.я.х нч н
ТРИ ЖЕ ЧУЖ Ы
ТЕОР Ч СЕЛ

А. Я. ХИНЧИН
ТРИ ЖЕМЧУЖИНЫ
ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ
Под редакцией
А. Б. ШИДЛОВСКОГО
1
09-Jan-05.Rivne.UA
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1979

22ЛЗ
Х-47
УДК 51
Хинчин A. 5L
X 47 Три жемчужины теории чисел. — 3-е изд. — М.:
Наука. Главная редакция физико-математиче-
физико-математической литературы, 1979 — 64 с. 10 к.
Эта книга посвящена трем теоремам теории чисел, бывшим,
несмотря на свою кажущуюся простоту, предметом усилий многих
крупных ученых-математиков. Излагаемые доказательства пользу-
ются совершенно элементарными средствами (хотя и не очень про-
просты).
Книжка доступна учащимся старших классов средней школы и
рассчитана на широкие круги любителей математики
- 20203-080	170203(Ю00	ББК 22.13
053@2)-79
€> Главная редакция
20203-080
\)Oo[\JZl"i\}	c изменениями

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Эта небольшая по объему книжка написана свыше
30 лет назад. Но ее содержание сохранило свое значение
для широкого круга читателей — любителей математики
до сегодняшнего дня. Два ее издания были осуще-
осуществлены в 1947 и 1948 годах. Ввиду этого она стала
малодоступной, и следует только приветствовать выпуск
настоящего третьего издания.
Автор книги,, известный ученый-математик и замеча-
замечательный педагог Александр Яковлевич Хинчин A894—
1959),^был членом-корреспондентом АН СССР, профес-
профессором и заведующим кафедрой Московского универси-
университета. Содержание книги ггосвящено трем известным за-
да*12йм теории чисел, весьма просто формулируемым, но
трудным, не поддававшимся усилиям многих крупных
математиков и все же решенным самыми элементар-
ньМТй средствами. Александр Яковлевич сам был круп-
крупнейшим специалистом в теории чисел и внес большой
вклад в ее развитие. Глубоко понимая проблематику
и методы этой науки, он с удивительным мастерством
и изяществом изложил доказательства рассматриваемых
теорем. Поэтому в течение долгого времени книга за-
заслуженно пользуется популярностью среди любителей
математики у нас в стране и в тех странах, где осуще-
осуществлен ее перевод. С уверенностью можно утверждать,
что «три жемчужины теории чисел» сыграли большую
роль в развитии теории чисел, приобщив- к занятиям
проблемами этой науки многих молодых математиков.
Все три теоремы, о которых идет речь в книжке, эле-
элементарными средствами доказаны молодыми, начинаю-
начинающими в то время математиками, ставшими впослед-
впоследствии известными крупными учеными.
1*	3

Голландец Б. Л. Ван дер Варден, доказавший тео-
теорему о геометрических прогрессиях в подмножествах, на
которые разбивается множество натуральных чисел,
стал широко известным математиком и историком мате-
математики. Его книги по алгебре являются настольными
книгами математиков за последние 40 лет.
Американец Г. Б. Манн, доказавший теорему об
оценке плотности суммы последовательностей через
плотности слагаемых, играющую большую роль в адди-
аддитивной теории чисел, получил много других важных
результатов в математике.
Наш соотечественник Ю. В. Линник, впервые полу-
получивший элементарное доказательство известной проб-
проблемы Варринга о представлении натуральных чисел
в виде суммы степеней натуральных чисел, стал вид-
виднейшим советским академиком, внесшим много нового
в развитие математики и теории чисел. Тяжелой утра-
утратой явилась его преждевременная кончина в 1972 году*
А. Я Хинчин посвятил свою книгу советской моло-
молодежи 40-х годов, интересующейся математикой, которую
война оторвала от любимого дела со школьной скамьи
и из студенческой аудитории и которая после войны
с необычайной страстью включилась в освоение основ
математики. Об этом говорит письмо на фронт, напи-
написанное вместо предисловия к книге. Да и само изложе-
изложение в ней ведется в виде письма на фронт. Отдавая дань
тому героическому времени, издательство полностью со-
сохранило авторский текст. При редактировании внесены
только мелкие стилистические поправки.
Издательство надеется, что настоящее переиздание
книги А. Я. Хинчина будет благосклонно встречено ши-
широким кругом любителей математики, а «три жемчу-
жемчужины теории чисел», о которых в ней так ярко расска-
рассказывается, по-прежнему будут вдохновлять многих из них
на глубокие занятия увлекательными проблемами древ-
древнейшей науки — теории чисел.
10 июля 1978 г.	А. Шидловский

ПИСЬМО НА ФРОНТ
(вместо предисловия)
Милый Сережа!
Ваше письмо, присланное из госпиталя, трижды меня
обрадовало. Прежде всего, Ваша просьба прислать Вам
«каких-нибудь математических жемчужинок» показала
мне, что Вы действительно поправляетесь, а не просто
хотите, как мужественный боец, успокоить своих дру-
друзей. Это было для меня первой радостью.
Далее, Вы заставили меня задуматься над тем, по-
почему в эту войну вот такие совсем юные бойцы, как Вы,
при каждой небольшой передышке со всей страстью
рвутся к своему любимому делу — к тому делу, кото-
которому они отдали себя еще до войны и от которого были
оторваны войной. В прошлую мировую войну этого не
было. Тогда юноша, попавший на фронт, почти всегда
чувствовал, что жизнь его переломилась, что все, чем
он жил прежде, стало для него невозможной сказкой*
А сейчас ведь есть такие, которые в перерывах между
боями пишут диссертации и защищают их, приехав в ко-
короткий отпуск! Не потому ли это, что Вы ощущаете всем
существом Ваш ратный труд и Ваше любимое занятие —
науку, искусство, практическую деятельность — как два
звена одного и того же великого дела? И если так, то
не есть ли это ощущение — одна из главных движущих
пружин Ваших побед, которыми мы здесь, в тылу, так
восхищаемся? Эта мысль очень меня обрадовала, и это
была моя вторая радость.
И вот я стал думать о том, что бы такое Вам по-
послать. Я Вас не очень близко знаю — всего один год Вы
слушали мои лекции; и все же у меня осталась твер-
твердая уверенность в Вашем глубоком и серьезном отно«
шении к науке, и мне не хотелось поэтому посылать
Вам каких-нибудь «побрякушек», внешне эффектных, но
б

научно малосодержательных. С другой стороны, я знал,
что Ваша подготовка очень невелика — всего один год
Вы провели на университетской скамье, а за три года
непрерывного пребывания на фронте вряд ли имели
время учиться. Поразмыслив несколько дней, я сделал
выбор. Удачен он или нет — об этом судите уж Вы. Что
касается меня, то я считаю те три теоремы арифметики,
которые я Вам посылаю, настоящими жемчужинами на-
нашей науки.
В арифметике, этой самой древней, но вечно юной
ветви математики, от времени до времени встают заме-
замечательные, своеобразные задачи: по своему содержанию
они так злгементарны, что их может понять каждый
шкаяьнитс; речь адет обыч»о о доказательстве какого- t
нибудь очен*, простого закона, господствующего в мире
чисел; зазюнза, который во всех проверенных частншс
случаях ожазывался верным, и требуется установить, что
он действительно верен вс<е»гда. И вот, несмотря на
всю кажущуюся сгросюту задачи, решение ее годами,
а подчас и столетиями не поддается усилиям самых
крупных ученык зпохи. Согласитесь, что это очень увле-
увлекательна
Я выбрал для Вас три таких задачи; все они разре-
разрешены в недавнее время,, и в исторической судьбе их
имеется деве замечательных -общих черты. Во-первых, все
тр«и задали решены самими алементарными арифмети-
арифметическими методами {не надо только -смчеишвать элемен-
элементарность с простотой: решения всех трех задач, как Вы
увидите, не отень просты, и Вам придемся затратить ло-
ломало усилий, шч>бн хорошо их понять и усвоить). Во-
вторых, веж три задачи, после ряда безуспешных атак
со стороны «маститых» ученых, были решены совсем мо-
молодыми, начинающими математиками, юнцами едва ли
не Вашего возраста. Правда, какой это многообещаю-
многообещающий стимул для начинающих ученых вроде Вас, какой
замечательный призыв к научному дерзанию?
Работа над изложением этих теорем ааставила меня
глубже вникнуть в структуру их великолепных доказа-
доказательств и принесла м«е большую радость.
Это была м©я третья радость.
Желлго В&.м самых лучшях успехов — боевых
и научных.
24 марта 1945 г.	Ваш А. Хинчин

ГЛАВА I
ТЕОРЕМА ВАН ДЕР ВАРДЕНА
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ПРОГРЕССИЯХ
§ 1
Летом 1928 г. я провел несколько недель в Геттин-
гене. По обыкновению, на летний семестр туда съеха-
съехалось довольно много иностранных ученых. Со многими
из них я познакомился, а с некоторыми даже сдру-
сдружился. Большое впечатление на собравшихся там ма-
математиков в момент моего прибытия произвел эффект-
эффектный, результат молодого голландца Ван дер Вардена —
теперь известного' ученого-, а тогда еще только начинаю-
начинающего юноши. Результат этот был получен тут же,
в Геттингене, и всего за несколько дней до моего
приезда; о нем мне с увлечением рассказывали почти
все математики, с которыми я встречался.
История дела была такова. Один местный математик
(имени его я не помню) в ходе своей научной работы
столкнулся са следующей проблемой: представьте себе,
что множество всех натуральных чисел каким угодно
способом разбито на две части (например, на числа
Четные и нечетные, или на числа простые и составные,
или любым другим способом); можно ли тогда утверж-
утверждать,, что по меньшей мере в одной из этих двух частей
найдутся ар-ифметические прогрессии сколь угодно
длинные (длибсш арифметической прогрессии я здесь
и. в дальнейшем» буду называть* проста число ее членов)?
Веем, кому ставили этат вопрос, задача на первый
взгляд казалась совсем простой; положительное реше-
решение ее представлялось почти очевидным. Однако первые
полытки ее преодоления ни к чему не привели* А так
7

как геттингенские математики и их иностранные гости
находились по традиции в постоянном общении друг
с другом, то эта дразнящая своим сопротивлением проб-
проблема вскоре сделалась предметом всеобщего увлечения;
за нее взялись все, от маститых ученых до начинающих
студентов; после нескольких недель напряженных уси-
усилий задача, наконец, уступила натиску приехавшего
в Геттинген учиться юноши — голландца Ван дер Вар-
дена. Я познакомился с ним,и от него самого услышал
найденное им решение; оно было элементарно, но да-
далеко не просто; задача оказалась глубокой, видимость
простоты была обманчивой.
Совсем недавно М. А. Лукомская (Минск) прислала
мне найденное ею новое, значительно более простое
и прозрачное доказательство теоремы Ван дер Вардена,
которое я и изложу Вам в дальнейшем с любезного раз-»
решения автора.
§2
В сущности, Ван дер Варден доказал несколько
больше, чем требовалось. Во-первых, он предполагает,
что натуральные числа разбиты не на два, а на любое
число k классов (множеств); во-вторых, чтобы гаранти-
гарантировать наличие по меньшей мере в одном из этих клас-
классов арифметической прогрессии данной (сколь угодно
большой) длины /, как оказалось, нет необходимости
разбивать весь натуральный ряд, а достаточно взять для
этой цели лишь некоторый отрезок его; длина этого от-
отрезка n(k,l) есть функция чисел k и /; само собою по-
понятно, что совершенно безразлично, где мы возьмем
этот отрезок, лишь бы это были n(k,l) последователь-
последовательных натуральных чисел.
Таким образом, теорема Ван дер Вардена имеет сле-
следующую формулировку.
Пусть k и I — произвольные натуральные числа.
Тогда существует такое натуральное число n(kyl), что
при разбиении любого отрезка ряда натуральных чисел
длины n(k,l) любым способом на k классов {среди ко-
которых могут быть и пустые) по крайней мере в одном
из этих классов найдется арифметическая прогрессия
длины L
Очевидно, эта теорема тривиальным образом верна
при 1 = 2; чтобы в этом убедиться, достаточно положить
8

