1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
Метод конечных элементов первоначально появился в
строительной механике, но в последующее десятилетие было установлено
[1, 2], что основные понятия метода могут иметь более широкое
применение и они начали использоваться в ряде других
областей В дальнейшем метод конечных элементов развивался
весьма интенсивно, и сейчас он широко применяется во многих
научных и инженерных приложениях Хотя существует большое
разнообразие в формулировках, метод конечных элементов
может быть охарактеризован следующими свойствами
1) Физическая область задачи делится на подобласти, или
конечные элементы
2) Зависимая переменная (одна или несколько)
аппроксимируется функцией специального вида на каждом конечном
элементе и, следовательно, во всей области Параметры этих
аппроксимаций в последующем становятся неизвестными
параметрами задачи
3) Подстановка аппроксимаций в определяющие уравнения
(или эквивалентные им) дает систему множества уравнений с
неизвестными параметрами Решая эти уравнения, можно
определить значения этих параметров и, следовательно, получить
прибтиженное решение задачи
Вместо определяющих уравнений часто используют
вариационный подхоч Иногда ставится условие обеспечения малости
(в некотором смысле) разницы между истинным и
приближенным решениями, т е невязки метода конечных элементов Так
как число неизвестных в окончательной системе уравнений
часто весьма велико, то общепринято использовать матричные
обозначения как для сокращения записи, так и для облегчения
программирования.
1.1. КОНСТРУКЦИИ И СЕТИ
1.1.1. ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ
Термин метод конечных элементов в данном контексте
предполагает процедуру решения дня непрерывной системы, т е
системы, охватывающей явление в непрерывной области. Многие

10
Глава t
задачи, однако, относятся к дискретным системам, состоящим
из конечного числа связанных элементов. Впоследствии будет
показано, что существует большое сходство между анализом
дискретных систем и методом конечных элементов. Это
естественно, так как метод конечных элементов возник из попыток ди-
скретизировать непрерывные задачи в строительной механике и
использовать для полученных дискретных систем методики,
которые с успехом применялись к расчету сооружений.
Из тех же соображений матричная формулировка дискретной
задачи должна быть рассмотрена до конечноэлементного
анализа непрерывных систем. В последующих разделах будут
исследованы два типа дискретных систем: строительные
конструкции и транспортные сети.
1.1.8. СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ
Хотя соединения строительных элементов обычно могут
передавать как силы, так и моменты, здесь мы рассмотрим только
плоскую шарнирно-сосдиненную ферму (рис. 1.1).
Предполагается, что ферма собрана без предварительного напряжения, а
нагрузки приложены в узлах, как это указано иа рисунке. Силы
F2 и F3, действующие в шарнирах на- типовой элемент <?6,
представлены на рис. 1.2 в виде их проекций F*2, Fya и F*3, F^ иа
осн х, у соответственно. Смещения узлов элемента от их
исходного положения (до приложения усилий к ферме) обозначим
б2 и 6Э с компонентами 6*2, о^г и 6t3, Ъу3 соответственно- В
матричной форме силы и смешения описываются соответственно
выражениями
-"[Iff-
г^
(i.i)
--кг-
6*2
6*3
(1.2)
где надстрочный индекс е6 обозначает элемент, к которому
относятся рассматриваемые величины. Там, где из контекста ясно,
о каком элементе идет речь, этот индекс будет опускаться.
Растяжение или сжатие стержня иенагружепной длины L
Основные-понятия метода конечных элементов
Рис 1.1. Плоская шарнирно-соединенная ферма.
У
Рис. 1.2. Шарнирно-соединенный элемент е§.

12
Глава 1
определяется величиной {бх3— 6»2)cos6 + (6t3 — 6^s)sin в '), и
деформация получается в результате деления этой величины на L.
Так как напряжение равно .модулю Юнга Е, умноженному на
деформацию, то продольная сила, приложенная к стержню
(рис. 1.2), описывается выражением
Р = (EA/L) [фх3 - o^) cos в + (о„3 - Ьу2) sin 6], (1.3)
где А •— площадь поперечного сечения стержня.
Компоненты продольной силы Р могут быть приравнены
компонентам шарнирных сил, н, таким образом, уравнение (1.1)
может быть записано в виде
ЧИ-
ГРх1~
Fy2
FxS
bv
=
Pcose
Psine
Pcose
L P sin 6
(1.4)
Подстановка Р из уравнения (1.3) в выражение для Fx2 в
уравнении (1.4) дает
Fx2 = (ЕАЩ [- (6,3 - бх2) cos2 в - (о,, - fi^) sin в cos в]. (1.5а)
или, после перегруппировки,
Fx2 = (ЕАЩ [cos2 в б,, + sin 6 cos во^ —
— cos2 96«з — sin в cos в6вэ]. (1.56)
В матричной форме уравнение (1.56) имеет внд
F»2 = (EA/L) [cos2 6, sin Э cos 6, — cos2 6, — sin 6 cos 6]
"6,2"
*i/2
6*3
-*«3-
. (1.5b)
Четыре уравнения типа (1.5в) для Fx2, Fy2, Fxl, FyS в матричной
форме записываются так:
F* = (£y4/L)X
1
cos2 6 sin в cos 6 — cos2 6 —sin 6 cos 6
sin в cos 8 sin2 6 — sin 6 соз 6 — sin2 в
— cos2 6 — sin в cos в cos2 8 sin в cos в
- sin в cos в — sin2 6 sin в cos 6 sin2 в
6,
Аз_
(1.6a)
') Обычно полагают, что продольная сила Р положительна прн
растяжении и отрицательна при сжатии.
Основные понятия метода конечных элементов 13
С множителем EA/L, внесенным в квадратную матрицу,
уравнение (1.6а) приобретает вид
■Ли J
ky2. х2 ky^. у2 j
Х2. хЗ &х2, уЭ
!,jc3 ky% уЭ
хЗ. х2 «яЗ. yl | «л:3. жЗ "лЗ, (,3
1/3. х2 КуЗ. j(2 i kyz, %Ъ "|/3, уЭ .
(1.66)
Если матрицы справа разбиты, как показано штриховыми
линиями, то уравнение (1.66) можно записать следующим образом:
LkS kfj J L «з J'
(1.6в)
Уравнение (1.6в) является матричным уравнением для
элемента eG, и его квадратная матрица коэффициентов к называется
матрицей жесткости элемента. Подобные уравнения могут быть
получены и для других элементов. Чтобы различать подматрицы
различных элементов, необходимо вновь ввести надстрочный
индекс. Уравнение (1.6в) может быть расширено так, чтобы оно
включало все узловые смещения системы. При подходящем
использовании пулей имеем
0
0
0
0
0
0
0
kg
Й
0
0
0
0
kg
Щ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
и
0
0
(1.6г)
Уравнение (1.6г) представляет собой расширенное матричное
уравнение для элемента е6 и может быть записано как
= кй8,
(1.6д)
« —
где к " — расширенная матрица жесткости элемента ев, а
вектор узловых смещений системы.
Внешние силы R,, R2 R6 могут быть выражены через х-,
(/-компоненты RXI, Rsl; Rx2, R,J2; ■■■; R*e, Ryt, а условия
равновесия в узловых точках могут быть определены через эти
компоненты. Например, в узле с номером 2 условие равновесия в
направлении х имеет вид
R,i = F51 + Fi!l + FUt + F%. (1.7)

Глава 1
Хотя ясно, что вклад в правую часть равенства (1.7) дают
только те элементы, которые содержат узел 2, удобно записать
это соотношение одним из следующих более общих способов:
7 7
Я«! = £ F°А- Яй = £ П*. (1.8а, б)
f~l e—1
Аналогичное соотношение получается для другой компоненты
вектора R2:
7
flt«=£f»2- (1.8в)
Уравнения (1.86) и (1.8в) можно объединить в матричной записи:
Аналогичные уравнения могут быть записаны н для других
узлов. Результирующая система уравнений равновесия
записывается в виде
_Ri"
R2
_R6_
7
e-l
Подстановка выражений типа (1.6д) в уравнение (1.10) дает
R^Ek-8, (1.П)
ИЛН
K5 = R. (1-12)
Уравнение (1.12) называется матричным уравнением системы, а
матрица К, задаваемая равенством
к=|:к', (из)
называется матрицей жесткости системы. Процедура,
использованная выше для объединения матричных уравнений
элементов, называется поэлементным объединением.
Рассмотрение этого процесса объединения (который по
существу является сложением расширенных элементных матриц
жесткости к) показывает, что элементы Ки матрицы жесткости
=i>e. ало)
Основные понятия метода конечных элементов 15
К задаются равенством
Kve«E Кь- (U4)
е—I
Необходимо заметить, что куб = 0, если хотя бы один из узлов
с номерами у и б не является узлом элемента с номером е. Так
как у и о- образуют систему подстрочных индексов, то в
уравнении (1.14) обозначения к^ могут относиться либо к
расширенному матричному уравнению [такому, как уравнение (1.6г)],
либо к матричному уравнению элемента [такому, как уравнение
(1.6в)].
Напомним, что k^6 фактически являются подматрицами [см.
уравнения (1.66) и (I.6b)J. Однако это не приводит к каким-
либо трудностям, поскольку суммирование подматриц
производится путем суммирования соответствующих элементов.
Так как размеры и свойства стержней в рассматриваемой
системе известны, все матричные элементы к^в могут быть
вычислены с использованием уравнений типа (1.6), и матричное
уравнение системы составляется с помощью уравнения (1.14). Для
фермы, показанной на рис. 1.1, смещения 6i, о5 и бе должны
быть равны нулю. Если приложенные усилия R2, R3 и R4
известны, то система линейных алгебраических уравнений (1.12)
может быть решена последовательным исключением,
обращением матрицы или выполнением итераций для неизвестных
смешений 62, о3 и 64 н реакций Rb R5 и R6.
Метод анализа конструкций, описанный выше, называется
методом перемещений и может быть распространен на случаи
а) начальных конструкционных (сборочных) или тепловых
деформаций, б) массовых сил, таких, как гравитационные, и
в) распределенных нагрузок, приложенных к стрежням. Вводя
трн дополнительных вектор-столбца в уравнение (1.12), получим
K8 + FE0 + F„+Fd = R, (1.15)
где FeI), Ft, Fa соответствуют конструкционным н тепловым
деформациям в системе, массовым силам и распределенным
нагрузкам.
Этот анализ может быть распространен на трехмерные
фермы и случаи жестких соединений, когда силы и моменты
передаются через узлы.
Пример 1.1. Для шарнирно-соединеиной фермы, показанной на рис. 1.3,
вычислим смещения в узле 2, предполагая, что каждый стержень имеет длину,
равную 10 см. и поперечное сеченне, равное 1 см*. Модуль Юнга Е полагаем
равным 2 К)6 кГ/см!.
Диаграмма нагрузок для этой задачи представлена на рнс. 1.4, а, а иа
ркс. 1.4,6 показаны силы, действующие на типичный элемент ei. Согласно

16
Глава I
уравнению (1.3), для элемента I сила, действующая вдоль стержня, равна
P = lEAJL,)[(ix2— в*,)cos 135°+(692— 6j,i) sin 1S5°1. (1.16)
(Здесь предполагается, что используется подходящая система физических
единиц.) Отсюда с помощью уравнений (1.4) и (1.6а) получаем
F„, I -Psinl35" -I I 1-1
?Х2 I-1 PcoslSS- — ,0|-1 1 1-1
FM J L p sin 135° J L 1 —1 —1 1
Для элемента 2 аналогично получаем соотношения
/>= (£Л8Д.2) К6Я - оет) cos 45° + (St* - 85,3) sta 48°],
' ■— Р cos 45°
[Fxe~\ Г — Pcos45°-| Г 1 1—1 — 1-
Руъ _ -Р.М? 1 1-1-1
Fx2 Pcos45° -10 -1 -1 1 1
F„2J L p sin 45° J • 1 —1 1 lJ
(1-17)
(1.18)
(1.19)
Для того чтобы проиллюстрировать процесс последовательного построения
более четко, преобразуем уравнение (1.19) так. чтобы нумерация узлов в его
Рнс. 1.3. Шарнирно-соедикеиная ферма.
матрицах подчинялась той же последовательности, что и в уравнении (1.17),
t.eT
[Гхг-\ Г Pcos45°-i г 1 1-1-1-
F„,J L — p sin 45° J I 1 —1 1 1-
(1.20;
Расширяя (] 17) и (1.20) до размерности системы н формируя
результирующие урашенин поэлементным объединением согласно (1.11), получаем мат-
Основные понятия метода конечных элементов
Рис. 1.4. Шарнирно-соединеняая ферма,
о—диаграмма нагрузки; б—диаграмма реакция.
рнчное уравнение
Rxt
^1/2
Rxb
1—1—1 I О О
-111-10 0
— 1 12 0—1-1
1—1 0 2-1-1
0 0—1-1 1 i
0 0—1—1 1 1
6*1
0*2
*«*
6jrs
Rx, = 1000 cos 60° ж* 500,
Ryl = — 1000 sin 60° = — 866,
6jCl = 0„[ = 6Лз = буз *= 0,
то уравнение (1.21) можно записать в виде
10'
1
—1
—1
i
0
0
-И
11
"Г
-i!
"°!
о!
—1
1
2
0
—1
—1
|1
-i!
" 01
21
-if
-1!
0
0
—1
-1
1
1
0
0
-1
-1
1
1
- 0 -
0
О*!
Ьщ
0
0 _
Rxi
Ryt
оОО
-866
Rxe
Rx&-
(1.21)
(1.22)
(1.23)
Разбиение матриц в (1.23). показаниое штриховыми линиями, позволяет найти
Ьхг и б?2 как решение системы
»[::][£]-[-£]
(154)
вм = 500/(2 • 105) = 2,5 ■ 10~э (см),
Оу2 = — 866/(2 • ]№) = - 4,33 • 10~3
(см).
(1.25)

18
Глава I
Подстановка равенств (1.25) в (1.23) дает следующее выражение дли
реакций:
Отсюда
Лх|-=.— 683 кГ. Л„, = 683 кГ,
Я я, =* 183 кГ, fij,s = 183 кГ. ^
Эти результаты могут быть проверены путем использования условий
равновесия фермы:
з
£ fl*i==-683+500+ 183 = 0,
'"' (1.28)
j Ryi = 683 — 866 + 183 = 0.
(-1
1.1.8. СЕТИ
Матричные уравнения для сети взаимосвязанных элементов
аналогичны уравнениям, полученным в предыдущем разделе для
строительных конструкций. Для иллюстрации рассмотрим ги-
Рис 1.5. Гидравлическая сеть.
дравлическую сеть, изображенную на рис. 1.5. В случае
медленных (ламинарных) течений поток Q через поперечное сечеиие
трубы пропорционален разности давлений в начале и коние
трубы. Таким образом, для элемента ее (рис. 1.6) потоки в эту
Основные понятия метода конечных элементов
19
трубу в узлах 2 и 3 соответственно будут
(1.29)
где рг а Рз — давления в узлах 2 и 3, Q2 и Qs — потоки в тех же
узлах, а с—.постоянная, зависящая от свойств жидкости,
диаметра и длины трубы.
йг
0г
Рис 1.6. Элемент (труба) ее.
В матричной форме уравнения (1.29) приобретают внд
Q"
Г AS All 1 Г р21
us AsJbJ'
(1.306)
Уравнение (1 306) — это матричное уравнение для элемента ее
[ср. с (1.6в)] Оно также может быть записано в виде
расширенного матричного уравнения (1 6г) нли в форме,
соответствующей уравнению (1.6д):
Q"=P*p, (1.31)
где р — вектор, компоненты которого pi, p% р8 равны
давлениям в узлах сети.
Предположим, что жидкость поступает в сеть в узлах 1, 2, ...
■ -., 8 с расходами Ru Н2 Rs соответственно. Уравнение
неразрывности для узла 2, например, имеет вид
8
«s=ZQj' = 0 + 0+0 + Qj' + 0+Q? + 0+QI'. (1.32)

Система уравнений типа (1.32) может быть записана
следующим образом.[ср. с уравнением (1.10)]:
~Ri~
«2
_я8_
8
е-1
~Qt~
Q!
_«_
■!«■-
(1.33)
Подстановка уравнении типа (1.31) в (1.33) приводит, как и в
предыдущем разделе, к матричному уравнению системы:
Kp = R. (1-34)
Уравнения (1.10) — (1.14) также 'применимы в данном случае,
если 6 заменить на р.
Для заданных подводимых потоков узловые давления могут
быть найдены путем решения уравнения (1.34). После этого
расходы через каждую трубу можно вычислить с помощью
уравнений типа (1.30),
Упражнение 1.1. Сеть труб, показанная на рис. 1.5, является частью
системы вод оспа бжепия поселка. Из-за повреждения дамбы давление в системе
мало и поток r трубах считается ламинарным. Основываясь на этом,
вычислите вытекающие потоки в узлах 6, 7 н 8 для следующих данных:
Элемент е8 (подводящая магистраль)
Элементы е(, ег, es
Элементы е2. е4, е6, е7
Давление в узле 5
Давление в узлах 6, 7, 8
d = 5 см, /=1200 м;
d = 2,5 см, / = 900 м;
d = 2,5 см, 1 = 4$П М;
2 кГ/см*
атмосферное (1 кГ/см5).
Перепад давления Ар для ламинарного потока в трубе диаметром й и
длиной ( вычисляется по уравнению Гагеиа— Пуазейля Др = 32р(и,№, где ц,—
динамическая вязкость и v — средняя скорость, с использованием
согласованной системы физических единиц Предполагается, что вода в системе имеет
постоянную тгмперат\ру 16°С, динамическая вязкость равна 1,1-10—* кГ-с/мЕ,
все трубы горизонтальны и утечка в стыках пренебрежимо мала
Из эксперимента известно, что поток п трубе ламинарный, если число Рей-
нольдса Re = pvd/ц, ие превышает 2000 Для больших значений числа Рей-
иольдса связь между перепадом давления и расходом становится нелинейной.
Принимая плотность воды 10 э кг/см-4, проверьте корректность предположения
о ламинариости eotokor б трубах. (Ответ; Расходы на выходе из узлов 6, 7
и 8 равны 830, 350 н 480 см3/с; числа Рейнольдса изменяются от 3100 в
элементе с5 до 40 000 в элементе е6 и. следовательно, предположение о лами-
иарностн потока некорректно)
Упражнение 1.2. Имеется сеть постоянного тока с источником
постоянного напряжения V, показанная на рис 1.7. Составьте уравнения элементов
(как в разд. 12.3) и сформируйте из них матричное уравнение системы.
Онределгте узловые напряжения (Л и V->, а затем -тьн Л. h и h (Ответ!
V, — 29.268 В, Vs — 4,878 В, h ■? 3,537 А, /я — 0,610 А, /в - 2.927 А.)
Основные пончтая метода конечных элементов 21
Рис. 1.7. Сеть постоянного тока с источником постоянною напряжения V.
ft==20 Ом, &=40 Ом. R =^0 Оы, Я»=»8 Ом, F=I00B.
Рнс. 1.8. Простая щарннрно-соединенней ферма.
Упражнение 1.3. На рис 1.8 показана простая шарнирно-соединенная
ферма со следующими параметрами:
Элемент Ci
Элемент е2
Элемент es
Элемент е*
А •= 10 см2,
А = Б см2,
А = 5 см2.
А =10 см2.
Z. = l,8 a;
i-?
i=2,4 м;
i = l,8 м.
Мрдуль Юнга одинаков для всех элементов н равен 2- Ю5 кГ'см8. Я*г-=
Ryz = 0, RKi = 0, Rys = 160 кГ.
Определите неизвестные деформации и реакции.

Рис. 1.9. Несбалансированная мостовая схема с источником постоянного тока/.
Oi=b3 0m-1. Gs—2 0m_1. Gs==l Ом"'. G«=l Ом-1. CS=I Ом-1. Ge—l Ом"', /—80 А.
Рис. 1.10. Плоская шарнирно-соедииенная конструкция.
Упражнение 1.4. Рассматривается несбалансированная мостовая схема с
известным источником тока /, показанная на рис. 1.9 Найдите ток h в
элементе с проводимостью Gi; используя значение напряжения в узле 3 в
качестве опорного
Эта задача может бить решена объединением уравнений элементов, как
в разд ] 23 Для проверки можно выписать непосредственно компонентные
(узловые) уравнения матричного уравнения системы, используя jaiton
Кирхгофа Выбор опорною значения напряжения в какой либо точке эквивалентен
заданию- в этой точке напряжения, равного нулю. (Ответ. /4 = 0,792 А)
Упражнение 1.5. Определите неизвестные деформации и реакции для
показанной на рис. 1 10 конструкции при следующих данных:
Элемент е.
Элемент еа
Элемент ез
Элемент е4
Элемент ев
Элемент е6
Элемент е7
А— Б см2,
/4=10 см2.
А= 5 см2.
Л =10 см2,
Л= 5 см2.
/4=10 см2,
j4=15 cm2.
1 = 2,1 м;
£ = 2,4 м;
£ = 1,2 м;
£-?
£-?
£ = 1,5 м:
£ = 2,4 м.
Основные понятия метода конечных элементов
23
Модуль Юнга В одинаков для всех элементов н равен 2-10е кГ/см2.
Яд = —120 кГ, Яи = 160 кГ, R,. = 0. R,- = —160 кГ, ft,» — 0, R,i=80 кГ.
{Ответ: ft,, = —53 кГ, ft„ = —52 кГ, Я„» = 147.5 кГ, R,s = 73,8 кГ,
ft<i = 25,6 кГ, Rs,= —101,7 кГ, 0,2 = —1,17-10-' см, 8,s = —6,6-10-" см,
6,» -= —1,42 10-' см 6„. = —4,53 КГ* см.)
Упражнение 1.6. На рис. 1 11 изображена сеть с источником постоинного
тока /. Определить токн h, h и Л через проводимости Gt, Ста и 6/4, считая.
Рис. 1.11. Сеть с источником постоянного тока /.
Gi—(8 Ом-1. 0,=2 Ом-1. G.—4 ОьО'. С.=2 Ом"1. Ов=>1 Ом~1, Ge=2 Ом**1. /=100 А.
что в точке 7 напряжение равно нулю. При решении этой задачи используйте
оба способа, указанных в упражнении 1.4. (Ответ: Л =-- 100 A, h = 65 А,
/. = 35 А.)
1.2. РАЗВИТИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В разд. 1.1 для формулировки матричного уравнения системы
простой шарнирно-соединениой конструкции использовался
метод перемещений Этот метод может быть распространен и на
другие конструкции, если только связь между силой и
деформацией для элементов этих конструкций сохраняет форму (1.6),
хотя н может быть значительно сложнее, чем (1.5).
Распространение на трехмерный случай осуществляется просто, но
приводит к соответствующему увеличению размеров матриц. Даже в
наиболее сложных случаях общая форма матричного уравнения
системы имеет внд (1.15). Объединяя векторы F и R, итоговые
матричные уравнения системы можно свести к стандартной
форме (1.12).
Метод перемещений, однако, был не первым матричным
методом, предназначенным для анализа конструкции
Формулировка1), включающая податливости, с неизвестными силами
1) Метод напряжений — Прим. перев.

и
Глава 7
вместо перемещений, была хорошо разработана уже в начале
50-х гг., когда метод перемещений только появился. Значитель-
иын вклад был сделан в 1954—1955 гг. Аргирисом [3], который
показал, что матричное уравнение системы как для метода
напряжений, так и для метода перемещений может Сыть получено
путем .минимизации потенциальной энергии системы.
Впоследствии значительное внимание к вариационной формулировке
для колебательной энергии, использующей метод перемещений
и удобной для применения ЭВМ, позволило получить решения
широкого класса практических задач с точностью, ранее
недостижимой.
Метод конечных элементов впервые был применен в
инженерных приложениях в начале 50-х гг. Были предприняты
попытки применить матричные методы для дискретных структур
к непрерывным структурам путем разбиения их на конечное
число элементов. В 1956 г. группа Тернера из Boeing Aircraft Co.
[4] описала процедуру такого типа, включающую некоторые
характерные черты метода конечных элементов1).
Последовавшее затем быстрое развитие этого подхода
охватило широкий класс задач в строительной механике и механике
твердого тела. Распространение метода конечных элементов на
другие задачи было предпринято в начале 60-х гг. на основе
вариационного подхода. Совсем недавно дополнительно к
вариационному методу конечных элементов, который можно
назвать классическим, начали использоваться другие методы
конечных элементов. Наиболее известные из них — метод Галер-
кина, который является частным случаем взвешенного метода
невязок, метод наименьших квадратов, процедура, называемая
прямым методом, и метод глобального баланса, или метод
Одена.
Вот некоторые из областей применения метода конечных
элементов: летательные аппараты, автомобили, суда; сгальные
и железобетонные мосты; каркасы зданий; влияние
землетрясений на плотины и дамбы; механика горных пород; пластичность
и механика разрушения конструкционных материалов; динамика
затопленных конструкций; композитные материалы; вязкие,
дозвуковые и сверхзвуковые течения; флаттер; звуковая локация;
акустические поля; электромагнитные поля; проектирование
*) Вариационный метод копечных элементов был развит независимо в
прикладной математике (хотя и под другим названием). В 1943 г. Курант [51
описал процедуру решения, основанную на (вариационном) принципе
минимума потенциальной энергии, используя линейные аппроксимации на
треугольных элементах Некоторые из основных понятии метода копечных элементов
были впоследствии исио |ь;шваиы По-па Прагсром. Гннгоч п друпши. но до
60-х гг. математики и инженеры не предпринимали совместных попыток
совершенствования этого метода.
Основные понятия метода конечных элементов 25
магнитов; газовая динамика плазмы; потоки в ядерных
реакторах; движение ледников; тектонические движения плит;
поверхностные и подземные водные потоки; проектирование нефте- и
газохранилищ; биомеханика, движение сока в деревнях;
распространение загрязнений в морских заливах; поверхностные
волны; самовоспламенение; статистика.
Быстрое развитие метода конечных элементов иллюстрирует
увеличение числа опубликованных работ за последнее
десятилетие:
Составитель Год издания Число работ
Сайхел [6] 1969 775
Эйкин, Фингон, Стоддарт [7] 1972 1696
Норри, де Фриз [8] 1974 2800
Уитмен [9] 1975 2166
Норри, дс Фриз [10] 1975 3800
Норри, де фриз [11] 1976 7115
1.3. ОДНОМЕРНЫЙ ПРИМЕР ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В этой книге будут рассматриваться только трн варианта
метода конечных элементов: вариационный, невязок и прямой,
хотя существуют и другие формулировки [12, 13]. Вначале иа
простом одномерном примере иллюстрируется использование
вариационного подхода.
Рассмотрим единичную массу, движущуюся под действием
силы, пропорциональной пройденному пути у. Если постоянная
пропорциональности равна 1, то движение задается уравнением
(/Г-фе) — у = Ъ. (1.35)
Требуется найти пройденный >путь за промежуток времени от
t = 0 до г = 2, если дано
Ук=о = У(0)=1,- y|j=2 = £(2) = e2 = 7,389. (1.36)
1.3.1. ОСНОВНАЯ ФОРМУЛИРОВКА
В вариационном методе конечных элементов вместо
определяющего уравнения используется эквивалентная вариационная
формулировки. Для рассматриваемой задачи можно показать,
пользуясь вариационным исчислением, что решение и уравнения
(1.35) совпадает с функцией, минимизирующей функционал
*=T$V + (1)> (1-37)
о
при условии, что пробные функции у, используемые в (1.37),
непрерывны, имеют кусочно-непрерывные первые производные и
удовлетворяют главным граничным условиям (1.36).

Глава 1
Область задачи 0 sg: t *£. 2 подразделяется на п конечных
■ментов ei.es еЛ и у аппроксимируется пробной функцией
Рнс. 1.12. Разбиение области на п конечных элементов.
точное решение у (неизвестное); приближенное решение у.
у'1 внутри каждого элемента (рис. 1.12). Функционал % может
быть записан в виде следующей суммы элементных интегралов:
*-4SV+(*JT*+
+ф>2+(1)Т<*+
+ ---+HV+(-f)T<«+...+±'fx
нли просто
1-1 I,
Определяя элементный вклад ■/"' как
(1.39)
(1.40)
Основные понятия метода конечных элементов
27
равенство (1.39) можно записать в виде
ЗС=£х*'. (Ь41)
Выбирая линейные пробные функции у'1 в виде
#■'=«.? + «#*, <,««1,+1, (1.42)
где of', a^' — постоянные, которые могут быть определены из
условий в узлах:
f'(tl) = B1, в'Н1М)='В,+1. (1.43)
Получаем
„ji- '^'"'fw , o^^f'-1-1".^. (1.44)
'i+i_'i 'i+i~'i
Подстановка (1.44) .в (1.42) дает элементную аппроксимацию
для г/ в виде
$"' = ( /^'Г/. ) В, +{ t't~-t^y^' tt<t<tM. (1.45)
Определяя коэффициенты при yi и ум в (1.45) как базисные
функции Netl и JV°^i> равенство (1.45) можно записать в виде
аппроксимаций базисными функциями;
у''=-К% + К'+$м, <i<«'i+i- (i-46a)
Необходимо отметить, что базисные функции являются
функциями только независимой переменной f н не зависят от узло-
вых координат (т. е. значений у,).
Вне элемента е, пробная функция у'1 равна нулю:
</"г = 0, если Kt, нли t >t,+l. (1.466)
Равенство (1.46а) можно записать в матричной форме:
0"i = NV, h<-t <'/+i, (1.47)
где
N*»-[*;«, Ar;«.J —[JV„ W|+1f, (1.48)
y-R* Г- 0.49)
Li/i+i J
Величина N*' называется матрицей базисных функций, а уе* —
узловым вектором. Если в каждом элементе больше двух узлов,
но задаются лишь узловые значения функции в каждом узле, то
форма аппроксимации (1.47) сохраняется. Однако размерность

28
Глава 1
матриц при этом увеличится и будет равна числу используемых
в элементе узлов.
Если элементы еи й, .... е„ выбраны равной длины1), то
/tn-'. = ft.+i-'iV" »ля *=1. 2, .... п. (1.50)
Так как Л=0 и <„+! = 2, то равенство (1.50) принимает вид
/i+i-<, = 2/n- (1-51)
Подставляя (1.51) в (1.45), получим элементную пробную
функцию у"1 в виде
*Л = (п/2)[(1<+1~0й + (<-'()Й+|]. <*<'<'.+!• (1-52)
Подстановка (I 52) в (1.40) дает следующее выражение для
элементного вклада:
'i+i
х*' = -£- J {[fc+,-0Sf + «-<<)y/+il2 + (-S. + y<+i)2}rf/-(i.53)
Интегрируя, получим выражение
которое в силу (1.51) сводится к
(1.55)
Если в (1.55) последовательно использовать подходящие
узловые числа для каждого элемента, а результаты подставить в
(1.41), то зе оказывается функцией узловых значений у\, уг, ...
. ., у„+1, т. е.
X=X©i. h Уп< Sn+\)- U-56)
Из вариационного исчисления известно, что условия минимума
для функционала х имеют вид
<ЭД5рр = 0, р = 2, 3, ..., п. (1.57)
Система (1.57) не содержит уравнений при р= 1 и р = п+1,
так как узловые значения у\ и i/n+i могут быть заменены
константами в силу граничных условий (1.36). Граничные условия
у,= 1, (1.58а)
S»+i = 7,389 (1.586)
н п— 1 уравнений типа (157) дают п+1 уравнеиий.которые
могут быть решены относительно узловых значений уи у& ...
1) Это условие не является необходимым, хотя в уменьшает объем вы.
числений (см, например, упражнение 1 8)
Основные понятия метода конечных элементов 29
»■ -, Уп+\- Более удобно, однако, получить минимизирующие
условия для всех узлов, т. е.
дх/ду,, = 0, р=1, 2 п+1, (1.59)
и заменить потом подходящие уравнения граничными условиями.
Здесь будет использован этот подход Используя представление
(141) для % через элементные вклады, уравнения (1.59) можно
записать в виде
п
&XjdyP='Ldx4dyp = 0, р=1, 2 п + 1. (1.60)
Суммирование в (1 60) проводится по всем элементам, хотя
достаточно выполнить суммирование лишь по элементной
окрестности, т. е. по индексам, примыкающим к р, так как вклады от
всех других элементов равны нулю Например, для узлового
значения у, дают вклад в уравнение (1 60) только e£_i и е„ так как
только эти элементы содержат узловое значение //, [см
равенство (1 55) и рис 1 12]
Из равенства (I 55) для типичного элементв ег получаем
<*■•/#.—=[2Ыг+ 0*'+(то—2)М- (1-6,)
Аналогично для элемента ег^} имеем
ехе'-/ег/, = ^[(^-2)у,_1 + 2(^г+ \)д,]. (1.62)
Подставляя равенства (161) и (1.62) в уравнение (1.60) и
замечая, что при суммировании в уравнении (160) дают вклад
только элементы е, и е,_,, условия минимизации (1.59) при
р — i можно записать в виде
ад*.=т [(з^ - а)»-.+4 {4? +') s, +
Не представляет труда показать, что уравнения (1.63)
справедливы при I = 2, 3, ..., п, тогда как для < = 1 и i = п + 1 имеем
<Wi = l-[2(asr+ »)№ + (^r-2)fe] = 0. (1.64)
вх/^«+|=т[(-^-2)»»+2(-^-+ О^чН0, (1-65)
поскольку вклад в 0%/dt/i дает только £i, а в д%/дуп+\ —только
еп Подставляя уравнения (1.63) — (I 65) в (1.60), получаем
систему из п •+-1 линейных алгебраических уравнений, которая
может быть записана в матричной форме (1.66):

Основные понятия метода конечных элементов
31
Чтобы учесть заданные граничные условия, необходимо
заменить первое и (п-\- 1)-е уравнения на равенства (1.58а) и
(1.586) соответственно. Этого можно достичь]) , во-первых,
записью единицы на диагонали в первой и (п -f- 1)_и строках в
перкой слева матрице в уравнении (1.G6), во-вторых, записью
нулей в остальных позициях этих двух строк и, в-третьих,
заменой первого и (ra-f-I)-ro элементов в матрице после знака
равенства заданными значениями у в первой и (п -f- П-и узловых
точках. Результирующее матричное уравнение системы имеет
вид
Ъ а
a h
Ь й
а Ь
pi '
Уг
Уз
У*
7,-г
7.-1
7.
1.7.-Г1.
_.
1 "
0
0
0
0
0
0
.7,389.
(1-67)
где
а » (1/Зя) - (п/2), Ь «(4/3/г) + п. (1.68)
Уравнение (1.67) можно также переписать в форме
Ky = R. (1-69)
Видно, что оно имеет такой же вид, как и уравнения (1.12) и
(1.34). Уравнение (1.69) может быть решено последовательным
исключением, обращением матрицы, итерациями или, что более
удобно, одной из стандартных библиотечных матричных
процедур, имеющихся для большинства вычислительных машин.
Введение условий ДирЕГХле так, как описано выше (см
также замечание I), приводит к тому, что симметричная матрица
системы К в уравнении (1.66) теряет свою симметрию, как это
видно из уравнения (1.67). Симметрия может бычь сохранена,
если для введения условий Дирихле использовать метод Пей-
на-—Айронса [12]. Оба подхода кратко излагаются ниже.
Замечание 1
Первое правило для узловых точек с условиями Дирихле. Если р —узел,
в котором узловое значение задается явно, те yv = gp, то процедура
введения условий Дирихле в матричное уравнение системы состоит в следующем
') Gm. также замечание I.

Глава 1
В р ю строку матрицы системы К вносятся нули кроме диагона1ьной
позиции, на которую помещается 1, я в рю строку матрицы R вно
СИТСЯ gp
Второе правило для узловых точек с усчокинми Дирихле Процедура
Пэйна — Аиронса введения устовий Дирихле в матричное уравнение системы
состоит в следующем
Если уР задается условием Дирихле ур = gP то диагональный элемент
в р ft строке матрицы К лмножагтея на очень большое число, а рй
этемепт о матрице R заменяется произведением того же самого чиста
на цр и ^нагона iLinni э ic-мепт
Очьоцдно что точность предыдущих приб шженин и фактически любого
конечноэ диетного рьшения может быть улучшена чябо путем увеличения
чис ia Э1ечентон либо п\тем испотьзоваппя пробных функций таких которые
более точно аппроксимируют решение Поэтому чтя достижения бочее высо
кои точности обычно исиотьзлются 1) простые этемеиты в ботьшом количе
стве ити 2) бо ice с "южные1) в к менты, описываемые потнномачи более вы
сокои степени
Замечание 2
Для любого элемента с производная от элементного вклада хе по узловому
значению может быть записана н виде элементного матричного уравнения
Так, в рассматриваемом примере выражение для д% ,/6yt и д% */Syt+l на
основе (1 61) н (1 62) может быть записано в виде
^ г<»/'м иг*, *г,+, ]г*. 1
или
дхЧдуе' = ке*у*1. (1.706)
где у ' — элементный узловой вектор элемента е,
Формулировка, описание я вьнме, часто называется методом Ритца При
использовании этого подкола матрица системы К оказывается симметричной,
а матричное уравнение системы тинеппым >по яв жегся г юдстпием
квадратичного ити квадратично чиненного2) ф\нкнионала задачи [13]
Упражнение 17. Покажите что д гя задачи рассмотренной в разд 131,
матричные эгечеиты э) k%^f могут быть представ тепы в виде
г ( dNi dNZ\
*b-S^+-5r~/J'H>' (I7I)
где а — 1, 2 fl = I? 2 —локатыше номера узлов элемента е
Упражнение 1.8. Покажите что если уз ты элемента для задачи из
разд 131 имеют локальные номера I и 2 то коэффициенты элементного
матричного уравнения определяются выражениями [см (1 70)]
kn =k22 = (ft/3) + (1/ft), (1 72а)
fei2 = k2l = (Л/6) ~ (\}h) (1 726)
для каждого эпемента, причем величина h для разных элементов может быть
различной
*) Узловыми параметрами таких узлов могут быть либо значения
функций в узлах шбо значения функций и их производных
2) См приложение \
8) Для гшостоты если это не приводит к недоразумениям, мы будем
использовать для обозначения номера элемента е вместо et.
Основные понятия метода конечных элементов
Упражнение 1.9. Используя четыре элемента равной длины в задаче,
рассмотренной в разд 131, вычислите элементные матричные уравнения с
учетом равенств (1 70) Объедините эти матричные уравнения по элементам
согласно равенству (1 60) и покажите, что матрица системы К до учета условий
Дирихле имеет вид
^52 —46 0 О ОТ
К =
жите, что матрица системы К равна
-46 104 —46
0 —46 104
0 0 —46
0 0 0
0
-46
104
-46
для узловых точек с
К равна
1 0 0
—46 104 —46
0 —46 104
0 0 —46
0 0 0
0
0
-46
104
0
0
0
-46
62 _
УСЛОЕ
0 -|
0
0
-46
1 _
а соответствующая матрица R имеет вид
(1.73)
(1.74а)
(1.74ft)
Используя второе правило для узловых точек с условиями Дирихле, введите
граничные условия в эту задачу и покажите, что матрица системы К остается
симметричной
1.3.2. РЕШЕНИЕ НА ЭВМ
Если рассматривается только несколько элементов, то конечно-
элементное решение одномерной задачи из предыдущего раздела
может быть вычислено на ручном калькуляторе Если же
используется много элементов и, в частности, если они имеют
различную длину, то в этом случае элементная матрица к не
является общей для всех элементов и становится необходимым
решение задачи на ЭВМ.
Представленная ниже программа для задачи из разд 1 3 1
включает номера узлов I н 2 в элементном матричном уравне*
нин (I 70); вычисление величины kmn основано на выражениях
(1 72) Для получения матрицы системы К используется
процедура объединения по элементам, описанная ранее, т е эле*
ментная матрица к каждого элемента прибавляется к
системной матрице К сразу же после вычисления Эта объединяющая
процедура эквивалентна сложению расширенных элементных
матричных уравнений [см, например, (16д)] согласно
объединяющему уравнению вида (1 11) или (160). Так как в
рассматриваемом примере точное решение (у = е1) известно, то

34
Глава 1
величина ошибки в процентах как часть выдаваемых
результатов печатается для каждого узлового значения.
Программа работала в режиме разделения времени и ие
оптимизировалась.
1.3.2.1. Программа для ЭВМ
L ИМИ ELfufcrjI METHOD.PROGRAM 1.....
С SOLUTION OF AN ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION.
t THE HESulTING SYSTEM MATRIX EBUATIGN 16 BDLVED uBlNG
С 'Hf BTAMDARO i tBRARV BuBROuTTNF lEQTIF.
.'he fOllQwING 16 * «.IRT D» SvmBOlS USED.
NPOIN IDTAl NUMBER OF NODES
NELEM TOTAL NUMBER OF ELEMENTS
X<I) x CDORDINATF Uf NODE 1 *,
9tC(M.!Ul THE M-N TH FlEMENT OF ThE ELEMENT к
MATRIX.м and N BEING NODE IDENTIFIERS
RT|1 j] THE I-.J 1h ELEMENT OF ThE AB8EMBLeD
BY6TEW л MATRIX
RhS(I.I) RIGHT-HAND SIDE MATRIX In ThI
SYSTEM MATHlX EQUATION
lRQTIF BTANDAP.C lIRRARY SUBROUTINE U6ED
TD SOLVE ThE SYSTEM MATRIX EQUATION
PER(1> PERCEMARE ERRDR IN THE SDLuTttoh.
AT NODE I
....-''ЧК SYSTEM MATRIX EBUATION TO B( SOLVED f.6
SI * 60LLITIDN - ЙНБ
PROGRAM PRGM1(lNPul,CuTPuT,TAPE&.IAPE6J
DIMENSION K(20)rRT[20.SBi.RHB(20.l).STE(2.2KWKAREA(20J.PER[2i*)
Iht TOTAL NUMBER OF ELEMENTS IB READ IN
READ(5.1fl) NELCM
FORMAT(131
THE TOTAL NUMBER Of NDDEB 18 DETERMINED,e •,.
NPOIN-NELEM** " f
THi л COORDINATES ARE fiEAO IN FOR All NODES.«...
READ(5.20) (I.xf U.I-i.NPOINl
F0RMAT(9(I3,Fa.i))
'hE TOTAL NUMBER DF N0DE8 IS PRINTED OU*
WRITt(6.3BJ NPOIN
FGRMATJ///// Лу.г22*- *CTAL MuMRER Of NODES. 13 \
*....ТнЕ TOTAL N'UMRER DF ELEMENTS IS PRINTED OuT
«BITE[6.40) NELEW
F0RMAT(1X,2SH TDTAt^nuUBER 0' ELEMENTS.131
э.-.lHt x COORDINATES ДЙЕ PRINTED OUT POP ALl NODES..
> ПТЕ(6.50>
ОВИАТ(//,ц<.заь the NDDES AND THEIR * CDOROINATES. /)
»RITlU.60) ^ •
ГОВМАГ(1Х,10н NODE x.4(14" ODE K) I
*r>'«F(6.7B) (i.X(l). 1*1, NPOIN)
FOFiUAT( Mx,Id.F?.2#a(r?.F7.a) >)
Основные понятия метода конечных элементов
35
С #...»ТНЕ SYSTEM К MATRIX AND THE RIGHT-HAND SIDE
g MATRIX ARE INITIALLED TO ZERO,....
ПО 90 I-1.NPDIN
PO B0 J-1,NPOIN
B0 fiT{I.J)-0.0
90 FHBCI.1J-0.0
0
P ,»*..THE ELEMENT К MATRICES ARE OBTAINED AND ASSEMBLED
С FOR ALL ELEMENTS AMD THE SYSTEM К MATRIX IS
£ OBTAINED.....
OD 100 1=1.NELEM
CTJEF-X(I+l)-X(I)
6TE( 1 . 1 )-C0EF/3 .BjM .0/COSF
STE(1.2)«COEF/fc.0-1.0/CD£F
STE(2.1)«STE(T.2)
STE(2.2)-=STE(1,1 )
ST(I.I)-ST(I,I)+STE(1.1)
ST(l.I+l)-ST(I,I+l)+STE(l.2)
flT[I+1.l)-BT{I+1,l)+STE{2„T>
10E 0741+1.X+1)-ST(1+1.1+1)+БТЕ{г,2}
С .e*!..THE DIRICHLET BOUNDARY CONDITIONS ARE INSERTED
£ IN THE FIGHT-HAND SIDE MATRIX AND THE SYSTEM
С К MATRIX IS CORRECTED»...,
INCR-NPOIN-1
DO 120 I-1.NPOIN.INCR
DD 110 J-1.NPOIN
110 eT(I.J)-B.0
6TU.I)-1.0
120 RHS(I.1) = F_XP(X(I))
С _...,THE SYSTEM MATRIX EQUATION IB SOLVED UBING
С THE STANDARD LJBRAFjY S.UaRTJUTINE LErTIF.»,.»
MM-1
IDGT-0
NN-30
CALL, LEfiTlFfST.MM.NPdlN.NN^HS.tDGT.WKAnEA.IER)
С
С .....THE SOLUTION HAB BEEN OBTAINED ANO IS PP.INTETJ QjjTc-»-
WRITE(6.130)
130" F0RMAT(//.1X.31H THE SOLUTION ПАЕ ВЕЕМ OBTAINED)
WRITE(6,140)
140 FDRUAT(//.1X.36H THE NODES AND THEIR. FUNCTION. VALUES./)
WRITE(6.150)
150 F0RMAT(1X.14H NODE VALUE,ЗГ.1ВН NODE VALUE})
WRITE(6.160) (I.RH6(1.1).1-1.NPOIN)
160 FORMAT!(IX.IC.F10.3.3(IB.F10.3)))
С
С THE PEEICENTAGE EfiRQBS ARE CALCULATED ANJJ pfjINJEJ) OUT..
DO 170 1-1.NPOIN
170 PEfi(I) = ABS((RHS<I,1)-EXPtX(I)))/EXP[X.(I)))*100.0
WRITER.1B0)
J8B FDFMAT(//.1X.26H THE PERCENTAGE ERRDRS ARE./)
KBITE(6.19B)
190 F0PMAT(1X.13H NDDE P£R.3(16H NOOE PEfi)J
WRITE(6.200) (I.PER(l).Ihl.NPOIN)
200 F0RMAT((1X,I4TF?.2.3(I7.F9.2)>)
STOP
END

86 Глава 1
Для иллюстрации работы программы ниже представлены,
входные данные и результаты расчетов для шести неодинаковых
элементов.
1.3.2.2. Входные данные
б
1 0.0 -й 0.1 3 0.Э <Э 0.6 5 1.0 6 1.5 7 2.0
1.3.2.3. Результаты решения
THE TOTAL NUMBER OF «ODER 7
THE TOTAL NUW6ER OF ELEMENTS 6
THE NDDES AND THEIR X COORDINATES .
1.50
.10
Jt.
1.00
THE SOLUTION НАБ BEEN OBTAINEC
THE NODEG AND THEIR FUNCTION 1/AL.yE.S
,N0 DE
VALUE
1.000
2.699
"ENTAGE
PER
Я.00
.70
MODE VALUE
2 1.103
6 1.462
tRRORS ARE
NODE PER
г .19
6 .44
NDDE
3
7
NODE
3
7
0
VALUE
1.344
7.3S9
PER NODE
.06 4
,00
NODE
4
PER
.67
VALUE
1.810
1.3.3. ФОРМУЛИРОВКА В ЛОКАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
В предыдущем разделе представлены многие из основных
понятий вариационного метода конечных элементов. Матричная
формулировка была основана на фиксированной Ot системе
координат, показанной на рис. 1.12, а представление через
базисные функции для каждого элемента (и соответствующие
уравнения) записывалось в одной и той же системе отсчета. Такая
общая система отсчета назьтается глобальной системой
координат.
Другой подход, дающий более краткую формулировку, для
получения элементного матричного уравнения требует
применения локальной системы координат, специфической для
каждого элемента. Механизм и преимущества этого подхода станут
понятны, когда мы решим рассмотренную выше задачу с
использованием локальных координат.
Основные понятия метода конечных элементов
S7
На рис. 1.13 показаны для элемента е( локальная 0| и
глобальная Ot системы координат. Соотношение между этими
координатными системами для элемента е,- имеет вид
1 = 1 -h, lt <<<l,+i, (1.75)
где i = 1, 2, .... п. Соотношение между двумя координатными
описаниями часто называется преобразованием.
Отметим, что сдвиг начала координат от О к О не влияет
на узловые параметры у,. Вообще, узловые значения функций
«к
Элемент
---
Ум
*-
Рис. 1.13. Локальная система координат дли одномерного "элемента е..
точное решение (неизвестное); пробная функция |) '■
остаются неизменными при переносе начала и повороте осей
системы координат. Однако узловые производные, оставаясь
неизменными при переносе, изменяются при вращении.
Длину элемента е, обозначим Ле', где
Не^11+1-и. (1.76)
Выбирая линейную аппроксимацию для у внутри элемента
ett можем записать Pet в виде
ST' = << + а% 0 < |< ft'', (1.77)
где ctf'i °!'— постоянные, различные для каждого элемента,
которые могут быть определены через узловые значения yt и
t/t+i при £ = 0 н |==fte' соответственно. Использование
выражения (1.77) при | = 0 и | = /ге' дает
yt-a?> *,+!«<#+ «!%•'. 0-78)

38 Глава I
Уравнение (1.78) можно записать в матричной форме
с:н:ни-
где для удобства опущеи верхний индекс ei. Уравнение (1.79)
может быть записано более просто
Аа = у*, (1.80)
где
А = [ат„] = [1 AJ. m = \, 2, «=1, 2, (1.81а)
<« = [«m] = ["j. m=l, 2, (1.816)
У*==Ы = [?|+1]. m=l, 2. (1.81в)
Нижние индексы т, п соответствуют номерам узлов элемента.
Легко видеть, что определитель матрицы коэффициентов А
равен длине элемента h. Так как она никогда не равна нулю, то
матрица не вырождена, и, следовательно, может быть
вычислена обратная матрица
B = A"' = [*mn] = x[_i ij- m=\.2, «=1,2. (1.82)
Умножая на В уравнение (1.80), получим единственное решение
а = А-у = Ву*. (1 83)
Используя стандартное обозначение суммирования
повторяющимся нижним индексом1), запишем типичный элемент а в виде
am = bmnyn, щ=1, 2, «=1,2. (1.84)
Подставляя соответствующие элементы матриц из уравнений
(1.81) в (1.84), определим оя и о2:
ai = St. os = — 7Г^ + 7г5.+1. (1.85)
') Например, если ,= 1. 2 4, го Стй„ - £ Ccqdq - Cmd, +
+ Vs.+ 'Va + C.A' и если ft=l, 2, 3, то e„~ £ a^-a,,-^-^.
Основные понятая метода конечных элементов 39
В локальной системе координат пробная функция у внутри
элемента е,, согласно (1.77) и (1.85), описывается выражением
fl=gi + (-^g,+iB!+i)i. o<i</, (1.86a)
или
6е'-(1-т)У> + ТУ'+ь <><Ъ<Ь- (»-86б)
Уравнение (1.866) можно, конечно, получить путем простых
выкладок, однако в тех случаях, когда имеется больше двух
узловых параметров для каждого элемента, матричная
процедура, введенная выше, более удобна. Уравнение (1.866)
можно также записать через базисные функции, имеющие форму
(1.46а), но заданные в локальной системе координат.
Получив выражение пробной функции иа элементе через его
узловые параметры [уравнение (1.86)], можно подставить это
выражение в элементную форму функционала, для того чтобы
получить элементный вклад %Ч Однако в том случае, когда
пробная функция — многочлен, элементный вклад х'1 н
элементное матричное уравнение дхе'/ду могут быть получены
более непосредственно путем представления у"1 в виде ряда. Этот
подход не требует явного определения базисных функций в
(1.866) и дает простую процедуру интегрирования для
элементного вклада %"'. Из-за этих преимуществ') указанный подход
используется в дальнейшем, однако необходимо заметить, что
эквивалентные матричные уравнения получаются с помощью
других процедур.
Пробная функция if1 может быть представлена в виде ряда
следующим образом |см. (1.77)]:
0"'=*£а1Г', (1.87)
i-i
где
т, = 0, гщ.— \, (1.88)
а верхние индексы у ai и а% опущены.
Дифференцируя (1.87) по £, получим
dg°i/dt = 'Zialntitl~l- (1.89)
Использование преобразования координат в (1.75), очевидно,
дает для элементного вклада (1.40) в локальной системе коор-
J) Они будут очевидны, если выполнить упражнение 1.12.

40
Глава 1
динат выражение
^■-шммфт*- (Leo)
о
Подставляя (1.87) и (1.89) в (1.90), получаем для типичного
элементного вклада
ft 2 2
*"' = Т \ Z Е [°'аД'"'+П' + «,«/т1т,Г'+'"7-2] d|. (1.91)
О ( = 1 /=>]
Это выражение может быть записано в виде суммы интегралов
путем перестановки очередности интегрирования и
суммирования-
Xе' = 4Е Zща'\\ Г'+"'d| + I<п1т,^тГгйЛ. (1.92)
(-1/-! Lo О J
Вводя обозначение
Л h
Sit - $ |и'+™' rfl + т,т, \ Г'+™'"2 dh (Д.93)
равенство (1.92) можно записать в виде
что является квадратичной формой (см. приложение А) н может
быть записано более кратко
«"^'/Л (1.95)
Где а определяется равенствами (1.816), а величина G = [g„].
определенная равенствами (1.93), называется элементной
интегральной матрицей Выполняя интегрирование в (1.93),
получим для типичного элемента матрицы G выражение
8ч = ,я> +,;,; + i- -г- m,m, ^ + mj z f ■ 0-86)
которое, очевидно, симметрично и, конечно, второй член справа
равен нулю, если mt или т, равны нулю Так как значения А,
т, и т, известны, то интегральная матрица G может быть
вычислена непосредственно по (1 96).
Подстановка (183) в (195) позволяет представить
элементный вклад через узловой элементный вектор у':
X' = 7s(yTBrGB(ye). (1.97)
Основные понятия метода конечных элементов
41
Дифференцируя это равенство по узловому вектору у' (см.
приложение Б), получим
oYW = (BrGB)y", (I.98)
где
д*° U*<m-,+J- ( 9)
Более удобно записать равенство (1.98) в виде
d%e,ldf=W, (I.100)
где элементная матрица к определяется выражением
k = B3'GB, (1.101)
и равенство (1.100) оказывается элементным матричным
уравнением.
Для иллюстрации приведенной выше процедуры разобьем
область 0 ^ / ^ 2 на л равных интервалов, так что длина
каждого элемента будет
ft = fte' = 2/n, г=1, 2, ...,«. (1.102)
Подстановка (1.88) в (1.102) в (1.96) дает для интегральной
матрицы G некоторого элемента выражение
Гh "2"! аГ6 * 1
0-М-[_£ ^ + ftJ = l U 2tf + 6J- <U03>
Вычисленная матрица G является общей для всех элементов,
так как длина каждого элемента одна и та же. Подставляя
(1.82) и (1.103) в (1.101), получим выражение для элементной
Матрицы к:
_tTA _11Г 6 3ft 1Г ЛОТ
= 6А [о 1 J L 3/i 6 + 2ft2 JL-1 1 J =
— 6F[ft2_6 2ft2 + 6j
(1.104)
С учетом (1.102) равенство (1.104) можно записать как функ<
цию п:
l Г 4+Зге2 2-Згс21
k=^l2-3^ 4+wj- <U05>

42
Глава 1
Таким образом, элементное матричное уравнение (1.100)
принимает вид
а/' 1 Г4 + Зга! 2-Зп2"
6/i L 2 —
Зл2 4 + 3n2JU<+,
][L]
(1.106)
или, если ее расширить до размеров системы,
Cnto/ifotii Cmatfeqi+l
1
Строку
Cmpmeafcx
0
0
0
0
0
_ 0
1
ГО 0 ■
0 Q •
0 0 •
0 0
0 0 ■
о в •
0 0 •
[» с •
• 0
• 0
• б
0
- 0
■ 0
■ 0
• о
0
0
с
4 + Злг
2-Зп"
0
0
0
0
0
0
2-3»'
4 + 3«!
0
0
0
0 -
0 ■
D ■
0 ■
0 ■
0 ■
0 •
0 ■
• 0 0"
■ 0 0
• 0 0
0 0
- D 0
■ 0 0
- D 0
■ D 0_
Л
Уг
У,-
й
Л»
й*
г.
_.ря.
(1.107)
Аналогичные результаты можно получить для остальных
элементов. Фактически, так как матрица к для всех элементов
одинакова, четыре элемента в каждой матрице к одинаковы, хотя
появляются в различных строках и столбцах.
Объединяя элементы согласно (1.60), что совпадает с
суммированием расширенных элементных матричных уравнений
для всех элементов, получим матричное уравнение системы:
8 J- 6п* 2 - Зв2
2 - Зл* 8 + 6л2 2 - Зл!
2 - Зл2 8 + «л1 2 - Зп'
Г*
ь
У,
У»
i-.
*
liV,.
-
"0"
0
0
0
0
n
0
» + 6л1 2 - Зл2
2 - Зл' 8 + 6л! 2 - Злг
2-За1 4+3/12.
(1.108)
Наконец, учет граничных условий Дирихле, как и прежде, дает
скорректированное матричное уравнение системы (1.67).
Для дальнейшей иллюстрации метода рассмотрим область,
разбитую на два равных элемента, т. е. л = 2 и h = 1. Вычисляя
скорректированное матричное уравнение системы, получим вы-
Осиовные понятия метода конечных элементов
43
ражение
-5 16 -5 hj= 0
L00 I-ILuJ i-7,389 J
(1.109)
(1.110)
и, решая его путем обращения матриц, имеем
л ЧИ 5 { 5 ° г 2'622
Lj/3J LOO 16-JL7,389J 1-7,389 J
В табл. 1.1 показано, как увеличение числа элементов
повышает точность решения.
Таблица 1.1
Точность как функция числа элементов
Число элементов
равной длины
2
3
4
Ошибка для узловых значений
(только дли внутренних узлов), %
3,53
1,64 1,11
0,85 0,81 0,47
Упражнение 1.10. Из (1.866) очевидно, что базисные функции для %е
имеют яид
Используя 1 и 2 в качестве номеров узлов, покажите, что дли задачи,
рассмотренной в разд. 1.3.3, элементы ku элементной матрицы k в локальной
системе координат имеют вид
(U12)
в проверьте что для я равных элементов длины А величины кц те же, что и
в выражении (i 72).
*пражн
Упражнение 1.11. Покажите, что прн четырех элементах равной длины
скорректированное матричное уравнение системы для задачи, рассмотренной в
разд. 1.3Д имеет вид
Г I 0 0 0
-23 52 —23 0
0 —23 Б2 —23
0 0 —23 Б2
L 0 0 0 0
ОТ
0
0
-23
1 J
Т'лЛ
m 1
Й 1 =
у,
UJ
Г'
0
0
0
_ 7,339
(1.113'

44
Глава I
V4 *з ** *c
г
Рис 1.14. Локальная система координат для трехузлового элемента е„
Решите это уравнение последовательным исключением или каким либо
другим способом н проверьте, что решением является вектор
<М!4)
Г*' Л
Уг
Уз
У*
1-Й -
■=>
Г' 1
1,649
2,718
4,482
L 7.389 J
Упражнение 1.12. Используй квадратичную пробную функцию
(1.115)
й локальную систему координат, показанную на рнс. I 14, покажите, что А и
В, соответствующие уравнениям (i 81) и (1 82), имеют вид
[10 0-1 г
1 ft A» J L 2 -4 2 J
(1.116)
Далее, выводи уравнение, аналогичное (1 93), покажите, что для интегральной
матрицы G справедливо выражение
60 30ft 20ft2
Г 60 30ft 20ft2 "I
G = -A. 30ft 20ft2 + 60 ISh' + Wh
60 L 20ft! 1БА3 + 60A 12A' + 80ft2 J
зерьте, что элементная матрица к имеет вил
[4Л2 + 70 2А2 —80 -А!+10-|
2А2-80 16ft2 + 160 2ft2-80 I.
-А2+10 2ft2-80 4A2 + 70-J
(III?)
После этого проверьте, что элементная матрица к имеет вид
-4A3-f-70 2Й2 —80 -AE-f-10'
k=BrGB —^-| 2А» —80 16fc2 + I60 2fc2-80 I. (U18)
-10 2Л2-80 4ftE + 70-
Упражнение 1.13, Модифицируйте программу для ЭВМ так, чтобы
использовать квадратичный элемент из упражнения 1.12 вместо линейною эле-
Основные понятая метода конечных элементов 45
мента Решите предыдущую задачу, используя два квадратичных элемента
одинаковой длины, и проверьте, что узловыми значениями будут
Й
Ув
й
Li's -
■=>
Г' 1
1,649
2,720
4,480
L 7.389 J
Литература
1 Zienkiewicz О С, Cheung Y К Finite elements in the solution of field
problems, The Engineer pp 507—510 (September 1965)
2 Martin H С. Carey G F, A Brief History of Finite Element Theory in
Introduction lo Fimle Element Analysis McGraw Hill, New York, 1973
3 Argyris J H Kelsey S, Energy Theorems and Structural Analysis, Butter-
worth London 1960
4 Turner M J, Clough R W, Martin II C, Topp L J, Stiffness and
deflection analysis of complex structures, / Aeronaut Sci, 23, No 9, 805—824
(September 195G)
Б Courant R Variational methods for the solution of problems of equilibrium
and vibrations, Bull Amer Malh Soc, 49, 1—23 (1943)
6 Singhal А С, 775 Selected References on the Finite Element Method and
Matrix Methods of Structural Analysis, Rep S 12 Civil Engrg Depl, Laval
Univ , Quebec January 1969
7 Akin J E Fenton D L Stoddart W С T, The Finite Element Method — A
Bibliography of fts Theory and Application Rep EM 72 1, Dept of Engrg
Science and Mech, Univ of Tennessee, KnoxsviUe. Tennessee, February
1972
8 Nome D II de Vnes G, A Finite Element Bibliography Part I —Rep 57,
Part 11 —Rep 58, Pari III_Rep 59, Dept of Mech Engrg, Univ of
Calgary, Alberta June 1974
9 Whiteman J R, A Bibliography for Finite Elements Academic Press, New
York 1975
10 Nome D H, de Vnes G, A Finite Element Bibliography, Part 1 —Rep 57,
Part II — Rep 58 Part If 1 — 59 Dept of Mech Engrg, Univ ol Calgary,
Alberta 2nd ed 1975
II. Nome D H dc Vnes G, A Finite Element Bibliography, Plenum Press,
New York, 1976
12 Zienkiewicz О С, The Finite Method in Engineering Science, 2nd ed.
McGraw Hill New York 1971 [Имеется перевод Зенкевич О, Метод
конечных элементов r технике — М Мир 1975 ]
13 Norne D H de Vnes G The Finite Element Method — Fundamentals and
Applications, Academic Press, New York, 1973

2
ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА МЕТОДА
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Некоторые основные понятия вариационной формулировки
метода конечных элементов были проиллюстрированы в
предыдущей главе на одномерном примере. Ниже на примере диумер-
ного теплового потока через квадратный блок этот метод
распространяется на двумерные задачи. Задача вначале
формулируется в глобальной системе отсчета, а затем преобразуется с
использованием локальной системы координат.
2.1. ФОРМУЛИРОВКА В ГЛОБАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
для двумерной задачи теплопроводности
Рассмотрим двумерную задачу теплопроводности через брус
квадратного сечения (рис. 2.1). На верхнем торце бруса
поддерживается температура 100°С, на нижнем 50°С, а боковые
поверхности идеально изолированы. Требуется найти
распределение температуры в брусе, и в частности температуру в точке
А (рис. 2.1). Воспользуемся вариационной формулировкой
метода конечных элементов, в которой применяется глобальная
система координат Оху.
В принципе здесь можно получить точное решение, так как
задача может рассматриваться как одномерная. Однако
приводимая ниже формулировка двумерная, и задача будет решаться
с использованием двумерного базиса. Эта формулировка будет
применяться также и в следующей главе для решения
действительно двумерной задачи о тепловом потоке.
В данном случае определяющим уравнением является
уравнение Лапласа [1,2]
V4 = {д2Т/дх2) + {д2Т/ду2) = 0 в D (2.1)
с граничными условиями Дирихле на части границы:
Т = 50, г/ = 0, (2.2а)
Г=Ю0, y = L (2.26)
и условиями Неймаиа на остальной части границы:
дТ/дх = 0, х*±=0, (2.3а)
дТ/дх = 0, x = L. (2.36)
Вариационная формулировка метода конечных влементов
Задача определена на множестве R, состоящем из области D
и границы S, т. е. R = D -f- S.
Уравнения (2.1) —(2.3) не будут использоваться
непосредственно. Вместо них будет построена эквивалентная
вариационная формулировка. С помощью вариационного исчисления
можно показать (см. гл. 7), что решение Т(х,у), удовлетворяю-
L =
2
ГчЮОХ
*'
^
А
3
иг
Ж0
и
дх ''
Г=60°С
Рнс, 2.1. Двумерная задача теплопроводности в брусе квадратного
поперечного сечения.
щее уравнениям (2.1)—'(2.3), совпадает с функцией, которая
минимизирует функционал
D
где Т{х, у)—функция из допустимого множества пробных
функций, заданных в D. Для этой задачи пробные функции Т (х, у)
являются допустимыми, если они непрерывны и имеют кусочно-
непрерывные первые производные. Кроме того, пробные
функции должны удовлетворять главным граничным условиям (2.2).
Граничные условия Неймана (2.3) будут выполняться
автоматически для функции, минимизирующей функционал (2.4), как
естественное следствие вариационной формулировки и,
следовательно, будут называться естественными граничными условиями.
Разобьем область на / Конечных элементов. В
рассматриваемом примере в качестве конечного элемента выбран
треугольник (рис, 2.2). Общее число узлов обозначим п. В двух- и трех-

48
Глава 2
~^Ж
•Л/ i
Рис, 2.2. Разбиение области иа / конечных элементов.
»fe,Ji)
Л*,,®
«&4>Jrt
Рис. 2,8. Типичный треугольный элемент е..
Вариационная формулировка метода конечных элементов 49
мерном случаях нет определенной связи между общим числом
элементов и общим числом узлов, как это было в предыдущей
главе. Разбиение области и условия непрерывности,
накладываемые на пробные функции, позволяют записать функционал
(2.4) в виде
Х-ЁЛ (2.5)
(-1
где х*' — элементный вклад, определяемый равенством
*-Ш(ФУ+(С)>*- м
Рассмотрим типичный элемент е„ показанный на рис. 2.3.
Номера узлов и \ и m должны быть указаны в порядке,
соответствующем движению против часовой стрелки. Для_
произвольного элемента е, в этом примере пробная функция Г"' (х, у)
выбирается линейной, т. е.
Г'< (х, у) = а? + <%х + 4'У- Х>У^ е'- <2-7>
где а'1, «"' и а'> — постоянные, в общем случае различные для
разных элементов.
С целью определения этих постоянных запишем
последовательно уравнение (2.7) для узлов I, j и ш;
f, = a1 + a2x, + a:lyl, (2.8а)
Tj — ai + azXt + astj,. (2.86)
fm = а, + <№, + <ВД™ (2-8в>
где Т„ Т/ и Гт — значения Т в узлах I, jam соответстаенно.
Верхний индекс е, опущен ради упрощения записи. Система
уравнений (2.8) имеет единственное решение длн постоянных oti, a2 и
аз, так как определитель ее матрицы коэффициентов не равен
нулю, т. е.
1 х, у,
2Д= 1 х, у,
1 *-т Ут
С использованием тригонометрин легко установить, что этот
определитель равен удвоенной площади треугольника, как это
и показано в (2.9). Так как площадь треугольника никогда не
равна нулю, т. е. А ф 0, то решение ai, a2 и Ог существует и
единственно. Решая (2.8), получим для ctj, «а и аз следующие
Ф 0. (2.9)

