INTERNATIONAL CENTRE FOR MECHANICAL SCIENCES
COURSES AND LECTURES Ko 212
WILLIAM PRAGER
Brown University, Providence, R. I.
INTRODUCTION TO STRUCTURAL
OPTIMIZATION
COURSE HELD AT THE DEPARTMENT
OF MECHANICS OF SOLIDS
OCTOBER 1974
UDINE 1974
SPRINGER VERLAC WIEN—NEW YORK
МЕХАНИКА
НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОЙ НАУКЕ
РЕПАНТОРЫ СЕРИИ: А.Ю-ИШЛИНСНИЙ. Г. Г. ЧЕРНЫЙ
11
В. ПРАГЕР
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ
ОПТИМАЛЬНОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯ
КОНСТРУКЦИЙ
Перевод с английского
А. Г. ЛАПИГИ
Под редакцией
Г. С. ШАПИРО
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР“ МОСКВА 1977
УДК 534.1
Книга представляет собой курс лекций по основам теории оптималь-
ного проектирования конструкций, прочитанный В. Прагером в Междуна-
родном центре по механике (Удине, Италия). Она содержит обобщенное
изложение фундаментальной теории автора и некоторые ее приложения.
В частности, рассмотрены решетки, состоящие из перекрестных балок.
В русский перевод включены две ранние работы автора, дополняющие этот
курс лекций и иллюстрирующие его примерами приложений.
Книга рассчитана па широкий круг читателей — научных работников,
инженеров, студентов, занимающихся проблемами оптимизации конструкций.
Редакция литературы по математическим наукам
2Й304-П43
041 (0f)-77
© 1974 by International Centre for Mechanical
Sciences, Udine, Italy
© Перевод иа русский язык, «Мир», 1977
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая вниманию читателя книга В. Прагера —од-
ного из основоположников теории оптимального проектирова-
ния конструкций (широко известного также своими фунда-
ментальными работами в теории пластичности), посвящена
результатам в данной области, полученным за последнее де-
сятилетие. Главная их часть основана на использовании в оп-
тимальном проектировании конструкций классических вариа-
ционных принципов. Непосредственное применение методов
вариационного исчисления к оптимальному проектированию
конструкций приводит лишь к необходимым условиям стацио-
нарности оптимизируемого параметра, не гарантируя его ло-
кальной или глобальной минимальности (или максимальности).
Достаточные условия оптимальности в ряде случаев можно
получить, используя для рассматриваемого класса конструк-
ций соответствующий вариационный принцип.
Прямые методы оптимального проектирования для частных
классов конструкций были известны ранее. Так, для ферм,
изготовленных из материалов с ограниченной прочностью,
прямой метод проектирования был предложен Мичеллом (I];
необходимые условия оптимальности для упругих конструкций
заданного веса и максимальной жесткости были указаны Ва-
сютинским (см., например, [2]); условия оптимальности для
идеально пластических конструкций были даны Друккером и
Шилдом (см_, например, (3]).
С единой точки зрения анализ различных задач оптималь-
ного проектирования конструкций был проведен Прагером и
Тэйлором [4]. Используя соответствующие вариационные прин-
ципы, они вывели для слоистых конструкций условия оптималь-
ности в виде дифференциальных уравнений для оптимальных
полей перемещений, не содержащих параметров конструкций.
В дальнейшем Прагером (5] был предложен общий метод
установления достаточных условий глобальной оптимальности
для более широкого класса задач оптимального проектирова-
ния конструкций').
') Применительно к проектированию пластических конструкций блиакне
результаты были впервые пглучены Мруаом [6J.
6
Предисловие редактора перевода
Предлагаемая книга основана на небольшом курсе из шести
лекций, прочитанном В. Прагером в Международном центре
по механике в г. Удине (Италия) в 1974 г. для молодых уче-
ных, специализирующихся в данной области В ее первой части
излагаются экстремальные принципы для линейно-упругих
и идеально пластических конструкций и далее на их основе
выводятся необходимые и достаточные условия глобальной
оптимальности. Применения общей теории иллюстрируются
простейшими примерами, относящимися главным образом
к проектированию трехслойных упругих балок, податливость
которых подчинена одному или нескольким ограничениям.
Во второй части книги, посвященной оптимизации очерта-
ния конструкций, рассматриваются развитые автором общая
теория пластического проектирования конструкций минималь-
ной стоимости, проблема оптимальной разбивки конструкций
на элементы заданной формы и теории выбора оптимального
очертания ферм и решеток при одном или нескольких возмож-
ных видах нагружения.
Естественно, что скромные размеры курса не дали возмож-
ности В. Прагеру отразить все богатство результатов, достиг-
нутых не только другими авторами (это было сделано в кур-
сах других ученых, прочитанных в Удине), но даже им самим
и его сотрудниками за последние годы'). Чтобы восполнить
в какой-то мере этот пробел и вместе с тем сделать содержа-
ние книги доступным более широкому кругу читателей, в рус-
ское издание книги включен перевод двух небольших обзор-
ных работ автора. В них освещены некоторые аспекты, не
затронутые в книге, приведена более полная библиография.
Адресованы они лицам, впервые знакомящимся с предметом.
В одной из недавних работ В. Прагера [7] справедливо от-
мечаются трудности, связанные с возможными ошибками при
постановке задач оптимального проектирования конструкций.
Примером может служить задача о стержне заданной длины I,
защемленном на одном конце и свободном на другом. Стержень
должен иметь два участка с постоянными поперечными сече-
ниями и заданными длинами. Поперечные сечения стержня
должны быть выбраны так, чтобы частота его собственных ко-
лебаний была максимальна. При такой формулировке задачи
оптимальный проект должен использовать весь материал на
участке, примыкающем к заделке. Однако этот проект может
оказаться непригодным, так как может быть существенным
требование, чтобы стержень имел длину I. Чтобы исключить
неправильные проекты, необходимо задать минимальную вели-
') О плодотворности этих подходов свидетельствует монография
Рознаны [12), содержащая многочисленные приложения.
Предисловие редактора перевода	7
чину поперечного сечения для обоих участков стержня. Тогда
оптимальный проект должен использовать эту минимальную
площадь для участка, расположенного у свободного конца
стержня; остальной материал должен сосредоточиваться на
участке, примыкающем к заделке. В [7] приведены и другие
примеры некорректной постановки задач. Преодоление этих
трудностей требует дальнейших теоретических изысканий ’).
Теория оптимального проектирования относится сейчас
к одному из наиболее бурно развивающихся разделов меха-
ники деформируемых сред. Число публикаций в этой области
в настоящее время уже превышает 4000, удваиваясь каждые
4—5 лет. В августе 1973 г. состоялся Международный сим-
позиум по оптимизации конструкций в Варшаве, а вскоре,
в июне 1974 г., — Всесоюзная конференция по той же проблеме
в Вильнюсе. Об огромном интересе к этой проблеме в Советском
Союзе можно судить по обширной библиографии, приведенной
в указателе (8], и совсем недавно опубликованным моногра-
фиям [9—II]. В них освещены многие аспекты проблемы опти-
мизации конструкций, не затронутые в данной книге.
Г. С. Шапиро
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1	. Michell A. G. М, The limits of economy in frame structures, Philos. Mag.
8, 589—597 (1904).
2	Wasiutynski Z., Brandt A., The present state of knowledge in the field
of optimum design of structures, Appl. Meeh. Rev., 16, 341—350 (1963).
3	Drucker D. C., Shield R. J., Design for minimum weight. Proc. 9th Int-
rernat, Congress of Appl. Meeh, Brussels, 1956, p 212—222.
4	Прагер В. Тэйлор Дж., Задачи оптимального проектирования ков
струкций. Прикл мех. № 3, 242 (1968).
5	. Prager W., Optimality criteria in structural design. Proc. Nat. Acad. Sci.,
61, № 3. 794—796 (1968).
6	. Mrfiz Z, Limit analysis of plastic construction subject to boundary va-
riations, Arch. Meeh. Stos., IS, 63—76 (1963).
7	Prager W., Conditions for structural optimality, Computers and Structu-
res, 2, 833—840 (1972).
8	Мазалов В. H., Немировский Ю. В., Оптимальное проектирование кон-
струкций. Библиографический указатель за 1948—1974 гг., ч. I, II. Ин-
ститут гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск, 1975.
9	. Гринев В. Б., Филиппов А П., Оптимизация элементов конструкций по
механическим характеристикам, изд-во «Наукона думка», Киев, 1975.
10	Почтмав Ю. М., Вороненко В А, Динамическое программирование в
задачах строительной механики, Стройиздат, М., 1975.
II	Рейтман М. И., Шапиро Г. С., Методы оптимального проектировании
деформируемых тел, «Наука», М, 1976
12	. Rozvany GIN. Optimal design of flexural systems, Pergamon Press,
Oxford. 1976
13	. Лурье К- А. Чсркаев А В.. Изо АН СССР. МТТ. № 6 (1976).
') Вопрос о возможности распространения теоремы В. Прагера на
теорию тонких пластин обсуждается в [13].
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Шесть глав предлагаемой книги „Основы теории оптималь-
ного проектирования конструкций" соответствуют содержанию
шести лекций, прочитанных автором в Международном центре
по механике в г. Удине (Италия) в октябре 1974 г. Они пред-
ставляют собой часть курса по теории оптимизации конструк-
ций; остальные части курса были прочитаны проф. П. Брус-
сом, А. Чирасом, Г. Майером и М. Савом.
Первые три главы содержат вывод необходимых и доста-
точных условий глобальной оптимальности, основанный на
экстремальных принципах механики деформируемых сред.
Очертание проектируемой конструкции предполагается при
этом заданным. Остальные три главы посвящены оптимизации
очертания конструкций.
Автор признателен проф. В. Ольшаку и Л. Собреро из
Международного центра по механике за приглашение прочесть
этот курс, что побудило его подготовить предлагаемые записки.
Удине, октябрь 1974 г.
В. Прагер
Часть 1
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
КЛАССИЧЕСКИХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ПРИНЦИПОВ
В ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
КОНСТРУКЦИЙ
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
1.1. Обобщенные нагрузки и смещения
В теории конструкций элементы конструкций обычно рас-
сматриваются не как трехмерные, а как одномерные или дву-
мерные тела. Примерами одномерных тел могут служить
стержни, балки и арки, а примерами двумерных тел— диски,
пластинки и оболочки.
В одно- или двумерном теле положение точки можно оп-
ределить соответственно одним или двумя параметрами. Для
обозначения этих параметров мы используем букву х. Для
арки, например, х может обозначать длину дуги между рас-
сматриваемой точкой и точкой отсчета, выбранными на арке,
тогда dx будет элементом дуги арки. Для сферической обо-
лочки х может обозначать долготу и широту рассматриваемой
точки, a dx — площадь элемента оболочки. Для сохранения
единой терминологии мы назовем dx объемом рассматривае-
мого элемента арки или оболочки, а термин удельный будет
означать отнесенный к единице объема.
Для введения некоторых понятий, которые будут исполь-
зованы в дальнейшем, рассмотрим горизонтальную упругую
балку, защемленную на конце х=0, свободно опертую на
конце х=1 и подвергнутую действию распределенной верти-
кальной направленной вниз нагрузки с удельной интенсивно-
стью Pi (х) и распределенных направленных против часовой
стрелки моментов с удельной интенсивностью Р2(х). Для
упрощения терминологии мы будем называть Р„(х) (а=1, 2)
обобщенными нагрузками, действующими на балку. Для крат-
кости в этой главе не будут рассматриваться сосредоточенные
нагрузки и моменты.
Обобщенные силы Ра мы будем ассоциировать с обобщен-
ными смещениями ра, которые предполагаются малыми; они
определяются таким образом, что удельная внешняя работа к/®’
10
Гл 1. Основные понятия и теоремы
нагрузок Ра на смещениях ра дается выражением
Wto’ = />ePo.	(И)
Здесь и всюду в дальнейшем повторяющийся буквенный индекс
в одночлене будет означать суммирование по всей области
изменения индекса, если только обратное не будет выражено
словами „суммирования нет". Очевидно, например, что для
балки pi(x) и р2(х) обозначают соответственно вертикальные
направленные вниз прогибы оси и направленные против часовой
стрелки вращения поперечных сечений с абсциссой х.
Обобщенные смещения конструкций должны подчиняться
некоторым требованиям непрерывности. Для нашей балки,
например, смещения рц(х) должны быть непрерывными и
кусочно-дифференцируемыми. Мы будем ивзывать эти требо-
вания кинематическими условиями непрерывности. Их общая
форма будет обсуждена в разд. 1.2.
Обобщенные смещения должны, кроме того, подчиняться
кинематическим ограничениям, которые могут быть внешними
или внутренними. Для нашей балки внешними ограничениями
будут условия
Pi (0)^0, p,(Z) = O, р2(0) = 0.	(1.2)
Гипотеза Бернулли, согласно которой поперечные сечения
балки остаются нормальными к ее оси, налагает внешнее
ограничение
Р^+₽2“0,	(1-3)
где штрихом обозначено дифференцирование по х. Мы не
будем, однако, пока налагать это ограничение.
Обобщенные смещения, удовлетворяющие условиям кине-
матической непрерывности и кинематическим ограничениям,
мы будем называть кинематически, допустимыми.
Каждому кинематическому ограничению соответствует не-
которая реакция. Так, например, реакциями, соответствующими
внешним ограничениям (1.2), яаляются вертикальные силы
в сечениях х = 0 и х=/ и момеят в заделке в сеченни х = 0.
Заметим, что работа любой из этих реакций на произвольном
кинематически допустимом смещении равна нулю. В даль-
нейшем предполагается, что все кинематические ограничения,
наложенные на конструкцию, в этом смысле не могут быть
источниками образования работы. Реакции, соответствующие
внутренним ограничениям, будут рассмотрены в конце разд. 1.2.
1,2. Обобщенные напряжения и деформации
Поле напряжений в типичной точке элемента конструкции
определяется числом результирующих напряжений, или обоб-
щенными напряжениями Qt. В теории балок, свободной от
I 2 Обобщенные напряжения и деформации
гипотезы Бернулли, за обобщенные напряжения можно принять
изгибающий момент Q, и произведение Q2 поперечной силы
на высоту h балки. При таком выборе обобщенных напряжений
они будут иметь одинаковую размерность.
Обобщенные нагрузки, обобщенные напряжения и их про-
изводные связаны друг с другом уравнениями равновесия.
Если, например, вторично выбрать обобщенные напряжения
для нашей балки так, как это было только что сделано, и
использовать для них правило знаков, показанное на рис. 1.1,
то уравнения равновесия примут вид
с:-(Qf/41(%/'<)'+₽,=°-	«я
Так как сосредоточенные нагрузки и моменты из рассмо-
трения исключены, то обобщенные напряжения должны быть
Рис. 1.1. Правило знаков для обобщенных нагрузок и напряжений, дей-
ствующих на элемент балки.
непрерывны, а их производные, входящие в уравнения равно-
весия, — кусочно-непрерывны, со скачками, возникающими
только в местах разрыва обобщенных нагрузок или высоты
балки. Эти требования непрерывности для обобщенных напря-
жений мы назовем условиями статической непрерывности.
Обобщенные напряжения должны подчиняться, кроме того,
статическим ограничениям. Для нашей балки единственное
статическое ограничение имеет вид Qt(/) —0.
Обобщенные напряжения, удовлетворяющие статическим
условиям непрерывности и статическим ограничениям, мы
назовем статически допустимыми.
Коль скоро выбор обобщенных напряжений Qj произведен,
соответствующие обобщенные деформации у, должны быть
определены так, чтобы удельная внутренняя работа w1') на-
пряжений Qf на деформациях у/ имела вид
и.«1=е,й.	(1.5)
Гл 1 Основные понятия и теоремы
Чтобы найти выражении для обобщенных деформаций через
обобщенные смещения и их производные, мы используем
принцип еиртуамной работы в форме
J QM dx = J Papadx + (FB,	(1.6)
где интегрирование распространено на произвольную открытую
область конструкции и через WB обозначена работа обобщен-
ных напряжений, действующих на границе В этой области на
обобщенных смещениях В. Чтобы выразить входящие в интег-
рал в правой части (1.6) обобщенные нагрузки через обобщен-
ные напряжения и их производные, мы используем уравнения
равновесия; производные от напряжений устраняются путем
интегрирования по частям. Искомые выражения для обобщен-
ных деформаций получаются путем сравнения коэффициентов
при обобщенных напряжениях в обеих частях полученных
равенств.
Применительно к открытой области а^.х^.Ъ нашей балки
эта процедура сводится к следующему. Уравнение (1.6) при-
нимает вид
ь	ь
J (Qi9t + Q^) dx = J (PiP, + P2p2) dx + [Q,p2 + (Q2/ft) p(]*, (1.7)
где (f (x)]* == f (b) — f (а). Подставляя P, и P2 из (1.4) и интег-
рируя по частям, получаем
ь	ь
J (с,?,+<?л) <&= $ {е,Рг+(qs//i)(p;+р,)} л*. «.в)
Сопоставление коэффициентов при обобщенных напряжениях
в левой и правой частях (1.8) дает
«,=р;. ?2=(р;+р!)/л-
Если использовать гипотезу Бернулли
= +	О-10)
то становится ясным, что величину Q2, исчезающую со-
гласно (1.8), следует рассматривать как реакцию, отвечающую
внутреннему кинематическому ограничению (1.10), а не как
обобщенное напряжение. Это ограничение требует, чтобы ?2=0;
таким образом, эта реакция не производит работу.
Следует заметить, что входящий в (1.6) член 1ГВ исчезает,
если применить принцип виртуальной работы ко всей балке,
а не к некоторому ее участку. Это является следствием
кинематических и статических ограничений на концах балки.
/3. Связь между напряжениями и деформациями	13
Отметим также, что в предшествующих рассуждениях
обобщенные напряжения и деформации не связаны друг
с другом как причина и следствие. Принцип виртуальной
работы требует лишь, чтобы обобщенные напряжения были
статически допустимыми, а обобщенные деформации — кине-
матически допустимыми, т. е. чтобы они были получены исходя
из кинематически допустимых смещений.
13. Связь между напряжениями
и деформациями в теории упругости.
Энергия деформации и дополнительная энергия
Для линейно-упругой конструкции существует положи-
тельно определенная удельная энергия деформаций
еч = Ч&уЛАк,	(1.11)
такая, что удельная работа напряжений Qf на приращениях
деформаций dq, дается выражением
Qfdq^de^tdejdqfidqi.	(1.12)
Упругие коэффициенты Clk удовлетворяют соотношению сим-
метрии
c/t = cfc/.	(1.13)
Они зависит от упругих постоянных материала конструкции
и размеров конструкции в рассматриваемой точке, но не зависят
от напряжений и деформаций.
Сравнение первого и последнего членов в (1-12) дает
Qt = dejdq,.	(1.14)
Учитывая (1.13), из (1.11) и (1.14) находим
Q/ = Cjkqk.	(1.15)
Заметим, что из (1.11) и (1.15) следует, что
eq = 4&fli‘	(Мб)
Линейные уравнения (1.15) можно разрешить относительно
деформаций, откуда	_
=	(1.17)
Выражение	_
(118)
мы будем называть удельной дополнительной энергией. Ее
значение равно значению удельной энергии деформаций eQ при
условии, что напряжения и деформации связаны друг с другом
равенством (1-17).
Гл. I. Основные понятия и теоремы
Распространенный на всю конструкцию интеграл
Eq — J eq dx — J Ctbqflk dx/2	(1.19)
от удельной энергии деформации eq{x} для кинематически
допустимого поля деформаций qt (х) называется энергией
деформаций для поля ?/(х). Аналогично, интеграл
Eq= 5 eQ dx - J	dx/2	(1.20)
от удельной дополнительной энергии ес(х) для статически
допустимого поля напряжений Q/(x) называется дополнитель-
ной энергией для этого поля.
Обозначим через qf (х) и q* (х) не идентичные кинематически
допустимые поля деформаций. Из положительно определенного
характера eq следует, что энергия деформации, вычисленная
исходя из разностного поля <?,-(х)— qt(x), положительна
(1-21)
Учитывая соотношение симметрии (1.13) и определение (1.19),
неравенство (1.21) можно записать также в виде
(1.22)
где Qt — напряжения, связанные с деформациями qt соотноше-
ниями (1.15), а £’ и энергии деформаций для полей q*(x)
и qt{x}. Неравенство (1.22) будет использовано в разд. 1.4.
Читателю предоставляется вывести аналогичное неравенство
0-23)
где QJ и Q. — не идентично совпадающие статически допусти-
мые поля напряжений, Eq и Eq — их дополнительные энергии,
a qj — деформации, связанные с напряжениями Qt соотноше-
ниями (1.17).
1.4.	Экстремальные принципы для линейно-упругих конструкций
Рассмотрим линейно-упругую конструкцию с заданными
коэффициентами упругости С/к(х). Допустим, что конструкция
закреплена так, что исключено ее движение как твердого тела.
Пусть заданы нагрузки Ра(х), действующие на конструкцию,
и требуется определить смещения ра(х), деформации qf(x) и
14. Экстремальные принципы для линейно-упругих конструкций 15
напряжения Qt(x), вызванные этими нагрузками. Заметим,
что искомые поля должны удовлетворять следующим условиям:
(1)	поле смещений ро(х) должно быть кинематически до-
пустимым;
(2)	поле напряжений Q;(*) должно быть статически допу-
стимым и
(3)	напряжения Qf и деформации qt, определяемые исходя
из смещений ра, должны удовлетворять соотношениям
(1.15) между напряжениями и деформациями.
Можно показать, что поля ра, q, и Q,, удовлетворяющие
этим трем условиям, существуют, однако доказательство
теоремы существования выходит за рамки этой книги. Прини-
мая, что решение существует, докажем его единственность.
С этой целью примем сперва, что существуют два поля ра,
qjt Qi и Ра, Qf, Qi, Удовлетворяющие трем названным усло-
виям. Вследствие того что конструкция является лияейно-упру-
гой и что оба поля соответствуют одной и той же нагрузке Ра,
поле разностей ра — ра, qf — qt, Qt — Qf должно соответство-
вать нулевой нагрузке. Применяя к этому полю разностей
с нулевой нагрузкой принцип виртуальной работы, находим
(1.24)
Согласно (1.16), подынтегральное выражение в (1.24) равно
удвоеивой энергии деформаций для смещений qf — qt. Так как
удельная энергия деформаций положительно определена, (1.24)
требует, чтобы
?/ — 9/^0-	(1.25)
Следовательно, разность ра — рь должна представлять смеще-
ния твердого тела. Ввиду того что такие смещения не допу-
скаются опорами, разность ра — ра тождественно равна нулю.
Наконец, с учетом (1.25) из соотношения напряжения — дефор-
мации (1.15) следует, что тождественно равна нулю разность
Qf — Qj. Этим доказательство единственности завершено.
Пусть р„, qj^Qf — поля смещений, деформаций и напряже-
ний, представляющие решение нашей задачи для конструкции,
и пусть р*— произвольное кинематически допустимое поле
смещений, нс совпадающее тождественно с ро, ар’ — соответ-
ствующее поле деформаций. Так как поле напряжений Q,
статически допустимо, применяя к напряжениям Qt, кинемати-
чески допустимым смещениям р*—ро и деформациям р*— q{
Гл 1. Основные понятия и теоремы
принцип виртуальной работы, находим
J р.(А~Р<,')ах~ ^Qi(?/-?;)dx-	U-26)
Учитывая неравенство (1.22) и произведя в (1.26) надлежащую
перестановку членов, имеем
<L27>
Выражение в левой части (1.27) называется потенциальной
энергией упругой конструкции, находящейся под действием
заданных нагрузок Ра, для кинематически допустимых смеще-
ний р* и соответствующих деформаций q*. Она получается
путем вычитания из энергии деформаций для деформаций q*f
виртуальной работы нагрузок на смещениях р*. Неравенство
(1.27) показывает, что смещения и деформации, дающие реше-
ние нашей задачи для конструкции, минимизируют потенциаль-
ную энергию {принцип минимума потенциальной энергии).
Обозначая через Q*. произвольное статически допустимое
поле напряжений, не совпадающее тождественно с полем
напряжений Qf, дающим решение нашей задачи, можно ана-
логичным образом показать, что
Eq > Eq,	(1.28)
где левая и правая части неравенства представляют дополни-
тельные энергии полей напряжений Q* и Qf. Таким образом,
поле напряжений решения минимизирует дополнительную энер-
гию {принцип минимума дополнительной энергии).
1.5.	Экстремальные принципы
для жестко-идеально-пластических конструкций
Определяющие уравнения для элементов жестко-идеально-
пластических конструкций обычно выражаются через обобщен-
ные напряжения Qt и соответствующие обобщенные скорости
деформаций. Так как в эти уравнения не входят деформации,
не возникнет никаких недоразумений при использовании сим-
вола qf для обозначения типичной обобщенной скорости дефор-
маций. Аналогичным образом символ ра будет использован
для обозначения типичной обобщенной скорости.
В дальнейшем удобно использовать евклидово пространство,
в котором напряжения Q/ в точке конструкции определяются
в прямоугольной декартовой системе координат точкой на-
пряжений. Вектор положения Q этой точки мы будем называть
15 Экстремальные принципы для пластических конструкций 17
вектором напряжений. Аналогично, вектор q с компонентами qt
мы будем называть вектором скоростей деформаций.
