И. Кушнир
Шедевры
школьной
иштаи
Рекомендуется лабораторией
математики
Киевского Межрегионального
института усовершенствования
учителей
им, Б. Гринченко
АСТАРТА
КИЕВ
1995

ББК 22.1
К13
Книга написана Заслуженным учителем Украины, лауреатом
фонда Сороса.
В двух томах собраны более тысячи задач с решениями золотого
фонда школьной и конкурсной математики (алгебра,
тригонометрия, начала математического анализа, геометрия).
Для учащихся общеобразовательных школ, колледжей,
гимназий, классов с углубленным изучением математики, абитуриентов,
студентов университетов, преподавателей.
ББК 22Л
ISBN 5-7707-8248-Х
ISBN 5-7707-8249-8
© ООО «Астарта», 1995 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
За многие сотни лет ученые и учителя математики
накопили материал громадной педагогической ценности. Он
сконцентрирован в задачах, которые без преувеличения
можно отнести к золотому фонду школьной математики. Такие
задачи, а также примеры, как правило, присутствуют в
любой теме школьного курса. Из года в год, из задачника
в задачник переходят они, демонстрируя новым поколениям
образцы остроумных и обобщающих педагогических идей.
Автор берет на себя смелость назвать их шедеврами
школьной математики.
В данном пособии собрано более тысячи задач, где та
или иная идея выделяется особенно выпукло и ярко.
Двухтомник поможет учащимся систематизировать свои знания
при подготовке к поступлению в высшие учебные заведения,
в том числе и самого престижного уровня. Все задачи
подробно решены, некоторые — несколькими способами.
Автор не настаивает на том, что в каждом из решений
найден наилучший способ. Читатель при желании сможет
найти его сам, ведь «...математику нельзя изучать,
наблюдая, как это делает сосед» (А Невен).
Дерзайте! Желаем успехов!
3

Глава I. ОТ ЧЕТВЕРТЫХ ДО ОДИННАДЦАТЫХ
КЛАССОВ: ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
1. ЛОГИЧЕСКИЕ И ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Задача 1.
На каждой из планет некоторой солнечной системы
находится астроном, который наблюдает ближайшую планету.
Расстояния между планетами попарно различны. Доказать,
что если количество планет нечетно, то есть планета, которую
никто не наблюдает.
Решение.
Применим метод математической индукции. Для трех
планет утверждение очевидно. Допустим, что оно верно и
для 2л - 1 планет. Пусть есть еще и п + 1 планета. Обозначим
через А и В ближайшие между собой планеты. Тогда астроном
из А наблюдает планету 2?, а астроном из В — планету А.
Если еще какой-нибудь астроном наблюдает планету А или
В, то среди оставшихся планет есть такая, которую никто
не наблюдает. Если же планеты А и В никто не наблюдает,
то, «отбросив» эти две планеты, будем иметь задачу про
2я - 1 планету.
Задача 2.
Сколькими нулями оканчивается число, полученное от
умножения всех чисел от 1 до 100?
Решение.
Заметим, что 2 • 5 = 10. Так как четных чисел в этом
произведении больше, чем чисел, кратных 5, то надо
подсчитать количество сомножителей, кратных 5. Нетрудно
видеть, что их будет 20. Но среди этих множителей есть числа
25, 75, 50, 100 — кратные 25. Поэтому всего произведений
2 • 5 будет 24. Следовательно, это произведение оканчивается
24 нулями.
Задача 3.
Для нумерации страниц учебника потребовалось 411
цифр. Сколько страниц в учебнике?
5

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Решение.
Для нумерации страниц учебника употребили: 9
однозначных чисел — 9 цифр; все двузначные числа — 90 чисел —
180 цифр. Всеми однозначными и двузначными числами
занумеровано 99 страниц и на это ушло 189 цифр.
Осталось 411 - 198 = 222 цифры, которые ушли на написание
222 : 3 - 74 трехзначных чисел. В учебнике 99 + 74 = 173
страницы.
Задача 4.
Написать цифры вместо букв:
абвгдсХ жзи
мнпр I /с8л
стд
уфч
шяэс
шяэс
Решение.
жзи • 8 = уфч, отсюда ж = 1, стд - уфч = шяэ, значит,
з = 0 или 1. Но жзи • к = мнпр, откуда к = 9 и аналогично
л = 9. Тогда з = 1, а и = 2.
110768 : 112 = 989.
Задача 5.
Расшифровать пример на умножение
шесть
х
шесть
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + +шесть
Решение.
Обозначим искомое число шесть через а, тоща число
а2-а = а(я-1) оканчивается пятью нулями и,
следовательно, делится на 100000 = 55-25.
6

1. ЛОГИЧЕСКИЕ И ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Так как числа а и а — 1 не имеют общих делителей, то
одно из них делится на 25 = 3125, а другое — на 25 = 32.
Рассмотрим сначала случай, когда а делится на 3125, а
а - 1 — на 32. Из записи примера сразу ясно, что с = 0.
Так как каждое из чисел шОсть и шОООО делится на 625,
то разность этих чисел сть также делится на 625.
Следовательно,
сть = 625.
Но число ш0625 = ЮОООш + 625 при делении на 625
дает частное 16ш + 1, и для того, чтобы это частное
разделилось на 5, нужно, чтобы цифра ш равнялась 4 или 9. При
ш = 4 получаем число 40625, которое не удовлетворяет
условию задачи, поскольку 40625 не делится на 32, при
ш = 9 получаем число 90625, которое является решением
задачи.
Второй случай рассматривается аналогично и других
решений не дает.
Задача 6.
Внутри выпуклого стоугольника выбрано 30 точек так,
что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сто-
угольник разрезан на треугольники так, что совокупность
вершин всех треугольников состоит из 30 выбранных точек
и 100 вершин первоначального многоугольника. Сколько
имеется треугольников?
Решение.
Вычислим сумму внутренних углов всех треугольников.
Углы треугольников, имеющие вершину в данной внутренней
точке, в сумме составляют 360°. Так как имеется 30 таких
точек, то им соответствуют углы, сумма которых равна 360°*
х 30 = 10800°. Остаются неучтенные углы, вершины которых
совпадают с вершинами стоугольника. Понятно, что они
составляют в сумме 180° (100 - 2) = 17640°. Сумма внутренних
углов одного треугольника 180°, значит, число треугольников
28440 _ t
Задача 7.
Тысяча точек являются вершинами выпуклого тысячеу-
гольника, в середине которого расположено 500 точек так,
7

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
чтобы ни одни три из них не лежали на одной прямой.
Многоугольники разрезают на треугольники, вершинами
которых есть эти 500 точек. Сколько треугольников получится?
Решение.
Сумма внутренних углов всех треугольников равна сумме
углов тысячеугольника и еще 360° • 500. Поэтому всех
треугольников будет:
180° • (1000-2) 4-360°-500
180 = 1998'
Задача 8.
Даны п различных положительных чисел ^, а^ ..., ап.
Из них составляют всевозможные суммы с любым числом
слагаемых (от 1 до я). Доказать, что из этих сумм найдется
„ „ п (п + 1)
по крайней мере —*—=—- попарно неравных.
Решение.
Можно считать, что числа расположены в порядке
возрастания: ах<а2< ai<aA< ...<ап.
Рассмотрим числа с^, о^ ..., ап.
ап + Яр ап + <*2> Я* + Яз> Яд + а4> ••• » ап + an-V
ап + ап-1 + % ап + йп-1 + ^ ••• i ап + an-l + ап-Т
Продолжая составление суммы подобным способом,
получим:
ап + ап-1 + - + V* + °1> йп + ап-1 + - + V* + «2 •">
ап + ^,-1 + — + **-*+ <W-i и Т-Д-
Наконец: аге + ап-1 + ал_2 + ... + а^
Очевидно, что числа возрастают, и, следовательно,
различны. Количество этих чисел
п + (п - 1) + (л - 2) + ... + 1 = п (П * ^
соответствует требованиям задачи.
8

1. ЛОГИЧЕСКИЕ И ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Замечание: первые п натуральных чисел составляют
пример положительных различных чисел, из которых нельзя
« (n+1)
составить более чем п -—~—- различных сумм.
Задача 9.
Человек пил кофе следующим образом: сначала он
наливал полную чашку кофе, выпивал некоторую ее часть,
затем доверху наливал молоко, выпивал часть смеси, снова
наливал молоко доверху и т.д. Каждый раз он выпивал вдвое
меньше предыдущего, кроме последнего раза, коща он выпил
чашку до дна. Чего он выпил больше — кофе или молока?
Решение.
Ясно, что в результате человек выпил ровно одну чашку
кофе, а молока выпил столько, сколько долил. Если в первый
раз он выпил, а значит, и долил р-ю часть чашки, то во
второй раз он долил часть тг и т.д. Если всю операцию он
проделал п раз, то молока долито
- #Г С2" " !)•
Поэтому молока будет выпито меньше, чем кофе, если
р<2л"7(2л- 1).
Задача 10.
Разделить прямую на 5 равных частей.
Решение.
Разделим прямую на части следующим образом. Первая
часть состоит из всех полуинтервалов вида [5 к, 5к + 1),
вторая — из полуинтервалов [5&+1, 5& + 2), третья —
[5к + 2, 5к + 3), четвертая — [5к + 3, 5к + 4), пятая —
[5к + 4, 5к + 5), где к = 0, ± 1, ± 2,....
Хотя каждая из частей не является связной, их равенство
очевидно.
9

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Задача 11.
На всемирном фестивале молодежи встретились 6
делегатов. Выяснилось, что среди любых трех из них двое могут
объясниться между собой на каком-нибудь языке. Докажите,
что тогда найдется тройка делегатов, каждый из которых
может объясниться с каждым.
Решение.
Пусть делегат А может объясниться с тремя другими
делегатами, назовем их В, С, D. Среди последних, по крайней
мере двое, также могут объясниться между собой, скажем,
В и С. Тоща А, В, С — искомая тройка. Если же А может
объясниться не более, чем с двумя другими делегатами, то
найдутся три делегата Е, F, G, ни с одним из которых А не
может говорить. Тогда Е, F, G образуют искомую тройку.
(Доказать!)
Задача 12.
Восстановить результат сложения в записи
forty
+
ten
+
ten
*
sixty
где каждая буква обозначает цифру, причем разными
буквами обозначены разные цифры.
Решение.
29786 + 850 + 850 = 31486.
Докажем сначала, что
п = 0; е = 5; о = 9; г=1; s=/+l.
Далее, г + 2?+1>21, откуда It>20 - г. Поскольку
наиболее возможное решение для г есть 8, то 2*>12, *>6, то
есть t равняется 7 или 8. Если t = 7, то г > 20 — It = 6 и
г = 8 есть единственно возможное значение для г. Но в этом
случае х = 3и среди неизвестных цифр нет двух
последовательных, что возможно, так как s = ? + 1. Если t = 8, то г
10

1. ЛОГИЧЕСКИЕ И ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
может принимать два значения — 6 или 7. При г = 6 среди
неизвестных цифр также нет двух последовательных. Остается
случай t = 8, г = 7.
Задача 13.
Имеются две кучи камней. Игра состоит в том, что
каждый из двух игроков по очереди забирают любое число
камней только из одной кучи. Выигрывает тот, кто берет
последним. Найти способ игры, обеспечивающий выигрыш
тому игроку, который может либо начинать игру, либо
предоставить первый ход своему партнеру.
Решение.
Каждым ходом нужно брать камни из той кучи, которая
больше, так, чтобы обе кучи становились одинаковыми. Если
в начале игры обе кучи содержали равное количество камней,
следует передать первый ход партнеру.
Задача 14.
Из картона вырезано два одинаковых правильных
восьмиугольника. В вершинах одного из них поставлены по
порядку (против часовой стрелки) числа от одного до восьми.
Можно ли расставить в вершинах другого восьмиугольника
те же числа так, чтобы при любом наложении второй фигуры
на первую какая-нибудь вершина попадала в верпшну с тем
же номером.
Решение.
Допустим, что это возможно. Наложим второй
восьмиугольник так, чтобы единицы совпадали. Пусть при этом
против цифры i на верхнем восьмиугольнике на нижнем
находится цифра at (^ = 1, 2,..., 8). Для того, чтобы
совместить цифры а. верхнего и нижнего восьмиугольников, можно
повернуть верхний восьмиугольник против часовой стрелки
на угол Ъ. • 45°, ще
, _ {* - % если i> аг»
z' ~~ 1 i - at + 8, если i ^ at.
Докажите, что b( принимает все значения 1, 2, ... , 8.
Складывая bn получим
11

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Ь{ + Ъ2 + ... + Ъь = (1 + 2 + ... + 8) - (^ + ^ + ... + tfj + 8?,
где /: — какое-нибудь целое число. Но
^ + ^ + ... + а8 = ^ + Ь2 + ... + й8 = 1 + 2 + ... + 8 = 36.
Так как 36 не делится на 8, то приходим к противоречию.
Задача 15.
Восстановите числа в примере:
* i * *
X
1 * *
* I * *~~
* * * 1 *
* * * I
~g * * 4 * *~
Решение.
По пятой строке имеем: последняя цифра первой строки
1, вторая цифра в обоих множителях может быть только 9,
иначе не получится 1 в четвертой строке. Последняя цифра
второго множителя только 1. Первую цифру подбираем
проверкой. Это только 4. Итак, имеем:
4 19 1
X
1 9 1
4 19 1
3 7 7 19
4 19 1
~8 0 0 4 8 Г~
Задача 16.
Найти все числа, которые уменьшаются в 12 раз при
зачеркивании в них последней цифры.
Решение.
Искомое число у = 10* + а, где а — число единиц, а
х — десятков. По условию задачи Юх + а - 12, 2х = а,
1 < а < 9, а — четно. Значит,
12

1. ЛОГИЧЕСКИЕ И ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
если а = 2, то х =1, а у = 12;
если а = 4, то # =2, а у = 24;
если я = 6, то х = 3, а у = 36;
если а = 8, то л = 4, а у = 48.
Задача 17.
На столе лежит 80 одинаковых по виду металлических
шариков. Один из них несколько легче остальных. Как найти
этот шарик не более чем четырьмя взвешиваниями на
чашечных весах без гирь?
Решение.
Все шары сначала разделим на три части по 27, 27 и 26
шаров и на весы положим по 27 шаров. Если одна из чашек
весов легче, то там и более легкий шар. Если чашки весов
будут в равновесии, то более легкий шар в партии, ще 26
шаров. Это первый этап. Далее берем часть шаров,
содержащую более легкий шар. В первом случае, т.е. коща более
легкий шар содержится в партии из 27 шаров, дальнейшая
схема взвешивания такая: а) 9, 9, 9; б) 3, 3, 3; в) 1, 1, 1.
Во втором случае, т.е. когда легкий шар находится среди
26 шаров, на втором этапе шары распределяют на три части
так: 9, 9, 8. на весы кладут по 9 шаров. Далее рассуждают
аналогично описанному вначале. Во всех случаях более легкий
шар находится четырьмя взвешиваниями.
Задача 18.
Мать поделила между сыновьями груши. Первому выдала
половину всех груш и еще половину груши, второму —
половину оставшегося и еще половину груши, а третьему —
половину того, что осталось и еще половину груши. Ни одной
груши при этом не нужно было разрезать. Сколько груш
получил каждый сын, если мать раздала все груши?
Решение.
Последний сын получил одну грушу. Это была половина
остатка и еще полгруши, поэтому второй остаток — одна
груша. Второй сын получил две груши. А для первого сына
половина остатка и еще полгруши — это 4 груши. Ясно, что
у матери было 7 груш.
13

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Задача 19.
Доказать, что двух- и пятикопеечными монетами можно
разменять 1 рубль большим количеством способов, чем трех-
и пятикопеечными.
Решение.
Рассмотрим числа 100, 95, 90, .¦., 10, 5, 0, которые можно
получить, отняв от 100 5к. Среди них больше тех, что делятся
на 2, чем тех, которые делятся на 3. Эту задачу можно
решить и так. Неопределенное уравнение 2х + 5у = 100.
Задача 20.
Из трех рабочих первый и третий произвели продукции
в 2 раза больше, чем второй, а второй и третий — в 3 раза
больше, чем первый. Кто из трех рабочих заработал больше?
Решение.
Обозначим объем продукции, произведенной первым,
вторым и третьим рабочими соответственно х, у, z. Тогда имеем:
х + z = 2у; у + z = Ъх. вычтем из первого уравнения второе:
х — у = 2у - Зх, т.е. Ах = Ъу.
Следовательно, х = 0,75у, т.е. у>х\ z = — у + 2.25у.
Значит, z>y>x. Итак, больше всех заработал третий рабочий,
затем — второй и меньше всех — первый рабочий.
Задача 21.
В ящике лежит 100 шариков: 30 красных, 30 синих, 30
зеленых, остальные — белые и черные. Какое наименьшее
количество шариков нужно вынуть, чтобы достать 20 шариков
какого-либо цвета?
Решение.
Решая такие задачи, полезно перефразировать
предложение задачи так: какое наибольшее количество шариков
можно вынуть так, чтобы при этом невозможно было достать
20 шариков одного цвета? Понятно, что среди 19 + 19 + 19 +
+ 10 = 67 шариков. Может не быть 20 шариков одного цвета,
зато среди 68 шариков 20 одного цвета будут обязательно.
Задача 22.
В зале р > 2 людей. Доказать, что среди них найдется
по меньшей мере 2 человека, которые имеют среди
присутствующих одинаковое количество знакомых.
14

1. ЛОГИЧЕСКИЕ И ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Решение.
Допустим, что А знаком с В, то В знаком с А. Понятно,
что нельзя считать, что кто-то знакомый сам себе. Если в
зале будет минимум 2 человека, которые не имеют знакомых
среди присутствующих, то утверждение доказано. Пусть
осталось к особ, каждая из которых может иметь
1,2, ...,&-1 знакомых. На основании принципа Дирихле
минимум два человека, из которых к особ имеют одинаковое
количество знакомых.
Задача 23.
Каждый день на протяжении года ученик решал не
меньше одной задачи, при этом каждую неделю он решал не
больше 12 задач. Доказать, что найдется несколько
последовательных дней, за которые он решил ровно 20 задач.
Решение.
Будем считать, что в году 52 недели. За это время ученик
решил не больше 624 задач. Обозначим через а^ количество
задач, решенных за первый день; через с^ — количество
задач, решенных за два дня; а^ — количество задач, решенных
за три дня и т.д. Каждое из чисел Ор я^, <%,..., 0354 не больше,
чем 52 • 12 = 624. Все эти числа разные. Рассмотрим также
364 таких числа: <\ + 20, а^ + 20, с^ + 20, ... , c^bA + 20. Среди
этих чисел нет ни одной пары одинаковых, каждое из них
меньше 644.
Значит, среди 728 целых положительных чисел, каждое
из которых меньше 644, найдется больше, чем одна пара
равных. Пусть ак = а. + 20, тогда ak- at = 20. А это значит,
что за время между «Л-тым» и «г -тым» днями ученик решал
ровно 20 задач. Кстати, на протяжении года будет 84 таких
промежутка времени, когда ученик решал по 20 задач.
В данной задаче достаточно ограничиться временем,
значительно меньшим, чем год. Аналогично можно показать,
например, что на протяжении 77 дней тоже найдется
несколько последовательных дней, в течение которых ученик
решит ровно 20 задач.
15

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Задача 24.
В школе 740 учеников. Доказать, что по крайней мере
трое из них в один и тот же день празднуют свой день
рождения.
Решение.
Если бы каждый день два ученика праздновали свой день
рождения, то в школе было бы 732 ученика.
Задача 25.
Из 61 монеты за 4 взвешивания выделить фальшивую
(она тяжелее, чем другие).
Решение.
Разделим монеты на три группы: 21, 21 и 19. На весы
положим первые две группы по 21 монете, а третью группу
из 19 монет отложим. При этом возможны два случая:
чашечки весов уравновешены и неуравновешены. Рассмотрим
каждый из этих случаев.
1. Чашечки уравновешены, следовательно, тяжелая
(фальшивая) монета находится среди 19 отложенных.
Разделим эти 19 монет на три группы (7, 7 и 5) и сравним на
весах вес первых двух групп (это будет второе взвешивание).
Опять может получиться, что:
а) весы уравновешены,
б) весы неуравновешены.
В случае а) фальшивая монета среди 5 отложенных. Из
них за следующих два взвешивания сначала сравним 2 и 2
монеты, отложив пятую. Если пятая не фальшивая, тоща
взвесим две монеты из той чашки весов, что перевесила.
Если же весы неуравновешены (случай ©), тоща
фальшивая монета находится среди 7 монет. Разделим эту группу
на 3, 3 и 1 монету и положим на чашечки весов по три
монеты и т.д. И в этом случае для решения необходимо два
взвешивания — не больше.
2. Чашечки с монетами (на каждой по 21)
неуравновешены. Откладываем 7 монет. На каждую чашечку кладем
тоже по 7 монет. Это будет второе взвешивание.
Следовательно, и в этом случае нужно четыре взвешивания.
16

1. ЛОГИЧЕСКИЕ И ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
В том случае, когда из условия задачи не выплывает вес
«особенного» предмета (легче он или тяжелее, чем другие),
для его выделения надо, как правило, выполнить
дополнительное взвешивание. Так, в задаче о выделении из 9 монет
одной фальшивой (неизвестно, легче она или тяжелее в
сравнении с настоящей), двумя взвешиваниями не обойтись.
Придется «перевешивать» монеты трижды.
Иногда в таких задачах кое-что изменяют, вводя,
например, ограниченное число гирь определенного веса.
Задача 26.
Каждый из трех друзей сыграл одинаковое число
шахматных партий с другим. При этом выяснилось, что первый
из них выиграл наибольшее количество партий, второй
проиграл наименьшее количество партий, а третий получил
наибольшее количество очков. Могло ли так быть? Если нет, —
докажите. Если да — приведите пример.
Решение.
Так могло случиться. Пусть каждые двое сыграли между
собой по 10 партий. При этом первый выиграл у второго 3
партии и второй выиграл у него столько же. У третьего
первый выиграл 4 партии, но проиграл ему 5 партий. Все
другие партии закончились вничью. Тоща первый, который
выиграл 7 партий, проиграл 8 и 5 закончил вничью, будет
иметь 9,5 очков, второй, который проиграл 3 партии и выиграл
3 партии, а в 14 партиях сыграл вничью, будет иметь 10
очков. Третий наберет 11,5 очков, так как у него 5 выигрышей,
4 поражения и 11 ничьих.
Задача 27.
Учитель проверил работы трех учеников — Алексеева,
Василенко и Сергиенко, но не принес их в класс. Ученикам
он сказал: «Один из вас получил «3», второй — «4», а
третий — «5». У Сергиенко не «5», у Василенко не «4», а у
Алексеева, кажется, «4».»
Коща принесли тетради, то выяснилось, что учитель
только одному ученику сказал правильную оценку, двоим
другим — неправильную. Какие оценки получили ученики?
Решение.
Возможны шесть вариантов распределения оценок: ABC,
АСВ, ВАС, ВСА, CAB и СВА. Каждая запись обозначает, что
17

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
пятерку получил первый ученик, четверку — второй,
тройку — третий. Из этих записей лишь первый подходит к
условию задачи: в утверждениях учителя одна оценка
правильна, а две другие — нет. Поэтому Сергиенко получил
«3», Василенко — «4», Алексеев — «5».
Задача 28.
Есть 5 монет, среди которых одна — фальшивая.
Неизвестно, легче она или тяжелее настоящей. Вес настоящей
монеты — 5 г. Как с помощью двух взвешиваний на весах
можно обнаружить фальшивую монету, имея одну гирю весом
5 г?
Решение.
Обозначим монеты А, В, С, D, Е. Положим монеты А и
В на одну чашечку весов, а монету С с гирей — на вторую.
Если весы уравновешены, тогда фальшивая монета среди
отложенных D и Е. Следующим взвешиванием, положив на
весы гирю и монету D, найдем фальшивую (при равновесии
весов — ?, при неравновесии — D). В одном из этих случаев
нельзя установить, легче или тяжелее фальшивая монета, но
этого и не требуется в условии задачи.
Когда же весы не уравновешены, то нужно рассмотреть
два случая. Если перевешивает чашечка с монетами А и В,
тогда фальшивая монета среди трех: Л, В (тогда она тяжелее)
или С (тогда С легче). Отложенные же монеты D и Е —
настоящие.
Для второго взвешивания положим на одну чашечку
весов монеты А и С, а на вторую — две настоящие (или
одну настоящую и гирю, что одно и то же); а монету В
отложим. Если взвешиваемые монеты уравновесятся, то
монета В — фальшивая (тяжелее настоящей). Если же весы не
уравновесятся и перевешивает чашечка с монетами А и С,
тоща фальшивая А (тяжелее), когда же эта чашечка легче,
тогда и фальшивая монета (С) легче.
Задача 29.
Три разбойника хотят разделить добычу поровну. Каждый
из них уверен, что только он разделил бы добычу на равные
части, но другие ему не доверяют. Если бы разбойников было
двое, тоща было бы легче выйти из положения: один бы
разделил добычу на две части, а второй взял бы ту часть,
18

1. ЛОГИЧЕСКИЕ И ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
которая показалась ему большей. Как должны действовать
разбойники, чтобы каждый из них был уверен, что его добыча
не меньше третьей части всей добычи?
Решение.
Пусть один из разбойников поделит добычу на три, по
его мнению, равные части. Если при этом другие разбойники
выберут себе по одной из разделенных частей, то третья часть
останется для разбойника, который делил эту добычу. Если
двое захотят взять одну и ту же часть, то они поделят ее
на две части между собой способом, который описан в условии
задачи. Если два разбойника, которые получили половину
своей части добычи, показывают на разные части, то каждый
из них поделит эти части с разбойником, который совершал
первый раздел.
Задача 30.
Плитка шоколада состоит из 35 квадратиков (7x5). Ее
ломают по прямым, которые делят квадратики до тех пор,
пока не получат отдельных 35 квадратиков. Сколько раз
нужно поделить шоколадку?
Решение.
При любом разламывании плитки количество квадратиков
увеличивается на 1. Чтобы получить 35 квадратиков, нужно
разломать плитку 34 раза.
Задача 31.
Какое наибольшее количество слонов можно расставить
на шахматной доске, чтобы ни один из двух слонов не был
под обоюдным боем?
Решение.
Слон, который стоит на внутренней клетке доски, держит
под угрозой большее количество клеток, нежели слон, который
стоит на клетке какого-нибудь крайнего ряда (горизонтального
или вертикального). Нужно расставить слонов так, чтобы они
угрожали наименьшему количеству клеток, а значит, их надо
поставить на клетки одного из крайних рядов. Эти восемь
слонов не будут угрожать шести клеткам противоположного
крайнего ряда (в этом ряду под угрозой поставленных восьми
слонов находятся только две крайние клетки) — на эти шесть
19

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
клеток и поставим еще по слону на каждую. Следовательно,
8 + 6 = 14 слонов, это наибольшее количество слонов, которые
можно расставить на шахматной доске так, чтобы ни один
из двух слонов не был под обоюдным боем.
Задача 32.
Среди трех монет одна фальшивая (она легче, чем две
другие, одинакового веса). С помощью одного взвешивания
на весах (без гирь) найти фальшивую монету.
Решение,
Положим на чашечки весов по одной монете, а третью
отложим в сторону. Если чашечки находятся в равновесии,
то отложенная монета и есть фальшивой. В другом случае
весы покажут монету, которая легче, т.е. фальшивую.
Задача 33.
Трем ученикам в темной комнате надели на головы по
черной шапке. Перед ними поставлено задание отгадать, кто
в какой шапке, если всего шапок 5, причем две из них —
серые, а три — черные. Серые шапки спрятали перед тем,
как в комнате включили свет. Через некоторое время один
ученик отгадал, что он стоит в черной шапке. Как он это
сделал?
Решение.
Этот ученик думал так: «Пусть я в серой шапке, тогда
мой сосед слева будет видеть меня в серой, а третьего ученика
в черной шапке. Так как серых шапок только две, то один
из моих товарищей должен сразу догадаться, что он в черной
шапке. Но он молчит, а поэтому я не могу быть в серой
шапке. Значит, на мне черная шапка.»
Задача 34.
Два ученика на соревнованиях по стрельбе сделали по 5
выстрелов. При этом были такие попадания: 10, 9, 9, 8, 8,
5, 4, 4, 3 и 2. Известно, что за первых три выстрела они
набрали одинаковое количество очков. А за три последних
выстрела первый ученик набрал в три раза больше очков,
чем другой. Сколько очков каждый из учеников набрал при
третьем выстреле?
20

1. ЛОГИЧЕСКИЕ И ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Решение.
Наименьшее количество очков, которые засчитывают за
три выстрела, равняется 9, а наибольшее — 28. Очевидно,
что первый ученик за три последних выстрела получил 27
очков, а второй — 9. Это станет возможным, если первый
наберет соответственно 10, 9, 8 очков, а второй — 2, 3, 4.
Во время первых двух выстрелов было выбито 9, 8, 4, 5
очков. Сумма очков за первые два выстрела первого ученика
по крайней мере на 4 меньше, чем сумма очков за первые
два выстрела другого. Поэтому первый набрал за два выстрела
только 9 очков, а второй — 17. Чтобы эти суммы были равны
между собой, необходимо, чтобы первый ученик во время
третьего выстрела набрал 10 очков, а второй — только 2.
Задача 35.
Один из пяти братьев разбил окно. На вопрос отца: «Кто
это сделал?» они ответили:
Андрей: Это сделал или Виктор, или Борис.
Виктор: Это сделал не я и не Юра.
Борис: Вы вдвоем говорите неправду.
Дима: Только один из братьев сказал правду.
Юрий: Нет, Дима, ты сам говоришь неправду.
Отец уверен, что три брата сказали правду.
Решение.
Из ответа Бориса, который противоречит сказанному
ранее Виктором и Андреем, получается, что он сказал неправду.
Поэтому утверждения Андрея и Виктора правдивые. А значит,
окно разбил Борис.
Задача 36.
Среди шести офицеров, фамилии которых начинаются
буквами А, Б, В, Г, Д, К три полковника, два майора и один
капитан. Известно, что А первый приветствует Б; Г и Д
имеют одинаковые звания, В и К служат в одном полку.
Полковник, майор и Г — танкисты, Б и капитан —
артиллеристы. Один из офицеров — радист. Какое звание он имеет?
Какая первая буква его фамилии?
21

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Решение.
В условии сказано, что Б и капитан — артиллеристы.
Поэтому В и К должны быть танкистами. Один из них
полковник, а второй — майор. Так как Г и Д имеют
одинаковые звания, то капитаном может быть только А. Тогда
Д — радист. Он имеет с Г одинаковое звание. Майорами они
не могут быть, так как тоща майорами были бы Д, Г и еще
один танкист. Теперь понятно, что Д — полковник.
Задача 37.
Корреспонденту удалось узнать, что в составе команды
космического корабля будут Петренко, Олеськов и Тарасов.
Подумав, он записал в своем блокноте предположение, что
командиром корабля будет Тарасов, Петренко — физиком,
а Олеськов — радистом, так как он не может быть командиром
корабля. В пресс-центре корреспонденту сказали, что только
одно из этих предположений верное. Какие обязанности
выполняли Олеськов, Петренко и Тарасов?
Решение.
Если считать правильным только одно предположение,
как сказано в условии, то первое предположение не может
быть правильным, так как она противоречит третьему. Третье
также неправильное, так как в нем высказываются две
гипотезы. Поэтому возможно лишь такое распределение:
Олеськов — командир, Петренко — физик, Тарасов — радист. Это
показывает, что второе предположение верное.
Задача 38.
Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных
натуральных чисел не может быть полным квадратом.
Решение.
Доказываем методом от противного. Обозначив эти пять
чисел через п - 1; п - 2; п; п + 1, п + 2, получим:
(л - 2)2 + (п - I)2 + п2 + (п + I)2 + (п + 2)2 =
= 5п2 + 10 = 5 (п2 + 2).
Выражение 5 (п2 + 2) может быть полным квадратом лишь
при условии, что п + 2 делится на 5, что невозможно, так
22

1. ЛОГИЧЕСКИЕ И ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
как тоща бы п2 заканчивалось цифрой 8 или цифрой 3. Таким
образом, данное утверждение доказано.
Задача 39.
На площади задано 17 точек, из которых ни одна из
трех не лежит на одной прямой. Каждые две точки соединены
отрезком одного из трех цветов. Доказать, что существует
треугольник с вершинами в данных точках, стороны которого
закрашены в один и тот же самый цвет.
Решение.
Пусть не существует такого треугольника. Докажем, что
такое предположение неправильное. Пусть из некоторой точки
выходит 16 отрезков, которые соединяют ее с другими
точками. Среди этих точек минимум 6 закрашено одинаково,
например, красным цветом. Очевидно, что ни одну пару из
этих 6 точек уже нельзя соединить красным цветом, так как
тоща будет образован треугольник, все стороны которого
закрашены в красный цвет. Соединим некоторую точку (из
этих точек) с другими точками. Среди пяти образованных
отрезков минимум три закрашены одним цветом, например,
зеленым. Если бы концы этих трех отрезков соединить
красным или зеленым цветом, то мы бы получили треугольник,
который искали. Но, если их соединить отрезками третьего
цвета, то тоже образуется такой же треугольник.
Задача 40.
В квадрате со стороною 1 произвольно размещено 126
точек. Доказать, что какие-то 6 из них обязательно лежат
1
в середине круга, радиус которого равняется ¦=¦,
Решение.
Если поделить квадрат на 25 равных квадратиков, то,
по крайней мере, в одном их них будет 6 точек. Если из
центра этого квадрата описать круг радиусом у, то все точки
квадрата будут лежать в середине круга. Действительно,
U ^~ *
™ > -jfT, поэтому этот круг и будет искомым.
23

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
(Аналогично можно решить задачу: В кубе со стороною
1 м летает 2001 комар. Доказать, что хотя бы 3 из них
находятся в середине сферы радиуса 0,1 м).
Задача 41.
В городе насчитывается 10000 телефонов. Их номера
обозначаются четырьмя цифрами. В центральном районе
установлено больше, чем половина всех телефонов. Доказать,
что хотя бы один из номеров телефонов центрального района
равняется сумме номеров двух других телефонов этого же
района.
Решение.
Обозначим наименьший номер телефона через ^ и
рассмотрим числа — номера телефонов центрального района,
размещенных в порядке увеличения а^ с^, <%, а4,..., а5001. Для
общности будем считать их четырехцифровыми, обозначая
числа 1 как 0001, 12 — как 0012, 173 — как 0173. Получим
разности й^-Ор Оз — Ор .•., а5т - Ор Четырехцифровые
числа, которые мы получили положительные и их количество
больше, чем 10 000. Поэтому по крайней мере два их них
равны, откуда а. = ak + а^
Задача 42.
Доказать, что из п + 1 разных натуральных чисел,
меньших 2л, можно выбрать три такие, сумма двоих которых
равняется третьему числу.
Решение.
Например, среди четырех чисел 1, 2, 4, 5, каждое из
которых меньше 6, есть три таких, что 1 + 4 = 5. Разместим
данные числа в порядке возрастания и обозначим их так:
Op Oj, Oj,..., ап+1. Образуем числа а^ - а^ <% — а^ а4 — а^ ... ,
an+i"~ Ъ гДе °i — наименьшее из данных чисел. Тоща среди
чисел а^ ^2,..., an, an+v а^ - а^ ...; ап+1 — ^ по меньшей мере
даа одинаковых. Действительно, всех чисел 2п + 1 и каждое
из них — положительное целое число, меньшее 2п, поэтому
по меньшей мере два из них одинаковые. Среди данных чисел
одинаковых нет, нет их и среди образованных разностей,
24

1. ЛОГИЧЕСКИЕ И ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
поэтому возможно лишь такое равенство: ак = а. — о^ откуда
ак = а. - а,.
Задача 43.
Доказать, что среди 101 целого числа можно выбрать
два, разность которых делится на 100.
Решение.
Напомним, что при делении числа на 100 может быть
100 остатков: 0, 1, 2, ... , 99. Среди 101 остатка, которые
мы получаем от деления данных в условии 101 числа на 100,
по крайней мере два одинаковы. Разность этих двух чисел
и делится на 100.
Задача 44.
Имеем лист бумаги. Его надо разрезать на 8 или 12
частей. Каждую из частей, которая получилась после
разрезания опять разрезать на 8 или 12 частей или оставить без
изменений. Можно ли продолжая таким образом разрезание,
получить 60 частей листа?
Решение.
После нескольких разрезов получим 1 + 1к + 11 п частей
листа, где к — количество разрезов на 8 частей, п —
количество разрезов на 12 частей. Уравнение 1+7&+11п = 60
59 - 1к
не имеет решении в целых числах, так как п = —у\— ни
при одном целом 0 ^ к < 8 не будет целым числом.
Задача 45.
Было 6 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на
6 частей и т.д., потом некоторые опять разрезали на 6 частей
и т.д. Коща подсчитали, то оказалось, что их было 1974.
Доказать, что подсчет выполнен неправильно.
Решение.
Вследствие каждого разрезания количество листов
увеличивается на 5, поэтому число листов, уменьшено на 6,
должно делиться на 5. Этой возможности как раз и не имеет
число 1974.
25

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 46.
В одном месяце три среды выпали на парные числа.
Какого числа в этом месяце было второе воскресенье?
Решение.
Это возможно лишь тогда, когда месяц начинается со
вторника. Второе воскресенье выпадает на 13-й день месяца.
Задача 47.
В автобусе ехало 20 учеников. Имея лишь монеты 10,
15, 20 коп. каждый из них расплатился за проезд и получил
нужную сдачу. Доказать, что у учеников было не меньше
25 монет.
Решение.
Так как каждый ученик получил не меньше одной монеты
сдачи и в кассу опустил не менее 5 монет, то, очевидно, у
них должно быть не меньше 25 монет.
Легко доказать, что 5 монет — минимальное количество
для расчета 4 человек. Это монеты 15, 15, 10, 10, 20 коп.
Поэтому можно доказать, что у учеников вместе должно
быть не менее 3 руб. 50 коп., так как (15 + 20 + 15 + 10 +
+ 10)-5 = 350.
Задача 48.
Летела стая сороконожек и трехголовых драконов. У них
было всего 26 голов и 298 ног. У каждой сороконожки одна
голова. Сколько ног у трехголовых драконов?
Решение.
Пусть было х сороконожек и у драконов. Количество
26—х
сороконожек не более 7, кроме того, х + Ъу = 26; у = —^—.
Чтобы у было целым положительным числом, нужно, чтобы
х = 5. Случай х — 2 ведет к тому, что у драконов будет разное
количество ног. Если х = 5, то у = 7. Тогда сороконожки будут
иметь 200 ног, а драконы 98 ног. Следовательно, у
трехголового дракона было 14 ног.
26

1. ЛОГИЧЕСКИЕ И ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Задача 49.
Женщина сдает в багажное отделение рюкзак, чемодан,
саквояж и корзинку. Чемодан тяжелее, чем рюкзак; саквояж
и рюкзак тяжелее, чем корзинка и чемодан, а корзинка и
саквояж вместе весят столько, сколько чемодан и рюкзак.
Какой из этих грузов самый тяжелый, а какой самый легкий?
Решение.
Обозначим вес предметов их первыми буквами. Получим
отношения ч>р; с + р>к + ч и к + с = ч + р. Прибавив
почленно два последних соотношения, получим, что с > ч. Из
разницы этих соотношений следует, что р>к. Поэтому
с > ч > р > к.
Задача 50.
Имеется 10 мешков монет. В девяти мешках монеты
настоящие (весят по 10 г), а в одном мешке все монеты
фальшивые (весят по 11 г). Одним взвешиванием определить,
в каком мешке фальшивые монеты.
Решение.
Занумеруем мешки числами от 1 до 10. Возьмем из
первого мешка одну монету, из второго — две, ... , из
десятого — десять и определим их общий вес. Пусть он равен
Р. Если бы все монеты были настоящие, то они весили бы
10 + 20 + ... + 100 = 550 г. Избыток Р - 550 совпадает,
очевидно, с номером мешка, в котором хранятся фальшивые
монеты.
Задача 51.
Из девяти одинаковых монет одна фальшивая. Она
отличается от других весом, хотя неизвестно, более легкая она
или тяжелая. Выявить фальшивую монету тремя
взвешиваниями на весах.
Решение.
Разложим монеты на три кучки по три монеты в каждой.
Кладем на разные чашки весов сначала первую и вторую, а
потом первую и третью кучку. После этих двух взвешиваний
выясняется в какой из трех кучек фальшивые и тяжелее ли
27

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
она или легче, чем настоящие. Теперь достаточно одного
взвешивания, чтобы обнаружить фальшивую монету.
Задача 52.
Сто монет разложены в 10 стопок, по 10 монет в каждой.
В одной из стопок все монеты фальшивые. Масса каждой
нормальной монеты 5 г, а фальпшвой на 0,5 г меньше. Как
при помощи одного взвешивания на весах с разновесами
определить в какой стопке находятся фальшивые монеты.
Решение.
Пронумеруем стопки. Из первой положим на весы одну
монету, из второй — две монеты и т.д. Всего 55 монет.
Вычислим, на сколько «полграммов» масса 55 монет меньше
275 граммов. В стопке с таким номером и будут фальшивые
монеты.
Задача 53.
По вертикальному столбу высотой 6 м движется улитка.
За день она поднимается на 4 м, за ночь опускается на 3 м.
Сколько дней ей потребуется, чтобы добраться до вершины?
Решение.
Через день и ночь улитка будет на высоте 4-3 = 1 (м) *
В конце вторых суток она будет на высоте 1 • 2 = 2 (м).
В конце третьего дня улитка достигнет вершины:
2 + 7 = 6 <м).
Ответ: Через три дня улитка достигнет вершины.
Задача 54.
Имеется 3 ключа от трех чемоданов с разными замками.
Достаточно ли трех проб, чтобы подобрать ключи к
чемоданам?
Решение.
Берем любой ключ и пробуем поочередно к каждому из
первых двух чемоданов.
Возможны случаи:
1) Ключ к этим чемоданам не подходит. Тогда он от
третьего чемодана. Второй ключ пробуем к одному из остав-
28

1. ЛОГИЧЕСКИЕ И ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
шихся двух чемоданов. Если ключ не подходит к этому
чемодану, то он от другого чемодана.
2) Ключ подходит к одному из чемоданов. Тоща
следующей пробой определяем, от какого чемодана другой ключ.
Оставшийся ключ — от последнего чемодана.
Ответ: Да, достаточно.
Задача 55.
Математик М любил говорить, что ему исполнилось х
лет в х2 году. Математик N, желая его перещеголять, говорил,
что ему было а2+ й2 лет в а4+ Ъ4 году, что его возраст равнялся
1т в 2т2 году и, наконец, что ему исполнилось Ъп лет в
Зя4 году. В каком году родились математики М и N.
Решение.
Математик М родился в 1806 году, Коща ему было 43
года, то текущий год равнялся квадрату его возраста — 1849.
Математик N родился в 1860 г. Ему было 52 + б2 (61)
лет в 5* + б4 (1921) году. В 2 • 312 (1922) году ему исполнилось
2-31 (62 года). И, наконец, его возраст был равен 3 * 5 (15)
годам в 3 • 54 (1875) году.
Задача 56.
На какие множители разлагается число 1 000 000 000 001?
Решение.
Если число нулей, заключенных между двумя единицами,
равно любому числу, кратному 3, плюс 2, то два сомножителя
можно выписать с помощью правила:
1001 = 11-91, 1000001 = 101-9901;
1000 000 001 = 1001 -999 001;
1 000 000 000 001 = 10 001 • 9 999 001.
В последнем случае мы получили требуемый ответ, а
10 001 =73 • 137.
29

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Задача 57.
Докажите, что любую сумму, большую семи копеек,
можно уплатить трехкопеечными и пятикопеечными
монетами, не получая сдачи.
Решение.
1 способ.
Достаточно проверить, что трехкопеечными и
пятикопеечными монетами можно уплатить 8, 9 и 10 к. (8 = 3 + 5,
9 = 3 + 3 + 3, 10 = 5 + 5), а затем добавлять монеты по 3 к.
2 способ.
Любое натуральное число /п, большее 7, можно
представить в одном из следующих видов:
т = Зп, где п? N, п > 3;
т = Зп + 1, где пЕ N, п > 3;
т = Зп + 2, где п Е N, п ^ 2
Если т = Зп, то очевидно, сумму можно уплатить
трехкопеечными монетами.
Если т = Зп + 1, то
т = 3(п- 3) + 3-3 + 1 = 3(п- 3) + 5-2,
где п - 3 G Z (так как п > 3).
Данную сумму можно уплатить трехкопеечными и одной
пятикопеечной монетой.
Задача 58.
В ящике лежат разноцветные шарики: 5 белых, 12
красных и 20 черных. Какое наименьшее число шариков надо
вытянуть из ящика, не заглядывая внутрь, чтобы среди них
оказались обязательно: а) хотя бы по одному шарику всех
указанных цветов; б) 10 шариков одного цвета?
Решение.
а) В самом неблагоприятном случае могут быть вытянуты
20 черных и 12 красных шариков, затем вытянутый шарик
(белый) обеспечит наличие шариков трех указанных цветов.
Следовательно, достаточно вытянуть 33 шарика (20 + 12 +
+ 1 = 33), чтобы среди них обязательно оказались хотя бы
по одному шарику всех указанных цветов.
30

1. ЛОГИЧЕСКИЕ И ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
б) В самом неблагоприятном случае могут быть вытянуты
все белые шарики (5), 9 красных и 9 черных, затем любой
вытянутый шарик (красный или черный) обеспечит наличие
10 шариков одного цвета (красного или черного).
Следовательно, достаточно вынуть 24 шарика, чтобы среди вынутых
шариков оказалось 10 шариков одного цвета.
Задача 59.
Сколько лет брату и сколько сестре, если 2 года назад
брат был старше сестры в два раза, а 8 лет назад — в пять
раз?
Решение.
1 способ.
Пусть 2 года назад сестре было х лет, брату 2х лет.
Восемь лет назад сестре было (х - 6) лет, брату (2х — 6) лет.
По условию задачи имеем
2х - 6 = 5 (х - 6), откуда х = 8.
Следовательно, в настоящее время сестре 10 лет
(8 + 2 = 10), брату 18 лет (16 + 2 = 18).
Ответ: 18 лет; 10 лет.
Задача 60.
Сколько лет дяде?
— Дядя, сколько тебе лет?
— Два раза столько, сколько лет тете Вале.
— А сколько лет тете Вале?
— В три раза меньше, чем тете Гале.
— Тетя Галя на 20 лет старше Нюры.
— Дядя, а сколько лет Нюре?
— Нюра в пять раз старше Ани.
— А сколько лет Ане?
— Не надоедай. Через год ей исполнится шесть лет.
— Дядя, а дядя, я сейчас скажу сколько тебе лет.
А и вправду, сколько лет дяде?
Решение.
Ане 5 лет.
Нюре 52 = 25 лет.
31

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Тете Гале 25 + 20 = 45 лет.
Тете Вале 45: 3 = 15 лет.
Дяде 15 • 2 = 30 лет.
Задача 61.
Собака погналась за лисицей. В то время, когда собака
делает 2 скачка, лисица делает 3 скачка, но скачок лисицы
равен 1 м, а собаки 2 м. Какое расстояние пробежит собака,
чтобы догнать лисицу, если первоначальное расстояние между
ними равно 50 м.
Решение.
За 2 скачка собака пробегает 4 м, а лисица за 3 скачка
3 м. За один раз расстояние уменьшается на 1 м. Значит,
собака пробежит 4 • 50 = 200 (м).
Задача 62.
Сколько страниц. Для того, чтобы пронумеровать
страницы одного крупного научного труда, потребовалось 3389
цифр. Сколько страниц в этой книге?
Решение.
Для того, чтобы пронумеровать страницы от 1 до 9,
необходимо 1*9 = 9 цифр.
Для того, чтобы пронумеровать страницы от 10 до 99,
необходимо 2 • 20 = 180 цифр.
Для того, чтобы пронумеровать страницы от 100 до 999,
необходимо 3 • 900 = 2700 цифр; следовательно, для того,
чтобы пронумеровать страницы от 1 до 999, необходимо
9 + 180 + 2700 = 2889 цифр. Остаток 3389 - 2889 = 500 цифр
использовались для нумерации следующих страниц, начиная
со страницы 1000. Этих страниц было 500:4 = 125.
Следовательно, всего в книге 999 + 125 = 1124 страниц.
32

2. ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
Задача 1.
Доказать, что при всяком целом п число п3 - п делится
на 3.
Доказательство.
Имеем я3 — п = (п - \)п(п+ 1),аиз трех
последовательных чисел одно обязательно делится на 3.
Задача 2.
Доказать, что при всяком целом п число п5 — п делится
на 5.
Доказательство.
Имеем п5 - п = п (п - 1)(/г + 1)(/г2 + 1).
Если целое число оканчивается одной цифр 0, 1, 4, 5,
6 или 9, то один из первых трех множителей делится на 5.
Если п оканчивается одной из цифр 2, 3, 7 или 8, то п2
оканчивается на 4 и 9 и п + 1 делится на 5.
Задача 3.
Доказать, что при всяком целом п число п5 — 5пг + 4п
делится на 120.
Доказательство.
Имеем п5 — Зп3+ 4п = п (п2 — 1)(п2 — 4) =
= (л - 2)0 - 1) п (п + 1)(л + 2)
Но из пяти последовательных целых чисел одно делится
на 5, по крайней мере одно делится на 3 и по крайней мере
два на 2, причем из этих двух последних чисел одно делится
на 4. Таким образом, произведение пяти последовательных
целых чисел всегда делится на 5 • 3 • 2 • 4 = 120.
Задача 4.
Доказать, что 11ю — 1 делится на 100.
Доказательство.
11ю - Iю = (11 - 1)-(П9 + И8 + И7 + И6 + И5 +
+ 114 + 113 + И2+ 11 + 1).
33

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Легко видеть, что второй сомножитель делится на 10,
так как он представляет сумму 10 слагаемых, каждое из
которых оканчивается на 1.
Итак, 11ю - 1 есть произведение 10 на число, делящееся
на 10, и, значит, делится на 100.
Задача 5.
Доказать, что при любом четном п число п + 20п делится
на 48.
Доказательство.
Всякое четное число может быть выписано в виде
п = 2k, где к — целое число. Поэтому п3 + 20м может быть
представлено следующим образом:
Отсюда видно, что N делится на 8.
Докажем, что число к (к? + 5) делится на 6.
Перепишем это число так:
к (jfc2 + 5) = А? - к + Ьк = (к - 1) к (к + 1) + б*.
Очевидно, что второе слагаемое Ьк на 6 делится. Первоз
же слагаемое является произведением трех последовательных
чисел. Поэтому один из сомножителей этого произведения
обязательно делится на 3. Кроме того, из двух
последовательных целых чисел (а тем более трех) одно является четным.
Значит, произведение (к - 1) к (к + 1) делится на 6, и
требуемое доказано.
Задача 6.
Доказать, что п7 - п делится на 42 при любом
натуральном п.
Доказательство.
Сделаем необходимые преобразования
п1 - п = п (п6 - 1) = п (п3 - 1) (я3 + 1) -
= п (п - 1)(я2 + п+ 1)(п + 1)(п2 - п + 1) =
= (п - 1) п (п + 1)(>г4 + п2 - 1). (1)
34

2. ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
Ясно, что произведение (п - 1)п(п+ 1) делится на 6.
Осталось показать, что заданное число делится на 7. Это
было бы доказано, если бы удалось записать /г7 — п в виде
произведения семи последовательных натуральных чисел. В
связи с этим рассмотрим произведение:
Ап = (п - 3)(/г - 2)(/г - 1) п (л + 1)(п + 2)(п + 3). (2)
Три множителя (п— \)п(п+ 1) имеются в разложении
(1). Определим произведение крайних множителей, входящих
в выражение (2):
(п - Ъ)(п - 2)(/г + 2)(п + 3) = (м2- 4)(/г2- 9) = л4- 13п2 + 36.
Видно, что число Ап * п7 — п, то есть /г7 — п не может
быть представлено в виде (2).
Но это еще не означает, что число п1 — п не делится на
7. Напротив, приведенные выкладки наводят на мысль о
сравнении /г7 — п с делящимся на 7 числом Лп. Действительно,
имеем:
л7 - п = (и - 1) п (п + 1) (/г4 + л2 + 1) = (м - 1) п (п + 1) х
х (п4 - 13п2 + 36) + (п - 1) л (п + 1) (14м2 - 35) =
= 4, + 7 (л - 1) л (л + 1) (2м2 - 5),
откуда непосредственно следует делимость числа п7 — м на 7.
Задача 7.
Доказать, что ни при каком натуральном п число
п2 + 1 не делится на 3.
Доказательство.
Так как речь идет о делимости на 3, рассмотрим три
класса натуральных чисел:
• класс чисел, делящихся на 3 (Это числа вида 3k, где
k — любое натуральное число);
• класс чисел, дающих при делении на 3 в остатке единицу
(это числа вида Зк + 1, ще к = 0, 1, 2,...);
• числа, дающие при делении на 3 в остатке 2 (это числа
вида Зк + 2, где к = 0, 1, 2,...).
35

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Произвольное натуральное число обязательно попадает в
один из таких классов.
Поэтому задача будет решена, если мы докажем
неделимость на 3 числа я2 + 1 для каждого из выделенных классов.
Если п = 3ft, то я2 + 1 = 9ft2 + 1. Ясно, что при делении
на 3 число п2 + 1 дает в остатке 1.
Если л = 3&+1, то п2 + 1 = 9к2 + 6ft + 2. Число
9к2 + 6ft делится на 3, и поэтому в рассматриваемом случае
я2 + 1 при делении на 3 имеет в остатке 2.
Если п = Ък + 2, то
я2 + 1 = 9ft2 + 12ft + 3 = (9ft2 + 12ft + 3) + 2.
Число, заключенное в скобках, делится на 3. Отсюда
получаем, что п2 + 1 при делении на 3 и в этом случае имеет
в остатке 2.
Следовательно, ни при каком натуральном п число
п2 + 1 не делится на 3.
Задача 8.
Доказать, что число З105 + 4105 делится на 13.
Доказательство,
Замечая, что 105 = 3 • 35 представим заданное число в
виде: З105 + 4105 = (З3)35 + (43)35 = 2735 + 6435.
Для нечетных чисел п справедливо равенство:
d1 + Ъп = (а + Ъ)(сГ1 -се-2Ь + о""3 й2 + У1'1).
Запишем нашу сумму в виде:
З105 4- 4105 = 2735 + 6435 = 91 (2734 - ... + 6434).
Поскольку 91 = 13 • 7, то наша сумма делится на 13.
Задача 9.
Сумма трех целых чисел делится на 6. Доказать, что и
сумма кубов этих чисел делится на 6.
Доказательство.
Достаточно доказать, что разность л3 + j? + z — (х +
+ y + z) делится на 6. Это действительно так, поскольку
каждый из слагаемых хъ - х, уъ - у, z - z делится на 6, так
36

2. ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
как эти слагаемые можно представить как произведение трех
целых последовательных чисел:
х*-х = х(х?-1) = х(х- 1)(х + 1).
Задача 10.
Доказать, что р2 - <f делится на 24, если р и q — простые
числа, больше 3.
Доказательство.
Каждое их простых чисел р и q можно представить как
3?- 1 или 3*+ 1. Но
p2 = (3ik±l)2 = 9A2±6ik+l;
в2 = (Зл ± I)2 = Ы ± бп + 1.
Поэтому их разность делится на 3.
Так как р я q — нечетные числа, то выражение в одних
скобках делится на 4, а в других — на 2, поэтому их
произведение делится и на 8.
Задача 11.
Доказать, что если сумма двух чисел есть число нечетное,
то произведение этих чисел всегда будет числом четным.
Доказательство.
Сумма двух чисел — число нечетное, следовательно,
одно слагаемое — четное, а другое — нечетное. Произведение
четного числа ни любое целое число есть число четное.
Задача 12.
Найдите двузначное число, которое при делении на цифру
единиц, дает в частном цифру единиц, а в остатке — цифру
десятков.
Решение.
Имеем N = 10а + Ь = Ъ • b + а, или 9а = Ъ {Ъ - 1).
Числа Ъ и Ъ - 1 — взаимно простые, и Ъ - 1 на 1 меньше
Ь. Отсюда 6 = 9, а = 8. Искомое число 89.
Задача 13.
Доказать, что по крайней мере одно из двух чисел
т + я, т — /г, ще т и /г — натуральные числа, кратно трем.
37

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Доказательство.
Если тип — кратны трем, то утверждение верно. Если
ни т, ни п не кратны трем, то возможны три случая:
1) т = Ък + 1, п = Зр + 1;
2) т = Ък + 2, я = Зр + 2;
3) т-ЪкЛ-2, п = Зр + 1;
где &, р GN. Случай га = 3& + 1, я = Зр + 1 аналогичен
случаю 3).
В случаях 1) и 2) число т- п будет кратно трем, а в
случае 3) т + п будет кратно трем.
Задача 14.
Если 1-2-3 .. -(я - 2)(/г + 1) + 1 делится на я, то я —
простое число. Доказать это.
Доказательство.
Пусть п — непростое число. Тогда оно имеет делитель
р, причем 1 < р < /г. Но это невозможно, так как первое
произведение, которое содержит п — 1 множитель, делится на
р, а 1 не делится на р, поэтому данная сумма не делится на
р. Поэтому п простое число.
Задача 15.
Доказать, что 241995 + 141995 делится на 19.
Доказательство.
24 = 19 + 5; 14 = 19 - 5.
Имеем
N= (19 + 5)1995 + (19 - 5)1995 = 19-Л + 51995 + 19-Б - 5-1995 =
= 19 (Л + Б), где A,BElN
Задача 16.
Доказать, что 25123456789 + 1 делится на 601.
Доказательство.
Показатель 123456789 делится на 3 и поэтому данное
число можно представить в виде (253)* 4- 1, причем число к
очевидно, нечетно. Используя тождество
38

2. ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
л* + 1 = (х + 1)(хГ - хГ~2 + ... + х* -х- 1),
получаем, что данное число делится на 253 + 1, а,
следовательно, и 252 - 25 + 1 = 601.
Задача 17.
Доказать, что 255 + 1 делится на 11.
Доказательство.
Имеем
я* - }f = (а - йХа"-1 + cf+2 • i + ... + аб*"2 + У1"1).
Положим а = 25, я = 11, й = — 1. Получим
255 + 1 = (25 + 1)(250 - 245 + 240 - ... - 25 + 1) = 33т.
Задача 18.
Докажите, что значение выражения 116+146-132 кратно 10.
Доказательство.
Число 11б оканчивается цифрой 1.
Число 14б оканчивается цифрой 6, так как 14б = (142)3,
а 142 оканчивается цифрой 6. Число 133 оканчивается цифрой
7. Следовательно, число 11б + 14б-132 оканчивается
цифрой 0, т.е. кратно 10.
Задача 19.
Доказать, что ни одно из чисел 1, 11, 111, .., кроме
первого, не есть квадратом целого числа.
Доказательство.
Допустим, что одно из чисел — полный квадрат.
Обозначим его к2. Тогда к2 — 1 должен делиться на 4.
Действительно, к2 - 1 = (к - 1)(& + 1), следовательно,
к— I ик+ 1 — четные числа. Однако, если от числа, которое
оканчивается на 11, отнять 11, то получится число, которое
на 4 не делится.
Задача 20.
Докажите, что значение выражения 967 — 225 — 48б
кратно 10.
39

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА
Доказательство*
Определим, какой цифрой оканчивается каждая степень
данного выражения. Так как б7 оканчивается цифрой 6, то
и 967 оканчивается цифрой 6.
Число 25 оканчивается цифрой 2, следовательно, 225
также оканчивается цифрой 2 Число 486, как и 86 оканчивается
цифрой 4.
Учитывая знаки выражения, найдем, что цифра единиц
равна нулю (6 — 2 — 4 = 0) Следовательно значение данного
выражения кратно 10.
Задача 21.
Сколько делителей у числа 10ю?
Решение.
10ю = (2 5)ю = 210 5ю
Делители данного произведения имеют вид 2* 5п где к
и п — целые, неотрицательные числа, не больше 10. Среди
них имеется 11 делителей, содержащих только степени 2:
2°, 21, 22,... ,2ю
и столько же делителей, содержащих только степени 5:
5° 51, 52 510
Все делители данного числа получим, если каждый из
делителей первого вида (степени числа 2) умножим на каждый
из делителей второго вида (степени числа 5). Всего имеем
11 11 = 121 делитель.
Задача 22.
Найдите два натуральных числа, сумма которых равна
168, а их наибольший общий делитель равен 24.
Решение.
Пусть а и Ъ — два таких натуральных числа, что
а + Ъ = 168, где а = 24пр Ъ = 24п2, где щ и п2 — натуральные
числа. Тогда имеем
24^ + 24п2 = 168,
40

2. ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
откуда ttj + п2 = 7. Учитывая, что п^ и п2 — натуральные
числа, в сумме равные 7, находим числа а и Ь:
а = 24 (п, = 1),
я - 48 (^ = 2),
а = 72 (ttj = 3),
й = 144 (п2 = 6),
Ъ = 120 (п2 = 5),
й = 96 (л2 = 4).
Ответ: 24 и 144, или 48 и 120, или 72 и 96.
Задача 23.
Если х и у — целые, взаимно простые числа, то
наибольший общий делитель чисел х - у и
есть делитель числа п. Доказать.
Решение.
Обозначим частное от деления многочлена
на разность х - у через Q (х, у).
По теореме Безу имеем:
F(x,y) = (x_y)Q(x,y) + п?-1.
Обозначим наибольший общий делитель для F (х, у) и
х - у через D. Тогда:
F (х, у) = к D и л: - у = * Д где к и t — целые.
Отсюда следует, что D-k = D- t-Q(x, у) + nf"\ или
Так как D не является делителем у (ибо в противном
случае у я х — у имели бы общий делитель, а следовательно,
41

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
л-1
х и у также имели бы общий делитель), а —~ целое,
то D является делителем я.
Задача 24.
2Р - 1 и 2я - 1 взаимно просты. Доказать, что р и q —
так же взаимно просты. Обратно, если р и q — взаимно
просты, то и 2Р — 1 и 2я — 1 взаимно просты.
Решение.
Пусть р и q имеют общий делитель d, тогда р = pYd,
q = qxd.
2р - 1 = (2*/' ~ 1 = (2d - l)-(2rf(Prl) + 2d(Pr2) + ... + 1),
2' - 1 = (2')f| - 1 = (2* - l).(2^rl) + 2%r2) + ... + 1).
Следовательно, если 2P — 1 и2?-1 взаимно просты, то
р и q также взаимно просты, т.е. d = 1.
Пусть теперь р и q взаимно просты и р > q. Если d —
общий делитель чисел 2Р — 1 и2?- 1, то d — делитель также
числа 2Р = 2' = 2я- (2Р~Я - 1). Так как 2* - 1 на 2 не делится
(Л>0), то 2Р"Я - 1 делится на d. Если еще р - q> q, то
рассуждая аналогично получим, что 2рЧя — 1 делится на d,
где р — lq<q. Обозначим р — lq = ^ и, повторяя рассуждения,
найдем Zj такое, что 2 '1 — 1 делится на d, где # — /д < дг
Так дойдем до q. = 1, т.е. 2 — 1 = 1 делится на <2, значит,
d=l.
Задача 25.
Натуральные числа а и й взаимно просты. Доказать, что
наибольший общий делитель чисел а + b и а2 + Ь2 равен 1
или 2.
Решение.
Достаточно доказать, что не существует числа d, большего
2, на которое делились бы числа а + b к а2 + Ь2 (при условии,
что а и 6 взаимно просты).
42

2. ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
Если а + Ъ2 и а+ b делятся на d, то и числа 2я2 =
= (а2 + й2) + (а-й)(а + й) и lb2 = (я2 + Ъ2) + (й - я)(я + Ь)
делятся на d. Но поскольку числа я и Ь взаимно просты, то
числа cl и Ь2 также взаимно просты; следовательно, 2я и
2й2 не могут делиться на число d. Но на 2 они делятся, так
как на 2 делятся 2а2 и 2й2.
Задача 26.
Доказать, что многочлены
я5 + 4я* + За и а4 + За2 + 1
не имеют общих делителей ни при каком целом а.
Решение.
я5 + 4а3 + За = а (а2 + ^(а2 + 3) и
я4 + Зя2 + 1 = я^я2 + 3) + 1.
Пусть Oq — некоторое целое число. Тоща делители числа
^.+ 4<4 + Зоо
являются делителями по крайней мере одного из чисел Яд,
я2, + 1 и я2, + 3. Пусть число d — делитель числа Oq или
числа Яд + 3. Очевидно, что это число не может быть
делителем числа я4, + Зя2, + 1. Пусть d — делитель числа Oq + 1.
Так как я? + Зя2, + 1 = а? + Зя2 + 2 - 1 = (я2, + 1)(с% + 2) - 1,
то очевидно, что d не может быть делителем числа
4 + Н + 1.
Задача 27.
Найти два числа, зная их разность (66) и общее
наименьшее кратное (360).
Решение.
Обозначив искомые числа через М,и N, а их наибольший
общий делитель через d, мы можем написать:
M=xd, N = yd, (1)
где х л у — взаимно простые числа.
43

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
По условию имеем:
M-N=xd- yd = 66; MN = 360d
или (x - у) d = 66, xyd = 360. (2)
Так как x и у числа взаимно простые, то d является
наибольшим общим делителем чисел 66 и 360.
Отсюда d = 6. Подставив в (2), получим:
х — у = 11, лгу = 60.
Решив эту систему, найдем:
х = 15; у = 4,
и, следовательно, М = 90; N = 24.
Задача 28.
Решить систему уравнений, где х G N, у GN, (х, у) —
наибольший общий делитель чисел х и у.
Решение.
(*,}>) = 10,
х 4
У ~ 17'
х = 10и, у = 10г>) (и, v) =
х К
у "к
)и и и 4
Ь ~ о' о ~ 17'
значит, и = 4, v = 17. Тогда х = 40, у = 170.
Ответ: {(40; 170)}.
Задача 29.
Решить систему уравнений, где x&N, у EN, (х, у) —
наибольший общий делитель чисел х и у.
/(*,)>) = 4,
]*у = 240.
Решение.
х = 4и, у = 4а, (и, а) = 1, 4и • 4у= 240, то есть
[(w, V) = 1,
iri;= 15.
44

2. ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
Это означает, что и и v — два взаимно простых числа,
произведение которых равняется 15. Таким образом,
ие{1;3;5;15}, о=Д
24ft
Значит, х G {4; 12; 20; 60}, у = —.
Ответ: {(4; 60), (12; 20), (20; 12), (60; 4)}.
Задача 30.
Решить систему уравнений, где х G JV, у GiV, (х, у) —
наименьшее общее кратное чисел х is. у.
([*,у] = 84,
|* = 12.
Решение.
[л, у] = (*, У) иц где (и, а) = 1, х = (х, у) и, У = (*» У) v.
Дано, что [х, у] = 84 и х = 12, значит, (х, у) wo= 84,
(х, у) и = 12.
Тогда о=7, у=(х,у) • 7.
Так как наибольший общий делитель (х, у) чисел л: и
у делит х, а л: = 12, то (х, у) G {1; 2; 3; 4; 6; 12}.
Соответственно yG {7; 14; 21; 28; 42; 84}.
Ответ: {(12; 7), (12; 14), (12; 21), (12; 28), <12; 42), (12; 84)}.
Задача 31.
Решить систему уравнений, где xGiV, yGiV, [х, у] —
наименьшее общее кратное чисел х и у.
f[x,y] = 540,
jxy = 16 200.
Ответ:
{(30; 540), (60; 270), (90; 180), (180; 90), (270;.60), (540; 30)}.
Задача 32.
Решить систему уравнений, где xGN, yGN, [х, у] —
наименьшее общее кратное чисел х и у.
45

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Г [х, у] =132,
|х-у=22.
Решение.
Пусть (х, у) = d, х = du, у = dv, (и. v) = 1. Тогда
х - у = d (и - v), [х, у] = d • и • о,
кроме того, имеем
((л-У), [х,у]) = «*=(22, 132) = 22.
х = 22и, у = 22и, л; — у = 22 (и — и),
22 (и - о) = 22, значит, м - о= 1,
132 132 А
и — и= 1, (и = 3,
и • и= 6, т= 2.
Таким образом, х = 3 • 22 = 66, у = 2 • 22 = 44.
Ответ: {(66; 44)}.
Задача 33.
Решить систему уравнений, эде xEJV, y^N, [х, у] —
наименьшее общее кратное чисел х и у.
f[*,y] = 350,
jx + у = 95.
Решение.
[х, Я = (х, у) ш), где (и, и) = 1, х = (х, у) и, у = (х, у) о.
Из условия делаем вывод, что
Г(х, у) *ш= 350,
{(^ у) (и, и) = 95.
Легко доказать, что когда {и, о) = 1, то (uv, и + о) = 1.
Тогда (350, 95) = (х, у), значит (х, у) = 5. Отсюда
*ш = 70,
u + v= 19.
Решения этой системы: w = 5, и=14ии=14, d= 5.
46

2. ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
Поскольку х = 5и, у- 5v, то у = 70 или х = 70, у = 25.
Ответ: {(25; 70), (70; 25)}.
Задача 34.
Решить систему уравнений, где х G iV, у GiV, (х, у) —
наибольший общий делитель чисел х и у, а [х, у] — их
наименьшее общее кратное.
х - у = (х, у),
Jx,y] = 60.
Решение.
Пусть (х, у) = <2, х = им, у = dv, (и, v) = 1.
По условию d (и - v) = d, и - а = 1, и = и + 1.
Возможны случаи:
а) и = 2, ы = о + 1 = 3, d = 10. Тогда х = 30, у = 20;
б)и=3, и = 4, d = 5. Тогда х = 20, у =15;
в) и=4, и = 5, d = 3. Тоща х=15, у =12.
Ответ: {(30; 20), (20; 15), (15; 12)}.
Задача 35.
Решить систему уравнений, ще xGN, у GJV, (х, у) —
наибольший общий делитель чисел х и у, а [х, у] — их
наименьшее общее кратное.
Г(х,у) = 12,
|[х,у] = 180.
Решение.
х = 12и, у = 12и, где (и, v) = 1,
[х, у] = 12 uv, uv = -ту = 15.
Тогда х G {12, 36, 60, 180}, у G {180, 60, 36, 12}, посколь-
ii 15
куу=12--.
Ответ: {(12; 180), (36; 60), (60; 36), (180; 12)}.
47

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 36.
Найти НОД двух чисел:
11... 1 и 11111111.
Решение. юораз
11...1 = 11111111 -?+1111,
ЮОраз
11111111 = 1 111 • 10001.
Ответ: 1 111.
Задача 37.
Найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел:
19 461 377 и 472 397.
Решение.
19 461 377 = 472 397 -41 + 93 100,
472 397 = 93 100 • 5 + 6 897,
93100 = 6 897- 13 + 3 439,
3 439 = 19- 181.
Ответ: 19.
Задача 38.
Найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел:
1 486 276 и 343 751.
Решение.
1 486 276 = 343 751 • 4 + 111 272,
343 751 = 111272- 3 + 9 935,
111272 = 9 935- 11 + 1987,
9 935 = 1 987 • 5.
Ответ: 1 987.
Задача 39.
Решить систему уравнений, где х Е ЛГ, у GiV, (х, у) —
наибольший общий делитель чисел х к у.
48

2. ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
(*, У) = 6,
х + у = 42.
Решение.
Из условия (я, у) = 6 делаем вывод, что я = 6и, у = 6о,
(и, v) = 1. Так как х + ;у = 42, то 6и + 6v = 42, и + v=7.
Возможны случаи:
и=1, и=6; и = 2, у=5; и = 3, а=4;
и = 4, у=3; и = 5, а=2; и = 6, а= 1.
Ответ: {(6; 36), (12; 30), (18; 24), (24; 18), (30; 12), (36; 6)}.
Задача 40.
Решить систему уравнений, где xGiV, у Е#, (я, у) —
наибольший общий делитель чисел х и у.
Г(*>У) = 3,
1х = 6.
Решение.
Из условия (х, у) = 3 делаем вывод, что х = Зи, у = За,
(г/, и) = 1. Так как х = 6, то и = 2 и (2, v) = 1. Очевидно, что
v=2n+l, л = 0, 1, 2,.... Таким образом, у = 2 (2/г + 1),
п = 0, 1,2,....
Ответ: {(6; 3 (2/г + 1)), п = 0, 1, 2,...}.
Задача 41.
Найти два числа, зная их разность (66) и общее
наименьшее кратное (360).
Решение.
Обозначив искомые числа через М и N, а их наибольший
общий делитель через d, мы можем записать:
M=xd, N = yd, (1)
ще х и у - взаимно простые числа.
По условию имеем
М - N = xd - yd = 66, MAT = 360 • d
или (x - у) d = 66, xyd = 360. (2)
49

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Так как х vl у — числа взаимно простые, то d является
наибольшим общим делителем чисел 66 и 360
Отсюда d = 6.
Подставив в (2), получим
х — у = 11, ху = 60.
Решив эту систему, найдем:
х = 15, у=4и, следовательно,
М=90, N=24.
Задача 42.
Найти все пары натуральных чисел, больше 0 и меньших
180, таких, что их НОД равен 6, а разность положительна
и является точным квадратом.
Решение.
Искомые пары чисел представим в виде (б/г, 6&), ще
k,nGN. При этом ~ — несократимая дробь. Кроме того,
(т < 180, т.е. п < 30, ?<30. Следовательно, 6п-6к = т2
2 2
у т т
п — & = -7-, т.е. —7 целое.
Имеем два случая:
б2
а) п - к = -г = 6, откуда п = ? + 6 и для взаимно простых
чисел п ъ к, меньших 30 получаем набор (7; 1); (11; 5);
(13; 7); (17; 11); (19; 13); (23; 17); (25; 19); (29; 23). Таким
образом, искомые пары (6; 6); (42; 6); (66; 30); (78; 42);
(102; 66); (114; 78); (138; 102); (150; 114); (174; 138);
(150; 6); (174; 3)
Задача 43.
Доказать, что квадрат любого простого числа, кроме 2 и
3, при делении на 24 дает в остатке 1.
Решение.
Пусть р — любое простое число, причем р > 3.
р2 = (р2 - 1) + 1.
50

2. ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
Покажем, что р2 — 1 делится на 24, откуда и будет
следовать утверждение задачи.
р2 - 1 = [р - 1)ц> + 1).
Так как р — простое число и р>3, то р — нечетное
число, заведомо не делящееся на 3. Тоща одно из чисел
р - 1 или р + 1 обязательно делится на 3. Каждое из них
делится на 2, а так как среди двух последовательных четных
чисел одно всегда делится на 4, то р2 — 1 делится на 8.
Задача 44.
Доказать, что всякое простое число при делении на 30
дает в остатке снова простое число.
Решение.
Пусть р = ЗОп + /я, где р — простое число, а т — остаток,
т < 30 и т — нечетное число. Тоща т может делиться лишь
на числа, отличные от 3 и 5. Если же т = т1 • т2, ще
т>7, то т2 = 1 или т2 > 7. Второй случай, очевидно,
отпадает, значит, т — простое число.
51

3. ЧИСЛА
Задача 1.
Может ли двузначное число равняться сумме своих цифр?
Решение.
Пусть существует такое число аВ, Тогда аВ = а + й, или
10а + й = я + йи9<2 = 0, а = 0. Значит, такого числа нет.
Задача 2.
Доказать, что частное от деления двузначного числа на
сумму его цифр не более 10.
Доказательство,
Рассмотрим отношения
аВ = 10а + Ъ _ 9д_+а + b _ 9а
а + 6 — а + 6 "~ а + b ~ а + Ь#
В правой части этого равенства дробь, не большая, чем
9, поэтому левая часть не больше 10.
Задача 3,
Найти двузначное число, которое в 9 раз больше, чем
цифра его единиц.
Решение.
Пусть аВ = 96, тогда 10а + Ъ = 9й, 5а = 4й. Отсюда
а^Оий^О, а делится на 4, й делится на 5. Условию задачи
удовлетворяет только пара цифр а = 4, 6 = 5.
Ответ: 45.
Задача 4.
Найти цифры х и у пятизначного числа, которое в
десятичной системе записывается так: 42х4у, если известно, что
это число делится на 72.
Решение.
Первая цифра частного 5, так как 72 • 6 = 432 > 42х.
Вторая цифра частного 8 или 9.
52

3. ЧИСЛА
1) Если вторая цифра частного 8, то полученное в остатке
трехзначное число (х + 2) 8у должно делиться на 72. Из таких
чисел только 288 имеет цифру десятков 8
42х4у 172
360 |~58
6x4
576
(х + 2) 8?
х + 2 = 2; х = 0; у = 8.
2) Если вторая цифра частного 9, то имеем: (х — 5) 6у
кратно 72: по цифре 6 находим, что это число 360.
42х4у 172
360 |59
6x4
648
(* - 5) 6у
х — 5 = 3; х = 8; у = 0.
Задача 5. Найти все простые числа р такие, что р2 + 8 —
простое число.
Решение.
Всякое простое число р>3, имеет один из следующих
видов:
1) р = 3к+ 1;
2) р = 3* + 2.
Пусть р = 3? + 1, тогда (Зк + I)2 + 8 = 9&2 + 6к + 9. Это
число делится на 3, и, значит не является простым. Пусть
теперь р = Зк + 2, тогда (3? + 2)2 + 8 = 9&2 + Ш + 12 делится
на 3, то есть опять не простое число.
Наконец, рассмотрим два оставшихся простых числа:
р = 2 и р = 3. Если р = 2, то р2 + 8 = 12 — число не простое.
При р = 3 имеем р2 + 8 = 17 — число простое.
Ответ: р = 3.
53

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Задача 6.
Доказать, что если разность, полученная от вычитания
числа, выраженного тремя последними цифрами данного
числа, из числа, выраженного всеми остальными цифрами (или
наоборот), равна 0, или делится на 7, на 11, на 13, то все
данное число делится соответственно на 7, или на 11, или
на 13 (Признак делимости на 7, на 11, на 13)
Решение.
Пусть дано число А Обозначим число, выраженное тремя
последними цифрами числа А через N, а число,
выраженное всеми остальными числами через М. Имеем:
А = М-1000 + п. Число 1001 + 1 делится на 7, и на 11, и на
13. Заметив это преобразуем полученную сумму:
Л = М(1000+ 1)-М + #,
которую можно записать.
А = М- 1000 + 1 + (M-N), если M>N и
А = М • 1000 + 1 + (N- М), если M<N.
Так как М • 1001 всеща делится на 7, на 11, на 13, то
для того, чтобы А делилось на 7, на И, на 13 необходимо
и достаточно, чтобы разность (М — N) или (N — М) делилось
соответственно на 7, на 11, на 13.
Задача 7.
Число aabb — полный квадрат. При каких а и Ъ это
возможно?
Решение.
Рассмотрим числа вида aabb. Они, безусловно, делятся
на 11, поэтому число 10* + у, в котором (10* + у)2 = aabb,
тоже должно делиться на 11. Кроме того, №х + у>31.
Так как произведение двух последних цифр квадрата
целого числа — четное число, то условие задачи могут
удовлетворить только четные числа 44, 66, 88. Непосредственной
проверкой устанавливаем, что искомое число 88, значит,
а = 7, * = 4.
54

3. ЧИСЛА
Свойства целых чисел, используемые для решения
непосредственной задачи, сформулируем как отдельную задачу.
Задача 8.
Найти трехзначное число, квадрат которого является
пятой степенью числа, образованной суммой его цифр.
Решение.
(х + у + zf = (100* + lOy + z)2.
Установить, сколько трехзначных чисел будет пятой
степенью целого числа.
25 = 32, 35 = 243, 45 = 1024.
Поэтому существует только одно трехзначное число,
которое может удовлетворить условию задачи. Действительно:
2 + 3 + 4 = 9, а 95 = 2432.
Задача 9.
Найти все целые слагаемые п, при которых число
2я - 1 делится на 7. Найдутся ли целые слагаемые значения
п, при которых число 2" + 1 делится на 7?
Решение.
Если п = 3&, то выражение Т - 1 = 23* - 1 = 8* - 1 будет
делиться на 7. При п = Ък + 1 имеем 2зк+{ -1 = 2- 8* - 1 =
= (8* - 1) + 8* — выражение, которое не делится на 7. Так
как 23* можно представить, как 1гп + 1, то при п = Ък + 2
выражение 2ък+2 - 1 = 4-23* - 1 = 4 (7т + 1) - 1 = 28/я + 3.
Значит, если п = Ък + 2, выражение 2* — 1 при делении на
7 дает в остатке 3.
Ответ на второй вопрос задачи негативен. Если п = Ък,
выражение Т + 1 = 23* + 1 = lm + 2 в результате деления на
7 дает в остатке 3. Если же п = Ък + 2, то
2" + 1 = 2ък+2 + 1 = 4 (7т + 1) + 1 = 28т + 5.
Это число вследствие деления на 7 дает в остатке 5.
55

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Задача 10.
Доказать, что натуральное число, сумма цифр которого
равняется 15, не может быть квадратом целого числа. Может
ли число, записанное в каком-нибудь порядке с помощью
произвольного множества нулей и 30 единиц, быть квадратом
целого числа7
Решение.
Данные числа делятся на 3, но не делятся на 9. Поэтому
они не могут быть квадратами целых чисел.
Задача 11.
Найдите четырехзначное число, которое увеличивается
в 4 раза при перестановке его цифр в обратном порядке.
Решение.
4 abed = deba. Отсюда а — четно. Если а + 2, то d = 8.
Других значений а и d иметь не могут, так как при а>2
после умножения на 4 получается пятизначное число, а при
d ч* 8 после умножения на 4 не получается на конце цифры
2. Тогда #<3, так как иначе d>8. Итак, Ь= 1 или Ъ = 2.
Если Ъ = 1, то 4 • 21с8 = 8с12. Отсюда
8000 + 400 + 40с + 32 = 8000 + 100с + 12, 60с = 420, с = 7.
Искомое число 2178.
Если Ъ = 2, то 4 22с8 = 8с22,
8000 + 800 + 40с + 32 = 8000 + 100с + 88 —
уравнение не имеет целых решений.
Задача 12.
Доказать, что в любом тридцатизначном числе, в записи
которого участвуют только цифры 1, 2 и 3 можно найти две
тройки из подряд стоящих цифр, таких, что образованные
ими трехзначные числа равны.
Решение.
В тридцатизначном числе троек из подряд стоящих цифр
28. Из цифр 1, 2 и 3 можно составить не более 27 различных
трехзначных чисел. Таким образом, из 28 трехзначных чисел,
по крайней мере, два равны.
56

3. ЧИСЛА
Задача 13.
Существует ли натуральное число, которое в 1995 раз
больше суммы своих цифр9
Решение.
Пусть число Ъ в 1995 раз больше суммы своих цифр,
которую мы обозначим через S: Ъ — 19955. Но Ъ — S делится
на 9 (именно это свойство используется при выведении
признака делимости на 9), поэтому 19955 делится на 9, а тогда
и S делится на 9.
Поэтому мы можем искать требуемые в условии числа,
последовательно умножая 1995 на 9, 18, 26 и т.д. Вторая
попытка приводит к цели: 1995 • 18 = 35910.
Задача 14.
Двузначное число разделили на однозначное и к частному
прибавили то же самое однозначное число, после чего
получилось обратное к данному двузначное число. Найти все
такие двузначные числа.
Решение.
_ 10а+ 4, 1П,^
Пусть Ь с = 106 + а,
т.е. 10а + 4 + с2 = 104с + ас, (10 - с) а + с = 4 (Юс - 1).
При с Е {1,4, 7} правая часть делится на 3, а левая не
делится, так что равенство не вьшолняется. При с = 2
8я + 4 = 196, так что Ъ делится на 4, и поскольку 8а + 4 ^
s? 76, то Ъ = 4, а = 9, при с = 3 имеем 29й = 1а + 9 ^ 72,
откуда Ъ е {1, 2}, но равенство 29 = 1а + 9п при целом а не
выполняется, а из 58 = 1а + 9 получаем а = 7.
При с = 5, с = 6 и с = 8 имеем
5я + 25 = 49А, 4я + 36 = 596, 2а + 64 = 794,
откуда соответственно
496^70, 59й^72, 79й ^ 82,
т.е. Ъ ^ 1. Но при й = 1 эти равенства не выполняются.
Наконец, при с = 9 имеем а + 81=89й, откуда 4=1,
а = 8. Таким образом, искомые числа - 94, 72 и 81.
57

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 15.
Определить несократимую дробь, которая не изменяет
своей величины от прибавления к числителю 21, а к
знаменателю 28.
Решение.
~* * т т + 21 т
Обозначим эту дробь —, тогда —г^о~ = —;
ft ft "Г Zo ft
тп + 21/г = тп + 28т; 21/г = 28т; — = -т.
Задача 16.
Найти цифры х, з?, z, если Vx}5i = zVx + у.
Решение.
Данное равенство означает, что
z2 (х + ?) = 10 ху + z или z2 (х + ;у) - 10 ху = z.
Если число z не делится на 3, то z при делении на 3
дает остаток 1, а тоща левая часть полученного равенства
делится на 3, поскольку числа х + у и ЮЗсу при делении на
3 дают одинаковые остатки. Полученное противоречие
показывает, что z делится на 3, а тоща ху и х + у делится на 3.
Следовательно, число xyz = z2(x + y) делится на 27, а
возможные значения частного: 17, 18, 19, 27, 28, 29, поскольку
лишь в этих случаях последняя цифра произведения делится
на 3. Проверка этих чисел показывает, что условию задачи
удовлетворяет единственный набор цифр: х = 7, у = 2, z = 9.
Задача 17.
Найти цифры х, у, z, если Vxyz = (х + у) VzT
Решение.
Данное равенство означает, что (х + ;y)2z = 10 ху + z, или
((* + :v)2- 1)^= ЮЗср.
Если число ху не делится на 3, то х + у не делится на
3, а (х + у)2 при делении на 3 дает остаток 1. Но тогда левая
часть полученного равенства делится на 3, и мы пришли к
58

3 ЧИСЛА
противоречию. Следовательно, ху, а значит, х + у и z делятся
на 3.
Если х + у принимает значения 12, 15, 18, то ху делится
соответственно на 143, 224, 323, а тогда ху делится на 143,
112, 323, что невозможно, так как ху — двузначное число.
При х + у = 3 имеем равенство 8z = 10 ху, что
невозможно, так как z — однозначное, а ху — двузначное число. При
х + у = 6 имеем lz = 2 ху = 20* + 2у = 18х + 12, откуда z
делится на 6, z = 6, 30 = 18х, что невозможно.
Наконец, при х + у = 9 имеем 8z = ху = 9х + 9, откуда
z = 9, х = 7, у = 2.
Таким образом, условию задачи удовлетворяет
единственный набор цифр: х = 7, у = 2, z = 9.
Задача 18,
Решить уравнение Ъс + 2х = хб.
Решение.
10 + х + 20 + х = 10* + 6, х = 3.
Задача 19,
Решить уравнение х4 + х7 = 1x1.
Решение.
10х + 4 + 10х + 7 = 100 + 10х + 1, х = 4
Задача 20.
Пусть тип — натуральные числа, причем
правильная несократимая дробь. На какие натуральные числа
^ Ъп — т
можно сократить дробь "^у>^'' если известно> что она
сократима?
Решение.
Из условия задачи следует, что Зп - т = кр и
5п-2т = kg, где р и ^ — взаимно просты. Умножая первое
уравнение на 2 и складывая со вторым, получим
11/г = к (2р + д), умножая первое на 5, второе на 3 и скла-
59

