыми.
Из разрешимости уравнений A.9) в виде A.10) и
обратно видим, что якобиевы матрицы
A.11)
являются взаимно обратными
Л'',Я<г = 6''/'> &,>#• ,¦ = &„ A.12)
так что определители этих матриц отличны от нуля.
Элементы множества 3R назовем точками М эле-
элементарного многобразия, отображения
М— (а1, а2 а») A.13)
координатными системами этого многообразия, а зна-
значения а1, а2, ..., а", отвечающие точке М в отображе-
отображении A.3), — координатами точки М в соответствую-
соответствующей координатной системе.
В соответствии с введенным определением рас-
рассмотрим некоторые свойства многообразий. Будем го-
говорить, что в многообразии задана кривая, еели зада-
задано множество точек, удовлетворяющих уравнению
a'=f.(f). A.14)
189

где t — некоторый параметр, а р' — совокупность
п функций. Зададим теперь множество точек, удовлет-
удовлетворяющих уравнениям
a'=f(u\ и\ ...,«-), A.15)
где ы1, и2, ..., ит являются параметрами, а число
т<п.
Совокупность этих точек назовем подмножеством
Ут множества Уп. При тп=п—1 это подмножество
может быть названо поверхностью в Уп, ибо облада-
обладает свойством поверхности делить все пространство Уп
на две части. В самом деле, из A.15) при т=п—1
следует, что можно исключить из (п—1)-го уравнения
параметры и1, и2, ..., ип~1 и получить вместо A.15)
одно уравнение
Ф(а>, а2, ..., а")=0. A,16)
Находящаяся в соседстве с Уп-\ часть пространст-
пространства Уп делится на две части, для которых функция
Ф является положительной или отрицательной. Часть
Уп-\ называется гиперповерхностью.
Упражнение 1.1. Параметрическое задание гипер-.
поверхности в Уп имеет вид ~ -
a1 = cosu1,
a2 = sin ul cos и2,
a3 = sinu1sinu2cosu3, A-17)
an-l — sin ul sin U2 Sin «3 ... sin И"-8 COS Un~\
. an = sin ы1 sin u2 sin u3.. > sin un~2 sin un~l.
Найти единственное уравнение этой поверхности в ви-
виде A.16) и проверить, точки (—,0,0, ... ,0] и @,.
0, 0, ..., k) (где k — некоторое положительное чис-
число) лежат по одну или по разные стороны от этой
поверхности. #
Рассмотрим в каждой точке М многообразия Уп
различного рода экстенсивы (гл. 1, § 3) и аналогич-
аналогично тому, как это было сделано ранее, определим ал-
алгебраические операции, производимые над ними. Сре-
Среди этих экстенсивов выделим относительные и абсо-
абсолютные тензоры и псевдотензоры (гл. 3, § 3). При
этом назовем, как это принято в литературе, тензо-
тензором, m раз ковариантным и k раз контравариантным,
совокупность (m+k)n величин т^... tm /«¦¦¦'*(a1, ... ,ап),
190

преобразующихся при переходе от одной системы ко-
координат к другой A.-8) по закону
Ti\...i' =Bl't1...Bi А ,-,... A /ft7i,...i *.
' 1 m I . m
A.18)
Рассмотрим некоторую кривую A.14) в У°п и за-
закон преобразования от одной системы координат к
другой A.9). Тогда в точке М мы имеем
da1' = Ж,с?а<, A.19)
т. е. дифференциалы da1 являются контравариантны-
ми компонентами тензора 1-го ранга. Пусть в Тп вы-
выбрана какая-то система координат, которая хотя и не
отличается от любой другой, но фиксирована. На-
Например, это система а1, а2, .".., ап. В силу невырож-
невырожденности матриц А1' {'(М) в каждой точке М много-
многообразия Тп элементы матрицы А1: можно тракто-
трактовать как /'-компоненты векторов локального репера
ei(M). Тогда в каждой точке М на эти векторы репера
можно натянуть векторное пространство &п{Щ, ко-
которое было подробно изучено в предыдущих главах.
Итак, всякое многообразие Тп порождает контину-
континуальную систему векторных пространств &п(М), при-
причем в каждом из них имеется «особый» базис ei в том
смысле, что порожден выбором некоторой системы
координат а1, ..., ап во всем многообразии- Тп.
Для того чтобы связать между собой различные
пространства 02n(Afi) к&п{М2), необходимо снабдить
многообразие Тп дополнительными свойствами связ-
связности. Мы не будем здесь касаться этого вопроса. За-
Заметим только, что если в каждом евклидовом прост-
пространстве мы умели подсчитывать расстояние между
любыми двумя точками и определять углы между
двумя любыми прямыми, исходящими из одной точки,
то для многообразия само понятие прямых и расстоя-
расстояния между двумя точками нуждается в определении.
Так, если бы существовали двумерные создания, жи-
живущие, например, на поверхности, показанной на
рис. 12, то мы с высоты своего «трехмерного» поло-
положений могли бы заметить, что у двумерных созданий
отсутствуют прямые в нашем смысле, а линей-
191

ки, которыми они пытаются измерять расстояния меж-
между двумя точками, с нашей точки зрения явля-
являются кривыми (рис. 12). Возникает вопрос, сумели бы
эти двумерные создания измерениями в двумерном
мире догадаться, что они живут в «кривом» прост-
пространстве, и установить меру искривленности этого про-
пространства?
Аналогичные вопросы могут возникнуть и возни-
возникают в пространствах большего числа измерений, и
Рис. 12
для того чтобы на них ответить, нужно ~ научиться
определять расстояния между двумя точками и дру-
другие величины, не пользуясь введением прямоугольной
декартовой системы координат, которой (как мы ви-
видим из приведенного двумерного примера) может иие
существовать.
Упражнение 1.2. Дифференцированием соотноше-
соотношений A.12) доказать тождества
192

daidak da''daft
A.21).
Упражнение 1.З. Доказать, что если все компонен-
компоненты тензора в одной системе координат обращаются в.
нуль, то они равны нулю во всех других системах ко-
координат.
§ 2. Метрический тензор
Попытаемся ввести понятие расстояния между
двумя точками многообразия, причем, разумеется, та-
такое понятие должно быть пригодно, в частности, для.
описания расстояния в евклидовом пространстве 0?з»
а также расстояния на поверхности в трехмерном ев-
евклидовом пространстве.
¦ Будем говорить, что пространство Уп является
пространством Римана, если в нем задана фундамен-
фундаментальная (метрическая) форма
Ф=Я«*х'*х/ (i, /= 1, 2, .... л), B.1)
т. е. некая скалярная функция точки М пространства-
Уп. Очевидно, тем самым задан симметричный метри-
метрический (фундаментальный) тензор второго порядка,,
ковариантные компоненты которого есть величины gt/.
Можно определить теперь расстояние между двумя
бесконечно.близкими точками Уп равенством
<&2=Ф. B.2)
Однако в евклидовом пространстве форма B.1) явля-
является положительно-определенной, т. е. она положи-
положительна для всех йгфО, и расстояние между двумя точ-
точками равно нулю только в том случае, если эти точки;
совпадают. При определении риманова пространства
мы не требуем положительной определенности формы
B.1). Следовательно, может случиться, например, что-
O=(rfa1J— {da2J, B.3)
т. е. метрическая форма обращается в нуль при
dal=da2. B.4)-
Итак, для некоторых направлений форма Ф явля-
193

ется положительной, для других — отрицательной.
Направления типа B.4), где метрическая форма Ф
обращается в нуль, называются изотропными направ-
направлениями. Для каждого неизотропного направления
существует знаковое число г, равное либо +1, либо
— 1, такое, что форма еФ является прложительной.
Введение знакового числа позволит нам избежать
трудности определения расстояния между.двумя точ-
точками с помощью неопределенной формы.
. Расстоянием между двумя бесконечно близкими
точками в направлении da' называется величина
ds2=e<P = sgijdaidai, ds>0.' B.5)
Расстояние между двумя бесконечно близкими точка-
точками в изотропном направлении считаем нулевым, т. е.
в римановом пространстве расстояние между двумя
точками может быть равно нулю даже в том случае,
если эти точки не совпадают.
Заметим, что риманова геометрия конструируется
с помощью понятия расстояния между двумя беско-
бесконечно близкими точками, а не точками, удаленными
между собой на конечное расстояние. Так как в каж-
каждой точке М риманова пространства имеется фунда-
фундаментальная матрица gu, то с ее помощью можно по-
подстроить в каждой точке М касательное евклидово про-
пространство с базисом eit таким, что
#/=«<•«/. - B.6)
Следовательно, направление, рассмотренное при опре-
определении B.5), в касательном евклидовом пространст-
пространстве может трактоваться как вектор
dr=dafei. ' B.7)
Предположим, что определитель фундаментальной
матрицы gij в каждой точке М отличен от нуля, т. е.
B.8)
Sni ¦ ¦ ¦ gnn
Тогда в каждой точке М существует матрица gV, об-
обратная к gij, т. е.
gugik=bik, gigjk^&k. B.9)
194

С помощью величин ga и gif можно производить
жонглирование индексами (гл. 1, § 1)
pi=Fkg*i, pk=gklpi. B.10)
В каждом касательном евклидовом пространстве мож-
можно, таким образом, построить векторы взаимного ре-
репера е'
?=?<?/. ' B.1 Г)
Упражнение 2.1. Доказать, что
*"=**. B.12)
Упражнение 2.2. Доказать, что величины g'i пре-
преобразуются при переходе от одной системы коорди-
координат к другой как контраваряантные компоненты тен-
тензора второго ранга.
Упражнение 2.3. Доказать, что
gilgll=n. . B.13)
Упражнение 2.4. Доказать, что
B.14)
Xngg.
да* да*
Упражнение 2.5. Найти смешанный метрический
тензор gt1, который получается из gi/ подниманием
второго индекса. #
Если величины а' при переходе от одной системы
координат к другой A.9) преобразуются по закону
af'~=Af'*d?, B.15)
то будем говорить, что в каждом касательном прост-
пространстве задан вектор
а=а%. B.16)
Если этот вектор не является изотропным, то его дли-
длину можно подсчитать по формуле
. B.17)
Рассмотрим, теперь кривую A.14) в римановом про-
пространстве У°п- Положим
B.18)
195

Тогда бесконечно малое смещение вдоль кривой A.14)
имеет вид
Жх'=тЧ0^ B.19)
и длина этого смещения определится формулой
ds=Vegt,xlx[ dt, B.20)
так что длину кривой A.14) от точки t=tx до точки
t=t2 можно подсчитать следующим образом:
dt. ¦ B.21)
Следовательно, чтобы найти длину кривой A.14)
в пространстве Тп, необходимо знать, как устроено
это пространство, т. е. знать его метрический тензор.
Так, например, если в Тъ дано
а1 = a cos t,
a2=asint, ¦ B.22)
a.3=bt
и метрическая форма имеет вид
ds2= (dalJ+ (da2J+ (da3J, BЩ
то согласно формуле B.21) длина кривой от точки
*=0 до точки t=2n равна
2Я •
J
B.24)
Если же метрическая форма имеет вид
ds2=(da'J+(da2J—(da3J, B.25)
то из B.22) следует
s=.
2лyV—ft2, если |а|>|6|,
2лУьг — а\ если |а|< |Ъ|, B.26)
0, если | а \ = |b\.
Из B.26) следует, что в случае а — Ъ кривая B.22)
в пространстве Y% с метрикой B.25) является изо-
изотропной. В случае, если кривая A.14) не изотропна,
за параметр кривой можно выбрать длину дуги s.^
196

Тогда из формулы B.5) находим, что
Следовательно, вектор
т<=^ <2-28)
ds
единичный вектор, касательный к кривой A.14).
Для того чтобы определить угол между двумя кри-
кривыми в некоторой точке М, предположим, что метри-
метрическая форма является положительно-определенной.
И пусть т' и а' — два единичных вектора, касатель-
касательных к рассматриваемым кривым в точке М. Тогда на-
назовем углом между этими кривыми угол Р, для ко-
которого
cos&^gtfi'a1. B.29)
Заметим, что для векторов т и а
~x=xlei, ~o=ai7j B.30)
касательного пространства точки М косинус угла
между ними находится также по формуле B.29).
Определение BЛ29) будет иметь смысл, если
|g<jTto'|<:l. B.31)
Так как метрическая форма положительно-определе-
положительно-определена, то для любого числа Я.
gij (т'+he1) (xi+hai) >0. B.32)
Раскрывая в B.32) скобки и учитывая, что векторы
х1 и а' единичные, получим
l + 2\gtftlol+X2>>Q. B.33)
Дополняя левую часть до полного квадрата, получим
тождество
откуда следует B.31).
Можно, разумеется, принять за определение угла
между кривыми выражения B.29) и для случая не-
неопределенной метрической формы, но в этом случае
усол может оказаться мнимым. Тем ие менее вне за-
зависимости от того, определена или не определена мет-
метрическая форма, считаем, что векторы а1, Ь' ортого-
197