(	k-\-l]B самом деле, при разбиении k-\-1 чисел
на k классов по крайней мере один из этих классов бу«
дет содержать более одного числа; но любая пара чисеЛ
образует арифметическую прогрессию длины 2, чем тео*
рема и доказана. Мы докажем теорему методом полной
индукции, примененным к числу /. Таким образом; во
всем дальнейшем мы будем считать, что теорема уже
установлена для некоторого числа /^2 и для любых
значений k, и покажем, что в таком случае она остается
верной и для числа /+ 1 (и также, разумеется, для лю-
любых значений k)u
§ 3
Итак, согласно нашему предположению, для любого
натурального числа k существует такое натуральное
число n(k9l), что при разбиении любого отрезка нату-
натурального ряда длины п (k, l) произвольным способом
на k классов по крайней мере в одном из этих классов
найдется арифметическая прогрессия длины /. Наша за-
задача— доказать, что для любого натурального k суще-
существует и n(k,/+1). Эту задачу мы решим прямым
определением числа n(k, /+1). С этой целью положим
<7о= 1, no = n(k,
и затем последовательно определим числа q\, <?2, *••
..., пи «2, ... следующим образом: если для какого-
нибудь s > О уже определены qs-\ и /is-i, то мы по-
полагаем
Ча — ЯПа-Ма-и ns = n(kq°,l) E=1,2,...); A)
очевидно, что тем самым числа nSt qs определены для
любого 5^0. Мы утверждаем теперь, что за n(k,l-\-1)
можно принять число qk- Мы должны, следовательно,
доказать, что если отрезок натурального ряда длины qk
любым способом разбить на k классов, то по меньшей
мере в одном из этих классов найдется арифметическая
прогрессия длины /+1. Этому доказательству и будет
посвящена вся дальнейшая часть настоящей главы.
Для краткости положим / + 1 = /',
§4
Итак, пусть отрезок Л натурального ряда длины qk
разбит любым способом на k классов. Два числа а и Ъ
этого отрезка мы будем называть однотипными и
9

висать а <*> 6, если а и Ь принадлежат одному и тому же
классу. Два отрезка 6(«, а -+¦ 1, ..., я + r) и б7(а', а' +
+1, ..., а'-f-r) равной длины, принадлежащих отрезку А,
мы будем называть однотипными и писать S <*>?', если
flco^, а +1 **> #' + It • • •, я + т со a' -f- r. Очевидно,
что число 'различных возможных типов, которым могут
принадлежать числа отрезка Д, равно k\ для отрезков
вида (а,а + 1) {т. е. для отрезков длины 2) число воз1
можнь1х типов равно k2 и, вообще, для отрезков длины Hi
г число возможных типов равно km (само собою разумеет-
разумеется, что некоторые из этих типов могут фактически от-
отсутствовать в отрезке Д).
Так как qk = 2nk-\qk-\ (см. A)), то отрезок Д можно
разбить на 2tik-\ отрезков длины <7*-ь Такие отрезки
могут иметь, как мы только что видели, &**-1 различ-
различных типов; но левая половина отрезка Д содержит tik-\
таких отрезков, причем в силу A) nk_i =л(&^-1, /).
Мы можем поэтому, по самому смыслу числа п(кЯк9 /),
утверждать следующее: левая половина отрезка Д со-
содержит арифметическую прогрессию из / однотипных
между собою отрезков
• • •»
длины qk-\\ при этом мы для краткости говорим, что
равные между собою отрезки Д/ образуют арифметиче-
арифметическую прогрессию, если такую прогрессию образуют их
первые числа. Разностью d\ прогрессии Дь Д2, ..., Ы мы
будем называть разность первых чисел двух соседних
отрезков этой прогрессии. Само собою разумеется, что
разность вторых (или третьих, четвертых и т. д.) чисел
двух таких соседних отрезков также равна d\.
К этой прогрессии из отрезков мы присоединим те-
теперь еще следующий, /+1-й член Дг (вспомним, что
Г = /+1), который, может быть, выйдет уже за пре-
пределы левой половины отрезка Д, но во всяком ,?лучае
будет еще целиком принадлежать самому отрезку Д;
тогда отрезки Дь Д2, ..., Д/, Дг образуют арифмети-
арифметическую прогрессию длины V = / 4-1 и разности d\ из
отрезков длины qh-u причем Дь Дг, ..., Д/ между со-
собою однотипны, а относительно типа последнего от-
отрезка Д/' мы ничего не знаем. Этим завершается первый
игаг нашей конструкции. Продумайте его как следует
еще раз, прежде чем идти дальше,
10

§5
Теперь переходим ко второму шагу. Возьмем любой
из I первых членов только что построенной прогрессии
отрезков; пусть это будет А^, так что I ^А^/. Д/, есть
отрезок длины <7&-ь Мы поступим с ним аналогично
тому, как только что поступили с отрезком Д. Так как
#fe-i = 2я&-2<7а-2> то левая половина отрезка Д*, разби-
разбивается на tik-2 отрезков длины <7*-2#> но для отрезков
этой длины возможно всего k4h~z различных типов/
а, е другой стороны, в силу A)/гЛ_2=лг (/^~2, /). Поэтому
левая половина А*, содержит прогрессию'иа! однотипных
отрезков Д?Ь A<л2^/) длины qk_2- Пусть разносит
этой прогрессии (т. е. рассЛч^ние между первыми чис-
числами двух ее соседних отрезков), равна 4*~ К этой про-
прогрессии отрезков мы присоединим еще ее 1-\г 1-й член Д^г,
пра тип которого мы, конечно, ничего не знаем; отре-
отрезок А^г может уже не принадлежать левой половине'
отрезка А*„ но, очевидно», должен принадлежать самому
отрезку Д*,.
Мы провели нашу конструкцию пока только в одном
из отрезков Atv Но теперь мъг конгруэнтно перенесем
ее во все другие отрезки A/, (f *O*i ^T). Таким образом/
получим семейство Д^ (l<^ii^/', 1^/2^/') отрезков
уже с двумя* ивдекеаицн*. ГГри этом очевид?ш, что два
любых отрезка этого семейства с индексами, не прево-
превосходящими I, будут однотипны между собою:
Вам теперь уже, несомненно* ясно, что этот процесс
можно продолжать и дальше. Проведем его k раз. Ре-
Результатом построения на первом шаге были отрезки
длины qu-u на втором — длины qk-ъ и т. д. После k-vo
шага, таким образом, мы получим отрезки длины #о = 1,
т. е. просто числа нашего первоначального отрезка Д;
тем не менее мы будем обозначать эти числа по-преж-
по-прежнему:
При этом для l<5^fe и 1^«ь ..., /у, i'u
u

Сделаем теперь два важных для дальнейшего заме-
замечания.
1) Если в соотношении B) s < k и если /в+1э /5+2, ...
• ••> 4 — любые индекс&^азятые из ряда 1, 2, ..., Z, /',
^.ik занимает в отрезке A<l#../s
то число \i2...i
s+l
такое же место, как число A,v /,
V2 •" *Л
1 *
'> а так как эти два отРезка в
типны, то отсюда следует, что
A/1 ц *
V2
в отрезке
B) одно-
C)
если
» •••> *
5>
•••»
—1 5	I
5—1 5
будут, очевидно, соседними отрезками s-ro шага нашей
конструкции. Поэтому, каковы бы ни были индексы
/5+1,..., ik% числа Af %i ti t и Af mi г'г г
будут занимать одинаковые места в двух таких соседних
отрезках, так что (при i's = is+ 1)
. D)
§6
Теперь уже мы недалеки от нашей цели, Рассмотрим
следующие k + 1 чисел отрезка А:
E)
Так как число классов, на которые разбит отрезок А,
равно k, a чисел E) мы имеем ?+1, то среди этих
чисел найдутся два, принадлежащих одному и тому же
классу; пусть это будут числа аг и as (r<Zs)% так что
F)
62
k—s

Рассмотрим тогда / + 1 чисел
G)
s—r k—s
Первые / чисел этой группы (т. е, те, где i < V) при-
принадлежат одному и тому же классу в силу C). Что же
касается последнего (i = /'), то оно однотипно с первым
в силу F). Таким образом, все /+1 чисел G) одно-
однотипны между собою. Поэтому для доказательства на-
нашего утверждения остается только убедиться, что эти
числа образуют арифметическую прогрессию, т. е. что
разность С/-4-1 — d (l^t^/) не зависит от и
Положим для краткости i + 1 = i'\ положим, далее,
г т s—r—m k—s
так что d, о = с/, d, 5-r = Ci+\ и, следовательно,
я-г
m-1
Но в силу D)
т—\ s—r—m+l k—s
и, значит,
и действительно не зависит от /, чем доказательство на-
нашего утверждения полностью завершено.
Вы видите, сколь сложным может быть подчас совер-
совершенно элементарное построение. Однако это еще не
предел; в следующей главе Вы встретитесь с построе-
построением столь же элементарным, которое будет значи-
значительно сложнее. Впрочем, мы вовсе не можем быть уве-
уверены в том, что теорема Ван дер Вардена не допускает
еще более простого доказательства, и всякие поиски
в этом направлении можно только приветствовать.

ГЛАВА II
ГИПОТЕЗА ЛАНДАУ—ШЛИРСЛЬМАНА
И ТЕОРЕМА МАННА
§ 1
Может быть, Вам -приходилось слышать о замеча-
замечательной теореме Лагранжа: каждое натуральное число
есть сумма не более иен четырех квадратов. Другими
словами, каждое натуральное число либо само есхь
квадрат другого числа, либо есть сумма двух, или трех,
или четырех таких квадратов. Сейчас нам будет нвлеэдо
представить себе содержание этой теоремы в несколько
новой форме. Напишем ряд квадратов, начиная с нуля:
О, U 4, 9, 16, 25, ...;	(Q)
это — некоторая последовательность целых чисел; обозна-
обозначим ее Q и представим себе, что она выписана у нас
в четырех экземплярах Qi, Q& Q& Q^ ничем не отлй-
чающихся друг от друга. Теперь выберем любое число м\
из Qv любое число о| из Q2, .любое число ^ из Q3 и
любое число «J из Q4 и сложим эти четыре «шсяа между
собою; полученная сумма
может бытн:
1)	нулем <еети а\ = с2 = а% =а%-= Q)\
2)	квадрятхш нагуральноло чвслж ?(если в представ-
представлении A) числа п три из чисел аи а% аз, 04 равны
нулю, а четвертое — не нуль);
3)	суммой двух квадратов натуральных чисел (если
в представлении A) числа п два из чисел а\9 аг, аз, а а
равны нулю, а два других — не нули);
14

4)	суммой трех квадратов- натуральных чисел (если
в представлении A) числа п одно из чисел аи а2, аз, а\
равно нулю, а три остальных — не нули);
5)	суммой четырех квадратов натуральных чисел
(если в представлении A) числа п все четыре числа а\9
#2* Яз, #4 отличны от нуля).
Таким образом, полученное число п есть либо нуль,
либо натуральное число, представимое в виде суммы не
более чем четырех квадратов, и ясног чтог обратно, вся-
всякое такое натуральное число может быть получено опи-
описанным нами процессом.
Теперь мы все натуральные числа п, которые могут
быть получены указанным выше процессом (т. е. сло-
сложением четырех чисел, взятых соответственно из по-
последовательностей Оь @2, Фз, ФО, расположим по вели-
величине в последовательность
О, пи %, п3, ...	{А)
(причем 0 < «t < л2 < Пз < ..., так что если среди по-
построенных чисел имеются равные между собою, то из
них в (А) входит только одно). Теорема Лагранжа
тогда утверждаем простец чта последовательность (А)
содержит все натуральные числа, т. е. что п\ = 1,
п2 = 2, Па = & и *¦„ д.
Обобщим теперь рассмотренный процесс. Пусть мы
имеем k возрастающих последовательностей целых чи-
чисел, начинающихся с нуля:
» • • • 9
О яB> аР*	а{2)	(АЩ
О dk) Ж®	а{к) •	(АЩ
выбергем произвольно по одному числу в каждой после-
последовательности AW (i^.i^k) и сложим между собою
эти k чисел; совокупность всех полученных таким обра-
образом чисел образует, если мы расположим их в порядке
возрастания без повторений, новую последовательность
того же типа г
О, Пи П>2* • • • > пт> • • • >	\А)
15

