/
Text
Klaus-Jurgen Bathe
Edward L. Wilson
Numerical methods
in
finite element
analysis
Prentice-Hall, Inc.
F Вилсон
Численные методы
анализа и метод
конечных элементов
“-к ^вод с английского
• С Алексеева
О О. Андреева
. П. Петрова
3, Н. Сидорова
Под редакцией
чл.-ноор, АН СССР
Смирнова
Москва Стройиздат 1982
УДК 624.04.519.6
Бате К., Вилсон Е.Численные методы анализа и метод
конечных элементов /Пер. с англ, А.С. Алексее-
в а и др.; Под ред. А.Ф. Смирнова. — М.: Стройиз-
дат, 1982 — 448 с., ил. — Перевод изд.: Numerical
methods in finite element analysis /К.—J.Bathe, E.L.
Wilson (1976).
Излагаются численные методы анализа, применяемые при
решении задач строительной механики методом конечных
элементов и получившие развитие в связи с широким исполь-
зованием ЭВМ в практике расчетов. Рассмотрены основные
теории матриц и линейной алгебры, основные принципы мето-
да конечных элементов. Значительное внимание уделено ме-
тодам решения систем линейных уравнений в статических
и динамических задачах метода конечных элементов. Приве-
дены численные примеры, иллюстрирующие сравнительные
характеристики рассматриваемых методов.
Для научных и инженерно-технических работников науч-
но-исследовательских и проектных организаций.
Табл. 17. ил. 77, список лит.: 329 назв.
Рекомендовано к изданию ЦНИИСК им. Кучеренко.
Б 2105000000 - 456
047(01) -82 КБ-28-42-82
© 1976by Prentice.Hali, Inc.
© Предисловие. Перевод на русский
язык, Стройиздат, 1982
ПРЕДИСЛОВИЕ
к русскому изданию
Авторы этой книги, К.-Ю.Бате и Е.Л.Вилсон — известные американские специа-
листы в области теории и практики метода конечных элементов, совместно рабо-
тавшие в течение ряда лет в университете штата Калифорния над проблемами
численной реализации этого метода и создания систем по расчету конструкций на
статические и динамические воздействия с учетом физической и геометрической
нелинейности. Одним из результатов их совместной работы является разработка
мощных систем SAP-И, NONSAP, ASINA для ЭВМ CDC-6600; последняя из сис-
тем разработана К.-Ю.Бате в Массачусетском технологическом институте.
Книга состоит из трех частей, которые отражают необходимые предпосылки
для численной реализации метода конечных элементов. В первой части приводятся
сведения о матрицах и даются основы линейной алгебры. Во второй рассматрива-
ются общие вопросы метода конечных элементов, изучаются свойства изопарамет-
рических элементов, дается вариационная формулировка метода и анализируются
особенности численной реализации. Третья часть, составляющая около половины
объема книги, посвящена рассмотрению различных численных методов, предна-
значенных для решения систем линейных алгебраических уравнений, уравнений
равновесия для динамических задач, и решению проблемы собственных значений,
от эффективности реализации которых на ЭВМ зависят качество разрабатываемых
программ и успешное проведение расчетов реальных сооружений.
В книге приводится большое число проверенных примеров и дается ряд про-
грамм, что, несомненно, является большим достоинством, так как помогает более
тщательно раскрыть особенности той или иной численной методики.
Книга представляет интерес для инженерных и научных работников, связанных
с созданием программ для расчета конструкций. Последовательность изложения,
иллюстрации и примеры делают ее хорошим пособием, допустимым дпя самостоя-
тельного изучения.
А.Ф.Смирнов
чл.-корр. АН СССР
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время метод конечных слемег'ов "знови’ея рас’рог-?3""
способом решения сложных задач. По существу, он является дальнейшим разви-
тием ранее разработанных способов pacweia оОимужении, в коюрь.л ’•ч-ч. кц>м
представлялась системой стержневых элементов. В насюнщее время в меюдь
конечных элементов наряду со стержневыми используются элементы, описываю-
щие поведение пластинок, плит, оболочек, трехмерных сред и др.
На начальной стадии развития метода основные усилия были направлены на
разработку конечных элементов, предназначенных для решения частных задач.
Возможности метода в связи с быстрым развитием вычислительной техники при-
вели к увеличению объема сложности систем конечных элементов. Это, в свою
очередь, дало толчок к разработке алгоритмов обработки данных и решения боль-
ших систем линейных алгебраических уравнений, к которым сводятся уравнения
равновесия метода конечных элементов. В настоящее время используемые на ЭВМ
программы позволяют рассчитывать очень большие системы благодаря тому, что
применяемые алгоритмы были специально разработаны для этого метода.
Когда упоминают о методе конечных элементов, то всегда подразумевают
под этим вычислительный процесс, осуществляемый с помощью ЭВМ. Он вклку
чает в себя описание конечных элементов, численное интегрирование для вычисле
ния элементов матриц, объединение матриц для отдельных конечных элементов в
полную матрицу ансамбля элементов и численное решение системы уравнений рав
новесия.
Цель книги — дать представление читателю об упомянутых выше проблемах
метода и таким образом обеспечить основы понимания процесса решения. Так как
метод конечных элементов основывается на методах численного анализа, то особое
внимание уделяется вопросам его реализации на ЭВМ.
В соответствии с тремя основными научными направлениями книга разделена
на три части. В первой приводятся наиболее важные сведения о матрицах и линей-
ной алгебре. Многие читатели могут опустить элементарные правила матричной
алгебры, но особое внимание должно быть уделено линейной алгебре, так как она
служит основой понимания численных методов, рассматриваемых в последующих
частях.
Вторая часть включает в себя основы метода конечных элементов и численные
процедуры, необходимые для построения матриц конечных элементов и объедине-
ния их в полную матрицу ансамбля элементов. С момента начала использования
метода конечных элементов было разработано огромное число типов конечных
элементов. Цель настоящей книги заключена не в обсуждении всех возможных мо-
делей конечных элементов, а в установлении общих принципов и описании только
тех элементов, которые в настоящее время считаются наиболее эффективными.
В последней части книги рассматриваются вопросы решения уравнений равно-
весия для статических и динамических задач. Этот раздел определяет основные
затраты машинного времени и заслуживает пристального внимания. Он должен
быть эффективно реализован, так как используемые в этом разделе процедуры
определяют возможность выполнения расчетов на ЭВМ.
Во всех частях книги основное внимание уделяется рассмотрению алгоритмов
и физической сущности задачи, иногда в ущерб математической строгости. Физи-
ческие основы и численные методы иллюстрированы более чем 100 проверенными
примерами. В книгу также включены небольшие программы для демонстрации
алгоритмов. Эти программы могут быть непосредственно использованы как под-
программы метода конечных элементов.
Очень трудным вопросом при написании книги явилось составление списка
литературы, который в должной мере отражал бы работы других исследователей,
так как область применения метода конечных элементов расширяется очень быст-
ро. Мне хотелось бы извиниться за отсутствие здесь ссылок на ряд работ, вызван-
ное невозможностью отразить в книге все опубликованные работы.
Написание книги явилось результатом моей работы в области метода конечных
элементов. Хотелось бы поблагодарить моего учителя Е.Вилсона, чья активная
поддержка позволила мне выполнить исследования и завершить большую часть
работы над данной книгой во время пребывания в Беркли. Хотя я написал эту кни-
гу и ответственность за нее ложится на меня, имя Е.Вилсона на титуле обусловлено
тем, что мои исследования в значительной мере основываются на результатах его
ранних достижений.
В течение нескольких лет я был связан с Фредом Петерсоном из Корпорации
инженерных расчетов в Беркли и мне хотелось бы поблагодарить его за поддерж-
6
Я также хочу поблагодарить Стива Кеннея за оказанную мне помощь в решении
ку' " Элин Франкль, котооая проделала огромную работу по перепечатке руко-
за _ „ ' Киппа Гоейса за помощь, оказанную мне во время окончания работы и
р' мпию Херн - редактора книги, за ее терпение и прилежание. Наконец, особой
™аггдарности заслуживает моя жена Зорка, которая своей любовью и терпением
Поддерживала меня в работе над книгой.
К.-Ю. Бате
Массачусетский технологический институт
В развитии метода конечных элементов принимали участие исследователи в
области строительной механики и прикладной математики. В период с 1850 по
1860 гг. была разработана теория кручения и изгиба балок и тем самым заложены
основы науки по расчету конструкций. В течение последующих 100 лет расчет
конструкций основывался на изучении систем, содержащих одномерные элементы.
В середине 1950 г. в авиастроении разработан двумерный элемент. Он был создан
для того, чтобы улучшить моделирование всей конструкции путем учета работы
мембранных элементов.
В 1960 г. Клафф впервые ввел понятие "конечный элемент" в статье "Исполь-
зование метода конечных элементов для исследования плоского напряженного
состояния". Метод был распространен на решение задач механики сплошных сред.
В 1909 г. Ритц разработал эффективный метод приближенного решения задач
механики сплошных сред. Он включает в себя аппроксимацию функционала энер-
гии с помощью известных функций с неизвестными коэффициентами. Минимиза-
ция функционала в отношении каждого неизвестного приводит к системе урав-
нений из которых могут быть определены неизвестные коэффициенты. Одно из
основных ограничений метода Ритца состоит в том, что используемые функции
должны удовлетворять граничным условиям задачи.
В 1943 г. Курант значительно расширил возможности метода Ритца путем введе-
ния специальных линейных функций на треугольных областях и применил метод
к решению задач кручения. В качестве неизвестных были выбраны значения функ-
ций в узловых точках треугольных областей. Таким образом, основное ограниче-
ние, накладываемое на функции Ритца, в отношении удовлетворения граничным
условиям было устранено. Метод Ритца с модификацией Куранта аналогичен
методу конечных элементов, который независимо предложил Клафф много лет
спустя. Основная причина, по которой метод конечных элементов получил огром-
ное распространение в 1960 гг. заключается в том, что присущий данному методу
большой объем вычислительных операций может быть выполнен только с помо-
щью ЭВМ, тогда как в 1943 г. Курант не имел такой возможности.
В середине 1960-х гг, исследователи в области механики твердого тела и строи-
тельной механики показали, что модифицированный метод Ритца и метод конеч-
ных элементов совпадают, и в течение следующего десятилетия развитие и приме-
нение метода прогрессировало значительными темпами. Метод конечных элементов
применялся для решения пространственных задач, задач с учетом физической и
геометрической нелинейности, задач, зависящих от времени, и задач в различных
областях, не связанных с расчетом конструкций, таких, как гидродинамика, теп-
лопередача и теория поля. Некоторые сведения по истории метода приведены в
третьей главе.
Успешное решение задач методом конечных элементов зависит от програм-
много обеспечения, пои разработке которого необходимо основываться на трех
основных положениях. Во-первых, аппроксимации, используемые для представле-
ния свойств различных конечных элементов, должны быть основаны на общих
принципах механики сплошных сред. Во-вторых, численные методы, выбранные
для интегрирования, решения уравнений, решения проблемы собственных зна-
чений, должны быть точны и эффективны. В-третьих, реализация на ЭВМ исполь-
зуемых вычислительных методов должна быть проведена с особой тщательностью
для минимизации числа операций и оптимального использования оперативной и
внешней памяти. Цель книги — дать необходимые знания во всех трех областях.
Разработка новых конечных элементов, численных методов и практических
программ для ЭВМ была областью моих исследований в течение последних 15 лет.
Результаты их отражены в книге. Последние годы сфера моих исследований была
значительно расширена, что вызвано сотрудничеством с Клаусом-Юргеном Бате.
ЕЛ.Вилсон
Калифорнийский университет, Беркли
7
ЧАСТЬ
1
МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛАВА 1
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ
1.1. Введение
Практическое использование метода конечных элементов основано
на применении матричной алгебры и электронных вычислительных ма-
шин.
Целью данной главы является краткое ознакомление с основами
матоичной алгебры, которые необходимы для реализации рассматри-
ваемых в книге вычислительных методов [1—3]. Для правильного пони-
мания метода конечных элементов необходимо также знание основ
линейной алгебры, краткие сведения о которых приводятся в гл. 2.
Обычно целью метода конечных элементов является вычисление
перемещений большого количества точек рассматриваемой конструк-
ции. Аппарат матричной алгебры позволяет при известных физических
соотношениях между перемещениями конструкции и прикладываемыми
нагрузками записать весь процесс решения в несколько строк с исполь-
зованием ограниченного количества символов. Хотя вычислительный
процесс с использованием матриц и матричных операций может быть
представлен достаточно просто, однако для создания эффективных
алгоритмов необходимо уметь детализировать операции, из которых
состоит решение, записанное в матричной форме.
1.2. Матрицы
Целесообразность использования матриц в практике вычислений
можно показать на простом примере, рассмотрев систему линейных
алгебраических уравнений
5х,-fx^x, = 0
~4xf+6хг-4х3 + х3 -/
•*» ~4xt+6x3-4х„ = О
*г~4х3 +5XfO.
(1.1)
Запись этой же системы уравнения в матричной форме имеет вид
8
(1.2)
По сравнению с системой (1.1) равенство (1.2) более логично, так
как коэффициенты 5, —4, 1 и т.д., стоящие перед неизвестными д,, ха и
х объединены в один массив, а сами неизвестные и величины, стоящие
в правой части системы уравнений (1.1), сгруппированы в два других
массива. Хотя оба равенства записаны различно, но выражение (1.2)
читается так же, как и система (1.1).
Используя матричную символику для обозначения массивов, систе-
му уравнений (1.2) можно записать в виде
Ах = Ь, (1-3)
где А — матрица коэффициентов системы линейных алгебраических
уравнений; х — матрица неизвестных; b — матрица известных величин.
В выражении (1.3) обозначено
Формальное определение матриц приведено ниже.
Определение. Матрицей называется упорядоченный массив чисел.
В общем случае матрица содержит тп чисел, объединенных в т строк
и п столбцов, и представляет собой массив вида
ait • • • ат
аи • • • а»п
• • •
(1.5)
Говорят, что эта матрица имеет порядок т>п(т на п ). Матрица А на-
зывается вектором в тех случаях, когда она состоит только из одной
строки (/п«1) или одного столбца (л=1).
В тексте книги для выделения матриц и векторов будет использован
жирный шрифт.
Рассматривая приведенные ниже массивы
Г<1. Г/ * -53].
|zj’ U 2,1 6 J’
[6,1 2,2 3], (1.6)
мы видим, что они являются матрицами, причем первый и последний
массив соответственно можно назвать вектором-столбцом и вектором-
строкой.
Произвольный элемент матрицы А , стоящий на пересечении I -той
строки и J -го столбца, обозначается в виде tty.Например, для первой
9
матрицы в обозначениях (1.4)ая«5и Ogf—4.
Рассматривая элемент а у в равенстве (1.5), мы видим, что индекс i
принимает значения от 1 до т , а индекс J — от 1 до л. Заметим, что
запятая между индексами ставится в тех случаях, когда во избежание
недоразумений необходимо отделить один индекс от другого, напри-
мер а .
Целесообразность применения матриц заключена в том, что можно
обозначать и преобразовывать массивы, содержащие большое количест-
во чисел, используя простую символику. В этом случае взаимосвязь
между большими массивами становится четкой, а вычисления осущест-
вляются с использованием однообразных операций, которые могут
быть выполнены на ЭВМ. При этом необходимо четко определить все
переменные, участвующие в расчете, разработать алгоритмы вычисления
элементов матриц и детально проанализировать вопросы реализации
этих алгоритмов на ЭВМ.
1.3. Виды матриц
Считается, что матрица имеет особую форму, если расположение ее
элементов подчиняется определенному закону. Матрица, элементы
которой являются действительными числами, называется действительной
матрицей. Матрица, элементы которой могут быть комплексными,
называются комплексной матрицей. В дальнейшем нам будут встре-
чаться только действительные матрицы. Кроме того, эти матрицы часто
будут оказываться симметричными.
Определение. Транспонированной матрицей Ат называется матрица,
полученная из матрицы А порядка л?хл путем взаимной смены строк и
столбцов. Если А= А^ то количество строк и столбцов матрицы А оди-
наковой ац - ал . В случае т-п матрицу А называют квадратной
матрицей порядка п. Кроме того, если ац*ад,то такую матрицу назы-
вают симметричной матрицей. Заметим, что если матрица А симметрич-
на, то А одновременно является и квадратной матрицей. Обратное ут-
верждение не всегда верно, так как квадратная матрица не обязательно
должна быть симметричной.
В качестве примера симметричной матрицы сошлемся на равенство
(1.2), в котором матрица коэффициентов А является симметричной.
В том, что Ат»А,можно убедиться путем простой проверки равенства
для 4/-1,...,4.
Еще одной матрицей особого вида является единичная матрица 1„.
Матрица 1„ — квадратная матрица порядка л, у которой диагональные
элементы равны единице, а все остальные элементны нулевые. Единич-
ная матрица третьего порядка приведена ниже
/ О О'
О 1 О
О 0 1
(1.7)
Очень часто порядок единичной матрицы опускается и индекс у мат-
рицы I не пишется. По аналогии с единичной матрицей в практике
вычислений используется понятие единичный вектор порядка п , кото-
рый обозначается в виде а{> где индекс I показывает, что этот вектор
является I -тым столбцом единичной матрицы.
10
шсм нам очень чэгто придется ьсгречаться с симметричными
у * nout'X В'- элементы, расположенные за
svtr '(сР"У рбьнымуию
ор «этпица является ленточной при условии
а., = 0 ДЛЯ ]>1+тл, 11-8)
' ширина ленты матрицы А.
В качестве примера приведем следующую матрицу:
3 2 1 0 О'
2 3 4 1 0
А = 1 4 5 6 1 (1.9)
0 1 б 7 ‘i
0 0 1 4 3_
jra матрица является симметричной ленточной матрицей пятого
1'г.дка с шириной полуленты тл , равной 2. Если ширина полуленты
авиа нулю, то все ненулевые элементы матрицы лежат на главной диа-
гонали, а сама матрица называется диагональной матрицей. Заметим,
jto единичная матрица является одновременно диагональной.
При решении задач на ЭВМ используются различные схемы распо-
ложения элементов матриц в оперативной памяти. Для программ, на-
писанных на языке FORTRAN, обычный путь представления элемен-
тов матрицы А порядка тх.п в памяти заключен в выделении части
этой памяти в массив ACMjN), где М® т и N = rz, и хранении каждого
элемента ау в ячейке памяти Однако во многих случаях такое
представление массивов в памяти приводит к хранению большого коли-
чества лишних нулевых элементов, которые могут не потребоваться
для вычислений. Кроме того, если матрица А является симметричной,
то необходимо использовать это свойство матрицы А и хранить в памя-
ти только ее верхнюю половину вместе с диагональными элементами.
Обычно для хранения элементов матриц выделяется ограниченная па-
мять и поэтому необходимо стремиться к эффективному использованию
отведенной памяти для хранения матриц максимально возможного раз-
мера. В тех случаях, когда матрица достаточно велика и не помещается
в отведенной части оперативной памяти, процесс решения задачи значи-
тельно усложняется и должен включать в себя операции обмена с внеш-
ней памятью.
Отметим, что в методе конечных элементов большая часть матриц
является ленточными и симметричными, что позволяет при эффектив-
ной схеме хранения расположить в оперативной памяти матрицы более
высокого порядка.
Обозначим A(l) — I -тый элемент одномерного массива в памяти.
Диагональная матрица порядка п может быть представлена в памяти
так, как показано на рис. 1.1:
A(I) = ati , l-z= л. (1.10)
Рассмотрим ленточную матрицу, приведенную на рис. 1.1. Заметим,
что все ее элементы, лежащие вне граничных линий, равны нулю. Позже
a)
a„
ам
азз
A(1) « a„ , A(z) = агг, /1(3) = a3J
.....A(N) = a„„
&nn
/1(1) = a„, А(2)=агг,
A(3) я tfjj, A(4) - <2gj,
A(5) = a)S, /1(6) = a44,
A(7) = a„, /1(6) = ass,
A (S) = aw> А(Ю) = а35,
A(ll) = A(l2) = au.
Рис. 1.1. Расположение элементов матрицы А в одномерном массиве
а — диагональная матрица; б — ленточная матрица, гпл* 3
(см. разд. 7.2.3) будет показано, что нулевые элементы, лежащие меж-
ду граничными линиями, могут преобразоваться в процессе обработки
в ненулевые. Так, например, aiS может быть нулевым элементом, ко-
торый в процессе решения системы уравнений будет преобразован к
ненулевому значению. Таким образом, для ленточных матриц необхо-
димо отводить память для всех элементов, лежащих между граничной
линией и диагональю, и нет необходимости в выделении памяти для
хранения нулевых элементов, лежащих за граничной линией. Схема рас-
положения коэффициентов системы уравнений, которая в дальнейшем
будет использована для решения задач методом конечных элементов,
приведена на рис. 1.1 и будет пояснена в разд. 6.2.3.
1.4. Равенство матриц, сложение и умножение на скаляр
Для того чтобы выполнить операции с матрицами необходимо опре-
делить ряд правил, руководствуясь которыми можно производить не-
посредственные вычисления. Некоторые из этих правил приводятся в
данном разделе.
Определение. Две матрицы А и В равны только в том случае,
когда они имеют одинаковое количество строк и столбцов, а соответст-
12
вующие элементы матриц равны друг другу для всех I и j).
Определение. Две матрицы А и В могут быть сложены только в
том случае, когда они имеют одинаковое количество строк и столбцов.
Сложение матриц выполняется путем сложения соответствующих эле-
ментов. Если через а.у и dty обозначены элементы матриц А и В, то
с. я а +Ь. является элементом матрицы результата С, гдеС«А*В. Очевид-
но что матрица С имеет равное количество строк и столбцов с матрица-
ми А и В.
Пример 1.1
Вычислить С-А+В ,где
2 1 /1.
0,5 3 0Г
Выполняя сложение соответствующих элементов матриц, будем иметь
'5 2 31
.2,5 7
Вычитание матриц производится аналогично.
Пример 1.2
Вычислить С=А-В для А и В из прим. 1.1. В этом случае
СхА-В -
О
г1,5 -1
-Г
Заметим, что разность равных матриц содержит только нулевые эле-
менты. Такая матрица обозначается символом 0 и называется нулевой
матрицей.
Определение. Умножение матрицы на скаляр осуществляется путем
умножения каждого элемента матрицы на скаляр. Равенство С" А А оз-
начает, что C(f = kaij .
Пример 1.3
Вычислить С=АА,где
А «
'2 1 Г
0,5 3 0.
к* 2.
В соответствии с определением будем иметь
С»АА =
'4 2 2
.1 ь о\'
1.5. Умножение матриц
Определение. Две матрицы А и В могут быть умножены друг на
Друга для получения произведения С* АВ только в том случае,когда
количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В.
Предположим, что А имеет порядок р*т, а В — порядокmxq.,тогда
каждый элемент матрицы С может быть вычислен по формуле
Cij-- XairbrJt (1.11)
13
а матрица С будет иметь порядок pxq,.
Анализируя формулу (1.11), можно заметить, что для вычисления
элемента С,у необходимо умножить элементы д-той строки матрицы
А на соответствующие элементы /-го столбца матрицы В и сложить
полученные произведения, а для вычислен»' > а..о, элементов ма,рицо> С
необходимо подобным образом умножить каждую строку матрицы
А на каждый столбец матрицы В.
Пример 1.4
Вычислить произведение матриц С*АВ, где
’5 3 1'
4 6 2-
\10 3 4J
г/ 51
Z 4
2 J
Получим элементы первого столбца матрицы С
(5)(1) + (3)(Z) + (1)(3) > 14
С» - (4)(D + (6)(2) < £)(3) = 2Z;
С31~ (10Х1) + (3)(2) + (4)(3) = 28.
Вычисляя аналогичным путем остальные элементы, будем иметь
С =
14 39
22 48
28 70
L.
Осуществляя практические вычисления, можно уменьшить суммар-
ное количество выполненных операций за счет учета нулевых элементов.
Пример 1.5
Вычислить произведение с» АЬ, где
'2-1 О О'
12-10
0-1 2-1
0 0-11
Учитывая структуру матрицы А, вычислим все элементы вектора с
следующим образом
с, = (2X4) + (-1XD = 7;
С2 = (2Х1) + (-1)(2) = -4;
с3 = (~1Х1) * (2)(2)+(~1)(3) = О;
Ь = (~1Х2) + (1)(3) =1.
Следовательно,
’ 7'
. 1.
14
Известно, что умножение обычных чисел является коммутативной
операцией, т.е. аЬ=Ьа Проверим справедливость этого свойства для опе-
рации умнож’ччия матриц. Рассмотрим матрицы
] ’ В = (1.12)
и вычислим произведения АВ и ВА
АВ» Р fl; ВА= [11].
fi о.
(1.13)
Анализируя полученные результаты, убеждаемся в том, что матрицы
АВ и ВА различны и, следовательно, операция умножения матриц не
является коммутативной. Действительно, в зависимости от порядка
исходных матриц А и В, порядок матриц результата АВ иВА может
быть различен, а для некоторых матриц А и В произведение АВ мо-
жет быть вычислено, в то время как произведения ВА не существует.
При определении порядка умножения матриц в произведении АВ го-
ворят, что матрица А справа умножается на матрицу В или, что то
же самое, матрица В слева умножается на матрицу А. Хотя в общем
случае АВ^ВА, для некоторых матриц А и В может случиться, что
АВ=ВА.
В этом случае говорят, что в произведении АВ матрицы А и В
коммутативны.
Хотя операция умножения матриц не обладает переместительными
свойствами, два других свойства, сочетательное и распределительное,
существуют. Распределительное свойство операции умножения по отно-
шению сложения заключено в том, что
Е»(А + В)С = АС + ВС . (1.14)
Другими словами, для получения матрицы Е можно сначала сло-
жить матрицы А и В , а затем умножить полученный результат на С,
но можно поступить и иначе: сначала умножить А на С , затем В на
С и сложить полученные результаты. Заметим, что первый путь более
экономичен, так как требует выполнения меньшего числа операций.
Распределительное свойство доказывается с помощью определения
(1.11). Действительно, вычисляя
eV , (1.15)
получим
е£- = X air с,- + Z Ь(„ с„;. (1.16)
Г.1 J 7
Сочетательное свойство операции умножения заключено в том, что
G = (АВ)С » А(ВС) « АВС , (1.17)
или, другими словами, что последовательность выполнения операций ум-
ножения безразлична. Доказательство этого свойства основывается на
определении (1.11) и вычислении произвольного элемента матрицы G,
15
Отметим, что при вычислении произведения нескольких матриц ра-
зумный выбор последовательности операций умножения может привес-
ти к уменьшению их количества.
Пример 1.6 *
Вычислить А*, где
Один путь получения А* основан на
степеней матрицы
последовательном вычислении
С другой стороны, можно использовать
А*- АаАа-
50 75\
75 125}
И’Избежать выполнения одного матричного умножения.
Пример 1.7
Вычислить произведение Лу,где
А-
у-
Г '
2
-1
Обычно, сначала вычисляется произведение х »= Av
а затем произведение утж
что дает окончательный результат
6
8
-1
= 23.
Рассмотрим более эффективный путь получения требуемого произ-
ведения. Во-первых, представим матрицу А в виде суммы трех матриц
А» U + D+UT, где
U-
Следовательно, имеем
D»
О О'
4 О
О Ь
2 4 2
1 2 6
VrA V «
[' 2 -']
0
•о 0 ;
2 О ’
3
О
О
16
vTAv = vr(U +D+ UT)vt
yTAv- V7V\/ ♦ vrD*+ v.rUrv.
Однако результат vTUv является числом и, следовательно,vrUrv = vrUv.
Отсюда следует, что
yrAv = 2vTVv +v’rDv.
Эффективность рассматриваемого приема основана на том, что U яв-
ляется нижней треугольной, a D — диагональной матрицами.
Обозначим x = Uv,тогда
х, я
*л~т*2-,
Следовательно.
X =
’0'
2 .
Далее получаем
' у rU v ж vrx - (2)(2) + (~1)(5) » - /;
vrDy « ШЗ) ^(2Ш)^(-1)(-1)(6) = 25 .
В соответствии с выражением (а) имеем
vrAv - =23.
Заметим, что в матричных равенствах сокращение одинаково обоз-
наченных матриц не
не следует, что А* С.
2
.4
всегда возможно. В частности, из равенства АВ=СВ
В этом легко убедиться на простом примере
01 Г Г
2J UJ ’
Л ГН р
0J L2J " L0
(1.18)
но
~2
4
7
0
f
0
0
2
(1.19)
Кроме того, из условия АВ*0 не следует равенство нулю А или В,
что подтверждается следующим примером:
(1.20)
А =
7 0
\2 0.
Необходимо привести ряд специальных формул, в которых исполь-
зуются транспонированные матрицы. Транспонирование произведения
матриц А и В равно произведению транспонированных сомножите-
лей в обратном порядке
(АВ)Г= ВГАГ. (1.21)
лен^^ТгО1130780 справедливости Равенства 11-2^ иг пользует опреде-
- 522
17
Рассматривая произведение АВ следует заметить, что матрица А мо-
жет быть симметричной, а произведение АВ в общем случае, несиммет-
рично. Однако если А симметрична, то матрица ВГАВ тоже симмет-
рична. Доказательство основано на зависимости (1.21) :
(ВГАВ)Г = (АВ)т(ВТ= (1.22)
= ВГАГВ , (1.23)
но, поскольку А7* А, имеем
(ВГАЬ)Т = ВГАВ (1.24)
и, следовательно, матрица В’АВ является симметричной.
1.6. Обратная матрица
Определение. Матрица, обратная матрице А , обозначается в виде А*1.
Если обратная матрица существует, то ее элементы таковы, что выпол-
няются равенства АИА= 1 и АА”=1. В этом случае говорят, что матрица
А неособенная. В противном случае она является особенной (сингу-
лярной).
Как отмечено выше, матрица л может не существовать. Приме-
ром тому может служить нулевая матрица. Предположим, что матрица А"1
существует. Покажем ее единственность. Предположим, что мы нашли
две обратных матрицы А"/ и A“J, удовлетворяющих равенствам А^А®!
и AA/'I.B этом случае имеем
а7(АА"^) - (а7а)а7> А~л (1.25)
и, следовательно, а7 ж А^ .
Пример 1.8
П роверим равенства А А •= I и Аа=1 для следующей матрицы А
А =
2 -Г
~f 3.
J
Выполняя вычисления
ЛА’1- р ’Л
Н 3j i
5 = г оI.
[о i\ ’
-л = Г/ °'
3j [0 /J’
убеждаемся в справедливости проверяемых равенств.
Рассмотрим вычисление обратной матрицы для произведения АВ
Пусть ®=(АВ),где А и Ь являются квадратными матрицами. Тогда
GAB = I (1.26)
и, выполняя последовательные умножения равенства (1.26) справа
на В и А , подучим к
18
GA = в’,
G = В'4 A 1
и, следовательно,
(AB)"4- В~ЧЛ
(1.27)
(1.28)
(1.29)
Можно заметить, что при транспонировании произведения матриц АВ
также встречалась аналогичная перестановка сомножителей.
Пример 1.9
Для матриц А и В, приведенных ниже, проверить равенство (АВ; =
= в'Ч'4
А =
-Л .
Зр
В= 3
о
4
L0
Матрица А'< приведена в прим. 1.8, а В-< вычисляется просто
В »
о
J.
е.
Для проверки необходимо вычислить С = АВ
~2 -Л ГЗ 01 в Гб -4
3j [о 4J ~ L--3
Предположим, что С^В-*А1. Тогда
С = 1 0 Г*
р t. U fJ ±
Вычислим С-1 С
СС= Г* &1 Гб -41 г
[/о £ J Н Щ 1
Отсюда следует, что (АВ)'4- В’Ч'\
В прим. 1.8 и 1.9 только приводились элементы матриц А’ иВ . Од-
нако для вычисления элементов обратных матриц необходим общий
алгоритм. Одним из путей получения матрицы является решение сис-
темы уравнений
АХ = I , (1.30)
где I — единичная матрица. Тогда Х=А~! Для решения системы уравне-
нии (1.30) можно использовать алгоритм, приведенный в разд. 7.2.
Покажем также, что обратная матрица может быть использована
при решении системы уравнений
Ау = с .
(1.31)
19
Умножая равенство (1.31) слева на A”J будем иметь
.-1
у » А с .
(1.32)
Однако получение ображой матрицы является трудоемкой операцией,
и для решения системы (1.31) более эффективен метод Гаусса (см.
гл. 7). Хотя мы можем символически записать, что у=Амс в действи-
тельности для вычисления неизвестных используется метод Гаусса.
1.7. Блочные матрицы
Для упрощения операций с матрицами и использования матриц осо-
бого вида полезно разделить матрицу на подматрицы или блоки. Разде-
ление матрицы на блоки показано на конкретном примере, в котором
пунктирные линии являются границами блоков:
Га„ 1 а,г а<3 а„ 1 aiS ate 1
А = ап j агг агз аи | аг5 агв
1 азз ^з* 1 ^зг азб (1.33)
В блочной форме эта матрица имеет вид
д ш ГА /у А« А/з
|_АЛ Ааг Агз_
где
а _ М- Л = Га« 1
и т.д.
(1.34)
(1.35)
Правую часть равенства (1.34)
можно снова разделить на блоки
А« j А«
_АЛ } А
Агз
(1.36)
и в этом случае
Ан] .
1а«Г
Ауг А/э
Аг2 Агз_
(1.37)
А г «
Использование блочных матриц может оказаться эффективным
при применении ЭВМ. С одной стороны, если блоки одинаковы, можно
хранить в памяти ЭВМ только один блок, с другой стороны, если опе-
рации одинаковы, то можно выполнить их один раз, а результат исполь-
зовать многократно.
Правила выполнения операций с блочными матрицами аналогичны
обычным матричным операциям. Необходимо помнить, что разделение
матриц на блоки является только средством для упрощения операций
с матрицами и поэтому не должно изменять конечный результат.
Пример 1.10
Вычислить произведение матриц С3АВ из примера 1.4, используя
следующее разделение:
‘ 5 3 I f
К- _4_бг2_ ;
10 4*.
5
2-Л.
3 2
20
или
Aw А« .
А2у Агг_ ’
В=
В,
где
АууВу “
АВ =
Aw В/ * АЛ Bje
Аг/Ву * АггВ2 _ ’
(а)
~5 ЗПГ/ 5
i 6JL2 <
= \11 371 •
L/6 4<| ’
3 21 .
6 4J ’
. ЮДи
А„в, - \10 3] [' - [« иг] ;
АгА-ИО 4 - [« <]•
Подстановка полученного результата в выражение (а) дает
АВ»
Пример 1.11
Используя блочную форму, вычислить
С = АЬ.где
> 3 [/ 2'
A ALLA- .
1 2iS 6 }
2 1\ 6 12
Г?
Вычислим необходимые произведения
А =
2
1
1
W, =
> з1 Г'!-Г7*.
? dLulAT
Очевидно,
r2wy +w2 _
L2w, ’
17
21
20 •
2Н
18. След и определитель матрицы
Вычисление следа и определителя возможно только для квадратных
матриц. Обе эти величины являются числами, которые определяются
элементами матриц и в этом смысле являются их функциями.
21
Определение. След матрицы А равен сумме ее диагональных элемен-
тов
tr(A) = fa„ ,
где п — порядок матрицы А .
Пример 1.12
Вычислить след матрицы А,приведенной в прим. 1.11.
По определению
tr(A) - 4+6+3*/2- 30.
Определитель матрицы А вычисляется через определители матриц
меньших порядков, являющихся частями матрицы А • Определитель
матрицы первого порядка равен самому элементу. Если А*[а*],то d.etA-0^.
Определение. Определитель матрицы А порядка п * п обозначается
det А и может быть вычислен по формуле
det А - Х(-1) aij det А 0 , (1.38)
где L — номер любой строки матрицы А, а А// является матрицей
порядка (л-/)Х (л-/), подученной из А путем исключения 4-той стро-
ки и' J -го столбца.
Пример 1.13
Вычислить определитель матрицы А :
А- р-
Используя формулу (1.38) для /‘«=1, получим:
det А « (-1)га„ det А« + (-1)sa„ det А«.
Так как
det А„ - au ; det АЛ • аг<,
то
det А = cLff .
Это выражение является общей формулой для вычисления определи-
теля матрицы второго порядка.
В прим. 1.14 показывается, что определитель может быть вычислен
путем его раскрытия по любой строке или столбцу, т.е. путем исполь-
зования выражения (1.38) для любого фиксированного значения I
(или J) , в то время, как другой индекс J (или z) пробегает
значения от 1 до п.
Пример 1.14
Вычислить определитель матрицы А
Ав
О
1
г
1
3
1
Раскрывая определитель по первой строке, получим
22
det Adet ^(-//(^det^ Q+Hfto) det 1Q Д.
Используя формулу для вычисления определителя второго порядка,
о у дем иметь
det А = Г2)М2) - ~{(1)(2) - (0)(1)} + 0 = 8.
Проверим полученный результат путем раскрытия определителя по
в юрой строке-
detA = 6-^det[; fp-tf^det^
Раскрывая определители второго порядка по формуле из прим. 1.13,
получим
det А = -{(1)(2)-(0)(1)} +(3){(2X2)-(O)(O)J-{(2)(1) -(1)(0)} = 8.
Раскроем определитель по третьему столбцу
*]*(Wjdet
det A » (-/}*(# det
« fk^fcjdetP 1
|_0 7J \1 3.
Произведя вычисления определителей второго порядка, убедимся в том,
что и в этом случае det А = 8.
Многие вопросы численных методов связаны с использованием теории
определителей. В частности, решение системы уравнений может быть
получено путем вычисления ряда определителей. Однако, с современной
точки зрения, большинство результатов, полученных с помощью теории
определителей, может быть получено значительно эффективней с исполь-
зованием теории матриц. Например, решение систем уравнений с исполь-
зованием определителей крайне неэкономично. В дальнейшем будет по-
казано, что основное значение определителей заключено в удобном и
кратком обозначении, которое можно использовать при обсуждении
определенных вопросов, таких, как существование обратной матрицы.
Для практики вычислений определителей может оказаться полезным
разложение матрицы на множители с использованием следующего ра-
венства
det (ВС... F) « (det В) (det С). . (det F), (1.39)
которое утверждает, что определитель произведения матриц равен про-
изведению определителей матриц, входящих в матричное произведение.
Доказательство этого равенства достаточно громоздко и трудоемко
(оно может быть выполнено с помощью выражения (1.38) ]и поэтому
не приводится.
Равенство (1.39) будет широко использоваться в проблеме собст-
венных значений, где матрица А представляется в виде произведения
трех матриц A=LDLr, в котором L является нижней треугольной
матрицей с detL=1,a D — диагональная матрица. В этом случае
23
det A * det L det D det C.
Так как detL“1s то
det A = П du .
м
(1.40)
(1.41)
Пример 1.15
Используя разложение A=LDLr, вычислить определитель матрицы A
из прим. 1.14.
Алгоритм получения матриц L и D рассматривается в оазд. 7.2:
Используя формулу (1.41), получим
det А= (2) (£)($) = 8,
что совпадает с результатом примера 1.14.
Напомним, что определитель и след матрицы являются функциями
ее элементов, и след не зависит от внедиагональных элементов, в то
время как определитель является функцией всех элементов матрицы.
Можно считать, что если определитель и след являются большими
величинами, то и сами элементы матриц велики. Однако обратное ут-
верждение не всегда справедливо.
Пример 1.36
Вычислить след и определитель матрицы А , где
/00001
2 J
В этом случае tr(A)-3и det А “ (1)(2) ~(j0~*)(/0000) »/.
Таким образом, след и определитель существенно меньше элемента а1г.
Список Литературы
1. С. Е. FadBERG, Introduction to Numerical Analysts, Addison-Wesley Publishing
Company, Inc., Reading, Mass., 1969.
2. B. NoatE, Applied Linear Algebra, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N J
1969.
3. R. ZuWTVRL, Matrizen, Springer-Verlag, Berlin, 1964.
24
ГЛАВА ?
..угоним И ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
z ; нь дрние
р гп 1 матрицы рассматривались как упорядоченные массивы чисел,
подчиняющиеся определенным правилам сложения, умножения и т.д.
Однако до сих пор не обсуждался вопрос, каким образом получаются
элементы матриц в реальных задачах и при каких условиях применимы
правила матричной алгебры. Другими словами, глубоко не рассматривал-
ся вопрос о том, что же собой представляют матрицы на самом деле.
Ответ на этот вопрос весьма важен для понимания существа рассматри-
ваемых численных методов.
Целью данной главы является рассмотрение основных понятий линей-
ной алгебры, используемых в методе конечных элементов [1— 7]. Хо-
чется надеяться, что помимо расширения знаний о матрицах и линейной
алгебре читатели избавятся от представления о матрицах как о "наборе
чисел".
2.2. Векторные пространства, подпространства
и представление матриц
В гл. 1 вектор порядка п определен как массив из п чисел, записан-
ных в матричной форме. Дадим геометрическую интерпретацию элемен-
тов вектора. Рассмотрим вектор третьего порядка
х =
'х/
х2
-хз.
‘2’
3
(2.1)
Из элементарной геометрии известно, что X представляется геомет-
рическим вектором в выбранной системе координат трехмерного прост-
ранства. На рис. 2.1 показаны координатные оси и вектор, соответствую-
щий (2.1) в этой системе. Необходимо отметить, что геометрическое
представление X полностью зависит от выбранной системы координат.
Иными словами, если в (2.1) даны компоненты вектора в какой-либо
другой системе координат, то геометрическое представление х будет
Рис. 2.1. Геометрическое представление
вектора X
25
отличаться от приведенного на рис. 2.1. Следовательно, сами по себе
координаты (или компоненты вектора) не определяют действительной
геометрической величины и должны рассматриваться совместно с систе-
мой координат, в которой они измеряются.
Понятия трехмерной геометрии применяются к векторам любого
конечного порядка п. При /7 >3 не существует геометрического пред-
ставления вектора, однако будет показано, что все математические по-
нятия, относящиеся к векторам, не зависят от/г. Как и в случае /т= 3
вектор порядка п представляет собой величину в некоторой системе
координат п -мерного пространства. Основные понятия, необходимые
в дальнейшем, приводятся в следующих определениях и примерах.
Определение. Совокупность векторов х„Ха, ...,Х4 называется линей-
но-зависимой, если существуют числа аоаг,...,а^,не все равные нулю,
такие, что
Ofy Ху *а4 х, + . • - * ocs Xj » О.
(2.2)
Если это условие не выполняется, то совокупность векторов назы-
вается линейно-независимой.
Поясним смысл этого определения на примерах.
Пример 2.1
Пусть п=3 и требуется определить, являются ли векторы ,
[ = 1,2,3, линейно-зависимыми.
В соответствии с определением линейной зависимости проверим,
существуют ли константы ос,, и схэ , не все равные нулю, удовлет-
воряющие равенству
го]
о
о.
(а)
Выражение (а) можно представить в виде равенства
<ха
«э
константы удовлетворяются только при at=O, 1=1,2,3. Следовательно,
векторы ег линейно-независимы.
Пример 2.2
Исследовать на линейную зависимость следующие векторы четверто-
26
и запишем каждое равенство в отдельности
О£< - ос2 = О',
о, - 0,5а.ъ = О;
аг - 0,5о3 = О;
0,5 ал — 0,25о3 -О.
Эти равенства удовлетворяются при ос,= 4°(г= Ас*э = 2, и, следовательно,
векторы линейно-зависимы.
Б рассмотренных примерах решение для а.,, ог и <х3 может быть
получено подбором. Позже будет разработан общий алгоритм проверки
совокупности векторов на линейную зависимость.
Другой и более привлекательный путь решения рассматриваемой
задачи заключен в несколько иной трактовке определения (2.2). Го-
ворят, что векторы линейно-зависимы в том случае, когда какой-либо
из векторов может быть выражен через другие. Так, если не все коэф-
фициенты а£ в (2.2) равны нулю (пусть а,=£-0), то
X; = I %**. <2-3)
' kwl J
kii
Предположим, что заданы g линейно-зависимых векторов порядка п,
пъ-фм рассматриваются любые fa—/) векторов из них, которые все
еще могут оставаться линейно-зависимыми. Однако, продолжая сокра-
щать количество рассматриваемых векторов, мы найдем р линейно-
независимых векторов Qp^q), Оставшиеся (q—p) векторов могут
быть выражены через р векторов. Таким образом, приходим к следую-
щему определению.
Определение. Предположим, что имеется р линейно-независимых
векторов порядка п, где пъ-р. Эти р векторов образуют базис р-мер-
ного векторного пространства.
Говоря, что векторное пространство имеет размерность р , так как
любой вектор в этом пространстве может быть получен как линейная
комбинация р базисных векторов, необходимо отметить, что базисные
векторы не являются единственными для конкретного рассматриваемо-
го пространства; их любая линейная комбинация дает другой базис для
этого же пространства. В частном случае, когда р = п, базисом рассмат-
риваемого пространства будут векторы ez, L=-1,...,n (он называется
естественным базисом), откуда следует, что р не может быть больше,
чем п.
Определение. Представлением р -мерного векторного пространст-
ва называются q векторов, из которых р являются линейно-незави-
симыми.
Понятно, что все наиболее важные свойства связаны с базисными век-
торами, так как они являются наименьшим количеством векторов,
определяющих рассматриваемое пространство.
Пример 2.3
Установим базис для пространства, представленного тремя вектора-
ми из прим. 2.2. В этом случае д«5 и п-^. Проверкой можно уста-
новить, что два вектора х, и х2 линейно-независимы. Следователь-
но. X,, хг могут быть выбраны в качестве базисных векторов дву-
21
--л ппо'тпжт-о-11 предСттпЛенного векторами Х<? Х2 и х3. Ис-
ояыуя результат ы прим. 2.2, находим, что х3 = -/хл-£х,.
Предположим, что имеется ^-мерное векторное пространство^,
иЛЯ .> Гм «ИНЫМИ ннк 1н|)ИМИ ЯВЛЯЮТСЯ Ху , Х£ , . . . , Хр (Р > 1) .
Рессмот «/ все возможные векторы, которые могут быть получены
из и В этом случае сами векторы xi и жг образуют базис дву
мерного пространства Е3 . Заметим, что для p-мерного пространства
при р- i joa пространства Ег и Ер совпадают. В этом смысле прост-
ранство называется подпространством пространства ЕР.
^ела-’че Подпространством векторного пространства называет-
с торное пространство, любой вектор которого одновременно
является вектором исходного пространства. Если векторы х^^,..,хл
составляют базис исходного пространства, то любой набор этих векторов
образует базис подпространства, размерность которого равна количест-
ву выбранных базисных векторов.
Пример 2.4
Заданы три линейно независимых вектора ху , Х2 и х3 образую-
щих базис трехмерного векторного пространства Е3 :
Так как двумерные подпространства могут быть образованы любой
парой векторов из (а), то Ху и Хг являются базисом одного двумер-
ного подпространства, хг и ж3 представляют собой базис другого дву-
мерного подпространства и т.д. В действительности, любые два линейно-
независимых вектора из £3 образуют базис двумерного подпространства,
и, следовательно, в Е3 существует бесчисленное множество двумерных
подпространств.
Познакомившись с понятием векторного пространства, нетрудно уви-
деть, что столбцы любой прямоугольной матрицы Д представляют
собой векторное пространство. I Назовем его пространством столбцов
матрицы А . Строки матрицы также определяют собой векторное прост-
ранство, которое будем называть пространством строк матрицы А. На-
оборот, можно объединить любые q векторов порядка п в матрицу
порядка п Количество использованных линейно-независимых векто-
ров равно размерности пространства столбцов. Например, три вектора
из примера 2,4 образуют матрицу
1
2.
1
О
А ~
1 О
О -1
О О
О 1
(2.4)
Предположим, что матрица А задана и необходимо определить раз-
мерность пространг । ва столбцов. Другими словами, мы хотим опреде-
лить количество о независимых столбцов в матрице А. Это ко-
личество не изменяется при их любой тинейной комбинации. Следова-
тельно, для определения размерности пространства столбцов можно
попытаться преобразовать матрицу, комбинируя ее столбцы, до получе
28
. ip единичных векторов ez . 1ак как е .< иные векторы е, линейно
м.миисимы, то размерность пространс . „лбцов будет равна коли-
честву полученных единичных векир* инеобходимо отметить,
„ действительности можно не под 'не единичны» векторы е, (см
пример 2 5), но процесс преобразования матрицы А всегда приводит
к форме, позволяющей определить размерность пространства столбцов
Пример 2.5
Определить размерность пространства столбцов матрицы A s образо-
ванной из векторов Ху, х2 и Х3 (прим. 2.4 ) .
Рассматриваемая матрица имеет вид
7 1 о
2 0-1
10 0
О 0 1
Перестановка второго и третьего столбцов на 1/>есто первого и вто-
рого соответственно дает
1
О
О
О
О 1
-1 2
О 1
1 О
Вычитая первый столбец из третьего, добавляя дважды второй стол-
бец к третьему и умножая второй столбец на (—1), получим
7
о
О
Д2=
д
о О'
1 о
о 1 •
-1 г
В результате преобразования матрицы получена форма, из которой
очевидно, что все три столбца линейно-независимы, так как первые
три элемента каждого из столбцов являются элементами единичной
матрицы. Поскольку матрица Д2 была получена в результате переста-
новок и линейных комбинаций, что не изменяет размерность пространст-
ва, то размерность пространства столбцов матрицы Аг равна 3
В рассмотренном выше примере линейные комбинации выполнялись
над столбцами матрицы Д . С другой стороны, для выяснения размер-
ности пространства,представленного совокупностью векторов иг, хя
можно воспользоваться определением линейной независимости векторов
в форме (2.2) и рассмотреть систему однородных уравнений
a, xi +<хг ж2+... + ~ О,
(2.5)
которая в матричной форме имеет вид
Да = О,
(2.6)
29
। де сс — вектор с элементами oty,...2o^f а столбцы матрицы А являются
векторами х2,..х? Так как значения неизвестных ехе ..,<*? не из-
меняются в результате линейных комбинаций строк матрицы А , то
можно попытаться преобразовать эту матрицу к виду, в котором столб-
цы будут являться единичными векторами. Количество единичных век-
торов преобразованной матрицы равно размерности пространства столб-
цов и, как следует из предыдущих рассуждений, также равно размерно-
сти пространства строк. Отсюда следует, что размерности пространства
строк и пространства столбцов равны. Другими словами, количество
линейно-независимых столбцов в матрице А равно количеству линей-
но-независимых строк. Полученный результат обобщается в понятии
ранга матриц.
Определение. Ранг матрицы А равен размерности пространства
столбцов или строк матрицы А -
Пример 2.6
Даны три вектора
Использовать эти векторы в качестве столбцов матрицы А и оп-
ределить ее ранг.
Имеем матрицу
’/ 3 2
3 -1 <
Вычитая первую строку матрицы, умноженную на соответствующие
числа, из остальных строк, получим единичный вектор на месте
первого столбца
У
О
О
3
-5
-5
-10
-10
2
-1
-1
-1
-2
-2
Разделив вторую строку в матрице A, t ' ~
остальных строк произведение этой строки на соответствующие числа
получим единичный вектор е, на месте второго столбца
на (-5) и вычитая затем из
30
' 0 I
О 1 $
ООО
о о о •
ООО
о о О,
Анализируя полученный результат, сделаем следующие эквивалент-
ные выводы.
1. Решением уравнений Аа=0 являются
«< = -•?«, ; а.^-^г<ха.
2. Векторы ху, хл и Хл линейно-зависимы. Они образуют двумерное
векторное пространство. Векторы х, и ж2 линейно-независимы и об-
разуют базис двумерного пространства, в котором расположены векто-
ры Ху, хг и ж3.
3. Ранг матрицы А равен 2.
4. Размерность пространства столбцов матрицы А равна 2-
5. Размерность пространства строк матрицы А равна 2.
2.3. Матричная форма линейного преобразования
В инженерных расчетах часто приходится устанавливать зависимость
между различными величинами, например, между напряжениями и де-
формациями, деформациями и перемещениями, силами и перемещения-
ми и т.д. Эти зависимости могут рассматриваться как преобразования
одного множества значений в другое.
Не вдаваясь в специфику отдельных преобразований, введем симво-
лические обозначения. Пусть X — элемент множества X, а у — эле-
мент множества У- Тогда преобразование х в у символически за-
писывается в виде
у = &х, (2.7)
где &. — оператор преобразования. Если каждому элементу у соот-
ветствует единственный элемент х и наоборот, то говорят, что опера-
тор несингулярный, в противном случае оператор сингулярный. Преоб-
разование линейно, если справедливы равенства
О. (сх) - с &Х ; 8j
a(xt+хг) = ax# + etx2.
В дальнейшем будут рассматриваться только линейные преобразо-
вания.
Пример 2.7
Рассмотрим оператор d = z^f+3p', где ^-представляет собой все поли-
номы от z степени sg 3. Вычислить у=й!г,где x^Sz+W и выяснить,
является ли оператор линейным и сингулярным.
Воздействуя оператором <Л на х, получаем
x'=3+J2z*; x*=24z.
31
Следователы-о- у» <?-<• <24 z3.
Оператор (Я "чн»’1* тгь/ гак справедливы равенства (2.8), посколь-
ку дифференциоование является линейной операцией, а именно: если
р~сх,тс р^ (схУ^с(%\ м а .4 p^Xt + Xz ,то р'- x'j + Xz.
Для выяснения сингулярности рассматриваемого оператора пред-
положим, что x = z В «том случае у*ах = т? г"+ 3z'= г*0+3-1=3.
Теперь допустим, что у - 3. Выясним, существует ли единственный
элемент х, соответствующий заданному значению у . В данном
случае такого элементе не существует, поскольку при x=z>x*z*3,x=z+tf)
и т.д. значение у = 3 . Следовательно, оператор Л—сингулярный.
Конкретный элемент у , соответствующий заданному элементу X,
всегда можно вычислить, используя явное определение CL, как это
было сделано в прим. 2 7, однако для выполнения подобных операций
на ЭВМ необходим более строгий алгоритм, который можно получить,
используя матричное представление оператора &.
Первый шаг в этом направлении заключен в выборе двух систем
базисных векторов соответственно для элементов множеств X и У.
Пусть — базис X, — базис У. В этом случае элементы х
или у множеств X или У можно представить в виде
(2.9)
? = (2.10)
где хо..., хЛ — координаты х, а координаты у.
Запись линейного преобразования y-Clx в матричной форме имеет
вид
У---Ах, (2.11)
где А — квадратная матрица порядка п, а у и х — векторы
(2.12)
Элемент ау матрицы А представляет собой величину полу-
ченную в соответствии с (2.7), путем воздействия оператора на базис-
ный вектор Vj. Следовательно, для вычисления элементов /-го столб-
ца матрицы А необходимо получить результаты преобразований
и выразить их через базисные векторы W/. Полученные коэффициенты
при и являются элементами /-го столбца матрицы А.
Эффективность представления й в матричной форме состоит в том,
что преобразование у= йх-может проводиться по формуле (2.11). про-
граммирование которой не вызывает затруднений.
Необходимо заметить, что правила матричной алгебры, определен-
ные в предыдущих разделах, могут быть получены с использованием
матриц как операторов линейных преобразований.
Рассмотрим в качестве примера произведение двух линейных преоб-
разований Й и 8, где
У = йх ;
х - 8у.
(2.13)
(2.14)
32
Из (2.13) и (2.14) следует, что
Z«<?x, (2.15)
где С-ва. (2.16)
Матричные представления (2.13) и (2.14) соответственно имеют
вид:
У = Ах; (2.17)
2 = Ву. (2.18)
Из определения элементов матриц А и В следует, что
Z = Cx, (2.19)
где
CtJ-%biKak} . (2.20)
Заметим, что полученное выражение (2.20) совпадает с формулой
для вычисления элементов матричного произведения, приведенной
в разд. 1.5. Определения операций сложения, вычитания и обращения
матриц также могут быть получены при рассмотрении матриц как опе-
раторов линейных преобразований.
Пример 2.8
Представить линейное преобразование, рассмотренное в прим. 2.7,
в матричной форме и выполнить преобразование для которого у
и х заданы в прим. 2J.
Выберем два базиса
(1) ‘V1“1,‘Vt = Z,‘Vll~Z2,V.t*Z!>-, для /= /,...,4;
(2) Va»Z*} И/^Ц АЛЯ
В прим. 2.7 был задан оператор гТ-г^/г^гле р представляет собой
все полиномы от z степени 43. Для вычисления элементов У-го столб-
ца матричного представления А оператора (2 найдем результаты преоб-
разований GlVj и выразим их через базисные векторы V//.
Для базиса (1) получим
av< = 0 ;
вСЦ = 3 =3щ ;
avs « Bz+Zz2** Ьщ+гщ-,
&Vt = 9zz-»-6zi= 9v/j +6Щ
Следовательно, матричное представление преобразования Ct в
выбранном базисе имеет вид
"0 3 0 О'
0 0 0 6.
,, Для преобразования элемента дг-Зг*^.?* найдем его координаты в
выбранном базисе:
3 - 522
33
х«
о
3
о
4
Затем, используя соотношение у«Ах, получим
У"
О
36
LfrJ
откуда у- как и в прим.2.7. Для второго базиса аналогичным
путем можно получить
А-
0 -3
О О
О О
О О
19
-3
3
3
6.
Координатный вектор элемента
X* 3z+9z3 в новом базисе имеет
вид
3
-3
О
4
Координатный вектор для у получим по формуле у=»АЯ :
Для проверки найдем
У через у :
У = (-3X1) +(12)(1-2)+(12)(г+Зг*) +&9)(г‘).
Как и раньше,
у- 9 + 36z*+29za.
2.4. Изменение базиса
Предположим, что преобразование задано матрицей А в каком-ли-
бо базисе, и требуется найти матрицу Д , представляющую то же самое
преобразование в другом базисе. Можно вычислить элементы матрицы А
соответствующие оператору &. в новом базисе, как это было сделано
в прим. 2.8. Однако более эффективным оказывается другой путь,
позволяющий получить А из А , используя связь между новым и ста-
рым базисом. В этом случае можно сменить базис, не возвращаясь к
оператору & , и найти новый базис, в котором преобразование будет
осуществляться наиболее эффективно с точки зрения выполнения вы-
числений. Поскольку матрица А связывает у и X соотношением
У-Ах, (2.21)
34
т0 линейное преобразование будет эффективным, если А имеет диаго-
нальный вид. К счастью, в методе конечных элементов почти всегда
существует базис, в котором матрица системы диагональна. Однако
в большинстве практических случаев этот базис заранее неизвестен.
Следовательно, необходимо сначала представить преобразование в ка-
ком-либо подходящем базисе, а затем преобразовать матрицу в диаго-
нальную форму. Это преобразование, как будет показано, требует реше-
ния проблемы собственных значений.
Предположим, что А — матричное представление оператора Я в
базисе > и пусть матрица А вычислена с использованием одного
и того же базиса для X и у , т.е. Щ = Пусть - новые базисные
векторы. _
Первый шаг определения элементов матрицы А , связывающей X
и у , заключен в выражении всех новых базисных векторов через
старые базисные векторы следующим образом:
= Z plkVk ; (2.22)
Используя это соотношение, имеем
х-т*; у-ту. (2.23|
где Р - матрица размером п X П . Подставляя выражения (2.23) В
(2.21), получим
Ру = АРх.
(2.24)
(2.25)
(2.26)
Отсюда:
у= Р"'АРХ;
А - Р'АР.
(2.26) предполагается, что матрица Р существует. Это
соответствующем выборе базиса для которого все
В равенстве
возможно при
должны быть линейно-независимы. ’ ’ г
Заметим, что матрица А может быть получена путем использования
равенства Х=РХ и у-Qy,где элементы матрицы Q определяются из
соотношений, выражающих базисные векторы « через базисные век-
торы :
(2.28)
(2.29)
(227)
где являются элементами матрицы Я - Подставляя х в (2.21) и вы
числяя у получим:
у-QAPx;
А = QAP.
Учитывая единственность оператора А, имеем
Q= Р’<
и, по существу, в (2.27) вычисляется обратная матрица Р-<.
Пример 2.9
Рассмотрим преобразование из прим. 2.8. Для базиса
было получено
(2.30)
35
'О
О
О
О
А =
3 0 0'
0 6 0
0 2 9
О 0 6_
Преобразуем А,сменив базис на =
Соотношение (2.22) для каждого базисного вектора дает:
Следовательно,
Р=
1
О
О
О
1
-1
о
о
О 01
1 о
3 о
о 1.
Аналогично, используя соотношение (2.27), получим:
Vg = -f ytjj + f К, ;
7 1 -j 01
Легко проверить, чтоЯМ. Для получения А вычислим (2.29):
-3 19
О 0 -16
0 0 2
ООО
-31
3
3
6
Это та же матрица, что и в прим. 2.8.
2.5. Матричное представление вариационного
уравнения Лагранжа
Метод конечных элементов основан на матричном представлении
вариационного подхода к решению различных задач. Рассмотрим вариа-
ционную трактовку широко распространенного метода расчета конст-
рукций — метода перемещений. Для этого мет ода вариационное уравне-
ние, описывающее поведение конструкций, является вариационным
уравнением Лагранжа
J* (t5u)T(Su)d£-j^vT'ld>z = О, (2 31)
где и — компоненты перемещений, 4 и О — операторы дифференци-
рования: Ч — функция нагрузки; д' — символ вариации; / и £ —пе-
ременные интегрирования.
36
Уравнение (2.31) с использованием матричной символики приводится
где А - квадратная симметричная матрица, г - вектор нагрузки:
(2.33)
а X — вектор неизвестных коэффициентов (2.12) разложения перемеще-
ния U по выбранным базисным функциям U1f иг,...,ип:
и »x<a<+-+XnUit-
(2.34)
Элемент а.ц матрицы А получается подстановкой в (2.31) У-той и
4-той базисных функций соответстренно для U и fa
с последующим интегрированием. Аналогично вычисляется элемент ч
вектора г . Заметим, что матрица А получается симметричной, по-
скольку для перемещений и и их вариаций ои использованы одни и те
же базисные функции. Рассмотрим небольшой пример, демонстрирую-
щий основные моменты процесса решения задачи.
Пример 2.10
Вариационное уравнение для стержневого элемента, показанного на
рис. 2.2, имеет вид
fju'(x) ЕА(х) и'(х) dx- j* р(х) 8и(х) dV = 0,
(а)
где и(х) — продольное перемещение; ЕА(Х)— жесткость стержня; р(х) —
внешняя объемная нагрузка; L и V — соответственно длина и объем
стержня. Возьмем в качестве базиса функции х и и пусть firA^I+x/L).
Построим матрицу преобразования А для уравнения (а).
В выбранном базисе функция перемещений имеет вид
и OtfX * <хех*,
где и ое2 — неизвестные координаты.
Следовательно,
U' = а, + 2агх
и
+2х 8аг) ЕА (<х, f-2xai)dx -J^p(3d^x+ffotg x*)dV~O. (б)
Для вычисления элементов матрицы А рассмотрим первый интеграл
и примем Лх;»/, cxj - 1 , причем все остальные координатные перемен-
ные полагаются равными нулю. В этом случае
рис. 2.2. Простой стержневой элемент
x.Z/fx)
37
Учитывая, что ЕЛ Eke(l+x/L)> получим
А « £Дв
fZ2l
fz2 iz'J
Для вычисления I-го элемента г используем второй интеграл из (б)
полагая = /:
G - / (р) (A)xdx ;
£(Р)(А)(*‘) 4*,
где А — площадь поперечного сечения стеожня.
Подставляя Aдля случая р= const получим
»
таким образом, в выбранном базисе вариационное уравнение (а) имеет
следующий матричный аналог:
i L fZ.'] Г*.] ffl’l р
.Ilf fl’JW Li4«js-
Решая эту систему уравнений, получим
• -» ТС/э »
«и-Н- 78 ££
«J *Zd- Е '
Следовательно,
105 £L
78 Е
37 £»г
52 Е
и =
Вернемся к вопросу об изменении базиса в случае вариационной за-
дачи. В соответствии с разд. 2.4 представим и в новом базисе
и = к, й< +... * х„ й„ ,
(2.35)
где U( — i-тая новая базисная функция и Я,-— соответствующая коор-
дината.
В этом случае старые и новые координаты связаны равенством:
38
х-Рх, (2.36)
а злементы матрицы Р определяются из соотношения
= (2-з7>
Учитывая, что в уравнении (2.31) использованы обозначения ит и и
равенство (2.32) теперь запишем в виде
(2.38)
где
г - Ргг.
(2.39)
А » РГАР;
Следующий пример демонстрирует технику вычислений.
Пример 2.11
Вычислить матрицы Лиг из прим. 2.10 с использованием базисных
функций X и х-х*.
1. Вычислить А и г тем же путем, что и в прим. 2.10.
2. Сменить базис матриц А и г, полученных в прим. 2.10, по форму-
лам (2.39).