на льны между собой, если
/ = 0. B.35>
Упражнение 2.6. Доказать, что вектор, получае-
получаемый дифференцированием единичного вектора т'. по
параметру кривой t A.14), ортогонален к самому век-
тору т
§ 3. Геодезические линии
В евклидовом трехмерном пространстве понятие
прямой входит в основное, неопределяемое понятие^
Однако, исходя из задания линейного элемента, пря-
прямую в евклидовом пространстве можно определить как
кратчайшее расстояние между двумя точками.
Переходя к обобщенному понятию прямой в рима-
новом пространстве Тп, обратим внимание, что на
двумерных поверхностях
и /gi) трехмерного евклидова
k пространства существуют
кривые, соединяющие
две точки, наименьше»
длины. Таковы, напри-
например, окружности макси-
максимального радиуса на сфе-
^уг . " ре. Линия, имеющая ми-
' Mffofj) нимальную длину среди-
всех линий, соединяющих
Рис. 13 две заданные точки ри-
манова пространства У»
(если она существует), называется геодезической ли~
нией. ¦
Пусть некоторая кривая, соединяющая две точк»
All и М2, задается параметрически в виде
а'=а'(ы), «i<:u<«2- (ЗЛУ
Рассмотрим однопараметрическое семейство кривых^
соединяющих точки Мх и М2 и принадлежащих Уп
(рис. 13):
о'-о'(и, v). C.2>
Для каждой кривой указанного семейства выполняют-
выполняются условия
(X \Ui, О) r=Oi', Ct'(U2> и) = О21.. C.3);
Зафиксировав параметр v, получим одну из кривых
198

C.1) семейства C.2). Обозначим через L(v) длину
каждой кривой семейства и будем считать,»
что L@) — наименьшее из значений L(v), т. е. кри-
кривая со значением параметра v = 0 имеет наименьшую
длину, другими словами, функция L(v) имеет мини-
минимум в точке о=0.
Так как длину каждой кривой семейства можно-
подсчитать по формуле B.21), то имеем
. () J/ft/ du.
Обозначим
C.5)
Тогда для каждой кривой семейства
L — V I'еда du, C.6),
где и; зависит от координат пространства а,1 и от на-
направления кривой т'. Для того, чтобы отыскать экст-
экстремум функции L(v), нужно решить уравнение
6L
dv
Из C.6) имеем
dL
dv J I da1 ¦ dv dx1 r dv
Очевидно, т' выражаются через координаты а'
dv dv du du dv
Поэтому, интегрируя по частям- C.8) и учитывай-:
C.3), получим
Г Г а ,/— da'l d d ,/ da1 Л .
= \ —-yew —* yew du =
J [da1 dv du dxl dv J
dL
д д -ш /* * •* ^ -ш г Л да1
ди дт* да1 J dv
199
(зло).

да1
Подставляя C.10) в C.7) и учитывая, что--
произвольные функции ы, получим для искомой кри-
кривой уравнение
yS^yo. (з.п)
du dxL да1
Упражнение 3.1. Убедиться, что уравнение C.11)
эквивалентно уравнению
d dw dw I dw dw
du dxi da1 2w du dx( '
C.12)
В соотношениях {3.11) и C.12) v=0, т. е. а' — ко-
координаты искомой геодезической линии. Если эта
кривая неизотропная, то можно считать параметром
и, характеризующим эту кривую, длину дуги s (и —
=s). Тогда
* = JEL, w = gi/TV = 8, JSL = JSL = o. C.13)
ds dv ds
7-^—^=0. C.14)
Поэтому из C.12) следует
d to
Подставляя выражение C.5) в C.14), получим
с
откуда
g ..*fL + _L f _^«_ + Ji«L _-Ж) tV = 0. C.16)
Назовем символами Кристоффеля 1-го рода величины
Символами Кристоффеля 2-го рода называются вели-
величины, образованные из C.17) следующим образом:
iy=g"Tt7lft. C.18)
Тогда уравнения C.16) можно записать в виде
йУ-^-+Гу.*т<г/ = 0. C.19)
200

Умножая C.19) на glk и суммируя по k от 1 до п, по-
получим
Л_ +r,W = 0. C.20)
ds
Подставляя в C.20) первую формулу C.13), получим
d2al , -n i da1 dai
ds ds
=0. C.21)
Итак, мы нашли дифференциальные уравнения
для определения геодезических линий, которые име-
имеют различную форму записи: C.11), C.12), C.14),
C.19) — C,21), причем в последних трех формах за-
записи предполагается отсутствие в каждой точке кри-
кривой изотропного направления, ибо в противополож-
противоположном случае следовало бы положить ds = 0 и уравне-
уравнения C.19) — C.21) потеряли бы смысл.
Отметим также, что. система дифференциальных
уравнений C.21) имеет второй порядок. Ее решение
al(s) будет определено однозначно, если заданы на-
чальные условия а' и ^~?~- еометрически это озна-
означает, что геодезическая линия определена однозначно,
если задана некоторая точка М и направление каса-
касательной к ней в этой точке. Например, в евклидовом
пространстве 91ь метрический тензор является еди-
единичным тензором. Поэтому из C.17) и C.18) следу-
следует, что все символы Кристоффеля 2-го рода равны ну-
нулю и решение уравнений C.21) имеет вид
a' = C,'s+C2', • C.22)
где С\1 и С2' — некоторые постоянные.
Упражнение 3.2. Доказать равенства
г,/,*=Г/,,*, . C.23);
C.24)
C.25)
Пусть теперь и произвольный параметр, причем
u = u(s) — некоторая достаточно гладкая скалярная
функция. Тогда
da1 da1 du
ds du ds
8 Б. Е. Победря 201

daa' f du \ -- aa- aru ,g g6)
. ds* du* \ ds I du ds*
Из C.21) получим -
fl d*al , r/ da*- da? _. da? /ч 97Ъ
du2 '' du du du
где % — некоторая скалярная функция:
*S
7(f У-
Так как справа в C.27) стоит вект*ор, то и слева
должен быть тоже вектор. Следовательно,- вектор f*
da'
коллинеарен вектору .
du
Упражнение 3.3. Проверить, что правая часть
C.27) преобразуется при переходе от одной системы
координат к другой A.9) как контравариантные ком-
компоненты вектора.
Упражнение 3.4. Доказать; что если вдоль кривой
A.14) вектор /' C.27) коллинеарен неизотропному
вектору , то кривая A.14) геодезическая. #
аи
Вернёмся теперь к уравнениям геодезической ли-
линии, отнесенной к произвольному параметру и. Обо-
Обозначим левую часть C.12) через
ot d d^ fa> to оод
du дх1 да1 v
Так как t' — вектор, то при преобразовании A.9)
х'^В'сх1', C.30)
откуда, считая т' функцией т'' и а'', получим
C.31)
тогда
* дш
дх1'
dw дх1
дх дх1 дт дх1
Поэтому для первого слагаемого правой части C.29)
в новой системе координат
202

Л I dw \ d I dw \ p,- За» dW da1'
~dV 1 ат*' / du \ &T? J '" иг* 3a'" da'' da '
C.33)
Кроме того,
dw dw ш , йш ат* ,Q qiv
¦ . .'^Г5=~а^"В'"+"^~'а?7~- C'34)
Вычитая C.34) из C33), согласно C.29) имеем
dw ^ da'' dw
C.35)
Отсюда следует, что ft преобразуются как ковариант-.
ные компоненты вектора.
Повторяя все рассуждения, сделанные при перехо-
переходе от уравнений C.14) к C.19) — C.21), получим для
ковариантных компонент вектора
du "¦- du* "' du du '
C.36)
а для контравариантных
ir, daaf rl da1 da» /Q o™
/ = t'-i " , I"'"'/
где ы — произвольный параметр кривой. Относитель-
Относительно w мы предполагали, что она является некоторой
скалярной функцией т' и а'.
Запишем теперь некоторую систему дифференци-
дифференциальных уравнений при произвольном параметре и
d
du \ дх* ) Az<
Упражнение 3.5. Доказать, что первым интегралом
системы C.38) является
_^-т'—ш = const. C.39)
дх1
Упражнение 3.6. Доказать, что из C.39) следует
wssgij%iTi=const. # C.40)
Если в C.38) за параметр и принять длину дуги
8* - 203

s, то получим дифференциальные уравнения C.14) для
неизотропной геодезической линии. Если же в точке
М геодезическая линия имеет изотропное направле-
направление, то до=0 в каждой ее точке, что следует из (8.40).
Таким образом, изотропной геодезической линией на-
называется кривая, которая для некоторого параметра а
удовлетворяет дифференциальному уравнению C.38>
или уравнению
du2 4 du du
а также частному первому интегралу
*'/-тЧг-- C-42>
du du
Упражнение 3.7. Доказать, что достаточным усло-
условием для того, чтобы некоторая кривая являлась изо-
изотропной геодезической линией, есть условие пропор-
пропорциональности вектора —— вектору h C.37) и
du
удовлетворение уравнениям C.42).
Упражнение 3.8. Доказать, что в метрике B.25)
изотропная геодезическая линия имеет вид •
а' = а'ы+6« (*=*!, 2, 3), C.43)
где а1, Ь1 — некоторые постоянные, причем
(а1J+(а2J— (а3J=0. C.44)
Упражнение 3.9. Найти изотропные геодезические
линии в четырехмерном пространстве с метрикой
ds2= (da'J+ (da2J+ (da3J—(da4J. C.45)
§ 4. Ковариантное дифференцирование
Мы видели, что частные производные df/da' ска-
скалярной функции f (a1, .... an) преобразуются при пе-
переходе от одной системы координат к другой как fco-
вариантные компоненты вектора, т. е. частные произ-
производные от скаляра носят тензорный характер. Этого,
вообще говоря, нельзя сказать про вторые частные
производные d2f/da'da'. В самом деле, дифференцируя
равенство
да1' да1 да1'
204

по а'' получим
а*/ , в, л aw_ D 2)
а2а' , Л
откуда следует, что при г г ^ и величины
—., * ., тензора не образуют,
да' За'
Используя векторный характер правой части {3.27)
^1=Л'',^-, D.3)
/
получим
du
С другой стороны, в новой системе координат со-
соотношения C.27) имеют вид '
du du
D.5)
поэтому
f —A1',/' - ^ + r'# dat' da'
du du
^L JsL. D.6)
du du '
d*al-
Подставляя сюда из D.4) выражения для A1't
и учитывая соотношения D.3) и C.27), получим
D.7)
Следовательно, символы Кристоффеля 2-го рода не
образуют тензора.
Этот результат следует сразу, если воспользовать-
воспользоваться результатом упр. 1.3. В самом деле, если сущест-
существует декартова система координат, т. е. система, для
которой всюду gy== const, то в этой системе коорди-
координат все символы Кристоффеля обращаются в нуль,-
что следует из C.17). Но, естественно, найдутся та-
205

кие системы координат, для которых не все Гц* обра-
обращаются в нуль. Следовательно, Тцк тензора не обра-
образуют, так какв противном случае из.результата упр. 1.3
следовало бы, что в любой системе координат Гг/*=О.
Упражнение 4.1. Доказать, что символы Кристоф-
феля 1-го рода преобразуются при переходе от одной
системы координат к другой по закону
Упражнение 4.2. Показать, что
^ D.9)
Г„.» = ГгГ.* А'' , АГ ,A"'k+ glkBh> ~^--. Ф D-
Рассмотрим вектор а', определенный вдоль неко-
некоторой кривой
а' = аЧи). D.11)
Абсолютной производной вектора а1 называ-
аи
ется выражение.
du du ' du '
Записывая D.12) в новой системе координат, по-
получим ' . ~
Ра'' __дг JPd_ =
du du
du
Правая часть согласно A.20) обращается в нуль. Тем
самым доказан тензорный характер абсолютной про-
производной D.12). (Каждое слагаемое по отдельности в
правой части D.12) тензора не образует.)
Будем говорить, что вектор а' переносится парал-
параллельно вдоль кривой D.11), если удовлетворяются^
уравнения
-^=0. D.14)
du
206

В частности, если рассматривается евклидово про-
пространство в прямоугольной системе координат, то
символы Кристоффеля в D.12) обращаются в нуль
тождественно и параллельное перенесение вдоль кри-
кривой D.11) означает постоянство компонент а1 вектора
а вдоль этой кривой.
Заметим также, что уравнения геодезической ли-
линии C.21) согласно D.12) можно переписать в виде
D d«* DT/0 D15)
ds ds ds ' "
. ¦ • , da1
что поддается следующей трактовке: вектор t — —-—
as
(единичный), касательный--к геодезической линии, пе-
переносится вдоль нее параллельно.
Для того чтобы сконструировать инвариантное
определение абсолютной производной от ковариант-
ных компонент вектора bt, воспользуемся тем обстоя-
обстоятельством, что для произвольного вектора а'(и), ко-
который переносится параллельно вдоль кривой D.11),
величина
I(u)=al(u)bt(u) D.16)
является скаляром. Тогда, очевидно, скаляром явля-
является и производная ——, и согласно D.12) и D.14)
du du du '* du
D.17)
du \ du . ik I du
Согласно обратному тензорному признаку (гл. 1, § 3)
величины, стоящие в круглых скобках в выражении
D.17), образуют ковариантные компоненты вектора.
Величины
?hJbJL D.18)
?h.==JL-Vb.J2
du du ik ' du
называются абсолютной производной вектора bt.
Параллельное перенесение ковариантного вектора
bt вдоль'кривой' D.11) означает обращение в нуль аб-
абсолютной производной D.18)
207