которую мы будем называть суммою данных последо-
последовательностей А^>, Л<2>, is4, Л
Содержание теоремы Лагранжа состоит в том, что
сумма Q + Q + Q + Q охватывает весь натуральный ряд.
Может быть, Вы слышали и о знаменитой теореме
Ферма: сумма Q + Q охватывает вес простые числа, ко-
которые при делении на 4 дают в остатке 1 (т. е. числа 5,
13, 17, 29, ...). А может быть, Вы знаете и о том, что
знаменитый советский ученый Иван Матвеевич Виногра-
Виноградов доказал следующую замечательную теорему, над
которой до этого двести лет безуспешно трудились мно-
многие из величайших математиков: обозначая Р последо-
последовательность
О, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...,	(Р)
состоящую из нуля и всех простых чисел, можно утвер-
утверждать, что сумма Р + Р + Р содержит все достаточно
большие нечетные числа.
Все эти примеры я привел здесь только с одной,
и притом весьма скромной, целью: познакомить Вас
с понятием суммы числовых последовательностей и по-
показать, как с помощью этого понятия можно просто
и удобно формулировать некоторые классические тео-
теоремы теории чисел.
§ 2
Как Вы, конечно, заметили, во всех приведенных
примерах мы стремимся установить, что сумма опреде-
определенного числа последовательностей представляет собою
последовательность, охватывающую целиком или почти
целиком тот или другой класс чисел (например, все~на-
туральные числа, все достаточно большие нечетные
числа и т. п.). Во всех других подобных задачах целью
исследования является установление того, что сумма
данных числовых последовательностей представляет со-
собою множество чисел, в некотором смысле густо распо-
расположенное в натуральном ряду. При этом часто речь
идет о том, что это множество охватывает весь нату-
натуральный ряд (как мы это имели в нашем первом при-
примере). Теорема Лагранжа утверждает, что сумма четы-
16

рех последовательностей Q охватывает весь натураль-
натуральный ряд. Вообще, если сумма k одинаковых последова-
последовательностей А охватывает все натуральные числа, то
принято называть последовательность А базисом (на-
(натурального ряда) порядка k. Так, теорема Лагранжа
утверждает, что последовательность квадратов Q есть
базис четвертого порядка. Позднее было установлено,
что последовательность кубов образует базис девятого
порядка. Как легко сообразить, всякий базис порядка k
есть вместе с тем и базис порядка ?+1.
Во всех этих и многих других примерах доказывае-
доказываемая «густота» суммы обусловлена особыми свойствами
слагаемых последовательностей, т. е. специальной ариф-
арифметической природой входящих в эти последовательно-
последовательности чисел (это — либо квадраты, либо простые числа
и т. п.). Замечательный советский ученый Лев Генрихо-
вич Шнирельман в 1930 г. впервые поставил вопрос
о том, в какой мере густота суммы нескольких последо-
последовательностей может быть обусловлена одною только
густотою слагаемых, независимо от их арифметической
природы. Эта задача оказалась не только глубокой и
интересной, но и полезной при обработке некоторых
классических проблем. Она привлекла к себе усилия
многих выдающихся исследователей и породила бога-
богатую литературу.
Чтобы можно было ставить в этой области точные
задачи и слово «густота» писать без кавычек, необхо-
необходимо прежде всего условиться, каким числом (или ка-
какими числами) мы будем измерять «густоту» рассмат-
рассматриваемых последовательностей (подобным образом
в физике слова «теплый» и «холодный» получили точ-
точный научный смысл только после того, как научились
измерять температуру).
Очень удобная мера «густоты» числовой последова-
последовательности, принятая теперь в науке для всех проблем
рассматриваемого нами типа, была предложена
Л. Г. Шнирельманом. Пусть
О, а\9 #2» • • • э &п> • • •	\А)
— числовая последовательность, в которой, как обычно,
все ап — натуральные числа и ап < ап+\ (/г = 1, 2, ...).
Обозначим А(п) число натуральных чисел последова-
последовательности (Л), не превосходящих п (нуль при этом не
2 А Я. Хинчин	17

¦считается), так что О ^А(п)«*^п,-вследствие
п
Очевидно, дробь ——,.которая, конечно, тит разных *п
имеет разные значения, может рассматриваться как:не«
кая средняя плотность последовательности г(А) на от-
отрезке натурального ряда от 1 до л. Нижнюю црань всех
значений этой дроби Шнирельман предложил называть
плотностью последовательности (А) Дна .всем .натураль-
.натуральном ряду); мы будем обозначать эту плотность d(A).
Чтобы усвоить простейшие свойства этого понятия, я
рекомендую Вам самостоятельно установить следующие
предложения:
1.	Если Q\ >Л (т. е. если последовательность ,(Д)
не содержит единицы), то d(A)—0.
2.	Если аЛ=1 + г(я—1) (т. е. последовательность
(А), начиная с аь есть арифметическая .прогрессия
первым членом 1 « разностью г), то
3.	,Плотность всякой геоме^ической прогрессии -рав-
-равна нулю.
4.	Плотность ряда последовательных квадратов ряв-
ла нулю.
5.	Лля того чтобы последовательность^^) содержала
весь натуральный ряд (ап = п, л=1, 2, ...), необходи-
необходимо и достаточно, чтобы d(A)— 1.
6.	Если d(A) = 0 и (А) содержит число 1, то 'при
любом е^> 0 можно найти сколь угодно большое четою
N, для которого
A(N) eN.
Если •Бы вое это .доказали, /го ознакомились с поня-
понятием плотности -достаточно, чтобы работать с ним. Хе-
перья хочу познакомить tBac с доказательством следую-
следующей замечательной, хотя и очень простой.леммы Шни-
рельма на:
d (А + 'В) > d (А) + d (В) — d (A) d (В).	B)
Смысл этого неравенства лонятен: плотность суммы лю-
любых двух числовых последовательностей не меньше, чем
сумма мх плотностей, уменьшенная на произведение
этих .плотностей. Зхо «неравенство ТЫниряльмана» пред-
18

отавллет собой- педвое? пока, еще грубое орудие для
оценки плотности суммы по плотностям слагаемых. Вот
его доказательство. Пусть А(п) обозначает число нату-
натуральных чжяот; входящих* в последовательность Л и не
превосходяiiJUiXv n, nR(n) — аналогичное число, для по-
последовательности В, и положим для краткости d(A) = oc,
dE) = p, A + B = C, d(C) = y. Отрезок A,я) нату-
натурального ряда-содержит А (п) чисел последовательности
Л, каждое из которых входит и в последовательность С.
Нуста аь> w а&ы — два псьследовательных числа этой
F^yinnH^ междх ними лежит ak+i — а*—1=1 чисел, не
принадлежащих Л; это — числа
некоторые из них будут входить в С, например все числа
г входит- в, В (что^ мы, кратко будем
В
+л	(	р	у
Записывать- та&? г е В); но чисел этого последнего вида
будет столько*, сколько & отрезке A,/). содержится чи-
овл»( принадлежащих 5, т. е. ВA). Таким образом, вся-
всякий отрезок длины /, заключенный между двумя сосед-
соседними числам» последовательности Л» содержит не менее
чем ВA) чисел, принадлежащих С. Отсюда следует, что
число С(пу чисел отрезка (Un), входящих в С, не
меньше чем
вде сумма распространяется на все отрезки, свободные
от чисел, входящих в Л. Но В\1)^^1 по определению
плотности, так чтп
так как 2 / есть сумма длин всех отрезков, свободных
от чисел, входящих в Л, т. е. просто число п — А(п) чи-
чисел отрезка* (Д,л)« не входящих в Л. Но А(п)^ап, и,
следовательно,
откуда
—ctp;
а так как это неравенство выполняется для любого на
туршгьногсг п; та
шо. и требовалось доказать.
2*	19

Неравенство Шнирельмана B) может быть записано
в эквивалентном виде:
й в этом виде легко поддается обобщению на случай
любого числа слагаемых:
Доказательство проводится простой индукцией; Вы без
труда с ним справитесь сами. Если записать последнее
неравенство в виде
d(Ax + A2+ ... +4к)>1-П{1-?*(Л|)Ь C)
то оно снова дает возможность оценить плотность суммы
по плотностям слагаемых. Л. Г. Шнирельман извлек из
своего элементарного неравенства ряд весьма замеча-
замечательных следствий и прежде всего — следующую важ*
ную теорему:
Всякая последовательность положительной плотно-*
сти есть базис натурального ряда.
Другими словами, если а = d{A)>0, то сумма до-
достаточно большого числа последовательностей А охва-»
тывает весь натуральный ряд. Доказательство этой тео*
ремы настолько просто, что мне хочется рассказать его
Вам, хотя это немного и отвлечет нас от нашей прямой
задачи.	•
Если мы условимся для краткости обозначать Аь
сумму k последовательностей, каждая из которых совпав
дает с Л, то в силу неравенства C)
так как а > О, то при достаточно большом k
±.	D)
Теперь легко показать, что последовательность A2k
охватывает весь натуральный ряд. Это просто вытекает
из следующего общего предложения:
Лемма. Если А(п) + В(п)> п—1, то п входит в
А + В.	^
В самом деле, если п входит в А или в Б, то все
доказано. Поэтому мы можем предположить, что п не
20

входит ни в Л, ни в В; тогда А (п) = А (п — 1) и В(п)
= В(п— 1), и, следовательно,
Пусть a\t п2. ..., йт и &ь бг, ..., 6s означают числа
отрезка A,/г—1), входящие соответственно в А и В,
так что г = А(п— 1), s = В(п— 1); тогда все числа
#1»
, ..., n — b
принадлежат отрезку A,п—1); число этих чисел равно
r + s = A(n—1)+5(/2—\)>п—1; поэтому одно из
чисел верхнего ряда равно одному из чисел нижнего
ряда; пусть a,i = n — bk; тогда n = di-\-bk, т. е. п вхо-
входит в А + В.
Возвращаясь теперь к первоначальному рассужде-
рассуждению, мы в силу D) имеем для любого п
и, значит,
Ak(n) + Ak(n)>n-l,
откуда, в силу только что доказанной леммы, п входит
в Ak-{-Ak = A2k. Но п — любое натуральное число, и,
следовательно, наша теорема доказана.
Эта простая теорема получила в работах Л. Г. Шни-
рельмана ряд важных приложений. Так, им впервые
установлено, что последовательность, состоящая из еди-
единицы и всех простых чисел, есть базис натурального
ряда. Правда, эта последовательность Я, как показал
еще Эйлер, имеет плотность нуль, так что непосред-
непосредственно применить к ней только что доказанную нами
теорему нельзя. Но Шнирельману удалось доказать, что
jP + Р имеет положительную плотность; значит, Р + Р,
а следовательно и Я, действительно образует базис. Из
этого легко заключить, что при достаточно большом k
любое натуральное число, кроме 1, может быть пред-
представлено как сумма не более чем k простых чисел. Для
своего времени A930 г.) этот результат был фундамент
тальным и вызвал большой интерес в научном мире*
Благодаря замечательным исследованиям И. М. Вино-
Виноградова, как я уже сообщал Вам в начале этой главы,
теперь в этом направлении известно значительно
больше.
21

§3
Во всем предшествующем мне хотелось возможно
более коротким путем ввести Вас в проблематику той
своеобразной и интересной области теории чисел, разра-
разработке которой положили лачало замечательные работы
Л. Г. Шнирельмана. Однако непосредственной целью
настоящей главы будет служить одна определенная за-
задача этой области.; к постановке этой задачи я теперь
и перехожу.
Осенью 1931 г., вернувшись из заграничной тсоман-
дировки, Л. Г. Шнирельман рассказал о своих беседах
с Ландау в Геттингене и сообщил, между прочим, что
в ходе этих бесед они установили следующий интерес-
интересный факт: для всех конкретных примеров, какие им уда-
удавалось придумать, неравенство
которое мы установили в § 2, можно было заменить
более сильным (и более простым) неравенством
E)
т. е. плотность суммы всегда оказывалась не менее
суммы плотностей слагаемых (при само собою разумею-
разумеющемся условии, что d(i4)+d^B)^ 1). Они поэтому,
естественно, предположили, что неравенство E) яв-
является общим законом; но доказательство этой гипотезы
при первых^ попытках не удавалось; сразу стало яст,
что если высказанная ими гипотеза и верна, то путь к ее
доказательству во всяком случае будет очень нелегким.
Отметим тут же, что если гипотетическое неравенство
E) действительно является общим законом, то закон
этот с помощью элементарной индукции немедленно пе-
переносится на случай любого числа слагаемых, т* е. при
условии J] d{Ai)^.l выполняется неравенство
Поставленная таким образом задача, помимо про-*
етоты и изящества гипотетического общего закона E),
естественно должна была привлечь к себе внимание
исследователей также и острым контрастом между эле*
22