Механическое поведение элемента жестко-идеально-пласти-
ческой конструкции удобнее всего характеризовать при помощи
его диссипативной функции D(q). Эта функция определяет
отнесенную к единице объема скорость диссипации механи-
ческой энергии при пластическом течении с вектором скорости
деформации q. Таким образом, диссипативная функция D{q)
представляет удельную мощность диссипации, которая должна
быть неотрицательной. Так как элемент жестко-идеально-пла-
стической конструкции не обладает визкостью, диссипативная
функция должна быть однородной порядка единицу:
О(0) = 0,
£>(pg) = p£)(g) при р>0.	^L29^
Далее предполагается, что диссипативная функция является
выпуклой. Учитывая (1.29), это допущение можно выразить
неравенством
D(g + r)<£>(g)+D(r).	(1.30)
Обсуждение термодинамических обоснований допущения
о выпуклости диссипативной функции выходит за рамки этой
книги.
Из (1.29) и (1.30) видно, что диссипативная функция обла-
дает свойствами опорной функции для выпуклой области,
называемой областью текучести. Точки этой области опреде-
ляются векторами положения Q, удовлетворяющими условию
Q-g<D(g) при всех д,	(1-31)
где точкой в центре обозначено скалярное умножение. Внут-
ренние точки области текучести изображают напряженные
состояния, лежащие ниже предела текучести; они соответст-
вуют жесткому состоянию элемента. Точки, расположенные
на границе области текучести, называемой поверхностью теку-
чести, изображают напряженные состояния, при которых может
возникнуть пластическое течение. Наконец, точки, расположен-
ные ние поверхности текучести, изображают напряженные
состояния, которые не могут возникнуть в рассматриваемом
элементе конструкции.
Для фиксированного вектора скорости деформации q гра-
ница полупространства (1.31) представляет собой опорную
плоскость для области текучести Точки Q, являющиеся общими
для этой плоскости и поверхности текучести, изображают
напряженные состояния, при которых могут возникнуть ско-
рости деформации, определяемые q. Мы будем говорить, что
Гл. 1. Основные понятия и теоремы
эти напряженные состояния соответствуют вектору скоростей
деформаций q.
Если Q представляет напряженное состояние, соответствую-
щее данному вектору скорости деформации q, и Q* предста-
вляет любое другое напряженное состояние, лежащее на пре-
деле текучести или ниже его, то из (1.31) следует, что
(Q-O-g>0.	(1.32)
Таким образом, виртуальная удельная мощность диссипации,
определенная исходя из произвольного напряженного состоя-
ния Q*, лежащего на пределе текучести или ниже его, и дан-
ной скорости деформации q, не может превысить мощность,
определенную исходя из той же скорости деформаций и
соответствующего напряженного состояния Q (принцип, макси-
мума локальной мощности диссипации).
Предшествующие рассуждения были посвящены локальным
скоростям деформаций и напряжениям. Рассмотрим теперь
поля скоростей ра(х), поля скоростей деформаций q(x) и поля
напряжений Q(x).
Поле скоростей называется кинематически допустимым, если
оно удовлетворяет кинематическим условиям непрерывности и
ограничениям, наложенным па рассматриваемую конструкцию.
Так, например, в случае жестко-идеально-пластических балок,
на которые наложено ограничение в виде гипотезы Бернулли,
скорость прогибов должна быть непрерывна и кусочно-непре-
рывно дифференцируема; кроме того, она должна исчезать на
опорах, а ее первая производная — на защемленном конце.
Рассмотрим жестко-идеально-пластическую конструкцию,
остающуюся жесткой при нагрузках Ра. Определим коэф-
фициент нагрузки К для пластического разрушения следующим
образом: пластическое течение становится возможным при
нагрузке кРо, но оно невозможно при нагрузках К*Ра при X* < X.
Фундаментальные теоремы теории предельного равновесия дают
экстремальные характеристики для коэффициента нагрузки X.
Статическая теорема устанавливает, что коэффициент на-
грузки для пластического разрушения определяет наибольший
множитель для заданной нагрузки, при котором существует
статически допустимое поле напряжений, нигде не превосхо-
дящее предела текучести. Для доказательства этого положения
обозначим через ХР наибольшее кратное нагрузок и допустим,
что коэффициент нагрузки при пластическом разрушении имеет
значение X < Л. Обозначив через ра и скорости и дефор-
мации для механизма разрушения при нагрузке ХРв, имеем
Z	= J D(qj)dx.	(1.33)
2.1. Трехслойные бгики с одним ограничением
19
Так как для нагрузки ХРО существует статически допусти-
мое поле напряжений Q/t нигде не превосходящее предела
текучести, из принципа виртуальной работы и (1.31) следует,
что
>. J	dx = J Q,q, dx < J D (?,) dx.	(1.34)
Статическая теорема устанавливается как следствие из про-
тиворечия между допущением, что Х<Х, и следующим из
(1.33) и (1.34) неравенством Х^Х.
Кинематическая теорема устанавливает, что коэффициент
нагрузки при пластическом разрушении дается минимумом
выражения
\DWdx/\p„padx,	(1.35)
определенным из всех кинематически допустимых полей ско-
ростей ра и соответствующих полей скоростей деформаций q}.
Для доказательства этого допустим, что X представляет собой
минимальное значение выражения (1.35). Обозначим через ра
и qt поля скоростей и скоростей деформаций, доставляющих
это минимальное значение. Предположим теперь, что коэффи-
циент нагрузки при пластическом разрушении имеет значение
X > X. Тогда для нагрузки ХРВ должно существовать статически
допустимое поле напряжений, нигде не превосходящее пре-
дела текучести. Из принципов виртуальной работы и (1.81)
следует, что
t-\pahdx^^Qrqldx<\D(Dj)dx,	(1.36)
тогда как из определения X следует, что
X J Рара dx=^D (qj) dx.	(1.37)
Кинематическая теорема устанавливается из противоречия
между допущением, что X > X, и следующим из (1.36) и (1.37)
неравенством X X.
Глава 2
ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ УПРУГИХ БАЛОК,
ПОДЧИНЕННЫХ ОГРАНИЧЕНИЯМ НА ПОДАТЛИВОСТЬ
2.1. Трехслойные балки,
подчиненные одному ограничению на податливость
Метод, развитый в этом разделе, можно применить к трех-
слойным пластинкам и оболочкам, а также к трехслойным бал-
кам. Для краткости в данной главе будут, однако, рассматри-
ваться только трехслойные балки.
20	Гл 2. Оптимальное проектирование упругих балок
Рассмотрим трехслойную балку с кусочно-постоянным по- ]
перечным сечением и допустим, что границы участков с по- 1
стоянвым сечением заданы (случай, когда эти границы выби- 4
раются проектировщиком, будет рассмотрен в гл. 4). Ширина bi ]
и высота 2А, сечения заполнителя г-го участка считаются за- I
данными, но толщина одинаковых покрывающих пластян 1
должна быть выбрана проектировщиком при условии, что
(2.1)
где i и t — заданные величины. Нижняя граница t вводится
с целью исключить чрезмерно тонкие покрывающие пластины,
а верхняя граница t—с целью избежать нарушения основного
допущения, согласно которому отношение мало по сра-
внению с единицей.
При анализе прогибов р(х) балки под действием заданной
распределенной нагрузки Р(х) мы будем применять гипотезу
Бернулли. В соответствии с этим единственным обобщенным
напряжением нужно считать изгибающий момент Q(x), а соот-
ветствующей обобщенной деформацией — кривизну q(x) —
= — В i-м участке изгибающий момент и кривизна свя-
завы зависимостью
QW—ЭДИ.	(2.2)
где
с| = 2£4|/й|	(2.3)
представляет собой изгибную жесткость этого участка; через Е
обозначен модуль Юнга.
Вес заполнителя зафиксирован длиной I, участка и значе-
ниями bj и kj. Вес покрывающих пластин пропорционален
^.biliti или, с учетом (2.3), пропорционален величине
(2.4)
Виртуальная работа С нагрузки Р(х) на прогибе р(х) назы-
вается податливостью балки при этой нагрузке:
С“Е S	(2-5)
где интегрирование распространено на /-й участок, xt-i^.
сумма —на все участки. Чем меньше податливость,
тем более жесткой будет конструкция. Поэтому имеет смысл
проектировать конструкцию минимального веса с заданной
податливостью. Выведем теперь необходимое и достаточное
условие глобальной оптимальности для этой задачи.
21. Трехсложные балки с одним ограничением
21
Заметим сперва, что на основании принципа виртуальной
работы и равенства (2.2) податливость (2.5) можно записать
также в виде
С“Е S	<2-6>
где
5	<2л
*1-1
есть среднеквадратичная кривизна i-ro участка.
Если проекты ci и с* имеют заданную податливость С и
под действием нагрузки Р(х) их кривизны будут q(x) и q*(x),
то
С = Хс,(2.8)
Для рассматриваемой задачи виртуальная работа нагрузки
имеет заданное значение С. Поэтому принцип минимума по-
тенциальной энергии становится принципом минимума энергии
деформаций. Применительно к проекту с* этот принцип при-
водит к неравенству
(2.9)
так как среднеквадратичная кривизна определяется исходя
из кривизны q(x), которая является кинематически допустимой
для проекта с*. Подставляя (2.9) в (2.8), мы получаем нера-
венство
Z«-c,) О.	(2.10)
Входящие в (2.10) разности с* — ct подчинены дополнительным
неравенствам. Так как изгибная жесткость неотрицательна, мы
имеем
(с} —cf)Z.>0 при lt = i	(2.11)
и	__
— (< —при 1. = Г	(2.12)
Наконец, если проект с, имеет минимальный вес, должно быть
Q* — П^О или, согласно (2.4),
Х«-с,)1,/Ч>0.	(2.13)
На основании теоремы Фаркаша [I] неравенство (2.13) следует
из неравенств (2.10) — (2.12) тогда и только тогда, когда (2.13)
22
Гл 2. Оптимальное проектирование упругих балок
представляет собой неотрицательную линейную комбинацию
этих последних неравенств. Если обозначить коэффициенты
этой линейной комбинации через 1/й2, р.,/*2 и р, //г, причем
Р» = й/ = 0 при /<//</, то теорема Фаркаша доставит не-
обходимое и достаточное условие оптимальности в виде
= /г2 при t < t-t < t,
(2.14)

С Л2 при ti~t,
>= Л2 при ti == /.
Так как не предполагается, что с{ и е* являются близкими
проектами, это условие оптимальности носит глобальный ха-
рактер. При отсутствии ограничений (2.1) и независимости hi
от I условие оптимальности (2.14) принимает вид q* — const,
полученный Чжу и Прагером [2}.
При применении условия оптимальности (2.14) полезно за-
метить, что, учитывая (2.2), среднеквадратичную кривизну
(2.7) /-го участка можно записать в форме
=	' $ Qqdx,
(2.16)
где интеграл можно определить согласно (1.6).
2.2. Пример
Для иллюстрации применения условия оптимальности (2.14)
рассмотрим неразрезпую балку (рис. 2.1, а), нагруженную
на правом конце моментом Р. Размеры заполнителя в обоих
пролетах должны быть одинаковыми, однако толщины h
(i = I,2) покрывающих пластин, подчиняющихся ограничению
(2.1), могут друг от друга отличаться. Соответствующее огра-
ничение на изгибную жесткость запишем в виде
с с£ с.
(2.16)
Если С] и с2 не принимают значений с или с, условие опти-
мальности (2.14) требует, чтобы

(2.17)
На рис. 2.1, б представлены отдельные пролеты с действую-
щими на их концах моментами. Полагая lilci=lt, мы получаем
следующие выражения для вращений на концах:
е, = /?/{/3 = (Р-2Л)Га/6,
е2=(2Р—р)/^б.
(2.18)
2.2 Пример
23
Из первой формулы (2.18) следует, что
/?=Я£/2 (/; + £).
(2.19)
Подставляя это значение во вторую формулу (2.18), полу-
чаем следующее выражение для податливости:
С = Р62 = Р-75 (4Г, + 3Z0/12 (Zi + ©.	(2.20)
Обозначим через С и С значения, получаемые_из (2.20)
при с1—с3 = с или ct=cz=c. Заметим, что ОС.
Рис. 2.1. Оптимальное проектирование неразрезппй трсхслойпой балки
с заданной податливостью при действии момента Р на конце.
Согласно замечанию, сделанному по поводу равенства (2.16),
имеем
^=/?е1/с,/1.	(2.21)
При помощи равенств (2.19) — (2.21) и условия оптималь-
ности (2.17) получаем квадратное уравнение для Q = cjcit
подходящий корень которого имеет вид
Р = У(1-Ч/3 -X, X = /,//,.	(2.22)
Так как р неотрицательно, из (2.22) следует, что А 1/2. За-
метим, что (2.22) приводит к значениям р, меняющимся от 0
при Л —1/2 до V1/3 при Л = 0.
В дальнейшем мы предполагаем, что заданное значение С
удовлетворяет соотношению С С С, так как в противном
случае задача не будет иметь решения. Тогда оптимальный
проект находится следующим образом.
24	Лл. 2. Оптимальное проектирование упругих балок
(1)	с = 0
(а)	Л < 1/2: определяем р из (2,22) и с2 из (2.20), что
дает
с2 = (PWC) (4Л + Зр)/(Л + р).	(2.23)
Величина с( находится по формуле с, = рс2. Если с2 > с,
следует перейти к (3).
(б)	Л 1/2: оптимальный проект не имеет первого про-
лета: Ci = 0, с2 = Р'ЫЗС. Если с2>с, следует перейти
к (3).
(2)с=0
(а)	Л < 1/2: определяем £) и Cj так же, как в случае
(1а). Если С] < с, следует перейти к (26).
(б)	Л 1/2: полагаем с, — с и определяем с2 из равен-
ства (2.23), которое теперь можно записать в виде
(Р2/г/4Сс) р2 — (1 — КРЧ^/ЗСс) р - Л = 0.	(2.24)
Если с2 > с, следует перейти к (3).
(3) Полагаем с2—с и определяем е( из равенства (2.23),
которое теперь можно записать в виде
р^!.((/У./ЭД- с}/(г--/лУ1С).	(2.25)
Мы видим, сколь сложной даже для простейшей конструк-
ции является „прямая" оптимизация, когда заданы верхняя и
нижняя границы изгибной жесткости.
В предельном случае, когда заданная высота заполнителя 2Л
и неизвестная толщина t пластин могут меняться непрерывно,
выражение нужно заменить на Лг(х)<?г(х). Например,
в случае, представленном на рис. 2.1, где Л —const, это озна-
чает, что под действием момента Р на конце оптимальная
балка должна иметь кривизну <?(х), удовлетворяющую равен-
ству
|9(x)|=zfr/ft,	(2.26)
если с = 0 и всюду с (л) < с.
Принимая сперва, что lt /2, и полагая L = 1г + /2, мы
определяем расстояние между левой опорой и тем по-
перечным сечением, в котором кривизна (2.26) должна менять
знак, если прогиб равен нулю на трех опорах. Легко получаем
l=L—y/Uj2.	(2.27)
Так как при х = | должен изменять знак также изгибающий
момент Q(x), мы имеем
Q(x) = P(x-E)/(1-E) при (,<*</.	(2.28)
23. Трехслойные балки с различными ограничениями
и отсюда
QAx) = — Px(l — h)/(L — Е) при	(2.29)
Учитывая условие оптимальности (2.26), для изгибной же-
сткости оптимальной балки имеем
c = h]Q\Jk,	(2.30)
где k нужно выбрать так, чтобы балка имела заданную по-
датливость при действии момента Р.
Заметим, что в частном случае при lifa-t-O наш анализ
даст решение для балки, защемленной при х=0 и свободно
опертой при х = 4-
2.3, Трехслойные балки,
подчиненные различным ограничениям на податливость
В общем случае конструкцию нужно проектировать исходя
из нескольких возможных состояний нагружения. Разумеется,
может оказаться, что существенно лишь одно из этих состоя-
ний, в том смысле, что только оно влияет на выбор размеров
конструкций; однако этот случай встречается сравнительно
редко. В данном разделе мы будем рассматривать оптимальное
проектирование трехслойной балки типа, указанного в начале
разд. 2.1; балка подвергнута действию двух возможных со-
стояний нагружения с обобщенными нагрузками Pai и Ра2.
Проектируемая балка должна иметь минимальный вес при
условии, что ее податливости С, и С2 при двух состояниях
нагружения должны удовлетворять неравенствам
Ct^C',
С2<С"
(2.31)
при заданных значениях С и С".
Если существенно только одно из двух состояний нагру-
жения, задача сводится к случаю, рассмотренному в разд. 2.1.
Поэтому мы будем предполагать, что существенны оба состоя-
ния нагружения, т. е. что С] = С' и С2 = С". Тогда для обоих
состояний нагружения имеют силу неравенства вида (2.10).
Если для обоих состояний нагружения 0® и являются средне-
квадратичными кривизнами для Лго участка, то вместо (2.10)
мы имеем
(2.32)

(2.33)
тогда как (2.11) — (2.13) сохраняют силу. Применяя теорему
Фаркаша к неравенствам (2.32), (2.33) (2.11) и (2.12), мы при-
26	Гл. 2. Оптимальное проектирование упругих балок
ходим к условию оптимальности
А1Ж + ЭД
при
при
при
(2.34)
Балка является оптимальной тогда и только тогда, когда
существуют такие неотрицательные множители xf и Xf, что при
обоих состояниях нагружения среднеквадратичные кривизны
балки удовлетворяют (2.34). Обобщение условия оптимальности
(2.34) на случай, когда состояний нагружения больше двух,
очевидно.
В предельном случае, когда заданная высота 2Л заполни-
теля и неизвестная толщина пластин t могут изменяться не-
прерывно, левую часть (2.34) следует заменить выражением
Л2 (х)	(х) 4-	(*)}, где ?i (*) и (х) — кривизны оптималь-
ной балки при обоих состояниях нагружения.
Для краткости при дальнейшем обсуждении применения
условия оптимальности (2.34) мы ограничимся случаем стати-
чески определимой балки, отбросив ограничения (2.1). Введя
в рассмотрение среднеквадратичные моменты
Qi, —IF' \ Q‘,rlx, v = l,2,	(2.35)
запишем условие оптимальности (2.34) в виде
Ci^KhiRi,	(2.36)
где
«.-(shfW, ₽=«*,.	(2.37)
Податливости балки при обоих нагружениях выражаются
в виде
с, = X (fade. у = 1, 2.	(2.38)
Подставляя (2.36) в (2.38), разрешая полученное уравнение
относительно Xj и подставляя полученный результат в (2-36),
получаем
9 — (Zi,ft/Cv)Xgv(,у--1,2.	(2.39)
Из двух равенств (2.39) находим
p^CJC^NjD,
23. Трехслойные балки с различными ограничениями 27
где
N = X QlMh, (g, + р'й,) ”,
в=X йл/л, (о?.+?!сУ'!.
(2.40)
Если Ci = С', но С2 < С", мы имеем Л,2 = О, 0 = 0 и отсюда
Р(Р) = (ХЙЛ№Й.)/(ХЙЛ/Л.)>С"/С'.	(2.41)
Аналогично, если С2 = С", но С\<С', мы имеем Л, = 0,
0 = ео и отсюда
р(~) = (X®лл)/(Х> с"/с'. (2.42)
В соответствии с этим оба ограничения на податливость сле-
дует учитывать, если
р(0)<С"/С'<р(ео).
(2-43)
Если условие (2.43) удовлетворяется, оптимальный проект
можно найти следующим образом. Так как заданное значение
р = С"1С’ превышает р(0), мы будем определять р(₽) с по-
мощью (2.40) при возрастающих значениях 0 до тех пор, пока
р(₽)>С"/С/. Затем путем интерполяции найдем величину 0,
для которой р(0) = С"/С'. Далее, полагая в (2.39) у = 1 или
у = 2, мы определим значения оптимальных податливостей.
Заметим, что зависимости (2.36) — (2.42) сохраниют силу
и в случае статически неопределимых балок, однако при этом
формулы для среднеквадратичных изгибающих моментов будут
содержать статически неопределимые величины. Дополнитель-
ное уравнение для каждой статически неопределимой вели-
чины Xk доставляется условием, что истинная кривизна Qjc
должна быть ортогональна к изгибающему моменту Q*, вы-
званному X/. — I, когда все остальные статически неопредели-
мые величины равны нулю и балка не несет нагрузки:
J w.=»o.
(2.44)
Численные примеры читатель найдет в работах (3—5].
28	Гл. 3. Условия оптимальности для иных конструкций
Глава 3
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ИНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
И ОГРАНИЧЕНИЙ
3.1. Оптимальное проектирование иных упругих конструкций,
подчиненных ограничениям на податливость
Для простоты изложения в гл. 2 рассматривались только
балки. Однако метод, при помощи которого были получены
различные условия оптимальности, равным образом можно
использовать и для других упругих конструкций, подчинен-
ных ограничениям на податливость. Это замечание будет про-
иллюстрировано следующими примерами.
(а)	Трехслойная балка под действием осевой силы и изги-
бающих моментов. Рассмотрим балку, свободно опертую
в сечениях х = 0 и х=1, под комбинированным действием
осевой растягивающей силы Р1 и равномерно распределенной
поперечной нагрузки интенсивности Р2 на единицу длины.
Обозначим податливость балки под действием этих нагрузок
через С. Балка должна иметь трехслойную конструкцию с за-
полнителем постоянной ширины Ь и высоты 2Л и с покрываю-
щими пластинами кусочно-постоянной толщины Границы
участков, имеющих постоянную толщину, считаются задан-
ными. Обозначим через и толщины верхней и нижней
пластин, которые могут быть различными. Эти толщины нужно
выбрать из условия минимизации общего веса покрывающих
пластин, пропорционального значению
п=Х «+Q/,.	(3.D
где /.-—длина i-ro участка.
Обозначим через </(x) и q"(x) осевые деформации покры-
вающих пластин и определим среднеквадратичные деформации
в х-м участке выражениями
<^=1? j	J	(3.2)
Тогда податливость балки можно представить в виде
с=еь X	(з.з)
где Е — модуль Юнга материала пластин. Действуя так, как
указано в разд. 2.1, рассмотрим второй проект tf, t'['
3.1. Оптимальное проектирование иных упругих конструкций
29
с той же податливостью. Используя принцип минимума по-
тенциальной энергии, приходим к неравенству
е {(<; - ъ лч+w - о «I'4.} > °	<зл)
Так как толщины покрывающих пластин неотрицательны,
имеем
> О при f. = О,
i"~<;'>о при i"=o.	<3®
Наконец, чтобы проект f', I" был оптимальным, должно быть
£ {('Г - О '+(е" - О '>} > °-	(ЭД
Применяя к неравенствам (3.4) —(3.6) теорему Фаркаша,
получаем условия оптимальности:
( = k2 при £ > О,
(С А2 при /' = 0,
(=** при <;'>о,	<37)
К21
( при /5=0.
Рассмотрим кратко применение этих условий оптималь-
ности в предельном случае, когда толщины f(x) и t"(x) по-
крывающих пластин меняются непрерывно. Если /'(х) и t"(x)
положительны вдоль всего пролета 0 х I и условия опти-
мальности (3.7) доставляют q' (х) = q" (х) = k, то осевая
сила Qi и изгибающий момент Q2 определяются в виде
Q, (х) m Pi = Ebk (f -f-1"),	(3.8')
Q2 (х) = рл (t - x)/2 = Eb hk (-1' + t").	(3.8")
Разрешая эти уравнения относительно t' я t", находим
} = (2₽1Л Т У - *))/(4ЙЛ*).	(3.9)
Так как f неотрицательно, (3.9) показывает, что наш анализ
имеет силу лишь при условии
P^^Pihlt2.	(3.10)
В этом случае входящее в (3.9) значение k можно опре-
делить, исходя из заданной податливости
С = ЕЫ<	(3.11)
30
Гл. 3. Условия оптимальности для иных конструкций
Подставляя (3-8) в (3.9), находим
Л = С/(Р,/).	(3-12)
Таким образом, если удовлетворяется (3.10), то оптималь-
ный проект определяется в виде
—Р|1(2Р,Лч:Рл(1-*))Л4£»ЛС).	(3.13)
Читателю предоставляется обсуждение случая, в котором
(3.10) нс удовлетворяется.
(б)	Ферма заданного очертания. Рассмотрим упругую
ферму заданного очертания, которая должна иметь заданную
податливость С при данной нагрузке. Обозначим через lt
и At длину и площадь поперечного сечения х-го стержня.
Чтобы исключить проекты, в которых отсутствуют некоторые
стержни, принадлежащие к заданному очертанию ферм, мы
зададим нижнюю границу А для At:
At>A.	(3.14)
Определим площади At поперечных сечений из условий
минимизации общего веса стержней фермы, пропорциональ-
ного величине
0-11Л=£П	(3.15)
где Vi — объем стержня I.
Если обозначить через qi осевую деформацию, вызванную
в стержне i заданной нагрузкой, податливость фермы при
этой нагрузке выражается в виде
C=T.VA	(3.16)
Действуя так же, как в случае (а), легко получить следую-
щее необходимое и достаточное условие глобальной опти-
мальности:
д>*	(за?)
( при Ai — A.
Так как оптимальное проектирование ферм будет рас-
смотрено более подробно в гл. 5, мы пока не будем об-
суждать првложений условия оптимальности (3.17).
(в)	Трехслойная пластинка. Вывод условия оптимальности
для трехслойной пластины со срединной плоскостью г = 0,
данными толщиной заполнителя 2Л(х, у), минимальной толщи-
ной t одинаковых покрывающих пластин и заданной податли-
32 Оптимальное проектирование при иных ограничениях
31
востью при данной поперечной нагрузке, аналогичен выводу
(2.26). Если р (х, у) — прогиб, q} = — «Рр/дх2, <?2 = — дгр1ду,
q3=> — &pldxdy — кривизны и закручивание в направлении
осей координат, условие оптимальности получается в виде
(1 -»)(,’ + + 2,1) + v	+ ,,)> I = пр“ ' >(3.18)
(СЛ/Л при t = t,
где v — коэффициент Пуассона.
