/
Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа алгебра
ISBN: 978-5-222-41287-9
Text
ЭДУАРД БАЛАЯН
ДЛЯ 7-9 КЛАССОВ
• ПОДГОТОВКА к огэ
•КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
СВЕДЕНИЯ
• 700 ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ
• БОЛЕЕ 3000 ЗАДАЧ ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ
• ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ
Белым а я перемена
Э. Н. Балаян
РЕПЕТИТОР
ПО АЛГЕБРЕ
ДЛЯ 7-9 КЛАССОВ
• подготовка к ОГЭ
• краткие теоретические сведения
• 700 задач с решениями
• более 3000 задач для
самостоятельного решения
• олимпиадные задачи
Электронное издание
Рос тов-на-Дону
Щ^еникс
2024
Посвящается моей любимой
внучке Марианне
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая вниманию читателя книга предна-
значена для самостоятельного повторения школьного
курса алгебры 7-9 классов.
Она окажет неоценимую помощь при подготовке к
ОГЭ, урокам, а также к олимпиадам различного уровня.
Книга состоит из 17 глав. Главы 1—16 посвящены
основным темам программы алгебры 7—9 классов. Все
параграфы построены в основном по одной и той же
схеме: необходимый справочный материал, правила,
определения и методические рекомендации, задачи с
решениями и для самостоятельного решения.
Учитывая, что уровень подготовки каждого школь-
ника различен, автор счел необходимым разделить
задачи для самостоятельного решения на две части (за
исключением последней, 17 главы).
Задачи части 1 соответствуют заданиям базового и
среднего уровней, поэтому умения их решать доста-
точно для получения положительной оценки на обще-
образовательном государственном экзамене (ОГЭ), но
недостаточно для более высокой оценки.
Задачи части 2 являются более сложными и на-
правлены на выработку умений и навыков на высо-
ком уровне программных требований. Упражнения
этой части могут быть использованы для организации
индивидуальной работы на уроках с сильными уче-
никами, факультативных занятиях, а также в работе
математического кружка.
В 1 7 главе приводятся олимпиадные задачи твор-
ческого характера, связанные с программным мате-
риалом 7-9 классов и направленные на формирование
у учащихся навыков самостоятельной работы и прие-
мов умственной деятельности, таких как анализ, син-
тез, аналогия, обобщение и др.
Наличие разнообразных идей, применяемых при
решении задач, таких как делимость чисел, инвари-
анты, решение уравнений в целых числах, принцип
Дирихле, монотонность функции, неравенство Коши—
Буняковского, задачи чисто логического характера и
др., способствует резкой активизации мыслительной
деятельности и умственной активности.
Все олимпиадные задачи снабжены ответами, ука-
заниями и решениями.
К задачам глав 1-16, а также к упражнениям для
повторения курса 7—9 классов приводятся ответы в
конце книги.
7 КЛАСС
Глава 1
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 1. Числовые выражения
Запись, состоящая из чисел, соединенных знаками
арифметических действий, называется числовым вы
ражением.
тт Л п с Л п 6 1,5 + 1 2 5
Например: 40,5 + 11:15:4-7;-------; —+ — и т. д.
5 3 6
Число, которое получено в результате выполнения
действий, указанных в этом выражении, называется
значением числового выражения.
Например, значением выражения 4 • 0,5 + 11 явля-
2 5
ется число 13; значением выражения —+ — является
3 6
число 1,5.
Пример 1. Найти значение разности —
Решение.
i Чтобы привести дроби к наименьшему общему
знаменателю (НОЗ), надо:
1) найти наименьшее общее кратное этих дробей
(НОК), оно и будет их НОЗ;
2) разделить НОЗ на знаменатели данных дро-
бей, т. е. найти дополнительный множитель для
каждой дроби,
3) умножить числитель и знаменатель каждой
дроби на дополнительный множитель.
Число 24 не делится нацело на 18, тогда 24 удваи-
ваем. Получим 24 • 2 = 48. Но 48 не делится на 18,
а если число 24 утроить, то получим 24 • 3 = 72 — де-
лится на 18.
Значит, НОЗ (18; 24) = 72. Получим
7^__ 5ХЗ _ 7-4-5 3 _ 28-15 _ 13
18 24 “ 72 “ 72 “72’
Полученная дробь — несократимая, так как 13 и
72 — взаимно простые числа, т. е. НОД (13; 72) = 1.
„ 13
Ответ: —.
72
Пример 2. Найти значение выражения
9 5 4 7
------------------1-1---1-.
13 8 13 8
Решение.
Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:
13 + 8
13
9
13 + 13 J
5 7
--1--
8 8
13 12
13“ 8
9 5 4 7
+ — +
8
Q 11
= 1 + - = 1 + 1- = 2- = 2,5.
2 2 2
Пример 3. Выполнить сложение:
а) 6-4-7 — ; б) 11-+3- + 10 —.
3 4 9 4 12
Решение.
а) Так как числа 3 и 4 взаимно простые, то
ПОК (3; 4) = 3- 4 = 12. Тогда получим
62-+7^ = 6А + 7- = 13^
3 4 12 12
12
= is—=14—.
12 12
б) Число 12 делится на 4, но не делится на 9. А если
12 утроить, то получим 12 • 3 = 36. Число 36 делится
нацело на 9, 4 и 12. Значит, ПОЗ (9; 4; 12) = 36.
и—+з—+ю—= и—+з—+ю—=
9 4
12 36 36 36
= 24* ^±15=2450=2425=25J7_
36
36 18 18
5 7
Ответ: а) 14 —; б) 25 —.
12 18
Пример 4. Выполнить вычитание:
, „ 5 .5
а) 6 — 4 — ;
9 б
б) 9—-6—.
7 8
Решение.
а)НОЗ(9; 6) = 18.
5х2 10 15
6------4 — = 6--------4 —
9 6 18 18
«Занимаем» единицу в уменьшаемом:
„10 .. .. 10 _ (
6 — = (5 + 1) + — = 5 +
18 18
г 28 г 28
5 + — = 5 —
18 18
18 10'
18 18 1
m „10 15 г 28 ,15 ,13
1 огда получим (--4 — = 5---4 — = 1 —.
18 18 18 18 18
Этот пример можно решить иначе:
„5 ,5 59х2 29хз 118-87 31 13
9 6 9 6 18 18 18
Применять этот способ целесообразно для неболь-
ших чисел.
б) 7 и 8 взаимно простые числа, тогда НОК (7; 8) =
= 7 • 8 = 56.
9£L6£l=9^6^-8 +
7 8 56 56
fl + ^-6-
56 ! 56
8 + 1 —-6 —= 8 + —-6 —= 8 —-6 —= 2 —
56 56 56 56 56 56 56
Этот пример также решим вторым способом:
„4 „5 67х8 53х7 536-371 165 „53
7 8 7 8 56 56 56
Этот способ значительно короче, как правило, им
пользуются старшеклассники.
13 «53
Ответ: а) 1 —; б) 2 —.
18 56
Пример 5. Выполнить действия:
( 1®1>® 3®5 1
1 —.3— + — = 1 —.
2 4J 4 6 6
Решение.
1) 1—-—= 1 —- —= 1 —;
2 4 4 4 4
4 4 4 4 4 15 3
3)1 + 5 = 2+2 = 1 = 11.
3 6 6 6 6 6
Пример 6. Выполнить действия:
® ® 1®
4,8:8-4 0,4
® * =-0.22.
Решение.
1) 4,8 • 8 = 0,6:
1 17 4 17-4 17
2) 4- 0,4 = --= —— = — = 1,7;
4 4 10 4 10 10
3) 0,6 - 1,7 = -(1,7 - 0,6) = -1,1;
4) 7,5 : 1,5 = 75 : 15 = 5;
5) -1,1 : 5 = -И = _^ = -о,22.
5 10
Пример 7. Найти значение выражения:
12®—
®-----$4^—= 2 —.
10,6-4,8 174
Решение.
5 5
1) 12 + —= 12 —; 2) 10,6 - 4.8 = 5,8;
6 6
о г о 12-61-5 58 77 10 77-5 385
3) 12 —:о, 8 =----: — =------=------=----
6 6 10 6 58 6 29 174
= 2^.
174
Задачи
Часть 1
1. Записать дроби 0,3; 0,43; 0,021; 0,007 в виде не-
сократимой обыкновенной дроби.
5 9
2. Привести дробь — к знаменателю 18, а дробь —
к знаменателю 8.
7 13 4 9
3. Сравнить дроби: а) — и —; б) — и —.
10 20 15 20
. „ 3 1 _ 9 7
4. Выполнить сложение: а) —+ —; б)-1-.
5 4 10 15
_ „ ч 6 5 3 4
о. Выполнить вычитание: а)-----; о)------
11 6 14 21
4 11
6. Выполнить действие: а) —+ 0,6: б)-0,8.
5 15
7. Найти значение выражения:
15 <3 51 5 7 2
32 U 8J 6 18 3
8. Выполнить действия;
а)- + 0.8- —; 6)0,9- — + — .
4 40 25 20
9. Решить уравнение:
а)6-х=2 —; б) 10--z/ = 7 —.
4 5 10
10. Выполнить действия:
х г 7 1 .5
а) 5 — 2 —+ 4 —;
9 4 12
9 3
в) 8— + 0,68-5-.
25 4
л 1 „5 „17
б) 4 — ь 6 — 5 —;
12 8 24
11. Найти значение выражения:
ч 1 ,,3
а) 1b —11 —•
3 7
1 _2_'|.
10+15.J’
/ 9 1
б) 5—+18 —
I 8 2
:16 —.
3
Часть 2
1. Выполнить действия:
ч 13 п о 29 <17 3 п
а)—4-0,8-; б)—4—0,45.
15 30 40 8
2. Найти значение выражения:
21 1 7 ( 3 1 А
а) 20-—13 — 4 — ; б) 42- 16--12- ;
25 5 10 <8 6.J
<11 5 11 Г 41 ч „ 5 о3 Г53 291
1.12 8 бД 9J 7 5 <56 35)
3. Решить уравнение:
Л 7 5 А 57 17
a) 12-I 1-х+З- =56; 6)12 — 5-х = 4—;
U 6J 6 8 24
33
40 ‘
в)
7 19
12 30
:7^.
6 86
4. Найти значение выражения :
1 о ( 312 1 ( 1 I3 ( 21
а) 6 —— 6-5- ; б)-----3-11—1 5-2 — ;
2 5 ( 5J 17 I 3 J J 3J
14-15 —:2 -
8 5
§ 2. А лгебраические выражения
Выражение, состоящее из чисел и букв, соединен-
ных между собой знаками алгебраических действий
и знаками последовательности этих действий (скобка-
ми), называется алгебраическим выражением.
Например: 4а3Ь2 - ab(a - b); х - у + — ;
3 т + 1
х + у п
-----Заху.
а
Значением алгебраического выражения называется
число, которое получается в результате вычислений
после замены в этом выражении букв числами.
Например: найти значение алгебраического выра-
жения 4ху — 3 при х = —, у = 8.
2
Решение.
4xi/ - 3 = 4- - 8- 3 = 10-3 = 13 — значение
алгебраического выражения.
Если алгебраическое выражение содержит только
действия сложения, вычитания и возведения в сте-
пень с натуральным показателем, то оно называется
целым рациональным выражением.
Если кроме указанных действий входит действие
деления, то выражение называется дробно-рациональ-
ным.
Пример 1. Найти значение алгебраического выра-
(4х-3)и _ „
жения ------— при х = 7, у = 3.
x-z/
Решение.
(4-7-3)-3 = 25±=75=183 ^
7-3 4 4 4
Ответ: 18,75.
Пример 2. Длина прямоугольника х см, ширина
у см Что означает выражение:
а) х + у, б) 2х + 2у; в) ху; г) 2х; д) 2у1
Решение.
а) половина периметра; б) периметр; в) площадь;
г) удвоенная длина; д) удвоенная ширина.
Пример 3. Составить формулу числа:
а) кратного 2; б) кратного 3; в) кратного 10.
Решение.
a) тп = 2тг, б) тп = Зп; в) m = Юи, где п — целое число.
Пример 4. При каких значениях переменной име-
ет смысл выражение:
. _ _ ... 13 4 . 5п . Зи „
а) Зх —2; 61 —; в) ---г)----------; д) -----?
у т-3 п + 4 Зу-3
Решение.
а) Данное выражение является целым, значит, х —
любое число;
6) у ф 0; в) т - 3 г 0, т. е. т 3;
г) п + 4 * 0, т. е. п =Р -4; д) 2у - 3 Ф 0, 2у 3, откуда
V* 1,5.
Ответ: а) х — любое число; б) у Ф 0; в) т 3;
г) п * -4; д) у * 1,5.
Задачи
Часть 1
1. Найти значение выражения:
а) 5а - 11 при а = 3; 0; -4;
б) 4,65 - 0,2 при Ъ = 5; 0; -7.
2. Сколько минут:
1) в 3 ч 15 с; 2) в х часах; 3) в у секундах; 4) в а ча-
сах, Ъ минутах и с секундах?
3. Записать:
1) утроенную сумму чисел 7 и а;
2) половину разности чисел т и и;
3) сумму числа 13 и произведения чисел х и у;
4) частное от деления разности чисел 7г и Z на
число 8.
Часть 2
1. Найти значение выражения:
——— — 3 при а = —, b = 0,2, х = 2 —, у = -6.
х + у 4 3
2. Записать 13% от частного чисел х и 0,18.
3. Может ли при каком-либо значении х равняться
нулю алгебраическое выражение:
6 х — 4
а) х + 99; б) ---; в) -----; г) х2 + 7?
3-х 17 + х
4. Пусть а 4- b = 7, с = -3. Найти:
1) а - с + Ь; 2) 2с - (а + Ь); 3) а - Зс + Ь;
1 Зс
4) — (а + Ь) -с; 5) ----; G) с(а + Ъ - 2с).
2 а+Ь+с
§ 3. Свойства арифметических действий
1. Переместительное свойство:
а + b = b + a, ab = Ъа.
2. Сочетательное свойство:
(а + Ь) + с = а + (t 4- с) = b + (а + с);
(аЪ)с = а(Ьс) = Ь(ас).
3. Распределительное свойство:
а(Ь 4- с) = ab 4- ас.
Пример 1. Вычислить 86 4- 48 4- 34 4- 22.
Решение.
86 + 48 + 34 4 22 = (86 + 34) + (48 + 22) =
= 120 + 70 = 190.
Ответ: 190.
Пример 2. Упростить выражение
5(2х - 4г/) 4- 3(х 4- 2у).
Решение.
5(2х - 4г/) 4- 3(х 4- 2г/) = 5 • 2х 4- 5 • (- 4у) 4- 3 • х 4-
4- 3 • 2г/ = Юх - 20г/ 4- Зх 4- 6г/ = (1 Ох 4- Зх) 4- (—20г/ 4- 6г/) =
= (10 + 3)х + (-20 + 6)у = 13х - 14г/.
Ответ.: 13х - 14_г/.
Пример 3. Найти значение выражения
1 5
6(4х - Зу) + 5(х 4- 4г/) при х = —, у = —
4 6
Решение.
Прежде всего упростим данное выражение, приме-
нив распределительное свойство умножения:
6(4х - Зу) + 5(х + 4у) = 24х - 18г/ 4 5х 4- 20г/ =
= (24х 4- 5х) 4- (-18 г/ 4- 20г/) = 29х 4- 2г/.
1 5
При х = — у = — ПОЛУЧИМ
4 6
29 1+2.*=^Д = 7^+1^ = 8^ = 8^.
4 6 4 3 4 3
Ответ: 8 —.
12
12 L2
Пример 4. Периметр прямоугольника равен 46 см,
одна из его сторон равна 16 см. Найти другую сторону
прямоугольника.
Решение.
Р = 2(п 4 Ъ) — периметр прямоугольника, а и Ъ —
стороны. Пусть a = 16 см. Нам надо найти значение Ъ,
если Р = 46 см.
Получим 2(16 4- Ь) = 46, откуда 16 4- b = 23, т. е.
b = 23 - 16 = 7 см.
Ответ: 7 см.
Пример 5. Найти значение произведения
2,8 0,25 32 • 0,5.
Решение.
2,8 0,25 • 32 0,5 = (2,8 0,5) • (0,25 • 32) =
= 1,4 | — 32 I = 1,4 • 8 = 11,2.
Ответ: 11,2.
Распределительное свойство верно и в случае,
если число умножается на сумму трех и более сла-
гаемых.
a(b 4- с 4- d) = ab -+- ac 4- ad.
Задачи
Часть 1
1. Найти значение числового выражения:
а) 19 • 0,36 + 0,36 21;
б) (40,8 + 33,4 + 59,2 - 23,4) •
5
в) 3,08 - 4,49 + 7,92 - 2,51; г) 5,64 + 9,31 + 3,69.
2. Привести подобные слагаемые:
а) 2.x + Зу + х - у; б) а - 45 - За + 55;
в) 0,1m - 0,2 + 2п - 1,8 + 1,9m - 4п.
3. Найти значение выражения:
х „ 5 „2 ,1 .5 „ „2 л 3 '2 ,1
а) 4 — 3 —+ 1 — 4 — ; б) 9 — 4 — 5 —+ 1 —.
6767 355 3
4. Вычислить наиболее рациональным способом:
а) 25 • 2,61 • 0,4; б) -0,5 • 35,8 • 20; в) 0,2 • 16,7 • 50.
5. Используя распределительное свойство умноже-
ния, выполнить действия:
а) 4— 5; б) 6 2-; в) 4—10; г) 8-3-.
8 4 5 8
Часть 2
1. Вычислить:
а) 26,8 • 2,09 + 26,8 1,91;
б) 5,04 • 37,9 - 17,9 • 5,04.
2. Привести подобные слагаемые:
12 3
1) 4,6.x - 0,8г/ + 5,2х - у, 2) -а+-а—5-5;
3 3 5
12 5 1
3) 5,2m + 2п - 4,1m + 9п; 4) 1 —х — у-\ 3 — х — у.
6 3 6 3
3. Найти значение выражения, используя распре-
делительное свойство умножения:
а)14-|б + -|; б)|9 + —|-33; в) 24 5 —.
L 7j I 11J 12
4. Вычислить наиболее рациональным способом:
.1 2 3 4 5 6 9 7 6 8
а)----------; б)------------.
2 3 4567 8677
5. Используя свойства арифметических действий,
вычислить:
1) |СОЛ 5 + 2,5 - 8,5); 2) |(2,7 - 0,36 + 8,1);
3) f 12 —+ 13—\5; 4) I 14—+21—.
L 7 4 J (4 7 у 28
6. Доказать, что:
а) сумма 21 19 + 19 9 делится на 6;
б) сумма 31 75 + 31 25 делится на 10.
§ 4. Правила раскрытия скобок
Выражение 11 — 5 + 6 — 8 — 1 можно записать в виде
алгебраической суммы 11 + (-5) + 6 + (-8) + (-1).
Алгебраическая сумма — это запись, которая состо-
ит из нескольких алгебраических выражений, соеди-
ненных знаками «+» или «-».
Если перед скобкой стоит знак « + », то скобки
можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого
прежним.
Например: а) 23 + (6-11 + 3) = 23 + 6-11 + 3;
б) х + (у + z - f) = х + у + z - t;
в) (т - п') + с = т - п + с.
Если перед скобкой стоит знак «-», то скобки
можно опустить, изменив знак каждого слагаемого
на противоположный.
Например:
а) 13 - (6 + 11 - 3) = 13 - 6 - 11 + 3;
б) 1--Г-6--2--7
3 I 5 4
= 1 —+ 6 —-2 —+ 7;
3 5 4
в) a - (b А с — т) = a — b — с + т;
г) -(х - у) - (~u + v) = -х + у + и - V.
Пример 1. Раскрыть скобки:
1) a + (3b - 4с); 2) a - (3b - 4с);
3) a - (3b + 4c); 4) -(a - 3b + 4c).
Решение.
1) a + (3b - 4c) = a - 3b - 4c;
2) a - (3b - 4c) = a - 3b + 4c;
3) a - (3b + 4c) = a - 3b - 4c;
4) -(a - 3b + 4c) = -a + 3b - 4c.
Пример 2. Раскрыть скобки и упростить:
1) 4a - (a + 3b); 2) 6x - (Зу - 4x);
3) Зх - (6x - (2x - 1)); 4) ay + (3y - (4y + 3)).
Решение.
1) 4a - (a + 3b) = 4a - a -3b = 3a - 3b;
2) 6x - (3y - 4x) = 6x - 3y + 4x = (6x + 4x) - 3y =
= Юх - Sy;
3) 3x - (6x - (2x - 1)) = 3x - 6x + 2x - 1 = —x - 1;
4) 5y + (3y - (4y + 3)) = 5y + 3y - Ay - 3 = 4y - 3.
Пример 3. Раскрыть скобки и привести подобные
слагаемые;
а) х + (Зх + 1,5); б) 6х - (х - 3); в) 5a - (а + 7).
Решение.
а) х + (Зх + 1,5) = х + Зх + 1,5 = 4х + 1,5;
б) 6х - (х - 3) = 6х - х + 3 = 5х + 3;
в) 5a - (а + 7) = 5а - а - 7 = 4а - 7.
Пример 4. Упростить выражение и найти его зна-
чение.
а) (6х - 5) - (3 - 9х) при х = 0,26;
б) (7 - Зх) + (11 - 4х) при х = -0.3.
Решение.
а) (6х - 5) - (3 - 9х) = 6х - 5 - 3 9х = 15х - 8.
При х = 0,26 получим 15 0,26 - 8 = 3,9 - 8 = -4,1;
б) (7 - Зх) + (11 - 4х) = 7 - Зх + 11 - 4х = 18 - 7х.
При х = -0,3 получим 18 - 7 (-0,3) = 18 + 2,1 = 20,1.
Задачи
Чаешь 1
1. Раскрыть скобки:
a) m + (п + k); б) m - (п - /г); в) пт - (п + k);
г) -пт - (~п + /г); д) (а - b) - (с - d);
е) (а - Ь) + (с - d).
2. Раскрыть скобки и привести подобные слагае-
мые:
а) 4х + (бу - 8х); б) -4х - (9у - 4х);
в) 7х + (12 - 9х); г)-(8х - 5) + 5.
3. Раскрыть скобки:
а) (тп - п) - с; б) (х + у) - (т - п);
в) -(За + Ъ) + (х - 3).
4. Раскрыть скобки и привести подобные слагае-
мые:
а) х 4- (5х + 1,5); б) 4х - (х - 3);
в) ба + (11 -3,5а).
Часть 2
1. Раскрыть скобки и привести подобные слагае-
мые:
а) х + (х - 3) - (18 + х); б) (7у - 9) - бу - (5 - Юу);
в) (2 - 8а) - (11а -5) - 6; г) 5b - (7Ь + а) - (а - 35).
2. Раскрыть скобки и упростить:
а) х - (х - (Зх -5)); б) 9х - ((у - х) + 4у);
в) 7у - (4у - (Зу - (у + 2))); г) 4у - (Зу - ((у - х) - 2х)).
3. Упростить выражение и найти его значение:
а) 0,5(х - 4) + х + 3 при х = 0,4;
о
б) 6(0,5а - 3) -12а + 31 при а = —;
3
в) -1,6(5у + 1,5) + 2,3ц - 4 при у = -;
г) 20 • (0,3 - 4ft) + 13&-8 при b = -0,5.
4. Пусть тип — натуральные числа. Доказать, что
разность чисел 9т - гаи 4т - 11га делится на 5.
5. Доказать, что при любых значениях гаг значение
выражения 3(4?га - 3) - (8 - (5 - 12га?)) отрицательно.
Глава 2
УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ
НЕИЗВЕСТНЫМ
§ 5. Уравнение и его корни
Уравнением называется равенство, содержащее не-
известное число, обозначенное буквой.
Корнем уравнения называется значение перемен-
ной, при котором уравнение обращается в верное ра-
венство.
Решить уравнение — это значит найти все его кор-
ни или доказать, что их пет.
Например, число 3 является корнем уравнения
2х - 5 = 1, так как 2 3 - 5 = 1 — верное равенство.
Уравнение (х - 3)(х - 6) = 0 имеет два корня: 3 и 6,
так как при х = 3 и при х = 6 это уравнение обращает-
ся в верное равенство.
Уравнение может иметь сколько угодно корней, а
может и не иметь корней.
Например, уравнение 4(х — 3) = 4х — 12 имеет бес-
конечно много корней, так как при любом значении х
левая часть уравнения равна правой.
Уравнение Зх - 1 = Зх + 7 не имеет корней, так как
при любом значении х левая часть этого уравнения
меньше правой.
Уравнение вида ах = Ь, где а и b — заданные числа,
х — переменная, называется линейным уравнением.
ТТ 4 г 3 d , 2 4
Например, уравнения 4х = 5, —r = l, 1 —х = —
7 3 5
являются линейными.
Основные свойства уравнений
II. Любой член уравнения можно перенести из
одной части в другую, изменив при этом его знак на
противоположный.
2. Обе части уравнения можно умножить или
разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Если корни одного уравнения совпадают с корнями
другого, то такие уравнения называют равносильными.
Пример 1. Решить уравнение 7х - 25 = 2х + 5.
Решение.
1. Перенесем член 2х со знаком «минус» в левую
часть, а член -25 перенесем в правую часть равенства
со знаком «плюс». Тогда получим 7х-2х = 25 + 5.
2. Приведем подобные члены в обеих частях полу-
ченного равенства: 5х = 30.
Следовательно, х = 6 — корень данного уравнения,
так как 7-6 -25 = 2- 6 +5, или 17 = 17 — верно.
Ответ: х = 6.
Пример 2. Решить уравнение
4(х - 3) - 2(х + 1) = 8 - 3(х + 2)
Решение.
1. Раскроем скобки, применив распределительное
свойство умножения:
4х - 12 - 2х - 2 = 8 - Зх - 6.
2. Перенесем неизвестное в левую часть, а числа —
в правую часть уравнения:
4х - 2х + Зх = 8 - 6 + 12 + 2.
3. Приведем подобные члены:
5х = 16.
4. Разделим обе части полученного уравнения на 5:
16 1
х = — = 3 — = 3,2 — корень данного уравнения.
5 5
Ответ.: х = 3,2.
Пример 3. Решить уравнение
х-3 х+5 _ х-2
= 7 + .
4 6-8
Решение.
1. Умножим обе части уравнения на наименьший
общий знаменатель дробей: НОЗ(4, 6, 8) = 24. Тогда
получим
х - 3 „ . х + 5 „ . _ „ . х-2 „
----24-------24 = 7-24 +----24, или
4 6 8
6(х - 3) - 4(х + 5) = 168 + 3(х - 2).
2. Раскроем скобки и приведем подобные члены:
6х — 18 — 4х -20 = 168 + Зх - 6, или
6х - 4х - Зх = 168 - 6 + 18 + 20, или
-х = 200, откуда х = -200.
Ответ: х = -200.
Задачи
Часть 1
1. Решить уравнение:
. . 3 _ „ _ 1 . 6 3
а) 4х = —; 5i -6х = 3 —; в} — х = —;
5 3 7 14
г) 0,Зх = 18; д) 1,4х = -1,96; е) -5х = 1,75.
2. Решить уравнение:
а) 6х - 1 = 17; б) 9х + 3 = 12; в) 4х - 5 = 10 - х;
г) 16 - 2х = 5х - 5; д) 4х - 18 = 2х + 2.
3. Решить уравнение:
5 1-х
а)гчг;
г) — + — = 18;
4 5
4х 4 + х . х х ч
б) — =----; в) — ч— = 15;
5 10 2 3
д> £-1,3-1'.
6 2 2
4. Решить уравнение:
а) 6х + (4х - 9) = 10; б) 4у - (6 - у) = 12;
в) 36 = 22 - (8х + 3); г) 15 - (6х + 11) = 7х;
д) (7у + 3) - (5у + 3) = 10; е) 3 = (4у - 5) - (8 - 5у).
Часть 2
1. Решить уравнение:
. Зх-11 15-2х х + 3 .. 5х-4 8х + 9 2-х
а)--------------=------; б)--------------=------;
3 4 2 4 8 2
. 6х-5 4 + 7х 6х-1 „ . 5х-4 7-х 4х-5
в 1--------------------= 2; г)-----------=-----.
2 3 4 2 3 6
2. Решить уравнение:
а) (5х - 4) + (8х - 7) = 4 - (5 - 7х);
б) (6х + 4) - (Юх + 12) = 8 + (14 - 5х);
в) (11 - 2х) - (9 -5х) + (6х + 7) = 8;
г) (4 - Зх) + (5 - 4х) + (6 - 6х) = 13 + 8х.
3. Найти корень уравнения:
а) 4(х + 3,6) = Зх - 1,4;
б) 3.4 - 0,6х = 2х - (0,4х + 1);
в) 3,5 - 9у = 2(0,5у - 4);
г) 0.5у + 7 = 5(0,2 + 1,5г/).
4. Решить уравнение, используя свойства пропорции:
. х 1,8 „ 0,03 х .4,08 Зх
а) --=-----; б) ------=----; ь) --------=------.
2,5 0,5 0.14 2,8 5,1 6,8
5. При каком значении а:
1) значение выражения 9а + 4 в 3 раза больше зна-
чения выражения 6а - 7;
2) значение выражения 14а - 8 на 9 меньше значе-
ния выражения 13а + 12?
6. Какие из данных уравнений не имеют корней:
а) 6х - 11 = 5х; б) 4х + 8 = 4х + 12;
в) 6 - х = 7 - х, г) |х| = 3; д) |х| + 1 = 0?
§ 6. Решение задач с помощью уравнений
Решение задачи состоит из двух этапов:
1) составление уравнения по условию задачи;
2) решение полученного уравнения.
Пример 1. Найти три последовательных четных
числа, сумма которых равна 78.
Решение.
1. Пусть 2п — I четное число, тогда 2п + 2 — II,
2п + 4 — III четное число. По условию задачи их
сумма равна 78. Получим уравнение
2п (2п + 2) + (2п 4 4) = 78.
2. Решим полученное уравнение, раскрыв скобки и
сделав приведение подобных слагаемых:
2п " 2п + 24 2п + 4 = 78,
6п + 6 = 78, 6п = 72.
Так как I четное число 2/7, то, разделив обе части
полученного уравнения на 3, получим 2п = 72 : 3 = 24,
тогда 24 + 2 = 26 — II число, 26 + 2 = 28 — III число.
Ответ: 24, 26, 28.
Пример 2. В корзине было в 2 раза меньше груш,
чем в ящике. После того как из корзины переложили
в ящик 15 груш, в ящике их стало в 7 раз больше, чем
в корзине. Сколько груш было в корзине и сколько в
ящике?
Решение.
1. Пусть в корзине было х груш, тогда в ящике
было 2х груш. После того как из корзины переложили
в ящик 15 груш, то в корзине осталось (х — 15) груш,
а в ящике стало (2х +15) груш. По условию задачи в
ящике их стало в 7 раз больше, чем е корзине.
Следовательно, получим уравнение
7(х-15) = 2х + 15.
2. Решим полученное уравнение, применив распре-
делительное свойство умножения:
7х - 105 = 2х + 15,
7х- 2х= 105 + 15,
5х = 120, откуда х = 120 : 5 = 24.
Значит, ь корзине было 24 груши, тогда в ящике
было 24 2 = 48 груш,
Ответ: В корзине было 24 груши, в ящике —
48 груш.
Задачи
Часть 1
1. Если к задуманному числу прибавить 5, полу-
ченную сумму умножить на 4 и из произведения вы-
честь 44, то получится задуманное число. Какое число
задумали?
2. Основание равнобедренного треугольника на
7 см меньше его боковой стороны. Найти длину боко-
вой стороны, если периметр треугольника равен 44 см.
3. За 4 ч езды на автомашине и 7 ч езды на поезде
туристы проехали 640 км. Какова скорость поезда,
если она на 5 км/ч больше скорости автомашины?
4. Отпу 30 лет, а сыну 4 года. Через сколько лет
отец будет втрое старше сына?
Часть 2
1. Теплоход шел против течения реки 4 ч. Какое
расстояние он прошел, если собственная скорость теп-
лохода 16 км/ч, а скорость течения реки 1,5 км/ч?
2. За 2 дня вспахано 80 га, причем в первый день
вспахано на 18 га больше, чем во второй день. Сколько
га земли вспахано во второй день?
3. Найти число, если известно, что после вычита-
1 й
ния от него — его части и прибавления к полученной
разности его пятой части получается 9,3.
4. Сумма цифр двузначного числа равна 6. Если
цифры этого числа переставить, то получится число,
4
составляющее — первоначального. Найти число.
5. Машина выехала со скоростью 50 км/ч. Через
30 мин вслед за пей выехала другая машина, которая
догнала ее через 2 ч 30 мин. Найти скорость второй
машины.
6. Нужно изготовить 84 детали в определенный
срок. В результате увеличения норм дневной выработ-
ки на 7 деталей этот план удалось выполнить на 2 дня
раньше срока. За сколько дней выполнили задание?
7. Из 40 учеников класса 45% составляют мальчи-
ки. Сколько девочек в классе?
Глава 3
ОДНОЧЛЕНЫ И МНОГОЧЛЕНЫ
§ 7. Степень с натуральным показателем
и ее свойства
Степенью называется произведение нескольких
одинаковых множителей.
Например, 3 3 • 3 • 3 • 3 = З5.
Число 3 называют основанием степени, а число
5 — показателем степени.
Определение. Степенью числа а с натуральным
показателем п > 1, называется произведение п мно-
J жителей, каждый из которых равен а:
ап = а-а а ... а.
п раз
Степенью числа а с показателем 1 называется
само число а:
а1 = а.
Нахождение значения степени называют возведе-
нием в степень.
Например, 43 = 4 • 4 • 4 = 64; О2 = 0 • 0 = 0; (-5)3 =
= (-5) • (-5) • (-5) = -125; 71 = 7.
При возведении в степень положительного числа
получается положительное число; при возведении в
степень нуля получается нуль.
При возведении в степень отрицательного числа
может получиться как положительное число, так и
отрицательное.
Например, (-3)1 = -3; (-3)2 = (-3) • (-3) = 9;
(-3)3 = (-3) • (-3) (-3) = -27;
(-3)4 = (-3) • (-3) • (-3) • (-3) = 81.
) Степень отрицательного числа с четным показа-
) телем — положительное число.
(Степень отрицательного числа с нечетным пока-
зателем — отрицательное число.
Квадрат любого числа есть положительное число
или нуль, т. е а2 >0 при любом а.
Пример 1. Найти значение выражения
а) 5 10*; б)-24 + (-3)2.
Решение.
а) 5 • 104 = 5 10 • 10 10 • 10 = 50 000;
б) -24 + (-3)2 = -(2 • 2 • 2 2) + (-3) (-3) =
= -16 + 9 = -7.
Пример 2. Записать произведение в виде степени:
а) 0,6 0,6 • 0,6; б)---; в) 3-3-3-...-3;
2 2 2 - 10;аз '
г) x-x-x-...-х; д) (х - у)(х - у); е) (тп)(тп)(тп).
13 раз
Решение.
Ill 71V
а) 0,6 0,6 • 0,6 = 0,63; б)---- = - ;
2 2 2
в) 3-3 3 ...-3 = 3'°; г) х-х-х-...-х = хгз;
10 раз 13 раз
д) (х - у)(х - у) = (х - у)2; е) (тп)(гпп)(тп) = (тп)3.
Пример 3. Выполнить возведение в степень:
а) З4; б) 62; в) 43; г) 25; д)(-1,8)2;
f 11
к) -2- .
I 2J
Решение.
а) З4 = 3 • 3 • 3 • 3 = 9 • 9 = 81; б) 62 = 6 • 6 = 36;
в) 43 = 4 • 4 • 4 = 16 • 4 = 54;
г) 25 = 2 • 2 • 2 2 • 2 = 4 • 4 • 2 = 4 • 8 = 32,
д) (-1,8)^ = (-1,8) (-1,8) = 3,24;
е) (-1,4)3 = (-1,4) ' (-1,4) • (-1,4) = 1,96 • (-1,4) =
= -2,744;
ж)
3 3 3 3 9 9 81
Г 2V 2W 2)_4( 21 8
3 I 3J 3 Д зД зД 9\ 3 J” 27’
ч Г 2? <5? 5 5 5 125
ИЧМ *Ы
25 25 625
Т Т’ 7б~’
Пример 4. Представить в виде квадрата или куба
число:
а) 27; 6)81; в) 125; г) 0,008; д) з|; е) 1 —.
Решение.
а) 27 = 3 3 • 3 = З3; 6)81 = 9-9 = 9*
в) 125 = 5 • 5 - 5 = 53; г) 0,008 = 0,2 • 0,2 • 0,2 = 0,23;
3 27 3 3 3_(3'f.
8 8 ~2'2 2~[ 2J ’
24 = 49 = 7,7 Г7?
25 25 5 5 \5у
Пример 5. Выполнить действия:
а) 3 52; 6) (3 • 5)2; в) (-0,2)3; г) -0,23;
д) —4 • З4; е)-52 (-8).
Решение.
а) 3 • 52 = 3 • 25 = 75;
6) (3 5)2 = 152 = 15 15 = 225;
в) (-0,2)3 = (-0.2) • (-0,2) • (-0,2) = -0,008;
г) -0,23 = -(0,2 • 0,2 • 0,2) = -0,008;
д) -4 • З4 = -4 3 • 3 3 • 3 = -4 • 9 9 = -4 • 81 = -324;
е) -52 • (-8) = -(5 • 5) • (-8) -5-5-8 = 5-40 = 200.
Свойства степени с натуральным показателем
’ 1. При умножении степеней с одинаковыми ос-
) нованиями основание остается прежним, а показа-
< тели степеней складываются:
ат • ап = ат *п
2. При делении степеней с одинаковыми основа-
ниями основание остается прежним, а показатели
степеней вычитаются:
ат : ап = ат ~ п
3. При возведении степени в степень основание
остается прежним, а показатели степеней перемно-
жаю тся:
(am)n = атп_
4. При возведении в степень произведения надо
возвести в эту степень каждый множитель:
(аЬУ = апЬп.
5. При возведении в степень дроби надо возвести
в эту степень числитель и знаменатель:
Пример 6. Записать произведение в виде степени;
1) а2а3; 2) (2Ь) • (2ft)5; 3) 43 • 42 • 44;
4) (-3)4 • (-3)6 • (-3)8; 5) (х - у)8(х - у)5.
Решение.
1) а2а3 = а2 + 8 = а5;
2) (2ft) • (2ft)5 = (2ft)1 +5 = (2ft)6;
3) 43.42.44 = 43+ 2+ 4 = 49.
4) (-3)4 • (-3)6 (-3)8 = (-3)4 16‘ 8 = (-3)18;
5) (x - y)8(x - y)5 = (x - y)* +1 = (x - y)13.
Пример 7. Записать в виде степени с основанием 2:
1) 16; 2) 64; 3) 128; 4) 23 32; 5) 64 128.
Решение.
1) 16 = 24; 2) 64 = 26; 3) 128 = 27;
4) 2s 32 = 23 • 25 = 28;
5) 64 128 = 26 27 = 213.
Пример 8. Записать частное в виде степени:
4) (а - &)19 : (а - &)4; 5) (а + &)21 : (а + &)13.
Решение.
3) х27 : х6 = х21; 4) (а - 5)19 : (а - b)* = (а - Ь)15;
5) (а + b)21 : (а + fe)13 = (а + &)8.
Пример 9. Записать в виде степени с основани-
ем а:
1) (а8)6; 2) (а2)3-а5; 3) а6(а3)2; 4) а3 • а4(а2)4;
5) (а6)3 : (а2)7; 6) .
Решение.
1) (а8)6 = а48; 2) (а2)3 • а5 = а6 а5 = а11;
3) а6(а3)2 = а6 • а6 = а12; 4) а3 а4(а2)4 = а3 а4 а8 = а15;
5) (а6)3 : (а2)7 = а18 : а14 = а4;
Пример 10. Записать в виде степени произведения
выражение:
])35-х5; 2) 43 - z/3; 3) 64 • 84; 4) 9а2;
5) 25m2; 6) 35х5у5; 7) 113а3&3.
Решение.
1) З5 • х5 = (Зх)5; 2) 43 • у3 = (4г/)3;
3) 64 84 = (6 8)4 = 484; 4) 9а2 = 32а2 = (За)2;
5) 25m2 = 52m2 = (5m)2; 6) 35х5у5 = (3xz/)5;
7) 113а3&3 = (Пай)3.
Пример 11. Записать выражение в виде степени с
показателем 2:
1) еМ8; 2) х6у10; 3) 492а4; 4) 121m2;
5) ае54с2; 6) х4/2210; 7) 36х6г/12; 8) 100m4n14.
Решение.
1) сМ8 = (c2dj)2;
2) х6у10 = (х3у5)2;
3) 493а4 = 492 • (а2)2 = (49а2)2;
4) 121m2 = ll2m2 = (11m)2;
5) а654с2 = (а3)2 • (b2)2 • с2 = (а3Ь2с)2;
6) x4y8z10 = (х2)2 • (у4)2 • (г5)2 = (х2у4г5)2;
7) 36х6у12 = 62 • (х3)2 • (у6)2 = (6х3у6)2;
8) 100m4n14 = 102 • (m2)2 • (а7)2 = (Ют2п7)2.
Задачи
Часть 1
1. Представить в виде степени:
1)се-с41; 2) а а5; 3) х4 • х8; 4) 3» З11;
5) b • Ь3 bs; 6) х7 • х5 • х12; 7) (-4 )3 • (-4)7 • (-4)9;
8) 216 : 25; 9) (0,3)21 : (0,3)8; 10) (-0,4)17 : (-0,4)8.
2. Найти значение выражения:
5) (-6)2; 6) (-1)9; 7) (-1)8; 8) -
9)-(-0,1)2; 10) -43.
3. Найти значение выражения:
1) (аЬ)2 при а = 6, b = -0.5;
2) — | при а = -6, Ъ = 1,2;
3) (х + у)2 при х = 1,7, у = 0,3;
4) (г/ - х)3 при х = -13, у = -10.
4. Используя правила умножения и деления степе-
ней, упростить выражения:
'У’З • v9 • -V» • -у 8 • уЗ • <у 2 • т> \ <у16 • -у 6 • -у* Т~14 -у12 • у7 « -у 5
CL j •А' Л' • «А- у el J Лг « Л- • А у D J Л, • «А- Л, у L J Л- • •
5. Представить в виде степени выражения:
1) ат • а7; 2) Ъп Ь3п; 3) уп : у5; 4) у12 : уп; 5) с" : с.
6. Возвести в степень произведение:
а) (хг/)12; б) (abc)8; в) (0,lx)3; r)(2xt/)4; д)
е) (-Зх)3.
7. Представить произведение в виде степени:
а) 49а2Ь2; б) 0,008х3у6; в)-32a5bs; г)-0,027x3i/3.
8. Найти значение выражения:
а) 7е : 74; б) 1013 : 1010; в) 0,310 : 0,37;
( 1V ( 1Y ( 1Y ( if
г) — : — ; д) | 1- : 1- ; е) 3,1415: 3,1414.
Ч 3j L 3j Ч 3j ( з;
9. Найти значение дроби;
. 7s й. 0,57 . (-0,2)5
а) ~г; б)------в)-----------—;
74 0,54 (-0,2)3
10. Найти значение выражения:
а) 4х° при х = 2,1; б) -3,5г/° при z/ = —J —:
2
Q
в) 10а3Ь° при a = -2, Ъ = -9; г) 81а°Ь3 при а- — ,
Часть 2
1. Найти:
1) сумму квадратов чисел 0,2 и -0,3;
2) квадрат суммы чисел 7,5 и —6,9;
3) разность квадратов чисел 1,6 и 0.7;
4) квадрат разности чисел -1,8 и -0,4.
2. Найти значение выражения:
( 1 Л2 1
а) - 1 — - (0,3)2; б) 1000 • (0,2)3 - (-3)4;
I 4 J 3
г) 43 •
3? 2
4 । (-0,1)2 '
3. Вычислить значение выражения, используя
свойство степени произведения.
( 1 А4
1) 52 • З2; 2)1 —I-104; 3) (0,5)3 • 203;
4
4)(1,4)4-
5) 3s • (З2) : З12; 6) 525 : (53)6 : 54;
27 94
3е ’ 812
9)
517 З17
1515
126
Ю)
35-45
4. Представить в виде степени с основанием 5 число:
а) 256; б) 1254; в) 6253.
5. Представить 240 в виде степени с основанием:
а) 22; б)24; в) 25; г) 28; д) 210; е) 220.
6. Упростить выражение:
а) х6 • (х3)2; б) (х4)5 • х7; в) (х6)2 • (х3)3; г) (х2)4 • (х4)2.
7. Какое из чисел больше:
1) 364 или 88; 2) 510 или ) О5; 3) 1020 или 9010?
8. Вычислить:
35-520 -3-519 _ . 6-233 -5 231 (4-З23т9 З22)-7
25-° ’ 41в ’ ' (21 274)2
§ 8. Одночлен.
Стандартный вид одночлена
Одночленом называется произведение числовых и
буквенных множителей.
1 •
Например, 4хг/, —a be; у2, у, 0,3xyz2.
2
Числовыми множителями одночлена
4х3 • (0,5) у2 (-З)з4
являются 4; 0,5; -3; а буквенными х3, у2, z*.
Одночлен, содержащий только 1 числовой множи-
тель, стоящий на первом месте, и степени с различны-
ми буквенными основаниями, называется одночленом
стандартного вида.
Например, 4х3 • (-5)y2z = 4 • (-5)х3г/2г = -20x3z/2z.
Мы представили одночлен 4х3(-5)г/2г в виде произ-
ведения числового множителя, стоящего на первом
месте, и степеней различных переменных, т. е. запи-
сали в стандартном виде.
Числовой множитель одночлена, записанного в
стандартом виде, называется коэффициентом одно-
члена.
В рассмотренном примере k = -20.
Степенью одночлена называется сумма показате-
лей всех входящих в него переменных.
Если одночлен не содержит переменных (т. е. явля-
ется числом), то его степень равна нулю.
При мер 1. Найти значение одночлена:
1) 1,5х2 при х = 2; 0,6, 0; -1;
2) 4ху при х = 3, у = 1,6;
3) -0,04аЬ2 при а = -5, Ъ = -6;
4) 2Qabc при а = -1, Ъ = 2, с = 0,3
Решение.
1) при X = 2, 1,5 • 22 = 1,5 • 4 = 6:
при х = 0,6, 1,5 • 0,62 = 1,5 0,6 • 0,6 = 0,9 • 0,6 =
= 0,54,
при х = 0, 1,5 • О2 = 0;
прих = -1, 1,5 • (-1)2 = 1,5 1 = 1,5;
2) при х = 3, у = 1,6, 4 3 1,6 = 4 • 3 • 1,6 =
= 4 • 4,8 = 19,2;
3) при а = -5, b = -6, -0,04 • (-5) • (-6)2 =
= 0,2 36 = 7,2;
4) при а = -1, b = 2, с = 0,3, 20 • (-1) • 2 0,3 = -12.
Пример 2. Среди одночленов 6u3fec; -1,2х2у;
23x2i/x; -О.бтпн2; -у, Аа3Ъс-, -17 x2y2z2; у; Smmnc;
-Зх — и; -х3х; у 0,4 указать одночлены:
1) стандартного вида;
2) отличающиеся только коэффициентами.
Решение.
1) 6a3bc; -1,2х3у; ~0,6тп2; -у; 4а3Ьс; -17x2y2z2; у;
2) Ga3bc; 4.a3bc; -у, у.
Задачи
Часть 1
1. Является ли одночленом выражение:
а) 2,8а2&; б) -0,8х2у3; в) х(-0,3); г) а2 + а;
7 1
д) х3х; е) - — т2пт4; ж) х - у, з) — (а +- Ь)27
2. Записан ли в стандартном виде одночлен:
3
а) 7аЬ; б) —хух; в) 0,Зх 2у;
4
г) -abc; д) -4х3г/4; е) 5т2тг5?
3. Какова степень одночлена:
2
а)-9х3у5; б) — abc; в)0,2т2п4; г)-7х4?
Часть 2
1. Представить одночлен в стандартном виде и на-
звать его коэффициент:
а) 12а3а; б) 4,6/ппс 0,5m; в) х2у(-1,5)у2;
г) 12с31 Iс2; д) — х2у • 1,5а3; е) 4 —а’х21lax.
( 4 J 5 3 I 13 J
2. Найти значение одночлена:
a) 4a3 при а = 0,5; б) - — у4 при у = 2;
в) fix2y при х = -0,2, у = — ; г) -Зх3//2 при х = -1, у = —.
6 3
3. Длина прямоугольника равна а см, а ширина в
2 раза меньше. Найти площадь прямоугольника.
4. Чему равен объем прямоугольного параллелепи-
педа, ширина которого т см, длина в 3 раза больше
ширины, а высота в 4 раза больше длины?
§ 9. Умножение одночленов.
Возведение одночлена в степень
При умножении одночленов и возведения одно-
члена з степень используются правило умножения
степеней с одинаковыми основаниями и правило воз-
ведения степени в степень. В результате получается
одночлен, который записывают в стандартом виде.
а”1 : а” = а":п; (ат)п = атп.
Пример 1. Перемножить одночлены -Зх3уг и
1х2у3.
Решение.
-Зх3уг ~х-у3 = (-3 • 7)(х3х2)у//5)з = -21х51/6г.
Пример 2. Найти произведение одночленов — х3//2,
Gx//4 и -15х//.
Решение.
—х3//2, 6х//4 • (-15х//) = -
= 90х5//7.
Пример 3. Возвести в
1-6 (-15)(х3хх)(//2//4//) =
пятую степень одночлен
1 з
---х у.
2
Решение.
( 1 У
— х3у I
1 2 '
I (*3)У
- — х15//5.
32
1
2
Задачи
Часть 1
1. Выполнить умножение одночленов:
1) (2и?)(-5п3); 2} | --а4 |(4а2);
I 2 )
з) (2xV)(6xV);
4)
2 з, 2V 9 ,,
— a’bx —аЪ х
з Дю
5)
(-12у2)(3ху); 6)
5 о f 12 2 \
—ау\\—ху 5«х).
2. Возвести одночлен в степень:
1) (Зх)3; 2) (4у)2; 3) (-2х2/)3;
а Y
4) \-rnn2 ; 5)(-0,2а&93; 6) (0,За2Ь2)2.
\ 3 )
3. Выполнить действия:
1) (-Зх)2 • (-Зх); 2) (-0Да2&с)2(100а&с3);
<2 V 1 V 7 5 Y
3) -1-х2/ --х/ ; 4) ДаУ I (6а2&)2.
15 7 J \6 )
4. Выполнить умножение одночленов и найти зна-
чение полученного выражения:
1) — х2 • 6х2г/ при х = -3; у = — ;
3 6
2
2) —ab 15б2 при а = 1,5; b = 4.
Часть 2
1. Выполнить умножение:
а) -7ах2 8Ьх3; б) -6а3Ь3 (~9asb3);
в) Юху2 • (-ху2) 0,2х; г) 0,6х2 •
ч , 5 Г б g g ) , . ' 4 6 У 1 4 2
д) 1 —тип- —т п ; е) тп-\ —т п -1 — т п
G I 7 J I 3 J I 5
2. Представить в виде одночлена стандартного
вида:
а) (-0,4х3у)3;
в) (-xz/3z2)4;
б) (-3afe4)2;
г) (-a2b3c)5.
3. Представить выражение в виде квадрата одно-
члена:
а) 121х6; б) 289г/8; в) 0,04у16; г) — х8.
4. Представить выражение в виде куба одночлена:
27
а) 125г12; б) 0,008у9; в) -0,064mb; г) -^-.г15.
5. Преобразовать выражение в одночлен стандарт-
ного вида:
(1 V
а) (0,2х2у)3 • lOOOxV; б) -a2b2 I • (-64a3fe5);
<4 J
( 9 Y
в) | --V | (-36x4j/3); r) -0,02a5 (-10a4)3;
д) — m‘ •[ -1 — чг4 | ; e)-0,6x5j/5 • (0.5х2г/)2.
16 3 )
6. Можно ли представить в виде квадрата одночле-
на выражение:
(2
а) 100а2г/5; б) -6?п3/г5 •---тп3 ;
\ 3 )
( а Л
в) (-Зху)3 • 27ху3; г) -4а3Ь3 • - — ab I?
( 16
§ 10. Многочлены
Многочленом называется алгебраическая сумма
нескольких одночленов.
Одночлены, из которых составлен многочлен, назы-
вают членами этого многочлена.
Например, членами многочлена 4ху3 - bm2n + 4/г
являются 4х//3, — 5т2п, 4k.
Если многочлен состоит из двух членов, то его назы-
вают двучленом, если из трех членов — трехчленом.
Примеры многочленов:
6хг/2а3— одночлен, — ab-4bc —двучлен,
2
7х2г/3 + 0,2z/z - xz — трехчлен.
Подобные члены — одночлены, отличающиеся
только коэффициентами, или одинаковые одночлены.
Привести подобные члены — значит упростить
многочлен, при котором алгебраическая сумма подоб-
ных одночленов заменяется одним многочленом.
Например, Sab - 6bc 4- ас + lab + 2bc =
= 10ab - 4Ьс + ас.
Стандартный вид многочлена — запись многочле-
на, в которой все члены записаны в стандартном виде
и среди них нет подобных.
Степенью многочлена стандартного ьида называется
наибольшая из степеней входящих в него одночленов.
Степенью произвольного многочлена называется
степень тождественно равного ему многочлена стан-
дартного вида.
Пример 1. Какова степень многочлена
4х5 + 12ху2 - х5 - 2х5 + 7х?
Решение.
Приведем многочлен к стандартному виду:
4х5 + 12хг/2 - х5 - 2х5 + 7х = (4х5 - х5 - 2х5) +
+ 12ху2 + 7х = х5 + 12xz/2 + 7х.
Степень многочлена х5 4- 12ху2 + 7х равна 5, зна-
чит, степень данного многочлена равна 5.
Пример 2. Составить многочлен из одночленов:
1) 5х3, 8хи7; 2) 4х2;-13х и 7;
3) 4а3, 8a2b, -Sab3 и Ь2; 4) 6а3Ь, -За2Ь3 и -2пЬ4.
Решение.
1) 5х3 + 8х + 7; 2) 4х2 - 1 Зх + 7;
3) 4а3 + 8п2Ь - ЗаЬ3 + Ь2; 4) 6a3b - За2Ь3 - 2аЬ\
Пример 3. Упростить многочлен, записав его в
стандартном виде:
1) 1Gx33j/x - 4хг/3хг/3 + 13хух2;
2) 3ab3<iab - 6a27aba - abab3;
3) 275ab2(-6)abc - 3mnp24-m3np;
4) 5xx2x | | xi/ + llxz/3x2(/.
I 5 J
Решение.
1) 1 6x33yx - 4xz/3xz/3 + 13xyx2 = 48x4z/ - 12x2z/4 +
+ 13x3j/;
2) 3ab4ab - 6a27aba - abab3 = 12a2fe4 - 42a4& - a2&4;
3) 2,5ab2(-6)abc - 3mnp2^m3np = -15a2b3c - 12m4n2p3;
4) 5xx2x — \xy + 11xj/3x2i/ = ~x3y + llx3y4.
Пример 4. Привести подобные члены многочлена:
а) 17х - 9ху - ху;
б) х4 - 4х 4 6х2 - 6х4 + 4х;
в) 16ab2 - b3 - 4ab2 + 5a2b + 3ab2 + 3b3;
г) 4«63 - 5a2b2 + ab3 + 3a2b2 - a2b2 + 11;
д) 14x2y + xy2 - 4:X2y + x2y - 5xy2.
Решение.
a) 17x - 9xy - xy = 17x - (9хг/ + xy) = 17x - Юхг/;
6) x4 - 4x + Gx2 - Gx4 + 4x = (x4 - Gx4) + (4x - 4x) +
+ 6x2 = -5x4 + 6x2;
в) 1 6ab2 - b3 - 4abs + ba2b + 3afe2 + 3b3 = (16ab2 -
- 4ab2 + 3ab2) + (3b3 - b3) +- ba2b = 15ab2 + 2b3 + 5a2fe;
r) 4a£>3 - 5a2fe2 + ab3 + 3a2b2 - a2b2 + 11 = (4ad3 + ab3) +
+ (3a2b2 - 5a2b2 - a2b2) + 11 = 5a&3 - 3a2b2 + 11;
д) 14х2г/ + xy2 - 4x2y + x2y - 5xy2 = (14x2y - 4x2y +
+ x2y) + (xy2 - 5xy2) = llx2y - 4xy2.
Пример 5. Упростить многочлен и найти его чис-
ловое значение:
1) х23ху - 6х6х2у при х = —, у = 3;
3
2) ab2a2b - abab при a = -1, b = 4.
Решение.
1) х23ху - 6х6х2у = Зх3у - 36х3у = -33х3у;
1 Г1 У 1
при х = —, у = 3, получим -33 I — -3 = -33 — =
3 3J 9
11 з2.
3 3
2) ab2a2b - abab = asb3 - a2b2 = a2b2(ab - 1); при
а = -1, Ъ = 4, получим (-1)2 • 42(-4 - 1) = -80.
Задачи
Часть 1
1. Привести многочлен к стандартному виду:
а) у ху + х3у; б) 7х 4у2 - Зх2 Зу;
в) 4m 9п k2 - k За; г) 4х • бу • (-Зх2) + (-2х) • 7у3;
д) 4?м5 - тпъ - 9m5 — 13m5;
е) 11х2у — Зх2у - 17х2г/ - 4х2г/.
2. Привести подобные члены и указать степень
многочлена:
1) 4х3 - х3 + 19х - 2х3 - 4х - 7;
2) 6m2 + 2m - 13 - m3 - 4m2 + 6m - 10;
3) x5 -x4 + x3 - x2 + 3 + x4 - Xs + x2 - 3;
4) 7 у2 + 5 ху - 4y2 + 1 Зу2 - 4xy.
3. Упростить выражение и найти его значение:
1) -12х - у - 4 + 16х при х = -19, у = -3;
2) ab - 6а + 4а + ЗЬ при а = b = -4.
Часть 2
1. Привести подобные члены многочлена:
1) 7х2 - ху - 4г/2 - 11ху - 6х2 + Зу2 + Зху + у2;
2) 18x3i/z - 14xi/3z - 12xyz3 - 17xy3z + xyz3 - 17x3yz.
2. Найти .значение многочлена:
а) 4х6 - 2х2 + 9 - х6 - Зх6 + Зх2 при х = -5;
б) 7т2п - тп2 - 6т2п + тп2 - тп + 2 при m = -1,
п = 3.
3. Доказать, что многочлен а2 + Зб2 + 4 при любых
значениях а и b принимает положительные значения.
4. Записать в виде многочлена число, состоящее из:
а) х десятков и у единиц;
б) х сотен, у десятков и г единиц.
5. Расположить многочлен по убывающим степе-
ням переменной:
a) 21m4 - 12m5 + 4m2 - m3 - 2;
б) 43 - n& + 6га4 - 5ne.
6. Какова степень многочлена:
a) 6x7 - Зх6 + x - 1; 6) 4m4 - m2 - 2;
в) 6x2z/2 + x2z/3 - 3x3 + y2; r) ab + be + ac - 3?
7. Составить многочлен пятой степени, содержа-
щий:
а) одну переменную; б) две переменные.
§ 11. Сложение и вычитание многочленов
Пример 1. Сложить многочлены 6х2 + 9х - 5 и
-2х2 - 4х + 3.
Решение.
Составим их сумму, затем раскроем скобки и при-
ведем подобные члены:
(6х2 + 9х - 5) + (-2х2 - 4х + 3) = 6х2 + 9х - 5 - 2х2 -
- 4х + 3 = 4х2 + 5х - 2.
Таким образом, сумму двух многочленов мы пред-
ставили в виде многочлена 4х2 4- 5х - 2.
Пример 2. Найти разность многочленов 6х2 + 9х - 5
и -2х2 - 4х + 3.
Решение.
(6х2 + 9х - 5) - (-2х2 - 4х + 3) = 6х2 + 9х - 5 + 2х2 +
+ 4х - 3 = 8х2 + 13х - 8.
( При сложении и вычитании многочленов снова
) получается многочлен.
Иногда сумму или разность многочленов удобно
находить «столбиком». При этом подобные члены рас-
полагаются друг под другом.
Пример 3. Найти сумму и разность многочленов
7х2г/ - 6xi/ + 3 и 4х2г/ + 9хг/ - 1.
Решение.
7х2у - бху + 3 _ 7х2у - бху + 3
4х2г/ + 9ху - 1 4х2г/ + Эху - 1
11х2г/ + Зху + 2 Зх2у - 15x1/ + 4
Пример 4. Упростить выражение:
а) (4а + 7b) + (10а - 7Ь) + (-4а + 125);
б) (Зх - у) - (6х + 11//) + (Зх + 14у).
Решение.
а) (4а + 7Ь) + (10а - 7Ь) + (-4а + 125) =
= 4а + 7Ъ + 10а - 7Ь - 4а + 125 = 10а + 125;
б) (Зх - у) - (6х -I- 11//) + (Зх + 14г/) =
= Зх - у - 6х - 11г/ + Зх + 14у = -6х + 2у.
Задачи
Часть 1
1. Упростить алгебраическую сумму многочленов:
а) 6х + (-4х + 5 г/); б) 7х - (Зх - 4у);
в) (9а - 5) - (6а + 55); г) (8х + 3) + (-х - 4).
2. Найти сумму и разность многочленов:
1) 0,4х2 + 0,03у2 и 0,23х2 - 0,07у2;
2) 0,Зх2 - 0,02г/2 и -0,21х2 + 0,08у2.
3. Найти разность многочленов «столбиком»:
1) 7а2 + 9а - 1 и 5 + 6а - 9а2;
2) х3 - 4х2 + 5х и х + Зх2 + х3.
4. а) Составитв сумму многочленов 5х3 - 4х — 9 и
х3-6х и преобразовать ее в многочлен стандартного
вида.
б) Составить разность многочленов бу2 - 10 и 8у2 —
- 2у + 7 и преобразовать ее в многочлен стандартного
вида,
5. Преобразовать в многочлен стандартного вида:
а) (6 + 7а) + (а2 - 6а);
б) (Зх2 + 4х) + (-х + 5);
в) (т2 - 6т) + (6m - 2m2);
г) (а2 - п + 9) - (а2 + п + 8).
Часть 2
1. Упростить выражения:
а) 6,3х - (3,5х + 1,6х2);
б) -О,3у2 + 5,бу + |(4,Зу - 0,Зу2);
в) 9а2 + (3,5 - а2) - (6,7а2 - 1);
г) (8,4b - Ъ2 + 3) + 0,6b2 - (4,7b - 3,5b2).
2. Вместо М подставить такой многочлен, чтобы
следующее равенство оказалось тождеством:
а) М + (4х2 - Зху) = 5х2 + Юху - у2;
б) М - (5ху - 4у2) = х2 - 8ху + 9у2.
3. Найти значение выражения 6х2 - (4ху - 7х2) +
+ (бху - 13х2), если х = -0,75, у = 2.
4. Доказатв, что разность многочленов 0,8х4 +
3
+ 0,Зх2 + б и -0,2х4 + — х2 - 9 при любом значении х
10
принимает положительное значение.
5. Доказать; что значение выражения
- а2 - 0,6аЬ - 3,46 4- 7 | - | Ь2 - - аЪ 4 0,4а2 |
5 J I 5 )
не зависит
от а.
6. Пусть а = Зх2 + 4ху - у2, Ъ = -2х2 -+ ху + Зу2,
с = 5х2 + Зху. Найти значение;
а) а + b + с; б) а - b - с.
7. Решить уравнение:
а) (17 + 4х) + (9х - 37) = 16;
б) (23 + Зх) - (6х - 13) = 27;
в) 2 - (0,6х - 13,4) = 14,6 - 0,4х;
г) 4,6 - 2,5г/ + (6,5г/ - 0,4) = 3,бу + 5;
д) 6,3 г/ + 1,8 = 7,3г/ - (2,2г/ + 1,7) + 2,1.
§ 12. Умножение многочлена на одночлен
! Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно
каждый член многочлена умножить на этот одно-
член и полученные произведения сложить.
Например, (бхг/ - 5г/г)(3хг) = (6хг/)(3хз) +
+ (-5г/г)(3хг) = 18х2г/г - 15хг/г2.
Умножение одночлена на многочлен выполняется
аналогично, так как при перестановке множителей
произведение не меняется, например.
5аб(4а2 - b + 3) = 20а36 - 5ab2 + 15«t>.
Пример 1. Найти произведение многочлена и од-
ночлена:
7 5 Л
1) 4(6х2 - х + 3); 2) — \ (т - п + /г);
к 6 J
3) (6а - 4Ь + аб)(-5); 4) (-3)(4х3 + х2 - х).
Решение.
1) 4(6х2 - х + 3) = 24х2 - 4х + 12;
б 5 \ 5 5 5
2) I — \ (т - п + k) = —т+—п — k’,
X 6 Г 6 6 6
3) (6а - 4ft + ab)(-5) = -30а + 20ft - 5ab;
4) (-3)(4х3 + х2 - х) = -12х3 - Зх2 + Зх.
Пример 2. Упростить выражение:
1) -3(2х - 5г/) - 4(г/ - 2х);
2) 4(т - п) - 3(2т + За);
3) (а2 - 1)4а - (а2 - 2)3а;
4) (5г/2 - Зх)х - (4у2 - 2х)7х.
Решение.
1) -3(2х - 5г/) - 4(г/ - 2х) = -6х + 15г/ - 4г/ + 8х =
= 2х + 11г/;
2) 4(гп - п) - 3(2т + Згг) = 4m - 4а - 6m - 9гг =
= -2т - 1 Зи;
3) (а2 - 1)4а - (а2 - 2)3а = 4а3 - 4а - За3 + 6а = а3 +
+ 2а;
4) (5г/2 - Зх)х - (4г/2 - 2х)7х = 5хг/2 - Зх2 - 28хг/2 +
+ 14х2 = Их2 - 23хг/2.
Пример 3. Найти значение алгебраического выра-
жения 4ху(5х2 - г/2) + 5хг/(г/2 - 4х2) при х = 4, у = -3.
Решение.
4хг/(5х2 - г/2) + 5хг/(г/2 - 4х2) = 20х3г/ - 4хг/3 + 5ху3 -
- 20х3г/ = хг/3. При х = 4, у = -3 получим 4 (-3)3 = -108.
Задачи
Часть 1
1. Выполнить умножение:
а) 4х2(1 - х); б)-4г/3(у - Зг/2);
в) -9а3(а5 + 5а); r) 2m4(m5 - т3 - 7);
д) -4с(с4 + с3 - 1); е) ft3(ft4 - 4ft3 + 3).
2. Упростить выражение:
а) 4(х + 2) + (х - 2); б) Зх(х - 1) - х(3 - х);
в) 4а(а + ft) + 5с(а - с); г) 4ft(2a - ft) - 7a(3ft - а).
3. Найти значение выражения:
а) -х(х2 - 2х и- 3) 4 х(х2 + 2х - 5) при х = 2;
б) х(х + у) - у(у2 + х) при х = 3, у = -3.
4. Доказать, что выражение х(3х + 1) - х2(х + 3) +
+ (х3 — х + 5) при любом значении х принимает одно и
то же значение.
Часть 2
1. Преобразовать в многочлен стандартного вида:
а) (х4 - х3у + 2х2у2 - Зху3)х2у;
б) За2&3(4&3 + 5Ь2 - а - а2);
в) 4m(5/n3 - т2 - тп + п3) п;
г) -ху(х2у - ху2 - х3у3) • р.
2. Доказать, что выражение Зх(х - 6) - 9(х2 - 2х + 2)
при любых значениях х принимает отрицательные
значения
3. Решить уравнение:
а) 4х + 2(х - 1) = 5х + 10;
б) 2х - 4(1 - х) = 45;
в) 0,5(Зг/ - 4) - (0,5 - 0,2г/) + 7 = 0;
г) 0,6 - 0,4(5г/ - 4) = у + 1,5;
д) 4(4х - 3) + 3 = 6(1 - Зх) - 1.
4. При каком значении переменной:
а) значение выражения 3(4 - 7а) на 2 меньше значе-
ния выражения 5(1 — а);
б) значение выражения -4(3г/ + 2) на 30 больше зна-
чения выражения 9у + 7;
в) значение выражения 6х + 11 в 4 раза меньше зна-
чения выражения 53 — 8х;
г) значение выражения 9 - у в 3 раза больше значе-
ния выражения 8 + у?
5. Найти корень уравнения;
5х-6 Зх-2 6-х 4х-1 „
а) ----=------I- 3; б) -------I-----= 5;
7 3 3 4
. 6х-11 х-6 , 5х-12 14-9х „
в)------------= 4; г) ---------+-------= 3.
8 12 20 15
6. Периметр треугольника 49 см. Одна из его сто-
рон на 4 см меньше другой и в два раза больше третьей
стороны. Найти длины сторон треугольника.
7. За 10 открыток, 12 конвертов и блокнот запла-
тили 340 руб. Конверт в 5 раз дешевле блокнота и на
2 руб. дороже открытки. Сколько стоит открытка,
конверт, блокнот?
§ 13. Умножение многочлена
на многочлен
(Чтобы умножить многочлен на многочлен, нуж-
но каждый член одного многочлена умножить на
каждый член другого многочлена и полученные
произведения сложить.
При мер 1. Выполнить умножение
(2х2 - ху + Зг/2)(4х - у).
Решение.
(2х2 - ху + Зг/2)(4х - у) = 2х2 • 4х - ху • 4х + Зу2 • 4х -
- 2х2 • у + ху у - Зу2 • у = 8х3 - 4х2у + 12ху2 - 2х2у +
+ ху2 = 8х3 - 6х2у + 13хг/2.
Пример 2. Упростить выражение
(4а - 5)(6 - а) - 4а(6 - а).
Решение.
(4а - 5)(6 - а) - 4а(6 -а) = 4а6-56-4аа +
+ 5 • а- 4а - 6 + 4а а = 24а - 30 - 4а2 -г 5а - 24а + 4а2 =
= 5а - 30.
Пример 3. Решить уравнение
(6х - 5)(3х + 4) - 18х2 = 7.
Решение.
(6х - 5)(3х + 4) - 18х2 = 7,
18х2 - 15х + 24х - 20 - 18х2 = 7,
9х - 20 = 7, 9х = 27, х = 3.
Пример 4. Доказать равенство
(х2 — 2х + 2)(х2 + 2х + 2) = х4 + 4.
Решение.
(х2 - 2х 4- 2)(х2 + 2х + 2) = (х2 - 2х 4- 2) • х2 4-
+ (х2 - 2х + 2) • 2х + (х2 - 2х 4- 2) • 2 = х4 - JJx8 4-
+ ,2x0+ 4 = х2 + 4, ч т. д.
Задачи
Часть 1
1. Выполнить умножение многочленов:
1) (х + 1)(х + 3); 2) (а - 1 )(а + 2);
3) (т +- 4)(тп - 5); 4) (а2 + Ь)(а + Ь2);
5) (Зх2 - 2z/2)(2x2 - Зу2); 6) (Зх - г/)(9х2 4- Зху 4- г/2);
7) (4&2 + 6bc + 9с2)(2б - Зе); 8) (х - 1)(х - 2)(х - 3);
9) (а + Ь)(а - Ъ)(а2 + Ь2).
2. Заменить степень произведения, а затем произ-
ведение преобразовать в многочлен:
а) (т - 2)2; б) (2 - с)2; в) (4х + З)2; г) (6 - 5у)2.
3. Раскрыть скобки:
а) (х2 - Зху 4- 9у2)(х 4- ЗуУ,
б) (9х2 4- Зху 4- и2)(3х - у);
в) (5 - а)(2а2 + 2а + 3);
г) (1 - 2у + 2z/2)(j/2 - Зу + 1).
4. Упростить выражение и найти его значение:
а)ь-«. + 5)-ь + 2)и-з)ПРИ^1|;
б) (у + 2)(у - б) - (у 4- 3)(у - 4) при у = 1,5.
Часть 2
1. Выполнить умножение многочленов:
1) (а - 3)(а - 5)(п + 2); 2) (Ь + 1)(& - 3)(Ь + 4);
3) (х + 2)(2х - 3)(3х + 4); 4) (у - 2)(4у - 3)(2г/ + 1).
2. Найти значение выражения-
( 1V 2 1 11
1) п+— п —п + — при п = -1 —;
Ч ЗД 3 9 J 3
1Y 2 1 П 11
2) \п— п + — п + —\ при п = 1 —.
' 2 1 > 2 4 2
3. Представить в виде многочлена выражения:
а) (а2 + ab - &2)(а + Ь); б) (т.2 -тп + n2)(m - п);
в) (х + т)(х2 -тх - т2); г) (а - 3)(а2 + 4а + 3).
4. Представить в виде многочлена:
а) а2(а + 3)(а - 3); б) 4у2(у - 2)(2 - у);
в) -2т2(т + 1)(т - 2); г) -1,5п2(2п - 1)(3 - п).
5. Доказать, что при любом значении х значение
выражения (х - 2)(х + 5) - (х + 7)(х - 4) равно 18.
6. Доказать, что значение выражения (у - 6)(у + 5) -
— (у + 3)(г/ — 4) не зависит от переменной у.
7. Доказать, что при всех целых п значение выра-
жения п(п - 2) - (и + 3)(и + 4) делится па 3.
8. Решить уравнение:
а) (6х - 1)(х + 2) - 6х2 = 9;
б) (1 + 2х)(1 + 4х) = (8х - 1)х - 6.
§ 14. Деление одночлена и многочлена
на одночлен
I Чтобы разделить многочлен па одночлен, надо
каждый член многочлена разделить на этот одно-
член и полученные результаты сложить.
Пример 1. (18а463) : (За2) = (18 : 3) • (а4 : а2) • Ь3 =
= 6а2Ь3.
Пример 2. (6а3&2 + 2ab + abc) : (ab) = (6а3Ь2) : (ab) +
+ (2а&) : (ай) + (айс) : (ab) = 6а2Ь + 2 + с.
Пример 3. Выполнить деление:
1 ( 5 А
а) — х4т/3з2: —xyz I; б) -1,6т3п?р4 : (25,6т3р4);
6 3 J
в) (5tz2&3)3 : (5a?b)2; г) (~т3плр)4 : (тпр).
Решение.
\ 1 4 3 2 | 5 | 1 [ З]32 1 32
а) — х и z : —xyz = — • — х у z =---------х у z\
6 ( 3 J 6 L 5 J 10
б) -1.6m3n2j>4: (25,6?п3/>4) = - п2 =- — п2;
25,6 16
в) (5а2&3)3 : (5а25)2 = 53а659 : 52а4&2 = 5а257;
г) (~т3п4р)4 : (тпр) = т12п^р* : (тпр) = nnnlsp3.
Пример 4. Выполнить деление:
1) (18m + 3) : 6; 2) (16п - 4) : (-4);
3) (15xi/ - Зуг) : у; 4) (у - ху) : у;
5) (4х3у - Зху3) : (5ху); 6) (24х2 - 4ху + 6х) : 2х.
Решение.
1) (18m + 3) : 6 = 3m + 0,5;
2) (16n - 4) : (-4) = -4n + 1;
3) (15хт/ - Зуг) : у = 15х - Зг;
4) (у - ху) : у = 1 - х;
5) (4х3// - Зху3) : (5ху) = 0,8х2 - 0,6г/2;
6) (24х2 - 4хт/ + 6х) : 2х = 12х - 2у -г 3.
Задачи
Часть 1
1. Выполнить деление:
1) х11 : г3; 2) т/27 : т/13; 3) а17 : а17;
4)-х:(-3); 5)-6а:|-’-|; 6) - —
5 L 7J 6 13 J
7)-12хг/: (-4хг/); 8) -a4b3c2: | - — a2bc |;
5 I 15 )
9) (-l — xVe2 |:f— xbc2 |.
Ч 5 415 J
2. Упростить выражение:
a) (Зх2г/)3 : (3x2z/)2; 6) (5х3г/2)3 (5х4г/3)2;
в) (-abe3)5 : (-a2b2c2)2; r) (-a3b3c4)4 : (a3b3c3)2.
Часть 2
1. Упростить выражение:
1) (7x3 - 4x2) : x2 + (13x2 + Юх) : (4x);
2) (11г/5 + 16г/3) : (4г/2) — (г/4 — г/2) : г/;
3) (a3b2 - 4a2b3) : | -a2b2 | + (7b4 - 6a2b3) : b3;
I 2 J
<2 1 A (5 A
4) -х2г/4-г-х3г/3 : -x2j/3 I - (9х4г/2 - Зх3г/3): (Зх3г/2).
I 5 5 1 . 6
2. Найти значение алгебраического выражения:
а) (36х4 - 18х3) : (9х2) - 12х3 : (6х) при х = -4;
б) (4х3 + 5х2г/) : х2 - (25хг/ + Юг/2) : (5г/) при х = 3,
У = -2.
3. Пусть п — натуральное число. Представить вы-
ражение в виде степени:
а)
^.7п-5 ^,5п+2
^.бп-3
б)
р^5п+4 g4n-3
5^
Глава 4
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
НА МНОЖИТЕЛИ
§ 15. Вынесение общего множителя
за скобки
' Разложить многочлен на множители — это зна-
( чит представить его в виде произведения двух или
нескольких множителей.
Пример 1. Разложить на множители многочлен
25х2у3 - 40х3у2 + 45x4z/.
Решение.
25х2</3 - 40г8!/2 + 45х4г/ = 5x2z/(5y2 - 8х</ + 9х2).
Пример 2. Разложить на множители выражение
4а3(б - Зе) + 9(3с - Ь).
Решение.
ia3(h - Зс) + 9(3е - b) = 4a3(fe - Зс) - 9(Ь - Зе) =
= (Ь- Зс)(4а3 - 9).
Пример 3. Решить уравнение 4х2 - Зх = 0.
Решение.
4х2 - Зх = 0, х(4х - 3) = 0, откуда х = 0 или 4х - 3 = 0,
3
4х = 3, х = —.
4
3
Ответ: 0; —.
4
Пример 4. Вычислить:
а) 1532 + 153 47; б) 1,93 - 3,61 • 3,9.
Решение.
а) 1532 + 153 47 = 153 • (153 + 47) = 153 200 =
= 30 600;
б) 1,93 - 3,61 • 3,9 = 1,93 - 1,92 • 3,9 = 1,92 (1,9 - 3,9) =
= 3,61 • (-2) = -7,22.
Пример 5. Разложить на множители:
а) Зх(х - у) + бу(х - у); б) 4т(а - Ь) - н(Ъ - а);
в) х(а2 + Ь2) - у(а2 + Ъ2); г) а(х2 - 2у2) + Ь(2у2 - х2).
Решение.
а) Зх(х -у) + бу(х -у) = (х- у)(3х + 6г/) =
= 3(х - у)(х + 2у);
б) 4w(a - b) - n(b - а) = 4т(а - Ь) + п(а - Ь) =
= (а - Ь)(4т + и);
в) х(а2 + Ь2) - у(а2 + Ь2) = (а2 + 52)(х - у);
г) а(х2 - 2у2) + Ь(2у2 - х2) = а(х2 - 2у2) - Ь(х2 - 2у2) =
= (х2 - 2у2)(а - Ь).
Задачи
Часть 1
1. Вынести за скобки общий множитель:
а) 6х - бу; б) За - ЗЬ; в) 4с + 12d;
г) -4а - 2Ь; д) ху + х; е) ас - Ьс.
2. Разложить на множители:
а) 8ах - 8бх; б) 4тп - 12а; в) -бху + 18у;
г) 4г/2 — 16г/; д) a3b2 - a2b3; е) -m2n4 5 - тп2.
