С.М.Рытов
ВВЕДЕНИЕ В СТАТИСТИЧЕСКУЮ РАДИОФИЗИКУ.
ЧАСТЬ 1. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
(Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976 г.)
Книга представляет собой введение в теорию случайных функций, которая
излагается, в основном, на материале статистических задач радиофизики. Из этих
задач выбраны лишь немногие, но такие, которые, с одной стороны, интересны и
важны сами по себе, а с другой — позволяют наглядно проиллюстрировать как
необходимость введения определенных математических понятий и методов, так и
их применение.
Второе издание существенно переработано и расширено по сравнению с
первым. Книга разделена на две части. В первую часть входят только случайные
процессы, а случайные поля, занимавшие в первом издании одну главу, выделены
теперь во вторую часть. В первой части введен ряд новых параграфов,
касающихся как общих вопросов (физическое понятие вероятности), так и
конкретных проблем (обобщения релеевского распределения, разрывные
марковские процессы, достижение границ, корреляционная теория временной
когерентности, радиометры, квазистационарные процессы и др.).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию	7
Предисловие к первому изданию	9
Введение	11
Глава I. Задача Бернулли
§ 1. Физическое понятие вероятности	16
§ 2. Законы распределения случайных величин	21
§ 3. Биномиальный закон распределения	25
§ 4. Примеры применения биномиального закона	29
§ 5. Дробовой эффект. Распределение Пуассона	32
§ 6. Предельная теорема Муавра — Лапласа	36
§ 7. Нормальный или гауссов закон распределения	38
Задачи	45
Глава П. Случайные импульсы
§ 8. Постановка задачи	48
§ 9. Характеристическая функция	52
§ 10. Функция распределения импульсного пуассоновского процесса	58
§11. Корреляционная функция	66
§ 12. Некоторые обобщения задачи об импульсах	72
§ 13. Импульсный шум и центральная предельная теорема	80
Задачи	84
Глава Ш. Случайные функции
§ 14. Общие определения	96
§ 15. Марковские процессы	100
§ 16. Стационарные процессы	104
§ 17. Моменты случайных функций	106

§ 18. Корреляционная теория	109
§ 19. Вероятностная сходимость	113
§ 20. Эргодичность случайного процесса	124
Задачи	134
Глава IV Марковские процессы
§ 21. Предварительные замечания	137
§ 22. Уравнение Смолуховского	140
§ 23. Марковский процесс с дискретными состояниями	144
§ 24. Переход от дискретной последовательности к процессу с	148
непрерывным множеством состояний. Распределение Релея
§ 25. Некоторые обобщения распределения Релея	153
§ 26. Непрерывные марковские процессы. Уравнение Эйнштейна —	160
Фоккера
§ 27. Обобщение на многомерные случайные функции	169
§ 28. Флуктуации в томсоновском ламповом генераторе	174
§ 29. Флуктуации при больших амплитудах автоколебаний	185
§ 30. Вращательное броуновское движение. Случайная рефракция луча	192
§ 31. Скачкообразные марковские процессы. Уравнение Колмогорова —	197
Феллера
§ 32. Задача о первом достижении границ	204
Задачи	210
Глава V. Стохастические дифференциальные уравнения
§ 33. Постановка вопроса	222
§ 34. Случайные функции с независимыми приращениями	224
§ 35. Простой пример стохастического дифференциального уравнения	228
§ 36. Общий случай уравнения первого порядка и системы таких	235
уравнений при гауссовых дельта-коррелированных воздействиях
§ 37. Стохастические уравнения при случайных воздействиях с	243
произвольными законами распределения
Задачи	251
Глава VI. Корреляционная теория случайных функций
§ 38. Комплексные случайные функции. Аналитический сигнал	259
§ 39. Свойства функции корреляции и связанные с ней свойства случайной 265
функции
§ 40. Спектральные разложения случайных функций	269
§ 41. Стационарные случайные функции	273
§ 42. Примеры спектральных разложений стационарных функций	282
§ 43. «Белый» шум и черное излучение	295
§ 44. Модулированные случайные процессы	299
§ 45. Спектр колебания с флуктуирующей частотой	312
§ 46. Спектр импульсного процесса с независимыми интервалами	319
§ 47. Корреляционная теория когерентности	329
§ 48. Нестационарная интерференция. Корреляция источников колебаний ; 343
§ 49. Статистические характеристики поляризации модулированных	351

колебаний
Задачи	359
Глава VII. Другие приложения корреляционной теории. Некоторые
виды нестационарных процессов
§ 50. Спектральная теория воздействия случайных процессов на	372
гармонические системы
§ 51. Случайное воздействие на безынерционные нелинейные системы	382
§ 52. Измерение шумовых сигналов. Радиометры	392
§ 53. Корреляционная теория флуктуации в томсоновском генераторе	401
§ 54. Тепловой шум в квазистационарных цепях. Флуктуационно-	416
диссипационная теорема
§ 55. Эффект мерцания	430
§ 56. Случайные функции со стационарными приращениями. Структурная	435
функция
§ 57. Спектры нестационарных процессов. Квазистационарные процессы	443
§ 58. Фильтрация нестационарных процессов. О спектре средней мощности	452
§ 59. Периодически-нестационарные процессы	463
Задачи	474
Литература	485

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Второе издание «Введения в статистическую радиофизику»
существенно переработано и расширено по сравнению с первым.
Прежде всего, книга разделена на две части. В первую часть
входят только случайные процессы, т. е. однопараметрические
случайные функции. Случайные поля, занимавшие в первом
издании всего одну главу, выделены теперь во вторую часть
книги, подготавливаемую в соавторстве с Ю. А. Кравцовым
и В. И. Татарским. Таким образам, изложение теории случай-
случайных полей и ее приложений претерпевает наибольшее расшире-
расширение. Это продиктовано не только стремлением более полно от-
отразить столь обширную и важную область применения теории
случайных функций, но и тем, что( теория случайных полей не-
необходима студентам не всех радиофизических специальностей,
а только тем из них, кто более детально и глубоко изучает во-
вопросы излучения волн и распространения волн в случайно-не-
случайно-неоднородных средах. В Московском физико-техническом институте
эти вопросы были предметом отдельного курса лекций.
Следует отметить, что прежнее название книги сохранено не
столько по мотивам преемственности, сколько по иным сообра-
соображениям. Интересующие нас приложения статистических методов
можно и нужно черпать не только. из радиофизики в узком
смысле слова, но и из оптики, акустики, волновой механики
и других традиционных разделов физики. Речь идет о вопросах,
объединяемых современной теорией колебаний и волн. Однако
теория колебаний обычно концентрирует внимание на динами-
динамических задачах. Данная книга должна была бы охватить при-
приложения теории случайных функций к статистическим колеба-
колебательно-волновым задачам, выбирая их из любого «раздела»
физики столь же свободно, как это делает — в соответствии со
своими основными принципами — динамическая теория колеба-
колебаний. Пока эту цель еще нельзя считать в полной мере достигну-
достигнутой, что и послужило наиболее веским доводом в пользу сохра-
сохранения прежнего названия книги.
Довольно значительно расширена и данная — первая — часть
книги. Введен ряд новых параграфов, касающихся как общих

8	ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
вопросов, так и конкретных проблем, недостаточно или совсем
не затронутых в первом издании (§§ 1, 2, 7, 25, 31—33, 36,
47—49, 52, 57, 58). Ряд других параграфов заметно расширен
(§§ ^—11, 19, 27, 37, 38, 44, 54). Однако общее направление
книги сохранено. В ней по-прежнему не затрагиваются, напри-
например, статистические вопросы квантовой радиофизики и кванто-
квантовой электроники, а во второй части — статистические явления
при распространении волн в нелинейных средах (см. [1]). Столь
значительное расширение областей применения теории случай-
случайных функций вряд ли необходимо для усвоения ее основ и наи-
наиболее важных ее методов.
К каждой главе добавлено некоторое количество задач с по-
подробными решениями. Задачи не только служат в качестве
упражнений, но во многих случаях содержат дополнительные
сведения по теории и ее приложениям, а также добавочные
ссылки на литературу. Изменены обозначения некоторых основ-
основных величин, с тем чтобы приблизиться к обозначениям, полу-
получившим наибольшее распространение в литературе (где и сей-
сейчас еще нет, к сожалению, полной унификации).
Автор глубоко благодарен А. М. Яглому и В. К. Тутубалину
за просмотр рукописи и советы, позволившие уточнить и улуч-
улучшить изложение ряда математических вопросов,
С. М. Рытое

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Основой для этой книги послужили лекции по статистиче-
статистической радиофизике, которые автор читал в течение ряда лет
в Московском физико-техническом институте.
Широкий и все возрастающий интерес к теории случайных
функций и к ее применению в самых разнообразных областях
физики и техники вряд ли нуждается в настоящее время в ка-
каких-либо комментариях. Данная книга предназначена для сту-
студентов-радиофизиков и радиотехников, которые зачастую уже
с первых шагов практической работы сталкиваются с задачами,
требующими применения теории случайных процессов. Во мно-
многих случаях для понимания и решения таких задач достаточна
некоторая предварительная подготовка, конечно, не заменяю-
заменяющая более глубокого изучения теории, но способная в какой-то
мере облегчить это изучение1). На этой стадии можно, по мне-
мнению автора, освободить изложение от обилия математических
фактов, от педантизма в тех доказательствах, которые целесо-
целесообразно сохранить, и от многих доказательств вообще. В ре-
результате остается скорее не изложение, а описание математиче-
математической теории. Именно поэтому особеннно важно иллюстрировать
ее утверждения и даже постановку рассматриваемых в ней во-
вопросов конкретными примерами, заимствованными из различ-
различных областей радиофизики. Это позволяет создать известный
запас наглядных физических представлений, без сомнения, по-
полезных и для .последующего изучения специальной литературы.
Вместе с тем лекции, разумеется, не могут охватить очень
обширный круг вопросов, относящихся к статистической радио-
радиофизике. Выбраны лишь немногие проблемы, но такие, которые,
с одной стороны, интересны сами по себе, а с другой — дают
возможность на конкретном материале как уяснить необходи-
необходимость введения ряда математических понятий и методов, так
и познакомиться с их применениями.
•) Из монографий и книг, излагающих математическую теорию, укажем
на [2—9]. Ряд радиофизических и радиотехнических приложений подробно
рассматривается в книгах [10—19].

10	ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Хотя курс теории вероятностей предполагается известным,
некоторые ее вопросы все же попутно затрагиваются, так как
опыт преподавания показал желательность их напоминания
или разъяснения. Сюда относятся моменты и характеристиче-
характеристические функции, закон больших чисел и центральная предельная
теорема.
При чтении книги нетрудно заметить постепенное усложне-
усложнение рассматриваемых задач и их трактовки. Это — естественное
следствие лекционного происхождения книги, и автор не видит
оснований к тому, чтобы избегать подобного построения, заме-
заменив его более нивелированным. Ссылки на литературу содер-
содержатся главным образом в двух последних главах, где конкрет-
конкретные приложения математического аппарата становятся более
серьезными и занимают большее место. Следует, однако, под-
подчеркнуть, что список литературы — как общей, так и посвящен-
посвященной отдельным задачам — не претендует на систематичность
и полноту. Из оригинальных работ цитируются лишь немногие.
В основном это работы, содержание которых в той или иной
мере использовано в лекциях, или же работы, иллюстрирующие
разнообразие радиофизических задач, в которых теория слу-
случайных функций находит эффективное применение.
Автор считает своим долгом принести благодарность А. М. Яг-
лому, М. Л. Левину, М. А. Исаковичу, Я. И. Хургину, В. П. Яков-
Яковлеву и другим лицам, знакомившимся с рукописью на разных
этапах ее подготовки, за ряд ценных советов и замечаний. Ра-
Разумеется, и в нынешнем своем виде книга не свободна от оши-
ошибок и пробелов, и автор заранее благодарен за любые указания,
которые помогут устранить имеющиеся недостатки.
С. М. Рытое

ВВЕДЕНИЕ
Статистическая радиофизика изучает те случайные- (в том
числе флуктуационные) явления, с которыми приходится стал-
. киваться в радиофизике. Увеличение чувствительности измери-
измерительных и приемных устройств, повышение точности измерений
привели к тому, что во многих областях физики и техники проб-
проблемы флуктуации играют все более существенную роль. В ра-
радиотехнике этот процесс совершенствования методов и- средств
наблюдения был в значительной мере стимулирован развитием
радиолокации и радиоастрономии.
Как известно, флуктуациями называются случайные откло-
отклонения макроскопических величин от их средних (в частности,
термодинамически равновесных) значений. Существование та-
таких отклонений связано с наличием у всякой макроскопической
¦системы огромного числа степеней свободы, если не макроско-
макроскопических (как, например, у распределенных систем), то уж во
всяком случае микроскопических, обусловленных в конечном
счете атомизмом вещества и электричества. Эта общая основа
флуктуационных явлений допускает, конечно, самые разнооб-
разнообразные механизмы их возникновения.
Если говорить о флуктуациях, связанных с атомизмом, то
они могут быть обусловлены, например,
1)	Тепловым движением микрочастиц (в том числе микро-
микрозарядов, т. е. электронов, ионов и т. п.). Сюда относятся тепло-
тепловые флуктуации самых различных макровеличин, таких, как
плотность, давление, температура, ток, напряжение, напряжен-
напряженности макроскопических электромагнитных полей и т. д. С теп-
тепловыми флуктуациями связаны брауновское движение, молеку-
молекулярное рассеяние света в среде, так называемые тепловые шумы
в радиотехнике и радиофизике, тепловое излучение тел и многие
другие явления.
2)	Случайными вариациями числа частиц в электронных
.потоках при термо- и фотоэмиссии — так называемый дробовой
эффект, непосредственно обусловленный дискретностью микро-
микроскопических носителей заряда.

12	ВВЕДЕНИЕ
3)	Случайными локальными вариациями эмиссионных свойств
поверхности катодов {эффект мерцания).
4)	Хаотичностью в процессе перемагничивания доменов
в ферромагнитных сердечниках, находящихся в изменяющемся
магнитном поле (-магнитные шумы, эффект Баркгаузена).
К флуктуационным явлениям, которые связаны с наличием
множества макроскопических степеней свободы, относятся та-
такие процессы, как турбулентность среды — земной тропосферы
и ионосферы, солнечной короны, межпланетной и межзвездной
среды. Другим примером может служить волнение поверхности
моря. Явления такого рода тоже далеко не безразличны для
радиотехники.
Флуктуации представляют собой, как известно, один из ос-
основных объектов статистической физики (наряду с теорией
равновесного состояния и кинетикой физических процессов в ве-
веществе). Нас же будут интересовать лишь те вопросы, которые
относятся к области радиофизики. Попытаемся очертить эту
область.
Обычно к радиофизике относят радиоастрономию, радиоспек-
радиоспектроскопию, электронику и электродинамику СВЧ, а также ис-
исследование электромагнитных свойств вещества, в особенности
полупроводников, ферритов, плазмы и т. д. Но уже из этого
перечня видно, что определение предмета радиофизики путем
перечисления ее составных частей представляет собой довольно
безнадежное дело. Радиофизика существовала до возникновения
радиоастрономии и радиоспектроскопии и существует после
того, как вся электродинамика СВЧ, по существу, целиком ото-
отошла к радиотехнике. По-видимому, более целесообразно выде-
выделить те направления, которые позволяют 'уточнить предмет ра-
радиофизики на каждом этапе ее развития. Можно, по-видимому,
считать, что^радиофизика охватывает в основном два направ-
направления:
1)	Изучение физических явлений, существенных для радио-
радиосвязи (в широком ее понимании), т. е. для всех основных этапов
всякой радиосвязи —генерации электромагнитных сигналов, из-
излучения и распространения электромагнитных волн и, наконец,
приема радиосигналов. Это направление можно назвать «физи-
«физикой для радио».
2)	Изучение методами и средствами радиотехники самых
разнообразных физических (и не только физических) объек-
объектов— атомных ядер, молекул, живых организмов, земной атмо-
атмосферы, небесных тел и т. д. Это, коротко говоря, «радио для
физики».
Если исходить из такого понимания радиофизики, то есте-
естественным образом обрисовывается и область статистической
радиофизики. Возьмем, например, первое (и основное) из двух

ВВЕДЕНИЕ	13
названных направлений — «физику для радио», т. е. физику
радиосвязи.
К статистическим явлениям при генерации электромагнитных
сигналов относятся в первую очередь флуктуации в автоколе-
автоколебательных системах и связанные с ними вопросы о немонохро-
немонохроматичности автоколебаний, о стабильности частоты и точности
ее измерения (а значит, и точности измерения времени).
При распространении радиоволн нас интересуют случайные
тепловые и турбулентные неоднородности среды, поскольку они
вызывают рассеяние радиоволн, случайные пульсации рефрак-
рефракции, колебания интенсивности и фазы волны в месте приема.
Сюда же относится и вопрос о влиянии случайных неоднород-
ностей в фидерах, если волны распространяются не свободно,
а по направляющим линиям. Одной из важных статистических
задач, относящихся к излучению радиоволн, является вопрос
о роли случайных неоднородностей в сложных антенных си-
системах [20].
Наконец, при приеме любого вида радиосигналов чрезвы-
чрезвычайно существенны шумы в приемных и измерительных устрой-
устройствах, трансформация внешних и внутренних шумов при раз-
разного рода преобразованиях сигнала в аппаратуре, вопрос
о помехоустойчивости приемных систем и т. д.
Сделаем два замечания к этому, разумеется, неполному и до-
довольно произвольному перечню.
Во-первых, некоторые из перечисленных вопросов (напри-
(например, трансформация шумов в линейных и нелинейных цепях или
помехоустойчивость аппаратуры) хотя и имеют первостепенное
значение для радиотехники, но, по сути дела, не содержат ни-
никакой физической проблематики. Мы не будем избегать подоб-
подобных вопросов, так как зачастую они очень полезны для иллю-
иллюстрации методов статистической радиофизики, но не будем и
особенно в них углубляться, тем более что в настоящее время
уже существует множество монографий и учебников, в которых
они подробно освещены.
Во-вторых, мы пропустили обширную и интенсивно разви-
развивающуюся область, которая тоже опирается на применение ста-
статистики к радиосвязи и связи вообще. Это — статистическая
теория связи, или теория информации. Объектом статистических
методов здесь являются не только помехи и шумы, но и сами
полезные сигналы. Такой подход имеет очень веские основания
(аппаратура проектируется и оценивается по отношению к це-
целому классу возможных сигналов, а не какому-то одному виду
сигнала из этого класса) и, как оказалось, действительно дает
очень много — не только в теории связи, но и в задачах авто-
автоматического регулирования, в теории регистрирующих приборов,
в теории вибраций, качки и т. д. Но статистическая теория

14	. ¦	ВВЕДЕНИЕ
связи, хотя и имеет некоторые интересные точки соприкоснове-
соприкосновения со статистической физикой (соотношение между понятиями
информации "и энтропии), носит в основном математический ха-
характер. Это, если можно так выразиться, «радиоматематика»,
а не радиофизика, к^ак она очерчена выше.
Что касается второго из названных направлений радиофи-
радиофизики— применения радиометодов в самых различных областях
физики, астрономии и т. д., то здесь, в той мере, в какой исполь-
используются элементы радиосвязи (генерация, распространение, при-
прием), могут сохранять свое значение те статистические явления,
с которыми сталкиваются в области радиотехники, но, сверх
того, могут добавиться и другие, характерные для данной кон-
конкретной области (оптические флуктуации, акустическая ревер-
реверберация и т. д.).
Как правило, случайные явления, с которыми приходится
иметь дело в радиофизике, — это процессы, протекающие во вре-
времени, или еще шире — поля, зависящие и от времени, и от точки
пространства. Адэкватным математическим аппаратом для
трактовки таких явлений служит теория случайных функций,
которая за последние десятилетия приобрела большое значение
во многих областях физики и техники. Эта теория представляет
собой непосредственное обобщение классической теории вероят-
вероятностей, рассматривающей случайные события и величины. Если
не углубляться пока в вопрос о том, что означает задание слу-
случайной функции, то можно сказать, что это такая функция f(t),
значение которой при каждом и,з возможных значений аргу-
аргумента t есть случайная величина. Для простоты здесь взят един-
единственный аргумент t, под которым в приложениях чаще всего
приходится понимать время. Конечно, это еще не предрешает
того, дискретны или непрерывны возможные значения t, чему
соответствуют два типа случайных функций — случайные после-
последовательности-(дискретное t) и случайные процессы (непрерыв-
(непрерывное t).
Если аргумент t считать временем, то соотношение между
классической теорией вероятностей и теорией случайных функ-
функций представляется аналогичным (в математическом аспекте)
соотношению между статикой и динамикой в механике или
между термостатикой и кинетикой в термодинамике. Основы
классической теории вероятностей предполагаются в данном
курсе уже известными.
> Все сказанное позволяет пояснить теперь те соображения,
исходя из которых было выбрано содержание и построение дан-
данного курса лекций.
С одной стороны, как это видно уже из того сжатого перечня
проблем, который был приведен выше, область статистической
радиофизики чрезвычайно обширна. Отразить в курсе все мно-

ВВЕДЕНИЕ	15
изобразив статистических задач радиофизики просто невоз-
невозможно, да и вряд ли подобная попытка могла бы быть как-либо
обоснована. Вместе с тем широкий обзор по необходимости был
бы' беглым и уже поэтому принес бы мало пользы. С другой
стороны, математический аппарат статистической радиофизики
значительно шире и менее знаком, чем классическая теория ве-
вероятностей. Полное освещение теории случайных функций — это
предмет самостоятельного математического курса.
При этих условиях представлялось наиболее целесообразным
выделить немногие радиофизические вопросы, которые, во-пер-
во-первых, важны и интересны сами по себе и, во-вторых, позволяют
ознакомиться с теорией случайных функций и ее применениями.
Разумеется, речь идет при этом не о математическом изложении
теории.
Хорошо известно, насколько трудно найти компромисс между
требованиями, которым должно удовлетворять строгое изложе-
изложение математической теории, и необходимой при первом сопри-
соприкосновении наглядностью. Безукоризненная аргументация мате-
математика зачастую представляется физику или инженеру не более,
а менее убедительной, чем простые и осязаемые соображения,
которые в свою очередь, с точки зрения математика, лишены
какой бы то ни было доказательной силы. Необходимо подчерк-
подчеркнуть поэтому, что данный курс написан не математиком и не
для математиков. В своей математической части он дает лишь
некоторую предварительную подготовку, достаточную для того,
чтобы приступить к самостоятельной работе, но, конечно, не
заменяющую углубленного изучения математических работ.
До главы III теория случайных функций вообше не затра-
затрагивается и речь идет о некоторых, настолько простых задачах,
что при их трактовке можно обойтись средствами классической
теории вероятностей.

Глава I
ЗАДАЧА БЕРНУЛЛИ
§ 1. Физическое понятие вероятности
Как показывает опыт преподавания, изучение теории ве-
вероятностей в чисто математическом плане не всегда приводит
к достаточной ясности в принципиальных вопросах, существен-
существенных для физика. Целесообразно поэтому хотя бы коротко оста-
остановиться на том, что такое вероятность и как пользуется этим
понятием физик.
Хорошо известно, что вычислять вероятности научились за-
задолго до того, как по-настоящему поняли, что такое вероят-
вероятность. Теория возникла из попыток рассчитать шансы на выиг-
выигрыш, «справедливые» ставки и т. п. в так называемых азартных
играх1), примерами которых могут служить игра в кости, в ор-
орлянку, такие карточные игры, как «очко», т. е. игры, в которых
все зависит от «воли случая» и ничего не зависит от способно-
способностей игрока, его сообразительности или уменья. В этом смысле
подобные игры можно назвать глупыми. Между тем, как любят
говорить математики, умная игра в шахматы практически ни-
ничего не дала науке, тогда как глупая игра в кости дала очень
много. В чем-нричина этого интересного факта?
Дело в том, что шахматы подчинены своим специальным
правилам и все ситуации, которые здесь возникают, не выходят
за рамки этих правил, т. е. не могут претендовать на какую-либо
всеобщность. Напротив, игра в кости элементарно проста и поз-
позволяет проявиться в чистом виде чрезвычайно общей статисти-
статистической закономерности — устойчивости относительных частот
при возрастании числа испытаний. Если при п бросаниях кости
число очков i выпало /г* раз, то относительная частота щ/п об-
обнаруживает с увеличением п удивительное постоянство. Этот
') Французское слово «hasard» означает случай, риск.

§ 1]	ФИЗИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ	17
эмпирический факт не зависит от того, «хорошая» кость или
«плохая». У заведомо фальшивой кости, содержащей, например,
кусочек свинца со стороны одной из граней, устойчивость вели-
величин щ/п все равно имеет место, хотя для разных граней отно-
относительные частоты оказываются неодинаковыми,неравными 1/6.
Итак, устойчивость щ/п не требует, чтобы кость была «хоро-
«хорошей», а конкретные «асимптотические» значения щ/п не выте-
вытекают из самого факта устойчивости. Их дает только статистиче-
статистический опыт, либо специально поставленный, либо накопленный
ранее. Говоря, что у «хорошей» (пригодной для игры) кости
щ/п близки к 1/6, мы, в сущности, определяем, какую кость мы
будем называть «хорошей».
Иногда полагают, что значения щ/п да 1/6 следуют из при-
принадлежащего Лапласу классического определения вероятности:
число благоприятных исходов
Р =
число равновозможных исходов
Это определение недостаточно широко, так как оно не охва-
охватывает случаев, когда возможные исходы составляют бесконеч-
бесконечное счетное или непрерывное множество. Но даже не требуя от
определения больше того, на что оно распространяется, легко
заметить тавтологичность данного определения. Ведь равно-
возможность означает здесь не что иное, как равновероятность,
и, следовательно, вероятность Р «определена» через вероятность
же. Просто здесь дается правило подсчета вероятностей инте-
интересующих нас исходов по принятому заранее равномерному рас-
распределению вероятностей всех возможных исходов. Полагая, что
из определения Лапласа следует вероятность Р = 1/6 выпадения
каждой из граней костл, мы на самом деле лишь извлекаем из
него то, что в негр вкладываем, — равновозможность выпадения
каждой из граней. Совершенно так же мы предполагаем, что
равновозможно появление любой из 36 или 52 карт при извле-
извлечении одной карты из колоды и т. п.
На что опираются все такие «самоочевидные» предполо-
предположения?
В качестве их опоры иногда привлекается так называемый
«принцип недостаточного основания»: если кость сделана гео-
геометрически аккуратно, из однородного материала и т. п., то нет
оснований считать иначе.
Психологически это, может быть, и понятно. Для человека,
ровно ничего не знающего ни о каком статистическом опыте,
равновероятность выпадения граней аккуратной кости или обеих
сторон монеты представляется очевидной по «здравому смыслу».
Конечное число возможных исходов и наличие симметрии де-
делают здесь равновероятность естественной до самоочевидности.
Но в отсутствие симметрии или, скажем, при непрерывных

18	ЗАДАЧА БЕРНУЛЛИ	[ГЛ. I
возможных исходах «здравый смысл» пасует или подводит.
В случае фальшивой кости только статистический опыт с данной
костью позволяет получить оценку вероятностей выпадения раз-
различных граней. Трудности,,возникающие при выборе равновоз-
можных исходов при непрерывном их множестве, были очень
ярко продемонстрированы на ряде геометрических задач в «Ис-
«Исчислении вероятностей» Бертрана A888 г.). Эти так называемые
парадоксы Бертрана с «геометрическими» вероятностями — еще
один пример недостаточности «здравого смысла» или интуиции
в этой более сложной ситуации [21]. Более того, когда мы гово-
говорим, что в простых случаях интуитивное предсказание правиль-
правильно, то сама эта «правильность» означает лишь то, что проверка
на статистическом опыте подтвердила бы предсказание. Таким
образом, даже «самоочевидные» предположения о равновероят-
равновероятности в конечном счете опираются на огромное количество ис-
испытаний, фактически проведенных с соблюдением определенных
условий, т. е. на накопленный статистический опыт.
Конечно, здесь нет возможности углубляться в историю раз-
развития теории вероятностей. На протяжении этой долгой истории
возникали и сталкивались разные воззрения на понятие вероят-
вероятности. Созревание теории вероятностей как аксиоматизирован-
аксиоматизированной ветви математики затянулось почти на три столетия.
Математическая теория, возникнув на основе каких-то
¦(обычно довольно простых) идей, почерпнутых из реальных яв-
явлений и фактов, ' большей частью стремится в дальнейшем
к эмансипации, к отрыву от своих эмпирических корней, к до-
достижению уровня аксиоматизированной теории. У теории ве-
вероятностей этот процесс завершился лишь в 30-х годах нашего
века, когда А. Н. Колмогоров' сформулировал аксиомы, сде-
сделавшие теорию вероятностей главой метрической теории
функций ]).
Сегодня математик называет вероятностью неотрицательную,
нормированную к единице, вполне аддитивную функцию мно-
множеств, определенную на некоторой алгебре множеств. Событие
А изображается множеством А точек пространства всевозмож-
всевозможных «элементарных исходов» рассматриваемого опыта (испыта-
(испытания)., и вероятность Р{А} события А — функция множества та-
такая, что если она имеет смысл для множеств Ль ..., Л„, то она
может быть определена и для множества, состоящего из всех
точек, входящих хотя бы в одно из множеств Ль ..., А„, а так-
также и для множества точек, входящих сразу во все множества
4) Следует отметить, что С. Н. Бернштейн уже в 1917 г. указывал на
необходимость аксиоматизации теории вероятностей и предложил конкретный
набор аксиом, оказавшийся, однако, заметно менее удобным, чем аксиомы,
предложенные А. Н. Колмогоровым. •

8 О	ФИЗИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ	19
А\, .... Ап (см. [8, 22]). Эта функция подчинена следующим
трем аксиомам:
I. Вероятность Р{А] события А удовлетворяет неравенству
Р{А) > 0.
П. Для достоверного события U имеет место равенство
Р[Щ = 1.
III. Для взаимно исключающих друг друга событий Ah
(k = 1, 2, ..., п, где п может быть сколь угодно велико)
Знак суммы имеет различный смысл слева и справа. Слева он
означает, что речь идет о вероятности того, что произойдет хоть
п
какое-то из событий Ak, так что ? Л^ — это событие {А\ или
к = \
А2, ..., или Ап), а справа стоит обычная сумма неотрицатель-
неотрицательных чисел P{Ak}.
«Достоверное событие», о котором идет речь в аксиоме II,
отвечает множеству U, состоящему из всех мыслимых «элемен-
«элементарных исходов», так что все другие события А представляют
собой подмножества U.
Аксиома III (аксиома сложения) охватывает и случай
п = оо, в силу чего Р и называется вполне аддитивной функ-
функцией.
Из аксиом I—III, дополненных определениями ряда связан-
связанных с вероятностью понятий (например, понятия случайной ве-
величины или понятия математического ожидания), логически вы-
вытекает вся теория вероятностей.
Конечно, в аксиомах, определяющих величину Р, нетрудно
разглядеть связь этой абстрактной величины с эмпирической
относительной частотой, но это генетическая связь, касающаяся-
происхождения аксиом, а не их содержания, из которого все
эмпирическое уже исключено. Поэтому, выслушав это абстракт-
абстрактное определение вероятности, физик, инженер, экономист и т. д.,
т. е. человек, имеющий дело с реальными вещами и явлениями,
сразу же спросит, что ему делать с этой вполне аддитивной
функцией множеств, как связывать уравнения и формулы мате-
математической теории с реальным миром. Ситуация здесь та же,
что и .во всякой физической теории.
Уравнения и формулы для неких величин, взятые сами по
себе, еще не исчерпывают физической теории. Последняя тре-
требует, чтобы мы знали, как извлекать из реальных вещей и яв-
явлений те числа, которые следует подставлять в математические
формулы в качестве значений входящих в них величин, т. е.

20	ЗАДАЧА БЕРНУЛЛИ	.	[ГЛ. I
знали, как измерять эти величины1). Разумеется, физическая
теория представляет собой органическое целое, ее математиче-
математическая и измерительная части никоим образом не независимы друг
от друга, но они не заменяют одна другую. Располагая одной,
нельзя обойтись без другой. Поэтому для всех физических
(и вообще практических) приложений математической теории
вероятностей необходимо дополнить последнюю по крайней мере
одним (реализуемым и конкретным) способом измерения вхо-
входящей в нее величины Р — вероятности. Естественно обратиться
в поисках такого способа, или «аксиомы измерения», к относи-
относительной частоте.
Примем, что вероятность события измеряется (приближенно,
как и при любом измерении) относительной частотой его появ-
появления в достаточно длинной серии испытаний, осуществляемых
при определенных неизменных условиях, в достаточно обширном
ансамбле «однородных» систем, т. е. в статистическом опыте.
Будучи самостоятельным постулатом, не содержащимся в ак-
аксиомах математической теории вероятностей, этот способ не
предуказан как единственный и не дает априорных гарантий
успеха. Конечно, от него надо заранее требовать, чтобы он был
логически совместим с математической теорией. Как мы убе-
убедимся далее (§19), частотная «аксиома измерения» вероятности
этому требованию удовлетворяет. Но приведет ли получающаяся
в результате добавления этой аксиомы физическая теория слу-
случайных явлений к согласию с опытом — это уже дальнейший
вопрос, на который может ответить только статистический опыт.
Важно, однако, подчеркнуть, что без какого-либо способа изме-
измерения вероятностей нельзя не только ответить на подобный во-
вопрос, но даже его поставить.
Принимая предложенный способ измерения вероятности, мы
отнюдь не~~отождествляем ее с относительной частотой, как это
делает частотная концепция вероятности, выдвинутая Р. Мизе-
сом в 1928 г. [24]. Он предложил понимать под вероятностью
предел относительной частоты п,-/п-при п—»¦ оо в «статистиче-
«статистическом коллективе», т. е. в ансамбле или в серии испытаний, удов-
удовлетворяющих некоторым требованиям. Однако такое определе-
определение понятия вероятности не могло дать удовлетворительное об-
обоснование для математической теории. Ведь никто не знает, что
такое предел эмпирической величины. Если же понимать «пре-
«предел» в каком-либо вероятностном смысле (§ 19), то мы вновь
оказываемся в порочном, кругу, так как пытаемся определить
понятие вероятности через вероятность.
4) Так, по крайней мере, ставит вопрос об измерениях классическая (до-
квантовая) физика. В уравнениях квантовой механики фигурируют и такие
величины, непосредственное измерение которых не является необходимым.
(См. в [23] Лекции по основам квантовой механики.)

§ 2]	ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН	21
Еще и поныне в зарубежной литературе пользуется иной раз
успехом так называемая субъективная концепция вероятности,
согласно которой вероятность есть мера нашего незнания. Мы
не знаем, какая выпадет грань кости, и поэтому Р = 1/6. Если
принимать эту точку зрения всерьез, то происходит чудо: из са-
самого незнания якобы рождается некое знание, некое положи-
положительное утверждение. В сущности, здесь утверждается, что если
распределение неизвестно, то оно равномерно. Конечно, мы
вправе испытать и такую гипотезу, с тем чтобы судить о ее при-
пригодности по тем следствиям, к которым она приводит. Но почему
именно эту гипотезу надо считать с необходимостью вытекаю-
вытекающей из нашего незнания? В случае фальшивой кости мы тоже
не знаем, какая выпадет грань, но наше незнание нисколько не
подвигает нас в установлении правильных значений вероятно-
вероятностей для граней такой кости.
Что касается математической теории, то она попросту не
нуждается в том, чтобы распределение возможных исходов было
равномерным. Несколько огрубляя положение вещей, можно
сказать, что математическая теория вероятностей, вытекающая
логически из определенных аксиом, учит тому, как по известным
распределениям одних случайных событий или величин нахо-
находить распределения различным образом связанных с ними дру-
других случайных событий или величин. Например, по аксиоме сло-
сложения вероятность выпадения четного числа очков есть
Рчет = р2 + Ра + Рв>
независимо от того, одинаковы ли и, вообще, чему равны ве-
вероятности р2, р4 и ре выпадения грани с числом очков 2, 4 и 6.
Откуда известны исходные распределения — это вопрос, ле-
лежащий за пределами математики. Алгебра, например, учит, как
для квадратного уравнения вычислить корни Х\ и х2, т. е. как
выразить х\ и х2 через известные коэффициенты уравнения а,
Ь и с. Откуда мы знаем коэффициенты — этим алгебра не инте-
интересуется. В сущности, именно внематематический вопрос об ис-
источнике исходных распределений и был корнем различных воз-
воззрений на вероятность и теорию вероятностей до ее аксиомати-
аксиоматизации, т. е. до того, как она раз и навсегда была освобождена
от обязанности отвечать на этот вопрос. Ответ на него дает
измерение, т. е. статистический опыт.
§ 2. Законы распределения случайных величин
Из сказанного ясно, почему физик (как и любой другой
«потребитель» математической теории вероятностей), говоря
о вероятности, всегда имеет в виду относительную частоту в ста-
статистическом ансамбле, в достаточно обширном статистическом

22	ЗАДАЧА БЕРНУЛЛИ	[ГЛ, 1
коллективе. Именно так он интерпретирует и закон распределе-
распределения вероятностей случайной величины g, т. е. числовой харак-
характеристики исхода испытаний. Если возможные значения х вели-
величины g лежат в интервале а < х ^ b (в частности, в неограни-
неограниченном интервале —оо<х<;оо), то закон распределения за-
задается интегральной функцией распределения
— неотрицательной неубывающей функцией х, дающей вероят-
вероятность попадания | в субинтервал а <С%^ х (случайное собы-
событие). При этом W(a) = 0, а по аксиоме II W{b) — P{a<.ls^
< й} = 1.
Если с ростом х функция W (х) возрастает скачками высоты
Pi в точках х = Xi, а между этими точками постоянна (ступен-
(ступенчатая функция), то мы имеем частный случай дискретных воз-
возможных значений g, причем pi — это вероятность события
Числа Pi аналогичны интенсивностям дискретных линий в линей-
линейчатом спектре или массам, сосредоточенным в точках Xi на оси
х, причем полная интенсивность или полная масса равна еди-
единице:
Если же функция распределения W(x) дифференцируема,
т. е^уществует плотность вероятности w(x) = dW(x)/dx, то это
означает, что возможна непрерывная совокупность значений х,
причем
w (x) dx = P{x< I <* + dx},
Неотрицательная функция w(x) аналогична плотности ин-
интенсивности в сплошном спектре или плотности массы, непре-
непрерывно распределенной по интервалу (а, Ь] оси х.
Как сказано, для физика числа pi или w(x)dx — это относи-
относительные частоты в статистическом ансамбле, т. е. доля тех реа-
реализаций случайного явления в обширном статистическом опыте,
которые привели к значениям g = xt при дискретных возможных
значениях или.к попаданию g в интервал (x,x-\-dx\ при непре-
непрерывных возможных значениях.
Пусть, например, капелька краски внесена в момент / = О
в сосуд с.водой, причем соблюдены необходимые предосторож-
предосторожности для того, чтобы не возникло движения воды. Тогда даль-
дальнейшее поведение' капельки будет определяться диффузией

§ 2]	ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН	23
краски. Концентрацию краски с (г, t) в любой точке г в любой
момент t > О можно однозначно подсчитать, решив уравнение
диффузии с заданными начальными и граничными условиями.
Таким образом, это вполне детерминированное явление, подчи-
подчиненное определенной динамической закономерности. Но если
говорить о поведении отдельных частиц или молекул краски, то
перед нами статистический опыт. Даже малая капля краски,
скажем, объемом в 10~3 мм3, содержит более 1015 молекул. Все
они находятся в практически тождественных условиях и совер-
совершают в воде хаотическое брауновское движение, которое и при-
приводит к диффузионному расплыванию капли. Следовательно,
здесь реализуется весьма обширный ансамбль молекул краски
и ее количество с (г, t)d3r в элементе объема d3r = dx dy dz в мо-
момент t — это те молекулы, которые случайно оказались к мо-
моменту t в этом элементе объема. Относительная концентрация
с (г, t) (т. е. нормированная так, что по всему объему сосуда
\ с (г, t) d3r = lj —это для физика и есть плотность вероятности
попадания отдельной молекулы в d3r к моменту t, если движе-
движение началось из точки г = 0 в момент t = 0. Детерминирован-
Детерминированное поведение концентрации с (г, t) — это проявление устойчиво-
устойчивости относительных частот в достаточно обширном A015!) ан-
ансамбле.
В общем случае распределение вероятностей может быть
смешанным — дискретно-непрерывным, — подобно суперпозиции
линейчатого и сплошного спектров. Для лаконичной записи,
охватывающей-единым образом как дискретную, так и непре-
непрерывную компоненты, удобно пользоваться интегралом Стилтьеса
по dW(x), где приращение dW(x) функции распределения на
интервале (x,x-\-dx] может быть как бесконечно малым (сплош-
(сплошной спектр, dW (x) = w (x) dx), так и конечным (дискретный
спектр, dW(x) — W(x-\- 0)—W(x) = p). С помощью математи-
математического понятий интеграла Стилтьеса можно, например, запи-
записать среднее значение какой-либо детерминированной функции
f от случайной величины % в виде1).
ь
<i{l))=\f(*)dW(x),	B.1)
а
•независимо от того, дифференцируема функция W(x) или нет.
Физики, однако, предпочитают иную, хотя и менее «строгую»г
() Статистическое усреднение, т. е. усреднение по распределению вероят-
вероятностей (или, как скажет физик, усреднение по ансамблю), мы будем обозна-
обозначать угловыми скобками или, когда это будет удобно, просто чертой над
усредняемой величиной.

24	ЗАДАЧА БЕРНУЛЛИ	[ГЛ. Г
но наглядную трактовку. Считается,"что плотность w(x) имеет
смысл везде и, соответственно,
ь
<f(l))=\f(x)w{x)dx.	B.2)
а
В дискретном случае w(x) переходит в сумму дельта-функций
в точках х = Х{ с весами рс
w(x) = ZPib(x-Xi).	B.3)
i
Интеграл B.2) тотчас приводит тогда к «дискретной» формуле
Представление B.3) отвечает не только строго дискретным
возможным значениям, но и непрерывным, при условии, что
плотность вероятности w(x) имеет достаточно острые пики. Ши-
Ширина этих пиков должна быть мала по сравнению с масшта-
масштабами, фигурирующими в данной конкретной задаче. Следует,
однако, иметь в виду, что идеализация этих пиков в виде дельта-
выбросов, принятая в начале расчета, не всегда приводит к тому
же результату, какой получается при переходе к пределу B.3)
уже в окончательных выражениях. С этой оговоркой неслучай-
неслучайную (детерминированную) величину ?, достоверно принимаю-
принимающую значение х0, можно почти всегда рассматривать как слу-
случайную величину с предельно острой плотностью вероятности
w(x)—8(x— Xq). Всякая динамическая теория предстает тогда
перед нами как частный случай статистической теории, в кото-
которой сделан переход к предельно острым распределениям для
величин, с которыми она оперирует. В подобном взгляде нет
ничего парадоксального, в особенности после того, как волновая
механика уже давно показала, что наиболее фундаментальные
законы природы имеют статистический характер, а высказанный
в свое время тезис, будто бы «наука — враг случайности», по-
потерпел полный провал.
Практическая трактовка вероятности, как относительной час-
частоты в достаточно обширном ансамбле, охватывает, разумеется,
и многомерные случайные величины, т. е. совокупности случай-
случайных величин. В приведенном примере диффузии краски случай-
случайным был радиус-вектор каждой ее молекулы, т. е..совокупность
трех случайных координат молекулы. Более того, в этом при-
примере мы, по сути дела, рассматривали не случайные величины,
а случайную функцию: плотность вероятности (концентрация)
с зависела и от времени t. Такого рода обобщение классической

§ 3]	•	БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ	25
теории вероятностей будет в дальнейшем находиться в центре
нашего внимания. Сейчас важно подчеркнуть лишь то, что и это
обобщение не уводит от частотной трактовки законов распреде-
распределения вероятностей.
Мы обратимся теперь к одному специальному дискретному
закону распределения — биномиальному закону, — который не
только позволит познакомиться с некоторыми интересными фак-
фактами и приложениями, но и послужит для дополнительной под-
подготовки к переходу от случайных величин к случайным
функциям.
§ 3. Биномиальный закон распределения
Если выполнение конечного числа испытаний можно распо-
расположить определенным образом во времени, например, приурочив
испытание номера v к моменту времени tv = vt (или как-либо
иначе), то мы получим тем самым некоторую модель случайного
процесса, для рассмотрения которой достаточны представления
и методы классической теории вероятностей. В качестве примера
рассмотрим хорошо известную задачу теории вероятностей — за-
задачу Бернулли A713 г.), в которой речь идет о последователь-
последовательности независимых испытаний и которая может служить одной
из наиболее ярких иллюстраций того, как одна и та же мате-
математическая схема (динамическая или статистическая) охваты-
охватывает множество совершенно разнородных явлений.
Перечислим ряд конкретных вопросов, непосредственно сво-
сводящихся к математической схеме задачи Бернулли. Для части
этих вопросов не требуется какой-либо локализации испытаний
во времени, другие же допускают или даже предполагают такую
локализацию, т. е. касаются процессов, разворачивающихся со
временем.
1.	Урновая задача. В урне лежат белые и черные шары,
причем вероятность вынимания белого шара (событие А) есть
Р(А) = р и соответственно для черного шара (событие А)
Р(А) = q = 1 — р. Производится N испытаний, причем каждый
раз вынутый шар кладется обратно и шары перемешиваются
(этим обеспечивается независимость испытаний). Какова ве-
вероятность PN(n) того, что при N испытаниях какие-либо п раз
будет вынут белый шар?
2.	Бросание монеты. Какова вероятность того, что при
N бросаниях п раз выпадет «орел», если вероятность выпадения
«орла» при одном бросании есть р = 1/2? Или какова вероят-
вероятность того, что из N новорожденных п окажутся мальчиками,
если вероятность рождения мальчика р = 0,51?
3.	Флуктуации плотности. В объеме. V находится N
молекул газа. Вероятность попадания молекулы в выделенный

26	ЗАДАЧА БЕРНУЛЛИ	[ГЛ, I
из V объем и (событие А) равна р. Какова вероятность того,
что в v находится п каких-то молекул?
4.	Флуктуации интенсивности. Складываются N ко-
колебаний вида a,cosco^, причем at = ±а с вероятностями р и q.
Какова вероятность того, что интенсивность суммарного коле-
колебания будет равна
/ (N, n) = [n{+a) + {N-n) (- а)]2 = Bn - NJ а2,
т. е. амплитуда -\-а войдет п раз?
5.	Телефонные вызовы. Телефонистка дежурит в тече-
течение времени Т. Вероятность того, что за очень малый интервал
т произойдет вызов, равна р. Какова вероятность п вызовов за
все время дежурства?
6.	Дробовой эффект в вакууме. Из накаленной нити
вылетают электроны, причем вероятность вылета за весьма ма-
малое время х есть р. Какова вероятность того, что за время Т на
анод прилетит п электронов, т. е. поступит заряд пе? Если
в анодной цепи стоит интегрирующий прибор, суммирующий
заряд за время Т, то наш вопрос направлен к выяснению того,
что покажет этот прибор в среднем и насколько он будет флук-
флуктуировать.
~ 7. Случайные блуждания. Примем следующую модель
движения брауновской частицы: она совершает скачки на отре-
отрезок а вправо или влево с вероятностями р и q. Какова вероят-
вероятность того, что за N скачков частица уйдет на расстояние
s (N, п) — Bп — N) а, т. е. сделает п шагов вправо? Если здесь
р = q = 1/2, то можно сказать, что это одномерное движение
«абсолютно пьяного человека»; если же А — шаг вправо, А —
шаг на месте, то это движение «нерешительного человека».
Три последних вопроса касаются процессов во времени. Они
естественным образом связываются с представлением об испы-
испытаниях, производимых в последовательные моменты времени.
Общая постановка задачи, следовательно, такова: произво-
производится N независимых испытаний, при каждом происходит одно
из противоположных событий А или А. Какова вероятность
того, что за N испытаний какие-либо п раз произойдет событие
А? Хотя решение задачи Бернулли хорошо известно, все же вос-
воспроизведем его здесь.
Итак,
Какова вероятность того, что при N независимых испытаниях
получится последовательность
ААААА ...А,

$3]	.	БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ	27
т. е. на 1-м месте А, на 2-м месте Лит. д., причем А произойдет
всего п раз? Ответ очевиден:
pqppq ... р = pnqN~n.
Нас интересует событие В, состоящее в том, что А произо-
произошло п раз при каких-то п испытаниях из N. Появление п раз А
при определенных испытаниях — это все частные случаи В, вза-
взаимно исключающие друг друга.. По аксиоме сложения
PN(n)=. Z рпцы~п.
по всем частным
случаям В
Но число частных случаев В — это число способов, которыми
можно выбрать п элементов из N, т. е. Cn= n| ,n _nw • Следо-
Следовательно,
— закон распределения, называемый биномиальным, так как
PN (n) представляет собой я-й член разложения бинома (р + q)N=
N	N
= X C%pnqN~n = 2 Pn («)• Написанная сумма должна быть
га=0	га=О
равна единице, поскольку она выражает вероятность какого-либо
из возможных значений п. Очевидно, это так и есть ввиду того,
что р + q== 1 ')•
В более общем случае, когда при каждом испытании воз-
возможно наступление одного из k взаимно исключающих событий
А\, А2, ..., Ah с вероятностями р\, р2, ..., ри (разумеется,
2jP( —1)> вероятность того, что за N испытаний событие At
произойдет tii раз \?_,tii = N\, буде'т выражаться соответ-
ствующим членом степенного разложения (pi + р2 + ¦. • + Ph)N,
а именно:
PN(nr n2,..., я^^П^Г^ ••• "»*•
J) Приведем решение так называемой задачи де Мере: каково должно
быть число испытаний N, чтобы событие А произошло хотя бы один раз?
Вероятность наступления А один, два, три и т. д. раза при JV испытаниях
есть
PN-Z PnW~Z PN(n)-PN(O) = l-qN=l-(\-pf.
С ростом W она стремится к единице. Принимая то «ли иное значение Pn
в качестве «гарантирующего достоверность», нетрудно вычислить соответ-
соответствующее Л'-

28	ЗАДАЧА БВРНУЛЛИ	1ГЛ, I
Рассмотрим некоторые свойства и следствия биномиального
закона распределения.
Если обозначить через пт то значение п, при котором вероят-
вероятность Ря(п) максимальна, т. е. наивероятейшее значение п, то
из условия
^JV («m - IX-PjV (nm)>PN (tlm + 1)
нетрудно получить, что
Таким образом, имеется либо одно, либо два оптимальных зна-
значения. Если Np ~Э> 1, то
nm^Np.	. C.2)
Найдем теперь среднее значение Я и дисперсию D[n] = o2n =
е= (Д/гJ эе я2— я2. Для момента k-то порядка имеем
7 = ? пкРм(п) = Е CnNnkpnqN~n =
I к раз
1
После того как оператор р-дт применен k раз, нужно учесть
в полученном результате, что р + #=1. В частности,
n = p-§^(p + q)N = PN(p + q)N-l = pN,	C.3)
N~l + p(N-l)(p + qf-2] = pN[l + p(N- 1)],
C.4)
и, следовательно,
ol = n2-n2=Npq.	C.6)
Заметим, что при больших N среднее значение п совпадает,
согласно C.2), с наивероятнейшим. Что касается дисперсии
о\, то она растет с числом испытаний N так же, как и среднее
значение, т. е. пропорционально N. Поэтому среднее относитель-
относительное отклонение
. — Л I
~"Л/
с ростом N убывает. Таким образом, с увеличением N флуктуа-
флуктуации растут, но относительные флуктуации падают.

§ 4]	ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ БИНОМИАЛЬНОГО ЗАКОНА	29
§ 4. Примеры применения биномиального закона
Для уяснения физического смысла полученных результатов
полезно обратиться к некоторым из поставленных выше кон-
конкретных задач.
Рассматривая газ в сосуде (N молекул в объеме V), мы при-
примем, что вероятность попадания молекулы в объем и есть р =
= v/V. Плотность газа в объеме v будет р„ = n/v. Следова-
Следовательно,
п pN N	.
DD = — = J-— = -rr =p = COnst,
т. е. в среднем плотность равномерна.
Дисперсия п определяет интенсивность флуктуации плот-
плотности1):
или
Таким образом, абсолютные флуктуации плотности растут
с уменьшением рассматриваемого объема и и с увеличением
средней плотности, т. е. увеличением общего числа молекул N
в объеме V. Обычно представляет интерес случай oCF, так
что членом 1/V можно пренебречь.
Что касается относительных флуктуации, то
До V ) ~ pa '
pa
т. е. они тоже растут с уменьшением v, но падают с увеличе-
увеличением р>.
Отметим, в чем именно здесь заключается независимость ис-
испытаний. Мы приняли, что вероятность попадания молекулы
в объем v равна р = v/V независимо от того, имеются ли и в ка-
каком количестве другие молекулы внутри или вне v. Другими
словами, газ считается идеальным. При учете конечного объема
молекул и их взаимодействия этого уже не будет: вероятность р
при данном испытании (вероятность попадания данной моле-
молекулы в объем с) будет зависеть от исходов остальных ис-
испытаний.
Рассмотрим теперь задачу о сложении колебаний. Биноми-
Биномиальный закон C.1) выражает вероятность того, что п из N скла-
складываемых колебаний имеют амплитуду -\-а. Тем самым PN(n)
*) Как известно, В [ах + b] = a2D [x].

30	ЗАДАЧА БЕРНУЛЛИ	[ГЛ. I
есть вероятность значения результирующей интенсивности
J = J(N, n) = {2n-NJa2.
Следовательно, средняя интенсивность будет
7= B/г - NJ а2 = (An2 - 4Nn + N2) a2 = N2ct2[l + 4pq(jj-- l)].
Если p = q = 1/2, то 7 = N а2, т. е. интенсивности складываются
(полная некогерентность). При р = 1 или q = 1 получается
7 = N2a2 (полная когерентность).
Дисперсия / есть
D [/] = р - J2 = B/г - Л/L а4 - Г.
Таким образом, вычисление флуктуации интенсивности — вели-
величины, квадратичной относительно п, — требует нахождения мо-
моментов п высших порядков, а именно /г3 и /г4. Способ вычисления
nh для распределения Бернулли уже был указан: fc-кратное при-
применение оператора P~s— к биному (p-\-q)N. Опуская промежу-
промежуточные выкладки, приведем окончательный результат для слу-
случая полной некогерентности, когда р = q = 1/2 и соответственно
J = Na2. В этом случае дисперсия получается равной
D Щ га (Д7J = 27V (N — 1) а\
так что относительная флуктуация интенсивности будет
С ростом N относительная флуктуация вовсе не уменьшается,
а, напротив, растет, приближаясь к значению л/2 . Таким обра-
образом, никакого «сглаживания» относительных флуктуации здесь
нет: при сложении двух колебаний относительная флуктуация
интенсивности меньше, чем при сложении тысячи.
Привычное представление о «сглаживании» связано с мо-
моментом второго порядка. Если «шум» зависит от моментов выс-
высших порядков, то его роль может усиливаться с ростом N.
В этой связи следует остановиться на том, что называть
«шумом» в том случае, когда прибор, например, квадратичен,
т. е. измеряет не п, а п2. Измеритель величины \ = п2 показы-
показывает I = /г2. Он не обнаруживает никакого |-шума, хотя D[n] =
= п2 — Я2 ф 0, т. е. само п флуктуирует. Шум для «|-метра»
определяется величиной ?>[|] = |2 —12= /г4 —(п2J и связан, та-
таким образом, с «флуктуацией флуктуации» п.

§ 4]	ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ БИНОМИАЛЬНОГО ЗАКОНА	31
Отсюда видно, что причисление явления к флуктуационным
или нефлуктуационным существенно зависит от того, какой ве-
величиной это явление характеризовать, — обстоятельство, под-
подчеркнутое М. А. Леонтовичем ([25], § 34; см. также [26]). Пусть,
например, речь идет об энергии U теплового излучения, заклю-
заключенного в некотором объеме V. Она флуктуирует около своего
среднего значения О, так что дисперсия
D [U] = IP-U2
есть мера интенсивности флуктуации U. Но с точки зрения элек-
электродинамики энергия U равна интегралу от суммы квадратов
напряженностеи электрического и магнитного полей:
и, следовательно,
v
Заметим теперь, что средние значения напряженностеи в поле
теплового излучения равны нулю (Е = Н = 0), так что ?2=
= ?>[Е], W2 = D[H] и
т. е. сама средняя энергия П есть мера интенсивности флуктуа-
флуктуации Е и Н. Таким образом, мы имеем следующее расхождение
терминологии при двух подходах:
1) Энергетический подход	2) Электродинамический подход
Величина U со средним значе-	Величины Е и Н со средними
нием О.			значениями, равными нулю.
Флуктуация (ДС/J.	Флуктуация полей О.
«Флуктуация флуктуации» (ДС/J.
Обратимся теперь к задачам, в которых процесс «испытаний»
развертывается во времени, и в качестве первого примера возь-
возьмем описанную выше модель брауновского движения. Смещение
частицы вправо за N шагов на величину
s^s(N, л) = Bл — N)a
имеет вероятность Рх(п)- Следовательно,
s = Bл - N) а = N (р - q) a,
т. е. в изотропном случае (р = q = 1/2) среднее смещение бу-
будет s и= О,

32	ЗАДАЧА БЕРНУЛЛИ	[ГЛ. I
Разброс около s, определяемый дисперсией, есть
D[s] = 7-s2 = D [2na — Na] = D [2па] = 4a2D [n] = 4a2Npq.
В изотропном случае, когда s = 0, и D[s] = s2, получаем
Если скачки происходят через равные промежутки времени т,
так что t = Nx — полное время, протекшее от начального мо-
момента, то
Это — так называемая диффузионная зависимость пути от вре-
времени. В дальнейшем нам еще придется остановиться на связи
рассматриваемой статистической схемы с диффузией. Мы уви-
увидим также, что простая рассмотренная модель представляет
интерес и для радиофизики, будучи самым непосредственным
образом связана с вопросом о флуктуациях фазы в автоколеба-
автоколебательных системах.
§ 5. Дробовой эффект. Распределение Пуассона
Рассмотрим в заключение задачу о дробовом эффекте, впол-
вполне аналогичную задаче о телефонных вызовах.
Мы по-прежнему принимаем, что при каждом испытании ве-
вероятность события А (в данном случае это вылет электрона из
катода в течение некоторого малого времени т) имеет одно и то
же значение р, не зависящее ни от исходов остальных испыта-
испытаний, ни от номера рассматриваемого испытания, т. е. от эмиссии
и присутствия других электронов и наличия объемного заряда.
С учетом объемного заряда, вызывающего явление так называе-
называемой депрессии (подавления) дробового эффекта, задача суще-
существенно усложняется.
Перелет электрона от катода к аноду создает импульс анод-
анодного тока, длительность которого порядка времени пролета
(в обычных электронных лампах — порядка 10~9 сек), а инте-
интегральное значение равно заряду электрона е. Если средний
анодный ток составляет, скажем, 5 ма, то ежесекундно на анод
поступает примерно 3-Ю16 электронов. Отсюда ясно, что им-
импульсы анодного тока густо перекрываются. Если бы они сле-
следовали вплотную друг за другом, но без перекрытия, то пролет
указанного количества электронов занял бы около года. Но для
нас сейчас нет необходимости рассматривать с/епень перекры-
перекрытия импульсов, равно как и их форму. Под событием А мы бу-
будем понимать мгновенный акт вылета электрона из катода, т. е.
начало импульса анодного тока.

S 5]	ДРОБОЁОЙ ЭФФЕКТ, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА	33
Нас интересует заряд, поступивший на анод за некоторое
время Т = Nx, где каждый интервал т — это одно из N испыта-
'ний, в результате которого констатируется либо наличие вылета
в интервале т (с вероятностью р), либо его отсутствие. Сразу
же возникает вопрос о том, как быть с теми интервалами т,
в которых оказалось два или более вылетов. Интуитивно ясно,
что вероятность вылета р должна убывать с уменьшением т.
Тогда при все более мелком дроблении промежутка времени
Т на части т = T/N вероятности двукратного, трехкратного
и т. д. вылетов за время т будут уменьшаться, как величины со-
соответственно второго, третьего и т. д. порядка малости относи-
относительно т. Мы можем поэтому рассчитывать на то, что при до-
достаточно больших N (а никаких ограничений в этом отношении
нет) для подавляющей доли интервалов % имеет место простая
альтернатива: либо произошел один вылет (вероятность р), либо
интервал пустой (вероятность q=\—p). Тем самым задача
приводится к схеме Бернулли, и мы получаем, что вероятность п
вылетов за время Т (за N испытаний) есть PN(n). Сила тока
в среднем за время Т равна')
. 	 пе
'т — ~f~ •
Среднее значение тока 1Т будет
7 — Пе — ePN —7	/л п
h — ^f — —j— = l,	\оЛ)
интенсивность флуктуации 1Т (дисперсия)—
-y~
а относительное квадратичное отклонение —
Np
Но в таком виде полученные результаты не могут претендовать
на физическую значимость, так как они зависят от произволь-
произвольного числа испытаний N.
Естественно, напрашивается предельный переход iV->oo,
осуществляемый при условии, что средняя сила тока / фикси-
фиксирована, т. е.
/ = /г1е = const,
4) В примере с плотностью газа мы полагали р0 = я/и, т. е. вводили ве-
величину, усредненную по рассматриваемой области v. Там это была область
пространства, здесь — промежуток времени Т.

34	ЗАДАЧА БЁРнУЛЛЙ	[ГЛ. I
где щ — среднее число электронов, вылетающих за одну се-
секунду. Согласно E.1) это означает, что вероятность р вылета
электрона за интервал времени х должна быть связана с N
следующим образом:
пхТ
Р = -дГ = Щх,
т. е. р должно стремиться к нулю вместе с т. Подставив р =
= tiit/N и q=l — tiiT/N в выражение для D[IT] и перейдя
к пределу при N—> оо, получаем теперь
?
(ЫТУ = —, -^ = тр	F-2)
С ростом времени усреднения Т флуктуации тока уменьшаются
как абсолютно, так и относительно. С увеличением среднего
тока 7 происходит абсолютное усиление флуктуации, но относи-
относительное их сглаживание. Формулы E.2) — это основные фор-
формулы дробового эффекта без объемного заряда (без депрессии).
Они явным образом отражают тот факт, что флуктуации тока —•
это следствие дискретности электрического заряда.
Дробовой эффект дает пример такой задачи, когда целесооб-
целесообразно считать, что число испытаний N за время Т неограниченно
растет, но при этом среднее число наступлений события А за
единицу времени ti\, а значит и среднее их число за время Т,
т. е. п = tiiT, остается конечным. Тем самым вероятность А при
отдельном испытании
с ростом N стремится к нулю, т. е. в подавляющей доле испыта-
испытаний событие А не наступает.
Во всех задачах такого типа (к ним относится и задача о те-
телефонных вызовах, о сцинтилляциях, об ожидании трамвая,
о соударениях молекул между собой или об их ударах о стенку
и т. п.) напрашивается переход от общей ф'ормулы для /^(/г)
к предельному выражению при JV->oo и р—>0, но фиксиро-
фиксированном ii.
Заменяя в C.1) р через fi/N, получаем
d /-ч- N(N-1) ... [N-(n-\)
~ п\ ' 1 "V1 N) •'• V1	W )V N)
В пределе при N->-oo для вероятности п отсюда следует закон
распределения Пуассона:
Р(п) =-§¦*-*.	E.3)

§ 5]	ДРОБОВОЙ ЭФФЕКТ, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА	35
Единственный параметр Я, входящий в этот закон, представляет
00
собой именно среднее значение п, т. е. ? п^ (п) — "• Все мо-
менты высших порядков, конечно, тоже выражают через п и,
в частности,
Заметим, что если с самого начала считать вероятность на-
наступления события А за время dt равной ti\dt (dt вместо преж-
прежнего т), то с точностью до величин второго порядка малости от-
относительно dt совершенно строго получается закон Пуассона,
Легко видеть, что
как это и должно быть. Разумеется, среднее значение Я и стан-
стандарт 0п, вычисленные при помощи распределения Пуассона,
можно получить и посредством предельного перехода из выра-
выражений для этих величин, даваемых биномиальным законом,
а именно:
п — рЫ = щТ, оп — -y/Npg = -у/п A — р) -*• -у/п.
С равномерным распределением вероятности события А
(р = mdt, где ti\ = const) однозначно связан не только закон
Пуассона, дающий вероятность того или иного числа п осуще-
осуществлений события А за время Т, но и вполне определенный (экс-
(экспоненциальный) закон распределения для промежутка времени t
от произвольно выбранного момента до первого наступления
события А. Подойдем к этой задаче, отправляясь снова от схемы
Бернулли.
Вероятность w(t)ht осуществления двух независимых собы-
событий— того, что интервал @,^) «пустой» и что в интервале
(t, t + А^) событие А произошло хотя бы один раз, — равна про-
произведению вероятностей этих событий. Разобьем ось t на малые
интервалы длины т, и пусть N таких интервалов содержится
в @,0, так что t = Nx, и AN — в At (ДЛГ = -^- =-у-n) . Ве-
Вероятность «пустого» интервала @, t) равна, следовательно,
а вероятность хотя бы одного наступления А в At равна (см.
сноску на стр. 27)
1	\1	у)		 1	II	-гг-

36	ЗАДАЧА БЕРНУЛЛИ	[ГЛ. I
В пределе при N-*-oo первая вероятность переходит в е"', а
вторая — в 1 —e~n'At, т. е. с точностью до первого порядка отно-
относительно At — в щbd. В результате получаем ')
w{t)=nxe-"J.	F.4)
Согласно E.4) среднее время ожидания есть
w{t)dt	,
О
что можно было написать сразу, исходя из определения п\. Сле-
Следует подчеркнуть, что момент, от которого отсчитывается
•время t, ничем не выделен. В частности, это может быть момент
наступления события А, и тогда t будет промежутком времени
между двумя осуществлениями А (соударениями молекул, теле-
телефонными вызовами, вылетами электронов и т. д.J).
§ 6. Предельная теорема Муавра —Лапласа
Другой предельный случай биноминального закона при
N -> оо получается тогда, когда р не стремится к нулю, а имеет
определенное значение, отличное от нуля и единицы. Тем самым
с ростом N растет также и п = pN. Этот переход дается так
называемой локальной предельной теоремой, доказанной Муав-
ром A730 г.) для альтернативы с р = q = 1/2, а затем Лапла-
Лапласом — для альтернативы с любыми р и q (конечно, р + Ц = !)•
Мы не будем рассматривать общий случай предельного пере-
перехода для PN(nu ti2, ..., пи), а ограничимся условиями теоремы
Лапласа.
Формулируем первоначально какую-либо физическую за-
задачу, для которой указанный предельный переход был бы есте-
естественным. Вполне подходящей для этого является уже рассмо-
рассмотренная модель брауновского движения. За iV шагов частица
') При проведенном предельном переходе мы перестаем следить за' но-
номерами испытаний, перенося внимание на фиксированный интервал времени
At, в пределах которого число испытаний и их номера неограниченно растут
вместе с N. Примером такого же изменения точки зрения, говоря гидродина-
гидродинамическим языком, с «материальной» на «локальную» может служить и часто
используемый способ перехода от ряда к интегралу Фурье, когда вместо но-
номеров (или частот) дискретных гармоник фиксируется частотный интер-
интервал Доз.
2) На первый взгляд это кажется странным. Кажется естественным, что
если мы подошли к остановке трамвая как раз в тот момент, когда вагон
уходит, то следующего трамвая придется ждать дольше, чем в том случае,
когда мы приходим в промежуток между трамваями. Однако при отсутствии
какого-либо расписания движения трамваев это неверно (см. [27], где рас-
рассмотрен вопрос обремени между соударениями молекул).

ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА — ЛАПЛАСА
37
удаляется от начального положения на расстояние s(N, п) =
= Bп — N) а с вероятностью Pn(h). Если шаг занимает время т,
то расстояние s(N, п) проходится за время t = Nx. Ввиду ма-
малости х реальным условиям наблюдения соответствуют проме-
промежутки времени t, охватывающие колоссальное количество N
элементарных перемещений ±а. Однако вероятности р и q =
= 1 — р перемещений -\-а и —а характеризуют рассматривае-
рассматриваемую систему и не зависят от наблюдаемого числа шагов N. Та-
Таким образом, для всякого t ^> x здесь целесообразно пользо-
пользоваться асимптотическим выражением Ря(п) при весьма боль-
больших N, но при фиксированном р.
Локальная теорема Муавра — Лапласа утверждает следую-
следующее:
Если вероятность р события не зависит от номера испытания
и отлична от 0 и I, то вероятность Pjv(n) дается при больших N
.асимптотическим выражением
где
¦\jNpq
F.1)
причем с ростом N LN(n)/PN(n) —*¦ 1 равномерно для всех п, при
которых хп находится в конечном интервале, т.е. \ хп \ < М, где
М — некоторое положительное число.
Нетрудно убедиться, что распределение Лапласа F.1) дает
то же среднее значение Я = pN и дисперсию о2 = Npq, что и
биномиальный закон. Можно поэтому записать LN(n) в виде
F.2)
LN (n) = a ._
N	л/2п а
С ростом N происходит абсолютное расплывание, но относи-
относительное обострение распределения LN(n). Если фиксировать
среднее значение и считать, что 0 меняется независимо, то при
0 —* 0 распределение становится все острее, переходя в дельта-
функцию.
¦Отметим, что аппроксимация распределения PN{n) посред-
посредством LN(n) при возрастании N становится весьма точной очень
быстро (и тем быстрее, чем ближе р к 1/2). Если ввести ц —
= PN{n)jLN(n), то при р = 1/2 имеем, например,
N
25
100
1150
га
15
55
595
•п
1,0065
1,0050
1,0001

38
ЗАДАЧА БЕРНУЛЛИ
[ГЛ. I
На рис. 1 дан график, показывающий для частного случая п = п,
в каких областях плоскости (Я, 1/р) применимы полученные
приближения. В области со штриховкой, наклоненной вправо,
PN(n) превышает Р{п) не более чем на 1%, а в области со
штриховкой, наклоненной влево, Pjv(n)
меньше, чем LN(n), тоже не более чем на
1%. Следует заметить, что вследствие
выбора п — п граничные кривые, строго
говоря, имеют смысл только при цело-
целочисленных Я.
В верхнем правом углу графика при-
пригодны обе асимптотические формулы,
причем формула Лапласа удобней, так
как она не содержит факториалов. В этой
области — малых р и не слишком малых
Я— распределение Лапласа тоже зави-
зависит только от одного параметра Я, по-
поскольку при р-»-0
02 = Npq -+Np = n.
Таким образом, распределение Лапласа может быть записано
здесь в виде
,- (п-й)'/2Я
л
LN(n)=-
F.3)
§ 7. Нормальный или гауссов закон распределения
v
В области применимости распределения Лапласа количество
произведенных испытаний N, в сущности, уже не представляет
интереса. Заранее известно, что за данное время t брауновская
частица совершила чрезвычайно большое количество N (не су-
существенно — какое именно) очень малых перемещений, и важно
только распределение результирующего перемещения s (или ре-
результирующей амплитуды в задаче о сложении колебаний со
случайными амплитудами ±а). Поэтому здесь также целесооб-
целесообразно перейти к «локальному» описанию '), т. е. к непрерывному
распределению w(s)ds, дающему вероятность попадания s в ин-
интервал (s, s + ds).
Какова вероятность того, что х„ лежит в интервале
(х, х + Дх) ? Этому интервалу хп отвечает интервал п от п =
= Я + ах до п = Я -)- а(х -\- Дх), т.е. в нем укладывается
= л/Ырд Дх значений п. Это число растет, как V^> в то
См. сноску ') на стр. 36.

§7]	НОРМАЛЬНЫЙ-ИЛИ САУССОВ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ	39
время как относительная ширина интервала убывает, как
а Ад;	1
Все значения LN(n) для я, попадающих в интервал ширины
а Ах, практически одинаковы, а реализация любого из них яв-
является одним из взаимно исключающих частных случаев инте-
интересующего нас события. Поэтому, согласно аксиоме сложения,
получаем
й+о(х+Ах)	x2J2
Р{х<хп^х+Ах}= ? LN(n) = LN(n)oAx = ^=Ax G.1)
— нормальный или гауссов закон распределения.
Теорему Муавра — Лапласа можно, следовательно, форму-
формулировать и так: биномиальный закон с 0 < р <. 1 переходит
при N —>¦ оо в нормальный закон для х, причем равномерно для
любых конечных х.
Закон G.1) получен для так называемой нормированной
случайной величины
т.е. такой, у которой среднее значение равно нулю (Xn = 0)s
а дисперсия равна единице (D[xn]= 1). Если переписать гаус-
гауссово распределение для ненормированной величины у со сред-
средним значением у и с дисперсией D\y\ = о2, то, поскольку х =
= (У — У)/<У> получим
w{y)dy = ^—^	dy.	G.2)
В частности, для перемещения s за время t при изотропном блу-
блуждании брауновской частицы мы нашли ранее (стр. 32), что
s = О, D [s] = s2 = Bt, где В = а2/х — коэффициент диффузии.
Следовательно,
w(s)ds= e..	ds.	G.3)
В начальный момент t = 0 плотность o>(s) превращается в 6(s)
(частица с достоверностью находится в точке s = 0), а затем —
с ростом t — происходит неограниченное расплывание распреде-
распределения, как показано на рис. 2.
Нетрудно подсчитать, что для распределенной по нормаль-
нормальному закону G.2) случайной величины у центральные, моменты

40
ЗАДАЧА БЕРМУЛЛИ
[ГЛ, 1
имеют следующие значения:
при k нечетном,
7
. (k — 1) 0 при k четном.
Как уже было отмечено, распределение Гаусса имеет очень
большое и очень общее значение. Задача Бернулли при боль-
больших Nun — лишь одна из многих, приводящих к этому рас-
распределению. В дальнейшем мы еще обратимся к тем причинам,
которые обусловливают особую роль и широкое распростране-
распространение нормального закона. Здесь же достаточно напомнить сле-
следующее.
Вероятность состояния X (X — совокупность обобщенных ко-
координат q и импульсов р) для системы в термостате с энер-
энергетической температурой в = kT
(k = 1,38- Ю-16 эрг/град— посто-
постоянная Больцмана) дается так
называемым каноническим рас-
распределением Гиббса:
W-H(X)
w{X)dX = e e dX, G.4)
где Ч*"— свободная энергия, "а
Н(Х) — гамильтониан системы.
В тех случаях, когда Н — неот-
неотрицательная билинейная форма,
мы имеем именно гауссово (мно-
(многомерное) распределение. Для
кинетической энергии, дающей распределение по скоростям, это
справедливо всегда. Так, для одной частицы в силу того, что ее
кинетическая энергия есть -у- (и2 + о2 + f|)> из (^.4) слеДУет
нормальное распределение для vx, vy, vz, т. е. максвелловское
распределение:
w (vx, vy, vz) dvx dvy dvz = Ae ze \ x vy z) ^ ^ ^v^
Отсюда для распределения абсолютной величины скорости v вы-
вытекает закон
ту*
w (v) dv — Be 2в v2 dv,	G.5)
уже не являющийся нормальным.
Иногда вызывает недоумение следующий парадокс. Согласно
G.5) сколь угодно большие значения v имеют конечную ве-
вероятность
Р {v > о„}
В \ е
v,-
_
2в у2 dv.

§ 7]	НОРМАЛЬНЫЙ ИЛИ ГАУССОВ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ -	41
Следовательно, конечную вероятность имеет и тот заведомо не-
невозможный случай, когда одна молекула обладает кинетиче-
кинетической энергией, превышающей энергию всего газа (всего термо-
термостата). Дело здесь как раз в предельном переходе от очень боль-
больших, но конечных N к N-+oo. Ведь для п в биномиальном за-
законе возможны значения только от 0 до N, распределения же
Пуассона и Лапласа допускают любые п. При переходе от
LN(n) к непрерывному нормальному распределению верхняя
граница отсутствует и для х.
Если рассматриваемая физическая система находится вблизи
устойчивого состояния равновесия, совершая малые отклонения
от него (флуктуации), то во многих случаях можно считать и
потенциальную энергию U(q) неотрицательной квадратичной
формой, т. е. распределение координат тоже гауссово.
Поясняя роль нормального распределения, мы сослались на
примеры распределений Гиббса и Максвелла, т. е. на распреде-
распределения, характеризующие систему случайных величин. Это есте-
естественное обобщение — переход от одной случайной величины
к совокупностям таких величин и соответственно от одномерного
распределения к многомерным — существенно как для непосред-
непосредственных приложений, так и в качестве очередного шага на пути
к теории случайных процессов. Достаточно заметить, что до-
довольно часто используется способ задания случайной функции
как детерминированной функции t и некоторой системы случай-
случайных параметров ось «2, ••¦, ап:
l(t) = f(t; щ, а2, ..., ап).
Переход от одной случайной величины к системе таких вели-
величин особенно важен еще и потому, что именно здесь входит по-
понятие о статистической зависимости между случайными величи-
величинами. Напомним, что означает статистическая независимость.
Пусть Xk — возможные значения случайной величины \k. Ве-
Величины |i, |2, ..., in называются попарно независимыми (или,
как еще говорят, независимыми в совокупности), если их сов-
совместная функция распределения распадается на произведение
функций распределения каждой из них:
W(xvx2,..., хп) = Wh (*,) ¦ W^ (х2) ... Wln (*„).
Очевидно, такая же формула справедлива при этом и для плот-
плотностей вероятности:
w (*,, х2, ....,*„) = o»6i (*,) • wl2 (х2) ...wln (*„),
а любой смешанный момент порядка m = m\ -f m^ + • • • + тп
распадается на произведение моментов:

42	ЗАДАЧА БЕРНУЛЛИ	[ГЛ. I
В частности, для двух независимых случайных величин | и ц
имеем
?п==1 • "п-
Однако обращение разности 1ц—| • ц в нуль еще не означает
статистической независимости | и ц. Статистическая связь ме-
между I и т], мерой которой служит разность |т] — |«tj, называется
корреляцией случайных величин | и т]. Во многих случаях удоб-
удобно пользоваться симметричной и безразмерной мерой корреля-
корреляции— коэффициентом корреляции, который определен
j g
-dm V(F-l2)(n2-n2) '
Нетрудно видеть, что при линейной связи ц = а% +" 6 имеем
Д" = 1. Легко также показать, что всегда |/Сбл1^ !• При
1ц = 0 говорят, что величины | и г] некоррелированы, при
it, < 0 корреляция отрицательна, а случай /Cgn = —1 иногда
(не очень удачно) называют антикорреляцией. Статистическая
независимость случайных величин ? и ц влечет за собой их не-
некоррелированность, но обратное в общем случае неверно.
Среднее значение суммы случайных величин всегда равно
сумме их средних значений, но дисперсия суммы случайных ве-
величин есть

= Е D [1Л + 2 ? V# [у Л [у /CMft. G.7)
t	I ^ ft
Таким образом, дисперсия суммы равна сумме дисперсий при
достаточном условии попарной некоррелированности всех слу-
случайных величин (что, как сказано, еще не означает их попарной
независимости).
Систему случайных величин |ь |2, ..., gn можно представ-
представлять себе как случайную точку или вектор р в /г-мерном про-
пространстве. Поэтому такую систему часто называют, как из-
известно, n-мерной случайной величиной.
Приведем в качестве примера общий вид нормального или
гауссова закона распределения для /г-мерной случайной вели-
величины р (сама величина р называется при этом нормальной или
гауссовой). Общее выражение этого закона таково:
w (f) dnr = Се~н (r)dnr, dnr = dx{ dxa... dxK, G.8)
где Я(г)—неотрицательная симметричная квадратичная форма:
Я (г) = Z в(й**. atk = аы,	G.9)

§ f]	НОРМАЛЬНЫЙ ИЛИ ГАУССОВ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ	43
постоянная С выражается через элементы матрицы А =
в соответствии с условием нормировки
+ 00
w(r)dnr=l.
Таким образом, поверхности равной плотности вероятности —
это семейство вложенных друг в друга подобных /г-мерных эл-
эллипсоидов # (г) = const. Плотность вероятности максимальна
в начале координат г = 0, где она равна С ').
Обычно нормальное распределение записывается в канониче-
канонической форме, т. е. через так называемую корреляционную матрицу
В = (bik), где bih — моменты второго порядка:
+ 00
&« = пИ= \ x(xkw(r)dnr.	G.10)
— OS»
Если ввести стандарты 0ft компонент |ft рассматриваемой /г-мер-
ной случайной величины г {bu = 12i = of), то можно записать bik
через коэффициенты корреляции К{%.
Очевидно, матрица В симметрична, как и исходная матрица А.
Мы имеем поэтому /г(п+1)/2 уравнений G.10), выражающих
все независимые bik через независимые аа. Если разрешить эти
уравнения относительно aik и подставить полученные выраже-
выражения aih через bih в G.8) и G.9), то распределение G.8) прини-
принимает канонический вид:
IВ I* ( Т Е
Г
V* | Гг. G.11)
)
Здесь |B| = DetB, a BTk — элементы матрицы В, обратной
матрице В.
*) Для распределения G.8) средние значения |i = 0, как и вообще все
моменты нечетных порядков. Если |. ф 0, то это_означает просто, что центр
Эллипсоидов смещен из начала координат в точку р = {|ь |2, ..., !«}¦ В этом
случае в формуле G.9) Н будет квадратичной формой от компонент раз-
разности г — р:
i, ft

44	ЗАДАЧА БЕРНУЛЛИ	[ГЛ. 1
В частности, для двумерной нормальной случайной вели-
величины закон распределения будет
w(xu x2)dxldx2 =
- . ' , ««pf-'^^^-'f'U,^ G.12)
2л л/bnb22-bf2	l	2(ЬпЬ22~Ьг12) )
или, через стандарты и коэффициент корреляции К (Ьп*=о\,
1 6	6)
w (xb x2) dxi dx2 =
dx, dx0
Д
G.13)
В числе многих других особенностей нормального распреде-
распределения следует указать и на ту, что для него некоррелирован-
некоррелированность влечет за собой статистическую независимость. Из дву-
двумерной формулы G.13) это видно непосредственно, так как при
К = 0 плотность вероятности w(x\, x2) становится произведе-
произведением двух одномерных нормальных плотностей. Но то же самое
нетрудно показать и в общем n-мерном случае. Действительно,
попарная некоррелированность |* означает, что матрица В диа-
гональна (отличны от нуля только bu = <5f)- Следовательно, диа-
гональна и обратная матрица В~\ причем
В результате получаем из G.11)
т.е. ш(г) распадается на произведение п одномерных нормаль-
нормальных плотностей вероятности каждой из величин gf.
Таким образом, для нормальных случайных величин некор-
некоррелированность и независимость равнозначны.
Заметим в заключение, что в физической литературе широко
принято обозначать случайную величину той же буквой, что и
ее возможные значения. Мы уже делали это выше, например,
при рассмотрении модели брауновского движения: мы обозна-
обозначали через п как случайное число шагов вправо, так и возмож-
возможные значения п ч= 1, 2, ..., Af этого случайного числа. Такой
прием сокращает количество употребляемых символов и в боль-

ЗАДАЧИ	45
шинстве случаев не приводит к недоразумениям. В дальнейшем
мы будем поступать так же, используя разные обозначения для
случайной величины и ее возможных значений лишь тогда, когда
без этого действительно возможно искажение смысла.
Задачи
1. Написать совместную плотность вероятности случайных величин
х = sin 0 и у = cos 0, если известна плотность вероятности w{6) в интервале
(-я, я).
Решение. Запишем wz(x,у) через условную плотность вероятности у:
w2 (х, у) = да, (*) v (у | *).
Так как у — детерминированная функция х:
при | 8 | < я/2,
— У 1-х2 при я/2 < 10 |< л,
условная плотность есть
о (у | *) = б (у =F yT^l?2).
Одномерное распределение х следует из заданного распределения 8:
dx	...
w @) rf0 = w (arcsin x)
Таким образом,
i (arcsin x)
, . да (arcsin х) . ( г-
(х, у) = \.,, V- 6 (у ч= у 1 -
с верхним знаком при | arcsin х\ <я/2 и с нижним — при я/2< | arcsin x\ <п.
Разумеется, можно написать аналогичное выражение и через v(x\y).
2.	Какие распределения случайной величины х на интервале (—а, а)
обеспечивают некоррелированность х и любой четной детерминированной
функции f(x)?
Решение. Достаточным условием некоррелированности х и f(x) яв-
является четность w(x), так как при этом обращаются в нуль моменты
(xf(x)) и (х).
3.	Каким условиям должна удовлетворять плотность вероятности случай-
случайной фазы 0 в интервале (—я, я) колебаний i = sin(a>/ + 0) и t) = cos(co/+0).
чтобы они были некоррелированы?
Решение. Коэффициент корреляции | и т) пропорционален разности
frj — | ¦ rj = [(sin 8 cos 8) — (sin 0) ¦ (cos 0)] cos 2a>t +
+ ~ [(cos2 8) - (cos 8J - (sin2 8) + (sin 8J ] sin 2a,t. A)
Представим плотность вероятности w(Q) в виде
оо
+Z! (asIn kQ+bk cos
Вычислив для такого распределения моменты, входящие в коэффициенты при
sin2w/ и cos 2Ы в соотношении A), и приравняв эти коэффициенты нулю,

46	ЗАДАЧА БЕРНУЛЛИ	[ГЛ. I
находим следующие два условия:
l, 62 = я(б? — в?).
Если ввести амплитуды и фазы первой и второй гармоник w(Q)i
al°=Ai sina[t bl =
то полученные условия означают, что
В частности, колебания | и ti будут некоррелированы при отсутствии в w(Q)
первой и второй гармоник (Ai = О, Л2 = 0), а также, конечно, и при отсут-
отсутствии всех гармоник, т. е. при равномерном распределении w(Q)= 1/2я.
4.	Найти дисперсию суммы случайного числа п. независимых случайных
величин хи обладающих одинаковыми дисперсиями а2.
Решение. Совместную функцию распределения W(y, n) случайных ве-
п
личин y=Yjxt и п можно записать через условную вероятность V(y\n),
умноженную на вероятность рп значения п:
Следовательно,
п	п
5.	Показать, что для п нормальных величин Xi всегда можно найти та-
такие п линейных комбинаций У^ — ^ akixi' К0Т0Рые будут независимы в со-
совокупности.
Решение. Справедливость данного утверждения следует из того, что
всегда существует ортогональное преобразование, приводящее квадратичную
форму #(г) к сумме квадратов. Геометрически это поворот осей в «-мерном
пространстве xt, при котором новые оси совпадают с главными осями эллип-
эллипсоидов Н = const.
6.	Показать^что для нормальной величины х со средним значением х=0
и дисперсией х2 — о2 для всякой детерминированной дифференцируемой
функции f(x), возрастающей при |х|-»-оо медленнее, чем ех'^2аг, справедлива
формула
Решение. Интегрирование по частям дает
Обобщение этой формулы на функционалы от случайных гауссовых полей
используется в теории случайных полей.

ЗАДАЧИ
Если х Ф 0, то формула A) принимает вид
47
где o2 = F— х2.
7. Пусть задана n-мерная случайная величина l={li,..., %п)> т. е. из-
известна ее n-мерная плотность вероятности Wg(Xp..., хп), где xft — возмож-
возможные значения |ft. Величина т| = (rjj	т)п) связана с % функциональной
зависимостью Ч = F (|), где F — детерминированная однозначная вектор-
функция с однозначной обратной функцией i = F~I(ti). Выразить плотность
вероятности twn(y) через о>5(х).
Решение. Однозначную связь S = F~I(ti) можно рассматривать как
преобразование'координат в n-мерном пространстве возможных значений:
Уп)>
-> п-
Как известно, элемент «объема» йпх = йхх ... dxn преобразуется по фор-
формуле dnx = Q (у) dny, где Q (у) — якобиан преобразования:
Q (У) = Det
ах,
= Det
РГ' (У)
В силу взаимной однозначности преобразования вероятность попадания v\
в область (у, у + dy) та же, что и 1 в область (х, х + dx), т. е.
Подставив в правую часть x = F~'(y) и dnx = Q(y)dny, находим

Глава II
СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ
§ 8. Постановка задачи
Мы обратимся теперь к одному частному виду случайных
процессов — так называемым пуассоновским импульсным про-
процессам. Этот практически важный класс процессов вместе с тем
настолько специален, что для получения многих относящихся
к нему результатов можно и здесь обойтись средствами класси-
классической теории вероятностей. Поясним, в чем здесь дело.
Мы уже отметили, что случайная функция времени t иногда
может быть задана как детерминированная функция / от t и
от некоторого конечного числа случайных величин ось ..., <хп-
Все статистические свойства функции l(t)=f(t; щ, ..., ап)
полностью определяются тогда n-мерной случайной величиной
ось ..., ап, т.е. ее распределением w(a\, ..., an)da\ ... da4.
Примером такого задания случайной функции могут служить
тригонометрические суммы со случайными коэффициентами
ak, bk
t(t)=f[ti (ак), (bk)] = Z
fe=0
определяющие случайные функции l(t), периодические с перио-
периодом 2я.
Пока число п случайных параметров конечно, мы можем
оставаться в рамках тех понятий и методов, которыми опери-
оперирует классическая теория вероятностей, но переход к счетному
множеству случайных параметров (в приведенном примере —
к ряду Фурье) требует уже более общего подхода. Импульсные
процессы можно, по крайней мере в простейших случаях, трак-
трактовать именно указанным способом, задавая их как детермини-
детерминированные функции времени и конечной совокупности случайных
параметров. Тем самым мы имеем возможность познакомиться

§ 8]	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ	49.
с этими процессами, не прибегая пока к общей теории случай-
случайных функций.
Рассмотрим процесс, представляющий собой суперпозицию
одинаковых по форме импульсов. Пусть форма импульса описы-
описывается детерминированной функцией F(t), причем импульсы мо-
могут различаться по величине или «амплитуде». Интересующий
нас процесс запишется тогда в виде
l(t) = ZavF(t-tv),	(8.1)
V
где tv — момент «возникновения» v-ro импульса, аи, — его «ам-
«амплитуда». Мы называем tv моментом возникновения лишь ус-
условно, т. е. не предполагаем, что F(t — /v) = 0 при t <. tv. Функ-
Функция F(t) может и не обладать начальным значением t, до кото-
которого она равна нулю. Предполагается только, что F(t) доста-
достаточно быстро стремится к нулю при |f|—*¦<». Моменты времени
tv могут быть связаны с любой характерной точкой — с каким-
либо из экстремумов F(t) или с какой-нибудь из точек перехода
через нуль, если таковые имеются, и т. п.
Если параметры av, tv ¦—случайные величины, то |(?)—слу-
|(?)—случайная функция времени: при всяком t значение ?(/) само бу-
будет случайной величиной. Таким образом, мы имеем здесь при-
пример описанного способа задания случайной функции как детер-
детерминированной функции некоторой совокупности случайных па-
параметров (в данномслучае av и tv).
Укажем на некоторые физические вопросы, приводящие
к рассмотрению случайных процессов вида (8.1). Таким процес-
процессом является, например, ток или напряжение на выходе четырех-
четырехполюсника, на вход которого воздействует аналогичный процесс,
но состоящий из очень коротких толчков — в пределе дельта-
импульсов:
hAt) = Zavb(t-Q.	(8.2)
V
Под «очень короткими» понимаются при этом толчки, длитель-
длительность которых гораздо меньше временных постоянных четырех-
четырехполюсника. В частности, если этому условию удовлетворяет
время пролета электрона в электронной лампе, то анодный ток
можно записать в виде (8.2) с av = е = const. Если же необ-
необходимо учитывать время пролета и тем самым форму импульсов
анодного тока, вызванных отдельными электронами, то тот же
анодный ток можно записать в виде (8.1), по-прежнему с av=e,
если
+°°
( F(t)dt=l.

60	СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛБСЫ	[ГЛ. И
Другой пример возникновения случайного процесса вида
(8.1)—это отражение волнового импульса, посланного в среду,
содержащую хаотически вкрапленные неоднородности со слу-
случайными коэффициентами отражения или рассеяния. Отражен-
Отраженные от неоднородностей импульсы будут иметь в отсутствие
дисперсии ту же форму, что и первичный импульс, но вернутся
со случайными запаздываниями и амплитудами.
Возможна еще более общая постановка задачи, которую да-
далее мы и будем рассматривать. Она состоит в том, что случай-
случайной предполагается форма самих импульсов, а именно — им-
импульс описывается детерминированной функцией F от t — /v и от
совокупности некоторого конечного числа т случайных пара-
параметров, т. е. от m-мерной случайной величины av={avi, ..., avm}:
l(t) = ZF(t-tv,&v).	(8.3)
V
Здесь мы снова используем, таким образом, тот же ограничен-
ограниченный способ задания случайной функции F как детерминирован-
детерминированной функции конечного числа случайных параметров. При этом
компоненты av могут быть и статистически зависимыми между
собой.
Относительно вероятностных свойств случайных параметров
av и U, определяющих статистические характеристики процесса
\(t), мы сделаем следующие простейшие предположения:
1.	Все av и tv статистически независимы между собой, и их
распределения не зависят от номера импульса v. Тогда для си*
стемы, состоящей из любого количества п(т-\- 1) параметров av
и tv, достаточно задать только функции распределения wa (a) da
и wt(t)dt, поскольку функция распределения системы распа-
распадается на множители:
w (а1( ..., а„; *,	/„) da, ... dan dtx ... dtn =
n
— П wa (av) dav wt (tv) dtv. (8.4a)
Здесь d&v as dmav = davl ... davm.
2.	Вероятность появления импульса в промежутке времени
от t до t -f- dt не зависит от t и пропорциональна dt, т. е.
wt (t) dt — щ dt, щ — const.	(8.46)
Как уже отмечалось (§ 5), это предположение означает, что
вероятность появления п импульсов в интервале времени Т
дается распределением Пуассона:
(8.6)
В этих предположениях мы вычислим теперь функцию распре-
распределения |(?)

§ 8]	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ	gl
Чтобы избежать оперирования с бесконечной совокупностью
случайных параметров av, /v. мы "поступим следующим образом.
Выделим интервал времени (—Г/2, Г/2) настолько большой по
сравнению с длительностью отдельного импульса и со средним
временем l/m между импульсами, чтобы можно было прене-
пренебречь краевыми эффектами, т. е. чтобы учет (или неучет) тех
импульсов, которые частично срезаются краями интервала
(—Г/2, Г/2), не играл роли. Выполнимость этого последнего тре-
требования как раз и связана с условием достаточно быстрого
стремления F(t) к нулю при |/|—> оо. Вопрос о том, насколько
быстрым должно быть уменьшение F(t), мы пока отложим, от-
отметив лишь, что поставленное условие пренебрежимости крае-
краевыми эффектами может быть выполнено даже тогда, когда ин-
интервал, в котором F(t) Ф О, не является конечным.
Мы хотим найти распределение случайной величины \(t)
(а при всяком фиксированном t это случайная величина), т.е.
вероятность события В, состоящего в том, что l(t) находится
в интервале (х, х -f dx):
Событие В может реализоваться при осуществлении какого-либо
из событий Л о, Аи ..., Ап, ..., где Ап состоит в том, что в ин-
интервале (—Г/2, Г/2) появилось п импульсов. События А„ не-
несовместимы, так что по формуле полной вероятности
Р{Б} = ? Р{Ап}Р{В\Ап).
п-0 ¦
Очевидно, Р{Ап} есть не что иное, как вероятность Р(п), да-
даваемая законом Пуассона. Введем теперь плотность условной
вероятности Р {В\Ап}, т.е. вероятности события В = {х <
< l(t) ,^a x-\-dx} при условии, что в (—Г/2, Г/2) возникло п
импульсов:
Тогда
оо
w (x) dx = 2 Р (п) v(x\n) dx	(8.7)
и, следовательно, среднее значение какой-либо функции /(?)
может быть вычислено в два этапа:
+ 00
7A)= 5 f{x)m(x)dx»
— 00
00	+00	00
= 2 Р (») 5 / (х) v (х In) dx*= 2 Р (п) "Л), (8.8)
П=о	—о»	¦	П-0

52	СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ	[ГЛ. И
где "/(?)—условное среднее [при условии, что в (—Т/2, Т/2)
было п импульсов].
Итак, согласно (8.7), для нахождения w(x) надо распола-
располагать условной плотностью вероятности v(x\n). Можно сказать,
что v(x\n) — это плотность вероятности случайной функции
v-l
-tv, av),	(8.9)
зависящей от конечного числа параметров av и tv, относящихся
к тем п импульсам, которые по условию появились в интервале
(—Т/2, Т/2). Для нахождения v(x\n) целесообразно воспользо-
воспользоваться очень сильным аппаратом так называемых характери-
характеристических функций.
§ 9. Характеристическая функция
Характеристические функции играют большую роль как в до-
доказательствах многих важных теорем теории вероятностей, так
и при решении конкретных задач. Характеристическая функция
однозначно связана с функцией распределения W(x) и имеет
по сравнению с W(x) очень существенное преимущество. При
сложении независимых случайных величин, когда распределе-
распределение суммы вычисляется по формуле свертки (композиция или
символическое перемножение функций распределения), харак-
характеристическая функция суммы получается простым перемноже-
перемножением характеристических функций слагаемых. Это особенно
важно для центральной предельной теоремы теории вероятно-
вероятностей, где речь идет именно о распределении суммы независимых
случайных величин (§ 13).
Характеристическая функция случайной величины х (как
уже было сказано, мы будем сплошь и рядом обозначать слу-
случайную величину и принимаемые ею значения одной и той же
буквой) есть среднее значение (математическое ожидание) ве-
величины eiux, где и — вещественный параметр:
+ tx>
(рх (и) = (eiux) = J eiuxdW(x)	(9.1)
(разумеется, здесь принято, что а -{- ib = а + ib). Интеграл
Фурье — Стилтьеса (9.1) всегда сходится, так как
+ 00

§ 9]	ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ	53
Нетрудно видеть, далее, что всегда <$х @) = 1 и что ух (— и) =
= Ф*(и). Приведем два примера характеристической функции.
Для нормального распределения
dW (х) = ' е-(*-а)У2<т* dx
имеем
Чем острее распределение (чем меньше о), тем шире характери-
характеристическая функция. Конечно, это не особенность нормального
распределения, а известное общее свойство пары функций, свя-
связанных интегральным преобразованием Фурье. Если о —> 0, т.е.
w(х) —> б(х — а), то фж(и)-* eiau (в частности, при а = 0 имеем
фж(и)-> 1).
Для распределения Пуассона
получаем
=y, eimp
п=0
Если для какого-либо k > 0 конечен абсолютный момент
pfe == | л: ife, то выражение <$х(и) можно k раз продифференциро-
продифференцировать по и. Поскольку
получаем
j
(9.2)
m=0
Если все pfc конечны, то имеет смысл разложение в бесконеч-
бесконечный ряд
т=0
Заметим, что m-й момент ат, если он конечен, вычисляется при
помощи характеристической функции, как значение ее т-й про-
производной по ш в нуле:
дтчх (и)

54	СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ	[ГЛ. 11
Таким образом, нахождение моментов, требующее — если оно
производится при помощи функции распределения — вычисления
интегралов, здесь осуществляется посредством дифференциро-
дифференцирования, т. е., вообще говоря, более простой операции (правда,
лишь для целых т).
Вряд ли надо пояснять, что для многомерной случайной ве-
величины г = {х\, х2, .... хп} характеристическая функция опре-
определяется точно таким же образом, т. е. как функция, сопряжен-
сопряженная по Фурье:
+ 00
<pr(u)= J e^dW(r),	(9.5)
где u —: вектор с компонентами щ, и2, ..., ип.
Для плотности вероятности величины г = х'+' у, где х и
у — независимые случайные величины, имеем формулу компо-
композиции (свертки)
w (г) = и), * w2 = ^j ш, (х) о»2 (г — дс) dx = | и»! (г — у) w2 (у) dy,
— 00	—00
т. е. довольно сложную функциональную связь между w\, w2
и w. Для характеристической функции г, учитывая независи-
независимость хну, получаем
фг'(м) = е1 = е~ш*е~П1У = <{>х(и) ф^ (и).
Таким образом, композиции w или W, т. е. символическому пе-
перемножению функций распределения, соответствует обыкновен-
обыкновенное перемножение характеристических функций.
Нетрудно сообразить, что если у = J^ xt и каждое слагаемое
независимо от суммы предшествующих, то
<М")=П<Р*>).	(9.6)
Разумеется, это и подавно верно "для хц независимых в сово-
совокупности.
Другой важный вопрос заключается в том, как по характери-
характеристической функции фж(«) найти функцию распределения W(x),
Если распределение дифференцируемо, т.е. dW(x)=w(x)dx,
то формула (9.1) переходит в обычный интеграл Фурье!
+ 00
ФЛ")= 5 eiux
= 5 eiuxw(x)dx,	(9.7)

§ 9]	ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ	55
обращение которого тотчас же дает
<9-8)
— 00
а значит,
X	+00
О	-оо
Пусть теперь w (x) — дискретное распределение. Пользуясь
дельта-функцией, можно применять те же формулы обраще-
обращения. Имеем
к
и, следовательно,
+ ОО
-оо	k
Формула обращения тотчас же дает
I Г	I.
+ 00
k	-00	й
т. е. и в этом случае возвращает нас к правильному выражению
для w(x).
Именно эта однозначная связь между функцией распреде-
распределения и характеристической функцией широко используется как
в общей теории, так и при решении конкретных задач. В одних
случаях оказывается проще находить непосредственно функцию
распределения, в других — характеристическую функцию. Ука-
Укажем в этой связи на теорему Леви о том, что если последова-
последовательность функций распределения Wh(x) сходится при k—>¦ оо
к функции распределения W(x) [в точках непрерывности W(x)],
то и последовательность соответствующих характеристических
функций щ(и) сходится к характеристической функции ф(м),
отвечающей W(x), и обратно.
Если взять 1пфж(«) и разложить его в степенной ряд по и
[беря ту ветвь логарифма, которая вместе с и обращается
в нуль, и разлагая в соответствии с (9.2) тоже до члена

56	СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ	[ГЛ. II
порядка ик], то получим
Величины Кт называются кумулянтами (или семиинвариантами)
распределения. Кумулянт m-ro порядка есть целая рациональ-
рациональная функция первых m моментов ат (или центральных момен-
моментов ут). В частности,
Я1 = а1, Я2 = а2 — а\ = у2, Я3 = а3 — За2а, + 2а^ = у3,
Я4 = а4 - За* - 4а3а, + 12а2а2 - 6а{ = Y4 - Щ-
Следует обратить внимание на аддитивность кумулянтов при
композиции распределений независимых величин. При компози-
композиции чц, перемножаются, In q>Xk складываются, а значит, склады-
складываются и кумулянты:
*--?*!?. *=!*•¦
При помощи характеристических функций чрезвычайно про-
просто устанавливается сохранение или несохранение вида неко-
некоторых распределений при композиции. Если, например, незави-
независимые случайные величины щ распределены по Пуассону, то
и, следовательно, для n=z_ink имеем
Ф„ (и) = ехр (п (еш — 1)}, п=?пкг
,	k
т. е. опять распределение Пуассона. Если сумма независимых
одинаково распределенных случайных величин обладает тем же
распределением, что и слагаемые, то такое распределение на-
называется устойчивым. Таким образом, мы показали, что распре-
распределение Пуассона является устойчивым. Легко убедиться, что
нормальное распределение тоже устойчиво.
Пусть независимые слагаемые распределены нормально со
средними значениями xk = ah и дисперсиями D [хА] = а\, т. е.
X
где Ф (x)=-L= [ e-x2'2dx.
Характеристическая функция для xk есть
.	iua -a2u2h
<p* (и) = e * * ' t

§ 9]	ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЙ	g7
п
Это значит, что для ^ xk характеристическая функция будет
Ф (и) = П Ф* (и) =еША"-В>2/2, где Ая = t ak, B\ = ± o\,
и, таким образом,
W1(x)*W2(x)*...*Wn(x) =
Если все Wk(x) одинаковы, т. е. ak = a, ok = o, то Ап = па,
Bn — -\/n<J. Обозначая композицию одинаковых нормальных
функций распределения W (х) через [W {х)]п*, имеем
В частности, при а = 0 и ст=
Это значит, что если xk имеют одну и ту же функцию распре-
распределения Ф{х), то и сумма
тоже имеет функцию распределения Ф(х).
Иногда оказывается удобным пользоваться не характеристи-
характеристической функцией — средним значением от eiux, — а средними
значениями от величин е8ж:
или от их\
разумеется, при ограничениях, ^обеспечивающих существование
этих средних. Такого рода функции называются моментопроиз-
водящими или просто производящими функциями распределе-
распределения W(x). Если возможно m-кратное дифференцированное FX(Q)
по 0, то, полагая затем 8 = 0, получаем ат = хт. Аналогичным
образом можно получать ат из Fx(u), применяя т раз опера-
операцию и -г- и полагая потом «= 1,

58	СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ	[ГЛ. П
§ 10. Функция распределения импульсного
пуассоновского процесса
Нахождение характеристической функции, будучи равно-
равносильно нахождению функции распределения, оказывается более
простой задачей и для случайной величины (8.9):
п
in (t) = Z *v, xv = F(t- tv, av),
так как слагаемые xv независимы. Поэтому характеристическая
функция (8.9) [т. е. условная функция — при условии, что в ин-
интервале (—Г/2, Г/2) было п импульсов] равна
П *V)
В свою очередь характеристическая функция для xv (очевидно,
не зависящая от номера импульса v) есть
,	Г/2
ф^ (и) = е1их* = ^ wa (a) da $ eiuF ('-т- «)o»t (т) dr.
-Г/2
Мы не пишем здесь пределов в интегралах по а, подразумевая,
что интегрирование по а распространяется на всю область воз-
возможных значений (конечную или бесконечную) компонент
этой m-мерной случайной величины. Что касается распределе-
распределения моментов возникновения импульсов wt(x)dx, то теперь, ко-
конечно, нельзя воспользоваться формулой (8.4), так как речь
идет об импульсах, появляющихся не где угодно на оси t,
а обязательно (с достоверностью) внутри интервала (—Г/2, Г/2).
Это значит, что равномерное распределение t должно быть про-
пронормировано к единице на этом интервале:
(юл)
-Г/2
Таким образом, .
(с	г'2	1"
Щ (и I п) = И Ша (a) da \ eiuF «-*•а» Щ-1 .	A0.2)
I	-Г/2	J
Обращая по Фурье формулу (8.7) [или полагая в (8.8)
f(x)=eiux], мы ^получаем соотношение между безусловной и
условной характеристическими функциями:
оо
фЛ«) = 21 Р(п)<р.(и\п).	A0.3)

§ 10J	ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИМПУЛЬСНОГО ПРОЦЕССА	60
Подстановка в A0.3) выражений (8.5) для Р {п) и A0.2) для
Ф6(ы|п) дает
Г/2	ч«
(
\ ". J ша (а) <*а J
*¦	-Г/2
-т> а) dr | -
n-О	*¦	-Г/2
г/2
] щ J wa (a) rfa J eiuF «-т- a) rft — ^Г >,
= ехр \ щ \ wa (a) rfa
что можно записать также в виде
(	TI2
ф, (и) = ехр < щ \ wa (a) rfa \
^	-Г/2
f Г
= ехр 1 nAwz (a) rfa
В последнем выражении введена новая переменная интегриро-
интегрирования 0 = t — т.
Заметим теперь, что скобка под интегралом по 8 отлична от
нуля только при тех 8, для которых F(8, a)=#= 0, т. е. в пределах
импульса. Поэтому для всех t, отступающих от краев интервала
(—Г/2, Г/2) не менее чем на длительность импульса Ф (прене-
(пренебрежение краевыми эффектами), можно раздвинуть пределы ин-
интегрирования по 6 в ± °°, или, другими словами, устремить Г
в бесконечность. Далее мы будем делать такой переход, не ого-
оговаривая его каждый раз заново, но следует помнить, что он воз-
возможен лишь при достаточно быстром убывании F(8, а) при
|6|->оо. В результате
<р6 (и) = ехр j n, J roa (a) da. J [eluF <е- а> - 1] dQ > . A0.4)
Итак, характеристическая функция l(t) получена. В показа-
показателе экспоненты в A0.4) стоит логарифм этой характеристиче-
характеристической функции. В его разложении по степеням iu коэффициен-
коэффициентами при (iu)m/m\ являются, как мы знаем, кумулянты распре-
распределения %(t). Разлагая этот показатель в ряд по степеням ш,
получаем, что пг-й кумулянт есть
1щ = пЛ wa (a) rfa J Fm (в, a) rfG.	A0.5)

60	СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ	[ГЛ. II
В частности, для первого и второго кумулянтов, т. е. для сред-
среднего значения и дисперсии ?,(t), имеем
J
(Ю.6)
F2(9, a) rf8.
— оо
В случае, когда av — одномерная случайная величина, пред-
представляющая собой просто «амплитуду» импульса [процесс
вида (8.1)], формулы A0.6) принимают вид
-{-оо	+ 00
= k^ \ F2(Q)d9. A0.7)
— ОО	—ОО
Заметим, что | = 0 либо при а = 0, либо при нулевой площади
(Т	\
импульса! \ FF)d9 = 0l. Наконец, если «амплитуда» фикси-
^" — 00	' '
рована, скажем, av=l [другими словами, плотность вероят-
вероятности av есть wa (av) — б (av — 1)], то мы приходим к формулам,
первоначально полученным Кембеллом [1]:
+ ОО	+00
F2(9)fi?9. A0.8)
Как характеристическая функция A0.4), так и кумулянты
A0.5) содержат единственную характеристику «густоты» им-
импульсов, а именно п\ — среднее число импульсов в единицу вре-
времени. Кроме того, все указанные величины не зависят от вре-
времени t. В этом проявляется стационарность рассматриваемого
процесса, о чем еще будет идти речь в дальнейшем.
Разумеется, полученные формулы охватывают элементарную
теорию дробового эффекта, которая была развита ранее (§ 5).
Пусть отдельные импульсы одинаковы (а = е = const), и пусть
форма импульсов — прямоугольник продолжительности ¦& и вы-
высоты I/O (рис. 3). Таким образом,
-г-со	+оо
(8)tf8 = i.
Согласно A0.7) для импульсного тока I (t)=e? F(t — tv)
получаем	^	_
7=-ще, Dl/l = -5?- = -?-	A0.9)

§ 10]	ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИМПУЛЬСНОГО ПРОЦЕССА	61
На первый взгляд выражение для D[I] находится в противоре-
противоречии с полученным ранее [формула E.2)], так как теперь в зна-
знаменателе стоит длительность импульса ¦&, т. е. величина порядка
времени пролета электрона, тогда как в E.2) в знаменателе на-
находилось время наблюдения Т 5?> ¦&. В действительности ника-
никакого противоречия нет, так как формула A0.9) дает дисперсию
мгновенного тока I(t), в то время как E.2) — это дисперсия
тока, уже усредненного по промежутку времени Т, т. е. диспер-
дисперсия величины
г
/т = у-\ / (*) Л.	A0.10)
о
Естественно, что флуктуации 1Т сглажены по сравнению с флук-
туациями I(t), и тем сильнее, чем больше Т. Нетрудно убедиться
в том, что для D [1Т] получается прежнее выражение E.2) (см.
задачу 6).
Полагая av — е = const, мы получали модель дробового эф-
эффекта. Если же значения случайного параметра av кратны за-
заряду электрона, то процесс
I @ = Z emv& (t — tv)
V
может при подходящем распределении вероятностей для mv
описать ток вторичной электронной эмиссии и его флуктуации:
v-й электрон первичного тока / (t) = е X б (* ~ *v) порождает слу-
v
чайное число mv = 0, 1, 2, ... вторич-
вторичных электронов. Вместо формул A0.9)
мы получим при этом для моментов 7/
е/вт. эм ш2
	чг
т. эм) —
Зная характеристическую функцию
A0.4), мы в принципе знаем и ее транс-	Рис- 3-
форманту Фурье, т. е. плотность вероят-
вероятности w(x) процесса |(/), Однако вычисление соответствующего
интеграла Фурье в замкнутом виде осуществимо лишь в немно-
немногих простейших случаях. Если, например, процесс состоит из оди-
одинаковых прямоугольных импульсов фиксированной амплитуды а
и длительности Ф:
( 1 в интервале @, ¦&),
F(Q,a)=aF(Q), F(Q) = \n	A0.11)
7	I 0 вне этого интервала,

62 •	СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ	[ГЛ. II
то A0.4) дает
Ф| (и) = ехр | я, J (еш - 1) dQ | = exp {n,* (e'Ofl - 1)}.
Но это характеристическая функция распределения Пуасеона
с параметром п = щ® и дискретными возможными значениями
па, где /г = 0, 1,2,...:
P{Ut) = rm} = -^-e-^.	A0.12)
В общем же случае решенная задача как раз такова, когда
целесообразно искать не функцию распределения, а характе-
характеристическую функцию, что мы и-сделали выше.
Однако при определенных условиях можно установить, что
A0.4) принимает некоторый универсальный вид. Выясним, каков
этот вид и в чем состоят упомянутые условия.
Обращая характеристическую функцию
по Фурье, находим плотность вероятности
—5Г $ "-"Ч («)
Если ввести обозначения
V 9я Ахп
и, начиная сга = 3, разложить экспоненту под интегралом по
степеням ш, то почленное интегрирование приводит к представ-
представлению w(l) в виде ряда по производным Ф<п>(лг). Собрав в этом
ряде члены одного порядка относительно щ, мы получаем так
называемый ряд Эджворта'):
Ф(о) (х) Я3ФC) (х) Г Я4ФD) (ж) я|ФF> (х)	
	*_	l	l ¦ 1 (юлз)
») См. [21 гл. 17, | 7. ¦-¦ '

§ 10)	ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИМПУЛЬСНОГО ПРОЦЕССА	63
Первый член здесь порядка п,-1/», второй — порядка и,-1, третий —
— п^3'* и т. д. Все члены пропорциональны е~хЧ2, а первый
член есть просто нормальное распределение для х. Очевидно,
с ростом щ, т. е. с увеличением «густоты» импульсов, первый
член будет все более преобладать, т.е. распределение w(%) бу-
будет приближаться к нормальному.
Сделаем грубую оценку того значения щ, при котором уже
можно ограничиться первым членом ряда A0.13). Два первых
члены ряда в раскрытой форме таковы:
w(l)=~^~\ l--^xC-x2)}.
Наличие экспоненциального множителя позволяет не рассма-
рассматривать большие значения х, при которых а>(?) уже очень мало.
Если ограничиться х ^ 2, то \хC — х2) | ^ 2. Значит, условие
малости второго члена будет
+ оо
m"R? \ \F(Q)\3dQ
I Аз|. ^-	-¦»	^. 1
	z2
Г _ +6° V
я,? [ F2 (8) dQ
*-	— no	J
или, если отбросить коэффициент порядка единицы,
+ 00
\ \P(Q)\3dQ
— 00	-, <
Г +оо
пЦ \ F2(e),
+ 00
Если \ F (о) dQ = 1 и длительность импульса порядка ¦&, то
интеграл в числителе будет порядка 1/#2, а в знаменателе —
порядка {/¦&, так что написанное условие сведется к следую-
следующему:
> 1.	A0.14)
Это означает, что число импульсов, возникающих за длитель-
длительность одного импульса, должно быть достаточно велико. Можно
выразить то же самое и несколько иначе. В момент времени t
величина %,{t) слагается из тех импульсов, которые возникли
в интервале времени от t — ¦& до t, так как более ранние им-
импульсы к моменту t уже успели «затухнуть». Следовательно,
пф — это в среднем число слагаемых xv, из которых состоит (

64	СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ	[ГЛ., II
в каждый данный момент. Условие A0.14) говорит, таким об-
образом, о том, что распределение ?(?) тем ближе к нормальному,
чем больше импульсов налагается в каждый момент времени.
Если толчки редкие, то распределение будет существенно зави-
зависеть от формы индивидуального толчка, нормального распреде-
распределения не будет. Прийти к нему можно либо учащая толчки, либо
увеличивая длительность импульса. В обоих случаях число толч-
толчков за время одного импульса будет расти.
Этот результат представляет собой весьма частный случай
так называемой центральной предельной теоремы теории вероят-
вероятностей. По сути дела, здесь было воспроизведено доказательство
этой теоремы, но применительно к очень специальным условиям
рассмотренной задачи. Мы увидим в дальнейшем (§ 13), что и
найденный результат, и условие A0.14) непосредственно выте-
вытекают из гораздо более общих положений.
В работе Джильберта и Поллака [3] распределение импульс-
импульсного процесса (8.1) было найдено для некоторых форм импульса
F(t) в явном виде и в общем случае, т. е. без предельного пере-
перехода к «густому» шуму (/lift—>oo). Во-первых, авторы пока-
показали, что процесс (8.1) и даже более общий процесс
s @ = 5> (* - *v, <*v)	(Ю.15)
V
всегда можно свести к шуму вида
S@ = 5>»k»('-'v)	(Ю.16)
V
с такой формой импульса FaKb(t), что распределение
№(Е) = \ w{x)dx
— оо
будет для A0.15) и A0.16) одним и тем же. Во-вторых, для
W(?,) они вывели (двумя различными способами) интегральное
уравнение
x) = л, J W [I - F F)] F F) d9,
которое и сумели решить для некоторых форм импульса F(t)
Конечно, для прямоугольных импульсов высоты а и длитель
ности ¦& этому уравнению удовлетворяет распределение Пуас
сона A0.12), которое,-как мы помним, переходит с ростом «i
в распределение Лапласа, т. е. при сглаживании ступенек вы
соты а — в нормальное распределение.