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
дывая, получим 11га = к (- 5р + 3q). Из полученных
уравнений не сложно вывести, что к делится на 11 и t = 11.
Ответ: дробь -z—т~пП~ можно сократить на 11.
Задача 21.
Найти пятизначное число, которое в 45 раз больше
произведения его цифр.
Решение.
Путь выполняется равенство
т = abode = 45-a-b-c-d-e.
Тогда все цифры числа т нечетные — иначе не делится
на 10, т.е. е = 0 и т = 0, что неверно. Отсюда следует, что
е = 5, так что т делится на 25, и поэтому d = 7.
Из того, что га делится на 9, получаем, что а + Ъ +
+ с + 12 делится на 9, откуда следует, что а + Ъ + с = 15.
Кроме того, из неравенства 45-35 abc< 100000 следует,
что abc ^ 63.
Из последних двух условий перебором находим две
возможные тройки чисел а, 6, с — это 1, 7 и 7 и 1, 5, 9.
Для первой тройки имеем равенство
77175 = 45 • 7 • 7 • 1 • 7 • 5,
и, следовательно, число 77175 удовлетворяет условию
задачи; вторая тройка условию задачи не удовлетворяет.
Таким образом, искомое число равно 77175.
Задача 22.
Если к некоторому пятизначному числу приписать слева
цифру 6, то получится число в 4 раза больше, чем получилось
бы, если цифру 6 приписать справа. Найти это число.
Решение.
abcdeb
х
По условию 4 .
6 abode
60

3 ЧИСЛА
Осуществляя умножение, последовательно находим
цифры данного числа:
е = 4, d = 8, с = 3, й = 5, а=1.
Итак, искомое число равно 15384.
Задача 23.
Когда четыре последовательных цифры записали одну за
другой, а затем две первые цифры поменяли местами, то
получилось число, являющееся точным квадратом. Найти это
число.
Решение.
Легко видеть, что получившееся число есть одно из чисел:
2134, 3245, 4356, 5467, 6578, 7689.
Первые два из этих чисел не являются точными
квадратами, поскольку первое делится на 2, но не делится на 4,
а второе делится на 5, но не делится на 25. Третье число
равно 662. Следующие два числа не являются точными
квадратами, так как квадрат числа не может оканчиваться
цифрами 7 и 8. наконец, число 7689 также не является точным
квадратом, так как оно делится на 3, но не делится на 9.
Таким образом, искомое число равно 4356.
Задача 24.
Определить при каких целых значениях п выражение
п4 + 4 является простым числом.
Решение.
Дополним п4 + 4 до полного квадрата:
п4 + 4п2 + 4 - 4п2 = (п2 + 2)2 - An2 =
= (я2 - In + 2) X (п2 + 2п + 2).
Число п4 + 4 может быть простым только в том случае,
если либо п2 — 2п + 2 = 1, либо п2 + 2п + 2 = 1. Решая эти
уравнения, получим п = 1, п = - 1. При п = ± 1 данное
выражение равно 5, т.е. является простым числом.
Ответ: п = ± 1.
61

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 25.
Найти двузначное число, равное неполному квадрату
суммы его цифр.
Решение.
По условию
10х + у = х2 + ху + у2, или 10х + у + ху = (х + у)2.
Так как х ^ 9 и у < 9, то 10х + у + ху ** 180, а тоща
х + у**13; но при х + у<13, 10х + у + ху < 130, значит,
х + у*? П.
При х + у= 10, х = 9, у= 1.
При х + у = 9, х + у=8,х + у =7, х + у = 6, х + у = 5 —
решений нет.
Прих + у=4, х=1, у = 3.
Ответ: 9Ь, 63; 13.
Задача 26.
Докажите, что из любых ста целых чисел можно выбрать
одно или несколько чисел так, чтобы сумма выбранных чисел
оканчивалась двумя нулями.
Решение.
Обозначим заданные числа через п{, п2, ... , щ00 и
рассмотрим суммы S{ = nv S2 = пх + п2, S3 = пх + п2 + nv ...,
Sm = п{ + п2 + ... + пюо. Допустим, что ни одна из них не
делится на 100. Тогда они при делении на 100 могут дать
только 99 различных остатков: 1, 2, 3,..., 99, поэтому
обязательно найдутся две суммы, которые дают одинаковый
остаток.
Пусть это будет, например, S2i и S&v Тогда
П22 + П2Ъ + П24 + ••• + П&6 + ПЫ = 587 ~ 521
делится на 100.
Задача 27.
Если число — точный квадрат, то сумма его цифр или
делится на 3 или в результате деления на 3 дает в остатке
1. Доказать это.
62

3. ЧИСЛА
Решение,
Любое число можно представить в виде одного из видов:
3?, 3&- 1, 3&+ 1. Квадрат первого выражения делится на
3, квадраты двух других выражений при делении на 3 дают
в остатке 1.
Задача 28.
Доказать, что найдется бесконечно много натуральных
чисел, не представимых в виде суммы кубов трех натуральных
чисел.
Указание. Доказать, что куб любого натурального числа
может быть записан в виде 9&, 9k + 1 или 9k— 1, ще
kEN. Выведите отсюда, что числа вида 9k + 4 и 9k + 5
непредставимы в виде суммы кубов трех натуральных «чисел.
Задача 29.
Докажите, что не существует двух, трех и
четырехзначных натуральных чисел, которые увеличиваются в 2 раза от
перестановки первой цифры в конец числа.
Доказательство.
Предположим обратное. Тогда имеем
abed = 2 deba, т.е.
1000а + 1006 + I0c + d = 2000d + 200а + 206 + 2с.
Отсюда 800а + 806 + 8с = 1999rf, или, иначе, 8 (100а +
+ 106 + с) = 1999Й. Значит, d делится на 8, т.е. d = 8. Тогда
100а + 106 + с = 1999, что невозможно. Аналогично решается
вопрос о трех- и двузначных числах.
Задача 30.
Докажите, что разность между трехзначным числом и
числом, записанным теми же цифрами, но в обратном
порядке, не может быть квадратом натурального числа в
десятичной системе.
Решение.
Пусть трехзначное число будет Шс, а разность d. Тоща
63

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
d = 100а + 10* + с - 100с - 10й - а = 99 {а - с) =
= 9-11 (а - с), так как а- с< 11, то rf^ д2ф
Задача 31.
Может ли сумма квадратов трех последовательных
натуральных чисел равняться сумме кубов двух
последовательных натуральных чисел?
Решение.
Пусть для натуральных чисел к и п выполняется равенство
(* - I)2 + к2 + (к + I)2 = п3 + (п + I)3 или /г3 + (л + I)3 =
= Зк2 + 2. Если число п делится на 3 или дает при делении
на 3 остаток 1, то левая часть этого равенства делится на
Ъп дает остаток 2, так что
Ъ1г + 2 = (Зр - I)3 + 27р3 = 54р3 - 27р2 + 9р - 1,
\е = 18р3 - 9р2 + Зр - 1.
Отсюда следует, что число к2 при делении на 3 дает
остаток 2, чего быть не может. Следовательно,
рассматриваемое равенство невозможно.
Задача 32.
Найти наименьшее число, записываемое одними
единицами, которое делилось бы на число 33...3 (сто троек).
Решение.
Если число,N = 111... 1 делится на 33 ... 3, то N делится
т 100
на 3 и делится на В = 111... 1. Но если А делится на В, то
100
m = I • 100. С другой стороны, так как А делится на 3, то
т должно делиться на 3, т.е. т = Злг* 100. Наименьшее число
с таким свойством будет при т = 300.
Ответ: число состоит из 300 единиц.
Задача 33.
Может ли
а) сумма пяти последовательных натуральных чисел быть
простым числом?
64

3. ЧИСЛА
б) сумма квадратов пяти последовательных натуральных
чисел быть простым числом?
Решение.
а) Обозначим А — сумму пяти последовательных чисел.
Имеем
А = п + (п + 1) + (п + 2) + (п + 3) + (п + 4) =
= 5п + 10 = 5 (п + 2).
Так как по условию п G N, то п + 2GN и
5(п + 2) G N, причем 5 (п + 2) > 5. Следовательно, указанная
сумма кратна 5, но не равна 5, т.е. А — число составное,
б) обозначим В — суму квадратов пяти последовательных
натуральных чисел.
В = (п - 2)2 + {п - I)2 + п2 + (п + I)2 + (п +2)2 =
= 5/г2 + 10 = 5 (п2 + 2).
Так как п Е ЛГ, то 5 (п2 + 2) G ЛГ и 5 (п2 + 2) > 5.
Следовательно, число В кратно 5, но не равно 5, т.е. 5 — число
составное.
Задача 34.
Найдите наименьшее натуральное число, которое после
умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на
3 — кубом натурального числа.
Решение.
Пусть х — наименьшее, натуральное число, такое, что
2х = ?2, Ъх = с3, ще й и с — натуральные числа. Из равенства
2х = й2 следует, что х кратно 2. А так как Ъх = с3, то х кратно
23 = 8 и кратно З2 = 9, т.е. х = 23 • З2 • а6 = 72а6, где а —
любое натуральное число. Наименьшее х получаем при
я=1.
Ответ: 72.
Задача 35.
Сколькими нулями оканчивается число, равное
произведению
1 -2-3 «... -98 -99- 100?
65

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Решение.
Число нулей в произведении равно числу множителей 5,
а оно равно 20 + 4 = 24. Значит, число, полученное в
произведении оканчивается 24 нулями.
Задача 36.
Найдите два целых числа, разность между которыми
минимальна, а их произведение равно 1234567890.
Решение.
Число 1234567890 разлагается на множители следующим
образом:
2хЗхЗх5х 3607 х 3803.
Если 3607 мы умножим на 10, а 3803 на 9, то получим
два составных множителя: 36070 и 34227, дающих в
произведении 1234567890 и обладающих наименьшей разностью.
Задача 37.
Какое число обладает тем свойством, что если его
умножить на 16 2, 3, 4, 5 или 6, то в ответе появятся лишь
те цифры, которые содержатся в записи исходного числа?
Ответ: 142857
Задача 38.
Найти два числа, разность квадратов которых
представляет собой куб, а разность кубов — квадрат?
Каковы два наименьших числа, обладающих этим
свойством?
Решение.
102 - б2 = 100 - 36 = 64 = 43,
1003 - б3 = 1000 - 216 = 784 = 282.
Задача 39.
Найдите наименьшее число, которое при
последовательном делении на 45, 454, 4545 и 45454 дает в остатке
соответственно 4, 45, 454, 4545.
Ответ: наименьшее число, удовлетворяющее
всем условиям равно 35 641 667 749.
66

3. ЧИСЛА
Другие числа получаются прибавлением к данному
любого целого, кратного числу 46 895 573 610.
Задача 40.
Докажите, что если т и т2 + 2 простые, то число
т3 + 2 тоже простое.
Доказательство.
Любое простое число га, отличное от 3, можно представить
в виде Ъп + 1 или в виде Ъп — 1, ще п G Z. В первом случае
можно записать
т2 + 2 =* 9п2 + 6п + 3
во втором случае
т2 + 2 = 9п2 - 6п + 3.
Так как т ^ 2, то в любом случае т2 + 2 больше 3 и
делится на 3, значит, т2 + 2 — составное. Следовательно,
число т2 + 2 может быть простым, только если т = 3. В этом
случае т2 + 2 = 11 — число простое, га3 + 2 = 24 — тоже
простое.
Задача 41.
Найти такое трехзначное число, удвоив которое мы
получим число, выражающее количество цифр, необходимое для
написания всех последовательных целых чисел от 1 до этого
трехзначного числа.
Решение.
Обозначив искомое число через х, составим уравнение:
9 + 90 • 2 + (х - 99) • 3 = 2х.
Ответ: 108.
Задача 42.
Найдите трехзначное число, которое равно квадрату
двузначного и кубу однозначного числа.
Решение.
Выпишем все кубы однозначных чисел*
67

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ КНИГА 1
I3, 23, З3, 43, 53, б3, 73, 83, 93.
Рассмотрим те из них, которые, являясь трехзначными
числами, могут быть равны квадрату двузначных. Очевидно,
что 53 и 73 не могут быть квадратами двузначных чисел (5
и 7 — числа простые).
Разложим на простые множители оставшиеся числа:
63 = 23-33^о2;
8з = (2з)3 = 29 ^ дЗ.
93 = (З2)3 = Зб = (З3)2 = 272 = 729.
Искомое число 729 = 272 = 93.
Ответ: 729.
Задача 43.
Записан первый миллиард натуральных чисел. Какую
цифру наиболее часто использовали для записи?
Решение.
Если представить себе эти записи как девятизначные
числа, то будем иметь:
000000001
000000002
999999999
100000000 ,
т.е. в столбике единиц цифры чередуются последовательно и
их будет одно и то же количество. В столбике десятков
цифры чередуются десятками. Всех значащих цифр поровну,
нулей меньше. Аналогично, что и в последующих столбиках
значащих цифр поровну, а нулей меньше. В крайнем левом
столбике лишь одна цифра — 1. Итак, в записи минимально
нулей, а максимально единиц.
Задача 44.
Найти все цифры а, й, с, d, если aab2 = ccdbdb.
68

3. ЧИСЛА
Решение.
Так как число А = ааЪ и его квадрат оканчиваются
одинаковыми цифрами, то Ъ есть одна из цифр 0, 1, 5, 6. При
Ъ = 0 квадрат числа А оканчивается двумя нулями, то есть
d = 0, то тоща само число А оканчивается двумя нулями,
т.е. а = 0, что неверно.
При Ъ = 5 имеем d = 2, и остаток от деления числа
сс2525 на 8 равен 5, а с другой стороны —
ао52 = (2? + I)2 = 4к (к + 1) + 1 = Ы + 1 (д G АО и мы
придти к противоречию.
При Ь = 6
Л2 = (100а + 10а + б)2 = (110а + б)2 =
= 110? + 36 (kGN)„
так что А2 - 3 = ccd6d3 делится на 11. Но тогда по
соответствующему признаку делимости получаем, что 2d — 9
делится на 11, 2d — 1 делится на 11, откуда d = 6.
При умножении столбиком aal на aal можно заметить,
что при сложении a + а во втором разряде произведения
получается цифра 6, так что а равно либо 3, либо 8. Так
как
3312 = 109561, 8812 = 776161, то а = 8.
Таким образом, а = 8, Ъ = 1, с = 7, <2 = 6.
Задача 45.
При каких натуральных п число п4 + 64ге является
составным?
Решение.
Ясно, что при п четном число п4 + 64л также четно (и
больше 2), т.е. является составным.
Если п = 2к + 1, то, положив а = 8м, будем иметь:
п4 + 64я = п4 + 64а4 = (п2 + 8а2)2 - 16с?п2 =
= (/г2 - 4ап + 8а2) (гг2 + Аап + 8а2).
69

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
При этом /г2 — 4ап + %а = (п — 2d)2 + 4а2 > 1, так что при
любом п рассматриваемое число составное.
Задача 46.
Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных
целых положительных чисел никогда не является квадратом
целого числа.
Решение.
Обозначим пять последовательных целых чисел
следующим образом: (п — 2), (п — 1), п, (п + 1), (п + 2), тоща
(п - 2)2 + (п - I)2 + п2 + (п + I)2 + (л + 2)2 = 5 (п2 + 2). Для
того, чтобы 5 (л2 + 2) было квадратом, необходимо, чтобы
п2 + 2 делилось на 5, т.е. л2 должно оканчиваться на 3 или
8, что невозможно. Следовательно, п2 + 2 не делится на 5.
Задача 47.
Число 531441 надо разбить на такие числа, чтобы первое
из них было 1, второе — в к раз больше, третье — в к раз
больше суммы первых двух, четвертое — в к раз больше
суммы первых трех и т.д. Последнее число — в к раз больше
суммы всех предыдущих. Найти множитель к и число
слагаемых, если известно, что оно не менее четырех.
Решение.
Согласно условию задачи, сумма слагаемых
представляется так:
1 + к + (1 + к) к + (1 + к)2 к + (1 + к)ъ к + ... +
+ (1 + к)*-1 к+(1+ к)п"2 к = 531441 = З12.
ще п — число слагаемых.
Так как последнее слагаемое равно (1 + к)п"2 к, то сумма
всех ему предыдущих (1 + к)п~2; тоща
З12 = (1 + к)п~2 + (1 + к)п'2к =
= (1 + к)п'2 (1 + к) = (1 + к)п'1 или
1 + к = VW = з*-1.
70

3. ЧИСЛА
Но число слагаемых должно быть не меньше четырех.
Проверяем, зная, что —^"Т есть число целое и что делители
12 есть 2, 3, 4, 6, 12:
1) если п - 1 = 3, то /tj = 4; тогда 1 + к = З4, к{ = 80;
2) если п — 1 = 4, то п2 = 5; тогда 1 + & = З3; &2 = 26;
3) если /г — 1 = 6, то пг = 7; тогда 1 + к = З2; Л3 = 8;
4) если п - 1 = 12, то п4 = 13; тогда 1 + А = 3; к4 = 2.
Итак, получаем четыре значения для множителя
к (80, 26, 8, 2) и соответственно им возможное число
слагаемых (4, 5, 7, 13).
Задача 48.
Какие значения может принимать сумма цифр квадрата
грального
Решение.
натурального числа?
Если п делится на 3, то п2 делится на 9, так что сумма
цифр п2 делится на 9. Если п не делится на 3, то л2, а значит
и сумма цифр п2 дают при делении на 3 остаток 1.
Следовательно, сумма цифр числа п имеет вид 9к или Зк + 1.
С другой стороны, при любом к
33...З2 = 11...1 88...89
к кЛ кЛ
и последнее число имеет сумму цифр 9А, а при к > 1
33...322 = 11..Л 22...24
к-\ кЛ к-\
и последнее число имеет сумму цифр к — 1 + 2(к — I) + 4 =
= Зк + 1.
Наконец, для к — 1 сумму цифр 4 имеет квадрат числа 2.
Таким образом, сумма цифр квадрата натурального числа
принимает все значения вида 9к и Зк + 1 (i6N) ине
принимает значений другого вида.
71

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА
Задача 49.
Найти наименьшее простое число, которое может быть
представлено в виде суммы двух, трех, четырех и пяти
простых слагаемых
Решение.
Наименьшая сумма пяти простых слагаемых равна,
очевидно, 10, и поэтому искомое простое число а не меньше И
Однако 11=2 + 9 = 3 + 8 = 5 + 6 = 7 + 4 не может быть
представлено в виде суммы двух простых чисел и следова^
тельно, й^ 11 С другой стороны,
13 = 2 +11 =3 + 3 + 7 = 2 + 2 + 2 + 7 =
=2+2+2+2+5
удовлетворяет условию задачи, и поэтому а = 13.
Если считать, что все слагаемые различны, то искомое
число должно быть не меньше, чем
3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 39
(заметим, что числа 2 среди слагаемых не должно быть, так
как по условию число а нечетно), так что а ^41. Но 41
нельзя представить в виде суммы, например, двух простых
слагаемых.
Следующая по величине сумма пяти простых слагаемых
получается, если заменить 13 — наибольшее из слагаемых —
на 17 (следующее простое число), и эта сумма равна 43.
Подбором убеждаемся, что
43 = 2 + 41 = 7 + 17 + 19 = 2 + 5 + 17 + 19 =
= 3 + 5 + 7 + 11 + 17
Следовательно, искомое число а равно 43.
Задача 50.
Запишите произвольное целое число п с помощью трех
двоек, используя математические знаки и символы.
Решение.
При п > 0 п = - log2 log2 V V...VT,
72
п радикалов

3. ЧИСЛА
при п < 0 п = log2 log2 VV7.
тг радикалов
при п = 0 n = log2 log2 2.
Задача 51.
Число начинается цифрой 4. Если ее переставить с первого
на последнее место, число уменьшится в 4 раза. Найти число.
Решение.
4 О^ОзЯ^--4 = 4^«2^«4---
Перепишем условие:
а1а2ага4...4 = ^о^а^-- : 4-
Итак, о, = 1, т.е.
1 Oj #2 ^з я4 а5 ,.. 4 = 4 1 а^ а^ а4 .. 4.
Но единица не делится на 4, значит, а^ = 0 и
1 0 Оз а4 а5 .. 4 = 4 10 ^ а* <*5 • 4
10 при делении на 4 дает остаток 2 и частное 2, поэтому
ид = 2, потому
102я4я5...4 = 4 • 102а4а5... : 4.
Аналогично, аА = 5, а5 = 6.
Ответ: 410256.
Задача 52.
Решить уравнение
xyz + u = x? + y4 + 2? + f + u.
Решение.
Так как х, у, z,t, и — цифры, причем х > 0, то
^<104х, у4^103у, z^lO2*, ^10*.
И поэтому правая часть уравнения меньше числа
104 х + 103 у + 102 z + 10 + + и = Г^Ё^Ти.
73

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Задача 53.
Доказать, что число, составленное из 3" одинаковых цифр,
делится на Ъп (так числа 111 и 222 делятся на 3).
Решение.
Если число составлено из 3-х одинаковых цифр ааа
(черта поставлена сверху, чтобы не путать число это с
произведением), то сумма его цифр За делится на 3". Число,
составленное из 3n'rl одинаковых цифр, можно представить в
виде
аа...а аа...а аа ... а = аа... а • 1000 ... 01 000...01
3я цифр 3я 3я 3я цифр 3я 3я
Но первый сомножитель делится на Ъп в силу
предположения, а второй сомножитель делится на 3, следовательно,
само число ааа... а делится на 3n+l.
Задача 54.
Найти такое трехзначное число, удвоив которое, мы
получим число, выражающее количество цифр, необходимых
для написания всех последовательных целых чисел от 1 до
этого трехзначного числа.
Решение.
Обозначив искомое число через х, составим уравнение
9 + 90 • 2 + (х - 99) 3 = 2х;
х = 108.
Ответ: 108.
Задача 55.
Доказать, что у числа, являющегося точным квадратом,
произведение двух последних цифр четно.
74

3. ЧИСЛА
Решение.
Пусть число В является точным квадратом числа
А = ап10п + ... + ^10 + а0.
Две последние цифры числа В получаются при умножении
числа OjlO + <2q на себя. Если а^ — четное число, то
утверждение справедливо. Пусть теперь а^ — нечетно, тоща легко
проверить, что у с% вторая цифра всегда четная. Вторая же
цифра числа В получается, если ко второй цифре числа
2о1<2010 добавить вторую цифру числа о2, и, быть может,
полученную суму уменьшить на число, кратное 10,
следовательно, если а0 — нечетно, то вторая цифра числа будет
четным числом.
Задача 56.
Найдите два простых двузначных числа, состоящих из
одних и тех же цифр, если разность между этими числами
равна полному квадрату.
Решение.
1 число: Юх + у, 1 ^ х, у < 9.
2 число: 10j> 4-х, 1 ^ у, х < 9.
Составим уравнение
(Юх + у) - (10у + х) = п2г 9 (х - у) = п2,
откуда х — ;у=1 или х — у = 4. Если х — ;у=1, то одно
двузначное число будет четным и, следовательно, составным,
значит, х- у = 4. Тоща х>у. Если х = 5, то у = 1, то 51 —
составное число. Если х = 7, то у = 3. Тогда одно число 73,
второе 37. Их разность 73 - 37 = 36 = б2. Если х = 9, то
у = 5, то 95 — составное число. Итак, искомые числа 73
и 37.
Задача 57.
Если р и q — простые числа близнецы (р — 1 = q + 1),
то jf + я* кратно р + #. Доказать.
Решение.
Пусть р>q\ р ъ q — нечетные.
75

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
По формуле:
cT-lT = (а - ?) (а7*"1 + сГ~2 Ъ + ... + У""1)
имеем:
? - 1 = (р - 1) (^ + р^-2 + ... + 1) = (р - l)(2ft + 1),
так как рр~1 + //"2 + ... + 1 — число нечетное.
По формуле (для нечетного т)\
сГ + V" = (а + й)^"1 - а""2 * + я*"3 й2 - ... + б""1)
имеем:
<f + 1 = (q + 1)(^"1 - ^"2 + ^"3 - ... + 1) = (д + 1)(2п + 1)-
Здесь кип — целые числа. Значит,
рр + (f = (рр- 1) + (У+ 1) = (р - 1)(2* + 1) + (q + 1)(2м + 1) =
= 2 (р - l)(jfc + n+l) = (p-l + ff+ 1)(* + /г + 1) =
= (Р + ?)(* + л + 1).
Из этого следует, что рр + qq делится на р + q.
Замечание: Сформулированное в задаче предложение
имеет место и для любых нечетных натуральных рж q таких,
что р = q + 2.
Задача 58.
Дано шестизначное число, делящееся на 7. Доказать, что
число, полученное из него перестановкой последней цифры
на место начальной, также делится на 7.
Решение.
Пусть qo^...*^, — данное число, а6п а, а2 ... а6п_{ —
число, полученное перестановкой последней цифры на первое
место.
Заметим, что 106л — 1 делится на 7. Действительно,
103 + 1 = 1001 делится на 7, а 106л - 1 всеща делится при
п > 0 на 103 + 1.
Рассмотрим число а6п(106п - 1), которое делится на 7.
76

3. ЧИСЛА
Тоща
абп (10бП - 1) + <h % — авп = абп <h "2 - Ябп-1°
также делится на 7. Отсюда, очевидно, следует, что
абп <К ^2 • • • <Wi Делится на 7.
Задача 59.
Если п — произвольное число, то существует число,
кратное п, записанное с помощью двоек и нулей. Доказать.
Решение.
При делении любого целого числа на п остаток либо
равен нулю, либо меньше п.
Если среди и различных чисел, написанных только
двойками: 2, 22, 222,..., 222... 2 найдется число, кратное я, тогда
остается приписать справа один или несколько нулей и
положение доказано. Если же среди этих чисел не будет числа,
кратного я, то по крайней мере два числа при делении на
п дадут одинаковые остатки, ибо остатки будут 1, 2,..., п - 1,
чисел п. Разность этих двух чисел кратна п и состоит из
двоек и нулей.
Задача 60.
Вычеркнуть 100 цифр из числа:
123456789101112...9899100
так, чтобы полученное число было наибольшим.
Решение.
При вычеркивании цифр надо учитывать, что цифры
нельзя переставлять и что наибольшее число будет
получаться, если в старшем разряде будет 9 единиц.
Вычеркиваем первые 8 цифр, затем от 10 до 18 и единицу
у числа 19, то есть еще 19 цифр и т.д. до 4 у числа 49.
Итого вычеркнуто цифр: 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84.
Вычеркиваем далее 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, и цифры 5 у 57 и
58.
Остается число:
9999978596061...9899100.
77

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 61.
Найти положительное четырехзначное число, кратное 7
и представляющее собой сумму куба и квадрата некоторого
целого числа.
Решение.
Из условия, что х = у2 + у и х является четырехзначным
числом, следует, что
1000 ^ у2 + у5 ^ 10000,
юоо ^ y*(i + у) < юооо.
При у = 9 х = 810, при у = 10 х = 1100.
С увеличением у в 2 раза х увеличивается примерно в
8 раз.
Рассмотрим:
у = 20; х = 8400;
у =21; х = 9702;
у =22; х= 11132.
Поэтому 9<у<22.
Так как х = / (у + 1) и это число должно быть кратно
7, то хоть один из двух множителей у2 и (у + 1) должен быть
кратен 7.
Из значений у, удовлетворяющих этому условию,
остаются 13, 14, 20 и 21.
Ответ: 132 (13 + 1) = 2366; 142 (14 + 1) = 2940;
202 21 = 8400; 212 22 = 9702.
Задача 62.
Какое из двух чисел больше:
19931993 ¦ 199419941994 или 19941994 • 199319931993?
Решение.
Обозначив числа 1993 и 1994 соответственно через а и
й, заметим, что данные числа равны
а • 10001 • Ъ • 10001001 и Ъ • 10001 • а • 100010001,
т.е. равны между собой.
78

3. ЧИСЛА
Задача 63.
Сколько цифр имеет число 2100?
Решение.
2100 = х.
Тогда lg х = 100 lg 2 = 100 0,3010 = 30,1
Число имеет 31 цифру.
Задача 64.
Доказать истинность числового равенства
3-5- 17 «... • (1 + 22") = 22"+1 - 1.
Решение.
Пусть Р = (1 + 2)(1 + 22)(1 + 22') • ... • (1 + 22").
Умножив обе части на (1 - 2), получим
- Р = (1 - 22)(1 + 22)(1 + 22') • ... • (1 + 22") =
= (1 - 22 )(1 + 22 ) • ... • (1 + 22) = 1 - 22 .
Следовательно, Р = 2 - 1.
Задача 65.
Найти три последние цифры разности
1970 - 1870.
Решение.
1870 = (20 - 2)70 = 1000М + 35 • 69 • 202 • 26S -
- 70-20 • 269+ 270= 1000М + 69 • 1400 • 268 - 1400 • 16" • 2 +
+ (210)7 = 1000М, - 800 + (1000 + 24)7 = 1000М2 + 200 +
+ 247 = 1000М2 + 200 + (500 + 76)3 • 24 = 1000М3 +
+ 200 + 763 • 24 = 1000М4 + 624.
Аналогично, 1970 = (20 - I)70 = 1000ЛГ + 601.
Следовательно, 1970 - 1870 = 1000Г + 977.
79

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Задача 66.
Могут ли числа хЧуи^ + х, одновременно быть
точными квадратами (х, у Е N)!
Решение,
Если х<у> то f<f + x<f + у< (у + 1), так что число
у2 + х находится между двумя точными квадратами.
Аналогично получаем, что при х > у число х + у не может быть
точным квадратом.
Задача 67.
Девятизначные числа, записанные цифрам 1, 2, 3 разбили
на три множества, причем числа, отличающиеся во всех
разрядах, попали в разные множества, а числа 121322313,
222333111, 333111222 попали в множества А, В, С. В какое
множество попало число 131322313?
Решение.
Числа d = 313111222 и а = 121322313 отличаются во всех
разрядах, так что d ? А. Точно так же получаем, что
d ф. В, и поэтому dec. Аналогично, число е = 212233131 не
принадлежит ни А, ни С, так что е?5, Данное число
/= 131322313 отличается во всех разрядах и от d, и от е, и
поэтому / G А.
Задача 68.
Какое наибольшее и наименьшее значение принимает
отношение двузначного числа к сумме его цифр?
Решение.
Пусть х, у — соответственно первая и вторая цифры
двузначного числа. Так как х Ф 0, то рассматриваемое отно-
. 10* +у л , 9х , , 9
шение t = ;—- = I Н ;— = 1 Н .
х+у х+у 1+у
X
Отсюда видно, что t тем больше, чем меньше отношение
—, и поэтому наибольшее значение t = 10 получается при
80

3. ЧИСЛА
у = 0 и любом х, а наименьшее t = 1,9 — при — = 9, т.е. при
*=1, у = 9.
Задача 69.
Дано 1989 положительных чисел. Известно, что
произведение любых 22 из них больше 1. Докажите, что
произведение всех данных чисел больше 1.
Решение.
Разобьем все числа подряд на группы по 22 числа.
Получим 90 групп. Произведение всех чисел в каждой группе
больше единицы. Кроме того, у нас осталось еще 9 чисел.
Выберем в первых 9 группах по одному наибольшему числу.
Каждое выбранное число больше единицы. Оставшиеся
первоначально после объединения 9 чисел распределим в каждую
из групп по одному. Так что в них вновь станет по 22 числа.
Значит, произведение чисел в каждой группе больше 1. Но
оно равно произведению всех данных 1989 чисел.
Следовательно, произведение больше единицы.
Задача 70.
Найдите двузначное число, которое равно удвоенному
произведению его цифр.
Решение.
Юх + у = 2ху.
Отсюда у — четно, у > 2.
Вычтем из обеих частей уравнения 4х, получим
2х (у - 2) = 6х + у. Здесь у - 2 > 0, значит, у ^ 4. Вычтем еще
по 4х, получим 2х + у = 2х (у — 4). Здесь 2х + у > 0, значит,
у-4>0, то есть у > 6. Если у = 6, то Юх + 6 = 2-6-х,
х = 3. Тоща искомое число 36. Если у = 8, то Юх + у = 16х
откуда 6х = 8, что невозможно.
Задача 71.
Найдите двузначное число, равное сумме чисел его
десятков и квадрата числа единиц.
Решение.
Юх + у = х + у>; 9* = у(У-1).
81

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Значит, х — четно. Отсюда ясно, что х = 8, у = 9, то
есть это число 89.
Задача 72.
Найти три последние цифры числа 198 .
Решение.
Имеем:
50 • 4Q
1950 = (20 - I)50 = 1000А = 2 • 202 + 20 • 50 + 1,
а, следовательно, 1950 при делении на 1000 дает остаток 1.
С другой стороны,
87 = 221 = 2 • 220 = 2 • 1024 • 1024 = 50В + 2 • 24 • 24 =
= 50С + 2,
и поэтому при делении на 1000 данное число дает тот же
остаток, что и 192, то есть искомые цифры составляют число
361.
Задача 73.
Если между каждыми двумя цифрами числа 1331 вписать
к нулей, то получим кубы целых чисел. Доказать это.
Решение.
Легко увидеть, что 1331 = И3 = (10 + I)3, 1030301 =
= 1013 = (100 + I)3 = (102 + I)3. Вписав к нулей, получаем
(10*+1 + I)3
Задача 74.
Все цифры некоторого четырехзначного числа, которое
есть точным квадратом, можно уменьшить на одно и то же
число так, что новое четырехзначное число тоже будет точным
квадратом. Найти все такие числа.
Решение.
Пусть данное число равняется а2. Тогда а< 100. Обозначим
через х число, на которое уменьшается каждая цифра данного
числа. Имеем с? - 1111л = Ь2. Отсюда ct - b2 = llllx или
82

3. ЧИСЛА
(а + b)(a — b) = 101 • 11л;. Значения а и Ъ должны
удовлетворять равенствам а + Ъ = 101 и а — 6 = Их. Числа а и й разной
четности, поэтому х — нечетное число. Если х=1, то
я = 56 и b = 45, если д: = 3, то а = 67 и 6 = 34. Когда * > 3,
то число Ь2 не будет четырехзначным. Значит, искомые числа
3136 и 4489.
Задача 75.
Дано пятизначное число 25762. Какую цифру и на каком
месте надо записать, чтобы получить число, которое делится
на 36?
Решение.
Число делится на 36 тогда, когда оно делится на 4 и 9.
Искомое шестизначное число поделится на 4, если вторая с
конца цифра у него будет нечетной или последняя цифра
кратна 4. Если это число поделится на 9, надо дописать
цифру 5. Ее можно дописать только на место десятков. Значит,
искомое число 257652.
Задача 77.
Доказать, что любое рациональное число может быть
представлено в виде хг + у* + z3, где х, у, z — рациональные
числа.
Доказательство.
Доказательство впервые было получено в 1825 году:
«Выглядит оно потрясающе» — для рационального а
непосредственно пишется его представление в виде суммы трех
кубов рациональных чисел:
Задача 78. м
Доказать, что сумма всех дробей с числителем 1 и
знаменателями 2, 3...4, не может быть целым числом ни при
каком п.
83

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Указание. Рассмотреть наименьшее из чисел вида —,
I*
содержащиеся в сумме »-+... Л— , и доказать, что при при-
ведении к общему знаменателю дополнительные множители
остальных чисел будут четными.
Задача 78.
Каких чисел больше среди первых 10 000 000 целых
положительных чисел: тех, в записи которых есть 1, или тех,
в записи которых ее нет?
Решение.
Семицифровых чисел, в записи которых нет цифры 1,
97 - 1. Всех семицифровых чисел 108, поэтому чисел с цифрой
1 будет 10*-(97-1). Установим, какое из чисел 108-(97-1)
или 97 — 1 больше.
97 = 729 • 729 • 9 = 4782969,
10000000 - 4782969 = 5217032.
Следовательно, семицифровых чисел, в записи которых
есть цифра 1, больше, чем чисел без этой цифры. Характерно,
что для шестицифровых чисел такое утверждение будет
неправильным.
Задача 79.
Найти трехзначное число, являющееся точным квадратом
JV2, и такое, чтобы произведение его цифр было равно N— 1.
Решение.
По условию задачи 100 ^ N2 ^ 1000, следовательно, пусть
W*zN*z 31.
7V2 = 100х+ Wy + z, (1)
xyz = N-l; (2)
z Ф 0, так как произведение xyz в этом случае равно нулю.
z — нечетное число, так как в противном случае четно
N [из (1) ], а N — 1, равное xyz, нечетно, что невозможно.
Итак, z — нечетно, следовательно, N — нечетно, N — 1 —
четно. Кроме того, z может быть равным только 1,5 или 9.
84

3. ЧИСЛА
Пользуясь таблицей квадратов, выбираем трехзначные
числа, оканчивающиеся на 1, 5 или 9, произведение цифр
которых меньше 31: 121, 225, 361, 441.
Второму условию удовлетворяет только 361.
Задача 80.
Найти все простые р, для которых число /J2 + 14 также
будет простым числом.
Решение.
Как и в предыдущих задачах, имеем:
р2 + 14 = (3* ± I)2 + 14 = З*2 ± Ьк + 15 = 3 (3/г ± 2к + 5).
Поэтому для любого к выражение ((3& ± I)2 + 14) делится
на 3.
Поэтому простые числа, которые можно представить как
Ък ± 1 не удовлетворяют условию задачи. Итак: р = 3, откуда
З2 + 14 = 23 — простое число.
Задача 81.
Доказать, что целое число N5 оканчивается той же
цифрой, что и N
Указание. Пусть число N = ... + 10а + й. Последняя
цифра числа N5 совпадает с последней цифрой числа Ъ5. Подставив
вместо Ъ 0, 1, ... , 9, видим, что (Ь5 — Ъ): 10.
Задача 82.
Доказать, что бесконечная непериодичная десятичная
дробь 0,123456789101112..., которая получается дописыванием
последующих натуральных чисел, иррациональное число.
Решение.
Допустим, что это так, и в этом числе найдется период,
который содержит к чисел. Соответственно закону создания
бесконечной дроби эти цифры разные. В результате
последовательного выписывания мы выпишем число, в котором к
нулей или к других одинаковых цифр. Ясно, что
последовательность одинаковых цифр, которую мы получим, будет
отличаться от периода, а это противоречит нашему
допущению. Значит, данное число иррациональное.
85

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 83.
Выражение —я— есть целым числом при любом
натуральном а. Доказать.
Решение.
Так как сумма цифр числа 10а равняется 1, то сумма
цифр числителя 9, а такое число делится на 9.
Задача 84.
Найти все простые числа вида 1 + пп меньше, чем 1019
(п — натуральное число).
Решение.
Если п = 1, то 1 + пп = 2 — простое число; если п = 2,
то 1 + пп = 5 — простое число. Так как 1616 > 1019 то надо
рассмотреть только п < 16. Если п — нечетное число, отличное
от 1, то сумма 1 + пп — четное число, которое не может
быть простым. При п = 6 имеем сумму 6б + 1, которую можно
разложить на множители, как сумму третьих степеней
б6 + 1 = 363 + 1. Так же суммы 88 + 1 = г24 + 1 = 2563 + 1;
104 1 = 1005 + 1; 1212 + 1 = (124)3 + 1; 1414 + 1 = 1977 + 1
тоже раскладываются на множители. Значит, только при
л = 1, /г = 2ип = 4 получаем простые числа.
Задача 85.
Доказать, что существует полный квадрат, начинающийся
с любой комбинации цифр.
Доказательство.
Пусть abc.f — данный в условии задачи набор цифр.
Рассмотрим два числа:
Nx = abc.f 00...0 и N2 = abc.f 99 ...9.
k Ък к Ък
Пусть л2 — наибольший полный квадрат, не
превосходящий Nv Заметим, что п < 102*. Тоща
N{ < (п + 1)2= пЧ 2и +1<N1+ 2-10гк+ К JVj + 103*- 1 - Nr
86

3. ЧИСЛА
Поэтому число (п + I)2 удовлетворяет условиям задачи.
Подумайте сами, справедливо ли аналогичное утверждение
для кубов, четвертых степеней и т.д.
Задача 86.
Доказать, что V2~+ V3~+ у/Т — число иррациональное.
Доказательство.
Проведем доказательство от противного. Пусть число
VT+ VJ~+ VT ¦— рациональное, т.е. VT+ VT+ VT= — (р и
q — целые). Тогда уГГ+ V3~= — - у/Т.
Возведем обе части этого равенства в квадрат:
5 + 2VW+2 = ?+3-^VT, т.е.
Q Iq2 Я{
Снова возводя в квадрат, получим:
10
О2 Q ф
Отсюда
т.е. v^3U~ — рациональное число. Но это не так: число V30
иррационально. Полученное противоречие доказывает
иррациональность числа VT+ V3~+ VT.
Задача 87.
Доказать, что произведение двух последних цифр
квадрата целого числа — четное число.
Доказательство.
Правда, (10* + у)2 = lOOx2 + 20ху + у.
Сумма ЮОх2 + 20ху имеет четное число десятков.
Проверим, может ли не дать у2 число, которое заканчивается
87

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
двумя нечетными цифрами. Это невозможно, потому что
12 = 1, 32 = 9, 52 = 25, 72 = 49, 92 = 81.
Задача 88.
Найти наименьшее натуральное число, которое
заканчивается цифрой 6 и возрастает в 4 раза, если его последнюю
цифру поставить на первое место.
Решение.
Так как последняя цифра данного числа 6, то последней
цифрой числа, большего в 4 раза от данного будет 4. Цифра
стоящая перед ней будет последней цифрой числа 4x4 + 2,
то есть 8. Перед цифрой 8 стоит 3 или 8 х 4 + 1 = 33.
Следующая цифра 5, пред ней 1 и, наконец, последняя цифра
6. Значит, искомое число 153846.
Задача 89.
Доказать, что если к 1 прибавить произведение четырех
последовательных чисел, то получим полный квадрат
Решение.
1 + п (п - 1)(л + 1)(л + 2) = 1 + (п2 - l)(n2 + In) =
= 1 + п4 + 2пъ - п2 - 2тг = п4 + п2 + 1 + 2/г3 - 2пъ -
-2п = (п2 + п- I)2.
Задача 90.
Доказать, что не существует отличных от 0 целых чисел,
которое бы удваивались от переноса первой цифры в конец
числа.
Доказательство.
Если такое число существует, то должна быть четной
цифра единиц числа, в два раза больше данного. Поэтому
эта цифра не может быть больше 5, и первая цифра в искомом
числе или 2, или 4. Пусть рассматриваемое число имеет п
цифр, первая цифра из которых х. Это число можно
представить так: 10п_1х + у, где у — (п — 1) — цифровое число.
После перестановки цифры х в конец числа получаем:
10y + x = 2(10rt"1x + y),
88

3. ЧИСЛА
отсюда 8у = х (2 10п~"' — 1). Правая часть равенства ни при
каком целом п и х не делится на 8, поэтому числа, про
которые говорится в условии задачи, не существует.
Задача 91.
Три простых числа, больших, чем 10, образуют
арифметическую прогрессию. Доказать, что разность прогрессии
делится на 6.
Доказательство.
Все данные простые числа нечетные. Поэтому их разность
делится на 2. Покажем, что она делится и на 3. Пусть данные
числа будут а; а + d; а Л- 2d. Ни одно из них не делится
на 3, поэтому каждое при делении на 3 даст в остатке или
1, или 2. Отсюда следует, что хотя бы два из чисел при
делении на 3 имеют одинаковый остаток. Разность этих чисел,
которая равняется d или 2d, делится на 3. Значит, разность
прогрессии*, которая делится и на 2, и на 3, делится и на 6.
Задача 92.
Доказать, что нет целых чисел, которые от перестановки
начальной и конечной цифры увеличивались бы в 5, в 6 или
в 8 раз.
Доказательство.
Пусть #р а2,..., ак — данное число, ак а^ ... ак_{ а1 — число,
полученное из него перестановкой первой и последней цифры.
Для выполнения требований задачи необходимо, чтобы
<2j = 1, так как при Oj^2a^... ак_{ аЛ не может быть больше
в 5, тем более в 6 или в 8 раз. Таким образом, а1 = 1.
Но никакое число при умножении на 5, 6 или 8 не может
оканчиваться на 1.
Задача 93.
Доказать, что если между цифрами числа 1331 написать
по равному количеству нулей, то получится точный куб.
Доказательство.
Вставим между цифрами числа 1331 по п нулей. Получим
число N = 1000 ... 0300 ... 0300 ... 01. Это число имеет
3/г + 4 цифры и может быть записано так:
N = 103л+3 + 102л+2 • 3 + 10л+1 • 3 + 1 = (10л+1 + I)3.
89

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 94.
Доказать, что число вида
(10* + 10е-1 + ... + 1) • (КГ* + 5) + 1
есть точный квадрат.
Доказательство.
Выражение в первой скобке есть геометрическая
прогрессия с первым членом 1 и знаменателем 10.
(10я + Ю*"1 + ... + 1) ¦ (10ге+1 + 5) + 1 =
-ixLg—i. (КГ1 + 5) + 1 = — ^~^kJ^ =
(iore+1 + 2)2 (кг+' + г4 2
з2
Задача 95.
9
Найти последние две цифры числа 7
Решение.
9 9
99 = (8 + I)9 = 8/п + 1, где m — целое число.
Отсюда:
9
9
79 = 78m+i = CJ*\2m . 7 = 24012m • 7 =
= (2400 + l)2w • 7 = (100/1 + 1) • 7 = 100 • In + 7,
где /г — целое число.
Из этого видно, что две последние цифры данного числа
образуют совокупность 07.
Задача 96.
При каких л: е Z выражение ¦- -тр является целым
числом?
Решение.
Обозначим рассматриваемую дробь через у> тогда
90

3. ЧИСЛА
_ 10s + 15 пл_ 13
5х+1 5х + 1'
и, следовательно, 5у может быть целым числом только в
случае, когда 13 делится на 5х + 1, т.е. когда 5х+ 1 е {1
- 1, 13, - 13}. Проверив все эти случаи, получаем, что
5yE:Z только при х = 0, поэтому решением задачи является
число х = 0.
Задача 97.
При каких целых х выражение V х — х + 1 представляет
собой целое число?
Решение.
Данное выражение является целым числом, если
х? - х + 1 = /г2,
ще я — натуральное число. Но тоща квадраты натуральных
чисел
4Х2 - 4х + 1 = (2х - I)2, 4^ - 4х + 4 = (2я)2
отличаются на 3, и, следовательно, первый из них равен 1.
Отсюда х = 0 или х = 1.
Задача 98.
Доказать, что число
999...9 7 000... 0 2 999...9
П-1 71-1 71
есть третья степень натурального числа.
Решение.
Данное число N может быть представлено так:
N = 9 (103*-1 + 103ге~2 + ... + lO2^1) + 7 • 102* +
+ 2 • 10" + 9 (10"-1 + 10п'2 + ... + 1).
Но 9 (10я л + ... + 102"+1) = 10 (103r'~l + . + Ю2пМ) -
- (103"-1 + ... + 102"+1) = 103л - 102n+1,
91

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
9 (КГ"1 + ... + 1) = 10 (КГ-1 + ... + 1) - (КГ"1 + ... + 1) =
= 10* — 1.
Следовательно,
N = 103* - 102*+l + 7 • 102* + 2 • 10* + 10* - 1 =
= 103* - 3 • 102* + 3 • 10* - 1 = (10* - l)3.
Задача 99.
Все целые числа, начиная с 1, выписаны подряд. Какая
цифра стоит на 1975 месте?
Решение.
Однозначные числа занимают 9 мест. 90 двузначных
чисел — 180 мест. Остается 1975 - 189 = 1786 мест. 1785
мест занимают 595 трехзначных чисел, последним из которых
будет число 694. Значит, на 1975 месте будет стоять цифра 6.
Задача 100.
Конечно или бесконечно множество чисел, являющихся
точными квадратами, имеющими сумму цифр 9, и не
оканчивающихся цифрой 0?
Решение.
Поскольку число (10* + 2)2 = 102rt + 4 • 10* + 4 имеет
сумму цифр 9, то рассматриваемое множество бесконечно.
Задача 101.
Доказать, что число 0,101001000 ... 1 000 ...01...
иррационально. N—^—'
Доказательство»
Для доказательства нужно установить, что данная
десятичная дробь не является периодической. Действительно,
между м-й единицей и (п + 1)-й единицей стоит п нулей, чего
не может быть в периодической дроби.
92

3. ЧИСЛА
Задача 102.
Доказать, что sin Г — число иррациональное.
Доказательство*
Предположим противное: sin 1° = ---, m, п — целое. Тогда
cos21° = 1 - sin2 1° и cos21° - sin21° = cos 2°
тоже числа рациональные. Аналогично получим, что
cos 4° = 2 cos2 2° - 1, cos 8° = 2 cos2 4° - 1,
cos 16° = 2 cos2 8° - 1
тоже рациональные. Далее
^= cos 30° = cos (32° - 2°) = cos 32° cos 2° +
= sin 32° sin 2° = (2 cos2 16° - 1) cos 2° + 24 cos 16° x
x cos 8° cos 4° cos 2° sin 2°.
Получили противоречие, так как слева стоит
иррациональное число, а справа — рациональное.
Задача 103.
Найти четырехзначное число, равное квадрату числа,
выражаемого его двумя последними цифрами.
Решение.
Согласно условию задачи имеем
аШ = (сЗ)2.
Отсюда
100 (10а + Ъ) + (Юс + d) = (Юс + df или
100 (10а + Ъ) = (10с + d) (Юс + d - 1).
Положим Юс + d = к. Очевидно, с ^ 0, поэтому к —
двузначное число. Следовательно,
100 (10а + Ъ) = к (к - 1).
Произведение к (к - 1) делится на 100, поэтому одно из
чисел к и к — 1 должно делиться на 4, а второе — на 25.
93

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ КНИГА 1
Легко убедиться, что к = 25, к — 1 = 24 или же к = 76,
* - 1 = 75.
В первом случае имеем 10а + й = 6 и а = О, что
противоречит условию задачи. Во втором случае 10а + Ъ = 19 • 3
и а = 5, й = 7. Тогда 76 = Юс + d и с = 7, о? = 6.
Итак, искомое число равно 5776.
Задача 104.
Доказать, что если числа а,Ь, с, Vo"+ VF~+ Vc~
рациональны, то числа уГа, ЛГ, Vc" тоже рациональны.
Решение.
Будем считать, что числа а, й, с попарно различны. Если
г = Va + VF+ Vc~e Q, то ^ g Q, 5 = \^"+ V&T+ Vo^e Q,
S2eQ, t = bfac~+aVbc~+ cJaFE:Q, u= t- bS =(a-b)y[W+
+ (c - b) VoFe Q, it e Q, откуда следует, что "foe's Q и
аналогично VoFe Q. Следовательно, a + VaF+ Jac~E Q,
fa~(yTa~+ VF+ Vc) G Q, Va~G Q, что и требовалось доказать.
Задача 105.
Сколько точных квадратов можно составить из цифр 3,
4, 5, 6, употребляя каждую только один раз?
Решение.
Точный квадрат не может заканчиваться на цифру 3, а
в данном случае не может заканчиваться и цифрой 5 — в
противном случае его предпоследняя цифра была бы 2, а
этой цифры в числе нет.
Следовательно, этот квадрат оканчивается цифрой 4 или
6 и поэтому является четным числом. Поэтому и число,
которое возводили в квадрат, является четным, а стало быть,
его квадрат делится на 4. Значит, две последние цифры
точного квадрата составляют число, делящееся на 4, т.е. 36,
56 или 64.
Остается рассмотреть числа
4536, 5436, 3456, 4356, 3564, 5364.
Для их проверки заметим, что все они делятся и на 4,
и на 9, поэтому разделив их на 36, получим числа
126, 151, 96, 121, 99, 153.
94

3. ЧИСЛА
Из этих чисел точным квадратом является только 121 и
таким образом,
4356 = 36 • 121 = 662
Задача 106.
Найти хотя бы два иррациональных числа а и $ таких,
что о? — число рациональное.
Решение.
Искомыми числам будут, например, а = VT и
/J = log^ 3. Число VT* является известным иррациональным
числом. Пусть log^ = —, тогда (VT)n = 3, откуда 2т = 32п
что не вьшолняется ни при каких целых тч*0 и п * О,
поэтому и число log^S — иррациональное.
Число же (V2)1о8^ = 3 — рациональное.
95

4. ОЛИМПИАДНЫЕ ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
Задача 1.
Пешеход идет через пункты Л, В, С, D, причем
АВ = 12, ВС = 21, CD = 6 км, скорость пешехода v= 3 км/ч.
Найти последний момент времени, когда сумма расстояний
от всех пунктов до пешехода будет минимальной.
Решение.
1) Пусть пешеход находится на промежутке АВ и
расстояние от пешехода до А: АХ = х. Тогда сумма расстояний
от пешехода до всех пунктов равна
Sx = х + (АВ - х) + (АС - х) + (AD - х) =
= х + 12 - я; + 33 - х + 39 - х = 84 - 2х.
Очевидно, что расстояние S{ минимально при х = 12, т.е.
Smin| = 84-24 = 60 (км).
2) Пусть пешеход находится на промежутке ВС и
Х{А = х. Тогда S2 = (х - АВ) + х + (АС - х) + (AD - х) =
= х - 12 + х + 33 - х + 39 - х = 60 км.
Очевидно, что S2 минимально при любых х, т.е.
Srai„2 = 60 (км)
3) Пусть пешеход находится на промежутке CD и
ХгА = х. Тогда 53 = х + (х - АВ) + (х - ЛС) + (AD - х) =
= х + х-12 + х-33 + 39-х = 2х-6.
Очевидно, что S3 = min при наименьшем х (на
промежутке CD), т.е. пешеход находится в пункте С и
АХ" = АС = 33. В этом случае S3 минимально, т.е.
Smin3 = 66 ~ 6 = 60 <*м)-
4) Сравнивая Smin на всех трех промежутках получим,
что наименьшая сумма iSmin на промежутке ВС. Тогда
последний момент времени, когда Smin будет в точке С и
* АС 11
t = — = 11 часов.
v
Ответ: 11 (часов).
96

4. ОЛИМПИАДНЫЕ ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
Задача 2.
Несколько факультетов решили провести соревнование,
поделив затраты поровну. Перед соревнованиями оказалось,
что 4 факультета не будут участвовать. Поэтому остальным
факультетам пришлось дополнительно внести по 4 тыс.
рублей. Найти общий объем затрат S тыс. рублей, если
20 ^ S ^ 30.
Решение.
S
п
+ 4 S—
+ 4_/г-4'
sn — количество факультетов вначале;
^П7П-+^ = 4, n<=N, п>4.
п (п - 4)
4п (п - 4) _
S ц = П (П - 4),
20 «? п (п - 4) *? 30;
V - An - 20 > 0,
п2 - 4/i - 30 «? 0, о ¦
[nSN
'2 + V4 + 20 *? п *? 2 + V4 + 30,
п = 7 * S = 7 (7 - 4) = 21.
Ответ: 5 = 21 тыс
Задача 3.
В бассейн проведены 4 трубы. Когда открыты первая,
вторая и третья трубы, бассейн заполняется за 12 минут;
коща открыты 2, 3 и 4 трубы — за 15 минут; коща открыты
только 1 и 4 трубы — за 20 минут. За какое время наполняется
бассейн, если открыты все 4 трубы?
Решение.
Пусть xv х2, #3, х4 — время (в минутах), необходимое
для наполнения бассейна, одной трубой соответственно:
первой, второй, третьей и четвертой. Можно составить систему:
97

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
1 + i. + i. e JLt
Л| X* X* Lju
i_ + JL + JL = JL,
2 "^^ 4 -U
± +J-.-L
xl x4 20'
Сложим левые и правые части уравнений.
1
1
1\
1
5'
+ ± + ±-
+ — =
10'
следовательно, искомое время — 10 минут.
Ответ: 10 минут.
Задача 4.
В двух одинаковых сосудах объемом по 30 л каждый
содержится всего 30 л спирта. Первый сосуд доливают доверху
водой и полученной смесью дополняют второй сосуд, затем
из второго сосуда отливают в первый 12 л новой смеси.
Сколько спирта было первоначально в каждом сосуде, если
во втором сосуде оказалось на 2 л спирта меньше, чем в
первом?
Решение.
Если в первом сосуде было х л спирта, то во втором
(30 — х) л спирта. После доливания первого сосуда водой в
X
1 л смеси стало
30
л спирта
и I1 - Щл
воды. После
переливания из первого сосуда х л смеси во втором стало
30-х+зо*
л спирта и
1
в 1 л содержится -^ 30 - х +
х
1 -
¦+ Ь?
спир-
X
30 Г" ~ ' 30J " А 30
та. После того, как 12 л новой смеси было отлито'в первый
1 — ^тг х л воды. В новой смеси
(Щл
98

4. ОЛИМПИАДНЫЕ ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
сосуд, в нем оказалось 12 U "" од + Ьзл ] + ал (30 - х) л
спирта, а во втором сосуде 18 II — ой + (^"1 |л спирта.
По условию
18[1~й+{Щ )+2-(1-м+(м) )+x~w
Ответ: 20 л и 10 л.
Задача 5.
Можно ли из 36 спичек, не ломая их, сложить
прямоугольный треугольник?
Решение.
В прямоугольном треугольнике с2 = с? + Ь2. В египетском
треугольнике стороны равны 5, 4 и 3. Их сумма равна 12.
Увеличим каждую сторону в 3 раза, получим прямоугольный
треугольник со сторонами с = 15, а = 12, Ъ = 9. Взяв
соответствующее число спичек, сложим прямоугольный
треугольник.
Задача 6.
На покупку магнитофона ученик заработал в каникулы
52 р. Остальные деньги ему дали два старших брата и отец.
Причем отец дал 50% всех собранных денег без его денег,
первый брат дал 33 ^ % всех собранных денег без его денег,
и второй брат дал 25% всех собранных без его денег. Сколько
денег дал каждый из них?
Решение.
Пусть первый брат дал х рублей, второй дал у рублей,
а отец дал z рублей. Тоща из условия задачи имеем систему
уравнений:
99

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
_ (52 + y + z) 1
Г " 100 М3* го r^ ^
(52 + * + z).25 Jc = 52 +у + z,
К = ТОП ' ° 4у = 52 + х + z,
(52 + J + у) - 50 l2z = 52 + y + x.
[z " 100
Решая эту систему, получим: х = 60, у = 48, z = 80.
Задача 7.
Для игры школьники разбились на 2 партии: «серьезных»,
отвечающих правильно на любой вопрос, и «шутников»,
дающих на любой вопрос только неправильный ответ. Учитель
спросил Иванова, серьезный ли он человек или шутник. Не
расслышав ответа Иванова, он спросил у Панькина и Демина:
«Что ответил мне Иванов». Панькин сказал: «Иванов ответил,
что он серьезный человек», а Демин сказал: «Иванов ответил,
что он шутник». Кем были Панькин и Демин?
Решение.
Если Иванов серьезный человек, то он так и сказал о
себе, что он серьезный человек. Если он шутник, то он
должен был сказать о себе не то, что было в действительности,
т.е. и в этом случае он мог сказать только одно, что он
серьезный человек. Значит, Демин сказал не то, что сказал
Иванов. Следовательно, Демин шутник, а Панькин серьезный
человек.
Задача 8.
Узнать, через сколько минут после того, как часы
показывали 9 часов, минутная стрелка догонит часовую.
Решение.
Минутной стрелке, чтобы догнать часовую, надо пройти
на 45 минутных делений больше часовой стрелки. Так как
часовая стрелка проходит одно деление за 12 минут, то она
1
за каждую минуту проходит -рг деления и, следовательно,
11
минутная стрелка нагоняет ее за каждую минуту на -у?
делений. На 45 делений потребуется:
100

4. ОЛИМПИАДНЫЕ ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
= 49 -ту- минут.
Задача 9.
Два одинаковых катера, имеюпще одинаковую скорость
в стоячей воде, проходят по двум рекам одинаковое расстояние
по течению и возвращаются обратно. В какой реке на эту
поездку потребуется больше времени: в реке с быстрым или
медленным течением?
Решение.
Путь х км/ч — собственная скорость катера; у км/ч и
z км/ч — скорости течений рек, у > z, расстояние, пройденное
каждым катером в одном направлении, S км; время движения,
затраченное на весь путь в реке с быстрым течением tt часов,
2Sx
Из сравнения полученных дробей приходим к выводу,
что t{>t2.
Задача 10.
Тысяча точек являются вершинам выпуклого тысячеу-
гольника, внутри которого расположено 500 точек так, что
никакие три из них не лежат на одной прямой. Многоугольник
разрезается на треугольники, вершинам которых являются
только данные 1500 точек. Сколько получится треугольников?
Решение.
Подсчитаем сумму углов всех полученных треугольников.
Легко видеть, что она равна сумме всех внутренних углов
тысячеугольника 4d • 500, т.е. равна
2d - 998 + 2d • 1000 = 1998 • 2d.
Отсюда число полученных треугольников равно:
1998 • 2d
2d = 1998*
101

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
i
Задача 11.
В каком году родились люди, которым в 1958 г.
исполнилось столько лет, какова сумма цифр года их рождения?
Решение.
Выразив цифры года рождения этих людей буквами а, й,
с и d, будем иметь abed = 1000а + 1006 + 10с + d;
1058 - (1000а + ЮОй + 10с + d) = а + b + с + d;
а=1; й = 9
(Ь = 8) быть не может, так как это не удовлетворит
смысла задачи). Следовательно,
1958 - (1000 + 900 + Юс + d) = 1 + 9 + с + d,
_ 48-11с _ . лл
откуда d = ту—. Так как d — число целое, то 11 есть
число четное, тоща с = 2, 4, 6, 8.
Делаем испытание:
1) если с = 2, то d = 13 — не удовлетворяет.
2) если с = 4, то d = 2.
3) если с = 6, то d = -2 — не удовлетворяет.
Итак, d = 2, с = 4.
Люди родились в 1942 г., что соответствует требованию
задачи: 1 + 9 + 4 + 2 = 16; 1958 - 1942 = 16.
Задача 12.
Тарас и Лена по очереди наполняют из крана лейки,
каждая из которых наполняется за 10 сек. Сразу после их
наполнения Тарас и Лена поливают цветы, опустошая лейки
соответственно за 30 и 45 сек. Потом опять их наполняют
водой. Если лейки не подставлены под кран, вода наполняет
бочку, которая стоит под краном. Пустая бочка может
наполниться за 15 мин. Кто из детей первым подойдет набирать
воду после того, как бочка наполнится.
Решение.
Графически можно установить, что через каждые 230
секунд процесс повторяется. На продолжении этих 230 секунд
145 секунд будет наполняться бочка. Она наполнится за 900
102

4. ОЛИМПИАДНЫЕ ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
секунд Для этого должно пройти 6 полных периодов и еще
55 секунд. Поэтому бочка наполнится через 23 мин. 55 сек.
Первой к бочке, после того, как она наполнится, подойдет
Лена.
Задача 13.
Из пункта А в заданном направлении с постоянной
скоростью через одинаковые промежутки времени отправляются
автобусы, которые идут к следующему городу без остановок.
Дорожный мастер прошел 4 км, и за это время его обогнало
6 автобусов. В следующий раз он прошел 7 км, и его обогнало
8 автобусов. В третий раз он прошел 17 км. Сколько автобусов
обогнало мастера в этот раз, если все автобусы ехали
одинаковой скоростью?
Решение.
За время, которое проходит между моментами встречи с
первым и вторым автобусами, мастер прошел х км. Такие
же расстояния он пройдет за время между каждыми двумя
последовательными встречами. Расстояние 4 км не меньше,
чем 5 таких расстояний, но меньше, чем 7. Поэтому имеем
отношение 5х ^ 4 ^ 1х. Аналогично 1х ^ 7 ^ 9х. Сопоставляя
4
эти отношения, находим, что х ~ -— Проходя расстояние 17
км, дорожный мастер встретит 21 или 22 автобуса.
Задача 14,
Расстояние между пунктами А и В кратно 5. Автобус
проезжает его с постоянной скоростью 60 км/ч. Каждые 5
км он останавливается на 5 мин. Велосипедист проезжает это
же расстояние с постоянной скоростью за 1 час. Сначала
автобус обогнал велосипедиста, а на остановке автобуса
велосипедист проехал возле него. Потом автобус опять обогнал
велосипедиста и больше с ним не встречался. Установить,
истратил ли автобус на проезд от А до В больше, чем 45 мин
или нет?
Решение.
Скорость велосипедиста должна быть меньше чем
30 км/ч. Поэтому расстояние между пунктами А и В не
превышает 25 км и время, на продолжительности которого
автобус проедет его, не превышает 45 мин.
103

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА J
Задача 15.
За 9 одинаковых книжек заплатили больше чем 11 руб.
но меньше чем 12 руб. За 13 таких книжек заплатили 15
руб. и несколько копеек, но не больше чем 16 руб. Какая
цена одной книжки?
Решение.
Очевидно, что одна книжка стоит 1 руб. и х коп. Учитывая
то, что 200 < 9х< 300, имеем 23 ^ х < 33. Но, кроме того, х
удовлетворяет условию 200 ^ 13х< 300, поэтому 16 < х ^ 23.
Значит, стоимость книжки 1 руб. 23 коп.
Задача 16.
В одном из подъездов восьмиэтажного дома на первом
этаже размещены квартиры от № 97 до № 102. На каком
этаже размещена квартира № 222, если все подъезды
построены одинаково и на каждом этаже одинаковое количество
квартир.
Решение.
Очевидно, что на каждом этаже имеется по 6 квартир,
а в одном подъезде 48 квартир. Так как 222 = 4-48 + 30,
то квартира № 222 размещена в пятом подъезде на пятом
этаже.
Задача 17.
Возраст студента в 1977 году равнялся сумме цифр его
года рождения. Сколько лет студенту?
Решение.
Пусть студент родился в 19ху году. Его возраст будет
10 + х + у. Тоща 1900 + Юх + у + 10 + х + у = 1997.
Отсюда * = ^.
Так как х, у ^ 9, то х = 5, у = 6. Следует, что студент
родился в 1956 году и в 1977 году ему было 21 год.
Задача 18.
На доску размером 4 х 100 квадратиков положено столько
прямоугольных костяшек, что каждая из них целиком
покрывает ровно две клетки, никакие две не перекрываются и
104

4. ОЛИМПИАДНЫЕ ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
ни один квадратик не остается свободным. Докажите, что
при этом можно распилить доску по одной из нанесенных на
не продольных или поперечных прямых, не двигая с места
и не распиливая ни одной костяшки.
Решение.
Рассмотрим произвольно продольную или поперечную
прямую. Она делит доску на две области, в каждой из которых
имеется четное число клеток. Из них четное число (может
быть нуль) покрыто костяшками, не пересекающим границу
областей. Следовательно, границу может пересекать только
четное число костяшек: 0, 2, 4 или больше. Всего таких
прямых 102 имеется, и для того, чтобы каждую из них
пересечь костяшками, потребовалось бы не менее 204
костяшек. Но в нашем распоряжении только 200 костяшек.
Задача 19.
На кружке, в котором участвуют 20 школьников, было
дано 20 задач. Оказалось, что каждый школьник решил две
задачи, и каждая задача была решена двумя школьниками.
Докажите, что разбор задач можно организовать так, чтобы
каждый школьник рассказал одну из решенных им задач и
все задачи были разобраны.
Указание,
Вызовем произвольно ученика ^. Пусть он решил задачи
я^ и Og. Попросим его рассказать, скажем задачу о^ Найдется
единственный ученик Л2, решивший вместе с А^ задачу а~>*
Пусть он расскажет другую решенную им задачу аг.
Продолжим этот процесс. Покажите, что рано или поздно будет
спрошен ученик, решивший вместе с \ задачу а1. Что делать
дальше, если остались еще не спрошенные ученики?
Задача 20.
В плоскости даны 10 точек. Сколько существует отрезков,
соединящих эти точки.
Решение.
Ответ в этой задаче 45 отрезков. Чтобы уверится в этом,
обозначим 10 точек цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Рассмотрим теперь любой отрезок, который соединяет эти
точки. На концах отрезка стоят две разные цифры. Поставив
105

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
их в порядке возрастания, получим двузначное число с
возрастающим порядком цифр. Следовательно, двум разным
отрезкам отвечает два разных числа и двум разным числам —
два разных отрезка.
Задача 21.
В группе из 30 человек каждый пожал руку всем другим.
Сколько будет сделано рукопожатий?
Решение.
Каждый из 30 человек пожал руку другим 29. Поэтому
30 • 29
рукопожатий будет —ту— = 435.
Задача 22.
Можно ли организовать такой турнир, что в нем
участвовало 40 команд и каждая команда сыграла ровно 3 матча?
Решение.
Поставим в соответствие каждой команде точку, а
каждому матчу, сыгранному двумя командами, дугу, которая
соединяет эти точки. Тоща из каждой точки должно выходить
три дуги. Всех матчей будет
40-3
= 60.
Задача 23.
Можно ли организовать такой турнир, чтобы в нем
участвовало 18 команд и каждая провела бы ровно 5 матчей?
Решение.
Как и в предыдущей задаче подсчитаем количество дуг,
18 • 5
которые отвечают сыгранным матчам —ту— = 32,5.
Количество дуг не выражается целым числом, поэтому турнир не
может быть проведенным.
Задача 24.
Сосуд имеет четыре крана. Если открыть все четыре
крана, то сосуд наполнится за 4 часа. Первый, второй и
третий краны наполнят его за 5 ч, второй, третий и четвертый
106

4. ОЛИМПИАДНЫЕ ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
— за 6 ч. За сколько времени наполнится сосуд, если открыть
первый и четвертый краны?
Решение.
Обозначим время наполнения сосуда первым, вторым,
третьим и четвертым кранами соответственно х, у, z и t.
Тоща из условия задачи получаем систему уравнений:
а +1 +1 +1 1,
х у z t 4
± + х +1 = i
х у z 5
1 + Х + 7 - 1-
у z t о
Умножив первое уравнение на 2 и вычтя из него второе
и третье уравнение, получим:
1,1,1 1 А-1
х t " 15' * 15 " Т
Итак, первый и четвертый краны наполняют сосуд за
7 ч и 30 мин.
Систему уравнений можно было решить заменой
переменных
1111
— = и; — = tr, — = w; — = q<
х у z t
Найти и, q, а затем xnt. Далее по найденным значениям
х и t найти время наполнения сосуда первым и четвертым
кранами.
Задача 25.
Докажите, что если из трехзначного числа вычесть число,
записанное тем же цифрами, но в обратном порядке, то
получим число, сумма цифр которого равна 18.
Решение.
Ш-сБа= 100а + 106 + с - 100с - 106 - а =
= 99а - 99с = 99 {а - с).
107

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Естественно считать а>с, (а — с) — число однозначное.
Произведение 99 на любое однозначное число дает в
произведении число, сумма цифр которого равна 18. Это легко
проверить непосредственно. Можно установить
закономерность результата иным путем, например, представив 99 как
разность 100 - 1 и рассмотрев произведение этой разности
на однозначное число.
Задача 26.
Плывя вверх против течения реки и проплывая мост,
пловец потерял спасательный круг. Потерю он заметил через
20 мин. Сразу повернув обратно и плывя с тем же усилием,
пловец догнал спасательный круг в 2 км от моста. Определите
скорость течения реки и скорость пловца, если скорость пловца
в 2 раза больше скорости течения реки.
Решение.
Пусть собственная скорость пловца х км/ч, а скорость
течения реки у км/ч. Против течения скорость пловца
(х - у) км/ч, проплыл он (я — у) • о" *м- По течению реки
/ ! ч (*-у)'д + 2
он проплыл \(х — у) • -w + 2 км за — ч- Всего
(I \ (*-у) + бу „ 2
он плыл hj + о~?—х—г~\ ч> а спасательный круг — ч.
[3' 3(х + у) ) у
Отсюда получаем систему уравнений
I , (х " У) + 6 _ 2
3 + 3(х + у) "У
х = 2у,
откуда находим: собственная скорость пловца 6 км/ч,
скорость течения реки 3 км/ч.
Задача 27.
В шахматном турнире принимают участие учащиеся двух
классов, причем учащихся одного класса было в 10 раз больше,
чем учащихся другого. Каждый участник турнира встречался
с любым другим только раз. При подведении итогов турнира
оказалось, что учащиеся класса с большим числом участников
набрали вместе в 4,5 раза больше очков, чем учащиеся другого
108

4. ОЛИМПИАДНЫЕ ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
класса вместе. Сколько очков набрали учащиеся класса с
меньшим числом участников?
Решение,
Пусть в турнире участвовало х шахматистов одного класса
и 10х шахматистов другого класса, всего Их чисел. Число
сыгранных партий, а также и количество всех очков,
набранных всеми участниками, равно
2
Так как эти очки поделены между классами в отношении
1 : 4,5, то класс с меньшим числом участников набрал
2 . ii = х(11х- 1) очков, а другой —
jc(IIjc-I) -9
— 2— очков.
Учащиеся класса с меньшим числом участников сыграли
партии между собой -—=[ — и Ю* с шахматистами другого
класса. Получим неравенство:
х(\\х- 1)< Юх2 + х(х2"" ^ или х2^*.
Поскольку х>0, то х ** 1. Так как х — целое число и
больше нуля, то х = 1. Значит, класс с меньшим числом
участников набрал очков: 1(11 — 1) = 10.
Задача 28.
По полю проходит прямолинейная дорога. Человек,
стоящий на дороге в точке А, может двигаться по полю со
скоростью не более 3 км/ч и по дороге со скоростью не более
6 км/ч. Найти геометрическое место точек, в которые он
может попасть за 1 час.
Решение.
Если человек из точки Л будет идти только по полю, то
он, очевидно, сможет попасть за один час в любую точку
внутри круга радиуса 3 км с центром в точке М и не сможет
попасть ни в одну точку вне этого круга.
109

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Обозначим через А1 и А2 точки на дороге, отстоящие от
точки А на расстояние 6 км. проведем из этих точек
касательные к кругу, рассмотренному выше. Докажем, что фигура,
содержащаяся внутри контура, образованного отрезками
касательных от точек А1 и А2 до точек касания с кругом и
дугами окружностей, заключенными между точками касания
ВВ{ и CCV является исключительно геометрическим местом.
Для этого достаточно доказать, что человек, идя сначала
только по дороге, а затем по полю, или только по полю
сможет попасть в любую точку этой фигуры за один час и
не сможет за это время попасть ни в какую точку вне
указанной фигуры. Действительно, если человек, стоящий на
дороге, через некоторое время сходит с нее, а затем снова
возвращается на дорогу, то при этом он тратит времени
больше, чем идя только по дороге. Пусть человек идет t часов
по дороге со скоростью 6 км/ч (t ^ 1) до некоторой точки М
на отрезке АА1, а оставшееся время идет по полю
прямолинейно со скоростью 3 км/ч, тогда через один час он окажется
на окружности радиуса 3 (1 — t) км с центром в точке М.
Покажем, что эта окружность касается прямых А1В1 и Afiv
Восстановим из точки М перпендикуляр к прямой AlBv до
пересечения с этой прямой в точке N. Очевидно, что
достаточно показать, что MN = 3 (1 — t) км. Прямоугольные тре-
АА АВ
угольники А БД и MNAl подобны, отсюда -т-гт- = ттгг* но
АА1 = 6 км, МА1 = 6 (1 - t) км, АВ{ = 3 км, следовательно,
MN =3(1 — *) км. Таким образом, наша окружность касается
прямых Ар^ и A^BV фигуры A^Bfi2A2C2Cv что и доказывает
наше утверждение.
Задача 29.
В международном футбольном турнире, где каждый
участник встречается с каждым по разу, команда «Динамо»
(Киев) набрала больше всех очков — 4, а остальные команды
набрали одинаковое количество очков. Как сыграли остальные
команды?
Решение.
Если в футбольном турнире приняли участие п команд,
то вместе они набрали п(п— 1) очков, и поэтому остальные
110

4. ОЛИМПИАДНЫЕ ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
п — 1 команд набрали п(п— 1) очков. Поскольку все они
набрали очков поровну, то 4 делится на п— 1, так что
п = 5 или п = 3. Но при п = 5 остальные команды также
набрали бы по 4 очка. Следовательно, п = 3, и эти команды
сыграли между собой вничью.
Задача 30.
Футбольные команды «Динамо» и «Спартак» принимали
участие в двух разных турнирах, в которых каждый участник
встречается с каждым по разу. Коща турнир с участием
динамовцев закончился, в другом турнире было проведено
столько же игр, сколько в первом, и до конца оставалось три
тура. Сколько команд участвовало в каждом турнире?
Решение.
Если в динамовском турнире участвовали п команд, а в
спартаковском к команд, то в первом из них было сыграно
п(п— 1): 2 матчей, а во втором к этому моменту каждая
команда сыграла & — 4 с соперниками. По условию,
п (п - 1) = * (* - 4).
Ясно, что п < к — иначе первый турнир длился бы дольше
второго, а тоща п — 1 > к — 4, т.е. п > к — 3, и, следовательно,
п равно либо к - 1, либо к - 2.
В первом случае:
(*-1)(*-2) = *(*-4), Л2-3)Ы-2 = Л2-4Л, *=-2,
что невозможно, во втором случае
(ft-2)(ft-3) = *(Jfc-4)f ^-5^+6 = ^-4*:, к = 6.
Таким образом, в динамовском турнире играли 4 команды,
в спартаковском — 6 команд.
Задача 31.
Дана таблица неотрицательных целых чисел, которая
имеет п рядов и п колонок, таблица обладает таким свойством:
если на пересечении каких-нибудь ряда и колонки стоит 0,
то сумма всех чисел ряда и колонки не меньше, чем п.
Доказать, что сумма всех чисел таблицы не меньше, чем
т
111

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Выпишем сумму чисел каждого ряда и каждой колонки
таблицы. Обозначим через S наименьшее из этих чисел.
Пусть S — сумма чисел в г-ом ряду. Тоща в z-ом ряду не
более чем S чисел не равняется нулю. Поэтому в этом ряду
не менее чем (п - S) нулей. Рассмотрим какие-то (п - S)
нулей в г-ом ряду. По условию задачи сумма чисел в
соответствующих колонках будет не меньше, чем (п - S). Таким
образом, сумма чисел во всех колонках вместе будет не
меньше, чем (/г — S)2. Сумма чисел в остальных S колонках
будет не меньше, чем S2. Следовательно, если М — сумма
всех чисел таблицы, то
М > (п - S)2 + S2 = п2 - 2S (п - S).
Правая часть бу<цет наименьшей при S = -к.
2
Задача 32.
Не дождавшись трамвая на остановке А, мальчик пошел
к следующей остановке В. Преодолев треть пути, он оглянулся
и увидел, что к остановке А приближается трамвай. Если
мальчик побежит к остановке А или к остановке 5, то в
обоих случаях он успеет сесть на трамвай. С какой скоростью
должен бежать мальчик, если известно, что трамвай, движется
со скоростью 30 км/ч?
Решение.
Если мальчик побежит к остановке А, то он прибежит
туда одновременно с приходом трамвая. Поскольку мальчик
находится в два раза дальше от остановки Б, чем от А, то
когда он побежит к В и пробежит половину пути, трамвай
как раз подойдет к остановке А. После этого трамвай и
мальчик одновременно прибудут на остановку В, но трамвай
проходит при этом путь в три раза длиннее, чем пробегает
мальчик. Таким образом, скорость мальчика 10 км/ч.
Задача 33.
В шахматном турнире принимали участие п шахматистов.
Каждый шахматист встречался с каждым из остальных один
112

4. ОЛИМПИАДНЫЕ ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
раз, причем ни одна партия не закончилась вничью. Доказать,
что по результатам турнира всех шахматистов можно
разместить в таком порядке, чтобы каждый предыдущий был
победителем следующего.
Решение.
Применим метод математической индукции. Если п = 2,
то утверждение очевидно. Допустим, что оно верно для
п = к. Пусть п = к + 1. Возьмем любых шахматистов и
упорядочим их по результатам встреч между ними так, как это
сказано в условии задачи (это возможно сделать по нашему
допущению). Получим последовательность q, а^ Яз> ••• > #*•
Теперь ставим еще одного шахматиста Ъ в эту последовав
тельность непосредственно перед тем шахматистом ар который
имеет наименьший номер / среди всех шахматистов,
проигравших Ъ (если ни у кого не выиграл, то ставим его
последним).
Задача 34.
Найти все десятизначные числа, у которых первая цифра
равняется количеству нулей в написании этого числа,
вторая — количеству единиц, третья — количеству двоек,
четвертая — количеству троек, ... , десятая — количеству
девяток.
Решение.
Пусть Oq, Яр #2,..., <% — цифры искомого числа. По
условию задачи а^ равняется количеству нулей среди цифр
числа, <\ — количеству единиц, а^ — количеству двоек,...,
Од — количеству девяток.
Сумма цифр числа равняется
00 + ^ + 02 + ... + 09 = 0-00+ 1'(22 + 2-(22 + ... + 9-09,
откуда
а0 = Ог + 2йз + ... + (к - \)ак + ... + 8^. (1)
Пусть а0 = к (заметим, что 2 ^ к ^ 9), так как при этом
из равенства (1) следует, что <г> = 1, а все остальные цифры
равняются нулю). Тоща ак (количество цифр к) не равняется
нулю. Равенство (1) справедливо тогда и только тогда, коща
113

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
ак = 1, Og = 1, а все остальные а. равняются нулю. Поскольку
dL, = 1, то одной из цифр искомого числа должна быть двойка;
поэтому (\ = 2. Получается, что только четыре цифры числа
не равняются нулю. Поэтому количество нулей а^ = 6. Таким
образом, если задача имеет решение, то им обязательно будет
единственное число 6210001000. Непосредственно
удостоверяемся, что оно действительно есть решением задачи.
Задача 35.
В шахматном турнире принимали участие п шахматистов.
Каждый шахматист встречался с каждым из остальных один
раз, причем, ни одна партия не закончилась вничью.
Известно, что каждый шахматист знает фамилии участников
турнира, которых он победил, а также фамилии тех, кого
победили побежденные им. Доказать, что по крайней мере один
шахматист знает фамилии всех остальных.
Решение.
Пусть А — шахматист (или один из шахматистов),
который выиграл наибольшее число партий. Докажем, что А
знает фамилии всех участников турнира. Пусть Bv В2, ... ,
Вк — все те шахматисты, которые проиграли А. Допустим
теперь, что шахматист А не знает фамилии шахматиста С.
Тогда из условия задачи вытекает, что С не является ни
одним из шахматистов Bv В2, ... , Вк и что все партии он
выиграл. Получается, что С выиграл больше партий, чем А.
Получили противоречие.
Задача 36.
С каждого из аэродромов, все расстояния между которыми
разные, поднялся самолет и полетел на ближайший аэродром.
Доказать, что на каждый аэродром прилетело не более пяти
самолетов.
Решение.
Если А — аэродром, на который прилетел самолет с
аэродрома В, то внутри и на сторонах угла 120° с вершиной
в Л и биссектрисой АВ нет ни одного аэродрома, с которого
самолет прилетел бы в А. Это следует из того, что для любой
точки С этого угла справедливо одно из двух: либо
ВС ^ АС, либо ВС ^ АВ (в другом случае самолет не мог бы
114

4. ОЛИМПИАДНЫЕ ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
с В лететь в ^4). Утверждение задачи вытекает теперь из
этого замечания и из того, что полный угол равен 360°.
Задача 37.
Турист, приехавший в Киев поездом, весь день ходил по
городу пешком. Очутивпшсь на одной из площадей, он решил
вернуться на вокзал, идя лишь теми улицами, которыми он
уже проходил нечетное количество раз. Доказать, что он
сможет это сделать.
Доказательство*
От любого перекрестка улиц, кроме вокзала, турист имеет
возможность идти по улице, которую до этого он проходил
нечетное количество раз. В противном случае он не мог бы
попасть на этот перекресток.
Задача 38.
Передние скаты грузового автомобиля стираются через
15000 км пути, а задние — через 25000 км (задние колеса
имеют по два ската). Каким образом необходимо менять
скаты на колесах, чтобы на тех же скатах проехать
максимальное расстояние? Найти это расстояние.
Решение.
Пусть первая пара скатов проедет на передних колесах
х, вторая — у км, третья — z км. Первая пара скатов сотрется,
если
X У + z
15000 + 25000 = 1;
вторая сотрется, если
15000 25000 ~ '
третья сотрется, если
z + Х + У = 1
15000 25000
Все скаты сотрутся одновременно, если выполняются все
эти равенства. Решая систему уравнений находим:
9
дс = у = z = 681 -j-г км.
115

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Задача 39»
Один из учеников фиксирует в уме определенную
вершину начерченного выпуклого я-угольника. Какова
вероятность того, что диагональ, проводимая другим учеником,
пройдет через эту фиксированную вершину?
Решение.
Первый из учащихся может выбрать любую из п вершин,
второй — провести любую из —Цг— диагоналей. Таким
образом, общее число возможных случаев равно —Ц=—-.
Поскольку через каждую вершину проходит п — 3 диагоналей,
то число случаев, при которых диагональ пройдет, через
выбранную точку, равно п (п - 3). Следовательно, Р для
искомой вероятности будем иметь
Р = п (п - 3) : —^ L = -•
Задача 40.
Девять грибников собрали 220 грибов, причем каждые
два собрали различное число грибов. Доказать, что найдутся
пятеро грибников, собравших вместе не более ПО грибов.
Решение.
Пусть грибники собрали соответственно х1<х2<хъ<...
< х9 грибов, и пусть х1 + х2 + ... + х5 > 110. Тогда х5 > 25: если
х5 < 25, то есть х5 ^ 24, то х4 ^ 23, хъ ^ 22, ... , xl ** 20, откуда
хх + х2 + ... + х5 < ПО. Поэтому х6 > 26, х7 > 27, х&>28,
xs > 29, х6 + х7 + х& + х9 > ПО, а тогда х1 + х2 +...+ х9 > 220.
Следовательно, пятеро Первых грибников собрали не более
ПО грибов.
Задача 41.
100 шариков лежат в 50 коробках. Девочка и мальчик
по очереди берут по одному шарику. Начинает девочка.
Доказать, что мальчик может играть так, чтобы два последних
шарика оказались в одной коробке.
116

4. ОЛИМПИАДНЫЕ ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
Доказательство.
После каждого хода девочки остается нечетное число
шариков, и поэтому имеется коробка, в которой число конфет
нечетно. Поэтому мальчик всеща может сделать так, чтобы
хотя бы в одной коробке число шариков было четным, и если
он будет играть таким образом, то после 49-го хода две
последние шарики будут в одной коробке.
Задача 42.
В банке лежат белые и черные зерна. Мы наугад достаем
два зерна. Если зерна одного цвета, то мы их выбрасываем,
а в банку добавляем черное зерно; если зерна разного цвета,
то черное выбрасываем, а белое кладем обратно. В конце
концов осталось одно зерно. Какого оно цвета, если известно
исходное число белых зерен?
Решение.
Легко видеть, что число белых зерен каждый раз либо
не меняется, либо уменьшается на 2, то есть не меняет своей
четности. Если исходное число белых зерен было нечетным,
то в конце концов оставшееся единственное зерно должно
быть белым; если же это число четно, то оставшееся зерно
черное.
Задача 43.
Записать цифры от 0 до 9 в строчку так, чтобы любое
число, составленное из двух идущих подряд цифр, делилось
на 7 или 13.
Решение.
Условию задачи удовлетворяет, например, строчка
О, 7, 8, 4, 9, 1, 3, 5, 2, 6
Задача 44.
Имеется два трехлитровых сосуда. В один налит 1 л
спирта, в другой — 1л воды. Разрешается переливать любую
часть жидкости из одного сосуда в другой. Можно ли за
несколько переливаний сделать 60%-ный раствор спирта в
том сосуде, где была вода?
117

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Ясно, что если в процессе переливаний мы смешаем спирт
и воду в одном сосуде, то после этого получить 60%-ный
раствор уже не удастся. И такое переливание мы дальше
рассматривать не будем.
Пусть после некоторого переливания в одном сосуде
содержатся а л спирта и Ъ л воды, в другом сосуде — ел
спирта и d л воды, так что a+c = b + d=l. Тоща после
переливания из второго сосуда в первый р л раствора, ще
р<с + d концентрация раствора в первом сосуде будет равна
\а + ° ,р\ I (а + Ъ + р)г и мы докажем, что при а>Ъ эта
концентрация больше «•.
В самом деле,
а + ,р 1
a + b + p >2; 2a(c + d) + 2cp>(a + b + p)(c + d);
(а - й)(с + d) >р (d - с); (с + й)(с 4- d) >р (а - й);
р<с + d,
а последнее неравенство верно.
Отсюда следует, что в сосуде, первоначально содержащем
чистый спирт, концентрация раствора всегда будет больше
-ту, и поэтому в сосуде, где была вода, получить раствор с
концентрацией 60% невозможно.
Задача 45.
В школьной газете сообщается, что процент учеников
некоторого класса, повысивших во втором полугодии
успеваемость, заключен в пределах от 2,9% до 3,1%. Определить
наименьшее возможное число учеников в этом классе.
Решение.
Если в классе х учеников и у из них повысили
успеваемость, то по условию,
2,9 < 100 2< 3,1 или 29х<1000;у<ЗЪс.
118

4. ОЛИМПИАДНЫЕ ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
Если х ^ 32, то 31* ^ 992 < ШОу; поэтому х > 33.
Поскольку 29 • 33 < 1000 < 31 • 33, то искомое число учащихся
равно 33.
Задача 46.
На день рождения фрекен Бок испекла торт. Малыш и
торт весили столько же, сколько Карлсон и фрекен Бок.
Коща торт съели, Карлсон весил столько, сколько фрекен
Бок и Малыш. Доказать, что Карлсон съел кусок торта,
весивший столько же, сколько фрекен Бок до дня рождения.
Решение.
Из первого условия следует, что торт Малыш и фрекен
Бок (до дня рождения) вместе весят столько же, сколько
Карлсон и две фрекен Бок. Из второго условия следует, что
торт, Малыш и фрекен Бок весят столько же, сколько бы
весил Карлсон, если бы он съел еще такую же порцию торта.
Поэтому Карлсон с двойной порцией торта весил бы столько
же, сколько с двумя фрекен Бок. Следовательно, его порция
торта и фрекен Бок весят одинаково.

5. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ИССЛЕДОВАНИЕМ
Задача 1.
Размер переднего колеса телеги по кругу — а метров,
заднего — Ъ метров. Определить, насколько путь, пройденный
передним колесом за один оборот больше, чем путь ее заднего
колеса.
Решение.
Обозначим искомый путь через х. По смыслу задачи
а>0, й>0, а>й, х>0.
X X
Составим уравнение -г = 1.
Имеем {Ъ - а) х = ab. Поскольку Ъ - а > О, х = -т——.
Ответ удовлетворяет параметрам задачи.
Задача 2.
В библиотеке S книг, расположенных на п полках больших
и маленьких; на большой полке помещается а книг, а на
меньшей — Ъ книг. Сколько больших и маленьких полок?
Решение.
Пускай больших полок будет х, тогда маленьких п - х.
Имеем уравнение:
ха + (п - х) Ъ = S, или
х {а - Ъ) + Ъп = S, (а - Ъ) х = S - йп.
Решение существует, если S>bn; х = 0, если а ^ Ъ is.
S = й/г, а именно, если все кдиги расположены на маленьких
полках.
Задача 3.
В двух элеваторах собрано по р центнеров зерна. С
первого элеватора каждый день берут по а центнеров зерна,
из другого — по Ъ центнеров. Через t дней в этих двух
элеваторах осталось одинаковое количество зерна. Сколько
центнеров зерна находилось отдельно в каждом элеваторе?
120

5. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ИССЛЕДОВАНИЕМ
Решение.
Обозначим количество зерна в первом элеваторе через
х центнеров, тоща в другом элеваторе будет (р - х) ц. зерна.
За t дней с первого элеватора забрали at центнеров зерна, с
другого —- Ы центнеров зерна. Значит, в первом элеваторе
осталось х - at, в другом — р — х — Ы. Используя условие
задачи, имеем уравнение
х — at = р х — Ъи или 2х = at + р — bt,
p + t(a-b)
откуда х = - ту -.
Ответ: если а = й, то в каждый элеватор собрано -?ур
центнеров зерна. Если а ^ Ь, то в первом элеваторе находилось
р + t(а - Ъ) p-t(a-b)
ту L центнеров зерна, в другом т\
центнеров. Задача имеет решение, если p>t{a- й).
Задача 4.
Из аэродрома одновременно вылетели в город А в одном
и том же направлении два самолета. Первый самолет летел
со скоростью v км/ч, а скорость другого самолета была на
d км/ч меньше. Определить расстояние от аэродрома до города
А, если известно, что другой самолет прибыл туда на t часов
позднее, чем первый.
Решение.
Обозначим через х расстояние от аэродрома до города А.
х
Тогда первый самолет преодолел это расстояние за — часов,
а другой за _ , часов. Поскольку второй самолет прибыл
в город А на t часов позднее, то можно составить уравнение:
х(р
XV-
х_ _
V
-d)-
- xd-
X
v —
- XV
- XV-
d~n
— tv(v~
= tv(p-
-d);
d);
121

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
tv(d — v)
х=—— •
Ответ: расстояние от аэродрома до города А
равно —^—-, t, V) d>0 я. d>v.
Задача 5.
Из пункта А в пункт В сначала отправилась моторная
лодка. А когда она прошла I км, вышел теплоход, который
прибыл в пункт В на t часов раньше, чем лодка. Какое
расстояние между А и В, если скорость лодки ц км/ч, а
скорость теплохода v2 км/ч?
Решение.
х
Расстояние х между А и В лодка пройдет за — часов, а
Ч
теплоход за — часов. Но лодка пришла в В на t часов позднее,
чем теплоход и перед выходом теплохода была в движении
— часов, то есть лодка плыла на (* + — 1 часов больше, чем
Ч { Ч)
теплоход. Следовательно,
ч ч> ч
Решим это уравнение:
xv2 — xvi = viv2t+ lv2]
x = -^—^ (q*>q).
Чг "¦ ч
Задача 6.
Из пункта А в пункт ? вышел пешеход. Через а часов
навстречу пешеходу выехал велосипедист; через Ъ часов после
своего выезда он встретил пешехода. Сколько времени
потребовалось велосипедисту и сколько пешеходу, чтобы пройти
весь путь между А и В, если велосипедисту на это надо на
с часов меньше, чем пешеходу?
122

5. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ИССЛЕДОВАНИЕМ
Решение.
Если велосипедисту на весь путь нужно х часов, то
пешеходу — (х + с) часов. Обозначим через у расстояние АВ
_ У(а + Ь)
в километрах. До встречи пешеход прошел —*--г—- км, а
велосипедист проехал — км. Составим уравнение
(в + ъ) У + by =
X + С X у*
Поскольку у & 0, то ———I— =1, или
х? - (а + 2* - с) х - be = 0. (1)
Учитывая, что а>0, й>0, с>0и что произведение корней
уравнения равно отрицательному числу (— be) видим, что
уравнение (1) имеет один положительный и один
отрицательный корень. Таким образом,
а + 2Ь - с + V(a + 2fi-c)2+46c
V = Ь С.
X 2
a+26-c+V(a + 2* - с)2+ 4йс
Ответ: велосипедисту нужно ~
а + 26 - с + V(a-2fi-c)2+46c
часов, пешеходу ~ часов.
Задача 7.
Из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми
равно S км, вылетел вертолет, а через t часов в этом же
самом направлении вылетел самолет. Он догнал вертолет на
расстоянии d км от Л, долетел до В и сразу же повернул
назад. На расстоянии d от В самолет встретил вертолет и
прибыл в пункт А позднее, чем вертолет прибыл в В. На
сколько раньше вертолет прибыл в В, чем самолет вернулся
в Л?
Решение.
Обозначим скорость самолета через х9 а скорость
вертолета — через у. До первой встречи с самолетом вертолет
123

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
летел — часов, а самолет — — часов. Поскольку самолет
вылетел на t часов позднее, то
^ = 4 + L (1)
У *
Второе уравнение мы составим при условии второй
встречи, коща вертолет был на расстоянии d от В и его полет
S- d S + d
длился часов, а самолет — —-— часов.
у х
Значит,
S-d
(2)
Мы получили систему уравнений (1) и (2) и хотя эту
систему можно решить, а потом ответить на вопросы задачи,
мы сначала посчитаем величину, которая нас интересует,
считая, что х и у известны. Вертолет прибыл в В через — ч
после вылета. Самолет вернулся в А через t Н часов после
того, как вертолет вылетел из А. Нас интересует величина
t + ™ - ?,
х у
следовательно, именно за столько часов самолет вернулся в
Б. Таким образом, из полученных уравнений нужно опреде-
1 1
лить — и —.
х у
Умножая первое уравнение на d - 5, другое на d,
складывая их, найдем
X X v J
2d2 ,,„ ы 1 t(S-2d)
значит, — = t(S - 2d), откуда - = -А,. 2 \
х х 2d
Из уравнения (1) определим —: — = — + -у = —?.
JF F У У х d 2d2
Таким образом,
124

5. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ИССЛЕДОВАНИЕМ
4- 2? _ S _ 2St(S-2d) tS2 _
х у 2d2 2d2'
_t+ St(S-4d)
2d2
Задача имеет решение, если все компоненты
положительны. Чтоб величина — была реальной, необходимо, чтобы
S>2d.
По условию вертолет прилетел в В раньше, чем самолет
вернулся в А. Поэтому
г 2d2 и'
значит, S2 - ASd + 2d2.
с
Подучили неравенство относительно -т:
11 "~ 4 ' И + 2 > °' 0ТКУда
§< 2-^или4> 2 + V2T
d d
Первое решение отбрасываем, поскольку S < 2d - VTd,
а это противоречит условию, что S>2d.
Ответ: t + St(* 24d), 5>rf(2 + VZ).
2d
Задача 8.
По кругу, радиус которого jR, в одном направлении
двигаются две точки. Одна из них делает полный оборот на t
секунд быстрее другой. Время между двумя
последовательными их встречами равняется Т. Определить скорость этих
точек.
Решение
Обозначим Fj и F2 — скорости точек и причем Vx > V2.
Первое условие задачи запишется уравнением
27iR _ 2jiR _
У г V, - *
125

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Второе условие означает, что за время Т точка, которая
двигается с большей скоростью, пройдет по кругу путь на
2jzR больший, чем вторая точка. Имеем второе уравнение
TV{ - TV2 = 2jzR.
Из второго уравнения находим
у2 Kl J* щ
Подставляя это выражение для V2 в первое уравнение,
получаем квадратное уравнение для V{:
2 _ 2kR _ 2jvR biR
1 T l T ' t '
Решая его, найдем: (Vx>0)
v,.« (Vl+^+1
btR = btR [yl 4Т _ l
найдем V2 = V{ ^r
Задача 9.
На двух прокатных станках можно прокатать а тонн
стали за t часов. За какое время на каждом станке можно
прокатать всю сталь, если известно, что на одном из них
можно это сделать на р часов меньше, чем на втором.
Решение.
Допустим, что на первом станке а тонн стали
прокатывают за х часов, а на втором — за у часов. Тоща произво-
дительность первого станка — тонн, а второго — — тонн. По
условию задачи на обоих станках за час прокатывают — тонн,
а
значит, —
111
а)
+
а
У
=
а
V
или
I
X
+
1
У
=
1
f
126

5. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ИССЛЕДОВАНИЕМ
Кроме того, х - у = р. Тогда уравнение (1) получит вид
- + —^ = - или х2 - (р + It) х + pt = О,
откуда т\ = \ + t-V^+f , х2 = ! + t+ У^+f .
По условию задачи р>0, *>0, х>0, у > 0, х>р.
Тоща условию задачи удовлетворяет только второй корень
уравнения.
Ответ: ? + t+ У *j-+f (часов),
(часов).
Задача 10.
Производительность труда одного работника а деталей,
второго — Ь деталей. Через сколько дней они изготовят
одинаковое количество деталей, если первый до этого уже
изготовил с деталей, а второй — d деталей?
Решение.
Обозначим искомое количество дней через х. Поскольку
производительность труда первого работника а деталей, то
за х дней он изготавливает ха деталей. Производительность
труда второго работника Ъ деталей, поэтому за х дней он
изготавливает хЪ деталей. Учитывая условие задачи,
составляем уравнение
ха + с = хЪ + d, или х (а — Ъ) = d — с.
d — с
Если аФЪ, х = ——г (а>0, й>0, с>0, d>0).
Если а = # и с = rf, х — любое число.
Если а = Ъ и сф d — задача не имеет решения.
Задача 11.
Водой из двух кранов наполняют бассейн за р часов.
Если бы сначала из одного крана наполнили — часть бассейна,
а из второго — часть, которая осталась, то для наполнения
127

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
всего бассейна достаточно было бы а часов. За какое время
наполняется бассейн из каждого крана отдельно?
Решение.
Пускай из первого крана бассейн заполняют за х часов.
Тоща за один час из второго крана наполнится — часть
бассейна, а из первого — ( ] часть бассейна.-
Для заполнения — части бассейна из первого крана нужно
— : 1 часов, а для заполнения части бассейна, которая
^ ; 1 п-1 п-1 1
осталась, 1 = из второго крана : — часов.
п п П X
Поскольку из обоих кранов одновременно бассейн заполняется
за а часов, то
1/1 1\ , п-1 1
п \р X) п X
(п — 1) х2 — (an + пр — 2р) х + апр = О,
ап + np-2t± ^(ап + пр + 2р)2 - Аапр (п - 1)
откуда х 2(^ГТ) '
Понятно, что п> 1. Задача имеет решения при
(an + пр - 2р)2 > 4апр; а>0, п>1, р>0.
Выражение
an + пр - 2р = п (а + р) - 2р > п • 2р - 2р = 2р (п - 1) > О,
поскольку а>р (по условию задачи). Оба найденные
корни — положительные числа, потому что свободный член в
преобразованном уравнении — положительное число, а
второй коэффициент — отрицательный.
Задача 12.
Сплав двух металлов весит р кг. Коща его погружают в
воду, он теряет в своем весе а кг. Такой же по весу кусок
одного из двух металлов, которые входят в сплав в воде,
теряет Ъ кг, а кусок второго — с кг. Определить вес металлов
в сплаве.
128

5. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ИССЛЕДОВАНИЕМ
Решение.
Пускай вес первого металла х кг. Тоща вес другого —
(р - х) кг. Килограмм первого металла теряет при погружении
его в воду —, а килограмм второго — — кг. Поскольку потери
веса данного куска сплава равен сумме потерь веса металлов,
из которых он состоит, получим уравнение.
хЪ , (р-х)с
— + — — =5 а, откуда
а— с Ъ — а
X = Р ' 1 , Р - Х = р • -г
^ й — с * Ь — с
х>0, р-х>0,
а-с>0, Га-с<0,
J-O0, 14-с<0,
:-с>0, |й
-оо, |г
Гй-а>0, ГА-а<0,
|й-с>0, |й-с<0.
Задача 13.
В колбе находится раствор поваренной соли. Из колбы
в пробирку отливают у часть раствора и испаряют до
того времени, пока процентное содержание соли в пробирке
не станет в два раза больше. После этого раствор выливают
назад в колбу. В результате количество соли в колбе
повышается на р процентов. Определить изначальное количество
соли в процентах.
Решение.
Обозначим V — объем раствора в колбе, х — количество
соли, которая находится в растворе, в процентах.
В пробирку отливают — раствора и испаряют до того
времени, пока процентное количество соли не увеличится
у
вдвое и вес испаренной воды будет равняться ¦«—.
После переливания испаренного раствора назад в колбу
там опять будет это же самое количество соли, что и раньше,
х V
а именно V • j^, а объем раствора уменьшится на у • у-.
Отсюда получим уравнение:
129

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
У 100 _ х + р
т/_Л " 100 '
У 2п
из которого имеем: х = (2п - 1) р.
Задача 14.
Из общего количества товара а% продано с прибылью
р%, а из части, которая осталась, Ь% продано с прибылью
q.% С какой прибылью продана остаточная часть товара,
если общий процент прибыли составляет г%.
Решение.
Обозначим себестоимость всего товара — т денежных
единиц. Тоща себестоимость первой проданной части состав-
ляет а% от тп, а именно -ут^г д.е. По условию полученная
от продажи прибыль составляет р% этой суммы, а именно
та р
100 ' 100-
Себестоимость товара, который остался после продажи
первой части равен
та Л а \
Себестоимость второй части равна Ь% от всей суммы, а
именно
т(1-ш)-тмд-е-
При продаже второй части было получено q% прибыли,
значит эта прибыль составляет
(л а \ b У
т [1 100J " 100 ' 100 д'е*
Себестоимость товара, который остался после второй
продажи, составляет
та Л а \ Ъ Л а \ w
m-Too_w 1_Тбо rioo = m" Г "loo х
xll-ljjo-l д'е-
130

5. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ИССЛЕДОВАНИЕМ
Обозначим через х% прибыль с продажи этой части
товара. В денежных единицах это будет
т|1-^г| II " ' *
100J Г 1001 100*
Общей прибылью будет
т (_а_ . _Р_ , Л _ _а\ ._Ь q_
т 100 100+ Г 100 100 100+
+ 1
100J [1 то] * 100
По условию общая прибыль должна составить г% от
тг
т,
Поэтому
т д.е., значит, -щ д.е.
100]
¦ а р . /1 _ а ) о д
т ' 100 ' 100 + Г 100 ' 100 * 100
1 lOOj [1 100J 100J 100*
. _ м. Ы- (л _ jlS
Ответ- 10° -100 Г 10° У
Ответ, —т- ^у-гЛ ^-^ /о
100J ^ 100]
(а>0; п>0; д>0; а<100; й<100).
Задача 15.
Средний прирост продукции в процентах из года в год
остается постоянным. Если бы прирост продукции увеличился
на р% в год, то через 8 лет количество продукции увеличилось
сравнительно с предыдущими условиями прироста вдвое.
Определить годовой прирост продукции.
Решение.
Обозначим искомый прирост продукции за год через х.
Если к началу первого года количество продукции было а,
то к началу второго года она стала
°i = а + Ш\ " а(1+ТЩ*)
100
131

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
а к началу третьего года
^ = ^{1+ш) = а[1+ш) ит-д-
К началу восьмого года количество продукции составляет
all + -ЛА , а к концу восьмого года — а 11 + -у^г 1 .
Рассуждая аналогично, когда прирост продукции за год
составляет (х + р) %, получим, что количество продукции к
концу восьмого года будет равняться
. \8
100
Согласно условию задачи, имеем
й|1+т)8 = 2й(1+ш)8или
1 +
100
= (М1+т?
^ 100
1 + * + ?. fofl +
ИЛИ
100 т" у ' 100
р-100(^2-1)
откуда х = зп-^ ¦
Задача имеет решение только тоща, коща
р> 100(^2-1).
8/—
Ответ: ? " ^ 2 ~ Ч ще р > 100 (V2 - 1).
Задача 16.
Две железные дороги АА^ и ВВ{ перпендикулярны друг
другу и пересекаются в пункте С, причем расстояния АС и
ВС соответственцо равняются а км и й. Из пунктов А и В
в пункт одновременно выходят два поезда, скорости которых
равняются соответственно V{ км/ч и V2 км/ч. Через сколько
времени расстояние между поездами будет наименьшим?
132

5. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ИССЛЕДОВАНИЕМ
Решение*
Первый поезд за х часов проедет Vxx км, а второй —
V2 х км. Тогда расстояние первого поезда от пункта С будет
равняться (а - V{ х) км, а расстояние другого — (b - V2 х)
км. Поскольку железные дороги взаимно перпендикулярны
расстояние между поездами будет гипотенузой
прямоугольного треугольника. Катеты будут равняться а - V{ х и
Ъ - V2 х. Тогда по теореме Пифагора, имеем
у* = (а-У{х)2 + (Ь-У2х)\
f = (у2 + V22) х2 - 2 (aFt + bV2) x + a2 + tf. (1)
Расстояние между поездами будет наименьшим при том
значении х, когда квадрат расстояния будет наименьшим, а
квадрат расстояния является квадратным трехчленом (1),
который имеет минимум (V2 + V2,) > 0, а именно
аК + bV2
Ответ: ~^Л—^v1 (часов).
Задача 17.
Построить треугольник АбС, если известны его основание
ВС = а, сумма квадратов т2 двух других сторон, где т —
данный отрезок, и угол /J при вершине.
Решение.
Предлагаем доказать самостоятельно, что геометрическим
местом точек Р, которые удовлетворяют условию
АР^ + ВР*^ m2,
где АВ = а и m > -лу- — данные отрезки, является
окружность радиуса г = — У 2т2 — а2 с центром в середине М
отрезка АВ (употребите теорему: сумма квадратов диагона-
133

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
лей параллелограмма равняется сумме квадратов его сторон).
Перейдем к заданному построению треугольника ABC.
Из середины D отрезка ВС, как из центра, описываем
окружность к радиусом г = тг V2ra2 - а2 и строим на отрезке
ВС дуги ВМС и BNC сегментов, которые вмещают угол /J.
Окружность к является геометрическим местом точек, сума
квадратов которых в точках В и С равняется т2. Очевидно,
что вершина А должна лежать на пересечении окружности
к с дугой одного из построенных сегментов. Мы получили
четыре точки пересечения: А1, А^, А3, А4: каждую из них
можно брать за вершину треугольника. В соответствии с этим
получим четыре решения. Если окружность к касается дуг
сегментов, то задача имеет два решения. Задача не имеет
решений, если окружность к и дуги сегментов не
пересекаются.
Это будет тогда, коща радиус г меньше половины
основания а треугольника или больше длины h перпендикуляра
DM, проведенного к отрезку ВС из его середины D до
пересечения с дугой ВМС. Значит,
1) /J = 90°. Задача не имеет решения, когда г ^ ^", или
г > h; имеет два решения, коща г = h; имеет четыре решения,
коща -7y<r<h.
2) ft = 90°. Задача не имеет решения, коща г * ^; имеет
бесконечное множество решений, коща г = -к.
3) /3>90°. Задача не имеет решения, коща r<h или
г >-~; имеет два решения, когда г = А; имеет четыре решения,
коща h<r<-~.
Задача 18,
Хозяйство купило для заправки тракторов на а д.е.
лигроина, и на такую же сумму бензина, всего п кг. Сколько
килограммов куплено лигроина и сколько бензина, если
килограмм лигроина на Ъ д.е. дороже килограмма бензина?
134

5. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ИССЛЕДОВАНИЕМ
Решение.
Пускай куплено х кг лигроина. Тогда бензина было
куплено (п - х) кг. Цена лигроина — д.е. за 1 кг, а бензина —
——— д.е. Поскольку килограмм лигроина на Ъ д.е. дороже,
чем килограмм бензина, то получим уравнение
Решим
его.
а(п
Ьх>
х =
а
X
-*)¦
-(2а
а h
— 0.
п — X
- ах = Ьх(п
+ bri) х + an
2а + Ъп ± V4o2 +
-х);
= 0;
Тг?
26
Знак «плюс» перед корнем дает значение больше, чем
2а + Ъп Ъп п
П, ПОСКОЛЬКУ 7уГ— > 1уй — 2*
а бензина
V402 + Ь2 п2 V62 п2 Ъп
26 > 26 " 26 =
имеем лигроина
2а + Ъп - V402 + б2 га2
26
2a + bn- V402 + б2 п2
11 26
и
= 2
6« - 2а + у/4а2 + Ъ2 п2
26

Глава II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ
ВЫРАЖЕНИЙ
Задача 1.
Упростить выражение
1 + 1 + * + « + 8 +. 16
1-х" l + xl + х2 1+х4 1+х8 1+f6'
Решение.
1 _,_ 1 _ (1 + х) + (1 - х) _ 2
1-х 1+х~ (1-х)(1 + х) ~ 1-х2'
112 2 2 4
1 - х ' 1 + * ' 1 + я* 1 - х2 1 + х2 1-х4"
Прибавляя к полученному результату четвертую данную
дробь, а затем пятую и шестую, получим окончательно
1 .+ 1 + 2,4 + 8 +. 16 _ 32
1-х 1 + х ' 1 + х2 1 + х4 1 + х* 1+^6 1-х32
Задача 2.
Показать, что
(х + а)(х + 2а)(х + За)(х + 4а) + а4
есть квадрат трехчлена.
Решение.
Данное выражение равно:
(х* + 5ах + 4о2)(х2 + 5ах + бо2) + а4 =
= (х2 + 5ах)2 + 10а2 (х2 + 5ах) + 25а4 = (х2 + 5ах + 5а2)2.
Задача 3.
Упростить:
1.1.1
А =
(а - Ь)(а - с) т (й - с)(& - а) т (с - а)(с - й)*
136

б. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Решение.
Приведя дроби к общему знаменателю, получим
А = 7 ja/i; 1 \г ч * ((* - с) + (с - а) + (а - Ь)) = 0.
(а - Ь)(Ъ - с)(а - с) 4V ' v ' v "
Ответ: А = 0.
Задача 4.
Найти необходимые и достаточные условия того, чтобы
^ яя: + Ъ
дробь ;— не зависела от х.
* тх + п
Решение.
Необходимост ь.
Пусть — = &, где к — не зависит от х. Освободившись
тх -г и
от знаменателя, получим равенство ах + 6 = ?mx + to. Но из
равенства многочленов следует равенство их коэффициентов
при одинаковых степенях х. Поэтому можно написать, что
а = km и й = Л/г, и
а_ = 6
m л*
Если m = 0 (или гс = 0), то пропорцию следует написать
иначе:
— = -т- или — = —
п Ъ \ та
Случай т = п = 0 исключается.
Достаточность.
Пусть — = — = к. Тоща
J т п
7 . , я* + A mbc + п& 7 тх + я 7
а = тк; о = пк; ;— = ; = к ;— = к.
тх + п тх + п тх +п
Задача 5.
Доказать, что если
х у z
— = х = -, то
а Ъ с
137

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
(х2 + f + z2)^ + й2 + с2) = (ах + by + cz)2.
Доказательство.
X V Z
Положим — = т = ~~ = К так что х = &а, у = &й, z = ?с.
a b с
Тогда имеем
(х2 + у2 + z2)^ + й2 + с2) = (AV + /^й2 + yfcVXo2 + й2 + с2) =
= *V + й2 + с2) = (кс? + Ли2 + Ас2)2 = (ох + йу + cz)2.
Задача 6.
Доказать, что если
xi х2 хп
х2 хъ
еет место равенство
/ х{ + х2 + •
\х2 + хг+ ••
Доказательство.
Хп+1
•• +*nY __ Х1
"*" *я+1/ *л+1
На основании свойства ряда равных отношений имеем
*1 + Х2 + '
х2 + х3+ • •
х{ + х2+ •
*2 + *3 + ' '
Xi + х2 + • •
••+*»
• + Хп+1
•+хп
=
*1
*2'
*2
V
*П
*2 "¦" хъ "*" " " " "*" *n+i
Перемножим все эти я равенств, получим
*1 + *2+ '" + *к Y Х1
\х2 + хъ + • • • + xn+iJ
Задача 7.
2 2
х - yz J - xz
Дано »а-з«) = у а-я)'где
138

б. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
х * О, у * О, 1 - yz * О, 1 - xz Ф 0, х Ф у.
1зать, что х + з
Доказательство.
Доказать, что x + v + z = — Н Ь —,
' х з; ^
тт * X2 - yz у2 - XZ
Преобразуем равенство (. J . = ^ _—г,
используем свойство равных отношений. Имеем
х2 -yz _ у2 - xz _ (х2 - yz) - (у2 - xz)
х (1 - yz) ~~ у (1 - xz) " x (1 - yz) - у (1 - xz)'
x* -yz _ f - xz _ у (x2 - yz) — x (y2 - xz)
x (1 - yz) "" у (1 - xz) ~~ yx (1 - yz) - xy (1 - xzy
Отсюда получаем
(x2 - yz) - (y2 - xz) _ y(x?-yz)-x(f-xz)
x (1 - yz) - у (1 - xz) yx (1 - yz) - xy (1 - xz)'
или
(x2 - У8) + (x ¦ У) * = xy(x~y) + z(x2-^)
x - у xyz (x - у) '
или
, xy + z (x + у)
x + v + z = — —,
xyz
-1. _l_ l_jl.ll
т.е. x -f у + z = —I 1—.
xyz
Задача 8,
Дано a + b + с = 0, a2 + 62 + с2 = 1.
Вычислить Л = a4 + b4 + с4.
Решение.
Выделяя полный квадрат в выражении А, имеем
А = (а2 + А2 + с2)2 - 2 (а2*2 + A* + ?V) =
= (а2 + й2 + с2) - 2 (аЬ + ас + be)2 - 2abc (а + Ъ + с).
139

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Согласно условию А = 1 - 2 (ай + ас + be)2. Так как
2 (ой + ас + be) - (а + Ъ + с)2 - (с? + й2 + с2) = - 1, то
'-'-*• К4
Задача 9.
тт ^.У,2 1 я , й , с л
Дано: — + 4- + - = 1, — + - + - = 0.
а й с х у z
2 2 2
Доказать: -—¦ + \ + —• = 1.
а й с
Доказательство.
Имеем I * 4- т + —| =1, или
1а й cl
4 + ^ + 4 + 2 (& + ZL + 2L) =1,
а2 й2 с2 I яй ас йс1 '
откуда I
х2 у2 z2 _ - ^ хус + xzft + yza (i)
Учитывая условие, имеем
хус + xzb + yza = 0. (2)
Учитывая (1) и (2), получаем
** #* &
Задача 10.
Доказать, что если х + у + z+ t = 0, то
х* + у> + 2? + ? = 3(ху- zt)(z + t).
Доказательство.
Учитывая условие, имеем последовательно
х3 +)? + Ъху (х + у) = - z3 - ? - Zzt (z + 0,
140

б. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
х3 + у* - Ъху (z + t) = - z3 - t - 3z* (z + t),
x> + 3? + z3 + f3 = 3 (ху - zO (z + t),
что и требовалось доказать.
Задача 11.
Доказать, что если
й + с с+а а + й
„2 А2 ^2
й + с с + а а + й
Доказательство.
Домножив обе части равенства на а + й + с, будем иметь:
, t , а (а + й + с) , й (а + й + с) , с (а + Ъ + с)
а+Ъ + с= , , L + —- ; - + — —т—- =
й + с с + а а + b
+ « + ~ТХ~Г + й + —г-т- + с,
й+ с с + а а+й
и поэтому
й + с с + а а + Ь
Задача 12.
Числа х, у, z таковы, что выполняется соотношение:
y + z z + х х + у
Докажите, что тоща справедливо равенство:
*.+-?-+.*
= 0.
y + z z + х х + у
Доказательство.
Умножив данное соотношение последовательно на числа
х, у, z, получим следующие равенства:
х2 ху XZ
y + z z + х х + у
х;
141

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
; + z z + х х + у
y + z z + х х + у
xz yz z2
y + z z + х х + у
= z.
Сложим эти равенства и сгруппируем члены следующим
образом:
4-+-*-+^Ц+ (-&-+
xz
y + z z + х х + у) \y + z y + z)
+ (-?- + -?-) + Нг- + -?-1 = * + >- + *•
\z + X z + x I I x + у x + у)
Заметив, что выражение в каждой из трех последних
скобок равно соответственно х, у и z, получаем искомое
равенство.
Задача 13.
Если а + Ъ + с = 0, то
а2 , й2 . с2
2а2 + Ъс V? + са 2<? + аЪ
-1=0.
Доказательство.
Имеем в числителе после приведения левой части к
общему знаменателю:
3*W - аАЪс - ab4c - abc4 =
= -abc (с?+ # + <?- ЪаЬс) =
= - abc (а + Ъ + с)(с? + & + <?-Ъс-са- ab)\
ноа + 6 + с = 0, а потому числитель равен 0 и,
следовательно, левая часть равна нулю.
Задача 14.
Если а + Ъ + с = 0, то
1) a3 + b3 + c=3abc;
2) a4 + Ъ4 + с4 = 2 (a2b2 + b2c2 + с2a2) =
142

б. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
= 2 (ой + Ъс + са)2 = 2 [ ** + * + ^ .
Доказательство.
1) а + й = -с, следовательно, а3 + й3 + Зой (а + й) = — с3,
или а3 + й3 + с3 = Зайс.
2) а + й = - с; а2+ 2ай + й2= с2, или а2+ й2- с = - 2ай,
обе части возведем в квадрат:
а4 + й4 + с4 + г&# - г^с2 - гл? = ^й2,
откуда а4 + й4 + с4 = 2 (а2й2 + й2с2 + с2а2).
Но ^й2 + Ъ2с? + с2с? = (ай + йс + caf - 2ай2с - 2^йс -
- гайс2 = (ай + be + са)2 - 2айс (а + й -Ь с) = (ай + be + са)2,
откуда а4 + й4 + с4 = 2 (ай + йс + са)2; так же
(а + й + с)2 = а2 + й2 + с2 + 2 (ай + йс + са), или
О = а2 + й2 + с2 + 2 (ай + йс + са), откуда
ой + йс + са = ~ ,
4, 1.4, 4 0 / а + й + с
следовательно, а + Ъ< + с =2
2
Задача 15.
Если а + й + с = О, то
~ . „ . . а3 + й3 + с3 а2 + й2 + с
2)
а5
а7
+ bs
5
+ b7
+
+
с5
с7
3 2
а5 + й5 + с5 а2 + Ъ2 + с2
7 5 " 2 *
Доказательство.
Докажите самостоятельно, что если
а + ? + с = О, то (? + # + <? = ЪаЬс.
Поскольку (а + Ъ + с)2 = а2 + й2 + с2 + 2 (ай + ас + Ъс) и
143

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
а + Ъ + с = О, то
ab + ас + ос = ту .
Итак,
(а3 + й3 + ^(о2 + й2 + с2) = я5 + й5 + с5 +
, о' + ^ + с? ^Ч-й2*^
+ 3 2 ' откуда
а5 + б5 + с5 _ a* + tf + С3 ^Ч-^ + с2
5 " 3 ' 2
Задача 2) доказывается аналогично.
Задача 16,
Дано: р + q = 1.
Доказать: ^--^- = 4^^
#-1 р - 1 р q +3
Доказательство.
Имеем
1-? 1-р !_,_!_
^-1 /?3- 1 ^ + ^+1 рЧр+1
= (g"P)(g + P+l)
(^+^+1)(р2+Р+1)'
числитель равен (# - р) • 2, а знаменатель равен
P2e8 + W(p + ff)+p(p + e) + (p + ff) + e2 + l
= pY +рд + р+1 + ^ + 1 =
= р V + q (р + #) + р + 2 = рУ + # + р + 2 =
= рУ+ 1 + 2 = рУ + 3.
Требование задачи доказано.
144

б. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Задача 17.
Если ab = cd, то каждое из произведении равно
(а + с)(а + d)(b + c)(b + d)
(a + b + c + d)
Доказать.
Доказательство.
Имеем
(а + с)(а + d)(b + с)(Ь + d) _
(a + b + c + d)
= ab(а + с)2 (й + с)2 = л6(а + с)2(6 + с)2 ^
(ас + йс + с2 + ой)2 ((а + c)(Z> + с))2
Задача 18*
Если а + А = с + d, то каждая сумма равна
abed [- + T + ~ + h\
[abed/
ab + cd
Доказать.
Доказательство.
Имеем
>2
aftcrf f- + T + ~ + ^
\а b с d) _
ab + cd
^cdjb + cD + abjd + c)
__ abed _
ab + cd ""
cd(a + b) + ab(a + b) __ (a + b)(cd + ab)
ab + cd " ой + cd " a + *#

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 19.
Дано: й = а - 1, с = а+ 2.
Доказать, что
aW - о2*2 - с2 + 1
ctbc-^ + b(a-±
+ 1 = о2.
Доказательство.
Д.»ь равна М^^-')-^-')) =
а 6 (с + 1) - (с + 1)
следовательно, левая часть равна
й (с - 1) + 1 = (а - 1)(а + 1) + 1 = а2.
Задача 20.
Доказать, что
й- с с — а а — Ъ _ (й — с)(с — а)(а — А)
1 + йс 1 + са 1 + ой ~ (1 + йс)(1 + са)(1 + ай)'
ДоКОЗШПеЛЬС/Пва
Представив числитель а — А в виде — (с — а) — (й — с) и
приведя дроби к общему знаменателю, получим в числителе
левой части:
(й - с)(1 + са){\ + аЪ) + (с - а)(1 + аЬ)(1 + 4с) -
- (с - а)(1 + йс)(1 + са) - (й - с)(1 + йс)(1 + са).
Выносим за скобки общие множители во втором и третьем,
в первом и четвертом членах, получим в числителе:
(с - а)(1 + йс)(й - с) а - (й - с)(1 + са)(с - а) й =
= (й - с)(с - я)(1 + abc - й - айс) = (й - с)(с - а) (я - й).
146

б. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Задача 21.
Дано:
1 + аЪ 1 + аГ
„ a—d b—c а+с b+d
Доказать: j^ = у-^ и y^ = j—^.
Доказательство.
Из данного равенства:
а — Ъ + acd — bed = d — с + oftd - айс, или
а + abc — d — bed = й - с + айс? — acd, или
а (1 + be) - d (1 + be) = (й - с) + ad (й - с), или
(а - d)(l + be) = (й - с)(1 + ad), откуда
a—d _ й-с
1 + ad " 1 + йс*
Так же из данного равенства
а Л- с — abd — bed — b + d — acd — ойс,
или
(a + с)(1 - bd) = (й + d)(l - ac),
a + с й + d
откуда __ = __
Задача 22.
_ bz- су ex- az л ^ „
Если -r = и с 5* 0, то каждая из дробей
й-с с — а
равна
^г|^и а (у-г) + й(*-;с) +с (*-}>) = ().
Доказать.
Доказательство.
Пусть данное отношение равно к; тоща
bz — су = к(Ь — с), (1)
147

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
сх - az = к (с - я), (2)
следовательно,
a (bz - су) + Ъ (сх - az) = к(а(Ь - с) + Ь(с- а)), или
с (bx — ay) = &с (J — а), или
а;у-йх = ?(а-й)> (3)
откуда
ау — йя
Л =
а-6
Сложим (1), (2) и (3) равенства; тоща получим:
bz - су + сх - az + ау — Ьх = к (Ь — с + с - а + а - Ь), или
z (у - z) + Ъ (z - х) + с (х - у) = 0.
Задача 23.
¦о 2 2 т 2 2 2 2
Если а=т=&-п=с-р,то
йр — см с/п — ар an — bm _
а — т b — п с — р "" *
Доказать.
Доказательство,
Левая часть последнего равенства равна
(йр — сп)(а + т) (cm - ap)(b + п)
. (an - bm)(c + р) 1 / ь . t ,
+ ъ— ?— = ~ъ ? (ОДР — асп + яри* - стп +
С2 - р2 сг — пгу
+ йст — айр + стп — яяр + асп — йст + а/гр — Ьрт) = 0.
Задача 24,
Упростить
х2-
¦х+1 2х(;с-1)2 2х?(х*-1)2
+ Х+1^4 + Х2 + 1 X8 + X4 + 1
148

б. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Решение.
Имеем х* + х4 + 1 = (х4 + х2 + Щх4 - х2 + 1) =
= (х4 + х2 + 1)(л? + х+ 1)(х* -х+1).
Поэтому обпщй знаменатель равен х& + х4 + 1, а
числитель равен
(х2 - х + 1)2(х4 + х2 + 1) + 2х (х - 1)2(х4 - х2 + 1) +
+ Ix2 (х2 - I)2 = х8 - х4 + 1.
Следовательно, искомая сумма равна
Xs - х4 + 1
я? + ** + 1*
Задача 25.
Доказать тождество
(а + Ъ + с)3 - а? - й3 - с? = 3 (а + Ь)(а + с)(й + с).
Доказательство.
Первый способ.
((а + й)+ с)3- а3- й3- с3 = (а + й)3+ 3(а + bfc + 3(а + Ь) с2 +
+ г - (а3 + й3) - с3 = (а + б)3 + 3 (а + й)2 с + 3 (а + Ь) с2 -
- (а + й)(а2+ й2- ай) = (а + й)((а + й)2+ 3(а + Ъ)с + Зс2- а2-
- йЧ ай) = (а + i)(a?+ 2ай+й2+3ас+3йс+3с2-а2-й2+ай) =
= (а + й)(3ай + Зас + Зйс + Зс2) =
= (а + й)-3 (а(й + с) + с (й + с)) = За (а + й)(а + с)(й + с).
Второй способ.
(а + й + с)3 - а3 - й3 - с3 = ((а + й + с)3 - а3) - (й3 + с3) =
= (а+ й + с - а)((а + й + с)2 + (а + й + с) а + а2) -
- (й + с)(р - be + с2) = (й + сХа2 + 2ай + й2 + 2ас + с2 +

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
+ 2йс + о2 + db + ас + о2 - й2 + be - с2) =
= 3 (й + с) (а2 + ай + ас + be) = 3 (а + й) (а + с) (й + с).
Третий способ.
Применить замечательное тождество.
Задача 26.
Дано, х- 26с , У-(а + 4 + с)(й + с_а)-
Вычислить произведение (я + 1) (у + 1)*
Решение.
Имеем
_ б' + ^-а2 _ й2 + с2 - а2 + 2йс _ (й + с)2 - а2
+ Х " 2йс 2йс 2йс
_ а2 - (й - с)2
У (й + с)2 - а2*
У^ L ~ /-L I ~\2 3 Т /I I „\2 3~ '
4йс
(й + с)2-^ (й + с)2-^2 (й + с)2-^'
Итак,
(Х+П(у+П = ((г, + С)2"а2) ^
= 2.
Ответ: 2.
Задача 27.
Упростить выражение
1 + (а + х)-' Л _ 1 - (а2 + х2)]
1 - (а + я)"1 ^ lax у
1
полученный результат вычислить при х = ——г.
150

6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Решение. Первая дробь равна:
1
1+-
1 + (а + х)"1 а + х а + х+ 1
1 - (а + ху1 " j _ _1_ " а + х - Г
а- х
Далее:
_ 1~ а2**2 _ (а + *)2 " 1 _ (g + * + !)(<* + *" *)
2ох "" lax "" 2ях
Итак, заданное выражение равно
д + х + 1 (а + х + 1)(а + х - 1) (а + x + l)2
a + x — 1 2a* "" lax
tt 1
При подстановке x = —^-y находим, что
x+ 1 + а = —^-т+а+ 1 =
II I* I X — -f ¦
a- 1
2
Ответ:
2(a-l)-
Задача 28.
Показать, что при нечетном п из равенства
х у z х + у+ Z
следует равенство
U-U-U х
х* / Z* xT + f + z*
Доказательство.
Имеем
\ 1 _(x + y)(* + z)(y + z) m
j х + у + z xyz (х + у + z) "' w
откуда
(х + у)(х + z)(y + z) = 0. (2)
151

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Аналогично преобразуя доказываемое равенство,
получаем
(pf + /)(*" + ^ХУ + z*) = 0. (3)
Таким образом, достаточно доказать, что при п нечетном
из равенства (2) следует равенство (3).
Дейтвительно, пусть у + z = 0. Тоща z = — у, поэтому
/ + г* = /-/ = 0.
Следовательно, неравенство (3) имеет место, а поэтому
и доказываемое равенство также справедливо.
Задача 29.
Упростить выражение
С*2 - /)3 + (У2 " г2)3 + С*2-*2)3
(*-з>)3 + 0>-*)3 + (*-*)3 '
Решение.
Рассматривая сумму первых двух слагаемых числителя
как сумму кубов двух количеств, получим следующее
выражение для числителя:
з(х*-э?)0?-*)(*-**).
Аналогично поступая со знаменателем, найдем, что он
равен 3 (х - у)(у - z)(z - х).
Отсюда данное выражение
Задача 30.
Г 1Л 1 ^л
Доказать, что если —1-тН— = —, А , « где а * О,
# 5* 0, с & 0, то имеет место равенство
^2n+l ' ?2я+1 ' ^п+1 Д2П+1 ц. ?2в+1 ц. ^п
152

6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Доказательство.
Согласно условию имеем
1,1,1... 1 _ (a + b)(b + c)(c + a) _Q
а Ъ с а + Ь + с abc (а + Ь + с)
Следовательно, это равенство выполняется, когда
а + Ъ = 0, или Ъ + с = 0, или а + с — 0. Поэтому
^»+l e _ jjtaW ^go ?2-»+l = _ <*1+1> ^60 <*+! = _ ^«+1,
Пусть a2n+i » - й2п+\ тогда
1 ¦ +J- + . Х Х Х
^2^+1 * ?2»+1 с2"4"1 с2""*"1 а2*1-1"1 + й2"4"1 + с2714*1*
Аналогично доказывается это равенство в остальных двух
случаях.
Задача 31.
Доказать, что если
х2 — yz у2 — xz
x(l-yz) " у(1-»Г
ще х, у, z отличны от нуля и попарно различные числа, то
x + y + z = 1 Ь —
л: у z
Доказательство.
Согласно условию имеем
—7j г 7i Г — vJ> ИЛИ
x(l-yz) y(l-xz)
(х - у)(ху + yz + zx - aryz (x + у + z)) _
лу(1 -yz)(l - xz) "
Поскольку по условию x ч* у, to x - у s* 0, а потому
яу + yz + zx = *yz (x + у + z).
Так как xyz ^ 0, то поделив обе части последнего
равенства на xyz, получим — Н 1— = х + у + z, что и
требовалось доказать.
153

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 32.
Доказать, что если
y + z z + х х + у
рЪ + дс рс + да pa + gV
то
2 (х + у + z) _ (Ъ + с) х + (с + а) у + (а + Ь) z
а + b + с ~~ be + са + аЪ
Доказательство.
На основании свойства ряда равных отношений каждое
из данных отношений равно
(y + z) + (z + x) + (x + y) = 2(x + y + z) а
(рЬ + дс) + (рс + да) + (pa + gb) (р + д)(а + Ъ + су
Умножим числители и знаменатели первого из данных
отношений на а, второго на Ъ и третьего на с. Получим
а(у + z) + b(z + х) + с(х + у) _
a(pb 4- #с) + й(рс + да) + с(/?а 4- gb)
^(b + c)x + (c + a)y+(a + b)z (2)
~" (Р + Q) (be + са + ab)
Из соотношений (1), (2) легко находим, что
2 (х + у 4- z) (й + с) х + (с + а) у + (а + й) z
а + й + с "~ йс + са + ой '
что и требовалось доказать*
Задача 33.
„ а + с п lay т2 „2
Доказать, что если Ъ = —~—> Р = —Z~~> b р = асау, то
- + ^- = - + ~
у а с а
Доказательство.
Подставим Ъ = —~— и /3 = —-j— в третье равенство,
получим
154

б. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
а2у* _ а-с-а-у ссу _ а-с
(а+у)2 ~ (а + с)2' ШШ (а + у)2 " (а+с)'
(а+у)2 (а + с)2 о? + у2 а2 + с2
или — = - —, или — = ,
а-у а-с а-у а-с
ее у а с
или —h — = — + —, что и требовалось доказать*
Задача 34.
ay — bx ex — az bz— су
Доказать, что если = —т— = , ще а,
Ь, с отличны от нуля, то имеют равенства
* — У — ?L
а Ъ с
Решение.
Данные равенства можно переписать так:
с (ay — bx) __b (сх — az) __a(bz — су)
? ? ? •
На основании свойства равных отношений имеем
с (ау — Ах) _ й (сх — az) _ a(bz — су) _
? Р ?
_ с (ау - Ьх) + b (сх — az) + a(bz — су) 0 п
а2 + Й2 + с2 ~с? + # + <?~
Следовательно, ау - Ьх = 0, сх - az = 0, iz — су = 0, или
i? = Z * _? Z — ?
a"" ft' a" с' i ~ с
Отсюда — = -т = -, что и требовалось доказать.
Задача 35.
Доказать, что если
JE У _
a + 2й + с а-с а - 2й + с'
155

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
a b с
x + 2y + z х - z x — 2y + z*
Доказательство.
На основании свойства равных отношений имеем
х + 2у + z
(а + 2Ъ + с) + 2 (а - с) + (а - 26 + с)
_ х- z _
(а + 2Ъ + с) - (а - 2й + с) "*
х — 2у + z
" (а + 2й + с)-2(а-с) + (а-2й + с)Ф
_ x + 2y + z х — z x — 2y + z
Отсюда = —т— = —- , или
а Ъ с '
а 6 с
х + 2y + z х — z ~~ х — 2y + z'
что и требовалось доказать.
Задача 36.
Доказать, что если ах + by + cz = 0, то
axf + trf + cz2 1
6c(y-z)2 + ca(z-x)2 + a6(x-^)2 " а + й + с#
Доказательства
Преобразуем знаменатель левой части доказываемого
равенства. Имеем
bey + bcz - 26cryz + acz2 + асх? - 2acxz + abx* + abf - 2abxy =
= с (ax2 + by*) + й (ax2 + cz2) + a (й/ + cz2) - 2icj>z - 2acxz -
- 2abxy = c(a? + йу2 + cz2) - cV + ^(ax2 + йу2 + cz2) - й2/ +
+ a (ax2 + fry2 + cz2) - a2x2 — 2ftc;yz — 2acxz - 2abxy =
= (a + b + c)(ax2 + fry2 + cz2) - (ax + йу + cz)2 =
156

6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
= (а + Ъ + с)(ах? + bf + cz2),
так как по условию
ах + by + cz = 0.
Поэтому
as2 + fry2 + cz2
be (у - z)2 + ca(z- xf + ab(x- yf
axf + bf + cz2 1
(a + b + c)(W + fry2 + cz2) a+Hc'
что и требовалось доказать
Задача 37.
__ 3x + 2v 3j + 2z 3z + 2x
Доказать, что если ^^Ь = 36^ = 3^2^' то
5 (* + у + z)(5c + 4й - За) = (9х + 8;у + 13z)(a + Ъ + с).
Доказательство.
В силу свойства ряда равных отношений, каждое из
данных отношений равно
(Зх + 2у) + (Зу + 2z) + (3z + 2х) _ 5 (х + у + z)
(За - 26) + (34 - 2с) + (Зс - 2а) " a + 4 + с #
Также каждое их дантшх отношений равно
(Зх + 2у) + 2 (Зу + 2z) + 3 (3z 4- 2х) _ 9х + 8у + 13z
(3a-2Z>) + 2(36-2c) + 3(3c-2a) " 5c + 4fr-3a'
Следовательно,
5(x + y + z) 9х + Ъу + 13z
a + й + с = 5c + 4fr-3a' 0ткуда
5 (* + у + z) (5с + 4й - За) = (9х + Sy+ I3z)(a + b + с).
Задача 38.
Упростить А = (х + а)(х2 + а2)(х4+ а4) • • • (х2 + а2 ).

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Разделим и умножим на х — а (х Ф а).
_ (х - а)(х + а)(х> + fl*)(*4 d4) • - (х2""1 + а2""') _
х- а
= (х2 - ^(х2 + c?)(pt+ d4) • •• (х2"""* + а2"'1) =
~" х — а
= (х4 - л4>(х4+ а4) - - - = х^-а2*
х — а х — а '
Ответ: если х = а, то Л = 2П а2 ;
X2* - а2п
если х ;* а, то А = .
х- а
Задача 39,
си си а
Доказать, что если -г- = -^ = • • • = -г-, то
Доказательство.
Преобразуем заданные отношения и воспользуемся
свойством равных отношений:
^L = ^1 = = ^L = ^ + ^2 + ' " + а»Ьп (1)
Отсюда
^ + ^2+---+aA -у<«? + ^+•¦•+«?). (2)
Аналогичными преобразованиями получим
afi, + a.b, + • • • + апЪп = ^(а? + ^ + • • • + «ф. О)
Перемножая равенства (2) и (3) почленно, найдем
(а&+ оА+ • • • +aA)2 = (flf + <4+ '' • +<?)(*? + Ъ\ + • • • + #>
158

б. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Задача 40.
Доказать, что
(аЛ с{с% + с2я? + ... + скс%
°1 <*2
ЪЛ с$ + с2Щ + ... + ск1?
если -г- = -j- = • • • = т—, ср с2,..., ск — любые числа, не
равные нулю одновременно.
Доказательство.
Из данной пропорции мы получаем
qtf = cj3l = ... = cj&
с,Щ с2Щ ckV?
Отсюда, пользуясь свойством равных отношений, найдем
с{с% + с2с% + ... + ckc?k сх d[ (аЛ п
cfi + c2lf2 + ... + cklfk с,Щ
Задача 41.
Доказать, что
(а-Ъ Ь-с с-а\{ с а
с а Ъ \\а-*Ъ Ь-
если а + Ъ + с = 0.
с
W
с — а
= 9,
Доказательство.
Рассмотрим произведение первого множителя на первое
слагаемое второго множителя:
(a-btb-ctc-a\ с - с (Ь-с с - а\
- i с й2 - йс + ас - о2 _
~~ а — 6 об ~
159

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
= 1 +
= 1 +
с (а - Ъ) - (а2 - й2) _
а — Ъ ab
с (а - Ъ) (с - (а + Ь)) _
а — Ъ ab
= 1+%<с-(а+Ь)),
а так как с = - (а + #), то получим окончательно для этого
2с2
произведения 1 + —т-. Точно так произведение первого
множителя на второе слагаемое второго множителя будет
1 + -т— и на третье слагаемое 1 Н .
be * са
Складывая полученные выражения, получим
ab be са abc
abc
Задача 42.
Доказать, что из равенств — = j- = —, где а, й, с отличны
от нуля, следует равенство
X3 У» 23 _ (Х + У+Z)3
с? 1? (? (a + b + cf
Доказательство.
Пусть — = ^ = - = Л, откуда х = а&, у = #&, z = сЛ.
Ct с/ С
Сложив почленно последние три равенства, получим
х + )> + г = &(а + й + с) = --(а + 6 + с).
Отсюда
x + y + z _х (х + у + zf _ ?_
а + Ъ + с~ а' ИЛИ (а + й + с)2 ~ а2"
160

6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Умножив обе части последнего равенства на х + у + z,
получим
(х + у + zf _ х (х + у + z) =^_ + ^_У,^_1 (1)
(а+Ъ + с)2 с? с? с? о2 *
х2 f х2 z2
Но из условия задачи следует, что -т = ^, -$ = т>
поят ft а с
этому равентсво (1) принимает вид
(х + у + zf _ XJX + y + z) _? ^tf ^?
(а + Ь + с)2 ~ о2 ~ с? # &'
что и требовалось доказать.
Задача 43.
Упростить выражение
х4 - (х - I)2 х2 - (а2 - I)2 ^(х-1)2-1
(х2 + 1) - х2 х2 (х + I)2 - 1 х4 - (х + I)2 •
Решение.
= (х2 - х + lXx2 + х - 1) (х - х2 + 1)(х + х2 - 1)
(х2 - х + lXx2 + 1 + х) (х2 + х - \)(?? + X + 1)
(х2 - х - l^x2 - X + 1) _ х2 + х- 1 х-х2 + 1
(х2 - х - lXx2 + 1 + х) х2 + х + 1 х2 + х + 1
х2-х~ 1 = х2 + х-1+х-х2 + 1+х2-х+1 =
х2 + х+1 х2 + х+1
_ ^ + Х+ 1 _
"~ х2 + х+ 1 Ф
Задача 44.
Упростить выражение
а-Ъ Ъ- с с- а (а - Ь)(Ъ - с)(с - а)
а+Ь Ь + с с + а (а +Ь)(Ь + с)(с + а)*
161

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение,
Складываем данные дроби попарно — первые две и вторые
две. Получим
_ (а-Ь)(Ь + с) + (Ь-с)(а + Ь)
(а + Ь)(Ъ + с)
(с - а)(а + Ъ)(Ъ + с) + (а- Ъ)(Ъ - с) _
(а + Ь)(Ъ + с)(с + а)
_ ab - I? + ас — bc + ab-ac + lf-bc
(а + Ъ)(Ъ + с)
(с - а)(аЬ + Ь2 + ас + be + ab- b2 - ас + be) _
(а + b)(b + с)(с + а)
lab - 2bc (с - a)(2ab + 2bc) _ lb (а-с)
~ (a + b)(b + c) (a + b)(b + c)(c + a) = (а + й)(й+с)
2b(a + c)(c-a) lb (a - c) lb (a - c)
(a + b)(b + c)(c + a) (a + b)(b + c) (a + b)(b + c)
Задача 45.
Упростить выражение
(a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b)'
Решение.
После приведения дробей к общему знаменателю получим
а2 (Ъ - с) + Ь2 (с - а) + с2 (а - Ъ)
N
где N = (а - b)(b - с)(а - с).
Разлагаем числитель на множители:
а2 (Ь - с) + Ъ2 (с - а) + с2 (а - Ь) = а2 {Ъ - с) +
+ (Ь2с - с2Ь) + (с2х - Ь2 а) = а2(Ь - с) + Ьс(Ь- с) -
162

б. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
- а (й2 - с2) = (й - с) (о2 + be - ab - ас) =
= (й - с) (а2 - ай) + (йс - ас) = (й - с) а(а - й) -
- с (а - й) = (а - й)(й - с)(а - с) = N.
Ответ: т?= !•
2Y
Задача 46.
Доказать, что если
а — й й — с с — а л
1 + ай 1 + йс 1 + са
ще ай * -1, йс * -1, са ** -1, то числа а, й, с не могут быть
все различными.
Доказательство.
Условие задачи можно привести к такому виду:
(а-й)(й-с)(с-а) _0
(1 + ой)(1 + йс)(1 + са)
Отсюда следует, что или а = й, или й = с, или с = а, т.е.
из чисел а, й, с хотя бы два равны между собой.
Задача 47.
Доказать, что если -? есть среднее арифметическое чисел
1 1 с+а-й «
— и —, то число т есть среднее арифметическое чисел
ас о
й + с - а а+й-с
и .
а с
Доказательство.
112
Из условия следует, что — + — = -г, следовательно,
- + --| = 0, или (а+ й +с) (- + --!)=<), или
а с й v ' \а с b)
a + b + c а + й + с2(а + й + с)
ас Ь
163

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
п а + b + с ,
Значит, число т есть среднее арифметическое
а + й + с a + b + с a + b + с -
чисел и , а потому число т 2,
а с J Ъ
а + с -Ъ ,
т.е. число т есть среднее арифметическое чисел
о
Ь + с — а а + Ь — с ^
и ; что и требовалось доказать.
Задача 48.
п , 2ас а+ с
Доказать, что если о = , , то число —г— есть среднее
и т С О
Ъ + с а + Ъ
арифметическое чисел и .
Доказательство*
Перепишем условие задачи в таком виде:
±+±
1 _ а + с а с
Ь lac 2 Ф
Следовательно, -т есть среднее арифметическое чисел —
и —. Так как, если члены арифметической прогрессии
умножить на одно и то же число, то полученные числа также
а+Ъ+с
составляют арифметическую прогрессию, а потому —т—
, а + й + с а + b + с
есть среднее арифметическое чисел и .
Если к членам арифметической прогрессии прибавить или
отнять одно и то же число, то получается опять арифмети-
а + 6 + с Л
ческая прогрессия; поэтому число т 1 есть среднее
, а + b + с ч а + b + с .
арифметическое чисел 1 и 1, т.е. число
а + с , b + с
—г— является средним арифметическим чисел и
а + b Л
, что и требовалось доказать.
164

б. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Задача 49.
Доказать, что если -т есь среднее арифметическое чисел
— и —, то число ——— есть среднее арифметическое чисел
— и _ ., а также число —^— есть среднее арифметическое
1 1
чисел — и
ЖХ. 7 ¦
с с — о
Доказательство.
111!
Из условия задачи следует, что т = т > или
—г— = —т—, или с {а - Ь) = а (Ь - с). Поделив обе части
последнего равенствана произведение — а(а — с)(а — Ь)9
—с с - Ъ (а - с) - а
ПОЛУЧИМ т г = т w ГГ > ИЛИ 7 г =
J а (а - с) (а - с)(а - Ь) а (а- с)
(а - 6) - (а - с) _ 1 1 1 1
= ^ т^ ч • Отсюда = г, т.е.
(а - й)(а -с) ^ я а - с а - с а - й
= 77 I—Ь г]. Таким образом, число является
средним арифметическим чисел — и
а а — К
Теперь докажем вторую часть задачи. Из условия имеем
а(Ь — с) = с(а — Ь). Поделив обе части этого равенства на
произведение -с(с-а)(Ь-с), получим с(~* ^ = (с"^с_Ъу
(с-а)-с (с - 6) - (с - а) 1 1 1
или v / 7 ч = ±-р ^--г^—тг^, т.е. =
с {с- а) (с - а)(с -о) с с — а с — а
—г» откуда = w (— + г].- Таким образом, число
с о с a jl \с с "¦* о \
——- является средним арифметическим чисел — и _ ,.
Задача 50.
Доказать, что из равенства
а Ь с а + Ь + с
165

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
следует равенство
d1 If1' cf1 cf + lf + J1'
если n нечетное.
Доказательство.
Преобразуем данное равенство:
(ab + ас + Ъс)(а + Ъ + с) = abc;
(а + Ъ) be + (а + Ъ) ас + (а + 6) ab + (а + 6) с2 = 0;
(а + *)(а + с)(й + с) = 0.
Отсюда следует, что имеет место по крайней мере один
из трех возможных случаев:
1)а + й = 0ия=-й;
2) а + с = 0иа=-с;
3)Нс = 0и1=-с,
Значит, данное равенство верно, если хотя бы два из
трех чисел а, А и с равны по абсолютной величине и
противоположны по знаку. Но в этом случае то же будет иметь
место и для чисел ап, Ъп и с11 не нарушая данного равенства.
Полученное при этой замене равенство и есть то, которое
требовалось доказать.
Задача 51.
Упростить выражение
Решение,
Умножая каждый множитель в числителе и знаменателе
на 16 и пользуясь равенством
п4+ 4 = (я2- 2л + 2)(п2+ 2п + 2) = ((п - 1)2+ 1)((п + 1)4 1),
166

6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
получим, что данное выражение равно
(24 + 4)(64 + 4) • • • (384 + 4)
(44 + 4)(84 + 4) • • • (404 + 4) ~
= (I2 + 1)(32 + 1)(52 + 1)(72 +!)••• (372 + 1)(392 + 1) = 1
(З2 + 1)(52 + 1)(72 + 1)(92 + 1)- • -(392 + 1)(412 + 1) 841*
Задача 52.
Ь2 + с2-а2 , с2 + a2-bz , а2 + b2 - с2 ,
Дан0: 2Ь^ + 2^—+ lab =1'
Доказать, что две из этих дробей равны + 1, а одна из
них - 1.
Доказательство.
Рассмотрим выражение:
[# + г - о2 _ л р + с2-^ + г\
2Ьс ) \ 2ас
-ы'^цйр^-О-
_ (я - й + с)(а - с + й)(й + с - а)
2айс ;
(а - Ъ + с)(а - с + й)(й + с - а)
labc " 0,
так как мы к левой части данного выражения прибавим
— 1 — 1-4-1 = — 1; эта дробь равна нулю в том случае, если
либо: а — Ъ + с = 0; либо а — с + й = 0; либо Ъ + с — а = 0.
Отсюда имеем а — й = — с; а — с = — й; й + с = а. Если
й + с = а, то
^Ч-с2-^ (й + с)2 - 2йс - а2 _ а2 - а2 - 2йс _
2йс 2йс 2йс
аналогично
2<2С
= 1 при а — с = — й;
167

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
ш =1 приа-й=-с.
Задача 53.
_ ^ ^ ох2 + Ьх + с
Показать, что для того, чтобы дробь —^ имела
а^х + Ьхх + с{
значение, не зависящее от х, необходимо и достаточно со-
* а Ъ с
блюдение условия — = -=- = —.
°\ °\ с\
Доказательство.
Пусть данная дробь имеет одно и то же постоянное
численное значение при любых численных значениях #, ко-
^ о*2 + Ьх + с
торое обозначим через т, т.е. —~ = /и, откуда
а1хг + Ъхх + сх
{а - ajri) х* + (b - bjri) х + (с - схт) = 0. (D
Равенство (1) тождественно равно нулю по условию при
любом значении х; это возможно только тогда, когда
коэффициенты при х2, х и свободный член одновременно равны
нулю, т.е.
а - а1т = 0, Ъ - Ъ{т = 0, с - qm = 0,
откуда
a ft с (2)
Но если соотношение (2) выполнено, то данная дробь не
зависит от х, следовательно, соотношение (2) является
условием не только необходимым, но и достаточным.
Задача 54.
Доказать, что если сГ + ап = cf + ая {а * 0, а * ± 1) и
аЪт + аЪп = а*р + а3д (а * 0, а * ± 1), то т • л = р « ?.
Доказательство.
Имеем (ат + а*)3 = (ар + а*)3, или
168

6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
= dp + d* + За?+д (а? + d).
Но так как ат + ап = <? + ая и а3м + а3я = а3р + а3' то
ят+л = (f+99 откуда m + п = р + #, т.е.
m-p = q-n. (1)
Так как по условию
сГ- а? = с? - с?, то
ap(am"p-l) = rfl(^-n-l)e <2)
Возможны только два случая:
1) т - р = 0; тоща на основании (1) # - п ч? 0 и равенство
(2) приводится к виду 0 = 0. В этом случае т = р и п =± #,
а следовательно, тр = р#.
2) т - р * 0. Тоща g - п * 0 (так как т- р = q - п).
Равенство (2) приводится к виду с? = ал, а потому р = л. Но
тоща из (1) следует равенсто q = m, и, значит mn *до.
Задача 55.
Доказать, что если
с3 + рс + g = 0 (а * ?, a * с, й s* с),
то a + й + с = 0.
Доказательство.
Первый способ.
Вычтем почленно второе из данных в условии равенств
из первого, получим
о3 - й3 + р (а - А) = 0,
Так как a * й, то, поделив обе части этого равенства на
(а - й), получим
о2 + ай + й2 + р = 0.
Таким же образом, вычитая почленно третье равенство
из первого, получаем
a2 + ac + c2 + p = 0.
169

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
И, наконец, вычитая почленно одно из другого последние
два равенства, имеем
а(й-с) + *2-с2 = 0,
или, сокращая на (Ъ — с), не равное 0, получаем
а + Ъ + с = 0.
Второй способ.
Viz заданных трех равенств усматриваем, что многочлен
1? + рх + q обращается в нуль при х = а, при х = Ъ и при
х = с. Следовательно, этот многочлен делится на произведение
(х - а)(х - й)(х - с).
Имеем тождество
х3 + рх + q = (х - а)(х — й)(х - с),
так как коэффициент х равен 1.
Значит,
х3 + рх + q — х3 — (а + й + с) х2 + (Ьс + ас + ab) х — айс.
Приравнивая коэффициенты при х2, х и свободные члены,
получаем соответственно
я + й + с = 0, аЬ + ас + Ьс = ри аЪс = — q.
Третий способ.
Из данных трех равенств следует, что а, Ь, с — корни
уравнения
х3 + 0х2+рх + ^ = О (т.е. х{ - а, х2 = Ь, х3 = с),
следовательно, х{ + х2 + х3 = 0 или а + Ъ + с = 0,
Задача 56.
Доказать, что если сГ + сС = с? + я* (я * 0, а ?* ± 1) и
о3" + а?» = а3' + а3' (а * 0, а * ± 1),
то т - п = р • q.
Доказательство.
Имеем (ат + ап)3 = (а" + а')3, или
170

6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ctm + dn + ЗсГ+п (dt + d) = dp + d* + 3aP~q (а? + cf).
Но так как ат + d = d + d и dm + аЪп = dp + а3*, то
am+n = о^, откуда т + л = р + q, т.е.
m-p = q-n. (1)
Так как согласно условию
о" - d = tf - d,
то
оР (a*1"' - 1) = d {d'n - 1). (2)
Возможны только два случая:
1) т - р = 0; тоща на основании (1) q - п = 0 и равенство
(2) приводится к виду 0 = 0. В этом случае т = р и я = q,
а следовательно, #ш = pq.
2) m-p=*0, тоща q-p*0 (так как m-p = q-n).
Равенство (2) приводится к виду d = d, а поэтому р = п.
Но тоща из (1) следует равенство q = т и, значит,
яш sb pq.
171

7. ПАРАМЕТР В ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
ВЫРАЖЕНИЯХ
Задача 1.
Упростить А = (а — Ь) V -; - ч
F v ' a2-2ab + b2
Решение.
л-(* мУ У (а-Ь)Уу
А-(а-Ь)У ^_2аЬ + р - {а_м -
V)T, если а>Ьу
не имеет смысла, если а = 6,
- Vy", если а< Ъ.
Задача 2.
Упростить: Va2 + aV8~+2 + Va2 - aV3~+2.
Решение»
Имеем
Va2 + a VT+ 2 + Va2 - a VT+ 2 =
- Va2 + 2aVT+ 2 + Va2 - 2aVT+ 2 =
= la + VZ~l + la-VTl =
Задача 3*
2a, если a ^ V2^
2 VT, если - VT^ a ^ VT,
- 2a, если a < - VXi
a2 + l
Упростить
a
Решение.
V(^)v.'
c? + l (? + l
WJ^f^'W^
2a2 + 1+ 4a2
4a2
172

7. ПАРАМЕТР В ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЯХ
в (с?+1)2- \а\ =2 1а1
~ aV(^ + l)2 a
2, если я>0,
не имеет смысла, если а = О,
-2, если #<()¦
Задача 4.
Упростить Va + 2 Va^T + Va - 2 Va - 1.
Решение.
Va + 2Va-l + Va-2Va-l =
= Va + 2Va-l+l-l+Va-2Va-l+l-l =
- V(Va — 1 + 1>* + V(Va - 1 - 1)' =
= Va^T+ 1 + IV^H~- II =
2Va- 1, если a>2,
2, если 1 ^ a ^ 2,
не имеет решений, если a< 1,
Задача 5.
Va-2vT+l faT+ 1 _,_ t
УПРОСТИТЬ j , -аср= т + 1«
Va + 2^"+l vJ"1
Решение.
Уа-2Уа"+ 1 fe~+ 1
Va + 2?a~+l " *e"-l
+ 1 =
_ V(Va"- l)2 frg~+l _
" ($T+1)2 ,^a=^T+1-
lVa"-ll 1 , , lVa~-ll , , _
2, если а>1,
не имеет смысла, если а = 1,
О, если 0 <€ a < 0.
Задача 6.
Упростить А = (т^Т* ^Ц : ^~=Т' 7*Тг) '
173

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
если я =
а2 + Ъ2
lab
, а>0, ft>0.
л _ у/х + 1 + у/х - 1 _ (а + ft) + I а - ftt
ответ: л - ^/зГ+Т- V^HT " (а + *) - 1а - Я "
-г» если а > ft,
не имеет смысла, если а = ft (тогда х = 1),
—, если a<ft.
а
Задача 7.
Упростить А = 7_=-7—=, если х = гт-?, т>0,
п>0.
Ответ:
п, если п>\>
—, если 0<я<1.
Задача 8.
Упростить А = х V а - Я2 + 0,5, если
Va + V8a - 16 -
Та >а>%
[а-Ъ
1/7 — 41 4- /г
Ответ: А = -
2а
Задача 9»
v * 2ft Ух*-1
Упростить А = / , л , если
, если а > 4,
1, если 2 ^ а < 4.
х - V*2 - 1
Ответ: А =
a- by если а ^ ft,
ft (й-а) „.
—* -, если a<ft.
174

8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ,
СВЯЗАННЫХ С ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЯМИ
Задача 1.
V2~+ VT+ VT
Упростить А = vT+VT+VT+vT+VnT
Решение.
4 = V?~+ VT", тогда
УТ+УЗ~+У4~
~ VT+VT+VT+VT+VF+VF
V2~+V5~+V3"
" (V2~+ vT+ Vt) + VT(VT+ V3~+ V3) ~
vT+ VT+ VT l
~ (VT+ VT+ V7)(l + VT) ~ V2~+ 1
Задача 2.
Упростить выражение
(m + x)172 + (m - x)1/2 2mn
(m + x)1/2-(m-xy2' ССЛИ X ~ n2 + 1
Решение.
= VT-1.
575—т rjTj, если x = 2 , , и m>0, 0< n < 1.
(Vm + x + Vm - jc )2 _ 2m + 2 Vm2 - x2 _
" (Vm + x f - (Vm - x ) 2x
-f*^1
Подводя множитель x под знак радикала, мы считала
Vх* = х, потому что х > 0, как это следует из условия. Tjbl
т п2 + 1 л п2 + 1 , \1(п2-\\2 % л2 + 1
-^^
х- 2„ >™л = -ъГ+ у -27Г "1=-^- +
Л/ (п2-\У „ п^ ^ V (п2-1
ь V —5— • Но 0<и< 1, и поэтому V I—~—
-1Г 1-п2
2п 2п
175

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Таким образом,
п2 + 1 1 - п2 2 1
2п 2п 2п п
Задача 3.
Уничтожить иррациональность в знаменателе
2 + V3"
V5"-V3"+VT-Г
Решение.
2 + VT 2 + V3T
ИмееМ -7?= лЧР-: 1Я= Г = m-, /ж- «ч * , /тг-
—_ —¦.
2 + VT 4 + 2VF
~ (V3~+ 1)(VT- 1) " 2 (VT+ 1)(V2~- 1) "
(VT+ l)2 V3~+l _ (vT+ 1)(V2~+ 1)
= 2 (V3~+ 1)(V2~- 1) " 2 (VT- 1 " 2
Итак 2+VT - (уПГ+ 1)(V!Z"+1}
итак- VT- V3~+ VT- 1 2
Задача 3.
Упростить выражение
л/(1 + а)эУТ+~а~ к/ VT
V За V 9 + 18a~1 +
9a"
Решение.
у/ (I + а)3 уГППГ U V3~
V 3a V 9+18a4 + 9a-2
= \Лд + аУУГТТ \/ ^VT _
3a V 9 + (l + a)2
_\/a + a)3(l+~ V 3a4 _
y 27a3 v 81(1 +a)4
176

8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЯМИ
\/ (1 + а)<-За<_ i/ а _ U
Т 27а3 • 81 (1 + а)4 " V 9 • 81 "3 Va'
Ответ: -о Vc^
Задача 4.
*-i\
f(af2 + a2)~2 + (jc?-a2)-2
Упростить выражение Р *—;—- —j
Up? + <?У * - (з? - (?f»)
-2
если
(т2 + п2\* ^ ^п
Решение.
(Ух2 - а2 - Ух2 + с?
(х2 - а2) - (х2 + а2)
2Х2 - 2 УСх2 + а2)(х2 - а2)
-2а2
= ir[x2-y(x2 + a2)(x2-a2)]2.
_ 4 (m + rif (m - л)2 _ 4 (/n2 - n2)2
"" 4m2n2 " 4m2n2 '
У(х* + a^x2 - a2) = a2 • ^,
так как n>m>0 и, следовательно, V(m2 - я2)2 = n2 - m2, а
W n2 = mn.
Теперь можем написать, что
1 / , т2 + п2 , п2 - /п2\ _ 2т2 _ п?_
2тп
177

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 5.
а а, а
Доказать, что если -т- — -?- = • • • = -=-, то
*1 °2 К
У^+У^Г+... + У5А =
= уц + а, + ... + <д(^ + а2 + ... + zg
(я*>0, йА>0; ? = 0,1,2, ...,л).
Решение.
Пользуясь свойством равных отношений, получим
или, извлекая квадратный корень
Уа, + йд + ... + ая" _ Уа7
Уй, + Й2 + ... + *. " V5T'
С другой стороны, из данной пропорци находим
оД _ а^ _ _апЪп
% ~ % ~ *"*" *п
или
V^b[ _ Va,b, VQT
«I " h ~ ~ Ьп •
Отсюда получим
Va,^ + У fl^ fr2 + ... + Чап Ъп _ Vfli fy _ Vaj~
^ + ^ + ... + 4, " *, "A"'
Сравнивая левуя часть этого равенства с такою же,
полученной ранее, легко получить равенство, которое нужно
доказать.
Задача 6.
Упростить выражение
/Уд"+ Ух"_ Уа + х \ _ NTT— Ух"_ Уа + jc \
I УаТх" Уя~+ У*1 1 Va + х Уа~- Ух1
178

8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЯМИ
Решение.
На + у/х Va + х \
1 Va + х Vo~+ у/х~\
,,_..„* ч -2
_о
На - у/х у/а + л; \
1 Va + х Va"- Vxj
((Уа~+ VFf-a- х\ ~2 _ f(VT- Ух)2 - a - лЛ
(^ Va + л; (Va~+ Vic) J { Va + х (Va"- Vx) J
(a + 2VaF+ x - a - ;c\ _ (a-2 Vax"+ л: - a - x\ _
[ Va + x (Va~+ Vx) j ^ Va + * (V^- Vx) J
_ (a+ x) (Va"+ Vx")2 (a+ x) (Va"- Vx~)2 _
~" 4ax 4ax
- (fl + *) (# + 2 Vax"+ x - a + 2 >fax- x) _ a + x
" 4ax ~~ VaF*
Ответ: > ,
V OX
Задача 7.
Упростить выражение
Решение.
Из данного выражения и из условия х>0 видно, что
допустимыми значениями для х являются те числа, которые
удовлетворяют неравенствам 0 < д: < 1. Отсюда следует, что
Vx^= + х, а V(x - I)2 = 1-х. Имея это ввиду, преобразуем
выражение так:
А =
/ vt+t (vr^T)2 \
VI+ х VI-х \
vt+t- vt^t vt+t- (vt=T)J
_ Vl + x + Vl-x Vl-x^-1
~ VI + x — VI — x x
'Vl-x2
X
I
X
-1
179

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
(VTTT+ УГ^Т)2 VT^IF- 1
(1 + х) - (1 - х) ' х
_ г + гУьГ?" vT^F-i (VTTF)2-1
2х * л; х2
_ -^
Задача 8.
Упростить выражение
¦--1.
2~Ш Ч » « Т
Решение.
гУо3* ' \ Ъ а )
~ 277ь :
/a + b \ _ а2 - V (^-aV^F) • (а2 + aVT^F)
/а + й-2У^ _ а2 - У а4 - а2 (а2 - У) Ш _
''{ *аГ J " У7Т (VF- УТ)2 "
_ <? - ab VoF" а- ft
~ ~а7а5~ ' (vT- VF)2 " (Уа~- VF)2'
_ а-Ь
Ответ: —=—=-,.
(VF- VF)2
Задача 9.
Упростить выражение
У(х + I)2 + У(* - I)2 - 4 Ул2 - 1 + 1,
180

8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ИРРАЦИОНАЛЬНОСГЯМИ
_ (2 + У5У+ 1
еашх~ (2 + V3T-1'
Решение.
Так как ^-±4 = (2 + VT)", то
= \^(х- I)2 [(2 + V3-)2 + 1 - 4 (2 + VT)] + 1 -
= %(х- 1)" (4 + 4VT+ 3 + 1-8-4VT)+ 1 = 1.
Задача 10.
Докажите, что если V х2 + V*4 / + V / + V л2 у4 = а,
тох2/3+/3 = й2/3.
Доказйигельстоо.
V*2+3VxTf + Vy2+^т7=
= VVF(VF+ V7) + Vv?W+ V]?") =
VVx^+W(^xT+W) = {VxT+Wf2 = a.
Отсюда следует л^/3 + у2'3 = й2'3.
Задача 11.
Доказать равенство
V2 + VT- V 2 + V2 + VT • + VT+V3~x
V2-V2 + V2T
V3" = 1.
181

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Доказательство.
V2 + VT- V2 + V2 + VT- V4-2 + V2 + VT =
= V2 + vT- V2 + Vl+W- V 2 - V2 - VT =
= V2 + V3~-V4-2-V3"=V2 + V3~-V2-V3~ =
= V4-^3 «1.
Задача 12.
Упростить выражение
f I
IV2T— 4 a — b Va~+
Решение.
vT+TJ
1 +
4 a+b
Va~^?
(VF- VF=T Va~+ 4a~+~b~J ' \l + Va~^TJ
~\ /V^^T+VgTF|
(V7T+ Va + 6 - VaT* Va- ft
a - a + й
y/a + b +Va-b
yfdT^T
Va=F
Ча-Ъ + Va + Z>
Ответ:
V^T
Задача 13,
Упростить выражение
2д
(VF- VF^aY-2k
если x = ^— .
Решение.
^ = ^=^V^5+l-2VF-V-^L- + ** =
^ f a" V T a2-2**2* J
182

8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЯМИ
Vo"-V
а
п-2к п-2к
[(f) "-^(1) "+']*'•
2п п-2к
~^Ь-а)п-<\ (х\Лп TJb-ЧЬ-а
о""2* v ;
Поэтому А = Уап V
а а
[л/Т. V^T) -
{ а а )
а \ а а ) J
1а а а а а
+ 2 V^V^T+ll+й2 = й2.
а а
Задача 14.
Упростить выражение
(х~2 + <Г2/3 х-"/3)-1/2 + (а"2 + а~4/3 х-2/3)-'/2,
если* = (й2/3-а2/3)3'2.
Решение.
Л = [*"4/3 (лГ2/3 + а2*3) Г"2 + [аА1ъ {а213 + х~2'3) Г1'2 =
= х213 (х-213 + й-*3)-"2 + а2* (х"2/3 + а-2/3Г1/2 =
= (х-213 + а213)-112 (х213 + а2'3) - (х2'3 + с?У2 х"3 а"3.
Но/3 = (Й2/3-а2У2>
х* = ъ213 - с?3, х2'3 + а273 = Ъ213.
Поэтому Л = (Й2/3)1/2 if3 - а213)"2 а"3 = /3 й"3 (Й2/3 - а273/2.
183

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 15.
Упростить выражение
Решение.
Ух2¦ - 1 + х
- i ¦ Зх2-! _ Ух2 - 1 + х _
У*2-! Ух2 - 1 (х + У*2 - 1 )
2х Ух2 - 1 + 2Х2
Ух2-!
гхУх2-! -Ы^-Х-Х
Ух2-!
= 2(х +
Задача 16.
Упростить выражение (х
2тл
если х = {а + Va2 - 1 )т"ге.
Решение.
-1
Vx2
т + ;
1
y^-i
Ух2 - 1 + х2 - 1
y^-i
-1).
Ответ: 2 (х +
к в)2 - 4й? X » ",
•2 =
Vx2-
1)
2
После вынесения хт за скобку, получим
2^ т-го т-п 2_
хм [(1 + х *» )2 - 4а2 X ""* = Хт • М.
т-ге
Но х "» = (а + Vd2 - 1 )2 и
184

8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ИРРАЦИОНАПЬНОСТЯМИ
1 + Х~^Г = 1 + (а + Va2 - 1 У =
= 2а2 + 2а VcF^T = 2а (а + VlF^T).
Поэтому
[2а (а + Va2"^!) f - 4а2 (а + Va2^!")2 =
4а2 (а + Va2 - 1 f - 4а2 (а + Va2 - 1 ) = 0 и х«-М = 0.
Задача 17.
Упростить выражение
УУ2~- 1 fa + 2 УТ + У(* + 12) VF- 6х - 8
- VF
- VvT+1 fa-2VZ~
VF-1
Решение.
VV2~- 1 fa + 2 У2~ + ?(x + 12) VF- 6x - 8
^^T ~ VVT+1 fa-2VT
V(VT- l)2 (3 + 2 УГ) + V"(x + 12) VF- 6s - 8
V*^*/;1) - V(VT+1)2(3-2V2-)
= V(3 - 2 VT) (3 + 2 V2~) + Vx VF+ 12 VF- 6x - 8 _
VF- V(3 + 2 VT) (3 ¦» 2vT)
_ V?^8"+Vg*~-2)3 _ 1 + VF- 2
" VF- V9 - 8 " VF- 1 " *
Ответ: 1.
Задача 18.
Упростить выражение
(1 - s2)- 2 + 1
(1-х2)- I - 1
э1/2
если x = 2Д1" (1 + R)'1 и Л > 1.
185

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Так как R> 1, то
(1 - ^-./2 =
Поэтому
2
1-
4R
(1 + R)2
* У (1 + R)2 R+l
~ V (l-R)2 R -1*
Отсюда
Л =
д-1
1 \ "2 _ У/?- 1
Д-i " Уд
+ y^n"=y^^rfi + ^V
Задача 19.
Упростить выражение
1 + ¦
1 j_2 . , х2 \ _,_ а У*2* a
^ УлГ + С +-7-5 + о • 7~5
2 УУ + а 2 x + yjyf + a
Решение.
1 (,,.л , , х2 \ _,_ а У^ + а
1 /Vx2 + а • Ух2 + а + х2
у/х* + а
Ух2* а
Ух2 + а + х
Ух2*
а . Ух2 + а
2 ' х + у/х* + а
Ух2 + а + х
1 fy + g) . а ___
2 IV7T7] 2 ' Vx2 + a • (x + Ух2 + a)
186

