СЕРИЯ Известия АН СССР
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
Том 38, № 5,1974
УДК 513.88
Ф. А. БЕРЕЗИН
КВАНТОВАНИЕ
Светлой памяти
Ивана Георгиевича Петровского
В статье предлагается общее определение квантования для классичес-
классической механики с произвольным фазовым пространством. Обсуждается слу-
случай, когда фазовым пространством служит комплексное келерово многооб-
многообразие. В качестве примеров рассматриваются однородные ограниченные
области вС" с бергмановской метрикой, а также двумерные цилиндр
и тор.
Введение
Термин «квантование» возник в двадцатые годы в физической лите-
литературе и с самого начала употреблялся в двух смыслах. Во-первых, это
дискретизация множества значений той или иной величины. Во-вторых,
это — построение, исходя из классической механической системы, такой
квантовой, которая имеет эту классическую своим пределом при А->0,
где h — планковская постоянная *. В предлагаемой работе термин
«квантование» употребляется в этом втором значении. Задача кванто-
квантования в таком смысле, с точки зрения физики, принципиально не одно-
однозначна: так как квантовая механика описывает природу гораздо деталь-
детальнее, чем классическая, то любую квантовую систему можно изменить,
не меняя ее предельного классического описания.
Роль квантования, если подходить к нему с этих позиций, состоит
в оказании помощи физической интуиции для правильного сопоставле-
сопоставления математических объектов явлениям природы. Чисто математическое
значение квантования состоит в том, что оно служит источником важ-
важных конструкций. Упомянем в этой связи теорию псевдодифференциаль-
псевдодифференциальных операторов, в основе которой лежит квантование классических
механических систем с линейным фазовым пространством, а также
серию работ А. А. Кириллова, Б. Константа и их последователей, исполь-
использующих идеи квантования в теории представлений групп Ли (см. C),
D), E) и цитированную там литературу).
* Постоянная h размерна (ее размерность равна произведению размерности энергии
на размерность времени). Поэтому численное значение h зависит от выбора системы еди-
единиц. Стремление h к нулю означает переход от системы единиц, хорошо описывающих
квантовые объекты, к системам, все более и более приспособленным к описанию клас-
классических.

КВАНТОВАНИЕ 1117
В физической литературе квантование всегда понимается интуитив-
интуитивно. По-видимому, первая точная математическая конструкция квантова-
квантования принадлежит Г. Вейлю A). Вейлевское квантование применимо к
классическим системам только с плоским фазовым пространством, так
как оно основано на использовании канонических координат pk, qk. Кван-
Квантованию систем с неплоским фазовым пространством (точнее, систем со
связями) посвящена известная книга П. А. М. Дирака B). Эта задача
является актуальной в современной квантовой теории поля. Считать ее
полностью решенной в B) нельзя.
В настоящей статье 'предлагается общее определение квантования, а
также конструкция квантования для случая, когда фазовым простран-
пространством классической механической системы служит комплексное келеро-
во многообразие. Хотя конструкция является почти универсальной, ее
содержательность устанавливается лишь для случая, когда многообра-
многообразием служит Сп, либо однородная ограниченная область в Сп. В послед-
последнем случае возникает любопытная особенность: планковская постоянная
не может принимать всех неотрицательных значений, но ограничена
сверху: h^Lcy где с — константа, зависящая от области. Подробно этот
эффект исследуется в другой статье. Для случая Сп предлагаемая кон-
конструкция приводит к хорошо известному виковскому квантованию.
В конце статьи рассматривается квантование на цилиндре и торе,
строящееся по образцу вейлевского квантования. Основые результаты
статьи кратко опубликованы в F).
§ 1. Общая задача квантования
1. Классическая механика. Пусть Зй — дифференцируемое
многообразие, на котором задано кососимметрическое тензорное поле
2-го ранга ш, имеющее в локальных координатах дифференцируемые
компоненты ыш(х) и удовлетворяющее условию
+ ^ + а) 0 A1)
Y дх* дх* дх* J
Компоненты поля со всегда будут обозначаться буквами с верхними ин-
индексами. Обозначим через А(Ш) алгебру (относительно обычных опера-
операций линейного комбинирования и умножения) дифференцируемых ком-
плекснозначных функций на ЗК и определим скобку Пуассона элемен-
элементов А BЯ) :
Легко проверяется, что если функции fu f2y f3 дважды дифференцируемы,
то условие A.1) эквивалентно тождеству Якоби для скобки Пуассона
A.2):
If» I/2, /зИ + [/3> \fv /2U + [/2, \f» /Jl =0. A.3)
(Последнее обстоятельство, между прочим, показывает, что условие A.1)

1118 <Ъ А. БЕРЕЗИН
не зависит от выбора системы координат, что на первый взгляд не оче-
очевидно.)
Многообразие ЗИ вместе с алгеброй Л(ЗЯ), снабженной скобкой Пуас-
Пуассона A.2), будем в дальнейшем называть классической механикой и
обозначать BЯ, со).
Примеры.
1. $R=R2n — 2я-мерное аффинное пространство. Введем обозначения
для координат х{ в R2n : xi=pi при i= I, i2, ..., n,xl=?t._n приi=n+l,...
..., 2n. Положим ©fi+n=l, i=l, ..., л, cd*=O при \{—к\Фп. Скобка
Пуассона A.2) приобретает классический вид:
2. Пусть ® — алгебра Ли, е{ — базис в ®, С£* — отвечающие е*
структурные константы. В качестве ЗЛ рассмотрим пространство линей-
линейных форм на ©, через х1 обозначим координаты в 9Й, соответствующие
базису е\ (Если £=2агег'е@, х^ЗИ, то х{%) =1>х1а{.) Положим
где Clsk — структурные константы. Свойство A.1) эквивалентно тождеству
Якоби для структурных констант:
k
Скобка Пуассона A.2) имеет вид
[/,£] = 2 £* — —kx*- (L6)
fib dxt дх
Этот пример ранее рассматривался в G).
Пусть, в частности, ® — алгебра Гейзенберга — Вейля, т. е. алгебра Ли
с базисом 1\ т]\ J, *'=1, ..., п, и соотношениями [l\ t)j]=8i&, [|*, £\ =
= [г|\ j] = [|'э gj] = [ц\ r]j] =0. Соответствующие базису %\ г\\ Б коорди-
координаты в 2Я обозначим /?г, ^, е. Скобка Пуассона A.7) имеет вид
т. е. отличается от A.5) лишь множителем е.
3. Пусть Ш1 — симплектическое многообразие, т. е. многообразие
четной размерности, на котором задана невырожденная замкнутая
внешняя 2-форма ш. В локальных кординатах
со=2 (oik (x) dx{/\dxh.
В отличие от компонент ранее введенного тензорного яоля, которое
обозначалось той же буквой, компоненты формы (oih всегда будут снаб-
снабжаться нижними индексами. Невырожденность означает, что
det||(dih(x) 11=7^=0 при всех #еЗИ. Следовательно, при каждом х существует

КВАНТОВАНИЕ
Ш9
обратная матрица ®ik(x). Легко проверяется, что замкнутость формы со
эквивалентна свойству A.1) матрицы сол(д:)*. Поэтому на симплекти-
ческом многообразии всегда существует классическая механика.
Замечание. Если тензорное поле юл(х) не вырождено, т. е.
det||coih(x)\\фО при всех дс^ЗИ, то можно рассмотреть обратную матрицу
<oih(x) и с ее помощью — внешнюю форму
Условие A.1) оказывается эквивалентным замкнутости формы со. Та-
Таким образом, в этом случае многообразие 9Я оказывается симплектиче-
ским. Существуют, однако, важные механические системы, для которых
требование невырожденности ®ih(x) оказывается противоестественным **
* Условие den =0 через компоненты со^ записывается в виде
дх* dxs ~~ '
(*)
Дифференцируя соотношение 2 е0 Pv = ®?» П0ЛУчаем:
Э
откуда
Подставляя это выражение в A.1), находим:
а/
ча/г
k,s,t
• + ■
даь
Таким образом, в случае невырожденности со условия A.1) и (*) эквивалентны.
** См. пример 2 в случае, когда dim©s=l (mod 2). Подобная ситуация возникает,
в частности, в случае движения твердого тела с закрепленной точкой. Алгеброй © здесь
служит алгебра трехмерных вращений, скобка Пуассона задается формулой
df
Н
дх2
cx2
л
дх3
cx3
Функция Гамильтона имеет вид Я = ^ hikxixk> hik = hik = лл« Соответствующие урав-
уравнения движения -— = [#, jcj называются уравнениями Эйлера, матрица Л/л называется
тензором инерции.

1120 Ф. А. БЕРЕЗИН
Отображение классических механик. Пусть (ЗИг, ©,-),
t=l, 2,— классические механики, причем det ||©# ]]=^=0, det ||ю^||=?М). Диф-
Диффеоморфизм ф : 2П±—>-9И2 назовем отображением классических механик,
если сопряженное отображение переводит форму со2 в (о4; в локальных
координатах
*uil(x) = '%*w(y(x))^*4. A.7)
tq дх dxf
2. Общее определение квантования. Квантованием 51
классической механики BЯ, со) мы будем называть ассоциативную алгеб-
алгебру с инволюцией, обладающую свойствами, которые перечисляются
ниже.
1) Существует семейство Ah ассоциативных алгебр с инволюцией та-
таких, что
14) индекс h пробегает множество Е на положительной части веще-
вещественной оси, имеющее 0 предельной точкой @ не входит в Е).
12) Алгебра Я является подалгеброй прямой суммы \J ©ЛЛ. Эле-
менты алгебры Я нам будет удобно представлять в виде функций f{h)9
h^E, со значениями в Ah. Инволюция и умножение в Я обычным обра-
образом связаны с инволюцией и умножением в Ah: f °(h) = (P(h))a, где а,
о — инволюция в 51 и Ah соответственно, (fi*f2)(h)=fi(h)*f2(h)> где *,
* — умножение в St и Ah соответственно. В дальнейшем умножение и
инволюция в Ah и St обозначаются одинаково.
2) Существует гомоморфизм ср алгебры Я в алгебру А(Ш). Гомомор-
Гомоморфизм должен обладать следующими свойствами:
24) Для любых двух точек хи х2^Ш найдется такая функция
f (X) &р(*)9 ЧТО Нх^фПХг).
22) ф[— (f*g — g*/)l =-rM/i)» ф(/г)], где * означает умножение в %
и [ •, • ] — скобку Пуассона в A (SR).
23) ф(/а) =ф(/), где f-+fa означает инволюцию в 51 и черта — ком-
комплексное сопряжение. Параметр h играет роль постоянной Планка.
Свойства 2), 2j), 22) называются принципом соответствия. Будем го-
говорить, то для квантования % выполняется принцип соответствия в слабой
форме, если условия 2), 24), 22) заменены следующими:
2') В Ш существует линейное многообразие Я, на котором определено
линейное отображение ф : Я->Л (Ш) со свойствами:
20) Ф (/i * /,) = Ф (/i) • Ф (h) при Д, /2, ^ей;
21) ф (j (/i * /2 - h * /i)) = 7 1Ф (/i), Ф (Ш при Д, /2, М» Мх е Я;
227) для любых двух точек хь х2е2й существует такая функция
)еФ
2/)

КВАНТОВАНИЕ 1121
Отметим, что с общей точки зрения квантование является некомму-
некоммутативным расширением алгебры А (9И).
Пусть в классической механике (Зй, со) задана динамическая систе-
система с функцией Гамильтона Я. Какая ей соответствует квантовая дина-
динамическая система? С нашей точки зрения ответ заключается в следую-
следующем. Рассмотрим квантование Я механики (9И, <о) и обозначим череа
f(h) прообраз Н при гомоморфизме ср. Фиксируем h и рассмотрим ли-
линейное представление алгебры Ah в гильбертовом пространстве. Опера-
Оператор f, отвечающий f{h), является гамильтонианом соответствующей
квантовой системы. Неоднозначность в выборе прообраза f (h) отражает
большую точность квантовомеханического описания природы по срав-
сравнению с классическим, отмеченную во Введении.
Перейдем к важному частному случаю квантования.
3. Специальное квантование. Так будем называть кванто-
квантование, обладающее дополнительными свойствами:
3) Алгебра Ah состоит из функций f (х), #е9Я.
2) Алгебра St состоит из функций f{h,x), f(htx)^Ah при фиксиро-
фиксированном h.
5) Гомоморфизм ф : %-+А (ЗИ) задается формулой
1, х).
Ф(/)
h-*o
Изучаемые в настоящей статье квантования являются специальны-
специальными. В § 5 приводятся два примера, квантование на цилиндре и на торе,,
иллюстрирующих общее определение.
Кроме перечисленных свойств 1)—5), изучаемые нами квантования
обладают свойствами:
6) Инволюция в Ah совпадает с комплексным сопряжением.
7) Алгебра Ah обладает единицей, причем единицей служит функция
8) Алгебра Ah является алгеброй со следом, причем
где d \i(x) — некоторая мера на 2Я *.
Отметим, что если тензорное поле ы{3(х) не вырождено, т. е. если
на ЗИ существует внешняя замкнутая форма второй степени
®='2l(uijdxi/\dxiy то на ЗЯ существует естественная мера rf|i(x)=(on/z**.
4. Присоединенные элементы. Пусть задано специальное кван-
квантование, и пусть ft (х) ЕЕ Ан — однопараметрическая полугруппа. Функцию
* Следом называется линейный функционал sp/, определенный на некотором под-
подмножестве ЗлсгЛл. Множества Лл и sp / должны обладать свойствами:
1) если /i*/2«=i?k, то f2*fi€=Aht
2) если f^fzezAh, то sp (/i^J^sp (/2*Л).
Ясно, что функционал sp / определен с точностью до множителя.
** В случае, если SW — келерово многообразие, возможны и другие естественные
меры. См. ниже.