ъ&еытарностыо проблемы и выяснившейся уже с первых
шагов трудностью ее решения. Я сам тогда очень ею
увлекся и оставил ради нее все другие свои исследова-
исследования. После нескольких месяцев напряженной работы
мне в начале 1932 г. удалось доказать неравенство D)
для важнейшего частного случая d(A) = d(B) (этот
случай должен быть признан важнейшим потому, что
в большинстве конкретных задач все слагаемые просто
совпадают между собою). Одновременно я доказал и
общее неравенство F) в предположении, что d(A\) =
*=d(A2)= ... =d(Ak) (этот результат, как легко ви-
видеть, не может быть получен простой индукцией из
предыдущего и требует особого доказательства). Метод,
которым я пользовался, был вполне элементарным, но
очень сложным; позднее мне удалось несколько упро-
упростить доказательство.
Как бы то ни было, это был всего лишь частный слу-
случай! Довольно долго мне казалось, что не очень хитрое
усовершенствование моего метода должно привести к
полному решению задачи; однако все мои усилия в этом
нштр-авлении остались бесплодными.
Между тем опубликование моей работы привлекло к
птотезе Ландау — Шнирельмана внимание весьма ши-
широких кругов исследователей во всех странах. Было по-
получено много незначительных частных результатов, со-
создалась целая литература. Некоторыми авторами проб-
проблема была перенесена из области натуральных чисел в
другие области. Словом, проблема стала «модной»; уче-
ученые общества предлагали ее на премию; мои друзья из
Англии в 1935 г. писали мне, что добрая половина
ашгллйских математиков, отложив все очередные дела,
ааналась решением этой задачи. Ландау в своей книге,
посвященной последним достижениям аддитивной тео-
теории, чисел, писал, что хотел бы «запечатлеть эту задачу
в> сердце читателя». Но она оказалась очень упорной, и
целый ряд лет не поддавалась усилиям самых искусных
исследователей. Только в 1942 г., наконец, с нею спра-
аился молодой американский математик Манн: он нашел
полное доказательство неравенства E) (а значит, и
церавенства F)). Его метод вполне элементарен и по
стилю близок к методу моей работы, хотя и основан
совсем на другой идее. Доказательство очень сложно и
длинно, и я не решился бы предложить его Вам здесь.
23

Но год спустя, в 1943 г., Артин и Шерк опубликовали
новое доказательство той же теоремы, основанное сов-
совсем на другой идее и значительно более прозрачное и
короткое, хотя по-прежнему совершенно элементарное,
Вот это доказательство я и хочу Вам рассказать; ради
него я стал писать эту главу, и оно составит собою
содержание всех последующих ее параграфов.
§4
Итак, пусть А и В — две последовательности; поло-
положим A -}-fl = С; пусть А(п), d(A) и т. д. имеют обыч*
ный смысл. Напомним, что все наши последовательно-
последовательности начинаются с нуля, но при подсчете А(п), В(п)$
С(п) принимаются во внимание только натуральные
числа, входящие в эти последовательности. Требуется
доказать, что при условии d(A) + d(B)^ 1 выполняется
неравенство
(A	G)
В дальнейшем мы для краткости положим d(A)=at
Основная лемма. Для любого натурального
числа п существует такое число m A ^ га ^ п), что j
С(п) — С(п — ra)>(<z + p)m.
Другими словами, существует такой «конец»
"(п — га+1,я) отрезка A,л), в котором средняя плот-
плотность последовательности С не меньше, чем а + Р-
В дальнейшем возникают две задачи: 1) доказать
основную лемму и 2) показать, что из основной леммы
вытекает неравенство G). Из этих задач вторая несрав-*
ненно легче первой, поэтому начнем с нее.
Итак, пусть основная лемма установлена. В некото-»
ром «конце» (п — т+1,дг) отрезка A,л) средняя плот*
ность последовательности С не меньше, чем а + р. Но
отрезок (l,Ai — т), в силу основной леммы, снова имеет
некоторый «конец» (п — m — га' + 1, п — га), в котором
средняя плотность С не меньше, чем а + р. Продолжая
это рассуждение, мы, очевидно, в конечном счете разо*
бьем отрезок A,л) на конечное число отрезков, в каж-
каждом из которых средняя плотность С не меньше, чем
а + р. Значит, и на всем отрезке A,м) средняя плот-
24

ность последовательности С не меньше, чем а + Р- А так
как число п произвольно, то
что и требовалось доказать.
Таким образом, задача сводится к доказательству
основной леммы. К этому доказательству, которое будет
длинным и сложным, мы теперь и переходим,
§5
Нормальные последовательности
Во всем дальнейшем будем считать число п фикси-»
рованным, а все рассматриваемые ниже последователь-
последовательности будут состоять из числа 0 и некоторых чисел от-*
резка A,л). Такую последовательность Я условимся
называть нормальной, если она обладает следующим
свойством: для любых чисел f и f отрезка A,л), не
входящих в Я, число / + /'— п также не входит в Я
(при этом не исключается случай / = /'),
Если число п принадлежит последовательности С, то
так что основная лемма тривиальным образом верна
(т=1). Поэтому во всем дальнейшем — прошу Вас
запомнить это — мы будем предполагать, что п не вхо-
входит в С.
Убедимся прежде всего, что основная лемма может
быть очень легко установлена в случае, когда последова-
последовательность С нормальна. В самом деле, обозначим т наи-
наименьшее натуральное число, не входящее в С (т^.пш
так как по предположению п не входит в С). Пусть s —
любое число, заключенное между п — т и п, п — т<2«
< s < п\ тогда 0<s-f-m — м<т. Я утверждаю, что
s e С; в самом деле, если бы это было не так, то ид
свойству нормальности число 5 + т — п не входило бщ
в С; но мы только что показали, что это число мень*
ше т, между тем как т по определению есть наимень-
наименьшее натуральное число, не входящее в С.
Итак, все числа s отрезка п — m<Cs<n входят в
С, откуда
25

* С другой- етороиы, так как т ее входит в С = А + В,
то, в силу леммы на стр. 20, А (т)^В(т)^ т — 1. Сле-
Следовательно,
(8)
что и составляет собош утверждение основной леммы.
Канонические расширения
Перейдем теперь к случаю, когда последовательность
С = А + В не обладает свойством нормальносги. В этом
случае будем до-баълять к множеству В ею определен-
определенному правилу новые, не содержащиеся в нем числа, пе-
переходя таким образом &г В к расширенному множеству
В\; множество Л + Л*=Сь очевидно, будет тогда не-
некоторым расширением множества С. Как указано выше,
это расширение множеств В и С {причем множество А
©стается неизменным) будет определено единственным
образом; оно возможно тогда и только тогда, когда мно-
множество С ме И0рмгально. Будем назыжаяь эта расширение
каноническим расширением множеств В и С В дальней-
дальнейшем установим несколько важных свойств канонических
расширений и с их помощью аа верш им доказательство
основной леммы.
Дадим точное определение канонического расшире-
расширения множеств В и С. Если С не является нормальным,
то в отрезде (Qs *i) существуют два числа с и с' такие,
Так как С = A -f- В, то отсюда
с+с'— п = а+б (аеД 6gB).	(9)
Пусть ро есть юанменьшее число среди чисел Ь е В, со-
соответствующие всевозможным равенствам вида (9);
другими словами, Ро есть наименьшее число freB, для
тсоторого выполняется соотношение (9) при надлежащем
выборе чисел отрезка @,п) сфС, с*фС, а^А. Это
число Ро мы будем называть базой нашего расширения*
Уравнение	^
с + с' — я = а + ро,	A0)
26

таким образом, обязательно имеет решения в числах
с, с', а, удовлетворяющие требованиям
с?
причем все три числа принадлежат отрезку @, п)
удовлетворяющие уравнению A0) и перечисленным
требованиям числа с и с' мы объединяем в множество
G*. Очеввдао* что множества С и С* не нмеяот ни одного
общего элемента. Объединение их (т. ей совокупносзъ
всех чисел, входящих либо в С, либо в С*)
мы и назовем каноническим расширением множества С.
Рассмотрим теперь выражение Ро+-#—?; если в нем
с пробегает все *шсла только что построенного нами
множества С*, то значения этого выражения образуют
иетоторое множество В*; при этом в силу уравнения
$Ш) каждое* такое число ($*-+-п — с (се С*) может
быть представлено в виде с' — о, где с' e С*, asA
Пусть 6* — любое число, входящее в Вч\ имея форму
?о + л —^ оно ^ Ре ^ 0; имея же форму с? — а
{if еС*, аеА)г оно ^.с'^п; таким образом^ все
числа мвоокес^ва В* принадлежат отрезку @, п). Кроме
того> если 4*sB* vo b*^ik, так как в противном слу-
случае из Ь* = tf— а следовало бы с' = а -+~**^.Л н(- В =
= С, «это неверно.
Итак, множество В* расположено на отрезке (А, ®)
и не ямеет обнщх элементов с множеством В. Мы по-
положим
и будем называть множество Bi каноническим расти-
рением множества &
Убеддшся прежде всего,
Пусть, во-первых, аеЛ, 6j e Bj; покажем, что
Ь\ё.С\. Из Ь\^В\ следует, что либв Ь\^ВУ либо
Ъ\е В*; телтй &i е В, то a + fet^ Л + fl = €с= С\\ если
же frite В*, то a + &i ля<5о вххжит в С, а анаадт и » €и
ли<5о tr + &i§eC; но в этом случае (таг как 6i, будучи
') Мы здесь » в дальнейшем для объединеяия множеств поль-
пользуемся знаком U.

элементом множества В*, имеет вид Ро + я— с',
мы получаем
таким образом,
с + с' —
причем сфС и с'фС; но тогда, по определению мно-
множества С*, мы находим
что и требовалось доказать. Итак, мы доказали, что
A + B.czd.
Чтобы доказать обратное соотношение, допустим, что
с е Си откуда либо с^С, либо с е С*. Если се С, то
с = а-{- Ь, а еД, беВсВь Если же с е С*, то число
Ь* = с — а, как известно, при некотором аеЛ входит
в В*. Поэтому с = a + b* &A + B*cA + Bu Таким
образом, CiciA + Bu а так как, по ранее'доказанному,
и А + В\ d d, то, значит, С\ = А + Вь
Теперь я напомню Вам, что, по нашему предположе-
предположению, пфС\ легко видеть — и это важно для дальней*
шего, — что число п не входит и в расширенное множе-
множество С\\ в самом деле, в случае пе С*, по определению
С*, можно положить в соотношении A0) d = /г, что
дает с=а + РоеЛ + В = С, между тем как сфС по
смыслу соотношения A0).
Если расширенная последовательность С\ все еще
не нормальна, то, в силу А + В\ = С\ и пфСи совокуп-
совокупность множеств Л, В\ и С\ представляет собой тройку со
всеми свойствами тройки А, В, С, необходимыми для
нового канонического расширения*
Находя новую базу Pi этого расширения, аналогично
предыдущему определяя добавочные множества JBJ, С\ и
полагая
U С\ =
можно снова утверждать, что А + В2 = С2 и п
Этот процесс можно, очевидно, продолжать до тех пор,
пока одно из расширенных множеств Сн не окажется
нормальным, Ясно, что на некотором шаге это произой-
произойдет, так как при каждом расширении мы вводим в мно-
множества Ви и Сй новые числа, не выходя при этом за
пределы отрезка @, п)ш
28

Таким образом, получаем конечный ряд множеств
С =
• • •
причем всякое B^+i (соответственно Сц+i) содержит
?исла, не входящие в В^ (Сй) и образующие множество
BJ (С?), так что
— 1).
При этом обозначим Р^ базу расширения, переводящего
(В С) в (Вц+ь C^+i). В результате имеем
где множество Си нормально, в то время как множества
Сц (O^ji^A—1) этим свойством не обладают.
§7
Свойства канонических расширений
Необходимые для дальнейшего свойства канониче-
канонических расширений сформулируем и докажем в виде трех
лемм, из которых только последняя найдет себе дальше
применение; леммы же 1 и 2 нужны лишь для доказа-»
тельства леммы 3.
Лемма L p^>p^-i (l^jx^A—1), г. е. базы
последовательных канонических расширений образуют
возрастающую последовательность.
В самом деле, так как P^gB^B^jUB^, to
либо Рц е ?*_1Э и тогда Рй имеет вид
где с е Cji-i czC^ и потому с<.п, так что Р^ > рц-ь и
лемма 1 доказана; либо Рц. е В№-Г, в этом случае заме-
замечаем, что, по определению числа р^, существуют числа
Л, с ф Сц, с? ф C^, связанные соотношением
но при
с' — п = а + РцеЛ + Вц-1г=С^1, - A1)
29