Ю]
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИМПУЛЬСНОГО ПРОЦЕССА
65
Если форма импульса задана следующим несколько искус-
искусственным образом (рис. 4; через y на нем обозначена постоян-
постоянная Эйлера);
/40 = 0	при
t
= J
'dy
при t > 0,
то распределение | получается экспоненциально-степенным («не-
(«непрерывным пуассоновским»):
w (x) = •
Г (а)
@ < х < оо),
A0.17)
где а = |. С ростом а оно также переходит в нормальное.
К сожалению, для такой важной формы импульса, как за-
затухающее колебание (импульсная функция резонансного кон-
контура), уравнение для W удается решить только численными ме-
методами, но и такую возможность следует рассматривать как
определенное достижение.
Отметим, что A0.17) представляет
собой частный случай так называемо-
называемого гамма-распределения:
w (х) =¦
Г (a)	v ^ ^ •"
A0.18)
характеристическая функция которого
есть
[-Ы
Г
Рис. 4.
а среднее значение и дисперсия следующим образом выра-
выражаются через положительные параметры а и к:
а
Очевидно, A0.17) следует из A0.18), если параметр к (назы-
(называемый масштабным) положить равным единице. При целочис-
целочисленных значениях а (а = п) имеем из A0.18)
Обычно это распределение записывают через параметр ц = 1/д:
(так что к = пц и а|=1/пц2):
~ _xn-ie-nwt	A0.20)

66	случайные импульсы	[гл* и
§11. Корреляционная функция
Рассматривая |(^) как случайную величину, мы нашли в пре-
предыдущем параграфе характеристическую функцию A0.4) и тем
самым кумулянты g(tf)> B частности среднее значение и диспер-
дисперсию A0.6). Но для вычисления смешанных моментов двух слу-
случайных величин gi = l(ti) и g2 = i(^2), т.е. значений случай-
случайного процесса ?(/) в Два различных момента времени, надо
знать совместную (двумерную) функцию распределения gi и ?г
или найти соответствующую двумерную характеристическую
функцию. Однако мы не будем решать эту задачу, а ограни-
ограничимся вычислением только смешанного момента gi|2 — grg2, ко-
который является одной из важнейших характеристик случайных
процессов, поскольку он определяет корреляцию между величи-
величинами gi и g2. В общем случае этот момент зависит от t\ и t2, или,
если положить t\ = t, t<x = t -f- т, — от I и т; он называется кор-
корреляционной функцией случайного процесса %(t):
^ (/, т) = I @ I (t + t) - I (t) ¦ I (t + т).	A1.1)
Так как кумулянт Xi = l(t) оказался не зависящим от t (как
и все %т), второй член в правой части A1.1) равен X*. Следо-
Следовательно, нам надо вычислить только смешанный момент
)¦	(П.2)
Схема расчета та же, что и в одномерном случае.
Запишем двумерную плотность вероятности для случайны*
величин
через условные плотности, вероятности [при условии, что интер-
интервал времени {—Т/2, Т/2) содержит п импульсов]:
оо
»(*. «/) = Е P(n)v(x,y\n).	A1.4)
Отсюда следует, что
11=0
где
п— г.
.Их— ) xyv(x,y\n)dxdy

§ 11]	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ	67
— условный момент, т.е. среднее произведение величин A1.3),
но с суммированием, распространенным только на те п импуль-
импульсов, которые содержатся в (—Т/2, Т/2):
V, Ц = 1
Усреднение производится здесь по всем случайным парамет-
параметрам tv, t^, av, ай (v, ц = 1, 2, ..., ri).. Так как величины с v Ф \х
по предположению независимы, двойную сумму можно разбить
на две части:
- U, &,)F(t + x- tv, av)> +
+ Z
Но средние значения не зависят в силу наших исходных допу-
допущений от номеров импульсов v и ц. Поэтому первая сумма со-
содержит п одинаковых слагаемых, а вторая — (п2 — п):
+ (n2 - n) (F (t - x, a)) (F(t + x- x', a')>,
где
Г/2
-Г/2
Г/2
\ F{t-%,&)-^-,
Г/2
Г/2
J F(t- х-х', а) -^-.
Г
\
-Г/2
Г/2
J
-Г/2
Сделав в двух первых выражениях замену переменной интегри-
интегрирования t — х = 9. а в третьем — замену ^ + т — /' = 0 и раз-
раздвигая затем пределы интегралов по 9 в ± оо, получаем
= -?-$ в», (a) da
«2-«Гг T T
—?— \ w, (a) da \ F @, a) dQ\ .
i I J	J	I

68	СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ	[ГЛ. II
Это условное среднее остается усреднить теперь по распределе-
нию_ Пуассона, для которого, как мы знаем, п — п,Т и D [п] —
= п2 — п2 = п (т. е. п2 — гё = гё2 —л^Г2), и мы получаем, со-
согласно A1.4), момент второго порядка
>
F (9, a) F (9 + т, a) dQ + Х\,
где мы воспользовались первой формулой A0.6). Следователь-
Следовательно, корреляционная функция A1.1) есть
ф6 (т) = п, $ гоа (а) 2а J F(9,a)F(9 + T, a) rfG. A1.5)
— оо
Итак, корреляционная функция (и момент S4) не зависит
от времени ?, а только от разности х обоих моментов времени.
Это снова результат стационарности рассматриваемого случай-
случайного процесса. При т = 0 формула A1.5) переходит в формулу
для дисперсии l(t) [см. вторую формулу A0.6)]:
как это и должно быть в соответствии с определением A1.1)
корреляционной функции.
Нетрудно видеть, что ^(т) —четная функция т. При |т|—> оо,
если F(Q) достаточно быстро убывает при |9|-*оо (быстрее,
чем l/V|9l)i Ф| (т) стремится к нулю. Ясно, что с ростом |т|
сомножители подынтегрального выражения в A1.5) раздвигают-
раздвигаются и при указанном условии произведение стремится при боль-
больших |0| к нулю быстрее, чем 1/|6|.
В частном случае, когда а — одномерная случайная вели-
величина, а именно «амплитуда» импульса [F(Q, a)= aF(Q)], полу-
получаем
J F(Q)F(Q + x)dQ.	A1.6)
Одной из компонент n-мерной случайной величины av может
быть и случайная длительность v-ro импульса dv. Пусть dv не-
независимо от остальных компонент av, так что распределение
ша (av) dav должно быть заменено на шл (av) dav • w& (Ov) dftv-
Если мы хотим явным образом учесть даваемое dv случайное
изменение длительности импульсов, то целесообразно предста-
представить детерминированную функцию F, описывающую форму им-
импульса, в виде/^Г—ST~j avj- Весь вывод характеристической

§ И]	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ	69
функции, кумулянтов и корреляционной функции остается при
этом таким же, как и выше, но при усреднении по tv — случай-
случайным моментам возникновения импульсов — удобно ввести но-
новую переменную интегрирования 8 следующим образом: 0 = .
= (t — tv)jbv. Тогда распределение dtv/T в (—Т/2, Т/2) перейдет'
в %d$/T в пределах от {t—T/2)/bv до (t + T/2)ff>v. После раз-
раздвигания пределов в ±оо параметр dv сохранится только мно-
множителем в подынтегральной функции (а при вычислении кор-
корреляционной функции — еще и как масштаб для временного
сдвига т, т. е. вместо т будет t/§v) • В результате для кумулян-
кумулянтов Кт мы получим вместо A0.5) формулу
A1.7)
а для корреляционной функции вместо (И.5) формулу
e, A1.8)
где угловыми скобками обозначено для краткости усреднение
по распределению а.
Рассмотрим следующий пример. Пусть av — одномерная слу-
случайная «амплитуда», так что
>(^)	(П.9)
Пусть, далее, F(Q)= 1 в интервале @, 1) и равно нулю вне
этого интервала, причем длительности О распределены по за-
закону
ил
Тогда при х > О
+J"	г 0 при ¦& < х,
J ^ ' v "^ d у	)i — -_ при ¦& > х,
— оо	>¦	ХГ
а значит,
оо
1Ь Гт\ = f7 /7* \ ^Л — ^1 О — XT/w	n^z M /7 Л/Э—Т/Л/
Ц^ ^ t у 	 tb\LL I ^ U ^^ Tic;	=	ll\LL XJC	.
г
Функция корреляции четна, по т, так что при произвольном
знаке т результат можно записать в виде
ч/».	"	A1.10)

70
СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ
[ГЛ. И
Рис. 5 дает представление о характере этого процесса в част-
частном случае фиксированных av = 1. Было высказано предполо-
предположение, что такого рода процесс способен послужить моделью
для эффекта мерцания — относительно медленных флуктуации
тока эмиссии, обусловленных локальными изменениями эмис-
эмиссионной способности поверхности катода [4]. Если причиной этих
изменений является присутствие на поверхности примесных ато-
атомов, в частности садящихся на катод атомов остаточного газа,
I I
I I
I I
I I
tv tvw
Рис. 5.
то ?,(t)—это случайное мгновенное число таких атомов, a flv —
времена их пребывания на поверхности. Однако подобная мо-
модель не согласуется с формой спектра эффекта мерцания, ко-
которая в широком диапазоне частот со большей частью близка
к от (см. § 55). Наряду с попытками усовершенствовать тео-
теорию введением набора средних времен пребывания д с некото-
некоторыми весами или посредством других аналогичных допущений,
была высказана мысль о том, что спектр требуемого вида может
быть связан с процессом (8.1), если импульсы F(t) очень мед-
медленно спадают с ростом t'), а именно, если при достаточно боль-
больших t функция F(t) убывает, как ta/2~l @<a<2). Однако
при а ^ 1 процесс уже не является стационарным. Мы вернёмся
к этому кругу вопросов в дальнейшем, при рассмотрении спек-
спектральных разложений случайных процессов.
Приведем в заключение еще один пример импульсного про-
процесса, связанного с пуассоновским. Это — так называемый об-
обобщенный телеграфный сигнал — чередующиеся скачки |(tf) ме"
жду значениями —а и -\-а, причем моменты скачков tv распре-
распределены по Пуассону (рис. 6). Для простоты мы примем среднюю
густоту скачков щ постоянной. Добавление к \{f) постоянной
составляющей go > а дало бы односторонние импульсы, и тогда
*) См. [5], где приведен также обзор литературы.

11]
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ -
71
рассматриваемый процесс мог бы служить очень упрощенной мо-
моделью флуктуации проводимости в находящихся под током гра-
гранулированных сопротивлениях, представляющих собой конгло-
конгломерат (чаще всего пленку) из хорошо проводящих контактирую-
контактирующих зерен. Поскольку постоянная составляющая | = |0 не су-
существенна для статистических свойств процесса, мы будем счи-
считать |=0. Распределение момен-
моментов tv смены знака \ по Пуассону
означает, что длительности импуль-
сов имеют экспоненциальное рас-
распределение
Казалось бы, что, рассматривая -а-
производную ?,(t), состоящую из
импульсов ±2ab(t — tv), мы воз-	Рис. .6.
вращаемся к уже разобранной за-
задаче— процессу вида (8.1). Легко видеть, однако, что это не
так, поскольку теперь является обязательным чередование зна-
знаков скачков, в то время как в (8.1) значения av были взаимно
независимы.
Если в интервале (t, t -f- х) знак %(t) изменился четное число
раз, то l(t + т) того же знака, что и l(t), т. е. l(t + x)l(t) = a2.
В противном случае это произведение равно —а2. Следователь-
Следовательно, при т > О
t|5 (т) = а2Рчет — а2Я„еч,
где Ячет и Рнеч — вероятности четного и нечетного числа скачков
за время т. В соответствии с законом Пуассона
п
=-^-е-п, где п —
имеем
|i + |-+ ...)=e-"chn,
Следовательно, при т > 0
¦ф (т) = a2e-h (ch h — sh n) = a2e~2a = a2e~2ni\
а при любом знаке т
1|>(т)=а2е-2п«|'т1.	A1.11)
Отметим, что функция корреляции A1.11) совпадает по форме
с A1.10), несмотря на совершенно различный вид реализации
самих случайных процессов (рис. 5 и 6). Такая же функция

72
СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ
[ГЛ. II
корреляции будет и у процесса (8.1), если он состоит из экспо-
экспоненциальных импульсов
Г 0 при ,<0,
К) \ e~at при t > 0.
Несложный расчет по формуле A1.6) показывает, что и в этом
случае
Представление о реализации такого процесса, который может
являться откликом /?С-цепочки на случайную последователь-
последовательность дельта-импульсов, дает рис. 7.
Рис. 7.
Функция корреляции вида Ле~а|т| часто употребляется
в качестве аппроксимации в тех случаях, когда фактическая ф(т)
монотонно спадает, не меняя знака. Такая аппроксимация очень
удобна (наряду с гауссовой кривой) для разного рода теорети-
теоретических оценок и приближенных выводов.
§ 12. Некоторые обобщения задачи об импульсах
В основе предыдущих выводов лежало предположение о том,
что плотность вероятности возникновения импульса в проме-
промежутке (t, t + dt) постоянна и, следовательно, не зависит ни от
момента времени t, ни от наличия и положения других импуль-
импульсов. Отказ от любого из этих допущений ведет к более общим
случаям.
Если вероятность появления импульса в (t, t + dt) зависит
от промежутков времени между t и моментами возникновения
некоторого числа предшествующих импульсов, то это будет уже
условная вероятность1). Рассмотрим первоначально именно эту
задачу, но ограничимся случаем, когда на вероятность появле-
появления v-ro импульса влияет только (v—1)-й импульс, т.е. эта
*) Постановку и решение этой задачи дал Домб [6].

§ 12]	НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ЗАДАЧИ ОБ ИМПУЛЬСАХ	73
вероятность зависит от времени д, протекшего с момента появ-
появления (v — 1)-го импульса:
p-
'v-й импульс
.в
при условии, что ")
интервал Ф пустой/
A2.1)
Естественно ожидать, что с ростом д влияние (v—1)-го им-
импульса ослабевает, т. е. ф(д)-> const.
Раньше у нас было ф (¦&) = п1 = const при всяком д [т. е. рас-
распределение A2.1) было безусловным], и это давало для числа
импульсов п в интервале @,Т) распределение Пуассона1). Те-
Теперь распределение п, конечно, не будет пуассоновским, и соот-
соответствующее изменение моментов п и п2 будет интересовать нас
в первую очередь.
Как связана с ф(О) вероятность №(§) того, что промежу-
промежуток ¦& после (v— 1)-го импульса пустой? Очевидно, вероятность
W(d + d®) пустого промежутка ¦& + d® равна произведению ве-
вероятности W (•&) пустого ¦& на условную вероятность того, что
при пустом $ интервал (¦&, d + dft) тоже пустой. «Не пустой»
интервал d$ означает, что в нем может возникнуть не только
v-й импульс, но и (v-f 1)-й, (v + 2)-fl и т. д. Мы уже видели,
однако, что вероятность появления m импульсов в бесконечно
малом интервале d-& является величиной порядка (d-Q)m. По-
Поэтому условная вероятность пустого d$ с точностью до первого
порядка малости по d® равна 1 — ф(д)ЛК Таким образом,
W {Ь + с№) = W (О) [1 -
Ограничиваясь и слева первым порядком относительно db и вы-
выполнив интегрирование, находим
= ехр| — j|
A2.2)
Введем, далее, вероятность g(O)cf# того, что между двумя
последовательными импульсами протекло время от ¦& до d + d®.
Эта вероятность равна произведению вероятности W(-Q) пу-
пустого # на условную вероятность A2.1) появления импульса
в (¦&, d -f d$) при пустом ¦&:
( Г	)
g {&) db = W (¦&) ф (О) dd = ехр < — ^ ф (9) dQ > ф (fl) d*. A-2.3)
Обратимся теперь к непосредственно интересующей нас ве-
вероятности Рп(Т) появления в интервале (О, Т) п импульсов. Со-
') Верхний индекс 0 при ti\ введен теперь специально, чтобы выделить
случай некоррелированных импульсов.

74	СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ	[ГЛ. II
бытие «п импульсов в (О, Г)» можно разбить на взаимно исклю-
исключающие частные случаи, состоящие в том, что последний (п-й)
импульс возник за время (ц, ц + dr\) до конца интервала (О, Г).
Обозначив вероятность такого частного случая через рп(Т, f])dr\,
имеем
т
Рп (Т) = ) рп (Т, ц) dr\.
о
Но рп{Т, r\)dv\ можно записать как произведение вероятности
W(v\) того, что интервал ц пустой (т. е. п-й импульс последний),
на вероятность того, что п-й импульс появился в конце интер-
интервала (О, Т — ц), равную Рп(Т — ц, 0)dr\:
Рп(Т, у\) = WD)pn(T-ц,0).
Следовательно,
т
о
Вероятности же pn(t, 0)=wn(t) удовлетворяют следующему
интегрально-разностному уравнению:
т
Щ (Т) = \wn-i(T-r\)g (ц) di\.	A2.5)
о
Действительно, под интегралом мы имеем произведение вероят-
вероятностей того, что (п— 1)-й импульс появился в конце интервала
(О, Т — г\), и того, что между (и— 1)-м и n-м импульсами про-
прошло время г), т. е. п-й импульс оказался в конце интервала
(О, Т). Разные значения ц дают взаимно исключающие частные
случаи события «п-й импульс в конце (О, Г)», полная вероят-
вероятность которого и записана в A2.5).
Решая A2.5) при заданных g(r\) и W\(t), мы получаем
wn(t)ss pn(t, 0), что позволяет при помощи A2.4) вычислить
Рп(Т). Однако прямое осуществление этой программы довольно
сложно.
В цитируемой работе [6] задача решается асимптотически
(для Достаточно больших Т) при помощи преобразования Ла-
Лапласа и введения моменто-производящей функции
При больших Т эта функция зависит только от g(t) [но не от
u>i(t)] и может быть представлена рядом по степеням Э, коэф-
коэффициенты которого выражаются через (асимптотические) зна-

8 12]	НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ЗАДАЧИ ОБ ИМПУЛЬСАХ	75
чения Я, п2, ... Таким путем получается, в частности, что
*=-?, п2~п* = ®2~/ Т, где #*={ {Tg(d)#>. A2.6)
Для некоррелированных импульсов A2.1) имеет вид (§ 8)
где п° — среднее число импульсов в единицу времени в этом
случае. Соответственно формулы A2.2) и A2.3) дают следую-
следующие выражения для вероятности пустого промежутка ¦& после
импульса:
о
и для вероятности промежутка (¦&, д + d$) между последова-
последовательными импульсами:
g(G)fiW = e~n'*n0d<>.	A2.7)
Если для больших О отождествить g($)dft с t«i(O)rfO, т. е. с ве-
вероятностью того, что первый (он же последний) импульс по-
появился в конце пустого промежутка @, ¦&), то прямой расчет
по формуле A2.5) дает
n (t) =
t>	I it, I t
(n-l)l
a no A2.4) получаем распределение Пуассона:
согласно которому	*
К тому же результату приводят, конечно, и формулы A2.6) при
Рассмотрим теперь примеры иного задания g()
1. Пусть g(O)—плотность гамма-распределения:
„ала—1
Г (а)
Если 0 < а < 1, то вероятность промежутка д между импуль-
импульсами спадает с ростом О быстрее, чем в случае а = 1, который

76	СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ	[ГЛ; II
соответствует отсутствию корреляции, т.е. формуле A2.7)
с пО = }с. Таким образом, при 0 < а < 1 мы имеем «притяга-
«притягательную» корреляцию: импульс- повышает вероятность после-
последующего импульса. Напротив, при а > 1 корреляция «отталки-
вательная». Расчет по формулам A2.6) дает
	 пГ_ —_-2	хТ _ п
П а' П П ~~ а2 а'
Из выражения для Я видно, что теперь среднее число импульсов
в единицу времени есть
Если в общие выражения A2.6) ввести густоту импульсов к
при отсутствии корреляции, то можно записать их в виде
п==укТ, п?-п2 = Г2п,	A2.8)
где	_
1	О2
В нашем примере
Выражения вида. A2.8) получаются при расчете дробового
эффекта с учетом влияния объемного заряда. Величина Г2 на-
называется коэффициентом депрессии, так как (в случае Г2 < 1)
она показывает, в какой мере дробовой шум подавлен по срав-
сравнению с его уровнем при отсутствии объемного заряда. Вычис-
Вычислению Г2 в зависимости от различных физически интересных
условий посвящено много работ. Из теории, развитой Домбом,
видно, что y и Г2 выражаются в общей форме в терминах кор-
корреляции между событиями, так что задача физической теории
депрессии дробового эффекта может быть формулирована как
задача отыскания вида распределения g(b) [или-ср(Ф), или
W(#)]')• Подавление дробового шума при наличии объемного
заряда означает, что последний создает «отталкивательную»
корреляцию между импульсами анодного тока.
') Если вероятность появления импульса зависит от моментов появления
не одного, а г предыдущих импульсов, то формулы A2.8) сохраняются, _но
для вычисления у и Г2 должны быть известны как средние значения О[ и d2f
так и смешанные моменты для интервала <h и г последующих интервалов
•did* (? = 2, 3, ._..,/"). При i > г длины интервалов уже некоррелироваиы,
так что Ф^ = Ъ\.

§ 12]	НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ЗАДАЧИ ОБ ИМПУЛЬСАХ	77
2. Счетчик частиц восстанавливается после пролета частицы
в течение постоянного промежутка времени р, т.е. вероятность
регистрации частицы в течение времени р равна нулю, после
чего имеет место равномерное распределение q>(d)rf# = X d$.
Таким образом,
r^_/ ° при 0<р>
8 W ~ \ле-М*-Р) при 0>р.
Это дает
так что по A2.9)
1	1
-. __	'	р2 __	*
' 1 +ЯР '	A + ЯрJ '
т. е. всегда Г2 < 1, чего, конечно, и следовало ожидать.
3. Пусть
Первый член означает, что имеются конечные вероятности
Р, р2, ... одновременного наступления двух, трех и т. д. собы-
событий. В этом случае
и, следовательно,
1 Г2_!±!#
Здесь всегда Г2 > 1.
Обратимся теперь к случаю независимых моментов возник-
возникновения импульсов, но с неравномерным распределением tv. Ве-
Вероятность ni(t)dt появления импульса в интервале (t, t + dt)
теперь по-прежнему не зависит от того, имелись ли и в каком
количестве импульсы до момента времени t, но зависит от этого
времени. Отсчет t производится от какого-то фиксированного
начального момента t = 0. Ясно, что этим вносится известная
упорядоченность: густота толчков будет явно зависеть от t, и
тем самым процесс уже не будет стационарным. Как изменятся
формулы для среднего значения, среднего квадрата и функции
корреляции импульсного процесса |@?
Можно показать, что и в этом случае для вероятности п им-
импульсов в интервале @, Т) остается в силе закон Пуассона
с параметром
¦ п = j nx (/) dt
о

78	СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ	[ГЛ. It
(см. задачу 10). Вероятность же wt(t)dt того, что импульс, за-
заведомо появившийся в интервале @, Т), возник в промежутке
(t, t -f dt) внутри @, Т), будет
[При n, (t) = n°l = const мы возвращаемся к распределению
С этими отличиями надо повторить те же выводы,' которые
были сделаны выше при постоянном /г, в §§10 и 11. Так,
например, теперь
-jL J F(Q)ni(t-Q)dQ
-г ос
и
В результате получаем
§"Щ=, \ ni(t-B)(F(t,&))dQ,	A2.10)
• 6 (/ + г) =
\	)F(Q + t,a))dQ, A2.11)
оо
откуда, в частности,
4-оо
?>[?(*)] = г|>(*, 0) = РЧ0-Ш2= J nl(t-Q){F2(Q,a))dQ. A2.12)
— оо
Согласно A2.10) и A2.12) среднее значение и дисперсия
l(t) теперь не постоянны, а зависят от t, в чем проявляется не-
нестационарность процесса. Функция корреляции A2.11), харак-
характеризующая статистическую связь между "g(t) и |(^ + т), зави-
зависит теперь не только от временного сдвига т, но и от исходного
момента времени t. Разумеется, если положить ti\ (t) = ti\ =
= const, то формулы перейдут в полученные ранее1).
Предположим, что tii(t) есть некоторая почти-периодическая
(в частности, периодическая) функция времени. Тогда такой же
почти-периодический (соответственно периодический) характер
') Обобщение на нестационарные импульсные процессы рассматривалось
в очень многих работах (см., например, [7]).

§ 12]	НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ЗАДАЧИ ОБ ИМПУЛЬСАХ	79
будут иметь и моменты A2.10) — A2.12) рассматриваемого не-
нестационарного процесса.
Если на протяжении одного импульса, т. е. за время ¦&, п\ (t)
успевает много раз проосциллировать, т. е. n^t) меняется бы-
быстро по сравнению с F(t), то практически в интегралы даст
вклад только среднее значение ti\{t — 0), равное п/Т = й\. Мы
получим тогда
т. е. формулы для стационарного процесса со средним по вре-
времени значением числа импульсов в единицу времени щ.
Такое положение вещей имеет место, например, в усилителе
промежуточной частоты. Гетеродин меняет параметры шумя-
шумящего смесителя с высокой частотой соо, в результате чего с этой
частотой меняется густота п\ (t) импульсов дробового шума.
Длительность же отдельного импульса •& на выходе усилителя
промежуточной частоты определяется, как известно, его полосой
Аи <С соо (О ~ 1/Аш). Таким образом, $ ^> 1/со0 и шум на вы-
выходе усилителя промежуточной частоты можно рассматривать
как стационарный.
Напротив, если изменение ti\ (t) очень медленное, т. е. на про-
протяжении длительности импульса ¦& функция n\(t) практически
не меняется, то в интегралах можно принять ri\(t— Q)=ti\(t)
и вынести этот множитель из-под интегралов. Мы* получаем
тогда квазистационарное изменение статистических характери-
характеристик процесса:
i(O = ni(O \
— оо
+ ОО
/, т) = П] @ \
В каждый момент времени t процесс ведет себя как стационар-
стационарный со значением густоты импульсов, взятым в этот момент. Так
будет обстоять дело, например, при прохождении шума через
линейную систему с медленно «ползающими» параметрами.
В дальнейшем нам еще не раз придется вернуться к случай-
случайным процессам, представляющим собой хаотическую последова-
последовательность импульсов, но уже на основе тех методов, которыми
располагает теория случайных функций. Прежде чем перейти
к этим методам, остановимся на вопросе о том, как связан асим-
асимптотический результат, полученный в § 10, с центральной пре-
предельной теоремой теории вероятностей.

80	СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ	[ГЛ. II
§ 13. Импульсный шум и центральная предельная теорема
Как известно, под названием «центральной предельной тео-
теоремы» в теории вероятностей фигурирует не одна, а целое семей-
семейство теорем различной степени общности, касающихся одного
и того же вопроса — предельного распределения суммы незави-
независимых случайных величин при неограниченном увеличении числа
слагаемых.
Мы видели (§ 9), что сумма любого числа нормально распре-
распределенных величин тоже распределена по гауссову закону. Цен-
Центральная предельная теорема сразу же выводит за пределы
«нормального семейства». Уже в частном примере пуассоноз-
ского импульсного случайного процесса (§ 10) мы убедились,
что при увеличении «густоты» шума, т. е. увеличении числа не-
независимых импульсов xv — F(t — tVl av), складывающихся в ка-
каждый данный момент времени /, распределение суммы % (t) =
= X xv стремится к нормальному. Слагаемые xv были при
V
этом распределены не по гауссову, но по некоторому специаль-
специальному закону, одинаковому для всех xv (и вытекающему из рас-
распределений случайных параметров av и /v)-
Другой пример того же рода дает теорема Муавра — Ла-
Лапласа (§ 6), которую нетрудно записать в такой форме, чтобы
она относилась к среднему арифметическому (т. е. к сумме не-
независимых случайных величин-фиксаторов е*):
Согласно теореме при неограниченном росте числа N независи-
независимых случайных слагаемых ёг распределение (нормированной)
суммы ttf стремится к нормальному. Здесь все слагаемые рас-
распределены, как и в примере импульсного процесса, одинаково,
но теперь это распределение — простая альтернатива (ei = 1
или 0 с вероятностями р и q = 1 — р).
Не будет ли нормальное распределение суммы предельным
при иных распределениях слагаемых или даже при распределе-
распределениях, различных для каждого слагаемого? Если это так, то на-
насколько жестким ограничениям должны быть подчинены рас-
распределения слагаемых? На эти вопросы и отвечает центральная
предельная теорема.
Эти вопросы важны потому, что они касаются статистики
таких физических величин, на значение которых влияет очень
много независимых случайных-факторов, причем каждый из них
вызывает лишь весьма малое случайное отклонение. С таким
„положением вещей мы сталкиваемся и при измерениях, и в

§ 13]	ИМПУЛЬСНЫЙ ШУМ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА	81
флуктуациях макроскопических величин, обусловленных хаотич-
хаотичностью положений и движений огромного количества микроча-
микрочастиц — молекул, ионов, электронов и т. д. Эта проблема в свое
время привлекла внимание уже Гаусса. Чебышев, Марков, Ля-
Ляпунов дали первое ее решение, показав, что на случайные сла-
слагаемые действительно достаточно наложить лишь очень общие
ограничения. Смысл этих ограничений именно в том и состоит,
что отдельные слагаемые должны мало влиять на сумму, и тем
меньше, чем больше N.
Строгое доказательство теоремы дал в 1898 г. Марков, а за-
затем в 1900 г. в более общей форме — Ляпунов. Теорема Ляпу-
Ляпунова (вместе с дальнейшими ее обобщениями) и получила на-
название центральной предельной теоремы теории вероятностей.
Поясним идею доказательства на очень простом случае тео-
теоремы Линдеберга — Леей. В этой теореме (доказанной позже
теоремы Ляпунова) содержится очень сильное ограничение:
предполагается, что все слагаемые xv распределены одинаково.
Содержание теоремы следующее: пусть xv — независимые слу-
случайные величины с одинаковой функцией распределения W(x),
причем *v = 0, x2v = 1; тогда, равномерно для всех ^распределе-
^распределение суммы
N
стремится при Af-*oo к
откуда
равномерно относительно х при любых фиксированных а и о.
Это, конечно, весьма частный случай центральной предельной
теоремы, но, в отличие от теоремы Ляпунова, здесь не предпо-
предполагается существования у xv абсолютных моментов порядка
k > 2 (см. ниже).
Доказательство теоремы очень простое — благодаря исполь-
использованию характеристических функций. Пусть W(x) соответствует
характеристическая функция ф(м). По условию a, =xv — 0, а2=
= х\ = 1. Следовательно,
ф (И) = 1—^ + 0 (И2),

82	СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ	[РЛ, II
откуда
Для
N
характеристическая функция есть
При N —* оо она стремится равномерно в каждом конечном ин-
интервале и к е~"!/2, т. е. к характеристической функции для
Ф(х). Это все, что нужно, так как по теореме Леви, если после-
последовательность характеристических функций сходится к ф(и), то
последовательность соответствующих функций распределения
сходится к W (х), соответствующей ф(«).
Теорема Ляпунова является более общей в том отношении,
что касается суммы неодинаково распределенных независимых
случайных величин. И здесь, если предположить, что Jtv = О
(что, конечно, нисколько не уменьшает общности, а делается
просто для удобства), а дисперсии а^ = х^ конечны, то при оп-
определенных условиях закон распределения нормированной
суммы
N
sN = -g-
/	N	N \
(где Вдг= ? ог^ — дисперсия суммы ? xl стремится при N->oo
к Ф(а;). Весь вопрос в этих условиях.
Особенно важен случай, когда при N -> оо имеем 5^ —> оо,
но av/Bjv -* 0, т. е. каждая отдельная компонента а\ составляет
исчезающе малую долю от суммарной дисперсии В%, неограни-
неограниченно растущей с увеличением N. В этом случае является до-
достаточным условие, фигурирующее в теореме Ляпунова. Обо-
Обозначим через [ChN]h сумму абсолютных моментов xv fe-ro по-
порядка:
[ад*=1й	A3.D
Условие Ляпунова можно записать тогда в виде
lim -^ = 0 при k>2,	A3.2)

§ 13]	ИМПУЛЬСНЫЙ ШУМ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА	83
т. е. требуется, чтобы у величин xv существовали абсолютные
моменты какого-либо порядка k > 2 и чтобы корень k-н степени
из суммы этих моментов возрастал при N—>¦ оо медленнее, чем
квадратный корень из суммы дисперсий. Если условие A3.2)
выполнено, то распределение FN(x) нормированной суммы Sn
стремится при N—> оо к нормальному закону Ф(д;). Пользуясь
условием A3.2), Ляпунов не только доказал свою теорему, но
и дал оценку величины \FN(x)— Ф(л:) |, т. е. нашел, как быстро
она стремится к нулю с ростом N [не медленнее, чем С In N/s/N;
Крамер усилил эту оценку: при несколько более жестких усло-
условиях модуль разности FN{x) и Ф(х) меньше С/УN\
Заметим, что в том же случае BN-*oo и av/BN—*0 при
N -> оо самое общее (необходимое и достаточное) условие спра-
справедливости центральной предельной теоремы — это условие Лин-
деберга1). Мы ограничимся, однако, формулировкой теоремы
при условии Ляпунова, поскольку им вполне можно обойтись
в подавляющем большинстве физических задач. Более того, как
правило, достаточно пользоваться условием Ляпунова при k = 3,
т. е. брать это условие в виде
-+° ПРИ N-*°o.	A3.3)
Для теории шумов условие Ляпунова означает, что нет боль-
больших редких выбросов (если только сами эти выбросы не под-
подчинены нормальному закону распределения), что в каждый мо-
момент складывается чрезвычайно много равноправных (в смысле
их относительной малости) случайных независимых величин.
При этих условиях, выполняющихся для широкого класса шу-
шумов, распределение шума будет нормальным. Но при одинако-
одинаковом распределении шумы могут существенно различаться по
другим свойствам, в частности по своим спектрам. Для шумов,
возникающих от наложения независимых импульсов, эти разли-
различия зависят от особенностей отдельных слагаемых, от формы
складывающихся импульсов.
Заметим, что проведенный выше вывод условия A0.14), при
котором распределение суперпозиции случайных импульсов при-
приближается к нормальному, по сути дела означал применение
условия Ляпунова A3.3), причем в данной задаче щ® и есть
число N случайных величин xv, определяющих мгновенное зна-
значение суммы ^ xv.
») См. [8], стр. 73.

84	СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ	[ГЛ. It
Задачи
1. Логарифмически-нормальным (коротко, логнормальным) распределе-
распределением случайной величины х >s 0 называется распределение
, < .	dx	( (In x — Я)П
*	Vl^oxeXP{~ 2ff2 У	@
где A= (lnAf) и a2 =D [In x]. Нетрудно видеть, что A)—это стандартное
нормальное распределение нормированной случайной величины у =
= (In* — Я)/а, т. е.
w (x) dx = Ф (у) dy, Ф(у) = —г=-е-у*12.	B)
У2Л
Пользуясь преобразованием от х к у
найти моменты afe = хк.
Решение. Имеем
J fea. (jc) dx = С
0	-oo
или, поскольку cii =e^+(j2/2,
Для дисперсии х получаем
D[x] = a2-a\=(e°*-l)a1.
Если ввести обозначения к = (\п х) = In х0 и е° '2 = р, то
Логнормальное распределение является предельным для произведения не-
независимых случайных величин Z/, при возрастании числа сомножителей п.
п	п
Если * = JJ 2?> то In х = 2_j In 2j> т. е. In л: есть сумма п независимых
случайных величин. По центральной предельной теореме [если, конечно, ее
условия выполнены для In x (§ 13)] распределение \пх должно стремиться
к нормальному.
В силу этой же теоремы должно, в частности, стремиться с ростом п
к нормальному и распределение суммы логнормальных величин Хь, т. е. вели-
п
чины Х= ^ xk. Однако сходимость распределения величины У =
_ k=-i
== (X — X)IYD [К] к Ф(У) оказывается в случае логнормальных слагаемых
очень медленной. Из-за этого получается, что в широкой области значений р
и (больших) п распределение У, прежде чем приблизиться с дальнейшим
ростом п к нормальному, лучше аппроксимируется не гауссовым, а логнор-
логнормальным законом. Соответствующие оценки подробно исследованы в рабо-
работе [9].
2. Как выражается характеристическая функция случайной величины
у = ах + Ъ через характеристическую функцию случайной величины х?

ЗАДАЧИ	85
Решение. Имеем
= eibu<px (аи).
В частности, для нормированной величины у = (х— х)/ах
3. Найти характеристическую функцию распределения Коши
Решение. Для этого распределения формула (9.1) дает
, , if emxdx 2 Г cos (их) . _,„¦
т	л J 1 + х2 я J 1 + х2
— оо	О
Точка заострения при и = 0 делает невозможным дифференцирование <рх(и)
в нуле, т. е. вычисление моментов по формуле (9.4).
4. Найти характеристическую функцию случайной величины ?„ = я — pN
при биномиальном распределении для п и выполнить предельные переходы
к характеристическим функциям распределений Пуассона и Лапласа.
Решение. Имеем
q)N = Wqu + qe~ipu)N..
П	п=0
При p = й/Л/ и, соответственно, q=\	jr отсюда следует, что
lira Фе («)= lira
A?
т. е. получается характеристическая функция величины п — п при распреде-
распределении Пуассона для п.
Для нормированной величины хп = (п — pN)/yrNpq = ?,nlV Npq характе-
характеристическая функция есть
Разлагая экспоненты в ряды по степеням и, нетрудно убедиться, что при
Л/->-оо получается q>X/i (и) =е~/2, т. е. характеристическая функция нор-
нормального закона распределения для нормированной случайной величины хп.
5. Найти характеристическую функцию re-мерного нормального закона
распределения.
Решение. Согласно G.11) и (9.5)
/, к

86	СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ	[ГЛ. II
п
где иг = 2] ukxk' Последовательное интегрирование по х^, по х„ и т. д. при-
приводит к результату
фг (и) = ехр Г — — У1 Ь1кимк X .
X	Lk	)
Это можно записать и иначе, поскольку
п	п	*
/, fc-i	/, ft-i
Следовательно, для нормального распределения
/ п	\ 2
\ft-i /
6. Случайные величины х* (i=l, 2, ..,) с д = 0 распределены нор-
нормально. Пользуясь характеристической функцией многомерного нормального
распределения
показать, что моменты нечетного порядка равны нулю:
/х, х, ... х, \ = 0,	A)
а для моментов четного порядка справедливо выражение
где ik — положительные целые числа, а сумма берется по всем перестановкам
индексов н, ..., (г™.
Решение. Формулы A) и B) выводятся по общему правилу:
'« l2	lm u=0
Число перестановок индексов в B) равно Bп)!, но получающиеся при этих
перестановках члены частично совпадают. А именно, значение каждого сла-
слагаемого не меняется при перестановках сомножителей (таких перестано-
перестановок га!), а кроме того, каждый сомножитель не меняется при перестановке его
индексов в силу симметрии 6,д (таких перестановок 2"). Таким образом, сла-
слагаемые в B) распадаются на группы по 2"ге! одинаковых слагаемых в каж-
каждой. Число различных групп равно, следовательно,
Можно поэтому записать B) и в виде суммы Bга—1)!! различных слагае-
слагаемых:
/х, х, ... ж, \ = У Ь, , Ъ, , ... Ъ, , ,

ЗАДАЧИ	87
понимая под ' ^ сумму по перестановкам, дающим разные слагаемые (с
р. п.
учетом симметрии &jk). Например,
&12&з4 + 613624 + 6U623.
= 612 F.34&56 + 635&46 + 635645) +
+ 613 F24656 + 625646 + 626&45) + 6М F23655 + 625636 + 626635) +
+ 61s F2364S + 624636 + 625634) + 616 F23645 + 624635 + 625634)*
В частности, если i\ = h— ¦•• = im> получаем
Если х^ Ф 0, то полученные выше выражения представляют собой цент-
центральные моменты ((xi1-\)(xi2-xi2) ••• (J%n-%j>-
7. Показать, что для детерминированной функции f (x) от гауссовой
случайной величины х справедлива формула
где o2 = D[x] = x1— х2.
Решение. Формула A) получается в результате усреднения разложе-
разложения f(x) в ряд Тэйлора по степеням х — х, если воспользоваться значениями
центральных моментов ((х — х)к) гауссовой величины х (см. предыдущую
задачу).
8. Пусть случайная величина х распределена по закону
w(x)dx = A(a)F(x)eafwdx,	A)
где Л (а)—нормировочная постоянная. Показать, что для кумулянтов случай-
случайной величины f(x) справедливо выражение
i"-%(a)
B)
da11
Решение. Характеристическая функция для f(x) есть
<pf (iu) = (e!uf w) = A(a)^F (x) e<a+('u) f <*> dx,
где интегрирование распространено на всю область возможных значений х.
Следовательно,
In (ff (ш) = In A (a) + In [ F (x) e(-a+iu) Hx) dx = In А (а) + 3~ (а + Ш).
Для первого кумулянта f(x) имеем
diu
«=o
3^(а +
diu
iu)
d&
'(« +
ш)
da

88	СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ	[ГЛ. II
Таким образом, га-й кумулянт равен
дп In <pf {iu)
К (а) = •
d(iu)n
L да"'1
diu
Заметим, что A) —это, в частности, распределение* Гиббса для системы
с гамильтоновой функцией вида Н (х) = Но (х) — bf (x):
w (x) dx = Ае~$ [Н° w~bf M] dx ф = 1/kT),
т. е. в этом случае F (х) — е~^"'^х> и а = рб.
9. Найти характеристическую функцию и плотность вероятности случай-
случайной величины г — f (х), где х — га-мерная случайная величина с законом рас-
распределения wn (x) dx= wn (x\, ..., хп) dxi ... dxn, а / — детерминированная
функция.
Решение. Характеристическая функция г есть
J	„ (х)
Следовательно,
+оо
= ^Г J ^'"V(«)rf« = (^r J
Смысл последнего выражения становится вполне ясным, если записать его
в развернутом виде:
w (г) = ^ б [г — / (х)] wn (x) dx.
Из всей области возможных значений х дельта-функция выделяет как раз
ту подобласть, в которой f(x) имеет значение г. Тем самым w(z)dz дает ве-
вероятностную меру интервала (г, г + dz) для г.
10. Показать, что для усредненного дробового тока A0.10) дисперсия
выражается формулой E.2), если время усреднения Т заметно превышает
длительность импульса <К
Решение. В соответствии с A0.10)
D[/r] = (/r-7rJ = Ti"jS ll(t)l{t')-nt).TW)]dtdt'
о
— 77
о
где х == t — ?. Так как корреляционная функция tJji (т)—четная функция т,
можно написать
т т	т T-t

ЗАДАЧИ	gg
Функция корреляции мгновенного тока I(t) выражается формулой A1.6),
если в ней положить а = е и считать площадь импульса единичной:
F (в) F F + т) dO,
Достаточно вычислить D [1Т] для какой-либо простейшей формы импульса,
например для прямоугольного импульса (рис. 3). В этом случае получается
«треугольная» функция корреляции:
/ (
I	0	при | т | <
Подставив ее в двукратный интеграл для D [1т], находим
Таким образом, с увеличением времени усреднения Т устанавливается зна-
значение дисперсии E.2). Практически достаточно уже небольшого превышения
Т над длительностью импульса ¦&.
11. При помощи вероятностей />чет и РИеч, вычисленных в § 11, рассчи-
рассчитать двумерные характеристическую функцию и плотность вероятности для
случайного телеграфного сигнала.
Решение. Если в момент времени / значения ±а имеют вероятно-
вероятности 1/2, то характеристическая функция двумерного распределения будет (по-
(полагаем а = 1)
Л («i+u2) ^чег | -Г(И1+ы2)_^чет_ , Л («,-и2) Рнеч , .-I (щ-щ)
2 Т»	2 те	2 -1-е
= е~л [ch «• cos (ui + и2) + sh« • cos (^i — «2)J-
Отсюда, обращением по Фурье, находим
+ ОО
— ОО
= i-4	I* (I ~ О б (|т - 1) + б (| + 1) б (|т + 1)] +
+ -i—j— [в (Б - 1) в (Et + 1) + «F + 1) в Ft - 01.
причем n = «it.
12. В литературе был описан класс двумерных эллиптически-симметрич-
эллиптически-симметричных распределений [10], обобщающих двумерный гауссов закон для величин
Xi и лг2, обладающих одинаковыми дисперсиями. При о\ = а\ = а1 гауссова

90	СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ	[ГЛ. И
плотность вероятности G.13) имеет вид
1	(	г2	)
W(X)¦ ехр }	I,	A)
- К2 \ 2а2 (I-К2) У
2яа2 У1
т. е. зависит от Х\ и *2 только через
г =д/*[ + х\ — 2Кххх2.
У эллиптически-симметричных распределений Wi тоже зависит только от п
но F — любая неотрицательная и нормированная к единице функция. Такие
распределения, как и их частный случай A), удобны для исследования ряда
вопросов, касающихся прохождения сигналов и шумов через безынерционные
нелинейные устройства.
Показать, что двумерная характеристическая функция для эллиптически-
симметричных распределений может быть записана в виде модифицирован-
модифицированного преобразования Бесселя от F(r):
о
где /о — нулевая бесселева функция и
s = Y«? + «| + 2Kulu2.
Найти одномерную характеристическую функцию.
Решение. По определению
Фг («I, «г) = JJ ^ (г) ехр {« (h^i +
— оо
Перейдя на плоскости (хи хг) к координатам г и а:
— 7(^2 = г cos а, лг2 У — К.2 = г sin а,
. ,	г dr da
dX dx
У1 - К2
получаем
оо	2л
Фг («1. «г) = ' у ¦ ¦¦= \ F {r)r dr\ da ехр \ ir «i cos a + "' ¦ - sina 1 1.
V\-K2 i	i	IL	У1-/С2 JJ
Как известно,
2я
\ da. ехр {/ fa cos a + b sin a]} = 2nJ0 {Va2 + 62).
0
Пользуясь этой формулой, получаем результат B).
Из определения характеристической функции следует, что одномерная
функция (f>i(«i) получается из двумерной фг(«ь «г), если положить в послед-
последней »г = 0:
ф1 («l) = фа (и», 0).

ЗАДАЧИ	9t
Поэтому из формулы B) следует, что для эллиптически-симметричных рас-
распределений
F(r)J0( Г
уг=к2 J V"UKVT=T*J
т. е. одномерная характеристическая функция зависит от своего аргумента
так же, как двумерная от s:
Ф2 («1, «г) = ф («) = Ф1 («)¦
Таким образом, задавая четную одномерную плотность вероятности Wi(x) и
находя соответствующую четную по s^характеристическую функцию
Ф1
+ ОО	ОО
(«) = \ etsxwi(x)dx = 2\ W\ (х) cos sx-dx,
можно посредством преобразования, обратного B), получить затем двумер-
двумерную плотность вероятности tt>2(*i,*2) = F(r):
ОО
F (г) =	.1	^ \ ф, (s) Jo ( Sr , Л s ds.
2я/1 -К2 J	Л/1 -К2)
Следует, однако, иметь в виду, что пригодны не любые четные Wi{x), так
как не все они приводят к неотрицательной и интегрируемой W2(xi,x2).
13. Показать, что из экспоненциального распределения E:4) для времени
ожидания события в хаотическом потоке событий вытекает распределение
Пуассона E.3) для вероятности наступления п событий в фиксированном ин-
интервале времени (О, Г).
Решение. Пусть tit h, ... — моменты наступления событий 1, 2, ...,
отсчитываемые от t = 0. Согласно E.4) вероятность того, что событие 1
произойдет в (^i, t\ + dti), есть
u(ti)dti=e~nitlmdth где 0<^<со.
Вероятность наступления события 2 в (t2, '2 + ^2), т. е. спустя время т2=/2—^i
после события 1, есть
- и (т2) dt2 = e~ni%-ni dt2, где t\^t2< 00,
и т. д., вплоть до вероятности наступления (п + 1)-го события в интервале
(tn+ь tn+i + dtn+i), равной
u(xn+i) dtn+l = e~ni%n+1n1dtn+i, где rn+l = tn+l — tn и
Так как промежутки времени %k между событиями независимы, совместная
вероятность наступления п + 1 событий в моменты t\ ^^2^ ••• ^^j+i равна
п+\
wn+l (Tl	xn+l)dtl '•• *«+1-П И(Т*)Л*-
fc-1
— e	n{ ar, ... atn+l — e	я, at{ ... atn+l.
Нас интересует вероятность Р(п) наступления п событий в интервале
@, Г), т. е. га-е событие происходит еще внутри @,7"), но (га+1)-е — уже

92	СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ	[ГЛ. II
вне (О, Г). Поэтому Р(п) равно интегралу от ainfi по {п + 1)-мерной обла-
области, выделенной условиями O^^i^^^ ••• ^tn^T ^^rc+i < °°:
J dtn-l... J
о	о
Первый интеграл (по tn+i) равен е п'т и представляет собой вероятность
того, что (ге+1)-е событие произошло после момента Т. Остальные инте-
интегралы (после знака умножения) дают ' ,. и это есть вероятность того,
что п предыдущих событий наступили в (О, Г). В результате получаем
7ГГ где й = "'7''
т. е. закон Пуассона E.3).
14. Показать, что для потока независимых событий с неравномерным рас-
распределением П\ (t) dt вероятности наступления события в интервале (t, t + dt)
т
остается в силе закон Пуассона с параметром я = \ п.\ (t) dt.
о
Решение. Вероятность пустого интервала @, t) равна теперь
\ Г	1
exp s — \ni(t)dtt, так что вероятность ожидания «-го события в интервале
^ о	'
(^n. in + dtn) после наступления (« —1)-го события в момент tn-i будет
I г"	I
и (in, tn-i) dtn = exp 1 — \ n, (/„) dtn >, где tn-i < tn < со.
Совместная вероятность наступления п -f 1 событий в моменты времени tit
U, •••• tn+i, в силу их независимости, равна (^0 = 0)
... dtn+i= II u(tkJk-i)dtk =

ЗАДАЧИ
93
Те же рассуждения, что и в предыдущей задаче, приводят к следующему
выражению для вероятности п событий в интервале (О, Г):
=^ ехр
Т
*п
'я+i
- [ я, (О
-^-
где
15. Предполагая, что логарифм характеристической функции одномерной
случайной величины х, определенной на интервале возможных значений (—оо,
оо), разлагается в бесконечный ряд:
показать, что для плотности вероятности w(x) справедливо соотношение
dw (х) _ (—\)k дкт (х)
d%k ~ k\ dxk
Решение. Запишем характеристическую функцию в виде
A)
Ф (и) = ехр {In ф (и)} = ехр ^ У —~ (in
¦ т**1
Отсюда, если кумулянт Xk отличен от нуля, находим
дф (и) (iu)k
k\
Ф («).
и поэтому дифференцирование (9.8) по Яь дает
+ ОО
dw (x)
1
2Я
dlk
2Я
С другой стороны, согласно (9.8)
dkw (x) = 1
дхк	2я
k\
x(f(u)du.
¦r'Bip(«L
Сопоставляя две последние формулы, получаем A).
16. Показать при помощи соотношения A) предыдущей задачи:
dw(x)
(-\)k dkw(x)
k\
dxk
A)

94	случайные импульсы	[гл. п
что для любой функции f(x) справедливо уравнение [11]
дп {f (х))	1 / dnkf (x) >
/
)п \
(k\)n \ dxnk
Решение. Дифференцируя равенство
+ OO
</(*)> = \ f(x)w(x)dx
— oo
no A/t и пользуясь A), получаем
d{f(x))
B)
^-кратное интегрирование по частям, если учесть, что w(x) вместе со своими
производными обращается в нуль при |лг|—»- оо, приводит к соотношению
d{f(x)) _ 1 /dkf(x)\
dXk	k\\ dxk /'
Применение этой формулы последовательно п раз приводит к B). Если про-
продифференцировать B) еще т раз по другому кумулянту h, то, пользуясь
повторно формулой B), получим
дп+т (f (х)) _	1	Idnk+mlf{x)\
r)ln дХт ~ (kl)n(/l)m\ Hxnk+ml / '
Одно из применений «кумулянтных уравнений» A) — D)—быстрое вы-
вычисление коэффициентов в разложениях моментов ак = (хк) случайной ве-
величины х по кумулянтам Хт этой величины [11]. Например, в таком разло-
разложении <%4 коэффициент при ХДз равен, согласно D),
д2 (*4)	1 / rf^4 \ 41 _
dXidXa ~ ИЗ! \ dx* I 3! '
а при %^К2 —
4!
2 дк\д%2 2A!J2! \ dxi / 2-21
Вывод кумулянтных уравнений, проведенный в двух предыдущих задачах
для одномерной случайной величины, легко обобщается на многомерные ве-
величины. Пользуясь характеристической функцией двумерной величины 1 =
= {*, у) [см. (9.5)]
Ф (и, v) = [ el <ax+uu'>w (x, у) dx dy
— оо
и разложением в ряд ее логарифма
, / \ V1 (tu)m(iv)"

ЗАДАЧИ	95
где т относится к х, а п — к у (т + п — порядок кумулянта), нетрудно по-
показать, что для совместной плотности вероятности w(x,y) справедливо соот-
соотношение
dw(x,y) _ (-QP+g / дР+Чщ (х, у)\
\	Ч Г
дХр+1/	p\q\ \
Можно показать, далее, что для произвольной функции f(x,y)
d<f(x,y))	1 /d"+"f(x,y)\
dlp+q ~ p\q\\ дхРду" /•
Повторное применение этрй формулы т раз дает, очевидно,
dm(f{x,y)) __ 1 /дт1'+'»Пх,у)
d%™+q	(p!?I)m\ дхт"дут"
/'
а дифференцирование G) n раз по другому кумулянту X +„^ приводит
к уравнению
dm+n(f(x,y))	1
\
Кумулянтные уравнения, в частности уравнения G), (8), очень полезны
при рассмотрении нелинейных преобразований случайных величин [11]. В даль-
дальнейшем (задача 3 гл. VII) будет приведен пример их использования.

Глава III
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 14. Общие определения
Наглядное представление о случайном процессе можно по-
почерпнуть из самых различных областей физики и техники. Ос-
Осциллограмма дробового тока электронной лампы или тепловых
флуктуации напряжения на каком-либо сопротивлении, переме-
перемещение брауновской частицы, записанные сейсмографом колеба-
колебания почвы, пульсации давления или температуры в атмосфере —
все это примеры случайных процессов. Осуществленная запись
наблюдаемой величины, т. е. временная развертка значений,
фактически принятых ею в данном эксперименте, изображает
одну из возможных реализаций рассматриваемого процесса.
Если представить" себе множество идентичных экземпляров
рассматриваемой системы, поставленных в одни и те же усло-
условия (ансамбль систем), то при одинаковом способе регистрации
процесса полученные реализации будут, вообще говоря, раз-
различны, в чем и проявляется случайный характер процесса1).
Элемент случайности в совокупности реализаций может быть
различным. Когда он полностью отсутствует, мы приходим
к частному случаю вполне детерминированного течения про-
процесса.
В широком, хотя и не особенно точном понимании случайным
процессом \(t) является любой протекающий во времени про-
процесс, управляемый вероятностными законами. Более опреде-
определенно: случайная функция l(t) — это такая функция, значение
которой при любом возможном t есть случайная величина.
В математической теории нет никаких оснований к тому,
чтобы придавать аргументу t какую-либо определенную интер-
*) Естественно, сразу же возникает вопрос о том, что физически означает
идентичность систем, образующих ансамбль, но мы обратимся к нему позднее
(§ 20),

§ 14]	ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ	97
претацию. Параметр t, вещественный или комплексный, может
быть как непрерывным, так и дискретным. Но в приложениях
речь идет большей частью о случайных функциях времени и
(или) пространственных координат. Нас будет интересовать по-
поэтому только тот случай, когда возможные значения t веще-
вещественны. Что касается дискретности или непрерывности значе-
значений t, то могут встретиться обе эти возможности. Например,
можно фиксировать координату брауновской частицы % только
в отдельные моменты времени U, t2	получая тем самым по-
последовательность случайных величин %{t\), ?(^)> ... В дальней-
дальнейшем мы в большинстве случаев будем понимать под t время.
Возможные значения функции %(t) при каком-либо фиксирован-
фиксированном t = tu будут обозначаться через хи-
Принято называть ?(/) случайным (или стохастическим, или
вероятностным) процессом, если / меняется непрерывно, и слу-
случайной последовательностью (процессом с дискретным пара-
параметром, с дискретным временем), если t принимает счетное
множество значений. Термин «случайная функция» охватывает
оба эти случая, т. е. применяется тогда, когда характер измене-
изменения / произволен.
В свою очередь множество возможных значений х самой слу-
случайной функции l(t) тоже может быть как непрерывным, так
и дискретным. Таким образом, имеются четыре разновидности
случайной функции в соответствии с четырьмя комбинациями
дискретности и непрерывности х и t. Иногда все эти разновид-
разновидности называют случайными процессами, говоря о дискретном
или непрерывном процессе (в зависимости от характера х)
с дискретным или непрерывным временем t. Разумеется, воз-
возможны и смешанные — дискретно-непрерывные — процессы, но
изучать удобней каждый из этих видов в отдельности.
Если аргумент t принимает конечное множество значений
t\, t2, ..., tn, то случайная последовательность сводится, оче-
очевидно, к совокупности п случайных величин §(?i), l(h), •••
..., %{tn), т. е. может быть интерпретирована как n-мерная слу-
случайная величина, задаваемая, как обычно, своим и-мерным рас-
распределением вероятности wn(xu х2, ..., Хп). Если же множество
значений t бесконечно (счетно или непрерывно), то мы выходим
за рамки классической теории вероятностей и необходимо спе-
специально определить, как в этом случае надо понимать задание
случайной функции l(t).
Беря за исходный пункт множество всех возможных реали-
реализаций случайной функции, можно получить исчерпывающую ее
характеристику заданием распределения вероятностей этих реа-
реализаций. Равносильный, но по форме отличный подход, принад-
принадлежащий Е. Е. Слуцкому, опирается на то, что l(t) при ка-
каждом фиксированном значении t есть случайная величина. Эта

98	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. Ш
величина полностью задана, если известно ее распределение
о»! (/, x)dx — P{x<l(()^x + dx},
т.е. известна мгновенная плотность вероятности W\(t, x),
вообще говоря, зависящая от t. Разумеется, вместо w\ (t, x)
можно задать соответствующую характеристическую функцию
+ CXJ
Ф, (t, ") = } etuxwl (t, x) dx.
— оо
Легко видеть, однако, что, зная распределение g(f) для
любого t, мы располагаем еще в высшей степени неполной ха-
характеристикой случайной функции. Возможны функции %(t), об-
Ладающие одинаковыми распределениями W\(t, x), но разли-
различающиеся статистическим соотношением между значениями g(/i)
и |(^), принимаемыми в два разных момента времени t\ и h.
Другими словами, при одинаковых распределениях w\ (t, - х)
у этих функций могут быть различны двумерные распределения
Щ {t\, X\\ h, X2) dXi dx2 =
= Р {xi < I (/])< х\ + dxx; x2 < I (tz) < x2 + dx2}
и, в частности, могут быть различны функции корреляции
4(i 2)	)
Разумеется,
ш, (t, x)*= J ш2 (/, х; f, x') dx'= J w2 (f, x'\ t, x) dxr,
— оо
т. е., зная двумерное распределение, мы знаем и одномерное, но
не обратно, так что совпадение одномерных распределений для
каких-либо случайных функций еще ничего не говорит об их
двумерных распределениях.
В свою очередь задание двумерного распределения, т. е. плот-
плотности вероятности Дог^ь *i» t2, x2) или характеристической функ-
функции
Ф2 (/,, ui\ t2, u2) = 5 е1 («^.+«л)Ш2 ци Х{; t2, x2) dxx dx2,
-оо	^
которые в общем случае зависят от двух параметров tx и t2, да-
давая более полную характеристику l(t), тоже не является исчер-
исчерпывающим. Двумерное распределение не позволяет судить о ста-
статистических соотношениях между значениями l(t), принимае-
принимаемыми в какие-либо три момента времени t\, t2 и ^з- Эти соотно-
соотношения могут быть различны при одинаковом двумерном (а зна-

§ 14}	ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ	99
чит, и одномерном) распределении. Ясно, что это рассуждение
можно продолжить, и оно приведет тогда к тому, что для лю-
любого фиксированного числа моментов времени U (i =1,2,...
..., п) n-мерное распределение
я>„ (tu *,; ...; ta, xn) dxx ... dxn =
= P{x,<t(t,)^xt + dxt; /=1, 2	n}
дает полные сведения о %(t) «вниз» от п, но оставляет столь же
полную неопределенность «вверх». В этом и состоит принци-
принципиальное отличие случайной функции, у которой аргумент / мо-
может принимать бесконечное множество значений, от частного
случая, когда это множество конечно (п значений) и дело сво-
сводится к и-мерной случайной величине.
Для практических целей можно было бы ограничиться зада-
заданием и-мерного распределения с весьма большим и, но подоб-
подобный выход из положения был бы столь же мало удовлетвори-
удовлетворительным, как если бы, например, мы согласились рассматривать
в анализе вместо непрерывно меняющихся величин только дис-
дискретные изменения, хотя бы и с достаточно малым шагом.
Можно, однако, считать, что дам известны конечномерные
(и-мерные) распределения, но для всякого сколь угодно боль-
большого значения п. Мы приходим, таким образом, к следующему
исчерпывающему способу задания случайной функции: случай-
случайная функция задана, если ее конечномерное распределение
wn{h, jci; ...; tn, xn) известно для любого числа п произвольно
выбранных значений t\,t2,..., tn-
Очевидно, wn(tu Xi\ ...; tn, xn) должны быть симметричны
относительно любых перестановок всех пар аргументов (tu xt),
так как содержание рассматриваемого события — совместное,
осуществление п неравенств х{ < g(^) ^ xt -\-йхг — не зависит
от того, в каком порядке эти неравенства перечислять. Например,
= w2 {t\, Xi', t2, x2) dxx dx2 = w.2 (t2, x2; tu xx) dxx dx2.
Считая это условие симметрии выполненным, мы часто не бу-
будем писать всех аргументов функций wn.
Кроме условия симметрии, все конечномерные плотности ве-
вероятности должны быть еще согласованы между собой в смысле
их соподчинения, т. е. любое А-мерное распределение должно оп-
определяться из всякого л-мернбго с п > k:
wk(tu xt) ...; tk, xk) =
wn (/,, Xu ...; tk, xk\ ...; /„, xn) dxk+1 ... dxn.

100	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. III
В рассматриваемой теории случайных функций, когда до„ зави-
зависят от параметров t{ (i = 1, ..., п), это условие, ограничиваю-
ограничивающее класс допустимых wn, далеко не тривиально. В самом деле,
интегрирование wn по «лишним» переменным xk+\, ..., хп дол-
должно автоматически приводить к результату, не зависящему от
параметров tk+u ..., tn, содержащихся в подынтегральной
функции.
Условия симметрии и согласованности должны выполняться
для всякой случайной функции. Дальнейшая детализация
свойств конечномерных распределений ведет уже к установле-
установлению специальных классов или типов этих функций. Имеется
сравнительно немного таких классов, практическое значение ко-
которых особенно велико и для которых теория продвинута в наи-
наибольшей степени. Среди них должны быть в первую очередь
названы случайные процессы марковского типа (иначе — про-
процессы без вероятностного последействия) и стационарные про-
процессы1). Мы приведем сначала определения обоих этих классов
случайных процессов, после чего остановимся на каждом из них
более подробно. Подчеркнем сразу же, что эти классы выде-
выделены по разным признакам, т. е. их границы не совпадают. Бу-
Будучи марковским, случайный процесс может являться как ста-
стационарным, так и нестационарным; будучи стационарным, он
может быть или не быть марковским.
§ 15. Марковские процессы
Выберем п последовательных моментов времени /]<...<
¦< tn. По определению условной вероятности мы всегда можем
написать
wn {tu хх\ ...', tn, xn) dxx ... dxn =
= wn-x (/,, xx, ...; /„_,, *„_,) dxx ... dxn-x X
X vn (tn, xn I tu xx; ...; г„_ь *„_,) dxn. A5.1)
Множитель vndxn в правой части есть условная вероятность
того, что в момент tn значение случайной функции %(t) ока-
окажется в интервале (хп, хп + dxn) при условии, что в предше-
предшествующие моменты t{ она принимала значения, равные хг
(i—l, ..., п—1). Таким образом, условная вероятность vn
состояния хп в момент г1,, зависит от предшествующего пути,
пройденного случайной функцией, от множества предшествую-
') В дальнейшем мы будем иметь дело главным образом с процессами —
случайными функциями непрерывного аргумента. Общая теория случайных
процессов марковского типа была развита в начале 30-х годов А. Н. Колмо-
Колмогоровым.

§15]
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
101
Рис 8
щих состояний, из которых, в зависимости от числа измере-
измерений п, выбраны п — 1 состояний Х\	хп-\.
Если обозначить через ?Р@) значение g(f), фактически при-
принятое в момент 0 ^ t0, то для всякого / > t0 распределение,
вообще говоря, будет за-
зависеть от всего предше-
предшествующего течения про-
процесса ?р(Э). Эту ситуа-
ситуацию иллюстрирует рис. 8,
на котором v построена
в функции от х и t. Над
кривой |р(9), лежащей
на плоскости (x,t),—кри-
(x,t),—кривой фактически принятых
до момента ^о значе-
значений — возвышается бес-
бесконечно высокий «забор»
дельта-функций. Ход v\\ x
для любого t > ^о зави-
зависит от всей формы этого «забора», т. е. будучи функцией от
х и t, является функционалом от |р@). Если при том же зна-
значении jco в момент t0 взять иной вид ?р@), т. е. иначе изогнуть
«забор», то форма поверхности v(x, t) над участком t > t0
плоскости (x,t) изменится. Говорят, что l,(t) испытывает
вероятностное последействие со стороны ранее принятых зна-
значений.
Разные участки кривой ?Р@) могут влиять на последующее
распределение вероятности в различной степени. В частности,
процесс может обладать затухающим последействием: значения
?р@) оказывают тем меньшее влияние, чем более давними они
являются. Это «забывание» может быть не только постепенным,
но и резко наступающим. Например, может отсутствовать влия-
влияние всех |р@) при 0 < t0 — т, т.е. последействие оказывают
только значения, принятые на отрезке времени т до момента t0.
Еще бол.ее частный, но физически важный случай — тот, когда
для всех t > tQ условная вероятность однозначно определяется
значением х0, принятым в момент t0, и совсем не зависит от
предшествующей истории, т.е. имеет вид v2(t, x\t0, xo)dx. Это и
есть процесс марковского типа, или процесс без последействия.
Заметим, что такой процесс можно рассматривать как непо-
непосредственное обобщение динамической закономерности, описы-
описываемой дифференциальным уравнением движения первого по-
порядка. Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию
х = х0 при / = /0. есть
x = f(t,x0,t0), причем xo'=af(to, х0, t0).

Ю2	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. III
Детерминированная функция / однозначно определяет значе-
значение х в момент t при заданном значении Хо в момент t0. Можно
сказать поэтому, что плотность условной вероятности значения х
в момент / выражается в этом частном случае дельта-функцией:
v2 (t, х | tQ, xo) = 6[x — f (t, x0, t0)].
Примером такого динамического процесса может служить
движение частицы в вязкой жидкости, реакция которой учиты-
учитывается в виде стоксова трения, т. е. силой F = —hu, где и —
скорость частицы. Мы имеем тогда для и (это и есть величина х
в данном примере) уравнение движения тй -f- hu = 0, из кото-
которого следует
ы = ыое гп ' =af(t, и0, t0).
Известно, однако, что выражение F = — hu для силы трения
представляет собой лишь первое приближение, пригодное только
для малых ускорений. В общем случае те возмущения (вязкие
волны), которые создаются в жидкости движением частицы,
влияют на испытываемую ею реакцию в течение длительного
времени. В результате реакция в какой-либо момент t зависит
не просто от скорости и частицы в этот же момент, а от всего
ее предшествующего движения (вязкое последействие). Следо-
Следовательно, при более точной постановке задачи уравнение дви-
движения частицы в вязкой жидкости будет уже интегро-дифферен-
циальным и состояние и в момент t не будет определяться одно-
однозначно состоянием «0 в момент t0 (§ 35).
Нетрудно представить себе соответствующий переход к ста-
статистическому явлению, например брауновскому блужданию ча-
частицы в жидкости. При реакции стоксова типа это марковский
процесс, а с учетом вязкого последействия появится вероятност-
вероятностное последействие: распределение вероятности и в момент t бу-
будет зависеть от всего предшествующего движения частицы.
Вернемся к общей формуле A5.1). Для процесса'марков-
процесса'марковского типа плотность условной вероятности состояния (хп, tn)
относительно цепочки предыдущих состояний (xn-i, tn-i), ...
..., (xi, ti) совпадает, согласно сказанному, с плотностью услов-
условной вероятности относительно последнего из предыдущих состоя-
состояний (Хп-и tn-i) и не зависит от более ранней истории. Другими
словами, статистические свойства процесса в момент tn опре-
определены состоянием в момент tn-\ и никак не зависят от любой
информации о течении процесса до момента tn-\'.
vn(tn, xn\tn-u хп-х\ ...; tu xl) = v2(tn, xn\tn~u xn-i)

§ 15)	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	ЮЗ
для любых t1<t2< ... <tnl). Связь между ш„ и wn~i имеет,
следовательно, вид
wn(tu Xi\ ...\ tn, *„)*-
= wn-1(t1, x{) ...; *„_,, xa-i)v2{tn, xn\tn-u xn-i).
Применяя эту формулу последовательно к до„_1, wn-i вплоть
до хюг:
о>2(h, *и к, х2) = ш»1 {tu х{) v2 (t2, x2\tu *i),	A6,2)
получаем
= Wl (tit XX) V2 (t2, X2\tu Xi) V2 (t3, X3 112, X2) ...
• ¦• v2(tn, xn\tn-u xn-x). A5.3)
Таким образом, для того чтобы написать /г-мерную плотность
вероятности марковского процесса, надо знать только две функ-
функции — одномерную плотность вероятности W\ и плотность ус-
условной вероятности v (индекс 2 при v мы далее опустим).
Соотношение A5.3), конечно, тоже может быть положено
в основу определения марковского процесса. Если оно имеет
место, то принято называть v вероятностью перехода (из пре-
предыдущего состояния в последующее), что оправдано именно от-
отсутствием последействия.
Выражение A5.2) для двумерного распределения может быть
написано для любого процесса — просто по определению ус-
условной вероятности. Но уже для п =» 3 существование вероят-
вероятностей перехода означает сильное ограничение вида возможных
функций распределения2).
Итак, случайная функция марковского типа полностью оп-
определяется заданием одномерной функции распределения и ве-
вероятности перехода между любыми двумя t\ и t2, тогда как
4) Иногда этот случай называют марковским процессом первого порядка,
понимая под марковским процессом k-то порядка процесс, у которого услов-
условная вероятность состояния зависит от фиксированного числа k предшествую-
предшествующих состояний. Например, для процесса второго порядка она имеет вид
"з('з, x%\h, *2; fi,*i). Эти более общие случаи мы ^рассматривать не будем.
2) Это ограничение можно привести к некоторому интегральному соот-
соотношению для wn. Возьмем случай п = 3. Учитывая, что
"^i~" Wi(Xi) ' " ^» " ~" a>i(*2) '
и выражая w2 и Ю] через интегралы по «лишним» переменным от ю3 (^ь •
получаем из равенства ю3 = a>i (x{) v (х21 хг) v (x31 л2) условие
\ а>9 dx3 \

104	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. III
р общем случае необходимо задание всех конечномерных рас-
распределений.
Случайная функция марковского типа называется однород-
однородной по t, если вероятность перехода v(t2, x2\t\, Х\) зависит
только от t2-— i\. Тогда
w2{tu Xu t2,x2) = w{ (tu Xi)v(x2\t2 — tl, *,).	A6.4)
Одномерное распределение, вообще говоря, зависит от t\, так
что двумерное зависит от t\ и t2 в отдельности. Возможны, од-
однако, случаи, когда существует стационарное одномерное рас-
распределение w(x), одинаковое для всех t. Тогда
w2(tu Xu t2,x2) = w(x1)v(x2\t2 — tl, xi) = w2(xh t2 — tu х2), A6.6)
т. е. двумерное распределение зависит теперь только от t2 — t\.
При этом, поскольку распределение w должно иметь место при
любом t, необходимо
\ w2 (хь t2 — tu x2) dxx = w\ (t2 — tu x2) = w {x2),
т.е. распределение w(x) должно удовлетворять условию
\jw(x1)v(x2\t2 — tu xl)dxl =
В этом случае однородная случайная функция марковского типа
является стационарной, в соответствии с определением стацио-
стационарности, которое мы приведем далее.
§ 16. Стационарные процессы
Представление о стационарном процессе может дать, напри-
например, наблюдение каких-либо флуктуации при неизменных мак-
макроскопических условиях. Электрический шум в сопротивлении,
температура которого постоянна; турбулентность в установив^
шемся потоке; дробовой эффект при постоянном анодном токе
и т. п. — все это стационарные случайные процессы. Практи-
Практически достаточно соблюдения постоянства условий в течение ко-
конечного промежутка времени, к началу которого возможные пе-
переходные процессы в рассматриваемой системе уже закончились,
а в конце еще не начались.
Все вероятностные характеристики стационарной случайной
функции не должны, таким образом, меняться при изменении
начала отсчета времени. Это значит, что
wn{tu xt; ...; tn, xn) = wn{t{ + x, xx; ...; tn + x, xn),
т. e. wn (а значит, и соответствующие характеристические функ-
функции) могут зависеть только от разностей значений ^, ..., tn,

§ 16]	СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ	105
но не от самих этих значений порознь. Про случайную функ-
функцию, удовлетворяющую этому условию, говорят, что она одно-
однородна по аргументу t. Этот общий термин используется обычно
в том случае, когда под t понимается пространственная коорди-
координата (например, функция, однородная по абсциссе). Если же
параметр t есть время, то однородность по времени большей
частью называется стационарностью.
Из определения стационарной случайной функции вытекает,
что ее одномерная плотность вероятности W\ вообще не зависит
от t, двумерная плотность w2 может зависеть только от t2 — h,
трехмерная — от /г — U и U — t\ и т. д. Следовательно, и услов-
условная вероятность х2 относительно Х\ для стационарной функции
тоже зависит только от t2 — t\\
V \T2, Х2\г\, x\) —	w tx\	—V{X2\l2— t и Xi).
Во многих случаях у условной вероятности существует ста-
стационарный предел при возрастании ,т = t2 — t\.
lim d(x2|t, xx) =—-i— lim w2(xu x, x2)=w{{x2),
т. е. зависимость распределения в момент t\ -\- x от значения,
принятого в момент t\, при т—>• оо ослабевает и в пределе ис-
исчезает. Условная вероятность переходит в стационарную одно-
одномерную вероятность состояния. Это обеспечивает так называе-
называемую эргодичность процесса, очень важное свойство, которое мы
рассмотрим в дальнейшем (§ 20).
Подчеркнем еще раз, что марковские и стационарные про-
процессы не представляют собой двух не перекрывающихся клас-
классов. Для процесса без последействия /г-мерная плотность вероят-
вероятности имеет вид A5.3), так что, вообще говоря, стационарности
нет. Она будет иметь место, как уже было сказано, тогда,
когда, во-первых, марковский процесс однороден (т. е. вероят-
вероятность перехода v от Х\ к х2 зависит только от t2 — ti) и, во-вто-
во-вторых, существует стационарная одномерная функция распреде-
распределения wi (x). С другой стороны, стационарный процесс описы-
описывается конечномерными плотностями вероятности wn, которые
зависят только от разностей t{ — 4, но которые при я>2в об-
общем случае непредставимы через вероятности перехода v между
двумя последовательными состояниями.
Все приведенные выше определения и свойства легко рас-
распространяются, по аналогии с многомерными случайными вел.и-
чинами, на многомерные случайные функции, т. е. совокупности
любого числа ./V одномерных случайных функций р(^) =
= {|A)@> ••¦. iw@}- Обозначая возможные значения р(/)
в какой-либо момент времени tt через гг-, мы можем повторить

106	случайные функции	[гл. ш
все сказанное ранее применительно к iVn-мерному распределе-
распределению
wn(tu iy, ...; tn, г„)«?г, ... drn.
Для марковского многомерного процесса wn выражается через
вероятность состояния W\(tx, n) и вероятности перехода
v(t2, ti\t\, n). Для стационарной функции плотности вероятно-
вероятности wn зависят только от разностей U; смотря по тому, ме-
меняется ли t дискретно или непрерывно, можно различать много-
многомерные случайные последовательности и процессы и т. д.
§ 17. Моменты случайных функций
Моменты случайной функции ?(/) вводятся совершенно так
же и с той же целью, что и для системы случайных величин.
Это средние значения вида
Ш ... &(/„),
причем произвольно выбираемые tu ..., tn могут и совпадать
между собой как частично (т различных значений tit tn ^ п),
так и полностью (tt = ... = tn, т. е. т = 1). Число сомножи-
сомножителей п называется порядком момента, так что g(^) есть момент
первого порядка, |(^)|(^2), S2(^i)> &2(Ы—моменты второго по-
порядка (смешанный и два средних квадрата) и т. д. Существенно
новое состоит в том, что моменты случайных величин являются
просто числами, в то время как моменты случайных функций
представляют собой функции выбранных значений параметра t,
поскольку от этих значений зависят функции распределения.
Очевидно, для вычисления момента любого порядка п до-
достаточно m-мерного распределения, где т — по-прежнему число
различных значений tt (l^m^n). Например, момент /г-го
порядка %n(t\) определяется при помощи одномерного распре-
распределения:
$	A7.1)
Смешанный момент того же порядка п, содержащий t\ и t2> —
при помощи двумерного распределения:
I" (*i) f (t2) = J x?x$w2 {tu xi; h, x2) dx\ dx2 =
-=Mo+p(*i, h), где a + p = n, A7.2)
и т. д. вплоть до
I (<i) I (t2) ¦ • • I (tn) - J XXX2 . . . XnWn dXx ...dXn = Mn(tl	tn).
A7.3)

§ 17]	МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	107
Это вытекает, конечно, из согласованности всех конечномерных
распределений: выполняя усреднение п сомножителей, из кото-
которых только т ^ п различны, мы можем воспользоваться любой
функцией распределения wN с N ^ т, но интегрирование по
«лишним» переменным тотчас же сведет ее к wm. Например,
x$wN dxi ••• dxN = \ x\xl dx\
... dxN =
{ dx2.
Полагая в A7.3) значения tt в том или ином количестве оди-
одинаковыми, мы можем, очевидно, получить из A7.3) полный на-
набор всех моментов п-го порядка. В дальнейшем мы часто будем
пользоваться более лаконичными обозначениями для моментов:
*?, х\х\у ххх2 ... хп и т. д.
Центральные моменты определяются как средние значения
пульсаций (или флуктуации) %{U)=\{U)— %{ti). Аналогичное
A7.3), выражение для центрального момента /г-го порядка есть
... I (tn) = [| (ti) - I (*,)] • • • [I (tn) - I (tn)\ «
в (Xl — Xi) (X2 -X2) ... (Xn — Xn)
что нетрудно, конечно, записать в виде алгебраической суммы
произведений простых моментов порядка от п до 1.
Относительно роли моментов случайной функции можно ска-
сказать то же, что и о роли моментов случайных величин. Конечно,
они дают менее полную характеристику случайной функции,
чем ее функции распределения, но, во-первых, в ряде практи-
практически важных вопросов эта характеристика оказывается доста-
достаточной, а, во-вторых, само нахождение моментов зачастую зна-
значительно проще, чем вычисление конечномерных функций рас-
распределения. Кроме того, для практических целей, а также в ряде
вопросов теории наиболее существенную роль играют моменты
низших порядков, в особенности первого и второго.
Момент первого порядка, или среднее значение функции,
есть
W\t,x)dx^l(t).	(ПА)
Моменты второго порядка, для которых удобно ввести специ-
специальные обозначения, — это смешанный моменп
x{x,j0.2 (tu xu t» x2) dxi dx2 а В (tu t2), A7.5)

108	случайные функции	[гл. ш
равный при совпадающих аргументах ?i=f2=f среднему квад-
квадрату функции в момент времени t:
W?) = B{t,t)^f{t),	A7.6)
и центральный момент второго порядка, называемый функцией
корреляции (иногда — автокорреляцииI):
= B(t1,t2)-l(tl)i(t2)^(tl,t2), A7.7)
равный при tl = t2 = t дисперсии l(t) в момент времени t:
T2(t)-i2(t) = q(t,t)^D[$(t)}.	A7.8)
Среднее значение определяет «центр тяжести» распределения,
но, в отличие от случайной величины, теперь — в каждый мо-
момент времени t. Дисперсия является простейшей мерой расплыв-
расплывчатости, или разброса, относительно центра тяжести (опять-таки
в каждый момент времени t). Наконец, функция корреляции
служит характеристикой статистической связи между значения-
значениями случайной функции, принимаемыми ею в какие-либо два
различных момента времени t\ и /г- Этой последней цели служит
также коэффициент корреляции, определяемый как
Kit t)=
т. е. пропорциональный функции корреляции и нормированный
к единице при tx = t2. Если l(ti) и l(t2) статистически незави-
независимы, т. е. двумерное распределение распадается на произведе-
произведение двух одномерных:
Щ {t\, *ъ h, xi) = Щ {t\, xi) Щ (h, x2),
то
в силу чего функция и коэффициент корреляции обращаются
в нуль. Статистическая независимость влечет за собой отсут-
отсутствие корреляции, но, как и для случайных величин, обратное,
утверждение в общем случае неверно.
• ') К сожалению, общепринятая терминология до сих пор еще не уста-
установилась. В английской литературе i|)(<i, t2) большей частью именуется кова-
.риацией (covariance — в соответствии с тем, что дисперсия называется va-
variance), а функцией корреляции (correlation function) называется момент
B(ti,t2) и коэффициент корреляции K(tuh) (см. ниже). В последнее время,
в связи с развитием корреляционной теории когерентности колебаний и волн,
смешанный момент В {tut?) часто называют в оптике функцией когерентно-
когерентности (второго порядка) и используют для него обозначение Г<2>(/ь h).

§ 18]	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ	Ю9
Заметим, что B(t\, 12) всегда можно при помощи A5.2) пред-
представить в виде
В (tit t2) = \ xlx2w2 dxx dx2 =
= jj xlwl (tu x{) dxi ^ x2v (t2, x2\tu Xi) dx2.
Внутренний интеграл представляет собой условное среднее от
?,(t2), т.е. среднее значение в момент времени t2 при условии,
что в момент времени t\ функция приняла значение Х\. Обозна-
Обозначив это условное среднее, зависящее от /ь t2 и хи через
x2(t2\tu х^,
мы получаем, таким образом,
В (*„ t2) = J xxx2 (t2\tu xx) о», (f,, x,) dx{.	A7.10)
Для многомерной случайной функции р@— {|A)@> •••
..., QN){t)} в рассмотрение входят моменты, содержащие про-
произведения разных компонент |(ft)(/). Если не идти дальше момен-
моментов второго порядка, то для многомерной функции, наряду со
средними значениями |(й)(^), приходится иметь дело не только
с моментами вида Bhh(t\, t2) — i(fe)(^i)g(ft)(^) и соответственно с
функциями автокорреляции ^hk(ti,U), но и со взаимными мо-
моментами второго порядка, содержащими произведения двух раз-
различных функций |(ft)@- Мы получаем, таким образом, матрицу
моментов второго порядка с элементами
Btk(tut2) = $»&)$»&), i,k=l,2	N, A7.11)
и корреляционную матрицу с элементами
Ьь du h) = [i«> (/,) - g<*> (/,)] [&<*> (t2) - i«« (^2)]=
= Si* (^i, /2)'— l(i) Ci) i№) (<г).	A7Л2)
§ 18. Корреляционная теория
Теория случайных функций, рассматривающая только одно-
одномерное и двумерное распределения, называется корреляционной
теорией таких функций. Распределения высшего числа измере-
измерений она оставляет вне поля зрения. Соответственно в пределах
корреляционной теории мы имеем возможность находить мо-
моменты различных порядков, но содержащие не более двух зна-
значений параметра t, в том числе среднее значение случайной
функции и ее функцию корреляции. Вообще, мы можем вычис-
вычислить среднее значение любой детерминированной функции вида

ПО	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. Ш
F[l(h), ?(?2)], если, конечно, это среднее существует:
(xu х2) w2 (/,, -*,; t2, x2) dXl dx2.
Что можно сказать о моментах первого и второго порядков
специально для марковских и для стационарных процессов?
Очевидно, марковость процесса не вносит здесь ничего спе-
специфического, так как двумерное распределение всегда может
быть выражено по A5.2) через условную вероятность
v(t2, X2\tu %i)- To, что для марковского процесса v является ве-
вероятностью перехода, существенно лишь для «-мерных распре-
распределений с п ^ 3, но этих распределений корреляционная теория
не рассматривает.
Напротив, стационарность процесса существенно сказывается
на интересующих нас моментах первого и второго порядков.
Действительно, поскольку одномерная плотность вероятности
W\{x) не зависит в этом случае от t, моменты любого порядка,
вычисленные для одного значения t, тоже не будут зависеть от
/, т. е. будут числовыми константами:
= J xnw{ (x) dx = f = const.
В частности, постоянными будут_среднее значение!, средний
квадрат |2 и дисперсия Z)[|] = |2 — |2. Далее, поскольку дву-
двумерная плотность вероятности стационарного процесса зависит
от t\ и t2 только через разность т = t2 — t\, смешанный момент
второго порядка, а значит, и функция корреляции тоже будут
зависеть только от т:
6 (О 6 (/2) = В (т), $2 = В@),
д w * @) D № •
Заметим, что В(т) [а тем самым г|з(т) и К(х)] — обязательно
четная функция т. Это следует из инвариантности по отношению
к сдвигу начала отсчета времени t на т:
В(х) = I (/) 1 (* + т) = l(t - т) 6 @ = В(- т).
Так как постоянное среднее значение обычно является легко
измеряемой величиной, во многих случаях можно рассматривать
только флуктуацию % = 1—|, т.е., не теряя общности, предпо-
предполагать, что |=0. Тогда -ф (т) совпадает с В (т):
A8.2)

§18]	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ	. \Ц
а коэффициент корреляции будет
К. (т) = ф (т) = l (t) lif + т)
Для стационарных случайных функций особая роль функции
корреляции связана еще и с тем, что она определяет гармони-
гармонический спектр процесса, но к этому мы обратимся позднее.
В пределах корреляционной теории возможно более широ-
широкое определение стационарности. Стационарными в широком
смысле (просто стационарными по А. Я. Хинчину [1]) назы-
называются случайные функции \(t), у которых среднее значение
постоянно: l(t) = % = const, а момент второго порядка В зави-
зависит только от х = t2 — t\ и конечен при х — 0, т. е. конечен сред-
средний квадрат |2 = В@). Тем самым конечно и постоянное сред-
среднее значение |, поскольку D [g] = |2 — |2 ^ 0. Прежнее опре-
определение, предполагавшее инвариантность всех конечномерных
распределений при сдвиге начала отсчета t (стационарность
в узком смысле), не содержало требования конечности момен-
моментов первых двух порядков и в этом смысле было менее жест-
жестким. Но стационарность в широком смысле не означает, что все
хюп при п > 2 инвариантны при изменении начала отсчета t, a
в этом отношении она действительно шире.
Посмотрим, при каких условиях может быть стационарной
в широком смысле функция l,(t) = A cos(co? + 0), где в общем
случае и Л, и 0 — случайные величины.
Если случайна только амплитуда А, а фаза 0 имеет какое-то
фиксированное значение, то
Щ = Jcos (at + 9)
и условие постоянства среднего значения выполняется лишь при
Л = 0, когда и l(t)=0. Для смешанного момента получаем
I (t) I (t + т) = A2 cos (е>/ + 0) cos [со (t + т) + 0]^=
= -j- [cos B<at + сот + 20) + cos сот],
т. е. В = B(t, х), и, следовательно, даже при А = 0 стационар-
стационарности нет.
Пусть теперь фаза 0 тоже случайна, причем независима от
А. Тогда
» A cos (со* + б) = A (cos at cos 0 — sin art sin 0).
Очевидно, независимость l(t) от t, т. е. равенство l(t) = 0,
можно обеспечить теперь не только при А = 0, но и при

112 '	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. III
cos 0 = sin 0 = 0, что будет иметь место, если плотность вероят-
вероятности фазы ffi'e (8) ортогональна в интервале @, 2я) к cos 0 и
sin0, т. е. представима рядом Фурье:
оо
Шэ (е) = 1яГ ~^~ Z! (пп cos rtS ~*~ bfl sin п^ ^ °*
Смешанный момент
l(t)l(t + %)=~ [cos Bco/ + сот + 28) -f cos сот]
теперь тоже может быть сделан функцией только от т. Надо
только потребовать cos 20 = sin 28 = 0, т. е. чтобы в ряде
Фурье, выражающем аУе(8), отсутствовали также члены с п = 2.
Тогда
Таким образом, при случайных и независимых Л и 0 стацио-
стационарность случайной функции l(t) = A cos (at -f- 8) в широком
смысле будет обеспечена, если А2 конечно, а распределение 0
имеет вид
оо
Щ (9) = -^ + Е (a" cos nQ + Ьп sin rt9) •
Нетрудно понять, что при наличии в этом ряде Фурье только
гармоник с п >• 7V все смешанные моменты |(f) до порядка Л^
включительно будут зависеть только от разностей соответствую-
соответствующих моментов времени. В частности, если распределение равно-
равномерно в интервале @, 2я):
wQ (8) = 1/2я,
то сказанное относится к моментам любого порядка, что равно-
равносильно стационарности |(/) в узком смысле.
Как сказано, оперирование только распределениями W\ и w2
часто оказывается практически достаточным, хотя оно и не за-
заменяет в общем случае полного задания случайной функции.
Существует, однако, очень важное исключение, благодаря ко-
которому ценность корреляционной теории существенно возрас-
возрастает.
Довольно часто рассматриваемые случайные функции при-
принадлежат к классу нормальных (или гауссовых) процессов, т.е.
все wn представляют собой «-мерные гауссовы распределения.
Это имеет место в силу того, что выполнены условия централь-

§ 19]	ВЕРОЯТНОСТНАЯ СХОДИМОСТЬ	ЦЗ
ной предельной теоремы, как, например, в явлении дробового
шума (§ 10), в распределении скоростей микрочастиц [максвел-
ловское распределение (§ 7)] и т. д. Но /г-мерное гауссово рас-
распределение содержит в качестве параметров только средние зна-
значения и моменты второго порядка (причем и те, и другие всегда
конечны), а для нахождения этих моментов достаточно знать
лишь w2 (и тем самым W\). Таким образом, нормальная слу-
случайная функция |(?) вполне определена заданием плотности ве-
вероятности ау2. Зная w2, можно написать любую «-мерную функ-
функцию распределения и, следовательно, ответить на любой вопрос,
касающийся какой-либо детерминированной функции от вели-
величин К?,), ..., ?(*„).
Ясно также, что для нормальной случайной функции стацио-
стационарность в широком смысле совпадает со стационарностью в уз-
узком смысле, так как из первой следует вторая: если w\ не за-
зависит от t, a w2 зависит только от т = /2 — U, то все wn будут
инвариантны по отношению к сдвигу начала отсчета t. Наконец,
для нормальных функций некоррелированность означает стати-
статистическую независимость, чего нет в общем случае.
Не представляет затруднений распространить любое из оп-
определений стационарности на многомерные случайные функции.
В корреляционной теории целесообразно по-прежнему понимать
стационарность в широком смысле, т. е. подразумевать под ста-
стационарностью yV-мерной функции p(t) = {gA)(/), ..., QN)(t)} ко-
конечность и постоянство всех |(ft)(tf) и [^(t)]2 и зависимость эле-
элементов матрицы Bih (или корреляционной матрицы $ш) только
от т = U — t\.
§ 19. Вероятностная сходимость
В дальнейшем нам придется широко оперировать производ-
производными и интегралами от случайных процессов. Обе операции —
дифференцирование и интегрирование — предполагают, как из-
известно, сходимость некоторой последовательности величин к пре-
пределу. Но для случайных величин, задаваемых не детерминиро-
. ванно, а своими распределениями вероятностей, понятие сходи-
сходимости к пределу (а тем самым и понятия непрерывности, диф-
ференцируемости, интегрируемости для случайных функций) не
может обладать тем же смыслом, какой вкладывается в него
в анализе. Для последовательности случайных величин gv
(N=1,2,...) возможно лишь вероятностное определение схо-
сходимости к пределу, что, кстати сказать, открывает и более раз-
разнообразные возможности в выборе самого определения. Вероят-
Вероятностная сходимость существенна также и для рассмотрения так
называемых эргодических свойств случайных функций, к чему
мы обратимся в следующем параграфе.

114,	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. Ill
Начнем, для простоты, с рассмотрения различных типов схо-
сходимости последовательности случайных величин t,N к (неслу-
(неслучайному) числу а.
Один из видов вероятностной сходимости — сходимость
в среднем квадратичном (ср. кв.), под которой понимается об-
обращение в нуль среднего квадратичного отклонения &v от числа
а при N —* оо:
lim <(^-аJ> = 0,	A9.1)
N->oo
что записывают в виде
lim t,N = a (ср. кв.), или t,N ——*-а при N->°o,
или l.i.m. Sjv = я.
Обозначение 1. i. т. составлено из начальных букв английского
названия этого предела (limit in the mean square). Использо-
Использование этого вида сходимости наиболее целесообразно в тех
случаях, когда приходится иметь дело с квадратичными (в част-
частности, имеющими энергетический смысл) комбинациями слу-
случайных величин.
Равенство A9.1) предполагает, очевидно, конечность ?^. Тем
самым конечно и среднее значение ?лг» поскольку D[gw] = ?^ —
— Ш/ ^0. Вычитая и прибавляя^ в скобках в A9.1), перепи-
перепишем это равенство иначе:
lim ((?ff -lN + lN- аJ) = lim {D Ы + (Гм~ аJ} = 0.
Но предел суммы двух неотрицательных величин может быть
равен нулю, только если равны нулю пределы обоих слагаемых,
т. е.
lim lN = a, Um D[t,N] = 0.
Таким образом, а — это предел последовательности средних
значений t,N, а предел дисперсии t,N равен нулю.
Другой вид вероятностной сходимости t,N к а — сходимость
по вероятности (по вер.)—определен следующим образом:
lim P{ISJV-fl|<e}=l,	A9.2)
где, как обычно, е — любое сколь угодно малое положительное
число. В этом случае пишут
lim ?N=*a{no вер.) или ?д,—%-а при N-+<x>.

§ 19]	ВЕРОЯТНОСТНАЯ СХОДИМОСТЬ'	Ц5
Равенство A9.2) означает, что вероятность попадания ?N куда-
либо вне сколь угодно узкого интервала (а— е, а + е) в пРе"
деле (N —>¦ оо) обращается в нуль. Ввиду произвольной мало-
малости е это в свою очередь означает, что плотность вероятности
wN(x) случайной величины t,N переходит при N —+ оо в 8(х — а).
Однако отсюда отнюдь не следует, что а есть предел последова-
последовательности ?дг и что D [t,N] стремится к нулю. Более того, E,N и Е,^
могут неограниченно нарастать с увеличением N или даже быть
бесконечными при всяком ./V. Пусть, например, t,N неотрица-
неотрицательны и распределены по закону Коши:
При всяком х > О предел wN(x) при N -* оо равен нулю, тогда
как wN@) = 2N/n и предела не существует. Вместе с тем усло-
условие нормировки выполнено всегда:
2
J-	- .
о
wN (x) dx = —- arctg (Nx)
1,
так что wN(x) стремится при N -* оо к 8(х). Нетрудно, однако,
убедиться, что при любом N %N и t,2N бесконечны.
Сходимость по вероятности часто называют сходимостью
в смысле закона больших чисел. Про случайные величины ?#
говорят, что они являются предельно постоянными, если суще-
существует такая последовательность постоянных aN, что
lim P{\lN-aN\<e} = l.
N->oo
Если все un одинаковы (равны а), то это равенство переходит
в A9.2), т.е. означает, что t,N сходится по вероятности к а или
же разность t,N — а сходится по вероятности к нулю.
Сходимость по вероятности следует четко отличать от обыч-
обычной сходимости
Ит |?я — а | = 0 или tN->a.
ЛГ->°о
Действительно, относительно поведения эмпирических чи-
чисел — значений &v — математически доказать ничего нельзя. До-
Доказаны могут быть только утверждения, относящиеся к теоре-
теоретическим понятиям, в том числе к понятию вероятности, как оно
определено в исходных аксиомах. В сходимости по вероятности
речь идет не о том, что t,N —»¦ а при N ^+ оо, а о том, что вероят-
вероятность события |&v — а|<е стремится к единице. Связь этого
утверждения с опытом заключена в «аксиоме измерения», со-
согласно которой вероятность измеряется относительной частотой

116	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. III
наступления рассматриваемого случайного события в достаточно
длинной серии испытаний, в достаточно обширном ансамбле
систем и т. п.
Для лучшего уяснения этой принципиальной стороны вопроса
остановимся на некоторых предельных теоремах теории вероят-
вероятностей, объединяемых под общим названием закона больших
чисел, а именно на теоремах, относящихся к тому случаю, когда
Zn в A9.2) есть среднеарифметическое N случайных вели-
величин |ft:
N
**•	A9-3)
fc-1
Мы производим серию из ./V испытаний, берем их результаты
|i, |2	In и вычисляем среднее A9.3). Затем мы смотрим,
имеет ли место событие (назовем его событием BN), состоящее
в том, что
|?jv -а |< е.
Для того чтобы измерить вероятность события BN, мы должны
осуществить очень большое число М серий по N испытаний,
должны иметь коллектив таких серий. Закон больших чисел
A9.2) утверждает, что чем длиннее серии, образующие коллек-
коллектив (чем больше N), тем ближе Р {BN} к единице, т. е., по «ак-
«аксиоме измерения», тем большее количество серий будет отве-
отвечать наступлению BN (в пределе — практически все):
->1 при N->oo.
Таким образом, это вполне содержательное утверждение, но
оно становится таким только при четком сопоставлении матема-
математического понятия вероятности с эмпирическим понятием отно-
относительной частоты. Без этого закон больших чисел остается не-
некоторой теоремой, логически вытекающей из определенной си-
системы аксиом для величины Р, которая определена как вполне
аддитивная, неотрицательная и нормированная к единице функ-
функция области.
Зачастую этот вопрос, который мы уже затрагивали в § 1,
излагается в учебной литературе довольно сбивчиво, без чет-
четкого указания на то, что «аксиома измерения», связывающая
понятия теории вероятностей с реальными явлениями, с экспе-
экспериментом и практикой,'не содержится в математической теории
как таковой. Можно встретить утверждения о том, что фунда-
фундамент успехов применения теории вероятностей в различных про-
проблемах естествознания и техники заложен именно в законе боль-
больших чисел. Если бы это было так, то это означало бы, что

§ 19]	ВЕРОЯТНОСТНАЯ СХОДИМОСТЬ	117
фундамент практических успехов есть логическое следствие оп-
определенных абстрактных аксиом и что эти математические ак-
аксиомы сами по себе предписывают, как должны вести себя эм-
эмпирические величины.
В принципе можно было бы исходить из других аксиом - и
построить другую теорию вероятностей, выводы которой, будучи
иными, чем в существующей теории, были бы столь же логи-
логически безупречны и столь же необязательны для реальных яв-
явлений. Положение здесь такое же, как и с различными возмож-
возможными'геометриями. Но как только математическая теория до-
дополняется определенными способами измерения тех величин,
с которыми она оперирует, и становится тем самым физической
теорией, ситуация меняется. Правильность или неправильность
теории перестает тогда быть вопросом только ее логической не-
непротиворечивости, а становится вопросом ее соответствия ре-
реальным вещам и явлениям. Приобретает содержание вопрос об
истинности самих аксиом, так как теперь это может быть под-
подвергнуто экспериментальной и вообще практической проверке.
Однако еще до такой проверки необходимо внутреннее соот-
соответствие между обеими частями физической теории: устанавли-
устанавливаемые способы измерения величин не должны находиться
в противоречии с теми уравнениями, которым подчиняет эти ве-
величины математическая часть теории. Например, уравнения дви-
движения Ньютона предполагают, что сила есть вектор, и поэтому
несовместимы с таким способом измерения силы, который ха-
характеризовал бы ее только по абсолютной величине. Может
быть, в действительности сила не вектор, а скажем, тензор, но
это уже другой вопрос, касающийся того, насколько хорошо от-
отражает объективную реальность данная физическая теория
в целом. Мы же говорим сейчас лишь о том, что наличие про-
противоречия между математической и измерительной частями фи-
физической теории делает ее несостоятельной еще до всякой про-
проверки ее следствий на опыте.
С этой точки зрения закон больших чисел отличается от
других — логически равносильных ему — теорем теории вероят-
вероятностей лишь тем, что он, как будет видно из дальнейшего,
особенно отчетливо и явно показывает совместимость математи-
математического определения вероятности и частотного способа ее
измерения. Он показывает, что частотная «аксиома измерения»
не противоречит математической теории, но последняя, разу-
разумеется, не заменяет и не может заменить эту «аксиому».
Доказательство различных теорем, имеющих форму закона
больших чисел, использует обычно неравенство Чебышева, до-
доказанное в его диссертации в 1846 г. "Пусть случайная величина
? имеет конечную дисперсию Z)[?]. Неравенство Чебышева

П8	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. Ill
утверждает, что
/Ч1?-а|>в}<-?^-.	A9.4)
Если, в частности, а = \, то неравенство A9.4) принимает вид ')
Р{\1-\\>А<*^.	A9.5)
Хотя неравенства A9.4) и A9.5) дают лишь весьма грубую
оценку Р (более точную оценку можно получить, если иавестен
закон распределения ?), для теоретических построений они очень
полезны и важны.
В случае, когда Z, в неравенстве Чебышева есть среднее
арифметическое A9.3) из ./V случайных величин |4, неравенство
A9.5) позволяет доказать теорему Чебышева, являющуюся до-
довольно общим выражением закона больших чисел. А именно,
если |j — последовательность попарно независимых случайных
величин, имеющих равномерно ограниченные дисперсии (D [|,]^
<С),то
lim P{\ZN-lN\<e}=L	A9.6)
Действительно,
Согласно неравенству Чебышева
Ne2
откуда для вероятности противоположного события и следует
теорема A9.6), т.е. сходимость по вероятности t,N к t,N.
Частный случай теоремы Чебышева — теорема Пуассона.
Пусть |j = е» — случайные величины-фиксаторы исхода 1-го ис-
испытания [et = 1 или 0 в соответствии с наступлением или не-
ненаступлением события А при /-м испытании, при котором
Р {А} = Pi). Тогда
*) Самая общая форма неравенства Чебышева есть Р {/ (?) ^ К] ^ ¦,; »
А
где Ut,)—неотрицательная детерминированная функция случайной величи-
величины 5, а Л* — произвольное положительное число. Неравенство A9.4) полу-
получается отсюда при /(?) = (? — аJ и К = е2.

5 Щ	ВЕРОЯТНОСТНАЯ СХОДИМОСТЬ	119
Значит,
N
1
и теорема Чебышева дает
Это и есть теорема Пуассона. Еще более частный случай —
когда pi = р. Тогда мы приходим к теореме Бернулли, одной из
первых формулировок закона больших чисел:
Остановимся на этой простейшей форме закона. Теорема
A9.8) показывает, что с ростом числа испытаний N относитель-
относительная частота события А, т.е. эмпирическая величина n(A)/N,
сходится по вероятности к р — вероятности события А. Если, бы
это было не так, то было бы бессмысленно измерять вероятность
при помощи относительной частоты. Но коль скоро это так, то
частотный способ измерения вероятностей как р (по относитель-
относительной частоте n(A)/N наступления события А в серии из ./V испы-
испытаний), так и Р (по_относительной частоте m(BN)IM наступле-
наступления события BN — \\-jr — Р < е | в коллективе из М серий по
./V испытаний) может быть принят в качестве дополнения к ма-
математической теории, поскольку он ей не противоречит. После
этого уже можно и спрашивать, и проверять на опыте, отражает
ли получившаяся в результате физическая теория реальные ста-
статистические закономерности.
Любопытно, что для выполнения теоремы A9.8) при всяких
значениях р, т. е. для сходимости по вероятности
Пт -jT = P (по вер.),
достаточно потребовать, чтобы эта сходимость имела место
лишь для р <С 1 (относительная частота маловероятных собы-
событий должна быть мала).
Запишем теперь теорему Чебышева для случая, когда все
|, — а. Тогда
N
N
1

120	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. lit.
и теорема принимает вид
( N	)	N
lim Р\ жЕ^'~а <ef=l. т.е. lim -L У g, = а (по вер.),
что является основой правила среднего арифметического при
измерениях. Отдельные |,- могут сильно отклоняться от а, но
с вероятностью Р -* 1 имеем t,N —*¦ а при N —> со. Это происходит
потому, что при вычислении среднего значения случайные от-
отклонения отдельных слагаемых компенсируются и в подавляю-;
щем большинстве случаев отклонение |?№-—а\ оказывается
очень малым.
Отклонения gf от а могут быть случайными ошибками изме-
измерения. Но если сама точность отсчета при измерении не
меньше б, т. е. присутствует систематическая ошибка, связанная
с ценой деления шкалы, то и точность Z,N не меньше б при лю-
любом .V, так что бессмысленно, апеллируя к закону больших
чисел, стремиться получить и в этом случае значение а с по-
погрешностью, меньшей б, за счет N—> со. Довольно широко рас-
распространено заблуждение, будто бы среднее арифметическое
позволяет превзойти ограниченную снизу точность измерения
и получать, скажем, с помощью щиткового амперметра отсчет
силы тока с точностью до микроамперов.
Возможна и другая ситуация: сама измеряемая величина мо-
может быть случайной (шумовой ток и т. п.). Тогда мы можем
быть уверены (Р-*1), что ?,N—ya при N-+oot т. е. среднее
арифметическое стремится к математическому ожиданию слу-
случайной величины.
Условие взаимной независимости результатов |,- измерения
случайной величины требует, вообще говоря, выполнения ее за-
замеров через достаточно большие промежутки времени. Однако
для справедливости закона больших чисел само это условие не-
независимости не необходимо, так как неравенство Чебышева тре-
требует лишь D[t,N]—*0 при N —* со. Мы не будем останавливаться
на более общих теоремах и на необходимых и достаточных ус-
условиях, при которых для среднего арифметического ?jv A9.3)
справедлив закон больших чисел, так как эти условия касаются
самой величины t,N и поэтому менее интересны практически, чем
более узкие условия, но относящиеся к отдельным слагае-
слагаемым gj.
В 1909 г. Э. Борелем (затем — в более общей форме —
Ф. П. Кантелли, потом А. Н. Колмогоровым) было доказано бо-
более сильное утверждение, чем закон больших чисел. По теореме
Бернулли
lim
N->oo

§ 19]	ВЕРОЯТНОСТНАЯ СХОДИМОСТЬ	121
По Борелю (усиленный закон больших чисел)
р\ lim ±-p =0}=1,	A9.9)
т. е. с достоверностью, или, как принято говорить, «почти навер-
наверное», относительная частота имеет своим пределом вероят-
вероятность р. Это еще более твердое основание для того, чтобы из-
измерять вероятность относительной частотой.
Опираясь на A9.9), можно ввести еще один вид вероятност-
вероятностной сходимости — сходимость в смысле усиленного закона боль-
больших чисел, которую называют также сходимостью с вероятно-
ностью Р = 1 или сходимостью почти наверное (п. н.):
P{lim ^ = а} = 1.	A9.10)
Коротко это можно записать в виде
lim ?л/= а (п. н.) или t,N —> а при N->°o.
Иногда в связи с определением A9.10) возникает недоуме-
недоумение по поводу того, что в нем фигурирует обычный предел по-
последовательности случайных величин. Создается впечатление,
что мы как будто отступаем здесь от высказанного выше ут-
утверждения, что сходимость случайных величин может иметь
только вероятностный смысл. Но именно об этом идет речь и
в данном случае. Среди различных реализаций последователь-
последовательности Z,N возможны и такие реализации, которые сходятся к а
в обычном смысле. Можно показать, что множество таких реа-
реализаций обладает определенной вероятностью Р [2]. Сходимость
почти наверное означает, что эта вероятность, т. е. вероятность
случайного события lim t,N = a, равна единице. Иначе говоря,
реализации t,N, сходящиеся к а в обычном смысле, «почти исчер-
исчерпывают» множество всех возможных реализаций последователь-
последовательности ?jv. Таким образом, мы никуда не уходим в A9.10) от
вероятностного определения сходимости, хотя теперь имеется
в виду не предел вероятности (как в сходимости по вероятно-
вероятности), а вероятность предела.
Приведем два из условий сходимости l,N к а почти наверное.
Одно из них — необходимое и достаточное:
lim P{\?,N — a\> е хотя бы для одного N^M} = 0.
М->оо
Однако на практике это условие никогда нельзя проверить.
Другое — более сильное достаточное условие — состоит в том,

122	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. III
что при каком-либо h > 0 должен сходиться ряд
Другие достаточные условия и вообще детальную математи-
математическую дискуссию вопросов, касающихся вероятностной сходи-
сходимости, можно найти в книгах [2] (гл. 3) и [3] (гл. 1).
Сходимость в среднем квадратичном влечет за собой (в силу
неравенства Чебышева) сходимость по вероятности, а если все
t,N почти наверное равномерно ограничены по модулю, то, и об-
обратно, из сходимости по вероятности следует сходимость в сред-
среднем квадратичном. Сходимость почти наверное также влечет за
собой сходимость по вероятности, но не сходимость в среднем
квадратичном; в то же время и сходимость в среднем квадра-
квадратичном не влечет за собой сходимости почти наверное.
Все сказанное выше о сходимости последовательности слу-
случайных величин Z,N к числу а естественным образом распростра-
распространяется и на сходимость к случайной величине Z,, определенной на
том же множестве возможных значений, что и величины t,N. Так,
например, определение сходимости t,N к ? в среднем квадратич-
квадратичном есть
lim <EJV-SJ> = 0,	A9.11)
N->oo
а сходимость по вероятности —
Пт />{1и-?1<в}=1.	A9.12)
N-*oo
Отличие от A9.1) и A9.2) заключается в том, что усреднение
в A9.11) и подсчет вероятности Р в A9.12) требуют теперь зна-
знания совместного распределения величин t,N и ?. Если плотность
вероятности этого распределения есть wN(x,у), то A9.11) озна-
означает, что	*
lim \\ (х — уJwN (х, у) dxdy = 0,
a A9.12) означает, что
lim \dy \ wN(x, y)dx=\.
y-e
Так как г сколь угодно мало, из последнего равенства выте-
вытекает, что при N-+OO wN(x,y) переходит в w^ (у) б (х — у).
Обратимся теперь к случайным процессам, т. е. к случайным
функциям l(t) с непрерывным аргументом t.
В соответствии с тремя приведенными определениями ве-
вероятностной сходимости можно определить и непрерывность слу-

§ 19] ВЕРОЯТНОСТНАЯ СХОДИМОСТЬ	123
чайной функции l(t) в точке t. Речь идет	о сходимости
l(t-\-At) к l(t) при Д/-»0. Следовательно,	непрерывность
в среднем квадратичном означает, что
lim
At-Ю
ИЛИ
Подчеркнем, что непрерывность случайной функции по вероят-
вероятности отнюдь не предполагает непрерывности ее возможных зна-
значений. Последние могут быть и дискретными, как, например, за-
заряд, поступивший на анод в задаче о дробовом шуме. Возмож-
Возможные значения заряда q(t) кратны заряду электрона е, т.е. q(t)
меняется разрывно. Тем не менее функция q(t) предполагается
непрерывной по вероятности, т. е. при At —* О
P{\q(t + bt)-q(t)\>e)<i\.
Другими словами, предполагается, что вероятность прихода на
анод за время At заряда Aq == q(t + Д^)— q(t), равного одному
или нескольким е, стремится к нулю вместе с At.
Аналогично вероятностной непрерывности определяется и
дифференцируемость случайной функции l(t), а именно — как
существование предела | (t) (в каком-либо из указанных смыс-
смыслов) выражения
| (/ + AQ | (/)
при произвольном переходе At—*-Q. Например, дифференцируе-
дифференцируемость в среднем квадратичном означает, что
или
а дифференцируемость почти наверное означает, что
Следует, однако, предостеречь от поспешного вывода, что
переход от случайных последовательностей к случайным про-
процессам представляет собой некий тривиальный шаг. В отноше-
отношении процессов возможны такие, вполне оправданные, вопросы,
ответы на которые связаны с определенными трудностями. На-
Например, непрерывность (или дифференцируемость) процесса |(/)
в некотором интервале значений t (т. е. в несчетном множестве

124	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. III
точек /), вообще говоря, не принадлежит к случайным собы-
событиям, вероятности которых однозначно определяются конечно-
конечномерными распределениями l(t). Однако в соответствии с об-
общими установками, принятыми в этой книге, мы не можем
углубляться в такие вопросы, вновь отсылая читателя к мате-
математической литературе [2, 3].
В тех же трех смыслах сходимости можно понимать суще-
существование предела суммы
t
где ta = a, tn = b, т. е. существование риманова интеграла от
случайной функции l(t)/
ъ
R=\\{t)
dt.
а
Функция %(t) называется тогда /^-интегрируемой (по вер., или
п. н., или в ср. кв., смотря по тому, какая сходимость RN к R
имеется в виду). Аналогично можно определить интегралы
Стилтьеса:
ь	ь
S=-.\l(t)df(t), S=
а	а
где f(t) — детерминированная функция, — как пределы в каком-
либо из вероятностных смыслов интегральных сумм
i-0
i-0
а также для двух независимых случайных функций l(t) и
¦t\(t)— интеграл Стилтьеса:
ь
§ 20. Эргодичность случайного процесса
Свойство эргодичности, о котором далее пойдет речь, важно
потому, что при его наличии имеют место чрезвычайно сущест-
существенные соотношения между функцией распределения и временем
пребывания случайной функции %{t) в определенном интервале
значений, между статистическими средними и средними по вре-
времени.

§ 20]	ЭРГОДИЧНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА	125
Функции распределения, согласно «аксиоме измерения» ве-
вероятности, имеют статистический смысл. Это относительные ча-
частоты в ансамбле одинаковых систем, т. е. систем, в каждой
из которых воспроизведены одни и те же условия протекания
данного случайного процесса и одни и те же способы его реги-
регистрации или наблюдения. Если, например, речь идет о флуктуа-
циях, то одинаковыми должны быть макроскопические характе-
характеристики всех систем, составляющих ансамбль. Имея ансамбль
систем, мы располагаем обширным набором реализаций рас-
рассматриваемой случайной функции t,(t) и с помощью соответ-
соответствующих вероятностей, т.е. распределений систем ансамбля по
возможным значениям t,(t), можем находить l(t), ty(ti, t2) и т. д.
Теоретики любят оперировать с ансамблями, но у экспери-
экспериментаторов обычно одна лаборатория и одна установка, а не 106
или 1091). За данный промежуток времени @, Т) эксперимен-
экспериментатор может получить лишь одну реализацию интересующего
его случайного процесса и предпочитает поэтому усреднять по
времени, пользуясь одной реализацией l(t), одной осциллограм-
осциллограммой или аналогичным образцом. Спрашивается, в каком соот-
соотношении находятся эти способы усреднения — по времени и по
ансамблю?
Забегая вперед, укажем уже теперь, что для стационарных
процессов, обладающих свойством эргодичности, оба способа ус-
усреднения при достаточно больших Т практически совпадают, так
как в этом случае стационарная вероятность состояния равна
относительному времени пребывания системы в данном состоя-
состоянии. Соответственно среднее статистическое равно среднему по
достаточно большому промежутку времени2). Говоря «равно»
или «совпадает», мы, конечно, допускаем неточность, так как
речь идет лишь о вероятностной сходимости — по вероятности,
в среднем квадратичном или почти наверное.
Формулируем эти утверждения более точно и докажем их [4].
Пусть f(|)—некая детерминированная функция случайной
функции l(t). Обозначим ее среднее по времени за промежуток
@, Т) индексом Т и волнистой чертой сверху:
*) Конечно, случаи, когда ансамбль реализуется в одной установке, не
исключены. Напомним, например, диффузию капли краски в воде. Правда,
членами ансамбля здесь являются не сложные, макроскопические системы, а
малые частицы.
2) Именно поэтому стационарная вероятность имеет смысл вероятности
состояния при термодинамическом равновесии, а средние статистические —
смысл термодинамически равновесных значений.