1122 ф. А. БЕРЕЗИН
Ф(х) = lim — ft (x) (если она существует в каком-нибудь смысле) будем назы-
t-*o dt
вагь элементом, присоединенным к алгебре Ah. Обозначим через ФЛЛ и М
подмножества Ahi для которых существуют пределы lim ft*g^Ah и
*м>
gf соответственно. Для этих пределов сохраним обозначения
J-*o
Ф * g и g * ф. (В конкретных случаях, как мы увидим, умножение / * g в Ah за-
задается с помощью интеграла вида
(/*g)(х) = ^Gh(xv x2\x)f (xjg(xjdp(xjdp(x2);
Ф*£ и #*ф задаются аналогичными интегралами.)
Функцию ф(Л, х) назовем элементом, присоединенным к алгебре Я,
если при каждом фиксированном A ф(А, х) является присоединенным
элементом к Ah.
Обозначим через ^ и 51Ф множества функций f(A, х)еЯ таких, что
при фиксированном A f(A, x)^*Ah и А% соответственно.
Элемент, присоединенный к St, назовем правильным, если существу-
существует ф@, х)= lim ф(/г, х) и достаточно богатое множество
h
такое, что для
4-(/* Ф- Ф*/) (К х) = -i[/, ф] @, х) + оA).
Будем говорить, что присоединенный элемент ф обладает квазикласси-
квазиклассическим свойством, если вместо последнего соотношения выполняется ра-
равенство
— (<р • / — / • Ф) (А, *) = -г [ф, /1 (А, х).
п i
Мы не уточняем слова «достаточно богатое», оставляя за собой свободу
рук. В случае, если алгебра St является топологической, естественно тре-
требовать, -чтобы Я было плотно в St. В других случаях может оказаться
более естественным требование, чтобы для любых хь х2е2й существовал,
такой элемент f(h, x)e9t, что f@, x4)#=f @, х2).
5. Символы. Рассмотрим линейное представление f->-f алгебры
Ah в гильбертовом пространстве. Элемент f будем по определению на-
называть символом оператора J (с добавлением различных прилагатель-
прилагательных, связанных с деталями конструкции). Присоединенный элемент ф
будем называть символом инфинитезимального оператора ф= lim -j. ft.
6. Функтор квантования. Пусть 951э 952 — алгебры, устроенные
аналогично квантованиям: существуют алгебры В%\ h^El9 B%\ h^Ev
такие, что 95/ состоит из функций / (А), А е Е{, принимающих значения в Вн\
Гомоморфизм \|>: 3^ -> 352 алгебр с такой структурой будем называть допу-

КВАНТОВАНИЕ 1123
• стимым, если он порожден гомоморфизмами \jph алгебр В®: (г|)/) (ft) = W СО-
(Для того чтобы существовал допустимый гомоморфизм Э5Х -^ S52, необходимо,
чтобы E1ciE<2i.) Аналогично определим допустимый изоморфизм алгебр 35,-.
Фиксируем множество классических механик & и категорию Ж отображе-
отображений элементов $. Пусть каждой классической механике (9Ю, со) е & сопос-
сопоставлено квантозание 9t.
Сопоставление (Зй, со) ^ 31 будем назьюать функтором квантования, если
для любой пары классических механик (ЗЙ/, оо*)е#, i = 1, 2, связанных соот-
соотношением
(«1, <*>2) = ф («1» ©i). ф
найдется такой допустимый гомоморфизм Ф, что коммутативна диа-
диаграмма
(Щ, со2)~~ЭB-*
где ф4, ф2 — гомоморфизмы, участвующие в определении квантования и
Ф* — отображение функций, сопряженное диффеоморфизму Ф.
Функтор квантования будем обозначать Q. Если сопоставление CR, со) ~~ %
является функтором, то, чтобы подчеркнуть это обстоятельство, будем писать
•* Q(»«)
Функтор квантозания Q будем называть специальным, если все квантова-
квантования 5t = Q CR, о) являются специальными.
7. Естественность. Для объектов, связанных со специальными
квантованиями, возникает важное понятие естественности. Пусть Ж —
некоторая категория отображений классических механик, BWf, ©*), 9Ь,
/=1, 2,— классические механики и их квантования.
Допустимый гомоморфизм \|): 91Х -v 9f2 называется естественным по отно-
отношению к Ж, если существует отображение Ф £= Л\ Ф CR2> ^г) = (®i> ©i)
такое, что
(ФЛ (^ *) = / (Л, ф W), ^ е з»2. A.9)
Гомоморфизм г|), связанный с отображением Ф соотношением A.9),
будем обозначать г^Ф*.
Специальный функтор квантования Q назовем естественным по от-
отношению к Ж, если в диаграмме A.8) Ф = Ф\
Специальное квантование §С=С?(9И, со), где Q — специальный функ-
функтор, будем называть естественным по отношению к категории Ж, если
этим свойством обладает функтор Q. В § 8 будет показано, что не суще-
существует функтора квантования Q, естественного по отношению к катего-
категории всех отображений классических механик.
8. Группы движений. Пусть (Ж, ш) — классическая механика
и G — группа преобразований 9Й, входящая в некоторую категорию Ж
отображений классических механик. Последнее обстоятельство, в част-
частности, означает, что преобразование х8в А (Ш):

1124 ф. А. БЕРЕЗИН
x) A.10)
является автоморфизмом алгебры Ли скобок Пуассона. Пусть Я— есте-
естественное относительно Ж квантование механики (ЗИ, со). Из приведен-
приведенных ранее определений немедленно следует, что преобразование A.10)
является автоморфизмом всех алгебр Ah.
Рассмотрим однопараметрическую подгруппу т*@ автоморфизмов
A.10) алгебры Ah. Предположим, что они представимы в виде rg(t)f=
= ot/h*f*o-t/h, где Gt^Ah — однопараметрическая группа, причем
,. do 4
g= hm _-! является правильным присоединенным элементом и мно-
множество Я состоит из функций, не зависящих от А. В таком случае эле-
элемент g обладает квазиклассическим свойством. В самом деле, из A.10)
следует, что
При /еЯ левая часть этого равенства не зависит от А, следовательно*
тем же свойством обладает правая, поэтому оA)=0.
9. Эквивалентно сть квантований. Пусть Я — квантова-
квантование классической механики (ЗИ, со), Е — множество значений А, 5 — не-
некоторое взаимно однозначное преобразование Е. Отображение 5 порож-
порождает автоморфизм s* алгебры Я: (s*f) (h)-f(sh).
Пусть теперь Яь Я2 — квантования одной и той же классической ме-
механики (Ш, со). Квантования Я4 и Я2 назовем эквивалентными, если 1)
существует такой изоморфизм Ф : Я,-^ и такой изоморфизм s* : Яг-^Я,
описанного выше типа, что изоморфизм CDs* : Я£->Я2 является допусти-
допустимым, 2) коммутативна диаграмма
<Pi\ /ч>2 A-11)*
А(Щ
где фг — гомоморфизмы, участвующие в определении квантования.
В случае, если на 2й действует группа преобразований G, входящая
в категорию, относительно которой квантования %i и Я2 естественны,,
вводится понятие естественной эквивалентности: в дополнение к A.11)
должна быть коммутативна диаграмма
<Ds*
Л1 Г. It. 0-12>
где хё — изоморфизм вида A.10).
10. Комментарии. 1) Мотивировка определения специального
квантования состоит в следующем. Согласно физическому представле-
представлению, квантование есть линейное сопоставление q:f(x)-*-f функциям
операторов в некотором гильбертовом пространстве.

КВАНТОВАНИЕ 1125
Предположим, что отображение q взаимно однозначно, определено
на множестве AczA Bй) и что образом А служит некоторая алгебра опе-
операторов А. В таком случае в А можно перенести умножение из А :
(fi*fi) (x)=Q~i(Q(fi)Q(f2))' Множество Л, наделенное этой операцией
умножения, и есть алгебра Ah из определения специального квантования.
С точки зрения идеологии квантовой механики многообразие 2И клас-
классической механики должно возникать в пределе при /i->0. Поэтому спе-
специальное квантование, в котором 9Й участвует с самого начала, вряд ли
может быть пригодно во всех случаях. Общее определение свободно от
этого недостатка и, по-видимому, является универсальным.
2) Алгебраические и топологические свойства алгебр Ah и 91, а также
свойства функций f(x)^Ahf f{h, x)^5t, не оговариваются в общих опре-
определениях для того, чтобы иметь возможность фиксировать эти свойства
наиболее удобным образом в конкретных ситуациях.
3) Принцип соответствия фиксирует лишь асимптотическое поведение
алгебр Ah при /i->0. Требования функториальности и естественности сни-
снижают этот произвол.
Для случая, когда 9Й=СП, в § 7 доказана единственность с точностью
до эквивалентности естественного квантования при некоторых дополни-
дополнительных условиях алгебраического и топологического характера.
§ 2. Квантование в келеровых многообразиях
1. Алгебра ковариантных символов. Мы строим ал-
алгебры Ah для келеровых многообразий с помощью ковариантных сим-
символов операторов.
Напомним основные определения (8).
Пусть Я— гильбертово пространство, М — некоторое множество с
мерой da. Система векторов еаЕЯ, а&М, называется переполненной,
если для любых f, g^H справедливо тождество Парсеваля
a)(ea,g)da. B.1)
Обозначим через da (а) меру, абсолютно непрерывную по da:
da (a) = (еа, еа) da.
Заметим, что переполненная система порождает вложение Н в простран-
пространство L2 (М) по формуле
/^/(а) = (/.*)■ B.2
Начиная с этого места, будем считать, что пространство Я реализовано
как подпространство L2(M).
Из B.2), в частности, следует, что
ва (Р) - (е«, <*) - (q>, ea) = в0(а). B.3)
Пусть Ра — ортогональный проектор на еа. Ковариантным символом

1126 Ф. А. БЕРЕЗИН
оператора Л в Я называется функция
Л (а) = sp (АРа) = {Аеа* *а) . B.4)
(*а' еа)
Из определений ясно, что ковариантныи символ единственным об-
образом определен для любого оператора, в область определения которого
входят еа при всех aeAf, в частности, для любого ограниченного опера-
оператора. Отметим, что ковариантныи символ ограниченного оператора огра-
ограничен: |Л (а) | ^ЦЛ||. Возможна ситуация, когда различные операторы
имеют один и тот же ковариантныи символ. Ниже мы увидим, что в ин-
интересующих нас случаях это не так: между операторами и ковариант-
ными символами существует взаимно однозначное соответствие. Пусть-
Л — ограниченный оператор в Я, Л (а)—его ковариантныи символ.
В (8) показано, что действие оператора на вектор определяется фор-
формулой:
(Л/) (а) = J / (Р) А (Р, a) l-^Lda (P), B.5)
где
Л (а, Р) = (Ае* gp) B.6)
— продолжение функции Л (а) на МхМ.
Из B.5) немедленно следует, что если Л=Л4Л2, Л, Ль Л2 — ковари-
антные символы соответствующих операторов, то
B.7)
1 (а) = \ Ах (у, а) Л2 (а, у) —
Алгебра с законом умножения B.7), состоящая из ковариантных сим-
символов ограниченных операторов, является основой дальнейших конструк-
конструкций. Роль множества М всегда в дальнейшем играет многообразие Зй,
служащее фазовым пространством классической механики. Из опреде-
определения ковариантного символа следует, что если оператору Л отвечает
символ Л (а), то эрмитово сопряженному оператору Л* отвечает ком-
плесно сопряженный символ Л (а).
В общей теории, развитой в (8), наряду с ковариантными символами
важную роль играют контравариантные символы операторов. Функция
о
А (а) называется контравариантным символом оператора Л, если опера-
оператор Л представим в виде слабого интеграла
= ja (A)Pa\d0(a).
Между ко- и контравариантными символами одного и того же оператора
имеется связь:
ea> ea)
B.8)

КВАНТОВАНИЕ 1127
Отметим, что закон умножения B.7) и связь между ко- и контравари-
антными символами задаются с помощью одной и той же функции
Интегральный оператор B.8), ядром которого служит функция B.9), иг-
играет в предлагаемой теории важнейшую роль. Мы его обозначим,
через Т.
Для полноты изложения приведем формулы для следа оператора и
следа произведения операторов *:
sp A = J A (a) da (а) = J А (а) da (а), B.10).
sp (АВГ) = J Л (а) 5 (а) da (a). B.11>
2. Келеровы многообразия. Пусть Зй — келерово многообра-
многообразие, в локальных координатах ds2=^gi^dzidzk,(s)=Iigi^dzi/\dzk. Соглас-
Согласно определению келерова многообразия dco=0 и det||g^||^=O. Следова-
Следовательно, 2Я является симплектическим многообразием. Тем самым на Ш
существует классическая механика BW, со). Скобка Пуассона в комплекс-
комплексных локальных координатах имеет вид
%) BЛ2>
czl dzl d
В дальнейшем часто будут встречаться функции на ЗЙХЗИ, аналити-
аналитические по первому и антианалитические по второму аргументам. Усло-
Условимся обозначать такие функции через f=f(z, v).
В этом пункте мы опишем общую схему квантования классической
механики BЯ, со).
Напомним, что потенциалом келеровой метрики называется функция
Ф(г, z), удовлетворяющая системе уравнений
д2Ф /9,^
* BЛЗ)
Условие келеровости dco=0 является одновременно условием локаль-
локальной разрешимости системы B.13). Система B.13) имеет вещественное
решение и в дальнейшем без оговорок предполагается, что Ф является
вещественной функцией. Мы будем также предполагать, что потенциал
Ф существует глобально на ЗИ и что он допускает аналитическое продол-
продолжение Ф(г, г;) на некоторую окрестность диагонали в Ш1ХЗЙ.
* В (8) показано, что ядерность А следует из существования 2-го интеграла B.10);
существование 1-го интеграла следует из ядерности А. Заметим, в частности, что у опе-
оператора А=/ ко- и контравариантные символы равны A (a)=A(a) = l. Поэтому конеч-
конечность интеграла Г do (а) эквивалентна конечномерности пространства Н и dim#=
/W()

1128 Ф. А. БЕРЕЗИН
Рассмотрим гильбертово пространство Fh аналитических функций на
Зй со скалйрным произведением
/» -i-<D(z,7)
(Л ё) - с (Л) )f{z)g (г) в h ф (г, г), B.14)
где ф (г, z) =&п = det|| g.^ || П z . 2 *. Константа /i играет в предлагае-
мой теории роль постоянной Планка, функция c(h) определяется ниже.
Интеграл B.14), как и все аналогичные интегралы в дальнейшем, для ко-
которых область интегрирования не указана, предполагается распространен-
распространенным на все 9R.
Пусть fk(z) — ортонормированный базис в Fh.
ТЕОРЕМА 2.1. 1) В каждой координатной окрестности абсолютно и
равномерно сходится ряд
). B.15)
2) Функция Lh(z,z) не зависит от выбора ортонормированного ба-
базиса fh.
Доказательство 1-го утверждения теоремы 2.1 дублирует стандартное
доказательство существования керн-функции Бергмана (см., например,
(9)) и поэтому может быть опущено**. Применяя неравенство Коши —
Буняковского, получаем в качестве следствия 1-го утверждения, что в
каждой координатной окрестности в 9ИХ9И абсолютно и равномерно схо-
сходится ряд
* o)n, /i=dimc=2R,— одна из возможных естественных мер на келеровом многооб-
многообразии. Другой возможный вариант: rf(i=@in,
^ЛЙ* где g =
Причина, по которой выбирается именно соп, состоит в том, что только в этом случае
мы можем доказать принцип соответствия. См. следующий раздел.
** Доказательство существования «ерн-функции основано на неравенстве
где U — координатная окрестность с центром з z0. Положим
Р (г, г) = ехр |— — Ф (г, 2)| det || ^(г, z) |.
Очевидно, что p(z, z) ^ao=ao(£/)>O ПРИ z^U. Поэтому из (*) вытекает неравен-
неравенство
S П ^^^ . (**)
Первое утверждение теоремы B.1) следует из неравенства (**) точно так же, как
теорема о существовании керн-функции следует из (*).