причем «c^Cjx-ь &фС#гЛ11 шитому p^^p^-i до свой-
свойству минимальности Рц-i; но при Рц = Р|л-1 по опреде-
определению множества Сц-r из fil) следовало бы
так как то и другое неверно, то м ^
Во всем дальнейшем будем обозначать т наимень-
наименьшее положительное число, не входящее в С*.
Л е мм а 2* Если c^Ql, сО^д^А— I, и п — m <
< с < п% то О п — т +?ц» г- ?• все «/«ела с множества
Q, лежащие в отрезке п—m <; си<л, заключены в ча-
части этого отрезка, характеризуемой неравенствами
п — т + р^<с</г.
Необходимо доказать
Из п — т<с < п следует
c — п< т,
откуда, по определению числа т,
т + с — /г е Ch.
Но
^UCjH.i U «^« иСл-i;
поэтому в дальнейшем будем различать два случая
1) Если т + с—л е С^, то
но т фСц и с фС» {последнее в силу с ^CJ), а потому,
по свойству минимальности р^, должно бшъ &ц^Рцв,
но при 6Ц = Рц» по определению множества С?, было бы
meCJ, что неверно, * ибо C^czC^czCh, a m
поэтому &ц > рй, а здачит^
m + с — л = а + Ъ», > Ь» >
и лемма 2 доказана.
5) Если с'-ш+с-л^С^, |х<^<А — 1, то, ио
определению множества CJ, с' удовлетворяет уравне-
уравнению типа A0):
?	p + a —-
где аеД с" е С^; отсюда с' ^ с' — а > pv ^ ^ц (по-
(последнее в силу леммы 1\9м лемма 2 снова доказана,
30

Лемма 3,
т„ е. число чисел сеCJ1 в отрезке п — пг<с <п в точ~
пасти равно числу чисел Ъ^ЕЬ в отрезке 0<Ь<пг
(той же длины).
Рассмотрим соотношение
n-ci	A2)
по самому определению множеств Вц и CJ из сеС^
следует 6еВй, и обратно; при этом, если п — m + ра <
<с < я, то ?а < 6 < т, и обратно; таким образом,
Но, в силу леммы 2, Cjl (я — пг + ра) = СД (/г — т); с дру-
другой стороны, всякое бе ВЦ выражается в виде A2), где
с < п, и потому превосходит рц, так что ВЦ (рц) = 0.
Поэтому
Q (n) — Cl(n — m) = Bl (m — 1),
что и требовалось доказать.
§8
Доказательство основной леммы
Исходя из результатов § 5 и опираясь на только что
докаэакиую лемму 3, теперь уже можно совсем легко
доказать основную лемму.
Применяя к последовательностям Л, В* и Сн резуль-
результат § 5 в форме неравенства (8) (что возможно ввиду
нормальности С/,), находим
Ch(n)-Ch(n-m)>A(m) + Bh(m),	A3)
где m — наименьшее положительное число, не входящее
в Chi очевидно, тпфА и m^Bht так что вместо А(т)
и Вн(пг) можно писать соответственно А(т—1) и
Bh(m— 1),
Имеем
= C[)C*[}Ci\J ... UCX-ь
причем множества, входящие в какое-либо из этих двух
объединений, лопарно не имеют общих элементов, так
31

что
(я) - Ch (n - т) =
C(n)-C(n-m) + Z {C»(n)-C*(n-m)}t
А-1
1,
где, конечно, положено Со™ C*f ВЪ = В*. В силу A3)
отсюда имеем
С (л) - С{п - т) + Z {CJ (я) - CJ(/i - m)} >
|Л=»0
Л-1
Л (m) + B{m - 1) + Z В*(т - 1);
но в силу леммы 3
так что предыдущее неравенство дает
С (п) — С(м — т) > Л (т) + В (т — 1) =
= Л (т) + В (т) >(<х + р) т,
что и доказывает основную лемму.
Тем самым, как мы видели в § 4, полностью дока-
доказана теорема Манна, решающая основную метрическую
задачу аддитивной теории чисел.
Не правда ли, конструкция Артина и Шерка остав-
оставляет впечатление великолепного мастерского произве-
произведения? Для меня особенно чарующим является это за-
замечательное сочетание структурной тонкости и предель-
предельной элементарности метода.

ГЛАВА III
ЭЛЕМЕНТАРНОЕ РЕШЕНИЕ
ПРОБЛЕМЫ ВАР ИНГА
Вспомните теорему Лагранжа, о которой я говорил
Вам в начале предыдущей главы: всякое натуральное
число может быть представлено как сумма не более чем
четырех квадратов. Я говорил Вам и о том, что теорема
эта может быть выражена совсем в другой терминоло-
терминологии: последовательность
будучи четыре раза сложена с самой собою, дает такую
последовательность, которая охватывает все натураль-
натуральные числа. Или еще короче: последовательность (А2)
-есть базис (натурального ряда) порядка 4. Я упомянул
совсем кратко и о том, что, как было доказано позже,
последовательность кубов
О, 1 , 2 , ..., k , .. •
есть базис девятого порядка. Все эти факты, естествен-
естественно, приводят к предположению, что для любого нату-
натурального числа п последовательность
представляет собою базис (порядок которого, конечно,
зависит от я). И действительно, эта гипотеза была вы-
высказана Варингом уже в XVIII столетии; однако задача
оказалась очень нелегкой, и только в начале нашего
столетия A907 г.) Гильберт доказал во всей полноте
справедливость гипотезы Варинга, Доказательство
23

Гильберта не только очень громоздко в формальном
отношении и опирается на сложные аналитические тео«
рии (кратные интегралы), но и в идейном смысле весьма
малопрозрачно. Известный французский математик Пу-
Пуанкаре в своем обзоре научного творчества Гильберта
писал, что если когда-нибудь будут поняты основные
движущие пружины этого доказательства, то, вероятно,
арифметические результаты большого значения посып-
посыплются, как из рога изобилия. И в известном смысле он
оказался прав: 10—15 лет спустя Харди и Литлвудом
в Англии и И. М. Виноградовым в СССР были даны
новые доказательства теоремы Гильберта^ эти доказа-
доказательства по-прежнему были аналитическими и формаль-
формально громоздкими, но выгодно отличались от доказатель-
доказательства Гильберта методологической ясностью и идейной
простотой, которые не оставляли желать ничего луч-
лучшего. И действительно, оба метода сделались в силу
этого мощными источниками новых арифметических
теорем.
Но когда «аша наука имеет дело с такой совершенно
элементарной задачей, как проблема Варинга, она про
должает добиваться такого ее решения, которое не нуж-
нуждалось бы в понятиях и методах, выходящих за пределы
элементарной арифметики. Разыскание такого элемен-
элементарного доказательства гипотезы Варинга и есть та
третья аадача, о которой я хочу Вам расскааать. Такое
вполне элементарное доказательство теоремы Гильберта
лишь в 1942 г. удалось найти молодому советскому
ученому Ю. В- Линнику.
Вы уже привыкли теперь к тому, что элементарность
еще не означает простоты. Элементарное решение проб-
проблемы Варинга, найденное Линн*иком, тоже, как Вы уви-
увидите, очень не просто, н Вам прадется порядочно потру-
потрудиться, чтобы понять и усвоить его. Я постараюсь своим
изложением по возможности облегчить Вам эту задачу*
Но Вы должны помнить, что в математике (как, ве-
вероятно, и во всякой другой науке) усвоение всего дей-
действительно ценного и значительного требует напряжен-
напряженных усилий.
В доказательстве Линника весьма существенную
роль играют идеи Шнирельмана, которые я изложил
Вам в начале второй главы. Вспомните (я там кратко
говорил -об этом), как Шнирельман доказал свою знаме*

штую теорему о тш*„ что последевадельность Р» состоя-»
щ&я из нуля* единицы и всех простых чисел, является.
§азисом натурального ряда: он доказал, что последова-
последовательность Р + Р имеет положительную плотность; а так
как, согласно доказанной нами на стр. 20—21 общей
теореме Шнирельмана, всякая последовательность по-
положительной плотности есть базис натурального ряда,
to отсюда сразу вытекает все требуемое. Этот же нрием
Лежит в основе и доказательства теоремы Гильберта*,
найденного Линником. Все сводится к доказательству
того, что сумма достаточно большого числа последова-
последовательностей (An) есть последовательность-положитель-
последовательность-положительной плотности; как только это сделано, можно считать
теорему Гильберта доказанной в силу той же общей тео-
теоремы Шнирельмана.
§2
Основная лемма
Сложив по правилу главы И к последовательностей,
совпадающих с Ап> мы, очевидно, получим последова-
тельность Ап , содержащую нуль и все те натуральные
числа, которые могут быть представлены в виде суммы
да. более чем к слагаемых вида #л, где х— любое нату-
натуральное число; другими словами, число* т
последовательности А^\ если уравнение
A)
может быть решено в целых неотрицательных числах х§
(l^i^ft). Нашей целью является, как это выяснено
в § 1, доказательство того, что при достаточно большом
k последовательность А^ имеет положительную плот-
плотность.
Уравнение A) при данных кит, вообще говоря, мо-
может быть решено различными способами. Обозначим во
всем дальнейшем Гк(пг) число этих способов, т. е. число
систем неотрицательных вдлых чисел хь *2, ¦•-» •**»
удовлетворяющих уравнению A). Очевидно, число т
входит в i4j? тогда и только тогда, если *ь(/п) >0.
В дальнейшем будем считать числф п фиксирован-
фиксированным, и потому все числа, зависящие только от пу будем
постоянными* Такие иостоятшге мы будем

обозначать буквою с или с(п), причем такая постоянна^*
с может в различных частях одного и того же рассуждф
ния иметь разные значения, лишь бы только все этщ
значения были постоянными числами* Такой cnocoi
записи постоянных будет существенно упрощать обозна*
чения при доказательстве.
Основная лемма. Существуют такое натураль*
ное число k = k(ri)y зависящее только от п, и такая по-*
стоянная су что для любого натурального числа N
B)
Снова, как и в предыдущей главе, возникают две
дачи: во-первых, доказать основную лемму и, во-вторы^»
из основной леммы вывести необходимое утверждений
Л(Ь\
о том, что последовательность Ауп' имеет положителы
йую плотность. И снова, как там, вторая задача значц*
тельно легче первой, и потому начнем с нее.
Из определения числа rk(m) непосредственно выте*
кает, что сумма
представляет собою число всех таких систем (х\, #2, ш
,•*, Xk) из k неотрицательных чисел, для которых
C)
Но этому требованию, очевидно, удовлетворяет всякая
группа чисел, для которых
Так как для осуществления этих неравенств каждое X}
может быть, очевидно, выбрано более чем (*Ху
различными способами (#* = 0, 1, ..., I ("yVJ/ и эти
k выборов (т* е. выборы чисел х\, х% ,.., Xk) можно
произвольным образом комбинировать между собою, т0
для всей системы чисел xi (l^i^k) имеется более
чем ("^)п различных выборов, каждый из которых
36

удовлетворяет условию C), Это показывает, что
По предположению основная лемма справедлива и
Неравенство B) выполнено при любом N» Теперь оста-
остается убедиться, что неравенство B) совместимо с дока-
доказанным неравенством D) лишь при том условии, что
последовательность А^ имеет положительную плот-
ость. Идея последующего рассуждения очень проста:
сумме Rk(N) отличны от нуля только те слагаемые
tk{m), для которых т входит в А^\ Если бы А{®
имела плотность нуль, то при больших N число таких
слагаемых было бы относительно мало; а так как каж-
каждое слагаемое в силу B) не может быть очень боль-
большим, то и сумма их Rk(N) была бы относительно малой,
доежду тем как в силу D) она должна быть достаточно
.большой.
Остается произвести подсчеты. Если бы было
d(А{п]) = О, то для сколь угодно малого е > 0 при над-»
лежаще выбранном N выполнялось бы неравенство
А{? (N) < bN;
при этом можно предполагать число N как угодно боль-
большим, так как А{® содержит (при любом k) число 1
^(вспомните задачу 6 на стр. 23, которую Вы решили!),
Применяя оценку B), поэтому нашли бы
N
N	_fc_
и, значит, для достаточно большого N
Rk(N)<2ceNn.
Так как при достаточно малом е
37