В первом варианте используем
и повторим вычисления прим. 2.10 для получения А и г:
l)(1) dx -@L)EAe;
О
5„ = Еа/(1)(1+ f)(1+2x)dx £АВ ;
0
I
= EAef(l-2x)(l-j-)(i)dx^ а№ ;
* L
= EAtf(1-2x)(^f)(l-2x)dx = (iL-4Lz+$L3)EAoi
Г
г, = Aopf (1+±)(х)ах ~ A'piL*-,
re~Aopf (l->-^)(x-xz)dx^Aap(fLz-^L3)
Следовательно, система уравнений, которую необходимо решить, имеет
вид
' fz /z-fz^
fz-fz^ /z-^z2*/zJ_
Откуда получаем:
- 105 pL 37 Р. .
а* 78 Е 52 Е ’
Следовательно,
_ If Р) 37 Р,
U \ 78 Е 52 Е/ */>
ИЛИ
U =
1&PL х 37 р>
78 Е 52 Е х ‘
Полученное решение совпадает с результатом прим. 2.10, поскольку
использованные в этом варианте базисные функции представляют то же
самое пространство, что и в прим. 2.10.
Во втором варианте для смены базиса матриц А и г полученных в
прим. 2.10, необходимо сначала построить матрицу Р в соответствии
с (2.37). Для — х, й, = х и получим
Р =
7 /1
0 -7J '
Теперь, используя равенства
(2.39), последовательно будем иметь:
iL'-f-L1
г - Дв/>
0\ \*L*'
-d \%L\
r-A,p
Следовательно, получено то же решение, что и в первом варианте.
Изменение базиса в форме Р"*АР'особенно эффективно, когда Р яв-
ляется ортогональной матрицей.
Определение. Матрица Р называется ортогональной, если
ргржрргж J, Следовательно, для ортогональных матриц Р~1 = РТ
Это определение означает, что при смене базиса с помощью ортого-
нальных матриц справедливо равенство А- РГАР- Р'ЧР.
Ортогональные матрицы широко используются в практике вычисле-
ний. Среди этих матриц остановимся на матрице вращения и матрице
отражения.
Матрица вращения имеет следующую структуру:
z-тый j-тый столбец"
' tOS0 • - • -sip6 ----
sin0 . . . cds0.-------
• 1
i-тая
/-тая
строка
(2.40)
40
Рис. 2.3. Поворот векторов
4 и ег
где i и j - произвольны, ноL+j. Название "матрица вращения" или
"матрица поворота" можно пояснить для случая п*2, в котором
р« (COS0 “Si"0*1. (2.41)
[sin 9 cos 0J
Как показано на рис. 2.3, для базисных векторов е, и «ж преоб-
разование
[Ч, ч] - Р Геъ (2.42)
соответствует повороту этих векторов на угол В. В общем случае по-
ворот производится в л-мерном пространстве.
Пример 2.12
Повернуть вектор у«Ь]на угол д=>45‘
Матрица поворота в этом случае имеет вид
Р»
Повернутый вектор равен:
Другой часто встречающейся ортогональной матрицей является матри-
ца отражения:
P«I-avvT;
(2.43)
41
Рис. 2.4. Отражение вектора W
II llXKOUb OipjftUlMH
где V может быть произвольным.
Эта матрица получила свое название
из-за того, что для произвольного
вектора w векторPw является отра-
жением вектораw от плоскости, ор-
тогональной вектору v . На рис. 2.4
дан пример отражения вектора
W для случая
В случае П.-мерного простран-
ства вектор W (порядка h ) будет
иметь компоненту^/ в направле-
нии вектора у и компоненту U
в перпендикулярном У направ-
лении. Для компоненты^'/ имеем
7v=7 v-
= -/v.
(2.44)
Следовательно, компонента в направлении вектора / меняет свое
направление на противоположное. Для компоненты U имеем
Pu« u-avvru = U,
(2.45)
поскольку условие перпендикулярности векторов и и у имееет вид
\frU"O. Следовательно, компонента ц, не изменяется. Оба случая вместе
характеризуют отражательные свойства матрицы р.
Пример 2.13
Для векторов V*
В данном случае
построить матрицу отражения.
7 /Я 2. Г/ Л Г О -/1
О 1\ 2 [/ l\ Н 0J'
а для вектора Pw имеем
-У жн;1
Отметим, что длина вектора Pw равна длине вектора w, ив этом
легко убедиться, выполнив необходимые построения, аналогичные
поиведенным на рис. 2.4.
2.6. Проблема собственных значений
При исследовании различных преобразований большую роль играют
векторы у, для которых справедливо равенство:
42
Av = Av.
(2.46)
Векторы, удовлетворяющие условию (2.46), называются собствен-
ными векторами, а соответствующие им числа А называются характе-
ристическими числами или собственными значениями матрицы А . В
общем случае для уравнения (2.46) существует п отличных от нуля
решений, где п — порядок матрицы А. Тривиальное решение, когда
вектор v состоит только из нулевых элементов, всегда удовлетворя-
ется и нас не интересует. Каждое нетривиальное решение состоит из
собственного значения А / и соответствующего ему собственного век-
тора Vi, причем
Av. =AZVZ; (2.47)
Л, 6 Аа £ .. . £ А„ . (2.48)
Задачу получения всех собственных значений и векторов называют
полной проблемой собственных значений. В дальнейшем будем предпо-
лагать матрицу А действительной и симметричной. Доказательство су-
ществования п собственных значений и соответствующих им собствен-
ных векторов можно получить, если представить (2.46) в виде
(A-AI)v=0. (2.49)
Для отыскания нетривиальных решений необходимо, чтобы
det(A-AI)» Q. (2.50)
Раскрыв определитель, получим многочлен л-й степени относитель-
но Л
р(А)~ det(A-AI). (2.51)
Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы
А.Так как его порядок равен порядку матрицы А , то из (2.51) можно
найти п собственных значений, а с помощью (2.49) получить л соот-
ветствующих собственных векторов. Заметим, что векторы, получае-
мые из (2.49), определяются с точностью до множителя.
Пример 2.14
Рассмотрим матрицу
Покажем, что эта матрица имеет два собственных значения.
Для заданной матрицы А имеем
р(А) « det
Раскрывая определитель, получим:
р(А) - (-1-А)(2-А)~(2Х2) = Л*-А-6 = (A+2)(A-3)}
откуда;
4
A<--2; At~3.
Собственные векторы получим подстановкой в (2.49) собственных
значений. Для Л, имеем
2 I Г%1 _ Г01
L 2 z-wJM ~ I#!
и, следовательно.
Для А2 имеем
г2 “
откуда
1 .
Сделаем одно замечание в отношении изменения базиса матрицы А.
Пусть А представляет собой линейное преобразование из разд. 2.4.
Смена базиса выполняется с помощью соотношения
VeP7- (2.52)
Подставим равенство (2.52) в выражение Av «Av и получим
где Av - Av, (2.53) А - Р~*АР. (2.54)
Это преобразование называется преобразованием подобия.
Пусть теперь А — матричное представление вариационной задачи
из разд. 2.5. Смена базиса с использованием (2.52) приводит к выра-
жению
А? - АВ?, (2-55)
где
А = РТАР; В-РР. (2.56)
Задача (2.55) называется обобщенной проблемой собственных зна-
чений. Так как решение обобщенной проблемы сложнее, чем проблемы
(2.46), то преобразования к виду (2.55) необходимо избегать. Это дос-
тигается в случае использования ортогональных матриц Р, для которых
В-I. Если Р ортогональна, то преобразование (2.53) и (2.55) называют
ортогональными преобразованиями подобия.
Необходимо заметить, что при изменении базиса проблемы 2ф-А9
(2.53) и А7>ЛВ7 (2.55) имеют те же собственные значения, что и Av -Av,
тогда как собственные векторы подчиняются соотношению (2-52).
Идентичность собственных значений следует из анализа характеристи-
ческих многочленов. Для проблемы (2.53) имеем
р(А) - det(P"*AP-AI), (2.57)
44
или (см. разд. 1.8)
р(Л) - det P'ydet (A - Al) detP (2.58)
и следовательно,
р(А) = det(A-AI). (2-59)
Таким образом, характеристические многочлены проблем Av-Av и
Д?=Л7 (2.53) совпадают, откуда следует равенство собственных значе-
ний.
Для проблемы (2.55) характеристический многочлен равен:
р(Л) « det(P ГАР - ЛРТР) ;
р(А) > det Prdet(A-AI) det Р; (2.61)
р(А) » det Pr det P p(A), (2.62)
где p(A) дается соотношением (2.51).
_ Следовательно, характеристические многочлены проблем Av-Av и
АУ«АВ9(2.55) совпадают с точностью до множителя. Это означает, что
собственные значения обеих проблем одинаковы.
Пример 2.15
Рассмотрим проблему собственных значений Av*Av для матрицы
А из прим. 2.10. Примем Z-6 и У.
1) Найти характеристический многочлен и вычислить собственные
значения и собственные векторы.
2) Изменить базис так же, как и в прим. 2.11, и для проблемы
РГАР? - АРП>У (а)
найти характеристическое уравнение и вычислить собственные значения
и собственные векторы.
3) Предположить, что смена базиса выполняется с использованием
ортогональной матрицы Р
Р =
(б)
и найти характеристический многочлен, собственные значения и собст-
венные векторы проблемы PrAPv “ А7.
Подставляя 1*6 и £Ав-У в матрицу А из прим. 2.10, получим
А»Г9
„ [6Q ЯМГ
Следовательно,
(в)
V
А, = 1,83;
‘ Q9Sf\
уСЯ18]
А,- 511,17;
г Lw/J
(г)
Вычислив выражения P^kP
венных значений в виде
и РГР из (а), получим проблему собст-
45
9
-51
(д)
Характеристический многочлен определим из выражения
1 31“Д
-51-Л 1
393-2*\
Выполнив необходимые действия, получим для р(Л) то же выраже-
ние (в)- Следовательно, собственные значения для задач (1) и (2) сов-
падают, а собственные векторы можно определить из соотношения
(РГАР- АХРГР)^ = О. (е)
Отмечая, что собственные векторы вычисляются с точностью до мно-
жителя, можно получить:
У,-
0,973}. я _ Г 1,109}
р.116 у
и проверить, что vj» Pty.
Для смены базиса в задаче (3) воспользуемся матрицей Р, опреде-
ленной в (б). В этом случае получим проблему собственных значений
Г393,4 220,91- .-
L220,S 129,6} ™’
поскольку P’P-I.
Эта проблема имеет тот же характеристический многочлен (в), а соб-
ственные векторы будут равны:
Можно снова проверить, что V/ « Pty’.
До сих пор показывалось, что существует п собственных значений
и соответствующих им собственных векторов, однако их свойства не
рассматривались.
Во-первых,отметим, что собственные значения являются действитель-
ными числами. Рассмотрим I -ую собственную пару для которой
имеем
A7* • (2.63)
Предположим, что V/ и А» — комплексные величины (частным
случаем которых являются действительные величины) и ty- и At- —
комплексно сопряженные с ними величины. Умножая (2.63) слева на
vf получаем _ _г
vfAvz - А^ ty . (2.64)
С другой стороны, из (2.63) также получаем
tyrA ж vtrAt-
(2.65)
46
и, умножив справа на vx,получаем
VfrAv. = . (2.66)
Из (2.64) и (.66) имеем
(АХ-АХЖ = 0. <2.67)
Так как вектор ц- не равен нулю, то АХ“АХ- и, следовательно, собст-
венное значение должно быть действительным. Однако из (2.49) следу-
ет, что собственные векторы должны быть действительными, поскольку
матрица коэффициентов А-Л1 действительная.
Второе важное свойство состоит в том, что собственные векторы,
соответствующие некратным собственным значениям, единственны
(с точностью до множителя) и ортогональны, тогда как собственные
векторы, относящиеся к кратным собственным значениям, не единст-
венны, но из них всегда можно получить ортогональную систему.
Предположим вначале, что собственные значения некратны. В этом
случае для двух собственных пар (А^, vx) и имеем
A\<=Ax-vx (2.68)
и . .
А^=Л/^. (2.69)
Умножая слева (2.68) на vf и (2.69) на получаем
^АЧ= А.<у,; (270)
<Avy =Ayv£rVy. (2.71)
Т ранспонируя (2.71), имеем
(2.721
и из (2.72) и (2.70) получаем
Так как по предположению АУ^АХ , то ^тУ^»^т.е. и V; ортого-
нальны. Кроме того, мы можем нормировать элементы так, чтобы
где 8ц — символ Кронекера, 8ц при l=j и 8ц=0 при i*j• Если
(2.74) удовлетворяется, то собственные векторы являются ортонор-
мированными.
Необходимо отметить, что решение (2.49) определяет направление
собственного вектора, а условие (2.74) используется для вычисления
значений элементов вектора. Таким образом, когда говорится о собст-
венных векторах, подразумевается, что эти векторы ортонормированы.
Пример 2.16
Ортонормировать векторы из прим. 2.14.
Ортогональность векторов проверяется вычислением произведения
которое дает
ал
Следовательно, векторы ортогональны. Для нормировки этих векто-
ров необходимо сделать их длины равными 1. В результате получаем:
Обратимся теперь к случаю кратных собственных значений. Доказа-
тельство ортогональности (2.68) — (2.73) в данном случае неприменимо,
поскольку в равенстве (2.73)А/=Ау . Предположим, что f)
т.е. А/ является /л-кратным корнем. В этом случае всегда возможно
выбрать т ортогональных собственных векторов, соответствующих
А/,А^Ъ A,m отак как для симметричной матрицы всегда существует
полная система из п ортонормированных собственных векторов.
Заметим, что каждому собственному значению соответствует собствен-
ное векторное пространство с размерностью, равной кратности собствен-
ного значения. Все собственные пространства, соответствующие некрат-
ным собственным значениям, являются единственными и ортогональны-
ми друг другу. Собственные векторы, соответствующие какому-либо
собственному значению, образуют базис собственного пространства и,
так как при т ->1 базис не является единственным, то собственные
векторы, соответствующие кратному собственному значению, также не
единственны. Формальные доказательства приведенных выше утверж-
дений основаны на рассмотренных ранее принципах и даются в следую-
щих примерах.
Пример 2.17
Покажем, что для симметричной матрицы А порядка п всегда су-
ществует п ортонормированных собственных векторов.
Предположим, что вычислены собственные значения А/ и соответ-
ствующий собственный вектору/. Составим ортонормированную матри-
цу Q,первым столбцом которой будет V,- :
<?=[чА]; ЯТД=1.
Эта матрица всегда может быть построена, поскольку ее векторы
составляют ортонормированный базис п -мерного пространства, в ко-
тором определена матрица А. Теперь Можно вычислить
(а)
LO
где и А/— полная матрица порядка (п-1). Если п-2ь то QjM}
диагональна. В этом случае, умножив (а) слева на и положив а«А ,
получим
AQ = qP* °']
Lo a J
и, следовательно, вектор в Q для /7=2 также является собственным
вектором и а — собственным значением независимо от того, является
ли А/ кратным собственным значением или нет.
Общее доказательство получается методом индукции. Предположим,
что высказанное утверждение справедливо для матрицы порядка (п-1).
Тогда оно будет также справедливо и для матрицы порядка п. Но так
как было показано, что рассматриваемое утверждение справедливо для
п=2,та оно справедливо и для любого п.
48
Предположение о существовании п ортонормированных векторов
позволяет записать для матрицы А порядка (п - 1) следующее равен
ство
А< Qi - Л, itij
где Q( - матрица собственных векторов для А< и Л - диагональная
матрица собственных значений матрицы А#.Если построить матрицу
с _ р <?'
О А ’
то можно показать, что
SrqrAqs « ГЛ' 1. (в)
Умножая (в) слева на Р,получим
АР = Р|_^ Л].
Следовательно, если справедливо утверждение (б), то это же утверж-
дение справедливо и для матрицы порядка п , что и требовалось дока-
зать.
Пример 2.18
Покажем, что собственные векторы, соответствующие собственному
значению с кратностью т , образуют /т?-мерное пространство, любой
вектор в котором также является собственным вектором. Это прост
ранство называется собственным пространством, соответствующим
рассматриваемому собственному значению.
Пусть Az является собственным значением с кратностью/п,т.е.
А/ — А,^/ '
В прим. 2.17 показано, что существуют т ортонормированных
собственных векторов соответствующих Az Эти векторы
образуют базис т-мерного пространства. Рассмотрим произвольный
вектор w в этом пространстве
гдеа^а^.,— константы. Вектор w является также собственным векто-
ром, поскольку мы можем написать
Aw = а/AV/ Av^ *...+ Avz#„.,,,
откуда получаем
Aw=oqAztft *cxi+yAz + = Azw.
Следовательно, любой вектор в пространстве, представленном/г? соб-
ственными векторами Ч»Ч+/г.<>^да-/,также является собственным векто-
ром. Необходимо отметить, что вектор w будет ортогональным к дру
гим собственным векторам, соответствующим собственным значениям,
не равным Az-. Следовательно, каждому кратному или некратному соб-
ственному значению соответствует одно собственное пространство, раз
мерность которого равна кратности собственного значения
4 - 52/
49
Рассмотрев основные свойства собственных значении и собственных
векторов, представим решение проблемы Av=Zv в различных формах
Во-первых, имеем
AV -А , (2 75)
где V=[vo,..,vrt] мафица собственных векторов и Л=<±1ар(Л() диаю
нальная матрица собственных тначени ’ Используя свойство орюнорми
рованност и собственных век юров mi р7г>) получим
V’AV ~ Л . (2 76)
Далее, полупим спектралтное разложение матрицы А
А - VAVr, <2 77>
ИЛИ * т
A*£At4v/* (2-78)
(я/
Необходимо заметить, что каждое из приведенных выше равенств
представляет собой решение проблемы собственных значений AveAv- Рас-
смотрим следующий пример
Пример 2.19
Представить в численном виде равенства (2 75) - (2 78) для матрицы
А из прим 2.14
Собственные значения и собственные векторы матрицы А вычислены
в прим. 2.14 и 2.16 Используя результаты этих примеров, получим для
и для (2.78)
А”
2 _ ,
VT VT]
2
2
|уг
Равенства (2 76) и (2 77? могут быть эффективно использованы в
различных приложениях Рассмотрим несколько примеров
50
Пример 2.20
Вычислить к -ю степень А для матрицы А из прим. 2.14.
Одним из возможных путей вычисления А* является последователь-
ное вычисление степеней А2«ААЛА*“А*А* и т.д., как было выполнено в прим.
1 6 Однако если к велико, более эффективным может оказаться путь
использования спектрального разложения матрицы А
А« VAVr.
Для А2 имеем
Дг= VAVTVAVr.
Учитывая, что VrV=I, получим
Аг= VA*VT
Продолжая аналогичные рассуждения, в общем случае будем иметь
a*=va*v’:
Для матрицы А из прим. 2.14 получим
А* =
ТУ
-2 /1 ГЧ?*
. / 0
О'] 1 Г-2
т/У L /
Г
2_|’
~ 5- -2* + да;* J
Интересно отметить, что если наибольшее по модулю собственное
значение матрицы А меньше 1, то А*-*0 при к—• о©.
Пример 2.21
Рассмотреть решение системы дифференциальных уравнений
X + Ах » i(t) (а)
с использованием спектрального разложения матрицы А. Получить
решение для А из прим. 2.14 и
[7J-
Подставляя A=VAVr в (а) и умножая слева на получим
VTX-*• A(V7x) = VTf(t).
Если обозначить у =V5t, то будем иметь систему из п разделяю-
щихся дифференциальных уравнений
У*Лу © VTf(t) .
Рассмотрим любое из этих уравнений с номером г
У„
Решение его имеет вид
51
yn(t)= упое~ + r e r Vrf(r)dt,
QJ
где у го ~ значение в момент t=0 . Полное решение системы уравне
ний (а) имеет вид
(б)
В качестве примера
ний
рассмотрим систему дифференциальных уравне
х/
А
г! Гх,
е-*
О
с начальными условиями
2
В этом случае имеем два дифференциальных уравнения
* (г2) и. = 2e~t;
Ул*
с начальными условиями
Уо = V х0 - yj-
В результате решения получим
Используя представление (б), будем иметь
Зе-”*е**
5 Э
+Те ~5е
Пример 2.22
Используя спектральное разложение симметричной матрицы А по
рядка ffXfl, вычислить обратную матрицу к матрице А из прим. 2.14
Предположим, что нам известны собственные значения Л; и соот-
ветствующие собственные векторы V; матрицы А ,т.е. решена пробле-
ма собственных значений
52
Av = Av.
(a)
Умножая слева обе части равенства (а) на Л-*А"* получим проблему
собственных значений
A-/v = Д’Л/.
Из этого соотношения следует, что собственные значения матрицы А'
равны ^Л,а собственные векторы равны V/.
Используя (2.78), получим
A’*- VAVr,
или
Эти равенства показывают, что нельзя наити матрицу А,если Аиме-
ет нулевое собственное значение.
В качестве примера вычислим матрицу, обратную матрице А из
прим. 2.14. В этом случае имеем
а<42 ПН °} Г2 ?\
5 Г' 2J L о f J [/ 2J 6 L 2. /]
Вернемся теперь к вопросу, с которого начали этот раздел. Сравнивая
(2.76) с (2.55), видим, что в (2.76) выполнена смена базиса. Новым
матричным представлением рассматриваемого оператора является диа-
гональная матрица А. Так как векторы в матрице V являются новым
базисом, они представляют собой л-мерное пространство, в котором
определены матрицы А и А , и любой вектор w может быть выражен
линейной комбинацией собственных векторов V;
W=ZoQV;. (2.79)
Важно заметить, что по виду матрицы Л можно явно определить, явля-
ется ли сингулярным оператор, представляемый матрицей А. Исполь-
зуя определение, данное в разд. 2.3, находим, что А и, следовательно,
А сингулярны только в том случае, если собственное значение равно
нулю, поскольку в этом случае невозможно вычислить Д'*. Введем
некоторые дополнительные определения. Если все собственные значения
положительны, матрица и оператор, представленный этой матрицей,
называются положительно определенными. Если все собственные значе-
ния больше или равны нулю, матрица называется положительно полу-
определенной (или неотоицательно определенной); матрица с отрица-
тельными, нулевыми и положительными собственными значениями назы-
вается неопределенной.
2.7. Отношение Релея и максимальная оценка
собственных значений
В предыдущем разделе были рассмотрены основные свойства пробле-
мы собственных значений. В настоящем разделе эти свойства дополня-
ются некоторыми важными закономерностями, основывающимися
на отношении Релея
53
VrAV
vrv
Первое замечание заключается в том, что
А1 < р(м) $ Л„.
(2.80)
(2.81)
Используя определения, данные в разд. 2.6, получаем для вектора v:
p(v)>0} если А — положительно определенная;
р(у)ъ0, если А — положительно полуопределенная;
/К/)- произвольно, если А — неопределенная матрица.
Для доказательства (2.81) используется равенство
у = (2.82)
где vt — собственные векторы матрицы А. Подставляя у в (2.80)
и учитывая, что Ау^А^-.^Лг получаем
А,сх 2 * А2сх2 + Аяос2 рм- (2.83)
Следовательно, если А^-0, то
А °^+ oi^..^(X3 (2.84)
и если Ап*0, то
л. . (2.85|
Так как А^Аг^ ... А„ , то равенства (2.83) — (2.85) показывают,
что (2.81) выполняется; более того, если у = Ц-,то А( .
В практике вычислений особое значение имеет следующее свойство
отношения Релея. Предположим, что v является аппроксимацией собст-
венного вектора у,-, например
v = V/ т-ех.
(2.86)
Тогда отношение Релея аппроксимирует А, с ошибкой порядка е2 т.е.
+О(ег). (2.87)
Обозначение о(ег) означает "порядка ег" и показывает, что если
тогда |<Г| ^Ьег, где b — константа.
Для доказательства отмеченного свойства подставим v (2.82) в
формулу Релея и получим
ph.+6Х) = .6/Z^xr)Afy,^x;
/’14 ( 88)
ИЛИ
54
(2.89)
«/v.+ex)=
1 7 v/4 ^6Xr4 *e2xrx
Гак как X определяет ошибку аппроксимации уь, можно написать
п
X “
jet ' '
(2.90)
Учитывая, что V- и получаем v.Ax = Z7,xx=0 и, следова-
тельно,
<2-91> Z“< J
или
Раскладывая знаменатель в ряд и отбрасывая величины более высоко-
го порядка малости, получим
(2.92)
(2.93)
Отсюда следует (2.87).
Пример 2.23
Вычислить отношение Репея p^i) для матрицы А из прим. 2.14. Ис-
пользуя V, и из прим. 2.14, рассмотреть следующие три случая
(1) v « V, ; (2) v = v, ; (3) 0>02чг.
В случае (1) имеем
» ГГ2К ГЛ1 ПН
м L-H L? L/J
и, следовательно, u J
р «и ан
р <
-L
~ 2
Напомним, что К^-2. и Л2=3. В этом случае имеем, как и ожидалось.
В случае (2) имеем
5
pN) -
~-2
и, следовательно.уэСу^А,.
В случае (3) имеем
--1,99950005.
Отметим, что р(ч)аппроксимирует А, с большей точностью,
чем v аппроксимирует м(.
Рассмотрев отношение Релея, перейдем теперь к минимаксной оценке
собственных значений.
Из принципа Релея следует, что
р(\/)?А,, (2.94)
где v — произвольный вектор. Другими словами, если v изменяется,
то всегда р(у)ъА,, и минимум р(ч,)=А, достигается при y=V/. Допустим,
что на v наложено ограничение, а именно, что у должен быть ортого-
нален некоторому вектору \и и рассматривается задача минимизации
р$. Вычислив минимумр(\!) при условии \irW=-O, меняем W и для каж-
дого нового W вычисляем новый минимум p(v).Максимальное из всех
минимальных значений дает Л2. Этот результат можно обобщить в
правило, называемое минимаксной оценкой собственных значений
Ar = max jrnin j- Г=1,...,п, (2.95)
где у удовлетворяет условию vrvyf = 0 при I = 1, 1. В (2.95)
выбираются векторы w;> Iг-1, и затем вычисляется минимумp(v)
при условии После вычисления этого минимума векторы
W, изменяются, и затем вычисляется новый минимум. Максимальное
значение этих минимумов дает Аг.
Докажем (2.95). Пусть
ff
v = Z v, .
Вычислим правую часть (2.95) и обозначим ее через Z?
R = max Imin
о(7Л<+...^о<гЛг ч-схДуЛл->/-»...-^О(лАл '
а**... ч-сх**
(2.96)
(2.97)
56
Коэффициенты от/ должны удовлетворять условиям
w/Za.v.-P; (2.98)
Переписывая (2.97), получим
maxjrnln[Лг----а/-----------------------------------JJ ’
Нетрудно убедиться в том, что при ocr,=Ofr<2 будем иметь
R Аг (2.100)
и условие (2.98) может быть удовлетворено за счет выбора . С дру-
гой стороны, предположим, что ^ = ^для j=1,...,r-1. При этом выбо-
ре aj=0 для и, следовательно, что и требовалось
доказать.
Наиболее важным выводом, который можно получить с помощью
минимаксной оценки собственных значений, является возможность раз-
деления собственных значений. Допустим, что в дополнение к задаче Av«
= ЛУ рассматриваются проблемы
где Дополучается путем исключения т последних строк и столбцов из
матрицы А. Следовательно, А*О— квадратная симметричная матрица
порядка (п-т). Используя обозначения A^AyA^v^v,запишем свойство
разделения собственных значений, которое утверждает, что собственные
значения проблемы разделяют собственные значе-
ния проблемы (2.101),т.е.
Л, «Л, «М2 «Ав ... «л„.т (2.102)
для т =0,..., п-2.
Для доказательства (2.102) рассмотрим проблемы Av«Av и A^v»/'^
Если удастся показать, что свойство разделения собственных значений
подтверждается для этого случая, то оно также верно для В
частности, нужно доказать, что
г=1,..., П-1. (2.103)
Используя минимаксную оценку, имеем
Ar^ = max^nin^^j;
1=1,..., г-,
(2.104)
все ^произвольны
Аналогично имеем
57
= max|trun j ;
vr'«4 - 0 , 1-1, , r
Wi произвольны ДЛЯ I = /,
wn ® e„ ,
(2.105)
где w„ назначается равным en для обеспечения равенства нулю послед-
него элемента век гора V. Однако, так как or раничение для может
быть более сильным, чем для , получаем, что
А?«Л„, . (2-106)
Для определения Аг используем
A,, = max{min^v7};
vrw,-0; ;
Все произвольны.
(2.107)
Сравнивая оценки А^ и АЛ , т е. (2.105j и (2.107), получаем, что для
вычисления А*7 используются те же ограничения, что и для А„ плюс од-
но дополнительное (vre,=0),и, следовательно.
Az. £ .
(2 108)
Но (2.106) и (2.108) даюг совместно требуемый результат (2.103).
Если записать проблемы собственных значений (2.101), включая
проблему Av“Av, в форме
Р^А^= det^-A^n; О,..п-1, (2.Ю9)
где р(е,~р , увидим, что корни полинома р(Аем**}) разделяют корни по-
линома p(A<m>). Однако последовательность полиномов р,(х), .^.обра-
зует последовательность Штурма, поскольку корни полинома р4.*(х) раз-
деляют корни полинома р,(х). Следовательно, свойство разделения соб-
ственных значений утверждает, что характеристические полиномы проб-
лем образуют последовательность Штурма.
Необходимо отметить, что в изложенном материале были рассмотрены
симметричные матрицы, т.е. минимаксная оценка собственных значе-
ний и свойство последовательности Штурма применимы к положитель-
но определенным и неопределенным матрицам. Свойство последова-
тельности Штурма будет широко использоваться в следующих главах
(см. разд. 7.2.5, 17.2.2, 11.5, 12.2 и 12.3.4). Рассмотрим следующий
пример.
Пример 2.24
Рассмотреть
проблему собственных значении Av=Av для
-7
Ч
5
58
Вычислить собственные значения матрицы А и матриц А , /п=1,2.
Показать, что свойство разделения (2.102) имеет место, и изобразить
на рисунке характеристические полиномы р(А), pw(^H>), Р(2>(А(а)-
Для р(А) имеем
р(А)=det(A-AI)=(5"-A)[(2~AX5-A)-/б] * 4[-4(5-А) -28]- 7[/6*7f2-A)J -
Следовательно,
р(А)~(-6-А)(б-А)(12-А),
и собственные значения равны
. А^ = -б, А, = 6, А3-12.
Для р()(А(*}) имеем
рм(АС1)) = detfA^A "'l) = (?-А«>)(2-Л<'>) -16,
p^(A(1i)^Awl-7A^-6.
Следовательно,
А™= I - &V73 = - 0,7720;
+ = 1,77Z.
Для р(а(А‘а) имеем:
/?«VA^-det(Aw-AwI) =5- Аса.
Следовательно,
И
А.£А?4Лг*Л(2"<Л,
А? < А(а < А«>.
Характеристические полиномы изображены на рис. 2.5.
2.8. Нормы вектора и матрицы
До сих пор рассматривались векторы, матрицы, собственные значе-
ния и собственные векторы симметричных матриц. Однако не обсужда-
лось еще одно важное понятие. Если мы имеем дело с числами, то мы мо-
жем сравнивать их друг с другом. Векторы и матрицы состоят из многих
элементов, и нам необходимо также уметь их сравнивать. В частности,
если исследуется сходимость числового ряда x1,xZf...,Xl( к числу х , то
мера сходимости определяется выражением
(2-1Ю)
Более того, если можно найти константы р ? 1 и о 0 такие, что
59
I р<г>(к1г')
Рис. 2.5. Характеристические многочлены
то говорят о сходимости "порядка"/?. Если р= 1, сходимость линейная
и скорость сходимости равна с, при этом С должно быть меньше 1.
В итерационных процессах с векторами и матрицами необходимо так-
же иметь меру сходимости. С этой целью вводится понятие нормы
матрицы и вектора. Норма является числом, зависящим от величин всех
элементов вектора или матрицы.
Определение. Норма вектора v порядка п является числом и обоз-
начается в виде||у]|.Норма является функцией элементов вектора и
удовлетворяет следующим условиям:
1 .||v||a0 n|v||= 0 только в случае V=0; (2.112)
2 .||cv||«|c(||vll Для любого скаляра с; (2.113)
3 .|У+*||4|7|+||\¥||(неравенство треугольника). (2.114)
Часто употребляются следующие три нормы, которые соответственно
называются бесконечной, первой и второй нормами вектора
l|v||„ = max|vj ;
||v||,= 1 k-| ;
(2.115)
(2.116)
(2.117)
Норма (2.117) известна как Евклидова, или сферическая норма век-
тора. Геометрически эта норма равна длине вектора. Все три нормы яв-
ляются частными случаями нормы соответственно для1
и 2, причем каждая из норм удовлетворяет условиям (2.112) — (2.114).
Рассмотрим теперь сходимость последовательности векторов Хъ х^Х,,.
..,х*к вектору х. Для достижения сходимости векторов к х необходимо
и достаточно, чтобы
60
tim || x* - x|| = 0 (2.118)
к——
для любой нормы вектора. Порядок сходимости р и скорость сходи-
мости с для р=/ вычисляются аналогично (2.111)
= с. (2.119)
||х* - Х|р
Сравнивая различные нормы друг с другом, можно показать, что
IML 6 4 п Hvll^ ; IIVII^, 4 ||v||2 Hvlloe . (2.120)
Следует заметить, что хотя действительная длина вектора вычисля-
ется с помощью Евклидовой нормы, в силу соотношения (2.120) первая
и бесконечная нормы также дают некоторую оценку длины вектора.
Пример 2.25
Вычислить три нормы вектора х и проверить соотношения (2.120)
для
Значения норм будут
l|xlU“3;
||х||у»1+3+2 = 6 ;
||х(|2 = -\Н+9+*< .
Для соотношений (2.120) получим
3 4 <5 < (3X3); 3^ £ (Уз)(3).
По аналогии с определением нормы вектора определим норму мат-
рицы.
Определение. Норма матрицы А порядка л Xл является числом и
обозначается в виде||А||. Норма является функцией элементов матрицы
и удовлетворяет следующим условиям
1ЦА||>0 и |А||= 0 только в случае Ая0; (2.121)
2 .ВсАЯ=|с|||А|| для любого скаляра с ; (2.122)
3 .||А+В|Й|А|+ВВВдля матриц А и В; (2.123)
4 .|АВ|вЯА1Ш для матриц А и В. (2.124)
Условие (2.124), которого не было в определении нормы вектора,
должно удовлетворяться для того, чтобы иметь возможность использо-
вать нормы матрицы для матричного произведения.
Часто используются следующие нормы матрицы
|AU-mpx^aty|; (2.125)
ЦАЦ, = max Z | at?|; (2.126)
(2Л27)
где Л—максимальное собственное значение матрицы АГА. Заметим,что
Для симметричной матрицы ||А1|в0=||А||<, а норма ||А112 называется спект-
61
ральной нормой. Каждая из норм (2.125) - (2.127) удовлетворяет ус-
ловиям (2.121) — (2.124). В прим. 2.27 показывается, что бесконечная
норма удовлетворяет условию (2.124).
Пример 2.26
Вычислить нормы матрицы А из прим. 2.24
5
-4
-7
А =
-Г
2 -Ч
4 5
В
соответствии с (2.125) - (2.127) имеем
Для вычисления ||А||г необходимо найти АТА
А7А= 18
5 0-3'
0 2 0
-3 0 5
Собственные значения АГА будут
Л-36, Лг = 36, Л3~1Ы.
Следовательно, ____
||А||2 = i/iW = 12.
Пример 2.27
Показать, что для двух матриц А и В имеет место соотношение
IIABIL £ IIAUIIBU.
Используя определение (2.125), имеем
но l,ABllee = тах £ »
IHBI.sii . „ах «
что и требовалось доказать.
Как и в случае последовательности векторов, для достижения сходи-
мости последовательности матриц А,,А^А^,...,к матрице А необходи-
мо и достаточно, чтобы
Um )|АЛ-А|| =0 (2.128)
для любой из рассмотренных норм матрицы.
В определении норм матриц указывалось, что соотношение (2.124)
необходимо для оценки нормы произведения матриц. Кроме того, нор-
62
мы вводятся и для произведения матрицы на вектор. В данном случае
необходимо правильно сочетать используемые нормы вектора с соот-
ветствующей нормой матрицы. Выбор конкретных норм определяется
условием, которое должно выполняться для любой матрицы А и любо-
ю вектора V :
IJAvll aS llAftlM, (2.129)
где||АУ|| и j|vl| вычисляются как нормы векторов, а ||А|| — как норма
матрицы. Можно отметить аналогию условия (2.129) сусловием (2.124)
для нормы матрицы. Если условие (2.129) выполняется для некоторых
норм матрицы и вектора, эти две нормы называются согласованными и
норма матрицы называется подчиненной норме вектора. Рассмотренные
три нормы матриц подчиняются соответствующим нормам вектора.
В следующем примере дается доказательство согласованности и
подчиненности бесконечных норм. Согласованность 1 и 2 норм доказы-
вается аналогично.
Пример 2.28
Показать, что для матрицы А и вектора V имеет место соотноше-
ние
llAvIL^IIAIUHvll^ . (а)
Используя определения бесконечных норм, имеем
п . »
l|Av||«= max Z ацЦ < max Z |a«||tfl4
i 1 ’ 1 l j*i
«{max 2. l^-|}{max|^|] .
Таким образом, (а) доказано.
Рассмотрим применение норм при вычислении собственных значений
матрицы. Для проблемы Av=Av вычислим нормы с обеих сторон от зна-
ка равенства
||Av|| =||Av||. (2.130)
Используя (2.113) и (2.129), имеем
)|А|||М ^|A|||vl| (2.131)
или
|А| « ПАИ. (2.132)
Следовательно, любое собственное значение матрицы А по абсо-
лютной величине не больше любой нормы матрицыА.Определимспект-
ральный радиус/>(А) в виде
В этом случае
р(А.) « max | А.|.
ХА) «IIAft.
(2.133)
(2.134)
63
На практике бесконечная норма матрицы А вычисляется проще и
поэтому часто используется для оценки верхней границы абсолютных
величин собственных значений.
Пример 2.29
Вычислить спектральный радиус матрицы А из примера 2.24 и пока-
зать, что />(А) ПАНоо •
Спектральный радиус равен максимальному (ЛД. Собственные значе-
ния матрицы А, вычисленные в прим. 2.24, равны Л,=-6, Л2=6, = 12.
Следовательно, р(К}=12.
В прим. 2.26 вычислена норма ||А||«= 16.
Таким образом, условие/jfAMA^ выполняется.
Список литературы
1. К. Hoffman and R. Kunze, Linear Algebra, Prentice-Hall, Inc., Englewood
Cliffs, N.J., 1961.
2. B. Noble, Applied Linear Algebra, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ.,
1969.
3. ,C. E. Fr6ber.G, Introduction to Numerical Analysis, Addison-Wesley Publishing
Company, Inc., Reading, Mass., 1969.
4. R. Zurmuhl, Matrizen, Springer-Verlag, Berlin, 1964.
5. S. H. Crandall, Engineering Analysis, McGraw-Hill Book Company, New York,
1956.
6. R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol. 1, Inter-
science Publishers, New York, 1953.
7. J. H. Wilkinson, The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Press, Oxford,
1965.
ЧАСТЬ
2
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ГЛАВА 3
ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
3.1. Введение
Развитие метода конечных элементов, по существу, началось с появ-
лением ЭВМ. Метод привлекает, прежде всего, общим характером рас-
сматриваемых конструкций, относительной простотой формирования
разрешающих уравнений и хорошими численными характеристиками
матриц.
Метод конечных элементов первоначально развивался на физической
основе в приложении к задачам строительной механики; в дальнейшем
выяснилось, что его можно использовать в решении большого класса
других проблем. Общность метода стала очевидной после представления
его в вариационной форме.
Как это часто бывает с оригинальными исследованиями, довольно
трудно точно установить, как они были "изобретены", но основы метода
разработаны тремя различными группами специалистов: математиками,
физиками и инженерами. Важный вклад был внесен статьями Тэрнера и
др. [19], Агрироса и Кэлси [20]. Впервые термин "конечный элемент"
появился в статье Клаффа, посвященной решению плоской задачи теории
упругости [21 ].
В настоящее время возможности теории метода значительно расшире-
ны. Даже ограничиваясь решением задач строительной механики, мы
можем использовать его в различных формах. В этой главе основное
внимание будет уделено методу конечных элементов в форме метода
перемещений; другие формы, основанные на равновесных, гибридных
и смешанных моделях, будут кратно обсуждены в разд. 5.5. Напомним
метод перемещений на небольшом примере, одновременно вводя основ-
ные понятия метода конечных элементов.
Рассмотрим конструкцию, приведенную на рис. 3.1. Она состоит из
Двух балок, стержня и пружины. Первый шаг решения задачи заключает-
ся в получении матриц жесткости элементов, соответствующих глобаль-
ным степеням свободы конструкции. Для балок, стержня и пружины
соответственно получим
5 - 522
65
u„ut,utiu.
к;
симметрично к
'12 12 !2
Ll L L1
EI 16 12
L 12
£«
. симметрично
12.
L
8
12
L
16.
(3.1)
ui3u4,us,ut
Ut
v. EA Г 2. -/]. u и
к;- -д- [-2 г]’ v” и”
Нижний индекс при К* означает номер элемента, а глобальные
степени свободы приведены рядом с матрицами. Заметим, что здесь
матрицы не зависят от Направляющих косинусов, поскольку оси элемен-
тов совпадают с глобальными осями. Если направления локальных и гло-
бальных осей координат не совпадают, локальную матрицу жесткости
элемента необходимо преобразовать в глобальную.
Рис. 3.1. Простая конструкция
а — элементы и узлы; б — глобальные степени свободы
66
Общая матрица жесткости ансамбля строится из матриц жесткости
отдельных элементов методом прямых жесткостей. В этом подходе
матрица жесткости конструкции К получается непосредственным сло-
жением матриц для элементов, т.е.
К« X К* , (3.2)
причем суммирование проводится по всем элементам. Для этого каж-
дая из матриц элемента X* представляется в виде матрицы которая
имеет тот же порядок, что и матрица К, причем все элементы К,- равны
нулю, за исключением тех, которые соответствуют степеням свободы
данного элемента. К примеру, для элемента 4 получим
1 1 'о г 0 3 0 * 0 5 0
2 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
5 0 0 0 0 L
6 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 -Ш. L
6 7 *— степень свободы
О 0~
О О
О о
о о .
О
о о
О
(3.3)
Следовательно, матрица жесткости и уравнения равновесия конст-
рукции, показанной на рис. 3.1, будут иметь вид
12Е1 6EI 12EI 6EI О О О'
I* ~ L* ~ 4* Z.2
4EI 6EI 2EI ООО
L Т2- L
2ЪЕ1 6EI ПЕТ 12EI О
L3 ~ L* ~ L* ~ L2
20EI 12Е1 SET О
L L
симметрично
^ks О
2АЕ
L
XU=R,
(3.4)
(3.5)
67
где U — вектор узловых перемещений в глобальной системе коор-
динат, a R — вектор внешних сил, действующих в направлении гпо
бальных перемещений конструкции
Ur=fi4, ,U7]; Лг= Я]. (3.6)
До решения уравнений следует учесть граничные условия
Это значит, что надо построить только пять уравнений для пяти неиз-
вестных смещений
(3.7)
КЙ = R ,
где матрица К получается из К исключением первых и седьмых строк
и столбцов, а
U = U3 U. Us 44]; -Р О U 0]. (3.8)
Решение (3.7) дает смещения узловых точек элементов. Внутренние уси-
лия в узлах элемента получаются умножением матрицы жесткости X*
на вектор перемещений.
Важным шагом расчета является правильное назначение жесткостных
характеристик. Нужно сказать, что какие бы матрицы жесткости эле-
ментов не применялись, узловые внутренние силы примыкающих эле-
ментов всегда будут находиться в равновесии, если уравнения (3.7)
решены правильно. Предположим, что мы провели расчет с модулем
упругости Е/2 для элемента 2. Тогда мы получим ошибку в определении
перемещений и напряжений в конструкции, но условия равновесия в уз-
лах будут выполнены. Для приведенного примера можно найти соот-
ветствующие дифференциальные уравнения равновесия, а следовательно,
получить точное решение задачи. Например, рассмотрим стержень (рис.
3.2). Предположим, что требуется найти коэффициент жесткости ка. Он
представляет собой силу в узле 2 от единичного смещения в том же
узле.
Разрешающее дифференциальное уравнение имеет вид
^-0
dX
где Р - нормальная сила в стержне [ i.e.P-AE(dU/dX)},U(X) - перемеще-
ние, а АЕ(Х) - продольная жесткость в сечении с координатой X . Гра-
ничными условиями являются
(3.9)
Рис. 3.2. Стержневой элемент
а — геометрия,- б — степени свободы
68
Для стержня постоянного сечения из выражений (3.9) и (3.10) сле-
дует
, (3.11)
откуда
Р\Х^*М = ' (3 12)
С другой стороны, вместо решения дифференциального уравнения
можно использовать принцип возможной работы для получения элемен-
тов матрицы жесткости Но перед этим напомним сам принцип возмож-
ной работы (принцип возможных перемещений).
Рассмотрим равновесие произвольного трехмерного тела (рис 3 3),
нагруженного поверхностными fs,объемными и сосредоточенными
силами F1. Эти силы имеют обычно три компоненты, соответствующие
трем координатным осям
F' =
(3.13)
69
Перемещения тела из исходного состояния обозначим через U
UT=CUVWJ. (3-14)
Деформации, соответствующие U, имеют вид
(315)
а напряжениями, соответствующими €, являются
Тг= [ Тхх г21 Тху Гуг Ггх1. <3-16*
Принцип возможных перемещений гласит, что в равновесном сос-
тоянии при произвольных малых возможных перемещениях полная
возможная работа внутренних сил равна полной возможной работе
внешних сил, т.е.
JvrrctV=JvUrfBdy + j UnfsdS + f UirE'(3-i7)
Работа внутренних сил представлена левой частью последнего выра-
жения и равна работе действительных напряжений Г на возможных
деформациях €, соответствующих возможным перемещениям:
€т= [€*х Суч ]\у fxx]. (3.18)
Работа внешних сил дана в правой части равенства (3.17) и определяет-
ся действительными внешними воздействиями на возможных пере-
мещениях и
VT-[UVW. (3.19)
Принцип возможных перемещений можно рассматривать как основу
построения метода конечных элементов с неизвестными смещения-
ми. Следует заметить, что для этой цели возможно также использование
метода ортогонализации ошибок, в частности метода Галеркина [5].
Вернемся к вычислению коэффициента ^жесткости стержня. Дейст-
вительное поле перемещений, вызванное единичным смещением узла 2,
определяется выражением (3.11). Следовательно, действительное напря-
жение
Гхл= £ (3-20>
Уравнение возможной работы (3.17) в этом частном случае прини-
мает вид
(3-2D
где L4 - возможное смещение узла 2, а соответствующие дефор-
мации. Возможные перемещения стержня за счет будут
70
D(X) = ~-иг, (3.22)
а соответствующие деформации имеют вид
ёхх = 1- Ut . (3.23)
Используя принцип возможной работы, получим
• (3.24)
Заметим, что такой же коэффициент жесткости был определен ранее
из решения дифференциального уравнения. Это равенство объясняется
тем, что во втором случае использовано точное выражение для переме-
щений точек элемента. Если же это выражение задано приближенно, то и
коэффициенты жесткости, а следовательно, и все решение будет полу-
чено также приближенно. Покажем это на простом примере. Предполо-
жим, что требуется построить матрицу жесткости стержня, продольная
жесткость которого по длине меняется по линейному закону
AE-AE,(l+£), (3.25)
где L — длина элемента. Пусть нужно, как и прежде, найти элемент Ахх-
Из решения дифференциального уравнения получим
к,- ° ~ 4^ • (3.26)
“ L logt2 L
С другой стороны, для нахождения кгг можно применить принцип
возможной работы. Если заданы точные значения перемещений при
единичном смещении конца стержня, получим приведенное выше точное
значение жесткости. Однако для этого необходимо сначала найти точное
выражение для перемещений (т.е. решить соответствующие дифферен-
циальные уравнения), но мы можем попытаться использовать аппрокси-
мацию перемещений, как для стержня постоянного сечения. В этом
случае
ки-f ' (3.27)
О
Естественным является вопрос, насколько хорошо выбрано прибли-
жение для данной функции и, в частности, насколько приближенная
функция перемещений должна быть близка к "точной" для получения
приемлемых результатов. Мы вернемся к этому вопросу позже при
обсуждении проблем точности и сходимости метода конечных элемен-
тов.
Рассмотрим теперь кратко задачу о плоском напряженном состоянии
(рис. 3.4). Именно в решении этой задачи был впервые применен термин
"метод конечных элементов" [21]. Неизвестными в этой задаче явля-
ются перемещения U(Xtf) и V(X> У),с помощью которых находятся дефор-
мации и напряжения.
7J
Рис. 3.4. Плоское напряженное состояние
а — консольная пластина; б — разбиение на
конечные элементы
,,y,v
%
Узел 4
Рис. 3.5. Прямоугольный плоский конеч-
ный элемент в локальной системе коор-
динат
Основные этапы расчета те же, что и в предыдущем примере. Пластина
представляется в виде ансамбля конечных элементов, соединенных в уз-
лах, как показано на рис. 3.4. Решение, получаемое для перемещений
и(х,у) *v(x,y) из расчета ансамбля, является приближенным для этой
в действительности континуальной задачи. Важная особенность метода
состоит в том, что решение для всего ансамбля получается путем иссле-
дования перемещений каждого элемента. Типовой элемент рассматривае-
мой задачи представлен на рис. 3.5. Неизвестными для него являются
перемещения и(х,у) и v(x,y) , где х, у — локальные координаты. Пока
локальные и глобальные координатные оси задачи имеют одинаковые
направления, перемещения u(Xj у) и 1/(х,у) элемента являются пере-
мещениями и(Х,У) и y(XjY) в соответствующей области. Однако в об-
щем случае перемещения и(х, у) и 1/(х,у) преобразуются в глобальные
перемещения U(X,y) и HfX, У) с использованием матрицы поворота.
Решение задачи происходит следующим образом.
1. В каждом узле с за неизвестные принимаются два смещения Uj
и i/i, а и(х}у) и v(x,y) представляются в виде полиномов, в которых
перемещения узловых точек являются неизвестными параметрами.
2. На основе принципа возможных перемещений получается матрица
жесткости элемента, соответствующая узловым степеням свободы.
3. Объединением матриц жесткости элементов строится матрица
жесткости ансамбля, накладываются граничные условия, решается
система уравнений равновесия и определяются напряжения в элементах.
В сущности, повторяется процесс, описанный в начале раздела для
стержневой конструкции. Однако при решении плоской задачи в общем
72
случае получается лишь приближенное решение, поскольку выбранные
полиномы для каждого конечного элемента только приближенно могут
представлять истинные перемещения континуума. В этом состоит глав-
ное отличие рассматриваемой задачи от расчета стержневой системы.
Хотя и принято рассматривать метод конечных элементов как численный
метод математического анализа, достоинство его заключено в том, что
этот метод можно толковать с чисто физических позиций. Цель этой и
последующих глав состоит в том, чтобы дать физическую интерпретацию
метода и показать пути его численной реализации.
3.2. Принцип возможных перемещений
как основа метода конечных элементов
Итак, мы установили, что метод конечных элементов первоначально
трактовался как обобщение метода перемещений для стержневых сис-
тем. Используя этот метод, систему представляют в виде ансамбля дис-
кретных элементов, соединенных в узлах. Как было показано, расчет
дает точные значения перемещений и напряжений только в том случае,
если матрицы жесткости элементов вычислены точно. Однако для произ-
вольных элементов следует предпочесть приближенное определение мат-
риц на основе принципа возможной работы с тем, чтобы избежать реше-
ния дифференциальных уравнений, но в этом случае мы получим при-
ближенные значения перемещений, деформаций и напряжений.
При расчете оболочек, плит, пластин и т.п. методом конечных элемен-
тов конструкция представляется в виде ансамбля элементов. Предпола-
гается, что они связаны в конечном числе узловых точек. Далее считает-
ся, что перемещения узлов определяют поле перемещений каждого ко-
нечного элемента. Это позволяет использовать принцип возможных пе-
ремещений для составления уравнений равновесия ансамбля так, как
это делалось при расчете стержневых систем.
3.2.1. Перемещения и деформации при плоском напряженном состоя-
нии. Прежде чем дать обобщенную формулировку метода конечных
элементов, приведем в этом разделе необходимые матрицы, относящие-
ся к плоскому напряженному состоянию.
Рассмотрим расчет консольной пластины, нагруженной в своей плос-
кости. Она представляется в виде ансамбля двумерных конечных
элементов, как показано на рис. 3.4.
Основными матрицами являются матрица преобразования перемеще-
ний и матрица преобразования перемещений в деформации для каждого
элемента ансамбля. С этой целью рассмотрим типовой элемент (рис.
3.5) и зададим локальные перемещения и и v в виде полиномов
от переменных х и у
у) = or, +ofj,x * a3 у ху ; (3.28)
v(x>y) - Д*Дх +РзУ + Рч*у. <3-29>
Неизвестные коэффициенты называемые также обобщенны-
ми координатами, выражаются через неизвестные узловые смещения
и .Обозначая
иг = [&, ut и3 Цц V, vt V3 (3.30)
73
запишем выражения (3.28) и (3.29) в матричной форме
U (х, у) » ф« , (3.31)
где
ф« 0*6 и JS/ (3.32)
_ * J
u(x,</)- k |.v6x,0J (3.33)
и О т= [a, ofc аэ Д А Д А ] . (3.34)
Уравнения (3.31) должны удовлетворяться в узлах элемента; тогда
для всех четырех узлов получим
и = Aot. (3.35)
Здесь
А- А 0 (3.36)
.0 А.
и
~1 х< У< х,у< '
А® 1 xt У г. (3.37)
1 Xf У» Ы»
1 х„ У* х*У,
Следовательно, обобщенные координаты можно получить по формуле
а « А"'и,
где
О
(3.38)
(3.39)
Подставляя <х в уравнения (3.31), будем иметь
U^-Hfx^u, (3.40)
причем
Н(х,(/) = ФА“* (3.41)
Для получения матрицы жесткости элемента применим принцип
возможной работы. В условиях плоского напряженного состояния
деформации элемента выражаются в виде
€Г= |>хх , (3.42)
74
где _ ди . дх ' dv ю~ ду ’ = — ду дх (3.43)
Используя зависимость (3.40), получим € -= Ви, где В =ЕА и \о 1 0 у о 0 0 О' (3.44) (3.45)
Е= 0 О 0 0 0 0 0 1*0 0 1 X Ih <г> • (3.46)
Напряжения в элементе представляются в виде
тГ= Сг«* - (3.47)
Предполагая, что материал изотропный и линейно-упругий, для плос-
кого напряженного состояния имеем
г - Се, (3.48)
где 7 v 0 1
С- Е V 1 0 (3.40)
0 0
а Е и v — модуль упругости и коэффициент Пуассона.
Для выполнения расчета конечных элементов необходимы матрица
преобразования перемещений и матрица связи деформаций с перемеще-
ниями, определяемые выражениями (3.41) и (3.45) для каждого эле-
мента, что требует построения матриц А для всех элементов.
Выше мы определили поле перемещений каждого конечного элемента
как функцию смещений его собственных узлов. При составлении урав-
нений равновесия целесообразно представить перемещения, деформации
и напряжения элемента т в виде
; (3.50)
и (3.51)
Х(">(х,у) = Cwe^X,0, (3.52)
где аналогичны матрицам и,С,Т и С, рассмотренным
выше. Однако входящие в выражения (3.50) — (3.52) величины зави-
сят теперь уже от вектора U,содержащего глобальные перемещения всех
узлов. При получении В^из Н, В мы сопоставляем каждую ком-
поненту перемещений узлов в локальной системе координат соответст-
вующим перемещениям в глобальной системе, как показано на рис. 3.6.
Переход от локальной к глобальной системе координат делается так же,
как и для стержневых систем. Далее мы расширяем матрицы преобра-
75
Рис. 3.6. Связь между перемещениями в локальной и глобальной систе-
мах координат
Локальные
степени
свободы
Sena. UL
\
Глобальные
стснени
свободы
зования перемещений и связи деформаций с перемещениями так, чтобы
они включали глобальные компоненты перемещений всех узлов. Таким
образом, столбцы матриц Н^и Ъ(1Я> содержат нули, если они соответст-
вуют степеням свободы, отсутствующим в /п-ом элементе, и являются
соответствующими столбцами матриц Н и В в противном случае.
В примере расчета консольной пластины переход от локальной к
глобальной системе не нужен, поскольку локальные степени свободы
соответствуют глобальным перемещениям (см. рис. 3.4). Найдем Н^т.е.
матрицу, определяющую перемещения в элементе 2 консольной сис-
темы на рис. 3.4. Используя перемещения узлов, найденные для ан-
самбля, показанного на рис. 3.4, и рассматривая элемент, данный на рис.
3.5, получаем
Ч
К Us Vs
О ; Н«\
О ! Н„\
u^)vi — степени свободы элемента.
(3.53)
U V U V % ~ степени свободы ансамбля.
вб г г
\Н„ Н*\ & О [ . . нули.. О
\Нц /4г ] О 0 [ . . нули../?
где Нц — коэффициент матрицы Ц в выражении (3.41) для элемента 2.
Заметим, что при получении матриц Н^и типового элемента
основное внимание уделялось выводу матриц преобразования переме-
щений и связи деформаций с перемещениями, соответствующих локаль-
ным степеням свободы элемента. Это обычная процедура получения
матриц конечных элементов на основе обобщенных координат, рас-
сматриваемая в этой главе. С другой стороны, используя изопараметри-
ческие элементы, как показано в гл. 4, можно получить матрицы Нми
В^непосредственно, без использования локальной системы координат.
3.2.2. Общая формулировка метода. Для изложения метода конечных
элементов, основанного на методе перемещений, рассмотрим трехмерное
тело. Позже будет показано, как общая формулировка может быть
преобразована для частных задач. Пусть трехмерное тело нагружено
76
объемными силами f 8 , поверхностными нагрузками fs, сосредоточен-
ными силами F‘ и начальными напряжениями Обозначая возмож-
ные величины чертой сверху, на основе принципа возможных перемеще-
ний запишем (см. 3.17).
[ егтоП/= +
4 Jv Js 1
где интегрирование распространяется на объем V и поверхность S, а
суммирование — на все точки, где приложены сосредоточенные силы F.‘
Величины, входящие в уравнения возможных перемещений, определяют-
ся выражениями (3.13) — (3.19).
Уравнения возможной работы (3.17) определяют равновесие тела.
В методе конечных элементов тело представляется ансамблем дискрет-
ных элементов, в котором элементы объединены в узлах по их границам.
Хотя это и не обязательно, примем, что сосредоточенные силы приложе-
ны в узловых точках. Перемещения и деформации в локальной системе
координат определяются через смещения всех п узлов.
Таким образом, для т-го элемента получаем:
; (3.54)
e^y.z) = U, (3.55)
где т — номер элемента, a U — вектор размерности Зп, содержащий
три глобальные перемещения UitVi и IV/ для всех узлов ансамбля
... (3-56)
Поскольку все узловые перемещения входят в состав U , необходи-
мо отметить, что при рассмотрении конкретного элемента учитываются
перемещения узлов только этого элемента. В разд. 3.2.1 рассматрива-
лись матрицы Нми для плоского напряженного состояния. Цель
определения перемещений и деформаций элемента через вектор узло-
вых смещений всего ансамбля, вероятно, пока не ясна. Однако в даль-
нейшем окажется, что использование выражений (3.54) и (3.55) позво-
лит переходить от матриц элементов к матрице системы автоматичес-
ки. Этот путь называется методом прямых жесткостей.
Напряжения в конечном элементе определяются его деформациями
и начальными напряжениями в виде
Т С TIf"} , (3.57)
где ССт) — матрица упругости /п-го элемента, а Т?,т— его начальные
напряжения. Характеристики материала в С(т) для каждого элемента
произвольны; к примеру, коэффициенты этой матрицы можно опреде-
лить экспериментально.
Используя представление перемещений в пределах каждого элемента,
как это дано в выражении (3.54), можно получить уравнения равнове-
сия для соответствующих узлов ансамбля. С этой целью сначала преоб-
разуем (3.17) в сумму интегралов по объему и поверхности каждого
конечного элемента, т.е.
77
(”>) Ь,т>£ J/ <*<>
. (3.58)
Важно заметить, что интегрирование в (3.58) выполняется по объе-
мам и поверхностям каждого элемента и что всякий раз можно исполь-
зовать подходящие системы координат. Подставляя в (3.58) выражения
для перемещений элемента (3.54), деформаций (3.55) и напряжений
(3.57), получим
(3.59)
где F — вектор внешних сил, приложенных в узлах ансамбля, причем
i -тая компонента вектора F является сосредоточенной силой, соот-
ветствующей L -той компоненте вектора 1Г.
Для получения из (3.59) уравнений равновесия, необходимых для
определения смещений узлов, применим принцип возможных перемеще-
ний, полагая поочередно каждую компоненту перемещений равной еди-
нице. В этом случае — единичная матрица) и уравнения равнове-
сия для ансамбля элементов примут вид
KU»R, (3.60)
где
R = Rs+ Rs-Rx + Rc . (3.61)
Матрица К является матрицей жесткости ансамбля
к» 2/ (з.62)
/И*
Вектор нагрузки R включает в себя влияние объемных сил
Rа - Z f V(т), (3.63)
поверхностных нагрузок
r4-z/ (3.64)
* т J6(m) ’
эффект начальных напряжений
R. = Z f (3.65)
и сосредоточенные силы
Rc = F. (3.66)
Заметим, что суммирование интегралов в выражении (3.62) пред-
ставляет собой прямое суммирование матриц жесткости элементов.
Аналогично вычисляются объемные силы и другие нагрузки. Поэтому
формирование уравнений равновесия рассматриваемым путем назы-
78
вается методом прямых жесткостей. Однако на практике матрицы ко-
нечных элементов вычисляются в компактном виде, т.е. их порядок
равен числу степеней свободы элемента и метод прямых жесткостей
используется так, как показано в разд. 3.1 и 6.2.3.
Заметим, что система уравнений (3.60) построена для незакреп-
ленного ансамбля. Следовательно, следующим шагом является учет
граничных условий подобно тому, как это делалось в расчетах стерж-
невых систем. Записывая уравнения (3.60) в форме
К„
Км
К.ЛГцЛГй;
км Lu*J~LrJ ’
(3.67)
где Ue— неизвестные смещения узлов, a Ui — заданные смещения,
получим
К аа Uo “ Ro ,
(3.68)
причем
Roя R« ка6и6,
(3.69)
Неизвестные перемещения узлов вычисляются по выражению (3.68),
причем соответствующие перемещениям!^ значения узловых сил равны
(3.70)
Если граничные условия заданы в отличной от глобальной системе
координат, целесообразно преобразовать матрицы жесткости элементов,
связанных с граничными узлами, до их объединения в матрицу жесткос-
ти ансамбля (см. рис. 3.7) по формулам (3.67) — (3.70). Кроме того,
можно использовать граничный конечный элемент для наложения задан-
ных смещений [24]. Если ненулевым перемещением является Z-тая
глобальная степень свободы, т.е. U( sb,то выражение
kUi-kb (3.71)
Рис. 3.7. Опирание на наклонную плоскость
79
Рис. 3.8. Опирание на наклонную плос-
кость с помощью пружины
следует добавить к уравнениям (3.60), причем к »кц . В этом случае
после решения системы уравнений получаем, что Ui*b. Аналогично
можно учесть наклонное произвольное по отношению к глобальным
степеням свободы смещение при соответствующем выборе направления
пружины, как показано на рис. 3.8. В этом случае в матрице жесткости
появляются большие внедиагональные элементы и нужно позаботиться
о достаточной точности решения системы уравнений равновесия (см.
разд. 7.5).
Решение уравнений (3.60) дает перемещения всех узлов. Напряже-
ния в элементах находятся с использованием выражений (3.57) и (3.55).
Заметим, что в методе конечных элементов обычно не удовлетворяются
условия равновесия для каждого элемента, а равновесие выполняется
для всего ансамбля элементов.
Уравнения (3.60) определяют статическое положение равновесия
ансамбля элементов. Однако приложенные силы могут зависеть от вре-
мени, в этом случае зависят от времени и уравнения (3.60), представля-
ющие теперь условия равновесия в произвольный момент времени.
