А. П. КИРЬЯНОВ, С. М. КОРШУНОВ
ТЕРМОДИНАМИКА
И МОЛЕКУЛЯРНАЯ
ФИЗИКА
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ
Под редакцией проф. А. Д. Гладуна
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1977

530.1
К43
Кирьянов А. П. и Коршунов С. М.
К43 Термодинамика и молекулярная физика. Пособие
для учащихся. Под ред. проф. А. Д . Гладуна. М .,
«Просвещение», 1977,
159с. с ил.
Пособие содержит 6 заданий, состоящих из теоретической части, конт­
рольных вопросов и задач по механике жидкостей и газов, термодинамике
и молекулярной физике.
После каждого задания приведены ответы на контрольные вопросы н
решения задач.
60601 — 407
103(03) — 77
224- 77
530.1 + 530.3
(g) Издательство «Просвещение», 1977 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Книга преподавателей Московского физико-технического ин­
ститута А. П. Кирьянова и С. М. Коршунова адресована чи­
тателям, желающим углубить школьные знания по физике.
Она не является учебником в строгом смысле этого слова.
Ее педагогическая цель — стимулировать самостоятельное,
творческое изучение физики. Среди учащихся бытует мнение
о том, что физике можно научиться, усвоив ряд формул и
«набив руку» на решении соответствующих задач. Это серьез­
ное заблуждение, чреватое к тому же большими неприятно­
стями. Физика безгранична, как сама природа, и освоить
ее столь примитивным способом невозможно. К физическим
вопросам и задачам необходимо относиться как к поводу для
самостоятельного исследования. Главное при этом — научить­
ся физически мыслить, т. е. освоить стиль научного мышления
современной физики. Какие моменты здесь особенно важны?
Это прежде всего понимание роли эксперимента в физике,
умение делать правильные выводы из сопоставления теории и
эксперимента; умение выделить главное, существенное, от­
влечься от несущественного, второстепенного; понимание роли
идеализаций в физике; умение производить приближенные
вычисления; знание фундаментальных физических постоянных
и численных порядков величин, характерных для различ­
ных разделов физики.
Данная книга посвящена старым, почтенным разделам физи­
ки, которых в меньшей степени коснулось бурное развитие
современного физического знания. Но именно классичность
затрагиваемых вопросов делает книгу источником задач для
теоретических и экспериментальных исследований.
Как работать над книгой? По-видимому, целесообразен сле­
дующий порядок.
1. Изучить соответствующий раздел по школьному учеб­
нику.
2. Попытаться самостоятельно ответить на контрольные
вопросы, имеющиеся в конце соответствующего зад а­
ния книги.
3. Прочитать теоретический материал задания.
4. Вернуться к контрольным вопросам.
5. Ознакомиться с ответами на контрольные вопросы.
6. Решить самостоятельно задачи задания. При необхо­
димости проводить экспериментальные исследования.
7. Внимательно разобрать, до конца поняв, решения
задач, приведенные в книге.
Возможен, конечно, и любой другой порядок. Необходимо,
однако, помнить, что главное здесь — не количество решен­
ных задач, а глубина понимания физических явлений, кото­
рые они описывают.
д Гладун

ОТ АВТОРОВ
Пособие написано на основе заданий по механике жидкостей
н газов, термодинамике и молекулярной физике, предлагав­
шихся учащимся заочной физико-технической школы при
Московском физико-техническом институте. Оно состоит из
шести заданий, включающих теоретическую часть, контроль­
ные вопросы и задачи. После каждого задания приведены
ответы на контрольные вопросы и даны подробные решения
задач. Аналогичное пособие по механике под редакцией профес­
сора Г. В. Коренева вышло в издательстве «Просвещение» в
1972 году.
Содержание заданий не выходит за пределы школьной про­
граммы по физике. Следует, однако, подчеркнуть, что боль­
шинство предлагаемых задач и контрольных вопросов отно­
сится к категории трудных. Задания могут быть использова­
ны как учащимися IX—X классов физико-математических
школ, так и учащимися, желающими самостоятельно расши­
рить свои знания по физике.
Оба автора в той или иной мере принимали участие в состав­
лении каждого задания. При подготовке рукописи к печати
работа между авторами была распределена следующим обра­
зом: задания 1, 5 и 6 составлены А. П. Кирьяновым, задания
2,3и4 —С.М. Коршуновым.
Авторы приносят благодарность всем преподавателям кафед­
ры общей физики МФТИ, принимавшим участие в составле­
нии целого ряда задач и контрольных вопросов.

ВВЕДЕНИЕ
•-
Окружающий нас мир представляет собой совокупность мате­
риальных тел, находящихся в постоянном взаимодействии и непре­
рывном движении. Все наблюдаемые явления и процессы в при­
роде происходят по определенным законам. Изучением наиболее
фундаментальных законов природы занимается физика.
Предметом нашего рассмотрения здесь являются обычные мак­
роскопические тела, состоящие из колоссального числа мельчай­
ших частиц — атомов и молекул. Последние в отличие от макротел
называются микроскопическими телами или просто микрочасти­
цами. В конечном итоге все процессы и изменения, происходящие
с макроскопическими телами, все их свойства обусловлены движе­
нием и взаимодействием микрочастиц.
Каким законам подчиняется поведение микрочастиц? Как они
взаимодействуют друг с другом? Каким образом движение и взаимо­
действие отдельных частиц — атомов и молекул — проявляется
в свойствах макроскопических тел? Все эти и подобные вопросы
красной нитью проходят через всю историю развития физики.
Изучая поведение микрочастиц, физики сначала принимали
понятия и законы, установленные для обычных макротел. Они по­
лагали при этом, что эти понятия и законы применимы и имеют
смысл для тел сколь угодно малых размеров. Считалось, таким
образом, что для понимания явлений в микромире не требуется
никаких новых понятий и законов, кроме тех, которыми уже рас­
полагала физика на основе изучения макроскопических тел. Микро­
частицы трактовались как твердые или слегка деформируемые
шарики, поведение которых описывается механикой Ньютона.
Иначе говоря, микромир рассматривался как уменьшенная копия
макромира. Такой подход к изучению явлений природы и теории,
основанные на нем, называют классическими.
Однако необходимо помнить, что хотя механика Ньютона и
покоится на прочном фундаменте экспериментальных фактов, но
все они относятся к сравнительно медлённым движениям макро­
скопических тел. Вопрос о применимости или неприменимости
классического подхода к изучению поведения микрочастиц не м о­
жет быть решен умозрительно. Ответ на него может дать только

опыт. В частности, применение классического подхода к изучению
свойств газообразных тел продемонстрировало его плодотворность.
Но дальнейшее развитие науки открыло ряд новых фактов, ко­
торые поставили под сомнение справедливость классических пред­
ставлений. В настоящее время доказано, что применимость к л ас ­
сического подхода к явлениям микромира ограничена. Поведение
микрочастиц описывается не механикой Ньютона, а новой, так
называемой квантовой механикой. Не вникая в основания кванто­
вой механики, отметим, что она не отменяет классической физики
и ее законов, но указывает границы их применимости. Все выводы,
полученные на основе классического подхода и нашедшие надежное
экспериментальное подтверждение, остаются в силе и для кванто­
вого подхода.
В частности, оказалось, что общий характер закономерностей,
которым подчиняются макроскопические тела, состоящие из громад­
ного числа атомов и молекул, не зависит от того, какой механикой
описывается движение отдельных частиц — квантовой или кла с­
сической. Д ля нас наиболее существенно здесь то, что оба подхо­
да — и квантовый, и классический — в подавляющем большинстве
случаев в применении к макроскопическим телам дают одинаковые
результаты.
Изучение свойств макроскопических тел и процессов, проис­
ходящих с ними, проводится ниже на основе классического подхода.
Оправданием этому служит его плодотворность, простота и надеж­
ное подтверждение экспериментальными исследованиями.

Задание 1
МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
1.1. ТЕКУЧЕСТЬ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
Настоящее задание посвящено изучению поведения жидкостей
и газов под действием сил со стороны других тел. Как и все макро­
скопические тела, жидкости и газы подчиняются механике Ньютона.
Но особые свойства, присущие этим телам и отличающие их, в ча­
стности, от твердых тел, приводят к ряду новых специфических
результатов, не имеющих места для твердых тел.
С точки зрения механики жидкости и газы отличаются от твер­
дых тел своей текучестью. Так называют свойство жидкостей и
газов, состоящее в том, что слои жидкости (газа) легко смещаются
друг относительно друга под действием сколь угодно малой каса­
тельной силы, направленной вдоль плоскости соприкосновения
этих слоев. Иначе говоря, текучесть отражает неспособность жид­
костей и газов в условиях равновесия противодействовать каса­
тельным усилиям, стремящимся изменить форму этих тел. Жидкости
не обнаруживают упругости к изменению формы. Благодаря теку­
чести они не могут сохранять свою форму неизменной и принимают
форму сосуда, в котором размещаются. При этом более текучие и
подвижные жидкости, например вода или ртуть, делают это почти
мгновенно. Более вязкие и менее подвижные, например мед или
вар, заполняют сосуд очень медленно, но в конце концов растекают­
ся, принимая его форму.
Легкость, с которой растекаются жидкости, характеризуется
вязкостью, проявляющейся только при смещении слоев жидкости
относительно друг друга. В покоящейся жидкости такие смещения
отсутствуют и, следовательно, отсутствуют силы вязкого трения,
вязкого сопротивления.
1.2. ДАВЛЕНИЕ И СЖИМАЕМОСТЬ ЖИДКОСТЕЙ
Силы, действующие на макроскопические тела, условно делят
на объемные и поверхностные. Объемные силы действуют на каждую
часть массы (объема) тела. Таковой является, например, сила т я ­
жести Земли.

Поверхностные силы возникают за счет деформации соприка­
сающихся тел и действуют на поверхности соприкосновения. В жид­
костях и газах такие силы возникают на поверхности контакта их
со стенками сосуда или поверхностью других твердых тел. Дейст­
вуют они и на поверхностях раздела различных частей самой жид­
кости.
Силы давления жидкости на внешние тела, соприкасающиеся
с ней, вызваны ее деформацией. В этом они похожи на силы д а в­
ления со стороны твердых тел. Но между ними имеется и одно весьма
существенное отличие. Силы реакции при соприкосновении твер­
дых тел могут быть направлены под любым углом к поверхности
соприкасающихся тел. Силы давления жидкости при равновесии
благодаря текучести нормальны (перпендикулярны) к любой по­
верхности соприкосновения.
Сжимаемость жидкостей (способность их изменять объем под
действием сил) мала, как и у твердых тел. В этом легко убедиться,
если сжимать поршнем воду, заключенную в цилиндрическом со­
суде. Даж е огромные силы, действующие на поршень, не вызывают
его заметного смещения.
Жидкость при сжатии в цилиндре находится в напряженном
состоянии. Сила напряжения (или сила давления) одинакова в лю­
бом сечении, которым мысленно разделяются различные части
жидкости. В качестве меры напряженного состояния жидкости
используют отношение силы давления одной части жидкости на
другую к площади сечения в месте соприкосновения. Называют
эту меру давлением. В СИ давление измеряют в паскалях (1 П а =
= 1 ‘Н/м4).
Сжимаемость жидкостей определяется отношением и = — -7 • —
Vар
и имеет размерность, обратную размерности давления. В формуле
V — объем тела, ДV — изменение объема при изменении давления
на Ар.
Для водых = 5 -‘ 10-10Па-1,для спирта 7,6 •10~10Па-1 идля
ртути 3,8 • 10-11 Па-1 .
1.3. ЗАКОН ПАСКАЛЯ
Измерения показывают, что давление, создаваемое поверхност­
ными силами, в данном месте жидкости одинаково для любого на­
правления. Иначе говоря, силы давления на единичную площадку
одинаковы при любом ее положении. В этом и состоит закон
Паскаля.
Покажем, что закон Паскаля следует из двух весьма общих мо­
ментов: 1) условия равновесия жидкости и 2) текучести, т. е. от­
сутствия сопротивления жидкости касательным силам. Выделим
мысленно внутри жидкости прямоугольную трехгранную призму.
При этом, разумеется, состояние покоя этой части жидкости оста­
нется неизменным. Но равновесие обусловлено равенством нулю

результирующей
внешних
сил, действующих на приз­
му. Единственными силами*,
действующими на нее, явл я­
ются лишь силы давления
на ее грани со стороны внеш­
ней части жидкости. Пред­
положим, что давление жид­
кости различно в различных
направлениях. Тогда давле­
ние на грань с площадью
будет равно ри а давления на
грани с площадями S 2 и S 8 равны соответственно р 2 и Рл (рис. 1.1).
Силы, действующие на эти три грани, соответственно равны:
h=PiSt d= 1,2,3).
Они образуют замкнутый треугольник (условие равенства нулю
их результирующей), который подобен треугольному сечению
-*■ -*■
-*■
призмы, так как силы Д, / 2 и / 8, как показано выше, нормальны
к соответствующим граням призмы. Следовательно,
fi ___и
_
_
_
/э
hДh
где Д, / 2 и / 8 — длины соответственных сторон сечения призмы.
Так как площади граней пропорциональны сторонам сечения,
то
/1_/2__/з_
Sa
Sg
или
Pi=Р2=Рз»
т. е. в противоречии с предположением давления на все три грани
одинаковы, независимо от их ориентировки.
Закон Паскаля выражает фундаментальное свойство жидкостей
и газов. На его основе работают многие гидравлические машины,
такие, как гидравлический пресс, гидравлические рули, тормоз и
домкрат. Использование их связано с поразительным выигрышем
в силе, сопровождаемым, правда, проигрышем в перемещении.
1.4. ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ ЗЕМЛИ
В земных условиях нельзя забывать о силе тяжести. Благодаря
ее действию все тела имеют вес. Весит вода и любая другая жид­
кость, весит воздух. Наличие веса у тел связано с их деформацией,
* Предполагается, что объемные силы, обусловленные, например, сила­
ми тяжести, отсутствуют. Такое допущение правомерно, если силы деформа­
ции во много раз больше сил тяжести.

сжатием в направлении действия силы тяжести. Это сжатие о к азы ­
вается неоднородным: нижние слои сжимаются сильнее, а ве р х­
ние — слабее. И это понятно, так как нижние слои за счет своего
сжатия уравновешивают значительно большую силу тяжести,
действующую на верхнюю часть тела, чем слои, лежащие выше.
Поэтому сила упругого напряжения будет различной на разной
высоте тела. Каково это различие?
Пусть в цилиндрический сосуд сечением S налита жидкость
плотностью р, высота столба которой равна /*. Сила упругого
напряжения F у нижнего основания, численно равная весу жид­
кости в таком сосуде, уравновешивает силу тяжести столба
жидкости FT , равную рghS (g — ускорение свободного падения).
Тогда в соответствии с определением для давления р получаем вы­
ражение
Давление, создаваемое весом жидкости, называют гидростати­
ческим. Д л я слоя воды, прилегающего ко дну сосуда, оно не от­
личается от давления, создаваемого нагруженным поршнем, когда
сила давления его на этот слой равна весу рассматриваемого столба
жидкости. Другими словами, для слоя воды у дна сосуда вес вышеле­
жащего столба жидкости играет роль поверхностной силы, создаю­
щей давление, которое согласно закону Паскаля в данном месте
одинаково в любом направлении. Отсюда следует, что независимо
от формы сосуда, в котором находится жидкость, давление рА в
любой точке А жидкости складывается из давления р0, создаваемого
поверхностными силами на свободной поверхности жидкости или
у стенок сосуда, и гидростатического давления ph на глубине-/*,
т. е.
Ра= Po + Ph=Po + Pgh.
Возрастание гидростатического давления с глубиной, описы­
ваемое данной формулой, объясняет, в частности, действие сооб­
щающихся сосудов. Так называют сосуды, соединенные внизу общим
трубопроводом. Давление в трубопроводе всюду на одном и том
же уровне одинаково. Иначе равновесие жидкости в нем из-за
перепада давлений нарушается. Свободная поверхность жидкости
в сообщающихся сосудах, открытых на внешнюю атмосферу, рас­
положена на одном уровне, так как давление в трубопроводе опре­
деляется давлением столба жидкости в каждом сосуде. На этом
основана, в частности, работа уровнемеров в паровых котлах.
В закрытых от внешней атмосферы сообщающихся сосудах уровни
жидкости могут быть неодинаковыми. При этом перепады уровней
в сосудах компенсируют перепады давлений на свободных поверхно­
стях жидкости в сосудах. Это широко используется в жидкостных
U-образных манометрах, применяемых для измерения малых пере­
падов давлений.

Заполнение сообщающихся сосудов различными несмешиваю-
щимися жидкостями приводит к весьма разнообразным вариантам
во взаимном расположении жидкостей в этих сосудах. Но в любом
из этих случаев давление в трубопроводе, соединяющем сосуды,
при равновесии одинаково на одном и том же уровне. Изменение
внешних условий (например, давления на свободной поверхности)
в любом сосуде нарушает равновесие. Происходит взаимное пере­
мещение жидкостей в каждом сосуде, пока давление в трубопроводе
не установится одинаковым всюду на одном и том же уровне.
Рассматривая равновесные положения жидкостей в сообщаю­
щихся сосудах, необходимо принимать во внимание условия устой­
чивости равновесия. Из механики известно, что устойчивы те р ав­
новесные положения тел, в которых центр тяжести занимает наиниз-
шее из возможных положений. Справедливо это и для равновесия
жидкостей. Поэтому более плотные жидкости располагаются обычно
внизу, а менее плотные жидкости — выше.
1.5. ЗАКОН АРХИМЕДА
Наиболее известным следствием распределения давления жид­
кости в поле тяжести является потеря веса тел при погружении
их в жидкость. Рассмотрим для простоты рассуждений твердое
тело, имеющее форму плоского диска (рис. 1.2). На верхнее осно­
вание действует сила давления F1 = PiS, которая направлена
вниз, а на нижнее основание — сила F2 = p2S> направленная
вверх. (Здесь рх и р2 — давления у верхнего и нижнего оснований,
площадь которых S). Силы давления, действующие на боковую
поверхность тела, попарно уничтожаются. Поэтому результирую­
щая F сил давления, действующих со стороны жидкости на тело,
сводится к разности сил: F = F2— Fx = p2S — pxS = (p2— Pi)S.
Так как давление увеличивается в направлении силы тяжести,
—
то результирующая сила F направлена вверх против силы тяжести
FT . Эту результирующую силу давления жидкости, приложенную
к телу и направленную против силы тяжести, называют выталки­
вающей силой. Она определяется
формулой вида:
F= (Ра—Pi)5= РжgdS= рxgVr,
где d — толщина диска, VT= dS —
его объем, рж — плотность жидкос­
ти.
Стоящее справа произведение
есть не что иное, как ве£ жидкости
в объеме, равном объему погру­
женного тела. В этом, собственно
говоря, и состоит закон Архи­
меда: на погруженное в жид­
Рис. 1.2

кость тело действует выталкивающая сила, направленная вверх
и равная весу вытесняемой им жидкости.
Хотя выражение для выталкивающей силы получено нами для
тела определенной формы, оно справедливо в общем случае для
тела произвольной формы. Это легко показать. Напомним, что
архимедова сила представляет собой векторную сумму сил давле­
ния, действующих на тело со стороны жидкости на поверхности их
соприкосновения. Выделим мысленно внутри жидкости некоторую
часть, форма которой в точности совпадает с формой рассматривае­
мого тела. Если жидкость находится в равновесии, то, разумеется,
в равновесии находится и выделенный объем жидкости. При этом
суммарная сила давления, действующая со стороны остальной
части жидкости, равна, очевидно, силе давления, действующей
по поверхности рассматриваемого тела со стороны жидкости. Эта
сила уравновешивает силу тяжести выделенной части жидкости,
равную p*gFT, что и требовалось показать.
Выталкивающая сила действует и на тело, находящееся в воз­
духе. В этом случае она равна весу воздуха в объеме тела. В воз­
духе тело весит меньше, чем в пустоте. Потеря веса тем больше,
чем больше объем тела. Д аж е для тел малых размеров при точном
взвешивании на аналитических микровесах необходимо учитывать
архимедову силу в воздухе.
Существование выталкивающей силы позволяет строить воздуш­
ные шары-пилоты, снабженные радиоаппаратурой, аэростаты, дири­
жабли разных видов. Д л я этого только необходимо наполнять их
газом легче воздуха. Обычно используют водород и гелий.
1.6. АТМОСФЕРНОЕ ДАВЛЕНИЕ
Воздух, как и вода, обладает массой и в поле тяжести Земли
создает давление, которое называют атмосферным. Атмосферное
давление было открыто флорентийским ученым Торричелли. Он
объяснил, почему всасывающие насосы не способны поднимать воду
на высоту более 10 м, так как давление именно такого столба воды
равно давлению воздуха. Им же был изготовлен прибор для изме­
рения атмосферного давления — ртутный барометр, который ис­
пользуется с успехом и в настоящее время. Отметим, что атмос­
ферное давление на уровне.моря в спокойную погоду равно давле­
нию столбика ртути высотой 760 мм. Торричелли обнаруж ил, что
давление воздуха при подъеме уменьшается. На этом основана
работа высотомеров, устанавливаемых на летательных аппаратах.
1.7. ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ, ДВИЖУЩЕЙСЯ С УСКОРЕНИЕМ
Нередко встречаются случаи, когда жидкость, покоясь относи­
тельно сосуда, движется вместе с ним. Если при этом сосуд дви­
жется равномерно, то никаких новых вопросов не возникает. В
этом случае сосуд, как и сама Земля, представляет собой одну из

инерциальных систем отсчета. Поэтому все, что было сказано о
покоящейся жидкости, остается в силе. Но если сосуд движется
с ускорением, то ситуация меняется и возникают вопросы о форме
свободной поверхности жидкости, о распределении давления в ней.
Ограничимся частным случаем равнопеременного движения со­
суда с ускорением а в поле тяжести Земли. В таком случае любая
часть жидкости массой т движется с тем же ускорением а, что и
сосуд, под действием силы F, являющейся равнодействующей силы
давления N и силы тяжести FT = mg (рис. 1. 3). Согласно второму
закону Ньютона имеем:
N+mg—F=та.
Уравнение полезно переписать в другом виде:
У+ т[g+
=0.
Другими словами, динамическая задача о движении жидкости с
постоянным ускорением сводится к статической задаче о равнове­
сии жидкости в поле тяжести, решение которой известно. В поко­
ящейся жидкости, когда ускорение а = 0 , распределение сил д ав­
ления N и, следовательно, давление определяется полем сил тя-
жести, которое характеризуется ускорением свободного падения g.
В жидкости, движущейся с постоянным ускорением а в поле тя­
жести, распределение сил давления N, как следует из последнего
уравнения, определяется вектором суммарного ускорения £ эфф =
= g - f (—а), которое можно связать с некоторым полем сил «эф­
фективной тяжести». При этом уровни постоянного давления пред­
ставляют собой плоскости, составляющие прямой угол с вектором
суммарного ускорения § эфф, а само давление возрастает вдоль
его направления (рис. 1.4_). Напомним, что в покоящейся относи­
тельно сосуда жидкости отсутствуют какие-либо перемещения

отдельных ее слоев и в силу текучести жидкости отсутствуют ка са­
тельные силы реакции. Разумеется, рассуждения справедливы и
для ускоренного движения жидкости в свободном пространстве,
когда силы тяжести отсутствуют и ускорение свободного падения
8= 0.
Рассмотрим, например, равноускоренное движение ракеты в
свободном пространстве. В этом случае жидкость, к примеру, в
топливных баках ускоряется за счет сил реакции со стороны зад­
них стенок баков. При этом жидкость сжимается. Ясно, что ее
сжатие и величина давления в ней наибольшие у задних стенок.
Давление возрастает в направлении, противоположном ускорению,
по закону
Р=Ро+ pal,
/
где р0 — давление у передней стенки сосуда, р — плотность жид­
кости, I — расстояние от свободной поверхности до точки, где опре­
деляется давление.
При вертикальном взлете ракеты с ускорением а в поле тяжести
Земли уровни постоянного давления горизонтальны, а давление
меняется с глубиной h по закону
Р= Ро+ Р(g+ a)h.
Этот результат, очевидно, можно применить и в случае вертикаль­
ного торможения и падения ракеты.
Задача 1. 1. Покажите, что в сосуде, движущемся в поле тя ­
жести Земли с постоянным горизонтально направленным ускоре­
нием а, свободная поверхность жидкости образует с горизонтом
угол а, причем tg а = a/g.
Решение. Выделим в тонком слое у свободной поверхности
жидкости некоторую массу т (см. рис. 1.3). В условиях относитель­
ного покоя силы реакции со стороны жидкости перпендикулярны
к граням выделенной части жидкости. Результирующая этих сил N
со стороны нижней грани (боковыми силами из-за малой толщины
слоя можно пренебречь) и сила тяжести FT = mg обеспечивают
телу горизонтальное ускорение а (см. рис. 1.4). Используя второй
закон Ньютона, запишем:
та=N+FT=N+mg
или в проекциях на горизонтальную ось
та= mgtgа.
Отсюда для угла наклона а свободной поверхности с горизонтом
следует искомая связь: tg а = a/g.

Гидродинамика изучает законы движения жидкости, которая
перемещается относительно стенок сосуда. Ро ль сосудов обычно
играют различные трубопроводы: русла рек и каналов, водопровод­
ная система водоснабжения городов, газопроводы и нефтепроводы,
кровеносные сосуды нашего организма и т. п. ^
Окрасив каплей чернил или туши небольшой объем воды, можно
проследить за его движением в пространстве и описать, таким об­
разом, движение жидкости, измеряя в каждой точке траектории
окрашенной капли/ скорость и ускорение. Несколько капельниц,
расположенных поперек течения жидкости, позволяют с помощью
окрашенных струй дать общую картину распределения потока
жидкости. Если скорости окрашенных капель небольшие, то струи
движутся так, что заполняют весь трубопровод, не перемешиваясь
и не перепутываясь друг с другом. Такое течение называют лами­
нарным. Течение, для которого слои или струи перемешиваются,
является турбулентным. Ограничимся рассмотрением только л а ­
минарного течения жидкости.
В движущемся потоке в любой точке один объем жидкости сме­
няется другим. Если скорости этих сменяющих друг друга объемов
остаются постоянными во времени, то говорят о стационарном по­
токе. В этом случае удобно ввести величины, которые описывают
движение не отдельных небольших частей жидкости, а движение по­
тока в целом. Например, сечение потока, которое совпадает с се­
чением трубопровода и может меняться вдоль тока жидкости, я в ­
ляется геометрической характеристикой потока. Скорость, с кото­
рой выделенные (например, окрашиванием) капли проходят через
данное сечение потока, определяет скорость потока в этом сечении.
Инерционные свойства жидкости определяются ее плотностью
или массой единичного объема.
Для стационарного потока масса жидкости, заключенная в объе­
ме трубопровода между любыми произвольно выбранными сече­
ниями, остается постоянной во времени. Поэтому масса жидкости,
втекающая в единицу времени в этот объем через сечение
со
скоростью vlt равна массе, вытекающей из него через сечение S 2
со скоростью v2, т. е.
pi^iSj = p2v2S2.
В этом состоит закон непрерывности стационарного
потока, или закон сохранения секундного расхода массы движущей­
ся жидкости. В случае несжимаемой жидкости (вода, ртуть) плот­
ность ее в любой части потока одинакова и этот закон сводится к
более простому закону сохранения секундного расхода объема:
= v2S2.
Силовой характеристикой движущейся жидкости, мерой ее на­
пряженного состояния, как и в случае неподвижной жидкости,
является статическое давление. Определяется оно, как и в гидро-

статике, отношением силы давления одной части жидкости на дру­
гую к площади их соприкосновения, когда скорость их относитель­
ного движения равна нулю. Понятно, что оно может быть измерено
манометром, скорость которого совпадает со скоростью потока.
Однако такой способ измерения давления в потоке имеет лишь прин­
ципиальное значение. Практически осуществить его слишком слож ­
но. На практике статическое давление измеряют с помощью зонда.
Так называют манометрическую трубку, соединенную с узким
отверстием, проделанным в , стенке трубопровода. Высота столба
жидкости в этой трубке принимается за меру статического дав­
ления. С помощью метода окрашенных струй можно убедиться, что
узкие отверстия, проделанные в стенках трубопроводов для под­
ключения зондов, практически не влияют на картину потока в це­
лом. Использовать неподвижный манометр, помещая его в поток,
нельзя, так как любой предмет, помещенный в поток, в том числе
и манометр, искажает первоначальную картину течения жид­
кости.
Опыт показывает, что статическое давление в движущейся жид­
кости больше там, где скорость потока меньше, и меньше там, где
скорость потока больше. Этот закон известен как закон Бер­
нулли.
Из закона непрерывности потока следует, что там, где сечение
потока уменьшается, его скорость увеличивается. Это значит,
что поток при йереходе из широкого канала в узкий ускоряется,
т. е. на частицы жидкости, переходящие из широкого кан ала в у з­
кий, действует сила. Что это за сила? Единственной силой, дейст­
вующей на выделенный малый объем жидкости, окруженный дру­
гими ее частями, может быть только разность сил давления со сто­
роны узкого и широкого каналов трубопровода. Следовательно, в
широком участке трубопровода давление должно быть больше, чем
в узком участке.
Применение закона сохранения энергии к потоку движущейся
жидкости позволяет получить уравнение, выражающее закон Б ер­
нулли. Выделим некоторый объем жидкости, заключенный между
сечением А В в широкой части трубы и сечением CD в узкой части
трубы (рис. 1.5). Пусть сечение, давление и скорость потока в ши­
рокой части равны соответственно S lt рх и vv а в узкой части — S 2,
р 2 и Под действием результирующей сил давления в широкой и
узкой частях трубы выделенный объем жидкости за некоторое ма­
лое время t сдвинется вправо, в сторону узкого канала, и займет
часть трубы, ограниченную сечениями А хВг и CXDV Работа А , со­
вершаемая при этом силами давления, равна:
А = Fxlx F2/2—PiSjVjt —
За счет этой работы увеличивается кинетическая энергия. При этом
энергия объема жидкости, заключенного между сечениями А ХВЛ и
CD, выделенного на рисунке 1.5 двойной штриховкой, остается

неизменной. Увеличение кине­
тической энергии вытекающей
жидкости
Д£к=|рК(1»|-^) =
= PiSftt— p2S2v2t.
Учитывая согласно закону не­
прерывности, что объем V сох­
раняется:
V = SjvJ = S2v2t,
ВS,
АА,
Рис. 1.5
нетрудно получить закон Бернулли в окончательном виде:
Рполное= Pi+^РУ,= Ра+ JР°1=Р+\ Р^2=Const-
Слагаемое -ipo2, имеющее размерность давления, представляет
собой кинетическую энергию потока в единичном объеме жид­
кости. Называется оно динамическим давлением. Таким образом,
давление следует понимать как энергию единичного объема или
как (объемную) плотность энергии.
В таком случае статическое давление р представляет собой
плотность потенциальной энергии объемного сжатия жидкости.
Полное давление, определяемое суммой статического и динамиче­
ского давлений, является по существу плотностью механической
энергии потока жидкости, которая согласно закону Бернулли сох­
раняется для потока жидкости. Движение жидкости в поле тяжести
естественным образом учитывается в законе Бернулли членом рgh
для объемной плотности потенциальной энергии в поле тяжести:
^полное = Р + Jpv* + pgh = const.
Использование законов сохранения массы, энергии и импульса
потока оказывается полезным при решении задач.
Задача 1. 2. Пользуясь законом сохранения энергии, покажи­
те, что скорость v истечения жидкости из узкого отверстия в дне
сосуда равна J / 2gft, где h — высота столба жидкости.
Решение. Согласно закону сохранения энергии кинетиче­
ская энергия вытекающей жидкости массой т равна потенциаль­
ной энергии верхнего слоя жидкости той же массы, т. е.
imv2=*mgh иv=У2gh,
что и требовалось доказать.
Заметим, что при выводе этого соотношения использован закон
сохранения массы (масса ве р м ^ г о слоя равна массе вытекающего
объема) и принято во вн и м ан и е/1й?)*,а11£ргия остальной части жид­
кости остается неизменной.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Стакан с гладкими стенками наполнен гладкими шариками,
которые сжимают поршнем. Отличаются ли силы давления ш ари­
ков на единичную площадку дна и боковой стенки вблизи дна?
2. Надувной круг легко удерживает лежащего на нем челове-j
ка. Почему же он нередко лопается, если на него встать ногами?
3 . Легкий стержень висит на нити. К нему подвешивают два
сплошных тела из одного материала так, что стержень располагает­
ся горизонтально. Нарушится ли равновесие, если тела погрузить
в воду?
4. В ведре с водой плавает кусок льда. Изменится ли глубина
его погружения, если опускать ведро вниз с ускорением a < g?
5. Почему тело может не подняться с глинистого дна водоема,
если в обычном состоянии оно плавает на поверхности воды?
6. Доска плавает в воде широкой гранью. Почему?
7. Н а дне сосуда с жидкостью лежит тело, плотность которого
чуть больше плотности жидкости. Можно ли заставить тело подни­
маться вверх, повышая давление в жидкости?
8. Правильно ли выполнен рисунок 1.6?
9. Четырехугольная эбонитовая ванночка наполовину заполне­
на водой. Если прострелить ее так, что пуля проходит выше воды,
то в стенках ванночки останутся дырочки. Но если прострелить
ванночку так, что пуля проходит в толще воды, то посудина р а з­
летается вдребезги. Почему?
10. В аквариуме прямоугольной формы, наполненном водой,
плавает тело. Можно ли определить его массу без взвешивания?
11. Можно ли в невесомости пользоваться гидростатическим
зондом для измерения статического давления в потоке жидкости?
12. Можно ли выдуть из воронки вложенный бумажный фильтр,
продувая воздух через ее узкий конец?
13. Покажите, что состояние ровной поверхности моря, когда
над ней дует равномерно ветер,
является неустойчивым: случай­
но появившиеся на поверхнос­
ти возмущения — впадины и
гребни — нарастают.
14.
Вентилятор прогоняет
воздух через отверстие в стене.
Во сколько раз надо увеличить
его мощность, чтобы вдвое уве­
личить приток воздуха в поме­
щение?
ЗАДАЧИ
1.
Какова будет высота h
-
столбика ртути в ртутном баро­
метре, помещенном в кабине лиф­
та, опускающегося вниз с уско-
Рис. 1.6

3, //////////////М М /М
~
~
-----
—
"
--------
S2 '/////////у
рением а = 2,5 м/с2, если давление воздуха равно р0 = 750 мм
рт. ст.?
2. Кубик льда плавает в воде. Поверх нее доливают керосин
вровень с верхней гранью кубика. Какая часть кубика находится
в воде? Плотность льда 0,9 г/см3, керосина 0,8 г/см3.
3. Пробковый шарик (плотность пробки 0,25 г/см3) удерживает­
ся в воде закрепленной на дне сосуда легкой пружиной. На сколько
растянута при этом пружина, если подвешенный в воздухе шарик
растягивает ее на 1 см? Массой пружины пренебречь.
4. В двух вертикально расположенных цилиндрах, сечения ко­
торых
и S 2, находятся два невесомых поршня, соединённых тон­
кой проволокой длиной / (рис. 1.7). Найдите силу натяжения про­
волоки, если пространство между поршнями заполнено водой.
Трение благодаря смазке водой отсутствует. Концы сосудов откры­
ты в атмосферу.
5. В широкий сосуд льется вода со скоростью 0,2 л/с. Каким
должен быть диаметр узкого отверстия в дне сосуда, чтобы уровень
воды держался в нем на постоянной отметке, расположенной на
высоте к = 8,0 см?
6. В дне бака высотой 50 см, заполненного водой, имеется
круглое отверстие площадью 1 см2, которое заметно меньше сечения
бака. Если открыть отверстие, то из него начинает вытекать струя
воды, падающая вниз. Определите площадь сечения струи на рас­
стоянии от дна сосуда, равном 20 см.
7. Цилиндр диаметром D (рис. 1.8) расположен горизонтально
и заполнен жидкостью с плотностью р. С какой скоростью переме­
щается поршень, если на него действует сила F, а из отверстия
в дне цилиндра вытекает струя диаметром d? Трением пренебречь.
8 . Два. вертикальных цилиндрических сообщающихся сосуда
заполнены водой и закрыты поршнями, имеющими массы
= 1кг
и М 2 = 2 кг. В положении равновесия первый поршень располо­
жен выше второго на h = 10 см. Когда на первый поршень поме­
стили гирю массой т = 2 кг, поршни в равновесии оказались на
одной высоте. Как расположатся поршни, если гирю переложить
на второй поршень?

9.
Легкий полиэтиленовый бачок наполнен ртутью объемом
9 см3 и установлен на тележке массой 109 г на высоте 10 см от по­
верхности пола. Сливная трубка сечением 1 см2 заканчивается гори­
зонтальным участком длиной 10 см, расположенным у самой по­
верхности пола. Кран в сливной трубке открывают и ртуть выли­
вается. Пренебрегая трением, найдите максимальную скорость те ­
лежки, когда вся ртуть выльется.
Ответы на контрольные вопросы
1. Давления одинаковы, так как система, состоящая из глад­
ких шариков (нет трения), ведет себя как обычная жидкость.
2. Вес человека уравновешивается силой давления воздуха, рав­
ной произведению его давления на площадь опоры. И з-за малой
площади ступнёй развивается большое давление и круг лопается
в местах с менее прочной оболочкой.
3. Равновесие не нарушится. Выталкивающая сила, действую­
щая со стороны одной и той же жидкости на сплошные тела одина­
ковой плотности, пропорциональна, как и сила тяжести, объему
тел и направлена по вертикали, проходящей через их центр
тяжести.
4. Глубина погружения льда при опускании вниз с ускорением
а < g останется такой же, как и при покое. Действительно, движе­
ние куска льда, плавающего в воде, описывается уравнением
тла= тлц—N.
(1)
Здесь тл — масса льда, N — результирующая сила давления
воды на кусок льда. Ее мы находим, используя следующее рассуж­
дение. Выделим мысленно вблизи поверхности жидкости некоторую
часть, форма которой в точности повторяет форму погруженной
в воду части льда. Если жидкость движется с ускорением а , то,
разумеется, с таким же ускорением движется и выделенный объем
жидкости. Суммарная сила давления N, действующая на нее со
стороны остальной жидкости, равна силе давления, действующей по
поверхности погруженной части льда со стороны жидкости/ Эта
сила вместе с силой тяжести, действующей на выделенную часть
жидкости, обеспечивает ей ускорение а согласно второму закону
Ньютона:
mBa=mBg—N,
(2)
где тв — масса воды в объеме погруженной части льда.
Сравнивая соотношения (1) и (2), находим:
тл= тв или рлУл= рвКв
(здесь рл и р„ — соответственно плотности льда и воды, V„ и VB—
объемы всего куска льда и его части, находящейся в воде).
Такие ж е равенства имеют место и в случае, когда ведро движет­
ся без ускорения.