-^=0. D.19)
du J
Используя теперь формулы D.12) и D.18), можем
найти абсолютную производную от тензора любого
ранга. Для этого образуем инвариант (скаляр), свер-
свертывая рассматриваемый тензор с произвольными век-
векторами а' и bi, параллельно перенесенными вдоль
кривой D.11), и рассматриваем производную этого
скаляра по параметру и. Например, для тензора Т'>
конструируем скаляр Pibib/ и, используя формулы
;D.18) и D.19), найдем
r^L ^L D.20)
du du Ri du Ri du
Выражение D.20) назовем абсолютной производной
тензора Р>. Аналогично строя скаляры Тца1а1 и
Tiibluj, получим
= JElL -T%Tk^ -T)Tik *Lt D.21)
du du ll *' du '' * du ' v '
. D.22)
du du a k du kt l du
Формулами D.21) и D.22) представ'лены абсолютные
производные тензоров Тц и Г,;.
Будем говорить, что тензор Т *u.!?fk (") параллель-
параллельно переносится вдоль кривой D.11), если
[О_7*-..^=0> D.23)
du "•••'*
Заметим, что абсолютная производная от тензора
m-го ранга является тензором того же ранга.
Запишем формулы D.12) и D.18) в другом виде:
¦ D.24)
du \ dak . IR J du
T1. D-25)
\du
Выражения, стоящие в круглых скобках в D.24) и
[D.25), называются ковариантнымн производными век-
векторов а1 и bi соответственно
208

of., = Vfl? = a'\,Smd/a,^-^. + Ц.ак, D.26)
^I/^A =-0- -Г*6Л. D.27)
Аналогично определяются ковариантные производ-
производные тензоров любого ранга (см. гл. 1, § 3).
Упражнение 4.3. Подсчитать абсолютную и кова-
риантную производную тензоров 7V, Simik.
Упражнение 4.4. Показать, что для тензора аЧ
. D.28)
Упражнение 4.5. Доказать формулы
*".* = 0; _#/.* = <>; У/;* = 0; D.29)
Dg« = 0; Dgtt=0; Щ = 0. D.30)
Упражнение 4.6. ^Проверить справедливость фор-
формул-
T=*0, D.31)
=0, D.32)
Упражнение 4.7. Доказать, что для скаляра
/(а1,..., а") •
du du 'да1
В заключение укажем один способ определения
символов Кристоффеля,- удобный при практическом
вычислении. Если задана метрическая форма, то пос-
после составления выражения w C.5) получим, произве-
произведя соответствующие дифференцирования по формуле
C.29), выражение для вектора ft через компоненты
метрического тензора gij. С другой стороны, имеем вы-
выражение для вектора f, C.36). Из-сравнения этих вы-
выражений находим выражения символов Кристоффеля
1-го рода. Такой путь часто оказывается более прос-
простым, чем непосредственное вычисление по формулам
C.17).
Упражнение 4.8. Подсчитать указанным приемом
209

символы Кристоффеля 1-го рода, если метрика зада-
задается формулой
ds*= (da>J+ (a*du*)*+ (a1 sifi a2da3J. D.34)
Упражнение 4.9. Доказать, что
-±.{gt.^l)^2gilx'^, ' D.35)
где т' — произвольный вектор, заданный вдоль неко-
некоторой кривой, длиной дуги которой явлйется s.
Упражнение 4.10. Доказать, что
(см. упр. 2.4).
§ 5. Формулы Френе
Рассмотрим некоторую кривую в пространстве Ри-
мана
aW(s), XS.1J
где параметром, кривой 5 будем считать длину дуги
этой кривой, отсчитываемой от некоторой определен-
определенной точки. Поначалу будем считать, что среди рас-
рассматриваемых нами векторов отсутствуют векторы с
изотропными направлениями» Очевидно,, вектор
f - ¦%- E.2)
as
является единичным вектором, касательным к кривой
E.1). Тогда, учитывая возможность неопределенной
метрики, имеем
*«т*г'=е, E.3)
где е — знаковое число. Дифференцируя E.3) абсо-
абсолютным образом (или используя D.35)), получим
Из E.4) видно, что вектор ——- ортогонален к ка-
as
сательному вектору т1 (см. упр. 2.6). -
Единичный вектор T(i>', коллинеарный вектору
210

Dx1
, назовем первым вектором нормали, или пер-
ds
Dx1 „ -
вой нормалью, а длину вектора ^— первой кри-
кривизной X(i) кривой E.1). Следовательно,
^ '(i). ft/^i,t'(D =8(D» E-5)
где 6(i) — знаковое число вектора Т(и'. Уравнение E.5)
носит название первой формулы Френе.
Определим теперь единичный вектор ТB>' и скаляр
ХB> так, чтобы удовлетворялись уравнения
—J1L ;= хB) т|2) —ееA) x<i, xl, gi,т'2)т{2) = еB), E.6)
где вB) — знаковое число вектора т'р). Вектор т'B)
ортогонален к векторам х1 и т'Ц). В самом деле, ум»
ножая последовательно E.6) на Х{ и Т(о*, получим
4B) t'B) Tj = —*- Т; + 8A)ХA), 8B) T'B)T(i)i=0, E.7)
OS
но так как
E.8)
^, тA)^^
as ds ds
то, умножая E.5) на Т(и,-, получим
Dx1* ¦ '
e(i)M(i). E.9)
Подставляя E.8) и E.9) в первую формулу E.7),
получим доказательство ортогональности т'B) н т'.
Вектор тгB) называется вторым единичным вектором
нормали (второй нормалью), а ХB> — второй кривиз-
кривизной кривой E.1).
Вводим теперь единичный вектор т'C) и скаляр
так, чтобы выполнялись соотношения
—jf- = хC) тC) —e(D <?<2) «B) tJ'd , g(/ Tj3V r[3) = eC),
E.10)
где е(з)— знаковое число вектора t'C). Аналогично,
211

-можно доказать, что вектор т'(з> ортогонален векто-
векторам т', т'(и. т'BЬ Он называется третьим единич-
единичным вектором нормали (третьей нормалью), а х<з) —•
третьей кривизной кривой. Продолжая эти рассужде-
рассуждения, можно методом математической индукции дока-
доказать формулы
От*
~^- = X(m) T^j —8(m_2) 8(m_l) X(m_l) t'(m_?),
g«jT(m)'t(m)/ = e(m), <m-l, 2, ...). E.11)
При этом
т'(о)эт', Х(о) = О, в@) = 8. E.12)
Векторы т'A), т?B), ... называются соответственно
первым, вторым, ... вектором нормали, а скаляры
И(о, ХB), ... — соответственно первой, второй, ... кри-
кривизной кривой.
Разумеется, набор векторов t'(m) не может быть
бесконечным, так как мы рассматриваем риманово
пространство конечного, числа измерений п. Поэтому
можно рассматривать только п взаимно ортогональ-
ортогональных векторов. Чтобы оборвать цепочку уравнений
E.11), следует положить х(п)=0, тогда для пг=п
Итак, формулы Френе имеют вид
1 X(m) » (m) 6(m—2)e(m—1) *•(,«—l)T (m—2)»
ds
g</T(m-i)T(m-i) = V-i)' <m=l,2;...,«>, E.14)
при этом
т{о) = т<» х@) = 0. «(") = 0• E.15)
При выводе формул Френе E.14) мы предполага-
предполагали, что каждая введенная кривизна щт)фЬ. Однако
из уравнений E.14) видно, что если ХA)#0,ХB)т^0,...
..., X(fe-i)?=0, но x<ft) = 0, k<n, то цепочка уравнений
E.11) обрывается раньше, чем т=п, и последнее
уравнение этой цепочки имеет вид E.13), где следует
положить n=k. В частности, если k=l (т. е. К(о=0),
212

то так как из E.5) следует, что
„ Dxl Dxi .- 1К.
то это может случиться, если, например, —— = О,
т. е. согласно J4.15) рассматриваемая кривая являет-
является геодезический. Если же даже не все компоненты
. Dt{ ¦ л Dxl
обращаются в нуль, но вектор —-— является
as as
ИЗОТрОПИЫМ, ТО X(i) = 0.
В обоих случаях уравнение E.5) уже не опреде-
определяет первого вектора нормали т'A)- Тем самым це-
цепочка уравнений E.11) обрывается на первом шаге.
Однако и в этом случае можно ввести в некоторой
точке кривой единичные взаимно ортогональные век-
векторы T(i). ••• »т'(„_1) и ортогональные к вектору т'.
Перемещая далее их параллельно вдоль кривой, полу-
получим в каждой точке кривой п взаимно ортогональных
единичных векторов независимо от того, обращается
в нуль какая-нибудь кривизна этой кривой или нет.
Совокупность этих векторов называется многогранни-
многогранником Френе.
Если в каждой точке кривой рассмотреть каса-
касательное евклидово пространство, то многогранник
Френе в каждом таком пространстве образует орто-
Если считать Х(»> (?=1, 2, ..., п—1) известными
функциями длины дуги s,toh3 E.14) можно смотреть
нормированный репер т, т<1), ..., Т(П-п.
как на систему дифференциальных уравнений первого
порядка для определения векторов многогранника Фр'е-
ие (или сопровождающего репера) т',. т|„-, ••• •#ti(№_i)-
Для решения этой системы нужно задать на-
начальные условия, т. е. положение этого многогран-
многогранника в начальной точке кривой.
Упражнение 5.1. Пусть в Vn задана метрическая
1 форма в-виде
Ф=(<*а'J+ ... + (danJ. E.17)
Кривая, для которой в каждой точке
ХA)«зж=const, XB) = 0, E.18)
называется, п-мерной окружностью. Доказать, что для
нее справедливо уравнение
213

ct'=a' cos ns+b' sin ns+c', E.19>
где
a'ai = b% = —, a% = 0. ' E.20)
Упражнение 5.2. Найти кривизну линии B.22) э
метриках B.23) и B.25).
Упражнение 5.3. Пусть в евклидовом пространстве
/?з задай симметричный теизор второго ранга Т, за-
зависящий'от некоторого параметра t. Пятимерным
пространством Ильюшина называется евклидово про-
пространство /?s, порожденное девиатором тензора T(t)t
так что
tll
\/ — =
E.21)
f
причем э1 (t=l 5) — компоненты так называе-
называемого физического вектора э в ортонормированием ре-
репере h:
Построить в пространстве Ильюшина /?5 много-
многогранник Фреиё, связанный с кривой
1=э70- • E.23)
Рассмотрим трехмерное евклидово пространство.
Пусть в нем задана кривая уравнением для радиус-
вектора г (рис. 14)
214

r=r(u) E.24)
или координатами радиус-вектора в прямоугольной
декартовой системе координат
*<=*<(«) (*=!> 2, 3). E.25)
Если за параметр кривой принять длину дуги s,
xl=xl(s), E.26)
то вектор
ds '
E.27)
касательный к этой кривой, будет единичным, причем
E.28)
dr ¦ — ds
= Х-
du du
Формулы E.14) для этого случая примут вид
ds
ds
E.29)
ds
Первый вектор нормали T(d=v носит название век-
гора главной нормали, второй вектор нормали ТB> =
215

= P — вектора бинормали. Первая кривизна
называется кривизной пространственной кривой
ds
E.30)
и является существенно положительной. Величина,
обратная к k, называется радиусом кривизны кривой
в точке М и обозначается p = \/k. Вторая кривизна
и называется кручением кривой
и =
dsj
E.31)
Кручение может быть как положительной, так и от-
отрицательной величиной. Тройка единичных векторов
т, v, р называется трехгранником Френе, или сопро-
Рис. 15
вождающим репером (рис. 15). Плоскость, проходя-
проходящая через точку М кривой E.24), в которой лежат
векторы т и v, называется соприкасающейся плоско-
стью. Плоскость, содержащая векторы v и р, назы-
называется нормальной, плоскостью, и, наконец, плоскость,
в которой лежат векторы р и т,— спрямляющей плос-
плоскостью.
215

Упражнение 5.4. Доказать, что
~C=тХ^ * E.32>>
Упражнение 5.5. Доказать, что
где штрих означает производную радиус-вектора по
-»¦-»¦->¦-
параметру s, S(r?/\f'/\r"') — смешанное произведе-
произведение векторов г', г", г'".
Упражнение 5.6. Доказать, что если и = 0, то кри-
кривая лежит в соприкасающейся плоскости (плоская
кривая).
Упражнение 5.7. Доказать, что кривая, для которой"
k—О, имеет вид
~r=TS+r0, E.34).
где г° — постоянный вектор.
Упражнение 5.8. Доказать, что при и=0 задание-
кривизны k как функции длины дуги s определяет ли-
линию на плоскости с точностью до произвольного пере-
перемещения на плоскости.
Упражнение 5.9. Линии, для которых ^ = const>.
к=const, носят название винтовых линий. Найти па-
параметрические уравнения винтовых линии.
Упражнение 5.10. При интегрировании уравнений
Френе E.29) нужно учитывать условия ортонормиро-
ванности трехгранника Френе
^2=>="p2=i";.^=:y.p=^.tt=0j E.35)
т. е. на девять координат векторов трехгранника на-
накладывается шесть соотношений. Независимых коор-
координат, определяющих поворот трехгранника около
точки М, только три. Найти три угла, являющихся
независимыми параметрами задания трехгранника
Френе (углы Эйлера).
§ 6. Тензор кривизны
Интуитивно ясно, чем, например, кривая отличает-
отличается от прямой, поверхность от плоскости. Т. е. наблю-
наблюдая в трехмерном пространстве геометрические обра-
образования меньшего числа измерений, мы под искрив-
искривленностью понимаем их отличие от некоторых обр_а-
217