3. Представить в виде произведения:
а) 21х + 14у; б) 25а + 155; в) 16аЬ - 4ас;
г) Зх - 18х2; д) а4 + а2; е) 5х3у2 - 20х2г/3.
4. Найти значение выражения:
а) х2у + х3 при х = -0,5, у = -3,5;
б) ау2 - у3 при а = 2,2, у = -0,2.
5. Решить уравнение:
а) х2 - 6х = 0; б) Зх2 - 1,8х = 0; в) у - 5у2 = 0;
1 2
г) 6а2 - 30а = 0; д) — х2 + х = 0; е) т2 + -- т = 0.
2 3
Часть 2
1. Разложить па множители’
а) а4 - а2 - а3; б) у8 - у3 - у3;
в) х6 + х5 — х9; г) -Ъ10 — Ь12 - Ь15.
2. Вынести за скобки общий множитель:
а) 4п3 - 12a2b + Sab2; б) 18a2b - 12аЬ2 - ЗОаЬ3;
в) -5ху2 + 1бу3 - Юх4; г) -Зх2у4 - 9х2у2 + 15x2z/3.
3. Представить выражение в виде произведения
двух многочленов:
а) х(у - 8) - z/(8 - у); б) 4а(3х - 5) + ЗЬ(5 - Зх);
в) (а - Ь)2 - с(Ъ - а); г) 3(4 - (?) + 7(6 - 4)2.
4. Разложить на множители:
1) 5(а + Ъ)(а - Ь) - (а + Ь)2;
2) 6(а - Ь)2 - (а + Ь)(а - Ь);
3) а2(а - 4) - а(а - 4)2;
4) 12а2(а + Ь) - 4а(а + Ь)2;
5) х(х - у) - у(у - х) + 2(х - у);
6) х(а - 5) + (5 - а) - а(5 - а).
5. Решить уравнение:
1) 4у2 + Зу = 0;
2) 5х2 - 8х = 0;
3) х2(х - 3) - 4х(х - З)2 = 0;
4) 2х(2 - х)2 - х2(2 - х) = 0.
6. Доказать, что значение выражения:
а) 154 + 153 кратно 4; б) 2910 - 299 кратно 7.
7. Доказать, что :
а) б7 — 6е + б5 делится на 31;
б) 644 — 16s + 49 делится на 61.
§ 16. Способ группировки
Пример 1. Разложить на множители многочлен
ху - Зу + 4х - 12.
Решение.
Сгруппируем члены многочлена так, чтобы слагае-
мые в каждой группе имели общий множитель:
ху - Зу + 4х - 12 = (ху - Зу) + (4х - 12) =
= у(х - 3) + 4(х - 3) = (х - 3)(у + 4).
Заметим, что разложение многочлена на множите-
ли можно выполнить, группируя его члены иначе:
ху - Зу + 4х - 12 = (ху + 4х) + (~3у - 12) =
= х(у + 4) - 3(у + 4) = (у + 4)(х - 3). '
Пример 2. Разложить на множители трехчлен
х2 - 5х + 6.
Решение.
Поскольку имеем 3 одночлена, то применить спо-
соб группировки не представляется возможным. Для
этого необходимо один из одночленов удачно заменить
суммой двух одночленов. Например, одночлен -5х
представить в виде -2х - Зх.
Получим х2 — 5х 4- 6 = х2 - 2х - Зх + 6 = (х2 - 2х) +
+ (-Зх + 6) = х(х - 2) - 3(х - 2) = (х - 2)(х - 3).
Рассмотрим пример, когда многочлен состоит из
шести членов.
Пример 3. Разложить на множители многочлен
ах2 - Ьх2 + ay - by -ax + bx.
Решение.
I способ
ax2 - bx2 + ay - by -ax + bx = x2(a - b) + y(a - b) -
- x(a - b) = (a - b)(x2 + у - x).
II способ
ax2 - bx2 + ay - by -ax + bx = (ax2 + ay - ax) +
+ (-bx2 - by + bx) = a(x2 + у - x) - b(x2 + у - b) =
= (x2 + у - x)(a - b).
Чтобы разложить многочлен на множители спо-
собом группировки, нужно:
1) сгруппировать члены многочлена так, чтобы
они имели общий множитель;
2) вынести этот общий множитель за скобки.
Задачи
Часть 1
1. Вынести за скобки общий множитель:
а) а(х - у) + Ъ(х - у); б) х(а + Ь) - у(а + Ь);
в) За(х + у) - Ь(х + у); г) 4(т + л) + т(т + п);
д) х(а - 1) - (а - 1), е) (у - 5) ~х(у - 5).
2. Разложить на множители:
1) т + п + с(т + п); 2) х - у + т(х - у);
3) 4а(а - Ь) + а - Ь; 4) 6p(q - 3) + q - 3;
5) 6х2 + бху - Зх - Зу; 6) 16а2 - 24аЬ + Юас - 1 БЬс.
3. Разложить на множители:
а) ах2 - ау + Ох2 - Ьу -сх2 + су;
б) ах2 + ах + bx + bx2 - by + bx.
4. Найти значение выражения:
а) 4х2 - 4ах - 9а + 9х при х = -2, а = -5;
б) а2 - ЗаЬ - 6а + 186 при а = 6,5, Ъ = 1,5.
Часть 2
1. Разложить на множители многочлен:
1) Юх2 + 5х3у - 6yz - 3xy2z;
2} 8ac4 s - 24с2 + 21х - 7асх.
2. Вычислить:
1) 123 • 16 + 18 • 123 + 16 • 377 + 18 • 377;
2) 17,3 • 19 - 4 17,3 + 26 • 2,7 - 11,27;
3) 3,4 7,3 + 8,6 • 7,3 - 3,4 2,3 - 8,6 • 2,3;
4) 5 —-4 — 1-2 —-4,4 1-5 — 3- + 2--3,6.
3 5 3 3 5 3
3. Решить уравнение:
а) (х2 - 5х) + х - 5 = 0;
в) 6х2 - 12х + (х - 2) = 0;
б) (у2 + 7 у) - 5у - 35 = 0;
г) 4г/2 + 16г/ - (у + 4) - 0.
4. Разложить многочлен на множители:
1) х2 + 4х + 3; 2) х2 + х - 42; 3) х2 + х - 2;
4) х2 - 9х + 8; 5) а4 + За2 + 2; 6)2а4 + За2 + 1.
Глава 5
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО
УМНОЖЕНИЯ
§ 17. Формула разности квадратов
Найдем произведение суммы двух чисел на их раз-
ность по правилу умножения многочленов
(а + fc)(a - b) = а2 + ab - ab - b2 = а2 - Ь2, т. е.
(а + Ь)(а - Ъ) = а2 - Ь2, или
а2 - Ь2 = (а - Ь)(а + &).
Разность квадратов двух чисел равна произведе-
J нию разности этих чисел на их сумму.
Пример 1. Разложить па множители:
1) Збх2 - 25 = (6х)2 - 52 = (6х - 5)(6х + 5);
2) 81а2 - 4962 = (9а)2 - (7&)2 = (9а - 7Ь)(9а + 75);
4) 0,36m2 - 0,49а2 = (0,6m)2 - (0,7а)2 =
= (0,6m - 0,7n)(0,6m + 0,7n);
5) 49а252 - 1 = (7ab)2 - l2 = (7afe - 1)(7ай + 1);
6) x4 5 - y4 = (x2)2 - (y2)2 = (x2 - y2)(x2 + y2) =
= (x - y)(x + y)(x2 + y2).
Пример 2. Выполнить умножение:
1) (Зх + у)(3х - у) = (Зх)2 - (у)2 = 9х2 - у2;
2) (а + 2Ь)(а - 2b) = (а)2 - (2b)2 = а2 - 4Ь2;
3) (т2 + а2)(т2 - а2) = (т2)2 -(а2)2 = т4 - а4;
4) (х3 - у4)(у4 + х3) = (х3 - у4)(х3 + у4) = (х3)2 - (у4)2 =
= X6 * - у8.
Пример 3. Вычислить:
1) 32 • 28 = (30 + 2)(30 - 2) = 302 - 22 = 900 - 4 = 896;
2) 67 • 53 = (60 + 7)(60 - 7) = 602 - 72 = 3600 - 49 =
= 3551;
3) 26,42 - 23,62 = (26,4 - 23,6)(26,4 + 23,6) =
= 2,8 50 = 140;
-2 —
3
7 —+ 2 —
3 3
5 — 10 = —-10 =
160
3
= 53 — .
3
3 3
Пример 4. Вычислить:
592-312 _ (59-31)(59 + 31) _ 28 90 _ 28 _ 14
622-28г ” (62-28)(62 + 28) ” 34-90 ” 34 ” 17 ’
41,62-41,52 (41,6-41,5)(41,6 + 41,5)
53,42 - 29,72 ' (53,4 - 29,7)(53,4 + 29,7) ”
0,1 83,1 0,1 1
23,7 83,1” 23,7 237
Пример 5. Решить уравнение:
1) (х - 3)(х + 3) = х2 - 4(х - 6);
2) (Зу - 5)(3у + 5) = 2(у + 3) + 9у2.
Решение.
1) (х - 3)(х + 3) = х2 - 4(х - 6),
33
х2 - 9 = х2 - 4х + 24, 4х = 33, х = —= 8,25;
4
Ответ: х = 8,25.
2) (Зу - 5)(3у + 5) = 2(у + 3) + 9у2,
9у2 - 25 = 2у + 6 + 9у2, 2у = -25 - 6, 2у = -31,
У = -15,5
Ответ: у — -15,5.
Задачи
Часть 1
1. Разложить на множители:
а) а2 - 49; б) т2 - 1; в) 49 - х2;
г) 121-у2; д) 1,21-л2; е)а2- —;
X 4 2
ж) -~р .
2. Выполнить умножение:
а) (т -и)(и + п); б) (х + 2)(х - 2);
в) (1 - р)(1 + р); г) (4х - 1)(4х + 1);
д) (тп - 2п)(2п + т); е) (За - с)(с + За);
ж) (Юх - 3у)(3у + Юх).
3. Вычислить:
а) 572 - 372; б) 432 - 232; в) 12,32 - 12,22;
2
г) 0,5412 - 0,4592; д)
4. Вычислить:
а) (100 - 2)(100 + 2); б) (70 + 4)(70 - 4);
в) 101 • 99; г) 64 • 56; д) 1,06 • 0,94.
5. Решить уравнение:
а) т2 - 9 = 0; б) п2 - 49 = 0; в) - х2 = 0;
г) у2 - 0,49 = 0; д) а2+ 16 = 0; е)4х2-21=0.
Часть 2
1. Представить в виде многочлена:
а) (6х2 - 1)(6х2 + 2);
б) (6m - n3)(n3 + 6m);
ч 4 q l o'^f'l g 4 о)
в) — а + — b — *' —а ;
I 9 4 Д 4 9 J
г) (0,Зу3 + 2а2)(2а2 - 0,Зу3).
2. Выполнить вычисления;
а) (70 + 3)(70 - 3); б) 203 -197; в) 64 56;
г) 1002-998; д) 1,08 • 0,92, е) 2,03 • 1,97.
3. Представить в виде многочлена:
а) 4(а - 5)(а + 5); б) х(х + 3)(х - 3);
в) 6у(у + 4)(у - 4); г) -46(6 + 6)(6 - Ь).
4. Выполнить умножение:
а) (г - 7)(х + 7)(х2 + 49); б) (1 - у)(1 + г/)(1 + у2);
в) (а - 2)(а + 2)(а2 + 4); г) (с4 + 4)(с2 + 2)(с2 - 2).
5. Упростить выражение:
а) (т - 3)(т + 3) - т(т + 6);
б) п(п - 5) + (4 - п)(4 + п);
в) (Зх - у)(3х + у) + 9х(х - у);
г) 9х(х + у) - (Зх + у)(3х - у).
6. Решить уравнение:
а) 9х(1 + 4х) - (Зх + 1)(3х - 1) = 5х;
б) 2х + (5 - 6х)(5 + 6х) = Зх(1 - 12х).
7. Представить выражение в виде произведения:
а) (а + 4)2 - 1; б) 49 - (Ь - 2)2; в) (3m - 4)2 - 9;
г) 36 - (п4 6)2; д) (7х - I)2 - 4; е) 1 - (5х + З)2;
ж) (За + b)2 - (а - ЗЬ)2; з) (4т - За)2 - (4п - 3m)2.
§ 18. Квадрат суммы. Квадрат разности
Возведем в квадрат сумму а 4- Ь.
Так как (а 4- b)2 = (а -г Ь)(а 4- Ь), то по правилу умно-
жения многочленов получим
(а 4- Ь)2 = (а + Ъ)(а 4- Ь) =
= а2 4- аЪ 4- аЪ 4- Ъ2 = а2 4- 2аЪ 4- Ь2.
Значит, (а 4- б)2 = а2 4- 2аЬ 4- Ь2.
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату пер-
( вого числа плюс удвоенное произведение первого
) числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Если заменить букву Ъ на -Ъ, то получим:
(а - Ь)2 = а2 + 2а • (-&) + (~ЬУ = а2 - 2аЬ + Ь2,
т. е. получим квадрат разности:
(а - Ь)2 = а2 - 2аЪ + Ъ2.
5 Квадрат разности двух чисел равен квадрату
? первого числа, минус удвоенное произведение пер-
вого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Полученные формулы называют формулами сокра-
щенного умножения. Их всего будет 7.
Пример 1. Представить в виде многочлена:
а) (4х + З)2 = (4х)2 + 2 • (4х) 3 + З2 = 16х2 + 24х + 9;
б) (5х - 2г/)2 = (5х)2 - 2 (5х) (2у) + (2г/)2 =
= 25х2 - 20хг/ + 4г/2.
Пример 2. Упростить выражение:
8х(3 + 2х) - (4х - 1,5)2 = 24х + 16х2 -
- (16х2 - 12х + 2,25) = 24х + 16х2 - 16х2 + 12х -
- 2,25 = Збх - 2,25.
Пример 3. Преобразовать выражение в многочлен:
а) а2 + (4а - З)2 = а2 + 16а2 - 24а + 9 = 17а2 - 24а + 9;
б) (2х - 5г/)2 + 20хг/ = 4х2 - 2Охг/ + 25г/2 + 20хг/ =
= 4х2 + 25 г/2;
в) 49х2 - (7х + 6г/)2 = 49х2 - 49х2 - 84хг/ - 36г/2 =
= -84хг/ - 36г/2;
г) (m - З)2 + m(m + 3) = тп2 - 6m + 9 + m2 + 3m =
= 2m2 - 3m + 9;
д) (п - 7)2 - (а - 2)7а = п2 - 14и + 49 - 7п2 + 14гг =
= -6а2 + 49.
Пример 4. Представить в виде квадрата двучлена:
а) х2 - 4хг/ + 4г/2 = хг - 2х • 2г/ + (2г/)2 = (х - 2г/)2;
/ \2 z \2
б) —а2 - ab + Ъ2 = (—а I -2— a-b+b2 = | — а —£» | .
4 I 2 J 2 ' 2 )
Задачи
Часть 1
1. Представитв в виде многочлена квадрат двучлена:
1) (х - З)2;
3) (2х - .г/)2;
5) (О,3х + г/)2;
/ , 2
2) (х + 4)2;
4) (х + Зг/)2;
6) (0,4г/ - 1,5х)2;
Z , _ Л 2
9) (0,2х2 - 5г/)2;
10) i Зхг/ + -|г/2
2. Выполнить действия, используя формулы сокра-
щенного умножения:
1) (70 - I)2; 2) (50 + I)2; 3) 992; 4) 1012.
3. Заменить х одночленом так, чтобы получился
квадрат двучлена:
1) а2 + 6а + х; 2) 49а2 - х + 4Ь2;
3) р4 - р2 + х; 4) b2 + Ьс + х.
4. Разложить на множители многочлен:
1) 16а2 - 8а + 1; 2) 1 + 8с + 16с2;
3) 4х2 - 20х + 25; 4) 25т2 - Ютп + п2;
5) а2 + 14аб + 49б2.
Часть 2
1. Разложить на множители многочлен:
1) а4 - 6а2 + 9; 2) Ьл - 12b2 + 36;
3) 49а4 - 14а2б + Ь2; 4) 25 - 10х2г/2 + х4г/4,
5) -16 + 8т - т2; 6) —16тп - 4т2 — 16а2.
2. Решить уравнение:
1) 25х2 - (5х - З)2 = 21;
2) 81х2 - (4 - 9х)2 = 20;
3) —6х(х - 4) + 6(х + 2)2 = 72;
4) (Зх - I)2 - (Зх + I)2 = 36.
3. Упростить выражение:
1) (а + 2Ь)2 + (а - 2Ь)2; 2) (т + а)2 - (ш - а)2;
3) (Зх - 2г/)2 - (Зх + 2г/)2; 4) (х - 4г/)2 - (х + 4г/)2.
4. Найти значение выражения:
а) 6х2 - 12хг/ + 6г/2 при х = 11, у = 4;
б) -16х3 + 4х2г/ - — ху2 при х = 3, у = 6.
4
5. Вычислить:
1) ЮЗ2 - 206 • 73 + 732; 2) 432 + 114 • 43 + 572.
6. Преобразовать в многочлен:
a) (a3 - 2Ь)2; б) -х2 + 6х|; в) (5г/- 0,2г/2)2;
у 3 J
z \ 2 z \ 2
г) I 1 —а4+4а2 I ; д') | 6m4+ — mn3 I ;
I 2 ) Ч 2 )
е) (0,45 - 1052)2.
§ 19. Сумма и разность кубов.
Куб суммы и разности
Доказать, что а3 + Ь3 = (а + b)(a2 - ab + Ь2).
Для доказательства этого тождества умножаем дву-
член а + Ъ на трехчлен а2 - ab + Ь2:
(а -+- b)(a2 - ab + b2) = а(а2 - ab + b2) + b(a2 -ab + Ъ2) =
= а3 - а2Ь -г ab2 + а2Ь - ab2 Ь3 = а3 + Ь3.
Трехчлен а2 - аЪ + Ъ2 называется неполным квадра-
том разности а и Ь. Итак:
I Сумма кубов двух выражений равна произведе-
нию суммы этих выражений и неполного квадрата
разности.
Аналогично можно доказать, что
а3 - Ь3 = (а - b)(a2 + ab + Ь2) — формула разности
кубов.
I Разность кубов двух выражений равна произве-
дению разности этих выражений и неполного квад-
рата их суммы.
Теперь докажем, что (а 4- Ь)3 = а3 + За2Ь + Зад2 + Ъ3.
Имеем (а + Ь)3 = (а + Ь)(а + Ь)2 = (а + Ь)(а2 + 2аЬ +
+ Ь2) = а(а2 + 2аЪ + Ъ2) + Ь(а2 + 2аЪ + Ь2) = а3 + 2а2Ъ +
+ ab2 + а2Ъ + 2аЪ2 + Ь3 = а3 + За2Ь + Зад2 + д3, ч. т. д.
Аналогично доказывается, что
(а - д)3 = а3 - За2д + Зад2 - д3.
Полученные формулы называются формулами куба
суммы и куба разности.
Пример 1. Разложить па множители многочлен
8х3 + г/3.
Решение.
Представим данный многочлен в виде суммы кубов
двух выражений: 8х3 + у3 = (2х)3 + у3.
Теперь применим формулу суммы кубов:
(2х)3 + у3 = (2х + г/)(4х2 - 2ху + у2).
Итак, 8х3 + у3 = (2х + г/)(4х2 - 2ху + у2).
Пример 2. Разложить на множители многочлен
х6 - 27у3.
Решение.
Так как х6 = (х2)3 и 27г/3 = (Зг/)3, то, применив фор-
мулу разности кубов, получим:
х6 - 27г/3 = (х2)3 - (Зг/)3 = (х2 - Зг/)(х4 + Зх2г/ + 9г/2).
Пример 3. Выполнить действие: (За - 26)3.
Решение.
(За - 2&)3 = (За)3 - 3 • (За)2 • (26) + 3 (За) • (26)2 -
- (26)3 = 27а3 - 54а26 + Збаб2 - 863.
Здесь мы применили формулу куба разности.
Пример 4. Разложить на множители: 1 + х3г/6.
Решение.
1 + х3г/6 = I3 + (хг/2)3 = (1 + хг/2)(1 - ху2 + х2г/4).
Пример 5. Доказать, что значение выражения
64 З3 - 5433 делится на 50.
Решение.
Применяя формулу разности кубов, имеем:
6433 - 5433 = (64з _ 543)(6432 + 643 543 + 5432) =
= 100 • (6432 + 643 543 -г 5432) делится на 100. а зна-
чит, и на 50.
Задачи
Часть 1
1. Выполнить действие:
а) (х + 1 )3; б) (х - I)3; в) (2у + 1 )3;
г) (2у - I)3; д) (а - 2d)3; е) (а + 2d)3.
2. Выполнить действие:
а)х3 + 27; б) у3 - 64; в) тя + 8ге3; г)т3-125п3.
3. Разложить многочлен на множители:
а) х3 - 6х2 + 12х - 8; б) у3 + Зу2 + Зу + 1;
в) 8 - 12х + 6х2 - х3; г) 27 + 27у 9у2 + у3.
Часть 2
1. Разложить многочлен на множители:
а) 125 - 75х + 15х2 - х3; б) у3 + 12у2 + 48у - 64;
в) х9 - Зх6у + Зх3у2 - у3; г) у3 + Зх2у2 + Зх4у + х6.
2. Разложить многочлен на множители:
а) 64а3 - Ь3; б) а3Ь6 + 27; в) 8m3 + п9; г) т6 - 216п3.
3. Используя формулы суммы и разности кубов,
упростить:
1) (х - 3)(х2 + Зх + 9); 2) (х + 2у)(х2 - 2ху + 4у2);
3) (3m - l)(9m2 + 3m + 1); 4) (n3 - l)(n6 + n3 + 1).
§ 20. Применение различных способов
разложения многочлена на множители
При разложении многочленов на множители мы
применяли различные способы: вынесение общего
множителя за скобки, способ группировки, формулы
сокращенною умножения.
Часто встречаются примеры, которые можно разло-
жить на множители несколькими способами. Всякое
преобразование следует начинать с вынесения общего
множителя за скобки, если это возможно.
Пример 1. Разложить па множители многочлен
6х3 - 54х.
Решение.
Прежде всего вынесем общий множитель 6х за
скобки: 6х3 - 54х = 6х х2 - 6х • 9 = 6х(х2 - 9),
Как видим, разложение на множители можно про-
должить, так как выражение х2 - 9 — разность квад-
ратов х и 3. Имеем 6х(х2 - 9) = 6х(х - 3)(х + 3).
Следовательно, 6х3 - 54х = 6х(х - 3)(х + 3)
Пример 2. Разложить на множители многочлен
12г/3 - 12г/2 + Зу.
Решение.
Вынесем за скобки общий множитель Зу:
12г/3 - 12г/2 + Зу = Зг/(4г/2 - 4г/ + 1).
Выражение в скобках представляет квадрат разно-
сти 2у и 1:
4г/2 - 4г/ + 1 = (2г/)2 - 2 • 2г/ + I2 = (2г/ - I)2.
Значит, 12г/3 - 12г/2 + Зу = Зу(2у — I)2.
Пример 3. Разложить на множители многочлен
т4п - 4m4 + т2пх - 4ги2х.
Решение.
Прежде всего вынесем за скобки общий множи-
тель т2:
т4п - 4т4 + т2пх - 4т2х = т2(т2п - 4т2 + пх - 4х).
К многочлену в скобке применим способ группиров-
ки, для чего сгруппируем первый одночлен со вторым,
а третий с четвертым (можно иначе, например первый
с третьим, а второй с четвертым). Получим-
т2п - 4r,I2 + пх - 4х = т2(п - 4) + х(п - 4) =
= (п - 4)(т2 + х).
Следовательно, /и4и - 4т* + т2пх - 4т2х =
= т2(п - 4)(т2 + х).
Пример 4. Разложить на множители многочлен
х2 + 9у2 - бху -16.
Решение.
Заметим, что многочлен х2 - бху -Ь 9у2 представляет
собой квадрат разности. Тогда получим
х2 + 9у2 - бху - 16 = (х2 - бху + 9у2) - 16 =
= (х - Зу)2 - 16.
Полученное выражение представляет разность квад-
ратов. Имеем:
(х - Зу)2 - 16 = ( х - Зу)2 - 42 = (х - Зу - 4)(х - Зу + 4).
Итак, х2 - бху + 9у2 = (х - Зу - 4)(х - Зу + 4).
Следует отметить, что не всякий многочлен можно
разложить на множители. Например, многочлены
х2 + 3, х2 — х + 1 и т. д.
Задачи
Часть 1
1. Разложить па множители'
1) Зх2 - 3; 2) 4у2 - 16; 3) 2х3 - 8х;
4) 45х - 5х3; 5) 4 - 16х4у2; 6) 27а4Ь - За2£>;
7) За2 + баЪ + Зб2; 8) 7m2 - 14m + 7;
9) 32аЧ>2 - 16ab + 2.
2. Разложить на множители:
1) (а2 + 2)2 - 9и2; 2) (у2 + Зу)2 - 4;
3) 16х2 - (х + у)2; 4) 36 - (х2 - Зу)2;
5) х2 - у2 - х - у; 6) у5 - у3 + у2 - 1.
3. Вычислить:
442-162 . 492-212
692-412 ’ 582-122
4. Представить в виде произведения:
а) х3 - х; б) х4 - х2; в) у5 - у3;
г) Зу - Зу3; д) 16х4 - х2; е) 4у3 - 64у5.
Часть 2
1. Разложить на множители
а)х4-81; б) у& - 16; в) ху3 - xz3;
г) 24х3 - 3; д) хб + х2; е) 4у4 - 32г/.
2. Разложить на множители
а) 5ху + 15у - 6х - 18; б) 30 + 4ху - 15г/ - 8х;
в) х2 - 4ху + 4г/2 - 4; г) у2 - 4х2 - 9 + 12х.
3. Решить уравнение:
а) у3 - 9у = 0; б) у3 - Зу2 = 0;
в) 16х - х3 = 0; г) 6х4 - 24х2 = 0.
4. Разложить на множители’
1) (х2 - З)2 - (х2 + З)2; 2) (6 + у2)2 - (5 + у2)2;
3) (4х - З)2 - (Зх - 4)2; 4) (5 + Зх)2 - (2х - 5)2.
5. Вычислить:
1) (Зх - 1)(9х2 + Зх + 1) - Зх(9х2 - 1) при х =
2) х(х + 1)(х - 1) - (х - 2)(х2 + 2х + 4) при х = 6,8.
6. Решить уравнение:
1) (х - 3)(х2 + Зх + 9) - х(х - 2)(х + 2) = 5;
2) (х + 4)(х2 - 4х + 16) - х(х - 5)(х + 5) = 99:
3) (Зх - 2)(9х2 + 6х + 4) - 9х(3х2 - 1) = 73;
4) (2х + 3)(4х2 - 6х + 9) - 2х(4х2 - 7) = 13.
7. Вычислить:
1 ) 3982 - 398 • 59 4 339 • 602;
2 ) 84,52 + 84,5 • 28,3 - 112,8 • 74,5.
8. Доказать, что значение выражения:
а) 522 + 183 делится на 14;
б) 653 - 353 делится на 15.
| со
Глава 6
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
§21. Алгебраическая дробь.
Сокращение дробей
( Алгебраическая дробь — дробь, у которой числи-
) тель и знаменатель — алгебраические выражения.
тт х2+/и 2х-3//
Например, -----, -------.
п а-2
Надо иметь в виду, что буквы, употребляемые в
записи алгебраической дроби, могут принимать лишь
такие значения, при которых знаменатель этой дроби
не равен нулю.
Эти значения называются допустимыми значениями.
X
Например, для дроби ------- допустимыми явля-
х(х-2)
ются все значения х, кроме х = 0 и х = 2, так как при
х = 0 и х = 2 знаменатель дроби обращается в нуль.
, Сократить дробь — это значит разделить числи-
( тель и знаменатель на их общий множитель.
Пример 1. Сократить дробь
1)^; 2)4#-
8xz/ х +• 2ху
Решение.
1) Одночлены в числителе и знаменателе дроби име-
ют общий множитель 8xj/.
Значит, числитель и знаменатель дроби можно раз-
делить на 8ху. Получим:
24x3z/ 8xi/ Зх Зх2
8xi/2 8ху -у у
2) Разложим числитель и знаменатель данной дро-
би на множители, получим:
х* 1 2 ~ РР = (Д' - -<з)(х ^У' = • - '.У
х2 + 2ху х(х + 2у) х
и% — х2)
Пример 2. Упростить дробь -----------.
т (х-у)
Решение.
4т(у2-х2)_ 4т(х2-у2) _ 4(х-у)(х + у) _ 4(x + z/)
т (х-у) т-т(х-у) т(х-у) т
Пример 3. Найти допустимые значения букв, вхо-
дящих в дробь:
1)—; 2)2=^; 3)^.
a + 3 х-2 4-т
Решение.
1) а + 3 0, а ф —3;
2) х - 2 Ф 0, х ф 2;
3) 4 - т ф 0, т ф 4.
Ответ: 1) а ф -3; 2) х ф 2; 3) т ф 4.
Пример 4. Сократить дробь:
п 4ху Зи' ~ 1(х-у) 4^.-"}
-8х ’ ' 15aV J х2-у2 ’ ’ 12(п2-т2)'
Решение.
А Ixy 4 "У = у _
-8х -4х-2 2
ba3b2 5a3-b b Ъ .
1ба4 * *б" 5ая За-Ь~ За’
d) 7(Х~У) 7(х~у) 7 .
х2-у~ (х-у)(х + у) х + у’
12(п2-т2) 4-3-(т-п)(тп +п) 3(т + п)
Пример 5. Разложить числитель и знаменатель
дроби на множители и сократить ее1
5х + 15у _ Зт+Зл „ х + хц
1) -------; 2) ------; 3) ----
Юх 4m + 4n х-ху
4) х2-9< х + Зу 5) ^=4; 6) — 16-1/ т2+12т + 36
Ремение.
1) 5х + 15у Юх 5(х + 3г/) х + Зу 5-2х 2х
2) 3m + 3n 4т + 4п 3(т +п) 3 4(т + п) 4
3) х + ху х-ху Х(1 + У) = 1 + 1/ , x(l-z/) 1-у
4) х3-9?/2 х + Зу = (.г-3а)(х Зу) х х + Зу
5) 4-У-У2 У (4- у) у
16-/ (4-у)(4^у) 4 + i
6) т + 6 m + 6 1
т2 + 12т + 36 (т-6)2 т-гб
Задачи
Чаешь 1
1. Сократить дробь:
I 6х^3 о} ~32л Ч) ~l h • 6a(a~b>>.
' 18ху2’ ' 64m4 ’ -aV ’ 24(b-a)’
4m(2-x) . сч (х-у)\ m2-n2
16m (х-2) У -х (m-n)
2. Разложить на множители числитель и знамена-
тель дроби и сократить ее:
n I-, - ' . од 9а2-4Ь2 49-х2
6а-2 ’ ' а2-Ь2 ’ ’ 2Ъ-За ’ ' х + 7 ’
г/2-6г/ + 9 4-х2 .
5) ------------: о) --------х-; 7)
3-у (х-2)2
Часть 2
1. Упростить:
хлу-ху\ 6x2-8x.
2 2’ л о ’
х -у 4-Зх
1~%
]-4г/ + 4г/2 '
За3 у + Зау3
а2+у2
2. Упростить выражение и найти его значение:
4а2-9 1
9-12u + 4u2 ’ 4
16х2 - 8ху 4- у2 . _ „
2) ---2 g 2 ПРИ Х = °’5’ У = 6:
у -1 6х
3) —— при а = -2;
а3-27
.. х3—1
4) --- при х = 2.
3 3
§ 22. Сложение и вычитание
алгебраических дробей
Сложение и вычитание алгебраических дробей с
одинаковыми знаменателями проводятся пи тем же
правилам, которые применяются для числовых дробей:
а с а+с а с а-с
b ь ь ’ ~ь ь~ ъ
_ . „ . х-у 4х-у х + Зу
Пример 1. Сложить дроби ---—, ---- и ----
х + у х + у х + у
Решение.
х-у 4х-у х + 3у_х-у + 4х-у + х+3у _ бх + у
х + у х + у X-t-y х + у х + у
х3 у3
Пример 2. Найти разность дробей -- и ----.
х-у Х-у
Решение.
х3 у3 Xs-у3 (х-у)(х2+ху + у2) =
vv । Л' Lj I (у •
х-у Х-у Х-у Х-у
При сложении или вычитании алгебраических дро-
бей с разными знаменателями нужно:
1) найти общий знаменатель дробей;
2) привести дроби к общему знаменателю;
3) сложить или вычесть полученные дроби;
4) если возможно, упростить полученный резуль-
тат.
12 5
Пример 3. Сложить дпоби —, —— и --------.
х4 Зх3у 4ху2
Решение.
Общим знаменателем дробей будет 12х4г/2.
Тогда получим:
1Шу2 2to' 5 34‘‘ 12 г/2+8хг/ + 15х3
х4 Зх'г/ 4хг/2 12х4г/2
Пример 4. Найти разность дробей ——-------
4(a-b) a-b
Решение.
Общим знаменателем данных дробей является
4(а - Ь). Имеем:
бх'1 2хХ4_5х-8х_ -Зх _ Зх
4(а-Ь) ~ а-b ~ 4{а-Ь) ~ 4(а-Ь) ~ 4(Ь-а) '
3 7х
Пример 5. Сложить дпоби —------1-----.
х + х ху + у
Решение.
Прежде всего разложим знаменатели дробей на
множители: х2 + х = х(х + 1), ху + у = г/(х + 1).
Следовательно, общим знаменателем данных дро-
бей является произведение хг/(х + 1).
Теперь приведем дроби к обшему знаменателю:
3 ! 7х Зу ! 7хХх Зг/ + 7х2
х2+х ху4 у х(х + 1) г/(хч 1) хг/(х + 1)
Пример 6. Найти значение выражения
х +1 х + 3 2х — 3 ч г
-------------------- при х = 1,5.
2х-2 2(х2 *-1) г + 1
Решение.
2х - 2 = 2(х - 1), 2(х2 - 1) = 2(х + 1)(х - 1).
Следовательно, общий знаменатель данных дробей
будет 2(х + 1)(х - 1). Имеем:
х + 1 х2+3 2х-3 х + Г4 * 6 * * * * x2+3v
2х-2 2(х2-1)+ х + 1 ” 2(х-1) 2(х-1)(х +1)+
гх-З^*"11 _ (х +1)2 - (х2 + 3) + 2(х - 1)(2х - 3) =
х + 1 2(х + 1)(х-1)
х2 + 2х +1 - х2 - 3 + 2(2х2 - 2х - Зх + 3)
2(х + 1)(х-1)
2х-2 + 4х2-4х-6х + 6 _ 4х2-8х + 4
2(х + 1)(х-1) 2(х + 1)(х-1)
= 4(х2-2х + 1) = 2(х-1)2 2(х-1)
2(х + 1)(х-1) (х + 1)(х-1) “ (х + 1) ‘
„ 1 „ 2(1,5-1) 2 0,5 2-5 2 . .
При х = 1,5 получим--------=------=----= — = 0,4.
1,5 + 1 2,5 25 5
Ответ. 0,4.
Пример 7. Решить уравнение
(8х-1)2 4х(8х-3) х + 4
6 3 ” 2
Решение.
Умножим обе части уравнения на б-
(8х - l)2 - 8х(8х - 3) = 3(х + 4),
64х2 - 16х + 1 - 64х2 + 24х = Зх + 12,
-16х + 24х - Зх = 12 - 1,
г И 22
5х=11, х = — = — = 2,2.
5 10
Ответ: х = 2,2.
Задачи
Чаешь 1
1. Выполнить действия:
а + Ъ 2а — b n. m + 3n 4т-п
1)-----т----: 2)----— +---— .
Зс Зс 4с2 4с2
х + а х-у .. 6х-</ 4х-у
3)—4)—Л +——.
5а аа х х
2. Выполнить действия:
1) 3--+4; 2) 2-1-Л; 3)—^- +—;
хх У У 2лт -п) т-п
4) ___________
4(у-3) З(у-З)’
к'» т 1 2 .
' 4-п2 2 + п’
8) — + За 2 .
У + 3 (у + 3)2
5)-^-----L;
ах - ау Ьх + by
7)^-2 + ^;
1-3& 3/7-1
3. Решить уравнение:
_ 4х-5 6-х 8х-1 . _ 2х-1 4-х .
1) = 4; 2) 7х +----------= 9.
3 9 6 4 12
Часть 2
1. Выполнить действия:
а а т т. п + 5 п + 3.
1J f Л J , О ) f
b a + b m + 4 m-3 n + 3 n + 2
7 4 За 5 „ч л 1
4) —2-2+---7’ 5- ~2-----; 6)n-4-------.
a -b a + b a +ab a n + 3
2. Упростить выражение:
. x + 5 2 3 .. 3y-2 1-y 3
a)-------b-; 6)-^-- —-—;
xy у x Sy 3y 2y
2 2 2 2
x -xy + y x +xy + y
x-y
x + y
х+у х-у
3. Найти значение выражения:
6 3 8Ъ - „ , „ „
а) 1----------7 при a = 0,5, b = -2,5;
a + b a-Ъ а -Ь
„ 5т 3 2 3
б) —j 7--------при т = —, п = -2.
т-п т-п т + п 4
4. Найти разность дробей:
1 х + 2 1 у2+4 1
х3-8 х2+2х + 4’ у3 +8 у -1-2
5. Решить уравнение:
(Зх-1)2 3х(2х-3) х + 4
6 4 8 ’
_ (Зх + 4)2 _ Зх(х-1) _ (х-и4)(х-4)
36 18 “ 12
§ 23. Умножение и деление
алгебраических дробей
Умножение и деление алгебраических дробей про-
водятся по тем же правилам, которые применяются
для числовых дробей.
а с ас а с _ad
b d bd b d be
Пример 1. Найти произведение дробей
2 6х3у2 30г2
> — И -Г~ ‘
Зху------------5г х
Решение.
2 6хУ 30г2 _ 2 бхУ-ЗОг2 24пг
Зху 5г х4 3xi/-5z-x4 х2
Пример 2. Выполнить умножение
х-у и у2+ху
х2 + ху (у- хУ
Решение.
Так как х2 + ху = х(х + у), (у - х)2 = (х- у)2, то по-
лучим:
х-у у2 + ху = х-у у(у + х) =
х'+ху (у-хУ х(х + у) (х-у)2
= (х-у)у(х + у) = н
х(х + у) (х-у)2 х(х — у) ‘
Пример 3. Выполнить деление дробей:
39<rV 13а2Ь Л 6m 18m4
а)------:---б) —;--------7:---.
25с 15с3 тп2-п2 т + п
Решение.
a) 39a3b3 . 13a2b 39a3b3-15c3 3ab' -3c2 9ab2
25c ' 15c3 25c-13a2& 5 5
6.) 6m 18/714 6m m + n
m2 -n2 ni + n (m - n)(m + n) 18m4
6m -(m + n) 1 1
(m - - n)(m + n)-18m4 (m -n) -3m3 3m3 (m-n)
Пример 4. Выполнить деление:
ч 6х -г 5у 5у + 6х х2 - у2 _ х-у
3m 6п a + b a -Ъ
Решение.
6х + 5у 5у + 6х _6х+5у 6п
3m 6п Зт 5у + 6х
(6х + 5у)-6п _ 2п
Зт-(6х + 5у) т
О, Х~У = yx-уУх- У) (a-b)(a + b)
a-rb a2 -b2 a + b x-y
= (x-y)(x + y)(a-b)(a + b)
(a + b)(x-y)
= (x + y)(a - b).
Пример 5. Упростить выражение:
. х2 - 7 + х + у 4х + 4 у ..
а) , ,-------:------; б)
a2-b2-a-b 3a-3b
х2-2х х2+4х + 4
2х + 4 х2 + Зх
Зх-6
х2-9 ‘
Решение.
х2-у3 + х+у 4х + 4у
а2-Ь2 +a-b За-ЗЬ
_(х-у)(х+у) + (х + у) З(а-б) =
(a-fe)(a + b) + (a-b) 4(х+у)
(х + у)(х - у +1) 3(а- Ь) 3(х-у + 1)
(а -Ь)(а + 5 + 1) 4(x-rZ/) 4(а-г& + 1)
2х + 4 х2+3х х2-9
х(х-2) (х + 2)2 (х-3)(х + 3) _
2(х + 2) х(х + 3) 3(х-2)
х(х-2) (х + 2)2 (х-3)(х + 3) (х-ь2)(х-3)
2(х + 2)-х(х + 3)-3(х-2) 6
Задачи
Часть 1
1. Выполнить умножение дробей:
xey z' а3Ь3 с4 о. 6х 2
1) ——; 2)------—; 3) —Юг; 4)15а2-т.
г х cab оу 5с
2. Выполнить деление дробей:
п 4о а* Зт 12m4 . 7х3 . 28х4г/
~7' п2 ’ ' 9г/4г ’ 27у2г2 ’
.. 8ху“ 24х3у
3. Выполнить действия:
1Ч 3-х а -Ь оч т + п _ т
~ • 2 F ’
а+b 3-х т-п т -п
2-a 61 6m 18m2
463 4-a m2 -fl2 m + n’
5) ХУ + У2 . -Их-у) (x-y)2
9 x2-y2’ 4(x2 + z/2) x2+y2
4. Найти значение выражения:
1)^6
x2 -4x
x + 6
16-x2
при x = 2;
5a2 -5b2
-1 ' 2
a 4 am
4b-4a
a + m
при a = -2, b = 10.
Часть 2
1. Упростить:
. a-6 (a + 4)2 6*-106 + 25 (6-5>4 s
' a2 + 8a + 16 'a2-36 ’ ' b-4 ’б2-1б’
a2-81 a 4-26 . 63-6a+9 6-3
" a2+4ab + 4b2 ' a + 9 ’ } 36-rl ' 962-l ’
2. Доказать, что при любых значениях х верно ра-
венство:
х 8 2 2 Х4-51 6 5
а) — =----------------; б) -------=----------.
х‘-4 х-2 х + 2 х +Зх-18 х-3 х + 6
3. Упростить выражение:
х у 4х _ 4z/ х3 у2 ’ .. х2 62 6 1 • •
56 4х 2х
т2 Г п2 _ п \ a2 1 _L
6п 6m 4m I Г 56 1 4a 8a
4. Упростить:
а2-4аЬ + 462.5(u-26) a2+4ab + 4b2 _ as-bs
a2-ab + b2 ' а3 +63 ’ a2 + ab + b2 '7й + 14б'
§ 24. Совместные действия
над алгебраическими дробями
Пример 1. Упростить выражение
а ©За 2а-1
+ 1 : 1--=—-------
а + 1-------------------) 1-aJ За - a-1
Решение.
Выполним действие в первой скобке, затем во вто-
рой скобке, наконец деление:
,. a a+a-1 2a-1 3a! l-a-3az
1) + 1=------=------; 2)1------= —-------;
a+1 a-1 a-1 1-a 1-a
2a-1 1-a-3a* 2 _ (2a-l)(a-l) 2a-1
a-1 1-a (a-l)(3a3+a-l) 3a2 + a-1
Пример 2. Выполнит!, действия
Г X2 ® x2y W 2x2 © x x2
x - у x2 - 2xy + y2 J x2 - y2 x + y J x-y
Решение.
x2 x2y x2'"r - x2yxl
1) +-------------=-------1----— =
x-y x2-2xy + y2 x-y (x-y)2
3 2 2 3
x — x y + xу X
(x-y)2 (x-y)2
2) 2x2 X __ 2x2V xKt-y =
x-y2 X + y (x-y)(x + y) x + y
2x2-x2+xy x2 + xy _ x(x + y) X
(x — y)(x + y) (x-y)(x + y) (х-у)(хлу) x-y
g X3 . X _ x'1 (x-y) _ X2
(x-y)2'x-y (x-y)2-x x-y’
Пример 3. Выполнить действия
m2-am a-b
2 2 Г ’
a -b m -a
am
m------
a + m
Решение.
m -am a-b ( am
a2 -b2 m2 -a2 \ a + m J
m(m-a) a-b am + m2 - am
(a-b)(a + b) (m-a)(m + a) a + m
m a + m _ 1
(a + b)(m + a) m2 m(a + b)
Ответ: -------.
m(a + b)
Задачи
Часть 1
1. Упростить выражение:
( х у । 4ху _ । 7х-3у 2x-7y . 2xy
fl + - V У Выпо Г X x + — V У x + 1 > 41 1 ) x + y 2x 2 ) l У J тнить действия: Y Y oJ 4 3 J < У) \a-b a + b) x2 -bl 2 I m2 + mt
x Выпо । a + b x2 + 2x x + 2 J nf + n2 Часть 2 тнить действия: a-b\ (a-b a + b\ : 1 :
3)
ху - 4г/ - 2х + 8 _ 2х - 8 - ху + 4г/,
2х + 8-хг/-4г/ хг/ + 4г/-2х-8
4)
у 2 х
—-----1---1-----
2 2
х +ху х + у у + ху
2 2
X -у
^ху
2. Доказать, что если хн— = а, то:
х
1) х2+Л = а2-2; 2) х3+Л = а3-За.
xJ х
Глава 7
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
И ЕЕ ГРАФИК
§ 25. Функция у = kx и ее график
I Функция вида у = kx, где х — независимая пере-
менная, k ф 0, называется прямой пропорциональ-
ностью.
Графиком прямой пропорциональности являет-
ся прямая, проходящая через начало координат,
так как при х = 0, у = 0, где (0; 0) — координаты
начала координат.
Число k называют коэффициентом пропорцио-
нальности или угловым коэффициентом
Кроме того, число k показывает угол наклона пря-
мой к положительному направлению оси Ох.
Если k > 0, то угол наклона острый, а если k < 0,
то тупой.
Для построения графика функции у = kx достаточ-
но построить две точки, так как одна точка (0; 0) уже
известна.
Если построенную точку соединить с началом коор-
динат, то получим график функции у = kx.
Пример 1. Построить график функции у = 0,5х.
Решение.
Как видно из рисунка,
прямая у = 0,5х образует с
положительным направле-
нием оси Сх острый угол,
так как k = 0,5 > 0.
X 0 2
У 0 1
Пример 2. Построить
график функции у = -х.
Решение.
X 0 -2
У 0 2
Прямая у = -х является
биссектрисой II и IV коор-
динатных углов. Так как
k = -1 <0, то прямая образует с положительным на-
правлением оси Ох тупой угол.
Пример 3. Прямая пропорциональность задана
формулой у — — — х. Найти:
6
а) значение у, соответствующее х, равному -12; -6;
0: 3; 6;
б) значение х, которому соответствует у, равное
0; 1; 3;
3 2
Решение.
а) При х = -12, у = -— • (-12) = 2; при х = -6,
6
у = -— • (-6) = 1; при х = 0, у = -— 0 = 0; при х = 3,
6 6
у =--3 - — = -0,5; при х = 0, у = — • 6 = -1.
6 2 6
2 12
б) При у =-, получим---х =-, откуда
3 6 3
2 ( \ 2 6 11 1
х-—: — =-----= 4; при и- —, —х — —, откуда
3 6) 3-1 2 6 2
\ X 6
х = —: — =---= 3: при у = 0, х = 0; при ./ = 1,
2^6j21
- — х = 1, х = -6; при у = 3, - —х = 3, откуда
6 6
х = 3 (-6) = -18.
Ответ: а) у = 2; 1; 0; -0,5; -1; б) х = 4; 3; 0; -6; -18.
Задачи
Часть 1
1. Построить график функции:
1) у = 2х; 2) у = - — х; 3) у = 1,5х.
2. Построить график функции, заданной формулой
у = -1,5х. Найти по графику:
1) значение у, соответствующее значению х, равно-
му —2; 0; 2; 3;
2) значение х, если у = -2; 3; 6.
3. Какие из точек А(3; 2), В(-2; -1), С(0; 0), D(3; -1)
принадлежат графику функции, заданной формулой
у = — х ?
2
Часть 2
1. Построить график функции у = kx, если извест-
но, что ему принадлежит точка М: 1) М(1; —2);
2) М\ 1 —; 5 .
I 3 )
График какой из этих функций проходит через точ-
ку М(-5; 10)?
2. Построить график функции:
, х 3 „ х
а)у = --; 6)j/ = —х; в) i/=
3 5 1,5
3. Является ли прямой пропорциональностью
функция, заданная формулой:
а) у =-Зх; б) у=|х2;
в) у = ~; г) у = 2х - 1?
5
4. Показать схематически, в какой угловой четвер-
ти расположен график функции, заданной формулой:
а) у = 1,3г; б) у = -2х; в) у = kx, где k > 0;
г) у = kx, где k < 0.
§ 26. Линейная функция и ее график
< Функция вида у = kx + Ь, где х — независимая
\ переменная, k и b — некоторые числа, называется
) линейной.
При Ъ = 0, у = kx — прямая пропорциональность
( Графиком линейной функции у = kx + b являет-
ся прямая.
Так как прямая определяется двумя ее точками, то
для построения графика вполне достаточно построить
две ее точки.
Пример 1. Построить график функции у = 2х + 3.
Решение.
Нетрудно заметить, что каждая точка графика
функции у = 2х + 3 имеет ординату на 3 единицы
большую, чем точка графика функции у = 2х с той же
абсциссой.
Это означает, что каждая точка графика функции
у = 2х + 3 получается сдвигом на 3 единицы вверх
вдоль оси Оу соответствующей точки графика функ-
ции у = 2х.
Таким образом:
график функции у = kx 4- Ъ получается сдвигом гра-
фика функции у = kx на b единиц вдоль оси Оу вверх,
если Ъ > 0, и вниз, если b < 0.
Пусть даны две линейные функции:
у = kxx + Ь1иу = k2x + b2.
Если = k2, то прямые параллельны.
Например, прямые у = — х + 2 и у = — х-1 — парал-
3 3
лелъны.
Пример 2. Дана линейная функция у(х) = Зх - 2.
1) Найти у(-1), у(0), у(2).
2) Найти значение х, если z/(x) = -2, z/(x) = 3,
= f/W = 0.
О
Решение.
1) г/(-1) = 3 (-1) - 2 = -5; у(0) = 3 • 0 - 2 = -2; у(2) =
= 3 • 2 - 2 = 4.
2) Если у(х) = -2, то Зх - 2 = -2, Зх = 0, х = 0;
5
если у(х) = 3, то Зх - 2 = 3, Зх = 5, х = —;
1 1 17 7
если у(х) = — , то Зх - 2 = — , Зх = 2 — = —, х = —;
3 3 3 3 9
2
если у{х) = 0, то Зх - 2 = 0, Зх = 2, х = —.
5 7 2
Ответ: 1) -5; -2; 4; 2) х = 0, х = —, х = —, х = —.
3 9 3
Пример 3. Не выполняя построения графика
2
функции у = 4х - — , выяснить, проходит ли он через
3
точку:
1)
Решение.
2) (2; 5); 3) О
6
4) [1;
I з ।
1) Если график функции у = 4х - — проходит через
точку
то х = 0, у =-. Тогда получим
2 2
— = 4-0—
3 3
— верно, т. е. график проходит через
точку
2) х = 3, у = 5, тогда 5 = 4-2- —, или 5 = — —
3 3
неверно, т. е. графите не проходит через точку (2; 5).
1 12 2 2
3) х = —, у = 0, получим 4----= 0,-----= 0 —
6 G 3 3 3
верно, значит, график проходит через точку | ; 0 I.
V б )
л 5 ,,25 11 5
4) х = 1, и = —, тогда 4-1 — = —, или — = — —
3 3 3 3 3
, Г-. 5^1
неверно, т. е. график не проходит через точку 1; — .
Ответ: 1) Да; 2) нет; 3) да; 4) нет.
Задачи
Чаешь 1
1. Является ли линейной функция, заданная фор-
мулой:
1) у = х - 1; 2)у = — х + 4; 2 3)у=х2+ |;
х 4) у = -; 5 5)z/ = Ь- +5; X 6) у = -12;
8) </ = -- + 7? X
2. Дана линейная (функция у(х) = 2х — 5.
1) Найти 1/(0), 1/(3).
2) Найти значение х, если у(х) = -2, у(х) = 4,
z/(x) = 0.
3. Построить график функции:
1) у = х - 2; 2) у = -Зх + 1;
3) у = — х + 1; 4) у = 4х - 3.
3
Чаешь 2
1. Найти значение а, если известно, что график
функции у = -4х + а проходит через точку:
1)М(-1; 3); 2) 7*7(2; 3).
2. Найти координаты точки пересечения графиков
функций:
1) у = -х + 5 и у = 0,6х - 4,6; 2) у = 5х и у = -х + 4.
3. Построить в одной системе координат графики
функций и указать координаты точки их пересечения:
а) у = 2х - 1 и у = -х + 3; б) у = — х-2иг/ = х+1.
3
4. Найти значения k и Ь, если известно, что гра-
фик функции у = kx + Ъ проходит через точки (1; 6) и
(-3; -7).
Глава 8
СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
§ 27. Способ подстановки
Система линейных уравнений с двумя неизвестны-
ми имеет вид:
арс+Ьру = с15
а2х + Ъ2у = с2.
где аЛ, Ъх, Ср а2, Ъ2, с2 — заданные числа, х, у — неиз-
вестные числа.
(Решением системы двух уравнений с двумя не-
известными называется пара чисел х и у, которые
при подстановке в эту систему обращают каждое
уравнение в верное числовое равенство.
Решить систему уравнений — это значит найти
все ее решения или установить, что их нет.
[Зх-у = 8,
Например, решением системы является
пара чисел х = 3, у = 1.
Число решений системы уравнений можно опреде-
лить по коэффициентам при соответствующих пере-
менных хиу:
1) Если коэффициенты при х и у не пропорционалв-
а. bi э
ны, т. е. — ф — , то система имеет единственное
а2 ^2
решение.
Графически это означает, что прямые пересекаются.
2) Если — = — то система не имеет решении.
^2 ^2
В этом случае прямые, являющиеся графиками
уравнений системы, параллельны.
3) Если = = то система имеет бесконечное
^2 ^2 ^2
множество решений.
Графически это означает, что прямые совпадают.
Способом подстановки удобно решать такие сис-
темы линейных уравнений с двумя неизвестными,
у которых хотя бы один из коэффициентов при х или
у равен ± /.
Пример 1. Решить систему уравнений
3x + z/ = 7,
5х-2у - 8.
Решение.
Так как коэффициент при у в первом уравнении
равен 1, то удобно выразить у через х: у = 7 - Зх По-
лученное выражение подставим вместо у во второе
уравнение данной системы: 5х - 2(7 - Зх) = 8.
Получим линейное уравнение с одной перемен-
ной х. Решая уравнение, имеем 5х - 14 + бх = 8,
Их = 22, х = 2.
Учитывая подстановку у = 7 - Зх, получим:
у = 7- 3- 2 = 1.
Итак, пара (2; 1) — решение системы уравнений.
Ответ: (2; 1).
Пример 2. Решить систему уравнений
Х + у = 1,
Зх-2у = 6.
Решение.
Из первого уравнения системы выразим х через у
(можно и наоборот, так как коэффициенты при х и у
равны по единице):
х = 7 - у, тогда второе уравнение примет вид
3(7 - у) - 2у = 6, или 21 - Зу - 2у = 6, или
-5у = -1 5, откуда у = 3, тогда х = 7 - 3 = 4.
Ответ: (4; 3).
Задачи
Часть 1
1. Решить систему уравнений:
х = 3 + о, (Зх + у = 22,
1) <! 2) <
|4х + 2у = 18; [х = 5 + 2г/;
[х-5г/ = -63, [у = 6-3х,
4) У 5)
у = 8х-3; I 4х = 10 - 2у;
Г у -13-4х,
3)
I 4х-3у = 9;
Г7х-5г/ = 12,
6) У
[х = -у.
2. Решить систему уравнений:
3. Не выполняя построения, найти координаты
точки пересечения графиков уравнений 5х - 4у = 16
и х - 2у = 6.
Чаешь 2
1. Решить систему уравнений:
J 2(х - у) + Gx = 3(2х - 3),
) [5х-3(х + у) = 5-4у;
4(y-3x)-(6z/ + l) = 4(l-x),
ч8-5(х + у) = 2(4-3х) + у;
х + z/ х~У=0 х+у X-у 3Q
3) < 3 4 Х+У!Х~у= 6 t 4 3 4) < 6 3 Зх-у 4х + 3г/=63 9 3
2. Решить систему уравнений:
-(х + у) = 4, Го, 2(х + у) = 12,6,
а) б)
l,,-,)-* 10,5(х-!)) = 8,5.
§ 28. Способ сложения
Пример 1. Решить систему уравнений
Зх-г2г/ - 30,
х-2у = 18.
Решение.
Заметим, что коэффициенты при у в каждом урав-
нении системы являются противоположными числа-
ми. Следовательно, сложив почленно левые и правые
части уравнений системы, получим уравнение с одной
переменной: Зх + х = 30 + 18, или 4х = 48, откуда
х = 12.
Теперь подставим значение х = 12 в одно из урав-
нений системы, например во второе (оно относительно
проще первого):
х - 2у = 18, 12 - 2г/ = 18, 2у = -6, у = -3.
Пара (12; -3) — решение исходной системы.
Ответ: (12; -3).
Пример 2. Решить систему уравнений
I 4х 7 у = 6,
|12х-5г/ = 70.
Решение.
В этом случае почленное сложение не даст возмож-
ность исключить одну из переменных, так как полу-
чим уравнение с двумя переменными. Однако если
умножить все члены первого уравнения на -3, а вто-
рое уравнение оставить прежним, то коэффициенты
при х в полученных уравнениях будут противополож-
ными числами:
J-12x-21i/ = -18,
+ | 12х-5г/ = 70,
-26г/ = 52, откуда у = -2.
Подставив значение г/ = —2, например, в первое
уравнение, найдем значение х:
4х 4- 7(-2) = 6, или 4х = 20, х = 5.
Ответ: (5; -2).
Пример 3. Решить систему уравнений
Зх - Зу = 34,
7х-4у = 48.
Решение.
Чтобы коэффициенты, например, при у стали про-
тивоположными числами, умножим первое уравнение
системы на -4, а второе на 3, получим
| -20х + 12г/=-136,
I 21x-12i/ = 144,
-20х + 21х = -136 + 144, или х = 8.
Подставим значение х = 8 в первое уравнение ис-
ходной системы. Имеем:
5 8 - Зу = 34, или Зу = 40 - 34, откуда у = 2.
Ответ: (8; 2).
Пример 4. Решить систему уравнений
х-Зу 2х+3у
10 39 2
х-Зу 2х + 3у
Решение.
1 1
Пусть --------= а, ----- Ь, тогда данная система
х — Зу 2х + Зу
примет вид:
| За + 26Ь = 6, 4а + 136 = 3,
|10а-396 = 2, |10а-396 = 2.
Уравняем коэффициенты при Ъ, для чего умножим
обе части первого уравнения на 3 и сложим со вторым
уравнением:
112а + 39b = 9,
+ [10а-39Ь^2,
22a = ll, a = ~.
2
Значение а- — подставим в уравнение 4a + 13?? = 3,
2
Имеем: 4 • — + 13b = 3, или 2 + 13b = 3, 13b = 1,
2
Учитывая подстановки, получим равносильную
систему уравнений:
1 1
х-Зу 2’ (х-3у = 2,
< или •
1 1 ^2х + 3г/ = 13.
2х + 3у 13 ’
Складывая почленно уравнения полученной систе-
мы, имеем Зх = 15, х = 5, тогда 5 - Зу = 2, или Зу = 3,
У = 1-
Итак, пара чисел (5; 1) — решение исходной систе-
мы уравнений.
Ответ: (5; 1).
Задачи
Часть 1
1. Решить систему уравнений:
[х + у = 1, fm + n-10, [2a + b = 14,
а) s б) в)
[х-у = 5; [ni-n = 4; |2a-b = 10;
|х + 2у = 7, |3x-y = 10, f4x-3y = 18,
г) д) е) У
[2х-у = 9; [2х + 5у = 1; [5х + 2г/ = 11.
2. Решить систему уравнений способом сложения:
J2x + lly = 15, [9x-X7j/ = -14,
[10х-11г/ = 9; | -9x4 lbz/ = 12;
4x-7i/ = 30, fl3x-8i/ = 28,
3) ' У 4) У
[4x-5y = 90; [llx-8i/ = 24;
f40x + 3z/ = 10, [5x-2z/ = l,
[20x-7y = 5; [15x-3j/ = -3.
Часть 2
1. Решить систему уравнений:
I б(х + 2г/) -1 = х + 3, [ 3(х - 2) - 4( у + 5) = -19,
а) б)-
[ г/ + 5(х-4у) =-27; [4(х + 3)-3(х-у) = 19;
Г(х + 1)(г/ + 3) = (х-ь2)(г/ + 2) + 2,
в) 4
[ (2х - 1)(3г/ + 4) = 3(х - 6)(у +1) + 01.
2. Решить систему уравнений:
х+у х-у
8 + 6
а)
х + г/ ! х-г/ 1Q х
.43 ’ 19
— - — = 8,
х у
— + — = 31;
х у
1 15
----1--— — ?
х+у х-у 8
1 1_з.
х-у х+у 8
27 32
------1-----
2х-г/ х + Зг/
45 48
2х-у х+Зу
3. Прямая у = kx + b проходит через точки М(-1; 2)
и N(2; 3). Составить уравнение этой прямой.
§ 29. Графический способ решения
систем уравнений
I Чтобы решить систему уравнений графически,
нужно:
1) построить графики каждого из уравнений сис-
темы;
2) найти координаты точки пересечения прямых
(если они пересекаются).
Пример 1. Найти координаты точки пересечения
прямых 5х - 2у = 12 и 13х + бу = 20.
Решение.
Если прямые пересекаются (/?, fe2), то получим
систему уравнений:
5х-2у = 12 -3 | 15х- бу = 36,
13xi-бу = 20 1 [ 13х+6у = 20,
28х = 56, х = 2.
Если х = 2, то получим 5 • 2 - 2у = 12, или 2у = -2,
откуда у = -1.
Следовательно, данные прямые пересекаются в точ-
ке (2; -1).
Ответ: (2; -1).
Пример 2. Решить графически систему уравнений
| х + 3у = 5,
| 2х-у = -4.
Решение.
Чтобы решить графически систему уравнений, вы-
разим в каждом уравнении у через х и составим табли-
цу значений.
Из первого уравнения имеем Зу = 5 - х, откуда
у = — (5 - х). Из второго уравнения находим у = 2х + 4.
3
'Гак как графиком линейного уравнения с двумя не-
известными является прямая линия, то для построе-
ния последней достаточно двух точек.
Как видно из рисунка, прямые пересекаются в точ-
ке (-1; 2), значит, исходная система имеет единствен-
ное решение.
Ответ: (-1; 2).
Пример 3. Решить графически систему уравнений
| х-2у = 3,
Каждое из уравне-
ний системы является
линейной функцией. Как видно из рисунка, графики
этих функций совпадают (так как — = — - —, см. § 27).
^2 ^2
Каждую точку графика можно рассматривать как
общую точку обеих прямых. Это означает, что исход-
ная система уравнений имеет бесконечное множество
решений.
Выразим х через у (из любого уравнения системы):
х = 2у + 3; тогда решением системы будет любая пара
чисел вида (2m. + 3; т), где m е R.
Ответ: любая пара чисел вида (2m + 3; m), т е R.
Пример 4. Решить графически систему уравнений
2х + у = 3,
Gx + Зу = 5.
Решение.
Графики данной системы уравнений параллельны и
. а. Ь. с „
не совпадают (так как —L = — 9- —, см. $ 27), т. е. систе-
ая Ъ2 с2
ма не имеет решений, так как два уравнения системы
не могут выполняться одновременно (из первого урав-
5
пения 2х + у = 3, а из второго получим 2х + у = —).
3
Ответ: пет решений.
Задачи
Часть 1
1. Найти координаты точек пересечения прямых с
осями координат:
1) х - 2у + 6 = 0;
3) Зх 4- у = 9;
2) 2х - у + 5 = 0;
4) 5х + 2у = 30.
2. Построить график уравнения:
а) у = 2х - 3; б) 4х + у = 1; в) 2у - 5х + 3 = 0.
3. Решить графически систему уравнений:
Гу = 2х, \u = -x, [х + у = 7,
а) б) < с)
|г/-х = 5; |у-2х-6: |х-г/ = 3.
4. Найти координаты точки пересечения прямых:
|3x-lw = 4, |4хнг/ = 6, Г4х+Зг/-9,
а) У б) У в) У
\3х-у = 2; \х + 2у = 5; [2х + у = 5.
Часть 2
1. Показать, что система уравнений не имеет реше-
ний:
у-2х, [х + и = 3,
1) ! 2М
[бх-3?/ = 7; [4х = 5-4у.
2. Показать, что система уравнений имеет беско-
нечно много решений:
Зх-4у = 2,
[9х-12г/ = С;
2)
Х- — у = 3,
2
4x-2z/ = 12.
3. Показать, что система уравнений имеет един-
ственное решение:
5х-2у = 12,
1) У
' 2х + 3у = 1;
• Зх + у = 16,
\x-2y = 3.
4. При каких значениях параметра а система
4х-ау = -1-а,
не имеет решений?
(а + 6)х + 2у = а-3
5. При каких значениях параметра а система
2(a-2)x + 54t/= 9,
имеет бесконечно много решений?
2х + (а + 1)у = -1
8 КЛАСС
Глава 9
КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
§ 30. Действительные числа
30.1. Рациональные числа
Простейшим множеством чисел является множе-
ство натуральных чисел.
Обозначение: N.
N: 1. 2. 3. ...
Если к натуральным числам добавить целые отри-
цательные, включая 0, то получим множество целых
чисел.
Обозначение: Z: О, ±1, ±2, ...
Числа целые и дробные, как положительные, так и
отрицательные, образуют множество рациональных
чисел.
Обозначение: Q.
Всякое рациональное число может быть пред-
\ ставлено в виде конечной и бесконечной десятич-
• ной периодической дроби.
11 3
Например: — = 0,5; — = 0,333... = 0,(3); — = 0,6;
2 3 5
1 5
4— = 4,1666... = 4,1(6); = -0,4545... = -0,(45)
Число, которое повторяется после запятой, называ-
ется периодом дроби.
30.2. Иррациональные числа
1 Числа, не имеющие периода, называются ирра-
) циональными.
Например: х х 3,14, е ® 2,71 — основание натураль-
ного логарифма.
Иррациональные числа нельзя представить в виде
TYI
дроби —, где m е Z, п е N.
п
( Совокупность рациональных и иррациональных
) чисел образует множество действительных чисел.
Обозначение: R.
Действительные числа можно складывать, вычи-
тать, умножать и делить (кроме деления на нуль),
причем действия над ними обладают аналогичными
свойствами, что и действия над рациональными чис-
лами.
В практических задачах при выполнении действий
над действительными числами их заменяют прибли-
женными значениями.
Пример 1. Найти приближенное значение суммы
2
чисел тип, где т = —, п = 2,7143... с точностью до:
а) 0,1; б) 0,01.
Решение.
а) т=- = 0,66... ~ 0,7, п = 2,7143... » 2,7.
3
Тогда т + п ® 0,7 + 2,7 = 3,4.
б) т =- = 0,66... » 0,67, п = 2,7143... » 2,71.
3
Получим: т 4 п ~ 0,67 + 2,71 = 3,38.
Ответ: а) 3,4; б) 3,38.
Пример 2. Найти площадь круга, радиус К которо-
го равен 5 см.
Решение.
Известно, что площадь круга вычисляется по фор-
муле S = л7?2, где л « 3,14.
Получим S » 3,14 52 = 3,14 • 25 = 78,5 (см2).
Ответ: 78,5 см2.
Задачи
Часть 1
1. Из данных чисел -3; 6,2; 13; 0,3030030003...;
1 3
—; 4,(5); —л; 0; 109; 11 — ; - 2 выписать:
3 7
а) натуральные числа;
6) целые отрицательные числа;
в) рациональные положительные числа;
г) иррациональные числа.
2. Представить в виде бесконечной десятичной
дроби число:
а) -; б) 3, в) -1,34, г) 1-; д) -1; е)--.
3 о о 3
3. Сравнить числа:
а) 0,324 и 0,024; б) 0,6 и -22; в) -3,54 и -3,45.
Часть 2
1. Сравнить числа:
2 3 5
а) 0 и —; б) — и -; в) -1,53 и -1,35; г) -3,1515... и
3 7 8
-3,5151...;
д) 2,(34) и 2,34; е) 3,(08) и 3 — .
2. Представить в виде обыкновенной дроби число:
а) 0,(6); б) 0,0(3); в) 5,(07).
3. Доказать, что если тип — четные числа, то
3m2 + п2 также четное число.
4. Указать 5 чисел, заключенных между числами:
а) 1,6 и 1,7; б) -- и --.
6 7
5. Расположить в порядке возрастания числа:
5,73; 4,(4); -3,85...; -3,74... .
§ 31. Арифметический квадратный корень
31.1. Квадратные корни.
Арифметический квадратный корень
Пример 1. Чему равна длина стороны квадрата,
если площадь квадрата равна 81 см2?
Решение.
Пусть х — длина стороны квадрата, тогда площадь
квадрата будет х2, что по условию равна 81 см2.
Получим уравнение х2 = 81, откуда хг = 9, х2 = -9.
Действительно, 92 = 81, (-9)2 = 91. Но по смыслу за-
дачи х — длина стороны квадрата, значит, условию
задачи удовлетворяет корень х = 9. Это число на-
зывается арифметическим квадратным корнем из
81. Другими словами, арифметический квадратный
корень из 81 — это неотрицательное число, квадрат
которого равен 81.
Обозначение: д/а, где л/~” — знак радикала или знак
арифметического квадратного корня, а — подкорен-
ное выражение.
Например: уА = 3, так как 3 — число неотрицатель-
ное и З2 = 9;
л/1,69 =1,3, так как 1,3 > 0 и 1,32 = 1,69.
То = 0, так как 0 > 0 и О2 = 0.
4a - Ъ, если Ъ > 0 и Ь2 = а.
Если а < 0, то выражение 4~а не имеет смысла.
Например: 7-25; д/-6,2 не имеют смысла.
При любом а > 0 верно равенство
(Та)2 = а.
Пример 2. Найти значение корня:
а) 7100; б) 7144; в) 70,01; г) 70,49;
->Й
Решение.
a) 7100 = Ю, так как 10 > 0 и 102 = 100.
Аналогично, б) 7144 = 12; в) 70,01 = 0,1;
г) 75^9=0,7; д) ДДе)
’ \49 7 М 25 \25 5
Пример 3. Найти сторону квадрата, площадь
которого равна:
а) 9 см2; б) 49 дм2; в) 0,49 м2; г) — м2.
Решение.
Пусть х — сторона квадрата. Тогда
а) х = 7э=3 (см); б) х = Т49=7 (дм);
в) х = Л/0,49= 0,7 (м); г) х = = | = 0,8 (м).
Ответ: а) 3 см; б) 7 дм; в) 0,7 м; г) 0,8 м.
Пример 4. Вычислить:
а) 749-725; б) ^9-781;
г) 49:7900; д) 7о,О4-7о,49;
в) 2716-781;
е) -70,81-4;
3
ж) -4^0,25+3,6; з) -(716)<
4
Решение.
а) ч 49-725 = 7-5 = 2;
б) 79 781 = 3 • 9 = 27;
в) 2716-781 = 24-9 = 8- 9 =-1;
г) 749:7900 = 7:30= —;
30
д) +0,04-л,0,49 = 0,2 - 0,7 = -0,5;
е) -70,81-4 = - • 0,9 - 4 = 0,3 - 4 = -3,7;
3 3
ж) -470,25+3,6 = —4 • 0,5 + 3,6 = -2 4 3,6 = 1.6;
з) -(716)2 =- • 16 = 4.
4 4
7
Ответ: а) 2; б) 27; в) -1; г) —; д) -0,5; е) -3,7;
ж) 1,6, з) 4.
Пример 5. Найти значение выражения:
ylx + y при х = 42,у = 7;х = 23,у = -7; х=~>
у = ^, х = -0.23, у = 0,59.
Решение.
При х = 42, у = 7, получим , 42 + 7 = 749 = 7;
при х = 23, у = -7, 723-7 = 716 = 4,
1 4 fl 4 /25 5
при х =—, и =—, . .— = —;
4 9 ¥49 V 36 6
при х = -0,23, у = 0,59, 7-0,23 + 0,59 = 70,36 = 0,6.
5
Ответ: 7; 4; —; 0,6.
6
Задачи
Часть 1
1. Найти значение арифметического квадратного
корня:
а) 79; б) 7121; в) ^0,25; г) 7о,16;
д) Щ е) |з^.
481 4 25
2. Найти число, арифметический квадратный ко-
рень из которого равен:
а) 4; 6)6; в) 0; г) 0,4; д)-; е) 0,2.
3
3. Вычислить:
a) х/36 - V81; б) 749-716; в) 279-716;
г) у81 :<400; д) /0,49+Л/0,04; е) -2^0,36 I 3,4.
4. Найти значение выражения:
а) у32 + с при с = 4; -7; 17;
б) yjm-n при т = 60, п = 11; т = -1, n = -10.
Часть 2
1. Вычислить:
а) д/2025 -7484;
в) 0,57529+<3,24;
б) 271721-^3,61;
г) 6 &
Г 71225 \225’
Д)
м 441
2. Решить уравнение:
а) 47х=5; б) 7бх = 1; в) —^= = 3;
2<х
г)(7х)2=16; д) 4-3=4; е) 3 =2.
л/ х + 2
3. При каких значениях х имеет смысл выражение:
а) \4х; б) д/-3х; в) д/х3; г) л/-х3;
Д)
х-2
,'х
е)
1
л/х-3
?
31.2. Уравнение х2 = а
При решении этого уравнения возможны три случая.
1. Если а < 0, то уравнение х2 = а не имеет действи-
тельных корней, так как х2 > 0.
2. Если а = 0, то уравнение имеет единственный ко-
рень х = 0, так как О2 = 0.
3. Если а > 0, то уравнение имеет два противопо-
ложных корня хг = -к[а, х2 = к[а.
Например, уравнение х2 = 81 имеет корни хх = -9 и
о 2 9 /93
х2 = 9; уравнение х = имеет корни =-у"^
ПГ з
и х„ =.— = —.
2 у 25 5
Уравнение х2 = 3 имеет корни хх =-д/з и х2 =<3.
Эти корни являются иррациональными числами, так
как не существует рационального числа, квадрат ко-
торого равен 3.
Пример 1. Решить уравнение:
а) х2 = 49; б) х2 = 0,36; в) х2 = 10; г) х2 = 6.
Решение.
а) х2 = 49, х1>2 = ±7;
б) х2 = 0,36, х1>2 = ±0,6;
в) х2 = 10, хх 2 = ±\ 10;
г) X2 = 6, х12 = ±л/б.
Пример 2. Найти корни уравнения.
а) 9 + х2 = 0; б) 0,4х2 = 0,064; в) (х - 2)2 = 49;
г) (х + З)2 = 6; д) (х - 4)2 = 8.
Решение.
а) 9 4- х2 = 0, х2 = -9 — нет корней;
б) 0,4х2 = 0,064, х2 = 0,16, х1 2 = ±0,4,
в) (х - 2)2 = 49, х - 2 = ±7, х1 = -7 + 2 = -5,
х2 = 7 + 2 = 9;
г) (х + З)2 = 6, x-i-3 = ±\6, Xj 2=-3± .6;
д) (х - 4)2 = 8, х-4 = ±ч8, х - 4 = ±2\'2, xt 2 = 4±2\2.
Пример 3. При каких значениях переменной х
имеет смысл выражение:
а) 4л/х; б) -2л/х; в) у'5х; г) \2-х; д) V-x?
Решение.
а) х > 0; б) х > 0; в) х > 0;
г) 2 - х > 0, х < 2; д) -х > 0, х < 0.
Пример 4. Вычислить:
а) (3- V2)2 + 6 2; б) (4 + уЗ)2 -8<3;
в) (5-V2)2 + (5 + V2)2.
Решение.
а) (З-д/г^+бч'з =9-0v'2 + 2 + 6a/2=11;
б) (4 + 73)2-87з =15-8х/3 + 3-8 3=19;
в) (5-л/2>2 + (5 + л/2)2 = 25-10л/2 +2 + 25 +
+ 10V2+ 2 = 54.
Задачи
Часть 1
1. Имеет ли корни уравнение:
а) х2 = 4; б) х2 = 0; в)х2 = 11; г) х2 =-7?
2. Решить уравнение:
а) х2 = 16; б) х2 = 0,81; в) х2 = 5; г) х2 = 6,4.
Частпъ 2
1. Найти значение выражения:
а) зЛ-(-Л); б) -(6>/2)2;
в) 7Гб9-3(7о?4)2; Г) (0,27б0)2 +Д96;
д) -0,3(\60)2- -Ло .
L 2 J
2. Решить уравнение:
л 1 л2 ( \2
а) (2х - 1)2 = 16; б) j х-- =4; в) |--2 1=5.
3. Решить уравнение:
а) х2 = (Лз - 4)(ЛЗ +4); б) у2 = (Л - Л)( Л + Л).
31.3. Функция у = 4х и ее график
Так как х > 0, то составим таблицу значений.
X 0 1/4 1 4 9
У 0 1/2 1 2 3
Для значений х, не являющихся квадратами целых
чисел, значения у можно найти с помощью калькуля-
тора.
Основные свойства
1. При х = 0,у = 0,т.е. график проходит через на-
чало координат.
2. При х > 0, у > 0; график целиком расположен в
первой координатной четверти.
3. При х2 > х1 => у2 > у2, т. е. большему значению
аргумента соответствует большее значение функции.
Функция является возрастающей при х > 0.
Например: д/э >л/4; д/7 >>/з и т. д
Пример 1. Принадлежит ли графику функции
у = у[х точка:
1)А(9;3); 2) 5(49; 7); 3) 0(3; 9); 4)5(-49;7)?
Решение.
1) Если точка А принадлежит графику функции, то
х = 9, у = 3, тогда 3 = \9 — верно, значит, точка А
принадлежит графику функции.
2) 5(49; 7), где х = 49, у = 7, тогда 7 = V49 — верно,
т. е. точка 5 принадлежит графику функции.
3) 0(3; 9), где х = 3, у = 9, тогда 9 = а/3 — неверно,
т. е. точка С не принадлежит графику функции.
4) Л(-49; 7), так как х = -49 < 0, то точка D не при-
надлежит графику функции.
Ответ: 1) Да; 2) да, 3) нет; 4) нет.
Пример 2. Пересекает ли график функции у = 4х
прямая:
а) у = 3; б) 4у = 5; в) у =100; г) у = -5?
Решение.
Так как х > 0, то у > 0.
а) у = 3 > 0, значит, прямая у = 3 пересекает график
функции;
5
б) 4у = 5, у = — > 0 — пересекает;
4
в) у = 100 >0 — пересекает;
г) у = -5 < 0 — не пересекает.
Ответ: а), б), в) пересекает; г) не пересекает.
Пример 3. Сравнить числа,
a) 727 и 731; б) и -,'(l9;
г) 5 и J26; д) Л и
Решение.
а) Так как 27 < 31, то 727 <731 (функция у-4х
при х > 0 является возрастающей);
б) 2,9 > 0,9 => 7^9 > ТО;
Задачи
Часть 1
1. Пересекает ли график функции у = \<х прямая:
а) г/= 6; б) у = у; в) у = 400; г) у = -7?
4
2. Принадлежит ли графику функции у = \[х точ-
ка: Л(1; 1), В(4; 2), С(-9; 3), П(2; 4)?