50
Глава 2
выражения; _ _ _
а, = (1/2Л) (а,Г, + а,Т,+апТт), (2.Юа)
а2 = (1/2Д) (№ + bflt + ЬтТт), (2.106)
а3 = (1/2Д)(е,Т, +*,Г, + е„Г„), (2. Юв)
где
a, = x,ym — xmyt, b,-=y, — ym, Cj=--tm —*,, (2.11)
а постоянные а,, ат, Ь/, Ьт, С/, ст могут быть определены путем
циклической перестановки индексов. D приведенных выше
выражениях для а, Ь, с и а верхний индекс е, вновь опущен, чтобы
не усложнять запись формул. Подстановка выражений (2.10)
в (2.7) дает следующее представление через базисные функции:
?• (х, у) = ^ [(а, + Ь,х + ciV) Т, + (a, + Ь,х + са) Т, +
+ {а„ + Ь„х + сту) Тт], (2.12а)
или _ _ _
T"i^=N,Ti + NtTt + NmTm = n'J\ (2.126)
где
N« = [JV,, N,, NJ (2.13а)
является матрицей базисных функций, а
Т*= F, (2.136)
' т
представляет собой вектор узловых значений.
Требуемые производные можно получить, дифференцируя
(2.12а):
■^—ж1ь'Т' + ь^ + ь^-Л- (2Л4а)
-^—S-Ic.n + Cjfj+ej'j. (2.146)
Подстановка (2.14) "в выражение для элементного вклада (2.6)
дает _ _
Xе' = Ш\\ №^t^ + bifi + b"?™f +{c,f'+ C'TI+ CmT"№UXUy-
'' (2Л5)
Так как подынтегральное вырвжеиие в (2.15) не зависит от х
а у и, кроме того,
^dxdy=b, (2.16)
Вариационная формулировка метода конечных элементов 51
то равенство (2.15) может быть переписано следующим
образом:
*"' = ж[(6'?- + bifi + b«f-y+<с<?< + cifi + c«f»№- <2-17>
Выражение вида (2.17) может быть получено для каждого
элемента. Подставляя все эти элементные вклады-в (2.5),
преобразуем функционал, заданный равенством (2.4), в функцию всех
.узловых значений Ti, Т2, ..., Т„, т. е.
Z = z(f,, Г2 F„). (2.18)
Здесь, как и в предыдущей главе, узловые параметры Г,, Тг, ...
..., Т„ рассматриваются в качестве переменных, значения
которых необходимо определить. Условия минимума х могут быть
записаны в виде
ШдТр) = 0, р=1, 2, ..., п. (2.19)
Подстановка (2.5) в (2.19) позволяет представить эти
уравнения следующим образом:
*-127-* р = 1,2,...,, (2.20,
Очевидно, что при суммировании в (2.20) ненулевой вклад дают
только те элементы, которые содержат узел р. Дифференциро-
вание_равенства (2.17) По Тр позволяет определить вклад
д%11дТр элемента с, в выражении (2.20). Таким образом, если
номера узлов it jam элемента et имеют во множестве номеров
узлов системы значения р, q и г соответственно, то
дифференцирование (2.17) по Тр приводит к выражению
1г7 ^^[Ьр{bpfp + bqfq + 6rfr)+Cp (Cpfp+СЛ+Crfr)l (2,21)
Объединение компонент элементных уравнений, задаваемое
равенством (2.20), называется объединением по узлам, так как
процесс объединения должен быть выполнен отдельно для
каждого узла системы (сравните с поэлементным объединением,
использованным в разд. 1.3.1). Формирование вкладов д% г/дТри
их объединение будет проиллюстрировано ниже. На рис. 2.4
показано разбиение области рассматриваемой задачи на
^элементов с общим числом узлов, равным 15.
В табл. 2.1 указаны номера узлов /, / и m для каждого
элемента системы. На рнс. 2.4 номера узлов приведены согласно
правилу обхода элемента против часовой стрелки. Размеры всех
элементов одинаковы, и имеется только два типа элементов,

fa
Глава i
отличающихся друг от друга порядком расположения узлов. Это
не является обязательным требованием, но упрощает дальней-
к rS
^^ 14.
^^ 10.
S. ^-^
^г Б.
1. ^^
^s^ г.
15. ^^
П. ^^
s^ 1Z.
7. ^^
^^ 8.
/2
Э
Б
12 3
Рис. 2.4. Разбиение области на 16 конечных элементов.
шие вычисления. Координаты узлов даны в табл. 2.2. В табл. 2.3
приведены значения параметров bi, b}) bmt Ci, Cf и cm, вычислеп-
Табяица 2.1
Соотношение между глобальными и локальными номерами узлов
Элемент
1
2
8
4
б
6
7
8
Глобальный номер узла
(
4
2
5
3
7
б
8
6
1
1
5
2
6
4
8
5
9
m
5
1
6
2
8
4
9
5
Элемент
9
10
11
12
13
14
16
16
Глобальный номер узла
I
10
8
11
9
13
11
14
12
/
7
11
8
12
10
14
11
16
m
11
7
12
8
14
10
15
11
ные по формулам (2.11). Для иллюстрации рассмотрим
элемент 5. Из табл. 2.1 видно, что его узлы i, j и m имеют номера
7, 4 и 8 соответственно. Подставляя эти данные и соответствую-
Вариационная формулировка метода конечных элементов 53
Таблица 2.2
Увел
,
2
S
4
6
Координаты
X
0
1
2
0
1
У
0
0
0
0,5
0.5
Координаты
Узел
|
№ б
1 т
8
9
10
узлов
Координаты
X
2
0
1
2
0
У
0,5
1
1
1
1.5
Узел
11
12
13
14
15
Координаты
X
1
2
0
1
2
V
1,5
1.5
2
2
2
Таблица 2.3
Элемент
1
2
3
4
б
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
Характерные параметры элементов
Параметры
"(
-0,6
0,6
-0,5
0,5
-0,5
0,Б
-05
0.5
-0,5
0.5
-0.5
0,5
-0.5
0,5
-0.5
0,5
"l
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
*т
0,5
-0,5
0,5
—0,5
0,5
-0,5
0,5
-0,5
0,5
-0,5
0,5
—0,5
0,5
-0,5
0,5
-0,5
с1
— 1
— 1
— 1
—1
— 1
—1
—1
— '
с1
_1
— I
— 1
— 1
—1
—1
—1
—1
«га
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
щие значения параметров для элемента 5 лз табл. 2.3 в равен-*
етво (2.17), получим для элементного вклада выражение
Xs = ^r[(--i-?7 + 0r4 + -g-fe)! + (l?:7- Щ-г-ОВД (2.22)
Верхний индекс у площади Л указывает, для какого элемента
она вычислена; он может быть опущеи, так как в этой задаче

54
Глава 2
площади всех элементов одинаковы, а именно
Де' = 0,25, /=1, 2, ..., 16-
(2.23)
Из выражения (2.22) видно, что производная дхе*/дТр не
равна нулю только при р = 7. 4 или 8. Другими словами, элемент 5
дает вклад только в уравнения системы, включающие Т7, 5% и fg.
Согласно (2.22), ненулевые производные для элемента 5 опре^
деляются выражениями
-JfT=^[-K-}r7 + of, + if8)+i(if7-if4 + of8)],
(2.24а)
-^-=-^-[о(-}г7 + оТ4+|г8)-i(ifr~ in + of8)],
(2.246)
a%' L
[j(-jT7 + 0Tt + ^T8^ + 0(ir7~lTt + 0Ts)^.
(2.24в)
Уравнения (2.24) в матричной форме образуют элементное
матричное уравнение:
Wi Г 5-4-1-
Чет. I L_i о 1
(2.25)
Три производные относительно 7V, Т., и fs в уравнениях (2.24)
были специально записаны в порядке, соответствующем порядку
уэлов I, / и m для этого элемента (табл. 2.1). Таким образом,
уравнение (2.25)—это частный случай (для элемента 5) общего
элементного матричного уравнения
deleft '
дх/дТ,
dxV0fm_
=
ka kif ktm
ke/i kff kim
_ Rml &1ГЦ «mm _
T,
T,
-П
(2.26a)
&£1дТ = кеГ.
(2.266)
Вариационная формулировка метода конечных элементов 55
ke =
kli kli ktm
kjt kji kj„,
_ Kmi Km/ &tnt\
(2.27)
есть элементная матрица жесткости элемента е и Те — элемент-
ный узловой вектор, определяемый равенством (2.136). Для
упрощения записи в дальнейшем верхний индекс с» в
уравнениях (2.26) и (2.27) опускается.
Так как элементы 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 имеют одинаковые
размеры и ориентацию по отношению к системе отсчета Oxyt то
можно показать, что элементная матраца жесткости к для этих
элементов одна и та -же при условии, что в уравнение (2.26а)
подставлены соответствующие номера узлов. Так, для элемента
9 матричное уравнение имеет вид
5x7^10 I
д%Уд?г
ду9/дТ„ \
Г 5—4—1-1
(2.28)
Остальные элементы (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16) также имеют
общую элементную матрицу жесткости к, которая в этой задаче
(что можно проверить) тождественна полученной матрице
жесткости для элементов с нечетными номерами. Так, для элемента
10 матричное уравнение имеет вид
t I Г 5 —4 —III Г8"|
» \=ш -4 4 ° \\f" •
7 J L-i о iJ| f, I
(2.29)
После определения вкладов dyf/dTp для всех элементов и
объединения их получим матричное уравнение еттстемы. В
предыдущей главе было продемонстрировано поэлементное
объединение и показано, что эта процедура включает поочередное
вычисление полных матриц жесткости к для каждого элемента.
Матрицы жесткости каждого элемента к прибавлялись к
матрице жесткости К системы до выполнения операций со
следующим элементом. Альтернативная процедура — объединение по
узлам — используется ниже и существенно отличается от
поэлементного объединения. Поэлементное объединение
соответствует построению матрицы системы с помощью объединения

подматриц, тогда как объединение по узлам соответствует
объединению строк.
Для объединения по узлам основным объединяющим
уравнением является уравнение (2 20). Например, для узла 7
соответствующим объединяющим соотношением является
дТ, L>
дТ,
I = 16.
(2.30а)
Из рнс. 2.4 видно, что для узла 7 дают вклад лишь элементы 5,
9 и 10, поэтому выражение (2.30а) сводится к
дх _ <У . ах" ■
дТ,
дТ,
дТ7
ет,
(2.306)
Вклады элементов 5, 9 и 10, входящие в правую часть
равенства (2.306), уже были вычислены; они определяются
равенствами (2.25), (2 28) и (2.29) соответственно. Подставляя
соответствующие выражения в (2.306), получим
дТ, 16Д |1°
н после объединения подобных членов
-§- = -i- [- 474 + 10Г7 - 2f, - 4f ю] = 0. (2,32)
дТ? 16Д
Уравнение (2.32) можно также записать в расширенной форме:
-!&-=—[0 0 0 —4 0 0 10 —2 0 —4 0 0 0 0 0]Т = 0, (2.33)
дТ-j 16Д
т7
7,
7S_
+ [-4 4 0]
Г
0
Т,
-Тп-
+ t-l 0 1]
+
~п
Ги
J
= 0 (2.31)
где узловой вектор Т системы имеет вид
(2.34)
Вариационная формулировка метода конечных элементов 67
Для каждого узлового параметра системы можно получить
уравнение, аналогичное уравнению (2.33). Объединение этих
уравнений в одно дает матричное уравнение системы;
ет
dyjffl\
= кт=о.
(2.35)
Как и в гл. 1, его необходимо подправить для учета граничных
условий Дирихле. В качестве упражнения покажите, что введем
ние граничных условий Дирихле по первому правилу приводит
к следующему матричному уравнению системы:
1
Ф
с
-4
0
0
«
0
0
•0
0
0
0
0
с
л
1
0
0
-8
0
0
с
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
о
-4
0
0
о
0
0
о
о
о
о
0
0
о
10
-2
о
-4
0
о
о
0
0
0
о
0
0
0
0
-2
20
-2
0
-8
О
0
0
0
о
0
0
0
0
о
0
-2
10
0
0
-4
0
о
0
0
о
0
0
0
0
-4
0
0
10
-2
0
-4
0
0
О
0
о
0
0
0
0
-8
0
-2
20
-2
0
-8
0
0
0
О
0
0
0
0
0
-4
Р
-8
10
0
0
-4
0
0
0
0
0
0
о
0
0
-4
0
0
10
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-8
0
-2
20
-2
0
0
0
0
0
С
0
0
0
0
0
-4
0
-2
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-4
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
о
0
0
Q
о
-8
0
о
1
о
№1
Ъ
Ть
т*
т.
г»
7,
т.
т,
т„
7„
Т,2
7,3
ту4
bJ
=
Г зо~|
50
50
0
0
0
0
0
0
0
0
0
100
100
.100,
(г.зб)
Используя любую стандартную процедуру, можно найти, что
решением уравнения (2.36) является
Г, = 50,
Г, = 62,5,
f7 = 75,
7,0 = 87,5,
7,3=100,
72 = 50, 73 = 50,
75 = 62,5, 7,5 = 62,5,
78 = 75, 79=75,
7„ = 87,5, f,2 = 87,5
7u = 100, 715=100.
(2.37)

Б8
Глава 2
Следовательно, требуемым решением в точке А будет
Г|л~Ги = 87,5°С. (2.38)
Отметим, что здесь ие предпринималось каких-либо
специальных мер для того, чтобы учесть граничные условия
Неймана (2.3а) и (2 36) в узлах 4, 7, 10 и 6, 9, 12 соответственно,
поскольку, как ранее установлено, минимизация в этих
граничных точках является достаточной для выполнения граничных
условий Неймана в качестве естественного следствия.
Здесь уместно спросить, как программировать объединение
по узлам. Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим сначала
систему уравнений (2.36) и заметим, что уравнение (2.33),
соответствующее седьмому узлу, является седьмым
индивидуальным уравнением в системе уравнений (2.36). Таким образом,
элементами матрицы-строки в уравнении (2 33) являются /С7в,
6=1,2, ..., 15. Очевидно, что в более общем случае
компонента с номером у в матричном уравнении системы представляет
собой уаловое уравнение
5x/afv = [iCv,, iCV2, .... /Cve KYl5]T = 0. (2.39)
Следовательно, задача сводится к вычислению матриц-строк
д%/дТу,у=1,2 15.
Анализ выкладок от выражений (2.24) до уравнения (2.33)
показывает, что формирование матрицы-строки связано с
узловым значением Ту (2.39):
Где суммирование необходимо выполнить только по элементам,
соседним с узлом у, так как все другие элементы дают нулевые
вклады. Основанная на явной формуле1) вычисления &у§,
стратегия программирования будет состоять в поочередном
вычислении строк матричного уравнения системы, соответствующих
каждому узлу, посредством уравнения (2 40).
Если бы использовалось поэлементное объединение, то
объединяющая процедура состояла бы в расширении элементных
матриц жесткости к и их последовательном добавлении к
матрице жесткости системы К Например, когда оператор
циклической обработки достигает элемента 9, элементная матрица
жесткости к вычисляется согласно (2.28) и добавляется непо-
J) Эту формулу можно получить подстановкой (2.21) в (2 266). См
также упражнение 2.1.
Вариационная формулировка Метода конечных эяел!ентов 59
средствеино к матрице жесткости системы К с использованием
расширенной элементной матрицы жесткости к следующего вида:
Sx9/ST2
ех9/ет7
8x9/stv
дат,
W/3Tlt
0
0
0
0
О
0
0
0
0
0
0
0
0
0
с
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
1
0
0
0
0
0
0
4
0
0
-4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
1
0
0
0
0
0
0
-4
0
0
5
-1
0
0
0
0
11
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(2-41)
Упражнение 2.1. Имеется трехуэл обой,треугольный линейный элемент е с
узлами 1, 2 и 3 Покажите, что уравнению Лапласа, рассмотреииому в
разд. 2.1 1, соответствует элементная матрица жесткости, определяемая
формулой
*°Р "" Ж" **°*В + С»СР)' <* = 1. 2, $ р = 1, 2, 3,
(2,42)
где постоянные бис определиются выражениями (2.11).
Упражнение 2.2. Функционал, соответствующий уравнению Пуассона
д2Ф д3Ф
дх2
с граничными условиями Дирихле
& = 8{х, У, г) иа 5]
и условиями Неймана *)
дФ _ £*_i_„ _^_г_„ _й*
дх "
вмеет вид
*r==n*d7 + n»aF+n*ar = 0 на s*
(2.48)
(2,44)
(2.45)
D
Покажите, что для линейного треугольного элемента элементное
матричное уравнение описывается выражением
e%eldV=*W + t'.
(2.47)
una.'.',™1"™ гР™ша S состоит из суммы S.+Sj Здесь п„ п„. гь-на-
■члшшпщие косинусы единичной внешней нормали я к границе S,

60
Глава 2
где элементы матриц к" н F" вычисляются соответственно по формулай
*<#- )\дх дх + ду ду + дг дг Jux y *'
а «1,2,3, р=> 1,2,3, (2,48)
Fl= \ fNa их йу dz, а = 1, 2, Ъ, (2.49)
а цнфры 1, 2 и 3 являются номерами узлов элемента е. (Замечание.
Граничные условия Дирихле (2 44) являются главными граничными условиями и
должны быть использованы обычным образом для коррекции матричного
уравнения системы. Граничные условия Неймана (2 45) являются
естественными граничными условиями и в окончательном решении удовлетворяются
автоматически в силу того, что условия минимизации применяются и в узлах»
где зтн 1раничные условия заданы.)
2.2. ФОРМУЛИРОВКА В ЛОКАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
ДЛЯ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Переформулируем теперь задачу, которую иллюстрирует
рис. 2.1, с использованием локальной системы координат вместо
примеченной ранее глобальной системы координат. Выберем
Рис. 2.5. Шестиузловой треугольный элемент.
квадратичную аппроксимацию вместо линейной пробной
функции. Возьмем шестиузловой треугольный элемент (рис. 2.5) с
тремя узлами в вершинах н тремя узлами в серединах сторон
Вариационная формулировка метода конечных элементов 61
треугольника, используя н качестве узловых параметров только
значении функции в каждом из узлов. Числа 1, 2 6
обозначают номера узлов такого элемента, занумерованных в
соответствии с обходом треугольника против часовой стрелки.
В глобальных координатах х и у полином второго порядка.
В ■ ——5?
Рис. 2.6. Локальная система кородинат шестиузлового треугольного элемента.
являющийся пробной функцией для шестиузлового треугольного
элемента, имеет вид
Т' = <ч + щх + азу + щх1 + ацху + ад2,
(2.50)
где «1, а2 «в — постоянные, в общем случае свои для
каждого элемента. Для простоты записи верхний индекс е в правой
части выражения (2.50) опущен.
Если используется локальная система координат 0|г|, пока-
заьная на рис. 2.6, то квадратичная пробная функция может
бъль записана следующим образом:
V = а, + а£ + a3i] + о^2 + (ф\ + aBrf.
(2.51)
Здесь также опущены верхние индексы у а*.
Далее будет показано, что характерные размеры а, Ь, с
треугольника е (рис. 2.6) играют существенную роль при
формулировке задачи в локальной системе координат. Их значения
могут быть вычислены но известным глобальным координатам
узлов 1, 3, 5 следующим образом. Из тригонометрических сооб-

62 Глава 2
ражений получаем
г = [(х3-*1)! + (й-£.)2:Г. (2.52)
cos 6 = (*3 — xj/r, (2.53а)
sin 6= (to-to)/'. (2.536)
где г — расстояние между точками 1 н 3. Характерные размеры
а, Ь, с вычисляются по формулам
а = (хз — х6) cos 6 — (и — у3) sin 6, (2.54а)
Ь = (дс, - хд cos 6 + (а, - Bl) sin 6, (2.546)
с = fes — to)cos e + (*з — J%) sin в. (2.54в)
Родстановка формул (2.53) в (2.64) дает следующие выражения
для характерных размеров:
а = l(*s — *s> (x3 — *j) — (р5 — to) (to — УдУг. (2.55a)
* = [(*o — *i) (*з — *i> + (to — to) (Уз — yi)]/r, (2.556)
о = [(to — to) (*8 — *i) + fc — *s) (to - yi)]/r. (2.55b)
которые и являются требуемыми соотношениями.
Для определения постоянных а, применим формулу (2.51)
к каждому из узлов 1, 2, .... 6 по очереди. После подстановки
узловых координат |, т], выраженных через величины а, Ь, с,
результирующие уравнения могут быть записаны в матричной
форме
1 —Ь О Ь2 О О
1 (й-6)/2 О [(с-&)/2]2 О О
1 а О с? 0 0
1 а/2 с/2 (а/2)2 ас/4 (с/2)2
1 0 с 0 Ос2
Л —Ь/2 с/2 (— b/2f — bc/i (с/2)2
Уравнение (2.56) может быть решено относительно а* при
условии, что определитель матрицы коэффициентов не равен
нулю. Можно показать, что определитель равен выражению
—с4(а -J- 6)4/64, которое никогда не обращается в нуль, так как
площадь треугольника, равная -к- с(а-\- Ь), никогда не равна
нулю. Следовательно, матрица коэффициентов уравнения
(2.56) не сингулярна и имеет обратную.
Обозначая символом А матрицу коэффициентов уравнения
(2.56), можем записать это уравнение в виде
Аа = Г (2.57)
«Г
«2
«3
щ
«5
<%_
г,
%
т<
Тъ
Ть
Вариационная формулировка метода конечных элементов 63
где
а=[а,] =
Й2
(2.58)
причем Тв обозначает узловой вектор элемента е. Умножение
уравнения (2.57) на матрицу, обратную А, дает
где
а = А"Т
А
ВГ,
в = [&„!.
(2.59)
(2.60)
Следующим шагом рассматриваемой здесь формулировки
является представление элементного вклада, определяемого
равенством (2.6), через локальные координаты g и г). Из (2.6)
видно, что эквивалентные выражения через локальные
координаты требуются для производных дТ/дх и дТ/ду.
В предыдущей главе было отмечено, что перенос начала
координат не изменяет ни узловых значений, ии узловых
производных; это значит, что они сохраняют свое численное значение
как в глобальной, так и в локальной системах координат. При
повороте системы координат узловые значения по-прежиему не
меняются, но производные( такие, как дТ/дх, дТ/dl) не
являются одинаковыми в двух различных системах координат. Так как
пробная функции в равенстве (2.51) является результатом
интерполяции узловых значений Т,, Г2 Те [уравнение (2.56)]
и не содержит каких-либо производных Т. то элементный
узловой вектор Те одинаков как в глобальной, так и в локальной
системах координат. Следовательно, в этом примере пет
необходимости использовать нижние н верхние индексы для
обозначения используемой системы отсчета.
Рассмотрим теперь соотношения межцу координатами х, у
н |, г) некоторой точки. С использованием элементарной
тригонометрии эти соотношения, получающиеся в результате поворота
на угол 8, могут быть записаны в матричной форме:
Гх1 TcosO -sineirg l
LHsine coseJLJ- (26,8)
Обратные соотношения имеют вид
Г6 И С08ГМП w
L т) J I — sin6 cosOJLjf J

64
Глава i
Квадратная матрица в правой части равенства (2.616)
называется матрицей вращения. Ее мы будем обозначать
символом R. Обратная матрице вращения матрица R-' входит в
равенство (2.61а). Можно показать, что матрица, обратная R,
равна ее транспонированной матрице (это верно для любых
ортогональных преобразований [3]).
Если Т рассматривается как функция |, г\, т. е. 71 — Т(%, п,),
то можно записать
(2.62а)
(2.626)
Дифференцирование равенства (2.616) приводит к соотношениям
(2.63)
дТ
дх
дТ

дует
'' е%
дТ
'' ее,
дх
ее,
ду
+
+
дТ
ег\
дТ
ег\
дх •
di)
ду-
-^- = -sine. -g. = cose,
а подстановка (2.63) в (2.62) дает
^-cos.e-|-slne-^, (2.64а)
f-sine Jf +cose f, (2.646)
или, в матричных обозначениях,
ГдТ/dxl Tcose - sin 6 1 Г dT/dil
IdT/dyi Lsin6 coseJLoT/drJ' l" Щ
Обратным равенству (2.65а) будет
Гбг/дп Г cose sine-|r67/6^i
L (ЭГ/аг) J L — sin в cos 6 J L дТ/ду J' '
Равенства (2.65) позволяют преобразовывать глобальные
первые производные в локальные, и наоборот. Необходимо
отметить появление в равенстве (2.656) матрицы вращения, а в
равенстве (2.65а) — обратной ей.
Теперь подынтегральное выражение в равенстве (2.6) может
быть записано через локальные координаты посредством
подстановки соотношений (2.64) или (2.65а). Выполнив это, полу»
чим
Вариационная формулировка метода конечных элементов 65
На основе математического анализа имеем [4, 5]:
\ f (х, y)dxdy = \вй, 4)1 J 1<£ЛЬ (2.67)
D D
где f(x, у) и g(fj, ?)) — эквивалентные выражения для функции в
двух возможных системах координат Оху и 0|т), a J — якобиан
преобразования д(х, у)/д(\, ц). Из формулы (2.67) для замены
dxdy в выражении (2.6) имеем
\dt,d4*=dtdr]. (2.68)
| ду/dt, dtj/di] |
cos6 — sine I
sin 6 cos £
Здесь использовано выражение (2.61а) для производных дх/д£,
дх/дц, ду/dl, ду/6\. Подстановка (2.66) и (2.68) в (2.6) дает,
следующее выражение для элементного вклада:
е
Представление пробной функции (2.51) в виде
6
f* = £«/fV' (2.70)
(здесь используются Ми тг, ..., ше и /ti, /ts п6 из табл.2.4)
позволяет записать производные дТ'/д^, дР/дц следующим
образом:
6
-^^.W'-Y'. (2.71а)
(-1
-^=^«,«Г'л"'-1. (2.716)
Подставляя выражения (2.71) в (2.69), получим следующие
выражения для элементного вклада:
+ a1a,fi,«/r<+"V+''r *] } d% dr,. (2.72)
Введение обозначения
Вц = \ [m/njC1*™!-Y'+"' + п,п/Г<+т/п"<+"Г2М Л] (2.73)

ее
Глава 2
Таблица 2.4
Показатели степени квадратичной
пробной функции шестнузлового элемента
i
1
2
3
т,
0
1
0
"1
0
0
1
1
4
5
6
т1
2
1
0
"(
0
1
2
позволяет записать (2.72) в виде
В матричной форме (см. приложение А.З) равенство (2.74) имеет
вид
Хе = |-а70а, (2.75)
где о определяется выражением (2.58), а
0 = Ы (2.76)
является интегрирующей матрицей- Подстановка (2.59) в (2.75)
дает формулу для элементного вклада через узловые значения:
Хс = |(ТТВ^ОВ(Г). (2.77)
Как уже отмечалось ранее, узловые значения Ти Т*> ТБ
в локальной системе координат совпадают с узловыми
значениями Т\, ?2 Т6 в глобальной системе координат.
Следовательно, равенство (2.77) применимо в любой из этих систем
координат. Равенство (2.77) также можио записать в виде
х" = у(ТУк(Г). (2.78)
где
k = BTGB (2.79)
оказывается элементной матрицей жесткости к элемента е.
Дифференцирование равенства (2.78) (см. приложение Б.2)
дает элементное матричное уравнение
дх70Т° = кГ. (2.80)
Интегрирующая матрица G еще должна быть определена
явно. Для вычисления элементов g„ необходимо [уравнение (2.73)]
Вариационная формулировка метода конечных элементов 67
вычислить интегралы вида
h(m, n) = $6'V<»i*l. (2.81)
е
где m н « — целые числа. С учетом рис. 2.6 этот интеграл може1
быть записан следующим образом:
1-0 и-(сй) |+с
h{m,n)= $ \ lmrCdridl +
i-o ч-о
где первый и второй интегралы в правой части равенства
являются вкладами, соответствующими подтреугольникам I и II.
Замена переменной
и = |/ft (2.83)
Позволяет записать первый интеграл в виде
U—0 Т]-С (U+1)
/,= $ $ &(w&)"VdwdTi (2.84а)
и--1 -q-О
или после интегрирования по rj
n+l +1 Н™°
/»=°C"n+'l \ -«m("+ l)"+,du. (2.846)
Формула (2.84) может быть преобразована к виду
Л = - ' + /- • J й"+1(1-й)",йй (2.85)
о-о
с использованием замены переменной
й = и+1. (2.86)
Интеграл в выражении (2.85) является бета-функцией р(« + 2,
т+1), которая может быть выражена через гамма-функции и
факториалы:
S-1
[ Пп+> (1 йГ du - Г (" + 2) Г (т + '> (" + ')' т' (9 87^
J^u (1 и) du— г(от + п + 8) -(я1 + „ + 2), • (2-87)
3*

68
Глава S
Подстановка выражения (2.87) в (2 85) дает
5-0 4-(c/WS+c
/,_ \ \ FV*.*- С"+Ч-ьГ+1[(т+иГ;2),]-
mini
Аналогично может быть показано, что
Ё-о ч—(с/2) 1+с
Подставляя выражения (2.88) в (2.81), получим
h(m,n)=\lmTfd£dTi = -
(m+rt + 2)'
(2.88а)
(2.886)
(2.89)
Вычисляя выражение
g,i = mitrijh (mi + nij — 2, я, + n,) + n,n;ft (m, + mh ъ + п/ — 2),
(2.90)
получим искомое значение (2.73).
Для дальнейшей иллюстрации формулировки в локальных
координатах рассмотрим задачу о двумерном тепловом потоке
г г з 4 в х
Рис. 2.7. Разбиение области на восемь конечных элементов.
через брус квадратного сечения (рис. 2.1). Пусть область
определения задачи разбита на восемь шестнузловых треугольных
элементов, как это показано на рис. 2.7. Таким образом, общее
число узлов п на рисунке равно 25.
Вариационная формулировка метода конечных элементов 69
Таблица 2J5
1
й
3
4
6
6
7
а
в
Координаты
к
0
0,5
I
1.5
2
0
0,Е
1
«
у
0
0
0
0
0
0,5
0,5
0,6
0,5
Координаты
Узел
10
11
12
13
14
15
16
17
18
узлов
Координаты
X
2
0
0,5
1
1,6
2
0
0,5
I
У
0,6
1,5
1.6
1,5
Узел
19
20
21
22
23
24
26
Коорднпатьг
X
1,5
2
0
0,5
1
1.5
2
V
1,5
1.6
2
2
2
2
2
В табл. 2.5 выписаны координаты узлов х и у. В табл. 2.6
дана связь между локальными и глобальными номерами узлов,
а также указаны характерные размеры а, Ь и с для каждого
элемента.
Подстановка величин а, Ь и с из табл. 2.6 в уравнение
(2.56) приводит к следующей матрице коэффициентов А:
0 1
о
о о
(2.91)
Обратная ей матрица В имеет вид
1
—3
—3
2
4
2
0
4
0
-4
-4
О
0 0 2—4
(2.92)
Теперь необходимо вычислить интегрирующую матрицу G,
элементы которой заданы формулой (2.90). После подстановки

70
Глава 2
Таблица 2.6
Соотношение между глобальными и локальными номерами узлов
н характерные размеры элементов
Элемент
1
г
3
4
5
6
7
8
Номер 1зла
1
И
3
13
5
21
13
23
15
2
6
8
8
10
16
18
18
20
3
,
13
3
15
11
23
13
25
4
7
7
9
9
17
17
19
19
5
13
1
15
3
23
11
25
13
6
12
2
14
4
22
12
24
14
Размеры
а
Ь
0
С
величин а, Ь и с (из табл. 2.6 следует, что они одинаковы для
всех элементов) в выражение (2 89) получаем
h(m.n) = m\ni.ftm + n+2)\, е'= 1, 2 8. (2.93)
Наконец, подстановка выражения (2 93) в (2 90) дает
требуемые элементы g4.
В программе для ЭВМ величины h(m, и) вычисляются
непосредственно с использованием формулы (2.89) и известных
значений т, п, а, Ъ и с. Нулевые значения m, n, a, b и с могут
привести к ошибке, если в программе не позаботиться об этом
заранее. Рассмотрим, например, случай » = 1 и / = 1. Из табл. 2 4
следует, что ш, = 0, т, = 0, п, = 0, и, = 0. Подставляя эти
значения вместе с о=1, 6 = 0 и с=1 в выражение (2.89) для
т = т, -\- т, — 2 и п — и, + Щ, получим
ft (mi + m, — 2, щ + nt) =
1' ' U • I -(-0) ' I J(m,+i«f-2)[(«i + r.,)i
(m, + m,+n, + n,)l " *• '
Попытка непосредственно вычислить выражение (2.94) в
данном случае привела бы к сообщению об ошибке в программе,
так как член (—0) ' [здесь он получается равным (—0)-']
не определен Эта трудность возпикает, когда выражение т, +
+ т,— 1 имеет минимальное значение, равное —1, т. е. когда
т, = т, = 0. Как видно из формулы (2.90), выражение (2.94)
не нужно вычислять, если произведение т,т, равно нулю, т. е.
либо т„ либо т, равно пулю. Таким образом, эта трудность
может быть преодолена посредством проверки на равенство нулю
произведения т,т, и вычисления члена h(m, + яг, — 2, n,-f-n,)
только е том случае, когда это произведение не равно нулю.
Вариационная формулировка метода конечных элементов 71
Аналогично величина h(m, + m„ п, + и, — 2) вычисляется
только в том случае, когда п.п, не равно нулю.
Применяя описанную выше процедуру при вычислении
выражения (2.90), получаем матрицу
"0 0 0 0
0 ft(0,0) 0 2/i(l,0)
0 0 ft(0, 0) 0
0 2ft(l,0) 0 4ft(2,0)
0 ft(0, I) А(1, 0) 2ft(l,l) ft(0, 2) + ft(2,0) 2A(l, 1)
_0 0 2А(0,1) 0 2ft (1, 1) 4/1(0,2)_
(2.95)
которая в результате вычислений по формуле (2.93) принимает
вид
"000000"
0 6 0 4 2 0
0
/1(0, 1)
/1(1,0)
2ft(l, 1)
0 "
0
2ft (0, 1)
0
0 = -
0 0 6 0 2 4
0 4 0 4 10
0 2 2 12 1
.00401 4
(2.96)
Вычисление произведения BrGB (2.79) с использованием (2 92)
и (2 96) дает следующее выражение для элементной матрицы
жесткости к:
6—4 1 0 1 — 4~
(2.97)
Очевидно, что эта матрица симметрична. В качестве
упражнения оставляем доказательство того, что матрица к при
заданном порядке локальной нумерации узлов в выражении (2 97)
одинакова для всех элементов. Замена локальных номеров
узлов глобальными позволяет объединить матричные уравнения
элементов в матричное уравнение системы. Можно проверить,
что матричным уравнением системы после учета-" граничных
условий Дирихле, согласно первому правилу из гл 1, является
Уравнение (2.98). Невыписанные элементы матрицы
коэффициентов в атом уравнении равны нулю.
= BTGB = ^
6
-4 16
1 -4
0 -8
1 0
-4 0
-4 —8
3 0
0 16
0 0
0 —8
0
0
0
3
—4
0
0
—8
—4
16

Вариационная формулировка метода конечных элементов 73
Решая уравнение (2,98) каким-либо стандартным способом,
получим следующие узловые значения:
F, = 50, f2 = 50, Г, = 50, Г4 = 50, Г6 = 50,
^6 = 62,5, _7-г = 62,5, J-8 = 62,5, _Г9 = 62,5, F10 = 62,5,
Гц = 75, 7j2 = 75, 7J3 = 75, f„ = 75, f"i5 = 75, (2.99)
Г,6 = 87,5, Г17 = 87,5, 7,8 = 87,5, f,9 = 87,5, f20 = 87,5,
Г2, = 100, 7^= 100, 7-23=100, Г24=100, 7^=100,
и, наконец, находим требуемое решение в точке, Л (рис. 2.7):
Нл=^ = 87,5°С. (2.100)
Замечание, В рассмотренной выше формулировке в качестве пробных
функций можно использовать вместо полиномиальных рядов
интерполяционные многочлены [формула (2 70)]. В подходе с использованием пробных
функций выражсиие( 2.51) может быть записано в виде
?" = [! I Ч I2 1ч rf\a. (2.101)
Подставляя а согласно формуле (2.59), получим выражение
^ = [1 I Ч|2 14 Ч!]ВТ«, (2.102)
которое может быть записано через пробные функции
S»=N«T«. (2.103)
где
N« = 11 I ч I2 1ч Ч!]В. (2.104)
Матрица пробных функций в равенстве (2 104) задана в локальной системе
координат. Для получения матрицы пробных функций в глобальной системе
координат можно использовать аналогичный подход
Далее можно использовать либо равенство (2 104) для потучепия
матрицы жесткости к, подставляя его в приведенное ниже выражение (2 106), либо
подстановку (2 103) в (2 69) для получения %* в виде функции узловых
значений элемента. Затем, при объединении по излач, производные cty/dfp
используются в уравнении (2 20), тогда как при поэлементном объединении
можно получать элементные матричные уравнения д-/1(У1е с форме
аналогичной (2 80).
Подход пробных функций часто применяется на практике, но
следует заметить, что вычисление необходимых интегралов в
этом случае не так просто, как при использовании многочленов,
по крайней мере в случае применения локальной системы
координат. Существует несколько типов элементов (см. гл. 9), для
которых представление через координатные ряды не так легко
получить, в таких случаях предпочтительнее подход с
использованием пробных функций.
с(*1яУ/!>Р?^"ИШе 2'3' Покажите. ,гго в двумерном случае для уравнения Пуас-
(2.4В) при использовании линейного треугольного элемента
(2.105)

74
Глава 2
в глобальной системе координат н
в локальной системе координат.
Упражнение 2.4 Используя полиномиальные ряды как в разд 212,
построите формулировку метода конечных элементов для линейной пробной
О з>
Рис. 2.8, Локальная система координат трехуэлового треугольного элемента
функции н трехузлового треугольного элемента в локальной системе
координат, показанной на рнс 2 8
Упражнение 2.5. Выполните упражнение 2 4с использованием подходе
пробных функций, описанного в замечании 1.
Литература
1. Nome D Н , de Vnes G, The Finite Element Method — Fundamentals and
Applications Academic Press, New York 1973
2 Lee J F, Sears F U , Thermo dynamics — An Introductory Text for
Engineering Students, Addison-Weslev, Reading Massachusetts, 1963
3. Thompson E H Algebra of Matrices Adam Hilger, London, 1969
4. Kreyzig E, Ad\anced Engineering Mathematics Wilc\, New York, 1962
6. Kaplan W, Advanced Calculus, 2nd ed, Addison Wesley, Reading,
Massachusetts, 1973.
3
ПРОГРАММИРОВАНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
3.1. СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ
МАТЕМАТИКИ И МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Широкому применению метода конечных элементов для
растущего многообразия задач способствуют
а) внутренняя общность метода,
б) его естественная формулировка в матричной форме;
в) наличке эффективных процедур для решения очень
больших систем уравнений;
г) возможности современных вычислительных машин.
Первые два из указанных факторов станут очевидными для
читателя в процессе изучения этой книги и не будут здесь более
обсуждаться В отношении третьего фактора следует отметить,
что эффективные процедуры для очень больших систем
уравнении появились только после 1950 г., как это видно из
следующей цитаты Биркгоффа [1]:
«Свыше пятидесяти лет тому назад математики зналн, что решение
системы линейных уравнений может быть вычислено методом исключения
Гаусса Таким образом, решение уравнения Пуассона с любой
желаемой точностью можно в принципе получить конечными методами.
Однако действительное вычисление решения с приемлемой точностью
в 1945 г с испотьзоваиием арифмометра, вероятно, стоило бы по
меньшей мере 10 000 долл В то время в большинстве эффективных
методов решения систем линеиных уравнении вообще не применялось
последовательное исключение переменных Использона чась
«релаксация» ,.., но каждая новая задача 1ребовала затраты нескольких
человеко-месяцев для ее предварительного изучения специачистом В 1948 г
я предложил Дэвиду Яигу попытаться автоматизировать репаксашюн-
иые методы , для того чтобы их можно было программировать и
эффективно использовать на счетных машинах В принципе
предложение состояло в решении посредством итерационной
(релаксационной) техники Фактически Гаусс и Якобн уже использова чи
итерационные методы в девятнадцатом веке, но их алгоритмы сходились
слишком медленно Цель Янга состояла и том чтобы найти алгоритмы,
сходящиеся быстрее После двух лет упорной работы Янг преуспел в
этом В его последовательном алгоритме верхней релаксации
(successive overrelaxation, SOR) уменьшено в Ю и более раз требуемое
число итераций В датьпешнем эффективность вычистите |ьных
машин возросла еще более существенно Сейчас для большинства мощных
вычне чнтельных машин разработаны разновидности метода исключения
Гаусса (например, разложение Холесского) которые решают
задачи, подобные описанной, с 500 неизвестными меньше чем за 1 доллар
Однако во многих инженерных задачах для обеспечения
необходимой детализации н точности требуется до 50 000 неизвестных В таких
задачах, даже при использовании мощнейших вычислительных машин,

74
Глава 2
в глобальной системе координат и
с г ( ONа '
dNa 5%>
(2.106)
в локальной системе координат.
Упражнение 2.4. Используя полиномиальные ряды как в разд 2.1.2,
постройте формулировку метода конечных элементов для линейной пробной
Рис. 2.8, Локальная система координат трехузлового треугольного элемента
функции н трехузлового треугольного элемента в локальной системе коорди-
нат, показанной на рнс. 2.8.
Упражнение 2.5. Выполните упражнение 2-4 с использованием подхода
пробных функций, описанного в замечании 1.
Литература
1. Norrie D. П., de Vries G., The Finite Element Method — Fundamentals and
Applications, Academic Press. New York, 1973.
2. Lee J. F., Sears F. W., Thermodynamics — An Introductory Text for
Engineering Students, Addison-Weslev, Reading, Massachusetts, 1963.
3. Thompson E. H., Algebra of Matrices. Adam Hilger. London, 1969.
4. Kreyzig E., Advanced Engineering Mathematics. Wiley, New York, 1962.
6. Kaplan W., Advanced Calculus, 2nd ed., Addison-Wesley, Reading, Massachu*
setts, 1973.
3
ПРОГРАММИРОВАНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
гл. совершенствование вычислительной
МАТЕМАТИКИ И МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Широкому применению метода конечных элементов для
растущего многообразия задач способствуют:
а) внутренняя общность метода;
б) его естественная формулировка в матричной форме;
в) наличие эффективных процедур для решения очень
больших Систем уравнений;
г) возможности современных вычислительных машин.
Первые два из указанных факторов станут очевидными для
читателя в процессе изучения этой книги и не будут здесь более
обсуждаться. В отношении третьего фактора следует отметить,
что эффективные процедуры для очень больших систем
уравнений появились только после 1950 г., как это видно из следую--
щей цитаты Биркгоффа [1]:
«Свыше пятидесяти лет тому назад математики знали, что решение
системы линейных уравнений может быть вычислено методом исключения
Гаусса.... Таким образом, решение уравнения Пуассона с любой
желаемой точностью можно в принципе получить конечными методами.
Однако действительное вычисление решения с приемлемой точностью
в 1945 г. с использованием арифмометра, вероятно, стоило бы по
меньшей мере 10 000 долл. В го время в большинстве эффективных
методов решения систем линейных уравнений вообше не применялось
последовательное исключение переменных. Использовалась ...
«релаксация» ... ( но каждая новая задача требовала затраты нескольких
человеко-месяцев для ее предварительного изучения специалистом. В 1948 г.
й предложил Дэвиду Яигу попытаться автоматизировать
релаксационные методы ..., для того чтобы их можно было прелраммировать и
эффективно использовать на счетных машинах. В принципе предложе-'
ние состояло в решении ... посредством итерационной
(релаксационной) техники. Фактически Гаусс и Якоби уже использовали
итерационные методы ... в девятнадцатом веке, но их алгоритмы сходились
слишком медленно Цель Янга состояла в том, чтобы найти алгоритмы,
сходящиеся быстрее. После двух лет упорной работы Янг преуспел в
этом ... В его последовательном алгоритме верхней релаксации
(successive overrelaxation, SOR) уменьшено в [О и более раз требуемое
число итераций .... В дальнейшем эффективность вычислительных
машин возросла еще более существенно. Сейчас для большинства мощных
вычислительных машин разработаны разновидности метода исключения
Гаусса (например, разложение Холесского) ... ? которые решают
задачи, подобные описанной, с 500 неизвестными меньше чем за i доллар.
Однако во многих инженерных чадачах ... для обеспечения
необходимой детализации и точности требуется до 50 000 неизвестных. В таких
задачах, даже при использовании мощнейших вычислительных машин,

76
Глава 3
любые варианты метода исключения Гаусса практически ие применимы,
и необходимо использовать варианты SOR-мстода, такие, как
циклический алгоритм Чебышева».
Из предыдущего ясно, что четвертый фактор (возможности
современных вычислительных машин) является существенным
для решения больших систем уравнений, возникающих в
реальных инженерных задачах.
Часть одной из последующих глав будет посвящена
рассмотрению процедур решения больших систем линейных уравнений.
Дополнительно к приведенным ранее формулировкам в
следующем разделе представлена программа для метода конечных
элементов. Хотя разработка эффективных программ для метода
конечных элементов очень важна, на данном этапе использованы
только основные принципы конечноэлементного
программирования.
3.2. ПРОГРАММА ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В этом разделе обсуждается программа на Фортране IV для
решения уравнения Лапласа, использующая формулировку в
глобальной системе координат, изложенную в разд. 2.1. Рассматри-
r*~2ffX+m(siifam
Г=-2йУ+гЛ9
Рис. 3.1. Двумерная теплопередача в брусе квадратного сечения.
вается двумерная задача о передаче тепла теплопроводностью
в случае бруса квадратного сечения, показанного на рис. 3.1. На
двух боковых сторонах бруса задано линейное распределение
температуры, а на двух других предполагается идеальная тепло-
Програлширование метода конечных элементов 77
изоляция. Требуется определить линии постоянной температуры
(изотермы) внутри бруса, используя метод конечных элементов.
Область ОАВС разбивается иа 50 трехузловых треугольных
элементов с общим числом узлов, равным 36, так, как это
"i
31 33 34 35 36
Рнс, 3,2. Разбиение области иа 00 конечных элементов.
Координаты узлов
1
s-
S
4
Б
в
7
8
9
10
11
12
Координаты
X
0,0
2.0
4,0
6,0
8,0
10,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
У
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
2,0
2,0
2,0
2,0
2,0
2,0
Узел
13
14
15
16
17
! 18
19
20
21
22
23
24
Координаты
к
0,0
ад
4,0
6,0
8,0
10,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
У
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
6,0
6,0
6,0
6,0
6,0
10,0 6.0 1
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Координаты
к
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10.0
У
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0 '
10,0
10,0
10,0
10;0
10,0
10,0

78 Глава 3
показано на рис. 3.2. Основными исходными данными программы
являются: а) координаты х и у всех узлов; б) соотношение
между локальными и глобальными номерами узлов для всех
элементов. Этн данные содержатся в табл. 3.1 и 3.2 соответственно.
Таблица 3.3
Соотношение между глобальными и локальными номерами узлов
меыт
1
2
3
4
5
6
7
8'
9
10
11
12
■ 13
14
15
16
17
Но
i
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
7
7
8
8
9
9
10
мер узла
1
8
2
9
3
Ю
4
И
5
12
в
14
8
15
9
16
10
17
,*
7
8
8
9
9
10
10
И
11
12
13
14
14
15
15
16
16

Элемент
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34~
Номер yi
1
10
11
11
13
13
14
14
15
15
16
16
17
17
19
19
20
20
1
11
18
12
20
14
21
15
т
16
23
17
24
18
26
20
27
21
ла
т
17
17
18
19
20
20
21
21
22
22
23
23
24
25
26
26
27

Элемент
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Номер узла
/
21
21
22
22
23
23
25
23
26
26
27
27
28
28
29
29
1
28
22
29
23
30
24
32
26
33
27
34
28
ЗВ
29
36
30
т
27
28
28
29
29
30
31
32
32
33
33
34
34
35'
35
36
Стратегия программирования описана в следующем разделе
в виде блок-схемы, которая будет рассматриваться
одновременно с описанием алгоритма. В последующих разделах
приведены исходные данные и результаты решения.
8.2.1. БЛОК-СХЕМА ПРОГРАММЫ
На рис. 3.3 показана блок-схема программы. Эта программа
гибридная. В ее основе лежит объединение по узлам, которое
легко может быть заменено поэлементным объединением (см.
упражнение 3.3), посколгуку элементные матрицы жесткости к
вычисляются и сохраняются в памяти для последующего
использования.
Так как в этой программе объединение элементных
матричных уравнений проводится по узлам, необходимо знать
элементы, окружающие каждый узел, Эта информация содержится в
Программирование метода конечных элементов
79
массиве NSUR (/, /). Переменная / определяет номер строки и
номер рассматриваемого узла одновременно. В столбце / = 1
записано число элементов, окружающих узел /, а в столбцах
Вбод исходных данных
о конеш/х элементах
и температуре
\ -
Печать исходных
денных для контроля
%
Формирование массива\NSUR на основе
исходных данных, В этой матраце указываются
жало элементовt ОАружр/ащих тж$ш узел,
и соотношение между локальными а
глобальными номерами узлов элементе8
г —
Вычисление и запоминание матрацы
жесткости к для всех элементов
\
Формирование матричного уравнения системы
путей объединения по узлом элементных матриц
wecmns-cfiiti k и учет граничных условий
\
Ртение системного матричного
уравнения с использованием стандартной ■
ваблиотечнвй подпрограммы
LEQ.UF
\Вы$однапечать результатоврешенияЛ
Рис. 3.3. Блок-схема программы.
t
'z== % 3, .... указаны номера этих элементов. Массив
формируется следующим образом. Сначала в первый столбец
записываются нули, как это показано в табл. 3.3. Для простоты эта
и последующие таблицы содержат данные только для первых
десяти узлов Первым обрабатывается элемент 1, у которою,
как это видно из табл. 3.2, глобальными номерами узлов
являются числа 1, 8 и 7. В массиве общее число элементов,

80 Глава Я
Таблица S3
Начальное состояние массива NSUR
Узел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
NSUR U. 1)
Число
Элементов /я»1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Номера соседних элементов
/=2
7=3 7=»4 7=5 7=6
7=7
окружающих каждый из указанных узлов, при этом
увеличивается на единицу. Номер элемента, а именно 1, записывается в
следующем столбце / = 2 для каждого из этих узлов (табл. 3.4).
Таблица ЗА
Состояние массива NSUR но еле обработки элемента 1
Увел
/
I
. 2
3
4
S
6
7
8
9
10
NSUR (7. 7)
Число
соседних
элементов 7 = 1
t
0
0
0
0
0
1
1
(Г
0
Номера соседних элементов
/—2
1
»
1
I
7=3 7=4 7=5 7=6 7=7
Следующий элемент (2) с номерами узлов 1, 2 и 8
обрабатывается аналогичным образом. Общее число окружающих узел
элементов получается для этих узлов увеличением на единицу, а номер
Программирование метода конечных элементов 81
элемента, а именно 2, записывается в следующем столбце, как
это иллюстрирует табл. 3.5. После обработки первых 18 элемен-
Таблща SJ5
Состояние массива NSUR после обработки
элементов 1 и 2
Узел
/
I
2
3
4
5
6
7
8
9
10
NSUR (7. 7)
Число
элементов 7 = 1
2
1
0
0
0
0
1
2
0
0
Номера соседних элементов
1=2
1
2
\
1
1
7=з
2
2
7=4 7=5 7=6
7=7
тов указанным способом масенв NSUR будет иметь вид,
показанный в табл. 3 6. В результате последовательной обработки
всех элементов массив NSUR формируется полностью.
Таблица S.6
Состояние массива NSUR после обработки элементов 1—18
Узел
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
NSUR {/, J)
Чисто
элементов / = 1
2
3
3
3
3
1
з.
в
в
в
Номера соседних элементов
7—2
1
2
4
6
8
10
1
1
3
5
/=з
2
3
5
7
9
И
2
4
6
,-,
4
6
8
Ш
12
3
5
7
- 7=5
12
14
16
/—6
13
16
17
7=7
-14 -
16
18

82
Глава S
3,2.2. ПРОГРАММА ДЛЯ ЭВМ
С .....FINITE ELEMENT METHOD,PROGRAM 2«*«i»
С PORTION OF A HEAT SINK.CONSISTING OF ft
С TWO-DIMENSIONAL SfiLARE BAR.
С THE RESULTING SYSTEM MATRIX FRLATION IS ROLVED
С USING THE STANDARD LIBRARY SUBROUTINE LEQTlF.
С
С t*...TH£ FOLLOWING IS A LIST OF SYMEOLB U6E0|».*.
TOTAL NUMBER OF NODES
TOTAL NUMRER DF ELEMENTS
TOTAL NUMBER OF MODES WHERE T'HEf
FUNCTION IS PRESCRIREC
NODE NUMRER OF NODE WHERE THE FU^CT^ON
IS PRESCRIBED.WHERE 1=1,2 NpHES
THE PRESCRIBED VALUE OF THF FUNCTION AT
NODE NPT(I).WHERE 1=1.? NPREG
X.Y COORDINATES.RESPECTIVELY.OF NOOE I
THE THREE NODES,CORRESPONDING TO THE THREE
NODE IDENTIFIERS J=1.2,3.CF ELEMENT I
X.Y COORDINATES.RESPECTIVELY.OF THE THP£E
NODES,CORRESPONDING TO THE THREE NODE
IDENTIFIERS 1-1.2,3.OF ANY ELEMENT
С
V.
с
п
г
г
с
fe
t
г:
п
ь
п
с
t
с
с
с
L
С
С
С
К
Т.
(С
l;
с
С
WPOIN
NELEM
NPRES
fcPT(l)
VAL(I)
X(i).v(H ■
Non(i.J)
XX(I).YV(I)
A(I),G{t),
en; ■ ■
DATA ■
f)TE(IE.U.N]-
BT(I.J,
RHS(I.1)
(lEUfl(I.J)
-
THF PARAMETERS DEFINED IN FGS.(2.11)
DF ANY ELEMENT.WHERE 1*1,2,3
AREA OF ANY TRIANGLE
THE M-N TH ENTRY Of THE ELEMENT К MATRIX
OF FLEMENT It»WHERF M.1.г.J AND N=1.2,3 ARK
THE NODE IDENTIFIERS
THE I-J TH FLEMENT OF THE SYSTEM К MATRIX
RIGHT-HAND SIDE MATRIX IN THE SYSTEM MATRIX
ECUATION-DOUELY SUBSCRIPTED TO SATISFY THE
RETIREMENTS OF THE SUBROUTINE LEQTlF
AN ARRAY CONTAINING THE TOTAL NUMBER OF
ELEMENTS SURROUNDING NODE I IN COLUMN J-1,
AND THE ELEMENT IDENTIFICATION NUMBERS
IN COLUMNS J=2.3.ETC.
PROGRAM PRGM2{INPUT,OUTPUT,TAPE5.TAPE6)
DIWFN4IDN N00(5B.3),)'(36).Y(36).NPT(11),VAL(l1).,NallR{36,7)
DIMENSION XXf3),YY(3).A(j},0(3).С(3).БТЕ(5Й,3,3),ST(36.36)
DIMENSION RHS(36,1).ftKAREA(36)
#»..»THE TOTAL NUMBER OF NODFfi.THE TOTAL NUMBER DF
ELEMENTS,AND THE TOTAL NUMRER OF NODES WHERE THE
FUNCTION IS PRESCRIRFO ARE READ IN..*l.
"READ(5f10) NPOIN.NELEM,NPFES
FORMAT(3I3)
THE THREE NODES,CORRESPONDING TO THE THREE NODE
IDENTIFIFRfi J-1.2.AND 3.ARE READ IN FDR ALL ELEMENT81***»
READ(5.20) {I,(NOD(I,jJ.J*1,3).II-1.NELEM)
FORMftT(ZqI3) fc
.....THE X AND Y COORDINATES ARE REAO 1Ц FOR ALL N.00E6..»«i
READ(5,30) (l,X(l),Y(I).J=1.NPOIN)
FORMAT(5{I3.2F5.1)}
•«.«.THE NODES WHERE THE FUNCTION IS PRESCRIBED AND
THFIR PRESCRIRFD VALUES ARE REAO IN
REAO(5.40} (MPT(I),VAL(I),I=1,NPRES)
FORHAT(7(I3,F7t2lj
Программирование метода конечных элементов
83
С THE TpTAL NUMBER OF NODES 16 PRINTED CUT....,
WRITE(6,50) NPOIN
5C F0RWftT(/////,1X,22H TOTAL NUMBER OF NOOEB.IS)
С
С THE TOTAL NUMBER OF ELEMENTS IB PRINTED CUT.....
WRITE(6.6K) NELEM
60 FORMftT(lX,25H TOTAL NUMBER OF ELEMENTS,13)
С
С THE TOTAL NUUBFR OF NOOEfi ftHERE THE FUNCTION IS
С PRESCRIBED IS PRINTED OUT
VJRITE(6.70) I4PRES
70 F0RHAT(1X.37H TOTAL NUMRER OF PRESCRIBED VARIABLES.13)
С
С TtlE X AND Y COORDINATES ARE PRINTED OUT
С FOR ALL NODES.....
WRITE{6.(30)
B6 FORMAT(//t1X,4^H THE NODES AND THEIR X A"ND Y COORDINATES,/!
WRITE<6.90J
90 FCRMAT(1X.17H NODE X Y,2{21H NODE X \\\'
WRITE(6,100) fI.X(X).Yfl),I-1.№GIN)
400 FORMAT((1X.I3.FH.?,F7,2.2(I6,FB.2,F7.2)))
t
t .....THF ELEWFNTB ANO THEIR THREE NODES,CORRESPONDING TD TH(j
С THRFE NODF IDENTIFIERS J«1,2,AND 3.ARE PRINTEO OUT.,..»
V'.RITE(6.110)
11E FORMAT*//.IX,29H THE ELEMENTS AND THEIR NODES,/)
WRITE(6,120)
120 F0RMAT{1X.13HELEM X J M,3(16H ELEU I J ll))
WRITE(6,130) (I,(NCO(X.J).J=1.3),I=1,NELEM)
130 F0F1MAT((1X,I3,M,2I3,3{I6.W,2I3)))
t
t ..«..THE NODES WHERE THE FUNCTION IS PRESCRIPT
С AND THEIR PRESCRIBED VALUES ARE PRINTED OUTfi..
WRITF{6.140)
140 FDRMAT(//.1X.3tfH NQDER MTH PRESCRIBED FUNCTION VALUES,/)
WRITE<6,150)
150 FORMAT (IX, 1?H HODS' VALUE.3(15H NODE VALUE))
WRITF(6.160) (NPT(I),VAL(I),I=1,NPRE8J
160 F0RHAT((1X.I3.F9.3,3(I6.F9,3)))
С
С i.n.THF ARRAY NSUR( P ,0 ) .CONTAINING ГНЕ TOTAL NUMSERj CF<
С FLEMtrjTS f-URROI'NDING NQDF P IN COLUMN Q.I.AND
С THE IDENTIFICATION. NUMBERS OF THE SURROUNDING
£ E1EMFNTS 114 COLUMNS 0*2.3 .ETC..IB OETSRMINIP
DD 170 Ixl.r-.PDIN
170 NBUR(I.1)=B
DO 190 1=1,NELEM
бО 180 J=1.3
LK-N0D(I.J}
NSUR(LK.1).rjBUR(LK.'if5+T
I.L.NSUR(LK.1)+1
1B0 NGLR(1K.LL)-X
190 CDN.TINUE
С
С .....THF FLEMENT К MATRIC£S,¥fA5£0 ON ТЙЕ ЯВГС flffRtlFIERB
£ 1.2,AND 3.ARE OBTAINED FOR ALL ELEMENTS AND STORED
c IN MEMORY.,,.,
ОЯ В7Й I-l,NELEM
f)Q 200 ,1=1,3
LK-NOD(I.J)

200 YY(J).V(LK)
DD 2fl0 J-1.3
LK=J+1
LL-J+2
IF(LK-3)230.220.210
210 lK»i
LL=2
СП TO 230
220 11=1
230 /4J)=XX(LK)*YY(LL)-/X(LL)*YY(LK)
E(J)=YY(LK)-YY(LL)
240 C( j) = K>;aL)-XX(LK)
tirLTft=([;(3)*R(2)-C(2)*I3(3))/2,0
CO 260 IR-1.3
00 250 IC=1.3.
Й50 ETE<I,in.Ic)-(R(lR)»B(IC)+C(lR)»C(IC))/(4,e«OCLTA)
26Й CONTINUF
£?0 CONTINUE
С
С .....THE ELEMENT К MATRICES OF ALL- ELEMENTS ARE ASSEMBLED
С f!Y NODES.THE PRESCRIBED BOUNDARY CONDITIONS ARE
U *INGERTEO.ANO THE FINAL SYSTEM MATRIX EQUATION IE
С OBTAINED
00 290 1=1.NPOIN
DO 280 J-1,NPOIfj
280 8T(I.J)=0.0
290 RHS(I.1)=0.0
. OD 373 N0C£=1,NPOIN
DO 310 I=1.NPRES
IF(N0Dr-HPT(I))310,300.310
300 ST(NOOF,NOOE)=1.0 -
RH5(NCDE.1)=VAL(I)
GO TO 370
310^ CONTINUE
IE=NSUn(N0DE,1)
IEL-IE+1
DO 36(1 ITEL=?.IEL
l.eL-NStlR(»nOE.ITEL)
DO 320 1=1,3
IR«I
IF(NOO(LELfI)-NDDE)320,340,320
320 CONTINUE
WPITE(6,330)
330 FCRMAU//.1X.32H ERROR IN ELEMENT NODE NUMfiERINB)
00 TO 410
340 DO 350 10=1,3
ICO-NCD(LEL.IC)
350 ST(NDDE.ICO).BT{NOPE,ICD)+fiTE(LEL,IR.IC)
360 CONTINUE
370 CONTINUE
С THE SYSTEM f.'ATRIX EQUATION IB BOLVEO UBINQ
С THE STANDARD LIBRARY SUBftOLTIWE LERTlF....,»
IDGT=0
CALL L-EnT1F(BT,1,NPOIN,NPOIN,RHS.0,WKAREA,IER)
c ■ THE SOLUTION HAB BEEN OBTAINEO ANO 18 PRIWTEO OUT.....
WRITE(6.3B0)
3B0 FC]RMAT(//.lx.3lH THE BOLUTION -HAS SEEN OfiTAlNEO)
WRITE(6,390)
390 FORMAT(/,ix,12H NODE TEMP.3(1SH NODE TEMP))
WRITE(6.400) (I,RHS(I,i),I-1.NP0IN)
*UV ™Rb<AT((lX.I3,F9.3,3<I6,F9,3)>)
410 БТОР '"
END
Программирование метода конечных элементов
3.2.3. ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ
Й9А423 9^3 10 96
5 12 11 10 5 6 12 Т\ 7 14 13 12
9 16 15 16 9 1И 16 17 10 17 16 1В
13 20 19 S? 13 14 20 23 14 21 20 24
25 15 22 21 26 15 16 22 27 16 23 22 2Н 16 17 23 29 17 24 23 30
31 19 26 25 32 19 20 26 33 20 27 26 34 2D 21 27 35 21 2ЕЗ 27 36
37 22 29 28 38 22 23 29 39 23 30 29 40 23 24 30 41 25 32 31 42
43 26 33 32 44 26 2? 33 45 27 34 33 46 2? 28 34 47 ?В 35 34 46
49 29 36 35 50 29 30 36
36 50
1 1
7 4
13 е
19 11
11
и
11
15
1В
1
10
14
IV
2
в
14
2И
1
4
а
11
2
5
9
12
в
и
15
1И
3
9
15
21
1 0.0 0.0
6 10.0
.0
11
16
21
?6
31
8.0
6.0
4.0
2.0
0.0
2.0 12 1
4.0 17
6.0 22
е.р 27
10.0 зг
2.Р В
2.0 13
0 2.0 9
0 4.0 14
0 4.0 19
0 6.0 24
0 6.0 29
0 10.0 34
4.0 15 4.0
0 6.0 20
6.0 25
6.0 30
6.0 6.0 23
4.0 6.0 2В
2.0 10,0 33 4.0 10.0 34 6.0 10.0 35 8.0 10
36 10.P 10.0
6 200.00 12 160.00 18 12В.0Й 24 ВВ.0.0 3J3 4J>*0J 31 200.00 32
33 120.00 34 80.0Й 35 40.ИИ 36 0.05
3.2А РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ
TOTAL NUMBER OF NODES 36
TOTAL NUMBER OF ELEMENTS 50
TOTAL NUMBER OF PRESCRIBED VARIABLES 11
THE NODES AND THEIR X ANO Y COORDINATES
3 4 \0
7 6~ 14
10 11 17
14 15 21
17 18 24
2 1 22 26
25 26 32
28 29 3S
16.0.00
?
10
13
0.00
6.00
fl.00
6.00
6.00 4.00
6.00
0.00
6.00
0.00
2.00
2.00 2.00
8.00
10.00
10-00
30
3>
36
x
4.00
0.00
4.00
0.00
8.00
B.00
THB ELEMENTS ANO THEIR NODE»
LEM
1
5
9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
I
1
3
5
e
it)
13
15
17
20
22
25
27
29
J
8
IB
12
15
17
20
22
24
27
29
32
34
36
M
7
9
11
14
16
19
21
23
26
2B
31
33
35
ELEM
2
6
10
14
IB
22
26
30
34
3B
42
46
50
I
1
3
5
В
10
13
15
17
20
22
25
27
29
J
2
4
6
9
11
14
16
ie
21
23
26
2R
30
i
10
12
15
17
20
22
24
27
29
32
34
36
ET
7
11
15
19
23
27
31
35
39
43
47
I
t
4
7
9
11
14
16
19
21
23
26
2B
J
9
11
14
16
IB
Si
23
26
2B
30
33
35
M
В
10
13
15
17
20
22
25
27
29
32
34
ELEW
4
в
12
16
20
24
SB
32
36
40
44
4B
I
2
4
7
9
11
14
16
19
21
23
26
2B
J
i
5
e
i0
12
15
17
20
22
24
27
29
M
9
11
14
16
1B
21
23
26
2B
30
33
35

86
Глава 3
NOCEB WITH PRESCRIBED FUNCTION VALUES
NODE VALUE fJODE VALUE ЙСОЕ VALUE WCDE VALUE
б 200.000 \г 160.000 in i?0^bbb 24 ей. сев
30 40.000 # ?1 200.000 3? 160.000 33 120.000
34 fi_0.000 35 40.00 0 36 Z.000
ГНЕ SOLUTION (IAS PFFN OBTAINED
NODE ГЕМР
1
5
У
13
IV
21
25
29
V
132.B26
156.0?Й
131.7?H
133.9^5
114. 444
121.969
156,020
66.738
1Д0.000
UOCE
?
6
IB
14
IS
??
26
ЗУ
34
13?
200
111
131
170
107
142
40
tie
ГЕМР
U?L
0E0
S61
7,"
0/C
7? i
331
0P0
000
WOOF
3
7
11
15
19
23
27
31
35
T[ UP
133.925
132.H26
142.331
1*>6.Я49
139.117
9 3.4 76
119.444
2С0.00Й
40.000
f.'ODF
4
a
i?
i6
28
v<\
PB
32
36
re isp
139.41?
132.27?
160.000
121.969
133.U61
ей.0Р0
93.476
16/,000
в.еее
Рнс. 3.4. Изотермы в поперечном сечении бруса.
Результаты решения вычерчены в виде изотерм на рнс. 3.4.
Упражнение 3.1. Там, где необходимо, модифицируйте программу нз
разд. 3.2 2 для решения задачи теплопроводности из разд. 2.1, используя
16 треугольных элементов согласно рнс 24 Проверьте полученные ранее
результаты
Упражнение 3.2. Модифицируйте программу из разд. 3 2.2. согласно
алгоритму объединения по узлам, заданному равенством (2.40). Здесь не должны
вычисляться элементные матрицы жесткости, и основой программы должш.
быть объединение по узлам Проверьте полученные рапсе результаты,
используй те же исходные данные.
Программирование метода конечных элементов
87
Упражнение 3.3, Перепишите программу приведенную в разд. 3.2.2, так,
чтобы она основывалась на поэлементном объединении. Необходимо для каж*
(зйянв)
Рис. S.6. Задача I теплопроводности в двумерной треугольной области.
дого элемента по очереди вычислять матрицу жесткости и прибавлять ее
к матрице жесткости системы. Массив NSUR не требуется. Проверьте
полученные ранее результаты, используя те же исходные данные.
О " т=з0 3 х
Рис, 3.6. Задача II теплопроводности в двумерной треугольной области.
Упражнение 3.4. Составьте программу для решения задачи теплопровод*
ности (рис. 2.1), используя формулировки упражнений 2.4 и 2.5 и разбиение