то получжля бш
в противоречии с неравенством D). Таким образом, не»
обходимо имеем
d
а это,, как уже замечено выше, доказывает теорему
Гильберта.
Вы видите, как просто все это выходит, Но остается
еще доказать основную лемму, а для этого нам, как и Ь
предшествующей главе, придется пройти длинный И
трудный путь.
§з
Лемма о линейных уравнениях
Для доказательства отгонного, утверждения нам по-*
требуется установить ряд вспомогательных предложений,
Сначала установим некоторые оценки для числа ре-
решений систем линейных уравнений, в целых, числах,
Леммы этого параграфах представляют^ пожалуй;, и са-
самостоятельный интерес, независимо от той проблемы,
для решения которой они-'здесь приводятся.
Лемма 1. Пусть в уравнении
= m	E)
числа аи а& ш — целые* ]ta\J1^ fOaf,^Л* и {аи $
= 1 !). Тогда число решений Уравнения 'E), удовлетво-
удовлетворяющих неравенствам |г1|^Л, |гг|^Л, не превосхо*
дит т—г-
\а2\
Доказлтелкство. Ввиду условий. |flij^|;a2| и
(аи ^г) = 1 имеем а2ф0, а тогда можно считать, что
02 > 0, так как в противном случае достаточно в каж-
каждом решении заменить г% тга —г*
возможны два сдучая:
1) #1 = (Х Тогда,' иоежжьку (аи fl2)=l» имеем
= 1 и уравнение E) принимает вид
— /ТТ»
1) (пи а2) и соответственно (oi# Л2, ?:?, щ) означает наиболь-
наибольший общий делитель чисел, стоящих в скобках» *
38

В этом уравнении z2 принимает не более одного значе-
значения, a Z\ ы?Ш?тг принимать любое значение из отрезка
(—Л, Л), т. е. всего не более 2Л + 1 ^ ЗА значений. По-
Поэтому тасзю рещешш уравнения E) лри условии [ai[^I
о л
не превосходит ЗЛ = у^-р что и доказывает
утверждение леммы в этом случае.
2) ах Ф 0. Пусть zu z2 и z'\, z2 — два различных ре-
решения ураваения (&). Тогда из
-f-
с помощью вычитания находим
левая часть этого равенства должна делиться на а\\
но (аи а2)=1> и, следовательно, z$ — 22 должно делиться
На а\\ 22^=^2, и, значит» B?—2г|9 будучи кратным а1э
не меньше, чем а{. Итак, для двух различных реше-
решений 2i, 2г и 2i, 22 уравнения E) имеем
Условимся в каждом решении г\% z2 уравнения E)
называть Z\ первым, а 2г — вторым чле«ом. Очевидно,
число решений уравнения E), удовлетворяющих усло-
впгям |2i[^>4, |^2|^Л, не больше, чем число / вторых
членов, попадающих в отрезок (—Л, Л). Так как мы
доказали, что два таких вторых члена отстоят друг от
друга не меньше чем на аи то разность между наиболь-
наибольшим и наименьшим вторыми членами, попадающими в
отрезок (—А% Л), будет не меньше чем a\{t — 1); а так
тсак эта разность, с другой стороны, не превосходит
2Л, то
2А
а,
(так как по условию а{ ^ Л и, значит, I <! —). Этим
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть в уравнении
= m	F)
39

числа at и т — целые,
, (аи а2, • ••» «/)= 1.
Тогда число решений этого уравнения, удовлетворяю*
щих неравенствам \ zi | ^ А A ^ i ^ /), не превосходит
c(t)
н 9
где Н — наибольшее из чисел \а\\, \а2\9 мм \ctt]f <*
сA) — постоянная, зависящая только от /.
Доказательство. Очевидно, что при 1=2 лемма
2 обращается в лемму 1 (при сB) = 3). Таким образом,
при 1 = 2 лемма 2 уже доказана. Допустим поэтому, чта
1>3 и что для случая I — 1 неизвестных лемма 2 уже
установлена. Так как порядок нумерации безразличен,
то можно допустить, что \at\ есть наибольшее из чисел
I» | #211 • • • 9 | #/1, т. е. // = I а\ |.
Будем различать два случая:
1) а\=а2= ... =а/_1=0. В силу (аь а2, *.*
а{) = 1 имеем |ai\ = Н = 1, так что данное уравне*
ние получает вид ±zi = m. Очевидно, в этом уравнении
каждое из неизвестных z\, г2, . *., z/_i может принимать
любое целое значение в отрезке (—А, А), т. е. всего не
более чем 2А + 1 ^ ЗА значений; что же касается zt, то
оно принимает не более одного значения; поэтому число
решений данного уравнения, удовлетворяющих неравен-
неравенствам \zt\ ^ А A ^ / ^ I), не превосходит
,..,
1'1 = сA)А1 = сA)^7Г9
чем лемма 2 для этого случая и доказана.
2) По меньшей мере одно из чисел а\, а2,
отлично от нуля. Положим
1> Я2>
Обозначим W наибольшее из чисел
Пусть теперь числа zu z% ..., zi удовлетворяют
ному уравнению F) и неравенствам \zt\ ^ А A ^ i ^ /),
Положим
-^-г,+-~-г2+ ... +-у±г/.1 = /п/,	G)
40

откуда
при этом, очевидно,
Ьт' + atzi = m	(8)
и
откуда
Итак, если числа ги ^2, •»•, ?/ удовлетворяют урав-
уравнению F) и неравенствам |г*|^Л A ^/^/), то су-
существует целое число т', которое вместе с этими чис-
числами удовлетворяет уравнениям G) и (8), причем
\т'\^.Ш'А. Но в уравнении (8), очевидно, б^|а/| и
(б, щ)= 1 (в противном случае было бы (аи а2у ...
..«, я/_ьа/)> 1); поэтому число решений уравнения
(8) (в неизвестных т\ Z/), для которых \m'\^*lH'At
А < Ш'А, в силу леммы 1 не превосходит
Kl
При том же т' уравнение G), в силу леммы 2 для урав-
уравнений с / — 1 неизвестными, имеет не более чем
А1
с\1) н, решений в целых z{, \Zi\^A.
Из всего сказанного, очевидно, вытекает, что число
решений zu z2, s.., zt уравнения F), подчиненных не-
неравенствам |г,|^Л, l^i^/, не превосходит
ЫН'А /Л А1	„ч А1
т	т	т
\at\ CW Н' —cv> \аг\ —cv> И
что и доказывает лемму 2!).
Рассмотрим теперь семейство всех уравнений вида
(9)
где |а«|^Л A^/^Z) и, как всегда, все at — целые
числа. Пусть /J — положительное число, связанное с чис-
числом А неравенствами 1 ^ А ^ В ^ сA)А1-1, и пусть
/>2. Оценим сумму чисел решений г% (||^
i ^ I) всех уравнений (9) этого семейства.
1) Вы, вероятно, обратили внимание на то, что в последней цепи
равенств символ сA) в разных местах имел разные значения; я пре-
предупреждал Вас на стр 36 о таком употреблении этого символа.
41

1°. Сначала рассмотрим отдельно уравнение (ft) пр»
п\ = а% = ... =. он = 0 (оно кходит в* наше семей-
семейство!) и оценим число его решений, удовлетворяющих
неравенствам \zi\ ^ В A ^ i ^ I). Очеавдне, рассма*-
триваемому уравнению удовлетворяет любая система
чисел zi, 2г, ..., г* и требуется только подсчитать,
сколько сущестаует таких систем, удовлетворяющих не-
неравенствам |zi|^B, |z2|^S, ..., |г/|^В. Так как
отрезок (—В, -\-В) содержит не более 2В + 1 целых чи-
чисел, то каждое z/ можег принимать не более 2В+ I раз-
различных значений; следовательно, число систем г\% г2, ...
».., Zi интересующего нас типаг не прево€Ж>диг
BВ + 1)г< (Щг = с @ Bf\
а так как по^ предположению. В ^ сA),А1~х> то сA)В* =
= с{1)В*~1В < сA) (АЛ)'-1. TaKHJV! образом, в случае
at = п2 = ... = а* = 0 уравнение (9) имеет не более
чем сA) (АВу-1 искомых решений.
2°. Если хоть один из коэффициентов а* отличен от
нуля, то существует наибольший общий делитель
(пи аг, -«*, а*)=в этих коэффициентов.. Пусть сначала
б= 1, и пусть Н — наибольшее из чисел |аЦ, \аъ|i, ...
| а/|. Очевидно, Я есть одно из целых чисел отрезка
. Значит, Н з^аключено либо между А и* А/2, либо
А А
между -j- и -j-f либо между А/4 и А/8 и. т. д. Вообще,
найдется такое целое число т ^ 0,т что
А
..,
Для одного уравнения вида (9), в котором 8=1 и
Н удовлетворяет неравенствам A0), число решений
(|f В), в силу леммы 2, не превосходит
/л я ^ /л
(й	^ с (й
С другой стороны, из неравенства A0) вытекает
?	(И)
иг, значит, число уравнений типа (9), для которых вы-
выполняются неравенства A0), не больше числа уравнений
42

тбго же типа, -подчиненных условиям AГ), т. е. не боль-
больше, чем
Таким образом, сумма чисел решений |г,|^В всех
таких уравнений типа (9), для которых б = 1 и
—# ле лревосходит
с (О В * • с @ Лг2~т* с (О (ЛВ)'"^"^»т
Суммируя эту оценку *по всем т ^ О, мы приходим
к следующему выводу: сумма чисел решений \zi ^LB
всех уравнении типа (9), для которых \ai ^Л
A ^ i ^ /) и б = 1, не больше чем
* с®(АВI-1.
3°. Остается подсчитать числа решений требуемого
типа для уравнений с В > 1. В этом случае уравнение
(9), очевидно, равносильно уравнению
т, е, уравнению того же типа (9), где только
и число Л нужно заменить числом Л/б. При данном фик-
фиксированном б сумма чисел решений |г,|^В всех таких
уравнений, как доказано в 2°, не превосходит1)
А dV~1	/а
-?- • В) = с @
Остается просуммировать это выражение по всем воз-
возможным значениям б A^6^Л).
Мы убеждаемся таким образом, что сумма чисел
искомых решений всех уравнений вида (9), где ||Л
!) Так как вместо Л имеем теперь меньшее число А /б, то пред-
предпосылка В ^ c(l)Al~l может оказаться нарушенной. Но Вы без
труда убедитесь, что в рассуждении пункта 2 мы нигде этой пред-
предпосылкой не пользовались, и, следовательно1 результат пункта 2° от
нее не зависит.
43

A ^ i ^ /) и не все щ равны нулю, не превосходит ве«
личины
А
с (I) (АВ)'-1 ? -Х- < с (I) (АВУ~1 • -?! •) = с (О (АВI-1.
6-1
Сопоставляя это с результатом пункта 1°, где полу-
получена оценка для случая а\ = а.2= .»* = а* = 0, при-»
ходим к следующему выводу:
Лемма 3. Пусть />2 и	0
ГогEа сумма чисел решений |г,| ^ В A ^ t ^ Z) для
уравнений вида
(9)
| ai | ^ i4 A ^ / ^ /), не превосходит
') Здесь использовано неравенство
А
л-1
которое справедливо для любого натурального числа q и для любого
А ^ 1 (через q обозначено число I — 2, которое положительно, так
как мы предположили / > 2). Вот простое доказательство: при п ^ 1
J1
n«{n+l)q
откуда
полагая же в этом неравенстве поочередно я « 1,2, ...% А — 1 и
складывая все полученные неравенства, находим
А
откуда
А
1
что и требовалось доказать.
44