КВАНТОВАНИЕ 1129
v). B.16)
Обозначим через L/!CR) гильбертово пространство всех измеримых функций
на 3R с суммируемым квадратом по мере с (К) в h d\i и через Р — ортого-
ортогональный проектор из Ь1(Щ на F^ Очевидно, что
(Pf){z) =c(h) J7(t>, v)U(z9 Z)ijr°iV'V) ~
Отсюда следует незазисимость Lh(z9v) от выбора базиса. Теорема до-
доказана.
Из неравенства Коши — Буняковского вытекает важная оценка
IU (г, Ъ)\* < U (г, i) U (у, Ъ). B.17)
Положим
){) B.18)
Заметим, что
С (h) J | Ф? B)|2/ Г ^ 2> ф B,5) - 2 /* (*ШР) = ^ (У, 5).
Следовательно, Ф-е^Л. Из B.18) и B.16) следует, что при любом f^Fh
(ЛФ*)=/(<0? B.19)
Из B.19) очевидным образом следует B.1), причем роль а играет точка
v многообразия SW,
- \г ФB» 2)
da=c(h)e h dp (z, z), da (a) = Lh (z, z) da. B.20)
Таким образом, функции Ф- (г) образуют переполненную систему в Fh.
Алгебру Ah образуем из ковариантных символов ограниченных операто-
операторов в Fh. Отметим, что ковариантный символ Л B, z) оператора Л являет-
является значением на диагонали 2=v функции
определенной на 2RXSW. Специализаций формул B.5), B.7) и B.10) в
рассматриваемом случае дает:
(Af) (г) = с (Л) J Л (г, о) /'(о) LA (г, о) в А ф (о, о), B.22)
>o)t B.23)
)! j
Lh{z,z)Lh[v,v)
sp Л = с (Л) f Л (г, г) -^1± ф (г, 5). B.24)
J jr- ФB, *)
Серия математическая, № 5

ИЗО Ф. А. БЕРЕЗИН
Замечания. 1. Согласно B.22), оператор А восстанавливается по
функции А (г, г;) , служащей аналитическим продолжением А (г, ~z) с диа-
диагонали в ЗЙХЗИ на все 2ЯХЗИ. Тем самым в нашем случае оператор А
однозначно восстанавливается по своему ковариантному символу А (г, г).
Соответствие между операторами и ковариантными символами оказы-
оказывается взаимно однозначным.
2. Рассмотрим семейство келеровых метрик, отличающихся друг от дру-
друга постоянным множителем X: ds2 = AT1 dst Потенциалы метрик ds2 и ds%
связаны соотношением Ф (г, г) = Х~ХФО (г, г). Таким образом, масштабный
множитель X по существу играет в предлагаемой теории роль планковской
постоянной *.
3. Вспомогательные предположения и гипотезы.
Рассмотрим функцию
<p(z,z|f>, ?)=Ф(г, у) + Ф(о, г) — <b(v,v) — Ф(г,г). B.25>
Согласно общему предположению, функция Ф(г, г;) определена в окре-
окрестности диагонали многообразия ЗИХЗИ. Тем самым функция <р так же
определена в окрестности диагонали 2ЙХ2Я. Предположим дополнитель-
дополнительно, что функция ф допускает аналитическое продолжение на все много-
многообразие ЗЙХ2Я (как мы увидим в своем месте, это возможно без того,,
чтобы функция Ф(г, г;) обладала тем же свойством).
Назовем точку геЗИ правильной, если, какова бы ни была окрест-
окрестность U точки г, существует такое <х(£/)>0, что ф(г, z\v, v)^-a(U)
при iKjEC/.
Следующая лемма служит основой доказательства принципа соот-
ветствия.
ЛЕММА 2.1. Пусть zQ — правильная точка, f(v, v)—трижды непре-
непрерывно дифференцируемая функция и интеграл
Cf (h) = hTn)f (v, v) eh ф (tr, v) B.26>
существует в абсолютном смысле при h=h0. Тогда 2t{h) существует
при всех 0<h^.h0 и при
Я (А) =/ (^ Ч) + h (А/ (г0, 10) + of (г0, ^)) + о (А), B.27)
где А — оператор Лапласа — Бельтрами на Зй,
<* = <7(го,гЛ =-|"А1п^(го,го), g (z, z) = det\\ git (z,z)\\.
Доказательство. Заметим, что ф@, v\zQt zQ) ^0 и что
*Щ = У.}ь *)Щ. B.28>
* Отметим в связи с этим, что если Ш —- неприводимое симметрическое пространст-
пространство, то инвариантная метрика ds2 определена на нем с точностью до постоянного мно-
множителя.

КВАНТОВАНИЕ 1Ш
т- Ф г-Ф
г- Ф г-Ф
Следовательно, е <ев при 0<^h^hQ и интеграл B.26) существует при
0<[ft^/i0. Пусть теперь U—такая окрестность z0, что при vv v2Ez(J
функция Ф (vl9 v2) аналитична по vx и антианалитична по у2. Разобьем ин-
интеграл Cf (h) в сумму Cf (h) = Cfx (h) + Cf2 (Л), где Cfx (h) берется по U9
Cf2(ti) —no 9К\£Л Из B.28) получаем, что при 0<А<й0
* ф .A 1)
-(i--i-)e
Таким образом, Cf2(h)<:Cf2(h0)e h H° , следовательно, #2(Л)->0 при
/i->0 быстрее любой степени А.
Перейдем к интегралу С/г (h). Введем в U координаты /' так, чтобы ко-
координатами z0 служили /' = 0. Разложим ф в ряд Тэйлора. Это удобно
сделать с помощью операторов L* = 2*1 —j-, Lt= 2*'— :
[ 2~~ — 1 2"~2 1 8""
< 4 6
Где R = ^ tpt^Rptq(tJ), RPtq(tJ)—аналитическая функция в (/хУ,
Р> ? — мультииндексы. Воспользуемся теперь леммой Д. 1 Дополнения. Со-
Согласно этой лемме в координатах tl при А->0
Cfx(h) =/@,0) + /i(A/@, 0) + cf @, 0)) + о(h),
Q
где а = — Д Ing, Д — оператор Лапласа— Бельтрами и g = det|g^||. Лемма
2
доказана.
Следствие. Пусть интеграл B.26) существует при h=h0 и
f(v9 »)sl, Определим при 0<h^h0 функцию c{h)=c(h\z, z) равен-
равенством
с (Л) = J вГ ФB> 2|°' 0)d(i (о, 5). B.29)
Тогда с (Л) = ll >, где сх (А) — непрерывная при 0 ^ А ^ Ао функция, диф-
hn
ференцируемая при h = 0, причем
\ @) = 1, ci @) = — (Т=— -|-1пг(г,2). B.30)
Доказательство очевидно.
Дадим следующее важное определение. Точка гое2В называется
отмеченной, если Ф(г0, г;)=0, когда t; пробегает некоторую окрестность
U точки г0.
Заметим, что потенциал Ф определен системой B.13) не однозначно,
но с точностью до слагаемого вида ф(г) +*|>(г), где if (z) — произвольная
11*

1132 Ф. А. БЕРЕЗИН
аналитическая функция. Подбирая функцию -фB) подходящим образом,
можно сделать отмеченной любую точку 2Я. Обратно, отметив некоторую
точку, мы фиксируем потенциал с точностью до постоянного слагаемого.
Сформулируем предположения, при которых строится квантование
на келеррвом многообразии.
Гипотеза А. В Rl существует множество Я, имеющее О своей пре-
предельной точкой, такое, что при
\ (Г)
z) = Xeh . B.31)
Гипотеза В. Существует ho^E такое, что при Q<h^.hQ, Л&Е,
функции f(z)^Fh разделяют точки 2Я (т. е. для любых zu z2^$H найдет-
найдется f{z) eEFh такая, что f(zt) ¥=f(z2)).
Гипотеза С. Пусть zn — последовательность точек Ш, обладающая
свойством: при h0, определяемом гипотезой В, для любого f^Fh сущест-
существует конечный предел limfBn). Тогда последовательность zn имеет пре-
ft-*oo
дел z0e2R.
Гипотеза D. НаШ существует отмеченная точка.
Выведем из этих гипотез ряд следствий. Обозначим через FKzo про-
пространство Fh, построенное g помощью потенциала ФХа(г> *) с отмеченной
точкой zQ, нормированного условием ФгоBо, z0) =0.
ЛЕММА 2.2. Пусть для потенциала Ф выполнено условие А и, кроме
того, Lh(z, v) Ф0 ни при каких z, v^Wlrh^E. Тогда:
1) для любой точки 2ое3й существует потенциал OzoB, z), задающий
ту же метрику, что Ф(г, z), и имеющий z0 отмеченной точкой;
2) пространства Fh и Fh> Zq изоморфны, причем изоморфизм V : /\ *в-*
-*-Fh задается формулой:
а*±5.
УМ Wo)
Доказательство. Рассмотрим разрез по отрицательной части
вещественной оси и выделим однозначную ветвь логарифма условием
In 1=0. Положим
Фг„ (г, г) = Ф (г, г) — A In (LA (г, i0) Lh (г0, г)) + hlnLk (z0, %)•
Согласно свойству А, в достаточно малой окрестности za
In L* (z, ^) =-j-Ф (*,£) +tab.
ft
Поэтому
Ф2о (г, z) - Ф (г, г) — Ф (г, z0) — Ф (z0, z) + Ф (га, г0)
— потенциал той же метрики, что Ф(^ z). Очевидно, что для потенциала
Фго(г, z) точка z0 является отмеченной.
Скалярное произведение в Fht Zo задается формулой
г)

КВАНТОВАНИЕ 1133
Полагая
получаем изоморфиз1М
Замечание. Lh(z, у)фО ни при каких 2, v^Wl в случае, если мно-
множество Е содержит целый отрезок. В самом деле, пусть AczE — отрезок,
ае£\ Из гипотезы А следует, что Lh(z, v) = [La(z, v)]a/n. Из аналитич-
аналитичности по z и однозначности Lh(z, v) при Л^А вытекает, что
ЛЕММА 2.3. Пусть выполнена гипотеза А. Тогда:
1) при h^E функция с (К), нормирующая скалярное произведение
B.14), может быть определена, и притом единственным образом, из ус-
условия
I- <D(Z,2)
Lh (г, г) = eh ; B.32)
2) это значение c(h) дается формулой
;) B.33)
(интеграл в правой части B.33) не зависит от z, z)\
3) функция срB, z\v, v) допускает однозначное аналитичедкое в ве-
вещественном смысле продолжение с окрестности диагонали в 2ЯХ2Я на
все ЗИХЗЙ;
4) если, кроме гипотезы А, справедлива также гипотеза D, то фор-
формула B.33) может быть заменена более простой формулой:
B.33')
=1тт1ттт
Доказательство. Обозначим временно через L?*(z, г) функцию Lh,
отвечающую с(Л)= 1, и через L/^fo г) — функцию L^ отвечающую [произ-
[произвольной функции с (К). Очевидно, что L^ = с (A) l£\ Отсюда следует, что
условие B.32) определяет функцию с (К) однозначно.
Применим теперь формулу B.23) в случае, когда операторы Ai и А2
единичные. В этом случае Ai^A2^Ai^A2^\. Используя B.32), полу-
получаем B.33). Формула B.330 получается из B.33) при z=z0, где z0 —
отмеченная точка.
Пусть ho&E. Согласно условию А в некоторой окрестности диагонали
2ЯХ9Й справедливо равенство
1
eh . --»-.->-».-._-, ■ B34)

1134 Ф. А. БЕРЕЗИН
Выражение в скобках в правой части определено при всех г, v^SSl и по-
положительно. Следовательно, правая часть B.34) является аналитиче-
аналитической в вещественном смысле функцией на ЗИХЗИ. Логарифмируя и умно-
умножая на h, получаем нужное аналитическое продолжение для ср. Лемма
доказана.
Следствие. При h^E
г- <&<*.»)
Ф?(г)=ел . B.35)
Доказательство. Согласно определению B.18), Фу (z) являет-
является однозначной аналитической функцией на ЗЙХЗИ. Согласно B.32), ле-
левая и правая части B.35) совпадают при z=v.
Подчеркнем, что, хотя Ф- (z) является однозначной аналитической
функцией на всем многообразии 3WX8W, из B.35) не следует, что Ф(г, v)
обладает тем же свойством.
ЛЕММА 2.4. Пусть выполнены условия А, В, С, D. Тогда 1) каждая
точка многообразия Зй является правильной, 2) интеграл B.26) суще-
существует при f(v,v) = l и h^E.
Доказательство. Из B.34) следует, что при Л=Лое£, f= 1 инте-
интеграл B.26) с точностью до множителя совпадает с правой частью B.23),
где Ai^A2^li т. е. когда операторы At и Л2 единичные. Отсюда следует
существование интеграла B.26) при fs=l,/ге£.
Перейдем к первому утверждению. Вспомним, что Ф- (г) =£л(г, г;)е
eFA при любом v и любом Л. В частности, это верно при v=vQ — отме-
отмеченной точке и h^E. В силу гипотезы А, в этом случае
{) =1
(см. B.35)). Таким образом, fQ(z)^leFk при Ag£.
Фиксируем точку zQ и окрестность U этой точки. Заметим, что из
неравенства B.17) и из B.34) следует, что еТ"ф ^1 при z=z0 и v€£U.
Таким образом, если точка zQ не является правильной, то либо сущест-
существует такая точка v<fiEU, что
(*^>VW> = 1§ B 36)
либо существует такая последовательность точек vn€fcUy что
n+«>LK^z,)Lho(vn,vn) V' ;
Рассмотрим сначала первую возможность. Покажем, что в случае ра-
равенства B.36) f(zo)=f(vo) для любой функции fsFh. Пусть foB) = l,
f(z)^Fh. Положим fiB)=||fo|l~IAfo, /ггB)=а/:(г)+р, где аир выбраны
из условий (ft, f2) =0, (f2, fz) =1. Дополним пару функций fu f2 до орто-
нормированного базиса fk в Fh. Базис fk используем в формуле B.16).

КВАНТОВАНИЕ И35
Из B.36), согласно свойствам неравенства Коши — Буняковского, выте-
вытекает, что fh(Zo)=kfh(vo)- Применяя это соотношение при k=l и k=2,
находим, что К=1 и что f(zo)=f(vQ). Согласно гипотезе В отсюда сле-
следует равенство vo=zOy противоречащее условию v<0ZU.
Перейдем ко второй возможности. Пусть Н — произвольное [гильбертово
пространство, g, цп^Н, причем —^-2 > 1. Положим еп =,--— и выбе-
lUlllhll InJ
рем слабо сходящуюся подпоследовательность еПк. Пусть e = \imenk- Тогда
(тГ1Г> е) = *» 0ТКУДа следует, что в = А,-|-, \Ц = 1. Так как |*| = 1, то
МНИ / \\l\\
последовательность еПк сходится не только слабо, но и сильно. Рассмотрим в
качестве Н пространства /3 и положим
I = ifl (to), /2 (Zo)> . ■ •}> *\п = {/i (On), h Ы, • • •},
где fk — базис в Fh, содержащий функцию \fx (z) = const. Так как Д (zQ) =
= h(vn) — const =^=0, то из услозия е = 1 вытекает, что Нт||г]/1А||<С оо.
Пусть ns —подпоследозательность номеров tik, по которой существует lim
Очевидно, что при s-»oo существуют конечные пределы fk=lirn fkOpn^i и в сильном
смысле Нтти = ц = (Д, /2, ...). Равенство B.37) означает, что '^' л* =1.
ПЕНИ!
Таким образом, г\ = A,g, т. е. Д = А.Д (г0). Полагая k = 1, получаем, что
Я =. 1. Пусть f(z) = ^ckfk(z), тогда
Согласно гипотезе С огсода вытекает существование предела v0 = lim vnk
а согласно гипотезе JB v0 = zOt что противоречит услозию vn ф. U. Лемма
доказана.
Лемма 2.4 показывает, что из гипотез А—D следуют условия лем-
леммы 2.1.
4. Принцип соответствия. Рассмотрим множество функций
f(h\z, z), Л>0, непрерывных по совокупности переменных и обладающих
тем свойством, что f{h\z, z)^Ah при фиксированном Л. Пусть Е — мно-
множество, оговоренное в гипотезе А. Обозначим через 5С алгебру, состбя-
щую из значений функций f(h\z, z) при h^E. Обозначим через 8 мно-
множество функций, представимых в виде
где f(O\z, z), /1B, z) и f2(h\z, z) —функции, допускающие аналитическое
продолжение на ЗЙХЯЙ. Относительно этих аналитических продолжений
предположим, что существует такое Ло, что при Л<Л0

1136 ф. А. БЕРЕЗИН
c(h
где r=r(v) не зависит от h.
Покажем, что для алгебры Я и множества Я=£ П Э выполняется
принцип соответствия в слабой форме. Тем самым будет установлено,
что алгебра £ является специальным квантованием.
ТЕОРЕМА 2.2. Пусть выполнены гипотезы А, В, С, D и /, £€=Э. Тогда
при Л->0, h^E
B.38)
Y (l). B.39)
Доказательство. Положим u(h\v, v)—f(h\z, v)g(h\v, z) и за-
запишем левую часть B.38) в виде
г|> (Л I г, г) = с (h) J a (h | о, 5) / **' * V (», 5), B.40)
где ф определяется формулой B.25) и £ (А) == с (А) —формулой B.29).
Согласно предположениям, сделанным относительно / и g, функция и
представима в виде
и (h | vf Ъ) == и @1 v, Ъ) + /шх (Л | v, v),
где
Из предположений относительно / и g следует, что при
где a=a(z9 z) не зависит от Л.
Напомним теперь, что согласно B.29), B.30) при h(*E c(h)=Z(h) =
= —=——, причем Ь(О)=0. Применим лемму 2.1 к интегралу B.40)
(напомним, что согласно лемме 2.4 применимость леммы 2.1 следует из
гипотез А — D). В результате очевидных вычислений и оценок находим:
+ f @1 г, ~z) ft (г, ~z) + Л (г, J) g @1 г, J)) + о (h). B.41)