зований того же числа измерений, определяемых на-
нами как плоские. Но можно ли определить кривизну
пространства, не сравнивая это пространство с дру-
другим и не выходя для определения этого понятия в
пространство большего числа измерений, илн, как го-
говорят, является ли кривизна внутренним свойством
пространства?
Попробуем сделать понятие искривленности про-
пространства более конкретным. А именно назовем про-
пространство Тп уплощенным., если метрическую форму
можно выразить в виде
<D=e(j)(daIJ+eB)(da2J+ ... +ein)(danJ, F.1)
тде знаковые числа e(i> равны либо 4-1, либо —1. Про-
Пространства Тп, для которых невозможно выразить мет-
метрику в виде F.1), будем считать искривленными.
С позиций «внешней» геометрии мы предъявляем
к понятию «уплощенного пространства более жест-
кие требования. Так, например, рассматривая прямой
-круговой цилиндр радиуса а в трехмерном евклидовом .
пространстве, можно задать его метрику в виде
¦(рис. 16) -
Рис. 16
ds*=dzz+a?dq>2, ' F.2)
т. е. с точки зрения определения F.1) поверхность та-
такого цилиндра является уплощенным двумерным про-
пространством.
Другими словами, мы будем считать Тп уплощен-
уплощенным, если существует такое преобразование системы
координат, которое приводит метрическую форму
ds2 = e<& = egijdaida.i F.3)
к виду F.1). Из алгебры хорошо известно, что суще-
существует такое преобразование в каждой отдельной точ-
точке М, однако нас интересует .преобразование, которое
переводит {6.3) в F.1) во всех точках Тп одновре-
одновременно.
218

Упражнение 6.1. Вводя соответствующую замену
переменных, доказать, что всякое пространство Уп с
метрикой F.3) «вложено» в уплощенное пространство
г1—¦ числа измерении. #
Пусть А — произвольный ковариантный вектор.
Тогда имеем*согласно D.27)
вычисляя ковариантную производную тензора Ац,.
получим
Поменяв местами индексы / и k, из F.5) получим
Вычитая из F.5) выражение F.6), найдем
Определим теперь тензор кривизны Римаиа 2-го рода
Rifk? формулой
- Auv-AutpmRikSA,. F.8)
То, что Rjki1 действительно является тензором 4-го
ранга? следует из обратного тензорного признака
(гл. 1, § 3), хотя это можно проверить и непосредст-
непосредственно. Сравнивая F.7) и F.5), имеем
-TftTL s 2 [-1- Г1», + ГЙГ^/] , F.9) -
где [jk] означает, что в выражении, заключенном в
квадратные скобки, необходимо провести операцию
альтернирования по индексам /, k (гл. 1, §' 3).
219

Упражнение 6.2. Пусть в пространстве Тп выбра-
выбрана двумерная поверхность
а'=.а'(и, ») (/=1,2,..., я), F.10)
где и, v — параметры. Пусть в каждой точке этой по-
поверхности задан вектор В1. Вычислив вторые абсо-
абсолютные производные, доказать, что
atfi..* F.11)
аи
dudv
Теперь мы можем отчасти ответить на вопрос, ког-
когда пространство Тп будет уплощенным. Так как в
уплощенном пространстве должна существовать де-
декартова система координат (что вытекает из формулы
{6.1)), а в этой системе координат, как мы знаем, все
символы Кристоффеля обращаются в нуль, то соглас-
согласно F.9) компоненты тензора Римана в этой системе
координат равны нулю. Но поскольку он является тен-
тензором, его компоненты в любой другой системе коор-
координат обращаются в нуль. (упр. 3.1). Следовательно,
для того чтобы пространство Тп было уплощенным,
необходимо, чтобы *
Riikl=0. F.12)
Достаточное условие будет нами разобрано в даль-
• нейшем. . 4
Для запоминания формулы F.9) выражения ком-
компонент тензора Римана 2-го рода через символы Крис-
Кристоффеля 2-го рода обратим внимание, что нужно за-
записать сумму двух членов: производную по коорди-
координате символа Кристоффеля 2-го рода н произведение
двух символов Кристоффеля 2-го рода. В первом
члене порядок расстановки индексов таков же, как и
в левой части, а во втором члене у первого со-
сомножителя записываются внизу два внутренних ин-
индекса левой части, а сверху — немой индекс, по кото-
которому ведется суммирование. Тогда индексы во втором
сомножителе расстанавливаются автоматически. За-
Затем следует со знаком минус дописать еще два члена,
образованные из первых заменой первых двух индек-
со& (}++k).
Таким образом, тензор Римана 2-го рода кососим-
.метричен по первым двум индексам
=—Rkiil. F.13)
220

Упражнение 6.3. Проверить справедливость тожде-
тождества
-Rrf+RuJ+Ruj^O. • F.14)
Тензором кривизны Римана 1-го рода называется
четырежды ковариантиый тензор, образованный из
тензора Римана 2-го рода опусканием последнего ин-
индекса
Rikim = Rlkilglm. F.15)
Подставляя в F.15) выражение F.9) и учитывая тож-
тождество C.24), получим
Rikim=2 [ ~h r«.--r«r^J[/A]=
F.16)
Подставляя теперь в F.16) выражение C.17) и учи-
учитывая C.18), получим
, d%8i<
+
| g/^ g^ е<т \ |
dkdm 5^т З*д'/
_- 1/ | \
2 \ dalda1 dakdam 5а^ат За*до'/
F.17)
Упражнение 6.4. Доказать, что
Rfkim=—Rkfim — —Rfkmi. F.18)
Упражнение 6.5. Доказать, что
Rlkim = Rimjk. F.19)
Упражнение 6.6. Доказать тождество
Rlkim + Riikm + Rkijm = O. F.20)
Упражнение 6.7. Доказать, что в пространстве
У°2 все компоненты тензора Римана 1-го рода либо
выражаются через компоненту #1212, либо равны нулю.
. Упражнение 6.8. Доказать тождества Бианки:
Rjkim.q + Rqjim,k + Rkqim.j = 0, F.21)
Rihi'.q + RqiiKk + Rkq^f = 0. F.22)
Упражнение 6.9. Используя формулы F.18) —
F.20), доказать, что число независимых компонент
221

тензора Римана 1-го рода N в пространстве Уп,
>1, равно
12 " w
В силу высокой симметрии тензора Римана среди
л4 его компонент только N F.23) независимых. Так,
в Уг их всего шесть, а в У?, только одна. Поэтому
иногда удобно "пользоваться другими тензорами мень-
меньшего ранга, образованными из тензоров Римана.
Тензором Ричи называется тензор второго ранга,,
образованный из тензоров Римана одним из следую-
следующих способов:
Rhi—RikO=Rikimgim. F.24)>
Упражнение 6.10. Используя определение тен-
тензора Ричи F.24) и формулу D.36), доказать, что
2 да* да' «2 да)
откуда следует, что тензор Ричи — симметричный
тензор.
Упражнение 6,11. Умножая F.21) на g'mgki, пока-
показать, что
gklRki,<r-gkiRqi,k—glmR4m,j=*O. • F.26>
В частности, для двумерного пространства Тг иэ
F.24) имеем
#П=?22#2112, Rl2 = g12R2l2l, R22 = gURl22L- F.27)
Но так как для У2 компоненты тензора gi! имеют
вид
" gu = -^, g12=—^Ц g22 = -^, F.28>
8 g, 8
ТО
gRti=—gtiRim (i, /-1, 2), F.29>
т. е. в Т2 компоненты тензора Ричи пропорциональны,
компонентам метрического тензора.
Скалярная величина
R^gVRu^Ri1 (i, /= 1, ..., л) F.30>
222

называется инвариантом кривизны. Из F.29) вытека-
вытекает, что для п=2
«=~*m,,- . F.31)
а также
i-e'V47«=~ (*,/,*, Z=l, 2). F.32)
В трехмерном пространстве Уз вводят так называе-
называемый тензор несовместности
Rktmn (i, и k, I, m, я=1, 2, 3). F.33)
Используя определение F.30), тождество F.26)
для произвольного У°п можно записать в виде
#,«,—2/??,/'=0, F.34)
или
($ i^) = 0. F.35)
Тензором Эйнштейна называется тензор
Gl^Rl,—-R6'«. . F.36)
Тогда тождество F.34), часто используемое в теории
относительности, можно записать в виде равенства
нулю дивергенции тензора Эйнштейна
Giq,,=0. F.37)
§ 7. Геометрический смысл тензора
кривизны
Пусть Mi и М2 — две точки риманова пространст-
пространства Уп, а С\ и Сг — два различных контура (линии),
соединяющие эти точки (рис. 17).
Пусть кривые Ci и С2 заданы параметрически в
виде
С, :а'=ф'(»);^2 :.«'-¦'(«). G-1)
При этом значение параметра и = щ соответствует
точке Aii, а значение и = щ — точке М^.
223

Выберем теперь в точке Мх некоторый вектор а«»*
и перенесем его параллельно вдоль линии С\. Тогда»
точке М2 получим вектор пц)'. Если перенесем вектор
а@)' параллельно вдоль линии С2, то в точке М2 по-
получим значения ЯB)(, вообще говоря, отличные от
fl(i)'. Обозначим разность этих значений через
Да'(М2)=аB)'—аа)'. G.2}
Для того чтобы вычислить эту разность, создадим од-
нопараметрическое семейство кривых, соединяющих
точки Mi и М2 (будем предполагать рассматривае-
рассматриваемую область Тп односвязной), причем параметр ie
каждой кривой изменяется в том же диапазоне G.1),.
что и у кривых С\ и С2. Иначе говоря, кривые Сх »
Сг принадлежат введенному семейству.
%(и2)
Рис 17
Будем считать, что параметр и, по которому одна
кривая семейства отличается от другой, принимает
значение «i для кривой Ci и v2 для кривой С2. Итак,
уравнения кривых семейства задаются в параметриче-
параметрическом виде следующим образом:
al = fl(u, v), «i<m<m2, У1<у<:у2. G.3)
При этом - .
/'.(и, о,)=ф'(и), f'(«. »я)=*'(«) G.4>
и, кроме'того, в точках Mi и М2
'G.5)
G-6)
Другими словами, для точек Л^ и М2
-^- = 0 при « = «! и и = и2. -G.7>
224

Теперь перенесем параллельно вдоль каждой кри-
кривой семейства вектор awl. Тогда получим векторное
поле а', заданное на двумерной поверхностн Тп, всю-
всюду однозначное, кроме, быть может, точки М2. Это
векторное поле подчиняется уравнению
^- = 0, G.8)
du
откуда
-^- = 0. G.9)
dvdu ' К !
Кроме того, в точке М\
Da1
dv
= 0 при u = uv G.10)
Это равенство вытекает из формулы D.12), если
учесть G.7) и то, что в точке Mi
* ?& ). G.11)
dv dv
Пусть теперь bt — произвольный вектор в точке
М2. Перенесем его параллельно вдоль всех кривых v =
= const параллельным образом до точки Мх. Тогда
Db' =0. G.12)
ди
Образуем теперь скаляр (инвариант) а'&*. Тогда
в силу того, что в точке М2 вектор Ь{ определен од-
однозначно и для скаляра частная производная по па-
параметру совпадает с абсолютной производной, полу-
получим
И=1»2
= Г[-^Л-1 dv. G.13)
J L dv Ju=Ul
Подынтегральное выражение правой части G.13)
запишем в виде
225

u=u,
В силу G.10) первое слагаемое правой част»
G.14) обращается в нуль, а второе слагаемое соглас-
согласно F.11) и G.12) запишем следующим образом:
-L.\BLbi]duJ^
ди [ dv J J dudv
и, и,
G.15>
где учтено еще условие G.9). ^
Итак, выражение G.13) имеет вид
Ы (M^b{(M,)=[[Rk^bt^- ^-dudv, G.16)
JJ аи от
где интегрирование берется по всей двумерной по-
поверхности, образованной семейством G.3).
В точке М2 имеются три вектора: 6«, а^у1, а@I. Ес-
Если теперь перенесем их параллельно вдоль С2 в точку
Mi, то в точке Mi получим соответственно три векто-
вектора bp\ aml+Aal(Mi), й@)'. Но скалярные величины
при параллельном перенесении не изменяются. Поэто-
Поэтому так как из G.2)
Аа'(М2) bi(M2)=[a^-a^]bl(M2), G.17)
то, подставляя в правую часть G.17) значения векто- .
ров, полученные параллельным перенесением в точку
М\, имеем равенство
Aal{M2)bi(M2)=— Aa'(Ali)ftie). G.18)
Вектор bi в точке М2 был выбран произвольно. По-
Поэтому вышесказанному можно дать следующую трак-
226