5. Тело прилипает к глинистому дну водоема, и под него не под­
текает вода. Сила давления воды направлена вниз и прижимает
тело.
6 . Положения доски в воде — строго вертикальное и горизон­
тальное — являются равновесными. В обоих случаях архимедова
сила и сила тяжести уравновешивают друг друга и проходят по
общей вертикали-.
Поэтому уравновешены и моменты этих сил. Но
первое положение неустойчивое. При малейшем отклонении от
вертикали момент архимедовой силы относительно центра масс
доски увеличивает отклонение и доска опрокидывается в устойчи­
вое горизонтальное положение.
7. В принципе можно, но для этого необходимы весьма боль­
шие давления. Жидкости сжимаются сильнее, чем твердые тела,
так как их сжимаемость обычно на 1—2 порядка больше. При уве­
личении давления объем тела практически не меняется, а плотность
жидкости увеличивается. Выталкивающая сила при этом способна
уравновесить и превзойти силу тяжести тела.
8. Рисунок 1.6 выполнен правильно. Действительно, давление
pMg / /M столба масла должно равняться сумме давлений -i -pKgHM
столба керосина и-^ -рв£ # м столба воды. Откуда для плотностей
жидкостей получим соотношение
в согласии с данными на рисунке.
9. Дело в том, что для проникновения пули в воду она должна
либо сжать ее на величину своего объема, либо вытеснить воду
наверх. Д л я вытеснения недостаточно времени из-за инерции жид­
кости и быстрого пролета пули. Поэтому происходит сжатие и в
жидкости развиваются большие давления, которые и разрывают
стенки ванночки.
10. Д а, можно. Достаточно найти объем воды, вытесняемой те­
лом, измерив сечение аквариума и опускание уровня воды в нем
при удалении плавающего тела.
11. Нельзя. Статическое давление потока жидкости, измеряе­
мое зондом, уравновешивается гидростатическим давлением, кото­
рое в невесомости отсутствует.
12. Нельзя. Статическое давление в узком зазоре между фильт­
ром и воронкой при продувании воздуха согласно закону Бернул­
ли меньше атмосферного. Давление по другую сторону фильтра
равно атмосферному. Поэтому суммарная сила давления прижимает
фильтр к стенкам воронки.
13. Возможной причиной неустойчивости является следующее
явление. Появившиеся впадины (гребни) увеличивают (уменьшают)
сечение потока воздуха. Поскольку расход массы воздуха постоянен,
то скорость потока во впадинах уменьшается, а около гребней

увеличивается. Согласно закону Бернулли статическое давление во
впадинах увеличивается, а около гребней уменьшается. Возникшая
разность статических давлений компенсируется гидростатическим
давлением за счет дальнейшего углубления впадин и подъема
гребней.
14. За счет мощности Р , расходуемой вентилятором за время
его работы t,• сообщается кинетическая энергия ^ mv2 массе газа
т = рSvty прогоняемой за время t через отверстие сечением 5 (р —
плотность газа), а также совершается работа против сил вязкого
трения, действующих на струю газа в отверстии стенки, и против
трения в движущихся частях вентилятора. Если пренебречь рабо­
той против сил трения, получим, что мощность вентилятора про­
порциональна v3: Р = - P v3S. Откуда следует, что увеличение
притока воздуха вдвое требует увеличения мощности вентилятора
не меньше чем в 8 раз.
Решения задач
1. Вес столбика ртути высотой h уравновешивает силу давления
воздуха:
p (g— a)hS = pgHQS
(здесь р — плотность ртути, 5 — площадь сечения трубки баро­
метра, g — ускорение свободного падения, а — ускорение лифта,
И0 = 750 мм).
Отсюда
h=Н0—-— =4Я0,h=1000ммрт.ст.
g—а 3
2. Пусть / — сторона кубика, х — часть высоты кубика, нахо­
дящаяся в воде, рл, рк и рв — соответственно плотности льда,
керосина и воды.
Сила давления, действующая на нижнюю грань кубика, уравно­
вешивает силу притяжения Земли. (Действия сил атмосферного
давления взаимно компенсируются.)
р.^3 = [Рк(I~X)+ рвх]Pg.
Отсюда
-
= Рл-~
Рк,
-
= 0,5.
'
Рв—Р« I
т. е. вода находится на половине высоты кубика.
3. Для шарика, в затопленном состоянии сила тяжести F t и
натяжение пружины F'nt направленные вниз, уравновешиваются
архимедовой силой f A, равной весу воды в объеме шарика, т. е .
FТ+Р'и=Fa, F'„= fа- F-,= (Р.-
Рт) Vxg.

где рт и рв — плотность вещест­
ва тела и воды, Vr — объем
тела.
Шарик,
подвешенный
на
пружине в воздухе, удерживает­
ся натяжением
пружины F"
(архимедовой силой в воздухе
пренебрегаем):
г н= Рт= ртУте.
Поскольку натяжение пружины
Fu пропорционально ее растяжению х, то получаем:
Х1_Рн_РвРт_2
*2
F"H
Рт
т. е. пружина в воде растянута на 3 см.
4. Силы, действующие на каждый поршень, показаны на рисун­
ке 1.9. Здесь N1 = p0Si и iV2 = Po<S2 — силы атмосферного давле­
ния соответственно на верхний и нижний поршни; Fx = p1S1 и
F2 = p 2S 2 — силы давления жидкости на эти поршни, причем
Pi — давление у верхнего поршня, р2 = Pi + рgl — давление у
нижнего поршня (/ — длина проволоки, р — плотность воды);
F'B = FB = FH— натяжение проволоки.
Запишем условие равновесия для каждого поршня:
Ро51+ ^н = Pl^V
P0S2 +
= (Pi+ Р&О^2*
Поделив соответственно каждое из уравнений на площади сече­
ний поршней, получим:
Ро+I2-= PiиРо+
= Pi+pgl.
Ь1
*^2
Вычитая из второго уравнения первое, находим:
—
—
или Fn= pgl S*S* •
Оа Oj
О!—Оа
5. Расход жидкости Q= Sv= — cFv,
4
где v = У 2gh — скорость истечения и d — диаметр отверстия.
Отсюда
6. По мере вытекания струи ее сечение уменьшается, так как
увеличивается скорость при уменьшении потенциальной энергии.
Принимая во внимание непрерывность струи и закон Бернулли,

находим:
Zghj
2gfa+hj= Si
К
^1+
S2 = 0,84 см2.
7.
Работа, совершаемая силой F при перемещении поршня со
скоростью vt за время /, идет на увеличение кинетической энергии
массы жидкости, вытекающей из цилиндра, т. е.
Но
т=рS^t и5,о, = S2v2
(здесь 5 , и 5 2 — сечения отверстия и цилиндра, о, и v2 — скорости
потока в этих сечениях).
Отсюда имеем:
или
Fcl-1 pS,0,M[(f)’- ']
=f
pD%i'[(т)‘ -
']•
*>i
/ 8Fd*
=2d*_-
Г
npD*(D* — d*)
D\
2F
np(D*— a4)
8.
Очевидно, что первый поршень расположится еще выше на
высоте hx. Условия равновесия поршней в каждом случае описы­
ваются следующими уравнениями:
Mlg
+ P8h=
^
+Рghx=
M^g _+т
~sT~S,
М2-\- т
s ..,
*'
g.
Отсюда, исключая 5 , и 5 2, находим:
.
,
m
Л). + УИ»
.
ос
hr=h—-—^
Л,
= 25см.
Л1,
9.
Объем сливной трубки больше объема ртути. Поэтому послед­
няя некоторое время будет как одно целое двигаться по трубке со
скоростью v, приобретенной при вытекании из бака с высоты Л.
По закону сохранения импульса скорость тележки ит удовлетворяет
условию
М& = mHgv (mHg = pHgУ—масса ртути).
Согласно закону сохранения энергии
тнё *
=
gh.
Отсюда, исключая скорость v, находим скорость тележки vT:
vT
\
2mHegh
1,1 М/С.

Задание 2
ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
2.1. ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Физические процессы, протекающие в телах при их нагревании
или охлаждении, принято называть тепловыми явлениями. Истори­
чески сложилось так, что тепловые явления в физике изучаются
с двух точек зрения: термодинамической и молекулярно-кинетиче­
ской. Они не противоречат, а взаимно дополняют друг друга.
Уже в Древней Греции люди пытались объяснить природу тепло­
го и холодного, наделяя каждое тело определенным количеством
некоей субстанции (вещества), которую они называли «огнем». Боль­
ше всего «огня» при этом, по их воззрениям, находилось в пламени,
меньше всего — во льду. Нагревание холодного тела горячим те­
лом, например, они пытались объяснить переходом «огня» от теп­
лого предмета к холодному. Представления древних греков о сущ­
ности теплого и холодного были возрождены наукой средних веков
в известной гипотезе о теплороде, или флогистоне. Отголосок этих
воззрений сохранился в изменившемся виде в физике до сих пор в
той терминологии, которую она использует при объяснении тепло­
вых явлений, т. е. в словах и выражениях, хотя смысл слов стал
иным.
В Древней Греции ж е впервые люди пытались как-то представить
себе эту субстанцию ощутимо, объяснить какими-то понятными им
зрительными образами. Так возникли впервые молекулярно-кине­
тические представления о теплоте и строении тела. Однако зачастую
представления той поры (да и более позднего времени) не могли
правильно объяснить наблюдаемые на практике явления, не говоря
уже о том, что они не позволяли дать никаких количественных оце­
нок. Поэтому естественно было стремление научиться, исходя из
опытных фактов, делать количественные расчеты наблюдаемых
величин, не вникая в механизм самого явления. Необходимость
подобного рода расчетов диктовалась также потребностями разви­
тия промышленного производства, основой прогресса которого
к концу XVII века стали паровые машины. Это и привело к созда­
нию в начале X IX столетия науки, получившей название термоди­
намики.

В основе термодинамики лежат общие принципы, или, как их н а­
зывают по-другому, начала, являющиеся обобщением опытных
данных. Теплота при этом рассматривается как род некоторого
внутреннего движения, но что это за движение, какова его природа,
термодинамика не конкретизирует.
Это неумение термодинамики вскрыть природу теплоты застави­
ло физиков XIX века попытаться построить молекулярно-кинетиче­
скую теорию так, чтобы она могла давать правильные не только к а ­
чественные, но и количественные ответы.
Молекулярная физика исходит из представления об атомно­
молекулярном строении вещества и рассматривает теплоту как не­
прерывное беспорядочное движение атомов и молекул. М олекуляр­
но-кинетическая теория в принципе позволяет дать объяснение
любому тепловому процессу или явлению. Однако для количествен­
ного описания явлений молекулярно-кинетической теории прихо­
дится, как правило, прибегать к упрощенным идеализированным
моделям, которые не полностью, а лишь частично и весьма схема­
тично передают свойства реальных тел и процессов.
Применение моделей при изучении тепловых процессов необхо­
димо не только из-за недостаточности наших знаний о структуре
реальных тел, не только для упрощения и схематизаций явлений,
без которых, как отмечено выше, количественное описание было бы
невозможно. Но это необходимо и в силу колоссального числа
частиц, составляющих макроскопические тела, когда индивидуальные
особенности в движении каждой отдельной частицы сказываются
весьма незначительно на общей картине движения всех частиц в
целом. В результате появляется объективная возможность ограни­
читься приближенным описанием их движения. Эта возможность и
объясняет тот огромный успех идеализированных моделей при опи­
сании свойств реальных тел, когда даже весьма упрощенные и гру­
бые модели дают в ряде случаев поразительное согласие с тем,
что наблюдается на опыте.
Большинство вопросов, затронутых в разделе «Тепловые явл е ­
ния», изучается с термодинамической точки зрения, при этом,
однако, привлекаются также и молекулярно-кинетические пред­
ставления.
2.2. ТЕМПЕРАТУРА И ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ
При изучении тепловых явлений вводится новая физическая
величина — температура. Понятие температуры вошло в физику
из бытовых представлений теплого и холодного посредством нашего
чувственного восприятия степени нагретости тел. Однако наши
ощущения неоднозначны и зависят от состояния человека и ок ру­
жающей среды. Так, например, в одной и той же комнате метал­
лические предметы кажутся всегда более холодными, чем деревян­
ные и пластмассовые. Проделайте такой опыт. Возьмите три сосу­
да с горячей, теплой и холодной водой. Опустите одну руку в хо-

Лодную, а другую в горячую воду. Затем через некоторое время
Опустите обе эти руки в сосуд с теплой водой. Ваши руки явно по­
чувствуют разную степень нагретости теплой воды. Той руке,
которая была в холодной воде, температура будет казаться выше,
Чем той руке, которая была в сосуде с горячей водой.
В основу количественного определения температуры тела и
построения температурной шкалы кладутся поэтому объективные
физические явления и факты, свободные от субъективизма чувст­
венных восприятий.
В физике к понятию температуры приходят через понятие теп­
лового равновесия. Пусть два тела, например горячая и холодная
Вода, имеют разную температуру. Если теперь эти два тела при-
Вести в соприкосновение, то опыт показывает, что одно тело при
этом будет нагреваться, а другое — охлаждаться, пока не пре­
кратятся всякие видимые изменения. Тогда говорят, что эти два
тела находятся в тепловом равновесии и имеют одинаковые темпера­
туры. Тепловое равновесие, как показывает опыт, устанавливается
не только в случае соприкосновения двух, но и в случае соприкос­
новения нескольких тел.
Рассмотрим еще пример. Бросим в стакан с водой кусок саха ­
ра. Начальное состояние системы будет при этом неравновесным.
Начнется растворение сахара. По истечении некоторого времени
процесс растворения прекратится. В результате или весь сахар рас­
творится и получится однородный раствор, или получится неодно­
родная система, состоящая из куска сахара и окружающего его
насыщенного раствора. В обоих случаях состояние будет равно­
весным. Это не есть состояние абсолютного покоя, в котором пре­
кращаются все без исключения процессы. С молекулярной точки
зрения происходит непрерывный обмен молекулами сахара между
раствором и куском. Это означает, что непрерывно идет процесс
растворения куска сахара и выпадения сахара из раствора. Однако
в состоянии теплового равновесия эти два процесса в среднем как
бы компенсируют друг друга: среднее число растворяющихся моле­
кул равно среднему числу молекул, выпадающих из раствора в оса­
док. Тепловое равновесие, таким образом, можно характеризовать
как динамическое равновесие, когда процессы молекулярного
масштаба идут весьма интенсивно, но все макроскопические про­
цессы прекращаются.
2.3. ТЕРМОСКОП И ТЕРМОМЕТР
Дл я сравнения температур двух тел А и В нет необходимости
обязательно приводить их в тепловой контакт друг с другом. Для
этого обычно пользуются третьим телом С. Тело С при этом по­
следовательно приводят в контакт с телами А и В ч Опыт показы­
вает, что если тело С находится порознь в тепловом равновесии
с телами Л и В, то тела Л и В, приведенные в тепловой контакт,
также будут находиться в тепловом равновесии друг с другом.

Другими словами, если температура тела С равна температурам
тел Л и В, то тела А и В имеют одинаковую температуру.
Основное требование, предъявляемое к телу С, — способность
изменять свою температуру в достаточно широком интервале, не
меняя при этом температуру тел, находящихся с ним в тепловом
контакте. Это требование накладывает определенные условия на
сравнительные размеры тел Л, В и С. Тело С должно быть мало по
сравнению с телами Л и В, чтобы, изменяя заметно свою темпера­
туру, не менять температуру тел Л и В. Такое малое тело С, служа­
щее для сравнения температур нескольких тел между собой, назы­
вают термоскопом.
Как же судят об изменении температуры самого термоскопа?
Опыт показывает, что многие физические свойства тел зависят
от температуры. Например, при нагревании объем тела увеличи­
вается. Электрическое сопротивление с повышением температуры
у металлов возрастает, а у полупроводников уменьшается. В герме­
тически закрытом сосуде давление пара растет с увеличением тем­
пературы и т. д.
Все такие явления могут быть использованы в качестве указате­
лей изменения температуры термоскопа. Необходимо только усло­
виться, каким образом приписывать температуре определенные числа,
т. е. ввести температурную шкалу.
Делают это следующим образом. Выбирают какую-нибудь опре­
деленную физическую характеристику термоскопа, монотонно ме­
няющуюся с температурой, например объем. С помощью термо­
скопа устанавливают ряд постоянных, хорошо воспроизводимых
температурных точек. Такими точками являются температуры пере­
хода вещества из твердого состояния в жидкое и из жидкого
состояния в газообразное при одних и тех же внешних условиях, н а­
пример температуры плавления льда и кипения воды. Эти темпера­
туры принято называть реперными точками. Затем термоскоп при­
водят последовательно в тепловой контакт с жидкостью при тем­
пературе плавления и кипения жидкости и измеряют выбранную
физическую величину (объем) при этих температурах. После этого
находят разность значений выбранной физической величины в ре­
перных точках и делят ее на определенное произвольное число ча­
стей, называемых градусами.
Обозначим значение измеряемой физической величины (на­
пример, объема) термоскопа в реперных точках через Vx и К2, а
интервал разделим на N -частей, тогда величина градуса будет
равна
Уг-Ущ
N
и любая температура t внутри интервала определится выражением

где Vt — значение физической величины (объема) термоскопа при
температуре t.
Следует обратить внимание на то, что приведенное соотношение
не может быть доказательством того, что физическая величина
(в нашем примере объем) линейно зависит от температуры тела.
Это есть определение температурной шкалы, принимаемое по до­
говоренности комиссией авторитетных исследователей. Целесообраз­
ность такого определения проверяется практикой. Но почему
принимается линейный закон, а не какой-либо другой? Здесь решаю­
щим аргументом является простота построения шкалы и проверен­
ные на опыте представления о том, что при небольшом изменении
одного параметра тела часто наблюдается линейное изменение
другого связанного с ним параметра.
Выбор числового значения температуры реперных точек, а также
значения градуса вполне произволен. В настоящее время наиболее
распространены температурные шкалы Цельсия (С), Реомюра (R) и
Фаренгейта (F). В качестве реперных точек в них взяты темпера­
туры плавления льда и кипения воды. Температурный интервал
разделен в этих шкалах соответственно на 100, 80 и 180 частей.
Температура плавления льда по Цельсию и Реомюру принята за 0
градусов, а по Фаренгейту — за 32 градуса. Температуры кипе­
ния воды соответственно равны 100 °С, 8 0 ° R h 212°F . Интересно
отметить, что сам Цельсий, например, з а 0° принимал температуру
кипения воды, а за 100° — температуру плавления льда.
В физике широко используется температурная шкала по Кель­
вину (К). Температурный интервал между точками плавления льда
и кипения воды разделен в ней на 100 частей, а температура плав­
ления льда и кипения воды равна соответственно 273,15 к и 373,15 К.
Если какая-либо физическая характеристика тела оказывается
прямо пропорциональной температуре, то для построения темпера­
турной шкалы достаточно одной реперной точки. Например, давле­
ние идеальных газов при постоянном объеме оказывается пропор­
циональным температуре по шкале Кельвина. Это свойство газов
широко используется для создания эталонных термометров. В ка­
честве реперной точки принято брать так называемую тройную
точку воды — точку одновременного существования трех фаз воды —
твердой, жидкой и газообразной. Эта точка обладает лучшей вос­
производимостью, чем нормальные точки плавления льда и кипе­
ния воды. Ее температура по шкале Кельвина 273,16 К.
2.4. ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ ТВЕРДЫХ И ЖИДКИХ ТЕЛ
Опыт показывает, что объем большинства жидких и твердых
тел при нагревании увеличивается. Исключение составляет вода в
интервале от 0 до 4 °С. Количественно тепловое расширение харак­
теризуется коэффициентами линейного и объемного расшире­
ния.

Пусть тело длиной / при изменении температуры на Д^ изме­
няет свою длину на А/. Коэффициент линейного расширения а оп­
ределяется соотношением
а=
_
1
I
Д1_
Л/’
(2. 1)
т. е. коэффициент линейного расширения равен относительному из­
менению длины при изменении температуры на 1 °С.
Аналогично коэффициент объемного расширения р определяется
выражением
о_1ДУ
( 2.2)
где Д V — изменение объема V при изменении температуры на At.
Коэффициент объемного расширения равен относительному изме­
нению объема при изменении температуры на 1 °С.
Коэффициенты линейного и объемного расширения, вообще
говоря, зависят от температуры. Однако при температурах поряд­
ка нескольких сотен градусов Кельвина и выше коэффициенты теп­
лового расширения остаются практически постоянными, если ин­
тервал изменения температур At небольшой. При низких температу­
рах (меньших 200 К) коэффициенты теплового расширения умень­
шаются с понижением температуры. В дальнейшем будем считать,
что коэффициенты а и р от температуры не зависят.
Зная величину коэффициентов теплового расширения аир,
можно найти длину 12 или объем V2 тела при температуре t2y если
известны длина
или объем Vx при температуре tx. Действительно,
пользуясь соотношением (2 . 1), находим:
Д/= /2—
= a/jAZ = alt (Z2— Zj),
откуда
/2 = Z1 (l+aAZ)=/1 [l+a(Z2 - Z 1)].
(2.3)
Аналогично, используя соотношение (2 .2), получаем:
Уг= ^ (1+РАО=Vx[1+ Р(Z2—Zj)].
(2.4)
Подчеркнем еще раз, что интервал температур должен удовлет­
ворять условию ДТ/Т <£ 1, где Г, 7 \, Т 2 — температуры одного
порядка по шкале Кельвина.
Линейные коэффициенты теплового расширения твердых тел
для большинства веществ составляют 10"6— 10“ в °С~ 1 и, вообще
говоря, даже у одного и того же вещества могут быть различными
в разных направлениях, т. е. коэффициент линейного расширения
длины может быть не равен коэффициенту линейного расширения
высоты или ширины. Только в изотропных телах, свойства кото­
рых не зависят от направления, коэффициенты линейного расши­
рения во всех направлениях одинаковы. Для таких тел имеется
простая связь между коэффициентами линейного и объемного рас­
ширения:
Р=За.
(2.5)

Эту связь легко установить, рассматривая расширение кубика
со стороной /0. Действительно, при нагревании кубика на At гра­
дусов его стороны увеличатся и станут равными I ~ l0 (1 - f a At),
а объем V=I3= (1+аД/)3=l\[1+ЗаД/+ За2(Д*)2+
+ а 3 (А/)3].
Учитывая, что V„ = § , и пренебрегая малыми членами в сумме,
содержащими а 2 и а 3, получаем соотношение
V=V0(1+ ЗаДО-
Сравнивая его с соотношением (2.4), находим р = За.
2.5. ЗАВИСИМОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
Способность вещества проводить электрический ток характе­
ризуется его удельным сопротивлением, которое определяется хи­
мической природой вещества и условиями, в частности температу­
рой, при которой вещество находится. Д л я большинства металлов
удельное сопротивление растет с температурой приблизительно
по линейному закону:
Р= р0(1+ «0.
(2.6)
где ро — удельное сопротивление при 0 °С, t — температура по
шкале Цельсия, а — температурный коэффициент сопротивления,
численно равный примерно V273.
При низких температурах порядка 1 — 10К наблюдается от­
ступление от этой закономерности. Однако для температур порядка
100 К и выше линейная зависимость удельного сопротивления от
температуры выполняется с большой степенью точности.
Так как электрическое сопротивление проводника R =
—
5
(здесь / — длина, 5 — поперечное сечение проводника), а коэффи­
циент линейного расширения примерно в несколько сотен раз
меньше температурного коэффициента сопротивления а , зависи­
мость электрического сопротивления R от температуры оказывается
также линейной:
R=RQ(l+at)J
(2.7)
где R 0 — сопротивление проводника при 0 °С.
Зависимость электрического сопротивления от температуры
положена в основу действия термометров сопротивления. Такой
термометр представляет собой металлическую (обычно платиновую)
проволочку, намотанную на фарфоровый или слюдяной каркас.
Проградуированный по постоянным температурным точкам термо­
метр сопротивления позволяет измерять с точностью до нескольких
сотых градуса как низкие, так и высокие температуры.

Существует много способов изменить температуру тела. В одном
из них температуру меняют, нагревая тело в пламени сгорающего
топлива. При этом говорят, что теплота, выделяющаяся при сгора­
нии топлива, пошла на нагревание тела. Такая терминология,
как уже говорилось, вошла в физику, когда считалось, что в к а ж ­
дом теле содержится некая субстанция, называемая теплородом.
Если тело увеличивает содержание теплорода, то температура тела
увеличивается. Если количество теплорода уменьшается, то тем­
пература тела падает. Понять физическую природу теплоты в тер­
модинамике невозможно без привлечения атомно-молекулярных
представлений о строении вещества.
С молекулярной точки зрения любое тело состоит из громадного
числа мельчайших частиц, называемых атомами или молекулами.
Если представить себе эти частицы в виде шариков, то их радиусы
имеют величину порядка 10” 10 м; число же частиц необычайно ве­
лико. В 1 г воды, например, содержится около 3,3 1022 молекул.
Эти частицы находятся в беспрерывном тепловом движении. Про­
цесс нагревания тела в пламени сгорающего топлива выглядит
следующим образом. Горение есть химическая реакция соедине­
ния двух веществ (обычно кислорода и горючего) и образования
новых веществ. Кинетическая энергия молекул продуктов горения
при этом во много раз превосходит первоначальную кинетическую
энергию исходных веществ. Образовавшиеся при горении молекулы
бомбардируют молекулы вещества, помещенного в пламя горелки.
Кинетическая энергия молекул вещества меньше кинетической
энергии молекул пламени. При столкновении этих молекул часть
энергии молекул пламени переходит к молекулам вещества, и энер­
гия этих молекул увеличивается, а энергия молекул пламени умень­
шается. Процесс нагревания всегда сопровождается повышением
температуры тела. Это позволяет сделать вывод, что увеличение
кинетической энергии молекул нагреваемого тела однозначно свя ­
зано с увеличением температуры тела, а переход теплоты есть
передача молекулами продуктов горения части своей кинетической
энергии молекулам нагреваемого вещества.
В молекулярно-кинетической теории суммарную кинетическую
энергию хаотичного движения всех молекул тела относительно
его центра масс и суммарную потенциальную энергию взаимодейст­
вия этих молекул друг с другом (но не с другими телами!) называ­
ют внутренней энергией тела. Нагревание тела сопровождается
увеличением средней кинетической энергии всех молекул и, сле­
довательно, увеличением внутренней энергии тела. Наоборот, при
охлаждении внутренняя энергия уменьшается.
Поскольку теплота есть некий вид энергии, это позволяет опре­
делить внутреннюю энергию тела с термодинамической точки зре­
ния, не вдаваясь в атомно-молекулярную структуру вещества.
Рассмотрим для этого опыт Джоуля.

Если тело окружить обо­
лочкой, плохо проводящей теп­
ло, то температура тела, предо­
ставленного самому себе, будет
оставаться в течение длительно­
го времени практически пос­
тоянной. Твердую оболочку,
полностью не проводящую теп­
ло, называют адиабатической
оболочкой. Таких идеальных
оболочек в природе, конечно, не
существует, но можно создать
оболочки, которые по своим
свойствам приближаются к адиабатическим. Примером может слу­
жить обшивка космических кораблей. В физике и техникеприменя-
ют сосуды Дьюара, т. е. стеклянные или металлические баллоны с
двойными стенками, между которыми создан высокий вакуум.
Сосудом Дьюара является, например, стеклянная колба домашнего
термоса.
Теплоизолирующей является оболочка калориметра — прибо­
ра, позволяющего измерять количество теплоты. Калориметр
(рис. 2.1) представляет собой большой тонкостенный стакан / ,
поставленный на кусочки пробки 2 , в другом большом стакане 3
так, чтобы между стенками оставался слой воздуха, и закрытый
сверху теплоизолирующей крышкой 4.
В калориметр, заполненный водой, в опыте Джоуля помеща­
лась ось 1 с лопаточками 2 , которая приводилась во вращение падаю­
щими грузами Р х и Р 2 (рис. 2.2). Для увеличения трения лопато­
чек о воду калориметр был разделен перегородками 3 . Температура
внутри калориметра измерялась термометром 4 . При опускании
грузов вследствие трения лопаточек о воду последняя нагревалась.
Так как приток тепла в калориметр извне за время опыта отсутст­
вовал, то нагревание воды в калориметре произошло за счет работы,
совершенной опустившимися грузами.
В механике затраченная работа (за исключением работы сил
трения или сопротивления) обязательно переходит в какой-либо
вид энергии: кинетическую или потенциальную. В термодинами­
ке вводят новый вид энергии — внутреннюю энергию тела и при­
нимают как аксиому, что во всяком процессе, совершаемом в адиа­
батической оболочке, работа внешних сил над системой при пере­
воде ее из начального положения в конечное идет на увеличение
внутренней энергии тела.
Если обозначить начальное значение внутренней энергии через
U i t а конечное значение через С/2» то можно сказанное записать
математически следующим образом:
и2-их=Авмш.
(2 .8)

Рис. 2.2
Это равенство, которое дает определение внутренней энергии в тер­
модинамике, есть следствие закона сохранения энергии: энергия
не исчезает и не создается вновь, а переходит из одного вида в дру­
гой. В опыте Джоуля уменьшение потенциальной энергии подня­
тых грузов (или, что то же, работа, совершенная над грузами силой
тяжести) идет на увеличение внутренней энергии воды.
2.7. КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛОТЫ. ТЕПЛОЕМКОСТЬ
Внутренняя энергия тела зависит от температуры и внешних
условий. Если внешние условия остаются неизменными, т. е. объем
и другие параметры постоянны, то внутренняя энергия тела зави­
сит только от температуры.
Изменять внутреннюю энергию тела можно, не только нагревая
его в пламени и совершая над ним механическую работу (без изме­

нения положения тела, например, силой трения), но и приводя
его в контакт с другим телом, имеющим температуру, отличную от
температуры данного тела, т. е. посредством теплопередачи.
Количество внутренней энергии, которое тело приобретает или
теряет в процессе теплопередачи, и называется количеством тепло­
ты. Количество теплоты принято обозначать буквой Q, а неболь­
шие ее количества AQ. Введенное определение можно математиче­
ски выразить следующим образом:
где (/i и 1/2 — начальное и конечное значения внутренней энергии.
Если внутренняя энергия тела в процессе теплопередачи увели­
чивается, то количеству теплоты приписывают знак «плюс» и гово­
рят, что телу сообщили количество теплоты Q. При уменьшении
внутренней энергии в процессе теплопередачи количество теплоты
считают отрицательным и говорят, что от тела отняли количество
теплоты Q.
Единицей количества теплоты является единица работы. В СИ
это 1 Дж. Применяется и другая единица теплоты — калория.
Калория — это количество теплоты, необходимое для нагревания
1 г воды на 1°С. Между этими единицами существует соотноше­
ние:1кал=4,19Дж 4,2Дж.
Количество теплоты, необходимое для нагревания тела на 1° С,
называется теплоемкостью тела С. По определению
AQ
м
(2.9)
В этом задании речь будет идти о теплоемкости тоЙько жидких
и твердых тел, хотя введенное определение теплоемкости справед­
ливо для любого тела.
Опыт показывает, что при обычных температурах (200—500 К)
теплоемкость большинства твердых и жидких тел почти не зависит
от температуры. Однако с понижением температуры (до 100—150 К)
наблюдается заметное уменьшение теплоемкости тел. Слабая тем­
пературная зависимость имеет место и при обычных (комнатных и
выше) температурах, но ею чаще всего можно пренебречь.
Кроме теплоемкости тел С, вводят еще удельную теплоемкость
с — теплоемкость единицы массы вещества. Удельная теплоемкость
с связана с теплоемкостью С тела массой т соотношением
С= тс.
(2.10)
Удельные теплоемкости различных веществ подробно исследо­
ваны, и для них имеются специальные справочные таблицы. По­
этому, если вещество известно, то известна и его теплоемкость.
Справедливо также и обратное утверждение. Подчеркнем, что в
справочных таблицах обычно приводятся теплоемкости чистых
веществ. В повседневной жизни имеют дело или со сплавами, или
со смесями различных веществ.

Формулы (2.9) и (2.10) позволяют рассчитать, какое количество
теплоты Q (или AQ) необходимо сообщить телу массой т при на­
гревании его на A t градусов, если известна удельная теплоемкость
тела:
Q= СAt= cm (t2—*,),
(2.11)
где A t = t 2 — tlt — начальная температура тела, t 2 — конечная.
Если t 2 < tl t то количество теплоты — величина отрицательная.
Это означает (как уже говорилось), что тепло от тела необходимо
отводить.
2.8 . ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Обсудим вопрос, от чего зависит количество перенесенной при
теплопроводности теплоты. Введем для этого понятие п о т ок а
т еп ла . Потоком тепла называют количество теплоты, проходящее
через площадку в 1 сма в единицу времени. Если через площадку S
за время т проходит количество теплоты Q, то поток тепла / найдем
из соотношения
<212>
Поток тепла, как показывает опыт, имеет место только тогда,
когда температура среды меняется от точки к точке. Теплота при
этом всегда переходит от точек с высшей температурой к точкам
с низшей. Простейшим является случай распространения тепла
внутри однородной пластинки толщиной I и площадью S , удовлет­
воряющей условию
т. е. толщина ее много меньше ширины
и высоты.
Если на одной стороне пластинки (рис. 2.3) поддерживается
постоянная температура t x, а на другой—постоянная температура t 2,
причем t 2 > /х, то опыт показывает,
что поток тепла прямо пропорционален
разности температур t 2 — 1\ и обратно
пропорционален толщине пластинки /.
Математически это можно представить в
виде:
/==Х!^=А,
(2.13)
где х — положительная постоянная вели­
чина, называемая коэффициентом тепло­
проводности и зависящая только от мате­
риала пластинки и его агрегатного сос­
тояния. Соотношение (2.13) справедливо
не только для твердых тел, но и для жид­
костей и газов. Однако для жидкостей и
газов при использовании формулы (2.13)
Рис. 2.3
Эв

нужно быть весьма осторожными. Для них она применима, если
в процессе теплопередачи не происходит перемещения вещества,
т. е. конвекции.
’
2.0 . ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 2. 1, Найдите удлинение железного стержня сечением
324 мм*, если на его нагревание затрачено 100 кДж тепла. Удель­
ная теплоемкость железа 4,6 • 10* Дж/(кг • °С), плотность железа
7,8 • 10* кг/м*, коэффициент линейного расширения 1,2 • 10"* ‘С -1.
Решение. При нагревании стержню необходимо сообщить
количество теплоты Q :
Q= cm\t,
(2.14)
где с и т. — соответственно удельная теплоемкость железа и масса
стержня, A t — изменение температуры.
Длина стержня в результате нагревания увеличивается на
Al = aIAt,
(2.15)
где / — начальная длина стержня, а — коэффициент линейного
расширения.
Учитывая, что масса стержня т = рIS , где р — плотность желе­
за, a S — сечение стержня, из уравнений (2.14) и (2.15) после сов­
местного решения найдем:
д/=
=
Д/«Ю -з м.
cplS cpS
Задача 2. 2. Какое количество теплоты было сообщено медному
проводнику сечением 1 мм*, если его сопротивление возросло на
0,25 Ом? Удельная теплоемкость меди 3,8 • 10* Дж/(кг • °С),
плотность меди 8,9 10* кг/м*, температурный коэффициент со­
противления меди 4,3 10”* °С”\ удельное сопротивление меди
1,68 • Ю”8 Ом м. Считать увеличение температуры незначитель­
ным по сравнению с комнатной.
Решение. Количество теплоты Q, сообщенное проводнику,
равно:
Q= cm(/a—tt),
(2.16)
где с и т — соответственно удельная теплоемкость и масса меди,
н / 2 — начальная и конечная температуры.
Масса меди т = р/5, где р — плотность меди, / и S — соответ­
ственно длина и сечение проводника.
Длину проводника I можно найти из формулы, связывающей
сопротивление проводника R t с удельным сопротивлёнием:
где а — удельное сопротивление проводника (обозначение а , а не

р введено здесь во избежание путаницы между удельным сопротив­
лением и плотностью). Из этой формулы
а
Разность температур можно найти, пользуясь соотношением
(2.7) зависимости электрического сопротивления от температуры:
R=#0(1+ а/),
где R 0 — сопротивление проводника при 0° С.
А*=R2-R,=aR0(t2-у =
V
(2.17)
(здесь R2= Л?о(1+ а/2) и
= Р0 (1 + а^) — сопротивления
проводника при температурах t 2 и t t ).
Так как увеличение температуры проводника незначительное,
то в формуле (2.17) можно пренебречь вторым слагаемым в знамена­
теле. Выражение (2.17) при этом примет вид:
AR = aRi (t2—/j).
Из этого соотношения находим:
t—t=М.=SAR
2 1 •/?!<*
aat
Подставляя в уравнение (2.16) массу т = рIS и разность темпера­
тур, окончательно получим:
Q=
Q» 12 кДж.
аа
Задача 2. 3. Какое количество дров необходимо сжигать еже­
суточно зимой, чтобы поддерживать в комнате постоянную темпе­
ратуру 20° С при температуре наружного воздуха — 10 °С? Стены
квартиры имеют общую площадь 50 м2 и толщину 25 см. Коэффи­
циент теплопроводности принять равным 0,12 Вт/(м °С). Коэф­
фициент полезного действия печи 30%. Удельная теплота сгорания
сухих дров 8,3 • 10е Дж/кг.
Решение. Количество теплоты Qlt теряемое квартирой еже­
суточно, равно (формула 2 . 12):
Qi = /St,
(2.18)
где / — поток тепла наружу, S — общая площадь стен, т — время
(1 сутки).
Пользуясь формулой (2.13), найдем:
j= ni±=±,
(2.19)
где t 2 и tx — соответственно температура воздуха в комнате и
38

снаружи, l — толщина стены, х — коэффициент теплопроводности.
При сгорании дров выделяется количество теплоты
Qt=Щ
(2.20)
(т — масса, q — удельная теплота сгорания дров), из которого
только
ЛРг= Qi (л~КПД печи)
(2.21)
передается комнате.
Подставляя в уравнение (2.21) выражения (2.18), (2.19) и (2 20)
и разрешая его относительно массы дров, находим:
v'
т=">
лqi
т«25кг.
КОНТРОЛЬНЫЕВОПРОСЫ
1. Можно ли обычным ртутным термометром измерить темпера­
туру одной капли горячей воды?
2. На рисунке 2.4 приведен график зависимости объема тела
от температуры. В интервале от 0 К до 7 \ изменение объема про­
исходит по параболе; при температуре Т > 7 \ объем меняется
линейно с ростом температуры, причем эта прямая не является
касательной к параболе. Укажите, как зависит коэффициент тепло­
вого расширения от температуры.
3. На монете начерчена мелом прямая линия. Что произойдет
с этой линией, если монету нагреть?
4. Металлические предметы в комнате всегда кажутся на ощупь
холоднее деревянных или пластмассовых. Отчего это происходит?
5. Почему тонкая медная проволока плавится в пламени газо­
вой горелки, в то время как толстый медный гвоздь даже не раска­
ляется докрасна?
в. Где температура нити
электрической лампочки выше:
у поверхности или в центре ни­
ти? Почему?
7. Вода нагревается на элек­
трической 'плитке постоянной
мощности. Какой процесс тре­
бует больше времени: нагрева­
ниеот10до20°Силиот80
до 90 °С?
8. При склепке толстых лис­
тов железа в отверстие лис­
тов
вставляют раскаленные
докрасна заклепки. Какое зна­
чение имеет применение горячих
заклепок, кроме того, что кле­
пать их легче?