8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЯМИ
_ 2л2 + а а (У*2 + а + х)
~ 2 Ух2* а 2 Ух2 + а (х + V*2 + а )
_ 2а2 + а д 2х? + 2а
" l41FTa 2^х* + а " 2V^ + a
= Ух2* а.
Ух2* а
Ответ:
Задача 20.
УПР°СТЙТЬ V4-3^+2^--h2r-
Решение.
Обозначим V5" через а и пользуясь равенством а4 = 5,
будем иметь
1 = 1 =
а3 - 2а2 + За - 4 (а3 + За) - (2а2 + 4)
(а3 + За) + (2а2 + 4) а3 + За + 2а2 + 4 =
а6 + 6а4 + 9а2 - 4а4 - 16а2 - 16 - 2а2 - 6
(а3 + 2а2 + За + 4)(а2 - 3) = а5 + 2а4 - 2а2 - 9а - 12 =
2 (а4 - 9) 8
а2 + 2а + 1
¦ - m
4
поэтому данное выражение равно 1 + V3~.
о6 + 6а4 + 9а2 - 4а4 - 16а2 - 16 =
= а6 + 2а4 - 7а2 - 16 =
= (а6 + 2а4 - 5а2 - 10) - 2а2 - 6 =
так как а = V3"
= ((V5)3 + 2(V5)2 -5V5~- 10) - 2а2 - 6 =
187

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
= (5 VT+ 10 - 5 V2T- 10) - 2а2 - 6 =
= - 2а2 - 6.
Задача 21.
Доказать, что если ахг = brf = cz* и— + — + — =1, то
х у z
Vox2 + bf + cz2 = Vo"+ Vf+ Vc:
Решение.
Имеем V«P + tf + o?-V^ + ^ + ^.
x у z
Но так как по условию ах3 = 6у* = czz, то
х у z
-.Vi+i+i.
= xVo"'
x у z
Поскольку — H Ь — = 1, то
Vo^ + i^ + cz2 = x3/^: <d
Аналогично находим
Vox2 + ft/ + cz2 = yVF (2)
и
Vcvf + bf + cz2 = z3/^ <3>
Из равенств (1), (2), (3) получаем
Vox2 + йу2 + cz2 3/—
= Va,
x
Vox2 + йу2 + cz2 г —
" = V°,
188

8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ИРРАЦИОНАПЬНОСТЯМИ
Vox2 + bf + С2? Ъг-
= vc
2
Сложив последние три равенства, получим
Vox* + bf + с* • fi + i + 1] = 3/^+Vf+3/f,
(1 + 1 + 1)- =
учитывая, что — H Ь — = 1, получим
Vox2 + ь? + с# = Vo"+ Vzr+ Vc:
2 способ.
Пусть а? = йу* = d = Л3, тоща я = —т; й = -3-; с = -г.
л: у z
JO3 D3 D3
ъ ядг = ajr = cz" = А", тоща а = " *
Поэтому
X }> Z
Задача 22.
Упростить выражение:
V2 + V5" V-38 + 17УГ^7 л/\-пх
V2 + VT : V-38 + 17VT+* : V 1 + пх'
если л: = — V — - 1 иО</и<«< 2/я.
Решение.
Так как
V2 + VT- V- 38 + 17 VT = V(2 + V3)3(-38 + 17VF) =
V(38 + 17vT)(-38 + 17 V5") = V(17 VT)2 - 382 = 1,
то данное выражение A =
1 - mx a/ 1 + nx
1 + /пя 1 - nx *

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Преобразуем теперь каждый множитель отдельно:
1 — тх
1 + тх
i-V^t-i li-уЩ
1 + VfT (.-(?-!))
2m ^V2m i vb ~
/I ft ft 1 т
-X- _
2 =
2m
n — m
nx
I — nx
•^f77 m+„Vi^
m
i + /г V
т 2m +
m 1
n
m
- 1
m2_„2[^Z7
, V2m Г
w + n V 1
\T+
MX
m
(m - /г)2
VI - nx n — m '
так как из условия n > m следует, что
V(m - n)2 = n - m.
V2m < , \Гъп л
1 m + n У 1
m
Итак, A =
n
/i - m
f2m
n- m
(- m + n)2 (m - n)2
190

8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ИРРАЦИОНАПЬНОСТЯМИ
Задача 23.
Упростить выражение
(а + J,2yU2 + (а - ^2у1/2, если х = 4 (а - 1) и
1) 1<я<2; 2) а>2.
Решение.
(а + ^/2)"1/2 = (а + VF)"1/2 = (а + 2 V^=T~)-1/2 =
= [(а - 1) + 2 VF=T~+ 1Г1/2 = ((Vo=T+ I)2)"172 =
Аналогично получим
(а- х"2)""2 = (а - VF)~1/2 = ({Va=T- l)2)""2.
Если 1) 1<а<2, то у/а- 1 < 1,
V(Va-l -iy = 1 - VH^X (а - я"2)""2 =
Поэтому данное выражение
Va=T+ 11- Va=T 2-а
Если 2) а>2, то Vo - 1 >1, V(Va - 1 - Tf =
= у^ПГ-1, (а - ^2)-'/2 = (V?=T- 1)-' = Vfl ^\ _ 1?
j 1 1 2Va=T
Va=T+ 1 т Va=T- 1 ~ а - 2 *
Задача 24.
Упростить выражение
^ V -2аЪ + W - *)<« + ») • JLz*

ШВДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
^ V - 2аЬ + ^(о2 - *)(а + *) • ^-^
= ^й V(о2- 2аА + #)(e-ft)(a + А)2 • —^ ' (^- *) =
= 6(а?-*3).
Ответ: А (а3 - Ьъ).
Задача 25.
Упростить выражение
\Mx(14 + 4Vo~) -a/4V3x-2V2x.
Решение
\M*(14 + 4V6~) ->/4V3x-2V2x =
л/56х + 16х V6~ • \М V3x - 2 V2x =
= V56*+16xV6~- Vl6-3x-24V3x2V2x + 4-2;c =
- A^(56x + 16л: VF) (56x - 16xV6~7 =
Ответ: У20л.
Задача 26.
1-ai + Vl + a2 -aVTT
Упростить
l-ab + y/l + b2 -ftVl + a2 '
Решение.
Числитель равен
l-a + Vl + ^+aCl-A-Vl+ft2) =
= 1 - с + VT+a2" -1 (1 - a + VTT^Xl - a - VT+F) x
192

8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЯМИ
х (1 - Ь - VT+T = (1 - а + VI + а2) х
х U - ^(1 - а - VT+1F)(1 - Ъ - VT+T)].
Знаменатель равен числителю, если в нем переменим
о на Ъ и Ъ на а, а потому знаменатель равен
(l-a + vTTF)x [l- ^(1-а - VI + а2)^ - А - VI + Ь2 )),
а потому, сократив дробь на общий множитель, найдем:
1-a + Vl + a2
1-
Задача 27.
Упростить выражение
(Va+ VF)2 -
i + VT +
-46
(a.i):(Vl + 3Vi]
Решение.
(\Га+ VF)2 -
¦4b
Ъ2'
а + 9Ь + 6Vab~
VF+VF
а + 9b + 6VaF
(а-*):(л/Г+зЛ/Г)
1 4. Х
_ a + 2VaF+6-46 (VT+ 3VF)2 _
«.ч /Va~+3VF\ : VT+VF ~
_ a + 2 VaF- ЪЪ Va~+VF _
_ (a + 2 V^F- 36) (Va"+ VF) _ a + 2V5F-36 _
" (а - 6) ай (Vo~+ 3VF) " ай (VF-VF) (Va"+3VF) ~
_ a + 2 VoF- 36 _1_
аб (а - VaF+ 3 SaF- 3b) ~ ab'
Ответ: -т.
193

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 28.
Вычислить
Vxr + nJdrx» + Vcf + ^JlFtf - 1,
л+1
(п п \
Решение.
V2 П / 2
я п я Jk / _n_ _п_ _л_
Хл+1 (Хп+1 + ди+1) + у дл+1 (fln+l + jcn+1) - 1 =
\Г1 ~{\Г7Г \Г1Г)
1 =
= (x*+1 + ал+1) - 1.
n n n n n n
Ho xn+l = й*+1 - an+l, a xn+1 + яя+1 = bn+l.
n Д+1
Поэтому Л = (й n+1) л - 1 = й - 1.
Задача 29.
V?^
(1 -ах)VI + Ьх У Ъ ,,,*
(1 + ах) VI - Ъх * а
Решение.
Из условия х = — V -г- - 1 следует а2 х2 = -т- — 1, или
2а
1 + aV
й = ——j-j, поэтому
194

8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ИРРАЦИОНАПЬНОСТЯМИ
(i-«)Vi+- 2ах
Q.-ax)y/i + bx _ 1 + а2*2
(1 + ах) VI -Ьх
lax
(1
+ ax)Vl-r|
а2*
(1 - ах) V(l + ах)2 _
(1 + ах) V(l - ах)2 '
Задача 30.
Вычислить (/т + /")2 - 4аVm+1^ если
2тл
* = (а + Va2- 1 J""1
Решение.
Вынесем л?/т за скобку. Получим:
ТЛ—fl Ш—Л
я27"* ((1 + х~^~ )2 - 4а2 х~^~) = зРш'М.
гп—п
Нох™ = (а + VV - 1 )2 и
1+jc «• = 1 + (а + у/о2 - 1 )2 = 2а2 + 2а Va2 - 1 =
= 2а (а + Va2 - 1 ). Поэтому
М = (2а (а + Va2 - 1 ))2 - 4а2 (а + Va2 - 1 )2 =
= 4а2 (а + Va2 - 1 )2 - 4а2 (а + Vo2 - 1 )2 = 0 и
х2'"- М = 0.
Задача 31.
_ Л Я С ?>
Доказать, что если — = -г- = — = -г, то
а о с d
V3a~+ VM + VCc"+ 4^3"= V(a + b + с + d)(4 + B + C + D).
Доказательство.
A=B=C_
abed
А В С D
Пусть — = -т- = — = — = p. Тогда Л = ар, В = bp, С- ср,
D = dp.
195

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Таким образом, имеем
VAa+ VW+ VUF+ VDT= Vf(a + Ь + с + d). (1)
Далее из условия следует, что
А + В + С + D _ А _ (2)
а + b + с + d "" а "~
Из (1) и (2) следует
VAxT+ VbF+ VUc~+ VJJT= (a + b + c + d)x
XVA*A1C1!? = V(a + b + с + d)(A + В + С + Я) ,
a + b + с + d v /v '
что и требовалось доказать.
Задача 32.
Упростить выражение
Решение.
= л/(р + ?)2 л/(р-я)2
р-д р-q
Так как р > # > О, то
V(p + <7)2 = р + <?; V(p - <02 = р - <?.
Отсюда Л =
Р + g Р- Q _ 2?=
Vp - # Vp - # Vp - #*
196

8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЯМИ
Задача 33.
Доказать, что
л/г^-^ + гаУо2-*2 - ^ с?-2Ъ^Т=? = а + Ъ
при a>6VT>0.
Решение.
Л/г^-^ + гаУо2-*2 - Va2-2iV^^=
= Vca2- Й2)2 + 2&Г?^?+? - Va2-*2 - 2ftV^=F+^=
= Уа2-й2+а-Уя2-й2+й = а + й,
так как по условию а>йУг2~и, следовательно,
Va2-*2 > V262-*2 = й>0,
поэтому Vа2 - б2 - й > 0.
Задача 34.
Доказать, что выражение
у = (х + 2 V3FT)-1/2 + (* - 2 V^=T)-1/2
равно ~ при 1 ^ х < 2 и ~— при л: > 2.
Z ~~" X X ~~~ л*
Доказательство.
Возведем обе части этого равенства в квадрат:
у2 = (х + гл^^Т")-1 + 2 (х + 2Vx~=T)"1/2 ((х - 2V3Fn~)-1/2 +
+ 2 (х2 - 4 (х - 1))"1/2 = -=—-^ ГГ + /д 2, Г =
v ч " х2 - 4 (х - 1) Vx2 - 4х + 4
2* +.2
х2 - 4х + 4 х-2'
197

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
1) Если 1 ^ х < 2, то (х - 2) = - (х - 2) и поэтому
* 2х _ 2 2х _ 2 (х - 2) _ 4
Г (х-2)2 ^~2 (х-2)2 (х-2)2 (х-2)2'
а так как у>0, то у есть арифметическое значение корня
квадратного из этого выражения. Следовательно,
-v;
(х-2)2 х-2 -(х-2) 2-х'
2) Если х > 2, то х - 2 > О, значит, х - 2 = х - 2, а поэтому
, _ 2х 2 = 2х 2 (х - 2) _ 4 (х - 1)
Г х2-4х + 4 х-2 (х-2)2 (х-2)2 (х-2)2
и, следовательно,
4 (х - 1) _ 2Ух-1
(х-2)2 ~ х-2
i ТТПТТ 1 Ч^ 1* ^ 1
л при 1 ^ л >¦ Z,
\ Zl "~ X
s— при х > 2.
1 X "~ ^
2Vx-l
~ х-2 *
Итак, у
При х = 2 данное выражение не имеет смысла.
Задача 35.
Доказать, что V2~~— 7 — рациональное
число.
Доказательство.
Обозначим V5 vT+7 - V5vT-7 = jc.
Тоща х3 = 14 - Зх. Отсюда: х3 + Зх - 14 = 0.
(х3 - 8) + (Зх - 6) = (х - 2)(х2 + 2х + 4) + 3 (х - 2) =
= (х - 2ХХ2 + 2х + 7) = 0.
х, — 2хад — комплексные числа. Значит, х = 2.
Ответ: V5VT+7 - V5VT-7 = 2.
198

8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЯМИ
Задача 36.
Упростите выражение
((х + а)иг • (х - а)~иг + (х + а)'1/3 • (х - а)1/3 - 2)"i/2
m3 + n3 -
при х = а • —5 г > гДе mn > О*
m — п
Решение.
(((х + а)176 • (х - а)"176 - (х + а)"1/б • (х - af6)2)^2 =
= ((х + а)1/6 (х-а)1/бу1 = (х2 - а2)1'6
((х - а)1/б (х + а)1/6) (х + а)1/3 - (х - а)1/г
з . з
_ m + л
При х = а • —з о имеем:
m - п
, 2 ч 1/6
w + и . » I m + /г
+ а — а • —5 г — а
т3 - п3 1 1 /п3 - пъ
А 3 3 ^1/б
4m п
(т3 - ах3)2) _ 2иг т1/2 п1/2 _ т*2 п1/2
2т3 \" ( 2п> V/3 "^т-^я" т - «
1 га3 - гс3 I т3 - я3
у/тп
, ще т* п, х ^ а.
т — я
Задача 37.
Найти численное значение выражения
1 + 2х , 1 - 2х _V3~
Л " 1 + VTT^ + 1 - \0^"23Г при х " 4 •
199

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Заменяя х его значением, находим
Лш 2 ¦ 2
1 ( 2 + VT 2-VT \
" VT|у2"+ V2 + VT VT-V2-VTJ'
Имеем
VST*--Vf + Vf-^
Значит*, A =
1
2 + VT 2-vT \
VT+^>iTvr-vr-1
V2~ v' VF
_ 2 + VT 2-vT _ 3 + VT 3-VT
" 3 + VT 3-VT" 6 + 6
Задача 38.
= 1.
3 f— 3 r— 3
Дано: V3c~+ Vy~+ VF= 0
Доказать, что (x + у + zf = 27 xyz
Доказательство.
Имеем V*~+ Vy~= - Vz~. Возведя в куб обе части равен-
ства, получим х + у + 3 V3oT(VF+ Vy") = - z; отсюда
x+y+z=-3 fct)r(VF+ VjT) = (- 3 togT) (- \fz)\
(x + у + zf = 27 xyz.
Задача 39.
Если
(у - z^Vl-*3 + (z - x)3 VT^7"+ (x - yf VT^~ = 0,
200

8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ИРРАЦИОНАПЬНОСТЯМИ
то (1 - х3) (1 - у*) (1 - z) = (1 - xyzf. Доказать.
Доказательство.
Имеем
((1 - **)(? - Z? + (1 - Ж* - X? + (1 - 2»)<Х - У)3)3 =
- 27 (у - z)3(z - х)3 (х - у)3(1 - x'Xl - У)(1 - z3).
Имеем далее
(у - z)3 + (z - х)3 + (х - у)3 - ((х (у - z))3 +
+ ((y(z-x))3 + ((z(x-y))3)3 =
= 3 (у - z)(z - х)(х - у) - Зх (у - z)y(z - x)z (х - у) ш
- 3 (у - z)(z - х)(х - у)(1 - xyz).
Подставив в предыдущее равенство, получим
27 (у - z)\z - х)3(х - у)3(1 - xyzf =
27 (у - z)\z - х)3(х - у)\\ - *?)(1 - Л(1 - Л
откуда (1 - х3) (1 - у3) (1 - z3) = (1 - xyz)3.
Задача 40.
Найти значение выражения z = х3 - Зх - 2 —j
при
Решение.
r>« \/a + vw \/a-vw
Обозначим у , _ rg- через p, а у , . ^/p- через #•
Тоща
= p3 + e3 + 3p? (p + q) - 3 (p + g) - 2 ^±|.
201

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Но р + д° = 2 • А2 _в > а рд =
Следовательно,
z = 2 • лг_д + 3 (р + д) - 3 0?
Задача 41.
хл + Х2 + xvT+2
Упростить 5 T^FT^
х - xv2 + 2
Решение.
1.
+ <?)-2
- xvT.
А2
'а2
+ В
-В
1
= 0.
Ответ:
0.
Сгруппируем в числителе слагаемые, прибавив и отняв
хуГГ:
х4 + 2х\ГГ+ (х2 - лУГ+ 2) = xtf + 2VT)
^-ху/Т+2 х?-пГТ+2
Раскладывая сумму кубов и сокращая, получим
х (х + V2W - xVT+ 2) , , _ ,
— д лт- ^ ^ + 1 = X2 - *VT + 1.
Окончательно имеем х2 + *V2~+ 1 — х4Т— э? + I.
Ответ: х2 + 1.
Задача 42.
Доказать равенство V2 + V5~+V2-VT = 1.
Доказательство,
Обозначим V2 + VT+ V2-V3" = а.
Возведя обе части этого равенства в третью степень,
получим
2 + VT+ 2 - V3"+ 3 V(2+V5)(2-V5) (fo+VT + ^2+7Г) =
= а?, или
4 - За = а3, т.е. (а - ^(а2 + а + 4) = 0. (1)
202

8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ИРРАЦИОНАПЬНОСТЯМИ
Поскольку а2 + а + 4 = О не имеет действительных
корней, то уравнение (1) имеет единственный действительный
корень, равный 1. Следовательно, утверждение задачи верно.
Задача 43.
Доказать равенство V20 + 14 у/Т + V20 - 14 VT = 4.
Доказательство.
Первый способ.
Пусть V20+ 14 vT + V20 - 14 VT = х. Возведя обе
части этого равенства в третью степень, получим
20 + 14vT+ 20 - 14VT+ 3 V2O2 - (14V2T)2 х = л3, или
40 + 6х = я3, х? - 6х - 40 = 0,
(х-4)(х* + 4*+ 10) = 0.
Так как уравнение х2 + Ах + 10 = 0 не имеет
действительных корней, то уравнение хъ — 6х - 40 = 0 имеет лишь
один действительный корень, равный 4. Таким образом,
утверждение задачи верно.
Второй способ.
Так как 20 + 14 vT= 8 + 12 VT+ 12 + vT= (2 + vT)3, a
20 - 14 vT= 8-12 VT+ 12 - V5T= (2 - VT)3, то левую часть
доказываемого равенства можно переписать в виде
V(2 + VTf + ^(2 - vT)3 = 2 + VT+ 2 - V2~= 4,
что и требовалось доказать.
Задача 44.
Вычислить V2 + V5".
Решение.
Пусть
л? - VT+2 + VT-
х3-
+ Vvr- 2 = х,
2 + 3xv'(vT+2)(V3"-2) = 2V3~+3x,
3x-2vT=0, x = vT,
203

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
VvT+T = U тогда ^VT-2 = -,
1 _ vT± 1
t + ± = ^ t = —-—.
31 V5~+ 1
Поскольку *>0, имеем: V2 + VT = —ту—.
V5~+l
Ответ: —~—.
204

9. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
Задача 1.
Разложить на множители х3 (х2 - 7)2 - 36*.
Решение.
А = х (х2 (х2 - 7)2 - 36) = х (х (х2 - 7) - 6) (х (х2 - 7) + 6) =
= х (х3 - 1х - 6) (х3 - 7х + 6) =
= х «х? + 1) - 7 (де + 1» ((я? - 1) - 7 (ж - 1» -
= х (х + 1)(х - ^(х2 - х - 6)(х* + х - 6) =
= х (х + 1)(х - 1)(х - 3)(х + 2)(х + 3)(х - 2).
Задача 2.
Разложить на множители х3 + 9Х2 + Их — 21.
Решение.
А = (х3 - 1) + 9 (х2 - 1) + 11 (х - 1) =
= (х - lXx2 + х + 1 + 9х + 9 + 11) =
= (х - l)(x* + 10х + 21) =
= (х - 1)(х + З)(х + 7).
Задача 3.
Разложить на множители х3 + Sx2 + Зх - 9.
Решение.
А = (х3 - 1) + (5Х2 - 5) + (Зх - 3) =
- (х - lXx2 + х + 1) + 5 (х - 1)(х + 1) + 3 (х - 1) =
= (х - lXx2 + х+1+5х + 5 + 3) =
205

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
= {х - IX*2 + 6х + 9) =
= (х-1)(х + 3)2.
Задача 4.
Разложить на множители
х*у + лгу2 + х^ + xz2 + fz + yz2 + 3x)>Z.
Решение.
.А = (х2? + xf + xyz) + (х^ + xz2 + xyz) + (f + yz2 + xyz) =
= xy(x + y + z) + xz(x + y+ z) + yz(x + y + z) =
= (x + y + z)(xy + xz + yz).
Задача 5.
Разложить на множители
х*у + xf + x?z + xz2 + fz + yz? + Ixyz.
Решение.
A = (x2? + x?) + (xz2 + yz2) + (^z + fz + Ixyz) =
= xy (x + y) + z2 (x + y) + z (x + J)2 =
= (X + y)(xy + 2? + ZX + Zy) =
= (x + y)(x(y + z) + z(y + z)) =
= (x + y)(x + «)(y + z).
Замечание. Исходное выражение сииметрично
относительно букв х, у, z, т.е. такое, что от замены х, у, z
соответственно буквами у, z, х не меняет своего вида.
Следовательно, если оно имеет множитель (х + у), то оно имеет также
множители (у + z) и (z + х). Таким образом, после выделения
множителя (х + у) можно было предвидеть наличие
множителей (х + z) и (у + z) в окончательном результате.
206

9. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
Задача 6.
Разложить на множители
х4 + у4 + z4 - 2*У - 2x2z2 - 2fz*.
Решение.
А = (х4 + у4 - 2х2уг) -2(x2-y2)z2 + z4- Afz2 =
= (х2 - у2)2 - 2 (х2 - у2) z2 + z* - Afz2 =
= ({x2-y2)-z2)2-<2yzf =
= (x2-y2-z2- 2yz)(x2 -y2 + 2yz-z2) =
= (x2-(y + z)2)(x2-(y-zf) =
= {x + у + z)(x - у - z)(x + у - z)(x - y + z).
Задача 7.
Разложить на множители
8*3 (у + z) - у1 (z + 2х) -z>(2x- у).
Решение.
А = 8л3 (у + z) - fz - 2$х - 2х? + z*y =
= Sx>(y + z)~ yz {f-z2)- 2x (f + z3) =
= (y + z)(Sx* - yz (y - z) - 2x (y2 - yz + z2)) =
= (3; + z)(8^ -tfz + yz2 - 2xf + 2xyz - 2XZ2) =
= (y + z)((8^ - 2xf) + (2xyz - tfz) - (2XZ2 - yz2)) =
= (y + z)(2x {Ax2 -y2) + yz (2x - у) - z2 (2x - у)) =
= (у + z)(2x - у)(Ах? + 2xy + yz-z?) =
= (у + z) (2x - y)((2x + z)(2x - z) + у (2x + z)) =
= (y + z)(2x - y)(2x + z)(2x + у - z).
20У

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 8.
Разложить на множители (у + z)(z + х)(х + 4) + xyz.
Решение.
Xyz + XZ2 + Э?у + 0?Z + $Z + yz2 + X)? + Xyz + Xyz =
= (x?y + xyz + o?z) + (xf + fz + xyz) + (xyz + yz2 + xz2) =
= x (xy + yz + zx) + у (xy + yz + zx) + z (xy + yz + zx) =
= (xy + yz + zx)(x + у + z).
Задача 9.
Разложить на множители
2а2* + 4aft* - ^с + ас? - 42^ + 26с2 - 4aftc.
Решение.
А = 1с?Ъ + 40Й2 - ^с - labc + ас? + Ibc? - 4Рс - labc =
= 2ой(а + 2й) - ас (а + 2ft) + с? (а + 2й) - 1Ъс (а + 2ft) =
= (а + 2ft) (2oft - ас + с2 - 2йс) =
= (а + 2ft) (а (2й - с) - с (2ft - с)) =
= (а + 2й) (2ft - с) (а - с).
Задача 10.
Разложить на множители
((я2 + f)(c? + ft2) + 4oftxy)2 - 4 (^(a2 + ft2) + aft (x2 + y2))2.
Решение.
Выражение, стоящее в первых скобках
(С*2 + Л(а? + А2) + 4aftxy),
легко приводится к следующему:
(ах + ?у)2 + (ay + ftx)2,
а второе — к такому: 4(ау + ftx)2 (ax + fty)2.
208

9. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
Имея это ввиду и воспользовавшись формулой разности
квадратов двух чисел для данного выражения А, получаем
А = {{ах + by)2 + {ау + bx)2)2 - 4 {ay + bxf {ах + by)2 =
= {{ах + by)2 + {ау + bx)2 - 2 {ay + Ъх){ах + by)) X
x {{ax + by)2 + {ay + bx)2 + 2 {ay + bx) {ax + by)) =
= {{ax + by) -{ax + by))2 • {{ax + by) + {ay + bx))2 =
= {{a-b){x-y))2-{{a + b){x + y))2 =
= (a - b)2 (a + Vf {x - y)2 {x + y)2.
Задача 11.
Разложить на множители
^{Ь -а) + ##{0 -Ь) + ^{а - с).
Решение.
А = b2 {ctb - d + с3 - <?Ъ) + <?c? (a - с) =
= b2 {{tfb - i?b) - (a3 - &)) + a2c2{a-c) =
= b3 {a2 - c2) - b2 {a3 - &) + ?<? (a - c) =
= {a-c) {&a + tfc - Pa2 - tfac - tfc2 + aV) =
= {a - c){l?a{b -c) + b2c{b-c)- ^{b2 - c2)) =
= (a - c)(6 - c)(a6 (й - a) + с {b2 - a2)) =
= (a - c)(A - c){b — a){ab + be + ca).
Задача 12.
Разложить на множители
be {b + c) + ca{c- a) - ab{a + b).
209

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Решение,
А = с (й2 + be + ас - с?) - ab (а + Ь) =
= с (42 - а2) + с2 (4 + л) - ab (а + 4) =
= (а + 4) (be - ас + с2 - ab) =
= (а + 4) ((4с - ab) + (с2 - ас)) =
= (а + 4)(4 (с - а) + с (с - а)) =
= (а + 4)(4 + с)(с - а).
Задача 13.
Разложить на множители у3(а - х) - х3(я - у) + а3(х - у).
Решение.
af — х)? — ох3 + х*у + d (х - у) =
= ху (х8 - У») - в С*3 - Л + я3 (* - у) =
= (х - У) [х2 (У - а) + ху (у - а) - а (у2 - а2) ] =
= (* ~ У) (У - я) (** + *3> ~ ссу - а2) =
= (х - у) (х - а) (у - а) (а + х + у).
Задача 14.
Разложить на множители л:5 4- х4 + х3 + я2 + jc 4- 1.
Решение.
Р = *(*4 + *2+1) + (*4 + Х2+1) =
= (JC + 1) (х4 + х2 + 1) =
= (х + 1) (хА + 2л2 + 1 - х2) =
= (х+1)[(х2 + 1)2-х2] =
= (X + 1) (X2 + X + 1) (х2 - X + 1).
210

9. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
Задача 15.
Разложить на множители у (а - х) - хъ(а — у) + а3(х - у).
Решение.
А = ау*-ху?-си? + х*у+с?(х-у) =
= ^С*2 - У2) - «(х3 - /) + а3 (х - У) =
= (х - у) (х2 (у - а) + ху(у - а) - а (у2 - а2)) =
= (* - У) (У - я) С*2 + *У - «У - я2) =
= (* - У) (х - а) (у - а) (а + х + у).
Задача 16.
Разложить на множители х10 + х5 4- 1.
Решение.
Р = (*» + а? + х«) - (а? + х? + х7) + (х7 + х6 + х5) -
- (х6 + х5 + х4) + (х5 + х4 + х3) - (х3 + х2 + х) + (х2 + х + 1).
Ответ: Р = (х2 + х + 1) (х8 - х7 + х5 - х4 + х3 - х + 1).
Задача 17.
Разложить на множители
Решение.
= (Vz - VF) [(V?" - V?) V?" - (Vz - 47) VF ] =
211

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
= (V?- VW) (Vo2"- V?) (Vc2"- VF).
Ответ:
Задача 18.
Разложить на множители
А = х (f - z2) + у (z2 - х2) + 2 (х2 - у2).
Решение.
Данное выражение обращается в нуль при у = z, а потому
у - z его множитель, также z-xHx-j/-ero множители.
Так как А — третьего измерения, то
А = к *у - z) (z - х) (х - у).
Сравнив коэффициенты при х/, найдем 1 = fc, или к = 1,
итак,
^ - (У - z) (z - *) (х - У).
Таким же методом
1) (Ъ - с)(* + с)2 + (с - а)(с + а)2 + (а - 4)(в + й)2.
2) в (А - с)3 + Ъ (с - а)3 + с {а - й)3.
3) х (у + z)02 - z2) + у (z + x)(z2 - rf2) + z (х + y)(jf - Д
4) (4 - c)(b + с)3 + (с - в)(с + а)3 + (а - Ъ)(а + й)3.
Задача 19.
Разложить на множители а5п + ап + 1.
Решение.
А = а5" - о2" + о2" + о" + 1 =
= о2" (о3* - 1) + (о2" + с? + 1) =
= о2* (я* - 1) (я2* + 0я + 1) + (о2" + сГ + 1) =
= (о2* + аР + 1) {ctn -ctn+ 1).
212

9. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
Задача 20.
Разложить на множители (й — cf + (с — а)3 + (а — й)3.
Решение.
Воспользуемся формулой
(га + п)3 = т3 + Ътп{т + п) + п3
для преобразования первого слагаемого данного выражения.
Получим
А = ((й - а) + (а - с))3 + (с - а)3 + (а - й)3 =
= (й - а)3 + 3 (й - а)(а - с)((й - а) + (а - с)) + (а - с)3 -
- (а - с)3 - (й - а)3 = 3 (а - й)(й -^ с)(с - а).
Задача 21.
Разложить на множители (х + у 4- z)3 — х3 — у3 — z3.
Решение.
А = ((х + у + z)3 - х3) - (у* + z3) =
= ((х + у + z) - х)((х + у + zf + (х + у+ z) х + х2) -
- (У + *)•()?- У* + г2) = (У + *)((* + У + z)2 +
+ (х + у + z) х + х2 - у2 + yz - z2).
Так как данное выражение симметрично относительно
х, у, z, то наряду с множителем (у + z) оно имеет множители
(z + х) и (х + у). Поэтому можно написать
(х + у + z)3 - х3 - у* - z3 = (х+ у)(у + z)(x + z) 5,
где В — частное от деления данного выражения на
произведение трех выделенных множителей. Рассматривая левую
и правую части последнего равенства как многочлены
относительно х и замечая, что в равных многочленах
коэффициенты при одинаковых степенях буквы х равны, найдем
сравнением коэффициентов при х2, что В = 3.
Следовательно,
А = 3 (х + у)(у + z){z + х).
213

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Задача 22.
Выражение х8 + х4 + 1 разложить на четыре множителя.
Решение.
х8 + х4 + 1 = (х8 + 2х4 + 1) - ^ = (х4 + х2 + IX*4 - х2 + 1) =
= (х2 + х + lXx2 - х + lXx2 + vTx + lXx2 - VTx + 1).
Задача 23.
Разложить на множители а3 + ft3 + с3 — За*с.
Решение.
а3 + За2* + За*2 + й3 + с? - За*с - За2* - За*2 =
= (а + *)3 + с3 - За* (с + а + *) =
= (а + * + с) [(а + *)2 - (а + й) с + с2] - За* (а + * + с) =
= (а + * + с) (а2 + й2 + с2 - а* - ас - 4с).
Ответ: (а + й + с) (d2 + *2 + с2 - а* - ас - be).
Тождество
а* + й? + с3 - За*с = (а + * + сХа2 + й2 + с2 - а* - ас - be)
часто используется при решении других примеров.
Задача 24.
Доказать, что двухчлен Зх4 + 1 есть сумма трех квадратов.
Доказательство.
Прибавим и вычтем одно и то же выражение:
(2Х3 + 2Х2).
Зх4 + (2Х3 + 2Х2) - (2Х3 + 2Х2) + 1 =
= (х4 + 2Х3 + х2) + (х4 - 2Х3 + х2) + (^ - 2Х2 + 1) =
= (х2 + х)2 + (х2 - х)2 + (х2 - I)2.
Задача 24.
Разложить на множители (а + * + с)3 - а3 - *3 - с3.
214

9. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
Решение.
Р = (а + 4)3 + 3 (а + Ъ)2 с + 3 (а + 4) с2 + с3 - (а3 + б3) - с^ =
= (а + 6) (а2 + 2а4 + б2 + Ъас + ЪЪс + Ъс? - а2 + ой - б2) =
= (а 4- 4) (Зой + Зас + ЪЪс + Зс2) =
= 3 (а + 4) [а (4 + с) + с (4 + с) ] =
= 3 (а + 4) (4 + с) (а + с).
Ответ: Р = 3 (а + 4) (4 + с) (а + с).
Задача 25.
Найти значение дроби г, если 2а2 + 242 = 5а6,
Ь>а>0.
Решение.
По условию, 2а2 - 5а6 + 262 = 0. Но
2а2 - 5а6 + 2Й2 = (2а2 - 4а6) - (а4 - 2Й2) = (2а - 4)(а - 24),
тоща а - 26 = 0 или 2а - 6 = 0.
Но 4 > а > 0, так что 6 = 2а. (Но не а = 26). Следовательно,
а + 4 _ а + 2а _
а-4~а-2а"
215

Глава III. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
10. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
С ПАРАМЕТРОМ
Задача 1.
Найти все целые кратные трем корни уравнения
ах = а + 5х,
где а — любое действительное число, не равно 5,
Решение.
х(а - 5) = а, а * 5, х = ^.
По условию _ - = ЗЛ, ще ЛЕZ, откуда а = 3» «.
Задача 2.
При каких значениях параметра а уравнение
а 1 2_
2а - 1 ~ 2а - 1 ~ * - 1
имеет целые корни?
Решение.
1 ^ 2 (2а - 1) За-1 _
При а*-?;х+\ = v _ , , х = ——г-. По условию
За-1
а-1
= Л, ще kGZ;
\ к— \
а (к - 3) = к - 1, значит, а = , _ 3>
тт За—1 & — 1 » ^- ~ » <•
Итак, х = —^-у, если а = , _ ^, Л G Z, я * 3,
Задача 3.
Решить уравнение: — + -т = с.
216

10. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ПАРАМЕТРОМ
Решение.
Очевидно, что а Ф 0; Ь ч* 0. х (а + b) = abc.
1) а = - Ъ\ с = 0. Тоща Ох = 0, х?Л;
2) а = - й; с Ф 0. Ох = аАс, х G 0;
3) а* - b. х = —гч>
Задача 4.
Решить уравнение: <?х = а (х + 2) - 2.
Решение.
Имеем я (а - 1) х = 2 (а - 1).
2
Если а (а - 1) * 0, т.е. а * 0; а * 1, то х = —
Если а = 0, то Оде = - 2, Решений нет.
Если а= 1, тохбЛ
Задача 5.
х 1
Решить уравнение 0,2 = -=-, ще -0,4 < х < 0,4.
Решение.
Очевидно, что а & 0, а х = —^—• По условию:
-0,4<^-у*<0,4.
Учитывая, что а * 0, имеем a G (-3; 0) U (0; 1).
Задача 6.
При каких натуральных значениях а уравнение
ах = а + х + 1
имеет четные корни?
Решение.
2
Имеем х = 1 + —^-у, значит, х — четное, если дробь
г — нечетное число. Это может быть при а = 3.
217

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 7.
При каких значениях а уравнение —I =1 имеет
решение, большее, чем 2?
Решение.
1
Очевидно, что а* 0, л; * О, х= *.
По условию —^у > 2, откуда 1 < а< 1,5.
Задача 8.
Определить, при каких значениях а уравнение
(*-1)(а-2) = 1
будет иметь решение, заключенное в промежутке от 1 до 2.
Решение.
тт г» ., 1 я — 1
Имеем при й^2 # — 1 = ~, х = ~.
По условию 1 < * < 2, откуда а > 3.
Задача 9.
Исследовать уравнение « _ , = -т——.
Решение.
a-c?x=b-l?x.
1 12 2
Очевидно, что хчь-тъх* —, * (а — # ) = а — й.
1. Если а = Ъ = 0, то х?Л.
2. Если а = 0, 6 * 0 или а^О, 6 = 0, то х Е 0.
3. Если а?*0иЙ5*0, то при с? ч*Ь2 х- —г-г;
при а = Ъ т<^< °°) — °° <х<~р
при а = — b xG0.
218

10. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ПАРАМЕТРОМ
Задача 10.
При каких целых значениях параметра а уравнение
а2 х + 2ах + х = 1 - а
имеет целые корни?
Решение.
Имеем х (а + I)2 = 1 - а или х = —?. Итак,
если а = 0, то х = 1;
если а = -2, то х = — 3;
если а = - 3, то д:= 1;
если я< - 3, то х — дробное число (или а> 1).
Ответ: а = - 3; - 2; 0; 1.
Задача 11.
При каких натуральных значениях а уравнение
ах = а + х + 1
имеет четные корни?
Решение.
2
Имеем х = 1 Н——г, значит, д: — четное, если дробь
нечетное число. Это может быть при а = 3.
а-1
Задача 12.
При каких значениях а уравнение —I =1 имеет
решение, большее, чем 2?
Решение.
Очевидно, что а & 0, х Ф 0, х = ——р
По условию —^у > 2, откуда 1 < а < 1,5.
219

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 13.
Определить, при каких значениях а уравнение
(х-1)(а-2) = 1
будет иметь решение, заключенное в промежутке от 1 до 2.
Решение.
Имеем при а ч* 2 х - 1 = «, х = ~.
а ""¦ Id CL — Id
По условию 1 < « < 2, откуда а > 3.
а ~¦ z>
Задача 14.
2 3
Решить уравнение
5х- а ах - Г
Решение.
Имеем 2(ах-1) = 3 (5х-а). Очевидно, что х ?* -=; х ^ —.
„ 15 л 41 „
Если а = -у, то О • х = -у. Уравнение не имеет решении.
Если а ;* -у, то уравнение имеет единственный корень
2-За
* ~ 2а - 15*
Определим, при каких а найденный корень удовлетворяет
уравнению. Должно быть: 5х- а * О и ах-1^0.
„ 2-За
При х = гу _*- получим
10 - 15а . 2а - За2 , -
и отсюда: 10 - 15а - 2а2 4- 15а Ф 0. Следовательно,
а*±^5~, 2а - За2 - 2а + 15 * 0 => а * ± V5".
Ответ: если а ^ -—- и а ^ ± V5", то х = я г?;
2 2а - 15
15
если а = -«-, то уравнение корней не имеет.
220

10. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ПАРАМЕТРОМ
Задача 15,
Решить уравнение . . = а.
Решение.
Ъ (1 + а) х = 1 - а.
Если й = 0, а = 1, то х е Л.
Если Ъ = 0, а 5* 1, то х G 0.
Если а = - 1, то х G 0.
Если Ъ Ф 0, а = 1, то х G 0,
1 — Л
ЕСЛИ Й 7* 0, Я 5* - 1, Л = 1 /1 ,—г.
' Ъ (1 + а)
Задача 16.
Решить уравнение ~—-^-х = !•
Решение.
Очевидно, что при а = 0 и а = 1 уравнение решений не
имеет.
О.Д.З. уравнения 2ах + 3^0.
а- 4
Если 2ах+3 ^0, а ?* 0, а & 1, то 2ял = а - 4, я = —=—.
Проверим, попадает ли найденный корень в ОД.З.
уравнения:
2^=^ + 3*0, а=1,
значит, х = —«— — корень уравнения,
А-4
— корень уравнения.
а-4
Ответ: при а ^ 0, я = 1 единственный корень —=—.
Задача 17.
Решить уравнение Ъ2х +1=2 + # + #.
Решение.
(Й* - 1) х = Ъ + 1.
221

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Если Ъ * 1, т.е. #9*1и#9*-1, то исходное уравнение
имеет единственное решение
й+1 1
х =
б2-! *-Г
Если 6=1, то уравнение не имеет решений, так как
Ох * 2. Если Ъ = - 1; х€Л
Задача 18.
Решить уравнение (а2 — 4) х = а2 + а — 6.
Решение.
При а2 - 4 * 0, т.е. а * ± 2,
_ а^ + а-б _ а + 3
* ~ я2_4 ' *~а-2-
При а = — 2 уравнение примет вид 0-х = — 4, т.е.
решений уравнение не имеет.
При а = 2 исходное уравнение примет вид:
0-х = 0, т.е. х?Л, при а = - 3, х = 0.
Задача 19.
т, а + х а + 1
Исследовать уравнение: ——т- = ———.
Решение.
Из уравнения видно, что а * 1 и х Ф а.
Далее, о2 - х2 = ct - 1, откуда х = 1 при а = - 1 и
х = ± 1 при а ?* — 1.
Задача 20.
Решить уравнение ах + 6 = сх + rf.
Решение.
Имеем (а - с) х = d - А, значит,
d-й
1) если а — с * 0, то х =
222
2) если а - с = 0, a d - й ?* 0, то xG0;

10. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ПАРАМЕТРОМ
3) если я - с = rf — й = О, то корнями уравнений будут
все действительные числа.
Задача 21.
Решить уравнение сх + 2 = 2х — 1.
Решение.
Имеем (с - 2) х = — 3.
Если с 4t 2, то уравнение имеет единственный корень
3
с-Т
Если с = 2, то уравнение корней не имеет.
Задача 22.
та х-а х-Ь х-с 0 /1 1 1\
Решить уравнение: —г 1 1 г~ = 2 — + -г + — .
J be ас ab \abcj
Решение.
Перепишем уравнение в виде:
* = -
lie be) \ ас ас) [ ab а Ъ
или
х - а — с — b х — b — с — а х — с — b — а_ Л
йс ас ай ~~ 5
или
(х-а-*-с)(^ + ^ + ^)-0. (1)
Принимая во внимание, что ни одна из величин а, й,
с не равна 0, а значит, abc * 0, обе части уравнения (1)
можно умножить на abc. Получим
(х - а - Ъ - с) (а + Ь + с) = 0.
Если а + Ъ + с = 0, то решением исходного уравнения
являются все действительные числа.
Если а + Ъ + с *¦ 0, то уравнение имеет единственный
корень х = а + Ъ + с.
223

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 23.
о 5 3
Решить уравнение ~——г = , _ ,.
Решение.
Имеем
(5& - 9) х = 20 - ЗЛ. (1)
9
Если & = т, то уравнение (1) не имеет решений.
9
Если к * -^, то уравнение (1) имеет единственное решение.
20 - Ък п.
х = -5F=T- (2)
и « 20 - ЗА: ^
Чтобы х = g, _ q был корнем исходного уравнения,
необходимо выполнение условий Зх — к Ф 0 и кх - 4 * 0.
Выясним, при каких значениях к будет Зх - Л = 0 и foe - 4 = 0.
Вместо х подставляя выражение (2), имеем
q _ , _ -3 (1? - 12)
Jx *~ 5/fc-9 #
Как видим, Зх — & = 0и?х-4 = 0, если А2 — 12 = 0, т.е.
при Л = ± VTT!
Ответ: если Л ^ -=; к * ± VTT", то х = -, _ Q ;
9
если Л = т или /: = ± VT2", то корней нет.
Задача 24.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение 10х-15а= 13-5ах+2а имеет корень, больший 2.
Решение.
При любом значении параметра а исходное уравнение
равносильно уравнению
. _ч 17а + 13
х (а + 2) = с ¦
224

10. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ПАРАМЕТРОМ
При а = — 2 это уравнение запишется в виде
21
Ох = —=-, значит, при а = - 2 л; Е 0.
* ^ 17а + 13
При любом й^-2х = -ут—г~о\~-
* 5 (а + 2)
По условию: "ГГX4^2V>^, 0ТКУДа а<"^ и я> 1-
Ответ: a G (-оо; - 2) U (1; +00)
Задача 25.
При каких целых значениях параметра а уравнение
о2 х + 2ах = 1 - 2а
имеет целые корни?
Решение.
Исходное уравнение запишем в виде:
х (а + 2) = 1 - 2а, или х = г^г= ~ 2 Н г-^-.
v ' а + 2 а + 2
Значит, а = - 1; а = 3.
Ответ: - 1; 3.
Задача 26.
Решить уравнение сх + 2 = 2х - 1.
Решение.
Имеем (с — 2) х = — 3;
если с ^ 2, то уравнение имеет единственный корень
3
Л~ 7^2'
если с = 2, то х G 0.
Задача 27.
При каких значениях параметра а корни уравнения
ах = 1х - I кратны 3?
225

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Ясно, что а — 1 . Поскольку по условию
X
х = Ът (т = 1; 2; 3; ...), то а = 7 — -^—; m = ± 1; ± 2; ± 3,...
Уравнения с модулем
Задача 28.
Решить уравнение \х — 2а\ = 2х.
Решение.
Очевидно, что х>0.
1) Пусть х > 2а. Тогда х - 2а = 2х, х = - 2а. Имеем
-2а;* 2а, откуда а ^ 0.
2) Пусть л: < 2а. Тогда х = -у.
Должно быть: 0<-у <2а, а>0, значит, х = -^ корень
заданного уравнения (при а>0).
Ответ: При а ^ 0, х = - 2а; при а > 0, х = -у.
Задача 29.
При каких значениях параметра а уравнение
\а\ - х — х — а
имеет корни х< 1?
Решение.
1) Пусть а>0. Тоща ах - х = а, х (а - 1) = а.
При а * 1, х =—зт- По условию —зт<1» откуда
а< 1. Итак х< 1 при 0 ^ а< 1.
2) Пусть а < 0. Тоща - ах - х = а, х (- а - 1) = а.
а
При а* - 1, х =
а+Г
226

10. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ПАРАМЕТРОМ
По условию ZT<lj откуда а<1, а> — ту
Ответ: х< 1 при - 2<а< *' а< ~~ *#
Задача 30.
Решить уравнение Iх - а\ = х - 2.
Решение.
Очевидно, что
х2*2. (1)
1) Пусть х ^ а. Тогда Iх - al = х - а; х - a = х - 2,
a = 2. Значит, при а = 2 х ^ 2.
а + 2
2) х<а. Тогда lx-al =a-x, 2х = a + 2, х =—^-—.
a + 2
Учитывая неравенство (1), —~—^ ^, a ^ 2. Кроме того,
—2~^<а' а>^# Значит, при а>2 х=—~—•
Ответ: Если а > 2, то х =—у^-; если а = 2,
то х ^ 2; если а < 2, то х G 0.
Задача 31.
При каких значениях параметра а уравнение
lal • х — 1x1 = lal
имеет корни меньше, чем (-1)?
Решение.
Поскольку х<0 (по условию х< - 1), то заданное
уравнение можно записать так:
lal • х + х= lal, или x(lal + 1) = lal.
Очевидно, что правая часть уравнения положительна, а
левая отрицательна. Значит, ни при каких а уравнение
корней, меньших чем (-1), не имеет.
227

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 32.
Решить уравнение \а\ • 1x1 = х.
Решение.
Очевидно, что х > 0.
1) Если а > 0, то х (а - 1) = 0. При а = 1 х G Л (х > 0).
При (2^1 X = 0.
2) Если а<0, то х(-а-1) = 0. При я=-1 хЕД
(х^О). При а* - 1 х = 0.
Ответ: При а s* ± 1 * = 0; при а = ± 1 х > 0
Задача 33.
Решить уравнение х — 1x1 = а.
Ответ: Если а > 0, то решений нет; если а = 0,
то х > 0; если я < 0, то х = - ¦«.
Задача 34.
1x1
Решить уравнение = а.
Решение.
1x1 1x1
Если х > 0, то = 1; если х < 0, то = — 1.
х х
Ответ: Если а= 1, то х>0; если а = — 1,
то х < 0; если а т* ± 1, то х = 0.
Задача 35.
Определить, при каких значениях параметров а и Ъ
следующие уравнения имеют:
1) единственное решение;
2) положительное решение;
3) отрицательное решение;
4) бесконечное множество решений;
5) совсем не имеют решений.
1) а ,-2-.
' За + х Ь + х'
228

10. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ПАРАМЕТРОМ
2) ab + х = 6 (х + 2).
Решение
1) Очевидно, что
х * - За, х Ф - ft. (1)
Заданное уравнение перепишем в виде:
ab + ах = 6а + 2х; л: (а - 2) = 6а - ab.
Если а ;* 2, л; = ——^А Учитывая (1), имеем:
а- 2
——7г*~ 5* - За, или 6 ?* За, а Ф 0.
а- 2
Также —-—=-^ * - ft, или аФ-^b. Итак,
а- 2 3
1 l а а (б - ft)
если а * 2, аФ-^Ъ, а ^ 0, то х = — о *
2) Должно быть по условию
1 а-2 "'
а^^-й; а ^ 2; а ^ 0.
Рассмотрим неравенство — 0 >0. Имеем
a(6-ft)>0, [а(6-й)<0,
а-2>0 и |а-2<0.
В первой системе а > 2, значит, ft < 6.
Во второй системе 0<а<2, 6>6 и а<0, ft<6, ft * За.
3) Уравнение имеет отрицательное решение при
а<0, й>6; 0<а<2, й<6; а>2, 6>6, (й * За).
4) Бесконечное множество решений при а = 2, ft = 6.
5) Уравнение не имеет решений при a = 2, 6^6.
Приведем ответы второго уравнения:
1) При 6*1 * = ^=#.
1 — 0
229

11. ПАРАМЕТР В КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Задача 1.
_ 4 (х2 - Ъ) 2х 2х
Решить уравнение 2bx_b_2x+l = JZ7J " з^Ту
Решение.
2х2 - 26 х х
Имеем
(6-1)(2х-1) " й-1 2х-Г
2x?-2b = 2x*-x-bx + x.
Если й * О, 6 * 1, то х = 2.
Если 6 = 0, ТО ^<Х< оо, — оо <#< —
Если 6=1, то уравнение не имеет смысла.
Задача 2.
Решить уравнение
Решение.
Очевидно,
что х ^
а
а
х —
-2,
х+1
2 " х2-4*
х*2,
х+ 1
х-2 (х-2)(х + 2)'
ах + 2а = х + 1; (а - 1) х = 1 — 2а,
1-2а
при аФ\ х = —^ЛГ*
3
Если х = 2, а = -д. При а = 1 х G 0.
1 3 1-2а
Ответ: если а * 1, а s* т то х = г-;
4' а-1
3
если а = 1, а = д-, то х G 0.
Задача 3.
Решить уравнение ох2 = 1.
230

11. ПАРАМЕТР В КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Решение.
Если а < О, — уравнение не имеет решения.
Если а>0, то х
Задача 4.
-Ж
Решить уравнение относительно х: ах = Ь.
Решение.
Если а = 0, Ь*0; а>0, й<0; а<0, й>0 — нет
решений; если а = О, 6 = 0 х — любое число.
Если а * 0, й = 0, х = 0.
), й<0 х=± V-.
Если а>0, й>0; а<0,
Задача 5.
Решить уравнение ах2 = 0.
Решение.
Если а * 0, л: = 0. Если а = О, х — любое число.
Задача 6.
п х- а , х-Ьа ~
Решить уравнение —;— Л = 2.
J х + а х- а
Решение.
Очевидно, что х Ф ± а. Преобразуя заданное уравнение,
имеем х2 + а2 = х2 — а2, а = 0.
Итак, если а = 0, то решениями исходного уравнения
будут все числа, кроме нуля, если а # 0, то решений нет.
Задача 7.
г, х- а 2а
Решить уравнение = .
а х — а
Решение.
Очевидно, что а * 0, х ^ а; х2 - 2ях - а2 = 0. Имеем
(х - а)2 = 2а2. Итак, если а Ф 0, то х = а (1 ± VT).
231

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 8.
Решить уравнение —Ь ~""ZT = ^*
Решение.
Очевидно, что х & О, х * 1. Имеем
ах — а + ах — х = 2Х2 — 2х, или 2л2 — х (2а + 1) + а = 0.
Итак, если я ^ 0 и а ч* 1, то Xj = «, х2 = а;
если а = 0 или а = 1, то х = -ту
Задача 9.
Решить уравнение п (1 + х)2 = (п + х)2.
Решение.
Имеем п + 2п х + п х = п4 + 2п х + х2, откуда
х2 (п2 - 1) = п4 - я2, или х2 (п2 - 1) = п2 (п2 - 1).
Ответ: Если \п\ = 1, х — любое число;
Если I п\ Ф 1, то х = ± п.
Задача 10.
х л — 1
Решить уравнение 1 —Г = 2.
Решение.
Очевидно, что а *• 0, х ^ 1. Имеем
х2-х + о2-а = 2ах - 2а, или х2 - х (2а + 1) + а2 + а = 0.
Итак, если а^0ий^1, то Xj = а и х2 = а + 1;
если а= 1, то х = 2.
Задача 11.
_ х+1
Решить уравнение —^ = а
Решение.
Данное уравнение равносильно уравнению
ах2 - х + а - 1 = 0. (1)
232

И. ПАРАМЕТР В КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Если а = О, то уравнение (1) становится линейным:
— х — 1 = 0 и имеет единственный корень х = — 1.
При а ** О уравнение (1) есть квадратное уравнение, при
этом если D = 1 + 4а - 4а < О, уравнение (1) решений це
имеет. При этом -оо<я< -— или —ту—<й<оо. Для
а = —ту— и а = —~— D = 0 и уравнение (1) имеет
единственный корень у-. Для каждого значения а из промежутков
1 /Т 1 _i_ /т
—2— <а<0 и 0 < а < —«— справедливо неравенство D>О
1+VS" 1-V5"
и уравнение (1) имеет два корня хх = —ту и х2 = —~—•
Ответ:
, i-vr 1+VT ^
1) Для — оо < а<—*— или —ту—< а< оо корней нет.
оч тт 1 - V2" 1 + у/Т
2) Для а = ^-ту— или а = —ту— единственный корень
\_
2d
3) Для а = 0 — единственный корень -1.
1 — VT 1 + VT
4) Для —=— < а < О или 0 < а < —~— два корня
1+V5" 1 -V5" ^ , , . А 2
—~ и —~ , ще ?> = 1 + 4а — 4а
2а la
Задача 12.
Решить уравнение (а2 + а - 2) х2 + 2 (а2 - 1) л + а2 = 0.
Решение.
Так как с? 4- а — 2 = 0 при а=1 и при <z= —2, то
рассмотрим такие случаи:
1. Пусть а = — 2. Тоща уравнение примет вид
2
6х + 4 = О, откуда х = — -~.
2. Пусть а = 1. Уравнение примет вид Ох + 1 =0.
Уравнение не имеет решений.
233

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
3. Пусть а * 1 и а Ф -2. Тогда а2 + я-2*0и
(я2 - 1) ± V(fl?-l)2-a?(fl? + a-2)
_ 1-а2±У1-а3
а* + а-2
Ясно, что 1- а3 >0, если а< 1; 1 - а3 = 0, если а = 1;
1 - а3<0, если а> 1.
Ответ:
Если а > 1, решений нет,
2
Если а = - 2, то х = — -у
1 - а2 ± Vl -а3
Если а< 1, а * — 2, то х = 5 •
а2 + а - 2
Задача 13.
Решить уравнение а (а + 2) х2 + 2х - а2 + 1 = 0.
Решение.
1. Если а = 0, # в — тт.
3
2. Если а = - 2, то х = -^
3. Если а*0иа*-2, тоща (а + 2) а Ф 0.
Тогда
_ -2±У4 + 4а(а2-1)(а + 2)Г _
* " 2(а + 2)а
_ -1±У1 + а(а + 2)(о2-1У
а(а+2
Ответ: Если а = 0, то х = - w.
3
Если а = - 2, то х = ^г-
г. -l±Vl + a(a + 2)(a2-l)
Если а т* 0, а ^ -2, то х = / . ^ч —^—
а (а + 2)
234

11. ПАРАМЕТР В КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Задача 14.
Решить уравнение
2ах + х + 1
(а + 1)(х + 3) (х - 2)(х + 3) а + V
Решение.
Преобразуем заданное уравнение
2ах + х + 1 __ х + 2 д
(а+1)(х + 3) ~ х+3 "~ а+Г
После преобразований получаем уравнение 2ох = 1 — а,
которое при а = 0 не имеет корней, а при а^0х = —«—.
Теперь проверим, нет ли таких значений параметра а,
при которых найденное значение х было бы равно -3 или 2.
Для этого относительно а решим уравнения — 3 = —ту— и.
2 = —Ту—. Корень первого уравнения -0,2; корень второго
уравнения 0,2 не входит в область определения исходного
уравнения.
Ответ: при а = 0; ± 0,2 корней нет
при а * - 1; 0; ± 0,2 х = —~—;
при а = — 1 уравнение не имеет смысла.
Задача 15.
Решить уравнение х2 + 1x1 + а = 0.
Решение.
Поскольку х + I xl = - а, то а *? 0. При а = 0, х = 0.
Если а< 0, то х12 = ± -| (- 1 + VI - 4а).
Ответ:
При а>0 нет решений;
при а = 0 х = 0;
1
при а<0 х^ = ± j (- 1 + VI - 4а).
235

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 16.
т> а+х 1 ^ 1
Решить уравнение —=- = —-, гг + —z тт-.
УУ ах2 х(а-1) а(а-1)
Решение.
Очевидно, что а* 0, а * 1, хч*0.
Имеем ах {а Л- х)(а - 1) = (а 4- х) ах2.
Поскольку а * О и х Ф О, то (а + х){а - 1) = х (а + х).
Если а + х = О, то х = — а.
Если а + х ;* 0, то х = а - 1.
Оба эти значения х при а Ф 0, а ?* 1 не равны 0.
Ответ:
Если а = 0 или а = 1 — уравнение не имеет смысла.
Если а = -ту, то х = - -ту
Если а ;* 0, а Ф 1, а Ф -г, то ^ = - а, х2 = а - 1.
Задача 17.
Решить уравнение —^Т - 2а = а2 + 1.
Решение.
Очевидно, что х Ф 1. Имеем ах2 = (х- 1)(а + I)2;
ах2 - х (а + I)2 + (а + I)2 = 0.
Если а Ф 0,
(а + l)2 ± V(a + I)4 - 4а (а + I)2 _
*= w
(а2 + 2а + 1) ± (а2 - 1)
2а
. , а+1
х, = а + 1; х2 = ——
Проверкой убеждаемся, что при а # 0 эти значения
удовлетворяют исходному уравнению и ни л,, ни х2 не равны 1.
23©

11. ПАРАМЕТР В КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
При а Ф 1 ххФ х2. При а=1 х{ — х2 = 2. При а = 0 —
корней нет.
Ответ:
Если а = О, — решений нет.
Если а=1, х = 2
^ л * -, а+ I
Если а ** О; 1, то х1 = а + 1, х2 = .
Задача 18.
Решить уравнение — Н— + -г = —; —г.
J* х а Ъ х + а + b
Решение.
Очевидно, что а* 0, й т* О, х 5* О, х з* — а — й.
тт яй + х (я + й) 1
Имеем ? - = —; —-г.
аох х + я + й
аЪх + х2 (я + й) + яй (я + й) + х (я + й)2 = яйх;
(а + й) (х2 + (я + Ъ) х + яй) = 0.
Если а = — й, то х — любое число, не равное 0.
Если я ч* — й, то х2 + (а + й) х + яй = 0;
Х1 = — (2, Х2 = — Й.
Ответ:
Если а > 0, й = 0 — уравнение смысла не имеет.
Если я = — й ?* 0, то х — любое число, кроме 0.
Если а Ф - й, а Ф 0, й ^ 0, то х{ = - я, х2 = - й.
Если а = й, а?* — й, а ?* 0, то х = — а.
Задача 19.
г> а , й О + й)2
Решить уравнение —; Ь v—— = -—=-^-.
я + х й + х яй
Решение.
Считаем яй ;* 0 (иначе уравнение теряет смысл).
Имеем
ой (а (й + х) + й (а + х)) = (я + й)2 (а + х) (й + х) (1)
237

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
(х * а, х * - Ъ).
Подставляя х= — а в уравнение (1), получим, что
х = — а может быть его корнем лишь при условии а = й.
Аналогично найдем, что х = - й может быть корнем лишь
при условии а = й. После приведения подобных членов в
уравнении (1) получим, что заданное уравнение при условии
а ф Ъ эквивалентно уравнению
(а + bf х?+ (а+ Ъ)(с? + й2 + аЪ) х + аЪ (я2 + й2) = 0. (2)
Если а = — й, то из уравнения (2) получаем
аЪ{а + й2) = 0 при любом х, что невозможно, так как
ab * 0. Следовательно, при а* — b уравнение корней не
имеет.
Если а * — й, то уравнение (2) является квадратным.
Решив его, найдем х = —г~г и *, = гт~- Теперь иссле-
' а + й 2 а + b *
дуем случай а = й. Тоща заданное уравнение принимает вид
2а А а
= 4, откуда х = - ^.
а + х
Ответ:
Если а = — й, а ;* 0 — уравнение не имеет решений.
Если а = й, а Ф 0 — уравнение имеет единственный
корень х - - у. В случае а2 * й2, а * 0, й ^ 0 уравнение имеет
-aft a2 + ft2
корни х, =—гт их?= г^-.
* 1a+ft 2 а+й
Если яй = 0, — уравнение не имеет смысла.
Задача 20.
Решить уравнение (а — й2) х — 2ах +1=0.
Решение.
1) Пусть а = ± й т* 0, тогда 2ах = 1, х = у.
2) Пусть a = ± й = 0, тогда 1 = 0 — решений нет.
3) Пусть cl - й2 Ф 0, тоща
238

И. ПАРАМЕТР В КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
_a±JZ^J(?-}?) а±Ъ
Поскольку а ± Ъ * О (см. 2), то х = ——й-
Ответ:
Если а = ± й s* О, то л; = у-.
Если а = ± й = 0, то решений нет.
Если а * ± й, то х = ——г-
а± й
Задача 21.
та х-а х-й , 4ай Л
Решить уравнение г Ь -=—-j = 0.
X "~ и X -" CL (?" — ?>
Решение.
_^ х- а аЛ-Ъ
Обозначим г = у; -г = z.
х — о а — о
По условию а * ± й, значит, z ^ 0.
^-^ + ^J- = 0, или z/ + (z2-l)y-z = 0;
(- z2 + 1) ± (z2 + 1)
уя 2z •
1) y = i; 2) y=-z.
Первое уравнение —"^Га = —ТТ'» а + * = 2?*.
„ х-а а+ й
Второе уравнение ——г = TZL—•
Пусть а = 0. Так как й ^ ± а, то й * 0. Из первого
уравнения х = у» Второе уравнение не имеет решений. Пусть
й = 0. Так как а& ± й, то а ?* 0. Из второго уравнения
х = -f, первое не имеет решений.
239

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Если а Ф О, Ъ * О, то х{ =
Ответ:
Если а Ф О, Ъ ч* О, то х = ^.
Если а * О, 6 = 0, то х = w.
26
, #2 — "
с^ + й2
2а *
а2 + й2
Если а * О, 6*0, а Ф ± 6, то ^= —^т—> хг ="
а = Ъ — условие не имеет смысла.
Задача 22.
Решить уравнение х I х - 41 + а = 0.
Решение.
1) х-4>0. Тогда
Гх = 2 ± V4-a,
a2 + 62
2a #
х2 - 4х + a = 0,
х^4
или
4-a^0, а ^4,
х^4.
Корень Xj = 2 - V4 - а не является решением (если даны
4-а^О, то Xj <2 <4).
Гх = 2 + V4- а,
Значит, /х ^ 4,
)а^4
или
х = 2 + V4 - а > 4,
а^ 4,
значит,
а ^ 0, или
(х = 2 + V4-a,
\a<4
2) х - 4 < 0. Тогда
Гх2 - 4х - а = 0,
x = 2 + V4-a,
х<4
или
х = 2 ± V4 + a,
4 + a ^ О, a ^ 4, значит,
х<4,
х = 2 ± V4 + a,
a^ - 4,
х<4.
^240

11. ПАРАМЕТР В КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Если 4 + а > О, то 2 - V4 + а < 4; 2 + V4 + а < 4 тогда и
только тогда, когда | < ^
Если а = - 4, то 2+ V4 + а = 2 - V4 + а = 2 < 4.
Ответ:
Если а < - 4, # = 2 + V4 - а.
Если а = — 4, ^ = 2.
Если -4^а^0, ^ = 2 + V4 + a, х2 = 2 - V4 + a,
х3 = 2 + V4-a.
Если а = 0, Xj = 4, х2 = 0.
Если а > 0, л: = 2 - V4 + а.
Задача 23.
Доказать, что каждое из уравнений имеет действительные
корни:
а) х -Akx + k2-m2 = 0. D = Зк2 + т2>0.
б) (х- к)(х - т) = л2.
Имеем х2 — тх — кх + mfc — п2 = 0;
х2 — л: (т + &) 4- mfc — п2 = О»
D = (т + Л)2 - 4 (mfc - /г2) = т2 + 2тк + к? - 4тк + 4п2 =
= т2 - 2тк + Jfc2 + An2 = (т-К)2 + An2 > 0.
в) (я- - а)(х - й) + (х - й)(х - с) + (х - с)(* - а) = 0.
^ ?> = (а + й + с)2 - 3 (ab + 6с + ас) =
= |((а - й)2 + (6 - с)2 + (с - а)2) ^ 0.
Задача 24.
При каких значениях а уравнение
(а - I)2 я2 - 2 (а + 1) х + а - 2 = О
имеет один корень?
241

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Решение.
Уравнение будет иметь один корень, если {а - 1) = 0 или
f = (а+1)2-(а-1)(а-2) = 0;
а2 + 2а+1-а2 + 2а+а-2 = 0, отсюда а
Ответ: а
Задача 25.
Найти зависимость между а, Ъ и с, чтобы трехчлен
ах2 + Ъх + с был точным квадратом.
Решение.
Чтобы трехчлен со? + Ъх + с был точным квадратом,
необходимо и достаточно, чтобы Ъ2 — Аас = 0 или I Ъ\ = 2 Vac^
а^О, с^О.
Задача 26.
Определить коэффициент с квадратного уравнения
ах2 + Ъх + с = 0, если один из его корней равен .
Решение.
Имеем а\ J + [ | = — с, откуда с = 0.
Задача 27.
При каких значениях а уравнение а {Ъх — а) = 6х — 4
имеет одно положительное решение?
Решение.
Ъах - о2 = 6х - 4;
х (За - 6) = а2 - 4;
Ъх (а - 2) = (а - 2)(а + 2).
I
5*
5' a=L
242

И. ПАРАМЕТР В КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
При а * 2 х = —^—; х > О, если а > — 2.
Если а = 2, xER.
Ответ: а > - 2, а ** 2.
Задача 28.
При каком значении параметра р корнем квадратного
трехчлена / (х) = - Зх2 + рх-2р — 12 является число 6?
Решение.
- 3-36 + 6р-2р- 12 = 0; р = 30.
Задача 29.
Не решая уравнения х2 - (2а + l)x + a2 + 2 = 0 найти,
при каком а один из корней в два раза больше другого.
Решение.
По условию хх = 2х2. По теореме Виета имеем
х2 + 2х2 = 1а + 1.
2а+1
*2 - з ;
2x1 = а2+ 2; A=^Y^
l + 2 = 4l±4a±lt ,-+lfi
(1)
(2)
= П. л = 4
Значит, 2 - 9 , ы, UW1 xu-v, и-..
Задача 30.
При каких значениях параметра а разность корней
уравнения 2х - (а + 2) * + (2а - 1) = 0 равна их произведению?
Решение.
Имеем {х{ - х2)2 = (^ + х2)2 — 4х^ х2;
а + 2\2 л2а-1
(*i-*2)2= -J" -4—2~;
243

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
2 _ о2 - 12а + 12 _ 2а -1
v*i *2/ ~ 4 ' *** *2"" 2
а2-12а+12 /2а-Г2
По условию j = —2
а2 - 12а + 12 = (2а - I)2;
За2 + 8а-11 = 0;
Oi= 1, Оз= - 3 -д
Задача 31.
2
Ответ: 1; - 3-~.
_ х2- ох+ 1 л
При каких а уравнение т~о— = 0 имеет
единственное решение?
Решение.
Рассматривается квадратное уравнение при D = 0, видим,
что а = ± 2.
Возможен вариант, коща х2-ох+1 = (х + 3)(л: - 1).
Тогда 1 тоже будет единственным корнем. Такой случай
10
возможен, если а = —~-.
Ответ: а = ± 2, а = —^-.
Задача 32.
Найти все значения а, для которых разность корней
уравнения З*2 -(a+l)x + a + 3 = 0 равна 1.
Решение.
(*1 - *2)2 = (*1 + Х2? - 4*1*Г
По теореме Виета хг + х2 = —~—5 *i *2 = —о—*
Следовательно,
244

И. ПАРАМЕТР В КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
а — 6а — 23 п л л
По условию д = !• Значит, Oi = 9, Og = — 3.
Задача 33.
В уравнении х + кх + 7 = 0 найти Л, если разность корней
этого уравнения равна 1.
Решение.
(*i - *2)2 = (*i + xif ~ 4*i xv
1 = /с2 - 4, jfc = ± V2!T
Задача 34.
При каком значении параметра а сумма обратных
величин действительных корней уравнения 2х2— 2ах + а2— 2 = О
равна -=г?
Решение.
Пусть д:р #2 — корни данного уравнения. Согласно тео-
а2-2
реме Виета х{ + х2 = а, х{ х2 = —~
1 , 1 _ 2 *i + *2 2 2а
По условию — + — = «•, откуда —
Oj - За - 2 = 0. Кроме того, D > 0, или 4а2 - 8 (а2 - 2) =
= 16 - 4а2 г* 0. Итак,
3-\ЛРГ
Г«*-з«-2-о,__| ' з+^тг'
- 2 ^ а ^ 2.
Ответ: при а = ~ .
16 - 4сг >0
245

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 35.
При каких целых к корни квадратного уравнения
кх> + (2* - 1) х + к - 2 = О
рациональны?
Решение.
Корни этого уравнения будут рациональными, когда
дискриминант представляет собой квадрат целого числа.
Получаем (2к - I)2 - 4к (к - 2) = m2, feGZ, me Z.
т2 - 1
Далее 4& 4- 1 = га2, ? = —т—• Следовательно,
m = 2м + 1, n G Z.
Таким образом, имеем к = -—j— = я2 + /г, «GZ.
Задача 36.
В уравнении (а2 — 5а + 3) я2 + (За - 1) х + 2 = 0
определить а так, чтобы отношение корней равнялось 2.
Решение.
Пусть х — корень уравнения. Тогда второй корень 2х.
. о 1 - За - 1 - За
х + 2х = -^—-——; Зх =
л? + 3-5а* а*-5а + 3'
*-2х = -5—1—г; 2Х2 2
Отсюда л: =
о2-5а + 3' а2-5а + 3*
1-За
(а2 - 5а+ 3)3'
(1 - За)2 = 1 = 2
9(а2-5а + 3)2 а2-5а + 3; * 3#
Задача 37.
В уравнении х2 + 2х + с = 0 определить то значение с,
при котором его корни xi и х2 удовлетворяют условию
1х2 - 4xj = 47.
246

И. ПАРАМЕТР В КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Решение.
По теореме Виета имеем
(л^ + л:2 = 2, ц^
|*1 *2 = с-
Из первого уравнения системы (1) имеем х2 = 2 — хг
Подставим значение х2 во второе из данных уравнений,
получим 7 (2 - х{) - 4х{ = 47, откуда xt = - 3. Тогда х2 = 5.
Подставляя найденные значения х{ и х2 во второе уравнение
системы (1), находим с = (—3) • 5 = — 15.
Задача 38.
В уравнении 4х2 - 15х + 4т2 = 0 найти т так, чтобы
один корень был квадратом другого.
Решение.
По условию
х • х2 = т2, х3 = т2, т - ± \^?~, х + х2 = -г~.
Поскольку х>0 (это следует из равенства m = ± Vx3),
то m - ^. т . 2 . , и, - ^ 2 т 2
Задача 39.
При каких значениях а уравнение
(х2 + 2х + а - 2)(х2 - 2х - а) = О
имеет ровно три корня?
Решение.
Дискриминанты каждого из уравнений равны а + 3 и
а+1, следовательно, CD>0) я ^ - 1. При этом первое из
двух уравнений уже имеет 2 различных корня, т.е. второе
уравнение должно иметь один корень или два, но из двух
корней один должен равняться корню первого уравнения.
3
Значит,,а =—1 и а= —-г.
4
247

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Задача 40.
При каких значениях параметра а уравнение
(а + 4*-*2-1)(а + 1 — Ijc — 21) = О
имеет ровно три корня?
Решение.
Чтобы заданное уравнение имело три корня, надо, чтобы
корни одного из сомножителей заданного уравнения
совпадали. Итак, имеем х2 — 4х + (1 - а) = 0. х{ = х2, если D = 0.
Значит, а = — 3. Но если а = — 3, то при любом х, второй
сомножитель отрицателен, что невозможно. Рассмотрим
равенство нулю второго сомножителя: а + 1 = I х — 21. Его корни
совпадают, если а + 1 = 0, т.е. а = — 1.
Ответ: а = -1.
Задача 41.
При каком значении а сумма квадратов корней
квадратного трехчлена х2 — (а — 2) х — а — 1 принимает наименьшее
значение?
Решение.
Пусть х{ и х2 — корни данного уравнения. Тогда
х? + 4 = (а - 2)2 - 2 (-а - 1) = а2 - 2а + 6 = (а - I)2 + 5.
Так как (а — I)2 > 0, то д^ + я2, принимает наименьшее
значение при а = 1.
Задача 42.
При каком значении а сумма кубов корней уравнения
(2а 4- 1) х + (2а + 1) х + 2а = 0 равна 3?
Решение.
По условию х\ + х2 = 3. По теореме Виета хх + х2 = -1.
Имеем (*! + х2) (х2 — х{х2 + х2) = 3;
248

И. ПАРАМЕТР В КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
(я, + х2) ((Xj + х2)2 — Зх1 х2) = 3;
1 (л бо2 ^ , 2±VTtT
"М 2^rlj=3' а = —3~'
Задача 43.
При каких значениях параметра уравнение
х + а а — Зх _ 9
х + 1 х — 3 ~~
имеет одно решение?
Решение.
Область определения уравнения является множество
действительных чисел, кроме 3 и -1. На этом множестве данное
уравнение равносильно уравнению
2л2 + х(1 - а) + (а - 3) = 0. jq = 1; х2 = 0,5 (а - 3).
Чтобы заданное уравнение имело только один корень
(х = 1), необходимо и достаточно, чтобы второй корень (х2)
совпадал либо с xv либо с числами 3 или -L Отсюда
0,5 (а -3) = 1, а = 5;
0,5(а-3) = -1, а=1;
0,5 (а - 3) = 3, а = 9.
Задача 44.
Найти все значения а, при которых корни уравнения
(а— 1)х2 + 2ах + а + 3 = 0 положительны.
Решение.
D = 4а2 - 4 (а + 3)(а - 1) >0, откуда а> 1, а< -3,
откуда а<^; а_1>0.
3
Ответ: а<-3; Кж^
Задача 45.
При каком а уравнение (а + 5)х2 + (2а - 3)х+а-10 = 0
имеет два отрицательных корня?
249

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
D = (2а - З)2 - 4 (а + 5){а - 10) = 8а + 209 > 0.
Корни будут иметь одинаковые знаки, если
10
*л~ а + 5
>0.
Оба корня будут отрицательны, если при этом
-2а+ 3
Х{ + х2 =
а + 5
-<0.
Таким образом задача свелась к решению системы
неравенств
[8а + 209 > 0,
а-10
а + 5
2а-3
а + 5
>0,
> 0.
Ответ:
209
8 '
U [Ю; оо [.
Задача 46.
Даны два уравнения х2 — 5х + т = 0 и х - 1х + 2т = 0.
Определить те значения т, при которых один из корней
второго уравнения вдвое больше одного из корней первого
уравнения.
Решение.
Обозначим корни первого уравнения через а и /3, второго
уравнения — через 2а и у (так как т ^ 0, то каждый из
этих корней отличен от нуля). В силу теоремы Виета имеем
а + /3 = 5, 2а + у= 7, а/3 = т. Решая совместно последние
три уравнения, получаем а = 2, /5 = 3, т = 6. Таким образом,
данные уравнения: х — 5х + т = 0 и х2 — 1х + 2т = 0; корни
этих уравнений 2 и 3, 3 и 4.
Задача 47.
Между коэффициентами уравнений х + тх + п = 0 и
х + рх + а = 0 имеет место зависимость тр = 2 (/г + q). До-
г^о

11. ПАРАМЕТР В КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
казать, что по крайней мере одно из уравнений имеет
действительные корни.
Доказательство.
Предположим, что оба уравнения не имеют
действительных корней, т.е. т — An < 0 и р2 — 49 < 0. Сложив почленно
эти неравенства, получим
т2 + р2 - An - Am < 0. (D
Но учитывая, что тр = 2 (п + <?), неравенство (1)
перепишем в виде mm + р — Imp < 0, или (т — pf < 0, что
невозможно. Таким образом, наше предположение, что корни
обоих данных уравнений мнимые, неверно. Следовательно,
хотя бы одно уравнение имеет действительные корни.
Задача 48.
Найти все значения параметра R, при которых уравнение
х — 2 VTx + R + 1 = 0 имеет различные корни. Сколько
корней этого уравнения находится в интервале (0; V2) в
зависимости от параметра R1
Решение.
~ = (VI)2 - (R + 1) > 0, откуда R < 1. Пусть хх < х2. Тогда
из того, что х1 + х2 = 2 VT следует, что л^ < VT< х2.
Следовательно, в интервале (0; VT) может быть только один корень
х13 причем он должен быть положительным; но поскольку
х2 > VT> 0, то х{ х2 = R + 1 > 0, откуда R > -1. Но по
установленному Л<1, значит, в интервале (0;V2) находится
только один корень при условии — 1<Ж1. Он равен
VT-Vl-Д.
Задача 49.
Доказать, что уравнение
(а2 + А2 + с2) х2 + 2(а + й + с) х + 3 = 0
не может иметь действительных корней, если а, Ъ и с не
равны между собой.
251

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Доказательство.
? = (а + Ъ + с)2 - 3 (а2 + й2 + с2) =
= ((а - с)2 + (а - й)2 + (Ъ - с)2) < О, так как
а ^ Ь; а^ с; Ь* с.
Задача 50.
Корни уравнения рх + пх + п = 0 находятся в отношении
а\Ъ \~г > 01. Найти зависимость между а, й, р, п.
Решение.
jD > 0 или п(п- р • 4)>0.
л? = —г; я? = — и х < 0, х2 < 0, т.е.
1 ро' 2 pa l 2
у па
рЪ " *; *2" У ра
па _ _ \/ м6
рй " х; х2 =
Vf + v4 = V^.
Задача 51
Имеем т , . т — ж
bap
Уравнения х2 + рх + 9 = 0 и рх + д2 = 0 имеют общий
корень. Найти зависимость между р is. д*
Решение.
Если # = 0, то при любом р данные уравнения имеют
общий корень 0. Пусть д ^ 0. Уравнение рх + д2 = 0 имеет
2
один корень х{ = (р ^ 0), который по условию должен
быть одним из корней уравнения я2 + рх + а = 0. Обозначив
второй корень квадратного уравнения х2, будем иметь:
Р 2 Р
Исключив х2 из обоих уравнений, найдем искомую
зависимость: q(p2 + q2) = р2.
252

11. ПАРАМЕТР В КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Задача 52.
Найти зависимость между коэффициентами уравнения
ах + Ъх + с = 0, если сумма корней вдвое больше их разности.
Решение.
х\ + х2 = —' х\ ' х2 = """• По условию задачи хг + х2 =
= 2х • (Xj — х2), откуда я^ = 2х2. Если хх = Зл^, то хг + х2 =
= 4х, = —; х • х, = Зх? = —, откуда ~ = ~ или Зй2 = 16ас —
искомое условие.
Задача 53.
Дано уравнение х + рх + q = 0. Найти уравнение, корни
которого отличались бы от корней данного только знаками.
Решение.
По теореме Виета хх + х2 = - р; х1 х2 = q. Если корни
искомого уравнения будут (—х{) и (-x2), то (—д^) + (-*2) =
= - (х{ + х2) = р. (-х{) • (-х2) = ^ • х2 = #.
Значит, искомое уравнение: х2 — рх + q = 0.
Задача 54.
Доказать, что квадратное уравнение
а2х2 + (й2 + а2-с2)х + й2 = 0
не может иметь действительных корней, если а + Ъ > с и
\а-Ъ\ <с.
D = (й2 + а2 - с2) - 4а2 й2 = (Й2 + а2 - с2 - 2ай) X
х (й2 + а2 с2 + 2аЬ) = ((а - й)2 - с2) ((а + й)2 - с2).
Так как а+й>с и 1а-й1<с, то а2 + b2 + 2ab>c2 и
(а - й)2 < с2, следовательно, D< 0.
253

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 55.
Найти все действительные значения параметра р, при
которых корни уравнения (р — 3) х2 — 2рх + 6р = 0
положительны.
Решение.
Если р = 3, то уравнение имеет единственный корень
х = 3>0. (1)
Пусть р * 3. D = 4р2 - 24р (р - 3) = 4р (18 - 5р). D>0
_ 2р
при 0 ^ р ^ 3,6,
g откуда 3 < р ^ 3,6. Учиты-
X • X = ——
*i *2 р _ з'
вая соотношение (1), имеем 3 < р < 3,6.
Задача 56.
Определить коэффициенты квадратного уравнения
х2 + рх + q = О,
так, чтобы корни его были равны рид,
Решение.
По теореме Виета \р ^J? ~~ ^ Эта система имеет два
|р + ? = - Р,
[Р<7 = tf.
решения:
1) р = 0, q = 0;
2) р=1, ?=-2.
В первом случае имеем уравнение х2 = 0, во втором
л^ + х + 2 = 0.
Задача 57.
При каких значениях параметра а уравнение
х2-2ах^с?-3 +4 = 0
имеет равные между собой корни?
Решение.
^=(aVa2-3)2-4 = 0, или d4 - За2 - 4 = 0.
254

11. ПАРАМЕТР В КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Это биквадратное уравнение имеет два действительных
корня (а = 2 и а = — 2).
Ответ: а = 2, а = - 2.
Задача 58.
При каких значениях а уравнение
(а + 2) д2 + 2 (а + 2) х + 2 = О
имеет один корень?
Решение.
Заданное уравнение может иметь один корень, если
а + 2 = 0. Но тоща 2 = 0. Итак, а # - 2. Уравнение может
иметь один корень, если Z) = 0. Имеем
D = 4 (а + 2)(а + 2 - 2) = 0, ^ = - 2; ^ = 0.
Ноа?ь-2.
Ответ: а = 0.
Задача 59.
При каком значении а квадрат разности корней уравнения
х2-ах + а-6 = 0 будет наименьшим? Чему равен квадрат
этой разности?
Решение.
Пусть xv х2 — корни данного уравнения.
(*i-*2)2 = (*i +*2)2 ~4*1*2-
По теореме Виета х{ + х2 = а; х{ х2 = а — 6, значит,
(*i " *2)2 = (* - 2)2 + 20-
Отсюда видно, что (х{ - х2)2 > 20, причем равенство
достигается при а = 2.
Ответ: а = 2, квадрат разности корней равен 20.
Задача 60.
При каких целых к корни квадратного уравнения
кх2 + (2к - 1) х + Л - 2 = 0 рациональны?
255

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Корни этого уравнения будут рациональны, когда
дискриминант представляет собой квадрат целого числа. Получаем
уравнение (2к - I)2 - 4к (к - 2) = т2, где к ? Z, т Е Z. Далее
имеем 4к + 1 = т2, откуда к = —т—. Это уравнение имеет
решение только при нечетном т, т.е. при m = 2n+ 1, ще
nEZ. Таким образом, имеем к = -г— = п2 4- п.
Задача 61.
Найти все значения а из промежутка [1; а), при каждом
из которых больший из корней уравнения
х2 - 6х + 2ах + а - 13 = О
принимает наибольшее значение.
Полагая в данном уравнении а = 1, получим квадратное
уравнение х2 - Ах - 12 = 0, которое имеет два корня,
наибольший из которых 6. Покажем, что для любого значения
а, принадлежащего промежутку [1;а), исходного уравнение
не имеет корней в области х ^ 6. Поскольку
х2 - 6х + 2ах +а - 13 = (а - 1)(2х + 1) + (х - 6)0 + 2),
то очевидно, что для любого а > 1 их>6:
^-бх + гах + а- 13 >0.
Следовательно, при а> 1 в области х ^ 6 нет корней
исходного уравнения. Так, а = 1 — единственное решение задачи.
Задача 62.
Найти зависимость между коэффициентами а, й, с
уравнения ах2 + Ъх 4- с = 0, если оно имеет разные корни, равные
по модулю.
Решение.
Если в уравнении ах + Ъх + с = 0 корни равны по модулю
и различны, т.е. х1 = - х2 & О, то по теореме Виета
х + а*. = - - = 0. т.е. Ъ - 0.
256

11. ПАРАМЕТР В КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Поскольку х{ х2 = —, а х{ = х2 (—1), то с и а должны быть
разных знаков. Заметим, что при 6 = 0 и ас< 0 Z>=- 4ас>
>0. Итак, искомая зависимость может быть записана так;
Ц<0.
Задача 63.
Даны два утверждения:
1) Уравнение х 4- (R 4- 2) х -I- 1 = 0 имеет два различных
отрицательных корня.
2) Уравнение х24-(1-Я)х4-4 = 0 имеет два различных
положительных корня.
При каком значении параметра оба утверждения истинны,
оба ложны, одно истинно, а другое ложно?
Решение.
Уравнение х2 4- (R + 2) х 4- 1 = 0 имеет два различных
отрицательных корня тогда и только тогда, когда Z)>0,
2 — R
—~— > О» откуда R > 0. Уравнение х2 4- (1 — R) х + 4 = 0 имо-
ет два различных положительных корня когда /)>0,
— 1 — R
—2— > 0» откуда R > 5.
Ответ: при Л > 5 оба утверждения истинны, при R < 0
оба утверждения ложны. При 0 < R ** 5 первое истинное,
второе ложно.
Задача 64.
При каких значениях с вершина параболы
у = х24-6х 4- с находится на расстоянии 5 см от начала
координат?
Решение.
Вершина А параболы у = х2+6х + с имеет координаты:
/ 36 — 4с\
А -3; —т— , начало координат О (0; 0). По формуле
257