126	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	1ГЛ. 11]
Как сказано, это эмпирическая величина, получаемая в резуль-
результате определенной обработки осциллограммы f(l) в интервале
(О, Т). Вместе с тем это случайная величина, различная для
разных реализаций %(t) в интервале (О, Т). Пусть W\(x, t) и
ЩA, х; V, х')—одномерная и двумерная плотности вероятно-
вероятностей l(t). Вычислим среднее значение и дисперсию случайной
величины /г(?). Имеем
		Т	Т	+оо
!тИ)=т)f(t)dt=jr]dt ] f(x}wl(t,x)dx =
О	0 -оо
+ оо	Т	+оо
=¦ J f (x) dx j- J W[ (t, x)dt= \ f (x) pT (x) dx, B0.2)
_oo -	0	— oo
где мы ввели «эффективную» плотность вероятности
г
^\i(t,x)dt.	B0.3)
о
Имеем, далее,
г т
{l')-t{l)ni'))dtdt' =
о о
т т
i])f (t, t') dt dt', B0.4)
о о
где i])f (t, t') — функция корреляции / (g):
+ OO
*f V'f)=S S f(x) f w ^2 ^'x] ff x"> ~
- wx {t, x) Wl if, x')} dx dxr. B0.5)
Таким образом, для всех /(g) с конечным (]*(?)) требование
т т
lim 4т \\ Ь U, ?) dtdf = O	. B0.6)
J^	0 0
есть необходимое и достаточное условие того, чтобы имела ме-
место сходимость в среднем квадратичном:
ЛЛЛЛЛЛЛЛЛ
B0.7)

§20]
ЭРГОДИЧНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
127 -
причем необходимость вытекает просто из определения этого
вида сходимости. В силу неравенства Чебышева для случайной
величины fT (?):
условие B0.6) достаточно и для сходимости по вероятности:
ллллллллл
Ня^ I /г (I) — /г (S) I = 0 (по вер.),
или в развернутой форме:
lim
- S f(x)pT(x)dx
= 0 (по вер.),
где рт{х) дается формулой B0.3). Можно сказать, что это за-
закон больших чисел в применении к непрерывному наблюдению.
Докажем теперь, что при условии B0.6) относительное время
пребывания %(t) в промежутке (х, x-\-dx) сходится по вероят-
вероятности при Т—> оо к poo(x)dx,
где
= Hm pT(x),
V/
г
Рис. 9.
если, конечно, этот предел су
ществует. Относительным вре-
временем пребывания называется
отношение суммарного време-
времени T(XtX+dx), проведенного ?(/)
в промежутке (х, x-\-dx), т. е.
суммы всех отмеченных на рис. 9 жирной линией отрезков оси
абсцисс от момента 0 до момента Т, к полной продолжительно-
ности интервала Т.
Для доказательства достаточно взять в качестве /(|) функ-
функцию-фиксатор:
1, если х < I (t) ^ х -f dx,
О, если I @ вне {х, х -f- dx).
Тогда по B0.1)
l
It (ь) —
— (*• x+dx)
—	f
а по B0.2)

128	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. III
т.е. распределение pT{x)dx, вычисляемое из одномерной плот-
плотности вероятности Wi(t, x) путем усреднения ее по параметру t
[см. B0.3)], имеет смысл среднего (по ансамблю) относитель-
относительного времени пребывания:
		т
(x,x+dx)	/*л л„	К— \ ™, и х) dt.	B0.8)
Теорема же B0.7) принимает теперь вид
\A.m.\T{x-xT+dx)--pT(x)dx} = 0.	B0.9)
Все сказанное справедливо для случайного процесса f[|(tf)], удо-
удовлетворяющего условию B0.6)—так называемому условию эр-
эргодичности этого процесса. Необходимое и достаточное условие
B0.6) можно заменить более сильными требованиями — доста-
достаточными условиями эргодичности, которые в приложениях тео-
теории большей частью оказываются выполненными. Например, ус-
условие B0.6) будет удовлетворено, если функция корреляции
%(t, t') всюду ограничена и при всяком t убывает с увеличе-
увеличением \t' —1\, как \? — t\~a, где а > 0. В свою очередь, со-
согласно B0.5), это будет выполнено, если при всяком / увеличе-
увеличение \f— t\ достаточно быстро приводит к статистической неза-
независимости между l(t) и %(У):
wi(t,x\f,x')-*wi(t,x)wi(f,x/) при |*' — *|-».оо. B0.10)
Это последнее требование, означающее, в частности, достаточно
быстрое «забывание» рассматриваемой системой ее предше-
предшествующих состояний, можно, согласно A5.2), формулировать и
в терминах условной вероятности:
v (V, х' \t, х) -> wi (f, *') при t'-t->oo. B0.11)
Для марковского процесса это означает, что на вероятность пе-
перехода в состояние х' в момент V достаточно давние прошедшие
состояния уже не влияют и она превращается просто в одно-
одномерную вероятность состояния. Довольно часто под условиями
эргодичности подразумевают именно требования B0.10) или
B0.11), хотя при их невыполнении необходимое условие B0.6)
может остаться в силе.
Приведем некоторые примеры распределения pT(x)dx.
Пусть l(t) = F(t)r\(t), где F(t) — детерминированная функ-
функция времени, a r\(t)—стационарный случайный процесс с од-
одномерной функцией распределения w(y)dy. Одномерная плот-
плотность вероятности для \(t) может быть вычислена по известной

§ 20)	ЭРГОДИЧНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА	129
формуле, дающей распределение произведения двух случайных
величин, если для F(t) тоже ввести «функцию распределения»,
а именно wF(z)dz = 6 [z — F(t)]dz. Тогда
+ OO
S/ X >
w\ —
— ОО
+ OO
j~. B0.12)
Подставляя это в B0.3), получаем для среднего относительного
времени пребывания выражение
B0.13)
Большую роль в радиотехнике играют так называемые пе-
периодически-нестационарные процессы, у которых одномерная
плотность вероятности, а значит, и моменты |п периодически за-
зависят от t. Очевидно, в этом случае при вычислении рт(х) Це-
Целесообразно понимать под Т период W\(x, t). Тем самым, рт(х)
не зависит от Г и совпадает с р<х>(х).
Пусть W\(t, х)—нормальный закон с гармонически меняю-
меняющимся стандартом а = аоA + k cos u>t), k s^ 1:
,, . 		1		(	X*	 •»
( , X) — ^2^0il + kcosat) ?XP | ~ 2cr?(l+?csa>02 J
Вводя Т = 2п/а и переменную интегрирования qp = atf, имеем
2Я
2ol A + k cosфJ J 1 + йсозф-
, . 		1	f
Подстановка
Рт W * Ы<> ой \ 6ХР 1 2ol A + k cosфJ
1 + k cos ф
приводит этот интеграл к виду
[ 	 ?2
= 1 — k COS 9
я
=		\ e-P(I~
B^a0Vr-^r
Если &->0, то W\(t, x) переходит в стационарное гауссово рас-
распределение а;, (х) с дисперсией сг2,, и тогда рт (х) совпадает
с Wi(x). Если же k—*\, т. е. k = 1 — е, где е->•(), то в
интеграле существенны только малые значения 0. Можно

130	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. III
приближенно положить
и раздвинуть пределы интегрирования по s от 0 до оо. Выра-
Выражение для рт(х) принимает вид
Это выражение, справедливое для достаточно малых е (т. е.
k « 1), при х ^ (То, когда в показателе можно отбросить s4,
дает
а в случае х <С сг0, когда в показателе существенно только s\
дает
Мы видим отсюда, что даже кратковременное приближение
стандарта а к нулю влечет за собой значительное возрастание
относительного времени пребывания %{t) в области малых зна-
значений х.
Как изменятся предыдущие результаты, если свойством эрго-
эргодичности обладает стационарный процесс ?(*)? В этом случае
W\ не зависит от t, a w2 зависит лишь от разности f — t, в силу
чего и функция корреляции для f(g) тоже зависит лишь от
V — t. Необходимое и достаточное условие эргодичности B0.6)
принимает теперь следующий вид:
т т
Ига -^5- ( ( % (f — t) dt df = 0.	B0.14)
0 0
Отсюда нетрудно получить другую форму условия, содержащую
только однократный интеграл от %(т). С учетом четности
V — t) по аргументу т = V — t имеем
о о
T	t
B0.15)

§20]	ЭРГОДИЧНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА	13"l
Но для функции корреляции стационарного в широком смысле
процесса справедливо неравенство [а2 = %@)]
^-\ dt
\ ty (т) dx > J- 5 % (т) dx -	B0.16)
о	>- о	-I
(см. [5], а также задачу 3 гл. VI). В силу B0.15) и B0.16) вы-
выполнение условия B0.14) влечет за собой выполнение условия
lim
т
-^ \ % (т) dx = 0,	B0.17)
1 J
которое является, таким образом, необходимым условием эрго-
эргодичности стационарного случайного процесса. Но оно также и
достаточно, поскольку B0.15) можно записать в виде
г	т	, f
4т \\ % (tf-t)dtdt' = ^\±rdtU \ % (Т) dx
ч
x),
откуда ясно, что при выполнении B0.17) имеет место и B0.14).
Условие B0.17), необходимое и достаточное для эргодично-
эргодичности стационарного в широком смысле случайного процесса, но-
носит название условия Слуцкого (см. [6], стр. 18). Оно допускает,
что ф/(т) не стремится к нулю при т->оо, а, например, содер-
содержит члены вида a cos ют '). В этом случае
T J
0
х) dx =
т.е. B0.17) выполнено.
Если интеграл от ф/(т) в пределах от 0 до оо существует,
то можно ввести эффективное время корреляции т<>:
(в действительности гр/(т) может обладать не одним, а несколь-
несколькими характерными временными масштабами). В этом случае
левая часть условия B0.17) при достаточно больших Т (а имен-
именно Т S> то) приближенно равна a)xQjT.
*) Как мы видели (§ 18), функцией корреляции такого вида обладает
гармоническое колебание со случайными и независимыми амплитудой и фа-
фазой, если, в частности, фаза распределена равномерно в интервале @, 2л).

J32	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. III
Достаточные условия эргодичности стационарного процесса
можно формулировать по-прежнему либо как требование
Ит%(т) = 0,	"B0.18)
либо аналогично B0.10) или B0.11):
lim w2 (x, t, х') = w{ (x) ш, {х'),
Тг°° / л, i	/ /ч	B0.19)
Но, быть может, наиболее существенным обстоятельством
является то, что для стационарного процесса распределение
рт(х) совпадает с одномерной функцией распределения Wi(x),
поскольку последняя не зависит от t [см. B0.3)]. Тем самым,
теоремы B0.7) — B0.9) утверждают теперь, что при условии
эргодичности B0.17) мы имеем
U.m.fT(t) = f(l),	B0.20)
т. е. среднее временное от f (|) сходится в среднем квадратич-
квадратичном (и по вероятности) к среднему статистическому и, в част-
частности,
т
l.i.m. Тт = l.i-m.y- J g (*)rf/ = |.	B0.21)
Далее,
l.i.m. T(x' xT+dx) = w{ (x) dx,	B0.22)
т. е. относительное время пребывания сходится в среднем квад-
квадратичном (и по вероятности) к одномерной функции распреде-
распределения. Последняя есть просто среднее статистическое от отно-
относительного времени пребывания:
T(x-xT+dx) = о,, (х) dx.	B0.23)
Это дает в руки экспериментатору, если он имеет дело со
стационарным эргодичееким случайным процессом, непосред-
непосредственный метод измерения одномерной функции распределения:
вероятность попадания |(^) в какой-либо интервал (а, Ь) из-
измеряется относительным временем пребывания |(?) в этом
интервале за достаточно длинный промежуток времени Т.
Мы рассматривали до сих пор условия эргодичности при-
применительно к временному среднему случайной функции f [?(?)]>
т.е. функции, зависящей от значения l(t) в какой-то один мо-

§ 20]	ЭРГОДИЧНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА	133
мент времени (иногда это называют эргодичностью первого по-
порядка) ; что можно сказать об эргодичности второго порядка,
т. е. временных средних для функций f[l(t), l(t')]? Ограничимся
в этом вопросе частным случаем стационарного процесса %(t)
и функцией f, равной произведению %(t)%(t'). Речь идет, следо-
следовательно, о том, при каком условии среднее временное
о
сходится при Т -» оо к своему среднему статистическому, рав-
равному, как легко видеть, функции корреляции процесса ?@1):
		т	т
Ш (Г)Т(Т+Т)Ь = -f \ l(t)l(t + x) dt = -f \у (г) dt = ф (т).
о	о
Очевидно, если такая сходимость имеет место, т. е.
т
l.i.m. -~ \ I (/) I (t + т) dt = гр (т),	B0.24)
то практически это означает возможность измерять функ-
функцию корреляции путем временного усреднения произведения
КО К* + т) по достаточно длинному промежутку времени Т.
Равенство B0.24) означает, что дисперсия случайной вели-
F^/U Л/VU rwy f^VJ WW ^ЛА^ Л^Л
чины [| (t) ? (t + т)]г стремится при Г—» с» к нулю. Если обо-
обозначить функцию корреляции случайной величины цх (t) —
@( + ) через ^„(а):
а)) - <г,т @) (Цх (t + а)) =
то, как показал Е. Е. Слуцкий, указанное требование сводится
к тому, что
т
lim -^ ( % (a) da = 0.	B0.25)
Если стационарность ?(/) понимается в широком смысле
(т. е, не утверждается, что функции распределения wn для ?(/)
инвариантны по отношению к сдвигу начала отсчета времени
при п ^ 3), то независимость я|зч от t представляет собой само-
самостоятельное предположение. Если же стационарность l(t)
*) Для простоты мы считаем, что 1 = 0,

134	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. III
понимается в узком смысле, то момент четвертого порядка будет
зависеть только от разностей моментов времени, т. е. от т и а.
Обычно следует из физических соображений, что зависимость
между r\(t) и r\(t-{-а) при а-* оо исчезает, так что ¦фТ)(сг) —*¦ О,
и тогда условие B0.25) выполнено. Тем самым верна и теорема
B0.24).
Наличие в tyn момента четвертого порядка не позволяет
в общем случае выразить B0.25)—условие справедливости эр-
эргодическои теоремы B0.24) для момента второго порядка — че-
через функцию корреляции самого процесса l(t), т.е. через i|)(t).
Однако в том частном и важном случае, когда l(t) — нормаль-
нормальная функция, а значит, все ее моменты, в том числе и четвер-
четвертые, выражаются через | и -ф (т), это возможно. А именно, если
l(t)— нормальная функция (и для простоты | = 0), то необхо-
необходимым и достаточным условием для выполнения B0.24) будет
lim 4-(|ф(т)|2Л = 0.	B0.26)
г->0° о
Если в функции корреляции г|э (т) содержатся периодические
члены, то условие B0.25) для нее выполнено, но B0.26) уже не
имеет места. Заметим, что B0.26) обеспечивает выполнение
эргодическои теоремы для моментов не только второго, но и лю-
любого порядка, т. е. все временные средние по промежутку @, 7")
от произведений l{t + x\)%(t + т2)... \(t + т„) сходятся по ве-
вероятности при Т —* оо к соответствующим моментам. Более того,
для любой функции от нормальных величин g(f + т)
(если среднее значение ее модуля [ f | конечно) теорема тоже
верна: при Т -> оо имеем
• т
l.i.tn. fT = l.i.m. -sr \ f [I (t + Tj), | (/ + т2)	6 (/ + т„)] rf/ =
— /
Задачи
1. Пользуясь ответом задачи 5 гл. II, написать характеристическую функ-
функцию для n-мерного распределения нормального случайного процесса %(t) со
средним значением g(rf) = 0.
Решение. Элементы корреляционной матрицы п случайных величин
%{t\)	\(tn) равны
bik = I (U) I (/*) = Ч> Vt. tk),

ЗАДАЧИ	J35
так что
Ф«(«1. h\ и2, U; ...; ип, tn) = exp< — — ^ ¦ф (t{, tk) ил1к >.
Если процесс | (t) в широком смысле стационарен, то
Ф„ (кь /,; и2, h; ...; и„, tn) = exp
— -j J] ф (^ — /ft) «?Kft k
а это означает, что и я-мерная плотность вероятности зависит при любом п
только от разностей п моментов времени. Таким образом, для нормального
процесса стационарность в широком смысле влечет за собой стационарность
и в узком смысле.
2. Располагая двумерным распределением ш2 случайного процесса 1@»
получить совместную функцию распределения ш для КО и |@- Найти w
для стационарного нормального процесса.
Решение. Имеем гюг(х, t; x х, / + т), где х%— возможные значения
К^+.т). Введем вместо хх новую переменную у = (хх — х)/т, так что при
t->0 имеем у-^-х, например, в среднем квадратичном. С точностью до пер-
первого порядка по т можно написать хх = х + г/т, и, следовательно,
w2 (x, t; xx, t + т) dx dxx « w2 (x, t\ x + ух, t + т) т dx dy.
В пределе при т~>0 получаем
w (х, у, 0 dx dy = dx dy lim xw2 (x, t; x + yr, t).	A)
t-»o
имеем
Для стационарного нормального процесса (для простоты с х\ = х\ = а2)
Ф2 (и,, и2, т) = ехр I - -у- [и] + и\ + 2К (т) и,и2) |,
где /С(т)—коэффициент корреляции. Так как К (г) имеет при т = 0 макси-
максимум (равный единице), степенное разложение К (т) есть
Следовательно,
w {х, у) =
{X

136	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ, III
Если ввести переменные интегрирования a = tti + «2 и р = -%- (и2 — «i), то
получим
+ 00
w (х, г/) = hm < — \ \ ехр	^— A -1 К"\о -г 1 + ю. ( х + %-) da V
+ ОО
2a2
Vl K" |0 I 2a2 ' J
B)
Таким образом, | и | нормальны и независимы (в один и тот же момент
времени), причем
D Ш = a2, D [|] = а21 /(" @) |.	C)
3. Показать, что у стационарного в узком смысле случайного процесса
|G) смежные по порядку производные |(п'@ и |<п+1>(/) некоррелированы.
Решение. Для вычисления га-й производной надо располагать (и+1)-
мерным распределением самого процесса \{t). Следовательно, стационарность
и стационарная связанность всех производных требуют стационарности \(t)
в узком смысле.
Для смежных по порядку производных, взятых в один и тот же момент
времени t, имеем
i) > (J ^ fe() ]2^ |^<[() ]2)_0>
так как средний квадрат любой производной — постоянная величина. В част-
частности,
но ||, вообще говоря, отлично от нуля.

Глава IV
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
§ 21. Предварительные замечания
Хотя марковские процессы (процессы без вероятностного
последействия) представляют собой весьма специальный класс
случайных процессов, значение их очень велико, поскольку вы-
выделяющие их условия оказываются выполненными в широкой
области приложений теории. Это тем более справедливо, что
случайные процессы общего вида во многих случаях могут быть
приведены к схеме процесса без последействия, если воспользо-
воспользоваться более детальным описанием рассматриваемого процесса,
т. е. должным образом увеличить количество переменных, опи-
описывающих состояние рассматриваемой системы. Для пояснения
этого обратимся вновь к случаю детерминированного процесса,
но допустим, что динамическая система описывается дифферен-
дифференциальным уравнением не первого порядка (как это предпола-
предполагалось в § 15), а второго. Тогда решение при начальных усло-
условиях
х = х0, х = и0 при t = tQ
будет
х = f (t, х0, щ, t0).
Если и теперь понимать под состоянием системы только ко-
координату х, то для плотности условной вероятности значения х
в момент t надо было бы написать
v (t, х 110, х0, uo) = b[x — f (t, х0, и0, t0)}.	B1.1)
Но задание и0 равносильно заданию двух значений х в весьма
близкие моменты времени [скажем, xq при t = t0 и х0 — h при
t = t0 — х,' так что «о = Нт(А/т)]. Таким образом, условная
Т-»0

138	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
вероятность B1.1), по существу, зависит от двух предшествую-
предшествующих состояний:
v (t, х 110, х0, и0) « v (t, -х | /0, xo\ t0 — r,xo — h),
и, следовательно, статистическое обобщение ( 21.1) не является
процессом марковского типа.
Не только в статистической, но и в динамической теории
обычно предпочитают избегать зависимости состояния системы
от ее поведения до фиксированного начального момента. Это
достигается расширением самого понятия состояния в момент t
путем введения новых характеризующих состояние величин.
В приведенном примере применение этого приема сводится
к тому, что наряду с координатой х вводится еще и скорость
х = и. Понимая под состоянием совместное задание х и и
в момент t, можно записать условную вероятность этого состоя-
состояния для рассматриваемого динамического процесса в виде
6[х — / (t, xQ, щ, Щ6[u — f (t, х0, и0, /0I.
что представляет собой частный случай вероятности перехода
v(t, х, u\t0, хо, щ). Таким образом, в соответствующей стати-
статистической схеме мы приходим теперь к марковскому процессу,
но для совокупности двух случайных функций х и и, т. е. для
двумерной случайной функции.
Аналогичным образом ^-мерный случайный процесс, не яв-
являющийся марковским, можно путем введения достаточно об-
обширной совокупности «координат» сделать марковским, но для
более высокого числа измерений k'. Грубо говоря, для этого
достаточно понимать под «состоянием» системы совокупность
значения рассматриваемого процесса в последний наблюдае-
наблюдаемый момент времени t и некоторого количества значений из
«предыстории» этого процесса при V < t. Если, однако, требо-
требовать конечности k', то этот прием будет осуществим не всегда.
Именно так обстоит дело в приведенном ранее примере движе-
движения частицы в жидкости, оказывающей вязкое последействие
(§ 25). Последнее описывается интегро-дифференциальным урав-
уравнением, т. е. не может быть исчерпано никакой конечной сово-
совокупностью производных от х в момент t или конечной совокуп-
совокупностью значений х в моменты t' ^ t.
В зависимости от дискретности или непрерывности возмож-
возможных значений параметра t и возможных значений х самой слу-
случайной функции l(t) можно и для случайных функций марков-
марковского типа различать те же четыре разновидности, о которых
говорилось в § 14.
Если время t дискретно, то вместо значений tn можно рас-
рассматривать в качестве аргумента номера п этих значений и го-

§ 21]	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ	139
ворить об «испытаниях», занумерованных целыми числами п.
Случайная функция t,(t) сводится тогда к последовательности
случайных величин g(?n)s=gn (g при п-и испытании). Хотя
схемы с дискретно меняющимся параметром t в некоторых от-
отношениях более просты и наглядны, мы сосредоточим внимание
на собственно процессах, т. е. на случае непрерывного измене-
изменения t, который впервые был рассмотрен в работах Эйнштейна
и Смолуховского по теории брауновского движения. В отноше-
отношении марковских последовательностей мы ограничимся отдель-
отдельными замечаниями.
Наиболее близкими к классической теории вероятностей яв-
являются дискретные последовательности, т. е. процессы с прерыв-
прерывным временем и с дискретными возможными значениями слу-
случайных величин |n = l(tn)- Обозначим эти возможные значе-
значения через Х{ (i = 1, 2, ...). Марковость процесса означает, что
существует вероятность перехода от любого из значений xt при
1-м испытании к любому значению xh при п-и испытании
р(п, xk\l,xi)=P{ln = xk\ll = xl}.	B1.2)
Если, в частности, число возможных значений (состояний) Xi
конечно (i = 1, 2, ..., N), то процесс называется простой цепью
Маркова.
Однородность рассматриваемого процесса марковского типа
состоит в том, что вероятность перехода зависит от п и / только
через их разность, т. е. зависит только от числа «шагов» s =
= n — /, пройденных от начального испытания к конечному.
Очевидно, последовательности марковского типа можно рас-
рассматривать как непосредственное обобщение последовательно-
последовательностей независимых испытаний, о которых говорилось в гл. I.
В терминах вероятностей перехода можно сказать, что у после-
последовательности независимых испытаний р(п, xh\l, хг)=Р {ln = Xh},
т. е. вероятность перехода в состояние Хи просто совпадает с ве-
вероятностью этого состояния при п-м испытании, независимо от
результатов других испытаний.
Если случайные величины \п имеют непрерывное множество
возможных значений х, то марковость такого непрерывного про-
процесса с дискретным временем означает существование вероят-
вероятности перехода, которую можно записать как в интегральной
форме:
так и в дифференциальной:
о (я, x\'l, у) dx = dxV = Р{х < ln^x + dx\li= у).

140
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. IV
§ 22. Уравнение Смолуховского
Фундаментальным для теории случайных функций марков-
марковского типа является уравнение Смолуховского [1], выражающее
тот простой факт, что вероятности перехода для каких-либо
трех последовательных моментов времени должны быть опре-
определенным образом согласованы между собой. Если взять для
конкретности марковский процесс (t непрерывно) и непрерыв-
непрерывные же возможные значения случайной функции l(f), то речь
идет о следующем.
Переход из состояния х0 в момент времени ^0 в состояние х
в момент t [вероятность этого перехода есть v(t, x\t0, Xo)dx] реа-
реализуется через какое-либо состояние у в промежуточный момент
времени 9 (to<Q<t), т.е. может быть представлен в виде
двух последовательных переходов Хо-*у и у—*х. Вероятность
совместного осуществления этих двух переходов есть
v (9, у 110, xQ) dy v (t, x 19, у) dx,
причем с теми же самыми условными плотностями вероятности v
(марковский процесс). Но переход хо-+у-*х есть один из
взаимно исключающих частных случаев перехода хо-*х
(рис. 10), так что суммирование
по всем возможным состояниям
у в момент 6 должно давать
полную вероятность перехода
\ ;¦
v(t, x\t0, xo)dx =
= dx \v(t,x\B,y)v (9,y\ t0,x0) dy.
B2.1)
~*~~ Это и есть уравнение Смолухов-
Смолуховского.
Рис- 10-	Следует вновь обратить вни-
внимание на существенное ограни-
ограничение, которое налагается уравнением B2.1) на допустимый вид
функций V. интегрирование по у произведения двух v должно
снова давать функцию v и должно автоматически исключать
зависимость результата от промежуточного момента времени 9,
от которого зависит подынтегральная функция. По существу,
это лишь иное выражение тех ограничений вида «-мерных функ-
функций распределения, которыми выделены марковские процессы.
Действительно, нетрудно' получить уравнение Смолуховского и
другим путем, опираясь только на условие согласованности рас-
распределений различной мерности (§ 14) и на определение мар-
марковости A5.3) (см. задачу 1).

§ 22]	УРАВНЕНИЕ СМОЛУХОВСКОГО	141
Проинтегрировав B2.1) по х от нижней границы интервала
возможных значений до х и перейдя от риманова интеграла по у
к интегралу Стилтьеса, мы получаем уравнение Смолуховского
для интегральных вероятностей перехода:
V (t, х \t0, xo) = \v (t, x\Q,y) dyV (9, y\t0, x0) (to<Q< t).
B2.2)
В таком виде оно охватывает случаи как непрерывных, так и
дискретных возможных значений ?(*). Это различие, в общем,
является второстепенным, так как, даже не прибегая к инте-
интегралу Стилтьеса, а оперируя плотностями вероятности, мы
всегда можем при дискретных возможных значениях записывать
эти плотности через соответствующие'дельта-функции. Приве-
Приведем все же запись уравнения Смолуховского для процесса с ди-
дискретными возможными значениями случайной функции ?@,
т. е. для вероятностей перехода p(t, xh\t0, xt):
Pit, xk\h, xt) =
(', *ftIe, xi)P{Q, x/Uo,*,) D,<e<0. B2.З)
Если речь идет о случайных марковских последовательностях,
т.е. значения параметра t дискретны, то в уравнениях B2.1) —
B2.3)	можно заменить аргументы tn на «номера испытаний» п.
Например, вместо B2.3) получим
р (п, хк\1, х1) = Ер(п, хк\пг, xt)p{m, x,\l, xt) (l<tn<n).
B2.4)
Для случая, когда число возможных дискретных значений ко-
конечно (цепи Маркова), т.е. i, /, k — \, 2, ..., N, уравнение
B2.4)	было установлено Марковым и носит название уравнения
Маркова.
Если случайная функция марковского типа однородна по t,
то B2.1) примет вид
v(x\t — t0, х0) =
+ 00
= 5 v (х \t - Э, у) v (у 19 - /0, х0) dy (to<Q< t), B2.5)
— 00	v
а вместо B2.4) будет
p{xk\n — l, xt) =
-m,xJ)p(x1\m-l,x{) (l<m<n). B2.6f

142	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	'	[ГЛ. IV
Как сказано, мы не будем углубляться в теорию марковских
последовательностей и цепей (см. [2]), но все же рассмотрим
в качестве примера применение B2.6) к однородной цепи Мар-
Маркова. Введем следующее более лаконичное обозначение для
вероятности перехода за s шагов:
p{xk\s, Xi)=pik(s).
Уравнение Маркова B2.6) запишется тогда в виде
N
Pik(s) = Zpu(m)Pik(s-m) @<m<s). B2.7)
Величины pih(s) образуют матрицу ns вероятностей перехода
(коротко — матрицу перехода) за s шагов. Уравнение B2.7)
показывает, что матрица ns равна произведению матриц Лщ
и лв-т'
ns = nmns-m. @<m<s).
Но при s = 2 возможно только т=\, так что п2 = л\. При
s = 3 имеем я3 = п{п2 = п2п{ = п3[} и, вообще,
.
B2.8)
По этой формуле вероятности перехода за s шагов выражаются
через вероятности перехода ргйA)== pih за один шаг. Заметим,
что в матрице перехода
Я, =
P\2 ••• P\N
p22 ... p2N
PN2 ' '• PNN
все элементы, разумеется, неотрицательны, причем ни один
столбец не состоит сплошь из нулей (в числе хд содержатся
только возможные конечные состояния), равно как и ни одна
строка не состоит из нулей, по-
й I . i	, | , 1 скольку при всяком начальном
й	'	Р СОСТОЯНИИ Xi
ы г з...	N-: n
Рис. 11.	J^\.Pik== 1#
Пусть, например, рассматриваются случайные блуждания
частицы между двумя отражающими стенками (рис. 11). Всюду,
кроме положений i = 1 и i = N, шаг вправо имеет вероят-
вероятность р, шаг влево — вероятность q = 1 — р. На стенках ча-
частица обязательно отступает на один шаг внутрь. Это типичная
однородная цепь Маркова со следующими вероятностями

22]
УРАВНЕНИЕ СМОЛУХСЖСКОГО
143
перехода за один шаг A < i <; N) :_
р (k = i+l),
ik = \ q {k = i— 1),
0 (остальные k),
Plft~"l0 (остальные /г),
pNk
1 О
О (остальные к).
Таким образом, матрица щ имеет вид
Щ = (pik) =
(О	1	0	0 ... О	0	01
q	0	р	б ... О	О	О
О	q	0	р ... О	О	О
О	0	0	0 ... q	0	р
О	0	0	0 ... О	1	О
Нетрудно убедиться в том, что и для неоднородной марков-
марковской последовательности вероятности перехода за s шагов тоже
могут быть выражены через вероятности перехода за один шаг.
Последние зависят теперь от номера испытания, так что мы обо-
обозначим их следующим образом:
Согласно B2.4)
, у\п, х) = рп(у\х).
р(п + 2, у\п, х) =
P(n + s, у\п, х)= X Pn+s-X{y\z)pn+s-2{z\u) ...pn(v\x).
г, и	и
Для непрерывной функции l(t) тот же результат можно запи-
записать через плотности вероятности:
v (п + s, у | п, х) =
s-i (y\z) Vn+s-2 (z\u) ...vn(w\x)dzdu ... dw.
Нетрудно сообразить, что обе формулы представляют собой
просто повторные композиции соответствующих условных функ-
функций распределения, так что их можно записать в виде
Р {п + s, у |п, х) = pn+s-x {y\z)* pn+s-2 (z |ы) *...*/>„ (w|x).
В частном случае однородной цепи Маркова, когда вероятности
при однократном переходе не зависят от его номера, это дает
для матрицы перехода за s шагов формулу B2.8).

144	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
§ 23. Марковский процесс с дискретными состояниями
Перепишем уравнение Смолуховского B2.3) для трех после-
последовательных моментов времени to < t < / -f- т:
т, Ч \t0, xi) = Zp(t + т, xk \t, xt) p (t, x,\t0, x,). B3.1)
Допустим, что для достаточно малых т вероятность перехода
имеет вид
р (t + х, xk \t, x,) = b,k + А,кх + о (т),	B3.2)
где о(т)—члены выше первого порядка относительно т. Мы
учитываем в B3.2), что при т->0 конечное состояние с досто-
достоверностью совпадает с начальным, т. е.
p(t,xk\t,xf) = 6lk,	B3.3)
а кроме того, предполагаем существование производной
др (и, хк 11, X/)
A-ik @ =	-q-u
B3.4)
Очевидно, при / ф k (т. е. djh = 0) Ajh (t) dt есть вероятность пе-
перехода за время dt из состояния Xj в другое состояние х\. Тем
самым, при / ф k должно быть
Alh(t)>0 Цфк).	B3.5)
Так как вероятность перехода в какое-нибудь из возможных со-
состояний должна равняться единице:
Ep(t+*,xk\t,x,)=l,	B3.6)
имеем
Е Alk (t) = 0, А„ (/) = - Z Л/л @ < 0.	B3.7)
Подставим B3.2) в правую часть B3.1) и перейдем к пре-
пределу при т—* 0. Это приводит к следующему основному уравне-
уравнению (точнее — системе уравнений) для марковского процесса
с дискретными состояниями '):
B3.8)
При начальных условиях B3.3) эти уравнения определяют за-
зависимость вероятностей перехода от времени. Если число воз-
возможных состояний конечно, то нетрудно показать, что для
') Строгий вывод см. у А. Н. Колмогорова [3]. Заметим, что в силу
B3.3) и B3.4) первоначальное предположение t > U можно отбросить, т. е.
в B3.8) допустимо и t = to.

§ 23]	МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС С ДИСКРЕТНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ	145
любых непрерывных Aih(t), удовлетворяющих условиям B3.5) и
B3.7), уравнение B3.8) с начальным условием B3.3) имеет
единственное решение, неотрицательное и удовлетворяющее
B3.1) и B3.6), т. е. определяет марковский процесс. При беско-
бесконечном множестве возможных состояний вопрос о единственно-
единственности и допустимости решения требует специального исследова-
исследования, которое и проводилось в ряде математических работ.
С точки зрения практических приложений этот вопрос не яв-
является обычно особо острым.
Наряду с B3.8) справедливы также следующие дифферен-
дифференциальные уравнения по начальному моменту t0 [3]:
*'<*'%''»*'> —ZAtl (t0) p (t, хк U0, ,,), B3.9)
которые легко получить, выбрав промежуточный момент вре-
времени близким не к конечному, а к начальному моменту to.
Уравнениям B3.8) удовлетворяют не только вероятности пе-
перехода, но и одномерная вероятность состояния pi(t, xh). Дей-
Действительно, если задана начальная функция распределения
P(t0, *{),то
Pi (t, **) =» 2> (t0, xt) p (t, xk \t0, x,).	B3.10)
Умножив B3.8) на P(t0> xt) и взяв сумму по i, получим в силу
B3.10)
^^?/»Ю *<*•*/>•	B3.11)
Эти уравнения надо интегрировать при начальных условиях
Pi(to,xk) = P(to,xk).	B3.12)
Если рассматриваемый марковский процесс однороден, т. е.
вероятность перехода имеет вид p(xh\t, xt) (t вместо t — t0), то,
согласно B3.4), Ajh — постоянные величины и уравнения B3.8)
принимают вид
dP{XfX) Ylkp(x]\t,xi).	B3.13)
В предположении, что при t —* со вероятности перехода «забы-
«забывают» об исходном состоянии и превращаются в стационарные
вероятности состояния (наличие эргодичностиI):
\\mp(xk\t,Xi) = P(xk),
') Это будет, в частности, в том случае, если все Ащ Ф 0, т. е. все
переходы при малых т возможны.

146	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
мы получаем для нахождения Р(хь), согласно B3.6) и B3.13),
уравнения')
Е Р (**) = 1, Е А{к Р (х,) = 0.	B3.14)
Рассмотрим два примера, относящиеся к однородным про-
процессам.
1. Двусторонняя реакция. Система может при этом нахо-
находиться в одном из двух состояний 1 и 2. В частности, речь мо-
может идти о распаде частицы (ионизация, диссоциация, хими-
химическое разложение, радиоактивный распад), когда состояние
1—это нераспавшаяся частица, а состояние 2 — распавшаяся.
В общем случае возможен как процесс распада (переход
1 —> 2 с вероятностью a dt за время dt), так и процесс восста-
восстановления (переход 2 —> 1 с вероятностью $dt за время dt). Та-
Таким образом, Ац = a, A2i = р и, согласно B3.7), Ап = — а,
Л22 = — р, так что уравнения B3.11) для вероятностей состоя-
состояния
р,(М)^Р,@ и Pl(t,2)^P2(t)
принимают вид
dPJdt = — aPl + рР2, dP2/dt = aPi — РР2.
Второго уравнения можно было бы и не писать, а исключить Р%
из первого, пользуясь тем, что Р\ + Р2 = 1. Тогда
Пусть при ^ = 0 задано Pi = I (соответственно Р2 = 0),
т. е. система с достоверностью находится первоначально в со-
состоянии 1. Решение будет
Pl (t) = е~м + { A - elM), P2 W = х A - е-«).
При t -* «э достигаются стационарные значения обеих вероятно-
вероятностей, не зависящие от начальных условий:
т. е. процесс эргодичен. Если восстановление невозможно
(Р = 0), как это имеет место, например, в радиоактивном рас-
распаде, то
Р, (*) = е-«, Р2 (t) = l- e~M.
2. Двухпозиционное реле. Пусть оно находится под воздей-
воздействием случайной последовательности управляющих импульсов,
') Предполагается, что dpjdt -*¦ 0 при t -*¦ оо, что, вообще, не следует из
существования постоянных пределов у самих р.

§23]	МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС СДИСКРЕТНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ	J47
с одинаковой вероятностью имеющих знаки плюс или минус.
Пусть положительный импульс создает или сохраняет состоя-
состояние 1, отрицательный — создает или сохраняет состояние 2. То-
Тогда Ai2 = A2i = а (т. е. adt— вероятность изменения состоя-
состояния за время dt) и, согласно B3.7), Лц = А22 = —а. Очевидно,
мы имеем здесь, частный случай предыдущей схемы, соответ-
соответствующий р = а. Но теперь мы напишем уравнения B3.13) для
четырех вероятностей перехода (л: =1,2):
dpB\t,x)/dt = ap(l\t,x)-apB\t,x),
которые надо решать при начальных условиях B3.3). Решения
имеют вид
р B |М)=/>(ф, 2) = 1A-.*-*«'),
Мы снова видим, что процесс эргодичен: при t —* оо вероятности
перехода стремятся к стационарным значениям (как это и
должно быть, поскольку все Ajh Ф 0), а именно:
В обоих примерах мы имеем монотонное приближение ве-
вероятностей к их предельным значениям. Возможен, однако, и
осцилляторный ход, т. е. затухающие колебания. Если искать
частное решение уравнений B3.13), пропорциональное еи, то
для определения Я в случае N возможных значений получится
характеристическое уравнение
Ап — Я А2Х ... ANl
== ">
¦ AlN A2N ... AN[i~X
т. е. уравнение jV-й степени относительно Я. Эргодичность будет
иметь место в том случае, если полином по степеням к, остаю-
остающийся в левой части после сокращения на некоторую степень Я,
будет полиномом Гурвица, т. е. все отличные от нуля корни А
будут иметь отрицательные вещественные части. Очевидно, за-
затухающие колебания будут происходить в том случае, когда
среди корней имеются комплексно-сопряженные пары.
В примере двухпозиционного реле имелось два корня,
а именно Я = 0 и Я = — 2а. В цитированной работе А. Н. Кол-
Колмогорова [3] приведен следующий пример для N = 3:
Л-—- А —— А , — с§ А . — А — А — П А — А —— А — ^.
12 ^*23 *~~~ "^З! "~ **> **21 ^^ *132 "~" ^УЗ ~~~ "» ^П "~~ **22 "~~ ^33 ""~ ^^W»

148	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
Корни характеристического уравнения здесь равны
» — п а — il 4- / -^- а	За - / -&-
так что вероятности перехода стремятся к стационарным зна-
значениям [РA) =/>B) = РC) = 1/3], совершая затухающие ко-
колебания ').
§ 24. Переход от дискретной последовательности
к процессу с непрерывным множеством состояний.
Распределение Релея
Прежде чем вывести основное дифференциальное уравнение
для марковских процессов с непрерывным множеством возмож-
возможных состояний, укажем на применяемый иногда упрощенный
прием: время t и множество состояний х подразделяются на
весьма малые промежутки At и Ах, составляется уравнение для
марковской последовательности, а затем делается переход к пре-
пределу при Д? -> 0 и Ад: —* 0.
Рассмотрим конкретный пример блуждания частицы, кото-
которая в моменты времени N At (N = 1, 2, ...) скачет на шаг
Ах = а вправо или влево с вероятностями р и q = 1 — р. Это
уже знакомая задача об «абсолютно пьяном человеке» или
о сложении колебаний со случайными амплитудами ±а (§§ 4
и 6). Мы имеем здесь однородную марковскую последователь-
последовательность, но не стационарную (распределение зависит от номера
испытания).
Напомним, что вероятность того, что за N шагов будет сде-
сделано п шагов вправо [частица уйдет вправо на х = Bп — N)a,
или же интенсивность суммы N колебаний будет J=Bn — NJa2],
дается биномиальным законом Pw(«) =CkpnqN~n- Но сейчас
мы подойдем к этой задаче с несколько иной стороны.
Обозначим абсциссу частицы в момент t == N At через х =
= та и, считая, что в момент t = 0 частица""вышла из точки
х = 0, введем вероятность перехода за N шагов:
Нетрудно связать pN,m с биномиальной вероятностью Рк(п),
но, как сказано, теперь мы будем искать р^, т, не обращаясь
к PN (n) (см. задачу 6).
Частица может попасть при N-ы шаге в точку х = та, если
при (N—1)-м шаге она оказалась в (т—1)й или в {т-\-\)а,
причем из первого положения — с вероятностью р, а из вто-
') Другие примеры и обобщение на многомерный случай см. в [41, § 3.2
и [51.

§ 24]	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЛЕЯ	149
рого — с вероятностью q. Следовательно, по формуле полной
вероятности имеем
Pn, m == PPn-U m-\ ~f" 4Pn~\, т+1
— уравнение Маркова для данной задачи. Если изменить обо-
обозначение вероятности перехода, введя v(t, х)а = pN,m, то урав-
уравнение перепишется в виде
v (/, *) =pv{t- At, x — a)+qv(t — At,x + a).
Разложим теперь v в правой части по степеням At и а = Ах.
Учитывая, что р -\- q = 1, получаем
о—?*-0>-«>&« + &4 +
Разделим уравнение на Д^ и перейдем к пределу при Д^ —> О,
р — q —>• 0, а —* 0, причем предположим, что существуют следую-
следующие конечные пределы:
lim ip~1)a =A, lim-S- = B.	B4.2)
Таким образом, допускается, что а ~ (AtI!' и (р — q) ~ (At)'1*,
в силу чего все члены в B4.1), кроме записанных в первой
строке, стремятся при At —> 0 к нулю. В результате указанный
предельный переход приводит к следующему дифференциаль-
дифференциальному уравнению для плотности вероятности перехода v(t, x):
^. = -A*L+BpL.	B4.3)
dt	дх ' 2 дх2	'
Какому начальному условию должно удовлетворять решение
при t — О? В общем случае для вероятности перехода
v(t, x\t0, х0), поскольку при t = t0 с достоверностью должно
быть х = Хо, имеем
v (t0, х 110, хо) = 6(х — х0).	B4.4)
В нашем случае v(t, x)=z v(t, x\0, 0), так что надо требовать
и, конечно,
+ ОО
Jo(f, x)dx=\.

150	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ, IV
Этими условиями определено решение 1)
(X-AtJ\,	B4.5)
т. е. нормальное распределение с х = At и дисперсией
(x — AtJ = Bt. Для произвольных начальных х0 и t0 мы полу-
получили бы
Мы имеем, таким образом, однородный, но нестационарный
марковский процесс.
Если бы задача ставилась о блужданиях частицы между
двумя отражающими стенками, удаленными на расстояние /
друг от друга (при этом, естественно, не должно быть система-
систематического потока, т. е. А = 0), то существовала бы предельная
стационарная вероятность, а именно равномерное распределение
с плотностью 1//. Мы имели бы
lim v {t, x \t0, x0) = aij (х) = 1//.
В этом случае налицо и эргодичность процесса, так как Wi(x)
не зависит от начального состояния х0. Напротив, при движе-
движении частицы между поглощающими стенками (прилипание ча-
частицы на стенках), предельное распределение существует и ста-
стационарно, но эргодичности нет, так как w\ (x) сохраняет зави-
зависимость от х0:
lim v (t, * |/„, *о) = o»i (х) = (l - т1) б (х) + ¦??- б (* - I).
Нетрудно убедиться в том, что вероятность перехода B4.6)
удовлетворяет уравнению Смолуховского B2.5).
Поведение v(t, x\t0, x0) с ростом t вполне очевидно: распре-
распределение постепенно расплывается в соответствии с ростом дис-
дисперсии B(t — ?о), причем максимум (среднее значение) равно-
равномерно перемещается из точки Хо при t = t0 с постоянной ско-
скоростью А. Иллюстрацией может служить движение брауновской
частицы при наличии силы тяжести. Систематическая скорость
равна при этом А = — tng/h = const, где h — коэффициент
стоксова трения. Таким образом, B4.6) описывает диффузию
в равномерном потоке, что, впрочем, ясно уже из исходного
дифференциального уравнения B4.3). При А == 0 мы возвра-
') Очевидно, что решение — просто теорема Муавра — Лапласа, форму-
формулированная применительно к непрерывным «испытаниям» [см. §§ 6, 7, в част*
ности, формулу G.3)].

«24]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЛЕЯ
151
щаемся к задаче об изотропных блужданиях или же о распре-
распределении суммарной амплитуды х, получающейся в результате
сложения бесконечно большого числа N колебаний с равнове-
равновероятными бесконечно малыми амплитудами ±а. В последнем
случае нас интересует обычно не х, а интенсивность / = х2. Не-
Нетрудно подсчитать при помощи формулы B4.5) с А = 0, что
так что (ср. § 4)
Относительного сглаживания флуктуации интенсивности нет: как
бы много колебаний мы ни сложили, средний разброс интенсив-
интенсивности будет того же порядка, что и сама средняя интенсивность.
Вопрос об интенсивности, получаемой в результате сложе-
сложения большого числа колебаний со случайными амплитудами,
впервые рассмотрел описанным способом Релей (см. [6], § 42а).
Он исследовал также более общий случай равномерного рас-
распределения фаз складываемых ко-
колебаний в интервале @,2я), т. е.
случай двумерной векторной диа-
диаграммы, или задачу о блужданиях
частицы не в одном измерении, а
на плоскости (рис. 12). Здесь речь
идет о вероятности перехода к
моменту t из начала О в точку
г(х,у).	' -
Попадание в (х, у) в момент t
может осуществиться в результа-
результате перехода с любой точки окруж-
окружности радиуса а (длина шага) с центром в (х,у), если ча-
частица в момент / — Л^ была на этой окружности. При этом все
направления элементарного вектора а равновероятны (равно-
(равномерное распределение фазы ф, изотропные блуждания), так
что
2л
v(t, х, у) = \v(t — At, x — асоэф, у — аэшф) -^-.
iZ"
Рис. 12.
Разлагая подынтегральное выражение по степеням acoscp и
a sin ф и выполняя интегрирование, получаем

152
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. IV
Если предположить теперь, что
lim 4т =
то в результате предельного перехода Д^-+ 0 получаем
dv _ В / d2v , 62v
dt ~ 2 \дх2 "г Зг/2
B4.7)
— двумерное уравнение диффузии, нормированное решение ко-
которого, переходящее при t — 0 в 8(хN(у), есть
1
t, х, у) =
2nBt
B4.8)
т. е. произведение нормальных распределений для компонент х
и у, которые, таким образом, независимы. Наивероятнейшее и
среднее значения вектора г равны нулю.
Если интересоваться абсолютной величиной вектора г и его
фазой г|), т. е. перейти на плоскости (х, у) к полярным коорди-
координатам (х = г cos г|), у = г sin i|), dxdy = г dr dty), то вероятность
перехода запишется в виде
v (t, х, у) dxdy = v (t, r, if) drdty = —-g-— r dr-^-. B4.9)
Из B4.9) следует, что гиф независимы, причем фаза ip
равномерно распределена в @, 2я), а амплитуда г подчинена
закону распределения
р-г'12а'
vr (t, r)dr= t r dr, B4.10)
/
¦амё
D
J
г
Рис. 13.
называемому распределением. Релея.
Через а2 мы обозначили среднее квад-
квадратичное значение компонент х и у:
х~г = у~2 = а2 = Bt.
Из B4.10) следует, что наивероятней-
наивероятнейшее значение г есть гт = а (рис. 13) и
что
г = У«/2о. ?=2aa = 2Bt. B4.11)
также из того, что г2 =
Последнее выражение вытекает
=~x2 + W-
Изложенный релеевский метод явился первым шагом на
пути к установлению общего дифференциального уравнения, ко-
которому удовлетворяют вероятности перехода и которое выте-
вытекает из уравнения Смолуховского при определенных предполо-
предположениях об этих вероятностях. Это дифференциальное уравнение

§ 25]	НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЛЕЯ	153
. принято называть уравнением Эйнштейна — Фоккера по имени
ученых, которые впервые его вывели и использовали. А. Н. Кол-
Колмогоров дал в 1931 г. строгое его обоснование. К выводу и об-
обсуждению этого уравнения мы перейдем в § 26 ').
§ 25. Некоторые обобщения распределения Релея
В этом параграфе, хотя он и прерывает изложение теории
марковских процессов, мы остановимся на некоторых обобще-
обобщениях релеевского распределения, к которому нас привела про-
простейшая постановка задачи о случайных блужданиях на пло-
плоскости. Отвлекаясь от этой задачи, в которой вектор г есть
сумма многих случайных шагов &и, можно резюмировать полу-
полученный результат следующим образом. Если компоненты х и у
вектора г независимы и распределены нормально с х = у = О
и х2 = у2 = а2, то, согласно B4.10), модуль г и аргумент г|> этого
вектора независимы, г распределено по Релею, a \ji- равно-
равномерно в интервале @, 2я). Отказ от любого из указанных огра-
ограничений распределения хну ведет к распределениям г, обоб-
обобщающим релеевское. Рассмотрим сначала случай, когда при
сохранении всех остальных предположений допускается, что
среднее значение г отлично от нуля.
Мы будем говорить о г как о ком- у
плексной амплитуде колебания на
векторной диаграмме (г—амплиту-
да, т|з — фаза колебания).
1. Рассмотрим распределение
суммы детерминированного сигнала
и нормального шума. Пусть сигнал
изображается вектором А с постоян-
ными амплитудой Л и фазой г|зо (гар-
(гармонический сигнал), а нормальный	Рис- 14-
шум — вектором г с распределением
B4.10). Нас интересует распределение вектора R = А + г, т. е.
совместное распределение его амплитуды R и фазы ф (рис. 14).
Так как
г cos г]) = /? cos ф — Л cos i|H, r sin г|) = R sin ф — Л sin г|H,
имеем
Поэтому преобразование B4.10) к переменным R и <р дает
wR(R, <p)dRd(f =
{^	}^^1 B5.1)
») См. [7], §§ 54-56.

154	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
что и является искомым распределением. Здесь нет ни незави-
независимости R и ф, ни равномерного распределения ф.
Интегрируя B5.1) по ф от 0 до 2я и пользуясь известным
выражением для нулевой бесселевой функции мнимого аргу-
аргумента
2Я
°™*da,	B5.2)
получаем распределение амплитуды R:
2Я
wR(R) dR = dR\ тц(R, <р) d<f = /0(-§?)е-^+лwЛ**., B5.3)
'о
которое часто называют распределением Раиса [8] или обобщен-
ным релеевским. При Л = 0 wR переходит в wr и, соответ-
соответственно, Шц (R)—в релеевское распределение. Средний квадрат
R равен R2 = А2 + 2а2, а моменты любого (не обязательно це-
целого) порядка v выражаются формулой
где iFi — вырожденная гипергеометрическая функция. При боль-
больших значениях аргумента бесселевой функции, пользуясь асимп-
асимптотической формулой /0 {г) «* е*1л/2яг при |г|!»1, получаем
из B5.3)			. '	.
Щ (R) dR ^тл/^Ае~{Я~т dR
Интегрируя B5.1) по R от 0 до оо, находим распределение
фазы ф:
юф (Ф) Лр = е-л'йо» [! + д/я ле* A + Ф (tj))] ^. B5.4)
где Ф (т]) — так называемый интеграл ошибок:
и
и ^"^"ff—соз(ф — г|з0). При Л = 0 распределение B5.4) ста-
становится равномерным.
2. Теперь, сохраняя нормальный закон для х и у и пред-
предположение, что * = «/== 0, рассмотрим случай коррелирован-
коррелированных х и у с неодинаковыми дисперсиями:

§25]	НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЛЕЯ	155
т. е. нормальное распределение G.13). Полагая в нем по-преж-
по-прежнему х —= г cos if, у = г sin т|з, получаем
wT (г, -ф) dr dty =
Интегрирование по о|з от 0 до 2я, если воспользоваться фор-
формулой
2Я
'о w "~ -г о9-) = 2^- \ е<а cosa+bsin°> da,
о
приводит к распределению
rdr
w, (г) dr = /0 Гтт-^г] ехр|- -;* (± + ДЛ]
1_4(,1— /C)J l 4A -К) \о] о-2))
где
B5.6)
Если отсутствует корреляция х и г/ (К = 0), то
Если корреляция есть, но а] = а1 = а2, то
wr(r)dr = I0\	—	1ехр(	г-	)	'-,——¦. B5.8)
rW	L2a2(l-A:2)J V\ 2a2 A - A:2) J a2 Vl -/С2
Разумеется, обе формулы переходят в релеевское распределение,
если в B5.7) положить а\ = а2, а в B5.8)—К = 0.
При коэффициенте корреляции К, настолько близком к еди-
единице, что 1 — К2 <¦ -j (— + -jj-M » и при условии, что аргумент
бесселевой функции велик [qr2 ~^> 4A —К2)], так что можно вос-
воспользоваться ее асимптотическим выражением, распределение
B5.6) переходит в одностороннее гауссово (г ^ 0):
до, (г) dr = 2 exp J	(
Pt 2B + 2
3. Отказ от нормального распределения компонент х и у,
естественно, уменьшает возможности получения каких-либо
конкретных результатов. Рассмотрим случай, когда х и у

156	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
независимы, но распределены по одному и тому же закону, так
что их совместное распределение имеет вид до(х)dx• до (г/)dy.
Переходя к полярным координатам, получаем
дог (г, if) dr й?г|з = до (г cos г|>) до (г sin т|>) г dr di|>,
r (r) dr = rdr\w(r cos if) до (г sin if) ch|).	B5.9)
откуда
2я
wr
Конечно, в случае гауссовой плотности до формула B5.9) воз-
возвращает нас к релеевской плотности wr(r).
Введем характеристическую функцию компонент х и у:
+ ОО
<р (и) = <*"»*>=
Плотность ш>г(г) можно записать тогда в виде
2Я
Writ) = —.—r \ \ ф (и) ф (v) du dv \ e~l
rw An* jj T T	j
— oo	0
+00
= -^ \ \ Ф (") Ф (v) Л) (/ V + °2) du da.
—00
Если ввести полярные координаты также на плоскости («, v),
положив и = Я cos a, v = Я sin а (с?ы dv = Kd% da), то послед-
последнее выражение преобразуется в следующее:
оо
юг (г) = г 5 f (Я) /„ (Яг) Я с?Я,	B5.10)
о
где
2я
F(l)=:J-\ ф (Я cos а) ф (Я sin а) da.	B5.11)
о
Таким образом, дог(г) представляет собой умноженную на г
трансформанту Бесселя от функции .Р(Я).
4. Вернемся теперь к случайным блужданиям на плоскости,
когда вектор г рассматривается как сумма случайных векто-
векторов as (элементарных скачков или шагов) и статистика г не за-
задается непосредственно, а определяется статистикой &k- Возьмем
случай изотропных случайных блужданий со случайной длиной
шага. Пусть все элементарные векторы аА независимы в сово-
совокупности и распределены одинаково, причем полярные углы

§ 25]	НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЛЕЯ	157
(фазы) 8h каждого из них независимы от его амплитуды ah и
распределены равномерно в интервале @, 2л) (все направления
элементарных шагов равновероятны, что и обеспечивает изо-
изотропность блужданий). Таким образом, для любого а^
//ft
o>a (а*, в*) dak dQk = wa (ak) dak -^.
Соответствующая характеристическая функция есть
2Я
Фа <«. v) = 5 wa (ак) dak-±\ eia* <" cos е
B5.12)
где X = л/и2 + v2. В силу статистической независимости всех &к
двумерная характеристическая функция суммарного вектора
п
г= X а* равна
Фг {и, v) = ф« (Я) е= Фг (Я),	B5.13)
а совместная плотность вероятности декартовых компонент х
и у вектора г запишется в виде
+ ОО
\
+
. У) = -^2 \\ Фг (", v) е-'«««+"') rfu A» =
Переходя к полярным координатам как на плоскости (х, у)
(х = г cos i|), у = г sin г|)), так и на плоскости (и, v) (и = Я cos a,
v = Я, sin а), получаем
= rwr
2я
оо
-к \
3Г- B5.14)
Эта совместная плотность г и -ф не содержит -ф, т. е. направле-
направление результирующего вектора г независимо от его амплитуды г

158
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
. [ГЛ. IV
и распределено равномерно в @, 2я). В соответствии с цен-
центральной предельной теоремой при п —> оо и г2 = па2 = 2ст2 =
= const распределение дог (х, у) стремится к нормальному за-
закону для независимых х и у с х2 = у2 = а2, а тем самым рас-
распределение амплитуды wr(r)— к релеевскому [9].'
Если вернуться к рассмотренному в § 24 случаю фиксирован-
фиксированной длины шага, т. е. к плотности вероятности wa(ah) =
= b{ah — a), то по B5.12) сра (Х)= JQ(Xa). Из B5.14) следует
при этом, что
Учитывая, что
wr (г) = г jj /о (Аа) /0 (Яг)
о
/о (Яг) г rfr = /?/, (XR) =
можно записать вероятность того, что г не превосходит /?,
в виде
R	оо
Р (г < R) = \ wr (r) dr = R \ П (la) /, (IR) dK =
со
— С
= ~ Г
о
Отсюда при R = а находим
п+ 1
п+ 1
5. Рассмотрим m-распределение Накагами [10]. Выше мы
рассматривали модуль г вектора г, задавая распределение его
декартовых компонент хну {г=-\-л/х2-\-у2), или же пола-
полагали, что г есть сумма векторов &h, и специальным образом за-
задавали распределение &h- Возьмем теперь существенно более
общий случай, когда г — произвольная неотрицательная детер-
детерминированная функция 2п-мерной случайной величины а~=
= {аь .... а„}:
г = Ф(а).
Без каких-либо предположений о виде 2п-мерного распределе-
распределения величины а (т.е. совместного распределения декартовых
компонент всех а& или распределения всех модулей ak и фаз 8ft)
имеем (см, задачу 9 гл. II)
ш,(/-) = F1г-Ф(а)]>,	B5.15)

§ 25]	НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЛЕЯ	159
где угловые скобки означают усреднение по распределению а.
При Ф ^ 0 дельта-функция может быть представлена в виде
разложения Ганкеля:
оо
$МА,г)А,<И,, Rev>-{.
о
Подставив это в B5.15), получаем
V+1
v+1	B5.16)
где
B5.17)
Заметим, что формула B5.10) отвечает частному случаю v = 0,
когда /?о(Л)=(/о(Я,Ф)>.
Из известного степенного разложения
(-\)k{zl2Jk
и из B5.17) следует, что FV(K) содержит только четные сте-
степени К и только четные моменты Ф:
»'ffffi. (ил.)
При использовании формул B5.16) и B5.18) Накагами счи-
считает v вещественным, так что условие, наложенное на Rev, сво-'
дится к требованию v ^ — 1/2. Но и при этом ограничении фор-
формулы B5.16) и B5.18) охватывают, очевидно, чрезвычайно об-
обширный набор самых разнообразных распределений г, так как
возможен выбор не только значений v, но и распределения мно-
многомерной случайной величины а — аргумента функции Ф(а).
Автор поступает, однако, иначе: он просто конструирует функ-
функцию FV(K), не задаваясь вопросом о том, какому распределению
а она при этом соответствует. Во-первых, налагается условие,
чтобы FV(K) зависела только от двух параметров, связанных
с моментами Ф2 и Ф4, а именно от

160	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
Во-вторых, известное неравенство Ляпунова
заменяется равенством, с помощью которого высшие_четные мо-
моменты Ф выражаются через Ф2 и Ф4 (например, Фб = Ф2-Ф4,
Ф8 = (ф4J и т. д.), т. е. через йит. Тогда B5.18) можно при-
привести к ряду, который в случае v = 0 суммируется и дает функ-
функцию
Fo (I) = e-oil'*»Pm_, (Ql2/4m),	B5.20)
где Pm-i — полиномы Лагерра. Если же v ф 0, то значение v
выбирается равным m — 1. Тогда B5.18) приводится к ряду,
который приближенно, но с хорошей точностью'описывается
функцией
fv(a.)»e-0M/4(v+1), v = m-l.	B5.21)
Хотя здесь и предполагалось, что пг ф 1, но, как легко видеть,
обе формулы B5.20) и B5.21) при пг = 1 (v = 0) совпадают,
поскольку Ро= I.
Подстановка B5.20) (при v = 0) и B5.21) (при v = m—1)
в B5.16) дает в результате вычисления интегралов одно и то
же выражение для wr(r), а именно:
9mm 2m-l -/
wr (r) es M (r, m, Q) = 2w rT{m)eQm	,	B5.22)
что автор и назвал плотностью m-распределения. Отметим, что
в случае v = пг — 1 из условия v ^ —1/2 следует, что пг ^ 1/2.
Так как по B5.19) m = Q2/(r4 — Q2), где Q = г2, то это озна-
означает, что г4 5^3 (г2J.
В цитируемой работе [10] рассмотрено много применений и
обобщений m-распределения, но мы ограничимся лишь двумя
замечаниями. Из B5.22) видно, что m-распределение переходит
при пг = 1/2 в одностороннее гауссово, а при пг = \ — в ре-
леевское распределение. Далее, если перейти в B5.22) к пере-
переменной х == пгг2/кп (и > 0) и переобозначить m через а, то
для х получается гамма-распределение A0.18) ').
Вернемся теперь к марковским процессам.
§ 26. Непрерывные марковские процессы.
Уравнение Эйнштейна — Фоккера
В уравнении Смолуховского B2.1) промежуточный момент
времени б может быть выбран между t0 и t произвольным об-
образом. Возьмем его весьма близким к t, положив 6 = / — т
') Обобщениям релеевского распределения посвящена работа [11].

26]
УРАВНЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА — ФОККЕРА
161
(рис. 16), и сделаем предположения о
щих пределов.
Во-первых, мы предполагаем, что
существовании следую-
следую= Vm±. С {x-y)v{t,x\t~x,y)dx = A{y>t). B6.1)
т-»о J
Смысл этого выражения очевиден: х — у — это условное среднее
значение перемещения за время т из фиксированной точки г/,
так что А (у, t)— это средняя скорость изменения состояния
в момент t в точке у (так называемый коэф-
коэффициент сноса).
Во-вторых, мы допускаем, что
+оо
^mn-L. \ (х-уJХ
*-т, y)dx=B(y, t). B6.2)
Величина (х — у)'1 есть мера разброса ко- -
нечных точек х относительно фиксированной ь°
исходной точки у. Предполагается, таким	рИс. 15.
образом, что этот разброс при удалении от
момента t — т на т растет по диффузионному закону, т. е. пропор-
пропорционально т. Предположения B6.1) и B6.2) воспроизводят усло-
условия B4.2), которые мы приняли, когда рассматривали схему с
дискретными скачками (§ 24). Коэффициент B(y,t) или, точнее,
В/2 называется коэффициентом диффузии.
В дальнейшем мы подойдем к описанию марковского про-
процесса еще с иной точки зрения, пользуясь представлением о слу-
случайных толчках или случайной силе, действующей на рассма-
рассматриваемую систему. Мы увидим тогда, что В (у, t) характери-
характеризует интенсивность толчков.
В-третьих, предположим, что
llm
-L \ \x-yfv{t, x\t-x, y)dx = 0. B6.3)
Мы считаем, таким образом, что вероятность больших измене-
изменений \х — у\ достаточно быстро стремится к нулю при т->0,
настолько быстро, что \х — у\3 убывает быстрее т. Именно это
требование и позволяет рассматривать х в системе, подвергаю-
подвергающейся действию случайных толчков, как непрерывно меняю-
меняющуюся величину, т. е. как среднее за время, гораздо большее

162	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
промежутка между случайными толчками. Выводы, полученные
при предположении B6.3), неприменимы, следовательно, к про-
промежуткам т, малым по сравнению со временем между толч-
толчками. Например, вероятность соударения молекул газа за время
т, малое по сравнению со временем свободного пробега д, есть
1 — е~т/* ж т/#. При соударении скорость молекулы и (которая
и представляет собой в этом случае величину х, описывающую
состояние молекулы) меняется в среднем на конечную величину
Аи = ±а. Следовательно, для т <С #
| Ди |3
и условие
Т-»0 Т
не выполнено.
Принимая условие B6.3), мы ограничиваемся марковскими
процессами, у которых непрерывно не только множество воз-
возможных значений, но и само протекание процесса во времени,
т. е. смена состояний происходит непрерывно (в вероятностном
смысле), без скачков. Такие марковские процессы часто назы-
называют диффузионными. Случай скачкообразных изменений со-
состояния будет рассмотрен ниже (§31).
Умножим уравнение Смолуховского B2.1), положив в нем
8 = / — т, на произвольную функцию q(x), обращающуюся вме-
вместе с q'(x) в нуль на границах области (у нас — в ±<х>) и имею-
имеющую ограниченную третью производную, \q'"{x) | < М. Интегри-
Интегрируя по х, получаем
q(x)v (t, х 110, x0) их —
+ oo	-J-oo
T,y\t0, xoydy j v (t, x\t — r,y)q (x) dx
—OO
+00
= Jl v (t — т, у \t0, x0) dy } v(t, x\t — т, у) X
где у < z < x. В члене с q(y) интеграл по х дает единицу. Пе-
Перенесем этот член в левую часть, заменим в нем переменную
интегрирования у на х, разделим все уравнения на т и перейл

§26]	УРАВНЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА — ФОККЕРА	jg3
дем к пределу при т —> 0. Это дает
+ ОО
Последний член в праЕой части ввиду ограниченности q'" и
условия B6.3) равен нулю. Заменив теперь и справа у на х и
выполнив интегрирование по частям [с учетом того, что
q(dz се) = q'{± °°) = 0], получаем ввиду произвольности q{x)
dv 0, х 1 <о, ^о)	дА (х, t) v . 1 д*В (х, t) у	<д„ .
Это параболическое уравнение (типа диффузионного) и есть
уравнение Эйнштейна — Фоккера (иногда его называют уравне-
уравнением Фоккера — Планка или вторым уравнением Колмогорова).
Полученное ранее уравнение B4.3) представляет собой, оче-
очевидно, частный случай B6.4), соответствующий постоянным А
и В.
Решение уравнения B6.4) должно быть неотрицательно, нор-
нормировано к единице и должно удовлетворять начальному усло-
условию .
v(t0,x\t0,x0) = b(x — x0).	B6.5)
Наглядно уравнение B6.4) можно истолковать следующим
образом. В момент t0 из точки лго выходит большое число (ан-
(ансамбль) частиц, движущихся независимо друг от друга. Их кон-
концентрация (относительная «частота») в точке х- в момент t
будет v (t, х 110, x0). Поток частиц 5 складывается из система-
систематического («гидродинамического») потока Av, где А — скорость
систематического движения в точке х в момент t, и из диффу-
диффузионного потока — -g- —q?- , где В/2 коэффициент диффузии:
<26-6>
Тогда уравнение Эйнштейна — Фоккера — это просто уравнение

164	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
непрерывности:
dv_ , dS_	n
дх ~t~ дх ~U>
выражающее сохранение числа частиц ').
Нетрудно показать, что v(t, x\t0, х0), рассматриваемая как
функция начальных переменных хо, to, удовлетворяет сопряжен-
сопряженному уравнению (в смысле сопряженности линейных операто-
+ 00
ров ? и /Й, т. е. J (fiLf2 - f2Mfi) dx
= О J :
ду (/, $ 110, х0)	., , > dv В (хр, t0) d2v	/0RT\
71 :—== /i\xo>to)~	~ т~2- К*0-')
dt0	dx0	2 dxfi
Это уравнение называют первым уравнением Колмогорова.
Если в начальный момент tQ задано не начальное состоя-
состояние х0, а начальное распределение w(to, x0), то, поскольку дву-
двумерная плотность вероятности есть
W2 (t, Х\ t0, Х0) = W (t0, Х0) V (t, X 110, X0),
одномерная функция распределения в момент t будет
о>! (/, х) = \ w (t0, х0) v(t,x\ t0, х0) dx0.
Умножив B6.4) на w(t0, x0) и проинтегрировав по х0, нетрудно
убедиться, что вероятность состояния W\(t, x) удовлетворяет
тому же уравнению:
dw, (t, x)	dA(x,t)Wl 1 д2В(х, t)Wl	(t) .
—at—=	дх	1" у	Ъ1?	• B6-8>
Начальным условием здесь, конечно, будет
Wi(x,to) = w{x,to),	B6.9)
причем решение также должно быть неотрицательно и норми-
нормировано к единице. Рассмотрим некоторые следствия и частные
случаи уравнения B6.4).
4) Обычно коэффициентом диффузии называется множитель при —dv/dx.
Поэтому в B6.6), строго говоря, нельзя назвать В/2 коэффициентом диффу-
диффузии. Если же. записать полный поток в виде '
то 5/2 — коэффициент диффузии, но тогда систематическая часть 5 содержит
градиент В.	.	.

§ 26]	УРАВНЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА — ФОККЕРА	J65
Введем условные моменты
+ 00
7ПЛ= J xnv(t,x\to,xo)dx,
т. е. средние значения хп в момент t при условии, что x(to)= xq.
Умножим B6.4) на хп и проинтегрируем по х от —со до +°°.
Интегрируя члены с Л и В по частям и предполагая, что про-
проинтегрированные выражения исчезают на границах (у нас —
в ± оо), получаем
+
В частности, для п=1 и 2
^, п=\,2, ... B6.10)
B6.11)
**L = 2A{x,t)x + BfcT).	B6.12)
Подчеркнем для ясности, что функции А(х, t) и В(х, t), со-
согласно их определениям B6.1) и B6.2), —это детерминирован-
детерминированные функции. Черта над ними в B6.10) — B6.12) означает усред-
усреднение по условному распределению v(t, x\t0, xo)dx случайного
аргумента х этих функций.
Если А и В — ряды (или полиномы) по степеням х, то
B6.10) представляет собой систему обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений для моментов хп. В общем слу-
случае все уравнения этой бесконечной системы «зацепляются», т. е.
содержат моменты разных порядков. Это относится и к уравне-
уравнению B6.10). Хотя из него и выпало влияние диффузионного по-
1 dBv	,
тока вероятности —т~й—> оно не является уравнением фено-
феноменологической кинетики или динамики, которое должно быть
замкнутым (содержащим только момент х). Исключением яв-
является только тот случай, когда А(х, t)—линейная функция х:
А(х, t)= a(t)x + b(t).: Тогда уравнение B6.11) отщепляется и
становится замкнутым:
Во всяком случае из B6.11) мы можем сделать вывод, что dxjdt
и А {х, t) могут различаться только слагаемым, среднее значение
которого равно нулю:
^ = A(x,t) + F(x,t), FjxTO^O,	B6.13)
— замечание, которым мы еще воспользуемся (§ 37).

166	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
Возьмем теперь стационарный марковский процесс. Вероят-
Вероятность перехода зависит в этом случае от t — to, так что, согласно
B6.1) и B6.2), Л и В не зависят от t. Одномерная вероятность
состояния, если она существует, вообще не зависит от t (§ 16).
В результате для W\ (х) получаем из B6.8) уравнение
(Aw
dx \AWi 2 dx
Если на границах области изменения х стационарный поток
то интегрирование дает, что он равен нулю всюду:
Для бесконечной области изменения х условия до = w' = 0 при
[лг J = оо имеют место при положительном и отличном от нуля В
и при А > О или А < 0 соответственно для х —*¦ — оо или
х —*¦ + °°, причем в обоих случаях | А | > С > 0 [19]'). Интегри-
Интегрируя последнее уравнение, получаем
Постоянная С определяется из условия нормировки.
Примером, когда стационарное распределение существует,
может служить брауновское движение частицы при наличии
силы тяжести (А = — mg/h = const) над отражающей грани-
границей. Очевидно, на отражающей границе должно быть выпол-
выполнено именно условие.обращения потока S в нуль, так что выра-
выражение B6.14) справедливо; при постоянных А и В оно дает
т.е. барометрическую формулу. Как известно (см. [7], § 53),
В = 2kT/h,
где k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура.
Следовательно,
Стационарная вероятность o»i (x) соответствует именно той
вероятности состояния, которая рассматривается в статистиче-
') Если эти условия не выполнены, то стационарного решения может не
существовать [см. формулу B6.14)].

§ 26]	УРАВНЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА — ФОККЕРА	Ig7
ской термодинамике. Для изотермической системы распределе-
распределение W\ является каноническим, для адиабатически изолирован-
изолированной системы — микроканоническим.
Укажем еще на процесс, однородный по абсциссе (процесс
типа Башелье). В этом случае вероятность перехода зависит
только от х — хо и, следовательно, по B6.1) и B6.2), А и В
могут зависеть от t, но не от х. Уравнение B6.4) принимает вид
dv (t, х — х0, t0) __ л /А dv | В (t) d2v	.._ ,-.
Замена переменных
х' = х - J А @) dQ, t'=^B F) dQ
приводит это уравнение к виду
dv I d2v
/2
dt' 2 дх
так что в первоначальных переменных решение для неограни-
неограниченной области есть
о2 (t) = J В (9) dQ.
и
В работе [12] подробно исследована гораздо более общая по-
постановка вопроса — о дифференциальном уравнении для плот-
плотности условной вероятности v(t, x\T, X) любого случайного про-
процесса с непрерывным множеством состояний. Под (Г, X) пони-
понимается совокупность условий
(Т, X) = {t\, %i, ...', tm, xm\ tm+i, ym+\', ...', tk, Zk),„
причем x(t), y(t)	z(t) могут быть и разными случайными
процессами, а множество Т моментов времени tu ..., th может
быть и неупорядоченным. Существенно только то, что момент
времени t не принадлежит к множеству Т.
Исходным является, конечно, уже не уравнение Смолухов-
ского, а формула для полной плотности условных вероятностей:
+ 00
v(t,x\t-T,y;T,X)v(t-T,y\T,X)dy,B6.1G)

168 МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
где v и v, вообще говоря, различные функции.	Показано (см.
задачу 16), что для плотности условной вероятности v(t,x\T,X)
справедливо уравнение вида
dv (t, х\Т,Х) у? (-1)" dnAnv	,9R m
	Ft	= L—	д^~'	B6Л7)
л=1
Ап = Ап (х, t\T,X) = lim±\(x- у)п 6(t,x\t-x,y; T, X) dy.
B6.18)
Допустимо, что пределы справа и слева (т->0±) могут быть
здесь различны, но, по предположению, они конечны. Для коэф-
коэффициентов Ап показано, что если для какого-нибудь четного п
коэффициент Ап = 0, то Ап = О для всех п ^ 3. Другими сло-
словами, если порядок уравнения B6.17) конечен, то он должен
быть не выше второго, и тогда получается обобщенное уравне-
нение Эйнштейна — Фоккера:
dv (t, х 1 Т, X) = дАю . 1 д*А2у	B6 19)
dt	«Эх 2 дх2 '	\ - )
В частном случае марковских процессов совокупность усло-
условий (Г, X) сводится к какому-либо одному предшествующему
(или последующему) состоянию самого процесса x(t), а функ-
функция д совпадает с v. Указанная теорема об обращении в нуль
всех Лп с /I > 3, разумеется, остается в силе, так что уравне-
уравнение B6.19) превращается в диффузионное уравнение B6.4) для
плотности вероятности перехода v(t, x\t0, x0).
В принципе, если известны коэффициенты Л„ вида
¦^л ixk> h Ui. xu • • •! h-i> xk—\), k= 1, 2, ...,
уравнения B6.17) или B6.19) позволяют найти все условные
плотности vh(tk, xk\tu X\\ ...; tk-u xk-i), а значит, и любую
n-мерную функцию распределения:
п
wn (fI, xx; ...; tn, xn) = w{ (tu х{) П vk (tk, xk | tu xx; .. .5 tk_u xk-{).
Предполагается, что W\ существует и либо известно, либо мо-
может быть получено из условной плотности вероятностей Vh при
отодвигании всех или части времен t\	tk-i в — оо (выполне-
(выполнение сильного условия эргодичности). Однако реализация этой
программы нахождения wn связана с фундаментальной трудно-
трудностью, на которую наталкиваются все рассматриваемые чисто
вероятностные схемы, в том числе и классическая схема для
марковских процессов. Ведь регулярная процедура нахождения
коэффициентов Ап требует, чтобы мы уже располагали искомой

g 27]	ОБОБЩЕНИЕ НА МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	169
условной плотностью вероятностей д (хотя бы для сколь угодно
малых времен перехода т). Сверх того, если допустить, что Ап
откуда-то известны, имеется немало и других трудностей, но они
носят более технический характер. Они связаны со сложностью
самих уравнений, с необходимостью разбивать область возмож-
возможных значений x(t) на участки, в которых у и ее производные
непрерывны, с установлением правильных граничных условий
для искомого решения и т. д.
К тому, что уравнения вида B6.17) или B6.19) верны и для
немарковских процессов, независимо пришел ряд авторов, на-
наряду с автором цитируемой работы [12], в которой проведен наи-
наиболее полный анализ вопроса. Теория легко распространяется
и на многомерные случайные процессы. Переходя в следующем
параграфе к этому обобщению, мы вернемся к марковским про-
процессам и снова ограничимся диффузионным уравнением Эйн-
Эйнштейна — Фоккера.
§ 27. Обобщение на многомерные случайные функции
Пусть состояние системы в момент t описывается совокуп-
совокупностью п случайных величин Xi(t), i = 1, 2, ..., п, т. е. случай-
случайным «вектором» x(t) в л-мерном пространстве. Компоненты слу-
случайной функции х(^) могут представлять собой (обобщенные)
координаты системы либо же совокупность координат и скоро-
скоростей (или импульсов). «Координаты» Х{ в n-мерном простран-
пространстве, вообще говоря, криволинейны, но вывод уравнения Эйн-
Эйнштейна — Фоккера не зависит от выбора координат и вообще
от метрики пространства х, поскольку исходное уравнение Смо-
луховского
v(t, x\t0, xo)dx = dx }v(t, x\t — x, y)v(t — x, y\t0, x0) dy
связывает вероятности dP = v dx, от которых естественно тре-
требовать, чтобы они были скалярами при любом преобразова-
преобразовании координат. Все рассуждения остаются теми же, что и в пре-
предыдущем параграфе, с тем только отличием, что теперь речь
идет о вероятностях перехода для n-мерных случайных величин.
Аналогично одномерному случаю делаются предположения
= Iim -\ {xi — yl)v{t,z\t — x,y)dx=Ai{y,t).
т-»о l J
Hm (Xl~yi){fk~Vk)=Bik{y,t),	B7.1)
T->0	T
Hm -7 I (*< — Уд (хь ~ У к) (*/ - Vi) I = 0,

170	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
что позволяет прежним путем вывести уравнение Эйнштейна —
Фоккера:
dt ~ Lt dx. "¦" 2 L, дх.дхъ '	\г1-Ч
Решение этого уравнения должно быть неотрицательно, нор-
нормировано к единице:
B7.3)
и должно удовлетворять начальному условию:
V (t0, X 110, Хо) = б (X — Х0) =
= б (х, - х10) б (х2 - х20) ... б (хп - х„0). B7.4)
Кроме того, могут быть наложены те или иные граничные усло-
условия.
Как уже было отмечено, вид уравнения B7.2) одинаков при
любом выборе «координат» х, т. е. должен сохраняться при вся-
всяком преобразовании Хг =¦ Xi(x'), удовлетворяющем, конечно, ус-
условиям взаимной однозначности и непрерывности. Однако кова-
ковариантность уравнения в целом не означает, что инвариантны
величины, через которые оно записано. Действительно, из того,
что вероятность dP — скаляр, вытекает неинвариантность плот-
плотности вероятности v, поскольку инвариантный элемент объема
равен не dx=dxi ... dxn, a л/gdx, где g — детерминант, со-
составленный из элементов метрического тензора gik. Можно оп-
определить скалярную плотность вероятности v — vj-yjg:
dP = v dx = 5 л/g dx,
которой и удобно пользоваться при преобразованиях координат.
В частности, если пространство х — 2/г-мерное фазовое простран-
пространство (п координат xi, ..., х„ и /г скоростей х\, ..., хп или им-
импульсов Pi, ..., рп), то v представляет собой фазовую плот-
плотность вероятности.
Далее, при переходе к новым координатам х'а коэффициенты
Л, и Вц,., как это нетрудно установить при помощи формул
B7.1), преобразуются следующим образом:
B7.5)

§ 2?]	ОБОБЩЕНИЕ НА МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	171
откуда видно, что Bik — тензор второго ранга, но Л,- не обра-
образуют вектора (если не ограничиваться линейными преобразова-
преобразованиями). Это значит, что равенство величин А% нулю в одной си-
системе координат не означает их равенства нулю в другой, т. е.
Л,- не характеризуют скорость систематического потока инва-
инвариантным образом. Однако, в согласии со сказанным выше, при
правильных законах преобразования всех величин (включая, ко-
конечно, и операции дифференцирования по xt) можно убедиться
в ковариантности уравнения B7.2) и непосредственно, т. е. не
апеллируя к его выводу ').
Запишем уравнение B7.2) для следующих двух случаев, ко-
которые нам вскоре понадобятся, — для частицы, испытывающей
действие однородных и изотропных толчков, движущейся 1) на
плоскости и 2) по поверхности единичной сферы.
В первом случае (на плоскости) нас будет интересовать
уравнение B7.2), записанное в полярных координатах г и ср:
xl =x=rcoscp, x2 = «/ = rsin(p.
Изотропность толчков означает, что средний квадрат смещения
одинаков по любому направлению:
(ДхJ = (Дг/J = (АгJ = г2 (ДфJ = е2,	B7.6)
что возможно только при условии некоррелированности взаимно
ортогональных смещений:
О.	B7.7)
Однородность толчков означает, что средний квадрат смещения
один и тот же в любом месте плоскости, т. е. е2 не зависит от
координат х, у или г, ф.
Согласно B7.2) имеем
dv	dArv dAvv I (fBrrV	d*Br<fv d*B^
~дГ~ д?	^~+2Л дг*
где, в соответствии с B7.1),
ф=Нт-§? Вгг = Um ,
') При произвольных преобразованиях координат необходимо, конечно,
различать ко- и контравариантные компоненты. К вопросу о записи уравне-
уравнения Эйнштейна — Фоккера через инвариантные характеристики марковского
процесса см. [13] и [14]. Заметим, что вектором является величина
X1 = А1 + -jr r?sBrs, где Flrs — символы Кристоффеля, См. также [15], § 2. 3.

172	Марковские процессь!	[гл. iV
Из B7.6) и B7.7) следует, что
Д = Я, Вгф = 0.	B7.9)
Что касается Аг и Лф, то их вычисление следует проводить
более аккуратно, не ограничиваясь членами первого порядка
относительно е, а учитывая, в соответствии с B5.7), и второй.
Из формул
(Г + АгJ = (Х + АхJ +(у + Аг/J, Ф + АФ = arctg -*±%.
имеем
Аг = Ал: cos ф + Аг/ sin ф +
, (АхJ sin2 ф + (At/J cos2 ф — 2 Ах At/ sin ф cos ф ,
"Г	2r	+ • • • i
/• Аф = Аг/ cos ф — Ал: sin ф +
, [(Ад:J — (AyJ] sin ф cos ф — Ах At/ (cos2 ф — sin2 ф) ,
"Г	г	Т • • •
Усредняя эти равенства, деля их на At и переходя к пределу
при At -> 0, получаем с учетом B7.6) и B7.7)
Лг = /? + |т, МФ = Ф,	B7.10)
где введены величины
R = Ах cos ф + Ау sin ф, Ф = Ау cos ф — Ах sin ф,
л ,. Ах	. у ~Ку	B7.11)
Ах— hm -rr,	Ay~ hm -fr.	'
At0 Д*	У At-Ю M
Если бы Ах и Ау были декартовыми компонентами вектора А,
то его полярные компоненты Аг и rAq совпадали бы соответ-
соответственно с R и Ф. Однако первое равенство B7.10) показывает,
что Аг не совпадает с r-компонентой вектора А. Легко видеть,
что подстановка B7.9) и B7.10) в B7.8) приводит снова к урав-
уравнению
~дГ~ дг где? + 2 Ydr V дг \г))+ г* д<р2У \г'-и>
где v = v(t, г, ф|^о. Аь фо)—обычная (неинвариантная) плот-
плотность вероятности перехода, т.е. dP = v¦ drdcp. Заметим, что
для скалярной плотности v = v/r, для которой dP = v-rdrdy,
уравнение B7.12) принимает вид
dv	1_ dRrd _ дФи , B_ T\_ _d_ ( dv_\ , J_ d2v 1
bt	r dr	r dip 2 L r dr \ dr) r2 d(f2 J
= — div (A5) -|	Av,
где под А понимается вектор с полярными компонентами R и Ф.

§27]
ОБОБЩЕНИЕ НА МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
173
Обратимся теперь к движению частицы по единичной сфере..
Координатами частицы будут полярный угол 0 и азимут ф, так
что уравнение B7.2) будет
dv (t, 9, ф 110, 80, ф0)
dt	~
<эе
где
де
= lirn —Г7-» Ар= lim -^г»
_ цт (де>2
At
= lim А6ДФ
д/
,= lim
д/-»о
-><РФ
lim
(АФJ
Это уравнение определяет обычную плотность вероятности пе-
перехода v (t, 0, ф 110, 0о, фо), т. е. dP = у с?0 с?ф.
В силу предположенной изотропности толчков имеем
так что
Вяй = sin2 0Д
фф"
lim
причем В на всей сфере постоянно (однородность толчков).
Если частица совершает малое
перемещение Да из точки (9, ф)
в точку @', ф'), то по форму-
формуле сферической тригонометрии
имеем
cos 0' = cos 0 cos Да +
+ sin 0 cos ф sin Да,
где ф — угол поворота дуги Да,
отсчитанный от меридиана (рис.
16). Разлагая cos 0' по степеням
Д9 = 0' — 0 и ограничиваясь вто-
вторым порядком относительно Да,
получаем
Д0 = ctg 0 sin2 ф ~^- — cos ф Да.
Очевидно, все направления ф от 0 до 2л равновероятны (изо-
(изотропность толчков), так что cos ф = 0, sin2 гр = 1/2. С другой
стороны, рассматривая малый участок сферы около точки F, ф),
как плоскость, имеем
Рис 16.

174	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	(ГЛ. IV
откуда
(Да)*— (Д6J + sin2 9 (ДфJ = 2е2.
В результате
M t9-f-, т. е. Ле = |-С^е-
Аналогичным путем нетрудно установить, что Лф = 0. Уравне.
ние B7.13), в котором
= -f-ctge, лф=о. 56е = в,
в	B7-14)
в
фч> sin2 G '	ef '
принимает вид
dv
B7Л5)
а для скалярной плотности и, т.е. плотности в элементе телес-
телесного угла sin 0 dQ dy (v = o/sin 0), уравнение будет
smQ-df=T[-m{smQ-w) + ibQ-ov\- B7Л6)
Если отсчитывать 9 от начального положения частицы, т. е.
провести полярную ось через это положение (таким образом
0О = 0), то в силу симметрии 6 будет независима от ф. Уравне-
Уравнение примет тогда вид
dv(t, Q\t0, 0) _ в д (. п dv
причем решение надо искать при начальном условии
и'"'« 2nsin6 *
Решение выражается в полиномах Лежандра (§ 30).
§ 28. Флуктуации в томсоновском ламповом генераторе
Рассмотрим применение уравнения Эйнштейна — Фоккера
к простейшей автоколебательной системе с одной степенью сво-
свободы — ламповому генератору с колебательным контуром
в анодной цепи, индуктивной обратной связью и кубической ха-
характеристикой лампы (мягкий режим самовозбуждения). Схема
генератора показана на рис. 17. Говоря, что генератор является
томсоновской системой, имеют в виду его близость к линейному
гармоническому осциллатору, т. е. достаточную малость дисси-
пативных и нелинейных членов в описывающем генератор диф-
дифференциальном уравнении. Конкретные предположения о схеме
генератора имеют целью только упрощение динамической мо-

г 28]
ФЛУКТУАЦИИ В ТОМСОНОВСКОМ ЛАМПОВОМ ГЕНЕРАТОРЕ
175
дели, излагаемая же теория не связана рамками именно такой
схемы, а применима в общем случае томсоновской автоколеба-
автоколебательной системы, как автономной, так и неавтономной, и не
только с одной степенью свободы, когда динамическое уравне-
уравнение имеет вид
, x,t)
(ц — малый параметр), но и со многими степенями свободы.
Равным образом не играют роли, происхождение и конкрет-
конкретный вид нелинейности, т. е. теория приложима и к другим лам-
ламповым схемам, и к генераторам на полупроводниковых элемен-
элементах, и к оптическим квантовым генераторам (в тех случаях,
когда допустимо их квазиклассическое описание), и т. д.
О у
Рис. 17.
Имея в виду последующее использование рассматриваемой
модели (§ 53), мы учтем при составлении дифференциального
уравнения генератора два источника флуктуации — дробовой
ток в анодной цепи лампы /ДР@> Добавляющийся к мгновен-
мгновенному среднему (т. е. статистическому среднему, взятому по ан-
ансамблю идентичных генераторов) анодному току Ia(t), и тепло-
тепловые флуктуации тока и напряжения в колебательном контуре
генератора. Истинным источником этих тепловых флуктуации
является тепловое движение микрозарядов в проводниках, из
которых сделан контур. Но в дальнейшем будет обоснована воз-
возможность феноменологического описания тепловых флуктуации
в электрической цепи как результата действия некоторой
эквивалентной случайной электродвижущей силы (§ 54). По-
Поэтому на схеме автогенератора (рис. 17) в колебательный кон-
контур включен «генератор» этой флуктуационной «тепловой»
э. д.с. e(t),
В обозначениях, ясных из рис. 17, имеем
Li + RI - е - -?- J (/а + /» ~ /) dt,

J76	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
Исключая /а и vc, получаем для тока / уравнение
/ I *; I 7 SMi(\ мф) i /др i *
1 ^ L1 ^ LC~TC1V 3V*)+LC+L-
Поскольку мы считаем систему томсоновской, нелинейные и не-
консёрвативные члены уравнения предполагаются малыми — по-
порядка малого параметра ц. Обозначим
1/LC —<о§
и введем следующие безразмерные переменные и коэффициенты:
f = arf, *«///„, I0 = 2V/®0M, «>0MS~=n, ao(MS-RC)=np.
Уравнение приводится тогда к виду
Я + х = ц*(р-±&) + рР(П,	B8.1)
где
— действующая на систему флуктуационная «сила», связанная
с дробовым током и тепловыми флуктуациями. Эту силу мы
тоже считаем малой — того же порядка \i, что и диссипативный
член уравнения B8.1). Как уже было сказано, ее конкретный
вид и вообще ее явное присутствие в уравнении B8.2) понадо-
понадобятся нам позднее. Сейчас она послужила лишь иллюстрацией
того, как могут входить в описание динамической системы слу-
случайные воздействия. Дальнейшее развитие теории в этом пара-
параграфе, хотя оно и предполагает в действительности определен-
определенные ограничения статистических свойств F(t'), не оперирует
с этой случайной «силой» явным образом, т. е. опирается на чи-
чисто динамическое уравнение
(|)	B8.3)
К томсоновским системам, близким к гармоническому осцил-
латору (х-\-х = О при ц, = 0), применим, как известно, прибли-
приближенный (асимптотический) метод Ван-дер-Поля, или, как его
называют иначе, метод медленных возмущений. В первом (от-
(относительно малого параметра |л) приближении решение урав-
уравнения B8.3) отличается от решения для гармонического осцил-
латора х = rcos(t' + ф), где амплитуда г и фаза ф — постоян-
постоянные, тем, что г и ф оказываются медленными функциями вре-
времени, а именно зависящими от f через так называемое «медлен-
«медленное время» 0 = \it':
B8.4)

§ 28]	ФЛУКТУАЦИИ В ТОМСОНОВСКОМ ЛАМПОВОМ ГЕНЕРАТОРЕ	177
Таким образом, скорости изменения амплитуды г@) и фазы
ф@) (т.е. добавка ф @) к частоте колебаний) являются вели-
величинами первого порядка малости относительно параметра fi:
г = \ir', ф = цф',
где штрихом обозначено дифференцирование по медленному
времени 0.
Напомним упрощенную процедуру получения ван-дер-полев-
ских (или так называемых укороченных) уравнений для том-
томсоновской системы, т. е. уравнений первого приближения для
медленно меняющихся амплитуды г@) и фазы ф@). Излагая
эту чисто динамическую теорию, мы будем исходить не из урав-
уравнения B8.3) для выбранной модели автогенератора, а из более
общего уравнения томсоновской системы с одной степенью сво-
свободы:
((n.	B8.6)
Вычисляя с точностью до первого порядка по ц, производные
по f искомого решения B8.4), получаем
х = -§- = - г sin {f + ф) + ц [г' cos (f + ф) - гф' sin (/' + ф)](
х + х = - 2(х [/-' sin {f + Ф) + гф' cos (/' + ф)].
Что касается функции f(x, х) в B8.5), перед которой уже вхо-
входит множитель (х, то здесь можно ограничиться нулевым при-
приближением для аргумента х. В результате, после сокращения
на |я, получаем
- 2 \г' sin (f + Ф) + гф' cos [f + ф)] =
= f [r cos {f + Ф); - г sin (f + Ф)] + F (f).
Очевидно, функция f, зависящая от периодических по и =
= V + ф аргументов, сама периодична по и с периодом 2я и
может быть поэтому разложена в ряд Фурье:
оо
/ (г cos и; — г sin и) = -у- + V (ап cos пи + Ьп sin пи),
где
а„(г) ") 1 f j.,	ч cos пм ") ,
«. / [ = "^ \/(rcosU; -rsinu) . \du.
Ьп (г) ) я _i	sin пи )
Высокая селективность системы B8.5) (неконсервативные члены
входят только в порядке \i, а в нулевом приближении мы имеем
бесконечно селективный осциллятор х + х = 0) означает, что
из всего ряда Фурье существенны только члены, осциллирую-

178	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
щие по f с основной безразмерной частотой п = 1. Постоянную
составляющую (а0) и высшие гармоники (п = 2, 3, ...) можно
отбросить, так как они далеки от резонанса. Таким образом,
уравнение принимает вид
- 2 [г'sin </' + Ф) + Щ'cos (f + ф)] =
- fll (r) cos (/' + Ф) + ft, (r) sin (f + Ф) + F (О
По той же причине из всего спектра силы F(t') играет роль
лишь ближайшая окрестность резонансной частоты 1. Вырезая
из спектра F(t') некоторую полосу, центрированную около ча-
частоты 1 и имеющую ширину порядка ц (но заметно превосходя-
превосходящую ширину резонансной кривой регенерированного контура,
рис. 18), мы можем заменить F(t') процессом F{f), у которого
спектр ограничен указанной узкой
полосой. Такой узкополосный про-
процесс представляет собой колеба-
колебание с медленно меняющимися
амплитудой и частотой (модули-
(модулированное колебание) и всегда мо-
	,	жет быть записан в виде
. B8.6)
Рис- 18-	В дальнейшем нам придется бо-
более обстоятельно заняться свой-
свойствами функций F\\ @) и F± @). Здесь же достаточно отметить
только то очевидное обстоятельство, что в отсутствие внешней
силы [F(t')= 0] эти функции, конечно, тоже обращаются в нуль.
Подставляя выражение B8.6) для F(t') вместо F(t') в пре-
предыдущее уравнение и требуя, чтобы оно тождественно удовле-
удовлетворялось по V, т. е. собирая члены с sin(f + qp) и cos(f + ф) и
приравнивая нулю получающиеся коэффициенты, получаем два
уравнения Ван-дер-Поля для г и ф как функций «медленного
времени» 0 = \it'\
г' = Я(г)-!^@), гф' = Ф(г)-1^@). B8.7)
Здесь введены обозначения
R(r)\	1 Г Mr)	if	sin и
B8.8)

§ 28]	ФЛУКТУАЦИИ В ТОМСОНОВСКОМ ЛАМПОВОМ ГЕНЕРАТОРЕ	179
Если система автономна [F(f)= 0], то уравнения B8.7) бу-
будут
r' = R{r), щ' = Ф(г).	.	B8.9)
Интегрирование первого из них дает при заданном начальном
значении г@) закон изменения амплитуды г@). Вяося это г@)
во второе уравнение, находим при заданном ф@) закон измене-
изменения фазы ф@). В установившихся режимах (если они суще-
существуют) амплитуда г постоянна (г' = 0), а сами эти постоянные
значения г определяются из уравнения R(r)= 0. Пусть г0 — ка-
какое-либо из решений этого уравнения. Тогда второе уравнение
B8.9) определяет соответствующую фазу:
Таким образом, если Ф(го)/го ф 0, автоколебания B8.4) проис-
происходят с частотой 1+и—VJL г немного отличной от 1 — соб-
ственной частоты линейного осциллатора.
Каковы же уравнения B8.9) для нашей простой модели ав-
автогенератора, у которой f (х, х) = х (р—о"*2)? Для функций
f (x, х) столь простого вида (полином по степеням х и х, а в дан-
данном случае — только по х) можно даже не вычислять инте-
интегралы B8.8), а обойтись элементарной тригонометрией. Под-
Подстановка х = — г sin и дает
х (р—-х2) = — prsinu + — г3sin3и = — г (р — r2)sin« —^-s'
О	О	О
х) = prsinu + гsinи = г (р r)sin« ^
О	О	О
Отбросив третью гармонику, имеем, следовательно, d[ = 0,
Ъ\ = — г(р — г2) или Ф = 0, R = -? (р — г2), т. е. получаем урав-
уравнения
/•'^(р-r2), Ф' = О.	B8.10)
Возможные состояния равновесия — это г = 0 и при р > 0
еще r = Vp- Элементарное исследование показывает, что при
р < 0 состояние равновесия г = 0 устойчиво, а при р > 0 не-
неустойчиво, но устойчив предельный цикл с г = VР- Фаза ф =
= ф0 = const, т. е. сохраняет начальное значение. На рис. 19
показан ход траекторий на фазовой плоскости х = г cos(i' + ф),
х « —rsin(?' + q))> а в нижней части рисунка — соответствую-
соответствующая картина на плоскости Ван-дер-Поля, т. е. на плоскости с по-
полярными координатами г и ф. Связь обеих картин в рассматри-
рассматриваемом первом приближении очень проста: если вращать пло-
плоскость Ван-дер-Поля вокруг начала отсчета с угловой частотой

180
марковские процессы
[гл. iv
единица, то медленные движения изображающей точки по лучу
ф = фо = const перейдут в спирали, а устойчивое положение
равновесия r = Vp— в окружность (предельный цикл) на фа-
фазовой плоскости (х, х). Таково в общих чертах решение дина-
динамической задачи.
Как изменятся эти результаты при учете случайных воздей-
воздействий и чем эти воздействия обусловлены? Остановимся сначала
на втором вопросе.
Анодный ток лампы испытывает флуктуации не только из-за
дробового эффекта (§§ 5, 10), но и вследствие «эффекта мер-
мерцания» — хаотических вариаций эмиссии катода. В самом коле-
колебательном контуре флуктуа-
флуктуации тока и напряжения обу-
обусловлены не только тепло-
тепловым движением электронов,
но и рядом других причин.
Генератор подвержен разно-
разнообразным внешним воздей-
воздействиям— механическим, ко-
которые вызывают, в частности,
вибрацию, электродов лампы
(микрофонный эффект); тем-
температурным, которые могут
влиять на значения парамет-
параметров схемы; электромагнит-
электромагнитным (электрические флук-
флуктуации в источниках пита-
Рис. 19.	нияг наводки) и т. п. Часть
этих воздействий в принципе
устранима: можно хорошо заблокировать источники питания,
можно тщательно заэкранировать самый генератор, термостати-
ровать и амортизировать его и т. д. Но такие явления, как дробо-
дробовой эффект и тепловые флуктуации, принципиально неустранимы,
так как они связаны с атомистической структурой электриче-
электрического заряда. Эффект мерцания, обусловленный довольно слож-
сложными процессами диффузии и адсорбции в поверхностном слое
катода, присутствует, как показывает опыт, во всех случаях, но,
в отличие от дробовых и тепловых шумов, протекает довольно
. медленно по сравнению с высокочастотными колебаниями гене-,
ратора.
Можно подразделить случайные воздействия на два вида.
Одни вызывают медленные, но значительные изменения пара-
параметров устройства и соответствующие уходы частоты. Г. С. Го-
Горелик [16] предложил называть эти уходы и связанную с ними
немонохроматичность колебаний техническими, подчеркивая
этим их обусловленность внешними факторами, от которых

§ 28)	ФЛУКТУАЦИИ В ТОМСОНОВСКОМ ЛАМПОВОМ ГЕНЕРАТОРЕ	J81
в принципе можно избавиться (хотя эффект мерцания дает
вклад именно в эту группу). Принципиально же неустранимую
немонохроматичность, обусловленную чрезвычайно быстрой, но
неглубокой хаотической модуляцией вследствие дробовых и теп-
тепловых флуктуации, он предложил называть естественной.
В дальнейшем мы еще вернемся к вопросу о влиянии обоих
названных видов хаотической модуляции на спектр автоколеба-
автоколебаний. В данный момент нас интересует протекание этих явлений
во времени и возможность описания их как непрерывного мар-
марковского процесса.
Как уже отмечалось (§ 26), такое описание предполагает до-
достаточную «густоту» независимых случайных толчков: вероят-
вероятность конечных изменений состояния за макроскопически малое
время At' должна стремиться к нулю быстрее, чем At', но вместе
с тем интервал Д^ должен быть велик по сравнению со време-
временем между случайными толчками, т. е. за время At' система
должна испытывать очень много независимых случайных воз-
воздействий.
Что является макроскопическим масштабом малости Af?
Очевидно, период автоколебаний (равный 2я по безразмер-
безразмерному времени f), так как другие временные характеристики
томсоновской системы (время установления генератора или от-
отдельно взятого колебательного контура) охватывают очень
много (~1/|л) периодов. Следовательно, 2п'^> At', которое
в свою очередь гораздо больше времени между толчками. Но
этому условию удовлетворяют только дробовые и тепловые
флуктуации. Случайные воздействия, с которыми связаны тех-
технические уходы частоты, гораздо более медленны по сравнению
не только с периодом, но даже со временем установления гене-
генератора. Отсюда ясно, что они не могут быть включены в схему
случайного процесса без вероятностного последействия, если,
конечно, не отказываться от трактовки генератора как системы
с одной степенью свободы. Таким образом, понимая под состоя-
состоянием совокупность двух переменных х и х (или г и ф) в момент
времени V и описывая случайные изменения состояния как не-
непрерывный двумерный марковский процесс, мы можем учесть
влияние только дробовых и тепловых флуктуации.
В результате этих флуктуации, быстро меняющихся на про-
протяжении даже маленького отрезка предельного цикла (малой
доли периода), изображающая точка на фазовой плоскости
(х, у) [или на плоскости (г, ф), где систематическое обращение
по часовой стрелке с периодом 2я исключено] совершает своего
рода брауновское движение. Для того чтобы написать соответ-
соответствующее уравнение Эйнштейна — Фоккера для вероятности пе-
перехода v(Q, г, ф|0о, Го, фо), необходимо конкретизировать вид
коэффициентов Bik. Мы допустим, что случайные толчки

182	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
изотропны, т. е. справедливы выражения B7.9):
Кроме того, мы примем, что толчки однородны, т.е. В — по-
стояцная величина, не зависящая от состояния генератора (г, ф).
Заметим, что это последнее предположение, строго говоря,
непригодно для лампового генератора. Оно справедливо, если
речь идет о тепловых флуктуациях в колебательном контуре,
так как их интенсивность не зависит от силы текущего по про-
проводникам тока. Но интенсивность флуктуации анодного тока
лампы (дробовой эффект) прямо пропорциональна среднему
значению тока [см. A0.9)]. При наличии автоколебаний средний
ток периодически пульсирует в такт с колебаниями напряжения
на сетке. Следовательно, в переменных (г, ф) коэффициент В
должен был бы зависеть не только от г и ф, но и от времени f
(периодическая нестационарность при установившемся режиме).
Допуская постоянство В, мы переходим к сильно упрощенной
модели, но она все же позволяет составить известное представ-
представление о влиянии флуктуации на поведение генератора и до-
довольно близка к реальным условиям в тех случаях, когда коле-
колебания анодного тока лампы относительно невелики.
Конечно, изложенные качественные соображения нельзя счи-
считать доказательством того, что при воздействии только «густых»
дробовых и тепловых флуктуации случайный процесс (г, ф)
в генераторе действительно является непрерывным марковским
процессом и подчинен (при дополнительном допущении одно-
однородности и изотропности случайных толчков) уравнению Эйн-
Эйнштейна— Фоккера B7.12). Более того, в это уравнение входят,
кроме коэффициента В, еще детерминированные функции R(r, ф)
и Ф(г, ф), которые надо откуда-то взять. У нас пока нет регу-
регулярного способа нахождения этих функций, так что и в этом
вопросе мы тоже пока вынуждены опереться на наводящие со-
соображения.
В § 26 мы убедились, что в случае одномерного марковского
процесса коэффициент А (х, t) в уравнении Эйнштейна — Фок-
Фоккера совпадает с правой частью «динамического» уравнения
B6.13) с точностью до аддитивной случайной функции, среднее
значение которой равно нулю. В нашей двумерной задаче такие
функции могли бы появиться в правых частях динамических
уравнений B8.10), если бы при их выводе мы не отбросили в ис-
исходном уравнении B8.1) случайную «силу» F(t) (у которой
среднее значение как раз равно нулю). Естественно допустить,
что в качестве R и Ф в B7.12) надо подставить правые части
динамических уравнений B8.10), т. е. положить
R=i(p~r2), Ф = 0.	B8.11)

§ 28]	ФЛУКТУАЦИИ В ТОМСОНОВСКОМ ЛАМПОВОМ ГЕНЕРАТОРЕ	183
Тогда уравнение B7.12) для вероятности перехода v (г, <р 10 — 80,
*о» Фо) будет
Однородность процесса во времени (v зависит от 0 — 0о) яв-
является следствием независимости R и В от 0.
Все наши правдоподобные допущения, приведшие к уравне-
уравнению B8.12), будут обоснованы в следующей главе, посвящен-
посвященной стохастическим дифференциальным уравнениям.
Физически очевидно, что процесс эргодичен — система обла-
обладает конечной «памятью», так что с ростом 0 — 0О вероятность
перехода превращается в одномерную вероятность состояния wi,
не зависящую от начальных значений г0 и фо:
B8.13)
Разумеется, полное решение уравнения B8.12) при начальном
условии
v (г, ф 10, г0) Фо) = б (г - г0) б (ф - Фо)	B8.14)
обнаружило бы справедливость B8.13) без каких-либо доба-
добавочных предположений, но мы сразу ограничимся более про-
простой задачей — получением стационарного решения W\(r, ф).
Оно удовлетворяет уравнению
dr	2 L dr \ dr
Подчеркнем теперь одно обстоятельство, которое станет со-
совершенно очевидным в последующем (§ 29): стационарное рас-
распределение возможно только при условии, что в качестве обла-
области изменения фазы ф берется конечный интервал @, 2я). Это
вовсе не единственно возможная постановка задачи, но если
она принята, то без дальнейшего ясно, что все значения ф в ин-
интервале @, 2я) равноправны. Это значит, что распределение по
Ф равномерно (W\ не зависит от ф), так что уравнение для w\
принимает вид
Нетрудно убедиться, что не обладает особенностью в точке
г = 0 только то решение, которое обращает поток W\, т. е. выра-
выражение, стоящее в скобках, в нуль. Интегрируя вторично, нахо-
находим
= Сгехр^
о

184	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
причем С определяется из условия нормировки
[ГЛ. IV
2Я
Подставив в эти выражения R из B8.10) и вычислив интегралы^
получаем искомое стационарное распределение:
-(p-r'WB
()dd	drd<f, B8.15)
где
erf
На рис. 20 изображена поверхность Wi(r, <р) при р > 0 (воз-
(возбужденный генератор), когда эта поверхность имеет вид кра-
кратера. Наивероятнейшее значение г есть
¦Vf+V:
т. е.
при
В последнем случае, соответствующем достаточному удалению
от порога самовозбуждения в сторону отрицательных р, можно
пренебречь в показателе B8.15)
четвертой степенью г и воспользо-
воспользоваться асимптотическим разложе-
разложением
erf (-*) = -Ц
Мы получаем тогда
хюх (г, ф) dr d<p =
Рис. 20.
2я
, B8.16)
т. е. для амплитуды г, как этого и следовало ожидать в случае
линейного диссипативного контура, имеет место распределение
Релея B4.10), причем 2а2 = г5 = 2В/\р\.

i 29]
ФЛУКТУАЦИИ ПРИ БОЛЬШИХ' АМПЛИТУДАХ АВТОКОЛЕБАНИЙ
185
Напротив, если генератор достаточно сильно возбужден
(р ~> 2 л/В), то «вал», окружающий «кратер», имеет заметную
вышину лишь над кольцом, содержащим предельный цикл. По-
Полагая г = л/р -{- р, ограничиваясь квадратом р в показателе
B8.15) и пользуясь тем, что
теперь
erf (р/2 УS") «1,
¦2Mb
получаем
а/, (р, ф) ф dq> =
B8.17)
Рис. 21.
Таким образом, радиальное от-
отклонение р от предельного цик-
цикла распределено в этом случае нормально с дисперсией а2 =
р
На рис. 21 показан ход w\ в функции от г для трех значе-
значений р, в том числе на границе самовозбуждения р = 0. Разу-
Разумеется, при всех значениях р увеличение интенсивности случай-
случайных толчков (рост В) ведет к расплыванию максимума W\.
§ 29. Флуктуации при больших амплитудах автоколебаний
Рассмотрим подробнее случай больших положительных зна-
значений р. Условие р >¦ 2л/В означает, очевидно, что радиус пре-
предельного цикла V Р велик по сравнению со стандартом флук-
флуктуации амплитуды:
У Р > л/в\2р — VP".
Это позволяет линеаризовать динамические уравнения B8.10)
относительно р = г — л/р. Они принимают вид
Р'
¦¦ — рр, <р' = 0,
B9.1)
т. е. отклонение изображающей точки от предельного цикла ве-
ведет себя так, как если бы эта точка была привязана к циклу
пружиной и двигалась в среде с вязким трением. Инкремент р
играет роль отношения коэффициента упругости пружины к ко-
коэффициенту вязкого трения и характеризует «прочность» пре-
предельного цикла — скорость возвращения изображающей точки
на цикл после начального отклонения от него.
Соответственно B9.1) упрощается и уравнение Эйнштейна--
Фоккера B8.12), в котором надо положить д/дг = д/др, г = /~

186	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
и R = — рр:
dv dppv . В (d*v \ d'v \	,9q9,
<Э6 ~ др ^ 2 \ dp2 ~^ p dq>2 ) ¦	К У >
Упрощение настолько значительно, что теперь можно не ог-
ограничиваться отысканием стационарного распределения, а по-
получить решение B9.2) при произвольных начальных условиях
р = Ро, ф = фо, 9 = бо (конечно, надо придерживаться при этом
условия р0 <С л/р). Для вероятности перехода и(р, ф|0 — 0О,
ро, фо) указанные начальные условия означают, что
v (р, Ф 10, р0> фо) = 6 (р — Ро) б (ф — фо).	B9.3)
Если вновь предположить, что возможные значения ф лежат
в интервале @, 2л), т.е. искать решение B9.2), периодическое
по ф с периодом 2л, то обычная процедура разделения перемен-
переменных приводит к следующему результату:
v (р, ф 10 — 80, р0, фо) = vp (р 10 — 60, ро) уф (ф j 9 — Эо, фо), B9.4)
т. е. в любой момент времени р и ф независимы, причем флук-
флуктуации амплитуды р распределены нормально:
ор (р 10 - 0о, Ро) = -yh^ e~iP ~т2°г'	B9'5)
со средним значением и дисперсией, равными соответственно
а распределение фазы ф есть
оф (Ф IЭ - 90, Фо) = -^ | 1 + 2 ? е-*» (в-ВД cos «(ф —фо)}, B9.7)
где D = В/2р.
В начальный момент 9 —80 имеем р = р0, а2 = 0, т. е. рас-
распределение р превращается в б(р — р0), а распределение ф при
оо
Э = б0 дает б (ф — фо), поскольку 1 + 2 ? cos п (ф —- ф0) есть раз-
разложение Фурье для периодически-повторяющейся функции
2яб(ф — фо)- Как для амплитуды, так и для фазы имеет место
эргодичность: при 8 -> оо устанавливаются не зависящие от на-
начальных условий стационарные распределения, а- именно — нор-
нормальное распределение для р с р = 0 и дисперсией о2 = В/2р
и равномерное в интервале @, 2л) распределение для ф, что мы
и получили ранее [см. B8.17)].

29]
ФЛУКТУАЦИИ ПРИ БОЛЬШИХ АМПЛИТУДАХ АВТОКОЛЕБАНИИ
187
На рис. 22 показано, как устанавливается распределение ам-
амплитуды: среднее значение р затухает по такому же экспонен-
экспоненциальному закону, по какому изображающая точка приближа-
приближалась бы к предельному циклу в чисто динамической задаче. На-
Наличие случайных толчков ведет вместе с тем к нарастанию дис-
дисперсии (р — рJ вплоть до ее установившегося значения. Что
Рис. 22.
Рис. 23.
касается распределения фазы, то оно меняется так, как изо-
изображено на рис. 23: ансамбль идентичных генераторов, запу-
запущенных в момент 0 = Эо с одинаковой фазой фо, диффузионно
растекается по предельному циклу, и спустя достаточно долгое
время экземпляры из этого ансамбля населяют весь цикл рав-
равномерно.
Заметим теперь следующее. Выбор интервала @, 2я) для ф
означает применительно к отдельному генератору, что из пол-
полного набега его фазы мы сбрасываем всякое целое число пол-
полных циклов. Но если речь идет об использовании автогенера-
автогенератора в качестве часов, то отнюдь не безразлично, произошел ли
уход фазы на угол а, или на а + 2л, а + 4л и т. д. Другими
словами, нас здесь интересует .именно полный набег фазы, так
что для ее возможных значений надо брать интервал от —<х>
до + оо. В этом случае решение уравнения B9.2) будет по-
прежнему иметь вид B9.4); для флуктуации амплитуды оста-
останутся в силе формулы B9.5) и B9.6), но вероятность перехода
для фазы иф(ф@ — 9о, фо) не будет периодична по ф и при на-
начальном условии б(ф — фо) выразится, как нетрудно убедиться,
формулой (D = В/2р)
^{^=^}. B9.8)
Мы возвращаемся, таким образом, к случаю изотропных блуж-
блужданий брауновской частицы по бесконечной прямой (см. §§ 4,

188
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ.' IV
7, 24) и, соответственно, уже не имеем эргодичности: не завися-
зависящее от <ро стационарное распределение не достигается ни при
каком 0, и средний квадрат флуктуационного набега фазы за
промежуток времени Э — Эо неограниченно растет пропорцио-
пропорционально 0 — 0О:
0о).	B9.9)
4Л
Рис. 24.
Связь обеих постановок задачи очень проста (рис. 24): если
неограниченно растекающееся по бесконечной оси ф распреде-
распределение B9.8) «свернуть» путем
переноса всех интервалов [2ля,
2л(и-|-1)] в полосу @, 2л), то
в этой полосе получится распре-
распределение B9.7), т. е. мы вернем-
вернемся к картине установления, пока-
показанной на рис. 23. Очевидно, до
тех пор, пока расплывание рас-
Р пределения B9.7) еще невелико,
т. е. (ф — фоJ <§; 2л, законы рас-
распределения B9.7) и B9.8) прак-
практически совпадают в интервале @, 2л), В этом нетрудно
убедиться и прямым расчетом, заменив сумму в B9.7) инте-
интегралом.
Как следствие предположения об однородности случайных
толчков рассматриваемый марковский процесс однороден по
времени: вероятности перехода B9.5), B9.7) и B9.8) зависят
лишь от разности между конечным @) и начальным (Эо) мо-
моментами. Возьмем в качестве начального момент времени 0 =
= \xt\ а в качестве конечного — момент 0 -4- т = \i(t' + т'). Ве-
Вероятности перехода для р и ф будут зависеть только от т/ = дт'.
Обозначив значения р и ф в момент Э + т через рт и фт, можно
переписать B9.5) и B9.7) в виде
B9.10)
2я ох
В
, Ф) =-^| 1 + 2 ? е-»1'» cos л (Фт - ф)
При т —> оо отсюда получаются стационарные одномерные рас-
распределения:
щ^)^:е~^х^ <=jf=0' B9Л1)
О»1ф(ф)=-=7-
B9.12)

§ 29]	ФЛУКТУАЦИИ ПРИ БОЛЬШИХ АМПЛИТУДАХ АВТОКОЛЕБАНИЙ	jgg
- Как мы помним (§ 15), вероятность перехода и одномерная
вероятность — это все, что необходимо для того, чтобы написать
любое «-мерное распределение марковского процесса. В част-
частности, двумерные распределения р и ф будут
Щр (Рт. Т> Р) = ^ip (Р) VP (Рт I т> Р) =
= _L_expf	PL_(Pt-P*n B9ЛЗ)
2лаооах F \ 2oi	2a2t /
©2ф (фт. Т. ф) = Ш1ф (ф) °Ф (Фт I Т, ф) =
[ B9.14)
It-l
Поскольку а)]р(р) и аУ1Ф(ф) не зависят от 0, а вероятности пере-
перехода однородны по 0, рассматриваемый марковский процесс ста-
стационарен.
Располагая двумерными распределениями B9.13) и B9.14),
можно вычислить средние значения каких-либо функций от р, рх
и от ф, фт. Мы воспользуемся этим для расчета функции корре-
корреляции исследуемого автоколебательного процесса
X (Г) = Г @) COS [/' + ф @)] = (Ур + р) COS (f + ф),
которая понадобится в дальнейшем при изучении спектра авто-
автогенератора. Интересующая нас функция корреляции есть
г|Эд; =ххх' — ххх>,
где х^х(П и XT^x(t' + x') (^/p + 9x)( + + px).
Поскольку р и ф в любой момент времени независимы, а од-
одномерное распределение фазы B9.12) равномерно в интервале
(О, 2л), имеем cos ф = sin ф = 0. Следовательно, для всякого V
Учитывая, далее, что, согласно B9.11), р = рт = О, получаем
фж = x~xv = Wp- + р) (Ур + pt) cos (f + ф) cos (V + т' + Фх) =
= i (Р + PP.) (cos (т' + Фт - Ф) + cos BГ + т' + Фт + Ф)}. B9.15)
Таким образом, для нахождения г|)ж надо вычислить следующие
средние:
— sin I	sin
PPf cos ^)

190	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	ГГЛ. IV
В соответствии с B9.13) имеем
РРт = )) РРЛр (Рт. *> Р) ФФт =
— оо
-f-OO	+ОО
= \ Р^1р(р)Ф \ PxVр (рт IT, р) фт.
Внутренний интеграл — это условное среднее значение рт, рав-
равное ре-Р% [см. B9.10)]. Следовательно [см. B9.11)],
Учитывая, что pp_T = ppt, можно записать этот результат при
произвольном знаке т в виде
РРт=^е-р|т1.	B9.16)
Из того, что ву2ф (фт, т, ф) — четная функция фт — ф [см.
B9.14)], тотчас же следует, что
cos (фт 4- ф) = sin (фт + ф) = sin (фт — ф) = 0. B9.17)
Остается вычислить cos (фт — ф), т. е. интеграл [см. B9.14)]
2я 2Я
cos (фт — ф) = ] j cos (фт — ф) ш2ф (фт, т, ф) d<p d<px =
о о
2я 2я	,	оо	v
=~Ь Иcos (фт ~ф) Iх+2 2 е"пщт cos я (^ ~ф) |
0 0	*•	й-1	'
Очевидно, отличный от нуля результат дает только член суммы
с п= 1:
2Я 2я
cos (фт — ф) = -^5- J J соэ2(фт —
0 0
или при произвольном знаке т:
в|т|	B9.18)
Внося B9.16) —B9.18) в B9.15), получаем
= [гт',Д = ^). B9.19)

§ 29] ФЛУКТУАЦИИ ПРИ БОЛЬШИХ АМПЛИТУДАХ АВТОКОЛЕБАНИЙ	tgj
Три сомножителя, входящие в ^(т'), меняются в функции
от т' с существенно различными скоростями. Наиболее быстро —
с частотой автоколебаний — осциллирует cos т'. Гораздо мед-
медленнее меняется экспонента
вошедшая через функцию корреляции амплитудных флуктуации
B9.16). Последняя уменьшается в е раз за время 1/|лр, причем
в обычных условиях безразмерный инкремент цр — величина
порядка 10~2—10. Еще медленнее убывает экспонента
где 2(xD — коэффициент диффузии фазы:
(Фт - фJ = 2?>т = 2|л?>т'.	B9.20)
Для диффузии, обусловленной естественными флуктуациями, ве-
величина 2\x,D имеет порядок 10~10— 10~13. Это значит, что сред-
средний квадратичный уход фазы примерно на я занимает по без-
безразмерному времени промежуток
а по обычному времени
дг =-11 « -JL- « (Ю10 - 1013) -J-.
При f0 = 10 Мгц это составляет Д?' «s 103—106 сек.
Хорошо известно, однако, что расхождение на л между фа-
фазами двух специально не стабилизированных генераторов про-
происходит на таких частотах несравненно быстрее — за немногие
секунды. Это связано с наличием технических уходов фазы
(§ 28). Казалось бы, технические уходы должны полностью ма-
маскировать естественную диффузию фазы, но подобное заключе-
заключение было бы слишком поспешным, так как технические уходы
фундаментально отличаются от естественных своей гораздо бо-
более длительной корреляцией. Мы вернемся к этому вопросу
в дальнейшем (§53).
Заметим в заключение этого параграфа, что параметр В,
присутствующий во всех предыдущих формулах и определяю-
определяющий, в частности, коэффициент диффузии фазы, вошел в эти
формулы из исходного уравнения Эйнштейна — Фоккера B8.12).
Мы не имеем пока никакой связи В с величинами, описываю-
описывающими конкретный механизм случайных воздействий на генера-
генератор (дробовой ток, тепловой шум), или, говоря более опреде-
определенно, со статистическими характеристиками случайной силы
B8.2). Это еще один пробел развитой здесь чисто вероятности
ной схемы, который нам тоже предстоит восполнить в следую-
щей главе.