На основе принципа д'Аламбера инерционные силы рассматриваются
как составная часть объемных сил [25]. Если ускорения аппроксими-
руются аналогично смещениям элементов, то вклад объемных сил в
вектор R имеет вид
R-Х/ (3.72)
где feP"; не включают инерционные силы, U — столбец ускорений
узловых точек, а pfm) — плотность т-го элемента. В этом случае урав-
нения равновесия примут вид
MU + KU-R, (3.73)
где R и U зависят от времени. Матрица масс конструкции опреде-
ляется как
И = (3.74)
В действительности при динамическом поведении конструкции имеет
место диссипация энергии, которая учитывается обычно введением сил
диссипации, зависящих от скорости.
Вводя силы диссипации как добавку к объемным силам, получим
в соответствии с выражением (3.72)
80
Re(3.75)
При этом случае Г^также не содержит динамических добавок, U —
вектор скоростей узловых точек, а к^— коэффициент демпфирования
т -го элемента. При этом уравнения равновесия примут вид
MU+CU+KU-R, (3.76)
где С — матрица демпфирования конструкции, т.е.
C»Zf k^W^W^dV^ (3.77)
На практике трудно для произвольного ансамбля определить парамет-
ры демпфирования, в частности потому, что они зависят от частоты. По-
этому матрицу С для элементов строят с использованием матриц масс
и жесткости ансамбля, привлекая к тому же результаты эксперименталь-
ных исследований. Некоторые соображения по этому поводу приведены
в разд. 8.3.3.
Пример 3.1
Построить матрицы К,М и R для ансамбля из двух элементов,пока-
занных на рис. 3.9. Принять линейный закон изменения перемещений
между узловыми точками для каждого элемента. _ -
Построим матрицы Н^и Bf**’ для/п-7,2. Для вектораU=
получим
£ *]; £ <Ф
('-35-) я]; в'Я" -® аф
Характеристики материала имеют видС^=£, С^£^где Е — модуль уп-
ругости материала. Для интегрирования по объему необходимы площади
поперечных сечений. В соответствии с рис. 3.9 имеем
Д^=/см*; (7^/см*
Объемные силы, начальные напряжения и плотность материала даны
на рис.3.9. Следовательно, получим:
6 - 522
81
K« —
100
Аналогично
1
-1
0
-1 O'
1 0
о 0
13E
240
'0
0
0 -1
0
1
0
-1
1
E
~ 240
2,4
-2,4
0
-2,4
15,4
-13
O'
-13
13
то
*~i00
100
0
0
(f— -—) 0 I du +
I7 100> 100 I y
О
80 v
Таким образом,
M-
6
200
100
0
100
584
336
0 "
336
1024
Наконец,
nt-dh
1~fiO
z
0
, 150
186 ;
3 68
1
3
L&? J
Рис. 3.9. Ансамбль из двух стержней
а — ансамбль в глобальной системе координат ( £*conrt — модуль упругос-
ти; _ Р “ const — плотность; б — элемент 1 ( Т* = 20 кгс/см*; f* а
»1 кгс/смЗ); в — элемент 2 frj я 1 кгс/см*; fl = 0,1 кгс/смЗ) у
82
О
400
' -L'
~100
1
100
о
о 1
to
(20)dy+(Ddy
О
X
L&? J
1_
3
-60
47 ;
13
Г о
!- о
с \100.
а поскольку Rs= 0, получаем
R
3
2101
139 •
ЗЛГ
Следует подчеркнуть, что М учитывается только при динамичес-
ком расчете, когда заданы ненулевые начальные значения U или при-
ложены зависящие от времени силы.
3.2.3. (Усредненные значения коэффициентов матриц конечных эле-
ментов. Физическая интерпретация метода конечных элементов, данная
в предыдущем разделе, заключается в том, что характеристики конст-
рукций — жесткость, массы, демпфирование, а также внешние и внут-
ренние силы определяются в дискретных узлах ансамбля конечных эле-
ментов на основе принципа возможной работы. Пока при вычислении сил
и матриц жесткости используются одни и те же интерполяционные функ-
ции, мы говорим о "совместимых" матрицах масс. Мы еще вернемся
к смыслу совместимости векторов сил в разд. 5.3. Отметим, что вместо
выполнения интегрирования для получения соответствующего вектора
сил мы можем ограничиться просто добавлением приближенного векто-
ра сил Рс t соответствующего в некотором смысле распределенным на-
грузкам в пределах элемента. До некоторой степени .явным способом
получения приближенного вектора сил является путь вычисления пол-
ных объемных и поверхностных сил для элемента и распределения их
равными частями между степенями свободы соответствующего элемен-
та. Рассмотрим, к примеру, прямоугольный элемент плоского напряжен-
ного состояния, показанный на рис. 3.10, с переменными объемными
силами. Полная объемная сила равна 2; распределяя ее на четыре узла,
получим осредненный вектор объемных сил, показанный на рисунке.
Рассматривая вычисление элементов матрицы масс, напомним, что
инерционные силы представляются как часть объемных сил. Следова-
тельно, мы можем также представить матрицу масс осреднением масс
около данного узла, учитывая, что каждая узловая масса соответствует
части масс элементов, примыкающих к данному узлу.
Важным преимуществом осреднения масс является то, что матрица
масс становится диагональной, а это снижает объем вычислений при
Решении уравнений динамического равновесия.
Пример 3.2
Получить вектор осредненных сил и матрицу масс для элементов,
показанных на рис. 3.9.
Матрица осредненных масс
83
или
р 150 О О'
М = 4 О 670 0 .
3 О О 520
Аналогично вектор осредненных объемных сил
’ О'
во
150'
20Z .
52
2
Заметим, что суммы элементов матриц М
прим. 3.1 одинаковы.
и Rfl в этом примере и
J X
Рис. 3.10. Распределение объемных сил и узловые нагрузки для прямоуголь-
ного элемента
84
3.2.4. Частные случаи общей формулировки. В разд. 3.2.2 процесс
дискретизации и получения уравнений равновесия был представлен в
общем случае, т.е. рассматривалось трехмерное тело. Хотя теоретически
любая конструкция может пониматься как трехмерная, для практичес-
ких целей необходимо уменьшить размерность задачи. Первым шагом
в этом направлении является определение типа имеющейся задачи.
Снижение размерности основано на применении соответствующего
решения теории упругости для конкретной задачи [26 — 28]. Все виды
встречающихся задач можно разделить на: (1} - расчет ферм, (2) — рас-
чет рам, (3) — плоское напряженное и (4) — плоское деформированное
состояния, (5) — осесимметричные задачи, (6) — задачи изгиба плит,
(7) — расчет тонких и (8) — толстых оболочек, (9) — общий случай
трехмерного напряженного состояния. Естественно, для каждого вида
задач применима общая постановка. Для случаев одно- и двумерных за-
дач (плоская задача или решение осесимметричных задач) должны
быть рассмотрены наиболее существенные компоненты перемещений,
деформаций и напряжений. Для задач изгиба плит и оболочек являются
трехмерными средами, для уменьшения количества неизвестных кото-
рых используются статические и кинематические гипотезы [27, 28].
Расчет плоских плит на основе гипотезы Кирхгофа требует лишь
трех степеней свободы в каждом узле к : поперечного смещения щ и
двух углов поворота в* и 9* срединной поверхности, как показано
на рис. 3.11. При расчете оболочек следует добавить также мембранные
перемещения ик и ц, , что позволяет просто объединить изгибную и
мембранную жесткости. Кроме того, следует учесть, что величины напря-
жений и деформаций должны вычисляться на основе принятой гипотезы
распределения перемещений, а зависимости (3.54) — (3.66) являются
основой рассмотрения частных видов конечных элементов (рис.3.12).
Уравнения возможной работы, используемые для их исследования, по-
лучаются введением в общие уравнения (3.17) принятых в классичес-
кой теории упругости допущений. Некоторые из этих элементов будут
рассмотрены в разд. 3.3.
Подчеркнем, что для каждого элемента можно использовать свою
локальную систему координат, т.е. хотя в (3.17) и использована глобаль-
ная система координат, перемещения и деформации элементов могут
определяться в некоторой локальной системе, в которой вычисляются
элементы матриц (3.62) — (3.65). Таким образом, без усложнения
расчета для некоторого ансамбля можно применить различные виды
конечных элементов, а возможность их объединения делает метод конеч-
ных элементов весьма удобным для решения комбинированных задач.
3.2.5. Условия сходимости. Имея расчетную схему конструкции, ес-
тественно предположить, что точность решения задачи зависит, прежде
всего, от числа элементов и вида заданных в пределах элемента функций
перемещений [ 29, 30]. В частности, существенно то, что точность расчета
может быть повышена при большем числе элементов, которые удовлет-
воряют условиям сходимости. Заметим, что хотя сходимость и может
иметь место при исследовании расчетной схемы, поведение реальной
конструкции может быть оценено лишь на основе предпосылок, поло-
женных в основу идеализации конструкции.
Рассмотрение требований сходимости приводит к тому, что элемент
Должен быть совместным, а выбранные функции перемещений должны
отвечать условиям полноты. Если оба эти условия выполняются, то
85
Рис. 3.11. Кинематинеские гипотезы расчета плит
а — представление плиты как трехмерного тела; б— гипотеза Кирхгофа:
jr у, -it у u ~Us Ut+ty Ч #
WL-Wj =И£, 1/л-0, 4^=0, 4J ~ t ’'ДЛ" оболочек #4 = "2 2
сходимость решения монотонна, т.е. точность решения повышается с
ростом числа элементов. Сам элемент такого типа называется конформ-
ным. Однако и для элементов, отвечающих условиям полноты, но несов-
местным, результаты могут стремиться к "точным" значениям, но схо-
димость в этом случае обычно не монотонна (см. разд. 5.5).
Требования полноты предполагают, что функции перемещений долж-
ны быть в состоянии представить смещение тела как жесткого целого
и обеспечить состояние, когда деформации постоянны. Перемещениями
тела как жесткого целого являются такие смещения, при которых в теле
не возникают напряжения. Например, элемент для плоского напряжен-
ного состояния должен быть способен к поступательному движению в
двух направлениях и вращению без появления в нем напряжений.
86
Рис. 3.12. Некоторые примеры конечных элементов
а — стержневой элемент; б — балочный элемент; в — осесимметричный или плос-
кий элемент; г — изгибный элемент; д — элемент тонкой оболочки (получен из
Двух предыдущих элементов); е — трехмерный элемент
87
Необходимость состояния постоянной деформации можно понять,
если мы представим, что ансамбль образуется из все большего числа
элементов. Тогда в пределе каждый элемент становится столь мал, что
деформации в пределах каждого элемента оказываются постоянными
и возможна аппроксимация любого вида деформаций в конструкции.
Концепция совместности предполагает, что перемещения в преде-
лах элементов и вдоль их границ непрерывны. Физически совместность
гарантирует, что при нагружении конструкции между элементами не по-
является зазоров. Если в узлах элемента заданы только линейные смеще-
ния, то обеспечивается совместность перемещений и, V и w Однако
если в узлах задаются угловые степени свободы, как в случае изгиба
плит (см. рис. 3.12), то необходимо также обеспечить совместность
элементов по первым производным от перемещений. Это есть следствие
кинематической гипотезы о распределении перемещений по толщине.
Непрерывность W и производных dw/дх и дн/ду вдоль соответствую-
щих сторон элемента означает непрерывность перемещений по толщине
примыкающих элементов (см. рис. 3.11).
Совместность автоматически гарантирована между элементами стерж-
невых систем, поскольку они соединены только в узлах, в то же время
она относительно просто сохраняется в плоской задаче теории упругос-
ти, а также при расчете осесимметричных конструкций и в трехмерных
задачах, если в качестве узловых переменных приняты перемещения
и,Ф и tv. Выполнение требований совместности затруднено при рас-
чете плит и особенно оболочек. Однако ряд неконформных элементов
для решения задач изгиба плит и расчета тонких оболочек дал хорошие
результаты.
Рассматривая решение практически важных задач, в которых исполь-
зованы различные типы элементов, заметим, что совместность между
элементами не всегда удовлетворяется. Однако результаты расчетов
достаточно точны, поскольку погрешность представления конструк-
ции в виде ансамбля элементов не всегда оправдывает применение
более точных моделей для решения задач.
Заметим, что если элементы совместны и отвечают условиям полно-
ты, то это не означает непрерывности напряжений вдоль кромок эле-
мента. Напряжения по кромкам элементов вычисляются по выражениям
(3.55) и (3.57), причем разница напряжений в соседних элементах
убывает со сгущением сетки. Практически приемлемые результаты по-
лучаются, если принимаются средние значения напряжений элементов.
Чаще же напряжения определяются в центре элементов.
Является ли данный элемент совместным и отвечает ли условиям
полноты, зависит от его вида, поэтому каждый элемент надо исследо-
вать индивидуально. Рассмотрим простой пример.
Пример 3.3
Исследовать элемент для плоского напряженного состояния на сов-
местность и полноту.
Для аппроксимации перемещений элемента использованы выраже-
ния (3.28) и (3.29) :
и(х, у) <хгх +ос3у-го^ху;
Я(*>У) аfa*+ <
88
Рис. 3.13. Совместность моментов в
плоской задаче
Рассмотрим два элемента, связанные в двух узлах (рис. 3.13), кото-
рым зададим по два смещения. Из принятого распределения перемеще-
ний следует, что оба узла смежных элементов после нагружения лежат
на одной прямой и, следовательно, условие неразрывности между эле-
ментами выполнено. Таким образом, элемент совместен.
При рассмотрении полноты функция перемещения показывает, что
смещение как жесткого целого в направлении х возможно, если не
равен нулю. Аналогично для жесткого смещения в направлении у тре-
буется, чтобы Д не был равен нулю, а для возможности жесткого по-
ворота нужно, чтобы ofj и Д были ненулевыми, причем Д»-а^.Из вы-
ражений (3.28) и (3.29) ясно, что возможно и состояние постоянной
деформации при уменьшении размера элемента. Итак, условие полноты
для данного элемента выполнено.
Выше мы рассматривали условия монотонной сходимости, не зани-
маясь коэффициентом, определяющим скорость сходимости. Этот ко-
эффициент зависит от полиномиального выражения, представляющего
распределение перемещений в элементе, в связи с чем заметим, что же-
лательно использование полных полиномов [31]. Рис. 3.14 показывает
элементы, которые образуют полный полином от х и у в двумерной
задаче. Здесь представлены все возможные сочетания вида причем
а-<^=с,а С - степень полного полинома. В элементе ррим. З.Э полином
является полным лишь только для первой степени. При рассмотрении
Рис. 3.14. Члены полных полиномов для двумерных задач
89
трехмерных задач следует преобразовать рис. 3.14 в пирамиду, добавив
переменную z.
При изучении характеристик сходимости метода полезно использо-
вать собственные значения и векторы. В разд. 5.3 обсуждаются допол-
нительные требования, которые предполагают выполнение условий мо-
нотонной сходимости при завышении жесткости системы в методе ко-
нечных элементов, т.е. если найденные перемещения меньше (по не-
которой норме), чем точные значения. Таким образом, для повышения
эффективности метода следует разрабатывать более жесткие элементы.
Один из путей исследования жесткостных характеристик элементов
заключается в использовании собственных векторов в качестве базиса
матрицы жесткости. Решая проблему собственных значений
Ку =Лу, (3.78)
получим (см. разд. 2.6)
КФ » ФЛ, (3.79)
где Ф — матрица собственных векторов, а Л — диагональная матри-
ца собственных значений. Ортонормируя собственные векторы, имеем
ФГКФ»Л. (3.80)
Заметим, что Л можно рассматривать как матрицу жесткости эле-
мента, соответствующую его собственным формам, а преобразование
(3.80) позволяет определить, имеются ли у элемента смещения как
жесткого целого, состояния постоянной деформации и какие высшие
формы перемещений заданы для элемента. На рис. 3.15 показаны восемь
собственных векторов и значений четырехузлового элемента (см. разд.
3.2.1 и прим. 4.2). Ясно, что имеются три формы смещений как жестко-
го целого, три состояния постоянной деформации и две произвольных
формы деформации.
Мы встретимся с представлением матрицы жесткости в базисе собст-
венных векторов в разд. 7.2.5 и гл. 8 и 10.
3.3. Модели конечных элементов в обобщенных координатах
Рассматривая плоское напряженное состояние (разд. 3.2), мы приме-
няли для перемещений и и v простые полиномиальные представле-
ния, называя при этом неизвестные коэффициенты полиномов обобщен-
ными координатами. Число неизвестных коэффициентов в полиномах
было равно числу узловых смещений элемента. Выражая обобщенные
координаты через величины перемещений узлов, мы видели, что в общем
случае каждый коэффициент полинома не имеет физического смысла,
но представляет собой линейную комбинацию смещений узлов элемента.
Матрицы конечных элементов, найденные в предположении, что неиз-
вестные величины в функциях перемещений являются обобщенными
координатами, определяют модели конечных элементов в этих коорди-
натах. Наиболее употребляемым классом функций для аппроксимации
перемещений конечных элементов являются полиномы, поскольку поли-
номы вообще чаще всего применяют для приближения неизвестных
90
Л, = 0
I
I
I
I
I
I
_________________________I
Жесткое смешение
л2 = 0
Жесткое смещение
Х}*0
Изгиб
= 0,57692
Х5 = 0,57692
7^ = 0,76923
I 1
(-------------------------------------------h
I I
I I
I |
I____________I
Сжати» растяжение
X7- 0,76923
Г
I
I
I
I
I
I
L
Двухосное растяжение
Л, = 1,92306
Рис. 3.15 Собственные числа и векторы прямоугольного элемента для исследова-
со" дЛ°)СКОГО Деформированного состояния (модуль Юнга-1, коэффициент Пуас-
Функций, и чем выше степень полинома, тем лучшее приближение мы
получаем. К тому же полиномы легко дифференцируются, а это значит,
что, приняв полиномиальную аппроксимацию для перемещений, относи-
тельно просто можно получить и деформации.
На основе аппроксимации полиномами было получено очень большое
количество типов конечных элементов в различных задачах строительной
механики.
Другим классом функций, которые могут оказаться эффективными
в отдельных случаях, являются тригонометрические функции [32— 36].
Эти функции применялись в методе конечных элементов для расчета
91
полос и протяженных коробчатых конструкций, а также для решения
осесимметричных задач при несимметричном нагружении. Преиму-
ществом тригонометрических функций является их ортогональность,
что приводит к уменьшению порядка системы уравнений для опреде-
ления обобщенных координат. Заметим, что наилучшими функциями,
которые следовало бы применить в методе конечных элементов, явля-
ются функции, определяемые собственными векторами задачи, посколь-
ку они приводят к диагональной матрице жесткости системы. Однако
эти функции трудно определить, а потому в большинстве приложений
использование полиномов наиболее естественно.
3.3.1. Основные положения и частные примеры. В данном разделе
перемещения конечных элементов представляются в локальной системе
координат, показанной на рис. 3.12. Поскольку рассматривается один
конкретный элемент, индекс т, введенный в разд. 3.2.2, можно опус-
тить.
Для одномерного стержня (элемента фермы) имеем
и(х) «а,* агх *аэха+ ... , (3.81)
где х меняется по длине элемента, и — локальное перемещение эле-
мента, a обобщенные координаты. Выражение (3.81) можно
использовать и для аппроксимации прогибов балки.
Для двумерных элементов (т.е. для случаев плоского напряженного
и плоского деформированного состояний и осесимметричных задач)
перемещения и и V являются функциями координат х и у :
ибх^ = а,*а2х*ое,у *а4ху+а5х4* ... ; (3^2)
v(x,y) =&+&* +fity +04 ху , <3-83)
причем обобщенными координатами являются величиныаур#,., и
В задаче изгиба плит прогиб W также представляется функцией
координат х и у
*(х.у)~Ъ+ЪХ*Ъу "-К ху + Ъ***"-> (3 84)
где обобщенные координаты.
Наконец, для элементов, в которых перемещения и, V и w представ-
ляются функциями координат х, у и z ,, в общем случае имеем
«Гх^г^вс^-к^хтчхаутс^гте^ху*... ; (3.85)
; (3.86)
™(х>У,х)* 7t*7i*+ 7зУ*7*2*7ахУ+- • (3.87)
где сцаДг..,АлА>-^ — также обобщенные координаты.
Как и при рассмотрении плоского напряженного состояния, соотно-
шения (3.81) - (3.87) можно представить в матричной форме
U а Фа, (3.88)
где вектор и соответствует перемещениям в выражениях (3.81) -
(3.87), матрица ф содержит полиномиальные функции, а « вектор
обобщенных координат. Чтобы выразить их через смещения узлов,
92
примем множество узловых перемещений в качестве обобщенных коор-
динат. Тогда, строя выражение (3.88) для перемещений узлов, получим
и-Лес.
(3.89)
Считая, что матрица А неособенная, находим
<х = А .
(3.90)
Деформации элемента определяются в зависимости от типа решае-
мой задачи. Обозначая через с вектор обобщенных деформаций, ком-
поненты которого для различных задач даны в табл. 3.1,будем иметь
€ « Еа ,
(3.91)
где матрица Е строится с использованием представления перемещений
выражениями (3.81) — (3.87). Вектор обобщенных напряжений опреде-
ляется соотношением
г-Се, (3.92)
где С — обобщенная матрица упругости. Величины Т и С для
ряда задач приведены в табл. 3.1 и 3.2. Нужно сказать, что за исключени-
ем задач изгиба, обобщенные матрицы т,с и С те же, что и используе-
мые в теории упругости. Слово "обобщенные" применено для представ-
ления кривизн и моментов как деформаций и напряжений. Преиму-
щество использования кривизн и моментов в задачах изгиба заключа-
ется в том, что не требуется интегрирования по толщине плиты, посколь-
ку при этом учитывается переменность деформаций и напряжений (см.
поим. 3.6).
Анализируя табл. 3.2, можно заметить, что все матрицы упругости
получены из основного соотношения для трехмерного случая. Матрицы
упругости для случая плоского деформированного срстояния и осесим-
метричных задач получены из матрицы для объемного состояния вычер-
киванием строк и столбцов, соответствующих нулевым компонентам
деформаций. Матрица упругости для задачи о плоском напряженном со-
Таблица 3.1. Соответствие кинематических и статических
переменных для различных задач
Задача Перемещения Деформации вг Напряжения fr
Стержень Балка Плоское напряженное состояние Плоское деформирован- ное состояние Осесимметричная задяа Трехмерная задача Изгиб плит и W U,V u,v и, V u.v.w w [«»] Ге 1 1ЛХЖ Лу J С6»» <•* 7«> €«] [вж еж е» 7я/ Я» ej ГЛ»» Л»» Л„#] [ТжД _ [Mur] , [Г„ rMJf] [Тжм Г,,] (jire Ч* **» [tj, tto Чи Гжж] CM* Mw Мч]
Обозначения:
93
Таблица 3.2. Матрицы упругости для изотропного
материала
Задача
Матрица упругости С
£
Стержень
Балка
Плоское напряженное состо-
яние
Плоское деформированное
состояние
Е
1-V*
Е1
v
О
о'
о
fz»
2
V
1
О ч-
у
1- У
1
О
О
О
1-2»
2(1- »)
Осесимметричная задача
Е(1-»)
(1->у)(1-2у)
у
1—V
1
О
V
1-V
О j-У-
T-v
у
- v
О
О
1-2У
2(1-»)
О
7у1
1
v
О
1
у
О
v
1
Трехмерная задача
Изгиб плит
1
V
1- У
Е(1-у) У
7*у%/-2у) 1-v
~1 у О
Et* у 1 О
12(1-у*) q 0
Обозначения: £ — модуль Юнга, у — коэффициент Пуассона, t — толщина плас-
тины, 2 — момент инерции.
стоянии найдена из матрицы для осесимметричной задачи с учетом т22
(см. программу QUADS в разд. 4.8). При получении матрицы упругос-
ти для расчета плит используется матрица упругости плоского напряжен-
ного состояния, как показано в следующем примере.
94
Пример 3.4
Построить матрицу упругости С для расчета плит на изгиб (см.
табл. 3.2).
Деформации, определенные на расстоянии z от срединной поверх-
.,сгти плиты, имеют вид ;
Г - 2.d^w 1
L <?хг дхду J
При расчете плиты на изгиб предполагается, что каждый слой ее
находится в условиях плоского напряженного состояния. Таким обра-
зом, после интегрирования нормальных напряжений по толщине плиты
получим моменты на единицу длины, а обобщенная матрица упругости
примет вид
гг—£-
1-v*
1
V
О
v 0 '
1 О
О
или
1
С»-**' V
12(1-V*) 0
V 0
1 О
О Lzll
2
Соотношение (3.90) выражает обобщенные координаты через переме-
щения узлов элемента в локальной системе координат. Для всего ан-
самбля элементов следует перевести перемещения узлов и величины
сил в единую систему координат. Чтобы представить локальные переме-
щения узлов элемента в форме, соответствующей глобальным степеням
свободы элемента, используем преобразование
(3.93)
где U содержит глобальные смещения всех узлов ансамбля.
Матрица жесткости элемента, соответствующая этим смещениям,
получается подстановкой соотношений (3.90) — (3.93) в выражение
(3.62) .Таким образом,получим
К» ТГА"ГЦ E’CEdP'j А^Т.
(3.94)
Заметим, что
(3.95)
V
является матрицей жесткости элемента, соответствующей обобщенным
координатам, а A-rKscA'/ — матрица жесткости, связанная с локальными
степенями свободы элемента и .
Таким образом, в (3.94) используются конгруэнтные преобразования
матрицы жесткости в обобщенных координатах для получения требуе-
95
мой матрицы жесткости элемента в глобальной системе координат.
В общем случае элементы могут быть вычислены явно, поскольку
матрицы Е и С формируются достаточно просто. Однако лишь для
простых элементов, т.е. при малом числе членов полиномов, используе-
мых для аппроксимации перемещений, возможно обращение матрицы
А в замкнутом виде. В частности, при получении матриц элемента в
прим. 3.5 можно найти А** в явйой форме, в общем же случае матрица
Д’*получается численно.
Переход от локальных степеней свободы к глобальным для двух-
и трехмерных элементов аналогичен тому, как это делается для стерж-
невых элементов, т.е. t-тая строка матрицы Т выражает /-тое
локальное перемещение элемента через соответствующие глобальные
перемещения конструкции. Как и в матрицах НЛч’ и рассмотрен-
ных в разд. 3.2, z-тый столбец Т является нулевым, если отсутствует
L -тая компонента перемещений в U, т.е. какое-либо глобальное смеще-
ние не связано с рассматриваемым элементом. Поэтому можно игнори-
ровать все нулевые столбцы матрицы Т и вычислять матрицы жесткос-
ти в упакованном виде, причем их порядок равен числу степеней сво-
боды элемента. Это означает, что хотя окончательная матрица жесткости
определяется соответствующими глобальными степенями свободы, тем
не менее для построения матрицы жесткости ансамбля элементов необ-
ходимо определить жесткости для каждой конкретной глобальной сте-
пени свободы элемента. При сборе матриц элементов в матрицу ан-
самбля (см. разд. 6.2.3) используется массив, связывающий глобальные
степени свободы элемента с глобальными степенями свободы ансамбля.
Теперь можно считать, что в матрице Т сохраняются лишь ненулевые
столбцы, а матрица жесткости элемента получается по формуле (3.94) в
компактной форме.
Как только получены матрицы, участвующие в построении матрицы
жесткости элемента, весьма просто получить соответствующие матрицы
масс, векторы сил, вызванных объемными или поверхностными нагруз-
ками, и сил, возникающих от начальных напряжений. Используя (3.54),
(3.88), (3.90) и (3.93), найдем, что
Н - ФА‘*Т, (3.96)
где, как и раньше, опущен индекс (т) . Таким образом, для вектора
объемных сил имеем
^TTKr^Tfadvj. (3.97)
Аналогично для векторов поверхностных1 сил и начальных напряже-
ний получим
Соответствующая матрица масс имеет вид
М « Т rA'rQ dv)K1T.
(3.98)
(3.99)
(3.100)
96
Построение векторов и R2 можно проделать аналитически, если
Vх заданы в виде полиномов, в противном случае приходится
использовать численное интегрирование, рассматриваемое далее в гл. 4.
Следует заметить, что при получении модели конечного элемента в
обобщенных координатах мы предполагали, что матрица А имеет
обратную. Численные значения элементов матрицы А зависят от гео-
метрии элемента и выбранных полиномов, аппроксимирующих его
смещения. В настоящее время построено много различных матриц жест-
кости, некоторые из них будут приведены в нижеследующих примерах.
Однако в ряде случаев матрица Д оказалась плохо обусловленной
или особенной при определенных геометрических характеристиках. Это
означает, что при конкретных аппроксимациях перемещений имеются
такие конфигурации узлов, при которых элементы матриц вычисляются
с ошибками. Трудности, связанные с обращением матрицы А и построе-
нием моделей конечных элементов в обобщенных координатах, во мно-
гом способствовали развитию эффективных изопараметрических эле-
ментов. Но прежде чем перейти к формулировке изопараметрического
конечного элемента в гл. 4, мы хотим закончить изложение построением
некоторых простых конечных элементов с помощью обобщенных коор-
динат. Цель этих примеров заключена в практическом применении рас-
смотренных выше зависимостей.
Пример 3.5
Получить матрицы жесткости, масс и векторы нагрузок для треуголь-
ного конечного элемента, предназначенного для решения осесимметрич-
ных задач (рис. 3.16).
Этот элемент был исследован одним из первых [32]. Для большин-
ства практических задач имеются и более эффективные конечные эле-
менты (см. гл. 4), однако данный элемент обычно используется в учеб-
ных целях, поскольку вывод необходимых зависимостей осуществляет-
ся относительно просто.
Перемещения представляются в виде
и(х,у)~<ж<--<*г* + <х,у ;
V(xty)~fa->fax * fay.
Поскольку предполагается линейный закон изменения перемещений,
то можно записать соотношение
Ufcyfl Г/ X у О О 01 А-'
О О 1 х у\ О
Рис. 3.16. Осесимметричный треуголь-
ный элемент
7 - 522
97
в котором
А =
1 х< У<
/ X* {/« •
1 х,
Следовательно,
Л-< 1
А "551
УЛ~У»
х, -xt
ХгУ/~Х1^г
У,~У<
х. -х.
х,&-хл^
%-«4
хя-х<
det 4 = x/^-t/J^jz.-yJ * х,(ц-tft).
Заметим, что det Д = 0, если все три узловые точки лежат на одной
прямой. Деформации даны в табл. 3.1, т.е.:
е о - dv. ди ,9v , . _ dw _ и_
” дх > • п д2~ х ’
Используя принятые для перемещений полиномы, получим
ные для вычисления матриц элемента по выражениям (3.94) — (3.100).
Следует заметить, что при решении плоской задачи используются те же
соотношения (а), в то время как в (б) последняя строка, соответствую-
щая е„, не пригодна.
Вспоминая требования сходимости по совместности и полноте, рас-
смотренные в прим. 3.3, мы видим, что данный треугольный элемент
также совместный и отвечает требованиям полноты.
Для построения ансамбля элементов необходима матрица преобразо-
вания Т . Определим, к примеру, матрицу преобразования перемеще-
ний для узла 1 треугольника. Обращаясь к рис. 3.6, получаем
Ги/| Г cosot sina 1 ГUi~\
Lv* Jr Sln« cosa] [14 J'
Аналогичным путем могут быть преобразованы перемещения для
всех остальных узлов. Для треугольного элемента на рис. 3.16 в случае,
когда компоненты перемещений заданы как в выражении (а), исключая
нулевые столбцы матрицы преобразования, получим
" cosa 6 0 I sina 0 0 "I
0 C0SOC 0 I 0 sina 0
0 0 cosat I 0 0 sina
т= -sina 0 о Г cosa 0 0 J
0 -sina О 1 0 cosa 0
0 0 -sina I 0 0 cosa.
98
поскольку Т-ортогональная матрица, Т”*«ТГ
Интегралы для матриц в выражениях (3.94) - (3.100) получим в
1де
fXC£dV =
о о'
0 1
1 о
о о
xdxdy,
де рассмотрен 1 радиан осесимметричного элемента при интегрировании
ю объему. Аналогично получаем
0
1
О
1
О
£
х
1
X
О
О
0.
dxdy\
О 01 .
х y\*dxd!T>
причем плотность материала р принята постоянной.
Для получения вектора поверхностных сил Rs надо вычислить fo^dS.
Целесообразно при вычислении этого интеграла ввести вспомогательную
систему координат, одна из осей которой направлена вдоль кромки эле-
мента. Пусть сторона 2 -3 нагружена, как показано на рис. 3.17. Век-
Т°Р R4 вычислим с использованием переменной 5-
99
Рис. 3.17. Осесимметричный элемент с
поверхностной нагрузкой
Рассматривая интегралы в выражениях (в) и (ж), можно заметить
следующее. Во-первых, вычисление интегралов возможно как в замкну-
том виде, так и численно (см. разд. 4.6). Во-вторых, матрицы жесткости,
масс и нагрузок, соответствующие конечному элементу плоской задачи,
легко получить: (1) — исключая четвертую строку матрицы Е , исполь-
зуемой в (в) и (д); (2) — введением соответствующей матрицы С в
(в); (3) — применяя в качестве дифференциала объема tdxdy вместо
где< — толщина элемента (обычно принимаемая равной 1 для
плоского деформированного состояния). Таким образом, решение осе-
симметричной и плоских задач можно совместить в одной программе
для ЭВМ. Кроме того, матрица Е показывает, что условие постоянства
и реализуется в любой задаче.
Решение трех перечисленных выше задач с помощью единой програм-
мы для ЭВМ будет продемонстрировано в разд. 4.8, где обсуждается
эффективная численная реализация изопараметрического конечного
элемента.
Пример 3.6
Получить матрицы *Цх,у)} Efx,у) и А для прямоугольного элемента
изгибаемой плиты (рис. 3.18).
Этот элемент был одним из первых изгибаемых конечных элементов
[29, 37]. Как и в прим. 3.5, цель данного примера заключается в показе
основных положений методики, изложенной в этом разделе. Следует за-
метить, что уже разработаны более точные конечные элементы для из-
гибаемых плит (см. гл. 4) [38-41].
Как показано на рис. 3.18, элемент плиты характеризуется тремя
степенями свободы в узле. Таким образом, нужны 12 обобщенных
координат ot„.,.,ae для аппроксимации W Соответствующий полином
принят в виде:
*алх +ы.ьу +а„х*+и*ху ‘<xiy*+cx7x)+ <хвхгу + а9ху1-+
х3у + схп ху3.
100
X
Рис. 3.18. Прямоугольный изгибаемый элемент
Следовательно,
= [7 х ХУ У1 X3 **У ХУ* Уг Х*У ху*] .
Теперь можно определить ди)/дх И dw/dy.
~ =cxg+2ohx +а$у+3схтх3 +2<xtxy + <x1y*i-3cx« хгу+<хп у*
И
dw
Эу
а.3 +<хех +2схьу+схд х +2at ху +3а„ уг+ сХиХ3-^ Зая ху£:
(а)
(б)
(в)
Используя условия
wt -
/^)
(dy/x^‘
1=1,-
•>4 >
можно построить матрицу А
где
101
7 х. У< X? х,у< yf V х<У* У? *!у, х<у<3'
1 Хц Уч ьу, yi 4 *'чУч ^чУч Уч **чУч ХчУч
0 0 1 0 X, ?У. 0 2х,У. Зу* *3 Зх,у»
А- 0 0 1 0 Л 2у, 0 2хчу„ Syi х> ЗХчУч
0 ~1 0 -2х, "% 0 -Зх} -2х,у, -у; 0 -Зх*у< -у}
0 -1 0 ~2*ч »» ~Уч 0 ~3х* ~2хчУч ~Уч 0 ~3х2у„ -у! _
которая, как можно доказать, всегда имеет обратную.
При вычислении матрицы Е напомним, что в расчете изгибаемых
плит кривизны и моменты рассматриваются, как обобщенные дефор-
мации и напряжения (см. табл. 3.1 и 3.2). Вычисляя соответствующие
производные на основании выражений (б) и (в), получим
-^7=-^««-5otzx ~2<хау-6<хнху ;
~ ~2<*t -2ottx - у - ху ;
2 = 2о^ + 4схв х + 4<х,у+6«мхг+6cx„ ух.
ахоу
(д)
Таким образом,находим
'0 0 0 -2 0 О
Е= О О О 0 0 -2
0 0 0 0 2 О
~6х ~2у 0 0 -бху О
О О -2х -бу 0 -бху
О 4х 4у О 6хг бу*
(е)
Теперь можно вычислить по выражениям (3.94) — (3.100) матрицы
жесткости, масс и вектор внешних сил, используя полученные матрицы
Ф,А и Е и матрицу упругости С, данную в табл. 3.2.
Важно выяснить при получении матрицы жесткости, является ли
данный элемент совместным и отвечает ли он условиям полноты. Рас-
смотренный в этом примере элемент отвечает условиям полноты, как
это следует из соотношений (д), т.е. элемент удовлетворяет состоянию
постоянства кривизн. Однако он не совместен.
Требования совместности нарушаются при наличии нескольких конеч-
ных элементов, в результате чего сходимость решения в общем случае
не монотонна.
3.3.2. Пространственная изотропия. Помимо требований единствен-
ности соответствия между обобщенными координатами и смещениями
узлов следует учесть еще одно важное обстоятельство. Речь идет о требо-
вании так называемой пространственной изотропии или геометрической
инвариантности, которое предполагает, что перемещения элемента не
должны зависеть от ориентации локальной системы координат элемента.
Рассмотрим, например, двумерный элемент. Для некоторой локальной
системы координат можно принять
U(x,y)= <Xi+a2x * о^уч-о^ху ; (3.101)
v(x,y) » Д *Дх * +fax2 . (З.Ю2)
102
Покажем, что данный элемент отвечает условиям полноты, а усло-
виям совместности только в случае, если ориентация элемента всегда
одна и та же, т.е. когда связаны кромки элементов, вдоль которых
перемещения меняются по параболе, и кромки, вдоль которых переме-
щения линейны. При использовании такого элемента в ансамбле удов-
летворяются все условия сходимости. Тем не менее перемещения эле-
мента зависят от ориентации осей координат, поскольку члены полино-
мов при и fit, не одинаковы. К примеру, предположим, что оси
х и у поменялись местами, в таком случае мы, очевидно, имеем дело
с разными полями перемещений. Следовательно, и матрица жесткости
зависит от ориентации локальной системы координат элемента.
Несмотря на то, что такое положение нежелательно, в действительнос-
ти для различных видов элементов применяются свои оси локальных
координат и различные законы изменения перемещений вдоль каждой
оси. Следует выбирать функции перемещений, основываясь на рассмот-
рении конкретных задач механики. К примеру, при построении элемента
для расчета толстой оболочки более низкие порядки функций перемеще-
ний определяют изменения их по толщине элемента, а не по его поверх-
ности. Аналогично элемент для расчета мостов может иметь различные
законы распределения перемещений в разных направлениях. Однако
если можно выбирать различные функции перемещений для определен-
ных направлений, лучше чтобы принятые перемещения не зависели от на-
правления.
Для двух- и трехмерных континуумов, обладающих пространствен-
ной изотропией, геометрическая инвариантность накладывает ограниче-
ния на выбор членов полиномов, представляющих перемещения. В об-
щем модель перемещений геометрически инвариантна, если принят
одинаковый порядок полиномов для перемещений и, V и W несли
возможна замена соответствующих членов этих полиномов в системе
координат х,у и z , связанной с элементом.
При построении моделей конечных элементов в обобщенных коор-
динатах удовлетворение условий геометрической инвариантности не
всегда простое дело. Трудности в достижении объемной изотропии не-
которых элементов в обобщенных координатах, даже когда матрица А
хорошо обусловлена, вызвали интерес к исследованию моделей конеч-
ных элементов, в которых используются интерполяционные функции.
Эти исследования и привели к появлению изопараметрических элемен-
тов, рассматриваемых в гл. 4.
Список литературы
I - о. с. Zienkiewicz and G S. Hoi is., я, Slrf„ Analy,,,. John Wiley & Sons
Inc., New York, 1965
2 2-5nZl6NK'6WICZ' Method in Engineering Science, McGraw-
Hill Book Company, New York. 1971,
3 м 5 Mariin and G F. Carfy, Introduction to Finite Element Analysis
MeGraw-Hill Book Company, New Yotk, 1973,
4 к.' 4 S DFSAI and J F Ae₽l’ lnfroducHon <“» Finite Element Method. Van
N°s(rand Reinhold Company, New York, I972
103
5. R H Gauaghfr, Finite Element Analysis Fundamentals, Prentice-Hall, Inc,
Englewood Cliffs, New Jersey, 1975
6. G А Felippa, Refined Finite l lement Analysis of Linear and Nonlinear Two-
Dimensional Structures," Report UC SESM 66-22, Department of Civil Engi-
neering, University of California, Berkeley, 1966
7 Proceedings of the 1st, 2nd, and 3rd Conferences on Matrix Methods in Struc-
tural Mechanics. Wright-Patterson A FB, Ohio, 1965, 1968, 1971
8. Proceedings of the 1st and 2nd Conferences on Structural Mechanics in Reactor
Technology, Berlin, 1971, 1973
9. 1 Holland and К Bell (eds ), Finite Element Methods tn Stress Analysis,
Tapir, Trondheim, Norway, 1969
10. R H Gallagher, Y Yamada, and J T Oden (eds), Recent Advances ut
Matrix Methods of Structural Analysis and Design, University of Alabama
Press, Huntsville. Ala ,1971
11. J T Oden, R W Clough and Y Yamamoto, (eds ) Advances in Computational
Methods in Structural Mechanics and Design, University of Alabama Press,
Huntsville, Ala , 1972
12. J R Whiteman (ed ), The Mathematics of Finite Elements and Applications,
Academic Press Inc Ltd , London, 1973
13. S J Fenves, N Perrone, J Robinson, and W C Schnobrich (eds ), Numerical
and Computational Methods in Structural Mechanics, Academic Press, Inc ,
New York, 1973
14. W Pilkfy, К Saczalski, and H Schaeffer (eds), Structural Mechanu s Com-
puter Programs, University Press of Virginia, Charlottesville, Va , 1974
15. R Courant, "Variational Methods for the Solution of Problems of Equilib-
riums and Vibrations,” Bulletin of the American Mathematical Society, Vol 49,
1943, pp 1-23
16. R Courant and D Hilbert, Methods of Mathematical Physics, John Wiley &
Sons, Inc , New York, 1953
17. L Collatz, The Numerical Treatment of Differential Equations, Springer
Verlag, Berlin, 1st ed , 1950, 3rd ed , English translation. New York 1966
18. J L SyNgf, The Hvpercircle tn Mathematical Physics, Cambridge University
Press, London, 1957
19. M J Turner, R W Clough, H C Martin, and L J Topp Stiffness and
Deflection Analysis of Complex Structures," Journal of Aeronautical Science
Vol 23. 1956, pp 805-823
20. J H ARGVRisandS Kelsey, Energy Theoremsand Structural Analysis,” Air
craft Engineering Vols 26 and 27, 1955
21. R W Clough The Finite Element in Plane Stress Analysis Proceedings
2nd A S С E Conference on Electronic Computation, Pittsburgh Pa Sept
I960
22. H C Martin, Introduction to Matrix Methodsof Structural Analysis, McGraw
Hill Book Company, New York. 1966
104
13. J S Przfmifnifcki, Theory of Matrix Structural Analysts, McGraw-Hill Book
Company, New York, 1968
24. К J Baihf, F L Wiison, and F E Peifrson, "SAP 1У A Structural Analy-
sis Program for Static and Dynamic Response of Linear Systems.” Report
EERC 73-11, College of Engineering, University of California, Berkeley. June
1973. revised Apr 1974
25. W C Huriy and M F Rubins i ein, Dynamics of Structures, Prentice-Hall.
Inc , Englewood Cliffs, N J , 1964
26. S Timoshfnko and J N Goodier, Theory of Elasticity, McGraw-Hill Book
Company, New York, 1951
27. S Timoshenko and S Woinowski-Krieger, Theory of Plates and Shells, 2nd
ed , McGraw-Hill Book Company, "New York, 1959
28. W Flugge, Stresses in Shells, Sprmger-Verlag, Berlin, 1960
29. R J. Melosh, "Basis of Derivation of Matrices for the Direct Stiffness Method,
A.I.A.A, Journal, Vol. I, 1963, pp. 1631-1637
30. S Kfy, "A Convergence Investigation of the Direct Stiffness Method,” Ph D
thesis. University of Washington, 1966
31. R. L. Taylor, "On Completeness of Shape Functions for Finite Element Analy-
sis," International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 4, 1972.
pp. 17-22
32. E. L. Wilson, "Structural Analysis of Axi-symmetnc Solids," A.I.A.A Journal,
Vol. 3, 1965, pp. 2269-2274.
33. S. Ghosh and E. L. Wilson, "Dynamic Stress Analysis of Axisymmetnc Struc-
tures under Arbitrary Loading," Report EERC 69-10, College of Engineering,
University of California, Berkeley, Sept 1969
34. Y. K. Cheung, "Finite Strip Method of Analysis of Elastic Slabs," Proceedings
of the American Society of Civil Engineers, Vol. 94, EM6, 1968, pp 1365-1378.
35. K. J. Willam and A. C Scordelis, "Analysis of Orthotropic Folded Plates
with Eccentric Stiffeners," Report UC SESM 70-2, Department of Civil Engi-
neering, University of California, Berkeley, Feb. 1970.
36. C. Meyer, “Analysis and Design of Curved Box Girder Bridges," Report UC
SESM 70-22, Department of Civil Engineering, University of California,
Berkeley, Dec. 1970.
37. R. W. Clough and J. L. Tocher, "Finite Element Stiffness Matrices for the
Analysis of Plate Bending," Proceedings, Conference on Matrix Methods in
Structural Mechanics, Wright-Patterson A F.B., Ohio, 1965.
38. J. H. Argyris, “Contmua and Discontinue,” Proceedings, Conference on
Matrix Methods m Structural Mechanics, Wright-Patterson A F В , Ohio, Oct
1965
39. R W. Clough and C. A. Felippa, "A Refined Quadrilateral Element for Analy-
sis of Plate Bending," Proceedings, 2nd Conference on Matrix Methods in
Structural Mechanics, Wright-Patterson A.F.B., Ohio, 1968.
105
40. R. H. Gallagher, “Finite Element Analysis of Plate and Shell Structures,
Symposium on Applied Finite Element Methods in Civil Engineering, Vander-
bilt University, Nashville, Nov. 1969.
41. R. D. Cook, “Some Elements for Analysis of Plate Bending,” A.S.C E„ Journal
of Engineering Mechanics Division, Vol. 98, 1972, pp. 1453-1470.
ГЛАВА 4
МАТРИЦЫ ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
4.1. Введение
Одним из этапов в решении задач методом конечного элемента явля-
ется построение матриц для конечных элементов. В гл. 3 обсуждались
модели конечного элемента с использованием обобщенных координат.
Целью представления конечного элемента в обобщенных координатах
являлось, прежде всего, стремление к углублению понимания самого
метода. Но, как было подчеркнуто, в большинстве приложений исполь-
зование изопараметрических элементов более эффективно [1 — 16].
Для моделей конечных элементов в обобщенных координатах ис-
пользовалась локальная система координат X, уг z , и перемещения
uQc,y,z),v(x,y,z) и w(x,y,z) представлялись в виде полиномов. Физический
смысл обобщенных координат не выявлялся заранее, однако в даль-
нейшем выяснилось, что они представляют собой линейные комбинации
узловых смещений элемента. Была также подчеркнута необходимость
существования обратной матрицы А"* в выражении (3.90). Основная
идея построения изопараметрических конечных элементов состоит в
получении соотношений между перемещениями произвольной точки
элемента и узловыми смещениями непосредственно через интерполяци-
онные функции (функции формы) без вычисления матриц Д’* и Т
(см. 3.96).
4.2. Получение матрицы жесткости для стержневого
элемента в изопараметрической форме
Рассмотрим стержневой элемент в целях иллюстрации методики
определения жесткости изопараметрического элемента.
Для простоты изложения предположим, что ось стержня совпадает
с осью X глобальной системы координат, как показано на рис. 4.1.
Первым шагом является определение связи глобальных координат и
естественной системы координат с переменной г , где-/сг< 1 (рис.
4.1). Это преобразование выражается в виде
(4.1)
ИЛИ 2
fulfil , (4.2)
106
Рис. 4.1. Элемент в глобальной и местной системах координат
где hrj(l-r) и h^^(l+r) являются интерполяционными функциями,
или функциями формы.
Представим продольные перемещения сечений стержня так же, как и
глобальные координаты, в форме
г
U* ХИМ .
(4.3)
Представление координат элемента и его перемещений с использова-
нием одних и тех же интерполяционных функций, определенных в ес-
тественной системе координат, является основой построения изопара-
метрического конечного элемента.
Для вычисления матрицы жесткости элемента нам нужно найти его
деформацию. В данном случае
dU dr
dr dX
(4.4)
Из (4.3) следует
dU _ Ui-U<
dr 2.
(4.5)
а, используя (4.2), получим
dX_ L
dr ~ ~
где L — длина стержня.
Отсюда
2. 2
(4.6)
е =
Ut-U<
L
(4.7)
Таким образом, матрица связи деформаций с перемещениями, соот-
ветствующая (3.55), имеет вид
/].
(4.8)
107
Обычно эта матрица является функцией естественных координат, а
поэтому интеграл по объему при получении матрицы жесткости должен
вычисляться в естественных координатах. Следовательно,
„ АЕ Л'г
L2
(4.9)
где Л и £ — площадь сечения и модуль упругости материала стержня,
принимаемые постоянными по длине стержня, a J — матрица Якоби,
связывающая элемент длины в глобальных и естественных координатах
dX -Jdr.
Из (4.6) имеем
7-f-
Вычисляя (4.9), получим
_ АЕ_ Г 1 -Г
L [-/ 1J ’
(4.10)
(4.11)
(4.12)
что и является решением поставленной задачи. В этом подходе нам уда-
лось избежать построения матриц А-/ и Т. Для сравнения вышеприве-
денного пути с приемом использования обобщенных координат опреде-
лим г из (4.1) и подставим в (4.3). Получим
X-[(X,*Xj/2]
L/2
откуда
U = <хо + ос<Х ,
где
или
Г/ . Х,*Хг L Х<+Хг
2 2L 2 2L „
X. 1 °-
L L
Здесь _ _ г _
ar- [a„ ex,] ; U “ [Ц Uz\-
(4.13)
(4.14)
(4.15)
(4.16)
(4.17).
4.3. Общий случай
Хотя чаще всего прямое вычисление элементов матриц, соответст-
вующих глобальным степеням свободы элемента, более эффективно,
108
сначала рассмотрим получение матриц, соответствующих локальным
степеням свободы.
4.3.7. Изопараметрический элемент в локальной системе координат.
Основным алгоритмом построения матриц для изопараметрического
элемента является представление координат и перемещений элемента
в форме интерполяционных многочленов с использованием естествен-
ной системы координат. Эта система является одно-, двух- или трехмер-
ной в зависимости от мерности элемента. Построение необходимых
матриц происходит единообразно, поэтому ограничимся рассмотрением
трехмерного элемента.Матрицы для одно- и двухмерных элементов могут
быть построены аналогично с использованием необходимых интерпо-
ляционных функций.
Рассмотрим некоторый трехмерный элемент, координаты которого
представляются следующим образом
ч
У* £.ЪУ1
1*т
«
Z= ZA;Zz
(4.18)
где х,у и z — координаты произвольной точки элемента (локальные),
а — координаты у узлов элемента. Интерполяционные
функции Н, определены в естественной системе координат элемента с
переменными л», s и t , каждая из которых изменяется от +1 до —1. За-
метим, что сами функции hi являются неизвестными величинами.
Основным свойством этих функций является равенство их значений
единице в узле I при нулевых значениях во всех других узлах. Исполь-
зуя это свойство, можно легко определить функцию hi при данной сет-
ке узлов путем решения соответствующих систем ‘уравнений. Однако
более удобно искать их другим путем, представленным в следующем
примере.
Пример 4.1
Построить интерполяционные функции, соответствующие трехузло-
вому стержневому элементу (рис. 4.2).
Для этого используем интерполяционные полиномы второй степени.
Функция ht строится без особых затруднений: уравнение параболы,
удовлетворяющее нулевым значениям при и единице при г» О,
есть (J — г3-) . Два других полинома, А, и h3 , строятся в виде супер-
позиции линейных функций и параболы. Рассмотрим функцию hj. Ис-
пользуя добавку заметим, что она обращается в нуль при г»-/
и в единицу при /’=+/. Для того чтобы была также равна нулю
приг=0 ,следует принять Ау= Интерполяционная функция
А, получается аналогично.
Процедура, использованная в прим. 4.1 для построения необходимых
интерполяционных функций, удобна и для элемента с переменным
числом узлов.
Представим, что получены первые полиномы для базисного двух-
узлового элемента. Добавление других узлов приводит к добавлению
109
Рис. 4.2. Интерполяционные функции для одномерного элемента
новых интерполяционных функций и корректировке уже существую-
щих. На рис. 4.3 представлены интерполяционные функции одномерного
элемента, рассмотренного в прим. 4.1, для случая четырех узлов. Как
показано на рисунке, элемент может иметь от двух до четырех узлов.
Заметим, что узлы 3 и 4 внутренние, а узлы 1 и 2 определяют двух-
узловой элемент.
Процедура конструирования интерполяционных полиномов для
одномерных задач может быть непосредственно обобщена на двух- и
трехмерные случаи. На рис. 4.4 приведены интерполяционные функции
для двухмерного элемента с числом узлов от четырех до восьми, а на
рис. 4.5 — для трехмерного элемента при числе узловых точек от восьми
до двадцати. Интерполяция для двух- и трехмерного случая основана на
приеме, аналогичном одномерной интерполяции, причем следует заме-
тить, что фактически используются те же базисные функции, которые
ПО
<7/
0.3 L _____________0,5L
Узел1\ УзелЗ Узел4 ^~\узел2
г •= * 7 три узла
~4"j ?*~*1 четыре узла
О) I Включается
! если сушес1вует узел 3
{Ь-Г')............i-j.fr-Р)............
+ ............l.-^-fr-r2;..........
b3 = (f-r2)...........;....................
Ь4 = ^(-27г’-5г^27г^)]
, Включается
если существуют узлы 3 и 4
!.* 4^‘5г3+г2*5г 1)
•l.-*- ^д(9г3^г2-9г-1)
\р -/д(27г3Лг^-27г-7)
Рис. 4.3. Интерполяционные функции для одномерного элемента с числом
узлов от 2 до 4
а — элемент с числом узлов от 2 до 4; б —интерполяционные функции
уже применены на рис. 4.3. Мы рассмотрели на рис. 4.4 и 4.5 главным
образом параболические интерполяционные полиномы. Элементы с про-
извольным числом узлов при интерполяции более высокого порядка мо-
гут быть получены аналогично.
Самое примечательное в элементах на рис. 4.3 — 4.5 заключается в
том, что они могут иметь любое число узлов между минимальным и
максимальным. В этом смысле следует заметить, что плоский треуголь-
ный элемент с постоянной деформацией может быть поручен из четырех-
узлового элемента (рис. 4.4) путем простого совмещения узлов. По-
добным же образом элемент в виде тетраэдра или четырех узловой
элемент с постоянной деформацией может быть сформирован из вось-
миузлового параллелепипеда, как показано на рис. 4.6. Однако для
получения максимально возможной точности элементе переменным чис-
лом узлов должен быть близок к прямоугольному (в трехмерном
случае — к прямоугольнику в каждой плоскости элемента) насколько
это возможно, а промежуточные узлы желательно располагать ближе
к середине ребер.
Рассматривая геометрию двух- и трехмерных элементов на рис. 4.4
и 4.5, заметим, что интерполяция координат по (4.18) без каких-либо
трудностей может определить элемент с криволинейными кромками.
Это является существенным преимуществом по сравнению с представле-
нием элементов в обобщенных координатах. Другим важным преиму-
ществом является простота, с которой строятся функции перемещений
для элемента.
Для изопараметрического элемента перемещения интерполируются
так же, как и его координаты, в виде
111
Включается, еели существует L-и узел
i = 5 i = 6 L = 7 i
{Г? +r) (1 +S) ~ у ^5 •• “ yh«
\ (l-r)(1 +S) ... -ibs
i(i-r)d-s) “ У ^7
i (1 + r)(f - s) ••• ~ у -уЛ,
Рис. 4.4. Интерполяционные функции для
двухмерного элемента с числом узлов от 4 до 8
а —двухмерный элемент с числом узлов от 4
до 8; б — интерполяционные функции
«
U = Z hiui
V - 2-hiVi
‘%
«/ = ZhiWi
м
(4.19)
где U,v и W — перемещения любой точки элемента в локальных коор-
динатах, а — соответствующие смещения его узлов. Сле-
довательно, предполагается, что каждой координате узла, необходимой
для описания геометрии элемента, соответствует одно смещение узла.
112
= 9, -(g,* g,t + g„ }/2
th = 9t — (9s + 9ю * g,o)/2
*з = 9,- (9,0 + g„ + ff„)/2
\ Л -(9„ + 9n + ^»)/2
= 9s ~(g,t+ g,t * ?<r)/2
\ = 9, -(9n + 9«*g,i)/i
th- 91 -(9» + g,,19^/2
h>- g> - (g,s + g,f + 9n)/2
tlj » gt при j=9, ..,20
= 0 ( l й уэел не включается в узлы -элемента)
gi =G(r, r,)G(s, st)G(t, tL)
при
при J3L=O
Рис. 4.5. Интерполяционные функции для трехмерного элемента с числом
узлов от 8 до 20
а — трехмерный элемент с числом узлов от 8 до 20; б — интерполяционные
функции
Чтобы построить матрицу жесткости элемента, необходимо постро-
ить матрицу перехода от перемещений к деформациям. Деформации
элемента определяются производными от перемещений элемента по
локальным координатам. Так как эти перемещения заданы в естествен-
ной системе координат с использованием (4.19), то необходимо выяс-
нить соотношения между производными по х, у и z и производными
попеременным г, s и t , которые мы получим, представив (4.18)
в форме:
*-f<(r>s,t)-, У= fz(r,s>t)-, Z=f3(r,3,t). (4.20)
Обратное соотношение имеет вид:
t=ft(x,y,z). (4,21)
8 - 522
113
Узлы 2 и 3
УЗЛЫ / и 4
Узлы 5 и в
Рис. 4.6. Преобразование форм четырех- и восьмиузловых элементов
а — преобразование четырехузлового элемента к трехузловому; б — преобра-
зование форм восьмиузлового трехмерного элемента
Вычислим производные д/дх,д/ду и , используя Правило дифферен
цирования:
дх дг дх 3s дх dt дх
(4.22)
Выражения для д/ду и Э/dz аналогичны. Для вычисления dr/dx,ds/dx и
^/Истребуются обратные преобразования (4.21). Эти обратные соотно-
шения в общем случае трудно получить в явном виде, а потому для вы-
числения требуемых производных необходим другой подход. Применяя
то же правило дифференцирования, имеем
114
или
(4.23)
d _ Э.
dr Зх
(4.24)
(4.25)
где 3 — матрица Якоби, связывающая производные по локальным
координатам с производными по естественным координатам. Заметим,
что J можно легко найти, используя соотношения (4.18). Теперь опре-
делим d/Эх по зависимости
d _ ^-id_
Зх Зг ’
которая справедлива, если существует матрица, обратная матрице Яко-
би. Она существует только тогда, когда имеется взаимно однозначное
соответствие естественных и локальных координат элементов, даваемое
зависимостями (4.20) и (4.21). Для большинства элементов это оче-
видно (т.е. каждым л,$ и< соответствует единственная тройка х, у и
z), как, например, для элементов на рис. 4.3 — 4.5. Однако в случаях,
показанных на рис. 4.7, взаимно однозначного соответствия между сис-
темами координат не существует.
Используя (4.19) и (4.25), можно получить
bvj/dz, а следовательно, определить матрицу
€ = Ви > (4.26)
где и — вектор узловых перемещений (4.19). Тогда матрица жесткости
элемента, соответствующая локальным степеням свободы, имеет вид
Нужно сказать, что элементы В являются функциями естественных
координат r,s и t. Поэтому интегрирование по объему выполняется
по естественным координатам и dV' выражается через них же. В общем
случае имеем
dV= det ~3d.rd.sdt, (4.28)
где det J — определитель матрицы Якоби из (4.24) (якобиан).
Явное интегрирование в (4.27) обычно невозможно, и поэтому ис-
пользуется численное интегрирование. Детали численного интегрирова-
ния рассмотрены в разд. 4.6, но вкратце процесс может быть представлен
так.
115
Рис. 4.7. Элементы с возможным особенным якобианом
а — непрямоугольный элемент; б — элемент с подвернутым краем
Во-первых, запишем (4.27) в виде
К = [Vdrdsdt , (4 29^
•4*
где RBCBdetJ, а интегрирование выполняется в естественной системе
координат элемента. Как упомянуто выше, элементы матрицы "F зави-
сят от и t , но явная функциональная зависимость, как правило,
неизвестна. С использованием численного интегрирования матрица
жесткости определяется в виде
K»Z«aFv*, (4 30)
№
где матрица F вычисляется в точках r\3 Sj и i*, а «у* — константы
зависящие от ri3s3-и 4 • Сетка узлови со значениями функций
116
и соответствующие весовые коэффициенты OQy* выбираются для дости-
жения максимальной точности интегрирования. Естественно, точность
-нтегрирования увеличивается с ростом числа узлов.
Целью вышеприведенной краткой схемы численного интегрирования
было завершение описания изопараметрического конечного элемента.
Относительная простота его построения была уже отмечена. Эта простота
и эффективность, с которой матрицы элементов могут быть получены
на ЭВМ, вызывают большое внимание к вопросам развития изопарамет-
рических и им подобных элементов.
Нетрудно получить матрицы масс и нагрузок для элемента. Записы-
вая перемещения в форме
U.(r,S,t) =• Hu, (4.31)
где Н — матрица интерполирующих функций, и используя выражения
(3.74) и (3.63) — (3.65), получаем:
(4.32)
R4 Hrf BdV ; (4.33)
R, H,rf sdS ; (4.34)
Rr* /в (4.35)
Приведенные матрицы вычисляются путем численного интегрирова-
ния аналогично матрице К (4.30) с использованием соответствующей
функции F .Так, вычисляя вектор объемных сил, мы пользуемся
выражением F- HrfedetJ, для вектора усилий от начальных напряжений
E-IVt/clet J, а для матрицы масс имеем F=pH^idetJ. Весовые коэф-
фициенты те же, что и для матрицы жесткости, если используется
тот же порядок численного интегрирования. Однако на практике для
разных матриц могут быть использованы различные порядки, посколь-
ку требуемая точность вычисления элементов различных матриц разная
(см. разд. 4.7).
Приведенные рассуждения относились к одно-, двух- и трехмерным
элементам. Рассмотрим теперь конкретный пример плоского элемента и
покажем детально вычисление его матриц.
Пример 4.2
Получить выражение для матрицы жесткости изопараметрического
четырехугольного элемента, показанного на рис. 4.8, в случае плоского
напряженного или деформированного состояния.
Применяя интерполяционные функции h1>hl,h, и h4 ,показанные
рис. 4.4, получаем выражения для координат элемента
Из (4.19) для перемещений следуют выражения
U7
Рис. 4.8. Двухмерный четырехузловой
элемент
и » ±(1+r)(.t+s)Ui+ъ(1-г)(1+$)иг+%(1~г)(1-з)и3 ;
V • / + T-(l-rXl+$Va .
Деформации элемента представляются вектором
€Т= ,
В е .2и.- с - &- "г ди t- $v
*' д* ’ уу~ ду > 7** ду дх
Для выражения производных нам необходима зависимость (4.23)
Йх дц
dr _в Ъг or fa.
£ fa Oil 2.
.ds} &S-J $/.
A - tJL
dr ' Jdx
>
ИЛИ
где = >
= Tfd+r)*i •* Tf-d-r)^ - %d-r)*3 ~i(1+r)x«;
& = Id+rfa‘Id-riVt -^(1-r)y9 -{(^)у„.
V9
Следовательно, для любых значений г \л&,-1^Г4*1 и-/<гз« +1
можно получить матрицу Якоби, используя приведенные выражения для
дх/дг,дх/дз>л ду^г, dy/ds . Допустим, что мы нашли матрицу J прига/у и
з=^-,и обозначим ее через Jyfa определитель —detJ^. Тогда
118
Для вычисления деформаций элемента имеем
0Г*
& » - 7р"г)иг~i(i~r)^3 ~ т;(1+г)и* i
cfs
^s)v,-Hh-s}v2-;
Поэтому
и
‘ ди
дк
А
= ХГ'Гм%-
* v 1/*'! °
при /•«/}
О 0 f-Sj
О -ft-fl) о -0+Г;)
(а)
о
О U
дх
Lfy.
при £»лу
О 1+$у
Р 1+г,
о -%+$•}
О f-rt
О -(f-sj) О /-зЯ
О О
(6)
где
ur«(u,v, им им им].