3.2.	Оптимальное проектирование при иных ограничениях
Как указали Прагер и Тэйлор [6], процедура, с помощью
которой были получены услоиня оптимальности (2.14) и (2.34),
может быть использована всякий раз, когда ограничения от-
носятся к величине, например податливости, которая характе-
ризуется минимальным принципом (например, использованным
выше принципом минимума энергии деформации). - Условие,
полученное таким путем, является необходимым и достаточ-
ным для глобальной оптимальности при условии, что мини-
мальная характеризация каждой ограниченной величины имеет
глобальный характер. Проиллюстрируем эти замечания сле-
дующими примерами.
(а)	Проектирование при заданной основной частоте коле-
баний. Рассмотрим консольную балку длиной I. к концу х = I
которой прикреплена сосредоточенная масса т. Бвлка должпа
иметь кусочно-постоянное трехслойное сечение вида, указан-
ного в начале разд. 2.1. Она должна иметь минимальный вес,
причем ее основная частота колебаний © задана.
Для /-го участка величину удельной массы заполнителя
можно записать в виде Ahi, а величину удельной массы обеих
покрывающих пластин — в виде h"i~Ci [см. равенство (2.3)},
где А и В зависят от i. Среднеквадратичная кривизна г'-го
участка определяется согласно (2.7), а среднеквадратичный
прогиб выражается в виде
fi-i?' $ p’fe-	(3.19)
Согласно Рэлею, имеем
©г = mln (NID), где N = Е СЛ'Л2,
D = тр2 (/) 4- Е (Ah. 4- Bh~2c^I. fl2.
(3-20}
32 Гл. 3. Условия оптимальности для иных конструкций
Здесь среднеквадратичные прогиб fij и кривизна q- сслмвет-
ствуют любому кинематически допустимому прогибу р(х\
Если с£ и с* представляют собой проекты с основной ча-
стотой со и если значения Д2 и соответствуют основной
форме колебаний для проекта cit из минимальной характе-
ристики со2 следует, что
<о-’<ЛЛ/£>’. где =
£)' = mpa [I] + X (^Лг +
(3.21)
причем в (3.20) можно отбросить обозначение min. Обе сто-
роны записанного в такой форме равенства (3.20) умножим
на знаменатель D и соберем в правой части; аналогичным
образом преобразуем (3.21), а затем вычтем равенство нз не-
равенства. Тогда получим
Г (с‘- г,)>,И““в'‘Г‘рЭ>О-	(3-22)
Применение теоремы Фаркаша к неравенствам (3.22), (2.11) —
(2.13) приводит в конечном счете к следующему необходи-
мому и достаточному условию глобальной оптимальности про-
екта Cl.

при /</,-< t.
— <ЛВ/5? k‘ при ti
(3.23)
Примеры оптимвльного проектирования с частотными огра-
ничениями читатель найдет в работах [7—13).
(б)	Проектирование в случае заданного коэффициента
нагрузки при пластическом разрушении. Рассмотрим жестко-
идеально-пластическую ферму заданного очертания, подвергну-
тую действию заданной нагрузки. Обозначим через it и А,
длину и площадь поперечного сечения f-го стержня. Площади
поперечных сечений должны удовлетворять неравенству (3.14),
а вес фермы, или, что одно и то же, величину £2 в (3.15),
нужно минимизировать с учетом ограничения, что коэффи-
циент нагрузки при пластическом разрушении должен иметь
заданное значение Л. Обозначим через ±и0 пределы теку-
чести при растяжении и сжатии материала стержней фермы
и через qi осевую скорость деформаций i-го стержня для
любого нормализованного механизма разрушения (т. е. меха-
низма, для которого мощность заданных нагрузок равна еди-
нице). Внутренняя мощность диссипации для i-го стержня
3.2. Оптимальное проецирование при иных ограничениях 33
в этом механизме тогда будет a0|?JKb где К,=/,-Л/ —объем
этого стержня. Кинематическая теорема теории предельного
равновесия доставляет следующую минимальную характери-
стику коэффициента нагрузки при пластическом разрушении;
Л = о0 min X I (li IVi-	(3.24)
Если проекты Vt и И* имеют требуемый коэффициент
нагрузки и qi представляет собой осевую скорость деформа-
ций стержня i в нормализованном механизме разрушения про-
екта Vi при заданной нагрузке, из (3.24) следует, что
(3.25)
Применяя теорему Фаркаша к (3.25) и неравенствам
V*— V^O, если V[—Vi = ltA,
— V.)^0, если проект V( оптимален,
(3.26)
(3.27)
мы получаем необходимое и достаточное условие глобальной
оптимальности для проекта V/ в виде
f —ft, если Vi>Vt,
I <^ft, если V,- = Vi.
(3.28)
Так как при разрушении масштаб времени не играет роли,
постоянную ft в (3.28) можно принять равной единице. Умно-
жив обе части полученного условия на Vt, мы видим, что
оптимальный проект допускает механизм разрушения, в кото-
ром вклад любого стержня во внутреннюю мощность дис-
сипации фермы численно равен или меньше его вклада в вес
фермы в зависимости от того, будет ли площадь поперечного
сечения рассматриваемого стержня больше или равна А. Эта
форма условия оптимальности, если исключить рассмотрение
нижней границы площади поперечного сечеиня, была дана
Друккером и Шилдом [14J. Оптимвльное пластическое про-
ектирование ферм будет рассмотрено в гл. 5.
Перечень ограничений, которые рассматривались подобным
образом, касается: нагрузки при упругом выпучивании [15, 16],
скорости податливости при стационарной ползучести [17], ди-
намической упругой податливости при гармонически меняю-
щихся нагрузках [18 — 20], упругого прогиба в дайной точке
[21 — 24]. Для ограничений первых двух типов могут быть
использованы классические минимальные принципы; для огра-
ничений третьего типа соответствующий минимальный прин-
цип был получен в [18]. Для ограничений четвертого типа
2 Зак 289
34 Гл 3 Условия оптимальности для иных конструкций
в [21} был установлен принцип стационарности взаимной по-
тенциальной энергии, который привел к глобальному условию
оптимальности лишь для статически определимых конструкций.
В случае статически неопределимых конструкций этот прин-
цип доставил, однако, лишь условие стационарности веса кон-
струкции в окрестности рассматриваемого проекта.
3.3.	Трехмерные задачи
Этот раздел посвящается довольно общей задаче оптими-
зации конструкций. Требуется спроектировать трехмерное
тело В, состоящее из заданного материала, так, чтобы оно
имело минимвльный вес при следующих ограничениях.
(а)	Геометрическое ограничения. Поверхность S тела В
должна состоять из заданной части Sb которая жестко за-
креплена, и заданной части S2, которая подвергнута действию
заданных поверхностных нагрузок. Остальная часть S3 по-
верхности S, свободная от поверхностных нагрузок, предоста-
вляется выбору проектировщика при условии, что она должна
оставаться внутри области Vo, имеющей заданную поверх-
ность So.
(б)	Ограничения на поведение конструкции. Скалярная ве-
личина (например, упругая податливость), представляющая
существенную особенность механического поведения В, должна
иметь заданное значение С. Предполагается, что эта скаляр-
ная величина характеризуется глобальным минимальным прин-
ципом вида
С = min V (?) dV.	(3.29)
Здесь г = Г(х) представляет собой некоторое поле, напри-
мер поле напряжений, которое должно быть допустимым в том
смысле, что оно должно удовлетворять некоторым дифферен-
циальным уравнениям и условиям непрерывности. Через F(r}
обозначен некоторый положительно определенный функционал
от г, причем интегрирование распространяется на объем V
тела В. Минимум в (3.29) достигается при г = г, где г есть
действительное поле, вызванное в В заданными поверхност-
ными нагрузками на S2. Если, например, С представляет собой
упругую податливость тела В, то г есть произвольное кине-
матически допустимое поле деформаций, a F{f)— соответ-
ствующая удельная энергия деформаций.
Пусть В* будет вторым телом, которое удовлетворяет
тем же геометрическим ограничениям и ограничениям на по-
ведение конструкции, которым удовлетворяет тело В, но
3.3 Трехмерные задачи
35
имеет иную, свободную от нагрузки поверхность S3. Обоз-
начим через V* область, занятую телом В*. В общем случае
поверхность S* будет расположена частично внутри и частично
вне V, и область V* можно получить из V путем добавления
области У+, ограниченной поверхностью S3 и внешней частью
поверхности S*, и вычитания области V-, ограниченной по-
верхностью S3 и внутренней частью поверхности
Так как В и В* удовлетворяют ограничению на поведение
конструкции, то
C=jF{r}dV=	(3.30)
где г* есть действительное поле в В*. Если действительное
поле г в В можно допустимым образом продолжить в об-
ласть Ус, это продолженное поле будет допустимым для В*.
Тогда из минимальной характеристики (3.29) следует, что
— J F (r) Л’ + J F (r) dV+ - J F (r) dV_. (3.31)
Подставляя (3.31) в (3.30), имеем
(r)	—Л {г) rfl/ > 0.	(3.32)
В общем случае S3 будет содержать часть S3, лежащую
на So. Если обозначить через S3 остальную часть поверх-
ности S, то достаточными условиями для глобальной опти-
мальности проекта В будут следующие:
B=F°=const
F^Ftl~F+
F=F+F~
на S" при F° > 0,
в V+ при f+^0,
в V~ при F~ ^0.
(3.33)
Для доказательства этого подставляем (3.33) в (3.32), что
дает
/'(Г ’ -- l' )> J /•'’ rfl,+ + JF-(.'Г >0,	(3.34)
так как функционал F положительно определен. Поскольку
V+ — V~ в левой части (3.34) есть превышение объема про-
екта В* по сравнению с объемом проекта В и поскольку
Вс>0, из (3.34) следует, что проект В* не может быть легче
проекта В.
36	Гл. 3 Условия оптимальности для иных конструкций
Обобщение условий оптимальности (3.33) на случай несколь-
ких ограничений на поведение конструкции в форме, рассмот-
ренной выше, можно сделать, следуя способу, который при-
вел к условиям (2.34); здесь оно не будет обсуждаться.
Задачи типа, рассмотренного в данном разделе, обсужда-
лись впервые Мрузом [25] применительно к оптимальному
проектированию пластических конструкций. В более общем
виде они обсуждались Прагером (26, 27]. Позднее аналогич-
ным образом рассматривалось оптимальное проектирование
упругих конструкций с данной динамической податливостью
при действий гармонически изменяющихся нагрузок [28] и
оптимальное пластическое проектирование дисков [29]. В этих
работах читатель найдет частные примеры.
Часть II
ОПТИМИЗАЦИЯ ОЧЕРТАНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
Глава 4
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ —
ОПТИМАЛЬНАЯ РАЗБИВКА НА ЭЛЕМЕНТЫ ЗАДАННОЙ ФОРМЫ
4.1, Общая теория оптимального пластического проектирования
Так как большинство задач, рассматриваемых в части II,
посвящено пластическому проектированию, полезно дать обзор
общей теории оптимального пластического проектирования,
начало которой положили Марсаль и Прагер [30} и Прагер
и Шилд [31} и развитой затем Черретом и Розданы [32} и
Савом [33}.
Рассмотрим одно- или двумерную жестко-идеальио-пласти-
ческую конструкцию, занимающую область V, состоящую
из некоторого числа подобластей Vt. Пусть в точке х подоб-
ласти Vi проект конструкции определяется некоторым числом
параметров проекта /п(х), зависящих от х. по формуле
tu (*) = £ "Чik (х) (не суммировать по i, j),	(4.1)
где Хць не зависят от х, а (рц* — данные функции х (функции
формы). Если, например, толщина tu верхней покрывающей
пластины трехслойной балки с заполнителем постоянного по-
перечного сечения заданной высоты и ширины меняется между
х=х£-( и х = х,_]	по линейному закону, мы имеем
tu (х) = т/п (х£ — х)//, + xU2 (х — х£_£)//„	(4.2)
где толщины ^(х,_|)==т£п и т££ (х£) = т££2 выбираются проекти-
ровщиком, но функции формы фИ| = (х£ — x)/lt и <Рц2 =
—(х— заданы.
В дальнейшем предполагается, что параметры проекта вы-
браны так, что в точке i подобласти Vt удельную скорость
диссипации можно выразить в виде
(х; </)==££	(х) ditk (q),	(4.3)
38	Гл. 4 Общая теория оптимального проектирования
где q = q (х) — вектор скорости деформации, и диссипативные
функция dtjk, зависящие от q, но не зависящие от парамет-
ров проекта т//л, являются выпуклыми однородными функци-
ями первого порядка (см. (1.29) и (1.30)). Так как, например,
верхняя покрывающая пластина рассмотренной ранее трехслой-
ной балки дает в Dt (х; q) вклад bhtit (х) | q |, где Ь и 2Л — ши-
рина и высота заполнителя, то мы имеем
^«| = ^П2==^(?)-	(4.4)
Целевую функцию й, которую нужно минимизировать и ко-
торая не обязательно должна быть весом конструкции, мы
назовем стоимостью. Запишем ее в виде
С —£	(4.5)
где / = /(х)— вектор проекта с компонентами /^(х). Предпо-
лагается, что удельная скорость в подобласти Vf есть вы-
пуклая функция этих компонент. Таким образом, для любых
двух векторов Г = Г(х) и / = /(х) имеем
», (О - », (0>	=
= £ (*»* _ ’«»)♦«» о ®>
где индекс t обозначает, что производная определяется для
проекта t.
Оптимизационную задачу, которую мы будем рассматри-
вать, можно сформулировать следующим образом. Нужно
выбрать параметры x,lk из условия минимизации целевой
функции Й при ограничениях
<«/* =С	(4.7)
где и Tt/k заданы, и при дополнительном ограничении,
согласно которому ни при одной системе заданных нагрузок
не должна быть превышена несущая способность конструк-
ции.
Переходя сперва к случаю однократного нагружения,
мы рассмотрим проекты xyk и хць, первый из которых соот-
ветствует разрушению при заданной нагрхзке, а второй — раз-
рушению или не доходит до разрешения. Из кинематической
теоремы теории предельного равновесия следует, что при
4.1. Общая теория оптимального проектирования
механизме разрушения q — q(x) первого проекта этот проект
имеет внутреннюю мощность, которая не может быть меньше
внутренней мощности диссипации иторого проекта. Отсюда
Z Z X «/> - Ч») ( ’'/>W dm “ W) dx > 0.	(4.8)
Применим теперь теорему Фар каша к (4.8), к неравенствам
Т«Л - bit > 0 ПРИ Т//* =««*•
~ г»/б)=^0 ПРИ Tl/fc==Ttf*
и неравенству
Х£Х(тда-’<к) $Ч’даЮ(‘Ч/Л1,),‘Ь>0. (4.10)
i I k	V,
которое, согласно (4.6), исключает возможность того, что
проект т*/й может иметь меньшую стоимость, нежели проект т1/А
Мы получим следующее достаточное условие глобальной опти-
мальности проекта
\ч>ць (*) {dtJk (q (л)) — (dwildiit\} dx
= 0 при ii/h < Ti/k < xl/k,
<0 прит1А = тЧй,
>0 ПРИ =
(4. II)
В (4. II) оказалось не обязательным использовать положи-
тельный множитель К при члене dijk(q(x)), так как, согласно
(1.29), hdiib(q(x))==dilk(lq(x)), и Kq(x) определяет механизм
разрушения для данной нагрузки, если этот механизм опре-
деляется функцией q(x). Заметим, что условие оптимальности
вида (4.11) существует для каждого параметра проекта
Для интерпретации этих условий оптимальности заметим, что
интегралы
J <Pijk (*) (dWildtii^i dx и J (ftfk (x)dllb (q (л)) dx (4.12)
представляют предельно возможные скорости возрастания
стоимости и мощности внутренней диссипации, вызванные
возрастанием параметров проекта xljk- Проект xiJk является
оптимальным, если при данной нагрузке он допускает суще-
ствование такого механизма разрушения, что для каждого
параметра проекта xllk предельно возможная скорость воз-
растания внутренней мощности диссипации равна, или не пре-
вышает, или не меньше предельно возможной скорости воз-
40	Гл 4 Общая теория оптимального проектирования
растання стоимости в зависимости от того, имеет ли проект т1/й
значение, лежащее между границами (4.7), либо он равен верх-
ней границе.
Для оценки возможностей использования теоремы об опти-
мальности в приложениях важно отметить, что механизм раз-
рушения q(x) должен соответствовать полю напряжений Q(x),
которое является статически допустимым для заданной на-
грузки и нигде не превышает предела текучести. Тогда, со-
гласно теореме Хорна [34}, данная нагрузка соответствует несу-
щей способности проекта т</Л.
Условие (4.11), достаточное для глобальной оптимальности,
является также необходимым- Действительно, можно показать,
что, когда и т*/й представляют собой близкие проекты,
неравенства (4.8) и (4.10) переходят в равенства.
Случай двух возможных нагружений, ни одно из которых
не превосходит несущей способности конструкции, можно
рассматривать подобно тому, как это было сделано в разд. 2.3.
Условие оптимальности, которое получается таким путем,
имеет форму (4.11), за исключением того, что член dltk(?(*))
заменяется выражением
Лць (*)) + 4iik fa" W),	(4.13)
где q" (x) и q"(x)— векторы скоростей деформаций механизмов
разрушения при обоих нагружениях. В отличие от случая, рас-
смотренного в разд. 2.3, при этом нет надобности использовать
множители, скажем X' и А", для обоих слагаемых (4.13) вслед-
ствие того факта, что диссипативные функции dip, являю-
щиеся однородными функциями порядка единицы (см. (1-29)),
дают возможность включить эти множители в определения
механизма разрушении. Если одно из этих нагружений является
несущественным, при его действии конструкция не будет
деформироваться и соответствующие вектор скорости дефор-
мации и диссипативная функция тождественно исчезнут. Тогда
условие оптимальности примет вид (4.П).
Легко получить обобщение предшествующих рассуждений
на случай, когда возможных нагружений больше двух. Осо-
бый интерес представляет случай семейства нагружений, за-
висящего от параметра |, непрерывно меняющегося в интер-
вале от | = Во ДО > 1о- Тогда мы имеем семейство меха-
низмов разрушения <?(х;|), и в условии оптимальности (4.11)
член dj/k (<Дх)) нужно заменить выражением
\ dilb{q(x;l))dl.	(4.14)
to
42. Примеры
Например, для балки, опертой при х = 0 и х = 1, выражение
( Рй для |<х<Е+Л
PfcS-	(0<£</-й) (4.15)
I 0 для l+h<x<l
соответствует равномерно нагруженному участку длиной й,
который может занимать любое положение на балке (движу-
щаяся нагрузка).
4.2. примеры
В качестве первого примера рассмотрим балку прямоуголь-
ного поперечного сечения постоянной высоты и линейно меня-
ющейся ширины, свободно опертую при х = 0 и защемленную
при х=1, несущую равномерно распределенную нагрузку
интенсивности Р. В качестве параметров проекта выберем
моменты текучести Yt и У2 при л=0 и к = 1. Вводя обо-
значение
(4.16)
получаем изменение момента текучести вдоль балки в виде
У (Ю = (1-1)Г1+1Г2.	(4.17)
Записав выражение для неизвестной резкции при £ — 0 в виде рР1,
получим для изменения изгибающего момента Q формулу
Qa) = PfU2p-&)/2.	(4.18)
Для того чтобы при В = £0 и 1=1 возникли шарниры теку-
чести, должно быть
ЛУ = О(Ы, r2=-Q(I).	(4.19)
Кроме того, в окрестности £ = £0 изгибающий момент Q(£)
не должен превосходить значения момента текучести К(|),
откуда
Q'W =!"(«),	(4.20)
где штрихами обозначено дифференцирование по
Для определения величины |0 заметим, что если механизм
текучести имеет при £=g0 скорость вращения 0, то при g = 1
он будет иметь скорость вращения —go0. Тогда внутренняя
мощность диссипации будет выражаться в виде
£> = {rOo) + ^)0.	(4 21)
Используя (4.17), запишем (4.21) в виде
D = (К, (I - U + 2 Гад 0.	(4.22)
42
Гл. 4. Общая теория оптимального проектирования
С другой стороны, вес балки пропорционален величине
О = У1+У2.	(4.23)
Условие оптимальности требует, чтобы производные от D
по Yi и У2 относились друг к другу так же, как производ-
ные от О. Отсюда I — Во = 2 Во ,|ЛИ
Ь= 1/3.	<4.241
Используя это значение Во и формулы (4.18) — (4.20), мы
получаем окончательно
р = 7/18, У| —PF/IS, Гг=Р/'/9.	(4.25)
Рис. 4.1. Свободно опертые балки, перекрывающие прямоугольное отвер-
стие; балка 1М оперта, кроме того, на балки ЕР и GH. Нагрузка 2Р при-
ложена в точке К-
горизонтальными балками EF и GH и горизонтальной балкой IM,
свободно опертой в точках I и Л4, покоящейся на других
балках в / и L и несущей вертикальную нагрузку 2 Р в точке Д.
Каждая балка должна иметь постоянное поперечное сечение,
а балки EF и GH должны быть одинаковыми. Таким образом,
подобласть V, будет состоять из участка IM, а подобласть 1/2—-
из участков EF и GH. За параметры проекта мы примем
момевты текучести Yt и У2 в этих подобластях. Мы не уста-
навливаем границ для этих моментов, но заметим, что даже
4 2 Примеры
43
в отсутствие явных границ момент К2 ограничен снизу нулем.
Примем, что удельные стоимости балок пропорциональны
их моментам текучести, так что полная стоимость пропорци-
ональна величине
Q=2Yt + 4aY2.	(4.26)
На рис. 4.2,о представлены возможные механизмы разрушения
для подобласти Vt с шарнирами текучести в точках J, К и L.
Рис. 4.2, Механизмы разрушения. Ординаты определяют скорости проги-
бов, наклоны и скорости вращеинп.
Соответствующий механизм для подобласти Vs показан на
рис. 4.2,6; он имеет шарниры текучести в точках / и L.
Внутренняя мощность диссипации для этих механизмов равна
D = 2 (I + 2у) ег( + 4₽ег2/с.	(4.27)
Так как Kj > 0, оптимальность требует, чтобы
(14-2у)6 = 1,	(4.28)
для У2==0,
рВ/а*	’	(4-29)
r ' i=a для У2> 0.	1
Сперва обсудим случай У2 > 0. Исключение 6 из (4.28)
и второй зависимости (4.29) и решение полученного уравиения
относительно у дают
У = (₽-а2)/(2а2).
(4.30)
Гл. 4. Общая теория оптимального проектирования
На рис. 4.3 представлены силы, действующие на балки. Вели-
чину силы взаимодействия между балками 1М и EF (или СИ)
в / (или L) можно записать как рР. Изгибающие моменты
балки IM в точках J и К, имеют вид
Рис. 4Д. Силы, действующие на балки; рР представляет собой силу,
с которой балка 1М действует на балки £F и GH.
Для того чтобы мог развиться механизм текучести, пока-
занный на рис. 4.2,а, должно быть — Q/ = Qx = K|, или
Р = О + ₽)/(2₽)-	(4.32)
Имея это значение р, находим
У, = (I - р₽)Я = (I - ₽) РЦ2,
Г2 = ар РЦ2 а (1+ ₽) И/(4₽).	(4 33)
Чтобы эти рассуждения имели силу, значение у, представлен-
ное выражением (4.30), должно быть неотрицательным, или
₽>а2.	(4.34)
В предельном случае р—а2 наш анализ дает
р= (1 4-аг)/М,
r, = (l-<i*)P«/2, Гг=а[1+«^Р1Ма^.	(4'35)
Отсюда на основании (4.26) имеем
Q = 2Pl.	(4.36)
В случае У2==0 имеем р = 0; следовательно, у = 0.
Исключая 0 из (4.28) и первой зависимости (4.29), получаем
характеристику этого случая в виде
(4.37)
4 3 Оптимальная разбивка на элементы заданной формы
45
При р = 0 имеем
и, согласно (4.36),
Yt=Pl, У, = 0,
П = 2Р/.
(4.38)
(4.39)
Таким образом, в предельном случае р = с2 проекты (4.35)
и (4.38) должны иметь один и тот же вес; то же относится
к любому проекту, соответствующему значению р, лежащему
между р = 0 и значением (4.35). Однако при р < а2 и р > а2
оптимальный проект является единственным.
43. Оптимальная разбивка на элементы ааданной формы
Для иллюстрации решения задач этого типа рассмотрим
горизонтальную трехслойную балку, защемленную при х=0
и саободно опертую при х=2/. Балка несет вертикальную
нагрузку 2р при х = I (рис. 4.4, а). Предполагается, что запол-
нитель имеет постоянное по всей длине балки прямоугольное
поперечное сечение. Положим Ъ,=хЦ и разобьем пролет на
участки О 6 < Р < I и р <	2. Значение р сперва будем счи-
тать заданным. В каждом из участков момент текучести дол*
жен иметь постоянное значение, причем эти значения У, и Y.,
принимаются за параметры проекта.