ее
Глава 3
иа конечные элементы, показанное иа рис. 2 7. Сравните результаты решения
с данными (2.99), полученными при использовании квадратичной пробной
функции
Упражнение 3.5. Используйте одну из программ, составленных прн
выполнении упражнения 3,4, дли получения изотерм в двумерных задачах
теплопроводности {рис 3 5 и 3 6) Разбиение области на конечные элементы для обеих
этих задач показано на рнс 3 2
3 3. МОДИФИКАЦИЯ ПРОГРАММ
Программа метода конечных элементов, приведенная в
разд. 3.2.2, следует формулировке, изложенной в разд. 2.1, и-
узко ориентирована. Она не является хорошо сделанной
программой. Ниже описаны модификации, необходимые для
улучшения такой программы. Первые четыре из них очень просты и
заслуживают включения в любую конечноэлементную
программу как большую, так и малую. Остальные модификации более
сложны и предназначены для больших, весьма сложных задач.
3.3.1. СИММЕТРИЯ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ СИСТЕМЫ
Ранее отмечалось, что гЗо учета граничных условий матрица
жесткости системы К обычно симметрична. Действительно,
можно показать, что вариационная формулировка метода конечных
элементов с квадратичным или квадратично-линейным
функционалом всегда приводит к линейной системе уравнений с
симметричной матрицей [2].
Если матрица К — симметричная, то при вычислениях и
хранении в памяти можно ограничиться либо верхней, либо нижней
треугольной се частью, так как остальные элементы известны
в силу симметрии.
з.з.г. подпрограммы
Сегменты основной программы можно с успехом заменять
подпрограммами Свободное использование подпрограмм позволяет
не только упростить основную программу, но тацже более легко
ее структурировать и документировать, что особенно важно при
последующих модификациях. Например, замена одного типа
элементов на другой выполняется посредством подстановки
различных подпрограмм. Широкое применение модульного подхода,
с помощью которого кокечноэлемептпые программы для
различных задач и различных элементов формируются из заданных
сегментов, было бы невозможно без подпрограмм. Другое
преимущество состоит в том, что каждая подпрограмма может
работать и проверяться как отдельная программа, что существенно
облегчает отладку
Программирование метода конечных элементов 89
3.3.3. УЛУЧШЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
Стандартная библиотечная подпрограмма LEQTIF,
применяемая для решения матричного уравнения системы из разд. 3.2.2,
не приспособлена специально для использования в методе
конечных элементов, так как не учитывает такого преимущества, как
симметрия или ленточность матрицы системы. В гл. 6 и 10
обсуждаются процедуры, которые учитывают такие свойства
матриц, и показано, как можно использовать специфические
особенности матрицы для выбора наиболее подходящего метода.
Любой метод решения системы уравнений, специально
предназначенный для симметричной матрицы К, более эффективен и
требует меньший объем памяти, чем соответствующая процедура
для системы уравнений с несимметричной матрицей. Если
используется метод решения, учитывающий симметрию, то
существенно, чтобы после учета граничных условий Дирихле
сохранилась первоначальная симметрия матрицы жесткости системы К.
В следующем разделе обсуждаются два метода учета граничных
условий, не нарушающие симметрию.
3.3.4. СОХРАНЕНИЕ СИММЕТРИИ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ
ПРИ УЧЕТЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИИ
Метод 1. Наиболее просто процедура, сохраняющая
симметрию [3], может быть показана на примере. Рассмотрим
матричное уравнение системы
КII К12 ^ 13 ^14 К15
^21 ^22 КйЗ К24 A25
Кз1 Кз2 Каз Кз4 Кзъ Фъ — #3 ■ (3.1)
K-U К42 K43 ^44 К-15
-К51 K52 Ks3 Кв1 Кы
Предположим, что нужно учесть граничные условия
Ф, = с,, ф, = сг. (3.2)
Так как граничные условия ^i и ф* заданы явно, полученные
ранее уравнения для ф\ н ф.% неприменимы в системе (3.1) и
должны быть заменены равенствами (3.2). Хотя эта замена
нарушает симметрию матрицы жесткости К, симметрию все же
можно сохранить подстановкой ф\ = С\ и & — с4 во все
остальные уравнения и переносом соответствующих членов в правые
части уравнений. Например, второе уравнение системы (3.1)
Ф2 /?2
?з = Яз
?4 *«
_?5_ -Rb~
К21Ф1 + КпФг + КяФз + КыФа + КжФа = Ri
(3.3)

после подстановки ф\ н $ц из (3.2) принимает вид
KsiCi + K&h + К&Фз + К24С4 + Кг^Фа = #2.
(3.4)
О + Кй& + КкФз + 0 + К^^ъ = НЬ - ^2ic, - КясД (3.6)
С использованием этой процедуры система уравнений (3.1)
преобразуется к следующей:
"10 0 0 0"
0 Kft J?23 0 К-2Ъ
0 0 0 10
.0 tfS2 Ки 0 К55-
i?2 — KsiCl — ^24С4
Лз — KsiCl — К34С1
(3.6)
которая, очевидно, симметрична. Этот "метод можно кратко
сформулировать в виде следующего правила:
'Если узловые значения ф1 заданы в виде ф> = d, то Ri
заменяется заданным значением с„ К и — единицей^ а
остальные элементы i-й строки и i-го столбца — нулями.
Затем из остальных R, следует вычесть К^с,.
Необходимо отметить, что в слуыас больших систем
уравнений с большим числом условий Дирихле типа (3.2) описанная
выше процедура может использоваться для уменьшения порядка
матрицы системы. Например, уравнение (3.6) может быть
записано в виде
[К*2 Kzs К2511 #* I Г #2 — KnCi — К24С4
Kz2 #зз К35 I ?з I" I ^?з — K3IC1 — КыСъ
#52 #53 КьЪ J \j5\ I" tf- - JfelC, - KtoCi
(3.7)
так как fa и Фа уже заданы равенствами (3.2). В результате
число неизвестных уменьшается с Г> до ,3.
Метод 2. Правило Пэйна — Айронса, уже упоминавшееся в
гл. I, аппроксимирует заданные граничные условия с высокой
точностью. Кратко оно формулируется следующим образом:
Если узловая переменная фг задана посредством
равенства ф1 = с„ то Кч следует заменить на КиВ, a Ri— на
KuCiB, где В —большое число, например 1012. Эта
операция проводится со всеми заданными переменными.
Первый метод увеличивает разреженность матрицы системы,
что в некоторых случаях полезно, зато второй метод иногда
Программирование метода конечных элементов 91
легче программируется. Преимуществом этих методов является
то, что вследствие сохранения симметрии требуется память лишь
для половины матрицы,
3.3.5. МАКРОПРОГРАММИРОВАНИЕ И СЕГМЕНТАЦИЯ
Если программа, использующая метод конечных элементов,
применяется для решения ряда однотипных задач различной
размерности, то приведение операторов DIMENSION, характери-
зущих массивы, в соответствие с каждой из задач вскоре
становится довольно утомительным занятием. Б больших
программах ради экономии оперативной памяти можно использовать
операторы EQUIVALENCE и COMMON1), но любое
последующее изменение оператора DIMENSION обычно требует
сравнительно хорошего знания программы, в частности тех ее
частей, где запоминаются сегменты другого массива с помощью
оператора EQUIVALENCE. Обе эти задачи могут быть
разрешены с помощью макрокодирования.
Макрос здесь определяется как последовательность
предложений, которые хранятся отдельно и последовательно
объединяются с программой по мере вызова. Другими словами, макро-
Сом называется поименованный программный сегмент, который
может быть вызван всякий раз, когда этого требует специальный
код основной программы илн любой ее подпрограммы. Отличие
макроса от подпрограммы состоит в том, что обычно
управляющий им процессор бывает независимым от основной программы.
Для Фортрана часто используется макропроцессор,
разработанный Дэем и Шоу из Лондонского университетского колледжа
[4]. Для конечноэлементных программ размеры массивов
обычно связаны с характерными параметрами задачи, такими, как
число узлов ц порядок интерполяции. Для каждой
подпрограммы размеры массивов могут определяться макросом в терминах
его формальных параметров. Размеры -массивов для основной
программы получаются в результате вызова размеров массивов
макросов подпрограмм и одного нлн нескольких макросов,
относящихся непосредственно к основной программе. Для
различных задач все размеры массивов изменяются согласованно
путем простого изменения этих нескольких макропредложений,
содержащих характерные параметры ' [4]. Для очень больших
программ, в частности при ограниченной оперативной памяти,
иногда бывает полезно разбить программу на независимые
*) Оператор EQUIVALENCE предписывает выделение одного общего
места в памяти для двух или большего числа переменных одной и той же
программы или подпрограммы, тогда как оператор COMMON предписывает
выделение общего места в памяти для переменной из подпрограммы и перемен*
ной из основной программы (или другой подпрограммы), „^

92
Глада 5
части, называемые сегментами, которые вызываются и
выполняются по мере необходимости. Способ сегментации программы
зависит от архитектуры вычислительной машины и используемой
операционной системы. -
3.3.6. АВТОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ СЕТКИ
Подготовка исходных данных для задач с большим числом
элементов может быть утомительной и требовать много времени.
Один из путей ускорения этого этапа работы состоит в
автоматическом построении сетки. Если задана некоторая основная
информация, такая, как положение угловых и граничных узлов,
тип элемента, а также плотность элементов, то типовая
программа вычисляет требуемую сетку и дает список узлов и их
координат. Хотя такая программа может быть включена в конечиоэле-
ментную программу, обычно выполняется она независимо, так
что результат ее работы может быть проверен. Особенно
полезна комбинация программы автоматического построения
сетки с программами построения графиков, так как в этом случае
результат имеет наглядную форму и даже может быть
представлен в изометрической или перспективной проекциях.
Дополнительная информация о построении сеток имеется в работах
15-9].
8.3.7. ПЕРЕНУМЕРАЦИЯ УЗЛОВ
В гл. 6 будет показано, что ширина ленты матрицы жесткости
системы К зависит от способа нумерации узлов. Если программа
решения системы уравнений не учитывает нулей внутри ленты,
то время и стоимость решения будет зависеть от ширины ленты.
В этой ситуации желательна такая нумерация узлов, при
которой ширина ленты минимальна. Хотя для простых задач
определить такую нумерацию легко, в случае сложной геометрии это
может вызвать затруднения. К счастью, существуют программы,
которые, используя в качестве исходных данных некоторую
готовую нумерацию области, выполняют перенумерацию узлов
так, чтобы минимизировать ширину ленты. Обычно такая про-
■ грамма, используемая перед основной кднечноздементной
программой, вместе с программой обратной перенумерации
называется алгоритмом перенумерации, который может входить в
общий процесс вычисления между первоначальным вводом
исходных данных и окончательным выводом результатов решения.
Таким образом, первоначальная нумерация используется при
выводе результатов решения задачи. Дополнительная
информация о программах перенумерации узлов имеется в работах
цю-13].
Программирование мегода конечных элементов 63
8.3.8. ЯЧЕЕЧНОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ И МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
В гл. 10 будет показано, что при решении системы уравнений
нет необходимости размещать в оперативной памяти всю
матрицу жесткости системы К. Обычно при использовании прямых
методов решения в каждый момент времени активной является
лишь треугольная матрица элементов, тогда как для непрямых
методов необходимы всего лишь несколько строк.
В случае больших копечноэлементных программ оперативная
память современных машин может быть недостаточной для
размещения всей матрицы жесткости системы К. В этом случае
необходимо, чтобы активную часть матрицы можно было
последовательно считывать из внешней памяти и постепенно решать
матричное уравнение системы. Можно также организовать
данные так, чтобы требуемая активная часть могла быть добавлена
в любой момент, когда это необходимо. Таким образом,
объединяются ячейки данных Этот подход при решении системы
уравнений может существенно экономить оперативную память,
однако требуется тщательный план программирования для того,
чтобы дополнительные вычисления и обмен с внешней памятью
не превысили стоимость экономии оперативной памяти. Если
для решения системы уравнений, соответствующей отдельной
ячейке матрицы, применяются прямые методы, то процедура,
основанная на ячеечном объединении, назынается блочно-пря-
мой. Процедура использовалась, например, во фронтальном
методе решения, который был исследован и пропагандировался
Айронсом [14] ив методе переупорядочения Кинга [10].
Ячеечное объединение и исключение, так же как и другие подходы
уменьшения требуемой оперативной памяти, описаны в недавно
вышедшей книге Бэйза и Вильсона [15].
Литература
1. Birlmoff G, Mathematics and computer science, Amer. Set., 63, No. 1,83—91
(January — February 1975).
2. Norrie D. H., de Vries G., The Finite Eiement Method, Academic Press, New
York, 1973.
3. Feiippa С A., Clough R W., The Unite element method in soiid mechanics,
in: Numerical Solution of Fietd Problems in Continuum Physics (SIAM —
■ AMS Proc), Vol. 2, pp. 210—252, Amer. Math. Soc, Providence, Rhode
Island, 1970.
4. Day A. C, A Macro-Processor for FORTRAN, Tech. Rep. .No. 2, Computer
Centre, University Coilege, London, Engiand, February 1971.
Б. Bueil W. R., Bush B. A., Mesh generation — a survey, /. E. Ind., So,
No. 1,332—338 (1973).
6. Suhara J., Fulmda J., Automatic mesh generation lor finite element analysis,
Proc. U. S. — Japan Seminar Compirt Methods Struct. Mech. Design, 2nd.
Berkeley, California. August 1972 (Odeu J. Т., Ciough R. W., Yamamoto Y.,
ads,), pp. 607—624. UAH Press, Huntsviile, Alabama, 1S72.

94
Глава S
1. Kamel H. Л., Eisenstein H. A., Automatic mesh generation in two- and
three-dimensional interconnected domains, Proc. Symp. Internal. Un. Theor.
Appl. Much. High Speed' Comput. Elastic Struct., Univ. Liege, Belgium,
August 1970 (de Veubeke F., ed), pp 455—475, Univ. of Liege Press,
Belgium, 1971.
8 Felippa С A., An alpha numeric finite element mesh plotter, Internal. J.
А'шпег. Methods Engrg., 5, ,No. 2. 217—236 (1972).
9. Zienkicwicz О. С, Phillips D V, An automatic mesh generation scheme for
plane and curved surfaces by isoparametric coordinates, Internal. J. Numer.
'Methods Engrg., 3, No. -1 519—528 (1971).
10. King I. P., An automatic re-ordering scheme for simultaneous equations
derived fiom network systems, tntcrnat. J. Numer. Methods Engrg., 2, No.4,
g23 533 (i970).
11. Collins R J. Bandwidth reduction by automatic renumbering, Intermit. J.
Numer. Methods Engrg., 6, No. 3, 345—356 (1973).
IS. Grooms H R., Algorithm for matrix bandwidth reduction, Proc. ASCE,
/. Struct. Div., 98. St. i. 203—2i4 (1972).
13. Akras G., Dhatt G, An automatic relabelling algorithm for bandwidth
minimization, Proc. Canad Congr Appl. Mech., 5th, Fredericton. 26—30 May,
1975, pp. 691-692.
4. Irons B. M. A frontal solution program for finite eiement analysis, Internal.
J. Numer. Methods Engrg., 2, 5—32 (1970).
15. Bathe K-J. Wilson E. J., Numerical Methods In Finite Element Analysis,
Prentice-Hall, Engiewood Cliffs, New Jersey, 1976.
4
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В предыдущих главах рассматривались только граничные
условия Дирихле и Неймана. Однако существуют и другие типы
граничных условий; применительно к формулировке метода
конечных элементов некоторые из них весьма сложны. В этой главе
даны определения большинства обычно встречающихся
граничных условий н показано, как можно модифицировать
функционалы для того, чтобы удовлетворялись различные виды
граничных условий. В заключительном разделе кратко
рассматриваются другие подходы к учету граничных условий.
4.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Наиболее распространенными в научных и технических задачах
являются граничные условия Дирихле, Неймана и Коши, иногда
называемые граничными условиями первого, второго и третьего
рода соответственно. Если граница разбита на несколько частей,
для которых заданы граничные условия различных типов, то
такие граничные условия называют смешанными.
В случае граничных условий Дирихле на границе 5 задаются
значения зависимой переменной. Так, например, в двумерной
задаче с зависимой переменной ф соотношение
Ф = 8(х,у) на S (4.1)
задает граничные условия Дирихле, причем предполагается, что
функция g(x, у) известна явно. Задание напряжения на границе
для электрического поля в проводяшен среде или температуры
для теплопроводящей среды — это примеры граничных условий
Дирихле.
В случае граничных условий Неймана на границе задается
нормальная производная зависимой переменной. Применительно
к двумерной задаче это условие может быть записано в виде
дф/дп-\-р=*=0 на S, (4.2)
где р — заданная явно функция точки, а п — нормаль к S.
Специальным примером условий Неймана являются
кинематические граничные условия в потоке, при которых нормальная
компонента скорости жидкости на границе равна нормальной
компоненте скорости границы.

9в Глава 4
Говорят, что ааданы условия Коши, если зависимая
переменная н ее нормальная производная связаны иа границе условием
вида
{дф/дп) + р + дф = 0 на S, (4.3)
где р и q — известные функции точки на границе S. Например,
такое условие появляется, если на границе есть слой
сопротивления1).
Рассмотренные выше граничные условия включают только
зависимую переменную и (или) ее первую производную. На
практике могут встречаться и более сложные граничные
условия, содержащие более высокие производные. В следующем
разделе описан метод включения граничных условий в конечноэле-
ментную формулировку, иллюстрируемый ради простоты на
граничных условиях низкого порядка. Однако он может быть
распространен и на более сложные случаи.
4.2. ЗАДАНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИИ
С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛОВ ПО ГРАНИЦЕ
Ранее отмечалось, что в вариационной формулировке граничные
условия можно разделить на главные и естественные. Из
вариационного исчисления известно, что любая пробная функция,
кроме того что она должна быть допустимой, должна удовлетворять
главным граничным условиям, тогда как естественные
граничные условия удовлетворяются в качестве естественного
следствия вариационной постановки задачи.
В гл. 7 детально будут исследоваться условия, при которых
функционал
D S
имеет стационарное значение. Будет показано, что функция
Т{х, у), на которой функционал принимает стационарное
значение, удовлетворяет уравнению
У2Г = 0 в D, (4.5)
а также условиям Дирихле
T = g на S, (4.6а)
и Неймаиа
(6Т/Эв) + р = 0 на S,, (4.66)..
где S = S, + S2—полная граница области D. В, равенствах
(4.6) переменные gup являются заданными функциями точки
на Si и S2 соответственно.
') Потоку тепла, жидкости или электрическому току. — Прим. перев.
Граничные условия
6?
Из равенства (4.66) видно, что если р равна нулю на S2, то
задача, определенная равенствами (4.5) и (4.6), становится
тождественной задаче о -распространении тепла, рассмотренной
в гл. 2. Второй член в равенстве (4.4) обращается в нуль, и
функционал принимает прежний вид. Отметим, что возможна
ситуация, при которой функционал для задачи с граничными
условиями типа Коши получается из функционала с подходящими
условиями Неймана просто прибавлением дополнительного
интеграла. Возникает вопрос, всегда ли граничные условия для
любой задачи могут быть включены в функционал добавлением
подходящего интеграла. Во многих случаях это так, хотя
определение дополнительного интеграла не всегда просто. Для
двумерной задачи, к которой такой подход возможен,
дополнительный интеграл будет криволинейным В трехмерном случае
дополнительный иптеграл будет- поверхностным. Дальнейшую
информацию о соотношении между такими интегралами и
граничными условиями задачи можно найти в монографиях пр
вариационному исчислению [1, 2]. В заключение этого раздела
остановимся на вопросе о том, как обращаться с
криволинейными и поверхностными интегралами при вычислениях, если,
конечно, получен функционал с учетом главных и естественных
граничных условий?
Включение криволинейного илн поверхностного интеграла в"
конечноэлементную формулировку будет показано на примере.
Рассмотрим трехмерное квазигармоннчное уравнение
где кх, ku, кг и R — функции х, у я г. Это уравнение описывает
ряд физических явлений в неизотропной среде, т. е такой среде,
свойства которой различны в разных направлениях. Форма этого
уравнения соответствует совпадению главных осей
характеристики среды k с осями х, у н г. Например, для задачи
теплопроводности Т — температура, R—внутренний источник тепла, а
kK, ku и кг — коэффициенты теплопроводности в направлениях
х, у н г соответственно. Другие физические явления, к которым
применимо уравнение (4.7), описываются в литературе [3, 4 и
др.]. В изотропной среде к,. = ку = кг и уравнение (4.7)
сводится к уравнению Пуассона1). Если член, характеризующий
источник, обращается в нуль, то уравнение (4.7) становится
уравнением Лапласа.
') Ради строгости необходимо еще условие однородности среды. —
Прим. перев.

98 Глава 4
Рассмотрим теперь двумерное квазнгармоническое
уравнение, которое в соответствии с (4.7) имеет вид
£(*-£)-» £(*.f )-«<*■*>■ '<4-8>
Пусть на части границы заданы условия Дирихле
T = g(x, у) на S,, (4.9а)
а на остальной части — условия Кошн •
k^n.+k^n. + p + qT^O HaSs, (4.96)
где я«, пу соответственно х-, j/компоненты единичной внешней
нормали к S, a g, р н q — заданные функции точки на Si и S2.
Исполь5уя вариационное нечисление, можно показать, что
функционал для этой задачи описывается выражением
«Ч$и*-(Й1+*-(^)1+3«г]^+
+ \Si(pT + ±qT2)dS2. (4.10)
Уравнение (4.10) удобно представить в виде
JC^Xd + Xs.» * (4.11)
где слагаемые в правой части равенства обозначают интегралы
по области и поверхности соответственно. Конечиоэлементная
формулировка для интеграла по области аналогична изложенной
в предыдущих главах. Присутствие поверхностного интеграла в
функционале приводит к дополнительным членам в элементном
матричном уравнении, вычисление которых сейчас будет
рассмотрено.
Вспомним, что пробная функции Те в полиномиальной форме,
выраженная через глобальные координаты, имеет внд
fe = aIT-a2i + a3// + a4x4 ---, (4.12)
где число членов ряда и значения коэффициентов зависят от
типа используемого конечного элемента. Применение равенства
(4.12) к каждому нз узлов элемента дает систему уравнений
Аа = Т, (4.13)
где A=s[fli;]—матрица коэффициентов, вычисляемая через
координаты узлов, й — матрица-столбец с элементами а1( а2, ...»
a T = [77) — элементный узловой вектор1). Обращая матрицу А,
') Узловые параметры Тг будут включать значения Т в узлах и их
производные, если в конечном элементе используются производные (например, для
интерполяции Эрмита).
Граничные условия 69
(4.15)
обозначая полученную матрицу через В =- А-' и умножая
равенство (4.13) иа В, получим для « формулу
а=ВТ. (4.14)
Если равенство (4.12) записано в виде
f~ [1* ух2...]
то обозначение
Х = [1 хух2 ...] (4.16)
позволяет получить следующее представление пробной функции:
Те = \а, (4.17)
Рассмотрим теперь криволинейный интеграл в выражении
(4.Ш), который может быть записан в виде суммы интегралов по
границам элементов, принадлежащим границе S21). Для
некоторого элемента, граница которого имеет общую часть с
границей S-2, элементный граничный вклад с учетом выражения
(4.10) может быть записан в виде
n, = \[pZ'+Tq(Zey]dS. (418>
о
где U — длина границы элемента, принадлежащей S2, a Te —
представление пробной функции на этой границе. В более об-
щем случае криволинейный интеграл равенства (4.10) может
быть представлен через элементные вклады следующим образом:
1
\(PT + ±<ir)dS2 = Y,y°s,- <419>
где / — общее число элементов в D. Таким образом, функционал
задачи, заданный равенством (4.10), может быть записан в виде
X >= XD + XSs = L{ t%h + %si- (4-20>
Необходимо отметить, что, хотя суммирование в выражении
(4.20) выполняется по всем элементам, фактически будут
необходимы для вычисления вклада Хл- лишь те элементы, часть
границы которых принадлежит S2.
') В ашроксуыашижном смысле.

100
Глава 4
Если уравнение границы.элемента задано выражением
у = ах + Ь, (4.21)
то подстановка его в (4.16) позволяет следующим образом
записать интерполяционную матрицу из равенства (4 15):
X = [1 х{ах + ЬУх* ...]. (4.22)
Черта в выражении (4.22) указывает на то, что матрица X
вычислена на границе. Пробная функция на границе с учетом
(4.15) и (4.22) может быть записана как
fe = Xo.
(4.23)
Элементный граничный вклад в выражении (4.18) после
подстановки (4.23) принимает вид
X|,= $[pX«+T<?(X«)2]dS.
(4.24)
С использованием (4.14) можно записать {4.24) следующим
образом:
Xf,=|[pXBT + -i<7(XBTT]dS.
(4.25)
Из предыдущих глав известно, что элементное матричное
уравнение, основанное на функционале, содержащем лишь интеграл
по области, описывается выражением
дХудТ = кеТ.
(4.26)
Для функционала, имеющего вид (4.10), в уравнение (4.26)
должен быть добавлен член d%esJdT, учитывающий криволинейный
интеграл. Этот дополнительный член получается
дифференцированием равенства (4.25) (см. приложение Б):
<*а
-^ = \ [рЬтХт + ^B^XBT] dS.
(4.27)
Так как матрица В является функцией только координат,
узлов, то выражение (4.27) можно записать в виде
в*!,
= вг
J p\TdS +ВГ ] qXfXdS
ВТ. (4.28)
Граничные условия
101
Использование обозначений
Le if
p = J pXTdS, Q = ^qXTXdS (4.29)
с о
позволяет упростить запись выражения (4 28):
-^ = BrP + BTQBT. (4.30)
Наконец, сложение равенств (4 26) и (4.30) дает элементное
матричное уравнение для элемента, часть границы которого
принадлежит Si, в виде
St." вХо , вх|, __i>r _i_ f м чп
-аГ=-ет' + "эт-г=кТ + ' • И-30
где
k" = k + BrQB, (4.32а)
fe=BTP. (4.326)
Дополнительные члены BrQB ичВ7Р в элементном матричном
уравнении были выведены с использованием глобальной
системы координат. Подходящая модификация позволяет
использовать локальную систему координат со значительным упрощением
процедуры.
4.3. ДРУГИЕ ФОРМУЛИРОВКИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИИ
Кроме процедуры, описанной в разд 4 2, существуют и другие
способы удовлетворения граничным условиям в методе конечных
элементов Например, в гл. 7 показано, что путем
использования множителей Лагранжа в вариационную формулировку
могут быть включены уравнения связи Так как граничные условия
можно рассматривать как уравнения связей, значение такого
Подхода очевидно В методе множителей Лагранжа граничные
условия вводятся непосредственно в матричное уравнение
системы Хотя достоинством этого метода является простота, его
существенный недостаток состоит в том, что расширенное матрич-
* ное уравнение системы должно решаться и для дополнительных
неизвестных, т. е множителей Лагранжа С деталями этого
метода, выходящими за рамки нашей книги, читатель может озна-
- комиться по работам [5—7]
В предыдущих главах в качестве узловых параметров
конечных элементов использовались только значения фупкцнн. В еле-'
дующей главе представлены конечные элементы, узловыми
параметрами которых могут служить и производные.
Преимущество таких (эрмитовых) конечных элементов состоит в том, что

102
Глава 4
граничные условия, содержащие производные функций, могут
быть включены в элементную матрицу жесткости
непосредственно как эквивалентные условия Дирихле. Этот способ включения
граничных условий также описывается в следующей главе,
Литература
1. Berg Р. N.. Calculus of variation, in: Handbook of Engineering Mechanics
(Flugge W., ed.). Chapter 16, McGraw-Hill, New York, 1962.
2. Schecter R. S.. The Variational Method in Engineering, McGraw-Hili, New
York i967. [Имеется перевод: Шехтер Р. С, Вариационный метод в
инженерных расчетах. — М.: Мир, iS7i.]
3. Hucbner К. Н., The Finite Element Method for Engineers, Wiley, New York
1975.
4. Norrie D, H., de Vries G., Finite Element Bibliography, Plenum, New York,
i976.
5. Zienkiewicz О. С, The Finite Element Method in Engineering Science,
McGraw-Hill, New York, 1971. [Имеется перевод: Зеикевич О., Метод ко-
. нечных элементов в технике..—М.: Мир, 1975.]
6. Gallagher R. H., Finite Element Analysis, Prentice-Flail, Englewood Cliffs,
New Jersey, 1975.
7. Green B. E, Jones R. E., McLay R. W., Strome D; W., Generalized
variationai principles in the finite eiernent method, AIAA 1., 7, No. 7, 1254—1269
(1969). [Имеется перевод: Ракетная техника и космонавтика, т. 7, № 7,
с. 47—55, 1969.]
5
ЭРМИТОВЫ ЭЛЕМЕНТЫ, КОНДЕНСАЦИЯ
И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В предыдущих главах узловыми параметрами элементов
являлись значения функции (переменной) в узлах. Такие элементы,
обычно известные как лагранжевы, часто применяются па
практике. Во многих случаях, однако, целесообразно использовать в
качестве параметров не только значения функции, но и ее
производных в узлах. Эти так называемые эрмитовы элементы
подробно будут рассмотрены позже, а в настоящей главе
иллюстрируются па примере четырехузлового треугольного кубиче;
ского элемента.
Если эрмитовы элементы записаны в локальной системе
координат, то необходимо, используя матрицу преобразования,.
преобразовать производные из одной координатной системы, в
другую; эта процедура также описывается в настоящей главе.
Преимущество эрмитовых элементов состоит в том, что
краевые условия, включающие производные (Неймана или Кошн),
часто могут рассматриваться как эквивалентные условия
Дирихле. Если условия с производными включают д/дп, то можно
получить эквивалентные связанные (coupled) условия Дирихлел
однако их введение требует некоторой осторожности. Такие
связанные условия также рассматриваются в этой главе.
5.1. ПОСТАНОВКА .ЗАДАЧИ И ВЫБОР ЭЛЕМЕНТА
Для иллюстрации основных понятий вариационного метода
конечных элементов в предыдущих главах широко использовалась
задача, связанная с уравнением Лапласа. Она вновь
рассматривается в настоящей главе как удобное средство для пояснений..
Попутно заметим, что предлагаемые принципы применимы
также и для явлений в других областях.
Рассмотрим двумерный тепловой поток через треугольную
область ОЛВ (рис. 5.1). В точке В поддерживается температура
0°С, нижняя поверхность ОЛ имеет температуру 30°С. а
боковые стороны ЛВ и ВО идеально изолированы. Требуется найти"
изотермы внутри треугольного блока.
Равдслнм область ОАВ на девять треугольных элементов
(рис. 5.2) с п= 10 и /==9. Задача формулируется в локальных

102
Глава 4
граничные условия, содержащие производные функций, могут
быть включены в элементную матрицу жесткости
непосредственно как эквивалентные условия Дирихле. Этот способ включения
граничных условий также описывается в следующей главе,
Литература
1. Berg P. N.. Calculus of variation, in: Handbook of Engineering Mechanics
(Flugge W., ed.). Chapter 16, McGraw-Hill, New York, 1962.
2. Schecter R. S.. The Variational Method in Engineering, McGraw-Hili, New
York i967. [Имеется перевод: Шехтер Р. С, Вариационный метод в
инженерных расчетах. — М.: Мир, iS7i.]
3. Hucbner К. Н., The Finite Element Method for Engineers, Wiley, New York
1975.
4. Norrie D. H., de Vries G., Finite Element Bibliography, Plenum, New York,
i976.
5. Zienkiewicz О. С, The Finite Element Method in Engineering Science,
McGraw-Hill, New York, 1971. [Имеется перевод: Зеикевич О., Метод ко-
. нечных элементов в технике..—М.: Мир, 1975.]
6. Gallagher R. H., Finite Element Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
New Jersey, 1975.
7. Green B. E, Jones R. E., McLay R. W., Strome D; W., Generalized
variationai principles in the finite eiernent method, AIAA 1., 7, No. 7, 1254—1269
(1969). [Имеется перевод: Ракетная техника и космонавтика, т. 7, № 7,
с. 47—55, 1969.]
5
ЭРМИТОВЫ ЭЛЕМЕНТЫ, КОНДЕНСАЦИЯ
И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В предыдущих главах узловыми параметрами элементов
являлись значения функции (переменной) в узлах. Такие элементы,
обычно известные как лагранжевы, часто применяются па
практике. Во многих случаях, однако, целесообразно использовать в
качестве параметров не только значения функции, но и ее
производных в узлах. Эти так называемые эрмитовы элементы
подробно будут рассмотрены позже, а в настоящей главе
иллюстрируются па примере четырехузлового треугольного кубиче;
ского элемента.
Если эрмитовы элементы записаны в локальной системе
координат, то необходимо, используя матрицу преобразования,.
преобразовать производные из одной координатной системы, в
другую; эта процедура также описывается в настоящей главе.
Преимущество эрмитовых элементов состоит в том, что
краевые условия, включающие производные (Неймана или Кошн),
часто могут рассматриваться как эквивалентные условия
Дирихле. Если условия с производивши включают д/дп, то можно
получить эквивалентные связанные (coupled) условия ДирихлеЛ
однако нх введение требует некоторой осторожности. Такие
связанные условия также рассматриваются в этой главе.
5.1. ПОСТАНОВКА .ЗАДАЧИ И ВЫБОР ЭЛЕМЕНТА
Для иллюстрации основных понятий вариационного метода
конечных элементов в предыдущих главах широко использовалась
задача, связанная с уравнением Лапласа. Она вновь
рассматривается в настоящей главе как удобное средство для пояснений..
Попутно заметим, что предлагаемые принципы применимы
также и для явлений в других областях.
Рассмотрим двумерный тепловой поток через треугольную
область ОЛВ (рис. 5.1). В точке В поддерживается температура
0°С, нижняя поверхность ОЛ имеет температуру 30°С. а
боковые стороны ЛВ и ВО идеалвно изолированы. Требуется найти"
изотермы внутри треугольного блока.
Равдслнм область ОАВ на девять треугольных элементов
(рис. 5.2) с п= 10 и /==9. Задача формулируется в локальных

104
Глава S
координатах с системой координат 0|п (рис. 5.3); принята
локальная нумерация узлов 1, 2 и 3 против часовой стрелки. Ко-
Рис. 5.1. Задача теплопроводности в двумерной треугольной области.
ординаты к и у всех узлов приведены в табл. 5.1. В табл. 5.2
для каждого элемента указаны соотноше'ния между локальными
J'
Рнс. 5.2. Разбиение области на девять конечных элементов.
и глобальными номерами узлов, а также характерные размеры
а, Ь и с.
В качестве пробной функции выберем полный кубический
полином относительно переменных g и «]; тогда для элемента е'
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия 105
О з>
Рис. 5.3. Локальная система координат 1рехузлового треугольного элемента.
Г
T„\,.fv
Рис 5Л. Узловые параметры треугольного элемента.
имеем
ft = cti + osi + aat) + ati + а&ц + а5ц + a7f -f
+ «sE21 + «eW + <ВД3,
(5Л)

106
Глава 5
где нижний индекс L указывает на локальную систему
координат во избелиние путаницы с интерполяцией в глобальных
координатах Для определения 10 констант oi, «2, . , am =»ле-
меит должен иметь 10 узловых параметров, в качестве
параметров выберем три значения функции и ее первых производных
Таблица 5.1
Координаты узлов
Узел
1
2
3
4
5
Координаты
X
0
1
2
3
1
У
0
0
0
0
1
Уаел
6
7
8
9
10
Координаты
X
2
3
2
3
3
У
1
1
• 2
2
3
б каждом узле вместе со значением функции в центре масс1),
как показано на рнс 5 4.
Координаты центра масс С, обозначаемые (£»т))» задаются
в виде
1 = -з—• Ч=т. (5.2)
Температура в третьем узле обозначается Т%, а ее производные
по £ и ц записываются соответственно как Г53 и 7\]3 Для узлов
1 и 2 используются аналогичные обозначения, Гц-есть
температура в центре масс
Рассматривая функцию, определяемую равенством (5 1), и
ее производные по | и т) поочередно для узлов 1—3 и в центре
масс С, получим
! -Ь
0 1
0 0
1 о
0 1
9 Р
1 О
0 !
и о
.! (о-М/3
0
0
1
0
0
1
с
0
1
с/3 («
Ь1
-2Ь
0
а3
2я
0
0
0
0
-bf/9
0
0
-ь
0
0
л
С
с
О
с(о-Ц/9
0 -Р
0. ЗЬ'
0 С
0 о"
0 Зо"
О 0
с1 0
0 0
2с 0
А9 (о - Ь)»/27 ф
0
0
Ь>
0
0
а1
0
0
С
- Ь)'/П
0
0
0
0
0
0
0
с'
0
0
0
0
0
0
" 0
с>
0
Зс1
Ла-Ь)1Я с*/27
*) При таком выборе пробные функции непрерывны, а их первые
производные кусочно непрерывны во всей рассматриваемой области.
я,
*J
"л
зи
я*
а*
*i
«в
2«
-т,'
П,
т„
5"i
Т,
■'..
т,
т.,
?•,.
г
(5$
/ Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия 107
Систему уравнений (5 3) проще можно записать в матричной
форме.
Aa = Tt (5.4)
Матрица А с элементами o,j в уравнении (5 4), т е
А = Ы, /=1,2 10, 1 = 1,2 10, (5.5)
является матрицей коэффициентов уравнения (5 3), a — вектор-
столбец,
а,
а = [а,1 =
а2
L«io_
(5 6)
Tt= [^Ь, =
(5.7)
a Tl есть узловой вектор элемента в локальных координатах, а
именно
Г, '
?ч
fa
Тгр
Уравнение (5 4) относительно « может быть разрешено
единственным образом тогда и только тогда, когда матрица А ие
вырождена, т е определитель |А| отличен от нуля
Вычисление определителя дает
detA = |A|=-c'(a + b)7/27. 15.8)
Поскольку площадь треугольника определяется произведением
■j-c(n + b) и никогда не равняется нулю, из (5 8) видно, что
определитель |А| также никогда не может быть нулевым и,
следовательно, матрица А не вырождена и обратима Поэтому
умножение слева уравнения (5 4) иа матрицу, обратную к А,

Глава S
Таблица 5.2
Соотношение между глобальными м локальными номерами
узлои элементов
Элемент
i
2
8
4
5
6
7
8
9
1
2
5
3
6
4
6
8
7
9
Номера узлоп
2
5
. 2
6
3
7
8
6
9
10
г
1
6
2'
7
3
5
9
6
8
Параметры
а
Ь
0
0
0*
0
0
с
-
которую обозначим А-1, дает:
а = А-'Тй.
Введение обозначения
B = A""l = [ftty], 7=1, 2, ...,Ю, /=1,2,
позволяет переписать уравнение (5.9) в виде
ю.
(5.9)
(Б.10)
(5.11)
или, по другому, используя стандартное обозначение
суммирования,
щ^ЬцТ,, «=1,2 10, /=1,2 10. (5.12)
5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЕМЕНТОВ
Пробная функция [равенство (5.1)] может быть записана в виде
?£=S«<im'rie',
(5.13)
где показатели т, и и, задаются табл. 5.3. Дифференцирование
равенства (5.13) по | и г) и подстановка этих произподных в
выражение для элементного вклада [равенство (2.69)]
*-Ш(&Ы-Л\«*
(5.14)
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия
Таблица 5.3
Степени полиномиального ряда
*
2
3
4
5
" Степени
ml
0
1
0
г
1
"(
0 '
• 0
1
0
1
6
7
8
9
10
Степени
т,
0
3
2
1
0
"1
2
0
. 1
2
з
дают тот же результат, что и ранее [см. (2.74)], за
исключением того, что верхняя гра'ница суммирования заменяется с 6
на 10, т. е.
10 10
i-1 l-l
Значения gii задаются соотношением (2.90),,
• В и = mjnjh (гщ + т1 — 2, щ + п,) + щп/И (гщ + т,, п,+п, — 2),
(5.16)
для которого индексы «, j имеют другие границы, а именно i =
= 1, 2, ..., 10, У«=1, 2 10. Здесь h(m, n) определяются
из (2.89)
А (т. ») = (т-М + 2)1 • (5.17)
Равенство (5.15) может быть записано в матричной форме
/ = ia'Ga, (5.18)
а с учетом уравнения (5.П) оно принимает вид
x" = iT[(BrGB)Tt. (5.Г9)
Из равенства (5.7) видно, что в матрице Tt узловые
параметры записаны в локальной системе координат 0|i}. Теперь
необходимо произвести преобразование их в глобальную систему
Оку. Связь между первыми производными в глобальной н
локальной системах, установленная в гл. 2, имеет вид
™-| = г cose .meirdr/dxi
LoT/drJ L-sine coseJLoT/oVJ

ПО . Глава S
где в — угол между двумя системами координат. Следовательно,
узловые параметры в Системе 0|ii связаны с соответствующими
параметрами в системе Оху посредством матричного уравнения
0 0
0 0
0 О
О О
cos О sin О
sin» cos 0 0 0 0 oil Т.., I' (5-20>
О о
е . о
о о
о о
"Т,"
т.,
г„,
Т-.
т,
т*
т,
Та
Пз
т..
1
0
0
0
0
0
0
0
0
,0
0 -
eosfl
- sin 0
0
0
0
0
0
0
0
0
sin 0
cosO
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
!
0
0
0
0
■о
0
e
0
0
0
0
0
!
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
cosd
-sinO
0
0
0
0
0
0
0
0
sin 0
cost)
0
o"
0
0
0
0
0
0
0
0
1
"T,
•''„■
r,.
7,
7,2
Туг
7-,,
',..
.'''.
(5.21)
которое может быть записано в виде
T£ = RT,
где Т—'вектор узловых параметров элемента в глобальной
системе координат, т. е.
7Л
Ту,
Тх2
п
Туг
IT с J
а матрица Tt определена равенством (5.7). Матрица
преобразования R представляет собой матрицу коэффициентов в
уравнении (5.20).
Подставляя (5.21) в (5.19), получим
Т = [Г,] =
(5.25)
X* = iTrRrBrGBRT,
(5.23)
(6.24)
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия
111
k = RrBTGBR (5.25)
есть элементная матрица жесткости к. Наконец
дифференцирование равенства (5.24) дает матричное уравнение для любого
элемента е в виде
6x76T = keT', (5.26)
где верхний индекс е указан для того, чтобы различать
элементы. С целью проиллюстрировать вышеприведенную процедуру
для задачи рис. 5.1 подставим значения а, Ь и с, взятые нз
табл. 5.1, в матрицу коэффициентов А из уравнения (5.3). В
результате получим
1 d _0 0 0 0 0 0 0 0'
О 1 О О" О О
0 0 10 0 0
110 10 0
0 10 2 0,0
0 0 10 10
1 0 1 0 .0 1
О 1 О D
0 0 0 10
001002 0-0 0-3
,п и м * и *,
(5.27)
Обращая эту матрицу, найдем
.В = А"' =
1 О
0. 1
о о
-3 -2
-13 -3
0 0 0
о
О 0. О О
10 0 0 0
3-1 0 .0
-7 2 -1 т-1
О О
О О
О
о
о о
0 о
1 2
3
-3 Л -2 0 0 0 3 0-1
2 1 0-2 1 0 0 0 0
13 3 _2 7-2 2 .7 1
13 2 3 7 -2 1 7 2
О
О
О
О
27
О
О
2 -27
2 -27
(5.28)
2 О I 0 0 0-2 0 1-0
Из равенства (5.16) и табл. 5.3 получается матрица С в виде,
заданном равенством (5.29) s

М N ^ г? S =* Щ
eeoeigotiidS
- - FT
PJ = PJ й F5 FJ Й ^Й
£ St
, гО
~ ^ ^ С2- ^.^-^
*« •в' ■« ГГ ■«' •« Г? :Г" •*
rs) -«3- fN f-j чо Г4 m *••->
£ Ci с »
-с -г -s;
О
z:
2Л(0,
о
гО^
-С
о
W
г£
z:
О
^
-s:
о
О'
о
-^
*
^
»
см
гг.
fS
о
го
'0)V9
s S- = ■« - =
о* -Г -Г + —• о?
й?
о
о
о
t
о
о
о
о
о
о
—.
5
о
d
о
^
с>
о
о
—i
о
гТ
PJ
2/1(1,
^г
d
о
г?
Й
О —'
О »- rsj
°S-° ^i S ° Ci w £■
oooooooooo.
II
-J
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия ИЗ
Вычисление элементов (5.29) с помощью (5.17) дает G в виде
1
180
"О
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,90
0
60
30
0
45
15
15
0
0
0
90
0
30
60
0
15
15
45
0
60
0
60
15
0
54
12
6
0
0
30
30
15
30
15
9
15
15
.9
0
0
60
0
15
60*
0
6
12
54
0
45
0
54
9
0
54
9
3
0
0
15
15
12
15
6
9
10
6
3
0
15
15
6
15
12
3
6
10
• 9
0"
0
45
0
9
54
0
3
9
54
(5.30>
Произведение BrGB в уравнении (5.25) после подстановки из
равенств (5 28) и (5.30) определяется матрицей
ьтсв =
398
38
38
71
-22
3
71
3
-22
540
38
10
0
11
-4
-1
5
1
-1
-54
38
0
10
-1
11
-1
-4
-54
71
11
5
248
-52
42
140
36
-34
-459
-22
-4
-1
-52
14
-9
-34
-9
8
108
3
-1
1
42
-9
14
36
10
-9
-81
71
5
11
140
-34
36
248.
42
-52
-459
3
1
-1
36
-9
10
42
14
-9
-81
-22
т1
-4
-34
8
-9
-52
-9
14
108
-540"
-54
-54
-459
108
-81
-459
-81
108
1458
(5
31)
Матрица поворота R для каждого элемента может быть
найдена из равенства (5.20). Из рнс. 5.2 и табл. 5.1 следует, что
6 = 90°, - tos6 = 0, sine=l для е=1,3, 5, 6,8,9,
(5.32а)
в = _90°, cose = 0, slne = — 1 для е = 2,4,7, (5.326)
я поэтому необходимо вычислять только две матрицы поворота.
Подстановка уравнений (5.32) в (5.20)' дает эти матрицы пово-

Il4
Глава 5
ррта в виде
Й =
'1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
для элементов
R =
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0 О 0
1 0 0
0 0 0
0 [ 0
0 0 0
0 0-1
0 0 0
•00 0
0 0 0
Q 0 0
1, 3,-5, 6, 8, i
0
0 -
1
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
1 0 0
0 0 0
с 1 о
0 0 0-
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 "0
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
и
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0. 1
0 0
0 6
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
*
0
0
0
0
0
0
0
0'-
1
0
0 0
0 0
0 0
6 0
0 0
0 0
0 0
Г 0
0 0
0 1
0 0"
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 1
(5.34)
для элементов 2, 4, 7.
Далее, вычисляя матрицу жесткости к в виде произведения
RrBrGBR с использованием равенств (5.31), (5.33) и (5.34),
получим
398 -38 38 7! -3 -22 7! 22 3 -
(5.33)
h = RTBTGBR =
71
-3
-22
71
22
3
540
-5
1
1
-11
-4
1
34
II
1
-4
5
!
1
-34
248
-42
-52
140
34
36
-459
-42
14
9
-36
-9
-10
«1
-52
9
14
-34
-8
-9
10.8
140
-36
-34
248
52
42
-459
J4
-9
-8
52
14
9
-108
36
-10
-9
42
9
14
-6!
-459
81
10S
-459
-108
К!
1458
(5.35)
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия 11Б
для элементов 1, 3,
= r'bt<;br = —
180
J98
38
-38
71
3
22
71
- -22
-3
-МО
5,6
зя
10
0
5
1
1
II
-4
1
-54
8,
-38
0
ГО
-II
1
-4
-5
1
1
S4
9
и
71
5
-II
24S
42
52
140
-34
-36
-459
3
1
I
42
14
9
36
-9
-10
-81
22
1
-4
52
9
14
34
-В
-9
-108
71
И
-5
140
36
34
248
-52
-42
-459
-22
-4
I
34
-9
-8
-52
14
9
108
-3
■ 1
1
-36
-10,
-9
-42
9
14
81
-540
-54
54
-459
-81
-108
-459
10К
XI
I45K
-
(5.3(
для элементов 2, 4, 7.
5.3. КОНДЕНСАЦИЯ
Узел, лежащий в центре масс, влияет только на вклад элемента,
которому он принадлежит; следовательно, обычные условия
минимизации получаются в виде "
дг _ у1 д%в 6%ес
(5.37)
где индекс с соответствует центру масс элемента ес. Используя
(5.37), из каждого матричного уравнения для элемента можно
исключить узловой параметр, относнщийся к центру масс. Эта
процедура называется конденсацией и может быть использована
. в общем случае для исключения параметров любых узлов,
лежащих внутри элемента. Использование (5.26) вместе с (5.37)
дает для узлового параметра Тс в центре масс элемента е
уравнение
.JUL — ь
дтс '"•'
Г, = 0, /=1,2,
Ю,
0%
--кю,,Т, + кш.и?с = Ъ, /=1,2,
(5.38)
(6.39)
где Г, — элементы матрицы Т (5.22), а верхние индексы у k для
упрощении записи опущены. Уравнение (5.39) можно разрешить
относительно узлового параметра в центре масс:
'Тс^-т~-Т,, /=1,2 9. (5.40)
«10, 10 ' t
Подстановка (5.40) в оставшиеси девять выражений
■%Г = Ь,Т,. £=1,2 9, /-1,2 10, (6.41)

116
- tjtaea S
дает следующее сконденсированное матричное уравнение
элемента: *
аХ аЬ.т _ kt.4fim.l
в?,
-кцТ,-
Ч
■1,2,
.9, / = 1,2,
,9.
(5.42)
Из уравнения (5.42) следует, что элементы сконденсированной
матрицы жесткости к,_обозначаемой к и называемой элементной
матрицей жесткости к, описываются выражениями
kti=ku —
kl. lO^H
/=1,2,
,9, / = 1,2,
,?. (5.43)
'' —"" *io.i.
Рассматривая элементную матрицу жесткости к (5.35) для
элементов 1, 3, 5, 6, 8, 9, заметим из (5.43), что элементы-
соответствующей матрицы к имеют вид
«<,«*«--^таг*- <5-44>
Дальнейшее вычисление (5.44) с использованием информации о
kij из (5.35) дает
(5.45)
[ элементов 1, а, 5, 6, 8, 9. Таким же Сбразбм получается
198 18 -18 -99 -27 -18 -99 18 27
Ш)
198
-18
18
-99
27
18
-99
-18
-.27
-J8
8
2
12
_2
-3
6
0
4
-18
2
8
-6
4
0
-и
-3
-2
-99
12
-6
103,5
-16,5
-18
-4,5
0
Ю,5
27
-2
4
-16,5
9,5
3
-10,5
-3
-5,5
18
— 3
0
-18
3
6
0
0
-3
-99
6
-12
-4,5
-10,5
0
103,5.
!8
16,5
-18
0
-3
0
-3
0
!8
6
3
-27
4
_2
№.5
-5,5
-3
16,5
3
0,5
180
18
-18
-99
-27
-18
-99
18
27
&
1
-12
-2
-3
-6
0
4
2 -12
8 6
6 103,5
4 16,5
0 18 .
12. -4,5
-3 0
-2 -10,5
-2
4
16>
9,5
3
10,5
-3
-5,5
-3 -6
0 12
18 -4,5
3 10,5
6 0
0 1бЗ,5
0-18
-3 -J6,5
0
-3
0
-3
0
-18
6
3
4
-2
-10,5
-5,5
-3
-16,5
,3
45.
Мб)
для элементов % 4, 7.
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия Wi
54. ОБЪЕДИНЕНИЕ В СИСТЕМУ И УЧЕТ
ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Составление матрицы жесткости К системы может быть
проведено как по узлам, так и по элементам. После получения
матричного уравнения системы его необходимо скорректировать
для того, чтобы учесть условия Дирихле. Из рис. 5.2 и 5.3 вид-
до, что главными граничными условиями являются
. Г, = 30, Г2==30, 73 = 30,
74 = 30 и fw=.0, (5.47)
которые могут быть учтены обычным способом.
Условия Неймаиа
dTJdn = 0 иа АВ, (5.48а)
дТ/дп = 0 на ВО . (5.486)
являются естественными граничными условиями и
удовлетворяются автоматически, по крайней мере в том же приближенном
смысле, что и. остальное решение. Другой способ учета условий
(5.48), которые должны удовлетворяться естественно и
приближенно, состоит в их точном задании через узловые значения
соответствующих производных. В результате этого граничные
условия Неймана превращаются в эквивалентные условия Дирихле,
как они будут именоваться в дальнейшем.
Условия Неймана (5.48а) могут быть записаны в виде
-§q =-*q =o, (5.49)
on |ВдольЛВ vx (вдоль AS
поэтому соответствующие узловые значения вдоль АВ равны
?xi = 0, fx7 = 0, Тх9^0,ш Г,10 = 0;- (5.50)
Граничные условия Неймана вдоль ВО (5.486) имеют вид
дТ
: ах
где пх и пи — х- и ^-компоненты единичной внешней нормали р
к ВО, соответственно равные — 1/V2 и 1/V2- Следовательно,
(5.51) сводится к условию
~Ш + 1% = 0 иа В0, (5'52)

В терминах подходящих узловых значений иа ВО
эквивалентные условия Дирихле записываются так: - *
-?х1 + Тв1 = 0,- (5.53а)
-7^ + 7^ «О, (5.536)
-^8 + ^ = 0. (5.53в)
-Тх1О + Ту10 = 0. (5.53г)
Из (5.50) следует, что Г*]0 = 0, и поэтому равенство (5.53г)
принимает вид _
.' "Ti,ie«0. (5.54)
Оставшиеся условия (5.53а)- (5.53в) не являются
независимыми эквивалентными условиями Дирихле, а представляют
собой эквивалентные связанные условия Дирихле. Существуют два
способа, которыми оии могут быть учтены:
1) посредством определения пробных функций для тех
элементов, которые имеют узел с предписанными связанными
условиями Дирихле, так чтобы эти условия были введены в пробную
функцию, или
2) изменением матрицы к элемента, так чтобы
удовлетворялось условие связи.
В одном из последующих упражнений рассмотрен первый
метод; второй метод описывается ниже. Рассмотрим следующий
функционал:
" X = %{Ти fKU fyu . ■ •, fbi Txrit fy3> ..., f10l 7хЮ, 7>). (5.55a)
Условия минимизации н матричные уравнения для
элементов получены в предположении, что все узловые переменные в
правой части (5.55а) являются независимыми. Наложим теперь
дополнительное ограничение
rie = frfi (5.56)
полученное из (5.536). Это означает, что величина TtJt> в (5.55а-)
ие является независимой, как предполагалось ранее, а
представляет собой функцию от Тх5; поэтому уравнение (5.55а)
принимает вид
% = % [Гь Гх„ ТуЪ ...J5i Тх5, 7> (Гх5) Г10, ТхП, ТуЮ]. (5.556)
Следовательно, рассмотренные-ранее условия минимизации
1 - ' Ж5 = 0, ^ дфТуЪ « 0, (5.57а, б)
основанные на (5,55а), должны быть заменены на обычное
условие
(Зх/д7^)т = 0, ' (5.57b)
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия П9
соответствующее уравнению (5.556). Производная в левой
части (5.57в) отмечена нижним индексом, чтобы показать, что она
це совпадает с производной (5 57а)
Дифференцируя (5.556) как сложную функцию J1], можно
записать модифицированное условие минимизации (5.57в):
(.*.) __2L+-*_(£*LW (5.58a)
V ат„ )т дТа дтт К дт„в)
с учетом (5.56) оно сводится к выражению
(■W-) =1Г- + ^-1 = а (5-58б)
\ дТх5 Jm дТхЪ дТу5
Производные в правой части (5.586) соответствуют производным
(5.57а,б). Таким образом, если задано ограничение (5.56), то
равенство (5.586) показывает, что узловые уравнения для Tj& и
f^s, записанные в первоначальном матричном уравнении
системы, должны быть скомбинированы для получения одного
условия минимизации. В этом случае для получения одного
замещающего узлового уравнения предыдущее уравнение в узле для
Туъ умножается па I и складывается с предыдущим уравнением
для Г*5-
Вместо того чтобы вводить указанные изменения в матрицу
системы, их можно ввести в матрицы жесткости элементов к,
окружающих 5-й узел (в нашем случае ей fy и ев). Это следует
из того факта, что столбцы и строки Тх5 и Tys в матрице
жесткости системы К являются объединением столбцов и строк Тх5 и
Tys в матрицах жесткости к этих элементов. Такой подход
описывается ниже.
Изменения элементных матриц к, необходимые для учета
граничного условия (5.56), состоят в следующем. Во-первых, для
элементов, окружающих рассматриваемый узел, _строка,
соответствующая 7^5 в матрице жесткости элемента к, умножается
на 1 и складывается в соответствии с (5.586) со строкой,
соответствующей f*5- Во-вторых, для подстановки, согласно (5.56),
Тх5 вместо Ти$ в уравнение системы столбец, соответствующий
Туъ, умножается на 1 н складывается со_столбном,
соответствующим Тхъ- Наконец, так как зависимость Ту$ теперь учтена в
узловом уравнении для Txst исключение исходного узлового
уравнения для Ту5 завершается путем замены нулями строк и
столбцов, соответствующих ту&.
Здесь отметим следующую трудность, которая должна быть
преодолена. Нули в строках, соответствующих Ту5 в матрице
системы, приводят к вырожденности этой матрицы и мешают
последующему решению системы уравнений. Эта трудность легко мо-
*кет быть устранена исключением из системы уравнения дли

120
* Глава 8
указанной переменной (т. е. вычеркиванием соответствующих
строки и столбца) и, следовательно, уменьшением размерности
системы. Другая возможность состоит в том, чтобы оставить
уравнение для зтой переменной, но изменить вес элементные
матрицы, дающие вклад в это уравнение, одним из следующих
способов:
1) В строку, соответствующую Ту6, которая ранее была
заменена нулями, вводится 1 в диагональную позицию. После
объединения элементных матриц к, поскольку нуль в правой
части системы не заменялся, эта процедура даст ошибочный
результат:
7^ = 0. (5.59)
Этот результат отбрасывается, поскольку из (5.56) и
вышеописанной процедуры преобразования известно, что на самом деле
ТУь равно Тх5- Этот способ, хотя и не выглядит привлекательным,
является полезным иа практике для сохранения симметрии,
присущей объединенной матрице системы.
2) Условие —Та + Т„ъ = 0 (5.536) и (5.56) учитывается
непосредственно в строке, соответствующей Ту5 в элементной
матрице к, записью —1 и 1 в столбцы, соответствующие Тх& и Ту1ш
После объединения элементных матриц к э'гот метод включает
равенство (5.536) как одно из уравнений системы, поскольку
нуль в правой части системы не заменяется. Это условие уже
было выполнено за счет изменения элементных матричных
уравнений, и ист необходимости в его дополнительном учете. Этот
метод делает матрицу системы К несимметричной, что часто
невыгодно. Однако метод имеет то достоинство, что правильное
значение Ту5 появляется как часть решения.
Применяя второй из указанных выше подходов вместе с
предыдущими преобразованиями для учета граничных условии
(5.53) к элементам 1, 6, 9, получим скорректированную
элементную матрицу
99 45 0 -99 -45 0'
12 -5 0 6 4 0
-6 4 0 -12 -5 0
6 103,5 -24,5 0 -4,5 10,5 0
4 -34,5 21,5.0 -10,5 -11,5 0 (5.60)
0 -I Г 0 0 0
-4,5 -10,5 0 103,5 34,5 0
10,5 -11,5 0 34,5 "21,5 0
0 0 0 0-11
98
18
18
99
45
0
99
45
0
-18
8
2
12
-5
0
6
4
0
18
2
8
-6
4
0
-12
-5
0
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия 12!
Диалогично .определяется скорректированная элементная
матрица к для элементов 2 и 7: .
ь-
198
0
0
99
27
18
99
18
0 0
20 0
-1 1
-6 0
2 0
-3 0
б 0
-3 0
-99
-6
0
103,5
16,5
18
-4,5
0
-27
. 2
О
16,5
9,5
3
10,5
-3
-18
-3
0
18
3
6
0
0
-99
б
0
-4,5
10,5
0
103,5
-18
18
-3
0
0
-3
0
-18
б
. 27
2
0
-10,5
-5,5
-3
-16,5
3
27 2 0 -10,5 -5,5 -3 -16,5
.9,5
. (5.61)
Теперь элементные матрицы к (кс) можно объединить в ма.
трицу системы К, используя для элементов 3, 5, 8 выражение
(5.45), для элемента 4—матрицу (5.46), для элементов 1, 6,
Рис 5.5. 'Локальная система координат элемента I.
9 —матрицу (5.60), а для элементов 2 и 7 —матрицу (5.61).
Включая условие Дирихле в матрицы правых частей н
корректируя соответствующим образом матрицу К, получаем
окончательное уравнение системы (5.62). В этой матрице показаны
только ненулевые элементы.

122
Глава В
24 -27 4 -J
-9 Ity
-loj -6
-IOJ -Sj
101
-4
к»
-6
-И IZ
IB -1
-0
-к»
ltd
-111
10}
"На рнс. 5.t видно, что Т постоянна вдоль ОА и,
следовательно, ее производные по х также должны равняться нулю, т. е.
дТ/дх = 0 вдоль ОА. (5.63)
Следовательно, в матрице системы учтены дополнительные
эквивалентные условия Дирихле
7^ = 0, Тх2 = 0, Тх3^0, Тя4 = 0, ' (5.64)
см. (5.62). Узловые параметры t\t Тх\, Туи •■-. Тцю в
результате получаются решением уравнения (5.62) какой-нибудь
стандартной процедурой.
Упражнение 5.1. В разд Б 4 было показано, что связанные эквивалентные
условия Дирихле (заданные в глобальных координатах) могут быть учтены
подходящим изменением элементной матрицы к после ее получения в
глобальной системе координат Данное упражнение показывает, что те к сямы'1
услопия (по записанные в локальных коордннатах) могут быть введены до
преобразования элементной матрицы к из локальной системы в глобальную.
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия 123
-15 1 -4
405 -32} -1<Ч
10}
-6
-м
10}
9»
13
24
«»
W
1?
-101
-Hi
39
-3
Г
63
-3 3
-39
-3
-9
щ
10}
-99
-*
-198
-39
40J
-10}
-101
-6
-5J.
27
4
24
1
-52}
8
-10}
-Ц
-в
18
13
-3
-16}
*}
-Ч
10}
-99
-б
-1(4
-11}
43
4
Г1"11
т.,
П.
т,
Ttl
г,1
т,
Т.з
J\*
т.
т.л
т.*
Т,
г.,
т,.
Т.ь
г,«
т.
г.,
г,,
т.
Лв
г.*
г.
т,в
т„
г.0
Т., о
7",о
-
~зс~
«
0
30
0
0
30
0
0
30
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
D
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Этим способом связанные условия вводятся в пробную функцию элемента.
На рис 5 5 глобальная Оху и локальная 0|t] системы координат (рис 53 н
табл 5 2) показаны для элемента 1 при разбиения области рис. 5 2.
й) Используя преобразование —
н замечая, что
где
г 61 г cos e sin e
Lr]J==L —sine cose
ВТ дТ , дТ
"йГ==Ж"»+"Ж""
дх ду
П*~Ж' "" = Ж
]Ш
(6.66)
(8.66)
(5.67)
представляют собой * соответственно Jf- н ^-компоненты единичной внешней
нормали п к стороне 5-—1 (рис 5 5), покажите, что в локальной системе
дТ дТ , дТ ,CfiH,

J 24
Глава 5
где Kg и к являются £- и ^-компонентами нормали п Соответственно
Поскольку Яв = 1/-\/2и пп = l/Vif для обоих узлов 5 и 1, го ранее
приведенные связанные эквивалентны'-1 условия Дирихле [равенства (5.53а) н (5536)]
могут быть записаны в локальных координатах в виде
7*14- Гч—0 для узлов 5 и 1. (5.69)
б) Дифференцированием пробной функции (5 1) получите выражения для
!"j и Г и подставьте их вместе с координатами узлов 5 н 1 в (5 59), чтобы
найти связанные граничные условия в обоих узлах
в) Как и ранее (5 3), сформируйте матрицу коэффициентов А н
замените уравнения, соответствующие Т^ и Т^, в пятой и восьмой строках
соответственно, связанными граничными условиями, полученными из (5 69).
Дагее, покажите, что
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
О
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
г
1
1
1
1
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
2
2
0
0
0
1
3
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
6
0
0
0
0
0
0
■о
0
1
0
0"
0
0
0
0
0
1
3
3
1 1 f
IT IT ГГ Я
"<*1 "
«2
«3
J я4
«5
*6
<х7
«8
*9
«ю.
=
[т21
Та
т*
т5
0
т,
0
г,.
тс
(5.70)
г) Обратите матрицу коэффициентов А нз (5.70) и убедитесь, что
1
0
0
-3
-13
-3
2
13
13
2
0
1
0
-2
-3
0
1
3
2
0
0.
0
\
0
-3
-2
0
2
3
1
0
0
0
3
-7
0
-2
7
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
с
0
1
-3
0
-1
4
3
0
0
-о
0
0
-7
3
0
7
7
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
-1
0
-3
-4
1
0"
0
0
0
27
0
0
-27
-27
0
. (5.71)
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия 125
д)
"«1
«2
«3
«4
«6
а7
«8
а«
_«<oJ
Умножьте (5 70) на матрицу
=
10 0 0 0
0 1 00 0
0 0 10 0
-3-2 0 3 0
-13 -3 -3-7 0 -
-3 0-2 0 0
2 1 0-20-
13 3 2 7 0-
13 2 3 7 0
2 0 10 0
обратную А из
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
10 0 0
-3 -7 0 3
0 3 0-1
-1- 0 0 0
-4 7 0-3
3 7 0-4
0-2 0 1
(5 71). и покажите, что
«0~
0
0
0
27
0
0
-27
-27
0
\Ti~
Та
Т,г
г,.
0
Г„5
г,
0
T„i
г.
/бедитесь также в том, что (572а) ысТжет быть переписано в
эквивалентной форче.
ч
«г
«J
«4
Ч
«1
«8
«9
.а
0.
-
10 0 0 0
0 10 0 0
0 0 1 0 0
-3-2 0 3 0
-13 -3 -3 -7 0
-3 0-2 0 0
2 1 0 -2' 0
13 3 2. 7 0
,13 2 3 7 0
2 0 10 0
0 0 0 0
оооо
оооо
1 0 "о 0
-3-7 0 3
0 3 0-1
-10 0 0
4 7 0-3-
3 7 0-4-
0-2 0 1
0]
0
0
0
27
0
0
-27
-27
0
>2"
Г.2
Т,2
г,
7"и
Т,з
г,
г,
г.*.
тг
,
ч
(5.72а)
следующей
15.7» tf)
•
где вышеприведенная матрица коэффициентов _будет называться
модифицированной матрицей В и будет обозначаться как В _
е) Используй G из (5 30)- и^ модифицированную матрицу В из (572б);
покажите, что произведение BrGB принимает вид
180
398
38
38
71
0
25
71
0
-25
540
38
10
0
11
0
3
5
0
-2
-54
38
0
10
5
0
2
11
0
-3
-54
71
11
5
248
0
94
140
6
-70
-459
0
0
0
О
0
0
0
0
0
0
25
3
2
94
0
46
70
0
-36
-189
71
5
11
140
0.
70
248
0
-94
-459
0
J0
0
0
0
0
0
0
0
0
-25
-2
-3
-70
0
-36
-94
0
,46
189
-540"
-54
-54
-459
0
-189
-459
(1
189
1458
(5.73)"

1S6
ж> Проверьте, что полученные в результате нулевые строки и столбцы в
вышеприведенной матрице будут объединяться с аналогичными строками и
столбцами из других элементов, окружающих узлы 5 и 1, что в результате
дает соответствующие нулевые строки и столбцы в матрице системы. Таким
образом, матрица системы К сингулярна Чтобы избежать этого и
гарантировать то, что значения Т^5 и Т^ получаются как часть окончательного
решения; условие Г| + ^ = 0 в узлах 5 и 1 должно быть включено в
элементную матрицу к Это может быть выполнено включением коэффициентов
уравнений JTjjj 4- Т Pj = 0 и ^£i + ^tl[=a'0 в матрицу (5.73) и получением
скорректированной формы для BrGB, которая обозначается BrGB в виде
1
180
" 398
38
38
71
0
-25
71
0
-25
-540
18
И)
0
II
0
3
5
0
-2
-54'
38
0
10
5
0
2
И
0
-3.
-54
71
II
5"*
248
0
94
Ц0
0
-70
-459
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
25
3
2
94
1
46
70
1)
-36
-189
71
5
II
140
0
70
248
0
-94
459
0
0
' 0
0
0
0
0
1
0
■ о
-25
-2
-3
-70
0
-36
-94
1
46
189
-540"
-54
44
-4W
0
-189
-4W
0
189
1418
(5.74)
Проверьте, что вышеприведенная процедура дает этот результат.
з)_ Используя (5 33) и (5.74), покажите, что скорректированная
элементная матрица к в глобальной системе координаг имеет вид
К « RTBTGER -
398
-3S
38
71
-25
0
71
23
0
540
-3S
10
0
-5
г
0
-и
-3
0
54
38
0
10
И
-3
0
5
2
0
-54
71
-5
11
248
-94
0
140
70
0
-*У>
-25
2
-3
-94
46
-1
-70
-36
0
18»
0
0
0
0
0
> 1
0
0
6
0
71
-I]
5
140
-70
0
248
94
0
-459
25
-3
2
70
-36
0
94
46
-1
-189
б -540"
0 54
0 -54
0 -459
0 189
0 0
0 -459
0 -189
1 0
0 1458
(5.75)
н) Используя процедуру конденсации, описанную в разд. 5.3, покажите,
что конденсированная скорректированная матрица к в глобальной системе
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия 127
коог.
Ьа
динат
1
= 180
имеет вид
• m -в
-18 8
18 2
-99 12
45 -5
0 0
-99 6
-45 4
0 0
~
18
2
"8
-6
4
0
-12
-5
0
-991
12
-6
103,5
-34,5
0
-4,5
10,5
0
' 45'
-5
4
-34,5
' 21,5
-1
-10,5
~U,5
0
0
0
0
"о
0
1
0
0
0
-99'
6
-12
-4,5
-10,5
0
103,5
34,5
0
-45
4
-5
10,5
-11,5
0
34,5
21,5
-1
0"
0
0
0
0
0
0
0
1
(5.16)
Комментарий. Совпадение равенств (5 76) н (Б 60) показывает
эквивалентность двух процедур учета связанных граничных условий Первый метод
предпочтителен, поскольку он является более непосредственным и требует
меньше вычислений
Упражнение 5.2. Выполните предыдущее упражнение, используя
локальную систему кординат для элемента I, показанного на рис. 5.6. Манипуляции
Рис. S.6, Модифицированная локальная система координат элемента I.
над матрицами могут быть выполнены с помощью модифицированного
подходящим образом варианта вычислительной программы, описанной в разд. 5.5.
Почему в _этом примере б отличне от предыдущего получается симметрия
в матрице ке?
Указание. Узлы элемента рассматриваются в последовательности 5. I н 2,
а характерные размеры имеют значения а = V2 /2, Ь = л/2"/2, с = д/272.
Условие дТ/дп = 0 в точках о и 1 теперь принимает вид dT/di\ = 0 Для
того чтобы обеспечить выполнение условия Неймана в узлах 5 и 1, замените
уравнения, соответствующие Т 5 н Т (.