Вычисляя выражения (а) и (б), мы можем найти матрицу связи де-
формаций с перемещениями
££у я Bj U,
где индексы i и j показывают, что эта связь получена в точках /} иф.
Например, если , т.е. вычисляется матрица жесткости для квад-
ратного элемента с длиной стороны, равной 2, матрица Якоби является
единичной матрицей, и, следовательно,
1
?
0 -(1+s,) 0 -(1-Sj) О f-$; О
О 1+гс О 1-rt О -(1-ri) 0 Фъ)
1-rt -(f-rj -(l-S-j-fi+ri) 1-Sj^
Матрица Тц в выражении (4.30) имеет вид
= В^СВ^ det ,
где матрица механических характеристик материала С дана в табл. 3.2.
В случае плоского напряженного или плоского деформированного со-
стояния интегрирование выполняется в плоскости r,s в предположении,
что F постоянна по толщине элемента. Поэтому матрица жесткости
элемента вычисляется как
119
где tu — толщина элемента в точке r,;,Sj(t!f‘f в случае плоской дефор
мации). С помощью полученной выше матрицы и соответствующих
весовых коэффициентов <Хц можно вычислить матрицу жесткости.
Отметим, что при определении J,y и матриц, дающих зависимость
от смещений в (а) и (б), необходимо вычислить восемь производных
от интерполяционных функций Аъ..., /?« -Следовательно, найдя произ-
водные, соответствующие точке (г,, Sj) , один раз, их можно использо-
вать всякий раз, когда они понадобятся.
Для конкретной точки (r;,s/) соотношения (а) и (б) могут быть
записаны в виде
и
ди_у
dx~fadx 1
ди _ dhj
ду" fa ду Ui
д*~
дх
ду
(в)
(r)
Следовательно, имеем
dht дх 0 dhz дх
В= 0 dfu 0
ду
dht dht dht
ду дх ду
_ 9h> q dtu, q
дх дх
dh2 q dht g dh»
dy dy dy
dhz djii dh3 dht, dh*
дх ду Эх dy dx _
причем предполагается, что производные в (в) и (г) определены в точке
и поэтому получаем матрицу В^-.
Пример 4.3
Найти соотношения, необходимые для вычисления матрицы масс эле-
мента из прим. 4.2.
Матрица масс вычисляется по формуле
Zaw t(J f;. ,
w
где
a — матрица, интерполирующая перемещения. Соответствующие
интерполяционные функции были даны для и и v в прим. 4.2, а следо-
вательно,
120
0 О
v Ч о о (f-W+Si)
(f-r^-sj) 0 О 1
О (1-г^) 0 (hrtf-sj) J .
Якобиан detЗудан в примере 4.2, а р^ — плотность в выбранной точке
^^•Следовательно, все величины, необходимые для вычисления матри-
цы масс, получены.
Пример 4Д
Найти соотношения, необходимые для вычисления векторов узловых
сил, соответствующих объемным силам и начальным напряжениям,
данных выражениями (4.33) и (4.35).
Эти векторы определяются с использованием матриц Н^Ву и Зу, по-
лученных в прим. 4.2 и 4.3, т.е. имеем
d€t J'7 >
где fy и t,y - векторы объемных сил и начальных напряжений, най-
денные в рассматриваемой точке.
Пример 4.5
Найти выражения, необходимые для вычисления вектора узловых
сил для поверхностной нагрузки, которая действует по стороне 1 — 2
четырехугольного элемента, как показано на рис. 4.9.
Сначала установим закон изменения перемещений. Поскольку для
ребра 1—2 S — + 1 ^получим, используя интерполяционные функции из
прим. 4.2,
и* ж {(1гг)и<+£(1-г)иг ;
Vх'
Рис. 4.9. Распределенная нагрузка на
стороне 1—2 четырехузлового элемента
X, и
121
Итак, для вычисления Rvb (4.34) можем применить
и
О О О О 1
О О О О J
7/'
г Д 2 J
где /х и — компоненты поверхностных сил, направленные по осям
х и у .
Для вычисления интеграла в (4.34) нужно также выразить дифферен-
циал dS в естественной системе координат г, s . Если t„— толщина, то
dS~trd.t ,vp.edt — дифференциал длины
№Не^-
Производные дх/дг и ду/дг были определены в прим. 4.2. Учитывая,
что5=+/ ,имеем‘
Йх X/ - Ха . 'ОУ _ У< - Уг
дг~ 2 ’ дг 2
Хотя вектор R, в этом случае может быть получен в замкнутой
форме (предполагается, что функции -fs простые), в целях общности
Rs вычисляется путем численного интегрирования. Итак,
F, » Hfrifdti.
Заметим, что здесь используется численное интегрирование по одной
переменной, поскольку s постоянно.
4.3.2. Матрицы элемента в глобальной системе координат. До сих
пор определялись матрицы конечных элементов, соответствующие
локальным степеням свободы этих элементов. При вычислениях исполь-
зовались локальные координаты X, у и Z и связанные с ними локаль-
ные переменные UtyVi и i/Ui .Однако уже на прим. 4.2 — 4.5 можно за-
метить, что матрицы для двумерного элемента легко найти в глобальной
системе координат X t У с использованием глобальных перемещений
Ui и . Действительно, в представленных выкладках локальные коор-
динаты х и у и компоненты локальных перемещений и. и V могут
быть легко заменены на глобальные координаты X и У и перемеще-
ния U и У. Матрицы элемента будут в этом случае соответствовать
непосредственно компонентам глобальных смещений.
В общем случае построение матриц для элемента может быть проведе-
но в глобальной системе координат с использованием компонент гло-
бальных перемещений, если число переменных в естественной и глобаль-
ной системах координат равно. Типичными примерами такого рода
были двухмерные элементы, определенные в глобальной плоскости.
122
Рис. 4.10. Стержневой элемент в глобальной системе координат
и трехмерный элемент на рис. 4.5. В этих случаях матрица Якоби из
выражения (4.24) — квадратная матрица, которая имеет обратную, как
это требуется в (4.25), а матрицы элементов непосредственно соответст-
вуют компонентам глобальных перемещений узлов.
В случаях когда порядок глобальной системы координат выше,
чем порядок естественной системы, обычно вычисляют сначала матрицы
для элемента в локальной системе координат с соответствующими ло-
кальными перемещениями. Затем эти матрицы преобразуются извест-
ным образом к системе глобальных перемещений. Примерами тому
могут служить стержень или плоский элемент, если они произвольно
ориентированы в трехмерном пространстве. С другой стороны, преобра-
зование к глобальным компонентам перемещений можно непосредствен-
но включить в вывод матриц. Это достигается введением преобразова-
ния, которое выражает интерполяционные функции локальных переме-
щений, зависящих от узловых смещении, через их глобальные компо-
ненты.
Пример 4.6
Вывести матрицу жесткости стержня (рис. 4.10), используя глобаль-
ные смещения узлов
Эта матрица определяется выражением (4.27), т.е.
К =Jv ВГСВс/И,
где В — матрица связи деформаций с перемещениями, а С — матрица
упругости. Для рассматриваемого стержня имеем
U-[c.S<x
Используя зависимость 6-du/dxt которая в естественной системе коор-
динат имеет вид£«$1,)&0?/’ (см. разд. 4.2), можем записать матрицу преоб-
разования перемещений в деформации для вектора U-[U Ц Uz так
123
B^pjcosoc sinct cosoc sina]
1
нули
нули
Кроме того, как показано в разд. 4.1, имеем:
dV^~dr и С = £.
Подставляя выражения для В,С
и dV и вычисляя интеграл, по-
лучим
cos2a cosa sina - cos2a -cosa sina "
к = ~ sina cosa sinfei -sina cosa - sm2a
L -cos4a -cosot sina cos^a cosa sina
-sina cosot -sin2a sina cosa sin2a
4.4. Условия сходимости
Как показано в разд. 3.2.5, для обеспечения монотонной сходимости
метода конечных элементов необходимо выполнение условий совмест-
ности элементов и полноты функций формы.
Выясним, удовлетворяет ли изопараметрическая трактовка метода
критериям сходимости.
Для исследования совместности ансамбля элементов следует рас-
смотреть каждую грань или поверхность между примыкающими элемен-
тами. Для совместности требуется, чтобы координаты и перемещения
элементов по общей границе были одинаковы. Это имеет место в том
случае, когда узлы элементов на общей границе совпадают, а координа-
ты и перемещения определяются одними и теми же интерполяционными
функциями в каждом элементе. Примеры элементов, где есть или отсут-
ствуют условия совместности, показаны на рис. 4.11.
Параболический закон
изменения координат и
’ перемещении вдоль
сгорон обоих элементов
Сторона е тремя узлами
Линеиныи закон изменения
координат и параболическим
закон изменения перемещений
линейны
Рис 4.11. Совместные (а) и несовместные (б) двухмерные элементы
124
Условия полноты требуют, чтобы были возможны перемещения jh-
самбля элементов как жесткого целого и выполнялось условие постоян-
ной деформации. При рассмотрении трехмерного элемента это означает,
что должны быть приняты следующие выражения для перемещенит-
изопараметрического элемента:
v •= az*fex + сгу+ dgZ
V/ ~ dj + biX+Cty+ChZ
(4.36;
где а.;, by, Cj и dj — постоянные. Для одно-и двумерных эле-
ментов должны быть взяты только соответствующие члены из (4.36).
Если использовано поле перемещений в форме (4.36), то узловые сме-
щения определяются в виде:
щ = а,+ bfXj * Ciyi+dyzi
vL = а.г+Ьг>у + c2yt + d2z2
щ bsXi * cs y( +d3zt,
(4.37)
где 1-1,.,., а и q — число узлов. Чтобы показать, какие перемеще-
ния в (4.36) допустимы, если рассматривается изопараметрический
элемент, примем, что смещения узлов элемента даны зависимостями
(4.37). В этом случае нам следует определить, какие именно смещения
узлов из (4.37) действительно определяют перемещения изопараметри-
ческого элемента в (4.36). Имеем:
4Z = Z hiU-i ; v= Z. h.tVi : «/= Z .
Ы 1-1 ’ i.l
Подставляя (4.37), получаем:
и = аЛъ + b^hiXt
1-1 1-1 i-f M
V = + С*г£*2‘’ r
w= a£ht +b3ZhiXt + c3£hiyc +d3XI’iizl.
9 I'M 4*»
(4.38)
(4.39)
Так как в изопараметрическом элементе координаты интерполируют-
ся аналогично перемещениям, на основе зависимости (4.18) получим
из (4.39) :
u^^Zh^^x-f^y + dtZ ;
v = О-г + 6,Xt Сгу + d2z ;
ги= а3^ht 1- b,x + cty +dsz
(4.40)
Перемещения в (4.40) однако, те же, что и в (4.36), если для любой
точки элемента
125
«
Ehi~1. (4.41)
Следовательно, соотношение (4.41) и есть условие, накладываемое на
интерполяционные функции, чтобы выполнить требование их полноты.
Заметим, что условие (4.41) удовлетворяется во всех узлах элемента
поскольку интерполяционные функции построены так, что они
равны единице в узле i , а другие функции Л,, jti обращаются в нуль
в этом узле. Рассмотрим два случая на следующих примерах.
Пример 4.7
Проверить, удовлетворяет ли плоский элемент на рис. 4.8 условиям
монотонной сходимости.
Поскольку вдоль общих кромок элемента координаты и перемеще-
ния меняются линейно и определяются координатами и перемещениями
угловых точек, элемент является совместным.
Полнота функций требует, чтобы было выполнено условие (4.41).
Вычисляя Для этого элемента, получаем
Таким образом, все требования к монотонной сходимости выпол-
нены.
Пример 4.8
Исследовать, удовлетворяют ли условиям монотонной сходимости
элементы с переменным числом узлов на рис. 4.4 и 4.5.
Совместность обеспечивается по стороне элемента в двумерном и по
боковой грани в трехмерном случаях при условии, что соединяемые
элементы имеют одни и те же узловые точки ребра или поверхности.
Типичная схема совместного элемента показана на рис. 4.11.
Должно быть удовлетворено и требование полноты (4.41). Рассмат-
ривая интерполяционные функции, данные на рис. 4.4 для элемента с
переменным числом узлов, видим, что добавляемые интерполяционные
функции вносят нулевой вклад при наличии дополнительного узла.
Таким образом, любой из элементов с переменным числом узлов явля-
ется "полным". Проверка трехмерных элементов на рис. 4.5 выполняет-
ся аналогично.
Итак, элементы с переменным числом узлов удовлетворяют услови-
ям монотонной сходимости.
4.5. Другие виды элементов
При рассмотрении изопараметрических конечных элементов мы
предполагали, что как координаты их, так и смещения интерполирова-
лись одинаково. Однако сама процедура решения задачи может ока-
заться эффективнее, если интерполировать координаты полиномами
более низкой степени, чем перемещения. К примеру, для восьмиузлово-
го четырехугольника (рис. 4.12) перемещения и и т/ интерполиру-
ются квадратными параболами, в то время как координаты линейны.
Элементы с более низкой степенью интерполяции координат, чем пере-
мещений, называются субпараметрическими элементами. Такие элемен-
ты удовлетворяют условиям монотонной сходимости, поскольку, во-
первых, совместность удовлетворяется по тем же причинам, что и для
изопараметрических элементов; во-вторых, субпараметрический эле-
126
Рис. 4.12. Двухмерный субпараметри-
ческий элемент
иhL и L;
мент удовлетворяет условию полноты, так как соответствующий ему
изопараметрический, отличающийся только интерполяцией координат,
является "полным".
В другом классе элементов, называемых суперпараметрическими
элементами, координаты интерполируются полиномами более высокого
порядка, чем перемещения [17]. Эти элементы используются в расчете
толстых и тонких оболочек. Основные особенности применения изопа-
раметрических элементов в исследовании оболочек имеют двоякий
характер [17— 21, 28 — 31]. С одной стороны, в элементах возникают
чрезмерные деформации сдвига, с другой стороны, для тонких элемен-
тов коэффициенты матрицы жесткости, соответствующие поперечным
перемещениям, существенно больше коэффициентов, соответствующих
меридиональным перемещениям, что резко ухудшает сходимость реше-
ния. Первая особенность важна, если используются параболические
функции формы элементов (рис. 4.4 и 4.5). Для улучшения работы эле-
мента применяется специально подобранный способ интегрирования
(см. разд. 4.7) или, как рассмотрено ниже, вводятся несовместные
функции формы. Что касается второй особенности, то во избежание
плохой сходимости используются приращения перемещений, как пока-
зано на рис. 4.13 (см. разд. 7.5). Поскольку приращения малы, а их
вклад в полную реакцию тонкой оболочки незначителен, наиболее
эффективно в этом случае использовать суперпараметрические элемен-
ты. Геометрия элементов определяется исходными интерполяционными
функциями, а в качестве степеней свободы используются повороты и
линейные смещения узлов на срединной поверхности (см. рис. 4.13).
Суперпараметрические элементы не всегда удовлетворяют условиям
сходимости, и каждый их класс следует проверить на совместность и
"полноту".
Удобным способом улучшения изопараметрических элементов явля-
ется введение несовместных функций формы [18]. Рассмотрим прос-
тейший случай добавления несовместных форм к четырехузловому
двумерному элементу. В этом случае перемещения и координаты пред-
ставляются соответственно в виде
127
в 4-
XkJEA.X, ; (4.42)
и u = ZA.u,* «//-/-9*0(2 fz-s®) 1
> (4 43)
v ® ^-h.iv^^(l~rl)-t-^z(1-st) J ?
где h1t..., даны на рис. 4.4 и в прим. 4 2.<Х,/Хг>Д и fia — дополни-
тельные степени свободы, определяющие более высокую, чем с помощью
/^степень интерполяции перемещений. Если рассматривается прямо-
угольный элемент, то дополнительные степени свободы учитывают посто-
янный изгибающий момент, и такой элемент дает во многих случаях
более точные результаты.
Рассматривая получение матрицы жесткости элемента, заметим, что
использование выражения (4.43) приводит к матрице 12-го порядка, а
степени свободы Д и Д не связаны с узлами элемента. Для сни-
жения порядка матрицы до 8 дополнительные степени свободы исклю-
чаются путем статической конденсации (см. разд. 7.2.4), которая экви-
валентна минимизации полной потенциальной энергии элемента в отно-
шении переменных Д и Д (см. разд. 5.3). В разд. 4.7 показа-
но, что тот же эффект достигается снижением первоначально выбранно-
го порядка численного интегрирования.
Поскольку дополнительные степени свободы элемента не связаны
с узлами, при его применении может возникнуть несовместность между
элементами. Такой элемент не удовлетворяет условиям монотонной
сходимости, рассмотренным в разд. 3.2.5, и возникает важный вопрос,
сходится ли решение немонотонно. В разделе 5.5 показывается, что
для четырехугольного несовместного элемента сходимость обеспечи-
вается, если он имеет форму прямоугольника (или параллелограмма).
Хотя использование приведенных на рис. 4.4 и 4.5 элементов с пере-
менным числом узлов является наиболее эффективным, следует заме-
тить, что в расчетах трехмерных сред применение несовместных функций
формы в некоторых случаях может существенно снизить время счета.
Наибольший эффект достигается для восьмиугольного элемента с не-
совместными функциями типа тех, что использовались в выражении
(4.43), т.е. при задании перемещений в виде
Рис. 4.13. Степени свободы элементов толстой и тонкой оболочек
а - степени свободы исходного изопараметрического элемента; б — относитель-
ные степени свободы для изопараметрического элемента; в — степени свободы
суперпараметрического элемента
128
и- &М+с^(/-гг)+а3(1-з?)+о3(/-1г) ;
v “ ^thi v‘ ★M-rf ; r
«/= Xh^j.d-r1) , /
(4.44)
где O/jOjt,..., f3 — компоненты перемещений, не связанные с узлами
и исключаемые путем статической конденсации.
По аналогии с двухмерным элементом, рассмотренным выше, трех-
мерный должен представлять прямоугольник в каждой плоскости.
Отметим, что введение несовместных функций формы для повыше-
ния эффективности элементов может быть использовано при разработке
элементов более высоких порядков.
4.6. Численное интегрирование
Важным аспектом применения изопараметрических элементов яв-
ляется численное интегрирование. Интегралы даны в разд. 4.3 в виде
jF(r)dr, jF(r,s)drds f Jv(r,s,t)drdsdt (4.45)
для одно-, двух- и трехмерного случаев соответственно. Практически
эти интегралы определяются в форме
jF(r)dr~ 5.0.1 + ;
jv(r,s)drds = 5 oij- F(rt, Sj) + R„;
jF(r,s,t)drdsdt -P„,
(4.46)
гдеа^ау и ot,y* — весовые множители, a S/)и Ffy,Sj,ty вычис-
ляются для точек с соответствующими аргументами. Матрицы мат-
рицы ошибок, которые обычно не учитываются. Таким образом, полу-
чаем:
J F(r)dr Z <*i ;
jF(r>s)drds • fr*y-F(rh Sj);
jF(r\s,t)drdsdt *Z<xijk F(rh sJt tk). .
\AATl
Целью данного раздела и разд. 4.7 является описание теории и практи-
ческого применения численного интегрирования [22 — 31]. Наиболее
важно здесь получение необходимой точности интегрирования, что
требует соответствия числа точек интегрирования форме элемента.
В методе конечных элементов интегрируются матрицы, а это значит,
что каждый их элемент интегрируется по отдельности. Формулы числен-
9 - 522
ного интегрирования выведем для типового элемента матрицы, обоз-
начаемого через F. t
Рассмотрим сначала одномерный случай, т.е. интеграл J Ffrjd.r1 . Для
изопараметрического элемента а~-1 и Ь-+1.
Вычисление [F(f)dr основано на получении полинома Ц/(г), проходя-
щего через заданные значения F(r) , и определении /^(rjclr как при-
ближенного выражения для jF(r)dr.Количество значений Р(г-)\л позиции
выбранных точек на интервале от а до b определяют приближение
(/^к/^а следовательно, точность интегрирования.
Предположим, что F[r) вычисляется в rt*/ различных точках
для определения соответственно^,...,а полином соответст-
вует этим значениям. Тогда iff(r) единственным образом дается в виде
V(r)* ав+ а,г + аггг+ ... + а„гп.
Используя условие, что V(r)~ F(t*) в п*1
имеем
F-Ve,
(4.48)
узлах интерполяции,
(4.49)
где
(4.50)
(4.51)
а
является матрицей Вандермонда. Так как при несовпадающих узлах
интерполяции detV?t 0 t получаем единственное решения для а .Одна-
ко более распространен путь получения с использованием интер-
поляционных полиномов Лагранжа. Напомним сначала, что (И*/) функ-
ций г, г/..., г>я образуют векторное пространство размерности (n't-1),
l/„ , элементом которого является Ц/(г) (см. разд. 2.2). Поскольку
координаты ав,о^,<%,..., а„ для Ц>(г) вычисляются довольно сложно,
попытаемся найти другой базис пространства , в котором коорди-
наты (г) определяются проще. Этот базис дается фундаментальными
интерполяционными полиномами Лагранжа
t.Сг-г.Хг-г.)... .. (г-г„)
где
, (4-53)
a — символ Кронекера.
Учитывая свойство (4.53), получаем, что координатами базисного
вектора оказываются значения F(r)fa полином Ц/(г) принимает вид
У (г) = Fete(r) + F<t<(r}+.Fnt„(г). (4.54)
130
Пример 4.9
Найти интерполяционный полином <р(г) для функции F(r)^2r-ri если
используются ее значения в узлах r»0,1 и 3. В этом случае г,»0,
и Fa»1} F,"1, Ft*S.
Сначала используем соотношения (4.49) для определения коэффици-
ентов а», а, и аг полинома ц>(г) — +a.lrt.
1 о ol(a»\ f/\
1 1 1 а, = / /.
1 3 31\at \$J
Отсюда следует, что а,-/,а,--^, огж« 4
выражение (4.54), получаем J
Используя
ш(Г) = (1) ( } (г)(г-3)
а следовательно, как и прежде,
W(r) «
Имея интерполяционный полином у (Г) t можно получить приближен-
ное значение интеграла jF(r)dr.
В принципе можно рассмотреть два подхода. Первый и более простой
метод — ато принять, что узлы интерполяции располагаются равномерно.
Тогда
- а, г„-=Ь > А - ^~а
(4.55)
Используя формулу Лагранжа для определения у (г) как приближения
F(r), имеем
£p(r) dr = Z {fii(r)dr)F^Rn, (4.56)
или, после преобразования.
[*F(r)dr = (b-a) t C”Fc * R„ ,
Ja i*0
(4.57)
где R„ - остаточный член, а С” - коэффициенты Ньютона - Котеса
численного интегрирования для п точек.
Коэффициенты Ньютона — Котеса и соответствующие выражения
остаточных членов имеются в литературе [23], а также приведены в
табл. 4.1 для п от 1 до 6
Случаи л«/ ил-2 представляют формулу трапеций и правило
Симпсона. Заметим, что формулы для л- 3 и п**5~ имеют такой же
порядок погрешности, как и формулы при л - 2 и л = 4 .По этой
причине на практике используются случаи с л =>2 и 4 вместо Л-3 и 5.
131
Таблица 4.1. Коэффициенты Ньютона-Котеса и оценки
остаточных членов
Число ин- тервалов п Сп Сп Q 1 С п С 2 С п L 3 С п С4 Сп С 5 Сп С6 Верхняя граница ошибки
1 1 2 £ 2 itfb-tfFfy)
2 1_ 6 4 6 1 6 tO-^b-ajfF^r)
3 1 8 3 8 3 8 1 8 t(T*(b-a)gF^r)
4 7 90 32 90 12 90 32 90 7_ 90 trfb-cfF^r)
5 6 19 288 41 840 75 288 216 840 50 288 27 840 50 288 _272 840 75 288 _22_ 840 _19_ 288 216 840 41 840 Itrfb-atF'Xr) tffXb-c^F^r)
Пример 4.10
Определить коэффициенты Ньютона— Котеса для интерполяционного
полинома в виде квадратной параболы.
В этом случае
(Г-ГаХГ-Ъ) Ь
(Гг-гХХЧ-П) \аГ
Учитывая, чтогде h=(b-a)/2 будем
иметь ’
т.е. получим коэффициенты Ньютона-Котеса из табл. 4.1.
Пример 4.11 j
Использовать правило Симпсона для вычисления ](2,'-r)dr .В этом
случае/?*2 и Н~ jf .Следовательно, ч-О, Jo
И-5П J(2r.r)dra ^Х1)*Щ1,328927)*Ю(5)} * *,656859 .
Точное значение .
J(2'-г)dr - 5,598868,
т.е. ошибка равна:
/?» 0,057986.
Используя верхнюю границу оценки ошибки, определим
R * ~ 0,998793.
Для получения большей точности при интегрировании по формуле
Ньютона-Котеса следует применять малые интервалы h т.е. увеличить
объем вычислений функций при интегрировании. Таким о’бразом, перед
132
нами альтернатива выбора различных стратегий: использовать формулы
Ньютона— Котеса высокого порядка или применять многократно более
простые; в этом случае говорят о составных формулах. Рассмотрим
эти ситуации на примере.
Пример 4.12
Достичь точности интегрирования примера 4.11 для половины отрезка
интегрирования.
В этом случае ,а нужные значения функции
Fe~1, F<-0,931792, Fg* 1,328427, Ft* 2,506828 и F,-5.
Выбор проводится между использованием формулы Ньютона — Котеса
с л-4 и двукратным использованием правила Симпсона для двух вто-
рых интервалов. Применяя первый прием при л-4 ,получим
ffa-rjdr* ^(7Fe^32F,4-12Ft^32Fs^7F^)» 5,599232.
С другой стороны, дважды используя правило Симпсона, находим, что
[3(2r-r)dr= [V1(2r-r)dr+ /3(2"-г)аг.
Je Jq
Интегрируя kj
Je (Z^rjdr* lL0.(F^4F,-Ft) ,
причем ^,4 и Ft - значения функции при r*0,r„4- и г-4 те
F.-1'» F, = 0,931792; 1,328427, Т Т»
получаем
/44
/ (Zr-r)dr* 1,513399. . .
*0 (8)
Затем вычисляем
f (2r-r)dr- ^L(F^4F^Ft),
-Wi о
где соответственно при л» f, л-у и л=3 , определим F„-1,328427 ,
F,= 2,506828; Fg-5.
Теперь
/ (2-г) dr *4,088935.
* (б)
Складывая результаты (а) и (б), получим
Г3(2r-г)dr - 5,602834.
'в
Применение составной формулы имеет преимущество простоты
перед использованием формул Ньютона — Котеса высокого порядка.
133
Рис. 4.14. Подынтегральная функция Г(г) к примеру 4.13
Сходимость гарантирована при уменьшении шага интегрирования, и на
практике используют разные шаги при переходе от одного интервала
интегрирования к следующему. Это, в частности, важно при наличии раз-
рывов в интегрируемых функциях. Поэтому составные интегралы и
получили широкое распространение.
Пример 4.13
Использовать составную формулу, которая основана на правиле
Симпсона, для интегрирования функции (рис. 4.14).
Эту функцию лучше всего проинтегрировать с использованием трех
интервалов:
/в .г .f .п .
fFdr^ J^(r^3)dr+^[i0+(r-1)^]dr+ \£i(.13-r)s+9'\dr.
Вычисляя каждый интеграл по правилу Симпсона, получим:
f_(r3+3)dr~ ^^[(1)(2)+(4)(3>.125) +(1X11)] = 12,75 \
j\10+(r~1)Vl]dr^ ^{(1Х11)+(^Х11>650969 + (1)(12)] = 81,209998}
ftllk(l3-rf^}dr- 1^[(1Х12)+ЩК5)+(1Х4)] = 22.
Таким образом,
/•в
j Fdr = 12,75+ 81,209998 +22 = 115,959998.
134
Основные схемы интегрирования, которые были рассмотрены до сих
пор, рассчитаны на постоянный шаг интегрирования на интервале.
В матрицах конечных элементов можно попытаться повысить точность
при данном числе узлов также и за счет оптимизации их положения.
Весьма эффективной процедурой интегрирования, в которой оптими-
зируется не только сетка узлов, но и коэффициенты, является квадра-
тура Гаусса. Основная концепция ее заключается в представлении интег-
рала в виде
/•4
/ F(r)dr = a,F(r,)+o(2F(Q)f... +a„F(r„) R„ , (4.58)
Ja
где как веса ,так и узлы интегрирования /3, являются
переменными. При выводе формул Ньютона-Котеса неизвестными яв-
лялись только веса, которые определялись интегрированием полинома
совпадающего в узлах интерполяции с функцией F(r) .Вычислим
также координаты узловых точек, а следовательно, 2п неизвестных
для схемы интегрирования высшего порядка.
По аналогии с выводом формул Ньютона-Котеса примем полином ip(r)
в форме, данной выражением (4.54),
(4.59)
где п — число узлов, аг;,..., г„ стали теперь неизвестными.
Для их определения введем функцию
Р(Г) - (г-п)(г-г2). ..(г-г„),
(4.60)
являющуюся полиномом степени п .Заметим, что в узлах интерполя-
ции Р(г)-0. Поэтому можно записать
F(r) = Ч>(г)->Р(г)(р>'1+&1г'-*ргг'г+...). (4.61)
Интегрируя F(r), получим
(4.62)
В этом выражении первый интеграл есть интеграл от функции порядка
(п-1) и ниже, а второй — от функции порядка п и выше. Неизвестные
можно теперь определить из условия
I P(r)rkdr = 0 , к= 0,1,2,..., п-1. (4.63)
Ja
Поскольку полином tp(r) совпадает в узловых точках с F(г), а Р(г)-0
в этих же точках, условия (4.63) означают, что искомый интеграл ffyrjd.r
представлен теперь интегралом от полинома степени 2п-1, заменяю-
щим F(r).
Итак, применяя формулы Ньютона-Котеса с равностоящими узла-
ми, мы точно интегрируем полином порядка не выше п . Исполь-
зуя квадратуру Гаусса, мы определяем п неравностоящих узлов
интегрирования и получаем точные интегралы полиномов (2n-1)-v\
135
степени.
При определении узлов и весов интегрирования следует помнить,
что они зависят от интервала а — Ь. Однако для вычислений примем
естественный интервал от —1 до 1, а затем внесем поправки в положе-
ния узловых точек и величины весов для других случаев. Если Г( —
координата узла, a <*i — вес в этом узле для интервала от —1 до 1,
то соответствующие значения для интервала а — Ь примут вид
а+b b-а _ ,, Ь-а „
2 2 ‘ 2
Для вычисления весовых коэффициентов квадратуры на интервале
от —1 до 1 подставим вместо F(r) в (4.58) интерполяционный поли-
ном цг(г) из (4.59) и выполним интегрирование. Учитывая, что узловые
точки уже определены и полином у(г) известен, получим
ctf = j^tj(r)dr , (4.64)
Узлы и веса для интервала от —1 до 1 приведены в литературе [24]
и даны в табл. 4.2 для значений п от 1 до 6.
Коэффициенты табл. 4.2 можно вычислить непосредственно, исполь-
зуя (4.63) и (4.64) (см. прим. 4.14). Однако для больших п возни-
кают трудности в решении и их целесообразно вычислять с помощью
полиномов Лежандра; поэтому эти коэффициенты называются коэффи-
циентами Гаусса-Лежандра.
Таблица 4.2. Узлы и веса при численном интегрировании
по Гауссу — Лежандру
п а.
1 0, (15 нулей) 2, (15 нулей)
2 ±0,57735 02691 89626 1,00000 00000 00000
3 ±0,77459 66692 41483 0,55555 55555 55556
0,00000 00000 00000 0,88888 88888 88889
4 ±0,86113 63115 94053 0,34785 48451 37454
±0,33998 10435 84856 0,65214 51548 62546
5 ±0,90617 98459 38664 0,23692 68850 56189
±0,53846 93101 05683 0,47862 86704 99366
0,00000 00000 00000 0,56888 88888 88889
6 ±0,93246 95142 03152 0,17132 44923 79170
±0,66120 93864 66265 0,36076 15730 48139
±0,23861 91860 83197 0,46791 39345 72691
Пример 4.14
Получить узлы и веса для двухузловой квадратуры Гаусса.
В этом случае Р(г)я(г-^)(^г^ и выражение (4.63) приводит к двум
уравнениям
О;
f(r- гг}гЛг= О,
136
решая которые, получим
г, г2 = -/;
г, * rt = О .
Откуда
Соответствующие веса определяем из формул (4.64), которые в
данном случае дают
а поскольку f имеем <х, => ot2 = /.
Пример 4.15
Используя двухточечную квадратуру Гаусса, вычислить интеграл
рассмотренный в примерах 4.11 и 4.12.
Из выражения (4.58) получим
(2’'- г) dr = a, F(r,) + агР(гг)
(а)
где cifj о(г и г,, Г/. — веса и координаты узловых точек Гаусса. По-
скольку интервал задан от 0 до 3, преобразуем значения, данные в
табл. 4.2
где
= 73^ ’ r*=
1/УЗ = 0,5773502692.
Таким образом.
и выражение (а) дает
F(rJ-0,91765976 ;
F(rt) = 2,76916389
(2r-r)dr- 5,56053551.
Метод Гаусса—Лежандра широко применяется при решении задач с
помощью изопараметрических элементов. Но нужно заметить, что извест-
ны и другие приемы интегрирования, где варьируются как расположение
узлов, так и веса с целью получения максимальной точности [21 — 31].
Кроме того, для специальных задач метода конечных элементов основ-
ная квадратура Гаусса используется в модифицированной форме, как
будет показано в разд. 4.7.
До сих пор мы рассматривали интегрироьание одномерных функций
F(r).j\na вычисления двух- и трехмерных интегралов используются пред-
ставленные выше методы, причем процесс решения подобен аналитичес-
кому для многомерных интегралов. Прежде всего вычисляется внутрен-
137
ний интеграл, причем переменные, соответствующие другим интегралам,
считаются константами. Следовательно, для двухмерного интеграла по-
лучаем
jF(r,s)drds = ^.oii jF(r\, s)ds > (4.65)
/ F(r, s) dr ds = X 0Q09 F(rh Sj), (4,66)
а в соответствии c (4.47) ««/О/,
где di , 0(j — весовые коэффициенты для одномерного интегрирования.
Аналогично для трехмерного интеграла
/Р(г, з, t) drds dt« Ffa, sJt tM) (4 67)
и соответственно (4.47) «у* > otiCtjOCu.
Следует заметить, что нет необходимости использовать одну и ту же
квадратуру для двух-и трехмерных задач, т.е. мы можем применять
различные схемы численного интегрирования в направленияхrs или t •
Пример 4.16 г+1 л+1
Вычислить интеграл J J r*s*drds , используя
1. Правило Симпсона как для г, так и для 5 .
2. Квадратуру Гаусса по обеим переменным.
3. Квадратуру Гаусса по г и правило Симпсона по S •
1. Используя формулу Симпсона, получим
2. Используя квадратуру Гаусса с двумя узлами имеем
ЭД -I
3. Наконец, применяя квадратуру Гаусса по г и правило Симпсона
по s ,получим
4.7. Практические замечания по применению
изопараметрических элементов
В предыдущем разделе дан вывод весьма важных приемов числен-
ного интегрирования и их приложения в различных задачах.
Выбрав тот или иной метод интегрирования, следует определить
порядок численного интегрирования в различных конечных элементах,
поскольку, во-первых, затраты на расчет растут при применении схем
высокого порядка, а во-вторых, использование различных порядков
138
может в очень большой степени влиять на результаты расчета. Эти
соображения наиболее важны в решении трехмерных задач.
Матрицы, получаемые численным интегрированием, есть матрица
жесткости К , матрица масс М ,векторы приведения к узловым уси-
лиям объемных Ra и поверхностных нагрузок Rs- Применяемый по-
рядок интегрирования зависит от вычисляемой матрицы и специфики
данного конечного элемента. Для демонстрации наиболее важных аспек-
тов определим степень квадратуры Гаусса при вычислении матриц ко-
нечных элементов с переменным числом узлов, показанных на рис.
4.3-4.5.
Первым, что слеует заметить при выборе порядка интегрирования,
является то, что если он достаточно высок, все матрицы вычисляются
точно. С другой стороны, слишком низкая степень интегрирования дает
такие ошибки в вычислении матриц, что задача не может быть вообще
решена. К примеру, при слишком низком порядке интегрирования при
вычислении элементов матрицы жесткости элемента количество нулевых
собственных значений для нее оказывается больше, чем возможное
как для жесткого целого. Следовательно, для решения системы равнове-
сия ансамбля элементов нужно, чтобы собственные формы, соответст-
вующие всем нулевым собственным значениям элемента, одновремен-
но содержались бы и в ансамбле элементов, или, другими словами,
матрица жесткости ансамбля должна быть особенной. Простым приме-
ром тому служит получение матрицы жесткости одномерного элемента
по рис. 4.2. При использовании квадратуры Гаусса с одним узлом строка
и столбец матрицы, соответствующие степени свободы средней точки
элемента, оказываются нулевыми, что приводит к особенной матрице
жесткости конструкции. Поэтому порядок интегрирования должен быть
выше некоторого предела.
Порядок интегрирования, требующийся для точного вычисления
конкретных матриц элемента, определяется порядком интегрируемых
функций. Для матрицы жесткости необходимо вычислить
К - jT Вгс В det JdZ, (4.68)
где С — матрица упругости, В — матрица связи деформаций с переме-
щениями в естественной системе координат г,S, detJ — определитель
матрицы Якоби, переводящей локальную (или глобальную) систему
к естественной (см. разд. 4.3); интегрирование проводится по объему
элемента в естественной системе координат. Подынтегральная функция
имеет вид
F-BrCBdetJ .
(4.69)
Матрицы I и В определены в разд. 4.3.
Порядок переменных в F может быть определен относительно прос
то в случае, если элемент имеет вид прямоугольника или параллелограм
ма (см. прим. 4.2).
Полезно изучить этот случай детально, поскольку процесс определе
ния требуемого порядка интегрирования здесь представляется в явнок
виде.
13
Пример 4.17
Оценить порядок численного интегрирования по Гауссу для получе-
ния матрицы жесткости прямоугольного плоского элемента.
Этот порядок зависит от порядка переменных г и S в F из вы-
ражения (4.69). Для прямоугольника со сторонами 2а и 2Ь можно за-
писать
х = ar ; bs,
а следовательно, матрица Якоби имеет вид
Поскольку элементы J постоянны, основываясь на примере 4.2,
замечаем, что элементы матрицы связи деформации с перемещениями
В зависят только от г или з. Так как определитель J постоянен,
имеем
F = f(r* rs,s*).
Применяя численное интегрирование по Гауссу с двумя узлами в
направлениях г и з интеграл получаем без ошибки, т.к. при поряд-
ке интегрирования п точно интегрируются функции порядка
Аналогично можно определить требуемый порядок интегрирования
при вычислении матриц жесткости, масс, векторов узловых сил от
массовых и поверхностных нагрузок и др. Нужно заметить, что для эле-
ментов произвольного вида матрица Якоби не является постоянной, а
это повышает требуемый порядок интегрирования.
В гл. 5 говорится, что при условии удовлетворения критериям сходи-
мости из разд. 3.2.5 метод конечных элементов в перемещениях дает
нижнюю границу "точной" энергии деформации рассматриваемой систе-
мы, т.е. физически представление метода в форме метода перемещений
приводит к завышению жесткости системы. Поэтому, если матрицы
жесткости не получаются точно при численном интегрировании, факти-
чески могут быть получены лучшие результаты при условии, что ошиб-
ки численного интегрирования соответственно компенсируют завышение
жесткости конструкции, обусловленное ее дискретизацией [28—31].
Другими словами, уменьшение порядка численного интегрирования ни-
же требуемого для точного вычисления матрицы жесткости элемента
может привести к некоторых случаях к улучшению результата. Большие
/силия затрачены в выборе оптимальной схемы и порядка интегриро-
вания в методе конечных элементов с использованием изопараметри-
неских элементов. Кроме простого изменения порядка интегрирования
может оказаться плодотворным использование различных порядков
интегрирования для разных членов, определяющих деформации. В не-
старых случаях можно добиться существенного улучшения, однако
несьма поучительно описание трудностей, встречающихся в выборе оп-
тимальной схемы интегрирования.
Первым важным замечанием является то, что теряются граничные
условия в расчете методом перемещения, и, если порядок интегрирова-
ния слишком низок, решение становится недостоверным. В частности,
сак уже замечалось, если порядок интегрирования слишком низкий,
(ля вычисления всех собственных форм перемещений ранг матрицы
честности элемента должен быть ниже, чем при точном интегрировании.
40
Этот случай приводит к трудностям, если не предусмотрен входящий в
ансамбль удерживающий элемент с достаточной жесткостью, т.е. матри-
ца жесткости всей системы элементов в исключительных случаях может
оказаться особенной или плохо обусловленной. При выборе конкретного
способа интегрирования следует показать, что сходимость обеспечена и
что матрица жесткости имеет обратную.
Можно доказать, что наименьший порядок интегрирования, требую-
щийся для сходимости тот, который нужен для точного вычисления
объема [ 12]. Однако на основании вышесказанного это правило может
использоваться весьма редко, и вместо этого в табл. 4.3 даются мини-
мальные порядки численного интегрирования на основе формулы Гаус-
са. В этой таблице приведены двумерные элементы, но эта информация
может быть использована при построении матриц одно- и трехмерных
элементов.
Таблица 4.3. Рекомендуемые порядки квадратур Гаусса
для двумерных изопараметрических элементов
Хотя порядок квадратуры Гаусса, данный в табл. 4.3, обычно наибо-
лее эффективен, часто используют точные значения для расчета методом
конечных элементов, т.е. вычисляют все матрицы без ошибок, так как
этот путь может удовлетворять критериям сходимости, обсуждаемым
в гл. 5.
Выше, в основном, внимание обращалось на построение матриц
жесткости элемента. Что касается матриц масс и векторов сил для
элемента, то вновь следует заметить, что снижение порядка интегриро-
вания здесь обычно оправдано, кроме того, можно использовать поряд-
ки, рекомендуемые в табл. 4.3.
141
4.8. Реализация программы для изопараметрических
конечных элементов на ЭВМ
В разд. 4.3 рассмотрено получение матриц для изопараметрических
конечных элементов и приведены выражения, необходимые для четы-
рехузлового элемента в условиях плоского напряженного (деформи-
рованного) состояния (см. прим. 4.2). Важным преимуществом изопара-
метрического элемента является единообразие построения матриц для
различных элементов. К примеру, использование трехмерных элемен-
тов является относительно простым расширением применения двумер-
ных. Кроме того, в одной программе можно строить матрицы элемен-
тов с разным числом узлов, если использовать алгоритм интерполяции
функций (см. разд. 4.3).
В данном разделе приводится реальная программа для ЭВМ по вычис-
лению матриц жесткости трехузлового элемента. В сущности, Q U ADS
представляет собой программу для алгоритма, приведенного в прим.
4.2. В дополнение к плоскому напряженному или деформированному
состоянию по программе можно исследовать также и осесимметричные
задачи.
Список литературы
1. I С Гаю. "Structural Analysts by the Matrix Displacement Method,” English
Flecuic Aviation Report SOI7. 1961
2. В M Irons, "Engineering Application of Numerical Integration in Stillness
Method." A 1 A A Journal, Vol 4. 1966, pp 2035 2037
3. В M Irons, "Numerical Integration Applied to Finite Element Methods,"
Conference on the Use of Digital Computers in Structural Engineering, Univer-
sity of Newcastle, England, 1966
4. В M Irons and О C Zienkiewicz, "The Isoparametric Finite Element Sys-
tem a New Concept in Finite Element Analysis," Proceedings, Conference on
Recent Advances in Stress Analysis, Royal Aeronautical Society, London,
1968
5. J G. Ergaioudis, “Iso-paramctnc Finite Elements tn Two- and Three-Dimen-
sional Analysis," Ph.D. dissertation. University of Wales, Swansea, 1968.
6. J. G. Ergatoudis, В. M. Irons, and О. C. Zienkiewicz, “Curved, Iso-para-
metnc, Quadrilateral Elements for Finite Element Analysis," International
Journal of Solids and Structures, Vol. 4, 1968, pp. 31-42.
7. J. G. Ergatoudis, В. M. Irons, and О. C. Zienkiewicz, "Three-Dimensional
Analysis of Arch Dams and Their Foundations,” Symposium on Arch Dams,
institute of Civil Engineering, London, Mar. 1968.
8. R. W. Clough, "Comparison of Three Dimensional Elements,” Symposium on
Applied Finite Element Methods in Civil Engineering, Vanderbilt University,
Nashville, 1969, pp. 1-26.
9. О. C. Zienkiewicz. В. M. Irons, J. Ergatoudis, S. Ahmad, and F. C. Scott,
“Isoparametric and Associated Element Families for Two and Three Dimen-
142
sional Analysis," Finite Element Methods in Stress Analysis (I Holand, and К
Bell, eds ), Tapir, Trondheim, 1969, Chap 13
10. S Ahmad, "Curved Finite Elements in The Analysis of Solid, Shell and Plate
Structures,” Ph D dissertation. University of Wales, Swansea, 1969
11. S Ahmad, В M Irons and О C Zieskiewicz, 'Analysis of Thick and Thin
Shell Structures by Curved Elements," International Journal for Numerical
Methods in Engineering, Vol 2, 1970. pp 419 451
12. О C ZiEnkiewicz. The Finite Element Method in Engineeruig Science, McGraw-
Hill Book Company. Inc . New York, 1971
13. О C Zienkiewicz., D R J Owen, D V Phillips, and G C Nayak, Finite
Element Methods in the Analysis of Reactor Vessels." Nuclear Engineering and
Design, Vol 20. 1972, pp 507 541
14. E L Wilson, "Solid SAP—A Static Analysis Program for Three-Dimensional
Solid Structures," Report UC SESM 71-19, Department ot Civil Engineering,
University of California, Berkeley, 1971
15. К J Bathe, H Ozdemir. and E. L Wilson, "Static and Dynamic Geometric
and Material Nonlinear Analysis.” Report UC SESM 74-4, Department of
Civil Engineering, University ot California, Berkeley Feb 1974
16. K.J Bathe and E L Wn son, "Thick Shell Structures, Structural Meihanirs
Computer Programs (W Pilkey. К Saczalski.and H Schaeffer, eds ), University
Press ot Virginia, Charlottesville. Va . 1974
17. S Ahmad, В M Irons, and О C Ziemkiewicz, "Curved Thick Shell and
Membrane Elements with Particular Reference to Axi-Symmetnc Problems, ’
Proceedings, 2nd Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics,
Wright-Patterson A F.B . Ohio, 1968.
18. E 1 Wu son, R L Tayior, W Dohfrty, and J Ghaboussi, "Incompatible
Displacement Models." Numerical and Computer Methods in Structural
Mechanics IS J Fenves. N Perrone. J Robinson, and W C Schnobnch, edso.
Academic Press. Inc , New York, 1973
19. P J Beresford, "A Formulation for Non-Conforming Finite Elements,"
Graduate Student Report 55S( SFSM Division, Department of Civil Engineer-
ing, University of California, Berkeley, 1972
20. С К Choi and W, C Schnobrich, "Use of Non-Conforming Modes in Finite
Element Analysis of Platesand Shells." Civil Engineering Studies, SRS No 401,
University of Illinois at Urbana Champaign, 1973
21. H H Dovey. "Extension of Three-Dimensional Analysis to Shell Structures
Using the Finite Element Idealization," Report UC SESM 74-2, Department of
Civil Engineering, University of California, Berkeley, January 1974.
22. F. В Hildebrand, Introduction to Numerical Analysis, McGraw-Hill Book
Company, New York, 1956
23. С. E. Froberg, Introduction to Numerical Analysis, Addison-Wesley Publishing
Company, Reading, Mass., 1969.
24. A. N. Loxan, N. Davids, and A. Levenson, "Table of the Zeros of the Leg-
endre Polynomials of Order 1-16 and the Weight Coefficients for Gauss'
Mechanical Quadrature Formula," Bulletin of the American Mathematical
Society, Vol. 48, 1942, pp. 739-743.
143
25. В М. Irons, “Quadrature Rules for Brick Based Finite Elements," Interna-
tional Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol 3, 1971
26. C A Felippa, “Refined Finite Element Analysis of Linear and Non-linear Two-
Dunensional Structures," Report UC SESM 66-22, Department of Civil
Engineering, University of California, Berkeley, Oct 1966
27. A H Stroud and D Secrest, “Gaussian Quadrature Formulas " Prentice-
Hall, Inc, NJ, 1966
28. W P Doherty, E L Wilson, and R L Taylor, "Stress Analysis of Axisym-
rnetnc Solids Utilizing Higher Order Quadrilateral Finite Elements,” Report
UC SESM 69-3, Structural Engineering Laboratory, University of California,
Berkeley, 1969
29, О C Zienkiewicz, R L Taylor, and J M Too, "Reduced Integration
Techniques in General Analysis of Plates and Shells,” International Journal for
Numerical Methods in Engineering, Vol 3, 1971, pp 275-290
30. S F Pawsey, "The Analysis of Moderately Thick to Thin Shells by the Finite
Element Method,” Report UC SESM 70-12, Department of Civil Engineering,
University of California, Berkeley, 1970
31. S F Pawsey and R W Clough, "Improved Numerical Integration of Thick
Shell Finite Elements," International Journal for Numerical Methods in Engi-
neering, Vol 3, 1971, pp 575-586
SOBBOOT lit QOADS (BPL.ITIPF, HI КТ, ТГ.1С. IF, PR, I X, S. TOOT)
c
С с .ПРОГРАММА ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОГО.
с . ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ЭЛЕМЕНТА ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО,
с •ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО И ПЛОСКОГО ДЕФОРМИРОВАННОГО
с СОСТОЯНИЙ
с ПЕРЕМЕННЫЕ
WBL . КОЛИЧЕСТВО ЭЛЕМЕНТОВ
г ТТТРГ - ТИП ЭЛЕМЕНТА
с 0- ОСЕСИММЕТРИЧНЫЙ
с 1- ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
с ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
с HINT . ПОРЯДОК КВАДРАТУРЫ ГАУССА
с ТЯ1С . ТОЛЩИНА ЭЛЕМЕНТА
YB • МОДУЛЬ ЮНГА
с КОЭФФИЦИЕНТ ПУАССОНА
с . РВ ' КООРДИНАТЫ УЗЛОВ ЭЛЕМЕНТА
с . ХТ(2,*> ' МАТРИЦА УЗЛОВ ЭЛЕМЕНТА
с 5(8,8) “ МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ
с . I00T ж ФАЙЛ ДЛЯ ПЕЧАТИ
с с • _ _ ВЫВОД _ _ •
с 5(8,8) * МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ
с IMPLICIT RKX L«8(Ч-Я.п-Z)
SOBT(X) »DSQTT(X)
с IBS (X) = D»3S (X)
С . ЭТА ПРОГРАММА ИСПОЛЬЗУЕТ ОДИНАРНУЮ ТОЧНОСТЬ ДЛЯ ЭВМ
С . сос ИЛИ ДВОЙНУЮ ТОЧНОСТЬ ДЛЯ ЭВМ ТИПА IBM ИЛИ UNIVAC.
С . ДЛЯ ЗАДАНИЯ ТОЧНОСТИ НЕОБХОДИМО СООТВЕТСТВУЮЩИМ
С • ОБРАЗОМ ПРЕОБРАЗОВАТЬ ПРИВЕДЕННОЕ ВЫШЕ И ДАННЫЕ XGWJT.
С ... .
С
144
ЭТИ BUSI ОН О (4,4*, , IX(2,4) , S (в,8) ,ГС (4,4) , 4G? (4,4) , DB (4) МАТРИЦА XG СОДЕРЖИТ УЗЛЫ КВАДРАТУРЫ ГАУССА - ЛЕЖАНДРА 067» XG/ 0.D0, O.DO, O.DO, 0.D0, -.577350269189600. 1 .5773502691896DO, 0.Е0, 0.D0, -.77ч5966S9291500, 0.D0, 2 .7795966692*1500, 0.00, -.86113611’599100,
3 -.33998109)589900, .319981093589900, .8611)6311599100/
с с МАТРИЦА ввТ СОДЕРЖИТ ВЕСА КВАДРАТУРЫ ГАУССА-ЛЕЖАНДРА опта 1ST/ 2.00, 0.D0, О.ОО, 0.00, 1.00, 1.00, 1 0.00, 0.00, .555555555555600, .068888688088900, 2 .555555555555600, 0.00, .167859895117590, .652165150862500,
с с с 3 .652165159862500, .367856865137500 / ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНА ГУКА 7»7Н/(1. ♦ 06) в>7976/(1. - 2.998»
с с H-F • С, ПЛОСКОЕ ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ 0 (1 , 1) «Я 0 (1,2» *0 П (1,3, «0. 0(2, 1) -0 0(2,2) *6 0(2,3) -0. 0(3,1)-0. 0(3,2) *0. D(3,3).F/2. 17 (17771. BQ.1) ТЯ1С-1.
с с с I7(ITY7I.BQ. 1) GO ТО 20 ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА 0<1,4>-С 0(2,61-8 0(3,4)-0. 0(4,1)-8 0(4,2)08 0<4,3)-0. 0(4,4)-Н
с с с 17(17778.(0.0)60 ТО 20 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ D ДЛЯ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ОС 10 1-1,3 8-0(1,41/0(4,4) 00 10 3-1,3 0(1,31-0(1,3) - 0(4,3)*<
с С С 10 0(3,1)9011,3) ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ ЭЛЕМЕНТА 20 00 30 1-1,8 оо эо з«1,е 30 $(1,3>*0. IST-3 IF (ITY7f.E0.0l 1ST.* 00 80 LX-1.NINT RI-MGdX.NINTI 00 80 LY-1.NIHT St-XG(IY,NINT)
то - 522 145
с ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В И
t ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЯКОБИ DET
CALL STOMIXX.B.OET.R I .SI.XBAR.NEL . I TYPE , I OUT I
C
С ИЗМЕНЕНИЕ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ ЭЛЕМЕНТА
С
IF (ITYPE.GT.CI X8AR-THIC
WT-MGT<LX,NINT)»WGTILY,MNT )»XBAR«CET
от то j*i.e
CC *0 К-Ы5Т
ob<k)»o.o
00 5Э 1*1.1ST
*0 CB(K)*CBIK)*0<K,l)«8(L, J>
oo to 1’J.e
STIFF-O'.O
ОС 50 1*1.1ST
50 ST 1FF-STIFF*8(L,I>»08<LI
60 SII,JI-S<I.J>«STIFF»WT
70 CONTINUE
8J CONTINUE
c
00 90 J'l,l
00 90 l-J.B
90 SIJ.I>•$<!.JI
C
RETURN
C
ENO
SUBROUTINE ST 0*4 XX.B.OET.R.S.XBAR.NEL.ITYPE,I OUT I
C
c.............................................................
£ \ ПРОГРАММА ПОСТРОЕНИЯ МАТРИЦЫ В СВЯЗИ ДЕФОРМАЦИЙ
С . С ПЕРЕМЕЩЕНИЯМИ В ТОЧКЕ (R,S) ДЛЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОГО
С • ЭЛЕМЕНТА
с!............................................................
IMPLICIT REALM!А-Н.С-2I
DIMENSION XX(2.5>.8(<.,e).H<5).P<2.4),XJ(2.2I.XJI(2.2>
C
RP « 1.0 ♦ R
SP 1.0 * S
RM 1.0 - R
SM • 1.0 - S
c
С ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
С
Hill 0.25» RtX SP
Н<21 0.25» RM* SP
НИ) - 0.25» RM* SM
Hit) 0.25» RP* SM
с
с ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ
с
с 1. ПО НАПРАВЛЕНИЮ Я
Ptl.ll 0.25* SP
PI1.2) - Pll.ll
PI1.1) - 0.25» SN
PI1.AI - - Р11.Э1
С
С 2. по НАПРАВЛЕНИЮ S
С
PI2.1I 0.25» RP
PI2.2) 0.25* RM
PI2.1I - PI2.2I
PI2.4) - PI2.1I
146
ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦЫ ЯКОБИ В ТОЧКЕ (#,$)
10 ОС М 1*1,2
00 10 J-1.2
OUR 0.0
К 20 К«1,6
20 DUR*0UR*P(I,Х>*ХХ1J.XI
М XJ(I.J1“DUR
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЯКОБИАНА В ТОЧКЕ (R,S)
ОЕТ XJI1.11* XJI2.2I - XJI2.1I* XJ81.2I
IF (ОЕТ.СТ.0.000000011 СО ТО 60
WRITE IIOUT,20001 NEL
STOP
ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦЫ ЯКОБИ
60 CUR-1./0ET
XJIIl.lI • XJI2.2I* CUP
XJIU.2I — XJI1.2I* OUR
XJII2.il >-XJ(2.1l* CUR
XJK2.2I • XJIl.ll* OUR
ПОСТРОЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА В
В ГЛОБАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
К 2*0
ОС 60 К*1.6
К2*«2 * 2
811,К2-1> • О.
BI1.K2 I 0.
BI2.K2-11 • U.
е<2.К2 I • 0.
00 50 1*1.2
BI1.K2-1I • BK.K2-1I * XJK1.I1 * РК.К)
50 B(2.K2 I • BI2.K2 1 * XJK2.I1 * PII.K)
В1Э.К2 1 • BI1.K2-1)
60 8I3.K2-11 « BI2.K2 1
В СЛУЧАЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО ИЛИ ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ НЕ УЧИТЫВАЮТСЯ ДЕФОРМАЦИИ ПО НОРМАЛИ
IF <ITYPE.GT.01 RETURN
ВЫЧИСЛЕНИЕ РАДИУСА В ТОЧКЕ (R.S)
XRAR.0.0
00 ТО К*1,6
ТО X8AR.XPAR ♦ Н|К)*ХХ11.К)
С ПОСТРОЕНИЕ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ
IF(X8AR.GT,О.00000001IGC ТО 40
С
С в СЛУЧАЕ НУЛЕВОГО РАДИУСА ТАНГЕНЦИАЛЬНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
С РАВНА РАДИАЛЬНОЙ
ОС BJ к*1,в
ВО 8<6.К)>8(1,К>
return
с
с РАДИУС НЕ РАВЕН НУЛЮ
«О OLP-l./XBAR
К 2-0
сс ио к* 1,6
К2*К2 ♦ 2
816.К2 I • 0.
147
loo в(*,кг-1)*н(к)«оим
RETURN
2000 FORMAT IlOHO»»» ERROR.
1 52H ZERO OR NEGATIVE JACOBIAN DETERMINANT FOR ELEMENT I.It.
2 1HI I
ENO
ГЛАВА 5
ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА МЕТОДА
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
5.1. Введение
Первоначально развитие метода конечных элементов в форме метод
перемещений основывалось на физических представлениях, и, как был
сказано, его можно рассматривать как развитие метода перемещени
для стержневых систем. Общий путь применения метода следует понк
мать как численную процедуру для получения приближенного решени
задач механики сплошных сред. Достигнутое приближение зависит о
характеристик и числа элементов, используемых для представления кок
тинуума. Решение вопросов точности, сходимости и улучшения харакп
ристик элементов естественно привело к исследованиям в области осно
самого метода. Наибольший прогресс здесь был достигнут, как толью
было установлено, что метод конечных элементов является oco6oi
формой метода Ритца, который использовался уже многие годы дл!
решения основных вариационных задач. Важность этого факта состоял
в том, что все исследования, относящиеся к методу Ритца, можно был<
теперь распространить и на метод конечных элементов. Кроме того
поскольку метод Ритца можно использовать в решении различных ва
риационных задач, выходящих за пределы механики сплошных сред
то и метод конечных элементов можно использовать при решении тех ж*
задач.
В следующих разделах приводится вариационная формулировка зада1
механики сплошных сред и излагается метод конечных элементов, как
метод Ритца. Для демонстрации непосредственного приложения метод!
конечных элементов к другим вариационным задачам приведено реше
ние задачи теплопроводности. В заключение дан краткий обзор други>
форм метода и проведено сравнение метода конечных элементов и ко
нечных разностей.
5.2. Вариационные принципы задач
строительной механики
Физическая интерпретация метода конечных элементов для стати-
ческих и динамических задач основывается на принципе возможных ра-
бот (3.17)
^ёт dV ~j$TfedV + + EUiTFl, (5.1)
148
где г — истинные напряжения в континууме; f F—объемные,
поверхностные и сосредоточенные нагрузки, действующие на тело;
U — произвольное поле возможных перемещений, удовлетворяющее
граничным условиям задачи, а £ — соответствующие возможные дефор-
мации. Нужно понять что представляют собой многие возможные поля
перемещений континуума. Если (5.1) удовлетворяется при всех этих
допустимых возможных полях перемещений, это означает, что напря-
жения являются точными решениями задачи; иными словами, напряже-
ния равны тем, что получаются из точного (аналитического) решения
определяющих задачу дифференциальных уравнений.
В методе конечных элементов, основанном на перемещениях, поля
возможных перемещений определяются смещениями элементов
т=1}2,... количество элементов, (5.2)
где матрицы перемещений элементов и вектор узловых смещений
U определены в гл. 3 и 4.
Действительные перемещения тела также принимаются в форме
(5.2), что дает возможность составить п алгебраических уравнений
для определения п перемещений узлов сетки конечных элементов.
Распределение перемещений, а следовательно, распределение напряже-
ний, в общем случае оказывается приближенным, так как используется
конечное число возможных полей перемещений, а сами они ограничены
видом выражения (5.2).
Рассмотрим равновесие линейной упругой среды и предположим, что
возможные перемещения и возможные деформации являются соответст-
венно вариациями действительных полных перемещений и деформаций.
В этом случае получим:
Т= Се ; (5.3)
tT=<TU; (5.4)
? » <Ге . (5.5)
Подстановка выражений (5.3), (5.4), (5.5) в (5.1) дает уравнение
равновесия континуума
/ЛГС« dV = С dVrfedV + Г 5VsTfadS * V*, (5.6)
JV Jv Js i
которое с учетом симметрии С можно представить в виде
<?{UsTfsdS+ £virvj. (5.7)
Теперь в левой части выражения (5.7) мы видим вариацию энергии
деформации U ,а справа от знака равенства находится вариация потен-
циальной энергии внешних нагрузок И/ «Следовательно, принцип воз-
можных работ привел к принципу равенства нулю вариации полной
потенциальной энергии П,т.е.
<541-0, (58)
где
П = U-W. (5.9)
Это означает, что полная потенциальная энергия П системы в поло-
жении равновесия постоянна [ 1 — 17]. Можно доказать, что стационар-
149
ное положение соответствует минимуму полной потенциальной энергии.
Кроме того, рассматривая выражения для энергии деформации U и
потенциальной энергии нагрузок IV, находим, что IV = 2U', следова-
тельно, П ® - U и положение равновесия соответствует максимуму
энергии деформации системы.
Пример 5.1
Для обсуждения приведенных выше результатов рассмотреть пружи-
ну с жесткостью к , нагруженную силой Р .
Пусть и — перемещение пружины под действием силы Р. В этом
случае U=^ku2', W = Pu\
П = {киг-Ри.
Поскольку и является единственной переменной, то
= (ku-P)ffu,
откуда получаем уравнение равновесия
ки = Р.
(а)
Используя выражение (а) для вычисления IV, найдем lV=/ru* T.e.lV=2i/,
П=-//ги?Следует заметить, что получены точные значения минимума
полной потенциальной энергии и максимума энергии деформации, так
как к является значением жесткости системы.
В приведенных выше рассуждениях принцип минимума потенциаль-
ной энергии системы выведен из принципа возможных работ в предпо-
ложении, что система упруга. Однако принцип возможных работ приме-
ним и в более общих случаях.
В методе конечных элементов для упругих систем способы дискрети-
зации, задаваемые в выражениях (5.1) и (5.7), эквивалентны. Кроме
того, заметим, что для построения симметричной системы алгебраичес-
ких уравнений как в (5.7), так и в (5.1) необходимо использовать одно
и то же поле для возможных и действительных перемещений. Так де-
лалось и при получении разрешающих уравнений метода (3.60) в разд.
3.2.2.
Стационарность полной потенциальной энергии, выраженная в зави-
симости (5.8), является общим принципом вариационной формулиров-
ки задач механики упругого тела. Для конкретных задач следует полу-
чить выражения энергии деформации и потенциальной энергии нагрузок.
В математической физике величина Пназывается функционалом рассмат-
риваемой задачи.
Пример 5.2
Рассмотреть консольную балку, показанную на рис. 5.1. Получить
выражение для полной потенциальной энергии балки.
Энергия деформации балки выражается в виде
№fauMl*dx,
Jt> 3
а потенциальная энергия силы &ль Rw(x=fL.) ,где W(x) — прогиб балки
на расстоянии х от левого конца. Следовательно, в этом случае
п = ¥ [Llw"M]2dx - Rw(}l).
150
В общем случае потенциал внешних сил определяется как интеграл
от произведения сил на соответствующие окончательные перемещения.