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
откуда
A(f = (х - х{)2 + (у - у,)2 имеем 25 = 9 + [-
с = 5, с = 13.
Задача 65.
При каких значениях Ъ графики функций
у = 2ЙХ2 + 2х + 1 и j = 5л2 + 2йх - 2
пересекаются в одной точке?
Решение.
Имеем
2&С2 + 2х + 1 = 5х> + 2&с - 2, х2 (2й - 5) + х(2 - 2Ь) + 3 = 0.
Пусть 26 - 5 = О, Ь = 2,5, х = 1. Пусть 2* - 5 * 0, тогда
_2(2А-5) _ _ 3
Х1""2(2*Х5) ~ х> *2 ~ 26 -5'
Как видим, значение х — 1 не зависит от й. Положим
Ответ: 6=1; й = 4.
1 = 26^5'6 = 4'
Задача 66.
Парабола у = х2 4- рх + q пересекает прямую у = 2х - 3 в
точке С с абсциссой х0 = 1. При каком значении р я q
расстояние от вершины параболы до оси ОХ минимально?
Решение.
По условию х0 = 1 — корень уравнения х2 + рх + # =
= 2х - 3, <? = - р - 2. Заданную функцию у = х2 + рх + q
теперь запишем в виде: у = х2 + рх + р - 2.
*i =
= — 4т- — ябгттарря долтттргапкг ттяпябптгы. V. = —т-
? — абсцисса вершины параболы, ^ = -т- - р - 2 ¦
ордината вершины, а — расстояние от вершины параболы
до оси ОХ, тоща а = I у. I
? + р + 2
258
- Н'+ >•
„2
= ?- + р + 2 =

И. ПАРАМЕТР В КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Наименьшее значение а равно 1 и достигается при
р = - 2. В этом случае q = 0.
Параметр и парабола
Задача 67.
Найти все значения параметра а, при которых вершины
двух парабол у = 9Х2 + 6 (а - 1) х + 1 и у = 9а*2 4- 4х + а ле-
5
жат по разные стороны от прямой у = -д.
Решение.
Найти координаты вершин А^ и А2 двух парабол.
4*^(1-а); 2а-А Л2 * f-^$ -^+«).
Требование задачи о положении точек Л, и Л2 относи-
5
тельно прямой У = -к можно записать в виде двух систем
неравенств.
Решаем системы
-а2 + 2а>|,
"9а-+а<9'
-а* + 2а<|,
(1)
(2)
при а>0 и а < 0.
При а>0 система (1) имеет решение -~; 1 . При а
<0
система (1) решений не имеет. Решаем систему (2). При
а > 0 решение системы (2)
(2)
-И-
5
3;°°
. При а < 0 решение системы
Ответ: a G
-МиМи
5
з;о°
259

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 68,
При каких значениях параметра к вершина параболы
у = кх — 1х + Ак лежит во второй четверти?
Решение.
Вершина А заданной параболы имеет координаты
. /7 49-16А2\ _ „ .
А \-хр -тт . Во второй четверти абсцисса отрица-
ельна, ордината — положительна:
*
4<0'
49 - 16*2 ' откуда ~ 1»75<А<0.
Ак >0'
Задача 69.
Найти р и д если точка А (1; 2) является вершиной
параболы у = х + рх + д.
Решение.
Поскольку А 1 — т?-; — -д-|, где D = ^- — д, значит,
-?=1
откуда р = - 2, # = 3.
Задача 70.
Найти а, бис, если точка М(— 1; 7) является вершиной
параболы у = ах2 + их + с, пересекающей ось ординат в точке
ЛГ(0;4).
Решение.
Поскольку точка М имеет координаты М [ — у~; — д—|
и при N (0; 4) имеем
260

И. ПАРАМЕТР В КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
f b i
\ _ б2 - Аас _ _ а = - 3; # = - 6, с = 4.
[с = 4,
Задача 71.
При каких значениях а уравнение
(о2 - 6а + 8) • х2 + (о2 - 4) ¦ х + (10 - За - а2) = 0
имеет более двух корней?
Решение.
Исходное уравнение запишем в виде
(а - 4)(а - 2) • х2 + (а - 2)(а + 2) х - (а - 5)(а - 2) = 0,
(л - 2) ((а - 4) • х2 + (а + 2) х + (а + 5)) = 0.
Ответ: При а = 2, х Е Л.
Задача 72.
При каких значениях параметра а уравнение
(а- 1 - 1х- 11)(а + х2-2х-4) = 0
имеет ровно три решения? Найти их.
Решение.
Рассмотрим случай, когда уравнение х2 -2х - 4 + а = 0
имеет одно решение -д-=1 + 4-а = 0, а = 5. При а = 5
х = 1. Первый сомножитель при а = 5 имеет корни х = - 3;
х = 5. Рассмотрим теперь случай, когда первый сомножитель
имеет один корень. Это будет, если а - 1 = 0, х=1, а = 1.
Тоща уравнение х2 — 2х — 4 + 1=0 имеет корни 3; — 1.
Корни второго сомножителя х{ = 1 + у/5 — а^ х2 = 1 — y/TT^ir.
Заметим, что Ц - 11 = 1х2 - 11 = у/Т^а. Следовательно, д^ и
х2 одновременно являются корнями уравнения
а- 1- 1х- II =0,
261

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
т.е. исходное уравнение имеет 2 решения.
Ответ: При а — 5 дс = 1, л; = — 3, х = 5;
при а=1 х=1, л:= — 1, х = 3.
Задача 73.
Сколько решений имеет уравнение
(х + 2)2(х2-4х + 5) = а(а- 1)?
Решение.
Заданное уравнение запишем в виде
(х + 2)4 + (х + 2)2 - а (а - 1) = 0.
Получим квадратное уравнение относительно выражения
Г(* + 2)2 = а-1,
(х + 2) . Решая его, получим
(х + 2)" = - а.
Итак, при 0 < а < 1 — нет решений;
при а = 0, а = 1 — одно решение
при а < 0, а > 1 — два решения7
Задача 74.
При каких а уравнение \х2 — 2ах\ = 1 имеет три
различных корня.
Решение.
Исходное уравнение равносильно системе
Гд?-2ох=1э
Ъс2 — 2ох= — 1.
Первое уравнение имеет два различных корня при любом
aGR; f-д- = а + 1 > 0 j. Чтобы заданное уравнение имело
ровно три корня, неооходимо, чтобы дискриминант второго
уравнения был равен нулю, т.е. 4а2 — 4 = 0. Решив уравнение
а2— 1=0, получим а = ± L
262

12. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задача 1.
Решить уравнение х = (VF+ 2)(1 - Vl -V3T)2.
Решение
Положим у = Vl - Vx~. Тогда у2 = 1 - Vx~, х = (1 - у2)2,
и уравнение принимает вид (1 - у2)2 — (3 - у2)(1 - у)2, откуда
у = 1 или у2 + у — 1 = 0.
В первом случае получаем х = 0, во втором случае
х=(1-/)2 = ^-у-1.
Так как у > 0 и уравнение у2 + у - 1 = 0 имеет единст-
VT- 1 3 - VT
венный положительный корень —т"^-"» то х = ^—:
Таким образом, уравнение имеет два найденных выше
корня.
Задача 2.
Решить уравнение
4Vx*-24 + 3Vx2-21 +2V*2- 16 +V;c2-9 =-^Г.
х - 4
Решение.
Левая часть уравнения неотрицательна. Поэтому и правая
положительна, т.е. х > 4. Коща увеличивается х, левая часть
уравнения увеличивается, а правая уменьшается. Поэтому
данное уравнение не может иметь более одного
действительного корня. Непосредственная проверка показывает, что при
х = 5 обе части равны между собой.
Задача 3.
4х
Решить уравнение V2x + 1 + VI — 2х = —i г-.
Vl-4x2
Решение
Замечаем, что (V2x+ 1 +V1 -2x)(V2x+ 1 -VI - 2х) = 4х.
263

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
V2x + 1 - VI -2х л
Значит, 1 — г г = О или
VI -4х2
Vl-4*2 = V2x+1 - VI-2х =>
1-4л2+ 2 VI-4л2 -2 = 0.
Обозначим V1 — 4х2 = у, тогда / 4- 2у — 2 = 0.
Окончить самостоятельно.
Задача 4.
Решить уравнение
Тогда J
Решение.
„ V Vx2 + 662 + л: , л/ ,/ , ^ir I" „
Пусть V ^ = Л V х V х2 + 662 - х2 = 5.
АВ = 66, *\А-В = 66, ^ + 55-66 = 0,
-5 + VW , . 5 + V2S9" „
В = ^ Ь А = ^ = 1L
Окончить самостоятельно.
Решить уравнения.
Задача 5,
1) (2х - 1) V3T=T= 7 VT.
Попробуем предположить, что множители, содержащие
радикалы, равны. Если это верно, то имеет место система
[2х - 1 = 7, А
{V3F=T=VT, ** = 4-
Покажем, что других корней уравнение не имеет. Пусть
х>4. Тогда
|vf=t> Vi: Towa (2х ' 1} VFrT> 7 ^
264

12. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если же 2 *$ х < 4, то имеет место система
{v^^<VT' т.е. (2х - 1) УЗП~< 7 Vi: Итак, х = 4.
2) {Ах +1) V* + 1 = у/5~. Способ подбора, рассмотренный
в предыдущем примере, в данному случае не подходит, так
как система
Г4х+1 = 1,
не имеет решении.
Постараемся использовать ту же идею. Запишем исходное
уравнение в виде:
(4x4- 1) у/Ах + 4 = 2 V5"
и обозначим Ах через t Тоща предыдущее уравнение примет
вид: {t + 1) y/t + A = 2 V5T
Предположим, что множители равны.
i* + 1 = 2 * *"~ 1; *~4#
Докажем, что других корней нет.
* + 1 > 2, тт 1 ^ П
vrrr>vr:npiI"1^^<4
При x>-j *>1, тогда J
(t + 1) VtTT> 2VT, (t+1) 4t+A< 2 V5", итак, x = 4.
Задача 6.
Решить уравнения (самостоятельно)
1) (4x-l)V3^=nr=4V5:
2) (12x-5)V3x-5 = llVn
3) (2x - 1) V3^T= 7.
Задача 7.
Решить уравнение Vx + Убх - 9 + Vx - V5x - 9 = V6~
Решение.
Используя формулу сложного радикала, получаем
V х + Ух2 - 6х + 9 л/ х - Ух2 - 6х + 9
265

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
/ /
Д/ х + Vx2 - 6х + 9
V 2
ОПЗ- I6* " 9 * °' J
2Vx + Vxr^6x + 9 „_
-72— = V*T
Vx2 - 6х + 9 =
V * ~ Vx2 - 6x + 9 _-
X " V ОДЗ: x > f.
(x - 3)2 3= 0. z
Vx + Vx2 - 6x + 9 = V3-,
= 3 — X, X ^ 3.
V(x-3)2 =3-x, V(3 - x)2 = 3 - x,
13 — x\ =3 — x
а) 13 — xl = 3 — x, 3 — x = 3 — x, хЕЛ,
б) 13 — xl = x — 3, 3 — x = x — 3, 2x = 6, x = 3.
Ответ: ¦=¦ ^ x ^ 3.
Задача 8.
Решить уравнение
x +
vrr?
7ГГ
- 35
~~ 12**
Решение.
Пусть V1 - jc2 = у > 0. Заметим, что -К х< 1, откуда
Итак, имеем систему:
*^У_35
у ~ 12 *'
х2 + уг = 1
(1)
или
35
х + У = -yixy'
(х + у)2-2ху=\.
266

12. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Подставляя из первого уравнения х + у во второе,
получим: \-г~ ху\ — 2ху — 1=0;
1225 (ху)2 - 288 ху - 144 = 0.
Отсюда находим ху.
Решая каждое из этих уравнений совместно с первым
уравнением системы (1), найдем четыре решения. Из них по
условию у > 0 удовлетворяют лишь три.
Ответ: х, = 0,6, х2 = 0,8, х3 = - -^ (5 + V75).
Задача 9.
Решить уравнение
2 V*2 - х + 2 - V2 (х2 + 2х) = х - 2. (1)
Решение.
Так как выражение у = 2 V^-x + 2 + V2 (х2 + 2х) не
обращается в 0 и имеет смысл во всей области определения
данного уравнения, то после умножения обеих его частей на
исходное выражение, получим равносильное уравнение
4 (х2 - х + 2) - 2 (х2 + 2х) = (х - 2) j>, или
2(х-2)2 = (х-2));,
откуда х = 2 или у = 2х — 4.
Вычитая из последнего уравнения исходное, получим
следствие исходного уравнения 2 V 2 (х2 4- 2х) = х — 2,
откуда 7х2 + 20х - 4 = 0.
Однако корни этого квадратного уравнения, как легко
проверить, меньше 2, так что оно не имеет корней,
удовлетворяющих исходному уравнению. Т.е. единственный корень
х = 2.
Задача 10.
Решить уравнение
2&^Т + у/21 - 14х = 1.
267

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Решение.
Положим у = Vx — 1, тогда х = У + 1 и уравнение примет
вид: Ун - 14 (у + 1) = 1 -2у,
13 - 14з? = 1 - 6у + 12/ - 8/,
У + 2у2->;-2 = 0,
(у + 2)(/-1) = 0,
з\ = *> ^2 = -1» % = -2;
X! = 2, х2 = О, хг = - 7.
Задача 11. i
х4 + ^ = xVrVx4-^ .
Решение.
Возведем в квадрат
16х* - 32хб + 8х4 + вх2 + 1 = О,
16 (х4 - л2)2 - 8 (х4 - х2) + 1 = О
или (4 (х4 - х2) - I)2 = 0.
Следовательно, 4 (х4 - х2) -1=0. Далее очевидно.
Задача 12.
Решить уравнение
Vx2 + x-2+Vx2-4x + 3 = V2*2 - Ъх + 1.
Решение.
V(x - 1)(х + 2) + V(x - 1)(х - 3) = V(x - 1)(2х - 1). (1)
Пусть х ^ 1; тоща ^ = 1; Vx + 2 + Vx - 3 = V2x - 1;
х = 3; 3>1.
Пусть теперь х< 1, тогда 1 - х>0; делим уравнение (1)
на VI- х, получим: V- х - 2 + V3 - х = VI - 2х; х = - 2,
-2<1.
Ответ: х1 = 1, х2 = 3, х3 = -2.
268

12. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задача 13.
Решить уравнение.
,ч у/ТТПё v42 + х 64 I,—
1}—т—+_Т2—= т^
Решение.
7гггх— (п + ^ 64 7Г^
V12 + х (12 + х) = 256 х V3cl
V(12 + х)8 = 28 V?".
Возведем в седьмую степень:
(12 + х)8 = 2*-х\ (-^^)"-2
отсюда
12
12+ х
= ±\^;
12+ х
х
12
= ±27;
х+1 = ±128; *-_1±128.
12 __ji_
х, - 127> х2 - 43.
2) V(x+l)2+V(x-l)2=4V(x2-l).
Так как V (х - I)2 ^ 0, делим (*) на него:
Замена
1+ у2 = 4у, у2 - 4у + 1 = 0;
(*)
269

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
у12 = 2 ± V^H~= 2 ± VT;
V
fif = 2±V31 jij=(2±Vrr = a;
х + 1 = ах - a; 1 + a = ax - x; 1 + a = x (a - 1);
_ 1+q _ (2±У5)я+1
*~a-l; **«2 " (2±V3)"-1'
Задача 14.
Решить уравнение 2 Vx + 1 = x + x - 1.
Решение.
Уравнение равносильно системе
(VF+T+ I)2 - (х + I)2 = О,
i/J~— 1 откуда
\ V5 — 1 или х = —о—•
Задача 15.
Решить уравнение ~ ~— = х + Vx2 — 16 — 6.
Решение.
ОДЗ:
х + 4 >0,
х - 4 » О, о х>4.
х2 - 16 >0
Vx + 4 + Vx-4 - 2х - П/х2- 16 + 12 = 0;
(Vx + 4 + Vx-4) - (Vx + 4 + Vx-4)2 + 12 = 0;
Vx + 4 + Vx-4 = у; у - y2 + 12 = 0;
у»-у-12 = 0; у, = 4, у2 = -3;
корень у2 = -3 — не подходит, так как Vx + 4 + Vx - 4 > 0;
270

12. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
V* + 4 + у/х - 4 = 4; 2X + 2V.*2- 16 = 16;
2V*2- 16 = 16-2х;
4 (х2 - 16) = 4 (64 + ^ - 16х);
х2 - 16 - 64 - х2 + 16* = 0;
х — 5 = 0; х = 5.
Задача 16.
Решить уравнение
2х+*^±- VTT_ ъу[7Т= о.
Обозначим v —, z = Vx + 1. Тоща данное урав-
Решение.
нение принимает вид $ — у — 3yz + 2z2 - 2 = 0.
Разложив левую часть, рассмотрев ее как квадратный
трехчлен, получили: (у - 2z - 2) (у - z + 1) = 0.
Теперь решаем уравнения
v
х-1
= 2VF+T+2; <D
V
^- = VF+T- 1. (2)
Первое уравнение не имеет корней, так как левая часть
меньше 1, а правая часть больше 1.
Второе уравнение Vx — 1 + Vx~= V х2 + х после
возведения в квадрат 2 Vх (х — 1) = х2 — х + 1,
Задача 17.
Решить уравнение: — +-7 T^Ts*
27t

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
и 1 1 , 2 25
Имеем: -j + — т Н 1 r-= ч*> или
х2 13-х2 xVl3-x2 36'
13 2 25 _ fl
х2(13-х2) XV13-X2 36 U'
Сделаем замену: —i , = ?.
XV13-X2
13*2 + 2t - ^z = 0, ^ = ^; ?2 = - -—г, значит,
-а. -9. ^ST± 13
Xj — о\ Х2 — А Х34 — 1 q
Задача 18.
Решить уравнение
(х - 1)^10 - х - (10 - х) fcT=T _
у/х-1 -\/10-х " °-
Решение.
х ^ 1. Числитель и знаменатель делим на Vx — 1.
Получим ¦ = 6.
х - 1
„ \/ 10 - х . 10-х з
Замена: V ——г~ = % тогДа —zrr = *» 0ТКУДа
г3+ 10
X = -г —.
t + 1
Вычисляем х — 1 и 10 — х:
t Г3-НО , 9
х - 1 = -= : 1 =
10 - х = 10 —о—— = 1—г-
г3 + 1 ^ + 1
272

12. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Подставляем:
4 v 9
W
Дальнейшее очевидно:
Л« тш~ **у Л^ "~" • •
Задача 18.
Решить уравнение
V2x + 3 + Vx + I = Зх + 2 V2x* + 5х + 3 - 16.
Решение.
х> - 1,5,
х^-1, JC>1.
х^ -1,
ОДЗ:
Пусть у{ = V2x + 3, у2 = Vx 4- 1, тоща
Л + ЗЬ = Э?+ 3§-20 + 2лзЬ.
И+ % = (* + %)*-20.
2 1 ±9
Пусть z = yt + >>2. Тоща z - z — 20 = 0, zu = —«—,
Zj = 5| z2 = - 4 — посторонний корень.
V2x + 3 + Vx+ 1 = 5; V2x + 3 = 5 - Vx+ 1;
Vx + 1 «? 5; x<24 (tf).
2x + 3 = 25 + x + 1 - 10 Vx+ 1; x - 23 = - 10 VxTT;
x2 - 46x + 232 = lOOx + 100;
x2 - 46x + 529 = lOOx + 100;
x2 - 146x + 429 = 0;
xu = j , x, = 3, x2 = 143 (<? Я)
Ответ: x = 3.
273

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Задача 19.
Решить уравнение
V2 (1 + х2) + 2 (х - l) = 2aV3c:
Решение.
Ясно, что х > 0. Положим х — 1 = у Vx~. Тогда
^ + 1 = ^(^ + 2),
и данное уравнение принимает вид:
V2 (у2 + 2) = 2 (а - у), а>у.
После освобождения от иррациональности получаем:
f - 4ау + 2 (о2 - 1) = 0.
Отсюда: ^ = 2а + V2(a2 + 1), у2 = 2a - V2(a2 + 1).
При а ^ 0 имеем а - ух = - (а + V2(a2 + 1)) < 0.
При а<0 a-yj = -(а +V2(a2 + 1))<0. Значит, ух —
посторонний корень. С другой стороны,
а - у2 = V2 (а2 + 1) - а.
Разность a - у2 > 0 при a ^ 0 и при a > 0, следовательно,
остается решить уравнение х — 1 = у2 V3c~!
Отсюда Vx~= -| (у2 + V>? + 4),
х = I (2a - V2(a2 + 1) + Убо2 + 6 - 4a V2 (a2 + 1) .
Задача 20.
Решить уравнение 3 (х2 - х + 1) = (х + Vjc— I)2.
Решение.
Поскольку в области определения данного уравнения
х2 - х + 1 = х2 - (Vx=T)2 = (х + Vx~=T)(x - Vx=T),
то оно легко приводится к виду:
(х + V3T=T)(2x - 4 vGc^T) = 0,
откуда единственное решение х = 2.
274

12. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задача 21.
При каких а, Ь и с уравнение V х + aVx~+ ft + Vx*= с
имеет бесконечное множество решений?
Решение.
Из условия Vх + a Vx~+ 6 = с — уГх. Тогда
х + a Vx~+ й = с2 — 2с Vx"+ х, Г(а + 2с) Vx~= с2 — i,
с - \/яГ$* 0, |Vx~^ с.
Отсюда следует, что данное уравнение имеет бесконечное
множество решений, если
а + 2с = с2-й = 0 и с > О, т.е. при
а = - 2с ? = с2 и с > 0.
Задача 22.
Решить уравнение:
Vl-x2 + ^х2 + х - 1 + VT^T- 1 = 0.
Решение.
Обозначим V1 - х2 = и, Vxa + х - 1 = у, VI - х = >v,
тоща
{ц + и + и>=* 1,
и* + ^+ w*=l.
Так как и, и, w > 0, то и2 ^ и, tf ^ v, w2 ^ w, и поэтому
а2 + г4 + и>2 = и + м> + о=1 только в случае и2 = и, и4 = о,
w2 = w. Учитывая, что и + о 4- w = 1, получаем следующие
три случая:
1) и= 1, t;=0, и> = 0, т.е. 1-х2 = 1; х2 4-х-1=0;
1 - х = 0. Решений нет.
2) и = 0, и=1, w = 0, т.е. 1-х2 = 0; х2 + х - 1 = 0;
1 - х = 0. Решение х = 1.
3) w = 0, а=0, w= 1, т.е. 1-х2 = 0; х2 + х-1=0;
1 - х = 1. Решений нет.
275

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Проверкой убеждаемся, что х — 1 — корень исходного
уравнения. Итак, исходное уравнение имеет единственный
корень х = 1.
Задача 23.
Ах2 + 12xVl + x = 27 (1 + х).
Решение.
Первый способ
27 (1 + х) - llxVYTT- Ах2 = 0;
6х ± V36*2 + 4 • 27х*
VTTT=
27
6х ± у/IAAx2 6х ± 12х
27
27
2х
2х
Следовательно, VI + х = -=- и VI + х = —g-;
^, = 3; x2 = -|;x3,4 = |(9±V97).
Второй способ
Добавим к обеим частям уравнения по 9 (1 + х).
Ах2 + 12х VTTT= 27 (1 + х);
9 (1 + х) + Ах2 + 12xVTTT= 9 (1 + х) + 27 (1+ х);
(2х + 3 VTTT)2 = 36 (1+ х);
(2х + 3 Vl + x - 6 VI + х)(2х + 3 VI + х + 6 VI + х) = 0;
2х = 3 VI + х или 2х = — 9 VI + х
тут х<0;
Ах2 = 81 + 81х
81±9V9T
тут
4^ =
X — "
X
х>0;
9 + 9х
9 ±15
8 '
= 3.
X =
х =
8
81-9V9T
8
276

12. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задача 24.
Решить уравнение 6 Vx — 1 + Vx - 2 = 5 V(x - 1)(х - 2).
Решение.
5$(* - 1)(х - 2) = 2 • f $(* " *)(* - 2)' (1)
6^ГПГ+^^=^^ГП"+^Г=Т"- т^ПТ (2)
4 4
Сравним (1) и (2).
^fo-=T+ йПГ- ±fo=T= 2 • !$(*- 1)(jc - 2);
2 Vx — 1 - Vx - 2 j = -j Vx - 1;
2for=r=fo=T; 26jc-26 = x-2;
x(26-l) = 26-2; x = f~2
Г
2) |te=r-foF=T=-ifc=T:
З^Г=Т=^=Т; 36x-36 = x-2;
_ 36-2
Х~36-Г
Задача 25.
Решить уравнение
277

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Ясно, что 0< VI — х <х< 1. Составим сопряженное
выражение Vx~— ух — VI — х = у.
Умножаем на данное уравнение
получаем у = VI — х. Складывая сопряженное и данное,
находим
2 V5c~= VI -х + 1, или 2 V3T- VI -х = 1.
Составляем уравнение, сопряженное полученному
2 V3T+ VI - х = z.
Перемножая сопряженное и полученное, находим
z = 5х — 1.
Складывая их, найдем 4V3T= 5х.
Так как х * 0, то, сокращая на Vx~, получим
4 = 5V3T; *=25-
Так как х==75>^1""25 = Т' т0 * = 25 — Решение
уравнения.
Задача 26,
Решить уравнение
Vx + 8 4-2Vx + 7 + Vx~+l-Vx + 7 =4.
Решение.
Умножаем на сопряженное
V* + 8 + 2 V* + 7 -Vx+l-Vx + 7,
получим д; + 8 + 2 Vx + 7 — х — 1 + Vx + 7 = 16, отсюда
3 Vx + 7 = 9 => Vx + 7 = 3 =>
=>х + 7 = 9; х = 2.
278

12. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задача 27.
Решить уравнение
V2* - f - z2 - V2z - у - 3 = V7T7-
Решение.
Запишем в виде и - у = w. Заметим, что
и2 - 2*ш+ t? = w2,
2х - у2 - z2 + 2z - у - 3 - 2uv= х2 + у;
- 2*ш = (х - I)2 + (у + I)2 + (z - I)2,
и поскольку uv> О, то равенство возможно лишь при х = 1,
у= -1, z= 1. Непосредственно проверяется.
Задача 28.
Решить уравнение х + 1 = 2 V2x — 1.
Решение.
Имеем х = 2 V2x - 1 - 1, ИЛИ X
Обозначим
/(x) = fo^T. (1)
Наше уравнение имеет вид:
* = /(/(*)). (2)
Докажем, что оно равносильно уравнению х = /(х). Ясно,
что всякий корень второго (2) уравнения удовлетворяет
исходному.
Если же х0 — корень уравнения (2), но /(х0) Ф х0, то
либо /(х0)>х0, либо /(х0)<х0. Поскольку / возрастает, в
первом случае получаем х0 = /(/(х0)) >/(х0), во втором —
/(*о) >f(f(xo)) = хо — противоречие.
Решая уравнение х3 = 2х - 1, получим решение:
-1±У5~
i; 2 .
279

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 29.
з
Решить уравнение V2 — х = 1 — Vx — 1.
Решение.
з
Положим: V2 — х = у; Vx — 1 = z ^ 0. Имеем:
2-х = у\
х - 1 = z2,
у = 1 — Z.
Выразив из второго уравнения х (х = 1 + z), взяв из
третьего у и подставляя в первое, получаем уравнения:
l-z2 = (l-z)3, z1 = 0, z2 = l, z3 = 3;
Xj = 1, x2 = 2, x3 = 10.
Задача 30.
и 4 1 3
Решить уравнение: т-г т-т = —
х + Vx + х х - Vx - x *
Решение.
Уничтожив иррациональность в знаменателях
выражений, стоящих в левой части уравнения и выполнив несложные
преобразования, приведем уравнение к виду
4 Vx2 + х - Vx2 - х = 5х + 3.
После возведения в квадрат и перегруппировки получаем
уравнение: 8 Vx - х + 8х2 + 15х + 9 = 0.
Однако левая часть этого уравнения всегда положительна
(в своей области определения). Следовательно, исходное
уравнение не имеет решений.
Задача 31.
Решить уравнение
х + V3" х — УЗ" __ ,—
VxTVxTVT Vx"- Vx - VT "
280

12. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решение.
Имеем
(х + УЗ) (Ух~- Ух + УЗ") (х - УЗ) (УГ+ Ух - УЗ") = ._
х - х - УЗ" х — х + УЗ" — '
(х - УЗ)(Ух~- Ух-У3~) - (х + УЗ")(У5Г- УхТУГ) _
УТ = Vx;
xVx - хУ х - vT-V3x+V3V х - Vr-xVx+хУ х - VT - л/Зх+л/ГУх - VJ"
73
= VF;
х(Ух-УЗ" + Ух + УЗ")+УЗ"(Ух + УЗ" - Ух-УЗ) - 2 УЗГ
ут
= Ух:
^y^+y7Tyr+v7T^_V7-w_2^=v-
Далее,
х (Ух^УЗЧ y/x+W(y/x + Vf- Ух - УЗ")
УЗ~(Ух + УЗ" - Ух - УЗ") +
+ Ух + УЗ"- Ух - У3"= 3 Ух;
х(х + ^-х + УЗ) ^— _^-^
4Х2
== ;я=—^ r-s—=- + х + У3~+ х —
х + У3> х - УТ- 2 Ух2-3
- УЗ"- 2 Ух2 - 3 + 2 • 2х = 9х.
Значит,
2Х2 + 2 (х - Ух2 - 3 )2 = 5х(х - Ух2 - 3 );
2х* + 2х* + 2х* - 6 - 4хУх2-3= 5Х2 - ЗхУ^-З;
281

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
бх2 - 6 - 4х Vx2 - 3 = бх2 - 5х Vx2 - 3;
х2 - 6 = - х Vx2-3;
х4 - 12Х2 + 36 = х2 (х2 - 3);
х4 - 12Х2 + 36 = х4 - Зх2;
9х2 = 36; 1x1=2.
Гх = ± 2, -
\x>VT, * х = 2'
Задача 32.
Найти положительные корни уравнения
2л + ^-\Л-^-з\/х-1=о.
Решение.
Введем обозначение:
тогда данное уравнение примет вид
У2 ~ У - 3;yz + 2Z2 - 2 = 0.
Разложив левую часть получившегося уравнения на
множители, получим
(y-2z-2)(y-z+ 1) = 0
(это разложение на множители можно найти, рассматривая
левую часть как квадратный трехчлен относительно у).
Теперь остается решить уравнение:
\±zl =2\СТТЧ2, У*—± =VFfT-l.
X X
Первое из этих уравнений не имеет корней, так как при
любом положительном (допустимом) значении х его левая
часть не больше 1, а правая больше 1. Второе уравнение
перепишем в виде:
у/х- 1 + Vx~= Vx2 4- х,
282

12. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
и после возведения обеих частей в квадрат получим
равносильное ему (в области х > 1) уравнение
2Vx(x-1) =х2-х+1, или (Vx2 - х - I)2 = 0.
Отсюда х - х = 1, Xj 2 = —^—. Корень х2 < 0 не входит
в ОДЗ рассматриваемого уравнения, а корень х1 > 1 входит в
ОДЗ и, как легко видеть, является его корнем и корнем
исходного уравнения.
Задача 33.
X3 2
Решить уравнение -т —+ х —4 = 0.
Решение.
Из уравнения следует, что
х? = (4 - х2) V4^3?= (4 - х2)372.
Возведя обе части в квадрат и извлекая кубический
корень, получаем 4 - х2 = х2, откуда х2 = 2 и х = ± VT.
Проверка показывает, что отрицательный корень — посторонний.
Поэтому х = VT — корень.
Задача 34.
Vx-2 + V4-x = х2 - 6х 4- 11.
Решение.
Первый способ.
х - 2 -b2V(4-x)(x-2) + 4 - х = (х2 - 6х + И)2;
2 + 2 V(4 - х)(-2 + х) = (х2 - 6х + И)2.
Пусть х2 - 6х + 11 = а.
2 + 2у/Т=Т=<?; 12-4а= а4+ 4-4с?;
а*-4с? -4а- 8=0;
с? {а- 2){а + 2) + 4 (а - 2) = 0;
(а~2)(^ + 2а2 + 4) = 0; а=2;
283

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
х2 -6x4- 11 =2;
(х-3)2 = 0; х = 3.
Второй способ.
Найдем экстремум правой и левой частей
_ V4 -- х - Ух - 2
" 2Vx-2 V4-x;
V4 - х - Vx - 2 = 0; 4 - х = х - 2, х = 3;
у = 2; )> ^ 2;
(х2-6х+ 11)' = 2х-6 = 0;
х = 3; >> ^ 2.
Значит, у = 2 и х = 3.
Задача 35.
Решить уравнение
Решение.
V^x - Ix2 > 0; 2 Vx2 - х + 1 = V(2x - l)2 + 3 > vT;
1
ЧТО ВОЗМОЖНО ЛИШЬ при X = Ту
Задача 36.
Решить уравнение
Решение.
х2
1-х'
Левая часть данного уравнения определена на
з;+0°
и неотрицательна на этом промежутке.
Правая часть неотрицательна на ]— оо; Ц, следовательно,
уравнение может иметь решение на пересечении множеств
з;+0°
П ]-оо;1[ =
г; 1
284

12. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
X2
Перепишем данное уравнение в виде V3x — 2 = у^—
Отметим, что на множестве
возрастают. При этом
ъ>
обе части уравнения
2)4
V3F=T<V3-1-2 = 1, Y3^>-^ = |>L
1_3
2
Итак, V3* - 2 < 1, уз~> 1. Корней нет.
Ответ: л; G 0.
Задача 37.
Решить уравнение V25* (2х2 + 9) = 4х + -.
Решение.
Так как обе части уравнения являются нечетными
функциями, то достаточно найти сначала положительные корни.
Тогда, записав его в виде \25х4 (2х2 4- 9) = 4*3 + 3 по
неравенству между средним арифметическим и геометрическим
будем иметь:
31/25х4 (2Х2 + 9) ^ 5Х2 + 5х* + 2х? + 9 = Ш2 + 0.
Поэтому данное уравнение выполняется только при
5х = 2х + 9, значит, его единственным положительным
корнем является х = V3", а единственным отрицательным —
x=-vf:
Задача 38.
V————— д 4
1 - х2 + VI - х + VI + х = 3.
Решение.
Сделаем несколько оценок с помощью неравенства Коши.
285

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
1 + VTT7
VTTT^ ~-2
VI -х2 + Vl + x + VI -х <
Так как равенство во всех случаях имеет место при
х = 0, то это число — единственный корень.
Задача 39.
Решить уравнение V2 — х = 2 — х3.
Решение.
Пусть /(х) = 2-х3. Найдем функцию g(x), обратную
/(х) = 2-х3,
х? = 2-/(*); x = V2-/(x),
3
значит, g(x) = V2 — х и по условию /(х) =?(х).
Следовательно, 2 - х3 = х, х = 1.
Задача 40.
_х+1 i+vn?
Решение*
Обозначим /(х) = х2 — х 4- 1. Найдем функцию g(x),
обратную /(х).
1±У1-4(1-/(х)).
х- 2 ,
2x=l+V4/(x)-3; х = |+V/(x)-| .
1 \/ 3
Значит, g (х) = у + V х - -J . По условию /(х) = g (х);
х2 — х + 1 = х; х = 1.
286

12. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задача 41.
Решить уравнение V12 + V12 4- х = х.
Решение.
Ясно, что х>0. Сделаем замену: V12 + х = у. Тогда
12 + х = /, а из данного уравнения имеем V12 + у = #, отсюда
12 + у = х2. Получаем систему уравнений
Вычтем из первого уравнения второе» Получим
у?-х? + у-х = 0.
Разложим на множители: (у - х)(у + х + 1) = 0. Так как
х > 0, у > 0, тох + у+1>0. Значит, у - х = 0, т.е. у = х и
Х2-х-12 = 0, х = 4 или х = - 3<0.
Ответ: х = 4.
Задача 42.
Решить уравнение: 16*2 + 2х - V256x - 15 + 2 = 0.
Решение.
8 16 Y * 256 '
^ + L 16 * + 256 256 + 8 Yx 256 " "'
+ 1^+31.\СЖ
* ' 16J ^ 256 ~ т Л 256
Рассмотрим функции
(1) у- ix+ jg] +256 ~" паРа°ола с вершиной
л \ 16' 256J'
~ ~ 256
287
<2>3>=V^?

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
График (1) расположен в I и II квадрантах, график (2) •—
в I. Поэтому все возможные точки пересечения графиков —
это точки пересечения правой ветки параболы с графиком
(2). Заметим, что эти графики симметричны относительно
прямой у = х.
Действительно, пусть х 4- -г^ = t;
\l. 31 -v/ , J 31_ V _ 15
^" V f 256 " V x + 16 256 " V x 256 " ^
31 а/ Я1
т.е. yt = f2 + ^сГ и y2-yt- у~г — обратные и все их
общие точки лежат на прямой у — t, т.е. у = х + ут%
Следовательно, все решения данного уравнения являются
/ , 1\2 , 31 ^ 1
решениями уравнения \х + ут- + «тг = х + у^;
Г Г + 256 U* " L 256 64'
V3T
_ 1± 8 8±УЗЗ~
' ~ 2 " 16 ;
1 _8±УЗЗ~ _7±УЗТ
* 16 16 *' *~ 16 *
7±V3T
Ответ: х — —т-?—.
1о
Задача 43.
Решить уравнение W + 24 = Зх + 8 + W + 12.
Решение.
Переписав данное уравнение в виде
12
V*3 + 24 + Ух3 + 12
288
= Зх + 8,

12. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
заметим, что его левая часть является убывающей, а правая
часть — возрастающей функцией и, следовательно,
уравнение не может иметь более одного корня. С другой стороны,
очевидно, что число -2 является его корнем, и, таким
образом, уравнение имеет единственное решение х = — 2.
Задача 44.
3
х
Решение.
Решить уравнение у/25х (2х2 + 9) = 4х + -.
Так как обе части уравнения являются нечетными
функциями, то достаточно найти сначала положительные корни.
Тогда, записав его в виде V 25х4 (2х2 + 9) = 4х2 + 3, по
неравенству между средними арифметическим и геометрическим
будем иметь:
3V25*4 (2Х2 + 9) ^ 5Х2 + 5х* + 2х> + 9 = 12х* + 9.
Поэтому данное уравнение выполняется только при
5х2 = 2х2 + 9, т.е. при х2 = 9, значит, его единственным
положительным корнем является х = VT", а единственным
отрицательным корнем х = — уГ5~.
Задача 45.
Решите уравнение VT = Mx+*6x_r
Решение.
Так как должно быть х > О и 6х - 3 > О, то имеем
х ^ ^. Поэтому данное уравнение равносильно уравнению
6х + V6x - 3 у/х~= 3. (*)
Отсюда V6*2 - Зх = 3 - 6х, бх2 - Зх = 9 - Збх + Збх2. Ре-
3 1
шая это уравнение, получим х = -^; х = ^.
3
Проверкой убеждаемся, что х = -= не удовлетворяет
уравнению. Следовательно, х = ¦=¦.
289

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Уравнение (*) можно решить иначе. Легко видеть, что
х = j — корень уравнения. При х > ^ 6х > 3 и второе слагаемое
больше нуля, т.е. значения х>-~ не могут быть решениями
уравнения. Значит, уравнение имеет единственный корень
1
Задача 46.
Решить уравнение у а - Va + х = х.
Решение.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим:
а - Va + х = л2; а- х? = у/а + х;
х4 - 2а*2 -х + а2-а = 0.
Решим это уравнение относительно а:
а2 - а (2Х2 + 1) + х4 - х = 0.
Разложив квадратный трехчлен на линейные множители,
получим: (1 + х2 + х — а) • (х2 — х — а) = 0.
-l±V4a-3 1 ± V4a + 1
Находим: х12 = ———^ "5 *3,4 = уГ^—*
Задача 47.
4 4
Решить уравнение V8 — х + V89 + х = 5.
Решение.
Полагая 8 - х = а4 и 89 + х = й4, получим систему:
\а4 + Ь4 = 97.
Пользуясь тем, что а4 + Ъ4 = (а2 + й2) - 2а2 Ь2 =
= ((а + й)2 - 2ай)2 - 2а2 й2,
и тем, что а + Ъ = 5, получим уравнение
290

12. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(25 - lab)2 - 2а2 б2 = 97, или
2а2 й2 - 100 аЪ + 528 = 0, или
о2 б2 - 50ай + 264 = 0.
Отсюда: 1) аЪ = 6 и 2) аЪ = 44.
Теперь остается решить две системы:
1)
а + й = 5, оч Га 4- й = 5,
ай = 6, и 2Ч ай = 44.
Первая система дает а = 2, й = 3иа = 3, й = 2. Вторая
система действительных решений не имеет. Пользуясь,
например, уравнением 8 — х = а4 и полученными значениями
неизвестного а, найдем действительные корни данного
иррационального уравнения:
х{ = — 8 и х2 = — 73.
Задача 48.
_ Уй + х Vx~, Vx + й л
Решить уравнение = 1 т— = О.
Решение.
Так как р есть любое натуральное число, больше 1, то
должно быть b + х>0 и х>0.
р
Имеем: Уй + х [т + ~] =—• Отсюда:
VF+T"
р i + 1
й + х VT" /й + х\ р й
их а ' [ х ] а
h Л- X h h
Так как > 0, то и — > 0. Отсюда х = .
lal
Для х > 0 должно быть й > а; если а<0 и й<0, то
\а\ >1й1.
Для существования решения нужно, чтобы а и й были
одного знака, и чтобы й>а.
291

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 49.
Решить уравнение о? + х + 6 у/х 4- 2 = 18.
Решение.
При -2 < х < О левая часть уравнения меньше 4 + 6 V2",
т.е. меньше 18. При х > О левая часть возрастает, и поэтому
уравнение не может иметь более одного корня. Легко
проверить, что число 2 является его единственным корнем.
Задача 50.
Решить уравнение V2 — х + V* — 1 = 1.
Решение.
Введем новые неизвестные j = V2 — #; z = Vx — 1; тогда
получим систему
z? + l = х; у* + х = 2; y + z=l,
откуда )? + z2 = 1; у + z = 1.
Подставляя z = 1 — у в первое уравнение, получим
У + у2 - 2у = 0.
Отсюда j>e {0, 1, -2}.
Следовательно, исходное уравнение имеет три корня: 1,
2, 10.
Задача 51.
х+ У х + \+ У х + \ =
Решить уравнение x+yx + i^+yx + 'т = а.
Решение.
Положив y=yx + -j, получим х = у — -т, у> 0, и далее
будем иметь: ¦
y-J + Vy' + l + y-e;
З*2 + У + 4 = а> К+2) =а*
292

12. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Так как у>0, то при а<-т это уравнение корней не
,1 . г- 1
имеет, а при а>-т имеет единственный корень y = va — «¦,
откуда получаем, что исходное уравнение при а<-т корней
не имеет, а при а > -т имеет корень х = а — Va"!
Задача 52.
Решить уравнение VlOx3 - 24х2 + 5х + 7 = х2 + 1.
Решение.
Vl0x3-24x2 + 5x + 7 = х2 + 1 о
lOx3 - 24х* + 5х + 7 = х4 + 2х? + 1 о
х4 - Юх3 + 26л2 - 5л: - 6 = 0 о
(х4 - Шх3 + 25х*) + (х2 - 5х) - 6 = 0 о
х2 (х - 5)2 + х (л: - 5) - 6 = 0 о
х (х -- 5) = 2,
х (х — 5) = 3,
х =
х =
5±У5Г
2 '
5±уПТ
Задача 53.
Решить уравнение
Решение.
Имеем цепочку следствий:
X X
X2
Х^ "~~ "7" = Х^ ~т~ X ~~ ^" "~" ^Х
Л2
293

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
х = 2л: V х - -J > 1=2 Vx--j,
4*3 - х2 - 28 = О, (* - 2) (4х* + 1х + 14) = О.
Отсюда х = 2 и проверка показывает, что это корень
исходного уравнения.
294

13. ПАРАМЕТР В ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ
Задача 1.
Решить уравнение Vx~= а.
Решение.
Если а > О, х = а.
Если а<0, уравнение решений не имеет.
Задача 2.
Решить уравнение (х - 1) V* - а = 0.
Решение.
Исходное уравнение равносильно системе
f я > а,
\ \х = 1,
Ьс = а.
v |_
Значит, л: = а — корень заданного уравнения при любом
а; х = 1 — корень при а < 1.
Ответ: Если а< 1, то х = а или х = 1,
если а = 1, то х=1; если а> 1, х = а.
Задача 3.
Решить уравнение х + V* - 1 = а.
Решение.
Очевидно, что.* > 1. Имеем V* - 1 = а - х, а значит,
а > х. Далее, х — 1 = ct — 2ох + х2,
2а + 1 ± V4a-3 ^ ( ^ Ъ\
хи2 = 2 ^а [а>-4}-
Значит, 2а + 1 ± V4a — 3 < 2а, откуда
1 ± у/4а- 3 ^ 0, 4а-3=1, а=1.
Ответ: Если а < 1 — решений нет;
2а 4- 1 - V4a-3
если а ^ 1 — единственное решение х = ^~~о—^ •
295

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 4.
Решить уравнение V* - а = V2x — 1 + а.
Решение.
Уравнение имеет смысл, если
2
Имеем х - а = 2х - 1 + а, х = 1 - 2а. Должно быть
х ^ а,
1-а
1 - 2а ^ а, а ^ ^-,
1 - 2а > —?—» а ^ v
Значит, а ^ -х*
Ответ: При а ** — уравнение имеет единственное решение;
при а>х — решений нет.
Задача 5.
Решить уравнение х - Vx2 + а2 + 1 = а.
Решение.
Имеем + а2 + 1 = х - а, значит, ^аи
у? + о2 + 1 ^ 0 (второе условие выполнено всеща).
При х ^ а данное уравнение эквивалентно уравнению
х2 + о2 + 1 = х? - 2ох + а2, 2ах = -1,
если а 5* 0, то х = - у > а,
1 + 2а2 ^ п . п
< 0, а<0.
2а
" " " 2а'
Значит, если а < О, то х = - -х^; если а ^ 0, то уравнение
решений не имеет.
296

13. ПАРАМЕТР В ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Задача 6.
При каких а уравнение V* + а = х имеет два корня?
Решение.
Заданное уравнение эквивалентно системе
Гх^О,
Х\ о "~"
U+(2 = X2.
х - а = О,
1±V1 + 4а
Решая уравнение х2 - х — а = 0, получаем два корня:
Поскольку 1 + 4а > 0 и ^ ^ 0, то - -г < а ^ 0.
Ответ: - ^ < а ^ 0.
Задача 7.
Решить уравнение V* — а = УлГ— а.
Решение.
Уравнение имеет смысл, если я ^ а, л; ^ 0, ^Гх> а. Имеем:
л:-а = х + а2-2(2 V3cT
Если (2 = 0, то решением является х > 0. Если а ^ 0,
имеем vx = —«—, Vх > а, поэтому —~— ^ а> откуда а ^ 1,
таким образом, при а > 1 — решений нет.
V3T^0, ^у^0, а>-1,
таким образом, при а ^ -1 — решений нет.
При -l^a^l, а* 0 имеем: х = -—j-^-. Проверкой
устанавливаем выполнение условий.
Ответ: При а2 > 1 решений нет; при 0 < ct < 1
(а + I)2 л ^ гл г
л; = -—т~^\ при а = 0 я Е [0; <» [.
297

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Задача 12.
Решить уравнение V2lxl -х2=а.
Решение.
При а < О решений, очевидно, нет.
При а = 0 2 1x1 -х2 = О, 1x1 (2 - 1x1) = 0, х{ = О,
Х2 "~~ ^, х« —~ "™~ ^ •
При <2>0 имеем
f2 Ixl -х2^ 0, _
[2 ixl -х2 = й2
при удовлетворении уравнению система неравенств тоже
удовлетворена.
lxl2-2 1x1 +^ = 0, ^jUl-a2.
Учитывая а>0, получаем:
при 0 < а < 1
IjcIj = 1 + VI -о2 ; х12 = ± (1 + VI -о2);
ixl^l-Vl-a2;
поскольку 0 < 1 - CL < 1, то
0<Vl-o*<l и 1х12>0, х34 = ±(1 -VI-а2)
(очевидно все 4 решения различны).
При а = 1 1x1 = 1, х12 = ± 1; при а> 1 решений нет.
Ответ: при а < 0 решений нет; при а = 0 xt = 0, х23 = ± 2;
при 0 < а < 1 *! 2,3,4 = ± 1 ± V1 - а2; при а = 1 х12 = ±1;
при а > 1 решений нет.
Задача 13.
Решить уравнение V2x — 1 — х + а = 0.
Решение.
Исходное уравнение эквивалентно системе:
298

13. ПАРАМЕТР В ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
х > а,
[х2 - lax + а2 = 2х - 1, D = 8а.
При а<0 — решений нет.
При а > О ^ = л + 1 + V2a", х2 = а + 1 - VZ*T
Имеем а + 1 + V2a > тг> откуда
а + -| + V2o> 0 (а > 0), а + 1 + V2o> а, откуда
1 + уПа> 0, а + 1 - V2a> j» откУДа
а-2- -jj-- Vo~+ 2 > 0, откуда {Va~-^у| > 0.
a+l-V2a>a, V2o"< 1, 2а <1, а ^ ^.
Итак, при 0^а^-^х2 = а+1- V2a" — корень
уравнения. При #>пг х2 = а+1 — V2a — не корень уравнения.
Ответ: При а<0 уравнение решений не имеет;
при 0 ^ а ^ ¦=¦ Xj2 = а + 1 ± V2a~;
при а > ~- х = а + 1 + V2a.
Задача 14.
Решить уравнение Vх + ах — 2а = х + 1.
Решение.
Очевидно, что х> — 1 и я2 + ал; — 2а ^ 0. Имеем
х2 + ах-2а = ;с2 + 2;с+ 1,
л: (а - 2) = 2а + 1.
2а+1
Если а ^ 2, то х =
а-2#
299

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Должно быть
2а + 1 л За - 1 л
г- ^ -1, или «- > О,
а — 2 а — 2
а>2, а*?^.
Ответ: Если а Е
если а€
.; |] U В
; оо [, то х =
2а+1
а-2;
а"5 2 , уравнение решений не имеет.
Задача 15.
Решить уравнение V* + а = а — Vxi
Решение.
Заданное уравнение эквивалентно системе
\х + а > О,
la-VSTX), ш
I х + а = а2 — 2а VaT+ х,
Если а = 0, то уравнение имеет корень х = 0. При
а т* 0 имеем 2a Vx~= а2 - а, или 2 Vx~= а - 1, значит, при
а>0,
O^xssa2,
2a Vx~= с? - а.
. (a - l)z rr (a-1)2 2
^ 1 x = -—7-^-. Поскольку -—д—— ^ a ,
a
a^ -1.
то a>i} и
Ответ: Если a = 0, x = 0; если a > ^, л: = -—д~>
при других a решений нет.
Задача 18.
Решить уравнение V3x — 2 = х + а.
Решение.
Обозначим у = V3x - 2, тогда х = ^ (у2 + 2); у ^ 0.
Для у получаем уравнение / - Зу + За + 2 = О, D > О,
откуда a ^
12*
300

13. ПАРАМЕТР В ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
По теореме Виета
U + у2 = 3,
Следовательно, оба корня не могут быть отрицательными.
При а = -ту получаем одно решение: у = у.
При — о" ^ а<Т7 — два Решения'
У, = -|(3- VI - 12а ); у2 = ^(3 + VI - Ш ).
2 1
При а< — о" одно решение: у = «¦ (3 + VI - 12а ).
Итак
2 1
, если а < - -д, то х = -у (3 - 2а + VI - 12а ).
17 2^ х 1
Если - ¦=¦ < л < -т^, то
x1 = ^(3-2a-Vl-12a)5 х2 = ^(3 - 2a + VI - 12a );
1 17 ^ 1
если а = гр~, то х = -т^-; если a > -ту, то решении нет.
Задача 19.
Решить уравнение
V^-*V?T?== a - л. (1)
Решение.
Очевидно, что х < а. Возведем обе части уравнения (1)
в квадрат. Получим совокупность систем, равносильную
исходному уравнению
Г V*2 + a2 = 2a - х,
\а-х>0 и ]а-х>0.
Первая система совместна при a > О, Вторая —
равносильна системе
301

ШЕЦЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
|У + о2 = (2а - X)2,
\2а-х>0,
[а - х > 0.
Ответ: При а = 0 xG ]-оо; 0[;
при a G ]0; оо [ х = 0; л: = -у-;
при aG ]— оо; 0[ решений нет.
302

14. ПАРАМЕТРЫ. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
Задача 1.
При каких значениях к неравенство
(к - 1) х + 2к + 1 > О
верно при всех х, удовлетворяющих условию \х\ ^ 3?
Рис. 14.1 <<д
Решение.
Рис. 141 (6)
Рассмотрим функцию f(x) = (к — 1) х + 2к + 1,
Эта функция линейная, графиком ее при любом к будет
прямая (рис. 14Л (а)) и рис. 14.1 (б)).
Очевидно, при к = 1 неравенство выполнено.
Из рисунка видно, что имеет место совокупность:
|/(-3)>0,
к< 1, или
[/(3)>0,
*=1,
4-fc>0,
к<1, , откуда
5*-2>0,
*= 1,
Ответ: 0,4<?<4.
Задача 2.
При каких значениях параметра к корни уравнения
х + (2к + 6) х + 4к + 12 = 0 будут больше (-1)?
303

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Обозначим f(x) = х + (2k + 6) х + 4к + 12.
Сделаем рисунок к задаче. С его помощью составим
систему неравенств (рис. 14.2).
/(-1)>0,
2а
Объясним составление
системы. Первое неравенство
(D ^ 0) очевидно. Второе
неравенство иллюстрирует
график: оно есть требование
того, чтобы знак /(-1) и знак
f(x) совпадали. Третье
неравенство выражает положение
абсциссы вершины параболы — графика заданного
квадратного трехчлена.
Имеем:
Рис. 14.2
f
j к2 + 2к - 3 > 0,
2/fc + 7>0,
/">;_._ (л ИЛИ \
1 2
Г* < -3,
\к> +1,
L
*>-?
*<-2,
откуда - ту < к ^ -3.
Ответ:
-<к^ -3.
Задача 3.
При каких значениях т трехчлен х - тх + т - 1
отрицателен при всех значениях х, лежащих на промежутке
(3; 4)?
304

14. ПАРАМЕТРЫ. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
Решение.
Обозначим Р (х) = х - тх + т - 1. Поскольку
коэффициент при х равен 1 > 0, то задаче будет соответствовать
парабола, изображенная на
рис. 14.3.
Имеем систему
[?>>0,
Р(3) ^0, или
[/> (4) < 0,
f(m-2)2>0,
9 - Ът + т - 1 < 0,
[16 -4т + т - 1 ^ 0,
откуда т^ 5.
Ответ: т> 5.
Рис. 14.3
Задача 4.
При каких значениях параметра а из неравенства
ах2-2(а-1)х+а<0 следует неравенство х<4?
Решение.
Обозначим /(*) = ох2 — 2 (а - 1) л: + а. В зависимости от
знака а и ?> возможно три положения параболы у = /(*).
f(4)>0
Рис. 14.4
Рис. 14.5
305

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Поскольку по
условию из неравенства
/ (х) < 0 следует
неравенство х<4, то график
функции f(x)
расположен так, как на
рисунках 14.4 и 14.5, а значит,
а>0.
Можно составить
систему неравенств (при
D>0 и а>0, ?><0 и
а > 0). Имеем первую
систему (рис. 14.5 (а)):
Га>0,
LD>0,
J/(4) >0, , или
откуда 0<а<2«
При а = 0 f(x) < 0, 2х < О, х < 0.
Составим вторую систему:
\D^0, ^ 1 (2)
а>0, 2
Ответ: а Е [0; оо [.
Задача 5.
При каком значении параметра а неравенство
(а - 1) х2 - 2х - а > 0
справедливо при любом х > 3?
Решение.
Дискриминант квадратного трехчлена (а — \)х — 2х — я
положителен. Пусть /(*) = (а - 1) х - 2х - а. Если /(*) > 0
при х>3, то график /(*) должен быть расположен так и
только так, как показано на рисунке 14.6.
Рис. 14.5 (а)
|я>0,
4 (я - I)2 - 4а2 >0,
16а-8 (а- 1) + а>0,
^<4,
306

14. ПАРАМЕТРЫ. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
{с
с
\а- 1>0,
|/(3) > 0, откуда
[х0 ^ 3,
) (а - 1) - 6 - а з* 0,
-^3
2 - 1 " *'
й>1,
а> 8' ^15
Г ,4 *Л*Т-
а>3>
|а<1
Ответ: а >
15
8 *
ту
К Х0
IV
Рис. 14.6
4v
/ ь
/х*
y=a<0
Задача 6.
Найти количество
решений уравнения 1x1 = а в
зависимости от параметра а.
Решение.
Строим графики у = \х\
и у= а (рис. 14.7)
у = а > 0, у=а = 0, у=а<0.
Очевидно, что при а>0
уравнение имеет два решения (точки А и В).
При а — 0 — одно решение (точка 0) и при а < 0 — нет
решений.
Задача 7.
При каком значении параметра а уравнение
\у? - 2х- 31 =а
Рис. 14.7
имеет три решения/
307

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Из графика (рис. 14.8)
видно, что уравнение
I л^ - 2х - 31 =а
имеет три
х = 1, а = 4.
решения при
Ответ: а = 4.
Задача 8.
Сколько решений в зави-
Рис. 14.8
симости от параметра а имеет уравнение I х + 11 = ах?
Решение.
Начертим графики
функций у=\х+1\ и у= ах при
разных значениях а (рис. 14.9).
Ответ: 1) Уравнение имеет
одно решение при
а = 0; а>1; а^ -1.
2) Уравнение имеет два
решения при — 1 < а < 0.
3) Уравнение не имеет
Рис 14#9 решений при 0 < а ^ 1.
Задача 9.
При каких к число 3 заключено между корнями уравнения
foe2 - 2 (к - 1) х - 4 = 0?
Решение.
Возможны в зависимости от знака к расположение двух
парабол (рис. 14.10 и 14.11). Обозначим
f(x) = kx?-2(k- 1)х-4.
Эти два случая можно объединить системой:
Id > 0, J*2 - 2к + 1 + 4к > 0,
W(3)<0, или U(*.32-2(yfc-l)3-4)<0,
308

14. ПАРАМЕТРЫ. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
Рис. 14.10
2
откуда 0 < к < - ^.
Рис. 14.11
Ответ: 0 < к < - -~.
Задача 10.
При каких а корни уравнения
2л2 - (2а - 5) х + (а - 3) = 0
заключены между числами 0 и 1?
Решение.
График параболы
у = 2Х2 - (2а - 5) х + (а - 3)
Рис. 14.12
схематично изображен на рис. 14.12. Обозначим
fix) = 2х* - (2а - 5) х + (а - 3).
Имеет место система неравенств:
D>0,
/(0)>0,
/(1)>0,
0<^
или
4а2 - 28а + 49 > 0,
(а - 3) > 0,
2 - (2а - 5) + а - 3 > 0,
0<^<1.
2-2
Ответ: 3 < а < 4.
309

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 11.
При каких
значениях параметра а из
неравенства х — 4ах + 3 < О
следует неравенство
1 ^ х ^ 2?
Решение.
Условие задачи
можно сформулировать
следующим образом: при
каких значениях параметра
а любое решение
неравенства х2 - 4ах + 3^0
удовлетворяет неравенствам 1 ^ х ^ 2? Сделаем рисунок к
задаче: (рис. 14.13). Обозначим f(x) = х — Аах + 3.
Имеем систему
А(х0;Уо)
Рис. 14.13
¦/(1)>о,
/(2)>0,
1<2а<2,
D>0,
или
4 - 4а > 0,
7 - 8а > 0,
1<а<1,
16а2 - 12 ^ 0,
или
а«1,
<а<1,
а*г -
V3"
а>
V3"
или -=- <
а «
7
8'
Ответ:
VT
«г а «г
7
8'
Задача 12.
Найти все значения параметра а, при которых любое
значение х, удовлетворяющее неравенству
ах2 + (1 - а) х - а > 0,
по модулю не превосходит двух.
310

14. ПАРАМЕТРЫ. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
Решение.
Задача аналогична предыдущей. Обозначим
f{x) = ах? + (1 + а*)х- а.
Сделаем рисунок к задаче (рис. 14.14). Условию задачи
удовлетворяет трехчлен /(*), если а<0.
А
А(х0;у0)
Рис. 14.14
Имеем систему
f?>>0,
й<0,
/(-2)<0,
/(2)<0,
1-я2
откуда — 2 « а «г - -х-.
-2 <
2а
<2,
Ответ: — 2 =s а < -
1
Задача 13.
При каких а корни уравнения х2 — 2х — а2 + 1 = 0 лежат
между корнями уравнения х2 - 2 (а + 1) х + а (а - 1) = О?
Решение.
Обозначим х1т х2 — корни уравнения х2—2х—а2+1 = 0;
х{ и х2' — корни уравнения х2 - 2 (а + 1) х + а (а - 1) = 0.
311

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Рис. 1415
Левую часть последнего уравнения обозначим Р(х). Имеет
место ситуация, изображенная на рисунке (рис. 14.15).
Обозначим Dx и D2 дискриминанты заданных квадратных
уравнений. Составим систему неравенств:
•
Имеем -
D2>0,
РЫ<о, или"
Р(х2)<0,
\<а<1.
о2 г* о,
За + 1 > 0,
Ъа>- 1,
{а - 1)(4а + 1) < 0
Ответ: aG
-*1
Задача 14.
Репшть неравенство х + 2х + а > 0.
Решение,
Изобразим множество точек, удовлетворяющее
неравенству х2 + 2х> - а в координатной плоскости (рис. 14.16).
1) при а> 1 xGR;
2) при а=1 х * 1;
3) при а< 1 х<х1их>х2, ще х{ и x2 — соответственно
меньший и больший корни уравнения л? + 2х + а = 0.
312

14. ПАРАМЕТРЫ. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
Итак,
Ответ: при а > 1 х ? R;
при а=1 х & 1;
при а < 1 х < -1 = VI - а их>-1+ VI - а.
Задача 15.
Решить уравнение
V4* - х2 = а + 1.
(D/
Решение.
Ясно, что. хе [0; 4], гра-^
фик этого уравнения располо--7
жен вьппе прямой а = — 1, так
как а + 1 > 0 и между прямы- '
ми я = 0, л; = 4 (рис. 14.17).
Преобразуем уравнение (1):
Рис. 14.16
(х - 2)2 + (а + I)2 = 4
(2)
Уравнение (2) есть уравнение окружности с центром в
точке (+ 2; -1) и радиусом 2.
При я е ]-<*>, -1[ U ]19 °°[ — уравнение (1) решений
не имеет. При с е [-1, 1 [ прямая а = с пересекает график в
двух точках:
= 2 + V3 - о2 - 2а
х2 = 2 - Vb^a1
1
0
hy
Xi
¦^н
2
х2
1 к
) *
2а.
При а = 1 х = 2.
Ответ: при
fl?[-l,l[
xlj2 = 2 ± V3 - а2 - 2а;
при а = 1 л: = 2;
при других а решений
нет.
Рис. 14.17
313

15. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Задача 1.
Решить уравнение
х _ х2 + 8s + а ^
х2 + 1х + а х2 + 6х + а ^ ^
Решение.
Обозначив х2 + 7х + а через у, будем иметь:
откуда ху — х2 = у2 + ху, т.е. х = у = 0.
Однако это равенство невозможно, так как в знаменателе
стоит выражение у — х. Следовательно, данное уравнение не
имеет решений.
Задача 2.
Решить уравнение х — бах2 + %ау[ах — Zci = 0.
Решение.
х4 - бах2 + 8а yfa • я - За2 = х4 - vTTx3 + VaV - ах2 -
- 5а*2 + 5а Va~x + За Va~x - За2 =
= (х3 + VaV - 5ад: + За Va) • (х - Va");
х{ = Va^
Из второго уравнения третьей степени легко получим:
Х2 ~ *з = ^» Х4 = "" 3 V^
Задача 3.
2х 7х
Зх2 - х + 2 Зх2 + 5х + 2
Решение.
= 1.
2 7
Ясно, что х & 0. Имеем =- г- = 1.
Зх - 1+ - Зх + 5 + -
X X
314

15. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Делаем замену: Зх — 1 Н— = t. Тогда — — ~гг~К = !•
X Т Z "Т" и
Далее находим (их. Окончить самостоятельно.
Задача 4.
(х2 - х + I)2 ?
(х - I)2 (х2 + 1) " 5'
Решение.
5 (х2 - х + I)2 = 9 (х - I)2 (х2 + 1), или
5 (х2 - х + I)2 = 9 (х2 - 2х + 1) (х2 + 1).
Обе части этого уравнения делим на х * 0. Получим:
5(-1+i)2=9(-2+i)H)-
Делаем замену: х — 1 Л— = t Тогда
5t = 9(t-l)(t+l).
Дальнейшее очевидно. Окончить самостоятельно.
Задача 5.
^4 (* - Ъ)(Х ~ С) а4 (* - g)(* - <*) . „4 (^ - <*)(* " Ъ) _ 4
а (а - й)(а - с) * ° (Ь - с)(й - а) "*" с (с - а)(с - 6) " * #
Решение.
Уравнению очевидно удовлетворяют х = а, х = й и
х= с. Коэффициент при х4 равен 1, а при л3 равен нулю;
но сумма корней равна коэффициенту при х3, т.е. 0, а потому
четвертый корень будет — а — Ъ — с. Следовательно, корни
уравнения будут:
Xj = а, х2 = й, л;3 = с, х4 = — (а + Ъ + с).
Задача 6.
х7 + 77 = (х + 7)7.
315

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Раскладываем (х + 7)7 по биному Ньютона:
(х + 7)7 = х7 + Тх* + 22-7V + 41-73-х4 + 41-74-х3 +
+ 22-75-х2 + 7бх + 77.
Очевидно, что xt = 0. Сокращая на 72 х, имеем
х5 + 22х4 + 41-7*3 + 41 -72^ + 22-73х + 75 = 0;
75 + х5 + 22* (73 + х3) + 41 • 7Х2 (х + 7) = 0.
Отсюда видно, что х2 = - 7. Получаем
х4 + 15Х3 + 7-26Х2 + 72- 15х + 74 = 0.
Делим на х ^ 0.
72-15 74
х2 + 15х + 7-26 + —— + -^ = 0;
^ х2
х" +J+15 Р- + х] + 7*26 = 0;
72
— + х=а; ^ + 15а + 7-12 = 0.
х
Полученное уравнение решений в действительных числах
не имеет.
Задача 7.
Решение.
«ш-т-*-
.х+З , х + 3
а = 4 =-, о =
х-Г х + 2*
Тогда уравнение имеет вид а3 — й3 = 63. Кроме того,
а / j. «ч ( 4 М 3 (х + З)2 3 .
а-*=^ + 3)(^Т-7+2]=(х-1)(х + 2) = 4й6'
так что если а — Ь = у, то
316

15. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
63 = d - Ъъ = (а - й)3 + ЪаЪ (а - 4) = у* + 4у*.
Так как число 3 является корнем полученного уравнения,
то оно может быть записано в виде:
(у-3)()? + 7у + 21) = 0,
и, следовательно, других корней не имеет. Теперь из урав-
3 (х + З)2
нения у _1\Г4ГтГ:=:: 3 получаем единственный корень ис-
11
ходного уравнения х = —f~.
Задача 8.
(х + I)2 + (х + 2)3 + (ре + З)4 = 2.
Решение.
Положим я + 2 = у, тогда
(у - I)2 + у* + (у + I)4 = 2, или у4 + 5у> + If + 2у = 0.
Отсюда у{ = 0. Далее, группируя, получим:
у> + 5у> + 1у + 2 = (у* + 2/) + (3/ + 6у) +
+ (у + 2) = (у + 2)(f + Зу + 1) = 0, откуда
у2 = - 2; у3,4 = 2 ' Итак>
Задача 9.
Решить уравнение
а(а + х)(а + 2х)(а + Ъх) = й (й + х)(Ъ + 2х)(й + Зх).
Решение.
Замена у=а+ 1,5х, z = Ъ + 1,5*.
(у - 1,5х)(у + 1,5х)(у - 0,5х)(у + 0,5х) =
= (z - l,5x)(z + l,5x)(z - 0,5x)(z + 0,5л:) =

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Замена у — -тх = т, z — -j х = п.
(т - х2)^ + х2) = (я - х2)^ + х2);
т2 - х4 = п2 - х4; т2 = /г2;
(т - п)(т + /г) = 0.
а) т = п=>а = й=*хе]-оо; +оо[.
-^ 2 5 2 5 2 2
б) т = - щ у —-гх =-тЛ -z;
4Х2 + 6 (а + й) х + 2 (а2 + й2) = 0;
-3(q + i)±Vl8aft + a2 + fi2
*1,2 ¦" 4 '
при 18ай + я2 + й2 2* 0.
Ответ: а = й, х€ ]-qq; + «>[;
-3 (а + ft) ± У18ай + а2 + й2
а * й, х = т •
Задача 10.
Решить уравнение х4 + 8х — 7 = 0.
Решение.
Последовательно имеем
(х4 + 2л2 + 1) - (2л2 - 8х + 8) = 0,
(х2 + I)2 - 2 (х - 2)2 = 0,
(х2 + 1 - vT(x - 2))(х2 + 1 + VT(x - 2)) = 0,
откуда
х2 - VTx + 2 VT+ 1 = 0 или х2 + VTx • 2 VF+ 1 = 0.
Дискриминант первого уравнения отрицателен, и
следовательно, заданное уравнение имеет два действительных
корня: *i,2 = \ (- V2"± V8VT-2).
318

15. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Задача 11.
*+ 7^^2 = 40-
(9 + х)2
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде:
х4 + 18*3 + 162*2
(9 + х)2
= 40, или
2
[<гЦ +18(9Т^)-40 = °>
У+ 18,-40-0; ^ = 2; ^--20.
хи2 = 1 ± VW.
Задача 12.
х6 - Ix2 + V6~= 0.
Решение.
Обозначим V5" через а и представим данное уравнение
в виде: х6 — (а2 + 1) х2 + а = 0. Решим его относительно а как
квадратное. Тогда
1-х4
<h = i?\ <h = -
х2 '
Другими словами, данное уравнение можно переписать
в виде:
(a-x2)fa-i^j=0,
после чего задача сводится к решению уравнений
х2 = а; х4 + ах2 - 1 = 0,
4 ... л/-УВ"+УГО~
^ = ± V6 ; л^4 = ± V « *
319

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 13.
Решить уравнение (х2 - 16)(х - З)2 + 9х2 = 0.
Решение.
Очевидно, что х = 3 не является корнем данного
уравнения. Разделив обе части уравнения на (х — З)2, получим
^+ <&? =16
(х- З)2 10-
Отсюда
Ъх \2 х? х2 х2
|х + ? I = 16 + 6 а, или а = 16 + 6
х2
х- 31 х - 3' х - 3 х - 3*
х2
Выполнив подстановку ——~ = у, придем к уравнению
X о
/-6^-16 = 0, У1 = 8, у2 = -2.
Теперь нетрудно доказать, что действительных корней
уравнение не имеет.
Задача 14.
9 (х2 + 3) 234
Решить уравнение к + 3 = 343'
Решение.
Умножим обе части уравнения на -2 и прибавим к обеим
частям по единице. В результате получим уравнение:
(х + З)3 - 18 (х2 + 3) __ _ 125
(х + З)3 343*
Это уравнение можно представить в таком виде:
х-3\ / 5i
/+3J I 7J
Корни этого уравнения найдем, решив следующие два
уравнения:
х — 3
= --г И
х + 3 7 х + 3
320
1(-!|^.

15. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Это дает вдм
_ 24 + 35*УЗГ _24-35гУТ
х{ — U,о\ х2 — Гп S хъ — jq
Задача 15.
Решить уравнение х4 - 4л:3 - 1 = 0.
Решение.
Перепишем данное уравнение так: х4 - Ахг = 1. Прибавим
к обеим частям по it + 2Х2, получим
2 (х4 - 2*3 + х2) = х4 + 2Х2 + 1, или 2л2 (рс - I)2 = (х2 + I)2.
Отсюда: ± vTx (х - 1) = х + 1.
Получим два квадратных уравнения:
х2 - уГТх (х - 1) + 1 = 0;
х2 + VTx (х - 1) + 1 = 0, или:
(VT- 1) л2 - V2~x -1=0,
(VF+ 1) х2 - VTjc +1=0.
Решаем уравнение (1):
V2"±V4vT-2 1±V2VT-1
* T^TF ' или: *w 2~-VT ' *
Уравнение (2) дает:
VT±V-4vT-2 l±zV2VT+l
* ~ 2 Л/Т+ П ' или: *м ~ 2 + VT"
(1)
(2)
Мы решим это уравнение независимо от уравнения
х4 + Ах - 1 = 0.
Но, сравнивая оба эти уравнения, мы могли бы заметить,
что каждое из них получается из другого путем замены х
на --. В самом деле, возьмем уравнение х4 + Ах — 1 = 0.
Положим х = — и сделаем подстановку. Получим:
321

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
1 л_4 1 Л
-4 + - - 1 = О, откуда
1 + 4у* - / = О, или: у4 - 4у> - 1 = О,
т.е. получили исходное уравнение.
Но из этого следует, что корни одного из них обратны
корням другого. Следовательно, мы могли, не решая
уравнения исходного, получить его корни, взяв величины, обратные
корням уравнения х4 + 4х — 1 = 0.
В этом легко убедиться непосредственно.
Задача 16.
3 о 2
Решить уравнение х3 Ч ~ Н =- —1=0.
Решение.
Обозначив левую часть уравнения через / (х), будем иметь
(х - lff(x) = (х2 - xf + х3 + Зх2 (х - I)2 -
- (х - I)3 = (х2 - х)3 + 3 (х2 - х)2 + Зх2 - Зх + 1 =
= (х2 - х + I)3.
Поэтому/(х)=0 о х2 - х + 1 = 0, так что данное
уравнение не имеет действительных корней.
Задача 17.
х3 + 6х - 36 V3~= 0.
Решение.
х3 - 24 V3~+ 6х - 12 V3~= 0;
х3 - (2 VT)3 + 6 (х - 2VT) = 0.
Очевидно, что х{ = 2 VcT (Проверьте и дорешайте
самостоятельно) ¦
Задача 18.
х4 + 4а3 х - а4 = 0.
322

15. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Решение.
Имеем х4 + 4а3 х = а4. Прибавим по 2а2 х2, получим
х4 + 2с? х2 + 4а3 х = аА + 2с? х2.
Выделяем квадрат двучлена х2 + а2.
(х4 + 2 с? х2 + а4) - а4 + 4а3* = а4 + 2а2 я2, или
(х2 + а2)2 = 2а4 + 2а2х2-4а3х = 2а2(а2 + л2-2ах), или
(х2 + а2)2 = 2а2 (х - а)2.
Дальнейшее очевидно.
Задача 19.
Решить уравнение
(ах* + Ъх + с)2 = х? (Ах? + Вх + с) при а Ф А.
Решение.
Данное уравнение перепишем в. виде
(ах2 + Ъх + с)2 - х2 (ах2 + Ъх + с) - (А - а) х4 = О,
или, обозначив ах2 + Ъх + с через у,
f-x?y-(A-a)x4 = 0,
Поэтому при р = A — a + -j<0 уравнение корней не
имеет, а при р > О оно принимает вид
\У-2 ** ~" ^Р"*2) к"?"*2 + ^Р"*2) = ^, или
а - Vp- j ] л2 + Ъх + с] [ | а + V/Г- ^- ] х2 + их + с ] =0.
Дальнейшее решение не представляет труда, и мы его
опускаем.
323

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Задача 20.
х4 - 12х + 323 = 0.
Решение.
х4 - 12х + 323 = х4 - 12х + 324 - 1 = 0;
х4 + 182 - 12* - 1 = 0;
х4 + Збх2 + 182 - Збх2 - 12х - 1 = 0;
(х2 + 18)2 - (6л: + 1) = 0. Дальнейшее очевидно.
Задача 21.
Решить уравнение (х + 2)2 + (* + З)3 + (* + 4)4 = 2.
Решение.
Нетрудно заметить, что корнями данного уравнения
являются числа -3 и -5. Для нахождения остальных его корней
сделаем замену у = х + 4. Тоща уравнение примет вид:
(у - 2)2 + (у - I)3 + / = 2 или / + f - 2/ - у'+ 1 = 0.
Полученное уравнение имеет корни 1 и -1; это позволяет
легко найти необходимую группировку.
у* + у* -2? - у+ 1 =? (у2 + у-2) - (у- 1) =
= У2(У~ 1)(У + 2) - (у- 1) = (y-y)tf + If - 1) =
= (у- 1)(0? + f) + (у2 - 1)) = (у- 1)(у + 1) • (у* + у- 1).
Теперь легко ползаем еще два корня исходного урав-
9 + V5" 9-V2T
нения: ±-—п~^~> —^~2—#
Задача 22.
Решите уравнение х — х — х = ^.
Решение.
Преобразуем условие так, чтобы выделить «точный куб»:
Зх3 - Ъу? - Зх= 1;
4x3 = *3 + 3;c2 + 3x+ 1;
324

15. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
4х* = (х + I)3.
Отсюда следует, что V 4х3 = х + 1. х = Ъгг-_ 1 •
Задача 23.
4х4_16х3 + Зх2 + 4х-1=0.
Решение.
Пусть 4х4 + Зх2 - 1 = 0 — биквадратное уравнение.
3±5
У = х2; у12 = -
8
1
34 = -1; У2 = 4-
Значит, 4х4 + Ъх2 - 1 = 4 (х2 + 1) (х2 - ?| = 4 (х2 + 1) х
Х1*-2 *+2 И
4х4 - 16Х3 + Ъх2 + 4х - 1 = 4 (х2 + 1) (х -1] [ж + И -
- 16х (**-{) =4 (x-±)(* + ±W + l-4*) =
= 4 (ж - i| (х + Й (х2 - 4х + 1) = 0.
x-i = 0,
x + i = 0,
2'
х= —
1
2'
хм = 2 ± vj:
I х2 - 4х + 1 = О,
Задача 24.
Решить уравнение 6х4 + 2х3 + Ах2 + 10х + 9 = 0.
Решение.
Переписав данное уравнение в виде
5Х4 + (х4 + 2Х3 + х2) + (Зх2 + 10х + 9) = О,
325

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
мы получим, что слагаемые в его левой части
неотрицательны, причем последнее положительно. Следовательно,
уравнение корней не имеет.
Задача 25.
Решить уравнение
к4 - Ыг + (4 + 6 V5) ^ - 18 у/Тк+ 45 = 0.
Решение.
Сгруппировав в левой части слагаемые, содержащие V3~,
приведем уравнение к виду
к4 - Ы? + 4tf + 45 + 6 у/У к (к - 3) = 0,
после чего естественно проверить, не является ли число 3
корнем многочлена к4 — 6к3 4- 4к2 + 45. Оказывается, что это
действительно так, и поэтому 3 — корень данного уравнения
Hi4- 6?3 + 4к2 + 45 = (к - 3)(Ук3 - Ък2 - (5 - 6 VT) к - 15).
Остается решить уравнение
/г - Зк? - (5 - 6 V5) Л - 15 = 0.
Это уравнение целых и даже рациональных корней не
имеет, и следующего «кандидата в корни» будем искать в
виде к = п V1T.
После соответствующей подстановки уравнение
приводится к виду
5 V5V - 15п2 - (5\/Т- 30) п - 15 = 0;
5V5~n(n2- 1)- 15/г + ЗО/г- 15 = 0;
V3~n (/г2 - 1) = 3 (п - I)2,
откуда я = 1 («остающееся» квадратное уравнение корней не
имеет). Таким образом, данное уравнение имеет два корня:
3 и у/Т.
Задача 26.
Решить уравнение (х2 - а2)2 = 4ах + 1.
Решение.
Прибавив к обеим частям уравнения 4а х2, получим
326

15. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
(х2 - а2)2 + 4а2 х2 = 4а2 х2 + 4ах + 1, или
(х2 + а2)2 = (2ах + I)2. Отсюда:
а) х2 + а2 = lax + 1, т.е. (х - а)2 = 1 и, следовательно,
х{ = а + 1 и х2 = а - 1;
б) х2 + а2 = - 2ах - 1, т.е. (х + а)2 = - 1. В этом случа
решений нет.
Итак, исходное уравнение имеет корни
Xj = а + 1 и х2 = а — 1.
Задача 27.
Решить уравнение х3 - ЪаЬх + а3 + Ьг = 0.
Решение.
Запишем данное уравнение в таком виде:
х3 - Зойх + (а + Ь)г - 3 (а + Ъ) аЪ = 0.
Очевидно, что х{ = — (а + й).
Далее уравнение х3 + (а + й)3 - ЪаЬ (х + а + й) = 0 можно
записать в виде
(х + а + Ь) (х2 - х (а + й) + (а + б)2) - Зой (х + а + й) = 0,
и два оставшихся корня находим из квадратного уравнения
х?-х(а + Ь) + а*-аЬ + 1? = 0.
Найти самостоятельно.
Задача 28.
Решить уравнение х2 Н —г = тя•
(5 + 2х)2 49
Решение.
Преобразуем левую часть уравнения.
25Х2 + 20Х3 + 4х4 + 25Х2 = 74.
(5 + 2х)2 49;
327

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Так как
Имеем
4х4
(5 + 2х)2
5 + 2хч*0,
(-*L-Y
(5 + 2х)
2Х2
~Г?2х
xi
Задача 29»
Решить
уравнение -
Решение.
10х2(5 + 2х) 74
(5 + 2х)2 49*
то
+ 0 5 + 2х 49 "•
37 2л2 2
~ 7' УТ2х~7'
_ 5 ,
— у, х2— 1.
х2- 10х + 15 Зх
х2 - 6х + 15 х2 - 8х + 15'
Данное уравнение равносильно следующей смешанной
системе:
[(х2 - 10х + 15)(х2 - 8х + 15) = Зх (х2 - 6х + 15);
[х2 - 6х + 15 * 0;
^х2 - 8х + 15 * 0.
После преобразований первого уравнения этой системы
получим:
х4 - 21Х3 + 128Х2 - 315х + 225 = 0;
х4 - 7Х3 - Их3 + 15Х2 + 98Х2 + 15Х2 - 210х - 105х + 225 = 0;
х2 (х2 - 7х + 15) - 14х (х2 - 7х + 15) + 15 (х2 - 7х + 15) = 0;
(х2 - 7х + 15)(х2 - 14х + 15) = 0.
Ответ: xY = 7 + V34";
х2 = 7 - V3T
Задача 30.
Решить уравнение х8 - 10х6 + 28х4 - 15x* -4 = 0.
328

15. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Решение,
х8 - 10хб + 28х4 - 15*2 - 4 = (х8 + 25х4 + 1 - Шх6 + 2х4 +
+ Шх2) + (х4 - 5л2 + 1) - 6 = 0.
Обозначив х - 5х2 + 1 = z, имеем z2 + z - 6 = 0, откуда
Zj = - 3, z2 = 2. Решив уравнения
х4 - 5х? + 1 = - 3 и х4 - 5Х2 + 1 = 2, получим
± V5 ± У2Г
*1,2 ~ — J-5 *3,4 — — ^5 *5,6,7,8 — 2
Задача 31.
Решите уравнения:
d?+M W(* 6\ ^+48 ш(х 4
25" х2 "" 5 (5 xj' 3 х2 13 3J
Решение.
а) Легко заметить, что квадрат выражения, стоящего в
скобках в правой части, равен левой части с точностью до
постоянного слагаемого. Поэтому это выражение удобно
принять за новую переменную. Найдя значение этой переменной,
сведем решение данного уравнения к решению квадратного
уравнения.
Итак, -^ - - = у. Тоща у2 = ^ i""" "Т"- Значит,
х2 ^ 36 о л. 12
Данное уравнение примет вид:
f + ^^^-y, 5У-16у+12 = 0;
6 о
Я = 5' Уг = 2'
Следовательно, если у = -=, то
329

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
-= = т, х * О, х2 - 6х - 30 = 0, откуда
х = 3-у/Жшш x = 3 + VW.
Если у = 2, то f - - = 2, х * О, х2 - 10* - 30 = 0, от-
О X
куда х = 5 — V55" или х = 5 + V55.
б) Корни уравнения: — 2, 6, 3 - V21, 3 + V21.
Задача 32.
Решить уравнение х = 1 - 1967 (1 - 1967 х2)2.
Решение.
Положим z = 1 - 1967 х2. Тоща исходное уравнение
сводится к системе
х = 1 - 1967 z2,
z = 1 - 1967 х2.
Вычитая из первого уравнения второе, получим
х - z = 1967 (х2 - z2).
Отсюда либо z = х, либо z = TKZn - х. В первом случае
х = 1 - 1967 х2, а во втором тд^у - х = 1 - 1967х2.
Решая эти уравнения, мы найдем четыре корня. Легко
видеть, что все они удовлетворяют данному уравнению.
Задача 33.
Решить уравнение х (13 - х)(13 + х2) = 42 (х + I)2.
Решение.
После раскрытия скобок и дальнейших очевидных
преобразований получим уравнение
х4 - 13Х3 + 55х? - 85х + 42 = 0,
у которого нетрудно подобрать целые корни 1 и 6, после чего
оно сводится к уравнению х2 - 6х + 7 = 0, корнями которого
являются числа 3 ± VT.
330

15. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Задача 34.
Решить уравнение х 4- 7л;2 — 12х + 5 = 0.
Решение.
Поскольку
х4 4- 7Х2 - 12х + 5 = (х4 - 2х? + 1) + (9л2 - 12х + 4) =
= (х2 - I)2 + (Зх - 2)2
и выражение х - 1 и Зх - 2 не обращаются в нуль
одновременно, то данное уравнение корней не имеет.
Задача 35.
Решить уравнение Vl0x3-24x2 + 5x + 7 = х2 + 1.
Решение.
VlOx3 - 24Х2 + 5х + 7 = х2 + 1;
Юл? - 24л2 + 5х + 1 = х4 + 2х> + 1;
х4 - Юл? + 26л2 - 5х - 6 = 0;
(*4-
- 10х» + 25X2) + I
{х2 - 5х) - 6 = 0;
х2 (л - 5)2 + х (х - 5) - 6 = 0;
х (х — 5) = 2,
х (х — 5) = 3,
5±УЗЭ~
X л j
5±VT3"
Задача 36.
Решить уравнение (ох - I)3 + (а + I)3 х2 = 0.
Решение.
Данное уравнение третьей степени и потому в
элементарной форме может быть решено или путем разложения на
множители левой части или при помощи теоремы Безу.
Применим оба эти способа.
331