128
Глава 5
Ответ
103,5
-17,25 -17,25 -4,5 5,25 5,25 -99 12 -«
-17,25
-17,25
-4,5
5,25
5,25
-99
12
-6
5,87
4,87
-5,25
-2,87
-2,87
22,5
-2,5
2
4,87
5,87
-5,25
-2,87
-2,87
22,5
-2,5
2
-5,25
-5,25
103,5
17,25
17,25
-99
6
-12
-2,87 -2,87 22,5 -2,5
-2,87 -2,87 22,5 -2,5
17,25 17,25 -99 6
5,87 4/7 -22,5 2
4,87 5/7 -22,5 2
99 -22,5 -22,5 198
2 2-18
2,5 -2,5 18
-18
(5.77)
Упражнение 5.3. Для элемента 4 с выбором узлов в порядке 6, 3, 7, как
в табл 5 2, элементная матрица к в глобальной системе координат, заданная
равенством (5 46), имеет вид
180
198 18 -18 -99 -27 -18 -99 18 '21
18 8 2 -12 -2
-18 2 8 б 4
-99 -12 6 103,5 16,5
-27-2 4 16,5 9,5
-18 -3 0 18 3
-99 -6 12 -4,5 10,5
18 0-3 0 -3
. Л 4-2 -10,5 -5,5
-3-6 0 4
0 12 -3 -2
18 -4,5 0 —10,5
3 10,5 -3 -5,5
6 0 0-3
0 103,5 -18 -16,5
0-18 6 3
-3 -16,5 3 9,5
(5.78)
В блочной форме эта матрица может быть записана следующим образом:
*66 к63 *67
Ь* Г4 £4
к36 к33 К37
к4 I4 к4
_ К76 к73 к77.
(5.79)
а) Используя вычислительную программу, разработанную в
упражнении 12, и выбирая узлы элемента 4 в последовательности 3, 7, 6 так, чтобы
локальная система координат имела вид, показанный на рнс 5 7, сформируйте
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия |2§
Рнс 5.7. Локальная система координат элемента 4,
' i
'1
Рис. 6.8. Модифицированная локальная система координат элемента 4.
элементную матрицу к дли элемента 4. Покажите, что она может быть
записана в терминах подматриц нз (5.79) в виде
ь4
кэз
*73
*ез
ц,
ч,
Й
fc4
к36
k%
£«
(5.80)
б) Повторите часть (а) упражнения, выбирая узлы элемента 4 в
последовательности 7, 6, 3 (рис 5 8), и покажите, что
Р С4 С4
к?7 к76 к73
Ц, "4. «в
*Д7 Кяй *ЯЧ
(5.81)

130
Глава В
Комментарий. БышеприведеЕшьзе результаты [равенства (5.79)—(5.81)]
показывают, что составляющие элементной матрицы к не зависят от выбора
локальной системы координат и последовательности узлов.
5,6. ПРОГРАММИРОВАНИЕ
В.В.1. ПРОГРАММА НА Ф0РТРАНЕ4У
Формулировки, описанная в разд. 5.1—5.4, используется в
вычислительной программе, приведенной ниже для решения
уравнения Лапласа (задача рис. 5.1). Включен также способ учета
связанных эквивалентных условий Дирихле,
рассмотренный в разд. 5.4. Система формируется поэлементным,
объединением. Программа дается без блок-схемы и другой
документации.
5.5.1.1. Основная вычислительная программа
• •...FINITE LLEMprJT b'EThCi).PROGRAM 3 . . • * »
Solution of thl heat conduction problem sftou/N in fig".5.1«
THE RFKULTJrJG SYBTtM OF EOLATIONS IS SOLVED USING THE.
STANDARD LIBRARY SUBROUTINE IE.OT1F,
NPQIN - TOTAL NIJM3ER BF NDDES
N£(_EM - TOTAL NUMBER OF ELEMENTS
'NPR *- TOTAL NUMBER OF PRESCRIBED VARIABLE^,
COK'PRIEINn THE-FUNCTION AND/DR ITS
C)ERIVfiTIVF(S)
NPP(I.JJ * NPP(I.g) IDENTIFIES THE DEGREE DF FREEDOMS
WHICH IB PRESCRIBED AT NODE NPF(I,1),
WHERE I-1.2.....NPR
VALP{I) - THE PRESCRIBED VALUE DF THE VARIABLE АГ
NODE NPP(I,1).WHERE 1-1,? Г,РЯ
NOP - TQTAL NUMBER OF NOCLS WHERE THE COUPLED
CONDITION -TX+TY-0 IS PRF6CRI0ED
NPC(I) - NDOER WHERE THE LGlJPLEO CONDITION
-TX*TY-fi lb PRESCRIBED,l>.HF_RE' 1-1,Z..,..NCP
^U1|V(I) - X,V COORDINATES OF NODE I
NPPII.J) - ' THE THRFF NODES OF ELEMENT I, CORRESPONDING^
TO THE THRFE NODE IDENTIFIERS J=1e2.3
PFjOGRAM PRGRM3{INPUT.OUTPUT.TAPE5.TAPE6)
DIMENSION rjPP(1?,?)fVALP(12),NPC(fl).>;(10),Y(10).NOD(9.3)
DIMENSION XX(3>.YY(3),STE(1E,1H).STEINV(10,10).irfKAREA(l0>
DIMENSION R(10.10),RDT(10.10).STNEIV(9,9).N(3).1БТ(3)
DIMENSION ISTNEW(jf).ST(33.30) ,RHS(30,l) ,WKAR(30)
SUBROUTINE DATAIN IS CALLED TO READ IN THE REBUIREtl
DATA.,.,.
CALL DATAIN(rJPOIN^NELEM.NpR.NPP.VALP,NOP,NPC,K,Y.N00]
fr ""
с «iiivBIJBBOUtlfiE BAYaOIJT IS CALLED то PRINT Бит The
JC INPUT DATA FOR CHECKING PURPOSES
CALL OATAOIJT(NPOIN.NELEM,NPR,NPP,VALP.NCP.NPC.X,Y,NOD>
fJP0IN3-3*NP0IN
t
С «4...THE SYSTEM К MATRIX,DtNCTEO BY ST.AND THE RlCKf-
C ._ HAND bIDF MATRIX,DENOTED PY RHS.ARE INITIALIZED
£ TD 7ERO
'00 5 I=1,NPOIM3
DO 4 J=1 .NPDIN3
4 ST(I.J}-0.0
5 flHS(I,l) = 0.tf
£
С IN THE NEXT DO LOOP.FDR EACH ELEMENT IN TURN. THg
С ' FLEMFNT К MATRIX IS OBTAINED AND ASSEMBLED.DIRECTLY:
С INTO THL SYSTEM К MATRIX
DO 160 IE=1,NtLEM {
С
С ,kt..THE X AND Y COORDINATES OF THE NoOES FOR THE
t ELEMENT,IE.UNDER CONSIDERATION.ARE OBTAINED ANO
£ DENOTED BY XX(I),YY(I).1=1,2.3
DO 10 J-1.3
l.K-NOD(IE, J)
XX(J)-X(LK)
^0 YY(J)-V(l.K)
С
С SUBROUTINE PARAM IS CALLED TO CALCULATE THE
С - PARAMETERS A.E.C.COBfTHETATS'CN.SINtTHETAj-SN. . . . .
CALL PARAM(XX,YY.A.B,C.CN.SN,R)
С
С .....SUBROUTINE COEFWAT IS CALLED TO CALCULATE THE )
С * COEFFICIENT MATRIX A.HERE DENOTED BY STE.USING4
£ THE PARAMETERS A.fi.AND С OBTAINED ABOVE,.... J
eALL.COEFWAT(A.B.C.STe) *
fc "
С .**ыьТНЕ STANDARD LIBRARY SUBROUTINE LINV1F IS CALLED
С * TO INVERT THE MATRIX A(-STE) TO GIVE THE INVERSE
С OF A,DENOTED IN THE TEXT AS B.ANO IN THE PRDGRAM
fc . AS ETEirjV
SAIL LINV1F(STF.10.10,STEINV,0.WKAREA.IFR)
С
С ij.*..SUBROUTINE INTEG 18 CALLED TD CALCULATE THE
fc _ INTEGRATION MATRIX G.HERE DENOTED fi\ P.....
CALL INTEG(A.B.C.D)
E
С ii#i.eUBnOUTINF MULT IS CALLED TD CALCULATE THE MATRIX.
С PRODUCT (TRANSPOSE OF B)*G*B.THE RESULT OF-THIS
£ '' PRODUCT IK FlETURNEO TO THE WAIN PROGRAM AS D
CAlt, WULT(0,STEINV)
fc
С .,|(.SUBROUTINE RCTAT IS CALLED TO CALCULATE THE
С " „• FiDTATION MATRIX fl.HERE DENOTED By ROT-.---
CALL flOTAT(CN.SN.ROT)
С *
С ,i(ttSUfiRGUTINE MULT IS CALLED AGAIN TO CALCULATE
С THE "ATRIX PRODUCT (TRANSPOSE Of R )*{TRANSPQSE OF
С B)*G*P*R.THE RESULT IS RETURNED TQ'TW MAIN PROGRAM
С Afc D
cALL mult(d.pot)
.THE CONDENSATION PROCEDURE,ОТ.**иБй"0 IN SECTION 5^3.
IS NOV/ CARRIED OUf..»,»

132
Глава 5
DO 30 1-1,9
Do 2C J-1,9
SB STNEW(I.J)-D(I,J)-{D(I,10)*D(10.J))/D{10.10)
30 CONTINUE
С
С .....THE VECTOR DENOTED BY N-(u{1).N(2),N(3)) IS SET TO
С 7ERO.THIB VECTOR IG USED TO INDICATE WHETHER ANY-
С NODE OF ELEMENT IE HAS THE CONDITION -TX+TY-0
С PRESCRIBED.IF КО THE H(I) CORRESPONDING TO THAT
С NODE IDENTIFIER I IS SET FRLAL TO ONE
DO 65 1-1,3
65 N{I)*0
DO 70 Г.1.1ЧСР
LK-NPC(I)
DO 60 J-1,3
lF(NCm(IE,J)-LK)60,50,60
50 N(J)-1
60 CONTINUE
70 CONTINUE
С
С SUBROUTINE CHANGE JS CA( LED TD MODIFY THE ELEMENT
С К MATRIX IF THE CONDITION -TX+TY-0 APPLIES AT ANY
С OF THE NODES OF ELEMENT IE
САЦ1 CHANGE(STNEW.N)
С
С THE rCRRECT ROWS AND TOLUHNS FOR THE SYSTEM К MATRIX
С (ST) ARE DETERMINED ANO DENOTED FY IR AND 1С.
С RESPECTIVELY.THE CORRESPONDING ROWS ANO COLUMNS FDR
С THE ELEMENT К MATRIX (KTNEW) ARE DRTAINED AND DENOTED
С RY X ANO J.FINALLY THE ELEMENT К MATRIX IS ASSEMBLED
С * INTO THE SYSTEM К MATRIX
00 110 1-1.3
* LK-Nnn(IF,I)
IST(l)=(l K-1)*3
110 ISTUFV,(I)=(I-l)*3
00 13P 11=1.3
00 120 JJ=1,3
DO 210 IRR-1,3
IR-IST(Il)+IRR
I«ISTNEw(Il)+IRR
DO 220 1СГ-1.3
IC-IST(JJ)+ICC
J«ISTNEW(Jd)+ICC
ггв ST(rR.ic)-sT(iR,ic)+5T*JEW(x,J)
£10 CONTINUE
120 CONTINUE
13B TDNTINUE
С
С IN TtfE FOLLOWING ALL NODES V/ITH PRESCRIBED VARIABLES
С ARE CHECKED,FDR EACH PRESCRIBED VARIABLE,THE BYBTEM
С К MATRIX IS CORRECTED,..,.
"DO 150 1=1, NPR
LK-NPP(I.I)
LOC-(LK-1)*3+NPP(If2)
OD Iflft J-1.NP0INP
14B ST(LDC.J)»0.0
BT{LOC,LOC).1.0
150 RHR(10C.1)-VALP{J)
16B CONTINUE
С
С .....THE FINAL SYSTEM MATRIX EQUATION HAS NO» BEEN" OBTAINED
С AND IS SOLVED BY CALLING THE STANDARD LIBRARY
С fiWUDUUNE LEQTtFiTHE F^HAL RESULTS ARE. flETURNEp
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия (S3
ТО THE MAIN PROGRAM AS RHS
CALL LEnT1FfST,1,30,30.PHS.0.WKAR.IER)
.....THE FINAL RESULTS ARE PRINTED OUT
WRITF(6.170)
F0RMAT(//.31H THE SOLUTION HAS BEEN OBTAINED)
WRITF(6.1B0)
F0RMAT{/.1X.31H NOOf T TX TV")
LK-0 _ '
00 140 I-1.2B.3
1 K-LK+1
*RITE(6.2B0) LK.RHS(I.l).RHS(I+1,1J.RHS(I+2 1)
F0flMAr(^J(.I3.4X.F6.2,3X,F6,2.3X,F6.2)
STOP
END
5,5.1.2. Подпрограммы
SURROUTINL nATAIN(NP0IN,NELEM.NPP,4PP.VAtP,NCP,NPD,X,Y,fiOD)
DIMENSION NPP(1?.?).VALP(12),NPC(4) ,X(10),Y(10 ),NOD(9.3)
С THE TOTAL NUMBER OF r.OOES.THE TOTAL bUMRER CF
C" ELEMENTS,THE TOTAL NUMBER OF PRESCRIBED VARIABLES,
С AND THE TDTAL NUMBER CF NODES WHERE THE COUPLED
С CONDITION -TX+TY=0 IS PRESCRIBED AR£ fi^AD IN.....
RFAO(5.10) NPOIN.NELFM.NPR.NCP
10 FORMAT (4 13)
С THF THREF NODES.CORRESPONDING TO THE THRFE NODE
С XDFMIFIFRS J=1,2.3. ARE READ IN FDR ALL ELEMENTS... »,
READ (5.20) (I,(NDD(I.J),J-1.3).JJ-1.-N£LEUJ
20 FORMAT (?4I3)
С
С .....THF fc AND V COORDINATES ARE READ lli F"OR ALL NOOES,.».,
RfAO(5,30) (I,X(I).Y(I),J=1*NPDIN)
30 FDRMAT(5(I3,2F5.l))
С
с .....those node1) vhere a variable is prescribed,the
С . DFGRFF DF FREEDOM WHICH IS PRESCRIBED,AND THE
С PRESCRIBED VALUE ARE READ IN..;..
READ{5.fl 0) (NPP(1.1),NPP(1.2).V ALP(I),I-1,NPR)
Й0 F0RMAT(6(?I3.F6.?))
С
P THOSE NODES WHERE THE COUPLED CONDITION -TX+TY-0
С IS PRESCRIBED ARE REAO IN.....
READ{5.?0) (NPC(I).I-I.NCP)
RETURN
END
SUBROUTINE r,ATAOUT(tJpn-IN.NELEM.NPR.NPP.VALP.NCP.NPC.X.Y,NOD)
DIMENSION NPP(12.2).VALP(1?),NPD(4)rX(10).Y(10).NOr;(9.3)
С THE TDTAL NUMBER CF NODES.THE TDTAL NUMBFR CF
D EL fMFNTti.THE TOTAL NUMRER OF PRESCPIBEO VARIARLES,
С AND THE TDTAL NlJMRtP, CF NODES VHERE THE COUPLED
С CONDITION -TX+TY-0 IS PRESCRIBED ARE PRINTED OUT,...*
WRITE(6.10) NP3IN
10 F0RMAT(/////,1X.22H TOTAL NUMBER DF NODES.13)
WRITE(6,20) NELFU
20 F0RVAT(1X.2SH TOTAL NUMBER OF ELEMENTS.13)
V:RITF(A..3fl) NPR
JJB F0RMAT(1x.37H TDTAL NUMBER QJ PRESCRIBED VARIABLES. 13)
WRITE(6.C0) NCP
«0 F0RMATMx51H TOTAL NUMQEfl OF NODES WHERE -TX+TY-0 IB PRESCRIBED
*3>
с
с
с
%7a
1B0
190
see

С .....THE" X AND Y еИоГШИАТЕЙ Aftf PRtNTED.DUT FOR ALL "BODES
WRITE(6,50) • r ' "' r.
58 PDRMAT(//.1X.40H THE NODES AND THEJR X AND V CDDROiNA"TE8, /)
WRITE{6,60)
-6И F0RMAT(1X.15HN0DE X Y.2(20H MODE X У))
WRITE(6.70) (I.X(I).V{I),I-1.WP0IN)
7i' c0nMAT((1X.I3,F7.1>F6.1.2{I7.F7.1.F6.1)))
С
-С THE ELEMENTS AND THEIR THREE NODES ARE PRINTED OUT*i**«
WFITE(6.80 ) 4
,60 FfjRMAT(//,1X,29H THE ELEMENTS AND THEIR NODES,/) 1-
WRITE(6.90)
Э\& F0RMAT(1X,13HELEH 1 Й 3,3(16H ELEM ,1 2 3}/
V,'RITE(6,100) (I.{NOD(I.d),J-1.3).I-1.NELEM)
100 F0RMAT((1X.I3,14,213,3(16.14.213)))
С
£ ,*...THOSE NODES WHERE THE CDUPLEO CONDITION -TX+TV-ET
£ IS PRESCRIBED ARE PFINTED OUT -
WRITE(6.110)
WRITE(6.120>
110 FORMAT(//.1X.3BH THE NODES V/HERE THE COUPLED CONDITION)
■Д.20 FDFMAT(1X,23H -TX+TY=0IS PRESCRIBED,/)
WRITE(6.130) {NPC(I).I=-1 .NOP)
130 FDFMAT(6I6) ,A
С ТНГ NODES WHERE A VARIABLE IS PRESCRIBED. THE DEGREE'.
С •' OF FPFEDOM WHICH IS PRESCRIBED,AND THE PRESCRIBE^)
£ VALUE ARE PRINTED OUT
t WRITF(6,140)
]40 FO-RMAT(//.1X.32H NODES WITH PRESCRIBED VARIABLES,/)
V.RITE(6.150)
t50 FORMAT(1X,72H NODE DEC.OF FREEDOM PRES.VALUE NOOE CECtpr
♦FREEDOM PRES.VALUE)
№RITF(6,16P) (Npp(l,1),NpP(I,2).VALP(I).I-1.NPR>
j<yj FORMAT(1X.I4.BX.I3.10X.F6.2,BX.l3,SX,I3.10X,F6.2j
RETURN
END
SUBROUTINE PARAK(X.V,A,B,C,CN,BN,Pi)
DIMENSION X(3).V{3)
P=((X(2)-X(l))*»2+(Y[a)-Y(1))**?J*?e«5
CN=(X(2)-X(1))/R "
£N=(Y(2)-Y(1 ))/Fl t
A-{X(2)-X(3))*CN-(V(3>-Y{2))»6fc
n-(X(3)-X(l))»CII+(y(3)-V(l))*§K
C=(Y{3)-Y(2))*CU+{X(2)-X(3))*,SN",J
RETURN
END
SUBROUTINE CQFFMAT(A,B,Cf5TE)
DIMENSION ST£(10,10)
A?n/i**2 $ А3-Л**3 S f&-f]**3 $ S3«B**3 S СЗ-Й**^ $" C3-C**3
с
.с the matrix ste is initialized to zero.....
DD 2 0 1=1,10
DO 10 J-1,10
IB STE(I,J)-0.0
2B CONTINUE
С
JC THE NCN-ZERD FNTRIEB OF THE MATRIX STE ARE' DETERVInYdj ц».
STE(1.1)=1.0 S STE{1.2)--В $ STE(1.4) = F12 $ BTE{1.7)«-R3
STE(2.?)=1.0 E STE(2./)>—2,0*0 S БТЕ(2,7 )-3.0*B2-
STE(3.3)-1,0 S STE(3.5)=-B S &ТЕ(З.В)-И2
STEU.1)-1,0 S STE(4.2)-A $ STE(4.4)-A2 8 STE(4.?}-A3
STE(5.2)=1.0 S STE(5.4)=2.0*A S STE(5.7)-3.0*A2
ST£(6,3)-1.B $ ET£(6,5)-A S STE(6,B)-A2
6Щ7.,1>К0 $ БТЕД7.3)-С $ 5ТЕ(Лб)=С2 $ 6ТЕ(7«1в)-СЭГ
BTE(8.Z)-1.fl't ЙТЕ"(В.$)-С « STEffl.9)-C2
STE(9,3)=1.0 $ RTE(9,6)-?.0*C S ETE(9.10)=3.0*C2 ,
fcTE(l0.1)=1.0 $ STE(10.2)o(A-R)/3.0 S STE(10 ,3)-С/3.в
STE(10,4)=((A-O)**2)/9.0 $ RTE(10.5)=(C*(A-B))/9.0
STE(l0.6)=(C»»2)/9.0- $ STF(10.7)-((A-O)»»3)/27.0
5TE(10,B)=(((A-F))**2)*C)/27.0
STE(l0.9)=((A-B)*(C**2))/27.0
■STE(10,10MC**3)/27.0
RETURN
END
SUBROUTINE INTEG(A.B.C.D) ,,
DIMENSION FAC(7).M(10),N{10).O(10.10)
С
С 4*...IN THE FOLLOWING,FAC(I)-(I-1) FACTORIAL.*-..*
FAC(1)=1.0
DC 10 1-1.6 *
DET-I
Ifl FAC(I+1)=OET*FAC(I)
W(1)=0 S M(2)-1 S H(3)-0 S M(4)-2 £ U{5)-1 S M(6)-B $ ft(7)-3
M(S)=2 $ M(9)-1 $ M(1B)*0
K(1 ) = B S N(2)=0 S NO)-1 S N(4)-0 $ N(5)-1 $ N{6)-2 $ М(?)-в
N(B)-1 S N(9)-2 S N(10)-3
DO 3 0 1= 1 .1 0
\Ю 20 J-1,10
Mi-(u(i)+h(j)-?)+i
M2-(U(I)+M(J))+1
i41-(N(l)+N(j)) + 1
N2-(ri(I)+N( J)-2)+t
C0EF1=W(I)*W(J)
C0EF2-N(I)*rj(j)
IF(COEF1)40,50.60'
40 WRITE(6.70)
70 FORUAT(*C0EFFICIENT IN" INTEO fS NEGATIVE*).
RETURN
£0 01=1.0
CD TO 80 ,""-"■',*
60 G1=(C**M1)*((A**U1)-((-B)**Ml)J*FAC(Ml)*FAc(Nl)/rtC(Ml+N"ni)
B0 IF(COEF2)40.90.100
90 G2-1.B
.GO TO 20
100 G2=(C**N2)*((A**M2)-{(-B)**M2))»FAC{M2)*FAC(N2)/FAC(M2+fJ3t1)
20 0(1.J)-G1*C0EF1+C2*C0EF2
30 CONTINUE
RETURN
END
SUBROUTINE HULT(DrSTE)
DIMFNS10N STF(10.10).D{10.1B),H(l0.1ia)
С
С .....THE PRODUCT D*5TE IS CALCULATED....,
DO ЗИ I*1.1 И
DO 20 J=1,10
H(I.J)-H.0
00 10 I K=1 .10
10 H(I.J)-H(I,J)+0(J.LK)*STE{LK,J)
20 CONTINUE
30 CONTINUE
С
С THE PRODUCT (8TE TRANSPOEE*0*STE) IS CALCULATED.,,..
00 70 I=f.10
OR 60 J-1.1В
D(I.J)-fl.fl
DO 50 LK-1.1U
50 D(I.U)=D(I<J)+STE(LK.I)*H(LK.J)
60 CONTINUE
,7g CONTINUE.

betUrN
EKD
ТБПВЯОПТШ ROTAT{Cfc.SN.fiOTj
DIMENSION F|QT(10.10)
С
С a....THE MATRIX ROT IB 1ШШ-2Ш) TD ZERO....
DO 20 1-1.10
OD 1И J-1.10
10 flOT(I.J)-0.0
20 CONTINUE
С THE- NON-ZERO ENTRIES OF THE MATRIX ROT ARE DETERMINE!*,
RGT(1,1)-1.0 S RQT(2.2)-CN S RDT(2,3)«SN $ R0T(3,2)«- SN
- RDT(3.3)=CN S ROT(4.4)-1.0 S ROT(5.5)«CN $ R0T(5.6)-SN
Я0Т(6.5)«-BN 3 R0T{6.6)-CN £ RDT(7,7)-1.0 S POT(B,B)-CN
TU3T(B.9)-BH S R0T(9.fl)— ВЫ $ PDTt9,9)-CW $ ROT{l0,1j})-1.0
RETURN
•END
'SUBROUTINE CHANGE(ST^
DIMENSION N{3).KT{9,?)
DC 40 1=1.3 '
1F(N(I>)40,40,10
10 IFTX=(l-1)«3+2
ДПТУ=(1-1)*3+3 -
DO 20 J-1.9
pT(lfl7X.j)=fiT(lRT^JjtPT(lRTY,j)
20 EiT(IRTV.j) = 0.iJ ^
' £0 30 J=1,9
ST(.l,IRTX)-RTfj.IRTX)+STfJ.iRTV)
J30 JBT{,J.IRTY) = 0.0
' FT{inTY,IRTX)=-1.0
BT(inTY.IIlTY)*1.'0
j?0 -continue
Return
5.5.1.3. Сходные данные
4В 9 12 4
12512526336246
7B69B79699 10 6
'1 0.0 0.0 2 1.0 0.0 3 г.0 0.0 fl
6 2.0 1.0 7 3.0 T.-0 В 2.0 2.0 9
* 1 30.0 1 2 0*0 a 1 30.0 2 2
-4 1 30.0 a 2 0*.й 7 2 0.0 9*2
1 5 В 10,
5.5.1.4. Результаты
TOTAL NUMBER DF NDOEB 10
TDTAL NLMRER OF ELEMENTS 9
TDTAL NUMBER OF PRESCRIBED VARIABLES 12
TDTAL NUMBER OF NODES WHERE -TX+TY-0 IS PRESCRIBED 4
THE NGDEG AND THEIR X AND X COORDINATES
NODE X Y NODE X Y NODE
1 0.0 0.0 2 1,0 0.0 3
4 3.0 ^3.0 5 1.0 1.0 6
7 3.0 1.0 В 2.0 ' 2.0 9
10 3,0 3.0
3.0 0.0 5 1.0
3.0- 2.0 10 3.0
0.0 3 1 30.0
1.0
3.0
X Y
2.0 0.0
2.0 1,6
3.0 2.0
Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия 137
THE ELEMENTS ANO THEIR NODES
<£LEU 1 Z 3 ELEM 1 2 3
4 7
9 10
THE NOOES WHERE THE COUPLED'CONDITION
•-TX+TY-0 IS PRESCRIBED
.NODES WITH PRESCRIBED VARIABLES
DEC.OF FREEDOM
PRES.VALUE
30.00
30.00
30.00
30.00
0.00
0.00
DEC.OF FREEDOM PRES
VALUE;
THE SOLUTION HAS BEEN- DETAINED
30.00
30. 00
30. 00
30.00
27.fi 5.
25.65
24.51
20.9P
16.19-
0,0.0
0.0»
0.00
Й.00
0.00
-1.71
-1.41
0.00
-2.05
0.00
0.00
0.00
-1.99
-4.16
-5.16
-1.71
-4 .41
-ft.35
-2.05
-11.01
0.00
"5.6. ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ ЭЛЕМЕНТОВ
БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
И БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Процедуры, описанные в этой главе для элементов с
производными и связанных граничных условий, не ограничиваются
только элементами с первыми производными и применимы к
пробным функциям более высокого порядка. Более сложные краевые
условия, такие, как условия Коши дф/дп -j- дф -f- р = 0, могут
быть учтены путем модификации методов, описанных выше.
В самом деле, любое граничное условие, включающее функцию
и (или) ее производные в узле, также может быть учтено, если
эти переменные являются узловыми параметрами элемента.
В программе из разд. 5.5 использовано объединение по
элементам; этот подход применяется наиболее широко. Полная
окончательная матрица системы (несимметричная) помещалась

138
Глава 5
в память, и задача решалась с помощью подпрограммы,
использующей полную запись матрицы системы. Для больших задач
работа с полной записью матрицы не является ни экономичной,
ни практичной, и целесообразно выбирать другие подходы.
Например, в следующей главе показано, что соответствующий
выбор последовательности узлов позволяет минимизировать
ширину ленты так, чтобы память могла быть использована более
эффективно. Другим подходом "к сокращению требуемого
объема памяти, также описанным в следующей главе, является
разбиение и приведение к трехдиагональному виду. В гл. 10
рассматриваются другие процедуры для сокращения требований к
памяти. Дополнительные подробности можно найти в
литературе [2—4].
Литература
1 Kaplan W., Advanced Calculus, 2nd ed., Addlson-Wesley, 1973, p. 135.
2 Norrie D H de Vries G., Finite Element Bibliography, Plenum, New York.
1876.
3 Fenves S. J., Perronc N., Robinson A. R., Schnobrich W. C. (eds.), Numerical
and Computer Methods in Structural Mechanics, Academic Press. New York,
1973.
4. Bathe K-J., Wilson E. L., Numerical Methods in Finite Element Analysis,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.
6
ЭКОНОМИЯ ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ,
РАЗБИЕНИЕ И ПРИВЕДЕНИЕ
К ТРЕХДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ
Ученому или инженеру часто приходится отказываться от
вычислительных программ, так как их требования превышают
возможности используемого оборудования. В таких случаях
решение задачи обычно лимитируется памятью, а не
вычислениями, т. е. память, требуемая для программы, превышает
имеющиеся возможности. Эту ситуацию легко себе вообразить
для программ, реализующих метод конечных элементов,
особенно в случае трехмерных задач. С целью уменьшения требований
к оперативной памяти разработано много процедур, в том числе
и за счет дополнительных вычислений; некоторые простые
подходы описываются в настоящей главе. Другие возможности
рассматриваются в гл. 10.
6.1. ШИРИНА ЛЕНТЫ
Окончательную систему уравнений можно решать либо
прямыми методами, которые дают решение за одни шаг, либо
непрямыми (итерационными) методами, которые путем
последовательных приближений улучшают точность исходного
приближения решения. Прямые методы можно.приближенно
классифицировать в зависимости от того, для какой матрицы
жесткости системы они предназначены — полной, ленточной илн
разреженной. В общем прямые процедуры для решения систем с
полными или ленточными матрицами более эффективны, если
К симметрична; кроме того, для матрицы данной плотности')
ленточные методы более экономичны, чем методы,
разработанные для решения систем с полными матрицами. Методы для
ленточных матриц становятся дешевле методов для
разреженных матриц по мере уплотнения ленты.
В случае матриц с данной плотностью эффективность
прямых методов для ленточных матриц обычно возрастает с
уменьшением ширипы ленты. В следующем разделе показано, что
') Плотность определяется как отношение числа ненулевых элементов к
общему числу элементов матрицы. По поводу предварительной оценки
плотности матрицы дли элементов с прямолинейными сторонами см. работу [1].

138
Глава 5
в память, и задача решалась с помощью подпрограммы,
использующей полную запись матрицы системы. Для больших задач
работа с полной записью матрицы не является ни экономичной,
ни практичной, и целесообразно выбирать другие подходы.
Например, в следующей главе показано, что соответствующий
выбор последовательности узлов позволяет минимизировать
ширину ленты так, чтобы память могла быть использована более
эффективно. Другим подходом "к сокращению требуемого
объема памяти, также описанным в следующей главе, является
разбиение и приведение к трехдиагональному виду. В гл. 10
рассматриваются другие процедуры для сокращения требований к
памяти. Дополнительные подробности можно найти в
литературе [2—41.
Литература
1. Kaplan W., Advanced Calculus, 2nd ed., Addlson-Wesley, 1973, p. 135.
2 Norrie D H de Vries G., Finite Element Bibliography, Plenum, New York.
1876.
3 Fenves S. J., Perronc N., Robinson A. R., Schnobrich W. C. (eds.), Numerical
and Computer Methods in Structural Mechanics, Academic Press. New York,
1973.
4. Bathe K-J., Wilson E. L., Numerical Methods in Finite Element Analysis,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.
6
ЭКОНОМИЯ ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ,
РАЗБИЕНИЕ И ПРИВЕДЕНИЕ
К ТРЕХДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ
Ученому или инженеру часто приходится отказываться от
вычислительных программ, так как их требования превышают
возможности используемого оборудования. В таких случаях
решение задачи обычно лимитируется памятью, а не
вычислениями, т. е. память, требуемая для программы, превышает
имеющиеся возможности. Эту ситуацию легко себе вообразить
для программ, реализующих метод конечных элементов,
особенно в случае трехмерных задач. С целью уменьшения требований
к оперативной памяти разработано много процедур, в том числе
и за счет дополнительных вычислений; некоторые простые
подходы описываются в настоящей главе. Другие возможности
рассматриваются в гл. 10.
6.1. ШИРИНА ЛЕНТЫ
Окончательную систему уравнений можно решать либо
прямыми методами, которые дают решение за один шаг, либо
непрямыми (итерационными) методами, которые путем
последовательных приближений улучшают точность исходного
приближения решения. Прямые методы можно.приближенно
классифицировать в зависимости от того, для какой матрицы
жесткости системы они предназначены — полной, ленточной илн
разреженной. В общем прямые процедуры для решения систем с
полными или ленточными матрицами более эффективны, если
К симметрична; кроме того, для матрицы данной плотности')
ленточные методы более экономичны, чем методы,
разработанные для решения систем с полными матрицами. Методы для
ленточных матриц становятся дешевле методов для
разреженных матриц по мере уплотнения ленты.
В случае матриц с данной плотностью эффективность
прямых методов для ленточных матриц обычно возрастает с
уменьшением ширины ленты. В следующем разделе показано, что
') Плотность определяется как отношение числа ненулевых элементов к
общему числу элементов матрицы. По поводу предварительной оценки
плотности матрицы дли элементов с прямолинейными сторонами см. работу [1].

140
Глава 6
требуемая память также может быть уменьшена при
уменьшении ширимы ленты. Поэтому, прежде чем применять ленточную
процедуру, обычно целесообразно минимизировать ширину
ленты матрицы жесткости системы К. Факторы, оказывающие
влияние иа ширину ленты, будут проанализированы ниже.
Рассмотрим показанную на рис. 6.1- часть двумерной сетки
метода конечных элементов. Пусть на каждом треугольном эле-
Рис. 6.1. Двумерная сетка метода конечных элементов.
менте точное решение задачи, которое обозначим здесь как ф,
аппроксимируется линейными пробными функциями.
Как показано ранее, объединение по узлам дает п уравнении
для узлов вида
. "_&-=У-*£-=(). p=l,2. ...,«, (6.1)
дфр ^ дфр
где в суммирование необходимо включить только элементы,
окружающие узел с номером р, поскольку оклад остальных
элементов нулевой. Из уравнения (6.1) и рис. 6.1 следует, что
уравнение для узла 8 может быть записано следующим-образом:
4^=^+4£ + -^-+-^-+-^!-+-^=0- №-2)
дФъ дФв дФь дфв дФв ВФ, ВФа
После подстановки соответствующих значений Xе в уравнение
(6.2) ур авнение в узле может быть приведено к виду
Кв, \Ф\ + Ке. 7<j>7 + Кв. вФв + Кв. 12?12 +
+ Кв. 28?28 + Кв. 49?49 + Ks. 92&E = 0. (6.3)
Вновь отметим, что в уравнение (6.3) входят узлы только из
соседних элементов. Это объясняется тем, что для всех
остальных узлов коэффициенты Кщ являются нулевыми.
Экономия оперативной памяти, разбиение и приведение 141
Член уравнения (6.2), вносящий вклад от элемента 9, может
быть записан как
д$дфЛ = <8?8 + kl 28?28 + ft» te?49. (6.4)
Подобные выражения можно получить и для других членов
уравнения (6.2).
Для каждого из элементов 1, 2, 4, 9, 18 и 24 уравнения для
узлов можно записать в матричной форме по аналогии с
уравнением (6.4) и расширить их до размера системы путем
включения соответствующих нулевых компонент. Будет показано, что
квадратная матрица коэффициентов для каждого из этих
расширенных уравнений в узлах содержит только s непулевых
членов (где s — общее число узловых параметров элемента, в
рассматриваемом случае 5 = 3), один из которых всегда
расположен на диагонали. Ширина ленты1) в таком расширенном
уравнении определяется как число, на единицу большее
разности между номерами крайних правого и левого столбцов,
содержащих непулевые компоненты.
Это же правило применимо для системы любой размерности.
Например, для расширенной матрицы, сформированной на
основе уравнении (6.3)2), крайний правый ненулевой элемент
находится в 92-м столбце матрицы коэффициентов, а крайний
левый— в первом. Следовательно, «ширина ленты» для этого
уравнения Ъ = 92—14-1=92. Поскольку диагональный
элемент расположен в восьмом столбце, видно, что лента не
центрирована относительно положения диагонали. Ширина ленты
слева от диагонали, которую мы обозначим bi_, равна разности
между номерами столбцов, в которых расположены
диагональный элемент и крайний левый ненулевой элемент. Точно так же
ширина лепты справа от диагонали, bR, равна разности между
номерами столбцов крайнего правого ненулевого элемента и
диагонального элемента. Таким образом, для уравнения (6.3)
bt. = 8 — 1 = 7 и bR = 92 — 8 = 84.
Рассмотрим теперь всю матрицу жесткости К системы и
представим себе две прямые, параллельные главной диагонали,
проведенные таким образом, чтобы расположенная между ними
лента содержала все ненулевые элементы и была .минимальной
ширины. Ширина части ленты, расположенной левее диагонали
матрицы К, которую обозначим £?/, совпадает с максимальной
Ьь для урвинений в узлах. Аналогично ширина части ленты
справа от диагонали матрицы жесткости К системы, которую
') Полоса из элементов от крайнего левого ненулевого до крайнего
правого ненулевого.
2) Как следует нэ уравнения (6.2), оно эквивалентно сумме расширенных
уравнений в узлах сетки для 1, 2, 4, 9, 18 н 24-го элементов.

142
Глава 6
Таблица 6.1
Односторонняя ширина лепты
Узел
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
18
14
16
16
Наибольший
номер узла
для соседних
15
8
12
14
10
7
8
9
12
11
12
13
14
15
10
10
Ширина ленты
_ справа, bft
14
в
9
10
И
0
Наименьший
номер узла
для соседних
элементов
]
1
2
1
1
1
2
2
8
9
8
3
4
1
1
б
Ширина ленты
слева| 0£
0
1
1
3
4
5
-5
■ 6
в
1
8
9
9
13
14
И
обозначим BR, равна максимальной 6Я для уравнений в узлах.
Ширина лепты матрицы жесткости системы К, включающая
главную диагональ, равна
B = BL + BR + 1. (6.5)
Эта лента уже сбалансирована относительно диагонали. С
целью иллюстрации в табл. 6.1 приведены значения ширины леиты
для узлов из рис. 6.2. Из этой таблицы видно, что
BL = Max (bL) ~ 14, (6.6а)
Вд = Мах(6д)=14, (6.66)
а из уравнения (6.5)
В = 29. (6.7)
Как можно проверить по рис. 6.2, полуширина Bs леиты
матрицы жесткости К системы, не включающая главную
диагональ, равна 14. Из вышесказанного следует
BL = BR = BS, (6.8)
a Bs получается как разность между максимальным и мини-
мальным номерами узла в любом элементе.
Экономия оперативной памяти, разбиение и приведение 143
Для случаев когда узлу соответствует более чем один
параметр, как, например, у эрмитовых элементов, вышеприведенная
процедура может быть обобщена следующим образом.
Предположим, что в каждом узле есть q степеней свободы. Тогда
Bs = (d+1)«--1, (6.9)
где d — максимальная разность между самым меньшим и
самым большим номерами узла любого элемента в системе.
Для минимизации ширины ленты матрицы жесткости К
системы необходимо пронумеровать узлы в системе таким обра-
А—схема нумерации А; 6—соответствующий матрица К.
зом, чтобы эта максимальная разность была как можно
меньше. Рассмотрим двумерный полый блок, разделенный на 16
треугольных элементов, показанных на рисунках 6.2, о и 6.3,0.
Можно заметить, что на этих рисунках узлы пронумерованы
по-разному. Если в данном узле имеется только один параметр
и если не рассматривать граничные условия, то
соответствующие матрицы К системы примут вид, схематично показанный на
рис. 6.2,6 и 6.3, б. Полуширина ленты для первого способа
нумерации определяется как Bs = 15—1 = 14, тогда как для
второго способа Bs — 4 Из рисунков также видно, каким
образом разбиение области связано с разбиением соответствующей
матрицы К, что будет обсуждаться позже.
На данной стадии полезно рассмотреть взаимосвязь между
элементами матрицы К и физическим взаимодействием между
узлами. С целью иллюстрации рассмотрим уравнение для 10-го
узла 8-го элемента (рис. 6.2, а); оно имеет вид
Мо,в?» + *Гмо?.» + *Го,п?„ = 0. (6-Ю)
IS 14 15 К
а
Рис. 6.2. Разбиение полого блока.

144
Глава 6
где номера узлов, соответствующие локальным номерам узлов
1, 2 и 3, были взяты в порядке 9, 10 и 11.
В результате анализа этих членов можно установить, что:
Ш, 9 есть воздействие узла 9 на узел 10;
k\b, ю есть воздействие узла 10 на себя;
k%, ц есть воздействие узла 11 на узел 10.
Для самосопряженных задач влияние одного узла на другой
является обратимым, т. е. воздействие узла т на узел п "такое
Рнс. 6.3. Разбиение полого блока.
о—схема нумерации В; б—соответствующая матрица К
же, как воздействие узла п на узел т. Поэтому
результирующие матрицы жесткости К системы, по крайней мере в их
неизменной форме, являются симметричными, как показано на
рис. 6.2 и 6.3.
6.2. СПОСОБЫ ХРАНЕНИЯ
Поскольку матрица жесткости К системы обычно является
редкой симметричной ленточной матрицей, требуемая память
машины может быть сокращена путем запоминания лишь тех
элементов, которые расположены в ленте. Этого можно достичь
запоминанием элементов главной диагонали и элементов кодна-
гоналей слева или справа, что называется соответственно под-
диагональным и наддиагональным способами представления в
памяти. Указанную процедуру иллюстрирует табл. 6.2 для
случая поддиагоиального запоминания симметричной матрицы
жесткости К системы с полушириной ленты Bs — 2. Изображены
только первые пять строк матрицы. Диагональные элементы
поставлены в последний столбец табл. 6.2. Если используется над-
диагональное запоминание, то диагональные элементы
располагаются в первом столбце прямоугольной матрицы.
Экономия оперативной памяти, разбиение и приведение • 146
Таблица 6.2
Запоминание симметричной ленты
Ки
Км
Ks\
0
0
Полное запоминание (матрица системы
К с полушириной Вдв=Й
Кп
Кй2
Кя2
к«
0
#18
Кзз
Кзз
К43
Кьъ
0
Км 0
К$* Кгъ
#44 К*Ъ
Кы Кьъ
0 . .
Kid 0 0 . ,
Кб6 /Си? 0 , .
0
0
0
.0
.0
Элементы.
сохраняемые
для
поддиагоиального
запомнивпня
к„
Ки Kz2
Лз1 л за Къз
Kl2 КъЗ Kti
КъЭ Кы Къ5
Запоминание
симметричной
ленты
0 0 if,,
0 Ки Кг,
А31 Кзг К23
/(42 K*Z Kti
Ка KS, Кы
В случае поддиагоиального запоминания элемент Кса
матрицы жесткости К системы в первоначальном представлении
перейдет в элемент Ксе ленточного представлении в памяти
симметричных матриц, где
e = d + Bs — c+\, (6.11)
a Bs— полуширина ленты матрицы. Аналогично соотношение
справедливо для надднагональиого запоминания. Часто
желательно запомнить матрицу или ее часть как вектор, т. е. в виде
строки. Показанное в правой стороне табл. 6.2 представление
симметричной леитьт может быть свернуто в вектор
запоминанием последовательных строк или последовательных столбцов.
Ленточная матрица системы, соответствующая методу
конечных элементов, редко имеет контуры1) в виде прямых линий,
параллельных главной диагонали. Поэтому предпочтительнее
запомнить последовательно части столбцов матрицы (между
контурами) в виде вектора, особенно в том случае, когда в
качестве алгоритма решения используется исключение по
столбцам [2]. Когда лента очень редкая, может быть
предпочтительным использование одной из процедур, описанных в разд. 10.2.4,
исключающей хранение нулевых элементов. Однако при
недостаточно аккуратном программировании эти методы могут
требовать большого количества управляющих данных и становятся
неэффективными. Для редких матриц может быть ценной
процедура с запоминанием гнперматрицы, базирующаяся на
разбиениях, за исключением случаев, в которых алгоритм решения
основывается иа манипуляциях со специальными строками и
столбцами [3].
*) Верхний контур — это линия раздела между ненулевыми элементами
н областью, лежащей сверху справа и содержащей только нули. Нижний ков-
тур определяется аналогичным образом (по диагонали). Вместо термина
«контур» иногда используется термин «линия горизонта».

146 Глава в
6.3. ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ УЗЛОВЫМ
И ПОЭЛЕМЕНТНЫМ ОБЪЕДИНЕНИЕМ
В принципе объединение в матрицу системы К по узлам
несколько проще, чем по элементам, и может быть легче
запрограммировано. Однако объединение по узлам имеет недостаток,
который состоит в том, что вычисленные однажды подходящие
параметры элемента приходится запоминать для повторного
использования в других узлах того же элемента или забывать
и псрсвычислять их вновь, когда понадобятся. В первом случае
необходима дополнительная память, а во втором случае
требуется больше вычислений в сравнении с объединением по
элементам.
Существуют "две ситуации, когда объединение по узлам
выгоднее. Одна возникает в случае решения предельно больших
задач на обычных ЭВМ, а другая — при решении задач средних
размеров на миии-ЭВМ. В обоих случаях ограничением является
память ЭВМ, а не дополнительные арифметические действия,
поэтому целесообразен выбор непрямого (итерационного)
алгоритма решения с минимальной памятью (гл. 10). Простейшие
итерационные схемы, использующие только несколько строк
матрицы, вполне совместимы с этим требованием. До
настоящего времен!] итерационные схемы редко включались в пакеты
программ, реализующие метод конечных элементов [2—4], но
в результате прогресса вычислительной техники применение
мини-ЭВМ станет обычным, в связи с чем возникает
необходимость в больших программах, приспособленных для ннх.
Совершенствование новых формулировок метода конечных элементов,
таких как метод абсолютных и относительных перемещений
[5], которые приводят к итерационному решению, может
значительно ускорить использование мини-ЭВМ.
В случае объединения по элементам элементные матрицы
жесткости 1С получаемые для всех элементов по очереди,
включаются в матрицу системы К- Для каждого элемента параметры
необходимо вычислять только один раз. Как показано выше,
при использовании локальных координат необходимые
преобразования для элементных матриц можно осуществлять быстро.
С этой и других точек зрения объединение по элементам
широко применяется, и в большинстве больших пакетов программ
принят этот подход.
Приведенные в предыдущих главах вычислительные
программы использовали для решения системы уравнений
библиотеку подпрограмм, которая требует, чтобы матрица жесткости
системы К вместе с ее очевидной излишней информацией
входила в память. Это препятствие можно обойти нескольким!]
путями; одни из них, называемый тридиагонализацией, описы-
Вкономип оперативной памяти, разбиение и приведение 147
вается ниже. Другие, более эффективные подходы, такие как
фронтальный метод решения (см. разд. 10.2.4) и блочно-прямой
метод (см. разд. 3.3.8), детально описываются в литературе
[2-4].
6.4. ПРИВЕДЕНИЕ К ТРЕХ ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ
В том случае когда матрица жесткости системы К слишком
велика для полного запоминания (нлн запоминания
симметричной ленты), может быть использовано разбиение матрицы
системы на последовательность подматриц, каждая из которых
имеет размер, допустимый к обработке. Этот путь может быть
использован для приведения матрицы системы к трехд и а
тональному виду, что позволяет получить решение из системы
подматриц. Хотя есть и другие приемлемые процедуры, триднаго-
нализация остается полезным подходом, который позволяет
значительно сократить требования к памяти за счет использования
некоторых дополнительных программ.
Рассмотрим разбиение области, показанное на рис. 6.2, а, и
соответствующее разбиение матрицы системы на рис. 6.2,6.
Используя это разбиение, можно записать матрицу системы в виде
где Ki ii Кг — подматрицы К, v6i и ф2—блоки узловых векторов,
a Ri и R2— матрицы правых частей, соответствующие
разбиениям I и II. Матрица С] представляет влияние части II на часть
I, а Сг — влияние части I на часть II. Вследствие симметрии
матрицы К матрицы Ci и С2 должны содержать одинаковые
соответствующие элементы. Следовательно, уравнение (6.12)
может быть записано в виде
г к, с,та1 ткп
U k._L*H«.J- (6ЛЗ)
Из уравнения (6.13) получаются два уравнения с
подматрицами
Krfi + Crf2 = Ri, (6.14)
C[s6, + K2#2 = R2. (6.15)
Обратив матрицу Ki, обозначив обратную к ней через КГ1 н
умножив уравнение (6.14) слева на КГ > придем к следующему
результату:
Л-КГЧ-КГ'С^а. (6.16)

148
Глава €
Подстановка уравнения (6.16) в (6.1Б) дает после некоторых
преобразований выражение
#г = (К2Г%, (6.17)
где _ _ .
К2 = К2-СГКГ1С, R2 = Ri!-cfKr'Ri. (6.18)
Поскольку подматрицы в уравнении- (6.18) известны явно,
уравнение (6.17) может Сыть решено относительно фг
Подстановка решения ф2 в уравнение (6.16) позволяет получить
решение фи и вместо матрицы К в памяти достаточно хранить только
подматрицы Ki, Кг и Ci. Подматрицы Ki и Кг имеют различный
порядок, вследствие чего подматрица Ci не чвляется
квадратной, что часто встречается на практике. Пример рис. 6.2, о с
небольшим количеством узлов и только двумя разбиениями не
обнаруживает преимуществ рассмотренного подхода по
сравнению с ленточным хранением матрицы К.
Рассмотрим нумерацию н разбиение рис. 6.3, а.
Соответствующая ленточная матрица с ее разбиением приведена на
рис. 6.3, б Предположим, что матрица жесткости системы К
симметрична. Тогда она может быть представлена с разбиением
на подматрицы в виде
"К, С,
Ci Кг Сг
Сг Кз Сз
Сз К4
где К/, Фг и Ri — разбиение матрицы К, вектора узловых
значений и вектора правых частей соответственно для i-ro разбиения
(где £= 1, 2, 3, 4). С, представляет влияние r'-f- 1-го разбиения
иа £-е, где (=1, 2, 3. Видно, что матрица коэффициентов в
уравнении (6.19) является трехдиагональной ленточной
матрицей. Разбивая область на произвольное количество частей
(^3), можно всегда получить матрицу системы в
трехдиагональной форме.
Процедура решения уравнения (6.19) аналогична
предыдущему случаю и получается как обобщение равенств (6.18):
К,+1 = К,+1-С[(К,Г'Сг. (—1,2 N-1, (6.20а)
Ri+i = R,-+i - СГ(К|)-1 Ri, /= 1, 2 JV - 1, (6.206)
где N — число частей. Для i = 0 имеет место следующее
соотношение:
Ki = Ki, Ri = Ri. (6.20в,г)
01
Фг
[ф,
Фа
К.
R2
R3
R4
(6.19)
Экономия оперативней памяти, разбиение и приведение
*.
ет
7
is.
/-
S.
-7?
5.
^^
1.
^
Т4.
to.
е.
г.
14
11
в
5
TS.
11.
7.
3.
-
IS
IS.
К
в. -
«.
Решете изВестно
п. ж
а я
S I
Решение аздеетко
1
1
,,
; 2 j
Рис. 6.4. Разбиение сетки метода конечных элементов.
Первую подсистему из уравнения (6.19) описывают
выражением
Ki#i + Ci#2 = Ri, ' (6.21)
которое после использования равенств (6.20) и обратной
матрицы (Ki)-' принимает вид
s6I = (Kir1R|-(K.r1Cl562. (6.22)
Для второй подсистемы из уравнения (6.19) получаем
выражение
Cfoi + Кг#2 + С2#з = Rs. (6-23)
которое после подстановки ф\ из (6.22) и использования
равенств (6.20) может быть представлено в виде
#2 = (K2)~1R2-(K2)-'C2#3.
(6.24)
Из уравнений (6.22) и (6.24) становится очевидной общая
форма решения ф„ и можно легко показать, что
ф «= R; '5, - К,"' С^,+1, i = 1.2 N - 1. (6.25)

160-
Глава 6
. Из последней подсистемы получим
cJs6j + Ims64 = R4. (6.26)
Используя (6-20) н (6.25), придем к выражению
А = (К,Г%. (6.27)
Обобщение этого результата-дает
Ф„ = (К~')Лт (6.28)
что вместе с (6.25) определяет совокупность уравнений для всех
ф(, г= 1, 2, ...» N. Поскольку подматрицы известны явно,
уравнение (6.27) может быть разрешено относительно ф4
Затем последовательная обратная подстановка с использованием
уравнении (6.25) для i = 3, 2 и 1 дает решения ф3, фг и ф1я
Иллюстративный пример 6.1. Рассмотрим задачу теплопередачи рис. £.1
с использованием конечноэлементпой сетки рис 2.4. Пусть область
теплопередачи разбита, как показано на рис. 6.4. Матрица системы уравнений была
получена ранее и определяется выражением (2.36) Как показано на рис. 6.4,
решение известно в узлах с номерами 1, 2. 3 и 13, 14, 15. Следовательно,
соответствующие уравнения в узлах могут быть исключены в соответствии
с алгоритмом, описанным в разд. 3.3-4. Можно показа!ь, что матрица
жесткости системы К приводится к виду
200
400
200
б
0|, (6.29)
_0
400
800
400
10
-2
0
-4
0
0
-2
20
-2
0
-8
0
0~! -4 "0
-2 | 0-8
10 ] 0 0
61 10 -2
0 1 -2 20
-4 ' 0 -2
! -4 0
{ 0 -8
[ 0 .0
"П
о j
-4 |
0]-4 0
-2 1 0 -8
.wj__o„L
0 | 10 -21
6 1-2 20
-4 | 0-2
*~
0
0
-4
0
-2
10
Гг'1
т.
7>
7\
т„
т9
т,„
т„
bid
где показаны линии разбиения, соответствующие рнс. 6.4; можно видеть, что
матрица К симметрична. Уравнение (6.29) может быть также представлено
в виде
к, с,
с,т к2
. с/
т,
т2
Jk
=
к,"
R2
,R3_
(6.30)
где подматрицы соответствуют разбиению уравнения (6.29).
Экономия оперативной памяти, разбиение и приведение 151
Используя равенства (6.20) для К; и Ri при (= 1,2 нЭ, можно получить
*.-
10-2 0"
-2 20-2
0 -2 10
-2,33333 -
16,66667
- 2,33333
я,
- 0,03333"
- 2,33333
8,36667
Кз-
8,36667
-2,33333
L-0,03333
8.0060 -2,5833 -0,0893"
-2,5833 15,8333 -2.5833
L-0,0893 -2,5833 8,0060
Далее вычисляются матрицы, обратные к Ki? Кг и Ks:
Г196 20 4~
20 100 20
4 20 196
100
200
_100_
466,6667"
933,3333
466,6667
(6.31)
(6.32)
(6.33)
ДГ1-
19.20
(6.34)
1
й-1—
3 906,6788
Теперь получается решение Т3 из Т3 = (Кз)-1!*:
"120,0880 20.9126 8,0874
I
906,6788
20,9126
.8,0874
64,0881
20,8126
134 19,6 6
19,6 70 19,6
6 19.6 134
f 120,0880 20,9126 8,0874
20,9126 64,0881 20,9126
8,0874 20,9126 120.0880
в виде
466,6667
933.3333
20,9126
120,0880.
Решейие Те следует из уравнения (6.25) прн (
- 76,00 -
75,00
_ 75,00 _
"134 19.6
19,6 70
6 19,6
6
19,6
134 .
'100
200
100.
. 466,6667
= 2:
' —4
0
О
87,50 '
87,50
87,50
(6.35)
(6.36)
(6.37)
0
8
0
0"
0
—4_
-87,60"
87,50
_ 87,50 _
"
_
(6.38)
Наконец, Ti вычисляется из уравнения (6.25) при ( = 1:
1
1920
20 196 JL
200"
400
200.
—
"4
0
_0
0 0"
-8 0
0 -4_
-75,00"
75,00
- 75,00 _
=
"62,50"
62,50
. 62,50
(6.3

152
Глава б
Из уравнений (6.37)—(639) можно составить сводку значений решения.
Г, =50,
7. = 62,5,
7V = 75,
Г10 = 87,5,
r„=-100L
7i=S0,
7s = 62,5,
Г» =75,
Г„=67,5,
Т„ = 100,
Га =50,
Те = 62,5,
Те = 75,
7,2 = 87,5,
7Т,5=100,
(6.40)
которая совпадает с приведенной ранее [см. (2.37)].
Упражнение 6.1. Составьте блок-схему и разработайте вычислительную
программу, основанную на алгоритме приведения к трехдиагональному виду,
описанному в раэд 6.4.
Литература
1. Geurge J Л, On the density of finite element matrices, Internal. J Numer
Methods Engrq, 5, 297—300 (1972)
2. Bathe K-J , Wilson E L, Numerical Methods in Finite Element Analysis
Prentice-Hall, Engleuood Cliffs, New Jersey, 1976
3. Fcnves S J, Perrone N, Robinson A R, Schnobrich W C. (eds.), Numerical
and Computer Methods in Structural Mechanics. Academic Press, New York,
4. Nome D H., de Vnes G., Finite Element Bibliography, Plenum, New York -.
1976 *
5. Wilson E L, Special numerical and computer techniques for the analysis
~ of finite element systems, Proc U. S —Germany Symp. Formulations and
Computational Algorithms in Finite Element Analysis, 9—13 August 1976
MIT, Cambridge. Massachusetts. ' *
7
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО
ПРИЛОЖЕНИЕ
В этой главе кратко описываются некоторые основные понятия
теории вариационного исчисления и их приложения к задачам
расчета полей. Дополнительные подробности вариационного
исчисления могут быть найдены в соответствующих учебниках
[1—3]. Вариационное исчисление широко применяется в физике;
некоторые наиболее важные приложения описываются в конце
настоящей главы.
7.1. МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИЙ
7.1.1. ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Основная теорема математического анализа устанавливает, что
любая функция у = 1(х), непрерывная1) в области а ^ х ^ Ь,
достигает своих минимального и максимального значений в
этой области. Более того, если f(x) достигает своего минимума
(или максимума) в х = хо, где а < х0 < Ь, то Xq может быть
иайдеио как решение x = x0 уравнения
df{x)/dx = 0, (7.1)
если в хо существует первая производная функции 1(х). '
Утверждение, приводящее к уравнению (7.1), может быть
выражено в следующей альтернативной форме. Если
непрерывная функция y = f(x), определенней в области о ^ х ^ Ь,
достигает своего максимального или минимального значения в
точке х = хс, то первая производная f(v) по л: в этой точке
должна обращаться в нуль, н, следовательно, первая вариация
функции f, обозначаемая 6f, которая иногда рассматривается
как дифференциал df, должна обращаться в нуль для любого
изменения 6х в х, т. е.
t>f = (df/dx)l>x = 0. (7.2)
Дальнейшее дифференцирование функции y = f{x) определяет
относительный минимум, максимум или минимаксное условие
4) Здесь и ниже предполагается, что удовлетворяются условия,
необходимые для существования и непрерывности функции и ее производных.

152
Глава б
Из уравнений (6.37)—(6.39) можно составить сводку значений решения:
Г, = 50, Fs =50, Та *- 50,
Г4 => 62,5, Тъ = (32,5, Те = 62,5,
Т7 = 75, Гв = 75, П = 75, (6.40)
Г10 => 87,5, ?!, = 87,5, Т12 = 87,5,
7,з=юо, Гц = юо, rls=. юа
которая совпадает с приведенной ранее [см. (2.37)].
Упражнение 6.1. Составьте блок-схему н разработайте вычислительную
программу, основанную на алгоритме приведения к трехдиагональному виду,
описанному в разд. 6.4.
Литература
1. Geurge J. Л., On the density of finite element matrices, Internal. J. Numer.
Methods Engrv., 5, 297—300 (1972).
2. Bathe K-J., Wilson E. L., Numerical Methods in Finite Element Analysis,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.
3. Fcnves S. J., Perrone N., Robinson A. R., Schnobrich W. C. (eds.), Numerical
and Computer Methods in Structural Mechanics Academic Press New York
1973,
4. Korric D. H., de Vries G., Finite Element Bibliography, Plenum, New York,-
1976.
5. Wilson E. L., Special numerical and computer techniques for the analysis
' of finite element systems, Proc. U. S. — Germany Symp. Formulations and
Computational Algorithms in Finite Element Analysis, 9—13 August 1976,
MIT. Cambridge. Massachusetts.
7
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО
ПРИЛОЖЕНИЕ
В этой главе кратко описываются некоторые основные понятия
теории вариационного исчисления и их приложения к задачам
расчета полей. Дополнительные подробности вариационного
исчисления могут быть найдены в соответствующих учебниках
[1—3]. Вариационное нечисление широко применяется в физике;
некоторые наиболее важные приложения описываются в конце
настоящей главы.
7.1. МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИЙ
7.1.1. ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Основная теорема математического анализа устанавливает, что
любая функция y = f(x), непрерывная1) в области а ^С х ^С Ь,
достигает своих минимального и максимального значений в
этой области. Более того, если f(x) достигает своего минимума
(или максимума) в х = ха, где а<х0<Ь, то х0 может быть
найдено как решение х = хо уравнения
df(x)/dx = 0, (7.1)
если в хс существует первая производная функции f(x). '
Утверждение, приводящее к уравнению (7.1), чожет быть
выражено в следующей альтернативной форме. Если
непрерывная функция i/ = f(*). определенная в области а =g: х ^ Ь,
достигает своего максимального или минимального значения в
точке х = хо, то первая производная Цк) по х в этой точке
должна обращаться в пуль, и, следовательно, первая вариация
функции f, обозначаемая if, которая иногда рассматривается
как дифференциал df, должна обращаться в нуль для любого
изменения 6х в х, т. е.
6f = (dfldx)6x = 0. (7.2)
Дальнейшее дифференцирование функции y = f(x) определяет
относительный минимум, максимум или минимаксное условие
') Здесь и ниже предполагается, что удовлетворяются условия, иеобходн.
мые для существования и непрерывности функции и ее производных.

154
Г пава 7
функции f{x) в точке х = л:0:
минимум, если d2f/dxu > 0 при х = ха, (7.3а)
максимум, если d2f/dxu < 0 при х = ха, (7.36)
миинмакс, если d2f/dxu==0 при * = *!). (7~3в)
Уравнение (7.1) [или, в альтернативной форме, (7.2)]
представляет собой необходимое условие существования минимума
функции Цх) в точке хо, хотя выражения (7.3) показывают, "что
оно не является достаточным условием. Уравнение (7.2)
является, однако, необходимым и достаточным условием
стационарности функции f(x) в точке х = х0 Говорят, что функция f(x)
стационарна в точке Х — Ха, если она в этой точке либо
достигает своего минимума или максимума, либо удовлетворяет
условию минимакса.
" 7.1.2. ФУНКЦИИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Теперь рассмотрим необходимые условия стационарности
значений непрерывной функции
* = /(*, У). ' (7.4)
Поскольку z зависит и от х, и от у, необходимо
дифференцировать по обеим переменным и совместно решать полученные в
результате уравнения. Таким образом, если функция г является
стационарной в точке (хо, Цо), то х0 и ув будут решениями
системы уравнений
дЦдх = 0, (7.5а)
dfldy = 0; (7.56)
С другой стороны, если z = f(x, у) стационарна в точке
(x, у) = (х0, (/о), то вариация этой функции должна быть
нулевой для любых вариаций 6.v и by, т. е.
*И!-)*+Ш<*-° <™>
в точке {х, у) — (хо, г/о) • Уравнения (7.5а) и (7.56) след-уют из
(7.6) ввиду произвольности и бх, и 6(/.
7.1.3. ФУНКЦИИ л НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Процедура, приведенная в предыдущем разделе, может быть
обобщена на функции п независимых переменных. Рассмотрим
функцию f(xt, Xi х„), непрерывную в замкнутой области.
Вариационное исчисление и его приложение
155
Можно ожидать, что найдется точка (ж,, xv ..., *„)=(*?, х\, ...
..., х°) = Х°, в которой функция f(x,) стационарна.
Обобщение уравнения (7.6) показывает, что необходимым и
достаточным условием стационарности функции f(xi) в точке Х°
является равенство нулю в этой точке первой вариации функции
f(xt) для произвольных вариаций 6*1, I = 1, 2, ,.., п, т. е.
•■•+ffi6*»=°- <">
Уравнение (7,7) может быть переписано в более простой форме:
Ч1^И = Е«^ 0, (7.8)
д! (Х°) д! (х.) I
где
есть частная производная от f(xt) по */, вычисленная в точке Х°,
Поскольку уравнение (7.7) является верным для любых
вариаций 6х,, / = 1, 2, ..., п, все они кроме одной могут быть
выбраны пулевыми. Пусть независимой переменной, для
которой выбрана ненулевая вариация, будет хк, т. е.
6^ = 0, 1=1, 2, ..., п, }фк. (7.10)
Подставляя уравнения (7.10) в (7.7), получим
^^l16*^0 <711>
для произвольного значения bxt. Отсюда следует, что
а/(Х°)/д*4 = 0. (7.12)
Поскольку независимая переменная хк была выбрана
произвольной, выражение (7.12) должно быть справедливо для всех
xs. Поэтому необходимое и достаточное условие
стационарности функции 1(х,) в точке X" сводится к системе совместных
уравнений
df(X°)/dx, = 0, i—l, 2, .... п, (7.13)
7.2. МНОЖИТЕЛИ ЛАГРАНЖА
В предыдущем разделе были рассмотрены необходимые и
достаточные" условия стационарности функции независимых
переменных. Однако во многих приложениях не все переменные

156
Глава 7
независимы. Рассмотрим, например, необходимые и достаточные
условия стационарности непрерывной функции f{x,), £== 1,2, ...
..., п, определенной в данной области, если xt удовлетворяют
т уравнениям связей
ёьЫ = 0. ft=l, 2 m, m<«. (7.14)
Один из возможных методов решения состоит в следующем:
т уравнений связи могут в принципе быть решены для m
переменных в терминах оставшихся п — т переменных. Полученные
таким образом связи после подстановки в функцию f(xt),i =
= 1, 2, ..., п, дадут новую функцию F(xm+U хт+2, ••■, хд).
В этой функции все переменные хт+и хт+2, .... хп независимы,
поскольку уже исключена первоначальная зависимость. Поэтому
критерий, опнсаииый в разд. 7.1.3, может быть
непосредственно применен к F{xm+u хт+2, ..., хп), что даст п — т уравнений
dF(xm+u лт+2, ..., x„)/dxi = ,0, j = m-\- l, m + 2, ,.., п, (7.15)
которые вместе с т уравнениями (7.14) образуют систему п
уравнений, из которой могут быть определены п искомых
переменных л:{, я|, ..., л*.
Хотя вышеприведенная процедура дает правильное решение,
она является весьма громоздкой на практике, особенно если
рассматриваются функции трех и более переменных. Более
элегантный подход получается при использовании метода
множителей Лагранжа, который описывается ниже.
Уже установлено, что необходимым и достаточным условием
стационарности функции f(x,) в точке Х° явлиется равенство
нулю в этой точке первой вариации f(xt) для произвольных
вариаций 6xf, т. е.
а№) = £-^б*/ = о. (7.16)
В рассматриваемом случае, однако, не все Xi независимы, и,
следовательно, нельзя сделать вывод, что все частные
производные dj(X°)/dx, одновременно обращаются в нуль. Из
уравнений связи (7.14) получаем
6ЫХ°) = £^г5-8*; = 0, *-1, 2 т, т<п. (7.17)
/-1 '
В эти уравнения следующим образом вводятся т новых
переменных— множители Лагранжа V Яа i,m. Каждое нз
уравнений (7.17) умножается иа соответствующее Ял, а результяты
Вариационное исчисление и его приложение 167
прибавляются к (7.16), что дает
Поскольку величины %к произвольны, оии могут быть
выбраны так, чтобы первые т членов в квадратных скобках в (7.18)
обращались в нуль. Оставшиеся п— т переменных х, в (7.18)
независимы, следовательно, их вариации Ьх, произвольны и
соответствующие п — т членов в квадратных скобках (7.18) также
должны обращаться в нуль. Таким образом, эти два условия
дают систему п уравнений
которые вместе с т уравнениями связи (7.14) образуют си:
стему m -f- п уравнений с m + п неизвестными Л,, К2, ..., Лт, ж*
xv •••, хп.
Процедура, описанная выше, может быть построена нз
Других соображений. Пусть новая функция F(xi,x2y ..*., хп\ Яь
Лд, ..., hn) определяется как
т
F (х,; Я,) = f {х,) + Е Kgt W, 1 = 1,2 п, (7.20)
/ = 1, 2 т, m <n.
Поскольку т уравнении связи (7.14) включены в выражение
(7.20) для F{xr, Я,), очевидно, что F(x,\ ?.,) есть функция п + т
незввисимых переменных. Поэтому (см. разд. 7.1.3) для
стационарности F(xr, Я/) необходимы и достаточны следующие
условия:
dF{xt; Я/)А?д;/ = 0, /= I, 2, ...,-л, (7.21а)
df (х,\ Ц/dlt = 0, k = 1, 2, ,.., т. (7.21 б)
Подставляя F{xr, Я,) из (7.20) в (7.21), получим систему
m + и уравнений
gt(xt) = 0, k=\, 2 m, (7.23)
которые совпадают с (7.19) и (7.14) соответственно.