товку. Рассмотрим контур С, состоящий из контура
С\ (от точки Mi до Мз) и контура С2 (от точки Ма
ДоМ,).
Пусть Mi — произвольная точка в Уп и пусть
У°2 — двумерное пространство, содержащее точку Мь
Пусть С — замкнутая кривая, лежащая вУгн про-
проходящая через Mi, причем выбрано положительное
направление обхода этой кривой, указанное выше.
Далее, пусть М2 — произвольная точка кривой С, от-
отличная от Mi, которую можно соединить с точкой Mi
семейством кривых, лежащих в Т2. Пусть, наконец,
6г<2> — произвольный вектор, выбранный в точке Ми
перенесенный параллельно вдоль отрицательного на-
направления кривой С до точки М^ а затем вдоль кри-
кривой данного семейства. Тогда произвольный вектор а1
в точке М] после параллельного перенесения вдоль
положительного направления по замкнутой кривой С
лолучит приращение Да'
^^dudv, G.19)
ди dv
где интегрирование ведетея по У\, ограниченному кон-
турбм С.
Если будем стягивать этот контур к точке М\, то
правую часть в G.19) можно представить с точно-
точностью до величин высшего порядка малости в виде
^^dudv. G.20)
ди dv
Или, учитывая произвольность вектора 6»B), для бес-
бесконечно малого контура получим
Да' = — Яы]а1 dakd a1, G.21)
(«) (и)
где
da* = —du, dal = — dv. G.22)
(и) ди (v) dv
Упражнение 7.1. Доказать, что для произвольных
векторов a', bt, параллельно переносимых вдоль
некоторого семейства кривых, соединяющих точки М,
и М2> интегралы ^и^
<?i= f gtfifdai, GT2= j4flV G.23)
Mi Mt
227

не зависят от пути интегрирования, если выполняются
условия в Уп
««/'=-0. • < . G.24}
Итак, если выполняются условия G.24), то прост-
пространство Уп является уплощенным. В самом деле, тог-
тогда во всем пространстве Уп можно выбрать в одной-
едвнственной точке М\ некоторый вектор al{Ml) или
bi(М\), параллельным их перенесением получить од-
однозначные векторные поля a1, bi во всем У п. Если мы
выберем п ортонормированных векторов е^)} в точке
Mi, т. е. выполняются условия
giieWie(i)j = v.ki, G.25)
где y.ki — 0 для кф1 и и«=в(*) для к — 1 (где е^ — зна-
знаковое число вектора е^/), тогда, перенося параллель-
параллельным образом п векторов е<о/, в каждой точке М про-
пространства Уп получим п векторных полей и можем
ввести систему координат
м
хк= [emda\ G.26)
м,
Из предыдущего следует, что для точки М, беско-
бесконечно близкой к Ми имеем
dxk = elk)tdal, ' G37)
или
Ц G-28)
Тогда, сравнивая с G.25), получим
да1 да,1
и за систему координат в Уп можно прииять Хк, при-
причем на G.29) можно смотреть как на переход ком-
компонент метрического тензора от одной системы коор-
координат к другой, т. е.
gkt = xu. G.30)
Поэтому метрическая форма имеет вид
<J> = eA)(d*,J+e<2,(d*2J+ ... +e(n)(d*nJ. G.31)
Итак, условия G.24) являются достаточными ус-
условиями того, чтобы пространство Уп было уплощен-
уплощенным. . ч
228

Упражнение IS!.. Пусть в пространстве Тг компо-
компоненты метрического тензора имеют вид
gl7 = 6(i+2e,7, • G.32>
где Ьц — символы Кронекера, а ъц — малые величи-
величины, такие, что их произведением можно пренебречь
по сравнению с первыми степенями. Доказать, что
в этом случае условие G.24)-равносильно условию
2nkB = 0 G.33)-
(гл. 3, G.19)).
Упражнение 7.3. Пусть в евклидовом пространстве
5Z3 выбран в некоторой точке базис ei и задана сис-
система дифференциальных уравнений
где Г?/ считаются заданными функциями координат.
Доказать, что условиями интегрируемости системы
G.34) являются условия G.24).
Упражнение 7.4. Пусть в ортогональной системе ко-
координат в Т% дано
ds*=gu(daiy+g22(dp?)*. G.35)*
Доказать, что
д
2 VI
*B)\9 ' G.36).
да* \Vg да*
Понятие ковариантной производной можно ввести:
и без введения метрики. А именно, если считать за-
заданными символы Кристоффеля 2-го рода как функ-
функции координат, для которых справедливы формулы
D.7), то говорят, что в «-мерном пространстве введе-
введена связность Г,-/ (а1, ..., а"), а само пространство
иосит название пространства аффинной связности. При
этом коэффициенты связности не обязательно явля-
являются симметричными.
Упражнение 7.5. Доказать, что величины
G.37),
229

•образуют тензор. Этот тензор носит название тензора
¦кручения.
§ 8. Поверхности в трёхмерном
евклидовом пространстве
Важным случаем риманова пространства является
двумерная поверхность в обычном трехмерном ев-
евклидовом пространстве. Рассмотрим достаточно глад-
гладкие поверхности, т. е. будем считать, что функции
•7=rla',«2), J8.1J
с помощью которых параметрически задается поверх-
поверхность, являются достаточное число раз дифференци-
дифференцируемыми. Под г. понимаем радиус-вектор трехмерно-
трехмерного евклидова пространства, т. е. вектор, который вор-
тонормированном репере kj имеет вид
%*'*, (/=1,2,3). (8.2)
(В этом параграфе считаем, что индексы, изображаю-
изображающиеся малыми латинскими буквами, пробегают
значения от 1 до 2, а индексы, изображающиеся
большими латинскими буквами, пробегают значе-
значения от 1 до 3.) Будем считать, что в каждой точке
поверхности (8.1) векторы
-*-
U = ~ (i=h 2) (8.3)
некомпланарные и потому могут быть приняты за
векторы локального репера. Метрический тензор по-
поверхности задается формулами
Плоскость, в которой лежат векторы t\ и /"г, назы-
называется касательной плоскостью поверхности (8.1) в
точке М. (Заметим, что касательная плоскость явля-
является частным случаем касательного, евклидова прост-
пространства в точке М риманова пространства Yi.)
Для рассматриваемого, случая определитель мет-
метрического тензора (8.4) имеет вид
2—gl2*. (8.5)
230

Будем считать, что метрическая форма
ds2=guda'dai (вы-
(выявляется положительно-определенной, В теории по-
поверхностей ее называют первой квадратичной формой
поверхности. В каждой точке поверхности введем
вектор нормали п
Vg
(8.7>
Упражнение 8.1. Доказать, что вектор п (8.71) еди-
единичный, т. е. .
n-ra=n'ni=l. (8.8)r
Упражнение 8.2. Пусть поверхность вращения зада-
задается уравнением (рис. 18)
Рис. 18
Найти метрический тензор этой поверхности и векто-
векторы п, г2, п. %
Рассмотрим какую-либо кривую на поверхности
(8.1). Дифференцируя по длине дуги этой линии, по-
получим единичный вектор касательной
231

Если продифференцировать по длине дуги вектор т,
то согласно E.29) найдем вектор главной нормали
'кривой
dai ds ds ' ' fds* * Г '
Спроектируем вектор fcv на нормаль к поверхности.
При этом положим cos 0=v п. (8.12)
Величину /;„ = /; cos 0 (8.13)
назовем нормальной кривизной линии на поверхности.
Тогда из (8.11)
ka = k^.n = ~n = ^---'n. (8.14)
Обозначим теперь
Тогда, учитывая, что «
d2r—rijdaldat-\-rid?"ai, (8.16)
гполучим
d2r-n—ri,-ndaida/. (8.17)
Определим теизор второй квадратичной формы по-
поверхности Ьц следующим образом:
Ъц=тц-п=—fi'fij. (8.18)
Квадратичная форма
<Рг— bijdaldat [8.19)
называется второй квадратичной формой поверхности.
Из (8.14) вытекает, что нормальная кривизна ли-
линии на поверхности определяется отношением второй
л первой квадратичных форм поверхности
232

*. = -*-. m (8.20)
Формулы (8.20) можно переписать в виде
(btt—kngidda'dat^O (8.21)
Упражнение 8.3. Доказать, что все линии на по-
поверхности, проходящие через точку М и имеющие об-
общую касательную, имеют одну .и ту же нормальную
кривизну kn.
- Упражнение 8.4. Доказать, что все линии на по-
поверхности, имеющие в точке М заданную соприкасаю-
соприкасающуюся плоскость (см. § 5), имеют в этой точке одну
и ту же кривизну k.
Упражнение 8.5. Геодезической кривизной некото-
некоторой кривой на поверхности в точке М называется ве-
величина kg
&в = Мп9. (8.22)
Доказать, что
kg=hf-7,. . (8.23)
и найхи выражение для геодезической кривизны че-
рез векторы ri и Гц.
Упражнение 8.6. Радиусом кривизны р, радиусом
нормальной кривизны рп и радиусом геодезической
кривизны pg называются соответственно величины,
определяющиеся выражениями
k = ±, kn^—/k, = —. (8.24)
Р • 9п Рй.
Доказать, что
Р2 = РЛ2 + Р|. (8.25)
Упражнение 8.7. Центром кривизны называется
точка, удалённая по нормали от точки М на расстоя-
расстояние радиуса кривизны. Пусть через вектор т в ^очке
М проходят две плоскости: нормальная, т. е. проходя-
щая через п, и наклонная, образующая с первой угол
6. Доказать, что центр кривизны наклонного сечения
является проекцией на плоскость сечения центра кри-
кривизны нормального сечения с той же касательной
(теорема Менье). # -
Тензор Ьц, как следует из (8.18), является симмет-
9 Б. Е. Победря 233

ричным тензором второго ранга. Поэтому для него
справедливы утверждения, доказанные в гл. 3. (При
этом следует учесть, что тензор Ьц определен в дву-
мерном' пространстве.) В частности, тензор Ьц имеет
два взаимно ортогональных главных направления, ко-
которым соответствуют главные значения Ьщ и Ьщ и
которые называются главными направлениями по-
поверхности.
Так как вектор т является единичным вектором
^ .1, (8.26)
то из (8.21) следует, что
kn^butW, (8.27)
т. е. значение второй квадратичной формы, соответ-
соответствующее значению единичного вектора, равно нор-
нормальной кривизне, отвечающей направлению этого
-+ -*¦ ,
вектора. Если t(i), Тед — единичные векторы, харак-
характеризующие главные направления тензора Ь^, то из
(8.21) следует, что главные значения тензора Ъц рав-
равны значениям' нормальной кривизны, отвечающим
главным направлениям поверхности
<8:28>
Эти значения k(\) и ki2) называются главными кривиз-
кривизнами поверхности в данной точке.
Упражнение 8.8. Доказать, что формула Гамиль*
тона — Кели для симметричного двумерного тензора
второго ранга отдает
~а2 = а(а)—У\а\. ф (8.29)~
Таким образом, bih как и всякий двумерный сим-
симметричный тензор второго ранга, имеет два независи-
независимых инварианта. Чаще всего за эти инварианты при-
принимаются величины
2H = bilg4 = bii = kw + kB), ' (8.30)
К = JL е<1е"%фн = det | ft} | - hiM, (8.31)
234

называемые средней кривизной (Н) и полной, или
Гауссовой, кривизной (К).
Тензорная поверхность Коши для тензора Ьц на-
называется индикатрисой Дюпена. Ее каноническое
уравнение имеет вид
ijiiM'+imH^il. • (8-32)
Упражнение 8.9. Доказать формулу (Эйлера)
in2<p, , . (8.33)
где ф — угол между данным направлением н первым
из главных направлений. #
Как и всякая кривая второго порядка, индикат-
индикатриса Дюпена может принадлежать к эллиптическому,
гиперболическому или параболическому типу. В свя-
связи с этим точки поверхностей распределяются «а три
соответствующих класса. Чтобы определить, к како-
какому классу принадлежит данная точка поверхности,
достаточно вычислить коэффициенты второй квадра-
квадратичной формы фг в этой точке и составить дискрими-
дискриминант
A = bub22—bi22. (8.34)
Если в данной точке Д>0, то точка эллиптическая;
если Д<0, то гиперболическая; если Д=0, то парабо-
параболическая. Если же в данной точке все Ьц=0, то точ-
точка называется точкой уплощения.
Упражнение 8.10. Доказать, что если в точке М
К>0, то точка М — эллиптическая; если /С<0, то ги-
гиперболическая; если К=0, то параболическая. #
Линией кривизны называется линия, которая в каж-
каждой точке касается главного направления поверхно-
поверхности.
Упражнение 8.11. Доказать, что через каждую
точку поверхности проходят две линии кривизны.
Упражнение 8.12. Доказать, что на каждой поверх-
поверхности (кроме сферы) есть два семейства линий кри-
кривизны. Они всегда действительны и их. можно вы-
выбрать в качестве ортогональной системы координат
на поверхности.
Упражнение 8.13. Доказать: чтобы поверхность бы-
была отнесена к линиям кривизны, необходимо и доста-
достаточно, чтобы
?12=0, 6i2=0. «' (8.35)
Асимптотической линией на поверхности называет-
9* 235