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Первый способ. Раскрыв скобки, получим
последовательно:
а^-Зо^ + Зох-Х + о^ + За2*2* За*2 + х? =
= а3л3 + ^х2 + Зах2 + Зах + х2-1 = а3х2(х+1) +
+ 3ах(х+ 1) + Х2- 1.
Вынося за скобки множитель х+ 1, будем иметь:
(х + 1) (о3 х2 + За* + х - 1) = О,
-За - 1 ± V(3a+l)2 + 4a3
отсюда следует х = — 1; х>, = = .
2' 2а
Второй способ. После раскрытия скобок замечаем, что
свободный член уравнения равен -1. Отсюда естественно
проверить, не является ли корнем уравнения 1 или -1.
Подстановка х = — 1 дает 0, что показывает, что -1 является корнем
уравнения. Следовательно, левая часть должна делиться на
х + 1. Остальное ясно.
Задача 37.
Решить уравнение 2х — 6х + 5 = 0.
Решение.
Положим х = t + —. Тоща
2 (^т! +6 (* + i) ~6 (* + V| +5 = 0 или
22* + 5*3 + 2 = 0.
Отсюда находим г3 = — 2, ^ = — у. Очевидно, что
значение х не меняется, если ? заменить на —. Корни уравнения
? = — 2 обратны корням уравнения $ = — 2. Следовательно,
для нахождения х достаточно воспользоваться корнями
уравнения ^ + 2 = 0.
332

15. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
\ = - vT, t2 = - V^ *3 = " ^2е2,
ще г = ~ . Поэтому
i- {^+п\- *—fre'+&\.*.—№?+vy\-
3
Учитывая, что е = 1, находим:
аД?~+1 e2 + faT 1 , 2 з«-, 0 3/T-,
**~ ^Г~~ ~ VT~ "
= -i(e^4"+2V2?").
Задача 38.
Решить уравнение
(а2 - а)2 (х2 - х + I)3 = (о2 - а + I)3 (х2 - х)2.
Решение.
При а = 0 и а = 1 уравнение имеет два двукратных корня:
х12 = ±0, х3>4 = 1.
Если a s* 0 и а т* 1, то ни 0 ни 1 не являются корнями
данного уравнения. Непосредственной проверкой легко убе-
1
диться, что если х{ — корень данного уравнения, то —,
Xj
1 — Xj тоже являются его корнями. Отсюда следует, что и
-т——, 1 - —, и у- также являются корнями данного
уравнения.
Так как уравнения при а^0ий^1 — шестой степени,
то оно имеет шесть корней, причем, зная один из них, легко
получить остальные корни. Но, очевидно, что а — корень
данного уравнения. Поэтому имеем:
333

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
1 ,
х{ = а, х2 = -, Хз = 1 - а;
1_ _,_! а_
*4~ 1-а' *5 а' *6~а- Г
Задача 39.
Решить уравнение
(х2 + о2) (х - За)2 = 8а4, а*0.
Решение.
Преобразуем уравнение:
х4 - бх3 а + Юх2 а2 - бха3 + а4 = 0.
Отсюда
х4 - 4Х3 а + бх2 а2 - 4x0s + а4 - 2 (х3а + 2х2а2 + ха3) = О
или
(х - а)4 - 2ах (х - а)2 = 0;
(х - а)2 (х2 - 4ах + а2) = 0.
Следовательно,
Xj = х2 = a, Xj = а (2 + V3"), х4 = а (2 - V3").
334

Глава IV. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ
16. Системы уравнений с параметрами
первой степени с двумя неизвестными
Задача 1.
f х + ay = а,
2х + lay = а.
Исследовать систему \
Решение.
Умножим первое уравнение на -2 и прибавим ко второму.
Получим равенство а2 - 2а = 0. Оно справедливо при а = 0
и а = 2. Если а = 0, то
Г* + Оу = 0,
J2x + 2-0j; = 0,
откуда х = 0, у = * — произвольное число.
Если а = 2, то данная система
Г х + 2у = 2,
12х + Ау = 4
2-*
имеет множество решении вида л: = t, у = —~—.
Система не имеет решений, если а^Ои а^2,
2 — t
Ответ: Если а = 2, то х = t, у = —^, ще * G jR.
Если а = 0, то х = 0, у = *, ще ^6Л.
Если а т* 0, а ^ 2, то решений нет.
Задача 2.
Исследовать систему
Решение.
{ах — у = 2а,
2х + у = а.
Сложим оба уравнения системы: х (а + 2) = За.
За
Если а 5* — 2, то х =
а+ 2'
335

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
п Ьа а — 4а ^ 0
Значит, у = а тгт = —т~о~"ф Если а ** — 2, то система
Сс "т" Л Сс "Т" л*
решений не имеет.
^ и _* о За а2 - 4а
Ответ: Если а * -2, то х = —:-=•; у = г-^-.
а + 2 а+2
Если а = -2, то нет решений.
Задача 3.
Решить систему
(ах+ 12у = 2,
\3х + ау = 1.
Решение.
Умножим первое уравнение на 3, второе на а, получим
[Зал: + 36у = 6,
I За* + с?у= а.
Вычитая уравнения, имеем (36 — а2) у = 6 - а.
Аналогично (36 - а2) х = 2 (6 - а).
Если а = 6, имеем 0у = 0, 0-х = 0. Значит, при а = 6
имеем уравнение Ъх + 6у = 1, решением которого будет любая
/ 1-6Л
пара и,
3
Если а = —' 6, имеем 0-у # 0, О** * 0, т.е. решений нет.
2 1
Если а ** ± 6, то х = —г-т", у = —т-7*
а + 6' J а + 6
2
Ответ: Если а ;* ± 6, то х = —-—т% у =
а + 6'' а+ 6*
Если а = — 6, то решений нет.
Если а = 6, то х = *, у = —^—» tER.
Задача 4.
При каких значениях а система уравнений
(ах - 4у = а + 1,
|2х + (а + 6) у = а + 3
будет несовместна?
336

16. Системы уравнений с параметрами первой степени с двумя неизвестными
Решение.
Известно, что система
\alx + Ь{у= ср
[d2X+b2y=:C2
будет несовместна, если отношения коэффициентов при
одинаковых неизвестных равны, но они не равны отношению
свободных членов, т.е. если — = -^ s* —. Составим отноше-
Ъ Ъ2 с2
ние коэффициентов данной системы. Имеем
а _ -4 а+ 1
2~а + 6*а + 3*
Находим, что при а = -4 данная система не имеет решения.
Ответ: а = -4.
Задача 5.
Решить систему
Решение.
\ах + ау = 1.
Имеем х - ах = а2 - 1, или х (1 — а) = (а - 1)(а + 1).
Система имеет единственное решение
х = - (а + 1), у = ,
если а * 1 и а * 0.
Если а= 1, система имеет бесконечное число решений
вида х = г, у = 1 - г, г е R.
Ответ: Если а = 0, то нет решений.
Если а = 1, то система имеет бесконечно
много решений вида х = t, ^ = 1 - t, tER.
Если а * 0, а ** 1, то х = - (а + 1), у = .
Задача 6.
Определить при каких значениях параметра а система
имеет положительные решения:
337

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
\х + Ъу = 6,
I ах + Ьу = 3.
Решение.
Умножим первое уравнение системы на -2 и сложим со
вторым. Имеем х (а — 2) = —9, откуда при а = 2 система не
-л 9
имеет решении, а при ач*2 х = -=——.
1 -2а
Итак, х > 0, если а < 2. Найдем теперь у: у = -= . Для
Zd а
того, чтобы у>0, должно выполняться неравенство 1—2а >0.
Значит: Ж^-
Ответ: й<^.
Задача 7.
При каких значениях к существует решение системы
уравнений
\х + ку = 3,
1 Ъс + 4у = 6,
удовлетворяющее неравенствам х > 1, у > 0.
Решение.
Рассматривая отношение -р -т, -т-, видим, что данная
система совместна при всех к *• — 2, причем при А: ^ 2 она
принимает единственное решение.
6__ 3_
х~к + 2> У~к + Т
По условию , гу > 1 и , ^ > 0, отсюда ке ]-2; 2[ U
U ]2; 4 [. Покажем, что при к = 2 система также имеет
решения х> 1, з>>0. Действительно, при к = 2 уравнения
системы совпадают: я = 3 — 2у. Но система неравенств
3 - 2y > 1 иу>0 совместна: ее решение 0<у< 1.
Ответ: Ае ]-2;4[.
338

16. Системы уравнений с параметрами первой степени с двумя неизвестными
Задача 8.
При каких а все решения системы
Г(а-1)* + у = 2,
\х + у- а
удовлетворяют условию х < О, у > О?
Решение.
Вычитая второе условие из первого, имеем
(а - 2) х = 2 - а.
При а = 2 получаем х + у = 2, решением которого будет
любая пара (t; 2t), где *?#.
Поскольку возможно t > О, то при а = 2 не все решение
системы удовлетворяет условию х < О, у ^ 0.
При а ?* 2 х = — 1, у = а + 1. Очевидно, х<0 при всех
а. Значит, у ^ 0, откуда а+ 1 > 0, а ^ -1.
Ответ: а? [-1; 2) U (2; <»).
Задача 9.
~ Г у - 4* = а,
Решить систему: J i _ « i
Решение.
Домножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым
уравнением. Имеем:
Г8х-2у=1,
|0 = 2а+1.
При а = - 2 система совместна, неопределена и имеет
решение 11; At - ^ 1, t Е R.
При й^ — ij — система решений не имеет.
Ответ: Если а = - ¦«> то л: = t, у = 4* - ¦=, t G Д.
Если а ?* - ¦«, то решений нет.
339

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 10,
При каких значениях п система уравнений
\Ъх + пу= 3,
2х-4у=1
имеет решение
1) *>0; у>0\
2) х<0; у<0;
3) *>0; у<0;
4) х<0; у>0?
Решение.
Данная система эквивалентна такой системе:
[х (12 + 2п) = 12 + л,
\у(2п + 12) = о — 3,
Если п = — 6, то система не имеет решений,
12 + п
Г2 • (/г + 6) л: = 12 + п,
|2-(л + б)у=3.
Пусть п 5* — 6. Тогда
х =
2 (я+ 6)'
3
2 (я+ 6)*
1) х>0; у>0 при
2) х<0; у<0 при
> 0.
12(п + б)
Г 12 +я
2(п + б)<0' 0 -12<я<-б.
< 0.
[2(л + б)
3) х>0; у<0 при
Г 12 +
2(га +
3
2(« +
га
6)
6)
>о,
-**• га<-12.
< 0.
340

16. Системы уравнений с параметрами первой степени с двумя неизвестными
Г 12 +
2(п +
1 3
[2(п +
п
6)
6)
<о,
4) x<0; у>0 при \"v\l "> о nG0.
> 0.
Ответ: 1) п>-6; 2) -12</г<-6; 3) п<-12;
4) таких п не существует.
Задача 11.
Найти все значения параметра а, для каждого из которых
числа х и у, удовлетворяющие системе уравнений
Гх + у = а,
]2х - у = 3
удовлетворяют также неравенству #>;у.
Решение.
Решая данную систему уравнений, находим
а + 3 2а - 3
* = ^-; * = —з~•
_ а+3 ^ 2а-3 .
По условию —5— > —о—5 значит, а < 6
Ответ: а<6.
Задача 12.
Решить систему: \у . J . ^ ? '
J |(р + 1) х + ру = Зр.
Решение.
Домножим первое уравнение на р и сложим со вторым,
умноженным на 2. Получим
х((р - 5)р + 2 (р + 1)) = 6р + р2 - 7р;
х(р2-3р + 2)=р2-р;
х(р-2)(р-1)=р(р-1).
При р ?* 1, р ;* 2 л; = —?-=¦. Отсюда
341

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
У = \{{р-5)х-р + 1) =^гу-
Если /? = 1, то система имеет бесконечное множество
решений вида (х, 3 — 2х), х Е R.
Если р = 2, то система не имеет решений.
Ответ: Если р Ф 1, р ^ 2, то единственное
р 2/?-7
решение* = -^Ьг У-у^-
Если /? = 1, то бесконечное множество
решений вида (х, 3 — 2х), xG R.
Если р = 2, то нет решений.
Задача 13.
Найдите все Ъ G R такие, чтобы при любых aE-R имела
хотя бы одно решение система уравнений:
ГЗх + у = я,
\ах — у = Ь.
Решение.
Сложим уравнения системы: х (а + 3) = а + Ь.
Система будет иметь решение в двух случаях: если
_ьа^л Га+ 3 = 0,
а + 3 * 0 и если i , , л
| а 4- 6 = 0.
Так как по условию а — любое, то при а = — 3 из второго
соотношения получим А = 3.
Ответ: й = 3.
Задача 14.
При каких значениях параметра а прямые 2х + у = 1 и
Зях - 2у = 4 пересекаются?
Решение.
Условие задачи можно сформулировать так: при каких
значениях параметра а система
Г2х + у=1,
\3ах - 2у = 4
имеет единственное решение?
342

16. Системы уравнений с параметрами первой степени с двумя неизвестными
Т.к. данная система имеет единственное решение при
За -2 4
-ту * —г-, то отсюда а Ф - ^.
4
Ответ: а ^ -^
Задача 15.
Найти все значения параметра а, при которых прямые
4х-Зу-а = 0и5;с-ау+8 = 0 пересекаются в точке с
отрицательными координатами.
Решение.
Решим систему
{4х — Ъу = а,
5* — ау — — 8.
Считаем, что прямые не параллельны (я^'Т'Ь Тогда
а2+ 24 5а + 32 Х7 а +24 Л
* = 4а - 15' у = 4а - 15' Учитывая условие: 4g _ 1Д < 0, от-
-3 п 5о+32 Л . ,2
куда а < 3 -J. Далее -т—ZT? ' 0ТКУда а > ~ " Т#
Ответ: а е (6,4; 3,75).
Задача 16.
Найти все значения параметра а, при которых точка
М (х0; у0) пересечения прямых 5х + 4у = 6 и ох + бу = 10
удовлетворяет условию х0 > 0; у0 < 1.
Решение.
^ [5х + 4;у = 6,
Решим систему |ах + 6з,= 10
Прямые не параллельны, т.е. а s* -у. Получим
2 За-25
* " 2а - 15; J " 2а - 15'
Поскольку х0>0; у0<1, имеем
2
2fl_ i5>0? 0ТКУда Л>7»5>
343

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
За-25 .
3tf<1, откуда а<№.
2а
Ответ: a G (7,5; 10).
Задача 17.
При каком значении т прямые у = - 4х + т и
у = 2х — 3 пересекаются на оси ординат?
Решение.
Сформулируем условие задачи иначе: при каком значении
т система
\у = - 4х + т,
\у = 2х-3
имеет решение с абсциссой, равной нулю. Подставляя
х = 0 в каждое из уравнений, получим т = -3.
Ответ: т = -3.
Задача 18.
При каких а координаты х0, yQ — точки пересечения
прямых Зх + у = -2 и х - (1 - а) у = 3 удовлетворяют
условию х0 ^2, у0 > 0?
Решение.
Найдем х0 и у0 как решение системы
J3x0 + Уо = -2»
|*о - С1 - а) Уо = 3-
4
Прямые не параллельны при а & тг- Имеем
1+2а
11
~4-За; %" 4-За*
Далее
11
>0,
4-За
1+2а 0 ***
4-За
а >
а >
8'
344

16. Системы уравнений с параметрами первой степени с двумя неизвестными
х 4
значит, а > -~
Задача 19.
Ответ: а > -х.
Найти значение параметра а, если известно, что прямые
у=3х + 4и.у=ах — 0,5 параллельны.
Решение.
т* \у = 3х + 4,
Имеем систему |у = ах-0,5.
Требуется найти значения а, при которых система не
имеет решений. Поскольку х (3 — а) = — 4,5, то при а = 3
система несовместна.
Ответ: а = 3.
Задача 20.
Найдите значения с и d, при которых система уравнений
[(с+ 1)2х- (d + 1)у = - с,
| (d - 1) х + (5 - 2d) у = с + 4
имеет единственное решение х = 1; у = 1-
Решение.
В исходную систему подставим х = 1; у = 1. Имеем
(с + I)2 • 1 - (d + 1) • 1 = - с,
(d - 1) • 1 + (5 - 2d) • 1 = с + 4,
откуда d = - с, следовательно, с2 + 4с = 0, отсюда
с, = 0; с2 = -4; ^ = 0; d2 = 4.
Проверим, что при найденных значениях с и d система
действительно имеет единственное решение, т.е.
(с+1)2 -(rf+1)
d-1 5-2d *
Ответ: с = d = 0 или с = —4, d = 4.
345

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 21.
При каких а и й прямые
Зх-у + й = 0иол:-2^-10 = 0
1) пересекаются в точке (2; -1);
2) параллельны между собой;
3) сливаются в одну прямую?
Решение.
Рассмотрим систему J _ 7" = 10
1) Подставив (2; -1) в систему, получим:
[3-2 + 1 = -й, [й=-7,
|а«2 + 2= 10, ° |а = 4.
Т.е. обе прямые проходят через точку (2; -1) при
а = 4, й = -7. Заметим, что при этом они не сливаются в
одну прямую, т.к. 3 (— 2) - (-1) а = — 6 + а = — 2 & 0.
Значит, при а = 4, й = -7 прямые пересекаются в точке (2; -1).
П 1 L
2) Прямые параллельны при — = -^ & -ттг, т.е. при
а = 6 й ;* -5.
3) Прямые сливаются в одну прямую при
- = —^ = -до, т.е. при а = 6, й = -5.
Ответ: 1) а = 4, й = -7; 2) а = 6, й *-5;
3) а = 6, й = -5.
Задача 22.
Определить, при каких значениях к система уравнений
[(* + 2) х + 6у= 30 -5*,
^6х + (* + 7) j = 30
а) имеет бесконечное множество решений;
б) не имеет решений.
Решение.
Система имеет бесконечное множество решений при
к+2 _ 6 _ 30 - 5к
6 " к + 7 " 30 '
346

16. Системы уравнений с параметрами первой степени с двумя неизвестными
к + 2 6 30 -5к
не имеет решении при —т— = , - ^ —^п—•
D к + 2 6
Решая уравнение —т— = , „, получим
*, = 2, к2 = -П.
, _ к + 2 4 2 20 30-5к
При *-2 6 -6-3-30- 3() , т.е.
имеет бесконечное множество решений.
„ . .. к + 2 -9 -25 30 -5к
при*--п —в—-"б~••-до"-—зо-» т'е-
не имеет решений.
Ответ: а) к = 2; б)
система
система
?=-11.
Задача 23.
При каких значениях т система уравнений
\тх + 2у = т + 2,
^(2га - 1) х + (га + 1) у = 2 (га + 1)
а) имеет бесконечное множество решений;
б) не имеет решений?
Решение.
Система имеет бесконечное множество решений при
т = 2 т+2
2т -1 га + 1 2 (га + 1)'
не имеет решений при
га _ 2 т+2
2га-1 "~га + 1 *2(га+ 1)*
та т 2 ~
Решая уравнение ^—^-у = —т—г, получим т1 = 2,
га2 = 1. Проверкой убеждаемся, что при га = 2 система имеет
бесконечное множество решений, при га = 1 — не имеет
решений.
Ответ: а) га = 2; б) га = 1
347

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 24.
Определить, при каких значениях а и Ъ система уравнений
1)У = 3*,
\5х - (а +
\х - 2у = 3
3
а) имеет бесконечное множество решений;
б) не имеет решений.
Решение.
Система имеет бесконечное множество решений при
5 _ -а(а+ 1) _ 36
1 " -2 ~ 3'
т.е. при а = 9, Ъ = 5
Система не и]
при й = 9, b ч* 5.
~ „ 5 -а(в+ 1) ^ ЪЪ
Система не имеет решении при у = ^-=—- & -^-, т.е.
Ответ: а) а = 9, Ъ = 5; б) а = 9, й 5* 5
Задача 25.
Определить, при каких значениях а и Ъ система уравнений
\х + %у = *,
-^+(а-3)у=а+1
а) имеет бесконечное множество решений;
б) не имеет решений.
Решение.
Система имеет бесконечное множество решений при
_1 8 Ъ_
1 "а-3 ~~я+ Г
а-1
1 8.6
не имеет решении при —=— = ~ Ф
1 а-3 а+Г
а-1
Решая уравнение а - 1 = ——~, получим ^ = 5, Og = 1.
348

16. Системы уравнений с параметрами первой степени с двумя неизвестными
Учитывая, что а — 1 ^ 0, т.е. а Ф 1, имеем а = 5. Тогда
а - 1 = 4, а + 1 = 6, т.е. система имеет бесконечное
множество решений при Ъ = 24, не имеет решений при Ъ Ф 24.
Ответ: а) а = 5, Ь = 24; б) а = 5, й * 24.
Задача 26.
тт Г* + (5^ - 1) у = а,
Исследовать систему: i , ^ _ _'/
Решение.
Система имеет единственное решение при 1 ^ 5а — 1, т.е.
_,2 п 2 а 3 _^ 1
при ач?-=. При а = -= г = — ^ ^ 1? т.е. система не имеет
* 5 ^ 5 а - 1 3
решений.
Ответ: Если а ^ 0,4, то система имеет
единственное решение.
Если а = 0,4, то нет решений.
Задача 27.
При каких значениях параметра а система не имеет
решений:
\ах — Ъу = 6,
1} .
Решение.
9 \ах-4у= а+1,
L) }2х+(а + 6)у=а + 3.
П 1
1) Система не имеет решений при у = -у- ф ту, т.е.
а= -3, Ъ* -6.
Пч ^, о а —4 а + 1
2) Система не имеет решении при тг = ——-? ^ —г-тг.
2 а+о а+3
Имеем: а2 + 6я + 8 = 0, откуда ^ = -2, а, = -4. Но при
а = -2 а = -1 = — при а = -4 а * 77, т.е. а = -4.
а + 3 2 ^ (2 + 3 2
Ответ: а = -4.
349

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 28.
При каких значениях а система уравнений
(Зх - у = 1 - а,
\х + у = 2а + 1
имеет решение, удовлетворяющее условию х > 1, у ^ 4?
Решение.
_ а + 2 7а+ 2
Решая систему, находим х = —т—, у = —т—• * > 1 ПРИ
а > 2; у ^ 4 при а < 2. Отсюда а = 2.
Ответ: а = 2.
Задача 29.
При каких значениях а все решения системы
Г(а-1)* + у = 2,
1х + у = а
удовлетворяют условию х < 0, у ^ О?
Решение.
Домножим второе уравнение системы на -1 и сложим с
первым. Получим: (а - 2) х = 2 - а.
При а = 2 система имеет множество решений вида
(х; а - я), # G #, т.е. значение а = 2 не подходит. При
а * 2 имеем х = — 1, у = а + 1. Очевидно, что — 1 < 0.
Неравенство а+ I >0 выполнено при всех a s* — 1.
Ответ: а > -1.
Задача 30.
Найдите все а и й, при которых равносильны системы
уравнений:
\ах + 2у = Ъ + 1, (1) Г 2* + у = а2 + 2,
* + у = 3 и |* + Зу = 3.
Решение.
Вторая система имеет единственное решение, значит и
первая система должна иметь одно решение. Найдем его:
,350

16. Системы уравнений с параметрами первой степени с двумя неизвестными
х — 3; у = 0. Подставив эти значения в уравнение систем,
содержащие параметры а и А, получим:
|б = а? + 1,
откуда cl — 4, Oj = —2, #2 = 2.
Подстановка ^ = -2, д: = 3, у = 0 в уравнение (1) дает
Ъ = -7. Значение ^ = 2 не подходит, так как в этом случае
первая система неопределена.
Ответ: а = -2, й = -7.
Задача 31.
Определить, при каких значениях параметра а решение
системы
[х + ау=2,
|2х-4у=1
удовлетворяет условиям х>1, у<0.
Решение.
Данная система эквивалентна следующей:
Г 2 (а +:
При а = —2 система не имеет решений. Если а * —2, то
(4 + 2с) х = 8 + а,
(-2а-4)у--4+1,
2) х = 8 + а,
2)у-3.
х =
У =
8 + а
2 (а+ 2)'
3
2 (а + 2)'
Тогда
*>1,
3><0,
8 + а
> 1,
2(а + 2) х' \а>4, _ __
3 ' ° «<-2, ° *е0'
2 (а + 2) "'
Ответ: таких а не существует.
351

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Задача 32.
При каких значениях параметра а система
ах - у = 5,
х + у = 4
имеет единственное решение?
Решение.
Система имеет единственное решение при а • 1 -
- (-1) -1*0, т.е. при а * -1.
Ответ: а * -1.
Задача 33.
При каких a G R система уравнений
\х + у + z = 3,
|х — у + z = 5,
[* + 2у + az = 1
имеет решение?
Решение.
Имеем
х + у = 3 — z; (1)
х — у = 5 — z. (2)
Считая z известным, получим х = 4 — z, у=— 1.
Подставляя эти значения х и у в третье уравнение системы, получаем
линейное уравнение (а - 1) z = 1, которое имеет решение (а
вместе с ним и исходная система), если а — 1 ** 0.
Ответ: aG ]-°°; 1 [ U [1; °°[.
Задача 34.
Найти необходимое и достаточное условие, чтобы система
уравнений была совместна:
[2х - у = 3,
|х + у= 3,
\ах - by = 2й.
352

16. Системы уоавнении с лаоаметоами пеовой степени с двумя неизвестными
Решение»
Вначале решим систему \
(2х - у = 3,
Получим х = 2>
[х + у = 3.
у = 1, Подставим эти значения в третье уравнение исходной
системы:
2а - Ь = 2й, или 2а = 36.
Ответ: 2а = 36»
Задача 35.
Решить систему
Решение.
Если а * О, то
[ах + ау = 2,
| ох - ау = 4.
fax + ау = 2,
ах- ау=4,
(х-у
Если а = О, то система не имеет решений.
4
а'
х=а>
3,= --
Ответ: Если а * 0, то система имеет единственное
3 1
решение х = —, у = - -%
Если а = О, то система не имеет решений*
Задача 36.
Решить систему:
Решение.
\х + ау= а2,
ах + ау= 1,
х + ау = а ,
ах + ау = 1.
х(а-1) = а2-1,
у(а2-а) = ^-1,
Гх(а-1) = (а-1)(а+1),
[у а(а-1) = (а-1)(а2 + а+1).
Отсюда при а = 0 система не имеет решений; при
а + 1 решением является любая пара (х, 1 - х), где х?Я;
при а * 0, а * 1 система имеет единственное решение
353

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Х = а+ 1, у =
с? + а+ 1
Ответ: Если а = О, то нет решений.
Если а = 1, то бесконечное множество
решений вида (х, 1-х), х Е Л
Если а ?* О, а & 1, то единственное
решение л: = а + 1, у =
а2 + а + 1
Задача 37.
Одним из решений системы уравнений
(ах - йу = 2а - й,
1(с + 1) х + су = 10 - а + Зй
является х= 1, у = 3. Определите численные значения
параметров л, 6 и с.
Решение.
Данная система имеет ^шожество решений тогда и только
а _ = _^* 2а- b
~" с
тогда, коща
с + 1 с 10 - а + Зй*
Кроме того, *=1, у=3 является одним из решений
Т.е. для нахождения а, й, с имеем систему:
f а — Зй = 2а — й,
| с 4- 1 4- Зс = 10 - а + Зй,
я__-й
' " с '
-й
с *
с+1
2а-й
10 - а + Зй
*>
Из первых трех уравнений этой системы получаем
9
а = О, й = О, с = т или а = 2, й = — 1, с = 1, Обе эти тройки
чисел удовлетворяют и четвертому уравнению системы,
9
Ответ: а = 0, й = 0, с = -т или
а = 2, й = —1, с = L.
354

16. Системы уравнений с параметрами первой степени с двумя неизвестными
Задача 38.
Известно, что точки пересечения прямых 2х + у = 9 и
кх + 5у = 18 принадлежат биссектрисе первого координатного
угла. Найти число к.
Решение.
Уравнение биссектрисы первого координатного угла
у = х. Имеем систему
\2х + у = 9,
|&с + 5у= 18,
1у = *.
из которой находим &= 1.
Ответ: к = L
355

17. РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ
УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Задача 1.
п „ IV + yVxy~= 336,
Решить систему уравнении \ 2 * ^ '
(у + xVxy = 112.
Решение.
Пусть х = ty. Получим vTy2 (tVT+ 1) = 336;
y2(rVF+l) = 112;
х = 18; у = 2.
Задача 2.
Найти действительные решения системы уравнений:
Гх4 + / = 17,
\х + у=3.
Решение.
• + / = (** + у2) - 2xV = [(* + у)2 - 2ху]2 - 2л2у2 =
= (9 - 2ху)2 - г^у2; (9 - 2ху)2 - 2*f = 17, откуда
*V-18*y + 32 = 0;
{я + у = 3, fx + y = 3, ^ 1iC
*у = 2, {^ = 16, ^ " 2; *у - 16' значит'
Ответ: (1; 2); <2; 1).
Задача 3.
я + у •
J х-у х-у
Решить систему уравнений: J
ху = 15,
ще х и у — действительные числа.
Решение,
х * у. Избавимся от иррациональности в знаменателе
дроби. При х — у т* 0 получим:
356

17. РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
а)
\х + у-
[ху = 15;
х-У
при х — у < О
б)
1 ху = 15.
х-у
П
х — у'
12
а>
Умножив обе части первого уравнения системы (а) на
х - у Ф О, получим
f х2 - у2 - V*2 - у2 = 12,
|ху = 15.
Пусть Vx? - / = L Тоща из первого уравнения системы
получим квадратное уравнение относительно t
? - t - 12 = 0, откуда \ = 4 (*2 = -3) — не подходит.
Получим систему:
[ а2 + (-У1) = 16,
*•(-)?) =-225.
j х2 - / = 16,
J ' ' или
}ху = 15,
о? и (-у2) можно рассматривать как корни квадратного
уравнения z2 — 16z — 225 = 0, откуда z{ = 25; z2 = —9. Имеем:
Проверка убеждает: что решением системы являются
значения л: = 5, у = 3 при х — у < 0. Получим:
v
3\ЛЖ+9
-V
3VW-9
<>™ra (5;», (_ vi^r - у[щ^~).
357

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 4.
Решить систему:
1х - 11 у = Ъх + у = v'jc + 9у.
Решение.
Пусть 1х — Ну = и, т.е. 7 (х + у) — 18у = и, откуда
и + 18у , л / . ч . о м + 74у
х + у = ^-^, а х + 9у = (х 4- у) + 8у = ;р-=Ч
Приходим к системе:
Vw+ 18у
\/и + 74у
7к3-*=18у,
Т#е# ^7и5-к = 74у.
Из последней системы исключим у
Тиъ - и _ Ju*jzJL
"^18 " 74 '
Если ы = О, то прийдем к очевидному решению:
*х = Ух = 0.
17 ^л 7а2-1 7и4-1
Если и Ф 0, то получаем уравнение —g-^— = —:уГ~~~>
4 2 11
т.е. 9и - 37и 4-4 = 0, откуда щ= ¦«, «2= - ¦«, Из= 2, ы4= -2.
Для каждого значения и составляем систему
[7х-11=и,
х + у = ы3.
{3
Ответ: (0; 0); (-^ -^); (-
ж л.
243' 2431'
(5; 3); (-5; -3).
Задача 5.
Найти все значения а, при которых система
358

17 РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
^-о/=-|(а+1)2,
х3 + а?у + xtf = 1
имеет хотя бы одно решение и всякое ее решение
удовлетворяет уравнению х + у = 0 (а, х, у — действительные
числа).
Решение.
По условию у = — х. Данные уравнения примут вид
х3(1 + а)=^(а+1)2
л3 (2 - а) = 1.
Если аФ —1, то, найдя х из первого и второго уравнений,
приравняем полученные выражения
2 (*+!) = 2^.
т.е.
о2 - а = О,
откуда а = 0 или а = 1.
Условию задачи могут удовлетворять только три значения
параметра а: — 1; 0; 1, которые нужно проверить.
Если а = -1, то из первого уравнения найдем у= —*,, а
1
1
из второго уравнения найдем х =лйх = -гт^ а следовательно,
у = — -^==. Найденные значения неизвестных удовлетворяют
и условию х + у = 0.
Если а = 0, то из первого уравнения: х = ^==, а из второго:
у = ± -=. Это значит, что при а = 0 система имеет два
решения:
х =
1
VT
1
1
1
у =
359

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
По условию любое решение должно удовлетворять
требованию х + у = 0, между тем первое решение этому
требованию не удовлетворяет. Значение а = 0 мы должны
отбросить.
Осталось рассмотреть случай, когда а = 1. В этом случае
получаем систему
{-
-3^ = 2, яяя Г(х-Ж^2 + ^ + У2) = 2,
или
x*y + xy* = l, "^ ЬС^ + ху + у2)^!.
Так как правые части отличны от нуля, то разделим
первое уравнение на второе, откуда х + у = О, Поскольку
условие х + у = 0 теперь автоматически выполняется для
любого решения системы, то нужно убедиться, что у этой системы
есть хотя бы одно решение. Таким решением является
х=1, j=-l. (Докажите!).
Задача б.
Векторы GA, ОВ, ОС удовлетворяют системе уравнений:
$Ш + 4ОВ + 2ОС = 0,
[(ОА - ОВ)2 = (ОВ - ОС)2 = (ОС- ОА)2.
Вычислить ОА • ОС.
Решение.
Из первого уравнения: ОВ = - ~г О А — ^ ОС после
подстановки значения для ОВ в равенства
(Ш-ОВ)2 = (ОС-ОА)2 и (ОВ -ОС)2 ^ (ОС -ОА)2
получим систему
[9 ШЧ 52 ОЛ^ОС^ 12 ОС^= О,
115 ОА2 - 44 ОА • ОС - 20 ОС2 = 0.
Исключив из этой системы ОА2 и ОС2, получим
392 ОАОС = 0, откуда ОАОС = 0.
360

17. РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Задача 7.
Решить систему уравнений
ГКЬс2 + 5/ - 2ху - 38* - 6у + 41 = О,
\3х> -2/ + 5ху- Пх - 6у + 20 = О.
Решение.
Сгруппируем слагаемые в левой части первого уравнения,
рассматривая его как квадратный трехчлен относительно х.
Предварительно домножим это уравнение на 10. Будем иметь:
lOOx2 - 20 (у + 19) х + 50у* - 60у + 410 =
= (10* - у - 19)2 + 49/ - 98у + 49 =
= (10х-у-19)2 + 49(у-1)2.
Отсюда видно, что первое уравнение исходной системы
выполняется только в случае 10jc — у—19 = 0, у—1=0, т.е.
при л; = 2, у=1. Остается убедиться, что это пара чисел
является и решением второго уравнения, а следовательно, и
исходной системы.
Таким образом, исходная система имеет единственное
решение (2; 1).
Задача 8,
ъ „ IV- \ху\ +9 = 0,
Решить систему уравнении -I / \
[36 - / = (2х - у).
Решение*
Из первого уравнения в силу неравенства между средним
арифметическим и геометрическим \у\ = - ~ ^ 6, а из
второго — \у\ ^6. Поэтому \у\ =6, 2х - у = 0, и мы
получаем два решения: (3; 6) и (-3; -6).
Задача 9.
Решить систему
{у(х + у)2 = 9,
361

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Из первого уравнения следует, что у>0, из второго —
х>у>0. Выразим из первого уравнения х через у.
3
Vy~(x + y) = 3; х = ^у-у.
Тоща у [ |Т7— У\ ~ У I = 7. Положим t = Vy~, получим
? |7| - ^ - А = 7, или (3 - ff - ^ - It = 0.
Пусть /(*) = (3 - ^)3 - t9 - 7t Тогда
/' (0 = - 9? (3 - f3)2 -9^-7.
Производная отрицательна при всех значениях г. Таким
образом, функция / убывает. Поэтому уравнение /(0 = 0
имеет не более одного корня. Нетрудно заметить, что t = 1 —
корень. Итак, х = 2; у = 1 — единственное решение системы.
Задача 10.
J*V-2x + / = 0,
J2*2 - 4х + 3 + у* = 0.
Решение.
Первое равенство запишем в виде: у2 = ^ Покажем,
1 + хг
что lyl < 1. Это можно сделать двумя способами:
Первый способ.
Из неравенства (1 — х)2 > 0 следует неравенство
2х
1+х2
< 1, а это значит, что у* ^ 1.
Второй способ.
Положим x = tgy; тогда / = sin^, т.е. lyl ^ 1. Далее
второе равенство системы запишем в виде:
2 (х - I)2 + 1 + у3 = 0. (1)
362

17. РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЬ-
Так как lyl ^ 1, то 1 4- у* ** 1 - \у\г > 0. Следовательно,
равенство (1) может вьшолняться только в случае
(х - I)2 = 0 и 1 4- у = 0, т.е. для х = 1; у = —1. Проверим,
подставив в первое уравнение.
Итак, х = 1; j> = ""!•
Ответ: 1; -1.
Задача 11.
л2 - у2 + $У = О,
х2 4- Ъху 4- 2/ 4- 2х + Ау = О,
Решение,
Разложим на множители х2 4- Ъху + 2/. Решая
относительно х уравнение х2 4- Ъху 4- 2/ = 0, получим
*! - - 2;у; х2 = - }>¦
Второе уравнение системы можно записать так:
(х 4- 2у)(х 4- у 4- 2) = 0.
Таким образом, исходное уравнение эквивалентно
совокупности двух систем:
\х2-у2 + Ъу = 0,
[х 4- 2у = 0;
Решить самостоятельно.
fx2-/4-3>>=0,
jx 4-у 4-2 = 0.
Ответ: (0; 0); (2; -1);
Задача 12.
[х2 - 12у = 15,
|^+2x = V^ + ^ 2
( 7; 7J'
8у 3 т Зу
Решение.
Разделим обе части второго уравнения на у (у * 0),
получим эквивалентное уравнение:

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Преобразуем
х2
Af
Ixl2
т'+
[ левую
У
_ J*L
У
Ki
часть (1)
(*¦*)
Y Зу1
. .11111 ?
¦,)-
+ Зу
+ Зу
Ixl \1 Ах
У У Зу
= 0;
= 0;
+ 1=0;
Таким образом, заданная система эквивалентна такой:
х2 - 12у = 15;
1x1 _ 4/4*4.1 (2)
2у " v Зу '
Система (2) равносильна такой смешанной системе
х2 - 12? = 15;
х2 _ 4х t
Ay2' Зу + 1;
У>0; g+l>0.
Из второго уравнения системы (3) находим:
— = о или — = — -^ и т.д.
У У 3
(3)
Задача 13.
Решить систему уравнений
Решение.
Ответ: х{ = 5; х2 = - (9 + 4 VtT).
х = у2,
х + уН- V3cy"= 819.
Ясно, что х и у положительны. Положив х=^(?>0),
будем иметь у = ^. Второе уравнение примет вид:
364

17. РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
г3 -f f + г = 819, или (* - 9Х*2 4- 10* 4- 91) = 0.
Отсюда t = 9, т.е. х = 815 у = 729.
Задача 14.
Решить систему уравнений: \х * _^ у ~ а*
Указать те значения а, при которых система уравнений
имеет действительные решения.
Решение.
Будем искать только действительные решения. Обозначив
х + у через t и заметив, что х3 4- у3 = (х 4- у)3 - Зху (х + у),
запишем первое уравнение в виде
t - 3? + 3t - 1 = а - 1 или (* - I)3 = а - L
Отсюда t = Va - 1 4- 1 и числа х и у являются корнями
квадратного уравнения z2 — (Va — 1 4- 1) z 4- (Va — 1 4- 1) = 0.
Это уравнение имеет действительные корни при с^Ои
при a ^ 28; теперь легко выписать и действительные решения
системы.
Решить самостоятельно.
Задача 15.
При каких а система
J*2+ 3^ = 2(1 +а), (1)
\{х + у)2 = 14 (2)
имеет в точности два решения?
Решение.
Вот предполагаемые решения системы:
(^о'Уо); (-*о>-:Уо); (Уо>*оУ> (-Уо>~хо)<
Исследуем вначале их на «различность».
1) Пара (х0; у0) и (- *о» - %)•
Они различны, так как в противном случае х0 = 0 и
у0 = 0 уравнение (1) может удовлетворять, а (2) — нет.
365

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ КНИГА I
2) Пара (х0; >'0) и (- у0; — х0) тоже различны. Опять же
возможно: х0 + >'0 = 0, а — у0 — xQ = О для второго уравнения
системы не имеет смысла.
Итак, различные (х0; у0) и (- х0; - у0)\
(х0; у0) и (- у0; - х0).
Значит, в третьей паре совпадение: у0 = х0.
Подставляем в (2): 4x1 = ^ ^ V = Ў j ' **' = ~" * 2 *
При этом а = 7>» Тогда
[(л + у)2 = 14.
Решая эту систему, находим ее решение:
^ 4); (-VT -Vf).
Значит, действительно а = у.
Задача 16.
Решить систему:
5
Ответ: а = ~
Решение.
у + - = 2VT,
у ' X
(х2 + 1) у + (у2 + 1) х = 4дсу.
Гдсгу + луг + дс + у = 4ху,
[ху (х + у) + (х + у) - 4*у) = 0.
У *
y/xy+l (VF+ Vp) = 2 vTEy;
366

17. РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
(ху + 1)(х + у + 2 Vx>T) = 8ху;
[ ху = a, \ab + 4 = 4а,
[* + У = 6, j(a+l)(6 + 2V?) = 8a,
, 4a . i 4a
6 = ^ГГ; "+1==Т;
a2 + 2a + 1 = 4a;
a = 1; i= 2; jc = y = 1.
Задача 17,
Решить систему:
\x + Vy~= 56,
]Vx~+y = 56.
Решение.
x + Vy~= V3T+ у; л - у = V3T— Vy;
(V3T- Vy)(VF+ Vy"- 1) = 0.
Задача 18.
Решить систему:
JV(jc - l)2 + y2 + VCx+l^ + y2 =2,
jx2 + y2 - 4x = 0.
Решение.
Ясно, что V(x - l)2 = Ix — II; V(* + l)2 = lx+11.
Заметим, что lx-ll + lx+11^2. А значит, x = у = 0
5= Ijc — II + lx+ II =
- 2*, X6 l-oo;-l),
2, xE[-l;l],
2x, xE [1, co[.
Задача 19.
Решить систему:
[3 V4x + 2y - 5 V2x - у = 2,
7 V4x + 2y + 2 V2x - у = 32.

ШШЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Обозначим V4* + 2у = и; V2x - у = а Имеем:
|3и-5и=2, fa = 4, а =2,
J7u +2^=32, ]х = 3, у = 2,
Задача 20.
Репшть систему:
[д/Зх-2>> л/ 2х _?
i V 2х + V Зх - 2у " А
[4/-1 = Зу(х-1).
Решение.
Очевидно, что х * 0, ^ + ^ = 2. Но ^ = -т-. Значит,
V —~ = 1, откуда х = 2. Подставим 2/ - 3j> + 1 = 0.
31 = 1; У2 =
Задача 21.
Репшть систему:
-
у X 6 '
л: - у = 5»
Решение.
Представим первое уравнение системы i
х2-^ 65
з виде
Vxy~ 6 *
Принимая во внимание, что х - у = 5, получаем
^= = -g-, или 36 (х + у)2 = 169 ху.
Подставив из второго уравнения у = х — 5,
я2 — 5# -- 36 = 0. Окончить самостоятельно.
368

17 РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Задача 22.
Решить систему:
[уСИ-х2) _ 3
У3 (1 + **) _ _351_
Решение.
Разделив второе уравнение на первое, получим
х2 (1 - у2 + у*) 292*
Положим 1 + х2 = мх и 1 + у2 = try. Тоща
1 + х4 = (и2 - 2) х2 и 1 + у4 = {х} - 2) у2.
Подставив в первое данное уравнение и полученное, най-
и 3 и2 - 3 117 _,_ 5 ^ 10
дем - = 4 И"?Г1 = 292' 0ткуда и= ± V и= ±Т' сле"
довательно, 1 + х2 = ± -^ х; 1+у2 = ± -~-у;
х=±2; х = ± j» У=±3; У = ± 3-
Итак, х, = 2; у, = 3; х2 = 2; у2 = -^;
_1 _ч. _1. _1
х3 — 2» Уз — «» *4 ~ 2' ^4 — 3'
*s = ~2! ^5 = -3; х6 = -2; у6 = - д,-
X-j — п,у7— о, Х& — 2> Уз — а*
Задача 23.
Решить систему;
п {У3 = х3 + 2л2 + х,
(1)
(2)
369

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Решим систему 1)
1) Вычтем из первого уравнения второе.
У> - х* = х? + 2x* + x-2f-y;
2yJ + 2/ + y = 2x3 + 2x2 + * о /(у)=/(х);
/(*) = 2Х3 + 2л2 + х; /' (х) = б*2 + 4х + 1 > 0.
Функции возрастают и симметричны. Подставим вместо
у х. Получим:
? = ? + 2л2 + х;
*1,2 = ^' *э = "" ~2
Задача 24.
^ + 2\^?ТГ+/ = 3; (1)
vT+T + x *
(2)
Решение.
Умножим числитель и знаменатель дроби уравнения (2)
на V х2* 1 — х. Полученное уравнение разделим на у, который
тоже отличен от нуля, если входит в решение системы.
Получим — 4- 1 — х + у = 0. Исключим VX + 1 с помощью
уравнения (1).
-т — 2— -Ъ>^*2х — 2у = 3, или
4 + 2х + у*
-»и-
Если - + у = z, то z2 - 2z - 3 = 0, z = -1; z2 = 3.
Уравнение (1) запишем в виде:
К + 2х + А - 2х + 2 VF+T= 3;
370

17. РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
z2 - 2х + 2 Vx2 + 1 = 3.
Если z = -1, то V х2 + 1 = 1 4- х, откуда х = 0. Тогда (2)
дает у, = 0, у, = -1, где у = 0 (не удовл.) (1).
Задача 25.
Решить систему:
М + 1) _ з
х^у2 5'
х^у2 ~ 5-
(1)
(2)
Решение.
Ясно, что если х = 0 или у = 0, то система решений не
имеет. Поэтому мы можем считать, что х *¦ 0 и у Ф 0.
Домножим уравнение (1) на х, а (2) на у.
Тогда система примет вид:
fx^y2*!) _ Зх
5'
хг + у2
/ (х2 - 1) _ 4у
5"
(3)
(4)
х^у2
Вычтем из уравнения (3) уравнение (4). Получим:
х2уг + х2-у2х2+у2 Зх-4у
Систему (1)
х2*/
Зх — 4у =
= 5.
можно переписать в
У*+1
х2 + у2~
х>-1
х2 + уг ~
3
5х'
4
5у'
5
виде:
(*)
(Г)
(2')
Сложим уравнения (Г) и (2').
371

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Получим
х2 + f + 1 - 1 3 4
х2 + у2 " 5х + 5у'
5ху = Ъу + 4х.
(**)
Теперь остается совместно решить систему уравнений
(*) и (**).
ГЗх - Лу = 5, (5)
|5ху = 3;у + 4ж. (6)
Из (5) находим, что х =
5 + 4у
и подставляем в уравнение
(6):
5у(5 + 4у) _ 4(5 + 4у),
3 ~ у 3
25у + 20/ = 9у + 20 + 16у;
20^ = 20; и + 1; % --1.
Подставив значения у в уравнение (5) находим, что
Задача 26.
Решить систему
*
— d; Xg — д.
Ответ:
Xj — з,
* = 1; '
•
Зя + у = 6.
1
л2 - з'.
у2 = -1
Решение.
Очевидно, что х>0, у>0. Применим неравенство Коши.
Ъх + у
чт-
Значит, V9~^2" ^из Данной системы). Однако тоща, как
легко проверить, это неравенство неверно. Следовательно,
данная система не имеет действительных решений*
372

17. РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Задача 27.
Решить систему
%lOx-y + УЗх-у = 3,
2х + у + V3x - у = 5.
Решение*
Обозначим VlOx -у через и, V3* - у = а Получим
„и3-*? За3 -10d> 5м3 - 12^
2х + у = 2 —^— + ^ = ^ ,
и исходная система примет вид:
и + t;= 3; 5w3 - 12i/* + 7t>= 35, или:
5w3 - 12м2 + 65м - 122 = 0;
и = 2; у= 1; * = 2; у = 1.
Задача 28.
При каких действительных значениях параметров а, Ь и
с уравнения
ху — yz = 1 и
аху + #yz + с Vx2 + 1 = V7 + 2 Vx2 + 1 + 2
эквивалентны?
Решение.
Правую часть второго уравнения преобразуем к виду:
V x2 + 2 + 2Vx2 + 1 = Vx2* 1 + 1.
Рассматривая решение (0; 1; -1); (1; 1; 0); (2; 1; 1)
первого уравнения и подставляя их во второе уравнение,
получаем необходимое условие:
Г- ь + с = 2,
\a + cVT= 1 + VI",
2а + b + cVT= 1 + V5~
373

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
для параметров a, b и с, откуда я=1, # = — 1, с=-1.
Подставляя эти значения параметров во второе уравнение,
убеждаемся, что оно будет равносильно первому уравнению:
Ответ: а = 1; Ъ = -1; с = 1.
Задача 29.
Решить систему:
Решение*
Из второго уравнения системы получаем
30* - бху = 5у + Ъху о 9ху = 30* - 5у о
9 х
тх = 6 1 (у * 0 из условия задачи),
о у
Найденное выражение подставляем в первое уравнение
системы, записанное предварительно в виде
f+vl
2
-1
*-Vft"-i
= ix;
hML
У)
1
***=—= 6--1.
-V
л u + Vu2 - 1
Отсюда — = и. Тогда т-= = 6и - 1;
У и — Vu — 1
(ц + У^Т)2
„2_(и2_1) =6"-^
н2 + и2 - 1 + 2uV«2-l = 6м - 1;
374

17 РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
и2 + и Vи2 - 1 - Ъи = 0;
и (и + Va2 - 1 - 3) = 0,
1) и = 0; % = О — не удовлетворяет
2) и = -~, т.е. — = т => У = 3, х = 5.
Ответ: (5; 3).
Задача 30.
Решить в целых числах систему уравнений
Ьх — 5у + 2z = 0,
16х - 17у + 6z = 0.
Решение.
2z
2z
Выражая х л у через z, получим х = — уу и у = -ту,
поэтому z = 11 и а* = - 2* и у = 2г, где t — любое целое число.
Задача 31.
Решить систему:
10
^y + y^x^-q-ix + y)2,
X4 У + / Х = J" (.К + }>)3.
Решение.
Имеем:
10
или
ху(х2 + ^) = ^-(х + ^):
яИ*3+ /) = §(* +у)3,
*у[(* + >>)2-2ху] = ^(х4-у)2,
|*У {(^ + у) [(х + у)2 - Зху» = §(* + У)3
Сделаем замну: * + у = z; ху = *, тогда
375

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
9 , или
Эта система равносильна совокупности двух систем:
\z = 0,
а)
б)
*(z -20 = -q-z,
*(z2-30=|z3,
a) z1 = 0, *, = <) и б) ^rf = f; '^^
Ответ: (0; 0); (-2; -1); (-1; -2); (1; 2); (2; 1).
Задача 32.
Решить систему:
Решение.
Имеем:
х = у3 - Ъу,
- = Зх - х3.
Гу5 = х + Зу,
[х3 = Зх - у.
1) х = у = 0;
2) Пусть х * 0; у * 0. Положим y—tx. Тоща
3? _ х + Зу _ 1+3*_ ,
х3 ~ Зх - у " "3^7 ~ f *
Отсюда
^-3^ + 3*+1 = 0, или (f-lf- 3t(f-l) + 2^ = 0.
376

17. РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Следовательно, ? - 1 = —ту—,
Задача 33,
х4 + х? + х* + х+1=0.
Доказать: xf1 + х5гп + х5гп + х54п = 4, ще х — корень.
Решение.
Домножим на х— 1:
(х - 1)(** + ? + х? + х + 1) = 0; я5 - 1 = 0.
Итак, х = vT, или д: = 1. Окончить самостоятельно.
Задача 34.
х х2 хъ
Решить уравнение — + -т- Н— = йс,
а о с
где аб2 + 1 = 0, аЪс Ф 0.
Решение.
Умножим на аЪс:
Ъсх + ас*2 + а&к3 = affc?.
Так как ай2 = -1, то уравнение запишется:
йсх + асх2 + abtf + с2 = 0; или
с (Ъх + с) + ал2 (с + &с) = 0;
(Ьх + с){ш? + с) = 0;
хх = — т = а#с.
Ясно, что а<0. Если с>0, то получим еще два
действительных корня:
377
а- *'

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ КНИГА I
Задача 35.
\х уГх+ у Vy~= 341,
\xVJ+yyfx = 330.
xl = 25; у{ = 36; х2 = 36; у2 = 25.
Указание.
Второе уравнение умножим на 3 и сложим с первым,
получим куб суммы чисел Vx~ и Vy~, а левая часть первого
уравнения — сумма кубов этих чисел. Окончить
самостоятельно.
Задача 36.
1/2 1/2
А , (у\ _ j _ 61
,у) +(х) А (*у;Г
^/4у/4+^/4;с1/4 = 78>
Из первого уравнения:
x + y-(xy)U2 = 6l. (1)
Из второго х/А Ум (Z2 + У/2) = 78, или
Возведя это уравнение в квадрат, найдем
х + у + 2J12 /2 = 782 х-112 у-'12. (2)
Вычтя из уравнения (2) уравнение (1), получим
3 (ху?2 = 782 x~U2 >г1/2 - 61, откуда
(xyf2 = 36 или (xyf12 = -у?0;
^ = 81, ^ = 16; х2=16, y2 = 8L
Задача 37.
Решить систему:
IV = ЗЪс2 - 4/,
W = 31y2-4x2.
378

17. РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Решение.
* 31-44'
Т
Положив — = t, получим
31*2 - 4
t = 31 _ Af, или 31<* (i - 1) = 4 С*5 - 1), откуда
«-1-0, (1)
или 31*2 - 4 (** + t + f + 1) = 0. (2)
Из уравнения (1) t = 1; х, = yt — 0; х2 = у2 = 27.
Из уравнения (2) 4 [^+ -д| + 4 If+ —1 =27, откуда
4 = 2; f2 = i; *, = (-7±V3T);
4 7
Х3 = 31 - j = 30; х4 = 15; х56 = ^ (3 ± V33~);
^ = 31 - 4f = 15; у4 = 30; у„ = \ (3 ± V33T).
Задача 38.
^1 + Х + *2 31^
'l+y + y2 ~ 7'
>1 + у + х2 23
il+x + y* " W
Решение.
Рассматривая каждое уравнение как пропорцию, составим
производные пропорции. Получим
2 + x + y + x* + f _ 19
Ix^yK* + у + 1) " 12;
г + х + у + ^ + у* _ 19
(х-у)(х + у-1) " 4'
379

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Разделив одно из полученных уравнений на другое, по-
лучим ———j-j = д-, откуда х + у = 2 или у = 2 - х.
Подставив 2-х вместо у в первое данное уравнение,
получим: 4#2 — 27* + 35 = О, откуда
^1 = 5их2 = ^, тогда yt = -3, у2 = ^
Задача 39.
U = 31л? - 4/,
Решить систему: |^3 = ^ _ 4^
Решение.
Очевидно, что, х{ = у? = 0. Разделим первое уравнение на
второе при х^ 0; yt * 0. Получим:
х2
31 4
f
^ = 1г=ТР иди 31* (<-1) = 4(^-1),
откуда * - 1 = 0;
3l? = 4(? + ? + ? + t+l); (4)
^1 = ^1 = 0, у2 = х2 = 22.
(2): 4^ + Й + 4 (' + 7) =2;
^ = 2; *2 = {; ^4 = ^(-7±V3T).
Задача 40.
Решить систему:
f х = )? - Зу,
у = 3* - х3.
380

17. РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Решение.
Имеем:
1) х = у = 0;
2) х*0; у* 0.
Ы = х+3у,
I л3 = Зх - у.
ТТ , m л У3 Х+ЗУ 1+3* 3
Положим у = tx. Тогда t = -^ = ^ -_ = g_^ = г.
Отсюда t - 3f + 3t + 1 = 0;
(<2-l)2-3<(f-l) + 2<2 = 0;
3t ± ?
^ e —«—» f = 1 ± V2T Окончить самостоятельно.
Задача 41.
Решить систему:
Г у2 = х3 - Зх2 + 2х,
|^ = у> _ з/ + 2у.
Решение,
Вычтем из первого уравнения второе:
у2 - д2 = х3 - у3 - Зх2 - Зу2 + 2х + 2у, или
3? - If + 2у = х3 - Зх2 + 2х.
Обозначим /(у) и /(х) соответственно левую и правую
части уравнения. Получим /(у) = /(х).
Покажем, что /(х) (следовательно, и /(у)) —
возрастающая функция. Действительно, /'(х)>0. Имеем:
у = х и х3 — 4Х2 + 2х = 0.
*2 = 0; у2 = 0;
*> = 2 + VT; y3 = 2 + V2T
Xj = 2 - VT; у, = 2 - VT.
381

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ КНИГА 1
Задача 42.
Решить систему:
л:
ху = а,
У
У 1
ху - - = -
х а
Решение.
Очевидно, что х * О, у Ф 0. Перемножим данные
уравнения.
xV-^-^O, шшху- fe + j] =0.
Сложим данные уравнения.
2xy-f*+^=a + I
и, следовательно, ху = а + —. Тогда из данных уравнений
х 1
найдем — = — Перемножим последние уравнения, найдем
у ч
xl2 te ± — У а2 + 1, а разделив одно уравнение на другое,
yi2 = ± Vfl?+1.
Задача 43.
JV35T+ V(l - х)(1 - у) = а,
jVx(l-y) 4- Vy(l-x) = 6.
Решение.
Замена: и = Vxy", t>= V(l — х)(1 - у), тогда
?/* = 1 - (х + 1) + лгу, откуда х + у=1 + и2-г/\
Возводя в квадрат второе уравнение системы, получим
(и — vf = 1 - й2. Итак, задача сводится к решению системы
уравнений: и + у = а, (и — и)2 = 1 - Ъ2.
382

17. РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Задача 44.
Решить систему:
У(1 + Х2) = 3
f (1 + jc4) _9_
х2 (1 + У4) 4Г
Решение.
¦у
Очевидно, что х * 0; у * 0. Замена ху = и; — = а, тогда
^ = —; у2 = игл Подставив эти значения в данное уравнение,
V1 '
получим:
откуда
u + v 3 и2 + г? 9
1 + uv~ 5 и 1 -f u2rf~41>
з
и + v=-=(l + uv),
..2 i J. 9 /1 . о J\
(1)
(2)
" ^ ^ - 41 v ;#
Возведем в квадрат обе части уравнения (1) и вычтем
уравнение (2), получим
ч 144 18 , 144 2 ,
9а21?- 82*го+ 9 = 0;
uv= 9 и ыи = д^;
и, = q = 3, гг2 = u> = ^;
х= ± 1; у= ±3 и х= 1; ±3,
383

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА \
Задача 45.
Решить систему:
*У + 2у = у,
А*
ху
Решение.
Очевидно, что х * 0; у * 0. Сделаем подстановку
х
xy = z; — = L Выполняя почленное деление этих равенств,
получим:
f = | и х2 = Z*.
Исходная система примет вид:
f z + 24 = ** z,
I z*2 - б*2 = z.
Решая эту систему, получим:
\t, = - 2, Г*2 = 2,
z1 = 8, jz2 = 8.
^ и t2 — вещественных решений не дают.
Воспользовавшись г2 = 2, z2 = 8, получим
f*>> = 8, fa =-4,
= 2, |У1 = -2,
Задача 46.
Решить систему:
х2 = 4,
У2 = 2.
xy+^(l-x*)(l-y>) = а,
384

17 РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Решение.
Из первого уравнения: V (1 - х2)(1 - /) = а - ху. Возведя
в квадрат, найдем х2 + у2 = 1 + 2аху — а2.
Возведя в квадрат второе уравнение, найдем
х2 + у2 - 2?f + 2ху V(l - д?)(1 - f) = 1-й2, или
1 + 2а*у - а2 - 2л2 f + 2ху (а - ху) = 1 - б2, или
4Х2 у2 - 4аху + я? = А2, или (2ху - а)2 = й2;
2ху - а = ± й; х2 + f = 1 ± ab.
Из двух последних уравнений
* + y=±V(l + a)(l ±й) и х-у = ±V(1 -a)(l ±й).
Задача 47.
Решить систему;
Решение.
— + ху = о2,
? + ху = й2-
х*0; у*0; а-й*0;
^(^ + ^) = о2,
^(^2 + у2) = й2,
У8
Й2'
а
и*
Так как — >0, получаем:
Гай>0,
\х _ а
\y~v
х2 + у2 = аЪ,
а)
ай<0,
х _ _ a
У" ft1
х2 + / =
об,
385

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Ответ: а) х, = ± а V -= , ?
U2 а2 + Ь2
б) xl2 = ±a\-f~,
а + о
Задача 48.
Решить систему:
Jx2 + yVxy~=420,
[y2 + xV3o^=280.
Решение.
. , V db
а + о
х* + уУху _ 420 _ 3 Ух~(хУх~+уУу) _ 3
f + xV^T" 280 - 2' шш ^/y(yVy + хV3T) " 2'
откуда
V* = §; х = ^; х=18; у=8.
Задача 49.
Решить систему:
Г х3 = 5х + у,
[3? = х + 5у.
Решение.
Складывая и вычитая уравнения, получим:
fa? + 3? = 6(x + y), wjm f(x + y)(x2~xy + y2-6) = 0,
|лз.3? = 4(х-у), |(х-у)(х2 + ху + у2-4) = 0.
|jc - у = 0, (1) {^ + ^ + /-4 = 0, (2)
Jx2-xy + /-6 = 0, п. Jx2-xy + /-6 = 05 4
{х-у = 0, w' |х2 + ху + у2~4 = 0. w
Из системы уравнений (1) получаем решения хх = 0,
у, = 0, Чтобы решить систему уравнений (2), нужно найти
386

17. РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
из первого уравнения у, т.е. у = — х, подставляя его во второе
уравнение, получим х — х2 + х2 — 4 = 0, т.е. х2 = 2; у2 = —2,...
(9 решений).
Задача 50.
Решить систему:
[я2 — xVxy~= 8,
[/-yV3cy"= - 1.
Решение.
Очевидно, что решения данной системы должны удов-
х
летворять условие у Ф 0. Замена — = L Тогда х = yt. Это
значение х подставляем в оба уравнения системы:
2 гтт * или
y^-ylyl *VT=8,
(1)
а) Найдем все решения, которые удовлетворяют условию
х — у > 0. При таких значениях jc и у имеем:
V*2- v2 I
* + ? v_ =6, или ^-/-Vx2-y2-6 = 0,
откуда, поскольку V^ -3? > 0, V*2 - у2 = Зил?-/ = 9,
Потому при я - у > 0 данная система уравнений
эквивалентна такой системе
б)
|ху=20,
*>-? = %
ху = 20,
^ = 5; yt = 4.
при условии х — у < 0,
= - VVTO~+~2^ у2 = - VV30?
3R7

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА \
Задача 51.
Решить систему:
1^ = 3^-2^ + 2^
J*4 + у4 = 2.
Решение.
Имеем:
д?-1 = (у-1)(3?-у+1);
у>1 => **>! => х4 + уА>2;
0^у<1 => ^<1 => л4 + /<2;
у<0 => л2 = з?^2у2 + 2у<0.
Задача 52.
Решить систему:
<
x-yV7^f
Vl-^ + y* ~ '
y-xVx2-/ 7
Vl-x2*}? " 4-
Решение.
Возведем каждое уравнение в квадрат и вычтем одно из
2 2 15
другого. Получим х — у = -jg. Теперь для нахождения х и
у будем иметь систему:
х-у-
VT5~_ J_
~ 2'
VT3" 7
Ответ: [8+|vijj; (7 + 2VTF).
388

17. РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Задача 53.
Решить систему уравнений
2,3
I
V
= JL
2х-у х-2у 18'
2х — у х — 2у
2 1
Решение.
Обозначим
1
через и и
1
2х - у ™*~ " " х - 2у
обозначениях данная система имеет вид
через v. В новых
2u + 3v =
2и — v =
1
18*
Решая эту систему линейных относительно и и v урав-
1 1 „
нении, находим и = -ту, t;= <г. Этим доказано, что все решения
данной системы удовлетворяют равенствам
\2х - у = 12,
|х-2у=9.
Этим равенствам удовлетворяет единственная пара чисел:
Xj = 5 и з\ = -2. Подставляя найденные числа в исходную
систему, убеждаемся, что они дают решение.
Ответ: х = 5, у = -2.
Задача 54.
Решить систему уравнений
\? + Ъху + у* = а,
# + у = ху.
Указать те значения а, при которых система уравнений
имеет действительные решения.
389

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Обозначив х + у через t й заметив, что
х3 + у3 = (х + у)3 - Зху (х + з>),. запишем первое уравнение в
виде
t - 3? + 3* - 1 = а - 1, или (Г - I)3 = а - 1.
Отсюда t = Va- 1 + 1 и числа х и у являются корнями
квадратного уравнения
z2 - (fo^T+ 1) z + (\^ПГ+ 1) = 0.
Это уравнение имеет действительные корни при а^Ои
при а > 28. Теперь легко найти и действительные решения
системы.
Задача 55.
Решить систему:
I пх1 ~ х2 х$ = х4 х5 — Х6 Xj = ttl Xg, -
txj 4- x> = x3 + x4 = xs + x6 = x7 + xg = m + n,' щ m' n
Решение.
Система имеет очевидное положительное решение
Л« """" Л^ ~~~ "^ """" "7 """" '
•*2 = **4 = Х6 = Х& = П*
Покажем, что других положительных решений система
не имеет. Действительно, пусть хх<т, тоща х2>п
(х1 + х2 = т + п) и хг < т (так как х2 • л^ = пх1 < тп).
Аналогично, х4>/г, х5<ть х6>п, х1<т> х8>п, нох8=—<л, что
противоречит предыдущему неравенству. Точно так же
приходим к противоречию, предположив, что х1 > т.
390

17. РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Применение систем для решения
уравнений
Задача 1. Решить уравнение:
Vx + 2 - Vx - а + 2 = 1.
Решение.
Введем новые неизвестные
\и = Vx + 2 ^0, о 2
и исходное уравнение принимает вид: и-и=1. Имеем,
таким образом,
[и — v= 1,
и2 - х? = а,
fw — а= 1,
1 и + v = а,
и = (а 4- 1) • 2> t; = (а - 1) • -^
Итак, <
VxTT= (а + 1) • -| > 0,
Vx-a + 2 =-у(а-1) >0.
Ответ: х = ^-~2~-^" " 2>
при а ^ 1, при а< 1, решений нет»
Задача 2. Решить уравнение:
V2-x + Vx- 1 = 1.
Решение.
и = V2-x; i/ = Vx- 1 s* 0. Тогда
V + ^-i. a)
1и + a = 1.
Следовательно, иг + и2 - 2и = 0, откуда w е {0; 1; -2},
так что система (1) имеет 3 решения: (0; 1); (1; 0); (-2; 3),
после чего находим.
Ответ: 2; 1; 10.
391

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА !
Задача 3. Решить уравнение:
hi - х + yfx - 15 = 4.
Решение.
Замена: y/W^T- оОи V* - 15 = и* 0.
if++/==4,82' uA + zf = <16 ~ 2"°)2 " 2м2 *
Г = uv, (16 - 2*)2 - 2? = 82;
? = 29 или i = 3, значит,
{«о =29, ш 3>
{i,+.°3:4'a;3);(3;l).
Ответ: 16; 96.
Задача 4. Решить уравнение:
Решение.
-=и>0, V-^—^- = i;>0,
Замена: Vx^TT^ и ^ 0, V = и > 0, так что
х
и — и=1, х = и2 — 1; х => 2• Значит,
1 - а
(rf-iX* -i) = -i.
Итак, и и о удовлетворяют системе
(и - и= 1,
\и2 а2 - и2 - г? + 2 = 0.
Перепишем второе уравнение:
(и • о)2 - (и - v)2 -2м+2 = 0.
Так как и - v = 1, приходим к уравнению
(u-vf-2uv+l=0,
392

17 РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
откуда и • v= 1, Пришли к системе
и • и = 1; и - о= 1,
1+V3-* -1+V3T
и =—~—; ?>= ~ :
Ответ: х =
1+V3"
Задача 5« Решить уравнение:
V7TT+v^T=
**
Решение.
лГ х2
Положим
[ *г2 - t? = ;с* - х,
^ 0. Тоща
или х (и - v) = х (х - 1).
1и + и= х,
Так как х ^ 0, то и и и удовлетворяют системе
[и - о= я— 1,
I и + v = #,
о <
1
1
Любое из равенств последней системы приводит к
уравнению Ах3 — х2 - 28 = 0.
Заметим, что х = 2 является корнем этого уравнения:
4*3 - л2 - 28 = 4*3 - 8л2 + 7Х2 - 14л: +
+ 14х - 28 = (х - 2Х4*2 + 7х + 14).
Значит, л = 2 — решение данного уравнения, так как
Ах2 + 1х + 14 * 0.
393

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Однородные уравнения и системы
Многочлен / (и, v) от двух переменных называют
однородным многочленом степени /г, если все его одночлены имею
степень п. Например, /(w, v) = 2и2 - 7uv+ 9г? — однородный
многочлен второй степени, a /(ы, v) = и — 15и2 v+ 5v —
третьей.
Задача 6.
Дать геометрическую интерпретацию однородного
уравнения с двумя неизвестными
/(-*, у) = Ц,*1 + а^у + ... + *n-^~~2f + — + **У = °- (1)
Будем считать, что а^ *> 0.
Решение.
В множество (1) входит начало координат О (0; 0). Если
Oq = 0, то у = 0 — ось абсцисс.
Разделим обе части уравнения (1) на /, мы получим
уравнение
a0f + aif-i + ... + ап_{ t+an = 0. (2)
Корни 2р t2>..., tn — уравнение (2) определяют прямые
xt = t{y, х2 =t2y, Х5 = ^у,..., хк~ tky> проходящие через
начало координат: tt = —1; t2 = —1; ^ = 2
Задача 7.
Решить уравнение
Решение.
„ х-2 х+2 „,
Замена: —гт — «> г = «* Тоща
*+ 1 ' ж— 1
20м2-5^ + 48^=0.
394

17 РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Замена: — = t (с проверкой, что и*ич*0). Получаем
20?2 + 48г - 5 = 0; t = - |; t2 = jq.
2
Для tx -> 0; 72 -> дс, = 3; х2 = ^
Задача 8.
Решить уравнение
2 (х2 + х + I)2 - 7 (х - I)2 = 13 (х3 - 1).
Решение.
Положим и = х - 1, и = х2 + х 4- 1. Тогда уравнение
примет вид 2о2 - 7 и2 = I3uv. В случае о= и = 0 — решений нет.
Разделим обе части уравнения на d2 и введем новое
неизвестное t = —, получим уравнение 7г + 13* — 2 = 0,
Xj = Z5 х2 == 45 Хз = 15 «^4 =: "о*
Задача 9.
Решить уравнение х2 + 2х + 15 = 2xV2x + 15.
Решение.
Введем неизвестное: u = V2x + 15, Получим однородное
уравнение х2 4- и2 = 2хы.
Ответ: х = 5.
Задача 10.
Решить уравнение 2 Vx + 1 - Vx - 1 = Vх2 - 1.
Решение.
Если положить и = х +1, у= х - 1, то получится
уравнение однородное, степени -ц. Поэтому
395

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
а) и = Vx + 1, v = Vx - 1, если х ^ 1.
б) и = V- х - 1, v= v — х + 1, если х ^ -1
В первом случае приходим к уравнению
2и2
uv-
^ = 0,
откуда It - 1 - 1 = 0 на промежутке х ^ 1 - 0.
Во втором случае (при х ^ -1)
65
-2а2 - uv+ ^ = 0; х=-
63'
Задача 12.
[Зх2 - 2ху - / = 0,
(х2 + 5у = 6.
Первое уравнение системы — однородное степени 2.
1
Решить систему
* = ?, 3^-2*-1=0, ^=1; ^2 = -з*
Т.о., либо у = х, у = -Зх. Подставляя во второе
уравнение, получим
х{ = yt = 1, *2 = У2 = -6;
15 ± УЖ"; -45 ± V7W
Х3,4 ~" 9 * ^3,4 *~ 9
Задача 12.
Решить систему уравнений
Решение.
Зх2 - -уу *У + 3/ = 50,
х2 + у2 = 25.
Умножим второе уравнение системы на 2 и вычтем его
из Первого.
1*-^2*У + Г = 0,
[х2 + у2 = 25.
х 3 4
Из первого уравнения: * = —. Имеем: t{ = -т; t2 = -~.
396

17. РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Подставляя x = -jy и х = -~у, во втором уравнении
находим х# = ± 3; уи2= ± 4; хгА = ± 4; у34 = ± 3,
Задача 13.
Решить уравнение 4х = 2 • 14х + 3 • 49х.
Решение.
2х = и; T = v (и>0; г»0), и2 - 2*ш-Зг? = 0.
а) — = -1 — не подходит;
v
6)^ = 3; (ff = 3, * = log|3.

18. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ С ТРЕМЯ
НЕИЗВЕСТНЫМИ
Задача 1.
Решить систему уравнений:
\х + у + z = 4,
\х + 2у + 3z = 5,
[л2 + у1 + z2 = 14.
Решение.
Вычитаем из второго уравнения первое. Получим
у + 2z = 1. Отсюда у = 1 - 2z. Подставляем это значение у в
первое уравнение, находим х = z + 3. Подставляем найденные
значения хиув третье уравнение, получим 3z2 + z — 2 = 0.
2
Корни его Zj = -5- и z2 = — 1. Подставляя значение z в уравнения
x = z + 3n;y=l-2z, найдем по два значения х та. у:
1ч 11 12
2) х = 2; >>= 3; z= -1.
Задача 2.
Решить систему уравнений:
[_ х + у + z _ х — у + z _ х + у- z
a " 6 " с '
[.vyz = m2.
Решение.
Пусть — х + у + z = at, тоща
х — J + Z = feH я + у — z = сг.
Из этих уравнений:
2z = (a+fi)*; 2y(a + c)t; 2x = (b + c)t,
откуда %yxz = (a + b)(a + c)(b + c) f, или (y*z = m)
8m3 = (a + й)(а + с)(й + с) **,
398

18. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
откуда t = *у/ , ,w , wv , ч ¦ Тоща
у {а + Ь)[а + с)(Ь + с)
_ Ъ + с _ т(Ь + с)
Х~~1Г*-]/(а + Ь)(а + с)(Ь + сУ
т(а + с) т(а + Ь\
У = . и z =
V(a + &)(а + с)(Ь + с) V(a + Ъ){а + с)(? + с)
Задача 3.
Решить систему уравнений:
\ху = Z2,
jx + y + z = 7,
[я2 + у2 + ** = 21.
Решение.
Имеем х + у = 7 - z, откуда х2+ 2ху + у2= 49 — 14z + z2,
но о? + у2 = 21 — z2, xy = z2, а потому получим:
21 - z2 + 2Z2 = 49 - 14z + z2,
откуда z =¦ 2. Следовательно, х + у = 5 и ху = 4, откуда
х1== 1; х2 = 4; у, = 4; у2 = 1.
Задача 4.
Решить систему уравнений:
f х - z = у2,
|x2-z2 = 3/,
I з? + Зу + х + z = 26.
Решение.
Если у1 = 0, то х1 = z, = 13. Считая у ^ 0, разделим второе
уравнение на первое: х + z = 3j^.
Найденное значение # + у подставим в третье уравнение:
у5 + Зу2 + Зу = 26.
399

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Прибавим к левой и правой частям уравнения по 1:
у* + Зу2 + Зу + 1 = 27; (у + I)3 = 27.
Таким образом, имеем у + 1 = 3; у2 = 2.
Подставим в данные уравнения у2 = 2, найдем
х - z *= 4,
* + z = 12,
откуда я2 = 8; z2 = 4.
Ответ: yt = 0; х2 = zt = 13; у2 = 2; х2 = 8; z2 = 4*
Задача 5.
Решить систему уравнений
[я + у + z = 13,
b2 + y2 + z2 = 61,
|ху + *z = 2yz.
Решение.
Возводим первое уравнений в квадрат, вычитаем второе»
Получаем ху + xz + yz = 54.
Учитывая третье уравнение, можно заменить первые два
слагаемые на 2yz. Получаем 3yz = 54, т.е.
yz = 18. (1)
Теперь третье уравнение можно записать в виде
ху + xz = 2 • 18, т.е.
x(y + z) = 36. (2)
А так как первое уравнение имеет вид
х + (у 4- z) = 13,
то из уравнений (2) и (3) можно найти х и у + z. Получаем
U = 9, \х = 4,
|y + z = 4 ™ |y + z = 9.
Чтобы найти у и z, воспользуемся уравнением (1).
Получим две системы:
400

18. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
fy + z = 4, fy + z = 9,
jyz=18, И |yz= 18.
Итак, л: = 4, у = 6, z = 3; л: = 4, у = 3, z = 6.
Задача 6.
Решить систему
(х2 + / = 22,
Ьеу + yz + гх = 47,
}(*-*)(*-у) = 2.
Решение.
Третье уравнение представим в виде
z2 — xz — yz 4- ху = 2.
Сложив его со вторым, получим z2 + 2ху = 49. Отсюда
z = 49 - 2ху. Подставляем это выражение в первое
уравнение. Получим (х + у)2 = 49, а значит, х + у = ± 7. Рассмотрим
сначала х + у = 7.
Представим второе уравнение в виде
ху + z (х 4- у) = 47.
49-z2
Подставим в это выражение ху = —~— и х + у = 7.
Получаем z2 - 14z + 45 = 0. Отсюда zt = 5 и z2 = 9.
49-z2
Если z = 5, то ху = —^— = 12; если же z = 9, то
49 - z2
ху = —?=— = - 16. Имеем две системы:
|*у=12, и
х + )> = 7(
ху = - 16.
Всего получаем четыре решения:
1) х = 3, у = 4, 2 = 5;
2) х = 4, у = 3, z = 5;
а. 7 + ЛТГ 7-VTTT
3) х = т , у = = , z = 9;
401

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
7-VTT3" 7 + VTTT
4) х = 2 > У = 2 ' z
Теперь положим х + у = — 7 и тем же способом найдем
еще четыре решения.
Ответ: 1) х = 3; у = 4, z = 5;
2) х = 4, у = 3, z = 5;
7 + VTT3" 7-VTTT п
3) х= j У = 2 ' z = ;
7-VTT3" 7 + vTTT
4) х= j ^ = 2 ' z '
5) х = —3, у = —4, z = —5;
6) х=-4? у=-3, z=-5;
-7+VTTT -7-VTTT
7) х= 2 У = 2 ' z = " ;
-7 + VTO" ft
, z = - 9.
8)
-7-VTT3"
х 2, у-
Задача 7.
Решить систему:
xfz + Ь?у - Iz2,
xz + fz2 = 6хУ,
y*z-xy6z2 = 2&
_ -7
(1)
(2)
(3)
Решение.
Подставляем 6х2у = 2z2 — xj4z во второе уравнение.
Получим xz = yz2 = 2zV — ху1** xz — zV + xy7z = 0,
откуда z (х - zy + ху7) = 0.
При z = 0, х = 0, у = а, ще а G Л.
При х — zy3 = лгу7 = 0 имеем zf = jc + лгу7;
z =
* + *У7 (*)
402

18. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Подставив это выражение во второе уравнение, получим:
х(х + х?) У (х + хуУ _ , .
у* + ys oxr у'
х2 + х2 / + х2 + 2xV + л2 У4 - 6xV = 0;
1 + / + 1 + 2/ + У4 - 6/ = 0;
2 - 3/ + У4 = 0.
Замена: / = t, ? -3t + 2 = 0,
t, = 2, yj = 2, У1 = 21П;
h = 1, Уг = 1, У2= I-
Подставим у, = 21/7 в выражение (*), получим
_ х + 21/7 х
z 2377 '
подставляем в уравнение (3):
2 ' х Г57т \ — хг • дг г^т? = 2дг,
2з/т J Л Л |^ 23/7
откуда Л2 (1 + 2177)2 + 2х - (1 + 21/7) = 0, откуда
«ie
-1 + VT
(Г
z, = -
+ (1 + 21/7)3
+ г177)2 '
_ -1-Vl + (1 +
*2 (1 + 21/7)2
-1 + VI + (1 + 21/7)3 (1 + 2й7) _
(1+21'7)2 ' 23/7
_ -1 + VI + (1 + 2"7)3
23/7 (1 + 21Л)
"г577)5"
-1-У1 + (1 + 2"7)3
22 = 2Р" (1 + 21/7)
403

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 9.
Решить систему
^ + 3? + * = -*-,
ху
f-f + Х^З-
yz*
*-*?+]> = —.
J zx
Решение.
Ясно, что xyz * О, (1)
Складывая все три уравнения системы, получим
л_ _!_ 8 ^ 8 . 8 8 (х + у + z)
x + y + z = — + — + — = —-* - -,
J ху yz zx xyz
откуда
1) x + у + z = 0; (2)
2) xyz = 8. (3)
Рассмотрим уравнение (2), Разделим первое уравнение
исходной системы на z, второе на х и приравняем левые
части полученных уравнений:
; = z ' откуда
(х - у)(х + у) _ (У - z)(y + z)
z - х
и в силу (2)
(х-у)(-*) ... &-*)(-*)
Z " X
т.е. х — у = у - z или я + у + z = Зу, у = 0, что противоречит
условию (1). Т.е. в случае (2) исходная система не имеет
решений.
Пусть имеет место (3). Тогда из первых двух уравнений
исходной системы получаем
х^у2, f = *. (4)
Репшв систему (3)-(4), найдем четыре действительных
решения.
Ответ: (2; 2; 2); (2; -; -2); (-2; 2; -2); (-2; -2; 2).
404

18. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Задача 10.
Решить систему
|У - 9Х2 + 27* - 27 = 0,
iz3-9^ + 27y-27 = 0,
[х3 - 9Z2 + 27z - 27 = 0.
Решение.
Если ввести обозначение f(t) = f2 - 3t 4- 3, то систему
можно переписать в виде:
у» = 9/(*), i» = 9/(y), a?=/(z).
Первое решение. Функция у = / (0 принимает наименьшее
3 3
значение, равное j, в точке .* = w. Поэтому если (х0, у0, z0) —
решение данной системы, то
3 .27 , ^ 27 < .27
3§>-4"» 4*Т> *о*Т#
27 /Я\3 Я Я Я
Поскольку "Х"> (т) » т0 XQ>T Уо>Т Zq>T В области
3
^"о Функция f(t) монотонно возрастает. Таким образом,
если (я0, у0, z0) — решение данной системы, то все три числа
х0, у0, z0 лежат в области монотонного возрастания функции
f(t). Рассмотрим два случая.
3 3
1) Пусть х0>у0. Так как ^0>2 и Уо>т то
f(x0) >f(y0). Из первых двух уравнений системы получаем,
3 3 3 3
что у0 > z0, т.е. у0 > z0. Так как У0>7 и zb>2' то отсюда
следует, что /(у0) ^/(z0) или z* 2* 4» т-е- 2о * *<>•
Итак, ползучим цепочку, неравенств я0 ^ у0 > z0 ^ х0,
которая означает, что х0 = у0 = z0.
3 3
2) Пусть х0^у0. Так как х^>-^ и У0>2' т0
/(*о) ^/(?<>)• Подобно первому случаю, находим, что )? ^ z*
405

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
или %^z0. Отсюда следует, что /O0)^/(zo) и*11 4 ^ *о>
z0 ^ х0. Опять получаем, что х0 = у0 = z0.
Итак, показано, что любое решение системы (х0, yQ, zQ)
таково, что х0 = у0 = z0. Поскольку любое решение системы
(х0, у0, z0) должно превращать все уравнения системы в верные
числовые равенства, то, полагая xQ = yQ = z0 = *0, получаем,
что все уравнения системы превратились в одно при и то же
равенство (*0 - З)3 = 0, которое справедливо только при одном
значении *0, а именно, при tQ = 3. Значит, система имеет
единственное решение (3; 3; 3).
Второе решение. Так как квадратный трехчлен
f - Zt + 3 положителен при всех U то для любого решения
(х0, у0, z0) данной системы получаем, что у0>0, z^X), х\>0,
или х0>0, у0>О, z0>0. Складывая все три уравнения,
находим, что
Возможны два случая: х0^3их0<3.
1) Если х0 > 3, то из последнего уравнения системы
находим, что 9z* - 27z0 > 0, Так как z0 > 0, то отсюда получаем,
что z0 ^ 3» Из второго уравнения получаем теперь, что
9yQ - 27у0 ^ 0, откуда у0 ** 3. Из (1) теперь следует, что
х0 = у0 = z0 = 3. Итак, если (х0, у0, z0) решение системы, то
х0 = у0 = z0 = 3. Проверкой убеждаемся, что действительно
(3; 3; 3) есть решение системы.
2) Если х0 < 3, то подобно первому случаю, находим, что
z0 < 3. Затем из второго уравнения получаем, что у0 < 3. Итак,
в этом случае одновременно х0 < 3, у0< 3, z0 < 3, что
противоречит равенству (1). Значит, доказано, что данная система
имеет единственное решение х0 = yQ = z0 = 3.
Ответ: (3; 3; 3).
406

18. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Задача 11.
Решить систему
х2 - х*х - If z3 = О,
х2 + 2ху + 18У22 = О,
4f + 6xy + 2x?z = 9x2?.
Решение.
1) Ясно, что х = 0, у = 0, z = О,
*i = 0, ^ = 0, zt = с (сеЛ),
2) х*0, у* 0, z*0.
Домножим второе и третье уравнение: на х и 2у
соответственно.
[4x2j>+4x2y2z + 8y,z3:=0,
х2 + 2Х2 у + 18^ = О,
8/ + 12х/ + 4л? yz - 18XV22 = 0.
Сложим:
Далее
(л? + бх2^ + 12х/ + 8у>) - 8yV = О,
(х + 2yf = (2;yz)3; x + 2y = 2;yz.
x + 2j> = 2yz; fl-z=-^V
Теперь
Ifz _ _х_
* ~ 2?
_18у? =
2yz,
х + 2у = 2yz,
6yz = X,
х + 2у = 2;yz,
fx = - V3~yz,
x = - 9z,
x + 2y = 2yz,
1=^3>; -9z + 9^r=9^2"z;
407