Энергия деформации системы зависит от особенностей последней, а век-
торы деформации для различных задач приведены в табл. 3.1.
5.3. Решение методом Ритца
Метод Ритца представляет собой мощное средство для решения раз-
личных задач при известном функционале [6, 7, 18]. В обычной форме
метода первый шаг состоит в представлении каждой переменной u,V в
виде
««
и = 2-ip?U: ;
t/ =
(5.10)
где и - известные функции; — коэффициенты (парамет-
ры) Ритца, которые следует определить. Следовательно, имеем
неизвестных коэффициентов. Решение заключается в подстановке ряда
выражений для неизвестных переменных в функционал и рассмотрении
вариаций по коэффициентам Ритца. Эти вариации даютф,*^... уравне-
ний для определения неизвестных коэффициентов, решение которых с
последующим представлением в форме (5.10) дает приближенное реше-
ние задачи.
Пример 5.3
Выполнить расчет консольной балки (см. рис. 5.1) по методу Ритца.
Разрешающий функционал приведен в прим. 5.2.
Для решения по Ритцу примем
w=x*wt+xiwt
В этом случае
; Vt~x3.
Подставляя ш^х) и w(^L) в функционал, получим
П "+36x*w*)dx ~ (tfj,
151
или
П = + f2L^-ui + 1213и/гг) - R(^W,L3^^L3).
Так как
<ГП = Z Щ 8wt,
i awt ’
то необходимо, чтобы
0П_
д-ш.
1-1,2.
Это условие дает следующие уравнения для определения неизвест-
ных коэффициентов Ритца:
^(81ч+121г«к)-%Я1г-,
^(12L\ +2*L3wt) = М-3,
решениями которых являются
«,=j£ .
* 128 EI >
... 9
^я~~б¥£1 '
Следовательно,
w 128 El М El
Для сравнения приведем точное решение:
шг» уг d- £. v3 ч/
W Я EI * ~ 6 Е1Х ДЛЯ ;
W ДЛЯ x* fy.
В общем случае П является функцией всех используемых парамет-
ров Ритца. Пусть функции и параметры Ритца обозначаются соответст-
венно в виде , а,,а2г...а„, тогда приближенное решение за-
пишется в виде
U" = Z. fiat , (5.11)
а условие минимума функционала примет вид
4- !П(ия)} = 0 : L—1,...n. (5.12)
1 J
Заметим, что f, объединяет в себе все ранее использованные обоз-
начения, функций tPiiifi'j... ,а параметры Д/ соответствуют значениям
if... Для вычисления энергии деформации в функционале необходимо
определить соответствующие деформации. Пусть Z — оператор, пере-
водящий перемещения в методе Ритца в приближенные выражения де-
формаций, тогда символически можно записать
152
— a. fl},
(5.13)
а для напряжений
т-bfaaifi], (5.14)
где оператор 8 определяется добавлением к об соответствующей
матрицы. Следовательно, энергия деформации имеет вид
, (5.15)
где интеграл должен быть Определен на всей интересующей нас области.
Обозначая
Л,
(5.16)
запишем энергию деформации в матричной форме
// (5.17)
где А(у — общий элемент матрицы К. Потенциальная энергия внешних
нагрузок имеет вид
atfi f
(5.18)
где г включает объемные, поверхностные и сосредоточенные нагрузки.
Пусть
Тогда в матричной форме
lV-arR.
Следовательно, получим
П-f arKa-arR.
(5.19)
(5.20)
(5.21)
Используя условия (5.8), получим п уравнений для определения не-
известных параметров Ритца в виде
Ka-R. (5.22)
Решение системы (5.22) дает коэффициенты Ритца, а с помощью вы-
ражения (5.11) имеем приближенное решение рассматриваемой задачи.
Предполагая, что функции Ритца удовлетворяют определенным услови-
ям сходимости, которые обсуждаются ниже, можно сказать, что полная
потенциальная энергия, соответствующая полученным коэффициентам,
является верхней оценкой точного значения потенциальной энергии, а
энергия деформации является нижней оценкой точного значения энергии
деформации системы Действительно, подставляя выражение (5.22) в
(5.21), находим, чтоП—f UrR, arR и уменьшению П соответству-
153
ет увеличение U, откуда следует, что в методе Ритца перемещения на-
ходятся с недостатком, а жесткость системы завышена (см. разд. 3.2.5) .
Теперь покажем, что метод конечных элементов является формой
метода Ритца. Описанное выше вычисление матриц К ив обычной фор-
ме метода Ритца в принципе идентично тому, как это делается в методе
конечных элементов [см. соотношения (3.54) и (3.60) — (3.65)]. В
методе конечных элементов функциями Ритца являются функции
Н,?я=> (т.е. функции.перемещений в пределах элемента), а неиз-
вестными параметрами Ритца неизвестные перемещения узлов.
Хотя оба подхода теоретически идентичны, на практике метод конеч-
ных элементов имеет ряд существенных преимуществ над традицион-
ным методом Ритца. Первый недостаток процедуры Ритца заключается
в том, что функции должны быть определены на всей рассматривае-
мой области. В частности, при расчете консольной балки в прим. 5.3
функции Ритца задавались на интервале от х=0 до X=Z. Другими сло-
вами, в традиционной форме метода Ритца матрица К является полной,
и для решения системы (5.22) потребуется большее количество опера-
ций.
Сложность в использовании традиционной формы метода Ритца
заключается и в выборе подходящих функций, так как решение пред-
ставляет собой линейную комбинацию этих функций. Для достижения
требуемой точности при больших градиентах перемещений или напряже-
ний требуется большое число функций. Однако эти функции не нужны
на участках области, где перемещения и напряжения изменяются незна-
чительно и где не требуется так много функций.
Другим затруднением в развитии традиционной формы метода Ритца
является случай, когда рассматриваемая область состоит из подобластей
с разными типами деформаций. К примеру, рассмотрим плиту, опертую
на бортовые балки и колонны. В этом случае функции Ритца, приме-
ненные для одной подобласти (например, плиты) не годятся для других
(т.е. бортовых балок и колонн), и необходимо вводить специальные
условия совместности внутренних сил или перемещений.
По этим причинам метод Ритца плохо подходит для машинной реали-
зации, за исключением некоторых случаев, для которых разработаны
специальные программы. Метод конечных элементов снимает большин-
ство неудобств, оставляя все преимущества традиционной формы
метода Ритца. Использование большого числа функций в областях с
большими градиентами перемещений или напряжений заменяется прос-
тым увеличением количества элементов в этих областях. Наличие подоб-
ластей с различными типами деформаций приводит к использованию
элементов различных типов.
Основной вывод из того, что метод конечных элементов является
формой метода Ритца, состоит в том, что свойства сходимости и вычис-
лительные преимущества, связанные с методом Ритца, применимы и к
методу конечных элементов. Весьма важным численным результатом
является положительная определенность матрицы К в (5.22). В
разд. 2.6 и 2.7 мы установили, что матрица А является положительно
определенной, если u’Au >0 для любого вектора и . В выражении энер-
гии деформации системы (5.17) и , положительна для любо-
го вектора при правильной постановке опорных закреплений, и следова-
тельно, матрица К положительно определена.
Если же конструкция не закреплена от смещений как жесткого це-
154
лого, то имеется некоторое количество линейно-независимых векторов
для которых выражения а^Ка^ равны нулю, т.е. накапливае-
мая в системе энергия равна нулю при векторе перемещений а,. Каждый
вектор а(- следует рассматривать как форму смещения тела как
жесткого целого. Следовательно, д является количеством форм
смещения тела как жесткого целого для всей системы. В этом случае
сЛа?0,а матрица К является положительно полуопределенной.
Весьма важным аспектом является изучение свойств сходимости
метода конечных элементов как формы метода Ритца. Для этой цели,
во-первых, следует определить понятие "сходимости", а именно нужно
различать сходимость по перемещениям или напряжениям, сходимость
в точке или по норме. Нижеследующее определение математически отно-
сительно просто для этой цели. П /сть и — точное решение, а и — реше-
ние, полученное с функциями Ритца в форме (5.11); тогда условие
сходимости имеет вид
[ /.(u~u")S(u.-un)dV—► 0 при п—► оо . (5.23)
Очевидно, мы получили "сходимость по энергии", поскольку норма
энергии остаточной части перемещений u-u" сходится к нулю.
В методе конечных элементов мы имеем дело с функциями, которые
кусочно-непрерывны в подобласти. Пусть h — наибольший размер
элемента, тогда условия л-»оо wh-*O эквивалентны. Пусть и* озна-
чает решение, полученное, если h — наибольший размер какого-нибудь
элемента. В этом случае условие сходимости (5.23) можно записать в
виде
У при /1-* О . (5.24)
Следует, однако, заметить, что в пределе сходимость по энергии
эквивалентна сходимости по перемещениям и напряжениям. Однако
для конкретной сетки конечных элементов точность решения зависит
от того, определяется ли она по норме энергии или по точности вычис-
ления перемещений или напряжений.
Кратко сформулируем требования сходимости традиционной формы
метода Ритца, из которых можно вывести ранее установленные крите-
рии сходимости метода конечных элементов (см. разд. 3.2.5).
Рассматривая соотношения (5.13), примем, что наивысшая произ-
водная функции f имеет порядок /п ,т.е. оператор в (5.13) содержит
производные до порядка, равного т. Такую задачу называют вариа-
ционной задачей в пространстве С". Вопрос в том, какие функции мо-
гут использоваться в методе Ритца (5.11) для достижения сходимости
решения. Первый признак сходимости состоит в том, чтобы интеграл
(5.16) не содержал особенностей. Это требует, чтобы, по крайней мере,
(т-1)-я производная базисных функций Ритца была непрерывной, други-
ми словами, т-я производная может быть с возможными разрывами.
В приложении к методу конечных элементов необходимо, следова-
тельно, применять в задачах пространства Ст функции, имеющие непре-
рывные (т-1)-г производные на всех границах элемента. Обращаясь к
табл. 3.1, мы убеждаемся, что при решении плоской и объемной задач
между элементами требуется непрерывность только перемещений, а в
155
задачах изгиба балок и плит необходима непрерывность и первых произ-
водных перемещений. Таковы, в сущности, условия непрерывности,
определенные в разд. 3.2.5.
Вторым критерием, определяющим, какие именно функции могут
быть использованы в методе Ритца, является удовлетворение граничным
условиям задачи. Эти условия распадаются на две группы, называемые
кинематическими и статическими граничными условиями. Кинемати-
ческими являются условия, накладываемые на линейные и угловые
перемещения. Порядок производных от перемещений при этих условиях
в пространстве С” не больше т- / . Следовательно, в плоской и
объемной задачах кинематические граничные условия включают только
линейные перемещения, в то время как для задач изгиба должны быть
заданы линейные и угловые перемещения. Статические граничные ус-
ловия, называемые также естественными, соответствуют заданию на-
грузок на границе. Для этих граничных условий производные перемеще-
ний имеют порядок от т до 2т-1.
Можно потребовать, чтобы базисные функции метода Ритца удовлет-
воряли лишь кинематическим граничным условиям (см. прим. 5.4),
что физически недостижимо, так как известно, что функции перемеще-
ний, соответствующие точному решению задачи теории упругости, также
удовлетворяют и статическим граничным условиям. Действительно,
для получения более точного решения следует использовать функции,
удовлетворяющие статическим условиям. Однако для получения прибли-
женного решения может быть использован обширный класс функций,
удовлетворяющих лишь кинематическим граничным условиям.
Следует заметить, что в методе Ритца для континуума граничные ус-
ловия определены на границах континуума, а в методе конечных элемен-
тов эти условия должны также удовлетворяться и по границам между
элементами. Другими словами, естественные или статические условия,
имеющие порядок от т до 2т - 1, соответствуют действительным
граничным и поверхностным нагрузкам. Они учитываются в векторе
нагрузок, как показано в выражениях (3.63) и (3.64). Отсюда следует,
что функции метода конечных элементов должны удовлетворять лишь
геометрическим граничным условиям, поскольку, чем проще функции
элементов, используемые в расчете, тем проще реализация метода. К
примеру, решение плоских и объемных задач (т-1) значительно проще,
чем решение задач изгиба (т=2), прежде всего потому, что при реше-
нии задач изгиба плит и оболочек условия непрерывности между элемен-
тами имеют более высокий порядок. Действительно, возникающие труд-
ности в дискретизации функционалов, соответствующих изгибу плит
и оболочек, привели к развитию методов расчета подобных конструк-
ций как совокупности трехмерных элементов (см. разд. 4.5).
Пример 5.4
Рассмотреть полную потенциальную энергию консольной балки из
прим. 5.2 и проверить требования, что функции Ритца должны удовлет-
ворять только кинематическим граничным условиям.
Полная потенциальная энергия балки имеет вид
П =
Условие минимума STlxO дает
156
EIjw"fw"dx-R3w(jL.)=0. (a)
Ho 8w=d(Sx/)/dx, следовательно,
/ „ . I* Л
/v oWdx=w*8w'\ - /vt"8w'dx.
Jo * 4
Аналогично, преобразовывая^'Л/Айг f получаем -(а) в виде
Eljw’to 'j1- v"3w p "+ 8w dxj - R 8v/(^l) =0. (6)
Условие минимума полной потенциальной энергии (а) сводится таким
образом к условию (б), первые два члена которого представляют гра-
ничные условия. Отметим, что наивысший порядок производных w
увеличился до 2т при т~2 , что делает (б) более сложным для ис-
пользования, чем (а), в котором лишь w" должна быть непрерывна.
В большинстве случаев используется выражение (а), причем следует
напомнить, что 8-щ*(х) и Sw($L) представляют возможные величины.
Напомним также, что действительные и возможные перемещения в
методе Ритца представляются аналогичными зависимостями
w«*ZAai и 9w»T.fi8at,
где 8а{ — вариации коэффициентов Ритца. Следовательно, граничные
условия, удовлетворяющие возможным перемещениям, удовлетворяют
также и действительным перемещениям.
Рассмотрим четыре граничных условия
и . (в)
Условия с чг* и ш" являются естественными, или статическими
граничными условиями. Они соответствуют граничным условиям для
моментов и поперечных сил. Требования к V/ mW* являются кинема-
тическими граничными условиями. Из выражений (в) следует, что если
кинематические граничные условия нулевые, нам не нужны оба статичес-
ких условия. Это имеет место в защемлении консольной балки (при
О). На ее свободном конце (при x«Z ) линейные и угловые переме-
щения не определены, а момент и поперечная сила должны быть заданы
в видеО .В методах Ритца и конечных элементов эти граничные
условия учитываются соответственно в векторе объемных или поверх-
ностных сил. Следовательно, только кинематические граничные условия
при х « 0 должны быть удовлетворены для базисных функций Ритца.
Метод Ритца основывается на представлении решения в форме (5.11)
и"» .
Это равенство подставляется в выражение для полной потенциальной
энергии, а из условия ее минимума определяются параметры Ритца
А/, 1ж(...л>0сновываясь на разд. 2.5, мы можем определить функции
157
Ритца как базисные векторы, а процедурой метода Ритца мы находим
минимум полной потенциальной энергии в виде подпространства, натя-
нутого на выбранные функции Ритца. Как говорилось выше, при усло-
вии, что выбранные функции удовлетворяют определенным условиям
непрерывности, сходимость достигается при/г-»оо ,т.е. подпространство
переходит в бесконечномерное пространство. Важно заметить, что при
увеличении размерности подпространства монотонно уменьшается ми-
нимум полной потенциальной энергии для рассматриваемой задачи.
Практически это значит, что, начиная решение с некоторого набора
функций и постоянно добавляя к нему новые, мы непрерывно улуч-
шаем решение.
До сих пор мы занимались только лишь методом, основанным на ис-
пользовании перемещений в качестве неизвестных. Что касалось условий
сходимости, то они сводились к выполнению требований непрерывности
и совместности. Только в этом случае гарантировалось, что полная по-
тенциальная энергия, полученная из решения Ритца, выше, чем в точном
решении, а энергия деформации является нижней границей точного зна-
чения энергии деформации системы. Практически в методе конечных
элементов условие совместности очень часто не выполняется и величина
энергии деформации в выражении (5.15) определяется неточно, так что
достигнуть предельных характеристик и условия монотонной сходимос-
ти невозможно (см. разд. 4.7). Однако рассмотренные выше вопросы
важны для того, чтобы свободно обращаться с понятиями, используемы-
ми в методе конечных элементов, в частности, при решении задач, отлич-
ных от задач строительной механики.
5.4. Решение задач теплопроводности
До сих пор рассматривались задачи определения напряженного сос-
тояния в механических средах. Однако метод Ритца, а значит и метод
конечных элементов применимы к решению других задач. Решение
можно легко получить, если удается построить функционал соответст-
вующей физической задачи. Это возможно при решении различных не-
механических задач, к примеру задач теплопередачи, фильтрации и тео-
рии течения [19 — 22]. Как только определен функционал конкретной
задачи, то решение методом конечных элементов выполняется аналогич-
но рассмотренному выше. Для демонстрации метода в типичной задаче
теории поля рассмотрим задачу о теплопроводности. Интересно заметить,
что функционал для этого случая применим (возможно, с некоторыми
изменениями) и для других задач теории поля. Поэтому описываемый
ниже алгоритм может использоваться для решения различных задач.
Функционал, определяющий теплопроводность в трехмерном случае,
имеет вид
,5'25'
где в — температура; кЯ) ку и кх — коэффициенты теплопроводности;
Ч — количество тепла, поступающего к единице объема; — коли-
чество тепла, передаваемого через единицу площади поверхности, а
Q1 — тепло, проводимое из концентрированных источников. Используя
условие стационарности TL(#TL=Q) получим (так как в является един-
ственной варьируемой переменной)
158
f 0'rk0'c//=f9sqsdS + Z§lQl,
Jv Jv Js * i
где
(5.26)
де ее
dy dz\>
о о I
o' tr
(5.27)
(5.28)
и черта над 9 (5) означает "вариация по". Вариацию 6 можно рас-
сматривать как возможную величину, откуда следует, что уравнения,
определяющие количество передаваемого тепла в (5.26), аналогичны
уравнениям возможной работы (5.1) в задаче теории упругости. По ана-
логии с выражениями равновесия для напряженного состояния соотно-
шения (5.26) являются уравнениями равновесия теплового потока,
т.е. равенство (5.26) утверждает, что количество передаваемого тепла
равно количеству поступающего тепла. Это и есть физическая интерпре-
тация проблемы в целом. Из-за полной аналогии разрешающих уравне-
ний все идеи, обсужденные при решении (5.1), непосредственно приме-
нимы и к решению уравнений (5.26). На практике это означает, что
программу, разработанную для определения напряженного состояния,
можно относительно просто приспособить к решению задач теплопро-
водности. Единственным отличием будет существование только одной
неизвестной величины (температуры 9 ) в каждой узловой точке.
Предположим, что рассматриваемое тело может быть представлено
в виде ансамбля конечных элементов; тогда по аналогии с решением
задачи теории упругости для элемента т получим:
%1т>(КУ>2) = Hlm)(x.y,z)e ;
^(x.y.z) = bM(X,y,Z) 0,
(5.29)
(5.30)
где верхний индекс относится к номеру элемента т (а 0 является век-
тором температур во всех узловых точках
0Г» [е, 9г ... е„]. (5.31)
Матрицы Нми определяют теперь температуры и температурные
градиенты внутри элемента т в зависимости от узловых температур.
Эти матрицы строятся с использованием тех же процедур, что и в зада-
чах определения напряженного состояния (см. прим. 5.5).
Подставляя соотношения (5.29) и (5.30) в (5.26) так же, как это
сделано в разд. 3.2.2, получим уравнение
K0 = Q ,
(5.32)
где К есть матрица теплопроводности
" Jv<m)
a Q является вектором подводимого к узлам тепла
(5.33)
159
9= 9,- Q,* 9c ,
(5.34)
Г“ (5.35)
l5'361
Qc- вектор концентрированного подвода тепла в узловых точках.
Задача теплопроводности, рассмотренная выше, эквивалентна стати-
ческой задаче теории упругости, потому что не учитывается влияние
времени на распределение температуры, т.е. предполагается стационар-
ность в постановке задачи. Однако при значительном изменении тепло-
вого потока в выражение (5.32) необходимо добавить слагаемое, учиты-
вающее накопление тепла в материале. Количество поглощенного тепла
записывается в виде
$е=С^, (5.37)
где с — теплоемкость материала, a q,c можно рассматривать как
часть притока тепла , приходящегося на единицу объема (аналогич-
но тому, как инерционные силы представляют некоторую часть массо-
вых сил в задачах упругости).
Используя для элемента т представление
ё<я,(х.у,г) = H(H>>(x,y,z) 9(f) (5.38)
и подставляя его в выражение (5.35), получим
= % (5.зэ)
где д^^уже не включает часть тепла, накопленного в элементе. Уравне-
ния равновесия теплового потока теперь принимают вид
C0+K9=Q, (5.40)
где С — матрица теплоемкости материала
С ~ Z f (5.41)
а величины Q и 9 теперь зависят от времени. Для решения задачи
теплопроводности наиболее эффективно применение изопараметричес-
ких элементов с переменным числом узлов, рассмотренных в разд. 4.3.
Получение матриц теплопроводности и теплоемкости аналогично по-
строению матриц жесткости и масс в задачах упругости, причем вновь
напомним, что важнейшей частью этих вычислений является численное
интегрирование.
Пример 5.5
Наметить пути построения матриц теплопроводности К, теплоем-
кости С и вектора теплового потока Цд для двумерного изопарамет-
рического элемента, показанного на рис. 4.8.
Вспоминая построение матриц плоской задачи теории упругости,
как это дано в прим. 4.2 — 4.4, получим для задачи теплопроводности:
160
*4®# det ;
Q*w av hj fy 4^ det fy,
где ay — весовой коэффициент Гаусса; ty — толщина элемента;
detJ^- определитель матрицы Якоби; Сц— теплоемкость, а |с^- — мат-
рица теплопроводности.
В приведенных выражениях индексы (l,j) означают, что соответствую-
щие величины вычисляются в узлах интегрирования (itJ) . Вычисление
якобиана detрассматривалось детально в прим. 4.2, а веса afy приве-
дены в разд. 4.6. Матрица получается из набора интерполяционных
функций, приведенных в прим. 4.2:
Матрица, интерполирующая температурные градиенты, строится анало-
гично матрице связи между деформациями и перемещениями в прим.
4.2, т.е.
B^“ $3#
V**
J+'i
-«>»/)
1-rt
-e-n)
1~Sj ]
Решение задачи теплопроводности методом конечных элементов явля-
ется также разновидностью метода Ритца и обладает монотонной сходи-
мостью при условии, что температуры по границам элементов совмест-
ны. Это следует из того, что наивысший порядок производной темпера-
туры в выражении (5.26) равен 1.
В приведенных выше рассуждениях мы не рассматривали, как накла-
дываются различные граничные условия. Температуру в узлах можно
представлять как перемещения в задачах теории упругости. Для задан-
ного 6i в узле I можно изменить соответствующее уравнение равно-
весия теплового потока добавлением большого значения kt к диаго-
нальному элементу кц матрицы К и задать поток в виде Если
А^А^то вычисленная температура в узле i будет равна 9/ . Этот
прием аналогичен использованию граничного элемента, приведенного
в разд. 3.2.2.
Другими важными граничными условиями являются конвекция и
излучение, величина которых д* в выражении (5.36) зависит от темпе-
ратуры поверхности тела и окружающей среды. В случае линейных гра-
ничных условий имеем
(5.42)
где h - постоянная конвекции, а 0, - заданная температура внешней
среды. Используя интерполяцию на поверхности для определения 9 и
9, и подставляя результаты интерполяции в (5.36), получим:
<Ь- i/s^A<'"?H3wrH-'wdS^e< - (5.43)
где второе слагаемое добавляется теперь к матрице теплопроводности
системы. Линейное граничное условие теперь можно наложить довольно
просто. Однако во мног их задачах теплопроводности граничные условия
нелинейны, что греб,"ч применения миграционных процессов [22].
5.5. Несовместные, смешанные и гибридные модели элементов;
метод конечных разностей в дифференциальной и
энергетической формах
Условия, накладываемые на выбираемые функции перемещений
(или их поля), до сих пор требовали их непрерывности и совместности.
При их удовлетворении получаемое решение сходилось монотонно к
точному решению. Условие непрерывности может быть удовлетворено
относительно просто. Условие совместности также легко удовлетво-
ряется для задач пространства С1 ,например, для плоского напряжен-
ного и деформированного состояний или для трехмерных задач, гаких,
как расчет плотин. Однако в задачах изгиба непрерывность первых про-
изводных вдоль границ элементов обеспечить достаточно трудно. Кроме
того, при расчете сложных систем, в кпюрых используются различные
элементы для представления различных подобластей, совместность чаще
всего невозможна. Однако, хотя требования совместности бывают
нарушены, практические конкретные расчеты показывают, что могут
быть получены хорошие результаты.
Практически установлено, что при использовании неконформных
(несовместных) конечных элементов, основанных на методе переме-
щений, условия непрерывности перемещений и их производных по всей
области, как этого требует традиционный метод Ритца, вовсе не являют-
ся обязательными для метода конечных элементов. Функции и их произ-
водные должны быть, как показано в разд. 5.3, непрерывны в пределах
каждого конечного элемента (это удовлетворяется просто), а некоторые
особенности их производных вдоль границ не участвуют в построении
матриц жесткости элементов. Хотя эти особенности влияют на величину
полной потенциальной энергии, их влияние практически Несущественно
и поэтому игнорируется.
Так как в методе конечных элементов с использованием неконформ-
ных элементов требования метода Ритца не удовлетворяются, вычислен-
ная полная потенциальная энергия не является обязательно нижней гра-
ницей точного значения полной потенциальной энергии системы и, следо-
вательно, монотонная сходимость не гарантирована. Однако, не требуя
монотонной сходимости, необходимо выяснить условия, при которых
будет гарантирована немонотонная сходимость [ 12 — 17]. Возвращаясь
к разд. 3.2.5, заметим, что условия полноты элемента должны быть
всегда удовлетворены, и эги условия не связаны с размером конечного
элемента. С другой стороны, условия совместности могут быть несколь-
ко смягчены за счет немоноюнной сходимости решения. Однако в этом
случае должно быть сохранено условие полноты. Напомним это условие:
при сгущении сетки конечных элементов (т.е. при уменьшении размера
элементов) каждый элемент должен приближаться к состоянию посто-
янных деформаций. Поэтому второе условие сходимости для ансамбля
162
несовместных элементов, где элементы могут иметь различные размеры,
заключается в том, что элементы вместе должны соответствовать усло-
вию постоянства деформаций. Следует заметить, что это условие распро-
страняется не на каждый конкретный элемент, а на весь ансамбль. Хотя
каждый конкретный элемент может соответствовать всем состояниям
постоянных деформаций, для элемента, используемого в ансамбле,
несовместность между элементами может претить некоторым из состоя-
ний постоянных деформаций. Это условие назовем условием полноты
ансамбля элементов.
Для проверки ансамбля несовместных элементов на полноту исполь-
зуется специальный тест [ 12, 23, 24]. В этом тесте часть элементов под-
вергается воздействию конкретных узловых перемещений, которые
строго соответствуют условиям постоянства деформаций. Если деформа-
ции каждого элемента ансамбля действительно соответствуют условиям
постоянства деформаций, то тест проходит, т.е. ансамбль элементов
удовлетворяет условиям полноты. Заметим, что успех или неудача теста
в значительной мере зависит от геометрии используемых элементов. На-
пример, ансамбль из четырехузловых плоских элементов с несовмест-
ными функциями формы, рассмотренный в разд. 4.5, удовлетворяет
тесту, если все элементы-прямоугольники (или параллелограммы), во
всех других случаях тест не проходит (см. прим. 5.6).
Хотя тест требует рассмотрения ансамбля элементов, его можно
выполнить и без непосредственного использования ЭВМ. Для этого не-
который элемент ансамбля подвергается воздействию узловых переме-
щений, соответствующих условиям постоянных деформаций ансамбля
при точном решении задач, и проверяется, действительно ли эти условия
выполняются.
Пример 5.6
Рассмотреть плоский элемент с четырьмя узлами и с несовместными
функциями формы (рис. 5.2) и проверить, удовлетворяет ли он тесту.
Этот элемент обсуждался в разд. 4.5. Поле перемещений элемента в сос-
таве ансамбля имеет вид
ис= ах + Ь,
где и‘ соответствует условиям постоянства деформаций e‘,-a,e^=d и
7^»ДДля того чтобы выполнить тест полностью, необходимо в дальней-
шем рассмотреть ненулевые условия постоянства деформаций для
и . Для выяснения, является ли tpt несовместной формой при воз-
действии на элемент перемещения и\рассмотрим интегралJfyi)(Su')d.V.
Это эквивалентно исследованию, возникают ли при таком воздействии
реакции в узлах элемента для соответствующей формы. Если реакции
Для любой возможной несовместной формы отсутствуют, то несовмест-
ных форм нет и тест проходит.
Для случая плоского напряженного состояния закон Гука приведен
в табл. 3.2. Вычисляя интеграл для несовместной формы 1р^ (рис. 5.2),
получим
^f/a)(-2x)dxdy^0.
Это и есть требование теста.
Аналогично, рассматривая >ptlips и ip* и те поля перемещений, которые
соответствуют условиям постоянства деформаций е'у , можно
163
2,0
У,?
Уэел1
г л
Ф,*
Интерполяционные функции
для перемещении
4
*аг0, *^202
v-£ hLu^,<ti3 •►««04
1’1
ф3=(}-хг), ф2 = Ф*=(1-у!}
ис = ax*b
2
4
Рис. 5.2. Прямоугольный четырехузловой элемент с несовместными
функциями формы (плоское напряженное состояние)
Е — модуль Юнга; 4 — коэффициент Пуассона; t — постоянная
толщина
убедиться в выполнении теста. Действительно, так как несовместные
формы имеют вид (1-х*) w(1-y2) , то все интегралы ivmaJfLif^StfidVрав-
ны нулю. Однако необходимо заметить, что успех теста зависит от гео-
метрии рассматриваемого элемента и, действительно, тест не выпол-
няется, если элемент на рис. 5.2 не является прямоугольником (или
параллелограммом).
Заметим, что в задачах для пространства С1 в основном условия
совместности удовлетворяются относительно просто. Однако и несов-
местные элементы, такие,как элемент из прим. 5.6, используются на
практике. Причина заключается в том, что полностью совместные эле-
менты обладают слишком большой жесткостью и для получения хоро-
ших результатов необходимо использовать большое число элементов или
элементы более высокого порядка. Это может оказаться затруднитель-
ным, а использование несовместных элементов, уменьшающих жесткость
системы, кажется привлекательным.
Попытки улучшения характеристик элементов и признание того, что
в методе конечных элементов мы обычно стремимся к минимизации
функционала, вызвали появление гибридных и смешанных моделей
[25 — 32]. Мы не собираемся представлять все эти подходы детально,
но хотим отметить некоторые наиболее важные положения, поскольку
это необходимо для дальнейшего рассмотрения метода конечных эле-
ментов. В методе конечных элементов, основанном на принципе мини-
мума потенциальной энергии, неизвестными являются только пеоеме-
щения. Источник дополнительных вариационных формулировок проб-
лемы заключен в использовании внутренних и граничных напряжений
или комбинаций напряжений и перемещений в качестве параметров.
Использование различных полей переменных, естественно, приводит
к различным требованиям к их непрерывности, а это, в свою очередь,
является другим источником возникновения дополнительных вариаци-
164
онных формулировок. Если поле переменных не удовлетворяет требо-
ваниям непрерывности, то можно ввести дополнительные переменные
в виде множителей Лагранжа для минимизации нарушений требований
непрерывности. Поскольку возможно большое количество различных
вариационных формулировок, которые используются аналогично методу
конечных элементов с перемещениями в качестве неизвестных, рассмот-
рим и другие конечно-элементные дискретизации [ 2,3, 5,25].
Наиболее часто используются три вариационных принципа: полной
потенциальной энергии, дополнительной энергии и Рейсснера. Принцип
потенциальной энергии использован в предыдущих разделах как основа
совместной модели конечных элементов с перемещениями в качестве
неизвестных. Двойственная по отношению к этой формулировка основа-
на на принципе дополнительной энергии, где вместо перемещений в ка-
честве неизвестных выступают напряжения.
Используя этот принцип, получим равновесные модели конечных
элементов.
Наиболее общим вариационным принципом является принцип Рейс-
снера. Приложение этого принципа к методу конечных элементов с пе-
ременными в узлах в виде перемещений и напряжений является смешан-
ной моделью элемента.
Три основных вариационных принципа можно использовать для полу-
чения дополнительных вариационных формулировок с целью повышения
точности и эффективности дискретизации. Использование несовместных
элементов можно понимать, как приложение модифицированного прин-
ципа полной потенциальной энергии, в котором смягчается требование
непрерывности перемещений. Гибридная формулировка имеет место,
если к одному полю переменных, которыми могут быть как напряже-
ния, так и перемещения, вводится другое поле (дополнительных напря-
жений или дополнительных перемещений), а параметры, соответствую-
щие добавленным переменным, устраняются до объединения элементов
в ансамбль.
Важен вопрос о сходимости. Мы показали, что при использовании сов-
местных элементов на основе метода перемещений энергия деформации
всегда меньше точного значения. С другой стороны, применение равно-
весной модели приводит к завышенному значению энергии, и в обоих
случаях ошибка по норме энергии монотонно приближается к нулю по
мере увеличения количества элементов. Следовательно, можно получить
верхнюю и нижнюю оценку точности решения задачи. Необходимо за-
метить, что для многих гибридных и смешанных моделей конечных
элементов вопрос о сходимости еще не решен.
В исследовании сходимости метода, основанного на методе перемеще-
ний, обычно пользуются нормой энергии (см. разд. 5.3). Однако на
практике больше интересует сходимость по величинам перемещений и
напряжений. Коэффициенты сходимости могут вычисляться для совмест-
ных и несовместных элементов исследованием решений дифференциаль-
ных уравнений равновесия, соответствующих уравнениям равновесия
метода конечных элементов. Эти уравнения должны соответствовать
дифференциальным уравнениям равновесия рассматриваемой вариа-
ционной задачи [33, 34], т.е. основные элементы должны совпадать
с соответствующими членами уравнений равновесия, а дополнительные
Должны включать степени размера элементов. Из этого следует, что при
Уменьшении размера дифференциальные уравнения, соответствующие
165
р(х)
ПроЗольная
жесткость ЕА
Рис. 5.3. Стержень с осевой нагрузкой
конечно-элементной идеализации, сближаются с дифференциальными
уравнениями, которые мы действительно должны решать, а значения
сходимости по перемещениям (или напряжениям) определяются низ-
шей степенью размера элемента, встречающейся в дополнительных чле-
нах. Продемонстрируем процесс качественного анализа сходимости на
простом примере.
Пример 5.7
Рассмотреть стержень постоянного сечения с нагрузкойр(х) на едини-
цу длины (рис. 5.3). Предположить, что стержень идеализирован в виде
набора стержневых элементов неравной длины, а сами нагрузки прило-
жены в виде сосредоточенных сил в каждом узле, собранных с половины
длины примыкающих элементов. Этот подход является самым простым
способом определения узловых сил. Исследовать сходимость.
Матрица жесткости стержневого элемента длиной h и соответствен-
но уравнения равновесия для /-го узла имеют вид
_ £ЛГ 1
(а)
Дифференциальные уравнения равновесия в узле L для конечно-эле-
ментной идеализации получаются разложением в ряд Тейлора перемеще-
ний в узлах 1-1 и 1 + 1
,, « h2 „ h3
(б)
Подстановка (б) в (а) дает
3 a}ut 12 1+а. 1 £А
С другой стороны, напомним, что дифференциальное уравнение равно-
весия в узле I имеет вид
Pi
ЕА
=> 0.
166
Таким образом, решение методом конечных элементов сходится к точ-
ному при h—*0 , Дляот^/ сходимость линейна, а при а -1 имеем
квадратичную сходимость.
Представленные в прим 6.7 вычисления сходимости были сделаны
для некоторого количества элементов. Следовательно, вдобавок к мо-
нотонной сходимости по норме энергии можно найти величину сходи-
мости по перемещениям и напряжениям. Можно показать, что эта величи-
на определяется в основном топологией сетки конечных элементов.
Рассмотренный пример отражает другую примечательную черту мето-
да — его близость к методу конечных разностей [35 - 41]. В традици-
онном методе конечных разностей приближенное решение получают с
помощью численного интегрирования разрешающих дифференциальных
уравнений равновесия. В случае стержня этим уравнением является
+ (5.44)
ЕА
Используя равный шаг узлов и формулу центральных разностей, полу-
чаем разностное уравнение в узле I
£7(4^-2^ > “ О, (5.45)
идентичное уравнению (а) в прим. 5.7. Для а * 1 надо выбрать другую
схему конечных разностей. Интересно, что уравнения в конечных раз-
ностях, следовательно, можно представить как соотношения жесткости
[35-37].
Наибольшую сложность в использовании традиционной формы метода
конечных разностей представляет учет граничных условий. После преоб-
разования дифференциальных уравнений равновесия с использованием
одной из разностных схем нужно удовлетворить как кинематическим,
так и статическим граничным условиям. Это может оказаться сложным
в общем случае, поскольку топология сетки конечных разностей огра-
ничена заданной разностной схемой; кроме того, трудно сохранить сим-
метрию матрицы коэффициентов [ 37].
Трудности, связанные с традиционной формой метода конечных раз-
ностей, привели к создание такой его формы, которая основана на прин-
ципе минимума полной потенциальной энергии и называется энергети-
ческим методом конечных разностей [ 38 -- 42]. В этой схеме производ-
ные перемещений в полной потенциальной энергии П системы аппрок-
симируются конечными разностями, а условие минимума П исполь-
зуется для определения неизвестных параметров перемещений. Посколь-
ку применяется вариационная постановка задачи, требуется удовлетво-
рить лишь кинематическим условиям. Кроме того, гарантированы сим-
метрия и положительная определенность матрицы коэффициентов ал-
гебраических уравнений.
Как и следовало ожидать, энергетический метод конечных разностей
весьма близок к методу конечных элементов с перемещениями в качест-
ве неизвестных, а в некоторых случаях получаются одни и те же системы
Уравнений. Специфика различий между упомянутыми методами заклю-
чена, в основном, в выборе компонент обобщенных смещений и в поло-
жении соответствующих им узлов. Процесс решения идентичен для обо-
их методов (см. прим. 5.9). В связи с близостью этих двух методов
167
можно подобрать физические модели, которые фактически подобны
энергетическому методу конечных разностей [40].
Основное преимущество метода конечных элементов состоит в том,
что его алгоритмы могут быть эффективно использованы в многоцеле-
вых программах расчета.
Для демонстрации решения методом конечных разностей приведем
следующие примеры.
Пример 5.8
Рассмотреть балку на двух опорах (рис. 5.4). Использовать традици-
онную форму метода конечных разностей для построения уравнений
равновесия.
Конечно-разностная сетка, принятая для расчета балки, показана на
рис. 5.4. Дифференциальные уравнения равновесия, кинематические и
естественные граничные условия уже обсуждались (см. прим. 5.4).
Представим конечными разностями в каждой точке уравнение
рr d*w _ п
Е1 dx* ~ %
и используем условия, что w* 0 и vj'*0 при х*0 их«Д. На ос-
нове центральных разностей уравнение (а) для каждого узла записыва-
ется в виде
(a)
7Г» {Ч-г ~ ★ 6wi } » Ri
(б)
где R^fyL/S— сосредоточенная внешняя сила в узле /.
Условие равенства нулю W в точке I представляется в виде
W^-2-w^w^^Q.
Применяя оператор (б) для каждого узла сетки 1*1,2,5,И и используя
условие (в) для опорных точек, получим систему уравнений
5 -4
125EI -4 б
Д3 1 -4
0 1
Рис. 5.4. Конечно-разностная сетка для балки на двух опорах
168
R
Рис. 5.5. Конмно-рмностмя сетка для консольной балки
в которой матрица коэффициентов может трактоваться как матрица
жесткости.
Пример 5.9
Рассмотреть консольную балку из прим. 52. Найти прогиб конца
балки, используя метод конечных разностей в традиционной и энергети-
ческой формах.
Используемая конечно-разностная сетка дана на рис. 5.5. Применяя
традиционную схему и центральные разности, как в прим. 5.8, получим
уравнения равновесия
&)Е1
-4
6
-4
/
(а)
-4
1
О
Отметим, что в дополнение к равенствам из прим. 5.8 были использо-
ваны условия U/'^О в заделке и и’-О на свободном конце. При-
равнивая W' и W" в точке I нулю, получим
„ 0 -,
-«Сч»- О-
Для применения метода конечных разностей в энергетической форме
воспользуемся выражением полной потенциальной энергии П из
прим. 5.2
п ж l^"(x)}2dx - .
Jo
Для вычисления интеграла необходимо аппроксимировать*v"(x) .Исполь-
зуя центральные разности в узле I , получим
«'/= * Щ_<) . (б)
Приближенное решение получается путем вычисления П в узлах с ис-
пользованием (б) и заменой интегрирования суммированием, т.е.
169
n=f (rvrvru*fnf-/?^ , (в)
где
1-2
1 J
_ -2
(L/4)-L
Wl*t.
Следовательно, по аналогии с методом конечных элементов можно за-
писать
П-£uXc.BiU,
где В, — обобщенная матрица связи деформаций и перемещений; С/ —
матрица упругости, a U — вектор всех узловых перемещений. Приме-
няя метод прямых жесткостей для вычисления полной потенциальной
энергии, как показано в выражении (в), и используя условие стационар-
ности этой энергии (т.е. получим уравнения равновесия.
Г 7
64EI
L*
-4 1
б -4 1
-4 5у5 -3
1 -3 3
0,5 -1
(г)
причем уже учтено условие равенства нулю угла поворота в заделке.
Заметим схожесть уравнений равновесия (а) и (г). Действительно,
исключая из системы (г), получим уравнения (а). Следовательно,
обе формы метода конечных разностей в данном случае дали одинако-
вые уравнения равновесия.
Пусть, к примеру, R*1, Е1= 10* и L~10 . Тогда получим из уравнений
(а) или (г) (без w6)
и»
'0,023437'
0,078125
0,14643
0,21875 J
Точное значение прогиба на конце 0,2109375, т.е. метод конечных
разностей дал очень хорошее приближение.
Список литературы
1. J. Н. Argyris, Energy Theorems and Structural Analysis, Butterworth & Com-
pany Ltd., London, 1960.
2. S. G. Mikhlin, Variational Methods in Mathematical Physics, Pergamon Press,
Inc., Elmsford, N.Y., 1964.
170
3. К Washizu, Variational Methods tn Elasticity and Plasticity, Pergamon Press,
Inc , Elmsford, N.Y., 1967.
4. R. Courant, “Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium
and Vibrations," Bulletin of the American Mathematical Society, Vol 49, 1943,
pp. 1-23.
5. R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, John Wiley &
Sons, Inc., New York, 1962.
6. L. Collatz, The Numerical Treatment of Differential Equations, Springer-Verlag,
New York, 1966.
7. S. H. Crandall, Engineering Analysis, McGraw-Hill Book Company, New
York, 1956.
8. H. L. LanghaaR, Energy Methods in Applied Mechanics, John Wiley & Sons,
Inc., New York, 1962.
9. S. W. Key, “A Convergence Investigation of the Direct Stiffness Method,”
Ph.D. dissertation. University of Washington, 1966.
10. C. A. Felippa and R. W. Clough, "The Finite Element Method in Solid
Mechanics," Symposium on Numerical Solutions of Field Problems in Con-
tinuum Mechanics, Durham, N.C., Apr. 1968.
11. J. T. Oden, Finite Elements of Nonlinear Contmua. McGraw-Hill Book Com-
pany, New York, 1972
12. G. Strang and G. J fix. An Analysis of the Finite Element Method, Prentice-
HaH, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1973.
13. J. R. Whiteman (ed.), The Mathematics of Finite Elements and Applications,
Academic Press Inc. Ltd., London, 1973.
14. J. T. Oden, R. W. Clough, and Y. Yamamoto teds ). "Basic Theory," Advances
tn Computational Methods in Structural Mechanics and Design, University of
Alabama Press, Huntsville, Ala., 1972.
15. R. H. Gallagher, Y. Yamada, and J. T. Oden (eds ). "Basic Theory," Recent
Advances in Matrix Methods of Structural Analysis and Design, University
of Alabama Press, Huntsville, Ala., 1971.
16. E. R. de ArantES e Oliveira, “Completeness and Convergence in the Finite
Element Method,” Proceedings, 2nd Conference on Matrix Methods in Struc-
tural Mechanics, Wright-Patterson A.F.B., Ohio, 1968, pp. 1061-1089.
17. E. R. de Arantes e Oliveira, “Theoretical Foundations of the Finite Element
Method,” International Journal of Solids and Structures, Vol. 4, 1968, p 929
18. W. Ritz, “Ober eine neue Methode zur Losung gewisser Vanationsprobleme
der mathematischen Physik,” Zeitschrift ftir Angewandte Mathematik tuid
Mechanik, Vol. 135, Heft 1, 1908, pp. 1-61.
19. E. L. Wilsqn and R. E. Nickell, "Application of the Finite Element Method to
Heat Conduction Analysis," Nuclear Engineering and Design, Vol 4, 1966, pp.
276-286.
20. О. C. Zienkiewicz. P Mayer, and Y К Cheung, “Solution of Amstropic
Seepage Problem by Finite Elements," A.S С E, Journal af Engineering,
Mechanics Division. Vol 92, 1966, pp 111 120
17
21. J. H. Argyris, C. Mareczek, and D W Scharpf, "Two-and Three-Dimen-
sional Flow Using Finite Elements," Journal aj the Royal Aeronautical Society,
Vol 73, 1969, pp, 961 964
22. E. L. Wilson, K. J Bathe, and F F Peterson, "Finite Element Analysis of
Linear and Nonlinear Heat Transfer," Nut tear Engineering and Design, Vol 29,
1974.
23. G. P. Bazely, Y. К Cheung, В M Irons, and О C Ziemkiewicz, "Triangular
Elements in Plate Bending Conforming and Non-Conforming Solutions," Pro-
ceedings, Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics, Wright-
Patterson A.F.B., Ohio, 1965.
24. В. M. Irons, О. C. Zienkiewicz, and E. R. de Arantes e Oliveira, “Com-
ments on the Paper: Theoretical Foundations of the Finite Element Method,"
International Journal of Solids and Structures, Vol. 6, 1970, pp. 695-697.
25. T. H. H. Pian, “Formulations of Finite Element Methods for Solid Continua,”'
Recent Advances in Matrix Methods of Structural Analysis and Design, Univer-
sity of Alabama Press, Huntsville. Ala., 1971.
26. T. H. H. Pian and P. Tong, “Basis of Finite Element Methods for Solid Con-
tinua,” International Journal for Numerical Methods tn Engineering, Vol. 1, 1969,
pp. 3-28.
27. T. H H. Pian. "Variational Formulations of Numerical Methods in Solid Con-
tinuum,” Proceedings, Symposium on Computer Aided Engineering, University
of Waterloo, Waterloo, Ontario, Canada, 1971.
28. E .Reissner. “On a Variational Theorem in Elasticity,” Journal of Mathematics
and Physics, Vol. 29, 1950, pp. 90-95.
29. L. R. Herrmann, "Finite Element Bending Analysis for Plates," A S (. E.
Journal of Engineering Mechanics Division, Vol. 93, 1967, pp. 13 76
30. W. Wunderlich, “Discretization of Structural Problems by a Generalized
Variational Approach," Proceedings, LA S.S. Symposium, Honolulu, Hawaii,
1971.
31. R. L. Taylor, K. S. Pister, and L. R. Herrmann. "On a Variational Theorem
for Incompressible and Nearly Incompressible Orthotropic Elasticity." Inter-
national Journal oj Solids and Structures, Vol. 4, 1968, pp 875 883
32. B. F. de Veubfke and C Sander, "An Equilibrium Model for Plate Bending."
International Journal of Solids and Structures, Vol 4. 1968, pp 447 468
33. J. E. Walz, R. E. Fulton. and N J Cyrus. "Accuracy and Convergence of
Finite Element Approximations," Proceedings, 2nd Conference on Matrix
Methods in Structural Mechanics, Wright-Patterson A E В . Ohio. 1968
34. J. G. A. Croi i and A C Wai ke.r. "The Finite Difference and Localized Ritz
Methods," International Journal for Numerical Methods m Engineering. Vol 3.
1971, pp. 155-160
35. A Ghaii and A M Neville, Struttuial Analysis, Intext Educational Pub-
lishers, Scranton, Pa , 1972
36. A. Ghah and К J Bathe. "Analysis of Plates Subjected to In-Plane Forces
Using Large Finite Elements." International Association for Bridge and Structural
Engineering Bulletin, Vol. 30-1, 1970, pp 61-72
172
37. A. Ghali and K. J. Bathe. “Analysis of Plates in Bending Using Large Finite
Elements," International Association for Bridge and Structural Engineering
Bulletin. Vol 30-11, 1970. pp 29-40.
38. G. E. Forsythe and W. R Wasow. Finite Difference Methods for Partial De-
ferential Equations, John Wiley & Sons, Inc . New York. 1960
39. S. W Key and R. D. Krieg. “Comparison of Finite Element and Finite Dif-
ference Methods," Numerical and Computer Methods in Structural Mechanics
(S. J. Fenves, N. Perrone, J. Robinson, and W. C. Schnobrich, eds.), Academic
Press, Inc., New York, 1973.
40. D. Bushnell, "Finite Difference Energy Models Versus Finite Element Models:
Two Variational Approaches in One Computer Program," Numerical and Com-
puter Methods in Structural Mechanics (S. J. Fenves, N. Perrone, J. Robinson,
and W. C. Schnobrich, eds.). Academic Press, Inc., New York, 1973.
41. D. Bushnell and В. O. Almroth, “Finite Difference Energy Method for Non-
Itnear Shell Analysis,” Journal of Computers and Structures, Vol. 1, 1971, p. 361.
42. C. A. Felippa, "Finite Element and Finite Difference Technique for the Numer-
ical Solution of Partial Differential Equations," Proceedings, Conference on
Computer Simulation, Montreal, July, 1973.
ГЛАВА в
РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ЭВМ
6.1. Введение
В предыдущих главах были даны теоретические основы метода конеч-
ных элементов. Задача этой главы заключается в обсуждении некоторых
важных вычислительных аспектов реализации метода конечных элемен-
тов. Хотя обсуждается метод с использованием перемещений в качестве
неизвестных, следует заметить, что большинство концепций этой главы
применимо в случае смешанных и гибридных элементов.
Главным достоинством метода конечных элементов по сравнению с
другими методами является его общность. Обычно, используя значи-
тельное число конечных элементов: для представления некоторого конти-
нуума со сложными граничными условиями и при сложном нагружении,
можно добиться требуемой степени точности расчета. Практически, од-
нако, важным является учет затрат на проведение расчета. С ростом чис-
ла элементов соответственно растут затраты труда на обработку исход-
ных данных, результатов расчета, а следовательно, и времени на проведе-
ние расчета. С другой стороны, возможности ЭВМ накладывают ограни-
чения на количество элементов для идеализации континуума. Ограниче-
ния связаны также с объемом оперативной и внешней памяти, ошибка-
ми округления, поскольку числа представляются конечным количест-
вом знаков. Кроме того, большая продолжительность непрерывного
счета на ЭВМ повышает вероятность машинных сбоев.
173
Эффективность программы зависит от следующих основных факто-
ров. Во-первых, важно использовать эффективные конечные элементы.
В предыдущих главах рассматривались обобщенные изопараметрические
элементы. Во-вторых, необходимо тщательно использовать возможности
ЭВМ и их математическое обеспечение. Хотя этот аспект разработки
программы зависит от вида ЭВМ, можно разработать весьма мощные
программы на стандартном языке FORTRAN IV независимо от типа ма-
шины.
Третьим важным аспектом составления программ для метода конеч-
ных элементов является выбор соответствующего математического
аппарата. К примеру, при выборе плохого алгоритма определения собст-
венных частот системы затраты времени могут резко возрасти, а иногда
можно и не получить решения.
Предположим, что реальная конструкция идеализирована в виде
ансамбля конечных элементов. Процесс решения задачи состоит из трех
основных этапов:
1. Построение необходимых для данной конструкции матриц
К,М,СиЯ.
2. Решение системы уравнений.
3. Определение напряжений в элементах.
В решении задач теории поля этапы те же, но соответствующие матри-
цы и величины имеют иной смысл.
В этой главе приведена машинная реализация первого и третьего эта-
пов в виде небольшой программы, обладающей всеми существенными
свойствами. Решение системы уравнений детально рассмотрено в следую-
щих главах. Поскольку решение всей задачи подразделяется на три эта-
па, ясно, что способ реализации одного из этапов существенно влияет
на другие. В некоторых программах два первых этапа выполняются
одновременно [1—4].
Как можно представить, существуют различные версии организации
программ [1 — 10]. К тому же появляются все новые идеи в программи-
ровании и в конструкции самих ЭВМ. Однако, несмотря на различие в
программах, всегда приходится иметь дело с тремя главными этапами.
Поэтому предполагается рассмотреть детали реализации этих этапов на
ЭВМ, использованные в программах SAP , ADINA и EASE [5— 10].
В первой части главы обсуждаются алгоритмы программ, а во второй
приводится учебный пример, во многих чертах соответствующий боль-
шим программным комплексам.
6.2. Организация программы по построению
матриц конструкции
Результатом данного раздела является построение необходимых мат-
риц для решения системы уравнений равновесия. В программах стати-
ческого расчета требуются матрицы жесткости и нагрузок. При расчете
на динамические воздействия необходимы также матрицы масс и демп-
фирования. Ниже описывается порядок построения матриц.
1. Ввод и (или) формирование информации об узловых точках и эле-
ментах.
174
Рис. 6.1. Возможные степени свободы в
узле
| 9г*6
| 3
Z
Y V=2
2. Построение матриц жесткости, демпфирования и эквивалентных
узловых нагрузок для элементов.
3. Построение необходимых матриц К,М,С и R для ансамбля
элементов.
6. 2.1. Ввод информации об узлах и элементах. Рассмотрим сначала
исходные данные об узловых точках. Предположим, что программа
допускает до шести степеней свободы в каждом узле: три перемещения
и три угла поворота, как показано на рис. 6.1. В соответствии с этим
должно быть определено, как узловые степени свободы будут использо-
ваны в расчетах, т.е. какие из шести возможных степеней свободы в
узле соответствуют степеням свободы ансамбля элементов. Эти степени
свободы задаются в информационном массиве ID, размер которого
определяется произведением 6XNUMNP, где NUMNP равно количест-
ву узлов системы. Элемент (1>J) массива ID соответствует
i-той степени свободы в узлеу. Если ID(I,J)=1, то соответствующая сте-
пень свободы ансамбля отсутствует, в противном случае ID(I,J)s0. Отме-
тим, что саму программу можно построить таким образом, чтобы массив
ID задавался с большим (меньшим) числом степеней свободы в узле.
Рассмотрим простой пример.
Пример 6.1
Построить матрицу ID для консольной балки в случае плоского
напряженного состояния (см. рис. 6.2 и 3.4) для действительных и отсут-
ствующих степеней свободы.
Действительные степени свободы задаются в виде ID(1,J) = 0 ,адля
отсутствующих 1В(1Д)=/ .Поскольку пластина расположена в плоскости
ХУ ,а для плоского напряженного состояния играют роль лишь переме-
щения вдоль осей X и У легко видеть, что
111 00000 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0
111111111
111111111
111111111
.1 1111111
Определив реальные степени свободы в массиве ID , можно легко про-
нумеровать соответствующие им уравнения. Это делается просмотром
175
Температуря в»рхн»Л грвни 100® С
60 см
60 см
12
9
5
5
в
(/
Е*Ю‘ кгс/см*
v-0,15
(2
f -10* кгс/см*
V-DJ5
И
Г ’_5
„ Е*2*10* кгс/см1
1 V0.2
Е’2Ч0‘ кгс/см*
4 v‘O,2
11
7
Уэел
Номер
Элемента
Номер степени
свободы
Температура
иижисй грани 70° С
Рис. 8.2. Конечно-элементное предстееление консольной жест-
кости
столбцов массива ID с заменой каждого нуля очередным порядковым
номером, начиная с 1.
Пример 6.2
Изменить массив ID из прим. 6.1 так, чтобы получить в массиве ID
номера соответствующих уравнений равновесия.
Как сказано выше, мы просто заменим нули последовательно стол-
бец за столбцом очередным номером уравнения.
'0 0 0 1 3 5 7 9
0 0 0 2 6 6 8 10
0 0 0 0 0 0 0 0
IJJ* 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
p 0 0 0 0 0 0 0
11~
12
0
0
0
0.
Помимо определения реальных степеней свободы ансамбля нам не-
обходимо ввести глобальные координаты X,УД и, если это требуется, то
и температуру для каждого узла. Для консоли на рис. 62 соответствую-
щие массивы ХУ2 и Т имеют вид:
Хг- [Д0 0,0 0,0 600 60,0 60,0 120,0 1200 120,0}\
Уг- [00 600 800 00 600 800 00 600 80Р]; ,д п
Zr- too 00 00 оо 00 00 00 00 0,0}’,
Tr« \?0D 85,0 №00 TOO 85,0 1000 TOO 8$0 1000}.
176
С момента, когда данные об узлах известны, программа может вво-
дить и генерировать информацию об элементах. Целесообразно описы-
вать элементы по очереди. К примеру, при расчете сложных конструк-
ций все стержневые, все плоские и все оболочечные элементы вводят-
ся и обрабатываются группами. Это весьма эффективно, поскольку для
каждого необходима информация определенного типа, и повторяющие-
ся характеристики элементов могут быть легко сгенерированы. С дру-
гой стороны, подпрограмма чтения данных и построения матрицы мо-
жет быть вызвана только один раз.
Необходимые сведения об элементах зависят от их типов. В основ-
ном, информацией о каждом элементе являются номера его узлов,
соответствующие номерам узлов в ансамбле элементов, характеристи-
ки материала, а также приложенные к нему объемные и поверхност-
ные силы. Поскольку характеристики материала и нагрузки на элемент
одинаковы для большого числа элементов, эффективно установить
типы материалов и нагрузок. Эти величины задаются в начале информа-
ции о каждой группе элементов. Следовательно, свойства материала
и вид нагрузки могут быть добавлены к элементу одновременно с вво-
дом номеров его узлов.
Пример 6.3
Рассмотреть расчет консольной плиты, показанной на рис. 3.4 и 6.2,
при локальной нумерации узлов по рис. 3.5. Для каждого элемента
дать нумерацию узлов, соответствующую нумерации узлов ансамбля.
Ввести также типы характеристик материалов.
Для этой задачи заданы два типа материала: тип 1 при Е = /0*кгс/смг и
v^OfiS и тип 2 при f» 2- 1OeKrc/cif нУ*0,20. Для каждого элемента
имеем следующие описания:
Элемент 1: номера узлов: 5,2, 1,4; тип материала: 1.
Элемент 2: номера узлов: 6,3, 2,5; тип материала: 1.
Элемент 3: номера узлов: 8, 5, 4, 7; тип материала: 2.
Элемент 4: номера узлов: 9,6, 5,8; тип материала: 2.
6. 2.2. Построение матриц жесткости, масс и эквивалентных узловых
сил. Общая процедура построения матриц обсуждена в гл. 4, а числен-
ная реализация рассмотрена в разд. 4.8. Организация программы на
данном этапе состоит в вызове соответствующей подпрограммы для
каждого элемента, причем эти программы используют матрицы коор-
динат элементов, характеристик материала и сил, сформированные
на предыдущем этапе (см. разд. 6.2.1), После вычисления матриц для
элементов они могут быть отправлены на хранение, поскольку построе-
ние матрицы ансамбля происходит позже [7] или могут быть сразу же
добавлены к матрице для конструкции [8].
6. 2.3. Построение матриц для ансамбля. Процесс объединения мат-
риц элементов в матрицы ансамбля символически можно записать в
виде
, (6.2)
где К{-— матрица жесткости Z-го элемента, а суммирование распрост-
раняется на все элементы ансамбля. Аналогично строится матрица
12 - 522
177
масс и вектор сил для ансамбля из матриц масс и векторов сил для
элементов. Кроме того, в матрицы для ансамбля могут быть добавлены
сосредоточенные жесткости, массы и нагрузки, соответствующие кон-
кретным степеням свободы
Следует заметить, что матрицы жесткости элементов в выражении
(6.2) К/ формально имеют тот же порядок, что и матрица жесткости
системы К .Однако в матрице К/ ненулевые элементы стоят в тех
строках и столбцах, которые соотве1сгвуют степеням свободы элемен-
та (см. разд. 3.2.2). Таким образом, практически нам надо хранить
матрицу жесткости элемента в компактной форме, порядок которой
равен числу степеней свободы элемент, совместно с массивом, свя-
зывающим степени свободы элемента с глобальными степенями свобо-
ды ансамбля. Этим массивом связи является массив LM (в котором
вход I дает номер уравнения, соответствующего Z-гой степени
свободы элемента.
Пример 6.4
Используя принятые на рис. 3.5 степени свободы элемента, построить
массивы связи для обьединения в ансамбль элементов, показанных
на рис. 6.2 (или 3.4).
Рассмотрим элемент 1 на рис. 6.2. Для него узлы 5,2,1и4 ансамбля
соответствуют узлам элемента 1, 2, 3 и 4 (рис. 3.5). Используя массив
ID , найдем номера уравнений, соответствующих узлам 5, 2, 1 и 4
ансамбля элементов, а следовательно, соотношения между номерами
столбцов (строк) компактной, или локальной матрицы жесткости
элемента и глобальной матрицы в следующем виде.
Соответствие номеров столбцов или строк
Для компактной формы 1 2 | 3 4 5 6 7 8
Для Kt 3 4 0 0 0 0 1 2
Таким образом, массив LM f хранящий глобальные степени свобо-
ды этого элемента, имеет вид
LMr« [5 4 0 0 0012},
где нуль означает, что соответствующие столбец и строка компактной
матрицы жесткости игнорируются и не входят в матрицу жесткости
для всей конструкции.
Аналогично можно получить массивы LMjсоответствующие элемен-
там 2,3 и 4:
для элемента 2 LMr= [£
для элемента 3 LMr= [9
для элемента 4 LMr= [//
6 0 0 0 0 3 4}’,
10 3 4 1 Z 7 8}',
12 5 6 3 4 9 10}.
Как показано в этом примере, массив связи элемента определяется
узловыми точками и номерами уравнений, соответствующими этим уз-
лам. Как только массив LM построен, соответствующие матрицы жест-
кости можно добавить к матрице жесткости конструкции К, но при
этом должна быть учтена особая схема хранения К .Как уже подчер-
кивалось в разд. 1.3, эта схема предусматривает хранение элементов
178
ниже граничной линии для К (т.е. хранятся активные столоцы К ) в
одномерном массиве А.
На рис. 6.3 показан пример типичной структуры матрицы жесткости.
Обсудим схему хранения и рассмотрим методику определения адресов,
которую в дальнейшем будем использовать. Поскольку матрица сим-
метрична, естественно хранить и работать с ее верхней частью, включая
диагональ. Заметим тем не менее, что элемент (lj) матрицы К (т.е.
кц ) равен нулю при j > l+т*. Значение называется шириной по-
луленты матрицы К . Определяя через ггц номер строки первого
179
ненулевого элемента Z-ro столбца (рис. 6.3), заметим, что величины
4«/,..,л определяют граничную линию матрицы, а величина
является длиной столбца. Ширина полуленты матрицы л?к равна max(i-
• Во многих задачах длина столбцов меняется весьма значи-
тельно и важно, что все нулевые элементы выше граничной линии не
участвуют в решении уравнений (см. разд. 7.2.3). С другой стороны,
нулевые элементы, расположенные ниже граничной линии, в процессе
решения становятся ненулевыми в результате преобразования элемен-
тов.
Длины столбцов определяются из массивов связи LM отдельных
элементов, т.е. по мере получения лг,- находим длины столбцов (i-nti).
Рассмотрим, к примеру, определение т* матрицы жесткости ансамбля
элементов, показанной на рис. 6.2. Массивы LM для четырех элементов
были найдены ранее. Заметим только, что степень свободы 10 является
общей для элементов 3 и 4, а минимальный номер степени свободы
этих элементов есть 1, таким образом, 1 и длина столбца 10
равна 9.
Найдя длины столбцов матрицы жесткости, мы можем хранить
теперь все элементы ниже граничной линии матрицы К в одномерном
массиве А, т.е. активные столбцы К , включая диагональные элемен-
ты, последовательно хранятся в массиве А, Рис. 6.3 показывает, ка-
кие элементы матрицы К следует включить в А. .Кроме массива А
определим массив МАХА, где хранятся адреса диагональных эле-
ментов К из одномерного массива А, т.е. адресом L -го диаго-
нального элемента К (кц) в А является М АХ А (I). Возвращаясь к
рис. 6.3, можно заметить, что значение МАХА(1) равно сумме длин
столбцов до (I —/)-го плюс 1. Таким образом, число ненулевых
элементов в 4-ом столбце матрицы КравноМАХАф-^- МАХА(1), а ад-
реса элементов этого столбца есть МАХА(1), МАХАЦ)*/, МАХА(1)*2 , ,
МАХА (!*/)-/.