На рис. 4.4,6 и 4.4,в представлены возможные механизмы
разрушения. Для них шарниры текучести расположены при £ = О,
и £ = р + 0 (рис. 4.4,6) или £-=р — 0 (рис. 4.4,в). Вну-
тренняя мощность диссипации выражается в виде
| вУ) + (2 + Эу — ру) 0У2 для рис. 4.4,6,
D“= I (1+У)6У1 + (2~2у + ру)0У2 для рис. 4.4.в.(4’40)
Вес несущих пластин, который подлежит минимизации, про-
порционален величине
£2 = рУЛ-(2-р)У2(.	(4.41)
Так как условия оптимальности требуют, чтобы 6Р/6У; х=60/6/4
при 1=1, 2, и так как, согласно рис. 4.4,6 и 4.4,в, у должно
быть положительным, то
е = р/, уб = (2 - зр) //(3 — Р) при Р < 2)3,
(4.42)
е~(2 + ₽-₽!)//(4-Й, уе=(3₽-2)/Д4-₽) при ₽>2/3
46
Гл. 4 Общая теория оптимального проектирования
Для механизмов течения, изображенных на рис. 4.4,6 и 4.4,в,
изгибающий момент Q (£) должен удовлетворять соотношениям
Q(0) = - У„ Q(₽) = - Q(1) = - Y. при р < 2/3,
(4.43)
Q(0)= -Q(₽)= -У., <?(1) =У2 при ₽ > 2/3.
Рис. 4.4.
с—балка; б и в—механизмы разрушении.
Выражая Q(|) через Р и реакцию /? в сечении g = 2 и исполь-
зуя (4.43), мы получаем наконец оптимальные проекты:
У. (I 4-р)Р//(3^р),	)
r:=«=(i	-»
у=яр1Ц4 — р),	)
при ₽>2/з- ,144с)
4.3 Оптимальная разбивка на элементы заданной формы 47
Для этих проектов целевая функция (4.41) выражается в виде
ра-р + ИРРДЗ-р! при И<2/3,
°® ( 2(2-2₽ + Р)И7(4-й при ₽>2/3. (4 ’Б)
При стремлении р к 2/3 сверху или снизу реакции /?,
доставляемые вторыми из равенств (4.44а) и (4.446), будут
/? = Р/7 и 7? — 2Р/5. При р = 2/3 проекты
Г, = (Р - 27?) I, У2 = RI	(4.46)
дают £2 = 2Р//3 при любом значении /?, удовлетворяющем
соотношению 1/7 Rfp 2/5.
До сих пор мы считали р заданным заранее. Однако фор-
мулы (4.45) легко использовать для определения значения р,
минимизирующего £2 (р). Можно показать, что Q (Р) имеет мини-
мум в каждом из интервалов 0 < р < 2/3 и 2/3 < р < 1. Первый
минимум, соответствующий р = 3 —	= 0,35425, имеет наи-
меньшее значение, а именно £2 = 0,58301РР. Заметим, что оно
примерно на 12,5 % меньше максимального значения £2 — 2Рр[Ъ,
которое получается при р = 0, 2/3 и I.
Использование условия, найденного Розваны [35), несколько
упрощает определение р, минимизирующего £2. Вообразим, что
разрывное изменение предельного момента при g = £0 заме-
няется непрерывным переходом от Ki при £ = £о — в к Уг при
£=£о4-е. При стремлении к нулю длины 2е этого переход-
ного участка его вклады в D и £2, определяемые согласно
(4.40), (4.41), стремятся к (У) + Ya) е | q | и (К, + У2) е, где q пред-
ставляет собой среднюю скорость кривизны участка. Условие
оптимальности требует, чтобы | q | = I или q — sign Q (g0). При-
ращение Дг скорости вращения при переходе от £ = £0 — е
к &=Бо + е выражается в виде
Дг = 2е sign Q (Ы,	(4.47)
а приращение изгибающего момента можно записать в виде
AQ = AysignQ(y=2eS,	(4.48)
где S — поперечная сила при g =сп и ДУ = У2 — У«- Исключая е
из (4.47) и (4.48), находим
Дг = ДУ/S.	(4.49)
Для иллюстрации использования этого условия вернемся
к задаче, представленной на рис. 4.4, а. Из равенств (4.44а)
находим
ДУ<----2рР//(3-₽),
S-P-/( = 2P(3-p).	<45<5)
48
Гл. 5 Оптимальное очертание ферм
Условие (4.49) дает
Дг-= — ₽/.	(4.51)
Приравнивая это значение Дг величине —уб, данной в первой
строке (4.42), мы вновь находим в качестве оптимального зна-
чения р величину р=3 — ^7.
Глава в
ОПТИМАЛЬНОЕ ОЧЕРТАНИЕ ФЕРМ
5.1.	Оптимальное очертание при однократном нагружении
В разд. 3.2 (б) рассматривалось оптимальное пластическое
проектирование ферм заданного очертания. Обозначения и
результаты этого раздела мы теперь используем для обсужде-
ния следующей задачи. Плоская ферма должна передать задан-
ную нагрузку Р на жесткое основание заданного очертания,
показанного штриховкой на рис. 5.1. Стержни фермы должны
быть изготовлены из жестко-ндеально-пластического материала
с пределами текучести при растяжении и сжатии ± о0. Задан-
ная нагрузка должна соответствовать предельной нагрузке
фермы, а полный объем ее стержней должен быть минималь-
ным. Заметим, что выбор очертания фермы предоставляется
проектировщику, за исключением того, что одни из узлов
должен быть совмещен с заданной точкой приложения на-
грузки, а узлы, расположенные на дуге основания, предста-
вляющей поверхность жесткого основания, должны считаться
неподвижными.
Коль скоро произведен выбор расположения потенциальных
узлов, очертение оснониой фермы будет полностью определено
и становится возможным применение результатов разд. 3.2 (б).
Чтобы иметь возможность удалить типичный стержень I фермы,
положим равной нулю нижнюю границу Vt объема стержня.
Тогда, согласно (3.28), оптимальная ферма допускает механизм
разрушения, удовлетворяющий условию
( = 9Ь» если стержень I оставлен,
1а|{	1	(5.1)
(. =5- <7о, если стержень I удален.
Здесь q0— произвольная характерная скорость деформаций
всех стержней основной фермы; qt — осевая скорость дефор-
маций стержня i этой фермы, определенная исходя из скоростей
его концевых точек в рассматриваемом механизме разрушения.
В пределе для равномерно плотного распределения потен-
циальных узлов условие оптимальности (5.1) обусловливает
такое поле скоростей разрушения, при котором в каждом
потенциальном узле J скорости деформаций в направлениях
Б1 Оптимальное очертание при однократном нагружении 49
стержней, проходящих через J, равны по абсолютной вели-
чине %, а скорости деформаций ни в одном из других напра-
влений не могут превосходить по абсолютной величине q0.
Если некоторые стержни, проходящие через J, имеют напря-
жения, равные пределу текучести при сжатии, а остальные
стержни — напряжения, равные пределу текучести при растя-
жении, то главные скорости деформации поля разрушения
в точке J должны иметь значения ± qQ и стержни, проходя-
щие через J, должны располагаться в главных направлениях,
Рис. 5.1. Оптимальное очертание Для единственной нагрузки Р.
пересекающихся под прямыми углами. Покажем теперь, что
поле скоростей разрушения этого вида однозначно определяется
дугой основания и тем фактом, что всюду в поле главные ско-
рости деформаций имеют значения ± q$.
Обозначим через и д.г дифференцирование по прямо-
угольным декартовым координатам и х2 и через pi и р2 —
компоненты скорости поля разрушения. Тогда скорости раст..
жения и сдвига в направлениях осей координат будут
Я2 = д2р2, ?3 = (^1Р2 + ^2р|)/2,	(5.2)
а средняя скорость вращения примет вид
r = (dlpjt-d2pl)/2.	(5.3)
59
Гл. 5.
Оптимальное очертание ферм
Обозначив через 0 угол между отрицательным направле-
нием оси х2 и произвольно выбранным положительным напра-
влением вдоль линии со скоростью деформации qc, получим
91 = ~ ft cos 20, f/2 = qo cos 20, 93 = — % sin 20. (5.4)
Положив г' — r]2q0, из (5.2) — (5.4) находим
dtp । = — 9о cos 20, d2pi — — q0 (2/ + sin 20),
dtp2 = 9о №r' — sin 20), д2р2 — 9c cos 20.
Исключая путем перекрестного дифференцирования р, и рг
из (5.5), получаем
5|/4-d|0cos20 -f-d20 sin 20 = 0,
sz-f-^esmse- ase cos 2е=о.	(5e'
Выберем в типичной точке J поля скоростей разрушения
осн Xi и х2 параллельными направлениям главных деформа-
ций «/о и —90 и обозначим дифференцирование в этих напра-
влениях через df и d2. Для рассматриваемой точки 0 = л/2
и уравнения (5.6) принимают вид
dt (г - 6) = 0. <f2 (г' + 0) — 0.	(5.7)
Тан как в каждом из этих уравнений дифференцирование
производится в одном направлении, линии главных деформаций
являются характеристиками гиперболической системы уравне-
ний (5.6).
Пусть в типичной точке В дуги основания положительное
направление вдоль этой дуги образует угол <р с положитель-
ным направлением оси х(. Так как дуга основания является
жесткой, скорость деформации вдоль нее равна нулю. Соот-
ветственно касательная и нормаль к дуге основания в точке В
делит пополам прямые углы, образованные направлениями
главных скоростей деформаций в В. Таким образом,
0 = ф + л/4 или 0=<р + Зл/4.	(5.8)
Так как вдоль дуги основания р, исчезает, то d|P]COSip +
4-a2pIsln<p = 0 в точке В. Используя (5.5) и (5.8), это условие
можно записать в виде
/ = ±1/2	(5.9)
вдоль дуги основания.
Пользуясь начальными условиями (5.8) и (5.9), принадлежа-
щими к условиям типа Коши, уравнения характеристик (5.7)
можно построить хорошо известным способом (см., например,
книгу Прагера и Ходжа [36]). На рис. 5.1 показано лить
небольшое число кривых, принадлежащих к каждому семей-
ству характеристик. Характеристики GA и GE, проходящие
51 Оптимальное очертание при однократном, нагружении 51
через точку приложения G' нагрузки Р, образуют контур
оптимальной фермы. Разумеется, рассматриваемый нид поля
разрушения с главными скоростями напряжений противо-
положных знаков подходит для решения задачи о фермах
оптимального очертания лишь в том случае, если направление
нагрузки Р таково, что статически определимые усилия
в стержнях, проходящих через G, имеют противоположные
знаки.
В таких областях, как ACD, где оба семейства характе-
ристик криволинейны, оптимальная ферма состоит из двух
плотных ортогональных семейств стержней бесконечно малой
длины. Таким образом, мы имеем не ферму в обычном смысле
слова, а подобный ферме континуум. В таких областях, как
CDGF, где характеристики одного семейства прямолинейны,
мы не имеем внутренних элементов, ортогональных прямо-
линейным характеристикам. В таких областях, как CFE, не
имеется внутренних элементов.
Построением в области AGE поля скоростей разрушения,
удовлетворяющего условию оптимальности (5.1), устанавли-
вается тот факт, что никакое другое расположение узлов и
стержней в атой области не может привести к ферме мень-
шего веса. Однако остается еще возможность того, что, рас-
полагая некоторые узлы вие этой области, мы можем получить
более легкую ферму. Эта возможность, однако, исключается,
если рассматриваемое поле разрушения можно продолжить за
контур АСЕ оптимальной фермы так, чтобы услоане опти-
мальности (5.1) оставалось выполненным всюду в области, до-
ступной для размещении дополнительных или возможных узлов.
Из рис. 5.1 видно, что такое продолжение, очевидно, воз-
можно.
Рассмотренные здесь континуумы, подобные ферме, впервые
рассматривались Мичеллом [37], который исследовал опти-
мальное проектирование ферм при данных допускаемых напря-
жениях.
Следует заметить, что уравнения (5.6) имеют тот же вид,
что и основные уравнения полн линий скольжения в случае
плоского течения жестко-идеально-пластических тел (см., на-
пример, [36]). Таким образом, стержни оптимальной фермы
образуют сетку Генки — Прандтля; численные и графические
методы, развитые для построения сеток этого типа, могут
использоваться и для данных задач (см., например, книгу
Хилла [38] и работу Прагера [39]). Отметим лишь одно из многих
замечательных свойств сеток Генки — Прандтля. Касательные
к двум произвольным линиям одного и того же семейства
линий Генки — Прандтля в точках их пересечения с линией
другого семейства образуют друг с другом угол, который не
Гл. 5. Оптимальное очертание ферм
зависит от выбора этой линии. Мы назовем это свойство
основным геометрическим свойством сеток Генки —Прандтля.
До сих пор предполагалось, что направление силы Р таково,
что в точке ее приложения один из стержней растянут, а
другой сжат. На рис. 5.2 показан интересный случай, для кото-
рого это условие не выполнено. „Дуга основания** АВ пред-
ставляет собой часть окружности диаметра а, проходящей
через точку О, в которой действует вертикальная сила Р.
Рис. 5.2. Неединственное оптимальное очертание.
Зададим компоненты скорости поля разрушения в прямо-
угольной системе координат, показанной на рис. 5.2, в виде
Р1-=°. р,—(5|°)
Соответствующие скорости деформации имеют вид
*71 = dlPl = °. Ъ = 32Р2 = °о (^ -	(Б 1 и
7з = (dip2 + дгр№ «= VoXi/{ax2).
Главные скорости деформаций в направлениях радиуса-
вектора, исходящего из О, и нормали к нему найдутся в виде
= *-»/«.	- - v;/(at9- р-12>
5.2. Оптимальное очертание при двух нагружениях
53
Таким образом, внутри области О АВ на рис. 5.2 9min будет
по абсолютной величине меньше, чем qmM. Следовательно,
при qa = V(Ja условие оптимальности (5.1) будет выполнено,
если все стержни фермы будут радиально соединять О с дугой
основания.
Рассмотрим, например, ферму, состоящую нз двух стерж-
ней, исходящих из О в направлении к дуге основания под
углами ±а с осью х2 (сплошные линии на рис. 5.2). Растя-
гивающие усилия в этих стержнях, уравновешивающие силу Р,
равны по величине P/(2cos<z), поэтому необходимая площадь
поперечного сечения й=Р/(2оссоэа). С другой стороны, длниа
каждого из этих стержней равна l = acosa. Общий объем
обоих стержней, 2Л/=Р/(осо), таким образом, не зависит ото.
Это означает, что силу Р можно рассматривать как сумму двух
вертикальных направленных вниз сил Р' и Р". Считая, что
сила Р' воспринимается стержнем, показанным сплошной линией
на рис. 5.2, а сила Р" — стержнем, показанным пунктирной
линией, можпо определить поперечные сечения каждой пары
стержней исходя из того, чтобы во всех стержнях возникли
растягивающие напряжения, равные пределу текучести сс.
Общий объем стержней фермы, состоящей из четырех стерж-
ней, вновь будет P/(uva), независимо от способа разбивки Р
на Р' и Р".
Это отсутствие единственности оптимального очертания свя-
зано с тем, что точка приложения О силы расположена на
окружности дуги основания. Если О лежит внутри этой окруж-
ности, оптимальная „ферма" состоит из одного стержня, рас-
положенного вдоль действия силы. С другой стороны, если
О лежит внутри этой дуги, оптимальная ферма состоит из двух
стержней, соединяющих О с концевыми точками А и В дуги
основания.
В заключение этого раздела заметим, что оптимальный
проект упругой фермы заданной податливости для данной на-
грузки характеризуется условием, которое получается из (5.1)
путем замены |^| на q2.. Отсюда следует, что оптимальное
очертание, рассмотренное в связи с пластическим проектиро-
ванием, будет оптимальным также при упругом проектирова-
нии с заданной податливостью, как это отметили Хеджимайер
и Прагер [40]. Они рассматривали, кроме того, иные задачи,
для которых это очертание является оптимальным.
6.2. Оптимальное очертание при двух возможных нагружениях
Интересный принцип суперпозиции, доставляющей опти-
мальное очертание фермы при двух возможных нагружениях,
был установлен Хемпом [41]. Иллюстрирующая задача, показан-
54
Гл 5 Оптимальное очертание ферм
ная на рис. 5.3, посвящена передаче возможных нагрузок Р'
и Р" на заштрихованную дугу жесткого основания при помощи
фермы минимального веса, которая должна находиться в со-
стоянии предельного равновесия при действии любой из этих
Рис. 5.3. Ферма оптимального очертания при альтернативных нагрузках Р'
и Р" получается путем суперпозиции оптимальных ферм для единствен-
ных нагрузок (/'' ± Р")/2.
ki+i«:'i{
нагрузок. Условие оптимальности р.1) нужно теперь заменить
условием
= ^о» если стержень Z оставлен,
если стержень I удален. (5.13)
Здесь q0 вновь представляет собой произвольно выбранную
характерную скорость деформаций для всех стержней основной
фермы, a q\ и q" суть осевые скорости деформаций стержня I
этой фермы в механизмах разрушения для обеих нагрузок.
Покажем теперь, что при дейстнии альтернативных нагру-
зок Р' и Р" оптимальная ферма получается путем суперпози-
ции оптимальных ферм, соответствующих действию однократ-
5.2 Оптимальное очертание при двух нагружениях	55

ных нагрузок Р = (Р’ + Р")/2^ Р = (Р' — P"}f2 (рис. 5.3). Для
обозначения нагрузок Р и Р, оптимальных ферм, соответ-
ствующих этим нагрузкам, и полей скоростей их механизмов
разрушения введем термины: компоненты нагрузки, компо-
ненты фермы и компоненты поля.
Мы будем называть линейный элемент, расположенный
в плоскости оптимальной фермы, элементом первого, второго
или третьего рода в зависимости от того, направлен ли он адоль
стержня первой компоненты фермы, вдоль стержня второй ком-
поненты фермы или не совпадает с направлениями стержней
обеих компонент фермы. Если обозначить через q и q скорости
деформаций одного и того же линейного элемента в обеих
компонентах поля, то условие оптимальности (5.1) требует,
чтобы
I *7 I qo 1	равенство в случае	f первого	)
. <	.	i	}	р<да- Р-Н)
I <7-J	линейного элемента	к второго	)
Из (Б. 14) следует, что
равенство в случае линейного
элемента первого или второго рода.
(5.15)
Таким образом, сумма и разность компонент поля удо-
влетворяет условию оптимальности для фермы, полученной
путем суперпозиции компонент фермы (с эталонной скоро-
стью _деформаций 2^0), тогда как сумма Q'i и разность Q7 уси-
лий Qt и Qt в стержнях компонент фермы находятся в рав-
новесии с заданными возможными нагрузками Р' — Р + р и
Р" = Р — Р. Эти замечания устанавливают принцип суперпо-
зиции при условии, что в каждом стержне J. фермы, полу-
ченной путем суперпозиции, усилия Qr=Qi + Qt и Q" —Qt—Qi
имеют знаки, ^совпадающие со знаками скоростей деформа-
ции q\ — qt + qt и q" = qt —qr Покажем теперь, что это
условие выполняется. В дальнейших рассуждениях суще-
ственно отметить, что, когда осевая скорость деформаций
стержня равна нулю, усилие в стержне может иметь любое
значение, лежащее между усилиями текучести при растяже-
нии и сжатии.
Компоненты фермы статически определимы. В соответ-
ствии с этим усилие в стержне i первой компоненты фермы
дается формулой
Qi = UqAi sign qt,	(5.16)
56
Гл 5. Оптимальное очертание ферм
где А, — площадь поперечного сечения стержня. Аналогично,
для стержня j второй компоненты фермы имеем
Qt = оьА, sign qf.	(5.17)
Нужно различать следующие случаи: _
(а)	Если А{ >0, Л/ = 0, мы имеем Q, = 0 и QJ = QZ — Q{.
Кроме того, |ф( | = ?о> l?i 1^<7о- Соответственно q't и q"
будут иметь знак величины qt u.m будут равны нулю.
Таким образом, Q'i и Q? не могут иметь знаков, про-
тивоположных знакам q't и q".
(б)	Если Aj=O, ^>0, мы имеем Q,=0 и Ql=—Oft—Qi-
Кроме того. | «у, КО, 19,| = 9о- Следовательно, q't и q"
будут иметь знаки величин или —qt или будут
равны нулю. Таким образом, Q't и Qi не могут иметь
знаков, противоположных знакам q\ и q''.
(в)	Если At >0,	> 0, мы имеем И, [ = | qt | = q0. Если,
например, qt = --<?< = q$, мы имеем q't = 0 и знак Q't
не играет _роли^ Кроме того, Qi = OoAt, Qt = — o0Ai,
и QZ —<%(А/ + Д) имеет тот же знак, что и q? = 2q0.
Иная комбинация знаков для скоростей деформаций,
имеющих абсолютное значение qQ, может быть рассмо-
трена аналогичным образом. Во всех случаях видно,
что Q'i и Qf ие могут иметь знаков, противоположных
знакам q\ и q".
Предшествующее доказательство принципа суперпозиции при-
надлежит Нагтигаалю и Прагеру [42]. Оригинальное доказа-
тельство Хемпа [41] было основано на формулировке задачи
в терминах линейного программирования.
6,3. Дискретизация континуума Мичелла
При проектировании ферм Мичелла удается достигнуть
абсолютного минимума общего веса стержней, но эти кон-
струкции практически неосуществимы, так как они должны
иметь неограниченно большое число стержней и узлов. Спо-
соб добиться конечного числа стержней и узлов состоит
в том, что в вес конструкции, подлежащий минимизации,
включают вес соединений (заклепок и соединительных пла-
нок). Можно, например, предположить, что вес соединений,
необходимых для стержня i, пропорционален усилию в этом
стержне, т. е. пропорционален площади Л, его поперечного
5S Дискретизация континуума Мичелла
сечения. В этом случае целевая функция имеет вид
о=£ Л ((,+«,
(5.18)
где /0 не зависит от I и условие оптимальности принимает
вид [43]
//1?/1^(// + 4)<7о с равенством при А, > 0.	(5.19)
Здесь, как и прежде, q0— эталонная скорость деформаций,
qt— осеная скорость деформаций стержня i в механизме раз-
рушения оптимальной фермы. Заметим, что при /о=0 усло-
вие р.19) переходит в (5.1).
В качестве примера использования условия оптимальности
(5.19) рассмотрим задачу о передаче горизонтальной силы Р
от ее точки приложения О к горизонтальной прямой линии
основания неограниченной длины, расположенной на расстоя-
нии h от точки О.
Так как оптимальная ферма будет симметрична относи-
тельно вертикали, проходящей через О, этот узел будет иметь
горизонтальную скорость р в механизме разрушения опти-
мальной фермы, находящейся под действием силы Р. Так как
временной масштаб разрушения не играет роли, числовое зна-
чение р можно принять равным h. Если стержень i образует
угол 0, с вертикалью, его длина lt = Л/cos 0f, а его скорость
деформаций q-t в рассматриваемом механизме разрушения имеет
абсолютное значение
19/1 = (Л/6) Sin 0,- = 0,5 sin 20,.
(5.20)
Условие оптимальности (5.19) тогда дает
0,5 sin 20, — (1о9о/Л) cos 0,	q0.	(5.21)
Таким образом, стержни оптимальной фермы образуют углы
0,- = ± 0 с вертикалью, что максимизирует левую часть (5.21).
Отсюда
Л>9о/Л = — cos 20/sin 0.	р.22)
Исключая 9о из (5.21) и (5.22), получаем равенство
= — cos20/cos30,	(6.23)
из которого при заданном отношении IJh можно получить 6
путем итерации. Например, при /q/Л = 0,4 находим 0 = 48,37°.
Соответствующее значение целевой функции (5.18) будет
£2 = 2,550 Ph/o0. Для двухстержневой фермы, стержни которой
образуют углы ± 45° с вертикалью, целевая функция (5.18)
примет значение £2’= 2,566 РЛ/о0. При /о/Л = О,4 вес соедине-
ний составит около 28% от веса стержней этой фермы. Даже
при этих довольно тяжелых соединениях £2* превышает опта-
58	Гл. 5 Оптимальное очертание ферм
мальное значение £2 всего на 0,63%. Этот пример свидетель-
ствует о довольно слабом влиянии отклонений от оптималь-
ного очертания на вес конструкции.
Следующий пример отличается от предыдущего только
тем, что в нем основание имеет конечную длину 2Ь. Если воз-
можность построении оптимальной двухстержневой фермы
исключается заданием величины h, оптимальное очертание
Рис. 5.4. Дискретизированная конструкция Мичелла.
будет иметь внд, показанный на рис. 5.4. Для доказательства
того, что очертание L этого типа будет при заданном значе-
нии l(Jh оптимальным, мы можем рассуждать следующим об-
разом. Выбрва некоторое значение q0, припишем типичному
стержню i скорость удлинения +/о) 9о и определим
соответствующие скорости узлов (например, при помощи диа-
граммы Виллио). Тогда исходя из скоростей вершин ячейки
мы определим в каждой треугольной или четырехугольной
ячейке, образованной стержнями, линейное или билинейное
поле скоростей. В заключение мы продолжим это поле за пре-
делы контура АОВ фермы.
5Д. Дискретизация континуума Мичелла
Rajiee, рассмотрим иное очертание £*, которое можно по-
лучить из L путем смещения его узлов, сохраняя при этом
симметрию и устраняя любое пересечение стержней. Для ка-
ждого стержня очертания £* мы определим скорость удлине-
ния Я* как интеграл по скоростям удлинения его элементов
в рассматриваемом поле разрушения. Очертание L является
оптимальным, если	для каждого стержня очер-
тания L* и для всех возможных положений его узлов. Оче-
видно, что такая проверка явится чрезвычайно трудной зада-
чей. Взамен отыскания истинного оптимального очертания
мы будем рассматривать очертания, близкие к оптимальному,
получаемые при соответствующей дискретизации очертания
Мичелла.
Рассмотрим стержни левого контура OGFB фермы на рис. 5.4.