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
X =
-9vT
-^?=-+1
У =
^г
z = •
\/2~+г
Задача 12.
Решить систему
f 4л2 + у2 + z2 - 6 = О,
: 16*» + у5 + 1? - 12 = О,
164x4 4- у* + 4z4 - 24 = О.
Решение.
Домножим три уравнения соответственно на 4; -4; 1.
Получим
[ 16*2 + 4У2 + 4Z2 - 24 = О,
+ | - 64л3 - 4/ - 8Z3 + 48 = О,
164** + / + 4z4 - 24 = О,
64л2 (х-Й +y2(y-2)2 + 4z2(z-l)2 = 0.
Полученное уравнение имеет восемь решений
(0;0;0); tt;0}0J; (0;2;0);
(0; 0; 1); U; 2; oj; U; 0; 1 j; (0; 2; 1); U; 2; A,
, что дай
Проверкой устанавливаем, что данной системе
удовлетворяет единственное решение
Задача 13.
Решить систему
[ х + у = 5,
*z + уи = 7,
x^ + yw^ll,
аи? + уиг = 19.
408

18. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Решение.
Умножив второе и третье уравнение на z + щ получим
после преобразований:
xz2 + уи2 + zu(x + y) = l (z + и)\
х? + уиъ + zu (xz + уи) = 11 (z + w),
откуда, учитывая условие, имеем
7 (z + u)-5zw = 11;
ll(z + w) + 7zw = 19;
Jz + и = 3,
i zw = 2,
Ответ: Xj = 3; ^ = 2; Zj = l; ^ = 2;
*2 = 2; У2 = 3; z2 = 2; % = !•
409

Глава V. НЕРАВЕНСТВА
19. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Задача 1.
Решить неравенство
(х + 2)(р? - х)(3х + IX*2 + х + 1)(7 - Ах) < 0.
Решение.
Поскольку х + х + 1 > 0 при; любых х, то данное
неравенство эквивалентно неравенству
(х + 2)х(х-1) (* + -й (*~5) >0-
Применяя метод интервалов, получим
-2<х<--|, 0<х<1, х>^-.
Задача 2.
_ х2 + Ах - 1 ^ 1
Решить неравенство —= ^ —гт-
х2 + 4х + 3 * + 1
Решение.
Перенеся все члены неравенства в левую часть, получим
х2 + Ах - 1 1
(х + 1)(х + 3) х + 1
^ 0, или
х2 + Зх - 4 _ л
<*+1)(* + з) * °' откуда
(х+1)(х + 3) * 0, или(х-1)(х + 4)(х+1)(х + 3)^0
Применяя метод интервалов заключаем, что решением
неравенства является объединение полуинтервалов
[-4;-3)U(-l;l].
Задача 3.
Решить неравенство (х — Зх — 2)(х2 — Зх + 1) < 10.
410

19. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Решение.
Пусть х - Зх - 2 = у. Тогда неравенство примет вид
у (у + 3) < 0, или у - Ъу - 10 < 0, откуда (у + 5) (у - 2) < 0.
Решением этого неравенства служит интервал
-5<у<2. Таким образом, получаем систему неравенств
[х2 - Ъх - 2 < 2,
I*2- Зх-2>-5,
или
х2 - Зх - 4 < 0,
х2 - Зх + 3 > О,
откуда
(х-4)(х+1)<0,
*-|)2 +| >о.
Поскольку второе неравенство выполняется при всех х,
решением этой системы есть интервал (—1; 4).
Задача 4.
Решить неравенство \х - 31 > \х 4- 21.
Решение.
Неравенство эквивалентно неравенству
(х - З)2 > (х + 2)2, или х<4.
Задача 5.
Решить неравенство I х2 — 2х — 31 < Зх
Решение.
3.
Очевидно, что Зх-3>0, или х>1. Неравенство
равносильно совокупности двух систем
[х2 - 2х - 3 > 0, Jx2 - 2>
[х2 - 2х - 3 < Зх - 3, |- х2 +
- 2х - 3 < 0,
2х + 3 < Зх - 3.
Решая каждое из четырех неравенств, придем к новой
совокупности двух систем
х < -1, х > 3,
0<х<5,
-1<х<3,
1х<-3, х>2.
411

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА !
Итак, 3 ^ х<5у 2<л<3.
Ответ: 2<л<5.
Задача 6.
1 4 , 4 1 „ 1
Репшть неравенство ——; ~ + 5- j < -^к.
* х - I х — 2 х-Ъ л - 4 30
Решение.
Преобразуем левую часть неравенства:
[ л^Т " л^4J + 4 (j^~3 " ~х^2J =
= 4 3
х2 - 5л 4- 6 л2 - 5л + 4'
Полагая теперь х2 - 5л + 5 = у, после преобразований
получаем неравенство
3?-30у + 209 . А
(у+1)(у-1)(у-11)(у-19) >0.
Решением последнего служит
]-co;-l[U ]-l;l[U [9;оо[.
Решив далее совокупность неравенств
л2-5л + 5<1; 1<х?-5х + 5<11; л2-5л + 5>19,
получим ответ: ]-°o;l[U 2? 2 U |2; 4 г
Задача 7.
Решить неравенство
л + 6 /л-4^2 { л-6 (х + 9\2 < 2л2+ 72
л-6\л + 4] л + 6(л-9] л2-36#
Решение.
Представим правую часть неравенства в виде суммы двух
дробей
412

19. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
х +б х —6
X— 6 Х + 6
и перенесем эту сумму в левую часть неравенства* Имеем
f^((!^H-^((f^H<<>-
Применяя формулу разности квадратов для выражений,
стоящих в скобках, и произведя несложные преобразования,
приводим неравенство к виду
3((х-6)(* + 4))2-(2(х + 6)(х-9))2
(х - 6)(х + 6)(х + 4)2 (х - 9)2
Разлагая числитель на множители, приходим к неравенству
о,
]
(х - 6)(х + 6)(jc - 9)2 (х + 4)2
е методом интервалов, получим ответ
Задача 8.
Найти пары целых чисел х и у, удовлетворяющие системе
неравенств
г 1
\у- \х?-2х\ 4--^ > О,
[у + 1а: — 11 <2.
Решение.
Запишем данную систему неравенств следующим образом
\у + \ > \у?-2х\,
[у<2- Ijc-11.
Так как всегда I д^ — 2x1 ^Ои 1х — II > О, то
-2<У<2.
413

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Единственными целыми числами у, удовлетворяющими
этому неравенству, являются 0 и 1. Следовательно, данная
система неравенств, рассматриваемая для целых х и у, может
быть совместна лишь при значениях у = 0 и у = 1. Рассмотрим
оба случая.
Случай 1. Если у = 0, то система неравенств принимает
вид 1а*-2*1 < ~ I jc — II < 2.
Второму из этих неравенств удовлетворяют лишь целые
числа: 0, 1 и 2. Подстановкой нетрудно убедиться, что 0 и
2 удовлетворяют и первому неравенству, а 1 ему не
удовлетворяет. Итак, для случая у = 0 найдены два решения:
xi = °> Ук = °; х2 = 2; з>2 = °-
Случай 2. Если у = 1, то исходная система неравенств
приводит к следующей:
1л?-2х1 <|; Ijc — 11 <1.
Второму из этих неравенств удовлетворяет единственное
целое число х= 1, которое удовлетворяет и первому из
неравенств. Итак, в этим случае имеем еще одно решение
задачи: хг = 1, уъ = 1. Таким образом, система неравенств
удовлетворяется тремя парами целых чисел.
Задача 9.
Решить неравенство я2 + (х + I)2 < —z .
X + х+ 1
Решение.
Данное неравенство перепишем в следующем виде:
15
2? + 2х+ 1 --=—-—г<0, или
1С + х+ 1
2(х2 + х+1)-1- ** <0.
7 X* + х+ 1
Введем обозначение х2Н-х+1=у>0, ( з> > О, так как
х2 + х + 1 > О при любом действительном х).
414

19. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Имеем 2у — 1 < 0, или, так как у > О, то его можно
переписать так:
2у2-^-15<0,
откуда - 2<у<3.
5 2
Значит, — -^^ х + х + 1 < 3, или — 2<х< 1.
Задача 10.
Решить неравенство х4 — х — х2 — х — 2 ^ 0.
Решение.
Перепишем данное неравенство так:
(х4 + х2) - (х3 + х) - 2 (л2 + 1) ^ 0,
х2 (х2 + 1) - х (х2 + 1) - 2 (х2 + 1) ^ 0,
(х2 + lXx2 - х - 2) ^ 0,
откуда -1 ^ х ^ 2.
Задача 11.
Решить неравенство 11x1 — 21 ^ 1,
Решение.
Данное неравенство можно переписать в виде:
-1 ^ Ixl -2<L
Прибавив ко всем трем частям по 2, получим
1 < Ы < 3, следовательно,
-3^x^-1, 1 ^х^ 3.
Задача 12.
Решить неравенство —~ х2 > 1.
415

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
тж 5 ~~ х 2 * . л 2х3 + Зх - 5
Имеем —^ ^ - 1 > 0, или < О,
х (2*3 + Зх - 5) < 0.
Значит, 0< jc< 1.
Задача 13.
4* + 7,l-3*8-2xi0
Решить неравенство —т-у + ——у > ——=- + 3.
Решение.
Члены неравенства преобразуем так:
4 (х + 1) + 3 7-3(х + 2)6-2(х-П-
'—-—7i + т-ч—^> 1—" + 3, или
х+1 х + 2 х- 1
4 + -—- + 4т - 3 >—~ - 2 + 3.
х+ 1 х + 2 х- 1
Поэтому ^у + ^ - 7=Т>0' откУДа
^^-^_>0н(4^-1Д*-25)(х+1)(х-1)>0.
Дальнейший ход ясен.
Задача 14.
Решить неравенство —? - сТ > 0.
(ж + I)5 81
Решение.
тя х5 + 1 11 . 81(^+1)-U(x+l)\ft
Имеем ^ТТ7" si 'откуда —оГм?—
Поскольку х*-1, то числитель и знаменатель делим на
х + 1:
81 (х4 - Xs + х2 - х + 1) - 11 (х + l)\ п
(*+1)4
416

19. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Учитывая, что (х + I)4 > О, заданное неравенство сводим
к такому:
81 (х4 - х3 + х2 - х + 1) - 11 (х4 + 4*3 + б*2 + Ах + 1) >0,
откуда 14л:4 - 25х + Ъх - 25х + 14 > 0.
Решая это неравенство, получим
— оо <х<— и 2<Х< оо.
Исключая х = — 1, получим ответ:
-оо<х<-1; -1<х<-^; 2<х<оо.
Задача 15.
Решить неравенство х2 4- 3 I х\ + 2 > Ьх I xl.
Решение.
1) Пусть л: > 0. Тогда имеем ? + Ъх + 2 > б*2, или
2
-^<х<1 => 0^л:<1.
2) Пусть я<0, тогда имеем
х*-3х +2>-6х* => 7х*-Зл; + 2.
Поскольку D = 9 — 8 • 7 < О, поэтому трехчлен больше
нуля при любом х. Следовательно, л;<0, т.е. хб ]— оо; 1[.
Задача 16.
Решить неравенство \х — 11 + \х2 — 91 <8.
Решение.
Пусть х = к Тогда исходное неравенство примет вид
U - 11 + U - 91< 8. Пусть теперь
1) 0*t*L Имеем 1 - t - t + 9 < 8,
f > 1 — решений нет.
2) К t< 9. Имеем * - 1 - t + 9 < 8,
8 < 8 — решений нет.
417

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
3) t>9. Имеем t- 1 + *-9<8, 2*<18, t<9.
Ответ: решений нет»
Задача 17.
Решить неравенство 12х - 11 - 3 > 2,
Решение.
Данное неравенство эквивалентно совокупности
следующих двух неравенств
[\2х- II -3>2,
[|2х-11-3<-2, ""
12л;-11 >5, (1)
12* - 1К1. (2)
Неравенство (1) эквивалентно двум неравенствам:
2х-1>5, 2х -К -5, х<3, х<-2.
Неравенство (2) эквивалентно следующим двум
неравенствам
-1<2х- 1<1 или 0<2х<2,
откуда 0<х<1. Следовательно, решением исходного
неравенства являются все х из промежутков
]-«>;-2[; Ю;И; 13; «>[, или
xG]-oo;-2[U ]0;1[U 13;оо[.
Задача 18.
Решить неравенство (1*1 — 1)2>2.
Решение.
у= \х\ — 1 — функция четная. Рассмотрим случай
я > 0, тогда (х - I)2 > 2. Тогда я2 - 2х - 1 > 0. Корни
многочлена хг = 1 + V2", х2 = 1 - VT и х > 1 + V2" удовлетворяют
условию, ах<1- V2~< 0 не удовлетворяют* В силу четности
х < -1 - VT" также удовлетворяет неравенству.
418

19. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Задача 19.
х — 2 Vx~— 3
Решить неравенство —_ ,—_ ~ < 0.
Решение.
Перепишем данное неравенство так:
(УЗГ+ 1)(УГ- 3) ,
7-т=—«;; /—. г>; < 0, или
(Vx - l)(Vx + 2)
(V3T+ 2)(V3T+ 1)(V3T- 1)(VF- 3) < 0.
Но так как Vx~>0, то (V3T+2)(V3c"+1) >0, а потому
(Vx~- l)(Vx~- 3) < 0, откуда следует, что 1 < Vx~< 3, или
1<х<9.
Задача 20.
3i-————
Решить неравенство V2 - х + Vx- 1 > L
Решение.
Левая часть данного неравенства определена, если
х- 1^0, т.е. х>1. Если вьшолнено соотношение (1), то
данное неравенство равносильно такому:
(Н~=Пс)3> (1 - VF=T)3, или 2 - х> (1 - Vx=T)3,
1 - (х - 1) > (1 - V3c=T)3. (2)
Обозначим z = Vx - 1. Тоща неравенство (2)
перепишется так: 1 - z > (1 - z)3, или (1 - z)(l + z - 1 + 2z - z2) >0,
z (z - l)(z - 3) >0,
отсюда 0<z<l, z>0, значит,
0< Vx - 1 < 1, или Vx - 1 >3, откуда
Kx<2, 10 <x.
Задача 21.
Решить неравенство Vx+ 1 + Vx- 2 ^ V2 - x.
Решение.
Левая часть данного неравенства определена, коща
х+1^0, х-2^0, а правая, коща 2 - х ^ 0, значит, левая
419

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
и правая части определены, если одновременно выполняется
система неравенств х>—1, х^2, х^2. Но эта система
имеет единственное решение х = 2. Таким образом, если
данное неравенство имеет решение, то лишь х = 2.
Следовательно, остается проверить, является ли число 2 решением*
Подстановкой убеждаемся, что х = 2 действительно удовлетворяет
данному неравенству.
Ответ: х = 2,
Задача 22.
Решить неравенство х + 1 > V* + 3.
Решение.
Должно быть х + 1 > О, (х + 3) ^ 0. На множестве
я ^ -1 имеем я2 + х - 2 > 0, значит, х > 1.
Задача 23.
Решить неравенство V14 — х >2 — х.
Решение.
Рассмотрим два случая:
1) Если 2 - х > 0, то обе части неравенства можно
возвести в квадрат. Тогда
14 - х > (2 - х)2, или х2 - Ъх - 10 < 0,
откуда -2 < я < 5. Учитывая условие 2 - х > 0, получим,
-2<х^2.
Если х>2, то неравенство будет выполнено для всех х,
удовлетворяющих также и неравенству 14 — х > 0, т.е.
х ^ 14. Отсюда 2<х^14. Таким образом, объединяя оба
случая, получим — 2 < х ^ 14.
Ответ: (-2; 14).
Задача 24.
V24+ 2х - х2 ,
Решить неравенство < 1.
Решение.
Очевидно, что 24 + 2х — я2 > 0 и # 5й 0.
42Q

19. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Отсюда получаем два промежутка: [-4; 0[ и ]0; 6[.
Очевидно, что яЕ [-4;0[ решения неравенства, так как при
этих значениях х левая часть неравенства отрицательна, а
правая — положительна. Для второго промежутка имеем
V24 + 2х - л? < х
(после возведения обеих частей неравенства в квадрат)
я2 - х - 12>0, откуда *е ]-оо; -3[ U ]4; <*>[.
Следовательно, ]-оо; -3[ U ]0; 6] = 0.
[4;oo[U ]0;6]= ]4;6].
Задача 25.
ту 1 1 .35
Решить методом интервалов: , 2 <Tv
Решение.
1 1 35
Для функции F (х) = i -рг находим область
V1 - х х VL
определения. Решаем систему
1-^>0,
х*0.
Поэтому — 1 <д:<0 и 0<х<1. Определим корни F(x).
Решим уравнение
1 1 35
Vl-x2 х IT
Возведем обе части этого уравнения в квадрат:
1,1 2 1225
T^IF 144
1 2 1225
х2 (1 - т?) xVl-x2 144
Делаем замену —i —= t Получим
xVl - лг
= 0.
421

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
^ " 2t "" 144" = °' откУда
, _49 __25
^ "" 12 И ^ "" 12Ф
Далее решаем два уравнения:
_1 49 1 25
VI-*-12 ^Vl-x2 " 12-
Получаем такие корни:
V73~±5
— "F И —¦
14 ' 5 " 5*
„ V73~-5 „ .
Но —тд посторонний корень, в чем можно
убедиться непосредственной проверкой. Поэтому F (х) имеет кор-
4 3 V7T+5 0
ни х{ = - -р; х2 = - -р; х3 = —гт—• Эти корни разделяют
область определения F(x) на промежутки
t/ , 4 4^ . 3
-§<х<0; 0<х<^4+5.
Определяя знаки F(x) на каждом интервале, находим
такие решения:
4^ ^ 3 п^ ,У7Г+5
-_<*<--; o<x<—w-.
Задача 26.
4
Решить неравенство V* + 3 + V9 — х > V51
Решение.
При х>0 выполнено неравенство Чх + 3 >V3", а при
4
#<0 выполнено неравенство V9 — *>V3~, значит,
Ответ: -3^*^9.
422

20. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
Задача U
п 1 „ \/l-3-...-(2n-l) , 1
Доказать неравенство «¦ < V —о • 4 - .о—
Возьмем очевидные неравенства
2 х' 4 ' 6 ' 8 "*" 2п
Перемножая их, получим:
—о . д • fi « S '—^~2 ' слеД°вательн0>
д/ьЗ-...-(2д-1)
V 2-4-...-2rt Ь
Доказали правую часть неравенства.
Докажем теперь левую часть неравенства. Так как
L-1. !•>! ? _1 2га-1 1
2~2; 4 2; 6 2'' — ' 2га V
то, перемножая, найдем:
1 -3-5-7- ... • (2га-П 1
2 • 4 • б • 8 • ... ¦ 2» V ш
Vi-3-4.-(b-i)>2.
2 • 4 «... • 2м
Задача 2.
Доказать, что для всякого треугольника ЛБС справедливо
неравенство ha ^ VbcTcos L у.
Для АЯС имеем:

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
л 7 be * sin Z А be * sin Z A
Отсюда ha =
a ^b2 + c2-2bc-cos/-A'
Поскольку b2 + c2 > 2йс, то
Vi2 + <? - 2bc • cos Z Л ^ V26c (1 - cos Z Л) =
= V 4йс • sin2 Z. у = 2 V5c~- sin Z y,
а значит,
йс • sin Z A n— , A
ha ^ -г = v5c • cos Z -х-.
2уПю- sin Zy
Равенство достигается в случае b = с*
Задача 3.
Доказать неравенство
V й + с + V а + с + V а + й >2'
Решение.
Докажем три вспомогательных неравенства:
\/ а > 2а . д/ й ^ 2Ъ .
й + с *" а + й + с' а + с *" а + й + с'
/
с > 2с
а + й а + й + с*
Возводим первое из них в квадрат:
тгх- ^ 7—У ч2; (а + й + с)2 > АаЪ + 4ас;
Ь + с (а + й + с)2 v '
а2 + й2 + с2 + 2ай + 2ас + 2йс > 4ab + 4ас шш
а2 + й2 + с2 - 2ас - 2ай + 2йс 2* О,
(а - b — с)2> О, что очевидно*
Аналогично доказываем два других неравенства.
424

20. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
Теперь складываем их:
V а , V Ь . л/ с ^ 2(а + й + с)
т й + с а+с а + й " а + й + с
Покажем, что равенства быть не может. Действительно,
когда первое вспомогательное неравенство обращается в
равенство, тоща два других не являются равенствами.
Задача 4.
Доказать, что при п > 3 (п — натуральное) выполняется
неравенство VTT> Vrc + 1.
Решение,
Данное неравенство можно переписать в виде
п4 > (п + I)3,
и, поскольку п4 - (п + I)3 = п4 - п3 - Зп2 - Зп - 1 =
= л3 (и - 1) + 2п2 (п - 3) + Зп (п - 3) + 6 (я - 3) + 17 > 0,
то это неравенство справедливо.
Задача 5.
Доказать: 2а+ь + 2Ь+С + 2*+с < 2а+ь+с + 1.
Доказательство.
Обозначим 2а; 2*; 2е соответственно я, у и z. Тогда
заданное условие сводится к следующему:
Доказать, что при х, у, z, больших 1, выполняется
неравенство xy + yz + zx<2xyz + 1. Имеем:
2xyz -xy-yz--*z+l =
»(x-l)(y-l)(z-l) + (x-l)0»-l) + (y-l)(z-l)>Of
что очевидно.
Задача б.
Доказать, что для всех х 2V*+ 2VX^ 2 • 2 .
Доказательство.
12 4 УХ\" уХ
Учитывая неравентсво Коши, имеем:
425

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Применив то же неравенство к показателю степени, будем
vx~+ VF ^ *\А2/ 4^ б/_
иметь: « ** V V х • ух = ух, значит, предложенное
неравенсто доказано.
Задача 7.
Доказать неравенство:
n(v7T+T-l)<l+| + |+... + i < л (l-^Ц +1.
Доказательство.
Докажем правую часть неравенства. Запишем неравенство
v ,12 3 /г-1
Коши для чисел: 1, «¦, т, -j, ..., .
l + 2 + 3+...+ n a/l
» v n *
Перепишем это неравенство так:
i+HH>-i)+-*H)>w
Отсюда получаем:
Ь»Ы
1+^+... + ~< п Ц-етЫ +1
Чтобы доказать второе неравенство, запишем неравенство
~ ~ 3 4 п+1
Козли для чисел 2; ¦«» о"> • •• •
Z о п
2 + 3 + 4 + >>> + «+1
2 ' 3" - ' п ^ \1 1
> V . 1 или
п и+1
2+(14) + (14)+---+(1+?) >«^пп
Задача 8.
Доказать неравенство:
?+Vr+Vr>3 (w>0).
426

20. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
Доказательство.
По Коши
yzzzzoxoxox
у z x 4 27
Задача 9.
Дано а>0; й^О; с^Оиа + Нс^З,
Докажите неравенства:
l + ^l + ^l + c2 " 2 * 1 + <г1 + й+1 + с
Доказательство.
Из неравенства между средним арифметическим и
средним геометрическим (неравенство Копш) каждое из отноше-
j, а Ъ с 1 л
нии 2» 2> 2 не превосходит ¦=¦, Отсюда следует
левое неравенство.
Докажем правое неравенство. Пусть х = 1 + а,
у=1 + ?, z = 1 + с. Тоща х + у + z ^ 6. Поделив это
неравенство на х, у, z и сложив получающиеся при этом три
неравенства, получим
Откуда и следует требуемое неравенство, так как
У z z у X Z
Задача 10.
Доказать неравенство
(V^+V5)8 > 64ab(a + b)\ a, Ь>0.
427

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Доказательство.
Имеем —7г^- > Vxy", где х, у > 0. Положим х = —~—;
у = y/aF. Тогда
2 2 ' или
а + 6 + 2УоГ у/(а + й) УаГ
4 ^ У 2
(V^+ VF)2 > Л(а + Ь)УЖ
4 ^ т 2
Возведя обе части неравенства в четвертую степень,
получим заданное неравенство.
Задача 11.
aA + b4 (а+Ь\4
Доказательство.
VA д
—2~ ** —2 • ^ОЩа
Задача 12.
Дано: а + Ъ + с = 1. Доказать: а2 + Ь2 + с2 2* ^
Доказательство.
Имеем: 2 (а2 + Ь2 + с2) > 2 (аЪ + ас + be) =
= 1 - (а2 + А2 + с2), откуда
3 (о2 + А2 + с2) ^ 1.
428

20. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
Задача 13.
Доказать, что в непрямоугольном треугольнике ABC:
Xg4A + Xg4B + Xg4 С > (XgA + XgB + XgC)2.
Доказательство.
Имеет место неравенство:
а4 + Ь4 + С4 > abc (а + Ъ + с).
Для данного случая
tg4 А + Х^В + tg4 С > XgAXgBXg С (XgA + Xg В + tg С). (1)
Но в ABC: XgA + XgB + tg С = tg A + XgB + tg С, поэтому
tg4^ + tg4^ + tg4 С ^ (tg2 + tg ? + tg C) x
X (tg2 + XgB + tgC) = (tg2 + XgB + XgC)2
Задача 14.
1 • 3-5-7 «... • 2n-l 1
Доказать: 2-4-6-8-...-2/г < 7Г
Доказательство.
A-l 111 1n-\
2 ' 4 ' 6 * 8 ' "• ' 2» '
1 + 13 + 15 + 1 2n
Л <
2+1 4 + 1 6 + 1" -2/1+1
_2 4 6 8 2»
2 ' 5 ' 7 * 9 ' •*' ' 2n+l
1 1
1 -3-5- 7- ... • (2ra - l)(2re + 1) ~ a(2n+l)'
2-4-6 • 8 • ... -2n
или
A<A(2n+iy ш Л < 2^ГТ' ш
1 42. 1
Л2 < 7T~? или A2 < —.
2n /i
429

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Задача 15.
Доказать неравенство:
Решение.
Обозначив левую часть доказываемого неравенства через
а заметим, что
_ I 3 5 2n-3 2п-1
а " 2 ' 4 ' 6 ' —' 2/г-2* 2л
2 4 6 2п-2 2п
3 ' 3 ' 7 " "•' 2л-1 ' 2п+Г
поскольку правильная дробь при увеличении числителя и
знаменателя на 1 увеличивается. Отсюда видно, что
а<1"2^ТТ'илиа<73^+Р
что и требовалось доказать.
Задача 16.
Доказать, что наименьшее из чисел (а - й)2; (й - с)2;
(с - а)2 не больше ^ (а2 + Ь2 + с2).
Доказательство.
Предположим, что доказываемое неравенство не имеет
места:
а - Ъ > ^(Va2 + й2 + с2) и й - О ^(Va2 + А2 + с2 ).
Сложив, получим а — с > Отсюда:
(а - й)2 + (й - с)2 + (с - а)2 > 3 (а2 + Й2 + г).
Заметим, что (а - й)2 + (й - с)2 + (с - а)2=
= 3 (а2 + Й2 + с?) - (а + й + с)2.
Тогда получим 3 (а2 + й2 + с2) < 3 (а2 + й2 + с2) -
- (а + й + с)2 ^ 3 (а2 + й2 + с2) — противоречие.
430

20. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
Задача 17.
Доказать, что при любых значениях переменных х9 у из
интервала (0; 1) выполняется неравенство
х(1 - у) + y(l - z) + z(l - х)<1.
Доказательство*
Рассмотрим правильный треугольник ABC со стороной 1.
Пусть Д, Bv Cj — такие точки на сторонах ВС, СА, АВ, что
Aq = x, СЦ = у, Bj\ = z. Тоща jBCJ=1--x, CAi^\-z,
АВХ = у. Подставив в очевидное неравенство
SAB{Cl + ^В, + SBA?X < SABC
выражение
^В2*(1~У>"Г' S^ = 2y(1"z>"2"'
°ял|с| — 2 v ' 2 ' ^с"" 4
и сократив на -j-, получим требуемое неравенство.
Задача 18.
Доказать неравенство
sin х sin у sin z + cos x cos у cos z ^ 1.
Доказательство.
Рассмотрим векторы
<?= (sin x sin у, cos * cos y), b = (sin z, cos z).
Тоща IЙ1 = 1, I ol = sin2 x • sin2у + cos2 x • cos2 у<
< sin2 x + cos2 x = 1 и I a • b\ «? I a) • I b\ ^ 1.
Таким образом,
I sin x • sin у • sin z + cos x • cos у • cos zl < 1.
431

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Задача 19.
Доказать, что для любых действительных чисел:
а + Ь с? + Р с? + Ьг а6 + Ь6
2 ' 2 ' 2 * 2 *
Доказательство.
Лемма: если а и Ъ — произвольные действительные числа,
а т и п — натуральные числа одинаковой четности, то
сГ + У" сГ + У1 ^ сГ+п + y+rt m
~2 2~~ * 2 •
Запишем (1) в виде:
2 (rfn+,f + 1Г+п) - (я™ + ^(tf1 + У) s* 0, или
(сГ - #*)<>* - У) > 0. (2)
Чтобы доказать (2) для чисел тип одинаковой четности,
необходимо рассмотреть в отдельности два случая.
1) Числа тип — нечетны.
При нечетном показателе степени с увеличением
основания степень возрастает. Следовательно, если а> Ь, то
ам>Ьт и ап^Ь\ а если а<Ьу то ат<Ьт и ап<Ьп, то при
нечетных тип неравенство (2) выполняется.
Числа тип — четны: т = 2&, п =2/, где к и I —
натуральные числа. Если а2 > Ь2, то
(а2)* > (в2)* и (о2)' ^ (й2)', или
сГ > If1 и О1 ^ У.
Следовательно, (2) выполняется. Если а2 < б2, то
(а2)*<(й2)* и (а2У<(й2У, откуда ат<Ьт и ап<Ъ\
В силу (1) для произвольных а и 6
а + 6 ^4-й3 а4 + Ь4
2 ' 2 * 2 ;
дЗ + й2 а4 + й4 дв + й6
2 ' 2 * 2 #
Умножая левые и правые части, получим доказуемое.
432

20. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
Задача 20.
Решить уравнение л; VI + х + V3 - х = 2 V1 + х2.
Решение.
Воспользуемся неравенством
^ я2 + Ь{ Ъ2 ^ ^с$ + % • V^ + ft2.
Геометрическая интерпретация этого неравенства,
скалярное произведение двух векторов не превосходит
произведения их длин. Равенство имеет место в случае
коллинеарности векторов (Op fij), (Og, 62).
Имеем xVl + х + 1 • V3 - х <
< V^+l • V(l + х) + (3 - х) = 2 Vl + x2.
Значит, векторы (х, 1) и (VI + х, V3 — х) коллинеарны,
х1=1; x2=l + VT; x3 = i-vt;
Задача 21.
Доказать, что для всякого треугольника справедливо
неравенство
1.1.1.4
(p-af (p-bf {p-cf R2'
где a, b, с — стороны треугольника, р — его полупериметр,
jR — радиус описанной окружности.
Доказательство.
Воспользуемся формулой:
г = (р - a) tg у. Очевидно:
1 +-
(P-af (р
V
1
(р-с)2'
-^(tff+tff+tff)-
»!-¦
±_*i
^±Ui
4
Л2 "
-*•
1
Iя Л2 Л2/*
433

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
так как tg2^ + tg2:| + tg2y ^ 1, R & 2r.
Задача 22.
Доказать, что если (а 4- с)(а + Ъ + с) < 0, то
(Ь - с)2 > 4а (а + й + с).
Доказательство.
Требуемое неравенство означает, что дискриминант
квадратного трехчлена /(х) = ах2 + (Ъ — с) х + (а + й + с)
положителен, т.е. /(х) имеет различные корни. Но
/(0)/(-1) = 2 (а + Ъ + с) (а + с) <0,
т.е. трехчлен принимает значения разных знаков и
действительно имеет различные корни.
Задача 23.
Дано: а> Ь> с — стороны треугольника и
ах + fry 4- cz = 0.
Доказать: ayz + 6zx + сдгу < 0.
Доказательство.
х = . Поэтому ayz + bzx + сху =
= — (a2 yz — (Jz + су)(йу + cz)) =
= - - (bcf + bc2? + (tf + c?-cf) yz) =
= - 4^(4^ • c2 • / + 4# • <?2? + AbcyzQ? + c2 - a2) +
+ z2(^ + c2-a2)2-z2(^ + ^-a2)2>=-^((2^ +
+ (Й2 + c2 - a2) z)2 + (4Й2 c2 - (Й2 + c2 - a2)2) z2) =
- (Й2 + с2 - a2)2) z2), но так как
434

20. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
4Й2 с2 - (й2 + с2 - о2)2 = (а + 6 + с)(Ъ + с - а) х
х (а - 6 + с)(а + А - с) > 0, то неравенство доказано.
Задача 24.
Дано:
Oj>0; 02>0; ct>0; с2>0; ад-ifX); агс2-1^>0.
Доказать, что (^ + a^fa + с2) - (b{ + й^2 > 0.
Доказательство.
Воспользуемся неравенством Копш: среднее
арифметическое положительных чисел не меньше их среднего
геометрического. Имеем:
а.с2 + а2с.
2 > Ща^с^.
По условию задачи alcl>b^; л^с^й^. Тоща
^с1^с2>(й162)2 и ^aia2clc2>\blb2\ > bxb2;
aic2-?a2c{>2bib2\ (ft + ajfa + cj-
- (6, + 62)2 = (a, c{ - if) + (a, c2 - ф + (a,c2 + ад - 2\b2) > О,
так как каждое слагаемое положительно. Искомое
неравенство доказано.
Задача 25.
Доказать неравенство:
а4 + ЪЛ + с4 < 2 (а2 й2 + а2 с? + й2 с2),
где а, Ь, с — стороны треугольника.
Доказательство.
По теореме косинусов
а2 = А2 + с2 - 2йс cos а, откуда 2йс • cos а = Й2 + с2 - о2.
Возведем обе части равенства в квадрат:
4Й2 с2 cos2 a = й4 + с?4 + d4 + 2ft2 с2 - 2ft2 а2 - 2с2 а2.

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
При cos2 а ^ 1 4Ь2с2 > Ь4 + с4 + а4 + 2Ь2с2 - 2Ъ2а2 - 2cV,
или Ъ4 + а4 + с4 ^ 2 (Ь2 с2 + Ъ2 я2 + с2 й2), что и требовалоеь
доказать.
Задача 26.
Верно ли неравенство
sin 3 Vcos 2 - sin 2 Vcos 3 < Vcos 2 cos 3.
Решение.
Так как cos 2 cos 3 > 0, то, разделив обе части данного
неравенства на правую часть, мы можем переписать его в
виде
sin3 з < sin 2
Vcos3 J Vcos 2
2, или
/(3)</(2), r*cf(x) = ^L.-X (xejfjJj.
Для удобства дифференцирования этой функции положим
яг
t-x 2;
cos t
ж
л
f(t) = -mrr-t-2 = -cost(smtr»-t-2
t<
0;
ж
тогда /' (t) = sin2/31 + g sin"4/31 • cos2 t - 1 =
= |sin2/3* + 4sin-4/3
J.
3
0--
U' 2
/" (0 = f sin"1/3 *' cos * - f sin"7/3 * ' COS * =
= p cos * • sin"773 *(sin21- 1) <0 IG 0;dl
Следовательно, /' (0 — убывающая функция и на
промежутке 0; 2" /' (0 >/ [тг] = 0j т.е. /[x+^-J возрастает
436

20. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
на 0; 2 , a f(x) возрастает на у; ж. В частности,
/(3)>/(2), т.е. исходное неравенство неверно.
Задача 27.
Доказать неравенство
х + у/7+\/1 >| (X)3,)Z>0).
3; z х 2 к '
Доказательство.
Пользуясь неравенством Копш, будем иметь
>2,
У z
?.I.J_ -for
х 4 27 VZ
откуда следует заданное неравенство.
Задача 28.
Доказать, что если
\?А
Доказательство.
•З3 >
Л + В + С = 90°, то
+ tg2J5 + tg2C> 1.
Если А + В + С = 90°, то
t? С = r.tfr (
fum,1-^'
tg?
&v ' tgA + tgJ? *
Отсюда tg^i • tg? + tg? • tg С + tg С • tg A = 1.
Следовательно, для нашей цели достаточно доказать, что
tgA + \?В + tg2C> tgA • tgB + tgB-tgC + tgC- tgA.
Но по умножении на два и переносе всех членов в левую
часть будем иметь
2tgA + 2tg*В + 2tg* С -2tgA - tgB -2tgB • tgC -
-2tgC • tgA>0, или
(tgA - tgB)2 + (tgB- tgCf = (tgС - tg^)2 S» 0.
437

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА !
Но справедливость последнего очевидна. Отсюда следует
и заданное неравенство. Знак равенства имеет место при
А = В = С = 30°.
Задача 29.
а2 й2 <? 3
Докажите неравенство -= 5" + "~? ? + ~5 2 ^ т" Для
Jr + сГ а2 + с2 яГ + й2 2
любых отличных от нуля действительных чисел а, й, с.
Доказательство.
Введем новые переменные:
х = а2 + Й2; у=А2 + с2; z = a2 + <?.
Выразим через них л2, й2, с2.
fl? = —j—; ^ = 2 ; * 2 *
Преобразуем неравенство:
х + z-у х + у-z y+z-x_
2у + 2z + 2х "
l^ + ^i+^ + ^i+Z + l-!^
2 1у у Z 2 XX
1(^+
^2+ 2 +2-3) = |.
2 ~ ' " ' ~ ^ " 2е
Задача 30.
Доказать, что
об (а + й - 2с) + йс (й + с - 2а) + ас (а + с - 2й) > 0
при а>0, й>0, с>0.
Доказательство.
Известно, что — Л > 2 (т > 0, п > 0). Применим это
соотношение. Имеем:
ab (а + й - 2с) + йс (й + с - 2а) + ас (а + с - 2й) =
438

20. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
= *(f+f-2 + f + f-2+f + f-2) =
=<*(И-2)+И-2)+И-2))а0-
Так как я>0, 6>0, с>0 и каждое из чисел, стоящих
в круглых скобках, не меньше нуля.
Задача 31.
Верно ли неравенство
Ы + Т + - + Т7>1?
Решение.
Каждое из первых 6 слагаемых не меньше -ттг, а каждое
из остальных 7 слагаемых не меньше у=-, и поэтому сумма
3 7
всех слагаемых не меньше, чем -= + у=-, что больше 1.
Задача 32.
Доказать, что если а>Ь>с, V/Г^ уП[+ VF, то
q(a - Ъ){а - с) + р (Ь - а)(Ь - с) + г (с - а)(с - й) ^ 0.
0 (а — с\ (а — с\
Записав неравенство в виде р ^ q \ , _ I + г ——т , по-
^а — с\ . /а — сЛ
ложим /(*) = q —з- + г —Z— • Тоща неравенство при-
нимает вид f(b)^ р. Так как
''«-'«-"((^-«ThF)'
/'(х)>0 о r{x-cf>q{a-xf о
/—/ \^ i—, ч ^ aVq~+ cSF
439

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
(если Vg~+ VF= О, то г = # = р = О и утверждение задачи
ч (a Vg + с VF) , .
очевидно), то в точке х0 = ,— ,— функция /
принимает наименьшее значение. Так как
— (а~ с)^г __ (а — с)У7
то
/(*b) = g v^ +r vf = (yi+VFf>P.
Следовательно, и f(b) ^f(xQ) & p, что и требовалось
доказать.
Задача 33.
Доказать, что если а2 + Ь2 + с2 = 1, то
1а? + # + <?-Зойс1 <1.
Доказательство.
Введем обозначения: р = а + Ъ + с, # = oi + ic + са,
г = а#с. Тоща а2 + Ь2 + с2 = р2 -2д = 1, 2# = р2 - 1, а
благодаря известному тождеству
d + й3 - Зайс = (а + Ъ + с)(с? + tf + <? - аЬ - Ъс - са)>
доказываемое неравенство принимает вид
-1 ^ р (р2 - Зд) < 1, -2 ** р (2Р2 - 6g) ^ 2,
-2 ^ р (3 - р2) ^ 2, -2 <? р3 - Зр ^ 2.
Неравенство между средним арифметическим и квадра-
тическим
?±|+?« V* + tf + <*
показывает, что - VT^ р ^ V3~, и остается доказать, что
функция у = хъ - Ъх на отрезке - VT^ я ^ 3 по модулю не
превосходит 2, что нетрудно сделать с помощью
производной.
440

20. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
Задача 34.
Доказать, что (а + -~| (Ъ + —^—\ > ot + tf + Зой,
э, что а + -;—I
' I sinal
ярый угол, а > 0,
cos а
если а — острый угол, а> 0, й ^ 0.
Доказательство.
Раскроем скобки:
smal 1 cosal cos a sin a
+ — = ab + + —. +
sin a • cos a cos a sin a sin 2a*
Поскольку 0 < sin a < 1, 0 < cos a < 1, 0 < sin 2a ^ 1, то
1 . , 1 . , 1
>1. T^Z>^ ^TnZ^h
sin a ' cos a ' sin 2a
откуда и получаем требуемое равенство*
Задача 35.
Докажите, что при любом значении х
& - х9 + х4 - х + 1 > 0.
Доказательство.
Рассмотрим в отдельности три случая:
1. х ^ 0. Каждый из одночленов, входящих в многочлен,
неотрицателен, поэтому J2 — х9 + х4-х+1^1>0.
2. 0<х<1. В этом случае
x*-^ + ^-x+l = l-x + ^(l-;tO + ^>0.
3. х > 1. Тоща
& - х9 + х4 - X + 1 = х9 (х3 - 1) + х (х3 - 1) + 1 > 1 > 0.
Задача 36.
п (l^)B<3.
Доказать, что при любом целом
441

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Доказательство.
К-
.. Ч , 1 , П(П~1) 1 ft(tt- l)'"(ft-fc)
-1 + 1+ 2 й2 + -+ (*+1)! х
Задача 37.
Доказать, что если сумма углов А и С выпуклого
четырехугольника ABCD больше 180% то ^< , ., ще
Л? = а; ЯС = с; 224 = 4; BD = f; АС = е.
Доказательство.
Если 4 + 0180% то
А + С А — С
cos 4 + cos С = 2 cos —^— cos —ту— < 0. Далее
cosA = —Ш—; cos* =—Wc—•
Следовательно,
(о2 + d2) be + (б2 + с2) ad - / (ad + йс) < 0, откуда получаем
(ab + cd)(ac + М) < (ad + be) Д (1)
Кроме того, из теоремы Птолемея следует
ef<ac + bd. (2)
Перемножая неравенства (1) и (2), после преобразований
получим:
е_ ad + be
f ab + cd#
Задача 38.
Углы треугольника удовлетворяют соотношению
sin А + sin В + sin С _ 1
cos А + cos 5 + cos С "" 73"5
442

20. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
Доказать, что один из углов этого треугольника больше 120°,
Доказательство.
Вместо -рг- запишем tg 30° и преобразуем данное
уравнение:
sin A cos 30° - cos A sin 30° + sin В cos 30е - cos В sin 30° +
+ sin С cos 30° - cos С sin 30° = 0, или
sin (A - 30°) + sin (B - 30°) + sin (C - 30°) = 0.
He нарушая общности доказательства, можно считать,
например, что 0 30°. Тоща
2sin (б0°-у| cos ^у^ + sin (С -30°) = 0 и
sin (б0°--|] <0.
Отсюда 60° - у < 0, или С > 180°.
Задача 39.
Доказать, что при х, у, z ^ О
(х + у)2 (х + у - z) + (у - zf (у + z - х) +
+ (z - xf (z + х - у) > 0.
Доказательство.
Легко проверить, что левая часть неравенства
симметрична относительно х, у, z, и поэтому можно предполагать,
что х ** у ^ z, т.е. j> = * + p, z = у + #, где р, # ^ 0. Тогда
имеем неравенство:
Р2 (х - д) + (Т2 (z + р) + (р + <?)2 (х + <7) ^ 0;
(р* + (р + gf) x + g2(z + p) + (2pg + <?)g> 0.
Каждое неравенство верно, поскольку все слагаемые в
его левой части неотрицательны.
443

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 40.
Доказать, что при любом натуральном п имеет место
1.1.1. ^1^1
неравенство т + -^ + ~т + ... +~ч< 1.
22 З2 42 п2
Доказательство.
1+1+1+ +1
22 З2 42 га2
Обозначим через Sn сумму Sn = 7^ + ^2+_72 + '>' + -2'
гг , 1 ^ 1 1 1
Т.К. —= < —, TV = Г , ТО
гс га (га - 1) га — 1 га
!<!_! !<!_! 1<_1 I
22 2' З2 З'-- п2 га-1 га*
Складывая эти неравенства, получим: Sn < 1 , отсюда
Задача 41.
Определить целую часть числа
14- 1 +-L+ , .,_!„_„
1 ^ТГ"*" V3~+ •••+ V1000000*
Решение.
Покажем, что 2Vn + 1 - 2 v7T<y=-<2 Vn~- 2 Vn - 1. В
самом деле, 2Vn+l- 2 Vn = — , , / , у - =
Vn + 1 + Vn
Vn + 1 + V7T Vn~+ Vn~ V/Г
Точно так же, 2 Vn~- 2 Vn - 1 =
^2(У7Г-Уп-1)(У/Г+Уп-1)
Vn~+ Vn - 1
= 2 2 = _1_
Vn~+ Vn — 1 Vn~+ Vn" Vn"'
444

20. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
Теперь имеем:
1+^T+^+- + V1000000 >l+2[(VT-VT) +
+ (VT- VT) + ... + (V1000001 -V1000000)] =
= 1 + 2 (V1000001 - VT) >2000 - 2 + 1 = 1998.
В то же время 1 + ^+^+ ... + ^то <
< 1 + 2 ((VT- 1) + (VT- VT) +...+ (V1000000 - V999999)) =
= 1 + 2 (V1000000 - 1) = 2 + 2 • 999 = 1999.
Таким образом, целая часть указанной суммы равна 1998.
Задача 42.
Доказать, что при всяком целом п > 1
К—ГТ + —ГТ+'" + а 1л.л<2-
и + 1 и + 2 Зп+1
Доказательство.
т 1 1 „ 1.1 1
Так как -5- + а , , < -я- + -я- = —, то
Зи 3« + 1 2n 2n п
1 +-k + ...+ '
л + 1 п + 2 *" Ъп
1 + [з/г + Ъп + 1J
С другой стороны,
1" 1.+ 1
2и+1 Зп+1
+ 1 n+lJJ
445

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
_I( 4га+2 4га+2 4га+2 \
~ 2 ^(2га + I)2- га2 (2га + I)2- (га-1) "' (2га + I)2- га2]
1 / 4га+ 2 4га+ 2 4га + 2
2 1 (2га + I)2 (2га + I)2 " (2га + I)2
—\/——
2и+1 раз
^
1/о ,1ч 4/г + 2
Задача 43.
JT
Доказать неравенство cos а + а • sin а > 1, ще 0 < а ^ тт.
Доказательство.
Так как 0 < а ^ -у, то а > sin а, или а • sin а > sin2 а.
Также имеем, что cos а > cos2 а. Сложив два этих
неравенства получим, что cos а + а • sin а > 1.
Задача 44.
Доказать, что т + тт + ...+—т<^.
22 З2 и2 3
Доказательства
Запишем очевидное неравенство:
1<! 1< 1 • !< J_. !<_!_
22 3' З2 ЗТ 42 3-22'"*га2 3-2"-2'
После почленного сложения получим:
22 З2 /г2 3 6 12 3-2П"2'
В правой части последнего неравенства имеем сумму
jSn4 первых /г - 1 членов геометрической прогрессии, первый
член которой равен ^, а знаменатель ^- Значит,
-1 + 1- + +±<s -If,. П<2
22 + з2 + ... + ft2 ^ 0„_, - 3 ^1 2„_^ ^ д.
446

20. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
Задача 45.
Доказать, что в тупоугольном треугольнике сумма
квадратов синусов внутренних углов меньше двух.
Доказательство.
Пусть a, /J — острые, ay — тупой угол треугольника.
Так как sin2y<l, то для выполнения указанного в
задаче неравенства достаточно показать, что sin2 а + sin2/?< 1,
a+j3<90°, значит, ?<90°-а,
sin2 а + sin2/8 < sin2 а + sin2 (90° - а) = sin2 а + cos2 а = 1.
Задача 46.
Доказать, что объем правильной пирамиды всегда меньше
куба ее бокового ребра.
Доказательство.
Обозначим ребро правильной /г-угольной пирамиды через
угол между этим ребром и плоскостью основания через а.
Объем пирамиды Vx меньше объема F2, описанного около нее
конуса. Для конуса имеем:
е_ = t = б
V- 1 й , л • cos«• sin 2а>
2 -пЯг' cos а • I • sin а
но так как cos а • sin а ^ 1, то . 0 > —>1. Сле-
тс • cos а • sin Ъх 71
довательно, тем более -уг> 1.
Задача 47.
Существуют ли такие числа а, й, с, для которых
Va-1 + V?- 1 + Vc- 1 > Vc(ad + 1)?
Решение.
Применим неравенство Коши для векторов
и = (V*- 1, 1); Б=(1, Vy- 1). Тоща
447

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
и • v= Vx - 1 + Vy - 1; IXZl = Vx~; \v\ = Vy",
так что Vx- 1 + Vy- 1 ^ V3cyT Поэтому
Va- 1 + Vi- 1 + Vc- 1 ^ VaF> Vc- 1 < V(a* + l)c,
и, следовательно, требуемых чисел а, ft, с не существует.
Задача 48.
Доказать, что измерения a, ft, с и диагональ d
прямоугольного параллелепипеда связаны неравенством
(ab)2 + (be)2 + (ас)2 > abed VT.
Доказательство.
Для прямоугольного параллелепипеда имеем а2 + Ь2 +
+ <? = <?. Для произвольных чисел х, у, z имеют место
неравенства: (х + у + z)2 = х2 4- у2 + z2 + 2 (ху + yz + xz) >
> 3 (ху + yz + zx).
Приняв х = (ab)2; у = (be)2; z = (ас)2, получим
((ab)2 + (be)2 + (ас)2)2 >3a2u2c2(a2 + ft2 + c2) = 3a262c2d2,
откуда и следует требуемое неравенство.
Равенство имеет место при (ab)2 = (ас)2; (be)2 = (ab)2;
(ас)2 = (be)2, т.е. при а = Ъ = с.
Задача 49.
Доказать неравенство
ct + t? + abc Ьъ + с3 + aftc ?Т~?Тайс abc ^ ,С ''
Доказательство.
Нетрудно убедиться, что при а>0, ft>0 выполняется
неравенство с? + Ьъ > ab(a + Ь), так что первое слагаемое в
левой части данного неравенства меньше или равно
448

20. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
h( 4- h 4- У П0ЭТ0МУ вся левая часть не превосходит суммы
¦ + -г- Н 1 = -г-, что и требовалось доказать.
а + Ь + с \ab be са] abc
Задача 50.
Доказать неравенство
ct + l? + c?>c?yrbF+l?Vca + (?VaF (а^О; Ь>0; с>0).
Доказательство.
Рассмотрим очевидные неравенства
(с? - ab + t?)> ab; й2 - be + с2 > be; с2 -са + с? > са.
Умножив эти неравенства почленно на а + Ь, Ъ + с,
с+ а, получим
ct + l?>ab(a + b), I? + c?>bc(b + c), с? + с? > са(с +а),
и после их почленного сложения: 2 (а3 + Ьъ + с) >
> ab(a + b) + be {b + с) + са (а + с).
Отсюда 2 (а3 + Ъъ + с3) ^ а2 (й + с) + б2 (с + а) + с2 (а + 6)
и d + Ьг + cz >а2 VW+ b2 Vca + с Jab.
Задача 51.
Доказать неравенства:
ft(l + а2*)- а^а2*-1 + а2"'2 + ... + а2 + а,
если а>0 и k — целое положительное число.
Доказательство.
Поделив данное неравенство на а! и учитывая, что
а*>0, получим следующее неравенство:
* (**+i" * * **"' + ^'2 + •••+ rf~*) ' (1)
эквивалентное данному. Группируя окаймляющие члены в
правой части полученного неравенства, приведем эту часть
к виду:
449

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
(^;f)+(**+7*)+--+(**?H"+«)+i- ш
Перенесем единицу из левой части неравенства (1) в
правую часть и заметим, что 1 = а0 = -q. Для доказательства
а
исходного неравенства достаточно доказать следующие
неравенства:
а ^ л " а т Л-Р
cf ~ 'J4' (2)
справедливое при 0 ^ i ^ к.
Действительно, рассмотрим разность
_ (d - lXa2*-' - 1)
? •
Очевидно, обе круглые скобки в числителе правой части
имеют один и тот же знак, как при а> 1, так и ири а< 1,
следовательно, (2) доказано.
450

21. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
МНОЖЕСТВА ТОЧЕК
Задача 1.
Докажите, что уравнение ? + 2х + у2 = 0 задает на
плоскости некоторую окружность.
Доказательство.
Действительно, ** + 2ху + у2 = (х + 2ху + 1) + у2 = 1,
или (х + I)2 + у2 = 1, а это уравнение окружности.
Задача 2.
Какое множество точек задает соотношение
х2 + у2 ^ Ах + 4у?
Решение.
Перепишем заданное неравенство:
х2-4х + 4 + у2-4у + 4^8, или (х - 2)2 + (у - 2)2 ^ 8.
Очевидно, что точки удовлетворяющие этому условию,
заполняют круг и окружность радиуса V8~c центром (2; 2).
Задача 3.
Найти геометрический образ соотношения
х2 + у2 = 0.
Ответ: Точка (0; 0).
Задача 4.
Найти геометрический
образ соотношения
х2 + у ^ 9;
(х - I)2 + у2 ^ 1.
Ответ: рис. 21.1
Рис. Ш
451

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 5.
Найти геометрический образ соотношения
j? + ? = 2 |у|.
Решение,
При у ^ О имеем
х2 + f = 2у, или л? + (у - I)2 = 1.
При у ^ О
х2 + у2 = - 2у, или х2 + (у + I)2 = 1.
Итак, имеем две симметричные относительно начала
координат окружности с центрами 1 и -1.
Задача 6.
На координатной
плоскости штриховкой отметить
множество точек,
координаты которых удовлетворяют
следующим неравенствам:
Зх + 2у + 1 > 0;
Зх + 2у - 3 ^ 0.
Решение.
Рис. 2L2
\3х + 2у + 1 > 0,
I Зх + 2у - 3 ^ 0,
у*-г~ гх>
(рис. 21.2).
452

21. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК
Задача 7.
На координатной плоскости штриховкой отметить
множество точек, координаты которых удовлетворяют следуюпщм
неравенствам: ху < 1, х + у > 0, у - х ^ 0.
ху*&1,
х+у>0,
у - х < О,
Решение.
х>0,
? = *>
х<0,
(рис. 21.3).
Задача 8.
На координатной плоскости штриховкой отметить
множество точек, координаты которых удовлетворяют
неравенству:
W+? < /"**.
453

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
lyl +^ * Гы; \у\ ^ ~^ + Гы;
А- - I -Н ^ у ^ - i + I "W (рис. 21.4).
Рис. 21.4
Задача 9.
Найти геометрический образ соотношения
VI- **- f <y/2x-o?-f.
Решение.
Обе части этого неравенства имеют смысл, если
\2х - х2 - у ^ 0.
Значит, заданное соотношение имеет смысл, если
1 - дс2 - 3? > 0, (1)
2х - л2 - у > 0, (2)
1 - х2 - f *? 2х - х2 - у. (3)
Неравенство (1) удовлетворяют точки круга, радиус
которого равен 1, а центр находится в точке (1; 0). Неравенство
454

21. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК
1
(3) эквивалентно неравенству х > «". Его удовлетворяют точки
полуплоскости х > ^ • Пересечение этих множеств — сегмент
(рис. 21.5).
Рис. 2L5
Задача 10.
Найти геометрический образ соотношения
>? + у> + 7 <4(\х\ + \у\)..
Решение.
Пусть х>0 и у>0. Тогда
х2 + f + 7 ^ 4х + 4у, или (х - 2)2 + (у - 2)2 ^ L
Это соотношение удовлетворяют точки круга, радиус
которого равен 1, а центр находится в точке (2; 2). Во втором
квадрате х ^ 0 и у ^ 0, поэтому
** + у2 + 7 ^ - 4х + 4у, или (х - 2)2 + (у - 2)2 ^ 1.
Геометрический образ изображен на рис. 21.6.
Задача 11.
Найти геометрический образ соотношения
(Ы -1)2 + у^4.
455

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Рис. 21.6
Решение.
Для выражения (\х\ - I)2 + f - 4 имеет место равенство
(Ы -l)2 + j?-4 = (l-*l -1)2 + у*-4.
В полуплоскости, где х ^ 0, \х\ = z, и заданное
соотношение удовлетворяется точками круга, радиус которого равен
2, а центр находится в точке (1; 0). Учитывая симметрию,
получим образ соотношения.
Задача 12.
Найти геометрический образ неравенства
min {max (х, у), х + у} ** 1.
Решение.
Заметим, что min {а, й,..., t} — обозначение для
наименьшего из чисел а, й,..., t, max {я, 6,..., t} — для
обозначения для наибольшего из чисел а, 6,..., t.
Заданное неравенство удовлетворяется только в тех
точках (х; у) плоскости, в которых или max (х, у) ^ 1, или
* + ;у*%1. Поскольку тах(х, у) = у при у>х и
max (х, у) = х при у ^ х, то приходим к выводу:
геометрический образ заданного неравенства есть сумма геометрических
образов систем:
456

21. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК
1) х*у, у* I;
2) у ^ х, х ^ 1;
3) х + у^ 1.
Задача 13.
На координатной плоскости отметить штриховкой
множество точек, координаты которых удовлетворяют следующим
неравенствам: у ^ х2 - 2х - 3; у < х 4- 1.
Решение, (рис. 21.7).
Рис. 2L7
Задача 14.
Найти геометрический образ соотношения
у- 1x1
ху2
^ 0.
457

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Заданное соотношение эквивалентно соотношению
у- \х\ >0,
х>0,
(у- \х\ ^0,
\х<0,
или
Пу>х,
И * > О,
У*-х9
х<0.
Задача 15.
Найти геометрический образ соотношения
sin2 %х + sin2 лу = 0.
Решение.
Если sin2 жх + sin2 лгу = 0, то sinjr* = 0 и sin лгу = 0,
отсюда 7tx = 7tk(k = О, ±1; ±2,...) и 7ty = 7tr (г = 0, ±1; ±2,...),
т.е. х = к, у = г, ще Лиг — целые числа, значит,
интерпретацией заданного соотношения будет множество всех
точек, координаты которых — целые числа.
Задача 16.
Найти геометрический образ соотношения
х2 — х<у — ху.
Решение.
х2 - х < у - ху; у (1 - х) > х (х - 1), значит,
при х>1 у< - х; при х<1 у> — х.
Задача 17.
Найти геометрический образ соотношения
\2у - х ^ 6,
\9х + 4у*?56,
[Зх + 5у 2* 4.
Решение.
Заданную систему неравенств запишем в виде:
458

21. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК
У<§ + 3,
|y<-f*+14,
^ 3 л.4
Задача 18.
Найти геометрический образ соотношения
1x1 + lyl =1.
Решение.
1) х>0; у>0; у= 1 - х.
2) х<0; у>0; у = 1 + х.
3) х<0; у<0; у = -1 - х.
4) *>0; у<0; у = х- 1.
Задача 19.
Найти геометрический образ уравнения
max {*, у} = 1.
Решение.
Заданное уравнение равносильно совокупности двух
систем:
Его геометрический образ состоит из двух лучей,
имеющих общую точку (1; 1): горизонтального, направленного
влево, и вертикального, направленного вниз.
Задача 20.
Найти геометрический образ соотношения
х + у^ 1,
-х-у «^ 1.
Решение. Геометрический образ этого соотношения —
множество точек, расположенных между прямыми у = 1 — х
и у = - 1 - х.
459

Глава VI. АЛГЕБРА ДЛЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ
22. СУММИРОВАНИЕ
Задача 1.
Найти сумму 1 • 3 + 3 • 9 + 5 • 27 + ... + (2гс - 1) • 3".
Решение.
Представим слагаемые в виде:
1-3 = 1-3;
3-9 = (1 + 2)-9 = 1-9 + 2-9;
5-27 = (1 + 4)-27 = 1-27 + 4-27;
(2п - 1)-3" = (2и - 2 + 1)-Зл = 1-3" + 2 (п - 1)-3\
Перепишем сумму:
1 • 3 + 3 • 9 + 5 • 27 + ... + (2и - 1) • 3" =
= (3 + 9 + 27 + ... + 3*) + (2-9 + 4-27 + ... + 2 (« - 1)-3").
Слагаемые во второй скобке представим в виде
2-9 = 2-9;
4-27 = 2-27 + 2-27;
6-81=2-81 + 4-81;
2(«-1)-Зп = 2-Зп + 2(п-2)-3" и т.д.
Получим:
1-3 + 3-9 + 5-27 + ... + (2и - 1)-3" = (3 + 9 + 27 +...+ 3") +
+ 2 (9 + 27 + ... + 3") + 2 (27 + ... + 3") + ...
+ 2(Зп-1 + 3") + 2-3\
Мы получили сумму геометрических прогрессий со
знаменателем, равным 3. Окончить самостоятельно.
460

22. СУММИРОВАНИЕ
Задача 2.
Найти сумму 1 + 2-3 + 3-7 + ... + п(2п - 1).
Решение.
1 + 2-3 + 3-7 +...+ п (2Л- 1) = 1 + 2 (22- 1) + 3 (23- 1) + ...
+ п (2п - 1) = 1 (21 - 1) + 2 (22 - 1) + 3 (23 - 1) + ...
+ л (2Л- 1) = 24 2-22+ 3-23+...+ п-2ге- (1+2 + 3-К..+ п) =
= 2 (1 + 2-2 + 3-22 + ... + п-2п~1) - (1 + 2 + 3 + ... + /г).
Пример сводится к нахождению суммы:
Sn = 1 + 2а + За2 + 4а3 + ... + nrf1"1.
Умножив обе части на <z, получим:
а • Sn = а + 2а2 + За3 + 4а4 + ... + па", откуда следует
(a- 1)S„= - (1 + а + а2 + а3 + ... + яГ1) + п-агг, или
а*- 1
(а - 1) Sn = mf - -—г.
Задача 3»
Найти сумму:
а) х + я2+ х3+ ... + **;
б) 1 + 2х + Зх2 + 4х3 + ... + лл*"1.
Решение.
Пусть Sn = х + л2 + х3 + ... + х\ Тоща
1 + 2х + Зх2 + 4*3 + ... + nx*"1 = 5п\
Задача 4.
Найти сумму п членов:
S = 2-12 + 3-22 + 4-32 + ... + п (п - I)2 + (п + 1) п2.
Решение,
S = (1 + I)» I2 + (2 + 1)-22 + (3 + 1)«32 + ... + (л + гуп\
Раскрыв скобки, получим:
461

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
я (я + 1)(я + 2)(3/г + 1)
\~ и
Задача 5.
Найти сумму:
Sn = 1 -Зх + 3-5Х2 + ... + (2я - 1)(2я + 1) л*
Решение.
5л = (4-12 - 1) х + (4-22 - 1) х2 + ... + (4-я2 - 1) х*, или
Sre = 4 (12-х + г2-*2 + ... + п2хГ) - (х + х2 + ... + х*). (1)
Пусть у =«х + 22-х2 + ... + я2х2. (2)
Умножим обе части последнего равенства на х.
ху = х2 + 22-x* + ... + я2 х*+1. (3)
Вычтем из равенства (2) равенство (3).
у(1 - х) = х + Зх2 + 5х* + ... + (2/t— 1)х* - я?*141. (4)
Умножим (4) на х.
ху (1 - х) = х2 + Зх3 + 5** + ... + (2я - 1) х*+1 - я2х*+2. (5)
Наконец, вычитая из равенства (4) равенство (5),
получим
у (1 - х)2 = х + 2 (х2 + х3 + ... + х*) - (я2 + 2/t - l)x*+1 +
+ я2 х*+2, или
у (1 - х)2 = х + 2(^1^1) - (л2 + 2я - 1) ^+l + я2 х*+2.
х — x"+l
Воспользовавшись тем, что х + х2 + ... + У= —* ,
' 1 -х '
получаем из (6):
х + х2 - (я2 - 2я + 1) х*+1 ,
' <п^? +
^ (2га2 + 2» - 1) jc"-1"2 - п2 л^+э
(1-х?
Подставляя значение у в (1), находим
_ Зх2 + бх3 - х3 - (4в2 + 8я + 3)*"*1
(1-х3)
462

22. СУММИРОВАНИЕ
(8га2 - 8га - б) х"+2 - (4га2 - 1) х"+3
(1-х)3
Задача 6.
Доказать:
_ п (га + 1)(2га + 1)
12 + 22 + 32 + ... + га2 =
Доказательство.
23 = (1 + 1)3 = 13 + 3-12-1 + 3-Ы2 + 13,
З3 = (2 + I)3 = 23 + 3-2М + 3-2-12 + I3,
43 = (3 + I)3 = З3 + З-З2-1 + 3-3-12 + I3,
(га + I)3 = га3 + 3-га2-1 + 3-га-12 + 1*
<1>
Сложив (1) и исключив из обеих частей полученного
равенства одинаковые члены, находим
(га + I)3 = 1 + 3 (I2 + 22 + З2 + ... + га2) +
+ 3(1+ 2 + 3 + ... +га) + га. (2)
Но поскольку 1 + 2 + 3 + ... + га = —Ц=—> т0 из @)
следует:
3 (I2 + 22 + З2 + ... + га2) = (га + I)3 - (га + 1) - 3" ("2+ 1} =
= (ra+l)((ra+l)2-l-f)=^+iy + "> =
га (га + 1)(2га + 1)
= —* j -, откуда
l2 + 22 + ... + ra2 = ^ii»±^.
Задача 7.
Найти сумму I3 + З3 + 53 + ... + (2п - I)3.
Решение.
Первый способ. Известно, что
I3 + 23 +
, з (т(т + 1)
+ пг = [—* -
(1)
463

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
следовательно,
I3 + 23 + З3 + ... + (2га - I)3 + (2/г)3 = [2п(2%+1)] . (2)
Сделаем перегруппировку в левой части (2):
(I3 + З3 + 53 + ... + (2га - I)3) + (23 + 43 + б3 + ... + (2га)3) =
_ [1л (2п + 1)
(3)
Обозначим искомую сумму через S, тоща (3) запишется
так:
S = 23(l3 + 23 + 33+... + ra3) = rM2ra±iiV
Учитывая (1), перепишем (4) так:
S = га2 (2га + I)2 - 2га2 (га + I)2 = га2 (2га2 - 1).
Второй способ. Имеем тождество
(2т - I)3 = 8/га3 - 12т2 + 6т - 1.
Придавая т значения 1, 2, 3, ... , га, получим
13 = 8-13-12-12 + 6-1-1;
33 = 8-23-12-22 +6-2-1;
53 = 8-33-12-32 +6-3-1;
(4)
(2га - I)3 = 8-га3 - 12-га2 + 6га - 1.
Складывая почленно все равенства (1), получим
I3 + З3 + 53 + ... + (2га - I)3 = 8 (I3 + 23 + З3 + ... + га3) -
- 12 (I2 + 22 + ... + га2) + 6 (1 + 2 + ... + га) - га =
в 8 (п(п+1)\ 2 _ х2 , га(га+1)(2га+1) +
. , га(га+1) 2/12 i\
+ 6 —*-=—- — « = и (2га2 - 1).
464

22. СУММИРОВАНИЕ
Задача 8.
Найти степенные суммы: S%\
Решение.
Имеем: S%> = 1"+ 2" + 3" + ... + п", паре N.
Если общий член можно представить в виде
я* = /(") = 9 (и+1)- 9 (»)• (D
то, подставляя 1, 2, 3,..., получим
о, = <р (2) - ?> (1);
«2 = ?>(3)-У(2);
^ = Р (4) - 9 (3);
a*-i = 9(®-р(к- 1);
«а = У (* + 1) - 9 (*)•
Складывая эти равенства, найдем
а, + а, + а, + ••• + #*_1 + ак = р (Л + 1) - <р (1), (1)
т.е. получим сумму к членов {ап} как разность
<р (к + 1) — f (1) значений функции <р (л) при л — к + 1 и
и = 1. Примеры:
1. S® = 1 + 2 + 3 + ... + (л - 1) + л = га("2+1).
2. 5® = I2 + 22 + ... + (л - I)2 + и2.
В формуле (1) в качестве функции <р (л) возьмем функцию
<р (л) = л3. Тоща р (и+1) - <р (л) = (л + I)3- л3 = Зл2+ Зл + 1,
т.е. имеем тождество
Зл2 + Зл + 1 = (л + I)3 - л3.
Подставляя в это тождество л = 1, 2, 3,..., л, получим
3-12 + 3-1 + 1 = 23-13;
3-23 + 3-2 + 1 = 33-23;
3-33 + 3-3 + 1 = 43-33;
Зл2 + Зл + 1 = (л + I)3 - л3.
465

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Складывая почленно эти тождества найдем
3 (I2 + 22 + ... + га2) + 3 (1 + 2 + ... + га) + га = (га + I)3 - Is,
3Sf + з"("+1)+ и = (п + I)3 - I3, откуда
ИЛИ
5?> =
2га3 + 3» + га
Задача 9.
Найти сумму га членов ряда
I2 12 + 22 I2 + 22 + З2 .
у+ -"2— + g +
12 + 22 + ... + Л2
Решение.
Замечаем, что а^ =
Г + 22 + 32 + ... + к2
а*~Л' 6 ~ 3 2 + 6*
Придавая в этом равенстве к значения 1, 2, 3,
получим
-If. I I
^~ 3 +2 + 6'
_f_ 2 I
^~ 3 2 6'
_У . 3 I
^~ 3 2 б'
то
, га,
_ и2 га. . JL
а"" 3 2 6'
(1)
Складывая почленно все га равенств (1), получим
Sn = |(12 + 22 + ... + га") +-|(1 + 2 + 3 + ... + га) +-|.
466

22. СУММИРОВАНИЕ
Но так как 1 + 2 + 3 + ... + п = П(*2+ ^ и
„? *? о? ? я (п + 1)(2м + 1)
I2 + 22 + З2 4-... + п2 = —^ ^ S то
_ п (/г + 1)(2п + 1) , п (п + 1) , п _
S»~ 18 + 4 + 6~
= ^ (4п2 + Г5п + 17).
Задача 10.
2 22 23 2ге+1
Найти сумму 0 . t + -3 Н -7 + . •. + —zz •
* М + 1 з2 + 1 З4 + 1 32л + 1
Решение.
1111 1
2 а+1 2 а-1 о2-!'
«jfc+i «fe+i «^+2
то к = з^П"^F^T~ з2Ы-1 = с*"Сш' и шэтому за~
данная сумма S = b0 + bt + ... + Ьп равна
2"
*%п+2
С » С = 1 —
^0 ^п+1 х q2n+l _ 1 •
Задача 11.
Найти сумму 3-52 + 6-52 + 9-5* + ... + 93-592.
Решение.
Поскольку 3 • 52 есть значение функции у = Зх2 при
х = 5, то можно записать
3-х2 + 6-х5 + 9-х8 + ... + 93-х92 = А.
Но Зх2 есть производная от функции х\ Тоща, поскольку
сумма производных есть производная от суммы, можно
записать (х3 + хб + х9 + ... + х93)' = (В)1 = А.
467

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Найдем В = х + х6 + х + ... + я93, т.е. сумму
геометрической прогрессии, где \ = х3, д = я3, п = 31.
fx3 (х93 - 1)У _ (96 (х95) - Зх2) ¦ (х3 - 1) - Зх2 (х96 - х3) _
( х3 - 1 J (х3 - I)2
_ 93х98 - 96х95 + Зх2
Отсюда 3-52 + 65s + 9-58 + ... + 93-592 =
_93-59S-96-595 + 3-52
(53-!)2
Задача 12.
XI - 1,1.1,1, 1
Наитисумму:3 + 8+15 + 24 + - + (га+1)2_1'
Решение,
Заметим, что ^ = "о г~о I • Имеем
(я + I)2 - 1 2 [п п + 2)
*.4(ИИИНИН^4) +
Задача 13.
M + 2-3 + 3-7 + ... + n(2n-l) = S.
1 (2 - 1) + 2 (4 - 1) + 3 (8 - 1) + ... + и (2В - 1) =
= (2-1 - 1-1) + (2-4 - 2-1)+(3-8 - 3-1)+...+(п-2" - пЛ) =
= (2'-1 + 2-22 + 3-23 + ... + п-2") - (1 + 2 + 3 + ... + я).
S, = 1-21 + 2-22 + 3-23 + ... + п-2";
468

22. СУММИРОВАНИЕ
-2S1 = 1-22 + 2-23 + 3-24 + ... + (и - 1) 2" + n-2n+1;
-S,= [1-21+1-22 + 1-23 + 1-24 + ... + 1-2й-п-2л+1] +
+ (1 +2 + 3 + ... + n).
Обозначим выражение в квадратных скобках через А,
1+2 + 3 + ... + п = В. Тогда
2(1-2")_2-2"+' (и+1)«.
А р—^ j ^ L , И- 2
-51 = 2-2--«.2-+^21^;
S = 2^(n-l) + 2-^^.
Задача 14.
Найти сумму
1 + 2-3 + 2-4-5 + 2-4-6-7 + ... +2-4-6-8 X...
х (2 (?-1)(2?-1) +...).
Решение.
Замечая, что и-й член равен 2-4-6-...-2 (и- 1)(2п - 1)
и складывая тождества
1 = 1;
2-3 = 2 (4-1) = 2-4-2;
2-4-5 = 2-4 (6-1) = 2-4-6-2-4;
2-4-6-7 = 2-4-6-8-4-6;
2-4-6-8-...-(2(и-1)(2п-1)) =
= 2-4-6-...-(2п)-2-4-...-(2(га-1)),
получим S = (2-4-6- ... -2и) - 1 = 2" • п\ - 1.
469

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 15.
Найти сумму S = 8 + 2-89+3-899+48999+...+ n-8999...9
Решение. п раз
Так как 8 = 9 - 1;
2-89 = 2(9-10-1) = 9-2-10-2;
3899 = 3 (9 102 - 1) = 9-3-102 - 3;
/г-8999...9 = и(9-10п-1-1) = 9и-10п-1-п!
п раз
то данная сумма
S = 9(l + 2-10 + 3-102 + ... + tt-10"-')-ra('n2+1)-
Пусть А = 1 + 2-10 + 3-102+...+(л + l)-10n_I - 10% тоща
ЮА = 10 + 2- 102+...+(п - 1) 10""1 + и- 10* - 10п, откуда
- 9А = 1 + 10 + 102 + 103 + ... + 10*-1 - п- 10" и
следовательно, S = | ((9« - 1) 10* + 1) - ге("2+1).
Задача 16.
Найдите значение выражения:
I2 - 22 + З2 - 42 + 52 - б2 + ... + 9992 - 10002.
Решение.
Первый способ.
I2 - 22 + З2 - 42 + 52 - б2 + ... + 9992 - 10002 =
= (1 - 2)(1 + 2) + (3 - 4)(3 + 4) + (5 - 6)(5 + 6) + ... +
+ (999 - 1000)(999 + 1000) = - 3 - 7 - 11... - 1999 =
ч + iggg
= - 2 • 500 = - 500500.
470

22. СУММИРОВАНИЕ
Второй способ.
I2 - 22 + З2 - 42 + 52 - б2 + ... + 9992 - 10002 =
= - 1 (1 + 2) - 1 (3 + 4) - ... - 1 (999 + 1000) =
3 + 1999
о - (3 + 7 + 11 + ... + 1999) = - з • 500 = - 500500.
Задача 17.
Найдите сумму: 1 + 26 + 36* + 463 + 5ЬА + ... + пЪп~\
Решение.
1 + 1Ъ + ЗУ + 4У + 5Ь4 + ... + п?~1 =
= (1 + 6 + У + У + ... + У"1) + (Ь + У + У + Ъл + ... + lf~l) +
+ (У + У + b4 +... + if-1) +... + (if1-2 + У-1) + У-1 =
_ l -у 6-у ^-y y-2-y y-1 - у
~Т^У + Т^6 + l-i+ — + 1-6 + 1-6 ~
= рГй ((1 + * + Й2 + ... + У"1) - n^) =
1 (l - У _ J\ 1 - У - пУ + nB+1
1-6^1-6 '""J (1 - 6)2
_ 1 - (1 + n) У + пУ*1
(I-*)2
Задача 18.
10 и — 1 1
Докажите, что чт + о? + ••• + —г~ =1 г» л ^ 2.
2! 3! п\ п\
Решение.
При п = 2 имеем у^у = 1 - уТо' т*е- Д-712 л = 2 формула
верна. Предположим, что она верна для некоторого
натурального п = к, т.е.
5(Л) = 2Г+зГ + - + ПкГ=1""Ж-
471

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Докажем, что тоща она верна и для п = к + 1:
5(*+1) = 2Т+зТ + ...+ "ItT + (* + 1)! =
(*+1)! &!+(*+1)!
_1 *+1~к - 1 _ 1
(jfc+l)! х (*+1)Г
Задача 19.
Докажите, что:
ИИ)Н)-Н)=^.
Решение,
/г 2*2.
При я = 2 имеем [ 1 - -т] = ^.о » T-e# для л = 2 формула
верна. Предположим, что формула верна для некоторого
натурального п = &, т.е.
Пе>=ННМ-И)=^-
Докажем, что тоща она верна для п = к + 1:
п<*+1)-(.-})(ч)Н)-^-^-^)=
гт„ч /, 1 N *+1# + 2*+1-1
(fc+l)2j 2& (/fc+1)2
_ fc (fc + 2) _ (ft + 1) + 1
~ 2к (к - 1) ~ 2 (& + 1) *
Задача 20.
Найдите сумму 1-1! + 2-2! + 3-3! + ... + п-п\.
Решение.
1 • 1! = 1, 1 + 2 ¦ 2! = 5, 1 • 1! + 2 • 2! +
+ 3-3!= 23, 1-1! + 2-2! + 3-3! + 4-4! = 119
472

22. СУММИРОВАНИЕ
Замечаем, что 119= 120-1 = 5! - 1, 23 = 24- 1=4!- 1,
5 = 6-1 = 3! — 1, 1 = 2-1=2!- 1. Можно предположить,
что 5(л) = 1-1! + 2-2! + 3-3! + ... + л-л! = (л+1)!-1.
Докажем это. Для п = 1 формула верна. Предположим, что она
верна и для некоторою натурального п = &, т.е.
S (к) = 1-1! + 2-2! + 3-3! + ... + к-к\ = (* + 1)! - 1.
Докажем, что тогда она будет верна и для п = к + 1:
S (к + 1) = S (к) + (к + 1)(к + 1)! = (к + 1)! - 1 +
+ (к + 1)(* + 1)! = (к + 1)!(1 + к + 1) - 1 =
= (к + 1)!(* + 2) - 1 = (к + 2)! - 1.
Задача 21.
Выведите формулу суммы
S М = V2 + ЪЪ + - + п(п+1)#
Решение.
5(3) = 5(2) + 3i4=|+314=f.
Сравнивая полученные выражения, делаем
предположение, что 5 (п) = —тгт* Докажем это. Для п = 1 формула
верна. Предположим, ^что формула верна для некоторого
11 1 к
п = к, т.е. S (к) = Y2 + 2^3 + — + ]fc(*+l) = FTP
Исходя из этого предположения, докажем справедливость
формулы для п = к + 1:
11 1 1
1-2 2-3 ft(ft+l) (ft+!)(* +2)
1 ft 1
= s (*) + (ft + l)(ft + 2) = F+T + (ft + l)(ft + 2) =
ft2 + 2ft+l (ft+1)2 ft+1
(ft + l)(ft + 2) ~ (ft + l)(ft + 2) ~ ft + T
473

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 22.
Доказать тождество:
U1,LL ._J L-._J_4--i-.4- 4-J-
i 2-t-3 4"*"--"1" 2А-1 2к~ к+l к + 2~''г 2к*
Решение.
Прибавим и вычтем из левой части сумму
2 + 4 + 6 + 8 10 + '" + 2ifc'
Сделав группировку, получим:
l+L+L+i+ + _J_ + J__ (I + I + I + I +
i + 2 + 3 + 4 + ," + 2?-l+ 2/fc ^2 + 2 + 4 + 4 +
+ 1 + 1+ +± + ±) =1+1 + 1+ +1 +
+ 6 + 6 + "• 2к + 2к) L + 2 + 3 + '" + к +
+ FfT + "- + 2/fc-l + 2fc~ ^ + 2^ "^ "3 + * * * + ^J *
Задача 23.
Докажите, что
i 2i-3 4^-'r999 200 101 + 102 * "* ^ 200*
Решение.
Преобразуем правую часть данного равенства
^-+ +J--1+±-
+!+...+
= 1+ — + -=-+ Ч—— + i + —+
3 5 199 2 4
= 1+Ы+-
Задача 24.
Найти сумму
+1
-+199
1
199
+ 200
'•+2б0"2(
1
2
1 1
4 6
-1-
'*¦
••
1
"2"
*¦
. —¦
-...-
¦...+•
1
200'
1
100 ~
200)
s - 1 I * I I . 1 ._
й« " VT+ V3"+ V3~+ V3~+ - + V2« - 1 + V2?TT
474

22. СУММИРОВАНИЕ
Решение.
1 Vn + 2 - VrT
Vn~+ Vn + 2 2
Sre = 1 [(V3~- VI) + (V3~- V3)+...+(V2n+l - V2n-1)] =
= ^(V2n + l -1).
Задача 25»
Показать, что если а > Ъ > О, то разность между средним
арифметическим и средним геометрическим этих чисел на-
(а - bf {а - Ъ)2
ходится между gg и 8г> .
Решение.
Рассмотрим неравенство:
а + Ь Г1Г^ (а - Ъ)2
(V^-VF)2<^;
Рассмотрим неравенство:
(a-ft)2 „ a + ft _
Неравенства (1) и (2) справедливы, так как <2>й>0.
Задача 26.
Вычислить сумму
I2 - 22 + З2 - 42 + ... + 992 - 1002 + 1012.
475

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Имеем:
I2 - 22 + ... + 1012 = 1 + (1012 - 1002) + (992 - 982)+...+9 +
+ 5+1 = ^-(201 + 1) • 51 = 101 • 51 = 5151.
Задача 27.
Доказать, что сумма I3 + 23 + З3 + ... + м3 при любом
целом п есть квадрат целого числа.
Решение.
Докажем методом математической индукции
I3 = I2;
I3 + 23 = 1 + 8 = (1 + 2)2;
I3 + 23 + З3 = 36 = б2 = (1 + 2 + З)2...
2
I3 + 23 + З3 + пъ = (1 + 2 + 3 + ... + п)2
1 + п
I3 + 23 + ... + г? + (п + I)3 = (I3 + 23 + ... + /г3) + (п + I)3 =
12 Г 2
+ (п+1)3 = («+1)2 ^- + дг+1|
(п + 1) п
2)
п2
_ 2 п2+ An + 4 _ (п + 1)\п + 2)2. _ \{п + 1)(п +
- I* + Ч • 4 4 [ 2
Задача 28.
Даны десять чисел Si ^ 52 ^ ... ^ S10, которые являются
попарно взятыми суммами пяти чисел хх ^ х2 ^ ... < х5.
Выразить числа х через числа S.
Решение.
Очевидно, что Sj = хх + х2; ?2 = Xj + хг\ S9 = х3 + х5;
510 = х4 + х5* Каждое xt (i = 1, 2,... , 5) входит точно в четыре
суммы 5., следовательно, S=S1+S2+...+S10=4(x1+*2+...+x5).
Из выражении для *St, S2, S10, S легко находим
476

22. СУММИРОВАНИЕ
*! - Sx + S2 + Sl0 - 4.
Аналогично из выражений для S2, S10, S находим
X2 - -4 "" S2 ~
ПОТОЧНО так же находятся:
х3 = S4 - Sj - S10; x4 = 4- - 5t - S,;
x5 = Sx + S9 + SlQ - -^.
477

23. ЛОГАРИФМЫ
Задача 1.
Доказать, что если а>0, х>0, N>0, то
1) logaN= 1
log^ а'
loghN
2)log^ = lo^ (b>°; Й"1)!
3) logaN = \ogcPNn;
log„N
5) togTAT+ log 2 AT + logTw + log , # + logTtf = *5 log" a;
" a a a a
6) loga<2...a x =
+^-+...+- x
logfl x loga x '" loge X
7) logaN • log^ + log^JV • logc#+ logc# • logfl# =
^logflAr*log^'logcAr
Решение.
log JV
1) Имеем a e = JV. Прологарифмируем обе части
равенства по основанию ЛГ:
loga JV • log„ а = log„ N, значит, loga ЛГ = щ-^
log /V
2) Имеем а а = N. Прологарифмируем обе части
равенства по основанию b (6 > 0, 6 96 1). Имеем
log N
\ogaN>logba = logbN, или logaN= ^^-.
rt log N ^
3) Имеем а а = ЛГ . Прологарифмируем обе части
равенства по основанию а:
logaN- log^tf^logaAT", или logaA^ = log„iVr,r.
47a

23. ЛОГАРИФМЫ
4) Поскольку log^ N = log ^ = г + log ft » то
утверждение задачи доказано.
5) Поскольку log к JV = -г loga N, то
й /с
1 :+ 1 + 1 + 1 +. 1
loe-N log2N log з-ЛГ log 4N log 5 AT
u a a a a
6> lo^a2...an * = log* ^ + logx ^ + ... + log* a„ =
1 .+ !+...+. 1
Iogex loge x "• loge X
I 2 n
7) lQg N = logjy abc = logw a + log^ b + logw с =
1 + ^4- X
logaJV log^iV logciV
logbN - logc# + log^ * logc# + logaN * logbN
logaNlogbNlogcN
Задача 2.
Дано Iog^ 27 = а. Найти logg 16.
Решение.
log1227 = 31og123 = logJ + 1 = a; log43 = y^;
i u oi a 2 4 12-4л
log616 = 21og64 =
2
Задача 3.
Дано logj4 2 = a. Найти log4916.
log43+l 21og43 + l 3 +

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
log4916 = log, 4 ш 2 log, 2; log.4 2 = l ? + l = a;
Задача 4.
Дано log4 125 = а. Найти lg 64.
Решение.
log4 125 = 3 log4 5= a;
i Л4 _ 3 _ 3 18
610 1^10 = log45 + I = 3 + 2«'
Задача 5.
Дано log5 4 = а и log5 3 = 6. Найти log2512.
Решение.
log2512 = ^log5 12 = |(log54 + log53) = ^|A
Задача 6.
Дано lg 125,5 = а и lg 7 = b. Найти lg 5.
Решение.
Ig5 = lg2,5 + lg2, I=lgl0 = lg5 + lg2;
1-Ig2 = lg2 + Ig2,5, Ig2 = i(l-lg2,5);
Ig5=l-|(l-lg2?5)=1+12g2>5;
179 ^ 1
lg2,5 = lg-^- = lg 122.5 - 21g7; lg5 = ^(1 + a - 2i).
Задача 7.
Дано 1о?зб 8 = a. Найти log^ 9.
480

23. ЛОГАРИФМЫ
Решение.
1113
log36 8 = 2 1°ё6 8 = j ^ 4 + 2 log6 2 = 2 loge 2 =
_ _ x4^n_ _ i q « 3 - 2a .
-2iog23 + 2"-a' log2*-^~2^~'
* л , ~ 1 3 — 2a 1 2
log,69 = log63 =1^r?T=^T^= 1 -3 a.
Задача 8.
Дано log6 2 = a. Найти log6 9.
Решение.
1 1 — n
log«2 =Т^з+Т-= a; log23 =~~^;
in 1 2 2(1 -a) „ .
Задача 9.
Зная, что lg 64 = а, найти lg V23T
Решение.
lg 64 = 3 lg 4 = a; lg 4 = -5-;
igzo3 -3 ig 4 -3 3ig^-3 9-
Задача 10.
Зная, что log6 2 = a, найти log3 6.
Ответ: -z .
1 - a
Задача 11.
Вычислить log25 24, если log615 = а и log^ 18 = /J.
Решение.
Имеем: log1218 = 2 log^ 3 + log12 2 =
481

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
2 + 1 = :> + 1
logg 12 log2 12 2 log3 2 + 1 2 + lo^ 3
2 log, 3+1
= 2 + log23 = & T*e' 2 lofe 3 + 1 = 2^8 + /3 log2 3;
log23(2-/?) = 2/?-l
20-1
а так как /S * 2, то log2 3 = T_ д .
Далее, logg 15 = logg 3 + logg 5;
l0^3 = i^=r5^=frT*0тсюда:
log6 5 = a - ^Tf = ^ + t • Имеем:
, 9 1 1 _ 2-j8
log62"log26" 1+10^3 " )8+Г
Задача 12,
Доказать, что если а и ? — длины катетов, ас — длина
гипотенузы прямоугольного треугольника, то
logc+> а + logc_6 а = 2 logc+ft а • logc_6 а.
Решение.
При а = 1 это очевидно. Пусть а * 1. Тоща
logc+J а + log^ а = loge (с + щ + loga (с _ Ъ) =
loga (с - Ъ) + loge (с + Ь) loga a2
loga (с + A) loga (с - Ь) loge (с + Ь) loga (с - й)
- loga(c + b)loga(c-b) " 2 log~»а •log-»й<
Задача 13.
Вычислить (без калькулятора)
(logj 3 + log316 + 4)(log2 3-2 log,2 3) log3 2 - log2 3.
482

23. ЛОГАРИФМЫ
Решение.
1) log2 3 + 1о§з 16 + 4 = log2 3 + 41о§з 2 + 4 =
(1+210ёз2)2
" 1оёз2 *
2)106,3-2106,3 = ^-^ =
__1 2 1
^2 l + 21ogj2 log3 2(l + 21og3 2)'
(1 + 210ез2)2 1 . 9 _
6) log32 ' toft2(1 + 21og,2) ' 10g>z
l + 210g32 i _
-l0^3-Tg72 tog72"2-
Задача 14.
Известно, что числа 3; 3 logy х, 3 logzy и 7 log^ z образуют
арифметическую прогрессию. Доказать, что х12 = у21 = z2*.
Доказательство.
Обозначим logy х = a; logz ;у = 6. Тогда
f2 • За = 3+ 36,
2 • 36 = ^ + За,
1 + 6 _ 7-2 _,_ 3(1 + а)
откуда а = —^—; 66 = ^1+ . + —^—> значит,
1262 (1 + 6) = 28 + 36 (1 + б)2, или
2763 + 1862 - 96 - 84 = 0.
Пусть 36 = с, тоща с3 + 2с2 - 84 = О или
(с - 4ХС2 + 6с + 21) = 0, значит, с = 4,
483

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
г ч '1 ' 6 7
3"' а = 6' logyх = 6' Т'е# = у
Имеем: logzy = ^-, т.е. у =- z , откуда у21 = z28,
Задача 15.
При каких х числа lg 2, lg (2х - 1) и lg (2х 4- 3) составляют
арифметическую прогрессию?
Решение.
Имеем: 21g(2x - 1) = lg 2 + lg(2x + 3);
lg (2х - 1) = lg [2 (2х + 3)], откуда (2х - I)2 = 2 (2х + 3).
Пусть 2х = у > 0. Тоща (у - I)2 = 2 (у + 3), т.е.
у2 - 2у + 1 = 2у + 6, или у2 - 4у - 5 = 0; ух = 5, у2 = -1.
Так как у > 0, то второе значение отпадает. Итак,
у = 5, т.е. 2х = 5, х = logjj 5.
Задача 16.
Ч flg а)
Упростить: a lga .
Решение.
Обозначим lg а = х, у = я lE a • Имеем
lg а • lgy = lg (lg a) lg a, откуда л: lgy = lgx*,
следовательно, lg y* = lg #", или у* = Xх, значит,
Rj =1, x = y, y = lga.
Задача 17.
Дано: lg 2 = a, lg 7 = i. Найти log8 9,8.
Решение.
484

23. ЛОГАРИФМЫ
_21g7 + lg2-l _ 2b + a-l
" 4HgT "За :
Задача 18.
Дано: у = l(Tlg *, z = 10ы* y. Доказать: x = lO1'1* z.
Доказательство.
Имеем (1 - lg x) \g у = 1, (1 - lg >>) lg z = 1. Отсюда
i i 1 1 1 1 -
lgz
Поэтому x = lO1"1*z.
Задача 19.
Доказать, что если а, Ъ и с — три последовательных
члена геометрической прогрессии, то
logg-Jogs* logfls
Zo6 х - logc x logc x
Доказательство.
logab
Так как log& a = ^СГТ и 6 = Vac", то
, 1 L_ -
log*x"loj^ft " logxVaF~
log^ a + log^ с loga x + logc x'
Подставляя значения log6 x в левую часть доказываемого
равенства, получим
logax-logbx _
log^x-logcx
- log* * (logfl * + logc х) - 2 loga х • logc х _
~~ 2Tog^x • logc x^ logc x^og^xl^io^^ ""
= .Q-^x^JZ^X-l^x _ logfl* (logflx- logcx) _ logflx
log^THk^^ bg^lo^x^nog^O logcx*
485

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 20.
Доказать, что если log**; logmx; logrtx образуют
арифметическую прогрессию, то /г2 = (кп) *к .
Доказательство,
По определению арифметической прогрессии можем
записать: log^, х - log* х = log^ х — logm x, или
log*m s* log*rc log*m*
Сокращая на log* x, приводя подобные члены и
потенцируя, получим:
ld~^=1+ld^; 2b>ekn = logkm(logkn+iy,
log* п2 = log* m • log* (nk)\ log* n2 = log* (nk) °hm;
n* = (nk?Km.
Задача 21.
Доказать, что logg 3 — иррациональное число.
Доказательство.
Поскольку 1 < log2 3 < 2, то log2 3 — число не целое.
Предположим, что log, 3 = —, где тип — натуральные числа.
Тоща 2т = 3". При тип — натуральных, это равенство
невозможно.
Задача 22.
Доказать, что если а = log^ 18 и /J = log^ 54, то
<з? + 5(а-?) = 1.
Доказательство.
1 1* 1оёз18 2 + 10^2
Имеем а = tofa 18 = ^-^ = 1 + 21о?з2;
я-w <4 - log354 - 3 + 1°ga2
p-iog2404 - 1о^24 - з!оь2+Г
486

23. ЛОГАРИФМЫ
(2 + log, 2)(3 + log, 2)
Теша afi + 5 (« -0) = -^Т^Г^Щ
log*2 + 51og32 + 6 51og^2-5
(31og3 2 + l)(l + 21og32) (3k>g,2 + l)(l + 21og,2)
_ 6^2 + 510^2+1 _
" (3^2+1)(1_2^2) " L
Задача 23.
Дано lg 676 = a, lg 104 = b. Найти lg 2.
Решение.
Имеем: 676 = 22 • 132, 104 = 23 • 13, значит,
lg676 = 21g2 + 21g 13 = a; lg 104 = 31g2 + lg 13 = b.
Имеем
61g2 + 21gl3 = 26,
-21g2-21gl3 = -a, . 0 2b-a
° ° ' значит, lg 2 = —j—.
41g2 = 2i-a,
Задача 24.
Дано log712 = a; log12 24 = b. Найти logJ4 168.
Решение.
log, 168 log, (8-3-7)
Имеем log54 168 = -щ^ = ~^ЩТЩ- =
_ logy 8 + log, 3 + log7 7
logy 27 + logy 2 *
Ho logy 72 = 2 logy 2 + logy 3 = a,
logy 24 logy 3 + 3 log, 2
log* 24 = 1о?Т2 = log712 ' = b>
2 logy 2 + logy 3 = a, logy 3 + 3 logy 2 = ab,
тогда logy 2 = ab — a.
(1)
487

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Поскольку logy 3 = а — 2ab + 2а = За — 2ab. то
1 .со _ Заб - За + За - 2ab + 1 ай +1
log54 108 - 9а - 6а* + ад - а "За - 5а&
Задача 25,
Вычислить 2^^ - 3*^.
Решение.
Заданная разность равна нулю, так как
2Vlog23 - З^1^".
Действительно, log22log23 = Vlog3 2 • log22 = Vlog2 3.
1оё23^ = уЩГГ- log23 = ^^^ = VIogTT.