1S3
Глава 7
Изложенное выше показывает, что метод множителей Ла-
гранжа является эффективным средством, когда приходится
иметь дело с уравнениями связи. Часто граничные условия в
задаче расчета поля могут рассматриваться как уравнения
связи и может применяться метод множителей Лагранжа.
7.3. МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
В предыдущем разделе рассмотрена задача поиска
стационарных значений явной функции. Во многих приложениях, однако,
требуется найти стационарное значение интеграла, а не
функции. Поскольку известно, что интеграл является функционалом,
будут рассмотрены условия, необходимые для его
стационарности.
7.8.1. ОДНА НЕЗАВИСИМАЯ И НЕСКОЛЬКО ЗАВИСИМЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ —УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
В этом разделе будут исследованы функционалы с одной
независимой и несколькими зависимыми переменными Рассмотрим
функционал
. Х = \р\у,(к), ^£^]dx, 1=1, 2 т, (7.24)
о
при условиях
у,(а) = а,, у,(Ь) = Ь„ (7.25)
где функция F зависит не только от х, но и от щ функций ш (х)
и их первых производных dy,(x)/dx. Пробные функции yi(x) в
(7.24) должны быть допустимыми, т. е. они не должны
нарушать каких-либо требований вариационного процесса. Для этой
задачи к допустимым функциям относятся те функции, которые
являются непрерывными и имеют кусочно-непрерывные первые
производные вв<1<().
Рассмотрим теперь вариацию х, которая для стационарного
значения интеграла (7.24) примет вид1)
6x=i[^<+w^6(w-)]d*=°- (7-26)
Записывая
tf^dyjdx (7.27)
и замечая, что
б idyjdn) « d {bydldx = (6*/,)', . (7.28)
"*) Используя стандартное обозначение суммирования (см. разд. 1.3.3).'
Вариационное исчисление и его приложение 15д
перепишем (7.26) в виде
«X = \ \~ by, + -J-T- (6i/,)'1 Же — 0. (7.29)
Интегрируя по частям второй член (7.29), получим-
4[f-^(f)]6^+f6^°- (7-зо)
Если пробные функции </,(*) удовлетворяют главным
граничным условиям (7.25), то (7.30) сводится к
Н [£--=-(&)] *'<ь-°- (7-з1)
Поскольку выражение в квадратных скобках (7.31) внутри
Интервала интегрирования непрерывно, а вариации 6{/„ I =
= 1, 2 т, произвольны,
%-Нж)-0- i-1-a m- (7-32)
Уравнения (7.32) являются обыкновенными
дифференциальными уравнениями второго порядка и называются уравнениями
Эйлера для этой задачи. Специальные пробные функции у,(х),
для которых х имеет стационарное значение, также
удовлетворяют уравнениям Эйлера.
18.2. ОДНА ЗАВИСИМАЯ И НЕСКОЛЬКО НЕЗАВИСИМЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Во многих задачах функционал имеет только одну зависимую и
несколько независимых переменных. Для иллюстрации
необходимых и достаточных условий наличия стационарного значения
будет исследован функционал
D S
где р — функция координат т'очки, расположенной на границе
S, заключающей область В, и где для допустимости пробных
функций Т(х, у) требуется их непрерывность вместе с кусочной
непрерывностью первых производных в D -\- S.

160
Глава 7
Как и ранее, необходимым условием стационарности %
является обращение в нуль вариации б%, т. е.
M[£6(£)+f6(f)]dD+HdS=°- (7-34)
D S
Замечая, что ' "
ьШ=-£гт- (7-35б)
можно записать (7.34) в виде
^=\[J&-W^+JW-km]dD+\''l'TdS-0- (7'36)
D " S
Формула Грина может быть записана следующим образом:
$(££+■&£)">-- \»&+w)dD+
D D
+$° (-£-»«+-£"»)'«■ (7-37>
где пх и пу — компоненты единичной внешней нормали к S,
обозначаемой п. От функций и — и(х, у) и v = v{x, у) требуется
их непрерывность в -D + S и кусочная непрерывЕгоеть их вторых
производных в Л+S. Первые производные функции и должны
быть непрерывными, а функции v могут быть
кусочно-непрерывными [4J.
Сначала рассмотрим случай, когда функция Т непрерывна
вместе со своими первыми производными в D + S, Поскольку
условия непрерывности 6Т те же, что и для Т, формула Грина
может быть использована для того, чтобы преобразовать
интеграл по области к виду
\ [тИгж™ + WW{W)] dD-~\ 6™TdD +
+ \ (lkn' + -Wne)bTdS = - \ №TdD+\^bTdS, (7.38)
S OS
где
V2r = (дЧ/дх?) + (d2W). (7.39)
Подставляя (7.38) в (7.36), получим окончательно
6x=-$V27-67-rfD + 5(p + |^-)67-dS = 0. (7.40)
Вариационное исчисление и его приложение
Ш
Поскольку интегралы по области и по границе в (7.4CL)
независимы, имеем
jjv2r6rd£) = 0 {7.4 la)
D
S(p + lr)erdS=0- (7-41б>-
s
Ввиду произвольности 67" в U из (7.41а) следует
у2Г = 0 в D, (7.42)
а из (7Г416)
(6Т/дя) + р = 0 иа S. (7.43)
С другой стороны, если функции Т(х, у) на части границы,
обозначаемой 5i, предписано условие Т — g, т. е.
T = g на Su (7.44)
которое не оговаривается для оставшейся части, обозначаемой-
Ss1), где
S^Si + S^, -(7.45)
и, кроме того, если пробные функции Т(х, у) выбираются таким
образом, чтобы удовлетворить граничным условиям (7.44), то
вариации Т обращаются в нуль на Si, т. е.
6Г = 0 иа S,. (7.46)
Тогда выражение (7.416) принимает вид
Kp+^)(>TdS=o- <7-47>
что с учетом произвольности 67" на 5г дгет
(дТ/дп)~\-р'-=0 на S2. (7.48)
Теперь рассмотрим случай, когда функция Т является
непрерывной и имеет кусочно-непрерывные первые производные.
Поверхности разрыва первых производных разделяют область Ь
на подобласти. К каждой из подобластей может быть
применена формула Грина, и, следовательно, уравнение (7.38)
справедливо для подобласти.
Объединение этих уравнений для подобластей дает
уравнение для области, совпадающее с уравнением (7.38), за
исключением дополнительного члена bvправой части— интеграла но
поверхности раздела. Этот интеграл оказывается слагаемым в
') В этом случае поверхностный интеграл в (7.33) н последующих
уравнениях относится соответственно к Sa.

162
Глава 7
среднем выражении уравнения. Однако благодаря тому что БТ
является произвольной величиной на D-{-S, интеграл по
области, поверхностный интеграл и интеграл по поверхности раздела
в (7.40) должны быть независимыми и по отдельности
равняться нулю. Поэтому уравнения (7.41) — (7.48) остаются
справедливыми, когда функция Г непрерывна и имеет
кусочно-непрерывные первые производные.
Короче говоря, из вышеизложенного следует, что функция ')
Т(х, у), обеспечивающая стационарность функционала (7.33),
является также решением уравнения для поля
V27- = 0 в Г> (7.42)
и удовлетворяет условию Дирихле
T = g на S, ' (7.44)
и условию Неймана
(дТ1дп) + р = 0 на S2. (7.48)
В рассмотренном примере граничное условие Дирихле (7.44)
является предписываемым, или главным граничным условием,
тогда как условие Неймана (7.48) представляет собой
естественное граничное условие. Последний термин естественным
образом вытекает из самой вариационной процедуры. Кстати,
следует заметить, что в некоторых случаях естественное граничное
условие может быть изменено модификацией функционала,
чтобы удовлетворить требованиям исследуемой задачи
7.4. ДОПУСТИМОСТЬ И КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Важно, чтобы была совершенно понятна роль, которую играют
условия допустимости, налагаемые на пробные функции в
вариационной задаче. Функционал для такой задачи может быть
записан в общем виде следующим образом:
Х=\р(Уи Уг ym)dD, (7.49)
где у„- i= 1, 2, ..., m, — функции Независимых переменных.
Для использования" вариационных процедур, описанных в
разд. 7.3.1 и 7.3.2, нужно указать требования к гладкости
пробных функций уи ijs, .-., Ут, которые используются в (7.49). Эти
требования к гладкости являются условиями допустимости
функций в рассматриваемой задаче. Для простоты будет про-
») Из класса допустимых функций, т. е. таких, которые являются вепре-
рывными и имеют кусочио-нсирерывиые первые производные.
Вариационное исчисление и его приложение
163
анализирован случай одной зависимой переменной, т. е. m = 1
в (7\49), но рассуждения легко могут быть обобщены на случай
двух и более зависимых переменных.
Следует отметить, что требования к гладкости, налагаемые
на пробную функцию определяющим дифференциальным
уравнением, функционалом и вариационными преобразованиями1),
вообще говоря, различны. Рассмотрим в качестве примера
задачу из разд. 7.3.2, которой соответствует дифференциальное
уравнение второго порядка (7.42). В физической задаче,
описываемой этим уравнением, физическое решение обычно
является непрерывным вместе с непрерывными первой и второй
производными. Функционал (7.33) содержит только первые
производные и может быть вычислен, если пробная функция
непрерывна и имеет кусочно-непрерывные первые производные.
Если бы функция сама была кусочно-непрерывной, то первые
производные были бы неопределенными 2) в точках разрыва и
значение интеграла соответствен но было бы неопределенным.
Хотя вариационные преобразования между (7 35) и (7.38)
накладывают требования непрерывности пробной функции вместе
с непрерывностью первых производных, заметим, что
формулировка может быть обобщена на случай непрерывности пробной
функции и кусочной непрерывности первых производных
Условия для этого случая являются самыми слабыми допустимыми
условиями относительно гладкости функций, налагаемыми
вариационной процедурой, и поэтому рассматриваются как
условия допустимости задачи.
Заметим, что условия гладкости, допускаемые
вариационными преобразованиями, совпадают с аналогичными условиями,
налагаемыми функционалом. Действительно, условия гладкости,
связанные с вариационными преобразованиями, не могут быть
более общими, чем соответствующие условия, определяемые
только функционалом. В следующей главе будет определен
довольно широкий класс инженерных задач, определяемых
уравнением (8.3). Для этого класса наиболее общие условия
гладкости, допускаемые вариационной проиедурой, совпадают с
условиями, получающимися из функционала. Но, как показано в
разд. 8-8, это не всегда верно для других задач.
') Условия допустимости задают гладкость, требуемую для вариационное
процедуры Для удобства в этом разделе гладкости, допускаемые
функционалом и (остальными) вариационными преобразованиями, рассматриваются
по отдельиостп, поскольку преобразования налагают более жесткие
требования, чем условия допустимости
*) В литературе такие неопределенные производные иногда представля*
ютсп бесконечными производными В рамках обычного математического
анализа это не корректно, но. определяя разрывность в терминах б-фупкции,
такое представление можно согласовать [5, 6].

164 Глава 7
Для задачи из разд. 7.3.2 необходимо рассмотреть
следующие условия непрерывности:
Требования к непрерывности пробной
функции
Источник
а) Дифференциальное Непрерывность функции и ее первой и второй _
уравнение производных
б) Функционал Непрерывность функции и кусочная
непрерывность первой производной
в) Вариационное преоб- Непрерывность функции и кусочная непрерыв-
разование пость ее первой и второй производных
Класс пробных функций а) входит в классы б) ив), поскольку
непрерывную функцию можно рассматривать как частный
случай кусочно-непрерывной функции. Рассмотрим теперь случай,
когда решение дифференциального уравнения ищется
посредством выбора среди допустимых пробных функций именно той
функции, которая обеспечивает стационарное значение функ-"
ционала.
Если ие указаны дополнительные условия гладкости, одно и
то же решение может быть найдено независимо от того, сделан
ли выбор из ограниченного множества пробных функций,
указанных в а), или более широкого класса, допускаемого в в). Это
решение непрерывно вместе с первой и второй производными.
Как показано Курантом и Джоном [7], вариационная процедура
всегда дает решение, непрерывное вместе с производными, если
допустимые пробные функции обладают такой же гладкостью.
Однако если пробная функция описана в терминах конечных
элементов, то тип выбранного элемента может помешать
непрерывности производных при переходе через границу между
элементами. Для пояснения этих идей рассмотрим линейный трех-
узловой треугольный элемент в задаче из разд. 7.3.2.
Непрерывная пробная функция для температуры Т имеет точно1)
кусочно-непрерывные первые производные. Поскольку при условиях
непрерывности б) и в) вариационная процедура справедлива,
то в классе допустимых функций может быть найдена
конкретная пробная функция, для которой функционал принимает
стационарное значение. Может быть показано, что для
рассматриваемой задачи стационарное значение, полученное вариационной
процедурой, действительно является минимумом. Однако при
выбранном конечном элементе этот минимум не так мал, как
-минимум2), который был бы получен, если использовать
пробную функцию не только непрерывную, но п имеющую
непрерывные производные. Поэтому решение, полученное с помощью ко-
') Т. с. имеются причины, мешающие непрерывности первых производных.
Е) Он должен быть наименьшим значением для фупкшюпгпа, которое
можно получить при ограничениях на гладкость, определяемых вариациошюи
процедурой для рассматриваемрй задачи.
Вариационное исчисление и его приложение 165
вечных элементов, является аппроксимацией точного решения')
дифференциального уравнения.
Из вышеизложенного следует, что выбранная для некоторой
задачи пробная конечноэлементиая функция не .должна
нарушать вариационной процедуры, т. е. ее гладкость должна
удовлетворять условиям допустимости2).
^ 7.5. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ФИЗИЧЕСКИХ
ЗАДАЧАХ
Для многих физических задач правильно сформулированный
вариационный подход приводит к функционалу, стационарное
значение которого дает решение задачи. Некоторые часто исполь-
- зуемые функционалы удачно описаны Десаи и Абелем [8]. Как
замечено Финлейсоном и Скрайвеном [9], истинные
функционалы обычно могут быть найдены только для линейного и
самосопряженного определяющего уравнения. Для других задач
было предложено большое количество различных так
называемых вариационных принципов. Одним из первый был
вариационный принцип Онзагера [10]; за ним были введены
принципы Розена [П —13], Чамберса [14], Херайвэла [15], Хейса
[16], Гленсдорфа и Пригожшш (он ввел локальный потенциал)
[17, 18] и Байота [19—22].
Указанные вариационные принципы были проанализиро*
. ваны Финлейсоном и Скрайвеном [9], показавшими, что эти
принципы не являются чисто вариационными, а эквивалентны
„методу Галеркипа или аналогичному методу невязок, который
" фактически легче применим. Другие вариационные принципы
разработаны Либером и др. [23, 24], Виссером [25] и Гартвдюм
[26]. Метод последней работы был использован для конечно-
элементного анализа динамических задач [27—29], но по
крайней мере в одном случае была показана [30] эквивалентность
этого подхода методу Галеркипа.
Из вышесказанного трудно не сделать вывод, что, кроме,
линейных самосопряженных задач, не представляют особой
ценности попытки найти вариационное конечноэлементное решение
более простым путем, чем методом невязок. Как было указано
Финлейсоном и Скрайвеном [9],
«эти схемы аппроксимации гораздо легче воспринимаются как прямой метод
Галершша или другой близкий вариант метода взвешенных невязок. Посколь-
') Т. е. это решение непрерывно вместе со своими первыми в вторыми
производными.
Е) Иногда можно нарушить эти условия и все же получить решение,
которое ие только дает удовлетворительную аппроксимацию точного решения,
"но и сходится к нему, когда размер элемента стремится к нулю (см.
подраздел в разд. 8.4, посвященный несогласованным элементам).

166
Глава 7
ку эти процедуры прямой аппроксимации полностью обходятся без красот
вариационной формулировки, им не придается особого значения в
литературе...
Кроме того, линейные самосопряженные системы па практике встречаются
сравнительно редко, так что в вариационной формулировке нет особой
практической необходимости. Для получения приближенною решения лучше
посоветовать ученому-прикладгшку и инженеру непосредственно использовать
для их задач методы прямой аппроксимации вместо того, чтобы разбираться
в квазивариациоиных формулировках и ограниченных вариационных
принципах».
Литература
1. Schccter R. S., The Variational Method in Engineering, McGraw-Hill, New
York, 1967. ГИмес-тся перевод: Шехтс-р Р. С, Вариационный метод в
инженерных расчетах. — М.: Мир, 1971.]
2. Forrav M. J.. Variational Calculus in Science and Engineering, McGraw-
Hill, New York, 1968.
3. Мнхлнн С Г., Вариационные методы в математической физике. — М.:
Наука, 1970.
4. Sternberg W. J. and Smith T. L., The Theory of Potential and Spherical
Harmonics, Univ. of Toronto Press, Toronto, 1944; rev. ed. 1946.
5. Lynn P. P., Arya S. K.. Finite elements formulated by the weighted least
squares crilerion, Int. J. Num. Meth. Engrg., 8, 71—90 (1974).
6. Strang G., Variational crimes in the finite element method, in: Mathematical
Foundations of the Finite Element Method with Applications to Partial
Differential Equations (A/iz A. K-, cd.), pp. 689—710, Academic Press, New
York, 1972.
7. Courant R., John F., Calculus and Analysis, Vol. 2, Wiley -<fnterscience),
New York, 1974.
8. Desai C. S„ Abel J. F., Introduction to the Finite Element Method, Van
Kostrand-Rcinhold, Princeton, New Jersey, 1972.
9. Finlayson В A., Scriven L. E_, On the search for variational principles,
Internal. J. Heat Mass Trasfer, 10, 799—821 (1967).
10. Onsager L„ Reciprocal relations in Irreversible processes, Phys. Rev., 37,
405—126 (1931).
11. Rosen P., On variational principles for irreversible processes. /. Chem.
Phys., 21, No. 7. 1220—1221 (1953).
12. Rosen P., Use of restricted variational principles for the formation of
differential equations, /. Appl. Phys., 25, 336—338 (1954).
13. Rosen R., Variational approach to magneto-hydrodynamics, Phys. Fluids, I,
251 (1958).
14. Chambers L. C, A variational principle for the conduction "of heat, Quart.
J. Mech. Appl. Math., 9, 234—235 (1956).
15. Herivel J. W., A general variational principle for dissipative systems, I All,
Proc. Roy. Irish Acad., 56, Sect. A, 37—44, 67-75 (1954).
16. Hays D. F., Variational formulation of the heat equation: Temperature-
dependent thermal conductivity, in: Non-Equilibrium Thermodynamics,
Variational Techniques and Stability (Donnely R. J., Ilerrman R., Prigogine I.,
eds.), pp. 17—43, Univ. of Chicago Press, Chicago, Illinois, 1966.
17. Glansdorff P., Prigogine f.. On a general evolution criterion In mascroscoplc
physics, Physica, 30, 351—374 (1964).
18. Glansdorff P., Prigogine 1., Sur les proprietes dlfferentielles de la
production d'enlropie, Physica Grav., 20, 773—780 (1954).
19. Biol M. A., Variational principles in irreversible thermodynamics with
application to viscoelastlchy, Phys. Rev., 97, 1463—1469 (1955).
20. Biot M. A., New Methods in heat flow analysis with application to flight
structures, /. Aeronaut Set., 24, 857—873 (1957),
Вариационное исчисление и его приложение 167
21. Biot M. A., Further developments of new methods in heat-flow analysis
/. Aerospace Sci., 26, 367—381 (1959).
22. Biot M. A., Variational Principles in Heat Transfer, Oxford Univ. Press,
London — New York, 1970.
23. Lieber P., Koon-Sang W., A principle of minimum dissipation for real fluids
Proc. Internal. Congr. Appl. Mech., 9th, Brussels, pp 114—126 1957
24. Lieber P., Anderson O., Кооп-Sang W„ A principle of virtual displacements
for real fluids, Proc. Internal. Congr. Appl. Mech. 9th. Brussels pp 106—
113, 1957. ' ' Vi
25. Visser W„ A finite element method for the determination of nonslalionary
temperature distribution and temperature distortion, Proc. Con, Matrix
Methods Struct. Mech., 1st, Wright-Patterson AFB, Ohio, 26—28 October 1965
(AFFDL-TR-66-80), pp. 925—943, November 1966.
26. Giirtin M. Variational principles for linear initial value problems Quart
Appl. Math., 22, No. 3. 252—256 (1961).
27. Wilson E. L., Nickel? R. E., Application of the finite element method to
heat conduction analysis, hurt. Engrg. Design, 4, 276—286 (196C).
28. Brocci R. A., Analysis of axisymmetric linear heat conduction problems by
finite clement method. Paper 69-WA/HT-37, ASME Winter Annual Meeting
Los Angeles, California, November 16—20, 1969.
29. Javandel 1., Witherspoon P. A., Application of the finite element method
to transient flow in porous media, Soc, Pet Engrg. J.. 241—252 (September
1968) Talso in the Transactions, 343 (1968)].
30. Lemraon E. C„ Hcalon H. S., Accuracy, stability and oscillation
characteristics of finite element method for solving heat Conduction equation Paper
69-WA/HT-35, ASME Winter Annual Meeting, Los Angeles California
November 16—20, 1969.

8
СХОДИМОСТЬ, ПОЛНОТА И СОГЛАСОВАННОСТЬ
Обычно решение, полученное методом конечных элементов,
является приближением к истинному, или точному, решению. Как
близко это вычисленное решение к точному и сходится оно или
нет —вот два важных вопроса. В этой главе с помощью
эвристических аргументов оцениваются точность и сходимость
метода конечных элементов.
8.1. ТОЧНОСТЬ, УСТОЙЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ .
ПРИ ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ
Когда выбирается вычислительная процедура, необходимо
оценить наряду с другими ее характеристиками точность,
устойчивость и сходимость. Точность — это мера близости численного
решения к точному, или истинному, решению. Устойчивость1)
определяется ростом ошибок при выполнении отдельных
вычислительных операций. Неустойчивое вычисление является
результатом аппроксимации, округления или других ошибок,
которые неограниченно накапливаются, вследствие чего истинное
^решение вскоре тонет в ошибках. Сходимость — это постепенное
приближение последовательно вычисляемых решений к
предельному по мере того, как уточняются некоторые
вычислительные параметры, такие, как размер элемента или число членов в
пробном решении. Термин «сходимость» в этом же смысле
применяется и к итерационной процедуре, в которой некоторые или
все результаты одного вычисления становятся входной
информацией для другого (повторного) вычисления. Таким образом, в
сходящейся процедуре разница между последовательными
результатами уменьшается, стремясь в пределе к нулю. Эти три
термина иллюстрирует рис. 8.1. Более точные определения
можно найти в книгах по численному анализу и методам
вычислений [1—3]. Следует отметить, что желательной является
устойчивость каждого вычисления, когда последовательные
результаты быстро сходятся к точному решению.
») Анализ устойчивости метода конечных элементов выходит за пределы
данной книги и не будет расематрива i вся Однако везде предполагается, что
решение являете» устойчивым.
Сходимость, полнота и согласованность
Из рис. 8.1 вндио, что по мере уточнении параметров
вычислительной процедуры точность растет, если процесс схо-
1
ffeyemotmSoe
Вычисление
/
\г—""
вшивки
{рючиость')
^^^^ Верхняя границ?
№^ЕЛЬНО££Щ£ЕНИ£
TOWOf РЕШЕНИЕ
Наменяв врвнщв
S
Рис. 8.1. Точность, устойчивость и сходимость.
• расходящаяся процедура; X сходящаяся процедура.
дится, и падает, если он не "сходится. Таким образом, анализ
ошибок и их причин в методе конечных элементов естественно
приводит к рассмотрению сходимости.
8.2. ОШИБКИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В добавление к обычным ошибкам округления и
аппроксимации, связанным с какой-либо вычислительной процедурой", есть
и ошибки, связанные с самим методом конечных элементов
[4—6J. К ним относятся:
а) ошибки дискретизации, являющиеся результатом
геометрических различий границы области и ее аппроксимации по
-методу- конечных элементов;
б) ошибки пробной или базисной функций, обусловленные
разностью между точным решением и его представлением
пробной функцией.
Ошибки дискретизации могут быть уменьшены
использованием более мелких элементов или расположением
криволинейных элементов около границ и, во всяком случае, стремятся к
нулю по мере стремления к нулю размера элемента. Ошибки
пробной функции не обязательно уменьшаются по мере
уменьшения размера элементов и могут поэтому мешать сходимости
к точному решению или даже приводить к расходимости.

Глава S
В следующих разделах рассматриваются ошибки пробной
функции в связи с ее поведением в пределах элемента,
разрывности на границе между элементами и ееч допустимости.-
8,3. ОШИБКА ПРОБНОЙ ФУНКЦИИ И -ПОЛНОТА
Рассмотрим множество линейно независимых функций, которые
обозначим Фг. Говорят, что такое множество является полным,
м
если линейная комбинация £ агФг (где аг — константы, выби-
раемые подходящим образом) сходится в некотором смысле к
произвольной функции /, когда М стремится к бесконечности.
Хотя возможны различные определения полноты [7—9],
зависящие от определения сходимости, здесь рассматривается
полнота только в смысле сходимости в среднем. Для этой
ситуации множество функций является полным, если любая функция
/ может быть аппроксимирована с любой требуемой точностью
выбором необходимого числа членов в линейной комбинации
м
J] агФг [9], что в пределе дает
^ ж
11m E<Vlv-*f. (8.1)
Можно показать, что полиномиальные ряды от одной или
нескольких переменных со всеми членами являются полными
в этом смысле. Из вышеприведенного очевидно, что в общем
случае полиномиальная пробная функция может только тогда
дать точное решение па элементе конечного размера, когда
полином является полным и имеет бесконечную степень.
Поскольку на практике необходимо использовать конечное число
членов, представление пробной функции в виде полинома пе может
быть ничем другим как приближением к точному решению.
Иначе говоря, при представлении пробной функции в виде
полинома конечной степени на элементе приемлемого размера
пробная функция практически всегда содержит ошибку. Теперь
мы исследуем условия, при которых эта ошибка пробной
функции будет стремиться к нулю но мере .стремления к нулю
размера элемента.
Для иллюстрации рассмотрим одномерную задачу (тем ие
менее выводы, которые мы получим, могут быть
распространены на дву- и трехмерные случаи). Пусть функционал
содержит функцию й и ее производные до порядка р включительно.
Полиномиальное представление для и должно содержать
степень р как минимум, если р-я производная отлична от нуля.
Сходимость, Лолнота и согласованность 171
(И
= «1
(РЕ
Их''
= (Р
+ 2а2х
: + ба3-х
- »!«„-
=j>V
+ 3а,х2 +
, + р'.агх,
Выбирая полином р-й степени, получим в пределах элемента
следующие представления:
(B.2)
Из (8.2) можно заметить, что, поскольку полином для й
является полным, каждая из производных имеет в своем
представлении член, не зависящий от х. По мере того как размер
элемента стремится к нулю, каждая из производных стремится
к своему точному значению, и, следовательно, так же ведет себя
вклад от элемента %". Функционал тоже будет стремиться к
своему точному значению, следствием чего будет аналогичное
поведение конечноэлементного решения. В результате
процедура сходится.
Вышесказанное позволяет сформулировать следующий
критерий ограниченной сходимости:
Критерий I (R). Условием сходимости является
представление переменной внутри элемента в виде полного полинома как
минимум степени р, где р — наивысший порядок производной,
входящей в функционал.
Когда для представления переменной используется полный
полином более высокой степени, чем указанный минимум, от.
аппроксимации можно ожидать большей точности и меньшей
ошибки пробной функции и как следствие более высокой
скорости сходимости. По крайней мере для согласованных элементов .
это предположение подтверждено численными экспериментами
[10].
До сих пор не рассматривались физические параметры,
такие, как проводимость, модуль упругости и подобные, которые
могут входить в функционал. Если такой параметр не является
постоянным по всей области, он может быть аппроксимирован
на каждом элементе полиномом, у которого есть как минимум
первый постоянный член, что обеспечивает стремление его
значения к точному по мере- уменьшения размера элемента.

m
Глава 8
Следует отметить, что критерий полноты, сформулированный
выше, является частным случаем более общего требования:
Критерий I. Для того чтобы выполнялось требование
сходимости, необходимо, чтобы представления переменной и любой
ее производной, появляющейся в функционале, стремились к их
точным значениям на каждом элементе по мере стремления к
нулю размера элемента.
8.4. ОШИБКА ПРОБНОЙ ФУНКЦИИ
И СОГЛАСОВАННОСТЬ
В механике твердого тела при формулировке определяющего
уравнения в терминах деформаций, а искомого решения — в
терминах перемещений стало обычным описывать поле
перемещений как совместное, если перемещения меняются непрерывно
по области; в таком случае деформации кусочно-непрерывны.
Это определение было перенесено в область конечных элементов
для того, чтобы описать представление пробной функции,
непрерывной в области. Более общий термин согласованность
использовали, по-видимому, впервые в 1965 г. [11] Бэйзели, Ченг,
Айронс и Зенкевич [I2J. Пробная функция рассматривается
как согласованная, если переменная и ее производные вплоть
до порядка р — 1 непрерывны при переходе через границу
между элементами, где р— порядок самой высокой
производной, содержащейся в функционале.
Для класса задач
Яи = Ъ (8.3)
где 3? — линейный, самосопряженный и строго положительно
определенный1) дифференциальный оператор, а и и [ —
функции независимых переменных, возможна вариационная
формулировка [9, 11] с функционалом, имеющим вид квадратичной
линейной формы. Этот класс, включающий много технических
задач, может быть расширен рассмотрением и как вектора;
в этом случае SS становится матрицей, a f—вектором. Для того
чтобы пробная функция была допустимой, она должна в общем
случае быть непрерывной и иметь непрерывные производные
вплоть до порядка р—1, где р — наивысший порядок
производных, содержащихся в функционале. Поэтому при
использовании для таких задач формулировки метода конечных элементов
По Ритцу условие допустимости -требует использования
согласованных элементов.
1) Определения самосопряженности и строгой положительной
определенности см. в работах [7, 9, II]. Вместо самосопряженности иногда
используется термин симметричность.
Сходимость, полнота и согласованность
173
Для задач линейной упругости (являющихся подклассом
задач вышеназванного класса, для которых требуется
положительная определенность 3?) сходимость метода Ритца,
основанного на принципе минимума потенциальной энергии, может
быть установлена для согласованных элементов (т. е.
допустимых пробных функций) использованием разложения решения и
в ряд Тейлора на каждом элементе. Такой подход
использовался Маклеем [13, 14], Купером [10, 15] и другими авторами;
результаты исследований можно резюмировать следующим
образом. Если представление энергии деформации содержит
производные и, наибольший порядок которых равен р, то
сходимость гарантируется, когда пробная функция й на каждом
элементе описывается полным полиномом степени как минимум р.
Более быстрая сходимость достигается при выборе полиномов
более высокого порядка. Для таких полиномов, полных только
вплоть до порядка р, ошибка больше и сходимость хуже, чем
для совершенно полного полинома. Эти результаты согласуются
с рассуждениями в разд. 8.3 и критерием l(R).
Более общий подход к сходимости использует запись
функционала в виде суммы вкладов. В результате производные в
функционале вычисляются не дифференцированием по области
а дифференцированием на каждом элементе по отдельности,
что позволяет обойти проблему разрыва производных при
переходе через границу между элементами. Поэтому сходимость
даже несогласованных элементов может быть исследована на
основе того, стремится ли функционал (вычисленный описанным
способом) к истинному значению по мере стремления к нулю
размера элемента. Анализ сходимости наиболее удобным
образом формулируется в терминах гильбертовых пространств и
энергетических норм. Оливейра [16] с использованием
последнего подхода продемонстрировал, что для класса задач,
рассмотренных выше, можно быть уверенным в сходимости метода
Ритца, если и в пределах элемента аппроксимируется полным
полиномом вплоть до порядка р (где р — порядок наивысшей
производной в функционале) при условии, что требование
согласованности выполняется. То, что полнота1) и
согласованность являются достаточными условиями сходимости, было
подтверждено Оденом [11] с помощью более общего анализа того
же самого класса задач.
Вышесказанное позволяет для рассмотренного класса задач
установить критерий ограниченной сходимости.
Критерий II(R). Условие сходимости состоит в том, что
элементы должны быть согласованными, т. е. при переходе через
М Этот термин используется здесь и далее в том смысле, что
аппроксимацией на элементе является полином, полный до порядка р оключительно

174
Глава 8
границу между элементами должны быть непрерывны сама
функция н ее производные вплоть до порядка р—1
включительно, где р— наивысший порядок производных, содержащихся
в функционале.
Таким образом, вывод Оливейры состоит в том, что для
одного и того же класса задач критерии l(R) и II(R) являются
достаточными условиями сходимости метода Ритда.
8.5. ОШИБКА ПРОБНОЙ ФУНКЦИИ
И НЕСОГЛАСОВАННОСТЬ
Паттерсон [17], используя технику гильбертовых пространств,
показал, что критерий полноты и критерий слабой
согласованности являются достаточными условиями сходимости
вариационного метода конечных элементов. Эта согласованность, т. е.
межэлементный критерий, требует того, чтобы разность или
разрывность в й при переходе через границу между элементами
стремилась к нулю быстрее, чем диаметр наибольшей
подобласти.
В двумерных задачах этот критерий удовлетворяется, если
разность й обращается в нуль как минимум дважды (па
каждой границе между элементами). Класс задач, для которого
были получены такие результаты, совпадает с рассмотренным
ранее; отличие состоит в том, что использовалось более общее
соотношение Sen = f, где оператор S6 должен быть
положительно определенным. В работе [17] рассматривались
однородные граничные условия, но было также установлено, что те же
результаты получаются для общего класса неоднородных
условий
Межэлементный критерий Паттерсона может быть обобщен,
исходя из соображения^ что условие сходимости к точному
решению должно состоять в том, чтобы пробная функция й
стремилась к точному решению по мере того, как сетка становится
все более мелкой. Это приводит к более обшему критерию
сходимости.
Критерий П. Условие сходимости состоит в том, что по мере
стремления к нулю размера элемента члены с производными и
функцией в функционале должны стремиться-к функции той же
гладкости '), что и точное решение.
8.6. НЕСОГЛАСОВАННОСТЬ, НЕПОЛНОТА И ТОЧНОСТЬ
Для рассмотренного класса задач показано, что критерий \{R)
(полноты) и критерий II (А?) (согласованности) являются доста-
■) Здесь предполагается непрерывность точного решения, ио есть
физические задачи, в которых решение разрывно, например в областях, где имеются
ударные волны или трещины.
Сходимость, полнота и согласованность
17Б
точными условиями сходимости. В более общем смысле любой
из критериев I/I (R) вместе с каким-нибудь из критериев
\l/U{R) представляют собой достаточные условия сходимости
вариационного метода конечных элементов.. Стоит отмстить
также следующее:
1) Если удовлетворяется критерий I, то критерий II будет
удовлетворяться как следствие, поэтому критерий I есть
необходимое и достаточное условие сходимости.
2) Как показывает работа Паттерсона, полнота
представляет собой более сильное требование, чем согласованность, и
на [фактике часто является достаточным условием сходимости.
Очевидно также, что критерии I и II становятся
достаточными условиями сходимости для других методов конечных
элементов, таких, как метод взвешенных невязок и метод
наименьших квадратов, если термин функционал в формулировках этих
критериев заменить на определяющий, или ключевой, интеграл.
Как было подчеркнуто Зенкевичем [18], такой интеграл
получается во всех методах конечных элементов из определяющего
уравнения задачи с помощью соответствующей процедуры.
Из предыдущего может показаться, что все типы элементов,
для которых гарантируется сходимость, одинаково полезны, но
это далеко не так. Нельзя игнорировать того, что на практике
очень важна точность. Если результаты при конечном размере
элемента, диктуемом экономией вычислений, дают большую
погрешность,'то наличие элемента, который дает сходимость
результата к точному решению по мере стремления размера
элемента к нулю, является слабым утешением. Как можно на
практике определить точность вычисленного решения? Ответ таков:
в общем случае никак. Одним из двух способов, однако, часто
можно получить достаточный показатель точности. Первый
состоит в том, что с помощью таких же элементов решается
аналогичная задача с известным аналитическим решением.
Определенная таким образом ошибка может быть использована для
оценки ошибки в рассматриваемой задаче. Второй метод
требует того, чтобы тип сходимости был предварительно определен
для конкретной формулировки метода конечных элементов и
для конкретной задачи. Если известно, что сходимость
улучшается монотонно') по мере уменьшения размеров сетки, то
можно решить задачу несколько раз с последовательно
уменьшаемыми элементами и для получения опенки сходимости
решения экстраполировать результаты.
Как было показано Оденом [11], монотонна-я сходимость
метода Ритца к точному решению имеет место, если:
*) Заметим, что монотонная сходимость определяет только тип
сходимости, ио не гарантирует верного решения.

176
Глава 8
1) тип элемента удовлетворяет условиям полноты н
согласованности по критериям l(R) и II (/J);
2) размеры сетки уменьшаются таким образом, чтобы
элементы каждого последующего уровня представляли собой части
соответствующих элементов предыдущего уровня;
3) подмножество разбиений каждого уровня содержится в
подмножествах предыдущего уровня.
Рассмотрим, например, функцию, линейную на треугольном
элементе, и предположим, что удовлетворяются условия
полноты и согласованности (1). Разбиение каждого треугольника
соединением еередин его сторон удовлетворит условию (2); а
поскольку каждое последующее'разбиение является линейным,
условие (3) также удовлетворяется. Однако для более
сложных формулировок удовлетворить требованиям монотонной
сходимости нелегко. В частности, уменьшение размеров сетки
определенной процедурой может породить после некоторого
разбиения больше элементов, чем может быть обработано
имеющимся вычислительным оборудованием.
Часто, когда не удовлетворяются ни условия полноты, ни
условия согласованности, а выполняются более общие критерии
I и II, гарантирующие сходимость в пределе, предполагают, что
при некотором размере элемента получается единственное
решение. Однако при больших размерах элементов вычисление
может быть неустойчивым либо может существовать
множество решений; но по мере уменьшения размера элемента
достигается критическая точка, ниже которой получается устойчивое
сходящееся решение.
Единственная трудность состоит в том, что этот критический
размер настолько мал, что вычисления становятся
неэкономичными. Даже тогда, когда для любого размера элемента
получается единственное решение, ошибки для элементов
разумных размеров могут- быть большими и, если сходимость не
монотонна, могут также изменяться неожиданным
образом.
Указанные выше трудности не означают, что не следует
применять несогласованные и/или неполные элементы. Бывают
полезные несогласованные, а в некоторых случаях и неполные
элементы, которые дают высокую точность н быструю
сходимость. Действительно свойства таких элементов могут быть
лучше, чем у согласованных полных полиномиальных элементов
той же степени. Зенкевич; [18*] указывает, что в некоторых
случаях наилучшими для практического использования являются
несогласованные, или несовместные, элементы.
Несогласованные элементы, конечно, не следует недооценивать, во и нельзя
рекомендовать неопытному вычислителю.
Сходимость, полнота и согласованность
8.7. ВЫБОРОЧНЫЙ JECT
Практический подход к вопросу сходимости дает выборочный
тест Айронса [19, 20], который описывается здесь в общих
чертах для задач механики твердого тела. В простейшей форме
теста группа элементов, или кусок как минимум с одним не-
впутреиним узлом, полностью окруженным элементами,
нагружается на границе силами, соответствующими постоянным
деформациям на всем куске. Если метод сходится, то по
выборочному тесту вычисленные методом конечных элементов
перемещения, деформации и напряжения должны согласовываться
с приложенной постоянной деформацией. Тестом может служить
также использование приложенных перемещений,
соответствующих состоянию постоянной деформации на всем куске.
Применимы также выборочные тесты более высокого порядка,
требующие па всем куске согласования решения с более сложными
нагрузками, предписанными на границе. Выборочный тест не
ограничивается полными или согласованными элементами, а
может также применяться для определения того, дают ли
сходящееся решение элементы, не удовлетворяющие этим
критериям. Тест, разработанный на основании инженерной интуиции,
был обоснован математически Стренгом [21] как необходимый и
достаточный признак сходимости в следующих случаях: а)
когда используются несогласованные элементы; б) когда в
формулы входит численное интегрирование. Как недавно указал
Оливейра [22], этот признак можно распространить на задачи,
отличные от задач механики твердого тела.
8.8. ДОПУСТИМОСТЬ
Для класса задач, описываемых уравнением (8.3), оператор S
имеет порядок 2р, т. е. имеет высшую производную порядка 2р,
тогда как квадратично-линейный функционал задачи содержит
производные с- наибольшим порядком р. Главные граничные
условия содержат производные вплоть до порядка р— 1, а
естественные граничные условия включают производные порядка
р, р+1, ••-, 2р—1 [11]. Для того чтобы пробная функция й
была допустимой, в общем случае она должна быть
непрерывной и обладать непрерывными производными вплоть до порядка
р — 1 во всей рассматриваемой области. Как показано в
разд. 7.4, вариационная процедура верна только в том случае,
если пробные функции принадлежат классу допустимых
функций.
Следует заметить, что для класса задач, описываемых
определяющим уравнением (8.3), условие допустимости требует
согласованности элемента. Иногда считают, что допустимость и

178
Глава 8
согласованность и для других задач являются эквивалентными,
ио, как показывает следующий пример, это в общем случае не
так. Рассмотрим определяющие уравнения, описывающие поле
в двумерном потоке невязкой несжимаемой жидкости в
терминах х- и //-компонент скоростей и и v соответственно:
(du/dx)-\-(dv/dy) = 0 в D, (8.4а)
(dvfdx) — (dujdy) = 0 в D. (8.46)
Используя метод наименьших квадратов, получим функционал
D
Согласованность требует непрерывности только пробных
функпий й и #, но не их производных. В работе [23] показано,
что для допустимости й и v необходима нх непрерывность,
непрерывность первых и кусочная непрерывность вторых
производных.
8.9. ФИЗИЧЕСКИЕ ЭКВИВАЛЕНТЫ ПОЛНОТЫ
И СОГЛАСОВАННОСТИ
Иногда математические требования полноты и согласованности
отражают важные физические условия. Рассмотрим, например,
функции перемещений и и v в направлениях х и у
соответственно в двумерной задаче плоских деформаций. Положим, что
интересующая нас область разбита на конечное число
треугольных элементов, а аппроксимации и для и, и для v линейны на
каждом элементе.
Функционал для плоских деформаций (см. гл. 11) включает
функции и и v и их первые производные; таким образом, для
этой задачи р=\. Условием согласованности будет
непрерывность й и 0, что обеспечивается выбранными элементами.
Условие полноты для обеих функций и и v также удовлетворяется,
поскольку их пробные функции являются полными полиномами
первого порядка. Перемещения жесткого тела (т. е.
перемещения, не деформирующие элемент) возможны благодаря
наличию постоянных членов в представлении и и v. Деформации,
будучи первыми производными от перемещений,
аппроксимируются на каждом элементе константами и, следовательно, имеют
в рассматриваемой области кусочно-постоянный вид. Когда
используются полные полиномы более высокого порядка, даже в
более общей трехмерной задаче упругости присутствие
постоянных и линейных членов в пробных функциях псе чаще
гарантирует присутствие жестких перемещений и кусочно-постоянных
деформаций.
Сходимость, полнота и согласованность
179
В ранней литературе по методу конечных элементов
высказывалось предположение, что для сходимости необходимо,
чтобы функция перемещений учитывала движение жесткого тела
и равномерную деформацию на элементе. Из вышеуказанного
и разд. 8.3 следует, что эти условия заключаются в критерии
полноты. Важно заметить, однако, что в приведенных выше
рассуждениях предполагалось использование прямолинейных
координат. Если полиномиальные элементы выражаются в
терминах криволинейных координат, что было бы естественным,
например, для криволинейных пластин и оболочек, то константы
и линейные члены уже не соответствуют движению жесткого
тела и равномерным деформациям [10, II].
8.10. ПОЛНОТА И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИЗОТРОПИЯ
Представление зависимой переменной на элементе не должно
зависеть от используемой системы координат или, точнее,
должно быть геометрически инвариантным для ортогональных
преобразований системы координат. Позднее стало более
распространенным называть это пространственной, или
геометрической^ изотропией. Кроме инвариантности, геометрическая изо-"
тропия также гарантирует вдоль любой границы или ребра
элемента полноту полиномиального представления того же
порядка, что и внутри элемента [24].
Как показано в предыдущих главах, часто бывает удобным
получать уравнения для элемента в локальной системе
координат и затем преобразовывать их в глобальную систему. В таких
случаях важно, чтобы элементы обладали геометрической
изотропией, иначе преобразование может нарушить ранее
удовлетворенные условия сходимости.
Когда в качестве пробной функции выбран полный полином,
можно показать, что соответствующий элемент обладает
геометрической изотропией. Если из полинома исключаются
некоторые члены, то это следует делать так, чтобы элемент,
соответствующий неполному полиному, оставался по-прежнему
геометрически изотропным. При определении того, какие члены
можно отбросить, ясно, что симметричные пары (как я3, ;/3 или хьу2,
Xs!/6) не вносят несимметричность по отношению к той или иной
координате. Действительно, можно показать, что полиномы,
полные, за исключением симметричных пар, дают геометрически
инвариантное представление и, следовательно, обладают
геометрической изотропией при условии, что порядок исходного
полного полинома не уменьшился.
Для иллюстрации отбрасывания симметричных пар полного
полинома рассмотрим содержащий десять членов полный

160
Глава 8
кубический полином от двух переменных для Ф:
Ф — Щ + ЩХ -\-щу + СС4*3 + а5ху + аЁу2 +
+ щх* + а&х2у + а$ху2 + вд3. (8.6)
Элемент, которому соответствует этот полный полином, обла<
дает геометрической изотропией, но то же имеет место при
использовании следующих неполных кубических полиномов;
ф = at + а2х + сс3# + <ВД + «7*3 + а&х*У + "W2.+ щ0уь, (8.7)
Ф = щ-\-а2х-\- аъу + а5л# + щх3 + ct,0jA (8.8)
Для элемента, представляемого одним из вышеприведенных
полиномов, подстановка уравнения границы у = ах-\-Ь в
соответствующее уравнение порождает полный кубический полином
от к. Таким же образом получается полный кубический полином
от s, где s изменяется вдоль границы элемента, что
подтверждает выводы первого раздела настоящей главы.
Литература .
1. Crandell S. Н., Engineering Analysis, McGraw-Hill, New York. 1956.
2. Ames W. F., Numerical Methods of Partial Differential Equations, 2nd .ed.,
Academic Presst New York, 1977.
3. Forsythe G. E., Wasow W. R., Finite Difference Methods for Partial
Differential Equations, Wiley, New York, 1960. [Имеется перевод: Вазов В.,
Форсайт Дж., Разностные методы решения дифференциальных уравнений
в частных производных. — М.: ИЛ, 1963.]
4. Schrem F., Computer implementation of the finite element method, In:
Numerical Computer Methods in Structural Mechanics (Fenves S. J. et. al„
eds.), pp. 79—122, Academic Press, New York, 1973.
Б. Von Fuchs G., Roy J. R., Solution of the Stiffness Matrix Equations in
ASKA, Rep No 50, fnst, Kir Statik nnd Dynamic Univ. Stuttgart, 1968.
6. Roy J. R., Numerical error in structural solutions, A Struct, Div., ASCE,
97, 1039—1054 (i97I).
7. Rektorys K., A Survey of Applicable Mathematics, lliffe Books, London,
1969.
8. Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике. — М.:
Наука, i970.
9. Nome D. H, de Vries G., The Finite Element Method, Academic Press, New
York, i973.
10. Cowper G. R, Variational procedures and convergence, in: Numerical and
Compuier Methods in Structural Mechanics (Fenves S. J., et af., eds.),
pp. 1—12, Academic Press, New York, i973.
11. Oden J. Т., Finile Elements of Non-Linear Continua., McGraw-Hjil, New-
York, 1972. [Имеется перевод: Одсн Дж., Конечные элементы в
нелинейной механике сплошных сред. — М.: Мнр, 1976.]
12. BIzely G. P., Cheung У. К.. Irons В. М., Zienldewicz О. С, Triangular
elements in piate bending.—conforming and non-conforming solutions,
Ргос. СопГ. Matrix Methods Struct. Mech., Wright-Palterson AFB, Ohio,
October 26—28, i965 ,AFFDL-TR-66-60), pp. 547—576. November 1965.
13. Johnson M. W., Jr., McLay R. M„ Convergence of the finite element method
in the theory of elasticity, JrAppt. Mech., 35, 274—278 (1968).
Сходимость, полнота и согласованность 161
14. McLay R. W., Completeness and convergence properles of finite element
displacement functions, AIAA 5th Aerospace Sci. Meeting, New York, Paper
No. 67—i43, Januaiv i967.
15- Cowper G. R., Kosko E., Lindberg G. M., Oison M. D., A high precision
triangular plate bending eiement. National Research Council of Canada,
Aero. Rep. LR-5I4, December i9G9.
16. De Arantes e Oliviera E. R., Theoretical foundations of the finite element
method, Internat. J. Solids and Structures, 4, 929—952 (1968).
17. Patterson C, Sufficient conditions for convergence in the finite element
method for any solution of finite energy, in: The Mathematics of Finite
Elements and Applications (Whiternan J. R.. ed.), pp 213—224 Academic
Press, 1973.
18. Zienkiewicz О. С, Recent developments, trends, and applications of finite
element methods, Proc. Internat Conf. Finite Element Methods in Engig.
Dept. of Civil Engrg., Univ of Adelaide, December 6—8, 1976, pp. 1.1—1.38.
19. Irons В M, The patch test for engineers, Proc. Finite Element Symp., Atias
Computer Lab., Chilton, Didcol. England, 26—28 March, i974, pp. 171—192.
20. Irons В. М., The superpatch theorem and other propositions relating to the
patch test, Proc. Canad. Congress Appl Mech.., 5th, University of New
Brunswick, 26—30 May, 1975, pp. 651—652.
21. Strang G., Variational crimes in the finite element method, fn: The
Mathematical Foundations of the Finite Element Method (Aziz A. 1С, ed.),
pp. 689—710, Academic Press, New York, i972.
22. De Arantes e Oliviera E. R.? Convergence and accuracy in the finite element
method, Proc. World Congr. Finite Element Methods Struct. Mech.,
Bournemouth, England, 12—i7 October, 1975, pp. 0.1—0.24; Robinson and
Associates, Verwood, Dorse], England.
23- De Vries G, Labrujere '["., Norrie D. H., A least-square finite element
solution for potential flow, Dept, of Mechanical Engineering, University of
Calgary, Rep 86, December 1976.
24. Huebner 1С H., The Finite Eiement Method for Engineers, Wiley, New York,
1975

9 .
ЭЛЕМЕНТЫ И ИХ СВОЙСТВА
В предыдущих главах при формулировке и в приложениях
метода конечных-элементов использовалось несколько различных
видов элементов. Пробная функция каждого элемента
представлялась линейной комбинацией узловых переменных. Последпие
состояли из значений самих функций в узлах и, в. случае
элементов с производными, из значений нх производных. В
принципе возможна аппроксимация, учитывающая нелинейную
зависимость от этих узловых переменных, однако некоторое
улучшение точности вряд ли оправдывает дополнительную
сложность такого подхода.
Ранее было отмечено, -что пробная функция должна быть
согласована с соответствующим элементом таким образом,
чтобы ее коэффициенты at определялись однозначно. Однако в об-'
щем случае пробная функция, - положение и число узлов
элемента, так же как и число неизвестных параметров в узле '), не
могут быть указаны независимо. Более того, тип и порядок
определяющих уравнений и требования сходимости
вариационной процедуры также должны быть приняты во внимание при
выборе элементов и пробных функций.
С учетом вышеупомянутых ограничений был разработан ряд
приемлемых элементов; некоторые, наиболее важные из них,
рассмотрены в данной главе. Дополнительные подробности
можно найти в различных обзорах [1—4], а также в
стандартных руководствах по методу конечных элементов [Б—17]. В
последнем специальном библиографическом издании [18]
указываются работы по многочисленным различным типам элементов.
9.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ
Наиболее очевидная классификация элементов делит их на
одномерные, двумерные и трехмерные; последующее изучение
элементов в данной главе будет делаться на этой основе. Далее,
эти группы могут разделяться в зависимости от того, включают
лн узловые переменные только значения функций (лагранжевы
элементы) или также и значения производных (эрмитовы
элементы) .
*) Число степеней свободы узла.
Элементы и их свойства
183
9.2. БАЗИСНЫЕ ФУНКЦИИ ЭЛЕМЕНТА
Произвольная пробная функции, определенная на элементе е,
записывается в линейной форме
й* = Г^ие, (9.1)
где N— матрица базисной функции, а и—узловой вектор
'элемента 1).
Для лаграижева элемента в узле имеется только одна
степень свободы — значение функции, и, следовательно, уравнение
(9.1) может быть записано в виде
й,
U = [N,N2.
щ.
(9.2)
где 1, 2, ..,, ft, .... s—номера узлов, a s — общее количество
узлов элемента е.
Для эрмитова элемента ка'ждая из компонент йк должна
записываться как столбец, включающий и производные указанной
функции, которые в этом случае также являются узловыми
переменными. Если каждый из s узлов элемента с имеет q
степеней свободы, то каждая компонента йь в уравнении (9.2)
представляет собой столбец:
Щ-
«*1
"и
_"*„_
= 1. 2,..., s.
(9.3)
и аналогично базисные функции Nk должны записываться как
строки:
N„ = №, Na... N„,]. ft = 1. 2, .... я. (9.4)
.Таким образом, уравнение (9.2) при соответствующем выборе
переменных яаляется общим для случаев лагранжева и
эрмитова элементов.
•) В оставшейся части главы верхний индекс е для упрощения' записи
будет опускаться.

184 Глава 9
В предыдущих главах было установлено, что базисные
функции являются функциями независимы глобальных (или
локальных) координат а', у (или |, ц) и координат узлов.
Действительно, базисные функции все1Да являются функциями независимых
переменных и узловых координат Для получения базисных
функций любого отдельного элемента применимы два подхода;
в одном из них используются обобщенные координаты, а в
другом—интерполяционные формулы. Эти процедуры кратко
рассмотрены в следующих двух разделах.
9.2.1. ПОЛУЧЕНИЕ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИИ В ОБОБЩЕННЫХ
КООРДИНАТАХ
Этот подход особенно удобен для простых элементов,
использующих полные полиномы низкого порядка1). В случае более
Чы
а,
4
1
*'
Ц,
J
\
(хг
й>
*)
Рис. 9.1. Прямоугольный четырекузловой элемент е.
сложных элементов указанный подход становится
неэффективным и вместо него обычно применяется метод ннтерполиции.
Рассматриваемый подход иллюстрируем на .прямоугольном
элементе е со сторонами, параллельными осям глобальной
системы координат Оху (рис. 9.1). Просгейшая пробная функция
для элемента содержит только четыре неизвестных параметра
а,, соответствующих четырем узлам элемента. Пробная функция
й может быть получена отбрасыванием двух членов из полного
полинома второго порядка, который содержит шесть членов.
Отбрасывание симметричной пары Xs, у" с целью сохранения
г| Полные полиномиальные элементы будут далее называться липейными1
квадратичными и т. д. в соответствии с порядком полинома.
Элементы и их свойства
183
геометрической изотропии дает пробную функцию
й = «1 + <tyc + щу + щху.
(9.5)
которая линейно меняется вдоль границ элемента. Здесь
коэффициенты <х, являются обобщенными координатами элемента.
Поочередно используя (9.5) для четырех узлов, получим
следующие уравнения:
Щ = а, + a2Xi + а3у, + аАх,уи
ik = ai + a2Xz + <%.% + «Vsto. . .
из = а, + щх3 + а3у3 + atxsy3,
Й4 = ai'+ а2*4 + <ВД4 + сьйЧй.
В матричном.обозначении система (9.6) может быть
записана.как
u = Act, (9.7)
где и — узловой вектор элемента,
А = [а„] =
и = [«,] =
- 1 хх у, xiy,-
1 Х2 .(/2 *2</2
1 х3 у3 Хъу3
L 1 хА у, x$t J
т-щ-
Щ
йз
Lh4
'
О = [€.,] =
(9.8)
(9.9)
Равенства (9.9) позволяют записать уравнение (9.5) в виде
и = Ха, (9.10)
ГД6 Х = [1 ху ху]. (9.11)
Матрица А в равенствах (9.9) может быть обращена, если ее
определитель отличен от нуля. Можно показать, что
detA = -A2, . (9.12)
где д — площадь прямоугольника. Следовательно, (let А не
равен нулю, если матрица А ие вырождена. Обращая А,
обозначая обратную матрицу через А™1 и умножая слева уравнение
(9.7) на А™1, получим
о— А~'и. (в.13)

186
Глава 9
Подставляя (9.13) в (9.10), получим равенство
й = ХА~'и, (9.14)
которое может быть переписано в виде
fl = Nn, (9.15)
где матрица формы N есть
N = XA_1- (9.16)
Описанная процедура может быть записана и в терминах
локальной системы координат 0£ч, где, например, О совпадает
с узлом 1, а оси £ и ц параллельны осям хну соответственно.
Последующие действия упрощаются благодаря обозначениям
a = .v2 — х,=х3 — х,, Ь = у, — ц1 = у3 — у2. (9.17)
Для лагранжевых элементов с известной в явном виде
формой аппроксимирующего полинома базисные функции в
принципе всегда могут быть вычислены согласно описанной
процедуре. В случае больших алгебраических выражений можно
прибегнуть к численному расчету базисных функций. Для
эрмитовых элементов приведенный подход требует модификаций.
9.2.2. ПОЛУЧЕНИЕ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИИ ИНТЕРПОЛЯЦИЕЙ
Снова рассмотрим прямоугольный элемент е (рис. 9.1), ио
предположим, что пробная функция, заданная равенством (9.5),
неизвестна. Однако связь базисной функции с й всегда известна
в общем виде из уравнения (9.2), т. е.
fl = Nu = [W, N2 N3 N.
[Hi
t
«4
(9.18)
Базисная функция Nk должна иметь значение 1 в узле k и
нулевое значение во всех других узлах; при этом й сводится к «<.,
когда уравнение (9.18) рассматривается в узле k. Как показано
в следующем разделе, это свойство позволяет использовать
интерполяционные формулы для получения базисных функций.
9.2.2.1. Лаграмжевы элементы
Рассмотрим аппроксимацию функции и(х) полиномом р-го
порядка, где значения и(х) заданы как «i, ..., «р+1 в р+1
точках'л, ..., хр+1. Из численного анализа известно, что фуик-
Элементы и их свойства
ция н(ж) может быть записана как полином р-го порядка
«(*)=£ М*)««. (919)
где Ц(х)—полином Лагранжа, определяемый равенством
м*)= П -Щ- (9-20>"
1-1./*Ы '
Следует отметить, что так называемые базовые точки х\, ...,
..., -Vh не обязательно расположены равномерно, хотя это
часто бывает удобным.
"Использование равенств (9.19) и (9.20) на стороне 1 — 2
прямоугольника е (рис. 9.1) позволяет определить й на этой
стороне:
й|,_2 = 1,(х)й, + 12(*)й2, (9.21
где
Аналогично для стороны 4 — 3 получим
Й14-3 = £1Мйз-Г-М*)б4, (9.23)
где L\(x) и L2(x) определены равенствами (9.22).
Представления тина (9.21) и (9.23) используем при
постоянных у (y = yi и у = 1/4 соответственно). Снова может быть npij-'
менсна интерполяционная формула Лагранжа, на- этот раз в
направлении и:
u = LI(y)u\l-i + U(y)uU-2, (9-24)
где
ЬЫ~£Е%. ЬЫ-к%. (9-25)
Подстановка равенств (9.21) и (9.23) в (9.24) позволяет
окончательно записать пробную функцию й элемента е в виде
й = li (x) I, (у) щ + L2 (.«) I, (у) щ + I, (x) L2 (у) щ + I2 (x) 12 (у) щ,
(9.26)
где разные полиномы Лагранжа заданы равенствами (9.22) н
(9.25). Сравнивая выражения (9.26) н (9.18), получим
базисные функции в виде
N^LMLjd,), Ni^L2{x)Ll(y),
W3 = M*)Is(f/), W4 =•£,(*) Is (j/). ( '
Можно показать, что базисные функции, полученные
подстановкой равенств (9,22)_ и (9.25) в (9.27), идентичны базисным

188
Глава 9
функциям, следующим из (9.15), что свидетельствует об
эквивалентности обоих подходов. Проверка этого факта
предоставляется читателю в качестве упражнения.
9.2.2.2. Эрмитовы элементы
Базисные функции для эрмитовых элементов могут быть
получены аналогичным образом, но с использованием эрмитовых
полиномов вместо полиномов Лагранжа. При этом узловой
вектор будет включать узловые значения ие только функции, но н
ее производных.
Для иллюстрации рассмотрим одномерный элемент е с s
узлами, причем узлы ие обязательно расположены равномерно.
Пусть у каждого узла имеются две степени свободы — функция
и и ее производная ди/дх. Следовательно» пробная функция для
элемента е может быть записана в виде
й= £ [WM (х) щ + Nu {x)^f\. (9.28)
У базисной функции Ny в равенстве (9.28) первый индекс
обозначает порядок дифференцирования соответствующей
узловой переменной, а второй — номер узла.
Для того чтобы (9.28) в узле k давало йь и дйи/дх, функции
_ЛГ0|(х) и Nu(x) должны (при 1ф\) удовлетворять
соотношениям
Ло,(*й=1, /M*i) = 0,
M,(*d=0. №,(*.)-1. „,„
%(*,)=о, tfu(*/)=o. K- '
#{,(*,) = О, М,(х,) = 0.
Равенствам (9.29) удовлетворяют эрмитовы полиномы [19]
*««- п w^A^ i щ] <9-3fe)
l-l.l + l l ' " L l-U 1*1 ' 'J
Nu(x)~ П ■w~=^T(x~xd- (9-306)
J*
В качестве конкретного примера рассмотрим случай $ •= 2.
Равенство (9.28) при этом принимает вид
U = N0l(Aui + Nn(x)^ + Nm(!c)U2 + Na(x)^, (9.31)
Элементы и их свойства
189
где базисные функции
"4M~fe&[l+2(^)].
*»« = Т^И1 + 2 (Sr)] ■ <9-32>
JV,*)—^^r(«-iA " '
w12(*) = -£^£<*-**)
получены из (9.30) и (9.31). В случае использования локальных
координат | = (х — xi)/Ly где L — x2 — Х\, равенства (9.31) и
(9.32) принимают вид
й - NQ1 (I) щ + Nn (I) Щ±- + N02 (1) щ + N12{1) -f^-. (9.33)
/Vm (D = 1 - 3£2 + 26s, Nb2 (I) = 3|2 - 2|3,
/v.. (D=а и - if, ль (Ю=t <is - s8).' ( '
Узловые производные дщ/дх и дй2/дх в (9.33) могут быть
заменены на dtli/dt, и дйъ/д^, соответственно с помощью
соотношения д/дх = L^d/dl; при этом L из второго и четвертого
равенств (9.34) исчезают.
Описанная процедура может быть [10, 11, 17] обобщена
включением дополнительно к функции и ее первым производным
также производных от и более высокого порядка. Для
двумерных элементов интерполяция применяется дважды: первая — в
направлении д: и вторая — в направлении у (как в разд. 9.2,2.1),
что дает базисные функции в виде произведения одномерных
базисных функций. В разд. 9.5.2.3 будет рассмотрен простейший
прямоугольный элемент с четырьмя степенями свободы в
каждом узле, а именно и, ди/дх, ди/ду и д^и/дхду.
9.3. ЕСТЕСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫ
Когда используется произвольная глобальная система
координат, значения узловых координат ограничены только границами
области. Было бы полезным упрощением, если бы
экстремальные значения этих координат принимали значения —1, 0 или 1.
Этого можно достигнуть выбором локальной системы
координат, привязанной к элементу так. чтобы координаты менялись
линейно между нормированными узловыми координатами.
Система координат такого типа называется системой естественных
координат.
Преимущество" естественных координат состоит в том, что
интегрирование по элементу для метода конечных элементов
Часто может быть проведено в стандартном аналитическом виде.