3. Сравнить числа:
а) Тб4 и 756; б) у/3,7 и 7з?2;
в) 724 и 5.
Часть 2
1. Расположить в порядке убывания числа:
4; 717; 6,1; 719 и 715,4.
2. Пересекает ли график функции у = 7х прямая:
а) у = 6,3; б) у = 2х; в) у = 2 - х; г) х = 8?
3. Какие целые числа расположены между числа-
ми:
a) 7U и 4;
б) 9 и 7124;
в) -х'3?9 и О?
§ 32. Свойства арифметического
квадратного корпя
32.1. Квадратный корень
аз проазведения и дроби
1) Корень из произведения неотрицательных
множителей равен произведению корней из этих
множителей.
4аЬ = \а \’Ь, где а > О, Ъ > 0.
2) Корень из дроби равен корню из числителя,
деленному на корень из знаменателя.
= 2^. где а > 0, b > 0
Пример 1. Найти значение выражения:
1) /49 S1; 2) 736 100; 3) 71210,25;
4) 71,69-0,09; 5) 76,25-0,04; 6) 70,36-1,21.
Решение
1) 749 81 = 749 ТйТ = 7 • 9 = 63;
2) л 36-100=^36 -7100 = 6 • 10 = 60;
3) 7121 0,25 =7121 70,25 = 11 • 0,5 = 5,5;
4) 7^69 0.09 =71,69 0,09 = 1,3 • 0,3 = 0,39;
5) 76,25 0,04 = V6?25 -70,04 = 2,5 0,2 = 0,5;
6) 70,36 1,21=^0,36 - -U1 = 0,6 • 1,1 = 0,66.
Пример 2. Найти значение выражения;
а) 790-360; б) 710-810; в) 18-32;
г) 72,5 90; д) 71,6-0,4; е) 716,9-0,9.
Решение.
а) л 90-360 =79 10-36 10 = 3 10 6 = 180;
б) 710-810 = 710 10 81 = 10 9 = 90;
в) 718-32 = 72-9 2-16 = 2 • 3 • 4 = 24;
г) 72,5 90 = 72,5 10 9 = 725-9 = 5-3 = 15;
д) 71,9 0,4 = 716 0,1-4-0,1 = 4 • 0,1 • 2 = 0,8;
е) 7197^0,9=7169 О, Г9-0,1 = 13 0,1 • 3 = 3,9.
Пример 3. Найти значение выражения:
а) Т2-Л/32; б) 7з’->'27; в) 713 7117;
г) 70,4 --„'3,6; д) /12?5 ,72; е) 7200 70,72.
Решение.
а) Т2-Т32 =72-32=764 =8;
б) ТЗ-Т27=73-27 =781 = 9;
в) 713 V117 =713417 =713U 9 = 7132 -32 =
= 13 • 3 = 39;
г) То, 4 7з?6 = V0,4 • З7б =,,'4 0,1 36 • 0,1 =
= 2 • 0,1 6 = 1,2;
д) ,.1275-772 = 712,5 72 = 712,5-2-36 = 725-36 =
= 5 • 6 = 30;
е) л 200 70,72 = 200-0,72 = 72 100 -0,72 =
= 7100-1,44=7144 = 12.
Пример 4. Найти значение корня:
Решение.
Задачи
Часть 1
1. Найти значение корня;
а) 74 25; б) ТйГзб;
г) <36 81; д) V0,49 36;
в) 716 100;
е) < 1,21.
2. Найти значение выражения;
а) 740-250; б) 7160Й0; в) ТП32;
г) 78-200; д) 73-48; е) 73,6-90.
3. Найти значение произведения;
а) /6-754; 6) 72-750; в) ТП .99;
г) ,12?5-732; д)«; е) 7^,27-^Пю.
4. Найти значение корня:
г) . 13—.
V 9
Часть 2
1. Вычислить
a) 7б2+122; б)у612-602; в) 7852 - 842;
г) д/1,32 -1,22; д) 72,5* - 2,42.
2. Найти значение корня:
а) IHTliLlI. б) !в-----2—; в) 70,16 9-0,04.
V 49 9 81 \ 16 81
3. Вычислить:
а) V360-40; б) л/Ю 490; в) <32-72;
г) <50-8; д) 72,516,9; е) 790-3,6
4. Вычислить значение выражения:
а) 72 52 - 72; б) 7242 + 72; в) 7l 812 -1802.
5. Найти значение произведения:
6. Найти значение частного:
7. Во сколько раз сторона квадрата площадью 48 см2
больше стороны квадрата, площадь которого 3 см2?
8. Найти натуральные значения п, при которых
выражение <п2 -13 является натуральным числом.
32.2, Квадратный корень из степени
При любом значении х верно равенство
4x4 = | X |,
, , [ х, если х > 0,
х, если х<0.
Пример 1. Упростить выражение 4а*.
Решение.
х/а8 = д/(а4)2 -| а4 |-а4, так как а4 > 0 при любом а,
|а4| = а4.
Итак, 4а* = а4.
Пример 2. Упростить выражение 4х*, где х < 0.
Решение.
4~х° = д/(х3)2 =| х" | = -х3, так как х < 0 и х3 < 0.
Значит, при х < 0 44 =-х3.
Пример 3. Упростить выражение хУб -9)2 +45.
Решение.
7(V5-9)2 +45 =|х'5-9|+\5 = 9-V5 + Vf = 9.
Пример 4. Упростить выражение:
а) -4 — т2, где т < 0; б) -0,1л/25а20, где а > 0.
\ 16
Решение.
ч л ПГ 2 1 7 М
al -1, — т = -4 — т = -4 — т = т;
\16 4 I 4 J
б) -0,1425а20 =-О,1|5л101 = -0,1 • 5п10 = -0,5а10.
Пример 5. Вычислить, разложив подкоренное
выражение на простые множители:
а) <38 416; б) ^104 976; в) ^13 689.
Решение.
а) ^38 416= 4 9604 = 2x4 2401 =
= 472401 = 4Л'492 = 4 49 = 196;
б) 7104 976 = 74-26 244 = 274-6561 =
= 8x6561=8-781^ = 8 • 81 = 648;
в) 713 689 = \'9 1521 =3х'9-169 = 97169 =9713^ =
= 9 • 13 = 117.
Задачи
Чисть 1
1. Вычислить:
1) V(4>3)2; 2) 7(-1,1/;
4) 7(-4Д5)2’; 5) 27(-13)2;
7) Тб®"; 8) к?*;
10) 7(32-б4).
3) 7(0,6)2;
6) 0,27(-11)2;
9) 7(1,3)4;
2. Упростить выражение:
а) \’х2, если х > 0; б) 7*7, если у < 0;
в) 7о, 36х2, если х > 0; г) 1,271ООх*.
Часть 2
1. Упростить выражение:
I----
a) J—, гдез<0; б) Х уХ4у1ь, где у > 0.
V 2
2. Вычислить:
а) Тб561; б) 79216; в) ^/15 625.
3. Верно ли равенство:
а) Т^Тз =73-2; б) д/14^6V5 = л/б -3?
4. Упростить выражение:
a) 719-8V3; б) 711-4 /7.
§ 33. Применение свойств
арифметического квадратного корня
33.1. Вынесение множителя зи знак корня.
Внесение множителя под знак корня
Пример 1. Вынести множитель за знак корня:
Решение.
а) Чтобы вынести множитель за знак корня, важно
удачно разложить число на множители так, чтобы из-
влечь корень хотя бы из одного множителя. Напри-
мер, 75 = 5 • 15 не удачное разложение, а если предста-
вить как 25 • 3, то получим ответ: 775 = 725-3 = 573.
б) Число 180 можно разложить на множители
по-разному, но самым удачным будет 180 = 36’5.
Тогда получим 7180 = 736-5 = бТб.
в) Заметим, что 28 800 = 100 • 288 = 100 2 • 144,
значит, - J28 800 = -7100-2-144 = - 10 1272 = 40 2.
3^ 3 3
Такое преобразование называют вынесением мно-
жителя за знак корня.
Пример 2. Внести множитель под знак корня:
а) 4^6; б) -5-8; в)-718.
3
Решение.
а) Представим произведение 4Gb виде арифмети-
ческого квадратного корня, для чего число 4 предста-
вим как >/16 и выполним умножение корней. Полу-
чим 4у6 = >/16->/б = >/96.
Такое преобразование называют внесением множи-
теля под знак корня.
б) Внесем множитель под знак корня в выражении
-5 ;8. Заметим, что отрицательный множитель -5
нельзя внести под знак корня, однако под знак корня
можно внести положительный множитель 5:
-5<8 =-1 • 5>/8 =-1 V25 • 8 =-л/200.
Пример 3. Сравнить значения выражений:
а) 4#3 и у 47; б) 5>/3 и 3>/б; в) 0,6^1 - и 0,8
Решение.
а) 4>/з = у'1.6->/з ->,48.
Значит, >/48 >V47, т. е. 4-/3 >у47.
б) 5>/3 = <25 -а/З = <75, 3<5 = <9 • <5 = <45.
Так как >'75 ><45, то 5<3 >3 /5.
в) о,вД Л.й* /Е./Й _ (ЕЙ /зз.
V 6 5 6 \25V6 \25-6 V50
0.8#-- -ЛЯ-ЛЯ1 - Я=Я-
N8 5 V8 V25 N8 V25-8 V 25 \ 50
m 33 12 /ЗЗ 12
1ак как —> —, то .—>.—, значит,
50 50 \ 50 <50
°-Л-°-Я-
Задачи
Часть 1
1. Вынести множитель из-под знака корня:
a) V27; б) 744; в) .250; г) 7216;
д) 0,2.40; е) --V18; ж) -V75.
3 5
2. Внести множитель под знак корня:
а) 3^2; 6)7.3; в) -4 8; г) -2Л/10;
д) бд/х;
3. Сравнить значения выражений:
1) 2<3 и .11; 2) /13 и 2х/3;
3) 6x3 и Зх/б; 4) Зд/15 и 2/34,
5) -х/72 и -/128: 6) 0,7, — и 0,9, -
3 2 V 7 V3
Часть 2
1. Вынести множитель из-под знака корня:
а) 4'36а2Ь5, где а < 0; б) /)8а3Ь12, где Ъ < 0;
в) /-18х7; г) д/48(х - у)3.
2. Внести множитель под знак корня:
а) шл/з, где т < 0; б) a’ 75, где а < 0;
в) у^у; г) хкРх; д) (х-г/)х/х-1/; е) (а-Ь)к/Ь
а.
3. Какое из выражений не имеет смысла?
1) /3^ 13-7; 2) <4д/3-х47;
3) 7/3-3/10; 4) Тл/З-ВЗ.
4. Сравнить значения выражений:
а) 4л/5 и х85; б) ТЗЗ и 2^8;
5. Расположить в порядке возрастания числа:
а) 2д/3; За/2; Лб; 2-а; 3x6;
6) -Л; -ЗЛ; хб; -2>/3; -х/47.
33.2. Преобразование выражений,
содержащих квадратные корни
Пример 1. Упростить выражение
бЛа-л/24а+Зх/54а.
Решение.
Так как х/24н=44 6а =2\:6а, х/54а = х/9 6а -Зх/ба,
то получим:
5 :6а-х/24а + Зх/54н = бх/ба-2^6а + 2-3\6а =
= х/ба(5-2 + 9) = 12х/ба.
Пример 2. Сократить дробь -----j=.
х + х/5
Решение.
Так как 5 = (х/5)2, то в числителе дроби получим
разность квадратов двух выражений. Имеем:
х2-5 х2-(Л)2 (х-Л>)(х + х/б)
Х + Л Х + х/б Х + д/б
Пример 3. Освободиться от иррациональности ь
знаменателе дроби:
.3 4 ч 5 ч 1 х 16
a) j—, б) ,—, в) —, г) .— , д) у—
2V5 Зчд 2\10 V3-1 2x4}-5
Решение.
3 3 5 3x5 Зхб
а 2х/5“2а/Г75”2-5“ W ;
5 5у10 5x10 л 10 ЛО
5 зЛо ЛЛо-Ло ~ 210 ” 2-2 ” 4
_ 1 1-(Л + 1) Л + 1 Л + 1.
Л-1 (Л-1) (Л+1) з-1 ” 2
_ 16 16 (2^ 6-5) 16(2Л-5)
2х6-5~(2 6-5)(2 Л + 5)~ (2<6)2-52
= 16^2~5)=-16(2<6-5) = 16(5-2 Л).
Пример 4. Выполнить действия:
а) (а + Л)(а-Л); б) (Л2 -3)(Л2 + 3);
в) (ЛЛ Л)2; г) (Л-1)2; д) (ЗЛ-5)2.
Решение.
а) (а + хд)(а-Л) = a2-(vb)2 =a2-tr,
б) (Л2-3)(Л2 + 3) = (Л2)2-32 = 12 - 9 = 3;
б) (\ffl + Jn )2 = (Лг)2 +2-х/т -Л + (Л)2 =
= ш + 2 -jinn + п.
г) (Л-1)2=(хЗ)2-2-Л-1 + 12=3-2Л + 1 = 4-2Л;
д) (3.2-5)2 =(ЗЛ)2-2 3 Л-5 + 52 =
= 18-30Л + 25 = 43-30Л.
Пример 5.
а) а2-5; б) 9Ь2 - 7; в) 13 - 25m2;
г) п - 2, где т? > 0; д) a - b, где a > О, Ъ > 0;
е) Jy~y> ж) Лх-Лх; з) Лб-Лз.
Решение.
а) а2 - 5 = a2 - (-Jb)2 = (a-s 5)(а + Л);
б) 9Ь2 - 7 = (3£)2 - (Л)2 =(ЗЬ-- 7)(36 +Л);
в) 13 - 25тп2 = (ЛЗ)2-(5/тг)2 =(ЛЗ-5??г)(л/1з + 57п);
г) п - 2 = (Л)2 - (Л)2 = (Л - Л)(х п + Л);
д) a - Ъ = (у[а)2 = (4а~4ъ)^а + - Ъ);
е) уу-у= ^-1-(^)2 =<у(1- у);
ж) л/Зх-42х = л/3-4х->'2 4х = „ х(д/з-л/2);
з) л'55-7зЗ=711-5-ЛГз =л11К/5-^3).
Задачи
Часть 1
1. Упростить выражение:
а) 2’/а-7л/а+8д/а, б) 4\'т -3\п + \, т;
в) \'5х + %/80х-л/20х; г) V12-л/27 + ^48.
2. Выполнить действия:
а) (3 + л/5)(1 -/5); б) (а/З -^2)(2^3 + 42);
в) (а - 2 „ с)(а + 24с); г) (д/п - 3)(Vli + 3);
д) (V3-1)2; е) (д/2-л/б)2,
3. Разложить на множители выражение:
а) т2 - 3; б) 13 - п2; в) 4х2 - 7; г) 2у2 - 5;
д) у - 16, где у > 0; е) 5 - т, где т > 0.
4.
а)
Сократить дробь
х2 - 6
х + л/6
б)
в)
г)
т-п
Часть 2
1. Разложить на множители выражение:
а) 5а2 - 2; б) 4т - 9п, где т > 0, п > 0:
в) 13-4V13; г) v7x-V5x; д) V15-V3; е) V55-V22.
2. Сократить дробь:
ч 2- 2-Зл/б
2Л-9 ;
„ тл/m PiiKjn , л/n J-V2
д) —г=—е) —г- „ г
г)
-Ja-'jb л!тп + л1п пу]п+2\2
3. Освободиться от иррациональности в знаменателе
дроби:
б)
в)
ц)------,= ,
5 + 2V6
а)
г)
a\m
4
е)
3-2Ч2
5х/2
6
7-4^3'
Глава 10
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 34. Квадратное уравнение и его корни
34.1. Неполные квадратные уравнения
, Уравнение вида ах2 + Ьх + с = 0, где а*0, назы-
) вается квадратным уравнением общего вида.
Числа а, Ъ, с — коэффициенты (некоторые числа),
х — переменная.
Число а называется I коэффициентом, Ь — II коэф-
фициентом, с — свободным членом.
Квадратное уравнение называют также уравнением
II степени, так как его левая часть — многочлен II сте-
пени.
Если а = 1, то уравнение называется квадратным
приведенного вида.
Например, х2 -5х + 6 = 0, х2 + 6х = 0, х2 - 3 = 0.
Если в квадратном уравнении ах2 + Ьс + с = 0
Ь = 0, или с = 0 или Ъ и с равны нулю, то полученные
уравнения называют неполным квадратным уравне-
нием.
Они бывают трех видов
1) ах2 + Ьх = 0; 2) ах2 + г = 0; 3) ах2 = 0.
Пример 1. Решить уравнение 2х2 - 5х = 0.
Решение
Уравнения такого вида решают разложением левой
части на множители:
х(2х - 5) = 0, откуда х = 0 или 2х - 5 = 0.
Решая уравнение 2х — 5 = 0, имеем 2х = 5,
5 о е
X- — -2,5.
2
Ответ: х} = 0, х2 = 2,5.
Пример 2. Решить уравнение:
а) 4х2 - 5 = 0; б) 7х2 + 3 = 0.
Решение.
5
а) 4х2 -5 = 0, 4.x2 = 5, х2 = —, откуда
4
X = Л = +^
V4 ” 2
з
б) 7х2 + 3 = 0, 7х2 = —3, х2 = —— — нет действитель-
ных корней, так как х2 > 0.
у 5
Ответ: а) х, 2 = ±-^-; б) нет корней.
Пример 3. Решить уравнение —х2 =0.
3
Решение.
Если -^х2 = 0, то х2 = 0, откуда х = 0.
Ответ.: х = 0.
Пример 4. Найти корни уравнения:
а) (х - 3) (х + 4) = 0; б) х(х 1- 0,6) = 0;
в) х2 + 4х - 1 = 4х + 8.
Решение.
а) (х - 3) (х + 4) = 0.
Произведение двух (и более) выражений равно
нулю, если хотя бы одно из них равно нулю, а другое
при этом не теряет смысла.
Значит, х — 3 = 0 или х + 4 = 0, откуда хг = 3,
х2 = -4.
б) х(х + 0,6) = 0, откуда х = 0 или х + 0,6 = 0, т. е.
хг = 0, х2 = -0,6.
в) х2 + 4х - 1 = 4х + 8, или х2 = 9, откуда находим
X] 2 = ±3.
Ответ: а) х1 = 3, х2 = -4; б) х, = 0, х2 = -0,6;
в) х12 = ±3.
Задачи
Часть 1
1. Решить уравнение:
а)4х2-12 = 0; б)Зх2 + 15х = 0;
г) х2 + 3 = 0; д)5х2-15 = 0;
ж)-|х2=0; з)7х2 + 28 = 0;
1 5
к)—х2+ —= 0; л) 18 - Зх2 = 0;
8 2
в) 1,6х2 = 0;
е) х2 - 7х = 0;
и) 6х + Зх2 = 0;
м) 4,7х2 = 0.
2. Найти корни уравнения:
а) (у - 1)(у - 4) = 0,
в) у2 - Зу = 0;
д) 16г/2 1 = 0;
ж) у2 = 4-у;
и) 5у2 + 9 = 20г/2 + 9.
б) у(у + 0,3) = 0;
г) у2 - 9 = 0;
е) 4у - Зу2 = 0;
з) у2 - Зу + 2 = 1 - Зу;
Чаешь 2
1. Решить уравнение:
а) (х + 2)(х - 0,3)(х + 2,6) = 0;
б) (х - 4)(х + 0,1)(х - 1,8) = 0;
1 5
в) 6х(2х - 0,5) = 0; г)-х2--------= 0;
4 16
д)2,3у2-6,9 = 0; е) 5х-0,6х2 = 0.
2. Решить уравнение:
а) х2 - 6 = (х + 6)(3х - 1);
б) Зх - (х + 2)2 = 2х2 - х;
в) 8х2 - (х + 4)2 = -8(х - 2);
г) (5у - 2)(у + 3) = 13(1 + у).
3. Какие из уравнений не имеют корней:
а) у2 + 7 = 0; б)д/у+3 = 0; в) |-х2| + 1,6 = 0;
г) (х - 4)2 + 3 = 0; д) (m - З)2 = 0; е) (п + 2)2 - 9 = О?
34.2. Формула корней квадратного
уравнения
Пусть дано квадратное уравнение общего вида
ах2 3 + Ъх + с = 0, где а ф 0.
Выделим полный квадрат в левой части уравнения,
для чего умножим обе части уравнения на 4а.
4а2х2 + 4abx + 4ас = 0, или
(2ах)2 + 2 • 2ах • b + Ь2 -Ь2 + 4ас = 0,
(2ах + Ь\2 = Ъ2 - 4ас.
Выражение D = Ь2 - 4ас называется дискриминан-
том (различителем).
Тогда получим (2ах + Ъ)2 = D, или 2ах + b = ±y’D,
г~ -ь+4в
откуда 2ах = -b ±4Р, или х1( 2 =---, где D = Ъ2 - 4ас.
Это и есть формула для нахождения корней квад-
ратного уравнения.
Наличие корней квадратного уравнения зависит от
знака дискриминанта D, поэтому решение уравнения
следует начинать с вычисления D, чтобы выяснить,
имеет ли квадратное уравнение корни, а если имеет,
то сколько.
Возможны 3 случая:
1) Если D > 0. то квадратное уравнение имеет два
различных действительных корня:
-Ь + рР
2а
Х2 =
где Р = Ъ2 - 4ас
2) Если D = 0, то квадратное уравнение имеет 1 ко-
рень.
Ъ
х =---.
2а
3) Если D < 0. то квадратное уравнение не имеет
действительных корней.
Пример 1. Решить уравнение 2х2 - 5х - 3 = 0.
Решение.
a = 2, b = -5, с = -3, D = b2 - 4ас = (-5)2 - 4 2 (-3) =
= 25 4- 24 = 49 = 72 > 0 — 2 корня. -Ь±4о 5±7 5-7 1 5 + 7 „ х, = = 3
1,2 2а 2-2 ’ 1 4 2’ Ответ: х. = —, х„ = 3. 1 2 2 4
Пример 2. Решить уравнение 16х2 - 8х + 1 = 0.
Решение.
a = 16, Ь = -8, с = 1, D = (-8)2 - 4 • 16 • 1 = 64 - 64 = 0.
Значит, квадратное уравнение имеет 1 корень.
-Ь 8 1
' 20 216 4
Ответ: х = — .
4
Замечание. Если D = 0, то левая часть квадратного
уравнения — квадрат суммы или разности.
В рассмотренном случае имеем:
(4х - I)2 = 0, 4х - 1 = 0, 4х = 1, х = ±.
Пример 3. Решить уравнение Зх2 - 7х 4 9 = 0.
Решение.
а = 3, b =-7, с = 9, D = (-7)2 - 4 3 9 = 49 - 108 =
= -59 <0 — нет действительных корней.
Ответ: нет корней.
Часто встречаются квадратные уравнения с четным
11 коэффициентом вида ах2 + 2kx 4- с = 0. В этом слу-
чае пользуются формулой
—k±JD.
хх 2 =-------, где D1 = k2 - ас.
’ а
Пример 4. Решить уравнение Зх2 - 14х +16 = 0.
Решение.
а = 3, k = - = -7, с = 16, D, = /г2-ас = 49-48 = 1 >0,
2 1
-k±.^ 7±1 7-1 о 7 + 1 8
--- --=----, х, =-= 2, х„ =-= —.
a 3 1 3 2 3 3
34.3. Свойства коэффициентов для
нахождения корней квадратного уравнения
Свойство 1. Если в уравнении ах2 + Ъх + с = О
выполняется условие а. + Ъ + с = 0, то xr = 1, х2 = —.
а
Пример 1. Решить уравнение х2 + Зх - 4 = 0.
Решение.
Так как 1 + 3 - 4 = 0, то хг = 1, х2 = -4.
Свойс тво 2. Если а - b + с = 0, т. е. b = а + с, то
ч с
Xj = -1, х2 = —.
а
Пример 2. Решить уравнение 2х2 + 7х + 5 = 0.
Решение.
5
Так как 2 - 7 + 5 = 0, то х. = -1, х, = —.
1 2 2
Свойство 3. Если с = a, b = а2 + 1, то хг = -а,
1
х2 = —.
а
Пример 3. Решить уравнение Зх2 + Юх + 3 = 0.
Решение.
Так как а = с = 3. & = а2 + 1 = 10, то х. = -3, х, = - —.
1 2 3
Свойство 4. Если с = а, b = -(а2 + 1), то хг = а,
1
х2 = —.
а
Пример 4. Решить уравнение 5х2 - 26х + 5 = 0.
Решение.
а = с = 5, b = -(52 + 1) = -26, то хг = 5, х2 =^.
34.4. Биквадратные уравнения
Уравнение вида ах4 + Ьх2 + с = 0, где а + О, называ-
ется биквадратным.
Заменой неизвестного х2 = у оно сводится к реше-
нию квадратного уравнения.
Биквадратное уравнение приведенного вида х4 +
+ рх2 + q = 0 в случае, когда q > 0, можно привести к
квадратному, разделив обе части его на х2 и введя но-
вую переменную хч---= у.
х
Этот прием особенно удобен, если q является квад-
ратом рационального числа.
Если биквадратное уравнение имеет корень х0, то
оно имеет и корень -х0.
Сумма корней биквадратного уравнения равна
нулю.
Пример 1. Решить уравнение х4 - 6х2 + 8 = 0.
Решение.
Пусть х2 = у, где у > 0, тогда получим квадратное
уравнение у2 - бу + 8 = 0, откуда находим у± = 2,
Уг = 4-
Учитывая замену х2 = у, получим:
1) х2 = 2, х12=±.2
2) х2 = 4, х3 4 = ±2.
Ответ: х4> 2 = ±д/2, х3 4 = ±2.
Пример 2. Решить уравнение
(х2 - 7х)2 + 2(х2 - 7х - 8) = 64.
Решение.
Раскрытие скобок лишь усложняет решение. Пусть
х2 - 7х = у, тогда х2 - 7х - 8 = у - 8.
Данное уравнение примет вид у2 + 2(у — 8) = 64, или
у2 + 2у - 80 = 0, откуда находим у1 = -10, у2 = 8.
Учитывая подстановку х2 - 7х = у, получим 2 квад-
ратных уравнения:
1) х2 - 7х = -10, х2 - 7х + 10 = 0, откуда = 2,
х2 — 5.
2) х2 - 7х = 8, или х2 - 7х - 8 = 0, откуда находим
х3 = 8, х4 = -1.
Таким образом, исходное уравнение имеет 4 корня.
Ответ: х4 = 2, х2 = 5, х3 = 8, х4 = -1.
Пример 3. Решить уравнение 4х3 4 * - Зх2 + 0,5 = 0.
Решение.
Умножим обе части уравнения на 2:
8х4 - 6х2 + 1 = 0.
Пусть х2 = у, где у > 0, тогда получим 8у2 - бу + 1 = 0,
Л/4 = 9- 8 = 1>0, у^2=^^, откуда ух = = 1
о о 4
3 + 1 1
у? =— =—•
2 8 2
Так как у = х2, то имеем:
2 1 1 2 1 1
1) х = —, х. „ = ± —; 2) х = —, х, . -±—;=
4 !2 2 2 8’ ♦ V2
Задачи
Часть 1
1. Вычислить дискриминант квадратного уравне-
ния и указать число его корней:
а) 2х2 - х - 1; б) Зх2 + х - 2; в) 4х2 - 4х + 1.
2. Решить уравнение;
а) 4х2 - 5х + 1 = 0; б) 5х2 - 6х + 2 = 0;
в) Зх2 - 12х + 5 = 0; г) 2х2 - 9х + 10 = 0.
3. Решить уравнение по ТТ формуле:
а) х2 + 6х - 16 = 0; б) х2 - 22х - 23 = 0;
в) 15у2 - 22у -37 = 0; г) 5у2 - 16у + 3 = 0.
х' г 2х 4х-5
б) ------=-------;
3 2
6 — х2
г) -----= 2х + 1.
5
б) 0,2б2 - Юб + 125 = 0;
г) 0,7п2 - 1,3п - 2 = 0.
4. Найти корни уравнения:
а) (х - З)2 = 6х - 23; б) (х - I)2 = 29 - 5х;
в) 5(х + 2)2 = -бх - 5; г) (х + З)2 + 8 = (1 - х)2;
д) (х + 9)2 = х + 9; е) 5 - х = (5 - х)2;
ж) 7(6 - 5х)2 = 15х - 18; з) 27х - 12 = 2(4 - 9х)2.
Часть 2
1. Решить уравнение:
х2 — 4
а)-------6х = 10;
3
ч Зх2-1 /г о
в) —-— = х(5х-8);
2. Решить уравнение:
а) —а2 + 2а - 9 = 0;
3
в) 0,2m2 + 0,4m -7 = 0;
3. При каком значении а уравнение:
а) х2 + ах + 4 = 0; б) х2 - бах + 8а = 0
имеет один корень?
4. Разложить на множители многочлен:
а) х2 - 6х + 9; б) 4х2 - —; в) у2 - бу + 8.
49
5. Найти корни уравнения:
а) (х - 2)2 = бх -14; б) (2х - З)2 = 7х - 13,
в) (х + 2)2 = 34 - Зх; г) (2х - I)2 = (х + I)2.
6. Решить уравнение:
а) х4 - 26х2 + 25 = 0; б) х4 - 8х2 -9 = 0;
в) х4 - бх2 + 4 = 0; г) 6х4 - 7х2 -3 = 0;
д) 2х4 + х2 - 3 = 0; е) Зх4 -4х2 -7 = 0.
34.5. Теорема Виета и ее применение
Пусть дано квадратное уравнение приведенного
вида х2 + рх + q = О,
Если Xj их2 — корни уравнения, то
%i + х2 = -р, хг х2 = q, т. е.
I сумма корней квадратного уравнения приведен-
ного вида равна второму коэффициенту, взятому с
противоположным знаком, а произведение корней
равно свободному члену.
Справедливо утверждение, обратное теореме Еиета.
Пример 1. Найти сумму и произведение корней
уравнения 6х2 - 5х - 1 = 0.
Решение.
D = Ъ2 - 4ас = 25 + 24 = 49 = 72 > 0 — 2 корня.
Разделим обе части уравнения на 6, чтобы получить
квадратное уравнение приведенного вида. Получим
Тогда х + х, = —, х. • х„ = —.
1 2 6 1 2 6
Пример 2. Найти корни уравнения:
а) х2 + 2х - 3 = 0; б) х2 - 5х + 6 = 0;
в) х2 - 2021х + 2020 = 0.
Решение.
а) Нахождение корней квадратного уравнения
приведенного вида (если корни существуют) следует с
удачного разложения свободного члена на множители.
В данном случае 3 = 31. Остается расставить знаки
так, чтобы их сумма была равна II коэффициенту, взя-
тому с противоположным знаком, т. е. хт = —3, х, = 1.
В этом случае xt + х2 = -3 + 1 = -2, хт • х2 = -3.
б) Так как 6 = 6 1 = 3 • 2, то нужно выбрать ту пару
чисел, чтобы их сумма была равна 5, а произведение 6.
Подходит пара 3 и 2, т. е. хг = 3, х2 = 2.
в) Число 2020 можно разложить на множители раз-
ными способами. В данном случае корни легко можно
найти, учитывая, что 1 — 2021 + 2020 = 0. Значит,
%! = 1, тогда х2 = 2020
Ответ: а) х. = -3, х, = 1; б) х. = 3, х, = 2; в) х. = 1,
х2 = 2020.
Пример 3. Не решая уравнение х2 - 6х + 8 = 0,
найти сумму кубов его корней.
Решение.
Пусть Xj и х2 — корни данного уравнения. Корни
существуют, так как D = 36 — 32 = 4 = 22 > 0 По усло-
вию xL + х2 = 6, Xj • х2 = 8.
Тогда х.3 +х2 = (х. + х,)3 - Зх.хДх. + х9) =
1 Zj х 1 Ct' Г 1 Ct'
= 68 - 3 • 8 • 6 = 216 - 144 = 72.
Ответ: 72.
Пример 4. Пусть Xj и х2 — корни уравнения
х2 - 8х — 9 = 0. Не решая уравнения, найти значение
выражения:
. 1 1 2 2 \ X. \
а)—d---; б)х1+х2; в)--г—г) (хт - х2)2.
X] х2 х2 х,
Решение.
По теореме Виета имеем: хх + х2 = 8, хх • х2 = -9.
.1 1 х. + х„ 8 8
а) — + — = —----- = — = —;
ХУ у у —Q Q
1 •А'2
б) xf +х2 = (Xj + х2)2 - 2хт • х2 = 82 - 2 • (-9) =
= 64 + 18 = 82.
. х. х„ х~ + Ху 82 82
В) -Л- + ^- = ^-= =-------;
Ху у у —О Q
2 •'V} С/ сх
г) (Xj - х2)2 = xf + xf - 2XjX2 = 82 - 2 (-9) = 100.
Q QO
Ответ: a) б) 82; в) г) 100.
Пример 5. Известно, что сумма квадратов корней
уравнения х2 - 4х + a = 0 равна 10. Найти значение а.
Решение.
Пусть х, и Ху — корни уравнения. По условию
xf + х2 = 10. По теореме Виета
Г х1 + х2 = 4,
хх -х2 = а.
Так как xf +х2 = (хт + х2)2 - 2хгх2 = 10, то получим
42 - 2а = 10, или 2а = 16 - 10 = 6, откуда а = 3.
Ответ: а = 3.
Задачи
Часть 1
1. Найти сумму и произведение корней уравнения:
а) х2 - 2х - 3 = 0; б) х2 - 12х -28 = 0;
в) у2 + 17г/ + 52 = О; г) х2 - 13х = 0;
д)15-у2 = 0; е) Зх2 - 16 = 0.
2. Составить квадратное уравнение, корпи которого
равны:
к,
а) 1 и-2; б) Зи 6; в)0,2и1-;
6
3. Найти подбором корни уравнения:
а) х2 -4х + 3 = 0; б) а2 + За - 4 = 0;
в) у2 - 15у+ 36 = 0.
4. Один из корней уравнения равен 4. Найти вто-
рой корень уравнения;
а) х2 + х - 20 = 0; б) у2 - 5у + 4 = 0;
в) а2 + За - 28 = 0.
5. Определить знаки корней уравнения (если корни
существуют), не решая уравнение.
а) х2 - 2х - 15 = 0; б) х2 - 8х + 12 = 0;
в) х2 - 5х + 6 = 0; г) 2у2 + 19у -27 = 0;
д) 5у2- УЗх-5<5-0.
Часть 2
1. Пе решая уравнения х2 - Зх + 2 = 0, найти сумму
квадратов его корней.
2. В уравнении х2 + ах - 6 один из корней равен 2.
Найти другой корень и коэффициент а.
3. При каком значении т разность корней уравне-
ния (т - 2)х2 - (т - 4)х -2 = 0 равна 3?
4. Не решая уравнения Зх2 — 5х - 2 = 0, найти сум-
му кубов его корней.
5. Вычислить Xj+xf, где хг и х2 — корни уравне-
ния х2 - 2х - 9 = 0.
34.6. Решение задач с помощью
квадратных уравнений
Задача 1. В прямоугольном треугольнике один из
катетов на 7 см больше другого, а гипотенуза равна
13 см Найти длины катетов.
Решение.
Пусть длина меньшего катета равна х см. Тогда
длина большего будет (х + 7) см. По условию задачи
длина гипотенузы 13 см. По теореме Пифагора полу-
чим уравнение
х2 + (х + 7)2 = 132,
х2 + х2 + 14х + 49 = 169,
2х2 + 14х - 120 = 0,
х2 + 7х - 60 = 0,
По теореме Виета х1 = -12. х2 = 5.
Так как х — длина катета, то корень х = —12 не
подходит. Значит, х = 5 см — длина меньшего катета,
тогда х + 7 = 12см — длина большего катета.
Ответ: 5 см, 12 см.
Задача 2. Произведение двух натуральных чисел
равно 91. Найти эти числа, если одно из них на 6 боль-
ше другого.
Решение.
Пусть х — меньшее число, тогда (х + 6) — большее.
Так как произведение этих чисел равно 91, то полу-
чим уравнение х(х + 6) = 91, х2 + 6х - 91 = 0, откуда,
по теореме Виета находим хх = -13, х2 = 7.
По условию х — натуральное число, значит, корень
х = -13 не подходит, тогда х = 7 — меньшее число,
х + 6 = 13 — большее.
Ответ: 7 и 13.
Задачи
Часть 1
1. Площадь прямоугольника 96 см2. Найти дли-
ны его сторон, если периметр прямоугольника равен
40 см
2. Найти катеты прямоугольного треугольника,
если их сумма равна 14 см, а гипотенуза треугольника
10 см.
3. Произведение двух натуральных чисел равно
96. Найти эти числа, если одно из них на 10 больше
другого.
4. Найти стороны прямоугольника, если известно,
что одна из них на 7 см больше другой, а диагональ
прямоугольника равна 13 см.
Часть 2
1. Цифра десятков двузначного числа на 1 больше
цифры единиц. Найти это число, если произведение
цифры его десятков на само число равно 96.
2. Разность кубов двух натуральных чисел равна
26, а их разность равна 2. Найти эти числа.
3. Сумма кубов двух натуральных чисел равна 26,
а их разность равна 2. Найти эти числа.
4. В зрительном зале клуба 320 мест. После того
как число мест в каждом ряду увеличили на 4 и доба-
вили еще один ряд, в зрительном зале стало 420 мест.
Сколько стало рядов в зрительном зале клуба?
§ 35. Дробные рациональные уравнения
35.1. Решение дробных рациональных
уравнений
Рациональные уравнения, в которых левая или
правая часть является дробным выражением, называ-
ются дробными рациональными.
Пример 1. Решить уравнение
1! 1 2х
_ fC 'V* I 'V _ О
Л, । ОЛ. Л, lju
Решение.
Разложим знаменатели дробей на множители:
Рх+5 1 г 5 2xv
-------1-----—-----------•
х(х-5) х(х + 5) (х-5)(х + 5)
Найдем область допустимых значений (ОДЗ)
х * 0, х ф ±5.
Умножим обе части уравнения на х(х — 5)(х + 5)^0.
х+5+х-5= 2х2, или 2х2 - 2х = 0, или
х2 - х = 0 — неполное квадратное уравнение,
х(х - 1) = 0, откуда х = 0 или х = 1.
Но х 0 (по ОДЗ), значит, х = 1 — единственный
корень исходного уравнения.
Ответ - х = 1.
Пример 2. Решить уравнение
х + 1 х-1 10
----1----—---.
х-1 х + 1 3
Решение.
I способ
ОДЗ: х + ±1.
Умножим обе части уравнения на
3(х - 1)(х + 1) * 0.
3(х + I)2 + 3(х - I)2 = 10(х - 1)(х + 1),
Зх2 4 6х + 3 4 Зх2 - 6х 4- 3 = 10(х2 - 1),
6х2 4- 6 = Юх2 - 10,
4х2 = 16, х2 = 4, Xj 2= ±2.
Найденные корни удовлетворяют ОДЗ, значит, яв-
ляются корнями исходного уравнения.
Ответ: xt 2 = ±2.
II способ
„ х+1 1 10
Пусть-----= у, тогда получим уравнение г/н— = —.
х-1 у 3
Полученное уравнение является квадратным отно-
сительно у, значит, имеем не более двух корней. Так
10 о 1 о 1
как — = 3 + —, то г/. = 3. г/,. = —.
3 3 3
Учитывая подстановку, получим 2 уравнения:
1)£±1=3> х + 1 = 3(х - 1), х 4-1 = Зх - 3,
х-1
2х = 4, Xj = 2,
2) ^±1 = 1, 3(х + 1) = х-1, 3x4-3 = х-1,
х — 1 3
2х = -4, х2 = -2.
Ответ: xt 2 = ±2.
Задачи
Часть 1
1.
а)
в)
Д)
Решить уравнение:
х2 4х
----=-----; б)
3-х 3-х
Зх2 н4х х — х2
-------=------; г)
4-х х-4
4х2-6х-4 _
----ё-----= °’ е)
о-х
ле^ _ О ле ле _ К
Л' OxV «Аг О
х+5 х + 5
х2 -4х _ 5х + 10 _
Зх-1 1-Зх
Зх2+х-24
2. Найти корни уравнения:
. у 5 18 Зг/2-4
а) —---------=----; б)-------= у-1;
у-3 у + 3 у2-9 4у
. 3-у 2 4 . у-6 18 2у-2
у2-2у у у-2’ у-3 уг-9 у + 3 '
Часть 2
1. Решить уравнение:
Зх-9 х + 6 _ 4х + 7 3-х
а) ----+----= 3; б) --------+-----= 1;
х-1 х + 1 2х-3 2х + 3
х 9 1 6
в)-----1-------у н----— 0;
(х + 3)2 (3-х)2 9-х2
3 4 4
Зх2+х 9х2-1 1 + 6х + 9х2
2. Найти координаты точек пересечения графиков
функций:
(х-1)(2х-3) х2-х-12
а)г/ = 0иу =----------; Ь)у = Оиг/ =---------.
х-2 х+4
3. Решить уравнение:
1 11
а) -у-------5-------= —;
x2-f2x + 4 х" + 2х + 5 12
6) *_____+ ^ = 2.
(х + 1)(х + 3) х(х + 4)
35.2. Решение задач с помощью
рациональных уравнений
Задача 1 . Велосипедист и пешеход вышли из
пунктов А и В, расстояние между которыми 12 км, и
встретились через 20 мин. Пешеход прибыл в пункт
А на 1 ч 36 мин позже, чем велосипедист в В. Найти
скорость пешехода.
Решение.
Обозначим через х км/ч скорость пешехода.
12
Тогда 12 км из В в А пешеход пройдет за — ч, а ве-
х
лосипедист это же расстояние из А в В на 1 ч 36 мин =
= 1,6 ч быстрее, т е. за
---1,6 ч со скоростью
X 1
12х
12-1, бх 3-0,4х
Зх
км/ч.
Велосипедист и пешеход, двигаясь навстречу друг
другу, расстояние 12 км прошли за 20 мин = — ч.
3
Составим и решим уравнение:
х(3 - 0,4х) + Зх = 36(3 - 0.4х),
Зх - 0,4х2 + Зх = 108 - 14,4х,
0,4х2 - 20,4х + 108 = 0,
х2 - 51х + 270 = 0, откуда хт = 6, х2 = 45.
Значение х = 45 не подходит, так как х — скорость
пешехода.
Ответ: 6 км/ч.
Задача 2. Моторная лодка прошла 36 км по тече-
нию реки и вернулась обратно, потратив на весь путь
5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найти
скорость лодки в неподвижной воде.
Решение.
Пусть х км/ч — скорость чодки в неподвижной
воде, где х > 3, тогда время, потраченное лодкой по
_ 36 36
течению реки, будет--ч, а против течения -- ч.
х + 3 х — 3
Так как на весь путь туда и обратно потрачено 5 часов,
то получим уравнение
36 36 ,
----+------5,
х + 3 х-3
или
36(х - 3) + Зб(х + 3) = 5(х + 3)(х - 3), или
36х - 108 + 36х + 108 = 5(х2 - 9), или
72х = 5х2-45.
Получим квадратное уравнение
5х2 - 72х - 45 = 0,
D/4 = 1296 + 225 = 1521 = 392 > 0,
36 + 39
X. 2 =---------
1,2 5
75
— = 15, х„ = -0,6.
5 2
Так как х — скорость лодки, то х = 15.
Ответ: 15 км/ч.
Задача 3. На изготовление 198 деталей ученик
тратит на 22 часа больше, чем мастер на изготовление
396 таких же деталей. Известно, что ученик за час
делает на 6 деталей меньше, чем мастер. Сколько де-
талей в час делает ученик?
Решение.
Пусть ученик делает х деталей в час, где х > 0, тогда
мастер делает (х + 6) деталей в час. Составим таблицу:
Производительность (дет/ч) Время (ч) Объем работ (дет)
Ученик X 198 X 198
Мастер X + 6 396 х + 6 396
Так как ученик потратил на ьсю работу на 22 часа
больше мастера, то получим уравнение:
1^-^ = 22,х>0.
X х+6
Разделим обе части уравнения на 22:
9 18
-------= 1, или 9(х + 6) - 18х = х(х + 6), или
х x + G
х2 + 15х - 54 = 0, откуда xt = -18, х2 = 3.
Так как х — количество деталей, то х = 3, то есть
ученик делает в час 3 детали
Ответ: 3 детали в час.
Задачи
Часть 1
1. Садовый участок, имеющий форму прямоуголь-
ника, одна сторона которого на 10 м больше другой,
требуется обнести изгородью. Определить длину из-
городи, если известно, что площадь участка равна
1200 м2.
2. Лодка против течения прошла 22,5 км и по те-
чению 28,5 км, затратив на весь путь 8 ч. Определить
скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения
реки 2,5 км/ч.
3. Двое рабочих, работая вместе, выполняют неко-
торую работу за 8 ч. Работая порознь, первый из них
может выполнить всю работу на 12 ч скорее второго.
За сколько часов каждый из них может выполнить
всю работу?
4. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили
200 г воды, после чего его концентрация уменьшилась
на 10%. Сколько воды содержал раствор и какова его
концентрация?
Часть 2
1. Из пункта А отправили по течению реки плот.
Через 5 ч 20 мин вслед за плотом из того же пункта
вышла моторная лодка, которая догнала плот, прой-
дя 20 км. Найти скорость плота, если известно, что
скорость моторной лодки на 12 км/ч больше скорости
плота.
2. Бак наполняется двумя кранами. Наполнение
бака только через первый кран длится на 22 мин доль-
ше, чем наполнение бака только через второй кран,
Если же открыть оба крана, то бак наполнится через
1 ч. За какое время каждый кран в отдельности может
наполнить бак?
3. Две суммы составляют 10 000 руб. Процентная
такса для каждой суммы равна 1/1000, а общая сумма
годового дохода составляет 580 руб. Как велика каж-
дая сумма в отдельности?
4. Знаменатель дроби на 5 больше ее числителя.
Если к числителю этой дроби прибавить 14, а от зна-
менателя вычесть 1, то получится дробь, обратная
данной. Найти дробь.
5. Периметр прямоугольника равен 14 см, площадь
его равна 12 см2. Каковы стороны прямоугольника?
6. Площадь прямоугольного треугольника равна
90 см2. Сумма площадей квадратов, построенных на
его катетах, равна 369 см2. Каковы катеты этого тре-
угольника?
Глава 11
НЕРАВЕНСТВА
§ 36. Числовые неравенства и их свойства
36.1. Числовые неравенства
Для произвольных чисел а и b
только одно из соотношений:
выполняется одно и
а = Ъ, а < Ь, а > Ь.
Пример 1. Сравнить дроби — и —.
Решение.
1 способ
Приведем дроби к наименьшему общему знамена-
телю (НОЗ)
НОЗ (6; 7) = 42.
5^ 35 6х6 36
6 ' 42’ 7 42
m 35
Так как — <
42
II способ
36
42
5 6
то — < —.
6 7
5 6
- = 0,833... - = 0,857... .
6 7
Так как 0,833...
5 6
< 0,857..., то -<-.
6 7
III способ (дополнение дроби до 1)
1_Ё-1.i_£ 1
6 6’ 7 7
m 11 5 6
Так как — > —, то — < —.
6 7 6 7
Таким образом, мы используем тот или иной способ
сравнения в зависимости от конкретного вида чисел.
Вместе с тем удобно иметь универсальный способ
сравнения, который заключается в том, что составля-
ют разность чисел и выясняют, какой знак имеет эта
разность.
Число а> Ь, если а - b > 0.
Число а < Ь, если а - b < 0.
Число а = Ь, если а - b = 0.
Пример 2. Поставить вместо * знак > , < , или =
так, чтобы получилось верное равенство или неравен-
ство:
, 33.20 о 1 ч Л 3
а)—* —; 6)2,25*2 — . в) 0.4*-;
5 3 4 7
г) --*--; д) -0,06*- —: е) --*-0,725
2 3 50 7
Решение.
33 20 2
а) — = 6,60: — = 6 —= 6,66... . Так как 6,6 < 6,66,
5 3 3
33 20
то —< —;
5 3
6) 2 — = 2,25, значит, 2,25 = 2-;
4 4
3
в) 0,4 = 0,40... , — =0,42... , 0,40 < 0,42, следова-
л л 3
тельно, 0,4< —;
7
1 1 1
—, так как — > —
3 2 3
6 3
- = -0,06, т. е. -0,06 = - — ;
100 50
5
е) — = -0,71... > -0,725, так как
7
<|-0,725|.
Пример 3. Сравнить с нулем значение выражения:
а) (—3,2)3; 6) (—4,3)2; в) О6 7;
Решение.
Отрицательное число в четной степени — положи-
тельное число, а б нечетной степени — отрицательное.
Значит,
а) (-3,2)3 < 0; б) (-4,3)2 > 0; в) О7 = 0;
( 1V ( 2у
г) -- <0; д) -- <0.
О ) \ ' 7
Пример 4. Доказать, что при любом значении a
верно неравенство:
а) 4(а + 2) + а < 5(а + 3); б) (а - 3)(а 4 3) < а2;
в) (а - З)2 > а(а - 6); г) (За - 1)(3а 4-2) < 9а | а + —
\ 3)
Решение.
а) 4(а 4- 2) 4- а < 5(а 4- 3), 4а 4- 8 4- а < 5а 4- 15,
5а 4- 8 < 5а 4- 15, 8 < 15 — верно.
б) (а - 3)(а 4- 3) < а2, а2 - 9 < а2, -9 < 0 — верно.
в) (а - З)2 > а(а - 6), а2 - 6а 4 9 > а2 - 6а,
9 > 0 — верно.
г) (За - 1)(3а 4- 2) < 9а | а + — I
к 3 J
9а2 - За 4- 6а - 2 < 9а2 4- За,
9а2 4- За - 2 < 9а2 4- За,
-2 < 0 — верно.
Пример 5. Доказать неравенство:
а) х(х + у)> ху; б) т2 - 2тп 4- 4п2 > 2тп;
в) 26г/2 - 20г/ 4- 1 > Юг/2 4- 4г/ - 8
Решение.
а) х(х 4- у) > ху, х2 + ху > ху, х2 > 0 — верно при лю-
бом X.
б) т2 - 2тп 4- 4п2 > 2тп, т2 - 4тп 4- 4п2 > 0,
(т - 2п)2 >0 — верно при любых т и п.
в) 26г/2 - 20г/ 4- 1 > Юг/2 4- 4г/ - 8.
26г/2 - 20г/ + 1 - Юг/2 - 4г/ + 8 > 0,
16г/2 - 24г/ + 1 + 9 > 0,
(4у - З)2 > 0 — верно при любом у.
Задачи
Часть 1
1. Сравнить числа х и у, если.
а) х - у = -0,3; б) х - у = 0; в) х- у =1,2.
2. Сравнить значения выражений:
а) 12,08 : — и 101 : б) 24,18 : 24 и 10,2 0,1,
25 3
3. Сравнить с нулем значение выражения
( 2 V
а) (-2,3)6; б) (-4,15)5; в) -1- ; г) О5.
\ 3 /
Часть 2
1. Верно ли неравенство:
а) 1,2 • 50 > 4 - + 1-;
8 4
б) 0,2 • (-0,3) • - < 0,26 : (-13);
2
в) — 5 >0,5 С 11 -;
25 3
г) 0,2 • 0,3 • J-—| > 8,1 : (-3)?
2. Расположить в порядке возрастания числа:
2,2; 2 — ; 2-; 2,4; 2-.
3 7 9
3. Не выполняя вычислений, сравнить значения
выражений:
3 1 11
а) 2021 -и 2021--; б) 1950 • - и 1950 : -;
8 8 3 3
в) 1917 : - и 1917 • 9; г) 2,71 : 0,3 и 2,71 • 0,3.
9
4. Доказать неравенство:
а) 4х2 - 12х + 5 б) (у + 3)(у + 7) > 4х(х - 3); < (У + 4)(у + 6);
в) х(х + 9) > 9х - 7;
г) (5у - 8)2 > 8у(3у - 10).
5. Доказать неравенство:
ч а2+9 а) > а; S а - 1 6 а2+9’ 6’
6. Используя выделение квадрата двучлена, дока-
зать неравенство:
а) х2 - Gx + 10 > 0; б) у2 + 52 < 14у.
36.2. Свойства числовых неравенств
1. Если а > Ь, то Ь < а; если а < Ь, то Ъ > а.
2. Если а < b и b < с, то а < с.
3. Если а < Ъ и с — любое число, то а + с < b + с.
4. Если а < Ь и с > 0, то ас < Ъс.
Если а < b и с < 0, то ас > Ъс.
Следствие. Если а > 0, 5 > 0 и а < Ь, то —> —.
а Ъ
Пример 1. Записать верное неравенство, которое
получится,если:
а) к обеим частям неравенства -2 < 5 прибавить
число 6; число -3;
б) из обеих частей неравенства -13 < -3 вычесть
число 4; число -6;
в) обе части неравенства 7 > -2 умножить на 9; на
_6;
г) обе части неравенства 8 < 24 разделить на 8; на
-4; на -1.
Решение.
а) -2 <5, -2 < 5,
-2 + G < 5 + 6, -2 + (-3) < 5 + (-3),
4 < 11; -5 < 2.
б) -13 < -з, -13 < -з, -13 - (-б)< -3 - (-6), -7 < 3.
-13 - 4 <-3 -4, -17 < -7;
в) 7 > -2, 7 9 > -2 9. 63 > -18; 7 > -2, 7 • (-0) > -2 (-6), -42 < 12.
г) 8 < 24, 8 : 8 < 24 : 8, 1 < 3; 8 < 24, 8 :(-!)< -8 < -24. 8 < 24, 8 : (-4) < 24 : (-4), -2 > -6; 24 : (-1),
Пример 2. Известно, что а < Ь. Поставить вместо
звездочки (*) знак > или < так. чтобы получилось вер-
ное неравенство:
а)-17,9а*-17,9b;
а . b . а . b
в) —*-; г) —*--
5 5 3 3
б) 0,03а* 0,03b;
Решение.
а) Если a < b и с < 0, то ас > Ьс.
Значит, -17,9а > -17,9b;
б) Если а < b и с > 0, то ас < Ьс, тогда 0,03а < 0,03b;
„ , ~ а Ъ а Ъ
в) Если а < b и с > 0, то — < —, значит, — < —;
с с 5 5
. „ , „ а b а b
г) Если а < р и с < О, то ->-, т. е.->---.
с с 3 3
Пример 3. Определить знак числа х, если:
а) бх < Зх; б) 8х > 5х; в) -4х < 4х; г) -8х > -4х.
Решение.
а) Если бх < Зх, то бх - Зх < 0, или Зх < 0, х < 0.
б) Если 8х > 5х, то 8х - 5х > 0, Зх > 0, т. е. х > 0.
в) Если -4х < 4х, то -4х - 4х < 0, -8х < 0, х > 0.
г) Если -8х > -4х, то -8х + 4х > 0, -4х > 0, х < 0.
Пример 4. Известно, что 4 < a < 5. Оценить значе-
ние выражения:
a) Sa; б)-а; в) a + 3; г) 7 - а; д) 0,5a + 4.
Решение.
а) 4 < ' а < 5, б) 4 < а < 5,
4 • 3 За <5 3, 4(-1)> >а-(-1) >5-(-1),
12 < За < 15; -4 > -а > -5,
-5 < -а < -4;
в) 4 < ; а < 5, г) 4 < а < 5,
4 + 3 < а + 3 < 5 + 3, -5 < -а < -4,
7 < a + 3 < 8; -5 + 7< 7 - а < - -4 + 7,
2 < 7 - a < 3;
д) 4 < a < 5,
4 • 0,5 < 0,5a < 5 0,5,
2 < 0,5a < 2,5,
2 + 4 < 0,5a + 4 < 2,5 + 4,
6 < 0,5a + 4 < 6,5.
Задачи
Чаешь 1
1. Известно, что а > Ь. Расположить в порядке воз-
растания числа а + 7: Ъ - 3; а + 2; a; Ь - 2; Ъ.
2. Известно, что а > Ъ. Сравнить числа:
а) 6 + а и Ь; б) Ъ - 9 и а; в) -а и 9 - Ь; г) -а - 5 и -Ь.
3. Определить знак числа а, если известно, что:
а) 6a > a; б) 4a < За; в) -9a > -За; г) -8a < 8a.
4. Известно, что 5 < x < 6. Оценить значение выра-
жения:
а) 8х; б) -х; в) х + 1; г) 6 - х; д) 1,5х + 5.
Чисть 2
1. Известно, что 1,7 < л/з < 1,8. Оценить значение
выражения.
а) л/з+1; б) -.3-1; в) 3-<3.
2. Оценить значение выражения —, если:
х ’
а) 6 < х < 9; б) 0,13 < х < 0,31
3. Оценить периметр квадрата со стороной т см,
если 4,8 < т < 4,9.
4. Оценить длину стороны квадрата, зная, что пе-
риметр равен Р см, если 16,7 < Р < 16,9.
5. Известно, что х > 0, у > 0. Верно ли что:
а) если х > у, то х2 > у2; б) если х2 > у2, то х > у?
36.3. Сложение и умножение числовых
неравенств
!1 . При сложении неравенств одинакового смыс-
ла получается неравенство того же знака, т. е. если
a>bnc>d, то a + Ob-t-d.
2. Неравенства одинакового смысла с положи-
тельными членами можно умножать, при этом по-
лучается неравенство того же знака, т. е. если а > Ь,
с > d Ti а > 0, Ь > 0, с > 0, то ас > bd.
3. Обе части неравенства с положительными чле-
нами можно возводить в одну и ту же натуральную
степень, т. е. если а > Ъ, то аЛ > Ъп, где а > 0, Ъ > 0,
п е N.
Верно и обратное утверждение: если а" > Ъп, а > 0,
b > 0 и п <= N, то а > Ь.
Указанные свойства числовых неравенств исполь-
зуются для оценки суммы, разности, произведения и
частного.
Пример 1. Пусть 5 < х < 6, 6 < у < 7. Оценить.
а) х + у; о) х - у; в) ху, г)—; д) —.
У х
Решение.
а) 5 < х <6 б) _ 5 < х < 6
h 6<у<7 7 < -г/ < -6
11 < х + у < 13; -2 < х - у < 0;
в) 5 < х < 6
Х 6 < у < 7
30 < ху < 42;
X X
г) Чтобы оценить —, представим частное — в виде
У У
произведения х —. Оценим выражение —.
У У
m . „111 111
Гак как о < (/ < /, то — > — > — , тогда .
6 у 7 7 у 6
Следовательно, имеем:
5 < х < 6
Х 1 1 1
7<?<6
5 < х < 1
7<?< ‘
Ч Л У 1 111
д) Аналогично — = у —, где , тогда
х х 6x5
6<у<7
Х 1<1 1
и ; 5
Пример 2. Измерения длины а и ширины b прямо-
угольника (в см) показали, что 3,8 < a < 3,9 и 1,6 < Ъ < 1,7.
Оценить:
а) периметр прямоугольника;
б) площадь прямоугольника.
Решение.
а) Периметр Р = 2(а + 6).
3,8 < а < 3,9
1,6 <6< 1,7
5,4 < а + Ь - 5,6
5,4 2 < 2(а + Ь) < 5,6 2
10,8 < 2(а + Ь) < 11,2
10,8 <Р< 11,2.
6) Площадь прямоугольника S = ab.
3,8 < а < 3,9
Х 1,6 < 6 < 1,7
6,08 < ап 6,63.
Значит, 6,08 < S < 6,63.
Задачи
Часть 1
1. Сложить почленно неравенства:
а) 7 > 3 и 17 > 11; б) 0 < 9 и-2 < 7;
2 13
в) -2,5 > -3,5 и 2,5 > 1,3; г) -4-<-3- и —<0.
3 5 5
2. Перемножить почленно неравенства:
а)15>13и3>2; б) 89 < 91 и 10 < 30;
в) —>— и —> —; г) 1,5 < 1,7 и 0,02 < 0,2.
3 5 5 3
3. Зная, что 8<х<9и12<г/< 13, оценить
а) х + у; б) х-у; в) ху; г)—; д) -.
X у
Часть 2
1. Доказать, что если а > 9 и Ъ > 3, то:
а)4а + 6>39; б) 6а + 4Ь > 66; в) 13а + ЗЬ > 126;
г) За-Ь> 24; д) 4а - 56 > 21; е) 66 - а < 10.
2. Доказать, что если 0<х<13и0<г/<6, то:
а) 7х + 4г/< 120; б) ху + 13 < 95.
3. Известны границы длин основания а и боковой
стороны Ъ равнобедренного треугольника, выражен-
ные в сантиметрах
15<а<17 и 39<&<41.
Оценить периметр этого треугольника.
4. Измерения длины а и ширины Ь прямоугольни-
ка (в см) показали, что 8.5 < a < 8.6 и 1,4 < b < 1,5.
Оценить площадь прямоугольника.
36.4. Абсолютная а относительная
погрешности приближенного значения
Абсолютная погрешность приближения — модуль
разности между точным значением величины и ее
приближенным значением.
Обозначение: |х - а|, где х — точное, а — прибли-
женное значение.
Например: запись т = 3,45+0,01 означает, что
|/и — 3,45| < 0,01, т. е. число т = 3,45 с точностью до
0,01.
Для оценки качества измерения можно использо-
вать относительную погрешность приближенного
значения.
Относительная погрешность — частное от деле-
ния абсолютной погрешности |х — ti| на модуль прибли-
женного значения величины.
Обозначение: где х — точное, а — прибли-
ы
жепное значение.
Относительную погрешность часто выражают в
процентах.
Например, если х = 2,89, а = 3, то относительная
погрешность будет равна
|3-2 89| = 0M,J_ 3%
131 3 300
Пример 1. Округлить числа 28,37; 23,045; 9,765
до десятых и найти абсолютную погрешность каждого
из приближенных значений.
Решение.
28,37 « 28,4, |28,37 - 28,4| = |-0,03| = 0,03;
23,045 » 23,0, |23,045 - 23,0| = |0,045| = 0,045;
9,765 ~ 9,8, |9,765 - 9,8| = |-0,035| = 0,035.
Ответ: 0,04; 0,045; 0,035.
Пример 2. Найти абсолютную погрешность при-
ближенного значения:
а) числа 8,76 до единиц; б) 233 до десятков;
в) числа 0,365 до десятых; г) числа 0,279 до сотых.
Решение.
а) 8,76 ~ 9, |8,76 - 9| = |-0,24| = 0,24;
б) 233 » 230, |233 - 230| = |3| = 3;
в) 0,365 « 0,4, |0,365 - 0,4| = |-0,035| = 0,035;
г) 0,279 « 0.30, |0.279 - 0,30| = |-0,021| = 0,021.
Ответ: а) 0,24; б) 3; в) 0,035; г) 0.021.
Пример 3. В каких границах заключено число т,
если:
а) т = 7,6+0,1; б) т = 2,38±0,2?
Решение.
а) т = 7,6+0,1,
7,5-0,1 <т< 7,6 4 0,1,
7,5 <т< 7,7.
б) т = 2,38+0,2,
2,38 - 0,2 < т < 2,38 + 0,2,
2,18 <т< 2,58.
Ответ: а) 7,5 < т < 7,7; б) 2,18 < т < 2,58.
Пример 4. Округлить число:
а) 46,8 до единиц; б) 379 до десятков;
в) 93,4673 до десятых; г) 0,64839 до тысячных;
д) 4736,6 до сотен; е) 1,543886 до десятитысячных.
Решение.
а) 46,8 « 47; б) 379 » 380; в) 93,4673 « 93,5;
г) 0,64839 * 0,648; д) 4736,6 ~ 4700;
е) 1,543886 « 1,5439.
Пример 5. Представить каждое из чисел 3— и
8
15 — в виде десятичной дроби. Округлить получен-
16
ные дроби до сотых и найти абсолютную и относитель-
ную погрешности приближений.
Решение.
5
3— = 3,625 « 3.63. Найдем абсолютную погреш-
ность:
5
3 — 3,63
8
= |3,625 - 3,63| = 0.005;
тогда относительная погрешность будет равна
0,005
3,625
= 0,00137 » 0,1%
15— = 15,6875 « 15,69, тогда 15------15,69 =
16 16
= |15,6875 - 15,69| = 0,0025.
Следовательно, 0’00^5 _ р 000159... ~ о,02%.
15,6875
Задачи
Часть 1
1. В каких границах заключено число х, если:
а)х = 57+1; б) х = 273+10;
в) х = 1624+36; г) х = 4,7+0,3;
д) х = 28,9+0,3; е) х = 0,034+0,003.
2. Найти абсолютную погрешность приближения:
а) числа 3,87 числом 3,9; числом 3,8;
б) чиста — числом 0,3.
3
3. Записать в виде двойного неравенства:
а) х = 8+1; 6)i/ = 38+4; в) z = 3400+200;
г) m = 44+0,1; д) п = 27,5+0,5; е) с = 13+0.6.
4. Округлить число:
а) 25,8 до единиц; б) 469 до десятков;
в) 63,4692 до десятых; г) 1,63849 до тысячных.
Часть 2
1. Найти абсолютную погрешность приближения:
а) числа 2,87 числом 2,9; числом 2,8;
3 1
о) числа — числом —.
22 7
2. Приближенное значение числа х равно а. Найти
абсолютную погрешность приближения, если:
а) х = 4,76, а = 4,8; б) х = 48,1, а = 48;
в) х = 8,653, а. = 8,7; г) х = 36,48, а = 36.
3. Найти приближенное значение числа х, равное
среднему арифметическому приближений с недостат-
ком и с избытком, если:
а) 28 < х < 32; б)20<х<21; в) 6,8 < х < 7
4. Представить обыкновенную дробь в виде деся-
тичной и округлить ее до тысячных:
а)—; б)—; в) 1 - г) 21 — ; д) 3 —.
6 15 9 6 11
5. Округлить число до единиц и найти относитель-
ную погрешность округления:
а) 2,1, 6)49,54; в) 9,736.
§ 37. Неравенства с одной переменной
и их системы
37.1. Решение неравенств
с одной переменной
Неравенство с одним неизвестным (линейное
неравенство) — это неравенство вида ах + Ъ > 0 (или
ах + Ъ < 0).
тт о , л 3 . 6-х
Например: 2х + 1 < х - 4; — х-4 > —-—.
Решением неравенства с одним неизвестным на-
зывается такое значение переменной, при котором
данное неравенство обращается в верное числовое не-
равенство
Например, число 3 является решением неравенства
4 + х > 9 - 2х, так как 4 + 3>9-2-3, или 7 > 3.
Решить неравенство — это значит найти все его
решения или установить, что их нет.
Если а > 0, то решение неравенства ах > Ъ имеет вид
Ь (b Л
х > —, или хе —; + оо .
а \а )
Если а < 0, то решение неравенства ах > Ъ имеет вид
& ( ъЛ
х < —, или х е -оо; — .
а \ а)
Если а = 0, то решение неравенства ах > b примет
вид 0 • х > Ъ, и при b > 0 оно не имеет решений, а при
b < 0 оно верно при любых х.
Два неравенства называются равносильными, если
их решения совпадают.
Неравенства, составленные с помощью знаков >
или < , называются строгими, а с помощью знаков >
или < — нестрогими.
Неравенства вида а> Ъ и с > d называются неравен
ствами одинакового смысла, а вида а > b и с < d —
противоположного смысла.
Если два неравенства х < а, а < у заменить нера-
венством х < а < у, то такое неравенство называется
двойным.
Пример 1. Решить неравенство 18 — 5х > 0.
Решение.
Перенесем число 18 в правую часть с противопо-
ложным знаком, получим -5х > —18 Теперь разделим
обе части полученного неравенства на отрицательное
число -5, изменив знак неравенства на противоиолож-
18 ZZ/ZZZ/ZZZ, ZZzZ,_ф.
ный: х < —, или х < 3,6. 36
5
Таким образом, множеством решений данного не-
равенства является промежуток (-со; 3,6J.
Ответ: (—со; 3,6].
Пример 2. Решить неравенство 4х + 5 > 3 - бх.
Решение.
Перенесем неизвестные в левую часть неравенства,
а числа в правую часть, изменив знаки при переносе
на противоположные:
4х 4- бх > 3 - 5, или Юх > —2.
Разделим обе части полученного неравенства на 10,
сохранив знак: х > -0,2, a'zz/,zzz/z,zz >
Ответ: (0,2; +оо). о,2
Пример 3. Решить неравенство
6 + х 5-х п
------Г---<0.
3 6
Решение.
Умножим обе части неравенства на 6:
2(6 + х) + 5 — х < 0, или 12 + 2х -I- 5 - х < 0.
Приведем подобные слагаемые:
х + 17 <0, или х < -17. zzz//zzzzz/zzzzo----
Ответ: (-со; -17). -17
Пример 4. Найти наименьшее целое решение не-
равенства 3,5 + 1,6х - 2(1 + 1.8х) < 10,5.
Решение.
Раскроем скобки в левой части неравенства:
3,5 + 1,6х - 2 - 3,6х < 10,5, или
1,6х - 3,бх < 10,5 — 3,5 + 2, или
-2х < 9, откуда х > -4,5.
______j//////,y/,///.7///////
-4,5 -4
Тогда х = -4 — наименьшее целое решение нера-
венства.
Ответ: х = -4.
При мер 5. Найти наибольшее целое решение нера-
венства 15 + 2,5г/ < 4(11 - 3,5г/).
Решение.
15 + 2,5г/ < 44 - 14г/, пли 2,5г/ + 14г/ < 44 - 15, или
16,5г/<29.
Умножим обе части полученного неравенства на 2:
оо гс 58 , 25
33г/ < 58, откуда у < — = 1 —.
33 33
////////////,7^7///, //,_►
1
зз
Значит, у = 1 — наибольшее целое решение нера-
венства.
Ответ: у = 1.
Задачи
Часть 1
1. Решить неравенство и изобразить множество его
решений на координатной прямой:
а) 16х > 48; б) -Зх < 9; в) 6х > 0; г) -4х < 28
2. Решить неравенство:
а)2х<1,6; б) 8х > -18;
, 1
в) —х<4;
3
5
г)- — х>-1; д)13 + х>37; е)4,3-х<1;
6
ж) 2х - 7 < 5 - х.
3. При каких значениях а:
а) двучлен 17 — а принимает положительные значе-
ния;
б) двучлен 4а + 15 принимает отрицательные зна-
чения;
б) значение двучлена 4а - 1 больше соответствую-
3 + 4а
щего значения дроби --I
5
4. Решить неравенство:
, Зх ч 2х-3 к „ 1-х
а) —<1; б) ---------->5; в) 6<------;
5 4 3
1 1-2г 6
г)4> —(х-5); д)—— <0; е)|(х-3)<1.
Часть 2
1. Решить неравенство:
а) 4(х -2) + 5 < 3 - 2(х + 1);
б) 3(у - 4) - 5(а + 2) > 13;
в) б(а - 1,5) - 2,4 > 4а - 1;
г) 4,6(6 - 5) - 1,4b < 3(b - 4).
2. Решить неравенство:
а) 0,5х2 - 0,5(х - 1)(х + 4) > 4,8х;
б) (4х - З)2 - 6,8х < (2х - 5)(8х + 1) - 10;
в) (5х - 1)(3х + 1) > 4 + 15х2;
г) Зх(2 - 5х) - (х - 15х2) < 23.
о , гт х 4т-3
о. а) При каких значениях т сумма дробей --------
5
т + 2 _
и ------ положительна
б
тг с - 6-/2
О) При каких значениях п разность дробей ---- и
4
4п-7
8
отрицательна?
4. При каких значениях а имеет смысл выражение:
а) V6ci-5; б) Т7-За; в)
г) 7-4(2-Зх); д) с) ^-(1-2а)?
У о
5. Найти область определения функции:
. л/б-12х й. 5
а)г/ =------; б)у = —------.
х+4 V3-X-1
6. Найти:
а) наибольшее целое число, удовлетворяющее нера-
венству 4.7 - (4 - Зу) < 10;
б) наименьшее целое число, удовлетворяющее нера-
венству 5(5 - у) > 18,8 - 9гд
37.2. Решение систем неравенств
с одной переменной
Значение переменной, при котором каждое из не-
равенств системы обращается в верное числовое не-
равенство, называется частным решением системы
неравенств, а множество всех частных решений пред-
ставляет собой общее решение системы неравенств.
Решить систему неравенств — значит найти все
ее частные решения. Следует отметить, что решение
системы неравенств представляет собой пересечение
множеств решений неравенств системы.
Неравенства, образующие систему, обозначаются
фигурной скобкой.
Пример 1. Решить систему неравенств
Зх-5>7,
5х-4>12.
Решение.
Из первого неравенства системы имеем
Зх > 7 + 5, Зх > 12, х > 4.
Решая второе неравенство системы, получим
5х> 12 + 4, 5х > 16, х< 3,2.
Отметим на координатной прямой решения нера-
венств, причем решение I неравенства отметим штри-
ховкой над прямей, а II — под прямой:
3,2 4
Тогда решением исходной системы неравенств бу-
дет пересечение множеств решений, т. е. двойное пе-
ресечение. х > 4 или [4; +оо).
Ответ: [4; +<ю).
Пример 2. Решить систему неравенств
4х-3>х + 2,5,
6-2х>8-3х,
1,5х + 2 < 2х.
Решение.
Из I неравенства системы имеем
4х - х > 2,5 + 3, или Зх > 5,5, откуда х > —.
6
Из П неравенства получим —2х + Зх > 8 — 6. или
х > 2, наконец, из III неравенства находим 2х - 1,5х > 2,
0,5х > 2, откуда х > 4.
Следовательно, имеем равносильную систему
х > 2,
х > 4,
откуда х > 4 — решение исходной системы неравенств,
так как если выполняется III неравенство полученной
системы, то тем более выполняются I и II неравенства,
т. е. I и II неравенства — следствия III.
Ответ: (4; +оо).
Замечание 1. Если система неравенств одинакового
смв]ела и имеет вид
х > а,
<х>Ь,
х>с,
причем а > b > с, то решением система! будет х > а.
Замечание 2. Если система неравенств одинакового
смысла и имеет вид
х < а,
< х<Ъ,
х<с,
причем а < b < с, то решением системы будет х < а.
Пример 3. Решить систему неравенств
х > 3,
х > -4,
х > 5.
Решение.
Так как 5 > 3 > -4, то х > 5 — решение системы
неравенств.
Ответ: (5; +а>).
Пример 4. Решить систему неравенств
х < -3,
< х < -3,
х < 2
Решение.
Так как —8 < -3 < 2, то х < -8 — решение системы
неравенств.
Ответ: (-со; -8).
Пример 5. Решить двойное неравенство
-4 < Зх - 2 < 6.
Решение.
1 способ
—4 + 2 < Зх <6 + 2,
-2 < Зх < 8.
Ответ: —; —
I 3 3
Зх-2<6,
Зх-2 > -4;
Зх < 8,
Зх > -2;
II способ
Задачи
Часть 1
Решить систему неравенств:
х > 3, I х < -2,
б)
х<13; |х>0;
х < -4,
х < -7.
4х > -8, \ 1,5х < 3,
б)
-Зх<9; [-4х>-8;
х > 0,5,
х > -1;
Г1, Зх > -2,6,
{-5х > -15;
-5х<-15.
Гбх<,4х-г1 |7х + 3>10-х,
3) а) б)
[О, Зх>6,2-х; |х + 4,8 <13;
f5x-3<2,5x + 2,
в) i
6-2х > х-3.
Г 3(х 4- 4) - (х - 9) < 5, Г-(х - 3) - 4(х - 2) < Зх,
4) а) 5) (
[7х>4(х + 2)-2; 16х + 5 > 13-(х-4).
5) a) J $
Зх
Т
х-2 х-3 „
----+---->2
I 3 4
6) Найти наименьшее целое решение системы нера-
венств:
х + 4>0, о-Зх < х-5, ох-1>3-х,
б) < в) <
Зх<4; ,Зх-4>-8-х; 2х-4<х.
Часть 2
1. Решить систему неравенств:
| 0,3(4х - 5) -1,7 < 0.4(5 -4х),
a) S
^0,5(2 + х)-0,4х<1,5;
б)
х-2
~3~
х-3 >х-4
4 “ 5
2-х>1,5х-5.
2. Решить систему неравенств:
х > 5,
Зх>16,
х-5>13,
а) х > 8,
х < 16;
б) < 4х < 1,
8х < 24;
< Зх-2>4,
4х + 3<57.
3. Решить двойное неравенство:
1) а) 2,5 < 4х < 4; б)-2 < 7х < 3;
в) 5 < -5х < 9.
2) а) 0 < х + 2 < 4; б) 2 < 13 + х < 14;
в) -5 < 23 + х < -2.
3) а) -3 < - < 3; б) 0 < — < 2;
5 4
в) 0,3 < - < 0,5.
6
.. Зх-2 „ ,, 3 + 4х _
4) а) -3 < —-— <2; б) 2 < —-— < 2,5;
4. Указать допустимые значения переменной:
а) д/4-Зх + /2-х; б) >/х-д/4х-1; в) у7-х -л/4х-10.
5. Найти целые решения системы неравенств:
fx>0, |13х-38л0, |4-19х<0,
а) б) / в)
[8,3-х>5; [7х<49; [0,3-0,2х>0.
6. Решить систему неравенств-
6х + 7
4
-х > 2х,
7-16х
5
7. Решить двойное неравенство и указать три чис-
ла, являющиеся его решениями:
а)-7,5 < <21,5; б)-2 <-^ < 6;
4 4
в)-3<^^<0; г)-3,5 < ^^<2,5.
9 4
8. При каких значениях а:
а) |«| < 4; б) \а + 7| < 3; в) |3 - п| < 1; г) |а - б| > 3?
37.3. Уравнения и неравенства, содержащие
переменную под знаком модуля
Уравнения с модулем
При решении уравнений, содержащих переменную
под знаком модуля (абсолютной величины), чаше все-
го применяются следующие методы:
1) раскрытие модуля на основании его определения:
. . [х, если х > О,
|х| = 1
1-х, если х<0;
2) возведение обеих частей уравнения в квадрат;
3) метод разбиения на промежутки.
Рассмотрим применение методов на примерах.
Пример 1. Решить уравнение |6х - 5| = 7.
Решение.
I способ
По определению модуля данное уравнение равно-
сильно совокупности двух смешанных систем:
[ 6х - 5 > О, I бх - 5 < 0.
a) S б)
[бх-5 = 7; [5-6х = 7.
Из системы а) находим х, = 2, а из системы б) имеем
1
Ответ: х. =2, х,=—.
1 2 3
II способ
Так как обе части исходного уравнения неотрица-
тельны, то оно равносильно уравнению |бх - 5|2 = 49;
но |f|2 = t2, тогда получим равносильное уравнение
(6х - 5)2 = 49, откуда 6х - 5 = ±7, значит, хг = 2,
Ответ: xt = 2, х2 =—.
а)
Пример 2. Решить уравнение |бх — 5| = х + 9.
Решение.
Если решать уравнение I способом, то получим со-
вокупность двух смешанных систем:
6х - 5 > О, [ 6х - 5 < О,
6)
6х-5 = х + 9; |5-6х = х + 9.
Из системы а) получим хг = 2,8, а из системы б)
4
имеем х, = —.
2 7
При решении II способом заметим, что правая часть
уравнения должна быть неотрицательна, т. е. х + 9 > 0.
Следовательно, при возведении обеих частей урав-
нения в квадрат получим уравнение, равносильное
исходному.
Значит, данное уравнение равносильно смешанной
Г х - 9 > 0,
системе 2 , откуда получим х, = 2,8,
I (6х 5) — (х -ь 9) ,
4
Ответ: х. = 2,8, х9 = —.
1 2 7
Пример 3. Решить уравнение |бх - 5| = |х + 10|.