192	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
§ 30. Вращательное брауновское движение.
Случайная рефракция луча
Пусть сферическая частица взвешена в жидкости или газе, и
пусть с частицей жестко связана некоторая ось, направление ко-
которой, характеризующее ориентацию частицы, определяется по-
полярными углами 0 и ф. Отвлечемся от поступательного движе-
движения частицы и от ее вращения вокруг оси. Тогда под действием
ударов молекул или — что при данной постановке задачи то же
самое — под действием флуктуации тангенциальных (вязких)
напряжений частица (ее ось) будет случайным образом пово-
поворачиваться, совершая так называемое вращательное браунов-
брауновское движение1). Это означает, что точка @, ф) совершает по-
поступательное брауновское движение на поверхности единичной
сферы.
Очевидно, случайный вращающий момент будет изотропен
(все его направления равноправны) и однороден (интенсив-
(интенсивность толчков не зависит от ориентации частицы). Уравнение
Эйнштейна — Фоккера, отвечающее этим условиям и определяю-
определяющее скалярную плотность вероятности перехода v(Q,(p\t — t0,
0о, фо), т. е. такую плотность, что dp = б sin 0 dQ dq>, уже было
написано [см. B7.17) ]. Оно упрощается, если полярный угол Э
отсчитывается от начального направления оси частицы @о = 0).
Вследствие симметрии распределение по азимуту ф становится
тогда равномерным, а уравнение для вероятности перехода
v(Q\t — tQ, 0) принимает вид B7.17)j
б(е1°°)=!та C01)
Решение уравнения C0.1) с этим начальным условием есть
v(Q\t-t0, 0) =
где fn(cos0)—полиномы Лежандра. При t—> оо достигается
стационарное распределение? из всей суммы остается только
член с п = 0, так что
Iim5@|f-<o, 0) = ©,(e)=7--.	C0.3)
Если нас интересует условное среднее значение какой-либо
функции /@), то его можно получить при помощи C0.2), раз-
разложив /@) по полиномам Лежандра и воспользовавшись их
») См. [17], а также [7], § 67.

§ 30]	ВРАЩАТЕЛЬНОЕ БРАУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ	]93
взаимной ортогональностью:
Pm (cos 6) Рп (cos 0) sin Э dQ = -§fj.
m
о
В некоторых случаях удобней, не решая уравнения C0.1), полу-
получить с его помощью дифференциальное уравнение для самого
среднего /(б). Пусть, например, /(9) = Р\(В) = cos 0. Умножим
C0.1) на cos 0 и проинтегрируем по 0 от 0 до п. Учитывая, что
я
cos 0 = \ cos 0 • v sin 0 с?0,
о
получаем
Решение этого уравнения с начальным условием cos 0=1 при
t = о есть
cos0 = e-fl'.	C0.4)
При t—> оо это дает cos 0 = 0, т. е., в соответствии с C0.3), все
ориентации становятся равновероятными. Для малых t имеем
соГв=1—(F/2=l — Bt,
т, е.	_
62 = 2В/,	C0.5)
как и для двумерного брауновского движения на плоскости [см.
B4.11)].
Если помимо случайных вращающих моментов имеется еще
некоторый детерминированный момент, ориентирующий ось ча-
частицы в плоскостях ф = const, то стационарное распределение
уже не будет равномерным. Пусть, например, частица обладает
дипольным моментом р и находится в электрическом поле Е.
Вращающий момент будет
М @) = - рЕ sin 0 = - dU/dB,
где U = — рЕ cos 9 — энергия во внешнем поле. Систематиче-
Систематическая угловая скорость, если пренебречь инерцией частицы, равна
0 = M/h, где h = 8лцаъ — вращательный коэффициент вяз-
вязкого трения. Таким образом, считая по-прежнему, что не завися-
зависящие от В слагаемые в коэффициентах А{ уравнения Эйнштей-
Эйнштейна — Фоккера совпадают с правыми частями динамических
уравнений для соответствующих скоростей, мы получим теперь

194	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
для Ав вместо B7.14) выражение
л м i в
Уравнение B7.17) заменится при этом на
. . да	д ( М . а _\ , В
sme_ = _w(_slne.yj + T
а уравнение для стационарной вероятности w\ @) будет
d Г . а( В dwi М _
После однократного интегрирования и учета того, что по-
постоянная интегрирования равна нулю, получим
В dwi М _ _ В dWj I dU _ _n
Отсюда
ш, (в) = Ce~2U'hB,
причем С определяется из условия нормировки
п
2п\ wx F)sin6de= 1.
о"
Но полученный результат должен совпадать с больцмановским
распределением, а значит, hB/2 = kT, т. е. (см. § 26)
В = 2kT/h.
Казалось бы, вращательное брауновское движение не имеет
никакого отношения к вопросам, интересующим радиофизику.
Но предыдущие задачи уже не раз подтверждали, что одна и та
же вероятностная схема может охватывать очень разнородные
явления. В данном случае мы снова сталкиваемся с примером
такого же рода. При определенных ограничениях аналогичной
вращательному брауновскому движению оказывается/Задача
о распространении луча в среде с плавными случайными неод-
нородностями. Говоря о плавности или медленности изменений
свойств среды, мы имеем в виду применимость геометрической
оптики (или акустики). Для достаточно коротких радиоволн
соответствующие условия могут в известной степени выпол-
выполняться и в тропосфере, и в ионосфере, и в солнечной короне,
так что лучевая трактовка случайной рефракции оказывается
допустимой. Самое же явление флуктуации направления рас-
распространения луча представляет для радиофизики непосред-
непосредственный интерес.

§ 30]	ВРАЩАТЕЛЬНОЕ БРАУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ	195
Свойства среды могут быть охарактеризованы показателем
преломления п(х, у, г) или же фазовой скоростью волны
v(x, у, z), изменение которых от точки к точке и описывает не-
неоднородности среды. Утверждение, что эти неоднородности слу-
случайны, означает, что п или v — случайные функции точки, т. е.
не одного параметра t, как это было всюду ранее, а трех пара-
параметров х, у, г. Это пример так называемого случайного поля.
В части II этой книги случайные поля будут рассмотрены более
подробно, причем не только в связи с задачей о флуктуациях
рефракции.
Подобно тому как одной из основных характеристик случай-
случайного процесса \{t) является его смешанный момент \(i)\{t'),
так и для случайного поля \(х, у, г), или, короче, g (r), момент
?(г)|(г') чрезвычайно важен, так как он дает меру стати-
статистической связи между значениями ?(r) B двух точках простран-
пространства. Предполагая, что | = 0, мы будем далее отождествлять
этот смешанный момент с функцией корреляции ijjg (r, г'). Поле
называется однородным, если функция корреляции зависит
только от разностей координат этих точек R = г — г', т. е. пере-
перенос начала отсчета не влияет на ijjg (R) = | (г) ? (г'). Если же,
сверх того, г|з| зависит только от расстояния R = |г — г'|, но не
от направления R, то поле называется статистически изотроп-
изотропным.
Мы предположим, что рассматриваемое случайное поле и (г)
однородно и изотропно, или, иначе говоря, что 'в среде нет ста-
статистически выделенных положений и направлений. Это допуще-
допущение играет по отношению к случайным поворотам луча при его
преломлении в неоднородностях среды такую же роль, как и
гипотеза об однородности и изотропности случайных толчков
при брауновском движении частицы.
Пространственная функция корреляции однородного и изо-
изотропного поля ij3|(i?) зависит лишь от одного аргумента, как
это имеет место и для временной функции корреляции i|)j(t)
стационарного случайного процесса. Во многих задачах можно
указать для ty%(x) некоторый характерный временной интер-
интервал ¦&, в пределах которого корреляция заметна, а при сдвигах
т > ¦& достаточно быстро убывает. В таких случаях ¦& называют
«временем корреляции». В пространственных задачах аналогич-
аналогичную роль играет «радиус корреляции» а; при увеличении R
сверх а функция корреляции г|^(/?) стремится к нулю. Оче-
Очевидно, в интересующей нас задаче, если понимать под | случай-
случайный показатель преломления среды п (или случайную фазовую
скорость волны v), то а характеризует средний размер неод-
нородностей среды.

196	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ .	(ГЛ. IV
Применимость геометрического приближения предполагает,
что выполнено не только условие а^> X (X— длина волны), но
и условие малости дифракционных эффектов zX -С а2, где z —
толщина слоя, пройденного лучом в неоднородной среде. По-
Последнее условие означает, что даже при наиболее удаленных от
точки наблюдения неоднородностях размер зоны Френеля
~ д/'zX гораздо меньше размера неоднородностей а.
По отношению к форме луча а характеризует протяженность
тех его участков, на которых луч испытывает «однократный»
поворот. Вследствие этих случайных извилин, обусловленных от-
отдельными неоднородностями, и набегает интересующая нас слу-
случайная интегральная рефракция — угловое отклонение 0 направ-
направления луча от оси z, т. е. от его начального направления 0 = 0,
при входе в неоднородную среду.
Задача о рефракции луча на случайных неоднородностях
была тщательно проанализирована в работе [18], в которой было
показано, что угол 0 можно рассматривать как функцию мар-
марковского типа при следующих условиях.
1.. На всем пути луча должно быть 0 <С л/2 (так называемое
малоугловое приближениеI), что позволяет не различать втгер-
вом приближении толщину г пройденного слоя среды и полную
длину луча I в этом слое. Иначе это условие выражается тре-
требованием, чтобы средний квадрат поперечного смещения луча р
от оси z был мал по сравнению с z2:
p*<z2.	C0.6)
2. На своем пути в слое толщины z луч должен испытать
очень много «однократных» поворотов, т. е. должен встретить
очень много неоднородностей:
Неравенство должно быть настолько сильным, чтобы можно
было разбить полную толщину z на отрезки Дг <С г, причем/уже
на каждом таком отрезке луч встречает очень много неодно-
неоднородностей (Az^Pa), т.е. испытывает много взаимно некорре-
некоррелированных «толчков» из-за случайных градиентов показателя
преломления. Вместе с тем средний квадрат результирующего
отклонения луча (ДЭJ на отрезке Az еще мал — по порядку ве-
величины не ниже Az. Это совершенно аналогично условиям мар-
марковости при блужданиях брауновской частицы: за элемент вре-
времени Д^ частица испытывает очень много независимых толчков,
но средний квадрат смещения (AsJ имеет порядок малости не
') Необходимость этого условия не была замечена в первых работах по
случайной рефракции.

§ 31]	УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА - ФЕЛЛЕРА	197
ниже, чем А^. В этом макроскопическом смысле промежуток At
бесконечно мал.
При этих условиях') существует вероятность перехода
v(Q\z, 0), удовлетворяющая тому же уравнению C0.1), что и
вероятность поворота на угол б оси сферической частицы, под-
подвергающейся действию случайных однородных и изотропных
вращающих моментов. То, что вместо времени t теперь незави-
независимой переменной является толщина z пройденного лучом слоя
среды, конечно несущественно. Принципиальное отличие состоит
в том, что для частицы угол поворота 0 не лимитирован, а для
луча уравнение C0.1) пригодно лишь при малых 0, когда
вообще можно заменить sin 0 на 0. Соответственно вместо C0.4)
мы должны считать, что cos 0 = 1, а для среднего квадрата Э
можно пользоваться лишь формулой C0.5), т. е.
При этом же ограничении средний квадрат поперечного смеще-
смещения луча равен
о5 = — Bz3 = — №z2
р 3	з •
откуда и вытекает C0.6).
§ 31. Скачкообразные марковские процессы.
Уравнение Колмогорова — Феллера
Уравнение Эйнштейна — Фоккера выведено для марковских
процессов ?,(t), непрерывных не только в смысле непрерывности
возможных значений х случайной функции l(t), но и в смысле
вероятностной непрерывности изменения l(t) во времени («почти
все» реализации l(t) непрерывны по t в обычном смысле). При
отказе от этого последнего ограничения, т.е. от условия B6.3),
мы получаем возможность рассматривать марковские процессы,
у которых изменения состояния происходят мгновенными скач-
скачками. Общим будет при этом смешанный случай, когда состоя-
состояние может меняться и непрерывно, и скачками, но сначала мы
остановимся на чисто скачкообразных переходах. Пример та-
такого процесса уже был упомянут ранее, когда речь шла о невы-
невыполнении условия B6.3) при соударениях молекул газа: ско-
скорость молекулы меняется при соударении скачком, но множество
возможных значений скорости после удара непрерывно. Кроме
соударений микрочастиц (молекул, атомов, электронов и т. д.)
') В § 36 мы еще вернемся к этим условиям и выясним, откуда они вы-
вытекают.

198	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
в эту схему укладываются и квантовые переходы, и некоторые
импульсные процессы.
Рассмотрим первоначально следующий простой пример одно-
одномерного пуассоновского скачкообразного процесса ?,(t). Пусть
случайные моменты времени tv образуют пуассоновский поток
событий, так что вероятность наступления п событий в интер-
интервале @, t) дается законом Пуассона
е-»'',	C1.1)
где n\t — среднее число событий в @, t), n\ —среднее их число
в единицу времени.
В момент tv процесс l(t) скачком попадает в интервал
(xv, xv + dxyI) с вероятностью q>(xv\xv-\)dxv, зависящей от
предшествующего значения xv-\, принятого в момент tv~\. Таким
образом, если задано начальное значение |@)= Хо, то вероят-
вероятность цепочки п значений Х\, ..., хп, принятых в последователь-
последовательные моменты скачков t\, ..., tn (tQ = 0 <. ti <....<. tn), равна
V-I
Найдем для l(t) плотность условной вероятности v(t,x\0,x0),
которую можно записать и в виде v(x\t, хо), поскольку заранее
очевидно, что в силу независимости п\ и (p(xv|*v-i) от времени
процесс однороден по t. Предположим сначала, что в интервале
(О, t) произошло фиксированное число п скачков, и найдем
плотность условной вероятности v(x\t, хо, п) при этом дополни-
дополнительном условии. Ясно, что
оо
v(x\t, хй) == Y, v (x\t, х0, п).
Так как переход Хо -+ хп = х осуществляется при любых про-
промежуточных значениях Х\	хп~и имеем
v(x\t, х0, п) = Р (п) рп (х | л:0),
где
Рп (х I х0) = ^ ф (х | хп-{) ... ф {х{ | х0) йхх... йхп-{. C1.2)
Заметим, что, согласно C1.2),
Рп (хI х0) = J ф (х\ хп-{) р„_, (*„_! | х0) с?лг„_1.	C1.3)
') V —номер скачка, множество же возможных значений хч при всяком v
непрерывно.

§ 31]	УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА - ФЕЛЛЕРА	199
В частном случае п = 0, т. е. при отсутствии скачков в @, t),
значение х должно быть равно х0, так что ро(х\хо)= б(х — Хо)
и соответственно
v(x\t, х0, О)=Р(ОN(х~Хо).
Суммируя теперь v(x\t, x0, п) по всем взаимно исключающим
частным случаям п = 0, 1, 2, ..., мы получаем плотность ус-
условной вероятности »(д:|/, Хо), уже не связанную с фиксирован-
фиксированным п:
оо
п=0
ОО
= Р @) б (х — х0) + Z Р(п)рп(х\х0), C1.4)
или, после подстановки Р (п) из C1.1),
v(x\t, хй)=е~п<
В случае очень короткого интервала времени, заменяя t на At
и ограничиваясь членами не выше первого порядка относи-
относительно At, т. е. пренебрегая многократными скачками (п =
= 2, 3, ...), мы получаем отсюда для малых промежутков вре-
времени
v{x\At, х0) « A — щ At) 6 (х — х0) + щ At у (х\ х0). C1.6)
Легко убедиться, что плотность условной вероятности C1.5)
удовлетворяет уравнению Смолуховского (см. задачу 17), т.е.
является плотностью вероятности перехода, определяющей мар-
марковский процесс |@- Кроме того, нетрудно получить для
v(x\t, хо) интегро-дифференциальное уравнение, решение кото-
которого при начальном условии
v(x\O,xo)=b(x-xo)	C1.7)
дается выражением C1.5). Действительно, дифференцируя
C1.5) по t, получаем
У )
откуда в силу C1.3) и C1.4) следует, что
dv(xU. x0) =_ni[v{x]tt xo)-\<p{x\y)v(y\t, xQ)dy]. C1.8)
Уравнение C1.8) представляет собой очень частный случай
уравнения Колмогорова — Феллера = интегро-дифференциаль-

200	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
ного уравнения, которому удовлетворяет вероятность перехода
марковского случайного процесса с чисто разрывными измене-
изменениями состояния (скачками). Это общее уравнение по-прежнему
выводится из фундаментального уравнения Смолуховского, но
при обобщенном по сравнению с C1.6) выражении для вероят-
вероятности перехода за малое время At. А именно, предполагается, что
на интервале (t, t -f- At) процесс l(t) либо переходит (если ска-
скачок произошел) от значения х в момент t в интервал (z, z + dz)
с условной вероятностью q(z\t, x)dz, либо сохраняет значение к
(если скачка не было), т.е. в этом последнем случае вероят-
вероятность попадания в (z, z-\-dz) есть б (г — x)dz. В свою очередь
пусть скачок в течение малого времени At наступает с вероят-
вероятностью a(t, x)At. Следовательно, с точностью до первого по-
порядка относительно At
v{t + At, z\t, x) « [1 -~a{t, x)At]6(z-x) + a(t, x)At-q>{z\t, x).
C1.9)
В отличие от C1.6), временная плотность вероятности скачка
a(t, x) равна здесь не постоянной величине п\, а зависит и от
начального момента t, и от значения х в этот момент. Плотность
условной вероятности ф значений z, принимаемых в результате
скачка, тоже зависит не только от предшествующего значения х,
но и от времени t, так что процесс %(t) уже нестационарен.
В предположении C1.9) и при некоторых дополнительных
требованиях (непрерывности а и ср как функций t и ограничен-
ограниченности а на любом конечном интервале t) из уравнения Смолу-
Смолуховского вытекает следующее интегро-дифференциальное урав-
уравнение для плотности вероятности перехода [17]:
dv (t, х 110, хр) __
dt	~
= -a(t,x)v(t,x\ta,xu) + \a (t, y) <p (x\t, y)v(t, y\ tc, x0) dy.{Zl.W)
Это уравнение для v как функции t и х представляет собой
аналог уравнения Эйнштейна — Фоккера B6.4) для марковских
процессов с непрерывно меняющимся состоянием. В тех же
предположениях и таким же путем получается и другое уравне-
уравнение, аналогичное B6.7), т.е. уравнение для v(t, x\t0, xo) как
функции ^о и Хо-
dv(t, х |/0, х0)
dt0
= a(to,xo)\y{t, x\t0, xQ) — \<f(y\tQ, xo)v{t, x\t0, y)dyj. C1.11)
При начальном условии
v(t0, x\tQi xQ) = 6(x~x0)	C1.12)

§31]	УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА - ФЕЛЛЕРА	'	201
оба уравнения имеют единственное решение, причем одно и то
же для обоих.
В каком соотношении находится рассматриваемая схема
скачкообразного изменения состояний при непрерывном их мно-
множестве с исследованным в § 23 случаем дискретных возможных
состояний, когда из-за самой этой дискретности состояние мо-
может меняться только скачками, так сказать «поневоле»?
При дискретных состояниях Xk плотности условных вероятно-
вероятностей v(t -\- At, z\t, xt) и q>(z\t, Xi) можно записать через дельта-
функции d(z — Хи) :
v(t + At, z \t, Xi) =ZpHAUtl t, xt) б (z - xk),
k
Ф (г| t, xt) = ? л (xk11, xt) 6 (z — xk),
k
где рил — интегральные условные вероятности состояния Х\
(р — вероятность перехода, не зависящая от того, произошел
скачок или нет, л — вероятность при условии, что скачок имел
место). Подстановка этих выражений в C1.9) дает
Z P (t + At, xk\ t, xt) 6 (z - xk) « [1 - a (t, xt) At] 6(z- xt) +
+ a(t, ^)А(Ея(%|(, x{) b{z — xk).
k
Интегрируя это равенство по z (по ±е-окрестности состоя-
состояния Хи) и учитывая при этом, что
находим следующее выражение для вероятности перехода за
малое время А^:
р (t + At, xk 11, xt) « [1 - a (t, Xi) At] bik +
+ a (t, xt) At -n{xk\ t, xt) = btk + a {t, xt) [л (xk \ t, x{) — 6ik] At.
Но это выражение имеет вид B3.2):
p(t + Ы, xk\t, x,\& t>th + Alk(t)M,
т. е. именно тот вид, в предположении которого выводятся урав-
уравнения Колмогорова B3.8) для марковских процессов с дискрет-
дискретными возможными состояниями. При этом
Atk (t) — a (t, xt) [л (xk 11, xt) - fiiA],
чем обеспечивается выполнение условия B3.7):

202	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
Таким образом, уравнения Колмогорова — Феллера C1.10)
и C1.11) для скачкообразных марковских процессов охваты-
охватывают случаи как непрерывных, так и дискретных возможных со-
состояний. Целесообразно поэтому записывать их для интеграль-
интегральных вероятностей перехода V(t, x\t0, Xo), пользуясь интегралом
Стилтьеса:	- - -
3=
— OO
+ OO
a(t,y)n(x\t,y)dyV(t,y\t0,x0), C1.13)
aFa^'*o)- = a (t0, x0) [V (t, x 110, xo) -
- \ V(t,x\to,y)dyn(y\to,xo)\. C1.14)
В таком виде эти уравнения и были получены в работе Фел-
Феллера [19].
Уравнение Колмогорова — Феллера C1.10) можно записать
в более лаконичной форме, а именно в виде классического урав-
уравнения Больцмана, основного уравнения кинетической теории га-
газов. Введем плотность вероятностей скачка в момент времени t
из состояния у в состояние х '):
u(x\t,y) = a(t,y)<f(x\t,y).	C1.51)
Нетрудно установить справедливость этого равенства. Действи-
Действительно, a(t, у)dt — вероятность скачка из у куда-нибудь [т.е.
вероятность наличия скачка в (t, t -f- dt)], a cp(x\t, y)dx—услов-
y)dx—условная вероятность того, что при наличии скачка процесс перешел
в (х, х + dx). Произведение а и ф представляет собой условную
плотность вероятностей и, как она определена выше. Интегри-
Интегрируя C1.15) по всем х, учитывая при этом, что \ q> (x\ t, у) dx=l,
и переобозначая переменные (х ч=* у), получаем
\iu(y\t,
C1.16)
•) Разумеется, это лишь краткий способ выражаться. Более точно надо
говорить о u(x\t,y)dxdt как о вероятности попадания в результате скачка
в течение времени (t, t + dt) из состояния у в интервал (х, x + dx).

§ 31]	УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА - ФЕЛЛЕРА	203
Если подставить C1.16) в первый член правой части C1.10),
а C1.15)—во второй, то уравнение C1.10) примет вид
dv(t'Xd\to<Xo)=-v(t,X\t0, xo)\u(y\t,x)dy +
+ \v(t,y\to,x0)u(x\t,y)dy. C1.17)
Это и есть уравнение Больцмана (для одномерного процесса).
Из него особенно отчетливо видно, что это, по существу, урав-
уравнение баланса: скорость изменения v (например, концентрации
частиц в точке х) равна разности двух обусловленных скачками
ежесекундных потоков: из х в какие-либо другие состояния и из
всех других состояний в х.
Как уже было сказано, наиболее общим является смешанный
случай суперпозиции дискретного и непрерывного «спектров»
возможных значений процесса l(t), когда состояние может ме-
меняться как скачками, так и непрерывно. Интегро-дифференци-
альные уравнения Колмогорова — Феллера для этого общего
случая таковы ')i
dv (t, х 110, х0)	дА (х, t) v , 1 д*В (х, t) v	, , ,
	Ft	дх	*~Т	w	a{t' x'v +
a(t,y)v(t,y]t0,x0) ^W^v) dyt CU8)
dV (t, x 110, x0) _ ., ^ dV , В (x0, t0) dW ,
dt0	dx0	2 Oxq
a (t0, xQ) [У (t, x | ^o, x0) —
\ .19)
где A (x, t) и B(x, t)—коэффициенты сноса и диффузии, опре-
определенные через непрерывную часть V так же, как это было
J V(t,x\t0,x0)dyn(y\t0,x0)\, C1.1
— oo	J
*) Колмогоров независимо от Феллера указал на существование класса
марковских процессов со скачками и в работе [3] привел без вывода урав-
уравнения C1.13) и C1.18). Кстати сказать, он предлагал называть процессы без
вероятностного последействия «стохастически определенными», но этот тер-
термин не привился и установилось название «марковские процессы». В работах
[19, 20] Феллер дал анализ условий, при которых получаются интегро-диффе-
ренциальные уравнения, а также исследовал вопросы о существовании и
единственности решения задачи с начальным условием C1.12),

204	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
сделано выше при выводе уравнения Эйнштейна — Фоккера [см.
B6.1) и B6.2)]. Уравнение C1.19) вытекает из уравнения Смо-
луховского при уже указанных выше предположениях относи-
относительно А, В, а и я, а для вывода C1.18) достаточно допустить,
сверх того, существование плотности <р (х \ t, у) = дл (х \ t, у) /дх
и дифференцируемость a(t, у) и n(x\t, у) по t и у. Тогда суще-
существует плотность вероятности перехода v = dVjdx, для которой
и написано уравнение C1.18).
Если вероятность скачка равна нулю (а = 0), то мы полу-
получаем из C1.18) и C1.19) уравнение Эйнштейна — Фоккера
B6.4) и сопряженное уравнение B6.7), предполагающие, ко-
конечно, непрерывность множества возможных значений. Если
а Ф 0, но равны нулю коэффициенты сноса и диффузии (А = 0,
В = 0), то мы возвращаемся к уравнениям Колмогорова — Фел-
лера C1.13) и C1.14) для чисто скачкообразных марковских
процессов, в том числе для процессов с дискретными возмож-
возможными значениями.
Вряд ли надо добавлять, что все уравнения легко обобщают-
обобщаются на многомерные марковские процессы %(t)={§i(t), ...
...,?»(')}•
§ 32. Задача о первом достижении границ
Эта задача может быть поставлена и не для марковских про-
процессов, но только для них удается получить ее точное решение
в общем виде, что и оправдывает включение этого параграфа
в главу о марковских процессах. Даже в частном случае ста-
ционзртого нормального процесса %(t), для которого, казалось
бы, ответ на любой вопрос должен каким-то образом выра-
выражаться через функцию корреляции ty(tu t2), в задаче о дости-
достижении границ пока получены лишь некоторые частные резуль-
результаты [21, 22].
Задача ставится следующим образом. Пусть случайный про-
процесс l(t) принял в начальный момент t0 = 0 значение х0. Какова
статистика (функции распределения, моменты) случайного вре-
времени t первого достижения либо заданной одной границы а < х0
или Ъ > х0, либо достижения одной из них, если заданы обе?
Речь идет, таким образом, о том, чтобы, располагая статистикой
§(/) «по оси х» (распределениями wn значений самой функции),
получить статистику «по оси t». Задачи такого типа принадле-
принадлежат к числу наиболее интересных в теории случайных процес-
процессов. К ним относятся и вопросы, касающиеся статистики пере-
пересечений заданного уровня или «выбросов» случайных процес-
процессов [23].
Теория достижения границ марковским процессом |(?) впер-
впервые была развита Л. С. Понтрягиным, А. А. Андроновым и

§ 32]	ЗАДАЧА О ПЕРВОМ ДОСТИЖЕНИИ ГРАНИЦ	205
А. А. Виттом [24]1). Решение этой задачи находит разнообраз-
разнообразные применения. В случае брауновского движения примером
может служить опыт Бриллюэна, в котором брауновская частица
прилипает к стенке сосуда, т. е. речь идет именно о первом до-
достижении частицей поглощающей границы [7]. Из радиофизиче-
радиофизических задач можно указать на вопрос о времени достижения се-
сепаратрисы при флуктуациях в нелинейных динамических систе-
системах, в частности о времени перехода через потенциальный
барьер в консервативных системах и о времени самопроизволь-
самопроизвольной смены автоколебательных режимов или срыва автоколеба-
автоколебаний в автогенераторах. Сюда же относится задача о срыве сле-
слежения в авторегулируемых следящих системах и др.
Следуя [24], мы рассмотрим одномерный марковский про-
процесс2), причем однородный по времени, т.е. с плотностью ве-
вероятности перехода v(x\t —10, xQ) и с не зависящими от t ко-
коэффициентами А (х) и В(х) в уравнении Эйнштейна — Фоккера.
Плотность вероятности перехода v и одномерная плотность ве-
вероятности состояния W\ (x) (если она существует) определяют
всю статистику марковского процесса «по х». Но нас будет ин-
интересовать другое распределение, отличное от wn, а именно ве-
вероятность времени t достижения одной из границ области из-
изменения х:
( х = а или х — b по
Ф (t | х) = Р \ крайней мере один раз
( за время t
если при ^о
имело место
состояние х
1
Это интегральная вероятность (так что <p(oo|*)= 1), плотность
же вероятности равна dqjdt, и, следовательно, среднее время
достижение а или Ъ равно
оо
-Ц-Л.	C2.1)
Нетрудно установить, каковы начальные и граничные усло-
условия для y(t\x). Так как в начальный момент хфа и хфЬ,
начальное условие будет
ф@|х) == 0. а<х<Ь.	C2.2)
Но если при t = 0 либо х = а, либо х = Ь, т. е. граница уже
достигнута, то для всякого / > 0 будет справедливо граничное
') Эта работа, опубликованная в 1933 г. и отраженная (в уточненном
виде) даже в учебнике [7], по-видимому, осталась неизвестной за рубежом,
где начало исследований по теории достижения границ марковским процессом
связывают с работами С. Раиса A944—1945 гг.) [8], а также Д. Дарлинга
и А. Зигерта A953) [25].
2) Теория легко обобщается и на многомерный случай [7].

206 '	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
условие
ср(*|а) = Ф(*|й) = 1.	C2.3)
Теперь надо составить уравнение для ср(^|х) — задача, кото-
которая полностью решается именно для марковского процесса при
помощи вероятности перехода. Нам нужна при этом не вероят-
вероятность перехода v(y\t, x)dy из точки х при 1 = 0в любой интер-
интервал (у, у -\- dy) на оси х, а вероятность v(y\t, x)dy того же со-
события, но с у, лежащим внутри интервала (а, Ь). Конечно, на-
начальные условия для v и v одинаковы:
v(y\Q, x) = v{y\0, x) = 6(y-x)
(поэтому цри очень малых t, когда v и v еще очень острые функ-
функции у, они практически совпадают). Но при любых t > 0, оче-
очевидно, v =SC v и условия нормировки для v и v тоже различны.
В то время как
v{y\t, x) dy=\,
v(y\t,x)dy=l-y(t\x).	C2.4)
для v имеем
ь
\
а-
, Действительно, пусть Рп — вероятность прихода к моменту вре-
времени t в какую-либо точку интервала (а, Ь) с п достижениями
(касаниями, пересечениями) границ по дороге. Полная си-
система возможных событий отвечает п = 0, 1, 2, ..., так что
оо
Л Рп = \. Но левая часть C2.4) есть Ро [вероятность прихода
куда-либо в (а, Ь) без касания границ], а ф(/|*)—вероятность
того же конечного результата, но с достижением границ по
крайней мере один раз, т. е.
q(t\x) = Pl + P2 + ...,	C2.5)
из чего и следует C2.4).
Пользуясь v, можно записать следующее интегральное урав-
уравнение (рис. 25):
ъ
Ф (t + х\х) = ф (х\х) + \ v (у\ х, х) ф (t\ у) dy, C2.6)
а
т, е. вероятность хотя бы одного достижения а или b за время
t {- х (левая часть) равна вероятности того же события за
время т [член ф(т|х) в правой части] плюс вероятность того, что
за т не было касания границ, но оно произошло в течение

§ 32]
ЗАДАЧА О ПЕРВОМ ДОСТИЖЕНИИ ГРАНИЦ
207
остального времени t. Именно этот смысл имеет второй член
в правой части. Действительно, v(y\x, x)dy — вероятность пе-
перехода за время т лз х в у без касания границ, a y(t\y)—ве-
y(t\y)—вероятность хотя бы одного касания за время I, так что
д(у\х, x)<p(t\y)dy— это вероятность хотя бы одного касания
в интервале времени @,J + т) с прохождением через (у, у + dy)
в момент т. Интеграл по всем у от а до b и дает полную ве-
вероятность того, что за т касания границ
не было, но оно имело место в течение
остальной части t промежутка времени
t-\-x. Заметим, что, согласно C2.6), раз-
разность
= \ v (У11, x)q{x\y)dy
есть вероятность достижения границы
(хотя бы один раз) в интервале (t, t -\- %)
после «пустого» интервала @, /). Заменяя т на dt, мы получаем,
что -^- dt представляет собой с точностью до первого порядка
относительно dt вероятность первого достижения границы в ин-
интервале (/, t -\- dt).
Предельный переход т—* 0 в уравнении C2.6) вполне строго
приводит к (сопряженному) уравнению Эйнштейна — Фоккера
для ф(^|лг) [7]. Но тот же результат можно получить и при не-
некотором физически очевидном упрощении исходного интеграль-
интегрального уравнения C2.6), что и было сделано в работе [24]. По-
Поскольку т мало (а в дальнейшем т—>0), можно сразу же пре-
пренебречь в C2.6) членом ф(г|х), отождествить острые функции и
и у и раздвинуть пределы интеграла в ± оо, т. е. исходить из
уравнения
Ф(/ + т|*)= \ v{y\T,x)y{t\y)dy.	C2.7)
— оо
Разлагая y(t\y) по степеням у — х:
дх2
подставляя это разложение в C2.7) и деля все уравнение на т,
получаем (при тех же предположениях, какие были сделаны
в § 26 при выводе уравнения Эйнштейна — Фоккера для вероят-

208	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
ности перехода и) уравнение
I х) _ . , . 5ф , В(х) 52ф
причем Л(дг) и В (л:) те же, что и ранее. Конечно, этот упрощен-
упрощенный вывод оставляет некоторую неудовлетворенность, но, как
сказано, уравнение C2.8) получается и в результате строгого
вывода из C2.6).
Можно либо решать уравнение C2.8) с начальными и гра-
граничными условиями C2.2) и C2.3), либо перейти к уравнению
для характеристической функции:
U {и\х)= е^
либо составить обыкновенные дифференциальные уравнения для
моментов tn(x). Сделаем последнее.
Дифференцируя C2.8) по t, умножая результат на tn и ин-
интегрируя по t от 0 до оо, получаем
В предположении, что плотность вероятности дср/dt ограничена
в нуле_и достаточно быстро стремится к нулю на бесконечности,
получаем
В частности, при п = 1 и п = 2
-^¦Г+ A(x)"f+ 1=0,	C2.10)
Ар-Т2" + А (х)?' +21 = 0.	C2.11)
Очевидно, решения таких уравнений должны быть неотрица-
неотрицательны и должны обращаться в нуль всякий раз, когда началь-
начальное состояние х совпадает с одной из границ:
р(а) = рF) = 0.	C2.12)
Если же имеется только одна граница, скажем Ъ > х, то на ней
по-прежнему tn(b)—O, а при х—* — оо естественно требовать
Тп —> со.
Рассмотрим некоторые примеры.

C2]
ЗАДАЧА О ПЕРВОМ ДОСТИЖЕНИИ ГРАНИЦ
209
Пусть Л(х)=0, а В = const. Уравнение C2.8) принимает
тогда вид
и его решение при условиях C2.2) и C2.3) есть
Ф (*!*) =
[{Ь-аIа
(х-аIа
e~s'ds-
J
C2.14)
(b-x){o	0
Ход ф(^|л;) в функции от х показан на рис. 26, а для различных
в)
Ъ х	О а (а+Ь)/2
Рис. 26.
b x
значений t. Для среднего времени достижения границы имеем
из C2.10) уравнение
решение которого с условиями C2.12) есть
C2.15)
(рис. 26, б). Наибольшее время отвечает начальному положению
посередине между границами х = (а-{-ЬI2 и равно времени
диффузии (с коэффициентом диффузии В/2) на половинную
длину отрезка (а, Ь):
9 В -,
Отодвинем теперь нижнюю границу в — оо. Тогда решение
уравнения C2.13) должно удовлетворять условиям

210	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
Но именно такое решение получается из C2.14) при а-*—ooj
ф-хIа
ф(лх) = 1	~ \ e~s'ds, <т =
Соответствующая плотность вероятности равна
д®	2 e-(b-xY12Bt #
at
Она обращается в б(Ь — х) при t = 0, но интеграл C2.1) рас-
расходится на верхнем пределе, так как с ростом t плотность dq/dt
убывает лишь как l/-\/ t, т. е. удельный вес больших времен
достижения границы слишком велик. Тем самым, t(b)= 0, но
для всякого х < Ь мы получаем 1(х)= оо. То же самое следует
и из формулы C2.15) при предельном переходе а-> — оо.
В общем случае переменных коэффициентов А (х) и В(х) и
при наличии только одной границы, (на которой 7 = 0), если
потребовать наиболее медленного роста t(x) при удалении х от
границы, получаем следующие решения уравнения C2.10):
e»fe)A для а < х,
а	г
Ь	г
tb(x) = 2y-iMdz \ e«W^ для Ь>х,
X
где
Задачи
1.	Показать, что уравнение Смолуховского следует из определения A5.3)
марковского процесса и согласованности конечномерных распределений.
Решение. Согласно A5.3) при to < Э < t
о>з (х0, t0; у, B;x,t) = wi (x0, t0) v(y,Q\ x0, t0) v (x, t \ y, 9),
w2 (x0, t0; x, t) = Wi (x0, t0) v (x, 11 x0, t0).
По условию согласованности
w2 (хй, t0; x, t) = \ w3 (x0, t0; y, 9; x, t) dy.
Подставив сюда вУг и w3, получаем уравнение B1.1).
2.	Пусть %т (/и = 1, 2, ...)—дискретная последовательность независи-
независимых случайных величин с возможными значениями х% = I = 0, 1, 2, ... и со-

ЗАДАЧИ	211
оо
ответствующими вероятностями р. = Р \%т = г}, J^ pt = 1. Вероятности
перехода (совпадающие с вероятностями состояний) не зависят от номера
испытания т, т. е. последовательность однородна:
Рц^Р (*/• m+Uxl,m)=*P {1т+{ = / | \т = /} = Р {1т+1 = /} = рг
Показать, что последовательность величин
(по определению t]0 = 0) является марковской, и найти для нее матрицу Я1
вероятностей перехода за один шаг.
Решение. Последовательность t]m марковская, поскольку T)m+i =
= T)m + \m-vx, и, следовательно, если задано значение г\т, то распределение
r\m+i известно. Обозначив через yt = i возможные значения г\т, запишем
вероятность перехода за один шаг:
Рц = Р {УГ m+l\yi,m}=P {r]m+1 = /1 Т)т = i} =
{р
0 при / < I.
{р.. при
0
Таким образом, матрица П\ имеет вид
/Ро Pi	Pi	Ръ ...
я I 0 р0	pi	p2 ...
О 0	р0	pi ...
3. Независимые случайные величины |m (m = 1, 2, ...) принимают зна-
значения + 1 или —1 с вероятностями р и <; = I —р. Является ли последова-
последовательность величин т)т = (|т + ?m+i)/2 марковской?
Решение. Величина т)ш может принимать значения 1 = — 1, 0, +1
с вероятностями pi = Р {т]т = z'j, равными соответственно <72> 2<7Р и р2
(одномерное распределение г\т). Для двух величин г\т и rjra совместная
вероятность (двумерное распределение) p.j = P {r\m = i, r\n = j} будет раз-
различна в зависимости от разности п—т. Если \п — т\ > 1, то г\т и т)га не-
независимы, так что pi, = pip,. Если п = т— 1, то в цт и т)т_. входит одна
и та же величина |т и матрица р(.. будет
\ /¦
— 1
0
1
— 1
Я3
pq2
0
О
pq-
РЯ
p2q
1
0
Р2Я
Р3
Очевидно, такая же матрица получится и при п = т-\- 1, когда |щ+1 входит
и в Tim, и в т)т+г Наконец, если п = т, то р^ = р^б^.
Для условной вероятности
р (п, /1 т, 0 - /> fa - Л ть - 1}

212
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. IV
получаем в трех указанных случаях следующие матрицы:
Р («, / | т
/q2 2pq р2\
, 0 = q* 2pq р2
\q2 2pq рЧ
( Ч Р ON
= q/2 1/2 р/2
4 0 q р J
/1 0 0\
= 010
40 0 1/
при | п — т | > 1,
при
при
\п — т\
¦и
п — т = 0.
(О
B)
C)
Если Т)т образуют марковскую последовательность, то р(п, j]m, i) долж-
должны быть вероятностями перехода, т. е. удовлетворять уравнению Смолухов-
ского:
p(n,k\ I, 0
р (я> k\m,l)p (m, j | /, j). I < т < п.
Однако нетрудно убедиться, что это не имеет места. Достаточно взять случай
п = т + 1> I = т — 1, так что п —1 = 2 и левая часть уравнения должна
быть матрицей A). Между тем сумма, стоящая в правой части уравнения
и представляющая собой квадрат матрицы B), есть матрица
4. Написать матрицу вероятностей перехода за один шаг для рассмотрен-
рассмотренного в § 22 примера случайных блужданий (рисМ!), но в случае поглощаю-
поглощающих стенок.	"""
Решение. Очевидно, при 1 < ( < N вероятности перехода р\к остаются
теми же, что и в случае отражающих стенок. Для частицы же, попавшей на
стенку (i = 1 или i = N), движение останавливается, т. е.
(A-l),
PNk =
(А
Таким образом,
A000
q 0 р 0
0 q 0 р
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
... q 0 p
...0 0 1
5. Доказать, что у нормального стационарного марковского процесса
коэффициент корреляции равен
д-(т)=е-а1т|>
где а >-0 (теорема Дуба, см. [26], § 8, а также [27]).

ЗАДАЧИ	213
Р е ш е н и е. ^Согласно G.13) условная вероятность у нормального про-
процесса с х = 0 и х2 = 1 равна
,	exp(-
V2n(l-/C2) I 2A-/С2)
где /С = Х1Х2 = /C(^2 — ti) — коэффициент корреляции (процесс по условию
стационарен и h > /i). Поскольку процесс марковский, v должна удовлетво-
удовлетворять уравнению Смолуховского:
v(x2\x1)= \ v(x2\y)v(y\xx)dy.
Подставив сюда выражение вида A) для v (х2\у) с К2 = х2у = К (t2—Q)
и для v (у | хО с Ki — ух\ = /С (в — t\) и выполнив интегрирование по у>
получаем
что должно быть равно A). Следовательно, К = /С2К1, или
/С (<2 - ;,) = /С (<а — 9) /С (9 — <,), ^ > G > ^.
Для положительных аргументов решение этого функционального уравнения
есть
где а — любое комплексное число. Так как К должно удовлетворять усло-
в.иям |/С| ^ 1, и К(—т) = /С*(т), необходимо, чтобы а было вещественно и
положительно. Отсюда же следует, что при продолжении функции /С(т) в
область т < 0 должно выполняться условие ее четности.
6. Найти связь вероятности перехода pN, m = p(N, m\0, 0) из точки О
в точку т за N шагов с биномиальной вероятностью Ры{п) того, что из об-
общего числа N независимых шагов сделано вправо п.
Решение. Рп{п)—это вероятность перемещения вправо на 2п — N ша-
шагов (из любой начальной точки). Если нас интересует смещение вправо на
т шагов, т. е. т = 2п — N, то вправо должно быть сделано п =(m-\-N)/2
шагов, что возможно, конечно, только при одинаковой четности Мят. Та-
Таким образом,
Нетрудно проверить подстановкой, что это выражение удовлетворяет как
уравнению Маркова
Ры.т^Р- Рдг-1, т-\ + Ч • Pn-U m+\>
N
так и условию нормировки ^ Ры,т~^ (сУмма по значениям т той же
m = -N
четности, что и ./V).
7. Найти вероятности перехода p(xk\t,дс,-)= р<*@ для однородного
по t марковского процесса с дискретными состояниями, если (постоянные)

214	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ •	[ГЛ. IV
коэффициенты Ajk имеют значения
Ajt j+i = nlt Ajj = — п\, Ajk = O при остальных k,
а начальные условия Р^@) = ^г-^ (Колмогоров [3]).
Ответ.
It)— I (k— "I! e~nit ПРИ k^i,
( 0	при й < /.
8. Найти стационарные вероятности состояния Р% для однородного по t
марковского процесса со следующими (постоянными) значениями коэффици-
коэффициентов Ajh (/, k = 1, 2, ...):
Ajj+i — a, Aj, 7-i = P>a, Лп = —a, Ац = — (a+P) при / > 1,
Ajk = 0 при остальных й
(Колмогоров [3]).
Решение. Уравнения B3.14) имеют в данном случае вид
т, е. pPft = aPft_[ для всех й. Следовательно, Р^ = Pi (a/Р) , а из условия
ft = 1 следует, что Pi = 1 — a/fJ. Окончательно Рй = A — a/p) *1
9. Задача ставится так же, как и предыдущая, но со следующими зна-
значениями коэффициентов Ajk (/, k = \, 2, ...):
Aj,j+i = a, Л/,/-1 = (/-1)Р, лу/ = -а-(у-1)р,
•Л/& = 0 при остальных k
(Колмогоров [3]).	-^
Ответ.
10. Флуктуации почернения фотоэмульсии [28]. Пусть область эмульсии,
соответствующая наименьшему разрешимому точечному объекту (коротко —
ячейка), содержит в момент начала экспонирования t = О N «непроявленных»
зерен. Каждое из них может находиться только в двух состояниях — непро-
явленном и проявленном. Если к моменту t остались непроявленными m зе-
зерен (ш = 1, 2, ,.., N), то предполагается, что вероятность проявления ка-
какого-либо одного из них в интервале (t, t + dt) равна Am, m-i(t)dt =
= ma(t)dt, а вероятности проявления двух или более зерен имеют более
высокий порядок относительно dt.
Составить и решить систему уравнений Колмогорова для вероятности
перехода p(t, m\0, N)s=? pm{t) (m = 1, 2	./V) от N непроявленных зерен
в момент t = 0 к m таким зернам в момент t. Найти m и D [пг].
Решение. При m непроявленных зернах в момент t возможен за по-
последующий интервал dt либо переход к m — 1 непроявленным зернам с ве-
вероятностью ma(t)dt, либо сохранение числа непроявленных зерен с вероят-
вероятностью 1— Am, m(t)dt, причем Am, m + Am, m-i = 0, т. е. Am, m[t) =
= —ma(t). Следовательно, при m <. N уравнение для pm(t) будет

ЗАДАЧИ	215
а при m = iV, поскольку рн+\ = О,
Решение этих уравнений при начальном условии /7m@)=6jvm дается
биномиальным законом:
_ /л	N1	 m . . N—m /л
P>"W- (N-m)lml P {t)q {t)'
где ¦
t
Очевидно, p{t)—вероятность того, что за время t зерно останется непрояв-
ленным. Таким образом, среднее значение и дисперсия т таковы:
m = Np (t) = Ме-р {t\ o2=D [m] = Np (t) q (t) = Ne'9 (f) [l - e"P <'>].
Процесс нестационарен, и D [m] зависит от in:
где п = N — т — среднее число проявленных зерен.
С ростом N биномиальное распределение переходит (при фиксирован-
фиксированном in) в пуассоновское. Поэтому в задаче 7, где сразу предполагалось, что
Л' = оо, получился закон Пуассона, причем стационарный, так как Ац, там
приняты постоянными.
Согласно [28], хорошей аппроксимацией для a(f) может служить линей-
линейная функция времени экспозиции t: a@= t/b2. Тогда р@= ^2/2д2 и
По такому же закону нарастает с t и почернение, пропорциональное п. Сле-
Следовательно, О — такая длительность экспозиции, при которой скорость роста
почернения максимальна. Разумеется, д зависит от освещенности эмульсии.
В отличие от почернения, растущего с t монотонно, фотографический «шум»
(т. е. а2) максимален при ^ = #Vln4, достигая здесь значения az = N/4.
При t = 0 и ^=оо 02 = О. «Шум» тем сильнее, чем больше зерен в ячейке,
так как a2 ~ N.
' 11. Вывести методом Релея (§ 24) уравнение Эйнштейна — Фоккера для
вероятности перехода v(t,x)=& v(t,x\0,0) в случае, когда частица может со-
совершать за время At шаги +ka и — ka с вероятностями соответственно рь.
и qh (k = 1, 2	п, так называемые n-шаговые блуждания), где, конечно,
f>ft fe)
ft-l
Решение. Полагая t = N At, x = та, получаем для вероятности пе-
перехода pN, m уравнение Маркова:
ы.тЪ (NLtnk
6=1
ИЛИ
п
v (t, x)=T [pkv (t -At, х- ka) + q.v (t - At, x + ka)].
ft-l

216	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
Разложение правой части в ряд по степеням а дает
Если предположить, что при М -»0 порядок а и ^ (р^ — </fe) * есть ~\Ы,
то в пределе отличны от нуля будут только члены с dv/dx и d2v/dx2, т. е.
получится диффузионное уравнение
dv(t, х) _ _ _dv_ JB_ &v_
"¦ Я ., ' п 3..2 »
dt	дх ' 2 дх2
где
Л = Km -g- V (pft — </ft) ft, S = lira "XT У] (Pft + <7ft) ^2-
A<"*° ft-i	A'^° ft-i
Пусть, например,
(a > 0 и ft = 1,2	т. е. п = оо). Тогда из условия нормировки получаем
Далее,
оо	оо	оо
da'—'	A— e~a) *-> я I
Аналогично получаем
В результате
А = _А_ в_ go(l+g~a)
где
Ао — lim "Г У п , Во = 'im
При а-»-<ю отличны от нуля только pi и qt, и мы возвращаемся к случаю
одношаговых блужданий, рассмотренному в § 24, причем А = Ао и S = So.
При a -»- 0 вероятности многошаговых скачков возрастают и поэтому уско-
ускоряется как систематическое движение, так и диффузия:

ЗАДАЧИ	217
12. Рассчитать по формуле B5.9) распределение модуля вектора г, ком-
компоненты которого х и у независимы и распределены равномерно в интервале
(—А, А), т. е.
f 1/2Л при — Л<х<А
*"	I 0 при | х | > А.
Ответ.
nrjiA2	при	г < А,
ял
wr (г) =
2Л2
П	arccos — J при Л<г<>А2Л,
О	при У%А<г.
13. Коэффициент 5 определен в B6.2) через (х— уJ, т. е. через среднее
квадратичное отклонение случайной конечной точки х в момент t от фикси-
фиксированной исходной точки у в момент t — т. Переход из у в х обусловлен как
хаотическим движением (диффузией), так и систематическим сносом со ско-
скоростью
л I +\ i. х — у ,. х — у
А (у, t) = lim 	— = lim y
т-»0 т	т-»о
где х — среднее значение х в момент t. Казалось бы естественным ввести в
качестве меры чисто случайного (диффузионного) смещения не величину В, а
3-нп.
Показать, что В = В, и истолковать этот результат.
Решение. С точностью до первого порядка относительно т имеем
it — у « А (у, t)x.
Поэтому
В (у, 0 = Нт (Х~ХJ = lim { — (х-у- АхJ } =
т->0 т	т->0 <. т	J
= lim ( — [(х~уJ — 2Ах (х — у) + А2х2] } =
т-»0 V т	)
{ i F^F	} В (у, t).
Причина, очевидно, в том, что полное отклонение х — у я чисто случайное
х — х, оба растущие по диффузионному закону (стандарты обоих порядка
У~х), отличаются друг от друга в более высоком (первом) порядке по т:
(х — у) ~ (х — х) = х — у « Ах.
14. Уравнение Колмогорова B3.8) для случайного процесса с дискрет-
дискретными состояниями было получено из уравнения Смолуховского в предполо-
предположении, что существуют вероятности перехода за единицу времени Лд(/)
(k?=j), причем Ajj (t) = — J] Ajk (t). При этом предположении уравнение
B3.8) мржно вывести и из уравнения Маркова. Показать это для одношаго-
вых случайных блужданий, у которых возможны смещения на один шаг
вправо и влево (с вероятностями р и q), а также «шаг на месте» с вероят-
вероятностью р.

218	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
Решение. Уравнение Маркова для вероятности перехода pN,m будет
PN+U>n = P-PN,m-i + el-pN,m+\ + ^PN,m' Р + Я + Р ** I-
Полагая N kt = t, перепишем это уравнение в виде
Рт (t + ДО = Р ¦ Рт-\ (t) + Q- Pm+i (t)+P- Pm @-
Если
причем
Ащ, т== — (Ащ— I, m T Ат+1( m),
то в пределе при Д^-»-0 получаем уравнение Колмогорова:
Рт (*) = Ат-1,тРт-1 @ + ^m+I,mP/n+l @ — (Лп-1, m + Ат+1>т) pm(t).
В частности, если блуждания симметричны (^m_i, m = Лт+i, т), то, вы-
выбирая такой масштаб для t, чтобы эт/и временные плотности вероятности
были равны единице, получаем	'
Рт = Рт-1 + Pm+i ~ 2р
•т-
Под рт можно, конечно, понимать как вероятность перехода p(t, ma\0,0),
так и вероятность состояния p(t,ma). Следует обратить внимание на то, что
для существования А^ т введение «шага на месте» необходимо.
15. В § 24 уравнение Эйнштейна — Фоккера для процесса с непрерыв-
непрерывными возможными состояниями было выведено из уравнения Маркова для
дискретной последовательности. В предыдущей задаче показано, что предель-
предельных переход Д/-»-0 позволяет при определенных условиях получить из урав-
уравнения Маркова уравнение Колмогорова для процесса с дискретными состоя-
состояниями. Естественно ожидать, что последующее «сближение» этих состояний
(например, неограниченное укорочение длины шага а при случайных блужда-
блужданиях) позволит вывести уравнение Эйнштейна — Фоккера из уравнения Кол-
Колмогорова. Показать это на примере симметричных одношаговых блужданий,
т. е. для уравнения Колмогорова
рт = Рт+\ + Рт-1 — 2рт.
Решение. Полагая х = та и вводя плотность вероятности v (t, x) =з
= p(t,ma)[a = pm\a, приводим уравнение Колмогорова к виду
v (t, х) = v {t, х + а) + v (/, х ~ а) — 2v (t, x).
Разложение v(t, x±a) по степеням а дает
.... , d2v , a* div
"«•x)=a2lW+l27xT+ -
Если вместо t ввести т = аЧ и разложить о(т, х, а2) по степеням а2:
v (т, х, а2) = о@) (т, х) + aV° (т, х) +
то получим систему уравнений последовательных приближений:
дх 6V ' дх	дх2 ^12 дх* ' '"
Нулевое приближение, т. е. уравнение для о'0', представляет собой уравнение
Эйнштейна — Фоккера.
Учет «поправок на дискретность» vw, о<2\ ... представляет интерес во
многих задачах, в которых описание дискретной случайной структуры или

8АДАЧИ	219
процесса заменяется «сглаженным» описанием при помощи дифференциаль-
дифференциальных уравнений в частных производных для непрерывных переменных. Иногда
важно выяснить, как сказывается на таких уравнениях миогошаговость ис-
исходной дискретной задачи и к каким граничным условиям для непрерывных
переменных приводят (в разных порядках по а2) различные способы ограни-
ограничения области изменения дискретных переменных. Эти вопросы подробно ис-
исследованы в работе [29] на моделях одношаговых и двухшаговых случайных
блужданий.
16. Пользуясь характеристической функцией условного распределения
v(t,x\t— t,y;T,X), показать, что из интегрального соотношения B6.16) сле-
следует уравнение вида B6.17) для условной вероятности v(t,x\T,X), коэффи-
коэффициенты которого Ап определены по B6.18) [12].
. Решение. Запишем характеристическую функцию в виде
+ 00
$(t,u\t-x,y; Т,Х) = \ eiu {х~у)д {t,x\t-x, у; Т, X) dx =
ап {t - х, у; Т,Х)= jj (х- у)п v(t,x\t-x,y; T, X) dx.
— 00
Обратное преобразование Фурье дает
б (/, * \t - х, у; Т, X) = JL J в~'" ^"^ф (*, и 11 - х, у; Т, X) du
\ e'iu{
afi
" дхп
П=0	-оо
Подставив это выражение для 3 в интеграл в B6.16), получаем
v(t,x\ T, X) =
П=0
п=0
Член суммы с п = 0 равен просто v(t — х,х\Т,Х). Перенесем его в левую
часть, разделим все уравнение на т и перейдем к пределу при т->-0. Учи-
Учитывая, что, согласно B6.18),
11т.<п(х.*-г,Т,Х)яш	т t
Х->0	Т

220	МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. IV
получаем
dv (t, х\Т,Х) _ у (-1)" дп	т	..
Очевидно, весь проделанный вывод остается в силе и тогда, когда v = о,
а условия (Г, X) сводятся к предшествующему состоянию xo — x(to) самого
процесса x(t), т. е. в случае марковского процесса. Мы получаем тогда урав-
уравнение B6.4) для вероятности перехода v(t,x\t0,x0), поскольку отличны от
нуля только At и А2.
17. Показать, что плотность вероятности v(x\t,xo), выражающаяся фор-
формулой C1.5), удовлетворяет уравнению Смолуховского
+>
v (х | /, х0) =» ^ v(x\t-e,y)v(y\Q, x0) dy, 0<Q<t.
Решение. Разлагая tn = [(t — 9) + 0]" по формуле бинома, нетрудно
убедиться, что для закона Пуассона Р (я) = Рге (t) = ^-f~ e~nit справедливо
соотношение
Pn(t)=flPn-h(t-9)Pk(B).	A)
ft=o
Далее, из выражения C1.2) для рп (х \ х0) вытекает формула
+ 00
справедливая и в том случае, когда пг и (или) k — нули.
Записав v(x\tt x0) в виде C1.4):
со
v(x\t, хо) = 2 Рп @ Рп (X I *о).
получаем
к, т=0
Интегрируя это выражение по у и учитывая B), находим
+ 00
v(x\t-B,y)v(y\B,xo)dy =
Р-(; - 9) Р*(9) "»+* (х' *о) - Z рп (х' ^ Z Р*-*(;" 9) Р*(9)>
fe, m=0	n=Q	fe=Q
В силу A) это равно v(x\t, x0).
18. Найти вероятность перехода, одномерную плотность вероятности и
функцию корреляции в том частном случае пуассоновского процесса C1.5),
когда апостериорная (после скачка) плотность вероятности <р(л^ \xv^t)dxv
не зависит от xv-i, т. е. равна <p(xv)dxv. Если xv — скорость частицы в газе,
то данный случай отвечает легкой частице (например, электрону), соударяю-
соударяющейся с тяжелыми частицами. Легкая частица практически «забывает» свою
скорость до удара при каждом соударении.

ЗАДАЧИ	221
Решение. Согласно C1.2) имеем pn(x|xo)=3 <p(*)> и поэтому вероят-
вероятность перехода C1.5) равна
v(x\t, х0) = е-' I б (х - х0) + Ф (х) ]Г
(л,0я
n=\	)
т. e. x = Хо с вероятностью e~ni того, что в @, t) не было соударений, или
же х имеет распределение ср(х) с вероятностью 1 — e~nit того, что в @,0
было хотя бы одно соударение. Такая эволюция распределения A) описы-
описывает, например, поведение скоростей в пучке легких частиц, проходящем
через газ тяжелых частиц. Слагаемое с б(х — хо) описывает частицы, не ис-
испытавшие соударений до момента t и поэтому все еще принадлежащие пучку,
а второе слагаемое — частицы, рассеянные газом.
При ^->-оо устанавливается стационарное распределение wi(x)= ср(х),
и, следовательно, двумерное распределение будет
ш2 (х, t; Хо, 0) = а>! (х0) v(x\t, x0) =
= Ф (х0) [е-"''б (х - х0) + A - в"') Ф (х)] .
Вычисляя при помощи вУг функцию корреляции, получаем
•ф @ = хх0 — х ¦ х0 — \ xx0w2 (x, t; Хо, 0) dx dx0 — х2 = ^e~nit,
где с2 = х2 — х2. Функция корреляции такая же, как у нормального марков-
марковского процесса (см. задачу 5), хотя распределение Wy—даже при гауссовом
распределении ср(х) —не является нормальным.
19. Найти среднее время достижения границ при наличии постоянной си-
систематической скорости А, направленной к верхней границе Ъ > х (т.. е.
А > 0), для случаев, когда имеется нижняя граница а < х и когда она от-
отсутствует. Коэффициент диффузии постоянен.
Решение. Уравнение C2.10) при постоянных А и В
4 <" + At' + 1 = 0
имеет общее решение
1 /	1 \	.	9 Л
(О
При наличии обеих границ, находя Ct и Сг из условий Ца) =ЦЬ)=О, по-
получаем
г
-Л.
J
При Л = 0 (а значит, и Я = 0) мы возвращаемся к формуле C1.15).
Если nptf А Ф 0 отодвинуть нижнюю границу в бесконечность (а-э—оо),
то получим
7 i \	 Ь — х
t(X)~~A~'
т. е. среднее время достижения верхней границы Ъ равно в этом случае про-
просто времени перемещения до нее с систематической скоростью А. Это следует
и из общего решения A), если_ наложить только одно условию ?(&)=0 и
1 потребовать неотрицательности t(x). Это последнее требование сводится, как
нетрудно видеть, к условию наиболее медленного роста Цх) при х-*~—оо
(т. е. при удалении начальной точки х от границы Ъ), что достигается при
отсутствии в A) экспоненциального члена (Сг = 0).

Глава V
\
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
§ 33. Постановка вопроса
Мы уже отмечали, что марковские процессы можно рассма-
рассматривать как непосредственное обобщение детерминированных
процессов, а именно как отклик динамической системы на слу-
случайное воздействие. Конечно, это не означает, что отклик любой
динамической системы на произвольное случайное воздействие
обязательно будет процессом без вероятностного последействия.
Напротив, можно предвидеть заранее, что для этого необходимо
выполнение определенных условий. Однако в рамках того чисто
вероятностного подхода, который был изложен в предыдущей
главе, т. е. при выводе уравнений для функций распределения
(вероятностей состояний, вероятностей перехода), мы, по суще-
существу, не анализировали вопроса ни о динамических свойствах
системы, ни о вероятностных свойствах воздействий на нее.
Применяя теорию марковских процессов (например, к автогене-
автогенератору), мы были вынуждены поэтому апеллировать к различ-
различным качественным соображениям об условиях марковости от-
отклика. Действительно, коэффициенты Ajk(t) в уравнениях Кол-
Колмогорова для марковских процессов с дискретными состояниями
(§ 23), коэффициенты А(х, t) и В(х, t) в уравнении Эйнштей-
Эйнштейна— Фоккера для диффузионных марковских процессов (§§26,
27), а также ядро q(x\t, х0) и вероятность a(t, x) в уравнении
Колмогорова — Феллера в случае скачкообразного марковского
процесса (§ 31)—все эти величины появились в результате оп-
определенных предположений о том, как должны вести себя иско-
искомые вероятности перехода на бесконечно малых промежутках
времени. Связь этих функций с динамическими характеристи-
характеристиками системы и с вероятностными свойствами случайных воз-
воздействий установлена не была.
Обратимся теперь к другому подходу к случайным процес-
процессам в динамических системах, при котором исходными являются

§ 33]	ПОСТАНОВКА ВОПРОСА	223
уравнения не для вероятностей перехода (или других функций
распределения), а для самого случайного отклика l(t). Этот
подход был введен Ланжевеном в связи с теорией брауновского
движения [1], но его значение и возможности значительно шире.
Достаточно указать на то, что он не ограничен требованием
марковости отклика %(t).
Для пояснения постановки вопроса возьмем случай линей-
линейной динамической системы (что тоже не обязательно), описы-
описываемой, например, дифференциальным уравнением
Здесь f(t) —внешняя сила, а С — линейный дифференциальный
оператор, который в общем случае тоже явно зависит от вре-
времени t — через коэффициенты ah(t) при производных:
ft-О
(параметрическое воздействие). Пусть динамическая задача, по-
поставленная уравнением C3.1) с заданными начальными усло-
условиями ?(ft)@) (k = О, 1, ..., п — 1), имеет единственное реше-
решение l(t). Предположим теперь, что и сила f(t), и коэффициенты
ah(t) и начальные значения g(ft)@) случайны, причем почти для
всех реализаций этих случайных функций и величин (т. е. почти
наверное) остаются в силе условия единственности решения
l(t). Тогда уравнение C3.1) порождает множество реализаций
%(t) и естественно ожидать, что все вероятностные свойства
этого (теперь уже случайного) процесса l(t) будут вполне опре-
определены статистикой исходных случайных функций и величии.
Если это справедливо, то можно рассчитывать и на то, что
в частном случае, когда отклик \{t) оказывается диффузионным
марковским процессом, статистика исходных функций и величин
должна определять коэффициенты А (х, t) и В(х, t) в уравнении
Эйнштейна — Фоккера для вероятности перехода v(x, t\%o, t0)
случайного процесса l(t).
Конечно, здесь возникает ряд чисто математических вопро-
вопросов. Например, в каких случаях можно получить дифференци-
дифференциальные уравнения для wn или по крайней мере для любых
моментов ?@? Когда обеспечена марковость процесса %(t),
которая, как сказано, вовсе не обязательна при описанной
постановке вопроса? И т. п. Мы не можем и не будем пытаться
анализировать-эти вопросы во всей полноте, тем более что не
все они уже имеют ответ, а ограничимся лишь некоторыми ре-
результатами, представляющими непосредственный интерес для
приложений.

224	СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. V
Прежде всего нам надо познакомиться с еще одним клас-
классом случайных функций, который играет важную роль именно
в тех случаях, когда отклик |(?) динамической системы оказы-
оказывается марковским процессом.
§ 34. Случайные функции с независимыми приращениями
Мы уже неоднократно встречались с такими функциями, хотя
соответствующий термин еще щ применялся. Примерами, с ко-
которыми мы уже имели дело, являются: перемещение частицы
при брауновском движении как поступательном (§§ 7, 24), так
и вращательном (§ 30); флуктуационный набег фазы в лампо-
ламповом генераторе (§ 29); заряд, перенесенный потоком электронов
на анод лампы в условиях, когда отсутствует явление депрес-
депрессии дробового шума (§§ 5, 10). Во всех этих примерах речь
идет о такой случайной функции g(tf), приращения которой на
неперекрывающихся интервалах времени независимы.
Разбив промежуток времени @, t) на произвольное число п
последовательных интервалов Д^ = ti+\ — t{ (to = 0, ?n = t),
всегда можно поэтому представить значение %(t) как сумму не-
независимых слагаемых — значения |@) и приращений Д*? =
= |(^t+i)—\{U) функции \(t) на этих последовательных интер-
интервалах:
Ш = 1@) + 1>Д-	C4.1)
Это справедливо для пути, пройденного брауновской частицей
за время t, для числа распавшихся за время t радиоактивных
ядер (при условии, что еще можно пренебречь убылью нераспав-
шихся ядер), для флуктуационного ухода фазы лампового гене-
генератора и т. п. Вследствие независимости слагаемых в C4.1),
дисперсия l(t) будет
Е.	C4.2)
Если, в частности, рассматриваемая функция с независимыми
приращениями g(f) почти наверное непрерывна, то при увели-
увеличении п независимые слагаемые Д*| могут быть сделаны сколь
угодно малыми. Переходя к пределу при п —* оо, мы можем на
основании центральной предельной теоремы заключить, что
функция l(t)—1@), где l(t)—непрерывная функция с незави-
независимыми приращениями, распределена нормально с дисперсией
jj В (/) dt, причем В @ > 0.

§ 34l	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ	225
Допустим теперь, что процесс рассматриваемого типа одно-
однороден по t. Это означает, что распределение А<? зависит только
от длительности интервала А/* = ^+i — t% (но по-прежнему не
зависит от значений, принятых функцией в моменты времени
8^/,). Примем, что ?@)=0. Тогда l(t) равно сумме своих
приращений на интервале @, t):
Ail = I (tl+l) - | (*,) ^ ti (/i+1 - tt) = n (Д/,),
причем l(t)s= r\(t — 0) = r\(t). Формулы C4.1) и C4.2) примут
вид
S(O = n(O = Z п(Д^),	C4.8)
0
D[r\(t)]=?D[r\Wt)].	C4.4)
Единственное неотрицательное решение функционального урав-
уравнения C4.4)— это линейная однородная функция
D[l(t)] = Bt (B>0),	C4.5)
т. е. диффузионный закон. Таким образом, однородная непре-
непрерывная функция с независимыми приращениями распределена
по нормальному закону с дисперсией, пропорциональной t. Мы
имели возможность убедиться в этом в § 24, когда перешли от
случайной функции с независимыми приращениями, имеющей
дискретные возможные значения (скачки на ±а с вероятно-
вероятностями, не зависящими от номера скачка), к непрерывному из-
изменению (а—*0). Если же с самого начала задача,ставилась
для непрерывной функции, то к тому же результату приводило
предположение об однородности случайных толчков (В =*= const,
§§27,29).
Обратим теперь внимание на следующий существенный факт:
непрерывная функция с независимыми приращениями не диффе-
дифференцируема1). Действительно, дисперсия приращения А| =>
= §(i _-f~ Atf) — \{t) — величина порядка М:
(для однородной функции имеем просто D [Д|] =* В At, где В
*= const). Следовательно,
т. е. в любой момент t дисперсия нормально распределенной ве-
величины Д?/Д/ неограниченно растет при А* —> 0, а это и означает,
*) Ни в одном из вероятностных смыслов этого понятия (§ 19).

226	СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. V
что производной dl/dt не существует ни в одной точке t (§ 19).
Выходит, таким образом, что если пройденный брауновской ча-
частицей путь s(t), или поступивший на анод лампы заряд q{t),
или флуктуационный набег фазы в генераторе срХО рассматри-
рассматриваются как непрерывные функции с независимыми прираще-
приращениями, то не существует ни мгновенной скорости и = ds/dt, ни
мгновенной силы тока / = dq/dt, ни мгновенной частоты со =
= dq>/dt. Между тем физики и инженеры охотно пользуются
случайными функциями u(t), I(t), u>(t) и т. п., не впадая при
этом в ошибки в получаемых результатах. Целесообразно по-
поэтому несколько задержаться на данном вопросе.
Будем для наглядности рассуждать над одномерным посту-
поступательным движением брауновской частицы, считая, что ?(/) =
= s(t) — однородная функция с независимыми приращениями.
Для простоты примем, что s(t) = 0.
Переход в B7.1) к пределу при п—* оо (§ 19) приводит
к выражению s(t) в виде интеграла
t
s (t) = V ds {t'),
о
где ds(t')—приращение пути на элементе (f, t'-\-dt'). Следо-
Следовательно,
t t
о о
Согласно C4.5) двукратный интеграл в правой части должен
быть равен Bt, что возможно, только если функция корреляции
для ds(t) имеет вид
ds (О ds (*") =« В fi (*' — t") df dt".	C4.6)
Конечно, это прямое следствие независимости приращений на
неперекрывающихся интервалах.
Если формально оперировать мгновенной скоростью u(t) =
= ds/dt, то	 ^_____
ds (f) ds {t") = и (f) и (Г) dt' dt".
Сопоставление с C4.6) показывает, что u(t) надо при этом счи-
считать так называемым дельта-коррелированным случайным про-
процессом:	_
u(t')u(t") = B6(f-t").	C4.7)
Соответственно средний квадрат u(t) при всяком t бесконечно
велик. Нетрудно выяснить, в каком пункте возникает такого
рода особенность.

§ 34]	СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ	227
Допущение независимости приращений As на неперекрываю-
неперекрывающихся интервалах А^ справедливо при условии, что за время
А^ частица испытывает очень много случайных ударов: Д^ ^> О,
где Ф — среднее время между ударами. Но определение непре-
непрерывности s(t) требует, чтобы при неограниченном уменьшении
At мы имели As —> 0 (хотя бы по вероятности). Оба условия
строго совместимы только при Ф = 0, т. е. при бесконечно-ча-
бесконечно-частых случайных ударах, чем и исключается существование мгно-
мгновенной скорости и = ds/dt.
Если же, как это имеет место в действительности, О ф О,
то за время t < ¦& может не произойти ни одного случайного
толчка, а значит, s(t) уже не будет функцией с независимыми
приращениями. Мгновенная скорость u(t) тогда существует и
имеет время корреляции порядка #.
Пусть, например,
и (f) и (t") = -^-e-i *'-'"!/* р = -!-).	C4.8)
t + At
Тогда, поскольку As= \ u(t')dt', имеем
t
t+\t
?)[As] = (Alp= jjjj и {?) и (t") dt' dt" =
t + At	t'
= 2 Jj e-*'i*df J-^-e^*dr = 5[Af —*A — e~AW)]. C4.9)
t	t
При А^ <С -О1 получаем
ТК&я-ягШУ^ШJ,	C4.10)
так что для всякого А/ > 0 неограниченное уменьшение $ вле-
влечет за собой (AsJ-* оо. Но для А/ » ¦© функция s(t) ведет себя
так, как если бы ее приращения были независимы, и, в част-
частности, как это следует из C4.9), вступает в силу диффузионный
закон	'_
1Ksf = BAt.
Разумеется, эти заключения не связаны со специальным выбо-
выбором экспоненциальной функции корреляции C4.8) для u(t). Су-
Существенно лишь то, является ли эта функция корреляции до-
достаточно острой в масштабе интервала Д? (т. е. О <С At) или же
этот интервал слишком мал (А^ «С О).
При учете отличного от нуля времени корреляции § мы не
можем переходить в C4.2) к пределу при п->оо, считая при

228	СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ, V
этом, что приращения Д*| на интервалах времени Д^,- остаются
независимыми. Увеличение п ограничено условием, что интер-
интервалы Ati ~ tjn еще велики по сравнению с О, т. е. п ограничено
и сверху A <С п <С t/ft). Тем самым, и нормальность распреде-
распределения функции l(t)—1@) имеет место лишь приближенно, но
тем точнее, чем меньше Ъ.
Заметим теперь, что условие ДО^тЭ1 для брауновской ча-
частицы означает МУ$> 10~21 сек. Таким образом, для промежут-
промежутков времени, которые в макроскопических масштабах вполне
могут считаться бесконечно малыми (скажем, 10~12 сек), число
случайных ударов еще огромно (~ 109). Всякий раз, когда имеет
место такое положение вещей, т. е. когда времена порядка Ь
в реальных условиях неуловимы и никак не проявляются в на-
наблюдаемых явлениях, практически все происходит так, как
будто 0 = 0'). Наглядная и удобная идеализация ф = 0 позво-
позволяет рассматривать s(t) как непрерывную функцию с независи-
независимыми приращениями и вместе с тем, если помнить, что на самом
деле существует некоторое достаточно малое $ ф 0, позволяет
не избегать мгновенной скорости и = ds/dt, приписывая ей
дельта-корреляцию C4.7). В сущности, это не связано ни с ка-
какими математическими затруднениями, так как одно из основ-
основных «свойств» б-функции — «работать» только под знаком ин-
интеграла.
§ 35. Простой пример стохастического
дифференциального уравнения
Вернемся к динамическому уравнению первого порядка (си-
(система с 1/2 степени свободы), примером которого было уравне-
уравнение для малых флуктуации амплитуды в автогенераторе [первая
формула B9.1)], т. е. уравнению вида
* = — рх.	C5.1)
С таким же уравнением мы имеем дело в задачах о скорости и
одномерного движения частицы массы m в среде с вязким тре-
трением F = — hu (Р = him), или о смещении s этой частицы, но
лишенной массы и привязанной к пружине с коэффициентом
упругости k (p = k/h), или о напряжении V на емкости RC-коп-
тура (р = 1/RC), или о токе / в ?/?-контуре (Р = R/L) и т. д.
В соответствии со сказанным в § 28, мы рассчитываем на то,
что при действии на динамическую систему C5.1) достаточно
«густых» (по сравнению со временем установления 1/р) одно-
однородных толчков отклик x(t) будет непрерывным однородным
*) Со спектральной точки зрения это означает, что верхняя граница ис-
используемых частот лежит гораздо ниже I/O (см. § 43).

§ 35]	ПРОСТОЙ ПРИМЕР СТОХАСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ	229
марковским процессом с вероятностью перехода v(x\t, x0), удо-
удовлетворяющей уравнению Эйнштейна — Фоккера
dt — P to + 2 &г '	FЬ-г>
т.е. уравнению B9.2), но в одномерном случае, когда нет зави-
зависимости v от второй переменной. По способу, мотивированному
в § 28, коэффициент А(х, t) в C5.2) приравнен выражению для
х, т. е. правой части уравнения C5.1): А = — $х.
При начальном условии
о (* I О, х0) = б (х — *0)
решение уравнения C5.2) выражается нормальным законом
v(x\t,xo)=yL-e-(X-^i^,	C5.3)
где
^1-е-2Р0	C5.4)
[см. B9.5) и B9.6)]. В пределе при t—* оо, т. е. для f 3> 1/р, фор-
формула C5.3) переходит в не зависящее от х0 стационарное рас-
распределение хю\ (х) с ^ = 0 и <т^ = й/2р. В задаче о скорости м
частицы в вязкой среде, когда х = ы и р = /i/m, распределение
ayi(«) должно быть максвелловским:
так что <т^ = ^Г/ш = Б/2р, откуда В = 2kTh/m2. Аналогичные
выражения для В можно написать и в остальных перечислен-
перечисленных выше задачах — просто как следствие теоремы о равнорас-
равнораспределении энергии по степеням свободы: средняя энергия си-
системы с 1/2 степени свободы должна быть равна kT/2 (в данном
случае ты2/2 = то^/2 = kT/2).
Такова при сделанных исходных допущениях чисто вероят-
вероятностная схема решения задачи о флуктуациях. Теперь мы по-
поступим иначе. Введем в уравнение C5.1) случайную (или флук-
туационную) силу/(*):
C5.5)
Если для конкретности рассуждать над задачей о движении
частицы в неограниченной вязкой среде, то речь идет об урав-
уравнении движения •
mu = — hu + F(t),	C5.6)
в котором воздействие среды на частицу разбито на две части:
систематическую силу трения F = — hu и случайную силу F D).

230	СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. V
Предполагая, что систематическая сила трения выражается
законом Стокса (для сферической частицы радиуса а имеем
h = блац, где ц — вязкость жидкости), мы делаем два допу-
допущения.	^
Во-первых, должно быть выполнено условие ламинарности
обтекания частицы, т.е. малости числа Рейнольдса:
Кг-.. Раи
где р —• плотность жидкости. Если для и взять значение средней
квадратичной скорости теплового движения [и ~ (kT/pia3)l/',
Pi — плотность вещества частицы], т. е. учесть самые быстрые
дрожания частицы, то
При т)/р ~ Ю-2, р ~ pi ~ 1, kT ~ \0'п имеем Re~ 3-10-5а-'/>,
что даже для молекулярных размеров а ~ 10~8 дает значение
Re ~ 0,3. Таким образом, условие ламинарности выполнено.
Во-вторых, полная систематическая сила, действующая на
шар, движущийся в вязкой несжимаемой жидкости, равна, со-
согласно Буссине,
оо
F = — hu — т'й — 6 л/ -^— \ u(t — a2) da,
о
где т' — 2ла3р/3 — присоединенная масса, равная половине
массы, вытесненной частицей жидкости. В уравнении C5.6) из
полной силы F удержан только первый член. Но при р ~ pi
второй и третий члены одного порядка с тй. В отношении т'й
это несущественно, так как роль этого члена сводится лишь
к изменению эффективной массы частицы. Более важен третий
член, выражающий вязкое гидродинамическое последействие
(см. §§ 15 и 21), при учете которого система приобретает беско-
бесконечное множество степеней свободы.
При наличии вязкого (а тем самым и вероятностного) после-
последействия средний квадрат смещения частицы был найден
В. В. Владимирским и Я. П. Терлецким [2]. Обычное выражение
оказывается справедливым лишь для промежутков времени /,
достаточно больших по сравнению со временем релаксации
(t ^> (т + /и')/А). Мы ограничимся упрощенной постановкой за-
задачи, основанной на уравнении C5.5).
Мы будем обращаться с этим стохастическим уравнением
так, К3К ес,<ди бь| щто был<5 обыч,но,е дифференциальное уравне,-

§ 35]	Простой пример стохастического уравнения	231
ние. Проинтегрировав его при начальном условии л:@)= Хо'),
получаем
t
х (t) = xQe~V + e~V J ePef (9) dB.	C5.7)
о
Так как по предположению /@ = 0. усреднение C5.7) по ан-
ансамблю случайных сил дает
x = xoe-V, ,	C5.8)
т. е. для х получается тот же динамический закон, что и из
уравнения C5.1), и из уравнения Эйнштейна — Фоккера C5.2).
Найдем теперь дисперсию x(t). Согласно C5.7) и C5.8)
t
D [х @] = (х - х? = e-W J J eP<9+6'> (f (9) / (9')) dQ dQr, C5.9)
о
и, следовательно, для получения D[x] надо задать функцию
корреляции случайной силы \J)/(9, 9') = (/(9)/(9')). Можно за-
задать любую функцию корреляции, допускаемую общими огра-
ограничениями ее вида, но мы сделаем специальное предположение,
а именно примем, что /(/)—стационарный дельта-коррелиро-
дельта-коррелированный процесс:
% (в - 9') = </ (9) f (9')) = С 6 (9 - 9'),	C5.10)
где С — постоянная. Заметим, что тем самым импульс силы
р @ - J f (9) dQ
о
представляет собой непрерывную случайную функцию с неза-
независимыми приращениями и, следовательно, распределен нор-
нормально при любом t (§ 34).
Подставив C5.10) в C5.9), находим
t
tf-^D [x] = Се-^ J J еР(б+б'N (е _ в') dQdb' =
C5.11)
') Здесь и далее мы будем считать начальные условия детерминирован-
детерминированными. В противном случае х0 было бы случайной величиной, заданной своим
распределением w(xo)dxo, и вычисляемые далее условные моменты (т. е. мо-
моменты при фиксированном значении Хо) надо было бы усреднять еще и по
этому распределению.

232	СТОХАСТИЧЕСКИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ .	t!7t..V
Если положить С = В, то это совпадет с выражением C5.4)
для а2, полученным из уравнения Эйнштейна — Фоккера C5.2).
Мы нашли только моменты х и D[x], но можно утверждать
больше. Поскольку приращение импульса Ар = f(t)At распре-
распределено при всяком At нормально, постольку разность х — х
представляет собою, согласно C5.7), сумму (или, точнее, пре-
предел суммы) нормально распределенных величин. Следователь-
Следовательно, распределение х — х тоже дается гауссовым законом с дис-
дисперсией C5.11). Это условное распределение (при условии
х(О)=*Хо), если принять С = В, просто совпадает с C5.3). Да-
Далее, 'нетрудно убедиться прямой подстановкой, что такого вида
условные вероятности удовлетворяют уравнению Смолухов-
ского (являются вероятностями перехода), т. е. процесс x(t)
оказывается марковским. Таким образом, если в стохастиче-
стохастическом дифференциальном уравнении C5.5) случайная сила f(t)
стационарна и дельта-коррелирована [см. C5.10)], то отклик
x(t)—диффузионный марковский процесс, у которого вероят-
вероятность перехода удовлетворяет уравнению Эйнштейна — Фоккера
cflt=C.
Оба подхода — основанный на уравнении Эйнштейна —
Фоккера и основанный на стохастическом дифференциальном
уравнении для случайной функции x(t)—оказываются в рас-
рассмотренной задаче равносильными. Это, конечно, не означает
их тождества за пределами этой задачи. Уравнение Эйнштей-
Эйнштейна — Фоккера обладает, например, несомненным преимуще-
преимуществом в тех случаях, когда наложены определенные ограниче-
ограничения множества возможных значений случайной функции x(t)
(наличие отражающих или поглощающих стенок и т. п.), учи-
учитываемые просто соответствующими граничными условиями.
При ланжевеновской постановке задачи введение такого рода
ограничений довольно сложно. С другой стороны, как это уже
было подчеркнуто, ланжевеновский метод не требует, чтобы
сила обязательно была дельта-коррелирована.
Стоит, быть может, отметить, что как раз в случае дельта-
коррелированной силы оперирование дифференциальным урав-
уравнением C5.5) имеет в известном смысле условный характер.
Это уравнение написано не для х, а для мгновенного значения
x(t). Но при бесконечно-частых толчках отклик x(t) —не диф-
дифференцируемая функция, т. е. x(t) не существует (ни в каком
из вероятностных смыслов понятия производной). Таким обра-
образом, все «дифференциальное уравнение» имеет лишь некий
символический смысл. Это надо понимать следующим образом.
Формальное интегрирование уравнения C5.5) приводит к
решению C5.7) для x(t), в котором уже нет никаких неприят-
неприятностей, поскольку оно содержит дельта-коррелированную силу
только под интегралом. Другими словами, уравнение C5.5) —

t 35]	ПРОСТОЙ ПРИМЕР СТОХАСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ	233
это (в рассматриваемом случае дельта-коррелированной силы)
математически некорректная запись для последующего — уже
вполне осмысленного и, в конечном счете, единственно интере-
интересующего нас — решения данного уравнения. Оправданием та-
такого подхода являются хорошо известные преимущества опери-
оперирования дифференциальными уравнениями при постановке за-
задачи— возможность исходить из общих динамических законов,
возможность использования всего существующего арсенала ма-
математических средств для получения решения и т. д. Мы не
говорим уже о том, что при не дельта-коррелированной f(t)
все оговорки становятся излишними: стохастические дифферен-
дифференциальные уравнения для самих случайных функций приобре-
приобретают тогда вполне определенное математическое содержание и,
сверх того, позволяют выйти за пределы класса марковских
процессов.
Постоянная С в функции корреляции C5.10) характеризует,
очевидно, интенсивность случайных толчков. Вернемся к пере-
переменным, в которых сила и отклик системы энергетически сопря-
сопряжены-, т. е. произведение силы на производную отклика пред-
представляет собой мощность, отдаваемую системе. Это справед-
справедливо, например, для силы.F(t) в уравнении C5.6), так как от-
отдаваемая частице мощность равна F(t)u, Уравнение C5.6)
переходит в C5.5), будучи поделено на массу частицы т. Та-
Таким образом, f(t) = F(t)/m, так что функция корреляции на-
настоящей силы F(t), в соответствии с C5.10), равна
(F (О F (П) = т2</ @ / (П) - т2С 6(t-n^C6(t- f).
Мы установили выше, что С — В и что в задаче о скорости
брауновской частицы В == 2kTh/mu. Следовательно, постоянная
С в функции корреляции силы F(t) равна
C5.12)
т. е. связана только с коэффициентом систематического тре-
трения h. В задаче о токе в /Л?-контуре под F(t) надо понимать
случайную тепловую э. д. с. e(t) (§ 28), а под h — активное со-
сопротивление контура R, так что корреляционная постоянная для
e(t) будет С = 2kTR:
(e(t)e{t')) = 2kTR6(t~f).	C5.13)
Метод стохастических дифференциальных уравнений позво-
позволяет продвинуться и дальше. Решение C5.7) для х — это ско-
скорость и в задаче о брауновской частице или сила тока / в
/Л?-контуре. Но и = i, a 1 = 4, где s — пройденный частицей
путь, a q — перенесенный через сечение цепи заряд. Следова-
Следовательно, мы можем получить статистические характеристики и
для этих величин. Будем говорить о $.

\ -
234	СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. V
Интегрируя выражение C5.7) для и = ds/dt при (детерми-
(детерминированном) условии s@) = s0, получаем
ijjL A - е-Р') + 1
Отсюда следует, что
s - So = ijjL A - е-Р') + 1 J [1 - е-Р«'-в)] / (9) <*9. C5.14)
о
Очевидно, для величины
t
e	C5.16)
справедливы те же соображения, на основании которых мы при-
пришли к выводу, что величина х — х, т. е. в нашем случае и — п,
распределена нормально. Таким образом, вероятность перехода
для s(t) есть
v(s\t, s0) = . ' =-expf- {s~')
V	°' s/2nD[s] Fl 2D[s]
Расчет дисперсии s(/) проводится так же, как и для u(t).
В обоих случаях речь идет о случайной функции вида
t
R{t)-R=^H(t, Q)f(Q)dQ.	C5.17)
о
Следовательно, в силу C5.10), имеем
	 t t
D[R] = {R- RJ = \ \ H (t, 6) H (t, 6') fWTWJ dQ dQ' =
о о
t
fl2 (t, 9) dQ.
Если Н зависит только от разности t — Q, то, как нетрудно ви-
видеть,
t
D[R] = c\jH2(Q)dQ.	C5.18)
о
Для s(t) функция Н, согласно C5.16), есть
Я F) = 1A-е-ее).

§ 36]	ГАУССОВЫ ДЕЛЬТА-КОРРЕЛИРОВАННЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ	235
Подставив это в C5.18) и воспользовавшись C5.12), получаем
q ы = *' ^2й/	3 -f- 4е~&	e~2$f).
При р^ <С 1 это дает
М1 2kT Ы3 2kTh ,,
Строго говоря, для брауновской частицы мы не имеем права
рассматривать времена t <c 1/P (времени релаксации), так как
задача поставлена без учета вязкого последействия, но в за-
задаче о L/^-контуре это ограничение отпадает. В противополож-
противоположном случае fit ~^> 1 имеем
D[s]==^-t = ~t	C5.19)
— формула, полученная впервые Эйнштейном. Она показывает,
что оживленность брауновского движения растет с повышением
температуры и с уменьшением коэффициента вязкого трения h.
Масса т в C5.19) не входит, что позволяет получить эту фор-
формулу из уравнения для s(t), пренебрегая в нем инерцией, т. е.
из уравнения
откуда
S	Sf\ 	 ~~~j~~
о
§ 36. Общий случай уравнения первого порядка
и системы таких уравнений при гауссовых
дельта-коррелированных воздействиях
Рассмотрим теперь более общий случай нелинейной и не-
неавтономной системы с 1/2 степени свободы (системы первого
порядка), описываемой дифференциальным уравнением
i = d>[x,t;F{x,t)],	C6.1)
где Ф — детерминированная функция х, t и воздействия F(x,t).
Последнее предполагается случайным, вообще говоря, нестацио-
нестационарным процессом, зависящим и от состояния х самой системы.
Разбив правую часть уравнения C6.1) на ее среднее значе-
значение [по ансамблю случайных воздействий F(x, t)] и флуктуа-
флуктуацию— случайное отклонение от этого среднего:
<Ф [x,t;F(x, t)]) = X(x,t), Ф = <Ф> + / (х, t),

236	СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. V
всегда можно записать C6.1) в виде уравнения с аддитивным
случайным воздействием:	- -
x = X(x,t) + f(x,t),	C6.2)
где X — детерминированная функция, a (f{x, t)) = 0.
Вопрос о том, при каких условиях решение x(t) будет — в
данном более общем случае —непрерывным марковским про-
процессом, строго говоря, требует отдельного исследования, но мы
ограничимся пока некоторыми наглядными соображениями и
фактами, касающимися линейного уравнения C5.5).
Марковость решения уравнения C5.5) приближенно обеспе-
обеспечивается выполнением условия #ж ^» #/, где Ож = 1/{5— время
установления системы, а #/ — время корреляции стационарной
силы f{t). Если считать f{t) дельта-коррелированной, т. е. по-
положить Ь = 0, то указанное условие выполняется при любом
сколь угодно малом #ж и процесс x(t) оказывается марковским
вполне строго. Физически весьма правдоподобно, что для мар-
марковости решения уравнения C6.2) тоже необходима корреля-
корреляция f(x,t), кратковременная по сравнению с временными мас-
масштабами процесса x(t). Конечно, понятие времени корреляции
О/ для нестационарного процесса f(x,t), равно как и понятие
«времени установления» фж для нелинейной неавтономной дина-
динамической системы, несколько расплывчато. Ясно, однако, что
речь идет о мгновенных скоростях изменения x(t) и моментов
функции f(x,t). Наше условие заключается в том, чтобы при
всяком / можно было выбрать интервал времени т такой, что
Ъх > т > fy.
Таким образом, за макроскопически бесконечно малое время т
величина x(t) практически не меняется, тогда как функция
корреляции процесса f(x, t), зависящая от t и t' = t -f- At, обра-
обращается в нуль уже при At порядка #/ -С т. Если % = 0, т. е.
функция корреляции процесса f(x,t) пропорциональна 6(t~t'):
(f (x, t) f (*', t')) =- С (х, х', t)b{t~ tf),	C6.3)
то выдвигаемое условие будет выполняться даже при х-*0
(всюду, где скорость изменения x(t) конечна, т. е. #ж=й=0).
Допуская, что этим обеспечивается марковость процесса
x(t), т. е. что для него существует вероятность перехода
v(t,x\to,xo), удовлетворяющая уравнению Эйнштейна — Фок-
кера
до	дА (х, t) у , 1 д2В (х, t)v	,qR „

§ 36]	ГАУССОВЫ ДЕЛЬТА-КОРРЕЛИРОВАННЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ	237
подсчитаем входящие сюда величины А(х, t) и B(x,t) в соот-
соответствии с их определениями B6.1) и B6.2):
А (х, t) = lim 4т > - В (х, t) = lim Щ?-.	C6.5)
Д*->0 Д'	Д*0 Д'
Усреднение в этих выражениях понималось ранее как усредне-
усреднение по вероятности перехода v(t-\-At, х -\- Ax\t, x), но теперь,
поскольку мы ожидаем, что стохастическое уравнение C6.2)
определяет все вероятностные свойства x(t) [и, в частности,
все моменты x(t)] через заданные вероятностные характери-
характеристики силы f(x,t), естественно выполнять усреднение по ан-
ансамблю реализаций f(x, t).
Согласно C6.2) приращение x(t) за малое время т есть
t+x
АХ (t,t + x)*=\ {х [х F), 8] + / [х F), в]} dQ. C6.6)
Как для X, так и для / можно написать
Х[х(В), Q] = X[x(t)+Ax(t, в), в]«*[*@, Q]+X'x[x(t), Q]-Ax(t, 9).
Для Ал:(^,6) уже можно ограничиться первым приближением,
т. е. положить в C6.6) л: (9) = *(*):
е
Ах (t, в) « J {X [* @, 9'] + f [x @, в']} dB'.
Подставляя это в предыдущее равенство, а результат —в C6.6),
получаем
t+x
Ax(t,t + x)=\ dQ {X (х, в) + / (х, в) +
о
е
; (х, в) + f'x (х, щ [х (х, 90 + f (x, в7)] ^в'}.
При усреднении этого выражения надо учесть, что при лю-
любых х = х (t) и 6 мы имеем (f {х, 9)) = 0, а значит, и (/^ {х, 9)) = 0,
так что
t+x ,
(Ax(t, t + x))= \ dQiX(x,Q) +
е	n
+ \[Х'х(х, Q)X(x, 6') + <^(x, 8)/.(x, 9')>]d9' [. C6.7)
t	)

238	СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. V
Далее, из C6.3) следует, что
</; (х, в) / (х, в')> = [?г </ (х', в') / (х, в
	 дС (х, х', 9)
~ дх'
в (в —в').
Так как интеграл от дельта-функции дает на границе интер-
интервала значение 1/2, C6.7) принимает вид
t+x
(Ax(t, t + r))& \ dv[x{x, Q) + X'x(x, Q)X(x, 9) F - 0 +
~T" о
\ dC (x, x', 9)
2	дх'
JC' =
X, Xf, t)
Разделив это на т и переходя к пределу при т->0, в соответ-
соответствии с C6.5) получаем
А{х,Ц = Х(х,Ъ + \дС{Х1/-г) .	C6.8)
2	дх	х'=х
Заметим, что из C6.3) следует симметрия функции C(x,x',t)
относительно перестановки х +± х'. Пользуясь этим, нетрудно
показать, что
дС (х, х', t)
дх'
х' =х
1	дС (х, х, t)
2	дх
так что А (х, t) можно записать и иначе:
A(x,t) = X(x,t)+±dC{xd'xx't] .	C6.9)
В задачах, в которых случайное воздействие f(x, t) не зави-
зависит от х, так что множитель при б(^ — t') в C6.3) либо функция
только от t (нестационарная сила), либо просто постоянная
(стационарная сила), член с производной в C6.8) отсутствует,
и мы получаем
А(х, t) = X(x,t),
т. е. А (х, t) совпадает с детерминированным членом в правой
части стохастического уравнения C6.2), как это и было в рас-
рассмотренных ранее примерах.
Имея в виду, что и при вычислении В (х, t) нас интересуют
для (ДхJ только члены не выше первого порядка по т, мы мо-
можем, возводя Ал: в квадрат, ограничиться первым приближе-
приближением в C6.6), положив
Ax(t, t + x)& \ {X(x, B) + f{x, Q)}dQ, x = x(t).

5 36]	ГАУССОВЫ ДЕЛЬТА-КОРРЕЛИРОВАННЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ	239
Тогда
t+x
ХЩ2= \ \ {X (х, 6) X (х, в') + (f (х, в) f (х, 6'))} dQ dQ'«
« X2 (х-, 0 т2 + С (л;, х, t) х
и, следовательно,
B(x,t) = C(x,x,t).	C6.10)
Таким образом, функция B(x,t) в уравнении C6.4), опре-
определяющая диффузионную часть потока вероятности, совпадает
с множителем C(x,x',t) в функции корреляции случайного воз-
воздействия C6.3), взятым при х' = х, т. е. с мерой интенсивности
этого воздействия.
Результаты C6.8) и C6.10) получены в предположении, что
дельта-корреляция f(x, t) обеспечивает марковость процесса
x(t). Но основная идея о том, что стохастические уравнения
должны при заданной статистике всех исходных случайных
функций.и величин полностью определять вероятностные свой-
свойства решений, требует большего. Уравнения для функций рас-
распределения отклика x(t) (в общем случае многомерного) и,
в частности, марковость x(t) —если она имеет место — должны
вытекать из стохастических уравнений. В последнее время в
этом направлении получен ряд важных и общих результатов.
Для случая системы обыкновенных стохастических дифферен-
дифференциальных уравнений первого порядка с нормальными аддитив-
аддитивными воздействиями, обладающими дельта-корреляцией по вре-
времени, математическая теория была развита К. Ито (см. [3] или
изложение теории, например в [4]), а для достаточно короткой
корреляции — Р. Л. Стратоновичем [5]. Мы будем следовать более
простой и физически прозрачной форме теории, принадлежащей
В. И. Кляцкину и В. И. Татарскому [6, 7], приведя только по-
постановку вопроса и результаты. Доказательство требует более
сильных и общих математических средств1).
Пусть n-мерный случайный процесс х(^) = {Xi (/")}, i =
= 1, 2, ..., п, удовлетворяет системе стохастических уравнений
*,@ = *i(x, 0 + Ых, 0,	C6.il)
где Xi — детерминированные функции, a ft — случайные воздей-
воздействия, распределенные нормально в (п -\- 1) -мерном простран-
пространстве параметров (х, t) (т. е. /, — это случайные поля в этом
пространстве),с нулевыми средними значениями ((/*(х, t))= 0)
') Оно опирается на метод, разработанный Е. А. Новиковым [81 для го-
гораздо более общего случая стохастических уравнений в частных производных,
т. е. для случайных полей.

240	СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	1ГЛ. V
и с корреляционной матрицей
Ъь (х, f, х', П = </, (х, t) U (х', *')>•	C6.12)
Пусть отношение характерных времен Оу/Ф* [% — наибольшее из
времен корреляции функций fi(x,t), а Ьх — наименьшее из вре-
времен изменения отклика x(t)] достаточно мало и система такова,
что допускает при этом условии отыскание функций распределе-
распределения x(t) методом малых возмущений — в виде разложений по
степеням малого параметра #//#х. В нулевом приближении
(О/= 0) корреляционная матрица сил fi(x,t) берется в виде1)
¦ Э(Ь(Ь /	1	/ 2/\	/*> /	/ j.\ с l±	J.f\	/*")("• 1 л \
г|з.? (х, t; х, i ) = Clk(x, x, tN(t — t), C6.13)
где функции Cih определены условием равенства интегралов
по V от истинной и эффективной корреляционных матриц
C6.12) и C6.13):
Сik (х, х', t) = \ Ън (х, t; x', t') df.	C6.14)
— 00
Тогда отклик х(/) в нулевом приближении C6.13) оказы-
оказывается непрерывным (диффузионным) марковским процессом.
Это означает, что многомерные распределения вероятности для
х(/) выражаются произведениями одномерной плотности ве-
вероятности состояния w\(x,t) на цепочку вероятностей перехода
v (tk, xk\tk-u х4_,), причем для v (t, x\t0, x0) получается
уравнение Эйнштейна — Фоккера2)
dv __ dAi(x,t)v. I dzBik(x, t) v	C6 15)
dt	дх.	2 dxtdxk
в котором
Л,(х, t) = Xt(x, t) + ±-dC{bl*>,*'>t) ,
C6.16)
2 dxk
Btk(x,t)=Ctk(x,x,t).
Для плотности вероятности перехода v начальное условие есть
V (Iq, X j Гд, Хд) = О (X 	 Хз),
') Строго говоря, дельта-корреляция C6.13) несовместима с нормальным
распределением, предполагающим конечность дисперсий. Однако в результи-
результирующее уравнение Эйнштейна — Фоккера C6.15) входят только интегралы
C6.14) от функций корреляции. Поэтому в функциях распределения случай-
случайных сил fi можно считать дисперсии конечными (^^=0), но ,из-за малости ft/
отклик х(^) приближенно такой, как если бы было ©/ = 0.
2) По дважды встречающимся индексам производится суммирование от
\ до п.

§ 36]	ГАУССОВЫ ДЕЛЬТА-КОРРЕЛИРОВАННЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ	241
а для плотности вероятности состояния W[, удовлетворяющей
тому же уравнению C6.15), начальное условие имеет вид
где Wo — заданное начальное распределение.
Эта общая теорема приводит, таким образом, к уравнению
C6.15), исходя непосредственно из стохастических уравнений
C6.11). Кроме того, развитый в [6] метод обладает еще и тем
преимуществом, что позволяет получать поправки к нулевому
(диффузионному) приближению. Поправки возникают двоякого
рода. Во-первых, в правой части уравнения C6.15) появляется
добавочный член вида —dSrk (x, t)/dxk. Это поправка к плот-
плотности потока вероятности (порядка не ниже fly). Во-вторых,
матрица Cik в C6.16) заменяется на
t
Cik (x, х', t) = \ $ik (x, t; %', t') df.
о
Отличие Cik от Cih заметно лишь при t'<?.#/, пренебрежение же
членом с S'k требует, вообще говоря, ограничения интенсивно-
интенсивности флуктуационных сил /,. В общем виде выражения для S'k
довольно громоздки [7], но их исследование в конкретных зада-
задачах позволяет уточнять условия применимости диффузионного
приближения :).
Мы можем теперь разъяснить высказанное в § 30 утвержде-
утверждение о том, что распространение лучей в случайно-неоднородной
среде является марковским процессом только в малоугловом
приближении.
Если в качестве независимой переменной берется длина
луча /, то уравнения геометрической оптики записываются
б виде
где г — радиус-вектор точки луча, т — единичный вектор каса-
касательной к лучу в этой точке, ц (г) = In п (г), п (г) — показатель
преломления среды. Если ввести шести-векторы f = {0, а}, х =
= (г, т}, Х = {т, 0}, то написанные уравнения приводятся к виду
C6.11) с независимой переменной / (вместо t). Пусть jx(r) —
гауссово случайное поле со средним значением р, = 0. Казалось
бы, введя для f функцию корреляции вида C6.13), можно было
бы написать для шести-вектора х(/), объединяющего случайные
1) Дельта-корреляция C6.13) является лишь необходимым условием мар-
марковости процесса x(t).

242	СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. V
координаты точек луча г(/) и случайные направляющие коси-
косинусы луча хA), уравнение Эйнштейна — Фоккера C6.15). Но
величины а зависят от х и не зависят от /, так что корреляцион-
корреляционная матрица «сил» f имеет вид aj5(-fe (x, х'), т. е. не зависит от /
и /'. Иначе можно сказать, что интервал корреляции f по /
бесконечен, и поэтому записать г|)« в виде C6.13) с дельта-
функцией б(/— /') невозможно.
Можно, однако, перейти к другому описанию луча, взяв за
независимую переменную не его длину /, а толщину г прой-
пройденного им слоя неоднородной среды (луч падает на слой нор-
нормально). Точка луча задается тогда его поперечным смещением
q = {х, у} от точки входа в слой х = у = О, а направление —
поперечным вектором х± — {хх, ху], которые рассматриваются
как функции от г. Уравнения геометрической оптики принимают
при этом вид
<*P(z)	r±(z)	dx±(z) ах (р, тх, г)	,QR17.
где ах = {ах,ау}. Уже отсюда видно, что эти уравнения можно
использовать только до первой точки поворота луча на 90° от
оси г (т. е. от его первоначального направления), так как в
этой точке д/l — %\ обращается в нуль. Это значит, что в слу-
случайно-неоднородной среде мы должны ограничиться областью,
в которой вероятности отрицательных tz весьма малы, т. е. ма-
малыми угловыми отклонениями луча (тг ^ 1). В этом малоугло-
малоугловом приближении уравнения C6.17) принимают вид
= тл.B),
Четырехмерный случайный процесс x(z) = (p(z), тх (z)} возни-
возникает под действием поперечных случайных «сил» f = {0, ax} =
=f(р, г), которые зависят теперь от переменной z и обладают
корреляционной матрицей г^ (р, z; p', z'). Процесс х (z) будет
марковским в предположении дельта-корреляции неоднород-
ностей среды по z:
bk (P. z; P'> z') = Clk (p, p', z) 6 (z — z'),
что и приводит к уравнению Эйнштейна — Фоккера B7.15), где
дополнительно принято, что С^ = В&а = const.
Для вращательного брауновского движения сферической ча-
частицы подобных ограничений не возникает, так как действую-
действующие на частицу случайные вращающие моменты — функции не-
независимой переменной (времени t), а от состояния системы
(ориентации оси частицы) они вообще не зависят.

§ 37]	ПРОИЗВОЛЬНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ	243
§ 37. Стохастические уравнения при случайных
воздействиях с произвольными законами
распределения
В работе [9] (см. также [10]) получены результаты, обоб-
обобщающие приведенную в предыдущем параграфе теорему на не-
негауссовы случайные воздействия1). Кроме того, сами стохасти-
стохастические уравнения берутся более общего вида, чем C6.11), а
именно в виде системы интегро-дифференциальных уравнений
*, = Xt (x,t)+\Dik(x,y, t) fh (у, /) rfy,	C7.1)
где Xi и ядро Dih — детерминированные векторная и тензорная
функции. Очевидно, уравнения C7.1) переходят в C6.11), если
Dtk(x, У> 0 = 0^6 (у — х). Существенно, что случайные воздей-
воздействия fk(y,t) входят, как и ранее, линейно и что для решения
х(^) выполняется принцип причинности: x(t) функционально за-
зависит от /й(х, т) только при тех т, которые предшествуют мо-
моменту времени t {to^.x^.t). В момент t = t0 заданы началь-
начальные условия х @) = х0.
При этих условиях показано, что точным следствием урав-
уравнений C7.1) является некоторое уравнение для одномерной
плотности вероятности wi(x,t), которое, однако, не является
замкнутым относительно Wi, так как содержит член, функцио-
функционально зависящий от fh(x,x) при всех tQ ^ т ^ t. Только в том
случае, когда воздействия fh(x,t) дельта-коррелированы по t,
указанное уравнение для wi(x, tJ) становится замкнутым (со-
(содержит только одномерную функцию распределения), а процесс
x(t) оказывается марковским: л-мерная плотность вероятности
wn{x{, t{; ...; х„, /„) выражается через w{ и вероятность пе-
перехода v формулой A5.3).
Если дельта-коррелированные fu(x,t) представляют собой
гауссов процесс, то, в согласии с приведенной в предыдущем
параграфе теоремой, уравнение для w\ или v будет уравнением
Эйнштейна — Фоккера (диффузионный марковский процесс).
Если же случайные воздействия — импульсные процессы, со-
состоящие из дельта-импульсов
?	— tv)
') В [91 рассмотрены не только случайные процессы, но и случайные
поля, но в I части книги мы по-прежнему ограничиваемся процессами.
2) Или для условной плотности вероятности v (t, х | to, Xo), если начальное
условие при t = t0 есть
v (to, х \t0, хо)==б(х—х0).

244	СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. V
(подчеркнем, что такой процесс дельта-коррелирован, но он не
обязательно должен быть пуассоновским или стационарным),
то для w\ или v получается уравнение Колмогорова — Феллера
C1.10) (скачкообразный марковский процесс).
Обратимся теперь к тому преимуществу стохастических диф-
дифференциальных уравнений, о котором уже говорилось выше,
а именно возможности рассматривать с их помощью и такие
(хотя бы линейные) задачи, когда случайная сила f(t) не об-
обладает дельта-корреляцией, а значит, отклик системы i(t) уже
не является марковским процессом.
Из приведенных выше результатов ясно, что при отказе от
дельта-корреляции случайных воздействий общая теория очень
усложняется. Мы ограничимся примерами, которые показывают
тем не менее, насколько существенные результаты могут быть
получены хотя бы при определенных ограничениях. Важно, од-
однако, подчеркнуть, что в число этих ограничений уже не будет
включаться в качестве обязательного требования точная или
приближенная дельта-корреляция случайных воздействий на
динамическую систему.
1. Рассмотрим линейное уравнение первого порядка, описы-
описывающее динамическую систему с параметрическим воздей-
воздействием:
x=[Q(t)+q(t)]x,	C7.2)
где Q(t)—детерминированная функция, a q(t)—случайный
процесс с q(t)=O. Таким образом, это уравнение вида C6.2)
с Х(х, t)= Q(t)x и f(x,t)=q(t)x. Если же ввести функцию
у = In х, то для нее мы получим линейное уравнение у =
= Q(O4~G(O c аддитивной случайной силой, не зависящей от
состояния системы у. Предполагается, что q(t)—нормальный
процесс, но с произвольной функцией корреляции
%{t,n = {q{t)q{t')).	C7.3)
Оказывается, что и в этом случае можно без каких-либо до-
дополнительных требований получить из C7.2) замкнутое уравне-
уравнение для плотндсти условной вероятности v(x, t\xo,O) решения
xVI).
Решение уравнения C7.2) при начальном условии х(О) = Хо
есть
х (/) = х0 exp J J [Q (т) + Я (т)] dx \.
1) Вывод принадлежит В. И. Татарскому. '

§ 37]	ПРОИЗВОЛЬНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ	245
Поэтому (условная) характеристическая функция процесса
л'(^) запишется в виде
00
Ф (и, t) == (exp {iux}) =y-^f(xn (t)) =
0
t
Так как интеграл а = п \ q (т) dx — тоже гауссова величина,
о
а для любой гауссовой величины а при 6 = 0 справедливо ра-
равенство (еа) = ехр{а2/2}( получаем
/exp I n J 7 (т) ^т 1\ =
где
0
В результате
t
Ф (U> f) =
rt=0	*> 0
откуда
d(f (u, t) __
dt ~
n \ Q (x) dx + n2F (t) }, C7.4)
0	'
{
rt=0	*> 0
Пользуясь тождествами
{ n J Q (t) dx + тг2,Р @ }. C7.
"Q ^> + "^ ^I exp { n J Q (t) dx + тг2,Р @ }. C7.5)
и выражением C7.4) для ф, нетрудно преобразовать C7.6) к виду
. C7.6)
Если учесть симметрию корреляционной функции iJ)9(ti, тг) по
отношению к перестановке Ti=e*T2, то коэффициент /(<) легко

246	СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ' [ГЛ. V
выразить в виде однократного интеграла от i|)?:
t t
t
t, x)dx. C7.7)
Задача, в сущности, уже решена, так как мы получили
дифференциальное уравнение для характеристической функции.
Для того, чтобы вывести уравнение непосредственно для плот-
плотности вероятности
+ 00
v (х, t\ х0, 0) = ~ J Ф (и, t) e-'«* du,
— оо
нужно только выполнить над C7.6) преобразование Фурье.
Умножая это уравнение на е~гг2л;, интегрируя по и и предпо-
предполагая, что при |ы|=оо проинтегрированные члены обращают-
обращаются в нуль, получаем с учетом C7.7)
dV 		« /,v или ji I i	/, v i I i/ # u-iy *	/07 Q\
^/	V \ / ftr	1^ I \ 4^G \ )	/	\ f)v \ '	ri Y I '	\ ' • /
Подчеркнем еще раз: ничего, кроме нормальности процесса
q(t), при выводе уравнения C7.8) не предполагалось, и это
уравнение представляет собой обобщенное уравнение Эйнштей-
Эйнштейна— Фоккера вида B6.19), справедливое и для немарковского
процесса. Если же случайное воздействие q(t) дельта-коррели-
ровано:
¦tyq(t,x) = C(tN(t — x),	C7.9)
t
то \ tyq (t, т) dx = ^ С (t) [половина входит потому, что дельта-
о
выброс лежит на границе интервала @, t)], и мы приходим, со-
согласно изложенной в § 36 общей теореме, к марковскому про-
процессу x(t) с уравнением Эйнштейна — Фоккера
C7.10)
Хотя вид уравнений C7.8) и C7.10) одинаков, их смысл
различен. Только при дельта-корреляции C7.9) /г-мерные функ-
функции распределения x(t) выражаются через произведение оди-
одинаковых условных вероятностей v, т. е. последние являются

§ 37]	ПРОИЗВОЛЬНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ	247
вероятностями перехода (удовлетворяют уравнению Смолухов-
ского).
Если параметрическое воздействие q(t) стационарно, так что
iq(t,x) = i\>q(t — %), то
и при временах 13> fig [ftq— наибольшее время корреляции
q(t)], можно устремить верхний предел интеграла в бесконеч-
бесконечность. Таким образом, коэффициент в квадратных скобках
в C7.8) будет с ростом t стремиться к постоянному значению,
как если бы функция корреляции была Сб(/ — т). В этом слу-
случае уравнение C7.8) примет вид C7.10) с постоянным С и
действительно станет уравнением Эйнштейна — Фоккера. Дру-
Другими словами, в случае стационарного воздействия q(t) отклик
x(t) становится с ростом t марковским процессом. Подчеркнем
еще раз, что в действительности Og Ф О и поэтому процесс бу-
будет марковским лишь приближенно — если рассматривать его
поведение на интервалах времени At > ¦&,, но не на Ats^ftq.
В противоположность приведенному простому примеру в бо-
более общих случаях1) получение замкнутого уравнения хотя бы
для одномерной вероятности, как уже было сказано, неосуще-
неосуществимо без предположения о дельта-корреляции случайного воз-
воздействия.
При наличии же дельта-корреляции и при линейных исход-
исходных уравнениях (линейных относительно х,) всегда можно по-
получить замкнутые системы уравнений для моментов любого по-
порядка, т. е. отдельную систему для первых моментов (л:,-(^)),
отдельную — для вторых моментов {Xi(t)xh(t)) и т. д. При
указанных условиях эти системы уравнений взаимно не зацеп-
зацепляются. Это было показано уже давно [11] (см. задачу 7) и
вновь установлено более общим способом в [10].
2. Возможности продвижения в теории стохастических диф-
дифференциальных уравнений зависят, конечно, и от степени слож-
сложности рассматриваемой динамической системы. Мы обратимся
теперь ко второму примеру, имеющему весьма широкое значе-
значение, а именно к линейным системам, на которые действуют
только случайные внешние силы, а параметры системы являют-
являются детерминированными.
Речь идет о частном случае уравнений C6.11):
x,(t) = atk(t)xk(t) + ft(t), г,?=1,2	п, C7.11)
') Например, для системы линейных параметрических уравнений, содер-
содержащих параметрические случайные воздействия qih{t)'
*( = [Q(k (t) + qik (t)] xH, /=»1,2, ...,«.

248	СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ( V
где aih(t)—детерминированные функции, a fi(t)—случайные
силы, не зависящие от состояния системы х = {х$. Никаких
специальных предположений о вероятностных свойствах сил
ft (t) не делается, но они считаются заданными.
Исключая из C7.11) все Xi(t), кроме какой-либо одной
функции [обозначим ее через x(t)\ можно сформулировать за-
задачу и в виде одного уравнения /г-го порядка:
C7.12)
Как уже было подчеркнуто ранее, на первом этапе мы об-
обращаемся со стохастическими уравнениями так же, как если бы
это были уравнения для детерминированных функций, т. е. ре-
решаем «динамическую» задачу. Именно такой путь полностью
открыт в случае линейных уравнений, так как их решение все-
всегда может быть записано в форме некоторого линейного же опе-
оператора, действующего на заданную силу f(t). Воспользуемся
истокообразным представлением решения — интегралом Дюа-
меля;
t
x(t)=^H(t,Q)f(Q)dQ,	C7.13)
о
где H(t,Q)—так называемый импульсный отклик рассматри-
рассматриваемой динамической системы, т. е. ее отклик в момент времени
t ^ 8 на силу f(t) = 6(t — 8) при условии, что до момента Э
система находилась в покое. Соответственно частное решение
C7.13) при произвольной силе f(t) отвечает нулевым началь-
начальным условиям:
д;ОД@) = 0,	&-=0, 1, •-., П-\.
Если коэффициенты уравнения C7.12) постоянны, т. е. динами-
динамическая система является гармонической, то H(t, Q) = H(t — 8).
Из линейности связи C7.13) между x(t) и f(t) следует, что
моменты x(t) любого целого порядка выражаются в квадрату-
квадратурах через смешанные моменты того же порядка силы f(t). По-
Поскольку последние по предположению известны, мы знаем и все
моменты x(t), что в большинстве практически интересных слу-
случаев означает принципиальную возможность построения и ко-
конечномерных функций распределения x(t). В частности,
9,	C7.14)
о
t	V
В (t, t')={x (t) x (П)= J Я (t, Э) d& J Я (Г, в') Bf(B, 9') dQ', C7.IS)
0	Q

I Щ	ПРОИЗВОЛЬНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ	249
где
B}(t,t')=(f(t)f(t')).
В случае гармонической системы интеграл Дюамеля можно
записать в виде
t	t
х (t) = J H (t - 9) f (9) dQ = J H (9) / (/ - 0) dQ, C7.16)
о
так- что
t
в)><Ю,	C7.17)
о
t	t+x
о	о
C7.18)
Если f(t)—нормальная случайная функция, то, согласно
C7.18), отклик x(t) тоже будет распределен нормально, по-
поскольку он представляет собой в этом случае сумму (предел
суммы) нормально распределенных1 слагаемых. Так как /г-мер-
ное нормальное распределение содержит в качестве параметров
моменты только первого и второго порядков, в этом случае до-
достаточно знать только {f(t)) и Bf{t, t'). Но в общем случае для
нахождения одномерного распределения x(t) необходимо исчер-
исчерпывающее задание случайной функции f(t), т. е. задание всех
ее конечномерных распределений. Мы ограничимся рассмотре-
рассмотрением моментов C7.17) и C7.18) в предположении, что f(t) —
стационарный случайный процесс с нулевым средним значе-
значением:
</(*)>=о, tf@/(O> =-%(*-О-
Тогда из C7.17) имеем {x(t)) = 0, а из C7.18)
(	t+x
Ц> (*, т) — $ Я @) </9 J Н (9') % (т + 9 - в') dtf. C7.19)
Таким образом, подынтегральное выражение не зависит от t,
а так как реальные системы обладают «конечной памятью»
(с ростом 0 отклик Я@) стремится к нулю), то из C7.19) ясно,
что с увеличением / функция корреляции \р перестает зависеть
от t, т. е. в системе устанавливается стационарный процесс1)
4) Стационарный в широком смысле, см. § 18.