9. Переведите в градусы Цельсия (С) 15° по Фаренгейту (F),
140° F, 8° по Реомюру (R), 70° R.
ЗАДАЧИ
1. Для измерения температуры термостата применили желез-,
ную проволочку, имеющую при температуре 18 °С сопротивление
/?! = 15 Ом. В термостате ее сопротивление оказалось равным
/?а *= 18,25 Ом. Определите температуру термостата, если темпе­
ратурный коэффициент сопротивления железа а = 0,6 • 10-а °С“\
2. С какой точностью можно измерять температуру платиновой
полоской сопротивлением R = 108 Ом, если ее сопротивление из­
меряется с точностью AR s s 10-8 Ом, а температурный коэффициент
сопротивления платины а = 3,9 • 10-8 °С-1?
3. Колесо паровоза имеет радиус r0 = 1 м при t0 = 0° С. Опре­
делите разницу в числах оборотов колеса летом при температуре
/j = 25° С и зимой при температуре t 2 = —25° С на пути пробега
/ == 100 км. Коэффициент линейного расширения металла колеса
р = 1,2 ю-567^;-1
.
4. Какую силу F надо приложить к стальному стержню сече­
нием 1 см2, чтобы растянуть его на столько же, на сколько он удли­
няется при нагревании на 1 °С? Коэффициент линейного расшире­
ния р = 1,2 10_6 “С-1, модуль Юнга £ = 2,1 1010 Н/м2. (Модуль
Юнга Е связан с коэффициентом жесткости стержня соотношением
со
k= — , гдеS—сечение, L —длина стержня.)
5. Для определения коэффициента расширения ртути в лабо­
ратории воспользовались весовым методом. Склянку с узким гор­
лышком наполнили ртутью до метки на горлышке при температуре
0° С. Масса ртути при этом оказалась равной 32 г. Затем склянку
с ртутью нагрели в кипящей воде до 100° С. Ртуть вследствие рас­
ширения поднялась выше метки. Ее излишек слили и уровень
ртути снова довели до метки. Масса ртути в склянке стала равной
31,5 г. Зная коэффициент объемного расширения стекла а х = 2,7 х
X 10“* Х г 1, найдите по данным опыта коэффициент объемного рас­
ширения ртути а 2.
6. На сколько градусов нагреется железный прут диаметром
1 см при нарезании на нем резьбы с шагом h = 1 мм, если при на­
резке к плашке нужно приложить момент сил М = 3,9 Н м?
Резьба занимает половину длины прута. Удельная теплоемкость
железа 460 Дж/(кг • 0С). Плотность железа 7,8 • 10* кг/м8*. Считать,
что на нагревание прута идет половина выделенной теплоты.
7. Легковой автомобиль массой 1 т равномерно поднимается по
наклонному участку шоссе. На сколько увеличивается при этом
расход бензина по сравнению с горизонтальным движением с той же
скоростью? Удельная теплота сгорания бензина < 7 = 1 1 000 ккал/кг;
Коэффициент полезного действия двигателя ц = 20%. Угол
наклона шоссе 10°. (Расход бензина принято относить к пути
I= 100км.)

8. Чтобы поддерживать в комнате температуру 20° С при тем­
пературе на улице — 10° С, приходится ежедневно сжигать 0,1 м*
сухих дров. Сколько дров потребуется сжигать ежедневно для
поддержания в комнате той же температуры, если температура
воздуха на улице понизится до —20° С?
9. Электрический утюг с терморегулятором нагревается до
80° С, когда ручка регулятора установлена в положении «Капрон».
В установившемся режиме при этом регулятор включает утюг на
30 с каждые 4 мин. При установке ручки регулятора в положение
«Хлопок» утюг включается на 40 с каждые 1,6 мин. Определите
температуру утюга, когда ручка регуляторе установлена в поло­
жении «Хлопок». Температура в комнате 20° С.
10. Два нагревателя, включенных параллельно в электриче­
скую сеть, представляют собой отрезки проволоки из одинакового
материала длиной = 40 см и /2 = 60 см соответственно. Диаметр
первой проволоки d x — 0,5 мм. Определите диаметр второй прово­
локи, если известно, что при длительной работе температуры прово­
лок оказались равными tt = 320° С и t a =* 420° С. Температуру
в комнате принять равной t = 20° С.
11. Небольшой черный шарик, поглощающий все световые лу­
чи, нагревается при освещении его Солнцем до температуры tx =*
= 60° С. До какой температуры /2 нагреется шарик, если в резуль­
тате фокусировки на нем изображения Солнца с помощью линзы
освещенность поверхности шарика возросла в 10 раз? Температуру
воздуха принять равной /0 = 20° С.
Примечание. Под освещенностью понимают количество
световой энергии, падающей ежесекундно на 1 сма поверхности.
Ответы на контрольные вопросы
1. Нельзя. Масса капли воды меньше массы ртути в термометре.
При измерении температуры значительную часть теплоты капля
передаст градуснику, вследствие чего температура капли понизится.
2. Коэффициент теплового расширения на отрезке от 0 К до Т,
растет пропорционально температуре, а при Т > Т г коэффициент
теплового расширения постоянен. Действительно, по определению
коэффициент теплового расширения
РJLAV
v0' дт
(1)
где АУ = У — У0, а У и У0— объемы тела при температурах Т
и Т0.
Пусть коэффициент объемного расширения не зависит от тем­
пературы. График р = р (Т) изобразится тогда в координатах
Р и Т прямой линией (рис. 2.5). Заштрихованная плещадьна графи­
ке определит величину ДУ/У = рДТ.
Если коэффициент объемного расширения линейно возрастает
с температурой: р = а Т (рис. 2 .6), где а — коэффициент пропор­

циональности, то величина Д V [V по-прежнему определится графи­
чески площадью заштрихованной на рисунке 2.6 фигуры, анало­
гично тому как графически определяется путь при равноускорен­
ном движении в координатах v и t (v — скорость, t — время).
Вычисляя площадь этой фигуры, найдем:
w;=
{Т~ То) =
(т-т0)=| (р - т$.
Полагая теперь в этой формуле начальную температуру Т 0 = О,
имеем:
АУ У—У0_ аТ*
V
У
2
Откуда следует:
v=V0+jV0ar.
(2)
Если {J
т. е.
величина постоянная, то из формулы (1) находим:
АУ_У—yt
У»
У!
Р(Г-7\),
V=Vi+VMT-T1),
(3)
где Vt — объем при температуре 7 \.
Из формулы (2) видно, что объем тела увеличивается квадратич­
но с температурой, а формула (3) показывает, что объем с темпера­
турой изменяется линейно, т. е. так же, как и на рисунке 2.4.
3.
Прямая сдвинется параллельно самой себе. Угол B A D при
нагревании не изменится (рис. 2.7). Действительно, в радианной
мере угол B A D равен отношению дуги к радиусу:
*4BAD=
~ BSD..

При нагревании на A t радиус
A D увеличится и станет равным
AD' = AD(1+ aAt), а длина
окружности L = 2n A D станет
равной L' = 2nAD' = 2nAD X
X (1 +аД*) = L (1+ аД*). Сле­
довательно, дуга B S D также
увеличится и станет равной
wB'S'D' = w BSD (1+ а ДО.
Поэтому
■4В’АТУ =
B'S ’D'
AD'
BSD (1 + аД<)
AD(1+ аД<)
=^BAD.
Аналогично легко показать,
что Д АВС подобен Д А'В 'С',
Рис. 2.7
так как *4ВАС = ^.В'АС' = — -4B'AD', а отношениясторон
2
равны.
АВ АВ(1+ «AQ
АС ЛС(1+ аА/)
4. Температуры руки и окружающих человека тел в обычных
условиях различны. При соприкосновении руки с предметом вслед­
ствие разности температур возникает теплопередача от руки к пред­
мету. Тепло начинает распространяться внутрь предмета. Поток
тепла при этом пропорционален коэффициенту теплопроводности.
Чем выше коэффициент теплопроводности, тем больше поток тепла.
Поэтому количество теплоты, отбираемой у руки в единицу времени
металлическими предметами, больше количества теплоты, отбирае­
мой деревянными или пластмассовыми, и температура ладони пони­
жается сильнее при соприкосновении с металлическими предмета­
ми. Это и создает ощущение, что металлические предметы холоднее.
5. Количество теплоты ql9 передаваемое стержню, находящемуся
в пламени, пропорционально площади его боковой поверхности:
<h = Л 2л/7, где г — радиус, / — длина стержня, А — коэффи­
циент пропорциональности. Теплоотвод q 2, происходящий вдоль
стержня, пропорционален площади поперечного сечения стержня
и разности температур комнаты и стержня: q 2 = В я г 2 (Т — Тк).
Температура стержня будет расти до тех пор, пока не установится
равенство между получаемой и отдаваемой теплотой:
Qi—^2»
А •2jtrZ= Вяг2(Т—Тк)9
где Т — температура стержня, Т к — температура в комнате, В —
коэффициент пропорциональности.
Отсюда
T=TK+2jL,

т. ft. температура стержня тем выше, чем меньше его радиус (при
одинаковой длине). Поэтому тепловое равновесие толстого стержня
наступает при значительно меньшей температуре, чем тонкой про­
волоки.
6. Температура нити электрической лампочки у поверхности
нити всегда ниже, чем в центре. Это обусловлено отводом тепла
через боковую поверхность наружу, вследствие чего температура
поверхности понижается.
7. В обычных условиях температура в комнате приблизительно
10—20° С Поэтому при нагревании воды от 10 до 20° С поток тепла
от стенок кастрюли наружу незначителен, так как поток тепла
пропорционален разности температур. При нагревании воды от 80
до 90 *0 в окружающее пространство будет идти больший поток
тепла вследствие большей разности температур между стенками
кастрюли и воздухом комнаты. Теплота, получаемая от плитки,
идет на нагревание воды и окружающей среды. Так как поток тепла
наружу выше при нагревании воды от 80 до 90° С, то и времени для
нагревания потребуется больше.
8. При охлаждении заклепка, сокращаясь, сильнее стянет скле­
панные листы.
9. От шкалы Фаренгейта к шкале Цельсия переходят по формуле
^F=[^-32)]°C .
от шкалы Реомюра к шкале Цельсия — по формуле
15°F = —9,45 °С, 39°F = 3,9 °С, 14°F = 60°С.
8°R = 10°С, 70°R = 87,5°С.
Решения задач
1. При нагревании железной проволочки на A t = t — t0 сопро­
тивление ее меняется на величину AR = R0a {t — t0), где R0—
сопротивление проволочки при температуре 0° С, t <— температура
термостата, t0 = 18° С.
Из этого соотношения находим температуру термостата, учтя,
что
= R0(1+ at0):
l=t0+
= /0+
u+и<о)tt=57t8°G
R qCl
cl
2. Ошибка в измерении сопротивления на величину & R = Ю~8 Ом
даст нам ошибку в измерении температуры А Т , определяемую со­
отношением A R = a R A T , так как при изменении температуры
ДО
платиновой полоски на А Т =
—
невозможно сказать, чем вы-
Ra
звано отклонение значения сопротивления — нагреванием или
44

погрешностью прибора, измеряющего сопротивЛёЙИё^,Таким обра­
зом, ошибка в измерении температуры равна:
Д7= — , АТ« 2,4•10~э0С.
aR
3. Пройдя путь /, колесо паровоза совершит число оборотов
где г — радиус колеса.
При температуре /а радиус колеса
Tj =» Г®(1 ~Ь P^l)>
а при температуре t a радиус колеса
г2= го0 + Р^г)*
где г0 — радиус колеса при 0° С.
Разница в числах оборотов А п летом и зимой равна)
Ап= па—пх
J _____ I
I
Р(<1-<«)
2w , 2яг,
2яг0 (1+p/iHl+Pg’
Ввиду малости р в знаменателе дроби можно пренебречь величи­
нами
и р/а по сравнению с единицей.
Тогда
Ап=
Р(tt — /а), Ап « 9,5 оборотов.
4. При нагревании стержня на A t он удлинится на A L , причем
AL = рLAt.
(1)
Такое же удлинение может быть вызвано силой
F=kAL=ES—
.
L
(2)
Подставляя в формулу (2) AL из (1), находим)
F= ES$At, F« 252Н.
5. Плотность ртути р0 при 0°С равна р0 =
гдещи
У0 — соответственно масса и объем ртути. При нагревании объем
ртути меняется и становится равным V = V0 (1 + <**/)» где ^ —
объем ртути при температуре t , а а — коэффициент объемного рас­
ширения ртути. Плотность ртути р при температуре t становится
равной
т0
то
V ~ V.U+ctf) РоО
Объем склянки до метки после нагревания станет равным
v\ = v0(i+«iO.
где ctj — коэффициент объемного расширения стекла.

Масса ртути , щ в объеме Vt следующая:
т,=pVi=-r^~ Vod+ах/)=т0\±^£.
1 ■+"
1Т"&2*
Из этого выражения после несложных преобразований находим:
= т„(1+_о10-т1
= i86.Ю-«°С"1.
mtt
в. При повороте плашки на угол <р ее концы проходят путь
I = гф, где г — плечо плашки. Приложенные к концам плашки
силы F совершают работу
А=2•Fry=Му,
где М — момент сил, приложенных к плашке.
Для нарезания резьбы нужно совершить п = — оборотов плаш­
ки, где Н — длина нарезанной части прута, h — шаг резьбы. Произ­
веденная при этом работа
А=М‘2лп=М•2л—.
h
Эта работа переходит в тепло.
Увеличение температуры прута найдем из условия, что половина
выделенной теплоты идет на его нагревание:
—
= тсAt,
2
’
где т — масса прута, с — удельная теплоемкость железа.
Но
т
2Н
(здесь р — плотность железа, d и 2 Н — диаметр и длина прута).
Тогда
А
2тс
2М
pd2hc
, At•. 22°С.
7.
При равномерном движении по горизонтальной поверхности
энергия двигателя расходуется только на работу против сил со­
противления движению автомобиля (трение о дорогу и в осях ко­
лес, сопротивление воздуха). Поэтому можно записать:
FI=, тт
(1)
(здесь F — результирующая сила сопротивления движению, т х —
масса израсходованного бензина).
При подъеме автомобиля с постоянной скоростью сила сопротив­
ления не изменяется. Однако теперь за счет энергии двигателя
будет возрастать также и потенциальная энергия автомобиля. Рас­

ход бензина двигателем при этом возрастет. Используя закон со­
хранения энергии, имеем:
FI+ Mglsinа= m2qx\,
(2)
где т 2 — масса бензина, израсходованного при подъеме. Из соот­
ношений (1) и (2) находим:
т2— тх
Mgl sin а
дц
т2—т1 18 кг.
8.
Из-за различия температур воздуха в комнате и на улице
возникает поток тепла наружу, пропорциональный разности тем­
ператур в комнате и на улице. Потеря тепла Q комнатой за сутки
поэтому также пропорциональна разности температур:
Q= k(t2- t x),
где t 2 — температура в комнате, tx — температура на улице, k —
коэффициент пропорциональности.
V Чтобы температура комнаты при этом не менялась, необходимо
ежедневно сжигать столько дров, чтобы восполнить эту потерю
тепла:
Q = r\mq,
где т и q — масса и удельная теплота сгорания дров, т) — коэффи­
циент полезного действия печи.
При температуре на улице t\ —
— 10° С потери тепла равны
Q' — k ( t2 — /') и необходимо сжигать т х дров. В этом случае имеем
равенство
k(t2—
=
Аналогично для температуры на улице t\ —
— 20° С напишем
равенство
k(t2— /I)= r\m2q.
Из этих двух равенств после несложных преобразований нахо­
дим:
т.
tn /,
mlt
или, переходя от массы дров к объему, имеем:
V2=t^ V 1,V2=0,13м8
/2-/ ,
(здесь Vx и. У2 — объемы сжигаемых дров при температурах соот­
ветственно — 10 и —20° С).
9.
Когда ручка регулятора установлена в положение «Капрон»,
температура утюга практически не меняется. Потери тепла Qx
утюгом за время тх = 4 мин составляют:
Qi = <7Л.
где qx = k (Тх — Т) — потери тепла в 1 с из-за разности темпера­

тур утюга и комнаты, 7 \ = 80° С и Т = 20° С -*■температуры
утюга и комнаты.
Эти потери тепла восполняются, когда регулятор включает
утюг в цепь. Уравнение теплового баланса при этом имеет вид:
k(Tt —Т)хг = Ptu
где Р — мощность утюга, t t = 30 с — время включения утюга,
k — коэффициент пропорциональности.
Аналогично уравнение баланса тепла в случае установки ручки
регулятора в положение «Хлопок» имеет вид:
k(T2— T)xt = Pt2,
где Т 2 — температура утюга, т2 = 1,5 мин — промежуток времени
выключения регулятора, , t 2 = 40 с — время включения утюга
в цепь.
Решая совместно уравнения теплового баланса, находим иско­
мую температуру утюга:
Т2=Т+
—
Т2= 234°С.
10.
Прохождение тока по проводнику сопровождается выделе­
нием тепла. Оно идет на нагревание проводника. Увеличение темпе­
ратуры прекращается, когда количество получаемой проводником
теплоты станет равным потерям тепла за то же время из-за разности
температур проводника и комнаты.
Количество теплоты, получаемое ежесекундно первым проводниц
ком, qt = I\R xx (т = 1 с). Количество теряемой им теплоты q\
пропорционально площади поверхности и разности температур:
q\ = kjid^(tt—t)т,
где k — коэффициент пропорциональности.
Так как в установившемся режиме qy — q\, то
knd1ll(t1—t)x = l\ Rit.
(1)
Для второго проводника, рассуждая таким же образом, найдем:
knd2l2(t2— t)x = l\ R2x.
(2)
При параллельном соединении напряжения на концах проводни­
ков одинаковые. Это условие дает связь между
и/2:hRi—
= hRi, откуда /а=
А2
Сопротивления R t и R 2 найдем, зная удельное сопротивление
проводников р:
Ri=P4<i
nd*
Ri=p
4<»
nd\ '

Подставляя в уравнения (1) и (2) / а, R t и R t , получим систему
уравнений
kn dylx(*!— t)=l\
nd\
Я<%
Решая эту систему, найдем диаметр второго проводника:
<k=dt
dt=1,5мм.
II.
При освещении шарика Солнцем количество ежесекундно
поступающей теплоты qt пропорционально освещенности поверх­
ности шарика:
<7i —к\Ех,
где Е х — освещенность поверхности шарика, создаваемая Солнцем,
k i — коэффициент пропорциональности.
Шарик будет нагреваться до тех пор, пока потери тепла вслед­
ствие разницы температур шарика и воздуха не сравняются с энер­
гией, поступающей от Солнца.
Потери тепла q[ пропорциональны разности температур:
й[ =K{t~ t0),
где k t — коэффициент пропорциональности.
Составим уравнение теплового баланса:
k1El = {t± — 10).
(1)
При увеличении освещенности поверхности шарика температура
его будет возрастать до тех пор, пока опять не наступит равновесие
между количествами отдаваемой и поступающей теплоты:
КЕ, = кг{к-10).
(2)
(здесь Е 2 —? освещенность поверхности шарика во втором случае).
Разделив уравнение (2) на уравнение (1), получим:
Отсюда найдем температуру шарика:
к=(о+ (к-*о)р-,
к = 420°С.

Задание 3
ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ
3.1 . КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Состояние любого тела в термодинамике определяется некото­
рым количеством физических величин, полностью характеризую­
щих это состояние. Эти величины принято называть параметрами
состояния или просто параметрами. Для характеристики газа, со­
стоящего из нейтральных молекул, помещенных в замкнутый
объем, вводят три таких параметра: давление, температуру и объем.
В состоянии теплового равновесия эти три величины не являются
независимыми друг от друга. Если некоторое количество газа за­
ключено в сосуде определенного объема и постоянной температуры,
то газ имеет и вполне определенное давление. Давление газа можно
изменить, уменьшив, например, температуру сосуда или его объем.
Как показывает опыт, эта связь между объемом V , давлением р и
температурой t однозначна и не зависит от того, каким способом
были заданы два параметра. Такую связь между параметрами газа
в самом общем виде для постоянной массы газа записывают следую­
щим образом:
/(р,К/)= 0.
Эту связь называют также уравнением состояния тела.
Установить теоретически ее вид можно лишь в некоторых слу­
чаях. На практике приходится поэтому прибегать к эксперимен­
тальным измерениям, результаты которых можно изобразить графи­
чески. Поскольку речь идет о взаимной зависимости трех величин,
то наиболее полно она изобразилась бы некоторой поверхностью
в пространстве трех измерений в прямоугольной системе координат,
на осях которой откладывались бы величины р , V и t . Однако та­
кие построения сложны и на практике ограничиваются построением
плоских графиков, изображая на них семейства кривых, представ­
ляющих собой сечение поверхности плоскостями, параллельными
той или иной координатной плоскости. Каждая из плоскостей сече­
ния соответствует определенному значению третьего параметра.
Так, например, пересекая поверхность плоскостями, параллельны­
ми плоскости p O V (рис. 3 .1), получим семейство кривых, изображаю-

щих зависимость давления от объема при различных значениях
температуры. Такие кривые называются изотермами.
Уравнения изотерм можно получить из общего уравнения со­
стояния, разрешая его относительно давления или объема:
р—*р(V)илиV=V(р)приt.= const.
В этих уравнениях температура есть постоянная для каждой
изотермы величина.
Аналогичным образом можно построить семейство изобар —
кривых, изображающих зависимость объема от температуры (У от t)
или температуры от объема (t от V) при постоянном внешнем давле­
нии, выразив из уравнения состояния:
V=■»V(t) или t—t(V) прир= const,
а также семейство изохор — зависимости температуры от давления
или давления от температуры при постоянном объеме:
р==Р(0илиt=t(p) приV= const.

Система, находящаяся в тепловом равновесии, изображается
на этих графиках соответствующей точкой, а сами графики изобра­
жают изменение состояния системы при изменении ее параметров,
т. е. описывают графически тепловой процесс, в котором участвует
система. Но всякое изменение одного из параметров означает, что
система вышла из теплового равновесия и ей уже нельзя приписать
в целом ни определенного давления, ни определенной температуры.
Действительно, при сжатии газа под поршнем состояние газа (на­
пример, давление, плотность и температура) вблизи поршня изме­
нится довольно существенно. В то же время вдали от поршня изме­
нение состояния газа произойдет несколько позже. Поэтому весь
газ в целом имеет разное давление и температуру в различных
точках и такое состояние газа нельзя изобразить графически. Воз­
никает при этом естественный вопрос, каким же образом необходимо
изменять параметры системы, чтобы можно было в процессе изме­
нения характеризовать газ тем же числом параметров и использо­
вать уравнение состояния, справедливое, строго говоря, только для
состояния теплового равновесия.
Как показывает опыт, любая система, выведенная из состояния
равновесия и предоставленная самой себе, переходит по прошествии
некоторого времени в состояние теплового равновесия. Процесс
перехода к равновесному состоянию называется р ел а к са ц и ей , а
время, необходимое для этого, временем релаксации. Эго время и
определяет скорость изменения параметров системы. Если время
перехода из одного равновесного состояния в другое много больше
времени релаксации, то все отклонения от равновесного состояния
будут успевать исчезать и газ будет проходить через ряд равно­
весных состояний, переходящих одно в другое. Такие процессы на­
зываются квазистатическими, потому что при этом в каждый дан­
ный момент состояние системы мало отличается от равновесного.
Ясно, что с помощью уравнения состояния можно изучать только
квазистатические процессы.
Времена релаксаций, определяющие степень медленности квази-
статического процесса, для разных систем и различных тепловых
процессов сильно отличаются друг от друга, и для их определения
часто нужно проводить очень трудный и сложный дополнительный
анализ. В дальнейшем рассматриваются только квазистатические
процессы.
3.2 . ИЗОБАРИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС.
ЗАКОН ГЕЙ-ЛЮССАКА
Поместим газ в цилиндр под поршень (рис. 3 .2). Пусть на пор­
шень сверху действует атмосферное давление р0. Эго давление по
закону Паскаля будет передаваться во все точки газа под порЩнем.
Если поршень имеет массу т и сечение S , то давление р ,нещ,
оказываемое на газ внешними силами, равно рви«т *= Ро +
S

Под действием внешних сил газ займет
такой объем, при котором давление внут­
ри газа станет равным внешнему давле­
нию:
Р = Рвнеш"
При квазистатическом нагревании га­
за под поршнем при постоянном внешнем
давлении, как показывает опыт, объем
всех без исключения газов увеличивается,
а при охлаждении уменьшается. Так же
как и для твердых тел, можно ввести коэф­
фициент объемного расширения газов по
формуле
1
У—У» = _1 _ДУ
“
V,'
t-t„
V0'td'
где Д V = V — V0 — изменение объема газа при изменении темпе­
ратуры на М = t — f0, V и V0 — объемы соответственно при тем­
пературах t и t0.
Исследуя на опыте тепловое расширение газов, французский
ученый Гей-Люссак открыл, что коэффициент объемного расши­
рения при постоянном давлении у всех газов одинаков и равен
273,15
Из этого закона следует, что объем газа V при температуре t
можно найти, зная начальный объем газа Va при температуре t0:
V=V0H+a(t-t0n
1 Рвиеш
шшш
Рис. 3.2.

Обычно в качестве начальной температуры берут 0° С, в этом
случае
К= М 1+а*).
Как видно из этого уравнения, совокупность состояний, отвечаю­
щих одному и тому же давлению, изобразится на графике в коор­
динатах V и t прямой линией, отсекающей на оси V отрезок V0
и имеющей тангенс угла наклона, равный a V 0 (рис. 3.3). Такую
зависимость поэтому обычно называют линейной. В координатах р
и t график изобарического процесса представляет собой прямую
линию, параллельную оси t (рис. 3.4).
3.3 . И30Х0РИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС. ЗАКОН ШАРЛЯ
Рассмотрим теперь процесс нагревания газа при постоянном
объеме, или, как говорят, процесс изохорического нагревания газа.
Поместим для этого газ в герметичный сосуд, например в металли­
ческий котел с плотно завинчивающейся крышкой (рис. 3.5). Будем
нагревать газ в котле, измеряя его температуру и давление. Как
показывает опыт, давление газа внутри котла увеличивается с ро­
стом температуры. Введем величину у, характеризующую измене­
ние давления газа при изменении температуры и называемую т е р м и ­
ческим коэффициентом давления:
v==1 Р—Ро= 1.Др_
7 Po’ t-to
Ро
где Др = р —• ро — изменение давления газа при изменении его
температуры на Дt = t — t0, р и р0 — давления газа соответственно
при температурах t и /0.
Измеряя давление различных газов при нагревании при постоян­
ном объеме, французский ученый Шарль установил, что термиче-

ский коэффициент давления для всех газов одинаков и равен
275,15
Зная начальное давление р0 и начальную температуру t0, из
закона, установленного Шарлем, легко найти давление р при тем­
пературе U
P = />o[l+Y(*-<o)].
Если за начальную температуру принять 0° С, то
Р=Ро0+Y0-
График изохорического процесса в координатах р и t представ­
ляет собой прямую линию, отсекающую на оси р отрезок р0 и имею­
щую тангенс угла наклона, равный у р0 (рис. 3.6). В координатах
Г и t график изохорического процесса изображается прямой ли­
нией, параллельной оси t.
3.4 . АБСОЛЮТНАЯ ШКАЛА ТЕМПЕРАТУР.
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА.
ЗАКОН БОЙЛЯ - МАРИОТТА
Законы Гей-Люссака и Шарля выглядят гораздо проще, если
вместо температурной шкалы Цельсия ввести шкалу, предложен­
ную английским физиком Кельвином. Связь между температурой Т
по шкале Кельвина и температурой t по шкале Цельсия дается
формулой
T=t+—=/+-=
/ + 273,15°.
а
у
Шкалу Кельвина называют абсолютной шкалой температур.
Законы Гей-Люссака и Шарля при этом примут вид:
V=аУ0Т, р =ар0Т,
где Го и р 0 — объем и давление газа при температуре
Г0= - = 273,15К.
а
Равенство коэффициента теплового расширения газа при по­
стоянном давлении термическому коэффициенту-давления при по­
стоянном объеме является свойством, присущим только газам. Оно
позволяет найти уравнение состояния газов.
Совершим для этого над газом тепловой процесс, нагревая его
сначала при постоянном объеме, а затем при постоянном давлении.
График процесса изохорического нагревания в координатах р и V
изобразится прямой 1 , 2 \ параллельной оси ординат р . Процесс
изобарического нагревания изобразится на этом графике прямой
2', 2, параллельной оси абсцисс V (рис. 3.7). Обозначим давление,
объем и температуру газа в начале теплового процесса через plt

Vlt Tt (точка /)| в Конце проЦе<>
са изохорического нагревания
через р2, Vlt Тъ (точка 2') и В
конце изобарического процесса
через р2, У2, 7 , (точка 2).
Из закона Шарля следует,
что отношение давления к абсо­
лютной температуре есть вели­
чина постоянная
= ар0|.
Поэтому давление и температу­
ра газа в точке 2 связаны с
давлением и температурой газа
в точке 1 соотношением
Р*
Pi
Т'2 Тг’
из которого находим температуру Т2 в конце изохорического на­
гревания:
р,
D-
2'
2
Н2
Тг
т21
I
f)
1
1
Ъ
|
1
____________
и
V#
V2V
Рис. 3.7
т'2=£з-Ту
Pi
Температура Т2 и объем газа V2 в точке 2 ' в процессе изобари­
ческого нагревания связаны с температурой Т2 и объемом газа V t
в точке 2 соотношением
Подставляя в это
Л
т'
12
у
— . (Докажите!)
уравнение температуру 7 2 =
ViPi _Yi
Pji Tj
Откуда следует:
Тг T2‘
p£i
Pi
получаем:
Начальное и конечное состояния газа (точки 1 и 2 ) были выбра­
ны совершенно произвольно. Можно было бы взять в качестве
начального и конечного состояний другие точки. Процесс перевода
газа из состояния 1 в состояние 2 также можно было бы совершить
по-иному, нагревая, например, газ сначала изобарически, а затем
изохорически. Однако в любом случае можно показать, что началь­
ное (1) и конечное (2) состояния газа всегда связаны между собой
соотношением
PiVi Р*У*
Гг
или, по-другому, что в состоянии
теплового равновесия*для данной массы газа справедливо соотно­
шение
pV
Г
const.

Неизвестную постоянную удалось вычислить после того, как
итальянским физиком Авогадро был экспериментально установлен
закон, что один моль любого газа при давлении в 1 атм и температу­
ре 0° С занимает объем 22,4 л.
Подставляя эти данные в найденное соотношение, для моля
газа получим постоянную
PV
т
8,3 ———.
моль•К
Эту величину обозначают буквой R и называют универсальной
газовой постоянной.
Для произвольной массы газа т постоянную легко найти,
учитывая, что в состоянии теплового равновесия "масса газа рас­
пределена равномерно по объему. Если моль газа массой р, занимает
объем Уц, то тот же газ массой т занимает при тех же условиях
объем V = т-^ -» где JiL —объем, занимаемый 1гвещества. Из
(*
р
dV
пцУ
уравнения —Л. = R находим:
= R,или
Т
шТ
pV= — RT.
И
Это уравнение и называют уравнением состояния газа.
Уравнение состояния в форме
= const было впервые полу­
чено Клапейроном, а для произвольной массы газа уравнение со­
стояния в форме p V = — R T было записано Менделеевы^. Поэ-
Р
тому часто уравнение газового состояния называют уравнением
(или законом) Менделеева — Клапейрона.
Следует отметить, что в реальных условиях ни один из газов
не подчиняется строго уравнению Менделеева — Клапейрона.
Правда, отклонения от закона Менделеева — Клапейрона фактиче­
ски исчезают для достаточно разреженных газов. Однако при низ­
ких температурах и больших плотностях начинаются заметные
отклонения от этого закона. То же самое происходит и при доста­
точно высоких температурах (порядка тысячи и нескольких тысяч
градусов) для газов из многоатомных молекул. При этих темпера­
турах начинается распад молекул газа на атомы. При еще более
высоких температурах начинается распад атомов на электроны и
ионы и любой газ перестает подчиняться уравнению Менделеева —
Клапейрона, даже при еколь угодно малых плотностях.
Газ, строго подчиняющийся уравнению Менделеева — Клапей­
рона, называют идеальным газом.
Для идеального газа из уравнения Менделеева — Клапейрона
следует, что при постоянной температуре величина
pV = const.

Этот закон был открыт в 5CVII ве­
ке независимо друг от друга ан­
гличанином Бойлем и францу­
зом Мариоттом. Поэтому он Н0‘
сит название закону Б о й-
ля—Мариотта. Давление
газа, как это видно, изменяется
обратно пропорционально его
объему. График изотермического
процесса в координатах Р и V
изобразится кривой, определяе-
„
const /
мои уравнением р = —у
-
фис.
3.8). Эта кривая, как известно
из математики, называется ги­
перболой. Нетрудно сообразить,
как будут расположены на этом графике изотермы одной и
той же массы газа для разных температур. Для этого можно ю с -
пользоваться, например, уравнением Менделеева — Клапейрона.
Постоянная величина— RT в законе Бойля— Мариотта увеличи­
вается с ростом температуры, поэтому изотермы в координатах р
и V при увеличении температуры будут располагаться на графике
выше.
3.5 . ЗАКОН ДАЛЬТОНА.
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ГАЗОВОЙ СМЕСИ
В обычных условиях чаще приходится иметь дело не с чистым
газом (кислородом, азотом и т. д .), а со смесью нескольких газов.
Так, например, воздух состоит из смеси азота, кислорода, углекис­
лого и других газов.
Каждый из газов в смеси вносит свой вклад в давление, создава­
емое смесью. Давление, оказываемое какой-либо компонентой смеси
на стенки сосуда, когда все другие компоненты газа удалены из
объема, называют парциальным давлением. Английский физик
Дальтон экспериментально установил, что для достаточно разре­
женных газов давление газовой смеси равно сумме парциальных
давлений р и р й,
:
P=Pi+Pz+ •••
.
а парциальное давление каждой из компонент смеси подчиняет­
ся при этом уравнению Клапейрона — Менделеева:
PlV= ^ RT,PiV= -^RT,... ,ptV= ^ RT,
Hi
И2
И/
где V — объем смеси, Т — ее температура, mt —масса, а ^ —
молярная масса i -й компоненты смеси.
Уравнение состояния газовой смеси легко найти из закона
Дальтона. Для этого нужно подставить в уравнение р ==р1 +

+ ра + ... парциальные давления, найденные из уравнения со-
стояния каждой компоненты p t =
• —р -, и умножить правую
и левую части полученного равенства на объем, т. е.
Законы идеальных газов, найденные опытным путем, находят
довольно простое объяснение в молекулярно-кинетической теории.
Она исходит при этом из упрощенных представлений о строении
газа. Это обусловлено рядом причин, в частности неточным зна­
нием сил взаимодействия между молекулами. Однако, как оказы­
вается, даже такая упрощенная модель газа позволяет найти урав­
нение состояния, правильно описывающее его поведение.
В молекулярно-кинетической теории принимается следующая
идеализированная' модель. Молекулы газа считаются твердыми,
абсолютно упругими шариками. Взаимодействие между молекула­
ми появляется только при непосредственном столкновении их
друг с другом. Между столкновениями молекулы движутся по инер­
ции. Движение молекул подчиняется законам механики Ньютона.
Для нахождения уравнения состояния газа необходимо сделать
еще одно важное упрощающее предположение, а именно считать
движение любой молекулы газа беспорядочным, хаотичным.
Давление, которое оказывает газ на стенку сосуда, есть резуль­
тат ударов молекул газа о стенку. Если бы в сосуде содержалось
всего несколько молекул, то их удары следовали друг за другом
редко и беспорядочно. Поэтому нельзя было бы говорить ни о ка*-
кой регулярной силе давления, действующей на стенку. Стенка
подвергалась бы отдельным практически мгновенным бесконечно
малым толчкам. Если же число молекул в сосуде очень велико, то
велико и число ударов их о стенку сосуда. Одновременно о стенку
сосуда ударяется громадное количество молекул. Очень слабые
силы отдельных ударов складываются при этом в значительную по
величине и почти постоянную силу, действующую на стенку. Сред­
нее по времени значение этой силы, отнесенное к единичной пло­
щадке, и есть давление газа, с которым имеет дело термодинамика.
Вычислим среднее давление газа на стенку сосуда. Для просто­
ты считаем, что газ находится в прямоугольном сосуде объемом V.
За один удар молекула передает стенке импульс fbt, где бt —
время соударения. Для. нахождения среднего значения силы давле­
ния промежуток времени усреднения At должен быть выбран много
большим времени соударения б/, т. е. At > б/.
Введем систему координат. Ось X направим перпендикулярно
стенке, а оси Y и Z пусть лежат в плоскости стенки и перпендику­
лярны друг другу (рис. 3.9).
3.6 . МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Все молекулы газа, распо­
ложенные на расстоянии / =
= vxAt, долетят до стенки и
ударятся о нее (заметим, что
молекулы, расположенные на
расстоянии, большем /, не ycnte-
ют долететь до стенки). Если
число молекул в единице объ­
ема равно п , а площадь стенки
S, то стенка за время Af полу­
читг = —nSl——nSv,А/уда-
2
2х
ров. (Коэффициент- j учитывает,
что к стенке движется только по­
ловина всех молекул газа.) В
этой формуле предполагается,
что молекулы имеют одинаковую скорость vx . Эго, однако, не так.
Скорости молекул газа различны. Найденная формула определяет
число ударов молекул, имеющих скорость v x и плотность л. Разобь­
ем все молекулы газа в единице объема на группы, имеющие одина­
ковые по величине скорости внутри каждой группы, и эти группы
занумеруем 1, 2, 3, . .. . Номер группы будем отмечать значком t, на­
пример п.[, v lx ((-я группа, имеет плотность щ и скорость v lx). Тогда
число ударов молекул i-й группы z, = — n plxSM.
2
Дальнейшая процедура вычислений зависит от характера взаи­
модействия молекул со стенкой. Обычно считается, что удар моле­
кул о стенку происходит абсолютно упруго, а сама стенка идеально
гладкая и молекула после удара отражается от нее под тем же уг­
лом, под каким она падала на стенку, или, как говорят, зеркально.
Однако ясно, что никаких гладких стенок не существует: ведь
стенка сама состоит из молекул. В этом случае при столкновении
со стенкой молекулы от нее отлетают не по закону зеркального
отражения. Молекулы i -й группы после удара имеют самые различ­
ные по величине и направлению скорости. Поэтому вычисления
ниже мы проводим без привлечения каких-либо специальных пред­
положений относительно законов отражения молекул от стенок сосу­
да. Единственное предположение, которое сделано при этом, со­
стоит в том, что молекула в среднем не теряет и не приобретает
энергии при отражении.
Рассмотрим сначала, как происходит передача импульса стенке
в направлении оси X . При ударе о стенку проекция скорости на
ось X , равная — v lx, меняется по направлению и становится рав­
ной + v Jx. Здесь индекс i заменен на /, так как после столкновения
молекула может перейти уже в другую скоростную группу. Суще­
ствует такой момент времени, когда проекция скорости молекулы
на ось X обращается в нуль. Эго позволяет разбить мысленно прб-

цесс взаимодействия газа со стенкой на два этапа: торможение мо­
лекулы от скорости — vlx до 0 и разгон ее стенкой от 0 до + v )x.
Импульс, получаемый стенкой при торможении за один удар, равен
О— (—mvlx ) = mvu , где т — масса молекулы. За время At i-я
группа молекул ударится о стенку zi раз и передаст ей импульс
силы Fu A t, равный
FuAt = mvb2iAt =
ntmvu SAt.
Суммируя импульсы сил торможения от всех групп молекул,
найдем полный импульс торможения:
= (Fn+Fla+ ... +Fw)At=
=j
+ n2vlx+ ... +nNifiNx)mSAt.
При разгоне молекулы стенкой от нуля до - \ - V j x стенка получает
импульс
mvjx—0 = mvJx,
подобно тому как получает импульс отдачи орудие при стрельбе.
За время A t от стенки отлетит Zy молекул, имеющих скорость Vjx
и плотность rij, причем
=7"Аи­
стенка получит импульс отдачи F 2A t, равный
F2At = j (ЛхО?, +
+ ... + n NtPNx)mSAt
(здесь проведено суммирование по всем группам молекул).
В математике среднее значение некоторой величины А , прини­
мающей разные значения Л„ где i — 1, 2,
, N , определяется
формулой
^
+••.+AN
~
N
Учитывая это определение, введем понятие средней квадратичной
скорости молекулы
~2_
nfl\x
«♦» + nN v<Nx
«1+Л»+ •••+nN
Выражение средней силы торможения и отталкивания примет
тогда вид:
Fi—\ nmvl «$. Fa= i-ntnv?S,
где n — tix + n2+ ... -f njv— число молекул в единице объема.