Решение.
Заметим, что решать данное уравнение относитель-
но проще II способом, так как при этом мы получим
одно уравнение, равносильное данному.
И действительно: (6х - 5)2 = (х + 10)2, или
(6х - 5 - х - 10)(6х - 5 + х + 10) = 0,
(5х - 15)(7х + 5) = 0, откуда 5х - 15 = 0, или
7х + 5 = 0.
5
Значит, х, =3, х, = —.
’1 >2 7
5
Ответ: = 3, х2= —.
Пример 4. Решить уравнение |х - 5| - |х 4- 2| = 5.
Решение.
Это уравнение целесообразно решать III способом
(методом разбиения па промежутки).
Выражения, стоящие под знаком модулей, обраща-
ются в нуль при х = 5 и х = —2. Эти точки отмечаем
на числовой прямой, которая при этом разбивается
на 3 промежутка. Соответственно, нам нужно рассмо-
треть 3 случая:
-----------------1------1-----►
-2 5
1) х <-2; 2)-2 < х < 5; 3) х > 5.
Решим данное уравнение на каждом из этих проме-
жутков. Получим 3 уравнения, в каждом из которых
на неизвестное наложено ограничение:
1) х < -2. В этом случае х-5<0;х + 2<0.
Исходное уравнение примет вид
—(х - 5) + (х + 2) = 5, или 7 = 5 — неверно, значит,
при х < —2 уравнение не имеет корней:
2) -2 < х < 5, получим -(х - 5) - (х 4- 2) = 5, или
-2х 4- 5 — 2 = 5, откуда х = -1 (принадлежит проме-
жутку);
3) х > 5, имеем (х - 5) - (х 4- 2) = 5, или -7 = 5 —
неверно, т. е. при х > 5 нет корней.
Таким образом, х = -1 — единственный корень ис-
ходного уравнения.
Ответ: х = -1.
Пример 5. Решить уравнение
|х - 3| 4- |х - 2| = х - 5.
Решение.
Заметим, что это уравнение напоминает предыду-
щее и может показаться, что его также лучше решать
III способом. Однако из исходного уравнения следует,
что х — 5 > 0 (так как левая часть уравнения положи-
тельна). Если х>5, тох-3>0их-2>0. Следова-
тельно, данное уравнение равносильно системе
[х-3+х-2 = х-5, [ х = О,
< или ,
[х>5, [х>5,
которая не имеет решений. Значит, исходное уравне-
ние не имеет корней.
Ответ: нет корней.
Неравенства с модулем
Неравенства, содержащие переменную под знаком
модуля (абсолютной величины), решаются в зависи-
мости от их типа различными способами.
Обычный путь решения неравенств с модулем со-
стоит в следующем.
Неравенство вида |а| < Ъ равносильно двойному нера
венству -Ь < и <Ь или системе неравенств
a < b,
a > -b.
Заметим, что в системе должны выполняться оба
неравенства, что соответствует союзу «и».
Неравенство вида |а| > Ь равносильно объединению
неравенств
а>Ь,
а < —Ъ.
Объединение неравенств означает, что должно вы-
полняться хотя бы одно из неравенств, что соответ-
ствует союзу «или».
Другой подход к неравенствам с модулем состоит в
том, что числовая прямая разбивается на промежут-
ки, на каждом из которых знак модуля можно опу-
стить на основании определения модуля.
Пример 1. Решить неравенство |х - 3| < 4.
Решение.
I способ
Известно, что |а|2 = а2. Учитывая, что обе части
данного неравенства неотрицательны при всех х, то
возведение их в квадрат приведет к неравенству, рав-
носильному данному. Получим: (х - З)2 < 42, или
х2 - бх - 7 < 0, откуда находим хх = 7, х2 = -1.
Решая полученное неравенство методом интерва-
лов, имеем: + _ +
-1 <х< 7.
Ответ: (-1; 7).
II способ
По определению модуля
. . Гх-3, если х-3>0,
| х — 3 | = -[
[3-х, если х-3<0.
Следовательно, данное неравенство равносильно
совокупности двух систем неравенств:
х-3>0, с-3<0,
,х-3<4; [3-х<4.
fx > 3,
Решая I систему, получим откуда 3 < х < 7.
[х<7,
[х < 3,
Ретпая II систему, имеем т. е. -1 < х < 3.
[ х > -1,
Объединяя найденные решения двух систем, нахо-
дим решение исходного неравенства:
-1<х<7. ----»
Ответ: (-1,7). 13 7
Замечание. Из приведенных способов решения наи-
более предпочтительным является I, хотя II наиболее
универсален, но с технической точки зрения относи-
тельно сложен.
Пример 2. Решить неравенство |5х - 4| < |3х + 4|.
Решение.
Так как обе части неравенства неотрицательны, то
после возведения обеих частей неравенства в квадрат
получим
(5х - 4)2 < (Зх + 4)2, или
(5х - 4 - Зх - 4)(5х - 4 + Зх + 4) < О,
(2х - 8)8х < 0, или х(х - 4) < 0.
-----*77777777777^77?-► 0 < X < 4.
0 4
Ответ: [0, 4].
Пример 3. Решить неравенство
Зх-4
х + 2
Решение.
Данное неравенство равносильно неравенству
Зх-4
х + 2
2
> 1, ИЛИ
Зх-4-х-2 Зх-4+х+2
: у Зх-4 у
- -1 -----HI >0, или
Д х + 2 )
о (2х-6)(4х-2)
>0, или ------------_
(х + 2)2
х + 2
х + 2
(х-3)(2х-1)>0,
х + —2,
+
-? 1
2
х < -2, -2 <
Xj = 3,
1
х < —:
2
1
х, = —
2 2
3
1
2
Ответ: (-оо; -2) и
-2;
и [3; +оо).
Задачи
Часть 1
1. Имеет ли уравнение корни и сколько:
а) |х| = 3; б) |х| = 0; в) |х| = -1; г) |х| = х?
2. Решить уравнение:
1) а) |х + 3| = 2; б) |2 - х| = 1,5; в) |х - 5| = 0;
2) а) |2х - 3| = 6; б) |3х + 1| = 5; в) |3 - 2х| = 7.
3. Решить неравенство и изобразить множество его
решений на координатной прямой:
а) |х| < 3; б) |х| < 4; в) |х| > 2; г) |х| > 1,5.
4. Решить неравенство:
1) а) |ж + 5| < 1; б)|х-3|>2;
2) а) |2х - 1| < 3; б) |3 + 4х| > 5;
б) |4 — х| < 2,5;
в) |2 - Зх| < 1.
5. Решить уравнение:
а) |2х - 3| = х; б) |2х - 5| = |х|;
в) |х - 2| = -х + 8; г) |х + 2| = 2(3 - х);
д) |3 - х| = |х + 5|; е) |1 - 2х| - 4х = -6.
6. Решить неравенство и указать наименьшее целое
положительное решение:
а) |х - 4| > 2; б)
в) |2х — 3| < 3; г)
д) |2х + 3| > |4х - 3|; е)
|х + 2|>2;
|х + 2| - |х| > 0;
|2х + 7| - |3х + 5| > 0,
Чаешь 2
1. Решить уравнение:
а) |х + 11 - 2|х - 2| = 0; б) |х - 1| + |х| = 11;
в) |3х - 8| - |3х 2 =6; г} |2х - 3| - |4х - 5| - бх - 1.
2. Решить уравнение:
|х —2| |х —3| 3
а)ЧН = 4; б) ^^ = 5; в)--- = 5.
3 4 | х — 11
3. Решить неравенство и указать наименьшее целое
положительное решение:
х + 2
а)
х-1
>1;
б)
2х-1
х-1
>2;
в)
х + 1
х-9
4. Решить неравенство и указать наибольшее целое
положительное решение;
а)
х + 3
х-27
<1;
б)
2
х-4
в) |х| + |х - 1| < 5.
5. Найти координаты точек пересечения графиков
функций у = |х + 3| и у = |х - 4|
Глава 12
СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
§ 38. Степень с целым показателем
п ее свойства
38.1. Определение степени с целым
отрицательным показателем
Определение. Если а Ф 0 и п — полое отрицатель-
л 1
ное число, то а = —.
' п
Например, 6
а"
1 1
б2 зб’ ( 2)
1
(-2)3 8
1.
3
Г4 = 1
(1
I з
ГХ=81'
81
В частности, при п = -1 а 1 = —
Например, 2 1
а
! = ’•
3
Выражение 0" при целом отрицательном п (как и
при п = 0) не имеет смысла.
Если п е N, то 0" имеет смысл.
Например, О2 = 0, О10 - 0, О2021 = 0.
Пример 1. Заменить дробь степенью с целым отри-
цательным показателем
, 1 ,, 1 ,1 ,1 ,1
в)-^; г)-; д)—.
1
3
Решение.
а)^- = 34; б)- = 51; в)Д--х10;
З4 5 х10
г) - = у'1; д) -Х = 43 5.
у 435
Пример 2. Заменить дробью степень с целым отри-
цательным показателем:
а) 6-3; б) З-1; в) х-12; г) г»-1; д) (4п)-3.
Решение.
a’e'-?=2le; Й,3'Ч;
Пример 3. Вычислить:
1) а) 4-2; б) (-3)-2; в) (-5)1; г) -4 • (-2) 5;
3) а) 4 1 + 51; б) 1,2 1 + б°, в) 2021 - 0,1 2;
Решение.
1)а)4-2= Л = —5 б)(-3)-2= -^v = -;
42 16 (-3)2 9
в) (-5)-i= 4 = -|;
—э э
в) (0,1) 3 = -^v = —= 103 = 1000:
0,13 Г 1 А
1 1 -5+4 9
I" 5 20 20 ’
3) а) 4 1 + 5 1 =
б) 1,2 1 + 6° = Г—+ 1 = —+ 1 = 1—;
5) 6 6
в) 2021 - 0,1 2 = 2021 - = 2021 - 102 =
= 2021 - 100 = 1921;
г) 13-^ = 13 - З2 = 13 - 9 = 4.
Пример 4. Представить в виде дроби выражение'.
1) а) 4х 3; б) 3(ab)-1; в) 10(х + у)2; г) 4m2n3c!-‘;
2) а) а 1 + Ь3; б) х 3 + х°; в) тп + п3; г) ху 2 - X 1у2.
Решение.
1) а) 4х-з = 4- 4г = Л; б) 3(ab) 1 = 3 — = —;
х х ab ab
в) 10(х + у)’2 = 10
1___ 10
(х + у)2 (х + у)2’
г) 4m2nic'i = 4т2 Д-1 = ^т,
п3 п3
2) а) а-’ + Ъ-3 =
1 1 --а + &3 .
а +Ъ3 ab3
1 х2 +1
б) х-3 + х°= —+1 =——;
, , о .1 тп3+ 1
в) т + п~3 = т + ;;
п3 п3
\ о 19 11г-'"//
г) ху 2 - X ‘у2 = X-у-у =—Z---—
у х ух
2 2
X -у
ху2
Пример 5. Найти значение выражения;
а) 4 • 2-3; б) -3 • 9’3; в) 12 • (-4)’1;
; д) 2-3+ 4-1; е) З-з - (-3)-2;
ж) 0,2-2+(£| ; з)0,2°+ 0,1-3.
Решение.
а) 4 2 з = 4 • 4 = 4 - -
23 8
4
1
2’
8
5) -3,9-3 = -з . J_ = 3 _ 3_3_1_ 1
93 93 (З2)3 З6 З5 243’
в) 12 • (-4)1 = 12 Х = - —= -3:
-4 4
г) 7 4-4 = 7 • (-7) =-49;
д) 2-з + 4-1 =
_! 1-1 1-1.
F + 4~8 4~ 8’
е) З-з - (-3)-2 = 4-----— = — -1 = — = - —
З3 (-3)2 27 9 27 27
ж) 0,2-2 + (1) = +(5-i)-i = 52 + 5 = 30;
з) 0,2° +0,1-з = 1+^4^| =
1 + (10 1) -з = 1 + 10г = 1001.
Задачи
Часть 1
1. Заменить степень с целым отрицательным пока-
зателем дробью:
а) 4 3; б) б-2; в) m i; г) a i*,; д) (ху) 3; е) (т + л) 3.
2. Заменить дробь степенью с отрицательным пока-
зателем.
. 1 ,1 1 . 1 , 1
aY: 6)F; в,7= д)з'
3. Представить числа:
а) 3, 27, 81. —, 1 в виде степени с основанием 3;
9 243
б) , —, —, 1, 6, 36, 216 в виде степени с осно-
216 36 6
ванием 6.
4. Вычислить:
а) 6 2; б) (-2)-5; в) (-1) 7;
flY2 ( 4Y3 *
г) (-l) io; д)1_1 . е)1--1 ;
ч I 1 2
ж) 1 —
1 3
Часть 2
1. Найти значение выражения:
а) 9 • 3-2; б) -4 • 8 1; в) 27 • (-9) 2;
Г 1Y1
г) 12 • — ; д) 5~2 + 5 !; е) 3~3 - (-3) 2;
ж) 0,4 2 + —
1 2
2. Представить в виде произведения дробь:
ч 6
а) -у;
Д) а3Ь2 ’
т „ Зх
б) —; в) —;
п у
.• (х + уУ 4а
е) , ; ж)-------т;
х5у5 (а-З)3
г)
з)
т'
4л3" ’
(т + п)3
4(а-Ь)2 ’
3. Преобразовать в дробь выражение:
а) (х1 + у ')(х -г у)2; б) (х - уУ2(х~2 + у^2);
в) (1 + х-3)(х + I)-2; г) (х-2 - у~2) : (х-1 - у-1).
38.2, Свойства степени с целым
показателем
Если т е N, п е N и а * 0, то
ат • ап = а’”+",
ат . а'1 = а'' ~ *,
(ат)п = атп,
{аЪУ = апЬ",
С п
I а । _ а
Пример 1. Упростить выражение:
а) а13 • а43; б) b3 : fe7; в) (За4Ь~3)~2.
Решение.
а) При умножении степеней с одинаковыми осно-
ваниями основание остается прежним, а показатели
степеней складывают. Имеем:
а) а-13 • а43 = а~13 + 43 = а30.
б) При делении степеней с одинаковыми основа-
ниями основание остается прежним, а из показателя
степени делимого вычитают показатель степени дели-
теля. Получим
bs:b' = Ь3-7 = й4.
Замечание. Показатели степеней делимого и дели-
теля могут быть любыми целыми числами.
в) (Зп4&~3)~2 = 3 2 (а4) 2 (fe 3)-2 = ^а8Ьв.
Пример 2. Найти значение выражения:
а) 2 3 -25; б) З4-3 е; в) 105 10 3 10 6;
г) 415:417; д) 6 2:6 3; е) (42)1; ж) (2 5) \
Решение.
а) 2 3 25 = 22 = 4; б) З4 3 6 -3 2 = Л =
З2 9
в) 105 10 3 10 8 = 105х 81 = 10 4 =^-
104
1
10 000
= 0,0001.
г) 415:417=415-17=4-2=Л = —;
42 16
д) б-2:6’3 = б’24’” = 6’2+8 = 6:
е) (4 2) 1 =4= 42 = 16;
ж) (25)1 =2-5'<-1) = 25 = 32.
Пример 3.
a) (ab)~3; б) (ай-2)-6; в) (abc)~3;
Решение.
а) (аб)3 = сгЧг3; б) (ab-2)-6 = a-6b12;
Пример 4. Упростить выражение:
а) 4а5 • 2,5а7; б) 0,4а 7Ь6 15а18(г3;
в) 6,4а7д2 : (0,4а4(?-2); г) 21 а6&“ : 1);
12х 5 у2 28х 6 5z/ 5
А y~s 48х“б ’ 6 15 г/7 Тх”10 '
Решение.
а) 4а~5 2,5а7 = (4 • 2,5) • а~5 • а7 = 10а’5 + 7 = 10а2;
б) 0,4а 7&6 • 15а18(г3 = (0,4 15)а 7 а18 1с Ь » =
= 6anfe3;
в) 6,4a7fe2 : (0.4a4b~2) = (6,4 : 0,4)a7-4fe2<-2> = 16a3fe4;
о 3 -61,-4 . I 5 4, « I _ 11 . I 5 I . -6+4,-4+4 _
Г) a (I u » du (2 U
4 ^8 ) 4 8 J
. 12x“5 y2 12x’5i/2 x’6*6i/2+8 1 10
Д)----s-------s’ =----гЦ- =--------— = - ХУ ’
у-8 48x^ 48x 6y 8 4 4
28х6 5у 5 _ 28 5 х~6у~5 _
С) 1 5у7 7х10 “15-7-х10у7 ~ Зу12 '
Пример 5. Упростить выражение:
.15" 49"-1 5"+1+5"+*
а) —й----; б) в)---------.
3"<5" 72 26
Решение.
15” 15" 15" 15"
Н) Q — 3 77 — о О —
3я 2-5" 3"32-5" (3"-5")-32 15"-32
49"+1 49"-49 49"-7 „
б) —- = —5-----=------= 7;
z г^лп+1 Ц 49^
5"+1+5"+з 5".5 + 5".5з 5".(5 + 53) 5".13О
в) =-----------------=------------ = ------- =
26 26 26 26
= 5я • 5 = 5я + 1.
Пример 6. Сократить дробь:
х8 + х14 х5 + Зх7 + х8
а) —-----г; б) —--------------
X X 3 + х + х
Решение.
ч х8 + х14 х8(1 + х6) X8 12
а) ------т = —г------- = —г = х 12.
х 4 +х2 х 4(1 + х ) х 4
х5 +3х7 +х8 _ х5(1 + 3х2 ->-х3) _ х2 -х3(1 + Зх2 +х3)
3+х + х 2 g । 1 Зх2 + х3 +1
X2
Задачи
Часть 1
1. Преобразовать выражение:
1) а) х5 • х7; б) х 13 • х6; в) х9 • х л;
д) х5 • х • х-7;
2) а) а3 : а6; б) а 9 : а; в) а14 : ш6;
д) а~4 : а-7;
г) х 15 • х;
г) а 3 : а4;
3) а) (х2)3; 4) а) (ху)’3; б) (х4)-5; б) (x-2i/2)-3;
5) а) И‘; ( Ъ } Га т1 б) ь ;
2. Вычислить:
в) (х 7)7; г) (х 4)-5;
в) (xz/z)-4; г) (х-4&2)-1;
1) а) З4 • 3 4; б) 6 6 • 6;
2) а) 46 : 47; б) 5 : 5 4;
Г Г1 у1Л|
3) а) (4-1)3; б) | -
4) а) 16 • 2 5; б) 9 • (3 3)2;
в) (0,01 2)4;
в) 4 6 4» : 64.
3. Упростить выражение:
а) 2,4х 865 • 5x10fe~4; б) 2x 5i/8 • 2,5х8г/8;
13х у* 12х 8 5у 6
Б у* 52х 5 ’ Г у6 '4х 12 ‘
4. Представить в виде степени произведения выра-
жение:
а) 0,0004х 4; б) 64у 6; в) 0,0049х8(/12.
5. Упростить выражение:
22п 16„-1 5"'2+5'‘
я) —,-----; о* —г; в)------------
2n-i ’ 42п-3 2б
Часть 2
1. Найти значение выражения:
a) 0,4x-2i/4 • 5х3у~3 при х = -0,25; у = 6;
б) ^х]у527x2z/4 при х = ^-.- У = ^с
2. Упростить выражение:
< х 3 У3 Г х 4у5 У2 Г 2
a) (0,36x-V3)2 -М ; б) | •
[бу ) { 4 J {х у
/ 1 х-2
ч | ч г» 5
В) —у -18ху ;
3. Упростить выражение:
х 44" _ 81" 1 ч6"+1
а) —; б) „ . ; в)------------.
4"“4-1Г 92"’3 6‘+1
4. Сократить дробь:
ч а9 + а14 &7 + 2д°+&4
а) —; б) --------------
а + а 2\Ъ\Ъ
5. Известно, что хг и х2 — корни уравнения
35х2 + 2х - 1 = Ои Xj1 + х24 = п. Найти п.
38.3. Стандартный вид числа
? Запись числа в виде а 10% где 1 < а < 10 и п —
J целое число, называется стандартным видом числа,
\ п — порядок числа.
Пример 1. Представить в стандартном виде число
624 000.
Решение.
Так как стандартный вид числа записывается в
виде а • 10", где 1 < а < 10, то в данном числе запятую
надо поставить так, чтобы в целой части оказалась
одна цифра. В результате получим 6.24. При этом чис-
ло мы уменьшили в 105 раз.
Следовательно, 624 000 = 6,24 • 105 — стандартный
вид исходного числа.
Ответ. 6,24 • 103.
Пример 2. Представить в стандартном виде число
0,00234.
Решение.
В данном числе переставим запятую на 3 цифры
вправо, получим 2,34 Переставив запятую на 3 знака
вправо, мы увеличили число в 103 раз. Значит, данное
число меньше числа 2,34 з 103 раз. Следовательно,
0,002 3 4 = 2,34 : 103 = 2,34 • -Д. = 2.34 • Ю’3.
103
Ответ: 2.34 • 10-3.
Пример 3. Представить в виде степени числа 10
выражение:
а) 1000 • 10 3; б) 109 • 10 5; в) 10 3 : 10 ll; г) (10 4)5.
Решение.
а) 1000 • 10 3 = 103 10 3 = 10°;
б) 109 Ю 5 = Ю9 + < 5>= 104.
в) 10’3 : IO’11 = IO’3 -<-п)= IO’3 +11 = 10х;
г) (10 4)5 = 10 20.
Пример 4. Записать в стандартном виде число:
а) 50 000; б) 320 000; в) 502 000;
г) 941; д) 40,4; е) 0,0832.
Решение.
а) 50 000 = 5 • 10 000 = 5 1 04;
б) 320 000 = 3,2 100 000 = 3,2 105;
в) 502 000 = 5,02 105;
г) 941 = 9,41 • 100 = 9,41 102;
д) 40,4 = 4.04 10;
е) 0,0832 = 8,32 10 2.
Пример 5. Выполнить действия:
а) (1,4 • 104) (1,5 IO’6); б) (4,6 106) : (2,3 - 10-4).
Решение.
а) (1,4 • 104) • (1,5 • 10 6) = (1,4 • 1,5) • (104 • 10 6) =
= 2,1 • 10-2;
б) (4,6 105) : (2,3 10 4) = (4,6 2,3) (105 : 10 4) =
= 2 109.
Пример 6. Сравнить числа:
а) 4,6 106 и 4,23 106; б) 3,8 • 107 и 8,3 106.
Решение.
а) Так как 4,6 > 4,23, то 4,6 • 10е > 4,23 • 106;
б) 3,8 • 107 = 3,8 10 106 = 38 • 106 > 8,3 • 106.
Значит, 3,8 107 > 8.3 • 10d.
Задачи
Часть 1
1. Назвать порядок числа, записанного в стандарт-
ном виде:
а)2,1-108; б) 6,3 • 104; в) 7,2 10 4; г) 2,44 105.
2. Записать в стандартном виде число:
а) 80 000; б) 4600; в) 54,03; г) 0,81; д) 0,0034;
е) 0,00031 • 105.
3. Выполнить действия:
а) (6,7-104)(1,4 • 10’5); б) (4,8 • 10’3)(2,5 • 1О-7);
в) (7,2 • 10 3) : (1,8 • 105); г) (2,8 • 10 4) : (0,7 • 10 8).
4. Сравнить числа:
а) 1,34 • 10й и 1,43 106; б) 3,8 104 и 0,37 • 105.
Часть 2
1. Выполнить действия:
а) 8,2 10 5 + 7,9 • 10 5; б) 2,5 103 + 0,2 • 104.
2. Выразить:
а) 4,7 • 103 т в граммах; б) 2,8 10-4 км в сантиме-
трах; в) 9,63 • 10 1 кг в тоннах.
3. Представить:
а) 3,76 • 108 см в километрах; б) 3,7 10-2 в миллиме-
трах; в) 8,65 • 1015 г в топках.
9 КЛАСС
Глава 13
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
§ 39. Функции и их свойства
39.1. Функция. Область определения
и область значений функции. Свойства
функций
Зависимость переменной у от переменной х называ-
ется функцией, если каждому значению х соответству-
ет единственное значение у.
Обозначение: у = f(x).
Переменная х называется независимой перемен-
ной, или аргументом, а переменная у — зависимой
переменной, или функцией.
Значение у, соответствующее заданному значению
х, называется значением функции.
Все значения, которые принимает аргумент х, на-
зываются областью определения функции.
Например: у = 2х - 3, х — любое действительное
3 ! Г -.А
число; у =---, х*1; у = \х, х > 0.
х-1
Все значения, которые принимает сама функция,
называются областью изменения (множеством значе-
ний) функции.
D(f) или D(y) — область определения функции;
E(f) или Е(у) — множество значений функции;
у(х0) или f(xQ) — значение функции в точке х0.
На рис. 1 изображен график функции у = f(x), где
D(f) = [-1; 4], E(f) = [-1; 2].
Рис. 1
Графиком функ-
ции называется мно-
жество всех т о ч е к
плоскости, абсциссы
которых равны зна-
чениям аргумента, а
ординаты — соответ-
ствующим значениям
самой функции.
Из рис. 1 видно,
ЧТО Унайм. = У( 1) = -1<
Унаиб. = УО) = 2-
Примеры функций: у = kx + b — линейная функция
(рис. 2-4).
Для линейной функции
£>(/) = £(/)•
А .
у = — — обратная пропор-
х
циональность (рис. 5). Гра-
фик функции — гипербола.
D(j) = E(j) = (-»; 0) о
и (0; +оо).
Функция у = х2 — парабо-
ла, проходящая через начало
координат, ветви которой на-
правлены вверх, где D(f) = R,
E(f) = [0; +оо).
Рис. 5
у = х3 — кубическая парабола, где E(f) = D(f) = R —
вся числовая прямая.
Пример 1. Функция задана формулой
f(x) = -2х2 + 5. Найти:
а)/(-1); б) ДО); в)ЛЗ); г)/И.
Решение.
а) Л-1) = -2 • (-1)2 + 5 = 2-1 + 5 = 7;
б) ЛО) = -2 • О2 + 5 = 5;
в) ЛЗ) = -2 З2 + 5 = -2 9 + 5 = -13;
(1A f 1 А2 1 1
г) f - = -2- - +5 = -2 — + 5 = — + 5 = 4,5.
42 J l2j 4 2
Ответ: а) 7; б) 5; в) -13; г) 4,5.
Пример 2. Найти Л_1)> /(0), Л2,5), если
/(х) =
х-1,5
х + 1,5
Решение.
-1-1,5 -2,5 25
-1 + 1,5 0,5 Т
Л0) =
0-1,5
0 + 1,5
/(2,5)
’ 0,25.
2,5 + 1,5 4
Ответ: -5; -1; 0,25.
Пример 3. Найти значение х, при котором функ-
ция, заданная формулой f(x) = 2,5х — 6, принимает
значение, равное:
а)-1; 6)0; в) 4.
Решение.
Если Лх) = — 1, то получим уравнение
2,5х - 6 = -1; 2,5х = 5, х = 5 : 2,5 = 2.
Если f(x) = 0. то 2,5х -6 = 0; 2,5х = 6.
6 6-4 24 п л
х =---=------= — = 2,4.
2,5 2,5-4 10
Если f(x) = 4, то 2,5х -6 = 4; 2,5х = 10, откуда
10 10 4 40 л
х —--—------= — — 4
2,5 2,5-4 10
Ответ: 2; 2,4; 4.
Пример 4. Найти область определения функции,
заданной формулой:
а) у = 6х - 1; б) у = х2 - х + 1;
. х 4
в; у =---- г) у =--------------
1-х (х-2)(х + 3)
Д) У = -^’ е) у = л/2х-3.
X +0
Решение.
а) х — любое число, т. е. х е R-,
б) х е R;
в) 1 - х Ф 0, т. е. х 1;
г) х - 2 ф 0 и х + 3 * 0, т. е. х I 2, х * -3;
д) так как х2 + 5 > 0 при любом х, то х е R;
е) арифметический квадратный корень опреде-
лен для неотрицательных чисел, т. е. 2х — 3 > 0, или
2х > 3, х > 1,5.
Ответ: а), б), д) х е R; в) х * 1; г) х 2, х -3;
е) х > 1,5.
При мер 5. Найти область значений функции:
а) /(х) = 6х - 5, где -1 < х < 2;
б) g(x) = -2х + 3, где -3 < х < 4.
Решение.
а) /(-1) = 6 • (-1) - 5 = -11; /(2) = 6 • 2 - 5 = 7. Зна-
чит, E(f) = [-11; 7];
б) £(-3) = -2 • (-3) + 3 = 9; я(4) = -2 4 + 3 = -5, то-
гда E(f) = [-5; 9].
Ответ: а) [-11; 7]; б) [-5; 9].
(Функция у = /(х) называется возрастающей па
данном числовом промежутке, если для любых двух
точек хх и х2 из промежутка таких, что х2 > хх =>
=> /(х2) > f(Xj) (рис. 6).
Фхнкция у = f(x) называется убывающей на дан-
ном числовом промежутке, если для любых двух
точек хг и х2 из промежутка таких, что х2 > хг =>
=> f(x2) < ftxj (рис. 7).
Если функция только возрастает или только
убывает на данном промежутке, то она называется
монотонной на этом промежутке.
Пример 6. Найти нули функпии (если они суще-
ствуют):
а) у = -0.4х +10; б) у = (2х - 7)(х + 3);
ч 2х-5 4
ъ) у = —?—; г) у =-----------.
х2 + 1 (Зх-1)(х + 7)
Решение.
а) у = 0, -0,4х + 10 = 0; -0,4х = -10;
10 10 10 100
х =--=--------=----= 25;
0,4 0,4-10 4
б) у = 0; (2х - 7)(х + 3) = 0; откуда 2х - 7 = 0, или
х + 3 = 0, тогда Xj = 3,5; х2 = -3;
2х-5
в) —---= 0. Так как х2 + 1 > 0 при всех х е В, то
х +1
2х - 5 = 0, 2х = 5, откуда х = 2,5;
г) у ф 0, так как (Зх - 1)(х + 7) 0.
Ответ: а) х = 25; б) хг = 3,5, х2 = -3; в) х = 2,5;
г) у * 0
Пример 7. Какие из линейных функций
у = 4х - 3; у = -2х + 9; у = -13х - 3; у = 2х + 1;
у = 4 - Зх являются:
а) возрастающими; б) убывающими?
Решение.
Если в линейной функции у = kx + Ъ k > 0, то функ-
ция — возрастающая па В, а если k < 0 — убывающая
на R.
а) возрастающие: у = 4х - 3; у = 2х + 1;
б) убывающие: у = -2х + 9; у = -13х - 3; у = 4 - Зх.
Ответ: а) у = 4х - 3; у = 2х + 1;
б) у = -2х + 9; у = -13х - 3; у = 4 - Зх.
Пример 8. Функция задана формулой
/(х) = 7х - 15. При каких значениях х: а) /(х) = 0;
б) /(х) > 0; в) f(x) < 0? Является ли функция возра-
стающей или убывающей?
Решение.
15
а) /(х) = 0, тогда 7х - 1 5 = 0, 7х = 15, х = —;
1 5
б) Л*) > 0 => 7х - 1 5 > 0, х>у;
15
в) /(х) < 0 => х< —, так как k = 7 > 0, то функция
/(х) = 7х - 15 является возврастающей.
15 15 15
Ответ: а) при х = —; б) при х> —; в) при х< —.
Функция — возрастающая.
Задачи
Часть 1
1. Найти:
1) Г(-1), ЛО), Л2), если f(x) = 4х - 9;
2) ЛЗ), Л-2), ЛО), если f(x) = х2 - 5х;
х — 6
3) g(-l), g(l), g(0), если g-(x) = --
х + 2
2. Найти значение х, при котором функция, задан-
ная формулой:
1) f(x) = 4 - 5х, принимает значение, равное:
а) 4, б) 13; в) 0;
2
2) f(x) = — — х + 1, принимает значение, равное:
а)-1; 6)3; в) 0.
3. Найти область определения функции, заданной
формулой:
a) f(x) = 14 - Зх; б) /(х) = —; в) f(x) = х2 - 1;
х
„ Г , . 3 . 4
r)y=Vx; д)/(х)=--; е) у = ----
х х-3
4. Найти область значений функции:
а) у = 6х - 1; б) у = -32; в) у = —;
х
г) у = Vx; д) у = |х|.
5. Построить график функции:
a)i/=-x-l; б)у=—х; в)у=-; г) у = |х|.
3 5 х
6. Найти нули функции (если они сушествуют):
4
а) у = —х - 2; б) у = -0,4х + 12; в) у = -12;
г) у = х(х + 2); д) у = 2(х2 + 1); е) у = \/х2 -4.
Часть 2
1. Найти значения х, при которых /(х) = 0, если:
а)/(х) = х(х - 7); б)/(х)=^^; в) /(х) - Х + 1 .
о-х х -4
2. Найти область определения функции:
а) У = х2 - 2; б) у = -—-; в) у = а/1-х2.
2 4 + х
3. Зная, что:
х2
а) /(х) = найти /(3) + Д-З);
х -3
у& _Q у
б) g(x) = ------, найти g(2) + g(~2).
5
4. Известно, что /(х) = kx + Ъ, причем /(3) = 5 и
Д4) = 11. Найти значения k и Ъ.
5. Построить график функции
-х-2, при х<-3,
у = 5 2, при -3<х<3,
х-2, при х>3.
6. Найти нули функции (если они существуют):
а) у = у с(х2 - 9); б) у = 6(х2 + 4); в) у = -1.
7. Построить график функции и перечислить ее
свойства: 6 —, при х < -3, X /(х) = Зх, при - 3 < х < 3, g —, при х>3. ,х
§ 40. Квадратный трехчлен
40.1. Квадратный, трехчлен и его корни
Многочлен вида ах2 + Ьс + с, где х — перемен-
ная, а. Ь, с — некоторые числа, причем а Ф 0, назы-
вается квадратным трехчленом.
Причем a — старший (I) коэффициент, Ь — П ко-
эффициент, с — свободный член трехчлена.
Для нахождения корней квадратного трехчлена
ах2 + Ьх + с надо решить соответствующее квадрат-
ное уравнение ах2 4- Ьх + с = 0.
Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет 2 кор-
ня; если В = 0 — 1 корень; если В < 0 — корней
(действительных) нет.
Пример 1. Найти корни квадратного трехчлена:
а) х2 - 6х + 8; б) Зх2 - х - 2; в) 2х2 - 5х + 2.
Решение.
а) По теореме Виета хг = 2, х2 = 4;
2
б) Так как 3 - 1 - 2 = 0, то х. = 1, х„ = —;
1 2 3
в) Заметим, что 5 = 2 • 2 + 1, тогда xt = 2, х2 = —.
2
2 1
Ответ: а) 2; 4; б) 1; —; в) 2; —.
3 2
Пример 2. Выделить квадрат двучлена из квадрат-
ного трехчлена:
а) х2 - 8х + 19; б) х2 + Зх -4; в) 2х2 - х - 6.
Решение.
а) х2 - 8х 4 19 = х2 - 2 • х • 4 + 42 - 42 + 19 =
= (х - 4)2 - 16 + 19 = (х - 4)2 + 3;
з ( з V ( з А2
б) х2 + Зх -4 = х2 4- 2 • х • - + I - - - - 4 =
2 l2j
в) 2х2 - х - 6 = у (4х2 - 2х - 12) =
1 1 ( 1 У ( 1 У
= -((2х)2 - 2 2х • - - 12) =
2 2 <2j ^2;
1
2
1
2
49
4
1_
2
Ответ: а) (х - 4)2 + 3; б) I х + —
25
4 ’
Задачи
Часть 1
1. Найти корни многочлена:
а) 6х - 5; б) х2 - 6х; з) у3 - 2у; г) у4 - 81.
2. Имеет ли корни многочлен:
а) х3 - 8; б) х2 + 4; в)-2/-1; г) у4 + 5у2 + 7?
3. Найти корни квадратного трехчлена:
а) х2 - х - 6; б) х2 + 4х - 5; в) 6х2 + 5х - 1.
4. Выделить квадрат двучлена из квадратного трех-
члена:
а) х2 + 4х + 3; б) -х2 + 7х - 12; в) у2 + 4г/;
c)^yz~y + 2; д) |z/2 - 2г/+ 5.
4 о
5. Имеет ли квадратный трехчлен корни и если
имеет, то сколько:
а) -Зх2 - Зх + 2; б) 5х2 - 5х + 4,
в) 8х2 - Их + 3, г) 8х2 - Их - 3;
д) 6х2 - 9х + 4; е) 1 Ох2 + 7х + 2?
Часть 2
1. Найти корни квадратного трехчлена:
а) 4х2 - 4х + 1; б) 0,2х2 4 Зх - 20;
в) 0,1 х2 + 0,9; г) -36г/2 - 12у + 1;
д) г/2 — 5; е) —50г/2 + 5у + 1.
2. Выделить квадрат двучлена из квадратного трех-
члена :
а) 2х2 - 4х + 10; б) Зх2 + 0х - 3; в) х2 + х - 6.
3. Доказать, что при любом у квадратный трех-
член:
а) у2 - бу + 11 принимает положительные значения;
б) -у2 + 8у - 20 принимает отрицательные значе-
ния.
4. Прикаком значении х трехчлен Зх2 — 12х +17
принимает наименьшее значение? Найти это значе-
ние.
5. Дан квадратный трехчлен — х2 + 2х + 4. При ка-
4
ком значении х он принимает наименьшее значение и
чему равно это значение трехчлена?
40.2. Разложение квадратного трехчлена
на множители
Если Xj и х2 — корни квадратного трехчлена
ах2 + Ьх + с, то ах2 + Ьх + с = а(х - хД(х - х2).
Для трехчлена приведенного вида
х2 + рх + q = (х - хД(х - х2).
Пример 1. Разложить на множители квадратный
трехчлен х2 - 9х + 20.
Решение.
По теореме Виета корни квадратного трехчлена
х, = 4, х2 = 5. Тогда х2 - 9х + 20 = (х - 4)(х - 5).
Ответ: (х - 4)(х - 5).
Пример 2. Разложить на множители квадратный
трехчлен -7х2 + 34х + 5.
Решение.
-7х2 + 34х + 5 = -7(х - хт)(х - х2), где хг и х2 — кор-
ни трехчлена.
Найдем корни квадратного трехчлена, учитывая,
что II коэффициент — четное число.
D/4 = 172 - (-7) • 5 = 289 + 35 = 324 = 182 > 0.
-17±18
Xj_ 2 — J X]
-17-18
-7
г -17+18
= 5, х, ------
2 -7
1
7
Следовательно, 7х2 + 34х + 5 = -7(х - 5)| х + у J.
Ответ: -7(х - 5)(х + у J.
х2 — 7х +10
Пример 3. Сократить дробь ---------
х — 25
Решение.
По теореме Виета квадратный трехчлен имеет кор-
ни хх = 2, х2 = 5.
Следовательно, х2 - 7х + 10 = (х - 2)(х - 5).
Знаменатель дроби разложим на множители по
формуле разности квадратов-
х2 - 25 = (х - 5)(х + 5).
„ х2 — 7х + 10
1 огда получим -------—
х 25
(х-2)(х-5)
(х-5)(х + 5)
х-2
х + 5
Ответ: -----
х + 5
Задачи
Часть 1
1. Разложить на множители квадратный трехчлен:
а) х2 - Зх + 2; б) х2 + 4х - 5; в) Зх2 - 27;
г) 2х2 - 5х + 2; д) х2 + х - 72; е) 2х2 + 7х + 3.
2. Доказать тождество:
а) Зх2 + Зх - 6 = 3(х - 1)(х + 2);
б) 5х2 - 5х - 30 = 5(х + 2)(х - 3).
3. Сократить дробь1
Зх + З . х2—9
а) —; о -----------------;
2х2-Зх-5 6х + 18
в) у2~4 • Г) 7у~у2
у2-4у-12’ 7 + 13у-2у2'
Часть 2
1. Разложить на множители квадратный трехчлен:
а) 7х2 + 4х - 3; б) 4х2 + бх - 4; в) 7х2 + 20х - 3.
2. Сократить дробь:
4х + 6 9-х2 бу3-19у2-20у
' 2х2-7х-15’ б' 3 + 11х-4х2 ’ В Зг/-12 *
3. Найти значение дроби
Зх +18
4. Построить график функции
_ х3 -Зх2 —4хч 12
У~ 12-Зх2 ‘
§ 41. Квадратичная функция и ее график
41.1. Функция у = ах2, ее график и свойства
Функция вида у = ах2 + Ьх + с, где а ф 0, х — не-
зависимая переменная, а. Ъ. с — некоторые числа,
) называется квадратичной.
Так как у — многочлен, то D(y) = R, т. е. областью
определения квадратичной функции является множе-
ство действительных чисел (вся числовая прямая).
При Ъ = 0 и с = 0 получим у = ах2.
1. Графиком функции у = ах2 является парабола,
проходящая через начало координат, так как при
х = 0, у = 0, где (0; 0) — координата начала координат.
2. При а > 0 график расположен в верхней полу-
плоскости и ветви параболы направлены вверх, а при
а < 0 — вниз.
3. График функции симметричен относительно
оси Оу.
4. Если а > 0, то функция убывает на промежутке
(—со; 0] и возрастает на [0; +оо); если а < 0, то функция
возрастает на (-со; 0] и убывает на [0; +оо).
5. При а > 0 функция принимает наименьшее зна-
чение х = 0, а при а < 0 — наибольшее значение х = 0.
6. При а > 0, Е(у) = [0; +оо), а при а < 0, Е(у) =
= (—со; 0]
Пример 1. Принадлежит ли графику функции
у = ~5х2 точка:
а)А(-1;-5); б) 73(4; 80); в) С
\ a 5J
Решение.
а) Если точка А принадлежит графику функции
у = -5х2, то х = -1; у = -5.
Тогда получим -5 = -5 - (—I)3, или —5 = —5 — верно,
значит, точка А принадлежит графику функции;
б) х = 4; у = 80, тогда 80 = -5 • 42, или 80 = -80 —
неверно, т. е. точка В не принадлежит графику функ-
ции;
, X 9
Л 1 1 1 J1]
г) х = — ; у =--, получим---= -5- — , или
5 5 5 Ы
11
— = — — верно, значит, точка С принадлежит гра-
5 5
фику функции у = -5х2.
Ответ: а) да; б) нет; в) да.
Пример 2. Не выполняя построения, найти коор-
динаты точек пересечения графика функции у = 2х2
с прямой:
а) у = бх; б) у = 50; в) у = -32х.
Решение.
а) Если у = бх, то получим уравнение 2х2 = бх, или
х2 - Зх = 0, х(х - 3) = 0, откуда хг = 0, х2 = 3, тогда
у1 = 6 • 0 = 0, у2 = 6 • 3 = 18. Следовательно, парабола
и прямая пересекаются в двух точках (0; 0) и (3; 18).
б) Если у = 50, то 2х2 = 50, или х2 = 25, х = ±5. Име-
ем две точки пересечения (-5; 50) и (5; 50).
в) Если у = -32х, то получим уравнение 2х2 = -32х,
или х2 = - 16х, или х2 + 16 = 0, х(х + 16) = 0, откуда
хх = 0, х2 = -16, тогда z/j = -32 0 = 0, у2 = -32 • (-16) =
= 512, т. е. имеем две точки пересечения (0; 0) и
(-16; 512).
Ответ: а) (0; 0), (3; 18); б) (-5; 50), (5; 50); в) (0; 0),
(-16; 512).
Пример 3. Построить график функции
х', при х>2,
Задачи
Часть 1
1. Не выполняя построения, найти координаты
точек пересечения графика функции у = Зх2 и прямой:
а) у = 300; б) у = 900; в)г/ = 75х.
2. Принадлежит ли графику функции у = —Юх2
1очка:
а) А(-3; -90); б) В(2; 40); в) С(-1; -10)?
Часть 2
1. Построить график функции у = ^х2. Найти:
а) значение у при х = -1; 0; 2;
б) значение х, при которых у = 2; 8: 0,5;
в) промежуток возрастания и убывания функции.
2. Пересекаются ли парабола у = 2х2 и прямая:
а) у = 32; б) у = 100; в) у = -72; г) у = Юх - 12?
3. Найти координаты точек пересечения графиков
функций у = -х2 и у = Зх - 4. Показать графически.
4. При каких значениях k прямая у = kx - 25 имеет
с параболой у = х2 только одну общую точку?
5. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции у = — х2, где х е [-2; 4].
41.2. График функции
у = ах2 + п и у = а(х - т)2
Графиком функции у = ах2 + п является парабо-
ла, полученная из графика функции у = ах2 с по-
мощью параллельного переноса вдоль оси Оу на п
единиц вверх, если п > 0, или па —п единиц вниз,
если п < 0.
Пример 1. Построить график функции
1 2 .
у = — X + 1 .
2
Решение.
В одной системе координат построим графики
I Графиком функции у = a(x - т)I 2 * * * * * В является па-
рабола, полученная из графика функции у = ах2
с помощью параллельного переноса вдоль оси Ох
на m единиц вправо, если тп > 0, или на -тп единиц
влево, если m < 0.
Пример 2. Построить график функции
у = ±(х-3)2.
Решение.
В одной системе координат построим графики
функций у =^х2 и z/ = ^(r-3)2, для чего используем
таблицу значений для функции у = — х2 (см. при-
мер 1). Составим таблицу значений для функции
с помощью параллельного переноса на 3 единицы
вправо вдоль оси Ох.
Задачи
Часть 1
1. Изобразить схематически график функции:
а) у = х2 - 1; б) у = — х2 - 1; в) у = — .х - 1 )2.
2 2
2. В каких координатных четвертях расположен
график функции:
а) у = Зх2 + 2; б) у = -4х2 - 3; в) у = -х2 + 5;
г) у = (х - 2)2?
3. Найти нули функции (если они существуют):
а) у = 2х2 - 1; б) у = -4х2 + 12; в) у = -х2 - 9.
Часть 2
1. Изобразить схематически график функции:
а)</= |(х-3)2+1; б) у = |(х + З)2 - 1;
в) у = -2(х - З)2 + 1.
2. Найти нули функции (если они существуют):
а) у = 8х2 - 32; б) у = 4х2 + 3; в) у = -х2 - 16.
3. При каких значениях а функция у = ах2 4-11
имеет нули?
4. Построить график функции:
a)j/ = |x|-l; б) у = |х + 2|;
г) у = ух - 4; д) у = Зд/х;
в) у = л/х-З;
х 1 Г
е)У = ~2^х-
41.3. Построение графика квадратичной
функции
Для построения графика квадратичной функции
у = ах2 + Ьх + с нужно:
1) найти координаты вершины параболы;
2) определить направление ветвей (по знаку а);
3) найти пересечение с осями координат;
4) построить несколько дополнительных точек (для
уточнения формы графика);
5) соединить полученные точки плавной линией.
Пример 1. Построить график функции
у = х2 - Зх -г 2.
Решение.
1. Найдем координаты вершины параболы по фор-
~Ь 3 Q 3 9 9 9
муле х, .тогда у„ = - -3 - + 2 - --- + 2 -
9-18+8 1 (3 П
=--------= —, т е. —; — — координаты всрши-
4 4 2 4 J
ны параболы.
2. Так как а = 1 > 0, то ветви параболы направлены
вверх.
3. а) Пересечение с осью Ох: у = 0, тогда х2 - Зх + 2 = О,
откуда хг = 1, х2 = 2. Значит, (1; 0) и (2; 0) — точки
пересечения с осью Ох;
б) пересечение с осью Оу: х = 0, у = 2, т. е. (0; 2).
4. Дополнительные точки при х = -1, у = 6; при
х = 3;у = 9- 9 + 12 = 2, при х = 4, у = 16 - 12 + 2 = 6.
5. Построим график’
Пример 2. Построить график функции
у = — X2 + X + 1.
2
Решение.
2
координаты вершины параболы.
2. а=— >0, ветви параболы направлены вверх.
2
3. а) у = 0, х2 + х + 1 = 0, или х2 + 2х + 2 = 0 — нет
корней, так как D < 0. Значит, парабола ось Ох не пе-
ресекает;
б)х = 0,г/ = 1,(0;1) — пересечение с осью Ог/.
4. При х = -2, у = 1; при х = 2; у = 5.
5. Строим график:
Задачи
Часть 1
1. Найти координаты вершины параболы;
а) /(х) = х2 - 5х + 6; б) /(х) = -х2 - 6х + 2;
в) /(х) = 2х2 - Зх + 1.
2. Построить график функции:
а) у = х2 - 4х + 4; б) у = х2 - 6х 1- 8;
в) у = — х2 - х - 2.
3. Найти координаты точек пересечения с осями
координат параболы:
а) у = х2 - 7х + 12; б) у = -х2 + 6х - 9;
в) у = 2х2 - 5х + 2.
Часть 2
1. Построить график функции /(х) = х2 - 8х + 12.
Найти по графику:
а) координаты вершины параболы;
б) точки пересечения с осями координат;
в) нули функции, промежутки возрастания и убы-
вания функции;
г) промежутки, в которых f(x) > 0 и /(х) < 0;
д) наименьшее значение функции.
2. Найти значение т, при котором прямая у = 8х + т
касается параболы у = х2 + 12.
3. Найти область (множество) значений функции
/(х) = -х2 + 4х + 3, где х е [0: 5].
§ 42. Степенная функция.
Корень п-степепи
42.1. Функция у = хп
I Функция вида у = хп, где п — независимая
переменная, п — натуральное число, называется
степенной функцией с натуральным показателем.
Функции вида у = х, у = х2, у = х3 были рассмотре-
ны ранее.
1. Рассмотрим случай, когда п — четное число.
Свойства функции у = х" при четном п аналогичны
свойствам функции у = х2.
1) Если х = 0, то у = 0, т е. график проходит через
начало координат.
2) Так как п — четное, то при х 0, у > 0. Значит,
график функции расположен в верхней полуплоскости.
3) (—х)п = хп — верно при любом четном п.
4) На промежутке [0; +оо) функция возрастает, а на
промежутке (—оо; С] — убывает.
5) Е(у) = [0; 4-оо), т. е. областью значений является
множество неотрицательных чисел.
2. Рассмотрим случай, когда п — нечетное число.
Эти свойства аналогичны свойствам функций у = х3
(кубическая парабола).
1) Если х = 0, то у = 0, т. е. график проходит через
начало координат.
2) Если х > 0, то у > 0; если х < 0, то у < 0. График
функции расположен в первой и третьей координат-
ных четвертях.
3) (—х)п = —Xя — верно при любом нечетном п.
4) Функция у = хп возрастает на R, т. е. на всей об-
ласти определения.
5) Е(у) = R. т. е. областью значений функции будет
множество всех действительных чисел.
Пример 1. Функция задана формулой у = х12.
Сравнить с нулем значение функции при х = -3; 0; 5.
Решение.
Так как показатель степени п = 12 — четное, то
(-3)12 > 0; О12 = 0; 512 > 0.
Пример 2. Функция задана формулой у = х13.
Сравнить с нулем значение функции при х = -3; 0, 7.
Решение.
Так как п — нечетное, то (-3)13 < 0; О13 = 0; 713 > 0.
Пример 3. Функция задана формулой у = х16.
Сравнить:
а) /(2,6) и /(3,1); б) /(-4,1) и /(-5,4); в) /(-5) и /(4);
г) /(21) и /(-18).
Решение.
Так как п — четное, то:
а) 2,616 < 3,116; б) (-4,1)16 < (-5,4)16; в) (-5)16 > 416;
г) 2116 > (-18)16.
Пример 4. Функция задана формулой у = х16.
Сравнить:
а) /(7,8) и /(6,5); б) /(-3,5) и /(-4,6).
Решение.
Так как п = 15 — нечетное, то:
а) 7,815 > 6,515; б) (-3,5)15 > (-4,6)15.
Пример 5. Б каких координатных четвертях рас-
положен график функции:
а) у = х20; б) у = х31?
Решение.
а) Так как п = 20 — четное число, то график функ-
ции у = х20 расположен в I и II четвертях;
б) п = 31 — нечетное число, значит, график функ-
ции расположен в I и III четвертях.
Пример 6. Решить уравнение:
27
а) х4 = 169; б) х4 = -81; в) х3 = -27; г) х3 = —.
Решение.
а) х4 = 169, хъ 2 = ±V169 = ±д/13;
б) так как х4 > 0; -81 < 0, то уравнение не имеет
действительных корней;
в) х3 = -27, х = д/-27 = -3;
1 з 27
г) X3 = —
64
з/27_3
V 64 4’
X =
Ответ: а) ±д/13; б) нет корней; в) -3; г) —.
4
Задачи
Чаешь 1
1. Функция задана формулой у = х6. Сравнить с ну-
лем значение функции при х = — 7; 0; 9.
2. Функция задана формулой у = х7. Сравнить с ну-
лем значение функции при х = —3; 0; 5,
3. Функция задана формулой /(х) = х8. Сравнить:
а) /(4,8) и /(5,3); б) /(-6,3) и /(-7,6);
в) /(-8) и /(7); г) /(42) и /(-39).
4. Функция задана формулой /(х) = х11. Сравнить:
а) /(9,7) и /(8,7); б) /(-5,7) и /(-6,8).
5. Проходит ли график функции у = х3 через точку
М(1; 1), М3; 27), К(5; 25)?
Часть 2
1. Сколько корней имеет уравнение х" = 120:
а) при четном п; б) при нечетном п?
2. Решить уравнение:
27
а) х3 = -8; б) х3 = —; в) х4 = -144; г) х4 = 256.
125
3. Построить график функции:
а) у = -х3; б) у = х4 - 3; в) у = (х - 2)3.
4. Сколько корней имеет уравнение:
а) х4 = 4х + 5; б) х4 = 0.5х - 6; в) х3 = 4х + 5;
г) х3 = 0,5х - 6?
5. Решить графически уравнение:
а) х3 = 3; б) х3 = 6; в) х3 =-2.
42.2. Корень п-й степени
Корнем п-й степени из числа а называется такое
( число, n-я степень которого равна а.
Если п — четное число, то выражение у/a имеет
смысл лишь при а > О,
Если п — нечетное число, то выражение у[а имеет
смысл при любом а.
Верно равенство = а.
Выражение у[а называется арифметическим кор-
нем п-й степени из а.
Оно имеет смысл как при четном, так и при нечет-
ном п, если а > 0.
Если п —нечетное и а > 0, то \[-а = -Ца
Пример 1. Найти значение выражения:
Решение.
а) ^81 = VF = 3; б) V32 = VF = 2;
Пример 2. Принадлежит ли графику функции
у = у/х точка Л(16; 2), .3(81; -3), С(-16; -2),
0(0,0081; 0,3)?
Решение.
Если точка А(16; 2) принадлежит графику функции
у = к/х, то х = 16, у = 2, тогда получим 2 = ^16 —
верно, так как <16 == у 2s = 2.
Аналогично: .3(81; -3), т. е. х = 81, у = -3. Так как
у =>[х, где х > 0, то точка В 7. графику функции.
Для точки С(—16; -2) имеем х = -16, у = -2.
Но х > 0, значит, точка С £ графику.
Наконец, для точки /1(0,0081; 0,3) получим
х = 0,0081, у = 0,3, тогда 0,3 = </0,0081 — верно, так
как </0,0081 = </(0.3)4 =0,3, т. е. точка D е графику
функции.
Пример 3. Указать два последовательных целых
числа, между которыми заключено число:
а) <0; 6) </24; в) 13; г) </60.
Решение.
а) </1 <<4?6 <</8, т. е. 1 <</4?6 <2;
б) </в < </24 < </27, т. е. 2<</24<3;
в) <'1 < С13 < </16, т. е. 1<<13<2;
г) </16 < </б0 < </81, т. е. 2<</б0<3
Пример 4. Выразить корень n-й степени из отри-
цательного числа через арифметический корень той
же степени
б) <Р19;
г) ^'-7.
Решение.
а) </Лз = -</13;
в) \^4 = -W;
в)
Пример 5. Вычислить:
а) (</9)4; б) (</^5)9; в) (3</3)4; г) (-2</3)3;
д) <-<Р16)5; е) (3</б)3.
Решение.
а) (</9)4 = 9*^ =9; б) «/^К)9 = -5® =-5;
( 1Y
в) (3</3)4 = З4 I З4 = 81-3 = 243;
( 1 г) (-2<3)3 = -23 • З3 \ 2 Г 1Л д)(-^Л^)3=_ 163 3 = -8 3 = 24, = -(-16) = 16;
Г ' V
е) (З^/б)3 = З3 63 = 27-6 = 162
Пример 6. Решить уравнение:
а) х3 = 7; б) х6 = 19; в) |х4 - 27; г) |х* + 81 = О.
Решение.
а) х3 = 7, х = л/7;
б) хб = 19, x12=±V19';
в) — х4-27, — х4 = 27, х4 = 81, х12=±3;
3 3
г) — х5 + 81 = 0, — х5 = -81, х5 = -3 • 81,
3 3
х5 = —З5, х = -3.
Пример 7. При каких значениях переменной име-
ет смысл выражение:
а) л/х-4; б) д/х 4-1; в) ^у(у-5); г) л/а2 + п-2 ?
Решение.
а) х - 4 > 0; х > 4; б) х е R;
в) у(у - 5) > 0;
+ - +
;///!////?----•/////////►
о 5
у е (-со; 0] U [5; +оо);
г) а2 + а - 2 > 0, = 1; а2 = -2.
+ - +
ZW/Z/Д $/////////►
а е (-со; -2] и [1; +оо).
Задачи
Чаешь 1
1. Найти значение выражения:
а) л/0,25; б) </216; в) </0.0001;
д) 4</0,125; е) 0,3</16.
2. Вычислить:
" Д \''3:
3. Вычислить:
а) (V?)2; б) (W;
б) </32 + 0;
г) J0,16 + 3/-2—.
V 27
в) (-</12)4; г) -</134; д) (-</3)5.
4. При каких значениях х имеет смысл выражение:
а) </х-2; б) </х + 4; в) </х(х + 1); г) </(х-4)(х + 2) ?
Часть 2
1. Вычислить:
a) 4 — + 3 - —; б) Ж 0032 - </-0,008;
V 625 V 81
х о - О7 х Гв4~ 1 Иб~
в) 3,5?/--? 15—; г) в/---------4/---.
V32 \ 8 V 729 2\б25
2. Решить уравнение:
а) х6 = 9, б) х5 = 40; в) — х6 - 2 = 0; г) - х5 -г 81 = 0.
32 3
3. При каких значениях х имеет смысл выражение:
а)</Зх-1; б) </(х-1)(2х + 1); в) </(2х-5)(х2+ 1) ?
4. Решить уравнение:
а) х6 - х3 - 2 = 0; б) х8 -15х4 -16 = 0.
42,3. Степень с рациональным показателем
Если а > 0, — — дробное число, где т е Z, п е N,
п
то а" = у/а™.
4 / х 1,2 z z \О
- I--— ( 1 \ ( 1 |5 (11
По определению О, З5 = д/0,3'; — = — = ,5 — ;
V 6 у
j. -i
7 6 = 78 = л/7 1
т
Кроме того, 0" =0.
Ji 1. 2 1
Выражения (-3)3, (-4)7, 0 1 не имеют смысла.
Свойства степени с целым показателем справедли-
вы для степени с любым рациональным показателем.
Для любых а > 0 и Ъ > 0 верпы равенства:
ар ач=ае+ч, ар : а' = ap-q, (а'У = ар\
(аЪ)в=арЪр, I - I = —.
\Ъ Ър
Пример 1. Представить степень с дробным показа-
телем в виде корня:
1 1.
а) 43, 64, 0,3°’5, 2 °’35;
3 В
б) а4, х1’3, т °’6, п 3;
2 3 1_
в) 4х3, ау7, -а-1’8, (4&)3;
г) (а-&)3; н4-&4; 6(m + n)®; 4х3 +&х3.
Решение,
а)43=Ш; 64=^6; О,305 =0,32 = v/0?3;
3 13
4 ______ 3 3 ___
г) (a-b)3 =^(a-b)4 а3-Ьл =tfa3-tfb3;
- I---------- - - 4 l—
6(/n + n)6 = 6<(m-i-n)5; 4x3 +bx3 =^=+b*Jx2.
Пример 2. Представить арифметический корень в
виде степени с дробным показателем:
а) <2,4; б) ^'б'1;
Решение.
а) л/2,4 =2,42;
___ 6
д) г<х* =х11;
ж) Va3 - Ъ''; з) ^(х-у)*.
б) ^67Г = 6’3;
«>
1 1 --
Xs
ж) у/а3 -Ь3 = (а3-Ь3)3; з) Ух-у)‘ = (х-у)9.
Пример 3. Найти значение выражения:
1 1 з з 1.
а) 64а; б) Зб’2; в) 0,252; г) 0,162; д) 6 273.
Решение.
1 ,— I— 1 1 1
а) 643 = Ш = W = 4; б) 36 2 =^= = -;
Тзб 6
3 _______
в) 0,252 = 7(0,25)3 - G/0,25)3 = 0,53 = 0,125;
г) 0,162 - (д/0,16)3 = 0,43 = о, 064;
д) 6-27’=6^27 =6^ = 6-3|= 18.
Пример 4. Представить в виде степени с рацио-
нальным показателем:
а) х^х*; б) у в) a? :aJ;
1 2
r) :b 3;
1
Решение.
11 11 5+3 8
— — —।— --- —
ос2 ос — ос2 — ос — ОС *
2 1 2 1 -4+3 1
б) у Зу2 =у 3+2 = у 6 =у б;
1 4 1_2 _1
в) а3 :а3 = а3 3 =а 3;
1. 2 1. 2 1+4 5
г) :Ъ 3 =Ьб+з = Ь 6 -bR-,
i
( 2 'и 2 1 1
д) m3 = m3^ =
e) (n4) 8 =n 1 8j=n 2.
Пример 5. Упростить выражение:
1 5 6 2 3
a) (x0,5)5 x0,9; 6) (x6)7-x1,4; в) (z/3’6f3-(Z4)"1’2.
Решение.
i
z„o,5 + s „0 9 „0,1 „0,9 „0.1+0,9
a) (x ) -x = x -x = x =x;
/ 5 \7 5 14 5 7 25-19 74
б) \х6 / -х1’4 = х7 -х10 = х7 5 = х 35 = х35;
2 3
В) (У°’6Р •(/4Г1’2=/'2',-2) У30’3=^4-/’9=/<
Задачи
Часть 1
1. Представить арифметический корень в виде сте-
пени с дробным показателем:
2. Найти значение выражения.
1 1 5 2 2
а) 162; б) 49 2; в) 0,362; г) 3-325; д) 6 0,09 3.
3. Представить в виде степени с рациональным по-
казателем:
2 4 5 2 3 1 4 5
а) х3х3; б) у 6у3; в) абп4; г) Ь3 :Ь3; д) (т3) ®.
4. Упростить выражение:
3 4 5 3
а) (х0,8)4-х0,4; б) (у5)8 х2,4; в) a(a"ie)4.
Часть 2
1. Найти значение выражения:
1 1. 1
а) 1253; б) 0,64 2 ‘; в) 12-27’3; г) 14 0,04 2.
2. Упростить выражение:
1 7 4 5 3
а) (а14)2-а0’3; б) (т8)3 т2’6, в) (т18)’6 (п’4)"1’6.
3. Вычислить;
2 3
5
а) 10510 °’5 105; б) З3 99 27~3; в) 4~3-162-V4.
4. Представить:
2
а) в виде квадрата (х > 0): г8, х7, х \ х1, х, Xs;
2 4
6) в виде куба (у > 0): у9, у5, у, у3, у 2,1, у 9.
5. Сократить дробь:
4 + 42 6
а) —- б) в)
4~2 6-62
a-b
——т; г)
а2 -б2
т9 2т2п2 + п
т-п
Глава 14
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 43. Уравнения с одной переменной
43.1. Целое уравнение и его корни
Уравнение называется целым, если его левая и
правая части — целые выражения.
Например: (х3 - 2)2 + 2(х - 2) = х6 - х5, (1)
В уравнении (1) раскроем скобки
х6 - 4х3 + 4 + 2х — 4 - х6 - х5.
Теперь перенесем все члены в левую часть и приве-
дем подобные члены. Получим:
х6 - 4х3 + 4 + 2х - 4 - х6 + х5 = О,
х5 - 4х3 + 2х = 0. (3)
Аналогично упростим уравнение (2):
х3 - 1 - 2(х + 1) = 12х,
х3 - 1 - 2х - 2 - 12х = 0,
х3 - 14х - 3 = 0. (4)
После упрощения уравнений (1) и (2) мы получи-
ли уравнения (3) и (4), равносильные соответственно
уравнениям (1) и (2), т. е. получили уравнения вида
Р(х) = 0, где Р(х) — многочлен стандартного вида.
Следовательно, всякое целое уравнение можно
заменить равносильным ему уравнением, где левая
часть — многочлен стандартного вида, а правая —
нуль.
Степень многочлена Р(х) называется степенью
уравнения.
Например, уравнение (1) является уравнением пя-
той степени, а уравнение (2) — уравнением третьей
степени.
Пример 1. Решить уравнение
(х2 + 2х)2 - 14(х2 + 2х) -15 = 0.
Решение.
Раскрытие скобок и дальнейшее упрощение приво-
дит к решению уравнения 4-й степени. Если обозна-
чить х2 + 2х = у, то мы получим квадратное уравнение
у2 - 14г/ -15 = 0, корни которого ух = 15, у2 = -1.
Учитывая подстановку у = х2 + 2х, имеем:
1) х2 + 2х = 15, или ха + 12 - 15 = 0, откуда находим
х, = -5, х2 = 3;
2) х2 + 2х = -1, или (х + I)2 = 0, откуда х3 = -1.
Таким образом, исходное уравнение имеет 3 корня:
Ответ: = -5; х2 = 3, х3 = -1.
Пример 2. Решить уравнение
х(х + 2)(х + 3)(х + 5) = 27.
Решение.
При решении подобного уравнения важное значе-
ние имеет удачная группировка.
Запишем уравнение в виде:
х(х + 5)(х + 2)(х + 3) = 27, или
(х2 -I- 5х)(х2 + 5х + 6) = 27.
Обозначим х2 + 5х + 3 = у, тогда получим
(у - 3)(у + 3) = 27, или у2 - 9 = 27, у2 = 36, откуда
у = ±6. Следовательно, имеем:
1) х2 + 5х + 3 = 6,
х2 + 5х - 3 = 0,
D = 25 + 12 = 37 > 0,
х12 Л(-5 + Тз7);
2) х2 + 5х + 3 = -6,
х2 + 5х + 9 = 0 — нет действительных корней, так
как D < 0.
Замечание. При решении уравнений подобного
типа подавляющее число авторов предлагают замену
х2 + 5х = у. Однако замена, предложенная автором
данного репетитора, более эффективна, так как приво-
дит к простейшему уравнению.
Пример 3. Решить уравнение
9| х + -|-2| х2+^-| = 14.
\ х) I х )
Решение.
1 1 ( 1У
Пусть х + — = у, тогда х2 + — = х + — -2 = у2 - 2.
ЗС ЗС к ЗС J
В этом случае данное уравнение запишется в виде
9г/ ~2(у2 - 2) = 14, или 2у2 - 9у + 10 = О,
D = 81 - 80 = 1 > 0, у) 2= У1 = 2, у2- |.
„ 1
Учитывая подстановку хн— = у, получим;
х
1) х + —= 2, или х2 - 2х + 1 = 0, (х - I)2 = 0. откуда
X
Xj = 1.
15 5 1 11
2) х + —= —. Так как — = 2 + —, то х + —= 2 + —, т. е.
х 2 2 2 х 2
х„ = 2, х, = —.
2 3 ?
Ответ: х. = 1, х, = 2, х„ = —.
1 2 3 2
о „ 15
Замечание. При решении уравнения хч— = — мы
х 2
учли тот факт, что: 1) оно квадратное, а значит, может
иметь не более двух корней; 2) х и — — взаимно
х
„ 5 о 1
обратные числа и — = 2 + — представлено единствен-
ным образом.
Пример 4. Решить уравнение х4 - 9х2 + 8 = 0.
Решение.
Уравнение биквадратное. Замена х2 = у, где у > 0,
приводит к квадратному относительно переменной у:
у2 - 9у + 8 = 0.
Поскольку 1 - 9 + 8 = 0, то ух = 1, тогда у„ = 8.
Следовательно, имеем:
1) х2 = 1, xt 2 = ±1; 2) х2 = 8, х3 4 = ±у'8 - +2д/2.
Ответ: х12 = ±1, х3 4 = ±2^2.
Задачи
Часть 1
1. Какова степень уравнения:
а) (х - 1)(х + 3) = 0; б) = 4; в) - х6 = 0:
г) 2х3 - 2х(х2 + 1) = 5; д) х2 - Зх8 + 1 = 0?
2. Решить уравнение:
а) х4 - 8х2 -9 = 0; б) х6 + 7х3 - 8 = 0;
в) (х 1 I)4 + х2 + 2х + 1 = 0; г) х3 + х2 + х + 1 = 0;
. 4х-9 „ 5х + 9 . 10 + х 9-Зх .
д) -----+ 3 =------; е)-------------= 4х.
5 6 3 5
Часть 2
1. Решить уравнение:
а) х3 + х2 - 4х - 4 = 0;
б) 2х3 + 7х2 + 7х + 2 = 0;
в) (х2 + х + 3)(х2 + х + 8) = 50;
г) (х2 - 4х)2 - 6(х - 2)2 = 16.
2. Решить уравнение.
а) (12а + 1 )(3а - 1) - (6а + 2)2 = 10;
а2 а а + 1
б) =----------;
16 8 3
в) (х - 1)(х - 2)(х - 3)(х - 4) = 120;
(х + 1)2 х2-1 .
г) ----—+------= 4;
12 24
д) (г/2 + 1 )(у2 - 1 Оу + 16) = 2у(у?- 10у + 16);
е) (у2 + Зу + I)2 + 2<у2 + Зу - 4) + 10 = 0.
3. Доказать, что уравнение х6 + 4х4 + х2 = -13 не
имеет действительных корней.
43.2. Дробные рациональные уравнения
Уравнения, содержащие в знаменателе дроби пере-
менную, называются дробными рациональными.
тт 4 1 х- 1 , „ х
Например: ----= Зх; — =----; 4х - 3 =--.
х-1 х“ х+1 2х-1
Пример 1. Решить уравнение
144
х(х + 2)
I 2
---------нх + х.
х(х + 1)
Решение.
Область определения уравнения (или ОДЗ — об-
ласть допустимых значений) задастся условиями:
х + 0, х + -2, х + -1.
Запишем уравнение в виде
144
х(х + 2)
72
х(х + 1)
2
+ х +х.
(1)
Упростим левую часть уравнения (1):
144 72 144(х + 1)-72(х + 2) =
х(х + 2) х(х +1) х(х + 2)
72
х(х-I-1)(х + 2) ’
тогда уравнение (1) примет вид
72 2
------------= х + х, или х(х + 1)2(х + 2) = 72, или
х(х + 1)(х + 2)
(х2 + 2х)(х2 + 2х + 1) = 72. (2)
Пусть х2 4- 2х = у, тогда уравнение (2) запишется в
виде у(у + 1) = 72, или у2 + у - 72 = 0, откуда уг = -9,
У2--8-
Учитывая замену х2 + 2х = у, получим:
а) х2 + 2х = -9, или х2 + 2х + 9 = 0 — нет действи-
тельных корней, так как D < 0;
б) х2 + 2х = 8, или х2 + 2х - 8 = 0, Xj = -4, х2 = 2.
Найденные корни удовлетворяют ОДЗ, значит, явля-
ются корнями исходного уравнения.
Ответ: хх = -4, х2 = 2.
Пример 2. Решить уравнение
(4х2 + 1)2
(2х-1)2х
Решение.
ОДЗ: х/0, х/
Заметим, что освобождение от знаменателя дроби
лишь усложняет решение уравнения.
Запишем уравнение в виде
(2х-1)’х 1 х(4х2+1-4х) 1
(4х2 + 1)2 25’ (4х2 + 1)2 “25’
4х2 +1 4х х 1
4х +1 4х2 +1 1х2 + 1 25
Заметим, что 4х2 + 1 > 0 при всех х е R, тогда по-
лучим
fl-4- Х \ Х =±
I. 4x2 + 1J 4х2+1 25
X
Пусть —--------= у, тогда имеем (1 - 4г/)г/
4х +1
100 г/2 - 25 г/ + 1=0, откуда находим у1 = —,
5
1
= —, или
25
1
у у =—.
2 20
Учитывая подстановку, получим 2 уравнения:
1) —— = —, 4х2 - 5х + 1 = 0. Так как 4 - 5 + 1 = 0,
4х2+1 5
, 1
то х, = 1, х, = —;
1 2 4
2) —£— = —, 4х2 - 20х + 1 = О,
4х2+1 20
— = 100 - 4 = 96 > 0, откуда
4
х3 4=|(10±47б) = |(5±2д/б).
т:
Найденные корни удовлетворяют ОДЗ, значит, яв-
ляются корнями данного уравнения
Ответ: xt = 1, х2 = х3 4 =^(5±2,6).
Пример 3. Решить уравнение
1 1
-------------1-------------+
(х + 2018)(х + 2019) (х + 2019)(х + 2020)
+______1_____+_______1_____- 1 .
(х + 2020)(х + 2021) (х + 2021)(х + 2022) 999 999
Решение.
Идея решения уравнения заключается в примене-
нии равенства:
1 J1 1
ц(п + 1) п п +1
Используя это соотношение, данное уравнение при-
мет вид
—1______^+ —1_________1— Р
х + 2018 х + 2019 х + 2019 х + 2020
1111 1
+------------1-----------— -------,
х + 2020 х + 2021 х + 2021 х + 2022 999 999
1
или -------
х + 2018
1 1
--------=----------, или
х + 2022 999 999
х + 2022-х-2018 _ 1
(X + 20J 8)(х + 2022) “ 999 999 ’
________4______ 1
(х + 2018)(х + 2022) 999 999'
Пусть х + 2020 = у, тогда получим
4 ____1
(у-2)(у + 2)~ 999 999’
или у2 - 4 = 4 • 999 999,
у2 = 4 • (999 999 + 1), или у2 = 4 106, и так как
у = х + 2020, то (х + 2020)? = 4 10е, откуда
х -I- 2020 = ±2000, значит, хг = -20, х2 = -4020
Ответ: хг = -20, х2 = -4020.
Задачи
Часть 1
Решить уравнение:
. Зх2-5х 2 х2-2х 1
а)-------------= 1; б)--------------= 1;
Зх-2 2-Зх х-1 1-х
2 3 1 ч 1 4
в) ---+ г) ---+ —-------= 1;
х 1- 2 х - 4 4 х-1 х2-Зх + 2
2(х-1) х-3 „ . х I 6 х-6 6
д) —---------= 2х; е) ----+-----=------v.
х х 6-х 6+х 36-х2
Часть 2
Решить уравнение:
„2 -I „3 q
. х -1 X —о
а) 5- +--------т = х;
(х-1)2 (х-2)2
. х2 + Зх + 2 9
в) —;
х + 4х + 3 х + 3
б) 71 х + —- |-2| х2+^-| = 9;
\ х) V х )
5 6 1
х(х + 6) (х + 3)2 2
д)
х2 12 (х 2
12 х2 ^6 х)
е)
125
х2 — 4х — 8 х2 - 2х + 8 . х2 +1 х2 3
ж) -------= —-----: з)---------= —.
х х-4х+8 х х+12
§ 44. Неравенства с одной переменной
44.1. Решение, неравенств второй степени
с одной переменной
Неравенства вида ах2 + Ьх + с > 0 (< 0, > 0, < 0), где
а Ф 0, х — переменная, а, Ъ и с — некоторые числа,
называются неравенствами II степени с одной пере-
менной.
Для решения приведенных выше неравенств:
1) определяют знак дискриминанта D квадратного
трехчлена, чтобы выяснить, имеет ли квадратный
трехчлен корни, а если имеет, то сколько;
2) при наличии корней их отмечают на числовой
оси и через отмеченные точки проводят схематически
параболу, направление ветвей которой зависит от зна-
ка коэффициента а; если трехчлен не имеет корней, то
парабола не пересекает ось Ох и при а > 0 расположена
в верхней полуплоскости или в нижней при а < 0;
3) находят промежутки, для которых точки парабо-
лы расположены выше оси Ох (если ах2 + Ьх > 0) или
ниже оси Ох (если ах2 + Ьх + с < 0).
Алгоритм решения неравенств II степени
Пример 1. Решить неравенство 2х2 4- Зх — 2 < О
Решение.
Рассмотрим функцию у = 2х2 + Зх - 2, графиком
которой является парабола» ветви которой направле-
ны вверх, так как а = 2 > 0.
Найдем пересечение параболы с осью Ох, для чего
решим уравнение 2х2 + Зх - 2 = 0- Корни уравнения
Xj = -2 и х2 = Значит, парабола пересекает ось Ох в
точках (-2; 0) и I —; 0 I, Изобразим схематически па-
раболу.
Из рисунка видно, что
и < 0, если х е | -2; — I.
I 2 )
Значит, решением данно-
го неравенства является про-
межуток I -2; — |.
Замечание. При решении
неравенства с помошью параболы нас не интересовали
координаты вершины параболы. Самос важное — знать
направление ветвей параболы и абсцессы (корни квад-
ратного трехчлена) точек ее пересечения с осью Ох.
Пример 2. Решить неравенство 2х2 - 5х - 3 > 0.
Решение.
Найдем корпи квадратного
трехчлена:
D = 25 6 24 = 72 > 0,
5+7 о 1
п —----• Х-, — о« Хп —-•
112 4 2
Строим схематически пара-
болу у = 2х2 - ох - 3.
Ответ: | -со; о (3; +оо).
Пример 3. Решить неравенство — х2 + 2х - 3 < 0.
Решение.
'Гак как a = < 0, то
3
графиком функции
у = - — х2 + 2х - 3 являет-
3
ся парабола, ветви кото-
рой направлены вниз.
Для нахождения абс-
циссы точек пересечения
параболы с осью Ох ре-
шим уравнение х2 + 2х
3 = 0, или х2 - бх + 9 = 0,
(х - З)2 = 0, откуда х = 3. Значит, парабола касается
оси Ох в точке (3; 0). Следовательно, у < 0 при всех х,
кроме х = 3.
Ответ: (-со; 3) и (3; -Но).
Пример 4. Решить нера-
венство х2 - 2х + 3 > 0.
Решение.
Заметим, что D = 4 — 12 =
= -8 < 0, т. е. квадратный трех-
член не имеет действительных
корней, т. е. парабола у = х* -
- 2х + 3 не пересекает ось Ох,
ветви параболы направлены
вверх, так как а = 1 > 0.
Значит, у > 0 при всех х е В.
Ответ: х е В или х е (-со; -Но).
Задачи
Часть 1
1. Решить неравенство:
а) х2 < 4; б) х2 > 4; в) 2х2 < х; г) -х < Зх2.
2. Для каждой из парабол
у = Зх2 + х - 4 и у = -2х2 + 5х - 2:
а) определить направление ее ветвей;
б) найти координаты точек пересечения параболы с
осью Ох;
в) изобразить схематически график;
г) найти по графику, при каком значении х
у > 0, при каком у < 0.
3. Решить неравенство:
а) х2 - бх + 8 < 0; б) х2 - 9 > 0; в) 4х2 + Их - 3 > 0;
г) бх - х2 > 0; д) б - х2 < 0, е) 4х2 - 20х + 25 > 0.
Часть 2
1. При каких значениях х трехчлен:
а) —5х2 + Их - 6 принимает положительные значе-
ния;
б) 6х2 — 13х + 7 принимает отрицательные значе-
ния?