Следовательно, использование одномерного массива А вместе
с адресным массивом МАХА позволяет легко адресовать каждый
элемент из К в массиве А .
Описанная выше схема хранения используется далее в программе
ST АР и в подпрограммах решения систем алгебраических уравнений
и отыскания собственных значений. Аналогичная схема применена в
программе ADINA [ 8J. Эффективность этой схемы заключается в
том, что не надо хранить и работать с элементами выше граничной ли-
нии.
При обсуждении алгоритма решения системы уравненийKU» Я,
где K,U и R — соответственно матрица жесткости, векторы пере-
мещений и внешних сил,будет показано, что при решении системы тре-
буется около операций, где п — порядок системы уравнений,
/Я1* — ширина полуленты, причем примерно выполняется условие
бнл^-л^для всех I .Таким образом, важно минимизировать тж для
уменьшения как объема требуемой памяти, так и количества опера-
ций. При переменной длине столбцов используется понятие "эффектив-
ного" значения ЛТ* (см. разд. 7.2.3). Так как эффективная ширина
полуленты определяется максимальной разницей номеров глобальных
степеней свободы одного и того же элемента, часто можно определить
рациональную систему нумерации узлов. В то же время достаточно
180
a)
I-----•-
42Z 22 23
1 2
17
8 9 10 11 12 15
18
20
24 25 26 2'1 28 29 30 31 32 33
0)
"22
21 24 26 29 31
27
<<32
20 23 25 28 30 33
Рис. 6.4. Пример нумерации узлов ансамбля элементов
а — неоптимальная нумерация узлов, + 1 46; б — опти-
мальная нумерация узлов, = 16
сложно построить автоматизированную систему нумерации с мини-
мальной шириной ленты [11- 12]. Рис. 6.4 показывает типичные слу-
чаи плохой и хорошей нумерации узлов.
Отметим, что в рассмотренной схеме хранения массивов мы предпо-
лагали, что весь массив А (т.е. набор всех активных столбцов мат-
рицы К ) может быть целиком помещен в оперативную память ЭВМ.
Для простейших случаев этого вполне достаточно, хотя для практичес-
ких задач приходится объединять матрицы в блоки [ 5 — 10]. Для слу-
чая использования внешней памяти в принципе эффективны те же схе-
мы хранения, что и для случая решения в оперативной памяти [8].
Главная трудность здесь заключена в логике программы, которая с
минимальными затратами должна вызывать в оперативную память бло-
ки матрицы, хранящиеся во внешней памяти. В этом случае использу-
ются различные приемы, но особое внимание уделяется сокращению
количества обращений к диску или ленте.
6.3. Вычисление напряжений в элементе
В предыдущем разделе был рассмотрен вопрос построения матрицы
жесткости ансамбля конечных элементов из отдельных матриц жест-
кости. Следующим шагом является вычисление перемещений узлов,
детально рассматриваемое в следующей главе. Как только определены
смещения узлов, начинается заключительная стадия расчета — определе-
ние напряжений в элементах.
181
Для этого используются выражения (3.55) и (3.57). Однако, как и
в получении матрицы жесткости для системы, здесь эффективно ис-
пользовать компактные матоицы конечных элементов, т.е. работать с
ненулевыми столбцами в выражении (3.55). На основе идей,
рассмотренных в предыдущем разделе, построим матрицу связи пере-
мещения — деформации для элемента в компактной форме, используя
для определения смещений узлов из полного вектора перемещений
массив LM для элемента. Этот процесс представлен ниже в программе
STAP Заметим, что напряжения можно вычислить в произвольной
точке элемента простым преобразованием матрицы связи перемеще-
ния — деформации для рассматриваемой точки. Для изопараметриче$-
кого конечного элемента используется методика разд. 4.3.1 (см.
прим 4.2).
6.4. Программа STAP
Вероятно, наилучшим путем знакомства с реализацией метода ко-
нечных элементов является изучение работающей программы, кото-
рая, хотя и является упрощенной, демонстрирует все существенные
особенности больших систем. Программа STAP(STatte Analysis Program;
и есть такая программа, предназначенная для статического расчета кон-
струкций методом конечных элементов.
Основная цель представления программы заключена в показе об-
щей структуры типичных программ метода конечных элементов, а
потому в программе 5ТАР рассматривается лишь стержневой эле-
мент. Однако она составлена так, что может быть использована и для
расчета одно-, двух- и трехмерных конструкций, причем добавление
новых элементов может быть сделано относительно просто.
На рис. 6.5 показана блок-схема программы, а на рис. 6.6 пред-
ставлены массивы, необходимые на различных этапах ее работы. До
того, как дать распечатку программы, рассмотрим структуру исходных
данных. Аналогичная организация данных используется в программах
5АРШ,АВ1ЫА и EASE2 [5-10].
6.4.1. Исходные данные для программы STAP
I. Заглавная карта (12М)
Замечания Колонки Переменная Примечание
(1) 1-80 НЕВ(2Д) Основной заголовок, ис- пользуемый при печати выходных данных
Замечание
1) Каждая новая задача должна начинаться с новой заглавной карты.
Вслед за последней задачей должны находиться две пустые карты.
182
НАЧАЛО
КОНКИ
Рис. 6.5. Блок-схема программы S1AI1 • см. разд.
7.2.2)
183
Массив
a)
Aapet Память
Рис. 6.6.
х D массив
X - массив координаг
Y - массив координл г
7 - масса! коордийа!
ректор нах ту эк у R
NOD
IDIRN
FL0AD
Переменные,
> определяющие
вектор нагрузки
Ц. Управляющая карта (415)
Замечания (1) (2) (3) (4) Колонки 1 - 5 6-10 11 - 15 16- 20 Переменные NUMNP NUMEG NLCASE МОРЕХ Примечания Общее число узлов; Общее число групп элементов; Число вариантов на- гружения; Вариант работы про- граммы: при 0— про- верка данных; при 1 — решение
184
Массив
Адрес Память
X массив координат
Ч - массив координат
7 массив координат
I рунпа данных об элементе
(группы читаются
последовательно )
ID массив
Адрес
Память Массив
Вектор длин столбцов МНТ
N5
2*NUMMAT*ITW0
*7*NUME
+ 6 * NUME*ITW0
Группа давдых
об элементе
(группы читаются
последовательно)
Рис. 6.6. Распределение оперативной памяти для программы (обозначения
переменных см. в руководстве пользователя). I TW0 = 1 при вычислениях
с обычной точностью, I Т W0 = 2 при вычислениях с двойной точностью
а — при вводе мессива Ю, координат узлов и векторов нагрузки; б —при
вводе информации об элементах; в — при построении общей матрицы жест-
кости, вычислении перемещений и напряжений
Замечания
1) Общее число узлов должно соответствовать картам описания уз-
лов (карты Щ типа); при NUMNP=0 программа прекращает работу.
2) Общее число элементов должно соответствовать картам описания
групп элементов (карты JS типа). В каждой группе должен быть,
как минимум, один элемент и должна быть как минимум одна группа
элементов.
3) Число вариантов нагружения (NLCASE) определяет число грузо-
вых столбцов, для которых находятся перемещения и напряжения.
4) Параметр MODEX определяет вариант работы программы: или
следует проверить данные для расчета (MODEX® О), или программа
должна решить задачу (MODEX®/) .В случае проверки программа толь-
ко читает и печатает все исходные данные.
Ш. Карты информации об узлах (415, 3Ff0.0, J5)
Замечания Колонки Переменные Примечания
(1) 1 - 5 N Номер узла; /4N«NUMNP
(2) 6- 10 XD(/,N) Код перемещения вдоль оси X
11-15 1D(2, N) Код перемещения вдоль оси У
16-20 ID(3, N) Код перемещения вдоль оси Z
(3) 21 - 30 X(N) Координата X
31-40 V(N) Координата У
41 - 50 Z(N) Координата Z
(4) 51 - 55 KN Приращение номера узла при гене-
рации сетки узлов; при 0 — отсут-
ствие генерации
185
Замечания
1) Данные об узлах должны быть определены для всех узлов Эти
данные могут вводиться непосредственно (т.е. для каждого узла на
своей карте) или генерироваться (см. замечание 4). Номера узлов
могут меняться от 1 до NUMNP • Последний вводимый номер должен
быть равен NUMNP.
2) Коды перемещений могут принимать следующие значения (М-£2,3):
ID(N,N)"0 — перемещение по направлению М возможно.
ID(Vf,N)= 1 — перемещение по направлению М равно нулю.
При отсутствии закрепления [lD(M,N)»0] соответствующее переме-
щение возможно и определяется из решения системы. По этому на-
правлению можно приложить сосредоточенную силу. Каждой незакреп-
ленной степени свободы соответствует одно уравнение равновесия. Об-
щее число уравнений обозначается NEQ и всегда меньше утроенного
числа узлов системы. При устранении степени свободысоот-
ветствующее уравнение удаляется из полной системы уравнений равно-
весия. Устраняемые степени свободы определяют неподвижные точки
(опорные закрепления), а соответствующие этим степеням приложен-
ные силы не учитываются в программе.
3) Три координаты Х,У и Z задают положение каждого узла.
4) Карты с данными об узлах могут вводиться в любой последова-
тельности. Тем не менее все узлы от 1 до NUMNP должны быть описа-
ны. Данные о группе узлов
[N„ N,*/xKN„ N,*2xKN,, ...» Ne]
могут быть сгенерированы по информации, находящейся в двух после-
довательных картах:
карта 1- No ID(/,N,X(N,KN, ;
карта 2 - N,, ID(/, NJ,..., X(NJ,..., KN,,
KN, — параметр генерации группы узлов, задаваемой в первой из
карт. Первым из узлов, сформированных программой, будет N,+/xKN,,
вторым — N, + 2XKN, и т.д. Процесс генерации продолжается, пока
номер узла не будет равен N,~ KN, • Заметим, что разность N,-N, дол-
жна нацело делиться на KN, .При этом коды граничных условий ID(L,3)
генерируемой последовательности узлов равны соответствующим
кодам для узла N,. Значения координат генерируемых узлов изменя-
ются по линейному закону.
1У. Карты задания нагрузок
Каждый вариант нагружения требует соответствующего набора
карт. Общее количество вариантов нагружения определяется управляю-
щей картой П типа.
Первая карта (215)
Замечания Колонки Переменные Примечания
(1) (2) 1 -5 6-10 LL NL0AD Задаваемый номер нагружения Общее количество сосредоточен- ных сил для данного варианта нагружения
186
Замечании
1) Варианты нагружения задаются по возрастанию номеров, начи-
ная с 1.
2) Переменная NLOAD определяет число карт, которые будут
далее введены для этого варианта нагружения.
Следующие карты (2I5,F10.0)
Замечания Колонки Переменные Примечания
(1) 1 - 5 N0D Номер узла, в котором приложена нагрузка; NODS NUMNP
(2) 6-10 IDIRN Степень свободы, по которой при- ложена сила: при 1 — направлениеХ, при 2 — направление У > при 3 — направление Z
11-20 FLOAD Величина нагрузки
Замечания
1) Для каждой сосредоточенной силы данного варианта нагружения
необходимо ввести отдельную карту.
2) Все силы задаются проекциями на глобальные оси координатХ,У,2.
ЗГ. Стержневые элементы
Имеется в виду стержень с шарнирами по концам с произвольной
ориентацией в системе осей X,y,Z. Этот элемент работает только на нор-
мальную силу и имеет шесть степеней свободы (по три линейных сме-
щения на каждом конце). Общее число групп элементов NUME& опреде-
лено в управляющей карте (карта П типа).
Z1- Управляющая карта группы элементов (315)
Замечания Колонки Переменные Примечания
1 - 5 NPAR(f) Записывается номер 1
<1) 6-10 NPARC2) Количество стержневых элемен- тов в этой группе; NPAR(Z) -NVME
(2) 11 - 15 N PAR (3) Количество различных типов материала и поперечных сечений NPAR(3)» NUMMAT; при 0 - авто-
матически полагается 1
Замечания
1) Номера стержней начинаются с 1 и заканчиваются значением
NPAR(2) .Данные об элементах задаются на картах типаУ.З.
2) Переменная NPAR(3) определяет число вводимых типов мате-
риала и сечений (карты типаХ.2).
Л72. Карты характеристик материала и сечений (15 , 2.F10,0)
Замечания Колонки Переменные Примечания
(1) 1 - 5 6-15 16-25 N E(N) AREA(N) Номер типа Модуль упругости Площадь поперечного сечения стержня
187
Замечания
1) Типы характеристик вводятся последовательно, начиная с 1 и
заканчивая NUMMAT . Модуль упругости и площадь поперечного сечения
каждого из стержневых элементов идентифицируются одним из вве-
денных здесь типов.
У.З. Карты описания элементов (515)
Замечания Колонки Переменные Примечания
1 - 5 М Номер стержня; It М * NPAR62J
6-10 II Номер узла на одном конце стержня
11 - 15 33 Номер узла на другом конце стержня; /41ГилиЗЭ4 NUMNP
(1) 16-20 МТУР Тип материала; /4 МТУР4 NPAR(3,’
(2) 21 - 25 К® Приращение номеров узлов, используемое при генерации цепочки элементов; приО — принимается 1
Замечания
1) Характеристики типа материала и поперечного сечения определе-
ны в описании карт типа7.2.
2) Данные об элементах вводятся в порядке возрастания номеров
элементов. Если пропущены карты для элементов £М*/, М*2,... М+ 3] ,
то описания пропущенных элементов генерируются с использованием
МТУР элемента М, причем номера узлов увеличиваются на величину KG.
6.4.2. Распечатка программы ST АР
с...........................................................
с .
С . S Т А Р .
С ’ ПРОГРАММА СТАТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ
С ’ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ
С...........................................................
COMMON /SOL/ NUMNP-NEQtNNK.NUMESTtMIDEST.MAXEST.MK
COMMON /DIM/ Nl.NZtNJ.NAtNS.M.HT.Ne.Nb.HlO.Nll.NU.Nll.NU.NH
COMMON /«./ IN0tMPARU0bNUME6.MT0T,NFI«ST(NLASTtITW0
COMMON /МАЙ/ NG.MOOEX
COMMON /TAPES/ IELMNT.ILCAO.1IN.IOUT
C
DIMENSION TIMISI, HE0I20I
DIMENSION IAI1I
EQUIVALENCE (AUI.IAIIH
£»•••••••••••••••••••••••••*•• • • •••
С СЛЕДУЮЩИЕ ДВЕ КАРТЫ ОПРЕДЕЛЯЮТ ОБЪЕМ ОПЕРАТИВНОЙ ПА-
С МЯТИ. ПРЕДОСТАВЛЯЕМОЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ, ДЛЯ ИЗМЕНЕНИЯ
с ОБЪЕМА ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ НЕОБХОДИМО ИЗМЕНИТЬ ЗНАЧЕНИЕ
£ MTDT И СООТВЕТСТВЕННО COMMON А(МТОТ)
COMMON Al 100001
ИТОГ-10000
С
с...........................................................
С КАРТА ЗАДАЕТ ТОЧНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ
С ITNO • 1 ОДИНАРНАЯ ТОЧНОСТЬ
С ITHO « 2 ДВОЙНАЯ ТОЧНОСТЬ
С » . ......................................................
С
188
ITWC«2
С НАЗНАЧЕНИЕ ФАЙЛОВ
С IELNNT - ЛЕНТА ДЛЯ ЗАПИСИ ДАННЫХ ОБ ЭЛЕМЕНТАХ
С ILOAO • ЛЕНТА ДЛЯ ЗАПИСИ ВЕКТОРОВ НАГРУЗОК
С I IN . ЛЕНТА ДЛЯ ВВОДА ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
С IOUT > ЛЕНТА ДЛЯ ВЫХОДНЫХ ДАННЫХ
С
IELNNT . 1
ILOAO • 2
I IN • 5
ICUT. * 6
С
20» NUNEST-0
NAXEST«O
г
С
С • » • ЭТАП ВВОДА • • ’
С
с •••••••«•
CALL SECCNO <Т1М(1>1
С
С
С ЧТЕНИЕ УПРАВЛЯЮЩЕЙ ИНФОРМАЦИИ
С
с
READ (I IN,10001 HEO,NUNN₽,NUNEG,NLCASt,НООЕХ
IF (NUMNPiEOnOI STOP
WRITE <IOUT,2000 I HED,NUhnP,NUNEG,NLCASE,MODE X
C
C
С ЧТЕНИЕ ДАННЫХ ОБ УЗЛАХ
С
С
Nl- 1
N2-N1 ♦ ’ • NUMNP
N3-N2 ♦ NUMNP «ITWO
N4»N3 * MIMNPMTW0
N5»N4 ♦ NUMNPMTWO
IF IN5.GT.MT0TI CALL ERROR I N5 - МТ0Т.1»
C
CALL INPUT (A(NlJ,A IN2I ,AtN3),A I NA I ,NUMNP,NEC»
C
NEQl’NEQ ♦ L
C
£ ВЫЧИСЛЕНИЕ И ЗАПОМИНАНИЕ ВЕКТОРОВ НАГРУЗОК
С
N6«N5 ♦ NEO»ITWO
WRITE!IOUT,20051
С
REWIND ILCAD
C
00 300 L«1,NLCASE
C
REAO I I IN,10101 LL.NLOAD
C
WRITE IIOUT,2010» LL.NLCAD
IF ILL.EO.LI GO T3 310
189
WRITE (IOUT,20201
STOP
310 CONTINUE
C
N7-N6 ♦ NLOAD
N0-N7 ♦ NLOAD
N9=N8 ♦ NLOAO*ITWO
c
IF (N9.GT.MT0TI CALL ERROR (N9 - NT0T.2I
C
CALL LOADS (A(N5I»A(N6»,A(N7I,A(N8»,A(NlI,NLOAD,NEQI
C
300 CONTINUE
C
C
c ВВОД, ГЕНЕРАЦИЯ И ЗАПОМИНАНИЕ ДАННЫХ ОБ ЭЛЕМЕНТАХ
С
с
с ОЧИСТКА ПАМЯТИ
С
N6-N5 ♦ NEO
DC 10 I«N5,N6
10 »A(I>«0
IND-1
C
CALL ELCAL
C
CALL SECOND (TIMI2II
C *♦»»»•»»«»»••*••♦•***•
c
C • * ♦ ЭТАП РЕШЕНИЯ • • •
С
С ж»**»»»»»»**»*»»****»*
с
С ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ
С
С
CALL ADORES (A(N21,A(N5I I
C
MM-NWK/NEO
N3«N2 ♦ NEO ♦ I
N4«N3 ♦ NWK*ITWO
N5-N4 ♦ NEO*ITWO
N6-N5 ♦ MAXEST
IF (N6.GT.MT0TI CALL ERROR (N6 - NT0T,4l
C
С ПЕЧАТЬ ОБЩИХ ДАННЫХ О ЗАДАЧЕ
С
WRITEUCUT, 20251 NEO,NWR,ИК ,ММ
С
с ПРИ ПРОВЕРКЕ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ ВСЕ ДАЛЬНЕЙШИЕ
с ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПУСКАЮТСЯ
IF IMOOEX.GT.OI GO ТО 100
CALL SECOND (Т IM13 I I
CALL SECOND (TtM(4l)
CALL SECOND <TIM(5»>
GO TO 120
190
с
С ОЧИСТКА ПАМЯТИ
С
100 NNL’NWK ♦ NEQ
CALL CL EAR(AIN3 I ,NNL I
C
P
1NO*2
C
CALL ASSEM (A(N5>I
C
CALL SECOND (TIMOII
C
С ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ К ТРЕУГОЛЬНОМУ ВИДУ
С
KTR-1
CALL COLSCL (А(N3>,А(N4>,А(N2>,NEQ<NW К,NEOl,КТR )
C
35 CALL SECOND (TIM <4 II
C
КТГ.-2
INO*3
C
REWIND ILCAO
00 400 L-l.NLCASE
C
CALL LOAOV <A(N4I,NEOI
C
C
С ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
С
с
CALL COLSCL (AIN3I,A<N4>,A(N21,NEQ.NWK,NEO!,KTR I
C
WP!TEII0UT,20'5> L
CALL WRITE <AiH4l,A<Nl>,NE0,NUMNP)
C
C
С ВЫЧИСЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
С
с
CALL STRESS (AINSLX
C
400 CONTINUE
C
CALL SECOND (TIM«5I>
C
С ПЕЧАТЬ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЗАДАЧИ
120 ТТ*О.
ОС 500 1-1,4
Т1М( I I-TIH 1*1» - TIMTI »
500 ТТ-ТТ ♦ Т IM ( 11
WRITE IICUT,20301 HED, <Т !Н< 11, 1-1, А>,ТТ
С
С ПЕРЕХОД К СЛЕДУЮЩЕЙ ЗАДАЧЕ
С
GO ТО 200
С
1000 FORMAT (20A4/4I5)
1010 FORMAT (2Г5»
С
С
2000 FORMAT <1Н1,20А4 ///
155Н CONTROL INFORMATION
191
ttb*.
255HNUMBER OF NODAL POINTS .................... . (NUMNPI -.I5//5X,
355HNUMBER OF ELEMENT GROUPS...................(NUMEG* •. I5Z/5X,
455HNUMBER OF LOAD CASES . . . ................<NLCASE> -.ISZZSX,
555HSOLUTION MOOE.............................. IMOOEXI -.15 Z5X,
655H EQ.O. OATA CHECK Z5X,
T55H EG. 1. EXECUTION >
2005 FORMAT (1H1.26H LOAD CASE DATA!
2010 FORMAT (ZZZZ4X.33H LOAD CASE NUMBER ....... I5ZZ5X.
132HNUMBER OF CONCENTRATED LOADS . • .15*
2015 FORMATtlHl.9H.0AD CASE. 131
2020 FORMAT I1X.A0H*»* ERROR LOAD CASES ARE NOT IN,ORDER )
2025 FORMAT!1H1.
155HT0TAL SYSTEM DATA ZZZ5X,
255HNUM8ER OF EQUATIONS ...................... .... .INEOI -.15/Z5X,
355HNUMBER OF MATRIX ELEMENTS........................... -.I5ZZ5X,
A55HMAXIMUM HALF BANDWIDTH ...................... . <MK ) -.15ZZ5X,
C
S55HMEAI. HALF BANDWIDTH.......................(MM I .,151
2030 FORMAT (1H1.A8H SOLUTION TIME LOG IN SECZZ
112X.11HF0R PR0BLEM//1X.20AA ZZZZ5X,
251HTIME FOR INPUT PHASE ............................ • .F12.2ZZ?X,
351HTIME FCR CALCULATION OF STRUCTURE STIFFNESS MATRIX- .F12.2ZZ5X,
A51HTRIANGULARIZATI0N OF STIFFNESS MAT’IX ....... -,FI2.2ZZ5X.
551HTIME FOR LOAD CASE SOLUTICNS..................- , F 12. 2 ZZZ5X,
BS1H TOTAL SOLUTICN TIME ...... .F12.2I
ENO
SUBROUTINE I RR IR IN, I I
C.................................................................
c .
С . ПРОГРАММА
c • ПЕЧАТИ СООБЩЕНИЙ ПРИ ПРЕВЫШЕНИИ ОБЪЕМА
£ ЗАПРОШЕННОЙ ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ
CCMMJH ZTAP1SZ IFIMNT, IlDAD.I IN. IOIIT
С
GO TQ ( 1.2. 3.41, I
С
1 WRITE! HUT,20UOI
GC ТО 6
2 WRITEIICUT,20101
GB ТО 6
3 мВ I Т Е 11 СИ’ , 2020 >
GO JO 6
4 WRI T f 11 3UT.2U3II
6 WRITE I 1 OUT,20501 N
STOP
2000 F Э»*АТ ( //чей NJT FNCiJG* ST IRAbT FCR REAO-JN 0F TO ARRAY AND
123HN3DAL P’INT COJRDIKA1C SI
2010 FORMAT NOT ENOUGH ST thAGc FOR DtF INITTON QF I TAD VECTORS!
2020 FORMAT NOT fncugh STCRAGF FOR ELEMENT CATA INPUT 1
20 30 FORMAT NOT LhCUCH ST )RA ,t FOR ASSFMRtAGE OF GLOBAL STRUCT,
155HE STIFFNESS >b AND CtSPI ACEMENT ANO STRESS SOLUTION PHASE 1
2050 FORMAT IZZ 32H FRF'R STORAGE ExCE 0=3 RV. 191
ENO
SUBROUTINE INPUT IID.X.V.Z.NUMHP.NEOI
C
c...........................................................
c .
С ПРОГРАММА
С . .ВВОДА, ГЕНЕРАЦИИ И ПЕЧАТИ ДАННЫХ ОБ УЗЛАХ
С. -ВЫЧИСЛЕНИЯ НОМЕРОВ УРАВНЕНИЙ И ИХ ЗАПОМИНАНИЯ
С В МАССИ BE IB
С . н- НОМЕР УЗЛА
С . ID-КОДЫ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ (О -СВОБОДНО. 1 -ЗАК-
РЕПЛЕНО)
192
С . x.v.z- КООРДИНАТЫ
С . км КОД ГЕНЕРАЦИИ,
С Т.Е. ПРИРАЩЕНИЕ НОМЕРА УЗЛА
С..................................................................
с
IMPLICIT REALMS! A-H.C-Z I
с..................................................................
С . ЭТА ПРОГРАММА ИСПОЛЬЗУЕТ ОДИНАРНУЮ ТОЧНОСТЬ НА ЭВМ
С CDC И ДВОЙН УЮ ТОЧНОСТЬ НА IBM ИЛИ (МИМ?.'ДЛЯ УКАЗАНИЯ
С . ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ НЕОБХОДИМО СОХРАНИТЬ ИЛИ ИЗМЕНИТЬ
С. СООТВЕТСТВУЮЩИМ ОБРАЗОМ ПРИВЕДЕННУЮ ВЫ UE КАРТУ
COMMON /TAPES/ 1ELMNT,HOAD,UN,TOUT
DIMENSION XIII,Till,Zill , 10 I 3, NUMNP I
c
c
С ЧТЕНИЕ И ГЕНЕРАЦИЯ ДАННЫХ ОБ УЗЛАХ
С
WRITE ПОСТ,20001
WRITE IIOUT,2010)
WЯIТЕ11 OUT,2020)
KN0L0.0
N0L0-0
С
10 READ IIIN,10001 N,I1O(I,N),|.1,3I,X!NI,Y<N),Z<N),KN
WRITE (IOUT, 2030) N, (1011 ,N) ,1 • 1, 3) , XI N> , VIN) ,Z(N) ,KN
IF <KNOLO.EQ.OI GO TO 50
NUM.(N-NOLD) / кNOLO
NUHN.NUM-1
IF(NUMN.LT.1) GO TO SO
KNUM«NUM
OX>IX(N)-X(NOLD) l/XNUM
0*.IVIN)-VI NOLO)l/XNUM
0Z«11 IN)-ZINOL0 I)/XNUM
К*NOLO
ОС 30 J.l.NUMN
KK-K
K»K ♦ KNCt0
X(K > XtKKI,DX
V IК ) «Y I К К I ♦ DY
ZI к)«/Ikk|»0Z
DO 33 1.1,3
1 011,xI•IГI I,хк I
30 CONTINUE
c
50 NClO-N
KNOl O*xN
I f (N.NF.M>"NP) To 10
c
С ПЕЧАТЬ ДАННЫХ ОБ УЗЛАХ
С
WRITE IIOUT,20151
WRITE IIOUT,2020)
DC 200 N«l,NUMNP
200 WRITE IIOUT,2030) IN,! I C(1,N>,I!,3),X!N>,V!N>,ZtN),KN)
C
с НУМЕРАЦИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ
С
NECO
DO 100 N«l,NUMNP
DO lui 1*1,3
IF IIDII.NI) 110,120,11C
120 NEC«NEO » 1
ICtl.NI.NEO
GO TO 100
13 - 522
193
110 10(1.NI*0
1UQ CONTINUE
c
С ПЕЧАТЬ НОМЕРОВ УРАВНЕНИЙ
С
WRITE (I3UT,20*01 IN,(I С 11,NI.I*1.3 I.N*1.NUMNPI
RETURN
C
1000 FORMAT (SI5.3F10.0,15)
20u0 FORMAT (1И1,33H NODAL P 3 I N T DATA //>
2010 FCRMATI18H INPUT NODAI CATA //)
2Л5 FORMAT(///22И GENERATED NODAL OATA //)
2020 FORMATITH NODE ,9X,8H8CUN0ART,25X, UHNJOAL POINT,17X,
1 AHMESH/7H NUMBER,SX,16HC0N0ITI0N CODES ,21X, 11HCOORDINATES, 14X,
2 11HGENERAT 1 NG/77X,АНСООЕ//15X,1HX,*X,1HY,AX,1HZ,15X,1HX,12X,1HY,
3 12X,1H2.10X,2HXNI
2030 FORMAT (I 5,6X,31 5,6X, 3F 13,3• ЭХ,16)
20*0 FCRMATI//17H EQUATION NUMBERS//,AX,AHNODE,9X,
1 17HDEGREE OF FREED0P/3X.6HNUMBER/Z,
2 SX,1HN,13X,1HX.AX,1HY,AX,1hZ/(IX,IS,AX,31511
C
FAD
SUBROUTINE LOADS (R,NOD,IDIRN,FLOAC,ID,NLOAD,NEQ)
C
C
C..................................................................
c 1 ПРОГРАММА
С . . ВВОДА ДАННЫХ ОБ УЗЛОВЫХ НАГРУЗКАХ
С , ФОРМИРОВАНИЯ ВЕКТОРОВ НАГРУЗОК ДЛЯ КАЖДОГО
СЛУЧАЯ НАГРУЖЕНИЯ И ЗАПИСИ ИХ НА ЛЕНТУ
С • •
с ..................................
с
с
IMPLICIT REAL*8(А-Н,0-2 I
С..................................................................
с. ЗГА ПРОГРАММА ИСПОЛЬЗУЕТ ОДИНАРНУЮ ТОЧНОСТЬ НА ЭВМ .
с • CDC и ДВОЙНУЮ точность haJBM илиОМУАС.для УКАЗАНИЯ точ- .
с . ности вычисления необходимо сохранить или ИЗМЕНИТЬ
с СООТВЕТСТВУЮЩИМ ОБРАЗОМ ПРИВЕДЕННУЮ ВЫ UE КАРТУ.
CCMMCN /WAR/ NG.MOOEX
COMMON /TAPES/ lELMNT.ILOAD.IIN.IOUT
DIMENSION RINEQI.NOOIl),101RN(11.FLOAO(1)
01 ME MSICN 1013,11
c
WRITE IICUT.2000)
READ (UN.1000) (N00< I). I01RNII) .FLOAOII), !!. NLOAOI
WRITE IIOUT.2010) (N00(11,IOIRNI11,FLOAO(I),Ial«NLOAOl
IF IMOOEX.EQ.O) RETURN
C
00 210 l>l.NEQ
210 RIII-O.
C
ОС 220 L-l. NLOAD
LN-NOOIL)
LI>1OIRNILI
II*!OILI,LN)
IF (III 220,220,2*0
2*0 R(II)-R!II) * FLOAOIL I
C
220 CONTINUE
C
WRITE (ILCAOl R
C
200 CONTINUE
C
1000 FORMAT (2IS.F10.0)
194
2000 FORMAT (////4X«30MNOCE DIRECTION LOAD/
1 ЗХ»6MNUMBER»19Х»9HMAGN!TUOE I
201U FORMAT (1HO«16»9X«I A*7X*E12•5)
RETURN
END
SuMuUTlNF eiCAl
C
c
c
z
c
c
c
c
c
I ПРОГРАММА
. ВВОДА, ГЕНЕРАЦИИ И ЗАПОМИНАНИЯ ДАННЫХ
ОБ ЭЛЕМЕНТАХ
COMMON /Sol/ M'JMNP, NF©» КмМ » NUNES Т »М| ОЕ S Т , МА ХЕ ST , ММ
CCMMCN /£1 / IND»NPAR (10 I • MJ*EG • *Т QT , MF I R$T , Nl. AST , I ТWO
COMMON /TAPES/ !ElM11»1 ICAO,11N»tOUT
COMMON All)
c
с
cewlNC UlMNT
«RITE (ICUT,20001
c
c
С ПРОСМОТР ВСЕХ ГРУПП ЭЛЕМЕНТОВ
с
DO UO N*L.NU*?G
IF (N.NE.ll WRITE HOUT, 20101
C
READ Ills,10 JO I 4>AR
C
c
САН ElEWNT
C
IF (WIDEST.GT.МАХЕ ST I МАХЕST.MIOEST
C
WRIT' IIEIMNTI WIDEST,SPAR,|A( I |,!»NFtR$T,HAST»
c
c
1U0 CONTINUE
C
RETURN
C
100G FORMAT <10151
2000 FORMAT 11И1.Э6ИЕ CERENT GROUP DATA ///I
20 ID FORWAT (1H11
C
ENO
SUBROUTINE ElEHNT
c
c,,................................................
c .
С . ПРОГРАММА
C > ВЫЗОВА СООТВЕТСТВУЮЩИХ ПОДПРОГРАММ ДЛЯ
с • ЭЛЕМЕНТОВ
С
COMRON /EL/ IN0,NPAR(10l,NUWEG,HT0T,NF|RST,NLASTttTWO
С
NPARl'NPARI1»
С
GO ТО 11,2, 31 ,NPAR 1
С
1 CALL TRUSS
RETURN
195
с ЗДЕСЬ МОГУТ БЫТЬ ВЫЗВАНЫ ПОДПРОГРАММЫ ДЛЯ ДРУГИХ типов
С ЭЛЕМЕНТОВ, тип ЭЛЕМЕНТА ЗАДАЕТСЯ ПАРАМЕТРОМ NPARd)
С
2 RETURN
С
Э RETURN
С
END
SUBROUTINE С Cl НТ IHHT.NC.IMI
С ...............................................................
с .
С ПРОГРАММА
С. ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛИН СТОЛБЦОВ
С .
с . ....... ..............................................
с
CCBMCN zsni / NUMNP.NEO.ИНК.NUMESТ.HlOFST.MAXFST.МК
DIMENSION INI 1) ,MHT< II
С
IS-100000
DO IW 1-1.ND
'F IIMIIII 1U.100,110
110 IF (LM(1I-ISI 12U.10D.1CO
120 LS-LMIII
1O0 CONTINUE
C
DC 2u0 1-1,NO
I I-IMII I
IF I I I .FJ.ul r. > 11 ,
ME. 11 - IS
IF ( Mi.GT. МНТП I H MHTIIII-ME
200 CONTINUE
C
RETURN
END
SUBROUTINE ADORESIМАХА,РИТ I
c
c...........................................................
c
t . ПРОГРАММА
С . ВЫЧИСЛЕНИЯ АДРЕСОВ ДИАГОНАЛЬНЫХ. ЭЛЕМЕНТОВ В
С • ЛЕНТОЧНОЙ МАТРИЦЕ ПО ИЗВЕСТНЫМ ДЛИНАМ СТОЛБЦОВ
С ’ МИТ • ДЛИНЫ СТОЛБЦОВ
С МАХА. АДРЕСА ДИАГОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
0 ......................................................
с
CCMMON /SCI/ NtJMNP, NEO,NMK , NUMEST , Ml DE ST .НАХЕ ST , МК
DIMENSION HAXAill.HHTIll
с
С ОЧИСТКА МАССИВА МАХА
с
HN-NEQ ♦ 1
00 20 1-1,NN
20 МАХА! 11-0.0
С
ИАХАЦ1-1
MAXAI2I-2
РК-0
IF INEO.EO.ll GO ТО 100
К 10 1-2.NEO
IF СМИТ! II. GT. НКI НК-МНТП I
lu HAXAI1-1I-MAXAII I ♦ ННТП1 * I
196
100 Рй-РК * 1
NWK«MAXA(NEO«1> - МАХА!I)
RETUAN
ENO
SUBROUTINE CLEARtA.N)
C
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
ПРОГРАММА
ОЧИСТКИ МАССИВА
IMPLICIT RE*L««I*-H,O-Z>
ЭТА ПРОГРАММА ИСПОЛЬЗУЕТ ОДИНАРНУЮ ТОЧНОСТЬ НА •
ЭВМСВСи ДВОЙНУЮ ТОЧНОСТЬ НА 1ВМИЛИ UNIVAC. ДЛЯ •
УКАЗАНИЯ ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ НЕОБХОДИМО СОХРАНИТЬ
ИЛИ ИЗМЕНИТЬ СООТВЕТСТВУЮЩИМ ОБРАЗОМ ПРИВЕДЕННУЮ
ВЫШЕ КАРТУ
DIMENSION All)
00 10 1-1.N
RETURN
END
SUBROUTINE ASSEM <АА)
С
с............................................................. .
с .
С ПРОГРАММА
С . ВЫЗОВА ПОДПРОГРАММ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИ
С . МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ КОНСТРУКЦИИ
С............................................................. .
с
COMMON /EL/ IND,NPAR(Ю),NUMEG,MTOT,NFI fl ST,NLAST,I TWO
CCMMCN /TAPES/ IEL ANT, ILCAO, UN, IOUT
DIMENSION AAlll
C
REWIND IELMNT
C
ОС 2J0 N«1,NU*EC
READ <1ELMNTINUMEST,nPAR,(AA(I),1.1,HUGEST)
C
CALL ELEMNT
C
ZJ) CONTINUE
RETURN
C
c
ENO
SUBROUTINE AODBAN I A,MAIA,S,IN,NO!
C
C. ..................
c .* ПРОГРАММА
С ДОБАВЛЕНИЯ ВЕРХНЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА МАТРИЦЫ ЖЕСТКОО-
с • ТИ ЭЛЕМЕНТА К ГЛОБАЛЬНОЙ МАТРИЦЕ ЖЕСТКОСТИ В КОМ-
с . ПАКТНОЙ НОРМЕ
с» * • ГЛОБАЛЬНАЯ МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ
С • S • МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ ЭЛЕМЕНТА
£ ' но "СТЕПЕНИ СВОБОДЫ ЭЛЕМЕНТА
с « Sill $12) SIJ) . . .
с ’ s S(N0»l> $(N0»2) . . .
с • SI?«NO> . . .
197
с . . . . ,
с .
с .
с - *<1> *<3» *<*! ... .
с • * • «12> А<5» ...
С * <<♦» ...
С <. . . . .
с .
с .
с.....................................................................
с
IMPLICIT REAL»»! А-Н.С-21
С.....................................................................
С . ЭТА ПРОГРАММА ИСПОЛЬЗУЕТ ОДИНАРНУЮ ТОЧНОСТЬ НА ЭВМ СВС •
с. И ДВОЙНУЮ ТОЧНОСТЬ НА 18М ИЛИ UNIKAC ДЛЯ УКАЗАНИЯ
с • ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ НЕОБХОДИМО СОХРАНИТЬ ИЛИ ИЗМЕНИТЬ»
с • СООТВЕТСТВУЮЩИМ ОБРАЗОМ ПРИВЕДЕННУЮ ВЫШЕ КАРТУ.
С
DIMENSION Al I) .MAXAIII .SI 11 ,LNI1I
C
NOI-O
00 200 1*1,NO
„LMII I
IF III» 200.200.100
100 Mt«HAXAlll>
XS«t
DC 220 J*l.N0
JJ«LM<J)
IF IJJI 220.220.110
110 IJ-II - JJ
IF IIJI 220.210.210
210 KKaMl * IJ
KSS>KS
IF (J.CE.II KSS-J * NOI
A(KKI«A|KK> * SIKSSI
220 KS«KS ♦ NO - J
200 NC1-N0I * NO - I
C
ЙETURN
END
SLFHOUTINE COLSOLIA.V.NAXA.MN.NWK.NNM.RKKI
S ’ ПРОГРАММА
С ’ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ МЕТОДА КОНЕЧ-
С. НЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
С .
с .
с .
с
с .
с .
с
с .
с .
с .
с .
с
с .
с .
с .
с .
с .
с .
КОМПАКТНОЙ ФОРМЫ ХРАНЕНИЯ ПО СТОЛБЦАМ
- - ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
Аник» МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ В КОМПАКТНОЙ ФОРМЕ
VINN) • ВЕКТОР НАГРУЗОК - ПРАВАЯ ЧАСТЬ
MAxAINNMI ВЕКТОР АДРЕСОВ ДИАГОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ А
NN • КОЛИЧЕСТВО УРАВНЕНИЙ
NWK • КОЛИЧЕСТВО ЭЛЕМЕНТОВ МАТРИЦЫ НИЖЕ ГРА
nnh NN ♦ 1 НИЧНОЙ ЛИНИИ
ккк • ПРИЗНАК
£0. 1 ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ К ТРЕУГОЛЬНОМУ
ВИДУ
£0. 2 ПРЯМОЙ И ОБРАТНЫЙ ХОД ПО ПРАВЫМ ЧАСТЯМ »
,эит * НОМЕР УСТРОЙСТВА ВЫВОДА
- - ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ
R(NNX> -Ц)И L-МНОЖИТЕЛИ РАЗЛОЖЕННОЙ МАТРИЦЫ .
ЖЕСТКОСТИ
VINN) . ВЕКТОР ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
198
IMPLICIT REAL*91A-H,C-Z>
г ‘ ЭТА ПРОГРАММА ИСПОЛЬЗУЕТ ОДИНАРНУЮ ТОЧНОСТЬ НА ЭВМ CDC ’
с И ДВОЙНУЮ ТОЧНОСТЬ НА 1ВП ИЛИ UNIVAC. ДЛЯ УКАЗАНИЯ
С . ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ НЕОБХОДИМО СОХРАНИТЬ ИЛИ ИЗМЕНИТЬ,
С СООТВЕТСТВУЮЩИМ ОБРАЗОМ ПРИВЕДЕННУЮ ВЫШЕ КАРТУ
С................................................................
CCP»JN /TAPES/ IELMNT, ILOAO.1IN, IOUT
DIPENSION A<NWX),V(l),PAXA(l>
C
£ PERFORM l.*O*LITI FACTCHIZAT ICN CP STIFFNESS MATRIX
IFIKKK-2I40, ISv, 151'
40 ОС 140 N-l.NN
KN-MAXAINI
KL«KN»1
KL«MAXA(N*1I - 1
KH-KU - KL
IFIKHI110.90.50
50 K-N-KH
IC-O
KLT-KU
DO 00 J-l.KH
IC-IC * 1
KLT-KLT - I
KI-MAXAIKI
NO-MAXAIK»U - Kt - 1
IF(NO)80.00.60
60 KK-MINOIIC.NOI
C-0.
00 TO L-l.KK
TO C*C»AIKI»ll«AIKLT»LI
AIKLTI*A(KLTI - C
80 K-K»l
90 K«N
8-0.
00 100 KK-KL.KU
K«K - 1
Kl-HAXAIKI
CbAIKKI/AUI I
B-8 в CPAIKKl
110 AIKKIbC
AIKNI-AIKM - 8
110 IF IAIKNI1120.120.140
120 WRITElIOUT.20001 N.AIKNI
STCP
140 CONTINUE
RETUKN
C
С ПРЯМОЙ ХОД ПО ПРАВЫМ ЧАСТЯМ
С
190 00 100 NbI.NN
KL-MXAINI ♦ 1
KU«HAXAIH»1> - I
IFIKU-KLI180.1M.160
160 KbN
С-0.
DO ITO KK-KL.KU
К-К - 1
ITO C-C4AIKKIBVIKI
VINIbVINI - С
180 CONTINUE
С
с ОБРАТНЫЙ ХОД ПО ПРАВЫМ ЧАСТЯМ
С
00 200 N-1.NN
КвИАХАСН)
199
200 VIN)*>V(N)/AIK>
IF I NN.EQ.I) RETURN
h»RN
00 2M 1-2.NN
KL>NAXA<N) « 1
KU>MAXA<N«1I - 1
IFIKU-KL 1230,210,210
210 MN
00 220 KMKL'KU
MK - 1
220 VIK»«VIKI-AIKK»*VINI
230 N«N-1
RETURN
2000 FCRMATI//A8H STOP - STIFFNESS MATRIX NOT POSITIVE DEFINITE ,//
1 2 END Э2И NONPOSITIVE PIVOT FOR EOUATICN ,1*.// 10H PIVOT .E20.12 >
SUBROUTINE LOAOV IR.AEO)
C
C
C . . . V .....................................................
с ‘ ПРОГРАММА
С , ПОЛУЧЕНИЯ ВЕКТОРА НАГРУЗОК
С..............................................................
IMPLICIT REAL»8IA-H,C-ZI
.........................
c , ЭТА ПРОГРАММА ИСПОЛЬЗУЕТ ОДИНАРНУЮ ТОЧНОСТЬ НА ЭВМ CDC
С . И ДВОЙНУЮ ТОЧНОСТЬ .НА IBM ИЛИ UMIVAC . ДЛЯ УКАЗАНИЯ ТОЧ
С . НОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ НЕОБХОДИМО СОХРАНИТЬ.ИЛИ ИЗМЕНИТЬ
С . СООТВЕТСТВУЮЩИМ ОБРАЗОМ ПРИВЕДЕННУЮ ВЫШЕ КАРТУ
С . . . .......................................................
с
COMMON /TAPES/ IFLMNT,11 CAO.I IN,IOUT
DIMENSION RINEQ)
c
READ It LOAD! R
c
RETURN
ENO
SUBROUTINE WRITE IOISP,ID,NEQ,NUMNP)
C
C.................................................................
c .
с . ПРОГРАММА
С . ПЕЧАТИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
С.................................................................
IMPLICIT REALPRIA-H.C-ZI
..................................................................
С ЭТА ПРОГРАММА ИСПОЛЬЗУЕТ ОДИНАРНУЮ ТОЧНОСТЬ НА ЭВМ СВС •
с • И ДВОЙНУЮ ТОЧНОСТЬ НА IBM ИЛИ UNIVAC "ДЛЯ УКАЗАНИЯ ТОЧ- •
с • НОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ НЕОБХОДИМО СОХРАНИТЬ ИЛИ ИЗМЕНИТЬ
С • СООТВЕТСТВУЮЩИМ ОБРАЗОМ ПРИВЕДЕННУЮ ВЫШЕ КАРТУ.
С
COMMON /TAPES/ IELMNI,I LOAD,11N,I OUT
DIMENSION OISPINEQ).IO<>.NUMNP)
DIMENSION 013)
C
С ПЕЧАТЬ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
С
WRITE HOUT, 2000 I
IC-A
C
200
ОС 100 11*1,NUMNP
IC-1C ♦ 1
IF < IC.LT.56) GJ TT 105
WRITE IIOUT,20001
IC«A
1'5 00 110 1*1. 1
110 CII1*0.
C
C" 120 1*1.3
kk*ioii.11)
IL«I
120 IF IKK.KE.01 01 II 1*01 SP IKK I
c
1 >» wp it. (icur.rui 11 .o
c
c
RETURN
c
2000 FOPMAT I///, 26H О I $ P I A С E M E N T S //TH NODE MX
116HX-01SPlACFMrNT AX 1AI-Y-DISPIACfMENT AX 1AH2-0ISPLACEMENT)
201C FORMAT I1X.I3, 8X.3E18.6I
C
EKO
SUBROUTINE STRESS I ДА I
C
..
£ • ПРОГРАММА
c . ВЫЗОВА ПОДПРОГРАММЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
С • В ЭЛЕМЕНТЕ
С
С........................................................
с
COMMON /VAR/ NG.MODE*
COMMON /ELZ IND.NPAR110 I,NUMEG.MTOT,NFIRST.NLAST.I TWO
COMMON /TAPES/ IEIMNT,I LOAD,IIK,IOUT
DIMENSION AAtll
C
c
С ПРОСМОТР ВСЕХ ЭЛЕМЕНТОВ
С
С
REWIND IEIMNT
С
DO 100 №1.NUMEG
NG*N
C
READ I IEIMNTI NUMEST.NPAR,IAA<11.1*1.NUMESTI
C
CALL ElEMNT
C
100 CONTINUE
C
RETURN
ENO
f SUBROUTINE TRUSS
C ’...............*......................••••
с . ПРОГРАММА
c • ВЫЗОВА ПОДПРОГРАММЫ ДЛЯ СТЕРЖНЕВОГО ЭЛЕМЕНТА
С • И ПЕРЕДАЧИ ПАРАМЕТРОВ
с................................ ••••••••••
COMMON /SOL/ NUMNP,NIB. NUR, NUMEST,MIDI ST'MAIIST(MK
COMMON. /DIM/ NliNt,NS,NA,NS«Nb,NT,NBiNBtNI0iNllfNl2|NIS,NSA,NIS
COMMON /EL/ INO.MPARUebNUMie.MTOT.NMUT.BLAST,ITWO
201
сеймом /TAPES/ IELMNT. 110*0,1IN, IOUT
COMMON Alli
EQUIVALENCE INFAAU I.NUMI I, (NAM111,NUMMAT I
NFIAST-N6
IF!IMO.GT.I I NF I AST «AT
N101-NFIAST
N102-N101 * NUMMAT*ITWO
N101-N102 * NUMNAT«ITMT
NIOMNIQl * A«NUME
NlOSfNlOA * QANUMEAITMO
NIOAaNIOS * NUME
NLAST-N106
IF IINO.GT.il GO TO IM
IFINLAST.GT.NT3T I CALL IAAOAINLAST-MTOT. >1
GC TO 200
100 IF INLAST .GT .MTOTI CALL IAAOAINLAST-FTOT ,*l
200 HIDEST-NLAST - NFI AST
CALL AUSS <AINll,AIN2I.AtNll,AIN*l,AIN*l,AIN9I.AtN101l,AIN10
1 2).AINIOJI,AINIOAItAINlQSII
AETUAN
ENO
SUBАООТ INF AUSS I ID. X.V.bU.HHT ,E ,**£*,L*>,XVI,HATFI
ПОДПРОГРАММА ДЛЯ СТЕРЖНЕВОГО ЭЛЕМЕНТА
IMPLICIT AEALMIA-H.0-21
SOFT IXI-OSQATIXI
. ЭТА ПРОГРАММА ИСПОЛЬЗУЕТ ОДИНАРНУЮ ТОЧНОСТЬ НА ЭВМ CDC
. И ДВОЙНУЮ ТОЧНОСТЬ НА IBM или UNIVM. для указания точ-
. НОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ НЕОБХОДИМО СОХРАНИТЬ ИЛИ ИЗМЕНИТЬ
. СООТВЕТСТВУЮЩИМ ОБРАЗОМ ПРИВЕДЕННУЮ ВЫШЕ КАРТУ.
COMMON /SOL/ NUNNP.NEQ.NWK.NUMEST.MIDEST.NAXEST.NK
CCANON /DIN/ N1.N2.NJ.NA,NS,N6.NT.Nt.N9.N10.N11.N12.N1J.N1A,N15
COMMON /а/ IN0.NFAAI10bNUMEG.NT0T.NFIAST.NLAST.ITW0
COMMON /VAN/ NG.MOOEX
COMMON /TAXES/ IELMNT,ILOAO,11N,I OUT
COMMON Alli
AEAL A
DIMENSION XI11 ,VI 11 .2111 HOIS, 11. E (11 . AAEAI11 .LN16. 11.
1 XVZlA.ll.MATPID.UIll.MHTIll
DIMENSION DAIJI.IPSll)
DIMENSION $1211.STI61.DIS)
EQUIVALENCE INFAAU I .NPAA11.INPAAI 21. NUNEI. INPAA I ll.NUMMAT I
NO-*
GO TO 1100.610.9001.INO
c
c
с ВВОД И ГЕНЕРАЦИЯ ИНФОРМАЦИИ ОБ ЭЛЕМЕНТЕ
ВВОД ХАРАКТЕРИСТИК МАТЕРИАЛА
202
с
300 WRITE II0UT,20001 NPRR1.NUHE IF INUWNRT. EO.OI NUWW*T«1 WRITE IIOUT.20101 NUMWRT
С WRITE IIOUT.20201 00 10 !«1,NUHHRT RERO (UN.10001 N.EINI .RRERINI 10 WRITE ((OUT,20301 N.EINI,RRERIHI
с с с ВВОД ИНФОРМАЦИИ ОБ ЭЛЕМЕНТЕ WRITE IICUT .20901 N«1 100 RERO (I IN.10201 И.11,JJ.MTYP.RG IF IKG.EO.OI RG«1 120 IFIM.NE.Nt GO TO 200 I«tt J"JJ HTYPE»HTYP KKKaRG
с с с ОБЪЕДИНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ ОБ ЭЛЕМЕНТЕ 200 XYZ( l.NI-Xt I ) XYZ(2,NI>Y(I) XYZI3.NI-ZI I 1
с XY2(R,NI>X(J) XYZ(5,NI«YUI
с с XYZ<6,NI>ZIJ 1 K*TP(N)«PTYPt
с 00 390 I • 1,6 390 lHl.N>*0. DC MO l«1.3 LFIl.NI.ICU, II 600 LF<L*3,N!!DlL,J1
с с с ПОДСЧЕТ , ДЛИН СТОЛБОВ И ШИРИНЫ ЛЕНТЫ CRLL COLHT (NHT.ND.LMII.NII
с WRITE IICUT,20901 N,I,J,«TVPf IF ‘lN.EC.NUHM RETURN N*N»1 I>|♦чкк J-J.KKK IFIN ST.») GU TO 100 GO TO 120
с с с с с с с ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ КОНСТРУКЦИИ 610 СО 5J'> N*l,NUNf ntv ре "««rt р i ni xl2*o: CC 5j5 l«l, 3 D(LI-XYZ(l,M - XY2ILy3.NI 505 XL2«XL2 ♦ DtLI«O(LI XL«S ЭЧТ I XL 2 • X X«F 1ЧТ YPE 1 «RP' <( MTYPE 1 «XI PO 519 L*1.3
203
ST(I )>O(L)/X12
510 ST<L-»3» — STILI
c
KL«0
DO 600 L»l,6
YV-STILl»XX
ОС 600 K«l'6
KL»KL ♦ 1
600 S(KLI-ST(KI»YY
CAIL AOCBAN <A(N3>,A(N2),S.LM(l.N>.N0>
500 CONTINUE
RETURN
C
C
С ВЫЧИСЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
С
С
900 I PR!NT *0
00 830 N*1,NUME
I PRINT*IPRINT ♦ 1
IF I IPRINT.CT.5O> 1PRINT«1
IF I IPRINT.EO.il
• WRITE (IOUT,2060 I NC
MTYPE"MATP(NI
XL2-0.
ОС 820 L*l,3
DILI • XYZIL.NI - XYZ(l«3.NI
820 XL2*XL2»0(L1*0(1>
DC 816 L*l,3
STI L I *( DI LI ZXL2I *E I MT YPE I
816 STIL*3I — STIL I
STR* 0.0
DO 806 L*l,3
I*LM(L.N>
IF (I.LE.O) CO TO 80?
STR*STR»ST(ll*UIII
80? J«LM(L*3,NI
IF (J.LE.O) CO TO 806
STR*STR*ST(L»3I«UIJI
806 CONTINUE
P*STR*AREA(MTYPE I
WRITE IIDUT.2O7OI N.P.STR
830 CONTINUE
C
RETURN
1000 FORMAT (I5,2F1U.3I
1010 FORMAT (2F10.0I 1U20 FORMAT (SIS) 2000 FORMAT I36H ELEMENT DEFINITION III, 1 isH Element type ,13(2h .i.ithi nparih i . . «.15/.
2 2SH £0.1, TRUSS ELEMENTS/, 3 29H EQ.2, ELEMENTS CURRENTLY/, 6 25H EQ. 3. NCT AVAILABLE /, S 20 H NUMBER OF ELEMENTS.,10(2H .I.ITHI NPARI2I 1 • • »
6 I5//I 2010 format (62H MATERIAL DEFINITION ///,
1 37И NUMBER of different sets of material 2 /32И ANO CROSS-SECT1CNAL CONSTANTS , 3 6(2H .),1TH( NPARI3I 1 . . •,15/ZI
2G20 FORMAT (///2X.3HSET,7X.6FY0UNGS.6X.15HCR0SS-SECTI0NALZ 1 1X.6HNUM8ER,5X.7HM0DULLS, 10X.6HARE A./ISX . 1HE . 16X . 1HAI 2t 30 FORMAT IZI5,6X.E12.5,2X,E16.61 2060 FORMAT (1H1.60M El EPENT INFORMATION ///.
1 8H ELEMENT .5X.6HN00E,SX.6HN0DE.7X,8HMATERIALZ. 2 9H NUMBER-N.6X.1HI.8X, 1PJ.TX.1CHSET NUMRER/I 20S0 FORMAT <I 5,6X,I5.6X,15,7X, I 5 1 2061 FORMAT (////,66H STRESS CALCULATIONS FOR
204
I 2АНЕ CEMENT G R 0 U P.IA//.2X,
2THELEMENT,12X,5HFORCE,12X.6HSTRESS /,2К .«HNUMBER/1
2 J TO FORMAT (IX, I5,HX,EU.6,SX,E13.M
C
END
SUBROUTINE SEC3ND<TIMi
С ПОДПРОГРАММА УЧЕТА ВРЕМЕНИ. ЭТА ПОДПРОГРАММА МОЖЕТ БЫТЬ
С ИСПОЛЬЗОВАНА НА1ВМ-5П) В МАССАЧУСЕТСКОМ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМ
С ИНСТИТУТЕ.
CALL TIMINGIIII
TINaFLOATH 11/100.
С
RETURN
ERD
Список литературы
1. Р. V. Marcai (cd.). General Purpose Finite Element Computer Programs, Ameri-
can Society of Mechanical Engineers, New York, N.Y., 1970.
2. J. T. Oden, R. W. Ciough, and Y. Yamamoto (cds.), Advances in Computa-
tional Methods in Structural Methamcs and Design, University of Alabama
Press, Huntsville, Ala., 1972.
3. S. T. Fenves, N. Perrone, J. Robinson, and W. C. Schnobrich, (eds.), Numer-
ical and Computer Methods in Structural Mechanics, Academic Press, inc., New
York, N.Y., 1973.
4. W. Pn key, K. Saczalski, and H. Schaeffer (cds.), Structural Mechanics Com-
puter Programs, University Press of Virginia, Charlottesville, Va., 1974.
5. E. L. Wilson, "SAP—A Structural Analysis Program,” Report UC SESM
70-20, Department of Civil Engineering, University of California, Berkeley,
1970.
6. E. L. Wilson, “Solid SAP—A Static Analysis Program for Three-Dimen-
sional Solid Structures,” Report UC SESM 71-19, Department of Civil Engi-
neering, University of California, Berkeley, 1971.
7 K. J. Bathe. E. L. Wilson, and F. E. Peterson, “SAP IV—A Structural Analy-
sis Program for Static and Dynamic Response of Linear Systems,” Report
EERC 73-11, College of Engineering, University of California, Berkeley, June
1973, revised Apr. 1974.
$ . K. J. Bathe, “ADINA—A Finite Element Program for Automatic Dynamic
Incremental Nonlinear Analysis,” Report 82448-1, Acoustics and Vibration
Laboratory, Department of Mechanical Engineering, Massachusetts Institute
of Technology, Cambridge, Mass., 1975.
9. EAC/EASE2—User Information Manual/Theoretical, Control Data Corpora
tion Publication No. 84002700, Minneapolis, Minn., 1973.
10. EAC/EASE2 Dynamics—User Information Manual/Theoretical, Control Data
Corporation (in press).
11. R. Rosen, “Matrix Bandwidth Minimization,” Proceedings, National Con-
ference A.C.M., 1968, pp. 585-595.
12. E. H. Cuthill and J. M. McKee, “Reducing the Bandwidth of Sparse Sym-
metric Matrices,” Proceedings, National Conference А.С.М., 1969, pp. 151-
205
ЧАСТЬ
3
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ
МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ГЛАВА 7
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
СТАТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА
7.1. Введение
До сих пор мы занимались получением уравнений равновесия для
ансамбля конечных элементов. Однако общая эффективность решения
в большой степени зависит от численных алгоритмов решения системы
уравнений.
В зависимости от вида, числа элементов и топологии сетки даже для
задач статического расчета время решения системы уравнений может
составлять значительную долю общего времени счета. В динамических
и нелинейных задачах эта доля существенно больше. При использовании
неудачного алгоритма решения уравнений равновесия затраты на расчет
могут возрасти во много раз (100 и более).
В данной главе мы рассмотрим технику решения системы линейных
уравнений
KU=11, (7.1)
где К — матрица жесткости; U — вектор перемещений; R — вектор
нагрузки для системы конечных элементов.
По существу используются два различных подхода: методы прямого
решения и итерационные методы. Каждый подход обладает определен-
ными преимуществами, но чаще всего в настоящее время пользуются
прямыми методами.
7.2. Прямые решения, основанные на методе Гаусса
Большинство эффективных приемов прямого решения использует
исключение по Гауссу [1 — 11]. Несмотря на то, что схема решения по
Гауссу может применяться почти для любой системы уравнений, эффек-
тивность ее для метода конечных элементов зависит от характеристик
матрицы жесткости: симметрии, положительной определенности и лен-
точной структуры.
206
7.2.1. Введение в метод Гаусса. Для иллюстрации метода исключения
по Гауссу рассмотрим решение уравнений KU“R fполученных в при-
мере 5.8, с параметрами 1«5, Е.1^1 ,т.е.
’ 5 -4 1 О' Г4' o'
-4 6 -4 1 ut 1 (7.2)
1 -4 6 -4 ut — 0
0 1 -4 5 Ун. .0.
В этом случае матрица жесткости X соответствует шарнирно опер-
той балке, как показано на рис. 5.4 и 7.1.
При решении уравнений (7.2) методом Гаусса выполняются следую-
щие шаги:
1. Вычитаем уравнение 1 с множителями из уравнений 2 и 3 для по-
лучения нулей в первом столбце матрицы К . При этом первая строка,
умноженная на (— ), вычитается из второй и первая строка с мно-
жителем j вычитается из третьей. Результатом является
'5
О
О
.0
О
1
О
О
(7.3)
2. Вычитаем второе уравнение в (7.3) с множителем/-^ из третье-
го, а с множителем /Ду из четвертого. Тогда
(7.4)
3. Вычитаем третье уравнение в (7.4) с множителем
вертого
(-S)
из чет-
(7.5)
Используя (7.5), можно просто найти неизвестные U3, Ut и U1
U.-h <7’6>
Процедура решения сводится, таким образом, к вычитанию на /-том
шаге последовательно умноженного на соответствующие множители
уравнения I из уравнений /*/, 1*2,..., /7, гДб 7= 4Д • • • При этом
матрица К приводится к верхней треугольной. Начиная с последнего
уравнения, можно найти все неизвестные в порядке U„, U,.
207
Рис. 7.1. Физический смысл решения системы
уравнений для балки на двух опорах
208
Отметим, что в конце i -того шага нижний правый блок матрицы
порядка n-i [ограниченный пунктиром в выражениях (7.3), (7.4) и
(7.5) ] симметричен. Следовательно, элементы на главной диагонали и
выше ее определяют всю матрицу в любой момент решения.
Другое важное замечание относится к тому, что приведенный выше
алгоритм предполагает на Z-том шаге ненулевое значение Z-того диаго-
нального элемента рассматриваемой матрицы. Это делает возможным
обращение в нуль элементов, лежащих ниже диагонального. В методе
конечных элементов с неизвестными перемещениями все диагональные
элементы матрицы в процессе решения всегда положительны, что лиш-
ний раз доказывает надежность метода Гаусса в приложениях к кон-
кретным задачам [ это свойство может не сохраняться при использова-
нии гибридных и смешанных моделей или в методе конечных разностей
(см. разд. 5.5) ]. В разд. 7.2.5 будет показано, что диагональные элемен-
ты должны оставаться положительными, но это свойство может быть
также показано из рассмотрения исключения по Гауссу.
С целью выяснения физического процесса, соответствующего мате-
матическим операциям исключения по Гауссу, заметим вначале, что
действия над элементами матрицы К не зависят от вектора нагрузок
R jT.e. нам нужно исследовать лишь операции над матрицей коэффици-
ентов К . Для простоты используем приведенный выше пример. В
этом случае К в выражении (7.2) является матрицей жесткости балки
Используя первое уравнение, т.е.