250
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1ГЛ. V
с функцией корреляции
ОО	00
1|з (т) = jj Я (8) d% jj Я @') i|jf (т + 0 - 0') d0'.
о '	о
Поскольку импульсный отклик Я (8) до момента действия дель-
дельта-импульса равен нулю, т. е. Я@) = О при всех Э < 0, можно
заменить нижние пределы интегралов на — оо. Вводя вместо 9'
переменную интегрирования % = 6' —0, получаем в результате,
что в установившемся режиме
+ о
= \
-)-со
что можно записать в виде
где введена функция
+ ОО
C7.20)
C7.21)
Функция Я2, определяемая импульсным откликом Я, характе-
характеризует рассматриваемую динамическую систему, тогда как %
является характеристикой внешней силы f(t).
Заметим, что формула C7.20) —это композиция функций Я2
и % в соответствии с определением композиции, данным в § 9.
Формула же C7.21) не является композицией, так как перемен-
переменная интегрирования 0 входит в оба сомножителя под интегра-
интегралом с одним и тем же знаком.
Приведем в заключение простую иллюстрацию того, как не-
немарковский процесс в линейной системе может быть приведен
к марковскому с более высоким
числом измерений, о чем уже
упоминалось в § 21.
Если на вход линейного че-
тыРехполюсника ^ (рис. 27, а)
действует дельта-коррелирован-
дельта-коррелированная э. д. с. &{t), то выходной ток
I(t) будет компонентой ^-мер-
^-мерного марковского процесса, где
NA — удвоенное число степеней свободы четырехполюсника
(возможно, и нечетное). Пусть теперь <g\t) не дельта-коррели-
рована, так что ток I(t) не является компонентой Л^-мерного
марковского процесса. Однако если можно подобрать такой че-
Рис- 7-

ЗАДАЧИ
251
тырехполюсник В, который под действием дельта-коррелирован-
дельта-коррелированного шума e{t) дает на выходе э. д. с. &(t), то тот же ток I(t)
будет откликом на дельта-коррелированную силу в системе
А + В (рис. 27,6). Таким образом, I(t) будет компонентой
(NB + NA) -мерного марковского про-
процесса.
Возьмем для примера уже рас-
рассмотренную ^L-ячейку, и пусть дель-
дельта-коррелированная э. д. с. e(t) дей-
действует на нее через фильтр Lo, Co, Ro
(рис. 28). Состояние фильтра описы-
ьается, скажем, зарядом q и током q
A степень свободы), а состояние RL-
ячейки — током / A/2 степени свобо-
свободы). Ток / будет компонентой трехмерного марковского процес-
процесса с вероятностью перехода v(t, q, q, I\t0, qo, qo, h)- Если же
дельта-коррелированная э. д. с. действует на RL-ячешу не-
непосредственно, то ток / будет одномерным марковским процес-
процессом с вероятностью перехода v(t, /| t0, /0).
Задачи
1. Рассчитать функцию корреляции тока в ^L-контуре, на который дей-
действует стационарная случайная э. д. с. & (t) с функцией корреляции
j*C_ _„,Т|
Решение. Уравнение для тока l(t) есть
I, P = /?//••
Импульсный отклик контура H(t)= е~" при />0 и равен нулю при t < 0.
Согласно C7.19) имеем
t+x
)/ (t, т) =
J
В частности, при т = 0 получаем отсюда дисперсию тока:
-!}. B)
Обе формулы справедливы при произвольном соотношении между временем
релаксации контура A/Р) и временем корреляции случайной э. д. с. A/а).
При р^>1 достигаются стационарные значения ¦ф/ и ?>[/]:
а _вт -ах	С

252	СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. V
При а -> оо мы приходим к дельта-коррелированной э. д. с. % (t) и марковскому
процессу I (t). Формулы A) и B) принимают вид
B|M)	BP°
Формула для D[I] совпадает, конечно, с C5.11).
Если ($ ->• 0, то, согласно B),
что дает при а/> 1 диффузионный закон ?>[/] = yj-?, т.е. ток / (t)
t
= -у- \ <8 (t) dt начинает вести себя как функция с независимыми прираще-
о
ниями.
2. Используя результаты § 28, показать, что огибающая отклика селек-
селективного колебательного контура на белый шум удовлетворяет линейному сто-
стохастическому дифференциальному уравнению первого порядка.
Решение. Селективный контур — томсоновская система, описываемая
уравнением
d2x . dx ,
1F^ + ilh'dT + x
где f = а>о<, д — малый параметр. По условию
Уравнение контура отличается от уравнения B8.1) для томсоновского авто-
автогенератора лишь отсутствием нелинейного члена и знаком члена с dx/dt'
[цА — декремент, в отличие от инкремента цр в B8.1)]. Следовательно, для
огибающей Л@) отклика х = A @)cos [f + ф@)] мы получаем первое урав-
уравнение Ван-дер-Поля B8.7) с R (А) =	^ ^> т-е-
где 9 = \if — медленное безразмерное время.
Если компонента силы Fj_(8) дельта-коррелирована, то по обшей тео-
теореме (§ 36) Л (8) — диффузионный марковский процесс, функция корреляции
которого, в соответствии с A), экспоненциальна. То, что для селективной
системы можно в первом приближении считать Fj_(8) дельта-коррелирован-
дельта-коррелированным процессом, показано далее, в § 53.
Теорема о марковости огибающей была высказана в таком виде (и до-
довольно громоздко доказана) Пирсом [12]. На ее доказательство при помощи
уравнения Смолуховского (или уравнения Эйнштейна — Фоккера) указал
Хелстром [3]. Из последующих работ по статистическим свойствам Огибаю-
Огибающей упомянем [14, 15].
3. Написать уравнение Эйнштейна — Фоккера для осциллятора с флук-
флуктуирующей собственной частотой
* + 2Ai + a>g[l+/@]* = 0,	A)
где f(t)—нормальный дельта-коррелированный случайный процесс:
</@)-0, ff (О/«О)-20в (*-*'). 0 = const.

ЗАДАЧИ	253
Решение. Условия общей теоремы, приведенной в § 36, выполнены, и,
следовательно, в осцилляторе — системе с одной степенью свободы — происхо-
происходит двумерный диффузионный марковский процесс. Записав стохастическое
уравнение A) в виде двух уравнений первого порядка:
x-y=X(x,y,t) + fx(x,y,t),
y = -2hy-<i,2[l + f (*)] x^Y (x, у, t) + fy (x, у, t),
получаем
X = y, Y = -2hy-a>2x, fx = 0, fy = - a>2xf (t).
Таким образом, в корреляционной матрице случайных воздействий fx и fy
отличен от нуля только элемент
Ъуу(х, у, t; х', у', n={fy(x, у, t)fy(x', у', П>«=22Ц*/в (<-*')•
уравнение Эйнштейна — Фоккера C6.15) для пло
а v(x,y,t\xo,yo,0) имеет вид
dv	dv д (ihy + а&х) v	. „ d2v
В результате уравнение Эйнштейна — Фоккера C6.15) для плотности вероят-
вероятности перехода v(x,y,t\xo,yo,0) имеет вид
Ж—УЖ+ V +^V- ¦ C)
Из-за квадратичной зависимости коэффициента диффузии от х это уравнение
не может быть решено в общем виде.
4. Получить при помощи уравнения C) предыдущей задачи уравнения
для моментов Mrs(t) = (xr(t)ys(t)). Показать, что эти уравнения распа-
распадаются на замкнутые системы для моментов каждого фиксированного по-
порядка г + s = п. Исследовать систему уравнений для моментов второго по-
порядка
М20 — х2, Мп=7у, М02 = У2
и найти условие параметрического возбуждения осциллятора в данном случае
флуктуации его частоты в виде нормального белого шума.
Решение. Умножим уравнение C) на xrys и проинтегрируем по х и у
от —то до -т-оо. Учитывая, что
MTS (t) = ^ ^ xrysv (x, у, 11 х0, у о, 0) dx dy,
и предполагая, что проинтегрированные члены обращаются в нуль при
|х|=оо Или |г/|=оо, получаем для Mrs(t) следующую систему уравнений:
Mrs = rMr_1<s+1 - sBhMrs + ffl>r+1>s_,) - 0<ugs (s - 1) Mr+b s_2, D)
которую надо решать с начальными условиями Mrs @) = х^у^.
Сумма индексов при всех М в D) одинакова (равна r + s = n), откуда
и следует, что для моментов порядка п уравнения D) образуют замкнутую
систему из п + 1 уравнений. Полагая в' D) г = 1, s = 0 и г = 0, s = 1,
получаем уравнения для моментов первого порядка Mi0 = х и Afoi = у:
х=У, 9 = — Bhy + ®lx),
которые вытекают и из исходных уравнений B) в отсутствие флуктуации
частоты [/@=0]. Таким образом, х и у меняются по динамическому закону.

254	СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. V
Для моментов второго порядка получаем из D)' систему трех уравнений:
Af20 = 2Af „, *„ = М02 - BАМ„ + а%Мт),
Щ2 = - 2 BAAf02 + ©*М„)
Ищем частное решение этих обыкновенных линейных уравнений с постоян-
постоянными коэффициентами в виде
что дает для Ct, Сг и С3 систему однородных алгебраических уравнений
ЯС, = 2С2, ЯС2 = С3 —
ЯС3 = — 2
Для того чтобы эта система имела нетривиальное решение, надо приравнять
нулю ее определитель, что дает характеристическое уравнение для Я:
Я3 + 6АЯ2 + 4 (а>1 + 2/г) Я + 4wg BА - ffljjiZ)) = 0.	E)
Как известно, необходимые и достаточные условия устойчивости, т. е. от-
отсутствия положительных вещественных частей у корней Ян уравнения E),—
это условия Рауса — Гурвица, которые для кубического уравнения
имеют вид
«i > 0, а2 > 0, а3 > 0, aia2 — a3 > 0.
Для уравнения E) эти условия таковы:
h > 0, ш§ + 2 А- > 0, 2А - в^0 > О, 4А (а20 + ЗА2) + (й\3> > 0.
Нарушаться может только третье неравенство, т. е. при
?> > 2hj(o\	F)
и малейшем отклонении начальных значений от нуля будет происходить экс-
экспоненциальное нарастание моментов хг, ху и у2 и, в частности, средней энер-
энергии осциллятора (параметрическое возбуждение).
Исследование уравнений для моментов порядка п > 2 показывает, что
условия параметрического возбуждения для разных п различны. В частности,
для четвертых моментов это условие слабее F), а именно:
2А со§ + ЗА1
Те же замкнутые системы уравнений D) для моментов можно получить
и непосредственно из стохастических уравнений B), не предполагая нор-
нормальности f(t), но считая, что высшие моменты f(t) выражаются через про-
произведения дельта-функций 8(h — ^)б(/з — ti)...6(tn — ^1). Исследование
условий применимости диффузионного приближения [7] показывает, что при
наличии у f(t) не равного нулю времени корреляции в/ должны выполняться
условия
/	0 /0

ЗАДАЧИ	.	255
. Написать уравнение Эйнш
тора
255
5. Написать уравнение Эйнштейна — Фоккера для нелинейного осцилля-
осцилляа
• , + 2А* + ^.-,@.	A)
где потенциальная энергия U(x) содержит, кроме члена с хг, члены с выс-
высшими степенями х, а случайная сила f(t) предполагается нормальной и дель-
та-коррелироваяной [7]. Исследовать стационарное решение уравнения Эйн-
Эйнштейна — Фоккера.
Решение. Система уравнений для х и у = х имеет вид
дН .	п, дН , ., . .
где Я (х, г/) =-^-+{/(*)—гамильтонова функция автономной (/ = 0) и
консервативной (h = 0) системы. Эта система уравнений удовлетворяет усло-
условиям общей теоремы (§ 36), и уравнение C6.15) для вероятности перехода
v(x, у, t\xo, у о, 0) имеет вид
dv дН ду дН |	дуо	д*у
дх ду Ну дх J + ду + ду2 '
или
dv _ f
dt	\
дх ' dx ду ' *"* ду ^ •" ду2
[22) — постоянная при дельта-функции в корреляционной функции f(t)].
Легко проверить подстановкой, что стационарное решение Wi(x,у), уста-
устанавливающееся при (-+О0, имеет вид распределения Гиббса:
и, (х, у) = Се'2™ ^ »)'* = С ехр [- ZjjL - -|- U (х)] = тх (х) ¦ wy (у).
Таким образом, х и у независимы, а распределение скорости х = у гауссово.
Разумеется, стационарное решение существует только при условии интегри-
интегрируемости функции ехр(— 2hU(x)/S)). Максимумы и минимумы плотности ве-
вероятности х:
лежат в точках соответственно минимумов и максимумов потенциальной
энергии U(x), т. е. совпадают с устойчивыми и неустойчивыми положениями
равновесия автономной динамической системы. Например, если U(x) =
= -г- ю2*2 + -г а*4 (а > 0), то имеется только одно устойчивое положе-
положение равновесия х = 0. Автономная консервативная система описывается
в этом случае уравнением Дуффинга:
х + ез30х + ахг = 0.
Если же U (х) = —г- со2,*2 + — си4 (а > 0), то х = 0 — неустойчивое по-
ложение равновесия, а устойчивы положения х = ± со JYа- В этом случае
Wx(x) —симметричная двугорбая кривая.
6. Если в уравнении (I) предыдущей задачи можно пренебречь инерцией
(членом с ускорением х), т. е. равновесное распределение скорости устанав-
устанавливается очень быстро, то дальнейшее поведение системы, описывается одним
уравнением первого порядка

256	СТОХАСТИЧЕСКИЕ-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. V
Исходя из соответствующего уравнения Эйнштейна — Фоккера, составить и
решить уравнение для среднего времени достижения границ и, в частности,
найти среднее время перехода (см. § 32) из одного устойчивого положения
в другое в случае U (х) = —— w^x1 + — ах*.
Решение. В рассматриваемом случае уравнение Эйнштейна — Фоккера
для вероятности перехода v(x, t\xo, 0) будет
_?y_ = J	d_fdU_ \ g> d'v
dt %h dx \ dx V) + Ah2 dx2 '
т. е. коэффициенты A (x, t) и В(х, t) не зависят от t и равны
к	const-
Поэтому уравнение C2.10) для среднего времени Цх) достижения границы
а < х или 6 > х из начального положения х будет
-Ё- ?L — -L _^L ^L 4-1
8Л2 rf*2 2Л dA: rfx +
dx.
X	-оо	О
Воспользуемся решением этого уравнения при наличии только верхней
границы 6 > х, т. е. решением (см. § 32)
ь	z
В нашей задаче
и, следовательно,
Если нас интересует среднее время перехода Тц из состояния х% в состоя-
состояние Хг (xi < Хг < 6), то его можно получить как разность средних времен
достижения границы Ь из Xi и из Хг:
— величина, конечно, ив зависящая от 6.
В частном случае, когда U {у) = —- ©§j/2 + — ay4 и мы хотим найти
среднее время перехода из одного устойчивого состояния х\ = — ®0IV~<* в
другое х2=(йо/У~а, получаем
Шо/Va
\

задачи	257
При достаточно малых Ф экспонента в интеграле по у имеет два симметрич-
симметричных острых пика в точках ± <йо/У~а, так что значение интеграла по у при-
приближенно равно в интервале (—а>0/]/~а, a>0/Va) величине С/2, где
а среднее время перехода из одного устойчивого состояния в другое будет
о
7. Получить непосредственно из стохастического уравнения
x + p(t)x + q(t)x = f(t),	A)
где f (t) — стационарный случайный процесс с (/ (/)) = 0, а р (t), q (t) — де-
детерминированные функции, уравнения для моментов- первого и второго
порядков.
Решение. Усреднение уравнения A), если учесть коммутативность
операций усреднения и дифференцирования, дает для момента х (t)
x + p(t) x + q \t)x = 0.
Введем обозначения: ц00 = х2, ц01 = [i10 = хх, цп=хг. Дифференцируя эти
ц., по t и пользуясь A) для исключения х, получаем
Aoi = х2 + хх = цп — pnoi — дц00 + xf,
!Хп=2«== —2рци —2?ц01 +2x1
Усреднение этих уравнений дает для моментов mkl = р,^ уравнения
/noo = 2moi, mOi = mu —ptnol — qniOo+(xf),
~2qm01 + 2(xf).
Таким образом, надо вычислить средние значения (х (t) f (t)) и (х (t) f ({)).
Воспользуемся выражением х (t) через интеграл Дюамеля (с нулевыми
начальными условиями при /=0):
t
x (t) = \ Я (t, 8) / F) d<d.
о
Если X\(t) и x2 (t) — фундаментальные решения однородного уравнения A),
то импульсный отклик записывается в виде
Н (t, 9) = -~ [хх (9) хг (t) - х-2 (9) хх {t)\,
где Д (9) — детерминант Вронского:
дF)= ~<(Э) x2(Q)

258	СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ГЛ. V
Следовательно,
ff(t,t) = O,
Имеем
t	t
=(
1.	C)
H (t, 6) (/ F) / @> d9 = \ Я (t, о) Ф, (/ - 6) rf9,
о	о
t	t
(x (t) j (t)) =^H(t, 9) <! (9) f @) d9 = ij Я (<, 9) yf (t - 6) d9.
о	о
Эти интегралы не могут быть выражены ни через т.,, ни через параметры ф^,
за исключением того случая, когда сила дельта-коррелирована:
¦ф (/ _ 9) = (/ (9) / (/)> = 22)8 (t - 8).
Тогда	'
(х @ / @) = 2)Н (t, t), (x (t) f @> = Ф аНЦ' 8)
(из-за того, что дельта-функция отлична от нуля на границе интервала, вхо-
входит множитель 1/2). В силу C) получаем
<xf> = 0, (xf) = 2).	D)
Смысл этого результата состоит в том, что отклик x(t) в момент t еще не
содержит компоненты, обусловленной действием силы f(t) в этот самый мо-
момент. Напротив, производная уже «чувствует» действие силы f(t) в момент t.
Согласно D) уравнения B) становятся замкнутой системой:
тО1 = тц — pmoi — qmOo,
тп = — 2рти — 2qm0i + 2S),
которую надо решать при условиях /?2а;@) = 0.
Изложенный способ был развит в работе [11], в которой рассмотрен об-
общий случай уравнения n-го порядка:
рп (t) ХМ + Рп_, (/) х(*-1) + ... + ро (t) х = f (t).	E)
В принципе процедура остается такой же и приводит в случае дельта-корре-
дельта-коррелированной силы f(t) к замкнутой системе га(я+1)/2 уравнений для момен-
моментов ntki(t)= {xw(t)xm(t)). При этом надо вычислить значения п смешанных
моментов (xW(t)f(t)), k = 0, 1	п— 1.
Если f(t) не обладает дельта-корреляцией, то можно применить тот же
метод к уравнению более высокого порядка, если подобрать такой линейный
дифференциальный оператор L, который даст в правой части нового уравне-
уравнения дельта-коррелированную силу F(t) = L{f(t)}.

Глава VI
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 38. Комплексные случайные функции.
Аналитический сигнал
В § 18 уже была дана краткая характеристика корреляци-
корреляционной теории, которая описывает случайную функцию ее сред-
средним значением и ее моментами второго порядка. По причинам,
которые выяснятся в дальнейшем (§ 41), корреляционная тео-
теория наиболее интересна и наиболее продвинута в применении
к стационарным случайным функциям. Основное внимание мы
уделим далее именно таким функциям, хотя в некоторой сте-
степени будут затронуты и нестационарные процессы.
Прежде чем переходить к конкретному содержанию корре-
корреляционной теории, сделаем одно обобщение — введем в рас-
рассмотрение комплексные случайные функции. Под такой функ-
функцией t,(t) понимается, как обычно, следующая линейная ком-
комбинация из двух вещественных случайных функций ?,(t) и v\{t):
задаваемая совместными функциями распределения g и г\. Оче-
ЕИДНО,
Что касается моментов второго порядка, то в большинстве
случаев приходится пользоваться теми из них, которые приво-
приводят к вещественным среднеквадратичным величинам. Таким
является смешанный момент второго порядка
Bit, n=(Z(t)V(n) = W + mf + i(^l-W/), C8.1)

260	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
где |' и т/ — значения § и г\ в момент времени f. В частности,
— величина вещественная и положительная. Аналогично опре-
определяется и функция корреляции:
Ч> (*, О = В @ - Е @1 В' (П - Г (О1 = 5 С, П - S @ Г (О-
В частности, дисперсия ?(<) тоже будет вещественной и поло-
положительной:
i|4*. 0 = l? W-? (OI2==I?(OI2-IS (ОГ^я [?(*)].
Однако в.ряде задач удобно рассматривать также другие
моменты второго порядка, составленные без использования
комплексно-сопряженных случайных функций; эти моменты мы
будем называть «вторыми» (второй смешанный момент, вторая
функция корреляции) и отмечать тильдой:
в (t, f) = i(t)i (f) = w - тго' +«(Е'л + Ел'), /00 оч
В частности, при t' = t
в (t, t) = ?2 {t) = i2 (t) - rf @ + Щ (t) л @,
Разумеется, две комплексные функции B(t,f) и B(t,t') пол-
полностью определяют все моменты второго порядка вещественных
функций |@ и ii@:
Ke(B+B) ^ = yRe(B-fi),
_ ,	C8.3)
'{1(ВВ)
Мы будем рассматривать только такие случайные функции,
у которых момент B(t,t') существует и непрерывен при всех
t' = tl), откуда следует, что он существует и непрерывен при
всех t и t'. Поскольку средний квадрат модуля |?|2 конечен,
будет конечен и модуль среднего значения, так как ?>[?]> О,
т. е. \1\2<W-
При переходе к частному случаю стационарной функции мы
будем понимать стационарность в широком смысле (§ 18),
т. е. включать в нее: 1) постоянство среднего значения ? (что
') Этим условием выделен класс так называемых случайных функций
второго порядка, всюду непрерывных в среднем квадратичном (см. ниже).

§ 38]	КОМПЛЕКСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	261
позволяет во всех случаях рассматривать ? за вычетом ? =
= const, т. е. считать ? = 0), 2) стационарность В (а значит,
и функции корреляции ф), т. е. их зависимость только от
t — ? = т, и 3) непрерывность В (т) в нуле.
Пусть, например, t,(t) = cf(t), где f(t) —детерминированная
комплексная функция, а с —случайная комплексная величина.
Условие 1) требует, чтобы было с = 0. Тогда t,(t) = 0 и
Условия 2) и 3) выполняются только для функции f(t) = ei(at,
когда
В(т) = 1()(т)=Гс?е"от.
При с ф 0 имеем
се'»', Я (т) = | с |2 е(от, ф (т) = (| с |2 - | с Р) е"*«,
т. е. условия 2) и 3) выполнены, но 1) нарушено, из чего видно,
между прочим, что оно является независимым условием.
Следует заметить, что даже при выполнении всех трех усло-
условий 1)—3) «вторые» моменты, вообще говоря, нестационарны
(зависят не только от сдвига т, но и от t). В приведенном при-
примере, когда %{t) = cei(i>t и с = 0, имеем
Реальные процессы описываются вещественными функция-
функциями t, но, как известно, часто гораздо удобней работать с ком-
комплексными величинами, чем широко пользуются во многих об-
областях физики и, в том числе, в теории колебаний и волн.
Однако, заменяя вещественный процесс |(^) комплексной
функцией ?@ = 1@ + ?т|@ путем добавления произвольной
мнимой части r\(t), мы неоправданным образом «удваиваем
информацию». Этого можно избежать лишь наложением одно-
однозначной связи между r\(t) и ?@- Способ установления такой
связи, обладающий рядом достоинств, которые полностью вы-
выявятся в дальнейшем, был предложен Д. Габором [1]. На дан-
данной стадии мы формулируем этот способ как некоторый рецепт.
Прежде всего, мы потребуем, чтобы продолжение l(t) на
комплексную плоскость т = t + ia давало аналитическую функ-
функцию |(т), которая при а—>-0 переходит в %{t). Выберем теперь
r\(t) так, чтобы комплексная функция t,(t) была регулярной и
аналитической в верхней полуплоскости комплексного перемен-
переменного х и чтобы при всяком t ее модуль |?| достаточно быстро
стремился к нулю при а—*-+оо. Это сильные требования, ве-
ведущие к тому, что i(t) и tj(^) оказываются парой трансфор-
трансформант преобразования Гильберта и, следовательно, однозначно

262	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	1ГЛ. VI
связаны друг с другом. Действительно, по формуле Коши имеем
где полюет лежит в верхней полуплоскости (т = t + la, а>0),
а путь Г охватывает этот полюс (рис. 29). В силу первого тре-
требования к ?(8) можно растянуть контур Г так, чтобы он охва-
охватывал всю верхнюю полуплоскость. Убывание же |?| при а—>оо
должно быть настолько быстрым, чтобы интеграл по бесконеч-
бесконечной полуокружности не давал вклада. Тогда остается только
интеграл по вещественной оси:
Но
1	1	8-;
6 - т — 9 - t - m ~ (9 - O2 + «2 T (9 - if + a2 '
причем в пределе, при a-*0, вещественная часть этого выра-
выражения дает главное значение интеграла от ?@)/@— /), а мни-
мнимая часть переходит в дельта-функцию яб(8 — t). Таким обра-
. •			зом, при переходе к а = 0 формула
9	f	"Чг C8.4) дает
[+ОО
— оо
откуда
Рис. 29.
Черта на знаке интеграла означает, что он вычисляется в смыс-
смысле главного значения'Коши. Подставив в правую и левую части
полученного соотношения ? = | + Щ, получаем, что l(t) и
связаны преобразованиями Гильберта:
+ оо	4-0°
ч<о—
Легко видеть, что эти преобразования можно записать и иначе:
C8.6)

§ 38]	КОМПЛЕКСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	'	263
Комплексная функция t,(t), построенная указанным спосо-
способом из вещественной функции ?(/), называется аналитическим
сигналом — термин, отражающий аналитичность t,(t) в верхней
полуплоскости комплексного t1). Аналитический сигнал широко
используется и в теории информации (которой мы не касаемся),
и в теории когерентности (которую мы затронем ниже, в § 46,
а также в части II книги). В классической (не квантовой) тео-
теории когерентности волновых полей аналитический сигнал, если
не говорить о том, что он не содержит никакой информации
сверх той, какая заключена в l(t), обладает лишь формаль-
формальными преимуществами, свойственными оперированию комплекс-
комплексными величинами. Но в квантовой электродинамике он приоб-
приобретает и непосредственный физический смысл, так как описы-
описывает собственные функции оператора уничтожения фотонов.
Построение аналитического сигнала, конечно, не содержит
обязательных предположений о том, является ли исходная ве-
вещественная функция l(t) детерминированной или случайной.
Обратимся теперь именно к этому последнему случаю. Нетруд-
Нетрудно понять, что однозначная связь r\(t) с ?(/) предопределяет
и то, что вероятностные свойства i\{t) полностью вытекают из
статистики \{t). Хотя это и естественно, но отнюдь не три-
тривиально, поскольку связь между -п(/) и |@. даваемая преоб-
преобразованиями C8.5), нелокальна по t. Исчерпывающий анализ
между статистикой аналитического сигнала t,(t) и статистикой
исходного вещественного случайного процесса l(t) проведен
в работе [2]2). Оставаясь в рамках корреляционной теории,
мы ограничимся свойствами моментов первого и второго по-
порядков.
Средние значения l(t) и r\(t) связаны, очевидно, теми же
преобразованиями Гильберта C8.5). Отсюда следует, что в слу-
случае стационарного процесса l(t) необходимо l(t) = r\(t) = 0.
Действительно, если ?(/)= f= const, то из первой формулы
C8.5) [или C8.6)] вытекает, что ц = 0. Но тогда по второй
формуле и | = 0.
') Разумеется, можно потребовать аналитичности t,(t) не в верхней, а в
нижней полуплоскости комплексного t. В конечном счете это сводится к вы-
выбору знака при i в последующих комплексных разложениях Фурье: функция
eia>t экспоненциально затухает при удалении в верхнюю полуплоскость, а
е * — в нижнюю.
2) В этой работе на l(t) наложено условие квадратичной интегрируемо-
интегрируемости, чем, строго говоря, исключены стационарные процессы \(t). Однако это
условие, как отмечают сами авторы, излишне жестко. Фактически достаточно
существования спектрального разложения %(t) в среднем квадратичном
(§ 40).

264	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
Умножив первую формулу C8.5) на ц(?), а вторую — на
l{t') и усреднив результаты, получаем соотношения
+ оо
C8.7)
где S6T1(f, f)= (|(*)ti(O). Умножая те же формулы соответ-
соответственно на ?(/') и r\(t'), получаем после усреднения обращен'
ные преобразования Гильберта:
— оо	— оо
C8.8)
Таким образом, для моментов второго порядка мы имеем две
пары трансформант Гильберта.
Посмотрим, что дают эти соотношения в случае стационар-
стационарного (в широком смысле) процесса l{t), когда B$(t,t') =
— ВЕ(т) = Вг(—т), где х = t — t'. Вторая формула C8.8) при-
принимает вид
— оо	—оо
C8.9)
т. е. l(t) и ti(/) стационарно связаны, причем из C8.9) следует,
что В^(х) —нечетная функция т:
Но тогда из C8.7) вытекает, что Вц зависит от т = t — ? и
равно В$:
В^(х) = В1(х).
Итак, при стационарном исходном вещественном процессе
?@ сопряженный по Гильберту процесс r\(t) тоже стационарен
и стационарно связан с |@> причем
I = "Л = 0, ?t=:n?t, I^=-1^J,	C8.10)
где | = l(t), lx ^ l(t -\-т) и аналогично для г\. Согласно C8.1)
и C8.2) это означает, что у стационарного аналитического сиг-
сигнала
=0.	C8.11)

§ 39]	СВОЙСТВА ФУНКЦИИ КОРРЕЛЯЦИИ	265
Так как вещественная и мнимая части В?(т) связаны пре-
преобразованием Гильберта, Bj(t) тоже является аналитическим
сигналом. Запишем В?(т) в виде
C8.12)
Аналитичность и регулярность В^(х) в верхней полуплоскости
комплексного переменного т. означает, что функция
тоже аналитическая в этой полуплоскости, но в нулях ||
она может иметь логарифмические точки ветвления. В отсут-
отсутствие таких точек в верхней полуплоскости 1пВ?(т) не только
аналитичен, но и регулярен и, следовательно, его вещественная
и мнимая части тоже связаны преобразованиями Гильберта:
C3.13)
In I Bt (t) I
dQ.
H — T
Таким образом, фаза <р(т) однозначно определена в этом слу-
случае модулем Bi(x), и обратно1).
В дальнейшем, рассматривая комплексные случайные про-
процессы, мы будем в тех случаях, когда это окажется целесооб-
целесообразным, пользоваться аналитическим сигналом.
§ 39. Свойства функции корреляции и связанные
с ней свойства случайной функции
Для краткости последующие рассуждения проводятся над
смешанным моментом B(t,t'), хотя они полностью применимы
и к функции корреляции \p(t, У).
Из определения B(t,t') тотчас же следует, что имеет место
эрмитовость:
B{t,t')=B*{t',t).	C9.1)
Легко видеть, далее, что на всей плоскости (t, f) момент
В (t, ?) ограничен по модулю. Действительно, полагая В {t, t') =
= \B\eiv, имеем с учетом C9.1)
| С (/) + el% (tf) Р = IС Р +1 С71* + eiaB (f, t) + e~iaB (t, f) =
=W +TCrP + 2| В | cos (a - q>) > 0,
*) О наличии нулей |Bj(t)| в верхней полуплоскости см. [3].

266	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
так что
C9.2)
Свойства C9.1) и C9.2) вытекают из более общего утвер-
утверждения, состоящего в том, что момент В является положитель-
положительно-определенной функцией. Это означает, что для любых п мо-
моментов времени t\, t2, ..., tn и п произвольных комплексных
чисел а\, а2, ..., ап вещественна и неотрицательна сумма
Е B(t,,tk)a,al>0.	C9.3)
Доказательство крайне простое: C9.3) вытекает из того, что
Очевидно, «второй» смешанный момент B(t,f) симметричен по
отношению к перестановке t =р± У, но свойством положительной
определенности не обладает.
Можно доказать и обратную теорему: всякая положительно-
определенная функция B(t,t') является моментом второго по-
порядка некоторой случайной функции рассматриваемого типа.
Таким образом, класс положительно-определенных функций
совпадает с классом моментов B(t,t') случайных функций вто-
второго порядка. Нетрудно видеть, что любые линейные комбина-
комбинации моментов Bi(t,t') с произвольными положительными коэф-
коэффициентами тоже положительно-определенны, т. е. обладают
свойствами смешанного момента В некоторой случайной функ-
функции второго порядка.
Если t,{t) стационарна, так что B(t,t')= В (т.), где т. =
= t — V, то свойства C9.1) — C9.3) принимают следующую
форму:
В(т)=В*(-т)	C9.4)
(что непосредственно вытекает из инвариантности к сдвигу на-
начала отсчета времени, см. § 18),
|В(тI<|Ц5 = В@))	C9.5)
Z B(tj-tk)aial^O.	C9.6)
J, ft I
Заметим еще раз, что все сказанное справедливо и по отноше-
отношению к функции корреляции \p(t,t'). Для стационарной функции
можно вообще отождествить В(х) и гр(т), считая ? = 0.

§39]
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ КОРРЕЛЯЦИИ
267
Убедимся теперь в том, что предположенная непрерывность
B(t,t') при любых t == У влечет за собой равномерную'непре-
равномерную'непрерывность B(t, У) на всей плоскости (/, У). Имеем
x, t).
Следовательно, воспользовавшись неравенством Коши — Буня-
ковского
получаем
| В (/ + x,t - К) - В (/ + х, t) |2 =
(t + x) [V (t-h)- С (/)] I2 < 15 (t + x) I2 | ? (t) -z(t-h)\2 =
= B(t + x,t + x){B{t,t)+B{t-h,t-h)-
Так как правая часть при ft—>0 обращается в нуль в силу не-
непрерывности B(t, У) при всех t = У, то и левая часть стремится
к нулю, причем при любых т. В частности, если случайная
функция ?(/) стационарна, то
неравенство принимает вид
BftrJ
BfrJ
<Б@){2б@)-
= 2fl@)-Re{fl@)-5(A)},
откуда видно, что непрерыв-
непрерывность смешанного момента в
нуле обеспечивает его непре-
непрерывность при всех т. Следо-
Следовательно, из четырех изо-
изображенных на рис. 30 вещественных и четных функций В(х)
только три последние могут представлять момент второго поряд-
порядка стационарного процесса, а первая — наверное не может.
Через определенные условия, налагаемые на момент B(t,t'),
выражается ряд свойств самой случайной функции ?(/). Так,
например, из равенства
Рис. 30.
I Б @ - С (*') I2 = B{t,t) + B (/', У) - В (t, f) - В (У, t)
следует, что непрерывность B(t,t') при t'-*t означает непре-
непрерывность в среднем квадратичном для Z(t)
или

268	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	(ГЛ. VI
Легко также показать, что производная ? (t) обязательно бу-
будет существовать и будет случайной функцией второго порядка,
непрерывной в среднем квадратичном, только при условии су-
существования непрерывной для всех f = t смешанной производ-
„ д2В (t, t') n .
нои —	. Действительно, легко проверить, что при этом
условии
" С (t + h) - с (t) С С + А')-
lim
h, h'-*Q
ft'
= 0,
т. е. существует предел в среднем квадратичном отношения
—	j-—^-^-, не зависящий от способа перехода к h = 0.
Чему равен момент Bi(t, t') случайной функции t@? Имеем
h)- t (Q Г (*' + й)- Г(П \ _
	)=
В частности, для стационарной случайной функции t,(t) доста-
достаточным условием существования ?@ является существование
производной d2B(x)/dx2, причем смешанный момент t,(t) есть
Si (т) = t{t + x)?(t) = - -^-.	C9.8)
Таким образом, стационарные случайные функции t,(t) с мо-
моментами В(т), показанными на рис. 30, б, в, не имеют производ-
производной, а с В(т), изображенным на рис. 30, г, имеет производную.
Непрерывность производной (в среднем квадратичном) опять-
таки определяется непрерывностью В\ (т) в нуле.
Тем же способом, которым мы нашли Bi(t,t'), нетрудно
убедиться, что
C9.9)
а для стационарной ?(tf)
?(/ + т)^@ = -ё(^ + т)Г@ = -^|г-. C9.10)
Разумеется,
так как ^ (^ + т) g* (/)=?= 5 (т), т. е. не зависит от t.

§ 40]	СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	269
Наконец, необходимым и достаточным условием существо-
существования в среднем квадратичном интеграла
ь
I=\f{t)l{t)dt,
а
где f(t)—некоторая детерминированная функция, а пределы
могут быть и бесконечными, является конечность двукратного
интеграла
ьь
\\f(t)r{f)B(t,f)dtdf,
который, если он существует, представляет собой величину |/|2.
Очевидно, функция распределения случайной величины / зави-
зависит от а и 6, как от параметров, а кроме того, является функ-
функционалом от f(t).
§ 40. Спектральные разложения случайных функций
Центральное место в корреляционной теории занимает во-
вопрос о гармонических разложениях как самих/случайных функ-
функций, так и их моментов второго порядка, т. е. средних билиней-
билинейных величин. Важность последних связана с тем, что во многих
случаях они имеют энергетический смысл и во всех случаях
служат простейшей мерой интенсивности случайных изменений.
Разумеется, сказанное еще нисколько не разъясняет, почему во-
вообще целесообразно прибегать к каким-либо разложениям и
почему из различных возможных разложений
? @ — \ Ф (^> ©) dC (со)
следует отдать предпочтение разложению по функциям
q>(t, ©) = еш. Но ответы на оба эти вопроса не содержат ничего
специфического для случайных функций.
Представление внешнего воздействия на динамическую си-
систему и ее отклика на это воздействие в виде суммы каких-то
«элементарных» слагаемых становится оправданным всякий
раз, когда система линейна, т. е. удовлетворяет принципу су-
суперпозиции (отклик на сумму сил равен сумме откликов на
каждое из слагаемых). Это в равной мере относится как к де-
детерминированным, так и к случайным воздействиям. Тот или
иной выбор тех «элементарных» слагаемых, на которые ока-
оказывается целесообразным разлагать рассматриваемые функции,
опять-таки определяется свойствами динамической системы.
Среди линейных систем весьма обширный класс образуют.

270	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
устройства с постоянными параметрами. Часто их называют
гармоническими системами (в частности, гармоническими филь-
фильтрами), имея в виду то основное их свойство, что воздействие
е'м< вызывает гармонический же установившийся отклик
k(i(a)eiat с неизмененной частотой со. Тем самым из различных
полных систем «элементарных» функций оказываются выделен-
выделенными для таких устройств именно функции eiat с непрерывным
или дискретным набором частот ©. Особая роль разложений
Фурье обусловлена, таким образом, большой распространен-
распространенностью и важностью линейных динамических систем с постоян-
постоянными параметрами — обстоятельство, которое тоже в одинако-
одинаковой мере касается как детерминированных, так и случайных
процессов. По указанным причинам мы также уделим основ-
основное внимание разложениям
?(*) = J ешйС{®),	D0.1)
где dC(a>)—конечное или бесконечно малое (пропорциональ-
(пропорциональное d®) приращение функции С (со) на интервале (со, © + й?со):
dC (©) = С (© + do) - С (©).
Интеграл Фурье — Стилтьеса D0.1) охватывает случаи и
непрерывного, и дискретного, и смешанного спектров. В чисто
дискретном случае можно записать его в более привычной фор-
форме обобщенного ряда Фурье:
Ш = ?с„е'ш«',	D0.2)
п
а при чисто непрерывном спектре можно в некотором формаль-
формальном смысле (о чем речь пойдет в дальнейшем) ввести плотность
комплексной амплитуды dC((o):
dC (со) = с (©) d(D,	D0.3)
так что D0.1) примет вид обычного интеграла Фурье:
?.(/)= J ешс (со) da.	D0.4)
— оо
Формально же можно включить в D0.4) и случай дискретного
спектра D0.2), допуская, что
сН = 1с„6 (©-©„).	D0.5)

§ 40]	СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	271
Заметим, что при вещественной функции t,(t) должно, оче-
очевидно, выполняться условие
dC(a>) = dC*(— со),	D0.6)
причем dC(—a) = С(—со + da)— С(—со).
Если Z,(t) —случайная функция, то существование интеграла
D0.1) надо понимать в смысле какого-либо из видов вероят-
вероятностной сходимости. Случайные функции, представимые в виде
D0.1), называются гармонизуемыми.
В пределах корреляционной теории, ограничивающейся мо-
моментами не выше второго порядка, естественно и целесообразно
понимать существование интеграла D0.1) в среднем квадратич-
квадратичном. Необходимым и достаточным условием гармонизуемости
случайной функции ?,(t) является тогда существование при лю-
любых t и ? двукратного интеграла Фурье — Стилтьеса
+ 0О
В (t, t')=[[ el<»'-•'''>d2Y (со, со'),	D0.7)
представляющего момент второго порядка B(t,t') =
функции ?,(t). Иначе говоря, если интеграл D0.7) существует,
то это означает, что существует случайная комплексная функ-
функция С (со) такая, что интеграл D0.1) сходится в среднем квад-
квадратичном к ?(/), причем двумерное приращение функции
Г (со, со') есть
d2Y (со, со') = (dC (со) dC* (со')}.	D0.8)
В частности, при V = t имеем
- -f оо
<]Ш12> = В(М)= \\ е{ <—'> 'й2Г(со, со'). D0.9)
Заметим, что условие конечности интеграла D0.7), разу-
разумеется, ничего не говорит о среднем значении функции t,{t) и
не предполагает, скажем, стационарности (постоянства) (?@).
Единственность разложения D0.1) при условии D0.7), т. е.
однозначность соответствия между статистическими характери-
характеристиками t,(t) и С (со), может быть установлена только с привле-
привлечением фильтрации, позволяющей выделять те или иные участ-
участки плоскости частот (со, со'), но к фильтрации мы обратимся
позднее (§§ 50 и 58).
Функцию
Г (со, со') = J J <^С(со)^сГ(со')>	D0.10)
— ОО —ОО

272	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ N [ГЛ. VI
мы будем называть комплексной спектральной «массой» про-
процесса ?,{t). Эта «масса» может быть сконцентрирована в от-
отдельных точках плоскости (со, со'), она может быть распреде-
распределена на линиях — с непрерывной линейной плотностью — и, на-
наконец, может быть размазана на плоскости с непрерывной по-
поверхностной плотностью. Однако двумерное приращение D0.8),
очевидно, всегда обладает тем свойством, что
й 1 (©, © ) == a i (со , ©j,
т. е. в точках, расположенных симметрично по отношению к
биссектрисе со = со', значения плотностей любого вида ком-
плексно-сопряженны, а на самой биссектрисе вещественны. Тем
самым интегралы вида
" ei (ш-ш') t ^Y (©, СО'),
распространенные на любую область (со, со'), симметричную
относительно биссектрисы со = ©' [в частности, интегралы по
всей плоскости (©, со')], будут вещественными. Так как инте-
интеграл D0.7) существует, в частности, и при t' = t = 0, полное
количество комплексной «массы» D0.10), т. е. величина
Г(оо, оо) = В@, 0) = (|?@) |2), вещественно и конечно.
Распределение «массы» D0.10) по всей плоскости (со, со'),
обусловленное корреляцией амплитуд dC(a>), взятых в разных
точках со ф со', влечет за собой невозможность представления
моментов второго порядка D0.7), D0.9) в виде однократных
интегралов по частоте. В частности, если эти моменты имеют
энергетический смысл, например, если (|Ш)|2) есть средняя
мгновенная мощность случайного процесса t,(t), то указанное
обстоятельство означает, что вклад в эту мощность в частотном
интервале (©, co + d©) вносит не только гармоническая компо-
компонента eitofufC(co) процесса t,(t), но и все остальные его гармо-
гармонические компоненты, поскольку они коррелированы с dC(a).
При таких условиях говорят, что средние энергетические (или,
более широко, средние билинейные) величины не локализуемы
по частоте. Возможно ли противоположное положение вещей?
Как уже было подчеркнуто, интерес гармонических разложе-
разложений D0.1) связан с тем, что для линейной системы с постоян-
постоянными параметрами они позволяют по заданному внешнему воз-
воздействию (процессу на входе) сразу же построить соответ-
соответствующий отклик (процесс на выходе). Каждая гармоника
eiatdC((o) трансформируется при этом самостоятельно, т. е. ди-
динамическая система (фильтр) с функцией передачи 1г(ш) пре-
преобразует эту гармонику независимо от остальных гармоник
в колебание k{ia)eiatdC{(x>). В результате процесс D0.1) на

§ 411	СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	273
входе системы порождает на ее выходе процесс
Z(t)= jj k{m)ei<s>t dC (©).
— oo
Известно, однако, что конструирование процесса Z(t) может
быть осуществлено и иначе, так сказать, непосредственно, если
воспользоваться не спектральным, а временным подходом к за-
задаче. В этом случае рассматриваемая динамическая система
описывается не функцией передачи k(ia), а откликом H(t) на
импульс 6@- Тогда процесс на выходе Z(t) выразится инте-
интегралом Дюамеля (§ 37), что позволяет, между прочим, очень
просто охватить и переходные явления (процессы установле-
установления).
Таким образом, если спектральное представление ограни-
ограничено локализацией по частоте только для линейных величин, то
оно является одним из возможных и равносильных представле-
представлений, но какие-либо дополнительные физические аргументы в его
пользу отсутствуют. Положение меняется и спектральный под-
подход приобретает особое значение, коль скоро гармоники
eie>tdC((?>) могут быть индивидуализированы также по их
вкладу в «энергетические» (средние билинейные) величины,
связанные с %,(t) и Z(t). Именно так обстоит дело для стацио-
стационарных случайных функций, к которым мы теперь и обратимся.
§ 41. Стационарные случайные функции
Каким ограничениям подчинены случайная комплексная
спектральная амплитуда С(со) и распределение комплексной
«массы» Г(со, ©'), если случайная функция Z,(t) в широком
смысле стационарна?
Требование постоянства среднего значения ?(?)=?= const
означает, согласно D0.1), что при всех © ^ 0 должно быть
dC(a>) = 0	D1.1)
и тогда
l = dC@).
Рассматривая функцию t,(t) — \, всегда можно исключить по-
постоянное среднее и тем самым считать, что D1.1) распростра-
распространяется на все значения со без исключения. Мы будем далее
предполагать, что у рассматриваемых стационарных функций
5@ среднее значение \ = 0 и, следовательно, смешанный мо-
момент совпадает с функцией корреляции гр.
Условие стационарности функции корреляции, согласно ко-
которому она зависит лишь от разности т. = t — t', может быть

274	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
выполнено, как это видно из D0.7), только в том случае, если
d2T (со, со') = (dC (со) dC* (©')> = 0 при о Фа',
т. е. «масса» Г (со, со') распределена только на биссектрисе
со = со'. Тогда приращение d2T(a, со') всегда вещественно и не-
неотрицательно. Если воспользоваться дельта-функцией, то ска-
сказанное можно записать в виде
d2Y (со, to') = (dC (со) dC* (©')> = й (© — со') rfco' dG (со), D1.2)
причем вещественное приращение dG(a) неотрицательно:
dG (со)
Следовательно, еслы ?(^)—стационарная функция, то С (со)
функция с некоррелированными приращениями (§ 34) '),
Подставив D1.2) в D0.7), получаем
+ОО	+00
— 00
+ OO
'> dG(©) = t|> (*-*'). D1-3)
т. е. функция корреляции стационарного в широком смысле
случайного процесса представима в виде однократного инте-
интеграла Фурье — Стилтьеса D1.3), где G(co)—неубывающая ве-
вещественная функция со. Кроме того, поскольку
+ ОО
?(о) = ф@) = <Ш2>,	D1.4)
а на рассматриваемые случайные функции второго порядка на-
наложено условие конечности (Щ2), функция G(co) должна быть
ограничена: G(со) ^ G(oo).
Эта фундаментальная теорема была доказана в 1934 г.
А. Я- Хинчиным для стационарных (в широком смысле) случай-
случайных функций, удовлетворяющих условию непрерывности *|з(т)
в нуле [4]. При этом было использовано не спектральное пред-
представление D0.1) самой случайной функции t,(t) (возможность
и смысл которого были установлены А. Н. Колмогоровым позд-
позднее [5]), а теорема гармонического анализа, доказанная ранее
С. Бохнером ([6], стр. 76) и состоящая в том, что всякая поло-
4) Поскольку для приращений dC(a>) мы не имеем надобности обра-
обращаться к моментам выше второго порядка, достаточно требования их некор-
некоррелированности, а не независимости.

§ 41]	СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИЙ	2?5
жительно-определенная функция г|з(т) ') представима в виде
+ 00
гр(т)= ^ eia>xdG(<i>),
где G(co)—вещественная, неубывающая и ограниченная. Эта
последняя теорема, установленная вне всякой связи с теорией
случайных функций, тотчас же приводит к теореме Хинчина,
если учесть, что класс положительно-определенных функций
совпадает с классом непрерывных в нуле функций корреляции
стационарных случайных процессов.
Подчеркнем еще раз, что стационарность случайной функции
t,(t) предъявляет к распределению комплексной «массы»
Г (со, со') на плоскости (со, со') два требования. Во-первых, эта
масса должна быть сосредоточена только на биссектрисе со' =
= со. Во-вторых, полная масса G(oo) должна быть конечна,
т. е. линейная ее плотность g(co) должна быть интегрируема на
всей оси со от —оо до +оо. Нарушение хотя бы одного из этих
условий означает нестационарность t,(t).
Итак, дельта-коррелированность приращений dC(a>) в спек-
спектральном разложении стационарной случайной функции влечет
за собой локализуемость по частоте для средних билинейных
величин. Для лучшего уяснения этого обстоятельства и усвое-
усвоения практически применяемой техники перехода от спектраль-
спектрального разложения i(t) к спектральному разложению ф(т) мы
оставим теперь в стороне оговоренные выше (и, разумеется, не-
необходимые) математические условия и проделаем указанный
переход в некоторых частных случаях, широко используя при
этом дельта-функцию.
Возьмем случай чисто непрерывного спектра. Как мы знаем,
непрерывная функция с некоррелированными приращениями
С (со) не дифференцируема ни в одной точке. Однако в § 34
мы подробно разобрали вопрос о том, почему и в каком смысле
практически возможно пользоваться дельта-коррелированной
производной такой функции, т. е. в данном случае — комплекс-
комплексной амплитудной плотностью с (со) = ufC(co)/dco. Введение с (со)
отнюдь не преследует цель во что бы то ни стало нарушить ма-
математическую строгость. Оно действительно полезно, так как
в физических задачах при переходе от стохастических диффе-
дифференциальных уравнений для ?(t) к спектральной записи было
бы крайне непривычно и неудобно пользоваться приращениями
dC(a>). Все такие уравнения всегда пишутся для амплитуд-
амплитудных спектральных плотностей с (со), и, как мы выяснили, при
') То есть функция, непрерывная и ограниченная на всей оси т, удовле-
удовлетворяющая условию C9,6),

276	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ	[ГЛ. VI
известной осмотрительности это не влечет за собой никаких не-
неприятностей.
Итак, если dC (со) = с (со) da и (что уже вполне корректно)
dG (a) — g((a)dd), тсГиз D1.2) тотчас же следует, что
(с (со) с*(©')> = & И 6 (со-со')-	D1.5)
Иногда бывает удобно писать g-(co) = |е(со) |2. Это, конечно,
всего лишь обозначение, так как функция с (а) не обладает
конечным средним квадратом модуля. Пользуясь этим обозна-
обозначением, следует помнить, что |с(со)|2 является множителем при
дельта-функции.
Из разложения D0.4)
+ 0О
?(*)= J
при помощи функции корреляции D1.5) сразу же получаем пу*
тем формального перемножения и усреднения результат:
+ 0О
^ (т) = (? (/ -|- т) ?* (t)) =\\ eia{t+'z)-ia>'t (с (со) с* (со')) da da' —
— со
+ ОО	+ОО	+СО
D1.6)
т. е. обычный интеграл Фурье для г|з(т). Его обращение дает
+ оо
ct(cu)=-J- \ ib {x)e~i<axdx.	D1.7)
— оо
Конечно, можно идти и обратным путем: требуя, чтобы
(Z,(t-\-т)?,*(!)) зависело только от т, получить для амплитуд-
амплитудных плотностей с (со) функцию корреляции D1.5). Используем
именно такой путь для другого частного случая — чисто дис-
дискретного спектра ?@> когда спектральное разложение имеет
вид D0.2):
С @ = !>,/"»'.
п
Перемножение и усреднение дает в этом случае
>=1
Очевидно, двойной ряд Фурье в правой части мэжет быть
функцией только от т при условии взаимной некоррелированно-

§ 41]	СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	277
сти случайных коэффициентов сп:
Тогда
ty\V—2Ligne >	D1.9)
п
т. е. ¦ф(т)—почти-периодическая функция1) с вещественными
и положительными коэффициентами gn:
+т
gn= lim -7ff \ ^{^)е~Шп% dx.	D1.10)
-т
Разумеется, D1.6) и D1.9) —это частные случаи общей тео-
теоремы D1.3). Условия D1.1) и D1.4) записываются в этих част-
частных случаях в виде (напомним, что I = 0)
Интеграл Фурье — Стилтьеса D1.3) можно, конечно, заменить
обычным интегралом Фурье как для смешанного, так и для чи-
чисто дискретного спектра, описывая последний при помощи спек-
спектральной плотности
g(co)= 1я„6(о- ©„).
п
Более того, можно во всех случаях применять и формулу обра-
обращения D1.7), если при подстановке в нее функции корреляции
D1.9) воспользоваться разложением Фурье для дельта-функции.
Условимся теперь относительно терминологии. В литературе
по отношению к G(co) и g(a>) часто применяется энергетическая
терминология. G(co) называют спектральной функцией распре-
распределения средней мгновенной мощности |?|2, спектральной мощ-
мощностью в интервале (—оо, со) и т. п. Соответственно g(co) —это
спектральная мощность в единичном интервале ©. Все это хо-
хорошо, если |?|2 действительно имеет энергетический смысл,
*) Почти-периодические функции занимают в известном смысле промежу-
промежуточное положение между периодическими функциями, представимыми обыч-
обычным рядом Фурье с частотами, кратными основной частоте «о = 2п/То (То —'¦
период), и непериодическими функциями, представимыми интегралом Фурье.
Гармонический ряд D1.9) с произвольными соп (обобщенный ряд Фурье) изо-
изображает функцию, которая по прошествии времени Т повторяется прибли-
приближенно и тем точнее, чем больше Т. Иначе говоря, всегда можно указать
столь большое Т, что функция будет повторяться с заданной точностью.

27Й	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
будучи, например, квадратом случайного тока или напряжения.
Но если, скажем, %(t) —случайно меняющийся показатель пре-
преломления, то о какой «мощности» идет речь? Мы будем поль-
пользоваться более нейтральной терминологией. Говоря об «интен-
«интенсивности флуктуации», обычно не вкладывают в термин «ин-
«интенсивность» энергетического содержания. Мы и воспользуемся
этим термином. G(a>) мы будем называть спектральной интен-
интенсивностью случайной функции Z,(t) (в интервале от —оо до со),
а ё(а) —спектральной плотностью этого процесса. Как уже от-
отмечалось, доказательство того, что dG(ca) = g(a)da> есть спек-
спектральная интенсивность в интервале (со, co + d'co), может быть
получено только при помощи гармонической фильтрации (§ 50).
Если почему-либо нежелательно связывать себя заранее
предположением о том, что у рассматриваемого стационарного
процесса ?=0, то смешанный момент В (т.) и функция корре-
корреляции *|з(т) уже не совпадают:
В (т) = ф (т) + \1\\	D1.11)
Это влечет за собой и различие в спектрах В (г) и г|;(т). Если,
подобно D1.6), написать
В(т)= J gB (со) el™ da	D1.12)
— со
и учесть, что постоянная величина |?|2 всегда может быть пред-
представлена в виде
то получим
gB{a) = g{a)+\l\4{a).	D1.13)
Таким образом, спектральные плотности gB(co) и g{a) совпа-
совпадают при всех со, кроме точки со = 0, где в спектре смешанного
момента В (т.) добавляется дискретная линия с интегральной
интенсивностью |||2.
Если 5@ = КО вещественна, то ¦ф (т)—четная функция, из
чего следует, что и спектральная плотность g(co)—четная
функция со. Формула D1.6) может быть записана при этом
в виде
+ ОО	ОО
<Р (т) = \ g (©) cos ют da — \ g+ (©) cos сот da, D1.14)
-оо	О
где
A1.15)

§ 41]	СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	279
— спектральная плотность по положительным частотам. Фор-
Формула D1.7) дает тогда
оо
|J	D1.16)
Из положительной определенности функции корреляции ^(т)
следует неотрицательность спектральной плотности g(a>), и
обратно. Иногда бывает удобней поэтому, решая вопрос о том,
может ли какая-либо функция г|)(т), удовлетворяющая усло-
условиям C9.4) и C9.5), представлять функцию корреляции ста-
стационарного в широком смысле случайного процесса ?(/), просто
проверять выполнение условия g(co)^0. Если, например, г|;(х)
имеет вид прямоугольника (рис. 30, а) ширины 20, то по D1.7)
т. е. условие g(a)^0 нарушено. По той же причине невоз-
невозможно, чтобы функция корреляции была равна +i|)@) или
—ч|э @) на каких-либо конечных интервалах т. (хотя бы и сим-
симметричных относительно т = 0).
Выясним теперь, в чем состоят особенности спектральных
разложений комплексной функции ?(/) = 1@+ щA) и ее
функции корреляции в том случае, когда t,(t)—аналитический
сигнал (§ 38). Запишем спектральные разложения обеих ве-
вещественных функций l(t) и ti(/):
l(t)= J c(o)e'ffl'd©, ti@= \ с (а) еш da,
— CO	— CO
где в силу вещественности \ и rj
с (— ©) = с*(©), ?(—©) = ?*(©).
Другими словами, в разложении вещественной функции область
со < 0 не содержит никакой информации сверх той, какую не-
несет спектр на полуоси со > 0. Вследствие взаимно-однозначной
связи между \{t) и r\(t) у аналитического сигнала спектраль-
спектральные амплитудные плотности с(©) и с (со) тоже однозначно свя-
связаны.
Нетрудно убедиться прямым расчетом по формулам C8.6),
что преобразование Гильберта переводит cos at в ±sin co^, a
sin со^ — в fEcosco^ (со^О). Таким образом, экспоненциальна^

280	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
функция еш преобразуется в —ieia>t sgn со, где
{+1 при © > 0,
0 при © = 0,
— 1 при © < 0.
Следовательно, спектральная амплитудная плотность с (со) про-
процесса т)@> сопряженного по Гильберту с l(t), равна
с (©) = — ic (©) sgn со.	D1.17)
В результате из спектрального разложения аналитического
сигнала отрицательные частоты выпадают:
+ ОО
^@= J [c(o)+fc(©)]e'«'d© =
^
(©)e"»'do. D1.18)
Можно поэтому определить аналитический сигнал и как ком-
комплексный процесс, спектр которого отличен от нуля только на
положительной полуоси со.
Если l(t)—стационарный случайный процесс с |(<) = 0
(так что с (со) = 0) и
(С (©) С' (<B'))=g (СО) б (©-©'),
то в силу D1.17) с(©) = 0 и, следовательно, т)@ = 0, а функ-
функция корреляции с (со) есть
(с (со) с* (со')> = g (со) б (© - ©') sgn2 (©).
Таким образом, процесс r\(t) тоже стационарен и имеет ту же
спектральную плотность g(co), что и процесс |(^) (за исключе-
исключением точки © = 0, где sgn2 со = 0), а значит, и ту же функцию
корреляции:
В5(т) = Вч(т)= J g (©) e'OT rfco = 2 J g (со) cos сот dco. D1.19)
— оо	0
Пользуясь D1.17), получаем далее
+ ОО	ОО
В?ч(т) = —/ ^ g (со) е'шт sgn © с?© = 2 \ g (со) sin ©т da, D1.20)
— оо	,	О
откуда непосредственно видна нечетность В^ по т и, в частно-
частности, некоррелированность ?,(t) и т)@ в один и тот же момент
времени (т = 0). Эта некоррелированность, конечно, не озна-

§ 41]	СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ	2g|
чает статистической независимости, так как в общем случае ?
и т) не являются нормальными процессами.'Итак, спектральное
рассмотрение включает, естественно, те же результаты, которые
были получены ранее в § 38.
Из C8.11), D1.19) и D1.20) следует, что функция корре-
корреляции стационарного аналитического сигнала Z,(t) есть
ЯЕ (т) = 4 J g (со) е'«« rfco = 2 J g+ (со) е'«« da. D1.21)
о	о
Другими словами, спектральная плотность Z,(t) равна
( 4g (©) при © > О,
h (c°) = | о при со < О.
Обращение преобразований Фурье D1.19) и D1.20) дает
следующие выражения для спектральной плотности g(a>):
оо	оо
g (©) = .1 \ В. (т) cos <uxdx — —\ В.. (т) sin ©т dx D1.22)
Я J ?	JX J 5 1
о	о
(последнее выражение — при со > 0).
Рассмотрим в заключение следующий вопрос. Пусть веще-
вещественный стационарный процесс %(t) имеет конечную в нуле
спектральную плотность g(©), представимую в виде
причем gi @) конечно. При каком условии накопление за время
t, т. е. операция
t
4{t) = \l{t)dt,	D1.23)
о
даст процесс, стремящийся с ростом t к стационарности?
Пользуясь спектральным разложением \{t), получаем
и, следовательно, по D1.2)

282	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
Первый член равен 2ng@)t, а интеграл с cos ©^ можно взять
вычетами в полюсах gi(to2), перейдя предварительно от cos со^
к еш и замкнув путь интегрирования в верхней полуплоскости.
В результате получим
if (t) = 2ng @) t + const + экспоненциально затухающие члены.
Отсюда ясно, что необходимое условие для стационарности
r\(t) при t-*оо есть
g@) = 0.	D1.24)
В противном случае будет происходить диффузионный рост ц2.
Таким образом, если пройденный телом путь s(t) = \v(t)dt
о
должен быть стационарным процессом, то спектральная плот-
плотность скорости v(t) должна обращаться в нуль при со = 0. То
же относится и к магнитному потоку Ф (t) = — c\&(t) dt, обу-
0
словленному случайной стационарной э. д. с. &{t), например,
в том случае, когда, речь идет о так называемых магнитных
шумах.
§ 42. Примеры спектральных разложений
стационарных функций
Переходя к примерам, иллюстрирующим теорему Хинчина,
сделаем предварительно несколько замечаний общего харак-
характера.
Спектральная интенсивность G(co), равно как и ее прираще-
приращение на любом интервале частот, зависит лишь от модулей спек-
спектральных амплитуд dC(a), но не от их аргументов. Таким об-
образом, случайные стационарные функции
+°
), Si@= J
где 9 (со)—детерминированная функция [или случайная, но не-
независимая от С (со)], будучи, вообще говоря, совершенно раз-
различны, имеют одну и ту же спектральную интенсивность G(co),
а значит, и одинаковую функцию корреляции ^з(т). Это непо-
непосредственно вытекает из дельта-корреляции приращений dC(a)
[см. D1.2)]. В частности, в случае непрерывного спектра за-
замена амплитудной плотности с (со) на Ci(a>)= c(©)eie<M) не ме-

§ 42]	СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ФУНКЦИЙ	283
няет спектральной плотности g(a>), поскольку из D1.5) следует,
что
(с, (©) с* (ш')> = (с (со) с* (со')) ё 'е «*»-е <оя] = g (ю) б (со - со')-
Точно так же в случае дискретного спектра замена амплитуд сп
на с1ге = с„еге«с произвольными фазами 8ге (тоже либо детерми-
детерминированными, либо случайными, но независимыми от с„) не
меняет, в силу D1.8), интенсивностей gn:
С\п.С\т — СпСте п ' — gOmn.
Именно эта нечувствительность к фазам приводит к тому, что
функция корреляции может быть одинакова у совершенно раз-
различных случайных процессов. Например, процесс (8.1) в случае
экспоненциальных импульсов (рис. 7), процесс A1.9) с экспо-
экспоненциальным распределением длительности прямоугольных им-
импульсов (рис. 5), обобщенный телеграфный сигнал (рис. 6) и
флуктуации амплитуды в томсоновском генераторе — все обла-
обладают одной и той же (экспоненциальной) функцией корреляции
[формулы A1.12), A1.10), A1.11) и B9.16) соответственно].
Заметим, что нечувствительность к фазам означает, в частно-
частности, что линия задержки, обладающая произвольной диспер-
дисперсией, но равномерной амплитудно-частотной характеристикой,
сохраняет функцию корреляции входного процесса неизменной.
То обстоятельство, что функция корреляции г|;(т) и спек-
спектральная плотность g(a) сопряжены по Фурье и, следовательно,
однозначно определяют одна другую, широко используется в
конкретных задачах. В одних случаях проще вычислять i|)(x)
и затем находить спектр по формулам D1.7), D1.10) или
D1.16); в других задачах, наоборот, нахождение спектра ока-
оказывается более легким, и тог-да функция корреляции вычис-
вычисляется при помощи D1.6), D1.9) или D1.14).
Отметим еще, что в случае непрерывного спектра для функ-
функций i|)(t) и g(©), связанных преобразованием Фурье, выпол-
выполняется хорошо известное «соотношение неопределенностей». Ка-
Качественно оно может быть описано так, что «узкий» спектр
означает «широкую», т. е. длительную корреляцию, большую
«упорядоченность» процесса и, наоборот, «широкий» спектр
дает короткую корреляцию, усиление хаотичности. Если суще-
существуют интегралы
+ 0О	+ОО
— оо	—оо
4-оо	+оо
2ng @)

284	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	ГГЛ. VI
то «соотношение неопределенностей» может быть выражено и
количественно: в теории интегралов Фурье доказывается, что
«размытости» Асо и Ат удовлетворяют неравенству
(А(оJ(АтJ>1,	D2.1)
причем минимизирующая функция ty(x), для которой в D2.1)
имеет место равенство, — это гауссова кривая ');
г!,(т) = .ф@)е-х2/^.	.	D2.2)
Гауссов закон корреляции D2.2) принадлежит к «инвариант-
«инвариантным» законам — в том смысле, что соответствующая спектраль-
спектральная плотность тоже выражается гауссовой кривой:
-*!/'.	,42.3)
Ширины бт и бсо, определенные на уровне 1/е от максимальных
значений ij)@) и g@), равны бт = 2хи и бсо = 4/ts, так что
6(o-6t = 8. Другой пример «инвариантного» закона корреля-
корреляции — обратный гиперболический косинус:
ф(
В этом случае
?(со)
Вычислим теперь при помощи теоремы Хинчина спектры
ряда рассмотренных ранее стационарных процессов, для кото-
которых мы уже нашли функции корреляции.
В § 11 было отмечено, что у стационарного импульсного
пуассоновского процесса
6(/) = SF(f-/v,av)	D2.4)
V
с достаточно быстро убывающей функцией F(t), описывающей
форму импульсов, функция корреляции равна
+ ОО
ф (т) = щJ а>а (a) da J F F + т, a) F F, a) dd. D2.5)
— оо
Здесь wa(&)—плотность вероятности многомерного случайного
параметра а= {аи а2, ..., ат}, зависимость от которого детер-
*) А. Майером и Е. Леонтович [7] аналогичное неравенство доказано для
вещественного интеграла Фурье, распространяющегося только на положитель-
положительные частоты. В этом случае изменяется как минимизирующая функция, так и
значение нижней границы (ДшJ(ДтJ. - Это значение лежит между
(я — 2)/4я2 «= 0,0289... и 1/12я = 0,0265.. t

§ 421	СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ФУНКЦИЙ	285
минированной функции F позволила нам учесть случайные из-
изменения формы импульсов1). Теперь мы уже можем отказаться
от этого частного способа задания случайной функции, заменив
его общим, т. е. просто считая форму импульса случайной функ-
функцией2), к тому же и комплексной, так что комплексным будет
и импульсный процесс в целом:
?@ = ?М*-М.	D2.6)
V
Предполагая, что Fv(t) статистически независимы от пуассо-
новских моментов времени {tv} и от F^tf) при ц,фч, причем
для всякого v
(Fv @> ^F(t), <FV (/ + т) F; (/)> = ВР (t, т).
нетрудно воспроизвести расчет, вполне аналогичный проведен-
проведенному в § 11 и приводящий к почти очевидному обобщению по-
полученных там результатов. Для среднего значения процесса
D2.6)	__
V
и его функции корреляции
)Г@-?(' + *)• ПО,
где чертой обозначено полное усреднение как по распределе-
распределению Fv, так и по распределению Пуассона для числа импуль-
импульсов п, получаются выражения
= щ \ F(Q)dQ,	D2.7)
ВР(В, x)dQ.	D2.8)
Общий случай непуассоновского и нестационарного потока мо-
моментов времени tv рассмотрен в работе [10].
Для того чтобы получить спектр процесса D2.6), надо вос-
воспользоваться формулой обращения D1.7). Но можно написать
результат сразу, если воспользоваться известной теоремой
4) Напомним, что компоненты случайной величины а могут быть и корре-
лированы между собой. Влияние такой корреляции на спектр процесса иссле-
исследовано в работе [8], в которой в качестве компонент а взяты «амплитуда»
импульсов а, его длительность ft и время т между данным импульсом и со-
соседним.
2) В такой более общей постановке задачи импульсные процессы рассма-
рассматривались в ряде работ. Укажем, например, на [9, 10].

286	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ, VI
+ оо
о спектре интеграла \ я* (8) х2 (8 -\-i)dQ. Этот интеграл не
— оо
является сверткой, так как переменная интегрирования 9
входит в оба сомножителя с одинаковым знаком [свертка,
распространенная на комплексные функции, имеет вид
\ х\{Ь)х2{х— 6) dQ]. Поскольку соответствующий вывод очень
— оо
прост, а его результат еще понадобится в дальнейшем, мы
воспроизведем здесь этот вывод.
Пусть fi(co) и х2(со)—спектральные амп-литудные плотно-
плотности функций xi(t) и x2(t), так что
xj{t)= \ ж/(о) е'»'rf(o (/=1,2).
— оо
Тогда
+ ОО
= jj ^jf* (со) ^ («') еш'х2пЬ (со' — со) cfco dar = ^ 2лх* (со) х2 (со)
Таким образом, спектральная амплитудная плотность 1(х)
есть')
7	<o)x2(a).	D2.9)
Применив формулу D2.9) к D2.8), где xx(t) = x2(t)= F(t),
находим
+ ОО
т. е. спектральная плотность процесса D2.6) равна
|.Р(со) Р>,	D2.10)
') Такой же вывод для свертки Xi(t) и xi{t) дал бы амплитудную плот-
плотность 2ядгГ(—«)*2(м), что в случае вещественных функций Xi(t) и дг2(/)
равно 2nxi(w)x2(u)), как это, например, имеет место для характеристической
функции при композиции (свертке) плотностей вероятностей (§ 9).

§ 42]	СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ФУНКЦИЙ	287
где F(a) —амплитудная плотность случайной формы импульса
F(t). В частном случае D2.5) формула D2.10) принимает вид
а»а(а)|^(ш, a)pda,	D2.11)
где теперь /*(со, а) —уже детерминированная функция. Наконец,
если F(t, a) = aF(t), т. е. имеется только один случайный пара-
параметр—«амплитуда» импульсов одинаковой детерминированной
формы F(t), так что
1Ит)=п,|аТ2 J F* F) F (9 + т) Од,	D2.12)
— оо
то
af\F(iu)f.	D2.13)
В этом последнем случае не только «густота» шума щ, но и
случайные амплитуды av влияют только на общий уровень
шума, а форма спектра всецело определяется формой импуль-
импульса1). Конечно, это заложено уже в формуле D2.12), из которой
видно, что характер зависимости функции корреляции от т свя-
связан только с видом функции F(t). Можно, однако, дать этому
результату еще и следующее пояснение.
Спектр отдельного импульса имеет амплитудную плотность
/'(со), не зависящую от момента возникновения импульса fv.
Последний проявляется в спектральном разложении импульса
F(t — tv) только в наличии фазового множителя e~ie>t'v. Это
означает, что для последовательности импульсов, каким-то об-
образом разбросанных по оси времени, спектр будет иметь об-
общую огибающую |^(со)|, причудливо «изрезанную» в резуль-
результате того, что на каждой частоте со происходит интерференция
колебаний с разными добавочными фазами u>tv. Так как tv
случайны и на любом интервале распределены равномерно,
в среднем интерференция «замажется» и в интенсивность вой-
войдет только квадрат одинаковой для всех импульсов огибающей
|f()|
()|
Приведем выражения функции корреляции D2.12) и спек-
спектральной плотности D2.13) для двух частных видов формы им-
импульса F(t).
Рассмотрим прямоугольные импульсы (рис. 31):
( 1 при 0 < / < ¦&.
р /а __}	г	D2.141
0 вне интервала @, ¦&).
•) Напомним, что п\ или, точнее, «10 — среднее число импульсов, возни-
возникающих в течение длительности одного импульса, — существенно влияет на
распределение шума (§ 10).

288
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУНАИНЫХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. VI
Функция корреляции изображается треугольником
.Й»«>-М) при |т|<
.	О	при |т|>
а спектральная плотность равна
D2.16)
Если импульсы нормированы к единичной площади, для
чего достаточно положить av = I/O (т. е. |а|2 = I/O2), то
sin (со#/2) \2 /.г. 1-7\
Функция корреляции изображается теперь треугольником с
основанием 20 и с высотой ni/ft, так что площадь треугольника
FftJ
&
при любом ¦& равна п\. При ¦&-* О треугольник превращается
в бесконечную «иглу» в нуле, т. е.
oJ)(t)=«16(t).	D2.18)
С уменьшением ¦& главный максимум g(co) неограниченно рас-
расширяется, сохраняя неизменную высоту nJ2n при со = 0. В пре-
пределе при Ф—>0 получается постоянная спектральная плотность
?(со) = -|±-.	D2.19)
Нетрудно убедиться, что предельные выражения D2.18) и
D2.19) формально удовлетворяют соотношениям D1.6) и D1.7).
Действительно,
2л

§42]
СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ФУНКЦИИ
289
Но случайный процесс с дельта-корреляцией D2.18) уже не
принадлежит к рассматриваемому классу стационарных функ-
функций, так как он не обладает конечным значением среднего квад-
квадрата модуля. Величины
= -Ф(О) = J
-а
для него не существует.
Возьмем теперь следующий непуассоновский стационарный
процесс: с вероятностями 1/2 сменяются значения l(t) = ±a,
длящиеся одно и то же время О, причем начало «нулевого»
импульса равномерно рас-
распределено на интервале
(— О, 0) (иначе процесс
не будет стационарным).
Такую случайную функ-
функцию можно построить,
бросая монету. Мы имеем
здесь хаотические им-
импульсы одинаковой фор-
формы, но не перекрываю-
перекрывающиеся (рис. 32), а следующие вплотную друг за другом, т. е. в
интервалах между импульсами никакой случайности нет и число
их в единицу времени задано (п\ = I/O). Тем не менее, как не-
нетрудно сообразить, функция корреляции такая же, как и у пуас-
соновского процесса с прямоугольными импульсами D2.14), а
именно:
._Р('-
0
Рис- 32.
_{
?
Это еще одна иллюстрация нечувствительности функции корре-
корреляции к фазам спектральных амплитуд самой случайной функ-
функции.
Вернемся к пуассоновскому процессу вида
и рассмотрим экспоненциальные импульсы (рис. 33)
( e~tlfl при f^zO,
F (t) — {
У) I 0	при t < 0.
В этом случае, согласно D2.12) и D2.13),
2п
D2.20)
D2.21)

290
¦-КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. VI
Функция D2.20) может изображать отклик RC-ячейки на дель-
дельта-импульс, так что процесс t,(t) с такой формой импульса опи-
описывает выходное напряжение на RC-ячейке, к которой подво-
подводится хаотическая (пуассоновская) последовательность дельта-
импульсов. Следует, однако, еще раз напомнить, что одна и та
же функция корреляции (а значит, и один и тот же спектр)
может соответствовать совершенно различным случайным функ-
функциям, что уже было подчеркнуто в начале этого параграфа на
примере именно экспоненциальной ty(r).
F(t)
о ¦&•
--¦&¦ о &¦ i
Рис. 33.
-//& О
(О
В данном примере тоже нетрудно проследить общую зако-
закономерность, касающуюся размытостей функций г|)(т) и g(co).
Ширина \|э(т) на уровне ф@)/е составляет 2Ф, а ширина g(a>)
на уровне g@)/2 равна 2/Ф, так что произведение этих мер
расплывчатости при всяком Ф равно 4. Если фиксировать еди-
единичную площадь импульсов, положив av = 1/ф, то и здесь, при
переходе к пределу Ф—>0, мы снова получим выражения D2.18)
и D2.19).
Вопрос о спектральной форме условия дифференцируемости
случайной функции еще будет затронут в дальнейшем (§ 50).
Но можно заметить уже теперь, что в обоих рассмотренных
примерах условие существования t(t), а именно существование
\|/'@), нарушено. В спектральных разложениях ¦ф(т) это прояв-
проявляется в том, что плотности g(a) убывают при |«а|—>оо только
как 1/со2. Если формально вычислить спектральное разложение
второй производной от i|k
то при спектральной плотности D2.16) получаем
|/'(т) = -
- cos со
= - щ | а |2 {26 (т) - 6 (т + Ъ) - 6 (т -

§ 42]	СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ФУНКЦИЙ	291
а при спектральной плотности D2.22)
+ оо
w	20 У
— ОО
В обоих случаях ^"(О) не существует.
В рассмотренных примерах мы каждый раз получали, что
произведение размытостей Аю-Ат — величина порядка единицы.
Следует однако помнить, что «соотношение неопределенностей»
D2.1)—это неравенство, так что вполне возможны случаи,
когда произведение размытостей гораздо (даже на много по-
порядков) больше единицы. Так обстоит дело, если в спектр раз-
разлагается импульс сложной формы, скажем импульс хотя бы и
с простой детерминированной огибающей, но с меняющимся по
сложному закону заполнением. Таким заполнением может быть
как детерминированный процесс (например, сложным образом
фазо-манипулированное или же частотно-модулированное коле-
колебание), так и случайный. В сущности, критерием сложности
формы импульса F(t) является именно сильное неравенство
Дсо-Ат > 1.
Проиллюстрируем сказанное на примере импульса с гауссо-
гауссовой огибающей ширины */2§ на уровне 1/е от максимума и
с заполнением в виде стационарного случайного процесса %(t),
у которого | = 0, а функция корреляции дается формулой D2.2).
Из-за случайности процесса i(t) форма импульса
в целом случайна, равно как случайна и его спектральная
амплитуда
+ ОО
2я J
Найдем поэтому средний квадрат модуля спектральной ампли-
амплитуды:
F (fWpivQ'-
*¦ V*1 / / С
, +°°
Подставляя сюда D2.2), т. е. <? @1 (f)) ==-ф (Г - 0
и вводя переменные интегрирования x = tr — t и

292	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	1ГЛ. VI
получаем
-f ОО
—ОО	- ОО
Значения обоих интегралов известны и дают следующий ре-
результат:
Таким образом, форма спектра в среднем гауссова, а ши-
ширина его на уровне 1/е от максимума равна
Асо = jt-
Произведение Асо на временную размытость Ат «импульса в
целом», т. е. его огибающей (Ат = У2 ¦&), будет поэтому
Асо • Ат = 4 У 2
Оно невелико, если время корреляции тк заполнения %(t) по-
порядка или больше О. В этом случае форма импульса близка
к гауссовой форме огибающей, поскольку ?;(/) не успевает
сколько-нибудь заметно измениться за время ¦&. Напротив, если
Тк "С О, то импульс сильно «изрезан» процессом 1,A) и произве-
произведение ширин велико:
	 п
Ширина спектра Асо = 4/тк определяется в этом случае не дли-
длительностью огибающей, а временем корреляции тк случайного
заполнения. Если тк—>0 (дельта-кЪррелированное заполнение),
то Асо-Ат—> оо при любом фиксированном ¦&.
В задаче б рассмотрен пример детерминированного запол-
заполнения при той же гауссовой огибающей импульса, т. е. пример
случая, когда детерминирована форма импульса F(t) в целом.
«Энергетический» спектр импульса описывается при этом детер-
детерминированной же функцией |/*(со)|2, причем, согласно D2.9),
таким спектром обладает интеграл
-f 00	-t-OO
F(t)F(t + x)dt = 2n [ | F (со) |2 <?'«« da. D2.22)
Можно поэтому условно называть \Ff(t) «корреляционной
функцией» детерминированного импульса F(t), а интервал т,
в котором в основном сосредоточена *Ff(t), называть эффектив-

§ 42]	СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ФУНКЦИЙ	293
ным «временем корреляции» xFK этого импульса. Поскольку
Wf(x) и [/'(со)!2 связаны комплексным преобразованием Фурье,
размытости этих функций tj?k и Асо удовлетворяют «соотноше-
«соотношению неопределенностей» Aco-Tfk^I- Даже если здесь имеет
место равенство, но т№ < * (импульс сложной формы), произ-
произведение Асо на ширину огибающей Ат « ¦& будет велико.
Остановимся в заключение на вопросе о естественной не-
немонохроматичности томсоновского автогенератора. Для авто-
автоколебания в таком генераторе
х @ = (л/Т + р) cos (? + ф), t' = щг,
когда он возбужден настолько сильно, что радиус предельного
цикла ro = V/7 гораздо больше стандарта флуктуации ампли-
амплитуды (г ^> д/р^), мы получили следующее выражение для
функции корреляции [формула B9.19), которую мы переписы-
переписываем теперь через размерный временной сдвиг At = х]:
3)	\
ftltIJsltl	D2.23)
Здесь введены также размерные инкремент к = \\,рщ и коэф-
коэффициент диффузии фазы 23) = 2\i ?>со0> так что
D2.24)
По формуле D1.16) нетрудно получить спектральную плот-
плотность автоколебаний по положительным частотам, а именно:
оо
g+ (и) = ~ \ ^х (т) cos сот dx —
оо
•= -§Г $ (l + X e~hX)e~m fcos (® - «о) т + cos (со + соо) т] dx =
о
= Ф (со — «о) + Ф (со + ©о),
где
+ SJ h а2 + C> + hf
В реальных условиях ©0 3> /г > S). Это позволяет пренебречь 3)
по сравнению с /г и, кроме того, отбросить Ф(со + ©о). поскольку
аргумент а = со + й>0 всегда не меньше ©0. В результате
ё+ (со)« Ф (со - »0)« -

294
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. VI
Рис. 34 иллюстрирует полученное выражение, но без со-
соблюдения фактического огромного различия 2D и к. Спектр со-
состоит из двух лоренцианов — чрезвычайно острой «линии», обу-
обусловленной естественной диффузией фазы (полуширина на по-
половинном уровне от максимума равна 3)), и гораздо более сла-
слабого и расплывчатого фона,
вызванного флуктуациями ам-
амплитуды (полуширина равна
К), Практически этим «ампли-
«амплитудным» фоном можно в окре-
окрестности диффузионной «линии»
пренебречь.
Изложенная теория естест-
естественной (или флуктуационной)'
ширины спектральной линии
томсоновского автогенератора,
опирающаяся на решение
уравнения Эйнштейна — Фок-
Рис. 34.	кера (§ 28), была развита
И. Л. Берштейном [11] и им
же впервые проверена с положительным результатом на опыте
[12]. Как уже было отмечено, измерение естественной немонохро-
немонохроматичности генератора являлось в то время очень трудной за-
задачей, во-первых, из-за крайне малой ширины линии и, во-вто-
во-вторых, из-за медленных и гораздо более значительных по величине
технических уходов частоты. Если даже допустить, что техниче-
технические уходы удалось полностью устранить (что является вопро-
вопросом уменья и в принципе достижимо, поскольку по определению
технические уходы — результат несовершенства аппаратуры),
то и тогда обычные способы измерения столь малой немонохро-
немонохроматичности практически неосуществимы.
Действительно, для измерения ширины линии бсо ~
~ A00 -МО3)©о при помощи резонатора нужно, чтобы ши-
ширина его собственной резонансной кривой была еще меньше,
т. е. его добротность Q должна быть выше, чем соо/бса ~ 10I0-f-
1013. Если же воспользоваться интерферометром, то при обыч-
обычных способах наблюдения интерференционной картины, обна-
обнаруживающих смазывание последней только при разностях хода
порядка длины когерентного цуга L ~ 2лс/бсо (см. § 47), по-
понадобился бы интерферометр астрономических размеров, так
как
1013)Я,0.
Даже при Яо = 10 см это означает, что L ~ 106-г- 109 км.
Если бы интерферометр был чувствителен к очень малым
разностям фаз Дф = 2л/До интерферирующих колебаний, так

§ 43]	«БЕЛЫЙ» ШУМ И ЧЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ	295
что обнаруживаемая разность хода / составляла бы ничтожную
долю от длины когерентного цуга L (например, Дф = 0,01", что
дает /л?5-10"8 L), то положение существенно изменилось бы.
Конечно, по-прежнему оставался бы в полной силе вопрос
о том, как устранить технические уходы или по крайней мере
обойти их влияние. Именно эти трудности и были преодолены
при помощи остроумного и тонкого фазометрического метода,
предложенного и осуществленного И. Л. Берштейном (§ 53).
§ 43. «Белый» шум и черное излучение
Чем «уже» функция корреляции стационарного процесса,
тем шире его спектр. В § 42 это было показано на конкретных
примерах, в которых получалось, что при неограниченном суже-
сужении г|5(т) спектральная плотность g{со) стремится к постоян-
постоянному значению при всех «а. Нетрудно получить этот же резуль-
результат, допуская только, что г|з(т) = О при |т|>0, а в остальном
не уточняя вида гр (т). Действительно, для всех частот | со | <^С
•С I/O имеем
о
= ~к \ e-im^(r)dx^~ \ q(x)dx = const.
Пока О конечно, «завал» спектральной плотности начинается
при приближении |со| к I/O; если же О—>-0, то интервал частот,
в котором g = const, неограниченно расширяется. Случайная
функция %(t) может быть стационарной при сколь угодно ма-
малых О, но предельный случай 0 = 6 (дельта-корреляция) уже
оказывается особым, так как дисперсия l(t) становится беско-
бесконечно большой, интеграл
расходится.
Очевидно, во всех случаях, когда применяемая спектральная
аппаратура (фильтр) обладает достаточно резко ограниченной
полосой пропускания, целиком расположенной еще в той обла-
области частот, где g = const, поведение g(a>) вдали от полосы про-
пропускания будет несущественно и, в частности, не будет играть
роли «завал» спектра на частотах |со|~ I/O, лежащих много
выше верхней границы полосы (рис. 35, на котором изображе-
изображена плотность по положительным частотам). Именно в таких

296
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. VI
случаях можно без ощутимого влияния на результаты заменять
реальный шум, обладающий малым, но конечным временем кор-
корреляции О, на дельта-коррелированный шум, у которого g =
= const на всей частотной шкале').
Примером шума, который почти всегда можно принимать
дельта-коррелированным, является дробовой ток электронной
лампы. Время корреляции О определяется здесь временем про-
пролета электрона. Если эта величина порядка 10~9 сек, то вплоть
до частот в сотни мегагерц спектр будет ровным. При всех та-
таких частотах можно считать дробовой ток дельта-коррелирован-
дельта-коррелированным, т. е. рассматривать его как хаотическую (пуассоновскую)
ff
//&¦
Рис. 35.
последовательность мгновенных импульсов с интегральным зна-
значением каждого импульса, равным заряду электрона е (§ 10):
/@ = 2>6(*-*v).	D3.1)
V
Тогда, согласно D2.12) и D2.13),
г|)(т)=л1е2б(т)=в7б(гI g (со) =еТ/2л.	D3.2)
С учетом времени корреляции Ф мы получили следующее зна-
значение дисперсии I(t) [см. A0.9)]:
При п—>0 дисперсия становится бесконечной, что и имеет ме-
место у процесса D3.1).
Другим примером шума, который в очень многих случаях
можно считать дельта-коррелированным, является тепловой
шум, обусловленный тепловым движением микрозарядов в те-
телах. Теорию этого шума мы рассмотрим позднее (§ 54), но
в связи с интересующим нас вопросом о равномерности спектра
укажем уже здесь, что спектральная плотность тепловой э.д. с,
*) То же относится и к более общему случаю, когда плотность g(a),
будучи постоянна в пределах полосы пропускания, меняется произвольным
образом в обе стороны вне этой полосы, но без чрезмерно большого нараста-
нарастания или выбросов, способных дать сильный эффект за счет «хвостов» ампли-
амплитудной характеристики фильтра.

§43]
«БЕЛЫЙ» ШУМ И ЧЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
297
создаваемой каким-либо участком электрической цепи, пропор-
пропорциональна активной части импеданса этого участка. Таким об-
образом, проводник, сопротивление которого R в некотором ин-
интервале частот «а постоянно, является источником случайной
э. д. с, обладающей в этом частотном интервале равномерным
спектром.
Если отвлечься от «макроскопических» факторов, обусловли-
обусловливающих зависимость R от со (наличие реактивных параметров
в цепи, скин-эффект), то остается еще частотная дисперсия
проводимости того металла, из которого сделано рассматривае-
рассматриваемое сопротивление. Эта дисперсия начинает сказываться на
частотах, сравнимых с I/O, где О— время свободного пробега
электронов в металле. В результате спектр флуктуационного на-
напряжения обрезается на частотах «а ~ I/O, что означает нали-
наличие корреляции между значениями этого напряжения на интер-
интервалах времени т. < О. Следует заметить, что практически дан-
данный эффект не играет роли, поскольку в обычных условиях
почти во всех металлах I/O ~ 10й гц. Частотная зависимость R,
обусловленная реактивны-
реактивными параметрами и скин-эф-
скин-эффектом, проявляется на го-
гораздо более низких частотах.
В американской литера-
литературе дельта-коррелирован-
дельта-коррелированный шум получил название
«белого» (white noise), и
этот термин приобрел широ-
широкое распространение, в том
числе и у нас. По-видимому,
он возник по ассоциации с
О 7 2 3 4 5 S 7 8 ff z=,
Рис. 36.
«белым светом», который
в обычных интерференцион-
интерференционных опытах обнаруживает
якобы полную некогерент-
некогерентность (некоррелированность). Но белый свет, т. е. равновесное
(или «черное») тепловое излучение, не является белым шумом,
т. е. не обладает постоянной спектральной плотностью. Послед-
Последняя дается формулой Планка для средней плотности электро-
электромагнитной энергии
to3
1)
-1
со > 0.
D3.3)
Здесь Ь — постоянная Планка, деленная на 2я, с — скорость
света в вакууме, k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная
температура. На рис. 36 показан ход м,м в функции от х =
= Ъ(й]кТ. Максимум нш приходится на значение хт « 2,82.

298
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. VI
С точки зрения теории случайных процессов цш представляет
собой спектральную плотность флуктуирующих напряженностеи
Е(/) и Н(^) поля теплового излучения. В каждой из плоских
волн, на которые можно разложить это поле, E(t) = H(t), при-
причем все направления напряженностеи равновероятны. В ре-
результате электрическая и магнитная энергии одинаковы, а ком-
компоненты Е и Н по какому-либо произвольному направлению
имеют одинаковые функции корреляции, но не коррелированы
между собой.
Найдем коэффициент корреляции, соответствующий спек-
спектральной плотности D3.3), т. е. величину
оо
cos сот da.
Подставляя сюда выражение D3.3) для ит и вычислив ин-
интеграл, получаем ')
КЕ (т) = 15 [	+ )	Ь(Р) Р
D3.4)
где L(p) = cthp—1/р — функция Ланжевена. Ход Ке в функ-
функции от р показан на рис. 37 и, разумеется, нисколько, не похож
на дельта-функцию. При
Р « 1,37, что соответствует
Q5
Я
"— nkT —»>-" kT ~ "«
положительная корреляция
сменяется отрицательной.
Это значит, что при времен-
временных сдвигах т < т> значения
компоненты Ep(t) по неко-
некоторому фиксированному на-
направлению р чаще будут
иметь в моменты t и t -f- т
одинаковый знак, а при
т > ¦& — противоположный знак. Можно пояснить это следую-
следующим образом. Частота am, на которую приходится максимум
спектральной плотности ыш, равна
kT ' kT
Ъ ' Ъ '
Рис. 37.
G>m — ¦
') Эта формула была выведена М. Л. Левиным и автором в 1956 г., но
не была опубликована. В дальнейшем ее получил Р. Бурре [13]; см. так-
также [14].

§ 44]	МОДУЛИРОВАННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ	299
Таким образом, волны с~ частотами, близкими к сот, представ-
представлены наиболее интенсивно, и в каждой точке пространства
смена направления Е на противоположное определяется пре-
преимущественно полупериодами этих волн. При этом более высо-
высокие частоты дают в иш больший вклад, чем более низкие
(рис. 36). Естественно, что время ¦& должно быть порядка полу-
полупериода Tt/tt>m, соответствующего частоте <ат, и должно лежать
ниже этого полупериода. Действительно, из выражений для ¦&
и (йт находим
„ 	 1.37Й _ 1,37-2,82 я 	0 OQ _я_
jtkT	я2 тт ' шт "
Времени О можно поставить в соответствие пространствен-
пространственный радиус корреляции а = с&, который с точностью до коэф-
коэффициента совпадает с длиной волны
Не
в законе смещения В. Вина (на Хт приходится максимум U\
плотности электромагнитной энергии, пересчитанной на длины
волн). Из выражений для ¦& и Хт следует, что
а = 0,44-^ = 0,35^.
§ 44. Модулированные случайные процессы
Мы рассмотрим теперь более подробно специальный вид
случайных процессов — так называемые модулированные слу-
случайные процессы, которые в случае их стационарности (и, сле-
следовательно, существования спектральной интенсивности) можно
называть также узкополосными или квазимонохроматическими.
Нам уже приходилось сталкиваться с такого рода процессом
ранее, когда мы рассматривали спектр автоколебаний в том-
соновском генераторе (§ 42).
Сделаем несколько предварительных замечаний, которые в
равной мере относятся как к детерминированным, так и к слу-
случайным модулированным процессам.
О модулированных колебаниях часто говорят как о «гармо-
«гармонических» колебаниях с медленно меняющейся амплитудой и
(или) частотой. Такое, строго говоря, внутренне противоречи-
противоречивое словоупотребление (у гармонического колебания, по опре-
определению, амплитуда и частота — постоянные параметры на всей
оси t) обладает, однако, определенным смыслом, если доста-
достаточно мало частотное разрешение (селективность) используемой
спектральной аппаратуры. Отклик на выходе такой аппаратуры
успевает хорошо следовать за изменениями частоты и ампли-

300	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
туды на входе, т. е. квазистационарно воспроизводить модуля-
модуляцию. В каждый момент времени отклик приблизительно такой
же, какой вызвало бы гармоническое колебание со значениями
частоты и амплитуды, взятыми в этот момент. В этом случае
модулированные колебания целесообразно записывать в квази-
квазигармоническом виде:
S @ = Л @ cos [<0о^ + Ф @1.	D4.1)
где A(t) и q(t)—функции времени, медленные по сравнению
с колебанием частоты о>о. Другими словами, изменения A(t)
и q>(t) за период высокой частоты То = 2я/соо малы. Это не
значит, что такое же представление оправдано и для более
селективной спектральной аппаратуры, способной выделить
компоненты спектра колебания D4.1). Поясним это на простом
примере гармонической амплитудной модуляции, когда A (t) =
= 1 + k cos Ш, где Й -С соо, и для простоты <p(t) = ср0 = 0. Та-
Таким образом,
I @ == A + k cos Ш) cos (nQt =
= cos gV + j cos (co0 - Q) t +1 cos (ш0 + Q) t. D4.2)
В радиотехнической литературе неоднократно возникала по-
полемика о «реальности» боковых частот «о ± Q (в общем слу-
случае— боковых полос или, вообще, компонент разложения
Фурье). Спрашивали, что же имеет место «на самом деле» —
колебание одной частоты соо с медленно меняющейся амплиту-
амплитудой или три колебания с частотами а>о и соо ± й? Поводом для
первой дискуссии такого рода послужил важный практический
вопрос о том, надо ли предоставлять каждой радиостанции ча-
частотную полосу конечной ширины или же можно ограничиваться
сколь угодной узкой окрестностью несущей частоты «о и «засе-
«заселять эфир» гораздо плотнее. Исчерпывающее разъяснение по-
подобных недоразумений было дано Л. И. Мандельштамом уже
в начале 30-х годов (см. [15], стр. 35; [16], стр. 62 и 436), хотя
это и не предотвратило возобновления полемики в значительно
более поздней зарубежной литературе (см. [17]).
Л. И. Мандельштам указал на то, что сама постановка во-
вопроса о «реальности» левой или правой части D4.2) лишена
смысла, поскольку это математическое тождество. С таким же
успехом можно дискутировать, что «реально»: (а + ЬJ или
а2 + 2ab + Ь2. Вопрос приобретает смысл только в связи со
спектральными свойствами (селективностью) аппаратуры, ре-
регистрирующей колебание D4.2), причем речь может идти о «ре-
«реальности» лишь в смысле целесообразности того или другого
из двух математически равнозначных представлений §@- Если
колебание воздействует, скажем, на колебательный контур с ре-

§ 44]	МОДУЛИРОВАННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ	301
зонансной кривой полуширины h, то при h > Q, (низкая селек-
селективность) отклик контура хорошо воспроизведет модуляцию,
а при h >с Q (высокая селективность) контур может выделить
три гармонических колебания с частотами соо и co0±Q. В пер-
первом случае целесообразно («реально») квазигармоническое
представление, во втором — разложение на три гармонических
колебания. Все зависит, таким образом, от соотношения между
характеристиками самого колебания (Й) и прибора (h). Если
отвлечь.ся от прибора, то вопрос повисает в воздухе.
Представление D4.1), при котором одна функция l(t) запи-
записана через д.ве функции A{t) и ф(/), разумеется, неоднозначно.
Для однозначности необходимо как-то отдельно определить
либо A(t), либо ф(Л. Один из возможных способов такого
определения, который даже не связан с условием медленности
A(t) и <p(t) и, вместе с тем, не привносит никакой информации
сверх той, какая содержится в ?(Л, опирается на свойства ана-
аналитического сигнала (§ 38).
Перейдем от вещественного колебания |(Л к комплексному:
D4.3)
т. е.
D4.4)
была трансформантой Гильберта от вещественной части ?(Л
[см. C8.5)]. Располагая функциями |(Л и i\(t), мы получаем
однозначное определение Л (Л и ф(Л:
и потребуем, чтобы ?(Л было аналитическим сигналом, т. е.
чтобы мнимая часть D4.3), равная
D4.5)
В общем случае A(t) и ф@> формально полученные по-
посредством описанной процедуры, не будут медленными функ-
функциями, и, называя их мгновенной амплитудой и фазой, мы не
извлечем из этого никаких физически оправданных следствий.
Если же Л (Л и ф(Л медленны, то приобретает смысл нагляд-
наглядное представление об огибающей, в которую вписаны «гармо-
«гармонические» колебания с плавно меняющейся высокой частотой
о)(Л = coo + ф@- Определения D4.5) практически совпадают в
этом случае с другими возможными определениями огибающей
и мгновенной частоты, почерпнутыми из свойств гармонического
колебания l(t) = A cos act. Так, например, для этого колебания
_L ?2 tt\ f	/ _ _ 10)
<4	'	°*	%l(t]

302	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
Пренебрегая в первом приближении производными A (t) и ф@>
мы получаем при дифференцировании D4.1)
т. е. преобразование Гильберта приближенно сводится к диффе-
дифференцированию исходной функции ?(/) по соо^ (см. [18]).
Колебания D4.1) и D4.4) можно рассматривать как проек-
проекции вектора длины A(t), вращающегося с угловой скоростью
к>о + Ф(О> на взаимно ортогональные оси | и ц. Вводя ком-
комплексную амплитуду
называемую также модулирующей функцией, можно записать
аналитический сигнал D4.3) в виде
5(f) = 9l(Oe'№'.	D4.6)
Часто бывает удобно пользоваться декартовыми компонентами
вектора %(t) на плоскости Ван-дер-Поля, т. е. на плоскости,
вращающейся вокруг начала координат с угловой скоростью &о
относительно плоскости (|, т]):
%(t)=a (t) + ib (t) = A (t) cos Ф (/) + iA (t) sin <p (t). D4.7)
Амплитуды a(t) и b(t)—это проекции вектора длины A(t),
поворачивающегося с мгновенной угловой скоростью ф@ отно-
относительно осей а, Ъ на плоскости Ван-дер-Поля. Очевидно, в
случае модулированного колебания, т. е. при медленно меняю-
меняющихся A(t) и ср(^), функции 31@, а@ и МО тоже являются
медленными. Как следует из D4.6),
а @ = % @ cos щг + т) (/) sin щг,
b(t) = y] (t) cos щг - I (t) sin «oof.	* '
Обратимся теперь к случайным модулированным колеба-
колебаниям, когда все рассматриваемые функции, как быстро меняю-
меняющиеся (|, r|, g), так и медленные (а,Ь,%А,ц>), являются слу-
случайными. Пусть %(t) —стационарный случайный процесс. Тогда,
как мы знаем, г|@ и ?@ тоже стационарны, причем l(t) =
=¦ г|@= ?@ = 0> а Для корреляционных функций имеем (§ 38)'
D49)
. ^S (т) = U* = 2 [ф5 (т) + »г|,,„ (т)], .
где индексом т по-прежнему отмечены величины, взятые в мо-
момент t -j- %. В частности, при т = 0
r = ^ = |lTF^a2, Ь\ = 0.	D4.10)

i 44]	МОДУЛИРОВАННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
303
При помощи D4.8) и D4.9) нетрудно вывести выражения
для корреляционных функций a if) и b{t) через -ф^ (т) и (
аах = bbx = фг (т) cos иот + %ц (т) sin со0т = $а (т),
—	—	D4.11)
abx = — bax = ^ (т) cos соот — ^ (т) sin со0т = $аЬ (т).
В частности,
D4.12)
Функция корреляции комплексной амплитуды
+ /й(т), согласно D4.11), равна
4>я (т) = 9рГ = 2 [фа (т) + «^ (т) ].	D4.13)
Разрешая D4.11) относительно ^j(t) и ^^(т), получаем
¦ф| (т) = ij)a (т) cos со0т — fa& (т) sin со0т,
D4 14)
^п (т) = $аЬ (т) cos оз0т + i|3a (x) sin со0т.
Таким образом, корреляционные функции исходных высокоча-
высокочастотных колебаний %(t) и т](/) сами имеют — как функции вре-
менвого сдвига т — характер модулированных колебаний.
Обратимся теперь к спектральным разложениям рассматри-
рассматриваемых функций корреляции. Из D4.6) следует, что
%(x)=^(x)e-ia"x,	D4.16)
а для г|з (т) мы имеем спектральное разложение D1.21) (так
как | = 0, смешанный момент ?? совпадает с fg):
^ (т) = 4 ^ g (со) eifi>i; da,	D4.16)
о
где g(co) —спектральная плотность колебаний l(t). Если l(t) —
модулированное (квазимонохроматическое) колебание, то на
полуоси со > 0 плотность g(co) заметно отлична от нуля только
в окрестности со = соо, узкой по сравнению с соо- Подставив раз-
разложение D4.16) в D4.15), получаем
сю
= 4 \
о
Вводя разностную частоту Й=со—со0 и функцию g{Q) = g(a>0-\-Q),
отличную от нуля только в узкой полосе около Й = 0, можно
записать предыдущую формулу в виде
оо	-ft»
^(т) = 4 ^ g(&)eiQxdUtt4 J йЩеШхйп, D4.17)

304	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
что дает совместно с D4.13)
Т IQ.	D4.18)
Отметим, что в случае симметричного относительно соо рас-
распределения плотности g(a), т. е. при четной функции g{Q),
согласно D4.18) "ф^ь (т) = 0 и модуляции т]^ (т) и "Ф^Ы оказы-
оказываются чисто амплитудными:
% (т) = "Фй (т) cos юот> %п ^ = *« (т) sin юот-
Для -фа (т), как для всякой функции корреляции, имеет ме-
место неравенство |гра(т) | ^ г|)а@) = а2. Нетрудно, однако, уста-
установить, что справедливо более сильное неравенство [19]. Дей-
Действительно, из D4.14) следует, что
Ф
Но |i]3| (т) I ^1]з. @) = а2, а значит, «огибающая» V1!3! "Ь
нигде не превосходит а2, и поэтому
— неравенство более жесткое, чем I i])a (т) | ^ а2.
Основной круг вопросов, относящихся к случайному колеба-
колебанию D4.6), касается связи вероятностных характеристик (функ-
(функций распределения, моментов) исходного колебания |(f), с од-
одной стороны, и ван-дер-полевских переменных а, Ь, А и ф — с
другой. Если \{t)—нормальный процесс, то все такого рода
вопросы могут быть решены до конца, причем не только при
стационарном процессе \{V), но и для более общего случая. Рас-
Рассмотрим сначала более простой случай нормального и стацио-
стационарного процесса \{t).
Из C8.5) следует, что при гауссовом \(V) сопряженный про-
процесс t)(t) тоже гауссов. Следовательно, зная функции корре-
корреляции ipi и i])jri, мы можем составить, корреляционную матрицу В
для любой совокупности 2п величин %(ti), ..., l(tn), y\(ti), ...
..., Tf\(tn), а при помощи В и обратной матиры В написать
2«-мерное распределение этих величин. Дальнейшее сводится
к тривиальным преобразованиям переменных — переходу к
a(h), b(h), ..., a(tn), b(tn) или к A(U), ц>{к), ..., A{tn),
(p(tn). Сделаем это для двумерного распределения, т. е. сов-
совместного распределения ?(/) и (О

• 44]	МОДУЛИРОВАННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Согласно D4.10) матрица В имеет вид
I Б ч
305
Б
а2 О
О а2
так что
D4.19)
(некоррелированность | и г| влечет здесь за собой их незави-
независимость). Учитывая теперь, что
получаем из D4.19) совместное распределение амплитуд а и Ь:
(ft fy\ /-//у ///) ——	/э~(п2 -hb2)l2o2 Ari rjh	(АД 9П\
а, и) ии ии — Отт/т2 с	' аи аи,	{q<t.z\j)
и совместное распределение огибающей А и фазы ф:
~ I л \ j л j	AdA __ Л2,п„г ЙФ
Таким образом, а н b независимы и распределены нормально,
а Л и ф независимы, причем огибающая А распределена по ре-
леевскому закону, а фаза ф — равномерно в интервале @, 2я).
Аналогичным образом для |, |t, ц и цх можно при помощи
корреляционной матрицы В:
11т
О
а2
и обратной матрицы В записать четырехмерное распределение.
Если воспользоваться коэффициентами корреляции К (т) =
= я|з, (т)/ст2 и L (т) = я|з|Т) (т)/ст2, то получим
Л.
- 2/C (gg, + riTh) - 2L
Ц2 4- Щ + г]2 —
}. D4.22)

306	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ	[ГЛ. VI
Замена переменных I = A cos ср, т) = A sin ср, |т = Ат cos фт,
Пт = Лх sin фт дает
wm{A, Ах, ф, <px)dAdAxd<pd<pT =
_ ЛЛТ tf Л dAx dtp dffx (	1 р А2 , Л2
— 4п2а* A - р2) еХР I 2а2 A - р2) \-Л -Г лх~
- 2ААХ (К cos (Фт - Ф) + L sin (Фт - <р))]}, D4.23)
где введено обозначение р2 — К2-\-L2.
Интегрирование D4.23) по «лишним» переменным позволяет
получать различные частные случаи. Так, интегрируя по Ах
(от 0 до оо) и фт (от 0 до 2п), мы получим, конечно, распре-
распределение D4.21) для А и ф. Интегрируя по ф и фт, получим
распределение для А и Лт:
ч j „ _, „ AAxdAdAx (	Л2+Л| 1
Л, Лт) dA dA% = 4ji2gt A _ р2) ехр | - 2q2 A _ р2) ) X
2Я
Лт [К cos ^^
ехр
Интеграл по ц>х (или, что то же, по фт — ф) дает нулевую бес-
селеву функцию мнимого-аргумента, а интеграл по ф добавляет
множитель 2л. Окончательно получается распределение Раиса
(§25):
- ,л лмл^л AAxdAdAx ( рААх \ ( А2+А\
wA2(A,Ax)dAdAx= qtA_p2) Z^jexp(
D4.24)'
В соответствии с теоремой Дуба (см. задачу 5 гл. IV) в том
случае, когда корреляция экспоненциальна [р (т) =е-а1т1]) оги-
огибающая A(t) представляет собой марковский нормальный про-
.цесс. В этом можно убедиться, вычислив при помощи D4.24)
и одномерного (релеевского) распределения wA{A) [см. D4.21)]
условную вероятность:
w .„ (А, АЛ dA dAn
AdA
-P2) I'
2a2 A
Она оказывается при р(т)=е~а'т1 вероятностью перехода,
т. е. удовлетворяет уравнению Смолуховского:
оо
v(A\t-t0, Д,) = $»(Л|*-9, B)v(B\Q-t0, Au)dB (ft, < 9 </)•
о

§ 44]	МОДУЛИРОВАННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ	307
Это вполне естественный результат, так как экспоненциальная
корреляция означает, что A (t) удовлетворяет стохастическому
дифференциальному уравнению первого порядка с дельта-кор-
дельта-коррелированной случайной силой, т. е. A (t) ведет себя так же,
как, например, скорость частицы при одномерном брауновском
движении (§ 35). Можно сказать также, что A(i) представляет
собой огибающую процесса, отфильтрова«ного из белого шума
селективным колебательным контуром.
Интегрирование D4.23) по А и Ах приводит к совместному
распределению ср и срт. При помощи двумерных распределений
можно вычислить смешанные моменты А и ср, например ААХ
и ффт (они зависят от р2 = K2-\-L2), а также получить распре-
распределения производных
Мы не будем приводить эти расчеты, отсылая читателя к имею-
имеющейся литературе (см. [20], гл. 8).
Перейдем к более общему случаю гауссова процесса ?@ —
= a(t) cos mot -f- b(t) sin wo^, причем стационарные амплитуды а
и b не удовлетворяют условиям D4.12), при которых процесс
%{t) стационарен. Пусть а = В = 0, но а2 ф Ь2 и ab ф 0. Не-
Нетрудно понять, что моменты процесса \(t) в этом случае перио-
периодически меняются со временем '). Например,
|2 it) = a2 cos2 со0/ + b2 sin2 со,/ + 2afr sin соо^cos «j/ =
^+ а2
~
cos 2aJ + Ш sin
т. е. |2@—периодическая функция t с периодом п/щ. Каково
в этом случае распределение А и ср?
Заметим, что подбором постоянной начальной фазы всегда
можно ввести такие а и Ь, для которых ab = 0 [21]. Действи-
Действительно, из D4.8) имеем
l(t) = a (t) coscV — Ь {t) sinсО(Д n(t) = b (t) cosco0/ + a (t) sinco0/.
Заменив здесь аргумент со0^ на (coq? + сро)— сро, получаем
Ш = а\ (Л cos (со,/ + Фо) + h (t) sin (co0/ + Фо), D4.25)
где
a, (t) = a (t) cos фо — b (t) sin ф0> bx (t) = a (t) sin ф0 + b (t) cos qp0.
Следовательно,
5Д = (a~2 - bT) -s-^|2i - a~b cos 2ф0)
*) Рассматриваемый процесс принадлежит к периодически-нестационар-
периодически-нестационарным, см. § 59.

308	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
и, выбрав Фо таким, что tg 2ф0 = 2ай/(а2 — Ь1), получаем albl = 0.
Будем рассматривать поэтому процесс D4.25), у которого
Ц = а\фЩ=о\, а~Ь~х=0.	D4.26)
По условию процесс | (/) гауссов, так что
[1(
Переход к полярным координатам (а, = А совф, Ьх — А эшф) дает
6„ {А, Ф) dA *р = -f^ exp f - f (^ + ^ 1 • D4.27)
т. е. нет ни независимости между А и ф, ни равномерности
распределения ф.
Интегрирование D4.27) от 0 до оо по Л дает распределение ф:
которое при ст, = а2 превращается в равномерное. При интегри-
интегрировании D4.27) от 0 до 2л по ф удобно ввести переменную
2
wA (A) dA = dA\ &щ (А, ф) dtp =
о
AdA < Л2/ 1 . 1 \-> 1 f ( А2 С 1 1 у
=	exp \ - - ( — + -у ) I — \ ехр \ - — (—	) cos
Г Л2 / 1	i N"| f A2 ( 1	1\)
~Г ( ~Т	2 I I еХР К	Т I ~~2 "I	2" I ( *
_ ЛйЛ . Г Л / 1
		° ~Г ( ~Т
L 4 \\
Введем параметры or и а, положив
При этом, согласно D4.25) и D4.26),
==а2 A +«), ст| = or2 (I -a).	D4.28)
а распределения ф и Л принимают вид
ну (ф) dw = —7	—r~f	D4.29)
ф \т/ -г 2я A — acoszqj)	ч	'
AdA

§ 44]
МОДУЛИРОВАННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
309
Нетрудно убедиться, что при всяком а D4.30) дает А2 = 2о2,
как это и должно быть в силу D4.28), поскольку Л2 = af + Ь| ==
= а? + а*.
Если
аА2
2а2 A- а2)
«1,
то /0 ?» 1 и D4.30) переходит в распределение Релея. Чем мень-
меньше а, тем для больших значений А это справедливо, а при
a = 0 релеевское распределение верно для любых А. В про-
противоположном предельном случае, когда
аА2
2а2 A- а2)
можно воспользоваться асимптотическим выражением
что дает
wA(A)dA;
dA
/яа а
. е-АЧ2огA+а)
т. е. гауссов закон. Этот закон справедлив при тем меньших А,
чем ближе а к единице. При а = 1 гауссово распределение
верно для всей полуоси А > 0.
На рис. 38 приведены кривые wA(A), а на рис. 39 —кривые
Юф(ф) [в интервале ф от 0 до я, так как ауф(ф + я) = ауф(ф)],
взятые из цитированной выше работы [21]. В этой работе вы-
вычислены также моменты Ап и показано, что четные моменты

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. VI
являются элементарными функциями а\ и а\, а нечетные —
выражаются через полные эллиптические интегралы. Кроме
того, вычислен смешанный момент А2А2, получено (для спе-
специального вида корреляционной матрицы аь Ъ\, а\х, Ь1Х) четы-
четырехмерное распределение й»лг (А, Ах, ф, фт) и найдено распре-
распределение огибающей и фазы процесса D4.25) при наличии ре-
регулярной составляющей, т. е. при а,\ и Ь\, отличных от нуля.
Рассмотрим теперь Бопрос о связи распределений | и А в
том случае, когда модулированный про-
iL^L^-fa)	uecc \(t) стационарен, но не гауссов.
/+а "	Найдем характеристическую функцию
процесса | (/) = A (t) cos [co0/ + ф @ ] •
+ 0О
оо	271
= J dA
о о
Записав й»а через условное распределе-
распределение ф:
и воспользовавшись известным разложе-
разложением в ряд Фурье:
+ ОО
eisA
cos (Шо* +ф) _ V j«y
in (COoi+ф)
получаем
— оо О
до ieo f
Рис. 39.
2л
X
| Л) с?ф.
Но в силу стационарности %{t) характеристическая функция
не должна зависеть от t, что возможно, очевидно, лишь при
т. е. при независимости ф от А и равномерном распределении ф:
ш)а(Л, q>)dAd<p — wA(A) dA -^-.	D4.31)

§44]	МОДУЛИРОВАННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ	311
Характеристическая функция /g (s) принимает тогда вид
оо	оо
Г	С w,(А)
h (s) = ) wA (A) Jo (sA) dA = J —ij-i /0 (яЛ) Л Л4, D4.32)
о	о
т. е. представляет собой преобразование Ганкеля от функции
wA(A)/A. Обращение этого преобразования дает
ds.	D4.33)
Таким образом, распределение \ есть преобразование Фурье
характеристической функции /|(s):
+00
fe(s)e-'tds,	D4.34)
а распределение огибающей Л — преобразование Ганкеля от
этой же функции. Этот изящный результат был получен Блан-
Лапиерром [22], но здесь приведен более последовательный его
вывод, данный позднее Ф. В. Бункиным и Л. И. Гудзенко [23].
Пользуясь формулами D4.32) и D4.34), можно, однако,
пойти дальше и получить прямую связь между До|(|) и wA{A)
[24]. Для этого достаточно подставить D4.32) в D4.34) и вос-
воспользоваться значениями разрывного интеграла
• I	0	при Л < |||.
Таким образом,
— 00
- J ., (Л) 4А± р. М)е-« A _i j ^^. D4.35,
О	оо	111
О	" -оо	HI
Если ввести переменную интегрирования х, положив Л =
= |1| clue, то D4.35) запишется в еще более лаконичной форме,
которая к тому же более удобна в некоторых конкретных слу-
случаях:
00
Щ (I) = ^ \ ™а A11 ch x) dx.	D4.36)
о

312	- КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ	1ГЛ. VI
Нетрудно убедиться, что при релеевском распределении фор-
формула D4.36) (здесь она удобней) дает гауссов закон для |.
При равномерном распределении А в интервале (О, Ао) из
D4.35) получаем
2пА0
а при экспоненциальном распределении wA (А) = ае~аА по
формуле D4.36) находим
где Ко — нулевая функция Макдональда, обладающая логариф-
логарифмической особенностью в нуле и убывающая на бесконечности,
как е~аЦл]%.
§ 45. Спектр колебания с флуктуирующей частотой
Пусть в колебании
?@ = 4>cosK* + <p@+<Po]	D5.1)
девиация частоты Q (f) = ф (f)—стационарный случайный про-
процесс, а фо — случайная величина, равномерно распределенная
в интервале @,2л). Рассмотрим, как связан спектр колебания
\(t) со спектром девиации частоты Q(t). Выяснению этого во-
вопроса посвящено довольно много работ, из которых мы будем
следовать в основном работам А. Н. Малахова [25], Г. А. Елки-
на и М. И. Родак (см. [26] и цитированную там литературу,
а также [27]).
Естественно считать, что Q (t) = 0, и тогда функция корре-
корреляции для Q (/) будет
% (т) = Q (t + т) Q (t) = J gQ (со) cos сот rfco,	D5.2)
о
где ё'й(со)—спектральная плотность Q(^) по положительным
частотам. Для случайного набега фазы за время от t до t -\-1
имеем
t+x
Фт-Ф= J Q(t)dt.	D5.3)
t
Очевидно, именно этот набег фазы адекватным образом харак-
характеризует качество тех «часов», в роли которых можно использо-

§45]'	СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ С ФЛУКТУИРУЮЩЕЙ ЧАСТОТОЙ	313
вать процесс D5.1). Для среднего квадрата фт — ф, который мы
обозначим через F(x), в соответствии с D5.2) и D5.3) получаем
t+x t+x
t+X t+X
= ] ga (со) da J ] cos a (t-f)dtdt'=
oo
n f	, . 1 — COS COT j	,,. ,.
= 2)gQ (со)	^	 da. D5.4)
о
Средний квадратичный набег фазы полностью определен, таким
образом, спектром случайной девиации частоты Q(^I).
Предположим, далее, что Q{t), а значит, и набег фазы
X = фт — ф — нормальный процесс. Поскольку %= 0 в силу
D5.3), а дисперсия % выражается по D5.4), распределение х
будет
(x) d% = -±= e~^F d%.	D5.5)
¦у znt
Усредняя произведение
==— {cos [со0т — (фт - ф)] + cos [со0 Bt + т) — (фт + ф) + 2ф0]}
при помощи распределения D5.5) для х и равномерного в @, 2я)
распределения ф0, получаем
гЬ (т) = -тг- cos со0т • cos х = -?¦ е~ %'12 cos со0т =
А2
2
что отличается от D2.23) —если не говорить о флуктуациях
амплитуды, которыми мы теперь пренебрегаем, — только более
общим законом диффузии фазы: F(x) вместо 22)%.
') Формула D5.4) выражает спектр ф(т) в том смысле, в каком спек-
спектральное разложение понимается для случайных функций со стационарными
приращениями, о которых речь пойдет далее, в § 56.