2. Решить неравенство:
а)0,Зх2>2,7; б)-Зх2 < х; в) 5х2 <-2х;
г)— х2<12; д) — х2 > —; е)-0,2х > 0,4х2.
3 5 15
3. При каких значениях b уравнение имеет 2 корпя;
а) 2х2 - Ьх + б = 0; б) Зх2 + 4х - Ь = 0?
4. Решить неравенство:
а) Зх(4х - 1) < 5х2 + бх + 10;
б) (Зх + 5)(х - 1) < -х2 - Юх - 13.
5. Найти область определения функции:
а) у = л/бх-2х2; б) у - . .
у Зх2 -12х +12
44.2. Решение неравенств методом
интервалов
Неравенство, содержащее только рациональные
функции, называется рациональным.
Метод интервалов основан на одном важном свой-
стве рациональной функции: в интервале между
двумя соседними нулями рациональная функция
сохраняет знак. Если рассматривается дробно-рацио-
нальная функция, то те значения переменной х, при
которых функция обращается в нуль, будем называть
нулями функции (точки пересечения), а точки, при
которых знаменатель дроби обращается в нуль, —
точками разрыва функции.
Сущность метода интервалов состоит в следую-
щем. На числовой оси отмечают все нули и точки раз-
рыва функции /(х) (если они есть). При этом числовая
ось разбивается на конечное число интервалов, на
каждом из которых левая часть неравенства сохра-
няет постоянный знак. Чтобы установить этот знак,
достаточно взять любую точку из интересующего нас
промежутка и определить знак функции в этой точ-
ке. Что касается самих точек, то в случае строгого
неравенства точки обозначают светлыми кружками.
Это означает, что сами точки не входят зо множество
решений данного неравенства. В случае нестрогого
неравенства точки наносят на числовую прямую тем
ными кружками, а это означает, что сами точки также
входят во множество решений данного неравенства.
Понятно, что во всех случаях точки разрыва функции
обозначают светлыми кружками.
При решении неравенств методом интервалов могут
встретиться следующие типы неравенств:
? 1. Простейшие неравенства, представленные в
\ виде произведения линейных множителей.
Пример 1. Решить неравенство
(х + 1)(х + 3)(х - 5) < 0.
Решение.
Рассмотрим функцию /(х) = (х + 1)(х + 3)(х - 5).
Найдем нули функции, для чего решим уравнение
Дх) = 0, или (х + 1)(х 4 3)(х - 5) = 0, откуда хх = -1,
х2 = -3, х3 = 5.
Отметим эти точки на числовой прямой.
-----о-------о о-----►
-3 -1-5
Так как мы решаем строгое неравенство, то все
точки отмечаем светлыми кружками. На каждом из
полученных промежутков каждый из множителей
(х + 1), (х 4 3), (х - 5) сохраняет знак, следовательно,
сохраняет знак все выражение.
Для определения знаков промежутков достаточно
знать, какой знак имеет функция в одном из проме-
жутков, и, пользуясь свойством чередования знаков,
найдем знаки во всех остальных промежутках. При
этом удобно начинать с крайнего правого промежутка
(5; 4-оо), так как в нем значение функции Дх) заведомо
положительно. Объясняется это тем. что при значени-
ях х, взятых правее наибольшего из нулей функции,
каждый из множителей (х + 1), (х + 3) и (х - 5) поло-
жителен. Определим теперь, используя свойство че-
редования знаков на числовой прямой, знаки данной
функции в каждом из остальных промежутков’
- + +
////шгР------9///////////Р-►
-з -1 5
Как видно из рисунка, те значения х, при кото-
рых Дх) < 0 (заштрихованы), лежат в промежутках
(-со; -3), (-1; 5).
Решение данного неравенства представляет собой
объединение указанных промежутков.
Ответ: (-со; -3) и (-1; 5).
1 2. Простейшие неравенства, разлагающиеся па
линейные множители.
Пример 2. Решить неравенство х3 > 4х.
Решение.
Запишем неравенство в виде х3 - 4х > 0. Вынесем
общий мвижитель х за скобки х(х — 3)(х + 2) > 0
Решение неравенства полностью соответствует приве-
денному выше. Отличие состоит лишь в том, что нера-
венство нестрогое, а поэтому нули функции входят во
множество решений хх = 0, х2 = 2, х3 = —2.
Такие точки, как было отмечено ранее, отмечаем
темными кружками.
-----—-—*//;;// *
-2 0 2
Ответ. [-2; 0J о [2; +оо).
' 3. Простейшие дробно-рациональные неравен-
ства без кратных корней.
Пример 3. Решить неравенство
(х-2)(х + УЗ)(х-д/5)
(Зх + 1)(2х-7) >
Решение.
. (х-2)(х + а/3)(х-а/5) .
Функция /(х) =------------------- обращается в
(Зх + 1)(2х — 7)
нуль в точках х4 = 2, х2 = - ’з, х3 = л/б и претерпевает
1 7
разрыв в точках х4 = - — и х5 = —.
Эти 5 точек разбивают числовую прямую на 6 про-
межутков. Так как неравенство строгое, то все точки
отмечаем светлыми кружками:
+ — + — +
-----9777777/9-9Ш7779--9///////>
I— 1 /—7
-7з -- 2 V5 -
3 2
Нам надо решить неравенство /(х) > 0.
Решая методом интервалов, получим
Заметим, что ответ можно записать иначе:
1 г 7
-3 < х < —, 2 < х < V5, х >
3 2
Ответ: -л/З; — о (2; л/б) U —; +»
\ 3 J у. 2
? 4. Неравенство, содержащее множитель, не при-
\ нимающий нулевого значения на числовой прямой.
Пример 4. Решить неравенство
(2х-3)(4 + х2) <Q
(4-х2)х
Решение.
г. (2х-3)(х2+4)
Запишем неравенство в виде ------------<0.
-(х -4)х
Умножим обе части полученного неравенства на -1,
изменив знак неравенства на противоположный:
(2х-3)(х2 +4) Q
(х —2)(х-ь 2)х
Заметим, что множитель х2 + 4 > 0 при любом
х е В, так как х2 > 0, то х2 + 4 > 0. В этом случае полу-
ченное неравенство равносильно неравенству
2х -3
(х-2)(х + 2)х
3
Тогда х, = —, х„ = 2, х, = -2, х. = 0.
Решаем полученное неравенство методом интерва-
лов:
+ — + — +
Н//П/Р----------------^/!//>!// ►
-2 0 3 2
2
( з
Ответ- (-со; -2) и 0;— и (2; -Но).
\ 2
5. Простейшие неравенства с кратными корнями.
Если в условии неравенства содержится множитель
с четным показателем вида (х - а)2п, где п е N, то
точку х = а будем называть двойной. Это означает, что
при переходе через двойную точку функция не меня-
ет. знака.
Если же неравенство содержит множитель с нечет-
ным показателем, то справа и слева от точки х = а
функция имеет разные знаки. В этом случае точку
х = а будем называть простой. Следовательно, при пе-
реходе через простую точку функция f(x) меняет знак.
Пример 5. Решить неравенство
(х-3)3(х + 2)4(х + 4)5(х-7)
х2(х-2)3
Решение.
Нули функции: х4 = 3, х2 = -2, х3 = -4, х4 = 7.
Точки разрыва функции: х5 = 0, х6 = 2.
Двойные точки: х2 = -2 и х5 = 0.
+ — — — + — +
-4 -2 0 2 3 7
На рисунке нули функции отмечены закрашенны-
ми кружками, а точки разрыва — светлыми. Как вид-
но, слева и справа от двойных точек —2 и 0 функция
Дх) не меняет знака.
Следовательно, получим: —4 < х < —2; —2 < х < 0;
0<х<2;3<х<7, или короче -4 < х < 0; 0 < х < 2;
3 < х < 7.
Ответ: [-4; 0) о (0; 2) и [3; 7].
Задачи
Часть 1
1. Решить неравенство:
1) а) (х - 3)(х - 6) > 0; б) (х + 4)(х - 8) < 0;
в) (х + 6)(х + 3)(х - 9) > 0; г) х(х + 12)(х - 16) < 0
2) а) (х + 6)(х - 7)(х - 18) > 0; б) х(х + 8)(х - 5) < 0;
в) (х2 + 5)(х + 5)(х - 9) < 0; г) (х2 - 9)(х + 8) < 0.
2. Найти множество решений неравенства.
1) а) (Зх - 4)(х + 6) < 0; б) (7 - х)(4х + 12) < 0;
в) -(х - 3)( 10 - х)(х + 11) > 0: г) (4 - х2)(5х + 25) < 0.
3. Решить неравенство:
1)а)^<0; б)^±И>0; х+9 х-4 4 г—12 х% —16 2) а) >0; б) — <0; х + 8 х +11 Ат в) —— <0; Зх-7 (х + 3)(х2-25) х2+13
4. Найти область определения функции:
а) у = ч/(х + 35)(11-х); б) у = д/(х-8)(х + 19)(х-11).
Часть 2
1. Найти наименьшее целое решение неравенства:
1) 4х2 - Зх + 5 < 0; 2) 9х2 + бх + 1 < 0;
3) (х - З)2 < 49; 4) х3 - б4х > 0;
х“ — бх
5) х4 + 8х3 + 12х2 > 0; 6) —9------< 0;
х2 + 6х + 9
О 2
X и х>0
9х2-25
2. Найти наименьшее натуральное решение нера-
венства:
1) *2Н Л~6>0; 2) х2~4х + 3>0; 3)2х + 7> - - 1.
х +1 х 2
3. Найти наименьшее целое число, входящее в об-
ласть определения функции:
а) у = . —-2; б) у = yi-х2; в) у = у]х(1-х2).
\ х
Глава 15
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 45. Уравнения с двумя переменными
и их системы
45.1. Уравнение с двумя переменными
и его график
Например, уравнения Зх - у = 5, ху = 3, 4х2 - у2 = 13
являются уравнениями с двумя переменными.
Пара чисел (-1; 3), где х = -1, у = 3, является реше-
нием уравнения х2 + 2у2 = 19.
I Решением уравнения с двумя переменными на-
зывается такая пара значений переменных, кото-
рая при подставлении в уравнение обращает его в
верное числовое равенство.
Если корни одного уравнения совпадают с кор-
нями другого, то такие уравнения называются рав-
носильными.
Пусть дано уравнение (х4 - у)2 = х8 - 3.
Оно равносильно уравнению
х8 - 2х4г/ + у2 - х8 - 3 = 0. или
2х4г/ - у2 + 3 = 0, а значит, является уравнением 5-й
степени.
(Графиком уравнения с двумя переменными на-
зывается множество точек координатной плоско-
сти, координаты которых обращают данное уравне-
ние в верное равенство.
Графиком уравнения вида ах + by = с, где а * 0 или
6*0, является прямая, графиком уравнения у = — х2
является парабола, проходящая через начало коорди-
нат, ветви которой направлены вверх, так как
а = — > 0, Графиком уравнения ху = 8 является гипер-
2
бела.
Графиком уравнения х2 + у2 = г2 является окруж-
ность с центром в начале координат (0; 0) и радиуса г.
Если центр окружности имеет координаты (а; Ъ), то
она имеет вид
(х - а)2 + (у -Ъ)2 = г2.
Задачи
Часть 1
1. Является ли пара чисел (1; 2) решением уравне-
ния:
а) х2 + у2 = 5; б) х2 - у2 + 7 = 0;
в) х - у2 + 3 = 0; г) ху - у = 1?
2. Найти три каких-нибудь решения уравнения:
а) Зх - у = 5; б) ху - х = 13;
в) х + 2у = 8; г) (х - у)(у + 3) = 0.
3. Определить степень уравнения:
a) 6х2у3 + у2 = 7; б) х6 + 9х4у3 = 1;
в) 12х8 - у3 = Зх3(4х5 - у); г) у5 - 7х4у4 = 8.
Часть 2
1. Построить график уравнения:
а) 2х - Зу = 3;
в) ху = -6;
б) (х - 1)0/ - 2) = 0;
г) (х - 2)2 + (у + З)2 = 9.
2. Дано уравнение окружности (х - З)2 + (у - 5)2 = 25.
Найти точки:
а) с абсциссой 3; б) с ординатой 5.
3. Составить уравнение окружности с центром в
начале координат, проходящей через точку М(-1; 3).
4. Составить уравнение окружности с центром в
точке М(0; 6), проходящей через точку N(~3; 2).
5. Найти все целые решения уравнения:
а) ху = -6; б) х2 - у2 = 13.
45.2. Графический способ решения
систем уравнений
Решением системы уравнений с двумя перемен-
ными называется такая пара чисел, которая при под-
ставлении в каждое уравнение системы обращает их в
верное числовое равенство.
Решить систему — значит найти все ее решения
или доказать, что их нет.
Пример 1. Решить графически систему уравнений
у — х2 — О,
[2х-у -1 = 0.
Решение.
у = х2 — парабола.
Из второго уравнения системы выразим перемен-
ную у через х: у = 2х - 1 — линейная функция, графи-
ком которой является пря-
мая. Строим оба графика в
одной системе координат.
Парабола и прямая име-
ют единственную точку
(точка касания), следова-
тельно, исходная система
уравнений имеет един-
ственное решение (1; 1).
Ответ: (1; 1).
Пример 2. Решить
графически систему
уравнений
\у =1 х |,
| у = х2 -2.
Решение.
Строим в одной систе-
ме координат графики
функций
у = |х| и у = х2 - 2.
Графики функций пе-
ресекаются в двух точ-
ках (—2;2) и (2; 2). Значит, система уравнений имеет
два решения.
Ответ: (-2, 2) и (2; 2).
Задачи
Часть 1
1. Является ли решением системы уравнений
х2 + у2 = 5,
4х + Зу = -2
пара чисел: а) (-2; 1); б) (1; -2)?
2. Решить графически систему уравнений
у-х2 = О,
x-3j/j-2 = O.
3. Решить графически систему уравнений
у-х2 =0,
2х-г/ = 3.
Часть 2
1. Решить графически систему уравнений
[ 1 2 1
у = — X + 1,
< 2
х2+у2 =13.
2. Решить графически систему уравнений
[у = х2-2,
I У =1 х |.
3. Решить графически систему уравнений
х2-1 = 0,
У-4 = 0.
45.'3. Решение систем уравнений второй
степени
Если имеем систему, состоящую из двух уравне-
ний с двумя переменными, при котором одно урав-
нение первой степени (линейное), а другое второй
степени, то такую систему легко решить способом
подстановки.
Для этого:
1) выражают из уравнения первой степени одну
переменную через другую;
2) полученное выражение подставляют в урав-
нение второй степени, в результате после преобра-
зований получают уравнение с одной переменной;
3) решают полученное уравнение, находят его
корни (если они существуют), а затем находят соот-
ветствующие значения второй переменной.
Пример 1. Решить систему уравнений
2х2 - бху + у2 = 16,
х+Зу = 5.
Решение.
Из второго уравнения выразим х через у. х = 5 - Зу.
Подставим значение х в первое уравнение:
2(5 - Зу)2 - 5у(5 - Зу) + у2 = 16.
Упростим полученное уравнение, раскрыв скобки и
приведя подобные члены:
2(25 - ЗОу + 9у2) - 25у + 15у2 + у2 = 16, или
34у2 - 85у + 34 = 0, D = 7225 - 4624 = 512 > 0,
У1, 2 -
85±51 136 „ 34
------, I/i =----= 2, у,= —
68 1 68 2 68
j.
2
= 0,5.
Так как х = 5 - Зу, то получим
х, = 5 - 3 2 = -1, х„ = 5 - 3 • - = 5 - 1,5 = 3,5.
1 ’ 2 2
Следовательно, система имеет два решения,
Ответ: (-1; 2), (3,5; 0,5).
Пример 2. Решить систему уравнений
х2 + у2 = 5,
ху = 2.
Решение.
Предложенная система может быть решена различ-
ными способами.
I способ
Возведем в квадрат обе части II уравнения системы,
тогда получим
х2+у2 =5,
х2у2 =4.
(1)
Заметим, что х2 и у2 можно считать корнями квад-
ратного уравнения вида t2 - 5t + 4 = 0, откуда = 1,
i2 = 4.
Следовательно, х2 = 1, у2 = 4 или х2 = 4, у2 = 1.
Таким образом, система (1) имеет всего 8 решений:
(1; 2), (1; -2), (-1; 2), (-1; -2), (2; 1), (2; -1), (-2; 1),
(-2, -1).
Поскольку ху = 2 > 0, то х и у имеют одинаковые
знаки. Тогда исходная система имеет всего 4 пары
решений.
Ответ: (1; 2), (-1; -2), (-2; -1), (2; 1).
II способ
Решение.
\х2+у‘=5,
Запишем данную систему в виде >
^2хг/ = 4.
Складывая и вычитая почленно левые и правые ча-
сти уравнений системы, получим
(х + у)2 =9, Гх + у = ±3,
(х — у)2 = 1 [х-у = ±1.
Получим всего 4 системы линейных уравнений:
I х + у = 3, fx + и = -3,
а) б) -
^х-у = 1; [х-у = 1;
х+у = 3, I х + у = -3,
в) s г)
[x-z/ = -l; [х-у--1.
Складывая и вычитая левые и правые части урав-
нений полученнвгх систем, получим 4 пары решений.
Ответ: (1; 2), (-1; -2), (-2; -1), (2; 1).
III способ
Решение.
\х2+у2 =5,
складв1вая левые и правые части урав-
Qxy — 4,
нений системы, имеем (х + у)2 = 9, х + у = ±3, тогда
получим две системы уравнений:
' х + у = 3, Гх + у = -3,
, ху = 2; I ху = 2,
откуда по теореме, обратной теореме Виета, находим
х1 = 2, [х2 = 1, f х3 = -2, [ х4 = -1,
1г/1 = 1; №=2; [у3 = -1; \ул=~2.
Ответ: (2; 1), (1; 2), (-2; -1), (-1; -2).
IV способ
Решение.
Выразим х2 + у2 через х + у и ху:
х2 + у2 = (х + у)2 - 2ху, тогда исходная система при-
I (х + у)2 - 2ху - 5,
мет вид
[ху = 2.
Пусть х + у = а, ху = Ь, тогда имеем
а2-25 = 5, |а2=9, |я = ±3,
|& -2; 1,5-2; 1& = 2.
Следовательно, получим систему:
[ х + у = ±3,
< и т. д. как в III способе.
Ь.У = 2
Ответ: (1; 2), (-1; -2), (-2; -1), (2; 1).
V способ
Решение.
Поскольку х t 0, у +- 0, то, разделив I уравнение ис-
тт х У 5
ход нои системы на II, получим —I— = —.
у х 2
5 1 х у
Так как — = 2 + — и дроби — и — — взаимно обрат-
2 2 у х
X _ X 1
ные, то — = 2 и — = —.
У У 2
Получим две системы уравнений:
- = 2,
а) У
ху = 2;
х 1
б) ? 2’
ху = 2.
Перемножив левые и правые части полученных
уравнений систем, имеем
— • ху = 4, или х2 = 4, Xj 2 = ±2, у = ±1.
У
Аналогично — -ху = — -2, или х2 = 1, х31 = ±1, тогда
У 2
у = 2х, или у3 4 = ±2.
Ответ: (2;’ 1), (-2; -1), (1; 2), (-1; -2).
VI способ
Решение.
х‘ + у2 =5,
[ху = 2;
• 2
(-5)
2х2+2у2 =10,
-5ху=-10.
Складывая уравнения полученной системы, имеем
2х2 - эху + 2у2 = 0 — однородное уравнение II степени.
Запишем уравнение в виде
2х2 - 4ху - ху + 2у2 = 0, или
2х(х - 2у) - у(х - 2у) = 0,
(х - 2</)(2х - у) = 0, откуда х - 2у = 0, или 2х - у = 0.
Получим две системы уравнений:
[х-2у = 0, Гх = 2г/, Гх = 2у, х12=±2,
" гу=2; \2у2 =2\ у2=1; у1>2 = ±1;
2 2х-у = 0, \У = 2х, \у = 2х, х34=±1,
ху = 2; [2х2=2; [х2=1; г/3 4 = ±2.
Так как ху = 2 > 0, то х и у имеют одинаковые
знаки. Следовательно, исходная система имеет всего
4 пары решений.
Ответ: (1; 2), (-1; -2), (2; 1), (-2; -1).
Задачи
Часть 1
1. Решить систему уравнений:
|х2 + н2=10. fx2+xz/ = -8,
a) S о б) 1 2
^xz/ = 3; [у +хг/ = 12.
2. Решить систему уравнений:
| x + 2xy + z/ = 10,
| х-2ху + у = -2;
ху + х + у = 29,
ху-2(х + у) = 2.
3.
а)
Решить систему уравнений:
2х2 + 2у2 = 5ху,
4х-4у = ху;
х2 + z/2 + х + у = 18
б) л J
х2 — у2 + х — у = 6.
Часть 2
1. Решить систему уравнений:
I 2х2 - Зха + 5п - 5 = О, f(x + j/)2-4(x + z/) = 45,
a) , б)
| (х - 2)(у -1) = 0; [(х - у)2 - 2(х - у) = 3.
2. Решить систему уравнений введением вспомога-
тельного неизвестного:
34
15’
у_ = 5
х G ’
в)
х2 + у2 =34;
х+у х-у
х-у х+у
13
6 ’
ху = 5;
х2 + у2 =13;
4 12
х+у 2х+у
х+у 2х+у
3. Решить однородные системы уравнений:
2х2 + ху-6у2 = 0,
х2 -4ху + 3у2 = -3;
I 2х2 -Зху- у~ = 6,
Зх2 -2ху-2уг - 3.
а) х у х
х
б) ч У
45.4. Решение задач, с помощью систем
уравнений второй степени
Решение текстовых задач, пожалуй, является
самым трудным для учащихся. Причина затрудне-
ний, по-видимому, заключается в том, что учитель
старается обучить решению каждого типа задач в от-
дельности, а не сформировать у ученика способность
анализировать всякую задачу (что крайне важно) вне
зависимости от ее разновидности.
Оформлять решение задач можно как в виде таб-
лиц, так и в виде кратких пояснений.
Эти задачи можно условно разбить на следующие
типы:
1. Задачи на числовые зависимости.
2. Задачи на движение.
3. Задачи на совместную работу.
4. Задачи на сплавы и смеси.
5. Задачи на проценты.
6. Задачи на разбавление.
Пример 1. Найти двузначное число, если извест-
но, что цифра его единиц на 3 больше цифры десятков
и произведение искомого числа на сумму его цифр
равно 324.
Решение.
Всякое двузначное число можно записать в виде ху
или в развернутом виде ху = 10х + у, где х — цифра
десятков, у — цифра единиц.
Кроме того, 0 < х < 9, 0 < у <9.
Если цифра единиц па 3 больше цифры десятков, то
получим уравнение у - х = 3. Так как по условию за-
дачи произведение искомого числа на сумму его цифр
равно 324, то получим уравнение (Юх + у)(х + у) = 324.
Следовательно, имеем систему уравнений
у-х = 3,
[(10x-i- у)(ху у) = 324.
Решим полученную систему способом подстановки:
у = х + 3. Подставим значение у во второе уравнение.
Имеем
(Юх + х + 3)(х + х -+- 3) = 324, или
(Их + 3)(2х -I- 3) = 324, или
22х2 + 39х - 315 = О,
D = 1521 + 27 720 = 29 241 = 1712 > 0, тогда
-39±171 -39+171
: 2 =--—----, откуда хА =-—----
44 44
1^ = 3, х2 < 0
44 2
(не подходит, так как х — цифра десятков).
Если х = 3, то у = х + 3 = 6.
Значит, искомое число 36.
Ответ: 36.
Пример 2. Бассейн наполняется двумя трубами,
действующими одновременно, за 2 часа. За сколько
часов может наполнить бассейн 1 труба, если она на-
полняет бассейн на 3 ч быстрее, чем II?
Решение.
Обозначим через х время наполнения бассейна
I трубой. Заметим, что в каких единицах измеряется
объем бассейна — в задаче не сказано. Следовательно,
для решения задачи это неважно, и мы вместо услов-
ных единиц и обозначения V можем принять в прин-
ципе любое число, из которого самое удобное — 1.
Составим таблицу.
Вали- чина Процессы заполнения бас- сейна N — работа в единицу времени; V~ N Ц N = N + N • совы. 1УI t <tT + tTT. совм. I II
I трубой II тру- бой 1и II вместе
V 1 1 1
N, 1/ч 1 — вместе х ' v ' 3 х + 3 1. 2
t, ч Х‘> на 3 ч мень- ше, чем — х + 3 т 2
Для составления уравнения используем связь вели-
чин во II строке таблицы.
N, + = N , т. е. —4—-— = —; х * 0, х + -3.
I II СОВМ.” , о Г» ’ ’
х х + 3 2
Решая уравнение, находим xi = 3, х2 = -2.
Заметим, что оба корня удовлетворяют условиям
х * 0, х — 3, но корень х = —2 не удовлетворяет усло-
вию задачи.
Ответ: 1 труба наполняет бассейн за 3 часа.
Пример 3. Смешали 30%-й раствор соляной кис-
лоты с 10%-м и получили 600 г 15%-го раствора.
Сколько граммов каждого раствора было взято?
Решение.
Пусть было взято х граммов 30%-го раствора,
а 10% -го — у граммов, тогда х + у = 600. Так как пер-
вый раствор 30% -й, то в х граммах этого раствора со-
держится 0,Зх грамма кислоты. Аналогично в у грам-
ма 10%-го раствора содержится 0,1г/ грамма кислоты.
В полученной смеси по условию задачи содержится
600 • 0,15 = 90 г кислоты. Следовательно, получим
уравнение 0,Зх + 0,1г/ = 90, или Зх + у = 900.
Таким образом, имеем систему уравнений
х + г/ = 600,
Зх + у = 900.
Вычитая из II уравнения I, получим 2х = 900 - 600,
2х = 300, х = 150, тогда у = 600 - х = 450.
Ответ: 150 г, 450 г.
Задачи
Часть 1
1. Сумма двух чисел равна 20, а сумма их квадра-
тов равна 232. Найти эти числа.
2. Найти два числа, сумма, разность и произведе-
ние которых находятся в соотношении 12 : 6 : 27.
3. Периметр прямоугольника равен 18 см, а пло-
щадь его равна 20 см2. Каковы стороны прямоуголь-
ника?
4. Моторная лодка прошла 45 км по течению реки
и 22 км против течения, затратив на весь путь 5 часов.
Найти скорость лодки в стоячей виде, если скорость
течения реки 2 км/ч.
5. Нужно изготовить 84 детали в определенный
срок. В результате увеличения норм дневной выработ-
ки на 7 деталей этот план удалось выполнить на 2 дня
раньше срока. За сколько дней выполнили задание?
Часть 2
1. Среднее арифметическое двух положительных
чисел больше их среднего геометрического на 11. Най-
ти большое из этих чисел, если их отношение равно
1 . 4.
2. Однозначное число увеличивается на 10. Если
теперь полученное число увеличить на столько же
процентов, как и в первый раз, то получится 72.
Найти это однозначное число.
3. Числитель некоторой дроби на 3 меньше знаме-
нателя. Если эту дробь сложить с обратной величиной,
149
то получится Найти исходную дробь.
4. Проехав за один час половину пути, шофер уве-
личил скорость на 15 км/ч и преодолел вторую поло-
вину пути за 45 мин. С какой скоростью шла машина
первую половину пути?
5. Две трубы заполняют бассейн за 12 минут. Одна
из них заполняет тот же бассейн за 20 мин. За какое
время заполнит тот же бассейн вторая труба?
6. В двух коробках по 20 карандашей, из них
26 простые, остальные — цветные. Сколько простых
карандашей во второй коробке, если известно, что от-
ношение числа простых карандашей к числу цветных
в первой коробке в 4 раза больше, чем во второй?
7. Имеется два разных сплава серебра. Первый ве-
сом 25 кг содержит 84% серебра. Второй весом 12,5 кг
имеет 72% серебра. Какой процент серебра получится,
если соединить два этих сплава?
8. Два пешехода вышли одновременно навстречу
друг другу из пунктов, расстояние между которыми
18 км. и встретились через 2 часа. Найти скорость вто-
рого пешехода, если первый прошел до встречи 10 км.
9. Теплоход прошел по течению реки 96 км и столь-
ко же против течения, затратив на весь путь 10 часов.
Скорость течения реки 4 км/ч. Определить скорость
теплохода в стоячей воде.
1Г. Дано двузначное натуральное число, у которого
число десятков на 5 меньше числа единиц, а произве-
дение суммы цифр на число десятков равно 18. Найти
это число.
§ 46. Неравенства с двумя переменными
и их системы
46.1. Неравенства с двумя переменными
Рассмотрим неравенство Зх2 - у < 13. Заметим, что
при х = 2, у = 1 получим 3 • 22 — 1 < 13 — верное чис-
ловое неравенство. Значит, пара (2; 1) является реше-
нием неравенства.
(Решением неравенства с двумя переменными
называется пара значений, которая при подставле-
нии в неравенство обращает его в верное числовое
неравенство.
Пример 1. Выяснить, какое множество точек зада-
ется неравенством ху > 4.
Решение.
Графиком уравнения ху = 4 является гипербола,
ветви которой расположены в I и III координатных
четвертях, так как k = 4 > 0.
Координатная плоскость разбивается на три обла-
сти: А, В и С. Заметим, что область А расположена
выше ветви гиперболы, которая лежит ь I координат-
ной четверти, а область В — между ветвями гипербо-
лы, область С — ниже ветви гиперболы, лежащей в
III координатной четверти.
Координаты точки М(х0; у0), лежащей на ветви
гиперболы, удовлетворяют уравнению ху = 4, а коор-
динаты точки Л^(х0; у), где у > у&, удовлетворяют дан-
ному неравенству ху > 4. Следовательно, координаты
точек, расположенных в области А, удовлетворяют
неравенству ху > 4. Отметим, что координаты точек,
расположенных з области С, также удовлетворяют
неравенству ху > 4.
Можно доказать, что координаты всякой точки из
области В удовлетворяют неравенству ху < 4, т. е. они
не являются решениями исходного неравенства.
Следовательно, неравенством ху > 4 является объ-
единение областей А и С.
Ответ: объединение областей А и С.
Пример 2. Изобразить на координатной плоскости
множество решений неравенства х2 3 + у2 < 9.
Решение.
Графиком уравнения х2 + у2 = 9 является окруж-
ность с центром в начале координат и радиусом R = 3.
Заметим, что исходному неравенству удовлетворяют
те и только те значения х и у,
рых не превосходит 9.
Имеем две области: множе-
ство точек, расположенных
внутри круга, и множество то-
чек, расположенных вне кру-
га. Первая область, включая
точки окружности, является
множеством точек, коорди-
наты которых удовлетворяют
неравенству х2 + у2 < 9, а коор-
динаты точек второй области
удовлетворяют неравенству х2
Ответ: множество точек
сумма квадратов кото-
+ У2 > 9.
круга, включая точки
окружности.
Задачи
Часть 1
1. Является ли пара чисел (—2; 4) решением нера-
венства:
а) -Зх + у - 21 > 0;
б) х2 - 2ху - у2 < 13?
2. Найти два каких-нибудь решения неравенства:
а) у > 4х - 7;
б) х2 + у2 < 3G.
3. Изобразить на координатной плоскости множе-
ство точек, задаваемое неравенством;
а) у < Зх - 2; б) -2 < х < 3; в) у > 2 - х2.
4. Изобразить на координатной плоскости множе-
ство решений неравенства:
а) ху > 0; б) ху < 0.
Часть 2
1. Является ли пара чисел (—1; 2) решением нера-
венства;
а) х - 4у + 15 > 0; б) х2 - 4ху - у2 < 30;
в) (х - 2)2 + (у- 5)2 < 7; г) (х + у)(у - 10) < 3?
2. Изобразить на координатной плоскости множе-
ство точек, задаваемое неравенством:
1 12
а)у>--х; б) у < 2х - 1; в)у> —х-1; г) у< — х-3.
2 3 5
3. Изобразить на координатной плоскости множе-
ство точек, задаваемое неравенством ах + by + с > 0,
если:
а) а = -1, b = 0, с = 2; б) а = 1, b = -2. с = 0.
4. Изобразить на координатной плоскости множе-
ство решений неравенства:
а) у < х2 - 3; б) у > (х - I)2 - 2: в) (х - 2)2 + (у - З)2 < 9.
5. Какое множество точек задается неравенством:
а) х2 + у2 - Юх - бу + 25 < О; б) х2 - бх - у 4- 10 > 0?
46.2 . Системы неравенств с двумя
переменными
Если дана система неравенств с двумя переменны-
[х < у2 +1,
ми то пара чисел (0; 2) является решением
у < х т 3,
как первого, так и второго неравенства системы. Эта
пара чисел называется решением системы неравенств
с двумя переменными.
Тогда решением системы будет пересечение мно-
жеств решений входящих в нее неравенств, т. е. их
общая часть.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Изобразить на координатной плоскости
множество решений системы
У>х-3,
у > -2х + 3.
Решение.
Строим прямые у = х- 3иу = -2х + 3 в одной сис-
теме координат. Неравенство у > х - 3 задает множе-
ство точек — полуплоскость, расположенную выше
прямой у = х - 3, а неравенстве у > -2х + 3 — множе-
ство точек — полуплоскость, расположенную выше
прямой у = -2х + 3
Пересечением этих множеств является угол, отме-
ченный двойной штриховкой.
Пример 2. Какое множество точек задает система
неравенств
у < Зх + 2,
у > Зх -1 ?
Решение.
Множество точек, задаваемое неравенством
у < Зх + 2, — полуплоскость, расположенная ниже
прямой у = Зх + 2, а множество точек, задаваемое
неравенством у > Зх - 1, — полуплоскость, располо-
женная выше прямой у = Зх - 1. Заметим, что угловые
коэффициенты прямых = k2 = 3 равны, значит, пря-
мые {/ = Зх + 2иу = Зх-1 — параллельны
Значит, пересечением полученных множеств явля-
ется полоса, изображенная двойной штриховкой.
Задачи
Часть 1
1. Является
у - х2 > 3,
Зх—2у < 13
а)(-1; 1);
ли решением системы неравенств
пара чисел:
б) (3; 1); в) (-2; 2)?
2. Изобразить на координатной плоскости множе-
ство решений системы неравенств:
х<-1, 1ы>х2-2, Ix-f3>0>
б) 1 в) J
х>3; [у<1; [у-4<0.
Часть 2
1. Является ли решением системы неравенств
х2 -Зу > 9,
4х + у > 4
пара чисел:
а) (4; 1), б) (-4; 2); в) (-3; -2); г) (5; -4)?
2. Изобразить на координатной плоскости множе-
ство решений системы:
а) ргх, Jx+i/<9, х +у <4,
[у<3; \х-у>0; [(х-2)2 +уг < 4.
Глава 16
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИИ
§ 47. Арифметическая прогрессия
47.1. Определение арифметической
прогрессии. Формула п-го члена
арифметической прогрессии
Пусть дана последовательность натуральных чисел,
которые при делении на 3 дают в остатке 1:
1; 4; 7; 10; 13; 16; ... .
Заметим, что каждое число, начиная со второго,
равно предыдущему, сложенному с числом 3. Эта по-
следовательность чисел является примером арифме-
тической прогрессии.
i Определение. Арифметической прогрессией на-
зывается такая последовательность, у которой каж-
дое число, начиная со второго, равно предыдущему,
сложенному с одним и тем же числом, называемом
разностью прогрессии.
(dn) — арифметическая прогрессия;
d — разность прогрессии.
По определению ап + 1 = ап + d.
Арифметическая прогрессия задается ее первым
числом и разностью d.
Заметим, что а2 = а, + d,
а3 = а2 + d = (d4 + d) + d = d, + 2d,
d4 = a3 + d = (d4 + 2d) + d = a1 + 3d,
an = an_3 + d = dj + (n - 1)d.
Итак, an = а4 + (n - l)d — формула n-го числа
( арифметической прогрессии.
Если d > 0, то прогрессия называется возрастаю
щей, если d < 0 — убывающей.
Последовательность (ал) является арифметической
прогрессией тогда и только тогда, когда для любого
п > 1 верно равенство
) =-(«„_!+ап+1).
Это свойство называется характеристическим
свойством арифметической прогрессии.
Пример 1. Найти разность арифметической про-
грессии, в которой а2 = -3, а4 = 1.
Решение.
Так как а2 = at + d, а4 = а} + 3d и по условию а2 = -3,
а4 = 1, то получим систему уравнений
а1 + а — —3,
аг + 3d = 1.
Вычитая из II уравнения I, имеем
3d - d = 1 - (-3), или 2d = 4, d = 2.
Ответ: 2
Пример 2. В арифметической прогрессии (ап) из-
вестно, что а4 = 2, а2 = 4. Найти а30.
Решение.
aso = а4 + 29d = 2 + 29d. Так как а2 = а4 + d, то
4 = 2 + d, откуда d = 2, тогда а30 = 2 + 29 • 2 = 2 + 58 = 60.
Ответ: 60.
Пример 3. В арифметической прогрессии (ап) из-
вестно, что а„ + а„ = 16, а, • а. = 28. Найти а. и d.
7 Л 4 7 1 Э 1
Решение.
Так как а2 = а4 4- d, а4 = ср + 3d, то I равенство при-
мет виц
(а2 + d) + (а4 + 3d) = 16, или 2а4 + 4<7 = 16, или
а4 + 2d = 8.
II равенство преобразуется к виду а1 • (а1 + 4с/) = 28.
Следовательно, получим систему уравнений
a1 + 2d = 8, | 2d = 8-ах,
ах(а, + 4с?) = 28; {а1(а1 + 2-(8-я1) = 28:
2d = 8-ах,
а1(16-а1) = 28.
Упростим II уравнение полученной системы:
lGa1 - a, = 28, или ах - 1604 + 28 = 0, откуда нахо-
дим (ajj = 14, (at), = 2.
Поскольку прогрессия возрастающая, то d > 0.
Подходит значение ах = 2, тогда 2d = 8 - 2 = 6,
откуда d = 3.
Ответ: ах = 2, d = 3.
Пример 4. В арифметической прогрессии (пп) най-
ти а, и d, если а, + a,, + а, = 1 8, a • a а, = 162.
1 I Z о 1x20
Решение.
Так как ах + а3 = 2а2, то равенство ах + а2 + а3 = 18
примет вид а2 + 2а2 = 18, или За2 = 18, откуда а2 = 6,
тогда ах + а3 = 18 - 6 = 12.
В этом случае соотношение ах а2 • а3 = 1G2, где
а2 = 6 запишется в виде ах • а3 6 = 1 62, или ах • а3 = 27.
I ах -t а3 = 12,
Получим систему уравнений 4
।аха3 =27.
Полученную систему легко решить способом под-
становки, но можно решить по теореме, обратной тео-
реме Виета. В этом случае получим две пары решений:
а = 3,
1) 4 а3 = а, + 2d = 9, или 9 = 3 + 2d, откуда
[as = 9’
d = 3;
| a, = 9,
2) -< ах + 2d = 3, или 9 4- 2d = 3, 2d = -6, отку-
[и3 — 3,
да d = -3.
Ответ: 1) ах = 3, d = 3; 2) а = 9, d = -3.
Задачи
Чаешь 1
1. Найти л1Т, если а7 = 8, d = 5.
2. В арифметической прогрессии (ал) известно, что
а4 = 10, а7 = 19. Найти а7 и d.
3. В арифметической прогрессии (ап) найти а20,
если а} = 3, d = 4.
4. Найти разность арифметической прогрессии (аф),
если аг = 7, а16 = 67.
Часть 2
1. Найти арифметическую прогрессию (а„), если
а7 + а7 = 38, а2 • а4 = 95.
2. В арифметической прогрессии (ап)
— (а, + а..) = 15. Найти а. + а.„.
6 х О 14 z О 1^
3. Найти арифметическую прогрессию (ал), у кото-
рой а, + а„ + а, = 24, а' + al + al = 290.
А 1 А О '1^0
4. Между числами 7 и 35 вставить 6 чисел так, что-
бы они вместе с данными числами составили арифме-
тическую прогрессию.
5. Найти первое число и разность арифметической
прогрессии, если
а7 -а3 = 8,
а2 а7 = 75.
17.2. Формула суммы первых п членов
арифметической прогрессии
Чтобы вывести формулу суммы п членов арифме-
тической прогрессии (ап), запишем сумму Sn дважды,
сначала расположив слагаемые в порядке возрастания
их номеров, а затем в порядке убывания:
Sn = a1 + a2 + a3 + - + ап_1 + ап, (1)
sn = ап + an-i + - аз + а2 + аг (2)
Поскольку а1 + ап = а2 + ап _ г = а3 + ап _ 2 и т. д.
Число таких пар равно п. Складывая почленно ра-
венства (1) и (2), получим 2Sn = (а3 + ап)п, откуда
о «1+аи ,
8п =—-----п — формула суммы первых п членов
2
арифметической прогрессии.
Так как аг = а} + (п - l)d, то получим вторую фор-
мулу Sn:
, _ aY + а, + (п - 1)с? _2a1 + (n-l)d
- И —---------- П.
п 2 2
Рассмотрим примеры на нахождение суммы S
арифметической прогрессии.
Пример 1. Найти сумму п членов арифметической
прогрессии, в которой а1 = 50, d = -2, п = 60.
Решение.
Так как и = 60, то, используя вторую формулу сум-
мы, имеем
2.50 + (60-1)-(-2) 6() = 100-98
60 2 2
Ответ: 60.
Пример 2. Вычислить сумму всех двузначных на-
туральных чисел.
Решение.
а3 = 10, d = 1, ап = 99, тогда ап = ах + (п - 1)<7, или
99 = 10 + (п - 1) • 1, откуда п = 90, тогда
с с (10 + 99)90
= 2 -п, ИЛИ S90 =-------- = 109 • 45 =
= 4905.
Ответ: 4905.
Пример 3. Найти х из уравнения
1 + 4 + 7 +- ... + х = 117.
Решение.
Заметим, что левая часть уравнения — сумма воз-
растающей арифметической прогрессии, где = 1,
d = 3, an = х.
an = ar + (n - l)cZ, или x = 1 + (и - 1) • 3, x = 3/t - 2.
_ n a,+a„ 1 + x ,, „
Следовательно, Sn =— n, или —— n=117,
или (1 + x) • n = 234.
Так как x = Зи - 2, то n = — (x + 2), тогда получим
уравнение
(1 + х) • — (х + 2) = 234, или (1 + х)(х + 2) = 702, или
3
х2 + Зх - 700 = 0, откуда находим х, = 25, х2 = -28 (не
подходит, так как d > 0).
Ответ: х = 25.
Пример 4. Найти сумму первых двадцати членов
арифметической прогрессии (ап), если а6 + а9 + а12 +
+ а15 = 20.
Решение.
Поскольку «j + а20 = а6 + а15 = ад + а12, то ад + а20 =
= 20 : 2 = 10, тогда S20 = *' ; “2J-20 20 = 100.
Ответ: 100.
Пример 5. В арифметической прогрессии (ап) из-
вестно, что S17 = 187. Найти ад.
Решение.
~ 2a.+(n-X)d
Sn =—!------- п, где п = 17, тогда
2
S17=187=~~ п, или (a, + 8<7) • 17 = 187,
откуда a1 + 8с/ = 187 : 17 = 11.
Но а9 = а1 + 8с/, значит, а9 = 11
Ответ: 11.
Задачи
Часть 1
1. Сумма 18 членов арифметической прогрессии
равна 4G5. Найти первый член прогрессии, если чет-
вертый равен 11.
2. В арифметической прогрессии а5 + а9 = 6.
Найти S13.
3. В арифметической прогрессии а4 = 10, а7 = 19.
Найти S10.
4. Найти х из уравнения 1 + 7 + 13 + ... + х = 280.
Часть 2
1. В арифметической прогрессии а7 + а10 = 38.
Найти а$16.
2. В арифметической прогрессии а8 = 6. Найти S15.
3. Найти сумму всех двузначных натуральных чи-
сел, которые при целении па 6 дают в остатке единицу.
4. Найти х из уравнения
(х + 1) + (х + 4) + (х + 7) + ... (х + 28) = 155.
5. Найти а4 и d арифметической прогрессии, если
5а, + 10а5 = 0, $4 = 14.
6. Найти а13 арифметической прогрессии, если Sn =
= 4и2 - 7п.
§ 48. Геометрическая прогрессия
48.1. Определение геометрической
прогрессии. Формула иго члена
геометрической прогрессии
(Определение. Геометрической прогрессией на-
зывается такая числовая последовательность, у
которой каждый член, начиная со второго, равен
предыдущему, умноженному на некоторое число.
Это постоянное число называется знаменателем
прогрессии и обозначается буквой д.
Геометрическая прогрессия часто обозначается (бл).
Из определения следует:
62:б1 = б3:б2 = Ь„ + 1:\ = щ
Последовательность (&п) является геометрической
прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее
член, начиная со второго, естп среднее геометрическое
соседних с ним членов, т. е. -&„_i 'b„tl.
Зная и q, можно найти последовательно Ь3 и
вообще любой ее член:
Ь2 = • q,
b3 = ^2'q = (bl-q)-q = b1- q2,
bl = bi-q = (b1-q2)-q = b1- q3,
bn=bn_1‘ q = (b1- qn~2) q = b1- qn~A
\ Итак, bn = b1 • qn~ 1 — формула n го члена геоме
J трической прогрессии.
Рассмотрим примеры на использование этой фор-
мулы
I Зри мер 1. Вычислить пятый член геометрической
прогрессии 8; 4; 2.
Решение.
, о , . b2 Ь3 1
р. = 8, Ь9 = 4, тогда q = — = — = —.
1 '4 ' 7 О
Ь2 2
bn = br- qnJ, где п = 5.
Следовательно, &5 = Ьг • q4 = 8 — = 2
1
24
1
2
Отпвет: —.
2
Пример 2. Между числами 1 и 16 вставить 3 числа
так, чтобы они вместе с данными числами образовали
геометрическую прогрессию.
Решение.
fej = 1, Ъ& = 16. По формуле Ьп = Ьг qn ~ 1 найдем
b5 = &4 - q4, где Ъг = 1, Ь5 = 16 (по условию).
Получим 1 • q4 = 16, или q4 = 16, q = ±2. Поскольку
прогрессии возрастающая, то q = 2, тогда Ь2 = Ь1 q =
= 1 • 2 = 2, bs = b2 q = 4, b4 = b3 • q = 8.
Имеем геометрическую прогрессию 1; 2; 4; 8; 16.
Ответ: b2 = 2, b3 = 4, bi = 8.
Пример 3. Найти геометрическую прогрессию, со-
стоящую из 6 членов, зная, что сумма трех первых ее
членов равна 168, а сумма трех последних 21.
Решение.
Согласно условию имеем систему уравнений
b3 +b2+b3 =168,
Ь4 +Ь5 +Ь6 =21.
Заметим, что Ь4 + Ь5 4- Ъв = b.q4 + b2q'‘ 4 &3g3 =
= q\b3 4- b2 4- &3).
Учитывая I уравнение системы, получим
168g3 = 21, g3 =-^- = |, откуда g = *.
Ibo о Л
Упростим I уравнение системы
fej 4- byq 4- &,g2 = 168, или b,(l 4- g 4- g2) = 168.
Так как g = —, то получим b3I 1 + — + — | = 168, или
2 у 2 4 у
7 4
=168, откуда = 168 • - = 24 • 4 = 96.
Следовательно, Ь2 = Ъг q = 96 • — = 48, b3 = 24,
2
Ь4 = 12, b. = 6, Ь, = 3
Имеем убывающую прогрессию 96; 48, 24; 12; 6; 3.
Ответ: 96; 48: 24; 12; 6; 3.
Пример 4. Сумма первых трех членов возрастаю-
щей геометрической прогрессии равна 31, а сумма пер-
вого и третьего — 26. Найти седьмой член прогрессии.
Решение.
По условию b, + Ъ2 + Ь3 = 31 и bt + b3 = 26. Следова-
тельно, Ь2 = 31 - (Ь, + Ь3) = 31 - 26 = 5.
Имеем систему уравнений
^+*3=26, \b1^b1q2=26, |b1(14-72) = 26:
Ь2 =5; [^<7 = 5; [^<7 = 5.
Разделив I уравнение полученной системы на II,
1 + Q2 26
получим -----= —, или 5(1 = qO — 2bq, или
7 5
5</2 - 26<? + 5 = 0.
Корни полученного квадратного уравнения можно
найти по формуле
В данном случае, учитывая, что 26 = 5 • 5 + 1, т. е.
b = a • с + 1, корни будут = 5, q2 = —.
5
Так как прогрессия возрастающая, то q = 5, тогда
5
\ = - = 1, Ь7 = Ь4 я6 = 1 ' 56 = 15 625.
Ч
Ответ: 15 625.
Задачи
Чаешь 1
1. Найти значение геометрической прогрессии,
если ее третий член равен 7, а шестой — 56.
2. Чему равен первый член геометрической про-
грессии, если Ь2 = 18, Ь3 = 6?
3. Знаменатель геометрической прогрессии равен 2,
а шестой ее член — 96. Найти третий член прогрессии.
4. Третий член геометрической прогрессии равен 320,
знаменатель — 0,5. Найти девятый член прогрессии.
Часть 2
1. Найти средний член геометрической прогрессии,
состоящей из трех чисел, если их произведение равно
64, а сумма — 14.
2. Сумма первых трех членов геометрической про-
грессии равна 13, а их произведение равно 27. Найти
эти числа.
3. Геометрическая прогрессия состоит из 5 членов.
Ее первый член на единицу меньше знаменателя. Сум-
ма равна 31. Найти знаменатель прогрессии.
4. Найти три числа, образующих возрастающую
геометрическую прогрессию, зная, что сумма их равна
26, а сумма квадратов этих чисел 364.
5. Найти геометрическую прогрессию, состоящую
из 6 членов, зная, что сумма трех первых ее членов
равна 168, а сумма трех последних — 21.
6. Между числами 9 и 243 поместить 2 числа, кото-
рые образовали бы вместе с данными числами геомет-
рическую прогрессию.
7. Определить первый член и знаменатель геомет-
рической прогрессии,в которой
а2 + а5 - а4 = 10,
а3 +ае -а5 = 20.
8. В геометрической прогрессии b2 — Ь4 = 18,
&4 - Ь3 = 162. Найти прогрессию.
48.2 . Формула суммы первых п членов
геометрической прогрессии
Пусть дана геометрическая прогрессия (Ьп). Обозна-
чим сумму п первых ее членов через <8я:
Ъ'л = b4 + b2 + b3 + ... + b r _ j + bn.
Умножим обе части этого равенства на д:
Sn - q = bl- q + b2- q + bs - q + ... +bn_3- q + bn- q.
Ho b2q = b2, b2q = b3, b3q = b4, ... bn_4q = bn.
Тогда получим Sn q - b2 + b3 + b4 ... bn + bn - q.
Вычтем почленно из полученного равенства преды-
дущее, а затем приведем подобные члены:
8п • q “ sn = + b3 + ... + bn + bn- q}~ (b4 + b2 + ... +
ья i + bn) = bnq - bi’ или sn(q - !) = b„q - bi> откуда
' Итак, S = ——— — формула суммы n первых
7-1
) членов геометрической прогрессии.
Поскольку Ьц = Ьрр‘ то получим II формулу
s ЬфГ^д-Ъ, Ъ^-Ъ,
7-1 7-1 7-1
Итак, Sn=^-^~-— —11 фоомула суммы.
Теперь рассмотрим несколько примеров на нахож-
дение и применение суммы Sn.
Пример 1. Е геометрической прогрессии q *= —2,
S5 = 5,5. Найти b5.
Решение.
с М1-(-2)Б) , , Ь.-ЗЗ
S.- —---------, или 5,5- —---- или 11р. = 5.5,
8 1-(-2) 3 1
откуда = 0,5.
Тогда Ь5 = Ьт • 94 = 0,5 • (-2)4 = 0,5 16 = 8.
Ответ; 8.
Пример 2. В геометрической прогрессии найти Ь3,
если $5 = 93, 9 = 2.
Решение.
S ~1)=93, Ели 31b. = 93, Ъ. = 3.
9-1
Тогда Ъ3 = Ь//2 = 3 • 22 = 12.
Ответ: 12.
Пример 3. В геометрической прогрессии найти Ь3,
если S3 = 219, bjb2b3 = 13 824.
Решение.
Поскольку = 5^-6^, то b2 = Ь3 Ъ3. По условию
Ь3Ь2Ь3 = 13 824, тогда получим Ь2 =13 824, или Ь2 = 243,
т. е. Ъ2 = 24.
Значит, Ь3Ь3 24 = 13 824, откуда Ъ1Ь3 = 576. Полу-
чим систему уравнений
b.-b3 = S3—b2 =195, Jb. = 195-b3,
[ЬД=576; 'i (195-b3)b3 =576.
Решим II уравнение полученной системы относи-
тельно Ь3:
Ь32 - 195Ь3 + 576 = 0, D = 38 025 - 2304 = 35 721 =
= 1892 > 0, (Ь3)ь 2 = 195±189, откуда (Ь3)1 = 192, (Ь3)2 = 3.
Ответ: 192; 3.
Задачи
Часть 1
1. Найти сумму членов геометрической прогрес-
сии, в которой а1 = 3; q = 2, n = 6.
2. Определить первый член и сумму членов геоме-
трической прогрессии, в которой ф = —; и = 10; 610 = 7.
2
3. Определить первый и последний члены геоме-
трической прогрессии, в которой и = 8; <? = 2; = 765.
4. Определить число членов геометрической про-
грессии, в которой q = 2; bn = 96, Sn = 189.
5. В геометрической прогрессии первый член равен
486, знаменатель равен —. Найти сумму четырех пер-
3
вых членов этой прогрессии.
Часть 2
1. Определить первый член, знаменатель и число
членов геометрической прогрессии, в которой
а6 -а4 = 216,
< п3 - «1 = 8,
А =40.
2. Найти геометрическую прогрессию, состоящую
из 6 членов, зная, что сумма трех первых ее членов
рана 168, а сумма трех последних 21.
3. В геометрической прогрессии с положительны-
ми членами S2 = 4; S3 = 13. Найти S4.
4. Знаменатель геометрической прогрессии равен
2, а сумма десяти первых членов равна 1023. Найти
первый член.
5. В геометрической прогрессии &4 - &4 = 52, +
+ + Ъ„ = 26. Найти Sfi.
2 6 О
Упражнения для повторения курса
7—9 классов
Вычисления
1. Найти значение выражения:
ч 2х2-3
а) при х = -
4-а
б) —--- при а =
Зй + й
в)6^
г/ + 4
г) —--------— при х = 0,2: у = -1,4.
* + */
2. На даче растет 6 кустов красных роз, что состав-
ляет 25% от всех роз на даче. Сколько кустов роз на
даче?
3. Одна сестра старше другой на 3 года. Суммарный
возраст сестер равен 25 годам. Сколько лет сестрам?
4. Сколько метров проволоки необходимо для изго-
товления каркаса куба со стороной 30 см?
5. Антикварный магазин купил 2 предмета за
225 000 руб., затем продал их, получив 40% прибыли.
Какова стоимость каждого предмета для магазина, если
па первом прибыли получено 25%, а на втором — 50% ?
6. Вычислить:
а) (3-2л/2Г1+(20’5-1)2;
б) (19 + 8 3)(4-д/3)2;
7. Упростить выражения:
а) <19-8-3; б) ^<2+ 2.6
8. Найти значение выражения:
5 5 2 1
а) (-2)~2+8 6-42,5 •2°’5; б) 25 4 -1253 52.
9. В арифметической прогрессии (ап) дано. а4 = 10;
а7 = 19. Найти S10.
10. Четвертый член арифметической прогрессии
5
равен —. Найти сумму первых семи членов этой про-
14
грессии.
11. Найти знаменатель геометрической прогрессии,
если ее третий член равен 7, а шестой член равен 56.
12. Знаменатель геометрической прогрессии равен
2, а сумма десяти первых членов равна 1023. Найти
первый член
1 3. Сколько раз к наибольшему двузначному числу
надо прибавить наибольшее трехзначное число, чтобы
получить наибольшее пятизначное?
14. Найти все двузначные числа, которые умень-
шаются в 14 раз при зачеркивании последней цифры.
15. В классе 32 ученика. Из них 18 школьников
занимаются в математическом кружке, 13 — в хими-
ческом, а 7 детей не посещают эти кружки. Сколько
химиков увлекаются математикой?
Тождественные преобразования
16. Разложить на множители:
а) т(х - у) + п(х - у); б) х(у - 2) + (у - 2);
в) 6а(п + 4) + 2Ь(п + 4); г) х(а - Ь) - у(Ь - а).
17. Разложить на множители:
а) х2 - 16; б) б4у2 - 49х2;
в) 0,04х2 - 0,81г/2; г) — у2 - 0,01. 16
18. Разложить на множители квадратный трех-
член:
а) х2 - 5х + 6; в) 2 и2 - у - 1; б) х2 + х - 12; г) 2у2 - 5у + 2.
19. Сократить дробь:
(х-Зу)2 + 12хг/ о 2 ’ XZ/ + Зу _) Зх2 - х-2 х2 + 5х-6 ’ 2a2-ab-3b2 Д> 2a2-5ab + 3b2 ’ 20. Упростить: .. х2-6х + 8 б)х’-Зх-4; 5х2 - х-4 г) ; ; х3-1 . а4 +а2 -2 е) а’ , а
х2-бху 9у Зу2 - ху х- Зу х 49а „ 2 гг 2 ’ <а -ах 1ах-х
5 , 4х2-12х + 5
-----4х :—;
3-х I х -6х+9
I 2ху х у2 -16х2 г/-4х х2 ‘/+4х/
21. Представить в виде дроби:
х2у а4 + а5 . а5+а6 ху2 (х + 4)2х 2х + 8 Зх - 9 х2 - 9 4 2 7 X +ХИ у б) —; ' 6 2 ’ У X (X-и>3 4 Зху Xs-- 1 / * 2 2 * хг/ х у ‘
22. Преобразовать выражение:
7 л 2 Л а) [ 7~^\- \х-у ху -х J х+у X У X ^х2-ху у!-ху) х-у'
_ ( х + 4 5 х-44 1 хн 9 1
б) :-----------------------------;
\ 2х х-4 2х -8xJ 8х х-7
.7 Ъ 2 а \ ( Ъ n а\
б) —2---------+------7 : —2 + — ;
\ а +ab а+Ь ab + b ) \ а b)
7 а 4 а2-а 2а2-За-1
t а2 -1 а2 + а) 2-а (а + 1)2
23. Упростить выражение:
1Гз б^-б"1 ч 10-2"
а) —г----т! 01 ---------; в* --------г-
' g2n+5 2п-2 7 2 эп z 2 1 । 2П~1
24. Вынести множитель за знак корня:
а) У27; б) У125; в) У28; г) У80; д) У75;
е) 0,5748; ж) \'8х2, где х > 0; з) д/б41/2, где у < 0.
25. Внести множитель под знак корня:
а) 6.3; б) 0,2л/б; в) -4д/2; г) -0,зУ20;
д) хУ?, где х > 0; е) у^З, где у < 0.
26. Упростить выражение:
а) Увх + У18х + У72х; б) У18х - У?5х + У147х;
в) У20х + v45x -У80х; г) Уб4х - У150х - д/216х;
д) (Vx + ^ф)(х-у/ху + у); е) (Vx+ фф' ~(4х-^)2.
27. Сократить дробь:
5х-10
Vx -I-V2
хУх + Уфу
л/ху+у
; в)
28. Освободиться от иррациональности в знамена-
теле дроби:
\ 8
’ ‘3^/2 ’
5^ 3
б)РТ;
в)
Зх
д)
4
е)
8
Уп-л/з ’
Уравнения и системы уравнений
29. Решить уравнение:
. х-1 „ х-1 1
а) + 2 =----+ —;
3 6 2
4х + 1 1 Зх-8
6) =--------------6;
8 2 12
в) х(х - 5) - (х - 2)2 = 13 + х;
Зх-1 1 _ Зх
бх - 3 1 - 4х2 2х +1
30. Среднее арифметическое двух положительных
чисел больше их среднего геометрического на 11. Най-
ти большее из этих чисел, если их отношение равно
1 : 4.
31. Из пункта А вниз по реке вышел штот. Через
час вслед за ним вышел катер, догнал плот и вернул-
ся обратно, затратив на весь путь 24 минуты. Найти
скорость катера в спокойной воде, если известно, что
скорость течения реки равна 3 км/ч.
32. Из города А со скоростью 60 км/ч выехал пер-
вый автомобиль, а через час вслед за ним отправился
второй автомобиль со скоростью 50 км/ч. Какое рас-
стояние будет между автомобилями через 10 ч после
выхода первого?
33. Велосипедист едет из одного города в другой
со скоростью 10 км/ч. Если бы он ехал со скоростью
12 км/ч, то приехал бы в конечный пункт на 4 часа
раньше. Какое расстояние преодолел велосипедист?
34. Решить квадратное уравнение:
а) (х + 9)2 = х + 9; б) (х - З)2 = 6(х - 3);
в) 3(х - 4)2 = 5х - 20; г) 9(х - 7)2 = 14 - 2х;
д) 0,75х2 + х + 0,25 = 0; е) х2 + 0,4х - 0,2 = 0.
35. При каком значении а уравнение ах2 - 7х + 5 = О,
где а А 0:
а) имеет два различных корня;
б) не имеет корней;
в) имеет один корень
36. Решить уравнение:
а) х(х - 1) - х = 112; б) (z/ - 1)(у - 5) + 3 = 0;
. х2 -1 ,, ,, . х2 + х 8х - 7
в-------Их = 11, г) --------=-----.
2 2 3
37. Числитель несократимой дроби на 3 меньше
знаменателя. Если эту дробь умножить на 2 и приба-
вить обратную дробь, то получится 57/20. Найти эту
дробь.
38. После выпуска из школы ученики обменялись
фотографиями. Сколько было учеников, если всего
потребовалось 420 фотографий?
39. Периметр прямоугольника равен 124 м. Если
одну из его сторон увеличить на 2 м, а другую умень-
шить на 4 м, то его площадь уменьшится в 1,4 раза.
Найти большую сторону прямоугольника.
40. От листа жести, имеющего форму квадрата,
отрезали полосу шириной 3 дм, после чего площадь
оставшейся части листа стала равна 10 дм2. Опреде-
лить первоначальные размеры листа жести.
41. Решить уравнение
Зх 2х Зх-6 14х2 11 49
а)----------=-----------; б)------= +---=-----;
х-1 х + 2 (х-1)(х + 2) 16-х х-4 х + 4
х-3 х’ к4х + 9 о . 1 1 11
в) —9-------+--------= -2; г) —---+ — = —;
х + 4х + 9 х-3 х + 4 х + 5 30
, х-5 15-4х , 5х-3 5-2х
д)------=------; е)----=-----.
1-2х Зх + 1 Зх + 5 1-х
42. Через один кран кода вливается в бак за б ча-
сов, через другой — за 4. За сколько часов вода запол-
нит бак, если открыть оба крана?
43. Пешеход прошел в I день половину всего пути,
во второй день 80% от пути, пройденного в I день.
В III день он прошел оставшиеся 8 км. Какой путь про-
шел пешеход за 3 дня?
44. Три заводские бригады изготовили 366 стан-
ков, причем вторая бригада изготовила на 15% мень-
ше, чем первая, а третья на 20% больше, чем первая.
Сколько станков изготовила первая бригада?
45. Вкладчик взял из банка 1/4 своего вклада,
а потом 4/9 остатка, что составило 600 руб. Опреде-
лить сумму первоначального вклада.
46. Цена товара со 100 тыс. руб. дважды понижа-
лась, каждый раз на 30% . Какова окончательная цена
товара?
47. Кусок сплава меди и олова массой 36 кг содер-
жит 45% меди. Сколько меди нужно добавить к этому
куску, чтобы получить сплав, содержащий 60% меди?
48. Решить уравнение:
а) х4 - 8х2 = 9; б) х® + 7х3 - 8 = 0;
в) х3 + х2 = 2х; г) х3 + х2 - 4х - 4 = 0;
д) (4х2 - 9)(х - 0,3) = (Юх - 3)(х - 1,5)2;
е) (2х - 1)2(5х - 3) = (х - 0,6)(Юх2 - 4).
49. Решить систему уравнений:
I 2х +11у = -2,
а)
[r-Зу = -1;
[26х-15у = -45,
в)
[21х + 2у = 6;
[ 15х + 2у = 2,
б) У
[1 Зх-Зу = -3;
Г18х + 23у = 46,
I Зх-11у = -22.
50. Решить систему уравнений:
х + у + 4 х-у-4
~~5 * 7~
х + у + 4 х-у-4
~~5 Т~
б)
2x~z/
3
2х + у
. 2
х-2у 3
2 ~2’
х + 2у 1
3 3’
51. При каком значении а уравнение ax = а + х + 1
не имеет корней?
52. Найти все значения параметра а, при которых
уравнение а2х + 2ах + х = 1 не имеет корней?
53. Прямая у = kx + b проходит через точку
М(-3; 2) и параллельна прямой х — 2у = 1. Найти зна-
чения k и Ь.
54. При каком значении п система уравнений
' (п -2)х + 7у = 9,
< имеет бесконечное множе-
(п + 1)х + 2(п + 2)у = 18
ство решений?
55. При каком значении k все решения системы
x + ky = 3,
удовлетворяют условиям х > 1, у > О?
/гх + 4г/ = 6
56. Найти с помощью графиков число решений
системы уравнений
1
У = -.
< х
у = —х2 +2х + 1.
57. Решить систему уравнений:
в)
х + 2ху + у = 10,
х - 2ху + у = -2;
х2 - ху -- yi = 7,
х + у = 5;
х2-/=16,
б) '
ха + 3хг/2 =260;
\ х2 + ху + у2 =75,
г)
х2 -ху + у2 =25.
58. Решить систему уравнений:
х2у + ху2 = 30, г2-/=24,
а) < 115 б) 1 — — ? X у 6 х + у ^х-у _20> х у _ 26 ух 5 х2 + у2 =13,
в) < х-у х + у 5 г)' ху = 6; | н 1 Н 1^ II а» | сл
59. В арифметической прогрессии 10 членов. Сум-
ма членов, стоящих на четных местах, равна 50, а на
нечетных местах равна 35. Найти прогрессию.
60. Сумма первых шести членов арифметической
прогрессии равна 9, а разность между 4-м и 2-м члена-
ми равна 0,4. Найти 1-й член прогрессии.
61. Найти сумму первых семи членов арифметичес-
кой прогрессии, 4-й член которой равен 5/14.
62. Сумма трех чисел, образующих арифметичес-
кую прогрессию, равна 111 Второе число больше пер-
вого в 5 раз. Найти эти числа.
63. Сумма трех чисел, образующих арифметичес-
кую прогрессию, равна 189. Найти эти числа, если
первое больше третьего в 2 раза.
64. В геометрической прогрессии найти Ь7, если
Ь.. = 729, q = -.
1 3
65. В геометрической прогрессии найти если
S5 = 93, 7 = 2.
66. В геометрической прогрессии найти Ь2, если
bl + bi = 27; b2bs = 72.
67. Найти средний член геометрической прогрес-
сии, состоящей из трех чисел, если их произведение
равно 64, а сумма 14.
68. Найти три числа, образующих возрастающую
геометрическую прогрессию, зная, что их сумма равна
26, а сумма квадратов этих чисел 364.
Неравенства
69. При каких значениях х верно неравенство:
а) (х + I)2 < 0; б) (х - 4)2 > 0;
в) х2 + 5 > 0; г) 2х2 + 1 < 0?
70. Пользуясь тем, что 2,2 < л/б < 2,3, оценить зна-
чение выражения:
а) а/5+3; б)4-чб; в) 1 + 2^5.
71. Оценить периметр Р и площадь S прямоугольни-
ка, длины сторон которого а см и b см, если 6,5 < а < 6,6
и 4,7 < Ъ < 4,8.
72. Решить неравенство:
а) (х + I)2 + Зх2 < 7 + (2х - l)2;
б) (х + 2)(х -3)-х<4 + (х + 1)(х - 4);
в) (х - 2)(х2 + 2х + 4) < х(х2 + 2) + 1
73. Найти наименьшее целое число, являющееся
решением неравенства:
а) 2(х - 3) - 1 > 3(х - 2) - 4(х + 1);
б) х2 + х < х(х + 5) + 5.
. Ух-!-2 10х-2 _
а)-------------->2;
10 9
, 7х + 3 6х-2 , „
74. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющее
неравенству:
8т + 4 9х - 5
io-> ’
4х - 3 8х - 2 8
~~3 5~>-7’
75. Решить неравенство:
а) (4 - Зх)( Л - 2) < 0;
б) (5 - V23 )(2х - 7) > 0;
в)
3 + 8х
<0;
г)
4 + 5х
76. Найти наименьшее целое решение системы не-
равенств:
[х-4 > 5-2х,
а) i
[3-2х<7 + х;
f 17(3х -1) - 50х +1 < 2(х + 4),
б) <
12-11х<11х + 10;
г)
7 2
0,4х + —< —х-1,2,
3 3
5х I-17>9х-63.
77. Найти наименьшее целое решение системы не-
равенств:
Зх-4 < 8х + 6,
3-2х<13,
а) 2х -1 > 5х - 4,
б) < х-1 > 0,
11х-9<15х + 3;
5х-35<0.
78. Решить систему неравенств:
I Зх-4(х 4-2)<х + 9,
а)
[ 5х(х - 2) - (х +1 )(5х - 4) > 0;
J12(x-l) + 6(x + l)>6x-7,
[ х2 - (х + 3)(х - 3) < 4х;
2х-3-—<12;
5
6х-1 . „
—-----(х - 2) > эх.
79. Решить двойное неравенство:
а)-3<^^<8; б)4< —<9;
2 6
. „ 4-Зх „ . л _ 4г/+ 1 „
в) -7<?------<-5; г) -0,5 <— <3.
2 3
80. Решить неравенство:
а) х2 - х -2 > 0; б) х2 + х - 2 > 0;
в) х2 - 5х - 6 > 0; г) 2х2 + 7х + 3 < 0;
д) Зх2 + х - 2 > 0; е) -х2 - х + 20 > 0.
81. Решить систему неравенств:
f х2 — х — 2 > 0,
а) 1
[2х + 7>0;
ч । 2х2 + 6х-2 > х-х2,
в) s
4х + 3<4;
V X X-,
б)
[Зх + 5<-1;
ч ГЗх2 -5х < 6х-6,
г)
2х + 1>5.
82. Найти наименьшее пелое решение системы не-
равенств:
ч (2х2+9х<-7, „ fx2>16,
а) 1 б)
[2х + 5<0; [х2-16х<0;
[2х2-5х-7>0, ч х2-:-5х-6<0,
в) ; г) 1
^х>3, [х2+4х<0.
83. При каких значениях х имеет смысл выражение;
а) \'8х-3; б) \4-llx; в) д/б-5х-х2;
г) -\2х2 + 9х + 7; д) к/11-4х +д/5х-3;
е) \/xz + х +1 + л/2х-9 ?
84. Найти область определения каждого из выра-
жений:
а)4х2 + 1; б) —; в) л/эх2-1;
1 2х
г) 2х2 - 5х + 3; д) ;—; е)—-—Нд/Э-х2.
V Зх - х - 2 х + 2
Функции
85. Построить график функции:
а) у = х2 - 1; 6) у = -х2 + 2;
в) у = х2 - Зх; г) у = 0,5х2 + 4х;
д) у = х2 - Зх + 2; е) у = 2х2 - 5х + 2.
В каждом случае указать наибольшее (или наи-
меньшее) значение функции.
86. Указать промежутки возрастания и убывания
функции:
а) у = х2 - х - 2; б) у = х2 - х - 6;
в) у = х2 - 2х; г) у = х2 + Зх.
87. Построить график функции:
4 6
а) У = ~’ б) у = ~~-
Указать значения х, при которых у > 0, у < 0.
88. Изобразить схематически график функции:
а) у = kx + 3 при k < 0; б) у = бх + b при b > 0;
ч k , „ k ,
в) у = — при k > 0; г) у = — при к < 0;
х х
д) у = ах2 - 2 при а > 0;
е) у = ах2 + Ьх при а < 0, b > 0.
89. Найти координаты точек пересечения графи-
ков функций:
а) у = 4х - 7 и у = -8х + 5;
б) у = -2х - 9 и у = х2 - 12х + 7;
в) у = -5х2 + 2х - 4 и у = -Зх2 + 2х - 6;
г) у = Зх2 + х + 7 и у = 2х2 - 5х - 2.
90. Найти область определения функции, заданной
формулой:
а) у = 16 - Зх; б) у = 10 > в) у = х2 - 5;
X
д) У = 7 „ 4
X е) У = Зх-5
91. Найти нули функции (если они существуют):
2
а) у = — х - 4; б) у = -0,5х +18;
в) у = Зх(х + 5); г) у = 4(х2 + 2);
д) z/ = a/x-3; е) у = Vx2 -4.
92. Не выполняя построения, найти координаты
точек пересечения графика функции у = Зх2 и прямой:
а) у = 300; б) у = 1200; в) у = 60х; г) у = -48х.
93. Принадлежит ли графику функции у — -9х2
точка:
а)А(-1;-9); б) (3; 81); вЯ|;-1Ъ
у О )
94. В каких координатных четвертях расположен
график функции:
а) у = 4х2 + 1; б) у = -Зх2 + 2; в) у = -2(х + З)2?
95. Найти координаты вершины параболы:
а) у = х2 - 8х + 7; б) у = -х2 - Юх +11;
в) у = Зх2 - Юх + 3; г) у = 4х2 - 5х + 1.
96. Построить график уравнения:
а) 2х + Зу = 6; б) (х + 1)(г/ - 3) = 0;
в) ху = -4; г) (х + 1 )2 + (у - З)2 = 9.
97. Решить графически систему уравнений:
|ху = 6, 1а = х2-2, [х +у!=8,
а) < б) в) <
|г/-х = 1; [у-3х = 2; у = х2-2.
98. Изобразить схематически графики функций
и выяснить, имеет ли решения система уравнений и
если имеет, то сколько:
г/ = х2 + 3, fx2 + w2=9,
а) < б) <
у--х2 + 11: у-х2-3.
99. Решить графически систему уравнений:
|(x-2)2+Q/-3)2=25,
а) । । б) 7
|у=И; у = ~7х-
I 5
100. Найти область определения функции и по-
строить ее график:
. 16 12
а У (х + 2)2 - (х - 2)2 ’ У (3-х)2-(3 + х)2 ’
12-2х 4 ч 4х(х + 1)-4х2+ 12
в) у =------+----; г) у = — ---------------.
х -2х 2-х х(х + 3)
Глава 17
ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ
ПО МАТЕМАТИКЕ. 7-9 КЛАССЫ
§ 49. Условия задачи
7 класс
1 (А). Найти наименьшую пару натуральных чи-
сел, удовлетворяющих уравнению
2023г - 2022г/ = 2024.
2(A).Простым или составным является число
22024 + 1?
3 (А). Найти хотя бы одно натуральное число п,
при котором число 2" + 3 будет составным.
4 . Решить в целых числах уравнение
х (х + 1) = у2.
5 . Решить уравнение ху + yz + xz = 1,
если (х, у, z) е Z.
6(A).Найти наименьшее натуральное число, крат-
ное 45, если в его записи использованы все 10 цифр.
7 (А). Найти наименьшее натуральное число, рав-
ное упятеренному произведению его цифр.
8 (А). Существуют ли такие натуральные числа а
и Ь, что ab (а - Ь) = 1001?
9 (А). Решить уравнение х3 — 27г/3 = 37, где х, у —
натуральные числа.
10(A).Найти натуральные числа тип, если
4тгп - п - 4m2 = 58
11 (А)- Решить в целых числах уравнение
13х - 15г/ = 7.
12(A).Решить в целых числах уравнение
ху = х + у + 4.
13 . Разложить многочлен х5 + х + 1 на множители.
14(A).Разложить многочлен х8 + х + 1 на два мно-
жителя с целыми коэф())ициентами.
15(A).Разложить на множители многочлен
х4 + 2024х2 + 2023х + 2024.
16 . Разложить многочлен (х + у + г)3 - х3 - у3 - z3
на множители.
17(A).Разложить на множители х5 - 1.
18(A).Разложить на множители
(а + I)4 + 4(a + I)3 + 4а(а + 2).
19 (А). Доказать, что выражение
ху (5х + 4) (7г/ + 4)
можно представить в виде разности квадратов двух
целых многочленов с целыми коэффициентами.
20 (А). Доказать, что двучлен 2а4 + 2Ь' можно предста-
вить в виде суммы квадратов двух двучленов.
21 (А). Доказать, что при любом целом г? число
п (п - 3) (п2 - Згг + 26) делится на 24.
22 (А). Доказать, что если 8х 4- 9г/ при некоторых
целых х и у делится на 1 7, то 71х + 53г/ также делится
на 17 при тех же значениях х и у.
23 . Доказать, что произведение трех последова-
тельных целых чисел, сложенное со вторым из них,
равно кубу второго числа.
24 (А). Доказать, что число п3 + 17гг делится па 6
при любом натуральном п.
25 (А). Доказать, что при любых х ф 0, у г 0 значе-
ние выражения х2 4- ху + у2 > 0.
26 (А). Доказать, что сумма квадратов семи после-
довательных целых чисел делится на 7.
27 (А). Доказать, что выражение п3 - п делится
на 6 при любом натуральном и.
28 (А). Доказать, что из любых 13 натуральных
чисел можно выбрать два, разность которых делится
на 11.
29 (А). Доказать, что для любого натурального п
г 14т?+ 1
дробь------- является несократимой.
35п 4 2
30 (А). Доказать, что квадрат нечетного числа вида
2 п 4- 3 при делении па 8 всегда дает в остатке 1.
31 (А). Доказать, что сумму трех квадратов вида
(2а)2 4- (2fe)2 4- (2с)2 можно представить в виде суммы
шести квадратов.
on n m mi mi О.
32 . Доказать, что число------1--при любом
3 2 6
целом тп является целым
33 . Доказать, что число р2 - 1 делится на 24, если
р — простое число ир > 3.
34 (А). Пусть х 4- у = -р, ху = q. Доказать, что
х5 4- у5 = -р3 4- 5p3q - 5pq2.
35 (А). Доказать, что число 1611 4- 238 делится на 13.
36 (А). Пусть m и п такие натуральные числа,
что число 3m 4- 4/? делится на 13. Доказать, что число
28ттг 4- 98/7 также делится на 13.
37 (А). Доказать, что число 555333 4- ЗЗЗ555 делится
па 37.
38 (А). Доказать, что число a + b делится на 7, если
на 7 делится число a2 + 9аЬ + Ь2.
39 . Доказать, что если р — простое число и р > 2,
то число р2 — 5 не делится на 8.
40 . Доказать, что произведение двух последова-
тельных четных чисел делится на 8.
41 . Доказать, что всякое трехзначпое число, напи-
санное одинаковыми цифрами, делится на 37.
42 (А). Доказать, что если а + b = 1, то
а2 Ь2 _2(Ь-а)
b?-l а2-1 ab+2 '
43 (А). Доказать, что 3111 < 1714.
44. Доказать, что всякое нечетное число, кроме 1,
есть разность двух квадратов.
45 (А). Доказать, что при любом х е R
х16 - х12 + х8 - х + 1 > 0.
46. Доказать, что если а — целое число, то а3 - а
делится на 3.
47. Доказать, что произведение пяти целых после-
довательных чисел делится на 120.
48. Первая цифра шестизначного числа равна 1.
Если ее перенести в конец числа, то полученное число
будет втрое больше первоначального. Найти первона-
чальное число.