24. Показательные и логарифмические
уравнения, неравенства, системы
Задача 1.
Решить уравнение: 5х + 2*+1 • 3х = 32х + 22х.
Решение.
Преобразуем данное уравнение:
5* + 2-2*-3* = (3*)2 + (2х)2;
5х = (3х - 2х)2; (VT)*= 13*-2*1.
Если л; ^ 0, то (VT)* = 3* - 2*, т.е.
(?)+ №'
Легко видеть, что х = 2 является корнем уравнения. Этот
корень единственный, так как левая часть уравнения —
убывающая функция.
Если х<0, то (vT)* = 2х - 3х, т.е. [^f 1 + [f | =1
($)¦&)¦-
Функция/(х) = |-у] + [у] — 1 монотонно возрастает,
а поэтому уравнение / (х) = 0 не может иметь более одного
корня. Неравенства /(—3)<0 и /(—2)>0 показывают, что
корень существует и лежит в интервале ]-3; -2 [. Этот корень
можно вычислить приближенно с любой степенью точности*
Итак, данное уравнение имеет два корня.
Задача 2.
Решить уравнение 3х (32(*+1) - 1) = 3х • 6552.
Решение.
6552 = З2 (Зб - 1);
у (32<*+1> - 1) = 3х • З2 (Зб - 1)
Докажем, что х = 2. Действительно, если х > 2, то левая
часть уравнения больше правой.
489

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Если х < 2 — наоборот. Остается, что х = 2.
Задача 3.
Решить неравенство Vx~> In (х + 1).
Решение.
Неравенство равносильно неравенству /(х)>0, где
/<*) = VF-ln(*+l); /' («) = -Щ- 7ТТ = 2 V3T(x Vl) =
(V3T- l)2
= 2VFfa+ 1) > ° на пР°межУтках 1°; И и ]1; oo [.
Следовательно, y(x) возрастает на промежутках [0; 1]
и [1; оо [, а значит, и на промежутке [0; оо[. Поэтому для
х Е ]0; оо [ имеем: у (х) > у (0) = 0.
Ответ: х G ]0; со [.
Задача 4.
Решить уравнение (х - у)2 + (ех - у)2 = 0,5.
Решение.
Левая часть уравнения представляет собой квадрат
расстояния от точки с координатами (я; у) до точки А с
координатами (я;; ех). Найдем наименьшее расстояние г между
точками биссектрисы первого и третьего координатных углов
и точками показательной кривой. Это расстояние равно
расстоянию между биссектрисой и касательной к показательной
кривой, параллельной к биссектрисе; уравнение касательной,
как нетрудно показать, есть у = х + 1, а тогда г = -рр
Поскольку наименьшее расстояние -ту достигается только
в случае, когда А — точка касания, то х = 0, а тогда у = ^
и, таким образом, единственным решением данного уравнения
является пара [О; ^Ь
Задача 5.
Решить уравнение 3 • 52x+i - 7 • 24x+l = 19.
490

24. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы
Решение.
Перепишем уравнение в виде: 14 • А2* + 19 = 15 • S2*.
После деления обеих частей на 5** получим
2х /„V 2х
м-т
$+^=.,
1
Легко проверить, что х = -~ является корнем этого
уравнения, а поскольку левая часть уравнения убывающая
функция, то этот корень единственный.
Задача б.
Решить уравнение 2 logj ctg х = log2 cos я.
Решение.
Обозначим log2 cos х = у. Тоща cos х = 2У, ctg2 * = Зу,
2
ctgx>0. Но ctg2* = C0S х
1 - COS X
Задача 7.
При каких а уравнение log2x (ах + 1) = w имеет
единственное решение?
Решение.
V2x = ах + 1,
2х = (ах + I)2,
ах + 1 > 0.
.2 _2
(1)
(2)
При а = 0 уравнение а х + 2(а-1)*+1=0 имеет
единственный корень х = -~. Поэтому при а = 0 система (2)
решений не имеет. Пусть теперь а * 0. В этом случае при
491

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
а>2 уравнение а2л? + 2 (а — 1) х + 1 = 0, а значит, и система
(2), решений не имеют. При а = -~ система (2) имеет
единственное решение. Итак, пусть а < ^, а * 0. Положим
_ 1 -а + VI -2а _ 1 - а - V2 - 2а
"^1 72 5 ^2 ~~ ^2
1 l+Vl-2a , 1 l-Vl-2a
Тоща ax + 1 = ; ax2 + 1 = .
1 a z a
Подставив в уравнение a2 x2 + 2 (a - 1) x + 1 = 0
«запрещенный» корень x = -у получим a = 0 или a = — 4. У нас
a * ©. При a = - 4, имеем: xt = «-, х2 = тт.
При a G 0; W Ь имеем: ^ ^ 2'
axj + 1 > 0 и х2 * ~ а*2 + 1 > 0.
Значит, при таких х система (2) имеет 2 решения.
При a < 0 ах{ + К 0, оя2 + 1 > 0. Выше мы уже
отмечали, что при а Ф 0 имеем х2 ^ -^-.
г: |±} U ]-;
Ответ: \±\ U ]-°°; 0[.
Задача 8.
Решить уравнение (V3~)* - 2х"1 = 1.
Решение.
Зх/2 гьх-1
Положим fix) = Т* - 2 . Тогда
/'(*)<0 oi.35c/2ln3-i-2*ln2<0
492

24. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы
и поэтому функция / возрастает на (-<»; а] и убьшает на
[а; +оо), ще а = log -у- logj 2. Следовательно, уравнение
f(x) = 1 имеет не более двух корней. Но /(2) =/(4) = 1, так
что корнями данного уравнения являются 2 и 4.
Задача 9.
1о§2 (1 + уГх) = log3 х.
Решение.
log3 х = у. Тогда уравнение примет вид:
log2 (1 + у/?) = у, или 1 + (V3~)y« 2*, откуда
(i)"+(f)'=1; ,.*,.*
Задача 10.
Репшть уравнение (V2 + VTf + (V2 - VT)X - 8.
Решение.
Легко видеть, что (V2 + VTY = —> _,—.
_ } (V2 + VT )х
Обозначим (V 2 + V3")* = у, тоща получим уравнение
у2 - 8y + 1 = 0, из которого находим у = 4 ± VT71
log4±VT3T
Ответ: # « —Е-7===г,
logV2 + VT
Задача 11.
Решить уравнение 27х - 7 V7 • 3х + 6 = 6.
Решение.
Обозначив 3х через *, перепишем уравнение в виде
493

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
? — 6
Функция y = f(t) =—- возрастающая, и если вы-
разить t через у, t - V7y + 6, то полученное уравнение можно
записать в виде f(t) = g(t), ще g — функция, обратная к t
Но графики возрастающей функции и ее обратной могут
пересекаться только на биссектрисе первого и третьего
квадрантов, так что
/(О = 8(f) о fit) -to ? -6 = 7t о
о?-7*-6 = 0о(*- 3)(? + 3t + 2) = 0 о t = 3.
Следовательно, единственным корнем исходного
уравнения является х = 1.
Задача 12.
Решить уравнение 2 lsinxl1+ln2 = 1 + Isinxl.
Решение.
Так как Isinxl102^ 1, то
2 lsin*l1+ln2*s:2 lsin*l ^ 1+ Isinxl.
Поэтому левая часть уравнения равна правой в том и
только в том случае, коща оба неравенства превратятся в
равенства, т.е. при I sin ^1 =1, х = -у + тек (kGZ).
Задача 13.
Определить а так, чтобы сумма квадратов всех решений
уравнения loga \х — 2а\ + logaх = 2 равнялась 4.
Решение.
Заданное уравнение равносильно уравнению
х \х — 2а\ = а2,
для решения которого следует найти положительные корни
уравнения х2 (х — 2а)2 = а4, или
(х2 - 2ах + с?)(х> - 2ах - а2) = 0.
494

24. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы
Так как а>0, то это уравнение имеет положительные
корни а и а (1 + V2), откуда получаем, что сумма квадратов
корней равна 4 только при а = V 2 — VT.
Задача 14.
Решить уравнение х]0**9 = х2 • З108** - х^3.
Решение.
Пользуясь легко доказуемым равенством d0** = ti0%*
(прологарифмировать обе части равенства), преобразуем данное
уравнение: 9log^ = х2 • 3log^ - 3l0f^; 3tog^ = х2 - 1.
Положив log2 х = у, получаем Зу + 1 = 4У, или
Это уравнение имеет корень у = 1 — единственный, так
как левая часть — убывающая функция. Поэтому исходное
уравнение имеет единственный корень х = 2.
Задача 15.
Решить уравнение log^ х sin я; + 1о^п х cos х = 2.
Решение.
Воспользовавшись формулой log6 а = j т, приведем
данное уравнение к такому: log^ х sin х + -. :— = 2 или
lu©cos л: "HI X
logos xsin2 х - llo^ xsinx + I + 0.
Отсюда: (logcos x sin x - I)2 = 0, log^ x sin x = 1;
sin x = cos x, tg x = 1, * = 2Rrc + -j.
Здесь нельзя написать x = Дл; + -j, так как при
Я = 2гс + 1 будет sin х < 0 и cos х < 0, а этого не должно быть,
потому что cos х и sin х являются основаниями логарифмов
не могут быть отрицательными.
495

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 16.
Решить уравнение 2 (V2 - VT)X + (4 V2 + VT)X = 3 • 2х
Решение.
Перепишем уравнение в виде:
(V2 - VT)X + (2 V2 + у/Ту = 3.
Поскольку V2-vT=77———, то / - Зу + 2 = 0,
откуда у{ = 1, у2 = 2. Далее находим:
*l U' *2 lg(2V2 + VT)-
Задача 17.
Решить уравнение 9х - 5х - 43* = 2 V20\
Решение.
Преобразуем уравнение:
9х = (2х + 5х12)2 , 3х = 2х + (V3T)X, или
Ш-
Отсюда находим, что х = 2. Других решений уравнение
не имеет, так как при х > 2 левая часть последнего уравнения
меньше 1, а при х<2 — больше 1.
Задача 18.
При каких действительных числах а, Ъ равенство
аЫх + Ь = Ы(ах + Ь) (1)
является тождеством в своей области определения?
Решение.
Пусть сначала а>0, тогда область определения данного
равенства — пересечение лучей ]0; оо [ и 1 ; <» Г, т.е.
некоторый луч. Если равенство (1) является тождеством, то
496

24. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы
оно остается тождеством и после дифференцирования. В этом
а а
случае мы получим — = —-г-г.
л ах "г о
Это тождество выполняется, очевидно, лишь при Ъ = 0 и
а= 1; полученная пара (1; 0) является решением.
Пусть а = 0, тогда равенство (1) принимает вид
# = 1пй и не выполняется ни при каком Ъ* Если а<0, то
область определения (1) — пересечения лучей ]0; оо[ и
1 -оо; Г при 6^0 пересечение пусто, при Ъ>0 —
интервал. Снова дифференцируем. Придем к значению а= 1, что
невозможно.
Ответ: (1; 0).
Задача 19.
При каких значениях а и Ъ имеет место неравенство
1о&(*й)>1о*Ш?
Решение.
Имеем: 2 + loga Ь > - 5 logb а, или
21ogfla + log^ + 5 ^ n (logfl6+l)2 + 4 ^ А
iog~* —logi;— °' MeA°BaTejibHo>
logfl i > 0.
Итак, либо a> 1 и й > 0, либо 0 < я < 1 и 0 < й < 1.
Задача 20.
Решить неравенство log2 (х9 - 2х5 + Зх) ^ 1.
Решение.
Область определения неравенства — множество решений
неравенства х (х* - 2х4 + 3) > 0 — промежуток ]0; оо [. На этом
промежутке исходное неравенство равносильно неравенству
f(x) = х9 - 2х5 + Зх- 2 ^ 0;/'(х) = 9xs - 10х4 + 3>0длявсех
л:, поэтому f{x) возрастает и, стало быть, f(x)^0 при
х**1 (/(1) = 0). Учитывая область определения, получаем
ответ: xG ]0; 1].
497

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
: + 2<ln(x+1)<2(jc+l)-
Задача 21.
Доказать, что при х > О
_2х
Решение.
Рассмотрим на промежутке ]0; +оо[ функцию
/(х) = 1п(х+1)-^у. То1^а
/W jc+1 (х + 2)2 (х+1)(х + 2)2 U'
и, следовательно, функция / — возрастающая, поэтому для
любого х>0 выполняется неравенство /(*) >/(0) = 0. Это
доказывает одно из требуемых неравенств. Второе
неравенство доказывается аналогично.
Задача 22.
т> / 1\ . 2ЛХ АЖХ
Решить уравнение log2 \х + — = sin -у + cos -у.
Решение.
Найдем минимум левой части.
Так как х + — > 2, то
х
log2 (л + --| ^ 1> следовательно, minlog2 |* + ~~] = !•
Найдем теперь максимум правой части, он очевидно
также равен 1.
Равенство может выполняться лишь при
Ответ: х = 1.
Задача 23.
х (х + 2)
Доказать неравенство In(1 + х) < ~) . iу * > 0.
498
log2 [х + ^| =1, х2 - 2х + 1 = 0, jc = 1.

24. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы
Доказательство.
х(х + 2)
Для функции /(х) = In(1 + х) - 2} + IV х ^ ® имеем:
/(0) = 0и/'(х) = -2(^1)2<0, х>0.
Следовательно, функция убывает, и /(х)</(0) = 0 для
х>0.
Задача 24.
Доказать неравенство In (1 + х) < х на промежутке
]0;оо[.
Решение.
Пусть /(х) = In (1 + х) - х. Тогда /'(*) = у~ 1 =
= , < 0 на промежутке ]0; оо [. Следовательно, на этом
промежутке /(х) </(0) = 0.
Задача 25.
log3y lo^x ^ з«р
Решить систему J *v* *+ 7у " 81 V3'
{20* г>> 7:
\ху = 9 V5T
Решение.
Из второго уравнения у = х~1 • 38/3. Подставляем в первое:
2ox-iog3*+8/3 + 7xrbV . 38/з iog3 * = 81 ^
Учитывая, что 38/31og>* = (31о^)8/3 = х8/3,
20^/3-iog3, + 7x8/3-iog3x = 81 ?/j; откуда х8'3"10^* = 34/3.
Теперь прологарифмируем по основанию 3.
3 log2, х - 8 logg х + 4 = 0.
Решая квадратное уравнение относительно log3 х, получим
х{ = 32/3; х2 = 9. Находим соответственно yt = 9; у2 = 32/3,
Ответ: (V?T; 9), (9; to).
499

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 26.
Решить систему \
log;
x?VyTT
= 2,
2 4
lOgg X ¦ 10g2 (У + 1) = д.
Решение.
Прологарифмируем:
21og2x+2log2(3'+l) = 3,
[fofc х • log2 (у + 1) = 2,
и обозначим 1о^ х = a; log2 (у + 1) = А;
ай = 2,
[4а +
й = 6,
2 , откуда
1
Теперь найдем соответствующие хиу.
Ответ: (VT; 15); (2; 3).
Задача 27.
3 log5 (х + у) = х-у.
Решение.
Из первого уравнения: х + у = т?« ' 3*~у. Из второго:
27
х-У
log5 (* + з>) = ^^; х + у = 5 3 ;
[х + у = 5 • З'г - Зх'у.
х-у х-у-Ъ
Далее: 53 =5- Зх-у'3 о 5 г = Ъх~у-\ т.е.
(¦уТ)*-5"3 = 3я"5"3.
500

24. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы
Отсюда: х - у - 3 = 0;
{х + у = 5, ^
х-у = 3,
Г* = 4,
Ответ: (4; 1)*
Задача 23.
Решить систему
Г1о^ (у - х) - log8 (Зу - Sx) = О,
1^ + ^ = 5.
Решение.
Учитывая, что logg (у — xf = log8 (Зу — 5х), имеем:
Г(>-х)3 = 3;у-5х,
Если х * 0, то разделим почленно на л;3 и - = t
г3 - 5? + Ы = 0 -» г = 0,2,3.
Если * = 0, то у = 0, а х = ± V31 если t = 2, то у = 2х.
Значит, из (-1; -2), (1; 2) подходит только вторая; если
2 1 1 3
t = 3, то у = Зх; х = тг; я = ± -ту-; у = ± -ту* С помощью
1 3
подстановки: х = трр У = 7гг
Ответ: (-V3; 0), fe^j, (1;2)
Задача 29.
Jloga л: + loga2 х = 1,
Решение.
Систему можно переписать следующим образом:
501

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
(2logax + logax = 2,
\у + х2 = 2а.
Учитывая, что у>0; й>0; Й5*1, получим из первого
уравнения
х = V?", где а > 0; а ^ 1;
у = 2а - V^; 2а > Vc? , значит, а < 8.
Ответ: при 0<а<1, 1<а<8, й>0, й*1
x = VcF; y = 2a-VZ
Задача 30.
7 • 3X+1 - 2 • 3y+z-*+1 = 9,
2 • 3x+l + 3y+z~* = 27,
lg (x + у + z) - 31gx = lgyz + lg2.
Решение.
Обозначим: 3*+1 = a; з~*+г+у = ъ. Тоща первые два
уравнения примут вид:
[7а - ЬЪ = 9,
|2а + Ъ = 27.
Решив систему, получим: а = 9; Ъ = 9. Следовательно,
х=1; y + z —# = 2, y + z = 3.
Последнее уравнение данной системы примет вид:
lg yz = lg 2, yz = 2. Решая систему
У2 = 2,
Ответ: (1; 2; 2); (1; 2; 1).
{i«2, ^ получим |2| = 2; |
Задача 31.
Решить систему \
Решение.
Ilog^x + y)! + llog2(*-;y)l =3,
ху= 3.
Из второго уравнения видим, что х и у одного знака, и
х + у > 1. Следовательно,
502

24. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы
Jlog2 (* + )>)+ llog2(x + y)l =3,
\ху = 3.
При 0<х-у<1:
flog (х + у) - log2 (х - у) = 3, ^
[ху = 3,
х — у
ху = 3;
1# flog (х + у) + log2(*-;y) = 3,
* \ху = 3,
за]
Если х — у> 1:
ху = 3,
Поскольку х2 * -1э то х2 = 9; х = 3; у = 1.
Ответ: (з Vf; V| J; (3; 1).
Задача 32.
2
Решить уравнение 10lg х + xgx = 20.
Решение.
2
10ls * = (10lg*)lg* = *lgx, таким образом, данное уравнение
пишется так: 2xlg* = 20; xlg * = 10; lg2 л: = 1; lg х = ± 1;
х = 1 л* х _ Jl_
Задача 33.
Найти все значения а и 6, при которых система
V-1
|Л^+ 1
имеет только одно решение (х>0)
= а, ^ + ^ = й
503

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Решение.
Прежде всего заметим, что если (х0, у0) — решение данной
системы, то х0; — yQ — также решения данной системы. Но
так как по условию система должна иметь единственное
решение, то у0 = 0. Итак, если система имеет единственное
решение, то это решение должно иметь вид (*0, 0), (*0>0),
но тогда из уравнений системы следует, что а = 0, Ъ > 0, и
она принимает вид:
^=1, х2 + у2 = *, *>0.
Из уравнения х! = 1 следует, что либо х = 1, либо у = 0.
Если у = 0, то х = Vb~ и система имеет решение (VF; 0).
Если jc=1, то / = й — 1. Если 0 < Ъ < 1, то система
^ = b — 1, х= 1 решений не имеет (у G Л). Если Ъ = 1, то
система х=1, / =: ^ — 1 имеет решение (1; 0), которое
совпадает с решением (VF; 0), найденным выше. Если, наконец,
Ъ > 1, то система х = 1, у2 = й - 1 имеет два решения
(1; ± Уй - 1 ). Итак, данная система имеет толька одно
решение (V7r, 0) тогда и только тоща, коща а = 0; 0<й ^ 1.
Задача 34.
Доказать неравенство log^, 2 + log^, 3 + log^ 5 > ^.
Доказательство. Первый способ.
10^2 + 104,3 + 104,5 = 10^30 = 1 (1)
Возведением (1) в квадрат получим
(1о4,2 + logf„ 3 + log*. 5)2 = 1, или
1о4,2 + 1о403 + 1о405 + 2(10^210^3 + log,,, 2 log,,, 5 +
+ log,„31og„,5) = l. (2)
Поскольку а2 + b2 + с2 > ab + ас + be, можно записать:
log,,, 2 log,,, 3 + log,0 2 log,0 5 + log,,, 3 logjQ 5 ^
*?1о402 + 1о403 + 1о4„5. (3)
504

24. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы
Согласно (2) и (3) имеем:
3 (1ой, 2 + 10^3+ Ь)Й 5) >1-
Значит, log30 2 + logfo 3 + log^ 3^5.
Второй способ.
2ab<c? + l?. (1)
Имеем
log302 + log303 + log305=L (2)
Обозначим А = log^ 2 + log^ 3 + log^ 5. Возведем в
квадрат выражение (2). Получим
А + (2Iog302 • log30 3 + 21og30 2 • 1О§30 5 + 2 log30 5 • log305) = 1.
Учитывая неравенство (1), имеем
Л + 2 (logf0 2 + 1оёзо 3 + ...)> 1- Значит,
ЗА>1; А>|.
Из неравенства х + у + z= I
получим: log30 2 + logjo 3 + log30 5 = 1о§з0 30 = 1. Значит,
log*, 2 + log*, 3 +log*, 5 >\
(исследованием неравенства (Iе) можно доказать, что знак
равенства имеет место только при х = у = z = -~).
Задача 35.
Задача-шутка «О числе в и л;».
Однажды сказало (известно вполне)
древнейшее ж трансцендентному е:
«Я больше тебя по значенью и веку,
А, значит, скорее нужна человеку!»
505

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Один ученик ручку взял и чернила —
короткая формула их примирила.
Задачу скорей приведете к ответу,
если найдете формулу эту.
Решение.
[jr][el-h [е]= [е]™+ [ж]
Задача 36.
Доказать: logy 8 < logg 7.
Решение.
2 > logy 48 = logy 8 + logy 6 > 2 Vlogy 8 • logy 6 =
" V to&7*
log6 n > отсюда
logy 8 : log6 7 < 1 и logy 8 < logg 7.
Задача 37.
Доказать log4 5 + log5 6 + logg 7 + logy 8 + log8 4 > 5.
Доказательство.
|(log4 5 + log5 6 + log6 7 + logy 8 + log8 4) >
1 log. 8
1^5-I^51°^7-1^7-1^4 =
\/logs 7 log4~ ~~~ ~~
Vlogs7 -log,5 = 1.
Задача 38.
Решить уравнение З'1-4* — sin л х. (1)
Решение.
Поскольку 3 > 1, 11 - 4х2+ з* 0, то 3м*' > 1, sin х «? 1,
и уравнение (1) равносильно системе
506

24. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы
3I1-4X2! =1, 0
sin л:* = 1,
1
V
2* + Т>
Система совместна, если к = 0.
Ответ: х = ^-
Задача 39.
Найти наибольшее значение расстояния между графиками
функций у = ахиу = loga х в зависимости от а.
Решение.
Так как график первой функции проходит через точку
А = (0; 1), а график второй функции — через точку
В = (1; 0), то искомое расстояние d не больше \АВ\, т.е.
Найдем расстояние между графиками функций у = е и
у - In х. Первый график лежит выше своей касательной
у = х + 1 в точке Л. В самом деле, если f(x) = ех — я — 1, то
/min = / (0) = 0. Аналогично второй график лежит ниже своей
касательной в точке В. Поскольку отрезок АВ
перпендикулярен этим касательным, то \АВ\ =V2~h есть наибольшее
расстояние между данными графиками.
Задача 40.
log 0,52 log б 2
Решить уравнение 2-9 = х - х .
Решение.
Преобразуем данное уравнение:
2 . $°g2*~l = ****'*** _ 221°Б2*
2 п]0*2Х s]o&?x Л]0&2Х
— . 9 = 6 - 4 .
Разделим обе части уравнения почленно на б10*2*:
'•(if-»-(if-*
507

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
/з\1082*
Приняв -^ = U будем иметь 2г - 9t + 9 = 0, откуда
t = 3; t = iy Таким образом,
/o\los2x о /a\log2* ¦ l
(!) "I *-2' (I) -3, х-2^.
Задача 41.
Решить систему:
** = ?, ох = 6у, щеа>0, й>0, e*l; **1.
Решение.
х>0; у>0 (так как х и у — основания показательных
функций).
fylgx = *lgy, (1)
\xlga = ylgb, (2)
v = x^ (3)
Уравнение (3) имеет положительные решения х>0,
у > 0 при условии jtt > 0. Следовательно, данная система не
имеет решений, если одно из чисел а и Ъ больше, а другое
меньше 1. Будем считать, что они оба либо больше 1, либо
меньше 1, тоща -р-г > 0. Подставив у из (3) в (1) и сократив
на х (я>0), получим
Если lg а ** lg 6, т.е. если а & Ь, то из уравнения (4)
находим х, а затем из уравнения (3) — у. Если а = й, то (4)
удовлетворяется тождественно, а исходная система примет
вид х! = /, а*; = а3', откуда х = у.
ig& igg
/lg Ъ\ to» - W /lg M Ha - lgb
Ответ: x = hf— > У = "i" » если a и * (°"а)
}%a) "~ llgal
больше либо меньше 1 и a ?* i, у = x, где x и у — любые
положительные числа, если а = й. Система противоречива,
если одно из чисел а и Ъ больше, а другое меньше 1.
508

24. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы
Задача 42.
Решить систему уравнений
(х + ? = у + <?,
\х* + ху + у*=12.
Решение.
Первое уравнение системы означает, что функция t ->
t + ег принимает равные значения при значениях аргумента,
равных х и у; но эта функция, очевидно, возрастающая, и
следовательно, х = у. Тоща из второго уравнения системы
получаем, что решениями системы являются пары (2; 2) и
(-2; -2).
Задача 43.
Решить систему уравнений
\ogx(ax + by) -logy(bx + ay)=4,
logx(bx + ay) + logy(ax + by) = 4, (*>»>")-
Решение.
Заметим, что при всех допустимых значениях переменных
имеет место равенство loga с • logb d = logb с • loga d.
Для доказательства этого равенства достаточно перейти
к общему основанию логарифмов. Поэтому в данной системе
число 4 представлено в виде произведения и суммы
одинаковых выражений; легко видеть, что такое представление
можно осуществить единственным образом: 4 = 2 + 2=2-2.
Следовательно, каждое из этих выражений равно 2. Другими
словами, данная система равносильна системе
1У = ах + by, (1)
1 х2 = Ъх + ау
(в области определения системы)
Деля первое уравнение системы на второе и обозначая
у 2. а + bt
~ через *, получаем уравнение г = , , откуда
Л и "т" Ctt
at + bf-bt- а = 0 или (t - \)(at + (а +b)t+а)-0.
500

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Но квадратное уравнение а? + (а + Ъ) t + а = О не может
иметь положительных корней (следует из теоремы Виета),
так что *= 1, следовательно, х = у, а тогда из системы (1)
получаем, что
х = у = а + Ъ.
Это и будет единственное решение исходной системы при
а + Ъ & 1; при а + Ъ = 1 система решений не имеет.
Задача 44.
Доказать: log^ (N + 1) > log^ (N + 2).
Доказательство. Первый способ.
\ogN(N+l) + \ogN+xN>2. (1)
Далее
logN+i(N+2) + loeN+iN = loeN+iN(N+2) <
**logN+l(N+l)2 = 2. (2)
Складываем (1) и (2).
Второй способ.
Очевидно, (п + I)2 > п (п + 2), или > —-ту.
Прологарифмируем, например, по основанию 10:
lg(n+l)-lgn > lg(n + 2)-lg(n+l).
Очевидно, что
Ign < lg(n+l).
Значит,
lg in + 1) t ^ \g {n + 2) t
lgn " * > IgOi+1)-1' след°вательн^
logft(n+l) >logn+l(n + 2).
Задача 45.
Решить неравенство 1 + 2 • 2х + 3 • 3* < 6х.
510

24. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы
Решение.
Разделив обе части неравенства на 6*, получим неравен-
ство 161 + ^ 31 ~*~^ 121 К *' левая часть которого f(x)
является убывающей функцией. Так как /(2) = 1, то
/(х)<1, значит, х>2.
Задача 46.
Основания четырех логарифмов одного и того же числа
образуют геометрическую прогрессию со знаменателем,
равным этому числу. Найти логарифмы, если известно, что
сумма первых двух из них равны сумме остальных.
Решение.
Пусть logy х = z. Имеем:
logy* _ logy* _ z
>ху" logy (ху) logy X + 1 Z+V
logy-2^ = T^2;' l°Zy*x
'y* ~ 1 + 2z* b^ 1 + 3z*
По условию задачи z + . = . ~ + i . a » или no"
еле упрощения: 3z2 + 6z + 2 = 0, откуда z = ^ .
Окончить самостоятельно.
Задача 47.
Решить неравенство 9П+ 10* < 11я (п — натуральное число).
Решение.
Данное неравенство приводит к неравенству
(*)+ Ю
в левой части которого стоит убывающая функция f(ri).
Поэтому достаточно найти наименьшее число п0 такое, что
/(л0)<1, и тоща неравенство будет справедливым для всех
п > nQ.
511

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
При подборе числа более удобно, конечно, иметь дело с
исходным неравенством. Непосредственные подсчеты
показывают, что оно не выполняется при я = 1, 2, 3, 4, а при
п = 5 выполняется.
Ответ: п > 5 (nEZ).
Задача 48.
При каких а > 1 уравнение ct = х имеет решение?
Сколько?
Решение.
Очевидно, что прямая у = х пересечет график, если она
лежит выше касательной, т.е. ее угловой коэффициент 1
больше углового коэффициента к касательной. Неравенство
1 > к есть необходимое и достаточное условие пересечения
графика у = ct и прямой у = х. Для отыскания к запишем
уравнение касательной
У-Уо = к(х-х0). (1)
Если прямая (1) проходит через начало координат, то
у
Уо = **0, отсюда к = —, но у0 = й*°, поэтому
хо
к = а*о In а = — и хп = 1— = log„ е.
xQ ° 1па &а
Далее к = , g = т-^— = е In а.
loga в logfl ^
Итак, если к<1, то elna<l и a<eUe. Как видим, при
всех основаниях, удовлетворяющих условию К а < е1/3, или
1 < а< 1,445 (поскольку е1/в« 1.444), прямая у = хи кривая
ct имеют две общие точки, а при а = е1/е прямая у = х
касается — одно решение.
Задача 49.
При каких значениях р уравнение
lg (х2 + 2рх) - lg (8х - 6р - 3) = О
имеет единственный корень?
512

24. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы
Решение.
Исходное уравнение эквивалентно системе
В результате решения этих уравнений получим пары
чисел (х; у). Решения данного уравнения будут давать только
те пары, в которых у > 0. Если парабола с прямой пересекается
в двух точках, то единственный корень данное уравнение
будет иметь только в том случае, коща ординаты этих точек
имеют разные знаки. Если же прямая у = 8х — 6р - 3 касается
параболы, то получаем единственное решение только в том
случае, коща точка касания лежит выше оси абсцисс.
Решаем систему
_у+6р + 3 (1+6р+^ У + ЬР+±-л,
f + (28р - 58)у + 3 (44Р2 + 84р + 3) = 0.
Мы ищем те р, при которых решения этого уравнения
уг и у2 — разного знака, а значит, свободный член отрицателен»
44р2 + 84р + 3<0; ~\<P<--ffi
1 3
Отдельно нужно проверить значения р = ¦«, р = -7уу Те
р, при которых прямая касается параболы (D = 0), суть
р = 1; р = 13. Но при р = 13 уг = у2 < 0, а значит, решений
нет. Остается р = 1.
Ответ: р = 1, р <
[ 2' 22 [*
513

25. ЦЕЛАЯ И ДРОБНАЯ ЧАСТИ ЧИСЛА
Целой частью действительного числа х (или функцией
Антье) называется наибольшее целое число х, не
превышающее х. Оно обозначается так: [х]. Значит, [х] ^ х.
Например, [3,7] = 3; [-2,4] - -3; [0,5] - 0;
[-120] = -120; [-V3~] = -2;
[3 + cosa] =
4, cos а = 1,
3, 0 ^ cosa< 1,
2, cosa<0.
Разность х- [х] называется дробная часть числа (или
функция мантисса). Оно обозначается {х}:
Ясно, что х - [х] = {х} > 0 и 0 < {х} < 1.
Пример: {2,5} - 0,5; {-4,35} = 0,65; {7} - 0; 1Щ = |.
Заметим, что [х] ^ х< [х] + 1.
Задача 1.
Доказать, что:
1. [х + п] = [х] + я, где х Е jR, п G Z.
Доказательство.
Известно, что х = [х] + а, ще 0 < а < 1 и а = {х}.
Имеем [х + /г] = [[* + а + /г] = [[х] + п + а] = [х] + п.
Аналогично доказывается, что
'[*]+ [у], если {*} + {у}<1,
[*]+[у] + 1, если {х} + {у}>1.
2. [x + y] = j
3. {* + у} = J
[{*} + {}>}, если {х} + {у}<1,
W + {у} - 1, если {*} + {у} > 1.
Последние два соотношения можно переписать в виде:
2'. [х + у]= [х] + [у] + [{*} + {у}].
3'. {x + y} = W + {y}-[{х}-{у}].
[*1+[у]< [* + у]; W + {y}>{x + y}.
514

25. ЦЕЛАЯ И ДРОБНАЯ ЧАСТИ ЧИСЛА
Задача 2.
Что можно сказать о числах х л у, если
а) [х + у] = у.
Ответ: х G [0; 1), у Е Z.
б) {х + у} = >'.
Ответ: х е Z, у е [0; 1 [.
Задача 3.
Что больше: [а] или {а}?
Ответ: [а] > {а}, если а ^ 1;
{а} > [а], если а< 1.
Задача 4.
Решить уравнение: [х ] = 4.
Решение.
[х2 ] = 4 для всех х таких, что 4 ^ х2 < 5, то есть
-V3"<x^ -2 или 2*?x<V5T
Ответ: х G (-V5"; - 2] U [2; V5).
Задача 5.
Решить уравнение [х ] = х.
Решение.
х — целое число, тогда [х2] = х2; х2 = х, х (х - 1) = 0,
# = 0 или х= 1.
Ответ: хб {0; 1}.
Задача 6.
Решить уравнение [х2]= [х].
Решение.
Ос2] ?5 0. Из условия [х2] = [я] выходит, что [х] > 0, то
есть ;с ^ 0. Все д; G [0; 1 ] являются решениями уравнения.
Рассмотрим интервал (1; 2): х = 1 + {*},
515

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
[(1 + {х})2} = [1 + {*} ], [1 + 2 {*} + {х}2] = 1,
1+[2{х} + {*}2] = 1, [2{х} + {х}2] = 0.
Поскольку {х} > О, имеем 2 {х} + {х}2 < 1.
Решениями уравнения / + 2;у - 1 = О являются
у = VT- 1 и у = - VT- 1. Итак, -V2T- К {х} < VT- 1,
откуда {х} G (0; V2T- 1). Таким образом, xG(l; V2). Каждое
х > 2 не является решением заданного уравнения, поскольку
при х > 2 х+Кх2, откуда
[х+1]*? [д?], или [х] + 1 *? [л2], т.е. [х ]<[**].
Таким образом, х е [0; 1 ] U (1; V2).
Ответ: х Е [0; VZ).
Задача 7.
Решить уравнение [х2 - 4х] = х - 6.
Решение.
я-6= [л2 — 4*] — целое число, тогда х — целое число,
[х - 4х] = х2 - 4х, л2 - Ах = л: - 6, х2 - 5х + 6 = 0.
Корни этого уравнения: х{ = 2, я2 = 3.
Ответ: х Е {2; 3}.
Задача 8.
Решить уравнение: [х] + [2х] = 2.
Решение.
а) 0<х<1: [х] = 0, [2л:] = 2, 2 ^2х<3, 1 ^*<тг> что
не соответствует условию;
б) 1^х<2: [х] = 1. Тоща [2х] должно равняться 1,
1 ^ 2х< 2, -~^х<1, что не соответствует условию 1 ^ х< 2;
в) каждое я > 2 или я < 0 не является решением
уравнения.
Ответ: 0.
516

25. ЦЕЛАЯ И ДРОБНАЯ ЧАСТИ ЧИСЛА
Задача 9.
Решить уравнение: [х] + [2л;] = 3.
Решение.
Если [х]<1, то [2х]<2, [х] + [2х]<3.
Если [х] = 1, то из условия [х] + [2х] = 3 следует:
[2х] = 2. Тогда
1 <х<2,
2 <2х<3,
1 ^ х<2,
к*<§.
Оба неравенства удовлетворяют все xG
х>2 не является решением уравнения.
1; ?|. Каждое
Ответ: х <
Ч)
Задача 10.
Решить уравнение: [х] + [2х]*+ [Зх] = 3.
Решение.
Сумма трех чисел [х], [2х], [Зх] равняется 3. Если
[х]<0, то [2х]<0 и [3х]<0.
Если [л:] > 0, то [2х] ^ 0, [Зх] > 0 и [х] ^ [2х] < [Зх].
Рассмотрим такие случаи:
а) [х] = 0, [2х] = 0, [Зх] = 3, тогда одновременно должны
выполйяться неравенства 0 < х< 1, 0 ** 2х< 1, 3 ^ Зх< 4, то
1 4
есть 0 ^ х< 1, 0 ** х< 2> 1 ^ *<-о, что невозможно.
б) [х] = 0, [2х] = 1, [3x1 = 2. В этом случае одновременно
выполняются три неравенства:
Г0^х<1,
1 ^2х<2,
2^3х<3,
что справедливо при -^ ^ х< 1;
0<х<1,
^<х<1,
517

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
в) [х] = 1, [2х] = 1, [Зх] = 1. Чтобы найти х, который
удовлетворяет этим трем неравенствам, надо решить систему
неравенств
[1 ^ х<2,
1 *?х<2,
1 ^2х<2, => -(
1 < Зх < 2,
\<X<1* хЕ0.
Ответ: хе
[Ь .)•
Задача 11.
Решить уравнение:
[х] + [2х] + ... + [пх] = 1, п>2, nGN.
Решение.
При х ^ 0 и 2х ^ 0,..., пх ^ 0.
При х>0 0 ^ [х] ^ [2х] ^ ... ^ [пх]. По условию сумма
этих п положительных чисел [х], [2х], ..., [пх] равняется
1, то есть
|[*] = [2х] = ...= [(п- 1)х] = 0,
\[пх]=1,
[0^х<1, 0^2x<l,...,0*s; (п- 1)х<1,
1 ^ пх < 2,
0*?х<
1
п-Г
1 ^ ^2
— ^ х < —.
п п
Поскольку п ^ 2, то -<-—[ * 7Г' откУда 7г * ^ТГ^Т
Ответ:
Задача 12.
2 х
Решить уравнение: — + -=¦= [х], х > 0.
х ^
^рЬтгЬ)'
518

25. ЦЕЛАЯ И ДРОБНАЯ ЧАСТИ ЧИСЛА
Решение.
2 х
Из условия выходит, что — + ту — целое число. Если
X 2*
[х] = п, то п ^ х< п + 1, nGN. Рассмотрим уравнения
2 х
— 4- тт = я, х2 — 2гсх + 4 = 0,
Ответ: х Е
х = п ± Vn2 - 4, /г ^ 2, х = 2 при я = 2.
При п>2 п + Vn2 - 4 > м+ 1, п-У/п-4 < п-1.
Ответ: х = 2.
Задача 13.
Решить уравнение: [х] = 2 {х} + 4.
Решение.
2 {х} = [х] - 4, то есть 2 {х} — целое число. Поскольку
0 ^ {х} < 1, то 0 ^ 2 {х} < 2. Таким образом, 2 {х} равняется
0 или 1. Когда 2 {х} = 0, то {х} = 0, [х] = 4, х = 4. Коща
2 {х} = 1, то {х} = 2» [х] = 5, х = 5-^
И}-
Задача 14.
Решить уравнение: [х3] + [х2] + [х] = {х} — 1.
Решение.
{х} = [х3] + [х2] + [х] + 1, значит, {х} — целое число.
Поэтому {х} =0, [х] = х, х3 + х2 + х + 1 = 0,
х2 (х + 1) + (х + 1) = 0, (х + 1)(х* + 1) = 0;
х2* 1>0, х+ 1 = 0, х=-1.
Ответ: х= -1.
Задача 15.
Найти множество целых положительных решений и найти
количество таких решений:
519

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Рассмотрим такие случаи:
а)
0<§<1,
б)
в)
= 0. Тоща
х<={0; 1; 2; 3};
= 1. Тоща ]
х(={5; 6; 7};
= 2. Тоща
2<
*е{10; И};
0<|<1,
1<|<2,
2^|<3,
fO *?х<5,
0«х<4,
Г5<ёх<10,
|4*?х<8,
5 °' Jl0=sx<15,
дс.- * |8«?х<12,
4 d' l
г)
3*§<4,
3<|<4,
Э>
= 3. Тоща
х=15;
= к «? 4, iGZ. Тоща
5& « х < 5к + 5,
4к «? х < 4к + 4.
Г15«х<20,
|l2=sx<16,
/fc<J<jfc+l,
Jfc<^<*+1,
Но к > 4 * 4& + 4 =s 5&, т.е. хе0.
Таким образом, хе {0; 1; 2; 3; 5; 6; 7; 10; И; 15}.
Уравнение имеет 10 решений.
Ответ: xG{0; 1; 2; 3; 5; 6; 7; 10; 11; 15},
10 решений.
520

25. ЦЕЛАЯ И ДРОБНАЯ ЧАСТИ ЧИСЛА
Задача 16.
Решить уравнение:
Решение.
= 1.
1 *|<2 => 2*?х<4.
Ответ: х Е [2; 4).
Задача 17.
[§]
Репшть уравнение: 1 L* J I = 1.
Решение.
[f]
1 ^ —ту— < 2; 2 ^ \w < 4, то есть возможны два случая:
а) [|] =2, тоща 2^|<3, 4^х<6;
б) [|] =3, тогда 3 <f<4, 6^х<8.
Ответ: х Е [4; 8).
Задача 18.
Репшть уравнение: [lgx] = —2.
Решение.
-2 ^ lgx< -1. Таким образом, 10"2 ^ х< КГ1.
Ответ: xg[^; i).
Задача 19.
х
Решить уравнение: «—= [cosx].
JL ТС
Ответ: х = 2л.
521

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА 1
Задача 20.
Решить уравнение: [х] = [sin*].
л
Ответ: 0^л;<1, * = -у-
Задача 21.
Решить уравнение: [x] = si&x.
Ответ: х G { «¦}.
Задача 22.
Решить уравнение: [*]* = 1, х>0.
Решение.
[xf = 1, если [*] = 1, х>0, 1^л:<2.
Ответ: х? [1; 2).
Задача 23.
Решить уравнение х3 — [л;] = 3.
Решение.
Используем тождество {а:} = я - [х]. Тоща данное
уравнение запишем в виде:
? "" (х — {*}) = 3 или л3 — х = 3 - {х}.
Поскольку 0 ^ {х} < 1, то 2 < х3 - х ^ 3.
1)прих<-1 х2-1>0, х3-х = л;(д;2- 1)<0;
2) при -Кх^О хъ - х = х (х2 - I) *? - х< U
3) при 0<х^1 х3 - х < х3 s? 1;
4) при х > 2 х3 -х = х(х2 -1)>2 (22 - 1) = 6.
Таким образом, 1 < х < 2. Следовательно, [х] = 1 и данное
уравнение имеет вид: х3 — 1 = 3, х = V3~
Задача 24.
{х2} = {х}2.
522

25. ЦЕЛАЯ И ДРОБНАЯ ЧАСТИ ЧИСЛА
Решение.
Из равенства х = [х] + {х} получаем:
{х}2 = {([х] + {х})2} = {[х]2 + 2 [х] {х} + {х}2} =
= {2 [х] {х} + {х}2}.
Обозначая {х}2 = *< 1, имеем {*} = * = {2 [х] {х} + *},
отсюда заключаем, что равенство {х2} = {х}2 возможно лишь
тоща, когда 2 [х] {х} — целое число. Поэтому 0 ^ х ^ 1 или
х = т + у—, где m — любое, а 0 ^ / < 2т.
Задача 25.
Решить уравнение:
Решение.
16 (х + 1)
+ 19] 16 (х + 1)
7 J" 11 #
^ = *, где * — целое число.
16х = Ш — 16, или
[lit+22]
L 14 J '
- Щ + 22 ^ л
О ^ —тд t < 1, отсюда
2|^^7I * *G{3> 4' 5' 6'7}'
Задача 26.
Репшть х3 - [х] = 3.
Решение, (второй способ).
Если х ^ 2, то /(х) = X3 - [х] > 3;
Если х ^ 1, то fix) = х3 - [х] < 3.
Следовательно, если уравнение имеет решение, то они
принадлежат промежутку 1<х<2. Но тоща [х] = 1. Урав-
нение принимает вид: х - 1 = 3, х = V4.
Задача 27.
Решить уравнение [х] = [х]2 во множестве
положительных чисел.
523

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Рассмотрим х, заключенные в интервале п^ х<п+ 1,
где п — неотрицательное целое число. Для всех таких х
[х]2 = п. Для того, чтобы выполнялось равенство, левая часть
уравнения тоже должна быть я2, поэтому x<Vn2+ 1.
Таким образом, х лежит в одном из интервалов
[n; Vtt2 + 1 ), где п = О, 1, 2,....
Задача 28.
Решить уравнение: [-х2 + Зх] =
Решение.
> + !'
*24
= п > 0. С другой
Ясно, что х + 2" > 0. Поэтому
стороны, легко видеть, что неравенство —х2 + Зх > 3, или
х2 — Зх + 3 ^ 0 решений не имеет.
Поэтому п может принять значения 0; 1; 2. Этим трем
значениям соответствуют три системы неравенств:
0*? -х2 + 3х<1,
(Xx' + ^l,
1 ^ -х* + 3х<2,
2 ^ -х? + 3х<3,
Из этих систем находим соответственно:
1
VT
V5"
VW
Задача 29.
Найти все значения х, которые удовлетворяют равенству
Перепишем в виде [х ] — {х} = -т-г — у-у.
524

25. ЦЕЛАЯ И ДРОБНАЯ ЧАСТИ ЧИСЛА
[*]-{*} =
[*]-{*}
М{х} '
Это равенство может быть верно при [х ] - {х} = 0 либо
при [х] {х} = 1, х нулем быть не может, так как обратные
1 1
значения -р~т и г ,
[х] {х}
теряют смысл, следовательно, уравнение
[х] - {х} = 0 не имеет решений удовлетворяющих нашему
равенству. Решениями уравнения [х] {х} = 1 будут числа вида
(л + 1) + (п+1)' Ще n G 7V.
Задача 30.
Решить уравнения:
a) [siax + cos *] = 1; б) [sinx + cos х] = 0;
<з) [sin* + cosx] = -1; г) [sinл: + cosx] = -2,
Решение.
б) 0 ^ sin* + cosх< 1, неравенство имеет место, коща
sin* и cos л; имеют разные знаки и абсолютная величина
положительного числа больше, т.е. если
л 3 7
тг + 2лк<х ^ -тл + 2лк и -jTT + 2лк ** х<Ъг + 2лк, кЕ Z.
я) 1 ^ sin л: + cos х < 2, откуда х <
б)
г)
-тл 4- 2лг&, л: + Ъск
л + Ъск\ -?у л + 2лк
и[§*
&GZ.
f^'f
+ 2лк
+ 2лк, -тл + 2лк
, ifcGZ.
Задача 31.
Решить уравнение [sinx]= [cosx].
Решение.
Так как I sin д:I ^ 1 и Icosxl ^ 1, то их целые значения
могут быть равными -1; 0; 1. Возможны три случая:
[sinx] = 0, ГО < sin#< 1,
л I[si
а) {[ее
[cosx] = 0,
или
0 < cosx< 1,
525

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
откуда х G 2тск, -у + Ъгк\, kEZ.
л f[sinx] = -l, f-l^sinx<0,
® |[cos*]=-l, ИЛИ {-l*cosx<0,
откуда хЕ лг + 2лг&, туК + 2лк\, fcGZ.
ч f [sinx] = 1, __,-
б) {[coe*] = l, *G0*
Задача 32.
Репшть уравнения:
а)
х+1,3] = -5;
2.4-41 =
Ц-и
в) [Зх-5,2] = 2|.
Решение.
Используем неравенство [а] ^ а< [а] + 1, верное для
любого а, поэтому
а) - 5 < х + 1,3 < — 4, откуда - 6,3 ^ х < - 5,3;
б) 1 *?2х + ^<2; 5^*<_П);
в) XG0.
Задача 33.
Найти такое число х, если его дробная часть {*}, его
целая часть [х] и само число х образует арифметическую
прогрессию.
Решение.
В арифметической прогрессии {*}, [х], х разность
равняется {х}; [х] = 2 {х}. Но по определению 0 ^ {х} < 1. Тоща
О ^ {х} < 2, 0 ^ [я] < 2, то есть [х] равняется нулю или еди-
526

25. ЦЕЛАЯ И ДРОБНАЯ ЧАСТИ ЧИСЛА
нице. В первом случае {х} = О, х = 0, во втором {х} = «-,
3
х=2.
Ответ: х G \ 0; ^
{*
Задача 34.
Найти х, если х, его целая часть [х] и его дробная часть
{х} образуют геометрическую прогрессию.
Решение.
По условию х, [х], {х} — три члена геометрической
прогрессии. Тоща [х]2 = х • {х}, [х]2 = ([х] + {х}) • {х}.
Если х = 0, то [х] = 0, {х} = 0.
\х?
Еслих*0, то [х]+{х} = {*>-
Гх12 [х]
По определению 0 «s {х} < 1; ^+\, > [х]; ^ + t>l
при [х]>2.
Рассмотрим случай, коща [х] = 1:
Отсюда следует, что {х} = —~—. Тогда
, , у/Т- 1 V3~+ 1
VT+ 1 л vT- 1
—2—' 1» —т геометрическая прогрессия со зна-
7у2п- = ^^-. При [*] = 0 {х}=^ = 0. При
[х]«-1 [х] + {х}<0и {*} = [х][ + 2{х}<0-
менателем
Ответ: хе JO; —~—L
527

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 35.
Решить уравнение: [х ]* = 4 VT, х>0.
Решение.
Рассмотрим такие случаи:
а) 0 < х< 1, [х] = 0, [*]* = 0. Среди * G [0; 1) нет
решений уравнения;
б) 1 ^ х<2, [х] = 1, [*]* = 1. Каждое хG [1; 2) не
является решением уравнения;
б)2^^<3: [*] = 2, [*Г = 2*, 2* = 4VT, 2х = 25/2, х = |;
г) 3 ^ х< +оо: [х] > 3, [*]* 2* 27. Каждое х ^ 3 не
является решением уравнения.
Ответ: * = ^
Задача 36.
16
01
Решить уравнение: dx] = ^* > х > 0.
Решение.
Рассмотрим отдельно такие случаи:
а) 0 ^ х< 1, [*] = 0. Каждое д; е [0; 1) не является
решением уравнения;
б) 1 ^ х< 2, [*] = 1, ^ = х, || <? [1; 2). Каждое
х G [1; 2) не является решением уравнения;
в) 2^дс<3, [х] = 2, *2 = Ц, * = |;
г) 3^х<+оо, [х]^3, d*>21. Среди *е[3;+оо) нет
решений уравнения.
9
Ответ: * = т-
Задача 37.
Решить уравнение: [x]lXi = 27.
528

25. ЦЕЛАЯ И ДРОБНАЯ ЧАСТИ ЧИСЛА
Решение.
Ответ: х е [3; 4).
Задача 38.
_ sin 2х + sin 5х — sin Ъх ~
Репшть уравнение: = = 2
cos х + 1 — 2 sin 2х
sin*.
Решение.
sin 2х + sin 5х - sin Ъх _ 2 sin л: * cos х + 2 cos Ах • sin л: _
cos х + 1 - 2 sin2 2х "" cos х + 1 - (1 - cos Ах)
2 sin х (cos x + cos Ax) « .
= —: t - = 2 sin*.
cos x + cos 4x
2fe + 1 2fc + 1
cos x + cos Ax Ф 0; x ?* —7=—jt; x Ф —5—л:; kGZ.
Таким образом,
2sinx = 2[f]sinx, (l-g-])sinx = 0.
Если sinx = 0, то x = 2br, iGZ (каждоеxиз множества
{(2?+1)л;, kGZ} не принадлежит области определения).
Если i-[J]=0, то [f]=l, К J<2, *«*<2*. но
х = к не принадлежит области определения.
Ответ: х G (л:; 2л:) U {2Ы, к е Z},
Задача 39.
Решить уравнение sin \-т- + [V-j ] = я*.
Решение.
Из условия следует, что
ще /г — любое целое число. Отсюда
529-

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Левые части последних равенств — целые, а правые —
иррациональные, кроме случая при к = 0 в первом равенстве.
Следовательно, hpl = 0, откуда 0 ^ -g-< 1, или х>~т.
Итак, данное уравнение имеет решение х>-?-.
Задача 40.
9 6
Решить уравнение 2хЛ— = 3 [х] + у-т.
Решение.
После несложной группировки данное уравнение
приводится к виду (х [х] - 3)(2х - 3 [х]) = 0, х Ф 0, [х] * 0.
При [л], равной 1 и -1, получаем уравнения
(х - 3)(2х - 3) = 0, (ре+ 3)(2* + 3) = 0,
первое из которых имеет корень х = -~ (х = 3 не
удовлетворяет условию [jc] = D, а корни второго не удовлетворяют
3
условию [х] = —1. При [х] = — 2 получим д: = — «"• При
[*]>2
*[х]>4, 2х-3 [*]<2([;с]+1)-3 [х] = 2 - 3 [х] < 0;
при [х] «* - 3
х [х] >6, 2х-Ъ[х]>2 [х] - 3 [х] = - [х] 2* 3.
3
Следовательно, уравнение имеет два корня х^ = ± -~.
Задача 41.
Решить уравнение х (х - 2) [х] = {*} - 1.
Решение.
После замены {*} на х - [я] уравнение нетрудно привести
к виду [х] (х - I)2 = х - 1, откуда получаем корень л = 1 и
после сокращения уравнение примет вид [х] (х — 1) = 1. При
530

25. ЦЕЛАЯ И ДРОБНАЯ ЧАСТИ ЧИСЛА
х>2 оба сомножителя в левой части больше 1, при л<-1
оба они меньше -1, и поэтому их произведение по модулю
больше 1. Следовательно, корни расположены в промежутке
— 1 ^ х ^ 2. При 0 ^ х < 1 [х] = 0, так что на этом промежутке
корней нет. При -1^#<0 [*] = -1, и из уравнения
получаем х = 0, а это противоречит равенству [#] = — 1. При
1^#<2 [я] = 1, я = 2, но число 2 не является корнем
уравнения. Таким образом, уравнение имеет единственный корень
Задача 42.
Решить уравнение х =
Решение.
*]+М
[1993J•
Так как [а] « а< [а] + 1 и х = тг + -~ + -т, то
2 + 3 + 6
9\ *?*<
Отсюда следует, что
О <
X
4
+
X
5
+
х\
7
ПН.
[T993J
+ ...+
+ 3.
< з,
и поэтому, во-первых, х ^ 0, а во-вторых, в сумме, стоящей
в середине полученного двойного неравенства, все
слагаемые, начиная с третьего, равны 0, так что х<7.
Поскольку х — целое число, то остается проверить
значения от 0 до 6. Решениями уравнения оказываются числа
О, 4 и 5.
Задача 43.
Построить график
функции у = [\х\ ].
Решение.
Для х ^ 0 у = [х]. Учи-"
тывая четность данной
функции, производим
симметрию относительно оси OY
(рис. 25.1.).
а
-4 -3 -2 -1
П
12 3 4
Рис. 251
531

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 44.
Построить график
у = х+ {х} + [х]+ Ы •
Решение.
функции
[У
Учитывая, что [х] + {х} =
имеем у = 2х + \х\9 т.е.
13*, щих>0, 25<2)
¦^ |х, при х<0. *
Задача 45.
Построить график
функции у = I [х]\.
Решение.
Строим уже известный нам
график вспомогательной
функции у= \х\. Используя
значение абсолютной величины
строим ту часть искомого
графика, которая соответствует
значениям аргумента
xEl ]-оо;0[ (рис. 25.3).
Задача 46.
Построить график функции"
Решение.
Построив график суммы
двух функций у= [х] и
у= — {*}, получаем искомый
график (рис. 25.4).
Задача 47.
Построить график функ- ¦
ции у = [х] + 1x1 (рис. 25.5).
*>
Рис. 25.2
А
•—
•—
-4 -3 -2 -1 0
г —ч
— ¦•
--¦•
кзУ —
2 —•
1 —•
• b
[ 1 2 3 4 х^
-1
-2
-3
Рис. 25.3
-3 -2 -1
ла
№
2 3
И
i-2
-3
Рис. 25.4
кУ
3
2
1.
\\\\Г-,
/
1 2 3
532
Рис. 25.5

25. ЦЕЛАЯ И ДРОБНАЯ ЧАСТИ ЧИСЛА
Задача 48.
Построить график функ-
Ы
ции у = -у— (рис. 25.6).
Задача 49.
Построить график
функции у= [х] • {*}.
Решение.
Тут лучше
воспользоваться определением целой и
дробной части числа:
[х] = к при & ^ *</;+ 1;
{х} = х- к при ? ^ х<к + 1,
где к — целое число. Тогда
3> = [х]- {х}=*(х-*) =
= кх - &2.
Построение выполняем
для каждого интервала
к ^ х < к + 1 (где Л — целое
число) отдельно (рис. 25.7).
Задача 50.
Построить график функ-
X
IxY
Решение.
ИРГИ у =
--ччч
/У>
0 1 2 3 4 Хр
[не существует при0^л;<1,
х при 1 ^ х < 2,
^ при 2 ^ х<3,
У =
Рис. 25.8
-^ при 3 < 3 ** х < х,
(рис. 25.8).
-г при Л < х < к + 1
533

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Задача 51.
Построить график
функции у = х + [х].
Решение.
[х] =
0 при 0 ^ х<1,
1 при 1 ^ х < 2,
2 при 2^л:<3,
-4 _з -2 -1 о
А
VL
1 2 3 4 X'
-1
-2
-3
\к при & ^ х<к+ 1.
Поэтому
Рис. 25.9
;у = л; + [х] = \
Задача 52.
х при 0 < х< 1,
х + 1 при 1 ^ х < 2,
х + 2 при 2 «* л; < 3,
(рис. 25.9).
х + к при к ^ х<к+ 1
Решить уравнение х3 + [х] = 3, где [я] значит
наибольшее целое число, не больше х.
Решение.
Понятно, что число х положительное, причем 1 < х < 2,
так как иначе сумма не может быть равной 3.
[Х] = 1; ^ = 3; x = Vi:
Задача 53.
Решить уравнение
Решение.
х+ Г
х-1
По условию задачи —~ целое число, поэтому х —
х — 1 я + 1 х — 1
целое нечетное число,
Ъх - 3 ^ 2х + 2 < Ъх + 3,
¦«—<-2"+1.
отсюда -1<х«5.
Г*>-1,
534

25. ЦЕЛАЯ И ДРОБНАЯ ЧАСТИ ЧИСЛА
Значит, х{ = 1, х2 = 3, ^з = 5.
Задача 54.
Построить график
сЬункции
у= [(1*1 -1)(х-3)].
Решение.
Построим график
дополнительной
функции (рис. 25.10)
v=(\x\ -1)(х-3).
Проведя через этот
график прямые у = &,
где к — целое число,
определим промежутки,
которые соответствуют
значениям аргумента
0^х<1; \^х<2\
2 ^ х<Ъ\ 3 ^ х < 4 и
соответственно этому
строим искомый график
(рис. 25.10 (а)).
Задача 55.
Решить уравнение Рис. 25.10 (а)
\[х]\ = [1x1].
Решение.
Ясно, что всякое целое число является корнем данного
уравнения. Ясно также, что всякое неотрицательное число
также является корнем уравнения. Если жех<0их^[х],
то [х] < х < 0, I [х] I > \х\ > [1x1], так что других корней
уравнение не имеет.
Задача 56.
Решить уравнение
~2х - 1"
L 3
+
'Ах + 1]
5х-4
535

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Решение.
Положим
2х-1
= у, тоща уравнение принимает вид
Учитывая, что \у] +
У + -
1 +
5у-1
= [2у], получим
[2у] =
5у-1
"4* + 2"
= Л, где к
Полагая —ту— = к, будем иметь
целое число.
Из последнего равенства следует, что
4? + 2
к^-~-=-<к + 1, или 5k*z4k + 2<5k + 5; -3<?^2.
Возможными значениями к являются -2; -1; 0; 1; 2,
2 1 4 7 п
тоща соответствующие значения х: - т; т; т; т; 2.
536

25. ЦЕЛАЯ И ДРОБНАЯ ЧАСТИ ЧИСЛА
[У] = X.
Примеры графиков
^У
[у] + у= [х] + X,
Рис.
7\
25.11
ч
у
0
/
""х*"
Рис.
-4 -3 -2 -1
/
/
/ *
25.12
— —'
/
У
S ^
1 у^"^
|0 /Л WZ 3 4хг
рГ*
-2
Рис. 25.13
537

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
у =2 [х] + 7.
А
~ ~ Щ
ш
Т
0 1 2 3 4 хр
-2
Рис.
у=[-2х]. \ 4
--\
Л
~^4 43 ^2 -1 ^
25.14
2
[1
г
|
1 2 3 4 уГ
*\
},= Vl- [X]
Рис. 25.15
\У
-4 -3 -2 -1 о
Г4 2 3
-л*
538
Рис. 25.16

25. ЦЕЛАЯ И ДРОБНАЯ ЧАСТИ ЧИСЛА
у= [sinx]
1* -~.
Ы ^> х -f о
/' *Ч
-1
Рис. 25.17
/1-х ].
Л zJ
Ч 1
О
*У
ш >
1 х
У =
Рис. 25.19
539

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
У=[2Х]. А
-3-2-10
^У /
3 /
2 УГ *
Г •
1
,- \шх 1
1 1 2 3 '
*
Рис. 25.20
540

26. ГРАФИКИ
Задача 1.
Над графиком функции у- fix) проделаны
последовательно следующие преобразования: сдвинули вдоль от абсцисс
на 3 единицы влево, отразили симметрично от оси ординат,
отразили центрально симметрично относительно начала
координат, отбросили часть графика, лежащую левее от оси
ординат. Написать выражение для функции, заданной новым
графиком.
Решение.
Имеем: fx (х) =f(x + 3), /2 (х) = fx (-*),
/з (*) = ~/2 (-х) = -/i (*) = -f(x + 3).
Тогда искомая функция /4 (х)имеет вид
/4W=/3((^)2) = -/((VF)2 + 3).
Задача 2.
Верно ли, что графики двух взаимно обратных функций
могут пересекаться только на прямой у = xl
Решение.
гггтгч» тто/4лтгхгтт л4лт7тттгтттхтлг it — Irvrr -V ТЖ "It — I
Нет, неверно: графики функций у = logj/16 * и 3> = (tz 1
имеют общую точку f-j; ^ ], не лежащую на прямой у = х.
Отметим также, что функция может просто совпадать со
своей обратной, например, функция у = - х + 1.
Задача 3.
Построить график функции у-fix), где fix) —
расстояние от числа х до ближайшего целого отрицательного числа.
Решение.
Данная функция теряет смысл при значениях
х= 2—' ВДе * -"" любое целое положительное число, т.е.
для этих значений не существует ближайшего целого отри-
541

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
цательного числа. Например, при к = 1 точка {- ^> 0]
одинаково удалена как от -2, так и от -1, поэтому для нее не
существует ближайшего целого отрицательного числа.
Нетрудно увидеть, что для любых целых отрицательных чисел
у = 0. Для положительных значений х, как и для чисел из
интервала ]-1, 0], ближайшим целым отрицательным числом
будет число -1. Поэтому для всех х> — 1 у = х — (-1) =
= х + 1. Для левых частей интервалов ]- Iк\; - \к\ + 1 [
графиком даной функции будет у = х — (— Iк\) = х + \к\ , где
\к\ * I. Для первых частей интервалов ]— Ш; - Ш + 1[
y = /(x) = - Ш + 1 -*, где 1*1 * 1.
Примечание. Анализируя условие задачи, мы считали,
что ближайшим целым отрицательным числом должно быть
такое единственное число, которое содержится ближе от всех
других целых отрицательных чисел, поэтому для случая
-(2fc+l) .
х = —^-z таких чисел не существовало и функция теряла
смысл. Если же под выражением ближайшее целое
неотрицательное число подразумевать не одно такое число, то
ближайшими целыми отрицательными числами будут числа -3
о * 2k+l ^
и -2. В точках х = ~— функция существует и принимает
1
значение ¦«.
Задача 4.
Найти геометрический образ неравенства
max {sin*, \у\} ^w
Решение.
Так max {а, 6, ...,*} есть обозначение наибольшего из
чисел а, 6,.. ¦, &
В данном случае F(x, у) = max {sinх, \у\} и для всех
(я, у) выполняется равенство F(x, у) = F(x, -у). Поэтому
рассмотрим данное неравенство в полуплоскости у ^ 0. Здесь
выражение F (х, у) имеет вид:
F (*» У) = m&x (sin х> У) -У при sin х ^ у;
542

26. ГРАФИКИ
F (*-, У) = max (si11 *» У) = sin х ПРИ sin х > у.
Т.о. геометрический образ неравенства F (х, у) ^ ^ в по~
луплоскости j> ^ О состоит из точек (х, у) полуплоскости
у ^ О, которые лежат между графиками и на графиках кривых
у = sin х и у = у, а также точек (х, у) полуплоскости у ^ О,
которые лежат под графиком кривой у = sin х под интервалами
2^ + ^, (2*+ 1)тг .
2fcr, 2кж + ^-
Задача 5.
Построить график уравнения
Vx + y + Vx-y + 2 Vx2 + 1 = V^Oc + 1).
Решение.
Рассмотрим векторы
а = (1,1, 2), Т= (Vx+У, Vx^y, Vx2 + 1 ).
Длины этих векторов равны соответственно V5" и
I х + 11, а скалярное произведете равно, по условию,
V5~(x+ 1), и, следовательно, аи4 коллинеарны, т.е.
Vx2*!
Vx + y = Vx- у = 2
Отсюда у = 0, х12 = 2 ± V3", так что график данного
уравнения состоит из полученных двух точек.
Задача 6.
Построить график функции: у = /(/(/ (х))),
если / (х) = 1 .
4 ' 1-х
Решение.
Область определения функции / — все действительные
1 х - 1
числа, кроме 1. Далее, /(/(*)) = =— = ; область
•< А X
543

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
определения полученной функции состоит из всех х, кроме
1 и 0. Наконец, f(f(f(x))) = х, следовательно,
рассматриваемая функция во всей области определения совпадает с
функцией у = х. Таким образом, мы должны построить график
функции у = х (х Ф 0, х т* 1).
Задача 7.
Нарисовать график у = /(*), заданной условием: для
любого действительного х функция f(x) есть расстояние от х
до ближайшего целого положительного числа.
Решение.
Если х ^ 1, то ближайшим к нему целым числом
(положительным) является 1 и значение данной функции при
таком значении х равно 1-х.
Построение графика на остальной части числовой оси
удобно провести геометрически: над каждой точкой, лежащей
между целыми числами к и к + 1, надо отложить по вертикали
отрезок длиной от к до х, если х лежит ближе к к, и длиной
от х до к + 1, если х лежит ближе к к + 1.
Что касается точек х вида к + ^, то функция на них не
определена, поскольку у этих точек нет ближайшего целого
положительного числа, и поэтому в соответствующих местах
стоят стрелки.
Задача 8.
Доказать, что график функции
у = ях3 + Ьх* + сх + dy xGR (я * 0)
имеет центр симметрии.
Доказательство.
Нетрудно подобрать такие числа а и/3, чтобы выполнялось
тождество а? + их2 + сх+ d = а\х + у-] + ее Iх + -jA 4-/J.
544

26. ГРАФИКИ
Отсюда видно, что график данной функции получается
из графика функции ах Л- ах параллельным переносом
- -л-, /? J • Но последняя функция нечетна, и, следовательно,
ее график, имеет центр симметрии, а тогда и исходный
график, равный ему, что имеет центр симметрии.
545

27. ПРИМЕРЫ ГРАФИКОВ
1. у= 1x1.
Рис. 27.1
2. у= IU- II -X.
Рис. 27.2
546

27 ПРИМЕРЫ ГРАФИКОВ
З.у =
Ы -Г
1 X
-1
л\
Рис. 27.3
4.у =
1-2х
х-2-
Рис. 27.4
547

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
5.у = /(/(/(х)));
~7
|у
Г 1 х>
Рис. Z7.5
*'у=х-+2-х-=2'
1
ч
О
Рис.
V
1
27.6
I- п—1М>^
г
548

27. ПРИМЕРЫ ГРАФИКОВ
7-У = —•
Риа 27.7
8. у = (х - 2) V7^
Рис. 27.8
549

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
9.v- 1
1 + (х + 2)2
Рис. 27.9
10. у =
1
У/-х2 + 5х-6
и
Рис. 27.10
»->-liH-
Рис. 27.11

27. ПРИМЕРЫ ГРАФИКОВ
*,.$. ь
О
ш ^
Г х
Рис. 27.12
X
V*?-г
-— "
]
1
о
"у
h
L
_ 1
X*
Рис 27ЛЗ
14. у = 2
V*2 + 1 - V*2 - 1
Рис 27.14
551

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
16. y=±Vl-x2.
Рис. 27.15
П./(х) =
552
Рис 27J7

27. ПРИМЕРЫ ГРАФИКОВ
18. у = —7 .
х2 - 5х + 4
J\
Рис. 27.18
* х+ I
у
Рис. 27.19
20. у =
хг-\
-1
4 х
L
и
/Г\
Рис. 27.20
1 X
553

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
21. у =
22. у =
Рис. 27.22
23. у =
х-Т
' О
U^'
2 х
Риа 27.23
554

27. ПРИМЕРЫ ГРАФИКОВ
24. у = УЬх2 - х3
№*
25. у =
26. х — Ъх.
Рис. 2726
555

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
21.y = V
125 - хъ 1
Ъх
О
1 ь.
5 х*
Рис. 27.28
29. у =
55§
Рис. 27,29

27. ПРИМЕРЫ ГРАФИКОВ
30. у = 3 4J- 2х.
31. у =
2*3
Рис. 27.30
32. у =
Рис. 27.32
557

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
Рис. 27.33
34. у = 4х2 - X4 - 3.
Рис. 27.34
558

27. ПРИМЕРЫ ГРАФИКОВ
З5.у=(|
вГ-—?
36. у = **.
37. у = 2;
Рис. 2737
559

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
38. у= \х\ +sin 1*1.
-2jz Зк
" 2
I 1
2
2
1 1 1
Зтг 2тс x
2
Рис. 27.38
39. у = cos* • Itgxl. j у
тс -=* °
!2
у=$тх
* ' * •—5Т 1 * Н-V-
ас ¦ Л-тс 1-я и1 ТС 1 тгЛ I 2тс
-1 y=-sinx
->ь!
40. у = 1 - 21+sin(*+1). \
2
1
0;
v_-__P1+sinX(x+1)
Рис.
7C
2
27.39
У=2
osinX
71
V
г=-
pl+sinX
— y=2sinX
- fe
560
Рис. 27.40

27. ПРИМЕРЫ ГРАФИКОВ
41. y=(smx)a
О
% х
Ркс. 27.41
42. у = 4хг - х4 - 3. А У
12
I I I
ХУ
ч—*—+->
—2ГС Эти -7С J^
" 2 "2
jp_ тс Зя 2я х
2 2
Рис. 27.42
43. у = 2"
^
1 I У I
Ш
F^
Рис. 27.43
561

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
44. max {sin х, I у I} ** ту ш У
\ ' \ Г N
¦УгУл ъшТЩ
' ч ' s
i^>\ X sj^'j j / /XI/ /'А
т
X
^WA
45. 3; = arctg —.
6
Рис. 27.44
2
Рис. 27.45
46. у
1
arcsin x
2
1
by
I
\
U x>
1
Рис. 27.46
562

27. ПРИМЕРЫ ГРАФИКОВ
47. у = arctg
1
sinx*
Рис. 27.47
48. у = arccos (х2- Зх + 1).
Рис 27.48
563

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
49. у = arctg — ,
% ЛШк у
2 т
-1
п
У=2
50. у = arcsin — .
Рис. 27.49
2
-1
2
Рис. 27.50
51. у s^arccos*2.
Рис 2751
564

27. ПРИМЕРЫ ГРАФИКОВ
52. у = - arcsin I х - II.
Рис. 27.52
53. х = х + arcsin (sin х)
Рис. 27.53
54. у = х (arcsin (sin х)) .
Рис 27.54
565

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ КНИГА I
55, у = 1 + arccos -^
56. у = arcsin ^
1 + х
Рис. 27.56
51, у = arccos (arcsin х) , ± у
ч
О
Рис. 27.57
I -2L
566

27. ПРИМЕРЫ ГРАФИКОВ
58. у = 1 + arcsin 2х.
%_
2
Рис 2758
59. у = arcsin (log1/2 х)
Рис. 27.59
60. у = log2 I COS XI .
-7С
2%
Рис. 27.60
567

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
61. y = log, (х + ^\ . А У
И
62. з> =
Рис. 27.62
568

27. ПРИМЕРЫ ГРАФИКОВ
63. y = log1/3(l9-x2l)
Рис. 27.63
64. у = log,/3 (tog,/3 X) . А
65. у = logj (log, х).
Рис. 27.65
569

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ.
I
2 + х
l0g^2^3-
-2
1
ц
я
рг
.3.
1
х'
Рис. 27.66
67. у = log2 (4 - х2).
Рис. 27.67
68. у = log3 (3х + 1). ±
Рис 27.68
570

27. ПРИМЕРЫ ГРАФИКОВ
69. ), = 1оё1/з(х5/4-1)
Рис. 27.69
70, у = &-*
п »»
Рис. 27.70
71-/w=rr^-
Рис. 27.71
571

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ. КНИГА I
72. у = х2-е1/х. А у
1\
~Ol
16 - я
н
74. у = V 1 - е ~* .
А
0
Рис. 27.73
А
О
Рис. 27.74
1
1
1 ^
1 X*
2
Г0.625
|
ь
Г
х^
572

27. ПРИМЕРЫ ГРАФИКОВ
«Г 1 1 " Х
А
и! о|
N
1 х'
76. y = \g\l-S\
Рис. 27.75
77. у=-{х}
Рис. 27.77
573

ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ КНИГА I
78'=ы-
ккШ
-2
1-1 01
2 х1
Рис. 27.78
79. у = Vw".
"-3 -2 -1 01 1 2 3 X ^
Рис. 27.79
80. у = [V3 - 4.x ]. А
¦>—г>
Рис. 27.80

ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА I. От четвертых до одиннадцатых классов:
текстовые задачи 5
1. Логические и занимательные задачи 5
2. Задачи на делимость чисел 33
3. Числа 52
4. Олимпиадные текстовые задачи 96
5. Текстовые задачи с исследованием 120
ГЛАВА II. Алгебраические преобразования ... 136
6. Преобразования рациональных выражений . . . 136
7. Параметр в иррациональных выражениях ... 172
8. Преобразование выражений, связанных с
иррациональностями 175
9. Разложение на множители 205
ГЛАВА Ш. Алгебраические уравнения 216
10. Уравнения первой степени с параметром . . . 216
11. Параметр в квадратных уравнениях 230
12. Иррациональные уравнения 263
13. Параметр в иррациональных уравнениях . . . 295
14. Параметры. Графический метод 303
15. Уравнения высших степеней 314
ГЛАВА IV. Алгебраические системы уравнений . 335
16. Системы уравнений с параметрами первой
степени с двумя неизвестными ........ 335
17. Решение различных систем уравнений с двумя
неизвестными 356
18. Решение систем с тремя неизвестными .... 398
ГЛАВА V. Неравенства 410
19. Решение алгебраических неравенств 410
20. Доказательство неравенств 423
21. Геометрическая интерпретация множества точек 451
ГЛАВА VI. Алгебра для старшеклассников . . . 460
22. Суммирование 460
23. Логарифмы 478
24. Показательные и логарифмические уравнения,
неравенства, системы 489
25. Целая и дробная части числа 514
26. Графики 541
27. Примеры графиков 546

И. Кушнир
ШЕДЕВРЫ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ.
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ
В ДВУХ КНИГАХ.
Книга I
Художник Гутман МБ.
Редактор Божко СМ.
Технический редактор Вербовиков АЖ
Корректор Обуховский Л.Я
Сдано на производство 20.07.95 г. Формат 84*108^2. Бумага
типографская №2. Гарнитура «Тайме». Усл. печ. листов 30,24. Уч.-изд. листов
51,28. Заказ №5-1029.
ООО «Астарта». 252133, г. Киев, бульвар ЛУкраинки, 20/22.
Головное предприятие РПО «Полиграфййига».
252057, г. Киев, ул. Довженко, 3.

И. Кушнир
Шедевры
школьной
МАТЕМАТИКИ
Автор книги -
Заслуженный
учитель Украины,
доцент Киевского
межрегионального
института
усовершенствования
квалификации учителей
им. Б Гринченко,
лауреат конкурса
"Соросовский учитель",
учитель-методист гимназии
педагогического
университета
им. М. Драгоманова.
Автор более пятидесяти
научно-методических
статей.
Его книги: Трикутник i
тетраедр у задачах",
"Побудова трикутника",
"Методи розв'язання
задач з геометрм",
"Векторные методы
решения задач"
пользуются заслуженным
успехом у учащихся
и учителей.
Двухтомником "Шедевры
школьной математики"
издательство "АСТАРТА"
открывает серию
учебной
и научно-популярной
литературы.