КВАНТОВАНИЕ 1137
Из B.41) сразу следует B.38). Меняя ролями / и g, получаем до-
дополнительно, что
^1)^+0A). B.42)
Обратим теперь, внимание на то, что оператор Лапласа — Бельтрами
на келеровом многообразии имеет в локальных координатах вид (в при-
применении к функциям)
B.43)
(см. лемму 3 Дополнения). Сравнивая B.42) и B.43) с выражением для
скобки Пуассона B.12), находим, что первое слагаемое в правой части
B.42) равно у- [ftg]. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 2.3. Пусть выполнена гипотеза В. Тогда, каковы бы ни
были точки zu 22е2й, существует функция f(h\z, z)eStO93 такая, что
Доказательство. Пусть zu z2e2R. Согласно гипотезе В при неко-
некотором ае£ существует такая функция t^(z)^Fa,что ^(г^Ф^^г^).По-
^(г^Ф^^г^).Покажем, что в Fa существует также функция i|?B), обладающая свойст-
свойством |i|>Bi) \ф |^B2) |. В самом деле, если этим свойством не обладает
^i(z)f то при подходящем е, |е| = 1, им заведомо обладает функция
где /0ее lEfe.
Рассмотрим функцию \|?2 (г) ty2 (г) е а .В случае, если она не раз-
разделяет точек гг и г2, заменив \|?2 {г) на г|) (г) = г|J (z) + ц/0 (z) при подходя-
щем ц, мы добьемся того, что функция г|э (z) о|> (г) е будет разделять
точки zx и z2.
Рассмотрим дважды непрерывно дифференцируемую функцию е(А)
со свойствами: е(Л)^0, е@) = 1, е(Л)^0 при Л>а. Покажем, что функ-
функция
/ (A I zt г) = е (А) г|> (г) ^ е Г Ф(^ г) B.44)
является искомой. Пусть Л — оператор в Fh с ковариантным символом
B.44), Л<а, ft€=£. Оценим ||Л||:
(Л/)(г) = 8(Л)^Bг)с(Л) j ^(a)/(a)eVA aJ h dii(v,v). B.45)
Интеграл в правой части обозначим через &{z) и применим к нему нера-
неравенство Коши — Буняковского
- (г-™ )(Ф(*.о)+Ф(о. г)Ь

1138 Ф. А. БЕРЕЗИН
Воспользовавшись неравенством Ф(г, v)+Q)(vt z)—Ф(г>, г;)—Ф(г,
0, получаем дальнейшую оценку:
Возвращаясь к B.45), получаем:
lAff<e*(h)c(h) c-Ha)\\f\ny\2$h(z)\Vh aJ h
Отсюда ||Л|| = е(Л)с7а(Л)с-1 (ia)||tJ>H2, следовательно, f(h\z,
Покажем теперь, что /еЭ. Положим
Достаточно проверить, что fieFh при А<а и фиксированном v и что
r, где r=r(v) не зависит от А. Обозначим через %B, z) функцию
и через z0 — отмеченную точку. В таком случае
где
фB,^|20,?0)=Ф(г,>0) + ФBГ0,^) — Ф(го,?о)-Ф(г, ?)=-Ф(г,"г)
ввиду того, что z0 — отмеченная точка. Мы находимся в условиях при-
применимости леммы B.1). Согласно этой лемме функция WfiWj* имеет пре-
предел при Л-Я):
Отсюда следует нужная оценка. Теорема доказана.
Теоремы 2.2 и 2.3 означают выполнение принципа соответствия в сла-
слабой форме.
5. Свойства оператора ГЛ. Оператор Т в общем случае задает-
задается формулой B.8). В нашем случае мера а и векторы <ра зависят от Л,
в силу этого от А зависит также и оператор 7, Г=ГЛ. Учитывая гипо-
гипотезу А, получаем, что при Ае£ оператор Th равен
GУ) fe'5) = J/@. v)Gh(z, z\v,v)ф (v9v), B.46)
где
Gh(z,z\v9v)=c(h)

КВАНТОВАНИЕ 1139
Мы будем рассматривать оператор Th в Lp на 9Й. Норму Th в Lp обозна-
обозначим через ||7\||р.
ТЕОРЕМА 2.4. 1) ||ГЛ||,<1. 2) При А-нО в слабом смысле Iim7\=/,
где I — единичный оператор в L9.
Доказательство. Ядро Gh(zy z\v, v) обладает свойствами:
1) G^O, 2) Gh(z, z\v, v) = Gh(v, v\z, z), 3) fGh(z, z\v, v)dp{p, v) = l.
(Свойства 1 и 2) очевидны, свойство 3) следует из B.23) приЛ1=Л2=1).
Поэтому первое утверждение теоремы вытекает из следующего общего
факта.
Пусть М — множество с мерой dx, А — оператор в LP(M)9
определяемый формулой
причем К(х, у) ^0 при почти всех х, у^М и JK(x, y)dy=fK(x, y)dx=l.
Тогда |ИИ,<1.
В самом деле, в силу теоремы Рисса A0), In ||Л||Р является выпуклой
функцией р при l^Cp^oo. Поэтому достаточно проверить оценку нормы
в пространствах D(M) и L°°(M) (||f||eo=sup \f(x) |). Эти оценки оче-
очевидны:
y)\f(y)\dydx J
Перейдем ко второму утверждению. Пусть вначале / — непрерывно
дифференцируемая функция, равная нулю вне некоторой координатной
окрестности U. Учитывая гипотезу А, запишем Thf в виде
{Tlf) (г, Z)=c(h))f (v9 v) eh dp (v, v).
Согласно лемме 2.3 из гипотез А, В, С, D следует, что каждая точка WI
является правильной и, значит, ср^О, причем неравенство строгое, если
zф v. Если же z=v, то, как следует непосредственно из B.25), <р=0.
Следовательно, при фиксированном z функция <р имеет строгий макси-
максимум по v при v=z. Пусть U^U — более широкая координатная окрест-
окрестность. Фиксируем 2e(/t и введем в Ut координаты f так, чтобы коор-
координатами z служили f'=0. Согласно предыдущему, в этих координатах
\p\+\q\=3
где Rp,q(t, t) —непрерывная функция, р, q — мультииндексы. Мы нахо-
находимся в условиях применимости леммы 3 Дополнения. Согласно этой
лемме при

И40 Ф. А. БЕРЕЗИН
В случае, если z^EUif из правильности точки z следует, что
"", &>0. B.47>
Пусть Лп->0, Thfl —слабо сходящаяся последовательность, Q=\imThft.
Из B.47), B.47х) следует, что если f — непрерывно дифференцируемая
функция и f=0 вне какой-нибудь координатной окрестности, то Qf=t~
В силу этого Q=/. Таким образом, Q не зависит от выбора последова-
последовательности hn и, следовательно, существует слабый предел для Th при
h-+0 : lim Th=I.
6. Обсуждение гипотез. Основная гипотеза о. существовании
потенциала справедлива для локальных келеровых многообразий, т. е.
для ограниченных областей в Сп с келеровой метрикой. Келеров потен-
потенциал заведомо не существует глобально на компактных многообразиях.
Однако он может существовать на многообразии ЗИ, получаемом иа
компактного многообразия ЗИ удалением подмногообразия меньшей раз-
размерности.
Из совокупности гипотез А—D следует любопытное дифференци-
дифференциально-геометрическое свойство многообразия ЗЯ.
ТЕОРЕМА 2.5. Пусть g(z, z)=det H&sll. При выполнении гипотез:
А—D g (z, z) удовлетворяет уравнению
Alng = const,
где Д — оператор Лапласа — Бельтрами на 2Й.
Доказательство. Согласно лемме 2.3, гипотезы А—D влекут
за собой применимость леммы 2.1 к функции f(z, z) = 1. Тем самым спра-
справедлива формула B.30). Заметим, что
~Сг@) =7г@1 г,г) ~ limc7(/t)~с~<0) = lim *(ftiz^)~i . B.48>
л-и) h h-*o h
Пусть теперь в правой части B.48) &-й) по последовательности hn^Er
где Е — множество, оговоренное в условии А. При h^E c(h\zt z)=c(h)
не зависит от (z, z) (см. B.33), B.33х)). Следовательно, ^@) обладает
тем же свойством, и, в силу B.30),
— 3 —
а (г, г) ==- — Д In g (г, г) = const.
Теорема доказана.
7. Размерность пространства Fh.
ТЕОРЕМА 2.6.
4 B.49)
Л _ - г- Ф B» 2)
dim Fh = c (ft) J U (г, г) е А d\i (г, г)

КВАНТОВАНИЕ 1141
Доказательство. B.49) следует из B.24) при JC=I (см. также
лримечание к стр. 1127).
8. Возможное обобщение. Рассмотрим ассоциативную алгеб-
алгебру Л, состоящую из функций на Зй, допускающих аналитическое продол-
продолжение на 2ЙХЗИ. По аналогии с B.23) зададим закон умножения в А
в виде
J^^v). B.50)
Можно показать, что если алгебра А содержит достаточно много элемен-
элементов, то с необходимостью
0 ,
F(z,z)F(v,v)
где F(z, v) —аналитическая функция на ЗИХЗИ и F(v, v) —некоторая
функция на аи.
Если алгебра А обладает свойством 8) квантования (касающегося
следа) и множество А, на котором определен след, достаточно велико,
то с необходимостью F(v, v) = cF(vy г;).
Подробно останавливаться на этих утверждениях мы не будем. Отме-
Отметим лишь, что в случае ограниченной, но неоднородной области в Сп
естественно попытаться строить алгебру^ с помощью формул B.50),
B.51), полагая F(z, z)=Kl/h(z, z), F=cF, где К—керн-функция Берг-
Бергмана. Принцип соответствия в этом случае следовал бы из леммы 2.1.
Однако даже в этой простейшей ситуации, если только не выполнена
гипотеза А, не удается доказать, что существует алгебра с законом умно-
умножения B.50), B.51), содержащая хотя бы одну функцию f(z, z), кроме
§ 3. Квантование в однородных келеровых многообразиях
1. Линейное представление локальной группы дви-
движений в пространстве Fft. Пусть Зй — однородное келерово мно-
многообразие, G— группа движений Зй, Ф(г, х)—потенциал инвариантной
относительно G метрики на Зй. Мы будем предполагать, что потенциал Ф
существует глобально на множестве ЗИ, получаемом из ЗИ удалением под-
подмногообразия меньшей размерности 3JT. В соответствии с этим функции
f(z)^Fh также определены на ЗИ. Из инвариантности метрики, порожда-
порождаемой потенциалом Ф, следует, что
Ф(£*,^)=ФМ) + ^(g,z) + y(g,z), C.1)
где ty(g, z) при фиксированном g является аналитической функцией z,
определенной в 3Mf|g3W. Соотношение C.1) определяет функцию tp(g, z)
с точностью до чисто мнимого слагаемого. Чтобы ликвидировать эту
неопределенность, выделим точку z0 и положим

1142 Ф. А. БЕРЕЗИН
Фиксируем открытое множество £Иос:ЗЙ. Рассмотрим симметричную окре-
окрестность UG единицы е группы G, настолько малую, чтоgWloczWl()gWi при
g<=UG. Из C.1) следует, что при gi9 g2, ftftet/e> 2e2R0
Re ф feft, 2) = Re г|) (glf g2z) + Re if (ft, 2).
В свою очередь отсюда при тех же условиях вытекает соотношение
Ч> (gig2> г) = ф (ft, ftz) + ф (g2, г) + ia (glt ft), C.2)
где a (ft, g2) —вещественная функция.
Покажем, что при любом геЗЙ
1|>(в,г) = 0. C.3)
Соотношение C.3) справедливо при z=z0 в силу определения функ-
функции if. Полагая в C.2) gi=g2=e, получаем, что i|)(e, z)=—a(e, в) не
зависит от z. В частности, 0=i|?(e, zo)=—a(^, e), откуда -ф(в, 2) =
=— а(е, е)=0.
ТЕОРЕМА 3.1. Пусть выполнена гипотеза А, и пусть g^UG. Тогда:
1) если f(z) е/7^ то функция
первоначально определенная на 9И0, допускает аналитическое продолже-
продолжение наШи оказывается принадлежащей Fh.
2) Операторы в Fh
rMg"t9Z) C.4)
унитарны и определяют проективное представление локальной группы UG.
3) 5 случае, если определяемая соотношением C.2) функция а равна
a (£i. £2) = a (gxft) — a (&) — a (ft),
операторы fgeia(g) образуют линейное представление локальной груп-
группы UG.
4) Представление tg неприводимо.
5) Пусть А — ограниченный оператор в Fhy A(z, %) — его ковариант-
ный символ, (%gA)(zy z) —ковариантный символ оператора Т^АТ-1 .
Тогда:
50 Функция A(z, z), первоначально определенная на Ш, допускает
аналитическое продолжение на все ЗИ.
5г) При всех геЗК
(x^)(z%z)^A{g^i4). C.5)
Доказательство. Используя C.1), получаем из B.35) при
v, z&Bl П g$R:
адЛ

КВАНТОВАНИЕ 1143
Положим w=g~lv и воспользуемся тем, что, согласно C.3), C.2),
♦ («Г1. 8*) = — У (М> г) — ia (g~\ g).
В результате имеем:
)
. C.7)
Заметим, что правая часть C.7) при фиксированном w допускает анали-
аналитическое продолжение по г на ЗИ. Следовательно, тем же свойством об-
обладает левая часть.
Таким образом, оператор C.4) определен на функциях Ф»(г), иеЭДП
П g®. Оператор C.4), определенный только на функциях этого вида, обо-
обозначим через f'g. Из C.7) следует, что f'g<S>^Fh. Используя C.7) и C.6),
находим:
= Ф5 (и) = (Ф& Фа). C.8>
Обозначим через Fh множество конечных линейных комбинаций векто-
векторов Фък (г), с*еЯЙ П g5R- Из общей формулы B.19) следует, что F'h.
плотно в Fb.
Пусть fg — распространение оператора fg на Fa по линейности и f"g —
замыкание Yg. Очевидно, что оператор f°g определяется формулой C.4).
Из C.8) следует унитарность t"g4 Пусть /ne^ и / = lim/n по норме Fh.
Из B.19) следует, что / = lkn/n также равномерно внутри любого откры-
открытого множества, содержащегося в 3R вместе с замыканием. Отсюда вытекает,
что оператор Т^ также определяется формулой C.4), т. е. t'g = Tg* В част-
частности, правая часть C.4) является однозначной аналитической функцией и
(fgf, tgf) = (/, /). То обстоятельство, что операторы tg определяют проек-
проективное представление локальной группы £/<?, непосредственно следует из.
соотношения C.2). Отсюда же следует третье утверждение теоремы.
Докажем пятое утверждение теоремы. Пользуясь тождеством C.7),.
получаем при
fn. 771 Фб)=ИФРЬ
В частности, при Л=/
Следовательно, символ оператора fgATJ* при t>e3R0 равен
^)в C.9)
Левая часть C.9) допускает очевидное аналитическое продолжение на 2H>

1144 Ф. А. БЕРЕЗИН
следовательно, тем же свойством обладает правая часть. Пусть t>oe5W'=
=3й\3й и элемент g^Ua обладает тем свойством, что vi=gv0^M*. Jl£
вая часть C.9) определена при v=vit Это дает возможность определить
правую часть при v=vQ. Таким образом, мы доопределяем символ
A (z, z) на все многообразие 2Я. Очевидно, что получающаяся таким об-
образом на всем 9Й функция А (г, г) аналитична в вещественном смысле и
что соотношение C.9) сохраняет силу при всех v^M.
Перейдем к четвертому утверждению. Пусть А — ограниченный опе-
оператор, перестановочный со всеми Tg, A (z, z) — его символ. Из C.9) сле-
следует, что A {z, z)=A(g~iz, mg=rz) при g^UG. Поскольку группа G порож-
порождается любой окрестностью единицы, последнее соотношение справед-
справедливо при всех g^G. В силу транзитивности действия G на Зй, отсюда
следует, что A(z, z)=a=const. В силу взаимно однозначного характера
соответствия между символами и операторами, отсюда вытекает, что
Л=а/, где / — единичный оператор в Fh. Теорема полностью доказана.
2. Проективное представление полной группы
движений в пространстве Fh.
ТЕОРЕМА 3.2. Представление C.4) продолжается до унитарного
проективного представления группы G в целом.
Доказательство. Рассмотрим алгебру Ah как* линейное простран-
пространство и представление локальной группы UG в Ah, определяемое форму-
формулой C.5). Это представление продолжается до линейного представления
группы G в целом, поскольку группа G порождается своей окрестностью
f/G. По той же причине при всех g^G преобразования C:5) являются
автоморфизмами алгебры Ah. По своему построению алгебра Ah изо-
изоморфна алгебре всех ограниченных операторов в Fh. Как известно (и),
автоморфизмы алгебры всех ограниченных операторов в гильбертовом
пространстве являются внутренними. Поэтому для каждого g^G суще-
существует ограниченный оператор Ug в Fh, порождающий автоморфизм C.5):
Ag^VgAUl\ (ЗЛО)
где А-+А8—автоморфизм алгебры операторов, соответствующий %й. Опе-
Оператор Ug определен равенством C.10) с точностью до множителя. Оче-
Очевидно, что эти операторы образуют проективное представление груп-
группы G.
Преобразование %g переводит вещественные функции в вещественные.
Следовательно, автоморфизм C.10) переводит эрмитовы операторы в
эрмитовы. Отсюда вытекает, что оператор Ug лишь множителем отли-
отличается от унитарного. Таким образом, операторы Og можно считать уни-
унитарными, неопределенный множитель — равным по модулю 1. Теорема
доказана.
Обозначим через & группу, состоящую из всех операторов Og, g^U.
Очевидно, что G является центральным расширением G. Таким образом,
* Такой элемент существует в силу того, что по предположению ФГ — многообра-
многообразие меньшей размерности.