314	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ	[ГЛ. VI
Согласно формуле D1.16) спектральная плотность колеба-
колебания D5.1) (по со > 0) равна
д2 г
~~2п \ e~F <Т)/2 fcos (ю ~ юо)
ч2
' COS (<0 + G>o) f] dX ;
6
oo
D5.7)
о
где интеграл, содержащий cos (со + соо)т, отброшен ввиду его
малости. Связь между спектрами g^(co) и ga(со) оказывается,
таким образом, довольно сложной. Если мы захотели бы полу-
получить по спектру колебания §(t) спектр девиации его частоты
Й@> то, согласно D5.4) и D5.7), надо было бы решать не-
нелинейное интегральное уравнение
оо	v	оо	^	,
81^=='Ш'\ ехр] J ?о(")	W~— du\ cos («a—o>o) т ^т. D5.8)
Мы не будем пытаться решать эту сложную задачу, а обра-
обратимся к тем результатам, которые можно извлечь из D5.7) или
D5.8) в некоторых предельных случаях. Рассмотрим прежде
всего выражение D5.4) для среднего квадрата набега фазы.
Введем средний квадрат флуктуации Q(t):
gQ(v>)da>,	D5.9)
о
и предположим сначала, что Q(t) обладает некоторым време-
временем корреляции та, так что gQ (со) заметно отличается от нуля
лишь до сотй ~ 1. Рассмотрим два следующих крайних случая:
1. Пусть Q2x2Q^ 1, т. е. частота колебания D5.1) испыты-
испытывает большие и медленные (долго-коррелированные) уходы.
Иначе можно сказать, что «высота» Q2xQ спектра gb(co) гораздо
больше его ширины 1/tq. Если допустить, что для gi((a) в
этом случае существенны только т <§; tq (т. е. сот <С 1), то мож-
можно положить в D5.4) 1 — cos сот « со2т2/2, и тогда
J -n(co)rfco = Q5T2.	D5.10)
о
Согласно D5.7) имеем
«6
=it \ e"^t2/2 cos ^ -

§ 45]	СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ С ФЛУКТУИРУЮЩЕЙ ЧАСТОТОЙ	315
откуда видно, что экспонента обрезает подынтегральное выра-
выра1/Q2< т2, чем и оправдано сделанное допущение
Результат интегрирования:
g. (со) =	^^e-to-o,)^	D5.11)
6	2 V 2jtQ2
т. е. в исследуемом случае получается гауссова («колоколь-
(«колокольная») форма спектральной линии, характерная, например, для
¦ допплеровского уширения оптических спектральных линий. По-
Полуширина на уровне 1/е от максимума в ¦у/2 раз превышает
стандарт у Q2 флуктуации частоты.
2. Пусть Q2t2<S1, т. е. частота колебания D5.1) испыты-
испытывает малые и быстрые (коротко-коррелированные) флуктуации
(«высота» Q2tq спектра gQ(co) мала по сравнению с его шири-
шириной 1/та)')- В этом случае в D5.4) существенны значения gQ{a>),
лежащие в интервале главного максимума множителя
A — cosсот)/со2, т. е. от со = 0 до со~1/т. Поэтому, если
gQ@) Ф 0 и т> та, получаем
со
\ l	,	D5.12)
о
т. е. диффузионный закон с коэффициентом диффузии
20 = я?а(О).	D5.13)
Конечно, этот результат имеет место и в предельном случае
дельта-коррелированных флуктуации Q(t).
Формула D5.7) дает теперь
оо
si(со) = ? S е~Вх cos (@ ~ щ) т йх-	D5-
о
Экспонента обрезает подынтегральное выражение на т
что совместимо со сделанным допущением х ^ та при условии
^в = |гв@)тв<1.	D5.15)
Если спектр ga((a) спадает с_ростом со более или менее моно-
монотонно, то, согласно D5.9), Q2 ж ga@)/xa и условие D5.15)'
*) Этот случай был рассмотрен Н. Винером ([28], лекция 5).

Si 6	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ	(ГЛ. VI
удовлетворено в силу исходного предположения Q2t| -С 1. Вы-
Выполнив в D5.14) интегрирование, находим
<45Л6>
т. е. форма линии — резонансная (лоренцева), какую мы полу-
получили в § 42 для «естественной» ширины линии генератора в ре-
результате действия на него дельта-коррелированных толчков.
Такую же форму имеют спектральные линии в оптике, когда
их ширина обусловлена соударениями между атомами, причем
времена свободного пробега распределены экспоненциально
(пуассоновский процесс). Резонансную форму (но с гораздо
меньшей шириной) имеет и естественное уширение оптических
спектральных линий, обусловленное конечным временем жизни
возбужденного состояния, а в классической трактовке — экспо-
экспоненциальным затуханием колебаний атомных осцилляторов в
результате высвечивания (импульсный процесс с экспоненци-
экспоненциальными импульсами).
Оценим форму линии g%{a>) в случае малых и быстрых флук-
флуктуации Q(/) несколько точнее. Выделим с этой целью из ()
постоянную часть ^й(О). Формула D5.4) дает тогда
x\ + F (т),
где ф выражается по D5.13), а функция
F (T) = 2j *"™y^- (l-coscoT)rf(o	D5.17)
о
равномерно ограничена:
¦ dco = M = const.
DK4J
о
Таким образом, D5.7) принимает вид
.2
(и) = -Л. J e-®%-?W/2cos (со - щ)хйх. D5.18)
Применим теперь к этому выражению теорему, взаимную
(в смысле преобразования Фурье) с теоремой D2.9). Согласно
D2.9) спектральная амплитуда интеграла
+ <х>
= \ x\(t)x2(t-\-x)dt

§ 45]	СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ С ФЛУКТУИРУЮЩЕЙ ЧАСТОТОЙ	317
равна / (со) = 2ях* (со)х2(со), где х,_ 2 (со) — спектральные ампли-
амплитуды функций xh2{t). Тем же способом нетрудно показать, что
в разложении Фурье произведения G (t)=x'{t) x2(t):
G(t)=xl(t)x2(t)=
спектральная амплитуда G (со) выражается интегралом
'l(Q)x2(Q + a>)dQ. D5.19)
Легко убедиться, что для вещественных и четных функций xU2(t)
[а согласно D5.4) интересующая нас функция F(x) именно
такова] теорема принимает вид
оо	-f оо
G (со) = -^ jj xx (t) x2 (t) cos utdt = J *! (Q) x2 (Q + со) dQ, D5.20)
причем
*i. 2 («
Полагая в D5.18)
Xl (T) = e
имеем, таким образом,
= v \ ^i,2 @ cos «^ dt.	D5.21)
+ OO
— 5 Xi (Q) x2 (Q + со - co0) dQ,	D5.22)
где [см. D5.14) и D5.16)]
оо
?, (со) = ~ [ е-?ы<2 cos (со - соо) т dx,
о
А2
О
о
Рассматривая выше случай 2, мы совсем пренебрегли слагае-
слагаемым ?(т) в формуле для ^(т). Теперь мы допустим, что это
слагаемое мало, и учтем его в первом порядке. Используя

318	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ	[ГЛ, VI
D5.17), получаем
оо
хх (со)«^j [l — -^y^] cos (со — co0) т dx =
хх
^
H	\ \ —	^j-^— cos их cos (со — co0) x dx du =
о о
t, Г go («) - g.J @) 1
1 - }	p	 du б (со - co0) +
о	-*
[6 (« + со — co0) + б (м — со + ©o)] dm
2 (m-.
Подставляя полученные выражения Х1,г(со) в D5.22), надо
учесть, что спектр х2(&) ввиду малости ЗУ гораздо более узок,
чем второе слагаемое в Xi((o). Поэтому
! — «оJ J 02+(Q+co—2coo)
При малых расстройках от вершины линии, т. е. при
|ю — ©о| ~ S), вторым слагаемым можно пренебречь, и мы воз-
возвращаемся к резонансной спектральной плотности D5.16). На-
Напротив, при |ю — соо|>0, пренебрегая ЗУ1 в знаменателе пер-
первого слагаемого в D5.23) и учитывая D5.13), получаем
т. е. вдали от вершины, или, как говорят оптики, на «крыльях»
спектральной линии, спектр колебания \(i) с точностью до мно-
множителя Ло/4(ю —сооJ воспроизводит спектр флуктуации ча-
частоты. Если условие | F (т) | < 1 не выполнено, то спектр коле-
колебания l(t) становится сложным и только в другом предельном

§ 46]	СПЕКТР ИМПУЛЬСНОГО ПРОЦЕССА	319
случае — медленных и больших флуктуации — вычисляется про-
просто и имеет, как мы видели, форму гауссовой кривой. Можно,
однако, показать, что при достаточно больших |со — ыо| фор-
формула D5.24) справедлива всегда [26]. Таким образом, исследуя
спектр колебания %(t), т. е. gi((o), на крыльях линии [на часто-
частотах, удаленных от <в0 более чем на ширину центральной части
или «вершины» g|(co)], можно получить высокочастотный уча-
участок спектра флуктуации частоты Q(t).
Заметим в заключение, что приведенный выше анализ пре-
предельных форм спектра g"^(со) предполагал относительно простой
и монотонный ход спектра флуктуации частоты gb(co). Если,
например, ga(w) спадает ступеньками, т. е. Q(t) обладает не-
несколькими отчетливо выраженными временами корреляции, или
же ga((n) имеет достаточно узкий максимум на высокой ча-
частоте <о, так что ^q(t) —осциллирующая функция с «несущей»
частотой <о, то критерии близости g|(co) к резонансной или гаус-
гауссовой форме требуют уточнения1). В частности, в указанном
случае узкого высокочастотного спектра go (а) форма g^(co) не
будет гауссовой.
§ 46. Спектр импульсного процесса
с независимыми интервалами
Пуассоновский процесс, у которого вследствие независимо-
независимости между импульсами безусловная вероятность появления
v-ro импульса в промежутке (t, t -f- dt) совпадает с условной
вероятностью того же события при условии, что предшествую-
предшествующие импульсы возникли в какие-то фиксированные моменты
tfi^t (|л == v—1, v — 2, ...), является, конечно, частным слу-
случаем более общего класса импульсных процессов, о которых
шла речь в § 12. Как и там, мы ограничимся случаем, когда на
вероятность появления v-ro импульса влияет только (v—1)-й
импульс, т. е. она зависит лишь от времени tv-i, протекшего
с момента возникновения (v—1)-го импульса. Таким образом,
длительности интервалов xv = ty+i — ^v между импульсами не-
независимы между собой.
Рассмотрим принадлежащий к этому классу импульсных
процессов с независимыми интервалами процесс вида
Относительно входящих в t,(t) случайных функций FV(Q) и
случайных параметров Фу делаются следующие предположения.
») См. [26], а также [29, 30].

320	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ	[ГЛ. Vl
!, Форма импульсов, описываемая случайными функциями
{Fv(8)}, длительности импульсов {Фу} и интервалы между им-
импульсами tv = tv+\ — U независимы между собой. Заметим, что
при случайных функциях /\(9), вообще говоря, не обязательно
вводить отдельный параметр 4V, но для дальнейшего такое вы-
выделение независимых от {/\>F)} параметров {-вч) целесообразно.
2.	Известны одномерные и двумерные функции распределе-
распределения случайных функций FV(Q), интервалов между импульсами
wx(x)dx и длительностей импульсов ши('&) d-&, причем все эти
распределения не зависят от v.
3.	Распределение вероятности возникновения какого-либо од-
одного из импульсов, скажем нулевого (момент to), в любом вре-
временном интервале (—Т/2, Т/2) равномерно, т. е. имеет вид dto/T.
Это значит, что все реализации с какими-то фиксированными
длинами интервалов tv, но сдвинутые относительно / = 0 на
отрезок t0, заключенный в (—Т/2, Т/2), равновероятны. Без это-
этого процесс не был бы стационарным.
Очевидно,
= *о + то + т1+ ... +т„_„ D6.2)
так что
4 / (v1 + Tv-2 + • ¦ • + b) При H<V,
tu — tv = \	Db.о)
й	I V + V-2+ ... +xv при (i>v,
Эта постановка задачи, а также ее решение, при котором
сразу ищется спектральная плотность g(a>), а не функция кор-
корреляции (здесь этот путь оказывается проще), были даны
Я- И. Хургиным [31] для случая детерминированной формы им-
импульсов F\t). Существенная особенность разлитого им общего
подхода к теории случайных импульсных процессов состоит
в том, что в основу исследования полагаются не статистические
характеристики мгновенных значений ?(/) (т. е. не многомер-
многомерные функции распределения), а вероятностное описание пове-
поведения процесса вдоль оси времени— распределения длительно-
длительностей импульсов, интервалов между ними и т. п.
С процессами типа D6.1) приходится иметь дело, например,
в том случае, когда импульсы формируются при помощи выбро-
выбросов флуктуационного шума над некоторым порогом1), а также
б задачах о флуктуациях в импульсных автогенераторах (см.
ниже).
') Выбросы стационарного нормального шума дают при повышении по-
порога пуассоновский процесс только в том случае, если для функции корре-
корреляции нормального шума выполнены определенные условия (см. [32]).

§ 46]	СПЕКТР ИМПУЛЬСНОГО ПРОЦЕССА	"	321
Напишем спектральную амплитудную плотность отрезка
процесса D6.1) в достаточно длинном интервале (—Т/2, Т/2):
+ °o
где суммирование распространяется на (случайное) число им-
импульсов п, полностью охваченных интервалом (—Т/2, Т/2). Если
воспользоваться функцией Fv(a), сопряженной по Фурье с
^F)
с (со) = ? Ov?v(<D0v)e~
Учитывая при вычислении функции корреляции с(со)с*(со') =
= ?в(со)8(со — со') взаимную независимость случайных пара-
параметров bv, tv и случайной функции Fv (а значит, и ее спектраль-
спектральной амплитудной плотности /\), находим
gB (со) б (со-со')= S*A^Mv)^(A))-e'('''"'"("'I D6.4)
V, Ц=1
где угловыми скобками обозначено усреднение по ансамблю
реализаций Fv, а чертой сверху — усреднение по распределе-
распределениям случайных величин ^v и tv.
Так как момент t0 распределен в интервале (—Т/2, Т/2) рав-
равномерно, имеем, согласно D6.2),
Г/2
(ш-ш') v==e	(о	vj) # __
-Г/2
Г/2
se< (со-шо (т0+ ... +,у_,) , smjc^- шО Г/2 _^^ д (<р _ а,}>
причем последняя замена допустима при Т-*оо, что в дальней-
дальнейшем и будет сделано. Имеем, далее,
ei («V «*v) = e'«' (Vv) е' (•'-») 'v e e'« C,»-'v) ^L 6 (и _ ю')f D6.5)
где в множителе при б (со — со') мы положили, конечно, со' = со.
Подставив D6.5) в D6.4) и отбросив слева и справа 6(со — со'),
получаем
n
2я
V,

322	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
Если ввести теперь обозначения
=$ Ъ2(\ F
1
D6.6)
§ ф (со#)) — $ G (F (cod)) Wq @) db = Я (со)
и выделить из суммы по ц в формуле для gB (со) члены
то выражение для gB (со) примет вид
D6.7)
v = l ц ф v
Но согласно D6.3)
f"('+'+ +V	v),
причем интервалы, суммы которых стоят в показателях, по
условию взаимно независимы. Поэтому, вводя характеристиче-
характеристическую функцию интервала между импульсами
оо
Ф (со) = ё^ = ^ ешгюх (т) dx,	D6.8)
о
имеем
ю)Г v (и- > v)
и, следовательно, всюду, где ф(со)=т^ 1, т. е. заведомо за исклю~
чением точки со = О,
у (у + у
—ф(ю)	[1 — ф (со)]2
При Т-*оо случайное число и импульсов в интервале Т в по-
подавляющем большинстве случаев тоже будет неограниченно
возрастать (в среднем — пропорционально Т). Имея в виду этот
предельный переход, можно удержать только первый член в
правой части. Формула для g-B(co) = g(co) (напомним, что точку
@ = 0 мы исключаем) дает тогда

§ 46]	СПЕКТР ИМПУЛЬСНОГО ПРОЦЕССА	323
Эта спектральная плотность соответствует, конечно, условному
среднему при условии, что в интервале Т было именно п им-
импульсов, и требует дальнейшего усреднения по случайному па-
параметру п. Но Я = Г/т, где f — средняя продолжительность ин-
интервала между импульсами, обратная среднему числу импуль-
импульсов П\ в единицу времени (т = l/«i):
00
х = — = ( то», (т) dr.	D6.9)
о
Поэтому окончательно1):
P^} D6.10)
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Если случайные функции fv(9) заданы как детерминирован-
детерминированные функции Т7 от 8 и от m-мерной случайной величины av:
fv@)=JF(e,av),
то изменится только смысл угловых скобок в формулах D6.6):
их надо понимать теперь как усреднение по распределению
ауа (a) da. случайного вектора av:
<| F (сов, а) Р) = \ | F (сов, а) |2 ша (a) da,
D6.11)
(F (юв, а)) = ^ F (сов, a) wa (a) rfa,
а сама трансформанта Фурье F от F в этом случае, конечно,
тоже детерминирована.
Если имеет место еще более частный случай, когда av —
одномерная случайная величина, имеющая смысл «амплитуды»
детерминированного импульса:
F(Q, av)=avf @),
то, считая для простоты av вещественным параметром и обозна-
обозначая	_
av = a, Z)[av] = a2v-a2 = cr2(	D6.12)
получаем из D6.11)
< | F\wb, а) I2) = | F (сов) |2 J a2wa (a) da = (a2 + a2) | F (сов) |2,
{F (сов, а)) = F (сов) ^ аш»л (a) da = aF (сов).
') Более корректный переход к D6.10) см. в [31].

324	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ	[ГЛ. VI
Соответственно формулы D6.6) принимают вид
К (со) = (а2 + a2) J fl21 F (cofl) I2 ащ {Ь) d® = {а2+а2) /С, (со),
D6.13)
Я (со) = a J bF (сод) гюъ (О) db = аЯ, (со),
о
так что спектральная плотность D6.10) будет
g (со) = йш, { 02/(, (со) + а2 [Кг (со) + 21 Я, (со) |2 Re j*^] } .
D6.14)
Различные факторы в этом выражении весьма удобным об-
образом расчленены. Через случайные «амплитуды» av вошли па-
параметры а2 и о2. Случайные интервалы xv между импульсами
характеризуются величиной ti\ и функцией tp(co). Наконец, слу-
случайные длительности #v самих импульсов отражены в /Ci (со) и
Hi (а). Если, например, все импульсы одинаковы по высоте
(о2 = 0), то
8(в>)=2пща2[к1 (со) + 2\Н1 (со) I2Re 1 ^ ^]. D6.15)
Если, сверх того, постоянна и длительность импульсов ¦&v = d0,
так что 1й^('&) = 6('& — ¦во), то, согласно D6.13),
и D6.15) принимает вид	D6.16)
В частном случае пуассоно,вского процесса, когда распреде-
распределение интервалов между импульсами экспоненциально:
wx (т) = ri\e~niX,
характеристическая функция D6.8) есть
откуда следует, что
Тогда D6.14) дает
g (со) = 2пщ (о2 + а2) Кг (со),	D6.17)
что совпадает с выражением D2.13), соответствующим теореме
Кембелла A1.6) [следует учесть, что в D2.13) длительности

§ 46]	СПЕКТР ИМПУЛЬСНОГО ПРОЦЕССА	325
импульсов фиксированы, а кроме того, F(a) —спектральная ам-
амплитудная плотность по размерной частоте «в, в отличие от плот-
плотности F(coft) в D6.6)].
Возьмем теперь для т гамма-распределение, которым мы вос-
воспользовались ранее в § 12 (пример 1):
-,а_а-1
"tv— Г (a) * •
Здесь и/a = щ — густота импульсов и,' в частности, к = ri[ — их
густота при а= 1, т. е. при отсутствии корреляции между мо-
моментами их возникновения (пуассоновский процесс). Напомним,
что при a < 1 корреляция «притягательная», а при a > 1 —
«отталкивательная», т. е. в первом случае импульс повышает
вероятность появления последующего импульса, а во втором —
понижает. Для характеристической функции D6.8) при усло-
условии a > О находим
ф (и) = -^— \ тх-1е-(х-
Г (a) J
Г(о)
что дает
1-Ф(со) J?2a-2J?acosoi|»
n = _!_==
ф
Здесь чр меняется от нуля при «в = 0 до я/2 при | со| == оо. Если
а настолько мало, что ачр <С я/2, то
In
0
* 1 — Ф ((о) (ф2 + In2 /?) a '
т. е. второй член в D6.14) будет велик. Напротив, при а~>оо
он будет очень мал, так как в этом случае
рс
- <р (a>)	Ra
Обратимся теперь к вопросу о спектре импульсных автоко-
автоколебаний.
В генераторах периодических импульсов случайные воздей-
воздействия могут смещать моменты возникновения импульсов. Если
время корреляции этих воздействий мало по сравнению с пе-
периодом следования импульсов, то на сдвиг v-ro импульса мо-
может повлиять, кроме случайного толчка в момент ?v, только
время tv = tv — /v_i, протекшее с момента возникновения пре-
предыдущего (v—1)-го импульса. Продолжительности же сосед-
соседних интервалов, очевидно, не связаны между собой. Таким

326	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ	[ГЛ. VI
образом, импульсные автоколебания вполне укладываются в
рассмотренную схему1).
Отклонения tv от среднего значения т0 обычно невелики,
т. е. wx (т) — острая функция, сосредоточенная около т0. Разла-
Разлагая ешх около ешх* по степеням т — т0, получаем
ф((й) =
где Р2=(т — т0J — дисперсия интервалов между импульсами.
Соответственно
/, <о2р2 W	, , со2р2\
рг Ф(со) ., (I—f)(co»o»t.-l+-JL)
Re i
Эта величина имеет острые максимумы на гармониках частоты
©0 = 2л/т0. При со = то0 и при (лсооРJ -С 1 имеем
2 Ке
1 - Ф (со)
2 V
J
в то время как между значениями со = /гсо0 при том же условии
(/гсо0РJ ^ 1 имеем
Полагая «в = що0 + 6, где 6 мало по сравнению с со0, не-
нетрудно убедиться, что в окрестности /г-й гармоники
О Dp Ф^) ~ (ПСОоРJ - (ТрбJ
ZK 1-Ф(со)^(«ЧР2/2J+(^J'
Таким образом, полуширина всплеска на уровне половины от
максимума (рис. 40, а) есть
6, = (/гсо0РJ/2то,
а на уровне нулевого значения
б2 = /гшор/то.
В случае коротких импульсов функции Hi (ю) и Ki (со) ме-
меняются на интервалах соо между гармониками медленно. По-
Поэтому-вблизи-©= «соо ход спектральной плотности D6.14) бу-
будет определяться главным образом поведением члена Re -r-^—
*) На это указал Г. С. Горелик (см. [31], а также работу [33], где для-
конкретной схемы импульсного генератору получена дисперсия интервалов т,
обусловленная дробовым током ламп и тепловым шумом сеточных сопротив-
сопротивлений).

46]
СПЕКТР ИМПУЛЬСНОГО ПРОЦЕССА
32?
и спектр будет иметь вид, показанный на рис. 40,6. Разумеется,
с ростом п «дискретные» линии будут становиться все ниже и
шире (заметим, что 6i растет быстрее бг) и на достаточно вы-
высоких гармониках линейчатая структура размажется.
В рассмотренном процессе длительности импульсов dv были
независимы от интервалов tv между ними. Часто представляет
интерес другая постановка задачи, необходимая, в частности,
тогда, когда речь идет о непрерывных автоколебаниях в сильно
нелинейных системах, т. е. о несинусоидальных колебаниях с
-/
О сод 2соо
Рис. 40.
ш
флуктуирующим «периодом» [34]. При определенной идеализа-
идеализации такой квазипериодический процесс можно привести к после-
последовательности импульсов, которые вплотную примыкают друг к
другу, т. е. их случайные длительности равны интервалам ме-
между импульсами:
trv = tv = tv+i rv.
Таким образом, здесь нет независимого параметра #v с его
функцией распределения и>в(ф). Ограничимся при этом зада-
заданием формы импульсов при помощи детерминированной функ-
функции .F(9, av), где av —случайный вектор:
D6.18)
Различие между процессами D6.1) и D6.18) иллюстрирует
рис. 41.
Спектр процесса D6.18) можно найти тем же способом, что
и в рассмотренном случае [35]. Существенное отличие будет
лишь в том, что в D6.18) уже нельзя раздельно усреднять
функции от bv и от Tv, поскольку ¦&„ = tv. Поэтому приходится

328 "	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ	[ГЛ. VI
ввести, кроме функций D6.6), имеющих, согласно D6.11), вид
/С С*») = 5 ^(\F(<ox,3i)\2)wx(x)dx,
Н (со) = \ т (F («вт, a)) wx (т) dx
D6.19)
(угловые скобки — усреднение по распределению а), еще функ-
функцию
/ (со) = J x(F (сот, а)>е"« шт (т) dx.
D6.20)
Следует заметить, что в рассматриваемом случае совпадения
длительности импульса с интервалом между импульсами надо
Рис. 41.
вычислять спектральную амплитуду F(a, а), полагая, что по
безразмерной переменной 0 = t/x функция F(9,a.) отлична от
нуля в интервале фиксированной (единичной) длины:
1
F(a, a) =
F(B,
D6.21)
Спектральная плотность процесса D6.18) выражается через
К, Н и / следующим образом:
g (со) = 2Ящ { К (со) + 2 Re ^ff } .	D6.22)
В частности, если а — одномерная величина («амплитуда» им-
импульсов):
Р{а>х, а.)=аР(ах),
то с учетом D6.12) получаем
g (со) = 2лЯ1 { (а2 + а2) ^ (со) + 2а2 Re ^ "\^ },
D6.23)

§ 47]	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ КОГЕРЕНТНОСТИ	329
где
^,(@)=t2|F((ut)|2, H'i(<a)=xF{«n), Л (со) =tF (<вт)е'««
D6.24)
(усреднение по распределению т). Характер этого спектра в
общем такой же, как и в предыдущем случае, и, в частности,
все рассуждения о резких выбросах g'(co), получающихся при
малом разбросе т около среднего значения то, полностью
остаются в силе.
Заметим, что в обоих случаях, как это неизбежно должно
быть в автономной системе, происходит диффузионный уход
N
«фазы» генератора Ф = 2l tv от ее динамического значения
_	v=o
Ф = Nxo, отвечающего строгой периодичности импульсов. С уче-
учетом взаимной независимости tv имеем
()? @)
v=o
т. е. средний квадратичный набег Ф накапливается пропорцио-
пропорционально числу периодов.
§ 47. Корреляционная теория когерентности
Хотя неадэкватность элементарной концепции полной коге-
когерентности и полной некогерентности была понята уже давно
(Е. Верде, 1869), эта концепция продержалась в учебниках по
оптике до сравнительно недавнего времени. Общая количествен-
количественная трактовка когерентности была развита, начиная с 50-х годов
(Э. Вольф, А. Блан-Лапиерр и др.I), на основе теории слу-
случайных функций и, в частности, корреляционной теории (раз-
(развернутая теория когерентности рассматривает моменты не только
второго, но и высших порядков). Так как речь идет о свой-
свойствах волновых полей — функций времени и точки простран-
пространства, — теория когерентности даже там, где она не выходит за
рамки корреляционной теории, должна оперировать со случай-
случайными полями (пространственно-временная когерентность), к ко-
которым мы обратимся только в части II этой книги. Здесь мы-
затронем лишь вопросы временнбй когерентности, т. е. будем
рассматривать случайные колебательные процессы.
Понятие когерентности в равной мере применимо к колеба-
колебаниям и волнам любой физической природы и любого диапа-
диапазона частот, так что оптическая терминология здесь вовсе не
Из многих работ этого направления укажем на [36—42].

330	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
обязательна. Что же касается примеров, то, отдавая дань опти-
оптике, как той ветви физики, в которой впервые возникло само
понятие когерентности, мы часто будем прибегать именно к
оптическим интерференционным явлениям.
Рассмотрим один из наиболее простых примеров такого ро-
рода— двухщелевой интерферометр Юнга — Релея. Интерферо-
Интерферометр состоит из экрана В с двумя параллельными щелями / и 2
и линзы L, в главной фокальной
плоскости которой П наблюда-
наблюдается интерференционная картина
(рис. 42I). Заметим, что линзы
можно и не ставить, а рассмат-
рассматривать интерференцию «на беско-
бесконечности», т. е. на расстояниях
R^$>d2jX, где d — расстояние ме-
между щелями, X— длина световой
волны (так называемая фраун-
гоферова зона). Щели мы будем
Рис. 42.	считать настолько узкими, что
изменений амплитуды и фазы па-
падающей на них волны по их ширине можно не. учиты-
учитывать, описывая поле на щелях просто двумя колебания-
колебаниями— на первой щели §i@ и на второй |2@-Линза пред-
предполагается идеальной, и ее конечная апертура тоже не
учитывается.
Волны, распространяющиеся из щелей, можно представить
в виде суперпозиции бегущих и так называемых неоднородных
плоских волн. Последние не участвуют в переносе энергии и
экспоненциально ослабевают с удалением от экрана В, спадал
практически до нуля на расстояниях порядка Я. Те из бегущих
волн, которые распространяются от обеих щелей под одним и
тем же углом 6, фокусируются линзой в соответствующей точ-
точке Р на плоскости П. Таким образом, колебания ?,\(t) и |2@
складываются в точке Р, причем одно из них запаздывает на
время т = d sin В/с, где с — скорость света.
Запишем результирующее колебание в точке Р:
4) В этом интерферометре происходит «деление волнового фронта» в от-
отличие от приборов, создающих две (или более) интерферирующие волны из
одной посредством частичного отражения и пропускания («деление ампли-
амплитуды»). В звездном интерферометре Майкельсона роль щелей играют разне-
разнесенные зеркала, а в радиоинтерферометрах — разнесенные антенны. В связи
с вопросами когерентности интерферометр Юнга — Релея еще в 1950 г. рас-
рассматривал Г. С. Горелик, а затем Б. Томсон и Э. Вольф [43]. Аналогичная
дискуссия о соотношении между полосой радиосигнала и диаграммой .на-
.направленности была проведена X. Нодведтом J44J.

§ 47]	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ КОГЕРЕНТНОСТИ	331
через аналитические сигналы
/=1,2.
Нас интересует распределение интенсивности (освещенности) на
плоскости П, описываемое зависимостью I2(t,x) от координаты
л: ~ tg 8 точки на этой плоскости, т. е. от задержки т ~ sin 8,
с которой х однозначно связано. Для мгновенной интенсивности
имеем
D7.1)
Очевидно, переход к мгновенной интенсивности идентичен дей-
действию квадратичного детектора в радиотехнике. В обоих слу-
случаях в I2(t,x) представлены комбинационные частоты второго
порядка —суммарные (в частности, удвоенные) и разностные
(в частности, нулевые). Если считать t,j(t) модулированными
колебаниями (а далее мы увидим, что для наблюдения интер-
интерференции это необходимо):
1,Ц)=%,а)еш1\ ЭД/@ = Л/@^<'), /=1.2,
то
±
|2 (/, Т) = ± B | %1Х |2 + 2 | %212 + 2 [%ix%*2e{ahX+i @)'-a2) ' + к. с] +
+ [212^2,@, (<+т) + 2I2e2tco^ ^_ 231^3126'^ + ' (».+^)' + К. С.]}. D7.2)
В радиотехнических устройствах используются всевозмож-
всевозможные комбинационные частоты, создаваемые нелинейными эле-
элементами. В частности, широко используется, как известно,
промежуточная частота coi — ©г — разность между частотой ал
интересующего нас колебания и частотой ©2 гетеродина. Но в
интерферометрах — как в радио, так и в оптике, — речь идет
большей частью о колебаниях с одинаковой несущей частотой
(И1 = иг = too), и тогда I2(t, т) принимает вид
?2 С О = Т [ I *» Г + I %212 + (V2eia°x + к- с)] +
T) e2to°' + к- с-]' D7-3)
т. е. содержит низкочастотную часть спектра (верхняя строка)'
и модулированное колебание с несущей частотой 2соо (нижняя
строка, см. рис. 56).

332	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	ГГЛ. VI
Разумеется, можно и в оптике рассматривать колебания с
разными частотами g>i и сог, в том числе и с настолько близ-
близкими, чтобы разностная частота wi — сог находилась, например,
в радиодиапазоне СВЧ. На принципиальную возможность и тех-
техническую осуществимость такого гетеродинирования света впер-
впервые— еще до появления лазеров — указал Г. С. Горелик [45].
Однако сейчас мы будем рассматривать обычные условия интер-
интерференционных наблюдений, когда coi = ©2 = cooчи ^2(t,т) выра-
выражается формулой D7.3).
Под интенсивностью понимается при этом низкочастотная
компонента I2(t,r), поскольку именно она выделяется при
всяком реальном способе наблюдения. Дело в том, что время
наблюдения Т, даже когда оно очень мало по сравнению с времен-
временным масштабом тк модулирующих функций %j(t), всегда го-
гораздо больше периода несущей частоты То = 2я/«в0- Это отно-
относится и к скользящему усреднению, которое можно смоделиро-
смоделировать операцией
t + T
f(ZT) = -f J I2{t,x)dt,	D7.4)
t
и к накоплению, которое отличается от D7.4) только умноже-
умножением на Г и тем, что под t понимается некоторый фиксирован-
фиксированный момент начала накопления. В оптике, например, скользя-
скользящее усреднение осуществляет глаз или электрический фильтр
после ФЭУ, в радио — видеофильтр. Накопление осуществляют
для света фотопластинка, болометр, а в радио — разного рода
накопители и интегрирующие схемы. Учитывая сильное нера-
неравенство Г 3> Го, можно считать, что усреднение по периоду Го
заведомо происходит, и просто включить его в самое определе-
определение «мгновенной» интенсивности I(t, т):
= у {| Ик |2 + | \ |2 + 2 Re [2W«*]}.	D7.5)
Наблюдаемое же распределение интенсивности представляет
собою результат последующего усреднения I(t,x) по времени
наблюдения Т:
t+T
IT{t,%) = Y ] I{t,x)dt,	D7.6)
и, конечно, всецело зависит в общем случае от соотношения
между Т и временным масштабом модуляции тк.
Мы сосредоточим внимание на явлениях, которые происхо-
происходят при случайной модуляции. Формула D7.5) описывает то-

§ 47]	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ КОГЕРЕНТНОСТИ	333
гда некоторую мгновенную реализацию распределения интен-
интенсивности на плоскости П, т. е. в функции от задержки т.
В подавляющем большинстве интерференционных экспери-
экспериментов и измерений приходится иметь дело со стационарными
и стационарно связанными колебаниями t,i(t) и ?г@- Если эти
стационарные процессы удовлетворяют также условию эргодич-
эргодичности второго порядка, то, как мы знаем (§ 20), при увеличе-
увеличении времени наблюдения Т получается такой же результат, как
и при усреднении по ансамблю реализаций D7.5), поскольку
имеет место сходимость по вероятности:
>, при т -> оо.
Среднее же статистическое от выражения D7.5), если восполь-
воспользоваться формулами C8.1) для моментов второго порядка,
имеет вид
/ (x)^(I(t, т)) = |[б1 @) +В2@) + 2Refi12 (т)] =
= j {Вш @) + Ва-2 @) + 2 Re [Bni (т) е1^]}. D7.7)
где В — моменты модулированных колебаний Z,i{t), а В%—мо-
В%—моменты комплексных амплитуд %j(t) (j = 1, 2).
Заметим, что статистическое среднее от мгновенной интен-
интенсивности D7.1) содержит в общем (нестационарном) случае
как моменты В, так и «вторые» моменты В [см. C8.2)]. Однако
в рассматриваемом случае стационарных аналитических сигна-
сигналов моменты В равны нулю1). Таким образом, статистическое
усреднение, равносильное временному усреднению по доста-
достаточно большому интервалу Т, автоматически включает в себя
и усреднение по периоду То несущей частоты.
Очевидно, величины
— это интенсивности равномерной засветки, даваемой каждой
из щелей / и 2 в отдельности. Отклонения от равномерной сум-
суммарной освещенности Ix -f /2 всецело определяются вещественной
частью корреляционной функции:
Bl2 W = <?, V + т) V2 @) = Вш (т) *** = <?l, (t + т) %; @) е'-«.
Некоррелированные колебания на щелях интерферометра (на-
пример.освещение каждой из них волной от своего независимого
') Нетрудно убедиться, что обращается в нуль не только «вторая» авто*
корреляционная функция стационарного аналитического сигнала [см. C8.11)],
но и «вторая» взаимная корреляционная функция двух стационарно связан-
связанных сигналов.

334	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ	[ГЛ. VI
источника) не дадут интерференционной картины, т. е. будет
полное отсутствие когерентности.
В оптике корреляционную функцию В12(%) теперь принято
называть комплексной функцией когерентности второго порядка
(в данном случае — функцией временной когерентности) и обо-
обозначать через Г<2)A,2) = /3]2(т), но, как уже было отмечено,
нет, в сущности, никаких оснований для того, чтобы отступать
от общей терминологии, принятой в теории случайных функций.
Формула D7.7) показывает, что распределение интенсивности
на плоскости П изображает с точностью до постоянной состав-
составляющей /i + /2 функцию корреляции интерферирующих колеба-
колебаний.
Вводя взаимные коэффициенты корреляции для комплекс-
комплексных амплитуд %(t) и для высокочастотных колебаний ?з@:
D7.8)
Си (г) = ¦§?&. = | *,а (т) | ё »
2 у ll
можно записать D7.7) в виде
/ (т) = /, + /2 + 2 <s/JJ2 | Кц (т) I cos [в,2 (т) + со0т]. D7.9)
Таким образом, как это и должно быть для модулированных
колебаний (§ 44), распределение /(т) само представляет собой
модулированное колебание: интерференционные полосы повто-
повторяются по т с частотой «в0 + ©1г(т) « ©о и вписаны в огибаю-
огибающую \Ki2(r)\.
В оптике издавна принято характеризовать контрастность
интерференционной картины так называемой видностью полос.
Эта легко измеряемая величина по определению есть
D7.10)
«max T «min
где /max и /mto — значения интенсивности (освещенности экра-
экрана П) в соседних максимуме и минимуме. Для модулированных
колебаний можно считать, что эти соседние значения /тах и
/mm, отвечающие изменению 6i2(t)+coot, на я, соответствуют,
одному и тому же значению |/Ci2(t)|. Из D7.9) и D7.10) тогда
следует, что
^^	D7.11)
т. е. видность с точностью до постоянного множителя совпадает
с огибающей |/Ci2(t)|. Отсюда ясно, что коэффициент корреля-
корреляции представляет собой адэкватную и удобную количественную
меру когерентности — от полной когерентности (J/Ci2j=l) до

§ 47]	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ КОГЕРЕНТНОСТИ	335
полного ее отсутствия (/С12=0). В оптике /Ci2(t) называется
комплексной степенью когерентности. Вместе с тем интерферен-
интерференция дает предельно наглядную иллюстрацию «соотношения не-
неопределенностей» между шириной интерференционной картины
и степенью монохроматичности используемого света, поскольку
спектральная плотность этого света тоже непосредственно на-
наблюдаема, скажем, при помощи спектроскопа.
Возьмем для простоты случай, когда на щели интерферо-
интерферометра падает нормально плоская волна, так что ?i(^) = ?2@ —
= t,(t). Соответственно I\ = h = I и D7.9) принимает вид
D7.12)
где К (т) = | К(т.) |е'в№_ коэффициент автокорреляции ком-
комплексной амплитуды %(t) колебания ?(/)• Согласно D1.21)
К{%) и спектральная плотность g"g(со) связаны преобразованием
Фурье !):
I rfco
чем и обусловлено «соотношение неопределенностей» (§ 42).
В частности, при гауссовой форме спектральной линии (шири-
(ширины Q на уровне 1/е от максимума, лежащего на частоте со = too)
огибающая коэффициента корреляции тоже будет гауссовой:
^(t)=e-iw/i6+iv (|^(T)| = e-Q4W( е(т) = 0). D7.14)
Лоренцевой форме линии (ширины Q на уровне 1/2 от макси-
максимума) отвечает экспоненциальная огибающая:
K(x)=e-Q\i\i2+i*fl (j^(T)|=e-o|ti/2f 0(т)==ОI D7Л5)
Для прямоугольного спектра2), постоянного в полосе частот
(«в0 —Q/2, «во + й/2), находим
^Ер^	D7Л6)
в(т)=-0илня»)).
') Напомним, что g^ (со) = 2g+ (со) = Ag (со) при со > 0 и g^ (со) = 0 при
со < 0, где g(co) —спектральная плотность исходного вещественного колеба-
колебания | (t), четная по со.
2)	Случай, строго говоря, нереализуемый для колебаний во времени
(§ 58).
3)	В зависимости рт знака sin(QT/2)

336	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ	[ГЛ. VI
Видность V = | /С (т) | во всех случаях зависит от Qx, так что
интерференционная картина расширяется по т с уменьшением
ширины спектра Q и наоборот. При Q—>0 (идеальная монохро-
монохроматичность) V = \К\ = 1, т. е. в нашем идеализированном при-
приборе интерференционные полосы заполняют весь сектор углов
|8|^я/2 с постоянной максимальной контрастностью (полная
когерентность).
При"нормальном падении плоской волны на экран В вид-
видность связана только с монохроматичностью колебания ?@ =
= ?1(^) = t,2(t)- В общем случае колебания на разнесенных ще-
щелях могут различаться не только задержкой одного из них на
время т, поскольку они представляют собой временной ход вол-
волнового поля t,(t, г) в несовпадающих точках пространства:
?i@ = ?(^>ri), i2(t) = E>(t,r2). Тем самым, эти колебания
(а значит, и видность) зависят от пространственной структуры
поля, которая в случае точечного источника связана только
с его положением, но для протяженного источника определяется
еще и статистическими свойствами всей совокупности колеба-
колебаний, излучаемых его «точечными» элементами. На простран-
пространственно-временную структуру поля могут влиять, кроме того,
как детерминированные, так и случайные неоднородности среды
на пути от источника к интерферометру, а также флуктуации
в самом приборе, например флуктуации положения «щелей».
Конечно, последний фактор практически исключен в двухщеле-
вом интерферометре Юнга — Релея, но, например, в звездном
интерферометре Майкельсона он играет существенную роль, так
как речь идет о двух разнесенных на несколько метров зерка-
зеркалах и пренебрегать вибрациями конструкции уже нельзя. Оста-
Остановимся на некоторых иллюстрациях сказанного.
Пусть плоская волна падает на интерферометр не по нор-
нормали к экрану В, а под достаточно малым углом а к этой нор-
нормали (рис. 43). Плоской можно считать волну и от точечного
источника, направление на который дается углом а, при усло-
условии, что этот источник находится во фраунгоферовой зоне
(R ^> d2/X) '). При наклонном падении запаздывание колеба-
колебания / относительно колебания 2 равно теперь т — ха, где
sine x 4sina	D7.17)
С
Это приводит, очевидно, к смещению всей интерференционной
4) Для ближайшей звезды R да 4 свет, года и радиус нулевой зоны Фре-
УХ^на волне X = 5000 А составляет 140 км. Говоря о малости угла а,
мы имеем в виду условие синфазности колебаний поля t,(t,r) в пределах
ширины а каждой из щелей. Из рис. 43 видно, что условием такой синфаз-
синфазности является неравенство а <С Vsin *¦ При той же длине волны и при
рс = 1" получаем a < tya да 10 м.

§471
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ КОГЕРЕНТНОСТИ
337
картины, так как аргументом в предыдущих формулах будет
вместо т разность т — та.
Если а — случайная величина, независимая от Z,\(t) и C,2(t)
(скажем, а — это флуктуации направления прихода волны из-за
неоднородностей среды), то усреднение по ансамблю реализа-
реализаций ?i и ?2, выполненное в формуле D7.7), будет давать теперь
условное среднее — среднее при фиксированном а, например,
5i2(f — ta). Безусловная функция корреляции (отметим ее чер-
чертой сверху) получится в
результате последующего
усреднения по распределе-
распределению wa(a) случайной вели-
величины а:
-s
12
а («) da,
D7.18)
где та дается формулой
D7.17) '). В отсутствие дру-	Рис. 43.
гих различий между колеба-
колебаниями %i(t) и ?2@ помимо дополнительного сдвига та) надо
заменить в формуле D7.18) ВХ2 на функцию автокорреля-
автокорреляции В.
Запишем эту формулу в другом представлении. Пользуясь
D7.13) (конечно, с заменой т на т — та) и вводя характеристи-
характеристическую функцию фа(и) случайного угла а:
+ о°
получаем из D7.18)
В @)
da> SФа
\
е~1 (Ша+иа) da-
Если распределение wa(a) достаточно острое и, следовательно,
') Если флуктуации а происходят не в самом волновом поле, а, напри-
например, из-за дрожания интерферометра, то ту же функцию В и, даваемую фор-
формулой D7.18), естественно рассматривать как искаженную функцию корре-
корреляции поля.

338	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
существенны лишь столь малые а, что можно считать sin a « a
и та«— а, то интеграл по а равен 2я6(«-|	). После инте-
грирования по и это дает
оо
$	(^)^со.	D7.19)
Рассмотрим теперь протяженный источник, состоящий из не-
некогерентных (т. е. некоррелированных) «точечных» элементов.
Каждый такой элемент, видимый под углом а, дает плоскую
волну, приходящую по направлению а, причем соответствующее
элементарное колебание t,(t,a)da может, вообще говоря, явно
зависеть от а — хотя бы из-за различной светимости разных
элементов протяженного источника. Суммарное колебание на
/-й щели (/ = 1, 2), создаваемое протяженным источником в це-
целом, есть ? (t) = \ t, (t, a) da, а так как, по предположению,
колебания ^(t, а) дельта-коррелированы по а, распределение
интенсивности в интерференционной картине будет
= J [/, (о) + h (a) + Re Bl2 (т - ta, a)] da. D7.20)
Другими словами, интерференционные картины, даваемые не-
некоррелированными «точечными» элементами, сложатся по ин-
интенсивности. Пределы интегрирования определяются той об-
областью углов а, в которой /i(a) и /2 (а) еще отличны от нуля,
так что формально эти пределы можно раздвинуть в ±оо.
Так как спектральная плотность тоже зависит от а:
можно записать переменную (зависящую от т) часть интенсив-
интенсивности в D7.20) в виде
— та, a)da =
= Re \ rfe» \ g12 (со, о) ет ix~xo,) da. D7.21)
9 -op

§ 47]	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ КОГЕРЕНТНОСТИ	339
Конечно, угол а теперь не случайная величина, а просто пара-
параметр, от которого зависят «элементарные» колебания на щелях.
Тем не менее в том частном случае, когда спектральная плот-
плотность «факторизуется»:
gI2(co, a)=gl2(a)wa(a),
[т. е. у всех «элементарных» источников одинаковый спектр,
а на каждой частоте w — одинаковое распределение wa(a) све-
светимости по углу], формула D7.21) формально приводится к
виду D7.19). Действительно, в этом случае
ОО	+00
/]2 (т) = Re \ gi2 (со) еш da \ wa (а) е~ш* da.
О	-оо
Поскольку wa(a)^0 и всегда можно пронормировать wa(a)
на полной протяженности источника к единице, интеграл по а
(при столь малых размерах источника, что можно считать
та = — sina«— а) совпадает с «характеристической функцией»
С	С /
распределения хюа(а):
и мы получаем формулу вида D7.19).
Ясно без вычислений, что в случае двух точечных источни-
источников, разнесенных на угловое расстояние осо:
наихудшая видность получится тогда, когда интерференцион-
интерференционные полосы обеих картин сдвинуты на нечетное число угловых
полуширин интерференционной полосы. Если же источник за-
заполняет с постоянной яркостью угловой интервал (—ао/2, ссо/2),
так что «характеристическая функция» есть
ССо'2
e aa	«ao/2
-a,/2
то формула D7.19) дает

340	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
При идеальной монохроматичности [gz((o) ~ б(со — соо)] полу-
получаем
i(df)	^.	D7.22)
Таким образом, видность всей интерференционной картины
уменьшается с ростом ссо или d по такому же закону D7.16),
по какому она спадает в случае точечного источника с ростом
ширины Q прямоугольной спектральной полосы.
Аналогичное положение вещей имеет место и в двумерном
случае, когда источник виден под некоторым телесным углом,
а интерферометр содержит не щели, а достаточно малые «от-
«отверстия» (например, зеркала в звездном интерферометре Май-
кельсона или зеркальные антенны в радиоастрономическом ин-
интерферометре). Для круглого однородного по яркости моно-
монохроматического диска с угловым диаметром а0 видность, выра-
выражающаяся через двумерную трансформанту Фурье от распреде-
распределения яркости, равна
^y^	D723)
где /i — бесселева функция первого порядка. Увеличение длины
базы d повышает разрешающую силу по углу ао. Первый (наи-
(наиболее отчетливо выраженный) нуль видности в D7.22) и D7.23)'
получается соответственно при d = Wcco и d = 1,22Яо/ао.
В первом звездном интерферометре, установленном в 1920 г.
на обсерватории Маунт-Вильсон, базу d можно было увеличить
до 6 м, что дает при Ко = 5400 А исчезновение интерференцион-
интерференционной картины при «о » ЗО л; 0,02". Удалось измерить угловые
диаметры шести звезд, лежащие в пределах от 0,02" до 0,05".
Хотя радиоинтерферометры работают на волнах гораздо
большей длины, они позволяют получать более высокие угло-
угловые разрешения, чем в оптических интерферометрах — за счет
применения сверхдлинных баз (в сотни и тысячи километров).
Например, при d = 1000 км на волне Ко = 1 см получаем ао ~
« 2-Ю"8 « 2-10~3". Увеличение базы до 10000 км, что техниче-
технически осуществимо, уменьшает ао еще на порядок. При таких раз-
разрешениях радиоинтерферометры позволят решать астрометри-
ческие задачи, измерять параллаксы квазаров и пульсаров, из-
измерять угловые диаметры квазаров и внегалактических туман-
туманностей и т. п.
Чувствительность к атмосферным флуктуациям фазы свето-
световых колебаний и угла прихода световой волны, необходимость
исключительной точности изготовления инструмента, а также
точности его наведения и слежения — это основные причины,
ограничившие возможности, звездного интерферометра Май-
кельсона, измеряющего функцию корреляции высокочастотных

i 47]	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ КОГЕРЕНТНОСТИ
341
(световых) колебаний. От этих трудностей свободен так на-
называемый интерферометр интенсивностей, предложенный
Р. X. Брауном и Р. К. Твиссом в. 1954 г. для радиодиапазона
[46], а в дальнейшем и для света [47]х). Остановимся на прин-
принципе его работы.
Мы рассматривали среднюю интенсивность /(т) интерферен-
интерференционной картины, зависящую от функции корреляции колеба-
колебаний li(t) и ?г@- Может ли дать какую-либо информацию о
степени когерентности колебаний ?iG) и ?2@ корреляция мгно-
мгновенных интенсивностей h (О = |?i@ \2 и /2@ = Ы0|2? На
первый взгляд кажется, что ответ должен быть отрицательным,
поскольку эти квадраты модулей уже не содержат фаз колеба-
колебаний t,i(t) и ?2@, а только их амплитуды. Тем не менее корре-
корреляция между /i(/) и /2(/) позволяет, как мы сейчас убедимся,
судить о корреляции t,\{t) и ?2@- Заметим, что теперь мы бу-
будем рассматривать момент более высокого (четвертого) по-
порядка, т. е. выйдем за рамки корреляционной теории.
Корреляционная функция интенсивностей есть
Т) /2 @ -/,(* + *)• I2(t) =
где 1\ и /г — средние интенсивности, а т — по-прежнему относи-
относительная временная задержка, обусловленная разностью хода от
обеих щелей. Если, как это часто бывает, колебания t,\{t) и
?г@ можно считать нормальными случайными функциями, то
/входящий в формулу для ipi(x) четвертый момент равен сумме
i попарных произведений вторых моментов (см. задачу 2):
+<?, (t + т) г2 (о) (г;
) ^ @> (?1С + т) ?2 @> = /, • /2 +14 (т) |2 +1 в12 (т) р,
где В12(т) = <^
вая» и «вторая» взаимные корреляционные функции (§ 38). Но
у стационарно связанных аналитических сигналов 5i2(t) = 0,
и мы получаем для корреляционной функции интенсивностей
простое выражение:
Ь (т) = I В,2 (т) I2 = /,/21 /С12 (т) |2.	D7.24)
') См. также [48].

342
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. VI
Согласно D7.11) измерение tyi(x) непосредственно определяет
видность V(x).
Схема интерферометра интенсивностей показана на рис. 44.
Фотоэлектрические умножители регистрируют интенсивности
световых пучков, т. е. в конечном счете — флуктуации амплитуд.
Полоса пропускаемых
частот определяется
теперь электрически-
электрическими фильтрами, т. е.
?2/2я~ 108 гц (в то
время как оптическо-
оптическому фильтру с полосой
в 100 А соответствует
О/2я~1013 гц). Взяв
для оценки прямоуголь-
прямоугольФЗУ
Антенны
Фильтры
Коррелометр
\Вых, сигнал
Рис. 44.
ную полосу, т. е. фор-
формулу
sin (Qt/2)
Qt/2
нетрудно убедиться, что разность хода в 30 см (т = 10 9 сек)
уменьшает видность всего на 2%. Отсюда вытекает легкость
получения высокого углового разрешения без исключительной
точности изготовления прибора. Вторым преимуществом яв-
является именно нечувствительность к фазам самих световых ко-
колебаний: важны лишь фазы сравнительно низкочастотных флук-
флуктуации интенсивностей. Поэтому на работе интерферометра
практически не сказываются атмосферные флуктуации, при ко-
которых колебания углов прихода не превышают \", а времен
прихода — 10~13 сек.
К недостаткам прибора относится, во-первых, малая чувстви-
чувствительность: наибольшая звездная величина, еще измеримая за
не слишком длительное время экспозиции, определяется шума-
шумами на входе коррелятора. Во-вторых, необходима достаточно
высокая спектральная плотность (число фотонов на единицу
спектрального интервала), которую обеспечивают только горя-
горячие звезды.
Укажем в заключение на иное направление в использова-
использовании интерференции радиоволн для измерительных целей. Высо-
Высокая монохроматичность колебаний радиогенераторов, возмож-
возможность получить большую стабильность их частот (уменьшить
технические уходы) и осуществить взаимную синхронизацию
разнесенных передатчиков — все это явилось предпосылкой к
тому, чтобы распространить использование интерференции на
радиодиапазон. В 30-х годах Л. И. Мандельштам и Н. Д. Па-
палекси развили различные варианты радиоинтерференционных

§ 48]	НЕСТАЦИОНАРНАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ	343
методов для измерения скорости распространения радиоволн в
реальных условиях (а при известной скорости — для измерения
расстояний). При этом были использованы дополнительные
возможности радиодиапазона — легкость трансформации частот
радиоволн в простых дробных отношениях при ретрансляции
этих волн и легкость непосредственной регистрации разностей
фаз интерферирующих колебаний, т. е. не модуля коэффициента
корреляции (видности), а его аргумента соот + 012(т) [см.
D7.8)]. Одним из вариантов упомянутых методов является из-
измерение положения приемника при помощи координатной ги-
гиперболической «сетки», созданной на местности тремя синхрони-
синхронизированными передатчиками. Все эти методы получили прак-
практическое применение в геодезии, картографии, навигации и дру-
других областях (см. [49]).
§ 48. Нестационарная интерференция. Корреляция
источников колебаний
При стационарных и стационарно связанных колебаниях
?i,2@ интерференционная картина абсолютно устойчива. Она
сохраняется при произвольном увеличении времени усреднения
(или накопления) Т и описывается — при эргодичности процес-
процессов ?i,2@—статистическим средним от мгновенного распреде-
распределения интенсивности D7.7). Если же колебания нестационарны
или хотя бы нестационарно связаны, то усреднение по ансамблю
реализаций уже не совпадает с усреднением по достаточно дли~
тельному интервалу времени.
Согласно D7.5) и D7.6) картина, наблюдаемая при неко-
некотором времени усреднения Т, описывается выражением
t + T
/7(IT) =^f\ { | S, (t + т) I2 + I ?2 @ |2 + 2 Re [g, (t + т) l\ @]} dt.
*	D8.1)
Распределение интенсивности по экрану (т. е. в функции от т)
зависит теперь и от текущего времени t, и от интервала усред-
усреднения Т.
Возьмем, например, простой случай двух разночастотных
гармонических колебаний: t,i(t) =е1а*>*, ?2 @ = ег @)°+?2>'. Форму-
Формула D8.1) дает в этом случае
t + T
/7(?7) = у- 5 [1 + cos (Ш - (dot)] dt =

344	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
Мы видим, что полосы, повторяющиеся по т с периодом 2я/соо,
не стоят на месте, а бегут со скоростью, равной (по т)
dxjdt = Й/соо.
Видность этих полос есть |sin(Q772)/(Q772) ], т. е. определяется
произведением времени усреднения Т на частоту биений Q.
Видность близка к единице при Q7 <С 2я. Смысл этого условия
заключается в том, что сдвиг полос за время усреднения Г,
равный (по т) —ггТ =	, должен быть значительно меньше
Clt	COq
периода полос 2я/соо. В противном случае картина будет сма-
смазана, распределение интенсивности станет равномерным. Таким
образом, формула D8.2) описывает непрерывный переход от
полной когерентности при QT—у 0 к полной некогерентности при
ОГ~*оо.
Следует подчеркнуть, что при частичной когерентности
(QT ф 0) мы наблюдаем движущиеся полосы, т. е. суждение
о том, имеются ли отступления от равномерной суммарной за-
засветки, вовсе не предполагает обязательной неподвижности кар-
картины. Все определяется соотношением между характеристикой
прибора (временем Т) и немонохром этичностью (в нашем при-
примере— разностью О, двух частот). Для глаза (Т <— 0,1 сек) по-
полосы могут быть не видны, но, скажем, фотоаппарат с экспо-
экспозицией Т = 0,01 сек может их зарегистрировать.
Разумеется, сказанное применимо к любым модулирован-
модулированным колебаниям, как детерминированным, так и случайным.
Если
t,(t) = A,(t)elW + <9lw\ /=1,2,	D8.3)
где Aj и opj мало меняются за период высокой частоты То =
= 2я/соо, то и разность фи — ф2 ^ opi(/ + T) — фг@ тоже будет
медленной функцией t. Считая для простоты, что As = Л2 = 1
(интерференционная картина особенно чувствительна именно к
фазам), и отбрасывая члены, меняющиеся по времени t с ча-
частотой 2@о, получаем для мгновенной интенсивности формулу
/ (t, т) = 1 + cos (соот + opit — ф2).
В темпе изменения разности фи —Ф2 полосы будут «ерзать» и
(или) односторонне смещаться с мгновенной скоростью
dX	Ф2 — Фк 	 Ч>2 — Ф)Т
dt щ + ф,г""' со3 '
а условие малости их смещения за время наблюдения Т све-
сведется, естественно, к тому, чтобы изменение фг — ф1Т за время Т
было гораздо меньше 2ц.

§ 48]	НЕСТАЦИОНАРНАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ	345
Резюмируя, можно сделать вывод, что в общем случае це-
целесообразно связать само определение понятия когерентности
с временной постоянной прибора. Такое определение является
и более общим, и более гибким, так как не предполагает абсо-
абсолютной неизменности интерференционной картины. Однако если
речь идет о хаотической (случайной) модуляции интерферирую-
интерферирующих колебаний, то, как всегда в таких случаях, интерес пред-
представляют статистические характеристики наблюдаемого явле-
явления. Разумеется, для их вычисления необходим ансамбль реали-
реализаций, получаемых либо в одном и том же интервале времени
(t, t -\- T) при помощи большого числа одинаковых интерферо-
интерферометров, либо, что, может быть, более реалистично, получаемых
на одном интерферометре в последовательные интервалы вре-
времени (ti, t{ -f- T) при воспроизведении одних и тех же условий
в каждый начальный момент tt.
Мы можем либо сначала найти статистическое среднее от
D7.1), а потом выполнить усреднение по времени, либо наобо-
наоборот. В первом случае мы получаем
(I2 (*, т)> = ~ {2В, (t + x,t + x) + 2В2 (t, t) + 2 Re В12 (t + x,t) +
+ [fl, (t + x,t + x) + B2 (t, t) + 2 Re Bi2 (t + т, *) + к. с.]}. D8.4)
Входящие сюда «вторые» моменты В теперь отличны от нуля,
но, в отличие от «первых» моментов В, они содержат колеба-
колебания с частотой 2(оо, например:
r i -i- r\ — 9J2 p2/<ao< 3 If 4- т Л — 9J 91
'i 'T v	It	'	12 * ¦ l> 4	It 2
Поэтому усреднение D8.4) по интервалу Г ^> То = 2я/соо прак-
практически уничтожит члены с Б, и мы получим
t+T
(Т{Г,"х)Ут = gjr J [Bi(/ + т, t + т) + B2(t, t) + 2ReB12(if + t, 0]dt.
D8.5)
Тот же результат получается и при обратной последовательно-
последовательности операций, т. е. при статистическом усреднении формулы
D8.1). Наличие или отсутствие интерференционной картины
зависит от последнего члена формулы D8.5), т. е. от усреднен-
усредненного по интервалу Т смешанного момента, а контрастность
(видность) полос может быть определена аналогично тому, как
это было сделано в § 47 для стационарных колебаний. В этом
последнем случае все моменты В не зависят от t, так что вол-
волнистую черту можно просто снять (скользящее усреднение

346	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
вообще ничего не меняет, а накопление сводится к умножению
на Т) '). Другими словами, формула D8.5) переходит в D7.7).
Остановимся в заключение на «механизме» тех статистиче-
статистических явлений в источниках колебаний, которые приводят к не-
некогерентности этих источников. Под источником мы понимаем
динамическую систему, в которой — наряду с возможными де-
детерминированными воздействиями и взаимодействиями — имеют
место и случайные, причем последние могут принадлежать к
принципиально неустранимым (напомним естественные флук-
флуктуации в автогенераторе, § 28). Характер сил и взаимодействий
может быть самым различным. Возможно, что парциальные си-
системы, из которых состоит источник, связаны детерминирован-
детерминированным образом, но случайные силы, действующие на парциальные
системы, некоррелированы. Тем не менее наличие детерминиро-
детерминированной связи может внести взаимную корреляцию в колебания
парциальных систем. Примером могут служить связанные
осцилляторы, каждый из которых находится под действием
силы, не коррелированной с силой, приложенной к другому
(см. задачу 15). Может быть и так, что само возбуждение ко-
колебаний в парциальных системах обусловлено случайным взаи-
взаимодействием между ними. Примером являются соударения в
газе «атомов»-осцилляторов (см. задачу 11). Разнообразие
встречающихся условий очень велико, и вряд ли есть надоб-
надобность в какой-либо исчерпывающей их классификации.
Мы рассмотрим здесь только одну иллюстрацию того, как
утрачивается когерентность излучения (колебаний) двух свя-
связанных источников, причем ограничимся в основном качествен-
качественной стороной дела и по возможности упростим саму постановку
вопроса. Речь пойдет о двух связанных томсоновских автогене-
автогенераторах, таких, как рассмотренный в § 28. В отличие от двух
связанных осцилляторов (задача 15), т. е. линейных диссипа-
тивных систем, в которых колебания поддерживаются флуктуа-
ционными силами, здесь мы имеем нелинейные автоколебательные
системы. Колебания происходят и в отсутствие флуктуационных
сил (при этом они идеально монохроматичны), а роль послед-
последних состоит лишь в том, что они создают немонохроматичность,
т. е. обусловливают конечную длительность когерентного цуга.
Вместо уравнения B8.1) для одного генератора
D8.6)
мы имеем теперь систему двух уравнений для двух идентичных
') Напомним, что «вторые» моменты Ё для стационарных аналитических
сигналов обращаются в нуль сами по себе, т. е. их отсутствие в D8.5) даже
не связано с условием Т » Tq.

§48]
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
347
и слабо (в порядке малого параметра ц) связанных генера-
генераторов:
причем стационарные белые шумы F\(t) и F2(t) взаимно некор-
релированы:
(Ft (/) F, (/')> = С,6 (/ - О, (F2(t)F2 (П) = C26(t-t'),
{Fl(t)F2(tf)) = 0.
Не имея возможности полностью излагать здесь теорию авто-
автоколебательной системы D8.7), мы приведем только те резуль-
результаты, которые непосредственно нужны для интересующего нас
вопроса. Заметим, однако, что для малых флуктуации около
установившихся автоколебаний x(t) и y(t) можно использо-
использовать корреляционную теорию автоколебаний. Это было сделано
первоначально в работе [50] применительно к одному автогене-
автогенератору, т. е. к уравнению D8.6) (см. § 53). Распространение
аналогичной теории на более сложные автоколебательные си-
системы томсоновского типа и, в частности,' на связанные авто-
автогенераторы D8.7) не встречает принципиальных трудностей.
Ряд таких задач детально исследован
в книге [51].
Рис. 45 иллюстрирует стационарный
динамический (т. е. в отсутствие шумов)
режим. На плоскости Ван-дер-Поля
изображены векторы обоих колеба-
колебаний:
Рис. 45.
у (/) = B0cos (t -+- ф2).
Возможны два равноправных устойчивых
режима, при которых разность фаз равна
ф = ф! — ф2 = н- я/2 и соответственно величина X = Ао/Во либо
больше, либо меньше единицы. Равенство X = 1 достигается
только в отсутствие связи (и = 0), и тогда угол Ф произволен,
т. е. определяется начальными условиями. Для определенности
мы выберем режим с Ф —я/2(А^г1), при котором Ло и Во
определяются уравнениями
Ло (р — Ло) + кВо = 0, Во (р — Во) — %Ло = 0. D8.8)
Предполагается, что генераторы возбуждены (р>0). В отсут-
отсутствие связи (х = 0) мы имеем тогда А0 = В0 = -

348	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
При наличии флуктуационных сил F\(t) и F2(t) мы для про-
простоты полностью отвлечемся от амплитудных флуктуации, счи-
считая Ао и Во постоянными и равными их динамическим значе-
значениям. Что касается фаз, то мы введем их отклонения cti и а2 от
начальных значений фю и ф20 в момент t = 0;
При этом мы подчиним начальные значения условию стационар-
стационарной динамической сбязи: Фо = Фю— Ф2э —я/2.' Тогда а{ и а2
удовлетворяют уравнениям (а = ai — а2 = Ф — я/2)
<x'i--^sma=-Fl(Q), a'2-~ since = - F2 @), D8.9)
где штрихом обозначено дифференцирование по «медленному
времени» 0 = \it, а силы Ft @) и F2 @), линейно связанные с Fx (t)
и F2(t), — тоже взаимно некоррелированные белые шумы:
<Л @)^@')) = й-в @-6'), <^@)^@')) = Й-б@-0/),
Вычитая второе уравнение D8.9) из первого, получаем для
флуктуации угла между векторами х и у уравнение
a'-f y sin a = ^2 (9)-Л (8), Y^y(a.-j)>0. D8.10)
При сильной связи (больших х) флуктуации а малы, так что
уравнение D8.10) можно линеаризовать (since «a):
Поведение векторов х и у выглядит при этом следующим обра-
образом. Угол Ф = -^ + а между ними флуктуирует так, как если
бы эти векторы были связаны пружиной (с равновесным со-
состоянием при а = 0) и двигались в вязкой среде с коэффициен-
коэффициентом трения у- Вместе с тем вся связка векторов х и у случай-
случайным (диффузионным) образом поворачивается и может как
угодно далеко уйти от своего начального положения. По мере
ослабления связи (уменьшения к) «пружина», связывающая
векторы х и у, становится все мягче и флуктуации угла а ра-
растут, т. е. диффузионное вращение каждого из векторов все
меньше зависит от положения другого. В конечном счете, при
к = 0, каждый вектор совершает диффузионное вращательное
движение сам по себе, как это и должно быть у несвязанных
автогенераторов.

§ 48]	НЕСТАЦИОНАРНАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ	349
Нас интересует интерференционная картина, создаваемая
суперпозицией колебаний x(t) и y(t), т. е. распределение интен-
интенсивности ')
1 xy '
где
= Ф1т — Ф2 = <Plt — Ф1 + (ф1 — ф2) = ф!т — Ф1 + -о + «.
индекс т означает, как обычно, что величина берется в момент
времени t -f- т, а волнистая черта (и индекс Г) указывает на
усреднение по интервалу времени Т. В случае линеаризованных
по а уравнений D8.9) и D8.10) флуктуации cti, агй а =
= oci — 0С2 — нормальные процессы, так что и 5 — гауссова ве-
величина (со средним значением 5 = я/2). Поэтому
cos (т + S) = cos [т + 5 + E - 5)] =
= cos (т + S) e~D 's'/2 = — e~D ^2 sin т
и интенсивность равна
Г-ЛЛ* (\ЛЛ1 1М\Л( '^M'JV	1	ГЧЛ/V rJW» f^TJ-J
hy V. *h = j{A*0 + Щ - 2A0B0e-»™ sint}. D8.11)
Интересно сравнить D8.11) с картиной, даваемой каким-
либо одним из связанных генераторов, скажем колебанием x(t):
U (t, т)г = \ [х (t + т) + х (/)]* = A2o[l+ cos (т + S)],
где теперь 5 = щх —: ф! и S = 0. Здесь при линеаризации урав-
уравнений для фаз получаем
/x(f, T)r = 4[l+e-^sJ/2cosT].	D8.12)
В обоих случаях задача сводится к вычислению D[S]. Мы и
приведем теперь результат расчета при линеаризованных фазо-
фазовых уравнениях и для не слишком больших задержек т одного
из колебаний (а именно предполагается, что 7*< 1, где д =
= (хт—-задержка по медленному времени. 0). Последнее озна-
означает, что мы рассматриваем области интерференционной кар-
картины, не очень удаленные от ее центра (т = 0). Для 1ху полу-
получается
%-!-
<»,#}, D8.13)
*) Мы считаем, что т ^ 0. В противном случае в дальнейших формулах
для дисперсий надо было бы писать (т| вместо т.

350	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ	[ГЛ. VI
а для 1Х
DX[S] =
=	Е
2V ^ Я2 -
Здесь ^ = ц2С;-/4р (; = 1,2) — коэффициенты диффузии фазы
каждого из генераторов в отсутствие связи между ними.
Если связь налицо (%Ф0), то Ь=Ф 1 и у^О. Тем самым,
с ростом времени 0 = \it экспонента е~2^ затухает и устанавли-
устанавливаются стационарные дисперсии Z)(°°[S], причем в D8.14) можно
пренебречь первым слагаемым в фигурнАй скобке ввиду его
малости'):
D8.15)
Строго говоря, мы не имеем права переходить в формулах
D8.13) — D8.16) к случаю отсутствия связи (%-*0), так как при
этом утрачивается возможность линеаризации уравнений для
фаз по а. Однако с качественной стороны результаты остаются
вполне осмысленными.
При малых х имеем приближенно X2— 1 « 2%/р и у = %2/р.
так что D8.15) и D8.16) принимают вид
?><Г' [5] « 20,т.
Из-за множителя р/2к2 и слагаемого 2/ц стационарная диспер-
дисперсия D^ [S] чрезвычайно велика при любых сдвигах т, включая
и центр интерференционной картины (т = 0). Это означает, со-
согласно D8.11), что полос практически нет. Напротив, в «авто-
«автоинтерференционной» картине одного генератора D8.12) полосы
(cos т) вписаны в экспоненциально спадающую огибающую
е-2Я11т (ПрИ произвольном знаке т надо писать е~2Я>^х^). Здесь
наличие очень слабой связи с другим генератором вносит лишь
пренебрежимо малые поправки, исчезающие при % = 0.
При к = 0 дисперсия D%] = оо, но это «стационарное зна-
значение» достигается лишь за бесконечно долгое время установ-
установления 8~1/2у->оо. Для всякого конечного t (и 9 = [it)
переход к несвязанным генераторам, т. е. переход к к = 0
') При преобразованиях использованы соотношения между А =
и величинами у, % и р, вытекающие из D8.8) и D8.10).

§ 49]	СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛЯРИЗАЦИИ	351
в формулах D8.13) и D8.14), дает
Dxy [S] = 2 @i + 02) t + 20;т = 20, (f + т) + 202^, D8.17)
Dx[S] = 2?>1t.	D8.18)
Таким образом, авгоинтерференция стационарна и такая же,
как выше, а интерференция между генераторами нестационарна
и, как легко видеть, обусловлена независимой диффузией фаз
обоих генераторов, первого — за время t + т, а второго — за
время /.
Если под волнистой чертой в D8.11) понимать операцию на-
накопления за время от 0 до Т, то, в соответствии с D8.17) и
D8.11), получаем (поскольку при х = 0 амплитуды одинаковы,
Во = Ао)
Картина полос, такая же, как и у одного генератора (если не
говорить о сдвиге на половину полосы), исчезает, как только
время накопления Т заметно превзойдет время «суммарной»
диффузии 1/@!+0г).
Наконец, что совсем тривиально, при «выключении» случай-
случайных сил, когда диффузия фаз прекращается и колебания стано-
становятся строго монохроматическими @i = 2J = 0), обе интерфе-
интерференционные картины D8.11) и D8.12) стационарны и обладают
9-4 R
постоянными видностями соответственно V =—„ " ° и У=1.
Строго монохроматические колебания ничего «не знают» о том,
зависимы или независимы их источники.
§ 49. Статистические характеристики поляризации
модулированных колебаний
Рассматривая интерференционные явления, мы неявно пред-
предполагали, что в случае поперечных (в частности, электромагнит-
электромагнитных) волн поляризация складываемых колебаний одинакова.
Это позволило ограничиться скалярной теорией интерференции
модулированных колебаний. В общем случае поперечных волн
необходимо рассматривать векторное колебание — вектор l(t),
лежащий в плоскости, перпендикулярной к направлению волно-
волновой нормали. Вводя на этой плоскости декартовы координаты
х = х\, у — я2, можно записать две проекции вектора \{t), т. е.
два взаимно ортогональных модулированных колебания:
l(t)], /=1,2.	D9.1)

352	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
При идеальной монохроматичности (при постоянных Aj и qpj)
поляризация полная: вектор §, вращаясь с угловой частотой ш0.
в общем случае описывает эллипс с отношением полуосей
, Ь i	¦ п 2AiA2 sin (q>i — ф2)	f лп п\
±- = tgx, sin 2* =— л2+Л2	* *
и углом наклона у большой полуоси а к оси х\, определяемым
равенством
Если ф1 — фг = пп, где п — целое число, то поляризация ли-
линейна. При ф1 — фг = Bп -f- 1)л/2 главные оси эллипса направ-
направлены по координатным осям Х\ и х2, а если, кроме того, А\=А2,
то поляризация круговая.
В случае модулированных колебаний, когда Aj и ф3- детерми-
нированно или случайно меняются со временем, различные
виды поляризации в темпе модуляции сменяют друг друга —
соответственно детерминированным или случайным образом.
Удобно и в векторном случае перейти от вещественных про-
процессов lj(t) к аналитическим сигналам:
Су(О = Л/(Ое'1в»'+ф/(<)] = Я/(/)е'Ч /=1,2, D9.4)
где 91/ (/) = Aj (t) e'V '— комплексные амплитуды. Мы сразу
предположим, что %}(t), а значит, и t,j(t)—стационарные и ста-
стационарно связанные случайные процессы. Полное совместное их
описание в рамках корреляционной теории дается корреляцион-
корреляционной матрицей
которая характеризует как средние поляризационные свойства
вектора t,(t), так и его спектральные свойства, поскольку в
стационарном случае существует матрица спектральных плот-
плотностей ?уА(со):
00	+00
*и*М = 4 S ^ы*(ffl)еШd&> ^mW*4 \ Slk(Q)^2MQ,
О	—оо
где функция gjk(Q)=giJk(<i>o-{-Q) отлична от нуля только
в окрестности Q = 0, узкой по сравнению с соо-
Однако если интерес представляют только поляризационные
свойства t,(t), то во многих случаях можно ограничиться квази-
квазистационарным (или даже, лучше сказать, квазистатическим)'
приближением, а именно временными задержками т, гораздо
меньшими длины когерентного цуга 2n/Qm (Qm -=>¦ ширина по-

§ 49]	СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛЯРИЗАЦИИ	353
лосы, в которой Jfjfe(fi) заметно отличны от нуля). Таким обра-
образом, о)От <^[ 2яо)о/йт, что не исключает, конечно, возможности
«от » 2я, т. е. сдвиг т может охватывать много периодов вы-
высокой частоты о)О. За столь короткие времена т комплексные
амплитуды %j(t), а тем самым и поляризация почти не меняют-
меняются, и поэтому в первом приближении можно вообще пренебречь
этими изменениями, описывая поляризацию средними значе-
значениями попарных произведений %(t)!, взятых в один и тот же
момент времени:
J!k = (%!(t)%Ut)) = (Al(t)Ak(t)eil'pi{i)-*k(% /,?=1,2. D9.5)
Величины Jjh образуют так называемую матрицу (тензор) поля-
поляризации:
Эта матрица эрмитова (/21=^2). ее след и детерминант, как
легко видеть, вещественны и неотрицательны:
ел. J = Ju+J22 {Af} + (AfJI0>0,
D9.7)
| / I = /] 1/22 — •^12"'21 ^ О,
и инвариантны при любом ортогональном повороте осей в пло-
плоскости (х\,х2). Через /0 обозначена полная интенсивность век-
векторного колебания %(t):
= {(/и + /и)^{сл./.	D9.8)
Найдем среднюю интенсивность, даваемую обоими колеба-
колебаниями, если их спроектировать на некоторое направление
N = (cos 0, sin 9) в плоскости (хи х2) '). Предположим при этом,
что одно из колебаний, скажем ?i@> задержано на время т <С
«С 2я/0щ, т. е. запаздывает по фазе на е = «от. В амплитуде
Sti @ мы, как сказано, этого малого запаздывания не учитываем.
Тогда
/ @, е) = \ (| 21, @ eie cos 6 + 9l2 (t) sin 6 |2> =
= 4- {/u cos2 0 + ^22 sin2 6 + (/12eie + J2ie-le) sin Q cos 6}. D9.9)
') В оптике эту операцию осуществляет николь или поляроид, в радио —
линейная антенна, например линейный,вибратор.

354	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
Если ввести коэффициент взаимной корреляции
^ = |И12|е'Ч	D9.10)
то
V + hrl* = V + J\f~" = 2VVl| 1*12 I C°S (Pl2 + e)
и, следовательно,
/ F, e) = j {/„ cos26 + /22 sin2 6 +
+ 2 У/ц/22 I И-121 cos (pI2 + e) sin 0 cos б}. D9.11)
Этому выражению можно придать вид D7.4), если ввести ин-
интенсивности /l = 7ц cos2 в и /2 =/22 sin 2 0, отвечающие ампли-
амплитудам А\ cos б и Л2 sin 0 проекций каждого из колебаний на
направление N. Существенное отличие от D7.4) заключается
в том, что там коэффициент корреляции К\2 — функция т (мы
интересовались влиянием на интерференцию спектра складывае-
складываемых колебаний), а в D9.11) ц,12— комплексное число, характе-
характеризующее корреляцию одновременных значений амплитуд и фаз.
Полностью неполяризованное колебание (в оптике — есте-
естественный свет) обладает осевой симметрией, т. е. интенсивность
/@, е) не зависит от угла 0, а кроме того, не меняется при из-
изменениях запаздывания по фазе е (разумеется, при оговорен-
оговоренном выше условии е <С 2naio/Qm). Из D9.11) ясно, что это воз-
возможно только при 7ц = /22 и Ц12 = 0 (/i2 = hi = 0). Так как
/п +/22 = 2/0) где /о — полная интенсивность, поляризационная
матрица принимает в этом случае вид
D9.12)
В противоположном случае монохроматического (а значит,
полностью поляризованного) колебания можно снять в D9.6)
знак усреднения << > (все реализации тождественны), и тогда,
очевидно,
| /| = /,,/ja — /ia/2I == 0, ц12 = е"«>>-4	D9.13)
так что |^i21 = 1. Эти соотношения справедливы и в том част-
частном случае неполной монохроматичности, когда
А% (t)JAi @ .= const, ф! (t) — ф2 (t) = const.
При этих последних условиях меняется только размер поляри-
поляризационного эллипса (т. е. полная интенсивность), а его эксцен-
эксцентриситет и наклон остаются неизменными.

§ 49]	СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛЯРИЗАЦИИ	355
При линейной поляризации (qpi — <р2 = пп) все элементы
матрицы 7 вещественны, а при круговой поляризации
<49-14)
причем верхний знак соответствует правой поляризации, а ниж-
нижний — левой.
Очевидно, при суперпозиции некоррелированных колебаний
(tj (t) = YjQn)(t), /=1.2^ поляризационные матрицы склады-
складываются:
Обратное разложение колебания t,j(t) на сумму некоррелирован-
некоррелированных колебаний, вообще говоря, неоднозначно. Например, ма-
матрицу поляризации полностью неполяризованного колебания
можно представить как в виде суммы
(\ 0\ (\ 0\
lo ij=4o oJ
0 0
т. е. разложить t,j(t) на некоррелированные колебания, линейно
поляризованные по осям Х\ и х2, так и в виде
\0 \)~ 2
2 \—i lI 2 \i
что соответствует сумме двух некоррелированных циркулярно
поляризованных колебаний — правого и левого. Но при допол-
дополнительных требованиях разложение может быть сделано одно-
однозначным.
Важным разложением такого рода является представление
заданного векторного колебания в виде суммы двух некоррели-
некоррелированных колебаний — полностью неполяризованного и пол-
полностью поляризованного, так что
°)	(? ) D9.15)
где А, В а С неотрицательны, причем, в соответствии с D9.13),
имеем ВС — DD* = 0. Из D9.15) в компонентах
и, следовательно,
ВС - DD* = (Jn-А) (/й-Л)

356	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
Из двух корней этого уравнения для А (оба корня, как легко
видеть, вещественны и неотрицательны) следует выбрать корень
- = j {/и + /22 - V(/n - h*J + 4/,2/21 }.	D9.16)
так как только для него выполняется условие неотрицательно-
неотрицательности В и С:
7		D9.17)
С = \ {J22 - /u + V('ii - inJ + 4/12/2i }•
В результате разложение D9.15) оказывается единственным.
Кроме того, оно инвариантно по отношению к ортогональному
повороту осей в плоскости (хи х2).
Степенью поляризации Р называется отношение интенсивно-
интенсивности поляризованной части
1 = Сл- J ^T
к полной интенсивности
Таким образом,
' = ТСЛ-
Очевидно, степень поляризации — инвариант ортогонального по-
поворота осей, поскольку она выражается через инварианты ел. 1
и |7|. Она меняется от значения Р =*0 (отсутствие поляризации,
/а zz= /22, Jl2 = /2i = 0) до значения Р = 1 (полная поляриза-
поляризация, |7| = 0).
Переходя в формуле для интенсивности D9.11) к косинусу и
синусу угла 20, получаем
/@, е) = |{/„+/22+ V(/..-/22J+4/12/2.cos2(p12+e)cosB0+a)},
откуда ясно, что наиболее сильные вариации 7@, е) при изме-
изменении угла 0 происходят при такой фазовой задержке е, для
которой cos2(pi2 + е) = 1. В этом случае
Следовательно,
F, е)тах - / (В, e)min
р =
/ (8, е)тах + / (В, 8)га1п '

§ 49]	СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛЯРИЗАЦИИ	357
что позволяет находить значение степени поляризации Р посред-
посредством соответствующих измерений.
Иногда, наряду с полной степенью поляризации Р, оптики
пользуются еще степенью циркулярной поляризации
р 	о (AiA2 sin (ф! — ф2)) 	 i G21 — /|2)
Р-г	-
, Q 1Q.
D9Л9)
и степенью линейной поляризации
р
cos («p. ~ ъ)У -
= /„ + /22 V(/n - ^J + (/ia + /21J .	D9.20)
Нетрудно убедиться, что полная степень поляризации Р есть
Р = Л/Р/ + /JС.	D9.21)
Предлагались и другие меры степени поляризации, пригод-
пригодные при определенных дополнительных условиях (например, в
случае нормально распределенных t,i(t) и ?2@—среднее поля-
поляризационное число Ri2 = {r'u) = (S2/S1), см. [52]), но мы не бу-
будем на этом останавливаться. Укажем только на связь рассмот-
рассмотренных выше величин с параметрами, которые были введены
Стоксом еще в 1852 г.
Матрица поляризации содержит четыре вещественных вели-
величины: 7ц, /22, Re /12 и Im/i2. Параметры Стокса, часто исполь-
используемые в оптике, следующим образом связаны с элементами
матрицы поляризации'):
1ф2)) = /12+/21)
V = 2(Л,Л2 sin (ф, — ф2)) = i (/2I — /21),
откуда
/и =-§¦(/+ Q), Jv2 = i(U + iV),
,	,	D9.23)
/ |(/Q) Ji(UiV)
Во все безразмерные характеристики поляризации входят, ко-
конечно, только отношения параметров, что и понятно, так как
') В наших обозначениях параметр Стокса / равен удвоенной полной
интенсивности: / = 2/о. Часто в определении интенсивности D9.8) опускают
множитель 1/2, т. е. считают, что /0 = (.Л?) + (Л2.), и тогда / = /0.

358	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
указанные характеристики не должны зависеть от полной ин-
интенсивности. Другими словами, как элементы матрицы поляри-
поляризации, так и параметры Стокса всегда можно нормировать на
величину / = /ц + /22 (или просто считать /=1), и тогда
остается только три независимых параметра. Все же использо-
использование четырех параметров обладает известным преимуществом,
так как не требует перенормировки при сложении некоррелиро-
некоррелированных колебаний или разложении на такие колебания. Пара-
Параметры Стокса, будучи линейно связаны с элементами матрицы
поляризации, очевидно, тоже аддитивны при сложении некор-
некоррелированных колебаний.
Пользуясь соотношениями D9.23), нетрудно выразить поля-
поляризационные характеристики D9.18) — D9.20) через параметры
Стокса:
v_
I
Неотрицательность |7|, означающая, что Р ^ 1, выражается не-
неравенством
При полной поляризации здесь имеет место равенство, а в от-
отсутствие поляризации Q = U = V = 0. Характеристики поляри-
поляризационного эллипса D9.2) и D9.3) для полностью поляризо-
поляризованной части колебания выражаются через параметры Стокса
следующим образом:
Итак, все статистические характеристики поляризации моду-
модулированных колебаний полностью описываются в рассматри-
рассматриваемом приближении (т <С 2n/Qm) через моменты второго по-
порядка одновременных значений комплексных амплитуд 9d(t) и
В работе [53] показано, что для нормальных колебаний ?i(<)
и ?2@ степень поляризации Р может быть выражена и через'
вторые моменты флуктуации мгновенных интенсивностей Ij(t) =
= 6@?H0/ / = I' 2- Введем корреляционную матрицу интен-
интенсивностей а с элементами сг^ такими, что
о% = (Л/, {t) Mk {t)) = ((I, - fj) (Ik - Tk)) =
Так как для нормальных величин

Задачи	359
а для аналитических сигналов (?/?*) = ()> получаем
Это соотношение тотчас же приводит к равенствам | й| = |/| и
ел. 6 = ел. 7. Следовательно, для нормальных процессов ^ и ?2
степень поляризации D9.18) можно записать также в виде
т. е. можно находить Р, измеряя моменты флуктуации интен-
интенсивности.
Отметим в заключение, что в случае нестационарных колеба-
колебаний ?i (t) и ?2 (О характеристики поляризации (матрица поляри-
поляризации или параметры Стокса) будут — в том же квазистацио-
квазистационарном приближении, т. е. при пренебрежении сдвигом т в ком-
комплексных амплитудах, — функциями времени t. Совершенно
так же, как и для нестационарной интерференции, вопрос о том,
в какой мере колебание t,(t) поляризовано, может теперь нахо-
находить различный ответ в зависимости от соотношения между
характерными временными масштабами изменения статистиче-
статистических средних Jjk (/) = B1/ (t) %l @) и длительностью Т наблю-
наблюдения (усреднения или накопления). Если, допустим, при доста-
достаточно малом Т удается фиксировать поляризационный эллипс
определенного размера и формы, то при увеличении Т может
оказаться, что
hi (Or == hi @г> ^12 (Or == h\ @r>
т. е. при больших Т колебание будет полностью неполяризован-
ным. То, что целесообразно усреднять по времени наблюдения
именно элементы матрицы поляризации [а, скажем, не степень
поляризации Р, вычисленную по D9.18) через Jjh(t)], видно из
D9.9): наблюдаемая средняя интенсивность I(t,B,e)T линейно
связана с Jjh(t)T-
Задачи
1. Вывести выражение для многомерной характеристической функции
комплексного нормального процесса t,(t) = |@+ fi@ (c (W)) =0) через
его комплексные корреляционные матрицы, исходя из 2/г-мерной характери-
характеристической функции вещественных процессов g(^) и r\(t).
Решение. Обозначим возможные значения IUa) через Xk, a r\(tk) —
через хп+к, k = 1, 2, 'J..., п. Характеристическая функция 2п гауссовых ве-
величин Xj (/=1,2	2п) есть
Ф9п(и) = ехр< - —

360	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
Параметры и, тоже можно записать как и^и «rt+fe, &== 1, 2, ..., я, так что
2п	п
Воспользуемся теперь комплексными возможными значениями zfe = jtft + <* . ь
величины ?(*«,) и комплексными параметрами Ub = u.-\-iu ... Так как
=== _1_ ^
получаем
2п
и, следовательно,
2«	\2\	2п
ft, /-1
где через ftfe; и 6j.; обозначены половинные значения элементов корреляцион-
корреляционных матриц:
1 / »\ г	1 ,
В силу эрмитовости матрицы В(йА,/==й;&) первые два члена в правой
части A) совпадают и характеристическая функция принимает вид
Ф2„ (U) » ф„ (U, U*) =
Т Z №ыи1и1 + hiU'tP] + tot/,] }. B)
ft, г-i	J
Если ?(/)—стационарный аналитический сигнал, то Бы = 0 (§ 38), и тогда
, U*) - ехр 1-1 ?ьии\и
Фп (U, U*) = ехр \ -1 У Ьк1и'ки( \ .	C)
Соответствующее C) распределение есть
wn(zh ..., zn)dx =
dx
Bя)
— оо	v
rfx
J • • • J Фя (U; U») exp I - -i ? (**^ + ^ft) | <*и -

ЗАДАЧИ	361
где B^i — элементы матрицы, обратной В = (bkl), dx = dx{ ... dx2n и
du = du\ ... du2n, \B\ — детерминант матрицы В.
Исследованиям комплексного нормального распределения посвящено до-
довольно много работ (см., например, [54] и приведенную там литературу).
2. Получить моменты любого порядка для стационарного аналитического
сигнала с помощью найденной в предыдущей задаче характеристической
функции C):
Ф (U, U*) - e~s (Ul u*>, S (U, Щ = j Y, bklu*kUf
k.i
Решение. Общее правило вычисления моментов путем дифференциро-
дифференцирования характеристической функции остается прежним:
/	.	.ч	дт+пц,(Ц, Щ
\zh¦ • • Vix • • • V~ i>»+"dul ...dul аи, ...аи,
Bl	ят 'l	ln и-0
Однако теперь надо учесть, что производная S(U,U*) по какому-либо С/„
зависит только от U* и наоборот:
dS IP, ,,* dS
Г = 7 Е Ь*Р*
dUn 2 ^ кп	dUn 2 l
Поэтому из вторых производных 5 отличны от нуля только смешанные:
d2S __ 1 =_1/ »\
аитди'я 2 пт A^Zm>
Это означает, что отличны от нуля лишь те моменты четного порядка, кото-
которые содержат поровну сомножителей zk- и zt. Результат можно записать
следующим образом [55]:
1)	если т ф_ п, то
(zk ... zk г* ... г] ^ = 0;
2)	если т = п, то
(г	2 2* г* \ — V U г* \ /г 2* \ /г z \
\zfe. • • • zknzl, • • ¦ zlj — Li \zk,zln(l)/ \zkzln№/ '' • \zk*ln(n)/'
где я — перестановка целых чисел 1, 2,..., я. Сумма распространяется на
все эти перестановки, т. е. содержит я1 слагаемых, например:
BlW4> - (Z1Z3> (Z2Z1) + <Zi24> (Z2Z3>-
<Z,Z2Z32IZ5Z6> =
= (Z1ZI) (Z2Z5> (Z3Z6> + (Z1ZI) (Z2Z6> (Z3Z5> + <Z,Z5> (Z2ZI) (Z3Z6> +
• + <2iZ5> (Z2Z6> Wl) + (Z1Z6> (Z2ZI) (Z3Z5> + (Z!Z6> (Z2Z5> (Z3ZI)-
В частности,
3. Показать, пользуясь «теоремой Хинчина, что корреляционная функ-
функция i|)(t) стационарного в широком смысле случайного процесса |@

362	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ	1ГЛ. V'
удовлетворяет неравенству
¦т	-\2 гт t
I	Г Г
¦ф (т) dx \ < сг2 имф (т) dx,
-¦	0 0
где о-2 = Ир @) = D [|] [56].
Решение. Пусть для простоты | = 0, так что
¦ф (т) = | (/ + т) | (<) = ^ cos сет rfG (со), (Т2= J dG(co).
Следовательно,
+оо
S. . , f sin «Г , .
¦ф (т) dx — \	 dG (со),
О	-оо
2Г <	+оо	2Г	+о6
(t)((t= \ -^ dG (со) \ sin Ы dt = 2 \ P'^^VrfG (со).
О	0	-оо	0	.
В силу неравенства Шварца
2 |$1,<т) J=2[j-^d0(
+ оо	+оо
<2 ( ( 8'"ШШГ J rfG (ш) ^ dG (С0) ^ а2
-00	—ОО
4. Тем же способом, каким получена формула D1.9), установить условия
стационарности вещественной случайной функции
I (О = Yi (а« cos Шп/ + bn sin ш»^-
п
Ответ.
При этих условиях
() = X Bn cos со„т
Таким образом, гармоническое колебание A cos(co?+cpo), где фо — постоянная,
а А — случайная величина, не может быть стационарным процессом даже при
А = 0.
5. Найти функцию корреляции процесса Z(f), получаемого из стационар-
стационарного процесса Z,(t) посредством скользящего усреднения:
= -f ] %{i)dt.
t-nz

ЗАДАЧИ	363
Решение. Подставив в формулу для Z (/) спектральное разложение
> находим
t + Tl2
Z(t)= \ dC«o)±. \
t-T/2
Воспользовавшись формулой D1.2), получаем функцию корреляции (считаем,
что g = 0)
Первый сомножитель под интегралом подавляет частоты |со|>2я/Г, т. е.
скользящее усреднение сглаживает быстрые (в масштабе Т) изменения ?(<)¦
Можно сказать, что эта операция отвечает действию фильтра с функцией
передачи (см. § 50), у которой
sin (аГ/2)
0D772
6. Для детерминированного импульса F (t) = e~2'2/W2g (t), у которого за-
заполнение ?(/) —синусоидальное колебание с линейно меняющейся частотой
со@= соо + at, т. е. |(<) = cos(<Bo< + a.tzl2), найти «корреляционную функ-
функцию»
+ 00
*-М- S /> @/> « + *)<«.
Оценить эффективное «время корреляции» тРк в том случае, когда девиация
мгновенной частоты за время д мала по сравнению с «о (ад<шо), a ft много
больше среднего периода 1/<в0 (cooO^l).
Решение. Подстановка F(t) = e~2t'l®' cos (<в0/ + <х<2/2) в Т^ (т) и
замена переменной интегрирования t на x = t -\- т/2 приводят выражение
для Ч?р (т) к виду
+ 00
-г»/0» Г	r	r	ат2 ч')
^ (т) =	5	 \ е~ 1cos (ахх + c°ot) + cos f ax2 + 2а0х + —^-\ j dx>
Для вычисления интегралов воспользуемся формулой {57]

364.	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. VI
(а > 0), что дает
ат2 асо2д4
S
где s = 1 +
Если аФ2<§с4, т. е. s близко к единице, то оба гауссова множителя
одинаковы по ширине (~2в), но второй член мал из-за множителя е Ш° ' ,
поскольку мы принимаем, что соод»1. Если же ад2»4, так что и
s» а2{И/16» 1, то в первом члене гауссов множитель имеет ширину
~2d7Vs> малую по сравнению с шириной гауссова множителя во втором
члене (~_2д). Условие того, чтобы в пределах ширины первого члена
второй член был мал, очевидно, сводится к требованию
со2д2	со2д2 а2д4
или
16
Это выполняется ввиду предположения о малости девиации (<xb <g шо). Та-
Таким образом, при указанных условиях функция YfIt) во всей существенной
области т с достаточной точностью описывается первым членом полученной
формулы и, следовательно, имеет эффективное «время корреляции»
где тк = 4/ad — «время корреляции» частотно-модулированного заполнения,
обратное девиации ad мгновенной частоты со (t) = too + at на ширине оги-
огибающей Ь. У сложного импульса гк = 4/а^<д и трк « 2тк. Наоборот, при
уменьшении а, когда заполнение приближается к гармоническому колеба-
колебанию, у которого «время корреляции» тк бесконечно, импульс становится
простым и хрк ->¦ 2в.
7. В § 11 был рассмотрен импульсный пуассоновский процесс со случай-
случайной длительностью импульсов ©v и получена формула A1.8) для функции
корреляции такого процесса. В частном случае процесса A1.9):
эта формула приним^т вид
ОО	+ОО
с
0|)| (Т) = П,<
Найти с помощью теоремы D2.9) спектральную плотность такого процесса.
Решение. Вводя спектральную амплитудную плотность импульса по
безразмерной переменной 0 = </д:
+ 00
1

ЗАДАЧИ
получаем, в соответствии с теоремой D2.9), что
О
или, через размерную частоту и = ос/д,
| F (a) |2 e'aT/* da,
+ 00
О
Таким образом, спектральная плотность процесса A1.9) равна
g| (со) = 2ппр \ д21 F (ш*) |2 щ^ (*) db.	A)
о
8. Для прямоугольных импульсов с экспоненциальным распределением
длительностей ^:
в § 11 получена экспоненциальная функция корреляции A1.10):
которой, по теореме Хинчина D1.7), соответствует спектральная плотность
Убедиться, что к этому же результату приводит и расчет по формуле A),
полученной в предыдущей задаче.
Решение. Для прямоугольного импульса с F @) = 1 в интервале 8
(О, 1) имеем
так что
и формула A) предыдущей задачи дает
д W
1
9. Какой вид принимает формула D6.22) в случае пуассоновского про-
процесса, когда ф (со) = «i/(«i — to)?
Ответ.
g (со) =» 2яп, | /С (<о) + 2 Re [/ (ю) Я* (со)] - 2 -^- Im [/ (ю) Я* (со)] |,

366
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. VI
10. Найти спектральную плотность и функцию корреляции пуассоновского
процесса с независимыми интервалами в случае импульсов, линейно нара-
нарастающих со временем с фиксированной скоростью а в каждом интервале
(tv, /v+i)> причем от нулевого зна-
значения при t = tv, т. е. по закону
(рис. 46)
t
Рис. 46.
Так ведет себя, например, скорость
заряженной частицы в среде, если
в течение свободного пробега уско-
ускорение а постоянно (движение в постоянном электрическом поле), а при соуда-
соударениях с атомами среды скорость частицы падает до нуля.
Решение. Вводя Q — (t~tv)lt, получаем, согласно D6.21),
1
При wx (r) — я,е _ "|Т расчет по формулам D6.19) и D6.20) дает
а	.	а
К (<*>)¦
-, Я(ю) = -
(nt — /со)
Учитывая, что <р(ю) = щ/(гц — {<й), находим из D6.22)
f
r)
f
ял, («j- + or)
Этой спектральной плотности соответствует экспоненциальная функция кор-
корреляции
4
11. Найти спектральную плотность процесса D6.18) в случае пуассонов-
ских импульсов, представляющих собой экспоненциально затухающие сину.
соидальные цуги (рис. 47):
= av exp [— (у — /co0v) X
XV- tv) + pv].
Случайные величины av =
= {av, tt>ov, Pv} предполагаются
взаимно независимыми. Этот про-
процесс моделирует излучение ос-
осциллятора («атома»), возбуждае-
возбуждаемого ударами в моменты tVl после чего происходит -высвечивание до следую-
следующего удара; 1/y — время высвечивания (в квантовой механике — время жизни
возбужденного состояния), определяющее минимальную («радиационную»)
ширину спектральной линии. Частота coOv в разных импульсах различна из-за
эффекта Допплера, так как при ударах случайным образом меняется посту-
поступательная скорость «атома» v вдоль направления наблюдения, а сдвиг toov
от частоты, излучаемой покоящимся атомом, пропорционален v.
Рис. 47.

ЗАДАЧИ	367
Решение. Как и в предыдущей задаче, F —детерминированная функ-
функция и угловые скобки в D6.19) и D6.20) означают усреднение по пара-
параметрам а, а>о и р. Вводя 0 =(< —tv)h, получаем по D6.21)
\ — аеФ ' ~ ехР f~ (V ~ 'м°)т ~ '
Полагая а = сот и wx (т) —tiie~n'x, находим из D6.19) и D6.20)
Kln)-W2 [ /l-2e-VTcoS(o)o-o))T + e-2VT\ ;_„,,
*<ш> —МГ ) \	(co0-coJ + Y2	Г dX==
о
_ (y + «i)^ /	1	\
2я2 Bу + ni) \ («о - соJ + (Y + «!J /'
Я (со) = ^- \ /exp[-V+/(cOo-co)]T-l\ е_„,т =
2я J \ г (со0 — со) — y /
о
= ае^_/	1	\
2я \ Y + rti — г (и0—со)/'
п,йё^ f/е-(
2я J \ г (
со)
aei& I	1	\
1 — /со) \ y + «1 — i (соэ — со) /'

tiiaei&
2я («i ¦
где теперь угловые скобки обозначают усреднение по распределению со0.
С учетом того, что ср(со) = «i/(«i — ico), имеем
i
1 — i (со3 — со)
т. е. в D6.22) остается (при любых распределениях о, р и со0) только
первый член:
A)
—^
Заметим, что при а = 0и (или) егр=0 [т. е. при равномерном распределе-
распределении фаз Р в интервале @,2л)] величины Я (со) и /(со) обращаются в нуль
и в формуле D6.22) остается только первый член без предположения
о пуассоновском потоке моментов tv.
В случае газа «атомов»-осцилляторов лучевая скорость v распределена
нормально, в силу чего и допплеровский сдвиг соо—cu0 ~ v имеет гауссово
распределение. Однако интеграл
Т
/	1	\	1	Т ' е-(ш
\(coo-coJ+(y + «iJ/ V2reffa J (coo-co)

368	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ	[ГЛ. VI
при произвольном значении со не вычисляется в замкнутом виде. Вводя в B)
обозначения
со — шо	со0 — шо . Y + «i	i
х<=—=—, у==—¦=	, о = —=—
У 2 о-а	V2 о-щ	V2 <т<в
можно записать выражение A) для спектральной плотности следующим
образом:
+ со
¦ . .	n,Pf/F, *)	.... . Ь [ e~yldy
Функция U (b, x) называется (нормированной) функцией Фохта (см. [58]).
Если параметр Ь мал, т. е. основную роль играет допплеровское уширение
линии, то для грубой оценки можно вынести из-под интеграла значение
экспоненты в точке у = х, и тогда U F, х) »—-=-е~х . Таким образом,
У
в этом случае получается форма линии, близкая к гауссовой (колокольной).
Напротив, при 6^1 можно вынести из-под интеграла знаменатель, положив
в нем у = 0, что дает U (Ь, х) « — 2	. Для g (со) получается фор-
мула A) с со = <в0 и, конечно, уже без угловых скобок [при Сщ-^-О гаус-
гауссово распределение соо переходит в б (соо — U0)dcoo]. Таким образом, при
малой роли эффекта Допплера получается лорвнцева форма линии с макси-
максимумом на ш = <в0 и полушириной tii + Y- Радиационное затухание Y и сред-
среднее число соударений в единицу времени П\ входят в полуширину адди-
аддитивно. Полная интенсивность равна в этом случае
/= ^ g(co)rfco= 2v^ni,
так что спектральную плотность можно записать в виде
л (со — <50J + («1 + yJ
12. Если сложить ./V независимых процессов lj(t) вида, рассмотренного
в конце предыдущей задачи, т. е. интересоваться суммарным излучением N
независимых одинаковых осцилляторов (без эффекта Допплера), то для
N
? @ == Zj ^>1 О спектральная плотность будет просто gj (со) = Ng (со), а
1
форма спектра останется прежней. Но, казалось бы, можно рассуждать иначе.
Все независимые моменты ударов у всех осцилляторов tv (/ = 1, 2, ..., АО
можно расположить в порядке их возрастания и занумеровать общим индек-
индексом ц. Интервал ^+1 — ^ в среднем будет в Л' раз короче, чем у каждого
процесса %j{t) в отдельности, где он равен 1/ni, т. е. среднее число ударов
в секунду для ?(/) будет равно Л/zii. Форма импульса у процесса %(t) та же,
что и у процессов |3'@. так как сумма цугов с некоторыми амплитудами и
фазами, изменяющихся со временем по закону e~v/+<<°0<, снова дает такой
же затухающий цуг. Но тогда применение формулы D6.22) депосредственно
к суммарному процессу |(<) должно дать лоренцеву линию с полушириной
Y + Ntii, а не y + «ь что противоречит выражению gj (со) = Ng (со). Объяс-
Объяснить, в чем причина противоречия.

ЗАДАЧИ	.	369
\ Решение. При выводе D6.22) предполагалась взаимная независимость
всех параметров av и pv (частоту <bv = coo мы считаем теперь фиксирован-
фиксированной), в результате чего все импульсы были некоррелированы. Для суммар-
суммарного же процесса \(t) импульсы коррелированы, так как в каждый момент t^
случайным образом меняются амплитуда и фаза только одного из ./V склады-
складываемых колебаний / = 1, 2, .... N. Корреляция ц-го импульса с соседними
исчезнет лишь после того, как скачки произойдут у каждого из складывае-
мых колебаний, а для этого потребуется в среднем ./V интервалов ^ц-м—t^,
т. е. время 1/я4. Таким образом, формула D6.22) неприменима к суммарному
процессу |(^) из-за наличия корреляции между его импульсами.
13. Выяснить, каково совместное влияние на видность интерференционной
картины немонохроматичности излучения и малых флуктуации угла падения
волны а, приняв гауссову форму спектральной линии и нормальное распре-
распределение для а с а = О и а2 = а2. Для простоты можно положить, что
/i = /2=/=j*@).
Решение. Согласно D7.14)
В (т - т„) = В @) ехр { - Q2 (Т~ ТаJ + to0 (т- та) J.
Если заменить (ввиду малости ст2) sin а на а, то разность
d
Х = т— та = т— — а
тоже будет нормальной величиной с % = т и D [%] = a =d "а/с > Т- е#
с распределением
Формула D7.18) приво_дит тогда к следующему выражению для безусловной
функции корреляции В (т):
0
-оо	* м
где р = 1 + &2сг2/8. Следовательно, усредненная по а интенсивность D7.7)
равна
-(— + —JJcos—)
и, соответственно, видность есть
1	Г /О2т2
I
Г /
-I
L V
VP L V 16Р	2р
В отсутствие флуктуации угла а (а = 0, Р= 1) мы возвращаемся к фор-
формуле D7.14). При афО, но при идеальной монохроматичности (Q = 0, р =^= 1)
получаем
<2/

370	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ. ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ	(ГЛ, VI
т. е. видность снижена на протяжении всей интерференционной картины оди-
одинаково и быстро убывает с ростом ст2 = d2cr2/с2. Согласно A)
В @)	I 16р	р
так что при а Ф 0 К (т) =^ | /С (т) |.
14. Рассчитать видность интерференционной картины в том случае, когда
стационарные квазимонохроматические колебания на щелях интерферометра
имеют вид
С/@-.'^+*/('Ч / = 1,2,
причем фу @ = 0, фу(О = сг2, ф] (t + т) ф2 (/) =о2К (т) и разность
Ф1 С + т) — Фг @ распределена по нормальному закону.
Решение. При указанных условиях
	г	-(Ф1т-ф„J/2
)=е v 1Г 2-" , sin (фп; — ф2) = 0,
Следовательно, интенсивность в интерференционной картине меняется по
закону
/ (т) = 2 [1 + cos (Шот + q>,t - ф2)] = 2 [1 + е~°г [х~к(т)| cos со0т],
т. е. видность полос равна
При К(х)Ф 1 видность падает с ростом дисперсии фаз а2. Видность равна
единице либо при полной корреляции (К = 1), либо в отсутствие флуктуации
фаз (а2 = 0), т. е. при идеальной монохроматичности колебаний.
15. Найти матрицу спектральных плотностей для колебаний двух связан-
связанных осцилляторов, на которые действуют взаимно некоррелированные стацио-
стационарные белые шумы:
К I Ot f _L И^Г 	 V Y = f tt\	Y -4- Ok Y -i- «^ Y 	 1/V 	 f (t\	/1 \
(f/ (со) ffe (»')) = tf;6/fe6 (со - со'), /, k = 1, 2.	B)
Решение. Согласно A), уравнения для спектральных амплитудных
плотностей j?i_ 2 (со) таковы:
jci (со) Z, (/со) — их2 (со) = f! (со), JE2 (со) Z2 (/со) — xJEi (со) = f2 (со),
где Zy ((со) = nj — со2 + 2шАу, /=1, 2. Отсюда
_ . . Z2f 1 (со) + >tf2 (со) . . 	«f 1 (со) + Zj2'(со)
Составив корреляционную матрицу спектральных амплитудных плотностей
х\ (со) и х2 (со):
Xj (Ю) Xft (©')) = gjk («) б (СО — СО'),

ЗАДАЧИ	Q71
получаем при помощи B) и C)
\Z2\*N{+tfN2
Разумеется, взаимная корреляция откликов Х\ (t) и х2 (t) обусловлена нали-
наличием связи к и исчезает при х = 0. Если осцилляторы идентичны и спек-
спектральные плотности шумов одинаковы (Л/i = Л/2 = N), то
8a (
2 _ ^ |2 •
Корреляционная матрица откликов X\ (t) и д;2 (t) может быть получена из
gjk (и) по теореме Хинчина:
= \ glk(<o)eimde>

Глава VII
ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ.
НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
§ 50. Спектральная теория воздействия
случайных процессов на гармонические системы
При временном описании внешнего воздействия на линейную
систему с постоянными параметрами последняя характеризует-
характеризуется своим откликом H(t — 9) на «силу» 6(9) (§ 37). Отклик на
произвольную «силу» f(t) выражается интегралом Дюамеля,
который при нулевых начальных условиях имеет вид
t	t
! Ф = J я (* _ е) / (в) de = j я (в) f (t - 0) de. Eo.i)
о	о
Отсюда ясно, что для вычисления любого момента я-го порядка
выходного процесса g(?) наД° знать смешанный момент того же
порядка для входного процесса f(t). Так, среднее значение %(t)
и его смешанный момент второго порядка выражаются форму-
формулами C7.17) и C7.18):
Щ = \ Н (9) ПГЩ dQ,	E0.2)
t	t+x
= ( Я (9) dQ \ H (9') Bf {t - 9, t + t - 9') dQ', E0.3)
где Bf (t\, t2) ~f(.ti)f (t2). Если, в частности, «сила» f (t) стацио-
стационарна и f(t) = O, то
1@ = 0,
t	t+x
(t + т, t) = \ H F) dQ J Я (9') % (т + 6 - 9') dQr, E0.4)

50]	ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ГАРМОНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ	373
поскольку ty)(tut2) = tyf(ti — U). Наконец, если нас интересует
установившийся отклик на стационарное воздействие f(t), надо
в E0.1) и E0.4) устремить верхний предел в +оо'). Так как
для реализуемой пассивной системы #(?) = 0 при t < 0, можно
заменить нижний предел на — оо, и формула E0.4) примет вид
+ ОО
(т) = \н F) de J я (е') ф, (т + е - е') de',
или
+ ОО
E0.5)
где введена «корреляционная функция» импульсного отклика
+оо
Я2(Х)= \ H(Q)H(Q+x)dQ	E0.6)
— оо
[см. C7.20) и C7.21I
При спектральном подходе гармоническая система, динами-
динамическое уравнение которой можно записать, например, в виде
где С и УЙ — линейные операторы, не зависящие от t, описы-
описывается своей функцией передачи /г(ко), представляющей собой,
как известно, комплексную амплитуду установившегося выну-
вынужденного колебания l(t) = k (ш) еш при воздействии гармони-
гармонического колебания f(t)=eia>t. Если L и УЙ — полиномы по сте-
степеням d/dt, то k(iu>) будет, очевидно, дробно-рациональной
функцией ш,- но такая специализация вида k(ia) для дальней-
дальнейшего не необходима.
Зная k(i(o) и разложив f(t) и ?,(t) в интегралы Фурье —
Стилтьеса:
+00
= J
мы сразу же можем записать соотношение между спектраль-
спектральными амплитудами обоих процессов:
dC\ (со) = k (ш) dCf (<o)	E0.7)
и, следовательно,
<в) dC\ W) = k (ш) k* (/©') dCf (ев) dCJ (©'). E0.8)
*) Это соответствует отодвиганию в —оо начального момента to. В E0.1)
и последующих формулах мы принимали to = 0.

ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
Если внешнее воздействие / (/) стационарно, так что
(со) = 0, dCf {a) dC't (©') = б (со - со') da/ dGf (со),
то, согласно E0.7) и E0.8),
(со) = 0, <*СЕ (ш) ЙС| (©') = б (со - со/) da' <й?6 (со),
где
a).	E0.9)
Таким образом, при спектральном представлении стационар-
стационарность f(t) влечет за собой стационарность установившегося от-
отклика КО- В случае сплошного спектра можно записать E0.9)
через спектральные плотности:
ё1(<*) = \к(ш)\2д,(<»)	E0.10)
— спектральная плотность на выходе получается из спектраль-
спектральной плотности на входе просто умножением последней на квад-
квадрат модуля функции передачи. По теореме Винера — Хинчина
функция корреляции на выходе будет
-Ьоо	-Ьоо
еш\ k (ш) \4Gf (ш). E0.11)
— oo
Во многих случаях интеграл удобно вычислять при помощи вы-
вычетов в полюсах |&(йо)|2, которые у функции передачи k(ia)
диссипативной системы лежат, в верхней полуплоскости ком-
комплексной частоты о.
Как мы уже отмечали (§ 40), локализация интенсивности по
частоте, имеющая место для стационарных процессов, получает
однозначный смысл именно при гармонической фильтрации.
Действительно, фильтр с соответствующей полосой пропуска-
пропускания, т. е. с подходящей функцией передачи k(ia), открывает
принципиальную возможность физически выделить требуемый
интервал (юь ©2) и тем самым проверить, что из полной «мощ-
ности» | f |2 = \ gf (<o) da на этот интервал приходится доля
— оо
\ gf («О da. Оперируя только полной интенсивностью, мы
0I
0I
могли бы добавить к gf(w) функции gi(co), произвольные во
всех отношениях, кроме условий
gi (a) da*=0
(т. е. GF не меняется) и gf(&)¦}• gi(&)^0 при всех ю.