Усилия в соответствующих стержнях очертания Мичелла
имеют постоянную величину, а усилия в стержнях, ортого-
нальных к контуру, равны нулю. Мы будем использовать
первое свойство для контурных стержней очертания, показан-
ного на рис. 5.4. Так как для этого очертания нельзя исполь-
зовать второе свойство, мы потребуем взамен, чтобы усилия
в стержнях, ведущих от контурных узлов в глубь очертания,
имели постоянную величину.
Отсюда следует, что (I) угол а между контурными стерж-
нями, проходящими через контурный узел, должен делиться
пополам третьим стержнем, проходящим через этот узел, и
(2) угол а имеет одно и то же значение в каждом контур-
ном узле. Пусть свойства (I) и (2) будут приписаны также
стержням цепи BDEG и стержням DC и ED' и, кроме того,
стержням цепи BCD’F' и стержням СА к D’A, а также цепям
и стержням, которые получаются из них по симметрии отно-
сительно вертикали, проходящей через О.
В каждой из четырехугольных ячеек, образованных стер-
жнями, противоположные стороны образуют угол л — а, и это
можно рассматривать как надлежащую дискретизацию основ-
ного свойства сеток Генки — Прандтля.
На рис. 5.4 числа, проставленные рядом со стержнями,
определяют углы наклона этих стержней к горизонтали (в гра-
дусах). Читателю предоставляется показать, что данное очер-
тание обладает геометрическими свойствами, указанными выше.
Палмер и Шеппард [44] определили коэффициент зффек-
тивности по Миче.глу фермы как отношение общего объема
стержней конструкции Мичелла к общему объему стержней
запроектированной фермы при одних и тех же нагрузках.
Для фермы, предстааленной на рис. 5.4, этот коэффициент
эффективности оказался равным 97,8% [43]. Это высокое зна-
60
Гл 6. Оптимальное очертание решеток
пение показывает, чю предложенная дискретизация конструк-
ций Мичелла не связана с существенным уменьшением коэф-
фициента интенсивности.
Глава 6
ОПТИМАЛЬНОЕ ОЧЕРТАНИЕ РЕШЕТОК
6.1. Основные типы полей разрушения
Эта глава посвящена оптимальному проектированию реше-
ток, составленных из горизонтальных балок. Эти решетки
передают заданные вертикальные направленные вниз нагрузки
на заданные опоры. Балки должны иметь прямоугольное по-
перечное сечение одинаковой постоянной высоты, но перемен-
ной ширины. Заданная нагрузка должна быть предельной для
решетки, и общий объем балок должен быть минимальным.
На рис. 6.1 представлена типичная задача: квадратное
отверстие ABCD нужно перекрыть решеткой из балок, сво-
бодно опертых по контуру квадрата. Вариант оптимального
очертания решетки, не являющийся единственным, показан
на рис 6.1,а [45, 46]. Все балки параллельны АС или BD.
Балки, расположенные в центральном квадрате EFGH, сво-
бодно опираются на балки, образующие контур этого квад-
рата. Все балки, расположенные в угловых треугольниках,
6.1. Основные типы полей разрушения
как, например, ЛЕН, имеют направление диагонали квад-
рата ABCD, которая не проходит через этот угол. Эти балки
свободно опираются на контур квадрата ABCD. В дальней-
шем мы покажем, что общий объем балок при данном очер-
тании решетки на 37,5 % меньше объема балок в случае ре-
шетки, образованной балками, параллельными сторонам квад-
рата ABCD.
Подобно задаче об оптимальном очертании ферм, к реше-
нию задачи об оптимальном очертании решеток можно подойти
исходя из картины возможных пересечений балок, образую-
щих основную решетку, в которой любые два пересечения
соединяются балкой, и исследуя затем вопрос, какие балки
следует отбросить при оптимальном очертании. В пределе
при равиомерно плотном распределении пересечений этот под-
ход приводит к условию оптимальности, полученному в разд. 5.1.
Оптимальная решетка допускает механизм разрушения с полем
прогибов, удовлетворяющим кинематическим условиям на опорах
и имеющим главные скорости кривизны, не превышающие по
абсолютному значению заданную эталонную скорость кри-
визны 9с- Скорость кривизны поля разрушения вдоль каждой
балки оптимальной решетки должна иметь абсолютное значе-
ние ?0 я изгибающие моменты не должны иметь знаков, про-
тивоположных знакам скоростей кривизн.
Обозначим через qt и q2 главные скорости кривизн поля
разрушения оптимальной решетки и через Q( и Q2 соответ-
ствующие изгибающие моменты и выберем главные направле-
ния таким образом, чтобы [ qt | = q& В зависимости от того,
будет ли | % | < 9о или I Ча I= Чо< мы будем различать следую-
щие основные типы областей в поле разрушения:
’	f l9i!<9b. Qi signet ^0. Q2 = 0;
К : q,= — 4o )
S ' q-f —- 42	Oq I
f Qi sign ?, > 0, Q2 sign ?2 > 0;
Ь : ?i —41----?,> J
T: ?i = — ?2 = ?o. Qi^O, Q2<0.
Оказалось, что для большинства прямоугольных решеток
разрушение при оптимальном очертании имеет поле скоростей
прогибов, которое в прямоугольной системе координат, рас-
положенной в плоскости решетки, является зонально квадра-
тичным. В областях этого рода главные скорости кривизн
имеют фиксированные направлении. Выберем оси xt и xt
в этих направлениях. Так, например, в облает» типа Т поле
62
Гл 6. Оптимальное очертание решеток
разрушения имеет скорости прогибов вида
Р = — (?и/2)(*1 —	+ и, + 6*, + G (6.2)
где а, Ь и с — постоянные. Заметим, что при а—Ь—с=Ъ
мы имеем р — О при х1±х2 = О. Таким образом, в окрест-
ности угла прямоугольной пластинки, свободно опертой вдоль
биссектрис первого и второго квадрантов, поле (6.2) является
подходящим. Поля разрушения этого типа мы имеем в угло-
вых треугольниках, например ЛЕН, решетки, показанной на
рис. 6.1. Согласно (6.2), главные кривизны имеют значения
?I — —	= 90»	= ^2iP ~ — Qo-	(6.3)
Это означает, что вдоль ЕН мы имеем скорость кривизны q$,
то же самое имеет место и вдоль EF, FG и GH. Следова-
тельно, внутри квадрата EFGH мы можем ожидать существо-
вания поля типа S+, т. е. скоростей прогибов вида
р-- (</,/2)(ч+^)+а»,+Ч+«.	(6.4)
Вследствие симметрии вдоль EG, т. е. при xt + х2 = I ^2,
должно быть (д) + д2) р — 0 и вдоль FH, т. е. при — х, 4- х2=
— 1^2, должно быть (dj —02)р = О. Кроме того, в точке Е,
т. е. при x1=x2 = Z/V2> должно быть р = 0. Учитывая эти
условия, (6.4) можно записать в форме
Z>=-(<fcP)W + *=-2V2/*! + P).	(65)
Наше предположение, что поле разрушения принадлежит
к типу S+ всюду в квадрате EFGH, удовлетворяется только
при условии, что поля (6.2) и (6.5) согласуются друг с дру-
гом вдоль ЕН, т. е. если для скоростей прогибов и вращений
удовлетворяются условия
р(*ь /д/2) = р(х1, ^/V2)« дА>(х1г 1!л/2) = д2р{хъ
(6-6)
При этом в (6.2) а = 6 = с = 0. Так как эти условия выпол-
няются, мы нашли поле разрушения для оптимального очер-
тания.
В угловом треугольнике ДЕН главные скорости кривизн
будут ?i==?o.	= Следовательно, можно ожидать, что
потребуются балки в обоих главных направлениях. Так как,
однако, вдоль линии ЕН значения q2 изменяются от — qQ
до q0, изгибающий момент Q2 должен равняться нулю вдоль
этой линии. Поэтому в направлении х2 балка будет иметь
изгибающий момент, равный нулю, на линиях АЕ или АН
ина ЕН. Ее изгибающий момент в АЕН будет положительным
61. Основные типы полей разрушения	63
независимо от того, как будет распределяться нагрузка Р
между балками в обоих координатных направлениях. Так как
это несовместимо с отрицательностью q.2t мы будем иметь
балки только в направлении xt.
В центральном квадрате EFGH имеем 91 — 92 = 90, и лю-
бое направление будет главным. Таким образом, на рис. 6.1, б
показано лишь некоторое альтернативное оптимальное очер-
тание.
Сопоставим теперь веса решеток, показанных на рис. 6.1,
с весом решетки, балки которой расположены параллельно сто-
ронам квадрата ABCD. Абсолютное значение изгибающего
момента при пластическом разрушении равно моменту теку-
чести в этом сечении. Кроме того, вес, отнесенный к единице
длины балки, пропорционален ее моменту текучести. Таким
образом, вес оптимальной решетки пропорционален величине
=	+ IQ: 1)<М,	(6.7)
где Q[ и Ой — изгибающие моменты в балках решетки, dA—
площадь элемента решетки в плане, интегрирование распро-
страняется по всей форме решетки в плане. Величина Q в (6.7)
называется моментным объемом решетки.
Для поля разрушения со скоростью прогибов р и скоро-
стями кривизны qt и q2 равенство внутренней и внешней мощ-
ностей диссипации выражается в виде
J (Qi?i +	dA-^Pp dA,	(6.8)
где Р — нагрузка на единицу площади. Из (6.1) следует, что
поле разрушения оптимальной решетки имеет вид
{| Qf 19с при = 9ь> ) не суммировать,
О при iQiKfb, ) ( = 1, 2.	<6-9)
Отсюда левая часть (6.8) равна q0Q, и мы имеем
O = V \PpdA.	(6.10)
Заметим, что из этой зависимости следует, что решетка на
рис. 6.1, а имеет тот же моментный объем, что и решетка
на рис. 6.1,6, так как обе решетки соответствуют одному и
тому же механизму разрушения. Для этого механизма
в зоне АЕН скорость прогибов дается формулой (6.2), в кото-
рой нужно положить д — Ь = с — 0, а в зоне ЕОН—форму-
лой (6.5). При Р=const моментный объем (6.10) находится
путем интегрирования указанных скоростей прогибов по их
областям определения и умножения суммы интегралов на 4Pjq(i.
64	Гл 6. Оптимальное очертание решеток
Отсюда получается
О = 5РГ/6.	(6.11)
Хотя приведенное только что определение моментного
объема является удобным, его нельзя признать конструктив-
ным, так как оно не доставляет никакой информации отно-
сительно значений моментов текучести | Q, | и | Q2 [, которые
определяют переменную толщину балок.
Определим теперь моментный объем непосредственно, ис-
ходя из определения изгибающих моментов Q] и Q2. Приме-
нительно к осям, показанным на рис. 6.1,.а, в угловом тре-
угольнике АЕН мы имеем Q2 = 0, а вдоль полосы, располо-
женной между х? = х и x2—x-{-dx, значения Q, меняются
по параболическому закону, причем максимум Q(=PxKdx/2
имеет место при ^ = 0, a Qi = 0 при х( = ±х. Таким обра-
зом, вклад этой полосы в моментный объем £2 равен
(2/3) (Рх2 dx/2) 2х = 2РХ3 dx/3,
а вклад треугольника АЕН равен
iVi"
Я,= ( 2Рх’&/3 = Р/*/24.	(6.12)
о
В центральном квадрате EFGH мы имеем балки, располо-
женные в обоих координатных направлениях. Каждой из этих
групп балок мы припишем нагрузку Р/2. Тогда в полосе, па-
раллельной ЕН и имеющей ширину dx2, максимальный изги-
бающий момент Q1=PZ2dX2/8 возникнет при Х| = 0 и Qi = 0
при X! = ±//V2« Вклад этой полосы в £2 равен
(2/3) (/>( dXi/8) (ЯНГ)-Л’/(б V2").
а вклад всех полос, имеющих направление х( и расположен-
ных между ЕН и FG, определится как
Ц.-РР/б.	(6-13)
Заметим, что балки, имеющие направление х2 и расположен-
ные между EF и HG, дадут тот же вклад в £2.
Нам остается рассмотреть четыре краевые балки квадрата
EFGH. Каждая из них воспринимает четверть общей нагрузки,
приходящейся на этот квадрат. Таквм образом, каждая из
них воспринимает нагрузку Р1]2, равномерно распределенную
по пролету I ^2и, следовательно, дает в £2 вклад
С, = (2/3) (Л’/2) (/ V2")7s — Л*/12.	(6.14)
Согласно (6.12) —(6.14), имеем
С = 4G, + 2Q- + 4£23 = 5PPJ6.	(6.15)
65
С 2 Сшшшше различных типов полсП разрушения
Этот результат совпадает с (6.11).
Моментный объем свободно опертой квадратной решетки
с балками, расположенными параллельно сторонам квадрата,
можно получить с помощью формулы (6.13), которая опреде-
ляет половину этого объема для решетки со стороной I -у/2 .
Следовательно, искомый моментный объем для квадратной
решетки со стороной 21 равен Значение, определенное
по (6.15), оказывается на 37,5% меньше этой величины.
6.2 Сшивание различных типов полей разрушения
Большинство решеток, встречающихся в практике, имеет
прямоугольную форму в плане. Поэтому данный раздел по-
свящается сшиванию основных полей разрушения вблизи
углов прямоугольных решеток. Края, образующие этот угол,
могут быть свободно опертыми или защемленными.
Если решетка, расположенная в первом квадранте, защем-
лена вдоль края х, — 0, то вдоль этого края скорости враще-
ния dtp, а потому и скорости закручивания —dtsp должны
равняться нулю. Поэтому главные скорости кривизны имеют
направления осей координат и q2 = 0. Это означает, что вблизи
защемленного края xt = 0 балки должны -располагаться в на-
правлении оси Х| и скорость прогибов дается формулой
p-=q,^-	(6.16)
Если край х2 = 0 свободно оперт, скорость прогибов
вблизи этого края должна иметь вид
Р = q.-, {аххх2 —	+ сх2).	(6.17)
Следовательно, скорости кривизны и закручивания в на-
правлениях координат выражаются в виде
qi — — дцр = 0, ?2 == — д^р = %>q0, q3 = ~ dV2p = — адй. (6.18)
Отсюда главные скорости кривизны запишутся в виде
9mli>
) = 0,6 {?, + q, ± V(9| - «,У + ’«U - ± л'а’ + »') ч„.
(6.19)
Так как <7гаак должно иметь величину q^, получим
Ь = (1-09/2,	(6.20)
и, следовательно,
?raIn=--o4-	(6.21)
Оказывается, что |а|<1. Соответственно, в окрестности
свободно опертого края х2 = 0 все балки будут иметь нап
3 Зак 28J
6$	Гл 6. Оптимальное очертание решеток
равленме, совпадающее с направлением Если обозначить
через 6 угол между этим направлением и осью х2, то мы
найдем
tg 26 = 2q:J(qt — q2) = ajb.	(6.22)
Нам нужно выяснить, можно ли сшить поля (6.16) и (6.17)
вдоль луча x:—nxi как для скоростей прогибов, так и скоро-
стей вращений. Иными словами, нам нужно выяснить, можно ли
выбрать параметры а, Ь, с так, чтобы выполнялись равенства
Р — Р — о,
(6.23)
(— nJj + д2)(р — р) = 0 вдоль ИХ)—х =0.	‘ '
Оказывается, что эти условия выполняются при
a=l/V2’> 6 = 1/4, с = 0, n = oj2. (6.24)
Из (6.22) следует, что 1g 26 = 2 5/2 или
tg 6 = 1/V2 	<6-25)
Иные комбинации свободно опертых и защемленных краев
вблизи углов прямоугольных решеток можно исследовать ана-
логичным образом. На рис. 6.2, на котором буквами S и В
обозначены эти два вида краевых условий, показаны варианты
расположения балок вблизи угла. Участки балок, показанные
сплошными линиями, имеют положительную, а участки балок,
показанные пунктиром, — отрицательную кривизну.
При помощи информации, приведенной на рис. 6.2, легко
получить оптимальные очертания для прямоугольных решеток.
На рис. 6.3 представлено, например, оптимальное очерта-
ние для квадратной решетки,, защемленной по трем краям
и свободно опертой по четвертому краю.
Оптимальное очертание балок вблизи угла, образованного
свободно опертыми и защемлеппыми краями, определяется
однозначно; если, однако, один из краев является свободным,
эта единственность теряется. На рис. 6.4, на которой буквой
F обозначен свободный край, представлены оптимальные очер-
тания для квадратных решеток с тремя свободно опертыми
и одним свободным краем (рис. 6.4, а) и с двумя свободно
опертыми и двумя свободными краями (рис. 6.4,6).
Способ, с помощью которого нагрузка воспринимается бал-
ками на рис. 6.4, а, очевиден. На рис. 6.4,6 нагрузка, дей-
ствующая на треугольник ACD, полностью воспринимается
балками, параллельными АС. Нагрузка, действующая на тре-
угольник АВС, воспринимается балками, параллельными BD.
Балка GHI, например, свободно оперта в точках 6' и II, где
она покоится на балке АС, в интервале между G и Н она
свободна от нагрузки.
62 Сшивание различных типов полей разрушения
if) 6=4
Рис. С.2. Оптимальные очертания вблизи углов.
Рис. 6.3. Оптимальные квадратные решетки с одним свободно опертым
и тремя защемленными краями.
Дальнейшие примеры прямоугольных решеток читатель
найдет в работе [47]. Решетки с криволинейными краями об-
суждались в работах [45, 48, 49]. Работы [50], хотя и посвя-
щены оптимальному проектированию пластинок постоянной
толщины, армированных волокнами, но имеют также отноше-
ние к оптимальному проектированию решеток. Интересный
метод проектирования решеток, предложенный Геймаиом [51],
не обязательно приводит к решеткам минимального веса.
В заключение этого раздела кратко рассмотрим проекти-
рование решеток минимального веса из упругих балок при
заданной податливости для данной нагрузки. Условие опти-
мальности для этой задачи приводит к полю смещений, в ко-
тором квадраты главных кривизн не должны превышать задан-
3*
Гл 6 Оапим iMoe очертание решеток
ное зна хенпе </j. Таким образом, оптимальное очертание балмк
будет таким же, как при рассмотренном выше оптимальном
пластическом проектирована и.
а	5
Рис. 6.4. Оптимальные решетки с одним и двумя свободными краями.
6.3. Два принципа суперпозиции
В этом разделе будут обсуждены два принципа суперпо-
зиции, полезные при оптимальном проектировании решеток.
Первый из них посвящен совместно действующим, а второй —
альтернативным нагрузкам.
Из (6.10) следует, что после деления па q0 поле скоро-
стей деформаций оптимальной решетки можно рассматривать
как поле влияния для моментного объема Q. Иными словами,
оптимальная решетка для совместно действующих нагрузок
Р' и Р" получается путем суперпозиции оптимальных решеток
для альтернативных нагрузок Р' и Р". В данном случае термин
„суперпозиция" означает указание па то, что моменты теку-
чести элемента балки в оптимальных проектак для альтернатив-
ных нагрузок Р* и Р" нужно сложить, чтобы получить момент
текучести этого элемента в оптимальном проекте при сов-
местно действующих нагрузках Р' и Р".
Принцип суперпозиции, используемый при оптимальном
проектировании в случае двух альтернативных нагрузок Р'
и Р", близко напоминает принцип, изложенный в разд. 5.2.
Действительно, проводя те же рассуждения, как в разд. 5.2,
легко показать, что (5.13) будет условном оптимальности для
решетки, находящейся под действием альтернативных нагру-
зок Р' и Р", при условии, что д’. и д? — скорости кривизн
элемента i балки в механизмах разрушения при нагрузках Р'
6j3. Два принципа суперпозиции
и Р", a (](, — постоянная эталонная скорость кривизны. По-
вторяя доказательство, приведенное в разд. 5.2, можно убе-
диться, что при альтернативных нагрузках Р' и Р" оптимальная
решетка получается путем суперпозици, оптимальных решеток
для нагрузок Р = (Р'Р"}/2 и Р = (Р' — Р")/2.
На рис. 6.5 представлен пример, иллюстрирующий этот
вид суперпозиции [52]. Рассматривается оптимальное проек-
Рпс. 63 Компоненты решеток оптимальной решетки при альтерна! нвиых
нагрузках поспяпной интенсивности Р, действующих па AEFD или EBCD.
тирование свободно опертой квадратной решетки ABCD при
следующих альтернативных нагружениях: Р' имеет постоянную
интенсивность 2Р и действует на прямоугольник AEFD, а Р"
имеет ту же постоянную интенсивность Р, но действует на
прямоугольник EBCF. Таким образом, Р = (Р" + P")f2 имеет
постоянную интенсивность Р и действует на квадрат ABCD,
а Р = (Р' — Р")/‘2 имеет постоянную интенсивность Р на AEFD
и — Р на EBCF-
На рис. 6.5,а показано оптимальное очертание решетки
для Р, альтернативное к очертаниям на рис. 6.1. Так как
нагрузка Р антисимметрична относительно линии EF, скорость
прогибов равна нулю вдоль этой линии. В прямоугольнике AEFD
оптимальное очертание для Р будет соответствовать свободному
опиранию вдоль всех краев этого прямоугольника; аналогичное
замечание отвоеггся и к прямоугольнику EBCF На рис. 6.5, б
представлено оптимальное очертание для Р. Моменты теку-
чести балок компонент решетки на рис. 6.5 легко определя-
ются; оптимальная решетка для альтернативных нагрузок Р'
и Р" получается путем суперпозиции этих компонент решетки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1	Farkas J, J reine und augcai Math 124, 1 (1902).
2	Shen C Y, Prager VV, J Optun Theory and Apph, 2, 179 (1968)
3	Chern J-M, Prager VV, J Opttrn Theory and Apph. 5, 424 (1970)
4	Marlin J. B, J Optim Theory and Appts- 6, 22 (1970)
5	Chern J-M, Martin J B, Z angew Math, and Phys. 22, 834 (1971)
6	Prager W, Taylor J E. 7 Appl Meeh. 35, 102 (19u8); русский перевод:
Прагер, Тэйлор. Прикл мех, № 3, 242 (И>68)
7	\'i<>rdson F 1, Quart Appt Math., 23, 47 (l'J65)
8	. Turner M, AIAA J, 5, 4Гя> (1967); русский перевод Тэрнер, Ракетная
техника и космонавтика. № 3, 27 (1967)
9	Taylor J Е, АМА 1. 5, 1911 (1967); 6, 1379 (1968); русский перевод
Тэйлор, Ракетная техника и кос манив гика, К« К), 244 (1967); № 7,
208 (1968)
10	Shen С Y, Int. .< Solids and Streets, 4,953 (1968)
11	. McCart В R, Haug E. J.. Streeter T D. AMA J, 8, 1012 (1970); рус-
ский перевод МакКарт, Хоуг, Стритер, Ракетная техника и космонав-
тика, Аа 6, 128 (1970)
12	Zarghamee М. S, Л/ЛЛ 7..6, 749 (1968), русский перевод. Заргами.
Ракетная техника и космонавтика. № 4, 232 (1968).
13	Karihaloo В. L, Niordsoii F. 1, 7 Opiirn Thetfy and Appls, 11, 638
(1971)
14	Drucker D C, Shield R. T, Proc 91h hit Congr Appl. Meeh, Brussels,
vol 5, 1957, p 212
15	. Taylor J. E, 7. Appl. Meeh., 34, 486 (1967); русский перевод. Тэйлор,
Прикл мех., № 2. 257 (19G7).
16	Taylor J. F, Liu C. Y, AIAA J, 6, 1497 (1968); русский перевод- Тэй-
лор, Лыг>, Ракетная техника и космонавтика, № 8, 70 (1968).
17	Prager VV, Z. angew. Math, und Phys., 19, 252 (11168)
18	. Iccnnan L J, Int J Solids and Structs, 5, 473 (1969)
19	Mroz Z, Z. angew Math und Meeh., 50, 303 (1970)
20	Plant R H, Quart Appl. Math, 20, 315 (1971)
21	. Shield R. T., Prager W, Z angew Math uad Phys, 21, 513 (1970).
22	Chern J.-M, Prager W, 7 Optim. Theory and Appls, 6, 161 (1970)
23	Chern J -M. Int. J Solids and Structs., 7, 373 (1971).
21	Prager W, Int J Meeh. Sci, 12, 705 (1970)
25	Mroz Z, Archiwwn Meth Stosow., 15, 63 (1963).
26	. Prager VV, Proc. Nat Acad Set., 61, 7'J4 (1968)
27	Prager VV, in «Ап Introduction to Structural Optimization», Univ ol
Waterloo, Ontario, Canada, 1969, p 165
28	. Mroz Z, Z angew Math, and Meeh. 50, 303 (1970)
29	Kozlowski W. Alrdz Z, Int J. Solids and Structs. 12. 1007 (1970).
30	Marja! P V, Prager VV . 7 de Mdcuntque. 3, 509 (I964).
31	Prager VV, Schield R T, 7. Appl. Meeh, 34, 184 (1%7); русский пере-
вод- Пратер, Шилд, Прикл мех, № 4, .16 (l'J67|
.1	2 Charrett D. Е, Rozvany GIN Int J. Nonlinear Meeh, 7, 5i (1972)
33	. Save M. A. 7 Struct. Meeh , 1, 267 (1972).
34	. Horne .M. R, 7. Inst. Civil Eagrs, 34, [74 (1950)
35	Rozvany G 1 N.J Appl. Meeh , 41, 309 (1974)
36	Prager W, Hodge P (i, Jr, Theory ol perfectly plastic solids, Mew
York, 1951; русский перевод. Прагер В. Ходж Ф, Теория идеально
п тастнческнк те 7, ИЛ, Vi, 1956
37	Mkhell A G М. Phil Mag (6). 8. 589 (1904)
38	Hill R, The mathematical theory of plasticity Oxford, 1950. русский
перевод Хилл P, Математическая теория пластичности, Физматгич,
М, 1956.