49 (А). Сколько существует трехзначных чисел,
которые при делении на 7 дают в остатке 2?
5- . Сколько раз в сутки часовая и минутная стрел-
ки образуют прямой угол?
51 (А). Сколько существует грехзначных чисел-
квадратов, у которых сумма цифр совпадает с двумя
первыми цифрами исходного числа?
52 (А). Представить двучлен Зх4 + 16 в виде суммы
трех квадратов.
53 (А). Разность между двузначным числом и сум-
мой его цифр есть квадрат. Найти все такие числа.
54 (А). Если между цифрами двузначного числа
вписать нуль, то полученное трехзначное число будет
в 9 раз больше исходного. Найти это число.
55 (А). Найти двузначные числа, равные квадрату
суммы своих цифр.
56 (А). Найти наименьшее натуральное число, сум-
ма цифр которого делится на 7 и сумма цифр следую-
щего за ним числа тоже делится на 7.
57 (А). Пять дробей с числителями 1 и различ-
ными натуральными знаменателями дают в сумме 1.
Найти эти дроби.
58 (А). Найти значение выражения
(х-7)(х ’ , если х = 10.
59 (А). Найти все трехзначные числа, которые
уменьшаются в 13 раз при вычеркивании средней ци-
фры.
60 (А). Известно, что х + у = 8, где х > 0, у > 0.
„ „ 11
Наити наименьшее значение суммы —I—.
X у
61 (А). Вычислить значение выражения Зх4 +
+ 2у4 + 5х2у2 + у2, если х2 + у2 = 1
62 (А). Найти четырехзначное число, девятая
часть которого также четырехзначное число, записан-
ное теми же цифрами, но в обратном порядке.
63 (А). Найти х и у в числе 5678xz/, кратном 24.
64 (А). Найти двузначные числа, равные полному
квадрату суммы своих цифр.
65 (А). Найти двузначное число, равное утроенно-
му квадрату цифры его единиц.
66 (А). Какое двузначное число равно сумме цифры
его десятков и квадрата цифры единиц?
67 (А). Можно ли записать 1000 000 в виде про-
изведения двух чисел, в записи которых не было бы
ни одного нуля?
68 (А). Разность между квадратом суммы и суммой
цифр двузначного числа равна самому числу. Найти
все такие числа.
69 (А). Найти все трехзначные числа, кратные 7,
и представленные в виде суммы квадрата и куба одно-
го и того же целого числа.
70 (А). Существуют ли такие значения а, при кото-
рых число а - 2 является корнем уравнения х3 — ах2 +
+ 2 = 0?
71 (А). Корни уравнения Зх3 - ах2 - 7х + Ь = 0 рав-
ны 1 и —2. Найти а и Ь.
72 (А). Найти значение выражения
х6 + Зх2у2 + у6, если х2 + у2 = 1
73 (А). Вычислить значение выражения
х4 + 2х3 + 4х2 + Зх + 1 при х2 + х = 7.
74 (А). При каком натуральном п число вида
п3 - 6п + 4 будет простым?
75 (А). Разложить на множители а4 - За2 + 1.
76 (А). Найти х, если х3 = 5013 - 3 • 5012 + 1502.
77 (А). Для нумерации страниц орфографического
словаря потребовалось 3289 цифр. Сколько страниц
в словаре?
78 (А). Число а2 умножили на разность его цифр
и получили 84. Найти это число.
79 (А). Известно, что I х+— =3. Чему равно зна-
\ х J
„ 1
чение х + —?
ха
80 (А). Два целых числа сложили, вычли из боль-
шего меньшее, перемножили, разделили большее
на меныпее и полученные результаты сложили, полу-
чив число 243. Найти эти числа.
81 (А). Разность двух чисел равна 82, У большего
числа зачеркнули цифру единиц, равную 1, и получи-
ли меньшее число. Найти эти числа.
82 (А). Если к двузначному числу слева и справа
приписать по единице, то оно увеличится в 21 раз.
Найти это число.
83 (А). Сравнить числа
9999810 и 100000000015.
84 (А). Найти наименьшее натуральное число, кото-
рое оканчивается цифрой 9 и увеличивается в 4 раза,
если последнюю цифру перенести в начало числа.
85 (А). Упростить выражение
л/20-2у91 + а/20 + 2л/91.
86 . В шестизначном числе первая цифра совпадает
с четвертой, вторая — с пятой, третья — с шестой. До-
казать, что это число делится на 7, 11, 13.
87 (А). Вычислить наиболее рациональным спосо-
бом выражение
I 918 745 II 918 745
153 + 149 Д153 149
88 (А). На окно размером 50 х 30 см села муха. До-
казать, что квадратной мухобойкой 11 х 11 см можно
прихлопнуть сразу трех мух.
89. Среди семи учениц класса найдутся две, отли-
чающиеся цветом волос, а также две, отличающиеся
ростом. Доказать, что среди учениц этого класса най-
дутся две, отличающиеся и цветом волос, и ростом.
90 (А). Что больше: 1234 567 1234 569
или 1 234 5682?
91 (А). Найти значение выражения
92 (А). В настоящее время отцу 37 лет, а сыну
9 лет. Через сколько лет отец будет старше сына в
2 раза?
93 (А). Пусть m и п такие натуральные числа,
что число 4/п + 5п делится на 7. Доказать, что число
59/71 + 86п также делится на 7.
94 (А). Вычислить сумму
1 1 1 1
2 4 + 4-6 " +2020-2022+2022-2024’
95 (А). Известно, что х + у = а, ху = Ь. Чему равно
значение х5 + у5?
96 (А). Вычислить наиболее рациональным спосо-
32 80(94 4 1)
97 (А). Найти t, если известно, что при любом х
ах2 + Ъх + с
+ Ьх2 + ах - 9
tx2 + сх + 7
Их2 + 13х + 2
98 (А). Чему равно значение дроби
х2 + ху + у2 , , „
---------z-, если х + у - ху = 1?
1 + ху + х2у2
хл + х2у2 + у4
99 (А). Сократить дробь -------j-
(х~у)(х —у )
100 (А). Цифры а, Ъ, с таковы, что 9с = За + Ъ. До-
казать, что трехзначпое число abe делится на 7.
101. В некотором году три месяца подряд содержа-
ли всего по 4 воскресенья. Доказать, что один из меся-
цев — февраль.
102 (А). Вычислить
48-94 -! 68-24
86-37 -67-28 '
103 (А). Произведение первой цифры числа
на оставшуюся часть равно 57, а произведение по-
следней цифры числа на оставшуюся часть равно 105.
Найти это число.
104 (А). В турнире по футболу участвовали 7 ко-
манд, которые набрали 14, 13, 9, 8, 7, 4 и 3 очка.
За победу присуждалось 3 очка, за ничью — 1 очко,
за поражение — 0 очков. Сколько матчей в турнире
закончилось вничью?
105 (А). Найти х, если х2 = 2022 2024 4- 1, х < 0.
106 (А). Имеется 2023 переключателей. Изначаль-
но они все выключены. Разрешается выбрать любые
два и перевернуть их в противоположное положение
(т. е. выключенные включить, а включенные — вы-
ключить). Можно ли, проделав несколько раз эту опе-
рацию, привести их все во включенное состояние?
107 (А). Вычислить я2025 + „П9, , если а + —= -1.
а2028 а
108. Найти сумму дробей
111
------1-----1-----, если xuz = 1.
1 + Х + Ху 1 + у + у2 1 + 2 + 2Х
109. Тремя четверками, нс употребляя знаков дей-
ствий, написать наибольшее число.
110 (А). При каком значении а прямая у — cloc Ч- 5
проходит через точку М(-3; 2)?
111 (А). Найти сумму
111 1
Н2 Гз'зч ’ 2023-2024'
112. Найти хотя бы одно решение ребуса
КОЛ • КОЛ = ПРИКОЛ.
113. Решить числовой ребус
КОКЛ + КОЛЛ = ВОДА.
114 (А). На плоскости лежат 9 прямых, каждые
две из которых пересекаются. Доказать, что найдутся
две из них, угол между которыми меньше 21®.
115. Вместо букв поставить цифры так, чтобы по-
лучилось верное равенство.
РЮМКА + РЮМКА = АВАРИЯ.
116(A).Вычислить --------.
7
117 (А). Найти действительные корни уравне-
ния (Зх2 - 4х + 7)10 + (Зх2 + х - 2)2 (Зх2-4х + 7)2 +
+ (Зх2 + х - 2)8 = 0.
118 . Решить уравнение ---= —.
119(A).Решить уравнение
х3 -1
|4х - 3| - (2 + х)(х - 2) = --.
х-1
120 (А). Решить уравнение
(х + у)2 = 3(х + 3)(х - 3).
121. Решить числовой ребус. Одинаковые буквы
соответствуют одинаковым цифрам.
БУЛОК + ВЫЛО = МНОГО.
122 (А). Построить график уравнения
И + |z/| = 2г.
123 (А). Построить график уравнения
(х + 3) (у - 2) = 0.
124 (А). При каком значении k система уравнений
х + ky = 7 и х - 5у = 3: а) не имеет решений; б) имеет
одно решение; в) имеет бесконечное множество реше-
ний?
125 (А). График какой функпии изображен на ри-
сунке?
126 (А). Сколько решений имеет система
у = |х| + 2,
‘ 1 1 19
— у---<1?
2 2
127(A).Построить график функции
2 2
111
--1-— — >
128 . Решить систему уравнений < х у z если у
Lx-yz,
и 2 — простые числа.
129 . Построить график уравнения |х| + |у| = 4.
130 (А). При каком значении k графики фvнкций
у = —2х + lny = kx+l взаимно перпендикулярны?
131 (А). На рисунке Z1 = 70° + х - у, Z1 - Z2 =
= 50° + 2х - 2у. Доказать, что MB _L BN.
132 (А). Решить систему уравнений
(х-у + 1)л+у = 28,
(х-г/ + 1) +х = 30.
133 (А). Построить график функции
х4 - х3 - х + 1
У~ Х3-1 '
134(A). Решить систему уравнений
|х-// = 1О2024,
|х-у = 1О202*.
135 (А). Решить графически уравнение
|х| = х - 3.
136 (А). Решить в целых числах систему уравне-
[ х + у = 7,
ний
\yxy-z =8.
I х + 4a -6 > 0,
137 . Решить систему неравенств:
‘ [2х-а-3<0.
138 . Расставить в кружочки треугольника циф-
ры от 1 до 9 так, чтобы на каждой его стороне суммы
цифр были одинаковы. При этом суммы квадратов
цифр на каждой стороне также должны быть равны.
139 (А). В равнобедренном NMNK МК = KN =
= 12, S — середина KN; P.M4N - Рлмк-Ч = 3. Найти MN
140 . Разрезать прямоугольник со сторонами 4
и 9 на наименьшее число частей так, чтобы сложить
из них квадрат.
141 (А). Две стороны треугольника равны соответ-
ственно 2 и 13. Найти длину третьей стороны, если
она выражается целым числом, кратным 7.
142 (А). На стороне АВ квадрата ABCD отмечена
произвольная точка М. Биссектриса /.CDM пересе-
кает сторону ВС в точке N. Доказать, что АМ + NC =
— DM.
143 . Восстановить квадрат по четырем его точкам,
лежащим по одной на каждой стороне.
144 . Чему равен угол между биссектрисами смеж-
ных углов?
145 . Дан угол в 54°. Как с помощью циркуля и ли-
нейки разделить его на 3 равных угла?
146 . Разрезать фигуру на 4 равные части.
147 (А). Можно ли из проволоки, длина которой
30 см, согнуть треугольник так, чтобы длина одной
стороны была равна 17 см?
148 (А). Одна сторона равнобедренного треуголь-
ника равна 35, другая — 3/5 третьей. Чему равен пе-
риметр этого треугольника?
149 (А). В \АВС углы А и В при основании равны
соответственно 85° и 25° Найти угол между высотой
и биссектрисой угла при вершине С, противополож-
ной основанию.
150 (А). В трапеции ABCD AD — большее основа-
ние, ВС — меньшее, АС — биссектриса ZA. Доказать,
что & АВС равнобедренный.
151 (А). Две стороны треугольника имеют длины
3 и 4, а третья выражается числом, которое делится
на 4. Найти длину третьей стороны.
152 . В прямоугольнике вырезали дырку прямо-
угольной формы. Провести прямую линию, которая
разделит образовавшуюся фигуру (прямоугольник
с дыркой) на две части равной площади.
153 (А). Длину каждой стороны квадрата увели-
чили на 40% . На сколько процентов увеличилась пло-
щадь квадрата?
154 (А). Существует ли треугольник, у которого
две стороны длиной 15 м и 8 м, а периметр равен 30 м?
155 (А). Один из двух внутренних односторонних
углов при параллельных прямых и секущей состав-
ляет 80% от другого. Найти величину большего угла.
156 (А). Стороны тупоугольного треугольника вы-
ражаются четными числами. Длины сторон, образую-
щих тупой угол, равны 10 и 6. Найти длину третьей
стороны.
157 . На боковой стороне ВС равнобедренного
Л АВС взяты точки М и N (М лежит между В и N)
так, что AN = MN и /.ВАМ = AN АС. Доказать, что
АМАС = 60°.
158 (А). Острый угол треугольника равен 65°.
Высота, проведенная к стороне, прилежащей к этому
углу, равна ее половине. Найти остальные углы тре-
угольника.
159 . Построить прямоугольный треугольник по ка-
тету а и разности b между гипотенузой и другим кате-
том.
160 . Найти сумму внутрен-
них углов произвольной пяти-
конечной звезды.
161 . Глобус стянули прово-
дом по экватору. Затем увели-
чили провод на 1 см. Проле-
зет ли мышка в образовавшийся
зазор?
162 . Треугольник повора-
чивают вокруг центра квадра-
та О. Доказать, что разность
площадей закрашенных ча-
стей при этом не изменяется.
163 . Как найти центр
начерченной окружности
при помощи одного чертеж-
ного треугольника без делений и карандаша (причем
карандаш разрешается применять только для того,
чтобы проводить необходимые линии)?
164 (А). ДанААВС. Стотрона АВ продолжена за вер-
шину В так, что ВМ = АВ, сторона АС — за вершину
А так, что AN = АС, ВС — за вершину С так, что
PC = ВС. Во сколько раз площадь АМРА больше пло-
щади ААВС?
165 . С помощью циркуля и линейки разделить
угол в 54° па 3 равные части.
166 (А). В квадрате ABCD известно, что AEFD =
= 60е. Найти ААОЕ.
167 . В данный квадрат вписать равносторонний
треугольник с вершиной в данной точке Р на границе
квадрата.
168 (А). Площадь прямоугольника ABCD равна
24 см2. Найти площадь заштрихованной части прямо-
угольника.
169 (А). В ААВС проведены биссектрисы углов А
и В, угол между ними равен 130°. Найти ZC.
170 (А). АВ — гипотенуза прямоугольного ЛАВС.
На прямой АВ по обе стороны от гипотенузы отложены
отрезки А7) = АС и BE = ВС. Найти величину ODCE.
171 (А). На рисунке изображена фигура, состоя-
щая из 6 квадратов. Найти сторону правого верхнего,
если сторона самого маленького квадрата равна 1.
172 . Пусть F и Е — середины противоположных
сторон четырехугольника ABCD. Доказать, что пло-
щадь четырехугольника MENF равна сумме площа-
дей треугольников AMD и CNB.
173 . Разделить фигуру на 4 равные части, подоб-
ные заданной.
174 (А). Определить вид четырехугольника, вер-
шинами которого являются точки пересечения пря-
мых у = х + 5; у = х - 5; у = -х + 5, у = — х - 5.
175 . Построить треугольник по его основанию,
углу при вершине и медиане, проведенной к боковой
стороне.
176 . Торт имеет форму равнобедренной трапеции,
у которой верхнее основание и боковые стороны в
2 раза меньше нижнего основания. Можно ли торт
разделить на 4 равные части?
177 . Один из углов равнобедренного треугольника
равен 108°. Найти отношение длин двух биссектрис
неравных углов.
178 (А). Сколько стоит садовый участок треуголь-
ной формы, у которого длины сторон равны 158, 189
и 847 м, если 1 м2 стоит 10 долларов?
179 (А). Внутри Л АБС взята точка К так, что
БАЕК =- 30°, АКАВ = 10°, ZACB = 80° и АС = ВС. Най-
ти ТАКС.
180 . На стороне АВ квадрата ABCD взята произ-
вольная точка М. Биссектриса ZCDM пересекает сто-
рону ВС в точке N. Доказать, чтот!Л7 + CN = DM.
181 . Грабители угнали 1/3 стада овец и 1/3 овцы.
Другая шайка угнала 1/4 оставшихся овец и 1/4 овцы.
Затем третья шайка грабителей угнала 1/5 остатка
и еще 3/5 овцы, после чего в стаде осталось 409 овец.
Сколько овец было в стаде первоначально?
182 . В классе 27 учеников. Каждый из них напи-
сал двум товарищам по записке. Может ли оказаться,
что каждый из них получил нечетное число записок?
183 (А). Три цыпленка и одна утка проданы
за ту же сумму, что и два гуся, а еще один цыпленок,
две утки и три гуся проданы за 1250 руб. Сколько
стоит каждая птица, если цены выражаются целым
числом рублей?
184 (А). У четырех братьев всего 32 000 руб. Если
деньги первого брата увеличить на 7 руб., второго —
уменьшить на 7 руб., третьего — увеличить в 7 раз,
а четвертого — уменьшить в 7 раз, то у братьев станет
денег поровну. Сколько денег было у братьев первона-
чально?
185 (А). 100 мышей за 100 дней съедают 200 кг зер-
на. Сколько зерна съедят 10 мышей за 10 дней?
186 (А). Белка за 1G мин приносит орех в гнездо.
Какое расстояние она при этом пробегает, если с оре-
хом белка бежит со скоростью 3 м/с, а без ореха —
5 м/с?
187 . Сергей купил тетрадь объемом 96 листов
и пронумеровал страницы числами от 1 до 192. Вася
вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чи-
сел, которые на них написаны. Могло ли у него полу-
читься 2022?
188 (А). Брат с сестрой решили купить альбом
для марок стоимостью 210 руб. Если брат даст 2/3 сво-
их денег, а сестра 3/4 своих, то этого хватит на покуп-
ку альбома. Сколько денег у брата и сколько у сестры,
если у них всего 310 руб ?
139 . Обувь подорожала на 20%, а через 3 меся-
ца подешевела на 20%. Как изменилась цена этого
товара?
190. Имеется лом стали дьух сортов с содержанием
никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять лома каж-
дого сорта, чтобы получить 140 кг стали с содержани-
ем никеля в 30% ?
191. Сплавлено 2 слитка золота 84-й и 64-й пробы
и получено 50 г золота 76-й пробы. Сколько весил
каждый из сплавленных слитков?
192 (А). Из канистры отлили 1/4 часть бензина,
потом 10% ее общей емкости. После этого в канистре
осталось 26 л бензина. Какова емкость канистры?
193 (А). Велосипедист ехал из села в город со ско-
ростью 1 6 км/ч, а возвращался со скоростью 1 2 км/ч.
Какова средняя скорость велосипедиста?
194. Рабочий копал яму. На вопрос прохожего,
какой глубины будет яма, которую он роет, рабочий
ответил: «Мой рост 1 м 80 см. Когда я вырою яму
до конца, то моя голова будет на столько ниже уровня
земли, на сколько сейчас, когда я уже вырыл полови-
ну, она находится выше ее уровня». Какой глубины
яму роет рабочий?
195. Один человек говорит другому: «Дай мне
7 динариев, и я буду в 5 раз богаче тебя». Л другой
говорит: «Дай мне 5 динариев, и я буду в 7 раз богаче
тебя». Сколько динариев у каждого?
196. В классе 33 ученика, всем им вместе 430 лет.
Доказать, что б классе найдутся 20 учеников, кото-
рым вместе не менее 260 лет.
197. Отец завещал 1/3 своего состояния сыну
и 2/5 — дочери; из оставшегося капитала 250000 руб.
должны были пойти на уплату долга, а 300 000 —
в пользу вдовы. Каково состояние отца?
19S (Л). В классе присутствуют учитель и несколь-
ко учеников Найти число учеников, если известно,
что возраст учителя на 24 года больше среднего воз-
раста учеников и на 20 лет больше среднего возраста
всех присутствующих в классе.
199 (А). У пяти братьев 100 000 руб. У первого
и второго братьев 4G000 руб., у второго и третьего —
50 000 руб., у третьего и четвертого — 36 000 руб.,
у четвертого и пятого — 37 000 руб. Сколько денег
у каждого из братьев?
200 (А). При продаже товара на 150 руб. получили
25% прибыли. Сколько прибыли получили в рублях?
8 класс
1 (А). Доказать, что при натуральном п числа вида
74n + 2 + 1 составные.
2 . Решить в целых числах уравнение
бу + 8х - 7ху = 7.
3 (А). Найти хотя бы одну пару чисел, удовлетво-
ряющих уравнению х2 + у2 = у3.
4(A).Если х — целое число и х Ф 1, то будет ли це-
х5 -5х + 4 _
ЛЫМ ЧИСЛО —------- ?
х - 2х +1
5 (А). Доказать, что р2 - q2 делится на 24, где р и
q — простые числа, больше 3.
6(A).Решить в целых числах уравнение
х4 = у4 + 2у2 + 157.
7 (А). Решить в натуральных числах уравнение
289 (х5у5 + х3 + у3) = 7811 (х2у5 + 1).
8(A).Доказать, что в правильном треугольнике со
стороной 4л/з расстояние от середины средней линии
до центра треугольника равно 1.
9. Решить в целых числах уравнение
13х2 + 7у2 + 11 = х2у2.
10. Решить в целых числах уравнение:
|х - 2| + |г/- 1| = 1.
н „ X2 у2 Z2
11. Наити значение выражения----1---1--, если
yz xz ху
х + у + z = 0.
12(A).Найти остаток от деления 7100 + II100 на 13.
13(A).Наименьшее общее кратное двух чисел рав-
но 900, сумма квадратных корней из этих чисел равна
1 6. Найти эти числа.
14 . Найти два различных числа, сумма квадратов
которых была бы кубом, а сумма кубов — квадратом.
15 (А). Сумма двух натуральных чисел равна 2022.
Если у одного из них зачеркнуть последнюю цифру, то
получится второе число. Найти все такие числа.
16 (А). Не находя х и у в отдельности, вычислить
сумму х6!/ + xz/5, если х — у = 3, ху = 2.
17 (А). Найти целочисленный треугольник Пифа-
гора, площадь которого численно равна периметру.
18 (А). Стороны а, Ъ, с некоторого треугольника
связаны соотношением а2 + Ь2 + с2 = ab + ас + Ьс. Най-
ти углы треугольника.
19 (А). Найти дробь со знаменателем 13, которая
больше 2/17, по меньше 3/17.
20. Найти трехзначное число, равное кубу цифры
его единиц.
21 (А). Найти по крайней мере 19 решений уравне-
ния у2 = х2 + х3 в целых числах.
22 (А). Найти все целые числа а и Ъ, для которых
один из корней уравнения Зх3 + ax2 + bx + 12 = 0 равен
1 + уЗ .
23 (А). Число а2 умножили на разность квадратов
его цифр и получили 160. Найти это число.
24 (А). Найти длину промежутка, на котором вы-
полняется нера венет во ух2-8х + 16<4.
25 (А). Найти длину промежутка, на котором вы-
г . жг х2-2х-3
полняется неравенство д/1-4х + 4х <--------
26 (А). Найти наибольшее значение п, при котором
последовательность с общим членом хп = п2 - п + 19
является точным квадратом.
27 . Шестизначное число начинается с единицы.
Если ее перенести в конец числа, оно увеличится в 3
раза. Найти это число.
28 (А). Разность между трехзначным числом и
суммой его цифр есть полный квадрат Найти все та-
кие числа.
29(A).Пусть XjH х2 — корни уравнения х2 + ах - 5а +
+ 1 = 0. Найти значение а, чтобы величина выраже-
ния xf+Xp была наименьшей.
30 (А). Если х — целое число и х 1, то будет ли
х^ — бх + 4
целым число —-------?
х“ -2х + 1
31 (А). Найти двузначное число, если сумма его
цифр состоит из одинаковых чисел, а сумма квадратов
его цифр, увеличенная на 10, равна самому числу.
32 (А). Найти наименьшее значение функции
У = — |х + 1| .
33 (А). Найти х, если х = у2 - 16х2; у = ъ2 - 4х2;
z = t2 - х2; t = х - 1.
34 (А). Если сложить два целых числа, перемно-
жить их, разделить большее на меньшее, вычесть из
большего меньшее, а затем сложить все полученные
числа, то получится 999 Найти эти числа.
35 (А). Найти наименьшее значение функции
у = 4cJx-7 -|х +1|.
36 (А). Найти наименьшее значение выражения
Зх + 2у - z, если х2 + 4у2 + z2 = 5.
37 (А). Найти наименьшее значение функции
х(х-1)
и — —---------------------— .
х (х-1) + 3
38 (А). Найти все точные квадраты в последова-
тельности с общим членом х = п2 — п + 17.
39 . Существуют ли натуральные числа х, у, z, для
которых выполняется равенство х3 + yi + z5 = 340861?
40 (А). Найти значения х и у в числе 12ху4, если
оно кратно 599.
41 (А). Найти четырехзначное число, которое по-
сле умножения на 9 дает число, написанное теми же
цифрами, но в обратном порядке.
42 (А). Найти наименьшее значение многочлена
х3 + 4х2 + бх + 4.
43 . Найти все такие целые х, при которых дробь
х + 7
------является целым числом.
х-4
44 . Решить уравнение
2(х2 -х + 1)2 =х2(8х2 -5х + 5).
45 (А). Пустьр — корень уравнения х2 - 7х +- 7 = О,
Вычислить значение выражения р4 - 245р + 281.
46 (А). Пусть
= 3 . Чему равно значение
4 1 „
выражения х +— !
х
47. Решить числовой ребус
**5
1 * *
2**5
13*0
k k к
4*77*
48 (А). Упростить выражение ^30^4-л/1б) .
49 . Восстановить зашифрованные цифры
ТРИ = ИКС .
50 (А). Какие две цифры можно приписать к числу
1313 справа, чтобы полученное шестизначное число
делилось на 53?
51 (А). При каких значениях а и b многочлен
х4 + ах3 4- bx2 - 8х + 1 обращается в точный квадрат?
52 (А). Что больше: 2417 или 12G12?
53 (А). Числа а и b нечетные. Каким будет число
a2 + b + 1?
54 (А). Найти трехзначное число, если сумма его
цифр равна 9 и оно равно 36/47 числа, изображенного
теми же цифрами, но написанными в обратном порядке.
55 (А). Известно, что хг и х2 — корни уравнения
х2 + Зх + m = 0. При каком значении тп разность кор-
ней данного уравнения будет равна G?
56 (А). Основания трапеции равны 4 и 16. В нее
вписана и около нее описана окружность. Найти про-
изведение радиусов описанной и вписанной окружно-
стей.
57 (А). Среднее пропорциональное (геометри-
ческое) двух чисел на 12 больше меньшего из этих
чисел, а среднее арифметическое тех же чисел на 24
меньше большего из чисел. Найти эти числа.
58 (А). Какое число больше: л/2022 + V2020 или
25/2021?
59 (А). Сумма кубов цифр двузначного числа равна
35. Если из этого числа вычесть 9, то получится число,
записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Найти это число.
60 (А). Найти четырехзначное число, четвертая
часть которого также четырехзначное число, записан-
ное теми же цифрами, но в обратном порядке.
61 (А). Разложить на множители
(х2 + х + 1)(х2 4- х + 2) - 12.
62 (А). Известно, что х + у = а, ху = Ъ- Чему равно
значение х7 + у7?
63 (А). Представить квадратный трехчлен
2х2 - 5х + 6 ь виде суммы двух квадратов.
64 (А). Разложить на множители многочлен
X5 + X + 1.
65 (А). Сократить дробь
I х + х +1! ( х + х + о j - - 3
1х + х +11 (.с + х + 7) + 9
66 (А). При каких значениях а и Ъ многочлен
х4 + ах3 + bx2 - 8х + 1 обращается в точный квадрат?
67 (А). Разложить на множители многочлен
68 (А). Упростить выражение
(л/10-З)2 +^(V10-4)2 .
69 (А). Сократить дробь —-----.
X + х“+1
70 (А). Освободиться от иррациональности в знэме-
нателе дроби --=---—
3+V2-V3
71 (А). При каких значениях параметра а сумма
кубов корней уравнения х2 + (6 - a - a2)x - a2 = 0 равна
нулю?
72 (А). При каких значениях х многочлен
(19х + 99)2 + (19х + 15)2 принимает наименьшее зна-
чение?
73 (А). Сократить дробь —-— .
74 (А). Извлечь квадратный корень из многочлена
Г 1 ? ( 1V
х2+ — -4 х + - +12.
X ) X)
75 (А). При каком значении параметра с один ко-
рень уравнения х2 - Юх + 2е3 = 0 равен кубу другого?
76 (А). Найти площадь фигуры, заданной на коор-
динатной плоскости неравенством
3|х| + \у + Зх + 1| < 7.
77 (А). При каком целом значении параметра a
уравнения Зх2 - (За - 1)х + 15 = 0 и 6х2 - (7а - 12)х +
+ 15 = 0 имеют общий корень?
78 (А). Упростить выражение
д/10 + зУ11 + у10 - 3711 - 2v 6 - <22 .
79 (А). Является ли число у52-14д/3 +л/3 рацио-
нальным?
80 (А). Сократить дробь:
х3 + 7х2 -9х-63
х9 + 10х + 21
81 (А). При каких значениях х и у число вида
31 х1 уЬ делится на 157?
82 (А). При каких натуральных значениях п число
п2 - 25 делится на 1 Зп 4- 11?
83 (А). Доказать, что сумма 17в + 466 делится
на 37.
84 . Доказать, что если a + Ъ + с делится на б, то
a3 + Ь3 + с3 также делится на 6 (а, Ъ, с — целые числа).
85 (А). Доказать, что многочлен х20 + х10 + х202й де-
лится на х2 + х + 1.
86 (А). Доказать, что <3 + ^5 + у'7 — число ирра-
циональное.
87 . Доказать, что если %[х + +д/г = 0, то
(х + у + а)3 = 27 xyz.
88 (Л). Доказать, что сумма кубов семи последова-
тельных целых чисел делится на 7.
89 (А). Доказать, что 1 + ху — квадрат рациональ-
ного числа, если верно равенство х3 - у3 = 2ху.
90 (А). Доказать неравенство
х4 - 2х3 + 8х2 - х + 13 > 0.
91. Доказать, что если сумма трех целых чисел де-
лится на 6, то сумма их кубов также делится на 6.
92 (А). Доказать, что число II11 + 1212 + 1313 делит-
ся на 10.
93 (А). Доказать, что сумма кубов трех последова-
тельных натуральных чисел делится на 3.
94. Доказать, что если ab(a + b) = 1, где a > О, Ъ > О,
а Ъ
Q 4- П 4-1 Ъ 4 Ь 4" 1
95 (А). Доказать неравенство
<i)> tfabcd.
96 (А). Доказать, что выражение
^(б + д/Зб)3 +^(б-л/Зб)3
^(9 + л/77)3 - ^(9-л/77)3
представляет собой рациональную дробь.
97 (А). Доказать, что если a2b2 = a 4- b, где a > О,
L Л а2 а3+аг + 1
Ъ > О, ТО -j- = —г-j- .
b Ь3+Ь2+1
98 (А). Доказать, что выражение 48" - 2 • 6" + 13"
кратно 7 при любом целом неотрицательном п.
99 (А). Доказать, что если х> у м. ху = 2V2, то спра-
4 4
X 4 У о
ведливо неравенство —'—г > 8 .
х -*/
100. Доказать, что произведение 1-2-3-...-19
(коротко 19! и читается «19 факториал») делится на
820125.
101. Доказать, что число 72024 - 1 делится на 4.
102. Доказать, что если ab и а + b делятся на с, то
а3 4- Ь3 делится на с2.
103. Доказать, что число, являющееся квадратом
натурального числа, или делится на 3, или при деле-
нии на 3 дает остаток 1.
104 (А). Может ли дискриминант квадратного
уравнения с целыми коэффициентами быть равен
2024?
105 (А). Доказать, что квадрат простого числа
(кроме 2 и 3) при делении на 12 дает в остатке 1.
106 (А). Является ли число, 13% которого состав-
п ко Х~2 -.1 о
ляет 0,52, решением неравенства--->1?
6-х
107 (А). Разложить многочлен х9 -t- 5х5 + х4 + 4х + 4
па множители с целыми коэффициентами.
108 (А). Доказать, что многочлен х20 + х10 + х2022
делится на х2 + х + 1.
109. Вычислить л/ю + а/24 + У40 + V60 .
110 (А). Не решая уравнения х2 - 5х + 6 = 0, вы-
числить сумму кубов его корней.
111 (А).Найти сумму:
1 1 1
1 + V2 V2+ 3 л/2024 + /2025 '
112 (А). Доказать, что 32п + г - 2"11 делится па 7, где
п > 0.
113(A).Построить график функции
2|х-3|
у=-—, +1-
х — 3
114(A).Построить график функции
у = |х + 2| + |х - 2|.
1 15 (А). Построить график функции
х2 +2|х| + 4
х3
116(A).Построить график функции у- ,—, .
|х|
117(A).Найти значение 7у — 13х, если х2 + 4у2 —
- 8х + 4у + 1 7 = 0.
118(A).Почему на рисунке изображена невозмож-
ная ситуация?
119 (А). В трапеции ABCD АС = 90е, ВС = 13 м, CD =
= 12 м, АС 1 BD. Найти АО.
120 (А). В AMKN найти AMON.
121 (А). В трапеции ABCD точки К и F — соответ-
ственно середины ВС и AD; KF = 2 м, MN = 4 м,
Найти ВС и AD.
122. Доказать, что четырехугольник с вершинами
в серединах сторон данного четырехугольника — па-
раллелограмм.
123. Чему равен ААВС, образованный диагоналя-
ми АВ и СВ двух смежных граней куба?
124. В трапеции сумма углов при одном из осно-
ваний равна 90е. Доказать, что сумма квадратов боко-
вых сторон этой трапеции равна квадрату разности ее
оснований.
125. Могут ли стороны прямоугольного треуголь-
ника иметь длины, выражающиеся нечетными нату-
ральными числами?
126. Точка, взятая вне треугольника, соединена
отрезками с его вершинами. Доказать, что сумма длин
этих отрезков больше полупериметра треугольника.
127. Доказать, что куб длины гипотенузы прямо-
угольного треугольника больше суммы кубов длин
катетов.
128. В прямоугольном треугольнике а и Ъ — кате-
ты, с — гипотенуза, ma и mt — медианы, проведенные
к катетам, тс— медиана к гипотенузе. Доказать, что
О о о 3 «
т +тпн+т = —с .
a b , j,
129 (А). Можно ли прямоугольник 24 х 11 разре-
зать на прямоугольники 5x8?
130. В квадрате ABCD вершина А соединена с сере-
динами сторон ВС и CD, Р с. ВС, Q е CD. Доказать, что
диагональ BD делится отрезками АР и AQ на 3 равные
части.
131. В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD
биссектриса угла АВС пересекает среднюю линию MN
в точке Е, а основание AD в точке В Найти величину
угла АКР.
132. В трапеции диагонали взаимно перпендику-
лярны. Доказать, что сумма квадратов диагоналей
равна квадрату суммы оснований.
133. Внутри квадрата ABCD взята точка Р так, что
Л АВР равносторонний. Доказать, что Z PCD = 15е.
134. Пусть кий — катеты, с — гипотенуза прямо-
угольного треугольника. Доказать, что если числа а, Ъ
и с целые, то число с2 - ab представимо в виде суммы
квадратов двух натуральных чисел.
135 (А). Найти площадь прямоугольника ABCD,
если SAAMD — 33 см2, СК = ВК.
136 (А). В прямоугольном треугольнике длины
катета и гипотенузы равны соответственно 4 и 5. Чему
равен косинус угла между высотой, проведенной к ги-
потенузе, и другим катетом?
137 (А). От данного треугольника отрезать 4/9 его
площади.
138 (А). Катет длиной 13 см равен радиусу опи-
санной около треугольника окружности. Найти длину
второго катета.
139 (А). Внутри разностороннего треугольника со
стороной 12 см отмечено 5 точек. Доказать, что най-
дутся две из них, расстояние между которыми будет
не более 6.
140 (А). Основание равнобедренного треугольника
равно 12, а расстояние от вершины основания до точки
пересечения биссектрис равно 3\/б . Найти радиус
окружности, описанной около треугольника.
141 (А). Основания трапеции равны 4 и 16. В нее
вписана и около нее описана окружность. Найти про-
изведение радиусов описанной и вписанной окружно-
стей.
142. Из середины D основания АС равнобедренного
А АВС опущен перпендикуляр DE на сторону ВС. Точ-
ка М — середина отрезка DE. Доказать, что АЕ 1ВМ.
143 (А). В четырехугольнике ABCD Z АВС = Z D =
= 90°, АВ = ВС, а высота DE = 1 м. Найти S.„rn.
144 (А). Диагональ равнобедренной трапеции
делит ее на 2 равнобедренных треугольника. Найти
углы трапеции.
145 (А). На стороне CD квадрата ABCD взята точ-
ка F. Биссектриса АЕ угла BAI пересекает сторону ВС
в точке Е. Доказать, что АЕ = BE 4- DF.
146. Построить равнобедренный прямоугольный
треугольник по сумме гипотенузы и опущенной на нее
высоты.
147 (А). Сумма числа сторон выпуклого много-
угольника и числа его диагоналей равна 21. Опреде-
лить число сторон многоугольника.
148. Ромбы ABCD, ABEF и AFNM равны, Z DAM =
= 90°. Какой угол образуют стороны DC и MN1
149 (А). В параллелограмме разность неравных
сторон равна 11 см, а разность диагоналей равна 2 см.
Найти длины сторон параллелограмма.
15G. Известно, что в прямоугольном треугольнике
с2 = а2 + Ь2, где а и Ъ — длины катетов, с — длина гипо-
тенузы. Найти острые углы треугольника, если
+ b} 2
151 (А). Середина нижнего основания трапеции
является центром описанной окружности. Основания
трапеции равны 4 и 32. Найти величину диагонали
трапеции.
152 . Доказать, что если угол ромба равен 30°, то
его сторона есть средняя пропорциональная между
диагоналями.
153 (А). В равнобедренном треугольнике высота,
опущенная на основание, в 2 раза больше высоты,
опущенной на боковую сторону. Найти отношение
И/г, где Лиг — соответственно радиусы описанной и
вписанной окружностей.
154 (А). Высота и биссектриса прямоугольного
треугольника, опущенные из вершины прямого угла,
равны соответственно 6 и 8. Найти площадь тре-
угольника.
155 (А). Площадь равнобедренной трапеции равна
180 см2. Найти длину верхнего основания, если боко-
вые стороны равны по 13 см, а нижнее основание —
20 см.
156 . Радиус окружности, вписанной в прямоуголь-
ный треугольник, равен полуразности его катетов.
Найти углы треугольника.
157 (А). Найти углы прямоугольного треугольни-
ка, если известно, что a+b2 = -^=S, где а и Ь — кате-
V3
ты, S — площадь.
158 (А). В равнобедренном ДАБС с основанием АВ
проведена биссектриса AD. Через точку D проведена
прямая, перпендикулярная AD и пересекающая Л В в
точке F. Найти радиус окружности, описанной около
+ADF, если BD = а.
159 . Найти длину шеста, сначала вертикально
прислоненного it стене, затем смещенного так, что его
верхний конец опустился на 3 дм, причем нижний ко-
нец отступил от стены на 9 дм.
16С. Диагональ параллелограмма делит его угол в
отношении 1:3. Найти углы параллелограмма, если
длины сторон относятся как 1'2.
161 (А). Найти сторону квадрата, вписанного в
равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 и
основанием 12.
162 . Основания равнобедренной трапеции 11 и
17 см. Как разрезать ее на 4 равные трапеции?
163 (А). Найти площадь прямоугольника, основа-
ние которого вдвое больше высоты, а плошадь числен-
но равна периметру.
164 (А). Длины сторон треугольника связаны соот-
ношением а3 + Ь3 = с3. Определить вид треугольника.
165 (А). Основания равнобедренной трапеции 1 и
8. Найти радиус окружности, которая проходит через
точку пересечения диагоналей трапеции, касается ос-
нований и боковых сторон трапеции.
166 (А). В круг радиуса R вписаны правильный
треугольник, квадрат и правильный шестиугольник.
Доказать, что квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов сторон квадрата и шестиугольника.
167 . В равнобедренном треугольнике с основанием
а и боковой стороной b найти расстояние между цен-
трами описанной и вписанной окружностями.
168 (А). Найти периметр прямоугольного тре-
угольника, если известны радиусы Лиг соответствен-
но описанной и вписанной окружностей.
169 (А). Доказать, что в правильном треугольнике
со стороной 4х/з расстояние от середины средней ли-
нии до центра треугольника равно 1.
170 . Доказать, что если а, Ъ, с — стороны некото-
рого треугольника и а2 + Ъ2 + с2 = ab + ас + Ъс, то этот
треугольник — равносторонний.
171 . В прямоугольную трапецию вписана окруж-
ность, центр которой удален от концов боковой стороны
на расстояния 9 и 12. Найти периметр трапеции.
172 (А). На рисунке изо-
бражен график функции
у = ах2 + Ьх + с. Указать зна-
ки коэффициентов а, Ъ и с.
173 (А). Гипотенуза пря-
моугольного треугольника
равна З^/б м. Определить ка-
теты, если известно, что по-
сле того, как один из них
1 2
увеличить на 133 — %, а другой на 16 —%, сумма их
13 3
длин сделается равной 14 м.
174 . Отец и сын катаются по кругу на катке, время
от времени отец обгоняет сына. Когда сын стал дви-
гаться в противоположном направлении, они начали
встречаться в 5 раз чаще. Во сколько раз отец бегает
на коньках быстрее сына?
175 (А). Мальчики из 8 А обменялись рукопожа-
тиями, кто-то подсчитал, что всего было 66 рукопожа-
тий. Сколько мальчиков в классе?
176 (А). В меню кафе имеется 5 первых, 8 вторых
и 4 третьих блюда. Сколькими способами можно вы-
брать обед из трех блюд (первое, второе и третье)?
177 (А). Сколько шахматистов играли в круговом
турнире, если всего было сыграно 78 партий?
178 (А). Где должна быть расположена школа,
чтобы расстояние от нее до домов А, Б, В было одина-
ковым?
А | В
Б
179 (А). Студент за 5 лет учебы в институте сдал
25 экзаменов. В каждом следующем году он сдавал эк-
заменов больше, чем в предыдущем. На пятом курсе он
сдал в 4 раза больше экзаменов, чем на первом. Сколь-
ко экзаменов было на четвертом курсе?
180 . Сколько обезьян в стае, если квадрат пятой
части стаи обезьян, уменьшенной тремя, спряталась
в пещере и только одна осталась на виду, взобравшись
на дерево?
181 . Решить уравнение у/х-1 + -\ll-x = х2 -1.
182 (А). Решить уравнение х3 - Эхд/х +8 = 0.
183 (А). Решить уравнение
х4-(х- 1)(5х2 - 4х + 4) = 0.
184 (А). Решить систему уравнений
х3-у3 =37,
х4-/ =25(х + у).
185 (А). Решить систему уравнений
б(х4 + у4) = 41( х? + г/2),
х2 + хг/ + г/‘ = 13.
186 (А). Решить систему уравнений
X = 6^Jx + у,
У = 2д/х + у.
187 (А). Решить уравнение х4 + 12х 4- 3 = 0.
188 (А). Решить ура внение х3 + х + Зх 2 = 0 .
189 (А). Решить уравнение х5-33x2Vx+32 = 0 .
190 (А). Решить уравнение
х2 9 8 Г х 3 _ 1
9 х" 313 х / 4
191 (А). Решить уравнение
х(7 - х)(7 + х2) = 12(х + I)2.
192 (А]. Решить уравнение
х2 + 7x72024 = 2024.
193 (А). Решить уравнение
4х4 - 49х2 - 4х + 14 = 0.
194 (А). Решить в натуральных числах уравнение
х + ———^- = 6.
у+
2
195 (А). Не решая уравнение х2 - 5х - 7 = 0., вычис-
лить сумму кубов его корней.
196 . Решить неравенство |х2 - 4х + 3| < Зх - х2.
197 . Расшифровать числовой ребус
л, ТЕТИВА = ИВА.
198 (А). В числовом ребусе заменить буквы циф-
рами так, чтобы получилось верное равенство:
Сн + О11 + нн = сон.
199 (А). Ученик «незаконно» сократил показатели
степени, но получил верный ответ:
533 + 73 53 т 7 20
533+463 “ 53 + 46 “ 33 ‘
Объяснить причину этой «случайности».
20С'. Расшифровать числовой ребус
СИНУС
+ СИНУС
КОСИНУС
ТАНГЕНС
9 класс
1. Может ли число l + 2 + 3 + ... + n оканчиваться
цифрой 7?
2 (А). Делится ли 254 + 1 на 227 + 214 + 1?
3 (А). Упростить выражение \7 + л/48 .
4(A).Решить уравнение
|х - 2| + |х - 3| + |2х - 8| = 9.
5(A).Решить систему уравнений
(х+у)5-х6-у6 =-30,
(х + у)3-Xs-у3 =-6.
6(A).Решить
уравнение 2хл/х - ЗхП— = 20.
\ х
7 (А). Решить уравнение 4х2 + — = — .
Зх 9
8(A).Решить уравнение
(Vx - 1) (V2^I + 1) = 2(х - 1).
9(A).Решить уравнение
\,3-х+л/х^2 1
л/З-х -л/х-2 5-2х
10. Решить систему уравнений
Зх2 -8ху + 4у2 =0,
х2 +у2 + 13(х-у) = 0.
11. Найти все простые числа р, такие, что
14р2 + 1 — также простые.
12 (А). Решить в натуральных числах уравнение
х3 - Sy3 = 19.
13. Решить систему уравнений < у3 + хуг = yjxyz,
14(A).Решить уравнение
у'2х + 14 + 8л/2х-2 + 72х + 2-4<2х-2 = б.
15 (А). Решить уравнение (1 + х2)2 = 4х(1 - х2).
16(A).Решить неравенство
х2 - Зх + 2
х2 + Зх ч 2
17(A).Решить уравнение 13х2 = х4 + 2х3 + 2х + 1.
18. Найти все парь: целых чисел х и у, удовлетво-
ряющих уравнению х2 + х = у4 + у3 + у2 + у.
19(A).Найти хотя бы одну пару целых чисел, удо-
влетворяющих уравнению х2 + у2 = г5.
20 (А). Решить уравнение 1 + . = ---.
Vx2-1 12х
21 (А). Решить уравнение
16х2 + 9х + 117 = 24хд/х"+13 ,
22 (А). Найти наибольшее целое решение перавен-
х-3 Vx - 4
ства ------- < О.
x + 2-Jx -3
23 (А). Исключив х и у из равенств х - у = а, х3 —
- у3 = Ь, х5 - у5 = с, найти зависимость между а, Ъ и с.
24 (А). Решить уравнение
sin х cos х • cos 2х • cos 8х = — sin 12х.
4
25 (А). Решить систему уравнений
у + 3 = (4-х)2,
< (</ + 5)2 = г(2</+7),
х2 + г =6х, если г>0.
26 (А). Решить неравенство
п—— у х2 - 2х - 3
у1-4х + 4х <----------.
х-3
27 (А). Решить уравнение
V8x-7 + \3x-8 = л/7х-3 + д/2х-4 .
28 (А). Решить систему уравнений
х': + Зу2 - 4ху + 2х - 8у + 5 = О,
х3 +у3 +ху = 41.
29 (А). Чему равно значение выражения
а2022 + 2д22 , если a2 + а + 1 = О?
30 (А). Решить неравенство
д/9х2-6х + хв > Al-2^3 - л/з .
31 (А). Решить неравенство А > -,'9-х2 .
И
32 (А). Решить уравнение
к/х-2 + Jx + 6 + 2 д/(х-2)(х + 6) = 2(8 - х).
/ЛА т> V3x2+4
33 (А). Решить неравенство ------ > 4.
х-1
34 (А). При каких значениях параметра а система
I (6 - а)х + 2у = 3 + а,
уравнений •{ не имеет решений?
[ -4х + ay = 1 + а
35 (А). Решить систему уравнений
х(х = 1)(2х2-Зг/2) = 12,
2х -I-4х2 - Зу2 =14.
36 (А). При каком значении тп корни уравнения
х4 - (3/п — 5)х2 + (ni -+- I)2 = 0 составляют арифметиче-
скую прогрессию?
37(A).Найти наименьшее 4-значное число, удовлет-
воряющее соотношению abed = ab cd + ab + cd.
38 (A). Решить уравнение cos x + cos 7x = 2.
39 (A). Решить систему уравнений
x3 -Зху2 = 1,
Зх2у-у3 =1.
х + у = xyz,
40 . Решить систему уравнений ' у + z = xyz,
2 + X = XyZ.
41 (А). Решить уравнение (х - I)2 - х3 = 17.
42 (А). Решить уравнение
4(sin3 х + cos3 х) = 3(sin х + cos х).
43 (А). Известно, что a + Ъ + с = 12, ab + ас + Ьс = 72
Найти значение а2 + Ь2 + с2.
44 (А). Решить уравнение
х2
о(4-х) + (1-|х|)(1 + |х|) = 3.
|х|
45 (А). Решить уравнение х^ху[~х^ ... = 16.
Зх
46 (А). Решить уравнение cos х + cos— = 2.
4
47 (А). При каких значениях а и b многочлен
Mix) = ах3 + Ьх2 - 73х + 102 делится на х2 - 5х + 6 без
остатка?
48 (А). Решить неравенство |х + 1| - |х — 2| < 3.
49 (А). Решить уравнение (х2 - х - 2)2 - х3 = 10.
117
50 (А). Решить уравнение — - ---- = —.
X । X I 1^
51 (А). Найти пятизначное число, которое в 45 раз
болыне произведения своих цифр.
52 (А). Решить уравнение
4х = (V* + 39)(1 - yJl-'Jx У-
53 (А). Решить в целых числах уравнение
5(х2 -г у2) = 5 + 8xz/.
54 (А). Решить систему уравнений
у2 - ху + Зу - 2х + 2 = О,
55 (А). Прикаких значениях параметров тип
многочлен 2х5 - х4 + х2 + тх + п делится без остатка
на х3 + х + 1?
56 (А). Решить уравнение х3 - 2х - 4^6 =0.
57 . Найти все решения в простых числах уравне-
ния х2 - 2у2 = 1.
58 (А). Решить уравнение
(х2 - 5х - 8)3 = х2(х2 + х - 8).
59 (А). Решить уравнение
—-------------------- = Зх2 - 4х.
бх2 - 5х +1 2х2 - Зх +1
60 (А). Решить уравнение
.О (у - 2х) = х2 - у2 + — .
4
61 (А). Решить уравнение
(Зх - 1)( у/х +- Зх - 1) = 2х.
62(A).Решить уравнение х2 - 4х cos (ху) + 4 = 0,
63 (А). При каких значениях а и b многочлен х3 +
+ 7х2 + ax + b делится на х2 + х + 2024?
64 (А). Решить уравнение 1 + х5 = 2(1 + х)5.
65 (А). Найти целые корни уравнения
(х + 3)(х + 4)(х + 9)(х + 12) = Зх2.
66 (А). Решить систему уравнений
Xs + у5 = 33у,
8(х + у) = Зх3у2.
67 (А). Решить уравнение
(х - 6)2 + (х - 5)3 + (х - 4)4 = 2.
68 (А). Решить систему уравнений
х^у2 -1 + у\х~ -1 = Зд/х2 + z/2 — 2,
х2+у2 =9.
69 (А). Решить уравнение
V4x3 + 3х2 + 2 + л/2х2 -4х3 -!-4х-1 = Зх2 + Зх + 2.
70 (А). Решить систему уравнений
х2 + у2 + г = 0,
5
2х-п+— = 2z.
I 8
71 (А). Решить систему уравнений
। 1 1 5 х у 5г\
---1-1----------1-1--
ДЗх 4г/ 4 12)
Зх + 2у2 + 23 — 22.
72 (А).Решить уравнение х3 + С = 7л/7х-6.
73 (А). Известно, что х = л[25 + ^40 . Найти значе-
ние выражения х3 - ЗОх.
74 (А). Определить числа а и Ъ так, чтобы много-
член /(х) = бх4 - 7х3 + ах2 + Зх + 2 делился без остатка
на многочлен g(x) = х2 - х + Ъ.
75 (А). Пустьхх их2 — действительные корни урав-
нения х2 - 12тпх + п = 0. Числа m, хх, х2, п — четыре
последовательных числа геометрической прогрессии.
Найти х1 и х2.
4 /—
76 (А). Решить уравнение х + — (х - З)3 = ух + 3.
х
77 . Разложить па множители
(х2 - ху + у2)3 + (х2 + ху + г/2)3.
78 (А). Решить уравнение
х9 - 2023х3 + у 2022 = 0.
79 (А). Решить уравнение
7х-:-2 _ 12 = 53
V х + 2 7(7х + 2) 28
80 (А). Решить уравнение
Зх2 + 2у2 + z2 - 2хг + 4х - 8у + 10 = 0.
81 (А). Решить уравнение х2 + 19х — х! = 0.
82 (А). Решить уравнение
. 1 205( П
х5 16 х)
83 (А). При каких целых х квадратный трехчлен
х2 + 2х - 3 есть простое число?
84 (А). Имеет ли решения в натуральных числах
уравнение х2 + у7 = z2?
85 (А). Упростить выражение -^45 4 у] 682 .
86 (А). Решить в целых числах уравнение
ху2 ~ + у2) = 1-
87 . Решить уравнение
sin2 х + sin2 2х = sin2 Зх + sin2 4х.
88 . Дано уравнение окружности
х2 + 2х + у2 - бу + 1 =0.
Найти координаты центра и радиус окружности.
89 (А). Найти пятизначное число вида abccd, удо-
влетворяющее условиям-
2с + d = b2, a + b = с2. 10a + Ь = a + b + 2с + d.
90 (А). При каких значениях а число 3 заключено
между корнями уравнения
х2 - 2ax + а2 - 1 = 0?
91 (А). Найти целые положительные х и у, если
х < 9 и у2 4 у = 2(30 - х).
92 (А). Решить уравнение л/х +-х]х-у/1-х =1.
93 (А). Решить уравнение х3 + х + Зл/2 = 0.
94 (А). Решить уравнение 13х2 = х4 + 2х3 + 2х + 1.
95 . Доказать, что если х > 0, то л/1+х <1 + ^.
96 (А). Доказать, что если a + b + с = 0, то
2(а5 + Ъъ + с5) = 25a2fe2c2(a4 + &4 + с4).
97 (А). Доказать, что выражение
(5х + 7 г/)3 + (7х + 5г/)3
делится без остатка на 12(х + г/).
98. Разложить многочлен х3 + г/3 + Зхг/ — 1 на мно-
жители.
99 (А). Доказать, что при всяком нечетном х выраже-
ние х3 + Зх2 - х - 3 делится на 48.
100 (А). Сократить дробь -----'
х-Зух-2
( 7 V 19 )
101 (А). Доказать, что | 1 +-- 1н------> 293,
sin х ) cos х )
если 0 < х < —.
2
102 (А). Доказать, что 35 sin2 х > 6 sin 2х - 1.
103 (А). Сумма нескольких последовательных чет-
ных чисел равна 100. Найти эти числа.
104 (А). Доказать, что
1 1 1 ____________1_
22 4 З2 42 ' 10002
<0,999.
105. Известно, что a + Ъ + с делится на 6, где а, Ъ,
с — целые числа. Доказать, что а& + Ъ3 + с также де-
лится на 6.
106 (А). При каких значениях параметра а уравне-
ние (х2 - а)2 - Юх2 - Зх + а = 0 имеет ровно 4 корня?
107 (А). Доказать, что если а3 4- 7а + 19 = О,
Ъ3 + 7Ь + 19 = 0, с3 + 7с + 19 = 0, где a + Ъ, Ь ф с,
а Ф с, то a + Ъ + с = 0.
108 (А). При каких значениях параметра а корни
уравнения х3 + ах2 + 48х - 27 = 0 составляют геоме-
трическую прогрессию?
1 09 (А). Доказать, что если a + b + с = 0, то
50(а7 + Ь7 + с7) = 49(а4 + Ь4 4- с4)(а5 4- б5 + с5)2.
110 . Разложить многочлен х13 + х11 + 1 на два мно-
жителя.
111 (А). Из трех различных цифр х, у, z образованы
всевозможные трехзначные числа. Сумма этих чисел в
три раза больше трехзначного числа, каждая цифра ко-
торого есть х. Найти цифры х, у, г.
цп л X - 3 — З./х + 1
112 {А). Сократить дробь-------=
х ь1-2л/х + 1
113 (А). Доказать, что при любом целом пг выра-
т3 Зт2 13т
жепие----1-------1---1-4 является целым числом.
G 2 3
114 (А). Доказать, что если а2Ь2 = а + Ь, где а > О,
а2 а3 4 а2 +1
b > 0, то — = —------.
b2 b3+b2 + l
115 (А). Доказать, что выражение
1-4 6 + 2 8-12 + 3 12 18 + ...
1-2-3 + 2-4-6 + 3 6-9 + ...
является целым числом — квадратом.
116 (А). Доказать, что tg 127°30' 4- л/б-^З-V2 есть
целое число.
г г- (х + У) -х7-ъ
117 . (.'ократить дрооь ------
(х+у)*-х?-у*
118(A).Показать, что многочлен
(х + а) (х + 2а) (х + За) (х + 4а) -г а4
есть квадрат трехчлена.
119 (А). Найти наименьшее целое решение нера-
венства д/1 + х > Vl-2x.
120. Доказать, что если S есть сумма бесконечно
убывающей геометрической прогрессии qY, q2, q3,
S qr
то -----= —.
S-Qj q2
121. Может ли число 1 + 2 + 3 + ... + n оканчивать-
ся цифрой 9?
122. Цифры трехзначного числа образуют арифме-
тическую прогрессию. Если к нему прибавить 101, то
получится число, цифры которого образуют геометри-
ческую прогрессию. Найти трехзначпое число.
123 (А). Делится ли число 10" + 6” — 3" - 1 на 63
при п е N?
124 (А). Доказать, что выражение 9 33л + 1 - 8n + 1
кратно 19 при любом целом неотрицательном п.
125 (А). Доказать, что для любых чисел а + 0, Ъ О
„ _ а9 Ъ9
выполняется неравенство а'- + Ьь < — + — •
Ь а'
126 (А). Доказать, что 13! - 11! кратно 31.
127. Медианы \АВС пересекаются в точке О. Дока-
зать, что /1В2 + ВС2 + АС2 = 3(ОА2 + ОВ2 + ОС2).
128. Вычислить сумму:
X + ^L + jL + ... +_______1____.
12 2 3 3 4 2023 2024
129 (А). Сколько существует двузначных чисел,
делящихся на произведение своих цифр?
130 (А). При каком значении х последовательность
л/х^5, Ц0х+4, /х+2 образует геометрическую про-
грессию?
131 (А). При каких значениях параметра а корни
уравнения х3 + ах2 + 56х - 64 = 0 составляют геоме-
трическую прогрессию?
132 (А). Доказать, что </20 + 1472 + 720-1472 = 4.
133 (А). Доказать, что ЗЗЗ777 + 777333 делится на 10.
134 (А). Решить уравнение х4 + х3 - х + 1 = 4х2.
135 . Доказать, что если a, b, с, d составляют геоме-
трическую прогрессию, то
(а2 + Ь2 + с2) (Ь2 + с2 + d2) = (ab 4- be + cd}2.
136 (A). Можно ли разложить 1000 орехов в 7 кор-
зин, расставленных по кругу так, чтобы в любых двух
корзинах число орехов отличалось на 1?
137 . Сумма номеров домов на одной стороне квар-
тала равна 423. Определите номер дома, пятого от угла
квартала.
138 (А). В 46 клетках находятся 1000 кроликов.
Доказать, что в каких-то двух клетках находится по-
ровну кроликов (могут быть пустые клетки).
139 . Чему равен ZC ЛАВС, если —-—I—— =
а+с Ь+с
=-----, где а = ВС, b = АС, с = АВ1
а + b -тс
140 (А). Существует ли квадратный трехчлен у(х) с
целыми коэффициентами, который в точке х = 1 при-
нимает нечетное значение, а в точке х = 3 — четное?
141 (А). На оси ординат найти точку, через кото-
рую проходят две взаимно перпендикулярные каса-
тельные к графику функции у = х2 - 4х + 7.
142 (А). На рисунке изобра- д
жен график функции у = х3 - .о.
- х2 - 4х + 4. Найти координа- / \ N I
ты точек Af, N и К. I { I
143 (А). Найти площадь за-
штрихованной фигуры. ,
144 . В выпуклом пятиугольны- / VZi \
ке MNKPE углы MNK и КРЕ рав- /
ны 30°, а каждая из сторон NK, КР / / ' /
и ME равна 1 и сумма длин сторон
MN и РЕ равна 1. Доказать, что 15 дм
площадь MNKPE равна 1.
л/ л/Ч+1
145 (А). В \АВС ЕА = 60е, -= ---. Найти аВ.
ВС 2
146 (А). В ДАЕС sin ZC =-, АС = 5, ВС = 4. Найти
5
радиус вписанной окружности, если АВ < АС.
147 . Стороны одного треугольника 17; 25 и 26 см,
а две стороны другого 17 и 25 см. Найти длину третьей
стороны, если у треугольников равны радиусы вписан-
ной окружностей.
148 (А). В ЛАВС стороны а, Ь. с (a < b < с) образу-
ют арифметическую прогрессию. Известно, что В • г =
= 130, где R и г — соответственно радиусы описанной
и вписанной окружностей. Найти наименьшую целую
тройку (а, Ь, с).
А
149 (А). В A ABC (ZC = 90°) V
найти АВ и АС по данным, при- . '
веденным на рисунке, если
ВС = 18 \ \
150 . Могут ли длины сторон \
прямоугольного треугольника
образовать геометрическую про- / \
грессию?
151 (А). Стороны параллелограмма равны 11 и
23 м, а диагонали относятся как 2 : 3- Найти длины
диагоналей.
152 (А). В прямоугольнике со сторонами 20 и 25
расположено 120 квадратиков со стороной 1. Дока-
зать, что внутри прямоугольника можно поместить
круг диаметра 1, не налегающий ни на один из ква-
дратиков.
153 . Доказать, что в прямоугольном треугольни-
ке с острым углом в 15° произведение катетов равно
квадрату половины гипотенузы.
154 (А). Величина одного из углов остроугольного
треугольника равна 30®. Доказать, что площадь тре-
угольника равна r(R + (2 + л/3 )г), где г и R — соответ-
ственно радиусы вписанной и описанной окружно-
стей.
155 (А). Найти сумму тангенсов острых углов пря-
моугольного треугольника, если радиус описанной
окружности относится к радиусу вписанной как 5 : 2.
156 (А). Доказать, что площадь прямоугольного
треугольника с острым углом в 15° составляет вось-
мую часть квадрата гипотенузы.
157 (А). Центр окружности, касающийся катетов
прямоугольного треугольника, лежит па гипотенузе.
Найти радиус окружности, если он в 7 раз меньше сум-
мы катетов, а площадь треугольника равна 56.
158 (А). Высота и биссектриса прямоугольного
треугольника, опущенные из вершины прямого угла,
равны соответственно 6 и 8. Найти площадь треуголь-
ника.
159 (А). Точка М лежит внутри правильного
ААВС. Найти площадь треугольника, если АМ =
= ВМ = 2 см, СМ = 1 см.
160 (А). Существует ли треугольник, стороны ко-
торого образуют арифметическую прогрессию с разно-
стью d = 13?
161 . Па дуге ВС окружности, описанной около равно-
стороннего ААВС, взята произвольная точка М. Отрезки
АМ и ВС пересекаются в точке N. Доказать, что
1 1 _1_
MN ~ ВМ СМ ’
162 (А). В ААВС длины сторон образуют арифме-
тическую прогрессию, причем ВС < АС < АВ. Извест-
но, что — =
R
r 2-V3
, где г и Л — соответственно радиусы
вписанной и описанной окружностей. Найти АВ.
163 (А). Ь четырехугольни-
ке ABCD АА = АВ = АС = 45°.
164 (А). Периметр прямо-
угольного треугольника равен
12 см. Найти радиус вписанной
окружности, если известно, что
стороны треугольника образуют
арифметическую прогрессию.
165 . Разделить данную тра-
пецию на 9 равных и подобных
заданной.
166 .Три квадрата располо-
жены, как показано на рисун-
ке. Найти величину угла между прямыми АВ и СВ.
167 . Внутри произвольного треугольника взяты
две точки так, что расстояния от одной из них до сто-
рон треугольника равны 2, 4 и 16, а от другой (в том
же порядке) — 5; 6 и 12. Найти радиус окружности,
вписанной в данный треугольник.
168 (А). На основании равнобедренного треуголь-
ника построен правильный треугольник, площадь ко-
торого в 3 раза больше площади данного. Найти углы
треугольника.
169 (А). Основание равнобедренного треугольника
равно 12, а расстояние от вершины основания до точки
пересечения биссектрис равно 3\/б. Найти радиус
окружности, описанной около треугольника.
170 (А). В треугольник вписана окружность. Пря-
мые, соединяющие центр окружности с вершинами,
делят треугольник на части с площадями 120; 104 и
112. Найти радиус вписанной окружности.
171 (А). В равнобедренной трапеции острый угол
между диагоналями, противолежащий боковой сторо-
не, равен а. При каком значении а диагональ трапе-
ции в 2 раза больше высоты?
172 (А). В равнобедренном остроугольном А АВС
основание АС = 24, а расстояние от вершины В до
точки М пересечения высот равно 7. Найти радиус
окружности, вписанной в Л АВС.
173 (А). Высота равнобедренной трапеции, равная
21, делит основание трапеции в отношении 1:9. Опре-
делить радиус описанного круга, если боковая сторона
трапеции равна меньшему основанию.
174 (А). Площадь квадрата, построенного на боко-
вой стороне равнобедренного треугольника, в 4 раза
больше площади треугольника. Найти R/г, где R и
г — соответственно радиусы описанной и вписанной
окружностей.
175 (А). Основания трапеции равны 4 и 16. В нее
вписана и около нее описана окружность. Найти про-
изведение радиусов вписанной и описанной окружно-
стей.
176 (А). Б четырехугольнике ABCD АВ = 5 см,
ВС = 3 см, АО = 8 см, ZA = 80°, АВ = 120°. Найти сто-
рону СО.
177 (А). В ААВС АВ = 7, АС = 20, ВС = 15. Окруж-
ность, вписанная в этот треугольник, касается его сто-
рон в точке М, N и К. Найти S,
178 . Доказать, что в прямоугольном треугольнике
г = 4s + R2, где S — площадь, г и В — соответственно
радиусы вписанной и описанной окружностей.
179 (А). Два угла треугольника, прилежащих к
одной стороне, равны 45° и 60°. Найти отношение R/r,
где R и г — соответственно радиусы описанной и впи-
санной окружностей.
180 (А). В ромб, который разделяется диагональю
на два равносторонних треугольника, вписан круг,
радиус которого равен д/з. Найти сторону ромба.
181 . Диагонали параллелограмма разбивают его на
4 треугольника. Найти отношение площади каждого
из них к площади параллелограмма.
182 . Диагонали прямоугольника уменьшили в
3 раза. Будет ли полученный прямоугольник подобен
данному?
183 (А). Высота CD, стороны АС, АВ и СВ ААВС со-
ставляют арифметическую прогрессию с разностью d.
Найти радиус вписанной окружности, если известно,
что высота CD опущена на сторону АВ.
184 (А). Высота, проведенная к гипотенузе, делит
ее на отрезки, пропорциональные числам 16 и 25.
В каком отношении делит гипотенузу биссектриса
прямого угла?
71
185 (А). Доказать, что если 0 < х < —, то
< 7 V 19 А
I 1 +--II 1 + -^- >293.
\ sin х cos х J
186 (А). Доказать, что 35 sm2x > 6 sin 2х - 1.
187 (А). В ЛАБС ВС = 14 дм, BD — медиана,
^АБ£> = 45°, ACBD = 30е. Найти АВ и BI).
188 (А). Периметр ромба содержит 2р см, сумма
его диагоналей m см. Найти площадь ромба.
189 . Доказать, что площадь равнобедренной трапе-
ции определяется по формуле S = — ш1 sin а, где m —
2
длина диагонали, а — угол между ними.
190 . В А АВС АС = 120е, ВС = а, АС = Ъ. Найти дли-
ну биссектрисы CD.
191 (А). В классе из 30 учащихся получили ка кон-
трольной оценки «5», «4», «3>>, «2». Сумма получен-
ных оценок равна 90, причем «троек» было больше,
чем «пятерок» и «четверок». Кроме этого, известно,
что число «четверок» кратно 5, а число «троек» крат-
но 7. Сколько и какие оценки получил класс?
192 . Из бака, наполненного спиртом, вылили часть
спирта и долили водой. Потом из бака вылили столько
же литров смеси. После этого в баке осталось 49 л чи-
стого спирта. Сколько литров спирта вылили в первый
раз и сколько во второй, если вместимость бака 64 л?
193 (А). В 9 «А» классе присутствуют учитель и
несколько учеников. Сколько учеников в классе, если
известно, что возраст учителя на 40 лет больше сред-
него возраста учеников и на 36 лет больше среднего
возраста всех присутствующих в классе?
194 . Через сколько минут после того как часы
показали ровно 3 часа, минутная стрелка догонит ча-
совую?
195 (А). Часы отстают каждые сутки на 5 мин. Че-
рез сколько суток они опять будут показывать верное
время?
196 (А). На 500 рублей куплено 100 штук разных
фруктов. Цены на фрукты таковы: арбуз, 1 штука —
50 рублей, яблоки, 1 штука — 10 рублей, сливы,
1 штука — 1 рубль. Сколько фруктов каждого вида
было куплено?
197(A).Мальчики из 9 «А» обменялись рукопожа-
тиями, и кто-то подсчитал, что рукопожатий было 78.
Сколько мальчиков в классе?
198 . В коробке лежат 2014 белых и 2015 красных
шаров (шэры перемешаны). Какое наименьшее число
шаров нужно вынуть из коробки не глядя, чтобы сре-
ди них обязательно нашелся 341 шар одного цвета?
199 (А). Сумма десяти первых членов арифметиче-
ской прогрессии равна 140, а произведение a2ae = 147.
Найти прогрессию, если опа является возрастающей.
20С. Цена товара со 100 тыс. руб. дважды понижа-
лась, каждый раз на 30% . Какова окончательная цена
товара?
§ 50. Ответы, указания, решения
7 класс
1. Решение.
Выразим переменную х через у
2022# Н2024
Х ” 2023
Выделим целую часть в правой части (1):
_ 2023.1/+ 2023+ '1-а) _ 1-г/
2023 2023
Так как х е N, то ——— — целое число.
2023
Пусть
1-г
2023
= У1> где yr е N, тогда 1 - у = 2023^,
откуда у = 1 - 2023у1; их = у + 1+у1 = 1- 2023у1 +
+ ух + 1 == 2 - 2О22уг
Итак, х = 2 - 2022(/р у = 1 - 2023^.
Очивлдно, что при у1 = 0 получим наименьшую
пару чисел (2; 1), удовлетворяющих условию задачи.
2. Решение. Поскольку 2025 кратно 3, то сумма ку-
бов (2675)3 + 1 — составное число.
Ответ: составным.
3. Указание. Например, при п = 5 получим 25 + 3 =
= 35 = 5 • 7 — составное число.
Ответ: например, при п = 5.
4. Указание. Записать уравнение в виде
(2х + I)2 - (2у)2 = 1.
Ответ: (0; 0), (-1; 0).
5. Решение.
Выразим переменную у через х и з:
, , « 1 - ZX
у{Х + 2) = 1 - 2Х, откуда у =-.
2 + Х
Поскольку (х, у, з) е Z, то получим
1-зх (з2+1)-з(х + з) з2+1
У ~ ~ ~ %•
2 + Х 2 + Х 2 + Х
Пусть з2 + 1 = z -I- х, тогда у = 1 — з.
Итак, х = з2 - z + 1, у = 1 - 2, т. е. исходное урав-
нение имеет бесконечное множество решений в целых
числах.
Ответ: х = з2 - з + 1, у = 1 - з, (х, у, г) с Z
6. Ответ: 1 023 467 895.
7. Ответ: 175.
8. Ответ: не существует.
9. Указание. Записать уравнение ь виде
(х - Зу)(х2 + Зху + 9у2) = 37 = 1 - 37,
где х - Зу < х < х2 + Зху + 9г/2.
Ответ: х = 4, у = 1.
10. Указание. Записать уравнение в виде
4m2(n - 1) - (п - 1) = 57, или
(2т - 1)(2т + 1)(п - 1) - (п - 1) = 57 = 1 • 3 19.
Ответ: т = 1, п = 20.
11. Ответ: х = 4 + 15k, у = 3 + 13k, k е Z.
12. Указание, (х - 1)(у - 1) = 5. Далее учесть, что
5 = 51 = 1- 5 = (-5) • (-1) = -1 • (-5).
Ответ: (6; 2), (2; 6), (-4; 0), (0; -4).
13. Ответ: (х2 + х + 1)(х3 - х2 + 1),
14. Ответ: (х6 - х5 4- х3 - х2 4- 1)(х2 + х И).
1 5. Указание. Записать многочлен в виде
((х2 + I)2 - х2) + 2023(х2 + х + 1).
Ответ: (х2 + х + 1)(х2 - х + 2024).
16. Указание. Записать многочлен в виде
((х + у + z)3 - х3) - (у3 + z3) и т. д.
Ответ: 3(у + z)(x + у)(х 4- а).
17. Решение.
х5 - 1 = х5 - х2 4- х2 - 1 = х2(х3 - 1) 4- (х2 - 1) =
= х2(х - 1)(х2 + х 4- 1) 4- (х - 1)(х 4- 1) =
= (х - 1)(х4 4- х3 4- х2 4- х 4- 1).
Замечание. Разложить на множители можно и дру-
гими способами.
18. Ответ: (а2 4 4а 4- 5)(а2 4- 4а 4- 1).
19. Указание. Преобразовать данное выражение к
виду (5ху 4- 4г/)(7хг/ 4- 4х) = А2 - В2 = (_4 - В)(А 4- В).
Далее решить систему уравнений
А+В-7ху + 4х,
А-В = 5ху + 4у
и установить, единственное ли это решение.
Ответ: (бху 4- 2х 4- 2у\2 - (ху + 2х - 2у)2.
20. Ответ: (а2 + Ь2)2 + (а2 - Ь2)2.
21. Указание. п(п - 3)(п2 - Зп + 26) =
= п(п - 1)(л - 2)(л - 3) + 24гг(п - 3) делится на 24.
22. Указание. 71х + 53г/ = 4(5х + 9г/) + 17(3х + г/).
23. Решение.
(п - 1)п(п + 1) — произведение грех последователь-
ных целых чисел. Тогда имеем (n — l)n(n + 1) + п =
= (п2 - 1)п + п = п3.
24. Указание, п3 + 17 п = (п3 - п) + 18п =
= (n - l)n(n + 1) + 18п — делится на 6.
25. Решение.
( 1 У з
X2 + ху + у2 = х + — у \ +— у2 > 0.
к 2 J 4
26. Указание, (х - З)2 + (х - 2)2 + (х - I)2 + х2 +
+ (х + I)2 + (х + 2)2 + (х + З)2 = ... 7(х2 + 4) — делится
на 7.
27. Указание, п3 - п = (п - 1}п(п + 1).
28. Решение.
При делении на 11 получается один из 11 остатков:
0, 1, 2, ..., 11. По условию чисел 13 и по принципу Ди-
рихле остатки от деления на 11 у каких-то двух из них
совладают. Разность этих двух чисел делится на 11.
29. Решение.
Посчитаем НОД числителя и знаменателя с помо-
щью алгоритма Евклида:
НОД(35п + 2; 14п + 1) = НОД(21п + 1; 14n + 1) =
= НОД(7п; 14п + 1) = НОД(7п; 7n + 1) = НОД(7л; 1) = 1.
Следовательно, числитель и знаменатель дроби —
взаимно простые числа.
30. Указание. (2n 4 З)2 = 4л2 + 12п 4 9 = (4п(и 4 3) 4
4 8) + 1.
31. Ответ: (а 4 Ь)2 4 (а - Ь)2 + (а + с)2 4 (а - с)2 4
4 (Ъ 4 с)2 4 (Ъ - с)2.
__ tn т тг. ’ т(т + 1\(т I-2)
32. Указание. - + —ч----= — -----—-----
3 2 6 6
33. Решение.
р2 - 1 = (р - 1)(р + 1). Заметим, что р - 1 и р 4 1 —
четные, поскольку числор — нечетное ир > 3. Из дзух
последовательных четных чисел одно делится на 2,
другое — на 4, поэтому р2 - 1 делится на 8. Кроме того,
р — 1 ир 4 1 делятся на 3, так как эти числа вместе ср
составляют три последовательных целых числа, а р на
3, согласно условию, не делится. Значит, р2 - 1 делит-
ся на 24.
34. Указание, х5 4 у-' = (х4 4 р4)(х 4 у) - ху(х3 4 у3);
х4 4 у4 = (х2 4 г/2)2 - 2х2у2 = ((х 4 у)2 - 2ху)2 - 2х2у2;
х3 4 у3 = (х 4 у)3 - Зху(х 4 у) и т. д
35. Решение.
1611 4 235 36 37 38 39 * * * * = (24)11 4 238 = 244 4 238 = 238 • (26 4 1) =
= 238 65 — целится на 13.
36. Указание. 28т 4 98и = 5(3т 4 4п) 4 13(т 4 6п).
37. Решение.
555333 4 ЗЗЗ555 = 5 5 5 555332 4 333 • ЗЗЗ554 =
= 5 • 111 555332 4 3 • 111 • ЗЗЗ554 = 5 - 3 • 37 • 555332 4
4 3 • 337 ЗЗЗ554 = 37 • (15 555332 4 9 ЗЗЗ554) — де-
лится на 37.
38. Указание, а2 4 9afe 4 Ь2 = lab 4 (а 4 Ъ)2.
39. Решение.
Допустим, что р2 - 5 = 8т, где т е N. Поскольку
р 2, то р — нечетное число. Пусть р = 2k 4 1, k е N,
тогда имеет место равенство (2k + I)2 - 5 = 8m, следо-
вательно, k(k 4 1) = 2m 4 1. Как видим, в левой части
полученного равенства стоит четное число, а в пра-
вой — нечетное. Получили противоречие. Значит,
наше допущение неверно, ч. т д.
40. Указание. 2k(2k + 2) = 4/?(Л + 1) — кратно 8.
41. Указание. Всякое трехзначное число с одинако-
выми цифрами имеет вид ааа = 111а = 37 • За — крат-
но 37.
42. Указание. Упростить левую часть равенства,
затем учесть, что а + b = 1.
43. Решение.
3111 < 3211 = (25)11 = 2м. Кроме того, 1714 > 1614 =
= (24)14 = 256 > 255.
Следовательно, 3111 < 1714.
44. Указание. 2n + 1 = (n + I)2 - п2.
45. Решение.
Возможны 3 случая:
1) х < 0, тогда х16 - х12 + х8-х + 1>1>0;
2) 0 < х < 1, тогда х16 - х12 + х8 - х + 1 = (1 - х) +
+ х8(1 — х4) + х16 > 0;
3) х > 1, тогда х16 - х12 + х8 - х + 1 = х12(х4 - 1) +
+ х(х7 - 1) + 1 > 1 > 0.