. 50]
ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ГАРМОНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
375
Как ясно из E0.11), гармоническая фильтрация сохраняет
дискретно-сплошной характер спектра. Если на вход фильтра
подается суперпозиция дискретных гармонических колебаний и
шума с непрерывным спектром, то и на выходе получится та-
такого же рода суперпозиция, хотя форма сплошного спектра и
соотношение интенсивностей дискретных линий изменяется в со-
соответствии с весовым множителем \k(ia) |2.
Связь временного и спектрального подходов мы рассмотрим
несколько дальше, но отметим уже теперь, что спектральное
представление наиболее просто и целесообразно при рассмотре-
рассмотрении стационарных воздействий. Если нас интересует нестацио-
нестационарное воздействие (а к этому случаю сводится и вопрос об
установлении колебаний в самой системе, если считать, что
«сила» f(t) начала действовать в момент t = 0), то локальная
связь между функциями корреляции спектральных амплитуд
утрачивается. Напротив, интегралы
E0.2) и E0.3) охватывают как неста-
нестационарные воздействия f(t), так и не-
неустановившиеся режимы [через явно
учтенные начальные условия, хотя бы и
при стационарном процессе /@1-
Рассмотрим простой пример RC-ячен-
ки, включенной в анодную цепь лампы
(рис. 48). Если / — дробовой ток лампы,
то шумовая компонента v напряжения на ячейке связана
с / уравнением
0 ' /Л ™ч	E0.12)
Таким образом, функция передачи (I
Рис. 48.
v, f == I) есть
(ш)
С(\
и спектральная плотность напряжения v(t), если учесть, что для
дробового тока gi(a) = Те[2л [см. D3.2)], будет
gv (&) = \k (ш) I2 g! (ш) =
Функция корреляции v (t) равна
E0.13)
±И
_Таит|/*
—Ve	'
где
2С

376	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	(ГЛ. VII
При т > 0 интеграл берется вычетом вадолюсе ю = //¦&, а при
т < 0 — вычетом в полюсе со = —i/ft.
Как мы знаем, уравнение E0.12) при дельта-коррелирован-
дельта-коррелированном воздействии I(t) является символическим^ поскольку v не
существует. Что это означает со спектральной точки зрения?
Если
то формально
v(t)= J ешшс1С0((а).
Условие существования v (t) есть
Но, согласно E0.13),
I" ( \ — ЬЧе С e''mT(Q
4>v (t) — 2яС2 J 1
— оо
откуда ясно, что при т = 0 интеграл расходится. Если бы плот-
плотность gi(a) не была постоянной, т. е. дробовой ток не считал-
считался бы дельта-коррелированным, то мы имели бы
т. е. v(t) существовала бы и стохастическое уравнение E0.11)
не надо было бы считать символическим.
Нетрудно обобщить это рассуждение. Последовательно диф-
дифференцируя
+ 00
t(t)= J eiatk(ia)dCf((a)	E0.15)
— оо
по t, мы приходим к тому, что условием существования произ-
производной Qm)(t) является требование конечности
+ 00	*	+00
k(i«>)\2<u*mgf((u)d<i>. E0.16)

§ 50]	ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ГАРМОНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ	37?
Если !(/) удовлетворяет уравнению вида
{) (п1)	E0.17)
то |&(цо)|2 равно единице, деленной на полином степени 2я по
о. При т < п сходимость интеграла E0.16) обеспечена даже в
том случае, когда «сила» f(t)—белый шум [gf(a)— const]. Но
для существования Qn4t) уже необходима интегрируемость
gj(v>). Таким образом, если f(t)—белый шум, то уравнение
E0.17) символическое, поскольку |(«) не существует.
Сопоставим теперь спектральный и временной подходы к за-
задаче о гармонической фильтрации стационарных процессов.
Для функции корреляции установившегося отклика %,(t) на ста-
стационарную «силу» f(t) мы располагаем, с одной стороны, спек-
спектральным выражением E0.11), а с другой — формулой E0.5),
вытекающей из представления %(t) в виде интеграла Дюамеля.
Нетрудно убедиться, что оба выражения совпадают. Для этого
надо только вспомнить, что импульсный отклик H(t) и функция
передачи k(i&) связаны преобразованием Фурье:
+0О
¦— J k {ie>) еш da * (to) «=
¦— J k {ie>) еш da, * (to) «= J Я (9) е~ш d$. E0.18)
По теореме D2.9) о спектре интеграла вида E0.6) спектраль-
спектральная амплитуда Н2{%) есть
2re*g!im«_L, *(,„),.,	E0.19)
так что
Я2(х) = ^Г $ | * (to) P в""**».	E0.20)
Но, согласно E0.5), функция корреляции г|з^(т) является сверт-
сверткой функций Я2(т) и %(т), спектральные амплитуды которых
равны соответственно E0.19) и спектральной плотности g/(w)
процесса f(t). Следовательно, спектральная амплитуда t|)S(t)
есть1) 2я gar ?f (®)> что совпадает с E0.10).
Рассмотрим следующие два примера.
1. Пусть спектр g/(w) и квадрат модуля функции передачи
|&(гсо)|2 — достаточно «хорошие» плавные функции, не имею-
имеющие, помимо главного максимума на некоторой частоте, силь-
сильных выбросов вдали от нее. Пусть спектр g/(w) гораздо шире,
') См. сноску на стр. 286.

378
другие Приложения корреляционной теории
[ГЛ.
чем |&(по)|2 (рис. 49). Тогда в пределах полосы фильтра
gf(ti>)&gf((»o) и по E0.11) и E0.20) получаем
+ 0О
Ч>1 (т) « gf (%) J I к (to) IVVco = 2ngf (i|>0) Я2 (т),
т. е. ^(т) определяется свойствами фильтра. Такой же резуль-
результат следует, конечно, и из E0.5), если учесть, что ф/(т) спадает
гораздо быстрее, чем #2(т):
ti(t)= \ Я2(т-х)*/(х)*С«Я2(т) J Ф/(х)^Х = 2я^@)Я2(т).
— 00	—ОО
Эта оценка грубее предыдущей [g/@) вместо g/((o0)], но обе
дают одну и ту же зависимость от т.
О
Рис. 49.
(Од
Рис. 50.
со
2. Пусть теперь, наоборот, gf(a>) гораздо уже, чем |fe(iw)|2
(рис. 50), т. е. \|з/(т) спадает гораздо медленнее, чем Н2(х). Тогда
\k(i(ji) |2« \k(i(oo) |2, а значит, спектр и функция корреляции на
выходе с точностью до коэффициента те же, что и на входе.
По E0.11)
+ ОО
ф6 (т) да | ft (too) I2 J gf (<о) е'шт dco = | ft (to0) I2 fy (т),
a no E0.5)
+ 00
+ 00
Итак, спектр на выходе фильтра формируется наиболее узко-
полбсной из функций gf(a) и |ft(((o) |2 и, соответственно, выход-
выходная функция корреляции формируется наиболее медленной из
функций f(t) и #2(т). Время корреляции на выходе ¦&$ порядка
наибольшей из величин ¦&/ (время корреляции на входе) и ¦&
(время установления фильтра). Разумеется, эти качественные
и сжатые формулировки тем точнее, чем сильнее различие ме-
между полосами или между временами, о которых идет речь.

§ 50]	ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ГАРМОНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ	379
Таким образом, влияние гармонической фильтрации на кор-
корреляционную функцию процесса на выходе фильтра представ-
представляется на первый взгляд очевидным. Функции передачи реаль-
реальных диссипативных систем в той или иной мере суживают спектр
входного воздействия и, следовательно, «удлиняют» корреляцию
на выходе по сравнению со входом. В частности, при белом
шуме на входе (т. е. g> = const и время корреляции ¦&/ = 0)
ход спектральной плотности на выходе, согласно E0.10), все-
всецело определяется самой системой [ёъ(®) = gf\k(iu>)\2]. По-
Поэтому
и отличное от нуля время корреляции Ь% определяется просто
временем установления фильтра. С таким случаем мы имели
дело в рассмотренном выше примере /?С-ячейки [формула
E0.14),. где ве = в].
Это понятно и с временной точки зрения. Фильтр затягивает
входные импульсы, так что всегда ¦&& > ¦&/ и неравенство тем
сильнее, чем уже полоса пропускания фильтра. Поэтому напра-
напрашивается следующий, тоже, казалось бы, очевидный вывод, ка-
касающийся функции распределения выходного процесса.
Если процесс f(t) гауссов, то, как мы знаем, на выходе
тоже будет гауссов процесс. Это ясно и из E0.1), если вспо-
вспомнить, что сумма (в пределе — интеграл) нормальных процессов
есть нормальный процесс. Если же входной процесс не гауссов,
то в общем случае не будет гауссовым и выходной процесс. Но
при очень узкой полосе фильтра, т. е. при ^ ^> ¦&/, мы полу-
получаем, что отклик l(t), состоящий, грубо говоря, из откликов
на f(t) за время от t — ¦&? до t, охватывает очень много интерва-
интервалов ¦&;, т. е. очень много не коррелированных между собой воз-
воздействий. Если, например, входной процесс — импульсный шум,
для которого условие нормальности распределения не выпол-
выполнено, т. е. (см. § 10)
то за счет ¦&? ^> ¦&/ может случиться, что на выходе будет
и распределение процесса %,{t) на выходе фильтра, в соответ-
соответствии с центральной предельной теоремой (§ 10), должно быть
ближе к нормальному. В очень многих случаях это действи-
действительно так, а именно в тех случаях, когда импульсный процесс
f(t) на входе фильтра состоит из импульсов простой формы
F(t). Тогда оценка временной размытости импульса (Ati?), про,-

380	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
ме
изведенная по ширине его огибающей ($f), имеет гот же поря-
порядок величины, что и оценка по «временной корреляции» им-
импульса (vK). Другими словами, ftF ~ хРк, а так как ширина
спектра AaF ~ 1/tfK' произведение размытостей Дсо^-Ату ~
~ Acofui? ~ 1. При этих условиях предыдущие рассуждения
вполне справедливы и узкополосная фильтрация действительно
«нормализует» процесс %(t) на выходе фильтра1). Но для им-
импульсов сложной формы, когда A©f • ^i? ~ ^/тук ^> 1 (§ 42),
можно устроить такую фильтрацию, которая «денормализует»
выходной процесс по сравнению со входным [2—4].
Речь идет о случае, когда при сложном импульсе F(t) на
входе (tFk <C i9>) специально подобранный фильтр уменьшает
эффективную длительность выходного импульса до «времени
корреляции» хРк. Конечно, полная длительность выходного им-
импульса, как всегда, аозрастает (-&g > ¦frp). Она не может быть
меньше "&F хотя бы потому, что после окончания входного им-
импульса колебания на выходе еще продолжаются в течение вре-
времени установления фильтра. Но подавляющая доля энергии
выходного импульса оказывается сосредоточенной в интервале
ширины порядка 1Рк.
Такой эффект дает фильтр, согласованный со входным им-
импульсом F(t), т. е. фильтр, у которого импульсный отклик H(t)
«зеркален» по отношению к F(t):
H(t) = F(to-t)..	E0.21)
Момент to может быть здесь любым, но не меньшим &F
(to^5*®F), так как начало отклика не должно предшествовать
началу импульса F(t) на входе (условие реализуемости
фильтра).
Пусть на вход такого согласованного фильтра подан им-
импульсный пуассоновскии процесс вида
ZavF(t-tv),	E0.22)
4). В работе [1] получена простая количественная оценка верхней гра-
границы В отклонения распределения ?(/) от гауссовой плотности вероятности
| wl (х) -wT(x)\<B
и показано, что В -> 0 при сужении полосы фильтра (Да>я->0). Это сделано
в предположении, что процесс на входе фильтра обладает порогом для вре-
времени статистической зависимости, т. е. f (t) и f (t +1) при т > а независимы.
В частности, для отклика g (t) = ^ Н (t — tv) на дробовой шум / (t) =
v
= J] б (/ — tw) получено, что В = ^a>Hj2nv где пх — средняя плотность
V
импульсов.	\

5 50]	ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ГАРМОНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
381
функция корреляции которого пропорциональна «функции кор-
корреляции» импульса F(t) [см. D2.12) и D2.22)]:
(t). E0.23)
Согласно E0.22) и E0.21) на выходе фильтра получится процесс
5	F(e-tv)F(t0-t+e)dQ=
— oo
v -о»	v	E0.24)
Таким образом, импульсы на выходе описываются «функцией
корреляции» входного импульса:
Соответственно импульс F$(t) сосредоточен в основном на ин-
интервале корреляции т^к, который при сложной форме F(t) го-
гораздо меньше ¦&*¦ (xFk <Сб> < ¦&{). Такое «сжатие» сложных
импульсов согласованным фильтром широко используется в на-
настоящее время в устройствах оптимального обнаружения сиг-
сигналов, в частности — в радиолокации [5].
На рис. 51, а показаны сложный импульс F(t) с прямоуголь-
прямоугольной огибающей, заполненной частотно-модулированным коле-
колебанием с линейно меняющейся частотой, и импульсный отклик
H{t) согласованного фильтра. На рис. 51,6 изображены оги-
огибающие такого входного импульса F(t) и отклика Fi(t) согла-
согласованного фильтра. Огибающая l/7^) ( содержит главный мак-
максимум, в котором сосредоточена основная доля энергии и
ширина которого xFk порядка 1/сгву, где <гб> — девиация мгно-
мгновенной частоты a(t) = ©о + at на ширине ¦&*¦ входного импульса
(см. задачу 6 гл. VI).
Почему же распределение пуассоновского процесса E0.24)
на выходе согласованного фильтра денормализуется? Дело в
том, что для центральной предельной теоремы существенна
равноправность независимых случайных слагаемых — в смысле
одинаковой малости вклада каждого из них в суммарную дис-
дисперсию (§ 12). Здесь же, хотя процесс |@ содержит больше
импульсов, возникающих на полной длине импульса F^(t), чем
процесс /(/), т. е.
слагаемые очень неравноправны. Гораздо чаще в %(t) перекры-
перекрываются маленькие боковые лепестки импульсов F\(t) и лишь

382
ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ
(ГЛ. VII
изредка получаются сильные выбросы, обусловленные наложе-
наложением главных максимумов. Среднее число случайных слагаемых
этого второго типа порядка п,хРк < п^р < п^, и, если их
выделить, их распределение гораздо дальше от нормального,
чем распределение f(t). Но эти сильные выбросы содержат
около 90% всей мощности процесса l(t) [3], и поэтому характер
распределения процесса g(^) в целом определяется в основном
именно ими. Таким образом, явление денормализации ни в коей
мере не противоречит центральной предельной теореме. Просто
а)
для нормализации распределения ?,(t) по сравнению с f(t) нуж-
нужно, чтобы фильтр увеличивал эффективную длительность выход-
выходного импульса Fi-(t). Эта длительность близка к Ф^ > ¦&/ в слу-
случае простых импульсов FG),-ho уменьшается до %Рк <C&f < ®\
при сложных импульсах и согласованном с ними фильтре1).
§ 51. Случайное воздействие на безынерционные
нелинейные системы
Во многих случаях представляет интерес воздействие на не-
нелинейную систему детерминированного и (или) случайного про-
процесса (детерминированный сигнал плюс шум, случайный сигнал
*) В работе [3] вычислены количественные характеристики денормализа-
денормализации для пуассоновского процесса, состоящего из импульсов показанного на
рис. 51, а вида. Выяснена зависимость эффекта от степени согласования
фильтра и показано, что при точном согласовании денормализация может
быть очень сильной. Отношение коэффициентов эксцесса y = ^4/^2 (§ Ю)
входного и выходного процессов (Y|/V/) может достигать в реальных усло-
аиях значений 1Q2—lQ3^

§ 51]	ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ	383
плюс шум, только шум), причем сама система.состоит не только
из собственно нелинейных элементов (детекторы, ограничите-
ограничители), но и из линейных цепей (фильтры, резонансные контуры
и т. п.). Такая система описывается нелинейными дифферен-
дифференциальными уравнениями, которые могут содержать кроме аргу-
аргумента t еще и «запаздывающий аргумент» t — Ф (наличие линий
задержки). Одна из возможных задач состоит в том, чтобы при
полном задании процесса на входе, т. е. при известных его ко-
конечномерных распределениях, получить столь же полное описа-
описание выходного процесса. Задача эта очень трудна даже для
линейных систем, а для нелинейных сделано совсем немного
(см., например, [6, 7]).
Универсальных методов здесь не существует (как, впрочем,
и для случая детерминированного воздействия), и в каждой
конкретной задаче приходится искать какие-либо приемы, при-
приуроченные либо к специальному виду уравнений, описывающих
систему, либо к специальному характеру воздействия (напри-
(например, марковский процесс, белый шум и т. д.), либо к ограни-
ограниченной постановке вопроса. Нас могут, скажем, интересовать
на выходе не функции распределения, а лишь среднее значение
и функция корреляции.
Дело обстоит значительно легче, если речь идет о безынер-
безынерционных нелинейных системах, т. е. просто о нелинейной функ-
функциональной связи входного процесса \{t) и выходного процесса
4@:
4@ = ^ К @1,	E1.1)
где функция F описывает характеристику нелинейного элемента
(детектора, ограничителя и т. п.). Цепь может содержать при
этом и линейную нагрузку, но чисто активную: наличие реак-
реактивных параметров сразу приводит к нелинейному дифферен-
дифференциальному уравнению. В случае безынерционной нелинейности
нахождение конечномерных распределений i\(t), если таковые
известны для ?@> не представляет затруднений, но сначала
мы коснемся вычисления моментов r\(t).
Для нахождения какого-либо момента я-го порядка вида
4е (*i) 4* &) ••• 4х (У, а + р+ ... +а = п, E1.2)
на выходе линейной системы надо [поскольку r\(t) выражается
как линейный оператор от l(t)] знать только смешанный момент
|@ того же порядка п вида
В случае нелинейной системы, даже столь простой, как E1.1),
этого уже недостаточно. Момент вида E1.2) может быть вычис-
вычислен, только если известна ^-мерная функция распределения

384
другие Приложений корреляционной
[ГЛ. Vlt
входного процесса w^c)(xv х2, ..., xfe) [для сокращения записи
мы будем опускать параметры (ti, t2, ..., th)]- Действительно,
= \
(x2) wf (xu x2) dx, dx2,
\ Fa (x,) Fp (x2) ...F* (xk) w't (*,	xk)dx{... dxk.
E1.3)
Но, коль скоро известны моменты любого порядка для сово-
совокупности k случайных величин т)(^), ..., r](tk), можно (за ис-
исключением особых и практически неинтересных случаев) по-
построить и ^-мерную функцию распределения w{*)(yv у2, ..., ук).
Таким образом, ш^> должна определяться известной нам
w'?i(xx, х2, ..., xky Разумеется, это так и есть, ибо зависимость
E1.1), справедливая при любом значении t, сводит нахождение
ш'Ь) к преобразованию ш|4) от переменных Xi, х%	Хъ. к пе-
переменным г/ь г/г, • ¦ •, Уи-
В задаче 7 гл. I это было сделано для взаимно-однозначного
преобразования общего вида T) = F(i). T- е. преобразования
yl = Fl(xl, .... xk), ..., yk = Fk(Xl	xk). E1.4)
Функция распределения w'® выражается в этом случае через
следующим образом:
d(x
.,xk)
д{Уу;Ук)
E1.5)
причем в правую часть, в соответствии с обратным преобразо-
преобразованием g = F(in)> которое, по предположению, однозначно,
подставлены х. — FJ1 (г/Р ..., г/ь). Нас интересует сейчас част-
частный случай преобразования E1.4), когда
и, обратно,
Нетрудно видеть, что формула E1.5) принимает при этом вид
¦ w.
E1-6)

§5!)
ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
385
Это выражение и давало бы полный ответ, если бы не одно
усложнение, связанное с тем, что характеристики реальных не-
нелинейных устройств зачастую обладают неоднозначной обрат-
обратной функцией F. Рассмотрим поэтому именно такой случай.
На рис. 52 показаны два примера нелинейных характери-
характеристик y = F{x), первой из которых соответствует однозначная
Рис. 52.
обратная функция x = F~l(y), а второй — двузначная. В первом
случае попадание у в интервал dy имеет ту же вероятность, чго
и попадание х в интервал dx = \F~U(у) \dy, так что
(у) dy =
1' (y)\dy.
E1.7)
Во втором случае вероятность попадания у в интервал dy равна
сумме вероятностей двух несовместимых событий — попадания х
\l \	\l \	1
либо в dx\=
1
[l
F[l (y)\dy, либо в dx2 — \F2l (y)\dy. Через FT1
и F21 мы обозначили при этом две ветви обратной функции
х = F'1 (у). Таким образом, во втором случае
T1'
юЯ» (у) dy = Ц" W ШI FT1' {у) | dy + шГ
Вообще, если x = F '(г/) имеет т ветвей, то
ш« (у) dy^Y, w? [Fv' (У)] I F;v (у) | dy.
l
(у)] | F2V (y) | dy.
E1.8)
E1.9)
Можно прийти к тому же результату и несколько иным, бо-
более формальным, но поучительным способом. Располагая wikl
мы можем вычислить ^-мерную характеристическую функцию
для выходного процесса:
Фл* Он • • •> sk) =
= \ exp
+skF
{xv ..., xk)dxl ... dxk.
E1.10)

386	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
При помощи ф*?* можно легко находить любые моменты вида
E1.2) (см. § 9), но, выполнив преобразование Фурье, можно
получить и до<*>:
+ OO
i Г
Ф^1 (s,, ..., sfe) exp {— i [s^, + ... + skUk\ } ds{ .. ¦ dsk.
Bn)
k
— CO
Подставив сюда E1.10) и учтя, что
S
находим
К (у и ¦¦•></*) =
E1.11)
Дельта-функция б [F (х/) — t/j] дает вклад в интеграл только
в тех точках, в которых F(xj) = у}, т.е. в точках x. = x(v) =
= Fv4^/). гДе Fv'(«/) —v-я ветвь (v = l, 2,..., т) функции,
обратной F(x). В малой окрестности каждой из этих точек
(а для дельта-функции достаточно сколь угодно малой окрест-
окрестности) можно считать, что
F (*,) - у, « F ($») + F' ($») (х, - xf) - yf = F' (xf) (x, - *»)
и, следовательно, в окрестности x'v)
С учетом же всех точек х^ (v= 1,2, ..., т) имеем
Составив произведение

§51]
ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
ЗЙ7
и подставив его в E1.11), получаем
w['
У
a)
Ф
E1.12)
В частном случае одномерной функции распределения отсюда
следует формула E1.9). При взаимно-однозначном преобразова-
преобразовании формула E1.12) сводится к одночленной формуле E1.6).
Мы видели, что нормальный процесс на входе линейной си-
системы дает нормальный же процесс на ее выходе. Более того,
при достаточно узкой полосе пропускаемых частот линейная
система могла дать на выходе нормальный процесс при негаус-
негауссовом воздействии. Полученные формулы показывают, что не-
нелинейная система (по крайней мере в рассматриваемом случае
безынерционное™) ради-
радикально меняет распределен
ние и, в частности, не сохра-
сохраняет нормального распреде-
распределения, если оно и было у
входного процесса.
Рассмотрим несколько
простых примеров.
Пусть характеристика
y = F(x) состоит из двух
прямолинейных лучей с угло-
угловыми коэффициентами К
(при х>0) и k (при х<0)
(рис. 53,а). Если входной
процесс гауссов, со стандар-
стандартом о, то, как это ясно и без
вычислений, распределение
на выходе будет составлено	Рис 54
из двух гауссовых законов —
при х > 0 со стандартом Ко,
а при л:<0 — со стандартом ко (рис. 53,6). При &->-0 (переход
к так называемому линейному детектору) левая часть w'^ (у)
сжимается в дельта-функцию lh&(y)'- при & —0 любое х < О
дает на выходе у = 0.
У квадратичного детектора
Рис. 53
(рис. 54, а) обратная функция двузначна:

388 ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
По формуле E1.9) получаем
(л/?) + ®)(-л/1-) при	у>0,
V ; v v 1	у
О при у < 0.
Если распределение | нормально, то распределение для х\ будет
^2п?,уа	а	E1.13)
0,	г/<0
(рис. 54, б), т. е., как и в первом примере, уже не является
гауссовым.
Остановимся на способах вычисления среднего значения fj
и момента г|т)т в некоторых частных случаях. Согласно D4.3)
имеем
Для вычисления двукратного интеграла, выражающего ццх, при-
применяются различные математические приемы: сведение этого
интеграла к контурному, различного рода разложения w^\ в ряд,
например разложение по какой-либо системе ортогональных
функций ф„(лг, t):
= of (xp tl) w^ (x2, /2) + Zaamn(tv g „,„(xlt /,) Ф„ (х2, t2),
и другие способы, использующие те или иные частные особен-
особенности задачи.
Пусть, например, ?(/) — стационарный гауссов процесс, так
что
[
E1.14)
Разложив w'g] по степеням /С(т), нетрудно получить, что
оо
п=0
где
+ ОО

§ 51]	ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ	389
Допустим, что /С(т)->-0 при т-*оо. Тогда из E1.15) получаем
¦4% -*Ц2 = Со , (т->оо),
и, следовательно,
%(f)^^-f\2=tclKn{r).	E1.16)
Спектральная плотность r\ (t) по положительным частотам будет
n(*)cos(uTtfir. E1.17)
Таким образом, форма спектра на выходе определяется как
коэффициентом корреляции К(%) входного процесса (т. е. его
спектром), так и нелинейной характеристикой y = F(x), от
вида которой зависят значения
коэффициентов Сп-
Если гауссов процесс на вхо-
входе имеет узкий спектр и (для
простоты) симметричный относи-
относительно частоты соо, то, согласно
\ А А
LA
§ 44	о г ° ^°
К (т) = k (т) cos со0т, E1.18)	Рис.55.
где k(x)—медленная функция т. Двумерное распределение
E1.14) в этом случае— периодическая функция ©от и может
быть разложено в ряд Фурье:
wf{xv X2> fecosco0x)= ? V> ре,, х2, fe(t)]cosmu0T,
я=0
где
1	при л = 0,
2	при п > 0.
Подстановка в формулу для цг\х дает
оо
Л^т = Z eftSn (т) cos лщот,	F1.19)
п-0
причем коэффициенты
F (xi) F (x2) vn (xi, x2, k) dxx dx2
— медленные функции т. Спектр v\(t) состоит поэтому из узких
полос, расположенных на частотах пщ (рис. 55). Разумеется,
если подставить в E1.15) выражение E1.18) для К(х),

390	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ, КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VI!
выразить степени cos root через косинусы кратных дуг и пере-
перегруппировать члены, мы придем к E1.19).
В случае квазимонохроматического входного процесса |@ =
= A (t) COS Ф (t) , ГДе Ф@ = (dot + ф(?), МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ fj И
ццх еще и другим способом, а именно пользуясь функциями
распределения огибающей А и фазы ф. Периодическую функ-
функцию т} = F(l) = F(A cos Ф) можно разложить в ряд Фурье
по Ф:
оз«Ф,	E1.20)
где
я
Fn(A)=—\F {AcosФ) cosяФd<&.
о
Поскольку Ф(?)= соо? + <р@> я-й член ряда E1.20)—это ква-
квазимонохроматический процесс, спектр которого лежит в окрест-
окрестности п©о- В случае стационарного процесса g(tf) совместное
распределение Л и ф имеет, как мы знаем (§ 44), вид
w {А, ф) dA dy = wA (A) dA ~L.
Следовательно,
Л = J] ега^(Л)соз«Ф = UI) = J Fo (A) wA (A) dA,
и для вычисления среднего значения r\(t) надо знать только
распределение огибающей wA(A). Но для вычисления ццх не-
необходимо уже четырехмерное распределение А, Ах, ф и фт. Если
|(/)—гауссов процесс, то это распределение D4.23). Все рас-
расчеты могут быть доведены при этом до конца.
Существенную пользу при вычислении моментов процесса
на выходе безынерционного нелинейного элемента цепи, в осо-
особенности в тех случаях, когда процесс на входе не является
нормальным, можно извлечь из кумулянтных уравнений, при-
примеры которых были приведены в задачах 15 и 16 гл. II (см. за-
задачи 3 и 4 данной главы).
Результаты, относящиеся к тому или иному частному виду
нелинейной характеристики E1.1), можно, конечно, получить
из общих формул, но если характеристика простая, то и расчеты
проще проводить непосредственно для этой характеристики.
Пусть, например, на квадратичный детектор ц = pg2 воздей-'
ствует суперпозиция детерминированного сигнала s(t) и гаус-
гауссова шума n(t) с п = 0, п2 = а2 и ппх = а2К{х)\

§ 51]	ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ	391
Следовательно,
— a2),
так что
¦Фт) (U т) = (Т) — fj) (Т]т — fjT) = Р2 (rt2
= 2pV [а2/С2 (т) + 2ssT/( (т)]. E1.21)
Здесь учтено, что у нормальной функции n(t) нечетные мо-
моменты равны нулю, а и2и2 = а4 B/С2 + 1). Функция корреляции
грг,(/, т) зависит от f через произведение ssx = s(t)s(t + т).
В отсутствие сигнала процесс ri@ на выходе детектора ста-
стационарен и функция корреляции равна
¦фл(т) = 2р2047B(т).	E1.22)
Это не что иное, как степенное разложение E1.16), содержащее
в данном случае только один член (только С2 = -у/2 $а2 ф О).
Если шум квазимонохроматичен и имеет место E1.18), то
$„ (г) = pVfe2 (т) A + cos 2со0т),	E1.23)
т. е. первоначальный спектр, локализованный в окрестности
частоты соо, дает на выходе
квадратичного детектора две
полосы — вблизи (о = 0 и со =
= 2соо (рис. 56). Медленно ме-
меняющаяся часть, примыкаю-
примыкающая к и = 0, может бытк вы-
выделена, как это большей ц
частью и делается, последую-	&t>	° **
щим видеофильтром. Вообще,	рис 56.
если нелинейный элемент
включен между линейными це-
цепями (например, фильтрами) и обратная реакция последующего
звена на предыдущее отсутствует, то расчет такой цепи может,
очевидно, производиться поэтапно от звена к звену.
Формула E1.23)—это, конечно, разложение Фурье E1.19),
в котором отличны от нуля только ?0(т) и В2(х).
Согласно E1.21) дисперсия на выходе квадратичного де-
детектора при наличии сигнала есть
D [г\ @] = % U, 0) = 2pV [a2 + 2s2 (/)].
Если и сигнал и шум квазимонохроматичны, а процесс на вы-
выходе детектора подвергается усреднению по периоду высокой
частоты Го = 2я/соо (такого рода операцию производит, и видео-
/\

392	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
фильтр, срезающий частоты со ^.соо), то дисперсия будет равна
где волнистой чертой обозначено указанное временное усред-
усреднение. Простейшим условием непосредственного обнаружения
сигнала при наличии шума является неравенство 2s2(t)T > a2,
т. е. достаточно большое значение отношения средних мощно-
мощностей сигнала и шума (обычно говорят короче: отношения «сиг-
«сигнал/шум»).
Разумеется, такого рода критерий обнаружения сигнала в
шуме не является ни общим, ни сколько-нибудь универсальным.
Общая постановка задачи достаточно сложна, так как должна
учитывать особенности сигнала (его импульсный или стацио-
стационарный характер, его зависимость от различных параметров,
которые частично могут быть случайными, частично детермини-
детерминированными) и должна оценивать как вероятность правильного
обнаружения — превышения некоторого порога на выходе при-
приемного устройства при наличии сигнала, так и вероятность лож-
ложного обнаружения (как принято говорить в радиолокации —
ложной тревоги), т. е. превышения порога в отсутствие сигнала,
за счет одного только шума. Относящиеся сюда вопросы
составляют в настоящее время большую область применения
теории случайных функций и важны не только для радиосвязи
и радиолокации, но и вообще для измерений при наличии шу-
шумов. Однако в целом эту область можно охарактеризовать как
типичную «радиоматематику». Физической проблематики здесь,
по сути дела, нет, и мы не будем поэтому углубляться в данный
круг задач, которым посвящена обширная специальная лите-
литература (укажем на книги [8—11]).
§ 52. Измерение шумовых сигналов. Радиометры1)
Применим результаты двух предыдущих параграфов к ча-
часто используемой цепи, состоящей из трех звеньев (рис. 57):
Рис. 57.
полосового фильтра высокой частоты [ФВЧ, функция передачи
ki(iw)], квадратичного детектора (КД, нелинейная характери-
Этот параграф написан совместно с Н. Н. Колачевским.

§ 52]	ИЗМЕРЕНИЕ ШУМОВЫХ СИГНАЛОВ. РАДИОМЕТРЫ	393
стика у = рл:2) и фильтра низких частот [ФНЧ, функция пере-
передачи &2(i(o)]. На выходе ФНЧ включен измерительный прибор.
В качестве входного сигнала мы возьмем стационарный нор-
нормальный процесс f(t) с нулевым средним значением. Относи-
Относительно цепи предполагается, что
1)	реакция каждого последующего звена на предыдущее от-
отсутствует;
2)	фильтры узкополосны, т. е. полоса ФВЧ Аш, центриро-
центрированная около частоты соо, гораздо меньше как о)о, так и ширины
спектра процесса f(t), а полоса ФНЧ ЛЯ (по со > 0) гораздо
меньше не только соо, но и Асо (рис. 58).
Рис. 58.
Даваемая такой цепью связь между статистическими свой-
свойствами входного процесса f(t) и измеряемого на выходе про-
процесса l(t) рассматривалась в очень многих работах, начиная
с классической работы Раиса [12]. При предположении 1) изу-
изучались задачи различной степени общности: нахождение функ-
функций распределения l(t)—как w\ и w2, так и wn\ получение
моментов !(/) ПРИ наличии на входе не только шума, но и де-
детерминированного или случайного сигнала; исследование этих
же вопросов при негауссовом распределении f(t), при произ-
произвольной нелинейности детектора или же в отсутствие ограниче-
ограничений 2) ширины полос фильтров (см. [11]). Мы ограничимся, од-
однако, простейшей задачей, а именно найдем при указанных
выше предположениях выигрыш, даваемый сглаживающим
действием ФНЧ. Точнее, мы рассчитаем коэффициент сглажи-
сглаживания флуктуации Q, равный отношению относительной флук-
флуктуации Оу/у на выходе детектора к относительной флуктуации
0|/| на выходе ФНЧ:
где, как обычно, ау и а^— стандарты y(t) и g(tf). Величина Q
характеризует качество рассматриваемой цепи как непосред-

394	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
ственного измерителя спектральной плотности входного шума
в полосе ФВЧ').
Так как спектр шума f(t), по предположению, широк по срав-
сравнению с полосой ФВЧ, спектральную плотность x(t) можно за-
записать в виде
gx («) = gt Ы | kx (ко) I2.	E2.2)
Следовательно, функция корреляции x(t) равна
Ф* (т) = gf (щ) \ I kx (ш) ре*"* da>.
— оо
а средний квадрат —
+ ОО
*°=$x(O) = gf(<i>o) J iMfoKde».	E2.3)
Процесс y(t) на выходе детектора имеет среднее значение
а поскольку процесс x(t) на входе КД тоже нормален, причем
х = 0, функция корреляции y(t), согласно E1.22), есть
% (т) = У (t + т) у @ - у2 = 2^х (т).	E2.4)
Таким образом, а^ = tyy @) = 2р2<х2J и относительная флуктуа-
флуктуация на выходе детектора оказывается равной
ву1у = ^2.	E2.5)
По теореме о трансформанте Фурье произведения двух
функций (§ 42) или в нашем случае — квадрата функции грж (т)
из E2.4) вытекает выражение для спектральной плотности y(t)
в виде свертки спектральной плотности x(t) 2):
gx(a') gx (со - co;) d®'.	E2.6)
f) Фильтры могут, конечно, содержать и усилители, работающие в ли-
линейном режиме. Под «входным шумом» надо в общем случае понимать не
только внешний шумовой сигнал, но и некоторый эквивалент внутренних
(собственных) шумов аппаратуры (см. ниже).
2) В § 42 (сноска на стр. 286) теорема была приведена для свертки двух
функций времени / и, соответственно, произведения их трансформант Фурье,
т. е. функций ш. Но полная равноправность прямого и обратного преобразо-
преобразований Фурье позволяет «переставить» t и ш, т. е. формулировать аналогич-
аналогичную теорему для свертки двух функций со и, соответственно, произведения
их трансформант Фурье — функций t.

§ 52]	ИЗМЕРЕНИЕ ШУМОВЫХ СИГНАЛОВ. РАДИОМЕТРЫ	395
Эта формула описывает, конечно, весь спектр y(t), как высоко-
высокочастотный (полоса ширины 2Асо около со — ±2соо); так и низко-
низкочастотный (полоса ширины 2А« около со = 0, см. рис. 56). Высо-
Высокочастотную часть спектра ФНЧ, разумеется, не пропускает.
Располагая gy(a), мы можем написать спектральную плот-
плотность на выходе ФНЧ:
а тем самым, и выражение для дисперсии ?,(t):
+ 00	+ 00
а| = I1 |2 = ^
или, после подстановки gy (со) из E2.6), a gx (со) — из E2.2).
а| = 2p2g-2 (co0) j J | k2 (/со) Р| Jfej (/со') р| fe, [/ (со - со')] |2 Ло d<o'. E2.8)
— оо
Что касается среднего значения l(t), то, учитывая узость по-
полосы ФНЧ 2AQ по сравнению с шириной 2Асо низкочастотной
части ёЧш(со) спектра gy(co) на выходе КД, можно положить
или, согласно E2.3),
E2.9)
Заметим, что и в формуле E2.7) можно было бы вместо v()
писать .ё'Ун(<в), т. е. отбросить высокочастотную часть gy(co)
ввиду того, что | ^2 (fсо) |2 Ф 0 лишь в узкой полосе около со = О.
Подставив E2.5), E2.8) и E2.9) в E2.1), получаем для
коэффициента сглаживания выражение
О) \
o'
р E2.10)
Для того чтобы извлечь из этой довольно сложной формулы
простую и наглядную оценку Q, заменим |&i(tco)|2 и |&2(ico)|2
прямоугольниками, как это показано на рис. 59. Тогда
+ 00
&г@) = V-^2> \ I k[ (ш) |2 da = 2А\ Асо, а двукратный интеграл

396
ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ
[ГЛ. VII
в знаменателе E2.10) можно ввиду того, что |&2(ко)|2 отлична
от нуля лишь в узкой окрестности около (о = 0, оценить как
+ 0О
В результате
Q = VAm/AQ,	E2.11)
т. е. сглаживание флуктуации l(t) около среднего значения
E2.9) тем сильнее, чем больше отношение полос ФВЧ и ФНЧ,
или, иначе говоря, чем больше время усреднения т$ ~ 1/AQ по
сравнению со временем корреляции тж ~ 1/Дсо на выходе ФВЧ.
! 2AQ
а
Рис. 59.
Рассматривая описанный прямой метод измерения gv(coo),
мы не расчленяли входной шум на интересующий нас шумовой
сигнал и внутренние шумы аппаратуры. Между тем часто бы-
бывает так (например, в радиоастрономии), что надо измерить
слабый шумовой сигнал на фоне гораздо более интенсивного
шума самого устройства (радиометра). Применение прямого
метода наталкивается тогда на следующее затруднение. Спек-
Спектральная плотность gf(ti>) состоит из плотности, как говорят,
пересчитанных на вход собственных шумов g^ (со) и небольшого
добавка Ag>(©), обусловленного внешним сигналом. Соответ-
Соответственно 1 = 1о + Д1, где |о и Д| связаны по формуле E2.9) со-
соответственно с gf (co0) и Ag. (co0). То обстоятельство, что инте-
интересующее нас отклонение Д| гораздо меньше |0, легко преодо-
преодолеть, применив компенсационный метод, а именно подав на
измерительный прибор встречное постоянное напряжение —10 и
взяв этот прибор гораздо более чувствительным. Трудность за-
заключается в том, что этот чувствительный прибор, дающий те-
теперь большое отклонение Д|, будет столь же сильно реагиро-
реагировать и на флуктуации |(f), обусловленные по-прежнему полной

. 52]
ИЗМЕРЕНИЕ ШУМОВЫХ СИГНАЛОВ. РАДИОМЕТРЫ
397
спектральной плотностью gf(<uo) = gf (о>0) + Agf (%), т. е. прак-
практически— плотностью собственного шума аппаратуры gf (соо) ^>
>Ag-f(co0).
Пороговой чувствительностью устройства принято считать
такую спектральную плотность ?п(ю) на входе, которая даег
отклонение |ш равное стандарту флуктуации l(t), т. е. |п = сг^.
Учитывая, что |п выражается через gn(coo) по формуле E2.9),
а 0? через g, (®Л — по формуле E2.8), получаем из равенства
|п = ai и с использованием E2.10), что
Таким образом, коэффициент сглаживания Q должен быть на-
настолько велик, чтобы обеспечивать для измеряемой плотности
AgV(«>o) превышение порога:
Если путем снижения уровня собственных шумов (например,
охлаждением входного каскада, когда это тепловые шумы) и
(или) путем увеличения Q выполнение условия E2.12) достиг-
достигнуто, то остается еще одно явление, нарушающее стабильность
Рис. 60.
показаний выходного измерительного прибора, — уходы усиле-
усиления (так называемый «дрейф нуля»). В основном они обуслов-
обусловлены входным усилителем (мы включаем его в состав ФВЧ) и
медленны, т. е. их спектр сосредоточен в очень узкой полосе
2Д(оУх около (о = 0. Низкочастотная часть ?ун(ю) спектра после
детектора имеет поэтому вид, показанный на рис. 60, где спектр
уходов усиления заштрихован. ФНЧ пропускает эти колебания

398
ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ
[ГЛ. VII
усиления, и стрелка измерительного прибора «блуждает», что
равносильно уменьшению коэффициента сглаживания Q.
От влияния уходов усиления избавляет модуляционный ме-
метод измерения. Схема модуляционного радиометра изображена
Рис. 61.
на рис. 61. Генератор (Q) используется для того, чтобы промо-
дулировать периодической функцией \i(t) с периодом 2n/Q из-
измеряемый сигнал, так что на вход ФВЧ поступает процесс
где fo(t) — внутренний шум. Функцию \x,(t) проще всего сфор-
сформировать такой, чтобы в течение одного полупериода она была
равна 1, а в течение другого — нулю. Тогда
|х2 @ = \i (t) = Ц ak cos kQt.
k
Кроме того, процесс y(t) на выходе детектора умножается на
основную гармонику генератора и на ФНЧ поступает процесс
Ay(t) cos Q^. Через t\ и С2 на рис. 61 обозначены линейные
дифференциальные операторы, описывающие соответственно
действие ФВЧ и ФНЧ и дающие в спектральном представлении
функции передачи &i(ico) и 1г2(ш). Убедимся в том, что такое
устройство действительно устраняет влияние уходов усиления.
На выходе ФВЧ мы получаем
х (t) = I, {fо @ + И @ Af «)) « U Ш + И @ ? (А/1-
Период 2n/Q функции \i(t) весьма велик по сравнению со вре-
временем корреляции хх, в силу чего мы вынесли \i(t) из-под опе-
оператора L\, ограничившись квазистатическим откликом на @
На выходе детектора получается процесс
у @ = рх2 @ = Р ([?, {/о}]2 + I* @ [?, {А/}]2 + 2ц (О I, (Ы I,
При усреднении удвоенное произведение обращается в нуль,
так как fo(t) и А/ независимы, а их средние значения равны

§ 52]	ИЗМЕРЕНИЕ ШУМОВЫХ СИГНАЛОВ. РАДИОМЕТРЫ	399
нулю. Следовательно,
y(t) = pPlO =yo + n(t)^y,	E2.13)
где
Что касается флуктуации y(t), то, предполагая по-прежнему,
что сигнал Af слаб, можно считать, что эти флуктуации у =
z=y(t) — g(t) обусловлены только собственными шумами и, тем
самым, для ¦фу (т), ст^ и gy (ш) справедливы прежние формулы,
в которые входят только спектральные плотности внутреннего
шума и уходов усиления.
На выходе ФНЧ мы получаем процесс
I (t) = L2{Ay(t) cos Qt} —
= AL2 {у (t) cos Qt} + AL2 {y (t) cos Qt}. E2.14)
Первый член правой части представляет сббой сигнал |(/):
\{t) = A [г/о cos Qt + ii (t) Ay cos Qt] —
= A \y0 cos Qt + Щ- ^ ak cos (kQ dfc Q) Л =
= A | y0 cos Q/ + Ц- [2a0 cos Qt + a, A + cos 2Ш) +
+ a2 (cos Q^ + cos 3Q/) + „. .] \ .
Низкочастотный фильтр, полоса которого 2 ДО меньше основной
частоты модуляции BAQ<Q), вырежет из этого разложения
Фурье только постоянную составляющую, т. е. член
или, если воспользоваться E2.9),
-foo
Jfei (ico) I2 rfco.	E2.15)
Таким образом, модуляционный радиометр откликается в сред-
среднем только на модулированную часть входного шума, т. е. на
интересующий нас сигнал Af(t).
Второй член формулы E2.14) описывает флуктуации |(/)
около среднего значения E2.15). Для расчета а? надо найти
спектр процесса y(t)cos Qt. Мы не будем проводить вычисления,
а ограничимся качественной картиной, вполне разъясняющей
суть дела.

400
ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ
[ГЛ. VII
Очевидно, на входе ФНЧ существенна только низкочастот-
низкочастотная часть флуктуации y(t) (рис. 60). Умножение этой низко-
низкочастотной части г/н@ на cos Ш означает расщепление спектра
на две компоненты, раздвинутые на ±Q от со = 0 (рис. 62). Но
2 А а
Рис. 62.
частота модуляции Q, малая по сравнению с полосой ФВЧ 2Дсо,
велика по сравнению как с полосой ФНЧ 2AQ, так и подавно
с шириной 2Д(оух спектра уходов усиления (на рис. 62 этот
спектр опять заштрихован). Поэтому для собственных шумов
модуляция практически ничего не меняет в полосе ФНЧ, в то
Рис. 63.
время как спектр уходов усиления, поскольку Q > 2AQ и fi>
S> 2Дсоух, оказывается выведенным за пределы полосы ФНЧ.
Это означает, что уходы усиления не сказываются на флуктуа-
циях ?,(t) и последние определяются только собственными шу-
шумами gh(%).
Нетрудно убедиться, что коэффициент сглаживания Q
остается таким же, как в отсутствие модуляции и уходов уси-
усиления, т. е. выражается формулой E2.11), но преимущество
модуляционного метода в том и состоит, что уходы усиления
не вызывают уменьшения этого значения Q.

§ 53]	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИИ В ГЕНЕРАТОРЕ	401
Дальнейшее усовершенствование — нулевой модуляционный
метод измерения, при котором вход радиометра периодически
(с периодом 2n/Q) переключается при помощи генератора (Q)
с источника измеряемого шума Af{t) на шумовой эталон и об-
обратно (рис. 63).Если спектральные плотности обоих источников
одинаковы в полосе ФВЧ, то модуляции нет и стрелка изме-
измерительного прибора стоит на нуле. Это позволяет уменьшить
чисто инструментальную ошибку, воспользовавшись более чув-
чувствительным прибором.
§ 53. Корреляционная теория флуктуации
в томсоновском генераторе
Метод И. Л. Берштейна, позволивший измерить естествен-
естественную немонохроматичность автогенератора, существенным обра-
образом использует медленность (длительную корреляцию) техни-
технических уходов частоты. Если интерпретировать эти медленные
случайные изменения как результат некоторого воздействия на
автогенератор, воздействия, имеющего большое время корре-
корреляции (по сравнению не только с периодом, но даже с временем
установления амплитуды), то, как мы знаем, случайный про-
процесс в системе не будет марковским, т. е. его нельзя рассмот-
рассмотреть при помощи уравнения Эйнштейна — Фоккера, как это
было сделано в § 28 и обосновано в § 36. С другой стороны,
при достаточно большой амплитуде автоколебаний флуктуации
хорошо описываются линеаризованными уравнениями движения
(§ 29), что позволяет эффективно использовать другой аппа-
аппарат, не требующий марковости процесса, а именно стохастиче-
стохастические дифференциальные уравнения и корреляционную теорию
[3]. Мы и обратимся теперь к этому подходу.
Начнем с той же постановки задачи, что и в § 28. Исходным
является уравнение B8.5) для томсоновской автоколебательной
системы с одной степенью свободы:
x + x=[if(x,x) + [iF(f),	E3.1)
где V — (Hot. Напомним, что если флуктуационная «сила» \iF(t')
описывает воздействие дробового тока I№{t) и теплового шума
в колебательном контуре [случайная э.д.с. e(t)], то, согласно
B8.2),
В первом приближении метода медленных возмущений мы
получили в § 28 уравнения Ван-дер-Поля B8.7) для амплиту-
амплитуды и фазы колебания x(t)= rF) соэ[Г + фF)], зависящих от

402	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
«медленного времени» 9 = \it':
r' = /?(r)-i-Fx(e), гФ' = Ф(г)-|/Мв), E3.3)
где функции R(r) и Ф(г) определены равенствами B8.8). При
выводе E3.3) стационарная сила F(t') была заменена стацио-
стационарной же модулированной силой B8.6):
F (f) = Ft (9) cos [/' + Ф (9)] + F± (9) sin [Г + <р (9)], E3.4)
спектр которой ограничен полосой jiQ около собственной ча-
частоты контура 1, причем эта узкая полоса (,uQ <C 1) все же зна-
значительно шире спектральной линии автогенератора. Это озна-
означает, что Q значительно превосходит не только ширину 2D
линии, обусловленной диффузией фазы, но и ширину 2р «пьеде-
«пьедестала», связанного с флуктуациями амплитуды:
где р и D — безразмерные инкремент и коэффициент диффузии
по медленному времени 9 (§§ 29, 42). В пределах полосы pQ
спектральная плотность эффективной силы F(t') постоянна и
такая же, как у F(t') на частоте 1.
Обозначим спектральную плотность F(t') по безразмерной
частоте а = со/со0 через g(a):
(F(t\)F(t'2)) =
Пусть g(±l) = С/2л. Если бы спектральная плотность имела
это значение на всей оси а, то F(t') была бы белым шумом с
функцией корреляции
(F(t\)F(t'2)) = C6(t\-t'2).	E3.5)
Именно так обстоит дело и для дробового тока, относительно
которого мы допустили, что он не зависит от состояния системы
(т. е. от /"а или же от vc), и для теплового шума (§ 54).
Напомним, что при дельта-коррелированной «силе» F(t')
флуктуации х и х образуют диффузионный марковский процесс,-
так что все результаты корреляционной теории должны в этом
случае совпадать с соответствующими результатами, получен-
полученными для линеаризованной задачи при помощи уравнения Эйн-
Эйнштейна — Фоккера (§ 29).
Для дальнейшего нам понадобятся функции корреляции ам-
амплитуд F\\ (9) и Fx (9), входящих в формулу для эффективной
силы E3.4). Для их нахождения удобно заменить F(t') анали-
аналитическим сигналом (§ 38):
'), E3.6)

§ 53]	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИИ В ГЕНЕРАТОРЕ	403
и получить функции корреляции этого сигнала. Так как спектр
3~(t') отличен от нуля только в полосе A — fiQ/2, I + p,Q/2)
положительных частот а и спектральная плотность в этой по-
полосе равна 4g(l)= 2С/п, имеем для «первой» функции корре-
корреляции
l-HQ/2
sin-|(e,-e2) ,.
e
-
я F,-62)
Что касается «второй» функции корреляции, то ввиду стацио-
стационарности 5F(t1) она равна нулю:
Подставив в обе функции корреляции выражение E3.6) для
9~(t'), получаем
-|- (9, — G2)
\ IT 111' 112 — f llf 12 — I \f\]\f ±2 T~ ' -L 1-П12Л e wi-tvj^	 y_
Значения функций F\\, F± и ф от аргументов 8|=^/i и 02 = ^2
отмечены здесь для краткости просто индексами 1 и 2.
Вообще говоря, случайная фаза ф не независима от F\\ и Fx,
но из вида уравнений E3.7) ясно, что время корреляции F\\ и
F1 должно быть того же порядка 1/Q, что и у правой части,
тогда как характерное для ф время диффузии имеет порядок
I/O, т. е. несравненно больше, чем 1/Q. Можно допустить по-
поэтому, что на интересующих нас интервалах времени 0i — 02 ~
~ 1/Q фаза ф имеет какое-то постоянное значение, независимое
от очень быстро меняющихся ^ц и F±. Тогда для интервалов 0
указанного порядка величины мы полагаем ф! = ф2, еПф1~фг) = 1,
а et (фт+фл — g2*q>i ~ const и этот постоянный множитель во вто-
втором уравнении E3.7) сокращаем. В результате получаем
	 		 		sin -^- F, - 92)
- F± iFs.2 - i (FnFi.2 + F± if|2) == 0,

404	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
откуда тотчас же следует, что
{ (Э2) = F± (в,) FL (в2) = 2цС ;е _е -,
3T-(e' -''	E3.8)
Очень сильное неравенство Q>0 позволяет сделать здесь фор-
формальный переход к Q->oo, т. е. замену
sin — (9, - 92)
6 (е е)
Я(в,-е2)
и тогда ')
F2) = f± (в,) Fi (e2) = 2^C6 (e, - e2),
(Оо.У)
F||(e,)Fj.(e2) = 0.
Заметим, что в случае E3.5), т. е. при дельта-коррелированной
силе F(t'), этот результат получился бы сразу.
Однако уравнение E3.1), в котором F(t') заменено на F{f),
имеет более широкую область применения, чем первоначальная
задача о действии на генератор дробового и теплового шума,
когда «силу» F(t') можно считать дельта-коррелированной.
Действительно, при установившемся режиме, когда в нулевом
приближении г = Го = const, можно записать F{t') в виде
Нетрудно понять, что зависимость от 6 коэффициента при х,
т. е. функция F|iF), выражает модуляцию частоты контура, в
то время как F± (Э) — коэффициент при dx/dtr—дает модуля-
модуляцию инкремента генератора. Таким образом, амплитуды Fj и FL
могут в указанном приближении описать и технические уходы,
обусловленные случайными изменениями параметров. Если эти
изменения стационарны, то функции корреляции F||TexH и Fj. техн
будут зависеть только от сдвига Э] — 02, но при этом F(t'), во-
вообще говоря, не будет стационарной. Медленность технических
уходов означает, что Fn TexH и F± техн обладают очень большими
временами корреляции. Случай же E3.9) можно истолковать
с этой точки зрения как очень быструю (дельта-коррелирован-
(дельта-коррелированную) модуляцию параметров генератора.
*) Мы опирались на качественные соображения, но если «сила» F(t')
представляет собой нормальный процесс, то при помощи формулы Фурутцу —
Новикова [14] можно доказать асимптотическую (при DJQ-+Q) правильность
результатов E3.9). Это доказательство является, по сути дела, обоснованием
перехода к приближению диффузионного марковского процесса в дайной
задаче.

§ 53]	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИИ В ГЕНЕРАТОРЕ	405
Для эффективного использования методов корреляционной
теории необходимо линеаризовать уравнения E3.3) в окрестно-
окрестности невозмущенного динамического режима. Линеаризация воз-
возможна, если генератор достаточно сильно возбужден (§ 29),
т. е. она предполагает, что сами F\\ и F± малы. Тогда, обозна-
обозначая через г0 и ф0 решения уравнений E3.3) при /7n = .FJ. = 0,
а через р и % — малые отклонения, обусловленные именно слу-
случайными силами, имеем
Го=*Ы. гоФо = фЫ>	E3.10)
а в первом порядке относительно р и %
p' + pp = -lFj.(e), x' + qp=--^Fll(Q), E3.11)
где
МЫ	агФЩ	E3Л2)
и	дг0 ' ч	дг0
Заметим, что в частном случае генератора B8.4)
Х(го)=-т(р-го1 Ф(»-о) = О,	E3.13)
так что q = 0, а р — значение инкремента на предельном цикле.
При установившемся автоколебательном режиме, который
только и будет нас интересовать, г'о = 0 и первое уравнение
E3.10) принимает вид
R (/"о) = 0,
т. е. определяет постоянные (не зависящие от 9) значения ра-
радиусов предельных циклов в нулевом приближении. Если на
цикле Ф(го)ФО, то из второго уравнения E3.10) находим
Ф0 = ле + у,
где у — произвольная постоянная, а величина
дает в первом порядке поправку к частоте автоколебаний.
В интересующем нас конкретном случае E3.13) го = л/р и
Д = 0.
Уравнения E3.11) и есть стохастические уравнения, описы-
описывающие флуктуации амплитуды и фазы в окрестности предель-
предельного цикла. Для р мы имеем уравнение релаксационного типа
(на устойчивом цикле р>0). Наличие квазиупругой силы
—рр обусловливает установление стационарного режима, суще-
существование установившегося конечного значения р2 (причем, по
предположению, Vp2 ^ гол

406	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
Для вычисления функции корреляции р в установившемся
режиме можно взять решение первого уравнения E3.11) с ото-
отодвинутым в 9 = — оо нулевым начальным условием:
р (в) = - ^y- \ e"eF± (Q) dQ.	E3.14)
Тогда
= |.е-Р(в+е') ^epedQ Jj epe'F± (e) F± (в') dQ'. E3.15)
Для флуктуации фазы, вследствие автономности рассматри-
рассматриваемой системы, установившегося режима не существует. Учи-
Учитывая это, мы возьмем решение второго уравнения E3.11),
соответствующее начальному условию % = 0 при 0 = 0:
е	'	е
X (в) = - q \ Р (8) dd - -±- \ Ft (в) dQ.	E3.16)
о	о
Наибольший интерес представляет средний квадрат %. Если р @)
и F\\ F) не коррелированы между собой ')> то
X2 (9) = q2 \dQ Up @ - 0') dQ' + -V \M \ FИ @) FII @') rfe'-
о о	4ro ^ 0J
E3.17)
Если в формулу E3.15) подставить функцию корреляции
E3.9) для F_l F), соответствующую дельта-коррелированному
случайному воздействию F(t') на генератор, то получим
-фр @ —G') = -5f e-Pie-e-l,	E3.18)
откуда, в частности-,
Заметим, что коэффициент при дельта-функции в функциях
корреляции случайных сил F± @)/2 и F\\ @)/2, входящих в лан-
жевеновские уравнения E3.11), согласно E3.9) равен \х,С/2.
1) Это будет, очевидно, в отсутствие корреляции между F^ и Fj_, как,
например, в случаях E3.8) и E3.9), т. е. при стационарных воздействиях на
автогенератор. В общем случае F^ и F± могут быть и коррелированы, но
это не препятствует расчету функций корреляции и средних квадратов р(9)
и Х(в).

§ 53]	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИИ В ГЕНЕРАТОРЕ	407
В соответствии с общей теоремой C6.16) эта величина должна
совпадать с коэффициентом В в уравнении Эйнштейна — Фок-
кера B9.2):
С/	E3.20)
Простое сопоставление B9.16) и E3.18) приводит именно к
этому равенству.
Вычисляя по формуле E3.17) средний квадрат флуктуацион-
ного набега фазы, мы предположим, что флуктуации амплитуды
уже установились, т. е. возьмем для р функцию корреляции
E3.18). Для Fц (Э) функция корреляции по-прежнему берется
в виде E3.9). Результат вычисления:
Первый член обусловлен флуктуациями амплитуды, а второй —
непосредственным действием «толчков» или, что то же, дельта-
коррелированной модуляцией частоты. Второй член с самого
начала растет по диффузионному закону, первый же подчиняет-
подчиняется этому закону только при р9 ;> 1, и тогда
Если рВ -С 1/ то
Разумеется, в изохронном генераторе E3.13), у которого ампли-
амплитудные отклонения не влияют на частоту (д = 0), первый член
формулы E3.21) отсутствует и диффузионный закон справедлив
при всех 0:
?гЩ = -Щ- 9 = ^- 9 = 2D6.	E3.22)
Щ	чр
В силу E3.20) это совпадает с B9.20).
До сих пор, говоря о дельта-коррелированной случайной
«силе» F(t'), мы не расчленяли ее в соответствии с E3.2) на
дробовой и тепловой шумы. Произведем теперь это разбиение,
с тем чтобы сопоставить удельные веса обоих видов шума.
Так как оба случайных воздействия независимы, имеем
{F (t[) F m=^h hv (*.) /,p (^2) + ,24 • E3-23)
Согласно D3.2)
/др (*i) /др (^г) = «Л* ('i - 4).

408	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
где е — заряд электрона, а /а — средний анодный ток лампы.
Если перейти к безразмерному времени V = со0^. то
/др Ci) /др (*2) = е/аЮоб (tf - f2).	E3.24)
Что касается тепловой флуктуационной э. д. с. e(t), то для
нее справедлива формула C5.13):
е (ti) е (t2) = 26ГЯ6 (*, - t2) = 2kTRao6 (t\ — t'2), E3.25)
где 6 — постоянная Больцмана и Г — абсолютная температура
сопротивления R. Но в E3.23) входит функция корреляции не
e(t),a de(t)/dt = <o0de(t')/dt', т. е.
б (,flj в \l2l G>0 	7	7	•	(OO.ZOj
dtl dt2
Найдем эту величину в нулевом приближении относительно ма-
малого параметра \а.
Вводя вместо F(t') эффективную модулированную силу F(t'),
мы должны, конечно, произвести такую же замену и для e(t ).
Затем мы представляем e(t') в виде аналитического сигнала:
@ o()
нулевом приближении относительно \х. dS(f) /'dt' = i<§'(?),
что
так что
dt]	dt.2
Отсюда и из E3.25), E3.26), следует, что
ё (*,) ё (t2) = со02е (t[) e (Q = 2kTR^b (t[ - t'2). E3.27)
Подставив E3.24) и E3.27) в E3.23), получаем окончательно
F (t\) F (f2) = (С + С,) б (t\ - Й),	E3.28)
где
Ясно, что во все билинейные величины, характеризующие
корреляцию и интенсивность флуктуации, постоянные С и С\
войдут аддитивно. Так, например, для средних квадратов флук-
флуктуации амплитуды и фазы в изохронном автогенераторе мы
получим теперь выражения

§ 53)	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИИ В ГЕНЕРАТОРЕ	409
Следовательно, отношение интенсивностей дробового и тепло-
теплового шумов есть
С е L2M^7a eUc
d 2kT R	2kT '
E3.30)
где Uс — амплитуда напряжения на конденсаторе контура, рав-
равная амплитуде колебательного тока
Leap
R
j 	 ¦'¦'"'о т
' ампл	d *а>
деленной на а0С = l/ooL. Согласно E3.30) отношение интен-
интенсивностей дробового и теплового шумов равно отношению ра-
работы переноса электрона через конденсатор (в момент макси-
максимума напряжения) к удвоенной энергии теплового шума в кон-
контуре. При Т — 300 °К имеем
С/С{ = 17U с
(Uc выражено в вольтах). Таким образом, если при комнатной
температуре амплитуда напряжения на контуре нашей модели
генератора превосходит 1/17 в, то влияние дробового шума боль-
больше, чем теплового. Следует, однако, иметь в виду, что этот ре-
результат относится к рассмотренной конкретной схеме генера-
генератора, когда контур находится в анодной цепи и, по предположе-
предположению, отсутствует сеточный ток. С учетом сеточного тока и для
других схем генератора положение может быть существенно
иным [15].
Перейдем в формулах для средних квадратов р и % к перво-
первоначальным (размерным) параметрам. Поскольку х = 7//0,
а г = го + р> флуктуация амплитуды тока в контуре равна Д/ =
= /ор. Учитывая только дробовой шум и пользуясь выражения-
выражениями \х, = (ooMS, цр = (oo(MS — RC) (§ 28), получаем, согласно
E3.19),
— /op — /о -^ —
(MS _ Rc) .
При помощи этого выражения легко переписать через размер-
размерные величины и средний квадрат флуктуационного набега фазы
E3.22):
X =	0 = 2
2р
(Л/J	7afiffl>3S
	5	~
8V2(MS-RC)
При приближении к порогу самовозбуждения (MS — RC —>
—*0), т. е. к границе устойчивости автоколебательного режима,
«прочность» предельного цикла стремится к нулю. При этом
происходит неограниченное нарастание интенсивности флуктуа-
флуктуации амплитуды и коэффициента диффузии фазы. Конечно, в

410	Другие приложения корреляционной теории	[гл. vii
действительности рост флуктуации будет ограничен, но он на-
настолько велик, что нарушаются предпосылки линеаризации
уравнений E3.3). Поэтому вопрос о флуктуациях при такой бли-
близости к границе самовозбуждения, когда случайные отбросы
с предельного цикла одного порядка с его радиусом, уже не
может быть рассмотрен в пределах корреляционной теории1).
Если случайные силы дельта-коррелированы, то в таких случаях
можно вновь обратиться к уравнению Эйнштейна — Фоккера
(см. [16]), и тогда рассмотрение перехода через границу само-
самовозбуждения не вызывает никаких затруднений (§ 28).
Но в своей области применимости метод стохастических
дифференциальных уравнений и корреляционной теории обла-
обладает определенными преимуществами. Во-первых, он значитель-
значительно упрощает всю статистическую схему, что позволило рассмот-
рассмотреть задачи более сложные, чем флуктуации в автономном
генераторе с одной степенью свободы. Например, были рассмот-
рассмотрены флуктуации в генераторе, синхронизированном внешней
гармонической э.д. с.2); в генераторе, стабилизированном по
частоте посредством связи с высокодобротным контуром (квар-
(кварцем), т. е. в системе с двумя степенями свободы [13, 19]; в том-
соновском генераторе со многими степенями свободы [20]; в ге-
генераторе с сеточным током и постоянным или автоматическим
смещением [15] и др. Подробное изложение разнообразных за-
задач, касающихся флуктуации в автоколебательных системах, и
соответствующая библиография содержатся в книге [21].
Во-вторых, рассматриваемый метод дает возможность охва-
охватить не марковские флуктуации, обусловленные случайными
воздействиями с длительной корреляцией, и в том числе техни-
технические уходы в автогенераторе. К этому мы теперь и перейдем.
Как уже было отмечено, «силу» ^ц(9) во втором уравнении
E3.11) можно понимать и как результат флуктуации парамет-
параметров, определяющих частоту. В сущности, правую часть второго
уравнения E3.11) целесообразно обозначить через сс@), опи-
описывая этой случайной функцией флуктуации безразмерной ча-
частоты автоколебаний, чем бы они ни были обусловлены. Можно
поэтому включить в а@) и член —^р(б), перенесенный из левой
части уравнения и выражающий флуктуации частоты, вызван-
вызванные в неизохронной системе флуктуациями амплитуды. Тогда
уравнение примет вид
Х'@)==а@)=ае(е) + ат(е),
где ае@)— естественные флуктуации частоты, обусловленные
дробовым током и тепловым шумом, а ат@)—технические ухо-
') Это относится вообще ко всем случаям близости к точкам бифурка-
бифуркации любого стационарного режима, около которого исследуются флуктуации.
2) Кроме статьи [13], задача изучалась тем же методом в работах [17,18].

§53]	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИИ В ГЕНЕРАТОРЕ	411
ды, связанные со случайными вариациями параметров схемы.
Член —qp несмотря на то, что первоисточником флуктуации ам-
амплитуды р предполагаются дельта-коррелированные естествен-
естественные шумы, следует отнести все же к ат(т), поскольку р обла-
обладает относительно большим временем корреляции (порядка 1/р
по 9). Для простоты мы ограничимся далее случаем изохрон-
изохронного генератора,у которого q = 0.
Очевидно, ае(Э) и ат(8) статистически независимы. Предпо-
Предполагая, что эти случайные девиации частоты стационарны, мы
можем при вычислении среднего квадрата набега фазы
хF)— х@) за время 6, не уменьшая общности, считать %@) =0.
Тогда
я
% (9) = \ [Ое (9) + <ХТ (9)] dd,
о
откуда, в силу некоррелированности осе(т) и ат(т).
е я
= \\ К (9) ае (9') + М9) ат (9')] dB dV. E3.31)
о о
Учитывая, что время корреляции Фе естественных флуктуации
частоты гораздо меньше периода колебаний (по «медленному
времени» это означает, что ¦бе <С 2яц), мы примем, как и ранее,
что ае(9) — дельта-коррелированная функция:
ае (9) ае (9') = 2De6 (¦& — ¦&').	E3.32)
Напротив, время корреляции технических уходов дт очень ве-
велико даже по сравнению со временем установления амплитуды
(fir > 1//? > 2лц). Для последующих оценок достаточно взять
какую-либо «модель» функции корреляции ат(т), например
экспоненциальную:
ат(9)ат(9')=-|ре~|9'1/^, ?>т/#т = а2т.	E3.33)
Подстановка в E3.31) функций корреляции такого вида [уже
использованных выше при вычислении E3.21)] дает
FW=xf(9) + xfTe) = 2/)ет + 2DT[9 - 0ТA -е-9'**)]. E3.34)
Все сказанное ранее в отношении формулы E3.21) можно пере-
перенести на выражение E3.34), с тем лишь отличием, что время
установления диффузионного закона нарастания для ^
равное теперь fly, гораздо больше, чем время ]/р в E3.21).

412
ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ
[ГЛ. VII
Для интервалов времени 9 «С
тичный набег равен
суммарный среднеквадра-
среднеквадраE3.35)
а для 0
получается диффузионный закон
f (e) == 2 (De -f DT) 6,	E3.36)
причем коэффициент «технической диффузии» 2DT на много по-
порядков (в тысячи раз и более) превышает коэффициент есте-
естественной диффузии 2?>е (§ 29).
На рис. 64 показан ход обоих слагаемых функции E3.34), но
без соблюдения реального соотношения De и DT. При больших 6
технический набег растет го-
		раздо быстрее естественного,
X?	но при_достаточно малых
8 рост %2Т квадратичен, т. е.
всегда можно выбрать столь
малые 6, что %2 будет го-
гораздо больше х2,. Следова-
Следовательно, если как-либо изме-
измерять у2 именно за такие ма-
малые промежутки времени, то
фактически это будет изме-
измерением величины %l = 2Z)e8,
а тем самым — измерением естественной ширины спектраль-
спектральной линии генератора. В этом и состоит основная идея метода
И. Л. Берштейна.
Насколько малыми должны быть временные сдвиги 8? Оцен-
Оценка может быть сделана исходя из формулы E3.35), где надо
потребовать
Рис. 64.
откуда
Д.
E3.37)
Таким образом, 0 должно быть много меньше не просто самого
времени корреляции технических уходов Фт, а весьма малой
доли 2De/DT от #т, Если, например 2De/DT ~ 10~5, а тт =
ОД	Ю (	б
рр
Ю сек (через тт обозначено размерное время кор-
корреляции), то сдвиг должен быть гораздо меньше 10~4 сек.
В измерениях Берштейна к детектору подводилась разность
напряжений Av — v(t)—v(t — т), одно из которых снималось
с исследуемого генератора непосредственно через виток связи,

i 53]
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИИ В ГЕНЕРАТОРЕ
413
а другое — через коаксиальный фидер длиною 500 м (рис. 65),
который создавал задержку примерно на 3 мксек. Флуктуации
амплитуды разностного напряжения Аи на входе детектора обус-
обусловлены в первую очередь флуктуациями разности фаз Ах =
= %@ — %{t — т) между обоими напряжениями и вследствие
малости А% просто пропорциональны Д%.
Измерив при помощи усилителя и ква-
квадратичного выходного прибора величину
(АиJ, найдем тем самым (А/J, т. е., в
силу выполнения условия E3.37), найдем
величину 2D$ = 22)ех B)е = ц(о0Ое и
Рис. 65.
Рис. 66.
х — 0/[Шо— размерные коэффициент диффузии и длительность
задержки). Именно возможность большого усиления позволила
измерить нарушение когерентности у(А%J~1", которое было
обусловлено геометрической разностью хода всего в 500 м и со-
составляло лишь 10~12 от длины когерентного цуга.
Векторная диаграмма на рис. 66 поясняет еще одну суще-
существенную особенность описанного метода — возможность так
подобрать средние амплитуды напряжений и аппаратурный
сдвиг фаз г|) между ними, чтобы- амплитуда разностного напря-
напряжения Аи сильно зависела от флуктуации разности фаз А%, но
очень мало менялась из-за амплитудных флуктуации v(t).
Следует заметить, что мы привели не действительную схему
опыта, а лишь пояснили его принцип, следуя при этом Г. С. Го-
Горелику [22]. Фактически измерялась не величина (АхJ, а спектр
А%. Как уже было указано в § 45, исследование спектра ?ж(со)
колебания x(t) = r0 cos[a>0M- ф@] на крыльях линии, т. е. на
достаточно больших удалениях [со — соо 1 от максимума gx((a),
позволяет получить высокочастотный участок спектра флуктуа-
флуктуации частоты Q (t) = (t) (мы возвращаемся здесь к размерным
величинам).

414
ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ
ГГЛ. VII
В автогенераторе, в соответствии с разбиением Q (/) на два
некоррелированных слагаемых — технические уходы и естествен-
естественные флуктуации, — имеем
причем спектр gl (со) высокий и узкий [сильные и медленные из-
изменения Йт@]. а S% (ю) ~ низкий и широкий [малые и быстрые
t/te со
флуктуации Qe(OJ> как это схематически показано на рис. 67.
Соответственно разбивается и среднеквадратичный набег фазы.
Но для спектра автоколебаний генератора, т. е. для gx((o), та-
такой аддитивности нет вследствие сложной нелинейной связи ме-
между gx(to) и go. (со). Формула D5.24) показывает, однако, что
измерение gx(u>) на крыльях линии позволяет, в принципе, вос-
восстановить ход ga (со) на высоких частотах, т. е. там, где техни-
технические уходы практически не влияют и gQ (со) « gg (со). На-
Насколько далеко надо отойти для этого от соо, т. е. насколько
большим должен быть аргумент функции ga (со)? Речь идет
здесь о спектральной формулировке условия E3.37), позволяю-
позволяющего обнаружить естественные флуктуации, несмотря на нали-
наличие технических уходов. Через размерные величины, поскольку
0 = цсоот, Q@ = dqldt = Lico0d<p/d9 = цсо0аF) и De )/
это условие запишется в виде
При первом, взгляде на рис. 67 может показаться, что надо
потребовать со ^> 1/тт. Но нам нужны, очевидно, такие со, при
которых g^ (со) мало не по сравнению со своим наибольшим
значением в нуле, а по сравнению с уровнем g^co). Это будет

§ 53]	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИИ В ГЕНЕРАТОРЕ	415
выполнено, если в интервале @, со) интегральная интенсивность
естественных флуктуации
О
значительно превышает	интегральную интенсивность техниче-
технических уходов
О)	оо
%Ъ (со) dam \gl (со) rfco = Of.
о	о
Мы приходим, таким	образом, к условию
которое совпадает с E3.38), если положить со = л/2т.
Для непосредственного измерения крыльев линии надо, что-
чтобы g'x(co) на расстройках |<в — соо|, удовлетворяющих условию
E3.38), превышало уровень собственного шума аппаратуры. Ме-
Метод И. Л. Берштейна достигает цели в тех случаях, когда флук-
туационный дрейф фазы не чрезмерно мал, — в обычных лампо-
ламповых генераторах, а также в клистронных. Для молекулярного ге-
генератора интенсивность естественных флуктуации частоты столь
мала, что их измерение требует привлечения других приемов,
как, например, сравнение двух независимых генераторов.
Остановимся в заключение на следующем любопытном во-
вопросе. Томсоновский автогенератор дает квазимонохроматиче-
квазимонохроматическое колебание — спектральную линию малой ширины. В зару-
зарубежной литературе первоначально имела место ошибочная трак-
трактовка воздействия флуктуации на автогенератор как на очень
селективный фильтр. Спектр автоколебаний изображался в виде
суперпозиции дискретной линии и узкого (отфильтрованного)
шумового фона. Это неверно, так как генератор — нелинейная
система с обратной связью, в силу чего действующие в нем
источники шума дают не наложение шума на автоколебания,
а хаотическую модуляцию последних, т. е. уширение линии.
Допустим теперь, что мы построили весьма селективный
фильтр, у которого квадрат модуля функции передачи \k(i(i>)\2
в точности воспроизводит форму спектральной линии автогене-
автогенератора. Таким образом, если подвести к этому фильтру шум с
ровным спектром (ровным хотя бы в некоторой полосе, превы-
превышающей с известным запасом полосу пропускания фильтра), то
на выходе получится колебание, спектр которого (а значит, и
функция корреляции) такой же, как у автогенератора. Можно ли
различить при этих условиях, где мы имеем дело с отфильтро^-

416
ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ
[ГЛ. VII
ванным шумом, а где — с автоколебаниями, исследуя только
сами колебания и не имея доступа к их источникам?
Естественно обратиться к функциям распределения обоих
процессов. И тот, и другой — стационарные квазимонохромати-
квазимонохроматические процессы, и, следовательно, совместное распределение
амплитуды и фазы у обоих имеет вид D4.31). Таким образом,
фазы обоих колебаний распределены равномерно в интервале
(О, 2л) и единственная возможность обнаружить различие —
это сравнить распределения огибающей wr(r)dr.
На выходе весьма узкополосного фильтра колебание будет
гауссовым процессом, так что амплитуда г будет распределена
по релеевскому закону (рис. 68, а). В генераторе же, даже при
Рис. 68.
очень малом переходе через границу самовозбуждения, распре-
распределение г, как мы видели (§ 29), будет гауссовым, центрирован-
центрированным около значения г = г0, т. е. около радиуса динамического
предельного цикла (рис. 68,6). Это различие имеет, очевидно,
весьма общий характер и позволяет в тех случаях, когда источ-
источник колебаний недоступен, судить о том, к какому типу они
ближе — к автоколебаниям или к фильтрованному шуму.
§ 54. Тепловой шум в квазистационарных цепях.
Флуктуационно-диссипационная теорема
Флуктуации электрических и магнитных величин, обусловлен-
обусловленные тепловым движением микрозарядов в телах, открывают об-
обширное и интересное поле для применения статистических мето-
методов в электродинамике. Эта область охватывает и те случайные
электромагнитные поля, которые создаются микрозарядами при
их тепловом движении, в том числе волновые поля, которые но-

§ 54]	ТЕПЛОВОЙ ШУМ В КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЯХ	417
сят название теплового излучения. Мы рассмотрим такие поля
в части II этой книги, а здесь ограничимся частным случаем
квазистационарных электрических цепей, для которых излучение,
как правило, не представляет интереса, а основным вопросом
являются флуктуации интегральных электрических величин (за-
(зарядов, токов, напряжений), описывающих состояние цепи.
Хотя существование электрических флуктуации теплового
происхождения было теоретически очевидным уже с первых шз-
гов развития теории брауновского движения, экспериментальное
их обнаружение стало возможным лишь в результате усовершен-
усовершенствования радиотехнических устройств и в первую очередь уси-
усилительной техники. В 1927 г. Джонсон [23], работая в диапазоне
низких (акустических) частот, обнаружил, что на выходе усили-
усилителя, ко входу которого подключено сопротивление, наблюдается
добавочный «шум» — хаотическое напряжение, интенсивность
которого (средний квадрат) растет линейно с увеличением
сопротивления R на входе и с повышением его температуры Т.
Именно такая зависимость интенсивности тепловых флуктуации
от R и Т вытекала из их рассмотрения как брауновского дви-
движения (де Гааз-Лоренц, 1913 г.), но для полной теории явления
нужен был учет полосы пропускания усилителя, т. е. надо было
знать спектральное распределение интенсивности флуктуации.
Именно такая теория была одновременно с наблюдениями
Джонсона развита Найквистом [24].
Представление о локализованной в цепи случайной электро-
электродвижущей силе e(t), вызывающей в этой цепи флуктуации то-
токов и напряжений, было введено по аналогии с ланжевеновской
случайной силой, вызывающей брауновское движение частицы.
Найквист дал спектральную (т. е., как мы скажем теперь, кор-
корреляционную) теорию этой э. д. с, которая при постоянстве всех
макроскопических условий представляет собой, очевидно, ста-
стационарный случайный процесс. Поскольку e(t)=O, основной
характеристикой этого процесса является его спектральная
плотность g(e>((o), которая должна быть такой, чтобы приводить
к правильному описанию наблюдаемых электрических флуктуа-
флуктуации в любой цепи. Но сложную разветвленную цепь всегда мож-
можно разбить на двухполюсники и с каждым из них связать свой
источник флуктуационной э. д. с. Вопрос сводится, таким обра-
образом, к отысканию спектральной плотности g'e)(co) случайной
э. д. с, локализованной в любом двухполюснике. Единственной
электродинамической характеристикой двухполюсника служит
его импеданс 2(г<в), так что речь идет об установлении связи
между g^((o) и Z(i(n). Эту связь и дает полученная Найквистом
фундаментальная формула, носящая его имя. Дальнейшее раз-
развитие теории тепловых флуктуации привело к появлению мно-
множества -разнообразных выводов этой формулы и к далеко

418	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
идущим обобщениям, из которых она вытекает как простейший
частный случай. Но первоначальный ее вывод, данный самим
Найквистом, остается классическим по своей ясности и изя-
изяществу.
Очевидно, искомая связь между g-^(co) и Z{ia>) настолько
универсальна, что выбор конкретной модели для ее нахождения
не должен играть роли. Найквист рассматривает идеальную
двухпроводную линию с' волновым сопротивлением л/ L/C (L и
С —погонные индуктивность и емкость), к концам которой под-
ключены согласованные на частоте ю омические сопротивления
Я = л/Ь1С (рис. 69), имеющие одну и ту же температуру Г (рав-
(равновесное состояние). Флуктуа-
л	Ы.	., Дии в идеальных проводниках,
R П	\\r из которых сделана линия,
Т	^	Г не требуют для своего поддер-
поддерга - п жания внутренних сторон-
сторонних источников, но в сопро-
тивления R надо включить «ге-
«генераторы» случайных э. д. с.
ei@ и e2(t). Таким образом, обмен энергией между сопротивле-
сопротивлениями происходит посредством волн, возбуждаемых в линии
каждым из этих «генераторов» и не испытывающих отражения
ввиду согласования линии с нагрузками в рассматриваемом
спектральном интервале (со, <в + dco).
Если в некоторый момент времени закоротить оба конца ли-
линии идеально проводящими перемычками, то в ней будут «пой-
«пойманы» бегущие встречные волны со всевозможными частотами
<о. Систему стоячих волн с частотами, лежащими в интервале
(<в, со + Ао), можно рассматривать как суперпозицию тех соб-
собственных колебаний выделенного отрезка линии /, частоты ко-
которых заключены в этом интервале. Собственные частоты экви-
эквидистантны и выражаются формулой com = mnv/l, где т — О, 1,
2. 3, ... и v — фазовая скорость распространения волн в линии.
Интервал между собственными частотами равен Дсот = пи/1 и,
следовательно, в интересующем нас интервале положительных
частот da умещается число
собственных колебаний (степеней свободы). По теореме о рав-
равнораспределении на каждую степень свободы приходится при
термодинамическом равновесии энергия kT (k — постоянная
Больцмана), так что энергия «пойманных» волн в интервале
(о), © + d®) есть
^	E4.1)

§ 54]	ТЕПЛОВОЙ ШУМ В КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЯХ	419
При включенных нагрузках R отражение отсутствует, и поэтому
полученное выражение равно энергии, посылаемой в линию
обоими сопротивлениями за время пробега волн на расстояние /,
т. е. за время т = l/v. Отсюда следует, что каждое из сопротив-
сопротивлений посылает в интервал положительных частот dco за еди-
единицу времени энергию
р (ю) A» = -fJ-= ¦§?-?*«>.	E4.2)
По поводу этого результата необходимо сделать ряд заме-
замечаний.
Во-первых, пропорциональность dN интервалу d® имеет ме-
место лишь тогда, когда число собственных колебаний dN в интер-
интервале da достаточно велико (dN >¦ 1). Если выразить <в через
длину волны в линии X = 2яи/со, то указанное условие запишет-
запишется в виде
X ^ 21 '
С другой стороны, немонохроматичность d% должна быть и не
чрезмерно большой, с тем чтобы частотно-зависимые величины
[например, #(<»)] мало менялись на протяжении интервала doi.
Во всяком случае необходимо rfco <^С со, или, если записать это
через К,
Из обоих^ условий для dk/K вытекает, что
/> к,
т. е. результат E4.2) является в этом смысле асимптотическим.
Во-вторых, формула E4.2) выведена для частного вида ли-
линии (идеальной двухпроводной линии) и при подсчете dN были
учтены только так называемые главные волны (поперечно-элек-
(поперечно-электрические и поперечно-магнитные одновременно), у которых нет
дисперсии скорости и. Можно, однако, доказать ([25], § 17), что
E4.2) остается в силе для линии (одномерного канала) произ-
произвольного типа и для любых волн, возможных в такой линии, а не
только для главных, которые в общем случае могут и не суще-
существовать (например, в волноводе). При этом надо учесть дис-
дисперсию v = v(a) и соответственно различие между фазовой и
групповой скоростями (при наличии -дисперсии время пробега т
определяется групповой скоростью).
Третье замечание касается того, что теорема о равнораспре-
равнораспределении ограничила нас неквантовой областью Ьы <4; kT, что для
интересующего нас квазистационарного диапазона вполне есте-
естественно. Если, однако, не связывать себя достаточно низкими

420
ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ
[ГЛ. VII
частотами, то надо применять теорему о распределении энергии
в ее квантовой форме. Тогда вместо kT (в 54.1) и E4.2) во-
вошла бы средняя энергия квантового осциллятора
Йш ,, Йш
= — cth
2	2kT
E4.3)
- Вернемся к выводу формулы Найквиста.
Пусть теперь одинаковые сопротивления R замкнуты друг на
друга через чисто реактивный фильтр X, пропускающий только
полосу положительных частот (<в, <в + dco), внутри которой он
совершенно «прозрачен» (рис. 70). Такой фильтр, работающий
либо как короткое замыкание, либо
как разрыв цепи, не вносит соб-
собственных шумов. Поэтому ток в це-
цепи на частоте о), т. е. спектральная
амплитудная плотность 7(<в), выра-
выражается через аналогичные ампли-
амплитудные плотности e?i((o) и ё2(<в)
формулой
E4.4)
X
Рис. 70.
2Я(ш)
Для рассматриваемых стационарных процессов
G (со) Г (со')) = g(/) (ю) б (со - со')
и аналогично для ёх{(а) и ё2(<л), причем g\e) (со) = gj,e) (со) =э
= ?<?(ю)/2, где для упрощения записи мы обозначали спектраль-
спектральную плотность по положительным частотам через ?в(ю) вместо
?(е)+(<в). Между собой ^i(co) и ё2(со) не коррелированы. Это по-
последнее допущение естественно, если учесть, что истинным
источником каждой из этих э.д. с. является тепловое движение
микрозарядов в соответствующем сопротивлении. Далее мы да-
дадим, однако, более общее его обоснование.
Перемножая выражения E4.4) для 7(со) и 7* (о/), усредняя
и учитывая отсутствие корреляции между ej(со) и ё2(а>), полу-
получаем после отбрасывания в обеих частях равенства множителя
б(<в — с/), что
/?(co)g<7)(cu) =	щ^	.	E4.5)
Разумеется, это равенство, записанное для спектральных плот-
плотностей по частотам со, лежащим в интервале (—оо, оо), спра-
справедливо и для спектральных плотностей по положительным ча-
частотам gi(a>) — 2gW(<a) и т. д. Согласно E4.5) в первое сопро-
сопротивление поступает из второго (в интервале d® положительных

§54]
ТЕПЛОВОЙ ШУМ В КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЯХ
421
частот) мощность
A	Se(°>) A
и такая же мощность поступает из первого сопротивления во
второе. Эта мощность должна быть, в соответствии с E4.2),
равна -«— rfco, откуда и следует формула Найквиста для спект-
спектральной плотности (по положительным со) случайной тепловой
э. д. с. e(t):
1	j	E4.6)
ge (со) = -1 kTR (со) = j- kT Re Z (to).
Из E4.6) видно, что системы, не обладающие активным со-
сопротивлением, не содержат и источника теплового шума. С та-
такого рода связью тепловых флуктуации с диссипацией энергии
в системе мы уже встречались, рассматривая брауновское дви-
движение (§ 35). Допущение, что чисто реактивные системы не
шумят, уже было использовано в предыдущих рассуждениях.
Другим предположением была взаимная некоррелированность
э. д. с. в разных двухполюсниках. Это свойство можно вывести
из общего и очевидного требования, чтобы последовательное и
параллельное соединение двух двухполюсников (Zu ex и Z2, e2)
были эквивалентны одному двухполюснику с импедансом Z,
7 7
равным соответственно либо Z\ + Z%, либо 7 ' 27 , и с э. д. с. е,
z, + z2
равной либо в\ + е2> либо '2!' "Г ?'62 (рис. 71), причем для е и
'1 + ^2
Z опять должна быть справедлива формула Найквиста.
z2
е,+ег
Рис. 71.
Использование (при составлении для рассматриваемой цепи
уравнений Кирхгофа) локальных э. д. с. е, не коррелированных
между собой, удобно еще и тем, что позволяет легко учесть воз-
возможное различие температур отдельных двухполюсников (см.
задачи 7 и 8).
Согласно E4.6) спектральная плотность э. д. с. Найквиста
растет с увеличением сопротивления и при R -> оо (разрыв

422	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
цепи) тоже обращается в бесконечность. Этот кажущийся пара-
парадокс возникает лишь в результате забвения того обстоятельства,
что формула E4.6) применима только к достаточно хорошим
проводникам — таким, внутри которых можно при данной ча-
частоте <в пренебречь током смещения по сравнению с током про-
проводимости. Если это условие не выполнено, то наряду с прово-
проводимостью а надо учитывать и диэлектрическую проницаемость
проводника е. Например, для отрезка провода (рис. 72), вводя
кроме его сопротивления R = 1/aS еще внутреннюю емкость ме-
между его торцами С = eS/Anl (S — площадь поперечного сече-
сечения), мы получим, как это будет показано в
части II, следующее выражение для спек-
тральной плотности тепловой э. д. с:
____
E4.7)
Отсюда видно, что ge(«) обращается в нуль как при R = О
(идеальный проводник), так и при R = оо (идеальный диэлек-
диэлектрик) и что обычная формула E4.6) пригодна лишь при
2С221
Рассмотрим в качестве примера тепловой шум в колебатель-
колебательном контуре. Для спектральных амплитуд тока и э. д. с. [7 =
= 7(со) иё = ё(ю)] имеем
г __
Z (to) R+i{(oL— 1/fflC) '
Спектральная плотность тока по положительным частотам есть
g У®)
Найдем среднюю полную магнитную энергию шума в контуре
оо	оо
т~,	ь 77 L \ _. , \ 1	kT RL I	аш
R2+(a>L- 1/шСJ *
о	•	о
Из-за скин-эффекта R и L зависят при достаточно высоких ча-
частотах от <в (в медном проводе диаметром 1 мм эта зависи-
зависимость заметна, начиная уже с со ~ 105). Мы примем, что соб-
собственная частота контура лежит значительно ниже таких частот
и что можно поэтому с достаточной точностью считать пара-
параметры контура не зависящими от оз.
Вводя в качестве переменной интегрирования х = со -\JLC и
обозначая величину, обратную добротности, через у {у = 1/Q =

§ 54]	ТЕПЛОЁОЙ ШУМ В КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЯХ	423
= RJ-\/LJC ), приводим выражение для 0т к виду
хЫх
2п
— ОО
Замыкая путь интегрирования в верхней полуплоскости и взяв
вычеты в полюсах хи 2 = *Y/2 ± V1 — Y2/4 > получаем
'U.n = kT/2,
как это и должно быть в силу теоремы о равнораспределении и
соотношения Um = ?/2, где Е — полная средняя энергия линей-
линейного осциллятора.
Аналогичным образом для средней полной электрической
энергии контура, зависящей от спектральной интенсивности за-
заряда на конденсаторе gq(&) = ^/(<в)/<в2, полу-
получаем
оо
f / ч cfco
dx	kT
\2х2+(х2—1J	2
Рис. 73.
Если емкость С присоединена к произвольному двухполюс-
двухполюснику (рис. 73) с импедансом
то средняя электрическая энергия конденсатора, конечно, уже
не будет равна kt/2: энергия kT приходится на степень свободы
(на каждое нормальное колебание рассматриваемой системы),
а не на емкость и индуктивность. Для спектральной интенсив-
интенсивности тока в цепи Z и С, согласно закону Ома и формуле Най-
квиста, имеем
( \—jLbT ReZ	2-ьт	EJBl
Si К®) — я K1- | z + 1/toC |2 — л Ш R2 (со) + \Х (и) - 1/(соС)]2 *
Снова учитывая, что gq((o) — g/ (co)/co2, получаем для Ue выра-
выражение
+ OO
Г/ CkT [	R (co) d@
[	_
e= 2я . J (u2C2R2 (ш) + [ч>СХ (и) — I]2 '
— ОО
где ввиду четности функции R((o) интегрирование распростра-
распространено на всю вещественную ось <в. Если
1 + i

424	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ ' [ГЛ. VII
т. е. двухполюсник состоит из параллельно соединенных емко-
емкости с и сопротивления R, то средняя энергия Пе = kT/2 будет
на суммарной емкости С -\- с, а на конденсатор С придется
только доля С/(С -f с) от kT/2.
В радиотехнике и радиофизике широко принято выражать
интенсивность шумов самого разного происхождения (шумов
в лампах и полупроводниковых приборах, космического радио-
радиоизлучения и т. д.) через так называемую эквивалентную шумо-
шумовую температуру. Пусть некоторый источник (двухполюсник)
отдает согласованной с ним нагрузке в полосе (положительных)
частот Асо мощность
<о+До
Р= \ р (со) rfo> = р (ш) До,
0)
где, очевидно, р(и>)—средняя плотность мощности в рассматри-
рассматриваемой полосе. В соответствии с E4.2) активное сопротивление,
находящееся при температуре Ts и согласованное с этой же на-
нагрузкой, создает в ней тепловой шум мощности ?Г8Дсо/2л;. Если
подобрать Ts так, чтобы мощности были равны:
то Ts называется эквивалентной (шумовой) температурой источ-
источника. Часто бывает удобно относить Ts к «комнатной» темпера-
температуре Го = 290 °К, т. е. вводить относительную эквивалентную
температуру источника
/ ч Ts 2nn (ш)
пт (со) = J- = —jf—•
Основываясь на формуле Найквиста E4.6), пользуются и
понятием эквивалентного шумового сопротивления. Рассмотрим
его на примере дробового тока лампы (/а = 7а + /др), спектраль-
спектральная плотность которого (по со > 0) равна ?ГДР(со) = eljn.
Допустим, что лампа не шумит, но к ее сетке подключено
активное сопротивление /?s (со)—источник найквистовской э. д. с.
e(t). Спектральная плотность этой э. д. с. при комнатной темпе-
температуре Го равна
в анодном токе э. д. с. e(t) вызовет тепловой шум со спектраль-
ной плотностью gj (со) = S2ge (со) = — kT0S2Rs (со), где S — кру-
крутизна анодной характеристики лампы. Если /?s(co) подобрано
так, что gi((n) = ёдр(со), т. е.

§ 54]	ТЕПЛОВОЙ ШУМ В КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЯХ	425
то это и будет эквивалентное шумовое сопротивление дробового
тока лампы. В данном примере оба шума белые, в силу чего
Rs(a) не зависит от частоты.
В общем случае линейной цепи с п степенями свободы со-
состояние системы описывается In переменными — либо, как это
принято в электро- и радиотехнике, п токами и п напряжения-
напряжениями, либо, если исходить из уравнений Лагранжа — Максвелла,
п зарядами (обобщенными координатами) q$ и п токами (обоб-
(обобщенными скоростями) qj = Ij. Линейные дифференциальные
уравнения для qj(t) дают для спектральных амплитуд токов 7j
и э. д. с. &j обобщенные уравнения Кирхгофа:
// = Z Yik («о) & к, %1 = Z 2/А (/га) lk.	E4.8)
Здесь \~{Yjb} и Z = {Zjk} — взаимно обратные матрицы адми-
танса и импеданса [YZ = Е, где Е = {6!к} — единичная матрица].
Э. д. с. ^j (со) в законах Кирхгофа E4.8)— это уже не локаль-
локальные э. д. с, включенные в определенные двухполюсники, на ко-
которые можно разложить нашу сложную разветвленную цепь,
а спектральные амплитуды тех обобщенных «сил» &j(t), кото-
которые соответствуют в смысле уравнений Лагранжа обобщенным
«координатам» qt (t) = \ It (t) dt. Другими словами, работа, со-
совершаемая в единицу времени всеми э. д. с. <?j(t) над системой
(т. е. поглощаемая системой мгновенная мощность), равна ..
Если <gj(t)— тепловые флуктуационные э. д.-с, являющиеся
при постоянной температуре Т стационарными и стационарно
связанными случайными процессами с <%j(t) = O, то в пределах
корреляционной теории их статистические свойства описываются
корреляционной матрицей {e>j(t)e>h{t')) или же соответствую-
соответствующей матрицей спектральных плотностей gj|> (ю):
(Ё, (со) ё\ (га')) = g$ (со) б (га> - га').
Обобщение формулы Найквиста E4.6) на этот случай системы
со многими степенями свободы дает связь матрицы gj|> (га)
с матрицей импеданса Zjft(tco) нашей разветвленной цепи.
А именно, если вся цепь находится при одной и той же темпе-
температуре Т (равновесное состояние), формула Найквиста в соче-
сочетании с уравнениями Кирхгофа E4.8) и теоремой Тевенина дает
следующее выражение для спектральных плотностей по со > О
(см. [26]):
em(">) = ~(Z!k + 'Zk,).	E4.9)

426	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
Разумеется, для неразветвленной цепи (/ = k = 1, Z\\ = Z) от-
отсюда следует формула Найквиста E4.6).
Заметим, что обобщение E4.9) формулы Найквиста на раз-
разветвленные цепи справедливо и тогда, когда цепь не удовлетво-
удовлетворяет принципу взаимности. Если же он выполнен, то матрицы Z
и Y симметричны, и тогда
Вт ^ =Щ- (Z!k + Z*lk)=^kT ReZ,k. E4.10)
С помощью E4.9) нетрудно получить выражение и для эле-
элементов матрицы спектральных плотностей токов:
G, (со) 7; (со')) = ?$(») б (со - со').
Согласно первому уравнению E4.8)
(/7 (со) Л (со')> = I Y,, (/со) Yin (/со') (it (со) ё'т (со')),
I, т
или, если подставить сюда корреляционные функции, сократить
на 6 (со — со') и перейти к плотностям по со > 0,
gm (<») = Z Yn (ю) Y\m (/со) gtlm (со).
I, т
Внося сюда E4.9), находим
>)
Ho XlYnZi,m = 6im и EY'kmZmi = &ki, так что в результате
«)=-if (У/й + П/)-	E4.11)
В отличие от тепловых э.д.с. ei(t) (локализованных в от-
отдельных двуполюсниках), которыми можно пользоваться в тех
случаях, когда известна вся структура цепи, а не только ее ма-
матрица импеданса, э. д. с. <?$, входящие в E4.8), вообще говоря,
взаимно коррелированы. Это получается потому, что обобщен-
обобщенные э. д. с. &3 линейно выражаются через локальные и не корре-
коррелированные между собой э. д. с. ez и, следовательно, разные S'j
могут содержать одни и те же ег (см. задачу 6). Когда исполь-
использование ei доступно (структура цепи известна), оно удобно не
только ввиду их взаимной некоррелированности, но еще и по-
потому, что позволяет легко учесть возможное различие темпера-
температур отдельных двухполюсников. Некоторые примеры таких не-
неравновесных условий рассмотрены в задачах 7 и 8.
ФормулкГ E4.9) и E4.11) являются частным случаем гораз-
гораздо более общей теоремы, доказанной Калленом с соавторами

§ 54]	ТЕПЛОВОЙ ШУМ В КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЯХ	427
в 1951 г. [27—29]. Это так называемая флуктуационно-диссипа-
ционная теорема (коротко — ФДТ), содержание которой заклю-
заключается в следующем.
Пусть состояние некоторой системы с п степенями свободы
и с постоянными (не зависящими от времени) параметрами опи-
описывается п обобщенными координатами <?j@- Система находит-
находится в термостате с температурой Г и в ней происходят тепловые
флуктуации, т. е. qj(t) представляют собой случайные процессы.
Обозначим для краткости через Xj(i) — {qj(i)) средние по ан-
ансамблю, т. е. макроскопические, значения координат.
Пусть, далее, существуют обобщенные силы Fj(t), сопряжен-
сопряженные с Xj(t) в том смысле, что средняя мгновенная мощность,
отдаваемая этими детерминированными силами системе, равна
Q(t) = i,(t)Fj(t).	.E4.12)
Здесь (как и в дальнейшем) по дважды встречающемуся- ин-
индексу производится суммирование от 1 до п. Подчеркнем, что
Xj(t) в E4.12) — это средние значения, вычисляемые при нали-
наличии сил Fj(t), т. е. по неравновесному ансамблю.
Средний отклик x(t)= {x\(t), ..., xn(t)} рассматриваемой,
вообще говоря, нелинейной системы на силы F(t)={F\(t), ...
..., Fn(t)} описывается некоторыми нелинейными функциона-
функционалами от F(t):
E4.13)
Не нарушая общности, можно предположить, что в отсутствие
сил Fj(t), т. е. при термодинамически равновесном состоянии,
средний отклик равен нулю:
*/@1Р_о = Ф/@)=0.	E4.14)
Разложим функционалы Ф3- в функциональные ряды по си-
силам F(t). В соответствии с E4.14) эти ряды будут начинаться
с членов, линейных относительно сил F(t), т. е. описывающих
отклик некоторой линейной динамической системы с постоян-
постоянными параметрами (гармонической системы):
*/@= S alk{t-x)Fk{x)dx-+ ...,	E4.15)
— оо
где djk(t — т)—импульсный отклик (в момент времени t)
/-й координаты на дельта-импульс (в момент времени т) k-a
силы. Если Xj(a>), ^ft(co) и ajb(w) 2э ajft(<a)—спектральные, ам-
амплитуды входящих в E4.15) функций времени Xj(t), Fh(t) и
aoh(t), то в спектральном представлении соотношение E4.15)

428	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
запишется в виде
х, (со) = ajk (со) Fh (со), или Fs (со) = afk (ю) xk (©). E4.16)
Матрица а={а^(со)} называется матрицей обобщенной вос-
восприимчивости системы, а а — обратная матрица. Обобщенная
восприимчивость а характеризует, согласно ее определению,
средний (макроскопический) линеаризованный отклик динами-
динамической системы, т. е. отклик на столь слабые детерминирован-
детерминированные воздействия Fh(t), при которых можно ограничиться линей-
линейными членами рядов E4.15).
Обратимся теперь ко вторым моментам флуктуирующих ко-
координат qi(t). В отсутствие детерминированных сил Fj(t) флук-
флуктуации uj(t) происходят около состояния термодинамического
равновесия и являются стационарными случайными процессами.
Можно поэтому ввести обычным образом матрицу спектральной
плотности gfy (со) этих флуктуации (по частотам со от — оо до
(qf (со) q\ (со')) = gft (со) б (со - со'),	E4.17)
где усреднение производится уже по равновесному ансамблю,
т. е. в отсутствие детерминированных сил Fj(t).
ФДТ утверждает, что матрица спектральной плотности теп-
тепловых флуктуации около состояния термодинамического равно-
равновесия при температуре Т выражается через антиэрмитову часть
обобщенной восприимчивости нашей линеаризованной (в ука-
указанном смысле) динамической системы следующим образом:
«Я? (°> - ^ш1^ <ю> - </ Kb <54Л8>
«Я?
где в (со, Г)—средняя энергия осциллятора E4.3). Этот очень
общий и фундаментальный результат охватывает любые часто-
частоты со, включая квантовую область й|со| ^ kT, и применим к ма-
макроскопическим системам любой физической природы.
Следует специально подчеркнуть, что квантовомеханическое
доказательство теоремы E4.18) не предполагает малости флук-
туационных отклонений qj1). Вполне точно вычисляются:
1) спектральная плотность gfy (со) и 2) матрица восприимчи-
восприимчивости ajfc(co), как она определена выше. Сопоставление обоих
выражений показывает, что для равновесных флуктуации спра-
справедливо равенство E4.18). Таким образом, динамика системы
при сильных внешних воздействиях, когда уже нельзя ограни-
ограничиваться выражениями E4.16), т. е. членами, линейными отно-
относительно детерминированных воздействий Fk(t), просто не имеет
отношения к флуктуациям около состояния термодинамического
') См. [30], §§ 87, 88 или [31], §§ 126, 127.

§ 54] ,	ТЕПЛОВОЙ ШУМ В КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЯХ	429
равновесия. Этот принципиально важный момент, выясненный
Бернардом и Калленом [32] и независимо Ф. В. Бункиным [33],
означает, что вопрос о каких-либо поправках к ФДТ, обуслов-
обусловленных нелинейностью динамических уравнений макроскопиче-
макроскопической системы, попросту отпадает. Отпадают, в частности, и раз-
различные парадоксы, вроде того, что детектор, включенный в пас-
пассивную цепь, находящуюся в термостате, будет выпрямлять
тепловые флуктуации, т. е. давать постоянный ток, и, таким об-
образом, позволит получать работу из термодинамически равновес-
равновесной системы.
Сказанное, разумеется, не означает, что восприимчивость а
не зависит от нелинейности стохастических уравнений рассмат-
рассматриваемой системы. Уравнения для случайных координат q,{t)
в общем случае имеют вид
L!{q(t)} = Fl(t) + f,(t),	E4.19)
где Cj — нелинейные операторы, Fj(t)—детерминированные
силы, a fj(t)—случайные силы, введенные наравне с Fj(t) и
описывающие воздействие термостата на систему ({fj(t)) = 0).
Нахождение а представляет собой в общем случае сложную за-
задачу. Надо решить уравнения E4.19), т. е. найти
затем надо усреднить это решение по неравновесному ансамблю,
что даст средний отклик E4.13):
х, @ = (Я, @) = <?,"' (F (t) + f (/)}> - Ф, {F (t)},
и, наконец, надо выделить ту часть Xj{t), которая линейна по
F(t). В том случае, когда заданы макроскопические уравнения,
т. е. уравнения для Xj(t), нахождение а сводится просто к ли-
линеаризации этих уравнений.
Если нелинейные члены в E4.19) малы, то решение можно
искать методом возмущений. Задача становится, однако,' совсем
простой, когда стохастические уравнения линейны [С} в E4.19) —
линейные операторы]. Тогда уравнения для спектральных ампли-
амплитуд qk{(a) будут вида
С,к («») h («») = F, («в) + Ь («в),	E4.20)
а их усреднение даст уравнения E4.16):
т. е. а^1 (га) = Cjk (га) и ajk (<в) — Cjl -(a). Таким образом, в
этом частном, но важном случае коэффициенты в стохастиче-
стохастических и макроскопических уравнениях одни и те же.

430	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
Именно так обстоит дело и в случае линейных электрических
цепей, описываемых зарядами qs (t) [cjj (га) = Is (ю)Д'ю]. Если
F] (<о) = &J (со) — спектральные амплитуды сопряженных э. д. с,
то, согласно законам Кирхгофа E4.8), a,jh(u>) = Yjh(<?>)/ш, где
Y = {Yjh} — матрица адмитанса цепи. Общая формула E4.18),
если перейти к спектральным плотностям по частотам со > 0 и
ограничиться неквантовой областью fi|co| < kT (когда в (со, Т) =
= kT), приводит к формуле E4.11).
В состоянии равновесия [F3(co) = 0] стохастические уравне-
уравнения E4.20) принимают вид
<(»)^(«) = М«)-	E4.21)
Отсюда нетрудно получить другую часто используемую форму
ФДТ, а именно выражение для матрицы спектральной плотно-
плотности g^ (со) случайных ланжевеновских сил fj(t):
Действительно, из E4.21) и E4.17) имеем
Подставив сюда E4.18), находим
m , > гв (со, Т) , , ,
Но, поскольку o.j^amn = bjn и a^*anm = 6fem, получаем отсюда
что является обобщением электродинамической формулы
E4.10).
§ 55. Эффект мерцания
В числе флуктуационных шумов, с которыми приходится
сталкиваться в радиоустройствах, несколько особое место зани-
занимает эффект мерцания (иначе — фликкер-эффект), о котором
уже упоминалось в §§ 11 и 28. В электронных лампах этот вид
шума (открытый Джонсоном в 1925 г.) связан с медленными
локальными флукдуациями эмиссионной способности катода,
так что соответствующая спектральная плотность, добавляю-
добавляющаяся к ровному спектру дробового шума, сосредоточена в об-
области низких частот (рис. 74). Особенность эффекта состоит в
том, что нарастание спектральной плотности при понижении

i 55]
ЭФФЕКТ МЕРЦАНИЯ
431
частоты не обнаруживает тенденции к остановке или замедле-
замедлению. Как показывает опыт, в широком интервале частот ?+(©)
удовлетворительно описывается формулой
*+(ш) = *?,	,	E5.1)
где 7 — среднее значение тока эмиссии, а числа К, тип зави-
зависят от свойств лампы (типа лампы, материала катода, обработ-
обработки его поверхности, степени откачки и т. п.) и режима ее ра-
работы. Большею частью т близко к 2, а п — к 1, но может ме-
меняться от 0,6 до 2. Спектр эффекта мерцания в электронных
лампах лежит ниже 5—
10 кгц и нарастает до самых
низких частот, на которых
еще удается его измерить
(до Ш^1 гц и ниже).
Шум со спектром такого
же вида наблюдается не
только в электронных лам-
лампах, но и в ряде других про-
проводников: в гранулирован-	р с 74
ных сопротивлениях (в ин-
интервале частот от долей гер-
цЪ до нескольких мегагерц), в контактах, в полупроводниковых
приборах — германиевых и кремниевых детекторах, фотосопро-
фотосопротивлениях, контактных фотоэлементах, термисторах и т. п. (так
называемый избыточный шум полупроводников), в газоразряд-
газоразрядных приборах и в электролитах (элементах и аккумуляторах).
Таким образом, во многих совершенно различных проводниках
обнаруживается наличие низкочастотного шума, спектральная
плотность которого в широком диапазоне пропорциональна га~п,
где 0,6 < п < 2, а токовая зависимость следует закону 7™, где
m > 1 и чаще всего (в частности, в непроволочных сопротивле-
сопротивлениях с линейной вольтамперной характеристикой) близко к 2.
Последнее обстоятельство довольно правдоподобно объясняется
флуктуациями сопротивления.
Действительно, если вольтамперная характеристика есть
v = RI + a/2 -f-..., то при постоянной э. д. с. & флуктуации
параметров R, а, ... вызовут флуктуации тока Д/= / — 7,
причем
Отсюда
= (R + А/?) (/ + А/) + (а+ Да) (/+ Д/J+.

432	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
т. е.
!	/2
75 (АЛJ + 2Л# • Да • / +
R2 + 2RaI
Следовательно, при линейной характеристике имеем (А/J ~ Р,
а отклонения от этого закона обусловлены отступлением харак-
характеристики от линейности.
Основным вопросом в отношении эмпирической формулы
E5.1) является частотный ход спектральной плотности. Если
фликкер-шум — стационарный процесс, то для конечности ин-
интеграла
о
:+ (га) da>	E5.2)
необходимо, чтобы п было при со-*оо больше 1 (что, по-види-
по-видимому, всегда выполняется), а при со-* О меньше 1.
Как это ясно из формулы
/ ч	2 f / ч	,
р , (со) = — \ ib (x) cos сот ах,
о
поведение g+ (со) при со—>-0 зависит от быстроты убывания о|з (т)
при т-*оо. Чем медленнее это убывание, тем круче растет g+ (со)
в нуле. Пусть, например, функция корреляции | ф (т) | < М при
х < т0, а начиная ст = т:0, убывает по закону Ax~v (v > 0).
Тогда
Первый член при всех са не превосходит по абсолютной вели-
2
чине значения —Мх0, а второй конечен при со->0, если v> I,
возрастает как In сот0 при v=l и как cov~1 при v< 1.
При увеличении длительности измерений спектра фликкер-
шума, т. е. при измерении спектральной плотности на все более
низких частотах, область, в которой ожидалось замедление ро-
роста g+(co) по сравнению с 1/со, отодвигалась все ниже и ниже —
вплоть до 10~5 гц, что соответствует времени корреляции по-
порядка 5 часов. Если функция корреляции фликкер-шума и об-
обладает набором различных масштабов (связанных, например,
с различными временами пребывания примесных атомов на по-
поверхности катода или же с различными временами жизни носи-
носителей тока в полупроводниках), то наличие столь длительных
времен трудно объяснить какими-либо разумными физическими
причинами.

§ 55]	ЭФФЕКТ МЕРЦАНИЯ	433
С другой стороны, соблюдение постоянства всех условий,
от которых зависит стационарность наблюдаемого эффекта, за-
затруднено тем сильнее, чем дольше продолжается измерение. Не
говоря уже о внешних факторах (стабильность источников пи-
питания, колебания температуры элементов цепи), в игру всту-
вступают в случае электронной лампы такие явления, как дрейф
эмиссии катода (частоты 10~2—10~4 гц) и старение лампы (ме-
(менее 10~*гц). Иными словами^ вполне возможно, что наблюдае-
наблюдаемые флуктуации не стационарны (так что требование интегри-
интегрируемости g+(co) отпадает), но изменение их статистических ха-
характеристик со временем происходит весьма медленно.
Этот вопрос выходит за рамки обсуждаемого явления. Речь
идет о том, имеет ли смысл различать медленные флуктуации
стационарной случайной функции и медленный же временной
ход моментов нестационарной функции, если в нашем распоря-
распоряжении имеются только реализации ограниченной длительности.
Пусть, например, стационарная функция \(t) обладает двумя
отчетливо выраженными масштабами изменения — Oi и 02 Э- Oi
(рис. 75, на котором масштаб 02 не указан, так как он далеко
¦нк
О	7 t
Рис. 75.
выходит за пределы чертежа). Опыт, в котором производится
усреднение быстрых (~Oi) флуктуации, но длительность кото-
которого Т <С О2, ничего не может сказать о стационарности или не-
CTanHOHapHqcTH медленного изменения l(i). Располагая резуль-
результатами только таких экспериментов, можно считать, что l(t)
обладает временем корреляции Oi и не является стационарной,
т. е. среднее значение l(t) зависит от t, но за времена по-
порядка Oi меняется мало. Такая интерпретация возможна наряду
с исходной, когда функция l(t) считается стационарной, но об-
обладающей, помимо Оь временем (или временами) корреляции
fl2 > Т.
Коль скоро конечная длительность измерения допускает по-
подобную неоднозначность трактовки, естественно возникает
мысль о таком подходе, который не предрешал бы вопроса о
стационарности или нестационарности l(t), а просто исключал
бы из рассмотрения те ее изменения, которые слишком мед-'
ленны для экспериментов данной продолжительности. К этой

434	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
постановке вопроса мы обратимся в следующем параграфе, а
сейчас~рассмотрим на частном примере импульсного процесса
переход от стационарности к нестационарности при замедлении
спадания импульсов, т. е. при замедлении убывания функции
корреляции с ростом т.
Рассматривая в § 8 пуассоновскии процесс вида
l(t) = ZavF(t-tv),	E5.3)
V
мы предполагали, что интервал (—Г/2, Г/2) усреднения по tv
очень велик по сравнению с длительностью импульса. Это позво-
позволяло пренебречь краевыми эффектами — срезанием части им-
импульсов концами интервала,— так как относительная доля «ис-
«испорченных» импульсов могла быть сделана при Г—юо сколь
угодно малой. Если, однако, импульс F@) спадает при 0 —>• оо
недостаточно быстро, то замена конечного интервала Т интегри-
интегрирования по tv на бесконечный может оказаться недопустимой.
Сделаем для простоты следующие допущения. Пусть им-
импульсы в E5.3) полубесконечны (/7@) = О при 0<О). Выбе-
Выберем, кроме того, в качестве области изменения tv интервал
(О, Г), а не (—Т/2, Т/2), с тем чтобы начальная точка интер-
интервала'не смещалась при изменении Т. Тогда вычисленная в § 10
характеристическая функция импульсного пуассоновского про-
процесса (в которой еще, не сделан переход к Т= оо) запишется
в виде
= exp	I
(и, t) = exp n, \ wa (a) da J [е'«"рм _ ц
t-т
и пг-й кумулянт будет равен
t-т
При-Г—к» и любом конечном t можно (начиная с Г>/)
заменить нижний предел нулем. Если а = 0, то первым отлич-
отличным от нуля кумулянтом будет дисперсия
Х2 (/) = D [I (/)] = ща~2 \ F2 (9)
Поскольку О[|] зависит от t, процесс E5.3) не стационарен.
Но при достаточно быстром убывании .F@) с ростом 9 диспер-
дисперсия будет приближаться к постоянному значению, т. е. для
достаточно больших t процесс E5.3) будет приближенно ста-
стационарным.

§ 56] СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ	435
Пусть, например, на отрезке (О, 0О) функция FF) ограниче-
ограничена, \F(d)\<M, а при е>60 убывает как AQ~" (v>0). Тогда
для t > 0о имеем
'-*v при v^I/2,
62 In (t/%) при v = 1/2.
Таким образом, с ростом t при v > 1/2 достигается стационар-
стационарность, а при v ^ 1/2 дисперсия неограниченно растет. Случай
v = 1/2 отвечает очень медленному (логарифмическому) нара-
нарастанию ?>[|], а случай v = 0 (неубывающие импульсы) приво-
приводит к диффузионному закону.
§ 56. Случайные функции со стационарными приращениями.
Структурная функция
Если при изучении какого-либо случайного процесса мы не
уверены заранее в его стационарности (например, как на рис.75,
конечная продолжительность опыта не позволяет судить о том,
какой характер имеет наблюдаемый медленный ход «локаль-
«локального» среднего значения), то это еще не всегда означает необ-
необходимость использования теории нестационарных процессов
самого общего вида. Существует большой класс нестационар-
нестационарных процессов, охватывающий стационарные процессы в каче-
качестве частного случая и вместе с тем еще настолько специальный,
что соответствующая теория может быть продвинута гораздо
дальше, чем это можно сделать в самом общем случае. Доста-
Достаточно указать, забегая вперед, что для класса процессов, о ко-
которых идет речь и которые называются случайными процессами
(функциями) со стационарными приращениями (СПСП), сохра-
сохраняется локализация по частоте для моментов второго порядка,
т. е. сохраняется понятие спектральной интенсивности. Класс
случайных функций со стационарными приращениями и адэ-
кватные методы их описания были указаны А. Н. Колмогоро-
Колмогоровым в 1940 г.1).
Составим для нестационарного процесса %(t) приращение на
интервале времени (t, t+ Т) произвольной, но фиксированной
длительности Т:
i\T(t) = l(t + T) — l(t).	E6.1)
Очевидно, медленные изменения l(t) будут мало сказываться
на значениях т)Г@> и тем меньше, чем они медленнее. Если
?,(t) содержит- постоянную составляющую, то она вообще вы-
выпадает из т)т@- -В результате подавления компонент с очень
') См. [34, 35]. Из дальнейших исследований по теории СПСП • следует
в первую очередь указать на работу [36].