КВАНТОВАНИЕ 1145
операторы Ug образуют линейное унитарное представление группы бГ
Это представление обозначим Г~. Обозначим через n:G-+G гомомор-
гомоморфизм, определяемый равенством 7t(Ug)=g. В дальнейшем элементы
группы G будем обозначать через g.
Пусть U^ciG — прообраз окрестности Ug при гомоморфизме я, tg —
представление C.4). Согласно определению, f~ вбТ^при^^^, £=rt(g),
19 | = 1. Следовательно,
(Ту/) (г) -/fcrb)*^* C.11)
где q>(g, z)=i|)(g, г)+ф(£), p^ —вещественная функция, определен-
определенная с точностью до слагаемого вида 2nnh. Эту неопределенность можно
устранить, положив р(е)=О. В таком случае, согласно C.3), также
<р(е, z)=Q. В дальнейшем предполагается, что р(е)=<р(е, z)=0.
ТЕОРЕМА 3.3. Пусть fo(z) = 1 е/% ГоаЭа 1) функция е h допус-
допускает продолжение на G х$& с сохранением аналитичности по г, 2) глобаль-
глобальное представление Т^ группы G задается формулой C.11).
Доказательство. Из того обстоятельства, что операторы C.11) обра-
образуют представление локальной группы (/^, и из условия q> (а, г) = 0 следует,
что при ix, ia, iigjs^G» z^^o
<p(£*i£*z)^q>(£i,g2z) + <p(£a,z), £2 = *ы. C.12)
Полагая в C.11) / (?) = 1, находим, что функция е (g, г) = ехр ф (g, z)\
определена на U$ x 3R и является аналитической функцией г при
фиксированном g. Из C.12) следует, что при gpg
, г) - в (£, ^г) в (ia, г) (g2 = я (£а)). C.13)
Вспомним теперь, что представление C.11) продолжается до унитарного пред-
представления группы G в целом. В частности, 71-7|-=Т™при§1,^2^(/^. Сопо-
Сопоставляя это тождество с C.13), находим, что в (g9 г) имеет единственное про-
продолжение на UffX 3R с сохранением аналитичности по г и свойств» C.13)
и что операторы f~ имеют вид C.11) при gei/|-. Повторяя это рассуж-
рассуждение, получаем, что при любом целом я>0 существует однозначное про-
продолжение е (g, г) на (/g-xic сохранением аналитичности по г и свойства
C.13) и продолжение формулы C.11) на U~. Этим доказательство теоремы
завершается, так как G== U^*
3. Ковариантные символы операторов Т~# Сопоставляя
C.2) и C.12), находим, что a(gu g2)=$(gigi)—${gi)—${g*). В част-
частности, a(g-\ g) = — P(£)— PCi")- Поэтому из C.7), C.11) следует, что
12 Серия математическая, № 5

1146 Ф. А. ВЕРЕЗИН
= ф^(^)^ h ' =Lh(v,gv)e
Отсюда находим ковариантный символ оператора Т~:
*?Le—^*г\ C.14)
Пусть g (/) — однопараметрическая подгруппа G. Представим оператор
в виде fgfc) = exp J — 5 ]. Ковариантный символ X (г, г) оператора Ли X
можно вычислить, подставив в C.14) g = g~(t) и продифференцировав после
этого C.14) при t =0. Из гипотезы А следует, что X(z, z) не зависит от h:.
5?(г, г) = h fteh \t=0 = ±[Ф(г, gar) -Фfe, г)]|,=0.
ТЕОРЕМА 3.4. 1) Символы операторов Ли обладают квазиклассиче-
квазиклассическим свойством. 2) Если lg(t)—однопараметрическая подгруппа
G, & (г, г) — ковариантный символ соответствующего оператора Лиг
g(t)=n(g(t)),TO
= ^А (ё (О*>
где \9?, Л] — сковка Пуассона в A CR).
Доказательство. В силу связи между представлениями хй и Т~
%Ът* U+ = J & * А - А * *>• C-16>
Обе функции, «2" и Л, не зависят от А. Поэтому при /i-Я) правая часть
C.16) равна j. [5", Л] + оA), где [S7, Л]—скобка Пуассона *. Так как
левая часть C.16) не зависит от Л, то тем самым оA)=0. Теорема до-
доказана.
§ 4. Квантование в Ся**
1. Виковское квантование. Этот вариант квантования меха-
механики с плоским фазовым пространством является простейшим примером
применения общих конструкций § 2. В цодходящих координатах келе-
ров потенциал имеет вид
Ф(г, г) =
Отмеченной точкой является начало координат.
* Проверку выполнения условий теоремы 2.2 мы опускаем.
** Этот параграф содержит краткий обзор хорошо известных результатов. Наибо-
лее близкое подробное изложение см. в A2), A3), A4), A5). Там же можно найти даль-
дальнейшие ссылки.

КВАНТОВАНИЕ 1147
Пространство Fh состоит из целых функций с суммируемым квадра-
квадратом по гауссовой мере
J), D.2)
где ф = ^-, фх. — обычная лебеговская мера в С". Пространство Fh в этой
ситуации называется фоковским*. Ортонормированный базис в Fh состоит
из векторов
fk(z) - Д-_£_, k = kly ..., kn. D.3)
Из D.3) следует, что
Следовательно, гипотеза А выполнена. Справедливость гипотез В и С
очевидна. Специализация формул B.22), B.23), B.24) хорошо известна
в теории виковского квантования.
Рассмотрим в Fh операторы a*, al (операторы «уничтожения» и «рожде-
«рождения»)
(аф (z)=h^9 (akf) (z) = zkf (z). D.4)
Виковской нормальной формой оператора А называется его запись через
а^, al в специальном виде:
(т, п — мультииндексы).
Термин «виковское квантование» связан с тем, что ковариантный сим-
символ оператора Л является производящей функцией виковской нормаль-
нормальной формы
А (г, г) = %Amnzmzn. D,5)
Если оператор А допускает запись в противоположной (антивиковской)
нормальной форме
то ему можно сопоставить другую производящую функцию
* Введено В. А. Фоком в A6), A7). Скалярное произведение в Aв), A7) задавалось
не интегралом C.2), а рядом, через коэффициенты Тэйлора функции /. Запись скаляр-
скалярного произведения в Fh в виде C.2) впервые была опубликована в работе Баргмана
A8), однако была хорошо известна задолго до появления этой статьи (см. доклад
Р. А. Минлоса, Л. Д. Фаддеева и автора на Всесоюзном математическом конгрессе
1961 г. С1»)).
12*

1148 Ф. А. БЕРЕЗИН
Функция А оказывается контравариантным символом оператора Д.
Ко- и контравариантные символы операторов в этой ситуации назы-
называются также виковскими и антивиковскими.
Связь между виковскими и антивиковскими символами, а также за-
закон умножения в алгебре виковских символов задаются, согласно общей
теории, оператором Th. В рассматриваемом случае ядро этого оператора
имеет вид
ь, D.6)
hn
т. е. является ядром Пуассона. Следовательно, оператор Th может быть
представлен в виде
7* = Л D.7)
где Д —оператор Лапласа.
2. Вейлевское квантование. Этот вариант квантования не
использует комплексной структуры и поэтому его более естественно счи-
считать квантованием не в С*, а в RZn. Координаты в R2n обозначим, как
обычно, через р—{ри • • •, Рп), q= (Яи ..., <7«). Пусть ф(а, p)dadp, a=
= (ai, ..., ап), Р=(Рь •••, Рп),— комплекснозначная мера ограничен-
ограниченной вариации в R2n и
(pa =
D.8)
Сопоставим функции зФ{ру q) ограниченный оператор А в некотором
гильбертовом пространстве Н следующим образом. Обозначим через G
группу Гейзенберга — Вейля и через ® — алгебру Ли этой группы. Пусть
Tg— неприводимое унитарное представление этой группы в пространстве
Я. Обозначим через |ft, r\k, £ базис в ® со стандартными соотношениями
коммутации [gft, лЛ=^, К*, У=[л*> ^Ml*, £]=0u> 9=0- Представление
Tg сопоставляет элементам gfc, цк, £ косоэрмитовы операторы^, r\k,\ в Я.
Обозначим через pk9 qk, z соответствующие эрмитовы операторы pft=
=—'I*» Як=—ii\\, z=—^1- В силу неприводимости, z=hl, где /— единич-
единичный оператор *. Поэтому между phi qh выполнены соотношения:
[Дь ЯА = й^/у 7> &ь Рй = ^ *1 =0. D.9)
Положим
А = J е1{*а+'® ф (a, P) da dp. D.10)
Сопоставление функции D.8) оператора D.10) было впервые предло-
предложено Г. Вейлем (*) и называется вейлевским квантованием. Функция
* В силу известной теоремы фон Неймана (х), представление Tg определяется чис-
числом h с точностью до унитарной эквивалентности.

КВАНТОВАНИЕ
1149
, q) называется вейлевским символом оператора А. Операторы D.10)
образуют подалгебру в алгебре ограниченных операторов, причем Л
\\
Рассмотрим реализацию пространства Н в виде L2(Rn) и потребуем,
чтобы операторы pk и qh задавались формулами
< = х4(х). D.11)
При этой реализации представления алгебры ® оператор D.10) записы-
записывается с помощью ядра К(х, у), связанного с его вейлевским символом
формулами:
Bnh)n
D.12)
Из D.12) следует закон умножения в алгебре вейлевских символов: если
A=AiA2, то соответствующие символы связаны соотношением*
=({)" \ А
где А — треугольник в R2n с вершинами в точках
(р, q)y со=Ес?р<Л^9<- /© легко вычисляется:
А
1 1 1
11} rf»
, D.13)
О, {Рт, qm),
D.14)
Для полноты изложения укажем связь между виковским и вейлевским
квантованием. С этой целью рассмотрим представление алгебры ® в про-
пространстве /v Положим
Pk = —\=г iflk —
i V2.
= -^— (Ok +
У2
D.15)
где uk, al определяются формулами D.4).
Теперь оператор А действует в Fh. Будучи ограниченным, он имеет
виковский символ А (г, z). Оказывается, что
А (г, 5) = (Г±Л) (г, 5), D.16)
2
где Th — интегральный оператор с ядром D.6). При применении формулы
* В предшествующих работах в формуле D.13) вместо Го> стоит явное выражение
i
D.14) для этого интеграла.

1150 Ф. А. БЕРЕЗИН
D.16) предполагается, что v = (q + ip), v = —= (q — ip). Сопоставляя
D.16) и D.7), находим, что
(теперь z e 1L (g + ip), г = -^(q —ip)).
3. Проективные представления группы параллельных
переносов в пространстве Fh. Группа параллельных переносов Н
действует транзитивно в Сп. Согласно общей теории, развитой в § 3, если
Л (г, г)— ковариантный символ оператора Л, то. А (г — g, г — |)—козариант-
ный символ оператора Г|А)А (ff)), где Г|Л) — оператор в Fh, определяемый
формулой
D-17)
Из D.17) следует соотношение между Т^\
D.18)
Соотношение D.18) показывает, что операторы Г|Л) осудествляют проектив-
проективное представление группы Н и, одновременно, линейное представление
группы Гейзенберга — Вейля G *• Из теоремы фон Неймана (зд) следует, что
представления Г|Л) не эквивалентны при различных h и что каждое непри-
неприводимое унитарное представление группы G эквивалентно одному из f£\
§ 5. Квантование в однородных ограниченных областях
1. Построение квантования. Пусть Q — ограниченная одно-
однородная область в Cn, K(z, z)—керн-функция Бергмана. Q является келе-
ровым многообразием относительно метрики ds2, потенциалом которой
служит Ф(г, z)=lnK(z, z). Следуя схеме, описанной в § 2, рассмотрим
гильбертово пространство Fh аналитических функций в Q со скалярным
произведением
(А /) = с (h) j | / (г) |2 КГФ (г, г) ф (г, г), E.1)
где d\i (г, z) = det д%Х^и - ^ *' * , d\iL (г, г) — лебегозская мера Q. Рса-
dtdz* nn
смотрим функцию Lh(z, v), определяемую формулой B.16) и переполненную
систему Ф- (г) = Lh (г, и). Образуем алгебру Ah из ковариантных символоз
ограниченных операторов в Fh и алгебру % состоящую из функций
* Группа G является одномерным центральным расширением группы Я.