Ясно, что на стенку обе силы действуют одновременно и сделан­
ное разбиение есть формальный математический прием.
Полная сила F , действующая вдоль оси X , равна:
F=Fj+Fa= nmv2S.
Из физических соображений легко заключить, что суммарный
импульс, переданный стенке вдоль оси Y или Z, равен нулю. Дейст­
вительно, ввиду полной хаотичности движений молекул газа лю­
бой молекуле, подлетающей к стенке со скоростью + v yt найдется
молекула со скоростью —v r Импульс, переданный стенке этой
парой молекул, равен нулю.
*
Таким образом, давление газа р , оказываемое на стенку сосуда,
равно:
р=-j =ntnv\.
Аналогичную формулу можно получить для давления газа вдоль
осей Y и Z на другие стенки сосуда, где вместо величины v 2 будет
стоять о2 или и2.
Ясно, что вследствие хаотичности движения молекул направле­
ние X ничем не отличается для них от направления Y или Z. По­
этому средний квадрат скорости движения по любому направлению
должен быть одним и тем же, т. е.
v2=v2=о2.
х
у
г
Вспоминая, что полная скорость молекулы удовлетворяет соот­
ношению v* = v 2 + v 2 + v 2, для среднего квадрата полной
скорости имеем:
о2=Ъ2х+ v2+ о2=Зо2.
1т,
Подставляя полученное значение v 2 = — v 2 в формулу
р = nmv2, найдем:
р= 4-nmv2.
3
Заметим, что величина
есть средняя энергия Е поступа-
2
тельного движения молекул. Поэтому полученную формулу можно
записать в другом виде:
p-lng.
Н3
Если теперь вспомнить, что число молекул в единице объема п
КТ
N
связано с полным числом молекул газа N соотношением л = — ,

где V — объем газа, то выражение р = * —пЕ удобно записать в фор-
ме, напоминающей закон Менделеева — Клапейрона:
pV= - NE.
и
з
3.7 . МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТЕМПЕРАТУРЫ
Дальнейшее построение молекулярно-кинетической теории
идеального газа обычно завершается сравнением полученного урав­
нения p V — — N E с уравнением Менделеева — Клапейрона p V —
3
= R T для моля газа. Необходимо при этом воспользоваться зако­
ном Авогадро, который утверждает, что в одном моле газа содер­
жится N a = 6,02 1023 молекул.
Можно показать, что средняя энергия молекул любого газа для
одной и той же температуры не зависит от сорта газа и одинакова
для всех молекул. Для этого нужно взять смесь газов, рассмотреть
столкновение молекул разных сортов и найти среднее значение их
энергий. Такая задача, однако, довольно сложна. Доказательство
независимости средней энергии от температуры проведено поэтому
здесь для следующей упрощенной модели.
Представим себе, что имеется цилиндрический сосуд (рис. 3.10),
разделенный пополам поршнем. Стенки сосуда считаем теплоне­
проницаемыми. Пусть справа от поршня находится газ плотностью
пх и имеющий молекулы массой щ , а слева — газ плотностью п г
и массой молекул т г . Считаем поршень очень легким и теплопрово­
дящим.
Если система предоставлена самой себе, то через некоторое
время она придет в состояние теплового равновесия. Это означает,
что давление и температура газов справа и слева от поршня равны
между собой, т. е.
пхт^1 = пгтгь\, 7\=Т2.
Давление на поршень справа и слева в среднем одинаково.
Однако в каждый данный момент времени поршень испытывает
неодинаковое число ударов справа и слева, вследствие чего пор­
шень будет дрожать около свое­
го положения равновесия.
Газы считаем достаточно раз­
реженными, поэтому можно най­
ти время, хотя и ничтожно ма­
лое, но конечное, в течение ко­
торого о поршень ударяется
всего одна молекула.
Рассмотрим столкновение (аб­
солютно упругое) какой-либо
молекулы с поршнем. Пусть vl x
—
скорость молекулы вдоль
P2- i m2W[
1
Pis3mw }

оси X до удара, а и1х — скорость молекулы после удара, V — ско­
рость поршня до удара, U — скорость поршня после удара. Ис­
пользуя законы сохранения энергии и импульса, имеем:
т^1х+МУ=тхы1х+MU,
т10и+
= щи\х+ MU*,
где Af — масса поршня, т 1 — масса молекулы.
Из этих уравнений после несложных преобразований найдем
скорость молекулы после удара:
Пх
_
2MV— (M — mt)vlx
M+ mx
а для кинетической энергии получим выражение
tntu\x _ ^ 4M*V*— 4УИ(М —mt) Vvlx + (Af— m,)* of,
2
1
2(Af+ mt)
Чтобы найти среднее, значение энергии И 1- ! * . , воспользуемся
свойством, что среднее арифметическое значение суммы равно сум­
ме средних арифметических значений слагаемых. Таким образом,
щи%х
4Af*V* —4М(М—mx)Vvlx + (М—mt)*of,
—-—
=• t t l , ------------------------------- -------------------- -
2
2(М+тд
Среднее значение величины V vlx равно нулю. Действительно,
величина v lx имеет всегда один и тот же знак (vlx — скорость мо­
лекулы до удара). Поршень же в результате ударов молекул спра­
ва и слева смещается из положения равновесия то в одну, то в
другую сторону. Скорость поршня будет принимать одинаковое
число раз положительное и отрицательное значения. Поэтому при
нахождении среднего значения V vl x =
(V'v'lx + W lx + ...),
где N — число ударов, а V и v ’x — скорость поршня и молекулы
соответственно, число положительных и отрицательных слагаемых
примерно одинаковое, а сама сумма равна нулю. Следовательно,
т1“и _ т, 4М*У*+ (М—тУ1х
2“2
М-\-т1
В состоянии теплового равновесия средняя энергия молекул
2'
2
одинаковая, т. е . -mi“lx _ WlP|*
2
2
Подставляя в найденную формулу вместо
равную ей
tn хР
величину —lPi f „ 1 .
где v f — средняя квадратичная ско-'

рость молекул первого газа, после несложных преобразований
найдем:
2
Применяя аналогичные рассуждения для второго газа, получим:
"ЧО2
2
=-MV%.
2
Таким образом, в состоянии теплового равновесия средняя энер­
гия любых молекул имеет одно и то же значение, т. е. средняя
кинетическая энергия молекул обладает основным свойством тем­
пературы — в состоянии теплового равновесия она одинакова для
всех молекул газов, находящихся в тепловом контакте, а также
для различных молекул газовой смеси. Величину Е можно принять
поэтому за меру температуры газа. В этом и состоит физический
смысл температуры с молекулярно-кинетической точки зрения.
Обычно полагают, что
где коэффициент пропорциональности k называется постоянной
Больцмана.
Такой выбор коэффициента пропорциональности обусловлен
тем, что подстановка Е в уравнение p V =
дает выражение
p V = N k T , напоминающее закон Менделеева — Клапейрона p V =
= RT.
Равенство средних энергий молекул различных газов в состоя­
нии теплового равновесия позволяет также установить теоретически
закон Авогадро, утверждающий, что в равных объемах газа при
одинаковых давлениях и температурах содержится одинаковое
число молекул. Действительно, из выражений
PiV1 =
и p2V2 = N2kT2
следует, что при р х = р2,
= К2 и 7\ = Тг количество молекул
N t одного газа равно количеству молекул N 2 другого газа, т. е.
Ni=Nt.
Постоянная Больцмана k находится из сравнения уравнений
pV = NakT и pV = RT для моля газа, где Na— число молекул
в одном моле, равное числу Авогадро, т. е.
k
По современным данным, k = 1,3803 • 10“** Д ж/К.
3 А. П, Кирьянов. С . М. Коршунов
65

Задача 3.1. На сколько градусов надо нагреть воздух внутри
воздушного шара, чтобы он взлетел? Объем оболочки Шара V =
= 525 м3, масса т = 10 кг. Атмосферное давление р == 765 мм
рт. ст., температура окружающего воздуха t = 27° С. Молярную
массу воздуха принять равной ц = 29 г/моль. Оболочка воздуш­
ного шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отвер­
стие.
Решение. Д ля того чтобы воздушный шар мог взлететь,
выталкивающая сила F \ должна быть больше силы тяжести:
FA>(m + тл)g,
где т1 — масса горячего воздуха внутри шара, т — масса обо­
лочки.
Архимедова сила Fa = m^g, где т г — масса воздуха, вытеснен­
ного шфом.
Условие плавания шара примет при этом вид:
m2>т+ mv
(1)
Массу вытесненного воздуха т 2 и горячего воздуха т1 найдем
из уравнения Менделеева — Клапейрона:
т
ypV
RT'
т1 урУ
RTX
(2)
Давление атмосферы и горячего воздуха одинаковое, так к а к
по условию задачи атмосфера и воздух внутри шара сообщаются
между собой. В то же время температуры их различны. Это обуслов­
лено тем, что воздух — плохой проводник тепла и поэтому тепло­
вой поток, идущий из небольшого отверстия в нижней части воз­
душного шара, незначителен.
Подставляя уравнения (2) в уравнение (1), получим:
Т>
^ pVT
1 ypV— (iRT ’
из которого следует:
Т1—Т =
mRT*
ypV—mRT ’
7\—Т 5К.
Задача 3.2. Найдите атмосферное давление на высоте Н =
= 100 м, если давление воздуха у поверхности Земли 760 мм рт. ст.
Температура воздуха 27° С. Молярная масса воздуха 29 г/моль.
Решение. Выделим мысленно столб воздуха высотой Н
и поперечным сечением S (рис. 3 .11). Если высота столба неболь­
шая, то можно считать плотность воздуха в любой точке столба
одинаковой. В обычных условиях воздух неподвижен, поэтому
сила притяжения его к Земле должна быть равна разности сил
давления F = p0S и Ft = pS, действующих на воздух:
mg = (Po—p)St

где т= рHS—масса воздуха, р —его
плотность, р0 — давление у поверхности
Земли, р — давление воздуха на высоте Я.
Из этого уравнения получим:
Р=■Ро— PiH-
Плотность воздуха найдем из уравне­
ния Менделеева — Клапейрона:
Таким образом,
р» 735 ммрт. ст.
Найденная формула р = р0 — pgH справедлива, пока величина
\lffH
DT
^— .«С1 или высота Я <
= 8,6 км,
что выполняется в
RT
pg
задаче. Практически формулой р = р0 — pgH можно пользоваться
до высоты в 1 км.
Задача 3.3. Закрытый сосуд разделен на две равные части
твердой неподвижной полупроницаемой перегородкой. В первую
половину сосуда введена смесь аргона и водорода при давлении
р = 1,5 108 Па, во второй половине вакуум. Через перегородку
может диффундировать только водород. После окончания процесса
диффузии давление в первой половине оказалось равным р' = 108Па.
Определите отношение масс аргона и водорода в сосуде. Атомная
масса аргона р а = 40 г/моль, молярная масса водорода р в =
= 2 г/моль. Считать, что температура во время процесса поддержи­
валась постоянной.
Решение. Процесс диффузии протекает очень медленно.
Поэтому сразу после введения смеси в первую половину сосуда
водород не успевает продиффундировать сквозь перегородку и
начальное давление р создается смесью газов:
Р=Ра+ Р„
(1)
где рл — парциальное давление аргона, рв — парциальное давле­
ние водорода.
Давления р а и ра найдем из уравнения состояния!
РвУ= ^ RT,pBV= — RT,
(2)
Ра
Рв
где V — объем половины сосуда, т а и т0 — соответственно мас­
сы аргона и водорода, Т — температура сосуда.

Подставляя давления р в и р в из уравнений (2) в уравнение (1),
получим:
Р= И*.4 .“гЛrt t=(^- 4 -JMИ*.кг,
vPa Рв/
\тв
Рв/Ра
(3)
После окончания процесса диффузии водород займет весь объем
сосуда, так как перегородка для него проницаема.
Подчеркнем, что водород будет находиться в обеих половинах
сосуда, причем плотность его во всех точках еосуда будет одинако­
вой. Действительно, предположим, что плотность водорода в пер­
вой половине Пх меньше плотности п г во второй половине сосуда
(tix < л2). Поскольку температура в обеих половинах поддержи­
вается постоянной, то средниескорости молекул в сосуде одинако­
вые. За время At из объема v S A t вблизи перегородки во вторую
половину сосуда уйдет
nxvS At молекул водорода, а в первую
половину сосуда за то же время At из второй половины придет
— n2vSAt. В результате этого в первой половине сосуда число мо-
6
лекул возрастет на величину AN = — (п2 — n t) vS At. Этот рост
6
прекратится, когда п 2 станет равным пх. (Коэффициент — по-
-
6
явился вследствие того, что имеется б различных направлений
движения молекул, но к перегородке движется в среднем только —
6
часть всех молекул.)
Давление р ' в первой половине сосуда станет равным
p'= pt+р
(4)
где />' — давление водорода в конце процесса диффузии. Давление
аргона не изменится.
Из уравнения состояния для водорода имеем:
,щ
RT
Рв Рв*W ‘
(б)
Подставляя выражения (5) и (2) в уравнение (4), найдем:
_/
_
/т*_
,
тв\RT=/та.
,
Ра\тв^RT
IРа 2р„) V \т„ 2рвjЦа V ’
(6)
Разделив уравнение (6) на (3), после несложных преобразова
ний получим:
та_На.2р'—р
_
400,5_^
тв
Нв 2(р—р') 2 1
Задача 3.4 . Исходя из молекулярных представлений, оцените
размер и массу молекул воды, спирта и ртути. Химическая форму­
ла спирта СаНцОН, его плотность 0,79 г/см8. Плотность ртути
13,6 г/см8.

Решение. Число молекул в 1 моле любого вещества равно
числу Авогадро N a = 6,02 • 10*3 моль-1 . Считаем молекулы шари­
ками, плотно прилегающими друг к другу. Тогда на каждую мо-
ческий корень из этого объема, найдем диаметр молекул. Молярный
объем V равен:
где р — молярная масса, р — плотность вещества. Из этого выра­
жения находим:
Для спирта dt л* 4,6 ■ 10~* см, для ртути ^ г» 2,3 • 10-8 см, для
воды d s да 3 • Ю-8 см, т. е. размеры молекул по порядку величины
совпадают.
Масса молекулы т равна:
масса молекулы спирта 7,8 • 10-м г, ртути 3,3 • 10-м г, воды
3•КГ23г.
1. Постройте график изотермического процесса идеального
газа постоянной массы в координатах р и V, V и Т, р и Т. Как рас­
положены на графиках изотермы одной и той же массы газа при
разных температурах?
2. Постройте график изобарического процесса идеального газа
постоянной массы в координатах р и V, V и Т, р и Т. Как располо­
жены на графиках изобары одной и той же массы газа при разных
давлениях?
3. Постройте график изохорического процесса идеального газа
постоянной массы в координатах р и V, V и Т , р и V. Как располо­
жены на графиках изохоры одной и той же массы газа при разных
объемах?
4. На рисунке 3.12 изображен процесс изменения давления иде­
ального газа при изменении объема. Как можно определить харак­
тер изменения температуры газа? Начальное состояние газа указа­
но цифрой 1. Масса газа постоянна.
б.
Над постоянной массой идеального газа был совершен тви­
довой процесс, зависимость в' котором объема от температуры
Ьредставлена на рисунке 3.13. Определите изменение давления
раза в тепловом процессе при переходе из состояния 1 в состояние 2.
6.
При нагревании идеального газа была получена зависимость
давления от абсолютной температуры, изображенная на рисунке 3.14.
р
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Определите, что производилось во время нагревания гааа .
тие или расширение.
' сжа’
7. Нагревается или охлаждается идеальный газ, если 0и
Ь
п рас­
ширяется по закону р = — , где b и п — некоторые постоЯнные
причем0<п<1?
8. Над постоянной массой идеального газа совершили Цикличе­
ский процесс: газ изотермически перевели из состояния / в со_
стояние 2, а затем из состояния 2 в состояние 1 (рис. 3 .15). Изобра­
зите этот процесс в координатах V и Т.
9. Циклический процесс, совершаемый постоянной массой газа>
изображен в .координатах V и Т на рисунке 3.16. Представьте тот
же процесс в координатах р и Т , р и V, обозначив соответствующие
точки.

10.
В цилиндре, наполнен­
ном газом, поршень переме­
щается со скоростью и (рис. 3.17).
Скорость движения поршня
много меньше тепловой скорости
молекул газа. Исходя из моле­
кулярно-кинетических представ­
лений, определите, что будет
происходить с температурой га­
за. Изменится ли ответ, если
поршень движется с той же
скоростью, но в противополож­
ную сторону? Стенки цилиндра
и поршень считать теплонепро­
ницаемыми.
И . Оцените тепловую ско­
рость молекул азота и кислоро­
да при температуре О0 С.
12. Почему при одинаковом давлении горячий воздух легче хо­
лодного?
13. Со дна водоема поднимается пузырь. Как меняется с глуби­
ной сила, выталкивающая его из воды?
14. При надувании воздушного шара температура и давление
воздуха в нем практически не изменяются, а объем шара заметно
увеличивается. Как это согласовать* законом Бойля — Мариотта?
15. Проделайте такой опыт. Возьмите стакан, до половины на­
полненный водой, и накройте его листом бумаги (рис. 3.18). Плотно
прижмите бумагу рукой и переверните стакан вверх дном. Убе­
дившись, что бумага расположена горизонтально, уберите руку
от бумаги. Вода не выливается! Объясните этот опыт.
ЗАДАЧИ
1.
Цилиндр, закрытый сверху поршнем, соединен короткой
тонкой трубкой с откачанным сосудом (рис. 3.19). При закрытом
кране под поршень вводится некоторое количество газа. Объем,

занимаемый этим газом в цилиндре, равен
объему нижнего сосуда. Какая часть мас­
сы газа останется в цилиндре после того,
как кран открыли? Температура газа в
цилиндре поддерживается постоянной и
равной — 173° С, а в сосуде — 127° С.
2. Воздушный шар, наполненный во­
дородом, имеет объем 100 м8. Чему равна
подъемная сила шара у поверхности Зем­
ли? Давление и температура водорода и
атмосферы одинаковые и составляют соот­
ветственно 760 мм рт. ■ст. и 20° С. Масса
оболочки шара 9 кг. Молярную масеу воз­
духа принять равной 29 кг/ймоль.
3. В откачанном сосуде емкостью V — 1 л
находится 1 г гидрида урана UH3. При
нагревании до температуры t = 400°С гид­
рид полностью разлагается на уран и водород. Найдите давление
водорода в сосуде при этой температуре. Атомная масса урана
А=238.
4. Цилиндрический сосуд разделен подвижным, хорошо прово­
дящим поршнем на две части. В начальный момент справа от поршня
находится кислород, а слева — смесь гелия и водорода (рис. 3.20).
Масса кислорода 32 г. Поршень при этом располагается посредине
сосуда. Материал поршня, непроницаемый для водорода и кисло­
рода, оказался проницаемым для гелия, в результате чего поршень
начал перемещаться и окончательно расположился на расстоянии
четверти длины цилиндра от левой стенки. Определите массы гелия
и водорода в смеси.
5. В сосуде находится смесь азота и водорода. При температуре
Т, когда азот полностью распался на атомы, а водород находится
еще в молекулярном состоянии, давление равно р. При температу­
ре 2Т , когда оба газа полностью диссоциированы, давление в со­
суде 3р. Каково отношение числа молей азота и водорода?
в. В сосуде объемом 1 л хранится тритий (изотоп водорода с
атомной массой А = 3). Масса трития 1 г. За 12 лет половина ядер
трития превращается в ядра
гелия. Найдите давление в со­
суде в конце этого срока. Тем­
пература газа поддерживается
равной 27° С. Образовавшийся
гелий имеет атомную массу,
равную 3.
7.
Насколько изменится
подъемная сила воздушного ша­
ра объемом 100 м8, изготовлен­
ного из герметичной нерастяжи­
мой оболочки, при подъеме на
Рие. 3.20
гшжи
-
Ж
Рис. 3.10

высоту 200 м? Давление атмосферы у поверхности Земли 760 мм рт. ст.
Температура у поверхности и на высоте 200 м одинакова и
равна 27° С. Молярную массу воздуха принять равной 29 кг/кмоль.
Изменением силы земного притяжения пренебречь.
8. Нерастяжимая оболочка шара-зонда объемом V = 75 м8
имеет в нижней части небольшое отверстие. Масса оболочки т =
= 7 кг. Шар наполнен водородом. Определите, на какую макси­
мальную высоту сможет подняться этот шар-зонд, если известно,
что атмосферное давление уменьшается в 2 раза через каждые
Л = б км высоты. Давление воздуха у поверхности Земли 10® Па.
Температура воздуха в стратосфере t = —53° С, температура водо­
рода равна температуре окружающего воздуха. Молярная масса
воздуха |л = 29 кг/кмоль.
9. Тонкостенный стакан массой 40 г медленно опускают в воду
вверх дном таким образом, чтобы он все время оставался в верти­
кальном положении. На какой глубине стакан начнет тонуть?
Объем стакана 200 см8. Атмосферное давление 106 Па.
10. Масса М пороха, сгорающего в 1 с в камере ракетного дви­
гателя, зависит от давления р по закону М = Арп, где А ил —
постоянные. Скорость истечения газа из сопла пропорциональна
давлению в камере. Во сколько раз отличаются давления в каме­
рах ракетных двигателей, если сечения их сопел равны S x и S 8?
5S
Рассмотреть случай, когда л
= 2 . Температура в каме-
352
рах одинаковая.
11. В сильно разреженный воздух помещен плоский диск, одна
из сторон которого нагрета до температуры 40° С, а другая до 20° С.
Определите силу, которую нужно приложить к диску, чтобы он
оставался неподвижным. Площадь диска S =* 100 сма. Давление
воздуха р «= 10“8 мм рт. ст., температура 20° С.
Указание. Для решения задачи нужно предположить,
что молекула отражается от диска со скоростью, определяемой тем­
пературой соответствующей поверхности.
12. В цилиндре, наполненном идеальным одноатомным газом,
поршень перемещается со скоростью и, много меньшей скорости
молекул газа (см. рис. 3.17). Исходя из молекулярно-кинетических
представлений, найдите скорость изменения внутренней энергии
газа, считая заданными в любой момент времени внутреннюю энер­
гию U и объем газа V. Площадь поршня S.
Ответы на контрольные вопросы
1.
Из уравнения Менделеева — Клапейрона для постоянной
массы газа т найдем зависимость давления р от объема V в изотер­
мическом процессе:
где
Р=
mRT I
в
р'VV’

В координатах р и V график р = у - изображен на рисунке 3.21.
С ростом температуры коэффициент а увеличивается.
При одинаковых объемах давление газа больше там, где больше
температура (см. рис. 3.21). Поэтому изотерма с температурой
Т 2 > 7 \ будет расположена на графике выше изотермы с температу­
рой 7 \. Графики изотерм в координатах р и Т, V и Т представ­
лены на рисунках 3.22 и 3.23.
2.
Найдем зависимость объема газа V от температуры Т в изоба­
рическом процессе, воспользовавшись уравнением газового состоя­
ния:
V=
Т=ЬТ.
где
Ь
mR
цр‘
В координатах V и Т график изобары представляет прямую
линию (рис. 3 .24). С увеличением давления постоянная b уменьшает­
ся. Угол наклона прямой при этом также уменьшается. При одной
и той же температуре объем больше для той изобары, где давление
меньше.
Графики изобар в координатах р и V, р и Т приведены на рисун­
ках 3.25 и 3.26.
3. Зависимость давления газа р от температуры Т в изохориче-
ском процессе легко найти из уравнения Менделеева — Клапей­
рона:
Р=
—77Т=СТ,
цУ
где с=
V-V
График изменения давления в изохорическом процессе от тем­
пературы в координатах р и Т представлен на-рисунке 3.27. С уве­
личением объема коэффициент с уменьшается, поэтому наклон
прямой уменьшается с ростом объема (при одной и той же темпера­
туре давление газа больше в том изохорическом процессе, где объем
меньше).
Графики изохор в координатах V и Т , р и V представлены на
рисунках 3.28 и 3.29.
4. Для ответа на вопрос воспользуемся уравнением Менделеева—
Клапейрона. Для постоянной массы газа достаточно задать две
величины р и V, чтобы найти третью. Проведем на графике (см.
рис. 3.12) ряд изотерм пунктиром, как указано на рисунке 3.30.
В точках пересечения изотерм и кривой 1—2 объемы и давления
газа на кривой и изотерме совпадают; следовательно, совпадают
и температуры. Поэтому от точки 1 до точки а температура газа
увеличивается (см. ответ на вопрос 1). От точки а до точки b тем­
пература газа уменьшается. Далее температура опять возрастает.

Рис. 3.21
Рис. 3.22
V1
V,
/
v2М
\Рг>р1
Г)
к
\
\
\
и
Ъ
*7
Рис. 3 .24
Р]
Ян2
р.
Г)и
Т
Рис. 3.25
Рис. 3.26

Рис. 3.28
р,
3 \\\\
\\\nJN
Ч\ч'
\
0
V
Рис. 3.30
Р
Л
/
2
'''t y
//
//
f-
О
Т
Рис. 3.32
/

б.
Проведем на графике (см. рис. 3.13) систему изобар (рис. 3.31).
В точках пересечения изобар с кривой 1—2 объемы и температуры
на изобарах и кривой совпадают. Следовательно, будут совпадать
и давления. Наклон изобар от точки 1 до точки а уменьшается.
Поэтому давление газа увеличивается (см. ответ на вопрос 2).
От точки а до точки 2 давление газа возрастает.
6. Проведем на графике (см. рис. 3.14) систему изохор (рис. 3.32).
Наклон изохор от точки 1 до точки 2 уменьшается, следовательно,
объем газа возрастает и газ расширяется.
7. Покажем, что график зависимости р = — при 0 < п < I
будет идти более полого, чем изотерма. Построим для этого график
изотермы и график расширения газа р = — .
Пусть оба графика
пересекаются в точке с координатами р0 и У0 (рис. 3.33). Тогда
pV = p0V0 и pVn = р0Уол — b. Возьмем произвольный объем Vv
Давление на изотерме р х =
давление газа р[ — -!— ■. pj3
рисунка видно, что — > 1, или
Pi
<•>
Так как V% > V„* то Для того, чтобы неравенство (1) выполнилось,
должно выполняться условие п — 1 < 0, т. е. п < 1, что и требо­
валось показать. Построив далее на графике систему изотерм,
находим, что газ при расширении нагревается.
8. Построив на заданном графике (см. рис. 3.15) систему изо­
терм, легко увидеть, что температура газа при переходе из точки
2 в точку 1 сначала увеличивается, а затем уменьшается. Поэтому
в координатах V и Т процесс имеет вид, изображенный на рисунке
3.34.
9. Процессы 1—2 и 3 —4 изобарические, а 2 —3 и 4 — 1 изохори-
ческие. Давление на изобаре 1—2 меньше, чем на изобаре 3 —4.
Проведем в координатах р и Т изобары и изохоры (рис. 3.35). При
переходе из / в 2 температура растет, а из 3 в 4 падает, как и на
рисунке 3.16. Тот же процесс в координатах р и V изображен на
рисунке 3.36 . ■
10. Считаем для простоты, что удар молекул о поршень про­
исходит абсолютно упруго. Рассмотрим столкновение.молекул,
движущихся с поршнем в одном направлении. Используя закон
сохранения энергии и импульса, имеем:
mv-fМи=mv1+Muv
miP+ Mu2= mv\+ Mu\,
где m и M — соответственно массы молекулы и поршня, о и и —
скорости молекулы и поршня до удара,
и
—
скорости молеку­
лы и поршня после удара.

Решая эту систему уравнений, находим скорость молекулы
после удара:
М—т
2М
Vi = ------------ v 4----------- и.
Мт
т+М
Учитывая, что масса молекулы ничтожно мала по сравнению
с массой поршня (см. решение задачи 3.4), пренебрежем в этом вы­
ражении массой молекулы, тогда
с»!= —v+2и= —(о—2и).
Знак «минус» показывает, что после удара молекула движется
в противоположную сторону. Видно, что по абсолютной величине
Рис. 3 .33
р,
ч
3
1
2
0

скорость молекул после удара уменьшается. Следовательно, будет
уменьшаться и средняя энергия молекул газа. Таким образом,
гад как целое будет уменьшать свою температуру. Если поршень
движется в другую сторону (объем газа уменьшается), то знак ско­
рости поршня и надо заменить на противоположный. Скорость
молекулы после удара возрастает, а газ нагревается.
11. Используя связь средней кинетической энергии молекул
с температурой
найдем тепловую скорость движения:
2
2
где т — масса молекулы, Т — абсолютная температура, k — по­
стоянная Больцмана.
Таккакm=
и R = йЛ/д, где Мд— число Авогадро, а
na
R — универсальная газовая постоянная, находим:
Тепловая скорость азота 490 м/с, кислорода 460 м/с, т. е. ско­
рости оказываются примерно одинаковыми.
12. Считая воздух идеальным газом, запишем уравнение газо­
вого состояния в следующем виде:
р=
RT,
Р
гдер=
—
плотность воздуха. Поэтому при одинаковом давле­
нии, но разных температурах плотность воздуха тем меньше, чем
выше температура.
13. Давление в воде с глубиной увеличивается. При подъеме
пузыря давление газа уменьшается, а температура практически не
меняется, так как пузырь всплывает достаточно медленно. Объем
газа поэтому увеличивается по закону Бойля — Мариотта. Вы­
талкивающая сила при этом также возрастает, так как она равна
весу жидкости в объеме пузыря
воздуха.
14. При надувании воздуш­
ного шара масса газа непреры­
вно возрастает, поэтому увели­
чение произведения давления на
объем не противоречит закону
Бойля — Мариотта, справедли­
вому только для постоянной мас­
сы газа.
15. Если вы внимательно по­
смотрите на ладонь, то увидите,

ччго она не плоеная. Нажимая ладонью на бумагу,, вы прогибаете ее,
и часть воздуха из стакана вытесняется (см. рис. 3 .37). В перевер­
нутом положении вода опускается, и бумага под действием силы
тяжести воды становится плоской. Объем воздуха в стакане увели­
чивается, и давление в нем становится меньше атмосферного. Внеш­
нее давление поэтому и не дает воде выливаться из стакана.
Решения задач
1.
Давление газа до и после перемещения поршня в цилин­
дре одинаково, так как определяется только внешним давлени­
ем, которое в течение процесса не меняется. При открытом кране
газ из цилиндра будет переходить в сосуд до тех пор, пока дав­
ления в цилиндре и сосуде не сравняются. Начальное состояние
газа в цилиндре описывается уравнением
PV= — RTlt
(1)
И*
где р — давление, V — объем, т — масса газа, р — его молярная
масса, 7 \ — температура.
Если через т х обозначить массу газа, оставшуюся в цилиндре,
то в сосуд перейдет масса газа, равная т — m v Состояние газа в
сосуде подчиняется уравнению
рУ_. т—
щ,
(2)
где T t — температура сосуда.
Решая совместно систему уравнений (1) и (2), находим:
mi_
тt
ttl
Т2
=> 0,75.
2.
Подъемная сила F воздушного шара равна разности выталки­
вающей силы и сил тяжести водорода и оболочки шара:
F=g(щ—т2—т3),
где mi — масса вытесненного воздуха, т 2 — масса водорода, т 8 —
масса оболочки шара.
Массы воздуха и водорода найдем из уравнения Менделеева —
Клапейрона:
pV= — RT,
V-
откуда
mi=^-
1
RT
tn, =
\hpv
RT
где
и p2 — молярные массы воздуха и водорода.
Подставляя найденные массы в уравнение (1), получим!
F*itF^^
" т*й' F * 1035Н-

3. Давление водорода после полного разложения гидрида урана
найдем из уравнения состояния идеального газа:
mRT
р~
’
где т — масса водорода, р — его молярная масса, V и Т — объем
и температура сосуда.
Из 1 г гидрида получится — г «
г водорода. Таким обра-
30М>
р»03-10*Па.
4. В первый момент кислород и смесь водорода и гелия занима­
ют одинаковые объемы. Так как поршень хорошо проводит тепло,
то температуры в обоих частях сосуда можно считать одинаковыми.
Давления в начальный момент в обоих частях сосуда также следует
считать одинаковыми потому, что процесс диффузии очень медлен­
ный по сравнению с процессом выравнивания давления. Это позво­
ляет сделать вывод о том, что число молей газа справа и слева
одинаково, т. е. слева от поршня ввели 1 моль смеси.
В конечном состоянии на поршень оказывают давление только
кислород и водород, так как гелий проходит сквозь поршень сво­
бодно. В положении равновесия поршня давления кислорода p t
и водорода р г должны быть равны между собой:
Pi=Рз-
Из уравнения Менделеева — Клапейрона для кислорода и во­
дорода имеем:
-p.V=^RT,
тp2V=^Я7\
4
щ
4
14
где /nL и fflj - массы кислорода и водорода, th и (i2 — молярные
массы. Отсюда находим массу водорода:
та=}г.
2
8
Число молей гелия равно -г. Следовательно, гелия в смеси — г.
о
3
5. Обозначим через N число молей азота в смеси, а через М —
число молей водорода. При температуре, когда водород находится
в молекулярном состоянии, имеем следующее уравнение газового
состояния:
pV-(w+f)R7\
а при температуре 2Т:
ZpV=(ЛГ+ М)R•2Г.
Разделив одно уравнение на другое, после несложных преобразо­
ваний получим!

6.
Давление р х трития в начале срока хранения найдем из
уравнения Менделеева — Клапейрона:
Pl= nkT= — ■£1 Plда4,2 •105Па
И*
*
(здесь т — масса газа, V — объем, Т — температура, р = 6 г/моль—
молярная масса трития, п — число молекул в единице объема, k —
постоянная Больцмана).
Через 12 лет в единице объема вещества ^ молекул трития пре­
вратятся в п молекул гелия, так как каждая молекула трития со­
держит 2 атома. Давление р 2 в конце срока хранения создается
тритием и гелием:
Ра=±kT+nkT=i nkT,Рйat6,3•10*Па.
2
2
7.
Давление воздуха с высотой уменьшается, а следовательно,
уменьшается и плотность воздуха. Если у поверхности Земли
подъемная сила
Fl= mlg—Mgy
где т х — масса воздуха у поверхности Земли, вытесненного ша­
ром, М — масса оболочки воздушного шара, то на высоте h подъем­
ная сила
F, = tn-ig— Mg,
где т 2 — масса вытесненного воздуха на высоте h.
Подъемная сила уменьшилась на величину
AF= Fl—F2= (mj—т2)g= (рх—р2)gV,
где
—
плотность воздуха у поверхности Земли, р2 — плотность
воздуха на высоте h, V — объем шара.
Плотность воздуха найдем из уравнения Менделеева — Кла­
пейрона:
Pi RT'
т
RT'
где Pl и р2 — давление соответственно у поверхности Земли и на
высоте h.
Поэтому
AF=pPi—Ра
RT
gv.
Для дальнейших расчетов изменением плотности воздуха с вы­
сотой можно пренебречь и считать, что она постоянна и равна,
например, рх. Тогда
Pi—Pi=Pigk= ^ ~
.
(1)
Таким образом, находим:
RT
Д/7= (-£fr)2W , ДF = 2,7 • 10-* Н.

Покажем, что допущенная ошибка мала. Подставим для этого в
уравнение (1) выражение давления через его плотность. Получим:
^±-RT — & -RT = Pigh.
И-
I*
Откуда следует;
Найдем числовое значение второго члена в скобках;
Pgft
RT
2,3- 10-2« 1 ,
т. е. плотность газа действительно меняется незначительно.
8.
Воздушный шар будет подниматься до тех пор, пока вытал­
кивающая сила не станет равной силе притяжения шара к Земле;
miS = (т2+ т)8,
(1)
где т 1 — масса воздуха, вытесненного шаром, т г — масса водо­
рода, т — масса оболочки воздушного шара.
Давление р водорода и воздуха одинаковое, так как в нижней
части шара есть отверстие. Для нахождения масс т1 и т г восполь­
зуемся уравнением газового состояния:
т,=
V-iPV
RT
_
ыоу_
т*~ RT
(2)
где р — давление, Т — температура воздуха -на высоте Н , V —
объем шара, (хх — молярная масса воздуха,
—
молярная масса
водорода.
Если давление воздуха у поверхности Земли р 9, то на высоте Н
его давление будет в 2H/h раза меньше, т. е. р = р0 2 ~(Н/А), где
h=5км.
Подставляя уравнение (2) в (1), получим уравнение
Pipv
RT
УгРУ
RT
+Ш,
из которого находим, что
PqV (Pi — р2)
RTm
Решаем уравнение (3):
2H/ft« 16 = 24.
(3)
Откуда получаем: Н = 4h — 20 км.
9.
Стакан начнет тонуть, когда выталкивающая сила станет
меньше силы тяжести стакана:
пhg < me,
(1)
где ttii = pVx — масса вытесненной воды (здесь р —
- пдотность
воды, Vi — объем воздуха в стакане), пг — масса стакана. Объемом
стекла пренебрегаем, так как стакан тонкий.

При медленном погружении температура воздуха в стакане
будет равна температуре воды, т. е . оставаться все время постоян­
ной. Поэтому объем воздуха на глубине Л можно найти из закона
Бойля — Мариотта:
рУ-рЛ,
где Pi = р + рgh — давление воды на глубине h, р — атмосфер­
ное давление, V — объем стакана.
Из этого уравнения найдем:
Vx=-^
-
.
P+ Pgh
Подставляя полученное значение объема в уравнение (1), опре­
делим минимальную глубину погружения:
>_<
,
Г
«40м.
Pgm
10. В установившемся режиме горения в камере будет такое
давление, при котором масса сгораемого в единицу времени по­
роха равна массе вещества, вытекающего из со ’ч :
//>*■= pt»S,
где р = — — плотность вытекающего газа., р — давление, Т —
RT
температура газа внутри камеры, о = а р — скорость истечения
газа, S — сечение сопла, а — некоторая постоянная.
Отсюда
p*-»S =
ар
Из этого выражения получим отношение давлений в камерах
2и1:
Ез. = Л&Л5=й.
Pi \Sa)
Прил= —иА =2имеем:~ *=28=8.
з
s2
Pi
11. Считаем для простоты, что V , часть молекул движется на­
право и Ve —налево (рис. 3 .38). Молекулы, движущиеся параллель­
но диску, можно во внимание не брать. Скорости налетающих мо­
лекул воздуха считаем одинаковыми и равными о. При каждом
столкновении молекула воздуха, ударяющая слева, передает диску
импульс то — {—то) = 2лш, а ударяющая справа то — (—mvi)=*
=* т {о + «О* гДе vi — скорость молекул, отлетающих от нагретой
стороны. Число ударов в единицу времени, испытываемых диском
слева и справа, одинаково и равно V* w S , где л—число'молекул
воздуха в единице объема, S — площадь диска. Следовательно,
сила давления газа на диск слева равна:
Ft= ^nS •2mt)a,

а справа:
Ft——nSmv(v+ Pi),
в
Чтобы диск оставался на месте, необ-
_
_
_
ходимо к нему приложить силу f, направ-
Jj
ленную вправо и равную
***
Учтем далее, что v « vt . Разделив
уравнение (1) на v -f- ог я» 2v и умножив
туЛ
IV 7V
его на то же число, получим:
mnS
V* ЪкТ
Рис. 3 .38
Вспоминая, что—------ —
и тп = р = — ■ после несложных преоб­
разований находим:
12.
Направим ось X прямоугольной системы координат вдоль
оси цилиндра. Удар молекул о поршень будем считать абсолютно
упругим. При ударе изменяется только проекция скорости моле­
кулы на ось X (х-компонента). Найдем ее изменение. Перейден!
для этого в движущуюся систему координат, связанную с поршнем.
В этой системе отсчета ^-компонента скорости молекулы равна
vx — и. Поскольку удар абсолютно упругий, то после удара х-ком-
понента сохранит свое значение, но изменит знак. Таким образом,
прсле отражения молекула имеет х-компоненту скорости в движу­
щейся системе отсчета, равную — (vx — и), а относительно стенок
сосуда — скорость, равную — (рх — и) + и = —vx + 2и (сравни­
те с ответом на контрольный вопрос 10).
Изменение кинетической энергии молекулы равно
(здесь,мы пренебрегли членом с «8, так как и <С и).
Обозначим через щ число молекул в единице объема, ^-компо­
нента скорости которых равна vlx. Число молекул^ ударяющих о
поршень в 1 с, равно n p lxS , где 5 — сечение порШня. Изменение
кинетической энергии этих молекул в 1 с равно — S u m n p t/. Сум­
мируя по всем таким группам молекул, найдем изменение энергий
газа A U за время At:
f= -£?-.
1±~L /»9-Ю -6Н.
i
4
T
AU= -Sum(/у>*ж+ ntvlt iu f
(l)

По определению средняя квадратичная скорость nv\
—
nivtx + n2v\ x + ••• + nkv2kx, где n — число молекул в едини­
це объема.
Тогда для скорости изменения кинетической энергии газа из
выражения (1) найдем:
—
=—
—S —N
-.
Д<
3
2
3V
2
N
(2)
Здесь учтено, что п = ~~, где N — полное число молекул газа,
V — объем газа.
Величина
есть полная энергия молекул газа U. Поэтому
выражение (2) можно переписать в виде:
М/__2
_SU_ г;
м
з’Vи>
что и дает искомый ответ.