190 Глава 9
9.3.1- ЕСТЕСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫ В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Рассмотрим одномерный элемент е с узлами 1 и 2, как по*
казано на рис. 9.2. Координатами узлов 1 и 2 в глобальной си-
стеме Ох являются хх и х2 соответственно. Вводя локальную
Л.
„ г}—_ji fc
о- х, хг а
Рис. 9.2. Одномерный элемент е.
*
систему Gli с началом в xt, и с осью |ь направленной вдоль
оси х, получим
|,=*-*,, (9.35)
или, разделив на длину (д:г — *i) элемента,
ь—s^-- -Р-36-)
В равенстве (9.36а) и дале^в оставшейся части раздела черта
сверху используется для обозначения нормированной
координаты. _
Если выбрана локальная система 0£г с началом,
совпадающим с Х2, и осью |г. направленной противоположно оси х, то
тогда получим
ь=-£^г- -<9-36б)
Из равенства (9.36а) можно заметить, что £i = 0 при х = х\
и gi = l при х = х2. Аналогично из (9.366) |2 = I при к — Х\
и g2 = 0 при х = х2. Легко удостовериться, что |i и t$ совпадают
с Lt{x) и Li(x), определенными.соответствующими равенствами
(9.22). Обе координаты ti и Ъ изменяются линейно в
зависимости от а:, как можно видеть из (9.36а) и (9.366). При этом
независима только одна из координат gi и £г, что следует из
соотношения
li + h =5 Ъ (*) + U (*> = 1, (9.37)
которое легко доказывается.
Естественные координаты £i и £2 [нли L2(x) и Ц(х)]
являются функциями независимой переменной х и узловых коорди-
Элеметы и их свойства
191
нат к\ и Jt2 и принимают значения 1 в одном из узлов н 0 — в
другом. Поэтому аппроксимацией для й на элементе е будет
й = Lu, 4- Ш> (9.38)
нли
й = £,, (х) Й1 + ^2 (ж) й2. (9.39)
Сравнение уравнений (9.39) и (9.2) показывает, что базисные"
функции A/i и N2 определяются выражениями
N1 = Ll(x), N2=L2(x). (9.40)
Используй- метод обобщенных координат из предыдущего
раздела, можно также показать, что пробная функция
й^щ + щх (9.41)
дает те же базисные функции, что и в уравнениях (9.40). Для
рассматриваемого элемента базисные функции определяются
либо неявно через уравнения (9.15) методом-обобщенных
координат, либо явно интерполяционным методом Хотя оба метода
оказываются в этом частном случае вполне простыми,
интерполяционный метод обычно выгоднее для элементов более
сложного вида.
При вычислении вклада элемента обычно встречаются
производные, такие, как ди/дх, ди/ду, и произведения членов вида
хди/дх. Обычно элементные вклады могут бить выражены в
естественных координатах как произведения узловых значений
н интегралов типа \ Li (х) Ы (х) dx, где а и Ь — целочисленные
показатели степени. Интегрирование можно провести
аналитически согласно формуле
\ Li(44 Мdx = w™+1}, ft', (9.42)
е
где he—длина элемента е.
9.3.2. ЕСТЕСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫ В ДВУМЕРНОМ (ЛУЧАЕ
Координата площади в двумерном случае аналогична
координате длины в одномерном случае. Для точки Р в трехузловом
треугольно» элементе такая координата определяется делением
площади треугольника, образованного точкой Р и
соответствующим основанием, на площадь всего треугольника Поэтому, как
показано на рис. 9.3, координата L\ равна

№
Глава 9
где А\ — площадь треугольника с вершиной в точке Р и
основанием L\ = 0, а Д — площадь треугольного элемента
Координаты Z,2 и Z-з определяются аналогично Основаниям
треугольника соответствуют Li=0, L2 —О и £з = 0. а в
противоположных вершинах эти координаты -равны соответственно Li = \,
Из простой схемы рис 9 3 ясно, что связь между
декартовыми координатами и координатами площади определяется
матричным уравнением
ПН?
1. #2 х3
!/1 №г й
111
(9.44)
где выражение для третьей компоненты легко получается из
рис. 9.3 и определений £i, £2 и Ц. Координаты площади £ь £2
Ц'О
/7/ющадь/,
Рис '9,3 Координаты площади для типичного трехузловоги греугольного але-
мента с.
и Lz подобны базисным функциям в том, что они имеют
значений 0 и I в узловых точках Поэтому аппроксимация для й на
(линейном) элементе е может быть записала в виде
й — Цщ -\- L*U2 4- Ljh- ' (6-45)
Сравнение уравнений (9 45) и (9.2) показывает, 4Tg базисные
функции Ль Лг и Л3 дли рассматриваемого элемента задаются
как
^ = I,, Л2 «= L2, Л3 = Ц. (9.46)
Вклад элемента, полученный первоначально в глобальной
Системе координат, может быть преобразован к естественной
Элементы и их свойства
193
системе координат площади с помощью уравнения (9 44). В
общем случае элементные вклады содержат интегралы видв
\ LiLiLidDe, которые можно вычислить аналитически по
формуле
[хапав.-ь+^+цМ.
(9.47)
Заметим, что естественные координаты могут быть определены
и для четырехугольных элементов [6].
9.3.3. ЕСТЕСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫ В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ
В трехмерном случае естественными координатами служат
отношения объемов, или объемные координаты. Объемная коор-
Объем V,
JUj =0-)
Рнс. 9.4. Объемные, координаты для типичного четырекузлов го
тетраэдрального элемента е.
дината L, точки Р в показанном иа рис. 9.4 тетраэдральном
элементе е с четырьмя узлами определяется по формуле
V
(9.48)
где Vi — объем, охватываемый точкой Р и гранью,
противоположной узлу 1, а V — объем всего тетраэдра Объемные
координаты Z-2, Ls и Z.4 определяются аналогичным образом Связь
между декартовыми координатами х, у, гн объемными коорди-

(9.49)
натаыи £ь iat is. Lt основывается на соотношении
1X\ X% X$ Хц ~л |~ JL|
Vl <Л> УЗ Ш 1-2
Z\ z% z$ Z4 •. Z-з
1 i i 1 J L ц J
Для тетраэдра с четырьмя узлами базисные функции N,-,
полученные из линейной интерполяции
й" = ai + а2х + щу + a4z, (9.50)
совпадают с соответствующими объемными координатами;
следовательно, для такого элемента
■ • N, = L,. ««=1,2,3,4. (9.51)
Объемные координаты могут быть выра^жены через
глобальные координаты путем обращения уравнения (9.49), а. именно
Lt=4r(a, + b,x + cty + diz), 1=1,2,3,4, (9.52)
6F =
pi *, j/, zt-\
1 *2 -У2 z£
1 x3 y3 z3
1 X4 У4 Z4 -
(9.53)
а щ, bi', ci получаются циклической перестановкой индексов I,
2, 3, 4, например
[Хг У 2 «2 "I
Хз Уз 23 .
*4 yt г4-1
[*2 1 г2"
Хз I г3
*4 1 24-
22
4 =
1
1 Уз 23
1 J/4 24
х, г/4 U
(9.54)
Заметим, что знаки в этих выражениях зависят от порядка
соответствующих узлов. Вышеприведенные формулы отвечают
правосторонней декартовой системе координат, когда узлы 1, 2,
3 располагаются против часовой стрелки, если смотреть из
узла 4. Интегралы в элементных вкладах можно вычислить в
объемных координатах но формуле
\ttutilidVe=^+ba^d + 3)lW, (9.55)
WV
Элементы и их свойства 195
где V — объем элемента е. Отметим, что естественные
координаты можно также определить и для шестигранных
элементов [6].
9.4. ОДНОМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
9.4.1. БАЗИСНЫЕ ФУНКЦИИ
Несмотря на существование других одномерных элементов,
здесь можно ограничиться теми простыми элементами, которые
описаны в разд. 9.3 и гл. 1.
9.5. ДВУМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Треугольники являются простейшими1) многоугольниками, на
которые можно разделить любую двумерную область, н это от*
части объясняет популярность треугольного конечного элемента.
Следующий возможный тип, который широко распространен,—
это прямоугольные или, в более общем смысле,
четырехугольные элементы. Многоугольники более высокого порядка обычно
не используются.
9.5.1. ТРЕУГОЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Из различных треугольных элементов наиболее широко
используются простые трехузловые лагранжевы, соответствующие
линейной пробной функции. Однако в последнее время стали
широко использоваться элементы, основанные на полиномиальных
пробных функциях более высокого порядка.
9.5.1.1. Лагранжево семейство треугольных элементов
Треугольные элементы этого семейства могут быть
сформированы просто выбором достаточного числа узлов,
обеспечивающих сдииствеиное решение для коэффициентов выбранной
полиномиальной пробной функции. Полный полином порядка п
содержит ~^{п-\- 1)(/г + 2) коэффициентов; s-узловой лаграижев
треугольный элемент, основанный на этом полиноме, должен
содержать такое же число узлов, следовательно,
5 = у («+!)(«+ 2). (9.56)
') В этом разделе рассматриваются только правильные (прямостороннпе)
многоугольники. Криволинейные элементы описываются в разд. 9.7.
7*

196 Гаава 9
Хотя существуют другие возможности расположения s узлов,
варианты, показанные в табл. 9.1, приводят к относительно
простым базисным функциям.
Базисные функции для указанных полных полиномиальных
элементов могут быть получены описанным ранее методом обоб-
Таблица 9.1
Лагранжево семейство треугольных элементов
Элемент
^>
/&^
^ь,
J0^.
'■J^*.
Тип
линейный
кйвфотпшё
кубмескщ
четвертой'
степени
пятой
ртепени
Порядок
полинома,
используемого
6 качетбе
пробной функции.
1
2
3
4
5
Число
членоВ
S пробной
функции
3
6
10
15
гх.
щеиных координат, хотя сама алгебра становится все более
сложной по мере роста порядка. С другой стороны, можно
пользоваться и методом интерполяции, выбирая каждую базисную
функцию как произведение трех интерполирующих функций
Лагранжа [6, 11, 20].
Бее лагранжевы элементы, представленные в табл.-9.1,
характеризуются непрерывностью пробных функций прн переходе
Элементы и их свойства
197
через границу между элементами и, следовательно, по всей
области, где решается задача. Это можно проверить, заметив, что
полные полиномы обусловливают геометрическую изотропию
соответствующих элементов (см. разд. 8.11). Из того факта, что
число узлов на любой стороне элемента совпадает с числом
коэффициентов полинома вдоль этой стороны, также следует
возможность определения этих коэффициентов единственным
образом. Поскольку полином на общей стороне соседних
элементов определяется единственным образом одними и теми же
узловыми значениями, пробная функция должна быть
непрерывна при переходе через границу между элементами.
9.6.1.2. Четырехузловой кубический треугольный элемент
В гл. Б был введен треугольный эрмитов элемент с четырьмя
узлами и полной кубической пробной функцией. Геометрия
этого элемента с четырьмя узлами такая же, как и у элемента
с тремя узлами, за исключением дополнительного четвертого
узла, выбираемого в центре. Напомним, что в дополнение к
определению функции и ее первых производных (по хну), как
узловых параметров в каждой из трех вершин, функция
определяется также в центральном узле. Этих десяти значений
узловых параметров достаточно для однозначного определения
полной кубической пробной функции.
Полный перечень базисных функций для этого элемента был
дай Фелиппа и Клафом [21]. Однако, как показано в гл. 5,
можно обойти явное использование базисных функций, что
приводит к упрощениям формулировки. В той же главе показано,
как можно сократить порядок матрицы элемента путем
устранения центрального узлового значения посредством
конденсации. С другой стороны, этот узловой параметр можно исключить
методом, описанным в работах [22—24].
Представляет интерес межэлементная совместимость для
рассматриваемого типа элемента. Вдоль любой стороны
элемента пробная функция й может быть представлена в виде
кубического полинома от st измеряемого вдоль стороны. Узловые
параметры и, ди/дх и ди/ду определяются в каждой вершине.
Производная du/ds в направлении 5 может быть получена как
линейная комбинация ди/дх и ди/ду и, следовательно,
известна в каждой вершине. Таким образом, значения и и du/ds в
конечных точках любой стороны известны; зтого достаточно
для нахождения четырех коэффициентов кубического полинома.
Поскольку кубические представления вдоль общей стороны
соседних элементов однозначно определяются одинаковыми
узловыми значениями, пробная функция сохраняет непрерывность
при переходе через границу между элементами. Из аналогичных

193
Глава 9
соображений ясно, что первые производные кубической
пробной функции при переходе через границу между элементами
терпят разрыв Если такая непрерывность необходима, то, как
описано в следующем разделе, приходится использовать
интерполяцию более высокого порядка.
0.5.1.3. Треугольный элемент пятого порядку с шестью узлами
Элемен-i такого типа, показанный на рис. 9.5, был впервые
предложен де Вебеке [25] и основывался на полном полиноме пятой
степени. Его узловыми параметрами в каждой вершине являются
О х
Рнс. 9,5. Типичный шестиузловой треугольный элемент.
значения и, ди/дх, ди/ду, d2ufdx^, d2ufdxdy, d2ufdy2y а также
параметр dufdn в каждом узле, лежащем на середине стороны.
Таким образом, для однозначного определения 21
коэффициента полного полинома пятой степени имеется 21 условие.
Читателю предлагается в качестве упражнения тем же способом, что
и в предыдущем разделе, показать, что при переходе через
границу между элементами пробная функция и ее нормальные
производные сохраняют непрерывность Таким образом,
пробная функция и ее производные по а и у непрерывны во всей
области. Элемент с 18 степенями свободы можно получить,
задавая изменение ди/дп вдоль стороны как кубического
полинома и отбрасывая узлы, лежащие на серединах сторон [26—■
30]. При этом сохраняется межэлементная непрерывность и
пробной функции, и ее первых производных.
Элементы пятого порядка не только дают решение в виде
непрерывной поверхности с непрерывными первыми
производными, но также позволяют получить вторые производные в
узлах как часть решения. Поэтому граничные условня, заданные
Л
м
1°
■я*
1!
#
Si!

200
Глава $
в терминах вторых производных, при желании могут быть
записаны в виде эквивалентны* условий Дирихле (разд. 5.4).
Как показано в гл. 5, для пробных функций более высокого»
например пятого, порядка выгодно использовать локальную
систему координат б%г\.
9.5.1.4. Другие треугольные элементы
В габл. 9.2 приведены некоторые другие часто используемые
треугольные элементы. Дополнительные подробности о них
можно найти в литературе.
Термин связанный в таблице необходимо пояснить. Здесь
связанный полином — это полный полином, коэффициенты
которого подчиняются одному или нескольким уравнениям связи.
Связанный кубический полином из табл. 9.2 выражается
полным кубическим полиномом (10 членов) с одним уравнением
связи. Для элемента требуются только 9 узловых параметров, и
этого с учетом уравнения связи достаточно для определения
десяти коэффициентов полинома.
9.5.2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Прямоугольные элементы сами по себе не очень удобны в
применении к нерегулярным двумерным областям, но очень часто
используются совместно с более широко распространенными
треугольными элементами. Четырехугольные элементы в этом
отношении более удобны, но все же онн не получили такого
широкого распространения, как треугольные. Поэтому здесь
будет дано только краткое описание прямоугольных н
четырехугольных элементов. Тем не менее следует помнить, что в
некоторых приложениях такие элементы можно с успехом
использовать.
9.5.2.1. Лагранжевы прямоугольные элементы
Хотя есть и другие прямоугольные элементы, являющиеся ла-
гранжевьши в том смысле, что узловыми параметрами служат
только значения функций, это частное семейство элементов
часто идентифицируется как лагранжево прямоугольное
семейство, поскольку оно происходит непосредственно от полиномов
Лагранжа.
Рассмотрим показанный на рис. 9.6 прямоугольный элемент
ест равномерно расположенными узлами в каждой строке и п
равномерно расположенными узлами в каждом столбце. Для
узла if базисная функция выражается произведением двух
полиномов Лагранжа:
Ntl^LT(x)LHyl (9.57)
Элементы и их свойства
201
где полиномы Lf(x), L"{y) определяются из равенства (9.20),
а верхние индексы тип используются для обозначения порядка
полинома.
Как требуется для базисной функции, N„{x, у) равна I в х,,
yi и 0 во всех остальных узлах, что следует из свойств
полиномов Лагранжа. Поэтому интерполяционная формула Лагранжа
i—ц
Лм_ --т 1 -]—2 щ
+—I—f
У, * *- » i r i 1
Рис. 9.6. Типичный лагранжев прямоугольный элемент с.
пробной функции й для лагранжева элемента тп может быть
записана в виде
Й = JVufln + /V12«I2 ■}-...+ NlmSim + Nsfin + N22U22 +
... +N2mu2m+ ... +Nnlu„, + N„2Un2+ ... +Nnnfi„m, (9.58)
илн
(9.59)
1=ZE Мци,,.
l-ij-l
Лагранжевы элементы этого семейства характеризуются
межэлементной непрерывностью только для й и представляются
неполным интерполирующим полиномом. Можно показать, что
геометрическая изотропия имеет место, если по направлениям
х и у используется одинаковое число узлов. Кроме первого
{билинейного) элемента этого семейства, лагранжевым
элементам присущи недостатки вследствие наличия внутренних узлов
и плохого совмещения, особенно для полиномов более высоких
порядков. Поэтому прямоугольные лагранжевы элементы,
отличные от билинейных, используются редко.

202
Глава 9
Иллюстративный пример 9.1. Показанные на рис. 9.7
базисные функции для билинейного элемента с нумерацией узлов
1, 2, 3 и 4 получаются по отношению к локальной системе
координат 0$ц следующим образом. Базисная функция для узла 1,
ч
ш
1
ъ
У
-е а~
0
г1=' С
J
-Я 1)=-7-* (/,
')
?
4
-о
Рис. 9.7. Типичный билинейный элемент е.
определяемая равенством (9.57), после опускания (с целью
упрощения записи) верхних индексов принимает вид
/V.^JV^MDMn). (9.60)
Подстановка (9.20) в (9.60) при т, п — 2 дает
(9.61а)
Точно так же можно определить
W2 = -i.(i+l)(n-l), (9.616)
W3 = |(i + D(r)+1), (9.61в)
' /V4 = -x(i-1)(4+D- (9-61r)
Тогда пробную функцию й можно записать в виде
й = Nfi, + ЛГ2В2 + Л/Зы3 + N&, (9.62)
е базисными функциями, вычисляемыми из уравнений (9.61).
Элементы и их свойства
203
9.5.2.2. Сирендиповы элементы
В табл. 9.3 приведены первые три члена этого семейства.
Следует заметить, что характеристика этих элементов как
линейного, квадратичного и кубического относится к изменению
пробной функции в направлении с, при постоянной ц или в
направлении г] при постоянной £. Пробными функциями для этих элемен-
Табмца 9.3
Сирендипово семейство алемеятов
Элемент
■ '
Тип
линейный

квадратичный
кубическое
Число уздвВ
4
8
12
тов являются неполные полиномы второго, третьего и четвертого
порядков по | и ц соответственно.
Базисные функции для первых трех сирендиповых
элементов первоначально были найдены Путем подбора; они
представлены в табл. 9 4 в локальных координатах | и ц. Для
определения этих базисных функций .могут быть также
использованы следующие неполные полиномиальные пробные функции:
линейная й = сь, -f- a2g + а3т) -f- Bjli), (9.63a)
квадратичная й = at + а£ + а3т) -f- o^g2 + a5|r) -f- Ogif -f-
+ а7|%1 + а81г,2, (9.636)
кубическая й = a, + a£ + а3ц + а4|2 + a5|r| + cyrf -f- «7|3 -f-
+ «si2!) + a9In2 + П1»П3 + а„|3г1+а,21г|3. (9.63в)
Заметим, что в уравнениях (9 63) из полного полинома для
сохранения геометрической изотропии (см. разд. 8.11) опущены
симметричные пары членов.

Элементы и их свойства
205
Первоначально разработанные сирендиповы элементы
обладали равным количеством узлов по направлениям х и у.
Позднее [36] был развит алгоритм для сирендиповых элементов
с равным или неравным числом узлов в двух (или трех)
направлениях. В той же работе показано, как построить
модифицированные сирендиповы элементы, имеющие полные
полиномиальные пробные функции, без дополнительных узлов Б двумерном
случае, но с узлами, лежащими на середине боковой грани, в
трехмерном случае. Модифицированные элементы более
эффективны с вычислительной точки зрения, чем лагранжевы
прямоугольные и полные треугольные элементы. Более того,
использование элементов с разным числом узлов вдоль каждой
стороны позволяет согласовывать элементы, низкого порядка в
областях, где не предполагается резкого изменения
характеристик, с элементами более высокого порядка в других областях.
Пробная функция сирендипова элемента вдоль границ
элемента представляет собой полный полином, и, следовательно,
имеет место непрерывность пробной функции при переходе
через границу между элементами.
Сирендиповы элементы образуют полезный класс
прямоугольных элементов, которые в комбинации с треугольными
элементами могут достаточно эффективно использоваться в
областях с криволинейными границами.
9.5.2.3, Эрмитовы элементы
Базисные функции для прямоугольных эрмитовых элементов
могут быть определены путем перемножения эрмитовых
полиномов в каждом координатном направлении аналогично тому, как
это сделано в разд. 9.5.2.1 для лаграпжевых прямоугольных
элементов. Рассмотрим, например, показанный на рис. 9.8
эрмитов прямоугольник, где используются локальные координаты
!™(>; — Xi)/a и г\={у— У\)/Ъ, а параметрами в каждом узле
являются значения и, du/dx, duldy л (Pu/dxdy.
В разд. 9.2.2.2 было показано, что для одномерного
эрмитова элемента с двумя узлами и первыми производными,
входящими в число уз л оных параметров, аппроксимацию й на
элементе можно записать как
а = £[МмШй,+ ЛГ,,ф-^-]. (9.64)
(-1
Подобно лагранжевой, эту интерполяцию можно
распространить на двумерный случай (х и у). Используя систему
координат <5|ч, для прямоугольного элемента рис. 9.8 й можно аппро-

206
Гтва 9
ксимировать выражением [37]
а
т-л — — ди, — ди — д2и.
(9.65)
где
Nu = NBl (I) NM (Ti), JVa, = Ne! (|) NH (r,),
ЛГ3, = ЛГ„(1)ЛЫЧ), A?4,-=W,.(E)JV1,(4)-
Функции /V(/ в уравнениях (9.66)') определяются как
Nm (!)=?JVM (E)=X—3g2 + 2g3, JV01 (Ч)=ЛГ„2 (tj)=1—3tf + 2tis,
iV,i й)=Л/н(|)=а(6~2бЧ13), ЛГ„(г1)=Л'13(ч)=6(ч-2чг+П3),
JVa, (l)=JVo3 (l)= 3|2 - 2£3, W04 (ri)=/V03 fa) = 3N2 - 2r,3,
JVis (|)=Л-13 (|)= - a e»-g»), JV„ (1))=Л-,3 (4)=-S(l!-13)-
Пробная функция является неполным полиномом шестого
порядка по | и г]. Можно также показать, что пробная функция
(9.66)
(9.67)
1.
i *
L * Ь_
^ «
Рнс. 9.8. Эрмитов прямоугольной элемент первого порядка.
'(уравнение-(9.65)] и ее первые производные непрерывны.
Матрица жесткости для прямоугольного эрмитова элемента
первого порядка в задаче изгиба пластины получена в работе [37].
Были построены [38, 39] пробные функции более высокого
порядка, основанные на эрмитовых элементах с более чем двумя
узлами па стороне н использующие производные более
высокого порядка чем второй, но они слишком сложны и
используются редко. Смитом [40] было проведено сравнение
результатов применения нескольких эрмитовых элементов высокого
порядка к изгибу пластин.
') Базисные функции N,, из уравнений (9 66) и (9.67) тождественны
одномерным базисным функциям Ny из уравнении (9.33) н (9.34),
Элементы и их свойства
207
9.6.2.4. Прямоугольный элемент с двенадцатичлеиным полиномом
Базисные функции элемента типа рис. 9.7, имеющего узловыми
параметрами и, ди/дх и ди/ду, можно определить по методу
разд. 9.2.1.2 посредством неполного квадратичного полинома
с 12 членами. Полный полином четвертого порядка содержит
Таблица 9J5
Базисные функции дли двенадцатичленного четырехугольника
-1
1
Л
Базисные функции
JV„-"
iesto - i/Ь - «f - Ф)
ief>(irfi - ifg + ef + eh)
N*
*
N*'
Переменные
e,f,e,k
e = t] - 1
/ = *+!
3 ifKifk-yg-ef-gH) |/(rV ~efh <K=f-l
4 4М#-!Л+?Г+9*|) bg'h -\еГв &=-« + !
15 членов, поэтому три нз них должны быть исключены. Обычно
это £2г)2 плюс симметричная пара |4, г)4, что дает интерполяцию
й = а, + н21 + а3Ц + а4|2 + a5|ri + а6П2 + а7!3 + ааЩ +
+ «эбП2 + сцоП8 + ЩI53T) + ai2S43- (9.68)
Пробная функция выражается через базисные функции и их
производные следующим образом:
л-1*.А+*в(4|-)|+лг..(|г-)|. <9-69>
(-1
Прн этом можно показать, что при использовании локальных
координатных осей |, ч из рис. 9.7 базисные функции имеют
вид, представленный в табл. 9.5.
8.5.3. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Согласно одному из подходов, четырехугольные элементы
образуют из треугольных. Рис 9.9 показывает, как можно
представить четырехугольный элемент простыми линейными
треугольниками. Четырехугольник делится сначала одной диагональю. _

208
Глава 9
а затем другой. Для каждого деления четырехугольника
элементная матрица k получается из линейного представления
составляющих треугольных элементов. Затем две элементные
матрицы k усредняются для получения окончательной матрицы
четырехугольного элемента. Для формирования четырехуголь-
Рис, 9,9. Четырехугольный элемент — усреднение.
ников более высокого порядка можно использовать треугольные
элементы более высокого порядка.
На рис. 9.10, а показан четырехугольный элемент,
построенный де Вебеке [41] из четырех полных кубических
полиномиальных треугольников. У этого элемента 16 степеней свободы: трн —
Рис. 9.10. Четырехугольные элементы,
о—де Вебеке (41]: С—Клафа и фелнпиа [42].
и, ди/дх и ди/ду — в каждой вершине и одна — ди/дп — в
каждом узле на середине стороны.
Четырехугольный элемент, изображенный на рис. 9.10,6,
построен Клафом и Фелпппа [42] из четырех треугольников,
каждый из которых образуется из трех треугольных подобластей.
У элемента имеется 12 степеней свободы, по.три в каждой
вершине.
Рнс. 9.11 иллюстрирует другой подход к четырехугольному
элементу, по которому четырехугольник формируется из
квадрата путем преобразования из естественных координат в
глобальные. В этом случае связь между естественными (|, г)) и
Элементы и их свойства
209
глобальными (х, у) координатами определяется в виде
x = ±l(l -IHI-ti)*, + (1 +!)(!-Ч)*г+(1 + i)d + Ч)*з +
+ (1-?)(1+4)*J. (9.7.0а)
»=т1<1 -1)<1-ч)№+-(1 +i)(i -1)й+(1 + i)(i + r\)m +
+ (1-1)(1 + г>Ы. (9.706)
Пробную функцию в системе <5|ч можно взаимно
однозначным соответствием перенести на четырехугольник, поскольку
пробная функция в соответствующих друг другу точках |, г] н
п
4
1
ч
U>n
J
0
2
X
К-" С,-?)
Рис. 9.11. Типичный четырехугольный* элемент.
а—естественные координаты; б—глобальные и локальные координаты.
х, у имеет одинаковые значения. Например, можно перенести с
помощью преобразования (9.70) пробную функцию й для
отдельного прямоугольника с четырьмя узлами, полученную в
разд. 9.5.2.1 [уравнение (9.62)], на общий четырехугольный
элемент. В общем случае описанная процедура может быть
использована для преобразования простого порождающего элемента
к элементу более общей формы. Этот подход рассматривается
в разд. 9.7.
9.6. ТРЕХМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Трехмерные задачи обусловливают большое число степеней
свободы. Например, в механике твердого тела три перемещения
«, v и тс и их производные по направлениям х, у и z приводят к
48 степеням свободы для простого тетраэдрального элемента.
Даже с умеренным числом элементов система может иметь
несколько тысяч неизвестных. Поэтому неудивительно, что

210 Глава 9
трехмерные конструкции, даже типа оболочек, которые
используются в летательных аппаратах, автомобилях и кораблях, могут
содержать десятки тысяч неизвестных. Применение трехмерных
конечных элементов и в других областях, например при
исследовании распространения загрязнений в эстуариях рек во время
приливов, также приводит к очень большому числу неизвестных.
Обычно выгоднее выбирать узловые параметры в вершинах,
поскольку вершины являются общими для большего количества
элементов, чем узлы ну ребрах нли боковых гранях. При
фиксированном числе узловых параметров элемента это приводит к
уменьшению числа узловых параметров системы и сокращению
размера матрицы системы. Узлы на гранях избегают
использовать, поскольку они явлнются~общими только для двух
элементов. Цена использования узлов па ребрах значительно меньше,
особенно при использовании фронтального метода решения.
В вышеприведенных рассуждениях внутренние узлы ие
принимались во внимание, поскольку они легко могут быть
исключены с помощью конденсации.
Б силу сказанного выше особое внимание в следующих
разделах будет уделяться элементам с узлами *в вершинах. Для
всех рассматриваемых ниже элементов характерна межэлемент-
иая непрерывность функции. Описание других элементов и их
свойств можно найти в работах [!8, 43—46].
9.6.1. ТЕТРАЭДРАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Наиболее широко используются тетраэдральные трехмерные
элементы, хотя иногда бывает трудно разделить область только
на элементы такого типа1). Из-за этого тетраэдральные
элементы часто смешиваются с шестигранными элементами
(«кирпичиками»).
9.6.1.1. Лагранжевы тетраэдры
На рис. 9.12 изображены первые три элемента из этого
семейства— 4-узловой, 10-узлоной и 20-узловой, соответствующие
полным линейной, квадратичной и кубической полиномиальным
пробным функциям. Каждый узел имеет только одну степень
свободы, а именно значение функции й в узле. Базисные
функции можно определить методом обобщенных координат, хотя
для элементов, отличных от линейного, их легче получить как
произведение интерполирующих функций [47].
') Точность, вероятно, снижается, если элементы становятся длинными
и тонкими.
Элементы и их свойства
Рис. 9.12. Лагранжевы тетраэдры.
а—четырехузловой; б—десятиузлобой; в—два дцатиу злобой.
Для четырехузлового элемента пробная функция линейна:
й = cti -f- a2x + <*ъУ + «4^. (9.71)
Легко показать, что базисные функции для такого элемента
определяются простыми соотношениями
JV, = Ib N2 = L2, N3=:L3, Nt = U (9.72)
где L\, L2, L$ и L4 — объемные координаты, определенные ранее
в разд. 9.3.3.
9.6.1.2. Другие тетраэдры
Как отмечалось выше, при использовании элементов высоких
порядков выгодно концентрировать узловые параметры в
вершинах. На рис. 9.13 изображен представляющий практический
да St/ Ьи •»
Рис. 9.13. Тетраэдральный элемент Т48.
интерес тетраэдральный элемент с параметрами только в
вершинах. Пробная функция для такого элемента представляет
собой неполный кубический полином от х, //, z [46]. Узловыми
параметрами являются функция и и ее первые производные по

312
Глава 9
xt у и z, что в итоге дает 16 степеней свободы. Поскольку
полный кубический полином от трех переменных имеет 20 членов,
для однозначного определения базисных функций четыре члена
отбрасываются. Вычисление базисных функций для этого
элемента н дифференцирование матрицы жесткости можно найти
в литерат\ ре [43, 48] Б задачах упругости, когда в любой точке
возможны три перемещения и, v и w в направлениях х, у и z
соответственно, получающиеся в результате 48 узловых
параметра дают элемент с общепринятым названием Т48
Другие тетраэдральные элементы рассматриваются в
работах [6, 43—46].
9.6.2. ШЕСТИГРАННЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Шестигранные элементы за их внешний вид иногда называют
«кирпичиками». Большая часть используемых шестигранных
элементов принадлежит к лагранжеву и сирендипову
семействам; они и рассматриваются далее.
9.6.2.1. Лагранжевы элементы
Так же как н в двумерном случае, трехмерные лаграижевы
элементы имеют базисные функции, представляющие собой
произведение интерполяционных полиномов Лагранжа. Как пока-
Рнс. 9.14. Типичный восьмиузловой шестигранный лагранжев элемент.
зано на рис. 9.14, первый элемент из этого семейства имеет
восемь узлов. В каждом узле оговаривается только значение
функции, что дает всего, восемь узловых параметров Элементы
более высокого порядка в дополнение к узлам в вершинах
могут иметь узлы на ребрах, гранях и внутри, по такие элементы
используются реже Можно показать, что при использовании
естественных ортогональных координат £, ц, Е; н выборе начала
кордннат б в центре Элемента (рис. 9.14) базисные функции
Элементы и их свойства
213
для первого лаграижева элемента описываются выражением
л^=4<1+ц*>(1 + пч*)и + й|>. 'в1'3 8- (9*73)
Пробная функция й на элементе е может быть представлена в
терминах этих N, следующим образом:
й— 2 #!«(.
t = i
(9.74)
в.6.2.2. Сирендиповы элементы
Трехмерные сирендиповы элементы, как и двумерные, не
содержат внутренних узлов. На рис. 9.15 изображены первые три
элемента из этого семейства, где видно, что они обладают 8, 20
Рис. 9.15. Сирендиповы шестигранные элементы,
а—линейный: б—квадратичный; в—кубический.
и 32 узлами соответственно, и в каждом из этих узлов задается
значение функции. В системе координат Ognt. такой же, как на
рис 9.14, базисные функции для указанных сирендиповых
элементов имеют следующий вид [49]:
«линейный» элемент
N,
=4-<1 + ЕЬК1+чч.Ю+й.);
(9.75)
«квадратичный» элемент
узел в вершине
Ы,=-1 (1+ Ц,) (1 + туг,,) (1 + К.) (Ill + ЧЧ« + К« - 2); (9.76)
типичный узел на середине стороны
tfi-iu-rKl+riruHi+K,);
(9.77)

214
Глава 9
^кубический» элемент *
узел в вершине
W,- = -gf(l+B,)(l+i№)(l+tt()[9(62 + ri2 + £2)-19]; (9.78)
типичный узел на середине стороны
9 (9-79)
JV, = i(l -Is)(I +9Ц,)(1 +ПП,)(1 +Й1).
Базисные функции для линейного элемента из этого
семейства выглядят так же, как и у линейного-лагранжева элемента.
Все рассмотренные выше элементы используются на практике.
9.6.8. ПЯТИГРАННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Эти элементы, имеющие вид треугольных призм, используются
довольно часто совместно с шестигранными элементами. Их
базисные функции образуются с помощью функции,
интерполирующей на треугольнике, которая умножается па лагранжеву
или сирендипову функцию по оставшейся размерности [49].
9.7. ИЗОПАРЛМЕТРИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
При расчете областей, имеющих криволинейные границы, для
удовлетворительного геометрического представления этих
границ необходимо использовать большое количество граничных
элементов с прямыми сторонами (гранями). Если используются
криволинейные элементы, то число необходимых элементов
может быть заметно сокращено, и в результате уменьшится общее
число переменных в системе. Для трехмерных задач, которым
присуще большое число переменных, такое сокращение может
быть очень полезным.
Хотя и существуют различные методы построения
криволинейных элементов, единственный широко используемый на
практике метод основывается па отображении регулярных (прямо-
реберных или прямосторонних) элементов. Если известны
базисные функции для регулярного порождающего элемента в
локальной системе координат, то можно определить и
порожденный криво ■шпенпый элемент Как было показано Айронсом,
Зенкевичем и др. [49—51], отображение из локальной системы
координат 5, I], J в декартову к, у, г осуществляется посред-
Элемекты и'их свойства
ством соотношений
х = Nmx,
» = Nmy,
(9.80а)
(9.806)
(9.80в)
Элементы в уравнениях (9.80), которые входят в матрицу
базисных функций Nm, являются функциями от |, т|, £, а столб.
н,л
п
V
-
_
11,1)
~т
п
1 .
4 4
—i(V*>
h-=0
а В локальных ^ Сетка В декартовых координатах
-idttHB—
Рис. 9.16. Отображения нзопараметричеошх элементов.
О—двумерного; 6—трехмерного
Цы х, у и z образуют список значений естественных координат
по отношению к глобальной системе. В локальной системе

216 Глава 9
координат пробная функция й может быть записана в виде
a = Nu, * (9.81)
где элементы матрицы базисных функций N зависят от £, п. и £.
Из рис. 9.16 видно, что для любой точки порождающего
элемента с локальными координатами \, rj, E; в порождаемом
элементе на основании уравнений (9.80) может быть получена
соответствующая точка в глобальных координатах х, у, г.
Значение пробной функции в точке х, у, z совпадает со значением
функции в соответствующей точке \, ц, £, н его можно вычислить
с помощью уравнения (9.81).
Удобно выбирать матрицы базисных функций Nm и N
одинакового вида; в этом случае порожденный элемент называется
изопараметрическим. Если матрица базисной функции Nm имеет
меньший порядок, чем матрица N, го полученный
криволинейный элемент является субпараметрическнм, а если Nm более
высокого порядка, то элемент является суперпараметрическим.
Если в уравнениях (9.80) и (9.81) используются линейные
базисные функции, то двумерный прямоугольник отображается
на произвольный четырехугольник, а трехмерные кирпичики
станут шестигранниками с плоскими, но не параллельными
гранями. Для получения криволинейных элементов можно
использовать отображения более высокого порядка, такие, как
квадратичные и кубические.
Прн формировании элементных матриц с использованием
нзопараметрических элементов необходимо вычислять
производные от базисных функций в системе OgrjE; из соответствующих
производных п системе Охуг. Эти наборы производных могут
быть удобно связаны через якобиан преобразования.
Для двумерных областей разработано несколько
криволинейных треугольных элементов. Например, кубический
криволинейный элемент, первоначально предназначавшийся для
анализа потенциальных течений, описан Лйзексом [52]
Дополнительные подробности об нзопараметрических элементах н их
применении можно найти в уже упоминавшихся литературных
источниках.
9.8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗ ЛОКАЛЬНЫХ КООРДИНАТ
В ГЛОБАЛЬНЫЕ
Установлено, что многие базисные функции легко могут быть
представлены в той или иной локальной системе координат.
В этом случае элемевтные матричные уравнения будут
содержать неизвестные переменные по отношению к локальной
системе. Эти уравнения должны преобразовываться в соответ-
Элементы и их свойства 217
ствующие уравнения в глобальной системе до нх включения в
матрицу системы.
Для неизотропных сред матрица элемента имеет простейший
вид, если она получена в таких локальных осях, которые
соответственно параллельны главным осям материала в этой точке.
И вновь до объединения следует провести преобразование из
локальной системы в глобальную.
Как показано далее, преобразование Легче всего
осуществить, если используется подходящая матрица преобразования.
Рассмотрим вклад элемента, полученный в локальной системе
и записанный в виде
• ^ = (uLfktuLi (9.82)
где ki. — элементная матрица k, a uL— элементный узловой
вектор, оба в локальной системе. Пусть преобразование из
локальной системы в глобальную задается в виде1)
uL = Tu, (9.83)
где и — элементный узловой вектор в глобальной системе, а
Т — матрица преобразования между системами. Подставляя
(9.83) в уравнение (9.82), получим ^
%e^(u)TVkfJu. (9.84)
Следовательно, элементная матрица к в системе глобальных
координат, обозначаемая к, записывается как
k = TrktT. (9.85)
Поскольку в гл. 5 было проиллюстрировано преобразование
из локальной в глобальную, систему, дополнительные примеры
такого рода в этом разделе не приводятся.
9.9. ВЫБОР ЭЛЕМЕНТА
В предыдущих разделах представлен обзор наиболее
распространенных элементов. Однако для конкретной задачи важен
вопрос выбора элемента. На выбор элемента сильно влияет
сложность программирования, затраты времени и средств и
точность решения. К сожалению, нет четких правил выбора
лучшего элемента, так как выбор зависит от типа задачи,
геометрии границ, граничных условий, требуемой точности,
характеристик ЭВМ, максимально допустимой стоимости расчета и
других факторов.
Тем не менее можно сформулировать несколько
рекомендаций, помогающих выбору элемента. Прежде всего для пробной
функции должны существовать все производные, появляющиеся
*) В тех случаях, когда преобразование.сводится к вращению, матгаца
преобразования обычно обозначается R.

213
Глава 9
в функционале. Простейший способ удовлетворения условий
сходимости состоит в том, чтобы применять элементы, основанные
на полном полиноме, и, более того, использовать только
допустимые функции, которые для широкого класса задач
соответствуют использованию согласованных элементов. Элементы, ие
удовлетворяющие требованиям полноты и согласованности,
можно использовать только после тщательной проверки их
характеристик. Поскольку такие элементы могут быть весьма
эффективными, их tie следует заранее исключать из рассмотрении.
Для задач с регулярными границами обычно выбираются
элементы простой геометрии, тогда как для криволинейных
границ выбор более сложен, поскольку в этих случаях можно
успешно применять как регулярные так и криволинейные
элементы. При подгонке к криволинейной границе-можно выбирать
из большого количества регулярных элементов или нескольких
более сложных изопарамегричееких -элементов.
Как показано выше, есть значительная выгода в том, чтобы
выбирать элементы, у которых узловые параметры
концентрируются в вершинах. Элементы с производными представляют
ценность тогда, когда решение включает производные,
поскольку в этом случае нет необходимости вычислять их
последующей интерполяцией.
Литература
1. Argyrls J. H., Continue and discontinua, Proc. Conf. Matrix Methods Struct,
Mech., 1st, Wright-Patterson AFB, Ohio, October 26—28, IS65 (AFFDL-TR-
66-80, November 1966)
2. dough R. W, Comparison in three-dimensional finite elements, in; Finite
Element Mejhcris in Stress Analyses (Holand f., Bell K., eds.), Tapir Press,
Trondheim, Norway 1969.
3. Zienkiewicz O. C, Isoparametric and allied numerically integrated
elements—a review, Proc. Symp. Num. Compilt Methods Struct. Mech., Univ..
of Illinois. Urbana. Illinois, September 1971.
4. Mitchell A. R., Element types and base functions, in: Numerical Solution of
Partial Differential Equations (Gram J, G., ed.), pp. 107—150 Reidel,
Dordrecht, 1973.
5. Norrie D. II., de Vries G., The Finite Element Method, Academic Press New
York, 1973.
6. Huebner K- H., The Finite Element Method for Engineers, Wiley New
York, 1975. ^"
7. Fenner R. Т., Finite Element Methods for Engineer's, MacMillan, New -York,
1975.
8. Zienkiewicz O; C„ The Finite Element Method In Engineering Science,
McGraw-Hill, New York, 1971. [Имеется перевод: Зенкевич О., Метод
конечных элементов в технике. — М.: Мир. 1975]
9. Ural О., The Finite Element Method, Intexl Educational Publ.. New York
1973.
10 Martin H. C, Carey G. F-, Introduction to Finite Element Analysis. McGraw-
Hill, New York, 1973.
11. Gallagher *R. H., Finite Element Analysis, Prentice-Ha 11, Englewood Cliffs,
New Jersey, 1975,
Элементы и их свойства
- 219
12. Robinson J. R, Integrated Theory of Finite Element Methods, Wiley (ln-
terscience). New Yoik, 1973.
13. Rockey K. C, Evans H. R„ Griffiths D. W., Nelhercot D. A., The Finite
Element Method Croshy Lockwood Staples, London, 1975.
14. Brcbhia С A. Connor J. J„ Fundamentals of Finite Element Techniques.
Ilalsicd Press, 1974.
15. Desia C. S„ Ahel J. F„ Introduction to the Finite Element- Method, Van
Nostrand-Rcinhold. Princeton, New Jersey, 1972
16. Cook R. D., Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Wiley,
New York. 1974.
17. Pin Tong. Rossultos J. N., The Finite Element Method, MIT Press,
Cambridge, Massachusetts, 1977. '
18. Norrie D. H„ dc Vries G., A. Finite Element Bibliography, Plenum Press,
New York. 1976.
19. Hamming R. \V, Numerical "Methods for Scientists and Engineers, McGraw-
Hill, New York. 1962. [Имеется перевод: Хсмминг Р. В., Численные методы
для научных работников и инзке-г-ров. — М : Наука. 1968.]
20. Silvester P. Higher-order polynomial trsnsular elements for potential pro-
* hlems, Inlernui. J Engrg Set.. 7. No 8, &9- ИЗ I (1969).
21. Felippa C. A.. Clough R W. The mte Yemeni meinc! in solid mechanics,
in: Numerical Solution of Field Prohlcrns in Continuum Physics (S1AM —
AMS Proc.1, Vol. 2, 210—252. Amer. Math. Soc. Providence, Rhode Island
1070.
22 Tocher J. L., Hartz В J„ Higher-order finite element for plane stress,
Proc. ASCE, /. F.ngrg Mech. Div., 93, No. EM4, 149—174 (1967).
23. Holand I., Bergan P. G.. Discussion ol higher-order finite element for plane
stress Proc ASCE, J Engrg. Mech. Div., 94, No. EM2 698—702, (April
1968).'
24 Holand 1, The finite element method in plane stress analysis, in: The Finite
Element Method in Stress Analysis {Holand I., Bell K-, eds.), Chapter 2,
Tapir Press, Trondheim, Norway, 1969.
25. Fracijs de Veuheke В., Displacement and equilibrium models in the finite
element method, Symp. Niiniei. Methods in Elasticity, University College of
Swansea, January 1964, in: Stress Analysis (Zienkiewicz O. C, Holister G..
eds.), Chapter 9. pp. 145—147. Wiley, New York, I9Rt.
26. Brehbia C, Connor J„ Plate bending, in: Finite Element Techniques in
Structural Mechanics (Tottenham И., Brcbhia C, eds.) Chapter 4, 112—114,
Stress Analysis Publ., Southampton. I97i.
27 Bell K., A refined triangular plate bending finite element, Int. J.- Numer.
Methods Engrg, 1, Ко. 1, 101—122 (1969).
28. Cowper G. R. Kusko E„ Lindberg G., Olson M., Static and dynamic
applications of a high precision triangular plate bending element, AlAA I.. 7,
*No 10, 1957—1965 (1969). [Имеется перевод: Ракетная техника н космо-
нашпка. т. 7. Хе Ю, с. 165—175, 1969.]
29 Bullin G Ford R„ A compatible triangular plate bending finite element.
Interned. J. N tuner. Methods Engrg., 6, 323—332 (1970).
30. Bell K., Trianguiai plate bending elements, in: Finite Element Methods in
Stress Analysis (Holand 1„ Bell K-, eds.), Chapter 7, Tapir Press,
Trondheim, Norwav. 1969.
31 Morlcv L. S. D„ The constant-moment plate bending element, Л Strain
Anal.,\ No. 1. 2—24 (1971).
32 Clough R. W„ Tocher J. L., Finite element stiflness matrices for analysis
of plate bending, Proc. Conf. Matrix Methods Struct. Mech.. 1st, Wright-
Patterson AFB, Ohio, 26—28 October, 1965 (AFFDL-TR-66-80, pp. 515—546,
November 1966).
33 Bazeley G., Cheung Y. K., Irons В., Zienkiewicz O., Triangular elements In
plate bending-conforming and поп-forming solutions, Proc. Conf. Matrix

Глава 9
.Methods Struct. Mech., 1st, Wright-Patterson AFB, Ohio, 26—28 October
1965 (AFFDL-TR-66-80, pp. 547—576. November 19G6).
34. Harrison D. G_, Cheund Y. K.. A higher-order triangular finite element for
the solution of field problems in orthotopic media, Internal. J. N timer.
Methods. Engrg., 7, 287—295 (1973). (Отмстим, что на стр. 294 есть ошибка.
Первый элемент подматрицы Syt должен иметь вид Юс- — 4с,+1<?,-_|. В
напечатанном варианте утерян показатель степени 2 в первом члене.)
35. Bdl К., Analysis of Thin Plates in Bending Using Triangular Finite
Elements, Div. of Struct. Mech., Technical Univ of Norway, Trondheim,
Norway, February 1968.
36. Taylor P. L. On completeness of shape functions for finite element analysis.
Internal. I. burner. Methods Engrg., 4, No. 1, 17—22 (1972).
37. Bogner F. K., Fox R. L.. Schmidt L. A., file generation of interelemcnt-
compatiblc stiffness and mass matrices bv the use of interpolation formulas,
Proc. Conf. Matrix Methods Struct. Mech", 1st, Wrighl-Patterson AFB Ohio,
26—28 October. 1965 (AFFDL-TR-66-80, November-1966).
38. Birkhoff G., Schullz M H., Varga R. S., Piece-wise hermitian interpolation
in one and two variables with application to differentia) equations, Numer.
Math., 2, 232—256 (19G8).
39. Smith I. M, Duncan W., The effectiveness of nodal continuities in finite
element anaysis of thin rectanguar and skew plates in bending. Internal.
I. Numer. Methods. Engrg., 2, 253—258 (1970).
40. Smith I. M.7 A finite element analysis for moderately thick rectangular
plates in bending. Internal. I. Mech. Sci., Щ 563—570 (1968).
41. Fraeijs do Veubekc В., A conforming finite element for plate bending
Internal Л of Solids Struct., 4, No 1, 95—108 (1968).
42. Clough R \V., Fclippa C, A refined quadrilateral element for the analysis
of plate bending, Proc. Conf. Matrix Melhods Struct Mech. 2nd, Wright-
Patterson AFB, Ohio, 13—17 October, 1968 (AFFDL-TR-68-150, pp 399—440,
December 1969).
43. Fjeld S. A., Three-dimensional theory of elasticity, in; Finite Element
Methods in Stress Analysis, pp 333—364, Tapir Press, Trondheim, 1969.
44. Hughes J. R., Allik 11., Finite elements for compressible and incompressible
continua, Proc. Symp, Appl. Finite Element Melhods Civil Engrg., Vander-
bilt Univ., Nashville, Tennessee, November 1969.
45. Cfough R. W., Comparison of three dimensional finite elements, Proc. Symp.
Appl. Finite Element Melhods Civil Engrg., Vanderbilt Univ., Nashville,
Tennessee, November 1969.
46. Rashed Y. R.T Smith P. D., Price N., On further application of lhe finite
element method of [hree dimensional elastic analysis, Proc. Symp. High
Speed Comput. Elastic Struct., Univ. of Liege Press, Belgium, 1970
47. Silvester P., Tetrahedral finite elements for the Helmholtz equation,
Internal. I. Numer Methods Engrg., 4, No. 3. 405—413 (1972)
48. Argyris J. H. Fried 1., Scharpf D. W., The TET20 and TEAS elements for
the matrix displacement method, Aero. J.t 72, No. 691, 618—623 (July I9G8).
~49. Zienkiewicz O. C, Irons B. M. Ergatoudis J., Ahmad S., Scott F. C,
Isoparametric and associated element families for two- and three-dimensional
analysis, in: Finite Element Methods in Stress Analysis, pp. 383—432, Tapir
Press, Trondheim. Norway, 19G9.
50. Ergatoudis L, Irons В. М., Zienkiewicz О. С; Curved iso-parametric
'quadrilateral' elements for finite element analysis, Internal. J. Solids Struct 4,
31—42 (1968).
51. Zienkiewicz O. C, Irons В. М., Iso-parametric elements, in: Finile Element
Techniques in Structural Analysis (Tottenham H., Brebbia C, eds.).
Chapter 10, Southampton Univ. Press, 1970.
52. Isaacs L. Т., A curved cubic triangular finite element for potential flow
problems, Internal. I. Numer. Methods Engrg., 7, No. 3, 337—344 (1973).
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
И ТЕХНИКА ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В случае линейной стационарной задачи метод конечных
элементов .приводит к системе линейных алгебраических уравнений
вида
АХ = В, (Ю.1)
где А = [а,;]—матрица коэффициентов, X = [aii]— системный
узловой вектор неизвестных и В = [6,] — заданная
матрица-столбец. Задачи на собственные значения и динамические задачи
также приводят к линейным алгебраическим уравнениям, хотя
и отличным от (10.1).
Существующие способы решения систем линейных уравнений
можно разделить на прямые и итерационные. В прямых методах
решение X получается непосредственно в результате одного
применения вычислительной процедуры. Напротив, в
итерационных методах решение задачи требует повторяющегося
применения алгоритма. Для начала итерационной процедуры
необходимо задать начальное приближение решения. При
последующих итерациях получаются все более точные оценки решения.
Для проверки сходимости последнее полученное приближение
решения сравнивают с предыдущим. Итерационный процесс за-,
канчивается, если разность последовательных приближений
становится меньше заданной величины.
Создано много вариантов прямых и итерационных методов.
"В некоторых вариантах для уменьшения количества
вычислительных операций и(или) объема требуемой памяти
используются, например, такие свойства матрицы А, как симметрия,
ленточность илн разреженность. Лучшие из известных
алгоритмов запрограммированы для ЭВМ" .и многие из ннх являются
стандартными библиотечными подпрограммами. Такие
программы часто называют решателями уравнений (equation solvers),
хотя иногда этот термин используется также в качестве
названия метода, на котором основана программа.
В настоящей главе описаны наиболее важные способы
решения уравнений и сравниваются их достоинства. Также даны
пояснения ио поводу выбора программы решения уравнений для
той или иной конкретной задачи.

222
Глава ТО
10.1. ВЫБОР ПРОГРАММЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
При выборе программы решения системы линейных уравнений
прежде оссго нужно решить, должен ли быть метод прямым или
итерационным. Для простых задач с небольшой матрицей
коэффициентов А обычно используются стандартные библиотечные
подпрограммы. Для более сложных систем, требующих
большого объема вычислений и значительной памяти, стоимость
вычислений становится веский важной, и нри\иднтся искать и,
если необходимо, создавать процедуру минимизации стоимости
вычислений. Наиболее важными критериями выбора метода
являются объем вычислительных операций, трудности
программирования, память и количество обслуживающих программ,
необходимых для создания программы. Может оказаться, что
многие методы решения требуют больше оперативной памяти,
чем имеется в наличии. Это побуждает выбирать программы,
требующие дополнительных вычислений. Обычно приходится
идти на компромисс между количеством обменов с внешней
памятью, объемом вычислений, объемом памяти, временем н
стоимостью вычислений.
В 50-х годах вычислительные машины имели небольшую
оперативную память и малую скорость записи (считывания)
данных на магнитную ленту. Следовательно, прямые методы
можно было применять только для простых задач. Для более
сложных задач использовались итерационные методы ввиду
небольшого объема требуемой памяти. После того как
существенно увеличился объем оперативной памяти, нашли применение
лучшие из прямых методой. В оперативной памяти больших
современных вычислительных машин можно полностью
разместить матрицы коэффициентов для задач средних размеров, что
позволяет быстро получить решение, используя прямой метод.
В случае больших задач (или даже для небольших при
решении на минимашннах) может быть полезным то обстоятельство,
что для прямых методов в каждый момент времени нужна в
оперативной памяти только часть матрицы коэффициентов. При
большой современной скорости обмена с внешней памятью
можно быстро пересылать в оперативную память.части матрицы. Это
позволяет последовательно продолжать решение без
чрезмерных затрат времени. Однако в случае очень больших задач все
еще могут быть необходимы итерационные методы даже при
использовании современных способов экономии оперативной
памяти.
Отвлекаясь от частностей, можно дать следующие общие
рекомендации выбора метода решения системы уравнений:
Методы решения уравнений и техника программирования 223
1) для небольших задач целесообразно использовать
наиболее удобные стандартные программы, основанные, как
правило, на прямых методах;
2) для задач средних размеров следует выбирать прямой -
метод, экономя иа режимах хранения данных, когда это воз- -
можно;
3) для больших задач, когда память ограничена, необходимо
рассматривать итерационные методы.
Хотя в этой главе рассматриваются лишь системы линейных
уравнений вида (10.1), получающиеся в случае эллиптических
дифференциальных уравнений, аналогичные процедуры
существуют и для других типов задач. Например, конечноэлемеитиая
формулировка линейной задачи на собственные значения
приводит к алгебраической задаче на собственные значения,
которая может быть решена либо прямым, либо итерационным
методом. Рекомендации относительно выбора метода аналогичны
рекомендациям для стационарной задачи. Линейные
динамические задачи, однако, приводят к уравнениям, зависящим от
времени, для которых более подходящими являются итерационные -
методы. Для решения нелинейных систем уравнений не
существует прямых методов, поэтому приходится использовать
итерационные процедуры. В следующих разделах дан краткий обзор
прямых и итерационных методов, а также некоторых
соответствующих приемов уменьшения времени н стоимости решения.
10.2. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Используемые на практике прямые методы решения обычно
состоят из двух процедур, первая нз которых — приведение
матрицы системы к треугольному виду последовательным
исключением или факторизацией, а вторая— обратная подстановка.
И исключение, и факторизация являются, строго говоря,
процедурами разложения, и именно так они будут здесь
рассматриваться, хотя некоторые авторы используют термин
«разложение» только применительно к факторизации.
В настоящее время метод Гаусса, ЬОЬ^-факторизация,
разложение Холесского и фронтальный метод являются наиболее
важными из прямых методов для рассматриваемого
применения. Последние три из них могут рассматриваться как варианты
метода исключения Гаусса [I]. Среди недавно предложенных
методов наиболее привлекательными являются метод быстрого
преобразования Фурье и метод разбиения на блоки [2].
Существуют и другие методы, используюшие разреженность ленточной
матрицы А. Они будут рассмотрены в разд. 10.2.6. Тексты
Фортран-программ ряда прямых методов опубликованы R удобной
форме [3, 4]. В публикациях можно иайти программы н для
других методов.

10.2.1. МЕТОД ГАУССА
В методе исключения Гаусса с помощью действий над
строками симметричная ленточная матрица А приводится к
верхней треугольной матрице U, а матрица-столбец В преобразуется
соответственно к матрице-столбцу С. Ншке излагается
процедура для ленточной матрицы А с шириной ленгы, равной 5.
Верхняя часть матричного уравнения системы (10.1) в этом случае
принимает вид
°21 122 "23 #24
"31 Я32 °ЗЭ Й34 «35
"и «4з an ats a46
а53 "S4 "55 "56
Гх,1 ГЬ,"
хг Ьг
хъ = Ь3
Xi bt
xs bs
-J J J.
(10.2)
Ha первом шаге исключения, умножая первую строку в
уравнении (10.2) на a,i/on и вычитая ее из 1-й строки, где i
последовательно принимает значения 2, 3 получаем
вц 0,2 Оц
022 023 Й24
032 Э33 0"з4 0"з5
042 Й43 а44 Я» °46
053 «J4 0{5 056 Й57
[V
Хг
Хг
х*
*s
=
[V
ъ2
53
h
(10.3J
Черта иад элементом матрицы в уравнении (10.3) указывает на
то, что этот элемент модифицирован. Например, величины бза
и Б? получены по формулам
в32
5.
■- «32 - (03i/iii)au,
: *2 - (а31/ац)Ьх.
(10.4)
На втором шаге исключения второе уравнение (ЮЛ)
умножается на [a,s (или 6,2)]/as2 и вычитается из £-й строки, где I
Методы решения уравнений и техника программирования 225
принимает значения 3, 4,
В результате получаем
«и-
"12
"1»
322 023 024
Эзз Яз4 Озз
Й43 «44 «45 046
«S3 "54' Ojs a56 asl
~x,~
Хг
Xi
Xi
xs
_• .
=■'
ГЧ
E2
5з
Б4
ь5
.* .
(W.5)
Например, числа азз, о« и Ы получены по формулам
ОЗЗ = «3.3 — fefe) "23,
043 = 043 — (042/022)024, (10.6)
Ь3 = Ьз —(032/022)Ь2-
Продолжение этого процесса' приводит в итоге к следующему
матричному уравнению системы:
U,l U,2 «,j
«22 "23 "2*
«35 "34 «33
"4* "4! "46
■4.-1..-I 4,-1..
"лк
Г*1 1
*2
*3
*4
X,*-!
!_*>
="
ГС| 1
^2
Сз
С4
«.-"i
с„
(10.7)
Ясно, -что процедура исключения преобразует симметричную
ленточную матрицу А в уравнении (10Л) к верхней треугольной
ленточной матрице U, и итоговое уравнение приобретает вид
UX = C. (10.8)
Можно показать, что исходное уравнение (10.1)
восстанавливается умножением уравнения (10.8) на подходящую нижнюю
треугольную матрицу L. Следовательно, процесс исключения
соответствует разложению матрицы А на L и 11, т. е.
A = LU. (10,9)
Подстановка равенства (10.9) в (10.1) и умножение слева
результата иа обратную к L матрицу дает уравнение
иХ = 1Г!В=*С, (10.10)
совпадающее с полученным ранее уравнением (10.8).
Значение переменной хп получается непосредственно из
/г-го уравнения системы (10.7). Подстановка этого значения

226 Глава 10
в (п— 1)-е уравнение дает xn-i- Продолжая этот процесс
обратной подстановки в системе уравеннй (10.7), последовательно
получим значения остальных неизвестных. Очевидно, что эта
процедура эквивалентна умножению слева уравнения (10.10) на
обратную к И матрицу, т. е.
= ir,L"1B = U 'С.
(10.11)
Детальное исследование метода исключения показывает, что на
А-ом шаге исключения в оперативной памяти нужна лишь тре-
- угольная часть ленточной матрицы, обозначенная I иа
рнс. 10.1,а. Коэффициенты в треугольнике II также необходимы
"к—
Рис 10.1. Процедура исключения Гаусса.
а—рабочая область на ft-оы шаге исключения; б—изменение активной области при пере*
ходе от fc-ro к {к + 1|-му шагу исключения.
для вычислений, но в силу симметрии матрицы они .могут быть
получены из треугольника I.
После k-то шага исключения (часто называемого k-й
редукцией) /г-я строка из активной части памяти может быть
отправлена во внешнюю память, а новый ствлбец данных переслан в
оперативную память (рис. 10.1,6). После этого можно
выполнить следующий шаг исключения.
10.2.2. LDL'-ФАКТОРИЗАЦИЯ
Матрица коэффициентов А может быть разложена в
произведение нижней треугольной, диагональной н верхней треугольной
матриц, т. е.
A = LDU, (10.12)
при условии, что А и ее верхние левые главные подматрицы не
вырождены [5, 6]. Кроме того, если А симметрична, то верхняя
треугольная матрица является транспонированной по отноше-
Методы решения уравнений и техника программирования
227
нию к нижней треугольной матрице, и у обеих этих матриц на
главной диагонали находятся единицы. Таким образом,
A=LDl/. (10.13)
По очевидным причинам это разложение часто называют
тройной факторизацией [7]. Используя представление (10.13),
можно решить матричное уравнение системы за два шага, так как
уравнение (10.1) может быть записано в виде
IX — В, (10.14а)
где
Dl/X = C. (10.146)
Сначала решается уравнение (10.14а) относительно С, а затем
уравнение (10.146) относительно X. Элементы матриц D и L
могут быть вычислены по формулам
du^au-'tfij^, (Ю.15а)
/„=1, (10.156)
/,/ = (l/d„)(ai,— Е'.т'улА™). .">;', (10.15в)
/,-, = 0, К}, (10.15г)
где сумма полагается равной -нулю, если верхний предел
суммирования меньше нижнего. Векторы С 'и X определяются по
формулам
с,- = 2\-Е hno„, (10,16а)
*, = (iAu(c.- £ dltimtxm), (Ю.166)
где п — размерность квадратной матрицу коэффициентов А.
Разложение LD1/ может быть выполнено весьма
эффективно посредством вынисления элементов D и L по столбцам
[5]. Эта процедура предпочтительнее простого метода
исключения Гаусса; так как она значительно более быстрая.
10.2.3. РАЗЛОЖЕНИЕ ХОЛЕССКОГО
Разложение Холесского, иногда называемое методом
квадратного кория, возможно только для симметричной положительно
определеииой матрицы А1). При этом условии матрица А может
') Матрица А называется положительно определенной, если квадратичная
форма (А.43а) в приложении А положительна для всех ненулевых ц,

2S8
Глава 10
быть разложена в произведение нижней треугольной матрицы
L с положительными диагональными элементами на ее
транспонированную, а именно:
А=1Д/. • (10.17а)
С другой стороны, матрица А может быть разложена в
произведение верхней треугольной матрицы V на ее
транспонированную:
А = ШГ. (10.I76)
Для первого из этих разложения подстановка выражения
(10.17а) в (10.1) дает уравнение
1Д/Х = В, (10.18)
которое может быть записано в виде последовательности
уравнений
LC = B, (10.19а)
1/Х = С. (10.196)
Прямая подстановка, использующая (10.19а), дает матрицу С, а
обратная подстановка, основанная иа уравнении (10.196),
может быть использована для получения требуемого решения X.
Треугольная матрица L = [/(/], небходимая в этих вычислениях,
может быть определена явно через элементы матрицы А с
помощью следующих соотношений:
(e-i ув
«„—Z'fJ - »'=1 «■ (10.20а)
'н = (1/'«)(ач— ^Shmhm). 1 = 1+1, 1 + 2 п,
/■=1, .... и, (10.206)
/„ = 0, i<j, (10.20b)
где сумма полагается равной нулю; если" верхний предел
суммирования меньше нижнего.
Очевидно, что для этого алгоритма при вычислении
элемента 1Ц требуются лить элемент ац и элементы матрицы L,
указанные на рис. 10.2, а двумя жирными линиями. Если элементы
в треугольнике I находятся в оперативной памяти, а элементы
о,, заменяются вычисляемыми элементами /,,, то элементы,
необходимые для вычисления элементов U, (указанных жирными
линиями в матрице L) находятся в выделенных линиями частях
матрицы А. После определения каждый новый элемент /,,
записывается вместо соответствующего элемента at} Таким
образом, вычисление элементов 1„ осуществляется вдоль линии ВС
Методы решения уравнений и техника программирования
229
вплоть до нижней границы ленты. После этого необходимо
переслать одну строку 1„ во внешнюю память из активного
треугольника, а новый столбец а„ —в оперативную память, как
это схематически показано на рис. 10 2,6.
Оба алгоритма — ЬШ/-факторизация и разложение Холес-
ского — требуют значительно меньше времени вычислений и, та-
к—\1
\ !
ч
\
N iJ
Матриц А
К
\
\
44
„\J
Рис 10.2. Разложение Холесского.
в—рабочие области, б—изменение активной области.
ким образом, дают более быстрое н дешевое решение по
сравнению с простым методом Гаусса, хотя они не имеют больших
преимуществ в отношении памяти: Процедура
LD^-факторизации содержит несколько меньше операций, чем алгоритм
Холесского.
10.2.4. ФРОНТАЛЬНЫЙ МЕТОД
В разд. 10.2.1 показано, что метод исключения Гаусса может
применяться поэтапно при условии, что на каждом этапе в
оперативной памяти находится лишь активная область матрицы.
Аналогичным образом, обратная подстановка может выпол-

2S0
" Глава 10
ияться последовательно с использованием необходимой
активной области.
Если применяется* поэтапное исключение, то объединение
элементных матриц жесткости к в матрицу коэффициентов
жесткости системы также может выполняться поэтапно с
вычислением н объединением лишь тех элементных матриц жесткости,
которые необходимы для аычислення значений коэффициентов
в текущей активной области.
Фронтальный метод элегантно использует эти принципы.
Фронтальная линия, перемещаясь по области задачи,
захватывает элементы в том порядке, в каком они необходимы для
объединения. Дополнительным достоинством метода является
•то, что нули матрицы коэффициентов исключаются из
вычислений. Другое достоинство состоит в том, что вычисления в узлах
посередине сторон н граней требуют ненамного больше затрат,
чем в угловых узлах.
Хотя принципы фронтального метода решения установлены
довольно давно1), метод прочно вошел в конечпоэлементиую
практику лишь благодаря формулировке, данной Айропсом в
1970 г. Более подробное описание фронтального метода решения
имеется в его работе [8] и других публикациях J1, 5, 7, 9, 10].
10.2.5. БЛОЧНОЕ ИСКЛЮЧЕНИЕ
Если симметричная матрица коэффициентов разделена на
квадратные подматрицы А„ (обычно называемые блоками), а
матрицы X и В аналогично разделены на подматрицы Х; и Bi, то
процедура исключения Гаусса может быть использована для
нахождения X, точно так же, как и раньше. Предыдущие
формулы и алгоритмы остаются в силе, за исключением того, что
ац заменяется иа А,,, 6,— на В,- и X/ — на X/. Единственное
отличие состоит в том, что всякий раз, когда в первоначальной
процедуре появляется умножение на айь (обратное аи,), в
блочной процедуре оно заменяется умножением на матрицу,
обратную A/,fe(At/ij). Таким образом, с помощью процедуры
обращения симметричных подматриц A/sj, можно использовать метод
исключения Гаусса для сведения квадратной матрицы,
состоящей из noflMafpun А,-,-, к верхней треугольной блочной матрице.
Аналогично, подматрица В, преобразуется к соответствующей
подматрице С. Так как каждая новая подматрица известна
явно, то процесс обратной подстановки, аналогично
использованному ранее, дает неизвестный вектор X. Анализ этого процесса,
показывает, что для выполнения процедуры исключения
необходимы в оперативной памяти в каждый момент времени только
трн блока матрицы коэффициентов А. Соответственно для про-
*) Этот подход впервые используется в фирме «Бонят» примерно с 1960 г.
Методы решения уравнений и техника программирования 231
цесса обратной подстановки в оперативной памяти
одновременно необходимы только три блока матрицы В.
Блочное разбиение может также использоваться и в других
прямых методах, таких, как процедура Холссского. Широкое
применение блочных процедур в последние годы связано с
уменьшением требуемого объема оперативной памяти при
решении больших систем уравнений. Например, в работе [11]
использовались два блока. Нижний блок перемещался на место
верхнего, пересылаемого во внешнюю память, и считывался
новый нижний блок. В работе [12] использовались строки целых
чисел для записи положения блоков с ненулевыми элементами.
В работе [13] описан блочный (по узлам) алгоритм. В
работах [14—16] также применены блочные алгоритмы
исключения, причем в алгоритме работы [16] сохраняются только
ненулевые элементы. В более поздних работах [17, 18] размеры
блоков автоматически приводятся в соответствие с масштабом
решаемой задачи.
Несмотря на постоянный интерес к блочным схемам, не
видно каких-либо особых преимуществ блочных алгоритмов,
основанных на безусловном разбиении на блоки1), в отношении
ленточных матриц. Первоначальным толчком развития блочных
схем было то, что они по-прежнему позволяли использовать
прямые методы даже в том случае, когда система уравнений
была настолько велика, что матрица коэффициентов не
помещалась целиком в оперативной памяти. Разбиение матрицы на
части и сохранение только тех блоков, которые необходимы в
текущий момент времени, снижают требования~ к оперативной
памяти (н тем самым позволяют решать задачи большей
размерности), но появляются дополнительные издержки за счет
обмена между оперативной и внешней памятью, поскольку
требуются дополнительные обслуживающие программы, для
которых нужны память и время. Хотя блочная схема в принципе
могла бы работать с меньшим объемом оперативной памяти, чем
описанный выше подход с треугольной активной областью, и,
следовательно, допускает решение задач большей размерности,
из-за дополнительного вычислительного времени другие
подходы оказываются предпочтительнее. Если активная треугольная
область не помещается целиком в оперативной памяти, то можно
прибегать к процедурам, для которых память требуется
меньшими порциями [19]. Использование разреженности матрицы
коэффициентов, обсуждаемое в следующем разделе, может
*) В этом случае разбиение носит произвольный характер. Если разбиение
выполняется так, что матричные^ элементы !руппируются в соответствии с
некоторым выбранным критерием, то разбиение называют условным. Для
получения желаемой |руипировки может быть необходимо переупорядочение
уравнений.