46. Указание, а3 - а = (а - 1)а(а + 1) — произведе-
ние трех последовательных целых чисел.
47. Указание. Предварительно доказать, что про-
изведение пяти последовательных целых чисел делит-
ся на 3, на 8 и на 5.
48. Ответ: 142 857.
49. Указание. Учесть, что всего 900 трехзначных
чисел. Далее разбить их на семерки последовательных
чисел вида (100, 101, ..., 106), (107, 108, ..., 113), (114,
115, ..., 120), ..., (996, 997, 998, 999),
Ответ: 128.
50. Решение.
Условию задачи отвечает положение стрелок в 3 ч,
в 9 ч, в 15 ч, в 21 ч.
Заметим, что условие будет сохраняться через по-
ворот часовой стрелки по циферблату на 1/11 полного
угла. Значит, всего за сутки таких положений будет
11 4 = 44.
Ответ: 44.
51. Ответ: единственное число 169.
52. Ответ: (х2 + 2х)2 + (х2 - 2х)2 + (х2 - 4)2.
53. Ответ: 45 и 90.
54. Указание. Согласно условию имеем уравнение
100х + у = 9(10х + у).
Ответ: 45.
55. Указание. Имеем 10а + Ь = (а + ьу.
Ответ: 81.
56. Ответ: 69 999.
„ „ 11111,
57. Ответ: — ч 1—i--1--= 1.
2 4 7 14 28
58. Ответ: 9.
59. Указание, abc = 13 ас, где abc = 100а + 104» + с,
ас = 10а + с.
Ответ; 130, 195, 260, 390.
60. Ответ: 0,5.
61. Решение.
Зх4 + 2 г/4 + 5х2г/2 + у2 = Зх4 + Зх2у2 + 2х2у2 -+ 2 г/4 +
+ у2 = Зх2(х2 + у2) + 2у2(х2 + у2) + у2 = Зх2 • 1 + 2у2 • 1 +
+ у2 = Зх2 + Зу2 = 3(х2 + у2) = 3 1 = 3.
Ответ: 3.
62. Ответ: 9801.
63. Указание. Учесть, что 5678хг/ делится на 24,
если оно делится на 8 и 3.
Если число делится на 8, то 8ху также делится на
8, т. е. 800 + Юх + у = 8р.
Кроме того, учесть признак делимости на 3.
Ответ: 567 840, 567 816, 567 864.
64. Указание. По условию 10а + b = а2 + ab + Ь2,
или а(9 + b) = (а + b)(a + 5-1).
Ответ: 91, 13, 63.
65. Ответ: 12 и 75.
66. Указание, ху = Юх + у = х + у2.
Ответ: 89.
67. Ответ: можно, 1 000 000 = Ю6 = 2б • 5б.
68. Ответ: 72.
69. Решение.
Согласно условию х = а2 + а3, где 100 < х < 1000,
а — целое число.
Поскольку х — трехзначное число, то 4 < а < Ю,
тогда х = а2(1 + а), и так как х кратно 7, то а2 или
1 + а кратно 7.
Если а = 6, то х = 62 • (1 + 6) = 252 — кратно 7; если
а = 7, то х = 72 • (1 + 7) = 392 — кратко 7.
Итак, искомые числа 252 и 392
Ответ: 252: 392.
70. Ответ: а = 1, а = 3.
71. Ответ: а = -2, 5 = 2.
72. Ответ: 1.
73. Указание. Записать выражение в виде
х2(х2 + х) I- х(х2 + х) + 3(х2 + х) + 1
Ответ: 71.
74. Ответ: при п = 3.
75. Ответ; (a2 + а - 1)(а2 - а - 1).
76. Указание. Обозначить а = 501, тогда 1502 =
= За — 1 и т. д.
Ответ: 500.
77. Ответ: 1099 страниц.
78. Ответ: 42.
79. Ответ: 0.
80. Ответ: 24 и 8 или 54 и 2.
81. Ответ: 91 и 9.
82. Ответ; 91.
83. Решение.
99 99810 < 100 00010 = (1U5)10 = 105С = (1010)5 =
= 10 0 0 0 000 0005 < 10 000 000 0015.
Ответ: первое число меньше второго.
84. Указание. Записать искомое число А в виде А =
= ЮН + 9, где В — число, которое получается при за-
черкивании последней цифры 9.
Из условия следует, что 4 • (10В 4 9) = 9 • 10ге 4- В,
где В — n-значное число.
3
Далее получим В = — (10ге - 4) и т. д.
Ответ: 230 709.
85. Ответ: 2д/13.
86. Указание, х — первая цифра числа, у — вто-
рая, z — третья, тогда
xyzxyz = 7 11 • 13 • (100х + Юу + г)ит. д.
87. Указание. Вначале сократить дробь Тогда по-
лучим (6 + 5)(6 - 5) = 11 1 = 11.
Ответ: 11.
88. Решение.
Разделим окно на 15 квадратиков размером 10 см х
х 10 см. Если в каждом квадратике не более двух мух,
то всего на окне не более 2 15 = 30 мух.
Так как по условию мух всего 31, то в каком-то квад-
ратике сидят хотя бы 3 мухи, и мухобойка закрывает
этот квадратик. Л это значит, что мухобойкой можно
прихлопнуть сразу трех мух.
89. Решение.
Согласно условию задачи среди учениц класса най-
дутся две, отличающиеся цветом волос. Если они от-
личаются еще и ростом, то задача уже решена.
Если же они одного роста, то в классе найдется уче-
ница, отличающаяся ростом от первых двух. Но цвет
ее волос будет отличаться от цвета волос по крайней
мере одной из первых двух учениц.
Следовательно, в этом классе найдутся две ученицы,
которые отличаются и цветом волос, и ростом, ч. т. д.
90. Указание, (х - 1)х + 1) < х2, где х = 1234568.
Ответ: первое число меньше второго.
91. Ответ: 0.
92. Ответ: через 19 лет.
93. Указание. 50т + 86п = 13(4тп + 5и) + 7(т -+• Зп).
94. Указание. Заметим, что -= — ----;
2-4 2 12 4J
1 1 _i_y 1 i г 1______________________1_у
4 6~2\4 6 Р 2020 2022-2\2020 2022/
1 1 1 >
2020 2022 “ 2 । 2022 2024/
Следовательно, искомая сумма
s_ _1Г1_______1 Л 1 1010 505
“’-2\2 2024 J ~ 2 2024 ~ 2024
95. Указание. Выразить х3 4- у3 и х2 + у2 через а и Ь.
Ответ: аъ - 5а3Ь 4 5аЬ2.
96. Ответ: 2.
97. Решение.
с = 2 - (-9 + 7) = 4;
а + Ъ = 13 - 4 = 9,
t = 11 - (а + Ь) = 2.
Ответ: t = 2.
98. Решение.
Поскольку х + у = 1 + ху, то, возведя обе части ра-
венства в квадрат, получим х2 + 2ху + у2 = 1 + 2ху 4-
+ х2у2. Отсюда следует, что х2 + ху + у2 = 1 + ху + х2у2.
Тогда значение дроби равно 1.
Замечание. Можно привести и другие способы ре-
шения.
Ответ: 1.
99. Указание. Умножить числитель и знаменатель
дроби на х2 — у2. Тогда после преобразований получим
х2 - ху + у2
(х-у)2
„ х2-хц + ц
Ответ. -------5—.
(x-У Г
100. Решение
b = 9е - За, тогда 100а + 10b 4- с = 100а 4- 10 • (9с -
- За) 4- с = 70а 4- 91с = 7(1 0а 4- 13с) — делится на 7.
101. Решение.
Из условия следует, что указанные три месяца
содержали всего 12 воскресений. А поскольку один
из любых семи подряд идущих дней является воскре-
сеньем, то эти месяцы насчитывали вместе меньше
чем 13-7 = 91 день Остается заметить, что любые три
подряд идущих месяца, среди которых нет февраля,
насчитывают не меньше чем 91 день.
102. Ответ: 6.
1G3. Ответ: 157.
104. Решение.
Всего был сыгран 7 6 : 2 = 21 матч. Если бы они
все закончились победой одной из команд, то сумма
очков, набранных всеми командами, была бы равна
21 • 3 = 63. По из условия задачи следует, что общая
сумма набранных очков равна 58. Поскольку при каж-
дой ничьей командам присуждается по одному очку,
то из трех очков при ничьей теряется одно. Но всего
потерянных очков в турнире будет 63 - 58 = 5. Значит,
5 матчей закончились вничью.
Ответ: 5.
105. Указание. Обозначить а = 2023 и т. д.
Ответ: -2023.
106. Решение.
Нельзя. Первоначально включено четное число
переключателей (в точности 0), за одну операцию ко-
личество включенных переключателей изменяется на
четное число.
Следовательно, за любое число операций можно
изменить количество включенных переключателей
лишь на четное число, а 2023 — нечетное.
Ответ: нельзя.
107. Решение.
Так как а3 - 1 = (а - l)(tz2 + а + 1) =
= (а - 1) а | а + —+ 1 | = 0. где а + — = -1 (по условию),
a J а
то а2 - 1 = 0, т е. а3 = 1. Значит, а‘’ог5=(а‘) 5=1;
-Ду = 1, тогда а2025 + -Д- = 2.
Ответ: 2.
108. Указание. Положить g=-^~
ху
Ответ: 1
109. Ответ: 44 .
110. Ответ: 193.
1 1
111. Указание. ---—
н(/г + 1) п п + 1
2023
Ответ:------.
2024
112. Ответ: 376 • 376 = 141 376; 625 • 625 =
= 390 625.
1 13. Ответ: 3930 + 3980 = 7910.
114. Решение.
Параллельным переносом сдвинем прямые так,
чтобы они пересекались в одной точке.
Так как каждые две из них пересекаются, то парал-
лельных среди них нет, а при такой операции все 9
будут различными Тогда угол 180э : 9 < 21° (по прин-
ципу Дирихле).
115. Ответ: 85 931 + 85 931 = 171 862
116. Ответ: —.
7
117. Указание. Учесть, что должно выполняться
равенство Зх2 - 4х + 7 = Зх2 + х - 2.
Ответ. 1,8.
118. Ответ: х = 1,5.
119. Указание. Учесть, что х + 1. Далее рассмо-
треть два случая: 1) 4х - 3 > 0; 2) 4х - 3 < 0.
Ответ: хг = 1,5; х2 = -^(-5-л/73).
12Г. Решение.
Так как, (х + у)2 = (х + 3 -I- у - З)2 = (х + З)2 +
+ 2(х + 3)(х - 3) + (у - З)2, то данное уравнение примет
вид (х + З)2 - (х + 3)(х - З)2 + (у - З)2 = 0.
Полученное равенство возможно лишь при х + 3 =
= у - 3 = 0, т. е. при х = -3; у = 3.
Ответ: х = -3; у = 3.
121. Ответ: 87 130 + 8213 = 95 343.
122. Указание, х > 0, тогда х = |z/|.
123. Указание. График состоит из двух прямых:
х = -3 и у = 2.
124. Ответ: a) k = -5: б) k Ф -5; в) таких значений
k нет.
125. Ответ: у = -Зх + 4.
126. Ответ: при -3 < у < 2 — решений нет;
при у= 2 — одно решение; при у > 2 — два решения.
127. Указание. Рассмотреть случаи:
1) х > 0; у > 0; 2) х > 0, у < 0; 3) х < 0, у < 0;
4) х < 0, у > 0.
128. Ответ: х = 6, у = 3, z = 2
129. Ответ: квадрат со стороной 4.
130. Ответ: при k = 0,5.
131. Указание. Z2 = Z1 - (50° + 2х).
132. Указание. Вычесть из второго уравнения первое.
133. Указание После сокращения дроби получим
у = х - 1 при условии, что х 7= 1. Строим график функ-
ции у = х — 1, исключая точку х = 1.
134. Ответ: х = 55 102022; у = 45 • 102022.
135. Ответ: нет корней.
136. Решение.
Г х + у - 7,
Запишем систему в виде <
[ху -2“ +8.
Так как z2 + 8 > 0 при всех z и х + у = 7 > О, то х > О,
у > 0. Поскольку х и у — целые числа, то имеем:
1) х = 1, у = 6; 2) х = 2, у = 5; 3) х = 3, у = 4;
4) х = 4, у = 3; 5) х = 5, у = 2; 6) х = 6, у = 1.
Условию задачи удовлетворяют две тройки целых
чисел: а) х = 3, у = 4, z = 2; б) х = 4, у = 3, z = 2.
Ответ: (3; 4; 2), (4; 3; 2).
Замечание. Систему можно решить иначе, напри-
мер, используя теорему Виета.
137. Решение.
Выразим из каждого неравенства х через а:
х > 6-4а,
< а -- 3
х <-----.
I 2
В координатной системе Оах отметим штриховкой
область, заданную указанными неравенствами.
Ответ: при а < 1 решений нет;
при а > 1, х е
6-4а:
138. Решение.
139. Ответ: 15.
140. Решение.
угольника.
Ответ: 14.
1 42. Решение.
Пусть в квадрате ABCD AMDN = AN DC = a (DN —
биссектриса AM DC), AM = x, CN = y, DM = z.
Нам надо доказать, что 2 = х 4- у.
На продолжении стороны ВС отложим отрезок
CF = х и соединим точки F и D. Заметим, что AADM =
= ADCF (по двум катетам). Отсюда AADA1 = AFDC =
= р и DM = DF = z, тогда AADN = FFDN = а 4- р. Так
как ACDN = а, то а + Р = 90° - а = ECND. Выходит,
что AFDN = Z.FND, т. е. AFDN — равнобедренный (по
признаку равнобедренного треугольника). Значит,
DF = FN, или z = х + у, ч. т. д.
143. Решение.
Пусть точки А, В. С и D взяты на сторонах квадрата.
Построим отрезок ВС, затем АЕ = ВС и АЕ ± ВС,
пересекающий прямую ВС. Одна из сторон искомого
квадрата лежит на DE. Дальнейшее очевидно.
144. Ответ: 90°.
145. Указание. Дополнением данного угла до 90°
служит угол 36°. Это дополнение следует разделить
на 2 равных угла, каждый из которых составляет 1/3
данного угла.
146. Решение.
147. Указание. Использовать неравенство тре-
угольника.
148. Ответ: 91.
149. Ответ: 30°.
150. Решение. в с
Так как ABCD — тра- / -----------
пеция, то АВ || ВС, тогда / - \
ACAD = ААСВ как внутрен- х"
ние накрест лежащие при А - \
параллельных прямых АВ, --------------------у)
ВС и секущей АС. Но лС —
биссектриса (по условию), т. е. ACAD = ААСВ = /ВАС.
Значит, ААВС — равнобедренный (по признаку рав-
нобедренного треугольника), ч. т. д.
151. Ответ: 4.
152. Решение.
Так как любая прямая, проходяшая через центр
прямоугольника, делит его на две равновеликие ча-
сти, то, проведя прямую через центр исходного пря-
моугольника и центр прямоугольной дырки, разделим
нужную фигуру на две равной площади
153. Ответ: на 96% .
154. Ответ: не существует,
155. Ответ: 100°. Д
156. Ответ: 12 или 14. / \ м
157. Решение. / / \
АМАС = AAMN + ANAC = / / \
= 2ANAC + ААВМ =
= 2ANAC + 180е - 2(ANAC + // \
+ МАС), откуда имеем: и \
АМАС = 180° - 2.АМАС, или / -\Л
ЗАМАС = 180°, АМАС = 60°. \
Ответ: 60е. А с
158. Ответ: 30е, 85°.
159. Решение.
Пусть в ЛЛВС (ZC = 90°), ВС = а,
АВ - АС = Ъ. Продолжим катет АС
и отложим на продолжении от-
резок CD = Ъ. В AABD AD = AC +
+ CD = AC + b = AB. Значит, AABD
и \ABC можно построить после
построения ADBC, a ADBC можно
построить по катетам а и Ь.
160. Решение.
Z6 = Zl + Z4 и Z7 = Z2 +
+ Z5 — по свойству внешнего угла
треугольника, тогда Zl + Z2 +
+ Z3 + Z4 + Z5 = Z3 + Z6 + Z7 =
= 180°.
Значит, сумма внутренних ' ’
углов произвольной 5-конечной
звезды равна 180°. / \
Ответ: 180".
161. Решение.
Пусть гем — первоначальный радиус провода, то-
гда его длина будет равна 2лг см, а после увеличения
на 1 см станет (1 + 2г.г) см. Новый радиус провода
1 + 2лг ( 1
-----= | г4--см, он увеличился примерно на
2л 2л)
0,159 см. Ав такой зазор мышка не пролезет.
Ответ: нет.
162. Решение.
Пусть Sx и S, — соответственно площади закрашен-
ных частей квадрата и треугольника, а х — площадь
незакрашенной части квадрата и треугольника.
Тогда разность закрашенных частей равна Sx - S2 =
= (xSj + х) - (S2 + х), т. е. равна разности площадей
квадрата и треугольника, которая не изменяется при
вращении треугольника. Значит, разность закрашен-
ных частей не изменяется, ч. т. д.
163. Решение.
Накладываем треугольник на окружность так,
чтобы вершина С треугольника совместилась с какой-
нибудь точкой окружности, и отмечаем точку D пере-
сечения катета АС с окружностью. Отрезок BD будет
диаметром. Аналогично строим второй диаметр Точ-
ка пересечения диаметров будет центром окружности.
164. Указание. Провести в AAMN медиану NB и
учесть, что медиана делит треугольник на два равно-
великих.
Ответ: в 7 раз.
165. Указание. Дополнить данный угол до прямо-
го Тогда получим угол 90° - 54° = 36°, половина ко-
торого является третьей частью данного угла, так как
36° : 2 = 54° : 3 = 18°.
166. Ответ: 15°.
167. Указание. Повернуть квадрат вокруг точки Р
на 60°.
168. Указание. Провести через точку О прямые,
параллельные сторонам прямоугольника.
Ответ: 12 см2.
169. Ответ: 80°.
170. Ответ: 135°.
171. Ответ: 4.
172. Указание. Сначала доказать, что высота
ААЕВ, проведенная к АВ, равна полусумме высот
EADF и KFCB.
Отсюда сделать вывод, что S^Et] = + S^CB.
173. Решение.
174. Ответ: квадрат с вершинами в точках А(0; 5),
В(0; -5), С(5; 0), В(-5; 0).
175. Указание. В ААВС продолжить медиану АВ
за точку Е на отрезок ED = АЕ. Далее, учитывая, что
CD АВ, построить ЛАСЕ.
176. Решение.
Ответ, можно.
177. Ответ: 1 2.
178. Ответ: такой участок треугольной формы не
существует.
179. Решение.
Пусть Е — точка пересечения высоты CD и прямой
ВК. Так как ААВС — равнобедренный и CD — высота,
проведенная к основанию АВ, то АЕ = BE и ЕЕАК =
= ЕЕ АВ - ЕКАВ = 30° - 10° = 20°; EACD = - ЕАСВ =
2
= 40°, ЕЕАС = ECAD - ЕЕАВ = (90е - 40°) - 30° = 20°;
ЛАКЕ = ЕКАВ + АКВА = 40°, тогда ЛАЕК = ЛАСЕ (по
II признаку равенства треугольников), тогда ЛК = АС,
КАКС = ЛАСК = | (180° - КСАК) = | (180° - 40°) = 70е.
Ответ. 70е.
180. Указание. На продолжении стороны ВА отло-
жить отрезок ЛК и CN и соединить точку К с точкой D.
181. Ответ: 1025 овец.
182. Решение.
Нет. Допустим, что каждый из учеников получил
нечетное количество записок. Так как всего учеников
27 — нечетно, то всеми учениками вместе получено
нечетное число записок (сумма нечетного числа нечет-
ных чисел нечетна).
С другой стороны, количество полученных записок
равно количеству написанных, т. е. 27 • 2 = 54. Но
54 — четное число. Противоречие.
Ответ: нет.
183. Ответ: цыпленок стоит 100 руб., утка —
200 руб., гусь — 250 руб.
184. Указание. Пусть х, у, и, и — количество денег
соответственно у I, II, III и IV братьев. Задача сводится
к решению системы уравнений:
x+y+u±v=32 ООО»
< гг г, гг V И Т. Д.
х+7= у — 7=7и=—,
7
Ответ: у I брата — 3493 руб., у II — 3507 руб.,
у III — 500 руб., у IV брата — 24 500 руб.
185. Решение.
100 мышей за 100 дней — 200 кг зерна;
100 мышей за 10 дней — 20 кг зерна;
10 мышей за 100 дней — 2 кг зерна.
Ответ: 2 кг.
186. Ответ: 1 км S00 м.
187. Решение.
Не могло, так как на каждом листе есть четная и
нечетная страницы (последовательные страницы), то
сумма чисел на одном листе нечетна. Сумма 25 нечет-
ных чисел также нечетна, а у Сергея получилась чет-
ная. Противоречие.
Ответ: нет, не могло.
188. Ответ.: у брата 150 руб., у сестры — 160 руб.
189. Ответ: обувь подешевела на 4% .
190. Ответ: 100 кг, 40 кг.
191. Ответ: 30 г и 20 г.
192. Указание. Пусть х л — емкость канистры. Да-
лее решить уравнение (х - 0,25х) - 0,1х = 26.
Ответ: 40 л.
193. Указание. Учесть, что движение велосипеди-
ста не является равномерным, тогда и время, затра-
ченное туда и обратно, будет различным. Далее примс-
2S
нить формулу v , =---.
А +t2
5
Ответ: 13— км/ч.
7
194. Указание. Пусть х — глубина ямы, у — вы-
сота выступления его головы над копаемой ямой в
момент, когда яма вырыта наполовину.
Далее решить систему уравнений:
- + у =180,
<2
х-у = ISO
Ответ: 2 м 40 см.
195. Указание. Задача сводится к решению систе-
мы уравнений
х + 7 = 5(у-7),
’ у + 5 = 7(х-5).
2 14
Ответ' х = 7— у = 9—.
17 17
196. Указание. Если только 19 учеников достигли
13 лет, то общая сумма возрастов не более 13 • 19 +-
-I- 12 14, т. е. меньше 430 лет.
197. Указание. Согласно условию получим уравне-
ние I 1----|х = 250 000 + 300 000.
I 3 3 J
Ответ: 2 062 500 руб.
198. Решение.
Пусть х — число учеников, у — их средний возраст,
тогда (у + 24) — возраст учителя, ху + у + 24 — сумма
возрастов присутствующих в классе.
xw + y + 24 у(х + 1) + 24 24
Значит, —— -----= -------- = у + --- — сред-
х+1 х+1 х+1
ний возраст всех присутствующих в классе, который,
с другой стороны, равен у + 24 - 20 = у + 4.
24
Равенство у-\---= у + 4 дает значение х = 5. Зна-
х + 1
чит, в классе присутствуют 5 учеников.
Ответ: 5 учеников.
199. Ответ: 13 000, 33 000, 17 000, 19 000, 18 000.
2 '. . Ответ: 30 руб.
8 класс
1. Решение.
1 / 1 А4
Пусть 7"* = х, 74в‘2 + 1 = 7Л+2 ч-1 = х4 + 1.
Но х4 + 1 = (х4 + 2х2 + 1) - 2х2 = (х2 + I)2 - (\/2х )2 =
= (х2 - л/2х + 1)(х2 + v2x +1) — составное, ч. т. д.
2. Указание. Записать уравнение в виде
(7р - 6)(7х - 8) =-1.
7 5 9
Ответ: (1; 1), I —; —
<7 7
3. Ответ: например, 22 + li2 = 53.
4. Ответ: да.
5. Решение.
Так как простое р > 3, то опо имеет вид р = 3k ± 1,
k е N, тогдар2 - 1 = (3k ± I)2 - 1 = 3(3fe2 ± 2k) — крат-
но 3.
Так как р > 3, то р = 2n + 1, n е N, тогда р2 - 1 =
= (2п + I)2 - 1 = 4н(п - 1) — кратно 8, поскольку
n(n - 1) — четно. Так как р2 - 1 кратно 3 и 8, то р2 - 1
кратно 24,
Аналогично q2 - 1 кратно 24, но тогда р2 - q2 = (р2 —
- 1) - (q2 - 1) делится на 24, ч. т. д.
6. Указание. Записать уравнение в виде
X4 = (^2 _|_ J )2 _|_ 156, или (х2 _|_ _|_ 1)(Х2 _ у2 _ 1) =
= 156. Далее учесть, что 156 = 1 • 156 = 2 • 78 = 3 • 52 =
= 4 • 39 = 6 26 = 12 13. Подобрать подходящие пары.
Ответ: (-4; -3), (-4; 3), (4; -3), (4; 3).
7. Решение.
Запишем уравнение в виде
+ / 7811 x3(xV + lW 289 2748
-- — = , ИЛИ — =
х2у5±1----------------------------------289-xV+1-289
Полученное уравнение запишем в виде
х3 +--1~—= 27+ 8 .
xV+Л 36 —
И 8
Как видно, обе части уравнения представляют со-
бой цепные дроби, а поскольку натуральное число
можно представить в виде цепной дроби единствен-
ным образом, то х3 = 27, х2у2 = 36. у3 = 8, откуда нахо-
дим х = 3, у = 2.
Ответ: х = 3, у = 2.
8. Указание. Учесть, что в правильном треугольни-
ке точка О является центром вписанной и описанной
окружностей.
9. Указание. Записать уравнение в виде
(х2 - 7)(г/2 - 13) = 102. Ввести обозначение х2 - 7 = п,
102
где п е Z, тогда у2 = 13 + -, где п = ±1, ±2, ±3, ±6,
п
±17, ±34, ±51, ±102 и т. д.
Ответ: (-3, -8), (-3; 8), (3; -8;, (3; 8).
10. Ответ: (3; 1), (1; 1), (2; 2), (2; 0).
11. Ответ: 3.
12. Решение.
7100 + г 1100 = 74 ((712 )8 _ i) + i Х4((1 J12J8 _ + 74 + jp
Заметим, что 76± 1 и 118 + 1 делятся на 13, следо-
вательно, числа 712 - 1 и II12 — 1 делятся на 13. Зна-
чит, остаток от деления этого выражения на 13 равен
остатку от деления 74 + II4 на 13, который равен 12 и
находится непосредственно (учесть, что 13 — 2 = 11),
Ответ: 12.
13. Решение.
Пусть m — НОД искомых чисел, х и у — частные от
деления этих чисел на т. По условию тху = 900, (1)
4тх + ^ту =16. (2)
Покажем, что тх и ту — квадраты натуральных
чисел:
\inx = 16-у]ту, или тх = 162 + ту - 2 • 16^ту.
тх — натуральное число, значит, ту — квадрат
натурального числа, аналогично тх — квадрат нату-
рального числа.
Из (1) следует, что тху также квадрат натурально-
тху тху
го числа, следовательно, и числа х =-, у =---- —
ту ' тх
квадраты натуральных чисел.
Пусть х = а2, у = Ь2, т = с2, тогда из (1) и (2) имеем
а2Ь2с2 = 900, Ута2 + к/с2Ь2 =16, или
(abc-3Q, abc = 30, ab 15
< < откуда----= —
[ас + Ьс = 16: е(а + Ь) = 16, а+Ь 8
„ - ab
Дробь ----- несократима, так как если х и у, а и
а + Ъ
Ъ — взаимно простые числа, то (ab; а + b) = 1, откуда
а = 5; Ъ = 3, или а = 3; h = 5; с = 2.
Итак, искомые числа 100 и 36. так как тх = а2с2 =
= 25 • 4 = 100; ту = Ь2с2 = 94 = 36, или наоборот.
Ответ: 100 и 36.
14. Указание. Можно взять числа вида 625m6 и
2 • 625m6. Например, при т = 1 получим 6252 + 12502 =
= 1253 и 6253 + 12503 = 46 8752.
Ответ: например, 625 и 1250.
15. Ответ: 1839 и 183.
16. Ответ. 322.
17. Решение.
Пусть х, у — катеты, z — гипотенуза. Пусть для
определенности х > у.
Согласно условию имеем
1 Г~2 2
— xy = x + y + z, где z = у/х +у . тогда
— ху = X + у + yjx2 + у“, или
ху - 2(х + у) = 2д/х; + у2.
(1)
Возведем обе части (1) в квадрат-
х2у2 - 4ху(х + у) + 4(х 4- у)2 = 4(х2 4- у2), или после
упрощений имеем ху(ху - 4(х + у) + 8) = 0.
Так как х > 0, у > 0, то ху ф 0, тогда
ху - 4(х 4- у) 4- 8 = 0, или (х - 4)(у - 4) = 8. (2)
Но 8 = 1 • 8 = 2 • 4, тогда из (2) имеем
Итак, существуют два прямоугольных треугольни-
ка, удовлетворяющих условию задачи: (12; 5; 13) и
(8; 6; 10).
Ответ: (12; 5; 13) и (8; 6; 10).
18. Указание. Умножить обе части равенства ка 2,
затем выделить полные квадраты.
Ответ: 60е, 60е, 60е.
2
19. Ответ: —
20. Указание, abc = 100а + 100 + с = с3, или
10(10а 4- Ь) = (с - 1)с(с + 1).
Ответ: 125; 216; 729
21. Решение.
Запишем данное уравнение в виде у2 = х2(1 + х).
Чтобы у было целым числом при х целом, положим
1 + х = а2, тогда х = a2 - 1 и у = ах, или у = а(а2 - 1).
Итак, соотношения х = а2 - 1 и у = а(а2 - 1) задают
бесконечную серию решений.
Ответ: х = а2 - 1, у = а(а2 - 1).
22. Указание. Если число х = 1 + д/з —один из кор-
ней данного уравнения, то получим
3(1 + л/З)3 + а(1 + д/З)2 + 6(1 + л/З) +12 = О, или после упро-
щений имеем (4а + Ъ + 42) + (2а Ъ + 18)л/3 = 0. Тогда
4а+ 6 + 42 = 0,
[2а + б4 18 = 0,
откуда находим а = -12, тогда 6 = 6.
Ответ: а = -12; 6 = 6.
23. Ответ: 32.
24. Ответ: 8.
25. Ответ: 2.
26. Решение.
Пусть хп = k2, тогда п2 - п + 19 = /?2, или
4п2 - 4п + 76 = 4Z?2, или 4/г2 - (2п - I)2 = 75, откуда
(2k + 2п- 1)(27? - 2п + 1) = 75.
Но 75 = 75 • 1 = 25 • 3 = 15 • 5.
Кроме того, 2k + 2п — 1 > 2k - (2п — 1), тогда полу-
чим 3 системы:
f 27? + 2тг — 1 = 75,
1)
[2k-2n + l = l;
[2k + 2n-l = 25, f2k + 2n-l = 15,
2) <
[2k-2n + l- 3; | 2k-2n + l - 5,
откуда находим, что наибольшее значение п = 19, то-
гда х„ = 192 - 19 + 19 = 192 — точный квадрат.
Ответ: 19.
27. Указание. 3 • (100 000 + х) = Юх + 1, откуда
находим х - 42 857, а само число — 142 857.
Ответ: 142 857
28. Указание. (100а + 105 + с) - (а + b + с) = х2, или
9(11а + Ь) = х2 => 11а + b = у2, где 0<а<9;0<5<9,
11 < 11а + 5 < 108.
Для у2 возможны значения у2 = 16, 25; 36: 49; 64;
81; 100. Из этих значений получим всего 70 чисел.
Ответ: 70 чисел.
29. Ответ: а = 5.
30. Указание. Разложить числитель на множители
и сократить дробь на х2 - 2х + 1.
Ответ: да.
31. Указание По условию х + у = аа и х2 -1 у2 + 10 =
= ху, где ху = Юх + у — двузначное число.
Ответ: 83.
32. Решение.
Пусть л/х-3 = t, где t > 0, тогда х = t2 + 3,
у = t - \t2 + 4|. Поскольку t2 + 4 > 0 при всех t, то
у = t - (t2 + 4) = -(t2 - t + 4) = -
Следовательно, наименьшее значение функции
достигается при t = — и г/ = -3,75.
2
Ответ: -3,75.
33. Решение.
г = (х - I)2 - х2 = 1 - 2х; у = (1 - 2х)2 - 4х2 = 1 - 4х;
х = (1 - 4х)2 - Юх2 = 1 - 8х, 9х = 1, х- — .
Ответ: х = —
9
34. Ответ: 2 и 222.
35. Указание. Ввести замену л/х-7 = t, где t > О,
х = t2 + 7, у = it -\t2 + 8|, где \t2 + 8| = t2 + 8 Далее рас-
смотреть функцию у = -((t - 2)2 + 4).
Ответ: -4.
36. Решение.
Пусть Зх 4 2у - z = t, тогда z = Зх + 2у - t. Так как
х2 + iy2 + z2 = 5, то х2 + iy2 + (Зх + 2у - Р)2 = 5. После
упрощений получим
Юх2 + бх • (2у - t) 4 8у2 + t2 - iyt -5 = 0. (1)
Уравнение (1) рассматриваем как квадратное отно-
сительно х. Оно имеет корни, если т. е.
9(2у — t)2 - 10(8z/2 + t2 - iyt + 5) > 0, или
-44z/2 + iyt - t2 + 50 > 0. (2)
Неравенство (2) рассматриваем как квадратное от-
носительно у.
Аналогично имеем или + ' (50 “ ^2) - 0,
или -40Z2 > -2200, t2 < 55, откуда -^55 < t < V55.
Следовательно, наименьшее значение выражения
Зх + 2у - z равно -д/55.
Ответ: -л/55.
37. Указание. Преобразовать данную функцию к
виду у =
откуда 1/наим.
5
7’
Ответ: —.
7
38. Решение.
Пусть п2 - п + 17 = k2, тогда 4n2 - in + 68 = ik2, или
4k2 - {2п - I)2 = 67.
Заметим, что 67 — простое число, значит,
(2k + 2п - 1)(2/г - 2п + 1) = 67 1, откуда
\2k-r2n-3. = 67,
2k-2n + l = l
Складывая и вычитая почленно уравнения систе-
мы, находим k = 17, п = 1 7.
Следовательно, в данной последовательности хп
единственным точным квадратом является число
Х41 = 172.
Ответ: 172.
39. Решение.
Так как З3 + 44 + 55 = 3408, то 340861 = З3 • 340860 +
+ 44 • 340860 + 55 • 340860 = (3 • 340820)3 + (4 • 340815)4 +
+ (5 • 340812)5.
Следовательно, х = 3 • 34082П; у = 4 • 340815;
г = 5 • 340812.
Ответ: х = 3 • 34082П; у = 4 • 3408^; z = 5 • 340812.
40. Ответ: х = 9; у = 8.
41. Ответ: 1089.
42. Указание. Записать многочлен в виде
(х + ] )3 + (х + I)2 + (х + 1) + 1.
Ответ: 1, при х = -1
х + 7 11
43. Указание. Записать дробь в виде-= 1 ч-.
х-4 х-4
Ответ: -7; 3; 5; 15.
44. Ответ: х1 = 0,5; х2 = -1
45. Решение.
Так как р — корень уравнения, то р2 - 7р + 7 = 0,
тогдаpi - 245р + 281 = (р* - 7р 4- 7)(р2 + 7р + 42) - 13 -
- 0 - 13 = -13.
Ответ: -13. 46
46. Ответ: 0.
47. Ответ.
2275
4 1300
32г
47775
48. Ответ: 5\'3-Зл/5.
49. Ответ: 172 = 289.
50. Решение.
Искомое 6-значное число имеет вид 1313ху, где
х — цифра десятков, у — единиц.
Кроме того, 10 < ху < 99. Имеем:
1313хг/ = 131 300 + ху = 2477 • 53 + (19 + х^).
Отсюда видно, что 19 + ху кратно 53, если
ху = 53 - 19 = 34, или ху = 2 53 - 19 = 87.
Итак, х = 3, у = 4 или х = 8, у = 7.
Ответ: 3 и 4 или 8 и 7
51. Указание. Записать многочлен в виде
х4 + ах3 + bx2 - 8х + 1 = (тх2 + пх + р)2.
Далее раскрыть скобки и сравнить коэффициенты
при одинаковых степенях.
Ответ: при а — -8, b = 18 и а = 8, b = 14.
52. Ответ: второе число больше.
53. Ответ: нечетным.
54. Ответ: 324.
55. Ответ: при т = -27/4.
56. Ответ: 5411
57. Ответ: 6 и 54.
58. Решение.
(л'2022+72020)2 = 4042 + 2/2022 2020 =
= 4042 + 2л/20212 -1 < 4042 + 2у20212 = (2V2021)2.
Ответ: второе число больше.
59. Указание. Согласно условию имевхЧ систему
' а3+Ь3 =35, —
уравнений <__ _ где аЪ = 10а + Ь.
ab-9 = ba,
Ответ: 32.
60. Ответ: 8712.
61. Указание. Положить х2 + х + 1 = у.
Ответ: (х2 + х + 5)(х2 + х - 2).
62. Ответ: а7 - 1а2Ъ -I- 14а3Ь2 - 7ай3.
63. Ответ: f^x- —"l + LP^ .
64. Ответ: (х2 + х + 1)(х3 - х2 + 1).
66. Ответ: 1) при а = -8, b = 18; 2) при а = 8, b = 14.
67. Ответ: (х - 2)(х4 + х3 + х2 + х + 1).
68. Ответ: 1
х — 1
69. Ответ: —----.
х2 - х + 1
70. Ответ: 1,5(За/2-4)(3 + Т2+л/3).
71. Указание. Применить теорему Виета.
Ответ: при а = -3, а = 2.
72. Указание. Записать многочлен в виде
(19х + 99)2 + (19х + 15)2 = 2 • 192х2 + 2 • 19 • 114х +
+ (992 + 152).
Далее учесть, что х0 = — — абсцисса вершины па-
2a
раболы.
Ответ; при х = -3.
73. Ответ:
74. Ответ:
а2-1
а4 - 2а2 + 4
75. Ответ: при с =- 2.
76. Указание. Данное неравенство равносильно си-
стеме неравенств
fy + 3x-rl<7-3|x|, [3|х|<6-у + 3х,
< . , или
[у + Зх + 1 > 31 х | -7, I 31 х|< у + Зх + 8.
Решая полученную систему неравенств, имеем
у < -6х + 6,
У ^6,
»4-8,
у > -6х-8.
Далее строим фигуру, заданную полученной систе-
мой.
98
Ответ: —.
3
77. Указание. Выразить из каждого уравнения па-
раметр а через х, а затем сравнить правые части полу-
ченных. равенств.
Ответ: при а = 5.
78. Ответ: 2.
79. Ответ: да.
80. Ответ: х-3, при х * -3, х * -7.
81. Указание. Записать число 31х1у6 в стандартном
виде: ДГ = 3 • 105 + 1 104 + х • 103 + 1 102 + у 10 + 6,
где 0 < х < 9, 0 < у <9. Далее найти такие целые числа
х и у, чтобы число N делилось на 157, т. е. 3 105 =
= 157^ + 3 • 148; 1 • 10> = 157г2 + 109; х 103 = 157г3 +
+ 58х, где г,, г2, г3 — соответственно остатки, получае-
мые при делении на 157 чисел 105, 104 и 103.
Ответ: при х = 2, у = 1.
п2 -25
82. Указание. Пусть-------= k, где k е N. Тогда
13/7 +11
п2 - 25 = &(13и + 11), или п2 - 13kn - (Ilk + 25) = 0.
Далее решить квадратное уравнение относительно пе-
ременной п.
Ответ: п = 157.
83. Указание. Использовать формулу
а6 4 6е = (а2)3 - (&2)3 = (а2 + 62)(а4 - a2b2 + &4).
84. Указание, а3 + Ья + с3 - (а + b + с) = а(а2 - 1) +
+ b(b2 - 1) + с(с2 - 1) = (а - 1)а(а + 1) + (b - l)b(b + 1) +
+ (с - 1)с(с + 1).
Далее учесть, что произведение трех последователь-
ных целых чисел делится па 6.
85. Решение.
Заметим, что х20 + х10 + х2025 = х2((х3)6 — 1) +
+ х((х3)3 - 1) + ((х3)675 - 1) + (х2 + х + 1).
Поскольку (х3)" - 1 делится на х3 - 1, а значит, и на
х2 + х + 1, то данный многочлен делится на х2 + х + 1,
ч. т. д.
86. Указание. Доказать методом от противного.
Пусть число а/З+л/й+л/Т рационально, т. е.
л/З+л/б+х/7 = —, где р, q е Z, или х/з+л/? = —-х/б. Да-
лее возвести обе части полученного равенства в ква-
драт, получим х/21+ —х/б =-^--2,5 = —.
7 2g qx
Полученное равенство еще раз возвести в квадрат.
Тогда после преобразований имеем:
____ / 2 с 2 \ ___
д/105 =— —------—21 , т. е. д/105 — рациональ-
2р I q2 )
ное число, что неверно.
Значит, число д/З + д/б + д/7 иррациональное, ч. т. д.
S7. Указание. \ х + l/y = -д/г. Далее возвести обе
части в куб, применив формулу
(а 4- Ь)3 = а3 + Ь3 - ЗаЬ(а + Ь).
88. Указание, (х - З)3 4- (х - 2)3 4- ... 4- (х 4- З)3 =
= 7х(х2 + 12).
89. Решение.
Возведем обе части данного равенства в квадрат,
полагая, что ху Ф 0. Имеем
(х3 - z/3)2 = 4х2г/2, или
(х3 - у3)2 4- 4х3г/3 = 4х2г/2 + 4х3г/3;
(х3 4- г/3)2 = 4х2г/2(1 4- ху), откуда находим
1 + ху =
о о \2
х3 + у3 )
.. ' > ч- т- д-
2x1/
90. Указание, (х2 - х)2 4- (7х2 - х 4- 13) > 0, и т. д.
91. Решение.
Заметим, что число а3 + Ь3 + с3-а-Ь~с =
= (а - 1)а(сг 4- 1) 4- (b - l)b(b 4- 1) 4- (с - 1)с(с 4- 1) всегда
кратно 6 (как произведения трех последовательных
целых чисел).
Значит, а3 4- Ь3 4- с3 и а 4- Ъ 4- с делятся или не делят-
ся на 6 одновременно, ч. т. д.
92. Решение.
Число 1111 очевидно оканчивается цифрой 1. Число
1212 оканчивается на 6, поскольку число 124 оканчи-
вается на 6; 1212 = (124)3 также оканчивается на 6 как
произведение чисел, оканчивающихся на G. Число
1313 оканчивается на 3, так как число 134 оканчивает-
ся на 1, тогда число 1312 = (134)3 также оканчивается
на 1, число 1313 = 13 • 1312 — на 3. Итак, данное число
оканчивается нулем, так как 14-6 + 3 = 10, ч. т. д.
93. Решение.
п3 4- (п 4- I)3 4- (и 4- 2)3 = Зп3 4- Зп2 4- Зп 4- 1 4- 6п2 4-
4- 12п 4- 8 = Зп3 4- 9п2 4- 15п 4- 9 = 3(п3 4- Зп2 4- 5п 4- 3) —
делится на 3, ч. т. д.
94. Указание. Заменить 1 = ab(a 4- Ь) и подставить в
знаменатели дробей. Возможны и другие способы.
95. Решение.
c + d
2
Известно, что
а + b г~т
-----> yjab,
>\lcd, тогда
а 4- Ь с 4- d г
--------->\Jab + ca.
Ио-------->ао, значит,
4
' a+b c + d^
a+b c+d 2 + 2
2 2~~ 2~
Таким образом, ^jabcd <fa + ^ + c + cM , откуда
I 4 J
^abcd < — (а + b + с + d), ч. т. д.
4
96. Указание. Умножить числитель и знаменатель
дроби на V23. После преобразований получим дробь
(V7+ ;5)3+ь/7-д/б)3
(Vii+V7)3-(Vii-V7)3
22 11
— = — — рациональная
40 20
дробь, ч. т. д.
97. Решение.
При а = b получим тождество. Пусть а + Ь. Так как
а2Ъ2 = а 4- Ь, то а2Ь2(а - Ь) = (а 4- Ь)(а - Ь), или
a3b2 - a'2b3 = а2 - b2. (1)
Прибавим к обеим частям (1) a2b2 0:
a3b2 - а2Ь3 + а2Ь2 = а2 - Ь2 + а2Ь2, или
а2Ь3 + а2Ь2 + а2 = а3Ь2 + а2Ь2 + Ь2, откуда
а2 а3+а2 + 1
— =---------. ч. т, л.
Ь2 &3+Ь2 + 1
98. Указание. Записать выражение в виде
6"(8" - 1") + (13" - 6").
Далее учесть, что разность одинаковых степеней
делится на разность их оснований.
99. Решение.
X* + г/4 = (х2 - у2)2 + 2х2у2.
Поскольку ху = 2\ 2, то х4 + г/4 = (х2 - у2)2 + 16. (1)
Пусть х2 — у2 = z, тогда (1) запишется в виде
, , „ „ х4 4 yi z2 + 16 16
х4 + у4 = z2 + 16, значит, —-- =----= zч---, где
х-у z г
z > 0, так как х > у.
16 / 16
Но гч----->2 г- = 8, тогда, если х > у и хи = 2V2,
Z \ 2
4 4
X +у о
ТО ------7 >8, ч. т. д
100. Решение.
Заметим, что 820 125 = З8 53. В произведение 19!
число 3 входит 8 раз (по одному разу во множители 3;
6; 12 и 1 5 и по два раза во множители 9 и 18), значит,
19! делится на З8.
Аналогично 19! делится па 53, а это значит, что 19!
делится и на произведение этих чисел.
1 01. Указание. Учесть, что а2п — 1 делится на а2 - 1.
102. Решение.
По условию аЪ и а + Ь делятся на с. Тогда а3 + Ь3 =
= (а + b)(az - ab + о2) = (а + Ь)((а + Ь)2 - ЗаЬ). Как ви-
дим, выражение в каждой скобке делится на с, зна-
чит, произведение делится на с2, ч. т. д.
103. Указание. Целое число может иметь вид Зи,
Зтг+1илиЗгг-Ь 2. Установить вид квадратов этих чисел.
104. Ответ: да, например х2 + 46х + 23 = 0, где
D = 2024.
105. Указание. Всякое натуральное число можно
представить в виде 6п + 1; 6п + 2; вп + 3; 6п + 4; + 5;
6п. Далее установить, какие из них могут быть про-
стыми, найти их квадраты и остатки от деления этих
квадратов на 12.
106. Ответ: да.
197. Ответ: (х3 - х2 + 1)(х2 + х + 1)(х2 — 2х + 2)(х2 +
+ 2х + 2).
108. Решение.
Заметим, что х20 + х10 + х2022 = х2((х3)6 - 1) '
+ х((х3)3 - 1) + ((х3)674 - 1) + (х2 + х + 1).
Поскольку (х3)" - 1 делится на х3 - 1, а значит, и на
х2 + х + 1, то данный многочлен делится на х2 + х + 1.
109. Ответ: V2 + V3+V5.
110. Ответ: 35.
111. Ответ: <2025 -1.
112. Указание. А = 9" +1 - 2"+1 = (9 - 2)(9" +
+ 9"1 2 + ... + 2").
113. Указание. При х > 3 имеем у = 3; при х < 3
получим у = -1.
114. Ответ:
1 15. Указание. Рассмотреть два случая:
117. Указание. Записать данное равенство в виде
(х - 4)2 + (2у + I)2 = 0.
Ответ: -55,5.
118. Указание. Координата точки пересечения
л ~ь
прямой с осью Ох находится из условия х = —, что
2а
совладает с абсциссой вершины параболы, а такая си-
туация невозможна.
144
119. Ответ:-- м.
13
120. Ответ: 130°.
121. Указание. Предварительно доказать, что если
ZA + ZD = 90°, то KF = | (AD - ВС).
Ответ: ВС = 2 м, AD = 6 м.
122. Указание. Использовать теорему о средней
линии треугольника.
123. Ответ: 60°.
124. Указание. По условию ZA + ZD = 90°. Из вер-
шины В провести BE || CD. Доказать, что ААВЕ — пря-
моугольный, где ZABE = 90°.
125. Ответ: нет.
126. Указание. Пусть а, Ь, с — стороны треуголь-
ника, у = — (а + b + с) — полу периметр. Далее исполь-
зовать неравенства треугольника.
127. Решение.
Пусть а, Ъ — длины катетов, с — длина гипотенузы.
Поскольку с > а, с > Ь, то саг > аа2 и сЪ2 > ЬЪ2.
Складывая эти равенства, имеем с а2 + cb2 > аа2 +
+ ЬЪ2, или с(а2 + Ь2) > а3 + Ь3.
Но а2 + Ь2 = с2, тогда с3 > а3 + Ь3, ч. т. д.
Z ,2
128. Указание. т? = — +fe2; т? =
а и 7 ч
ТП?
Далее сложить почленно эти равенства.
129. Ответ: нет.
130. Решение.
Заметим, что в ЛАВ С АВ и ВО — медианы, тогда
ВМ -.во = 2:3. Значит, ВМ = -(-BD ] --BD.
3 I 2 3
Аналогично ND = — BD, ч. т. д.
3
131. Указание. Показать, что NBAF — равнобед-
ренный и АЕ — медиана и высота.
Ответ: 90е.
132. Указание. Через одну из вершин трапеции
провести прямую, параллельную диагонали.
133. Указание. Точка Р лежит на окружности
радиуса ВС с центром В, а прямая DC касается этой
окружности в точке С.
Следовательно, APCD = АРВС/Ъ = 15°.
Ответ: 15°.
134. Решение.
Поскольку а2 + Ь2 = с2, то а + Ъ + с четно, тогда
— (с - а + Ъ) и — (с + а - Ъ) — натуральные числа.
2 2
Нетрудно проверить, что
„ , ( с-а + Ь}2 (с+а-Ь}
- ab = ------ + ------- .
12 J I 2 )
135. Указание. Показать, что = 33 см2.
Ответ. 33 см2.
136. Ответ: 0,8.
137. Решение.
Разделить одну из сторон треугольника на 9 равных
частей и соединить точки деления с противоположной
вершиной. Далее учесть, что все 9 треугольников име-
ют одинаковую площадь (высота общая, основания
равны), а площадь четырех из них составляет 4/9 пло-
щади данного треугольника.
138. Ответ: 13д/з СМ.
139. Решение.
Разделим треугольник на л
4 равных равносторонних трс- / \
угольника. Длина стороны / \
каждого треугольника равна /___________\
6, значит, расстояние между
двумя любыми вершинами не / \ /
превышает 6. Поскольку точек / \ \
всего 5, а треугольников 4, то ‘ 1
хотя бы две точки попадут в
один из треугольников, и расстояние между ними бу-
дет не более 6.
140. Указание. Учесть, что точка пересечения бис-
сектрис является центром вписанной окружности.
Ответ: 6,25.
141. Указание. Так как около трапеции описана
окружность, то трапеция — равнобедренная. Посколь-
ку в трапецию также можно вписать окружность, то
сумма противоположных сторон равна.
Ответ: 5д/41.
142. Указание. Опустить высоту AF на сторону ВС.
Далее учесть, что ЛА A C ~ ABED и AAEF ~ \ВМЕ.
143. Ответ: 1 м2.
144. Ответ: 12°, 12°, 108°, 108°.
145. Указание. На продолжении стороны CD отло-
жить DM = ЕЕ и соединить точки А и М. Далее пока-
зать, что АЛВЕ = AADM.
146. Указание. Использовать тот факт, что высота
равнобедренного прямоугольного треугольника равна
половине гипотенузы.
147. Указание. Пусть х — число сторон (а значит,
х(х-З)
и вершин) многоугольника, тогда---------нх = 21,
2
откуда х = 7.
Ответ: 7.
14S. Ответ: 30°.
149. Ответ: 17 см и 6 см.
150. Указание. Доказать, что а = Ъ, т. е. треуголь-
ник равнобедренный и прямоугольный
Ответ: 45°; 45°.
151. Ответ: 24.
152. Решение.
SAttrn = —АС BD.
С другой стороны, Sj&CI) = AD BE.
Следовательно, AD BE = — AC • BD
Так как АА = 30°, то из ХАВЕ имеем BE = —АВ.
2
Но АВ = АО, тогда BE = — AD. Учитывая (1), полу-
2
чим AD —AD = —АС BD, или АО" + АС • BD, ч. т. д.
2 2
153. Ответ: 8 : 3.
154. Ответ: 288.
155. Указание. Задача сводится к решению систе-
мы уравнений
</ = 1(20-х),
Ci
< у2+й2 =132,
(2О + х)7г = 36О,
где х — длина верхнего основания, h — высота трапе-
ции, у — проекция боковой стороны на нижнее осно-
вание.
Решение системы сводится к решению уравнения
х4 - 1476х2 - 27 040х + 408 000 = 0, откуда х = 10 —
единственный корень уравнения (доказать).
Ответ: 10.
156. Указание. Учесть, что г = (а + b - с), где а,
Ь — катеты, с — гипотенуза, г — радиус вписанной
окружности. Кроме того, г = — (Ь — а) (по условию).
Ответ: 30е, 60°, 90е.
157. Ответ: 30°, 60°, 90°.
158. Указание. Из точки D е ВС провести DE || АС,
тогда Е — центр описанной около AADF окружности,
значит, ЕА = ED = ЕЕ = R. Далее доказать, что ADEB
и AAED — равнобедренные. BD = DE = FE = R = а.
Ответ: а.
159. Ответ: 15 дм.
160. Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.
161. Ответ: 48.
162. Ответ: прямоугольные трапеции с основани-
ем 2 см и 5 см
163. Ответ: 18.
164. Решение.
Если а2 + Ь2 < с2, то а3 4 Ь3 < а2с 4- Ь2с < с3.
Значит, с2 < а2 4- Ь2, т. е. треугольник остроуголь-
ный.
165. Указание. Провести через точку Р пересе-
чения диагоналей АС и BD прямую EF || ВС. Далее
учесть, что ЛВЕР ~ AABD и ADPF - ABCD.
166. Указание. Использовать соотношения:
а3 = Да/з, а4 = R j2, а6 = R.
167. Ответ: Ь> а.
а2
168. Указание. Использовать сравнение площадей:
S = рг = — ху, где х и у — катеты. Далее х2 + у2 = 4Z?2,
2
и т. д.
Ответ: 2(22? + г).
169. Указание. Учесть, чтс- в правильном треуголь-
нике точка О является цетром вписанной и описанной
окружностей.
170. Указание. Умножить обе части равенства на 2
и выделить полные квадраты.
171. Ответ: 58,8.
172. Ответ: а > О, b < 0, с < 0.
173. Ответ: 3 м; 6 м.
174. Ответ: в 1,5 раза быстрее.
175. Ответ: 12.
176. Указание. 5 • 8 • 4 = 160 способами.
177. Указание. х(х - 1) = 78.
Ответ: 13 шахматистов.
178. Ответ: в центре окружности, проходящей
через указанные точки (дома).
179. Указание. 2 +3 + 5+ 7 + 8 = 25.
Ответ: 7 экзаменов.
180. Указание. Задача сводится к решению уравне-
/ \2
I х )
ния-----3 + 1 = х.
^5 )
Ответ: 50.
181. Ответ: х = 1.
182. Указание. Замена = у.
Ответ: xr = 1; х2 = 4.
183. Указание. Учесть, что х = 1 не является кор-
нем уравнения и привести его к виду
х —1) х-1
Далее замена---= у, и т. д.
х-1
Ответ: х = 2.
184. Ответ: (4; 3), (-3; -4).
185. Указание. Выразить х4 + у4 через ху, из второ-
го уравнения х2 + у2 = 13 - ху, и т. д.
Ответ: (3; 1), (-3; -1), (1; 3), (-1, -3).
186. Указание. Сложить данные уравнения.
Ответ: (0; 0), (48; 16).
187. Указание. Записать уравнение в виде (х2 + З)2 =
= 6(х - I)2, откуда х2 + 3 = ±д/6 (х - 1). Далее решить
полученные уравнения.
Ответ: хх 2 = -(-Тб ±7476^6).
2
188. Указание. Замена х = у 4% приводит к уравне-
нию 2z/3 + у + 3 = 0, левая часть которого разлагается
на множители (у + 1)(2у2 - 2у + 3) = 0, откуда у = -1 —
единственный корень, тогда х = -д/2 — корень исход-
ного уравнения.
Ответ: х = -\2.
189. Ответ: хг = 1, х2 = 4.
190. Указание. Ввести замену
х 3
-— = У-
3 х
Ответ: х, = 6; х„ = -1,5; х, . = —(7±V193j.
1 ' & z «5, <4 д ' '
191. Указание. Разделить обе части уравнения на
(х + I)2 + 0 и преобразовать к виду
X + 1х + 1)
„ (7-х\ 7-х
Далее замена х-\ = и, хч-= и, ит,д.
\X + 1J х + 1
Ответ: х4 = 1, х2 = 3.
192. Указание. Ввести замену р = 2024 и решить
полученное уравнение относительно р.
Ответ: х1 2 = — (-1±д/8093), х3 4 = —(1±л 8097).
2 2
193. Указание. Записать уравнение в виде
Ответ: = 3,5; х2 = 0,5; х3 4 = -2±у2
Можно привести другие способы решения.
194. Указание. Записать уравнение в виде
Z 6 — X
= ——, где у > 0, z > 0; 1 + yz ф 0, тогда
1 + уг 13
fl- yz = 13,
где 0 < z < 6; 0 < х < 6.
[z = 6-х,
Ответ: (5; 12; 1), (4; 6; 2), (3; 4; 3), (2, 3; 4).
195. Ответ: 230.
196. Ответ:
197. Ответ: .Д41 376=376.
198. Ответ: I3 + 53 + З3 = 153.
199. Указание. Если m = п и р 4 п 0, т. е. равен-
р3+т3 р + т
ство —----— =----имеет место; если т/пир + п/О,
р +п р+п
то из указанного выше равенства следует, чтор = т + п.
200. Ответ: 58 725 + 58 725 + 3 958 725 =
= 4 076 175.
9 класс
1. Решение.
п(п + 1)
Данная сумма равна------- и может оканчиваться
2
на 0, 1, 3, 5, 6, 8, но не на 7.
Ответ: нет
2. Указание. Положить 213 = х, тогда 254 + 1 = 4х4 -I-1;
227 + 214 + 1 = 2х2 + 2х + 1 ит, д.
Ответ: делится.
/9
3. Ответ: -^-(д/з + 1).
4. Ответ: х1 = 1, х2 = 5,5.
5. Указание, (х - у)5 = х5 4- 5х4у + 10х3у2 + 10х2у3 4-
+ 5ху4 + у5. Далее замена х + у = а, ху = Ь, и т. д.
Ответ: (2; -1), (-1; 2), (-1; 1).
6. Ответ- х12 = ±8.
7. Указание. Записать уравнение в виде
2 25 „ 10 52
4х -— = 4-^—, откуда находим х,= —, х2= —,
3
х, = —.
3 2
8. Указание. 2(х - 1) = 2(, х 41)(% х-1).
Ответ: х, = 1; х, = —.
1 2 25
9. Указание. Умножить числитель и знаменатель
дроби в левой части уравнения на а/З-х +у/х-2.
Ответ: xt = 2, х2 = 3.
10. Указание. Записать I уравнение в виде
(х - 2у)(3х - 2у) = 0, и т. д.
Л ОН 1 Q Л
Ответ: (0; 0), (2; 3), ——- I.
V 5 5 )
11. Решение.
Если р ф 3. то 14р2 + 1 делится на 3. II действитель-
но, р = 3k + 1, или р = 3k - 1, тогда р2 = 9k2 + 6k + 1,
или р2 = 9k2 - 6k + 1, а это значит, что остаток от деле-
ния числа р2 на 3 равен 1
Следовательно, 14р2 + 1 делится на 3 при любом р,
не делящемся на 3, т. е. не является простым числом.
Если жер = 3, то число 14р2 + 1 = 127 — простое.
Ответ: 127.
12. Указание. Учесть, что х - 2р < х < х2 + 2ху + 4р2.
Ответ: (3; -1).
13. Указание. Перенести xyz в каждом уравнении в
правую часть, а затем перемножить.
Ответ: (0; 0; 0), .
14. Указание. Ввести замену у ~^2х-2, где у > 0.
Можно решить иначе, например, выделить полный
квадрат под каждым подкоренным выражением,
Ответ:[1;3].
15. Ответ: xL 2 = -1±л/2.
16. Ответ: (-со; 0).
17. Ответ: — (3±д/б).
18. Указание. Умножить обе части уравнения на 4
и прибавить по единице.
Ответ: (0; -1), (-1; -1), (0; 0), (-1; 0), (5; 2), (-6; 2).
19. Ответ: например, 1222 + 5972 = 135.
20. Указание. Записать уравнение в виде
х 35
х + , = —.
4x^1 12
Далее возвести обе части в квадрат и записать в
х4 х2 1225
виде —---н 2 —, =-----, после чего замена
х2-1 144
г~9-- = У> ИТ. д.
ух -1
5 5
Ответ: х, - —, х„ - — .
1 3 2 4
21. Указание. Записать уравнение в виде
16х2 - 24х Vx + 13 + 9(х + 13) = 0. Далее выделить
полный квадрат.
Ответ: х = 3.
Замечание. Возможны другие способы решения.
22. Указание. Ввести замену Vx = у, у > 0. Далее
разложить на множители числитель и знаменатель
дроби.
Ответ: х = 15.
23. Решение.
Известно, что х3 — у3 = (х - у)3 + Зху(х - у).
Так как по условию х - у = а, х3 - у3 = Ъ, то
, , о , Ъ-ай
а3 + Заху = Ъ, откуда ху =--. (1)
За
Далее имеем (х - у)5 = х5 - 5х4у + 10х3у2 - 10х2у3 +
+ 5ху4 - у5, откуда х5 - у5 = (х - у)5 + 5х4у - 10х3у2 +
+ 10х2у3 - 5ху4, или
с = а5 +- 5ху(х3 - 2х2у + 2ху2 - у3), или
с = а5 + 5ху((х3 - у3) - 2ху(х - у)),
с = а5 + 5ху(Ь - 2аху). (2)
Учитывая (1), равенство (2) примет вид
. , е Ъ-а“ ( b-a2 '\
с = а5 + а •---Ъ-2--------, или
За За )
. 5(b-a3)(b + 2as)
с = а5 + —------------, или
9а
9ас = 9а6 + 5Ь2 + 5а’й - 10а6, а(а5 + 9с) = 55(а3 + Ь).
Ответ: а(а5 + 9с) = 51>(а3 + fe),
24. Ответ: х- —, п е Z.
8
25. Решение.
Упростим II уравнение системы у2 + Юу + 25 -
- 2гу - 7z = 0, или (у + 5)2 - 2z(y + 5) + z2 = z2 - 3z, или
(у + 5 - z)2 = z2 - 3z.
Ill уравнение запишем в виде
(х - З)2 = 9 - z2.
Следовательно, исходная система примет вид
(4-х)2=у + 3,
< (у + 5 - z)“ = z2 -3z,
(х-3)2 = 9-г2.
При этом будут выполняться условия
у + 3>0,
z2-3z>0,
9-z2 >0.
Из II и III неравенств => z е [-3; 0] о {3}.
Поскольку z > 0, то z = 0, или z = 3.
Если z = 0, то исходная система не имеет решений;
если z = 3, то х2 + 9 = бх, откуда х = 3, тогда у = -2.
Ответ: (3; -2; 3).
26. Указание. Записать неравенство в виде
|1 - 2х| < х 4- 1. Далее рассмотреть два случая:
1)1 - 2х > 0; 2) 1 - 2х < 0.
Ответ: [0; 2].
27. Указание. Записать уравнение в виде
л 8х-7 + л/2х-4 = \7x-3 + л/Згс-8.
Такая форма записи обусловлена тем, что
(8г - 7) + (2х - 4) = (7х - 3) + (Зх - 8). Это дает возмож-
ность значительно упростить уравнение.
Ответ: х = 3.
28. Указание. Записать I уравнение системы в виде
х2 - 2(2у - 1)х + (5у2 - 8у + 5) = 0.
Далее полученное уравнение рассмотреть как ква-
дратное относительно х.
Ответ: (3; 2).
29. Решение.
Если а2 + а + 1 = 0, то а + — = -1, тогда
а
2 1 _( 1 f о_ .
а ч—— пн— —2— —1;
а у a J
а3+Л = ( а2+Л II а + -|-l п+-| = -1(-1)-(-1) = 2;
а \ a а) \ а)
4 1 Г 3 1 У 1 W 2 1 ) ,
ст ч—г— d ч—Z- d-I— — d ч—— ——lj
а J \ а) \ а )
5 1 ( 4 1 V 1 W з 1 л
d Ч-т-— d Ч--— d Ч-— d Ч---— — — 1»
а5 L « Д «J I а J
а6+Д = 2, с +Д- = -1, и т. д.
d d
Из этих соотношений видно, что для показателей
степени, кратных 3, значение выражения равно 2, а в
остальных случаях —1.
Поскольку 2022 кратно 3, то
Ответ: 2.
30. Указание. Записать исходное неравенство з
виде |3х + 1| > | \ 3 +11 -л/З, и т. д.
( 2
Ответ: (-со; 0) и —; +со
1з
31. Ответ: [-2л/2; 0) и (0; 2v2 ].
32. Указание. Представить уравнение в виде
(л/х — 2 + Vx 4 6)^ + (v х — 2 4 Vx 4 6) = 20.
Далее замена д/х-2 +л/х + 6 = у, где у > 0, и т. д.
Ответ- х = 3.
33. Ответ: (1; 2].
34. Указание. Данная система не имеет решений,
если
6 + а 2 3 ь а
----= — =±--
-4 а 1 + а
Ответ: при а = -4.
35. Ответ: [-3; (2; ±2л/2).
I 7з)
5
36. Ответ: при т =— и т = —25.
19
37. Ответ: 1099.
[cosx = l,
38. Указание. - и т. д.
[cos7x = l
Ответ: 2пп, п е Z.
40. Ответ: (0; 0; 0), (±д/2; ±х'2; ±д/2).
41. Указание, (х - I)2 - 9 = х3 4- 8.
Ответ: х = -2.
42. Решение.
4 cos3x - 3 cos х = 3 sin х - 4 sin3x.
Но 4 cos3x - 3 cos x = cos Зх и 3 sin x - 4 sin3x = sin 3x.
Тогда получим cos Зх = sin Зх — однородное урав-
нение I степени.
тт j о -1 о 71 । 71 ЛИ _
Имеем тя Зх = 1, Зх + лп, х =-----н —, n е z.
4 12 3
Л ЯП _
Ответ: х =----1--, и е Z.
12 3
Замечание. Возможны другие способы решений, но
при этом надо учесть, что форма записи ответа может
отличаться от приведенной
43. Указание. Возвести обе части I равенства в ква-
драт.
Ответ: 0.
44. Указание. Рассмотреть два случая:
]) х > 0; 2) х < 0, и т. д.
Ответ: xt = -0,5; х2 = 1.
45. Указание. Левую часть уравнения записать в виде
1 1 1 1+1+1+1+
X ' X % ' Х^ ' X 2 4 8
Далее использовать формулу суммы бесконечно
убывающей геометрической прогрессии.
Ответ: х = 4.
46. Указание. Участь, что | cos а |< 1.
Ответ: 8кт, т е Z.
47. Решение.
х2 — 5х + 6 — (х — 2)(х - 3), где 2 и 3 — корни ква-
дратного трехчлена.
Согласно теоремы Безу имеем
I М(2)-8а+ 45-146+ 102-0, (2а +Ь = 11,
откуда
[М(3) = 27а + 95-219 + 102 = 0; [3а + 5 = 13,
находим а = 2, b = 7.
Ответ: при а = 2, b = 7.
48. Ответ: (-оо; 2).
49. Указание. Записать уравнение в виде
(х2 - х - 2)2 - З2 = х3 + 1.
Ответ: хг 2 = I ± V7.
5ч. Указание. Заменой — ~а, —-— = Ь исходное
х х + 1
уравнение сводится к решению системы
з .з 7
а —о = — ,
8
а-Ъ 1
. ab
откуда новой заменой 2ab = t получим уравнение ts +
+ 61 - 7 = 0, корень которого t = 1, и т. д.
Ответ: хх = -2, х2 = 1.
51. Решение.
Согласно условию abcde = 45abcde, тогда все ци-
фры числа нечетные, в противном случае оно кратно
10, но тогда е = 0, значит, и само число равно 0. Зна-
чит, е = 5, следовательно, искомое число кратно 25 и
d = 7 (так как 2 — четное).
Заметим, что а + b + b + 12 делится на 9, тогда а + b +
+ с = 15. Кроме того, 45 • 35 • abc < 100 000, т. е.
abc < 63, откуда подходит число 77 175.
Ответ: 77 175.
52. Указание. Заменой 71 -ух = 2у данное уравне-
ние преобразуется к виду
4(1 - 4у2)2 = (40 - 4г/2)(1 - 2у)2, и т. д.
Ответ: х = 0.
53. Ответ: (±1; 0), (0; ±1).
54. Указание. Разложить на множители левую
часть I уравнения системы.
Ответ: (2; 1).
55. Указание. Имеет место тождество
(х3 -+ х + 1)(ах2 + Ъс + с) = 2х5 - х4 + х2 + тх + п.
Далее раскрыть скобки и сгруппировать слагаемые
при одинаковых степенях, и т д.
Ответ: при т = — 3, п = -2.
56. Указание. Заменой х = у\6 привести уравне-
ние к виду л/6г/3-2уд/б-4д/б = 0, Зу3 - у - 2 = 0, где
у = 1 — единственный корень (доказать), тогда х = у 6.
Ответ: х = <6.
57. Решение.
Так как х2 = 2z/2 + 1, то х — число нечетное. Пусть
х = 2т + 1, тогда 2т(т + 1) = у2, откуда у — четное
число. По число 2 — единственное четное простое, зна-
чит, у = 2, тогда х = 3.
Ответ: х = 3, у = 2.
58. Указание. Разделить обе части уравнения на
ЧП к 8
х^ / О и ввести замену х - 5 - — = у.
х
Ответ: хг = -1, х2 = 8.
59. Ответ: х£ 2=^(2±д/7).
60. Указание. Представить уравнение в виде
Г J? Y
(х + 7)2 + у-^~ =0.
I 2 )
„ in Л
Ответ: х = -\17, и-—.
2
61. Указание. Записать уравнение в виде
г 1
и затем ввести замену ух----у= = у.
Зух
Ответ: х, = —(1±л/13), ха= —.
1 6 2 9
62. Указание. Преобразовать уравнение к виду
(х - 2 cos (xz/))2 + (2 sin (ху))2 = 0, откуда
х-2 cos (ху) = 0 и sin (ху) = 0, т. е.
х-2 cos (ху) = 0 и cos (ху) = ±1.
Далее решить две системы:
г - 2 cos(xz/) = 0, > | x-2cos(xy) = О,
cos(xy) = 1; | cos(xz/) =-1.
( 7U ।
Ответ: (2; кп), I -2;- — + 2nk |, n, k e Z.
63. Указание.
x3 + 7x2 + ax + b = (x2 + x + 2024)(x + с). Далее при-
менить метод неопределенных коэффициентов.
Ответ, при а = 2030, b = 12 144.
64. Ответ: х = -1.
65. Указание. Привести уравнение к виду
36
Х+15+—
х
36
Х + 134 -
тт 36
Далее замена у = хз----.
Ответ: х = -6.
66. Указание. Пара (0; 0) — решение системы.
Пусть ху * 0, тогда, перемножив обе части уравнений
системы, а затем разделив на х3у3 0, получим
ГТ X У
Далее замена —i— = t, и т. д.
z/ х
Ответ: (0; 0), (±2; ±1), (±^2; ±2^2).
67. Указание. Записать уравнение в виде
(х - 6)2 - 1 4- (х - 5)3 + (х - 4)4 -1 = 0, или
(х - 7)(х - 5) + (х - 5)3 + (х - 5)(х - 3)(х2 - 8х + 17) = 0,
и т. д.
Ответ: хг = 5, х2 = 3,
x3.4=i(7±^).
68. Ответ:
_3j
V2J'
69. Решение.
I слагаемое в левой части уравнения есть среднее
геометрическое 4х3 + Зх2 + 2и1, т. е,
7Й4х3 + Зх2 + 2) < - ((4х3 + Зх2 + 2) +1), или
2
л/4х3 -г Зх2 + 2 < |(4х3 + Зх2 + 3). (1)
Аналогично \2х2 -4х3 +4х-1 <^(2х2 - 4х3 + 4х). (2)
Складывая почленно (1) и (2), получим
Jlx3 + Зх2 + 2 + д/2х2 -4х3 +• 4х -1 < — (5х2 + 4х + 3).
2
Следовательно, и правая часть исходного неравен-
ства должна удовлетворять условию
Зх2 + Зх + 2 < -^ (5х2 + 4х + 3), или х2 + 2х + 1 < 0,
(х + I)2 < 0, откуда х = -1
Ответ: х = -1.
70. Ответ:
i 1. _JL
2’ 4’ 16
71. Решение.
Умножим обе части I уравнения на 144:
т. > 1 1 । f х у 5г 'I
[Зх 4у 12z J 13 4 12 J
= 144,
4 3 5^1
X у Z)
(4х + Зу + 5г) = 144, или
, о \ Х V I ял I Х 2 -I г I У 2 I г. . .
12 —+— +20 —+— +15|-+— =94. (1)
\У X ) ^2 X ) 1, 2 у)
тт Х У^п Х 2 г. У 2 о /чч
Но —+ —>2, —+ —>2, —+ —>2, тогда (1) выполпя-
у х 2 х z у
ется при условии, что х = у = 2 = 2.
При этих значениях II уравнение исходной системы
примет вид
х3 + 2х2 + Зх = 22. (2)
х2(х - 2) + 4х(х - 2) + 11(х - 2) = 0, или
(х - 2)(х2 + 4х + 11) = 0, откуда х = 2 — единствен-
ный корень уравнения (2), так как уравнение
х2 + 4х + 11 = 0 не имеет действительных корней-
Итак, исходная система имеет единственное реше-
ние (2; 2; 2).
Ответ: (2; 2; 2).
72. Указание. Заменой у = у'7х-6 уравнение пре-
образуется в систему
х3 + 6 = 7у,
<
у' + 6 = 7х,
которая легко реша-
ется вычитанием.
Ответ: хг = 1, х2 = -3,
73. Решение.
Пусть х = >/25 + (/40 = у + 2, где у3 = 25, 23 = 40 и
yz = ,25-40 = ЛО3 = 10.
Тогда х3 - ЗОх = х(х2 - 30) = (у + z)(y2 + 2yz + z2 -
- 3yz) = (у + z)(y2 - yz + a2) = у3 + 23 = 25 + 40 = 65.
Ответ: 65.
74. Ответ: 1) a = -7, b = -1; 2) a = -12, b = -2.
75. Указание. Если числа m, xx, x2 и n образуют
геометрическую прогрессию, то
xf = mx2, х2 х„2
< т = —-, п = .
Х2 — ^2
Далее применить теорему Виета.
Ответ: (-4; 16), (3; 9).
76. Указание. Умножить обе части уравнения на х,
\[х
а затем разделить на (г - З)3 0. Далее замена-= у,
х-3
и т. д.
Ответ: х = 4.
77. Ответ: 2(х2 + у2)(х4 + 5x2z/2 + z/4).
78. Указание. Заменой V2022 =а, где а > 0, исход-
ное уравнение приводится к виду
х9 - (а2 + 1)х3 + а = 0, или х3а2 - а + (х3 - х9) = 0.
Далее полученное уравнение решается как квадратное
относительно а.
Ответ: х1 2 = з — (-^2022±<2026), х3=^2022.
V 2
79. Указание. Представить уравнение в виде
/7х + 2 х + 2 7 /7х + 2
.-----------= —. Далее замена .----= у, и т. д.
V х + 2 7х + 2 2 V х + 2
Ответ: х = 2.
80. Указание. Преобразовать уравнение к виду
(х - z)2 + (х + у - I)2 + (х - у + З)2 = 0.
Ответ: х = -1; у = 2; z = -1.
81. Решение.
Заметим, что х + 0. тогда х + 19 = (х - 1)! Пусть
х - 1 = у, тогда х = у + 1 ау + 20 = у\ (1)
Очевидно, что у = 4 — корень уравнения (1). Учи-
тывая, то у\ возрастает быстрее чем у + 20, то при у > 4
уравнение (1) корней не имеет.
Следовательно, у = 4 — единственный корень урав-
нения (1), тогда х = у + 1 = 5 — единственный корень
исходного уравнения.
Ответ: х = 5.
82. Указание. Показать, что если х + — = у, то
х
хл + Д- = yi - 5г/3 + 5у, где у Ф 0. Далее решить уравне-
х
ние 16г/4 - 80г/2 - 125 = 0, и т. д.
Ответ: xt 2 = ±2, х3 4 =±^.
83. Ответ: при х = -4; -2; 0; 2.
84. Решение.
Запишем уравнение в виде
/7 -j ( 7 1 \2
у7 = 22 - X2 = | I .
I 2 J I 2 J
Полученное равенство является тождеством.
При нечетном у > 1 можно положить z = — (у7 + 1) и
х = — (г/7 - 1). Таким образом, всякая тройка чисел
2
± - у, _Д
2 2
, где у > 1 и у — нечетное число, яв-
ляется решением исходного уравнения.
Например, при у = 3, z = 1094, х = 1093, получим
у7 = 2187 и 10932 + 2187 = 10942.
Таким образом, исходное уравнение имеет сколько
угодно решений в натуральных числах.
Ответ: имеет.
85. Ответ.: 3 + Д2
86. Указание. Записать уравнение в виде
50
/-7’
откуда у2 - 7 = ±1; ±2; ±5; ±10; ±25;
х = 7 +
±50.
Ответ: (32; -3), (32; 2).
87. Решение.
Запишем исходное уравнение в виде
sin2 х - sin3 х = sin2 4х - sin2 2х, или
-sin 4х sin 2х = sin 6х sin 2х, откуда
~КТ1
1) sin 2х = 0, 2х = лп, х = —. n е Z;
2
2) sin 6х 4 sin 4х = 0, или 2 sin 5х cos х = 0, sin 5х = О,
ПП А Л /7
х = — и cos х = О, х = — + Tin, n е Z.
5 2
В качестве ответа берем первые две серии решений.
_ Т1П ип „
Ответ: —; —, n е Z.
2 5
Замечание. Уравнение можно решить другими спо-
собами.
88. Ответ: (-1; 3), г = 3.
89. Ответ: 13 225.
90. Ответ: при а е (2; 4).
91. Решение.
Из условия следует, что 4 у2 + 4 = 8(30 - х), или
(2у + I)2 = 241 - 8х.
Значит, 241 - 8х может принимать значения 233,
225, 217, 209, 201, 193, 185, 177, из которых полным
квадратом является 225.
Тогда х = 2, у = 7.
Ответ: х = 2, у = 7.
92. Ответ: х = —.
25
93. Указание. Обозначить х = ул/2, тогда получим
уравнение 2у3 + у + 3 = 0, где у = -1 — корень, и т. д.
Ответ: х = -\2.
94. Ответ: — (З + л/б),
95. Решение.
Возведем обе части неравенства в куб;
2 3 / \3
1+х<1+3- + 3- — + — = (1 + -| , тогда
3 9 27 I 3J
у/1 + Х < 1 + —, Ч. Т. Д
3
96. Указание. Показать, что 2(а5 + Ь5 + с5) =
= 5abc(a2 + Ь2 + с2).
97. Указание. 12(х + у) = (5х + 7у) + (7х + 5г/).
98. Ответ: (х + у - 1)(х2 - ху + у2 + х + у + 1).
99. Указание. Разложить данный многочлен на
множители и учесть, что х = 2п + J — нечетное число.