КВАНТОВАНИИ
1151
f(h\z, z), 0<^h^ 1, являющихся при фиксированном h элементами Ah и
непрерывных по совокупности А, г, z.
ТЕОРЕМА 5.1. Алгебра St является специальным квантованием с
принципом соответствия в слабой форме.
Ввиду того, что множество Е в данном случае содержит отрезок, со-
согласно лемме 2.2 и замечанию на стр. 1133 достаточно убедиться в спра-
справедливости гипотез А, В, С.
Доказательство теоремы 5.1 основано на следующих утверждениях.
ТЕОРЕМА 5.2. Для однородной ограниченной области
д2 In/С
1) det
= МС (*,*);
dzldzk ..
2) Lh(z, J) = ^/С1/Л (г, 5),
где Я=Я(Й), jut = jui(Q) — константы, зависящие лишь от области Q;
3) при 0</г^1 пространства Fh не пусты: FhZDH, где Н — простран-
пространство аналитических функций на Q с суммируемым квадратом по мере
Лебега.
Второе утверждение теоремы означает справедливость гипотезы А.
Доказательство теоремы 5.2. Обозначим через Н гильбертово
пространство аналитических функций на Q с суммируемым квадратом модуля
по мере Лебега, через G — группу, транзитивно действующую на Q, и через
—^i- — аналитический якобиан преобразования z -> gz: ^z' = det ——
dz дг [[ ^
где zk — координаты точки 2, xf — координаты точки v = gz.
Из определения керн-функции немедленно следует, что *
dz
E.2)
Пусть теперь Р (г, г) = det
сЧпК(г, г)
. Из E.2) в свою очередь
вытекает, что Р (г, г) удовлетворяет аналогичному тождеству:
d(gz) 2
cz
E.3)
Поэтому функция А» = р ^ z' инвариантна относительно G и, в силу тран-
зитивности, постоянцд. Первое утверждение доказано. Из него немедленно
следует третье. В самом деле, согласно первому утверждению теоремы 5.2,
мера ф в E-1) равна
(г, г) = Хл~пК (г, г) dpL (г, z). E.4)
* Если фл B) — ортонормированный базис в Я, то %п (z) = ф„
тем же свойством, поэтому
dz
обладает
cz
, gz)
cz

1152 Ф. А. БЕРЕЗИН
Обозначим через Я пространство аналитических функций на Q с сумми-
суммируемым квадратом по мере Лебега. Рассмотрим в Я ортонормированный
базис, включающий функцию fo(z) = const. Используя этот базис, получа-
получаем, что К(z, z) ^ |fo|2. Поэтому при
+1 _ 1- JL
К Н B, 2)<J/o1 =
и из E.4) следует, что Ha.Fh. Отметим, что H=FU Перейдем ко второму
утверждению.
ЛЕММА 5.1. Существует такая окрестность единицы U группы дви-
движений G, что
дг
—1
<— при всех гей,
Доказательство. Обратим внимание прежде всего на то, что
действие группы G может быть продолжено по непрерывности на замы-
замыкание Й области Й *. Положим по определению
д (дгп) -
/fe> z) = Hm -l-2i- при гей.
Очевидно, что функция }(g9 z) является непрерывной по совокупности
переменных g^G, гей. Отметим, что j(e, z) = 1 при всех гей. Предпо-
Предположим теперь, что окрестности U с нужными свойствами нет. В гаком
случае существует последовательность gn-+e и последовательность
г„ЕЙ такие, что
1
дгп
— 1
E.5)
В силу компактности Й можно без ограничения общности считать, что
гп->ге0. Переходя в E.5) к пределу при /г->оо, получаем, что
|/(е, z)—11 ^g» чт0 противоречит равенству j(e9 z) =1. Лемма доказана.
Пусть теперь <yn(z) — ортонормированная система функций в про-
пространстве /% g^U. Сделав разрез по отрицательной части вещественной
оси в плоскости w, определим однозначную ветвь функции ш1/Аусловием
11/л = 1. Имея в виду эту ветвь, рассмотрим функции
которые в силу определения окрестности U являются однозначными ана-
аналитическими функциями на Й. Из E.2) следует, что преобразование
является унитарным оператором в Fh. Поэтому функции %n(z) образуют
ортонормированный бдзис в Fh. Следовательно,
* В действительности, действие G продолжается непрерывным образом даже на
некоторое комплексное многообразие, содержащее Q B1).

КВАНТОВАНИЕ 1153
(г, г) = 2 Х„ (г) Х„ (г) =
в (в*)
2
ft = Lft (gz, gz)
a/ft
E.6)
Последнее тождество, будучи справедливо при ecexgef/, автоматически
распространяется на все geG. С другой стороны, из E.2) следует, что
функция K1/h(z, z) удовлетворяет аналогичному тождеству. Поэтому
ц=1Л/С~1/л является инвариантной относительно G функций и, следова-
следовательно, \i = const. Теорема 5.2 доказана полностью.
Таким образом, установлена справедливость гипотезы А. Справедли-
Справедливость гипотез В и С при 0<А^1 очевидна. Теорема 5.1 доказана.
Замечания. 1) В случае, если область Q является круговой, точка
z=0 является отмеченной для потенциала Ф=1п (K(z, z)/K(<0, 0)). Дей-
Действительно, в этом случае в Q существует полная ортогональная система,,
состоящая из однородных многочленов целых неотрицательных степеней.
Используя эту систему, находим, что K{z, 0) =/С@, z)=K@, 0,)*, что
эквивалентно отмеченности точки 0.
2) Пространство Fh заведомо непусто, если 0<А^1. В случае, если
Л>1, интеграл E.1) может начать расходиться. Естественно попытаться
в этом случае понимать его с помощью аналитического продолжения
по А. Для случая, когда область Q является симметрической, такая воз-
возможность подробно изучена. Оказывается, что в случае, если Q — комп-
комплексный шар, таким способом можно построить пространство Fh при
любом АХ). Во всех остальных случаях существует константа c(Q)y
ограничивающая возможные значения А: при h>c(Q) скалярное про-
произведение, определяемое с помощью аналитического продолжения, не
положительно определено.
3) В пространстве Fh действует проективное представление Ug груп-
группы G. В достаточно малой окрестности единицы оператор U8=Tg опре-
определяется общей формулой C.4), функция *ф(#, г) определяется из E.2).
Логарифмируя E.2), получаем:
Ф(г, z) = O(gz,$iTz) + ln/fe, z) + Inj(gtz),
где j(g, z)—аналитический якобиан. Следовательно,
z)illh{g-\z). E.7)
§ 6. Квантование на цилиндре и торе
1. Общие замечания. Двумерные цилиндр и тор являются келе-
ровыми многообразиями. Комплексная структура и метрика на них опре-
определяются обычным образом с помощью развертки на плоскость. Вещест-
Вещественные координаты на цилиндре и торе будем обозначать через р и qy
причем в случае цилиндра р пробегает вещественную ось, q — цикличе-
циклическая координата с периодом 2я, в случае тора обе координаты цикличе-
—L
* = \х(п) а 9 Где jx(Q) —лебегов объем в области Q.

1154 Ф. А. БЕРЕЗИН
ские с периодом 2я. В обоих случаях положим z = q+ip. На цилиндре
существует глобальный потенциал метрики
<b(z,z) = -±(z-zf=2p\ F.1)
Для случая тора глобальный потенциал существует на множестве 9Я,
получаемом из тора удалением окружности q = const. В качестве потен-
потенциала на ЗЛ можно рассмотреть функцию F.1). Гипотеза А в обоих слу-
случаях не выполнена, поэтому не ясно, можно ли с помощью алгебр Ahf
строящихся по методу § 2, образовать квантование, обладающее прин-
принципом соответствия. В связи с этим мы строим квантование на цилиндре
и торе по образцу вейлевского квантования на плоскости.
2. Цилиндр. Формула D.13), задающая закон умножения в алгеб-
алгебре ЛЛ, в случае вейлевского квантования на плоскости не может быть в
точности перенесена на случай цилиндра. Дело в том, что на плоскости
существует единственный треугольник с вершинами в заданных трех
точках, в то время как на цилиндре подобных геодезических треуголь-
треугольников существует много. В связи с этим введем определение.
Множество ЗИл точек на цилиндре Эй назовем допустимым, если в слу-
случае, когда вершины треугольника А принадлежат 9ИЛ, функция
exp —
A
не зависит от произвола в выборе треугольника.
Прежде всего опишем допустимые множества. Заметим, что
-А). F.3)
Учитывая, что q— циклическая переменная с периодом 2я, находим от-
отсюда, что для того чтобы функция F.2) не зависела от сторон треуголь-
треугольника, а зависела лишь от его вершин, необходимо и достаточно, чтобы
nh
разности рг—Ри Pi—Р, Р—р2 принимали значения вида у, п — целое.
Таким образом, допустимым является множество 2ЙЛ, состоящее из
окружностей на ЗИ, параллельных основанию и отстоящих друг от друга
h
нап^.
В соответствии с этим модифицируем формулу D.13):
Л (А Ф = у S f ^ (Л
n,.n, J
F.4)
h h h
Pi =«17, Pi^fh-, P=ij.
Перейдем к преобразованию Фурье:

КВАНТОВАНИЕ 1155
4Я
Т
Л (р, qr) = ^ \ в'(а/7+р<7) ф (а, р) da, p =0, ±1, ... F.5)
Э о
/функция ф (а, Р) периодична по а с периодом —).
Из F.4) следует закон композиции для ф:
4Я I a В I
ф (а, Р) = ^ | Ф1 (а - а', р - р') ф2 (а', р') еТ'а' э'' da'. F.6)
Э' о
Положим Нф11=2/|ф(а, p|rfa. Из F.6) следует, что ||<p||<||<pillll<pil|.
Следовательно, множество функций ф таких, что ||ф||<оо, замкнуто от-
относительно композиции F.6) и, тем самым, множество функций зФ вида
F.5) с ||ф||<оо замкнуто относительно композиции F.4). Это множество
обозначим через Ah.
Установим ассоциативность композиции F.4). Рассмотрим в L2@,2n)
интегральный оператор с ядром К(х, у), 2я-периодическим по х и у.
Сопоставим ему функцию s£(p, q) по формуле, аналогичной D.12):
2JI 2ф£
Л (р, q) =2 Г К (q — Ъ, q + I) в h &\, р = — , п =0, ±1, .... F.7)
о
Обращение формулы F.7)*:
4 ~~"-М>. F.8)
Произведению операторов A=AtA2 в L2@, 2я) отвечает композиция их
ядер К(х, y)=JKi(x, s)K2(s, y)ds. Переходя отсюда к функциям si(p, q)
по формулам F.7), F.8), после очевидных преобразований получаем,
что композиция F.4) порождена произведением операторов. Таким об-
образом, функции s£(pi q) вида F.5) с.||фЦ<«> и с законом умножения
F.4) образуют ассоциативную алгебру. Формулы F.7), F.8) описывают
линейное представление алгебры Ah в L2 @, 2я).
Квантование % образуем из таких функций st(h\p, q)9 0</кСоо, что
si>(h\p, q)^Ah при фиксированном L.
Принцип соответствия (в слабой форме) вытекает из следующего
соображения. Пусть функции s&i(h\p, q), s^z{h\p, q) определены при
всех (р, <7)^9Й, 0</г<оо и непрерывно дифференцируемы по совокуп-
совокупности переменных. В таком случае правая часть F.4) после умножения
на Л/г является интегральной суммой для интеграла D.13) (при я=1),
распространенного на 9Я. Следовательно, F.4) и D.13) имеют общую
асимптотику при /г->0.
Таким образом, принцип соответствия для рассматриваемого кванто-
квантования на цилиндре вытекает из принципа соответствия для вейлевского
квантования на плоскости. Более подробно на этом останавливаться не
•будем.

1156 Ф. А. БЕРЕЗИН
3. Тор. В качестве исходного пункта для построения квантования опять
рассмотрим формулу D.13). Те же соображения,^ что в случае цилиндра,
показывают, что на допустимом множестве 5ЮЛ рь р2, р могут принимать
лишь дискретные значения л —. Ввиду симметрии относительно р и qr
отсюда следует, что цъ q^ q также принимают лишь значения п —. Так как,.
с другой стороны, р и q — циклические координаты, то число различных
Nh
значений, принимаемых р и q, конечно и определяется равенством — —2л;,
JV —целое. Таким образом, оказывается, что h может принимать лишь дис-
дискретное множество значений*
Л = £. F.9)
Допустимым множеством является решетка ЗКл на торе: (р, qr) = (/я, п) —..
2
Модифицируем формулу D.13) следующим образом:
21
т
ill
Pi Р* Р
Обозначим через Kh решетку на окружности 0<л;<;2л;, состоящую из-
точек х = п —, и через L2 (Kh) — гильбертово пространство функций на Кн.
со скалярным произведением
Очевидно, что dimL2(Kh) =N=-^. В пространстве Ьг(Кь) каждый опера-
оператор задается ядром К(х9 у), х> y^Kh. Сопоставим каждому оператору в
L2(Kh) функцию *s£(p, q) на 2ЯЬ по формуле, аналогичной F.7):
F.11)
Обращение F.11) совпадает по форме с F.8). Произведению операторов;
A=AtA2 в L2(Kh) отвечает композиция ядер К(х, y\=^2iKi(x, s)K2{s, у).
Отсюда с помощью формул F.11), F.8) можно перейти к функциям-
s£(py q). В результате очевидных вычислений оказывается, что возни-
возникающая таким образом композиция функций s£(p, q) совпадает с F.10).
Таким образом, формула F.10) определяет ассоциативную алгебру.
Алгебра % определяется так же, как для цилиндра **, выполнение прин-
принципа соответствия устанавливается так же, как в случае цилиндра.
* В другой статье будет показано, что в случае компактных комплексных симмет-
симметрических пространств с полупростой группой движений ситуация аналогичная.
** Разница состоит лишь в том, что h пробегает значения вида F.9), а не полуось.
@,оо).

КВАНТОВАНИЕ 1157
Отметим в заключение, что все формулы, относящиеся к квантованию,
в случае тора получаются из аналогичных формул для вейлевского квац-
хования, в случае плоскости — заменой интегралов интегральными сум-
h
мами с шагом g-
§ 7. Вопросы единственности
В этом параграфе на основе некоторых общих соображений исследу-
исследуется единственность виковского и вейлевского квантований в Сп.
1. Дополнительные определения. Пусть 9С± и SC2—кванто-
SC2—квантования одной и той же классической механики. Квантование Sft будем на-
называть подквантованием 9С2 (обозначается З^сгЯг), если существует до-
допустимый мономорфизм i|):Sti->Sl2.
Квантование 9t будем называть максимальным, если из условия StczStt
следует, что 9t=9ti.
Пусть % — специальное квантование механики (ЗИ, со), естественное
но отношению к некоторой категории Ж, в которую входит группа G
движений многообразия ЗЯ.
Как уже неоднократно отмечалось, в этом случае сдвиги порождают
автоморфизмы алгебры ЛЛ согласно формуле
(rgf)(x)^f(g'1x). G.1)
Квантование Я будем называть эффективным, если между алгебрами
Ahv Ah2 при к^Фкг не существует естественного изоморфизма (т. е. пере-
перестановочного со всеми т*).
Квантование назовем неприводимым, если алгебры ЛЛ допускают
точные неприводимые представления ограниченными операторами в
гильбертовом пространстве.
Квантование назовем w*-квантованием, если алгебры Ah являются
ш*-алгебрами.
В частности, в случае неприводимого оЛквантования алгебры Ah изо-
изоморфны полным алгебрам ограниченных операторов в гильбертовом про-
пространстве.
2. Общее соображение. Рассмотрим множество ЛУ*-алгебр Л,
состоящих из функций на однородном многообразии 2Л с группой дви-
движений G и обладающих свойствами:
i) Алгебра А изоморфна алгебре ограниченных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве.
и) Сдвиги (xj) (x)=f(g-ix) являются изоморфизмами алгебр Л.
ill) Единицей алгебры Л служит функция fo(x) = l.
Алгебры Ль А2^М назовем естественно изоморфными, если между
ними существует изоморфизм, перестановочный с автоморфизмом хЙ.
Множество классов попарно естественно изоморфных алгебр Л обо-
обозначим через М.
Обозначим, далее, через Т множество всех неприводимых проектив-
проективных представлений группы G и через Т—множество классов унитарно