ся линия, нормальная кривизна которой в каждой ее
точке равна нулю. Из (8.21) следует, что уравнение
асимптотической линии имеет вид
bi)daldai=0. (8.36)
Упражнение 8.14. Доказать, что асимптотическая
линия, состоящая из параболических точек или точек
уплощения, является, плоской кривой. #
Разложим векторы Гц по векторам локального ре-
репера п и п:
Тц^ФЛ + Ьр. . (8.37)
Для того чтобы определить коэффициенты разло-
разложения Gijk и hij, умножим скалярио (8.37) на п. Учи-
Учитывая (8.18), получим
h4 = bih (8.38)
Умножим теперь (8.37) скалярно на п и учтем оче-
очевидное равенство
^o + ^7
—
Тогда имеем
(8.39)
bffo + Gta (8-40V
Переставляя индексы i, j, I в (8.40) круговым поряд-
порядком, получим
Сравнивая (8.41) с C.17), находим
О?/ = Гу. (8.42)
Далее, разлагая векторы т по векторам локально-
го репера и учитывая, что векторы т ортогональны
вектору п (см. упр. 2.6), имеем
ni^aiirj. (8.43)
Умножая (8.43) скалярно на гк и учитывая (8.18),
получим
236

аг/=— bikgki=— Ь{>. "=¦¦¦ (8.44)
Цодставим теперь (8.38), (8.42) в (8.37), а (8.44) в
(8.43)
?1/ = Г?Л+ &.,*. (8-45)
. лг=— ftfj.. (8.46)
Формулы (8.45) и (8.46) носят название дериваци-
деривационных уравнений. Заметим, что формулу (8.45) мож-
можно переписать, используя определение ковариантиой
производной, в виде
О/ = М- (8.47)
Для нахождения условий интегрируемости диффе-
дифференциальных уравнений (8.45) и (8.46) приравняем
нулю внешние дифференциалы
0, Ddn=0. (8.48)
Следствием уравнений (8.48) являются уравнения
-*. ¦ ~ •¦
-ELL- da' Л dak = 0, ^n da' Л da' = 0. (8.49)
dai дак да* да)
Отсюда из-первого уравнения (8.49)
Но так как векторы г* и л — линейно независимые, то
из (8.50) следует
(8.51)
=0. ^ (8.52)
Формулу (8.52) можно переписать в виде
Ьщ.т)=0. (8.53)
Как уже отмечалось, тензор Римаиа Ятцп в дву-
237

мерном пространстве имеет всего одну независимую
компоненту, например Rm2- Поэтому уравнения (8.51)
можно записать в виде
- &122 bUb22 = Rl2l2, (8.54)
где
р — ' / &gn a2gu 2 a»g12 \
1212 2 \ а (а1)* д(а*)* За1да2 /
2 \ а (а1)* д(а*)*
+ g*9(rn>*r22i(,—Гц.*Ги.,). (8.55)
Формулы (8.53) и (8.54) носят название формул
Петерсона— Кодацци.
Упражнение 8.15. Показать, что из второго уравне-
уравнения (8.49) следуют уравнения (8.53), (8.54).
Упражнение 8.16. Показать, что
J (8.56)
8
Упражнение 8.17. Доказать, что
6,,*/ = 6,^-2-^М, (8.57)
Упражнение 8.18. Доказать, что линии, для кото-
которых в каждой точке геодезическая кривизна kg=0,
являются геодезическими линиями.
Упражнение 8.19. Пусть определена тройка векто-
векторов
pi = TiTrl+Q% (8.58)
где T'l — компоненты некоторого тензора, а Q' -
компоненты вектора. Доказать, что уравнение
Рг,,=0 (8.59)
эквивалентно системе уравнений
(8.60)
Упражнение 8.20. Пусть определеиа тройка векто-
векторов
¦ ЛГ<="яХЛГ/, ' (8.61)
где МЧ — компоненты некоторого тензора. Доказать,
238

что уравнение
Jft,, + 7, xP' = 0 (8.62)
—>
(где векторы Р1 определены в упр. 8.19) эквивалентно
системе
Л1'^/ ° ¦ ) (8.63)
1)о)
Упражнение 8.21. Доказать справедливость фор-
формулы
Saiyiids= W,dZ, (8.64)
где L — замкнутый контур, охватывающий поверх-
поверхность 2, а1 — контравариантные компоненты двумер-
ного вектора а, а
V-^ (8.65)
компоненты, вектора, нормального в данной точке к
контуру L.

ЛИТЕРАТУРА
1. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М.: Нау-
Наука, 1971.
2. Г а н т м а х е р Ф. Р. Теория матриц, М.: Наука, 1967.
3. Ильюшян А. А. Пластичность (основы общей математиче-
математической теории). М.: Изд-во АН СССР, 1963.
4. Ильюшин А. А., П о б е д р я Б. Е. Основы математической
теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970.
5. К а р т а и Э. Внешние дифференциальные системы и их гео-
геометрические приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1962.
6. К о ч и н Н. Е. Векторное исчисление и начало тензорного ис-
исчисления. М.: Наука, 1965.
7. Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ. М.:
' Фнзм*ггнз, 1963.
8. Н о в и к о в С. П. Лекции по дифференциальной геометрии,
ч. I—II. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1972.
9. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный ана-
анализ. М.: Наука, 1967.
10. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. М.:
Физматгнз, 1962.
П.. С око льни ков И. С. Тензорный анализ. М.: Наука, 1971.
12. Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974.
13. Схоуте» Я. А. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука,
1965.
14. S у п g e J. L., S с h i I d A. Tensor calculus. Toronto, 1959.
15. Фнииков С. П. Дифференциальная геометрия. М.: Изд-во
Моск. ун-та, 1961.
НЕКОТОРЫЕ ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
К главе 1
Глава носит характер введения в тензорное исчисление. Счи-
Считается, что читатель знаком с понятиями двумерного н трехмер?
ного евклидова пространства хдтя бы нз курса аналитической
геометрии. Основная цель главы — как можно быстрее познако-
познакомить читателя с тензорной символикой. Уже в § 2 дается опреде-
определение ковариантной производной, очень важного понятия тензор-
тензорного анализа. Материала, изложенного в этой главе, вполне до-
достаточно, чтобы без труда понимать тензорный язык современных
курсов по основам аналитической механики, механики сплошной
среды, теории упругости, гидроаэромеханики. Содержание первой
главы по существу соответствует приложениям по тензорному
анализу, имеющимся во многих книгах. Например,
1.1. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. М.:
Изд-во Моск. ун-та, 1984.
Хорошим введением в тензорный анализ является книга
?40

1.2. Гохман Э. Введение в тензорный анализ. Харьков: 1935.
С основами теория.групп можно ознакомиться по книге
1.3. Курош А. Г. Теория групп/М.: Гостехнздат, 1953.
К главе 2
Если в первой главе было дано «геометрическое» определение
тензора, то во второй главе рассматривается gro «алгебраиче-
«алгебраическая» трактовка. Более полное разъяснение структуры простран-
пространства читатель найдет в книгах: . .
2.1. Курош А. Г. Общая алгебра. М.: Наука, 1974.
2.2. Зайцев Г. А. Алгебраические проблемы математической н
теоретической фнэнкн. М.: Наука, 1974.
Вопросам алгебраической трактовки тензорного аппарата посвя-
посвящена .книга
2.3. Вакуленко А. А. Полилинейная алгебра н тензорный ана-
анализ в механике. Л.: Изд-вр Ленннгр. ун-та, 1972.
С методом внешних форм Картана н его приложениями мож-
можно ознакомиться по книгам
2.4. Ефимов Н. В. Введение в теорию внешних форм. М.: Нау-
• ка,. 1977.
2.5. Р-ашевскнй П. К. Геометрическая теорля уравнений с ча-
частными производными. М.—Л.: Гостехнздат, 1947.
2.6. Фиников С. П. Метод внешних форм в дифференциальной
геометрии. М.—Л.: Гостехиздат, 1948.
К главе 3
В последнее врмя широкое распространение получила «безын-
дексная> форма записи тензорных величин. С изложением тен-
тензорной алгебры н тензорного анализа можно познакомиться, на-
например, по приложениям к книге
3.1. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука,
1980.
К главе 4
В основе теории тензорных функций лежит классическая тео-
теория инвариантов, изложенная, например, в книгах-
4.1. Вейль Г. Классические группы, их инварианты н пред-
представлениям М.: ИЛ, 1948.
4.2. Г у р е в и ч Г. Б. Основы теории алгебраических инвариан-
инвариантов. i\.—Л.: ГГТИ, 1948.
4.3. Любарский Г. Я. Теория групп н ее применение в фи-
физике. М.: Фнзматгнз, 1958.
С современным состоянием' теории инвариантов можно по-
познакомиться по книге - -
4.4. Желобенко Д. П., Штерн А. И. Представления групп
Лн. М.: Наука, 1983. ¦ -
Теорема о построении тензорного базнса для тензорной
функции произвольного строения доказана в работе.
4.5. Л о х и н В. В. Нелинейные тензорные функции в простран-
пространстве Мннковского. — В кн.: Научные труды Ин-та механи-
механики, № 31. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974, с. 6—66.
241

Для всех 32 классов у кристаллов и всех 7 тяпов текстур
дано фактическое построение тензорного базиса в работе.
4.6. Л о х и н В. В., С е д о в Л. И. Нелинейные тензорные функ-
функции от нескольких тензорных аргументов. — ПММ, 1963,
т. 27, № 3, с. 393—417.
Эта работа приведена полностью в виде добавлеияя к книге
4.7. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука,
1970.
Результаты этрй же работы оформлены-в виде справочного
руководства
4.8. Малолетний Г. Н., Фомин В. Л. Тензорные базисы в
кристаллофизике. Л.: Изд-во Леииигр. ун-та, 1972.
Использование спектрального разложении тензоров второго
ранга для построения нелинейных тензорных анизотропных
функций дано в работе
4.9. Победря Б. В. Деформационная теория пластичности
анизотропных сред. — ПММ, 1984, с. 48. № 1, с. 29—37,
а тензоров четвертого ранга при построении линейных тен-
тензорных функций в работе
4.10. Рыхлевский Я. «CEIIINOSSSTTUV*. Математическая
структура упругих тел. Препринт № 217. М.: Ии-т проблем
механики АН СССР, 1983.
К главе 5
Вопросам тензорного анализа в неевклидовых пространствах
посвящена большая литература. Укажем, например, на книгу'
5.1. Петров А. 3. Пространства Эйнштейна. М.: Физматгиз,
1961.

ПРИЛОЖЕНИЕ I
СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕНЗОРА
ВТОРОГО РАНГА
Всякий симметричный тензор второго ранга Ь может быть
представлен в виде суммы п (п<6) взаимно ортогональных
р-тензоров, принадлежащих инвариантным подпространствам
относительно подгруппы G полной ортогональной группы /:
Для р-тензоров в прямоугольной декартовой системе коор-
координат должны выполняться условия
(а) C)
если его
Инвариант р-тензора 1а называется линейным,
можно.представить в виде
Чу.
з, B)
где а,7(х> — компоненты симметричного тензора а<х>, инвариант-
инвариантного относительно группы G, причем можно всегда потребовать
выполнения условий:
— = бхр. (х, р = 1 т),
к=1
Из определения B) следует, что линейный инвариант мо-
может быть определен сверткой
l* = lff-7— . <й=1 т.).
"и
Рассмотрим три частных случая р-представлення произволь-
произвольного симметричного тензора Ь, когда тензоры
являются образующими группы G.
243

Iе. Группа G совпадает со всей группой / (изотропия).
В этом случае /я—1, п=2. Поэтому существует только одни
образующий тензор — единичный и
'«?/ = в/я «1 = Кз"; 'i = ^j- <*>; /$ = Т Ф в/*•
Второй р-тензор является девнатором тензора Ь:
Таким образом, в случае изотропии р-разложенне A) есть
не что иное, как представление тензора Ь в виде суммы шаро-
шарового тензора и девнатора: .
2°. Группа G является' rpynnoji Тз (трансверсальная изо-
изотропия).
В этом случае тп=2, п=4 н образующих тензоров будет
два, например
j,; a, = /2; А = -!j- (bu + *.,)_,
Первые два р-тензора, соответствующие линейным ниварнантам,
будут иметь компоненты:
. ¦ /10 0\ /00 0 \
р{}> = — (ftu+fri2) 0 1 0 ; р<2» = 0 0 0 .
2 \0 0 0/ . \0 0 Ьзз I
Остальные два р-тензора:
О 0 0
При этом
3aMeTHMj что если ось трансверсальной изотропии направ-
направлена не по оси Охз, а.составляет с ней угол <р, то можно вве-
стн вектор с@, sinq^ совф), характеризующий эту ось. Тогда
образующие тензоры примут вид
244

0
0
0
0
Бт8ф
sin ф cos ф
0,
sin ф cos ф
cosw
/1 0 0 \
oJJ' = 8// — c,Cj = I 0 cos8 qi —sin ф cos ф I,
\ 0 —sin ф cos ф sin8 ф j
Как изменятся в этом случае остальные формулы, показано иа
с. 151, 152.
3°. Группа,G является группой О (ортотропия). В этом слу-
случае т=3, я=4 и. образующих тензоров будет три, например
Поэтб'му р-тензоры, соответствующие линейным инвариантам,
будут иметь компоненты:
\ /0 0 0\
); p<f = 06a20);
/ • \о о о)
Остальные трн р-тензора:
@ 0 6 \ - /О1 0 ^з \ /0 6ц 0 \
0 0 623 I pg»= О 0 0 ; pg)= 6210 0 .
0 6«0 / Ьи00 / \0 "О 0 )
.При этом
Главные оси ортотропии могут быть напранлены не по осям
координат Oxi, -а по осям Оде/, ориентация которых определяется
с помощью углон Эйлера фЬ ф2, 6, часто используемых в теоре-
теоретической механике: '
(компоненты матрицы g,, выписаны на с. 46).
Обозначим через OL прямую пересечения плоскостей
Ох\Х2. н Oxi*s (линия узлов). Тогда углы Эйлера- определяют-
определяются следующим образом. . ¦" i -iif-w^ft: ,..
Первый угол ф| (собственного вращения) — мфкду^<Ц,яй351
Oxi, второй фг, (угол прецессии) — между Ох\\ т::-(Шлш(--*\
третий в (угол нутации) — между Ох% н Ох3. • _ц «2^4*=*^
С их помощью- можно опрйелить трн единичных вектора с'** ?,
(gxi, g*2, Яхз) н тр« образующих тензора" _ . "'"'лл„
а(^=4иLх). (х=1, 2. 3).
Как изменяются остальные формулы этого пункта показано на \
с. 152, 153 (см. также-упражиён*и~2.10 на с. 151).