Задание 4
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
В ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССАХ
4.1 . РАБОТА ГАЗА ПРИ РАСШИРЕНИИ ИЛИ СЖАТИИ
Поместим газ в цилиндр, закрытый сверху поршнем, и опреде­
лим работу, совершаемую газом в процессе изобарического рас­
ширения. Сила давления F газа на поршень равна F = p S , где
S — площадь поршня, р — давление газа. Если поршень пере­
местится на расстояние / (рис. 4.1), то газ сойершит работу
А= FI = .pSl, или А = p(V2—Ух)—pAV,
так как изменение объема У2 — Vx = ДУ = SI.
Из этой формулы следует, что при V2 — Ух > 0 работа газа
положительна (газ расширяется), а при У2 — У^ < 0 (газ сжимают)
работа отрицательна. Процесс изобарического расширения газа
от объема
до объема У2 графически изображен на рисунке 4.2.
Площадь заштрихованного прямоугольника численно равна
р (У2 — Ух), т. е. работе, совершенной газом.
Если процесс изменения объема газа происходит не изобариче­
ски, то давление газа есть величина переменная и работу газа уже
нельзя подсчитывать по формуле А =*= рДУ. В этом случае работу
газа подсчитывают по-другому.
При незначительном увеличении объема газа его давление ме­
няется на очень малую величину. Поэтому давление газа можно
считать постоянным, а работу бА , совершаемую газом, подсчиты­
вать по формуле бЛ = рбУ, где б У — увеличение объема газа.
Пусть газ квазистатически перешел из состояния 1 в состояние 2,
как указано на рисунке 4.3 . Работу, совершенную газом, будем
находить графически. Она численно равна площади заштрихован­
ной фигуры V J 2 V 2. Чтобы доказать это, рассмотрим переход газа
из состояния 1 в состояние 2 не по кривой, а по ломаной, состоящей
из отрезков изохор и изобар (рис. 4.4). Работа на t-й изобаре (на
рисунке i = 2) равна р,бУг. Суммируя площади под всеми изоба­
рами, получим площадь фигуры под ломаной линией, которую мржно
приближенно считать работой газа при расширении: А = РхбУх +
+ р2бУ2 + + Pn &Vn - Эту работу можно вычислить поточнее,
если увеличить число изобар и изохор ломаной, например, как
указано на рисунке 4.4 . Площадь под ломаной при этом возрастет,

ШЯ.
Рис. 4.1
так как к площади заштрихованной фигуры добавятся площади не-
заштрихованных прямоугольников. Если число изобар и изохор
устремить к бесконечности так, чтобы длина отрезков любой изо­
бары и изохоры неограниченно уменьшалась, то ломаная линия
совпадает с кривой. Эго и доказывает утверждение о том, что графи­
чески работу газа можно вычислить, найдя площадь фигуры VX12V^
Аналогично подсчитывают работу и при, сжатии газа. Необходимо
только помнить, что работа газа в этом случае отрицательна.
4.2. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
Пусть поршень и стенки цилиндра теплонепроницаемы. Дно
же цилиндра можно делать съемным. Это позволит иметь дно или
теплонепроницаемым или, наоборот, хорошо проводящим тепло.

Сожмем газ квазистатически, т. е. так, чтобы во время процесса
сжатия давление и температура газа во всех точках внутри цилинд­
ра были одинаковыми. Внешняя сила совершит при этом работу
Лвнеш. Если дно цилиндра теплонепроницаемо, то работа внешних
сйл, совершаемая над газом, пойдет на увеличение его внутренней
энергии А17:
АС/=(/а- { / 1= 4„еш.
(здесь
и t/a — начальное и конечное значения внутренней энер­
гии).
Внутреннюю энергию газа можно изменить и другим способом,
сообщив газу некоторое количество теплоты. Если объем газа остает­
ся при этом постоянным, то вся сообщенная теплота Q идет на из­
менение внутренней энергии газа:
ШQ.
Внутренняя энергия есть такая характеристика газа, которая
не зависит от предыстории его поведения, т. е . от того, каким спо­
собом газ оказался в данном состоянии. В термодинамике это об­
стоятельство является экспериментальным фактом. С молекулярно-
кйнетической точки зрения это нетрудно понять, вспоминая, что
внутренняя энергия тела — это сумма потенциальной и кинетиче­
ской энергии его молекул. Потенциальная энергия взаимодействия
между молекулами характеризуется их взаимным расположением
и зависит от расстояния между ними. При изменении объема тела
расстояние между молекулами меняется, изменяется и внутренняя
энергия тела. Если тело возвращают в исходное состояние разными
способами, то его объем и расстояние между молекулами становят­
ся прежними и, следовательно, потенциальная энергия взаимодей­
ствия возвращается к исходному значению. Кинетическая ж е энер­
гия молекул определяется только температурой тела. Внутренняя
энергия тела поэтому не зависит от того, каким способом данное те­
ло приведено к заданным объему и температуре.
Независимость внутренней энергии тела от предыстории его
поведения позволяет рассчитать ее изменение в любом квазиста-
тическом тепловом процессе, когда над газом совершают работу
и одновременно подводят тепло. Для этого теплбвой процесс сле­
дует мысленно разбить на два этапа:
на первом этапе газу сообщить количество теплоты Q при
постоянном объеме и изменить его внутреннюю энергию на
=Q;
на втором этапе над газом, заключенным в теплонепроницае­
мую оболочку, совершить работу Лвнеш и изменить внутреннюю
энергию на AU2 = Л в„еш-
Полное изменение внутренней энергии АС/ в тепловом процессе
складывается при этом из изменения внутренней энергии тела на
каждом из этапов в отдельности, т. е.
Aи=д^+д^=<г+лвнеш.

Работа внешних сил и работа газа противоположны по знаку:
Лвнсш= —А . Действительно, если газ расширяется, то его работа
положительна и он совершает работу против внешних сил. Наобо­
рот, если газ сжимают, то его работа отрицательна и над газом
совершают работу внешние силы. Изменение внутренней энергии
можно поэтому записать по-другому:
Д{/=Q—А.
Часто это равенство пишут так:
Q=Al/+A.
Количество теплоты, сообщенное газу, идет на изменение его
внутренней энергии и совершение им работы.
Соотношение Q = At/ + А есть закон сохранения энергии
в тепловых процессах и называется первым началом (за­
коном) термодинамики. Этот закон справедлив, разумеет­
ся, для тел любой природы.
4.3 . ТЕПЛОЕМКОСТЬ ГАЗОВ
Теплоемкость С тела определяется выражением (см. задание 2)
c-sa .
где AQ — количество теплоты, сообщенное телу, A t — изменение
его температуры.
Если объем тела не меняется, то А К = 0 и работа, совершенная
газом, также равна нулю: А = p A V — 0. Все количество теплоты
AQ, переданное телу, идет в этом случае на изменение его внутрен­
ней энергии A U и теплоемкость тела равна:
Су
м/
д/’
где значок V подчеркивает, что объем тела постоянный и изменение
внутренней энергии происходит при постоянном объеме.
Отсюда
AU= CvAt.
Кроме теплоемкости при постоянном объеме Cv , вводят также
теплоемкость тел при постоянном давлении Ср, где значок р под­
черкивает, что внешнее давление постоянно:
г
ДQ
р= д<*
Количество теплоты AQ подсчитывают, используя первое нача­
ло термодинамики. Подставляя в выражение для теплоемкости Ср
величину AQ =* AU -f pAV, находим:
r
At/,AV
c'='S'+'’-sr

Изменение объема A V твердых и жидких тел при нагревании
на Г С незначительно и составляет 1 10"6 — 5 10“б их перво­
начального объема. Для твердых и жидких тел поэтому зачастую
можно пренебречь вторым членом р
по сравнению с первым
членом
и не различать теплоемкости при постоянном объеме Cv
и постоянном давлении Ср> т. е. считать Ср = Cv.
Коэффициент объемного расширения газов примерно в сто раз
больше коэффициентов расширения твердых и жидких тел, вследст­
вие чего вклад в теплоемкость газов при постоянном давлении Са
AV
члена р ---- оказывается значительным.
гAt
Этот вклад нетрудно рассчитать для идеального газа. Восполь­
зуемся для этого уравнением состояния p V = — R T :
Р
pAV=pVt-р ^ = — RT2---- — RT1= — RAT,
[l
\L
[i
или
pAV= — RAt,
так как AT = At (здесь Vx и V2 — начальный и конечный объемы
газа, Тг и Т 2 — его начальная и конечная температуры).
Подставляя найденное выражение рAV = — R A t в соотношение
„
AU,AV
Ср= — + р— , находим:
At
At
cp=-tt+—r-
у
At
р
Внутренняя энергия идеального газа U есть сумма кинетиче­
ских энергий всех молекул газа и зависит только от температуры.
з
Для одноатомного газа U = —N kT, где N —число молекул газа.
Выражение — =
—Nk-^-=
— Nk не .зависит поэтому от того,
v
At
2
At
2
J
как нагревают газ — при постоянном объеме или при постоянном
давлении. Это свойство внутренней энергии идеального газа позво­
ляет установить простую связь между теплоемкостями Ср и C v :
пг
CP=CV+—R.
Для газов обычно принято вводить теплоемкости одного моля
га^а. В этом случае
Сцр= CaV+ #•
|ДУ
Молярная теплоемкость одноатомного идеального газа Сру =
3
з
=—
-У
Удk,или,таккак NAk=R,Сму= -R .

Молярные теплоемкости многоатомных идеальных газов при
3
5
постоянном объеме не равны —R . Для двухатомных газов С p.v = —R t
Z
&
для; трехатомных Сру = 3R.
4.4 . ТЕПЛОВЫЕ МАШИНЫ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ.
КПД ТЕПЛОВЫХ МАШИН. ХОЛОДИЛЬНИК
Тепловыми называют такие машины, в которых происходит
превращение теплоты в механическую работу. Вещество, произво­
дящее работу в тепловых машинах, называют рабочим телом или
рабочим веществом. В паровых машинах таким рабочим телом
является водяной пар, в двигателях внутреннего сгорания — газ.
Тепловые машины могут быть устроены различным способом.
Однако все они обладают общим свойством — периодичностью дейст­
вия, или, как еще говорят, цикличностью, в результате чего рабо­
чее тело периодически возвращается в исходное состояние. Прин­
цип работы и устройство тепловой машины рассмотрены здесь на
примере поршневого двигателя.
Поршневой двигатель состоит из цилиндра с поршнем и рабоче­
го тела (газа) под ним. Чтобы рабочему телу сообщить количество
теплоты, необходимо привести его в контакт с нагревателем. Коли­
чество теплоты Q, полученное от нагревателя, идет на увеличение
внутренней энергии газа и совершение им работы. В результате
этого газ, расширяясь, переходит из состояния 1 в состояние 2 по
пути, например, 1, а, 2 (рис. 4.5). Для повторного использования
двигателя поршень необходимо вернуть в исходное положение.
Если процесс сжатия провести в обратном порядке, что и расшире­
ние, то работы сжатия и расширения будут одинаковы и суммар­
ная работа окажется равной нулю. Поэтому газ сжимают так, чтобы
он возвращался в исходное состояние по пути 2 , b, 1. Площадь
фигуры Vt la2V i больше пло­
щади фигуры Vxlb2Vit и,
следовательно, работа газа при
расширении
больше работы
сжатия. Такой процесс, в ре­
зультате которого газ возвра­
щается в исходное состояние,
называют круговым процессом
или циклом. Площадо фигуру
1 а 2 Ь 1 численно равц£ рабйте
газа, совершенной За цикл.
Чтобы газ возвращался , в
исходное состояние, от него
необходимо отводить некоторое
количество теплоты. В против­
ном случае он нагревается и в
конце процесса сжатия темпера-
о
ъ
1.
-Г, д
Ь—2
V,
v2V
рис. 4.5

Vис. 4.6
тура газа станет выше начальной. Для этого его приводят в кон­
такт с холодильником. Термин «холодильник» не следует пони­
мать буквально. Холодильником называют такое тело, которому
газ отдает теплоту при сжатии. Таким образом, в любой тепло­
вой машине должны присутствовать три тела: нагреватель, рабо­
чее тело и холодильник.
Рассмотрим один из круговых процессов — ц и к л Карно. Он
состоит из двух изотермических и двух адиабатических процессов
в следующей последовательности. Газ, помещенный под поршнем
в цилиндре с хорошо проводящим тепло дном, приводят в контакт
с нагревателем, имеющим температуру Т 2 (рис. 4 .6, а). Будем
считать стенки цилиндра и поршень теплонепроницаемыми. Получая
от нагревателя количество теплоты Qa через дно, газ, изотермиче­
ски расширяясь, совершает работу А х_2. Затем дно цилиндра
делают теплоизолированным, и газ, расширяясь адиабатически
(т. е. без сообщения тепла извне), совершает работу Ла_3 (рис. 4 .6, б).
Температура газа при этом понижается, так как совершение этой
работы может произойти только за счет уменьшения внутренней
энергии газа. Затем теплоизолирующую прокладку убирают и газ
приводят в контакт с холодильником (рис. 4 .6, в), после чего газ
изотермически сжимают. Чтобы температура газа не менялась,
от него отводят количество теплоты Qt в холодильник. Наконец,
делая дно опять теплоизолированным, газ сжимают адиабатически.
Температура его при этом возрастает от 7 \ до Т 9 (рис. 4 .6, г).
Цикл Карно в координатах р и V представлен на рисунке 4.7 .
Кривая 1—2 изображает процесс изотермического расширения.
При адиабатическом расширении температура газа понижается.
Вследствие этого адиабата от точки 2 должна идти круче изотермы.
Кривая 2 —3 изображает процесс адиабатического расширения, а
кривая 3 —4 описывает процесс изотермического сжатия. При адиа­
батическом сжатии температура газа возрастает* гщэтому увеличе-
М

ние давления газа на адиабате
идет быстрее, чем на изотерме.
Кривая 4 — 1 изображает гра­
фически процесс адиабатичес­
кого сжатия.
В процессе изотермического
расширения температура газа
постоянна и все количество
теплоты Q2 идет на совершение
газом работы Лх_ 2. (Здесь и в
дальнейшем предполагается, что
газ можно считать идеальным.)
При адиабатическом сжатии
внутренняя энергия изменяется
на величину ДU± = Cv (Тг —
—
Т 2), а работа Л 2_3, совер­
шаемая при этом, равна—Д£/ь т.е. А^а= —Cv(7\—Т2)=
= Су (Т2 — Т{). В процессе изотермического сжатия работа газа
А з_4 отрицательна и от газа необходимо отвести количество тепло-
ты Q1 = |i43_4| (прямые скобки — знак абсолютной величины).
При адиабатическом сжатии внутренняя энергия газа Д t /a =
—
Cv (Т 2 — T L) возрастает на величину работы |
Полная
работа газа за цикл складывается из работ газа на отдельных участ­
ках: Л =Л1_2+ Л 2_84-/43_4+ i4 4_1=Q a-(-Cv,(Tr2—Ti) —Qi С ^ Т 2 7\),
т. е.
А = Q2—Qx.
Из этого соотношения следует, что работа газа за цикл меньше
количества теплоты, подведенного к газу.
Коэффициент полезного действия тепловой машиныопределяется
отношением работы, совершенной газом за цикл, к количеству
теплоты, полученному от нагревателя:
А
Qt
Q*
Для цикла Карно идеального газа КПД зависит только от тем­
ператур нагревателя и холодильника и равен:
Это соотношение нетрудно получить в случае, когда объемы и
температуры газа изменяются незначительно, т. е. выполняются
условия—<1и—«1.
Проведем в координатах р и V семейство изотерм и адиабат.
Координатная плоскость разбивается при этом на клетки, имеющие

Рис. 4.8
форму криволинейных четырехугольников. Если изотермы и адиа­
баты провести достаточно густо, то клетки будут сколь угодно мало
отличаться от параллелограммов и каждая из них будет представ-
лять цикл Карно, в котором условия — < 1 и — < 1 выпол­
нены. Возьмем один из таких бесконечно малых параллелограммов
1,2 ,3 ,4 (рис. 4 .8, а) в увеличенном масштабе (рис. 4 .8, б). Обозначим
абсолютную температуру на изотерме 1—2 через Т 2, а на изотерме
3 — 4 через 7 \. Работа А газа за цикл численно равна площади па­
раллелограмма 1,2 ,3 ,4 . Для ее вычисления проведем прямые 1—6
и 2—5 , параллельные оси давлений, и продолжим изотерму 3 —4
до пересечения с прямой 1—6 . Площадь фигуры 1,2 ,3 ,4 равна
площади фигуры 1,2 ,5 ,6 , так как треугольники 2 ,3 ,5 и 1,4 ,6 равны.
Высота параллелограмма 1,2 ,5 ,6 численно равна изменению объема
V2 — Vx на изотерме 1—2 , а основание 1— 6 дает увеличение давле­
ния в изохорическом процессе. Таким образом, для работы газа
за цикл получаем:
А= (р1-р в)<У2-У1),
где рхирв— давление газа в точках / и6.
Количество теплоты Q2, подведенное к газу в изотермическом
процессе с температурой Т 2, идет на совершение газом работы
j4i_2, равной
A1-2= p
-^
- (Vi-V1)=Q2,
где ра — давление газа в конце изотермического процесса. В этом
выражении давления в точках / и 2 можно считать приблизительно
равными. Действительно, в изотермическом процессе p 2V2 = PiVx.
Так как по условию V2-V1<£1,
то,
следовательно,
и

Подставляя А я Q%в выражение для КПД цикла Карно, имеем:
Pi —Ре
Pi - р, PiVi—р»Уг
Наконец находя из уравнения Клапейрона — Менделеева произве­
дения p,V1 =
и p aVl = —R T lt после несложных преобразо-
ц
Я
ваний получаем:
Эго соотношение справедливо для любых изменений объемов
и температур идеального газа. Однако для доказательства этого
равенства в общем случае необходимо применение высшей матема­
тики.
В термодинамике доказывается, что КПД тепловой машины^
работающей по циклу Карно и использующей в качестве рабочего
тела любое вещество, а не только идеальный газ, максимально
возможный и одинаковый для всех тепловых машин. В реальных
тепловых машинах цикл Карно не реализуется, так как он принци­
пиально не осуществим. Действительно, в изотермическом расши­
рении, например, предполагается, что газ получает тепло от нагре­
вателя, но температура нагревателя при этом не меняется, что не­
возможно, так как, отдавая тепло, любое реальное тело должно
остывать. Невозможен и сам процесс передачи тепла, если темпера­
тура нагревателя и температура газа одинаковы. Сказанное выше,
однако, не умаляет принципиального значения цикла Карно, так
как он является идеальным образцом цикла машины, в сравнении
с которым судят о качестве используемых на практике циклов теп­
ловых машин.
В реальных тепловых машинах на первый взгляд трудно уви­
деть обязательные три части любой тепловой машины: нагреватель,
рабочее тело и холодильник. Рассмотрим, например, двигатель
внутреннего сгорания (рис. 4 .9). Внутри цилиндра А может сво­
бодно перемещаться поршень В. В верхней Части цилиндра имеют­
ся два клапана С и D . Через клапан С производится впуск так назы­
ваемой горючей смеси, состоящей из воздуха и мельчайших частиц
жидкого топлива. Клапан D служит для удаления из цилиндра
отработанных газов. Для воспламенения горючей смеси использует­
ся запальник (свеча Е). Работа двигателя за цикл состоит обычно
из четырех этапов (тактов): впуск горючей смеси, сжатие ее, рас­
ширение при сгорании горючего и выпуск отработанных газов в ат­
мосферу. Первые два такта подготовительные. После сжатия смесь
подвигается, в результате чего выделившаяся теплота сгорания
идет на нагревание газа. Таким образом, нагревателем в двигателе
внутреннего уорани^ является сама горючая смесь. После вы-

пуска отработанного газа в ат­
мосферу его место занимает
новая порция смеси, состоящая
в основном из атмосферного воз­
духа. Таким образом, холодиль­
ником у двигателя внутренне­
го сгорания является окру­
жающий воздух.
Если цикл Карно протекает
в обратном направлении (рис.
4.10), то знаки у количеств теп­
лоты и работы меняются на
противоположные. Газ, расши­
ряясь по изотерме 4 — 3 , отби­
рает от источника теплоты с
низкой температурой Г0 коли­
чество теплоты Qo, совершая
при этом работу АА_г:
Qo = ^4—3*
При изотермическом сжатии
газ отдает количество теплоты
|Q| телу с температурой Г >
> Tq, равное работе сжатия \А 2 - 1 |:
\Q\=И.-il-
Полная работа газа за цикл А
отрицательна, и ее абсолютная
величина равна абсолютной ве­
личине суммы работ Л 2_1 +
+ Л4_ 3 газа на изотермах:
|Л|= м 2-.Г —A -8 = |Q|—<?„•
Отсюда следует, что количество
теплоты |Q|, отданное на изо­
терме 2—1, равно:
IQI= Qo+ МI*
Сумма работ газа по расшире­
нию и сжатию на адиабатах
равна нулю.
В обратном цикле Карно по
традиции тело, имеющее низ­
кую температуру, принято на­
зывать холодильником, а тело,
имеющее высокую температу­
ру, — нагревателем, хотя роли
Рис. 4.10

они играют противоположные: холодильник отдает 'теплоту, а
нагреватель ее получает.
В реальных условиях, как уже говорилось, не существует таких
тел, температура которых не менялась бы при получении или поте­
ре ими теплоты. Поэтому, если от холодильника отбирать тепло,
температура его понижается. Н а этом принципе и основана работа
холодильных установок. В частности, в домашних холодильниках
теплота отбирается у продуктов, хранящихся в нем, и воздуха,
находящегося внутри холодильника. Это количество теплоты
плюс количество теплоты, выделяющееся за счет работы мотора,
совершенной над газом за цикл, отдается воздуху комнаты. В ре­
зультате ^этого температура внутри холодильника понижается, а
в комнате увеличивается. Процесс понижения температуры внутри
холодильника обычно быстро заканчивается, так как стенки холо­
дильного шкафа хоть и плохо, но проводят тепло. В стационарном
режиме, когда температура внутри камеры поддерживается по­
стоянной, количество теплоты, отбираемое от холодильника в еди­
ницу времени, равно количеству теплоты, поступающему внутрь
холодильного шкафа через стенки.
Для холодильной машины вводят так называемый холодильный
коэффициент е — отношение количества теплоты, отнятого от
холодильника, к работе, совершенной над газом за цикл:
который для цикла Карно равен:
о—
-------- --------- .
Т-Т0
Холодильный коэффициент показывает, какое количество теп­
лоты Q0 можно отнять в результате совершенной работы А. Цикл
Карно в холодильной технике является идеальным образцом, в с р а в ­
нении с которым судят о качестве практически используемых ц и к­
лов холодильных установок.
4.5 . ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 4.1 . Идеальный газ постоянной массы расширяется по
закону р = a V , где а — постоянная величина. Найдите работу,
производимую газом при увеличении объема от Vt до У2. Поглощает­
ся или выделяется тепло при таком процессе?
Решение. Работу газа будем вычислять графически
(рис. 4.11). Площадь фигуры Кх/2 К а численно равна работе газа А:
A=£i±£My2_yi))
(1)
где Рх и р 2 — давление газа в начале и конце процесса расширения.
98

Учитывая, что рх = аУг и
pt == aV2, из уравнения (1)
Находим:
A=f (V,+ Vl)(Vt-V1)=
= -f(Vl-V]).
Так как V2 > V.u то работа га­
за положительна.
Чтобы ответить на вопрос,
поглощается или выделяется
тепло при таком процессе, необ­
ходимо знать, что происходит с
температурой газа: увеличи­
вается она или уменьшается.
Воспользуемся для этого урав­
нением состояния pV = — R T и заданным уравнением р =
=*= a V. Исключая из этих уравнении давление, получаем соотно­
шение Т = — V2, из которого следует, что температура при рас-
\xR
ширении увеличивается. Первое начало термодинамики Q = Су Д Г +
+ Л и дает ответ на вопрос. Газу необходимо сообщить некоторое
количество теплоты.
Задача 4.2. Найдите молярную теплоемкость идеального газа,
расширяющегося по закону р = a V , где а — постоянная величина.
Решение. Теплоемкость газа по определению равна:
СAQ
At’
(О
где ДQ — количество теплоты, подведенное к газу.
Используя первое начало термодинамики, найдем:
AQ= C АТ+АА,
(2)
3D
где
= — — молярная теплоемкость идеального газа.
Для подсчета работы ДА воспользуемся результатом предыду­
щей задачи:
АЛ=|(Ц-У?),
(3)
где К2 и Уг — объемы газа соответственно при температурах Т,
и 7\. Из предыдущей же задачи следует, что V2 = —7\
а
Таким образом,
AA=j-(Ti~T1)=j-AT.
(4)

Подставляя выражения (3) и (4)
в соотношение (1), найдем теп­
лоемкость газа:
С=
СдуДГ+■ Д71
=с
дг
+f-ад.
Рис. 4 .12
Задача 4.3 . Тепловая маши­
на работает по циклу (рис. 4.12),
состоящему из изобары, изохо­
ры и политропы, на которой дав­
ление газа и объем связаны соот­
ношением р= aV, где а — посто­
янная величина. Найдите коэффициент полезного действия тепловой
машины, если в ней в качестве рабочего тела используется идеаль­
ный газ с молярной теплоемкостью при постоянном объеме С^у =
= у /? . Отношение максимальной температуры в цикле к минималь^
ной равно 4.
Решение. Газ получает количество теплоты Q от нагревате­
ля в процессе политропного расширения. Теплоемкость газа в таком
процессе постоянна и равна:
С= — 2Д (т—масса газа)
(см. решение задачи 4.2).
Количество теплоты, получаемое газом, равно:
Q= C(T2- Ть) = — 2Р (Т2- 7\).
(1)
Работа газа А за цикл численно равна площади треугольника
1,2,3:
1
п
(2)
А =\(р2- Рг)(к, -
Vi) = f (V, -Уг)>
(здесь pi и р2 — начальное и конечное давления, Vt и V2 — началь­
ный и конечный объемы в политропном процессе).
Учитывая, что
Tlt
где Т 2 и Tt — максимальная и минимальная температуры, выраже­
ние (2) перепишем в виде:
A=J'\<VT,~VT1f'

КПД тепловой машины
_
_
1_1Л7
= ± = (УТъ-УтУ
Ут,-УТг
Vт„
1
4Q
4(7'г- Г 1)
4(VT, +Ут,)
4+41/И
12
VТг
Задача 4.4 . Домашний холодильник потребляет среднюю мощ­
ность 40 Вт. Какое количество теплоты выделится в комнате за сут­
ки, если холодильный коэффициент е = 9?
Решение. Количество теплоты q, отданное нагревателю хо­
лодильником за цикл, равно:
q—А+Q0,
где А = Рт.— работа, совершенная над газом за цикл (Р — мощ­
ность, потребляемая холодильником, т — время одного цикла), а
Q0 = еА — количество теплоты, отнятое от холодильника.
Подчеркнем еще раз, что передача теплоты от холодильника ра­
бочему телу происходит самопроизвольно. Необходимо лишь в про­
цессе расширения рабочего тела поддерживать его температуру
ниже температуры холодильника. Передача теплоты комнате также
происходит самопроизвольно. Д л я этого в процессе сжатия рабоче­
го тела его температура должна быть выше комнатной.
За сутки комната получит количество теплоты
Q=±i=P(l+e)t (/=1сут);
Т
Q= 3,46•Ю7Дж.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Одну и ту же массу идеального газа нагревают на. Г С один
раз при постоянном объеме, другой раз при постоянном давлении.
■В каком случае требуется большее количество теплоты?
2. Как изменяется температура идеального газа в процессе
квазистатического адиабатного расширения?
3. Может ли изотермически расшириться идеальный газ без
сообщения теплоты извне?
4. Какова должна быть теплоемкость газа в изотермическом
процессе? Как понять полученный результат физически? Чему рав­
на теплоемкость газа в адиабатическом процессе?
5. Может ли теплоемкость газа быть отрицательной?
6. В каком- случае для нагревания стального шара до одной и
той же температуры потребуется больше энергии: если шар висит
на нити или если он находится на подставке? (Подставка и нить
энергии не поглощают.)
7. Может ли КПД тепловых машин стать равным 100%, если
трение в частях машины свести к нулю?
8. Понизится ли температура в комнате, если открыть дверцу
работающего холодильника?

ЗАДАЧИ
1 . Температура Т некоторой
массы m идеального газа меня­
ется по закону Т = aV2. Най­
дите работу, совершенную газом
при увеличении объема от
до
V 2. Поглощается или выделяет­
ся тепло при таком процессе?
Молярная масса газа р,.
2 . Один моль идеального га­
за, первоначально находившего­
ся при нормальных условиях
(р0 = 105Па, /0 = 0°С), перево­
дят в состояние с вдвое больши­
ми объемом и давлением. Про­
цесс перевода осуществляется в
два этапа — изобарически и изо-
хорически (рис. 4.13). Какое количество теплоты подведено к га­
зу? Теплоемкость С^у = 21 ДжДмоль К).
3.
В эвакуированном теплоизолированном цилиндре, располо­
женном вертикально, может перемещаться массивный поршень.
В начальный момент поршень закрепляют и нижнюю часть цилинд­
ра заполняют идеальным газом. Затем поршень освобождают. После
установления равновесия объем, занимаемый газом, оказался в 2 ра­
за меньше первоначального. Во сколько раз изменилась температура
газа?
Рис. 4 .13
Молярную теплоемкость газа при постоянном объеме Сду
принять равной ^ R .
4.
Одной из причин понижения температуры в атмосфере с вы­
сотой является расширение воздуха в восходящих потоках без теп­
лообмена с окружающей средой. Считая воздух идеальным газом,
найдите понижение температуры на каждые 100 м высоты. При рас­
чете изменением давления в атмосфере на 1 0 0 м высоты пренебречь.
Молярную теплоемкость воздуха при постоянном объеме принять
равной Сру = 21 ДжДмоль • К). Молярная масса воздуха ц =
= 29 г/моль.
5. Какую работу совершает пропан С3Н8 при нагревании на
Г С, если его температура Т изменяется прямо пропорционально
квадрату давления (Т = ар2, а = const)? Масса газа m = 8 8 г.
При расчете считать пропан идеальным газом.
6 . Найдите теплоемкость 1 моля идеального газа в политропи-
ческом процессе, в котором давление р и объем газа V связаны соот­
ношением р = a V 2, где а — некоторая постоянная. Молярную
теплоемкость газа при постоянном объеме считать известной и рав­
ной СцУ.

-
ч|Щ
[
Ь
<
4>
Рис. 4 .14
Рис. 4.15
Указание. При решении задачи принять, что изменение
объема и температуры газа мало по сравнению с начальным объемом
и температурой.
7. Теплоемкость газа при постоянном давлении может быть оп­
ределена опытным путем в проточном калориметре. Для этого че­
рез трубопровод пропускают исследуемый газ и нагревают его
электронагревателем (рис. 4.14). При этом измеряют количество
газа, пропускаемое через трубопровод в единицу времени, а также
расход электроэнергии и температуры газа перед электронагревате­
лем и за ним. Давление воздуха в трубопроводе принимают неиз­
менным. Считая, что все количество теплоты, выделяемое электро­
нагревателем, отдается газу, определите удельную теплоемкость
воздуха при постоянном давлении, если расход воздуха, пропускае­
мого по трубопроводу, М = 700 кг/ч. Мощность нагревателя
Р = 1 кВт, температура воздуха перед электронагревателем tx =
= 18° С, а за нагревателем t 2 — 23,2° С. В реальных условиях
часть мощности нагревателя рассеивается вследствие потерь энер­
гии через стенки калориметра. Придумайте, как, не меняя метода
измерения, устранить влияние потерь тепла на результаты опыта.
8 . Найдите КПД тепловой машины, в которой рабочее тело со­
вершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Известно,
что в пределах цикла максимальное значение объема и давления га­
за в 2 раза больше минимальных значений. Теплоемкость C^v =*
= 2 1 Дж/(моль К).
9. Тепловая машина работает по циклу (рис. 4.15), состоящему
из изобары, изохоры и политропы, на которой давление газа р и
объем V связаны соотношением р = a V (а = const). Найдите КПД
тепловой машины, если в ней в качестве рабочего тела использует-
ся идеальный газ с молярной теплоемкостью Сцу = —R . Отношение
максимальной температуры в цикле к минимальной равно 9.

10.
Какое количество теплоты выделится в комнате за 4 ч рабо­
ты холодильника, потребляющего мощность Р = 90 Вт, если его
производительность 2 кг льда в сутки при температуре 7 \= 2 7 1 К, а
охлаждение начинается с температуры Т = 293 К. Удельная теп­
лота плавления льда % = 3,34 10б Дж/кг. Удельные теплоемкости
воды и льда соответственно равны св = 4,2 103 Дж/(кг К), с . =
= 2,1
103 Дж/(кг К).
Ответы на контрольные вопросы
1. При изохорическом нагревании газа все сообщенное количе­
ство теплоты Qv идет на увеличение внутренней энергии: Qv =
= Д U = —C p vA t. В процессе изобарического нагревания газа на
ту же разность температур внутренняя энергия газа увеличивается
на такую же величину ДU = —C ^vAt, но, кроме этого, газ еще
И-
совершает работу. Поэтому в изобарическом процессе газу нужно
подвести большее количество теплоты.
2 . В процессе адиабатного расширения газ совершает работу.
Так как теплота в процессе расширения не подводится, эту работу
газ совершает за счет уменьшения своей внутренней энергии. По­
этому температура газа понижается.
3. Нет. При изотермическом расширении внутренняя энергия
идеального газа не меняется, так как температура газа, а следова­
тельно, и средняя кинетическая энергия молекул постоянны. Но
при расширении газ совершает работу, что возможно только за
счет получения газом теплоты извне.
4. Теплоемкость по определению равна: С = ^
или, более
точно,
С= lim
А/-*о At
В изотермическом процессе A t = 0, в то время как AQ 0.
Следовательно, теплоемкость обращается в бесконечность. Это
можно понять так. В изотермическом процессе газ приводится
в контакт с нагревателем при расширении или с холодильником
при сжатии. Теплоемкость нагревателя (или холодильника) при
этом настолько велика, что температура нагревателя (холодильни­
ка) практически не меняется, когда нагреватель (холодильник)
теряет (приобретает) небольшое количество теплоты..
В адиабатическом процессе AQ = 0 и С = 0.
5 . Может. Если работа, совершаемая газом в тепловом про­
цессе, больше подводимого количества теплоты, то температура
газа понижается и, следовательно, теплоемкость газа оказывается
отрицательной.
6 . При нагревании объем шара увеличивается. Когда шар нахо­
дится на подставке, его центр тяжести при нагревании поднимается,

а когда висит — опускается. Поэтому висящему шару нужно бу­
дет сообщить меньшее количество теплоты.
7. Не может, так как в тепловых машинах обязательно часть
подведенной теплоты нужно отводить в холодильник.
8 . Температура в комнате повысится, так как количество теп­
лоты, отдаваемое холодильником в единицу времени, больше коли­
чества теплоты, отбираемого у холодильного шкафа, на величину
мощности мотора. При этом, конечно, предполагается, что дверки
холодильного шкафа открыты достаточно долго. В обычных условиях
температура внутри холодильника ниже комнатной, и при откры­
вании дверцы температура комнаты на некоторое время понижает­
ся. Однако, после того как температуры холодильного шкафа и
комнаты сравняются, температура в комнате начнет возрастать за
счет выделения теплоты мотором.
Решения задач
1.
При изменении температуры газа по закону Т = a V 2 его
давление будет меняться прямо пропорционально объему. Действи­
тельно, подставляя в уравнение состояния p V = — R T температу-
ру Т = aV2, получим: р =s a^-RV.
Работа газа А при расширении от объема V! до V2 равна:
А = £1±Ел<у2~ Vl),
(1)
где
Pi=
И2
”
г-
Из выражения (1) следует:
А=^(V22-V$=
(Тг- 7\)>0.
Таким образом, в процессе расширения газом будет поглощаться
некоторое количество теплоты.
2.
При изобарическом нагревании газу сообщается количество
теплоты
Qi —Сцр (Г2 Tj),
где 7 \ — начальная температура газа, Т а — его температура в кон­
це изобарического процесса, СРР = CMv + R .
В процессе изохорического нагревания газ получит количество
теплоты
Qa—
(Tg Tt),
где Т а — температура в конце изохорного нагревания.

В изобарическом процессе отношение объема газа к температуре
есть величина постоянная, т. е.
—
= Z».
Отсюда следует, что
Тш=
= 27\.
При изохорическом нагревании постоянной величиной является
отношение давления газа к температуре
гдерг—
Т2
давление в изобарическом процессе. Температура Т 3 равна:
тг=Тгь. =2Т2=47V
Р1
Общее количество теплоты Q, сообщенное газу, равно:
Q= ^ цр(^*2— ^i) "Ь
(^8 Т'г) = ^)ip
+ Сци27\=
=
+2С^)7\=(ЗСЦ„+R)7\, Q=19,5кДж.
3: При опускании поршня массой М на высоту h сила тяжести
совершит работу А = M g h , идущую на увеличение внутренней
энергии газа Дt/= vC^y (Т2— 7 \), где v — число молей газа,
С^у — молярная теплоемкость при постоянном объеме, 7\ и Т2 —
его начальная и конечная температуры.
В состоянии равновесия сила тяжести поршня уравновешивается
силой давления газа:
Mg = p2S.
Работу А с учетом этого равенства можно преобразовать к сле­
дующему виду:
А=Mgh=p2Sh=р2(V,-
V2) = p2V2(-^
-
l) = vRT2
(здесь Vt и V г — начальный и конечный объемы газа).
Таким образом,
'4**- v*74 t- 1}
Подставляя найденное выражение работы в уравнение А =
= ДU = vC^y (Т 2 — Т х), после несложных преобразований
найдем:
т
С..,,
к
4. Выделим небольшой объем воздуха постоянной массы т , та­
кой, чтобы давление в различных его частях было практически
одинаковым. При всплывании эта масса воздуха, расширяясь, со­
вершает работу p A V = —R A T , где ДУ — увеличение объема при

подъеме на высоту h. Кроме этого, вследствие изменения положе­
ния центра масс для подъема массы воздуха на высоту h необходимо
совершить работу m gh.
Полная работа Л,; довершенная воздухом, складывается из рабо­
ты расширения и работы против сил тяжести при подъемен
А=pAV+mgh= — RAT+mgh.
И
Эта работа может быть осуществлена только за счет уменьшения
внутренней энергии выделенной массы воздуха AU = — С „АТ.
цд
Из первого начала термодинамики A Q = A U + А следует,
что AU = —А , так как теплообмена с окружающей средой не
происходит. Таким образом,
—
CuVАТ= ——RAT—mgh.
Ий
И
Откуда
АТ= -
-гЩ-ъ,At-1°С.
LHV+ К
5. Так как по условию задачи Т = а р 2, из уравнения газового
т,
m
amR
«
т/
amR
состояния p V = — Р Т = ------- Р следует, что V = --------р .
И
И
и
Газ при нагревании расширяется, и работа А , им совершенная,
будет численно равна площади фигуры VX1 2 V 2 (см. рис. 4.11):
A=|(p2+Pi)(V,—
= ^y ~(P2 + Pi)(P2—Pi) =
=^(Р22-Р1)=^-(Г2-П),
A=8,3Дж.
в. Используя определение теплоемкости С =
и первое
начало термодинамики AQ = C ^ A t + /4, получаем для идеального
газа:
с»=с--+£
о»
При малых изменениях объема давление газа можно считать
постоянным и. работу А А подсчитывать по формуле АА = p A V .
Изуравненийр= aV2иpV= RTследует,чтоТ= ^
Vя.
R
Разность температур
ы=т,-т =
р)=
_
i),
гдеVi=V+АК.