1158 Ф. А. БЕРЕЗИН
эквивалентных проективных представлений G. Построим мономорфное
отображение М-+Т.
Фиксируем А^М. Обозначим через L изоморфную А алгебру ограни-
ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Ж и через ср — изомор-
изоморфизм A-+L. Пусть а£=<рт/р-1:— автоморфизм L. Поскольку все автомор-
автоморфизмы L — внутренние, существует определенный с точностью до число-
числового множителя X ограниченный оператор О8, порождающий автомор-
автоморфизм ag:
oj = OJO?. G.2>
Ввиду того, что Og*—автоморфизм, он, в частности, переводит эрмитовы
операторы в эрмитовы. Отсюда следует, что Og лишь множителем отли-
отличается от унитарного оператора. Таким образом, 6g можно считать уни-
унитарным оператором, а неопределенный множитель X — таким, что \Х\ = 1.
Операторы Ug осуществляют унитарное проективное представление
группы G.
Докажем неприводимость Vg. Пусть fo^Lf перестановочный с 0в и
? G.2)
/о (Г1*) = (Va> (*) = Ф~Х К/о) = «Г1 @g%Ug) = ф-1 (/0) = /0 (х).
Ввиду транзитивности действия группы G на 9Я, отсюда следует, что-
/о(*) =/0 = const. В силу свойства ш) это означает, что fo=fol, где / —
единичный оператор в Ж. Таким образом, каждой алгебре А^М сопо-
сопоставлено неприводимое проективное представление Og группы G.
ТЕОРЕМА 7.1 Алгебры Аъ А2^М естественно изоморфны тогда и
только тогда, когда соответствующие им представления О™ и Of уни-
унитарно эквивалентны.
Доказательство. Снабдим индексом i, i = 1, 2, объекты, относящиеся
к алгебре Л;. Пусть представления (/^унитарноэквивалентны и У\Жх-+Жч —
изоморфизм гильбертовых пространств, осуществляющий эту эквивалентность:
= U^V. С помощью V построим изоморфизмы LX-*L% и Аг->А2:
G.3)
Изоморфизм G.3) f-^(f) является естественным:
/«г1 к-1) = ф,-1 (Of кф1 {/) v
Обратно, пусть алгебры Аь А2 естественным образом изоморфны и
г|): Аг -^ Л2 — изоморфизм. В этом случае X = фг^ф!1 — изоморфизм алгебр Ьг
и L2. Так как Li — полные операторные алгебры, то существует изоморфизм
V: Жх -> Жг> порождающий %: X/ = VfV'1, J e Lv Естественность -ф озна-
означает тождество г|гг^1> = т^2)г|). Из него следует, что Хст^ = aft, где af —
автоморфизм Li вида G.2). Более подробно:

КВАНТОВАНИЕ 1159
VUfJ (Of)'* V1 = UfVfV-1 (Of)'1. G.4>
Отсюда имеем:
f= fV'1 {UfrWUf. G.5>
Так как G.5) справедливо при любом /6^, то V (Uf'fWUf == XI, сле-
следовательно, £/g° = АУЧ/^К. Полученное равенство означает унитарную экви-
эквивалентность проективных представлений Of и Of. Теорема доказана.
3. Единственность виковского квантования. Мы бу-
будем в этом пункте рассматривать Сп как однородное пространство с
группой движений Giy состоящей из параллельных переносов и унитар-
унитарных преобразований. Первую из этих подгрупп обозначим Я, вторую U.
Присоединим к алгебрам Ah, 0<h<oo, участвующим в построении ви-
виковского квантования, алгебру С комплексных чисел. Для удобства бу-
будем считать, что С=Аео. Квантование, образованное с помощью ал-
алгебр ЛЛ, 0<Л^оо, будем называть расширенным виковским квантова-
квантованием.
ТЕОРЕМА 7.2. Все неприводимые, эффективные, максимальные
w*-квантования в Сп, естественные по отношению к группе Gu естествен-
естественным образом эквивалентны. Одним из квантований такого рода являет-
является расширенное виковское. Тем самым все эти квантования естественным
образом эквивалентны расширенному виковскому квантованию.
Доказательство. Сопоставим каждой алгебре Ah входящей в
расширенное виковское квантование, неприводимое унитарное проектив-
проективное представление 0^ группы Gx так, как это было предложена
в п. 2. Согласно теореме 7.1, для доказательства теоремы 7.2 дос-
достаточно убедиться в том, что представлениями Of* исчерпываются все, с
точностью до унитарной эквивалентности, неприводимые проективные пред-
представления группы Gv Каждое проективное представление группы G± являет-
является линейным представлением некоторого ее центрального расширения Gx с
помощью не более, чем одномерного центра. С помощью стандартных мето*
дов гомологической алгебры легко устанавливается, что 1) каждое такое
расширение является полупрямым произведением Gj^^U xHf где U — уни-
унитарная группа ий- расширение группы параллельных переносов Я, 2) ес-
если группа Я не коммутативна, то она является группой Гейзенберга— Вейля.
Группа Я действует на С1 транзитивно. Следовательно, сужение пред-
представления Of* на Я неприводимо, Отсюда сразу следует, что если при не-
некотором h0 группа Я коммутативна, то пространство Fh0 одномерно и, следо-
следовательно, Ah0 = С *.
*В качестве U^ в этом случае естественно рассматривать единичное представле-
представление г&. Отметим, что в смысле топологии в пространстве представлений (см. C)) eg =
а= Игл ц(Ь). Это обстоятельство служит основанием для обозначения А = С.
Ь-*оо &

1160 Ф. А. БЕРЕЗИН
В случае, если группа Н является группой Гейзенберга—Вейля, каж-
каждое ее неприводимое представление единственным образом, с точностью до
проективной эквивалентности, достраивается до неприводимого пред-
представления группы G{ *. Вспомним теперь, что согласно § 4, п. 3, пред-
представлениями Ue{h\ 0</i<oo, порожденными виковским квантованием,
исчерпываются все, с точностью до эквивалентности, неприводимые уни-
унитарные представления Я. Теорема 7.2 доказана.
Замечание. Пусть Bh—алгебра, естественно изоморфная алгебре
виковских символов Ah. Поскольку изоморфизм г|>: Bh-*Ah — линейное
соответствие, он должен иметь вид
Л (г, г) = $ ЯГ (г, 1\ и, Ъ) В (и, и) d\i (u,~u), G.6)
rue Be=Bh, A=^B€=Ah.
Требование естественности приводит к тому, что
при
Отсюда получаем:
~ l2)- G'7)
Формула D.16), связывающая виковское и вейлевское квантования, яв-
является частным случаем G.6), G.7).
4. Единственность вейлевского квантования. Обозначим
через G2 группу всех линейных неоднородных канонических преобразова-
преобразований в Rm, т. е. группу всех линейных неоднородных преобразований, ос-
оставляющих инвариантной форму ю = 2Ф/Л*% В комплексных коорди-
1 1 —
натах zk = —- (qk + ipk), со = — S\ dzk Д dzk, поэтому рассмотренная в
У2 * ^
предыдущем пункте группа Gl9 сохраняющая метрику ds2 = J\ сЬ^
ся подгруппой G2.
Присоединим к алгебрам Ah, 0<й<оо, образующим вейлевское кван-
квантование, алгебру Аео = С и назовем квантование, построенное с помощью
алгебр Ah9 0</г^оо, расширенным вейлевским квантованием.
ТЕОРЕМА 7.3. Расширенное вейлевское квантование является един-
единственным максимальным, неприводимым и эффективным т*-квантова-
нием, естественным по отношению к группе G2**.
•Пусть 7^, Lg — неприводимые унитарные представления Gv сужения которых на
Н совпадают: Т^ = 2^ при g 6= Я. Так как Н является нормальным делителем Glt то
откуда t^f^^f^Lj^fg. В силу неприводимости Т^, отсюда следует, что fg
= XLg1 т. е. проективная эквивалентность tg и I .
** Аналогичный результат с других позиций был получен в B2).

КВАНТОВАНИЕ 1161
Чтобы не затемнять простой идеи сложными деталями, ограничимся
эвристическим доказательством этой теоремы.
Первый этап. Повторяя во всех деталях доказательство теоре-
теоремы 7.2, находим, что расширенное вейлевское квантование является
единственным, с точностью до естественной эквивалентности, квантова-
квантованием, обладающим свойствами, перечисленными в условии теоремы 7.3.
Второй этап. Пусть Bh—алгебра вейлевских символов и Ah —
некоторая естественно изоморфная ей алгебра. Изоморфизм -ф: Bh-*Ah
запишем в виде G.6). Требование естественности по отношению к О2
приводит к тому, что Ж(gx\gy) =Ж\х\у), где x=(z, z), y=(v9 г?),
Таким образом, Ж{х\у) является инвариантом пары точек. Однако
в R2n нет инвариантов пары точек относительно группы G2. Следова-
Следовательно, Ж(х\у)=8(х—г/), где 8(х)—б — функция Дирака, и А=В*.
§ 8. Заключительные замечания
1. Несуществование универсального квантования.
Обозначим через ^ группу всех взаимно однозначных преобразований
пространства R2n, оставляющих инвариантной форму <D=2tfp*A^<7<> т. е.
группу всех, в том числе нелинейных, канонических преобразований.
Квантование, естественное по отношению к &9 назовем универсальным.
ТЕОРЕМА 8.1. Не существует неприводимого универсального w*-
квантования.
Прежде чем доказывать эту теорему, отметим, что она решает в от-
отрицательную сторону вопрос о существовании квантования, естествен-
естественного по отношению к категории всех морфизмов классических механик.
Доказательство теоремы 8.1. Пусть Q — универсальное
квантование. Без ограничения общности можно считать его максималь-
максимальным. В таком случае оно совпадает с вейлевским. В самом деле, посколь-
поскольку группа всех линейных канонических преобразований является под-
подгруппой ^, квантование Q удовлетворяет условиям теоремы 7.3. Следо-
Следовательно, закон умножения в алгебрах Ah задается формулой D.13).
Таким образом, для универсальности квантования Q необходимо, чтобы
F (gxb № gx3) = F (xv x2, *8), (8.1)
где
F (*i, x2, x3) = ^ со,
А(х^.хг,хг)
A(xu x2, x3) —треугольник с вершинами в хи x2t x3. Если преобразование
g^S не переводит прямые линии в прямые, т. е. не является аффинным,
то равенство (8.1) невозможно (поскольку стороны треугольника
Д(*ь х2у х3) являются отрезками прямых).
* Движущей пружиной строгого доказательства теоремы 7.3 является неприводимость
представления G2 в L2(R2n), определяемого формулой
13 Серия математическая, № 5

1162 Ф. А. БЕРЕЗИН
Теорема доказана. Ее доказательство можно резюмировать словами:
группа ^ не имеет инвариантов трех точек.
2. Терминологическое замечание. Обозначим через
3?(Щ алгебру Ли относительно скобки Пуассона, состоящую из бес-
бесконечно дифференцируемых функций на симплектическом многообра-
многообразии Эй. Термин «квантование» иногда употребляется по отношению к
линейному представлению этой алгебры. Такое словоупотребление мне
кажется неправильным в связи с тем, что квантование, используемое в
физике, ни при каком его математическом осмыслении не является ли-
линейным представлением алгебры 3?(Ш). Докажем в связи с этим сле-
следующую теорему.
Обозначим через 3?0 алгебру Ли относительно обычной скобки Пуас-
Пуассона, состоящую из многочленов двух переменных ф(р, q).
ТЕОРЕМА 8.2. Не существует представления Гф алгебры j?0 в Lz(Rl)
со свойствами:
1) пространство Шварца S входит в область определения всех Гф и
инвариантно относительно всех Гф;
2) Tpf = fpf = iJL±t Tqf=iqf=sixfm (8.2)
Доказательство. Разобьем доказательство на несколько этапов.
1) Пусть Гф — представление со свойствами (8.2). Покажем, что опера-
оператор ТрПгдп может быть представлен в виде многочлена от операторов р, q
степени не выше m по р и не выше п по q. Прежде всего заметим, что
из равенства
следует, что ТqU = fn (q). Аналогично, ТрП = gn (р). Из инвариантности
пространства S относительно Т^ Т^ и преобразования Фурье вытекает,
что функции вещественного переменного fn (x), gn (x) бесконечно дифферен-
дифференцируемы.
Далее, если f(x) —бесконечно дифференцируемая функция, то
IP. / Ш = Г (Я), [Я / (Я)\ = -у /' Ся) (8.3)
(в первом равенстве — скобка Пуассона, во втором — коммутатор).
Применяя (8.3) п+\ раз, получаем, что
0 = Т1Р.....шР.<гт =in+1 & • • • • Ift ^ Ш = ft^/Г1' (я).
где Д"+1) (х) = fn (х). Следовательно, / (х) — многочлен степени не вы-
ше п. Тем же свойством обладает gn (xy Заметим теперь, что
РтЯп = .,..\ ... [Г", <ГЧ.
(т + 1)(п +1)

КВАНТОВАНИЕ И63
Следовательно,
Т
(т-ЦНд + 1) lq™ (Д)' f™ (^)Ь
Используя коммутационное соотношение [р, qr] = -— /, получаем отсюда в
результате очевидных преобразований, что оператор Т рГП^п может быть за-
записан как полинол! от р, q степени не выше m по р и не выше п по q.
2) Обозначим через s£v{pt q) вейлевский символ* оператора Гф. По-
Покажем, что **
(Р, Я) = *Лф (-J-, -J-) + <\ с = с (Ф) = const. (8.4)
Воспользуемся следующей общей формулой A5). Пусть Ju % — неко-
некоторые операторы, /i(p, q), /a(p, ?) —их вейлевские символы. Пусть, да-
далее, g= [Ji9 f2] и g(p, q) — вейлевский символ g. Тогда
+ У,Нг
где \flt /J = & ^ — ^ ^ - скобка Пуассона.
dp d<7 dq dp
Для дальнейшего существенно, что если f± — многочлен не выше 2-й
степени, /а — произвольный многочлен, то все слагаемые в (8.5), кроме
1-го, равны нулю
Согласно условию теоремы, формула (8.4) с константой с=0 справедлива
при ф = р и ф = q. Найдем А# (р, q). Согласно предыдущему, <Aq* (p,q) =
* Вейлевский символ дифференциального оператора с полиномиальными коэффициента-
коэффициентами получается из общей формулы D.8), когда ф (а, р) — линейная комбинация 6-функции
и ее производных. Для этих операторов может быть дано также независимое определе-
определение вейлевского символа, которое состоит в следующем. Пусть Л, В — произвольные не-
коммутирующие операторы. Симметрическим произведением (АтВп) этих операторов на-
(т + п)
зывается коэффициент при —■—-— ат6/г в разложении
т! п\ ^
(аЛ ф №N = S "V- «т Р" {АтВп).\
*-* т\п\
m+n=N
1 h
(Например, (АВ) = — (А В 4- В А).) Используя соотношение [р, q] = —7"/» можно каждый
оператор, являющийся полиномом от р и q, записать в симметричной форме: А =
= 2 атп (рт^п )• ВейлеЕским символом оператора % является произЕодящая функция для
коэффициентов атп : <d (p, q) = ^ атпРт^-
** Будет доказано также, что константа с в (8.4) равна 0. Однако это усиление
(8.4) нам не потребуется.
13*

1164 Ф. А. БЕРЕЗИН
= /2 (q) — многочлен не выше 2-й степени. Применяя (8.5), получаем:
Щ = Ар.я*1 (Р> Я) =Ь[р9Ш]=*Ь&(Ч).
Отсюда /л (q) = -f- <72 + q. Аналогично, g2 (р) = -f-p2 + с2.
Далее, pq = 4- [р2, 9я]. Поэтому
4
Л« = "Y Ар*.о*1(ря) = -j—y-1& (р)> /i (?I = -~ р?.
Таким образом, соотношение (8.4) справедливо, если ср — многочлен не
выше 2-й степени.
Перейдем к общему случаю. Пусть ф — многочлен не выше 2-й сте-
степени и / — произвольный многочлен. Согласно (8.5),
Av.n (P,4)=-j Мф> Al (8.6)
Полагая в (8.6) ср=р и q>=q, получаем:
Mf = h f, Adf - h—f-. (8.7)
Щ dcf FP dP
Положим Jf/(p, q) =s4<f(phi qh). Из (8.7) следует, что
(8.8)
Обозначим через L линейный оператор f~^3St. Как уже отмечалось, s4>f
и, следовательно, 31 f является многочленом, степень которого по сово-
совокупности р, q не превосходит степени /. Обозначим через 3?п простран-
пространство многочленов степени не более п по совокупности р, q. Пространство
9?п инвариантно относительно L, кроме того, из (8.8) следует, что опе-
оператор L перестановочен с ~ и ~ Отсюда следует, что
*° дп
L=2L«> Ln^ 2 ukl~T~~r a*/=const. (8.9)
дР дЯ
(Ряд в первом равенстве (8.9) является формальным. Он имеет смысл,
поскольку оператор L применяется лишь к многочленам.)
Воспользуемся соотношением (8.6) в случае, когда ср — однородный
многочлен 2-й степени:
®1ф.Я (Р> Я) =^[<р./] (РК qh) —у МФ, ЯЦ (ph, qh) = [q>, Л{[ (phf qh) =
= [ф, Щ (р, я)-
Следовательно, оператор L перестановочен также с оператором скобки
Пуассона с ср, т. е. с операторами