100. Указание. Ввести замену ух-2 = у.
101. Решение.
( 7 V 19 А
1 +----- 1 + —— >293, или
sin х д cos х J
, 7 19 7 19-2
1 +------------------------=
sin х cos х 2 sin x cos x
= 1 + ^^ + ^-+ 266 > 1 + 7 + 19 + 266 = 293,
sin x cos x sin 2x
ч. т. д.
102. Указание. Привести неравенство к виду
(6 sin х - cos х)2 > 0.
103. Указание. 2а + (2а + 1) + (2а + 4) + ... + (2а +
+ 2/г) = 100, или а + (а + 1) + (а + 2) + ... + (а + /г) = 50.
Далее использовать формулу суммы арифметиче-
a + (a + k)
скои прогрессии ------- п = эО.
Ответ: 22 + 24 + 26 28 — 100; 16 + 18 + 20 +
+ 22 + 24 = 100.
104. Решение.
11111 11 i
F< 2* З2" 2 3’ WOO2 999 WOO
Складывая полученные неравенства, получим
4 + 4 + ... + —--------— =0,999.
22 З2 WOO2 WOO
105. Решение.
Так как п3 - п = (и - 1)п(п 4 i) — произведение трех
последовательных целых чисел кратно 2 и 3, то оно
кратно 6, тогда а5 - a = (a2 + i)(a3 - а) и b3 - b кратно 6.
Значит, делится на б и a + b + с + (а5 - а) + (Ь5 - Ь) =
= а5 + Ь3 + с, ч. т. д.
106. Ответ: при а > -2,25.
107. Решение.
a3 + 7a + X9 = Q, (i)
b3 + 7b + W = 0, (2)
с3 + 7с + W = 0. (3)
Вычтем из (1) — (2): а3 - Ь3 + 7(а - Ь) = 0.
Так как а - Ъ Ф 0, то а2 + ab + Ь2 + 7 = 0. (4)
Теперь вычтем из (i)-(3)'
а3 - с3 + 7(а - с) = 0 или, разделив обе части на
а - с ф 0, имеем а2 + ab + с2 + 7 = 0. (5)
Аналогично, вычитая из (4) — (5), получим
а2 4 ab + Ь2 + 7 - (а2 4- ас + с2 4- 7) = 0, или
а(Ь - с) + (Ь2 - с2) = 0. (6)
Наконец, разделив обе части (6) на b - с ф 0, нахо-
дим а 4 Ъ + с = 0, ч. т. д.
108. Ответ: при а = - W.
109. Указание. Предварительно показать, что
8(«7 + Ь7 + с7)2 = 49и2Ь2с2(а2 + Ъ2 + с2)2(а4 + Ь4 4 с4) и
25а2Ь2с2(а2 + Ь2 + с2)2 = 4(а5 + Ь3 + с5)2.
110. Указание. Показать, что данный многочлен
делится на х2 + х + 1.
Ответ: х13 + х11 + 1 = (х2 4- х 4- ^(х11 - х10 4 х9-
- х7 + х6 - х4 + х3 - х 4 1,).
111. Ответ: 1) х = 6, у = 2, г = 1, 2) х = 6, у = 1,
г = 2; 3) х = 8, у = 3, г = 1; 4) х = 8, у = 1, z = 3.
112. Указание. Ввести замену л/хч 1 - г/.
Ответ:
л/х + 1-1
л/х +1
113. Указание. Преобразовать данное выражение к
виду — (тп + 2)(т + 3)(/п + 4), откуда следует требуе-
6
мое.
114. Решение.
При а = b получим тождество. Пусть а 7= Ь.
Так как а2Ъ2 = а + Ъ, то а2Ь2(а -Ъ) = (а + Ъ)(а - Ь), или
a3b2 - a2b3 = а2 - b2. (1)
Прибавим к обеим частям (1) а2Ь2 0:
а3Ь2 - а2Ь3 + а2Ь2 = а2 - Ь2 + а2Ь2, или
a2(b3 + b2 + 1) = Ъ2(а3 1- а2 + 1), откчда = а.,+а„ +
b b +Ь +1
ч. т. д.
115. Решение.
Обозначим данное выражение буквой А, получим.
. 1-4-6 (13+23+З3 + ...) 1-4 6 .
А =--------------------=------ = 4 = 22, ч. т. д.
1-2-3-(13 ч-23 ч-З3 ч-...) 1-2-3
116. Указание. Учесть, что tg 127°30' = -tg 52 30’.
Далее использовать формулу tg — =-----
2 sinx
7
11/. Ответ: — (х2 + ху + у2).
5
118. Указание. Показать, что данный многочлен
имеет вид (х2 + Вх. + Са2)2. Далее раскрыть скобки,
упростить и сравнить коэффициенты при х3 и х, от-
куда В = 5а, С = 5, т. е. получим квадрат трехчлена
(х2 + 5ах -I- 5а2)2.
119. Ответ: х = -1.
120. Указание. S = , где q — знаменатель про-
1-Q
грессии, тогда S-qr=—^—. Разделив I равенство на II,
1-9
получим требуемое.
121. Решение.
а1 + a n(n +1)
Искомая сумма равна Ъп =—-------п =------ и мо-
2 2
жет оканчиваться лишь одной из цифр 0. 1. 3, 5, 6, 8.
Так что цифрой 9 оканчиваться не может.
Ответ: не может.
122. Ответ: 147.
123. Указание. Рассмотреть два случая:
1) n = 2fe; 2) n = 2k + 1.
Ответ, делится при n — 2k, k е N.
124. Указание. Записать данное выражение в виде
27л+1 -8"+1, откуда и следует требуемое.
125. Указание. Умножить обе части данного нера-
венства на а3Ь3 0, так как а Ь, Ь 7- 0
126. Решение.
13! = 1 2 • 3 • ... • 13 = 1 • 2 • 3 • ... • И • (12 • 13) =
= 11! • 12 • 13;
13! - 11! = 111(12 13 - 1) = 11! 5 • 31 — кратно 31,
ч. т. д.
127. Решение.
Пусть АВ = с, ВС = а, СА = Ь, тогда АО = -(<?-&),
3
BO = -(a-S), СО = -(Ь-а).
3 3
___»2 __-2 __-2 ___*2 ___*2 ___-2
Значит, (Л В +ВС +СА ) - 3 • (ОА +ОВ 1 ОС ) =
= a2+b2+c2 - --((а-b)2+(Ь-с)2+ (с-а)2) =
3
= — (d + b+c)2, ч. т. д.
3
128. Указание. ----
п(га + 1)
Ответ:
2023
2024’
JL 1
п п + 1
129. Решение.
Пусть ab = 10а + b — двузначное число, где а —
цифра десятков, Ь — единиц.
Согласно условию 10а + b = k ab, или
b = a(kb - 10) =>, что b кратно а.
Итак, Ь = та, где а и b — однозначны, поэтому и
т — однозначно.
Так как 10а + b = 10а + та = а(10 + т) и 10а + Ъ =
= к аЬ, то а(10 + т) = k • ab, т. е. 10 + т = kb, или
10 + т = k • та => 10 = m(ka - 1). Значит, т — дели-
тель числа 10, тогда т --= 1; 2; 5.
7 Ю
ka =----1-1.
т
1) Если т = 1, то а = 1, b = 1, искомое число 11;
2) если т = 2, то а = 1, 2, 3 и b = 2, 4, 6.
Получим числа: 12, 24 и 36;
3) если т = 5, то а = 1 и b = 5, т. е. получим число 15.
Таким образом, находим всего 5 чисел 11, 12, 24,
36, 15.
Ответ: 5 двузначных чисел.
130. Указание. (л/10х + 4)2 = ух-5 -<xt2, где х > 5.
Ответ: при х = 14.
131. Указание. Левую часть уравнения записать
в виде х3 + ах2 4- 56х - 64 = (х - х,)(х - х2)(х - х3) =
= (х - m)(x - mq)(x - mq2). Далее раскрыть скобки,
сравнить коэффициенты при одинаковых степенях х и
решить систему уравнений
/Щ1 +<7 + <?2) = -а,
< m2q(l+q+q2) = 5G,
mq = 4
Ответ: при а = -14.
132. Решение.
Пусть 20 + 14^/2 =(a + &V2)3. Возведем обе части в
куб и запишем после упрощений в виде системы
а3 +ЪаЬ2 =20,
За2б + 2б3 =14
Решив полученную систему, находим а = 2, b = 1,
и т. д.
133. Указание. ЗЗЗ"7 + 777333 = (ЗЗЗ777 + 7777) +
(777333 _ 7333) _ (7777 _ 7333).
Далее участь, что сумма нечетных степеней делится
на сумму оснований, а разность любых целых степе-
ней делится на разность оснований.
Наконец, 7777 - 7333 = 7333 • (74111 - 1) =
= 7333 • (2401111 - 1) — кратно 10.
134. Указание. Записать уравнение в виде
( 2 1 W П л тт 1
\ х +— -1-1 х-=4. Далее замена х— = у, и т. д.
X ) X J X
Ответ: |(1±,5); -1±Л2.
2
Замечание. Уравнение можно решить другими спо-
собами.
135. Указание. Выразить левую часть через пер-
вый член и знаменатель прогрессии.
136. Решение.
Нет, так как иначе корзины с четным и нечетным
количеством орехов должны чередоваться, т. е. кор-
зин должно быть четное число.
Ответ: нет.
137. Решение.
Пусть п — число домов, a — первый и Ъ — послед-
ний номера домов. Так как номера домов возрастают
на 2, то имеем возрастающую арифметическую про-
„ a + b
грессию, тогда \ =----п = 423.
2
Но 423 = 3 3 47, и так как п > 5, то п = 9. Значит,
номер пятого (среднего) дома равен 47.
Ответ: 47.
138. Решение.
Допустим противное. Тогда общее количество кро-
ликов будет не меньше чем 0 + 1 + 2 + 3 4- ... + 45 =
= - 4546 = 1035 > 1000.
2
139. Решение
Поскольку a + b + с + 0, то получим
(а + с) + 5 (Ь + с) + а о 1 b л a _
- + - = 3, или 1-F + 1 +-= 3,
а +с----------------------------------Ь+с а-г с-Ь + с
или —-—I—— = 1, откуда находим с2 = а2 + b2 - ab.
а+с Ь+с
Но с2 = а'2 + Ъ2 - 2ab cos ZC, тогда cos ZC = i,
ZC = 60е.
Ответ: 60е.
140. Указание. у(х) = ах2 + Ьх + с, а + 0
у(3) - z/(l) = 24а + 4Ь — четное, а по условию
должно быть нечетным.
Ответ: нет.
141. Решение.
Пусть Л7(0; у) — точка на оси Оу. Уравнение каса-
тельной имеет вид у = ах + Ь. В точке касания дискри-
минант D квадратного уравнения равен нулю, т. е.
х2 - 4х + 7 = ах + Ь. или х2 - (а 4- 4)х + 7 - b = 0.
Имеем D = 0, или а2 + 8а + (45 - 12) = 0. (1)
Уравнение (1) должно иметь корни аг и а2, такие,
что «j • а2 = -1 — условие перпендикулярности данных
прямых, а1 и а2 — угловые коэффициенты.
Но аг • а2 = 4Ь - 12, тогда 4& - 12 = -1, откуда
11 о 11
о = —, и на оси Оу получим точку М О; —
4 14
Ответ: I 0; —
I 4
142. Ответ: М(-2; 0), МО; 4), К(2; 0).
143. Решение.
Пусть а = 15 дм
ника, тогда
_ тиР
ф 2~’
— сторона правильного треуголь-
или
~(2л-3>/3) = у(2л-3х'3).
75 г-
Ответ: — (2л-3*УЗ)
144. Указание. Учесть, что AMNK и АКРЕ вместе
составляют АМКЕ. Тогда площадь пятиугольника
равна двум площадям АМКЕ, т. е. равна 2 • — -1 = 1.
2
145. Указание. Использовать теоремы синусов и
косинусов.
Ответ: 75°.
146. Ответ: 1.
147. Решение.
Пусть a = 17, Ъ = 25, с = 26 см — стороны I тре-
угольника, а = 17,Ь = 25 — две стороны II треугольни-
ка и х — длина III стороны.
По условию у данных треугольников равны радиу-
сы вписанных окружностей, тогда
г = 11 = 11, где )S _ aXpJl Ь)(р - с),
Pi Pi
р1=-{ц + Ь + с) = 34п81= V34 17 9 8 =
2
= л/247-9-17 8 =7172 З2 42 = 17 3 4 = 204 (см2).
» 42 + х
Аналогично, р2 =-----,
2
142 + х 42-х 8 + х х-8
4 I ' ' ’ •
2 V 2 2 2 2
Итак, ^-y(42-i-x)(42-x)(x + 8)(x-8) :^(42 + х) = 6,
J(42 + х)(42 - х)(х 4 8)(х - 8) „
или —-----------------------= 6, или
2(42+ х)
(42 + х)(42 - х)(х + 8)(х - 8) = 144(42 + х)2,
42 + х Ф О,
(42 - х)(х2 - 64) = 144(42 + х), или
х3 - 42х2 + 80х + 8736 = 0, или
х2(х - 28) - 14х(х - 28) - 312(х - 28) = О,
(х - 28)(х2 - 14х - 312) = 0, откуда хг = 28,
х2 - 14х - 312 = 0, х2 = 26, х3 = -12 (не подходит)
Если х = 26, то получим I треугольник.
Итак, длина III стороны II треугольника равна
28 см. При этом г = 6 см (можно проверить непосред-
ственно).
Ответ: 28 см.
Замечание 1. Редким примером «треугольных
близнецов» служат треугольники со сторонами 97,
169, 122 и 97, 169, 228. У каждого из них г = 30.
Замечание 2. Представляет интерес нахождение
двух треугольников подобного вида, у которых равны
радиусы описанных окружностей (прим. авт.).
148. Указание. Использовать формулы
abc abc a + b + c
<8Д =-= рг, или ---=------г, откуда
47? 47? 2
2Rr(a = b -I- с) = abc.
По условию 7? г = 130, тогда полупим
260(а + b + с) = abc.
Далее учесть, что стороны а, Ъ, с образуют арифме-
тическую прогрессию.
Ответ: (26; 28; 30).
149. Ответ: 1) АВ = АС = ^^~;
2 2
2) АВ =
5 К 66 15V66
; АС =
22-----------22
150. Ответ: могут, если знаменатель прогрессии
151. Указание. Использовать формулу х2 + у2 =
= 2(а2 + Ъ2), где х, у — длины диагоналей, а, b — сторо-
ны параллелограмма.
Ответ: 20 м, 30 м.
152. Решение.
Центр искомого круга не должен располагаться
ближе 0,5 к сторонам прямоугольника или к одному
из квадратиков. Присоединив к каждому квадратику
1x1 точки, находящиеся от него на расстоянии не
больше 0,5, получим фигуру (квадрат со скругленны-
ми вершинами) площадью 3 + 0,25л.
Эти фигуры не могут покрыть прямоугольник
19 х 24, даже если они не будут налегать друг на дру-
га, так как 120 • (3 + 0,25л) < 19 х 24.
153. Указание. Из второго конца гипотенузы про-
вести прямую внутри треугольника под углом 15° к
гипотенузе.
154. Решение.
Пусть АС = х, АВ = у, ВС = г, тогда по теореме сину-
Z 1
сов-------= 2В, откуда z = 2R — = R —радиус опи-
sin 30° 2
санной окружности.
Известно, что S. = —— = — xij sm30° = — ху. (1)
д 2R 2 4
С другой стороны, = р г = — (х + у + z) г. (2)
2
Сравнивая (1) и (2), имеем — ху = — (х + у + z) • г, или
4 2 '
ху = 2(х + у + 2) г. (3)
По теореме косинусов г2 = х2 + у2 - 2ху cos 30°, или
R- = х2 + у2 - \3ху, R2 = (х + у)2 - (2 + а/з )ху. (4)
XI/ X1J
Из (3) =^> х + у + R = —, откуда х + у = ——R, то-
Z .2
гда (4) примет вид R2 = --R I -(2 + л/3)ху, или
I 2r )
j
2г
—i-2 + д/з \ху, где ху Ф 0, тогда
г )
ху 1-t _ г-
—т = — + 2 + V3, откуда
4г“ г
= + 2 + уЗ |г2 = г(/? + (2 + 73)г) = 5давс, ч. т. д.
4 г j
155. Указание. Если х и у — катеты, В и г — соот-
ветственно радиусы описанной и вписанной окружно-
стей, то х2 + у2 = 4J?2, 2г = х + у + 2В, и т. д.
25
Ответе —
12
156. Решение.
Пусть АС = Ь, ВС = а, АВ = с. Тогда а = с cos 15°,
Ь = с sin 15°, следовательно, SAABC = ^ab =
= — с2 sin 15° cos 15° = — с2 sin 30° = —с2, ч. т. д.
2 4 8
Замечание. Возможны другие способы решения,
157. Ответ: 4.
15S. Ответ: 288.
159. Ответ: ^(9^3+Зл/15) см2.
16G. Ответ: существует, например, со сторонами
25, 38 и 51
161. Решение.
На продолжении отрезка ВМ за точку М возьмем
точку D, так что MD = СМ. Тогда \CDM правильный
и CD || MN.
Значит, ВМ : MN = BD : DC = (ВМ + СМ) : СМ, т. е.
111
-----1---=----, Ч. т. д.
MN СМ ВМ
Ответ:
162. Ответ: 30°.
163. Решение.
Продолжим AD до пересечения с ВС в точке Е. Так
как ZA = ZB = 45°, то ZAEB = 90°, значит, АЛЕВ рав-
нобедренный и прямоугольный.
Аналогично в ADEC DE = ЕС, ZEDC = ZC = 45°.
Пусть АЕ = BE = х, DE = СЕ = у, тогда
SMBB = —АЕ BE = — х2, SDFC = - у2.
Значит, 8лпгп = — (х2 + у2). По в ADEB х2 + у2 = BD2,
7 AiSCD
следовательно, = — BD2, ч. т. д.
= ZABE = а, аЛЕВ = р, по теореме косинусов имеем
Юх2 = 5х2 + 5х2 - 2xV5cos р, т. е, cos р = 0. откуда
р = 90°, тогда аВАЕ = ZBFD = 45°.
Ответ: 45°.
Замечание. Можно применить скалярное произве-
дение векторов CD viAB.
167. Ответ: 8.
168. Ответ: 30°, 30°, 120°.
169. Ответ: 6,25.
170. Ответ: 8.
171. Ответ: при а = 60°.
172. Ответ: 6.
173. Ответ: 16.
174. Решение.
Пусть АС = ВС = CD = х. По условию х2 = 45ДАВС.
Но S..„r = —АС ВС sin ZC = — х2 sin АС.
ААВС г)
Тогда х2 = 2х2 sin АС, х Ф 0, sin АС = АС = 30°,
тогда АЛ = АВ = 75°.
По следствию из теоремы синусов имеем
откуда R = = у.
sm АС 2 А
2
Известно, что S, = р г, где р = — (2х + у), тогда
2
r ._s& х" R 2у(2х+у)
р 2(2х + у) г х
Но cos ZA = 0’ = cos 45°, или у = 2х cos 75°, тогда
х
(1) примет вид
— = 8cos 75° • (1 + cos 75°). (2)
г
cos 75° = cos (30° 4- 45°) = cos 30° cos 45° -
\/2
- sin 30° sin 45° = —(ч/з — 1), тогда (2) примет вид
4
^ = 8—.(V3-i)-fi+—(Тз-i) =
г 4 <4
= (-,3-1)(2д/2 + - 3-1) = 2 6-2V2-2V3+4 =
= 2(д/3 4 V2)(V2-1).
Ответ: 2( . 3 w2)(V2-l)
175. Ответ: 5ч/41.
176. Ответ: ^/Т13-64ч/з см.
177. Указание. Использовать свойство касательной
к окружности и формулу Герона.
Ответ: 3,36.
178. Указание. Показать, что р = 2R + г, где
1
р = — (а 4 b + с) — полупериметр.
2
Учесть, что S = р • г.
179. Ответ: уЗ+ч/2-1.
180. Ответ: 4.
181. Ответ: 1 : 4.
182. Указание Если угол между диагоналями
останется без изменения.
183. Ответ: г= 4<7.
184. Ответ: 4 : 5.
185. Решение.
Г 7 V.
19
sin х
7
> 293,
COS X )
19 7 19-2
sinx cosx 2 sin х cos х
= 1 + ^^ + ^-+ 266 > 1 + 7 + 19 + 266 = 293.
sin x cos x sin 2x
186. Указание. Привести неравенство к виду
(6 sin х - cos х)2 > 0.
187. Указание. Достроить ЛАВС до параллелограм-
ма АВСЕ. Далее применить теорему синусов.
Ответ: АВ = 7\/2 дм, BD = — (1 + д/З) дм.
2
188. Ответ: -^(т2-р2) см2.
189. Решение.
Пусть в трапеции ABCD АВ = CD, АС = BD = т и
АЛОВ — а, АО — х, СО = у.
Заметим, что S = 28^в + S^0D + S^oc =
= 2 ~ХУ sin а + x2sin (180° - а) + ^y2sin (180° - а) =
= ху sin а + —х2 sin а + —у2 sin а = (х + у)2 sin а =
= т2 sin а, где х + у =~- АС = BD = т
Итак, S = — т2 sin а, ч. т. д.
2
ний
190. Ответ: ----.
a + b
191. Указание. Обозначить через х, у, г, и соответ-
ственно количество «двоек», «троек», «четверок» и
«пятерок». Далее составить и решить систему уравне-
x+y+z+u = 30,
где и < г < и.
2x + 3z/4 4z + 5u = 90.
Ответ: «пятерок» — 2, «четверок» — 5, «трс-
ек» — 14, «двоек» — 9.
192. Указание. Согласно условию имеем уравнение
(64— х)= 49, и т. д.
64
Ответ: в I раз 8 л спирта, во II раз — 7 л.
193. Указание. Пусть х — количество учеников,
у — средний возраст учеников, тогда получим уравне-
ние (ху + у + 40) : (х + 1) + 36 = у + 40, и т. д.
Ответ: 9 учеников.
194. Указание. Обозначить через х время, пройден-
ное часовой стрелкой, 12х — минутной. Далее решить
уравнение 12х = х + 15, и т д.
195. Ответ: через 144 суток.
196. Ответ: 1 арбуз, 39 яблок, 60 слив.
197. Ответ: 13.
198. Решение.
В худшем случае из коробки будут вынуты 340
белых и 340 красных шаров (в любой последователь-
ности) и не окажется 341 шара одного цвета. Если вы-
нуть еще один шар, то получим либо 341 белый, либо
341 красный шар. То есть из коробки нужно вынуть пе
глядя всего 340 + 340 + 1 = 681 шар.
Ответ: 681
199. Указание. Учесть, что + а10 = а2 + а9.
Ответ: а} = 5, d = 2.
200. Решение.
100 000 • 0,3 = 30 000 (руб.),
100 000 - 30 000 = 70 000 (руб.) — стоимость товара
после 1 понижения;
70 000 - 21 000 = 49 000 (руб.) — окончательная
цена товара.
Ответ: 49 000 руб.
ОТВЕТЫ
к §§ 1—48 и упражнениям
для повторения курса 7—9 классов
7 класс
Глава 1. Алгебраические выражения
§1
Часть 1
„ 5 15 9 3 „ 7 13-4 9 л ч 17 , 11
2. — = —; — = —. 3. а) —> —; б) —< —. 4. а) —; б) 1 —.
6 18 24 8 10 20 15 20 20 30
5. а) - —. б) —. 7. а) - —; б) -. 8. а) -. 9. 6) у = 2,9.
66 42 32 9 8
17
10. а) 7 — . 11. б) 1.
18
Часть 2
47 19 4 4 18
2. а) 2 — ; б) 37 — ; в) г) 2. 3. а) х = -; б) х = 1 —;
50 24 9 9 47
15 , ч „
в) х = —. 4. в) о.
19
§2
Часть 1
1. б) 22,8; -0,2; -32,4. 2. 2) 60г; 4) 60а + b + ^с. 3. 2) ^(т-п);
4)^.
8
Часть 2
1. -3,06. 2, 0,13——
0,18
3. б) нет; в) нет. 4. 2) -13; 4) 6,5; 6) -39,
§3
Часть 1
1. а) 14,4; в) 4. 2. б) -5а + Ь; в) 2т - 2п - 2. 3. б) 1. 4. б) -358; в)
167. 5. а) 23 —; в) 46.
8
Часть 2
3 9
1. б) 100,8 2. 2) a-1-b; 4) 5х - у. 3. б) 309; в) 126. 4. б) -.
5 7
5. 2) 2,32; 4) 1025.
§4
Часть 1
1. б) m - п + k; г) -тп п - k; е) a - Ь + с - d. 2. 6) -9у; г) -8х + 10.
3. в) -Зя - b + х - 3. 4 б) Зх + 3; в) 2,5а + 11.
Часть 2
1. б) Ни - 14; г) Ь - 2а. 2. в) 5у - 2. 3. б) 7; г) 31,5.
Глава 2. Уравнения с одним неизвестным
§5
Часть 1
5
1. б) х = -— г) х = 60; е) х = -0,35. 2. в) х = 3; г) х = 3
4 4 7
3. б) х = — , г) у = 40. 4. а) х = 1,9; г) х = —; е) У = “•
Часть 2
1 .а) х = &—; в)х = -6,7. 2. б) х- 30; г) х = —. 3. а) х =-15,8;
12 21
в) у -- 1,15. 4. в) * = 5. 1) при а = 2^ 6 б), в), д).
§6
Часть 1
1. 8. 2. 17 см. 3. 60 км/ч 4. 9 лет.
Часть 2
1. 58 км. 2. 31 га. 3. 9. 4. 42. 5. 60 км/ч. 6. За 4 дня. 7. 22.
Глава 3 Одночлены и многочлены
§7
Часть 1
64 1
1. 6) х24; 8) 211; 10) (-0,4)9. 2. 2) 0,04; 4) —, 6) -1; 8) —;
27 27
10) -64. 3. 2) -125; 4) 27. 4. б) х3; г) х19. 5. 2) 54"; 4) у12 ".
6. в) 0,001х3; д) —aibici. 7. б) (0,2ху2)3; г) (-0,Зху)3.
8. в)0,33; д)
343
9. в) 0,04; д) 10. б) -3,5; г) -3.
Часть 2
1. 1) 0,13; 3) 2,07. 2. в) 65; г) 173. 3. 3) 1000; 5) 9; 7) 81; 9) 225.
§8
Часть 1
1. б) да; г) нет; е) да; з) нет. 2. а) да; в) нет; д) да. 3. а) 8; в) 6.
Часть 2
1. б) 2,3т*пс, k = 2,3; в) -|х2у3, * = -|; д) 1.3х2у4, k = 1,2.
2. в) 0,04; г) 3. 0,5а2. 4. 36m3.
§9
Часть 1
3 1
1. 2) -2а6; 4) -aW; 6) -а3х3гД 2. 1) 27х3; 3) -8х6у9;
5 5
5) -0,008а3Ь12. 3. 2) а5Ь3с6; 4) 25а19/,4. 4. 2) 864.
Часть 2
1. б) 54а658; г) -0,4х7у6; е) — m7n8. 2. а) -0,064х9у3; в) x4y12z8.
5
3. б) (17г/4)2; г)
. 4. б) (0,2у3)3; г)
1
-----11'
3
3
5
5. а) 2х9у8; в) -16х6у11; д) т17. 6. б) да; г) да.
§ Ю
Часть 1
1. б) 28хг/2 - 40jc2z/; г) -72х3у - 14ху3; е) -7х2у. 2. 1) х3 + 15х - 7,
степень равна 3; 3) х6, степень равна 5. 3. 1) -77.
Часть 2
1. 2) x3yz - 31хг/3г - 11хг/г3. 2. б) 8. 4. б) 100х + Юг/ + г.
5. a) -12m5 + 21m4 - m* + 4m2 - 2. 6. a) 7; в) 5 7. 2x5 - x3 + 1.
§ 11
Часть 1
1. б) За - 6b; г) 7х - 1. 2. 2) 0,09х2 + 0,06г/2; О,51х2 - 0,1г/2.
3. 2) -7х2 + 4х. 4. б) -2у2 + 2у - 17. 5. в) -m2; r) -2n + 1.
Часть 2
1. а) —1,6х2 + 2,8х; г) 3,1b2 + 3,7b + 3. 2. б) х2 - Зху + 5 г/2.
3. -3.6. б) -4г/2. 7. а) х = ^; в) х = 4, д) у = --
10 о
§ 12
Часть 1
1. а) 4х2 - 4х3; в) -9а8 - 45а4; д) -4е5 + 4с. 2. б) 4х2 - бх;
г) -13аЬ - 4Ь2 + 7а2. 3. б) 36.
Часть 2
1. а) х'"у - х5у2 + 2xiy3 - Зх3!/4; в) 20т4гг - 4m3n - 4m2n2 + 4mга4.
„ , , o . 45, 6 . . 9
3. a) x = 12, в) (/ = - — ; д) x = —• 4. а) при в> ПРИ
x = —. 5. 6) x= 39; r) x = -^. 6. 18 cm, 22 cm, 9 cm
32 8 21
7. Открытка — 10 руб., конверт — 12 руб., блокнот — 60 руб.
§ 13
Часть 1
1. 1) х2 + 4х + 3; 3) тп2 - m - 20; 5) бх4 - 13х2//2 + 6г/4;
7) 8Ь3 - 27с3; 9) а4 - Ь4. 3. а) х3 + 27г/3; в) -2а3 + 8а2 + 7а + 15.
Часть 2
7
1. 2) b3 + 2b2 - 11& - 12, 4) 8г/3 - 18г/2 + у + 6. 2. 1) —.
3
3. а) а3 + 2а2Ь - Ь3; в) х3 -2т2х - т3. 4. 6) -4г/4 + 16г/3 - 1 6г/2;
г) Зп4 + 4,5а2 - 10,5а3. 8. а) х = 1; б) х = -1.
§ 14
Часть 1
1. 1) х8; 3) 1; 5) 7а; 7) 3; 9) -Зх4&. 2. б) 5х; г) а6Ь6с10.
Часть 2
7 37 69
1. 2) -г/3+5г/; 4) — у —х 2 б) -9 3. а) х6"; б) 56"+г.
4 25 26
Глава 4. Разложение многочленов на множители
§ 15
Часть 1
1. а) 6(х - г/); в) 4(с + 3d); д) х(г/ + 1). 2. б) 4а(3ог - 3); г) 4г/(г/ - 4);
е) -тпг(тпг + 1). 3. а) 7(3х - 2г/); в) 4а(4Ь - с): д) а2(а2 + 1).
2
4. a) -1. 5. б) х, — 0, х, = 0,6, г) а, = 0; а, = 5, е) т, = 0, т, = —.
' ' 1 '2 ' ' ' L ' Л ' ' 1 ' & g
Часть 2
1. а) а2(а2 - 1 - а); в) х5(х + 1 - х4). 2 б) 6ab(3a - 2Ъ - 5Ь2);
г) -Зх2г/2(г/2 + 3 - 5г/). 3. а) (у - 8)(х + г/); в) (а - b)(a - b + с).
4. 2) (а - Ь)(5а - 7Ь); 4) 4а(а + Ь)(2а - Ь); 6) (а - 5)(х - 1 + а).
3
5. 1) г/, = 0; г/2 = - —; 3) х, = 3; х2 = 0, х3 = -8.
§ 1В
Часть 1
1. а) (х - г/)(а + Ь); в) (х + г/)(3а - fe); д) (а - 1)(х - 1).
2. 2) (х - г/)(1 + т); 4) (д - 3)(6р + 1); 6) (2а - Зб)(8а + 5с).
3. б) (а + &)(х2 + х - у). 4. а) 3; б) 1
Часть 2
1. 1) (хг/ + 2)(5х2 - Зг/г). 2. 1) 17 000; 3) 60. 3. а) -1; 5: в) --; 2.
6
4. 2) (х + 7)(х - 6); 4) (х - 1 )(х - 8); 6) (а2 + 1)(2а2 + 1).
Глава 5. Формулы сокращенного умножения
§ 17
Часть 1
1. а) (а - 7)(а + 7); в) (7 - х)(7 + х); д) (1,1 - п)(1,1 + л);
( 4Y
е) a— а + — . 2. б) х2 - 4; г) 16х2 - 1; е) 9а2 - с2. 3. а) 1880;
V 5 J v 5 J
в) 2,45; д) — 4, б) 4884; д) 0,24. 5. а) -3; 3; в) -i; i; д) нет
3 2 2
корней.
Часть 2
1. б) 36m2 - л6; г) 4а4 - 0,09у6. 2. б) 39 991; г) 999 996; е) 3,9991.
3. а) 4а2 - 100; в) бу3 - 96г/. 4. б) 1 - у4; г) с8 - 16. 5. а) -9 - 6m;
в) 18х2 - у2 9ху. 6. б) х = 25. 7. б) (9 - &)(5 + ft); г) -п(п + 12);
е) -(5х + 2)(5х + 4); з) 7(m - ri)(m + ri).
§ 18
Часть 1
1. 1) х2 - 6х + 9; 3) 4х2 - 4ху + у2', 5) 0,09х2 + 0,6x4/ + у2;
7) |х’ |x2+y>: 9) 0,04x4 _ 2х2у+25у2-3 1)х=9; 3) х=|-
4. 2) (1 + 4с)2; 4) (5m - л)2.
Часть 2
1. 3) (7а2 - ft)2; 5) -(4 - m)2; 6) -4(m + 2л)2. 2. 2) х = 0,5; 4) х = -3.
3. 2) 4тл; 4) -16ху. 4. б) -243. 5. 2) 10 000. 6. б) |х4 + 4х3 +
+ 36х2; г) — а8 + 12а6 + 16а4; е) 0,16ft2 - 8ft3 + 100ft4.
4
§ 19
Часть 1
1. а) х3 + Зх2 + Зх + 1; в) 8у3 + 12у2 + бу + 1; д) а3 - 6a2ft +
- 12aft3 - 8ft3. 2 б) (у - 4)(у2 + 4у + 16); г) (m - 5л)(т2 + 5mn +
+ 25л2). 3. б) (у + I)2; г) (у + З)3.
Часть 2
1. а) (5 - х)3; в) (х3 - у3)3. 2. б) (ab2 + 3)(а2Ь2 - ЗаЬ2 + 9);
г) (т2 - 6м)(тп4 + 6m2n + 36а1). 3. 1) х3 - 27; 3) 27m3 - 1
§20
Часть 1
1. 1) 3(х - 1)(х + 1); 3) 2х(х - 2)(х + 2); 5) 4(1 - 2х2г/)(1 + 2х2г/);
7) 3(а + Ь)2; 9) 2(4сб - I)2. 2. 2) (г/2 + Зу - 2)(г/ + 1)(г/ + 2);
14
4) (6 - х2 + Зг/)(6 + х2 - Зу); 6) (у - 1)(у + 1)(г/2 + 1). 3. 2) —.
Zo
4. б) х2(х - 1)(х + 1); г) Зу( 1 - г/)(1 + у); е) 4г/3( 1 - 4г/)(1 + 4г/).
Часть 2
1. б) (у2 - 2)(у2 + 2)(г/4 + 4); г) 3(2х - 1)(4х2 + 2х + 1);
е) 4г/(г/ - 2)(г/2 + 2у + 4). 2. а) (5г/ - 6)(х 4- 3); в) (х - 2у - 2)(х -
- 2у + 2). 3. а) 0; -3; 3; ь) 0; -4; 4. 4. 1) -12х2; 3) 7(х - 1)(х + 1).
5. 2) 1,2. 6. 2) х = 1,4; 4) х = 1. 7. 1) 339 000; 2) 1128.
Глава 6. Алгебраические дроби
§21
Часть 1
1.1) |г/; 3) 4: 5)
3 ab
1 т + п
4m2 (2-х) т-п
2. 2) ; 4) 7-х;
а + Ь
Часть 2
7
1. 1)хг/; 3) Зау. 2. 2) 0,5; 4) -.
3
§22
Часть 1
1. 1) -; 3) 2. 2) ~3; 4) 6) от + 4~2га
с 5а у 12(г/-3) 4-nz
4г/ + 12 + За 115
rS I ---------. Л. Z ---- .
Часть 2
1. 1) —------; 3) -----—---------; 5) - 2а + 5& . 2. б) + 1}У 2;
b(a + b) (n + 2)(n+3) a(a-tfe) 8у2
г) ---, 3. а) —; б) 4. 2) 5. 2) х= —
(у-х)(у + х) 3 7 у +8 15
§23
Часть 1
1-D
X
3) 2. 2)
У
4) 3. 2)
4m3n Зх
(т + п)2 _
т
1 3
4) --------; 6) ----- 4. 1) -6; 2) 5.
Зт(т-п) Цх-у)
Часть 2
1.2) —; 4) (t> - 3)(ЗЬ - 11. З.б) —; г) 4.6) (а + 2Ь'(й-----
5-5 10 ЮЛ2 7
§24
Часть 1
1. б) 1. 2. 1) ~ 3)
у х+2
Часть 2
1 . 2)^;4)^-.
п х-у
Глава 7. Линейная функция и ее график
§25
Часть 1
2 3: 0; -3: -4,5. 3. В, С.
Часть 2
1. 1) у = -2х. 2. а) да; в) да. 4. б) во II и IV; г) во II и IV.
§26
Часть 1
1. 1) Да; 3) нет; 5 нет; 7) да. 2. 1) -5; -7; 1.
Часть 2
1. 1) а = -1; 2) а = 1J. 2. 1) (6; -1); 2)
^1.3. а)
3 3 J
4 5
3’ 3
. , 13
4. k =—
4
11
4 ’
ъ =
Глава 8. Системы двух уравнений
с двумя неизвестными
§27
Часть 1
1. 2) (7; 1); 4) (2; 13); 6) (1; -1). 2. б) (20; 24). 3.
Часть 2
1. 2) (-0,6; -0,1); 3) (3; 15). 2. б) (40; 23).
§28
Часть 1
1. б) (7; 3); г) (5; 1); е) (3;-2). 2. 2) j 1
6) -з\
Ч 5 )
Часть 2
4) (2; -0,25);
1. а) (-1,6; 1); б) (2; 5); в) (4; 1). 2. б) (9; 7); г)
е)(5; 1).
5 4/
о 1 7
3. у = — х+—.
3 3
§29
Часть 1
1. 2) (0, 5), (-2,5; 0); 4) (0, 15), (6; 0). 4. а) (1; 1); в) (3; -1).
Часть 2
3. 1) (2, -1); 2) (5; 1). 4. при а = -4. 5. при а = -7.
8 класс
Глава 9. Квадратные корни
§30
Часть 1
1. а) 13, 109; б) -3; -2. 2. а) 0,(6); г) 1,8(3); е) -1,(3).
3. а) 0,324 > 0,024; б) 0,6 < -22; в) -3,54 < -3,45.
Часть 2
1. б) -<-; г)-3,1515... > -3,5151 ..; е) 3,(08) > 3 —.
7 8 11
2 а) -; б) —. 4. а) 1,61; 1,63; 1,64; 1,66; 1,69. 5. -3,85...;
3 30
-3,74...; 4,(4); 5,73.
§31
31.1
Часть 1
1 9
1. б) 11; г) 0,4; е) 1,8. 2. а) 16; в) 0; д) 3. б) 28; г) —; е) 2,2.
4. б) 7; 3.
Часть 2
1. а) 23; в) 13,3, д) 2. б) г) 16; е) 3. б) х < 0; г) х < 0;
е) х > 0; х -л 3.
31 2
Часть 1
1 б) да; г) нет.
2 . б) ±0,9; г) ±^L
VI о
Часть 2
1. а) -15; в) 0,1; д) -20,5. 2. а) -1,5; 2,5; в) 6±з7б. 3. а) нет кор-
ней; б) ±2.
31.3
Часть 1
1. а) Да; б) да; в) да; г) нет. 2. да; да; пет; нет. 3. б) /3,7 > <3.2;
в) /24 <5.
Часть 2
I. 6,1; V19; /17; 4; /15,4. 2. б) да; г) да. 3. а) 3; в) -1.
§32
32.1
Часть 1
1. а) 10; в) 40; д) 4,2. 2. б) 40; г) 40; е) 18. 3. а) 18; в) 33; д) 1,4.
, х 6 ч 11
4. б) —; г) —.
11 3
Часть 2
1. а) 13: в) 13; д) 0,7. 2. б) 3,5; в) 0,24. 3. б) 70; г) 20; е) 18.
4. в) 19. 5. а) 8: в) 15. 6. б) 0,1; г) 3. 7, в 4 раза. 8. п = 7.
32.2
Часть 1
1. 1) 4,3; 3) 0,6; 5) 26; 7) 216; 9) 1,69. 2. б) -у; г) 12х4.
Часть 2
1.6) х4г/8. 2. а) 81; 6) 96; в) 125. 3. а) верно. 4. а) 4-/3; б) /7-2.
§33
33.1
Часть 1
1. а) 3/3; в) б/10: д! 0. 1/10; ж) 3/3. 2. б) /147; г) -/40;
е) /2/. 3.2) /13>2/3; 4) Зл/15<2/34; 6) 0,7
Часть 2
1.6) 7аб6/2а; г) 4(х-г/)/3(х-г/). 2.6) -/ба10; г) /-х3;
е) /(6-а)3. 3. 3) и 4). 4. а) 4/5 </85; в) i/98 >-/б4.
2 3
5.6) -/47; -3v2; -2/3; -/7; /б.
33.2
Часть 1
1. а) З7а; в) Зл/бх. 2. б) 4-л/б; г) 2; е) 8-4V3.
3. a) (m-V8)(m + V3); в) (2x-V7)(2xtV7); д) (^-4)(^ + 4).
Часть 2
1.6) (2V^-8>/n)(2V^ + 3V«); г) /^(V7-V5); е) V11(V5-V2).
о . 1 л/2 [— г- 4V3
2. а) в) д) тп-у/тпп + п. 3. о) у/х+у]у; г) ------;
д/2 д/3 9
е) 6(7 + 4v'3).
Глава 10. Квадратные уравнения
§34
34.1
Часть 1
1. б) xt = 0, х2 = -5; г) нет корней; е) хх = 0, х2 = 7; з) нет корней;
к) нет корней; м) х = 0. 2. а) у3 =- 0, у2 = 4; в) ух = 0, у2 = 3;
Д) У1,2=±^’ ж)1/1-0, у2 = 4;и)(/-0.
Часть 2
1. а) = -2, х2 = 0,3; х3 = -2,6; в) xt = 0, х2 = 0,25; д) у} 2 = ±>/з.
л/б5
2. б) нет корней; г) у3 2 = ±-. 3. а); б); в); г).
5
34.2-34.4
Часть 1
2. б) нет корней; г) х3 = 2,5; х2 = 2. 3. б) хг = -1; х2 — 23;
г) yt = 0,2; у2 = 3. 4. а) нет корней; в) х, 2 = —1-13 + 2^ 11);
6 9 5
д) хг = -9; х2 = -8; ж) х1 = —; х2 = — .
Часть 2
1. б) нет корней; г) х12 =-5±л/26. 2. а) а, = -9; а2 = 3;
в) = -7; т2 = 5. 3. б) ни при каком. 4. а) (х - З)2;
б) 2х-у | 2х+у^ . 5. a) Xj = 1; х2 = 6; в) Xj = -10; х2 = 3.
6. б) х. , = ±3; г) х, , = ± ; е) х. , = + -4=.
А
34.5
Часть 1
1. б) х, + х2 = 12; х, • х2 = -28; г) х, + х2 = 13; хг • х2 = 0.
2. в) —= 0. 3. б) а. = -4; а, = 1. 4. а)-5; б) 1; в) -3
30 30 1 2
5. а) х, > 0; х2 < 0; в) хг > 0; х2 > 0.
Часть 2
1 5. 3. при тп = 1,5 и тп = 3. 5. 62.
34.6
Часть 1
1. 8 см и 12 см. 2. 6 см и 8 см. 3. 16 и 6. 4. 12 см и 5 см.
Часть 2
1.32. 2. 3 и 1. 3, 9 и 1. 4. 21 ряд.
§35
35.1
Часть 1
1. б) х, = -1; х2 = 5; г) нет корней; е) х = 2. 2. б) у = 2; г) у = 2.
Часть 2
1. б) хг = -3; х2 = 4; г) х, 2 = ±1. 2. б) (-3; 0), (4; 0). 3. а) х = -1;
б) х1 = -5; х2 = 1.
35.2
Часть 1
1. 140 м. 2. 7 км/ч. 3. за 12 ч и 24 ч. 4. 160 г, 20% .
Часть 2
1. 3 км/ч. 2. за 132 мин и 110 мин. 3. 7000 руб. и 3000 руб.
4
4. 5. 4 см и 3 см. 6. 12 см и 15 см.
9
Глава 11. Неравенства
§36
36.1
Часть 1
1. а) х < у, б) х = у; в) х > у. 2. б) 24,48 : 24 = 10,2 • 0,1,
г) 3 | = 8,1 : (-5,4). 3. б) 1-4,15)» < 0; г) О5 = 0.
Часть 2
1 2 1
1. б) верно; г) неверно. 2. 2 — ; 2,2; 2 — ; 2 — ; 2,4.
3. б) 1950 —<1950: —; г) 2,71 : 0,3 > 2,71 0,3.
3 3
36.2
Часть 1
1. b - 3; Ъ - 2; Ь; а-, а + 2; а + 7. 2. б) b - 9 < а; г) -а - 5 < -Ь.
3. а) а > 0; в) а < 0. 4. а) 40 < 8х < 48; в)6-<х+1<7;
г)0<6-х<1
Часть 2
1. а) 2,7 < л/3 4-1 < 2,8; б) 0,7< л/З-1 < 0,8. 2. а)
9x6
3. 19,2 < Р < 19,6. 4. 4,175 < а < 4,225. 5. а) верно
36.3
Часть 1
4 1
1.6)-2 <16; г) -5 —<-3 —. 2. б) 890 <2730; г) 0,03 <0,34.
15 5
3. б)-5 < х - </<-3; г) -<У-< —.
3x8
Часть 2
3. 93 < Р < 99. 4. 11,9 < S < 12,9.
36.4
Часть 1
1. а) 56 < х < 58; б) 263 < х < 283. 2. а) 0.03; 0,07. 3. б) 34 < у < 42;
г) 43,9 < m < 44,1; е) 12,4 < с < 13,6. 4. а) ® 26; в) « 63,5.
Часть 2
1. а) 0,03- 0,07; б) —. 2. а) 0,04; в) 0,047. 3. а) х = 30±2;
154
в) х = 6,9±0,1. 4 б) « 0,133, г) « 21,833. 5. а) ® 2; 0,05; в) » 10;
0,0264.
§37
37.1
Часть 1
2. а) х < 0,8; в)х>-12;д)х> 24; ж) х < 4. 3. а) а < 17; в) а>^-
4 б) х > 11,5; г)х< 17; е) х<
6
Часть 2
1. б) у < -17,5; г) b < 55. 2. б) х < г) х е R. 3. б) при п>^-.
7 2 1
4. б) а< —; г) х>-;е) а>-. 5. б) х < 3; х * 2. 6. а) у = 3; б) у = -1
3 3 2
37.2
Часть 1
1. 1) нет решений; г) (-оо; -7). 2) б) (-оо; 2); г) [3; 6).
7 41 ,
3)б) 8; Т ;4)б)
12
т
• 5) в)
41
Т’
6) б) х = 3.
Часть 2
9
5
1.а)
2. в) нет решений. 3. 1) в)
; -1 • 2)
в) (-28; -25). 3) в) (1,8; 3). 4) (-21; -15). 4. в) [2,5; 7].
5. в)
19’ 2)
G. в)
I
и’ 6
7. б) -18; 4; 11; г) -1; 0; 2.
8. а) (-4; 4); в) [2; 4].
37.3
Часть 1
1. а) 2 = ±3; в) нет корней. 2. 1) в) х 5. 2) в) х, = -2; х2 = 5.
4. 1) в) [1,5; 6,5]. 2) в)
1
3
5. а) xt = 1; х2 = 3; в) х = 5;
д) х — -1. 6. б) х — 1; г) х = 1; е) х = 1.
Часть 2
1. б) X-t = -5; х2 = 6; г) х = -i. 2. в) х} = 0,4; х2 = 1,6
3. в) х = 1.4. а) х = 11; в) х = 2. 5. (0,5; 3,5).
Глава 12. Степень с целым показателем
§38
38.1
Часть 1
1. а) —; в) —; д) —Цг. 2. б) 3 s; г) х~8. 3. б) 6~3; 6~2; 6 1; 6°; 6;
64 m х у
1 Q
62; 63. 4. а) —; в) -1; д) 16; ж) —.
36 25
Часть 2
1. 5) г) -48; е) 2. а) 6х г. в) 3x5t/~6; д) a~3i>>;
ж) 4а(а - 3) ’. 3. б)
х2+у2 .Х+у
2 2, ' „,2 ’ Г) ---
х у (х-2) ху
38 2
Часть 1
1. 11 б) х г) х и. 2) а) а 3; в) а20; д) а3. 3) б) х 2"; г) х20. 4)
б) х6х 6; г) х’х 2. 5) а) —; в) 2. 1) в) 3. 2) в) 1. 3) а) —;
a Ъ 64
в) 1016. 4) а) в) -j. 3. б) 5х3; г) 4. в) (0,07x4j/~6)2.
5. в) 5".
Часть 2
1. б) 6. 2. б) —; г) 3. а) 256; в) —. 4. б) Ь';. 5. п = 2.
х 4х 6"
38.3
Часть 1
1. б) 4; г) 5. 2. а) 8 104; в) 5,403 10; д) 3,4 • 1О~3. 3. б) 12 • 1010;
г) 4 • 104. 4. б) 3,8 104 > 0,37 • 105.
Часть 2
1. б) 4500. 2. а) 4,7 109 г; в) 9,63 • 10~4 т. 3. в) 8,65 • 109 т.
9 класс
Глава 13. Квадратичная функция
§39
Часть 1
5
1. 3) -7; -3. 2. 2) а) х = 3; б) х = -3; в) х = 1,5. 3. б) х # 0;
3
г) х > 0; е) х * 3. 4. а) у е R; в) у * 0; д) у > 0. 6. а) 1,5; в) не суще-
ствует; д) не существует.
Часть 2
1. а) 0; 7; в) -1. 2. а) х е R-, в) -1 < х < 1. 3. б) 0. 4. к = 6; b = -13.
6. а) -3; 0; 3; в) -2; 2.
§40
40.1
Часть 1
5 г-
1, а) х = —; в) yt = 0, у2 3 = ±д/2. 2. а) да; в) нет 3. а) -2; 3;
6
1 f 7? 1 1
в) —1; —. 4.6) -I x-—I +2’ г) + 5. б) нет корней;
г) 2 корня; д) нет корней.
Часть 2
1. а) х =i; в) нет корней; д) ух 2 = ±л/б. 2. в) i(x-t-l)2 ~~-
4. при х = 5, наименьшее значение равно 2. 5. при х = -4, наи-
меньшее значение равно 1.
40.2
Часть 1
1. а) (х - 1)(х - 2); в) 3(х - 3)(х Н 3); д) (х + 9)(х - 8). 3. б) —
6
г)^-
2г/ + 1
Часть 2
1. а) (7х - 3)(х + 1); в) (7х - 1)(х + 3). 2. в) у(6у + 5)
3
3. -4; -3; -1; 0.
§41
41.1
Часть 1
1. а) (-10; 300), (10; 300); в) (0; 0), (25; 1875). 2. а) да; б) нет; в) да.
Часть 2
1. а) при х = -1, у = ^; при х = 0, у = 0; при х = 2, у = 2; б) при
у = 2, х = ±2; при у = 8, х = ±4, при у = 0,5, х = ±1; в) при х < 0
функпия убывает, при х > 0 — возрастает, 2. б) да; г) да.
3. (1; -1), (-4; -16). 4. при k = ±10. 5. = 0, у^ = 8.
41.2
Часть 1
2. в I и II; в) во все четвертях. 3. a) +-j=; в) не существуют.
Часть 2
2. а) ±2; в) не существуют. 3. при а < 0.
41.3
Часть 1
1. в) -- I 3. а)(3; 0), (4; 0), (0; 12); в) | i; 0 , (2; 0), (0; 2).
^4 8 J V2 )
Часть 2
1. а) (4; -4); б) (2; 0), (6; 0), (0; 12); в) у = 0 при х = 2 и х = 6;
при х < 4 функция убывает, при х > 4 — возрастает; г) f(x) > О
при х < 2 и х > 6; f(x) < 0 при 2 < х < 6; г/наим = -4. 2. m = -4,
3. [-2; 7].
§42
42.1
Часть 1
1. при х = -7, у > 0; при х = 0, у = 0; при х = 9, у > 0.
2. при х = -3, у < 0; при х = 0, у =~ 0; при х = 5, у > 0.
3. а) /(4,8) < /(5,3); в) /(-8) > /(7). 4. б) /(-5,7) > /(-6,8).
5. проходит через точку М и N; не проходит через точку К.
Часть 2
3
1. а) 2 корня; б) 1 корень. 2.6) х - — : г) х = ±4. 4. б) нет корней;
5
г) 1 корень.
42.2
Часть 1
1. б) 6; г) -i; е) 0,6. 2. а) — ; в) 1. 3. б) 3: г) -13. 4. б) при всех х.
3 4
г) при х < -2 и х > 4.
Часть 2
7 -
1. б) 0,5; г) 2. б) х-^,'4
в) при х > 2,5. 4. б) х = ±2.
-2. 3. а) при х >
42.3
Часть 1
2 3 ,
1. а) 12 в) х11. 2. б) г) 12.
3. а) х2, в) а6>75; д) m 3. 4. а) х; в) а °’2.
Часть 2
. 3125
1. б) ----
1024
13
в) 415. 4. б) (у3)3-,
г) 70. 2. в) тг°'3. 3. a) V10;
Глава 14. Уравнения и неравенства
с одной переменной
§43
43.1
Часть 1
1. б) 1; г) 1; д) 5. 2. а) ±3; в) -1; д) -9.
Часть 2
1 ,— 5
1. б) -2; - 1; г) 2; 2±V14. 2. а) - —; б) -1; 6; д) 1; 2; 8.
43.2
Часть 1
1. а) х = 2; в) xt = 0, х2 = 22; д) х = -0,5.
Часть 2
1. б) х, = 0,5, х, = 2; г) хх = -5, х2 = -1, х3 4 = -3±3л/3;
е) хх = -2,5, х2 = 5; з) х = 1.
§44
44.1
Часть 1
1. а) [-2; 2]; в)
е) (—со; +оо).
0; -
2
3. б) (—со; -3) и (3; +оо) г) [0: 6],
Часть 2
7 ' ( 1
1. а) (1; 1,2); б) I 1; - . 2. б) -со; --
( 6 J 3
и [0; +оо); г) [-6; 6];
0
2
е)
3. а) b < -4^3, b > 4д/з. 4. б) (-2; -1). 5, а) [0; 3];
б) (-со; 2) и (2; +со).
44.2
Часть 1
1. 1) а) (-оо; 3) U (6; +оо); в) (-6; -3) о (9; +оо). 2) б) (-оо; -8] и [0; 5],
г) (-оо; -8] и [-3; 3]. 2. б) (-оо; -3] и [7; +оо); г) (-5; -2) и (2; +оо).
3. 1) а) (-9; 5]; в)
2) а) (-оо; -8) и (3; +оо); в) [-5; -3) и
V [5; +оо). 4. б) [-19; 8] и [11; +оо).
Часть 2
1. 1) 0; 3) -4; 5) -2; 7) -1. 2. 1) 3; 3) 1.3. а) 1; в) -1.
Глава 15. Уравнения и неравенства с двумя
переменными
§45
45.1
Часть 1
1. а) да; в) да. 2. б) (1; 14), (-1; -14), (-13; 0); г) (3; 3), (1; 1),
(0; 0). 3. а) 5; в) 4.
Часть 2
2. а) (3; 0), (3; 10); б) (8; 5), (-2; 5). 3. х2 + у2 = 10.
4. х2 + (у - 6)2 = 25. 5. а) (1; -6), (-6; 1), (6; -1), (-1; 6), (-2; 3),
(3; -2), (2; -3), (-3; 2).
45.2
Часть 1
( 2 4^
1. а) нет. 2. (1; 1), | . 3. (1;-1), (-3;-9).
Часть 2
1. (-2; 3), (2; 3). 2. (2; 2). 3. (-1; -2), (1; 2), (-1; 2), (1; -2).
45.3
Часть 1
1. б) (-4; 5), (4; -6). 2. 6) (5; 4), (4, 5). 3. б) (3; 2), (3; -3), (-4; 2),
(-4; -3).
Часть 2
1. б) (6: 3), (-3; -2), (4; 5), (-1; -4). 2. б) (±3; ±2), (+2; ±3);
г) (2; 2). 3. а) (3; 2), (-3;-2); б) (1; -1), (-1; 1), (5; 4), (-5; -4).
45.4
Часть 1
1. 14 и 6. 2. 9 и 3. 3. 5 см и 4 см. 4. 13 км/ч. 5. за 4 дня.
Часть 2
7
1.88. 2. 2. 3. —. 4. 45 км/ч. 5. за 30 мин. 6. 10 карандашей.
7. 80%. 8. 4 км/ч. 9. 20 км/ч. 10. 27.
§46
46.1
Часть 1
1. а) нет; б) да. 2. а) (1; 2), (0; -5); б) (2; 5), (-2; 4).
Часть 2
1. а) да; б) да; в) нет; г) да. 5. а) окружность с центром (5; 3),
R = 3; б) множество точек, принадлежащих параболе
у = (х - З)2 + 1, и точек, расположенных ниже ее.
46.2
1. а) нет; б) да; в) нет.
Часть 2
1. а) да; б) нет; в) нет; г) да.
Глава 16. Арифметическая и геометрическая
прогрессии
§47
47.1
Часть 1
1. 88. 2. а, = 1, d = 3. 3. 79. 4. 4.
Часть 2
1. -2; 5; 12; 19; ... . 2. 90. 3. 15; 8; 1; ... или 1; 8; 45... .
4. 11, 15, 19, 23, 27, 31. 5. ах - 3, d - 2 или ах = -17, d = 2.
47.2
Часть 1
1.2.2. 39.3. 145. 4.x-55.
Часть 2
1. 304. 2. 90. 3. 825. 4. х = 1. 5. ах = 8, d = -3. 6. 93.
§48
48.1
Часть 1
1. 2. 2. 54. 3. 12. 4. 5.
Часть 2
1. 4. 2. 1, 3, 9. 3. 2. 4. 2, 6, 18. 5. 96, 48, 24, 12, 6, 3. 6. 27; 81.
9
7. ал = 1, q = 2. 8. Ъх = 9, q = 3 или b1=- — , q = -3.
48.2
Часть 1
1. 189. 2. bx = 3584, Slo = 7161. 3. bx - 3, - 384. 4. п = 6. 5. 720.
Часть 2
1. ах = 1, q = 3, п = 4. 2. 96, 48, 24, 12, 6, 3. 3. 40. 4. 1. 5. 728.
Упражнения для повторения курса
7—9 классов
Вычисления
1. а) 11,5; в) 2. 24. 3. 14 и 11 лет. 4. 3 м 60 см. 5. 9000,
135 000 руб. 6. а) 6; в) 0. 7. б) 3+1). 8. а) —. 9. 145.
4
10. 2,5. 11. 2. 12. 1. 13. 100 раз. 14. 14 и 28. 15. 6.
Тождественные преобразования
16. а) (х - у)(т + »); в) 2(n + 4)(3а + b). 17. б) (8г/ - 7х)(8г/ + 7х);
г) I у г/-0,1 || у г/н-0,1'| 18. а) (х - 2)(х - 3); в) (у - 1)(2г/ + 1).
14 ;1 4 1
19. б) ——г)
х + 1
5х + 4 а2-1
х2 + х +1 ’ а4 -2а2 +4
20. б)
х + 7а , у
-----; г) ?-
ах х
21. б) г/(х + у); г) 22. а) ; в) . 23. а) 96; в) 4.
х-у у -х а + Ъ
24. а) ЗА в) 2^7; д) 5л/3; ж) 2x^2. 25.6) У0?2, г) -^8;
е) -7з/. 26. б) бл/Зх; г) -8х/бх; е) 4^. 27. а)
у/Х
в) 28 а) 4/2. В)Л. д)
ЧУ 3
Уравнения и системы уравнений
29. б) х = 2,5; г) х = -0,5. 30. 88. 31. 18 км/ч. 32. 150 км.
33. 240 км. 34. б) Xj = 3, х2 = 9; г)хх = 7, х2 = е) х12= —
5
35. а) при а < 2,45; б) при а > 2,45; в) при а = 2,45. 36. б) ух = 2,
1 5
г/2 = 4; г)х, = 2, х2=2-. 37. -. 38. 21.39. 55 м. 40. 5x5 дм.
3 8
5
41. б) х = -5 — ; г) х12 =±1; е) х1 = -7, х2 = 4. 42, 2,4 часа.
43. 80 км. 44. 120 станков. 45. 1800 руб, 46. 49 000 руб.
47. 13,5 кг. 48. б) X, = -2, х, = 1; г) х, . = ±2, х.. = -1; е) х, = 0,5,
х2 = 0,6, х3 = 4,5. 49. б) (0; 1); г) (0; 2). 50. б) (1; 2). 51. при а = 1.
52. а = -1. 53. k = 0,5, Ъ = 3,5. 54. при п = 5. 55. (-2; 2) и (2; 4).
56. 3 решения. 57. б) (5; 3), (5; -3); г) (-5; -5), (5; 5).
58. б) (-5; -1), (5; 1); г) (3; 2), (-2; 3), (-3; -2), (2: -3).
5
59. a, =-5,d = 3. 60. а, = 1. 61. —. 62. 7,4, 37, 66,6. 63. 84, 63,
1 1 14
42. 64. b7 = 1. 65. Ь3 = 12. 66. Ь2 = 6; 52 = 12. 67. Ь2 = 4. 68. 2, 6, 18.
Неравенства
69. б) х i 4, в) ни при каких х. 70. а) (5,2; 5,3); в) (5,4; 5,6).
71. 22,4 < Р < 22,8; 30,55 <S< 31,68. 72. в) [-4,5; +оо).
73. а) 0; б) -1 74. б) -7; г) 2. 75. б) х > 3,5; г) х > -0,8. 76. б) 1;
а
г) 14. 77. б) 2. 78 б) х> —; г) нет решений. 79. б)
4
53 25
3 ’ 3
2 .
8
80. б) (-«; -2] и [1; +оо); г) [-3; -0,5]; е) [-5; 4].
9
81. б) (-оо; -2]; г) (2; 3]. 82. б) 5; г) -3. 83. а) при х>~;
8
в) при -6 < х < 1; д) при — < х < —. 84. б) х ф —; г) х е В;
е) [-3. -2)и(-2;3].
Функции
85. а) у11аии = -1; в) j/nanM = -2,25; д) упавм = -0,25. 86. б) убывает
1 1 , _ 3
при х-~^> возрастает при х> —; г) убывает при х<~ —, возра-
3
стает при х>~ —. 87. а) у > 0 при х > 0; б) у > 0 при х < 0.
5
89. б) (2; -13), (8; -25); г) (-3; 31). 90. б) х ф 0, г) х > 0; е) х *-.
3
91. б) у = 0 при х = 36; г) у * 0; е) у = 0 при х = ±2.
92. б) (-20, 1200), (20; 1200); г) (0; 0), (-16; 768). 93 а) да;
б) нет; в) да. 94. а) в I и III; б) в I—IV; в) в III и IV. 95. б) (-5; 36);
— 97. а) (-3; -2), (2; 3); в) (-2; 2), (2; 2). 98. а) 2 ре-
шения; б) 1 решение. 99. а) (-2; 2), (2; 2); б)
30 42)
37’ 37 ’
(5; 7). 100. а) х ф 0; в) х * 0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Алимов ША. и др. Алгебра. 7 класс. — М.: Про-
свещение, 2020.
2. Балаян Э.Н. Репетитор по математике для
5-9 классов. — 3-е изд — Ростов-на-Дону: Феникс,
2022.
3. Балаян Э.Н. Лучшие олимпиадные задачи по
математике. 7-9 классы. — Ростов-на-Дону: Феникс,
2019
4. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра. 8 класс. —
5-е изд. — М.: Просвещение, 2016.
5. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра. 9 класс. —
21-е изд. — М.: Просвещение, 2014.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...................................3
7 класс
Глава 1. Алгебраические выражения........... 5
§ 1. Числовые выражения.....................5
Задачи... ..................................9
Часть 1.................................9
Часть 2................................10
§ 2. Алгебраические выражения..............10
Задачи............................... 12
Часть 1 .... ...................... 12
Часть 2................................13
§ 3. Свойства арифметических действий .....13
Задачи......................................15
Часть 1 . 15
Часть 2................................15
§ 4. Правила раскрытия скобок..............16
Задачи......................................18
Часть 1................................18
Часть 2................................18
Глава 2. Уравнения с одним неизвестным......20
§ 5. Уравнение и его корни................ 20
Задачи............ .... .... .... ... ..._.... ... 22
Часть 1 . . ..........................22
Часть 2........................ ... 23
§ 6. Решение задач с помощью уравнений.....24
Задачи.............................. 25
462 «• Репетитор по алгебре для 7-9 классов
Часть 1........................................25
Часть 2..................................25
Глава 3. Одночлены и многочлены................27
§ 7 Степень с натуральным показателем
и ее свойства............................27
Задачи......................................32
Часть 1................................ 32
Часть 2..................................33
§ 8, Одночлен. Стандартный вид одночлена ...34
Задачи.............................. 36
Часть 1 ............................. 36
Часть 2............................ 36
§ 9. Умножение одночленов.
Возведение одночлена в степень............ 37
Задачи......................................38
Часть 1................................ 38
Часть 2................................ 38
§ 10. Многочлены............................39
Задачи......................................42
Часть 1..................................42
Часть 2..................................42
§ 11. Сложение и вычитание лтногочленов.....43
Задач и............................... 44
Часть 1..................................44
Часть 2.............................. 45
§ 12, Умножение многочлена на одночлен......46
Задач и................................ . .. 47
Часть 1..................................47
Часть 2..................................48
§ 13. Умножение многочлена
на многочлен..............................49
Задачи.......................................50
Часть 1...................................50
Часть 2................................. 50
§ 14. Деление одночлена и многочлена
на одночлен...............................51
Задачи.......................................52
Часть 1...................................52
Часть 2................................. 53
Глава 4. Разложение многочленов
на множители....................................54
§ 15. Вынесение общего множителя за скобки...54
Задачи... ..... .... ................. 55
Часть 1 .................... .... _..... .55
Часть 2...................................56
§ 16. Способ группировки .... ...... ...... .57
Задачи.................____......____________.58
Часть 1 58
Часть 2................................ .58
Глава 5. Формулы сокращенного умножения ... 60
§ 17. Формула разности квадратов..............60
Задачи................................... 61
Часть 1...................................61
Часть 2.................................. 62
§ 18. Квадрат суммы. Квадрат разности.........63
Задачи.......................................64
Часть 1...................................64
Часть 2................................. 65
§ 19. Сумма и разность кубов.
Куб суммы и разности ...,................66
Задачи......................................68
Часть 1..................................68
Часть 2..................................6S
§ 20. Применение различных способов
разложения многочлена на множители...........68
Задачи......................................70
Часть 1..................................70
Часть 2..................................71
Глава 6. /Алгебраические дроби.................72
§ 21. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей.... 72
Задачи......................................74
Часть 1..................................74
Часть 2..................................75
§ 22. Сложение и вычитание алгебраических
дробей.......................................75
Задачи......................................78
Часть 1..................................78
Часть 2..................................78
§ 23. Умножение и деление алгебраических
дробей.......................................79
Задачи................................... 81
Часть 1........................... 81
Часть 2..................................82
§ 24. Совместные действия
над алгебраическими дробями .... ............83
Задачи......................................84
Часть 1................................ 84
Часть 2..................................84
Глава 7. Линейная функция и ее график........86
§ 25. Функция I/ = kx и ее график..........86
Задачи................................... 88
Часть 1............................ 88
Часть 2................................88
§ 26. Линейная функция и ее график ...... 89
Задачи.................................... 92
Часть 1................................92
Часть 2................................92
Глава 8. Системы двух уравнений с двумя
неизвестными...............................93
§ 27. Способ подстановки ..................93
Задачи.. ............................. 95
Часть 1................................95
Часть 2................................95
§ 28. Способ сложения......................96
Задачи................................... 98
Часть 1......................... 98
Часть 2........................... ....99
§ 29. Графический способ решения систем
уравнений........................ ... 100
Задачи................................... 102
Часть 1...............................102
Часть 2...............................103
8 класс
Глава 9 Квадратные корни.................. . 104
§ 30. Действительные числа........... 104
30.1. Рациональные числа..............104
30.2. Иррациональные числа........... 105
466 «• Репетитор по алгебре для 7-9 классов
Задачи...................................... 106
Часть 1................................106
Часть 2............................... 106
§ 31. Арифметический квадратный корень... 107
31.1. Квадратные корни. Арифметический
квадратный корень..................107
Задачи................................... 110
Часть 1................................ 110
Часть 2.............................. 110
31.2. Уравнение х2 = a.................Ill
Задачи................................... 112
Часть 1................................112
Часть 2................................113
31.3. Функция у = 4х и ее график.......113
Задачи.................................... 115
Часть 1............................ 115
Часть 2................................115
§ 32. Свойства арифметического квадратного
корня..................................... 116
32.1. Квадратный корень из произведения
и дроби............................. 116
Задачи................................... 118
Часть 1.............................. 118
Часть 2................................119
32.2. Квадратный корень из степени..... 120
Задачи............................... 121
Часть 1................................121
Часть 2................................121
§ 33. Применение свойств арифметического
квадратного корня........................ 122
33.1. Вынесение множителя за знак корня.
Внесение множителя под знак корня.......122
Задачи.................................. 124
Часть 1................................124
Часть 2................................124
33.2. Преобразование выражений,
содержащих квадратные корни............125
Задачи.................................. 127
Часть 1................................127
Часть 2................................127
Глава 10. Квадратные уравнения...............129
§ 34. Квадратное уравнение и его корни.... 129
34.1. Неполные квадратные уравнения.... 129
Задачи.................................... 131
Часть 1................................131
Часть 2................................131
34.2. Формула корней квадратного
уравнения..............................132
34.3. Свойства коэффициентов для
нахождения корней квадратного
уравнения...................... ... 134
34.4. Биквадратные уравнения...........135
Задачи.................................... 136
Часть 1................................136
Часть 2................................137
34.5. Теорема Виета и ее применение....138
Задачи.................................... 140
Часть 1................................140
Часть 2................................141
34.6 Решение задач с помошью
квадратных уравнений....................141
Задачи..................................... 142
Часть 1.................................142
Часть 2.................................14 2
§ 35. Дробные рациональные уравнения....... 143
35.1. Решение дробных рациональных
уравнений...............................143
Задачи..................................... 145
Часть 1.................................145
Часть 2.................................145
35.2. Решение задач с помощью
рациональных уравнений.................146
Задачи.................................... 148
Часть 1............................... 148
Часть 2.................................149
Глава 11. Неравенства................... 150
§ 36. Числовые неравенства и их свойства.. 150
36.1. Числовые неравенства............. 150
Задачи.................................... 153
Часть 1.................................153
Часть 2.................................153
36.2. Свойства числовых неравенств......154
Задачи................................. 156
Часть 1.................................156
Часть 2.................................157
36.3. Сложение и умножение числовых
неравенств.............................157
Задачи................................... 159
Часть 1..................................159
Часть 2..................................159
36.4. Абсолютная и относительная
погрешности приближенного значения ... 160
Задачи.................................... 162
Часть 1................................ 162
Часть 2.................................163
§ 37. Неравенства с одной переменной
и их системы............................... 164
37.1. Решение неравенств с одной
переменной..............................164
Задачи.................................... 166
Часть 1.................................166
Часть 2.................................167
37.2. Решение систем неравенств с одной
переменной............................ 168
Задачи.................................... 171
Часть 1.................................171
Часть 2.................................172
37.3. Уравнения и неравенства,
содержащие переменную под знаком
модуля... ..............................174
Задачи.................................... 179
Часть 1 ................................179
Часть 2 ................................180
Глава 12. Степень с целым показателем.........181
§ 38. Степень с целым показателем
и ее свойства............................... 181
38.1. Определение степени с целым
отрицательным показателем...............181
470 «• Репетитор по алгебре для 7-9 классов
Задачи....................................... 184
Часть 1.............................. 184
Часть 2............................... 185
38.2. Свойства степени с целым
показателем............................186
Задачи.................................... 188
Часть 1.................................188
Часть 2............................... 189
38.3. Стандартный вид числа....... . . . .190
Задачи.................................... 192
Часть 1.................................192
Часть 2.................................192
9 класс
Глава 13. Квадратичная функция................193
§ 39. Функции и их свойства.............. 193
39.1. Функция. Область определения и
область значений функции. Свойства
функций............................... . 193
Зада чи... ............ .... . ... ... . 198
Часть 1 . ... 198
Часть 2................................. . 199
§ 40. Квадратный трехчлен_______ ..... ..._200
40.1. Квадратный трехчлен и его корни...200
Задачи............................. 202
Часть 1.................................202
Часть 2.................................203
40.2. Разложение квадратного трехчлена
на множители...........................203
Задачи................................. 204
Часть 1.................................204
Часть 2.................................205
§ 41. Квадратичная функция и ее график.....205
41.1. Функция у = ах2, ее график
и свойства .......................... 205
Задачи.................................. 208
Часть 1.................................208
Часть 2.................................208
41.2 График функции
у = ах2 + п и у = а(х - тп)2..........208
Задачи.....................................210
Часть 1.................................210
Часть 2.................................211
41.3. Построение графика квадратичной
функции................................211
Задачи................................... 213
Часть 1.................................213
Часть 2.................................214
§42. Степенная функция. Корень н-степени...214
42.1. Функция у = хп..................214
Задачи.....................................217
Часть 1.................................217
Часть 2.................................217
42.2. Корень n-й степени................218
Задачи.................................... 221
Часть 1.................................221
Часть 2.................................221
42.3. Степень с рациональным показателем... 222
Задачи.................................... 225
Часть 1.................................225
Часть 2.................................225
Глава 14. Уравнения и неравенства с одной
переменной....................................227
§43. Уравнения с одной переменной......... 227
43.1. Целое уравнение и его корни.......227
Задачи................................... 230
Часть 1 . ...........................230
Часть 2.................................230
43.2. Дробные рациональные уравнения....231
Задачи.................................... 234
Часть 1.................................234
Часть 2.................................234
§ 44. Неравенства с одной переменной.......235
44.1. Решение неравенств второй степени
с одной переменной......................235
Задачи.................................... 238
Часть 1.................................238
Часть 2.................................238
44.2. Решение неравенств методом
интервалов . ..................... 239
Задачи__ ...,......................... 244
Часть 1.................................244
Часть 2............................... 244
Глава 15. Уравнения и неравенства с двумя
переменными...................................245
§ 45. Уравнения с двумя переменными
и их системы............................. 245
45.1. Уравнение с двумя переменными
и его график............................245
Задачи.....................................2 46
Часть 1 ................................246
Часть 2................................2d 6
45.2. Графический способ решения
систем уравнений.......................247
Задачи................................... 248
Часть 1................................2d 8
Часть 2................................2d 9
45.3. Решение систем уравнений второй
степени................................249
Задачи.....................................253
Часть 1................................253
Часть 2................................254
45.4. Решение задач с помощью систем
уравнений второй степени...............254
Задачи....................................257
Часть 1........................... 257
Часть 2...............................258
§ 46. Неравенства с двумя переменными
и их системы..............................259
46.1. Неравенства с двумя переменными..259
Задачи....................................261
Часть 1............................ 261
Часть 2...............................262
46.2. Системы неравенств с двумя
переменными.......................... 262
Задачи....................................264
Часть 1............................. 264
Часть 2...............................265
Глава 16. Арифметическая и геометрическая
прогрессии ....................... 266
§ 4 7. Арифметическая прогрессия..........266
47.1 . Определение арифметической
прогрессии. Формула n-го члепа
арифметической прогрессии...............266
Задачи.....................................269
Часть 1.................................269
Часть 2.................................269
47.2 . Формула суммы первых п членов
арифметической прогрессии...............270
Задачи.....................................272
Часть 1.................................272
Часть 2.................................272
§ 48. Геометрическая прогрессия............273
48.1. Определение геометрической
прогрессии. Формула n-го члена
геометрической прогрессии...............273
Задачи.....................................276
Часть 1.................................276
Часть 2.................................276
48.2. Формула суммы первых п членов
геометрической прогрессии...............277
Задачи.....................................279
Часть 1.................................279
Часть 2.................................279
Упражнения для повторения курса 7-9 классов.... 280
Вычисления .............................280
Тождественные преобразования............281
Уравнения и системы уравнений...........284
Неравенства.............................289
Функции.................................292
Глава 17. Олимпиадные задачи по математике
7—9 классов..............................295
§ 49, Условия задачи................295
7 класс..............................295
8 класс..............................315
9 класс..............................334
§ 50. Ответы, указания, решения......... 352
7 класс..............................352
8 класс............................ 376
9 класс..............................402
ОТВЕТЫ к §§ 1—48 и упражнениям
для повторения курса 7—9 классов............. 435
Литература............................... 460
УДК 373.167.1:512
ББК 22.14я721
КТК 444
Б20
Балаян Э. Н.
Б20 Репетитор по алгебре для 7-9 классов [Электронный
ресурс] / Э. Н. Балаян. — Электрон, текстовые дан. (1
файл pdf: 4~6 с.). — Ростов н/Д : Феникс, 2024. —
(Большая перемена).— ISBN 978-5-222-41287-9
Книга написана на основе действующей программы по
алгебре 7-9 классов для общеобразовательных школ, гимназий,
лицеев.
Она содержит более 3700 задач, из которых около 700 даны с
решениями, а остальные предназначены для са-мостоятельного
решения.
Каждая глава разбита на параграфы, сопровождаемые
теоретическими сведениями и методическими рекомендациями,
и включает достаточное количество примеров с подробными
решениями.
Задачи тщательно подобраны по принципу однородности
тем, типов, методов решения и распределены на две части по
уровню сложности.
Книга дает возможность школьникам мгновенно найти нуж-
ную информацию, повторить забытый материал, подготовиться
к уроку, вспомнить, как решаются типовые примеры и задачи.
Предлагаются также олимпиадные задачи для 7-9 классов,
снабженные ответами, указаниями и решениями.
Репетитор адресован учащимся 7-9 классов для са-
мостоятельного повторения основных тем программы,
подготовки к ОГЭ, олимпиадам, а также учителям математики,
репетиторам.
УДК 373.167.1:512
ББК 22.14я721
Деривативное электронное издание на основе печатного издания:
Репетитор по алгебре для 7-9 классов / Э. Н. Балаян. — Изд. 3-е. —
Ростов н/Д : Феникс, 2024. — 463 с.: ил. — (Большая перемена). —
ISBN 978-5-222-40541-3
© Балаян Э.Н., 2022
© Оформление: ООО «Феникс», 2024
Учебное издание
Балаян Эдуард Николаевич
РЕПЕТИТОР ПО АЛГЕБРЕ
ДЛЯ 7-9 КЛАССОВ
Ответственный редактор С. Осташов
Издатель ООО «Феникс».
Юр. и факт, адрес: 344011, Россия, Ростовская обл.,
г. Ростов-на-Дону, ул. Варфоломеева, д. 150
Тел/факс: (863) 261-89-65, 261-89-50