Величина V\ равна V3 + ЗК2ДУ + 3V (AV)2 + (ДК)3, и отно-
У?
ш ение__L можно представить в виде:
уа
Воспользуемся теперь условием, что изменения объема малые,
ДУ1D
и поэтому величина — < 1. В этом случае
членами, содер-
/Ду \2 /ДУ \3
жащими I— I и I— j , можно в сумме пренебречь и выражение (2)
записать так:
3
ДУ
У*
Тогда Дt равно:
At= —V3-3— = ЗаР— .
R
V
R
Подставляя в выражение для работы p A V давление р = a V 2,
найдем теплоемкость газа:
^
^
, сеРДУ п
,
аУ2ЛДV ^
,R
-
V +~~ХГ~V +ЗаУ2ДУ~
*v+Т
7.
За единицу времени через любое сечение трубопровода про­
текает одна и та же масса газа М . Эта масса поступает в калори­
метр при температуре tu а выходит при температуре t 2. В стационар­
ном режиме эти температуры в процессе опыта не меняются. При
нагревании массы газа М до температуры t 2 увеличиваются ее
внутренняя энергия и объем (давление газа постоянно). Поэтому
газ не только нагревается, но и совершает работу против внешнего
атмосферного давления. Количество теплоты, необходимое для
этого, он получав! от нагревателя. Так как Q — срМ (t2 — tt ) и
Q = Р , то ср найдем из выражения
е>=
-
10'Д
ж
/(кг•
° С)-
<■>
Если расход воздуха М увеличить, то для поддержания той
же разности температур t t — t x необходимо увеличить и мощность
нагревателя. Этот результат используется на практике для исклю­
чения влияния потерь.
С учетом потерь формулу (1) следует переписать в виде:
с0=р~р
илир=сМ(/,—/,)+Р',
где Р ’ — мощность потерь. Потери определяются теплопроводно­
стью калориметра. Температура внутри калориметра в различных
точках неодинакова. Однако если это распределение температуры

внутри калориметра поддерживается неизменным, то потери тепла
в Течение опыта будут одни и те же. Измеряют температуры / 2 и tx
при расходе газа М 1 и мощности Р г . Затем увеличивают мощность
нагревателя Р г и расход М 2 так, чтобы температуры 12 и t2 оста­
лись прежними. Из уравнений баланса энергий для расходов
и
М г удается потери исключить:
Pi = срМ2(t2—tj) Р',
Pi— срМj(t2— t2)+ Р',
Pi-Pi-cp{Mi-M l){ti-tl).
Таким образом,
о , ------------------------- .
р (М2 —М-,) (t2 —tt)
8 . Работа А , совершенная газом за цикл, равна:
2) = (Рмакс
Рмин) Обмане
^мин) = Рмин^мии “
RPмин*
1^
Количество теплоты Q подводится к газу при изохорическом
нагревании и изобарическом расширении:
Q = — CllV(T — Тмин) + -2LСNo(Тткс - Т).
И'
И'
Из уравнения состояния следует, что Тиакс = 2 Т , Т — 2ТМИН.
В этом случае
Q= — С .уТыап+ 2f -(С^+ R)TMm= -2-(3CpV+ R)Tum.
И'
И'
I*
Коэффициент полезного действия
_
А •100% R 100%
^
Q ЗС^ -(-R
1 1%.
9.
Работа, совершаемая тепловой машиной за цикл, численно
равна площади треугольника 1,2,3 , (см. рис. 4.15):
Л- j(рг- Pl)(V2~Vi)=f (Уя- Vi)\
(1)
где V i и Vi — максимальный и минимальный объемы газа, ра и
Р! — максимальное и минимальное давления.
ИзуравненийpV = —RT ир= aV находимсвязьмежду VиТ:
v-VWT-
Выражение (1) в этом случае примет вид:
'-M M vl-1)*

Количество теплоты Qa подводится к газу в изохорическом и изо­
барическом процессах. Часть этой теплоты идет на совершение
работы А газом за цикл, а часть, равная Qj= — Си, (Tt — Tt),
р
отдается холодильнику (Сц = Сц1Н-------- молярная теплоемкость
газа в политропическом процессе р = <xV):
Q,- ^+4 -f■| Г,(К]?_1)4f(<V+£)т,(Я_ 1).
КПД тепловой машины найдем из соотношения
9'
10.
Количество теплоты Qlt которое поступает в комнату от
холодильника, отдается водой при охлаждении и замерзании (Q2),
а также электромотором, совершающим работу А над рабочим веще­
ством холодильной машины:
Qi=
+А-
За время ^ = 4 ч при охлаждении воды, образовании льда и
его охлаждении выделится количество теплоты
Q2 - -jL[cBm(Г- 273К) + ^m+ c„m (273K- 7\)],
где t 2 = 24 ч. §a это время электромотор совершит работу
А=Ptv
Таким образом, в комнату поступит количество теплоты
Qi= Pt\4—““[съm (Т—273К)4~Ум, 4“cjn(273К—ТjJ],
и
Qx =« 1,43 • 103 кДж.

Задание 5
ФАЗОВЫЕ СОСТОЯНИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ ВЕЩЕСТВА
5.1. АГРЕГАТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
Вещество может находиться в твердом, жидком и газообразном,
состоянии. Эти физические состояния обычно называют а г р е г а т н ы ­
м и . Различие между ними проявляется внешне следующим обра­
зом. Газ занимает любой предоставленный ему объем. Жидкость
сохраняет свой объем, но она весьма подвижна и всегда принимает
форму сосуда, в котором находится. Твердое тело способно сохра­
нять не только объем, но и форму. Чтобы изменить ее, необходимы
заметные усилия.
Вещество в твердом состоянии встречается преимущественно
в виде кристаллов, которые замечательны своей геометрически
правильной внешней формой. Но наиболее отличительным призна­
ком кристаллов является их анизотропия, т. е. зависимость свойств
от направления. Жидкости и газы, наоборот, изотропны, их свойства
не зависят от направления в пространстве.
При изменении температуры наряду с обычным плавным измене­
нием характеристик вещества (плотности, удельного объема и т. п.)
наблюдается их резкое, скачкообразное изменение при переходе
вещества из одного агрегатного состояния в другое.
Агрегатные превращения протекают при определенных значе­
ниях температуры и давления, определяющих точку превращения
вещества. В справочниках она указывается обычно для нормаль­
ного давления. Опыт показывает, что на превращение вещества за­
трачивается значительная энергия, называемая обычно скрыт ой
теплотой превращения.
5.2. ПОНЯТИЕ О ФАЗАХ НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ
Характерной особенностью превращения вещества является
возможность возникновения неоднородных систем, когда вещество
может в течение длительного времени сосуществовать в различных
агрегатных состояниях. При описании таких равновесных состоя­
ний неоднородных систем наряду с понятием агрегатного состояния
пользуются более широким понятием фазы вещества. Под ф аза м и
понимают обычно физически однородные, разделенные в простран*
Щ

стве части системы, на которые распадается вещество в условиях
теплового и механического равновесия.
Если система состоит из однородного вещества, то говорят, что
она состоит из одной фазы. Например, это может быть кусок льда,
капля жидкости или газ. Двухфазную систему представляют вода,
кипящая длительное время в закрытом сосуде, насыщенный раствор
сахара в воде, когда в растворе остаются кусочки сахара. Фазами
здесь являются соответственно вода и водяной пар, раствор сахара
в воде и нерастворенные -твердые кусочки.
Примером системы, состоящей из трех фаз одного и того же
вещества, может быть вода, находящаяся в закрытом, предвари­
тельно откачанном сосуде, когда в ней плавают кусочки льда.
Различными фазами здесь являются вода, кусочки льда и водяной
пар над жидкостью. Температура, при которой сосуществуют три
фазы одного вещества, называется т ройной точкой. Для воды она
равна 4-0,01°. С.
5.3 . МОЛЕКУЛЯРНАЯ КАРТИНА ФАЗОВЫХ
СОСТОЯНИЙ ВЕЩЕСТВА
С молекулярно-кинетической точки зрения три состояния веще­
ства — твердое, жидкое и газообразное — отличаются друг от
друга той ролью, которую в них играют взаимодействие молекул и
интенсивность их теплового движения.
Образование жидких и твердых тел возможно только благодаря
притяжению молекул. Иначе эти тела распались бы на отдельные
частицы. Но молекулы и отталкиваются друг от друга, иначе жид­
кие и твердые тела можно было бы сжимать с необыкновенной лег­
костью. Именно отталкивание молекул ответственно за очень
малую сжимаемость этих тел. Итак, притяжение препятствует рас­
ширению тел, а отталкивание — их сжатию. Следовательно, должно
быть такое взаимное расположение молекул, при котором при­
тяжение и отталкивание уравновешивают друг друга. При увеличе­
нии расстояния между молекулами преобладает притяжение, а при
сближении молекул — отталкивание.
Но заметим, что для систем из очень большого числа частиц
(а таковы все макроскопические тела) с понятием силы следует
обходиться осторожно. Действительно, любая молекула окружена
большим числом взаимодействующих с ней молекул. Взаимодейст­
вие ее с каждой из окружающих молекул можно описать согласно
представлениям механики Ньютона соответствующей силой, кото­
рая зависит от расстояния между молекулами. Но суммарная сила,
действующая нй любую молекулу (не забывайте, что сила — век­
тор!), в среднем равна нулю. При этом совершенно неважно, дейст­
вуют ли только силы рритяженйя или отталкивания или они дейст­
вуют одновременно. И в том и другом случае имеет место равнове­
сие. Однако эти случаи существенно различаются: в первом случае
равновесие оказывается неустойчивым, а во втором оно может быть

устойчивым. Из механики из­
вестно, что из всех возможных
положений тела наиболее устой­
чиво то, в котором центр тяжес­
ти занимает наинизшее положе­
ние. Ему соответствует наимень­
шее значение потенциальной
энергии.
Оказывается,
этот
принцип справедлив не только
для тел в поле сил тяжести, но
и для любой системы: устойчи­
во то состояние, в котором сис­
тема обладает наименьшим зна­
чением потенциальной энергии.
Поэтому
при
описании
свойств вещества (как и любой
системы из большого числа
частиц) важно знать не столько силы, сколько потенциаль­
ную энергию всех взаимодействующих молекул, зависимость
ее от среднего расстояния между молекулами. В качестве
примера на рисунке 5.1 представлена типичная кривая потенциаль­
ной энергии взаимодействия для пары молекул (кислорода в данном
'случае). Кривая имеет характерный вид— сначала идет круто вниз в
области действия сил отталкивания, затем загибается, образуя ха­
рактерную яму, и медленно приближается к горизонтальной оси в
области сил притяжения. Глубина потенциальной ямы имеет простой
физический смысл: чтобы «выкатиться» из ямы, необходима энергия,
равная глубине ямы. Она является мерой энергии связи данной
системы и измеряется той работой, которая приходится на долю
одной частицы при переводе системы в состояние, в котором рас­
стояния между частицами такие большие, что между ними отсутст­
вует любое взаимодействие. Обычно принимают, что на таких боль­
ших расстояниях потенциальная энергия системы равна нулю.
Такому выбору удовлетворяет график потенциальной энергии на
рисунке 5.1. (Потенциальная энергия измерена в электрон-воль­
тах — 1 эВ = 1,6 10-1" Дж, расстояние в ангстремах — 1А =
= КГ10 м.)
Потенциальная энергия взаимодействия молекул вместе с их
кинетической энергией (т. е. энергией поступательного движения
относительно их. центра масс) определяет внутреннюю энергию
системы. Для макроскопического тела она практически неотличима
от ее среднего значения. Напомним, что с молекулярно-кинетиче­
ской точки зрения температура системы есть среднекинетическая
энергия, приходящаяся на долю одной молекулы. Именно относи­
тельной ролью двух составляющих внутренней энергии системы —
средней кинетической и средней потенциальной энергии взаимо­
действия молекул — определяется то или иное фазовое состояние
или превращение вещества.
Рис. а
.1

Газообразное состояние вещества является примером сущест­
вующего в природе полного, совершенного беспорядка во взаим­
ном расположении молекул. Для воздуха на каждую молекулу
О
приходится кубик с размером ребра 35 А, тогда как диаметр моле-
О
кулы азота ^ 4 А. Иначе говоря, на одну молекулу азота прихо­
дится объем, почти в 1000 раз больший, ее собственного объема. При
такой степени разрежения каждая молекула находится в хаотиче­
ском движении, причем действие других молекул проявляется
только при столкновениях. Силы притяжения между парами моле­
кул очень быстро убывают с ростом расстояния между ними. Потен­
циальная энергия взаимодействия также быстро уменьшается по
абсолютной величине до нуля. Поэтому притяжение молекул в газе
не способно противодействовать тепловому движению молекул:
кинетической энергии с избытком хватает, чтобы выйти за пределы
действия сил притяжения.
Таким образом, в газе средняя кинетическая энергия молекул
больше абсолютного значения средней потенциальной энергии
взаимодействия молекул И чем сильнее выполняется это неравен­
ство, тем лучше реальный газ моделирует свойства идеального газа,
в котором по определению вообще отсутствует любое взаимодейст­
вие между молекулами. Заметим, что само значение внутренней
энергий в газе больше ее значения в других агрегатных состояниях
при одинаковой температуре, так как для перевода молекулы из
жидкого или твердого состояния в газообразное требуется значи­
тельная энергия.
Жидкость по своему строению существенно отличается от газа.
В жидкости молекулы соприкасаются друг с другом и находятся
как бы в состоянии постоянного «топтания» на месте, по существу
в окружении одних и тех же соседей. Из-за большой тесноты моле­
кулы в жидкости не могут перемещаться так свободно, как в газе.
Они могут лишь очень медленно вместе со своими соседями пере­
мещаться по объему, занятому жидкостью. Этим, в частности,
объясняется относительно высокая текучесть всех обычных жид­
костей. Но если силы вязкого трения оказываются большими, то
такие перемещения настолько затрудняются, что жидкость кажет­
ся жесткой, похожей на* твердое тело. Ее можно сильно охладить
и сохранить при этом присущую жидкости структуру. Она харак­
теризуется, по сути дела, порядком в малой области, охватывающей
лишь самых ближайших соседей. Этот порядок, называемый обыч­
но ближним, из-за теплового движения беспрерывно нарушается
и снова из-за притяжения молекул восстанавливается. Иначе гово­
ря, в жидкости может быть некоторый порядок, но он охватывает
лишь малую область и «живет», как говорят физики, короткое вре­
мя. За время, значительно большее времени «жизни» ближнего
порядка, и в масштабе всего объема жидкость представляется си­
стемой хаотически блуждающих молекул.
Таким образом, в жидкостях силы притяжения удерживают

молекулы в ограниченной области, но они не в состоянии противо­
стоять разупорядочивающему действию их теплового движения,
В жидкостях средняя кинетическая энергия молекул меньше абсо­
лютного значения средней потенциальной энергии и внутренняя
энергия в целом отрицательна, хотя ее абсолютное значение не­
значительно отличается от нуля.
В твердом веществе средняя кинетическая энергия оказывается
во много раз меньше абсолютного значения потенциальной энергии
взаимодействия. Поэтому внутренняя энергия твердых тел опреде­
ляется практически взаимодействием молекул и зависит от их рас­
положения. Молекулы находятся на своих местах, перемещение
их по объему кристалла исключено: они совершают лишь непре­
рывные колебания около положений равновесия. Внутренняя энер­
гия вещества в твердой фазе для температуры, при которой могут
существовать одновременно и другие фазы, имеет наименьшее значе­
ние, а в газообразной фазе — наибольшее значение.
5.4. ОБЩАЯ КАРТИНА ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ ВЕЩЕСТВА
В МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Молекулярная картина однородных состояний вещества, рас­
смотренная выше, может быть использована и при описании фазо­
вых превращений. Самая возможность таких превращений с моле­
кулярной точки зрения кажется естественной.
Действительно, подвод энергии к телу приводит не только к
изменению его внутренней энергии в целом, но и к изменению ко­
личественных соотношений между ее составляющими: средней
потенциальной энергией взаимодействия молекул и их средней
кинетической энергией. Выше отмечалось, что именно относитель­
ной ролью составляющих внутренней энергии тел определяется
их фазовое состояние. Пока количественные соотношения между
ними лежат в пределах, удовлетворяющих устойчивости того или
иного однородного состояния вещества, рост внутренней энергии
тела при подводе энергии сопровождается ростом температуры и,
следовательно, ростом средней кинетической энергии молекул без
изменения фазового состояния. При нагревании тела происходит
увеличение его линейных размеров, объема и, следовательно, сред­
него расстояния между молекулами. Но при этом, как отмечалось,
наблюдается значительное уменьшение абсолютного значения по­
тенциальной энергии взаимодействия молекул (см. рис. 5.1). Та­
ким образом, изменения составляющих внутренней энергии тела
при нагревании имеют противоположный характер. В результате
возникает ситуация, когда при некоторой температуре количест­
венные соотношения между составляющими внутренней энергии
уже не удовлетворяют условиям устойчивости старого фазового со­
стояния и происходит переход системы в новую фазу. Эта фаза,
разумеется, отличается своими, присущими только ей пределами
для изменений количественных соотношений между составляющими

внутренней энергии, при которых обеспечивается устойчивость
нового фазового состояния.
Для перевода всей массы т вещества в новое состояние требуется
определенное количество теплоты Q, называемое скры т ой т еплот ой
фазового превра щ ен и я и определяемое соотношением
Q=Щ,
где удельная теплота превращения q является характеристикой
данного вещества.
Если приток энергии извне оказывается меньше скрытой тепло­
ты Q, то в новое состояние переходит не вся масса вещества, а лишь
некоторая часть. Остальная ее часть будет оставаться в старом
состоянии. Иначе говоря, система распадается на две физически
однородные подсистемы (части), которые занимают определенные
части объема системы, отделены друг от друга поверхностями раз­
дела и состоят из однородного вещества. Если система теплоизоли­
рована, то никаких видимых изменений в состояниях подсистем не
наблюдается.
Но в действительности равновесие между новой и старой фазами
является динамическим, подвижным и впечатление о кажущейся
неподвижности равновесия между этими фазами чисто внешнее,
поверхностное. Из-за непрерывного теплового движения молекул
происходит непрерывный обмен частицами между фазами через их
поверхности раздела. Такой обмен частицами, естественно, с о ­
провождается непрерывным обменом массы, энергии и т. п. в пол­
ном согласии с законами сохранения массы вещества, энергии его
частиц и полного числа частиц. Динамика такого обмена и является
основой для описания фазовых превращений вещества в молеку­
лярной физике.
5.5 . ПЛАВЛЕНИЕ ТЕЛ
Добавление энергии кристаллу при температуре его .плавления
вызывает увеличение потенциальной энергии (кристалл расши­
ряется) и кинетической энергии (амплитуда колебаний атомов увели­
чивается). Это приводит к тому, что жесткая структура кристалла
в конце концов разваливается и тело становится жидким. Имею­
щийся при этом прирост внутренней энергии единицы массы веще­
ства представляет собой скрытую теплоту плавления А. Отметим,
что она на опыте обычно измеряется в условиях действия силы тя­
жести при постоянном внешнем давлении, равном атмосферному
давлению р 0. Поэтому она включает в себя часть энергии, затра­
чиваемой системой на работу против внешних сил при изменении
объема. При плавлении изменение удельного объема Ууд (т. е,
объема, занимаемого единицей массы вещества) невелико. Сле­
довательно, и работа против внешних сил (силы атмосферного
давления и силы тяжести) невелика и ее вкладом ДА в скрытую
теплоту плавления А можно пренебречь для любого вещества.
не

Рассмотрим теперь с позиций молекулярно-кинетической теории
испарение жидких и твердых тел. Так называют обычно процесс
парообразования или превращения жидких (и твердых) тел в газо­
образное состояние или пар. По сути дела, испарение — это отрыв
молекул с поверхности тел.
Возьмем, например, сосуд, состоящий из двух частей, располо­
женных вертикально и соединенных трубкой с краном. Пусть ниж­
ний сосуд целиком заполнен жидкостью (например, водой), а верх­
ний откачан до глубокого вакуума. При открывании крана над
поверхностью жидкости создается пустое пространство. Молекулы
жидкости, отрываясь от ее поверхности, постепенно заполняют его.
Плотность пара над жидкостью со временем увеличивается, пока
не установится динамическое равновесие между числом молекул,
вылетающих из жидкости в единицу времени и влетающих в нее
обратно. Пар, находящийся в динамическом равновесии со своей
жидкостью, называют н асыщ ен ным . Он отличается тем, что плот­
ность его для данной жидкости имеет наибольшее значение при
данной температуре. Пар, плотность которого меньше плотности
насыщенного пара, называют ненасыщ енным. Если такой пар на­
ходится в контакте со своей жидкостью, то поток молекул, вылетаю­
щих из жидкости (он зависит только от рода жидкости и ее тепло­
вого состояния), будет преобладать над потоком молекул, влетаю­
щих в жидкость. В таком случае имеет место собственно испарение
жидкости. Оно может поддерживаться длительное время, например,
откачкой паров из сосуда насосом или обдуванием поверхности
жидкости.
Плотность пара рпар однозначно связана с давлением или упру­
гостью паров рпар уравнением состояния. Действительно, пар есть
газообразное состояние вещества, отличающееся сильным разреже­
нием, когда расстояния между молекулами значительно превосхо­
дят размеры самих молекул. В таких условиях вклад потенциаль­
ной энергии взаимодействия молекул во внутреннюю энергию си­
стемы мал по сравнению с кинетической энергией. Поэтому для
определения давления пара рпар с достаточной для практики точ­
ностью можно пользоваться уравнением молекулярно-кинетической
теории для давления идеального газа при температуре Т в виде:
„
ьт- N"ар. -*Z1=v
^
Рпар —,1пар^*
уNд
пар у
"w
рт;
RT
--------
*
Рпар
,и пар
У
Н-пар
и“У
кт
где лпар = — у ----- плотность числа молекул пара, /vnap — полное
их число в объеме V , занимаемом паром, т пар и рпар — масса и
молярная масса пара, vnap — число молей пара в объеме V> R —
универсальная
газовая
постоянная, N A — число Авогадро,
k = л ------ постоянная Больцмана.
"А

Особенностью насыщенного
пара, отличающей .его от обыч­
ных газов, изученных в предыду­
щих заданиях, является зависи­
мость плотности числа частиц /гпар
и плотности (массовой) рпар
от температуры Т . Эта зависи­
мость при V = const получается
на опыте и обусловлена при­
сутствием жидкости, в динами­
ческом равновесии с которой
находится насыщенный пар. За­
висимость упругости насыщен­
ных паров воды от температу­
ры представлена на рисунке 5 .2 .
Как видно из рисунка, она су­
щественно отличается от изохор
для обычного газа.
А если насыщенный пар отделить от своей жидкости? Напри­
мер, перекрыванием крана насыщенный пар в верхнем сосуде можно
отделить от жидкости в нижнем сосуде. В таком случае при нагре­
вании пара число молекул Nnap в объеме V, занимаемом только
паром, сохраняется постоянным, и пар в таких условиях подчиняет­
ся, как и обычный газ, закону Шарля. Но его давление при любой
температуре будет меньше максимально возможного для данной
температуры. Такой пар является ненасыщенным, и он ведет себя
как обычный газ. Но если его сжимать при постоянной температуре
или охлаждать при постоянном объеме, то в какой-то момент пар
становится насыщенным и наблюдается его конденсация.
Почему молекулы могут отрываться от жидкости? Это возможно
потому, что молекулы, участвуя в тепловом движении, не все имеют
энергию, равную ее среднему значению. Часть молекул обладает
энергией, меньшей этой средней величины, а часть — большей
энергией. Поэтому имеются молекулы, кинетическая энергия кото­
рых достаточна, чтобы совершить работу против сил притяжения.
Такие молекулы вылетают за пределы жидкости. Внутренняя энер­
гия жидкости при этом уменьшается. Это равноценно понижению
ее температуры. При охлаждении число молекул, способных пре­
одолеть притяжение со стороны жидкости, уменьшается. И чтобы
сохранить число вылетающих молекул неизменным, необходимо
подвести извне дополнительную энергию, называемую скры т ой
теплотой испарения q. Наоборот, влетающие молекулы увеличи­
вают свою кинетическую энергию за счет притяжения, нагревают
при этом жидкость и увеличивают число вылетающих молекул.
В этом случае для сохранения динамического равновесия необхо­
димо отводить теплоту, выделяющуюся при конденсации пара.

5.7. ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ ВЕЩЕСТВА
В ТЕРМОДИНАМИКЕ.
ДИАГРАММЫ СОСТОЯНИЙ ВЕЩЕСТВА
Каждое из однородных состояний вещества — твердое, жидкое
и газообразное — полностью описывается в термодинамике своим
уравнением состояния. Оно, как известно, отражает тот опытный
факт, что параметры системы (давление р , температура Т и объем V
при данной массе ш) не могут меняться произвольно, независимо
друг от друга. Однако в аналитической форме уравнение состояния
удается получить только для газов.
В предыдущих разделах задания рассмотрены неоднородные
системы с позиций молекулярной физики. Обратимся теперь к тер­
модинамическому описанию таких систем. Напомним, что термо­
динамический подход основан на использовании как самых общих
законов (или начал), обобщающих опытные факты, так и специфи­
ческих особенностей изучаемых систем, обнаруживаемых на опыте.
Результаты термодинамического подхода отличаются большой общ­
ностью и не зависят от модели, используемой для описания иссле­
дуемой системы.
В условиях механического и теплового равновесия состояния
неоднородных систем определяются заданием давления р и темпе­
ратуры Г, так как именно эти параметры оказываются одинаковыми
для каждой из подсистем в любой ее части. Что же касается других
параметров: массы, объема или числа частиц, то они могут быть
различными для данных давлений и температур и зависят, как
показано в разделе 5.4, от предыстории фазового превращения.
Поэтому при описании свойств самого вещества в различных фазо­
вых состояниях пользуются обычно удельными характеристиками,
например плотностью р, удельным объемом Ууд, плотностью числа
частицпит.п.
Опыт показывает, что при равновесии двух фаз давление и тем­
пература связаны функциональной зависимостью, представляю­
щей собой кривую фазового равновесия. Она может быть задана с помо­
щью таблиц или графика в переменных р и t или Т В частности, такая
зависимость для насыщенных паров воды представлена на рисунке,
5.2 . Кривая фазового равновесия паров над твердым телом известна
как кривая возгонки твердого вещества, а кривая его равновесия
с жидкостью — как кривая плавления (или кривая кристалли­
зации).
Если кривые всех фазовых равновесий вещества построить на
плоскости р Т , то они разобьют ее на отдельные области, а сами
сойдутся в одной, так- называемой тройн ой точке. Она, как отме­
чено выше, описывает состояние вещества, в котором могут со­
существовать три фазы.
В целом вся плоскость р Т представляет собой диаграмму со­
стояний вещества. Точки, лежащие на кривых фазовых равновесий,
описывают неоднородную систему, в которой сосуществуют две

Рис. 5.3
фазы. Точки, лежащие внутри
областей, отделяемых этими кри­
выми равновесий, описывают
однородные состояния вещества.
Если состояние системы из­
менять квазистатически вдоль
какой-либо кривой на плоско -
сти р Т так, чтобы она пересека­
ла кривые фазовых равновесий,
то можно ~ проследить за пос­
ледовательным изменением сос­
тояний вещества. При этом в
точках пересечения линии с
кривыми равновесий происхо­
дит расслоение системы на раз­
личные фазы и наблюдается пе­
реход из одного состояния в дру­
гое. Такой переход протекает при вполне определенных температу­
рах и давлениях, соответствующих точкам на кривой фазового рав­
новесия. В справочниках точки превращения указываются обычно
для нормального внешнего давления.
На рисунках 5.3 и 5.4 в качестве примера приведены диаграммы
состояний р> t для воды и углекислоты (для давления использован
логарифмический масштаб, чтобы охватить весь диапазон изменения
давления). Эти диаграммы в общем похожи друг на друга. Наи­
более существенное отличие связано с расположением тройных
точек вещества (относительно нормального давления). Если давле­
ние в тройной точке меньше атмосферного (например, для воды
4,56 мм рт. ст.), то вещество относится к плавящимся. Оно при на­
гревании сначала плавится и превращается в жидкость, а потом
уже переходит целиком в газообразное состояние (пар). Если дав-
ю3
10‘
<ь
g10
Q>
CJ1
10'1
,ш
т
Сухой ,
лед £
Г //////
у Жидко
'
///////,
v/УА
iсть'\
///Л
£
X/.
1
§
1
I
n
5 $ Тройная
точка
1
1
/1-73,2
Пар
...
1
1
____1
_
-100 -50
030
Температура, *С
Рис. 5.4

ление в тройной точке больше атмосферного (например, для угле­
кислоты 5,1 10Б Па), то вещество относится к летучим. При
нагревании, если давление равно Ю5 Па, оно не плавится, а пере­
ходит в пар, возгоняется.
6.8. ДИАГРАММЫ СОСТОЯНИЙ НАСЫЩЕННЫХ
И НЕНАСЫЩЕННЫХ ПАРОВ
При описании свойств насыщенных и ненасыщенных паров на­
ряду с использованием плоскости состояний р , Т весьма полезным
и удобным оказывается представление состояния паров с помощью
кривых зависимости удельного объема Vyjl пара от температуры
в плоскости Куд, Т или с помощью изотерм в плоскости р , V . Такие
диаграммы отличаются большой наглядностью и позволяют дать
более полное описание свойств многофазных систем.
Изотермы для единичной массы паров воды представлены в коор­
динатах р и V на рисунке 5.5 . Они заметно отличаются от изотерм
идеального газа наличием у них горизонтальных участков, отве­
чающих области существования двухфазной системы. Давление
пара на этих участках равно давлению насыщенных паров при дан­
ной температуре и не зависит от объема, занимаемого паром. Сово­
купность точек, соответствующих краям горизонтального участка
изотерм, выделяет в плоскости р , V область существования двух­
фазной системы и отделяет ее от областей однородных состояний
вещества. Пограничная кривая области двухфазных состояний со
стороны больших значений объема системы описывает состояния
насыщенного пара и одновременно представляет собой кривую кон­
денсации. Изотермическое расширение насыщенного пара из со­
стояния на кривой конденсации делает пар ненасыщенным, и изо­
термическое расширение такого пара протекает по кривой, не
отличающейся
от
изотермы
обычного газа. Наоборот, изо­
термическое сжатие пара из то­
го же состояния не меняет его
давления, значение которого
равно максимально возможно­
му для данной жидкости при
данной температуре, но вызы­
вает выпадание росы и появле­
ние жидкости.
Пограничная
кривая со стороны меньших
объемов представляет собой
кривую, на которой заканчива­
ется конденсация пара при изо­
термическом сжатии и остается
только одна жидкость. По­
скольку в этой же точке начи­
нается испарение жидкости при
Рис. б.б

изотермическом расширении, то ее называют кривой испарения.
Крутой рост давления при уменьшении объема жидкой фазы левее
кривой испарения соответствует малой сжимаемости жидкостей.
5.9. КРИТИЧЕСКАЯ ТОЧКА ВЕЩЕСТВА
Обратим внимание на то, что при повышении температуры изо­
термы располагаются выше (см. рис. 5;5), горизонтальные участки,
соответствующие двухфазным состояниям системы, укорачиваются
так, что в конце концов сходятся в некоторой точке К . Это легко
понять. При назревании давление насыщенных паров и их плот­
ность увеличиваются, а объем, занимаемый единичной массой, при
этом уменьшается. С другой стороны, нагревание вызывает рас­
ширение жидких тел и увеличение их объема. Поэтому при неко­
торой температуре удельные объемы и плотности жидкости и ее
насыщенного пара соответственно сравняются. Эту температуру
принято называть критической температурой вещества Т кр. Со­
стояние вещества при температуре Т = Т кр> отвечающее на диа­
граммах состояний критической точке К (см. рис. 5.3, 5.4 и 5.5),
называют критическим состоянием вещества.
Критическое состояние вещества примечательно тем, что для
него не существует границы раздела между жидкой и газообразной
фазами, скрытая теплота перехода жидкости в пар обращается
в нуль. Соответствующие ему давление, температуру и удельный
объем называют обычно критическими параметрами. При темпера­
туре выше критической система однородна.
Существование критической температуры вещества объясняет,
почему при обычных температурах одни вещества могут быть как
жидкими, так и газообразными, а другие остаются газами. Дело
в том, что для большинства газов комнатные температуры лежат
выше их критических температур. Наоборот, для жидкостей они
лежат значительно ниже критических температур. Это означает,
что пар следует представлять как газообразное состояние вещества,
находящегося при температуре ниже критической Т кр. Поэтому
из газов только пары могут превращаться в жидкость изотермиче­
ским сжатием. Обычные газы для сжижения нужно сначала охла­
дить до температуры ниже критической, а затем сжимать с выделе­
нием теплоты.
При наличии критической точки возможен непрерывный пере­
ход между любыми состояниями, которые лежат по разные стороны
кривой фазового равновесия жидкость — пар, без расслоения си­
стемы на две фазы. Для этого необходимо изменять состояние веще­
ства квазистатически вдоль любой кривой 1,2 (см. рис. 5.3), огибаю­
щей критическую точку К и не пересекающей кривой фазового
равновесия. Таким образом, при наличии критической точки само
деление на фазы становится условным, так как говорить строго о
фазах можно тогда, когда они существуют одновременно, сопри­
касаясь друг с другом.