- 4UZ + U3 ~ О,
можем записать
(7.8)
и исключить из трех оставшихся в системе (7.7) уравнений. Таким
образом, получаем
" sUr s Ц)* 61/г “ 4иг - U, = 0-;
(ЩЩ -4U* * 0-,
иг - 4US -54^0
или в матричной форме
ется правой нижней подматрицей матрицы коэффициентов (7.3). Матри-
ца (7.9) получена из (7.7) при условии (7.8), которое соответствует
тому, что никаких сил по направлению первой степени свободы не при-
ложено. Отсюда следует, что матрица коэффициентов (7.9) фактически
14 - 522
209
является матрицей жесткости балки со связями 2, 3 и 4, если по направ-
лению первой степени свободы не действует сила, т.е. если первая связь
освобождена. Рассуждая аналогично, в выражении (7.4) имеем матрицу
жесткости со снятыми двумя первыми связями. Элемент (4,4) матрицы
(7.5) представляет матрицу жесткости балки с одной степенью свободы
4, если связи по направлениям 1,2,3 освобождены.
До сих пор мы предполагали, что система не нагружена и действия
над вектором сил и матрицей коэффициентов были независимы. В
случае ненулевой правой части исключение степеней свободы прохо-
дит аналогично, но уравнение, используемое для исключения перемеще-
ния из других уравнений, включает члены, соответствующие внешней
нагрузке. В процессе исключения влияние этой нагрузки распространит-
ся на правую часть других уравнений. Именно процесс исключения,
включающий правые части, называется процедурой решения по Гауссу.
Физический смысл решения по Гауссу состоит в получении П матриц
жесткости порядка 1. Кроме того, вычисляются правые части,
соответствующие этим п матрицам жесткости. Неизвестные переме-
щения получаются затем из рассмотрения последовательности систем с
одной, двумя и т.д. степенями свободы (они соответствуют последнему,
предпоследнему и т.д. исходным номерам неизвестных). На рис. 7.1
показаны физические системы, соответствующие процессу исключения
по Гауссу для шарнирно опертой балки.
Теперь можно объяснить (из физических соображений), почему все
диагональные элементы в процедуре исключения по Гауссу должны
оставаться положительными. Это следует из того, что /-тый диагональ-
ный элемент является жесткостью для Z-той степени свободы, если пер-
вые 1-1 связи сняты, а жесткость обязательно положительна. Если в
процессе исключения по Гауссу встречается нулевой (или отрицатель-
ный) элемент на главной диагонали, то система является изменяемой.
Пример такой системы показан на рис. 7.2, где после исключения неиз-
вестных U,, Ut и иг последний диагональный элемент равен нулю.
До сих пор предполагалось последовательное исключение от первой
до п-1 степени свободы. Однако можно делать исключение и в об-
ратном порядке (т.е. от последней до второй степени свободы) или
выбрать какой-либо другой порядок.
Пример 7.1
Рассмотреть решение уравнений равновесия для балки (рис. 7.1)
при исключении неизвестных в порядке .
Исключая U3, получаем
Рис. 7.2. Пример изменяемой конструкции
210
-f
1
-1
о
%
о
Теперь величины перемещений определяются в следующем порядке
u<--h
и I o-M-wX-f-W w Л .
* с *
Они совпадают с полученными ранее.
7.2.2. Метод Гаусса. В предыдущем разделе показано, что процесс
исключения по Гауссу сводится к приведению матрицы коэффициентов
уравнений к верхней треугольной форме, из которой неизвестные пере-
мещения V могут быть найдены обратной подстановкой. Формализуем
процедуру решения, используя соответствующие матричные операции, и
введем обозначения, используемые в дальнейшем изложении.
Рассматривая операции решения по Гауссу, можем записать приведе-
ние матрицы жесткости К к верхней треугольной форме в виде
С,-- iT/tfK-S,
(7.10)
где $ — верхняя треугольная матрица, а
Чн,»
-й
(7.11)
Элемент называется множителем Гаусса, а верхний индекс (ij
означает, что используется один из элементов матрицы Ё~/г 1Г*1~*К.
211
Заметим, что L,- получается простои сменой знаков внедиагональных
элементов матрицы .Таким образом.
К-=
(7.12)
где
Итак, можно записать
K-LS,
где или
1
1
. Л 1
Л/Г-f -»
(7.13)
(7.14)
(7.15)
Поскольку S — верхняя треугольная матрица, а ее диагональные
элементы являются ведущими в процессе исключения по Гауссу, можно
записать S“DS .где D — диагональная матрица, = .Подставляя
выражения для S в (7.141 и замечая, что К симметрична, а решение
единственно, находим, что S“L и, таким образом,
KLDH.
(7.16)
Такое разложение К эффективно для получения решения уравне-
ний (7.1) за два шага:
LV = R; (7-17)
DUU«V, (7.18)
причем вектор R в (7.17) преобразуется в V по формуле
V= (7.19)
а в выражении (7.18) решение U получается обратной подстановкой
W-D-'V. (7.20)
Практически удобно вектор V получать одновременно с матрицами
Ц .Это и было сделано на простом примере шарнирно опертой балки
в разд. 7.2.1. Отметим недостаток решения. В вычислениях (7.6) матри-
ца S была использована вместо выражения (7.20), что привело к еще
одному вычислению множителей tij .
212
Следует также отметить, что умножения матриц для получения L и
V в выражениях (7.15) и (7.19) не делают, получая их непосредствен-
ным преобразованием К и Я. Это будет показано в следующем раз-
деле. В данном случае рассмотрим пример из разд. 7.2.1 для получения
необходимых матриц.
Пример 7.2
Построить матрицы 1_”*, и вектор V ,соответствующие
матрице жесткости и вектору нагрузок шарнирно опертой балки из
разд. 7.2.1.
Используя данную в разд. 7.2.1 информацию, можно прямо записать
требуемые матрицы
ь-;= > ч >
1 / 4 о 1 0 1 о 4 1
. 0 0 о /. о -£ о 1.
г;- ч 0 1 0 0 1 • S» г5 Ч 1 % 4 * О' 1 -ч •
Матрица .0 0 L.? 1 1. СОД( зржит i - £ Ц. 6 J тый столбец множ! отелей, которые ис-
пользовались для исключения £ -того неизвестного, а S является
верхней треугольной матрицей в выражении (7.5). D — диагональная
матрица ведущих элементов
D =
Я.
Для получения L используем выражение (7.15),
Нетрудно проверить, что S=DLr.
Вектор V был получен в выражении (7.5)
7.2.3. Реализация на ЭВМ исключения по Гауссу. Важным требованием
к реализации метода Гаусса на ЭВМ является минимальное время, за-
трачиваемое на решение. К тому же оперативная память должна быть
213
использована по возможности наиЬолее эффективно, чтобы избежать
обращений к внешней памяти. Тем не менее для больших систем это
приходится делать, и поэтому алгоритм должен позволять соответствую-
щую модификацию для эффективного решения с использованием внеш-
ней памяти[12].
Как подчеркивалось в разд. 6.2.3, достоинством метода конечных
элементов является то, что матрица жесткости конструкции не только
симметрична и положительно определена, но и является ленточной, т.е.
кц-0 при j > 1+т-ь, где ширина ролуленты системы. Тот факт,
что в методе конечных элементов все ненулевые элементы матрицы
группируются около диагонали, в значительной мере снижает общее чис-
ло операций и требуемый объем оперативной памяти. Однако это свой-
ство зависит от порядка нумерации узлов конечных элементов, и необ-
ходимо добиваться наиболее выгодной нумерации (см. разд. 6.2.3).
Допустим, что для данной системы конечных элементов выбрана оп-
ределенная нумерация узлов, найдены соответствующие длины столбцов
и матрица К построена так, как это обсуждалось в разд. 6.2.3. Разло-
жение LDLr для матрицы К может быть получено преобразованием каж-
дого столбца по очереди, т.е. хотя исключение по Гауссу делается по
строкам, элементы матриц D и L вычисляются по столбцам. С учетом
того, что — алгоритм вычисления элементов и с^у-того
столбца приу«2,..ул имеет вид
О' .» А
"•j>J > (7.21)
9и • Ки - ; i-mj-l,...,/-/j
причем элементы являются промежуточными величинами, а оконча-
тельно вычисляются
(7.22)
у-*
Чц-к» > (7.23)
где Заметим, что суммирование в выражениях (7.21) и
(7.23) не включает сомножителей выше граничной линии матрицы, а
Iff являются элементами матрицы 15 , а не L .Рассматривая структу-
ру памяти ЭВМ в процессе исключения, отметим, что элемент iy , нуж-
ный для использования в выражении (7.23), помещается на место a
djj на место kj/ .Таким образом, в конце прямого хода по Гауссу эле-
менты d# занимают те же места, где ранее были ку ,а /I. хранятся
на месте k4fJ>r.
Для лучшего понимания алгоритма решения рассмотрим следующие
примеры.
Пример 7.3
Используя алгоритм, данный выражениями (7.21) - (723), вычис-
лить матрицы D и V для матрицы жесткости из примера 7.2.
Начальные величины запишем на место соответствующих элементов
матрицы
~5 -к 1
6 -к 1
6 -к '
d
214
Для этой матрицы
(7.23) дают при/«2
dff *5;
9п
Соотношения (7.21) —
1 м &ш-4-
ан f>
Аи“ 4»Яв“ 7'
Результирующая матрица, в которой пунктиром отделены
преобра-
зованные столбцы, имеет вид
I
-4
5.
Далее, для J*3 получаем
dff " ’ <4«“Ан“4»9«“4*бЬ» “
и результирующую матрицу
Наконец, для J*4 имеем
9м°
9м “ *м“ ;
/ а £sta_L.x. 4 х
£** чы “а »> а»
и окончательная матрица содержит элементы
Заметим, что элементы матрицы D расположены на диагонали, а
элементы Х,у заменили элементы j>i .
Несмотря на то, что процесс решения достаточно хорошо показан на
прим. 7.3, сущность использования схемы исключения по столбцам
недостаточно ясна, поскольку ширина ленты системы постоянна. Преи-
215
мущество выполнения преобразований до граничной линии более оче-
видно в процессе разложения на множители следующей матрицы.
Пример 7.4
Использовать алгоритм решения (7.21) — (7.23) для определения
сомножителей D и 15 матрицы жесткости К
-2
5 -3
10
-1
О
О
4
10
симметрично
Для этой матрицы int~1, т^2,т^3 v\ mf = 1 . В этом случае
и для J=2 имеем
9tt“ >
У = &=з2я_/.
2 я Ь
и промежуточную матрицу в виде
’2 '1 I
1 | -2 О
I 5 -3 О
; ю н
: ю.
Для /-з
9гз = кяз > &зз = кзз~ ^гз9гз 1 >
и массив коэффициентов принимает вид
2 -1 । -f
1 -2 ' О
1 I -з О
I 10 Ji
L ! 1OJ
Для /ж4
9зз и
d* = к» -1и9м^ Ю-(-3)(-3)=1
и соответствующая матрица коэффициентов
2 -1
1 -2
1
216
Наконец, для у» 5" получаем
Яж * *w~ Was-0-(-2X-f)—2i 0*= к^1„дк~>к-(-3)(-2)=-2-,
/ _ ж д 1 - Я*5 ~1 4
” d„ 2 2‘ ^~^--=-Л-
4г» 2; ^-^-^=--2;
«Л * CLiftt *
я ^tr ~ 9к ~ lts$hr ~ 1гг 9ч ~ 9+s -
ж (-1)(-1)-(~2)(-2)-(-2)(-2)= X
и окончательную матрицу коэффициентов в виде
2 -1
1 -2
1
~1
-1
-3 ~2
1 -2
i.
Как и в прим. 7.3, элементы матриц D и 15 помещаются соот-
ветственно на месте элементов кц и ку, J >1.
Выше рассматривалось лишь разложение матрицы жесткости К ,на
которое расходуется большая часть всего времени при решении уравне-
ний. Но как только сомножители матрицы К (матрицы 1_ nD ) най-
дены, решения для U получаются на основе выражений (7.19) и (7.20).
При этом заметим, что преобразование вектора Я по формуле (7.19)
можно делать или одновременно с прямым ходом по матрице К или
выполнить его отдельно. Уравнения, используемые при этом, подобны
(7.23), т.е. I/, =/?, и для i=2,...,n имеем
И- Z trlVr , (7.24)
Гл ГГЦ
где Rt и |/} — элементы векторов R и V ^причем элементы К-
помещаются на место /?4-.
Обратный ход (7.20) выполняется путем последовательного вычис-
ления Un,Un4,...} с использованием вектора V , где (7-D V . Заме-
чая, что У1”1* 9 ,получаем U^V1^ и при 1=п,...,2 имеем
Ui-4 »
г = rrti, i-1
(7.25)
где верхний индекс (1-1) означает, что данный элемент преобразуется
при определении неизвестного . Векторы v‘J> для всех j хра-
нятся в том же месте памяти, что и и* ,т.е. на месте, где первоначально
находился вектор Rk .
Пример 7.5
Использовать алгоритм решения задачи KU“R , данный выражениями
(7.24) и (7.25), для матрицы К из примера 7.4 и
217
R =
О
1
О .
о
U? J
При решении используем матрицы D»L.r, полученные в примере 7.4.
Прямой ход (724) дает
К = 1-0-1;
О-(-2)(1)-2;
К» - 1^Vt - О- (-3X2)- 6;
Иг — 1^в ~ 1~№ К — l^g 14 ~ ~ “
-0-0- (-1X1) - (-2)(2)-(-2)(6) - 17.
Элементы Vt помещаются на места элементов Rt. В результате на
месте правых частей имеем
ГР‘
1
2 .
6
17
V=
Первым шагом обратного хода является определение V - D~*V.
Г 01
1
2 ,
6
V-
откуда
44-14-34.
Теперь используем выражение (7.25), причем V^« .Отсюда полу-
чим для
4-5
Й/*- P«L U44 - 0-(-iХЗ$ -17;
P;* - l„Ut - 1-M- 35
%*- Vf°-t„Ur-2-(-2X39)-7O
V">- 1»Ut-6-(-2X39) — 74
и
44 - Й/**-74.
Для
4-4
и
Й/*= V™70-(-3)(79)-292
ил - Р/"-2я?.
Для
i-3
И
-35-(-2X292)-619
Ug - - 619.
Наконец, для I -2 имеем
Й;*'» Й/"-Гл44 • 17-(-1X619)-636
U<- V<(1>- 636.
и
218
где последний вектор является решением U. Алгоритм решения
(7.21) — (7.25) эффективен, поскольку не требует операций над нуле-
выми элементами, находящимися за пределами граничной линии, что
приводит к хранению лишь элементов, расположенных ниже этой линии.
Однако в этом случае общее число операций все же не является абсолют-
ным минимумом, так как могут не выполняться операции умножения
в (7.21) — (7.25) для или grJ , равных нулю.
Важно уметь оценивать число операций при решении системы уравне-
ний, что дает возможность оценить стоимость конкретного расчета.
Будем подсчитывать операции умножения или деления, которые почти
всегда влекут за собой операции сложения. Для определения числа опе-
раций рассмотрим систему с постоянной шириной полуленты т* • В
этом случае число операций по разложению матрицы К в виде!Мг сос-
тавляет приблизительно а для прямого и обрат-
ного хода по правым частям требуется еще примерно 2пт* операций.
Однако на практике постоянная ширина ленты встречается очень редко.
Тем не менее приведенная оценка пригодна, если под т^, понимать
среднюю ширину полуленты системы уравнений. Эта оценка может слу-
жить для сравнения эффективности различных схем решения систем
уравнений.
Алгоритм (7.21) — (7.25) представлен применительно к двумерной
индексации, когда элемент (r,j) матрицы К обозначен через кч .Од-
нако в памяти ЭВМ матрицу К выгоднее хранить по столбцам в одно-
мерном массиве. Пусть применяется схема хранения, рассмотренная в
разд. 6.2.3, т.е. элементы матрицы К хранятся в одномерном массиве А
длиной NWK , а адреса диагональных элементов К хранятся в массиве
МАХА. Подпрограмма, реализующая формулы (7.21) — (7.25) и исполь-
зующая приведенную схему хранения матрицы жесткости, приведена
в разд. 6.4.2 под названием C0L50L -
Эта программа применяется для получения разложения LDLr матри-
цы жесткости или прямого и обратного хода по вектору нагрузок.
Смысл переменных программы объясняется в комментариях к ней.
7.2.4. Метод Холецкого, статическая конденсация, суперзлементы и
фронтальное решение. К разложению LD1T близко примыкают схемы
решения, рассмотренные ниже. Все они основываются на методе Гаусса.
В методе Холецкого матрица жесткости представляется в виде [7, 8]
К =115, (7.26)
ГДе - «4
1 = 1D*4. (7 ,?7)
Таким образом, сомножители в методе Холецкого могут быть вычис-
лены с использованием матриц 1 и D . Однако элементы L можно
219
получить и непосредственно. При разложении матрицы по схеме Холец-
кого требуется несколько большее число операций. К тому же метод
применим обычно лишь для положительно определенных матриц.
Разложение по Холецкому часто применяется для преобразования
общей проблемы спбствемныу значений в стандартную форму (см.
разд. 10.2.5).
Пример 7.6
Построить матрицу L для матрицы жесткости К , рассмотренной
в прим. 7.1, 7.2 и 7.3.
Сомножители L и D матрицы жесткости даны в прим. 7.2. Округ-
ляя до трех значащих цифр после запятой, получим
Г 1р°° О 1
. -0,800 1,000 и
0,200 -1,193 1,000 >
.0,000 0,357-1,333 1,000,
откуда следует, что
2,800
0
2,193
0,833,
2,236
-1,783 1,673
0,997 -1,912 1,969
. 0 0,597 -1,952 0,913
Одним из алгоритмов, который может быть использован эффективно
для решения системы уравнений, является метод статической конденса-
ции [13 — 15]. Название "статическая конденсация" происходит из ре-
шения динамических задач, рассматриваемых в разд. 10.3.1. Статическая
конденсация заключается в уменьшении числа степеней свободы эле-
мента до построения общей матрицы жесткости. К и вектора Р .Рас-
смотрим стержень с тремя узлами (рис. 7.3). Поскольку неизвестное
перемещение среднего узла не связано со степенями свободы какого-
либо другого элемента, его можно исключить; при этом матрица жест-
кости стержня будет соответствовать лишь перемещениям узлов 1 и 3.
Исключим это неизвестное на основе метода Гаусса, как это было пока-
зано в разд. 7.2.1 (см. прим. 7.1).
С этой целью представим уравнения в блочной форме
к«
kJ
ис.
(7.28)
где Ue и 1Ге — векторы перемещений для остающихся и исключаемых
неизвестных перемещений. Матрицы Квв,Квс и К,е и векторы Ра и Рс
соответствуют векторам перемещений Ua и Ue .
Рассматривая второе матричное уравнение в (7.28), получим
Рис. 7.3. Стержневой элемент с линей-
но изменяющейся площадью (£ —
модуль Юнга)
220
(7.29)
Подставляя это равенство в первое из уравнений (7.28), получим
уравнения
(к«- К„к^ксв)и„ - Re-K„K;;Rf.
(7.30)
Сравнивая выражение (7.30) с формулами исключения по Гауссу
(разд. 7.2.1), заметим, что статическая конденсация представляет фак-
тически исключение степени свободы Ue (см. прим. 7.7).
Преимущество статической конденсации на уровне элемента состоит
в снижении порядка системы уравнений и уменьшении объема требую-
щейся памяти ЭВМ. Кроме того, если ряд элементов одинаков, то следу-
ет построить матрицу жесткости только для одного из них, что резко
снижает затраты времени на решение задачи. Если же статическая кон-
денсация выполняется для каждого конечного элемента, полные затраты
на статическую конденсацию всех матриц жесткости плюс решение по-
лученной системы по Гауссу равны затратам на решение исходной систе-
мы уравнений без учета конденсации.
Пример 7.7
Рассмотреть элемент, показанный на рис. 7.3. Используя выраже-
ния (7.28) — (7.30), исключить степень свободы среднего узла. То же
сделать методом Гаусса.
Система уравнений равновесия элемента имеет вид
Г 17 -20 3' и; А
лГ -20 48 -28 Uz = Rz (а)
. 3 -28 25. У». А
Для применения выражений (7.28) — (7.30) преобразуем уравнения
-20]
-28
48
Равенство (7.30) для данной задачи имеет вид
или
ЕкУ\17 Г-201 н
6Z ([з 25]
.-28.
13 £А,Г 1 -Л|7/Л
9 4 L-/ did*[Л*i
JL^sJ
Из выражения (7.29) следует
(б)
Непосредственно применяя исключение по Гауссу к уравнениям (а),
имеем ' (20)(20) 0 , (20)(28)'
48 48 и. ад «г
6L -20 , (2О)(28) 48 48 0 -28 -- (28)(28) 25~ 48 *4 — с? + Сс 1 (в)
221
Отделяя уравнения для U< и 1/3 от уравнения для Ua ?можно пе-
реписать соотношение (в) в виде
9 L {.-1 /JU/J
*-Ш*’и*'*4
Этот результат совпадает с результатом, полученным методом стати-
ческой конденсации.
Пример 7.8
Используя матрицу жесткости для стержня из прим. 7.7, составить
уравнения равновесия конструкции, показанной на рис. 7.4. Для ис-
ключения неизвестных Ut и и* применить метод Гаусса. Показать
связь полученной для степеней свободы матрицы жесткости с
матрицей из прим. 7.7.
Матрица жесткости получается методом прямых жесткостей (см.
разд. 3.1) в виде
К
(а)
где
~е
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
О
О
О
о
о
О'
о
о
о
о
~0
о
о
о
о
о
о
о
о
о
‘а
о
о
34
-40
б
К
** SL
л 6L
(20)(2о) 46 0 о Л 46 0
-20 46 -28 0 0 U< 0 Q
ЕЛ, 6L 0 ка №$ о 03 48 ' 96 , (4<М№ б~ 96 иг ц О, SS. 0 0 • (б)
0 0 -40 96 -56 Us
0 а 0 9б .
222
Рис. 7.4. Конструкция, состоящая из двух стержневых элементов (см. рис
7.3.) и пружины
Теперь разделим уравнения для степеней свободы 1, 3,5 и 2,4
«4- £[Л4*74/,];
£[*4*744] .
(в)
(г)
Применяя матрицы жесткости для элементов с двумя степенями
свободы, использованные в прим. (7.7), методом прямых жесткос-
тей получим
К,»
а
О
.0
О 47]
О 47
О 47]
Г/
К*"7Т
-1 О'
1 О ;
О 0.
(Д)
1 L
/3£А у
' “ О
О О'
2 ~2
-2 2.
(е)
Эти матрицы в сумме дают матрицу жесткости элемента, найденную
выше (в). Заметим, что затраты на решение уравнений с использова-
нием конденсации меньше, чем при использовании матриц жесткости
для трех степеней свободы в каждом элементе, поскольку в первом слу-
чае перемещения средних узлов исключаются один раз, в то время как
в зависимости (6) эти перемещения фактически приходится исключать
дважды.
Как показано в прим. 7.8, применение статической конденсации наи-
более эффективно, когда один и тот же элемент используется несколько
раз. На этом же принципе базируется метод подконструкций, в котором
вся конструкция рассматривается как ансамбль подконструкций [ 16 —
223
22]. Причем каждая подконструкция в свою очередь представляется в
виде ансамбля конечных элементов, а все внутренние степени свободы
исключаются путем статической конденсации. Общая матрица жесткости
получается из сконденсированных матриц для подконструкций. Следо-
вательно, подконструкции используются так же, как и отдельные ко-
нечные элементы, но внутренние степени свободы исключаются до объ-
единения в ансамбле. Если многие подконструкции идентичны, то целе-
сообразно создать библиотеку подконструкций, из которой строится
сконденсированная матрица жесткости системы.
Необходимо заметить, что в этом случае полная матрица жесткости
никогда не строится, а вводимые данные должны содержать сведения о
каждой подконструкции из библиотеки и необходимую информацию
для объединения подконструкций в систему. Наиболее часто подконст-
рукции принимаются при расчете зданий и корпусов кораблей, где по-
добная методика позволяет рассчитывать очень большие системы конеч-
ных элементов.
Эффективность расчета на основе принципа подконструкций во
многих случаях можно улучшить введением различных уровней под-
конструкций. Так как каждую подконструкцию можно рассматривать
как "супер — конечный элемент" (суперэлемент), то возможно опреде-
ление второго, третьего и т.д. уровней подконструкций (суперэлемен-
тов) . Преимущество такого подхода возрастает при наличии повторяю-
щихся подконструкций. В этом случае целесообразно составление спе-
циальной программы для ЭВМ.
Пример 7.9
Применить подконструкции для получения матрицы жесткости и век-
тора нагрузки, соответствующих степеням свободы
показанного на рис. 7.5.
Базовым элементом является стержень с тремя
рассмотренный в прим. 7.7. Уравнения равновесия
вующие перемещениям U3 и U3 (см. рис. 7.5), имеют вид
fa *57*/
1Л
и U3 стержня.
степенями свободы,
элемента, соответст-
1
13А.Е
9 L
’> * 12
d ia
Можно считать полученный элемент с двумя степенями свободы под-
конструкцией первого уровня. Заметим, что как только будут найдены
и U3 можно определить перемещение U2 по выражению (б) из прим.
7.7:
lOU^W^.
(6)
Построим суперэлемент второго уровня со степенями свободы Ut и
(4. Используя выражение (а), получим уравнения равновесия, соответ-
ствующие Ut,U3 и Us'.
224
a)
' "» •------•------•-----8
Рис. 7.5
1 ч/
Используя метод Гаусса для исключения U3 из (в), получим
15 - 522
22£
ИЛ И f— лл у *
\з){9/ L [-/ НЫ" ^,^R3.fsRli+Rs
И г
Z?’= з [4 * « ^г* « 2U*
Легко видеть, что матрица жесткости суперэлемента второго уровня
составляет матрицы я:ес1когчи суперэлемента первого уровня.
Отсюда можно заключить, что дпп получения суперэлемента л-го
уровня следует умножить на соответствующее число матрицу, данную в
выражении (а).
В большинстве случаев сипы прикладываются по направлениям сте-
пеней свободы на границах между суперэлементами, как и в данном при-
мере. Используя матрицу жесткости суперэлемента второго уровня для
получения матрицы жесткости рассматриваемого стержня и формируя
вектор нагрузки для данного примера, имеем
О
-4
4
Исключая Us ,получим
\и<
<4
о'
Ъ
О
5ДЗ/( »/ L \~f
Здесь матрица жесткости соответствует суперэлементу третьего уров-
ня. Можно определить также
Для определения перемещений необходимо учесть граничные условия,
найти и, и Ut , а затем воспользоваться приведенными выше выраже-
ниями для определения перемещений внутренних точек (добавив выра-
жения для Ue и Ut ) •
До сих пор мы не обсуждали проблем решения, если вся система урав-
нений не помещается в оперативной памяти ЭВМ [12, 23 — 34]. ЕсЪи
используется разбиение на подконструкции, выгодно выбирать размер
суперэлементов так, чтобы матрица жесткости каждого из них до стати-
ческой конденсации помещалась в оперативной памяти, где и выполня-
ется исключение внутренних степеней свободы. Внешняя память в этом
случае в основном используется для хранения информации, необходимой
для вычисления перемещений внутренних узлов суперэлементов (7.29).
Однако может потребоваться значительное количество уровней подкон-
струкций для того, чтобы разрешающая система уравнений могла помес-
титься в оперативной памяти.
Вообще важно использовать внешнюю память эффективно, поскольку
большое количество обращений к внешней памяти увеличивает затраты и
ограничивает размеры систем, которые могут быть решены. Алгоритмы
решения систем уравнений с использованием внешней памяти связаны
с процедурами получение лобальной матрицы жесткости. Во многих
программах матрица жесткости конструкции стооится целиком до на-
чала исключения по Гауссу В программах SAR ABINA.ease уравнения фор-
226
мируются, как описано в гл. 6, но по блокам, которые могут быть выз-
ваны в оперативную память [25 — 27]. Решение получается в два этапа
сначала идет прямой ход по блокам матрицы и векторам нагрузки, а
затем — обратный ход. Аналогично работает ряд других программ
[28-31].
Другим вариантом решения является одновременное формирова-
ние уравнений и исключение неизвестных. В данном случае не требует-
ся внешней памяти для хранения исходной матрицы жесткости. Эта
схема, называемая фронтальным методом решения [32 — 34], за-
ключается в формировании только тех уравнений, которые необхо-
димы для исключения очередных степеней свободы.
В качестве примера рассмотрим решение плоской задачи, пред-
ставленной на рис. 7.6. Каждому узлу сетки конечных элементов
соответствуют два уравнения. При фронтальном решении уравнения
исключаются в порядке следования элементов, т.е. первые рассмат-
риваемые уравнения должны содержать узлы 1, 2, т и т+1 f сле-
дующие уравнения должны также включать узлы 3 и т+ 2. и т.д.
Для исключения степеней свободы узла 1 необходимо построить урав-
нения равновесия для узлов 1, 2, т и т+1, поскольку этот узел
связан узлами 2, т и т + 1. Это означает, что матрицы жесткости
элементов 1,2, q и q * / необходимо сначала построить и объ-
единить, а затем исключать степени свободы, соответствующие узлу 1,
далее для исключения степеней свободы узла 2 необходимы полные
Рис. 7.6. Фронтальное решение плоской задачи для метода конечных эле-
ментов
227
уравнения равновесия узлов 3 и т+2 и, следовательно, матрицы
жесткости элементов 3 и д +2 должны быть построены и объединены
в ансамбль и т.д.
Таким образом, метод физически заключается в последовательной
статической конденсации одной степени свободы за другой, и всегда,
строятся те уравнения (точнее, матрицы жесткости элементов), кото-
рые необходимы в данный момент. Конечные элементы, которые долж-
ны участвовать в статической конденсации, соответствующей одному
узлу, определяют фронт решения в данный момент (см. рис. 7.6).
В принципе фронтальный метод является вариантом обычного
исключения по Гауссу. Достоинство метода в том, что все необходимые
уравнения формируются в оперативной памяти. Однако если фронт
широкий и для решения требуется дополнительная внешняя память,
то эффективность метода существенно падает.
7.2.5. Анализ решения уравнений с симметричной матрицей коэффи-
циентов. При обсуждении исключения по Гауссу предполагалась поло-
жительная определенность матрицы К ,что выполнимо при правильной
постановке опорных закреплений и неизменяемости рассматриваемой
конструкции. Как показано в разд. 2.6 и 2.7, в случае положительной
определенности матрицы жесткости для любого вектора перемещений
U выполняется условие
UrKU>0. (7.31)
Поскольку fUrKU является энергией деформации системы (см. разд.
5.3), (7.31) показывает, что для произвольного вектора перемещений
U энергия деформации системы с положительно определенной матри-
цей жесткости должна быть положительной.
Матрица жесткости конечного элемента не является положительно
определенной, если элемент не закреплен от перемещений как жестко-
го целого (см. разд. 3.2.2). В этом случае матрица будет положительно
полуопределенной,и
UrKU>0, (7.32)
где U7kU=0, если U соответствует перемещению как жесткого целого.
При объединении матриц жесткости конечных элементов положительно
полуопределенные матрицы отдельных элементов дают положительно
полуопределенную матрицу жесткости всей конструкции. Эта матрица
далее превращается в положительно определенную путем исключения
из нее строк и столбцов, соответствующих наложенным на конструк-
цию связям.
Полезно рассмотреть более детально смысл положительной опреде-
ленности матрицы жесткости конструкции. В разд. 2.6 обсуждалось
представление матрицы ее собственными значениями и векторами. В
соответствии с этим разделом проблема собственных значений для мат-
рицы К имеет вид
Ку=Ау. (7.33)
Решением (7.33) являются собственные пары полное решение
можно записать в виде
228
КФ>ФЛ,
где Ф — ортонормированная матрица собственных векторов,;
Л — диагональная матрица собственных значений, Л = dici 9 (А.-)
Поскольку Фгфж<РФг>1, имеем
ФТКФ = Л (7.34)
К’ ФЛФГ.
(7.35)
В разд. 2.7 показано, что Л, является минимумом, которого дости
гает коэффициент Релея при выполнении условия ортонормированнос
ти собственных векторов
при
At = min
IFV J
АЛЯ
(7.36)
i-1 J
Таким образом, является минимумом энергии деформации
ансамбля элементов, соответствующим вектору перемещений .Сле-
довательно, для положительной определенности матрицы жесткости
необходимо, чтобы А^>0 . С другой стороны, для незакрепленной сис-
темы элементов имеем Лу= Аг = -- . = /)„,= 0 , где т — количество воз-
можных перемещений системы как жесткого целого; т<п . При нало-
жении на систему каждой связи количество собственных значений мат-
рицы К уменьшается на единицу. Если эта связь исключает перемеще-
ние системы как жесткого целого, то одновременно уменьшается
количество нулевых собственных значений.
Пример 7.10
Проверить, исключает ли перемещения как жесткого целого уст-
ранение четырех степеней свободы для элемента, показанного на
рис. 7.7.
Элемент имеет три формы перемещений как жесткого целого:
(1) горизонтальное, (2) вертикальное и (3) вращение в плоскости.
Рассмотрим последовательное наложение связей, как показано на
рис. 7.7. Связь по направлению LA, исключает г оризонтальное смеще-
ние элемента как жесткого целого; аналогично связь по 14 исклю-
чает вертикальное смещение. Однако связь по К не исключает послед-
ней формы смещения как жесткого целого; для исключения вращения
необходимо наложить связь по .Таким образом,связи по^Д,14,14 и
U2 исключают все формы смещения элемента как жесткого целого, од-
гако этого же результата можно добиться при помощи связей лишь по
<4, К и Ut .
Преобразование (7.34) имеет важное значение, так как является
сменой базиса. Новыми базисными векторами являются собственные
векторы матрицы К ,ив этом базисе оператор представлен диагональ-
ной матрицей собственных значений. Поэтому А можно рассматри-
вать как матрицу жесткости системы, когда функции перемещений ко-
нечных элементов, используемые в выражении возможной работы
(3.17), соответствуют перемещениям tfa, вместо единичных узловых
смещений Ui (см. разд. 3.2.2) . Следовательно, соотношение (7.34)
229
Степени свободы плоского элемента
Удалена Щ
Рис. 7.7. Удаление степеней свободы для плоского элемента
является выражением возможной работы для диагональной матрицы
жесткости. Если на систему наложены все необходимые связи, то все
коэффициенты жесткости в Л положительны, т.е. матрица жесткости
Л (и следовательно, К ) положительно определена, тогда как для
незакрепленной системы некоторые диагональные элементы Л будут
равны нулю.
Переходя к анализу решения систем уравнений, рассмотрим другое
важное замечание. В разд. 2.7 было рассмотрено свойство последователь-
ности Штурма для главных миноров матрицы. Покажем физический
смысл последовательности Штурма. Пусть К* — матрица порядка/непо-
лученная вычеркиванием последних строк и столбцов из матрицы К.
Рассмотрим проблему собственных значений
Кг>м=Лмум, (7.37)
где у/Ю — вектор порядка п-r .Назовем (7.37) л1 — усеченной пробле-
мой собственных значений для задачи . В разд. 2.7 показано, что
собственные значения (г'+1) — усеченной проблемы разделяют собствен-
ные значения г— усеченной проблемы
лГ? £ Л™. . . л£'4 A(„Zt ~ <7-38>
В качестве примера рассмотрим шарнирно опертую балку (см. разд.
7.2.1). На рис. 7.8 показаны вычисленные собственные значения и их
свойство разделения. Необходимо отметить, что при переходе от (г*?) —
усеченной проблемы к г — усеченной проблеме путем включения еще
одной степени свободы новая система имеет наименьшее собственное
230
рЫ(л!3>]
Рис. 7.8. Решение проблемы собственных значений алн балки
значение меньшее или равное аналогичному значению — усе-
ченной проблемы, а наибольшее -- соответственно большее или равное
наибольшему.
Используя свойство разделения собственных значений и понимая, что
любая строка и столбец могут быть последней строкой и столбцом мат-
рицы К ^получим, что если матрица жесткости с zz степенями свободы
положительно определена, то любая матрица, полученная удалением
строк и соответствующих столбцов, также является положительно
определенной, так как X,'* 0. Наименьшее собственное значение новой
матрицы может только расти, а наибольшее - уменьшаться. Последнее
утверждение применимо также к положительно полуопределенной и да-
231
же неопределенной матрице К , так как свойство разделения собствен-
ных значений справедливо для всех симметричных матриц.
В разд. 7.2.1 и 7.2.2 показано, что если на конструкцию наложены
все необходимые связи, то ее матрица К может быть разложена я
виде
K=LDLr, (7.39)
где 1 — нижняя треугольная матрица; D — диагональная матрица с
с(ц>0. Следовательно (см. разд. 1.8),
det К = detLdet D det V = П d17 =» 0. (7.40)
4»/
Этот же результат можно получить, рассматривая характеристичес-
кий полином матрицы К
pW = det(K-AI).
(7.41)
Поскольку — наименьший корень р(Л) иЛу>0 ,то для положи-
тельно определенной матрицы К имеем detK >0 . Однако из этого не
следует. что все du > О
Для формального доказательства, что все <1ц>0 ,сравним множители
матриц К и К1‘-'ггде — матрица жесткости I усеченной пробле-
мы В предположении, что множители L и D матрицы К вычисле
ны, имеем для усеченной проблемы
1 = 1,..., п-1, (7.42)
где L® и — аналогичные множители матрицы КЛ;| .Поскольку
L — нижняя треугольная матрица и D — диагональная матрица, множи-
тели и D™ получаются из L ,и D вычеркиванием последних i
строк и столбцов. Однако так какЛ^>0 ,можно использовать формулы
(7.39) и (7.40) для всех с , начиная cl=n-1 ,чтобы показать, что
с1ц>0 .Следовательно, разложение К на LDLr действительно возможно,
если матрица К положительно определена.
Пример 7.11
Получить множители V0 и Dw матриц для шарнирно
опертой балки (рис. 7.8) и показать, что должны оы ^положитель-
ными, поскольку А, •» 0 .
Интересующие нас разложения имеют вид
(«И»,
-41 Г* 01Г5
d L~? dp fJP d’
(a)
(6)
(в)
-4 Г 1 0 О' ~5 0 О' V -4 F 5*
-4 6 -А Г 1 0 0 т 5 0 0 1
. 1 6_ Jt 0 0 0 0 1 _
где матрицы 1_"'; и Dw получены из матриц L и D приведенных в
прим. 7.2, путем исключения последних i строк и столбцов.
232
Рассматривая элементы du ,имеем Л*» .Используя соот-
ношение (а), получаем ,следовательно, d*>0. Рассмотрим К®.
Так как то, учитывая (739) и (7.40), будем иметьот-
куда du>0. Аналогично, рассматривая имеем A^O^d^e^d^O и,
следовательно,d$»>0 .И наконец, для К имеемA1?0,d.Hdud33d"^0 и
а»* о.
Допустим, что К — матрица жесткости незакрепленного ансамбля
конечных элементов. В этом случае К положительно полу определена,
Л-0 является корнем и detfe#,откуда следует, что d^ для некоторых i
должны быть нулевыми. Следовательно, разложение К в общем
случае невозможно, поскольку ведущие элементы нулевые. Полезно и в
этом случае рассмотреть усеченные проблемы. Если матрица К поло-
жительно полуопределена, то характеристические полиномы матриц ‘К(Ч
будут иметь нулевой корень, и этот корень будет сохраняться во всех
матрицах , К . Это следует, во-первых, из свойства последова-
тельности Штурма (наименьшее собственное значение матрицы
меньше или равно наименьшему собственному значению матрицы KflJ)
и, во-вторых, К не имеет отрицательных собственных значений. Для
i — усеченной проблемы имеем
det (LwDwlf”‘)=0, (7.43)
откуда следует, что какой-либо элемент в D(lJ равен нулю. Однако,
предполагая, что нулевой корень появляется в г — усеченной пробле-
ме (т.е. det(LwDMl?'jr)>0 для ), получаем, что Таким об-
разом, разложение положительно полуопределенной матрицы К на
LD1T становится невозможным в тот момент, когда встречается нулевой
диагональный элемент d*A . Это означает, что (п-к) — усеченная проб-
лема с нулевым собственным значением препятствует продолжению
процесса разложения.
При разложении неопределенной матрицы (когда матрица имеет
как положительные, так и отрицательные собственные значения) нуле-
вой диагональный элемент встречается в случае, если одна из усечен-
ных проблем имеет нулевое собственное значение.
На рис. 7.9 показан пример шарнирной балки на упругих опорах, в
котором при разложении могут встретиться или не встретиться нулевые
диагональные элементы (см. прим. 7.13).
Предположим, что нулевой диагональный элемент du встречается
при исключении по Гауссу. Для того чтобы продолжить решение, необ-
ходимо поменять местами i-тую строку с /-той, J>i . Новый диа-
гональный элемент не должен быть нулевым, а для повышения точности
решения он должен быть возможно большим (см. разд. 7.5). Смена
строк соответствует перегруппировке уравнений, но в этом случае
матрица коэффициентов становится несимметричной. Симметрия может
быть сохранена, если поменять местами также и соответствующие
столбцы.
Способ перестановки строк и столбцов предполагает, что может
быть получен новый ненулевой диагональный элемент. Фактически,
это всегда возможно до момента L*4t~m+1, где т — кратность нуле-
вого собственногр значения матрицы. В этом случае матрица особенная
и du - О t одновременно все элементы последних т строк верхней тре-
угольной матрицы разложения также равны нулю. Другими словами.
233
Рис. 7.9. Балка на двух опорах с пружинами (отрицательные жесткости пру-
жин могут привести к трудностям при вычислениях)
поскольку количество нулевых строк равно кратности т нулевого
собственного значения, последние (т-1) матрицы!^ в
(7.10) не могут и не должны вычисляться.
Следовательно, необходимо будет получить т линейно независи-
мых решений, предполагая произвольными значения т последних
элементов вектора решения.
Особый интерес представляет случай, когда К является матрицей
жесткости незакрепленного ансамбля. Количество нулевых строк, по-
лучаемых в процессе исключения по Гауссу со сменой строк и столбцов,
234
Рис. 7.10. Изгибаемый стержневой элемент с двумя -формами смешения как
жесткого целого
а — первоначальная нумерация степеней свободы; б — нумерация степеней сво-
боды после выполнения преобразований по Гауссу
в этом случае равно количеству перемещений системы как жесткого
целого.
Пример 7.12
Рассмотреть изгибаемый элемент, представленный на рис. 7.10 (а),
с матрицей жесткости
Г /2 -6 -12 -6'
Показать, что в результате исключения по Гауссу третья и четвертая
строки становятся нулевыми, и вычислить формально перемещения
балки как жесткого целого.
Используя формулу (7.10), получим матрицу S с двумя нулевыми
последними строками, поскольку элемент имеет две формы смещения
как жесткого целого, соответствующие вертикальному перемещению
и повороту. Сначала получим
7
L-*_ i / 0
L* ~ 10 1
£ О О 1
и
~12 -6 -12 -6'
0 10-1
0 0 0 0 ’
0-101
затем
7
Г* = 01
0 0 1
0 10 1
и
'12 -6 -12 -6'
0 10-1
0 0 0 0
О 0 О О
(а)
Таким образом, как и ожидалось, последние две строки в матрице $
нулевые, и Ej не может и не должна вычисляться. Необходимо заме-
тить, что если принять исходную нумерацию степеней свободы по рис.
7.10(6), то для продолжения процесса разложения необходимо будет
поменять местами 2 и 3 строки и столбцы, что эквивалентно возврату
к нумерации по рис. 7.10 (а).
Матрица S из (а) позволяет формально вычислить перемещения
балки как жесткого целого, т.е. решить уравнения KU-0 для полу-
чения двух линейно независимых решений для IT.
Сначала положим U* = / и U3*0. Используя S, будем иметь
12Ut-6U2”6-,
U2~1,
откуда 4/у=/, 44 = 1, О, Ue1.
Полагая затем 44=47,44“/, получим
/244-544- /2;
44 = О,
откуда U3=f, U^O.
Следует заметить, что векторы перемещений как жесткого целого
не единственны, и можно требуемое решение записать в виде
где а, и а2 — произвольные величины.
В дополнение к приведенному выше, исключение по Гауссу с заме-
ной строк и столбцов позволяет определить ранг матрицы коэффициен-
тов, т.е. получить размерность пространства строк и столбцов (см. разд.
2.2). В этом случае количество ненулевых строк преобразованной матри-
цы равно рангу матрицы. Это очевидно, так как на каждом шаге исклю-
чения по Гауссу одна из строк матрицы с множителем вычитается из
другой. Следовательно, если последние 4 строк нулевые,то только п-1
строк линейно независимы. Это означает, что матрица жесткости Порядкам
в которой присутствуют 4 форм перемещений как жесткого целого,
имеет ранг п-i . Заметим, что определение ранга матрицы с помощью
исключения по Гауссу применимо к неопределенным матрицам, но при
этом необходимо выполнять соответствующие перестановки.
Пример 7.13
Использовать исключение по Гауссу для разложения матрицы К-Л^1
на верхнюю и нижнюю треугольные матрицы, где К - матрица жесткос-
ти из прим. 7.2 и — наименьшее собственное значение второй усе-
ченной проблемы. Определить ранг матрицы K-Aj2,I.
В этом случае имеем
5 -4 /
-4 6
236
Следовательно, _ „ , . .
3,53 -4 10
v l<Wt ~4 453 -4 /
К-Л, 1= у 4}53 -4
. О 1 -4 3,53
Для получения нулей на месте элементов 1-го столбца вычислим
Е;(К-АН),где
и, следовательно.
1 1
1
-0^83 1
. О /.
3,53 -4 1 и
0 0 0 -2,87 -ZJB7 4,25 1 -4 (а)
0 1 -4 3,53
Для продолжения разложения по Гауссу необходимо переставить
вторую строку с третьей или четвертой. Переставим строки 2 и 3. В
этом случае
где
3,5. 0 0 .0 3 -4 -2J37 0 1 1 4,25 -2,87 0 ' -4 1 » 433.
'У -4 1 О' 1 т
к« ' "1 6 -4 . t* - -0,283 1
-4 6 -4 1 ’ 1,13 1
. 0 1 -4 5. 0 1\
'1 0 0 О'
1-0 0 1 0
* 0 1 0 о
0 0 0 1_
Завершим разложение, используя
7
1 0 1 . 0^/Я 1.
Получим
М-А* Л IJ- 0 0 -2Л7 у
237
и
1
-0,878 1.
Следовательно, для 5«=1^Е^Т^(К-А^1) будем иметь
3,53 -4 10
«5 -2,87 4,25 -4
° ~ -2J37 / •
1,28
Кроме того, имеемСК-А^^Г^где
’ 1
0,283 1
-1,13 О 1
_ О -Ц349 0J578 1
Необходимо заметить, что матрица R-A^®! несимметрична, и, следо-
вательно, нельзя записать S=DLr. Однако,если бы одновременное пере-
становкой строк были переставлены столбцы, то матрица коэффициен-
тов осталась бы симметричной. Ранг матрицы K-A^l равен 4, поскольку
в S нет нулевых строк.
Теперь, переставляя 2 и 3 строки и столбцы в матрице (а), получим
t/CK-A^I)
3,53
О
О
4,25
-2,87
-4
-4
-2,87
О
1
О '
-4
1
3J3.
Для завершения разложения используем
1
1
-Q878 1
238
3,53 / -4
4,25 -2,87
-1,94
Таким образом, имеем (Я-Л$г,1)=1$ где
О'
-4
-1,70
1,26.
’ 1
0,283 1
-1,13 -0,675 1
О -0,942 0,878 1
3,53 1 -4 О
4,25 -2,87 -4
-1,94 -1,70
1>2б\
и можно проверить, что S =DLr.
Следует заметить, что практические вычисления производятся с ко-
нечным числом значащих цифр и при этом возникают различные ошибки
вычислений. Оценке ошибок в решении систем уравнений посвящен
разд. 7.5.
7.3. Прямое решение с использованием ортогональных матриц
В разд. 7.2.2 исключение по Гауссу записывалось как умножение мат-
рицы К слева на матрицы L? , z = 1,2,...,п-1,гце п - порядок матрицы
К, a L"/ определена выражением (7.11). Фактически, каждая матрица
17 является произведением элементарных матриц
Г? ж -<
*~П,1 *-/1-1,1
(7.44)
и, следовательно, (7.10) приобретает вид
(7.45)
где
; к = М,...,п . (7-46)
1
Множители определены формулой (7.11). Из этой формулы
следует, что разложение становится невозможным при к[9=0 и затруд-
няется при малом значении ^.точнее, при большом .
В практических задачах метода конечных элементов почти всегда ис-
пользуется метод Гаусса в той или иной форме из-за его численной ус-
тойчивости и эффективности. Однако существуют и другие методы
прямого решения. Вместо элементарных матриц можно использовать
ортогональные матрицы [7]. В разд. 2.5 были определены две ортого-
нальные матрицы: поворота и отражения. Обе они могут использоваться
для приведения К к верхней треугольной форме.
239
7.3.1. Метод Гивенса. В методе Гивенса используются матрицы пово-
рота для приведения К к верхней треугольной форме. В действитель-
ности каждая элементарная матрица в (7.45) заменяется на матри-
цу поворота, что дает
P»K=Se,
(7.47)
(7.48)
где
и — верхняя треугольная матрица; индекс G показывает, что не
равна S из (7.10). Решение системы уравнений (7.1) получает-
ся с использованием разложения
K«PffSs. (7.49)
Необходимо также преобразовать вектор нагрузки R из равенства
RV-R
(7.50)
к виду
V=PerR
(7.51)
и получить решение для U обратной подстановкой
s,u = v.
(7.52)
Элементарная матрица поворота имеет вид
7
Z-й
y-Й СТ0Л5ЕЦ
cos#
1.
sin#-—/-я
(7.53)
•sin#
1
cos#— j-я строка
1
где 0 выбирается из условия обращения в нуль элемента (j>i)>j> i •
В соответствии с (7.48) элементы матрицы жесткости обнуляются
в следующем порядке:
1=1, j=2,3,.. ,гг,
1=2, j=3,4, .. . ,п -,
i=n-1)Jt=n .
~ Рассмотрим структуру матрицы Р^. Цель вычисления произведения
состоит в преобразовании в нуль элемента (2, 1) первоначальной
матрицы жесткости
240
cos#
-sin#
sm#
cos#
1
Kh
к21
к 12
^22 кгз
^32 klt
(7 54)
или
Угол д находится из уравнения
- k„ sin # + kz, cos 0=0.
(7.55)
Следовательно,
cos#= ----—-----; stn#= ------—----- » (7 56)
несли k^ + k£ -й, то преобразования не требуется, т.е. используется
cos#=7 и sln#=#.
Необходимо отметить, чго в отличие от метода Гаусса здесь не тре-
буется выполнения условия к^-^0.
Умножение матрицы К слева на матрицу Р/, соответствует ли-
нейной комбинации двух первых строк матрицы К,т.е. для результи-
рующей матрицы К имеем
£,у =А-costf^-sin# 1 ,
=- kijSlne + к^сы>Э J J > (7.57)
%Ч = кц 1 = 3,...,п;
Исключение остальных поддиа! овальных элементов матрицы жест
кости производится аналогично. РассмО1рим пример.
Пример 7.14
Использовать разложение по Гивенсу для решения системы уравне-
Для i=1 ,J=2.
2.1
0,780869
0,624695
-0,624695
0,780869
16 - 522
241
Следовательно,
'б,903129
-6,871696 3,279699
2,186933 -2,998780
-9 6
1 -9
-0,629695'
0,780869
-9
'-0,629695'
0,780869
О
О
о
5
Для следующего шага (b‘1)J-3) имеем
' 0,988029 0 0,159303 О'
рг = 0 1 0 0
-0,159303 0 0,938029 0
Следовательно . 0 0 0 1
6,980791 -7,906561 9,166190 -1,239927 '-0,617213'
0 2,186933 0 -2,891776 -2,998780 0,780868 5,922080 -3,855702 0,780869 0,096393
. 0 1 -9 5 _ 0
Ниже приводятся результаты для последующих шагов:
1=2,j~3-, cos В = 0,603103, $ХпВ-* '6,980791 -7,906561 9,166190 -1Д39927 -0,797669‘, -0,617213
0 3625308 -5,832017 3^97997 0 0 1,276885 -1,702513 ,^Р,да» 0,399097 . 0^81005 ’
. 0 1 ~9 5 _ 0
0,963998, sln0» 0,265908;
\98О791 -7,906561 9,166190 -1^239927' '-0,617213
0 3760699-5685687 9,798357 О 0 1,276885 -1,708513 0,379869 0,681005
0 0 -2^05219 3876950. 47,109782
На последнем шаге
i = 3, J- 9; cos 8 - 0,989599, sin В • - 0,879767
и
6,980791 -7,906561 9,166190 -1,239927
ргк= 0 3,760699 -$685687 9,798357
0 0 2,635231 -9,216370
. о А 0 $389299.
Р/Р-
-0,617213
0,379869
0,921637
. 0,599999
(а)
(б)
242
Равенства (а) и (б) являются соответственно выражениями для
5S и V. Используя (7.52) для обратной подстановки, получим тот же
оезультат, поив разд. 7.2.1
и=
'1,6 ‘
2,6
.4,4 -
Отметим, что &=Р/к отличается от S из прим. 7.2, и что симмет-
рия матрицы коэффициентов не сохраняется в процессе преобразований
по Гивенсу.
7.3.2. Метод Хаусхолдера. В методе Хаусхолдера для приведения К к
верхней треугольной форме используются матрицы отражения, т.е.
выполняется преобразование
PjK-S", (7.58)
где
Р;=Р„Т-, . Р/Р/ (7-59)
и S* — верхняя треугольная матрица. В прим. 7.15 будет доказано,
что матрицы Se и SH f р^, и Pw используемые соответственно в
(7.47) и (7.58), по существу одинаковы. Матрицы преоб-
разующие в нуль поддиагональные элементы столбца I текущей матри-
цы жесткости, имеют вид
РГ= Г-А-J-®-], (7.60)
1 L о ' р,- J ’
где 1(_, — единичная матрица порядка 1-1, а
где f>- —матрица; wz - вектор порядка п-1+1 . Поскольку
симметрична, следовательно, Pz также симметрична и Р/"= Pz.
Для демонстрации алгоритма преобразования К рассмотрим пер-
вый шаг, т.е. построим Я). Пусть
К=Р,К- <7-61>
Разделим К на части
К = [к, - kJ , (7'62)
где к< — первый столбец матрицы К. Имеем также
Р, • I - . (7.63)
Так как все поддиагональные элементы 1-го столбца матрицы К дол-
жны равняться нулю, то вектор J$k# должен иметь ненулевым только
первый элемент. Это условие выполняется за счет соответствующего
выбора век юра wy,r.e.
(I - 0У¥,уу/)К = i |IMte,, (7.64)
243
«у -- .'диничныи вектор порядка л. Выражение (7.64) соответству-
ет отражению вектора к, в л-мерном пространстве таким образом,
чи- элемент, соответствующий направлению 1, равен длине вектора к,,
а все остальные элементы равны нулю (см. прим. 2.13).
Из (7 6^) получаем для vy,
k,-0W^ ±||к,||2е, , (7’65)
где в - константа, S-6'w/’k. Поскольку определяет только на-
гранление отражения (см. рис._2.4), то его длина может быть произ-
вольна, и для простоты примем в*1. Таким образом, получим
Щ« k, + si.gnC/r„)|j k,||2e, , (7.66)
где знак в (7.65) выбран из условия, чтобы первый элемент W, , рав-
ный ||к<||. ,по абсолютной величине был больше, чем кн . ~
Необходимо отметить, что Р< для (7.61) явно не вычисляется, а К
определяется через
V/-W/K (7.67)
и затем
К«К-0(>ууД (7-68)
Рстальные матрицы отражения и соответствующие мат-
ричные произведения вычисляются аналогично.
Пример 7.15
Показать, что матрицы Se и I». по существу идентичны матрицам
и Т},. Замечание'посуществу'означает, что строки матриц 5еи5„и
столбцы матриц Р, и Р, отличаются, соответственно, лишь множите-
лем — 1.
Из равенств (7.49) и (7.58) получаем
K-RA,
K-P„S„.
Следовательно,
РА»
иль
₽;рв = (а»
где U должна быть верхней треугольной матрицей, поскольку 3* и
3$ — верхние треугольные матрицы. В (а) предполагается, что 5» —
неособенная матрица (это верно при положительно определенной матри-
це К). Используя (а), можно получить
(б)
поскольку Ря и — ортогональные матрицы, т.е.
Выполняя умножение и приравнивая элементы матриц в левой и пра-
вой частях (б), находим, что U должна быть диагональной матрицей с
элементами, равными +1 или —1. Используя соотношение (а), можем.
244
следовательно, заключить, что Р„ и Pfr равны с точностью до мнсоки
телей—1 для столбцов, a и равны с точностью до мгожип'пе-
— 1 для строк.
Пример 7.16
Использовать метод Хаухолдера для решения уравнений, расгмотчеи
них в примере 7.14.
Первый шаг дает
'11,480741
-4,000000
1,000000 i
. О .
-6,480741 7,406561 -4,166190 1,234427
О 2,025845 -2,200050 0,569914
О -3,006461 5,550012 -3592478 ’
О 1,000000 -4,000000 5,000000
P/R =
'0,617213
0,784957
0,053761
. О .
w-
На втором шаге получаем
5,786544'
-3,006461 ;
, 1,000000 J
0,617213 ‘
-0,379869
0,658958
-0,201299
-6,480741 7,406561
О -3,760699
О О
. о о
-4,166190 1,234427
6,685687 -4,748357
0933332 -1,129313
-2,464414 4,080924
Окончательно имеем
w = Г3,568564'].
3 {.-2.464414У
l?rPar1>rR-
'0,617213'
-0,379869
-0,421637
.0,544949.
-6,480741
О
О
О
7,406561
-3,760699
О
О
-4,166190
6585687
-2,635231
О
1,234427
-4,748357
4^16370
0589249
Выполняя обратную подстановку, получаем
245
1,6'
2,6
2Л
7,4
Как упоминалось выше, методы Гивенса и Хаусхолдера не часто
встречаются на практике из-за неэкономичности процедуры решения
по сравнению с исключением по Гауссу. В процессе разложения матрицы
жесткости симметрия матрицы и ленточная структура ее не сохраняются.
Достоинством обоих методов является их высокая численная устойчи-
вость, и они могут эффективно применяться для решения плохо обус-
ловленных систем уравнений. Представление методов Гивенсона и
и Хаусхолдера преследовало цель показать применение матриц поворота
и отражения, поскольку в гл. 11 эти матрицы будут эффективно исполь-
зоваться при решении проблемы собственных значений.
7.4. Итерационный метод Гаусса—Зейделя
В настоящее время практически все программы метода конечных
элементов для решения системы уравнений KU=R используют те
или иные формы метода Гаусса. Однако в начале развития метода конеч-
ных элементов успешно использовались итерационные алгоритмы, ко-
торым и в настоящее время уделяется достаточное внимание [4 — 6,
35 — 44]. Основной недостаток итерационных решений состоит в том,
что время решения может быть оценено весьма приближенно, поскольку
количество итераций, необходимых для достижения заданной точности,
зависит от числа обусловленности матрицы К и использования ускоря-
ющих множителей.
При итерационном решении уравнений XU=R методом Гаусса-Зей-
деля необходимо задать начальный вектор перемещений 17 м, который
в частном случае может быть нулевым. Затем вычисляются для s-7,2,...
ки^-1 к,j Uj(uj , (7.69)
где U™ и Rt — z-тые компоненты векторов U и R, а з — поряд-
ковый номер итерации. В матричной форме (7.69) имеет вид
U®**- (7.70)
где К — диагональная матрица, Кл= dlacjf/Qj.a Kz — такая нижняя тре-
угольная матрица с элементами кц ,что
К-КХ*КЭ*К/. (7.71)
Итерации продолжаются, пока не выполнится условие
ци^11г
(7.72)
где е — необходимая точность решения. Количество итераций зависит
от "качества" начального вектора и обусловленности матрицы К.
Важно заметить, что итерации всегда сходятся при условии положи-
тельной определенности матрицы К. Более того, скорость сходимости
246
можно повысить, используя релаксацию, в этом случае итерации ведут-
ся по формуле
и^-^к^р - клиг1>-к;иг"7’ (7 73)
где fi — коэффициент релаксации. Оптимальное значение fl зависит
от матрицы К и обычно лежит в пределах 1,3— 1,9.
Пример 7.17
Использовать метод Гаусса—Зейделя для решения системы уравнений
из раздела 7.2.1
‘ 5
-4
/
. О
Для решения используем выражение (7.73), которое для данной
задачи имеет вид
Г01
Uf£
Решая сначала задачу при fi* 1
т.е. без учета релаксации, получим
Г«1
4
и,
Ш
' 0 '
0,167
0,111
.0,0556.
U, 1W
44
44
44
0,111'
0,305
0,222
0,116 .
После 104 итераций будет достигнута необходимая точность по (7.72)
для 6*0,001
44
44
Ltd
1,59
2,59
2,39
.1,39.
Для сравнения приведем точное решение
741
44
44
.44.
2,60
2,40
1,40
247
Повторяя вычисления при различных значениях ft, получим 0,001)
/3___________U0 1,1 1,2 1.3 // 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
Число итераций 104 88 74 61 49 37 23 30 43 82
Следовательно, в этом примере минимальное количество итераций
получается при ]3^1,6 .
Полезно рассмотреть физический смысл алгоритма решения. Заме-
тим. что в правой части выражения (7.73) вычисляется неуравнове-
шенная сила по направлению степени свободы I
$? = Ъ ~ Z Ktj UfM)- Z ka (7.74)
и затем уточняется значение соответствующего перемещения
, (7.75)
где 1=1,2,.. ,п. При р = 1 уточнение производится путем приложения
неуравновешенной силы Q\a по направлению г-той степени свободы
без учета измерения перемещений в остальных узлах. Этот процесс
аналогичен методу распределения неуравновешенных моментов, приме-
няемому при расчете рам. Ускорение сходимости достигается за счет
множителя Д
Важно отметить некоторые достоинства метода Гаусса—Зейделя.
Он может эффективно применяться в задачах перерасчета и оптимиза-
ции | 45 — 50], поскольку при повторном расчете незначительно изме-
ненной конструкции ранее полученное решение является хорошим на-
чальным вектором для решения задачи методом Гаусса—Зейделя.
Другое достоинство метода в том, что он не требует формирования
полной матрицы жесткости конструкции, поскольку все операции мож-
но выполнить на уровне элементов. Например, вычисление Кдий*^мож-
но заменить вычислением где суммирование ведется повеем
элементами Кд^-вклад от-го элемента в Кд.
7.5. Ошибки решения
Представленные в предыдущих разделах алгоритмы были рассмот-
рены на небольших примерах, но при практических расчетах эти методы
используются для решения больших систем уравнений с помощью ЭВМ.
Однако в этом случае элементы матриц могут быть представлены фикси-
рованным количеством цифр, что приводит к возникновению ошибок
в процессе решения [1 — 10, 51 — 59]. Цель данного раздела состоит в
том, чтобы обсудить ошибки решения, которые могут встретиться в
методе Гаусса, и дать рекомендации по предотвращению возникновения
больших ошибок.
Пусть числа представляются в ЭВМ t цифрами с одинарной точ-
ностью. Для повышения точности можно использовать вычисления с
двойной точностью, тогда числа будут представлены приблизительно 2t
цифрами. В табл. 7.1 даны значения t для некоторых ЭВМ.
В большинстве ЭВМ арифметические операции над числами, представ-
ленными t цифрами, выполняются с двойной точностью, а затем в
полученном результате сохраняется только t цифр. Для демонстрации
подобной арифметики рассмотрим решение системы уравнений
248
Таблица 7.1. Число цифр, используемых для
представления чисел с плавающей точкой
ЭВМ Одинарная точность Двойная точность t
UNIVAC 8 16 8
IBM 6 16 6
CDC 14 28 14
' 3,42521
-3,42521
-3,42521} Г4/Л \1,3021\
101,2431 J [4£] = L 0,0 J,
(7.76)
где К и П представлены "точно". Точное решение (10 цифр) равно
4/,= 0,3934633449; Ut = 0,0133111)709.