39	Prager W Transactions, Royal Institute of Technology, Stockholm Nr 65
(1953) русский iitpcfein Прагер сб Механика. .V 6 (401,91107 (1956)
Список литературы
40	. Ilcgenuer G A, Prager W. Int. J Meeh Sci., If, 209 (1969); русский
перевод Хаджпмайер Дж. А, Прагер В, сб. Механика, № 6 "(118),
105-1II (1969)
41	Hemp W S.. Optimum structures, Oxford, 1973, p. 25
42	. Nagtcgaal J C, Prager VV, Int. J Meeh. Sci., 15, 583 (1973)
43	. Prager VV, Comp Methods Appl. Meeh, and Eng, 3, 319 (1974)
44	Palmer Л. C., Sheppard D J., Proc. Inst. Civil Engrs., 47, 3i>3 (1966)
45 Morley С I., Int. J Meeh. Sci., 8, 305 (1966)
46 Rozvany GIN,/ Amer Concrete Inst, 63, 1077 (1966)
47 Rozvany G. LN, Comp Methods Appl. Meeh and Eng.. 1, 253 (1972).
48 Sacchi S, Save M, Int Assoc. Bridge and Struct!. Eng. 29 11. 157
49 Rozvany G I N.r Int J. Meeh. Sa, 14, 65! (1972).
50 Lowe P. G.. Melchers R E., Int J Meeh. Sci., 14, 311 (1972); J5, 157
and 711
51 Heyman J.. Proc. Insl. Civil Engrs., 13, 339 (1959)
52 Rozvany G. I N., Proc. IUTAM Symposium on Optimal Structural De-
sign, Warsaw, 1973.
ВЫВОД КРИТЕРИЕВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
ИЗ КЛАССИЧЕСКИХ
ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ПРИНЦИПОВ')
Сформулирована трехмерная задача оптимизации конструкций, в кото-
рой поверхность конструкции состоит из заданных частей с заданными
ненулевыми поверхностными усилиями или нулевыми смещениями и не-
известными свободными от усилий частями, причем минимизируется объем
(вес) конструкции Получены достаточные критерии оптимальности; по-
казано, что некоторые из них являются также необходимыми Показано
также, что в частных случаях, например применительно к балкам и пла-
стинкам, эти критерии приводят к известным результатам Подчерки-
вается необходимость применения эффективных численных методов, так
как во всех (исключая самые простые) случаях нелинейный характер
критериев оптимальности делает аналитические методы практически не-
пригодными.
Введение
В большинстве работ по оптимизации конструкций тип
и общая форма конструкции считаются наперед заданными;
оптимизации подвергаются лишь некоторые детали. Так, напри-
мер, если необходимо спроектировать перекрытие некоторого
круглого отверстия, то задачу можно свести к оптимальному
проектированию свободно опертой трехслойной пластинки с за-
данной толщиной заполнителя; проектировщику остается оп-
ределить характер изменения суммарной толщины покрыва-
ющих пластин в радиальном направлении. Наиболее важным
исключением из этого положения служит теория ферм Ми-
челла [11, но даже в этом случае тип конструкции (не очень
реальный) задается наперед.
Данная работа в принципе посвящена значительно более
широкой трехмерной задаче оптимизации конструкций. В пред-
положении, что ограничения, налагаемые на поведение кон-
струкции, можно охарактеризовать глобальным минимальным
принципом, выведены достаточные условия оптимальности как
для одиоцелевых, так и для многоцелевых конструкций. По-
') Prager W., Optimality criteria derived from classical extremum
principles. An Introduction to Structural Optimization, Seven special le-
ctures at the University of Waterloo, Sspi 23— Dec. 16,1968 (ed M Z Cohn),
Solid Mechanics Division, Univ, of Waterloo, Water loo, Ontario, Canada.
Одноцелеоые конструкции. формулировка задачи оптимизации 73
казано, что некоторые из этих условий являются также необ-
ходимыми. Общие трехмерные критерии оптимальности ис-
пользованы для оптимизации обычных одномерных и двумер-
ных конструкций (балки, пластинки); показано, что при этом
получаются известные результаты. В заключение иллюстри-
руется математическая сложность даже простейших в прин-
ципе задач оптимизации конструкций и подчеркивается необхо-
димость использования эффективных численных методов.
В предлагаемой работе обобщены предшествующие резуль-
таты, посвященные трехмерной формулировке задач оптими-
зации [2, 3] и использованию минимальной характеристики
ограничений поведения конструкций [4, 5].
Одноцелевые конструкции: формулировка задачи оптимизации
Весьма общую задачу оптимального проектирования одно-
целевой конструкции, состоящей из однородного изотропного
материала, можно сформулировать следующим образом.
а)	Геометрические ограничения
Пусть оптимальная конструкция S занимает область V
пространства, ограниченного поверхностью S. Предполагается,
что каждый элемент поверхности S принадлежит к одному
и только одному из множеств SIf S2 и S3, причем на St за-
даны нулевые поверхностные усилия, на S3 — нулевые поверх-
ностные смешения и на S3 — нулевые поверхностные усилия;
множество S2 непустое. Предполагается, кроме того, что по-
верхности S, и S3 заданы, а поверхность St выбирается про-
ектировщиком из условия выполнения цели проекта (см. ниже
п. в). Выбор St подчинен, однако, требованию, чтобы кон-
струкция оставалась внутри заданной области Vo пространства,
ограниченного поверхностью Se. Это геометрическое ограни-
чение мы назовем пространственным ограничением.
Из эстетических соображений может потребоваться, чтобы
конструкция была симметрична относительно некоторой плос-
кости или плоскостей, несмотря на то что нагрузка может
и не обладать такой симметрией. Это геометрическое ограни-
чение мы назовем ограничением симметрии.
б)	Ограничение на поведение
Спроектированная конструкция должна удовлетворять од-
ному ограничению, наложенному на се поведение; должно
быть задано значение некоторого скаляра Ф, представляющего
соответствующую особенность поведения конструкции. Так,
например, Ф может представлять статический илн щнамичес-
кцй прогиб, нагрузку выпучивания или собственную частоту.
74
Вывод критериев оптимальности
г.) Цель проектирования
Конструкция должна состоять из заданного однородного
изотропного материала и должна быть спроектирована так,
чтобы она имела минимальный вес.
Помимо оптимальной конструкции S рассмотрим некото-
рую иную конструкцию S”, удовлетворяющую геометричес-
ким ограничениям и ограничениям на поведение. Обозначим
через К* область пространства, занятую этой альтернативной
конструкцией, и через Si— ее свободную от усилий повер-
хность. В общем случае Si будет расположена частично вне
и частично внутри V, область V* можно получить из V путем
добавления области 1/+, ограниченной St и внешней частью
поверхности Si, и вычитания области V”, ограниченной St
и внутренней частью поверхности St.
Для дальнейшего существенно, что скаляр Ф, значение
которого задается ограничением на поведение, можно охарак-
теризовать некоторым глобальным минимальным првиципом,
относящимся к полю ([, ассоциированному с конструкцией.
Примером может служить поле смещений, вызванное поверх-
ностными усилиями, действующими на S3. Предположим, что
этот минимальный принцип имеет одну из следующих форм:
Ф — min j F[q:] dV,	(la)
Ф = min {	Я[!|] dV J,	(16)
где функционалы F, Gt H — скалярные инварианты поля q>
и мвяимум берется по всем полям, удовлетворяющим некото-
рым условиям гладкости в области V и краевым условиям
на поверхности S2. В равенстве (1а) функционал F считается
положительно определенным, а в равенстве (16) предполага-
ется, что G и Н делают функционал G — ФИ положительно
определенным.
Для иллюстрации минимального принципа первого вида
рассмотрим упругую конструкцию и определим се податли-
вость Ф под действием заданных поверхностных усилий Т
на S3 как виртуальную работу J Т «р dS3 этих усилий на сме-
щениях их точек приложения.
Обозначив через х радиус-вектор типичной точки конструк-
ции, рассмотрим некоторое кинематически допустимое поле
бесконечно малых смещений q (х), т. е. поле в С1 с е(х) —О,
когда точка х расположена на S2.
Если значение /•'[q] равно удвоенному зх-ачению соответст-
вующей плотности упругой энергии деформаций, то принцип
Одноцелевые конструкции, критерии оптимальности
минимума потенциальной энергии устанавливает, что выражение
jF[.|]</l -2$ T-<|(ISs	(2)
принимает наименьшее значение при действительных смешениях
пэ сравнению с иными кинематически допустимыми смещениями.
Если анализ ограничивается рассмотрением кинематически до-
пустимых полей смешений, для которых виртуальная работа
Т • ч rfS3 имеет значение Ф, заданное ограничением на пове-
дение, то второй член в (2) пе будет зависеть от этих полей.
Кроме того, для действительного поля смещений значение
первою члена в выражении (2) равно Ф. Следовательно.
Фчмш J / |Т|,'Г	(За)
по всем кинематически допустимым полям, удовлетворяющим
ограничению на поведение.
В том случае, когда проектное ограничение на поведение
определяет квадрат основной частоты конструкции, из прин-
ципа Рэлея следует, что
Ф-гшп{ JcfTldV/J И[Ч1Л’}	(36)
по всем кинематически допустимым полям ф. Здесь G[<j]
равно удвоенной плотности энергии деформации поля ф и
Я [у] — р | ф |2, где р — плотность материала.
Одноцелэвые конструкции: критерии оптимальности
Рассмотрим сначала одноцелевые конструкции, для кото-
рых ограничение на поведение характеризуется минимальным
принципом вида (1а). Так как оптимальная конструкция Z
и альтернативная конструкция S* должны иметь одно и то же
значение Ф, то
jFhHI6=jF(4-]dV,	(41
где через <р и су* обозначены действительные поля в конструк-
циях S и S* соответственно. В дальнейшем подынтегральные
выражения в (4) для краткости мы будем обозначать через I-
и /•’*. Если действительное поле ф для конструкции S можно
должным образом продолжить в облает;, которая содер-
жит оптимальную конструкцию и все возможные альтернатив
ные конструкции, то это продолженное поле будет допустимым
для конструкции 2*. Тогда из (1а) следует, что
J F<fl"< J НГ —	+ J FtlV‘ - ( IJV .	(5-
76
Вывод критериев оптимальности
Подставляя (4) в (5) и сокращая члены j FdV, приходим к не-
равенству
$ wv+ —J rav->o.	(6)
При обсуждении следствий этого неравенства допустим, что
часть Sj свободной от усилий поверхности оптимальной кон-
струкции S, лежит внутри 1/0, а остальная часть S-, поверх-
ности S( лежит на поверхности So объема Vo. Допустим те-
перь, что
f=FJ = const на S',
F =	— F+ в где F+2^0,	(7)
F — l^-t-F~ в V~, где F~L>0.
Заметим, что по соображениям непрерывности это озна-
чает, что F~^FJ на S>. Подставляя зависимости (7) в нера-
венство (6), находим
Г"(1 - V-} > J Г4 dV' + F~dV~ > 0,	(8)
так как функционал F является положительно определенным.
Вследствие того что в неравенстве (8) разность V *” — V~ равна
разности V* — V объемов конструкций S* и S, неравенство (8)
показывает, что конструкция S", удовлетворяющая геометри-
ческим ограничениям и ограничениям, наложенным на поведе-
ние, не может использовать мепыиес количество материала,
чем конструкция 2, которая, кроме того, удовлетворяет соот-
ношениям (7). Поэтому эти зависимости образуют достаточ-
ный критерий глобальной оптимальности.
Доказательство, аналогичное приведенному выше, показы-
вает, что если ограничение на поведение конструкции выра-
жается минимальным принципом вида (16), то соотношения (7)
представляют собой достаточный критерий глобальной опти-
мальности при F = G — ФН.
Чтобы доказать, что первая строка в зависимостях (7)
представляет необходимое условие оптимальности, допустим,
что свободная от усилий поверхность S* альтернативного про-
екта S* получается из свободной от усилий поверхности S[
оптимального проекта путем бесконечно малых смешений 6ц
вдоль внешней нормали к S.. Значение этих смещений Судет
функцией их положения на Slt тождественно равной пулю
на S'. Для положительных п отрицательных значений бц мы
имеем dV + — бц dSt и dV = — 6ц dS' соответственно. Со-
Одноцелевые конструкция критерии очтичлльнопи 77
гласно неравенству (6),
$FCr)dS'>0.	(9)
Так как по предположению проект S является оптимальным,
он нс может использовать большее количество материала, чем
проект 27. Отсюда
Jsnds;>o.	(io)
В неравенстве (9) функция F есть неизвестная, но фикси-
рованная функция положения на S,. С другой стороны, сме-
щение бц является произвольным, за исключением того, что
оно должно удовлетворять неравенству (10) и условию, что
проект 27 имеет заданное значение Ф. Тогда из неравенства (9)
следует, что F = const на S|. Действительно, положим
бЛ=се{ J/<«;.s;f}.	но
где бесконечно малая постоянная бе выбрана так, чтобы мо-
дифицированный проект 27 удовлетворял ограничению па по-
ведение. Заметим, что значение fir), определяемое равенст-
вом (11), является допустимым при удовлетворении неравен-
ства (10), так как оно удовлетворяет этому соотношению
в виде равенства. Учитывая (11), на основании неравенства
Шварца мы имеем
$F6i)dSf = 6e{( jFdSj)’ — Si jF2dS{}<0.	(12)
Чтобы неравенство (12) не противоречило неравенству (9), оно
должно выполняться в виде равенства, а это требует, чтобы
F= const на Sj.
Так как F должно быть постоянным на части S, свобод-
ной от усилий поверхности оптимального проекта, grad F
должен быть ортогональным к Sj. Приведенное выше рассмот-
рение смежного проекта 2!* показывает, что дополнительное
необходимое условие оптимальности требует, чтобы gradF
был направлен вдоль внутренней нормали к поверхности Sj.
Неравенство (6) сохраняет силу и в случае ограничения
симметрии. Применяя его к конструкции, симметричной отно-
сительно плоскости П, мы должны помнить, что любое изме-
нение S,, произведенное в окрестности точки Q этой поверх-
ности, должно быть согласовано с симметричным изменением
в окрестности точки Q, симметричной точке Q относительно
плоскости Л. Так, например, для проектного ограничения (16)
это означает, что зависимости (7) достаточны для глобальной
78
Вывод критериев оптимльногти
оптимальности, если интерпретировать F как сумму значений
G — ФН для точек, расположенных симметрично относительно
плоскости П. Это условие оптимальности сводится к предшест-
вующему, если нагружение также является симметричным от-
носительно плоскости II.
Многоцелевые конструкции
Предшествующие рассуждения легко распространяются на
многоцелевые конструкции, подвергнутые рассмотренным выше
геометрическим ограничениям и ограничениям на поведение
конструкции, которые можно выразить в виде
Ф mln ( G [q] dV	Фо,
f	(13)
Ч^пЯп } //[tf
где Фо, *FC — заданные постоянные, <f, $ — поля, ассоцииро-
ванные с конструкцией, и минимум берегся по всем полям,
удовлетворяющим некоторым условиям. В соотношениях (13)
функционалы G [q] и Я[ф] считаются положительно опреде-
ленными.
Для оптимального проекта одно из соотношений (13)
должно выполняться в виде строгого неравенства. В этом слу-
чае соответствующее ограничение является несущественным
для он гимального проектирования, которое по существу стано-
вится одноцелевым проектированием, управляемым иным огра-
ничением. Так как в этом случае критерии оптимальности уже
были установлены ранее, последующие рассуждения ограни-
чиваются случаем, когда оба соотношения (13) удовлетво-
ряются в виде равенств для оптимального проекта. В таком
случае, повторяя анализ, использованный при выводе нера-
венства (6), имеем
( GdV+ —
f + f	(,4)
\HdV+— \HdV >0.
По аналогии с соотношением (6) необходимым условием оп-
тимальности будет постоянство F на Sp Однако отсюда не
следует, что требование оптимальности означает, что на Sj
должны быть постоянными G и Н. В действительности проект,
для когорого на S| постоянно G, имеет однозначно определен-
ное //, которое в общем случае не постоянно на Sp Поэтому,
прежде чем мы сможем манипулировать с зависимостями (14)
Приложение к балкам и плистинцам
?9
так же, как мы это делали с соотношением (6), нам нужно
преобразовать два соотношения (14) в одно. Положив
Г=Г0 + ц2Я,	(15)
где А.2 и |А2 — положительные постоянные, мы приведем зави-
симости (14) к виду (6), из которого прежним способом
можно получить условие оптимальности (7). Для рассматри-
ваемой задачи первая строка зависимостей (7) требует, чтобы
существовали постоянные л2, р2, такие, что
F = 7?G + \?Н —Ей = const па S'.	(16)
Можно показать вновь, что это условие является необходи-
мым для оптимальности.
Аналогично, если ограничения на поведение двухцелевой
конструкции имеют вид
Ф min J G |<[] dV = Фо,
то можно использовать условие оптимальности (6), положив
г=г2с+р2(Я-вд,	(18)
где р2— положительные постоянные. Аналогичное заме-
чание применимо в случае, когда оба ограничения на поведе-
ние имеют вид (16)
Приложение к балкам и пластинкам
Критерии оптимальности, полученные в предшествующих
разделах этой работы, относятся к трехмерному континууму.
Однако обычная теория конструкций имеет дело с одномер-
ными (стержни, балки, арки, рамы) и двумерными (диски,
пластинки, оболочки) телами. С точки зрения экстремальных
принципов теории конструкций переход к одномерным илн
двумерным телам достигается путем ограничения полей,
допустимых этими принципами.
Так, например, при изгибе упругой балки, у которой ось
п нейтральный слой совпадают с осью х и плоскостью z соот-
ветственно, смещения ограничиваются формой и — —уи'(х},
v — v (х), а? = 0, где штрихом обозначено дифференцирование.
Следовательно, единственной ненулевой компонентой дефор-
мации является ех — — Eyv". Далее предполагаем, что единст-
венной ненулевой компонентой напряжения является ох =
~=—Eyv"(x). Заметим, что это означает равенство нулю коэф-
фициента Пуассона. Таким образом, удвоенная удельная энер-
ЯП	Вывод критериев оптимальности
гия деформации балки есть F — ^Ey~v 'dА —Е1и , где dA —
элемент площади поперечного сечепия и Т = 1 (х) — момент
инерции поперечного сечения с координатой х относительно
нейтральной оси. Когда балка подвергнута действию распре-
деленной нагрузки р(х), прин-
цип минимума потенциальной
энергии требует, чтобы выраже-
ние J Eiv"~dx — 2 pvdx при-
няло при действительных про-
гибах v (х) наименьшее значение
по сравнению с его значениями
при любых других кинемати-
чески допустимых прогибах,
т. е. при любых прогибах в С1,
удовлетворяющих кинематичес-
ким краевым условиям на опо-
рах балки. Условие Эйлера
для этого минимального прин-
ципа, а именно условие
(Elv'y — р = 0, дает нам воз-
можность определить проги-
бы »(л), исходя из нагруз-
ки р(х), когда 1(х) за-
дано.
Рис. 1. Сечение балки заключено
в области ограниченной поверх-
ностью Se.
Чтобы прийти к реалистиче-
ской задаче оптимального про-
ектирования балок с заданной
упругой податливостью под
действием заданных нагрузок, примем, что имеющееся в нашем
распоряжении пространство представляет собой цилиндр
или призму, у которых плоскостями симметрии служат пло-
скости ху и xz, а длиной является пролет балки. Типичное
поперечное сечение балки должно состоять из двух симмет-
ричных полок (заштрихованных на рис 1), соединенных тонкой
стенкой, срединная плоскость которой совпадает с пло-
скостью ху. В соответствии с обычной теорией изгиба
балок предполагается, что осевые напряжения воспринимаются
только полками. Если нагрузки прилагаются к стейке, то
поверхности полок будут свободны от усилий. Так как
конечные сечения балки, так же как внешние поверхности
полок ACD и A'C'D' на рис 1, расположены на 1'ц, го про-
ектировщику предоставляется выбор внутренних поверхностей
полок ABD н A'B'D' на рис. 1. Уравнения этих поверхностей
запишем в виде у = ± у0 (хг). Строго говоря, данная задача
Приложение к балкам и пластинкам
имеет ограничение симметрии. Однако, ввиду того что плот-
ность энергии деформации принимает одинаковое значение
в точках обеих полок, симметрично расположенных относи-
тельно нейтрального слоя, первая строчка условия оптималь-
ности (7) требует, чтобы плотность энергии деформаций
EyW* была постоянна на Sj. Это означает, что уа должно
не зависеть от z и что
Уо (*•')I v" (*) I = const.	(19)
Так как для внутренних поверхностей полок осевые напряже-
ния по абсолютной величине равны | о (± у0) | = Еу01 v" [, усло-
вие оптимальности (19) требует, чтобы
| о (± у0) | = о0 = const.	(20)
Чтобы проиллюстрировать использование этого условия
оптимальности, допустим, что имеющееся в нашем распоря-
жении пространство представляет собой призму прямоуголь-
ного сечения шириной b и высотой 2ft. В таком случае опти-
мальным будет идеальное двутавровое сечение. Обозначим
толщину полок через /(л) и примем сперва, что полки имеют
умеренную толщину. Полагая 4 — t[h, получим т*С1. Тогда
с точностью до величин высшего порядка по т для момента
инерции поперечного сечения получим
/ = 2&Л3Т(1-т).	(21)
Напряжения для внутренних поверхностей полок будут иметь
абсолютное значение
l«(±5«)l = L7LJ6(l-4=4^;-	(22)
Если балка является статически определимой, то, подставляя
равенство (22) в условие оптимальности (20), сразу с точ-
ностью до постоянного множителя находим оптимальную тол-
щину полок т (х). Этот множитель можпо определить, исходя
из заданной податливости балки. Для статически неопредели-
мой балки равенство (22) следует комбинировать с зависимостью
=	(23)
следующей из условия (19) Статически неопределимые вели-
чины нужно определить из условий, что М и v" дол/кны менять
знаки в одних н тех же поперечных сечениях и что у" дол-
жны удовлетворять кинематическим условиям Так, например,
для балки, защемленной при х == 0 н свободно опертой
«1 Зак
Й2
Вывод критериев оптимальности
при х = I, из v (0) — v (0) и о (Z) = 0 следует, что
(Z — х) v" (х) dx — 0.	(24)
в
Более простая процедура проектирования получается в слу-
чае тонких полок, когда можно пренебречь не а т по
сравнению с единицей. Условие оптимальности (23) в этом
случае обусловливает постоянное значение v". Если для рас-
смотренной выше статически неопределимой балки о" меняет
знак при х = |, условие (24) принимает вид
J(l-x)dx = 0,	(25)
0	I
откуда у I = 1 —	/2. Тот факт, что в этом сечении изги-
бающий момент должен изменить знак, можно использовать
для определения статически неопределимого момента в заделке.
Наконец, оптимальную толщину полок т (х) можно определить,
как и прежде, из условий (20), (22) и заданной податливости.
Заметим, что для этой балки с тонкими полками осевые
напряжения в полках существенно постоянны. Поэтому для
упруго-идеально-пластических балок предел текучести дости-
гается одновременно во всех точках полок. Это намного упро-
щает двухцелевое проектирование балки с заданными упругой
податливостью и коэффициентом нагрузки при пластическом
разрушении под действием одной и той же системы нагрузок.
Действительно, определим оптимальный проект, удовлетворяя
первому ограничению на поведение балки и игнорируя второе.
Если постоянная интенсивность напряжений сг0 в полках, со-
гласно этому упругому проекту, должна превышать предел
текучести оу при одноосном напряженном состоянии, то
проект определится вторым ограничением и толщина полок,
предусматриваемых упругим проектом, должна быть увеличена
в Coley раз.
Хотя мы рассматриваем двутавроные балки, предшествую-
щие рассуждения можно применить и к трехслойным бал-
кам. Аналогичным образом можно исследовать также опти-
мальное проектирование трехслойных пластинок с заданной
упругой податливостью. Воспользуемся прямоугольными коор-
динатами х, у, расположенными в срединной плоскости пла-
стинки, и обозначим через f(x, у) ее переменную толщину.
При условие оптимальности (7) требует, чтобы плот-
ность энергии деформаций была постоянна всюду в топких
покрывающих слоях. Это требование можно выразить через
Приложение к балкам и пластинкам	83
прогиб о(х, у) в виде равенства
£, + $, +	+ 2’	- -У ~ '«»*.	<2в)
где индексы х, у означают дифференцирование по указанным
координатам и v — коэффициент Пуассона. В принципе про-
гибы оптимальной пластинки можно определить из этого
дифференциального уравнения, граничных условий на краях
и требуемой упругой податливости. Подставляя найденное
выражение для прогибов в дифференциальное уравнение изгиба
пластинки, мы получим дифференциальное уравнение для
переменной толщины t(x, у)
Заметим, что в случае несжимаемого упругого материала,
т. е. при -V = 1/2, условие оптимальности (26) при увеличении
коэффициента нагрузки влечет за собой одновременно удов-
летворение условия текучести Мизеса всюду в покрывающих
слоях. Таким образом, оптимальный проект при заданной
упругой податливости будет одновременно оптимальным пла-
стическим проектом при заданном коэффициенте нагрузки (6).
В качестве простейшего примера, включающего ограниче-
ние симметрии, рассмотрим свободно опертую при х = 0 и
х = 1 трехслойную балку, несущую заданную поперечную
нагрузку 4Р при х = 1/4. Упругая податливость балки под
действием этой нагрузки должна иметь заданную величину.