Формулы в различных
с
¦2.
1
2
3
4
5
6
Название
формул
Закон пе
рехода oi
прямоуголь-
прямоугольной к криво
линейной си
стеме коор
динат
Координа-
Координаты локально-
локального базиса
Элемент
длины
Компонен-
Компоненты фундамен-
фундаментальной мат-
матрицы gij *
Определи-
гель фунда-
фундаментальной
матрицы g
Компонен-
Компоненты матрицы
Системы
произвольная
х' =х'(а1, а2, а3)
->¦ ( дх1 дх2 дх3 1
" 1 да1 ' да' ' да' ]
ds2 = gij da' dai
gii = erej
g = det|g<;|
8 d8'i
ортогональная
криволинейная
xi = xl (a1, a2, a3)
jt» = A«(o1, a2, a3)
x3 =x3(a1, a2, a3)
-+ г axi дх2 a*31
61 \ da* ' aai ' daf- J
-* f дх1 дх" дх3 |
62 | fa* ' da" ' da2 J
- f a^i дх2 дх3 |
Ps i da3 ' da3 ' 5as j
ds» = (tfj daiJ +
+ (H2da.*J+(H3da*J
*. = *!¦
* Остальные компоненты ряшц нулю-
246

ПРИЛОЖЕНИЕ II
системах координат
координат
прямоугольная
i
xi = ai
х2 = а2
х3 = а3
*A, 0.0)
«2@, 1, 0)
7,@.0. 1)
ds2 = (daiJ +
+ {**? +
+ (da3J
gll = #22 =
= &>s = 1
g=l
gll = g22 =
цилиндрическая
x1 = a1 cos a2
x1 — a1 sin a2
-*-
et {cos a2, sin a2, 0}
e2 {—a1 sin a2, a1 cos a2, 0}
^{0, 0, 1}
ds2 = (doty +
' + (ai da2J +
+(da*f
?n = l. g22 = (a1J.
' gas = 1
g = (a*J
gll — 1 Я22
8 ' S (a*J '
сферическая
x1 = a1 sin a2 cos a3
x2 = a1 sin a2 sin a3
x3 = a1 cos a2
ei {sin a2 cos a3, sin a2 X
¦ Xsina3, cos a2}
-*•
e2 {a1 cos a2 cos a3,
a1 cos a2 sin a3, —a1 sin a2}
e3 {—a1 sin a2 sin a3,
a1 sin a2 cos a2, 0}
ds2 = (daiJ + (a1 da2J +
+ (a1 sin a2 da3J
gn = l, g22 = (a1J.
gM = (a1sina2J
g=(a1Lsin2a2
^ l
* (aisina»J
247

с
с
2
7
8
9
10
Название
формул
Крордииа-
ты .взаимного
базиса "е'
Координа-
Координаты ортоиор-
мироваиного
базиса й<
Физические
компоненты
вектора а
Символы
Кристоффеля
1-го рода*
Системы
произвольная
а(Ф) = ^'^ Ai = a-ki
Г ' 7 %* 4-
Г//>*" 2 I aoi +
dgjk dgij \
+ да1 да* )
ортогональная
криволинейная
?=_Е_
W2
Л1
• /2"
Г ^ *
ь" ^
«a = ~I7~
^ -*
* я,
= аРЯр
<Р= 1.2,3)
аяр
аяэ
<P#y; P = y=i. 2, з)
• Остальные компоненты равны нулю.
248

Продолжение
координат'
прямоугольная
цилиндрическая
сферическая
«1A, 0, 0}
?{0, 1, 0}
^{0.0,1}
е1 {cos о?, sin а2, 0}
sin а2 cosaJ .
, 0
(
I
1
a1 a1
, 0, 1}
е1 {sjna2cosas, sina2X
X sin a3, cos a2}
-> f cos a2 cos a3
cos a2 sin a3
sin a'
sin a3
a*sin>* '
cos a3
a1 sin a2
. 0
Mi, o.o}
MO. 1,0}
, o, 1}
{cos a2, sin a2, 0}
—sina', cos a2, 0}
' ?{0.0, 1}
{sin a2 cos a3, sina'x
Xsina3, cos a2}
{cosa2, cosa*. cosa2X
X sin a3, —sin a2}
M— si'na3, aJsa3, 0}
A1 =a-ft1 =
A3 = a-k, = cM- sin a2
= — Г22>1 = а1
Гя,2 = —Гма = a1
= a1 sin2 a2
249

a
¦s.
11
Название
формул
Символы
Кристсффеля
2-го рода*
12 Элемент
объема
з Градиент
скаляра ф
Системы
Произвольная
Г.* — ff*'r.. .
Ч s 4,1
dV = Yg~dalda?da?
grad ф = V/ фв*
ортогональная
криволинейная
1 дН,
и ли
П о ОП о
Pv ' М л v
пу да.у
(P = Y; Y= 1,2,3)
аФ X
да> Ях
+ аа2 я2 '
да3 Н3
и
Диверген-
Дивергенции вектора
div а =
да.1
д
да2
• Остальные компоненты равны нулю
250

Продолжение
координат
прямоугольная
dV=dxldx2dx3
+ ax»
цилиндрическая
2 '
Га1~ ai
dV = aldalda4a3
l г а
a1 \ da1
ал1
+ да* +
Ьеричеекая
4 = -^
Г33 = — a1 sin2aJ
Г33 sin a' cos a1
2 *
21 ~ ai
r^2 = c!gaJ
dr ^=( oc i sin dot da dec
dep —>¦ 1 dep —¦¦
5a1 l a1 da*  .
1 аФ j.
a1 sin a2 da3
(aiJsina2ldai [(<X ) X
X sin aM1] +
a t 1
. 251

Название
формул
Системы
произвольная
ортогональная
криволинейная
Ротор век-
вектора а
rot a=
_ 1
1
Н1Н2Н3
д д д_
да1 да2 да3
Н^ Н2А*
Лапласиан
скаляра ср
Дф =
X
да*
[ Ht dot)
да* \ Я, дс *
JM'-JSL)]
п
Лапласиан
вектора а
0
1 Символ Д* [обозначает оператор Лапласа вектора и тензора,
252

Продолжение
координат
прямоугольная
цилиндрическая
сферическая
h
_а_
ах1
Л*
а
дх"
Л2
%
а
дх*
Л3
1
ai
a a a
aai да" да?
А1 аМ2 Л3
1
(a1)* sim2
ki a1*^ aisina2 &э
_д д__д_
да1 да2 да3
Л1 аМ2 ai sin а2 Л3
Э(*)« +
^ д(х*)> ^
+ '
д*хр
ill/ a<p \
а / 1 аф \
1
(a1J sin а2
+
да 1
X sin а2 —*-
йа1 J
д ( ду
,
sina2 да2
да2
да»
i —3_ _ _?1 _
(a»I (aiJ
(a»)
2 да,
а1 5а1
2 да,
Аа3
(а1K да2
- ^?2
! аё?"
2^
да2
2
X ctgi
да2
да"
(а1)
да2/
X
а символ Д — оператор Лапласа скаляра.
.253

Название
формул
Системы
произвольиая
цилиндрическая
18
Лапласиан
тензора а^
(симмет-
(симметричного)
Д*а =
прямоугольная
Дац —
4 даи
(а1)» да?'
<ht
+ ¦
4
¦__ш_ —....
4 'дан
а.1 да? +
2
+ 2ап
(а1J
(а1K
1 «1 daa (aiJ-
2
Aais — ТТ^
1
Дает ^-
(а1J
2
«13
да"
254

Продолжение
координат
Г сферическая
4 дац
Л"и (aiJ а«2
4 аохз
(a1J sin2 a2 да3
4 4
1 2
ctga 12+"(^Fa22 +
2
""" (a1L sin* а2 "м
4 да^
О ООг
4 аа12
"*" а1 да'
4 ctg aJ aa2s
(a1J sin2 а2 да'
2 ctg2 а2 л
(a1J sin2 a2 Us3+"Jl1
4 дам
4 доаз
, 4 аа12
•(а1J а?2
4 ctg a2 da^
(aiJ da2
2
(a1J sin2 a2 J™
+ 2sin2cAju +
2 cos2 a*
+ sin a1 cos a2a12
a1
2 da12
2- дам
(a1K aa2
2 dots
(a1J sin2 a2 da3 +
^" a2 aa2
2 ctg a2 aaxs
(a1J sin2 a2 5a3
5
2
2 ctg a2
+ .,.,.„„' a33
(a1K sin2 a2
ctg2 a2
2 dala
A"J2 ai Ah
2 ctg a2 aals
(aiJ да2
(a1K aa2
2 da,2
(a1K sin2 a2 da2
2 ctg a2 дац
+ (aiJ aa2
5
2 двц
+ ai" За2 +
1
+ (ai)»sin2a2 "ls
2 ctg a2
ctg2 a2
" (a*J -
4 aajs .
a1 da1
2 ctg a2 да^
(a1J aa2
+ oi flu' +
2 da12
a1 aa3
2 ctg a2 аазз
Xa!Jsin2a2 да3
2 ctg a2 аош
+ (aiJ За2
1
+ (aiJsin2a2 a™
3 ctg a2
a1
3ctg2a2
(a42 *"

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная производная" век-
вектора 207
тензора 208
Абсолютный дифференциал 35
Алгебра 57.
— ассоциативная 57
— Грассмана 78
Альтернирование 30
Альтернированный коэффици-
коэффициент 78
Асимптотическая линия 236
Базнс 8
— .взаимный -14, 62
— днаднын 50
—.канонический 62
— ковариантный 17
— контраварнантный 18
.— локальный 12
— неголономиый 15
— сопряженный 14
— тензорный 14Э
Базиса векторы 11
Бианки тождество 221
Вандермонда определитель 161
Вектор 4, 53
— аксиальный 100
— базиса 11
локального 125
— бинормали 216
— главной нормали 216
— нзотрогйшй 195
нормали 231
— нормали второй 211
первый 211
третий 212
— осевой 100, 185
— перемещения 132
— полярный 100
— скорости 181
— собственный тензора 106
— физический 214
Векторное произведение 96
Векторный базис 14
Векторы 28
- — базиса 11
— ковариантные 60
— контравариантные 60
— ортогональные 63, 198
— репера 11
Взаимности условия 168
Взаимный базис 14
Внешнее дифференцирование 8*
— умножение 77
Внешняя геометрия 218
— форма 76
дифференциальная 84
Вращение вектора 134
Гамильтона -*¦ Келли формула
105» 234
ГеЪдезнческая линия 198
. изотропная 204
Геометрический объект 28
Гиперкомплексные единицы 78-
Гиперповерхность 190
Главные значения тензора 110
— направления тензора 109.
ортотропнн 152
— оси тензора ПО
Градиент 134 '
— вектора 134
Грина формула 89
Группа 25, 98
— абелева 25
— вращений 26.
— инверсии 28
— коймутативная 25
—- конечная 45
— непрерывная -46 г
— ортотропин О 26
— отражений. 27 :
— подстановок Р 140
— полная движений 26
ортогональная / 26
— преобразований 23
г аффинных 26
— — центроаффннных 26
эквнаффинных 26
— симметрии тензора Ga 139
— собственная ортогональная
/о 26 "
— трансверсальной изотро-
изотропии Т3 27
— трансляций 26
??6