232
Глава 10
расширить применимость прямых методов без обращения к
блочным методам с безусловным разбиением. С другой стороны,
для решения больших задач может примениться условное
разбиение. Если эти подходы достигают пределов своей
применимости (нли даже раньше), то следует использовать
итерационные методы.
10.2.6. ОПЕРАЦИИ С РАЗРЕЖЕННЫМИ МАТРИЦАМИ
Обычно симметричная ленточная матрица коэффициентов
содержит много нулей как вдоль краев ленты1), так и внутри ее.
Редкость ненулевых членов в ленте может быть даже такой, что
число нулевых членов превышает число ненулевых. В
большинстве прямых методов, в их простейшей форме, все элементы
внутри ленты предполагаются ненулевыми; соответственно
устанавливаются требования к памяти н объему вычислений,
Однако программа может использовать некоторую проверку для
предотвращения фактических вычислений с нулями.
Эффективность таких бесхитростных подходов применительно к
некоторой конкретной задаче повышается, если разреженность
уменьшить за счет уменьшения ширины ленты матрицы
коэффициентов. Как отмечалось ранее, ширина ленты зависит от способа
нумерации узлов. Нумерация, обеспечивающая минимум
ширины ленты, обычно очевидна только для простых задач. В
случаях больших задач для уменьшения ширниы ленты могут быть
использованы подпрограммы автоматической перенумерации
узлов (см. разд. 10.4.4). В таких случаях становится все более
важным использовать разреженную природу матриц для
уменьшения требуемых памяти и вычислений. В математическом
плане алгоритмы для разреженных матриц должны учитывать очень
важную идею, состоящую в том, что граф матрицы является
ключом к ее структуре [2].
К относительно простому типу процедур для разреженных
матриц относятся профильные методы исключения,
использующие детальную форму профиля ленты2). Каждой строке
матрицы коэффициентов соответствуют маркеры, указывающие
номера крайнего левого и крайнего правого ненулевых
элементов. Внутренние элементы рассматриваются как ненулевые.
Более сложные процедуры исключают из памяти нулевые
элементы, поэтому нужно запоминать размещение всех
ненулевых коэффициентов. Методы, с помощью которых это можно
сделать, детально изложены в работах [20, 21]. В целострочном
методе каждой строке матрицы в памяти соответствует строка
') Ленточная матрица с так называемым рваным профилем
г) Границы каждого из краев лситы, вне которой лежат нули.
Методы решения уравнений и техника программирования 2SS
целых чисел, указывающая номера ненулевых элементов.
Другой подход использует для каждой строки матрицы булеву
строку, иногда называемую бинарной маской. Бинарная маска
представляет собой последовательность двоичных чисел,
соответствующих элементам строки матрицы: ненулевые элементы в
ней указываются единицей, а пулевые обозначаются нулем.
При использовании методов для разреженных матриц
появляется трудность, состоящая в том, что некоторые элементы
матрицы коэффициентов, первоначально считавшиеся нулями,
становятся ненулевыми в процессе вычислений. Это называется
заполнением. Желательно уменьшить его, насколько это
возможно, так как каждый дополнительный ненулевой элемент
вызывает впоследствии дополнительные вычисления. Одни из
алгоритмов, который во многих случаях значительно уменьшает
заполнение, основан на автоматической перенумерации узлов.
Другой подход состоит в том, что в методе исключения Гаусса
[22] не сохраняются члены меньше заранее заданной величины.
Опыт показывает, что требуется большая изобретательность
для уменьшения объема памяти и вычислений за счет
использования нулей внутри ленты. Было предложено много
различных схем, в том числе фронтальный метод Айронса (см.
разд. 10.2.4) и разложение Холесского для разреженных матриц
и изложении Джсннипгса н Таффа [23]. Другие процедуры и
дополнительные подробности о разреженных матрицах
изложены в работвх [24—32].
Хотя в алгоритмах для разреженных матриц
обслуживающие программы сами могут требовать значительной оперативной
памяти и существенных вычислений, из публикаций следует, что
обычно достигается выигрыш в общей стоимости решения (по
крайней мере для больших задач) по сравнению с
эквивалентными алгоритмами для неразрежеиных матриц. Для небольших
систем уравнений такие алгоритмы могут не давать
существенного преимущества. Усложнение программы обычно не дает
выигрыша для малых систем. Например, Биркгоф и Фикс [2] при
обсуждении схем исключения для ленточных матриц отмечают,
что «выигрыш в эффективности, который может быть достигнут
за счет использования изощренных схем, редко значителен, если
число неизвестных не превышает 2000». Чтобы обеспечить
максимальную эффективность решения больших и сложных задач,
нужно учитывать в стратегии программирования оборудование
н операционную систему [33].
10.2.7, ИТЕРАЦИОННОЕ УТОЧНЕНИЕ
Точность решения, полученного прямым методом, может быть
значительно улучшена сравнительно небольшими дрполнитель*

234 Глава 10
ными вычислениями1)— посредством итерационного улучшения,
или уточнения. Пусть X—решение, полученное прямым
методом. Используя арифметику с двойной точностью, вычисляют
невязку
R = B —AX. (10.2I)
После этого решают новое матричное уравнение
AY = R .-. (10.22)
для переменной Y с использованием треугольных матриц
разложения А в прямом методе. Затем в качестве улучшенного
решения принимают _
~X = X + Y. (10,23)
Если X и Y вычислены точно, то X будет точно удовлетворять
уравнению (10.1), так как из равенств (10.21) —(10.23) следует
АХ = АХ + AY = В - R + R = В. (10.24)
Поскольку X и Y вычислены не абсолютно точно, X
оказывается приближенным, но более точным решением, чем X. Этот
процесс можно повторить для повышения точности решения.
Если элементы У малы по сравнению с соответствующими
элементами X, то можно было бы ожидать, что система
уравнений (10.1) хорошо обусловлена и что X — точное решение. Это,
однако, не всегда так [34]. Если Y не мало, то это означает, что
матрица А плохо обусловлена. Если число обусловленности
матрицы А не очень велико, то при последующих итерационных
уточнениях X обычно еще сходится к более точному значению.
Дополнительную информацию об итерационных уточнениях
можно найти в работе [34].
10.2.8. ТОЧНОСТЬ
При выборе и применении метода решения системы линейных
алгебраических уравнений важно учитывать требования к
объему памяти2) и времени вычислений, но нельзя игнорировать
точность. Количество вычислительных операций метода влияет
как на точность решения (посредством ошибок аппроксимации
и округления), так н на время и стоимость вычислений.
Здесь уместно рассмотреть, каким образом возникают вы*
числительные ошибки. Обычно вычислительная машина выпол-
') Требования к объему памяти увеличиваются, так'как необходимо
сохранять матрицу-А н треугольные матрицы ее разложения.
s) Обычным является ограничение на оперативную память, но можел гак-
же ограничиваться объем внешней, или вспомогательной, памяти (обычно
дисковой).
Методы решения уравнений и техника программирования
ияет арифметические операции, используя заданную длину
слова для каждого числа. Для объяснения примем десятичную
запись чисел, хотя обычно числа хранятся не в десятичной
форме, а, например, в двоичной или восьмеричной. Предположим,
что длина слова в вычислительной машине равна 10
значащим цифрам и выполняю1ся действия с числами 685378,9879 и
437896,4879. Простое сложение этих двух чисел дает
1123275.4758, но так как можно записать лишь 10 десятичных
цифр, то вычислительная машина запишет в качестве суммы
1123275,475 или 1123275,476 в соответствии с используемым
правилом округления. И в том, н в другом случаях произойдет
потеря существенной информации, и вносимые ошибки сложным
образом будут увеличиваться в последующих вычислениях.
Предположим, что к предыдущей сумме должно быть
прибавлено число 111111,1111. Прибавление 111111,1111 к 1123275,475
дает 1234386,586 как при усечении, так и при округлении.
Аналогично, прибавление 111111,1111 к 1123275,476 дает
1234386, 587. Чтобы получить точное значение суммы, нужно
прибавить 111111, 1111 к П-значиой форме предыдущей суммы,
в результате чего получается 1234386,5869. Необходимо
заметить, что округление дает приближенный результат, более
близкий к точному значению, чем усечение (при усечении ошибка
равна почти единице десятой значащей цифры), по оба
результата содержат ошибку. Последующие операции сложения,
вычитания, умножения или деления приводят в результате
усечения последовательно к ошибкам в девятом знаке, восьмом и так
далее. При округлении будет происходить точно такой же
процесс, но с меньшей скоростью. Следовательно, в любом случае
численный результат в итоге будет содержать ошибку, которая
зависит от длины слова и количества и типа выполненных
операций. Для заданного набора операций ошибка может быть
уменьшена путем использования кратных слов1) и большей
длины слова. Прн заданной длине слова ошибка может быть
уменьшена за счет процедур с меньшим числом операций.
Заметим, что резкое увеличение ошибки происходит при
вычитании почти равных чисел. Если, например, значащими
цифрами являются только две последние, то последующие
вычислительные ошибки вскоре поглотят эти две цифры полностью.
Таким образом, при определении скоростч нарастания ошибок
длн фиксированной длины слова необходимо принимать в
расчет кроме числа операций и их типа также и относительную
величину чисел. Например, если матрица А плохо обусловлена,
то это означает, что относительные значения коэффициентов
') Например, как в арифметике с двойной точностью.

236
Глава 10
таковы, что в процессе решения ошибка в X быстро
накапливается.
В случае заданного прямого метода решения есть два пути
повышения точности решения X. Можно использовать
арифметику с двойной точностью, что непрактично для больших задач,
так как требует примерно в два раза больше оперативной
памяти. При использовании арифметики с двойной точностью
также увеличивается и время выполнения операций. Другая
возможность состоит в использовании итерационного уточнения при
условтш, что элементы матрицы А и ее треугольного разложения
сохраняются1) в процессе исключения или разложения
(декомпозиции). Этот метод имеет преимущество в том, что
значительное увеличение точности может быть достигнуто за счет
сравнительно малого увеличения времени вычислений и некоторого
увеличения памяти при условии, что матрица коэффициентов
хорошо обусловлена.
Если для больших задач желательно повышение точности,
то выбор итерационного уточнения очевиден. Для меньших
задач может использоваться либо двойная точность, либо
итерационное уточнение. В таких случаях численные эксперименты
[3, 4] показывают, что арифметика с двойной точностью
является легчайшим путем для выигрыша точности без
значительных затрат времени вычислений.
10.3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Итерационные методы по сравнению с прямыми имеют
следующие преимущества: они а) значительно проще для
программирования; б) могут эффективно справляться с разреженными
матрицами, сохраняя и обрабатывая только ненулевые
коэффициенты; в) требуют меньше оперативной памяти. Сходимость
итерационных методов быстрая, если есть преобладание
диагональных членов в матрице коэффициентов, но она может быть
очень медленной для плохо обусловленных задач. Если
используются итерационные методы, то предпочтительнее
объединение по узлам (см. разд. 6.3.3). Итерационные методы особенно
подходят для конечноэлементных формулировок, в которых
объединение в матричное уравнение системы и его решение
осуществляются с использованием ячеек (см. разд. 3.3.8), чем
обеспечивается дополнительная экономия оперативной памяти.
Следовательно, для очень больших задач, для которых неизбежны
ограничения на оперативную память, итерационные методы
оказываются предпочтительнее. Однако разработанные для
решения таких задач программы используют прямые методы [19,32].
') Первоначально в оперативной памяти с последующей пересылкой на
диск.
Методы решения уравнений и техника программирования
Обычно считается, что, за некоторыми исключениями,
прямые методы требуют меньше времени, чем итерационные.
Однако это является чрезмерным упрощением, так как количество
вычислительных операций зависит не только от метода, но
также от типа и размера ') задачи. Исследование некоторого
заданного класса задач с помощью различных прямых и
итерационных методов показывает, что количество вычислительных
операций обычно связано с некоторой степенью k от размера
задачи [2, 35]. Оценка общего числа операций для
итерационных методов, вычисляемая умножением числа операций одной
итерации на число итераций, необходимых для достижения
точности, эквивалентной точности прямого метода, позволяет
сравнить время вычислений для этих двух подходов. Если это
сделано, то становится ясным смысл сравнения величины индекса k
для прямых и итерационных методов. Рассматривая общее число
операций для линейных второго порядка задач излучения, Бирк-
гоф и Фикс (2] установили, что показатель k меньше для
последовательного метода верхней релаксации (SOR), чем для
стандартного ленточного исключения. Однако хотя для задач
второго порядка небольшого размера ленточное исключение требует
меньше времени, чем SOR-метод, ситуация меняется на
обратную, если задача становится достаточно большой.
Действительно, численные эксперименты подтвердили что [36]. Отсюда был
сделай вывод, что «итерационные методы имеют больше
преимуществ, чем прямые, для большинства эллиптических задач
с достаточно большим числом неизвестных. Таким образом, они
становятся более предпочтительными для довольно больших
линейных задач излучения в двумерном и трехмерном случаях,
а также для довольно больших трехмерных задач четвертого
порядка. Единственным исключением (среди проверенных
случаев) являются линейные четвертого порядка плоские задачи,
подобные задаче с бигармоннческим уравнением, для которого,
по-видимому, нет такой точки, когда итерационный метод
становится более эффективным» (2]. Эта оценка смягчается в той
же работе замечаниями о том, что, «хотя предыдущие выводы
опираются на экспериментальную проверку..., все же
необходимо сделать некоторые оговорки. Прежде всего эти выводы до
некоторой степени зависят от задачи, и экспериментальные
тесты ... не покрывают широкой области задач. По-видимому,
целесообразно использовать некоторую кмбинацию прямых и
итерационных методов для решения больших линейных
эллиптических задач, но такие комбинации не изучались <в цитированной
экспериментальной работе}».
*) Определяемого, например, размерностью матрицы коэффициентов.

238
Глава 10
10.3.1. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ЯКОБИ И ГАУССА —ЗЕЙДЕЛЯ
Классическим итерационным методам — алгоритмам Якоби и
Гаусса -^ Зейделя — свойственны следующие достоинства:
1) простота;
2) оба метода всегда сходятся1), если матрица
коэффициентов А симметрична и положительно определена;
3) требуется меньше оперативной памяти, чем в методе
исключения Гаусса.
К сожалению, эти достоинства обесцениваются крайне
медленной сходимостью. По сравнению с другими итерационными
методами, описанными ниже, процедуры Якоби и Гаусса —
Зейделя требуют большего числа и герани и для достижения той же
самой точности. Таким образом, для больших задач методы
Якоби и Гаусса — Зейделя совсем не подходят. Для малых
задач прямыми методами можно обеспечить эквивалентную
точность при гораздо меньшем объеме вычислений. Например, для
ленточной системы из 100 уравнений лучшая из двух
подпрограмм Гаусса — Зейделя требует при существенно худшей
точности в 25 раз больше машинного времени, чем самая быстрая
из программ, основанных на прямом методе [4]. Сравниваемые
программы были специально предназначены для разреженных
матриц и использовали только оперативную память.
Из сказанного выше следует, что методы Якоби н Гаусса —
Зейделя сыграли определенную роль в развитии
вычислительных методов, но не имеют существенного утилитарного значения.
Ю.8.2. ТОЧЕЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Обычно в итерационных методах совокупность приближенных
значений элементов х, неизвестной матрицы X [см. уравнение
(10.1)] используется в качестве исходных данных для процеду-
_ры, вычисляющей новые значения этих элементов.
Итерационный процесс начинается с исходной оценки совокупности
значений х, и продолжается до тех пор, пока соответствующие
разности для совокупностей значений xt последних двух
приближений станут меньше некоторой заданной величины.
На Л-й итерации точечного итерационного метода
приближенные решения хк. для неизвестных х, определяются явно из
уравнения, содержащего приближенные значения х, из
предыдущих итераций. В ранних применениях этих методов каждое
xt единственным образом соответствовало некоторой точке в
области физической задачи и поэтому было естественно описы-.
вать такие методы как точечные итерационные (подразумева-
*) Алгоритм Гаусса — Зейделя сходится быстрее алгоритма Якоби.
Методы решения уравнений и техника программирования
лось, что уточнение решения получается последовательно в
каждой точке). Такое определение в настоящее время нельзя
признать удовлетворительным, так как в конечноэлементных
формулировках высокого порядка несколько переменных xt
могут принадлежать одной точке.
Общая линейная итерация для системы уравнений (10.1)
может быть определена в виде
Xft = GftXft-' + Rft, (Ю.25)
где Х\ Xft_1 —приближения для X на k-ti н {k— 1)-й
итерациях соответственно, Gk — матрица, зависящая от А и В, a Rfe —
вектор-столбец. Для различных итераций Qk и Rfe, вообще
говоря, разные, на что и указывает нижний индекс ft.
В предельном случае при fe^w X* сходится к точному
решению
Х-А "В, (Ю.26)
и, подставляя (10.26) в итерационное равенство (10.25),
получаем
A-'B = G4A-'B + R*. (Ю.27а)
Из (Ю.27а) определяем R* в виде
- 'Кл = (1-0*)А-'В.- (10.276)
Таким образом, выполнение равенства (10.276) налагается в
качестве условия согласованности на итерационный процесс.
(10.25). Равенство (10.276) можно также записать в виде
Rft = .MuB, (10.27b)
где М* определяется формулой
M* = (I-Gft)A-'- (Ю.28)
Общую итерационную схему теперь можно записать
следующим образом:
X* = GiX*-,-T-M»B, (10.29)
где матрица R*, как это можно видеть из (10.25), заменена на
М*В.
Различные линейные точечные итерационные методы
различаются конкретизацией итерационных матриц Gt и М6 и будут
рассматриваться на этой основе. Математический вывод методов
и соответствующие условия сходимости здесь рассматриваться
не будут; они могут быть найдены в работах [37—41]. _

840
Глава 10
Ряд методов использует представление матрицы А в виде
суммы
A=L + D + U, (10.30)
где L—строго1) нижняя треугольная матрица, D —
диагональная матрица и II — строго верхняя треугольная матрица. •
10.3.2.1. Метод Якаби1)
В этом методе итерационные матрицы d и Mi в равенстве
(10.25) не зависят от номера итерации k и выражаются
следующим образом:
0 = -0~'(Ь + и), (10.31а)
М = Ь"'. (10.316)
В алгебраической форме на основе (10.29), (10.31а) и (10.316)
итерационная схема может быть записана в виде
*f = [LiJ*f-'] + ii„ (Ш.32)
где a:,, gij и di — элементы X, G и D~'B соответственно, а
предел суммирования п означает число элементов в матрице JC-
10.3.2.2. Метод Гаусса — Зейделя *
Для этой итерационной процедуры матрицы Gk и М* также
постоянны для всех итерации и записываются следующим образом:
G = -(L + Dr1U, (10.33а)
M = (L+D)"'- (10.336)
В алгебраической форме на основе (10.29), (10.33а) и (10.336)
итерационная схема может быть представлена в виде
Здесь обозначения те же, что и в разд. 10.3.2.1.
10.3.2.3. Метод последовательной верхней релаксации (SOR)
Метод SOR может рассматриваться как обобщение процедуры
Гаусса — Зейдсля с ускорением сходимости. Итерационные
матрицы здесь также постоянны для всех итераций и имеют соот-
*} То есть без диагональных элементов
г] Этот метод часто называют методом простой итерации. — Прим. перев.
Методы решения уравнений и техника программирования 241
ветственно вид
G = (D Н- ©L)"1 [(1 — ©) D — ©U], (10.35а)
М = © (D + coL)"1, (10.356)
где ю — параметр релаксации (фактор верхней релаксации).
В алгебраической форме на основе (10.29), (10.33в) и (10.356)
итерационная схема может быть записана в виде
*} = (I - о)**"1 + <*{ Е g,rf + t+i gt^'1 + «*,}. (Ю-36)
где используются введенные ранее обозначения.
Для симметричной положительно определенной матрицы А
метод сходится [37] со скоростью, зависящей от параметра
релаксации со. Если матрица А имеет некоторое характерное
свойство (определим его как «свойство^ Лз>), то можно показать
[39, 41], что оптимальное значение «, максимизирующее
скорость сходимости, может быть определено непосредственно по
элементам А. Хотя матрицы со «свойством Л» появляются в
конечное ем ентных формулировках нечасто, метод SOR обычно
дает очень хорошие результаты. Иногда близкие к
оптимальным значения со могут быть выбраны на основе предыдущего
опыта решения аналогичных задач. Например, «выбор 1,85 <С
< со < 1,92 обеспечивает хорошую сходимость для хорошо
поставленных двумерных задач упругости в напряжениях» [42].
В тех случаях когда нет такой рекомендации для выбора ©,
можно использовать некоторые способы определения to,
близкого к оптимальному [43, 44].
Хотя итерационный метод SOR довольно прост для
программирования, он сходится намного быстрее, чем метод Гаусса —
Зейделя. При выборе из итерационных методов в качестве
первого можно рекомендовать SOR-метод, за исключением
регулярной области, как это ниже поясняется:
«Существует точка зрения, что SOR-метод в случае очень
нерегулярных областей является простейшим и лучшим методом
для программирования, требующим сохранения только одного
вектора. Однако для вполне регулярных областей необходимо
обеспечить улучшение сходимости метода, иначе время
вычислений становится чрезмерным» [22].
Если задача настолько велика, что вычислительные затраты
даже для SOR-мстода неприемлемы, то следует обратиться к
одному из методов, описанных ниже. Для некоторых задач
блочные итерационные варианты SOR-метода сходятся быстрее, чем
точечный SOR-иетол,. Полуитерационные схемы также иногда
улучшают SOR-процедуру.

242
Глава 10
10.3.2.4. Градиентные методы
Особенность итерационных методов этого класса заключается
в том, что на решении X уравнения (10.1) достигается
минимальное значение квадратичного функционала
f = XrAX-2BrX. (10.37)
Выражение (10.37) можно использовать для определения
семейства подобных эллипсоидов, общий центр которых соответствует
условию минимума. Приближенное решение Xs соответствует
некоторой точке на поверхности некоторого частного эллнпсои-
.да. Итерационный градиентный метод состоит нэ
последовательных шагов от большего эллипсоида к меньшему; при этом
точка, соответствующая приближенному решению, стремится по
направлению к общему центру. Градиентные методы
различаются выбором направления на каждом шаге.
В градиентном методе наискорейшего спуска итерационный
шаг выполняется вдоль внутренней нормали к эллипсоиду, и
можно показать [43, 45], что это приводит к итерациям,
определяемым схемой (10.29), где
G* = l-vt_,A, (10.38а)
Mt = vt_,, ■ (10.386)
v4_, = (Ц"-1У R'-'Airy AR"-1, (10.39)
R*-' = B — AX6"1. (10.40)
Сходимость метода относительно медленная, вследствие чего он
не рекомендуется для практического использования.
В методе сопряженных градиентов каждый итерационный
шаг состоит из двух подшагов, причем первый делается вдоль
внутренней нормали, а второй — параллельно предыдущему
итерационному шагу, что улучшает скорость сходимости. Хотя уже
основной вариант этого метода полезен [46, 47J из-за малых
требований к памяти, существует усовершенствованный вариант
[22], который является еще более обещающим. Сопряженный
метод Ньютона [48], алгебраически эквивалентный методу
сопряженных градиентов, использует кроме итераций
значительное число исключений Гаусса и кажется перспективным.
10.3.2.5. Метод Ричардсона
Этот метод основан иа итерационной схеме, определяемой
уравнениями (10.29), (10.38а) и (10.386), но использует
итерационный параметр vjt-i, выбранный другим -способом. Имеется
несколько вариантов метода определения v*-i, но в каждом из
них требуется, чтобы отклонение приближенного решения X" от
Методы решения уравнений и техника программирования 243
точного А_1В было мало в некотором смысле. При прочих
равных условиях предпочтительнее использовать SOR-метод, так
как он сходится быстрее и требует меньше памяти, чем метод
Ричардсона [43].
10.3.2.6. Полуитерационные методы
Рассмотрим общую итерацию (10.29) в виде
X*+1 = GX* + MB. (10.41)
Для некоторого заданного номера итерации N новое
приближение решения X = А-1 В, обозначаемое Y", может быть
построено следующим образом:
Y"=ZPW.»X*. (10.42)
*-о
Здесь коэффициенты ' р,,, t должны удовлетворять требованию
N
£ Pw.» ■= 1 (10.43)
и минимизировать в некотором смысле матрицу ошибок
■ E" = YV-X. (10.44)
При условии, что последовательность X1, X2 X* сходится,
из уравнений (10.42) (10.43) следует Y* -*■ К" ->- X при №-юо!
Уравнения (10.41) — (10.44) определяют полуитерациоштый
процесс. Прн подходящем выборе итерационного метода (10.41)
из остальных уравнений можно получить рекуррентное
соотношение, включающее \", Y"-1, Y"-2, но не содержащее
приближения X* основного метода Это новое соотношение затем
используется для получения последовательных значений Y",
начиная с заданного значения Y0.
Если матрица А имеет некоторые свойства и может быть
расчленена специальным образом, то можно применить тот илн
иной вариант полуитерационного циклического чебыгпевского
метода [37, 43, 49, 50]. Сравнивая их с другими точечными
SOR-методами, Бнркгоф и Фикс [2] полагают, что «для общего
использования могут быть рекомендованы полуитерационные
многослойные циклические чебышевские методы» Другим
полуитерационным методом, который кажется весьма обещающим,
является полуитерационный метод верхней релаксации (SSOR),
введенный Шелдоном [51, 52).

244
Глава W
10.3.2.7. Изменение обусловленности
Выше было показано, что скорость сходимости основных
итерационных методов с симметричными и положительно
определенными матрицами зависит обратным образом от Р— числа
обусловленности матрицы коэффициентов А [53]. Один из путей
уменьшения этого числа настолько, насколько это возможно,
состоит в преобразовании равенства (10 1) путем умножения на
подходящую несингулярную матрицу Q [22, 53), определяемую
равенством
Q«(| —caL)"1, (10.45)
где матриц» L получается нз следующего разложения
матрицы А:
A=l-L-l/. (I0.46)
Нетрудно показать, что матричное уравнение (10.1)
преобразуется в эквивалентную систему
BY = D. (10.47)
Число обусловленности Р матрицы В можно
минимизировать подходящим выбором параметра о, максимизируя таким
образом скорость сходимости выбранного итерационного
процесса решения уравнения (10.47). Дополнительные вычисления
для изменения обусловленности процесса no viepe увеличения
размерности задачи все более перевешиваются ускорением
скорости сходимости при решении уравнения (10.47) |22]. В
работе [22] утверждается, что при использовании рассмотренного
здесь преобразования метод сопряженных градиентов
становится «весьма привлекательным».
10,3.3. ГРУППОВЫЕ И БЛОЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
В точечных итерационных методах на каждой "итерации новое
приближенное решение определяется отдельно для каждой
неизвестной величины *,. Более того, на k-н итерации значение
каждой величины xkt получается по явной формуле,
включающей ранее вычисленные приближенные значения xt.
В групповых итерационных методах новые приближенные
значения для группы неизвестных Xg матрицы X получаются
одновременно. Эти методы относятся к неявным, так как новые
приближенные значения группы переменных определяются на
k-u итерации совместным решением системы уравнений,
включающей ХсИ ранее вычисленные на предыдущих итерациях
значения Xg.
Если группы получены в результате простого расчленения
вектора X, то они называются блоками. Групповой итерацнон-
Методы решения уравнений и техника программирования 245
ный метод, основанный на таком расчленении, называется
блочным итерационным методом Любая желаемая группировка
элементов X может быть получена переупорядочением уравнений в
системе (10.1) и затем подходящим расчленением. Можно также
выполнить переупорядочение путем переЕ1умерации узлов ко-
нечноэлементной сетки, а затем получить желаемую
группировку расчленением. Поскольку групповые итерационные
методы могут быть преобразованы таким способом в блочные
-методы, то в дальнейшем будут рассматриваться лишь последние.
Для любого точечного итерационного метода можно
построить аналогичный блочный итерационный метод, во-первых,
разбиением X на блоки, во-вторых, разбиением А и В
соответствующим образом и, в-третьих, построением итерационного
алгоритма того же вида, что и точечная итерация, но с заменой
элементов матрицы блоками. Отметим, что алгебраическое
вычисление обратной величины в точечном методе заменяется
операцией обращения матрицы в блочном методе. Таким образом,
блочная Гаусса — Зейделя итерация может быть записана в
виде
хг = АгЛв|-ЁА1;Х?- Е А(/Х?-'1, (10.48)
L /-1 j-i+l J
где матрица X разбита на N блоков Х(, а- матрицы А и В —
соответственно на блоки At, и В;.
Если матрица коэффициентов А ленточная, то некоторые из
А,; в (10.48) могут состоять только из нулевых элементов. Объем
вычислений уменьшается, если нумерация узлов и разбиение
выполнены таким образом, что в уравнении (10.48) имеется
наименьшее число блоков X,, соседних и близких блоку X,. Если
область задачи регулярная, то узлы могут быть выбраны на
регулярной сетке и занумерованы по строкам или по столбцам;
при этом матрица коэффициентов А будет иметь блочный трех-
диагональныц вид1). Далее, разбиение матрицы очевидным об--
разом для блочного итерационного метода дает в выражении
(10.48) блоки X,, соседние блоку \t. Кроме того, необходимо
заметить, что в этом случае А удовлетворяет блочному «свой-
хтву Л» [22, 45], так что SOR-метод может быть использован в
блочно-итсрациониой форме с оптимальным значением о,
определяемым теоретически. Для таких регулярных задач блочная
SOR-процедура сходится быстрее, чем блочный метод Гаусса —
Зейделя, который в свою очередь сходится быстрее блочной
итерационной схемы Якоби.
*) Матрица называется блочной трехдиагоналыюй, если она может быть
разбита па блоки так, чтобы ненулевые блоки находились только на главной
днаi опали и соседних с пей верхней и нижней диагоналях, а блоки на
главной диагонали являлись квадратными подматрицами.

246
Глава 10
При сравнении блочных методов с соответствующими
точечными необходимо учитывать дополнительные вычисления для
решения неявных уравнений, например (10.48). От
рассматриваемой задачи зависит, уменьшится ли обшее время вычнсле- •
ннй по блочному методу в сравнении с аналогичным точечным.
Для регулярных областей блочные методы обычно быстрее, чем
соответствующие им точечные итерационные методы Для
нерегулярных областей превосходство того или иного метола
определяется размером задачи.
Недавно развитые неявные методы переменных направлений
(alternating direction implicit — ADI) могут быть отнесены к блоч."
ным процессам, но все же существенно отличаются от них.
Для некоторых задач ADI-методы могут быть много быстрее
SOR-методов, однако такие модельные задачи являются
исключительными [2].
Так как матрицы, возникающие а конечноэлементных
формулировках, не часто являются блочными трехдиагональнымн
с блочным «свойством А», которое обеспечивает преимущество
блочно-нтерационпых методов, то, по-видимому, эти методы не
найдут широкого применения в рассматриваемой области.
Дополнительную информацию о блочных методах можно найти в
работах [37, 39, 43].
10.4. СПОСОБЫ ОБЛЕГЧЕНИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
В предыдущих разделах описано большинство обычно
используемых методов решения систем линейных уравнений. Обычной
проблемой конечноэлементных приложений
является^несоответствие возможностей вычислительной машины размеру задачи.
По мере того как возможности вычислительных машин
увеличиваются, возникает потребность решения задач еще большего
размера, так что возможности вычислительных машин все равно
остаются лимитирующими. В литературе имеется много
указаний относительно способов уменьшения эффективного размера
задачи, таких, как разбиение на блоки, конденсация,
расчленение конструкции и перенумерация Хотя эти Способы особенно
полезны для больших задач, они часто дают существенную
экономию машинного времени и в других случаях. Некоторые из
этих способов описываются в следующих разделах, другие
могут быть найдены в литературе.
10.4.1. УСЛОВНОЕ РАЗБИЕНИЕ НА БЛОКИ
Как указывалось ранее, матричное уравнение системы может
расчленяться либо произвольно, либо условно. Существуют
различные критерии расчленения. Например, в большой про-
Методы решения уравнений и техника программирования 247
грамме структурного анализа NASTRAN «важным средством
повышения эффективности» [32J оказалось разбиение вектора
X в уравнении (10 1) иа векторы Хд и Х0, где Хд содержит те
неизвестные, которые существенно связаны между собой. В
цитированной работе показано, что Ха получается решением
уравнения вида
PXa = Q, (10.49)
а Хо находится по формуле
X0 = XS + G0Xe. (10.50)
Хотя матрицы Р, Go, Q и Хо должны вычисляться на основе
подматриц уравнения (10.1), в конечном итоге вычисления
сводятся к решению уравнений (10.49) и (10.50), которые имеют
меньшую размерность, чем исходное (10.1). Как уже
отмечалось, некоторым дополнительным достоинством является
повышение эффективности.
Можно также использовать условное разбиение для
исключения заданных переменных. Первое разбиение матричного
уравнения системы (10.1) осуществляется следующим образом:
[::£•][;;]=[*]
Здесь подматрица Xi содержит только те узловые значения,
которые заданы. Необходимая группировка может быть
достигнута путем перенумерации уравнений или с помощью
подпрограммы перенумерации, которая присваивает соответствующие
номера предписанным узлам. Можно показать, что при этом
разбиении Ац есть единичная матрица I, Ai2 — прямоугольная
матрица нулевых элементов, А2| — разреженная прямоугольная
матрица, А22— симметричная квадратная матрица.
Уравнение (10.51) представляет собой систему двух уравг
нений:
Х, = В„ (10.52а)
А21Х, + А,2Х, = В2. (10.526)
Подстановка (10.52а) в (10.526) после перегруппировки дает
A,jX2=B„, (10.53)
где
В0 = В2-А21В,. (10.54)
Матрица-столбец В0 может быть вычислена по известным
значениям согласно (10.54). В результате получается
уравнение (10.53), которое имеет тот же самый общий вид (10.1) н
должно решаться обычным образом. Если область задачи

248
Глава 10
регулярна и производится нумерация1) непредписанных узлов
так, чтобы минимизировать ширину ленты, то оказывается, что
ширина ленты A22 несущественно отличается от ширины ленты А.
Таким образом, решение уравнения (10.53) проще решения
(10.1), но требует некоторых дополнительных _ вычислений
согласно равенства (10.54).
Другие варианты условного разбиения на две части н более
можно найти в литературе. Обсуждаемое в разд. 10.4.3
расчленение конструкции может рассматриваться как форма
условного разбиения.
10.4.2. КОНДЕНСАЦИЯ
Описанный в предыдущем разделе способ исключения
заданных узловых значений также может быть использован, хотя и в
модифицированной форме, для исключения узловых значений
Рнс. 10.3. Четырехугольный элемент с внешними и внутренними узлами.
внутренних узлов из элементного матричного уравнения2).
Предположим, что уравнение (10.51) является .элементным
матричным уравнением для элемента с узлами на границе
(внешние узлы) и в области (внутренние узлы).
Таким элементом может быть четырехсторонняя фигура,
показанная на рис. 10.3. Элементное матричное уравнение могло
быть расчленено так, как показано в уравнении (10 51),
группировкой внешних узловых значений в матрице Х2 и внутренних
узловых значений в матрице X* Два возникающих в (10.51) под-
матричных уравнения могут быть сведены к
АХ2 = В,« (10.55)
где
А = \,z — A2iAf, Ai2 (10.56a)
и _
В^Вг-АЪАй'Вь (10.566)
*) Следующая из нумерации предписанных узлов
а) Процедура конденсации может быть выполнена и на элементном
уровне, как показано в гл. §,
Методы решения уравнений и техника программирования 249
Таким образом, элементное матричное уравнение (10 51),
содержащее как внешние, так и внутренние узловые значения,
сводится к уравнению (10.55), которое имеет аналогичный внд,
но содержит только внешние узловые параметры. Применение
такой процедуры конденсации ко всем элементам системы дает
после объединения матричное уравнение системы, содержащее
только внешние (по отношению к элементу) узловые параметры.
Напротив, объединение без конденсании дало бы большего
размера матричное уравнение системы, содержащее как внешние,
так и внутренние (по отношению к элементу) узловые
параметры.
Описанный выше способ может быть использован при
динамическом анализе для исключения безмассовых степеней
свободы и соответственно уменьшения размера матриц системы в
задаче на собственные Значения. Такая процедура часто
называется статической конденсацией [54]. Более подробное
описание метода конденсации дано в работах [55—58]. *
10.4.3. РАСЧЛЕНЕНИЕ КОНСТРУКЦИИ
Для большого матричного уравнения системы можно
использовать процесс расчленения с целью конденсации уравнения до
приемлемых размеров. Область нли конструкция делится иа две
Рнс. 10.4. Расчлененке конструкции самолета «Боинг-747».
а—общий внд самолета; б—схема расчленения.
или более секций, каждая из которых разбивается на конечные
элементы. Для каждой секнии элементные матричные
уравнения объединяются в секционные матричные уравнения.
Рассматривая секции как укрупненные элементы со многими
внутренними и внешними узлами и используя процесс конденсации, как
в предыдущем разделе, каждое матричное секционное уравнение

250
Глава 10
можно сконденсировать в уравнение, содержащее только
внутренние узловые значения. Сконденсированные таким образом
секционные матричные уравнения теперь могут быть объединены
в матричное уравнение системы меньшего размера, из которого
можно определить секционные узловые векторы. Эти внешние
значения используются теперь для задания граничных условий
каждой секции, чтобы решить некопдеисировапные секционные
матричные уравнения для внутренних узловых значений.
Одним из достоинств расчленения конструкции является то,
что допускаются значительные конструктивные изменения
каждой секции без необходимости пересчета первоначально задан-
. ных граничных условий. Этот подход, в частности, используется
при проектировании конструкций самолетов. Рис. 10.4
иллюстрирует способ расчленения конструкции самолета «Боинг-747»
[59].
Ifl.4.4. ПЕРЕНУМЕРАЦИЯ УЗЛОВ ИЛИ СМЕНА МЕТОК
В гл. 6 было показано, что ширина ленты матричного
уравнения системы зависит от способа нумерации узлов. Для-простых
конструкций или областей легко разметить узлы в некотором
порядке, который минимизирует ширину ленты, но это
становится почти невозможным в случае .больших задач. Более того,
в настоящее время обычно используегся автоматическое
построение сетки, и номера узлов, присваиваемые сеточным
алгоритмом, могут давать ширину ленты, далекую от минимальной.
Если для решения матричного уравнения системы
используется прямой метод ленточного типа (см. разд. 6.1 и 10.2), то
уменьшение ширины ленты позволяет получить более быстрое
и дешевое решение. В результате может оказаться приемлемой
программа решения уравнения, ориентированная лишь на
использование оперативной памяти'), вместо программы,
использующей также н внешнюю память. Если программа основана на
технике для разреженных матриц, то обычно, за исключением
некоторых специальных случаев, уменьшение ширины ленты не
имеет значения.
Большинство автоматических ленточных схем перенумера-
кии допускает произвольную начальную нумерацию сетки.
Затем до решения матричного уравнения системы некоторый
алгоритм меняет нумерацию узлов для уменьшения ширины ленты
матрицы системы. Часто, после того как решение получено,
перенумерацию узлов в первоначальное состояние обеспечивает
другой алгоритм.
*) Когда коэффициенты матрицы А находятся полностью в оперативной
памяти.
Методы решения уравнении и техника программирования 251
Техника автоматической перенумерации рассматривалась в
работах [60—74]. Недавнее сравнение различных подходов [72]
показывает, что обратный метод Катхилла и.Мак-Ки [63] и
метод Кинга [68] являются лучшими алгоритмами, причем
последний более предпочтителен для конечноэлементного класса
матриц. Это сравнение, однако, не включало алгоритма Грумса
[66]. Разработанный недавно алгоритм [69] показал
прекрасные результаты по сравнению с методами Катхилла —Мак-
Ки1), Розеиа, Экайза — Атку и Грумса.
Как отмечали Болстэд и др. [72], минимизация ширины
ленты пе обязательно обеспечивает минимальные требования к
памяти, так как нумерация влияет на величину блоков, если
используется разбиение на блоки. В цитированной работе авторы
также рассматривают некоторые детали взаимного влияния
нумерации и разбиения на блоки.
10.4.5. ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ ПРОГРАММЫ
Ковечпоэлемситные программы широкого применения обычно
имеют обширную диагностику для обнаружения ошибок во
входных данных, поскольку обработка неправильной информации
может обойтись слишком дорого и привести к превышению
планировавшихся затрат машинного времени. Некоторые полезные
диагностики для программ решения уравнений рассматриваются
в работе [47].
Литература
1. Schrem E., Cornpulcr implementation of the finite element procedures, in:
Numerical ami Computer Methods in Structural Mechanics (Fenves S. "J.,
Robinson Л. R:, Schnobrich W. C, eds.), pp 79—121. Academic Press New
York, 1973. ■
2 Birkhoff G., Fix G., Higher order finite element methods, Tech Rep No 1,
Office of Naval Res. Contract N0O0I4-67-A-O298-O015, AD-77934I March
1974.
-3. Sequi W. T, Computer programs for the solution of systems of linear
algebraic egualions. Int. J. Numer. Methods Engrg., 7, No. 4, 479-490 (1973).
4. Sequi W. Т., Computer programs for the solution of systems of linear
algebraic equalions. NASA Contractor's Rep. CR-2173, January 1973.
5- Bathe K-J , Wilson E. L., Numerical Methods in Finite Element Analysis
Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.
6. Westlake J R, Л Handbook of Numerical Matrix Inversion and Solution of
Linear Equations. Krieger, Huntington, New York, 1975.
7. Pin Tong, Rosseltos J. R., The Finite Element Methods. MIT Press,
Cambridge., Massachusclls. 1977.
8. Irons В. М.. A fronial solulion program for finite element analysis. Inter-
not. I. burner. Methods Engrg., 2, No. 1, 5—32 {1970).
9. Melosh R. J., Bamforri R. At, Efficient solulion of load-deflection equations,
. Proe ASCE, V. Struct. Div., 84, No. ST4, 661—676 (1969).
') Однако ои не сравнивался с обратным метрдом Катхилла — Мак-Кн.

254 Глава 10
55. Wilson E. L., The static condensation algorithm, A N tuner. Methods Engrg.,
8, No. 1, 198-203 (1974).
56. Felippa C. A., Clough R. W-, The finite element mefhod In solid mechanics.
in: Numerical Solution of Field Problems in Continuum Physics {SlAM —
AMS Proc), Vol. 2, pp. 210—252, Amer. Math. Soc, Providence, Rhode
Island, 1970. ш
57. Desai С S., Abel J. F., Introduction to the Finite Element Method, Van
Nostranri-Reinhold, Princeton, New Jersey, 1972.
58. Hueber К- Н., The Finite Element Method for Engineers, Wiley, New York
■ 1975.
59. Hansen S. D., Andeison G. L., Connaclicr N. ,E., Dougherty C. S., Analysis
of the 747 aircraft wing-body intersection, Proc. Conf. Matrix Methods
Struct Mech., 2nd, Wright-Patterson, Ohio, 15—17 October, 1968, AFFDL-
TR-68-150, December 1969
60. Alvvay G. C, Marlin D. \V., An algorithm for reducing the bandwidth of
a matrix of symmetrical configuration, Coinput. J., 8, 264—272 (1965).
61. Akyuz T. A., Utku S., An automatic node-relabelling scheme for bandwidth
minimization of stiffness matrices, AIAA J., 6, No. 4, 728—730 (April 1968).
[Имеется перевод: Ракетная техника и космонавтика, т. 6, № 4, с. 212,
1968.1
62. Cutliill E-, Several strategies for reducing the bandwidth ol matrices, in;
Sparse Matrices and Their Applications (Rose D., Willougliby R., eds.),
Plenum, New York, 1972.
63. Cuthill E., McKee J-, Reducing the bandwidth of sprasc symmetric matrices,
Proc. Nat. Conf. Assoc. Comput. Machinery, San Francisco, pp. 157—172
(1969).
64. Arany I., Smyth W. F., Szoda L., An Improved method for reducing the
bandwidth of sparse symmetric matrices, in: Information Processing 71:
Proceedings of IFtP Congress, North-Holland Publ., Amsterdam, 1972.
65. Barlow J., Marples C. G., Comment on An automatic node-relabel ling
scheme for bandwidth minimization of stiffness matrices, AIAA J., 7, No. 2,
380—382 (1969) [Имеется перевод: Ракетная техника и космонавтика, т. 7,
№ 2, с. 242—244, 1969.1
66. Grooms H. R., Algorithm for matrix bandwidth reduction, /. Struct. Div.-
.Am. Sec. Civ. Eng., 98, ST1, 203—214 (1972); See also discussion: ibid. 98,
No. ST12, 2820—2821 (1972).
67. Rosen R., Matrix bandwidth minimization, Proc. Nat. Conf. Assoc. Сотр.
Mach., 23rd, pp. 585-595, 1968.
68. King I. P., An automatic re-ordering scheme for simultaneous equations
derived from network systems, Internat. J. N tuner. Methods Engrg., 2, No. 4,
523—533 (1970).
69. Collins R. J., Bandwidth reduction by automatic renumbering, Internat.
J. Numer. Methods Engrg., 6, No. 3, 345—356 (1973).
70. Cheng K. V., Note on minimizing the bandwidth of sparse symmetric
matrices. Computing (Arch. Elektron. Rechnen), 11, 27—30 (1973)."
71. Roberts E., Jr., Relabelling of Finite Element Meshes Using a Random
Process, NASA TM X-2660 {October 1972)
72. Eolstad J. H., Leaf G. K., Lindcman A. J., Kapcr H. G., An empirical in*
vesication of the reordering and data management for finite element
systems of equations, Rep. ANL-8056, Argonne Nat. Lab., Argonne, Illinois
(September 1973).
- 73. George J. A., Computer Implementation of the Finite Element Method,
■ Ph. D. Thesis, STAN-CS-71-208, Stanford Univ., California, 1971.
74. Dhatt G., Akhras G., An Automatic relabeling algorithm for bandwidth
minimization, Proc. Canad. Congr. Appl. Mech., 5th, University of New
Brunswick, 26—30 May 1975, pp. 690—691,
11
ИЗБРАННЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
В предыдущих главах этой книги демонстрировалось
применение метода конечных элементов к задачам равновесия- С целью
иллюстрации процедур в различных ситуациях ради простоты
было выбрано уравнение Лапласа. В этой главе
рассматриваются приложения метода конечных элементов к другим задачам,
11.1. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА —ПЛОСКИЕ
ДЕФОРМАЦИИ И ПЛОСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ
В этом разделе рассматривается только простейшая задача
упругости — плоское напряженно-деформированное состояние.
Для более полного ознакомления с применением метода
конечных элементов в механике твердого тела читателю следует
обратиться к специализированным работам [1—9].
- " В задачах о плоских деформациях предполагаются равными
нулю деформации, нормальные к плоскости нагружения. Таким
образом, перемещения н напряжения в длинном прямом брусе
(нагруженном равномерно в продольном направлении) могут
быть определены в предположении, что поперечное сечение
остается плоским н не поворачивается. В задачах о
плосконапряженном состоянии тонкой пластины предполагаются равными
нулю напряжения, нормальные к плоскости пластины.
Конечноэлементные формулировки одинаковы для обоих
случаев, но матрицы упругих постоянных различны. В дальнейшем
ради простоты будут использоваться линейные треугольные
элементы. Однако, как показано в предыдущих главах, анализ мо^
жет быть модифицирован для аппроксимаций высокого порядка.
Рассмотрим двумерную область D с границей 5 (рис. 11.1, й),
являющуюся плоской проекцией упругого тела толщины г. На
части Лт наружной граничной поверхности прилагается
распределенная нагрузка, которая в любой точке может быть
выражена в виде силы Т, приложенной к единичной площади. На-
гружение равномерно вдоль толщины t, и часть ST граничной
кривой соответствует части Лт наружной поверхности.
Обозначая через Тх и Ту соответственно х- и (/-компоненты матрицы Т
в точке, матрицу поверхностных напряжений Т в точке можно

да
Глава U
записать следующим образом:
(ил)
Пусть Р — массовые силы на единицу объема и U — вектор
перемещений в точке аналогично заданы через их к- и
(/-компоненты соответственно в виде
(11.2)
'-[;]• -[;]■-■
адач механики твердого телг
Угенциальной энергии можно
X=$^e2"odl/ -\WPdV - \ VTTdAT, (11.3)
iiaunii e и напряжений о
= % , о= о, .
Для двумерных задач механики твердого тела иа основе
принципа минимума потенциальной энергии можно получить
следующий функционал:
где векторы деформаций е и напряжений о определяются
матрицами
(11.4)
а на объем V .и внешнюю поверхность Ат действуют
соответственно силы Р и Т (рис. 11.1).
Рис. 11.1. Двумерное упругое тело, разбитое на конечные элементы,
о—двумерная область; б—типичный элемент е
В выражениях (11.4) величины е«, щ и <зх, а„ представляют
собой нормальные деформации и напряжения в направлениях
х к у соответственно. уху — деформация1) сдвига, а-т,,, —каса-
1) уху — инженерная деформация сдвига, связанная с деформацией
сдвига txu тензора деформаций соотношением у** — 2ех„.
Избранные приложения метода конечных злеменгов 237
тельиое напряжение. Первый нижний индекс при т обозначает
ось, нормальную к плоскости касательных напряжений, а
второй указывает ось, параллельную касательной силе.
На основе принципа минимума потенциальной энергии
можно показать, что поле перемещений, удовлетворяющее
уравнениям равновесия (и совместности) для двумерной задачи
упругости, также минимизирует функционал, заданный уравнением
(11.3).
Для разбиения, показанного на рнс. 11.1,0, выражение (11.3)
может быть записано в виде
Х = £ U \^*?euDe- j]f. JWPdD,-j]«. \\}T1dSr,, (И.5)
где D, — элементная подобласть, U — ее толщина, а I—общее
число элементов в системе. Последний справа член не равен
нулю лишь для элементов, расположенных вдоль границы St.
Матрицы е, о и U для каждого элемента могут быть выражены
через элементный вектор узловых перемещений ое; как
показано ниже, это позволяет определить х в виде функции вектора
узловых перемещений системы 6. Кроме того, смещения U
внутри элемента выражаются через узловые смещения с
использованием базисных функций:
и=«*»'. (Ц.6)
Здесь N" — матрица базисных функций элемента, а 6*— вектор
узловых перемещений элемента, определяемый выражением
(oi, 02, 6з)г = (й[, Bi, «г, £>2, из, С3)т. С целью упрощения записи
в оставшейся части этого раздела индекс е будет опускаться,
если контекст исключает возможность недоразумений.*
В случае линейных треугольных элементов, выбранных для
рассматриваемой задачи, выражения перемещений и и v через
базисные функции имеют вид
u=-[JV, JVa Ns] й2 , v — INj N, Ns]\v2\, (11.7)
U3J U8J
где щ, йг, из — х-компоненты, a Pi, Иг, 0s — у-Компоиеиты
узловых перемещений 6Ь сЬ, 83 соответственно (рис. 11.1, б).

388
Глава U
Используя (11.2) и (11.7),
(11.6) следующим образом:
можно записать выражение
■[:]-[?
0
N,
N2 0 JV3 0
о лг, о if.
(11.8)
[е, "1 Гб/йл: О П Гд/Й* О "1
ев U о а/ау Г"Ы о а/а</
v„J La/ao 6va*JLoJ La/аы а/а*J
Ne=ee,
U. (11.10)
(li.ii)
В двумерном случае деформации связаны с перемещениями
стандартными соотношениями
dtt dv ди . во ... п,
e*=w '»=-W v*y = -W + ~af (I1-9)
Используя (11.9), матрицу деформаций в можно записать в виде
Г д/дх О
О д/ду
- д/ду д/дх -
Подстановка (11.6) в (11.10) дает
[д/дх 0 -|
О д/ду
д/ду д/дх -I
где матрица В определена самим равенством. Можно просто
показать, что для рассматриваемого трехузлового линейного
элемента матрица В имеет вид
[Уи — Уа 0 Уц — У1 0 У\~Уг 0 Л
О Хъ-Ъ О x, — xs 0 х2-хЛ. (11.12)
Хз — х2 Уг — Уз х1 — х3 Уз —у, x2 — xt yi — yz-1
Теперь выражая о через е и подставляя е из (11.11), можно
определить матрицу напряжений о в терминах 6. Для плоских,
напряжений (равно нулю напряжение аг, нормальное к
рассматриваемому плоскому телу) из учебников по теории упругости
известны соотношения
Ox Wp
Уху*
Е
— уст*
Е
2(1+V)
; £
(11.18а)
(11.136)
(11.13b)
Избранные приложения метода конечных элементов 259
С использованием (11.13) в может быть записано как
Г е,П Г 1 -v 0 -Ц-ог, -I
еН *Ч=т ~v -1 ° "» ■ (И14)
lyxyJ I 0 0 2(lTv)JLV„J
где Е — модуль упругости Юнга и v — коэффициент Пуассона.
Решая (11.14) относительно вх, ву и хху, получаем
Г«Л Г 1 v D
»- °у h-r^h ' °
Lt^J Lo 0 (l-v)/2
Ухц
или, проще,
>De,
(11.15)
(11.16)
где D определяется выражением (11.15).
Соотношение (11.16) также применимо к задачам о плоской
деформации, но в этом случае матрица D имеет вид
D=
Е(1-
d+v)(l
tl v/(l - v) 0 "I
v/(l-v) 1 0 . (11.17)
О 0(1- 2v)/2 (1 - v)J
Заметим попутно, что матрица D в равенствах (11.15) и (11.17)
симметрична. Наконец, подставляя (11.6), (11.11) и (11.16) в
(11.5), получаем следующее выражение для функционала %:
i i
7 = £зГ = Х! '« \ J^DBtdD,-
«-1 «-I О,
i i
-J^/^NrprfA,-^ Js^r-f^ (11.18)
где матрица D задана либо равенством (11.15), либо
равенством (11.17) в зависимости от того, рассматривается ли задача
о плоских напряжениях пли о плоских деформациях.
Теперь нз уравнения (II 18) получаем элементное матричное
уравнение дифференцированием ') элементного вклада %' по' о,
^= J teBT№5dDe - J teWPdDe - J teNTTdSe. (11.19)
*) Используя выражение (Б.16а) приложения Б.

Глава 11
Уравнение (11.19) можно записать в стандартной форме
= ft«B-F^-Ff,
k' = t. \bTDBdDe,
Fp = i. $NrPdD«,
- °«
!$ = <.$ NT dSr,,
(11.20)
(11.21a)
(11.216)
(11.21в)
а нижний индекс е у о в (11.20) [а также в (11.1), (11.18) и
(11.19)] опущен.
Матрицы в выражениях (11.21) ие зависят от переменных
интегрирования и могут быть вынесены за знак интеграла.
Остающийся интеграл равен Де — площади треугольника, так
что элементная матрица жесткости ке принимает вид
k' = BrDBAe4.
(11.22)
Так как размерность матрицы (>' равна 6X1 (см. (11.6) н
(118)], то матрица ке имеет размерность 6X6. Равенство
(II 22) задает элементы ке в виде функций от Е, v и узловых
координат элемента. Таким образом, для случая плоских
напряжений имеем
fen=-t; {т£г(«'. - %)2 + ттпЬг (*. ~ *J) ■ (' '-23>
Для других элементов ке получаются аналогичные выражения.
Подстановка Nr из (11.8) и Р из (11.2) в (11.216) позволяет
записать вектор едолбец FJ в виде
\ NlPx
й-*. J
NiPs
N2px
NiPg
Nspx
LJV3p„
<Ш„.
(11.24)
Если рх и /?j, внутри элемента полагаются постоянными
(например, равными и"х средним значениям), то интегрирование в
(11.24) выполняется легко. Так, для второго элемента Fp полу-
Избранные приложения метода конечных элементов 261
чаем
(fp)a = '« \nlPlidDe=.plte\ NtdD.^^-pl, (11.25)
"• °'
где р* — постоянное илн среднее значение ру для элемента е.
Обобщая, можно показать, что пары элементов в матрице
Fp, соответствующие локальным номерам узлов 1= 1, 2, 3,
могут быть записаны в виде
(FP)' = J^[^]. (11.26)
Матрица граничных нагрузок, задаваемая равенством
(Ц.21в), может быть вычислена в форме, идентичной (11.26),
Во с заменой величин рх, ру на Тх, Т„ и с интегрированием по
Sr вместо De. Из этого соотношения при условии, что i —
граничный узел, как показано на рис. 11.2, соответствующая пара
злементов в матрице Ff определяется выражением
(Ff)' = \ N, [ Тт' ] dSTe ^\ N'[TTX] ds- 0 > 27)
где £f;-— длина стороны элемента вдоль ST- При выводе (11.27)
приложенные нагрузки Тх и Ту предполагались постоянными
вдоль границы элемента (например, равными их средним
значениям) .
' Так как для этого элемента пробная функция линейна, то
базисная функция Ni может быть записана (рис. 11.2) в виде
линейного выражения
W,=[l-(s/Lf,)] (11.28)
относительно s. После подстановки (11.28) в (11.27) н
интегрирования получается следующее выражение для (Ff-)':
- ^'-^[J?]- ("-29)
Для узла / рассматриваемого элемента (рис. 11.2)
соотношение N, = s/Lt, заменяет (11.28), но легко можно проверить,
что последующее интегрирование дает выражение, идентичное
(11.29). Следовательно, равенство (11.29) применимо к любому
узлу элемента, лежащему на границе ST- Для узла, не
лежащего на границе, правая часть (11.29), конечно, должна быть

заменена нулем. Так, если узлы 2, 3 лежат на границе St, a
узел 1 — нет, то Ff- будет иметь вид
О
Fj = L%
(11.30)
Следовательно, в случаях плоских, деформаций или плоских
напряжений выбор трехузловых треугольных элементов с
линейными пробными функциями позволяет относительно легко опре-
Рис. 11.2. Граничные элементы области.
делить элементное матричное j/равнение в виде (11.20). Затем
обычным образом осуществляются объединение этих элементных
матричных уравнений в матричное уравнение системы и учет
заданных перемещений. Решение этого уравнения дает узловые
перемещения, а затем по формулам (11.11) и (11.16)
определяются напряжения и деформации.
Для трехузлового треугольного элемента, использованного в
этом разделе, линейная пробная функция соответствует
линейному распределению перемещений на элементе. Однако
распределение деформаций является постоянным, как это видно из
равенства (11.10). По этой причине элемент часто называется
треугольным с постоянной деформацией (constant strain
triangle _CST). Можно, конечно, использовать и другие элементы
при соответствующей модификации формулировок.
Избранные приложения метода конечных элементов 263
11.2. ТРЕХМЕРНЫЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЕНИЙ
В этом разделе кратко рассматривается распространение
формулировок плоского напряженно-деформированного состояния
на общие трехмерные задачи механики твердого тела. Более
подробно эти вопросы излагаются в монографиях по методу
конечных элементов в строительной механике и механике
твердого тела [ 1 —9].
Функционал, соответствующий принципу минимума
потенциальной энергии, в трехмерном случае также имеет вид (11.3),
за исключением того, чго А/ теперь является частью
поверхности, ограничивающей трехмерную область. Число элементов в
каждой нз матриц е, о, F, Р и Т должно, конечно,
соответствовать трехмерной ситуации. Так, е содержит шесть компонент,
необходимых для описания деформаций в точке, а а содержит
аналогичное число компонент, задающих напряжения. Исполь-
33/я упоминавшееся ранее стандартное обозначение нижних
индексов для компонент напряжении и деформаций, можно
записать матрицы о и е следующим образом:
(11.31)
Если ограничить рассмотрение лагранжевыми элементами с s
узлами, то матрицу перемещений 6 можно записать в виде
8«=[й,, юь ш(; щ, щ, а>2; ...; щ, В„ ws]T (11.32)
или
В = [йь й2, ..., «V, 0|, б2, .... vs; ...; ю,, w, Я„]т, (11.33)
где й, v, w —■ узловые перемещения в направлениях х, у, z-
соответственно, а нижний индекс обозначает локальный номер узла
элемента. Каждая из матриц Р и Т имеет по три элемента
(х-, у- и г-компоненты).
Конечноэлементная формулировка в целом аналогична
формулировке предыдущего раздела и имеет лишь модификации,
соответствующие трехмерному случаю. Например, матрица D
становится симметричной матрицей упругих постоянных
размерности 6X6. " >? вычисляется из соотношений между
деформациями и перемещениями, аналогичных (11.10) и (11.11).
в*
V
Уху
V»*
-Vz*_
. о =
°х
а„
«г
"*ХУ
tyz

2g4 Глава И
Если имеются начальные деформации во. то дополнительную
матрицу сил Fjjw которая вычисляется по формуле
(11.34)
Fjo= $BrDe0dVe,
нужно вычесть из правой части (11.20}. Диалогично матрицу
сил от температурных деформаций ei, также имеющую вид
(11.34), необходимо вычесть нз правой части (11.20).
Принцип" минимума потенциальной энергии, на основе
которого была получена формулировка метода конечных элементов
^1
Рис. 11.8. Линейный прямоугольный элемент.
Задача в перемещениях, нумерация узлов по часовой стрелке.
в перемещениях, не является единственно возможным
вариационным принципом в механике твердого тела. Принцип
минимума дополнительной энергии приводит к функционалу,
включающему вариации напряжений, н соответствующая ему конеч-
ноэлементнан формулировка, таким образом, основывается на
некотором предполагаемом поле напряжений вместо поля
перемещений. Принцип Раиснера допускает использование как поля
перемещений, так и поля напряжений. Дополнительные
подробности, касающиеся этих и других принципов, можно найти в
цитированных ранее монографиях.
Для иллюстративных целей в этой главе рассматривались
" только лагранжевы элементы. При соответствующей
модификации процедур можно использовать и другие элементы, например
эрмитовы. Использование локальной системы координат для
элемента е общем случае приводит к упрощению формулировки.
Для частных типов чадач, таких, как изгиб пластины и нагру-
жение обол очечных конструкций, были развиты специальные
подходы, описание которых может быть найдено в литературе.
Упражнение ИЛ. Выведите явные формулы для коэффициентов
элементной матрицы жесткости к через координаты узлов-н упругие постоянные дли
Избранные приложения метода конечных элементов
треугольного элемента с постоянными деформациями (CST-элемента):
а) в плоских деформациях; б) в плоских напряжениях.
Упражнение И.2. Покажите, что для линейного прямоугольного лагран-
жева элемента, представленного на рис. П.З. матрица В описывается
формулой
(11.35)
и отсюда определите коэффициенты элемептнон матрицы жесткости к через
коэффициенты узлов и упругие постоянные как для плоских деформаций, так
и для плоских напряжений.
Проект J1-1. Используя CST-элементы, составьте пррогамму для решения
задачи плоского напряженною состояния, показанной на рис. 11.4. Выберите
а ab
0
1 X
[_ Ь + аЬ
0
1 X
Ь + аЬ
1+Уъ
a ab
У
аЬ
0
1 X
Ь аЪ
0
1. х
b ab
У
ab
1
я
У
аЬ
0
X
аЬ
0
X
~аЬ
Л У
a ab
У
ab
0
X
ab
0
X
ab
У
ab
Рис. 11.4. Отверстие в нагруженном брусе.
подходящие размеры области и нагрузки. На основе численных расчетов
оцените коэффициент концентрации напряжений и сравните с
опубликованными данными. Пропустите программу дважды для различных размеров
элементов и сравните результаты.
Проект И-2. Модифицируйте программу проекта 11-1 для решения
задачи о плоских деформациях, аналогичной показанной на рис. 11.4, но с
прямоугольным отверстием вместо кругового Используйте линейные прямо-
- угшьныи лшранжевы элементы типа, показанного на рис 11.3.
Проект 11-3. Переработайте либо проект 11-1, либо проект 11-2,
используя вокруг отверстия CST-элсменты и прямоугольные элементы а остальной
части области.
U.3. АКУСТИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
И ДВИЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН
Периодические волновые явления тина свободных колебаний
обычно описываются уравнением Гельмгольца

268
Глава И
где $ — скалярная переменная, kx, ky, кг — свойства среды в
направлениях главных координатных осей х, у, z соответственно,
а %.— частота колебаний. Для однородной и изотропной среды
kx = к„ = ki = k = coast. В этом случае k можно ввести в
частотный параметр X, и уравнение Гельмгольца запишется в
простой форме
V^ + ^ = 0, (11.37)
где V2 — оператор Лапласа. Обычно на части границы задается
условие Дирихле, а на остальной части границы — однородное
условие Неймана.
Для акустического поля внутри замкнутого объема
определяющее уравнение Гельмгольца имеет вид
V^ + (co/c}2p = 0, (11.38)
где р — изменение давления (по отношению к внешнему
давлению), о — волновая частота и с — скорость звука.
Распространение электромагни гпых волн в полом волноводе, заполненном
однородным диэлектриком, также описывается уравнением
Гельмгольца, которое в атом случае записывается в виде
V^ + foyWoe,,)^ 0, (11.39)
где <j>— компонента вектора поля магнитной напряженности Н
или вектора электрического поля Е, <о — волновая частота, цо —
магнитная проницаемость в вакууме, а е0 и &а —
диэлектрические проницаемости в вакууме и диэлектрике соответственно.
Стоячие волны дли массы воды в озере или гавани могут быть
описаны тем же самым уравнением в следующей форме:
£(*&)+ч-(*£)+(£)-ч- <1М0)
где z — амплитуда стоячей волны, измеряемая от среднего
уровня воды, h — средняя глубина водоема, g— гравитационное
ускорение и Т — период колебаний. Для этих и других явлений,
описываемых уравнением Гельмгольца, можно получить
решения на основе вариационной конечноэлемеитной формулировки,
как это показано в оставшейся части данного раздела.
Рассмотрим уравнение Гельмгольца в виде (П.37). На
основе вариационного исчисления (гл. 7) можно показать, что
решение ф этого уравнения минимизирует функционал
*-um+ffl*&y-»r}<D. (H.41)
D
Пробные функции f, используемые в (11.41), должны
принадлежать классу допустимых функций. В данном случае тре-
буегея, чтобы они были непрерывны и имели кусочио-непрерыв-
Иабранные приложения метода конечных элементов 267
ные первые производные в D + S. Кроме того, пробные функции
должны удовлетворять заданному граничному условию
Дирихле. Однородное граничное условие Неймана
дф/дп = 0,
заданное на части границы, является естественным граничным
условием и выполняется автоматически.
Первая часть изложенной конечноэлемеитной формулировки
близка к формулировке для уравнения Лапласа, так как
функционал для уравнения Гельмгольца имеет лишь один
дополнительный член — л2#2. Разбиение области D на / конечных
элементов, подстановка элементных пробных функций фе в
элементные вклады у_' и дифференцирование по компонентам вектора
узловых параметров ф? дают элементное матричное уравнение
в виде
■^r^W-mf*?. (11.42)
Можно показать, что элементы матриц V и h" описываются
выражениями
ASS— $AyVe(«>«, (11.44)
D.
где Na, N$ — базисные функции, а о, р — локальные номера
узлов (1, 2, ...) элемента.
Для четырехузловых тетраэдральных элементов с линейными
Пробными функциями предствнление через базисные функции
имеет вид
* _
?e=4IX&. (11.45)
В гл. 9 было показано, что базисные функции Ni для этих
элементов совпадают с объемными координатами Z.,. Выполняя
эту подстановку и дифференцируя по х, у и г, получим
*вГ="6r■ "df^W- ~fc~==W~- (П.Щ
We bt, а и di определены в разд. 9.3.3. Следовательно, для
рассматриваемых элементов выражение (11.43) может быть
записано, в виде

268 " Глава 11
Йав = {
Аналогично выражение (11.44) с учетом равенства (9.55)') дает
VIW- Й = Р. (1148)
Затем обычным образом производится объединение элементных
матричных уравнений для получения матричного уравнения
системы
Кф — А2Н0 = О, (11.49а)
где ф— узловой вектор системы и 0 — нуль-матрица.
Предположим, что граничные условия Дирихле имеют вид <j>, = 0. Учет
нх в (11.49а) позволяет исключить эти ф1 и множество
уравнений (11.49а) сконденсировать к
Кф"-КН'ф' = 0, (11.496)
щеф* — уменьшенный узловой вектор системы (т. е.ф без
исключенных $i), а К*, Н* — уменьшенные матрицы К, Н.
Уравнение (11.496), записанное в виде
К'ф* = *?н-ф", (11.50)
является уравнением на собственные или характеристические
значения. В общем случае число собственных значений А,
удовлетворяющих уравнению (11.50), равно порядку входящих в
него квадратных матриц. Каждому собственному значению
соответствует частное решение — вектор-столбец ф*, называемый
собственной функцией, который определяет соответствующее
распределение (моду) ф' по области. Поскольку уравнения
. (11.50) однородны, собственные функции не могут быть
определены однозначно, хотя для любой собственной функции может
быть определено отношение ее элементов. Часто удобно считать
"равным единице наибольший элемент собственной функции, а
остальные элементы определять явно по отношению к этому
опорному значению.
Уравнения на собственные значения типа (11.50) могут быть
решены как прямыми, так и итерационными методами. Так как
во многих физических задачах на собственные значения
амплитуды колебаний мод уменьшаются с увеличением частоты, то
часто требуется лишь несколько первых собственных значений
К, и соответствующих им собственных векторов ф,. В этом
случае итерационные методы, как правило, более предпочтительны.
Подробности процедур решения задач на собственные значения
описываются в литературе [12—15].
4) Заметим, что 01 =* 1»
Избранные приложения метода конечных элементов 2в9
11.4. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ
физические задачи с уравнениями типа уравнения Гельмгольца
в действительности являются нестационарными, но
периодичность движения часто позволяет снести определяющие уравне-.
иия к рассмотренной ранее не зависящей от времени задаче на
собственные значения. Такие задачи, как неустановившиеся
колебании, в которых зависимость от прсмени в определяющих
уравнениях сохраняется, значительно сложнее для решения. Для
них полезен также конечноэлементпый подход, но, поскольку в
большинстве случаев вариационный принцип не может быть
применен, нужно использовать другие формулировки, такие, как
метод Галеркина.
Можно показать [1, 8, 11], что метод конечных элементов
для нестационарных задач .приводит к матричному уравнению
системы в виде
¥.ф+Сф + Шф=РЦ), (11.51)
где К — матрица жесткости системы, С—матрица
демпфирования (или емкостного -сопротивления), М — матрица инерции
(обычно матрица масс) и Р(г) — дискретизированиая
вынуждающая функция задачи. Матрицы^, ф ф являются системными
векторами узловых значений дли ф,дф'/д( и д?ф/дР
соответственно. В этой формулировке функция ф аппроксимируется в
пространственной области пробной функцией ф Другой подход
использует пробную функцию для аппроксимации ф как в
пространстве, так и во времени, но он не будет рассматриваться в
данной книге.
Процедура решения уравнения (11.51) будет зависеть среди
других факторов от точных характеристик уравнения, типа
вынуждающей функции и чнела узловых параметров системы. Ши-
роко_используютга сУ^^_позиция^мод^и расчет слоями по вр_е-
^мет^ но такжс"~сущсствуют ii специализированные процедуры,
развитые для определенных задач. Во всех нестационарных
задачах существует ^опасность численной неустойчивости.
Более подробную^йнф^^шацию по затронутым "здесь
вопросам читатель может получить в цитированной литературе, так
как детальное исследование нестационарных задач выходит за
рамки этой книги.
11.6. ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Метод конечных элементов применялся к разнообразным
физическим и инженерным задачам. Обзоры, такие, как [16, 17],
указывают границы возможности и применимости метода, а с