Ширина b и высота 2/г прямоугольного поперечного сечения
не должны зависеть от х, и толщина t(x) покрывающих слоев
должна удовлетворять условию симметрии
|(х) = <((-^	(27)
Учитывая предшествующие рассуждения об ограничениях
симметрии, требование оптимальности можно записать в виде
[о (х)]2 + [а (/ — х)]2 == 2о2 «= const,	(28)
где о(х)— интенсивность осевых напряжений в покрывающих
слоях в сечении х. То же условие оптимальности, выражен-
ное через изгибающие моменты, принимает форму
IМ Wf + [М (/ - ж)]’ =	/ (х)]>.	(29)
Воспользовавшись соответствующими выражениями для
статически определимых изгибающих моментов, перепишем
условие (29) следующим образом:
р _______________ (зо)
Цх}= /	-л/х2 + (/-х)2. //4<х<//2.
2-V 2 O0bh
84
Вывод критериев оптимальности
Равенства (30) дают искомое решение, толщина 1{х) при
//2^x=^Z определится условием симметрии (27),
Численный подход
Условие оптимальности (7) требует, чтобы функционал F
имел постоянное значение на свободной от усилий части SJ
поверхности, не лежащей на границе So имеющегося в рас-
поряжении пространства. Обычно F представляет собой нели-
нейный функционал поля Например, в случае оптимального
проектирования с заданной упругой податливостью F будет
плотностью энергии деформаций, содержащей квадраты про-
изводных поля смещений. Вследствие этой нелинейности даже
сравнительно простые задачи оптимального проектирования
Рис. 2, Двухцелсвое проектирование.
а—струна, б—байка
конструкции могут представить затруднения для аналитиче-
ского решения. Проиллюстрируем эго положение следующим
примером двухцелевого оптимального проектирования. Трех-
слойный элемент длиной 21, фиксированными габаритами —
шириной b и высотой 2h, с одинаковыми топкими покрыва-
ющими слоями фиксированной ширины b и переменной тол-
щины t (х) должен работать либо как струна, либо как свободно
опертая балка, как показано на рис. 2, а и 2, б. В первом
случае удлинение элемента не должно превышать заданного
значения 2т], а во втором случае прогиб в центре не должен
превышать заданного значения 6. Если для проектирования
элемента существенны оба ограничения на поведепие, опти-
мальность требует, чтобы
XV2+nyft2v"2=l,	(31)
где и(х) — осевое смещение сечения х струны при действии
осевой нагрузки L, v (х) — прогиб сечения х балки при действии
нагрузки 2Т в центре, а К2 и рг — положительные постоянные.
В [5] это условие оптимальности использовано совместно
Численный подход
85
с дифференциальными уравнениями и краевыми условиями
для «(х) и о(х), содержащими неизвестную осевую жесткость
s(x) = 2£6/(х). Хотя анализ, приведенный в [5], и ведет непо-
средственно к цели, однако он весьма трудоемок и показывает,
что решение этой, в принципе очень простой, задачи находится
почти за пределами возможностей чисто виалитических мето-
дов. Поэтому при практическом решении менее простых задач
становится неизбежным использование численных методов,
основанных на соответствующей дискретизации.
Чтобы исследовать данную задачу этим способом, разобьем
каждую половину элемента на п участков одинаковой длины
и вообразим, что общая растяжимость и гибкость каждого
участка сосредоточены в его центре. Таким образом, элемент
будет заменен 2n-j-1 жесткими стержнями, соединенными друг
с другом 2п растяжимыми шарнирами. Обозначим через ек и О/,
удлинение и угол поворота fe-ro шарнира, через sb=2Ebtbl{tfn)—
— 2nEbtfJl и h2Sk — осевую и изгибную жесткость этого шар-
нира. Тогда для осевого усилия L и изгибающего момента Л1*.
действующих в этом шарнире, получим
М, —(2ft-l)7Wn) = ft!ste,. (32>
Так как энергия деформаций, накапливающаяся в k-ы шарнире
для обоих случаев нагружения, равна sfte£/2 и sftA20|^2 соответ-
ственно, оптимальность требует, чтобы
Л2(ед/й)2 + ^02 = 1.	(33)
Умножая равенство (33) на е£, используя (32) и решая полу-
ченное уравнение относительно sk, находим
st - >• X (1 + (2ft - ))’ «=И'Л,	(34)
где
с= ц/А,
P=(ll2n)frlL)m.	<35>
Оба ограничения на поведение, которые в данном случае
являются существенными, принимают вид
7	Об)
£ (2*-1)Ь,.-2W-
к-1
Вывод критериев оптимальности
Используя равенство (32) и выражение (34), перепишем (36)
в виде
Д[1 + (2*-1)га!₽!)-’’=г.чЛ	(37)
t (2*-l)=fl(l + (2*-l)’<i!fT,'' = 2W-	(38)
Исключая Я, из (37) и (38), получаем окончательно
t (1 - (2* - 1)г(<('/7)(•)/*>) (11(2* - l)!a=p)"v- =0. (39)
Если значения ТЩ Ifh и т)/6 известны, сильно нелинейное
уравнение (39) можно решить относительно а путем некоторой
итеративной процедуры. После этого из равенства (34) можно
найти я*, с точностью до множителя К, который можно опре-
делить из (37).
Для численного примера, рассмотренного в [5],
ЦТ = 50, l/h = 20, ч/б=0,425.
При п=10 второе из равенств (35) дает (1 = 0,02 и на
основании (39) находим а = 2,930. Соответствующее значение
Z/ц = 0,341 близко совпадает с точным решением 850/2500 =
= 0,340, полученным в [5].
Автор благодарен К. Чжу за вычисления, проведенные для примера
о двухцелевом проектировании элемента, работающего как струна н как
балка.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1	. Shen С. Y., Prager W., Recent developments in optimal structural de-
sign, Appl. Meeh Revs., 21, 985—922 (1968); русский перевод. Чжу С. Я..
Прагер В, сб. Механика, № 6 (118), 129—142 (1969).
2	Mroz 7.., Limit analysis ol plastic structures subject to boundary varia-
tions, Archiwutn Meeh. Stos., 15, 63—76 (1963).
3	. Prager W., Optimalily criteria in structural design, Proc. Natl Acad. Set,
60 (1968).
4	Prager W.r Taylor J. E., Problems ol optimal structural design, J. Appl.
Meeh, 35, 102—106 (1968); русский перевод: Прагер, Тэйлор, Прикл.
мех., № 3, 242 (1968).
5	Prager W., Shield R. Т., Optimal design ol multipurpose structures, ini.
/. Solids and Structures, 4, 469—475 (1968)
6	. Save M. A, Some aspects oi minimum-weight design. Engineering Pla-
sticity (cd by J. Heyman and F. A. Leckie), University Press, Cambridge,
1968. p. 611—626; русский перевод Сав M, сб. Механика, Jw 1 (125)
J26-137 (1971).
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
КОНСТРУКЦИЙ')
Обсуждаются типичные задачи оптимального проектирования конструк-
ций, освещаются математические методы используемые в этой области.
Вводный пример (разд. 2) посвящен проектированию балок с заданным
максимальным прогибом; показано, как должная дискретизация может при-
нести к задаче нелинейного программирования, в данном случае — выпук-
лого программирования. Довольно подробно обсуждается задача об опти-
мальном очертании ферм (разд. 3)
Новый метод установления критериев оптимальности (разд. 4) проил-
люстрирован на примере оптимального проектирования статически неопре-
делимой балки с кусочно-постоянными или непрерывно меняющимися попе-
речными сечениями; считается, что задан прогиб балки в сечении, в котором
приложена единственная нагрузка — сосредоточенная сила. Кратко обсу-
ждаются другие Возможные приложения этого метода (разд. 5). В заклю-
чение приведен простой пример многоцелевого проектирования (разд. 6).
1.	Введение
Весьма общую задачу оптимизации конструкций можно
сформулировать следующим образом: из всех проектов кон-
струкции, удовлетворяющих некоторым ограничениям, выбрать
проект минимальной стоимости. Заметим, что эта формули-
ровка не обязательно определяет единственный проект; воз-
можно существование нескольких проектов, имеющих одну
и ту же минимальную стоимость.
Типичные проектные ограничения, которые будут рассмат-
риваться в дальнейшем, определяют верхние границы для
деформаций или напряжений, нижние границы для предельной
нагрузки, нагрузку выпучивания или основную частоту соб-
ственных колебаний. Мы будем рассматривать как одиоцелс-
ные, так и многоцелевые конструкции, т. е. конструкции, ко-
торые подчинены соответственно одному или многим проект-
ным ограничениям.
При формулировке цели проектирования термин цена может
относиться к цене изготовления или к общей стоимости изго-
товления или операций, проводимых сверх ожидаемого срока
службы конструкции. Для конструкций, применяемых в косми-
) Prager W„ Optimization of structural design. Journal o. Optimiza-
tion Theory and Applications, 6, No. 1, 1—18 (1970).
88
Оптимизация проектирования конструкций
ческой технике, стоимость топлива, необходимого для пере-
движения большего веса, зачастую настолько превосходит
стоимость изготовления, что главное значение в оптимальном
проектировании приобретает минимальный вес. Эта точка зра-
ния будет использована в дальнейшем.
В первой части предлагаемой работы с целью иллюстрации
математических методов, применяемых в данной области, будут
рассмотрены типичные задачи оптимального проектирования.
Вторая ее часть будет посвящена недавно развитым перспек-
тивным методам, имеющим широкую область применения.
Всюду в работе подчеркивается, что во избежание бессмыслен-
ных решений должен быть тщательно определен класс кон-
струкций, в котором ищется оптимум.
Подчеркивается то обстоятельство, что некоторые критерии
оптимальности, широко используемые инженерами, не обяза-
тельно приводят к истинному оптимуму. Для большей ясности
изложения почти все примеры посвящены одноцелевым кон-
струкциям, хотя с практической точки зрения более важными
являются многоцелевые кострукции.
2.	Дискретизация
Для пояснения математического характера задачи оптими-
зации конструкции часто бывает полезной замена сплошной
конструкции ее дискретным аналогом. Рассмотрим, например,
свободно опертую упругую балку, представленную на рис. !.
Максимальный прогиб, вызванный заданной нагрузкой 6Р,
не должен превышать заданного значения 6. Для дискретиза-
ции задачи заменим балку некоторой последовательностью
жестких стержней, соединенных упругими шарнирами. На
рис. 1 введено лишь три шарнира; чтобы получить реалистич-
ные результаты, при дискретизации необходимо использовать
намного большее число шарниров. Предполагается, что изги-
бающий момент Mt, действующий в /м шарнире, связан
с углом поворота 6/ зависимостью
4- = ^,	(1)
где S{ — упругая жесткость шарнира. Так как балка статически
определима, изгибающие моменты Л/, не зависят от жесткости sf,
таким образом,
Л1| — 5Ph = S|6j, MZ=3PH = s262, Ma=Ph — s3Q3. (2)
В дальнейшем углы поворота 6, будут считаться малыми.
В пространстве проектов с прямоугольными декартовыми ко*
ординатами 0,, i=l, 2, 3, неотрицательный характер углов
2. Дискретизация
89
поворота и ограничений на прогибы ut в шарнирах определят
выпуклую допустимую область:
61 >0, ^>0, е3>о,
бе, + зе2 + о,—бб/л < о,
зе, + 9024- за, —бв/й < о,
6, + 362 + 56з — 66/Л <0.
Как будет показано на следующем примере, можно пред»
положить, что стоимость (выраженная через вес) реализации
некоторой жесткости пропорциональна этой жесткости. Тогда
6Р
Рис. 1. Дискретный аналог упругой балки.
цель проекта можно выразить как s, 4- s2 4- s3 — mln, или,
согласно (2),
5/eI4-3/e24-lA = min.	(4)
Заметим, что для выпуклой программы (3)—(4) локальный
оптимум является необходимо глобальным оптимумом. Это
замечание существенно, так как проект, который может быть
более легким лишь по сравнению с удовлетворяющими огра-
ничениям смежными проектами, имеет небольшое практическое
значение. Заметим также, что в общем случае оптимум не
будет соответствовать точке пространства проектов, лежащей
на грани или совпадающей с вершиной допустимой области.
Это замечание показывает, что интуитивно привлекательная
концепция конкурирующих ограничений выполняется не обяза-
тельно. Допустим, например, что найден проект s2, s3, для
которого «3 < us < щ = 6. Если обозначить через As достаточно
малое изменение жесткости, то можно ожидать, что проект
S, 4“ As,	s3, имеющий тот же вес, будет иметь прогибы
й|» “г, Йз, удовлетворяющие условиям й, < щ < й. =
и все три жесткости можно пропорционально уменьшать до
тех пор, пока прогиб в первом шарнире не достигнет вновь
значения б.
90
Оптимизация проектирования конструкций
Если эти соображения правильны, процесс уменьшения веса
конструкции будет повториться до тех пор, пока прогибы
в шарнирах 1 и 2 не станут равными 6.
При последующих проектных изменениях, чтобы сохранить
вес неизменным, увеличим я, и s2 на одну и ту же малую
величину, a s3 уменьшим на ту же величину, увеличенную
вдвое. Таким образом, можно убедиться, что оптимальный
проект должен соответствовать некоторой точке на грани или
вершине допустимой области, т. е. что для оптимального
проекта должны выполняться как равенства два или три огра-
ничительных неравенства. Эта концепция конкурирующих огра-
ничений, которая часто рекомендуется в технической литера-
туре, явно не применима к рассматриваемой задаче.
Проектирование балок минимального веса с ограничениями
на прогибы в виде неравенств недавно рассматривалось Хаугом
и Кирмсером [1], Предшествующие исследования (см., например,
[2—4]) содержали ограничения в виде неравенств на прогибы
в определенных точках, например в точке приложения сосре-
доточенной силы. В частных .случаях, когда положение точки
с максимальным прогибом известно заранее, например из со-
ображений симметрии, таким путем может быть сформулиро-
вано ограничение на максимальные прогибы. Как отметил
Барнетт [3], задание ограничений на прогибы в определенной
точке, а не на максимальные прогибы может, однако, привести
к паредоксальным результатам.
Например, в случае, когда одни нагрузки, действующие
на горизонтальную балку, направлены вниз, а другие — вверх,
может оказаться возможным найти проект, при котором прогиб
в некоторой точке равен нулю. Так как это равенство нулю
будет сохревено, когда все жесткости пропорционально умень-
шаются, проектное ограничение будет совместимо с проектами
произвольно малого веса.
3.	Оптимальное очертание
В предшествующем примере тип в очертание конструкции
(свободно опертая прямолинейная балка) были заданы и проекти-
ровщик должен был выбрать лишь некоторые локальные па-
раметры (значения жесткости). Значительно больше проблем
выбора возникает в случае, когда тип и (или) очертание кон-
струкций также должны быть выбраны оптимально.
На рис. 2, а показаны заданные точки приложения на-
грузок Р и Q, которые должны быть переданы фермой на
обозначенные опоры. Фермой называется конструкция, состоя-
щая из стержней, соединенных шарнирами; очертание фермы
должно быть определено из условия минимизации ее веса.
3. Оптимальное очертание
Для упрощения анализа в работе [5] была дискретизирована
задача, причем допустимое расположение узлов фермы было
ограничено точками прямоугольной сетки, расположенными на
горизонтальных расстояниях I и вертикальных расстояниях /г
(рис. 2,о). Оказалось, что при этом оптимизация сводится
к задаче линейного программирования. Оптимальное очертание
зависит от значений отношений И/1 и Р/Q. На рис. 2, б — 2, г
представлены очертания при hjl~\ и P/Q = O; 0,5; 2,0.
Г'Т'Т'Т'!^
°	1
А И J А-
Р 2Q Р
а
p/q = D,0	P/Q=С,5	p/Q=2/J
б	в	г
Рис. 2 Оптимальное очертание фермы по Дорну, Гоморк и Гринбергу [5].
При И/1 = 1 и заданном значении Р/Q оптимальное очерта-
ние является единственным, если исключить некоторые крити-
ческие значения Р/Q, при которых оптимальное очертание
изменяется, например, от формы на рис. 2, в до формы на
рис. 2, а. Следующий пример показывает, однано, возможность
существования неограниченно большого числа очертаний, кото-
рым соответствует один и тот же вес конструкции.
Три силы одинаковой интенсивности Р с пересекающимися
линиями действия, которые образуют углы 120° одна с другой,
имеют заданные точки приложения, расположенные так, что
они образуют равносторонний треугольник (рис. 3, а). Ферма,
соединяющая эти точки, должна иметь минимальный вес при
условии, что для величины осевого напряжения в любом стержне
задана верхняя граница его-
На рис. 3, б и 3, в представлены допустимые очертания.
После того как из уравнений равновесия определены усилия
в стержнях этих статически определимых ферм, площади поп_-
Оптимизация проектирования конструкций
речных сечений находятся из условия, что в каждом стержне
осевые напряжения должны быть равны с0. Следующее дока-
зательство, принадлежащее Максвеллу [6, стр. 175—177],
показывает, что оба проекта имеют один и тот же вес. Вообра-
зим, что плоскости ферм подвергнуты одинаковому виртуаль-
ному плоскому равномерному расширению, вызывающему во
всех линейных элементах постоянное относительное удлинение е.
Рис. 3. Альтернативные оптимальные проекты.
Согласно принципу виртуальной работы, виртуальная работа We
внешних еял Р на виртуальных смещениях их точек приложения
равна виртуальной работе	внутренних усилий F
в стержнях на удлинениях X стержней.
Если обозначить через Ли/. площадь поперечного сечения
и длину типичного стержни соответственно, то F = осЛ и К = в/..
Следовательно,
W'i = 0568 У, AL — OoeV,	(5)
где V — общий объем материала, используемого для стержней
фермы. Так как We зависит только от нагрузок и виртуаль-
ных смещений их точек приложения, по не зависит от схемы
расположения стешкпей*. мы заключаем, что We имеет одина-
3 Оптимальное очертание
93
ковое значение для обеих ферм. Далее, из равенства We — Wt
и из (5) следует, что обе фермы используют одно и то же
количество материала.
Есди площади поперечных сечений обеих ферм разделить
пополам, то каждая из новых ферм будет способна восприни-
мать нагрузки общей интенсивности Р/2 без нарушения проект-
ных ограничений. Суперпозиция этих ферм в виде, показан-
ном на рис. 3, г, приведет к альтернативной ферме, несущей
полную нагрузку интенсивности Р и имеющей такой же вес,
как фермы на рис. 3, б и 3, в.
Рис. 4. Альтернативное решение задачи показанпой на рис 3, а.
Другое решение этой задачи показано на рис. 4. Осн тяже-
лых краевых элементов представляют собой дуги окружностей.
Осевые усилия в каждом из этих элементов имеют постоянную
величину, соответствующую растягивающему осевому напряже-
нию Оц. Остальные стержни являются сравнительно легкими.
Они также испытывают растягивающее осевое напряжение о0
и имеют призматическую форму. Исключение составляют клино-
видные стержни АО, ВО и СО. Стержни, ортогональные криво-
линейным краям, должны быть плотно упакованными. Если,
как показано на рис. 4, использовано конечное число таких
стержней, краевые стер-кни должны иметь не круговое, а много-
угольное очертание, что приведет к небольшому увеличению
веса. Это утверждение потеряет, однако, силу, если будет
Учитываться вес соединений между стержнями (вставные пла-
стинки, заклепки, сварные швы).
Оптимизация проектирования конструкций
Внутренние стержни на рис. 4 можно заменить также стенкой
постоянной толщины, находящейся в состоянии уравновешен-
ного двухосного растяжения. Хотя этот проект является вполне
конкурентоспособным по весу, его нужно исключить из-за
Рис. 5. Оптимальной конструкцией дли передачи периферийных нагрузок
на центральное кольцо служит ферма, а не диск.
излишне узкой формулировки задачи, требующей проектиро-
вания ферм. В этом случае исключенный проект может ока-
заться не самым легким по сравнению с другими. Однако хотя
класс конструкций, внутри которого разыскивается оптимум,
определен с достаточной широтой, он может привести лишь
к последовательности проектов с убывающим весом, сходящейся
к оптимуму, не являющемуся элементом рассматриваемого
класса.
Это замечание проиллюстрировано на рис. 5. Дискретные
радиальные нагрузки, действующие на периферии, нужно пере-
дать на центральную окружность посредством конструкции
минимального веса. Вел* в »Той формулировке слово конструк~
ция заменить выражением диск с непрерывно меняющейся
3 Оптимальнее очертание
95
толщиной, то конструкцию, изображенную на рис. 5, нужно
исключить. Заметим, что на рис. 5 представлены только
тяжелые элементы. Между ними имеются плотно упакованные
легкие элементы, совпадающие по направлению с логарифми-
ческими спиралями, пересекающими радиусы под углами ± 45°.
Задача, указанная на рис. 3, а, имеет неограниченно боль-
шое число решений, каждое из которых содержит только ра-
стянутые элементы. Рис. 6 иллюстрирует задачу, требующую
использования как сжатых, так и растянутых элементов и имею-
щую единственное решение. Горизонтальную силу Р, прило-
женную в вершине рисунка, нужно передать с помощью конст-
рукции в виде фермы на криволинейное жесткое основание,
Рис. 6. Единственная оптимальная конструкция Для передачи силы Р на
криволинейную жесткую стенку.
изображенное внизу рисунка. Ферма должна иметь минималь-
ный вес, и напряжения в ее стержнях ограничены значениями—о0
и ос.
Оптимальная ферма имеет тяжелые краевые элементы; про-
странство между ними заполнено плотно упакованными легкими
элементами, лишь немногие из которых показаны на рис. 6.
Заметим, что смещения плотно упакованных соединений кон-
струкции определяют поле смещений, оставляющее точки осно-
вания в фиксированном положении. Поле смещений, удовлет-
воряющее этому условию, мы назовем кинематически допу-
стимым.
Для этой задачи существует кинематически допустимое
поле смещений, которое всюду имеет главные деформации
Bi = oq/E и е2 — — oq/£, где Е — модуль Юнга. Действительно,
если обозначить через и и v (бесконечно малые) компоненты
смешений относ: тельпо прямоугольных осей х и у, то из ра-
венства нулю инварианта е, -f- ег следует соотношение
О,	(6)
Оптимизация проектирования конструкций
где индексами х и у обозначено дифференцирование по ко-
ординатам. Аналогично, из того факта, что максимальные
главные деформации имеют постоянное значение еь следует
зависимость
«“А-«4	СТ
Из равенства (6) заключаем, что существует функция У (х, у),
такая, что
h = 'F1(, и = -Ч',.	(8)
Подставляя (8) в (7), наконец получаем
41^+(V'„-V„)’ = 4e’.	(9)
Вдоль дуги основания « = в=0, что эквивалентно равен-
ствам
у=о, с)Ч7дп=о,	(Ю)
где dW/dn— производная от по нормали вдоль дуги осно-
вания. Дифференциальное уравнение в частных производ-
ных (9) принадлежит к гиперболическому типу, и его харак-
теристики совпадают с линиями главных деформаций. Условия
Коши (10) па дуге основания единственным образом опреде-
ляют функцию УЙ, а следовательно, и смещения (8) в окрест-
ности этой дуги.
Эти смещения мы теперь используем в качестве виртуаль-
ных смещений, применяя принцип виртуальной работы к ана-
лизу произвольной конструкции типа фермы, передающей
силу Р па дугу основания (рис. 6), с учетом того, что каждый
стержень фермы испытывает осевое напряжение величины а0.
Используя обозначения, примененные выше при изложении
доказательства Максвелла, имеем We = Wt — У, FA. Здесь
| F | = <т0А и | А | (tfe/£) F, так как относительное удлинение
или сжатие любого линейного элемента не может превысить
величину ov/E. Следовательно,
4’,= £ra<|FI|Zi<(<s/£)i'.	(И)
где V обозначает вновь общий объем материала, использо-
ванного в конструкции.
Вообразим далее вторую конструкцию типа фермы, эле-
менты которой совпадают по направлению с линиями главных
деформаций рассматриваемого поля виртуальных смешений и
испытывают соответствующие деформации. Величины, относя-
щиеся к этой конструкции, обозначим звездочкой Применяя,
как и прежде, принцип виртуальной работы, имеем IT* = We,
но F* — ± Оц.4 и А* = ± (oo/F) L с соответствующими знаками.
Таким образом,
г; = S Гл =(„»/е) V".
(12)
3 Оптимальное очертание
97
Учитывая, что W'e = We, и сопоставляя (I!) и (12), мы видим,
что вторая конструкция не может использовать больше ма-
териала, чем первая.
Приведенное доказательство принадлежит Мичеллу [7],
который рассматривал, однако, чисто статические краевые
условия и "поэтому не мог получить единственную оптималь-
ную конструкцию. Важность кинематических креевых условий
для доказательства единственности оптимального проектиро-
вания была указвиа автором [8].
Рис. 7. Геометрия оптимального очертапия.
Рис. 7 иллюстрирует важное геометрическое свойство орто-
гональных кривых главных деформаций в поле с постоянными
главными деформациями одинаковой величины и противопо-
ложных знаков. Пусть АВС и DEF — две фиксированные кри-
вые одного семейства. Угол а, образованный касательными
к этим кривым в точках их пересечения с кривыми другого
семейства, не должен зависеть от выбора последней кривой.
В теории плоского пластического течения ортогональные се-
мейства кривых, обладающих этим свойством, определяют
направления максимальных касательных напряжений (линий
скольжения). В этом контексте их обычно связывают с име-
нами Генки [9] и Прандтля [10]; свойства их подробно изу-
чены (см., например, [11 — 13]).