—унимодулярная 26
Группоид 58
Девиатор 110
Дельта Кроиекера V3I
Деривационные уравнения 237
Деформация пространства 127
Диада 47
— единичная 49
— полная 49
— симметричная 48
Дивергенция вектора 133
— Тензора 135
Дифференциал тензора-опера-
тензора-оператора 167
Дифференцирование абсолют-
абсолютное 206
— внешнее 84
—ковариантное 204
— тензорного поля по пара-
параметру 180
Длина цикла 140
Дюпена индикатриса 235
Евклидово пространство 63
Жонглирование индексами 15
Зависимость алгебраическая
155
—функциональная 155
Запись безындексная 93
— матричная 40 ¦
Знаковое число 194
Значение вектора на векторе
61 *
— внешней формы 79
— дифференциальной 88
— собственное 106
— функционала на векторе
59 ' *
—— полилинейного 73
Изотропное направление 194
Инвариант 27, 153
— квадратичный 156
— кривизны 223
— линейный 149
— относительно общей груп-
группы 27
Инварианты независимые ал-
алгебраически Ш5
функционально 155
— совместные 171
Инвариантные величины 18
относительно группы О 27
Г3 27
Индекс греческий 10
— латинский 10
— немой 10
— свободный 11
Индикатриса Дюпена 235
Интенсивность тензора 111
Картаиа дифференциальное
кольцо 84
— лемма 83
Ковариантная производная 21,
¦34
компонент вектора ко-
вариантных 21
контравариантных
21
— форма записи 6
Ковариантное дифференциро-
дифференцирование 204
Ковариантные компоненты век-
вектора 18
Ковариантный базис 17
Колосова поверхность 113
Компоненты вектора 9
ковариантные 18
контравариантные 17
физические 36
Контравариантный базис 17
Координаты вектора 8
ковариантные 10"
• контравариантные 9
прямоугольные декарто-
декартовы 8
— ковариантные 10, 18
— контравариаитные 9|, 17
Кососимметрирование 30
Коши — Буняковского неравен-
неравенства 63
Коши поверхность 108
Кривая 189
— плоская 217
Кривизна Гауссова 235
— вторая 211
— геодезическая 233
— нормальная 232
— первая 211
— полная 235
— пространственной кривой
216
— средняя 235
— третья 212
Кринйзны главные 234
Кривизны инвариант 223
257

— линия 235
Криволинейная ортотропия 155
— трансверсальная изотро-
изотропия 154
Кристоффеля символы 1 рода
22, 200
— — 2 рода 19, 200
Кронекера дельта 13
Кручение кривой 216
Кручения тензор 230
Лагранжа интерполяционный
полином (многочлен) 161
Лагранжева система коорди-
. нат 1.81
Ламе оператор 136
— параметры 36
Лапласа оператор 135
Леви-Чивиты тензоры 101
Ли производная 184
Линейное пространство R 139
Линия асимптотическая 236
— винтовая 217
. -г геодезическая 198
изотропная 204
— кривизны 235
Локальный базис 12
Матрица гиротропная 46,
— изотропная 46
— инвариантная 44
— монотропная 46
— ортогональная 43
— ортотропная 46
— трансверсально изотроп-
изотропная 46
— фундаментальная Щ 63
—якобнева 12
Матричная запись 40
Матричное представление груп-
группы 45
Матричные функции 158
Менье теорема 233
Многообразие 87, 189
— элементарное 189
Моноид 58
Направления главные ортотро-
пнн 152 ¦
поверхности 234
тензора 1Й9
трансверсальной изо-
изотропии 151
Неголономный базис 15
Неймана принцип 171
Немой индекс 10 .
Неравенство Кош и — Буняков-
ского 63
— треугольника 63 '
Несовместности тензор 13|5, 222
Нонор 122
Область значений 55
— определения 55-
Образующие векторы ортотро-
пии 152
— тензоры 144
гиротропии 147
изотропии 147
ортотропии 146
трансверсальной изотро-
изотропии 147
Обратный тензорный признак
33
Объем параллелепипеда 129
Окружность п-мерная 213
Оператор 55
—аналитический 168
— деформирования 134
— Ламе 136
— Лапласа 135.
— линейный 55
— квазилинейный 168
— непрерывный 169
— потенциальный 168
— сопряженный 62
— тензорный 167
Операция альтернирования^ 30
— внешняя 58
— внутренняя 58
— кососимметрирования 30
—нульарная 58
— подстановки индексов 29,
70
— произведения 29
— свёртки 30
— сложения 28
— симметрирования 29
— умножения на число 28
— унарная 58
Ортогональные преобразования
25
Ортотропия криволинейная 152
Остроградского — Гаусса тео-
теорема 136
Остроградского формула 90
Ось трансверсальной изо-
тропнн 151
Отношение эквивалентности
56, 66
258

Параллельное перенесение век-
вектора 206
тензора 208
Параметры Ламе 36
Петерсона — Кодаццн формулы
238
Плоскость карательная 230
¦—• нормальная 216
— соприкасающаяся 216
— спрямляющая 216
Площадь параллелограмма 126
Поверхность 190
— двумерная 220
—Колосова 113
— Кошн 108
— тензорная 108
Подгруппа 25
Подпространство 54
— инвариантное 149
Подстановка индексов 29, 69
Полиада 52
Полином инвариантный отно-
относительно группы 144
— интерполяционный Лаг-
ранжа 161
— от векторов 144
— характеристический Ш6
Полугруппа 58
Порядок группы 140
— написания индексов 11
Потенциал функции 164
Правила суммирования 10
в прямоугольной систе-
системе координат 23
Представление группы матрич-
матричное 45
— спектральное (р-представ-
ленне) 149
Преобразования 23
— аффинные 24
— непрерывные 101
—-общие 24
— ортотропные 25
— переноса 24
— подобия 43
— унимодулярные 24
— центроаффннные 24
— эквиаффинные 24
Принцип Неймана 171-
Произведенне векторное 96
— внешнее 77
— декартово 56
— смешанное 217
—г- скалярное 9, 63
— тензорное 66, 69
— экстенсивов 29
Производная коварнантная 21,
34
— Лн 184
— полная 183
— по тензорному аргументу
176
— функциональная 167
— Яумана 186
Пространство арифметическое
53|
— аффинное 187
— аффинной связности 229
— векторное 53!
коварнантное 60
контраварнантное 60
— дуальное 60
— евклидово 63
касательное 194
— Ильюшина 214
— линейное 53
R 139
— Рнмана 189, 193
— сопряженное 59
— уплощенное 218
Пространства взаимно сопря-
сопряженные 62
Псевдотензор 96
— относительный 101
Пуанкаре теорема 86
Радиус кривизны 216
геодезической 233>
: нормальной 233
Репер сопровождающий 213,
216
Римана пространство 189, 193
Рисса теорема 64
обобщенная 76
Ричн тензор 222
Ротор 134
Свертка 30
Септор 117!
Символы Крнстоффеля 1 рода
22, 200
2 рода 19, 200
Симметрирование 29
Сизигии 155
Система координат лагранже-
ва 181
эйлерова 181
След матрицы 44
Сложение экстенсивов 28
Собственное значение 106
259

Собственный вектор 106
Сопряженный базис 14
Спектр матрицы 159
Спектральное представление
тензора (р — представление)
149
Сравнимость по модулю 57
Стокса теорема 136
— формула 89
Структура 58
— алгебры 38
— векторного пространства
58
— группы 58
Структурное уравнение теизо-
ра 94
Суммирования правило 10
——в прямоугольной систе-
системе координат 23
Тензор 30, 67, 101, 190
— абсолютный 102
— второго ранга 93
— второй квадратичной фор-
формы 232
— деформации 131
— истинный 101
— инвариантный относитель-
относительно группы преобразований
139
7 139
— кривизны 217
Римана 1 рода 221
2 рода 220
— кручения 230
— Леви-Чивиты 101
— метрический 193 —
—моментои инерции 115
— многоточечный 65
— направляющий 111
— несовместности 135, 223
— одноточечный 67
— относительный 100, 102
веса р 100
— ортотропный 142
— Ричи 222
— траисверсально изотроп-
изотропный 143
— третьего ранга 116
— фундаментальный 31, 193
—?четвертого ранга 121
— шаровой ПО
— Эйнштейна 223
— р 149
Тензора главные направления
109
— интенсивность 1.11
Тензориальность 33
Тензорная поверхность 108
— функция 158, 170
изотропная 159, 172
квазилинейная 174
инвариантная отно-
относительно группы G 175
ортотропная 174 .
— потенциальная 179
потенциальная 1,75
трансверсально изотроп-
изотропная 1,73
— потенциальная 176
Тензорное произведение 66
Тензорный оператор 167
Тензорный базис 143
конечный 144
Тензоры взаимно ортогональ-
ортогональные 149
—коварнантные 68
— контравариантные 68
— образующие группы G 144
Теорема Крамера 96
— Менье 233
— о дивергенции 136
полярном разложении
186
4 роторе 136
•— Остроградского — Гаусса
136
— Пуанкаре 86
— Рисса 64
обобщенная 76
— Стокса 136
— Эйлера 185
Тетраэдр 130 "\
Тождество Бнанки 22 li
Точка уплощения 236
Трансверсальная изотропия
криволинейная 151
Трансляция 24
Углы Эйлера 245
Умножение внешние 77
— днадное 47 •>
— экстенсива на число 28
—экстенсивов 28
Уплощения точка 235
Уравнения деривационные 237
— структурные тензора 94
Условия взаимности 168
260

Фактор-простраиство 57
Физические компоненты 36
Форма квадратичная вторая
ЩИ -
первая 231
„ —линейная 59
;— метрическая 193
— однородная 167
* — положительная 194
— фундаментальная 193
— т-линейная 167
Формула Гамильтона — Кели
1,05, 234
— Грина 89
— Остроградского'90
— Стокса 89
— Эйлера 235
Формулы Петерсоиа—Кодаццн
— Фреие 212
Формы внешние 76
дифференциальные 84
— линейные 59, 78
—полилинейвые 71 - ¦ '
Фреие многогранник 213
— трехгранник 216
Фундаментальная матрица 13,
63
Фундаментальный теизор 31,
193
Функционал 55
— билинейный 72
— линейный 59
— полилинейный 71
- — Ttfna (p, q) 72
Функционалы базисные 61
Функция 55
—матричная 158
— тензорная 158, 170
изотропная 159, 172
нескольких тензор-
тензорных аргументов 165
потенциальная- J79
квазилинейная 174
инвариантная отно-
относительно группы G 175
ортотройиая 174
потенциальная 179
потенциальная 164, 175
траисверсальио изотроп-
изотропная 173
потенциальная 176
Характер матричного представ-
представления 46
Характеристический полином
106,
Центр кривизны 233
Цилиндр круговой 218
Число знаковое 194
Эйлера теорема 185
— углы 245
Эйлерова система координат
181
Эйнштейна тензор 223
Эквивалентности отношение
56, 66
Экстенсив 28 ;
Элементарное многообразие
189
Якобиан 187
Якобиевы матрицы 12
Яумана производная 186

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию 3
Предисловие ко второму изданию 4
Предисловие к первому изданию 4
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ 8
§ 1. Ковариантные н контравариантные координаты
вектора ..»..- 8
§ 2. Преобразование координат. Ковариантная произ-
производная вектора 15
1§ 3. Группы преобразований . 23
§ 4. Алгебра геометрических объектов. Понятие тен-
тензора ..." 28
1§ 5. Физические компоненты тензоров, .... 36
§ 6. Матричная запись 40
§ 7. Диады ,....*. 47
Глава 2. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА ....... 53
§ 1. Линейное (векторное) пространство .... 53
§ 2. Сопряженные пространства 59
1§ 3. Многоточечные тензоры 65
§ 4. Полилинейные формы , 71
§ 5. Внешние формы . 76
1§ 6. Дифференциальное кольцо Картана .... 84
Глава 3. ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ 91
§ 1. Формы записи тензоров ....... 91
§ 2. Псевдотензоры -95
§ 3. Инварианты тензора второго ранга .... 103
1§ 4. Поверхность Коши 108
§ 5. Тензоры третьего ранга 116
§ 6. Тензоры четвертого ранга 121
§ 7. Вычисление площадей и объемов .... 125
§ 8. Дифференциальные операторы и интегральные
теоремы 132
Глава А'. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ , . . . . . 138
§ 1. Группа симметрии тензора ...... 138
!§ 2. Тензорный базис . \ 143
§ 3. Независимые инварианты тензора ...."" 153
1§ 4. Матричные функции . . . , 158
§ 5. Общее определение тензорной функции . . . 170
1§ 6. Производная по тензорному аргументу . . . 176
§ 7. Дифференцирование тензорного поля по парамет-
параметру 180
262

Глава 5. РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО . . . . . 187
§ 1. Элементарное многообразие 187
§ 2. Метрический тензор . 193-
§ 3. Геодезические линии 198
§ 4. Ковариантное дифференцирование .... 204
1§ 6. Формулы Френе 210
§ 6. Теизор кривизны 217
§ 7. Геометрический смысл тензора кривизны . . 223-
1§ 8. Поверхности в трехмерном евклидовом простран-
пространстве 230'
Литература 240
Некоторые литературные указания 240
Приложение 1. Спектральное разложение тензора второ-
второго ранга 243-
Приложение II. Формулы в различных системах координат 247
Предметный указатель 256-

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Борис Ефимович Победря
ЛЕКЦИИ ПО ТЕНЗОРНОМУ АНАЛИЗУ.
Издание третье, дополненное
Заведующий редакцией С. И. Зеленский
Редактор Р. Д. Солод
Технический редактор Г. Д. Колос кое а
ИБ № 2237
Сдано в набор 04.12.85
Подписано к печати 16.09.86
Л-67406 Формат 84X108/32 Бумага тип. № 3
Гарнитура литературная. Высокая печать
Усл. печ. л. 13,86 Уч.-изд. л. 13,4
Тираж 7500 экз. Заказ 260 i
Цена 60 коп. Изд. № 3979
Ордена «Знак Почета> издательство Московского университета.
103009, Москва,, ул. Герцена, 5/7.
Типография ордена «Знак Почета> изд-ва МГУ.
119899, Москва, Ленинские горы