§4
Еще две леммы
Прежде чем перейти к доказательству основной лем*
мы, необходимо установить еще два вспомогательных
предложения особого типа. Оба они очень просты и в
идейном, и в формальном отношении; однако усвоение
их все же может доставить Вам известные трудности,
потому что здесь будет идти речь о подсчете всевозмож-
всевозможных комбинаций довольно громоздкого строения; труд-
трудность такой абстрактной комбинаторики заключается в
том, что она плохо поддается математической символи-
символизации, здесь больше приходится говорить словами, чем
знаками; впрочем, это, конечно, трудность изложения,
а не трудность самого предмета; и я постараюсь обри-»
совать Вам все встающие вопросы и их разрешение со
всею возможной конкретностью.
Обозначим через Л конечное множество чисел, среди
которых могут быть и равные между собою; если число
а встречается % раз в множестве Л, то мы будем гово-
говорить, что его кратность равна Я. Пусть аи а2, ..*
».., аг — различные между собою числа, входящие в Л,
и К\9 Яг, .**, %г — их соответственные кратности (так
г
что множество Л содержит 5] Л* чисел). Пусть В— дру-
гое множество того же типа, содержащее различные
между собою числа b\, b2,..*,b8 с кратностями щ,
. Рассмотрим уравнение
»*«,
= с,	A2)
где с — данное число, а л: и у— неизвестные. Нас будут
интересовать такие решения х, у этого уравнения, в ко-
которых х есть одно из чисел множества Л (мы это ко-
коротко будем записывать так: яеЛ), а у — одно из чи-
чисел множества В (у^В). Если числа x=at, у = Ьь
удовлетворяет уравнению A2), то это дает %i\Xk реше-
решений требуемого типа, потому что любой из А* «экземп*
ляров» числа аи имеющихся в множестве Л, можно со-
сочетать с любым из \ik экземпляров числа &*, имеющихся
45

в множестве В. Но %*|1*^'у-(%? + Ил)')• Значит, число
таких решений уравнения A2), где х = щу y = bk, не
превосходит величины yO^ + pD- Отсюда следует, что
число вее^решедга^х&А^й^ 5 уравнения, A2), на пре-
превосходив суммы6/ -тг(ФЧг1$)» %ееъ< надсг^ суммировать
по всем. naftaML знаяков_ t\ fe, для котодых а^ 6V= ^.
Сумма? уделшгится? есл^ просуммировать Я# по, всем /,
а: ц| полнеем? fe (дада, каждое 6л можете сочетаться* не
болеет чем! огадаим! а^ьТакимсобразом, получаем- окон*
чательнсг,. чта> число: решений* я&.Аг, у^В уравнения^
A2) не- превосходит
С другой стороны, рассмотрим- уравнение
9=0-	03>
и подсчитаем^ чшу1шem решении, jc ^л^ #.&Л4 очевидцо,-
кал«дое такое: решение имеет вид д:^=^с=.аг СК-/^/);^
для данного* i получаем- Л?^ решений, так как числа л: и
могут независимо друг от друга совпадать с любым из
экземпляров! числа* а*,> имеющихся а Л.. Общее числа
решений хеД у^А уравнения A3) равно, таким об-
разом, УГ.Ън«Ткшш-тадс же число решений
&!
того же уравнения равно X \&. Сопоставляя эти ре-
зулътаты с тем, который* установлен выше, приходим к
следующему выводу:
ЛТе мгмш* 4; Число? решений у равнения
1) «Среднее геометрическое, не вдевосходит- среднего арифмети-
арифметического». Нот самое простое доказательство:
откуда

не превосходит полусуммы чисел решений уравнений
и
В частномдзпучае, корда .множескда^.и ^совпадают
между собою, получаем
Х. Щтло решений щра&тния
не превосходит числа решений уравнения
Пусть теперь *k «и з—произвольные натуральные
числа. 4Пшю*ким ^%2S = / .и рассмотрим уравнение
Х\ + Х2 + . . . + Xt = С
Шусзь» 7ьа^пве, А\9 ,Аа, «г..у Л/ — конечные множества
чисел; множество Л/ (l^i^/) содержит различн«е
между собою числа ал, аю, ... с кратностями Ял,
Нас будет интересовать число решений уравнения
положить
то дапя?дае ^рввнш!йе шожно
писать в виде
и применить к нему леашу 4. Надо только разобраться в
том, каким множествам должны принадлежать числа х
и у. Так как **еЛ/ (Л~^л^{), то х может быть лю-
любым числом вида Z\ + Z2+ ..* Ч-2//2, где Zi^Ai
A ^ I ^ 1/2); точно так^яее ?^шожет быть любым чис-
числом того же вида, где только 2«еЛ<//2)+/ A ^ i ^ //2).
Поэтому*в силу *ле»шы Ч^число 'решений хур&внения цA4)
тпр€восходагг -'нолусуммы ^чисел ^решений уравнения
следующих двух прлдтголо&кени^х:
'2r

где
*,€=Л|§ Же Аи 1</<//2.	A6)
2) х и у имеют ту же форму, но
zi е= Am+i, Ж <= Am+i, 1 < i < //2.	A7)
В обоих случаях уравнение A5) может быть перепи-
переписано в виде
-Zl/2) = O. A8)
Таким образом, приходим к выводу, что число реше-
решений уравнения A4) не превосходит полусуммы чисел ре-
решений уравнения A8) в предположениях A6) и A7),
т. е. не превосходит полусуммы чисел решений урав-
уравнений
112
и
112
Уравнение A8) имеет в левой части 1/2 слагаемых,
т. е. вдвое меньше, чем первоначальное уравнение A4).
Полагая
//4	1/2
? (Zi ~ Zi) = Х,	? (Zi — Zi)
приводим уравнение A8) к виду
и можем снова применить к нему лемму 4. Совершенно
так же, как от уравнения A4) пришли к уравнению
A8), теперь от уравнения A8) придем к уравнению
ш
E	A9)
причем нам придется рассматривать сумму чисел реше-
решений этого уравнения в следующих {уже четырех) пред-
48

положениях:
1)	щ, u'i,	и", и\" е= Ah
2)	tit, u\>	и"', uf{' e Л(//
3)	uh u'u	u\\ ur" e= Am+i,
4) UU U'i,	It", It"'
Так как l = k-2s, то можно повторить этот процесс
s раз. В результате, очевидно, придем к уравнению
{?> f	l51) |S1)	#•>} - о,
B0)
I
причем придется рассматривать сумму чисел решений
этого уравнения в 2s различных предположениях, а
именно:
е= Ах, у?e^l	jZ/eAk,
2) ^ е ^* l4ft е л*	У{ь
2s) iV»+i
(К / < 2s).
Положим
У1» = у[» + у? + ... +^Л
тогда уравнение B0) примет простой вид:
_... -^) = о. B1)
При этом речь идет о сумме чисел решений уравнения
IJ21) в следующих 2s предположениях, отличаемых друг
от друга значениями параметра т @^m^2s — 1):
где
A
mk+2
VI === If ^» • • • »
Таким образом, можно сформулировать окончатель-
окончательный результат нашего вывода в виде следующего пред-
предложения:
49

Лемма 5. Число решений уравнения
не превосходит суммы чисел решений уравнения
=о,
(/= I, 2, ..., 2я),
в предположениях m = О, I, •.., 2s—Г. Яры этож f=-
Очевидно, лемма 4 представляет собою частный слу-
случай леммы 5, соответствующий k = s = I, I = 2.
Теперь подготовка закончена, и можно* приступите к
основной лемме.
§.5
Доказательство основной леммы
Будем доказывать основ«ук> лемму методом индук-
индукции, от п—1 к п. При индуктивных доказательствах
часто бывает, что, усиливая доказываемое утверждение,
существенно* облегчают (иногда даже прямо впервые
создают возможность) его обоснования данным мето-
методом. Легко понять, почему эта происходитг в индуктив-
индуктивном доказательстве утверждение предполагается верным
для числа п — 1 и доказывается для числа п; поэтому,
чем сильнее утверждение, тем больше дажо 'в
чксла п—I; правда, тем больше и требуется
для числа п-% на во многих, задачах первое
ство оказывается важнее второго.
Так и в данном случае. Необходимо оценить число
решений уравнения xf + x%+ ... -\-x% = m (l^m^
(причем по самому смыслу задачи - здесь О ^ xt
^mn ^Nп); но хп есть простейший частный случай
многочлена п-й степени
{х) = аохп
5Q

д&я дальнейших рассуждений удобнее заменить данное
уравнение A^ более общим уравнением
f(xd + f(x2)+ ... +f(xk) = m	B2)
rxi наложить да неизвестные более широкие условия
число решенцй уравнения B2), мы будем иметь
больше, чем непосредственно нужно; однако это обоб-
щерир как р&з щ -создает, .как будет вндйо из доказа-
доказательства, возадщность индукции. Итак, для m^N те-
теперь обозначим через гь(т) число решений уравнения
B2), удовлетворяющих условиям |*jJ^Afn, 1^/^&;
при этом в интересах проводимой индукции можно еще
произвольным образом распорядиться коэффициентами
мгнЬгочлена f{?) 1лишь бн -налагаемые условия выпол-
выполнялись в случае f<Jt) = ^e Докажем следующее пред*
ложение:
Пусть в выражении многочлена f(x)
B3)
тогда при надлежаще выбранном k = k(n)
rk(m)<€{n)Nn
Так как б случае Jf(x) — хп неравенства B3), оче-
очевидно, в&нолнены с с(п)=1, то это предложение дей-
действительно есть усилие основной леммы.
Рассмотрим сначала случай n=l,	f(x)= a0JC+ a\.
Шложим ^A) = 2, так что уравнение	B2) принимает
вид
= m —- 2аи	г
др^ичем речь вдет о решениях этого уравнения, удовле-
"творяющих требованиям |jci] ^ N, |х*|^ N. Таким o6pia-
для %\ возможны яе более чем 2N +1 ^.3N ашаче-
но каждому X] соответствует не более одного х2,
так что
е. утБерждея!ке ядш л = 1 {& = 2$ доказано,

Пусть Теперь п>1 и утверждение установлено дли
показателя п— V. Положим k(п — l) = k' и выберем
где показатель означает наибольшее целое число» щ
превосходящее 41g2&', В дальнейшем для краткости пф
ложим [4 Ig2&'] —1=5, так что
6 = 2дг-25+1.	B4)
Для оценки числа п(тУ решений уравнения J22J
сначала применим к нему лемму 4, полагай
bft	k
4
Множество-Л (и совпадающее с ним в данном блу
чае множество В) состоит из всех сумм вида
/ где \Xi\<N"
В силу следствия леммы 4 а(т) не превосходит числа
решений уравнения х — у = 0, где лее Л, уе Л, тв е,
fe/2
E
Иначе говоря, г*(тУ не превосходит числа решений
уравнения
g	B5)
y-g)' Положим
перь xi — yi = hi \}KiiKi'2j и заменим систему неиз«
^
р i yi i \}i2j	у
вестных xi, yt системой уи hrf при этом будем допуски!1^
для yi и hi (i^'^yJ всевозможные Целые значений
в отрезке {—2N*9 +2N*), что может только
чить число решений рассматриваемого уравнения
52

этом в уравнении B5) каждое слагаемое f(Xi)
заменится выражением
(уд=t a° iiffi+hiY~v - yrv]=
n n—v
o-O
Преобразуем здесь переменные суммирования, по-
полагая
так что
n — v — t
получим
9—0
где
n
Ц-1
есть многочлен степени п—1 с коэффициентами
зависящими от чисел /г*.
Уравнение B5) в новых переменных у и Ы получает,
агаким образом, вид
Л1Ф1 (Ух) + Ааф2Ш + ••• +Л*фл ГУП~0. B6)
2 2 V 2 /
В этом уравнении числа Ы и yi могут принимать
вюбые целые значения в отрезку (—2Af1'llf +2iV1/'1),
53