КВАНТОВАНИЕ 1165
Заметим, что коммутатор с операторами (8.10) не меняет порядка у
однородного дифференциального оператора с постоянными коэффици-
коэффициентами. Следовательно, каждый оператор Ln коммутирует с операто-
операторами (8.10). В частности,
Ш-п
Следовательно, aw=0 при кф<), 1ф0, т. е. Ln=0 при«¥=0. Итак, L==L0,
&f(P> q)=LJ(p, q), st,(p, q)=Lj(J, |). Из условия st-v{p, q)=ip нахо-
находим, что L0=ih. Равенство (8.4) доказано.
3) Согласно (8.4),
. Я) = ~^Р* + clt A? (p,
= 16 -^-
Применяя (8.5), получаем:
16 i
т) 2т
Равенство (8.11) противоречиво. Теорема доказана.
ДОПОЛНЕНИЕ
1. Асимптотика некоторых интегралов. Пусть ф(t~t) — че-
четырежды и и (t, f) — трижды непрерывно дифференцируемые функции в
области DaCF, определяемой условиями |/*|<е. Пусть, кроме того, функ-
функция <р(/,7) имеет при / = 0 локальный максимум и det -^^ =£0.
\*fi*k\
Обозначим через Lt оператор Lt = V tt —, через U — оператор Ц =
^ dzi
= 2 ^ ~г-» через R — функцию
д
г
R = 2
где /?/t /p \itt...,jq (t91) — непрерывная в замыкании D функция. Не
оговариваясь в дальнейшем, будем считать для краткости, что

1166 Ф. А. БЕРЕЗИН
Наконец, положим
idtfitA
Рассмотрим интеграл
Cfh(u) =h-n^u(t,l)g ({, Г) <r~Q('' ° dtdl
где
2 4 6
+ R(O). (Д. 1)
ЛЕММА 1. При достаточно малом е интеграл ^л(м) мжеег «/?« Л-+-0
(и) = и @, 0) + h(Д« + -|-«Д Ing) |_г_ + о (Л),
Д — оператор Лапласа — Белыпрами метрики ds2 = "У —SL
Доказательство. Положим
Q' = 4- (L'r' + r'L') ф + 4- ^-Иф + 4-№+й^)ф+- /г, (Д. 2)
б 4 0
и разложим я|з по степеням 1/Л:
= ~ -J-[-|- (L?E/ + Z\Lt) Ф 4- ^-
4- 717 ^?^*Ф • 1?**ф. (Д. 3)
В соответствии с формулами (Д. 2) и (Д. 3) интеграл Oh (и) представля-
представляется в виде Jft (и) = Cfh (и) 4- ^, (и), где
ti (и) = — \ A + ^«^"Т^^Лй?, (Д. 4)
5, (а) = — t Ruge~ ^ Lt 1/Ф dtdt. (Д. 5)
hn J
Стандартные для метода перезала оценки показывают, что при достаточно
малом е Шн (и) = о (Л). Поэтому для наших целей следует огрдничиться ин-
интегралом С/Ци).
В окрестности точки /=?=0
, 0 = "(О, 0) 8 @, 0) + L, (ug) + Lt (ug) + Lit (ug) + Г (/, F), (Д. 6)

КВАНТОВАНИЕ 1167
где
/>+<7=з
и 7^ ip\ft /^—непрерывная функция.
В соответствии с (Д. 6) интеграл С/1 (и) распадается в сумму слагаемых,
которые удобно исследовать отдельно. Начнем с первого:
Л1 (и) - и (О, 0) g @, 0) -±- С A + г|H) Г Т Ч ** ЙШ. (Д. 7)
Подставим в (Д.7) тр0 из (Д.З) и исследуем возникающие интегралы.
- 0. (Д. 8)
В самом деле, совершая замену переменных £-^, ?-И)/, |в| = 1, полу-
получаем, что первый из этих интегралов приобретает множитель 8, вто-
второй — множитель 8. Так как, с другой стороны, они не зависят от 8,
то оба они равны нулю. Аналогичным образом устанавливаются равен-
равенства
^ 0.
2) Рассмотрим следующее формальное тождество:
где ^ Л ' означает оператор, действующий на функцию ф (г, г)
согласно формуле
Выделяя в показателе в правой части (Д.9) полный квадрат и интегри-
интегрируя по ty t9 находим, что
_ д д_
& Ф (г, г)
(Д. ю)
где —г Ф -г£ = 2 ~ Ф» ^~. ф = IIФ» II ~ матрица, обратная к

1168
Ф. А. БЕРЕЗИН
3) Заметим, что
L'L/ф • L/1'
v=w=o
и обозначим для краткости
(Д. и)
4
г
dwt
Совершим теперь преобразование, аналогичное предыдущему:
J L? (LPy {L?f (ZJ)q> (о, Б) Ф (до, до) Г Т1* Zt* dtdt =
a2 ^
X ф (у, у) ф (до, до
хф(о,о)ф(ш, до). (Д. 12)
Продолжим преобразование интегралов (Д.10) и (Д.12). Положим для
краткости
dztdzk
lz=rz=o
В этих обозначениях получаем, что интеграл (Д.10) при z=z=0 равен
Аналогично, интеграл (Д.12) при v = v = w=w=0 равен
2/1 ё -z—т— + 2-^г -т— Ф^ф//ф$л
[ аг; ^ агу dzk J
Таким образом, для интеграла (Д.7) получается следующее окончатель-

КВАНТОВАНИЕ
ное выражение:
Ун (и)== ^ @, 0) 1 -\ 12 Ф**Фа1
+ 2 Ф'*Ф/*Ф«* [ ~ "" "Ь ^ ~^ ~
Перейдем к следующему интегралу:
О02 (и) = — f L, (ад) A + Фп) в^^Л
^2Фл/ ,
dzadzp
)}]■
116»
(Д. 13>
(Д. Н>
Прежде всего находим, что
e~ ■*
fap) e~LfLt^dtdt = 0. (Д. 15>
Равенства (Д.15) устанавливаются из тех же соображений, что (Д.8).
Таким образом,
P (и) = *— f L, (i«) '(IjLfl)) Г Т L^<p Л& (Д.
Введем, как ранее, операторы L^\ Т?\ Lj2), L^2) с помощью формул (Д. 11)
и рассмотрим вспомогательный интеграл, отличающийся от (Д. 16) тем, что
в нем предэкспоненциальный множитель заменен на
CZ4V) (о, о) (Й2)J/42)Ф) (w, w).
Используя те же соображения, что при вычислении интеграла &019 на-
находим, что
u(v,o)g(v,v)<p(w,
Отсюда следует, что
Ьг1 dzi
Аналогично вычисляется интеграл
Э? (и) - — f Lt (ug) A + г|H) б~^LtTt*dtdL
hn J
(ДЛ7>

1170 Ф. А. БЕРЕЗИН
Он оказывается равным
дг,
£■ (ug)
dg
— + ~т
a2/ z
(Д. 18)
Перейдем к интегралу
CfV («) = — f (Liltug)(l + г|H) e~^4Lt<Pdtdl. (Д. 19)
h ^
Стандартные соображения показывают, что
— Г (Lltug) % e"^Lf Lt*dtdt = о (h).
hn c
Поэтому
X (tt) = lf (Ltlttig) в~ т Ч Lt4>dtdi + о (h).
hn J
Используя тот же прием, что раньше, находим отсюда, что
У£ (и) = hg у. q>ik —г' (ug) + о (h). (Д. 20)
^ oztdzk _-_
Наконец, очевидным образом;
Cf°h* (и) - h"n J Te~ T Lf Ч* Ц dtdt = о (Л).
Окончательно получаем:
Cfl (и) - и @, 0) + % @, 0) + о (Л), (Д. 21)
где
(Д. 22)
Преобразуем полученный результат. С этой целью воспользуемся легко
проверяемыми тождествами:

КВАНТОВАНИЕ 1171
где х означает любое из переменных za или za. Используя (Д.24), на-
находим, что
dzt ~ dz.
du
откуда следует обращение в нуль коэффициента при —. Аналогичным об-
разом равен нулю коэффициент при du/dzj.
Перейдем к коэффициенту при и. Из (Д.24) следует, что
Используя это тождество, а также то обстоятельство, что —~- = •—" (что
dZj dz{
следует из определения ф« = —?~ |» находим, что коэффициент при а
dztdzt
равен
Далее, комбинируя тождества (Д.23) и (Д.24), получаем, что
dztdzk *•* dztdzk *■* \dz(
Отсюда имеем:
Заметим теперь, что
dztdzk ~ \~ dz(dzk dzt dzk

1172 Ф. А. БЕРЕЗИН
Таким образом, коэффициент при и равен — V Ф» ■ , "g • Ниже будет по-
казано (см. лемму 3), что оператор Лапласа — Бельтрами метрики
в применении к функциям равен Д = 5]ф/*— • Поэтому полученный ре-
зультат может быть сформулирован в виде:
аг = Дц-|
Лемма доказана.
Пусть а(£, F)—непрерывно (дифференцируемая функция, ср=
=21<Ф<*г*, i, k=l, ..., n,— положительно определенная квадратичная
форма, R — функция вида
R(U)= 2 ^ •••
где ^ ip\iu...jg —непрерывные функции. Через g(t,t) обозначим непре-
непрерывно дифференцируемую функцию такую, что g@,0) := det|q>j*|.
Рассмотрим интеграл
(Д.25).
ЛЕММА 2. Яра достаточно малом г
^hii@f 0)-оA), (Д. 26)
г9г с, оA) я^ зависят от и.
Доказательство. Сделаем в интеграле (Д. 25) замену переменных
/—>tyji, 7-*lV^h. Покажем, что после этого возможен предельный переход
под знаком интеграла. Разобьем ср в сумму слагаемых ф = Фо + ф', где ф^
и ф' — положительно определенные квадратичные формы, причем
при |/t|<C8 (этим условием определяется г). Таким образом, е "*" Ф+
и е-ф+^^«7^)^^Фо(^). Следовательно, интеграл Як(и) по-
после замены t ~>tV"h9 t->lY~h, мажорируется сходящимся, а значит, возмо-
возможен предельный переход под знаком интеграла, выполняя который, полу-
получаем:

КВАНТОВАНИЕ
1173
lim Ja (а) = и@,0).
Л—о
В частности, если и=const, отсюда следует, что Jh(u)—и=и-оA), где
оA) не зависит от и.
Пусть теперь u@, 0)=0, u(t, г)=2/л+?й*, где uit ^ — ограничен-
ограниченные функции. Повторяя прежние соображения, находим, что
X g (tVh,
lYh)\)\tt\ X
TTdtdl<c\fh max (|щ (t, I) |, | щ (t91)\).
Лри этом ии ui можно выбрать так, что
| щ | ^ с max
I'K
, \щ\^с max
dut
Пусть ao(^, t)=u(O, 0)=const. Объединяя этот результат с предыду-
предыдущим, получаем, что
Cfh(u)
— u0) + Jh(uQ)
откуда
|CJh(u) — 0(О,
max
И) +u @,0). o(l).
Лемма доказана.
2. Оператор Лапласа — Бельтрами на келеровом
многообразии. Пусть в некоторой области DczCn задана метрика
(Д-27)
Необходимым и достаточным условием для того, чтобы метрика (Д. 27) бы-
была келеровой, а также для локального существования функции i|> такой,
•что yfpik = —з", служат тождества
Ylk
(Д. 28)
дга dzk
Справедливо следующее общее утверждение.

1174 Ф. А. БЕРЕЗИН
ЛЕММА 3. Оператор Лапласа — Бельтрами келеровой метрики,
(Д.27) в применении к функциям * имеет вид
||if>,J —матрица, обратная ||i(>J|.
Доказательство. Согласно общей формуле,
u\ =
д2и . (
г. J dzk \dzk j дг. J
Согласно (Д.23) и (Д.24)
^ dZ;
так как, согласно (Д. 28), ^5- = ^-. Аналогично устанавливается равенст-
во нулю коэффициента при -^-.
dzi dzl
Поступило»
6.IX.1973
Литература
1 Вейль Г., Теория групп и квантовая механика, М.—Л., 1936.
2 Дирак П. А. М., Лекции по квантовой механике, М., «Мир», 1968.
3 Кириллов А. А., Элементы теории представлений, М., «Наука», 1972.
4 Констант Б., Квантование и унитарные представления, Успехи матем. наук, т. 28, в. I
A973), 163—225.
5 Auslander L., Kostant В., Quantisation and unitary representations of solvable Lie
groups, Bull. Amer. Math. Soc, 73 A967), 692—695.
6 Березин Ф. А., Квантование в ограниченных комплексных областях, Докл. АН СССР,
211, № 6 A973), 1263—1266.
7 Березин Ф. А., Несколько замечаний об ассоциативной оболочке алгебры Ли, Функ-
Функциональный анализ и его приложение, т. I, вып. 2 A967), 1—14.
8 Березин Ф. А., Ковариантные и контравариантные символы операторов, Изв.
АН СССР. Сер. матем., 36 A972), 1134—1167.
9 Фукс Б. А., Теория аналитических функций нескольких комплексных переменных, М.»
ГИТТЛ, 1948.
10 Riecz M., Sur les maxima des formes bilineares et sur les fonctionnelles lineares, Acta
Math., 49 A926), 465-497.
11 Sakai S., c*-algebras and w*-algebras, Proc. Internat. Congr. Math., Nice, 1970.
12 Березин Ф. А., Метод вторичного квантования, М., «Наука», 1965.
* Но не к тензорным полям!

КВАНТОВАНИЕ 1175
13 Березин Ф. А., Виковские и антивиковские символы операторов, Матем. сб., т. 86
A28), № 4 A971), 578—610.
14 Berezin F. A, Subin M. A., Symbols of operators and quantisation, Colloquia Mathema-
tica societatis Janos Bolyai, 5, Hungary A970), 21--52.
15 Березин Ф. А., Об одном представлении операторов с помощью функционалов, Тр.
Московск. матем. об-ва, т. XVIII A967), 117—196.
16 Vok W., Konfiguratiansraum und zweite Quantelung, Zs. Phys., 75 A932), 622—647.
17 Vok W., Zur Quantenelectrodynamik, Sovet Phys., 6 A9Э4), 425-^440.
18 Bargmann V., On a Hilbert Space of Analytic Functions, Comm. Pure and Appl. Math.,,
3 A961), 215—228.
19 Березин Ф. А., Минлос Р. А., Фаддеев Л. Д., Квантовая механика систем с большим
числом степеней свободы, Тр. IV Всесоюзн. матем. съезда 1961 г., т. II, 532—540,
М., «Наука», 1964.
20 von Neumann J., Die Eindentigkeit der Schrodingerischen Operatoren, Math. Ann., 104
A931), 570—578.
21 Винберг Э. Б., Гиндикин С. Г., Пятецкий-Шапиро И. И., О классификации и канони-
канонической реализации комплексных ограниченных однородных областей, Тр. Моск.
матем. об-ва, т. 12 A963), 359—388.
22 Буслаев В. С, Скриганов М. М., О характеристическом свойстве вейлевского кванте^
вания, Теор. и матем. физика, т. 2, № 3 A970), 292—295.
Технический редактор Н. С Кондрашова
Сдано в набор 3/VII-1974 г. Подписано к печати 13.VIII-1974 г. Тираж 1990 экз.
Формат бумаги 70X108Vie. Усл. печ. л. 18,2. Бум. л. 6,5. Уч.-изд. л. 15,6 Зак. 4205
2-я типография издательства «Наука». Москва, Шубинский пер., 10