Образование пара со свободной поверхности жидкости носит
спокойный характер и протекает при любой температуре. Такой
процесс парообразования обычно называют и сп арени ем . Наряду
с испарением со свободной поверхности возможно образование
пара изнутри жидкости. По достижении определенной температуры
внутри жидкости возникают, растут и поднимаются на поверхность
пузырьки пара, нередко увлекая за собой и саму жидкость. Про­
цесс парообразования приобретает бурный, неспокойный и хаоти­
ческий характер. Это явление называют ки п ен и ем , а температуру,
при которой протекает процесс, называют температурой кипения.
Строго говоря, и в этом случае испарение жидкости происходит
с ее поверхности и по существу кипение представляет собой лишь
особый вид испарения. Дело в том, что жидкость никогда не бывает
физически однородной. В ней всегда имеются пузырьки воздуха
или других газов, при этом настолько малые, что они невидимы
невооруженным глазом. В жидкости имеются и мельчайшие твер­
дые частицы, на которых удерживаются эти маленькие пузырьки
воздуха или других газов. Наконец, большое количество воздуха
остается в мельчайших порах или царапинках на поверхности сте­
нок сосуда, когда он заполняется жидкостью. На поверхности
каждого такого пузырька непрерывно идет испарение жидкости и
конденсация пара, пока не наступит состояние динамического
равновесия, в котором эти два противоположных процесса компен­
сируют друг друга. Присутствие в объеме пузырька вместе с паром
другого газа (в частности, воздуха) влияет на время установления
динамического равновесия, но не влияет на величину равновесного
давления паров внутри пузырька. Последнее, очевидно, равно дав­
лению насыщенных паров при данной температуре жидкости. При
этом полное давление внутри пузырька равно согласно закону
Дальтона сумме парциальных давлений пара и газов, находящихся
внутри пузырька. С другой стороны, в состоянии механического
равновесия оно равно внешнему давлению вне пузырька. Послед­
нее в свою очередь складывается из атмосферного давления и гид­
ростатического давления окружающей жидкости, а также дополни­
тельного давления, связанного с кривой поверхностью пузырька
(об этом см. в задании 6 ). Для мелких водоемов и сосудов (например,
кастрюли или чайника) и не очень мелких пузырьков можно ограни­
читься учетом только давления на свободной поверхности (в част­
ности, атмосферного давления).
По мере нагревания жидкости парциальное давление паров
внутри пузырька увеличивается в соответствии с температурным
ростом давления насыщенных паров данной жидкости. Парциаль­
ное давление воздуха при этом уменьшается, так как в состоянии
механического равновесия их сумма остается постоянной и рав­
ной внешнему давлению. Уменьшение парциального давления воз­
духа внутри пузырька достигается увеличением его объема, сопровож­

даемого интенсивным испарением жидкости с внутренней поверх­
ности. Давление насыщенных паров от объема не зависит и при
нагревании достигает значения, равного давлению вне пузырька,
в частности атмосферному давлению. В результате давление вне
пузырька уравновешивается давлением пара внутри пузырька, а
парциальное давление воздуха оказывается неуравновешенным.
Двухфазная система — жидкость с пузырьками — становится ме­
ханически неустойчивой, и начинается процесс кипения. При этом
под давлением воздуха пузырьки раздуваются до размеров, при
которых они под действием архимедовой силы способны всплывать
наверх. Поднимаясь, пузырьки охлаждаются в более холодных
верхних слоях, и пар в них конденсируется. Объем пузырьков
при этом уменьшается так быстро, что они захлопываются с харак­
терным звуком. Количества теплоты, выделяющегося при конден­
сации, оказывается достаточным для того, чтобы прогреть весь
объем жидкости настолько, что пузырьки достигают свободной
поверхности жидкости, выбрасывая наружу горячий пар. Так про­
текает процесс кипения. Граница его устойчивости определяется
температурой, при которой давление насыщенных паров равно сум­
ме давления на свободной поверхности жидкости и гидростатиче­
ского давления на рассматриваемой высоте. Это и есть температура
кипения.
Задача 5.1. В химический стакан налили некоторое количество
четырех хлор истого углерода СС1 4 и поверх него осторожно, чтобы
избежать перемешивания, добавили некоторое количество чистой
воды. Стакан поместили в водяную баню, температура которой
благодаря медленному нагреванию плавно повышается. Найдите,
в какой части объема такой смеси и при какой температуре в ней
начинается кипение. Зависимость упругости насыщенных паров
для жидкостей дана в таблице.
Давление паров,
мм рт. ст.
760
460
200
100
f0
40
20
Температура
и°с
Н20
100
82,5
67,0
51,5
41 ,0
34,0
24,0
СС), 76,7
57,8
38,9
23,0
12,8
4,3
-8,2
Решение. Известно, что вода и четыреххлористый углерод
не смешиваются. Плотность последнего больше плотности воды
и равна, в частности, 1,63 г/см3. Поэтому при медленном нагрева­
нии граница раздела между ними является и границей раздела для
конвективных потоков внутри каждой жидкости. Благодаря этому
прогревание жидкостей происходит равномерно, и они по-прежнему
не смешиваются. По мере прогревания смеси давление насыщенных
ларов каждой компоненты (воды и СС14) возрастает. Кипение жид­
костей, как показано, начинается, когда давление насыщенных па-

ров внутри пузырьков, имеющихся в каждой из них, станет равным
внешнему давлению. Последнее для небольшого слоя налитой жид­
кости практически не отличается от атмосферного. Если оно в свою
очередь строго равно 760 мм рт. ст-, то кипение воды начнется при
температуре 100° С, а четыреххлористого углерода — при 76,7° С.
Кипение должно начинаться у стенок стакана, так как температура
вблизи них перед кипением всегда больше, чем в любой другой
части жидкостей. Казалось бы, что раньше должно начаться кипе­
ние у стенок, где находится четыреххлористый углерод. Однако
это не так! На самом деле раньше всего кипение начинается у сте­
нок стакана вблизи границы раздела жидкостей. Это обусловлено
тем, что давление пара в пузырьках воздуха на границе раздела
жидкостей равно сумме Парциальных давлений обеих жидкостей.
Очевидно, что их суммарное давление станет равным атмосферному
значительно раньше, чем в пузырьках, находящихся только в воде
или OCI4 . Итак, кипение смеси начинается у стенок стакана на
границе раздела жидкостей при температуре, которая ниже не
только точки кипения воды (100° С), но и точки кипения четырех­
хлористого углерода (76,7° С). В частности, температуру кипения
смеси можно найти графически. Для этого, по данным таблицы,
нужно построить графики зависимостей давления насыщенных
паров рассматриваемых жидкостей от температуры. Затем с по­
мощью этих кривых построить график суммарного давления. Точ­
ка, в которой он пересечет горизонтальную прямую с координатой
давления, равного 760 мм рт. ст., и будет точкой кипения смеси.
Она оказывается равной 6 6 ° С. Не правда ли, результат весьма
неожиданный? Заметим, что давление насыщенных паров воды при
этой температуре равно 196 мм рт. ст., а давление четыреххлори­
стого углерода равно 564 мм. рт. ст.
5.11 . ВЛАЖНОСТЬ ВОЗДУХА
Присутствие паров в воздухе нашей атмосферы, находящейся
в контакте с многочисленными водоемами, неизбежно. Воздух с во­
дяными парами называют влажным воздухом.
Количественное содержание пара в воздухе, измеряемое плот­
ностью, выраженной в единицах г/м3, называют абсолютной влаж­
ност ью А . Выбор внесистемной единицы г/м3 для плотности пара,
определяющей абсолютную влажность, обусловлен малым количе­
ственным содержанием пара при обычных температурных условиях
на нашей планете.
Плотность пара рпар с помощью уравнения Менделеева —
Клапейрона определяют (см. раздел 5.6) через парциальное давле­
ние пара рпар:
Рпар= Рпар-^
-
Можно, в частности, показать, что при комнатных температурах
(« 17 ° С) абсолютная влажность А численно совпадает с парциаль­

ным давлением паров, измеренным в мм. рт. ст. Предлагаем убе­
диться в этом самостоятельно.
Нередко летом после душного жаркого дня вечером, когда стано­
вится заметно прохладнее, можно наблюдать, как выпадает обиль­
ная роса. Это вода, выпавшая из влажного воздуха при конденсации
паров. Насколько водяной пар в воздухе далек от насыщения,
далек от момента конденсации и выпадания росы, характеризуют
относительной влажностью г. Относительную влажность определя­
ют отношением абсолютной влажности воздуха к предельно возмож­
ной при данной температуре абсолютной влажности, или отноше­
нием парциального давления (плотности) пара к давлению (плот­
ности) насыщенных паров при этой температуре:
j. __
^
_
Рпар Рпар
^макс
Рнас
Рнас
Относительную влажность г выражают обычно десятичной дробью
или в процентах и измеряют специальными приборами — гигро­
метрами. Знание влажности воздуха очень важно, так как присут­
ствие водяных паров в атмосфере существенно сказывается на погод­
ных и климатических условиях и нашем самочувствии.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. В бане можно наблюдать, что одни краны и трубы покрыты
влагой, а другие практически сухие. Почему?
2 . Почему зимой в спокойный день, когда начинает выпадать
снег, заметно теплеет?
3. Для предохранения от моли одежду обычно пересыпают наф­
талином. Какое свойство нафталина здесь используется?
4. Такие газы, как водород и гелий, долгое время не удавалось
сжижать, и они получили в связи с этим даже название «постоян­
ных» газов. Объясните причину их «постоянства».
5. Почему в зимнее время относительная влажность в служеб­
ных помещениях держится обычно в пределах 10— 15%?
6 . На брусок изо льда надета проволочная петля, к нижней
части которой подвешен груз. Проволочка сравнительно быстро
разрезает лед и падает, но брусок при этом остается целым и не­
вредимым. Почему? Если же проволочную петлю заменить петлей
из капроновой нити того же диаметра, то лед практически не режет­
ся. В чем дело?
7. В два сосуда помещают 1 моль воды и 1 моль эфира и, изме­
няя объем, их испаряют. Наименьшие объемы, при которых жид­
кости полностью испаряются, равны. Одинаковы ли температуры
испарения жидкостей в этих опытах?
8 . Из наблюдений известно, что при подъеме вверх в сухой
атмосфере температура понижается примерно на 1 ° С на 100 м
подъема. Во влажной атмосфере (например, над поверхностью океа­
на в безветренную погоду) понижение температуры оказывается

значительно слабее — всего 0,5° С на каждые 100 М. Как это объяс­
нить?
9.
Сильные морозы в безветренную погоду переносятся замет­
но легче, чем более слабые морозы, но при ветре. Почему?
1 0 . Почему фонтаны умеряют жару?
1 1 . Можно ли вскипятить воду, подогревая ее водяным паром
при температуре 1 0 0 ° С и давлении воздуха 1 0 5 Па?
1 2 . Образуется ли роса при ветре?
13. Почему температура воды в водоемах летом всегда ниже
температуры окружающего воздуха?
14. Почему пищу в кастрюле-скороварке можно сварить бы­
стрее, чем в обычной кастрюле?
ЗАДАЧИ
1. Какой объем занимает 1 г воды в газообразном состоянии
при 0, 18 и 100° С? Пары считать насыщенными с давлениями, со­
ответственно равными 4,56, 15,5 и 760 мм рт. ст.
2. Оцените среднее расстояние между молекулами в жидком
азоте, если плотность его равна 1 г/см3.
3. Покажите', что абсолютная влажность воздуха при комнат­
ных температурах (=sl7° С) численно совпадает с упругостью пара,
измеренной в мм рт. ст.
4. В сосуд объемом 2 10- 3 м3, сообщающийся с сухим возду­
хом при 20° С и нормальном давлении, бросают кусочек сухогр
льда массой 1,5 г и сосуд плотно закрывают пробкой. Разорвете?
ли при этом сосуд, если его стенки выдерживают избыточное давле­
ние не больше 106 Па? Давление насыщенных паров углекислоты
при 20° С равно 56,5 • 10* Па.
5. В вакуумной установке оказалась капля воды некоторой мас­
сы. Скорость откачки насоса 15 л/мин. Какова масса капли воды,
если она испарилась через 25 мин при установившейся температуре
5° С? Давление насыщенных паров воды при 5° С равно 6,54 мм рт. ст.
6 . В герметически закрытом ящике при температуре
= 30°С
находится воздух с относительной влажностью г = 70 %. В ящике
имеется змеевик, который охлаждается проточной водой. Сколько
сконденсируется воды на внешней стороне змеевика, если через
него пропускать воду с температурой / 2 = 4° С, а стенки ящика
поддерживать при температуре 30° С? Давление насыщенных па­
ров воды при температурах 30 и 4° С равно соответственно 31,8 и
6,1 ммрт. ст., объем ящика 3 м8.
7. По одной из теорий гейзеры представляют собой большие
подземные резервуары, наполненные грунтовой водой и прогревае­
мые подземным теплом. Выход из них на поверхность Земли осу­
ществляется через узкий канал, который в «спокойный» период
практически полностью заполнен водой. Считают, что «активный»
период наступает, когда вода закипает в подземном резервуаре, и
что во время извержения гейзера канал практически заполнен
только паром, который и выбрасывается наружу.

Оцените, какую часть воды теряет резервуар во время одного
извержения (высота фонтана паров Л2 = 1 0 м), если при глубине
канала гейзера hx = 37 м вода перегревается до температуры 140° С.
Удельную теплоту q испарения воды считать равной 2,25 X 10е
Дж/кг. Атмосферное давление нормальное.
8 . В герметически закрытый цилиндр объемом 44,8 10~ 3 м3,
внутри которого может без трения перемещаться поршень, впрыс­
нули некоторое количество воды в пространство под поршнем и
водород в пространство над поршнем. Затем систему нагрели до
100° С. При этом поршень установился на половине высоты цилин­
дра, причем на стенках его сохранялись еще следы влаги. Через
некоторое время водород продиффундировал через материал порш­
ня и последний переместился вверх до 3/4 высоты цилиндра. Най­
дите, сколько воды и водорода было впрыснуто в цилиндр. Толщи­
ной поршня можно пренебречь.
9. В цилиндр, полностью заполненный водой при температуре
100° С, вставлена вертикальная трубка сечением S = 2 см2, внутри
которой без трения может перемещаться очень легкий поршень.
Внутри цилиндра находится спираль электронагревателя. С какой
скоростью будет подниматься поршень в трубке, если с помощью
нагревателя подводится мощность Р = 10 Вт? Цилиндр, считать
теплоизолированным. Удельная теплота испарения равна 2,25 х
X 10° Дж/кг, атмосферное давление нормальное.
10. В сосуде находится воздух и небольшое количество воды.
При температуре tx = 26° С, при которой давление насыщенных
паров р1нас = 25 мм рт. ст., давление в сосуде равно атмосферному
Р о = 10бПа. Сосуд закрыт клапаном с площадью сечения 5 = 1 мм2,
который удерживается пружиной с силой F = 0,103 Н. Сосуд мед­
ленно нагревается, и при температуре / 2 = 95° С, когда еще не
вся вода испарилась, клапан открывается. Каково давление насы­
щенных паров воды при температуре / 2 = 95° С? Объемом жидкой
воды по сравнению с объемом сосуда пренебречь.
1 1 . Взрывная камера заполняется смесью метана и кислорода
при комнатной температуре и давлении р0 = 760 мм рт. ст. Пар­
циальные давления метана и кислорода одинаковы. После гермети­
зации камеры производится взрыв. В камере происходит реакция
СН4 -f- 202 = С02 2Н20
Найдите установившееся давление внутри камеры после охлаж­
дения продуктов реакции до первоначальной температуры, при
которой давление насыщенных паров воды равно 17 мм. рт. ст.
1 2 . Баллон газовой плитки объемом 0,5 л содержит 300 г про­
пана (С3 Н8) под давлением 16 105 Па. Что можно сказать об агре­
гатном состоянии пропана в баллоне?
13. В отростке сосуда, закрытого поршнем, находится неболь­
шое количество воды в равновесии с насыщенным паром. Диаметр
сосуда D = 5 см, диаметр отростка d = 2 мм. Поддерживая темпе­
ратуру постоянной и равной t = 19° С, поршень опускают на вы-

соту Н = 10 см. Уровень воды
в отростке, при этом повыша­
ется на h — 1 мм. Определите
давление насыщенных паров
воды при 19 °С.
14. Оцените, какую долю
от количества теплоты, необхо­
димого для парообразования во­
ды при 100 °С, составляет ко­
личество теплоты, расходуемое
на работу против сил внешнего
давления.
15. Сосуд объемом V = 120 л разделен тонкой подвижной пере­
городкой на две части. В левую часть помещены 2 моля воды, а в
правую 1 моль азота. Температура поддерживается равной 100 °С.
Определите объем правой части сосуда.
16. В сосуде укреплена неподвижная перегородка, по обе сто­
роны от которой помещаются подвижные поршни (рис. 5 .6). Перво­
начально левая часть сосуда содержит 1 моль водорода и 1 моль
азота, а правая часть 3 моля воды. Температура системы t поддер­
живается равной 100 °С. Перегородка проницаема для водо­
рода и непроницаема для остальных газов. Определите силу F t
которую надо приложить к правому поршню, чтобы удерживать
его в положении, при котором объем правой части сосуда V со­
ставляет 81,6 л. Сечение сосуда 5 = 0,1 м2, внешнее давление р 0 =»
= 106 Па.
Ответы на контрольные вопросы
1. Влажность воздуха в бане обычно близка к 100%. Давление
паров близко к давлению насыщенных паров при комнатной тем­
пературе. Температура поверхностей холодных труб ниже, а горя­
чих труб выше комнатной. Поэтому на холодных трубах происходит
конденсация водяных паров, а на горячих трубах этого не наблю­
дается и они кажутся сухими.
2. Возможная причина состоит в выделении теплоты при кон­
денсации пара.
3. Нафталин, как и твердая углекислота, при нормальном дав­
лении не плавится, а возгоняется. Насыщенные пары нафталина,
не действуя на саму одежду, создают для моли неприятную атмо­
сферу.
4. Трудности, связанные с проблемой сжижения гелия и во­
дорода, вызваны их очень низкой критической температурой,
5. В холодное время в воздухе содержится много вл^ГЦ* Дейст­
вительно, между теплым воздухом в помещении и холодным возду­
хом на улице в зимнее время устанавливается динамическое равно­
весие и абсолютные влажности для них оказываются равными,
^ п р и м е р , при относительной влажности воздуха снаружи г —
—
0,60 при температуре 0 °С парциальное давление паров воды рав­

но 2,74 мм рт. ст. Давление насыщенных паров воды при темпера­
туре в помещении + 2 2 ° С равно 19,8 мм рт. ст. Отсюда относитель­
ная влажность в теплом помещении вместо 0,60 оказывается равной
г=till=0,14.
19,8
6. Возможно следующее объяснение. Под тяжестью груза про­
волочная петля, надетая на брусок льда, создает под собой область
повышенного давления. У льда повышение давления вызывает
(см. рис. 5.3) понижение температуры, при которой устанавливается
динамическое равновесие между твердой фазой (льдом) и жидкой
(водой). Масса льда в области повышенного давления охлаждается.
Количество теплоты, выделяющееся при этом, расходуется на пла­
вление небольшой части льда у поверхности проволоки. (Вообще
говоря, некоторое количество теплоты поступает и извне за счет
перепада температур у части льда с повышенным давлением и
остальной его части. Но из-за плохой теплопроводности льда при­
ток теплоты снаружи происходит, чрезвычайно медленно.)
Под действием груза проволока при плавлении льда смещается
вниз, вода оказывается над проволокой сверху и там замерзает.
При замерзании воды выделяется некоторое количество теплоты.
Благодаря высокой теплопроводности металла оно расходуется в
основном на плавление льда под проволокой. Передача теплоты и
перемещение проволоки происходят сравнительно быстро без раз­
рушения самого куска льда.
В случае петли из капроновой нити такой процесс протекает
медленно из-за плохой теплопроводности материала нити.
7. Нет, температуры неодинаковы, причем в опыте с эфиром тем­
пература ниже. В самом деле, при полном испарении жидкости
наименьший объем занимает насыщенный пар. Согласно уравнению
Менделеева— Клапейрона p V = v R T при равенстве числа молей v и
объемов V , занимаемых парами, равны значения величины £ для
разных паров. Равенство температур при этом означает, что равны
давления паров, являющихся в нашем случае насыщенными. Но
давление насыщенных паров эфира при данной температуре боль­
ше соответствующего давления паров воды. Ясно, что для обеспе­
чения равных значений величины—для насыщенных паров воды
и эфира следует понизить температуру, при которой проводится
испарение эфира.
8. Наблюдаемое явление объясняется выделением теплоты при
конденсации паров в восходящих потоках влажного воздуха. Пусть
некоторая масса влажного воздуха поднимается вверх. При подъеме
атмосферное давление падает и данная масса воздуха расширяется.
Расширяясь, воздух совершает работу за счет внутренней энергии
и охлаждается. Пары в воздухе при этом конденсируются и выде­
ляют значительное количество теплоты, что приводит к ослаблению
охлаждения воздуха при подъеме его вверх.

9. Ветер усиливает испарение влаги и вызывает сильное охлаж­
дение кожи.
10. Разбрызгивание воды значительно увеличивает поверхность
испарения. При испарении затрачивается много энергии, которая
забирается от окружающего воздуха, поэтому он охлаждается.
11. Нельзя. При нормальном давлении вода кипит при 100° С.
На кипение затрачивается большое количество теплоты, поступаю­
щее за счет перепада температур на стенках сосуда. При этом темпе­
ратура снаружи сосуда заметно выше 100° С. Но при обогревании
горячим паром при температуре 100° С перепад на стенках сосуда
отсутствует и, следовательно, отсутствует приток теплоты для под­
держания кипения воды.
12. Роса при ветре не образуется. Ветер, унося пары, нарушает
равновесие между паром и жидкостью и вызывает интенсивное
испарение капель влаги. Это препятствует появлению росы.
13. Вероятной причиной понижения температуры воды является
испарение ее, вызываемое потоками воздуха — восходящими кон­
векционными потоками и горизонтальными перемещениями масс
воздуха при ветре.
14. Температура кипения в кастрюле-скороварке значительно
выше 100° С, так как в ней с помощью клапанов поддерживают
высокое давление насыщенных паров воды. Высокая температура
и ускоряет приготовление пищи.
Решения задач
1. Воспользуемся уравнением Менделеева — Клапейрона:
РнасУ _
_
ЛL . Ро^о
т
р
1*
Тй
(здесь рнас — давление насыщенных паров, V — объем и Т —
температура газа, р 0, V0 — соответственно нормальное давление
иобъем1молягаза, Т0= 273К, пгир—массаимолярнаямасса
пара).
Отсюда для удельного объема Куд, занимаемого 1 г воды, имеем:
у=Ya-.Js-.2L.
УД р Рнас
Г,
Подставляя численные данные, находим 207, 65,6 и 1,77 л/г.
2. Каждой молекуле припишем некоторый объем в виде кубика
со стороной а, определяющей среднее расстояние между молеку­
лами. Если N — полное число молекул в 1 см® тела, N .
—
число
.
V
Авогадро, р — плотность и р — молярная масса жидкости, то
Отсюда
Net=1иN=
.
-
ИгГ
а = 3,6 •10_8см= 3,6А.

3.
Если рпар — давление пара в воздухе, выраженное в мм рт. ст,,
т — масса пара, находящегося в 1 м3 воздуха, выраженная в г
(по определению это и есть абсолютная влажность А ) , то согласно
уравнению Менделеева — Клапейрона имеем:
А=т =цP^L =р
• 18 — -------------------- 1
—
Ю3 л • 273 К-------------- =
'
RT
р
моль
л
760ммртст • 22,4----- 290К
моль
—
Рпар
•
мм рт. ст.
4. Предположим, что весь сухой лед испарился. Тогда дополни­
тельное давление Ар , создаваемое им, равно:
Ap=f-T =f P°Tk’Ар= °.4Ы0*Па.
Эго давление меньше давления насыщенных паров углекислоты
при 20° С, равного 56,5 105 Па. Поэтому кусочек сухого льда
действительно испарится весь. Поскольку дополнительное давле­
ние, создаваемое им, меньше предельного давления, которое может
выдержать сосуд, то последний останется в сохранности.
5. При установившемся режиме откачки количество испаряю­
щейся воды равно массе откачиваемого насосом пара, т. е.
т = рт, р = ЦпаРРнасГ
RTо
(здесь р — массовая скорость откачки, выраженная в г/с, V —
объемная скорость откачки в см3/с, рнас — давление насыщенных
паров при температуре капель воды в ходе откачки Т = 278 К,
т — время откачки). Отсюда находим:
m=ЦпаР
■т>m = 2,55г.
6.
Когда вода сконденсируется на змеевике, давление паров
в ящике будет равно давлению насыщенных паров при температуре
4° С, при которой устанавливается динамическое равновесие. При
этом температура пара в ящике будет равна прежней температуре воз­
духа, так как площадь поверхности змеевика во много раз меньше
площади поверхности стенок ящика. Поэтому количество сконден­
сировавшейся воды равно разности масс паров в сосуде в начале и
в конце опыта, т. е.
Д/71 — ^пар
^пар —М'пар rt
РтарУ _
М'пар
р2насУ
RT
Мпар g j* (0»7Pihuc
р2нас)>
— 46,2 Г.
7.
Жидкость начинает закипать в тот момент, когда давление
насыщенных паров внутри пузырьков газа, находящихся в ж и д­
кости, становится равным внешнему давлению. В нашем случае
оно отличается от атмосферного на величину гидростатического

давления, создаваемого столбом жидкости в канале гейзера. Поэтому
температура воды в резервуаре гейзера должна на некоторую вели­
чину A t превышать температуру кипения воды при нормальном
давлении, равную 100° С. Когда же столб воды в канале в самый
момент закипания воды будет выброшен наружу, давление паров
и температура жидкости понижаются соответственно до атмосфер­
ного давления и температуры кипения при нормальном давлении,
т. е. до 100° С. Количество теплоты m c A t, выделяющееся при пони­
жении температуры всей массы воды в резервуаре, идет на испаре­
ние некоторой ее доли А т и на сообщение ей потенциальной энер­
гии, равной Дm g (Лх + Л2), где
—
глубина канала гейзера, Л2 —
высота фонтана извергающихся паров воды.
Отметим, что «активный» период гейзера — это довольно бы­
стрый процесс, занимающий сравнительно небольшое время. «Спо­
койный» период — более длительный процесс, в котором посредст­
вом теплопроводности происходит повторное прогревание всей мас­
сы воды в подземном резервуаре, которая за счет притока грунто­
вых вод восполняет свой первоначальный запас. Теплоподводом
в момент извержения можно пренебречь и считать, что извержение
Происходит за счет внутренней энергии воды в резервуаре гейзера.
Итак, имеем:
тсAt= Am[q-fg(ht+ Л2)],
Где q — удельная теплота парообразования воды.
Откуда получаем:
Дт _______ сД<_____ ^
сД<
Ат •100% л
т
lq-Hg(ht+ А*)]~ q
т
7,5 %.
8.
Условие равновесия поршня состоит в том, что давление во­
дяных паров риас уравновешивает давление, создаваемое водоро­
дом р н г и тяжелым поршнем:
.
Mg
Рнас—Ро Рн,"Ь
^»
где М — масса поршня, S — сечение цилиндра. Считаем, что вся
вода под поршнем находится в газообразном состоянии под давле­
нием насыщенных паров при 100° С (массой влаги на стенках прене­
брегаем). После диффузии водорода его давление по обе стороны
поршня станет одинаковым и он не будет уже влиять на условие
равновесия поршня. Под действием паров поршень передвинется
вверх, пока сила давления паров не уравновесит силу тяжести
Поршня: pS = Mg..
Согласно закону Бойля — Мариотта для ненасыщенных паров
при 100° С имеем:
Р"£г-* .1к.
Отсюда получаем:
Р=
Mg
s
=
n
=
1
3РоИРн,-Ро—
s
Ро*

Используя уравнение Менделеева — Клапейрона, получаем для
массы воды т 1 и водорода т.г значения:
Щ=Pi2r¥'Щ =13,2Г’
Щ=Ц2
т2=0,49г.
9. За -счет мощности Р , подводимой нагревателем, в единицу
р
времени испаряется масса воды, равная т = —. В результате пар,
Я
поступающий в вертикальную трубку, заставляет перемещаться
поршень со скоростью v , удовлетворяющей условию
mt = pSvt,
где р — плотность пара, S — сечение трубки.
Используя уравнение Менделеева — Клапейрона, по известному
давлению пара /?пар находим его плотность р:
О=
—
=
мРпар=JL.^паР.1±(п
=
п!)
РV
РRT
V0 р„
Т^пар Ро
Наконец, используя оба уравнения, находим:
или
m=
=pSv= £-
. hifL.ь .Sv,
я
v9р0т
'
РV„Т
Оо
,
V= — •Г-2-• —, 0 =3,8см/с.
Я
'о
10. В момент открывания клапана выполняется соотношение
Т
F
(Ро PlHac)
ЬР211ас = РоН
Отсюда находим искомое давление:
Ргнас Ро ”Ь о (Ро PlHac)
>Ргнас^ 0,84•10 Па.
о
Jj
11.
Поскольку парциальные давления метана и кислорода оди­
наковы, то числа молей этих газов одинаковы и равны v. Согласно
уравнению реакции горения метана на каждый моль СН4 требу­
ются 2 моля кислорода 0 2. Поэтому в ходе реакции весь кислород
будет израсходован, а половина метана останется. Кроме того,
в ходе реакции образуется еще 0,5 v моль углекислого газа и v
моль воды. Вообще говоря, образовавшаяся вода перераспределится
между жидкой и газообразной фазами. Максимальное давление,
которое могут иметь пары воды при температуре опыта, равно дав­
лению насыщенных паров, т. е. 17 мм рт. ст.
Максимальное давление, которое может быть в камере, равно
сумме парциальных давлений оставшегося метана, образовавшегося
углекислого газа и насыщенных паров воды:
Рх = РсН4 + РсОл ~Ь ^нас Н*0*

Парциальное давление оставшегося метана:
п
=
—
.
тсн«
RT=
—
V
BL.
_
v/?r
Рсн‘
2Исн4У
2<*.у
2у.
гдет снк' М'сн1>vch4
масса, молярная масса и число молей
метана, V — объем камеры, Т — температура смеси газов в камере
Такое же давление создают и молекулы углекислого газа: ^
1
RT
рсо,—2VV'
Парциальное давление оставшегося метана и, следовательно
образовавшегося углекислого газа равно половине парциального
давления первоначального количества метана, т. е.
1
Рен,—Рсо,~~4Ро-
Итак, давление в камере может быть не больше
Рх= 2^*-+Р„асн,о* Р*= 397ммРт.ст.
12. Предположим, что весь пропан в баллоне газообразный
Тогда его масса m согласно уравнению Менделеева — Клапейрона
должна быть равной
н
m—Р~§~г> пг= 15г<300 г.
RT
Поэтому пропан должен частично находиться в жидком состоянии
частично в газообразном.
'
13. Масса сконденсировавшейся влаги пг равна:
т=р/^ =рпар^.-5 -Ь’Я,
где р — плотность воды, рпар — молярная масса воды, рнас —
искомое давление насыщенных паров, R — газовая постоянная.
Используя соотношение R =
получаем:
*О
Рнас
рRT h/d\2_ уорТ
Ипар' н [D)“ РорГ0■Н\D)’Рнас 16,3ммрт.СТ.
14.
Работу Aq против сил внешнего давления при переходе
единичной массы воды в насыщенный пар находим по формуле
RT
— Рнас
^ Р(Ууц>. газ =
> ДЯ^ 1>7 • ЮБДж/КГ.
Рпар
Она составляет от полной теплоты парообразования при 100° С
долю, равную
м.
я
1,7 ♦ 106
2,3 . 10е
= 0,075.

Здесь мы пренебрегли объемом жидкой фазы по сравнению
объемом пара, и для давления насыщенных паров воды при 100°
использовано нормальное значение р 0 ж 10б Па.
15. Предположим, что вода в левой части сосуда находится в га­
зообразном состоянии и занимает объем V — Vx > где Vх — иско­
мый объем правой части сосуда, заполненной азотом. Тогда из усло­
вия равенства давлений по обе стороны подвижного поршня
находим:
2—^
—
=—
, илиVx= —V,Vx=40л.
V —vx
vx
х3
х
16. Вода в правой части сосуда будет находиться частично в
жидком состоянии, частично в парообразном состоянии (давление
насыщенных паров при 100° С равно 105 Па). Действительно, если
допустить, что вся вода находится в газообразном состоянии, то
давление ее паров при 100° С будет больше максимально возмож­
ного при этой температуре, равного атмосферному давлению р 0:
p„,„_v+=p,+
т
—
V,
Тп
у,
'иу,
Т 1 ^Пар—
> Р0*
Поэтому давление паров уравновешивает внешнее давление р 0.
Искомая сила F нужна, чтобы уравновесить силу парциального
давления водорода р н , продиффундировавшего в правую часть
через неподвижную перегородку, т. е. F = Ph .S .
Равновесие второго поршня, расположенного в левой части,
обеспечивается тем, что внешнее давление равно давлению в ле­
вой части. Последнее складывается из парциального давления азо­
та ри и водорода рн так, что
’
р=р+р-RT\RT
Ро Рн, -г Рн,
-гух+у’
где Vх — объем левой части. (Здесь учтено, что водород равномерно
распределен по всему объему системы, равному Vх + V ' . ) Отсюда
получается квадратное уравнение относительно Vx в виде:
v‘x-+
Используя соотношение R = ^ 2 ,
V|+K'(l—2£ .i)V,
RTV’=0
Ро
перепишем
УУ0Т
его в виде:
Т„
=0.
Подставляя численные значения, получаем уравнение
1/2 + 20,41/^ — 2500 = 0.
Решая его, находим: Vx = 40,8 л.
Используя это значение, определяем парциальное давление
водорода р Нг и искомую силу F:
F=Ph,S =
RT
V' + l/, ■s — Pt>S -----V
-*L-----= i-p .s, F = 2500H.
(VX+ V')T0
4Ho
O
C
J

Задание 6
ПОВЕРХНОСТНЫЕ И КАПИЛЛЯРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
6.1. ПРИРОДА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ В ЖИДКОСТИ
Любое реальное тело обладает поверхностью, которая отделяет
его от других тел. Это может быть граница раздела двух несмеши-
вающнхся жидкостей, стенки сосуда, поверхности соприкоснове­
ния твердых тел и т. п. Свободная поверхность жидкости или твер­
дого тела является, по сути дела, границей раздела их с газообраз­
ной средой, в частности с парами или воздухом. Поэтому следует
говорить не просто о поверхностях тел, а о поверхностях раздела
двух сред или фаз. Наличие таких поверхностей приводит к возник­
новению явлений особого рода, называемых обычно поверхностными
или к а п и л л я р н ы м и явлениями. Своим возникновением они обязаны
особым физическим условиям, в которых находятся молекулы
вблизи поверхностей раздела.
Рассмотрим для определенности свободную поверхность жид­
кости, отделяющую ее от газообразной среды. В поверхностном
слое проявляется нескомпенсированность молекулярных сил. Дей­
ствительно, любая молекула внутри тела, вдали от поверхности,
окружена со всех сторон такими же молекулами, действие которых
взаимно компенсируется (рис. 6.1). Молекула в поверхностном слое
имеет одинаковых соседей лишь с одной стороны. В частности, в
случае свободной поверхности имеются соседи лишь со стороны
жидкости, тогда как со стороны газа они практически отсутствуют
(из-за его большой разреженности). В результате молекулы,
находящиеся в поверхностном
слое, испытывают силу притя­
жения со стороны молекул, на­
ходящихся внутри жидкости.
Толщина поверхностного слоя,
в котором проявляется неском­
пенсированность молекулярных
сил, равна примерно диаметру
молекул (« Ю -9 м) (по оценкам
на основе самой общей картины
взаимодействия молекул в жид­
кости).

Физически ясно, что для извлечения молекулы из внутренних
частей жидкости на ее поверхность требуется затратить работу.
При этом размещение молекулы в поверхностном слое увеличивает
поверхность жидкости на конечную величину. Наоборот, увеличе­
ние поверхности на величину AS однозначно связано с определен­
ным числом молекул, размещаемых в поверхностном слое.
Работа А , затрачиваемая в таком квазистатическом процессе
при постоянной температуре, очевидно, пропорциональна AS и за­
писывается в виде:
А = crAS.
Коэффициент пропорциональности а представляет собой основ­
ную характеристику поверхности раздела, зависящую от природы
сред и их теплового состояния. Называют его коэффициентом
поверхностного натяжения или просто поверхностным натяжением.
Говоря о величине а, необходимо всегда указывать, к каким сре­
дам она относится. Просто о поверхностном натяжении жидкости
говорят лишь для поверхности раздела ее с воздухом или парами.
В таком случае а всегда уменьшается при нагревании.
По своему физическому смыслу а является работой, которую
надо затратить, чтобы изотермически и квазистатически увеличить
поверхность жидкости на единицу при сохранении ее объема неиз­
менным. Работа, как известно, служит мерой изменения энергии.
С какой же энергией здесь имеют дело? Очевидно, что эта энергия
должна быть потенциальной, так как она связана с размещением
молекул в поверхностном слое при постоянной температуре. При
размещении молекул в поверхностном слое затрачивается работа.
Поэтому потенциальная энергия таких молекул больше потенциаль­
ной энергии взаимодействия молекул внутри жидкости. Эту избы­
точную потенциальную энергию молекул в поверхностном слое
будем называть энергией поверхностного натяжения или просто
поверхностной энергией £/пов*, изменение которой AU n00 по
определению равно работе А при изотермическом изменении по­
верхности раздела на величину AS, т. е.
Л^пов=А = aAS.
Из механики известно, что силы действуют так, чтобы привести
систему в состояние с наименьшей потенциальной энергией. И силы
поверхностного натяжения действуют так, чтобы энергия поверх­
ностного натяжения принимала наименьшее возможное значение.
Поэтому поверхность раздела сред стремится уменьшиться. На­
пример, капля жидкости в свободном состоянии принимает шаро­
образную форму, так как только поверхность сферы при данном
объеме имеет наименьшее значение. В земных условиях действует
сила тяжести, которая старается сдавить каплю. Потенциальная
энергия силы тяжести пропорциональна объему жидкости, а энер­
* Энергию поверхностного натяжения Un0Qобычно называют свободной
поверхностной энергией.

гия поверхностного натяжения — ее поверхности. Поэтому отно­
сительное влияние силы тяжести по сравнению с влиянием поверх­
ностного натяжения тем больше, чем больше объем тела. Для
маленьких капель преобладает влияние поверхностного натяжения,
и они принимают шарообразную форму.
Формула А = o AS, определяющая а, в точности соответствует
формуле А = — рAV для работы при квазистатическом изменении
объема AV. Можно сказать, что о играет для поверхности такую
же роль, что и давление р для объема. Размерность <т, как следует из
определения, совпадает с размерностью поверхностной энергии
(Дж/м2), а также с размерностью силы, отнесенной к единице длины
(Н/м). Это соотношение имеет не только размерный, но и глубокий
физический смысл.
Оказывается, что поверхностное натяжение о представляет
собой силу, действующую на единицу длины контура, ограничи­
вающего участок поверхности раздела, и направленную касатель­
но к поверхности по внутренней нормали к контуру.
6.2. ПОВЕРХНОСТНО-АКТИВНЫЕ ВЕЩЕСТВА
И ЯВЛЕНИЕ АДСОРБЦИИ
Поверхностная энергия может быть уменьшена не только за счет
сокращения свободной поверхности тел, но и за счет изменения ее
физических свойств, за счет уменьшения поверхностного натяжения.
Последнее проявляется особенно заметно при а д с о р б ц и и . Явление
это состоит в скоплении на поверхности тела посторонних веществ.
Вещества, ослабляющие поверхностное натяжение, называют п о­
верхностно-активными.
Адсорбция связана с тем, что силы молекулярного притяжения
между молекулами самой жидкости больше, чем между молекулами
жидкости и поверхностно-активного вещества. Поэтому энергети­
чески выгоднее, чтобы молекулы постороннего вещества находились
в поверхностном слое, а не в самой жидкости. При этом общее коли­
чество поверхностно-активного вещества может быть совершенно
ничтожным и не способным сколько-нибудь заметно изменить объем­
ные свойства жидкости. Но выталкиваясь наружу и скапливаясь в
поверхностном слое, эти ничтожные количества примесей сущест­
венно меняют поверхностное натяжение. Наоборот, если силы моле­
кулярного взаимодействия с молекулами постороннего вещества
больше, чем с молекулами самой жидкости, то энергетически вы­
годнее, чтобы молекулы примесей распределились по всему объему
жидкости, а не скапливались на ее поверхности. Это явление объем­
ного поглощения вещества называют абсорбцией.
Адсорбция широко распространена в природе, играет большую
роль практически во всех поверхностных явлениях и находит ши­
рокое техническое и производственное применение.
Явление адсорбции, в частности, лежит в основе чрезвычайно
эффективного метода, применяемого для очистки газов от ненуж-

ных примесей (например, в противогазах для очистки вдыхаемого
воздуха от боевых отравляющих веществ применяется уголь) или
для скоростной откачки сосудов до предельно высокого вакуума
(порядка 10~10 мм рт. ст.). Тела с развитой поверхностью, поглощаю­
щие определенные вещества, называют обычно адсорбента м и . Для
их характеристики часто пользуются понятием удельной поверх*
ности, т. е. поверхности, приходящейся на 1 кг массы или 1 м3
объема вещества. У хороших адсорбентов она может достигать сотни
тысяч квадратных метров. Действительно, при дроблении тела пол­
ная поверхность всех получающихся частиц сильно возрастает.
Например, для тела объемом 1 м3, раздробленного на шарики ра­
диусом 10~8 м, общая поверхность всех частиц составляет 3 108 м2.
Принимая во внимание, что адсорбируемое вещество растекается
по поверхности адсорбента в виде мономолекулярной пленки, а
радиус молекулы « 2
10"10 м, находим, что на такой поверхности
можно разместить 2 1027 молекул. Такое число молекул воздуха
в сосуде размером с комнату ( V ^ 50 м3) при нормальной темпера­
туре 273 К создавало бы давление р « 1,5 10б Па.
6.3 . СМАЧИВАНИЕ. КРАЕВОЙ УГОЛ
С явлением адсорбции непосредственно связано см ачивание
твердой поверхности тел жидкостью или газом. Пусть притяжение
между молекулами твердого тела больше, чем между молекулами
жидкости. Тогда коэффициент поверхностного натяжения атг на
границе раздела твердой поверхности и газа будет больше коэффи­
циента ажг на границе раздела жидкости и газа и коэффициента
атж на границе раздела твердого тела и жидкости. При этом может
оказаться энергетически более выгодным, чтобы жидкость растека­
лась по поверхности кристалла. Конечно, при растекании жидко­
сти увеличивается поверхностная энергия на границе жидкости
с газом. Однако это увеличение перекрывается более значительным
уменьшением поверхностной энергии на границе раздела кристалла
и жидкости! В этом случае говорят, что жидкость полностью стачи­
вает твердое тело. В свободном состоянии она будет обволакивать
его со всех сторон, а само тело при этом будет как бы плавать в
жидкости. Если же при растекании жидкости по поверхности кри­
сталла не наблюдается уменьшения суммарной энергии поверхно­
стного натяжения на границах раздела жидкой, твердой и газооб­
разной сред, то тогда жидкость сама по себе без внешних воздейст­
вий не будет растекаться по твердой поверхности. В этом случае
говорят, что жидкость не смачивает поверхность твердого тела.
Степень взаимодействия между молекулами твердого тела и
жидкости, а следовательно, и степень смачиваемости твердой по­
верхности жидкостью принято характеризовать так называемым
краевым угл о м . Каждый, вероятно, не раз наблюдал, что поверх­
ность у края в сосуде искривляется, отклоняется от плоской формы,
наблюдаемой в средней части. Например, в хорошо промытом мас-

кане вода около его стенки немного поднимается и образует вогну­
тую поверхность, или, как говорят, имеет вогнутый м ен и ск . А ртуть
в таком стакане образует выпуклый мениск, ее края вблизи стенки
слегка опущены. Плоскость, касательная к поверхности жидкости
у ее края, образует с поверхностью стенки некоторый угол 0 , назы­
ваемый краевым. Можно показать, что этот угол зависит только от
свойств соприкасающихся сред (точнее говоря, от поверхностных
наряжений на границах раздела этих сред). Действительно, у стенки
сосуда на краю жидкости соприкасаются три среды, молекулярное
взаимодействие на границах которых может быть охарактеризовано
соответствующими коэффициентами натяжения границ раздела.
К линии соприкосновения трех сред приложены три силы поверх­
ностных натяжений. Эти силы нормальны к линиям соприкоснове­
ния сред и направлены по касательной к поверхности соприкоснове­
ния соответствующих сред. Выше было показано, что эти силы, от­
несенные к единичной длине линии соприкосновения, равны
соответственно коэффициентам поверхностного натяжения на
границе раздела двух сред а тж, атгили сгжг (рис. 6.2). Поверхность
жидкости устанавливается под таким углом 0 к стенке сосуда,
что равнодействующая сил поверхностных натяжений вдоль
стенки равна нулю (результирующая сил поверхностного натяже­
ния, перпендикулярная стенке, уравновешивается при этом реак­
цией стенки):
сгтж—<Аг+ ажгcos0=0.
Отсюда
0 Огг ^тж
=—
-------- .
0ЖГ
Из полученной формулы видно, что если <хтг > сгтж, т. е.
поверхностное натяжение на границе раздела твердого тела с га­
зом больше поверхностного натяжения на границе раздела
твердой стенки с жидкостью, то
cos © > 0, краевой угол 0 ост­
рый и мениск вогнутый. Это
случай смачивания твердой по­
верхности жидкостью. При этом
полному смачиванию соответст­
вует угол 0 = 0°. В случае об­
ратного неравенства а тг < ^ТЖ»
cos 0 <0 иугол 0 тупой. Край
жидкости при этом опущен, и
мениск ее выпуклый. Это случай
несмачивания твердой стенки
жидкостью. Капли таких жид­
костей, находясь на гладкой
горизонтальной
поверхности,
как бы отжимаются от нее, стре­
мясь уменьшить площадь кон­
такта.