270
Глава 11
конечноэлементными формулировками для специфических
задач можно познакомиться по библиографии [18]. Подробные
описания специальных подходов имеются в литературе.
Литература
1. Zicnkiewlez О. С, The Finite Element Method In Engineering Science,
McGraw-Hill, New York. 1971. [Имеется перевод: Зенкевич О., Метод
конечных элементов в технике. — М.: Мнр, 1975.]
2. Ural О, The Finite Element Method, Intext Educational Publ., New York,
1973.
3. Martin H. C, Carey G. F., Introduction to Finite Element Analysis, McGraw-
Hill, New York, 1973.
4. Gallagher R. H., Finite Element Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
New Jersey, 1975.
5. Robinson J. H., Integrated Theory of Finite Element Methods, Wiley (In-
terscience). New York, 1973
6. Rockey K. C, Evans II. R Griffiths D. W., Nethercot D. A., The Finite
Element Method, СгоьЬу Lockwood Staples, London, 197Б.
7. Brebbia C. A., Connor J. J., Fundamentals of Finite Element Techniques
Halsted Press, Wiley, New York, 1974.
8. Desai С S., Abel J. F., Introduction to the Finite Element Method, Van
Noslrand-Reinhold, Princeton, New Jersey, 1972.
9. Cook R. D., Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Wtiey
*— New York, 1974.
10. Norrie D. H., de Vrics G., The Finite Element Method, Academic Press New
York, 1973.
11. Huebner К. Н., The Finite Element Method for Engineers, Wiley, New York
1975.
12. Acton F. S., Numerical Methods That Work, Harper, New York. 1970.
13. Wilkinson J. H., The Algebraic Eigenvalue Problem, Oxford Univ. Press,
London and New York, 1965. [Имеется перевод: Унлкинсоп Дж. X.,
Алгебраическая проблема собственных значений.—М.: Наука, 1970.]
14. Ralston A., Wllf H S., Mathematical Methods for Digital Computers, Vol.2
Wiley, New York, 1967.
15. Brebbia С. Л., Tottenham H., Warburton G. В., Wilson J., Wilson R,
Vibrations of Engineering Structures, Computational Mechanics, Southampton,
England, 1976.
,16. Zienkiewicz О. С, From intuition to generality, Appl. Mech. Rev., 23, 249—
256 (1970). [Имеется перевод: Зенкевич О., Метод конечного элемента:
от интуиции к общности, сб переводов «Механика», № 6, i970]
17. Norrie D. H., de Vries G, A survey oi finite element applications in fluid
mechanics, Rep. No. 83, Dept. of Meeli. Eng., Univ. of Calgary, Alberta
Canada (December 1976).
18. Norrie D. H., de Vries G., Finite Element Bibliography, Pienum, New York
1976.
12
ДРУГИЕ ФОРМУЛИРОВКИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
Выше отмечалось, что условия, при которых для линейных
самосопряженных задач функционал имеет стационарное
значение, можно использовать в формулировке метода конечных
элементов для вычисления решения определяющего уравнения. Для
задач других типов, когда функционал такого типа не
существует, возможно тем не менее сформулировать вариационный
метод конечных элементов, если можно установить квазивариа-
циониый или ограниченный вариационный принцип. Однако в
таких случаях обычно предпочитают [1] использовать неварна-
ционный подход.
Наиболее популярным из других методов конечных
элементов является метод Галеркина, являющийся, как и метод
наименьших квадратов, частной формой метода невязок. Другой
метод, имеющий широкую область применения, известен в
разных названиях как прямой метод, метод энергетического
баланса, метод глобального баланса или метод конечных
элементов с подвижным (контрольным) объемом.
12.1. МЕТОДЫ НЕВЯЗОК
Рассмотрим задачу, для которой определяющее уравнение в об-
щ ласти D содержит одну зависимую переменную и с ее
производными и несколько независимых переменных хи х2 х„,
обозначаемых вместе через xt. Пусть определяющее уравнение
записано в обшей форме
Ы«: *i)-0. (12.1)
„ Подставляя приближенное решение й в уравнение (12.1), в
общем случае не получим
ЫЛ;*|)=*0; (12.2)
поэтому погрешность или невязка /? для урввнения может быть
определена в виде ^
Я — fD{u\ xt)-fD(u; xt). (12.3)
"^ С приближением аппроксимирующего решения й к точному и
невязка R стремится к нулю. Подстановка уравнения (12.2) в

270
Глава 11
конечиоэлементными формулировками для специфических
задач можно познакомиться по библиографии [18]. Подробные
описания специальных подходов имеются в литературе.
Литература
1. Zicnkiewiez О. С, The Finite Element Method In Engineering Science,
McGraw-Hill, New York, 1971. [Имеется перевод: Зенкевич О., Метод
конечных элементов в технике. — М.: Мнр, 1975.]
2. Ural О., The Finite Element Method, Intext Educational Publ., New York,
1973.
3. Martin H. C, Carey G. F., Introduction to Finite Element Analysis, McGraw-
Hill, New York, 1973.
4. Gallagher R. H., Finite Element Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
New Jersey, 1975.
Б. Robinson J. H., Integrated Theory of Finite Element Methods, Wiley (In-
terscience). New York, 1973.
6. Rockey K. C, Evans II. R Griffiths D. W., Nethercot D. A., The Finite
Element Method, СгоьЬу Lockwood Staples, London, 197Б.
7. Brebbia C. A., Connor J. J., Fundamentals of Finite Element Techniques
Halsted Press, Wiley, New York, 1974.
8. Desai С S., Abel J. F., Introduction to the Finite Element Method, Van
Noslrand-Reinhold, Princeton, New Jersey, 1972.
9. Cook R. D., Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Wiley
*— New York, 1974.
10. Norrie D. H., de Vries G., The Finite Element Method, Academic Press New
York, 1973.
11. Huebner К. Н., The Finite Element Method for Engineers, Wiley, New York
1975.
12. Acton F. S., Numerical Methods That Work, Harper, New York. 1970.
13. Wilkinson J. H., The Algebraic Eigenvalue Problem, Oxford Univ. Press,
London and New York, 1965. [Имеется перевод: Унлкинсоп Дж. X.,
Алгебраическая проблема собственных значений.—М.: Наука, 1970.]
14. Ralston A., Wllf H S., Mathematical Methods for Digital Computers, Vol.2
Wiley, New York, 1967.
15. Brebbia С. Л., Tottenham H., Warburton G. В., Wilson J., Wilson R,
Vibrations of Engineering Structures, Computational Mechanics, Southampton,
England, 1976.
16. Zienkiewicz О. С, From intuition to generality, Appl. Mech. Rev., 23, 249—
256 (1970). [Имеется перевод: Зенкевич О., Метод конечного элемента:
от интуиции к общности, сб. переводов «Механика», № 6, i970.]
17. Norrie D. H., de Vries G, A survey oi finite element applications in fluid
mechanics, Rep. Ко. 83, Dept. of Meeli. Eng., Univ. of Calgary, Alberta,
Canada (December 1976).
i8. Norrie D. H., de Vries G., Finite Element Bibliography, Plenum, New York,
1976.
12
ДРУГИЕ ФОРМУЛИРОВКИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
Выше отмечалось, что условия, при которых для линейных
самосопряженных задач функционал имеет стационарное
значение, можно использовать в формулировке метода конечных
элементов для вычисления решения определяющего уравнения. Для
задач других типов, когда функционал такого типа не
существует, возможно тем не менее сформулировать вариационный
метод конечных элементов, если можно установить
квазивариационный или ограниченный вариационный принцип. Однако в
таких случаях обычно предпочитают [1] использовать неварна-
ционный подход.
Наиболее популярным из других методов конечных
элементов является метод Галеркина, являющийся, как и метод
наименьших квадратов, частной формой метода невязок. Другой
метод, имеющий широкую область применения, известен в
разных названиях как прямой метод, метод энергетического
баланса, метод глобального баланса или метод конечных
элементов с подвижным (контрольным) объемом.
12.1. МЕТОДЫ НЕВЯЗОК
Рассмотрим задачу, для которой определяющее уравнение в об-
щ ласти D содержит одну зависимую переменную и с ее
производными и несколько независимых переменных хи х2 х„,
обозначаемых вместе через x-t. Пусть определяющее уравнение
записано в обшей форме
Ы«:*|)-Л. (12-1)
Подставляя приближенное решение й в уравнение (12.1), в
общем случае не получим
ЫЛ;*|)=*0; (12.2)
поэтому погрешность или невязка /? для урввнения может быть
определена в виде ^
Я —Ы«: xt)-fD(u; xt). (I2.3)
"^ С приближением аппроксимирующего решения й к точному и
невязка & стремится к нулю. Подстановка уравнения (12.2) в

272
Глава 12
(12.3) позволяет получить невязку в простой форме
Я fDiUix& (12.4)
В методах невязок для пробной функции требуется, чтобы
невязка /? удовлетворяла некоторому условию, которое
вынуждает ее быть малой Для конечноэлементного метода невязок
" Это взвешенный интеграл по области \ Wf{R)dD, который дол-
жен удовлетворять критерию малости, где W — весовая
функция. Выбор W и /(/?) определяет конкретные методы, а именно
метод Галеркина: \ WpRdD=*0, p— 1, 2, ..., п, (12.5)
Ь
где Wp — определяемые последовательно интерполянты по
области, а п — общее число узловых параметров;
метод наименьших квадратов: \ R2 dD = mln. (12.6)
D
Очевидно, что в (12.5) уравнений столько же, сколько и
узловых параметров, что позволяет получить решение. В случае
метода наименьших квадратов подстановка конечноэлсментной
интерполяции в R при помощи уравнения (12.4) преобразует
подынтегральное выражение в функцию от всех узловых
параметров системы. Условием минимальности R является
использованное ранее условие равенства нулю производных по всем
узловым параметрам. Таким образом, получается система п
уравений для п неизвестных узловых значений.
До сих нор рассматривались только невязки, возникающие
из определяющих уравнений. Если пробная функция не
удовлетворяет граничным условиям точно, то невязки на границе1),
определяемые аналогично невязкам в области, не будут
нулевыми, и их также следует рассматривать. В этом случае метод
невязок основывается на обоих множествах невязок. Обычно,
однако, требуют, чтобы пробная функция удовлетворяла грл-
ничным условиям точно; тогда невязки на границах равны нулю
и в дальнейшем не учитываются.
12.2. МЕТОД ГАЛЕРКИНА
■ Для метода Галеркина используется уравнение (12.5), где в
общем случае Wp — интерполянты пробной функции в области
вида
й=£«7рир в D. (12.7)
р-|
') В задачах переноса (зависящих от времени) начальные условия
позволяют также определить начальные невязки.
Другие формулировка метода конечных элементов 273
Здесь йр — узловые параметры системы, а п — общее их число.
По аналогии с уравнением (9.1) для пробной функции Wp
могут быть описаны как базисные функции и, чтобы это
подчеркнуть, Wp будут обозначаться как Np. Поэтому уравнения (12.5)
и (12.7) могут быть записаны соответственно как
^NpRdD=*Q, p=l, 2, ..., п, (12.8)
D
U=Z NMP, (12.9)
p-i -
Каждая базисная функция в области является суммой
элементных базисных функций; это можно показать следующим
образом. Для любого элемента е пробная функция выражается на
этом элементе в терминах базисных функций Nl следующим
образом:
(Р — ЪШн в et (12.10)
где m определяется как
m^s-q. (12.11)
В уравнении (12.11) s обозначает общее число узлов элемента,
a q — число степеней свободы в узле. Нижний индекс узлового
параметра й* в уравнении (12.10) указывает на локальную
нумерацию узла, а не на номер узла во всей системе (см. разд. 9.2).
Пробная функция в уравнении (12.10) может быть записана
в более общей форме как
ue=Y,Nlup в с, (12Л2а)
р-\
1де, очевидно, Ивр= 0 при р, не совпадающем с номером
узлового параметра, принадлежащего элементу е. В уравнении
(12.12а) m номеров узловых параметров йр являются номерами
узлов во всей системе, соответствующими номерам из
уравнения (12.10).
В матричной форме уравнение (12.12а) принимает вид
tfe = Neu в е, (12.126)
где и — узловой вектор системы, а Ые — расширенная матрица
базисной функции для элемента е.
Набор пробных функций, возникающих при применении
уравнения (12.126) к элементам системы, позволяет записать
интерполирующую функцию в области как
i i
й=Ейе = Е^и в D. (12.13)
е—1 #—1

274 Глава t2 ^
Уравнение (12.9) описывается в матричной форме выражением
U=Nu, (12.14)
где N определяется из уравнения (12.9). Сравнение уравнений
(12.13) и (12.14) приводит к выводу, что
N=£N« (12.16a)
и что элемент NP матрицы N определяется по формуле
VVP=Z«- <12л5б>
что и требовалось Доказать. Система уравнений (12.8) может
быть представлена в матричной форме:
$Nfirffi=0. (12.16)
в
Подставляя уравнения (12.4) и (12.15а) в (12.16), получаем
;х,)<Ц> = 0. (12.17а)
\Ы*
=1
Суммирование в уравнении (12.17а) можно вынести из под
знака интеграла, что дает
£ ( \ N7c(Ue; *,)dD.\ = 0. (12.176)
Выражение (12.176) определяет систему уравнений.
Рассмотрим р-е уравнение системы, которое имеет вид
£$«&»(«•! *W = ». (12.18)
Из (12.18) видно, что вклад элемента Xе можно выразить
формулой
^ = $Л#Ж: *<><">«■ (12.19а)
Для линейных задач подстановка в уравнение (12.19а) выбран
ной интерполирующей базисной функции для й" и последующее
интегрирование позволяют получить Xv в виде
Другие формулировки метода конечных элементов 276
где узловой элементный вектор ие состоит из узловых значений
элемента е в соответствии с узловыми номерами (указаны
нижними индексами), а к„ — матрица-строка.
Объединение элементных вкладов, задаваемых уравнением
(12.196), в уравнении (12.18) дает р-е уравнение системы в. виде
i
J^^KpU+Fp^O, (12.20)
где матрица-строк а К.р формируется расширеннем матриц-строк
кр до размеров системы и сложением расширенных матриц кр»
a Fp получается Как сумма членов Fp.
Матричное уравнение системы, р-й строкой которого
является уравнение (12.20), можно записать как
Ku-f F = 0. (12.21)
Элементы матриц К и F в уравнении (12.21) можно
представить соответственно выражениями
Крч«* Z *w. Л> = Е П> 02.22а,б)
где р и q — номера узлов и k%q—элемент матрицы-строки kj.
Процесс объединения, использованный выше, соответствует
объединению по узлам.
Матричное уравнение для элемента с, р-й строкой которого
является уравнение (12.196), записывается в виде
Xe=-kV + Fg. (12.23)
Объединение этих элементных уравнений согласно (12.176)
соответствует объединению по элементам и вновь дает систему
уравнений (12.21). Легко показать, что уравнения (12.22а, б)
остаются в силе для этого последнего случая.
Неявно предполагалось, что пробная.функция й точно
удовлетворяет граничным условиям, поэтому невязки на границе
равны нулю. Это легко достигается для граничных условий
Дирихле путем коррекции матрицы системы К. Следующий
пример иллюстрирует эту процедуру для других условий:
Иллюстративный пример 12.1. Рассмотрим двумерную область (рис. 12 1)
с находящимся внутри источником тепла, теряющую тепло в результате
конвекции через часть границы.
Для однородной и изотропной среды определяющим является уравнение
Пуассона
ld2T/dx2) + (d2T/dy2)+Q = G в Д (12.24)
где Т(х,у)— температура и точке и Q(x7y)—внутренний (локальный)
источник тепла Предположим, что на частн границы Si задана температура
T = g{x,y) на Si, 112.25а)
10*

276 * Глава 12
а через оставшуюся часть Ss за счет коввекции происходит отвод тепла, т. е.
(дТ/дп)-\-Н(Т-Та) = 0 на S2, (12.256)
Где п — направление внешней нормали к S2, Ta — температура окружающей
среды, А — коэффициент передачи тепла конвекцией, a S = 5i -+- Ss — граница,
охватывающая область D (см рис. 12.1).
Пусть область разделена на / конечных элементов лагранжевот типа
так, что узловыми параметрами являются только температуры. С использова-
Рис. 12.1. Задача теплопередачи в двумерной области с источником тепла.
нием базисной функции можно записать п]
в виде
функцию Т на элементе е
(12.26)
Переписывая уравнение (12.24) в терминах пробной функции Г* в
подставляя результат во вклад элемента [уравнение (12.19а)], получим
(12.27)
*н^--^+«ь
Подстановка уравнения (12.26) в (12.27) дает
(12.28)
Заметим, что это уравнение имеет тот же вид, что н уравнение (12.196).
Хотя подобный вид получается п из вариационной формулировки, в данном
случае производное во вкладе элемента имеют тот же порядок, что и в
определяющем уравнении, тогда как для вариационной формулировки
производные в элементном вкладе имеют более низкий порядок (см разл 2.1) Таким
образом, в случае метода Галеркина получается, что для соответствующей
вариационной формулировки требуется пробная функция более высокого
порядка Далее, однако, показано, что это требование можно обойти Граничное
условие Дирихле (12.25а) может накладываться обычным способом, но совсем
не очевидно, как ввести условие Коши [уравнение (12.256)]. Ниже также
будут рассмотрены средства, с помощью которых этого можно достигнуть.
Формулу Грина для двух переменных и и v в области D, можно записать
Другие формулировки метода конечных элементов 277
следующий образом:
J Vu • Vv dDe + ^ uVzv dDe — t u JtL dSe, (12.29)
Dc »e *e
где Se — граница области De. Замена и на TV* н и на"?" в уравнении (I2.29)1)
позволяет преобразовать первый интеграл по области "в (12.28) в интеграл
по области (с производными меньшего порядка) н интеграл по поверхности.
Запишем
S> De D, (12.30)
Подстановка уравнения. (12.26) в интегралы по области из уравнения (12 30)
приводит к
+ И[СК (12.3.)
Член дТ'/дп в интеграле по поверхности из уравнения (12.31) может быть
использован для учета граничных условий Коши [уравнение (12.256)]. Ис-
пользуя выражение (12.26), условие Кошн (12.256) можно подставить в
интеграл по поверхности из уравнения (12.31), что позволяет получить
элементный вклад в виде
ч— \Ыж+-ж~1>гг dD<+ №*>.-
- {wJ[ANT«-*ZjdS]to. (12.32)
«L
Для любого элемента его вклад задается формулой (12.32), ио интеграл
по поверхности существует только для элемептов вдоль границы Sz.
Вклад каждого элемента, вычисленный с использованием (i2.32), будет
выражаться в форме (i2.l96). Объединение этих вкладов в матричное
уравнение системы можно провести обычным способом После подстановки
условий Дирихле уравнение системы можно решить с помощью любой стандартной
процедуры и явно определить узловые параметры Обзор по методу
Галеркина, включая формулировку методг конечных элементов, можно найти
в работе [2].
Упражнение 12.1. Решите методом Галеркина двумерную задачу
теплопроводности (рис. 2.1), разбивая область треугольной сеткой, показанной на
рис. 2.4, и используя трехузловые треугольные элемепты с линейными проб-
*) При условии, что Np и Т* удовлетворяют требованиям гладкости,
необходимым для использования формулы Грииа [уравнение (7.37)].

278
Глава 12
ными функциями. Вычислите вклады элементов по уравнению (1232) и
объедините их по узлам в матричное уравнение системы Повторите решение,
используя объединение по элементам Скорректируйте матричное уравнение
системы с учетом граничных условий Дирихле и сравните результат с
уравнением (2 36), полученным вариационным конечноэлементным решением
Можно показать [3], что для линейных самосопряженных задач,
рассматриваемых здесь, вариациоппый метол конечных элементов и метод Галеркина
в случае одинаковых сеток дают одинаковые матричные уравнения системы.
12.3. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Основой метода наименьших квадратов, как установлено
выше, является критерий
$Ш?2<Ш = min, (12.33)
D
где W(x,)—(положительная) весовая функция. Обычно W
выбирают равной единице, и тогда критерий малости сводится к
виду ™ _. .-■
$#2/Ш = гшп. (12.34)
D
Для иллюстрации формулировки рассмотрим уравнение в
двумерной области
Au = f в D, (12.36)
подчиненное граничному условию
Bu=*g на S. (12.36)
В уравнениях (12.35) и (12.36) А н В являются линейными
дифференциальными операторами, fug опредставляют собой
функции от х и у, a S — обозначает границу £>. Невязка R8 на
элементе для элементной пробной функции йе в терминах
уравнения (12.35) определяется выражением
Re = Au' — f в е. (12.37)
Представляя уравнение (12.34) как сумму интегралов по
элементам и подставляя (12.37), получаем
1 1
Пробную функцию й' на элементе можно записать в терми»
нах матрицы базисной функции как
"e = NV, (12.39)
Лругие формулировки метода конечных элементов
гой форм\
где и" — узловой вектор. Уравнение (12.39) в другой
имеет вид
fie = Neu, (12.40)
где N" — расширенная элементная матрица базисной функции,
а и — узловой вектор системы. Подстановка уравнения (12.40)
в (12.38) дает выражение
$Я**Ш = ][] ПоДГ^и —/)»/>,1. (12.41)
С e-l \-De 1
Поскольку правая часть (12.41) представляет собой функцию
от узловых параметров системы, минимизация, требуемая по
(12.34), может быть достигнута дифференцированием этого
выражения последовательно по каждому узловому параметру и
приравниванием нулю каждого результата. Получетюс таким
образом множество уравнений образует уравнение системы Этот
же результат может быть получен непосредственно в матоичкой
форме дифференцированием правой части уравнения (12 41) во
узловому вектору и И приравниванием полученного выражения
нулю: -
£ \l{ANeu-ffdDe = 0. (12.42)
_д_
ди
Внося дифференцирование под знак интеграла в уравнении
(12.42), имеем
Возводя в квадрат выражение в скобках, приходим к
выражению
i
]Г \ -^-(uTATAu~2uTATl + P)dD = 0, (12.44)
где
A = 4Ne. (12.45)
В результате дифференцирования') в (12.44) получаем
2 [Ё (\АГАи dD< - \ATf dD*)l=°- <12-46)
*) Используя (Б.16) и (Б.17) из приложения Б,

280
Глава IS
Замечая, что и не является функцией от х и у, можно
записать уравнение (12.46) в виде
i
■' £k"u + Fe = 0, (12.47)
Где
к* = J АГА <Ш„ Vе — - $ Ат fdDe. (12.48)
Очевидно, что матрицы ке и" F" имеют расширенный вид, т. е.
соответствуют размеру системы; таким образом, уравнение
(12.47) является расширенным элементным матричным
уравнением. Вышеприведенные соотношения можно записать также
для элемента, что представляется сделать читателю в качестве
упражнения
Объединяя уравнения для элементов либо по узлам, либо по
элементам, приходим к матричному уравнению системы
Ku + F = 0. (12.49)
Для получения из (12.49) окончательного уравнения системы
теперь необходимо обычным путем учесть условия Дирихле.
Из уравнения (12 48) видно, что матрица элемента к"
является симметричной и положительно определенной.
Следовательно, матрица системы К метода наименьших квадратов до
учета граничных условий Дирихле также симметрична и
положительно определена в отличие от метода Галеркииа, при
котором симметричная матрица получается только в случае
самосопряженной задачи..
более подробная информация о методе наименьших
квадратов имеется в работах [4—14].
12.4. ПРЯМОЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Для получения конечноэлементной формулировки необходимо,
чтобы уравнение, описывающее физические законы конкретного
явления, привязывалось к определенной области. Примерами
таких связей являются функционал, соответствующий
вариационному принципу, н критерий малости в методе невязок.
Определяющие уравнения в обычной дифференциальной форме
ие годятся, поскольку они применяются к точке, а не к области.
Оден [15], однако, заметил, что имеются формы определяющих
уравнении, которые можно использовать в качестве основы для
метода конечных элементов Например, в механике сплошной
среды энергетический баланс"для области может быть записан"
в" общей форме или на основе контрольного объема.
Аналогичным образом уравнения неразрывности могут быть получены
Другие формулировки метода конечных элементов 281
на основе контрольнотообъема. Дискретизация области на
конечные" 'элементы' и прямая" подстановка аппроксимирующих
функций в такие интегральные формы определяющего
уравнения, как показано ниже, образует конечноэлементную
процедуру, известную как прямой метод, метод глобального или
энергетического баланса. Оден и другие [15—20] успешно приме-"
няли этот метод к различным стационарным и нестационарным
задачам.
Далее рассматривается только стационарная равновесная
задача. Интегральная форма уравнения для области в этом
случае следующая:
1(и; х,) = 0, (12.50)
где и — зависимая переменная, а х, — независимые переменные.
В общем случае интеграл / по области можно представить в
виде суммы элементных вкладов Iе, т. е,
/=£/е = 0. (12.51)
£-1
Подстановка элементной пробной функции во вклад каждого
элемента по уравнению (12.51) преобразует правую часть в
выражение, включающее узловые параметры элемента, базисные
функции и независимые переменные xt Полученные уравнения
для элементов можно преобразовать в обычную систему
элементных матричных уравнении и с помощью (12.51) объединить
в матричное уравнение системы вида
Ku + F = 0. (12.52)
Граничные условия Дирихле можно учесть путем коррекции
матрицы системы, а другие граничные условия вводятся с цо-
мощью соответствующих интегралов по поверхности.
Литература
I. Finlayson В А, Scriven L Е, On the search for variational principles.
Internal I Heal Mass Transfer, 10, 799—821 (1967)
?. Fletcher С A J, The Calerkin method- An introduction, WRE-TM-1632
(WR&D), Weapons Research Establishment. Dept. of Defense, Adelaide,
South Australia, June 1976
3. Finlayson В A Scriven L E, The method of weighted residuals — a
review, Appl Mech Rev, 19, No 9, 735—748 (September 1966).
4 Lynn P P, Arya S К, Use of least squares criterion m the Finite element
formulation, Internal I Numer Methodb in Engrg, 6, 75—88 (1973)
5. Lynn P P Arya S K, Finite elements formulated by the weighted least
squares method, Internal I Numer Methods in Engrg, 8, 71—90 (1974).
6 Zienkievicz О С, On en D R J, Lee К N, Least square [mite element
for elastostatic problems —use of 'reduced' integration, Internal. J. Numer.
Methods in Engrg, 8, 341—358 (1974),

282
Глава 12
7. Lynn P. P., Least-squares finite eiement anaiysis of laminar boundary
layer flows. Internal 1 Numer Methods, m Engrg, 8, 865—876 (1874)
8 Akin J E, A leasl squares Finilc element solution of поп linear operations,
m Mathematics of Finite Elements and Applications (Whiteman J R, ed),
Academic Press, New York, 1973
9 Lcc К К, A Kole on least square residues in linear elasticity, /. Appl.
Mech, Ser E, 96,553—554 (June i974)
10 Hossow M P, The Least squares variational principle for finite element
applications 1 Appl Much, 97 900—90i (December 1975).
11. tthorpe J F M, Slevcn G P, On the ieasl squares, approach to the
Integration of the Navier — Stokes equations, Preprints of the Second
Symposium of Finite Element Methods in Flow Problems, St Margherila, Italy,
14— i8 June 197B, pp 71—82
12 Steven С Р, Dynamics of a fluid subieci fo thermal and gravity diffusion,
Proc lnlemat Conf Finite Element Methods in Engrg., Univ. of Adelaide,
South Australia, 6—8 December 1976, p 17 1—17 16
13 De Vries С, Labrujcrc T E, Nome D II, A least squares finite element
solution for potential flow, Rep No 86, Dept of Mech. Engrg, Univ of
Calgary, Aiberta, Canada (Decembci 1976)
14 Nome D И, de Vries G, Finite Element Bibliography, Plenum, New York,
1976
15 Oden J T, A general Thcorv of finite elements, lnlemat J Numer.
Methods Engrg (Pari 1), 1, 202-221, (Part 2), 1, 247—259 (1969),
16 Oden J T, Finite Elements of Non Linear Continua, McGraw-Hill, New
York, 1972 [Имеется перевод Оден Дж , Конечные элементы в нелинейной
механике сп юшных сред —М Мир, 1976]
17 Oden J T, Hnile clement analogue of Navier—Stokes equations, Proc
MCE, 1 Епцгц Mech Dw, 96, No EM4, 529—534 (1970)
18 Oden J T Somogvi D, Finite element applications in fluid dynamics, Proc
ASCE, I Engri, Mech D,v, 95, No EM3, 821—826 (1969)
19 Aguure Ramirez G Oden J T, Finite element technique applied to heat
conduction in solids with temperature dependent thermal conductivity,
Paper 69 WA/HT 34, ASME Winter Annual Meeting, Los Angeles 16—20
November 1969
20 Oden J T, Kelley В E, Finite element formulation ol general lliermoelasti-
city problems, Internal. I. Numcr. Methods Engrg., 3, 161—179 (1971).
Приложение А
МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА
Л - M - Ы ■
(A.I)
А.1. МАТРИЧНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Матрица определяется как прямоугольный массив символов
'или чисел, упорядоченных в строки и столбцы, и обычно
записывается в следующем виде:
о„ а12 •■' аХ1 »•■ а,,
«21 «22 •■• <hj *•» ej„
«а ад '•' <Jy •■• а„
1>1 °«2 •", «W «•• аш
Нижние индексы (и/в первой и второй позициях указывают
соответственно на i-ю строку и /-Й столбец.
Матрица (АЛ) имеет m строк и п столбцов; ее типичный
элемент ац расположен в /-й строке и /-м столбце. Говорят, что
такая матрица А имеет порядок m X я.
Матрица-строка имеет порядок IX" и может быть
представлена в в.иде
А = [аи я,2 ... щ, ... а,„\, (А.2)
а матрица-столбец имеет порядок т X ' и записывается в виде
А-=».
а»
ami.
(А.З)
Далее в тексте матрица обозначается буквой жирного
шрифта (например, А). ,

282
Глава 12
7. Lynn P. P., Least-squares finite element analysis of laminar boundary
layer flows. Internal. J. Numer. Methods in Engrg., 8, 865—876 (1074).
8- Akin J. E„ A. leasl-squares Finite element solution of non-linear operations,
in: Mathematics of Finite Elements and Applications (Whiteman J. R-, ed.),
Academic Press, New York, 1973.
9. Lcc К- К-, A Kole on least square residues in linear elasticity, /. Appl.
Mech., Ser. E, 96, 553—554 (June i974).
10. Hossow M. P., The Least-squares variational principle for finite element
applications. 1. Appl. Mech.. 97, 900—901 (December 1975).
11. tthorpe J. F. M„ Slevcn G. P., On the leasl-squares, approach to the
Integration of the Navier — Stokes equations, Preprints of the Second
Symposium of Finite Element Mcthodsin Flow Problems, St. Margherila, Italy,
14—18 June 197B, pp. 71—82.
12. Steven С P., Dynamics of a fluid subjeci fo thermal and gravity difiuslon,
Proc. lnlemat. Conf. Finite Element Methods in Engrg., Univ. of Adelaide,
Soulh Australia, 6—8 December 1976, p 17.1—17.16.
13. De Vries C, Labmjcrc T. E., Norrie D. II., A least squares finite element
solution for potential flow, Rep. No. 86, Dept. of Mech. Engrg., Univ. of
Calgary, Aiberta, Canada (December 1976).
14. Norrie D. И., de Vries G., Finite Element Bibliography, Plenum, New York,
1976.
15. Oden J. Т., A general Theorv of finite elements. Interned. J. Numer.
Method!, Engrg. (Pari 1), 1, 202-221, (Part 2), 1, 247—259 (1969).
16. Oden J. Т., Finite Elements of Non-Linear Continua, McGraw-Hill, New
York, 1972. [Имеется перевод: Оден Дж„ Конечные элементы в нелинейной
_ механике сплошных сред. — М.: Мир, 1976.]
17. Oden J. Т., Finile clement analogue of Navier—Stokes equations, Proc.
ASCE, 1. Engrg. Mech. Dm., 96, No. EM4, 529—534 (1970).
18. Oden J. Т., Somogvi D., Finite element applications in fluid dynamics, Proc.
ASCE, 1. Engr^ Mech. Did., 95, No. EM3, 821—826 (1969).
19. Aguiire-Ramirez G. Oden J. Т., Finite element technique applied to heat
conduction in solids with temperature dependent thermal conductivity,
Paper 69-WA/HT-34, ASME Winter Annual Meeting, Los Angeles 16—20
November 1969.
20. Oden J. Т., Kelley B. E„ Finite element formulation of general tliennoelasti-
city problems, Internat. J. Numer. Methods Engrg., 3, 161—179 (1971).
Приложение А
МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА
л-М-[««]■
(A.I)
А.1. МАТРИЧНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Матрица определяется как прямоугольный массив символов
'или чисел, упорядоченных в строки и столбцы, и обычно
записывается в следующем виде:
о„ а12 •■• аХ1 »>.. аи
«21 «22 •■• <hj *•» с»,
«л «а "' <Jy '" Щ,
\°M 0«2 "', «W «" O»,
Нижние индексы l и / в первой и второй позициях указывают
соответственно на i-ю строку и /-Й столбец.
Матрица (АЛ) имеет m строк и п столбцов; ее типичный
элемент ац расположен в /-й строке и /-м столбце. Говорят, что
такая матрица А имеет порядок га X я.
Матрица-строка имеет порядок IX" и может быть
представлена в виде
А = [ац а12 ... а,, ... а^Ц, (A.2)
а матрица-столбец имеет порядок т X ' и записывается в виде
Ой
А—.
а»
ami.
(А.З)
Далее в тексте матрица обозначается буквой жирного
шрифта (например, А). . ^ •

284
Приложение Д
У нулевой, или нуль-матрицы, все элементы равны нулю, и
оиа обозначается какЧ).
Квадратная матрица имеет равное число строк и столбцов
и записывается следующим образом:
А =
О,, 012
о21 агг
0,1 «И
«и- ■'
о,,
(А.4)
Далее определяются отдельные типы квадратных матриц,
такие, как скалярная, тождественная (единичная),
диагональная, ленточная, треугольная, симметричная и кососимметричная.
1. Скалярная матрица — это матрица, элементы которой
определяются следующим образом:
(а, 1 = 1,
й" = 10, 1Ф\,
Где о —скаляр. Например,
-а 0 Oi
А = |0оо|- (А.6)
(А.5)
[а и Ui
О а 0 ■
О 0 aj
2. Тождественная, или единичная, матрица обычно
обозначается I и имеет элементы
Например, единичная матрица 4X4 записывается как
10 0 0"
1 =
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
(А.7)
(А.8)
3. У диагональной матрицы вне главной диагонали все
элементы нулевые. Элементы диагональной матрицы определяются
следующим образоМ1
<«-U Jl (A-9)
Матричная алгебра
Поэтому диагональная матрица может быть записана в виде
<г„ о ... о
о 4 .'.. о
D =
о о
(АЛО)
4. Ленточная матрица имеет ненулевые элементы в полосе,
расположенной вдоль главной диагонали, и только нулевые вне
этой полосы. Например, ленточной является следующая
матрица:
а=
СП
«21
0
0
0
"и
«22
°"
0
0
0
о2з
Озз
0
0
0
0
Оз»
0
0
0
0
0
0
0
о о
о о
о о
Ол-!,..-2 4.-J..-1 «.-
0 я.,«-1 «ш
(A.U)
5. У треугольной матрицы равны нулю все элементы либо
над главной диагональю (в этом случае оиа называется нижней
треугольной матрицей), либо под ней (тогда это верхняя
треугольная матрица). Верхняя и нижняя треугольные матрицы
обычно обозначаются соответственно U и L. Например, •
"12 «13
«22 «23
0 «33
"1л
«2»
«3»
L =
0 •■• v
/,i 0 0 .
JS! *32 *33 •
_'л1 'n! In! ■
(A.lZa)
(А.126)
6. Симметричная матрица — это квадратная матрица, в кото-
Рой элементы, расположенные симметрично относительно глав-

286
Приложение А
нои диагонали, равны,
= Я/( для веек / и ;.
(А.13)
7. У кососимметричной матрицы элементы, расположенные
симметрично относительно главной диагонали, равны по
абсолютной величине, но имеют противоположные знаки.
Следовательно, элементы на главной диагонали такой матрицы равны
нулю Таким образом, для кососимметричной матрицы
а"={~1
при i=-/,
при / ф /.
(A.I4)
8 Косая матрица отличается от кососимметричной только
тем, что не все элементы на ее главной диагонали равны нулю.
9 Блочная матрица — это матрица, разделенная на
подматрицы. Например,
А =
'«,, | 0,2 [ 013 О,»'
«21 I 022 I «IJ °24
[А„ А12~ А,3"|
Ац А22 А23 J'
<ш
_04, | <tii \ 0»3 "44
где подматрицы An, Au>, Ai3, Aji, А2г, Аг3 задаются в виде
А„ =
«31
■А21 =• «41
Aji =
«22
; 042,
А.»
А23
pis
«23
«33
"о*з
Й,4"
а24
Й34
й«]
(А.16)
А.2. МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА
А.2.1. СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Сложение возможно только для матриц одного порядка и
определяется как сложение соответствующих элементов, т. е. ,
С = А + В, (А.17)
где элементы С задаются равенством
С|; = 0(, + Ьц.
Например,
Г1 ОЗ-i г2 1 2П
[10 3-] р 12-| га 1 й-|
2 1 6 + О 1 3 = 2 2 9 .
8 0 з] L 0 oj L9 О 8J
(А. 18)
(А.19)
Матричная алгебра
287
А.2.2. ВЫЧИТАНИЕ МАТРИЦ
Вычитание матриц выполняется по тому же правилу, что и
сложение, с той разницей, что производится вычитание
соответствующих элементов:
С = А — В, (А.20)
где элементы С задаются в виде
с„ = а(/ —6,,. (А.21)
А.2.3. КОММУТАТИВНОСТЬ И АССОЦИАТИВНОСТЬ
К матрицам применим закон коммутативности, т. е. они могут
складываться или вычитаться в любом порядке, например,
А + В = В + А. (А.22)
Матрицы также удовлетворяют ассоциативному закону и
могут складываться или вычитаться в любой комбинации.
Например,
(A + B) + C = A-f(B + C). (A.23)
А.2.4. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ
Для получения транспонированной матрицы нужно все строки
поменять местами с соответствующими столбцами. Матрица,
транспонированная к А, обозначается Аг. Например, если
1«п °12"1
о2, и22|, (А.24а)
«31 ami
то соответствующая транспонированная матрица имеет вид
АТ г«!1й21«,-|.
Late й22 a32J
Транспонирование блочной матрицы получается заменой
каждой подматрицы на транспонированную, а затем переменой
строк и столбцов блочной матрицы. Например, для матрицы
(А.15)
А-ГМГМ- ("бе)
LA21 Aj2 A23J
получаем транспонированную
'А
AT= А?2 \l . (A.256)
~~А„
А[2
_Ai3
А21
А2Г2
Агз^

Приложение А
Симметричная матрица совпадает со своей
транспонированной, т. е.
АТ = А. (А.26)
Для кососимметричной матрицы транспонированная равна
исходной с противоположным знаком, т. е.
Ar = -A. (A.27)
А.2.5. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Для умножения матрицы А на скаляр с каждый элемент
матрицы умножается на с. Например, если
&21 &21
(А.28а)
catt ca\z
сА= cam cas. . (А.286)-
_co3i ca32_
Перемножение двух матриц А и В требует того, чтобы число
столбцов А совпадало с числом строк В; матрицы,
удовлетворяющие этому условию, называются согласованными
Произведением С двух согласованных матриц А и В (порядков т X к и
ft X я соответственно) является матрица порядка тУ\П с
элементами
с„= £ я,Л/. < = 1. 2..., т,1=1,2 п. (А.29а)
q-i
Использование обозначений суммирования1) позволяет
записать равенство (А.29а) в виде
Сц^а^Ьц. »=!. 2 т- /=1. 2,...,n. (A.296)
Рассмотрим в качестве применения формулы (А.29)
следующий пример. Пусть _
И 2..]' В
(А.30а,б)
Произведение С =
С«АВ-
-4 0 2
5 I 0_
АВ получается следующим образом:
!Н]-[»'П]- lw
■п\:{
1) Суммирование провопмтся по повторяющимся индексам.
Матричная алгебра 289
7
Операцию умножения можно распространить иа
произведение более чем двух матриц в том случае, если они имеют
согласованные порядки. Произведение матриц
D = ABC (A.31)
возможно, если матрицы А, В, С имеют порядки тХ.р, рХ?,
<?Х" соответственно; тогда матрица D имеет порядок тХ".
Если последовательность перемножаемых матриц не
нарушается, то к произведению матриц применимы законы
ассоциативности и дистрибутивности. Например,
(АВ)С = А(ВС) = АВС (А.32а)
и
A(B+C + D) = A(B + C) + AD = AB + A(C + D) =
, = АВ + АС + AD. (A.326)
В общем случае перемножение матриц не коммутативно, т. е.
АВ Ф ВА. (А.ЗЗ)
Блочные матрицы перем-ножаются точно так же, как
обычные матрицы1).
А.2.6. ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ
Обратной к квадратной матрице является матрица, которая
после умножения на исходную дает единичную матрицу того же
порядка. Матрица, обратная А, обозначается А-1.
Следовательно, по определению
A",A = AA"' = I. (A.34)
Можно показать, что матрица, обратная А, существует, если
определитель А (см. приложение В) отличен от нуля, т. е.
det А Ф 0. (А.35)
Проиллюстрируем операцию обращения на примере
матрицы, имеющей вид
~Яц Я12 Gi3~|
А = oj, й22 и23 . (А.36)
_ 031 G32 Й33 J
Обратная матрица А~', если она существует, будет того же
порядка, что и А, и, следовательно, А-1 можно представить в виде
"*1| *12 *13~|
*21 *22 *23 . (А.37)
.. _&31 ^32 ^33 J
*) Естественно, необходимо согласование порядков соответствующих бло,-
ков. — Прим персе.

290
Приложение А
Подстановка равенств (А.36) и (А.37) в (А.34) дает
Л"'А =
Ьп
*2|
ь»
Ь|2
Ьгг
Ьэг
*13
*23
*зз
«и
«2,
"Л
«12 «13
022 «23
«32 «33
ЬИ«11 + &l2«2l + bl3«31 °11«12 +^12«21 + «1Э«Э2 Ьц«Гэ + &12«2Э + «13«ЭЗ
Ьл«11 + Ьг2«21 + &23«Э1 «21«12 + «22«22 + «23«Э2 «21«13 + Ь22«22 + «23«ЭЭ
Ь31«11 + ЬЭ2«21 + «33«31 «31«1Г+ «32«12 + °33«Э2 ЬЭ1«13 + ^«гэ + ЬЭЗ«ЗЭ
1 ° °1
0 1 о Г (А.38)
С С 1
Система уравнений для Ьц, i, /==1, 2, 3, получается простым
приравниванием соответствующих элементов в (А.38).
Например, из равенств
получаем1)
где
detA = on
ЬцОп + ЬыОа + bisdm = I,
6ц012 + ^12022 + * 13^32 = "■
6цО|з + &12Я2Э + &13<»33 = О
*п = fetfe — fl32<J23)/det A,
6i2 = (О32О13 — йцаззУ'И A,
Ьа = (а12ат — ai2a,3)/6et A,
(А.39)
(А.40)
- Й2зазг) — ^21
- ai3a32) + аи (вцОгз — вцОя).
(А.41)
Аналогичный результат можно получить и для остальных Ьц.
Матрица называется сингулярной, если ее определитель
равен нулю. Следовательно, только несингулярная матрица имеет
обратную.
Более подробную информацию о матрицах можно получить
ю соответствующих учебников [1, 2].
*) Заметим, что если знаменатель в (А 40), а также в уравнениях для
оставшихся Ьц отличен от нуля, то выполняется условие,, задаваемое
равенством (А.35),
Матричная алгебра 291
А.З. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
Квадратичной формой для переменных и\, и2 ип
называется выражение, которое можно представить в виде
F (Щ, В2 Un) = OnUl + 012 "I «2 + ... + й|„ «1 «„ +
+ ац Uj «1 + с22 и! -Ь ... + а2п «2 ип +
+ aniUnu, + aenUnui + ••• +a,m«n-
Равенство (А.42) можно записать в матричной форме
f(u„«2 «n) = UTAU,
где _
«Г
и=.
«2
. +
(А.42)
(А.43а)
(А.436)
А =
ЙЦ Он ..
Й21 С22 . .
_Оп1 а/Д '•
■ С|„
• 02/.
• "Ш!
(А.43в)
Без потери общности [4] можно предположить симметричность
матрицы А, т. е. и,, = а,,.
Квадратичным функционалом [5] функции Ф = ф(х, у, г) в
области (на поверхности, на линии) называется интеграл от
F вида
Х=$ Р{Щ,
и2,
,un)<W,
(А.44)
где F определяется равенством (А.42) или (А.43а) и где щ,
«2, ■ -., и„ представляют собой ф и ее различные частные
производные ф„ фи, фг, фк-,, фкг, фдг В этом случае коэффициенты
в (А.42) являются функциями координат.
Линейная форма от переменных и\, щ и„ определяется
как линейная комбинация
qui + ег«2 + ... + c„«„. (A.45)
Равенство (А.45) может быть записано в матричной форме
к СМ, + с&г + ... + спип = VT С =» Сг U, " (А.46)

2M
Приложение А
С =
и =
щ
и2
(А.47)
Коэффициенты ci, ег с„ линейной комбинации (А.45) в
общем случае являются функциями координат.
Литература
1 Aitken А. С, Determinants and Matrices, Univ. Math. Tests, Oliver & Boyd,
Edinburgh, 1964.
2. Sawyer \V. W, An Engineering Approach to Linear Algebra, Cambridge
Univ Press, London — New York, 1972.
S- Forrav M J, Variational Calculus in Science in Engineering McGraw-Hill,
New York. 1668
4 Dettman J W, Mathematical Methods in Physics and Engineering, McGraw-
Hill, New York, 1962
5. Berg P. W, Calculus of variations, in: Handbook of Engineering Mechanics
(Fiflgge W., ed.), Chapter 16, McGraw-Hill, New York, 1862.
Приложение В
МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Б.1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ МАТРИЦ
Дифференцирование матрицы выполняется посредством
дифференцирования каждого ее элемента [1]. Таким образом, если
А = А(<)— матрица порядка р X <?,
щ-
йц(г) а,г(0 •" «iM
«21(f) a22(t) ■■• fl2,(()
а„М М')' •" .«„(0.
(B.1J
dA
dt
= В(А) =
dau/dt da,2/dt
da2Jdt da22/dt
datJdi
da2,/dt
dOfi/dt dap2/dt ••■ da„/dt
Интегрирование определяется аналогично:
Ja„dt §al2dt ■■• Jo,,A
§a2ldt §a22dt'"- §d2qdt
JWtjJdt
jaeldt ja^dt •■• §aPtdt
(Б.2)
(Ъ.3\
Если матрицы A(f), B(f) и С(г) согласованы по сложению или
умножению, то можно показать [2, 3], что
1) D (А + В) = DA + DB, (Б.4)
2) D (АВ) = (DA) В 4 А (ДВ), (Б.5)
3) D(ABC) = (DA) ВС + A (DB) С + АВ (ОС), (Б.6)
4) 0(А-') = -А-'(ОА)А-'. (Б.7)

am
Приложение А
C =
tl =
щ
u2
(A.47)
Коэффициенты c\, c2 c„ линейной комбинации (А.45) в
общем случае являются функциями координат.
Литература
1. Aitken А. С, Determinants and Matrices, Univ. Math. Tests, Oliver & Boyd,
Edinburgh, 1964.
2. Sawyer \V. W., An Engineering Approach to Linear Algebra, Cambridge
Univ. Press, London — New York, 1972.
S- Forrav M J., Variational Calculus in Science in Engineering McGraw-Hill,
New York. 1668.
4. Dettman J. W., Mathematical Methods in Physica and Engineering, McGraw-
Hill, New York, 1962.
5. Berg P. W., Calculus of variations, in: Handbook of Engineering Mechanics
(Fiflgge W., ed.), Chapter 16, McGraw-Hill, New York, 1862.
Приложение В
МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Б.1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ МАТРИЦ
Дифференцирование матрицы выполняется посредством
дифференцирования каждого ее элемента [1]. Таким образом, если
А = А(<)— матрица порядка р X <?,
щ-
«llW Я.2Й ■•■■ «lM
«21(f) o2?(t) ••• о2,(()
apl{() ap2i$- ••• .am(t)
(B.1J.
dX
dt
= B(A) -
dau/dt da,2/dt
da2Jdt da22jdt
datJdi
da2,/dt
dtifi/dt dap2/dt ••■ da„/dt
Интегрирование определяется аналогично:
Jflndt ja12& ■■• Joi,A
_[я21Л §a22dt'"- Jd2erff
JWtjJdt
jaeldt Ja^dt •■• ^andt
(Б.2):
<Б.З)(
Если матрицы A(f), B(f) и С(г) согласованы по сложению или
умножению, то можно показать [2, 3], что
1) D (А + В) = DA + DB, (Б.4)
2) D (АВ) = (DA) В 4 А (ЙВ), (Б.5)
3) D(ABC) = (DA) ВС + A (DB) С + АВ (ОС), (Б.6)
4) 0(А-') = -А-'(ОА)А-'. (Б.7)

294
Приложение Б
Б.2. ЧАСТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ МАТРИЦ
Частное дифференцирование матрицы определяется точно так
же, как и общее дифференцирование Если X и V — матрица-
столбец и матрица-строка соответственно, т. е.
и * = [№ й ... ут\.
(Б.8а,б)
то частная производная д\/дх\ определяется как
ffY/dx^ldyrfdx, dys/dxi ... dyjdx,].
Система величин
'д\/дх,
д\/дх„
d\jdxn.
dy,/dxi ду^/дх,
ду,/дХ2 дуфх?.
дут/дх,
ФА
\_ду,/дхп ду2/дхп ... дут/дхп
(Б.9)
(Б. 10)
может быть просто записана в виде 6Y/dX Аналогично, запись
dX/dY раскрывается как
dX/dY^dX/dy, ЗХ/5й
или, более подробно,
~dxi/dyt dXi/dy3
■ dx2/dijt дх2/ду2
oX
ST"
•• дХ/дуа],
Sxi/dy„
дх2/дут
LdxJdtM дх„/ду2 ... дх„/дут
(Б. 11)
(Б. 12)
Смысл выражений вида (JA/dY (A — треугольная матрица)
и dX/dZ (Z— матрица-столбец) объяснить трудно, а их
использования мошне избежать с помощью приведенных ниже
стандартных соотношений При этом ограничении указанные ранее
правила (общего) дифференцирования сумм и произведений
могут быть использованы и при частном дифференцировании.
Матричное исчисление 295
Если матрицы X, Y, Z, С имеют вид
~Xi~
Ут1
(Б. 13)
Z =
с =
а матрицы А и В имеют согласованные порядки по умножению
или сложению в зависимости от требования, то справедливы
следующие стандартные соотношения:
1) 5Y/5X = [d\T/dXTJ, ■ (Б. 14)
2) dZT/dZ = dZ/dZT = dY/dYT=>ffYT/dY = l. (Б.15)
3) Для квадратичной формы X АХ, где А Ф f (xi):
а) 5(XrAXV(5X = 2AX, (БЛба)
б) 5(Х7АХ)/(ЗХт = 2Х2'А. (Б. 166)
4) д (ХтВ)/дХ = В, где В ф f (x,). (Б. 17)
5) Для линейной комбинации YX (называемой также
скалярным, или внутренним, произведением), когда 'элементы Y и
Z являются функциями элементов X, т. е. у„ г, = f (хк),
ex '
d[YZ|
дХ1
tfJZYJ.
' ex =
eizYj ...
' dXT
ex ~т~ ах *
* дхт + z ax'
(Б Л 8а)
(Б.186)
"* Литература
Т. Finkbeiner D Т, Matrices and Linear Transformations, 2nd ed Freeman.
San Francisco California 1965
2 Michai A D, Matrix and Tensor Calculus, Wiley, New York, 1947
3. Thompson F M lni oduu on to the Algebra of Matrices with Some
Applications, Hilger, London, 1969.

Приложение В
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Определитель — это число, которое получается из квадратной
матрицы с помощью определенной процедуры. Определитель
матрицы А
~ 1—2 4~"
-8 6 2 (В.1)
4 3 —4.
записывается как
detA = |A! =
1 -2
-8 6
4 3
(В.2)
Минор определителя получается вычеркиванием
одинакового числа строк и столбцов из этого определителя. Таким
образом,
8 б|- |з_4|. 2 (а3)
есть миноры |А|.
Алгебраическое дополнение элемента в,-,- в определителе |А|
определяется как произведение (—1)'+' и минора, полученного
вычеркиванием строки и столбца, содержащих ац.
Правило вычисления определителя состоит в следующем.
Определитель квадратной матрицы равен сумме произведении
элементов любой строки (нли столбца) на соответствующие
алгебраические дополнения Следовательно, определитель
матрицы А из (В.1) получается следующим образом:
*>*
21
|А!=1
-(-2)
— 8 2
+ 4
-8 6
4 3|
= Н[6Х(-4)]-(2ХЗ)} + 2{К-8)Х(-4)]-(2Х4)} +
+ 4{[(-8)ХЗ]-(6Х4)} = -174. (В.4)
Определители имеют следующие свойства:
1) Если какая-либо строка или столбец содержит только
нули, то определитель равен нулю.
Определители
297
2) Если переставить любые две строки (или два столбца),
то определитель изменит знак.
3) Если какие-либо две строки (или два столбца) совпадают,
то определитель равен нулю.
4) Умножение каждого элемента в строке (или в столбце)
иа скаляр К эквивалентно умножению всего определителя на Л.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аппроксимация базисными
функциями 27
Арифметика" с двойной точностью
234—236
Баланс энергетический 271, 281
Бета-функция 67
Вектор напряженности магнитного
поля 266
— узловой 27, 63
элемента 32, 55, 110
— узловых перемещений 257
смещений системы 13
— электрического поля 266
Волны электромагнитные 266
"Вычитание матриц 287
Гамма-функцня 67
Гильбертовы пространства 173
Гнперматрица 145
Деформации плоские 255
Диагональ (главная) 141, 227s 284
Дифференцирование матрицы 293
Длина слова 235
Задача динамическая 221, 223
— на собственные значения 223
— нестационарная 269
Запись матрицы полная 138
Заполнение 233
Запоминание блочное 231
— иаддиатональное 144
— -поддиа тональное 144
Значение собственное 221, 268
Изотермы 86
Изменение обусловленности 244
Изотропия геометрическая 179
— пространственная 179
Инге! рал ключевой 175
Исключение блочное 230
Исчисление вариационное 1БЗ
Кирхгофа закон 22
Кодиагонали 144
Конвекция 275
Конденсация i 15, 197, 248
— статическая 249
Координаты естественные 169, 209
— криволинейные 179
— обобщенные 184
— объемные 193
— площади 192
Контур 145
Лимитирование памятью 139
Линия горизонта 145
Маска бинарная 233
Макрокодарование 91
Макропрограммирование 91
Макрос 91
Матрица базисных функций 27
— вращения (попорота) 64, 113
— демпфирования 269
— деформаций 258 *
— диагональная 284
— единичная 284
— жесткости системы 14, btf
элемента 13, 55, 66, 111
— расширенная 13
— иперпии 269
— интегральная элементная 40
— интегрирующая 66
,— квадратная 281
— косая 286
— кососимметрнчная 286, 288-
— коэффициентов 62, 124, 148, 233
— ленточная 139, 221, 225, 285
Предметный указатель
299
Матрица масс 269
— напряжений 258
— несингулярная 290
— обратная 289
— полная 139
— преобразования 103, ПО, 217
— разреженная 139, 232, 250
— симметричная 285,-288
- — скалярная 284
— столбец 283
— строка 283
— тождественная 284
— транспонированная 287
— треугольная 285
верхняя 285
нижняя 285
— — строго верхняя 240
_ нижняя 240
Матрины итерационные 239
Метод абсолютных-относительных.
перемещении 146
— блочно-прямой 93, 147
— взвешенных невязок 24
— Галершна 24, 165, 271, 272
— Гаусса — Зейдсля 75, 240
— глобального баланса 24, 271, 281
— градиентный 242
— исключения Гаусса 223
■ профильный 232
— использующий внешнюю память
„250
— итерационный 221, 236
— — блочный 245
групповой 244
поточечный 238
— квадратного корня 227
— конечных элементов вариационный
24. 46
.— прямой 24, 280
— наименьших квадратов 24, 271, 278
— наискорейшего спуска 245
— невязок 271
— Ньютона сопряженный 242
— Одена 24
— переменных направлений неявный
£46
— перемещений 15, 23
г- переупорядочения 93
— полуитерациошшй 243
—'■ Пэйна—Айронса 31, 90
■— разбиения на блоки 223
— расчета по временным слоям 269
Т решения уравнений прямой 139, 223
* фронтальный 93, 147, 223, 229
— Ритца 32
— Ричардсона 242
*— сопряженных градиентов 242
"* суперпозиции мод 269
Метод целострочный 232
— Чепъииева циклический 76, 243
— Якобы 240
Мини-ЭВМ 146
Минор 296
Множители Лагранжа 155
Модульный подход 88 .
Монотонность 175
Напряжения плоские 255
— поверхностные 255
Невязки в области 272
^- граничные 272
— начальные 272
Несогласованность 174, 176
Номера узлов локальные 32, 4&, 71
Нормы энергетические 173
Нуль-матрица 284
"Область активная рабочая 226
Обозначение суммирования 38, 288
Обращение матрицы 31
Обусловленности изменение см.
Изменение обусловленности
Обусловленность плохая 234
Объединение по узлам 51, 58, 78. 146
236
— поэлементное 14, 33, 51, 58 73
78, 146
Объем подвижный 271
Оператор Лапласа 266
— строго положительно
определенный 172
Определители 296
Ортогональные преобразованид 64,
Оси главные 217
Отладка программ 88
Отображение 214
Ошибка аппроксимации 235
— дискретизации 169
Ошибки округления 235
Параметр верхней релаксации 241
Перенос начала координат 63
Перенумерации алгоритм 92
Перенумерация автоматическая
ленточная 2о0
— узлов 92
Поворот осей системы координат 37
Подматрицы главные 226 "
Подпрограммы 88
Поле акустическое 266
Полиномы Лагранжа 187, 200
—- Эрмита 188

300
Предметный указатель
Полнота 170, 175
Полуширина ленты матрицы 142, 144
Построение сетки автоматическое 92,
250
Поток ламинарный 20
Преобразование 123, 208, 216
Приведение к трехдиагоиалъному
виду 147
Принцип минимума дополнительной
* энергии 264
— — потенциальной энергии 256,257,
264
— Райснера 264
Принципы вариационные 165
— квазнвариационные 166
Программа построения графиков 92
— решения в оперативной памяти
250
Программы диагностические 251
Произведение скалярное (внутреннее)
295
Производные-узловые 37 . "
Проницаемость диэлектрическая 266
— магнитная 266
Профиль 232
Разбиение на блоки 231
— условное 246
Разложение 223
— Холлесского 75, 223, 227
для разреженных матриц 233
Разреженность 90
— матрицы 236
Расчленение конструкции 248, 249
Релаксация 75
— последовательная верхняя 75, 237,
240
Решатель уравнения 221
Самосопряженность 144, 166, 172, 271
Свойство А 246
Сегментация 91
Сети 18
Симметрия 31
— матрицы жесткости системы 88
Система дискретная 10
— координат глобальная 36, 48, 209.
215
локальная 36, 60, 215
— непрерывная 9
Сложение матриц 286
Смена меток 250
Совместность 172
Согласованность 172, 176, 178
Среда изотропная 97
— иензотропная 97
Сходимость 168, 221
— монотонная 175
Тейлора ряд 173
Текст выборочный 177
Тетраэдр 194
— лагранжев 211
Точки узловые с условием Дирихле
31
Точность 234
Транспонирование 287
Транспортная сеть 10
Узел в центре масс 1S7
Узлы внешние 248
— внутренние 248
Умножение матриц 288
Упругость 258
Уравнение бигармоническое 237
— Гагена — Пуазейля 20
— Гельмгольца 265
— квазигармоническое 97
— Лапласа 46, 76, 97
— матричное элементное 13, 19, 32,
41, 54, 100, 108, 248, 259, 267
— Пуассона 59, 73, 75, 97, 275
— связи 156
— системы матричное 14, 20, 31, 71,
147, 234, 249
Уравнения Эйлера 158
Ускорение 240
Условие граничное 95
главное 47, 96, 117. 162, 276
— — Дирихле 31, 42, 46, 57, 59, 95,
117, 162, 276
' естественное 96, 137, 276
Коти 96, 137, 276
Неймана 46, 59, 95. 117, 162
— минимакса (54
Условия Дирихле эквивалентные 102,
103, 117
— граничные связанные 103,
И8
~- допустимости 158, 162, 1J7
Устойчивость 168 '
Уточнение итерационное 234, 236
Факторизация 223
— тройная 226
Форма блочная трехдиагональная 246
— зациси восьмеричная 235
двоичная 235
— квадратичная 40, 291, 295
— квадратично-лииейная 172
Предметный указатель
301
Форма линейная 291
Формула Грина 160, 276
Функции интерполяционные 186
— пробные допустимые 47
Функция базисная 27, 183
— пробная квадратичная 6(
— собственная 268
Функционал 158
— квадратичный 291
Фурье быстрое преобразование 223
Число обусловленности 244
Ширина ленты 139
Элемент билинейный 201
— высокого порядка 137
— изопара метрический 214
— кирпичик 212
— криволинейный 214
Элемент лагранжев 183, 186, 195, 200
— несовместный 176
— прямоугольный 200
с двенадцатью членами 207
— пятигранный 214
— сирендипов 203, 213
— субпараметрический 216
— супер параметрический 216
— тетраэдральный 209, 267
— треугольный с постоянной
деформацией 262
— трехмерный 209
■*- четырехугольный 193, 200, 207
— шестигранный 195, 210, 212 214
— эрмитов 101. 103, 143, 183 188
197. 205
прямоугольный 206
Элементный вклад 26, 49, 192
Якобиан преобразования 65
Ячеечное объединение 93

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода ^
Предисловие "
Глава 1. Основные понятия метода конечных элементов 9
1.1. Конструкции и сети ,...'■- • 9
1.2. Развитие метода конечных элементов 23
1.3. Одномерный пример вариационного метода конечных элементов 25
Литература т?
Глава 2. Вариационная формулировка метода конечных элементов . . 46
46
2.1. Формулировка в глобальных координатах для двумерной задачи
теплопроводности ... .....
2J2. Формулировка в локальных координатах для двумерной задачи
теплопроводности ^. 60
Литература " • '*
Глава 3. Программирование метода конечных элементов 75
3.1. Совершенствование вычислительной математики и метод
конечных элементов
3.2. Программа для решения уравнения Лапласа методом конечных
элементов
3.3. Модификация программ
Литература
Глава 4. Граничные условии ,95
4,1. Классификация граничных условий 95
- 4.2. Задание граничных условий с помощью интегралов иа грайице 95
4.3. Другие формулировки граничных условий ......... 101
Литература " .*** • « • • 102
Глава 5. Эрмитовы элементы, конденсация и граничные условия ... 103
5.1. Постановка задачи и выбор элемента 103
5.2. Определение матричных уравнений элементов 108
5.3. Конденсация ■ 115
5.4. Объединение в систему н учет граничных условий 117
5.5. Программирование ... 130
5.6. Обобщение на случай элементов более высокого порядка н
'более сложных граничных условий - 137
Литература 138
Оглавление 303
Глава 6. Экономия оперативной памяти, разбиение и приведение н трех-
диагональному виду 139
6.1. Ширина ленты ... ... 139
6.2. Способы хранения ~144
6.3. Взаимосвязь между узловым и поэлементным объединением . . 146
6.4. Приведение к трехдиагоиальиому виду 147
Литература 152
Глава 7. Вариационное исчисление н его приложение , . «... 153
7.1. Максимум и минимум функций 153
72. Множители Лагранжа . ..." 155
7.3. Максимум и минимум функционалов 15S
7.4. Допустимость и конечные элементы 162
7.5. Вариационные принципы в физических задачах ....... 165
Литература . . . - 166
Глава 8. Сходимость, полнота и согласованность 188
8.1. Точность, устойчивость н cxo.nnvoe.ib прн численном решении 168
8.2. Ошибки метода конечных элементов . . 169
8.3. Ошибка пробной функции и полнота - .... 170
8.4. Ошибка пробной функции и согласованность 172
8.5. Ошибка пробной функции и несогласованность 174
8.6. Несогласованность, неполнота и точность 17-1
8.7. Выборочный тест '. . 177
8.8. Допустимость 177
8.9. Физические эквиваленты полноты и согласованности 178.
8.10. Полнота и геометрическая изотропия 179
Литература 180
Глава 9. Элементы и их свойства . 182
9.1. Классификация элементов ... 182
9.2. Базисные функции элемента 183
9.3. Естественные координаты 189
9.4. Одномерные элементы 195
0.5 Двумерные элементы 195
9.В Трехмерные элементы 209
9.7. Изопарзметрические элементы 214 •
9-8. Преобразование из локальных координат в глобальные . . , . 216
9.9. Выбор элемента . 217
Литература •- . . . . -. . 218
Глйва 10. Методы решении уравнений и техника программирования , , 221
|р.1 Выбор программы решения системы/линейных уравнений . . . 222
10.2. Прямые методы решения 223
10 3. Итерационные методы 236
10.4. Способы облегчения решения уравнений 246
Литература . . . . £51
Глава 11. Избранные приложения метода конечных элементов .... 255
11.1. Механика твердого тела — плоские деформации и плоские на-
прч-^ оннч 25$
11.2. Трехмерный анализ напряжений _, 293
11.3. Акустические и электромагнитные волны и движение
поверхностных воли . , 265

304
Оглавление
114 Нестационарное задачи . 269
115 Другие приложения 269
Литература . 270
Глава 12. Другие формулировки метода конечных 'элементов 271
12 1 Методы невязок 271
12 2 Метод Галеркина 272
12 3 Метод наименьших квадратов 278
12 4 Прямой метод конечных элементов 280
Литература . 281
Приложение А. Матричная алгебра 283
А1 Матричные определения 283
А 2 Матричная алгебра 286
A3 Квадратичные и линейные формы 291
Литература 292
Приложение Б. Матричное исчисление 293
Б 1. Дифференцирование матриц 293
Б 2 Частное дифференцирование матриц 294
Литература . 295
Приложение В. Определители 296
Предметный указатель 298
Д Норри, Ж де Фриз
ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Ст. научный редактор Ю Б Воронов Мл научные редакторы Е. П. Орлова, Н И. Сивилева
Художник В. Н Тнкунов. Художественный редактор А Е. Безрученков
Технический редактор Н Д Толстякова. Корректор Н. В Серегнн
ИБ № 2533
"Сдано в набор 03 03 81 Подписано к печати 20 10 81 Формат 60Х90'/|в. Бумага
типографская № 3,Гарннтура литературная Печать высокая Объем 9,50 бум. л Уел печ л. 19,00
Уел кр-отт 19,00. Уч-изд л 16,54, Изд № 20/0945 Тираж 15 000 экз Зак. 1063.
Цена 1 р. 40 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР», 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2 головное предприятие орчена Трудового Красного Знамени
Ленинградского объединения «Техническая книга» им Евгении Соколовой Союзполиграф-
прома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли, 198052. г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29