причем необходимо помнить, что коэффициенты много*
членов у (у) (степени п — 1) зависят от чисел h.
Итак, на данном этапе доказано следующее: оцени-
оцениваемое число tk(rriy не превосходит суммы чисел реше-
решений в целых yh \yi\<^2Nxln (l^*<fc/2), всех уравне-
уравнений вида B6), получаемых при всевозможных значе-
значениях чисел Аг, | А* К 2JV1*1 A < / < k/2).
§6
Продолжение
Теперь рассмотрим одно из уравнений B6), т. е.' бу-
будем пока считать числа ht (l^.i^.k/2) фиксирован-
фиксированными. К рассматриваемому уравнению применим лем-
лемму 5. При этом роль неизвестных xi будут играть числа
hi4i(yi)> а роль числа I—число у=^2гс-2*, причем
ради краткости мы положим 2л = ko. Напомним еще
раз: числа Ж* входят & уравнение B6) не только явно,
но и через посредство коэффициентов многочленов
<р,(у). Множество Ai, которому должны принадлежать
числа Xi = hi^i(yi)» состоит в данном случае из всех
чисел вида h^i{yi), где числа ht имеют данные постоян-
постоянные значения, а числа yt пробегают отрезок (-—2Nl/n
+ 2Nl'n).
Согласно лемме 5 числа решенир уравнения B6),
удовлетворяющих только что» описанным условиям, не
превосходит суммы чисел решений уравнения
= 0 B1)'
в следующих* 2s предположениях, соответствующих зна-
значениям параметра m = 0, 1, ,.f, 2s— 1:
где Л г A ^г^2&} есть множество чисел вида ftrq>r(yr)]
с данным hr и произвольным уп \yr\<^2N{fn.
В разаернушм виде уравнение PL) выглядит /для
случая /тс =5=0 (который выбрав прост ддя
54

образом:
.. + {у<?-1)+уГ^ +. • • +
или, меняя порядок слагаемых,
каждое »з чисел ^ есть здесь число вида Ь,л$ь (v{P)9
|Л | ^ 2N1/rt» поэтому последнее уравнение может
быть переписано в виде
)+ф, («f) + ... + ф, М1*) -
• • • + К К (О + • • • - ф* W
Полагая для краткости
- Ф, (ff-"+'))-...- Ф/ (*{*•>) - г, A < i < feo),
можно переписахь это уравнение совсем кратко:
, = 0.	B7)
Уравнений такого типа имеется всего 2s, и совокупность
их можно кратко записать.в виде
.+* = 0 @ < ГП < 2s — 1).
Однако пока ограничимся одним уравнением B7), ко-
которое можно рассмятривать как типичное. Для оценки
чис«*а - интересующих «ас, .«решений .этого уравнения
55

необходимо прежде всего выяснить, в каких пределах
может изменяться величина Ф4(»?Л). С этой целью вспо-
вспомним, что (стр. 53)
п
4>i (у) = ? а>и иУп~и>
где
Поэтому иа принятых выше предпосылок | av \ <
< с (п) Nvtn и | ht К 2Nx'n следует
И—1	V	U—0—1
a-1 «-I
= c(n)N п
т. е. ввиду и^.п
\aUtt\<c(n)N п .	^ B8)
Но, с другой стороны, в силу |Ы/)|^2#Л имеем
?
п—и
\v(/)\n~u^:c(n)N n , вследствие чего
r
Эта же граница (с другим с(п)) имеет место и для всего
Ф? (v{p), так как число членов этого многочлена равно л#
Таким образом,
К OTI < СМ М'1Г* К^<*о• 25, 1< f <25.
Но каждое Zi есть сумма 2s = с(п) слагаемых вида:
> и, следовательно,
я-1
(конечно, с другим с(п))ш Таким образом, в уравнение
B7) каждое г% может принимать только значения, за*
56

Пусть т — одно из этих чисел; равенство zi =
осуществимо, вообще говоря, не одним, а несколькими
способами, так как определение числа Zi (стр. 55) та-
таково, что одно и то же значение г,- может получиться
при различных выборах чиселv{/} A^/^2S). Необхо-
Необходимо теперь оценить число решений соотношения Zi = mt
т. е. уравнения
- ... - ф, М2*>)=т B9)
именно здесь мы и применим индукцию.
Прежде всего перепишем уравнение B9) в виде
= т _ % дечи) _ ... + ф| (ojt-1* 0) + ... + ф| (vf));
это можно сделать потому, что при k'= k(n—1)>1
(а мы видели, что уже ЛA) = 2) имеем
2s" =
обозначая правую часть последнего уравнения через
получаем
Ф* т + ... + Ф, (^Г) - т';	C0)
выберем для чисел
какие-нибудь определенные значения (конечно, в от-
отрезке [— 2Nlln9 +2JV1/n]); тогда и га' получит опреде-
определенное значение. Воспользуемся методом индукции. Убе«
димся для этого, что все необходимые предпосылки вы-
выполнены; мы имеем
п
%(y)=T!ial,uyn-u,
причем в силу B8)
I а,. и |< с (п) лД~ = с (п) (лЛп ""'	C1)
») Подробно: k'>% \g2k'>\, 31g2*'>3, [41g2^]-2>
4 lg2 k' - 3 > lg2 fc7, 25"« 214 ^ *'l-2 ^ /fe'#
57

и, как легко видеть,
п-\
\m'\<c(n)N n
(ибо т и каждое <р^ (y[irj подчиняются этому неравен-
неравенству) .
В силу последнего неравенства роль N здесь может
п-1	*
играть число c(n)N n ; а тогда условия C1), которым;
подчинены коэффициенты многочлена <р/(#), представ-*
дяют собою как раз условия B3) с заменой п на п— 1.
Таким образом, все предпосылки действительно выпол-
выполнены, и можно утверждать* что число решений уравне-
ния C0), для которых I vr | < 2N п = 2 \JV п ) * не
превосходит числа
c(n)\N n )	=c(n)N n .	C2)
Эта оценка получена для фиксированных значений
vf'+l\ ..., v\2^; очевидно, имеется не более чем
(
1	\2S-k'	2s-k'
C3)
таких систем значений; общее число решений требуе-
требуемого типа для уравнения B9) не превосходит поэтому
произведения правых частей C2) и C3), т. е. не пре«
восходит
25-п+1
c(n)N * .	C4)
Вернемся теперь к уравнению B7) Выше (стр. 56)
было показано, что каждое гх- может принимать
только значения, лежащие в отрезке \—c(n)N n ,
+ c(n)N n ); теперь убедимся, что «кратность» каждого
из этих значений (т. е. число способов выбора д/®9 ко-
которыми оно может быть осуществлено) не превосходит
числа C4).
Этот результат позволяет нам свести всю проблему
к подсчету чисел решений линейных уравнений. В самом
деле, в конце § 5 оценка г*(т\ была сведена.к оценке
58

чисел решений уравнений вида B6); но число решенийг
уравнения B6), для которых \yi\^2Nn, как доказано
с помощью леммы 5, не больше, чем сумма чисел ре-
решений 2* уравнений типа B7), т. е. уже линейных урав*
нений; при этом для неизвестных zi получены границы,
в которых оня могут изменяться. Некоторая новая труд*
ность (этой ценою заплачено за переход к линейзтьм
уравнениям) заключается в том, что новые неизвестные
Zi надо рассматривать с определенными кратностями
(для которых также установлены границы).
Наконец, не надо забывать, что все эти подсчеты ве*
дутся в предположении, что числа hi выбраны и зафик-
зафиксированы Результат, к которому мы придем, надо будет
поэтому еще помножить на число всех таких возможных
выборов
Заключительный вывод этого параграфа, который
следует запомнить оцениваемое нами число гн(т) не
превосходит суммы чисел решений в целых
5
I < с (п) N п , с кратностями Хг^с(п)Ы п , у рае-
нений вида
ко
hmk0+iZntk +l = 0,	C5)
еде m пробегает значения 0, 1, .,., 2s—1, а числа hr
A ^ г ^ 2s&o) независимо друг от друга пробегают все
целые числа отрезка (—2Nxln% +2NVn).
Таким образом, для tk{m) получена теперь такая
оценка, в формулировку которой не входит многочлен
Цх)9 что придает этой оценке весьма общий характер,
§ 7
Окончание
После того как задача сведена в оценке числа ре-
решений линейных уравнений, не зависящих ог специаль-
специального вида многочлена /(*), мы уже легко приходим
к цели с помощью леммы 3.
Обозначим через Г какую-нибудь определенную ком-
(	-	k\
бинацию чисел hd\\hl[^2Nn > l^'^T/ и через
ит(Г)—число решений уравнения C5) при этой
59

фиксированной комбинации Г и при некотором данном т,
причем имеются в виду решения zu удовлетворяющие
п-1
неравенствам | zt К с (п) N п с кратностями
n . Тогда, согласно заключению предыду-
щего параграфа,
rk(m)< Z {VUm (Г)},
где суммирование по Г распространяется на все допу-
допустимые комбинации Г чисел Л,- Иначе,
m-0 I Г
Но непосредственно очевидно, что суммы 2 t/m (Г) для
г
различных т ничем не отличаются друг от друга (ибо
ничем друг от друга не отличаются уравнения C5) для
различных т); поэтому можно написать
С/0(Г).
г	г
Здесь Uo(T) есть число решений уравнения
C6)
/	±
при данной комбинации Г чисел h{ \\hi\^2Nn ,
y I, причем \zt\^c(n)N n и ^ имеет крат-
25-n+l
ность Ki^.c(n)N n . Если обозначить Щ(Т) число
решений того же уравнения в предположении, что
все Zi однократны, то, очевидно,
c(«)iv » j t/;(r),
или, помня, что &о = 2п,
f/o (Г) < с (п) N2 B5-*+ Oc/J (Г),
и, следовательно,
rk (m) < с («) N2 B5-«+i) ? t/o (Г).	C7)
г
г
60

Теперь заметим следующее. Каждое Г представляет со-
собою некоторую допустимую комбинацию значений всех
ht (I ^.i^.k/2); между тем число С/?(Г) полностью оп-
определяется значениями первых k0 = 2n из этих чисел
A<;/<;2л), так как только они входят в уравнение
C6). Выбрав некоторую определенную комбинацию Г,
мы тем самым однозначно определяем и некоторую ком-
комбинацию Г' значений чисел h\9 h2, ...» Лг*. Но если, об-
обратно, выбрана определенная комбинация Г' чисел йь
Лг, ..., Лгл, то ей соответствует не одна комбинация Г,
а столько, сколькими способами можно «довыбрать»
остальные ht Bn<i^.k/2)\ так как каждое h\ должно
принадлежать отрезку (—27V1/n, -\-2Nxln), то очевидно,
что одной комбинации Г' соответствует не более чем
c(n)\N^) =c(n)N*r2
комбинаций Г. Поэтому
Здесь Щ(Г') есть число решений в целых zh
п-1
n , 1^/^2п., уравнения C6) при данной ком-
комбинации Г' чисел hh \hi\^2Nxln, 1^/<2л, и сум-
суммирование производится по всем таким комбинациям.
Поэтому из C7) получаем (помня, что k = 2n*2s+l)
rk (m) < с (п) N2 B5-«+1)^^ X U*o (Г) =
Г'
= с (п) № ^-«J 2, Щ (ГО- C8)
Наконец, ? C/J (Г') непосредственно оценивается с по-
мощью леммы 3, где надо положить / = 2/г, А = 2N п,
B = c(n)N n .Вы легко проверите сами,что все пред-
предпосылки леммы 3 при этом выполнены; применяя ее,
находим
Z Щ (ГО < с (п) (АВJп~1 = с (п) N2n~\
61

Наконец, неравенство C&) дает
г* (т)
чем и задеришю доказательство основной леммы, а вме-
ете с тем и теоремы Гильберта.
Доказательство это* прекрасное по своей элементар-
элементарности* несомненна покажется Вам очень сложным Но
Вам стоит поработать над ним 2—3 недели с бумагой
и карандашом: в руках, чтобы поллостью понять и усво-
усвоить его. Именно на преодолении такого рода трудностей
растет и развивается математик.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора ...... 	 3
Письмо на фронт (вместо предисловия) .... 5
Глава I Теорема Ван дер Вардена об арифме-
арифметических прогрессиях	7
Глава II. Гипотеза Ландау — Шнирельмана и
теорема Манна . . .1	14
Глава III. Элементарное решение проблемы Ва-
ринга	33

Александр Яковлевич Хинчин
ТРИ ЖЕМЧУЖИНЫ
ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
М„ 1979 г., 64 стр.
Редактор И. Е. Морозова
Техн. редактор Л. В. Лихачева
Корректоры Г. С. Вайсберг, Л. С. Сомова
ИБ № 11370
Сдано в набор 27.12.78. Подписано к печати 18.04.79.
Бумага 84 X 1087ss. Тип. № 1. Литературная гарнитура.
Высокая печать. Условн. печ. л. 3,36. Уч.-изд. л. 3.
Тираж 100 000 экз. Заказ № 23. Цена книги 10 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении
Соколовой «Союзполнграфпрома> при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии
н книжной торговли.
198052, Ленинград, Л 52, Измайловский проспект. 29

10 к-