436	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
большими периодами может оказаться, что приращение |@,
т. е. r\r(t), стационарно. В этом случае процесс ?(г") называется
случайным процессом со стационарными первыми прираще-
приращениями.
В соответствии с определением должно быть
r\r(O = l(t + T)- t(t) = const,
откуда следует, что среднее значение ?,(t) может быть лишь ли-
линейной функцией t:
W)=at + b.	E6.2)
Это, конечно расширяет наши возможности по сравнению со
стационарным процессом, для которого должно быть а = О,
т. е. l(t) = b = const. Нетрудно сообразить, что для процесса
g(^) со стационарными вторыми приращениями, т. е. стационар-
стационарной разностью f\T(t-\-.T\) — 4r(t), среднее значение будет поли-
полиномом не выше второй степени:
W)=at2+bf+c,
и т. д. Мы ограничимся процессами со стационарными первыми
приращениями и поэтому опустим в дальнейшем слово «пер-
«первыми», говоря просто о СПСП.
Средним значением вида E6:2) обладает, например, процесс
g @ = о*+ 2@.	E6.3)
где а — случайная величина с а = a, a ? (t) — стационарный
процесс с ?,(t) = b. Но стационарность r\T (t) означает также,
что смешанный момент В^ = r\T (t -f- %) ц*т (t) является функцией
только от т. Составив для E6.3) разность цт (t) = aT + ?(* + Т)~
— t,(t), нетрудно подсчитать, что
Вцт (т) =| а П2 + [аГ (t-T)- aC (t) + к. с] Т +
+ 2Bt (т) - Bg (т + Т) - Bt (т - Т)
(к. с. — комплексно-сопряженная величина). Отсюда видно, что
при некоррелированных а и ?*@> когда at,* (t) = a • ?,* (/) = ab*,
второй член исчезает и условие независимости Вцт от t будет
выполнено.
Для простоты мы ограничимся далее вещественными слу-
случайными процессами» Рассмотрим флуктуацию СПСП l(t),
т. е. величину
I @ = I @ - ПО = 5 @ ~ at - Ь,	E6.4)

§ 56] СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ	437
и введем так называемую структурную функцию %(t), опреде-
определенную как средний квадрат приращения флуктуации | (t) на
интервале (t\, t2):
Di(tu t2)={[i(t2)-i(tl)]*) = ([t(t2)-l(tl)-a(t2-t1))!>). E6.5)
Для СПСП, если говорить о моментах второго порядка, струк-
структурная функция служит столь же основной характеристикой,
как функция корреляции для стационарных процессов. Оче-
Очевидно, ?>? является мерой интенсивности тех флуктуации l{t),
периоды которых не очень близки к (t2 — ti)/n, где «=1,2, ...,
а также не чрезмерно велики по сравнению с t2 — tf. очень мед-
медленных вариаций g(i) функция D\ «не чувствует».
При помощи тождества
(a-b)(c-d) = j [(a - bf + (b - cf -{a- cf - (b - df]
нетрудно установить, что функция корреляции стационарного
приращения E6.1) может быть выражена через структурную
функцию самого СПСП \(t):
4>ч('2 - 'i) = (for Vi) - Чт Ci)] for (h) ~ Чт (Ш =
=(&(ti + T)-i (/,)] [I (h + T)-% a2)]) =
= |{([I(/¦ + т) -1(/2)]2) + al(t{) -i(t2 + г)]2}-
- ([I a, + т) -1 (t2 + г)]2) - <[| (/,) -1 (t2)]2)}=
= ^{Di{h,U + T) + D%{t2 + T, tx)~
- Di (t2 + Т,^ + Т)- Di {t2> /,)}. E6.6)
Отсюда видно, что правая часть будет зависеть только от t2 —1\
при условии однородности структурной функции:
Di(tltt2) = Di{t2-tl).	E6.7)
В этом случае, обозначая t2 — tx = т, получаем из E6.6)
*„ (х) = ±[Dt (x-T) + Di (r + T)- 2D% (т)]. E6.8)
Разумеется, структурную функцию можно составить и тогда,
когда процесс | (t) стационарен. Так как при этом | {t) = b = const
и а = 0, то из E6.5) с учетом E6.7) получаем
D% (т) = 2 [В6 @) - Вх (т)] = 2 [i|)s @) - ф6 (т)], E6.9)
где, как обычно,
Фе (т) = (I (/ + т) | @> - (Е @>2 = В% (т) - Ь\

438	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
Если для | (t) выполнено достаточное условие эргодичности,
а именно i|M(oo) = 0, то
и E6.9) можно переписать в виде
%(t)=j[Di(oO)-Dl(r)}.	E6.10)
Таким образом, для стационарного эргодического процесса мож-
можно пользоваться как функцией корреляции, так и структурной
функцией, причем последняя обладает тем преимуществом, что
ее область применимости шире: она пригодна для описания
свойств не только стационарных процессов, но и СПСП. Кроме
того, на D%(x) не влияют возможные погрешности в определе-
определении i(t). Если оказывается, что Z)|(oo) = 2l2(t) существует, то
по E6.10) тотчас же вычисляется ^(т).
Перейдем теперь к спектральным разложениям СПСП и их
структурных функций.
Производная СПСП, согласно определению этого вида слу-
случайного процесса, стационарна и, следовательно, может быть
представлена интегралом Фурье — Стилтьеса:
e"""dC(a>),	E6.11)
где а = 1@ = const. dC(a)—0 и
(dC (га) dC* (га7)) = б (га — со') da' dG (га).	E6.12)
Интегрируя E6.11) от 0 до t, получаем
+ ОО
f Jat
\ .
m rfC(ra),	E6.13)
где |@) — некоторая случайная величина. Для флуктуации l,{t)
имеем
+°°
				Г Jut _ ,
I (/) = ?(/)-6 @ = 1@)-|@)+ ) ш rfC(ra). E6.14)
— оо
Таким образом, структурная функция § {t), в соответствии
с E6.5) и E6.7), будет равна
+ 0О
coco

§ 56] СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ	439
Подставив сюда E6.12), находим
	 C0S ШТ Jpi
rfG
Если бы процесс | (t) был стационарным, то приращение
dG (со) = dG (сй)/ш2 было бы его спектральной интенсивностью
в интервале (га, га + da), а его корреляционная функция выра-
выражалась бы в виде
-j-OO	+ОО
1|з|(т)= $ ешсЮ(®) = Jj cos от dG (га). E6.15)
— ОО	— ОО
Используя спектральную интенсивность G(<o), можно записать
спектральное разложение структурной функции СПСП ?,(t) в
следующей окончательной форме:
= 2 J A-coscoT)dG(co).	E6.16)
Формулы E6.13) и E6.16) и представляют собой то, что
следует понимать под спектральным разложением соответствен-
соответственно самого СПСП и его структурной функции. Разумеется, вме-
вместо dC((a) можно ввести в формулы E6.13) и E6.14) спек-
спектральную амплитуду dC(u>) = dC(<d)li(j), обладающую, согласно
E6.12), функцией корреляции
(dC (©) dC* (о/)} = б (га - га') do' dG (га).
Смысл dG(a>) тот же, что и у стационарных процессов: это
спектральная интенсивность в интервале частот (со, co + do)).
Точно так же в случае сплошного спектра производная g-(co) =
— dG((u)/dti) имеет для СПСП и для стационарных процессов
смысл интенсивности на единичную полосу частот. Это позво-
позволяет, пользуясь спектральным описанием, не заботиться зара-
заранее о том, стационарен ли рассматриваемый процесс или же
является СПСП. Однако ограничения, налагаемые на dG(co),
в этих двух случаях существенно различны: интеграл E6.16)
существует при менее жестких условиях, чем интеграл
E6.15).
Для сходимости обоих интегралов на бесконечности должно
выполняться одно и то же условие:
lim {са dG (©)} = 0,	E6.17)

440	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
но для сходимости в нуле интеграла E6.16), представляющего
структурную функцию, необходимо выполнение требования
lim {co3dG(cu)} = 0,	E6.18)
|ш |-»0
тогда как сходимость интеграла E6.15), представляющего кор-
корреляционную функцию, требует выполнения более жесткого
условия
lim {codG(co)} = 0.	E6.19)
I со |->0
Таким образом, структурная функция допускает в нуле особен-
особенность cfG (со) -—- | со | ~v с v < 3, а корреляционная функция суще-
существует лишь при v < 1, т. е. при конечной полной интенсивности
G(oo) = ?2(?). Если ,l^v<3, то D%(t) существует, но при
|т|—> оо расходится, так что ^|(т) теряет смысл [см. E6.10)].
Нетрудно тем же путем убедиться, что у процесса со ста-
стационарными вторыми приращениями уже допустима в нуле
особенность dG (со) с v < 5 и, вообще, при стационарных п-х
приращениях допустимо v<2n+l. В § 41 было подчеркнуто,
что стационарность l(t) в широком смысле включает два тре-
требования: во-первых, спектральная «масса» у(и>, со') должна быть
сосредоточена на биссектрисе со' = со, и, во-вторых, линейная
плотность этой «массы» g(co) должна быть интегрируема по со
на всем интервале (—оо, оо). Именно это последнее условие на-
нарушено у СПСП. Первое же требование, т. е. концентрация
спектральной «массы» на прямой со' = со, для СПСП выпол-
выполняется.
Итак, оперируя СПСП, мы охватываем нестационарные про-
процессы l(t), у которых среднее значение l(t) может быть линей-
линейной функцией' t, а спектральная интенсивность может быть бес-
бесконечно велика из-за быстрого роста dG(co) в области низких
частот. Смотря по тому, интегрируема ли особенность dG(co)
в нуле или нет, мы можем затем перейти соответственно либо
к i|)|(t) по формуле E6.15), либо к D^(x) по формуле E6.16).
Эти замечания полностью применимы и к эффекту мерца-
мерцания, о котором шла речь в предыдущем параграфе. Для трак-
трактовки этого флуктуационного процесса нет никакой необходи-
необходимости предполагать, что он стационарен, и тем самым налагать
излишние и неоправданные ограничения на- ход спектральной
плотности при малых со. То обстоятельство, что эта плотность
растет при уменьшении со во всяком случае медленнее, чем 1/со3.
дает возможность рассматривать эффект мерцания как СПСП.
Ясно, далее, что если частота колебания Q(t) является ста-
стационарным процессом, то фаза <$(t) этого колебания, т. е. ин-
интеграл от U(t), будет СПСП. Средний квадрат набега фазы —

§ 56] СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ	441
величина F(х) = {[<р(t — т) — ф@12)> введенная в § 45, — пред-
представляет собой, очевидно, не что иное, как структурную функ-
функцию ф@, а формула D5.4) дает спектральное разложение этой
структурной функции, причем спектральная плотность СПСП
ф@ есть
?Ф («>) = 8а Н/©2>
где ?й(со)—спектральная плотность стационарного процесса
О@
Приведем теперь формулы, позволяющие вычислять спек-
спектральную плотность g(a) = dG((x>)/d(ii (случай сплошного спек-
спектра) по известной структурной функции. Дифференцируя E6.16)
по т, получаем
?^(т)=2 \ cog (со) sin сот da, О^'(т) = 2 \ co2g (со) cos сот rfco.
— оо	— оо
Обращение этих интегралов Фурье дает
Sin QT
О
о
cosmD'{(r)dx.	E6.21)
о
Формула E6.20) имеет смысл в том случае, если
lim D. (т) = 0, lim x2D[ (т) = 0,	E6.20а)
*	0
Х-»оо
а E6.21) —при выполнении других условий:
lim ?>" (т) = 0, HtnTD'/(T) = 0.	E6.21а)
Располагая выражением для Di(x), можно проверить, какие из
приведенных условий удовлетворены, и в~зависимости от этого
пользоваться для нахождения g (со) формулой E6.20) или E6.21).
Вернемся в заключение к импульсному пуассоновскому про-
процессу
I @ = S avF (t - tv)
и посмотрим, какие условия должны быть наложены на F(t),
если мы хотим, чтобы l(t) было СПСП. Пусть l(t) = 0, так что
структурная функция |(?) будет

442	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
В предположении, что F(t) = O при t < 0 или же достаточно
быстро убывает при t—+—оо, нетрудно убедиться обычным пу-
путем (см.§ 10), что
Di(t, %) = п{а~2 \ [F(Q + x)-F(Q)]2dQ.
— ОО
Для существования установившегося процесса, т. е. для воз-
возможности устремить верхний предел t в бесконечность, теперь
требуется достаточно быстрое убывание не -F@), а разности
F(Q + т) — F(Q). Полагая, как и в § 55, что при 0 > 0О функция
F(e) имеет вид AQ~V, легко убедиться, что для установления не-
необходимо v>—1/2, т. е. F(Q) может даже возрастать с ро-
ростом 0, но медленнее V9- Тогда l(t) становится с ростом t СПСП
и имеет структурную функцию
Пусть производная F @) разложима в интеграл Фурье:
+ 0О
Тогда
9+т
и, следовательно,
-cos от) dco.
В результате структурная функция принимает вид
+ °°
= 4яп1^ \ ±Щ? A- cos от) Ло,

§ 57]	СПЕКТРЫ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ	443
и сопоставление этой формулы с E6.16) показывает, что
есть спектральная плотность СПСП |@-
Условие стационарности g(f), ПРИ которой существует функ-
функция корреляции i|>s(t), требует, чтобы |ф(со)|2/со2 возрастало
при со—»-0 медленнее 1/со, т. е. |ф(со) |/со — медленнее 1/д/со. Не-
Нетрудно сообразить, что это есть условие разложимости в инте-
интеграл Фурье самого импульса F(Q), спектральная амплитуда ко-
которого равна в этом случае /(со) = cpCco)/tco.
§ 57. Спектры нестационарных процессов.
Квазистационарные процессы
Вопросы спектрального анализа нестационарных процессов
привлекают внимание уже в течение многих лет. Интерес к ним
обусловлен как потребностями измерительной техники, так и
тем, что здесь приходится иметь дело с более сложными поня-
понятиями, чем в случае стационарных процессов. Это обусловлено,
конечно, нелокализуемостью нестационарных процессов по ча-
частоте (§ 40), т. е. наличием корреляции между разночастотными
гармоническими компонентами ef(D'rfC(co) нестационарного и (по
предположению) гармонизуемого процесса t,(t). Из-за этой кор-
корреляции «энергетические» вклады таких компонент неаддитивны
и моменты второго порядка не представимы в виде однократных
разложений Фурье с какой-то постоянной (не зависящей от вре-
времени) спектральной интенсивностью, аналогичной интенсивно-
интенсивности G(co)-y стационарных процессов. Спектральная «масса» не-
нестационарного процесса двумерна, и средние билинейные
(в частности, квадратичные) величины могут быть выражены
лишь в виде двукратных интегралов Фурье — Стилтьеса (§ 40).
Хорошо известно, однако, насколько часто возникает стрем-
стремление (как в науке, так и, в особенности, в инженерной прак-
практике) распространить привычные понятия и методы за пределы
области их законной применимости. Не удивительно, что и в
данном вопросе — о спектральных разложениях билинейных
(«энергетических») характеристик нестационарных процессов —
появились и появляются многочисленные работы, направленные
к тому, чтобы построить и для этого случая какой-то эквива-
эквивалент одномерной и неотрицательной спектральной интенсивно-
интенсивности G(co). Поскольку было сразу же ясно, что в общем случае
эта задача не имеет точного решения, усилия были направлены
к тому, чтобы решить ее приближенно и установить границы
применимости соответствующих приближений. Отсюда и воз-
возникли понятия спектра мощности, усредненного по конечному

444	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
времени (finite-time averaged spectra), кратковременного" (short-
time) спектра, «физического» спектра и т. п. Мы коротко затро-
затронем эти вопросы в следующем параграфе, а сейчас обратимся
к точным (двумерным) спектральным разложениям нестацио-
нестационарных процессов.
Мы предположим, что рассматриваемый, вообще говоря, ком-
комплексный процесс t,(t) гармонизуем, и допустим для простоты,
что он обладает нулевым средним значением (?(?) = 0) и чисто
сплошным спектром. Таким образом, разложение Фурье имеет
вид D0.4):
+ 00
?(*) = J e'«'c (<d) do»,	-	E7.1)
причем с(ш)=О. Смешанный момент t,(t) равен
+ 00
В (ti, t2) = (t, (ti) С (t2)) = \ \ Y (°>ii «2)e> (e>1'1~e>i'2) do)] rf<B2, E7.2)
— 00
где y((Bi. щ) — двумерная плотность комплексной спектральной
«массы» D0.10):
d2T (ffllf <в2) = y (со|, со2) d<ai d(a2 = (с (со,) с* (<в2)) rf<»i rfco2.' E7.3)
Как мы знаем (§ 40), гармонизуемость ?(t) означает, что ин-
интеграл E7.1) существует в среднем квадратичном, для чего
необходимо и достаточно, чтобы при всех t\ и t2 был конечен
интеграл E7.2). В частности, конечен и средний квадрат мо-
модуля t,(t), т. е. мгновенная средняя мощность процесса1):
+ ОО
~в it, t)=1гшт2=4- \ \
ei
Часто бывает удобно пользоваться вместо tx и t2 переменными
^ = у(^1+^2)> T = ^i — t2,
так что
^, = ;+у, ^2 = ^-^, dtxdt%=~dtdx. E7.5)
Обозначим смешанный момент, рассматриваемый как функция t
и т, через B2(t, т):
') В этом и следующем параграфах мы часто будем для краткости поль-
пользоваться в отношении средних билинейных величин энергетической4 термино-
терминологией.

§ 57]	СПЕКТРЫ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ	445
Заметим, что симметрия t\ и t2 относительно t 'обусловливает
эрмитовость В2 по сдвигу т:
B2(t, x) = Bt(t, -т),	E7.6)
что означает четность В2 по т в случае вещественного про-
процесса l(t).
Согласно E7.2) и E7.5)
+ ОО
(t, т) = ] ) У(щ, <в2)ехр {/[((»,—
B
откуда ясно, что целесообразно и на плоскости («i, co2) перейти
к переменным, аналогичным E7.5), а именно:
Сй=_(М,+Сй2), 0 = 0J — 0)!,
или
о>1=0)	5", (й2 = (а-\--~, йГсо, йщ = c?Q do>. E7.7)
Обозначим двумерную спектральную плотность, рассматривае-
рассматриваемую как функция Q и о>, через g2(Q, o>):
V((D—§-, cu + f) = (c(cu--|)Cs(oL-|-))^g2(Q>«)). E7.8)
Тогда E7.2) принимает вид
В2 (t, т) = J J gr2 (Q, о)) е-' (°'-»«) rfQ rf©,	E7.9a)
— оо
откуда обратно
+ оо
g2 (Q, о.) = JL $ $ В2 (t, x) e' <«-<«' Л rft.	E7.96)
— оо
В силу E7.8) плотность g2 эрмитова по Q:
g2(Q,<u) = g\(—Q,<a),	E7.10)
а если процесс ?(/) вещественный, так что с(о>) = с*(—о>),
то g2 четна по о>:
g2(Q,<a) = g2(Q,-<a).	E7.11)
В общем случае комплексная спектральная «масса» распре-
распределена по всей плоскости (Q, со), но если ?@~ нестационарный
аналитический сигнал, то, как это ясно из D1.18), его двумер-
двумерная спектральная плотность отлична от нуля только в первом
квадранте плоскости (соь о>г).

446	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
Все корреляционные свойства процесса ?@. конечно, отра-
отражены определенным образом и в распределении комплексной
спектральной «массы». В общем случае зависимость В2 от вре-
времени t и сдвига т, конечно, может быть по обеим переменным
многомасштабной. Пусть tK и тк — наименьшие характерные
масштабы соответственно по t и т. Двумерная спектральная
плотность §2 (Й, со) обладает в этом случае двумя наибольшими
масштабами — порядка l/tK по Q и 1/тк по со, т. е. комплексная
спектральная «масса» распределена в области с такими протя-
женностями по осям Q и со.
Пусть момент B2(t,x) меняется в функции от t гораздо более
медленно, чем в функции от т. Иначе говоря, характерные вре-
времена изменения по ( и т существенно разные: если Тк — наи-
наибольший масштаб по т, то tK ~Э> Тк. Средняя мгновенная мощ-
мощность, равная -jB2(t, 0) = — \ ? (t) p, очевидно, тоже должна
быть медленной функцией в указанном смысле, т. е. должна
мало меняться на интервалах t порядка Тк. Пусть для простоты
t,(t) ==e l(t)— вещественный процесс. Сказанное означает тогда,
чтр одномерная плотность вероятностей w\(t, х), получающаяся
из двумерной плотности w2{t\,xi; t2, х2) интегрированием по
всей области возможных значений либо по х\, либо по х2, —
тоже медленная функция t. Следовательно, медленной функцией
будет и среднее значение
Щ = J xw{ (t, x) dx.
Случайный процесс с такими свойствами, т. е. с моментами
КО. 12@. D[l(t)] и B2(t, т), мало меняющимися по t на наи-
наибольшем характерном временном интервале флуктуации Тк,
можно назвать квазистационарным (в широком смысле) ').
Очевидно, флуктуации в какой-либо системе, стационарные при
неизменных параметрах и условиях, при достаточно медленном
изменении этих параметров и условий во многих случаях ока-
\
») Такие процессы были введены в работе [37] под названием в широком
смысле локально-стационарных. Этот термин, однако, не очень удачен, так
как он наталкивает на параллель с локально-однородными полями (см.
часть II). Между тем такие поля представляют собой случайные функции с
однородными приращениями, т. е. являются пространственным аналогом про-
процессов со стационарными приращениями (§ 56).
Кроме того, в [37] понятие локальной стационарности предполагает еще
и сепарабельность момента В2, т. е. его факторизацию: Bi(t, x) = b(t)K(r),
где K(t)—коэффициент корреляции стационарного процесса. Таким образом,
b(t)= Bi(t,O)— это средняя мгновенная мощность. Конечно, такая фактори-
факторизация вполне возможна, но включать ее в необходимые признаки квазиста-
квазистационарности представляется излищним.

§ 57]	спектры Нестационарных процессов	447
жутся квазистационарными. Например, дробовой шум в элек-
электронной лампе или полупроводниковом приборе при изменениях
среднего тока будет квазистационарным, если за наибольшее
время корреляции шума Тк средний ток меняется мало. Анало-
Аналогично обстоит дело и с тепловым шумом в электрической цепи
при медленном изменении ее сопротивления и (или) темпера-
температуры. Если указанные шумы считаются белыми (Гк = 0), то
даже не возникает ограничения скорости изменения параметров
системы. Однако учет отличного от нуля Тк необходим для
конечности дисперсии процесса, а это последнее условие целесо-
целесообразно включить в определение квазистационарности — как по
аналогии с определением стационарности в широком смысле,
так и в качестве условия гармонизуемости процесса. Конечно,
при этом нестационарный белый шум [B2{t,x)= b(tN(x)], стро-
гб говоря, исключается из класса в широком смысле квазиста-
квазистационарных процессов, подобно тому как стационарный белый
шум [b(t)= const] не относится к процессам, в широком смысле
стационарным.
Нетрудно сообразить, как проявляется квазистационарность
процесса в двумерном распределении его спектральной «массы».
Характерные масштабы спектральной плотности Ц2{О,, со)—наи-
со)—наибольший порядка \/tK по Q и наименьший порядка 1/Гк по © —
удовлетворяют неравенству \/tK <С 1/7"K. Таким образом, спект-
спектральная «масса» сосредоточена в области, сильно вытянутой
вдоль биссектрисы Q = ш2 — coi = 0 (по меньшей мере на ин-
интервал ш порядка 1/Гк) и узкой в направлении оси Q (ширина
порядка l/tK). Подчеркнем, что из двух условий стационарности
в широком смысле—1) концентрации спектральной «массы»
точно на биссектрисе Q = 0 и 2) конечности полного количества
этой «массы» — у квазистационарных процессов «немного» на-
нарушено первое условие, тогда как у процессов со стационарными
приращениями и у белых шумов — второе.
Очевидно, стационарные процессы представляют собой пре-
предельный случай, получающийся при неограниченном возраста-
возрастании масштаба tK. При таком предельном переходе момент
B2(t,x) вообще перестает зависеть от t, а спектральная «мас-
«масса» концентрируется на биссектрисе-Q = <в2 — coi = 0, так как
наибольший масштаб l/tK по й стремится к нулю. В пре-
пределе мы получаем g2(Q, <u)==g((a)б(Q), где g(co)^ 0 —веще-
—вещественная одномерная спектральная плотность стационарного
процесса.
В числе операций, производимых над самим нестационарным
процессом t,(t) или над его моментами второго порядка, нам
пойадобится в дальнейшем операция сглаживания момента
B2(t,xj или средней мгновенной мощности уВ^, 0) по

448	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. Vlt
некоторому временному интервалу Г1). Согласно E7.9а),
t + 772
t-TI2
и, следовательно,
sin(Q772)
r^ iff
|2>== — ^ J
, со)
Главный максимум множителя sin(Q7'/2)/(Qr/2), равный еди-
единице на биссектрисе Q = 0, занимает полосу между значениями
Q = ±2л/Г. Вне этой полосы спектр g2(Q, со) процесса t,(t)
практически подавлен. Таким образом, моменты B2(t, т) и
(|?@12), сглаженные по достаточно большому интервалу Г
(превосходящему наибольшее время корреляции Гк), меняются
со временем, так, как если бы это были моменты квазистацио-
квазистационарного процесса с наименьшим масштабом 1/Г по Q. Переход к
стационарному процессу при Г —> оо, разумеется, предполагает
либо наличие в t,(t) стационарной компоненты, обладающей
конечной «массой» на биссектрисе Q = 0, либо замену мгновен-
мгновенной сглаженной мощности энергией, накопленной за время от
/ — Г/2 до t + Г/2.
, Рассмотрим теперь второй пример — двумерный спектр веще-
вещественного модулированного процесса g(tf) — ^ (t)cos[co0t -\-<p(t)],
где A(t) и ф(^) — функции, меняющиеся медленно по сравнению
с cos utot. Смешанный момент соответствующего аналитического
сигнала
l(t) = A (t) el te't+<v <"i = 21 (t) еш"(
равен
B2 (t, т) = («(* + ~) 21* (/ -1)) e'°* = Ba (t, t)
Двумерная спектральная плотность g2% (Й, со) комплексной ам-
амплитуды %{t) локализована в окрестности начала координат
плоскости (Q, о) в области, линейные размеры которой малы по
сравнению с соо (на рис. 76 эта область показана пунктиром и
вертикальной штриховкой). Умножение на eia">x смещает центр
этой области вдоль оси со в точку ю "= <в0.
*) Усреднение по временнйм или частотным интервалам мы будем на-
называть сглаживанием, в отличие от статистического усреднения по ансамблю
реализаций.

I 57]
СПЕКТРЫ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
449
«Второй» смешанный момент аналитического сигнала (§ 38)
равен
t, т)
(t +|) 21 (t -1)) е8"*' =
«Вторая» спектральная плотность gm (Q, со) тоже отлична от нуля
лишь в малой окрестности начала координат (на рис. 76 эта
о
Рис. 76.
область тоже обведена пунктиром и заштрихована горизонталь-
горизонтальной штриховкой). Умножение Bm(t, т) на e2ia>at смещает_центр
этой области вдоль оси Q в точку Q = 2(o0. Но, согласно C8.3),
момент B2i(t, х) вещественного процесса g(/) = Re|(O выра-
выражается через «первый» и «второй» моменты В2 и В2 аналити-
аналитического сигнала формулой
ВЛ if, т) = j Re {B2 (t, т) + В2 (t, т)} =
/, т)
/, Т)
к. с.}. E7.12)
Таким образом, двумерный спектр нестационарного веществен-
вещественного модулированного процесса l(t) расположен в четырех об-
областях, обозначенных на рис. 76 буквами А, В, С и D. Первый
член в E7.12) со своим к. с. (области А и В на рис. 76) дает
компоненту, медленно меняющуюся со временем tt а второй

450	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
член со своим к. с. (области С и D на рис. 76)—компоненту,
меняющуюся с частотами, близкими к 2«0-
Если комплексная амплитуда 91 (t) приближается к стацио-
стационарному случайному процессу, так что B2n (t, т) перестает за-
зависеть от t, то спектральная плотность g,a (Q, со)-»gSI (со) d(Q).
То же самое происходит и со «второй» спектральной плотностью
g2(Q, со), если она вообще не обращается в нуль1). Таким об-
образом, области Л и В на рис. 76 стягиваются в отрезки на оси а>,
а С и D — в отрезки, параллельные оси со. Получается модули-
модулированный процесс, принадлежащий к так называемым периоди-
периодически-нестационарный (§ 59). Если же при приближении %(t)
к стационарности Ёш (t, f) —> 0, то в пределе и процесс l(t) ста-
становится стационарным модулированным процессом.
Сглаживание B2^(t,%) по периоду То = 2я/«о пропускает
лишь те участки двумерного спектра, которые находятся внутри
полосы ширины 2о)о по Q (на рисунке эта полоса ограничена
штрих-пунктирными прямыми), т. е. срезает области С и D.
В результате сглаженный момент B2i(t,r) приближенно равен
t + T0/2
'В2Г{Гт) *з j^ \ Вл (t, т) d*«-j- {Bm (t, x) № + Bhi it, %) е-'"»1}.
Будучи низкочастотной компонентой B2^(t,r), сглаженный мо-
момент отвечает некоторому случайному процессу, квазистационар-
квазистационарность или стационарность которого полностью определяется на-
наличием этих же свойств у комплексной амплитуды 9&(t).
Наряду с двукратными преобразованиями Фурье E7.9) мож-
можно рассматривать также величины, связанные однократными
преобразованиями. Можно записать E7.9а) в виде
+ оо
B2(t,x)= J g (t, ю) eiax dm,	E7.13a)
— oo
где
^JB!(U)e-|"Irft. ¦ E7.136)
¦) Это возможно, так как Ж (t) — не аналитический сигнал. Например,
если случайным процессом является только вещественная амплитуда A(t),
а фаза фиксирована [ф (t) == ф0 = const], то
,2(Фо
В2Ч (t, х) = В2А (t, т), в2Ш (t, х) = В2А (t, х) е
Спектральные плотности g25i и g^ тоже различаются при этом только на-
личрем у второй множителя е2г(Ро.

§ 57]	СПЕКТРЫ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ	451
Таким образом, средняя мгновенная мощность есть
g(t,a>)d<a. E7.14)
Если В2 не зависит от t (процесс %{t) стационарен), то
функция g(t,a) переходит в спектральную плотность g(co) ста-
стационарного процесса, а E7.13а) превращается в формулу Хин-
чина. Казалось бы, выражения E7.13а) — E7.14), содержащие t
как параметр, дают основание к тому, чтобы трактовать g(t, со)
как «мгновенную» спектральную плотность. Этот термин дей-
действительно широко используется, и мы тоже будем его приме-
применять, но следует ясно представлять себе, что частотно-времен-
частотно-временной «гибрид» g(t, со) не может без каких-либо ограничений об-
обладать тем же смыслом, что и одномерная плотность g(a>) у
стационарных процессов (частотная плотность мощности).
Плотность g(t,a) всегда вещественна. Согласно E7.6)
g (/, «О =-i Re J B2(t, x)el««dx.
о
Если и сам процесс ? (/) вещественный, то
оо
g (t, и) = — \ В2 (t, т) cos сот dx,	E7.15а)
о
т. е. g(t, со) в этом случае еще и четна по а — в соответствии
с E7.11). В свою очередь E7.13а) принимает при этом вид
оо
В2 (t, т) = 2 \ g (t, со) cos сот da.	E7.156)
о
Но, будучи вещественной, мгновенная плотность g(t,G>) не
обязательно неотрицательна на всей плоскости (t, о), что исклю-
исключает ее энергетическое истолкование, несмотря на выражение
E7.14) для полной средней мгновенной мощности.
Из E7.9) и E7.13) вытекают следующие связи между мгно-
мгновенной и двумерной спектральными плотностями:
+ 00
?(*,<»)= $ g2(a,<a)e-iatdQ,	E7.16а)
tatdt,	E7.166)

452	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
§ 58. Фильтрация нестационарных процессов.
О спектре средней мощности
Обратимся теперь к фильтрации нестационарных процессов.
Нас будут интересовать соотношения между вторыми момен-
моментами нестационарного вещественного процесса f(t) на входе
гармонического фильтра и процесса ?,{t) на его выходе. Мы
по-прежнему будем считать, что f(t) = O, а значит, и l(t)=0.
Величины, относящиеся ко входу и выходу фильтра, мы будем
отмечать соответственно индексами / и |.
Произвольный линейный фильтр характеризуется, как мы
знаем, своим импульсным откликом (функцией Грина) H(t,Q),
где 0 — момент действия дельта-импульса на входе, a t ^ 9 —
момент наблюдения отклика. Для пассивного фильтра должно
выполняться при этом условие причинности: отклик не может
предшествовать воздействию, так что
я(*,е) = о при *<е.	E8.1)
У гармонических фильтров, т. е. у линейных систем с постоян-
постоянными параметрами, отклик зависит, только от промежутка вре-
времени t — 0 (§50):
H(t,Q) = H(t-Q),.
и, следовательно, H(t — 0)=О при 0 > t. Такая «односторон-
«односторонность» отклика H{t — 0) позволяет во всех интегралах по Э,
содержащих в интегранде H(t — 0), отодвигать верхний предел
в + оо. Следует, однако, подчеркнуть, что справедливость полу-
получаемых ниже интегральных соотношений с бесконечными пре-
пределами (—оо, -\- оо) по времени не связана с обязательным вы-
выполнением условия причинности. Это и понятно, так как функ-
функция H(t — 0) может описывать не только отклик пассивного
фильтра, но, например, и какое-либо временное «окно», форму
которого можно задавать произвольно (см. ниже).
Целесообразно ввести для описания фильтра некоторые
функции, по существу ничего не добавляющие к его основной
характеристике H(t), но позволяющие придать всем соотноше-
соотношениям между входом и выходом фильтра симметричную
форму [38]. Составим симметризованное произведение значений
отклика фильтра в два момента времени t-\-x\1 и t — т/21):
B2H(t, x) =
+ 00
J) Интеграл от В2Д (9, т) по 9: ЧГ (т) = ^ Я (в + -0 Я (в- у) d6,
— 00
можно условно назвать «корреляционной функцией» импульсного отклика —
аналогично тому, как ранее (§ 50I была введена «корреляционная функция>
элементарного импульса при рассмотрении импульсных процессов.

§ 68]	ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ	453
При выполнении условия причинности В2Н ф О только в обла-
области />|т|/2 плоскости (t,т).
Определим для импульсного отклика фильтра мгновенную
спектральную плотность ёнЦ,а>) и двумерную плотность
(&, со), полагая
B2H(t,x)=^ J ga(t,<u)el^d(a,	E8.2a)
— oo
gH V, «) = \ B2H (t, x) e-ta" dx,	E8.26)
,	E8.3a)
g2H (Q, со) = \\ B2H (t, x) el ^-^ dt dx.	E8.36)
Отсюда ясно, что между собой обе спектральные плотности
связаны соотношениями
+°°
, со) = ^. \ g2H (Q, со) е-«' ЙЙ,	E8.4а)
gH
g2H (Q, о») = 5 gH (t, со) e'ai dt.	E8.46)
Нетрудно выразить g2# (Й, со) через функцию передачи
фильтра к(ш), т. е. через трансформанту Фурье от импульсного
отклика H(t):
J к{ш)ей®,	E8.5а)
— 00
откуда
k(i&)= J H{t)e-mdt.	E8.56)
—00
В соответствии с определением В2нA,т), учитывая веществен-

454	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	(ГЛ. VII
ность И (t) и пользуясь разложением E8.5а), находим
В2Н (t, т) =
= -;—5" \ \ к (г(°| ) й (гСОо) eXO W С0| I Г -Т--7Г I— СОо I Г	7Г I I } G01 ЯСОо.
— 00
Переходя при помощи E7.7) к переменным й и со, получаем
-f оо
В2н (t, т) = -Ь- \ \ й Г/ fсо — -Ю1 й* Гг fco -f %-)] e~l W-W du da.
Сопоставление этого выражения с E8.3а) показывает, что
g2H(Q, со) =k[i (co-f)]fe*[i (<» + ¦§-)].	E8.6)
Если отвлечься от того, что l(t) — случайная функция,
a H(t), как мы пока считаем,- — детерминированная функция,
связанная, сверх того, условием причинности E8.1), то все соот-
соотношения для обеих функций формально одинаковы. Разложение
E7.1) аналогично интегралу E8.5а) для H(t), момент B2(t,x)
аналогичен функции B2H(t,x), а выражение E7.8) для
g2(?i, со)— выражению E8.6) для ?2н(&, <о). С той же оговоркой
разложения E7.9), E7.13) и E7.16) для случайного процесса
аналогичны соответственно разложениям E8.3), E8.2) и E8.4)
для фильтра. Это и позволяет записать связи между процессами
на входе и выходе фильтра в форме, совершенно симметричной
относительно характеристик фильтра и входного процесса.
Для получения этих связей можно исходить как из интеграла
Дюамеля, так и из соотношения между спектральными ампли-
амплитудами
С| (со) = &(zco)cf((o),
которое справедливо для установившегося отклика ?(?) незави-
независимо от того, стационарен процесс f(t) или нет (см. задачу 2).
Из этого соотношения следует, что
(съ (со,) с\ (со2)) = k (/со,) k* Ю (Cf (со,) с) (со2)).
Переходя здесь к переменным Q и со, вводя ?г/(Й, со) = Y/(®i. «г)
и пользуясь E8.6), получаем для двумерной спектральной плот-
плотности процесса %(t) на выходе фильтра выражение
g2i (Q, со) = g2H (Q, со) g2f (Q, со).	E8.7)
Если процессы f (t) и g(?) стационарны, так что
g2l(Q, ffl)«ft(«>N(Q), ft,(Q, co)=gf(cuN(Q),

§ Б8]	ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ	455
то E8.7) переходит в известное соотношение E0.10) для одно-
одномерных спектральных плотностей:
gl («>) = йн (°. «О gf («>). §2Н @, ю) = | k (Ш) |2. E8.8)
Согласно E7.166) и E8.46) двумерные плотности g2i(Q,s>),
g2f(&, со) и g2H{&, со) представляют собой трансформанты Фурье
(по t) от мгновенных плотностей g\{t,a>), gf(t,a>) и ?н(^><»)-
Следовательно, в соответствии с обратной теоремой о спектре
свертки (§ 42), имеем для мгновенных плотностей на входе и
выходе фильтра связь
+ 00
§1 V, со) = J gH(t- 0, со) g, F, со) rf6.	F8.9)
— 00
В свою очередь мгновенные плотности — это, согласно E7.136)
и E8.26), трансформанты Фурье (по т) от функций B2i(t,т),
B2f(t,x) и B2H(t,x). Следовательно, по той же теореме
+ 00
в* (/, т) = J J в2Я (t - е, т - х) s2f (в, х) do d%. E8.10)
— оо
Симметрия полученных соотношений "F8.7), F8.9) и F8.10)
относительно характеристик входного процесса и фильтра позво-
позволяет рассматривать H(t) как детерминированный процесс на
входе, a f(^)—как реализацию случайного импульсного откли-
отклика, т. е. отклика случайной гармонической системы, характери-
характеризуемой функциями B2f{t,x), gf(t,(a) и g2f(Q,(u). Конечно, при
такой перемене ролей можно снять условие причинности с H(t),
но необходимо наложить его на f(t).
Посмотрим теперь в качестве примера, что происходит при
прохождении нестационарного процесса f(t) через полосовой
фильтр, у которого |&(го)| отлично от нуля в интервалах ши-
ширины Лео, симметрично расположенных около частот ±<»о.
(соо > Дсо).
Множитель yh(coi, сог) = k(i(i>i)k*(i(o2) выделяет на плоскости
(юь а>2) четыре области пропускания, обозначенные на рис. 77
буквами А, В, С и D и имеющие форму «квадратов» со стороной
Д« '). Если полоса фильтра достаточно узка (Асо <С <в0), то, как
*) Заметим, что наличие резких границ у этих квадратов (т. е. обраще-
обращение функции передачи фильтра k(ia) в нуль всюду вне полосы пропускания)
несовместимо с условием причинности. Часто используемая для оценок пря-
прямоугольная полоса Ли (см., например, § 52) отвечает отклику
который отличен от нуля при / < 6,

456
ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ
[ГЛ. VII
показывает простве сопеставление рис. 77 и 76, на выходе фильт-
фильтра получится модулированный нестационарный процесс.
Если момент B2f(t,x) входного процесса обладает наимень-
наименьшим масштабом tK no t (т. е. наибольшим масштабом ~ l/tK
по Q), то при условии |2соо — Асо|> l/tK спектральная «масса»
процесса f(t) будет практически отсутствовать в квадратах С
и D, так что отклик ^(t) будет определяться «содержимым»
только квадратов А и В. Для квазистационарного входного про-
процесса f(t) указанное условие обычно выполнено с избытком* т.е.
Рис. 77.
справедливо сильное неравенство |2соо — Дсо|^>1/^к. Соотноше-
Соотношение же между шириной двумерного спектра f(t) по оси Q и по-
полосой фильтра Дш может быть различным. В том случае, когда
l/tK <C Aw, спектральная «масса» сконцентрирована вблизи оси
со, т. е. вблизи диагоналей квадратов Л и В. Фильтр при этом
практически не обрезает спектральной «массы» в направлении
оси Q, и поэтому интегрирование по площадям квадратов А а В
можно распространить по Q до ± оо, полагая вместе с тем, что
функция передачи равна своему значению на оси о:
k \i (со d=—jj«& (ш).
Согласно E8.6) и E8.7) мы получаем тогда
g2i (Q, a>)fx\k (i©) pg2t (Q, со),

58]	ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ	457
откуда, в соответствии с E7.16а),
+ ОО
|2 \
E8.11)
Очевидно, E8.11)—это квазистационарная версия обычного
(стационарного) соотношения E8.8) между спектральными
плотностями на входе и выходе фильтра. Из E8.11) и E7.13а)
вытекает и квазистационарная формула для B2i(t,r):
+ оо ¦	-4-00
В2| (t, т) = J g5 (/, со) е'«« rfco = J | ? (i<n) I2 gf (f, со) е"« da.
Другими словами, изменения gf(t,a>) со временем в рассматри-
рассматриваемом случае настолько медленны, что фильтр успевает хо-
хорошо следовать за ними, как если бы входной процесс f(t) в
каждый момент времени был стационарным — с характеристи-
характеристиками, взятыми в этот же момент. При таких условиях gf(t,a>)
действительно играет роль мгновенной спектральной плотности.
Остановимся в заключение на упомянутом в § 57 вопросе
0	меняющемся со временем спектре средней мощности неста-
нестационарного процесса. Разные способы построения неотрицатель-
неотрицательной функции t и со, которую можно было бы истолковать в
указанном смысле, основаны на использовании операций филь-
фильтрации и сглаживания. Мы приведем здесь решение вопроса,
даваемое в работе [38]1).
Назовем «временным окном» вещественную функцию w(t),
положительную в некоторой ^-окрестности момента времени
1	= 0 и близкую к нулю вне этой окрестности. Произведение
w(t — Э)|@) представляет собой «порцию» процесса |@), вы-
выделенную окном в Г-окрестности момента 0 = t. Средняя
мгновенная (по 6) пропускаемая окном мощность равна
w2(t — 0)|2F), а полная средняя мощность
E(t; w)= J w9-{t-Q)WW)d%.	E8.12)
— оо
Если мы хотим считать E(t;w) средней локально-сглаженной2)
мощностью процесса l(t), то надо потребовать, чтобы интеграл
') Эта работа содержит наиболее последовательную и детальную дискус-
дискуссию всей проблемы. Имеются и другие подходы (см., например, [39]), а так-
также исследования аналогичной задачи, но не для случайных, а для детермини-
детерминированных сигналов (см. [39—42] и приведенную там литературу).
2) Свертка тоже представляет собой операцию сглаживания, но с весовой •
функцией. Если, в частности, wz(t)~- прямоугольная функция, равная 1/7" i
интервале (—772, 7"/2) и нулю вне этого интервала, то свертка E8.12) сов-
совпадает с простым сглаживанием, т. е. усреднением |2(/) по интервалу
(f-772, / + 772)

458
ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
от нее по t был равен полной средней энергии '), т. е. должно
быть
+ 00	+00	+00	¦	+00
5 ?(*; w)dt = J ?W)dQ J w2(t - 0) dt = $ WV)dt.
— 00	—00	— OO	—00
Очевидно, это будет выполнено при следующей нормировке вре-
временного окна:
+ ОО
w2(t)dt*=>l.	E8.13)
Для произвольной (и в общем случае комплексной) функ-
+ 00
ции
Д р	(	у	) фу
+ 00
F (8) со спектральной амплитудой F (о) = — \ F F) e~im®dQ
справедливо равенство (теорема Парсеваля)
+ О0
+"*>
+«)
+0О
\F
F8.14)
Полагая F(Q) = w(t— B)l(Q), получаем из статистически усред-
усредненного равенства E8.14)
+ов
2.
V
/
E8.16)
Таким образом, средняя локально-сглаженная мощность про-
процесса ?(^) представлена в виде интеграла по всем частотам <а
от вещественной неотрицательной (и, как легко видеть, четной
по со) функции:
*,о>;тв)=-^-
+ТО
У
E8.16а)
E8.166)
•) При условии, что эта полная энергия конечна (что исключено для ста-
стационарных процессов).

S 68]	ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ	4gg
При нормировке E8.13) полная средняя энергия процесса есть
+ 00	+ ОО
E(t; w)dt=
В работе [38] функция gi(t, со; w) названа (t, а)-плотностью фи-
физического спектра процесса t{t).
Выражение E8.16) было выведено как частотное разложе-
разложение локально-сглаженной средней мощности %(t). Можно полу-
получить и другое выражение для g%(t, со; w), исходя из «частотного
окна» ш(со), сопряженного по Фурье с w(t):
+00
w (t) = — \ w (со) eiai d<a.	E8.17)
—00
Пользуясь, кроме того, спектральным разложением E7.1) про-
процесса %{t) и теоремой о спектре свертки (применительно к функ-
функциям w(t) и %,(t)e-iat), находим, что
+ 00	+ОО ^
W (СО — СО]) С ((»!)
Поэтому E8.16) можно записать и через частотное окно:
Т	\
\ ш{<й-щ)с{щ)е1«*йщ )
—оо	'
+ 00
\ \ w (со—coi) w* (со—со2) Y (^ь щ)
E8.18а)
+ 00
1
*™ 2л
E8.186)
где y (col со2) =(с («В)) с*(со2)) — по-прежнему двумерная спект-
спектральная плотность процесса \{t).
Интегрируя E8.186) по времени от —оо до + оо и учиты-
учитывая, что интеграл от экспоненты равен 2n6(coi — со2), находим
+ 00	+ОО
W (СО — COj) I | С ((&i) Г вО>1. ^Оо. 1У^
Следовательно, (t, со)-плотность физического спектра gi(t, ©; да)
можно толковать и как временное разложение локально-сала-
женной средней спектральной плотности |c(co.i) |2. Интегрирова-
Интегрирование E8.19) по всем со должно давать полную среднюю энергию

460	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
процесса %(t), равную
~	¦	+ОО	+ОО
Отсюда следует, что нормировка частотного «окна» должна
быть такой1):
J да(сй)|2^сй = 2л.	E8.20)
Сглаживание при помощи временных и частотных «окон»
широко применяется при исследованиях нестационарных про-
процессов, например, в акустике — при анализе речи. По понятным
причинам в таких измерениях используются окна простой фор-
формы, т. е. такие, у которых произведение размытостей [Г у функ-
функции w(t) и В у ее трансформанты Фурье w(a>)] не сильно пре-
превышает свою нижнюю границу: ТВ ^ 2л (§ 50). Очевидно,
этим же соотношением связаны и интервалы сглаживания — по /
в E8.16а) и по со в E8.18а).
Выясним теперь, как связана плотность физического спектра
gb(t,(a;w) со вторыми моментами процесса |(f)—моментом
B2%(t,T), двумерной спектральной плотностью g2i(Q, <») и, что
самое интересное, с мгновенной спектральной плотностью
g$(t,a). На первые два вопроса отвечают формулы E8.166) и
E8.186). Если перейти к новым переменным интегрирования,
а именно положить 61 = 0 + т/2, 62 = 6 — т/2 в^ E8.166) и
(В1 = (в/ — Q/2, щ = ®' -}-п/2 в E8.186), то получим
g6 (t, со; w) =
+ °о
E8.21а)
E8.216)
Отсюда видно, что для временного окна w(t) целесообразно
ввэсти функцию
1) Это тотчас же следует и из E8.13), E8.17).

§ 58]	ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ	461
аналогичную функции B2H(t,x) для фильтра. Напомним, что
введение B2H(t,x) и ее трансформант Фурье E8.2) — E8.4) ни
в какой мере не было связано с выполнением условия причин-
причинности для H(t), так что те же формулы справедливы и для
B2w(t,x). В частности [см. E8.2)],
— оо
B2W (t, т) = --L J gw (t, со) е^ da,	E8.22a)
E8.226)
Через B2w(t,x) формула E8.21а) записывается в виде
T. E8.23)
Разложения Фурье E8.22а) для B2w(t, x) и E7.13а) для B2\{t, x)
позволяют с помощью теоремы о спектре произведения двух
функций т получить выражение g^ (t, со; w) через мгновенную
спектральную плотность g^(t,a>) процесса %(t):
g% (t, со; w) = ± J J ^ш (t - 6, со - со') g5 @, со') dQ dtf. E8.24)
— оо
Таким образом, (t, со)-плотность физического спектра нестацио-
нестационарного процесса |(/) (всегда, как мы видели, неотрицательная)
представляет собой результат сглаживания его мгновенной
спектральной плотности (которая может быть и локально-отри-
локально-отрицательной) как по времени, так и по частоте — с интервалами
сглаживания Т и В, связанными соотношением размытостей.
Весовой функцией при таком двойном сглаживании служит
мгновенная спектральная плотность gw(t, ы) временного окна
w(t), называемая в [38] мгновенной спектрально сглаживающей
функцией.
В выражении E8.23) для плотности физического спектра
производится сглаживание по времени t, а по сдвигу т — преоб-
преобразование Фурье произведения B2w и В2{. Естественно ожидать
(и расчет, аналогичный проделанным выше, это подтверждает),
что в выражении g^(t,a;w) через двумерные спектральные
плотности g2w(&, w) и g2t(?l, ю) будет наоборот: сглаживание
по и и преобразование Фурье по Q от произведения g2w и %ц.

462	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
Действительно, указанное выражение таково:
+ ОО
gt (t, со; w) = -± )) g2w (Q, со - o/) g2l(Q, <о')е-'а' rfQ do/. E8.25)
— oo
Убедимся теперь в том, что для квазистационарного про-
процесса, у которого зависимости моментов от времени t медленны
в масштабе ширины Т временного окна, мгновенная плотность
физического спектра gi(t,a;w) совпадает с мгновенной плот-
плотностью gi(t,a>). Это можно установить'различными способами,
но мы будем исходить из формулы E8.24).
Поскольку g% (G,o)') меняется в функции от 6 медленно по
сравнению с gw(t — 6, со — со'), можно принять 6 = ^ в g{, и
тогда
+ ОО	+00
gl(t, со; ш)»-^- ) gl(t,<a')d<af J ?ш fa, со - со') d%. E8.26)
— оо	—оо
Но из формул E8.4а) и E8.6), записанных не для фильтра,
а для окна w(t), имеем
g (tt и) =
а так как интеграл по t от экспоненты в пределах (—оо, -f- оо)
равен 2п6(п), отсюда следует, что
Подставив это в E8.26), получаем
+°°
— ОО
Наибольшую частотную информацию физический спектр содер-
содержит при предельно узком частотном окне (В -*¦ 0 и, соответ-
соответственно, Г—>-оо). В этом случае, в согласии с нормировкой
E8.20), |ш(со — со') |2 = 2яб(со — со'), что и приводит к указан-
указанному результату:
v,w)f*fgt(t,<a).	E8.27)
Заметим, что из E8.27) вытекает, в частности, что мгновенный
спектр квазистационарного процесса неотрицателен.
У Не имея возможности остановиться здесь на многих других
интересных вопросах спектрального анализа нестационарных

§ Б9]	ПЕРИОДИЧЕСКИ-НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ	463
процессов [в том числе на том, как приближенно реализуется
операция получения (t, о) -плотности физического спектра], мы
отсылаем читателя к статье [38]. Подчеркнем только еще раз
различие между фильтрацией и действием временного окна,
ограничившись при этом формулами для мгновенных спектраль-
спектральных плотностей.
Согласно E8.9) фильтр осуществляет временное сглажива-
сглаживание входной мгновенной плотности gf(t,(a) при помощи весовой
функции gii{t, со), т. е. своей собственной мгновенной спектраль-
спектральной функции. В отличие от этого «выход» окна, т. е. функция
g$(t, со; w), получается, согласно E8.24), в результате двойного
сглаживания мгновенной плотности g^,©) на «входе» —и по
времени, и по частоте. Отсюда проистекают отличия и в других
формулах, описывающих действие фильтра и временного окна.
§ 59. Периодически-нестационарные процессы
Мы уже упоминали о таких процессах, для которых моменты
оказывались периодически зависящими от времени. Так, напри-
например, процесс вида
т) @ =/401@,
где F(t')—периодическая детерминированная функция, a ?,(t) —
стационарный случайный процесс, имеет периодические по t мо-
моменты:
Л @ = F @ I, Я„ V, x) = F (t) F(t + x) В^ (т),
Таким образом, выделяя на выходе смесителя произведение по-
поданных на его вход периодического колебания и стационарного
шума, мы получаем периодически-нестационарный процесс.
Другими примерами могут служить магнитные шумы при
циклическом перемагничивании ферромагнетика и дробовой ток
в электронной лампе, если средний ток меняется периодически,
как это, в частности, имеет место в возбужденном автогенера-
автогенераторе (напомним, что дисперсия дробового шума пропорциональ-
пропорциональна среднему току). Очевидно, в сильно нелинейных автоколеба-
автоколебательных системах, у которых предельный цикл не близок к
окружности, даже малые флуктуации будут периодически-неста-
периодически-нестационарны с периодом автоколебаний [43].
Укажем еще на один важный источник таких процессов. Это
линейные системы с периодически меняющимися параметрами,
к которым относятся и параметрические усилители с периодиче-
периодической накачкой. Если на вход такой системы воздействует гар-
гармоническое колебание еш, то на выходе получается колебание

464	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
k(t, ш)еш, где мгновенная функция передачи k(t, to) периоди-
периодически (с периодом изменения параметров) зависит от t. Стацио-
Стационарный входной процесс
у которого
dCf{a) dC] (со') = gf (со) 6 (со — со') rfco d®',
дает, таким образом, на выходе процесс
у которого среднее значение
и смешанный момент
В| (t, х) = 6 (/ + т) |* @ — J * С + т. '<») *:* С г») «""gf (и) rf©
— оо
периодически [с периодом изменения fe(/, fco)] зависят от t.
Мы ограничиваемся в этих примерах моментами первого и
второго порядка, т. е. не выходим за рамки корреляционной
теории. Для нужд этой теории можно определить периодически-
нестационарный (и для простоты — вещественный) процесс как
процесс, у которого двумерная функция распределения, завися-
зависящая от моментов времени t и ?, при любом фиксированном
сдвиге т = V — t представляет собой периодическую функцию t.
Таким образом,
w2 (x, t; х', О = Z vп (х, хг, х) е1™>\	E9.1)
— оо
где
о„ (х, х', х) = -^ 5 ш2 (х, t; х', t + т) e~in^ d (a>ot). E9.2)
Из вещественности хю2 следует, что
о, (*» х1, т) = u*_ft (x, *', т).	E9.3)

$ 59]	ПЕРИОДИЧЕСКИ-НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ	465
Из условия симметрии w2, поскольку
w2 (х'г t'\ x,t) = Y* vn (*'> x, - t)
— oo
+OO
= !«„ (xf, x, - t) eina>° «+T>,
— 00
получаем
vn (x, x', r) = vn (x', x, - r) ein°»\	E9.4)
Из условия согласованности
о»! (х, t) = \ w2 (x, t; xf, f) dx'
с учетом E9.3) имеем
$ о„ {х, х', т) dx' — в"»* J оЛ (х', ж, - т) dx' — ы„ (х), E9.5)
так что
ю.(*,0=Е«Лх)в"мУ,	E9.6)
— 00
причем, конечно, ип(х) =и"_п(х). Наконец, из условия норми-
нормировки w2 и Wj следует, что
оя (дс, л;', т) dx dx' = J н„ (дс) rfx = б„0.	E9.7)
Кроме того, о»2 и о»1 должны быть при любых значениях аргу-
аргументов неотрицательны. Отсюда тотчас же вытекает, что веще-
вещественные коэффициенты Фурье v0(x, х', т) и ио(х) обладают все-
всеми свойствами двумерной и одномерной функций распределения
стационарного процесса. Следовательно, усреднение хюч и w\,
а также любых вычисляемых с их помощью моментов по вре-
времени (по периоду То = 2п/шо) приводит к функциям распреде-
распределения и моментам стационарного процесса.
Согласно E9.6) и E9.1) имеем следующие выражения дли
моментов периодически-нестационарного процесса !('):
' ln=\xun{x)dx,	E9.8)
Е
в (t, т) - гШШТг) = Е в» (т) в"**,
^*	E9.9)
n (т) = ^ S XX'Vn ^' х>
I
F9.10)

4вв	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VI!
Заметим, что из E9.4) и E9.9) вытекает соотношение
х),	F9.11)
которое, впрочем, можно вывести и из равенства
ВЦ, -т) = В(*-т,т),
являющегося следствием самого определения момента B(t,%).
Из E9.3) и E9.9) или же просто из вещественности В (t, т)
имеем также
Я„(т) = Я-„(т).	E9.12)
Посмотрим теперь, какими корреляционными свойствами
должны обладать спектральные амплитуды в гармоническом
разложении
J	л),	E9.13)
если |(^)—периодически-нестационарный процесс. Взяв среднее
значение \(t) и потребовав, чтобы оно выражалось рядом
Фурье E9.8), получаем
+ ОО
dC (со) = ? Ы> (со - ясо0) dco.	E9.14)
Составив при помощи E9.13) момент B(t,x)=l(t-\-%)l(t) и
потребовав, чтобы он выражался рядом Фурье E9.9), находим
dC (g>i) dC* (co2) =Z gn (o>i) б (ю2 — ©i + nco0) йщ d<d2, E9.15)
— oo
причем
+ 0O
\ (o)e<«"d(o^Bn(t).	E9.16)
\
Выражение E9.15) означает, что у периодически-нестацио-
периодически-нестационарного процесса комплексная «масса» Г(соьсо2) распределена
на плоскости (соь юг) на прямых оJ = »i — «©о (рис. 78), в от-
отличие от стационарных процессов, у которых эта «масса» со-
сосредоточена только на биссектрисе ш2 = ©ь Таким образом,
средние билинейные (и, в частности, энергетические) характери-
характеристики периодически-нестационарного процесса не локализуемы
по частоте, но вклад в спектральный интервал (ш, ш + da) вно-
вносят лишь те гармонические колебания из разложения E9.13),
частоты которых разнятся на па0 (п = 0, ±1, ±2, ...).

I 59]
ПЕРИОДИЧЕСКИ-НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
467
Из E9.11), E9.12) и E9.16) следует, что спектральные плог-
ности g'n(w) удовлетворяют соотношениям
ёп (во) = ёп (п% - со) = g*_n (- со),	E9.17)
откуда, в частности, вытекает, что
§о (во) = g0 ( — со) = ?о (~ в»),
т. е. g"o(w)—вещественная четная функция. Нетрудно доказать
также, что go(w) неотрицательна1). Впрочем, мы уже говорили,
что Во (т) и гр0 (т) обладают
всеми свойствами смешан-
смешанного момента и функции
корреляции стационарного
случайного процесса, т. е.
этими свойствами обладают
сглаженные по периоду
То величины ?@ = go,
ЩТ) =В0(т) i
Рис. 78.
Какой смысл имеют эти
временные средние? Мо-
Может показаться, что усред-
усредненные по периоду То мо-
моменты периодически-нестационарного процесса l(t)равны мо-
моментам того стационарного процесса, который получается при
усреднении |@ по периоду, т. е. процесса
Высказанное предположение состоит в том, что
) = l (t) l(t + x) = l(t)l(t + 4) = Bo (т).
Первое из этих равенств действительно справедливо. Согласно
E9.8) имеем
г + Го/2
t-U/2
t-Tal2
4) Cm. [44]. В этой же работе рассмотрены некоторые эргодические тео-
теоремы для периодически-нестационарных процессов.

468	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	(ГЛ. VII
Однако второе соотношение не имеет места. В самом деле, поль-
пользуясь E9.9), получаем
t + Ttl2	t+X + Te/2
0 t-TJ2 t
t + Tt/2
\
° tT
Поворот осей на плоскости (9, 9') на 45° позволяет свести дву-
двукратный интеграл к однократному, содержащему множитель 6по-
В результате, после изменения масштаба в д/ 2 раз, находим
T-JV2
т. е. смешанный момент усредненного по периоду процесса
Ti(^)==i@ не равен усредненному смешанному моменту В (if, т)
исходного периодически-нестационарного процесса ?@- Таким
образом, для измерения В0(х) надо располагать устройством,
которое при подаче на вход процесса ?(/) сначала образует про-
произведение КОК^ + т) и затем усредняет эту величину по пе-
периоду То, а не начинает обработку с усреднения самого про-
процесса l(t).
Рассмотрим в заключение два примера.
1. Периодическое повторение отрезка стацио-
стационарного процесса. Пусть из стационарного случайного
процесса ?,{t) со средним значением | и смешанным моментом
выделен отрезок продолжительности Т, который затем
периодически повторяет-
повторяется (рис. 79). Мы получа-
получаем, очевидно, периодиче-
периодически-нестационарный про-
процесс r\(t) с периодом Т.
,0
Рис 79	Подсчитаем его среднее
значение и момент B(t, т).
Периодическая функция r\(t) может быть разложена в ряд
Фурье. Если выбрать масштаб времени так, чтобы период Т был
равен 2я, то
\
ч @ = Z	t S

8 59]
ПЕРИОДИЧЕСКИ-НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
469
—e>rfe, E9.18)
ИЛИ
где бперМ—периодическая (с периодом 2я) дельта-функция.
Конечно, выражение E9.18) можно было написать и сразу.
Усредняя его, получаем очевид-
очевидный результат:
л
Далее,
-п
Рис. 80.
причем это справедливо для области —я < t < я и —(я + ^) <
< т < я — *.
Эта «ячейка» периодически повторяется на плоскости (/, х),
т. е. на этой плоскости получается «решетка», изображенная на
рис. 80.
Таким образом, если фиксировать т, скажем, в интервале
О < т < я, то при изменении t в пределах от — л до я момент
В (t, т) будет принимать значение б| (т) в интервале t от — я
до я — т и В\ Bл — т) в интервале от я — т до п. Коэффи-
Коэффициенты разложения В (t, т) в ряд Фурье E9.9) будут поэтому
-•	п-т
= -йг|в6(т) J в-'
я-т
(—пл
~ в«Bл ~
(гс=И=0).
E9.19)
Для т<0 выполнено, конечно, свойство E9.11). В рассматри-
рассматриваемом примере сами коэффициенты Вп (т) — периодические
(с периодом 2пуфункции т.
Возьмем для исходного стационарного процесса l(t) экспо-
экспоненциальную фуйкцию корреляции В\(х)=-^е-^^, которая
при ¦&->-0 переходит в В6(т)'
Лб(т). Из E9.19) получаем

470	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	ГГЛ. VII
ДЛЯ 0 < Т < Л
Щ KV— 2д LV	2л )е ^ 2л в
Предельными выражениями при •& = 0 можно, очевидно, пользо-
пользоваться тогда, когда время корреляции ¦& весьма мало по сравне-
сравнению с периодом повторения 2я. В этом случае вторыми чле-
членами в квадратных скобках можно пренебречь, а первые члены
дают в пределе на рассматриваемом интервале (—я, я) В„ = 0
(при пфО) и Во (т) — В| ("О = АЬ (т). На всей оси т можно
записать В (/, т) = Во (т) в виде
Таким образом, периодическое повторение отрезка белого шума
дает опять белый шум, но с периодической дельта-корреляцией.
Если положить A = 2\![f® [так что В\ (т) = |TFV|T|/#].
где 1112 не зависит от ¦&, то при ¦&->оо высота скачков В (t, т),
равная В| (т) — В| Bп — т), будет уменьшаться. Таким образом,
при *>2я с точностью до I/O получаем B(t, т) = |||2: очень
частое (по сравнению со временем корреляции •&) повторение
отрезка стационарного процесса дает, как и следовало ожидать,
не зависящую от t случайную величину.
2. Квазипериодический импульсный процесс
с коррелированными соседними интервалами.
Мы имеем в виду специальный случай корреляции между сосед-
соседними интервалами, а именно тот, когда моменты возникновения
импульсов tv привязаны к строго периодической последователь-
последовательности U = vT0. Таким образом, tv = vT0 + ev, причемev = 0 и
eve(i = e26M,v. Отсюда и вытекает первое сущее. jeHHoe отличие
данной задачи от рассмотренной в § 46 —наличие определенной
отрицательной корреляции между смежными интервалами. Дей-
Действительно, tv = ^v+i — U = То + Sv+i — ev> a значит,
2е2	Gi = v),
0	(|(x-v|>2).
Нетрудно видеть, что диффузия фазы тем самым исключена:
дисперсия суммы N интервалов (tN —10) всегда равна сумме
дисперсий только двух крайних моментов времени t0 и tN, т. е.
составляет 2е2.
Второе отличие от задачи § 46 состоит в том, что теперь про-
процесс периодически-нестационарен. В частности, если взять оди-

§ 59]	ПЕРИОДИЧЕСКИ-НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ	471
наковые импульсы и допустить, что дисперсия разброса ev стре-
стремиться к нулю (е2-*0), то мы придем к детерминированному
периодическому процессу.
Пусть форма v-ro импульса задается, как и в § 42, случай-
случайной функцией Fv(t);
I {t) = E Fv(t — vT0 — ev),	E9.20)
где все Fv(t) независимы между собой и распределены одина-
одинаково, так что любые средние значения величин, связанных с
Fv(t), не зависят от v. Что касается статистической связи ме-
между бц и Fv(t), то мы допустим, что при v = [л она возможна.
Вводя
+ 00
= ~ $
получаем для длинного отрезка процесса E9.20) в интервале
(— Т/2, + Т/2) амплитудную плотность
с(щ)= ? Л> (со) еш (V+8v),	E9.21)
где N = Т/2Т0 — число средних периодов в интервале Т/2.
Посмотрим прежде всего, каково среднее значение с (со),
определяющее среднее значение ?,(t):
+ ОО
J с (со) еш dm.	E9.22)
— оо
Обозначим
<Л(@)е'°^} = /(со).	E9.23)
Тогда
f
f ^^И^аУ1. F9.24)
Но при N-><х> второй множитель превращается в периодиче-
периодическую дельта-функцию ~f~7$(u)	т~)' ^аким образом,
U (ft)) = / (и)) С00 ^] 6-(сО — rtC00), СО0 = у^,
n
что дает при подстановке в E9.22)
Щ = со0 Z / (га©0) е'"^.	E9.25)

472	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	(ГЛ. VII
Найдем теперь функцию корреляции |(/). Так как
+ 00
имеем
= J J [с (а,) с* (со2) - с (со,) • с* (со2)] el ">' «+'>-«Л Ао, rf©2. E9.26)
— оо
Но, согласно E9.21),
с (с01) с* (со2) = I; Fv (со,) /?• (co2) el
v, n=--W
Выделяя члены с ja = v и обозначая
?v (со,)?; (со2) в' (Ш»-Ю2)^ = /С (со,, со2),
получаем отсюда
		N
с(со1)с*(со2)=/С(соь со2) Z в'<•'-•»> г* +
V—ЛГ
+ /(со,)Г(со2) Е е'«^ ^
причем во втором чл,ене \i=^= v. Добавляя и вычитая такие же
члены с [I = v, получаем с учетом E9.24)
с (со,) с* (со2) =
= [К (со„со2) -/(©,)/*(«,)] S
V--JV
Следовательно,
с (со,) с* (со2) — с (со,) • с* (со2) =
sin (o)i — i
sin (o)i — o>2)-g-
При N~>oo это дает
с (со,) с* (со2) — с (tO[) • с* (со2) =
[/С (©i, ©г) — I (©i) /* (©2)] ©о 2j 6 (©1 — ©2 — ж»о)|

§ 59)	ПЕРИОДИЧЕСКИ-НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ	473
и в результате подстановки полученного выражения в E9.26)
находим
= соо Yj	S
n	-oo
E9.27)
Таким образом, как среднее значение E9.25) рассматривае-
рассматриваемого процесса, так и его функция корреляции E9.27) являются
периодическими (с периодом То) функциями времени /.
Для нулевого члена ряда E9.27), равного временному сред-
среднему от яр (t + т, t) по периоду То:
Го/2
4>о(т)=-^ \ $(t + x,t)dt,	E9.28)
° -Го/2
спектральная плотность есть
g0 (щ) = соо [/Со И - I / (и) I2],	E9.29)
где	•
Для среднего по периоду То от смешанного момента
) Г @ =*(t + x,t) + %(t + x)-r (t),
согласно E9.25) и E9.28), имеем
Го/2
1
-Г./2
Следовательно, к непрерывной спектральной плотности E9.29)
добавляется еще дискретный спектр
8в. (») == «о[^о (») - I 7 («) I2] + «о2 Z | / ("%) |2 6 (со - п«0).
Именно этот спектр, соответствующий усредненному по периоду
То моменту В процесса E0.20), и был найден в цитированной
ранее работе Форте [45], где рассмотрены также различные част-
частные случаи задания импульсов. Если, например, Fv(t) и еу

474	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	1ГЛ, VII
независимы, то из E9.23) получаем
где ф (со) = e!fflev— характеристическая функция смещений ev.
В отсутствие разброса в моментах возникновения импульсов
ф(со)= 1, и плотность сплошного спектра go(co) будет тогда
go (и) = «о Що (ю) - | /о (со) I2] = шо[| Fv (со) |2 - | Л, (со) П.
С периодически-нестационарными процессами именно такого
типа, как в рассмотренном примере, приходится сталкиваться,
в частности, при изучении магнитных шумов в ферромагнетиках,
помещенных в периодически меняющееся магнитное поле (шу-
(шумов циклического перемагничивания) (см. [46], [47], гл. II и [48]).
Задачи
1. Выразить функцию передачи k(im) фильтра, согласованного с импуль-
импульсом F(t), через спектральную амплитуду этого импульса F(со) и найти спек-
спектральную плотность g.(co) пуассоновского процесса на выходе согласован-
согласованного фильтра.
Решение. Имеем
F (t) =
причем для вещественной функции F(t) спектральная амплитуда удовлетво-
удовлетворяет условию Р(—co)=F*(co). В соответствии с E0.18) и E0.21) импульсный
отклик согласованного фильтра есть
так что
k(i(Q) = 2nF*((o)e-m\	A)
Следовательно, «функция корреляции» Н2(х) импульсного отклика [см. E0.6)
и F0.20)] обладает спектральной амплитудой
-^- | k (ш) I2 = 2я 1 Р (ю) |2.	B)
Но по D2.9) такая же спектральная амплитуда и у «функции корреляции»
исходного импульса F (t):
+ 00
Tf(t)- J F {t) F (t + x) dt.
— oo
откуда следует, что #2 (т) = Ч*1^ (т).

ЗАДАЧИ
Так как спектральная плотность пуассоновского процесса f (t)
V avF(t~tv) на входе фильтра есть
|F(co)|2,	C)
спектральная плотность на выходе, согласно E0.10) и C), будет
= 8я3й1^|?(сй)|'	D)
[Напомним, что мы положили Н (t) = F {t0 — t), не вводя никакого коэф-
коэффициента пропорциональности]. Результат D) следует, конечно, и непосред-
непосредственно из E0.24), если учесть, что спектральная амплитуда импульсов
F| (/ — /v) = Тр (t — t — t ^ на выходе фильтра дается формулой B), a gj (а>)
пропорционально (с коэффициентом 2лп\п2) квадрату модуля спектральной
амплитуды импульса.
Очевидно, ширина полосы Да> всех функций B) — D) порядка 1/хрк.
2. Вычислить спектральные плотности C) и D) из предыдущей задачи
для импульса
(см. задачу 6 гл. VI).
Решение. Найдем спектральную амплитуду импульса:
ЙГ S	(	^) -/в'Л=?(ш, (о0, а)+Р(о, -Юо> -а),
— 00
где
+°°
~	1 Г	( 2t2	at2 I
F (ш, (й0, а) = — I ехр | — -^- + / («о — a) t + i — | Л.
— оо
Пользуясь формулой
+ ОО
\ ехр {- ах2 + i (рх2 + 2qx + г)} их =
получаем
~	б1
/? (Ш) =	_ 4_ {ехр (- Л- + Ш_) + ехр (- А+ - 1В+)},
4 д/2я V"s
где
. ((в ±
Л
4 - 4 "*' °~1^ 16 *
Отсюда
|?(<в)|2 =	^гЛе-'0
32л/s I

476	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	1ГЛ. VII
Легко видеть, что третий член в фигурных скобках всегда мал по сравнению
с единицей, т. е. с максимумами первого и второго членов, которые находятся
на со = ±шо соответственно. Ширина этих максимумов на уровне 1/е состав-
составляет
До = 4 aJJJ® = 8/xF ,
где хр — эффективное «время корреляции» рассматриваемого импульса
(см. задачу 6 гл. VI). Если аФ;> l/d (импульсы сложной формы), так что
s « а2<И/16 ;> 1, то До) « ад, т. е. ширина максимумов | F (а) |2 равна девиа-
девиации частоты на длительности импульса #. Таким образом, спектральные
плотности входного и выходного процессов приближенно выражаются фор-
формулами
g ((й)==
^
3. Пусть над компонентами Х\ (t) и лг2 (^) двумерного стационарного
случайного процесса | (t) производится безынерционное нелинейное преобра-
преобразование вида r/i (t) = /i [л;1 (<)], г/2 @ — /2 [^2 @]. дающее стационарный про-
процесс и\ (t) = {r/i (t), y2 (t)}. Пользуясь формулой G), приведенной в задаче 15
гл. II, получить соотношение, связывающее моменты aj)+s = (t/[ (t)у% (t + )
= a?+s@, ..., 0, т, ..., х) процесса ц(г) с кумулянтами |
г раз	s раз
т, ..., т) исходного процесса § (/) [49].
в раз
Решение. Полагая в указанной формуле x = xl (t), y = x2(t-\-
f(x, У) = f\ (*i) fl (*2t)> получаем
**^ -1- .V	~	M	I I \	I I	—	I V \ " ' VI. Д \	, .
(dk\ + q)m (p\q\)m \
В частности, если xt (t) = x2 (t) = x (t), то
>-)¦
где
При r = s=l и p = q = 1, т. е. для смешанного момента второго порядка
aj"+, ={y(t) у (t + т)) = Вп(т) процесса т) (^) и для функции корреляции
|	2
— х
х2
ij)g (т) исходного процесса % (t), получаем из B)
¦(
dmh(x)
dx* dx™
Как ясно из вывода, эта формула справедлива при любом распределении
{х, хх], а не только нормальном, при котором она была доказана первона-
первоначально [50].

ЗАДАЧИ	477
Следует обратить внимание на то, что кумулянтные уравнения, выведен-
выведенные в задачах 15 и 16 гл. II для случайных величин, остаются в силе и для
случайных процессов, так как зависимость моментов и кумулянтов от вре-
времени ничего в них не меняет (уравнения не содержат производных по t).
4. Найти для процесса *i@= Pi2 @ на выходе квадратичного детектора
выражение смешанного момента fin(x)= (y(t)y(t -j- т)) через кумулянты про-
процесса E,(t) на входе детектора [49].
Решение. Детектор преобразует величины х = x(t) и xx = x(t-{-x)
одинаковым образом, т. е. в формулах предыдущей задачи
Поэтому формула B) предыдущей задачи принимает при г = s = 1 и т = 1
вид
р2 /d"x2 d"x\\
dx» dx% Г
р2 /
p! q\ \
A)
откуда ясно, что значения р и q не должны превосходить 2.
Так как момент Вц — (уу%) = \Х2*Х) выражается через кумулянты х и хх
A^ + ^)
не выше четвертого же порядка A^Р + <7^4) и, очевидно, симметричен
относительно х и хх, общий его вид таков:
Вп(т) = аХ|+2 + Ъ (Xf+0 + 4
Приравнивая выражения для производных В^ (т) по Л|+(?1 вытекающие из
этого выражения и из формулы (I), получаем
+ 2/ (Я|
|+О
Но Я,|+о = ^+1 = ж, Л|40 = Л^+2 = д;2, я|+1 = дгдгт - ж2 = ^ (т). С учетом
этого получаем a = 6 = d=P2, c = 0, f= р2/4, е = 2($2, так что окончательно
Вт, (*) = Р2 [«1+2 + 2х (*1+1 + А1+г) + 4^5 (т) + 2^ (т) + (FJ].
Если процесс g (t) на входе детектора гауссов, то Я.| = 0, Я| = 0. Обозначив
р = а2 и введя коэффициент корреляции [ф| (т) = а2/С (т)], находим, что
Вп (т) = р2 [4^2а2/С (т) + 2a<tf2 (т) + а*].
Если к тому же х = 0, то мы приходим к формуле E1.22):
*ч (т) = Вч (т) - р2а* = 2р2ст*Л2 (т).
5. Преобразовать формулу Найквиста для случая, когда в двухполюс-
двухполюснике помещен генератор не тепловой сторонней э. д. с e(t), а стороннего
тока i(t).

478
ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ
[ГЛ. VII
Решение. Генератор тока подключен к двухполюснику не последова-
последовательно, а параллельно, так что через разомкнутый двухполюсник течет ток
i(t) и соответственно i(w)Z = ё(ш). Отсюда
((о) =
2 |2
По формуле Найквиста
9	9
1 (щ) = — kTR= — kTReZ, и, следовательно,
я	л
g(('>(@) = — kT Re Г,
я
где У = 1/Z — адмитанс двухполюсника.
6. Состояние системы из двух связанных контуров (рис. 81) описывается
токами Ij{t)= qi(i), /= 1, 2. Установить связь между обобщенными тепло-
тепловыми э. д. с. &j, сопряженными по Лагранжу с q$, и локальными э. д. с. eit вг
и е, включенными соответственно в ветви с сопротивлениями Ri, Кг и /?.
Рис. 81.
Решение. Через спектральные амплитуды токов и э. д. с. равенство
напряжений на трех параллельных ветвях цепи записывается при включенных
э. д. с. ei, в2 и е в виде
= ё2 -
== § + §2
ё, + (/coi, + #,)/; = -§
Отсюда следуют уравнения Кирхгофа:
= ё + §i = <
где
ZU =
+ Z (/ = 1, 2),
Локальные тепловые э. д. с. ёи ё2 и ё взаимно некоррелированы, а их соб-
собственные спектральные плотности, согласно формуле Найквиста E4.6), равны
==^ftr^ (/=1,2),
Следовательно, для спектральных плотностей э. д. с. $i = ё + ё\ и S% = ё + ё2
получаем
И =
((о) = A

ЗАДАЧИ
479
Таким образом, корреляция между э. д. с. &^ и g2 обусловлена тем, что обе
содержат локальную э. д. с. ё. Разумеется, выражения B) тотчас же выте-
вытекают и из общей формулы E4.10) и значений A) для Z/&.
7. Для рассмотренной в предыдущей задаче цепи (рис. 81) найти спек-
спектральные плотности обобщенных э. д. с. Si и 8% в том случае, когда сопро-
сопротивления R\, R2 и R находятся при разных температурах — соответственно
Ти Г2 и Т.
Решение. Для локальных э. д. с. е\, й и е формула Найквиста теперь
дает
gf) (Ш) = в(е) (о,) + gf (ffl) = A k (TR + T,Xt) (/ = 1, 2),
Эти формулы уже нельзя получить из «равновесной теоремы» E4.10).
8. В RC-utm, изображенной на рис. 82, температуры сопротивлений Ri
и Ri равны соответственно Ti и Тг. Найти спектральную плотность энергии
н	\
_l <\j I—
е1
шшт
—j	J—l*W—
Рис. 82.
в емкостях Си С2 и С. Найти полные энергии в этих емкостях и показать,
что при тепловом равновесии имеет место равнораспределение энергии по
степеням свободы.
Решение. Из уравнений Кирхгофа для данной цепи получаем следую-
следующие выражения для спектральных амплитуд токов h и h через спектральные
амплитуды э. д. с. ei и e%:
где
Д
+pi)
+ рг) — p2 = рф2 —
1.1	1,
~-[pel
2 — (Q2RiR2 + ia> (R1P2 + R2P1),
1	1
A)
Из A) получаем спектральные плотности токов /i и 12 и их разности /=/1-/2:
(рг -
(со)

480	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
Подставив сюда спектральные плотности э. д. с. (по частотам <в ^ 0)
g}e)(fl>)*=-^-*7y?/ (/=1,2),
находим для спектральных плотностей электрической энергии в емкостях Сь Cj
и С выражения
г. / ч	1 m /.л	k	Y((u2R'+ p2) R Т + P2R T 1
»«<•)-
17 (a) =
Интегралы вида С/ = \ {/ (ш) rfo> легко берутся вычетами в соответст-
— оо
вующих полюсах (нулях Д) и равны соответственно
==ik{[{p>p2 ~p2) R2 + {P2 ~pJ Rl] Ti +
P2) Ri + (Pi ~ р)г
А =
Если сложить все эти выражения, то получается полная электрическая энер-
энергия флуктуации в цепи ?/2, а именно:
При тепловом равновесии (Т\ = Т% = Т) это дает U2 = кТ, как это и дол-
должно быть в рассматриваемой системе с одной степенью свободы. Следует от-
отметить, что при равновесии энергии Uu U2 и U не зависят от сопротивлений:
п	kTp2	kT С + С2
Ui '	- р2) 2 С, + С2 + С
г, kT{Pl+p2-2p) kT
U2~ 2C(PPP2) ~ 2
r,	kTp	_kT C, + C2
2C(p,p2-p2) Tc, + C2 + C
При С2-> со цепь распадается на две независимые ЯС-ячейки с Ui	i/
и U = kT2l2. Если уничтожить полстепени свободы, полагая, например, С2=0,
то, как следует из формул B), при этом
С	г, k{RiTl + R2T2)
C + C' t/s = 0> U~ 2(R+R) C

ЗАДАЧИ	481
Полная энергия определяется эффективной температурой:
и делится между последовательно соединенными емкостями С и Ci обратно
пропорционально их величинам. При тепловом равновесии теперь получается
U АГ/2
9. Рассмотреть условия квазистационарности для нормального процесса
с равным нулю средним значением, если дисперсия и коэффициент корреля-
корреляции зависят от времени по гауссовому закону:
где о, Р и у положительны и, в соответствии с условием |/C|s^
Решение. Согласно G.13) двумерное распределение есть,
ь *Г, h,
exp (
gj- exp (L^\(
где ai, 2==<t(<i, г). K = K(t\, t2). Соответственно одномерное распределение
есть
Wl(t,x)dx = -TM	е.
V2Jt or @
Смешанный момент второго порядка (т. е. функция корреляции, так как х = 0)
равен
В (f,, <2) = <т (/,) a (t2) К (tv t2) = ag exp |^ - ^ + p^ (/? + /g)
Подставив сюда ti, 2 = t ± т/2, получаем
Потребуем, чтобы смешанный момент В2 (t, т) имел вид
Легко видеть, что это будет при
При таких значениях Р и \ коэффициент корреляции равен
Условие р ^е у выполнено при a < 2, положительность же (J и у обеспе-
обеспечена при tK ^ Тк/2. В соответствии с определением квазистационарность бу-
будет иметь место при tK > тк. При этом условии можно приближенно считать

482	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
что Р «* у » 1/т?, и тогда
При ?к-*-<» процесс становится стационарным. Вычисленная из A) по фор-
формуле E7.96) двумерная спектральная плотность есть
Таким образом, линии равной плотности — эллипсы с полуосями CjtK по й и
С/Тк ПО @.
10. Пусть нестационарный процесс f(t) воздействует на негармоническую
линейную систему с импульсным откликом H(t,Q). Система предполагается
диссипативной (нет параметрического возбуждения). При достаточном уда-
удалении момента наблюдения / от начального момента to отклик системы §(/)
будет тогда установившимся (не зависящим от начальных условий), так как
свободные колебания, которые могут возникнуть в начальный момент, успеют
затухнуть.
Исходя из интеграла Дюамеля
t
I (t) = J Я (t, 9) / F) d%,	A)
и
выразить установившийся отклик через спектральную амплитудную плотность
с/(со) силы f(t) и мгновенную функцию передачи системы, которую мы опре-
определим из установившегося отклика k(t,i(a)eiai на силу f(t)= ei<s>t, т. е., со-
согласно A),
+°°
k(t,ia)= \ H(t, e)e''co(e-f)d9.	B)
Решение. Подставив разложения Фурье
+ о
= \
t,Q) = ~ ^ k(t,
в интеграл A) и выполнив интегрирование по 9, получаем
Щ,Ш)ес,«о)е	^^
— сю
При отодвигании ta в — оо множитель с синусом переходит в б (со' — <в),
так что для установившегося отклика находим
1@= ^ ЬЦ,{<а)с}(а>)еШAа.	C)

ЗАДАЧИ	483
В частном случае гармонической системы формула B) дает
+ 00	+ОО
k(t,ia)= [ И (t - 9) еш (е-" d& = [ Н (%) e~imd% = k (/ш), D)
— ОО	—00
и тогда C) превращается в интеграл Фурье с амплитудной плотностью
С| (О)) = k (/ffl) С, (СО)
— соотношение, из которого мы исходили в § 58.
П. Пользуясь результатом C) предыдущей задачи, вычислить спектраль'
ную амплитудную плотность С?(ш) установившегося отклика и его двумер-
двумерную спектральную плотность у (cuj, ю2) = (сс (Ю[) cl (оJ)).
Решение. Для нахождения с^(со) достаточно разложить в интеграл
Фурье по t мгновенную функцию передачи:
+ ОО
&(<,(©)= [ fe(ifflbi(o)e''ffl|(dffli,	E)
откуда
+ 00
"»ь to)!=^- J
F)
Заметим, что для гармонической системы в силу F) и D)
fe2 («»ь «о) = ^ U<o) б (ffli).	G)
Подставляя E) в C), находим
+ <х>
С\ (ffll) = \ *2 [/ (@, — Ш), /Ш] С. (ш)ЙШ
— 00
и, следовательно,
Y6(a>1,a>2)=<cs(aI)Cg(aJ))-=
-^-ОО
= \ \ k2 [i (o)[ — а), ш] ftj [/ (<ю2 — о'), ш'] Yf (»¦ «О ^« rfa>
(8)
Если процесс / (t) на входе системы стационарен, так что
Yf (ш, о)') = gf (и) б (о) — и'),	(9)
то из (8) следует, что
+ ОО
Y| («I- ffl2) = \ k2[l (ffll - ffl)> 'ffl] fe2 [' (ffl2 — ffl)> H gf (ffl) da- A0)
— oo
Если система гармоническая, то с учетом G) получаем из (8)
П К <°2) = Й (i(Ol) ** (Ш2) Vf («г »2)-	(П)

484	ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ТЕОРИИ	[ГЛ. VII
В обоих случаях A0) и A1) установившийся отклик нестационарен, распре-
распределение его спектральной «массы» двумерно. Только у гармонической си-
системы при стационарном воздействии установившийся процесс на выходе ста-
стационарен: подстановка G) в A0) или (9) в A1) дает
Y5 (°V Ю2) =1 k (/tDi) fsf К) * (g>, ~ g>2)-
12. Показать, что при прохождении стационарного процесса через систему
с медленно меняющимися параметрами на выходе устанавливается квазиста-
квазистационарный процесс.
Решение. У гармонической системы двумерная функция передачи со-
содержит, согласно формуле G) предыдущей задачи, дельта-функцию. Если же
параметры системы не постоянны, но меняются медленно, то ^(('coi, ко) —
острая функция^, отличная от нуля только вблизи wi = 0. Запишем фор-
формулу A0) предыдущей задачи в переменных E7.7):
g2l (Q, со) == J k% [/ (со - | - со'), /to'] k\ [/ (и + | - w'), /m'] gf (со') г/т'-
— оо
Отсюда ясно, что со' должна быть близка как к со — Q/2 (иначе ?3 = 0), так
и к со + Q/2 (иначе fe2 = 0), что возможно только при достаточной малости Q.
Таким образом, g2j (Й, со) ф 0 в узкой полосе около Q, — 0.

ЛИТЕРАТУРА
К предисловию, введению и главе I
1.	С. А. Ахманов, А. С. Чиркин, Статистические явления в нелинейной оп-
оптике, Изд-во МГУ, 1971.
2.	А. М. Яглом, Введение, в теорию стационарных случайных функций, УМН
7, вып. 5 E1) A952).
3.	A. Blanc-Lapierre, R. Forlet, Theorie des fonctions aleatoires, Paris, 1953.
4.	Дж. Л. Дуб, Вероятностные процессы, ИЛ, 1956.
5.	М. С. Бартяетт, Введение в теорию случайных процессов, ИЛ, 1958.
6.	Ю. А. Розанов, Стационарные случайные процессы, Физматгиз, 1963.
7.	А. А. Свешников, Прикладные методы теории случайных функций, «Нау-
«Наука», 1968.
8.	Г. К. Крамер, М. Л. Лидбеттер, Стационарные случайные процессы,
«Мир», 1969.
9.	С. Карлин, Основы теории случайных процессов, «Мир», 1971.
10.	В. Л. Лебедев, Случайные процессы в электрических и механических си-
системах, Гостехиздат, 1958.
11.	А. Ван-дер-Зил, Флуктуации в радиотехнике и физике, Госэнергоиздат,
1958.
12.	Б. Р. Левин, Теория случайных процессов и ее применение в радиотехни-
радиотехнике, изд. 2-е, «Сов. радио», 1960.
13.	В. Б. Давенпорт, В. Л. Рут, Введение в теорию случайных процессов и
шумов, ИЛ, 1960.
14.	А. Ван-дер-Зил, Флуктуационные явления в полупроводниках, ИЛ, 1961.
15.	Р. Л. Стратонович, Избранные вопросы теории флюктуации в радиотех-
радиотехнике, «Сов. радио», 1961.
16.	Л. Миддлтон, Введение в статистическую теорию связи, «Сов. радио»,
т. 1 — 1961, т. II —1962.
17.	В. И. Тихонов, Статистическая радиотехника, «Сов. радио», 1966.
18.	А. Н. Малахов, Флуктуации в автоколебательных системах, «Наука», 1968.
19.	Б. Р. Левин, Теоретические основы статистической радиотехники, кн. 1,
изд. 2-е, «Сов. радио», 1974.
20.	Я- С. Шифрин, Вопросы статистической теории антенн, «Сов. радио», 1971.
21.	М. Кендалл, П. Моран, Геометрические вероятности, «Наука», 1972.
22.	А. Н. Колмогоров, Основные понятия теории вероятностей, «Наука», 1974.

486	ЛИТЕРАТУРА
23.	Л. И. Мандельштам, Лекции по оптике, теории относительности и кванто-
квантовой механике, «Наука», 1972.
24.	Р. Мизес, Вероятность и статистика, Гостехиздат, 1930.
25.	М. А. Леонтович, Введение в термодинамику, Гостехиздат, 1951.
26.	Г. С. Горелик, Некоторые применения второго закона термодинамики к
электрическим флуктуациям, УФН 44, вып. 1, 33 A951).
27.	R. Clausius, Die mechanische Warmetheorie, 2. Aufl., В. Ill, Braunschweig,
1891, S. 204.
К г л а в е II
1.	Л1. Campbell, The Study of Discontinuous Phenomena, Proc. Cambr. Phil.
Soc. 15, 117 A909); Discontinuities in Light Emission, ibid. 15, 310
A909).
2.	Г. Крамер, Математические методы статистики, ИЛ, 1948.
3.	Е. N. Gilbert, H. О. Pollak, Amplitude Distribution of Shot Noise, Bell
Syst. Techn. Journ. 39, n. 2, 333 A960).
4.	W. Schottky, Small-Shot Effect and Flicker Effect, Phys. Rev. 28, n. 1, 74
A926).
5.	A. H. Малахов, К вопросу о спектре фликкер-шума, Радиотехника и элек-
электроника 4, вып. 1, 54 A959).
6.	С. Domb, Statistics of Correlated Events, Phil. Mag. G), 41, n. 321, 969
A950).
7.	/. Bar-David, Statistics of Nonstationary Shot Processes and Fluctuations
of Detected Signals, Proc. IEEE 56, n. 12, 2167 A968).
8.	Г. Крамер, Случайные величины и распределения вероятностей, ИЛ,
1947.
9.	R. L. Mitchell, Permanence of the Log-Normal Distribution, Journ. Opt.
Soc. Am. 58, n. 9, 1267 A968).
10.	D. K. McGraw, J. F. Wagner, Elliptically Symmetric Distributions, IEEE
Trans. IT-14, n. 1, 110 A968).
11.	A. H. Малахов, Уравнения нелинейного преобразования негауссовых слу-
случайных величин, процессов и полей, Изв. вузов (радиофизика) 16, вып. 8,
1287 A973).
К г л а ве III
1.	А. Я- Хинчин, Теория корреляции стационарных стохастических процессов,
УМН 5, вып. 5, 42 A938).
2.	Г. К- Крамер, М. Л. Лидбеттер, Стационарные случайные процессы,
«Мир», 1969.
3.	Дж. Л. Дуб, Вероятностные процессы, ИЛ, 1956.
4.	С. М. Рытое, Об относительном времени пребывания нестационарного слу-
случайного процесса, Радиотехника и электроника 4, вып. 9, 1415 A959).
5.	А. А. Бобров, И. Н. Вербицкая, Об одном неравенстве для корреляцион-
корреляционной функции стационарного в широком смысле случайного процесса и его

ЛИТЕРАТУРА
487
применении в эргодической теореме, Научн. ежегодник Одесского ун-та
вып. 2, 79 A961).
6. /1. М. Яглом, Введение в теорию стационарных случайных функций, УМН
7, вып. 5 E1) A952).
К г л а в е IV
1.	А. Эйнштейн, М. Сшолуховский, Сборник статей «Брауновское движение»,
ОНТИ, 1936.
2.	С. Карлин, Основы теории случайных процессов, «Мир», 1971.
3.	А. Н. Колмогоров, Аналитические методы теории вероятностей, УМН 5,
вып. 5 A938).
4.	М. С. Бартлетт, Введение в теорию случайных процессов, ИЛ, 1958.
5.	М. А. Леонтович, Кинетическая теория газов с точки зрения теории слу-
случайных процесов, ЖЭТФ 5, вып. 2, 211 A935).
6.	Дж. В. Стретт (Лорд Релей), Теория звука, т. I, изд. 2-е, Гостехиздат,
1955.
7.	М. А. Леонтович, Статистическая физика, Гостехиздат, 1944.
8.	S. О. Rice, Mathematical Analysis of Random Noise, Bell Syst. Techn.
Journ. 23, n. 6, 282 A944), ibid. 24, n. 1, 46 A945).
9.	Б. Р. Левин, Теория случайных процессов и ее применение в радиотех-
радиотехнике, изд. 2-е, «Сов. радио», 1960, гл. 4, § 4.
10.	М. Nakagami, The M-Distribution, in «Statistical Methods in Radio Wave
Propagation», Pergam. Press, 1960, p. 3.
11.	P. Beckmann, Rayleigh Distribution and Its Generalizations, Journ. Res.
NBS, sec. D, Radio Science, 68, n. 9, 927 A964).
12.	R. F. Pawula, Generalizations and Extensions of the Fokker — Planck —
Kolmogorov Equations, IEEE Trans. IT-13, n. 1, 33 A967).
13.	A. H. Колмогоров, Zum Umkehrbarkeit der statistischen Naturgeretze, Mat.
Ann. 113, 766 A937).
14.	A. M. Яглом, О статистической обратимости брауновского движения, Ма-
тем. сб. 24 F6), вып. 3, 457 A949).
15.	Р. Л. Стратонович, Условные марковские процессы и их применение к тео-
теории оптимального управления, Изд-во МГУ, 1966.
16.	Г. С. Горелик, К вопросу о технической и естественной ширине линии
лампового генератора, ЖЭТФ 20, вып. 4, 351 A950).
17.	Ю. А. Крутков, Об одном частном случае брауновского вращательного
движения, ДАН 3, 153 A934); Брауновское вращательное движение ча-
частицы с осью симметрии, ДАН I, 366 A935).
18.	В. И. Кляцкин, В. И. Татарский, О диффузии лучей в среде со случайны-
случайными неоднородностями, Изв. вузов (радиофизика) 14, вып. 5, 706 A971).
19.	В. Феллер, К теории стохастических процессов, УМН 5, вып. 5, 57 A938).
20.	W. Feller, On the Integro-Differential Equations of Purely Discontinuous
Markoff Processes, Trans. Am. Math. Soc. 48, 488 A940); Errata, ibid. 58,
474 A945).
21.	D. Slepian, First Passage Time for a Particular Gaussian Process, Дгщ.
Math. Statist. 32, n. 2, 610 A961).

488	литератора
22.	А. А. Боровков, О времени первого прохождения для одного класса про-
процессов с независимыми приращениями, Теория вероятностей 10, вып. 2,
331 A965).
23.	В. И. Тихонов, Выбросы случайных процессов, «Наука», 1970.
24.	Л. С. Понтрягин, А. А. Андронов, А. А. Витт, О статистическом рассмо-
рассмотрении динамических систем, ЖЭТФ 3, вып. 3, 165 A933).
25.	D. A. Darling, A. J. Siegert, The First Passage Problem for a Continuous
Markov Process, Ann. Math. Statist. 24, n. 4, 624 A953).
26.	Дж. Л. Дуб, Вероятностные процессы, ИЛ, 1956.
27.	М. С. Wang, G. E. Uhlenbeck, On the Theory of the Brownian Motion, II,
Rev. Mod. Phys. 17, n. 2—3, 323 A945).
28.	F. T. S. Yu, Markov Photographic Noise, Journ. Opt. Soc. Am. 59, n. 3,
343 A969).
29.	N. G. van Kampen, I. Oppenheim, Expansion of the Master Equation of
One-Dimensional Random Walks with Boundary, Journ. Math. Phys. 13,
n. 26, 842 A972).
К главе V
1.	P. Langevin, Sur la theorie du mouvement brownien, Comptes Rendus (Pa-
(Paris) 146, n. 10, 530 A908).
2.	В. В. Владимирский, #. П. Терлеикий, Гидродинамическая теория посту-
поступательного браунов'ского движения, ЖЭТФ 15, вып. 6, 258 A945).
3.	К. Ито, Г. Маккин, Диффузионные процессы и их траектории, «Мир»,
1968.
4. Ю. А. Розанов, Случайные процессы, «Наука», 1971.
5.	Р. Л. Стратонович, Условные марковские процессы и их применение к
теории оптимального управления, Изд-во МГУ, 1966.
6.	В. И. Кляцкин, В. И. Татарский, О диффузии лучей в среде со слу-
случайными неоднородностями, Изв. вузов (радиофизика) 14, вып. 5, 706
A971).
7.	В. И. Кляцкин, В. И. Татарский, Приближение диффузионного случай-
случайного процесса в некоторых нестационарных статистических задачах фи-
зикн, УФН 110, вып. 4, 499 A973).
8.	Е. А. Новиков, Функционалы и метод случайных сил в теории турбулент-
турбулентности, ЖЭТФ 47, вып. 5 A1), 1919 A964).
9.	В. И. Кляцкин, Динамические системы с негауссовскими дельта-коррели-
дельта-коррелированными флуктуацилми параметров, Изв. вузов (радиофизика) 18,
вып. 10, 1454 A975).
10.	В. И. Кляцкин, В. И. Татарский, Статистические средние в динамических
системах, ТМФ 17, вып. 2, 273 A973).
11.	D. В. Duncan, Response, of Linear Time-Dependent Systems to Random
Inputs, Journ. Appl. Phys. 24, n. 5, 609 A953).
12.	/. N. Pierce, A Markoff Envelope Process, IRE Trans. IT-4, n. 4, 163
A958).
13.	C. W. Helstrom, Two Notes on a Markoff Envelope Process, IRE Trans.
IT-5, n. 3, 139 A959).

ЛИТЕРАТУРА	489
14.	С. Т. Isley, A Note on a Markoff Envelope Piocess, IRE Trans, IT-5, n. 3,
140, '186 A959).
15.	Ф. В. Бункин, О свойствах огибающей стационарного случайного процес-
процесса, Радиотехника и электроника 5, вып. 9, 1555 A960). В. И. Тихонов,
Марковский характер огибающей квазигармонических флуктуации, Ра-
Радиотехника и электроника 6, вып. 7, 1082 A961). R. Esposito, A Generaliza-
Generalization of a Markoff Envelope Process, Proc. IEEE 51, п. 12, 1792 A963).
К г л а в е VI
1.	D. Gabor, Theory of Communication, Journ. Inst. Electr. Engfs (London),
P. Ill, 93, 429 A946).
2.	G. S. Agarwal, E. Wolf, Relation between the Statistical Representations
of Real and Associated Complex Fields in Optical Coherence Theory, Journ.
' Math. Phys. 13, n. 11, 17,59 A972).
3.	/. Toll, Causality and the Dispersion Relation: Logical Foundations, Phys.
Rev. 104, n. 6, 1760 A956).
А. А. Я. Хинчин, Korrelation Theorie des Stationaren stochastischen Prozes-
se, Math. Annalen 109, 604 A934). (Руеск. перев. — см. ссылку [1] к
гл. III.)
5.	А. Н. Колмогоров, Стационарные последовательности в гильбертовом про-
пространстве, Бюлл. МГУ, т. II, вып. 6, 1941.
6.	S. Bochner, Vorlesungen fiber Fouriersche Integrale, Leipzig, 1932.
7.	А. Г. Майер, Е. А. Леонтович, Об одном неравенстве, связанном с инте-
интегралом Фурье, ДАН 4, вып. 7, 353 A934).
8.	С. Heiden, Power Spectrum of Stochastic Pulse Sequences, Phys. Rev. 188,
n. 1, 319 A969).
9.	R. Fortet, Spectre raoyen d'une suite d'impulsions en principe periodiques
et identiques, mais deplacees et deformees aleatoirement, L'onde electrique
34, n. 329—330, 683 A954).
10.	/. Korn, A Simple Derivation of the Autocorrelation of a Random Pulse
Train, Proc. IEEE 58, n. 6, 955 A970).
11.	И. Л. Берштейн, О флуктуациях вблизи периодического движения авто-
автоколебательной системы, ДАН 20, вып. 1, 11 A938); Флуктуации в авто-
автоколебательной системе и определение естественной размытости частоты
лампового генератора, ЖТФ И, вып. 4, 305 A941).
12.	И. Л. Берштейн, О флуктуациях в ламповом генераторе, ДАН 68, вып. 3,
469 A949); Флуктуации амплитуды и фазы лампового генератора, Изв.
АН СССР (сер. физ.) 14, вып. 2, 145 A950).
13.	R. С. Bourret, Coherence Properties of Blackbody Radiation, Nuovo Ci-
mento 18, n. 2, 347 A960).
14.	Y. Капо, Е. Wolf, Temporal Coherence of Black Body Radiation, Proc,
Phys. Soc. 80, n. 518, 1273 A962).	*
15.	Л. И. Мандельштам, Лекции по теории колебаний, <Наука», 1972.
16.	Л. И, Мандельштам, Лекции по оптике теории относительности и кван-
квантовой механике, «Наука», 1972.'

490	ЛИТЕРАТУРА
17.	С. М. Рытое, О некоторых парадоксах, связанных со спектральными раз-
разложениями, УФН 29, вып. 1—2, 147 A946).
18.	/. Dugundji, Envelopes and Pre-Envelopes of Real Waveforms, IRE Trans.
IT-4, n. 1, 53 A958).
19.	P. R. Karr, R. Wooldridge, An Inequality Concerning the Envelope of
Correlation Function, IRE Trans. IT-5, n. 1, 33 A959).
20.	Б. Р. Левин, Теория случайных процессов и ее применение в радиотех-
радиотехнике, изд. 2-е, «Сов. радио», 1960.
21.	Ю. Е. Дьяков, Некоторые статистические характеристики огибающей и
фазы нестационарного гауссового процесса. Радиотехника и электроника
8, вып. 11, 1812 A963).
22.	A. Blanc-Lapierre, M. Savelli, A. Tortrat, Etude des modeles statistiques
suggeres par la consideration des effects des atmospheriques sur les ampli-
ficateurs, Ann. telecomm. 9, n. 9, 237 A954).
23.	Ф. В. Бункин, Л. И. Гудзенко, Об одномерных распределениях амплитуды
и фазы стационарного процесса, Радиотехника и электроника 3, вып. 7,
968 A958).
24.	С. 'М. Рытое, Связь распределения квазимонохроматического процесса в
распределением его огибающей, ЖЭТФ 29, вып. 5 A1), 702 A955).
25.	А. Н. Малахов, О форме спектральной линии генератора при флуктуациях
его частоты, ЖЭТФ 30, вып. 5, 384 A956).
26.	М. И. Родах, О рассеянии немонохроматического излучения на блуждаю-
блуждающих неоднородностях, Радиотехника и электроника 5, вып. 9, 1370 A960).
27.	В. С. Троицкий, В. В. Хрулев, Измерение спектральной ширины линии
клистронного генератора на волне 3,2 см, Радиотехника и электроника 1,
вып. 6, 831 A956).
28.	Н. Винер, Нелинейные задачи в теории случайных процессов, ИЛ, 1961.
29.	Ю. Э. Аптзк, А. М. Гершт, К вопросу о крыльях спектра квазигармони-
квазигармонического сигнала. Изв. вузов (радиофизика) 6, вып. 2, 311 A963).
30.	А. М. Гершт, О спектре квазигармонического сигнала при достаточно об-
общих предположениях относительно закона распределения флуктуации ча-
частоты, Изв. вузов (радиофизика) 7, вып. 4, 701 A964).
31.	#. И. Хургин, Спектр импульсных случайных процессов с независимыми
интервалами и ширина спектральных линий импульсных автоколебаний.
Научн. докл. высш. школы (радиотехника и электроника) 1, 96 A958).
32.	В. П. Яковлев, Некоторые асимптотические свойства гауссового случай-
случайного процесса, Радиотехника и электроника 5, вып. 10, 1728 (I960).
33.	Б. С. Цыбаков, В. П. Яковлев, Ширина спектральных линий мультивибра-
мультивибратора, Радиотехника и электроника 4, вып. 3, 543 A959).
34.	О. М. Рытое, К теории флуктуации в автоколебательных системах с ку-
кусочно-линейными характеристиками, Изв. вузов (радиофизика) 2, вып. 1,
50 A959).
35.	С. М. Рытое, О спектре квазипериодического случайного процесса, Изв.
вузов (радиофизика) 2, вып. 1, 45 A959).
86. A. Blanc-Lapierre, P. Dumontet, Sur la notion de coherence en optique,
Comptes Rendues (Paris) 238, n, 9г 1005 A954).

ЛИТЕРАТУРА	491
37.	Е. Wolf, A Macroscopic Theory of Interference and Diffraction of Light
from Finite Source, II, Proc. Roy Soc. (London) A230, n. 1181, 246
A965).
38.	P. H. van Cittert, Degree of Coherence, Physica 24, n. 6, 505 A958).
39.	Г. С. Горелик, Колебания и волны, изд. 2-е, Физматгиз, 1959, гл. 10.
40.	L. Mandel, Е. Wolf, Coherence Properties of Optical Fields, Rev. Mod.,
Phys. 37, n. 2, 231 A965).
41.	Ф. Франсом, С. Сланский, Когерентность в оптике, «Наука», 1967.
42.	М. Борн, Э. Вольф, Основы оптики, «Наука», 1970, гл. 7 и 10.
43.	В. J. Thompson, E. Wolf, Two-Beam Interference with Partially Coherent
Light, Journ. Opt. Soc. Am. 47, n. 10, 895 A957).
44.	H. Nodtvedt, The Correlation Function in the Analysis of Directive Wave
Propagation, Phil. Mag. 42, n. 332, 1022 A951).
45.	Г. С. Горелик, О возможности малоинерционного фотометрирования и де-
модуляционного анализа света, ДАН 58, вып. 1, 45 A947); О демодуля-
ционном анализе света, УФН 34, вып. 3, 321 A948). С. И. Боровицкий,
Г. С. Горелик, Гетеродинирование света, УФН 59, вып. 3, 543 A956).
46.	R. H. Brown, R. Q. Twiss, A New Type of Interferometer for Use in Radio
Astronomy, Phil. Mag. 45, n. 366, 663 A954).
47.	R. H. Brown, R. Q. Twiss, A Test of a New Type of Stellar Interferometer
on Sirius, Nature 178, n. 4541, 1046 A956); Interferometer of the Intensity
Fluctuations in Light, III, IV, Proc. Roy. Soc. A248, n. 1253, 199, 222
A958).
48.	P. X. Браун, Измерение угловых диаметров звезд, УФН 108, вып. 3, 529
A972).
49.	Л. И. Мандельштам, Полное собрание трудов, Изд-во АН СССР, т. II,
1947, статьи 44, 45, 47 и 48; т. III, 1050, статьи 63 и 66.
50.	С. М. Рытое, Флуктуации в автоколебательных системах томсоновского
типа, I и II, ЖЭТФ 29, вып. 3 (9), 304 и 315 A955).
51.	А. Н. Малахов, Флуктуации в автоколебательных системах, «Наука»,
1968.
52.	В. Е. A. Saleh, Average Form of Polarization of Partially Polarized Gaus-
Gaussian Light, Journ. Opt. Soc. Am. 63, n. 4, 422 A972).
53.	W. H. Carter, E. Wolf, Degree of Polarization and Intensity Fluctuations
in Thermal Light Beams, Journ. Opt. Soc. Am. 63, n. 12, 1619 A973).
54.	W. F. McGee, Complex Gaussian Noise Moments, IEEE Trans. IT-17, n. 2,
149 A971).
55.	/. S. Reed, On a Moment Theorem for Complex Gaussian Processes, IRE
Trans. IT-8, n. 3, 194 A962).
56.	А. А. Бобров, И. Н. Вербицкая, Об одном неравенстве для корреляцион-
корреляционной функции стационарного в широком смысле случайного процесса и его
применении в эргодической теореме, Научн. ежегодник Одесского ун-та,
вып. 2, 79 A961).
57.	И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и про-
произведений, изд. 4-е, Физматгиз, 1962, стр. 499.
58.	В. В. Иванов, Перенос излучения и спектры небесных тел, «Наука», 1969.

492	ЛИТЕРАТУРА
К главе VII
1.	A. Papoulis, Narrow-Band Systems and Gaussianity, IEEE Trans. IT-18,
n. 1, 20 A972).
2.	Л. П. Зачепицкая, О возможности денормализации случайных процессов
некоторыми инерционными линейными системами, Радиотехника и элек-
электроника 13, вып. 8, 1452 A968).
3.	Н. П. Боброва, Л. П. Зачепицкая, И. Н. Созинов, О денормализации слу-
случайных процессов в дисперсионной линейной системе, Изв. вузов (радио-
(радиофизика) 14, вып. 1, 103 A971).
4.	Л. П. Зачепицкая, О возможной некорректности замены асимптотически
нормальных случайных процессов строго нормальными при инерционном
линейном преобразовании, Радиотехника и электроника 16, вып. 4, 627
A971).
5.	Я. Д. Ширман и др., Теоретические основы радиолокации, «Сов. радио»,
1970.
6.	В. И. Тихонов, Статистическая радиотехника, «Сов. радио», 1966, гл. 8.
7.	Р. Л. Стратонович, Избранные вопросы теории флуктуации в радиотех-
радиотехнике, «Сов. радио», 1961.
8.	Л. А. Вайнштейн, В. Д. Зубаков, Выделение сигналов на фоне случайных
помех, «Сов. радио», 1960.
9.	С. Е. Фалькович, Прием радиолокационных сигналов на фоне флуктуа-
ционных шумов, «Сов. радио», 1961.
10.	П. А. Бакут, И. А. Большаков и др., Вопросы статистической теории ра-
диолокации, «Сов. радио», т. I — 1963, т. II — 1964.
11.	Д. Миддлтон, Введение в статистическую теорию связи, т. II, «Сов. ра-
радио», 1962.
12.	S. О. Rice, Mathematical Analysis of Random Noise, Bell Syst. Techn.
Journ. 23, n. 6, 282 A944); 24, n. 1, 46 A945).
13.	С. М. Рытое, Флуктуации в автоколебательных системах томсоновского
типа, I и II, ЖЭТФ 29, вып. 3 (9), 304 и 315 A955).
14.	К. Furutsu, On the Statistical Theory of Electromagnetic Waves in a Fluc-
Fluctuating Medium, Journ. Res. NBS D-67, n. 3, 303 A963). E. А. Новиков,
Функционалы и метод случайных сил в теории турбулентности, ЖЭТФ
47, вып. б A1), 1919 A964).
15.	Л. И. Гудзенко, О флуктуациях в ламповом генераторе при наличии се-
сеточного тока, Радиотехника и электроника 1, вып. 9, 1240 A956).
16.	Л. И. Гудзенко, О флуктуациях амплитуды автономного лампового гене-
генератора, Радиотехника и электроника 4, вып. 1, 97 A959).
17.	С. Я Раевский, Р. В. Хохлов, О синхронизации автогенератора синусои-
синусоидальной силой при наличии флуктуационных помех, Радиотехника и элек-
электроника 3, вып. 4, 507 A958).
18.	И. Г. Акопян, Р. Л. Стратонович, Установление синхронной фазы и ам-
амплитуды в синхронизируемом автогенераторе при наличии флуктуацион-
флуктуационных помех, Научн. докл. высш. школы (сер. физ.-матем.) 1, вып. 1, 162
и 187 A958).

ЛИТЕРАТУРА	493
19.	М Е. Жаботинский, П. Е. Зильберман, О флуктуациях в кварцевом гене-
генераторе, ДАН 119, вып. 5, 918 A958).
20.	А. Н. Малахов, Флуктуации амплитуды и частоты и естественная ширина
спектральной линии в автоколебательных системах со многими степенями
свободы, Изв. вузов (радиофизика) 1, вып. 2, 79 A958).
21.	Л. Н. Малахов, Флуктуации в автоколебательных системах, «Наука»,
1968.
22.	Г. С. Горелик, Нелинейные колебания, интерференция и флуктуации, Изв.
АН СССР (сер. физ.) 14, вып. 2, 187 A950).
23.	/. В. Johnson, Thermal Agitation of Electricity in Conductors, Nature 119,
n. 2984, 50 A927); Phys. Rev. 29, n. 2, 367 A927); ibid. 32, n. 6, 97
A928).
24.	H. Nyquist, Thermal Agitation in Conductors, Phys. Rev. 29, n. 4, 614
A927); ibid. 32, n. 6, 110 A928).
25.	С. М. Рытое, Теория электрических флуктуации и теплового излучения,
Изд-во АН СССР, 1953.
26.	R. Q. Twiss, Nyquist's and Thevenin's Theorems Generalized for Nonreci-
procal Networks, Journ. Appl. Phys. 26, n. 5, 599 A955).
27.	H. B. Callen, T. A. Welton, Irreversibility and Generalized Noise, Phys.
Rev. 83, n. 1, 34 A951) [см. также /. L. Jackson, Phys. Rev. 87, n. 3, 471
A952)].
28.	H. B. Callen, R. F. Green, On a Theorem of Irreversible Thermodynamics,
I, II, Phys. Rev. 86, n. 5, 704 A952); ibid. 88, n. 6, 1387 A952).
29.	H. B. Callen, M. L. Barasch, Statistical Mechanics of Irreversibility, Phys.
Rev. 88, n. 6, 1382 A952).
30.	JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, Гостех-
издат, 1957.
31.	Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая физика, изд. 3-е, «Наука»,
ч. I, 1976.
32.	W. Bernard, Н. В. Callen, Irreversible Thermodynamics of Nonlinear RC-
System, Phys. Rev. 118, n. 6, 1466 A960).
33.	Ф. В. Бункин, О тепловых флуктуациях в нелинейных системах, Радио-
Радиотехника и электроника 6, вып. 1, 3 A961).
34.	А. Н. Колмогоров, Кривые в гильбертовом пространстве, инвариантные по
отношению к однопараметрической группе движений, ДАН 26, 6 A940).
35.	А. Н. Колмогоров, Спираль Винера и некоторые другие интересные кри-
кривые в гильбертовом пространстве, ДАН 26, 115 A940).
36.	А. М. Яглом, Корреляционная теория процессов со случайными стацио-
стационарными п-ми приращениями, Матем. сб. (новая сер.) 37, вып. 1, 141
A955).
37.	R. A. Silverman, Locally Stationary Random Processes, IRE Trans. IT-3,
n. 3, 182 A957).
38.	W. D. Mark, Spectral Analysis of the Convolution and Filtering of Non-
Stationary Processes, Journ. Sound, a. Vibr. 11, n. 1, 19 A970).
39.	F. Donati, Finite-Time-Averaged Power Spectra, IEEE Trans. IT-17, n. 1,
7 A971).

494	литература
40.	A. W. Rihaczek, Signal Energy Distribution in Time and Frequency, IEEE
Trans. IT-14, n. 3, 369 A968).
41.	A. W. Rihaczek, Finite-Time-Averaged Power Spectra and Signal Energy
Distribution in Time and Frequency, IEEE Trans. IT-18, n. 1, 208 A972).
42.	M. H. Ackroyd, Short-Time Spectra and Time-Frequency Energy Distribu-
Distributions, Journ. Ac. Soc. Am. 50, n. 5, p. I, 1229 A971).
43.	Л. И. Гудзенко, Флуктуации в автоколебательных системах, Канд. дисс.
(Физич. институт АН СССР, 1961); Малые флуктуации в существенно не-
нелинейной автоколебательной системе, ДАН 125, вып. 1, 62 A959).
44.	Л. И. Гудзенко, О периодически-нестационарных случайных процессах,
Радиотехника и электроника 4, вып. 6, 1062 A959).
45.	R. Fortet, Spectre moyen d'une suite d'impulsions en principe periodiques
et identiques, rnais deplacees et deformees aleatoirement, L'onde electrique
34, n. 329—330, 683 A954).
46.	Ф. В. Бункин, К теории эффекта Баркгаузена в периодически меняю-
меняющемся поле, Радиотехника и электроника 4, вып. 11, 1913 A959).
47.	Н. Н. Колачевский, Исследование статистических явлений в процессах
циклического перемагничивания ферромагнетиков, Канд. дисс. (Моск.
физ.-техн. институт, 1960).
48.	Н. Н. Колачевский, Магнитные шумы, «Наука», 1971.
49.	А. Н. Малахов, Уравнения нелинейного преобразования негауссовых слу-
случайных величин, процессов и полей, Изв. вузов (радиофизика) 16, вып. 8,
1287 A973).
50.	R. A. Price, A Useful Theorem for Non-Linear Devices Having Gaussian
Input, IRE Trans. IT-4, n. 1, 69 A958).