6.4 . ВЛИЯНИЕ КРИВИЗНЫ ПОВЕРХНОСТИ
НА СЖАТИЕ ЖИДКОСТИ
Как было показано, силы поверхностного натяжения придают
капле жидкости в свободном состоянии шарообразную форму,
так как она обладает наименьшей поверхностью при заданном объ­
еме. Стремление капли сократить свою поверхность приводит к до­
полнительному сжатию капли, к дополнительному увеличению ее
давления.
Покажем* что избыточное давление р пов, обусловленное поверх­
ностным натяжением а, в случае сферической капли радиусом г
определяется соотношением
л_2а
Рпов ---
>
г
а для цилиндрической струи с радиусом сечения р — соотношением
_
о
Рпов —
Р
Предварительно заметим, что в случае сферической капли
или пузырька газа в жидкости увеличение поверхности A S дос­
тигается за счет сил избыточного давления р пов при увеличении
объема Д1Л
Увеличение поверхностной энергии o A S можно представить
как работу сил избыточного давления р пов A V . Увеличение поверх­
ности сферической капли выразим через увеличение ее радиуса
Аг С г (г — первоначальный радиус):
AS= 4я[(г+ Аг)г—г2]=8лгДг+ 4я(Дг)2« 8яг2Дг,
а увеличение объема капли
AV= — [(г+ Дг)3—г3]=4яг2Дг+ 4лг(Дг)3+ —Дг3« 4яг2Дг
3
3
с точностью до квадрата Дг.
Отсюда из равенства
а •8ягДг = рмв4пгАг
получается требуемое для сферической капли соотношение. Вывод
соотношения для цилиндрической струи предлагаем получить са­
мостоятельно.
6.5 . КАПИЛЛЯРНЫЙ ПОДЪЕМ ЖИДКОСТИ
При опускании тонкой трубочки в жидкость наблюдается хо­
рошо известное явление капиллярного подъема. При капиллярном
подъеме имеют дело с вогнутым мениском. Поэтому давление в жид­
кости непосредственно под вогнутой поверхностью меньше давления
в воздухе, соприкасающемся с жидкостью, на величину поверхност­
на

ного давления рпов. Иначе говоря, степень
сжатия жидкости под вогнутым мениском
оказывается меньше степени сжатия жид­
кости под плоской поверхностью на не­
котором удалении от трубочки. Поэтому
жидкость в трубочке поднимается на та­
кую высоту, что гидростатическое давле­
ние компенсирует недостающее давление
внутри жидкости. При этом давление внут­
ри трубочки в точке А (рис. 6 .3), распо­
ложенной на уровне, свободной поверх­
ности вне трубочки, равно атмосферному
Ро9 т. е.
РА=Ро= Pgh+ p0—Рпов-
Поверхность мениска в тонкой трубоч­
ке можно считать частью сферы, радиус
R которой связан с радиусом трубочки г соотношением
г= Rcos0.
Рис. б.з
Откуда, используя предыдущее равенство, находим:
2acos0
,
----------- = рgh.
Высота h поднятия жидкости в капилляре равна:
^_ 2аcos0
Pgr
В случае выпуклого мениска для несмачивающей жидкости эта
формула описывает глубину опускания жидкости.
Формулу можно получить и из других соображений. Напомним,
что непосредственной причиной, заставляющей подниматься жид­
кость вверх против силы тяжести, является сила молекулярного
взаимодействия между молекулами жидкости и молекулами на по­
верхности твердой стенки. Это взаимодействие ответственно за сма­
чивание. Выше показано, что результирующая сила действия твер­
дой поверхности на край жидкости в месте их соприкосновения,
отнесенная к единичной длине линии соприкосновения, равна:
Р тж= ^жг COS
Эта сила и поднимает весь столбик жидкости в капилляре:
2лгРтж= 2пгожтcos0 = nr2hpg.
Отсюда следует формула для высоты подъема h.
Явление капиллярности играет огромную роль в природе и
технике. Достаточно сказать, что все живое живет в значительной
степени благодаря этому явлению. Так, ствол, ветви, стебли и ли­
стья растений пронизаны множеством капиллярных каналов, по
которым благодаря эффекту капиллярного подъема поступают ко

всем точкам растения питательные вещества. По капиллярам в
почве поднимаются грунтовые воды к поверхности почвенного по­
крова, где находится разветвленная корневая система растений.
Наконец, это явление лежит в основе ряда технологических про­
цессов пропитки веществ различными жидкостями — от соления
рыбы и смоления шпал до изготовления специальной керамики,
пропитанной расплавленным металлом.
6.6 . ДАВЛЕНИЕ НАСЫЩЕННЫХ ПАРОВ НА Д ИСКРИВЛЕННОЙ
ПОВЕРХНОСТЬЮжидкости
Искривление поверхности жидкости приводит не только к до­
полнительному сжатию жидкости, но и вносит изменения в условия
фазового равновесия между жидкостью и ее насыщенным паром.
Напомним, что испарение состоит в отрыве с поверхности молекул,
кинетическая энергия которых достаточна для преодоления сил
притяжения со стороны жидкости. Очевидно, что молекулы, на­
ходящиеся на вогнутой поверхности, притягиваются сильнее, а
молекулы, находящиеся на выпуклой поверхности, притягиваются
слабее, чем молекулы, находящиеся на плоской поверхности.
Эю обстоятельство затрудняет отрыв молекул с вогнутой и облег­
чает их отрыв с выпуклой поверхности. Поэтому динамическое
равновесие между парами и жидкостью устанавливается над во­
гнутой поверхностью при большем давлении паров, чем над плоской
поверхностью. Зависимость давления насыщенных паров от тем­
пературы, рассмотренная нами выше (см. задание 5), относится к
пару над плоской поверхностью. Такой пар над вогнутой поверх­
ностью оказывается недосыщенным, а над выпуклой поверхностью,
очевидно, пересыщенным. Величина пересыщения (характеризу­
емая давлением) при этом оказывается равной
др=
.
еTMр.
Грж
Здесь г — радиус капли, рпар и рж — соответственно плотности
пара и жидкости, а — коэффициент поверхностного натяжения.
Формулу можно получить, рассмотрев капиллярное поднятие
или опускание жидкости в капиллярах. Пусть жидкость полностью
смачивает стенки капилляра. Тогда мениск оказывается вогнутым
и расположенным выше уровня плоской поверхности на высоте Н9
равной
П=“
»
рж£Г
где г — радиус сферической поверхности мениска (см. рис. 6 .3).
Для простоты рассуждений считаем, что пространство над
жидкостью заполнено только насыщенным паром. Давление его
над мениском равно давлению пара вне трубки на том же уровне от
плоской поверхности Оно оказывается, как и следовало ожидать,

меньше давления пара непосредственно у плоской поверхности как
раз на величину аэростатического давления, создаваемого столби­
ком пара высотой h .
Для таких высот, как высота капиллярного подъема, в боль­
шинстве случаев можно пренебречь сжимаемостью газа (и пара).
Поэтому при подсчете аэростатического давления газа можно вос­
пользоваться формулами для несжимаемой жидкости (см. задание 1).
Отсюда для величины недосыщения имеем:
а
1
2а
2а рпар
АР = Рпар
=
Рпар £
=
•
Рж£Г
г
рж
Отметим, что полученная формула справедлива и для расчета пере­
сыщения пара над выпуклой поверхностью.
Из формулы видно, что величина такого пересыщения (недо­
сыщения) определяется отношением плотности пара к плотности
жидкости. Обычно оно весьма мало. Например, при нормальных ус­
ловиях оно для воды имеет значение ^ 10“б. Поэтому влияние
кривой поверхности на условия установления динамического рав­
новесия между жидкостью и паром оказывается существенным
только для малых тел или в явлениях, связанных с существованием
таких тел. В частности, с явлением пересыщения связан целый ряд
метеорологических явлений, относящихся к процессам конденса­
ции и выпадания осадков и т. п.
Недосыщение пара над вогнутой поверхностью проявляется в
так называемом явлении капиллярной конденсации, когда пар,
далекий при обычных условиях от насыщения, конденсируется в
пористом теле. Это явление играет, в частности, большую роль в
земледелии при обмене влагой между воздухом и почвой.
6.7. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 6*1. Капля растительного масла объемом V = 0,05 мм8
растеклась по поверхности воды, заняв площадь S = 600 см2.
Полагая, что в толщине пленки укладываются.два слоя молекул,
найдите их диаметр.
Решение. Толщина а пленки равна, очевидно, отношению
объема V капли к площади S пленки, т. е.
h=
h = 8,4 •10-10см.
S
Откуда, согласно предположению, находим диаметр d молекул,
равный 4,2 • 10-10 м.
Отметим, что линейные размеры таких «крохотных тел», как
атомы и молекулы, удобно измерять в единицах естественного атом­
ного масштаба. В качестве последнего обычно используется диа­
метр атома водорода. Эту единицу называют также ангстремом
(1А = 10-10.м),

Таким образом, диаметр молекул растительного масла d =
= 4,2А. Это примерно в 4 раза больше диаметра атома водорода.
Задача 6.2. Оцените удельную поверхность адсорбента, если
известно, что при отогреве сосуда объемом V = 1 л от температу­
рыt±=
— 193° С до температуры t2 = 31° С давление водорода
повысилось от Рх = 0,2 ммрт. ст. до р2= 200ммрт. ст. В про­
цессе работы адсорбционного насоса был израсходован 1 г адсор­
бента. Считать, что молекулы адсорбируемого газа образуют на
поверхности адсорбента мономолекулярный слой. Плотность жид­
кого водорода рн принять равной 200 кг/м3.
Решение. Очевидно, что давление в теплое сосуде при тем­
пературе /2 = 31° С создается газом, который выделяется из ад­
сорбента при нагревании. В самом деле, если исключить выделение
газа при нагревании, то давление возрастает согласно закону
Шарля до значения р, определяемого соотношением:
р=Рх—;р—0,76ммрт. ст.
Т1
Это давление во много раз меньше давления р 2 = 200 мм рт. ст.
Для оценки примем, что газ при нагревании выделяется из
адсорбента полностью. Тогда его массу т находим, воспользо­
вавшись уравнением Менделеева — Клапейрона:
m=ЦН‘RT=
П= °’02Г‘
Здесь |хНг — молярная масса водорода, а для газовой постоянной К
использовано для упрощения вычислений соотношение вида:
_
_
Р(Уо
гдер0= 760ммрт. ст., V0= 22,4°лиТ0= 273К.
Допустим, что мономолекулярную пленку адсорбируемого во­
дорода можно представить как слой жидкого водорода. Тогда,
зная массу пг газа и плотность жидкого водорода рн , можно найти
объем адсорбируемого водорода V H, растекшегося тонкой жидкой
пленкой по поверхности адсорбента:
VHf= — ;Vh,= 10-7м».
^
Рн’
Толщину пленки полагаем равной среднему расстоянию <^н,
между молекулами в жидком состоянии, которое определяется со­
отношением:
dH=
Ht \9н*к) ’
где N А — число Авогадро.
Отсюда для искомой удельной поверхности S yA адсорбента
получаем:
с _ Ун*_ Я»/дг. Рн.у

Подставляя числовые данные, находим:
5Уд«4-105 м2/кг.
Задача 6.3. Формулу для высоты подъема жидкости в капил­
ляре можно получить энергетически. В самом деле, работа ЛП03
сил молекулярного взаимодействия F noa жидкости со стенками
капилляра может быть вычислена как
^пов 1=3 -^пов^ 1=12яг о cos 0h.
(1)
Здесь г — радиус капилляра, о — коэффициент поверхностного
натяжения жидкости, 0 — краевой угол смачивания жидкостью
стенок капилляра и h — высота подъема жидкости в капилляре.
За счет этой работы увеличивается потенциальная энергия Е р стол­
ба жидкости при подъеме ее в поле тяжести Земли:
ЕР=у mgh= рgлr2/i2,
(2)
гдетир —массаиплотность жидкости, амножитель 1/2учиты­
вает положение центра тяжести столба жидкости в капилляре.
Приравнивая соотношения (1) и (2):
2’я.rhacos0= y Рё^г2/12,
получаем для высоты подъема жидкости h выражение вида:
,
4acos0
п = --------- .
Pgr
Оно дает результат, в два раза отличающийся от того, что получа­
ется на основе баланса сил. Какова причина этого?
Решение. Высота подъема жидкости в капилляре, полу­
чаемая- из баланса сил, соответствует равновесному состоянию сис­
темы, когда отсутствует механическое движение и устанавливается
тепловое равновесие.
Высота, получаемая из баланса энергий, соответствует макси­
мальному подъему жидкости. Последний имел бы место, если
бы отсутствовали силы трения и, следовательно, потери механиче­
ской энергии. В таком случае жидкость за счет работы сил поверх­
ностного натяжения при постоянной температуре не только уве­
личивала бы потенциальную энергию в поле тяжести Земли, но и
приобретала бы кинетическую энергию. В момент прохождения
положения равновесия, когда поверхностная сила уравновеши­
вает силу тяжести столба жидкости, ускорение жидкости равно
нулю, а скорость максимальна. Жидкость по инерции стремится
проскочить положение равновесия и останавливается, очевидно,
на большей высоте. В реальном случа^ за счет работы поверхност­
ных сил увеличивается потенциальная энергия жидкости в поле
тяжести Земли, а кинетическая энергия полностью расходуется
на теплоту.

Задача 6.4. На сколько изменяется высота подъема воды в ка­
пилляре диаметром d = 4 мкм, если при изменении температуры
воды от 20 до 0° С коэффициент поверхностного натяжения увели­
чивается на Да = 3 дин/см? Краевой угол 0 мениска равен 60°.
Решение. Изменением плотности воды и изменением ли­
нейных размеров капилляра при изменении температуры от 20 до
0° С пренебрегаем. Тогда увеличение коэффициента поверх­
ностного натяжения на Да вызывает увеличение высоты подъема
жидкости в капилляре на ДА, которое определяется, как нетрудно
сообразить, соотношением:
А*
4Дacos0
ДА = ------------ .
Pgd
Здесь р — плотность жидкости, d — диаметр капилляра. Под­
ставляя числовые данные, находим:
ДА= 0,15 м.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какова форма капелек воды, из которых состоит туман?
2. Почему можно лепить фигурки из мокрого песка?
3. Колба из стекла заполнена наполовину ртутью и наполовину
водой. Какую форму примут жидкости в условиях невесомости?
4. Струя вытекает вниз из шланга, поперечное сечение которо­
го на выходе имеет форму эллипса. Какова форма струи на началь­
ном участке полета?
5. Почему пузырьки газа в воде шарообразные?
6. Известен такой способ обогревания в холодную погоду:
вместо дров используют обыкновенные красные кирпичи, правда
вымоченные в бензине. На чем он основан?
7. На концах тонкой соломинки получены два мыльных пузыря
разных радиусов. В дальнейшем за счет перетекания воздуха дав­
ления в них выравниваются, а кривизна поверхностей становится
одинаковой. Одинакова ли при этом форма пузырей?
8. Почему лезвие безопасной бритвы может лежать на поверх­
ности воды?
9. Как выглядит пленка, разделяющая объемы двух мыльных
пузырей, радиусы которых одинаковы?
10. В капиллярной стеклянной трубочке, лежащей горизон­
тально, находится столбик воды. Как будет вести себя этот столбик,
если один конец капилляра подогреть?
11. Деревянная дощечка, положенная на дно сосуда, который
затем заполняют водой, всплывает. Стеклянная пластинка, поло­
женная на дно стеклянного сосуда, затем заполненного ртутью,
не ^всплывает, хотя ее плавучесть в ртути гораздо больше, чем
дерева в воде. Почему?
12. Капилляр в вертикальном положении касается воды и за­
полняется ею целиком. Затем его обламывают на половине высоты
столбика воды. Фонтанирует ли при этом вода и з капилляра?

13. Почему даже в жаркую погоду губка остается влажной?
14. Покажите, что система капель разных диаметров, помещен­
ных в пространстве под колоколом, находится в неустойчивом рав­
новесии.
ЗАДА ЧИ
1. При
постоянной
температуре десять капель
ртути
(а = 0,47 Н/м) радиусом 0,1 мм каждая сливаются в одну. Какое ко­
личество теплоты при этом выделяется?
2. Какое усилие необходимо для отрыва алюминиевого кольца
массой 5,0 г со средним диаметром 8 см от поверхности глицерина
(а = 0,06 Н/м)? Глицерин полностью смачивает кольцо.
3. Определите высоту поднятия воды в капилляре диаметром
2 мкм. Краевой угол мениска принять равным 60°
4. Какова разность уровней воды в двух капиллярах с диамет­
рами 1 и 2 мкм, если краевой угол равен соответственно 60 и 0°?
5. Кончик тонкой стеклянной трубки радиусом 0,1 мм опущен
в воду на глубину 15 см. При каком давлении воздуха внутри
трубки можно продувать через нее воздух? Атмосферное давление
считать нормальным.
6. На дне сосуда имеется длинная узкая трещина шириной
0,04 мм. До какой высоты можно налить ртуть в сосуде, чтобы она
еще не выливалась через трещину? Плотность ртути р = 13,6 г/см3,
а = 0,470 Н/м.
7. Каплю ртути массой 10~3 кг ввели между двумя плоско­
параллельными стеклянными пластинками. Определите, с какой
силой следует сдавливать пластины, чтобы зазор между ними был
0,01 мм.
8. Каплю ртути массой щ = 13,6 г вводят между двумя плоско­
параллельными стеклянными пластинками и, сдавливая их некото­
рой силой, устанавливают зазор d = 0,01 мм. Затем между пла­
стинами впрыскивают воду массой т 2 = 1 г. С какой силой необ­
ходимо сдавливать пластины, чтобы зазор между ними остался
прежним? Коэффициенты поверхностного натяжения для ртути и
воды равны соответственно о ± = 0,47 Н/м и а 2 = 0,072 Н/м, их
плотности рх = 13,6 103 кг/м3 и р2 = 1000 кг/м3.
9. Тонкая металлическая трубка с внутренним диаметром
d = 100 мкм покрыта внутри тонким слоем серебра и запаяна с од­
ного конца. Другим концом ее приводят в соприкосновение с поверх­
ностью ртути. Учитывая, что ртуть полностью смачивает серебро,
найдите высоту h подъема ртути в трубке, если длина трубки / =
= 1 м. Атмосферное давление р 0 = 105 Па.
10. В условиях невесомости золотое кольцо с толщиной стенок
а = 1 мм по всему периметру окружности коснулось большой ртут­
ной капли. Учитывая, что ртуть полностью смачивает золото,
найдите скорость, с которой кольцо втянется в каплю ртути, если
масса кольца мала по сравнению с массой капли. Плотность золота
р = 19,3 103 кг/м3|

11. Найдите зависимость длины столбика воды капилляра
от угла его наклона с вертикалью.
12. Соломинку с внутренним диаметром d = 1,15 мм и дли­
ной I = 10 см вынимают из воды в горизонтальном положении, за­
тем осторожно ставят вертикально и взвешивают. На сколько может
отличаться полученная при этом масса соломинки от ее массы до
опускания в воду? Считать, что соломинка полностью смачивается
водой. Коэффициент поверхностного натяжения о для воды при­
нять равным 0,072 Н/м.
13. В стеклянном капилляре с внутренним диаметром
d = 0,6 мм находится столб воды высотой Л. Определите радиус кри­
визны мениска в нижней части капилляра, если капилляр распо­
ложен вертикально, а вода полностью смачивает стенки капилляра.
Рассмотретьслучаи: a)h=10см;б)h=5смив)Л=2,5см.
14. Два капилляра с диаметрами отверстий d = 0,25 мм и
D = 0,5 мм образуют U-образный сосуд. Сосуд заполняют четырех­
хлористым углеродом СС14 (жидкостью с плотностью ^ = 1,63 г/см3).
Какова разность уровней Н в сообщающихся сосудах? В более
узкий капилляр вводят столб воды высотой Н г такой, что уровни
первой жидкости СС14 в обоих капиллярах устанавливаются на
одинаковой высоте. Найдите высоту H L. Считать, что жидкости
полностью смачивают стенки капилляров. Принять коэффициенты
поверхностного натяжения четыреххлористого углерода СС14
о х = 27 дий/см, воды о 2 = 72 дин/см и на границе раздела этих
жидкостей а = 47 дин/см.
Ответы на контрольные вопросы
1. Туман состоит из мельчайших капелек воды, шарообразная
форма которых обусловлена преимущественным влиянием поверх­
ностного натяжения.
2. Вода смачивает песок и обволакивает каждую песчинку. Со­
кращая свою свободную поверхность под влиянием поверхностного
натяжения, вода препятствует расползанию песчинок и обеспечи­
вает возможность лепки фигуры из мокрого песка.
3. В невесомости жидкие тела принимают форму, которая обес­
печивает для них наименьшую энергию поверхностного натяжения.
Поэтому вода, смачивающая стекло, растекается по внутренней
поверхности колбы. Ртуть, не смачивающая стекло, заполняет
остальную часть объема колбы и в виде шарообразной капли пла­
вает внутри колбы, нигде не касаясь ее стенок.
4. Вода, вытекающая из шланга, свободно падает и, находясь
в невесомости, стремится принять цилиндрическую форму, отвечаю­
щую минимуму энергии поверхностного натяжения. Поэтому по­
перечное сечение струи из эллипса стягивается в круг. Но по инер­
ции струя проскакивает это равновесное положение, и сечение ее из
круга снова сплющивается в эллипс и т. д.

5. Форма пузырьков газа в жидкости в силу малой массы га­
за определяется практически влиянием поверхностного натяжения
жидкости. Минимуму энергии поверхностного натяжения жид­
кости отвечает, как известно, поверхность шара. Поэтому пузырьки
газа в жидкости принимают шарообразную форму.
6. Кирпич является пористым материалом, хорошо смачивае­
мым бензином. При погружении кирпича в бензин тот заполняет все
его многочисленные поры и капилляры и удерживается в них сила­
ми поверхностного натяжения после удаления кирпича из жидкости.
При нагревании бензин частично вытекает, частично испаряется из
пор и капилляров вымоченного кирпича и поддерживает таким
образом огонь для обогревания.
7. Нет, неодинакова. Давление внутри пузырей отличается от
давления снаружи на величину поверхностного давления р П0В9
обратно пропорционального радиусу пузырей. Из-за перепада дав­
лений в них воздух перетекает из маленького пузыря, где давление
больше, в большой, где давление меньше, пока давления не урав­
няются. При этом остается один пузырь еще большего диаметра,
а отверстие соломинки на другом конце затянуто пленкой. Радиус
ее кривизны равен радиусу оставшегося пузыря, так как давление
в любом месте внутри системы одинаково.
8. На поверхности лезвия безопасной бритвы может оставаться
тончайший слой жира. Поэтому лезвие не смачивается водой, а
сила поверхностного отталкивания при этом оказывается достаточ­
ной, чтобы уравновесить силу тяжести лезвия. В результате лезвие
может плавать на поверхности воды.
9. Давления по разные стороны пленки различаются на величи­
ну дополнительного давления, обусловленного кривизной поверх­
ности раздела сред. Внутри пузырей одинакового радиуса давления
одинаковы. Следовательно, одинаковы давления по разные стороны
пленки, разделяющей внутренние объемы рассматриваемых пузырей.
Давления совпадают по разные стороны границы раздела в случае
плоской поверхности. Таким образом, пленка, разделяющая пузы­
ри, плоская.
10. Нагревание капилляра с одного конца вызывает нескомпен-
сированность сил поверхностного натяжения, действующих на
горизонтально расположенный в капилляре столбик воды. При на­
гревании коэффициент поверхностного натяжения уменьшается и,
следовательно, уменьшается молекулярная сила со стороны нагре­
того конца капилляра. Столбик воды перемещается в результате к
холодному концу капилляра.
11. Вода смачивает дощечку и подтекает под нее. Поэтому ре­
зультирующая сил давлений, действующих со стороны воды (ар­
химедова сила), направлена вверх и дощечка всплывает. Ртуть не
смачивает стеклянную пластинку и не может подтекать под нее.
Поэтому сила давления со стороны ртути направлена вниз и прижи­
мает стеклянную пластинку ко дну сосуда.

12. Нет, вода не фонтанирует. Краевой угол вогнутого мениска
установится так, чтобы вертикальная составляющая силы поверх­
ностного натяжения уравновешивала силу тяжести уменьшенного
вдвое столбика ртути. Радиус кривизны мениска при этом увеличи­
вается также вдвое.
13. Давление насыщенного пара под вогнутой поверхностью
жидкости меньше, чем над плоской поверхностью. Это различие
тем больше, чем меньше диаметр капилляров, в которых находится
испаряющаяся жидкость. Поэтому давление паров в теплом воздухе,
далеком, вообще говоря, от насыщения, соответствует давлению
при насыщении для пара над вогнутой поверхностью жидкости в
тонких капиллярах губки. Следовательно, даже в жаркую погоду
испарение влаги из капилляров в губке сильно затруднено.
14. Пусть имеется некоторая система, состоящая из капель
разных диаметров. Давление насыщенных паров над мелкими капля­
ми больше, чем давление над крупными каплями. Поэтому мелкие
капли испаряются, а на крупных каплях происходит при этом кон­
денсация. Таким образом, имеет место как бы своеобразная пере­
гонка капель (крупные капли «съедают» мелкие).
Решения задач
1. Процесс слияния десяти маленьких капель радиусом г в од­
ну большую каплю радиусом R сопровождается выделением коли­
чества теплоты Q и изменением энергии поверхностного натяжения.
Согласно закону сохранения энергии
10•4яг2о = 4nR2o + Q.
Радиус R находим из условия сохранения массы:
—
рг3-10= — р/?3, или R= ц/~10.
3
3
Отсюда
Q = 4ла (Юг2 — /?2) = 4лстг2 (10 —у'Тбб), Q да 3,14 • 10"7 Дж.
2. Для отрыва кольца необходимо приложить силу F, уравно­
вешивающую силу тяжести кольца и поверхностную силу, т. е.
F—mg+ 2ndcpa, F —0,08Н.
3. Используя формулу для высоты подъема жидкости в капил­
ляре, имеем:
h= 4acos6, h —7,2м.
pgd
4. Для разности высот в обоих капиллярах имеем (см. решение
предыдущей задачи):
ДА=4Д£о_£!__2о_ = 0 .
pgd
рgd

5. Избыточное давление, создаваемое для продувки воздуха
через капилляр, уравновешивает давление столба жидкости и
поверхностное давление ж идкости— (мениск в момент выдувания
пузыря оказывается выпуклым), т. е.
Др= pgh+ —, Др=0,03 •10»Па.
Г
Полное давление равно при этом 1,03 105 Па.
6. Ртуть не протекает через трещину, если она не смачивает
дно сосуда и высота столба меньше некоторой критической высо­
ты hKр.
Считая несмачивание полным, а форму мениска цилиндрической
с радиусом кривизны г = —, находим h Kp из условия
Р^кр =
, hKр=
, hKр=18 см.
a
pga
7. Ртуть не смачивает пластины, и мениск выпуклый. Поэтому
избыточное давление, обусловленное кривизной поверхности, поло­
жительно (давление в жидкости больше атмосферного) и равно
Др = — (радиус кривизны принят равным половине расстояния а
а
между пластинами). Здесь для подсчета избыточного давления Др
использована формула для цилиндрической струи (радиус поверх­
ности соприкосновения R > а ). Отсюда необходимая сила F , с
которой следует сдавливать пластины, равна:
F—ApS—( —)•(—)= — ;Fж700Н
\а) \ра}
агр
(S — площадь соприкосновения жидкости с пластиной).
8. Воспользовавшись решением предыдущей задачи, для иско­
мой силы F запишем соотношение
F = (Pi— Ро)5г—(Ра—Ро)S2.
где ро — атмосферное давление, рх и р2 — давления внутри ртути
и воды соответственно, S t и 5 а — их площади соприкосновения со
стеклянными пластинами.
Поскольку массы жидкостей таковы, что их объемы одинаковы,
у
тоиSi=S2=5 = —(V—объемоднойизжидкостей).
d
Отсюда-
F= {Pi—р2)S.

Разница давлений в воде и ртути определяется перепадом давле­
ний на границе раздела ртути и воды, т. е.
Поэтому
2аа
d'
F=8кН.
d2
9.
При подъеме ртути в капилляре происходит изотермическое
сжатие воздуха. Согласно закону Бойля — Мариотта
PolS— Pi (I—h)S.
Здесь p 0 — атмосферное давление, / — длина трубки, 5 — ее
сечение, h — высота подъема жидкости, р х — давление над вогну­
той поверхностью ртути. Оно удовлетворяет соотношению
Pi+ Pgh—
-j-=
Р0,
где а — коэффициент поверхностного натяжения, d — диаметр
капилляра.
Исключая давление р х из обоих уравнений, находим:
Ро1= (р0+ -у
— Р£Л)(l—h),
или
Подставляя численные данные, получим уравнение в виде:
Л2— 190/1 + 1400 = 0.
Отсюда
h= 7,7см.
ГО. За счет работы сил поверхностного натяжения F ртути
кольцу сообщается кинетическая энергия (архимедова сила в усло­
виях невесомости равна нулю):
Апов= FI= -i-mo2,F=2а•2nR ит= pal■2яR
(здесь I — высота кольца, R — его средний радиус, а — его толщи­
на, р — плотность материала кольца, v — искомая скорость).

4naRl =
• 2nRlav2,
" ■’- 2/iST. ®-0.31 м/с.
11.
При отклонении капилляра от вертикали на угол ос сила
поверхностного натяжения Fn0B, действующая вдоль оси капил­
ляра, будет уравновешивать не всю силу тяжести m g столбика жид­
кости, а ее составляющую на направление вдоль оси капилляра,
т. е.
FnoB= mScosос= рgiscosа.
Здесь р — плотность жидкости, S — сечение капилляра, / — дли­
на столбика жидкости в капилляре.
Сила поверхностного натяжения F noB при наклоне не меняется,
так как она определяется только силами молекулярного сцепления.
Поэтому она равна силе тяжести столбика жидкости при вертикаль­
ном положении капилляра:
Рпов = mg = pgl0S.
Отсюда получается, что длина столбика воды I связана с длиной
его в вертикальном положении 10 и углом а наклона с вертикалью
соотношением вида:
i=-!*-.
cosa
12.
При переворачивании соломинки из горизонтального по­
ложения в вертикальное часть воды может, вообще говоря, вылить­
ся, а часть остаться внутри соломинки. За счет оставшейся воды и
увеличивается масса соломинки при вынимании ее из воды. Наиболь­
шую высоту столба воды в соломинке найдем из условия, что сила
тяжести воды m g уравновешена силами поверхностного натяжения,
действующими вдоль стенок соломинки. Наибольшее значение они
имеют, во-первых, при полном смачивании стенок капилляра жид­
костью и, во-вторых, при условии, что радиусы кривизны верхнего
и нижнего мениска принимают наименьшее возможное значение,
равное радиусу капилляра. Тогда
F„0B*=2ndo=mg= ^pHg.
4
Здесь т — масса столба воды в соломинке, Н — его высота,
р —плотность жидкости, a — коэффициент поверхностного натя­
жения.
Это рассуждение справедливо, если Н < I (длины капилляра).

Н=
=5см</=10см.
Рgd
Поэтому увеличение массы соломинки
т=—
= 2-^
-
= —РЯ;т= 53-10"9кг.
g
g
4К
13.
Как и в предыдущей задаче, сила тяжести столба воды в
капилляре m g уравновешивается силой поверхностного натяжения
со стороны верхнего мениска Fln0B (Flnoa = n d a ) и со стороны
нижнего мениска F2пов (F2noB = n d a cos 0), где 0 — угол, обра­
зованный касательной к поверхности жидкости с вертикалью).
С другой стороны, радиус кривизны R мениска и радиус г ка­
пилляра связаны соотношением (см. рис. 6.5):
г=Rcos0.
Из условия равновесия столба жидкости в капилляре имеем:
mg = -^-d2hpg= nda(l±cos0)= яdа^1±
(знак «плюс» относится к выпуклому мениску в нижней части стол­
ба, знак «минус» — к вогнутому мениску). Подставляя числовые
значения, получим:
±—
_
j=о,204Л—1
.
2R
4a
Откудаполучаем: R —+dl2= +0,3 ммдляh= 10см(а);R
оодляh=5см(б);R— —d= —0,6ммдляh=2,5см(в).
44. Разность высот Н в капиллярах находим из условия ра­
венства давлений в жидкости на одном уровне сообщающихся со­
судов, т. е.
Ро--------- + Pi gH = Pq------
где р0 — атмосферное давление воздуха, рxg H ,— гидростатическое
давление за счет перепада уровней Н жидкости в капиллярах.
Откуда для высоты Н перепада уровней имеем:
Pig\d DI PigD\d
} pigD
(здесь использовано условие, что D = 2d).
Подставляя численные данные, получаем:
Н=1,34см.

Высоту H i столба налитой воды находим из условия равенства
давлений внутри первоначальной жидкости на уровне раздела ее
с водой в узком капилляре, т. е.
~
4а, ,
и
4а
4а,
Здесь р2 и сг2 — соответственно плотность и коэффициент поверх­
ностного натяжения жидкости, налитой в узкий капилляр, о —
коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела жид­
костей. Откуда находим:
Н—4(а*+а °Л=Н—1
—
°8+д —Л.
1Png\dD)
p,w
»1
/
Подставляя численные данные, получаем:

Предисловие редактора
От авторов
Введение
Задание 1. Механика жидкостей и газов
1.1. Текучесть жидкостей и газов
.
.
1.2. Давление и сжимаемость жидкостей
1.3. Закон Паскаля
........................................................
1.4 . Гидростатическое давление в поле тяжести Земли
1.5. Закон Архимеда . . .
1.6. Атмосферное давление
.........................................
1.7. Давление жидкости, движущейся с ускорением
1.8. Основные понятия и законы гидродинамики
Контрольные вопросы
Задачи
.......................................
Ответы на контрольные вопросы
Решения задач
Задание 2. Тепловые явления
2.1 . Термодинамика и молекулярно-кинетическая теория
2.2 . Температура и тепловое равновесие
2.3 . Термоскоп и термометр
..................................
2.4 . Тепловое расширение твердых и жидких т е л ......................
2.5 . Зависимость электрического сопротивления от температуры
2.6 . Внутренняя энергия тела. Теплота и работа
2.7 . Количество теплоты. Теплоемкость
2.8 . Теплопроводность
.
.
2.9 . Примеры решения задач
Контрольные вопросы
Задачи
.......................................
Ответы на контрольные вопросы
Решения задач
Задание 3. Газовые законы
3.1 . Квазистатические процессы
......................
3.2 . Изобарический процесс. Закон Гей-Люссака
3.3 . Изохорический процесс. Закон Шарля
..............................
3.4 . Абсолютная шкала температур. Уравнение состояния иде­
ального газа. Закон Бойля — Мариотта
..........................
3.5 . Закон Дальтона. Уравнение состояния Газовой смеси
3.6 . Молекулярно-кинетическая теория идеального газа
3.7 . Молекулярно-кинетический смысл температуры
3.8 . Примеры решения задач
+
Контрольные вопросы
Задачи
......................
Ответы на контрольные вопросы
Решения задач
3
4
5
7
8
9
11
12
15
18
20
22
25
26
27
29
31
32
34
36
37
39
40
41
44
50
52
54
55
58
59
63
66
69
71
73
80

Задание 4. Закон сохранения энергии в тепловых
процессах
87
4.1 . Работа газа при расширении или сжатии
—
4.2 . Первое начало термодинамики
88
4.3 . Теплоемкость газов
...
..............................
.
.
90
4.4 . Тепловые машины. Циклические процессы. КПД тепловых
машин. Холодильник
.
92
4.5 . Примеры решения задач
98
Контрольные вопросы
101
Задачи
...........................................
102
Ответы на контрольные вопросы
104
Решения задач
105
Задание 5. Фазовые состояния и превращения вещества
111
5.1 . Агрегатные состояния вещества
.
.
—
5.2 . Понятие о фазах неоднородных систем
......................
—
5.3 . Молекулярная картина фазовых состояний вещества . . .
112
5.4 . Общая картина фазовых превращений вещества в молеку­
лярно-кинетической теории
115
5.5 . Плавление тел
116
5.6 . Испарение тел
...............................................
.
...
117
5.7 . Фазовые равновесия и превращения вещества в термодина­
мике. Диаграммы состояний в е щ е с т в а ...................................
119
5.8 . Диаграммы состояний насыщенных и ненасыщенных паров
121
5.9 . Критическая точка вещества
122
5.10. Кипение жидкостей
123
5.11 . Влажность воздуха
.
125
Контрольные вопросы
126
Задачи }
127
Ответы на контрольные вопросы
129
Решения задач
131
Задание 6. Поверхностные и капиллярные явления
137
6.1 . Природа поверхностного натяжения в жидкости
.
—
6.2 . Поверхностно-активные вещества и явление адсорбции
139
6.3 . Смачивание. Краевой у г о л ...........................................
140
6.4 . Влияние кривизны поверхности на сж атие жидкости
142
6.5 . Капиллярный подъем жидкости
.......................................
—
6.6. Давление насыщенных паров над искривленной поверхностью
жидкости
.........................
.
.
144
6.7. Примеры решения задач
145
Контрольные вопросы . .
148
З а д а ч и ................................................
149
Ответы на контрольные вопросы
150
Решения задач
•.
.
152

Анатолий Павлович Кирьянов,
СергейМихайлович Коршунов
ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Редактор В. А. Обменина
Художник переплета С. А. Соколов
Художественный редактор Т. А . Алябьева
Технический редактор Е. К. Полукарова
Корректор Л. П. Михеева
ИБNo963
Сдано в набор 6/VIII 1976 г. Подписано к печати
8/II 1977 г. 60X90'/ie. Бумага тип. No 3. Печ. л ,
10,0. Уч.-изд. л. 9,43. Тираж 100 тыс. экз.
Ордена Трудового Красного Знамени издатель­
ство «Просвещение» Государственною комитета
Совета Министров РСФСР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й
проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано с матриц Саратовского ордена Трудо­
вого Красного Знамени полиграфкомбината на Ка­
лининском ордена Трудового Красного Знамени
полиграфкомбинате детской литературы им. 50-ле­
тия СССР Росглавполиграфпрома Госкомиздата
Совета Министров РСФСР. Калинин, проспект
60-летия Октября, 46. Заказ No 722,
Цеиа 41 коп.