На рис. 8 представлено оптимальное очертание в случае,
когда пространство, которым мы располагаем для конструк-
98	Оптимизация проектирования конструкций
ции, ограничено вертикалями, проходящими через А и В. Так
как дуга основания представляет собой прямолинейный уча-
сток, внутри треугольника АВС стержней нет. Здесь, как и
Рис. 8. Оптимальное очертание
в случае, когда имеющееся в рас-
поряжении пространство ограни-
чено вертикалями, проходящими
через А н В.
прежде, краеные элементы яв-
ляются тяжелыми, а остальные
стержни, лишь немногие из
которых показаны на рисунке,
надо считать сравнительно лег-
кими. Очертание этих стержней
очень напоминает системы бе-
дерных костей человека (см., на-
пример, [14, р. 12, рис. 6]).
Другие примеры конструкций
Мичелла можно найти в рабо-
тах [15, 16].
4.	Новый метод установления
критерия оптимальности
На рис. 9 балка защемлена
в точке А и свободно оперта
в точках В и С. Ее прогиб
в точке приложения заданной
нагрузки Р должен иметь за-
данное значение 6. Балка долж-
на иметь трехслойиое сечение с
постоянными шириной В и высо-
той Н заполнителя. Покрываю-
щие слои должны иметь общую
ширину В, и их постоянные тол-
щины 7, « Н и « /У в про-
летах £] и L2 подлежат опреде-
лению из условия минимизации
веса конструкции балки. Так
как размеры заполнителя за-
даны, минимизация веса балки
означает минимизацию веса по-
крывающих слоев. Кроме того,
так как упругая изгибная же-
сткость st поперечного сечения с толщинами Т/, I — 1, 2,
покрывающих слоев равна Si=EBHsTij2, где Е— модуль
Юнга, то
=	+	(13)
можно рассматривать как величину, подлежащую минимиза-
ции.
4. Новый метод установления критерия оптимальности 99
Обозначим через расстояние типичного поперечного се-
чения в пролете Lt от левого конца этого пролета, а кривизну
и изгибающий момент в этом поперечном сечении — через
и = Тогда заданную величину Рб можно записать
в виде _________
Рб — У* J MtHi dx. = У, s, J x2s dx.,	(14)
<	i
где интегрирование распространено на пролет Ц.
В рамках данной задачи проектирование балки опреде-
ляется значениями Si, 1 — 1, 2. Если и 5,— два проекта,
удовлетворяющие проектному ограничению (заданному зна-
-----£2/2-----------------Z-^/z-------
Рис. 9. Балка с поперечными сечениями, постоянными в каждом пролете.
чению Рб), а и И; — кривизны, возникающие под действием
заданной нагрузки, то из (14) следует, что
У s. dx, = У з. J й? dx..	(15)
l	i
Кроме того, так как кривизна й,- кинематически допустима
(т. е. получена исходя из прогибов, удовлетворяющих огра-
ничениям на опорах) для проекта з(, из принципа минимума
потенциальной энергии для проекта s, следует, что
У s. J v?,dx, — 2Рб<У s. J«2dx, — 2Р6.	(16)
«	i
Сокращая в (16) члены 2Р6 и используя (15), приходим
к неравенству
£(s,-s,)Z.al,>0,	(17)
где
(*/£<)	(18)
есть среднеквадратичная кривизна в пролете Lt. Если
Р1=к2»	(19)
то из (17) и (13) следует, что проект sit удовлетворяющий
помимо проектных ограничений также равенству (19), не мо-
100	Оптимизация проектирования конструкций
жет быть более тяжелым, нежели произвольный проект s{,
удовлетворяющий только проектным ограничениям. Таким об-
разом, условие (19) является достаточным для оптимальности;
необходимость этого условия можно показать следующим
образом.
Введя обозначение
= (s{ — Sj) £(,	(20)
запишем условие, согласно которому проект s, не должен
быть тяжелее проекта st, в виде
Хх,>о.	(21)
С другой стороны, неравенство (17), следующее из принципа
минимума потенциальной энергии, записывается как
(22)
Мы будем рассматривать величины и р(, ц2 как ком-
поненты векторов X и ц в тех же прямоугольных осях коор-
динат. Неравенство (21) показывает, что вектор Л не может
иметь направлений, исходящих из начала координат внутрь
полупространства, ниже биссектрис второго и четвертого квад-
рантов, а неравенство (22) требует, чтобы скалярное произве-
дение К на р было неотрицательным.
Далее заметим, что оптимальный проект з{ и его средне-
квадратичные кривизны р; неизвестны, но фиксированы.
С другой стороны, проект sf подчиняется лишь проектному
ограничению, которое задает значение Р6 и, следовательно,
определяет величину вектора X, если выбрано его направле-
ние. Кроме того, в окрестности оптимального проекта ss
имеются проекты st, дающие веса конструкций, произвольно
близкие к минимальному весу. Соответствующие векторы Z.
произвольно близки к границе полупространства, определяе-
мой неравенством (21). Если скалярное произведение Л и ц
будет неотрицательным для всех допустимых векторов К, то
вектор р. будет направлен вдоль внутренней нормали этого
полупространства в начале координат; таким образом, (19)
является необходимым условием оптимальности. Это доказа-
тельство принадлежит Чжу и Прагеру [17].
Так как высота Н заполнителя постоянна, постоянство
среднеквадратичных кривизн эквивалентно постоянству средне-
квадратичных напряжений в покрывающих слоях обоих про-
летов. Если в обоих пролетах высоты и Д2 заполнителя
заданы не одинаковыми, условие оптимальности потребует
постоянства среднеквадратичных напряжений, а не постоянства
среднеквадратичных кривизн. Обобщение этого критерия оптн-
4. Новый метод установления критерия оптимальности 101
мальностн на случаи большего числа пролетов или балок
с непрерывно' меняющейся толщиной Т (х) покрывающих слоев
очевидно. Заметим, что в последнем случае оптимальность
требует, чтобы напряжения в покрывающих слоях имели всюду
одинаковую величину. Это означает, Что введение верхней
границы для напряжений в покрывающих слоях в качестве
дополнительного проектного ограничения не окажет влияния
на характер изменения толщины этих слоев вдоль балки.
В этом случае оптимальный проект совпадает с равнонапря-
женным проектом.
Приложение этого критерия оптимальности иллюстрируется
рис. 10. Балка свободно оперта в А, защемлена в В и несет
Рис. 10. Балка с непрерывно изменяющимися поперечными сечениями.
сосредоточенную силу Р в С. Заполнитель трехслойного се-
чения должен иметь постоянную высоту И и постоянную ши-
рину В, а покрывающие слои должны иметь ту же ширину,
но непрерывно меняющуюся толщину Т(х). Балка должна
иметь минимальный вес и ее упругий прогиб в С — заданную
величину б.
Так как высота заполнителя постоянна, условие оптималь-
ности требует, чтобы кривизна имела постоянную величину.
В рамках теории малых прогибов это означает постоянство
величины второй производной и"(х) от прогибов и(х). Как
видно из рис. 10, деформированная ось балки состоит из двух
параболических дуг и удовлетворяет условиям равенства нулю
прогибов в А в В, равенства нулю угла наклона в В и непре-
рывности прогибов и углов наклонов в С. Эти условия одно-
значно определяют положение поперечного сечения D, в ко-
тором изменяют знак кривизны, а потому и изгибающие мо-
менты. Далее, постоянная величина кривизны может быть
определена из условия, что в С прогиб должен иметь значе-
ние 6. Так как равновесие требует непрерывности изгибающих
моментов, изгибающий момент в D должен ревияться нулю.
Это условие делает изгибающие моменты статически опреде-
лимыми и дает возможность выбрать толщины Т (х) так, чтобы
кривизны имели требуемое постоянное значение.
102
Оптимизация проектирования конструкций
б. Дальнейшие приложения нового метода
Как отметили Прагер и Тэйлор [18], использованный в пре-
дыдущем разделе метод установления оптимального критерия
можно применять в случаях, когда имеется экстремальный
принцип, характеризующий величину, значение которой за-
дается проектным ограничением. Проиллюстрируем это поло-
жение несколькими примерами, в которых рассматриваются
трехслойныс балки с заполнителем постоянного сечения и
покрывающими слоями, имеющими непрерывно изменяющуюся
толщину.
5./. Оптимальное проектирование стойки
при заданной нагрузке выпучивания
Йагрузка, действующая на стойку с изгибной жест-
костью s(x), определяется минимумом функционала
F [и] = j su"2 dx/ J и'2 dx	(23)
по всем кинематически допустимым формам выпучивания и(х).
В дополнение к оптимальному проекту s с формой выпучи-
вания и рассмотрим произвольный проект s с формой выпу-
чивания й, имеющий ту же нагрузку выпучивания. Из равенства
нагрузок выпучивания получаем
su"2 dx/ и'2 dx = J su"2 dx/ j й'2 dx.	(24)
Так как форма и является кинематически допустимой для
проекта s, то
^su'^dx/^u'dc^lu"'dx/^u1 itx. (25)
Из (24) и (25) следует, что
j (s — s) и"2 dx 0.	(26)
Если
и"2 = const,	(27)
TO
J(s-s)<br>0.	(28)
т. с. проект s не может быть легче, чем проект s. Таким об-
разом, условие (27) является достаточным для оптимальности.
Необходимость этого условия можно показать таким же спо-
собом, как это было сделано в разд 4. Примеры оптималь-
ного проектирования стоек приведены в работах [19 — 23].
5 Дальнейшие приложения нового метода
103
52. Оптимальное проектирование
при заданном динамическом прогибе
Рассмотрим поперечные колебания балки, вызванные дей-
ствием одной гармонически меняющейся силы Рcos at с дан-
ными интенсивностью Р и частотой со. Обозначим через
б cos со/ смещения точек приложения силы в стационарном со-
стоянии. Балка должна иметь минимальный вес, произведе-
ние Ph должно иметь заданную величину; считается, что
частота со меньше частоты собственных колебаний сор
Для балки с жесткостью s(x) и массой tn{x) значение Рб
дается минимумом функционала
. F [м] = st!ri dx —• ar mu2 dx	(29)
по всем кинематически допустимым прогибам и(х). Для трех-
слойной балки рассматриваемого типа масса и жесткость свя-
заны зависимостью
m = d'+b2s,	(30)
где а и Ъ — константы. Повторяя рассуждения, приведенные
в п. 5.1, без труда получаем критерий оптимальности
и"2 —со W = const.	(31)
Следует заметить, что то же условие оптимальности при-
менимо и в случае оптимального проектирования балок с за-
данной частотой со собственных колебаний, как показано
в работе [18]. Примеры проектирования этого рода приведены
в [24 — 28].
5.3. Оптимальное проектирование
с заданным коэффициентом нагрузки при пластическом разрушении
Пластическое сопротивление (или полный пластический мо-
мент) s трехслойной балки с заполнителем размерами В и Н
и покрывающими слоями толщиной Т выражается как х = о^ВНТ,
где Оо — общая величина пределов текучести при одноосном
растяжении или сжатии. Заметим, что 5 пропорционально весу
покрывающих слоев, отнесенному к единице длины, так что
минимизация полного веса этих слоев вновь сводится к мини-
мизации интеграла
Коэффициент нагрузки при пластическом разрушении оп-
ределяется как коэффициент (> 1) увеличения заданной без-
опасной нагрузки р(х) до величины, при которой возникает
пластическое течение балки. На основании кинематической
теоремы теории предельного равновесия [29] коэффициент
Оптимизация проектирования конструкций
нагрузки дается минимумом функционала
F [«1 — J «I v" Pv dx
(32)
по всем кинематически допустимым скоростям прогибов v (х).
Соответствующий критерий оптимальности легко определяется
в виде
I v" |= const	(33)
Аналогичное условие оптимальности | и" | = const было ис-
пользовано в связи с задачей, представленной на рис. 10, где
через и(х) обозначены упругие прогибы. При заданном весе
балки одно и то же изменение толщины покрывающих слоев,
приводящее к минимуму упругих прогибов в точке приложе-
ния силы, обеспечивает также максимальный коэффициент
нагрузки при пластическом разрушении и представляет, таким
образом, двухцелевой проект.
Оптимальное проектирование с заданным коэффициентом
нагрузки при пластическом разрушении исследовалось более
интенсивно, чем другие виды оптимального проектирования
конструкций. Соответствующая литература приведена в по-
следних обзорах [30 — 31].
6. Многоцелевые проектирования
Рис. 11 иллюстрирует задачу о многоцелевом проектирова-
нии. Один и тот же элемент конструкции должен работать при
Струна
Стойка
Рис. 11. Многоцелевое проектирование.
различных условиях нагружения как струна, балка и стойка.
В первом случае его удлинение под действием заданной про-
дольной нагрузки не должно превышать заданного значения X.
Во втором случае его прогибы под действием заданной по-
перечной силы Т в центре не должны превышать заданной
величины 6. В третьем случае его нагрузка выпучивания не
должна быть меньше заданной величины В. Заметим, что про-
ектные ограничения формулируются в виде неравенств, так
как оптимальный проект может определяться лишь одним или
двумя из них. В дальнейшем мы предположим, однако, что
существенными являются все три ограничения. Рассуждая
6 Многоцелевые проектирования
105
так же, как в раздг-4, мы получаем неравенства
J(s-s)u'2>0, J(5-s)«^"*>0,
J(s— s)№m"2dx^0.
(34)
где и (х) — продольное смещение струны, о(х) и w(x) — про-
гибы балки и стойки соответственно.
Взятые в отдельности зависимости (34) приводят к усло-
виям оптимальности в виде
aV2=l, р’Я’с"2^!, у2№ш//3
(35)
где а, ₽ и у — константы. Легко видеть, что эти условия оп-
тимальности являются несовместными. Для того чтобы на-
грузка L вызвала постоянную продольную деформацию и',
требуемую первым условием оптимальности, элемент должен
иметь постоянное поперечное сечение, но тогда кривизна v"
этого элемента, возникающая под действием поперечной силы Т,
не будет удовлетворять второму условию оптимальности.
Так как неравенства (34) нельзя использовать в отдель-
ности, составим их комбинацию, введя положительные множи-
тели, тогда получим
J (s - S) + P?W'2 4- уг/№)	0.
(36)
Это неравенство немедленно показывает, что достаточным
условном оптимальности является условие
а2и'2 4- fPtPv"2 4- yWw"2 = const
(37)
Можно показать, что это условие является также необхо-
димым. Заметим, что его можно записать в альтернативной
форме
о?а2 + р2о| 4- У2^ = const,	(38)
где ог и ов — напряжения в покрывающих слоях для ти-
пичного поперечного сечения элемента, деформированного
в виде струны, балки или стойки. Эти напряжения в покры-
вающих слоях оптимально спроектированного элемента должны
быть такими, чтобы существовали положительные постоян-
ные a2, Р2, у2, при которых выражение (38) сохранило постоян-
ное значение вдоль элемента. Иные примеры и общая теория
многоцелевого проектирования содержатся в [32, 33].
106	Опт иизация проектирования конструкций
7. Заключительные замечания
В заключите следует подчеркнуть, что хотя проектные
ограничения, рассмотренные в разд. 4 и 5, и яаляются типич-
ными, ими ни в коем случае не исчерпываются ограничения,
к которым может быть применен новый метод установления
критериев оптимальности. В действительности в настоящее
время развиваются новые приложения. Например, критерий (31)
оптимального проектирования при данном динамическом про-
гибе, впервые установленный в предлагаемой работе, до сих
пор не применялся1). В работе (35] рассмотрено оптимальное
проектирование с заданной жесткостью в условиях стационар-
ной ползучести. Для простоты мы ограничивались здесь рас-
смотрением оптимального проектирования балок, однако это
ограничение не является существенным.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Haug Е. J_ Jr, Kirmser Р. G„ Minimum weight design of beams with
inequality constraints on stress and deflection, J. Appl Meeh., 34, No 4
(1967); русский перевод: Хауг, Кирмсер, Прикл. мех, № 4, 282 (1967).
2.	Blasius Н, Trager kleinster Durchbiegung und Stabe grosster Knickfes-
ligkcit bei gegebenem Malerialverbrauch, Z. Angew. Math, und Phus. 62
(1914)
3.	Barnett R. L., Minimum weight design of beams for deflection. Proc.
ASCE, J. Eng Meeh. Div„ 1, No. EMI (1961)
4.	Barnett R L., Minimum deflection design of a uniformly accelerating
cantilever beam, 7. Appl Meeh., 30, No. 3 (1963); русский перевод: Бэр-
нетт, Прикл. мех„ № 3. 166 (1963).
5.	Dorn W. S., Gomory R. Е_. Greenberg Н. G, Automatic design of opti-
mal structures, J. Mecanique, 3, No. 1 (1964).
6.	Maxwell J. C, On reciprocal figures, frames, and diagrams of force.
Scientific Papers, vol. 2, University Press, Cambridge, England, 1890.
7.	Michell A. G M, The limits of economy of material in framestructures,
Philos Mag., 8, No. 47 (1904).
8	Prager W„ On a problem of optimal design. Proc. Symp. Non-Homoge-
neity Elast, and Plast. (Warsaw, 1958), Pcrgamon Press, New York,
1959
9.	Hencky H, Uber emige slatisch beslimmte Faile des Glelchgewichts in
plastischen KBrpern, Z. angew. Math, und Meeh 3, No. 4 (1923); рус-
ский перевод: Генки Г., Теория пластичности, ИЛ, М„ 1948
10.	Prandtl L, Anwendungsbeispiele zu einem Henckyschen Satz uber das
plastische Gleichgewichl, Z. angew. Math, und Meeh., 3, No.6 (1923); рус-
ский перевод: Прапдтль Л, в сб. «Теория пластичности», ИЛ, М, 1948.
11.	Caratheodory С., Schmidt Е., Uber die Hencky — Prandtlischen Kurven-
scharen, Z angew Math, und Meeh, 3, No. 6 (1923).
12.	Prager W„ On Hencky — Prandtl lines. Revue de la Faculty des Sciences
de rUniversite d’Istanbul, Series A, 4 (1938).
13	Kapuano I, Sur une nouvelle propnete des reseaux Hencky — Prandti,
Revue de la Faculte des Sciences de VUtuvcrsiU d Istanbul Senes A, 6
(1941).
’) С тех пор как была палисада эта работа, в работе (31J были даны
примеры.
Список литературы
107
14.	Kiss F_ Szentagothai J., Atlas of human anatomy, vol. 1, The Macmil-
lan Company, New York, 1964.
15.	Hu T C, Shield R. T, Minimum-volume design of discs, Z. angew. Math,
und Phys, 12, No 5 (1961).
16	Hemp W. S„ Studies in the theory of Michell structures. Proc Int.
Congr Appl Meeh (Munich, 1964), Springer, Berlin, 1966.
17.	Sheu C. i , Prager W, Minimum-weight design W'ith piecewise constant
specific stiffness, /. Opt. Theory and Appl„ 2, No. 3 (1968).
18	Prager W„ Taylor J Problems of optimal structural design, J Appl.
Meeh., 35, No. 3 (1968); русский перевод: Прагер, Тэйлор, Прикл мех,
№ 3. 242 (1968).
19.	Keller J. В„ The shape of the strongest column. Arch Rat. Meeh, and
Anat„ 5, No. 4 (1960).
20.	Tadjbakhsh 1, Keller J. B„ Strongest columns and isoperimetric Inequali-
ties for eigenvalues, I. Appl. Meeh., 29, No. 1 (1962); русский перевод:
Таджбахш, Келлер, Прикл. мех„ № 1, 177 (1962).
21.	Keller J В, Niordson F. 1., The tallest column, /. Math, and Mech„ 16,
No 5 (1966).
22.	Taylor J. E„ The strongest column —An energy approach, 7. Appl. Meeh,
34, No. 2 (1967); русский перевод- Тэйлор, Прикл. мех, № 2, 257
(1967).
23	Huang N. С„ Sheu С. Y., Optimal design of an clastic column of thin-
walled cross section, J. Appl. Meeh., 35, No. 2 (1968); русский перевод;
Хуань, Шиу, Прикл мех., № 4, 242 (1968).
24.	Niordson F. 1., On the optimal design of a vibrating beam, Quart. Appl.
Math., 23, No. 1, 1965
25.	Turner J. M, Design of minimum-mass structures with specified natural
frequencies, AIAA J., 5, No. 3 (1967); русский перевод: Тэрпер, Ракит-
ная техника и космонавтика, № 3, 27 (1967).
26.	Taylor J. Е_ Minimum-mass bar for axial vibration at specified natural
frequency, AIAA J., 5, No. 10 (1967); русский перевод: Тэйлор, Ракет-
ная техника и космонавтика, № 10. 244 (1967).
27	Zarghamee М. S, Optimum frequency of structures, AIAA J, 6, No. 4
(1968); русский перевод: Заргами, Ракетная техника и космонавтика.
№ 4, 232 (1968).
28.	Sheu С. Y, Elastic minimum-weight design for specified fundamental
frequency, Mem. J. Solids and Structures, 4, No. 10 (1968).
29.	Prager w., Hodge P. G, Jr., Theory of perfectly plastic solids, John
Wiley and Sons, New York, 1951; русский перевод Прагер В„ХоджФ_,
Теория идеально пластических тел, ИЛ, М, 1956.
30.	Shield R. Т, Optimum design methods for structures. Plasticity (ed. Dy
E H. Lee and P. S Symonds), Pergamon Press, London, 1960
31.	Рейтман M. И, Шапиро Г. С, Теория оптимального проектирования в
строительной механике. Теория упругости и пластичности. Итоги нау-
ки, Серия «Механика», М, 1966
32.	Mayeda R, Prager W, Minimum-weight design of bestns for multiple-
loading, Intern J. Solids and Structures, 3, No. 6 (1967).
33.	Prager W. Shield R. T„ Optimal design of multi-purpose structures,
Intern. J Solids and Structures, 4, No. 4 (1968).
34,	Icerman L. J., Optimal structural design for given dynamic defied ion.
Intern. J. Solids and Structures, 5 (1969).
35.	Prager W. Optimal structural design lor given stiffness in stationary
creep, Z. angew. Math und Phys, 19, No 2 (l'J6S); русский перевод:
Прагер В, сб. Механика, No 6 (118), 143—147 (1969),
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода .	....	. . 5
Предисловие автора ........	... 8
Часть I. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КЛАССИЧЕСКИХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ
ПРИНЦИПОВ В ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИ-
РОВАНИЯ КОНСТРУКЦИЙ.......................................... 9
Глава 1. Основные понятия и теоремы........................... 9
1.1.	Обобщенные нагрузки и смещении.................... .	9
1.2.	Обобщенные напряжения и деформации...................10
1.3.	Связь между напряжениями и деформациями в теории упру-
гости. Энергии деформации и дополнительная энергия.......13
1.4.	Экстремальные принципы для лииейно-упругих конструкций 14
1.5-	Экстремальные принципы для жестко-идеально-пластических
конструкций...............................................16
Глава 2. Оптимальное проектирование упругих балок, подчиненных
ограничениям на податливость..................................19
2.1.	Трехслойные балки, подчиненные одному ограничению на подат-
ливость ..................................................19
2.2.	Пример...............................................22
2.3.	Трехслойные балки, подчиненные различным ограничениям на
податливость..............................................25
Глава 3. Условия оптимальности Для иных конструкций и ограничений 28
3.1.	Оптимальное проектирование иных упругих конструкций, под-
чиненных ограничениям на податливость.....................28
3.2.	Оптимальное проектирование при иных ограничениях.....31
3.3.	Трехмерные задачи....................................34
Часть П. ОПТИМИЗАЦИЯ ОЧЕРТАНИЯ КОНСТРУКЦИЙ..................37
Глава 4. Общая теория оптимального пластического проектирования —
оптимальная разбивка на элементы заданной формы .... 37
4.1.	Общая теория оптимального пластического проектирования . . 37
4.2.	Примеры..............................................41
4.3.	Оптимальная разбивка на элементы заданной формы....45
Глава 5. Оптимальное очертание ферм...........................48
5.1.	Оптимальное очертание при однократном нагружении .... 48
5.2.	Оптимальное очертание при двух возможных нагружениях . . 53
5.3	Дискретизация континуума Мичелла.....................56
Оглавление
109
Глава 6. Оптимальное очертание решеток .	.................... . 60
6.1 Осноппые типы полей разрушения......................
6-2. Сшивание различных типов полей разрушения..............
6.3. Два принципа суперпозиции...................... ...
Синоде литературы........................................
ВЫВОД КРИТЕРИЕВ ОПТИМАЛЬНОСТИ ИЗ КЛАССИЧЕСКИХ
ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ПРИНЦИПОВ....................................
Введение................................................
Одноцелевые конструкции: формулировка задачи оптимизации . .
Одноцелевые конструкции.- критерии оптимальности........
Многоцелевые конструкции.............. .................
Приложение к балкам и пластинкам ...	....	....
Численный подход ....	...............
Список литературы........................
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ КОНСТРУКЦИИ . .	. .
I Введение.......................................... ...
2. Дискретизация................................... ....
8. Оптимальное очертание................................
4. Новый метод установления критерия оптимальное ш......
5 Дальнейшие приложения нового метода......................

6. Многоцелевые проектирования......................... ...	104
7. Заключительные замечания..............................  106
Список литературы..........................................106
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлений, качестве перевода и другие просим
присылать по адресу: 129820, Москва, И-Ц0, ГСП,
1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир»
ИБ № 648
В. Прагер
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
Сдано в набор 23/VIII 1976 г
Подписано к печати 18/11 1977 г
Бум тип. PR I 69Х93</,»-ЗЛ0 бум. л.
7,00 печ. л.
УЧ.-ИЗД. я. еж Изд. М 1/9103.
Цена S9 коп.
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Краевого Знамени
Ленинградская типография № 2
имен;, Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств,
волиграфии и книжной торговли.
I98J52, Ленинград, Л-52, Измайловский пр., 29