(7.77)
Получим решение для гипотетической ЭВМ с t-З (т.е. каждое
число представляется только 3 цифрами). Исходная система уравнений
в этом случае приобретает вид
3,42
-3,42
-4^1 Г$1 \1,30'
J L4J= L о J>
(7.78)
где значки над 4/, и иг подчеркивают, что решение уравнений (7.78)
отличается от решения системы (7.76). На первом шаге алгоритм исклю-
чения по Гауссу (см. разд. 7.2.1) с усечением результата до трех знача-
щих цифр дает
101-(-1Х~3,42)= 97,5;
\3,42 -Д421 [441 [1,301
1%0 97,5] [Z4j LW
(7.79)
где надчеркивание над U, н показывает, что решение (7.78)
выполняется приближенно. Продолжая использовать арифметику с тре-
мя цифрами, получим
5,= ^=e«33;
(7.80)
Рассматривая данный пример, можно отметить два типа ошибок:
ошибки усечения и ошибки округления. Ошибки усечения возникают
из-за представления исходных данных (матрицы К и вектора Р ) с
конечной точностью (7.78). Ошибки округления возникают при реше-
нии (7.78) из-за конечной точности представления результатов опера-
ции. Рассматривая ситуации, в которых каждая ошибка могла быть
значительной, заметим, что ошибки усечения могут быть большими, ес-
ли абсолютные значения коэффициентов матрицы К , включая диаго-
нальные, значительно отличаются друг от друга. Ошибки округления
велики при малых значениях диагональных элементов <2ц, так как
249
приводят к большим значениям множителей . Для этих ситуаций
причина возникновения ошибок заключена в основной операции ис-
ключения по Гауссу, т.е. в вычитании ведущей строки с множителем
из последующих строк. Если в этой операции производится вычитание
чисел с большой разницей в порядках, представленных ограниченным
количеством цифр, то возникающие ошибки могут быть относительно
велики. Для устранения этих ошибок применяется масштабирование
с тем, чтобы элементы матриц были примерно равны по величине.
Для разделения ошибок усечения и ошибок округления в приведен-
ном примере решим (7.78) точно. В этом случае
3,92
. О 97,58J L4J tfJOj
и
£4 - 0,3939393613;
0г = 0,0133229020.
Ошибка за счет усечения исходных данных
(7.81)
(7.82)
ui} _ (41 \0,0000239836]
Ut\ I4J = \р,0000109311J > (783>
а ошибка округления
г «
~£41_ ^0,0029393613"
Рг] [0,0000229020
(7.84)
Полная ошибка равна сумме г и F
П/,1 _ HI \0,0029633999"]
re Ы=
(7.85)
При вычислении ошибок использованы точные решения систем
(7.76) и (7.81). На практике точные решения получить невозможно,
и приближение к точному решению может быть получено с помощью
вычислений с двойной точностью.
Пусть получено решение уравнений KtJ“R , равное fl , т.е.
из-за различных ошибок вместо 17 вычислено U. Ошибку решения
можно оценить, получив
ДР - P-KU.
(7.86)
Практически ДР может быть вычислен только с двойной точностью.
Подставив К1Г вместо Р в (7.86), получим ошибку решения r-17-fJ
в виде
Г= К"'ДР,
(7.87)
из чего следует, что, хотя ДР может быть небольшим, ошибка решения
может быть достаточно велика. С другой стороны, для точного решения
Т5Л
ДР должен быть достаточно мал. Следовательно, малое значение эле-
ментов ДР является необходимым, но недостаточным условием для
точного решения.
Пример 7.18
Вычислить ДР и г для рассмотренного выше примера.
Используя значения для Р ,К и U , из (7.76) и (7.80), получим
в соответствии с (7.86)
ЛР= \3,42521 ~3,4252Г\\ 0,39f\ ГО,008398181
L 0 J [0,42521 101,2431J \0,0133J = {0,00042520} '
В соответствии с (7.87) имеем
ГЦ002533381
г [0,00008151 J-
В данном случае как ДР,так и г малы, поскольку матрица К хо-
рошо обусловлена.
Использовать арифметику с 6 значащими цифрами для получения
решения.
Выполняя исключение по Гауссу, имеем
'405500 -4 1 0 ' ~-1,59000'
0 2,55944 -3,17510 1 -0309980
0 -3,17610 5,64902 -4 3 •— 1,32719
_ 0 1 -4 405500. L4J 4,64000
"405500 -4 1 0 ‘ Г^' '-109000 '
0 2,55944 -3,17610 1 Ut -0009980
0 0 100771 -2,75907 % 0042827
0 0 -205907 4,46429. L4I -1,51886 .
"405500 -4 1 0 ' г/?/ -1,59000"
2,55944 -3,17610 1 0z -0009980
1,70771 -2,75907 0042627
» 0,006600. k. 0,004390
Обратная подстановка дает
"0,686706
- 1,63768
U “ 1,62674
0065151
Точное решение (с 7 цифрами)
1Г =
"00037247
10652256
16542831
0,6821567
251
Вычисляя AR и г в соответствии с (7.87) и (7.86), будем иметь
'-1,59' '-1,5900223/ 0,00002237'
1 0,99998340 0,00001660
AR = 1 — 0,99994470 0,00005530
-1,64 -1,639971895 0,000028105
~0,01702
0,02756
0,02754
0,01701 _
Очевидно, что AR существенно меньше г. В действительности ошиб-
ки в перемещениях имеют порядок 1 — 2%, хотя ошибки в нагрузках
кажутся несущественными для точного решения системы уравнений.
Анализируя выражение (7.87), можно установить, что точное решение
трудно получить, когда наименьшее собственное значение матрицы К
очень мало или близко к нулю, т.е. в случае почти изменяемой системы.
Это означает, что элементы будут большими и ошибки решения
могут быть достаточно велики даже при малых AR. Для обоснования
этого вывода необходимо понять, что если матрицы К мало, то
решение KU = R может быть получено за один шаг с помощью обратной
итерации со сдвигом, близким к Ау. Примеры из разд. 11.2.1 показыва-
ют, что в таком случае решение будет стремиться к включению компо-
нент соответствующего собственного вектора. Эти компоненты теперь
будут ошибками решения.
Можно показать, что не только малое собственное значение А,, но и
величина отношения наибольшего собственного значения К к наименьше-
му влияет на ошибки решения. При решении уравнений KU=R, по при-
чине ошибок усечения и округления, можно считать, что фактически ре-
шаются уравнения
(К+ JK)(U + JU) = R. (7.88)
Пренебрегая в (7.88) произведением zTKJU по сравнению с другими
членами, можно записать
JU =-K“'JKU (7.89)
или, используя нормы,
где cond(K)— число обусловленности матрицы К
COnd(K)= ф • (7.91)
А,
Следовательно, большое число обусловленности повышает вероят-
ность ошибок решения. Опыт и проверка показывают, что в методе
конечных элементов округление вносит меньшие ошибки, чем первона-
чальное усечение, и оказывается, что для оценки ошибок необходимо
учитывать только начальное усечение [59]. Для оценки ошибок, вноси-
мых усечением, полагаем, что для t —разрядного представления чисел
в ЭВМ
(7.92)
252
а для s —разрядной точности вычислений
« 10~s (7.93)
Подставляя (7.92) и (7.93) в (7.90), получим оценку количества
точных цифр вычислений
s a Z-tog,c[cond(К)]. (7.94)
Пример 7.20
Получить число обусловленности для матрицы К из прим. 7.19.
Оценить ожидаемую точность решения.
В данном случае имеем
А, = 0,000898 ;
Аг = 12,9952.
Следовательно, сошЗ.(]А)-19915,6 и 1одж[сопс1(К)] = 9,15883.
Таким образом, количество верных цифр решения при шестизначном
представлении чисел Si6~9,16 , т.е. могут быть получены 1 или 2 верные
цифры результата.
Сравнивая данный вывод с результатами прим. 7.19, убеждаемся, что,
действительно, верными оказываются только одна или две цифры
Число обусловленности матрицы К практически можно вычислить
приближенно, найдя верхнюю границу Л„, например А“
Л“=||К||. (7.95)
Здесь может быть использована любая из норм (см. прим. 7.21).
Для определения нижней границы Ау,например AJ, используется обрат-
ная итерация (см. разд. 11.2.1). Таким образом, получим
cond (К)=-4? • (7.96)
Ая
Пример 7.21
Вычислить оценку числа обусловленности матрицы К из прим. 7.19.
Используя бесконечную норму (см. разд. 2.8), получим
ИХ L = 19,855
и обратной итерацией найдем к,-0,0009. Следовательно, tojj^JcondfK^^/Zd,
что соответствует выводам прим. 7.20.
Несмотря на то, что требуются дополнительные исследования точности
решения методом конечных элементов, рассмотренные выше ошибки
округления и усечения позволяют сделать следующие выводы:
1. Оба типа ошибок могут быть существенными, если рассматривается
конструкция с большим диапазоном изменения жесткостей. Большая
разница в жесткостях может быть вызвана различными модулями упру-
гости или является результатом использования неудачных моделей;
в последнем случае можно применить другую модель. Это можно сде-
лать, применяя элементы, почти равные по размерам в каждом направле-
нии, используя продуманную связь между конкретными степенями сво-
253
Жесткость к
/ I
лллл,—•——•—*
U,
Рис. 7.11. Система пружин
Ry -1 R% ~ О R, -1
боды (см. прим. 7.23) и выражая одни степени свободы через другие
(см. прим. 7.24) .
2. Поскольку ошибки усечения более существенны, повысить точность
решения можно путем использования двойной точности как при форми-
ровании матрицы К , так и при решении уравнений KU=P. Любы? дру-
гие пути использования одинарной и двойной точности, включая уточне
ние решения с использованием метода Гаусса—Зейделя с двойной точнос-
тью, не приводят к желаемым результатам.
Приведенные выше выводы демонстрируются простыми примерами.
Пример 7.22
Рассмотреть систему пружин, показанную на рис. 7.11. Вычислить
перемещения при Л=/, К-10000, используя четырехзначное представление
чисел. Уравнения равновесия системы имеют вид
'К
-К
.0
-К
2К
-К
О'
-К
К+к.
44] Г/
44 = О
Ы (.Л
Подставляя К-10000 и к-1 , получим
‘ 10000
-10 000
О
-10000
20000
-10000
О '
-10000
10000
Приведение к треугольному виду дает
’10000
О
О
-10000 0 ' Г/,0]
10000 -10000 44 к 1,0
0 0 L44 2,0
Следовательно, решение невозможно, поскольку dnn = 0 .
Для получения решения необходимо повысить точность выполнения
арифметических операций, например, удвоив ее. В результате имеем
10000 -10000 0 ' Г44"| 'Г
-10000 20000 -10000 44 = 0
0 -10000 10001. L44. .1.
~10000 -10000 0 '44' 'Г
0 10000 -10000 44 — 1
0 0 1 L44. 2
Следовательно,
2,0002'
2,0001
. 2,0 .
254
Этот пример показывает, что для получения решения необходимо
использовать достаточное количество цифр в арифметических опера-
циях.
Пример 7.23
Использовать обоснованную связь между неизвестными для решения
системы, представленной на рис. 7.11.
Основное достаточно обоснованное предположение заключается в том,
что
14 - U2- U3.
В этом случае уравнение равновесия системы примет вид
kU, ‘2.
Подставляя значение к , получим
Z/,= 2
и полное решение _
U= 2,0 .
.2,0 _
Это решение приближенное- Однако, сравнивая его с точным (см.
прим. 7.22), находим, что предположение о равенстве неизвестных дос-
таточно верно.
Пример 7.24
Использовать выражение одних степеней свободы через другие для
решения системы, представленной на рис. 711.
Выразим перемещения узлов U, и U2 через перемещение U3 с до-
бавочными перемещениями Л, и по отношению к U3 в виде
U2 = Ua * ;
^4 = ^4 * 4.».
Связь между исходными и относительными степенями свободы
имеет вид '1 1 г ГД,1
Ui = 0 1 1
L^J 0 0 1
Обозначая через Т матрицу связи между исходными и относитель-
ными степенями свободы, запишем уравнения равновесия системы с
использованием новых степеней свободы в виде(Т7кТ)и=* TrR , которые
для данной задачи будут
'10000 0 О' X' '1,0'
0 10 000 0 Дг 1,0
0 0 1,0 L4J 2,0
Решение системы Д, = 0,0001\ Д, - 0,0001;
Следовательно, U3 = 2,0 . U, = 2,0002; U, ~ 2,0001; U3 »2,0000.
255
В данном случае при четырехзначном представлении чисел было
получено точное решение системы (см прим 7 22), хотя в том же при-
мере с аналогичной точностью решение было невозможно Однако необ
ходимо заметить, что при решении задач на ЭВМ уравнения равновесия
для относительных степеней свободы должны формироваться прямо,
т е без преобразования, использованного в рассмотренном примере
Список литературы
1. V N Faddeeva, Computational Methods of Linear Algebra, Dover Publica-
tions, Inc , New York, N Y , 1959
2. G E Forsythe and С В Moler, Computer Solution of Linear Algebraic Sys-
tems, Prentice-Hall, Inc , Englewood Cliffs, N J , 1967
3. V V Klyuyev and N I Kokovkin-Scherbak, On the Minimization of the
Number of Arithmetic Operations for the Solution of Linear Algebraic Systems
of Equations," Technical Report CS 24, Computer Science Department,
Stanford University, 1965
4. В Noble, Applied Linear Algebra, Prentice-Hall, Inc , Englewood Cliffs, N J .
1969
5. С E Froberg, Introduction to Numerical Analysis Addison-Wesley Publishing
Company, Inc , Reading, Mass , 1969
6. S H Crandall. Engineering Analysis, McGraw-Hill Book Company, New
York, N Y , 1956
7. J H Wilkinson, The Algebraic Eigenvalue Problem, Oxford University Press,
Inc, London, 1965
8. R S Martin, G Peters, and J H Wilkinson, “Symmetric Decomposition of
a Positive Definite Matrix,” Numerische Mathematik, Vol 7, 1965, pp 362 383
9. C Lanczos, Applied Analysis, Prentice-Ha1l, Inc , Englewood Cliffs, N J , 1956
10. R Zurmuhl, Matnzen, Springer-Verlag, Berlin, 1964
11. P D Crout, “A Short Method for Evaluating Determinants and Solving Sys-
tems of Linear Equations with Real or Complex Coefficients," A I E E Trans-
actions, Vol 60, 1941, pp 1235-1240
12. E L Wilson, К J Bathe, and W P Doherty, Direct Solution of Large
Systems of Linear Equations,” Computers and Structures, Vol 4, pp 363-372
13. R W Clough and J Penzien, Dynamics of Structures, McGraw Hill Book
Company, New York, N Y , 1975
14. E L Wilson, “The Static Condensation Algorithm International Journal tor
Numerical Methods in Engineering, Vol 8, 1974, pp 199 203
15. E L Wilson. "Structural Analysis of Axisymmetric Solids ” A / A A Journal,
Vol 3, 1965, pp 2269 2274
16. G Kron, Solving Highly Complex Elastic Structures in Easy Stages " Journal
oj Applied Mechanics, Vol 22 1955, pp 235-244
17. J S Przemieniecki, Matrix Structural Analysis of Substructures,' I A A
Journal, Vol 1, 1963 pp 138 147
256
18. J S Przemifniecxi, Theory of Matrix Structural Analysis, McGraw-Hill Book
Company, New York, N Y , 1968
19. M F Rubinstein, "Combined Analysis by Substructures and Recursion,"
4 S С E , Journal of the Structural Division, Vol 93, No ST2, Apr 1967, pp
2H 235
20. I Fuhnikf, Computerized Multiple Level Substructuring Analysis Com-
puters and Structures Vol 2, 1972, pp 1063 1073
21 E I Wilson and H H Dovfy, Static and Eaithquake Analysis of Three-
Dimensional Frame and Shear Wall Buildings," Report EERC 12 I, College of
Engineering University of California, Berkeley, 1972
22 H A Kamel. D Liu M W McCabe,and V Philippopoulos,"Some Develop-
ments in the Analysis of Complex Ship Structures," Advances m Computational
Methods in Structural Mechanics and Design, (J T Oden, R W. Clough,
Y Yamamoto, eds ), University of Alabama Press, University of Alabama,
Huntsville, Ala , 1972
23 D P Mondkar and G H Powell, "Large Capacity Equation Solver for
Structural Analysis," Computers and Structures, Vol 4, 1974, pp 699-728
24. G Cantin. “An Equation Solver of Very Large Capacity,’' International Journal
for Numerical Methods in Engineering, Vol 3, 1971, pp 379-388
25. К J Bathe. E L Wit son, and F E Peterson, “SAP IV—A Structural Analy-
sis Program for Static and Dynamic Response of Linear Systems,” Report
ELRC 73-11, College of Engineering University of California, Berkeley, June
1973, revised Apr 1974
26. K. J Bathe, “ADINA—A Finite Element Program for Automatic Dynamic
Incremental Nonlinear Analysis,” Report 82448-1, Acoustics and Vibration
Laboratory, Department of Mechanical Engineering, Massachusetts Institute
of Technology, Cambridge, Mass , 1975
27. EAC/EASE2—User Information Manual/Theoretical, Control Data Corpora-
tion Publication 84002700, Minneapolis, Minn , 1973
28. W Weaver, Jr , Computer Programs for Structural Analysis, Van Nostrand
Reinhold Company, New York, 1967
29. P V Marcal (ed), "General Purpose Finite Element Computer Programs,
Proceedings of Seminar A S M E Winter Annual Meeting, New York, Nov ,
1970
30. S J Fenves, N Perrone, J Robinson, and W C Schnobrich, Numericaland
Computer Methods in Structural Mechanics, Academic Press, Inc , New York,
N Y , 1973
31. W Pilkey, К Saczalski, and H Schaeffer (eds ), Structural Mechanics Com-
puter Programs, University Press of Virginia, Charlottesville, va , 1974
32. В M Irons, ‘A Frontal Solution Program for Finite Element Analysis,"
International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol 2, 1970, pp
5-32
33. R J MtLOSHandR M Bamford, ‘ Efficient Solution of Load-Deflection Equa-
tions. ' 4SCE, Journal of the Structural Division, Vol 95, No ST4, Apr
1969, pp 661 676
17 - 522
257
34. Г к HEiIEn А > Hint tl Solution for finite 1 Icment lechniques Central
Llectricitv fit n* i itine R > <..t R<> 11 PDIVNI449 Bcikelev Nuclear Labora-
tories Berkelev <<n n-o: 'stu e 11>‘ ;
35 R W Guough and t. L 'Ailson Stiess Analvsis of a Gravity Dam by the
Finite Element Method Ti nediue Ginposnim on the ILc if < emputers in
(. ivil I icmeenne li ч I ii no1 ' 1 >ь~>
36. V В Venkays a It' > one Me>ho<J f<>' she Analysis of large Structural Sys-
tems ' Air Force Fhgnt IXntmio I anoratoiv, VS right Patieison A I В , Ohio,
Report AFFDL-7R f" 194, Apr 1Q6*
37- R V SouThwflu Pr!a macn Mp-tkods n fheoreiical Physics Oxford Univer-
sity Ptess New Vo,I» t'M6
38. E SriEFfu, On Son e Relax it on Methods 7eilschiilt tia anqewandte Mathe-
mahk and Phvsik V->! 3 |0S? pp I _»1
39. M F Ruihnsifw a< d D I Wihholm Analysis by Group Iteration Using
Substructures ” M F louinal o'the Structural Division Vol 94 No ST2.
Feb |9t>8 pp ’6> i '5
40. R S Varca Ma"i> Iterative tno!w I’rentice-Hall ln< . Englewood ( htTs,
NJ |9f>2
41. R Van Norton. Hip Solution of I «near 1 quations by lhe Gauss Seidel
Method." tn Matlunuttua! Methmis 'oi Digital ( omnuters (A Ralston and
H S Wilf, eds ), John Wiley & Sons, Inc , New York, N Y . I960
42. F Beckman, “The Solution of Linear Equations by the Conjugate Gradient
Method." in Matin mutual Mttluuis fat Digital Computers, Vof 1 (A Ralston
and H S Wilf, eds ) *ohn Wiley & Sons Inc , New York, 1960
43. J К Rfid "On the Method of Conjugate Gradients for the Solution of Large
Sparse Systems of I inear Equations, ’ Conference on Large Sparse Sets of
Linear Equations St Catherine s College, Oxford, Apr 1970, pp 231-254
44. I Fried, "A Gradient C ompu'ational Procedure for the Solution of Large
Problems Arising from the Finite I lement Discretization Method," International
JournalJor Numeiual Methods in Engineering, Vol 2, 1970, pp 477-494
45. J H Argyris I ht. Matrix Analysis of Structures with Cutouts and Modifica-
tions, Proceedings 9th International ( ongress of Applied Mechanics, Brussels,
Vol 67, 1956, pp 131 142
46. J M Bennett. loangular Factors of Modified Matrices/’ Numensche Mathe-
matik,Vol 7 1965 pp 217-221
47. J SOBit szc zanski Slructural Modification by Perturbation Method,"
Л SCE Journal of the Sbuctuial Division, Vol 94, No ST12, Dec 1968, pp
2799 2816
48. D К xv t ее and С H Vow н l Fflu icnt Reanalvsis of Modified Structures,"
4 \Г [ Inn- r i~ -h , ! t n Vol Г No ST! Jan 1971, pp
377 392 ( Disr a- >. Г O' o- g <>t t 1971)
49. J H Анс/нка d 1 ' Qo 'f r i I'eifmenf of Structural Modifications ”
A 5 С E I cum > о c $6 - ->6( а i~> » op Vol 94 No S12 Feb 1972 pp
465 492
258
>0. В MohraZ and R N Wright “Sc'vmg Icpnlog calls Modified STr ir m«--
paper presented at the National Symposium on <. omputcrized Struciura' Viai /
sis and Design George Washington IJn vrrsily Wash ngton DC Mar >'>'7
il. J H Wilk inSOn; Rounaing Errais in Algebrau Pi 'Ci srv <• Pre nice Hail I ।
Englewood Cliffs NJ 1962
>2 J von Neumann and H H GolosiinE Numerical Jn/irnne o‘ Mature- <
High Order ' Bulletin ot the American Mathematical Sacic'*'? Vol 5j “04 7 pp
1021 1099 and Proceedings of the American Mathema <.nl Satiety Vci 2
1951. pp 188 202
4. R S Martin G P»iers and J H Wiukinson "iterative Refinement of the
Solution of a Positive Definite System of Equations Wumei ische Mathema+ <
Vol 8, 1966. pp 203 216
54. J H Wilkinson, " I he Solution of III Conditioned Linear Equations , i
Mathematical Methods for Digital Computers, Vol 2 (A Ralston and H S Wilf
eds ). John Wnev & Sons Inc New York, 1967
55. F L Bauir Optimally Scaled Matrices." Numensche Mathemahk, Vol 5
No 1. 1963. pp 73-87
56. В M Irons '‘Roundoff Criteria in Direct Stiffness Solutions," Al A A Join
nal,Vo\ 6, No 7 Julv 1968, pp 1308 1312
57. R A Rosanoff. J F Gioudeman.andS Lfvy, ' Numerical Conditioning ot
Stiffness Matrix Formulations for Frame Structures Proceedings, 2nd Con
Terence on Matrix Methods in Structural Mechanics, AFFDL-TR-68-ИО,
Wright-Patterson A F В , Ohio, 1968. pp 1029-1060
58. R J Melosh, “Manipulation Errors in Finite Element Analysis," Recent
Adsances in Matrig Methods of Structural Analysis and Design (R H Gallagher,
Y Yamada, and J T Oden, eds ), University of Alabama Press, Huntsville,
Ala , 1971.
59. J R Roy, "Numerical Error in Structural Solutions," A S С E, Journal of the
Structural Disision, Vol 97, No ST4, Apr 1971, pp 1039-d054
ГЛАВА 8
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ
ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
8.1. Введение
В разд. 3.2.2 получены в матричной форме (3 76) уравнения равнове-
сия системы конечных элементов, находящейся в состоянии движения
MU + CU + KU = R, (8.1)
где М,С и К соответственно матрицы масс, демпфирования и жест-
кости; R — вектор внешней узловой нагрузки; U,U и U —векторы
узловых перемещений, скоростей и ускорений ансамбля конечных эле-
ментов. Следует напомнить, что уравнения (8 1) получены из рассмотре
259
ния статического равновесия в момент времени t, т.е. (8.1) можно за-
писать в виде
(8.2)
где 'Fj(t) - вектор сил инерции, Tyft)=MU; вектор сил демпфирова
ния, l^/iJ=CU; Fe(t) — вектор сил упругости,F£(t)= KU; все векторы
зависят от времени. Таким образом, в динамических задачах в принципе
рассматривается статическое равновесие системы в момент времени t
с учетом инерционных сил, зависящих от ускорения, и сил демпфирова-
ния, зависящих от скоростей движения. И наоборот, при решении стати-
ческих задач рассматриваются уравнения равновесия (8-1), из которых
исключены члены, учитывающие инерционные силы и силы демпфирова-
ния.
Математически (8.1) представляет собой систему линейных диффе-
ренциальных уравнений второго порядка, и в принципе ее решение мо-
жет быть получено с помощью стандартных процедур решения дифферен-
циальных уравнений с постоянными коэффициентами [1 — 3]. Однако
эти процедуры становятся неэффективными при больших порядках мат-
риц. Для практических расчетов методом конечных элементов представ-
ляют интерес несколько алгоритмов, представленных в следующих раз-
делах этой главы [4 — 19]. Все рассматриваемые ниже методы делятся
на две группы: прямого интегрирования и разложения по собственным
формам.
8.2. Методы прямого интегрирования
При прямом интегрировании уравнения (8.1) интегрируются с помо-
щью численной пошаговой процедуры; термин "прямое" означает, что
перед интегрированием не производится никаких преобразований урав-
нений. Прямое численное интегрирование основано на двух идеях. Во-
первых, удовлетворение условий равновесия (8-1) требуется не в любой
момент времени t, а только на отдельных коротких отрезках времени
At. Это означает, что равновесие с учетом сил инерции и демпфирова-
нии рассматривается в дискретных точках временного интервала. Следо-
вательно. становится возможным эффективное использование в методах
прямого интегрирования всего вычислительного аппарата статического
анализа. Во-вторых, учитывается изменение перемещений, скоростей и
ускорений внутри каждого временного интервала At- Как будет деталь-
но рассмотрено ниже, именно способ учета этих изменений определяет
точность, устойчивость и экономность процедуры решения
В дальнейшем предполагается, что векторы перемещений, скоростей
и ускорений в момент временило соответственно Ц,, Ув и йоизвестны
и необходимо найти решение (8.1) на интервале времени от О до
Г. Временной отрезок Т разбивается на п равных интервалов At:
At = Т/п.
а рассматриваемые методы интегрирования дают приближенные решения
в моменты времени O,At,2At,3At,...,t,t*At,...)T. Поскольку алгоритм позво-
ляет вычислить решение в каждый последующий момент времени с ис-
пользованием решений, полученных на предыдущих шагах, предполага-
ем, что решения в моменты времени O,At,2At,...,t известны и необходи-
260
мо найти решения для момента времени . Это является основои
алгоритма, с помощью которого можно получить решение для всех дис
кретных моментов времени.
8.2.1. Метод центральных разностей. Из рассмотрения (8.1) как систе
мы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэф
фициентами следует, что аппроксимировать скорости и ускорения мож-
но любыми конечно-разностными выражениями в перемещениях. Одной
из эффективных процедур при решении подобных задач является метод
центральных разностей | 1], в котором принимается
(8.3)
Ошибка вычислений по формуле (8.3) имеет порядок (At)2, и для
вычисления скоростей с ошибками того же порядка можно использовать
выражение
(8.4)
Перемещения для момента времени f + At вычисляются с учетом
соотношения (8.1) для момента времени t :
Mtif+ . (8.5)
Подставляя (8.3) и (8.4) в (8.5), получаем уравнение
CX<-R- С>-«' |8-61
из которого можно определить Вычисление перемещений Uet^oc-
новано на выполнении условий равновесия для момента времени t
(8.5). По этой причине подобные методы называются методами явного
интегрирования. Интегрирование в этом случае не требует разложения
матрицы жесткости на множители для шаговых решений. С другой сто-
роны, методы Хаболта, Вилсона и Ньюмарка, рассматриваемые ниже,
используют условия равновесия в момент времени t+At и назы-
ваются методами неявного интегрирования.
Второй особенностью метода центральных разностей является вычис-
ление через и Ц^^.Поэтому для вычисления перемещений в
момент времени требуется использовать специальную начальную про-
цедуру. Так какЦ^Од и Ц, известны (если заданы только Ue и U.,to
можно вычислить из (8.1)(см. прим. 8.1], то из (8.3) и (84) можно
вычислить и_Л1 :
U = U.“>- At 0*> + й<1>, (8.7)
где верхний индекс (i) означает Z-тый элемен! соответствующего
вектора. В табл. 8.1 приведен алгоритм интегрирования по времени.
Таблица 8.1. Пошаговое решение методом центральных разностей
(с использованием матриц масс и демпфирования общего вида)
А. Начальные операции:
1 Формируются матрицы жесткости К , масс М и демпфирования С.
2 . Задаются начальные условия U,, Ц, и .
261
3 Выбирается шаг интегрирования &ff At<Ater, и вычисляются постоянные
ин гегрирования
,аг = га«> а^аг-
4 Вычисляются U.At«= и0-дМУо ♦ a,fja.
b Формируется эффективная матрица масс Мжа»М+а<С
6 Матрица М приводится к треугольному виду
Й:Й=ЬРЬГ.
Б Для каждого шага
1 Вычисляется эффективная нагрузка в момент t.
2 Вычисляются перемещения для моменТаС*д<:
3 При необходимости определяются ускорения и скорости в момент f:
Ut»ae(Ut.„-2U^UO4t),
При отсутствии демпфирования выражение (8 6) приобретает вид
= (8.8)
где
V (к- м)щ -(“г м)и*.4е (8.9)
Поэтому, если матрица масс диагональна, то для решения системы
уравнений (8 1) не требуется ее факторизация, и как только будут вы-
полнены матричные операции для получения эффективного вектора на-
грузки , то сразу же могут быть вычислены перемещения по фор-
муле
(810>
\ ,rtk /
где и ~ 1 ТЬ1е компоненты векторов и Pt соответ-
ственно; mtl — I -тый диагональный элемент матрицы масс (предпола-
гается, что ти >0).
Поскольку ни матрица масс, ни матрица жесткости ансамбля не долж-
ны приводиться к треугольному виду, то нет необходимости в построении
матриц К и М для всего ансамбля. В разд 3 2.2 показано, что
KCZK,; М=2М,. (8.11)
i i
Это означает, что выражения и (Ц/д£ в равенстве
(8 9) можно вычислять на уровне элементов, суммируя вклады каждого
из элементов в эффективный вектор нагрузки Таким образом, для
справедливо равенство
V R«-^(KtU0- (8.12)
где произведения KtUf и вычисляются с использовани-
ем Kf и М/ в компактной форме, т е. К, и М* (см разд 3.2.1 и
6 2 3)
Очевидны преимущества метода центральных разностей в форме
(8.10) и (8.12). Так как отсутствует необходимость формирования мат-
риц масс и жесткости для всего ансамбля элементов, то решение может
быть получено на уровне элементов, что требует сравнительно неболь-
шого объема оперативной памяти ЭВМ.
Рассматривая недостатки метода центральных разностей, необходи-
мо признать, что эффективность процедуры определяется использовани-
ем диагональной матрицы масс и неучетом сил демпфирования. Выгоды
получения решения на уровне элементов сохраняются в случае учета
матрицы демпфирования в диагональном виде Тот недостаток, что
матрица масс должна быть диагональной, не очень значителен, поскольку
хорошая точность решения может быть получена путем соответствующе-
го разбиения конструкции на конечные элементы
Второе серьезное замечание заключено в том, что шаг интегрирования
At должен быть меньше кринического значения, вычисляемого
исходя из инерционных и жещ костных свойств всего ансамбля элемен-
тов. В гл. 9 будет показано, что для получения достоверного решения
необходимо выполнение условия
At^At^-^ > (8.13)
где 7й — наименьший период собственных колебаний ансамбля конеч-
ных элементов; п — порядок системы Период Т„ может быть вычислен
одним из способов, рассмотренных в гл (1 и 12. Кроме того, нижняя
граница Т„ может быть оценена при помощи норм
При использовании (8.10) предполагалось, что mit>0 для всех Л
Соотношение (8.13) усиливает это требование поскольку равенство /па
нулю означает, что период колебаний ансамбля элементов также равен
нулю (см. разд. 10.2.4). Вообще все диагональные элементы матрицы
масс должны быть положительными, так как только в этом случае по
(8.13) может быть получена максимально возможная величина шага ин-
тегрировании At Для ряда задач (8.13) может не давать чрезмерно
мелких шагов, но временной шаг, достаточный для трчного интегрирова-
ния, может в несколько раз превышать значение э^С1. , получаемое из
(8.13)
Вопрос выоорэ At дин примою инте1 рлроодния рассматривается
в гл. 9. Однако причина, вызысйющан неоправданное занижение At в
некоторых случаях, может бы it, объяснена на простом примере. Пусть
рассматривается прямое инте! рирование системы (8 1) при сравнительно
высоком порядке матрицы п, например 100. Временной шаг интег-
рирования определяется при помощи соотношения (8.13). Допустим, что
наименьший диагональный элемент матрицы масс уменьшается, стремясь
к нулю. При этом наименьший период собственных колебаний системы, а
следовательно, и Attr. стремип;н к нулю. Поэтому уменьшение одного
элемента матрицы масс влечет за собой значительное уменьшение шага
интегрирования С другой стороны, так как порядок системы высокий,
вряд ли можно ожидать больших изменений динамической реакции
ансамбля конечных элементов при уменьшении даже до нуля массы од-
ного из них. Следовательно, вычислительные заграгы будут неоправдан-
но высоки только из-за наличия одною элемента с очень малой массой.
Аналогичная ситуация возникав! при очень большой жесткости одного
из элементов.
263
Схемы интегрирования, требующие, чтобы шаг интегрирования At
был меньше Attr,, такие, как метод центральных разностей, называются
условно устойчивыми. Если используется шаг At>Atcr,то интегрирование
неустойчиво, т.е. ошибки численного интегрирования или округления в
машине растут и делают вычисления реакции в большинстве случаев бес-
смысленными. Понятие устойчивости интегрирования очень важно, и
этот вопрос будет рассмотрен в гл. 9. Однако на данном этапе полезно
привести следующий пример
Пример 8.1
Рассмотреть простую систему, уравнения равновесия которой имеют
вид
~2 01р41 Гб -2
Л L-2 <
цГМ'
(a)
Периоды свободных колебаний системы можно определить по резуль-
татам прим. 8.6: Т^^,95\ Tz=2fi. Использовать метод центральных разнос-
тей для двух случаев интегрирования: T2/W H(?)At~10/rи вычис-
лить поведение системы на 1? шагах. Предположить и ТГо” О.
Первый шаг - вычисление Uo из уравнения (а)
2
О
Ob: Г S
Л"' * 1-2
жь
с гкуда
Ц, «Р 1
° LtoJ’
Продолжим вычисления в соотвеюгвии с табл. 8.1.
Для случая (1) имеем
^7г)ЩМГ
at~ 2a„ = 25,5; а, = -/ = 0,0392.
чг
Следовательно,
L0J lAj |/<7J
М = 12,а Г2 °\ 1,7з\° °] = р5’5 0 ]
Lo 1] LP о] Io 12,а] •
Эффективная нагрузка в момент t будет
Й.«И*Р^ *1тг
* L.2 21,5] °* [47 '
Таким образом, для каждого шага необходимо решигь систему уравне-
НИИ _
[25,5 01.. л
I О 12,8] = • (б)
Следует отметить, что решение системы (б)
рица коэффициентов диагональна. Таким
будем иметь
тривиально, поскольку мат-
образом, для каждого шага
264
Время At 2&t 3At >iAt Sit 6At 7At Sit Sit ЮМ Hit 12 At
irt 0 0,0307 0.168 0.487 1.02 1.70 2.40 2.91 3.07 2.77 2.04 1.02
0.392 1.4S 2.83 4.14 5.02 5.26 4.90 4.17 3.37 2.78 2.54 2.60
Полученные результаты сравнимы с точными значениями из прим. 8.7.
Для случая (2), повторяя вычисления, получим (it=28)
Перемещения, вычисляемые для следующих шагов, продолжают расти.
Этот рост значений является следствием неустойчивости используемой
схемы интегрирования. Как отмечалось выше, для устойчивости интег-
рирования с применением метода центральных разностей At должно
быть меньше At„ , гпе л\г°(1/зг)Тг. В данном примере At значительно
больше, и вычисляемые значения растут неограниченно. Это типичное
проявление неустойчивости.
Выше рассмотрен основной недостаток метода центральных разнос-
тей — эта схема лишь условно устойчива. Имеется и ряд других условно
устойчивых методов. Поскольку их применение в расчетах строительных
конструкций ограничено, ниже будут рассмотрены широко распростра-
ненные безусловно устойчивые схемы интегрирования. Эффективность
этих схем определяется тем, что для обеспечения необходимой точности
интегрирования временной шаг во многих случаях может имэть больший
порядок, чем дает условие (8.13).
8.2.2. Метод Хаболта. Схема интегрирования Хаболта представляет
собой метод, аналогичный методу центральных разностей, в котором
для аппроксимации скоростей и ускорений используются конечно-раз-
ностные выражения в перемещениях. В методе Хаболта используются
сч|ражения [ 1 ]:
(8.14)
И
t (8.15)
являющиеся разностными формулами экстраполяции вперед с ошиб-
ками порядка (At)*.
Для получения решения в момент времени f + At используем соот-
ношение (8.1) для момента t + At
MU,.** KU^(= . (8.16)
Подставив (8.14) и (8.15) в (8.16), получим решение для
"(at5"м* 2aF За* с)и*-*-* (8Л7>
Из (8.17) видно, что для вычисления U#^4( требуются Uf, иЦ.зд,
то означает, что для выполнения первого шага по методу Хаболта не-
о холимо вычислить U4* и каким-либо другим способом, т.е. ис-
265
пользовать специальную начальную процедуру. Одним из возможных
вариантов вычисления U4<. и является интегрирование уравнений
(8.1) при помощи дру| ой схемы, например условно устойчивой, такой,
как схема метода центральных разностей, с временным шагом at (см.
прим. 8.2). В табл. 8.2 приведен алгоритм процедуры интегрирования по
методу Хаболта для ЭВМ.
Таблица 8.2. Пошаговое интегрирование
методом Хаболта
А. Начальные вычислении
1. Формируются матрицы жесткости К, масс М и демпфирования С .
2. Задаются начальные значения UU,l)e и Uo .
3. Выбирается временной шаг at и вычисляются постоянные интегрирования:
2 At о
а°=а?*’ ai=lat a*-~Za°>
4. Вычисляются и U,4f с помощью овециальной начальной про-
цедуры
5. Вычисляется эффективная матрица жесткое» и
л Я» К + Д.М+а,С .
6 Матрица К приводится к треугольному виду
K-LDLr.
Б. Для каждого uiai а
1. Вычисляется вектор аффективной нагрузки в момент
at ж * C(a4Ut * asXJt.M-t OTVt.2it).
2. Определяются перемещения в момент времени ttai :
L D L.
3. Если требуется, вычисляются скорости и ускорения для момента ttat;
OUUt-at - Я4и*_2ае >
_ ________________Ду — tfjUt"* QyOt-at — Я?и^-2аТ._______________ ______
Основным отличием метода Хаболта от метода центральных разностей
(табл. 8.1) является появление матрицы жесткости К р качестве
сомножителя искомого вектора перемещений I4*4t. Член возни-
кает вследствие тою, что в (8.16) равновесие рассматривается в момент
времени t+ai в отличие от метода центральных разностей, где рассмат-
ривается равновесие в момент t. Поэтому метод Хаболта дает неяв-
ную схему интегрирования, тогда как метод центральных разностей —
явная процедура. Временной шаг в методе Хаболта не имеет критическо-
го значения и может в общем случае значительно превосходить значение,
получаемое из (8.13) для метода центральных разностей.
Следует отметить, что пошаговая процедура, основанная на методе
Хаболта, может быть применена в статических задачах, когда не учиты-
ваются инерционный эффект и демпфирование, тогда как процедура ме-
тода центральных оазностей (табл. 8.1) здесь неприменима. Другими
словами, если С = 0 и М»0 , процедура Хаболта (табл. 8.2) дает
решение квазистатической задачи для нагрузки, зависящей от воемени.
Пример 8.2.
Использовать схему прямого интегрирования Хаболта для вычисления
реакции системы, рассмотренной в прим. 8.1.
266
Сначала рассмотрим случай &t = O,28. Вычислим постоянные
а,=25,5; а, = 6.55; аз=63,в; аг = 10,7;
ak=-51,Q; as=-$36; aa=12fi; а?= 1,19.
Для запуска процедуры необходимо получить ил(. и Использу-
ем значения, полученные в прим. 8.1:
тг_Г^|. и
Uzt~ u?3a?J ’ U^*-L ws J •
Вычисляем
К-|_-2 25,5 Ь fj“Ьг 29,5\‘
Для каждого шага необходимо вычислять в данном случае по
формуле
Решая уравнение Для двенадцати шагов, получаем:
Время; At 2it 3At tit fat 6At 7At fat SAt 1OAt 1lAt 12At
Ui 0 0.0307 0.16 0.461 0.923 1.50 2.11 2.60 2.86 2.80 2.40 1.72
0.392 1.45 2.80 4.08 5.02 5.43 5.31 4.77 4.01 3.24 2.63 2.28
Полученные результаты сравнимы с точными значениями прим. 8i7.
Теперь рассмотрим случай At = 28 с целью иллюстрации безуслов-
ной устойчивости метода Хаболта. Для запуска процедуры используем
точные значения перемещений в моменты At и 2&t (см. прим. 8.7):
U J2'23]- U -ГЛ?в1
1.2,28 J’ 2At L3/7J-
Интересно сравнить матрицы К и К
К=Г 6 /)/7/7?«Т2 Гб,ЛИ7 -2,00001
К Ьг 4r0>002&Lo 1j [-2,0000 9,002^]-
А
Из сравнения видно, что К и К почти одинаковы. Вычисленные
значения перемещений для первых 12 шагов приведены в таблице:
Время;
At 2&t 3it fat
2.23 2.98 1.00 1.00 1.00 1.00
2.28 3.17 3.00 3.00 3.00 3.00
7M 8df ?&t 10ai 12at
1.00 1.00 1.00 1.00 l.oo 1.00
3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00
7,61
3,6 J
Необходимо отметить, что в данном случае статическое решение
равно:
и# =
и, следовательно, реакция системы быстро достигает статических значе-
ний.
8.2.3. 9 — метод Вилсона. Метод Вилсона по существу является раз-
витием метода линейного ускорения, в котором предполагается линей-
ное изменение ускорения в интервале времени от t до t+At .В 9 —
методе предполагается линейное изменение ускорения от момента t до
момента 6а1 , где в ^1,0 [14] (см. рис. 8.1). При 9=1 метод
сводится к обычному методу линейного ускорения; в гл. 9 будет показа-
267
1---*“ f + At t + OAt
t f
Рис. 8.1. Линеаризация ускоре-
ния в 0 — методе Вилсона
но, что безусловная устойчивость метода обеспечивается при 9ъ/,37,
обычно принимается 9^1,4.
Обозначим через т приращение времени, где 0^ тогда для
временного интервала от t до t + 9&t можно допустить, что
18.181
Интегрируя (8.18), получим
Л+<V и<) (8.19)
<8.20)
Из (8.19) и (8.20) для момента времени t+9&t имеем:
Ъ (8.21)
- Ц* 9AtЦ* (Ut^t+2Xit), (8.22)
откуда можно выразить О^м(.и Uwait через перемещения
Ъ.М = - и*) - й -2й ; (8.23)
(uW4#- и*) - 2U, - . (8.24)
Для вычислений перемещений, скоростей и ускорений в момент вре-
мени t + it уравнения равновесия (8.1) рассматриваются в момент
времени t * 9 At. Но поскольку принято линейное изменение ускоре-
ний, вектор нагрузки предполагается также изменяющимся линейно,
т.е. используется уравнение
+ CU<+e4#-*KUf+edf = , (8.25)
где Rf+atf = • (8.26)
Подставляя (8.23) и (8.24) в (8.25), получаем выражениедля вычис-
ления . Подставляя затем в (8.23), находим кото-
рое подставляется в (8.18), (8.19) и (8.20) при r^At для вычисления
и и<4Л< . Полный алгоритм интегрирования приведен в
табл. 8.3.
268
Таблица 8.3. Пошаговое интегрирование в- методом Вилсона
А. Начальные вычисления.
1. Формируются матрицы жесткости К, масс М и демпфирования С.
2. Задаются начальные значения Uo, и 0в.
3 Выбирается временной шаг At и вычисляются постоянные интегрирования
(как правило,
6 ? - 6 At do
а'“м’ a*=2a*; а*=в’
-а2 з At ~ at2
as“ д ', ав- 1 д , а,~ ; ав= в -
4. Формируется эффективная матрица жесткости £ :
Л K=K + fleM +a,C.
5. Матрица К приводится к треугольному виду:
ft-LDLr.
Б. Для каждого временного шага
1. Вычисляется вектор эффективной нагрузки для момента t+QAt;
С(в«и**2йе*а, tf«).
2. Находятся перемещения в момент времени t+6At:
LDLTUf+f4t=
3. Вычисляютсяперемещения, скорости и ускорения в момент t Mt;
U*)* asй<*о* 0*>
йт);
Как отмечалось выше, в — метод Вилсона также является неявным
методом. Можно отметить, что этот метод не требует специальной на-
чальной процедуры, так как перемещения, скорости и ускорения для
момента выражаются через те же самые величины, вычисленные
для момента t. Устойчивость и точность метода исследуются в гл. 9.
Пример 8.3
Вычислить перемещения системы, рассмотренной в прим. 8.1 и 8.2, с
помощью в— метода Вилсона. Принять
Рассмотрим случай 0,28. В соответствии с алгоритмом (табл.8.3)
имеем:
где Uo вычислено в прим. 8.1. Вычислим постоянные:
а„=39,0; а,= 7,Ь5а2~ 15,3; а3= 0,196-, а<,= 27,9;
as--io,9-t а«*-1,14-, ат* 0,14-, ав= 0,0(31
и эффективную матрицу жесткости
4j IP 'J L~2
На каждом шаге необходимо вычислить
[да]' [Д' g "«WV;
= 27,9(XJi7eot-XJt) - 10,9Ut -1,1^ U,;
Ut.4t = U# * 0,1l/<yt^t + iit);
- 14 * H28ljt * 0>0131(ttt*t+2Ut).
269
Выполняя вычисления для 12 шагов, будем иметь:
Время. &t 2&t щ 5м (fjt -fa. sat 9it IQjt Utt 1Ut
rj 0 00605 0 0525 0 196 0.490 0.952 1.54 2.16 2.67 2.92 2.82 2.33 1.54
* 0.366 1.34 2.64 3.92 4.88 5.31 5.18 4.61 3.82 3.06 2.52 2.29
Полученное решение сравнимо с точными результатами прим. 8.7.
Для &t-2B имеем
Ыб 0,00392 \Z -2 -1
* 1-2 4J ' LZ7 d L-2 W0392Y
Как и в случае метр да Хаболта, матрицы К и К близки.
Вычисленные перемещения для 12 шагов приведены ниже.
Время 2Ы ЗаЛ 5at 6at 7at 8at 9at ttat Hit 12at
U 1.09 2.82 -2.61 5.85 -4.47 6.S9-4.38 5.97 -3.46 4.S2 -2.39 3.89
1123 —834 674. -519. 406.-308. 24.2 -181. 144.-105. 86.1 -60.8
Большая величина перемещения в начале интегрирования вызвана
начальными условиями Up= [£] . Реакция системы затухает с увеличе-
нием времени. Если то вычисленные перемещения стремятся к
статическому решению (см. прим. 8.2):
Время • at 2&t 3at 9 At 6at 7&t Sat 9it IQat Hit 12it
U 0.363 1.44 0.632 1.29 0.782 1.17 0.875 1.09 0.923 1.05 0.960 1.03
1.09 4.33 1.89 3.87 2.32 3.52 2.60 3.31 2.77 3.18 2.86 3.11
8.2.4. Метод Ньюмарка. Метод Ньюмарка также может рассматривать-
ся как развитие метода линейного ускорения. Используются следующие
предположения [ 17]:
> (8.27)
= Uf * *[( (828)
где a и & — параметры, определяющие точность и устойчивость ин-
тесрирования. При ^"= и<х"’7‘ соотношения (8.27) и (8.28) приво-
дятся к соотношениям метода линейного ускорения (аналогично в —
методу Вилсона при 5=/). Ньюмарк предложил в качестве безусловно
устойчивой схемы метод постоянного среднего ускорения, для которого
f=/n«=^ (см. рис. 8.2).
Помимо (8.27) и (8.28) для вычисления перемещений, скоростей и
ускорений в момент t+at рассматриваются уравнения равновесия
(8.1) для момента t + at'.
М* С . (8.29)
Выражая из (8.28) через и затем подставляя tif+at в
(8.27), получаем уравнения для вычисления и JJ^at через неиз-
вестный вектор перемещений U^at- Выражения для Ц*аги П°Д"
ставляются в (8.29) для нахождения Ut+а* , после чего можно опреде-
лить и^а, и 0f,a<, используя (8.27) и (8.28).
Алгоритм интегрирования методом Ньюмарка приведен в табл. 8.4.
Необходимо отметить схожесть алгоритмов метода Ньюмарка и 9 —
270
Рис. 8.2. Линеаризация ускоре-
ния в методе Ньюмарка
t t+At
метода Вилсона, что позволяет создавать программы, одновременно реа-
лизующие обе схемы интегрирования [18, 19]. Устойчивость и точность
метода Ньюмарка анализируется в гл. 9.
Таблица 8Д. Пошаговая процедура интегрирования
методом Ньюмарка
А. Начальные вычисления.
1. Формируются матрицы жесткости К , масс М и демпфирования С.
2. Задаются начальные значения 1>в,й0 и ^о-
3. Выбирается временный шаг At, параметры <х и 5 и вычисляются
постоянные: oso . а г 0,25(0,$+6)г-,
a3 = h'1’
a6=it(1-S); a7=fyt.
4. Формируется эффективная матрица жесткости К :
К = K+eeM*a«C.
5. Матрица К приводится к треугольному виду:
К - LDLr.
Б. Для каждого временного шага:
1. Вычисляется эффективная нагрузка для момента времени i+Att
Mfa.IV a, IV аа i)t) ♦ С(а, iv<*« IV Ur) •
2. Находятся перемещения в момент t+At:
LD С.
3. Вычисляются ускорения и скорости для момента t+it:
= flo(u*+af- □<)- a, Щ;
От отж О» ®тОолт.
Ниже будет рассмотрен простой пример, иллюстрирующий применение
метода Ньюмарка. Далее, чтобы показать универсальность методов пря-
мого интегрирования, будет рассмотрена схема интегрирования для ре-
шения нестационарной задачи теплопроводности.
Пример 8.4
Вычислить реакцию системы, рассмотренной в прим. 8.1, 8.2, 8.3, ме-
тодом Ньюмарка при а. = 0,25 , 5=0,5.
Рассмотрим случай At- 0,23. В соответствии с алгоритмом табл. 8.4
имеем: _ _ „
и.
Значения постоянных:
ав 51,0 ; а,» 7,1^; дгг= 10,3; а9 = 1,00 ,
а^1,оо-, а?-о,оо-, аа = о,10\ а7-0,10.
271
Эффективная матрица жесткости
На каждом шаге вычисляются.
В ut - 14,з\з< + i,ou<);
5^(U<+4t-UJ - M,3Ut-tOUt i
Ut^t= Ut * 0,14 Uf * .
Выполняя вычисления, получим:
Время; lit 3&t 4At 5aI 6at 7at 8at 9at 1Ott Hit 12At
O.OO673 O.O5O4O.189O.485 O.961 1.58 2.23 2.76 3.00 2.85 2.28 1.40
0.364 1.35 2.68 4.00 4.95 5.34 5.13 4.48 3.64 2.90 2.44 2.31
Полученное решение близко к точным значениям прим. 8.7.
Для af=28 имеем
Г6
L-2
-21
, + 0,0051
4J
~2 01 V 6,0102
О /|=[-2,ЛП>
-2,000ff\
4,0051 X
К =
Так же, как и при использовании методов Хаболта и О—Вилсона,
матрицы К и К близки...
Для начального условия U« ysj получим:
Время) ZAt 3at 4At 5At 6At 7aI 8at 9at 10at 11ti 12at
« 1.99 0.028 1.94 0.112 1.82.0.248 1.67 0.429 1.47 0.^48 1.23 0.894
U< 5.99 0.045 5.99 0.177 5.72 0.393 5.47 0.685 5.14 1.04 4.76 1.45
При начальном условии Ue= решение стремится к статическо-
му (см. прим. 8.2 и 8.3) :
Время; At ZAt 3at Ш: Sat 6at 7At 8At 9a± 10At 1lAt 12at
TJ 0.363 1.44 0.632 1.29 0.782 1.17 0.875 1.09 0.929 1.05 0.960 1.03
* 1.09, 4.33 1,89 3.87 2.32 3.52 2.60 3.31 2.77 3.18 2.86 2.11
Пример 8.5
Используя принципы, представленные в данном разделе, разработать
схему пошагового прямого интегрирования для решения нестационар-
ной задачи теплопроводности. Использовать уравнения равновесия
теплового потока, выведенные в разд. 5.4, в предположении линейного
изменения температуры в течение временного интервала At.
Условия равновесия, полученные в разд. 5.4, даются соотношением
(5.4) и имеют вид
с«+к8=ц,
(а)
где С и К — соответственно матрицы теплоемкости и теплопровод-
ности, а 9 и Ц — соответственно векторы узловых значений темпера-
туры и внешнего теплового потока.
Предположение линейного изменения температуры в течение интерва-
ла At дает
272
где
t S r t+At .
Следовательно,
и, в частности, для момента t+£rt
~ 16)
В дополнение к (б) рассмотрим также уравнение равновесия теплово-
to потока (а) в момент t+At-.
£ = Q. (В )
Подставляя 9t^M из (б) в (в), получим:
Таким образом, если нам известно Оt, то мы можем использовать
(г) для вычисления равенство (г) становится формулой пошаго-
вого интегрирования. Следует заметить, что матрица К является матри-
цей коэффициентов для 9*+л±, следовательно, метод интегрирования
неявный. Характеристики точности и устойчивости метода исследуются
в прим. 9.2.
8.3. Разложение по собственным формам
Как следует из табл. 8.1 — 8.4, для методов прямого интегрирования,
если матрица масс диагональна и отсутствует демпфирование, количест-
во арифметических операций, приходящихся на один временной шаг,
имеет порядок 2пт*, где п и т* - соответственно порядок и ширина
полуленты матрицы жесткости. В методе центральных разностей2пт*
операций необходимы для умножения матрицы жесткости на вектор
перемещений, в методах Хаболта, Вилсона и Ньюмарка около 2лт* опе-
раций необходимо для решения системы уравнений на каждом шаге.
Начальное приведение к треугольному виду эффективной матрицы жест-
кости требует дополнительных операций. Кроме того, при недиагональ-
ной матрице масс или при учете демпфирования добавляется в каждом
случае количество операций, пропорциональное пт* на каждом шаге.
Следовательно, не считая начальных вычислений, общее количество опе-
раций при интегрировании будет порядка <xnm*s , где « зависит от ха-
рактеристик используемых матриц,ос >2, а « — количество временных
шагов.
Приведенный анализ показывает, что количество операций при пря-
мом интегрировании прямо пропорционально количеству временных
шагов. Таким образом, можно считать, что использование прямого ин-
тегрирования эффективно, если требуется найти реакцию системы на
сравнительно кратковременное воздействие (т.е. за несколько времен-
ных шагов). Однако при большом количестве шагов может оказаться
более эффективным первоначальное преобразование уравнения равнове-
сия (8.1) к виду, при котором пошаговое решение потребует наимень-
ших затрат. В частности, поскольку количество операций прямо пропор-
ционально ширине полуленты , то уменьшение т* снизит пропор-
18 - 522
071
ционально затраты на решение. Заметим, что матрицы К,М и С имеют
ширину ленты, определяемую порядком нумерации узлов сетки. Как
показано в разд. 6.2.3, для снижения ширины ленты матриц можно пере-
нумеровать узлы сетки. Однако существует минимальная ширина ленты,
которую можно получить таким путем, и поэтому переходим к рассмот-
рению другой процедуры.
8.3.1. Разложение перемещений по собственным формам. Предпола-
гается привести уравнения равновесия к более эффективной для прямо-
го интегрирования форме при помощи следующего преобразования
перемещений конечных элементов U
(8.30)
где Р — квадратная матрица, %({) вектор порядка /т, зависящий от
времени. Матрица преобразования Р неизвестна и ее надо найти. Ком-
поненты вектора X называются обобщенными перемещениями. Под-
ставляя (8.30) в (8-1) и умножая слева на Рг, получаем
М X (th С Х(0 * К ХЮ * Р(t), (8.31)
где
Й=РГМР; С=РГСР; К«РГКР; P=PrR. (8.32)
Необходимо отметить, что это преобразование достигается также под
становкой (8-30) в (3.54) для выражения перемещений элементов че
рез обобщенные перемещения
у,2. t) = (8.33)
и последующей подстановкой (8.33) в выражение для виртуальной ра-
боты (3.58). Следовательно, для получения (8.31) из (8.1) необходимо
преобразовать базис перемещений конечных элементов в базис обобщен-
ных перемещений (см. разд. 2.5).
Целью преобразования является получение новых матрицК,М и С,
имеющих меньшую ширину ленты, чем первоначальные, и матрица пре-
образования Р должна быть построена в соответствии с этой задачей.
Кроме того, необходимо заметить, что матрица Р должна быть неосо-
бенной (ранг Р должен быть равен п) для обеспечения единственнос-
ти отношений между U и X (8.30).
Теоретически существует много различных матриц преобразования Р,
сокращающих ширину ленты матриц системы. Однако на практике эф-
фективная матрица преобразования определяется из решения уравнений
свободных колебаний без учета демпфирования
MU+XU = 0. (8.34)
Решение уравнений (8.34) может быть записано в форме
О» ф (8.35)
где ф — вектор порядка п; f -время; t„- начальная фаза; а? —
угловая частота колебаний (пад/с).
274
Подставляя (8.35) в (8.34), получаем общую проблему собственных
значений, из которой должны бы гь определены (р и «':
(8.36)
Проблема собственных значений (8.36) имеет п гобственных реше-
ний , т де собственные чек юры М -oproto-
нальны (см. разд 10.2.1),т.е.
ъгню{*'0'. Z/' (аз7)
0 s а>$ и)*sw,... (8 38)
Вектор tf>i называется вектором I-той собственной формы, и)[ -
соответствующая частота колебаний (рад/с). Необходимо подчеркнуть,
что (8.34) удовлетворяется при подстановке любого из п решений
^(.$1пО1(/?"-й.).Физическая интерпретация и u)t дается в прим. 8.6.
Обозначая через Ф матрицу, состоящую из столбцов — векторов^,и
через Л* диагональную матрицу и)?
-О;
запишем п решений (8.36) в форме
Кф = МФЙг
«4-
ш;
(8.39)
(8.40)
Так как собственные векторы М - ортогональны, будем иметь-
ФГКФ = Л2; ФГМФ = 1.
(8.41)
Очевидно, что матрица Ф может служить матрицей преобразования
Р в (8.30). Используя соотношение
U(t) =ФХ(Ч),
(8.42)
получаем систему уравнений равновесия для обобщенных перемещений
ХС6»*Ф7СФХ(О + flzXf/J= ФГВ('£). (8.43)
Начальные условия для XffJ получаются из равенства (8.42) и свой
ства М — ортогональности матрицы Ф:
Хв = ФгМиа; Хв« ФГМЦ, . (8.44)
Из выражения (8.43) следует, что если демпфирование не учитывает-
ся, то при использовании форм собственных колебаний ансамбля элемен-
тов в качестве матрицы Р уравнения равновесия системы разделяют-
ся. Так как матрицы демпфирования во многих случаях нельзя провести
явно (см. разд. 3.2.2) и эффект демпфирования может быть учтен лишь
приближенно, целесообразно использовать такие матрицы демпфирова-
ния, которые учитывают этот эффект, но в то же время позволяют эф-
275
фективно решать систему уравнений равновесия. Для многих задач эф-
фект демпфирования совсем не учитывается и подобная задача будет
рассмотрена первой.
Пример 8.6
Построить матрицу преобразования Ф для задачи, рассмотренной в
прим. 8.1 — 8.4, и получить разделенные уравнения равновесия в базисе
собственных векторов.
Для рассматриваемой системы имеем:
*-[4 "']• "‘И-
Общая проблема собственных значений имеет вид
П °]ч>.
L"2 4 у [д
Решение получается одним из методов, приведенных в гл. 10 — 12.
Для данной задачи:
Рассматривая уравнения свободных колебаний системы
2
0
(а)
получаем два возможных решения:
Г 1 1
sinT^
ИЛИ
Полное решение уравнений (а) имеет вид
IW= а
где ос,Д, t/ и ta определяются начальными условиями для IT и U. В
частности, если наложено начальное условие, относящееся только к а
{или Д ), колебания системы будут определяться соответствующим
собственным вектором с частотой "Г/ТраУс (или т/Град4). Общая про-
276
цедура нахождения 4 и Z* рассматривается в разд. 8.3.2. Найдя
и (Шг, щ) , получим следующие уравнения равновесия в базисе
собственных векторов:
8.3.2. Расчет без учета демпфирования. Если эффект демпфирования
не учитывается, то (8.43) приводится к виду
(8.45)
т.е. к п отдельным уравнениям вида
= q(t)
r,(t) =
где
t« 1,2,...,п
(8-46)
Отметим, что Z-e уравнение в (8.46) — уравнение равновесия системы с
одной степенью свободы с единичной массой и жесткостью а/. Началь-
ные условия для этой системы получаются из (8.44):
(8.47)
Решение каждого уравнения (8.46) получается с использованием
рассмотренных алгоритмов интегрирования (табл. 8.1 — 8.4) или с по-
мощью интеграла Дюамеля:
1 Г*
х,(1)I stn u>t(t-r)dT + ai > fit cosaj-Z, (8.48)
где oq и fit определяются из начальных условий (8.47). Интеграл
Дюамеля (8.48) должен в общем случае вычисляться численно. Кроме
того, для решения (8.46) могут применяться и другие методы интегри-
рования.
Для получения полной реакции системы необходимо найти решения
всех п уравнений (8.46). Перемещения узловых точек получаются
суперпозицией реакций системы по всем формам
(8.49)
Таким образом, для получения реакции системы методом разложе-
ния по собственным формам требуется, во-первых, вычислить собствен-
ные значения и собственные векторы системы (8.36), затем решить
уравнения равновесия (8.46) и, наконец, сложить реакции по каждой
собственной форме в соответствии <: (8.49). Выбор между методом раз-
поженил по собственным формам и прямым интегрированием, описан-
ным в разд. 8.2, определяется только эффективностью вычислений.
Решения, получаемые при помощи любой из описанных процедур, иден-
тичны. Если один и тот же метод временного интегрирования применя-
ется в прямом интегрировании и в решении (8.46), то погрешности вы
числении одинаковы.
Пример 8.7
Использовать разложение по собственным формам для вычисления
реакции системы, рассмотренной в прим. 8.1 — 8.4 и 8.6 (1). Вычислить
точное значение реакции интегрированием разделенных уравнений рав-
новесия (2). Использовать метод Ньюмарка с шагом At—0,28 для вре-
менного интегрирования.
В прим. 8.6 получены разделенные уравнения равновесия
,2х,= •$- ;
Хг + 5хг = -10^". (а)
Изначальных условии = в , используя (8.47), получаем
t=a~ О
(б)
Используя собственные
шем (8.42) в форме
векторы, приведенные в примере 8.6, запи-
Точное решение уравнений (а) с условиями (б) имеет вид
X,- уу (1- cos-Vtt);
Х2 = Z$(-1 + cos^Ft).
Используя (б), будем иметь
(в)
(г)
U(t) =
1
V3
/
,VJ
cos -tft)
2^(~1+coso/5t)
(д)
Вычисляя перемещения по формуле (д) для первых 12 шагов, полу-
чим (At = 0,28)
Время; at 2 it 3it 4ut 5 it 6 it 7it Bit 3At 10it Hit 12it
у 0.003 0.038 0.176 0.486 0.996 1.66 2.338 2.861 3.052 2.806 2.131 1.157
* 0.382 1.41 2.78 4.09 5.00 5.29 4.986 4.277 3.457 2.806 2.484 2.489
На рис. 8.3. точное решение сравнивается с результатами вычислений
методами центральных разностей, Хаболта, в — Вилсона и Ньюмарка из
прим. 8.1 — 8.4 соответственно. В гл. 9 показывается, что временной
шаг в этих примерах относительно велик, и в связи с этим можно отме-
тить, что методы прямого интегрирования дают удовлетворительное при-
ближение для реакции системы.
278
a)
б)
Рис. 3.3. Перемещения системы, рассмотренной в примерах 8.1, 8.2,
8.3,8.4 и 8.7
1 — метод центральных разностей; 2 - точное решение; 3 — метод Нью-
марка; 4 — в — метод Вилсона; 5 метод Хаболта
279
Вместо вычисления точного значения реакции уравнения {а) можно
решить численно. Метод Ньюмарка дает:
Время At lit 5л t 6&t
/«(С О 22*8 п W46 О 8199 О 7920 1 807 2 12*9 2 *79 2 939 4 123 3 2*8 5 064 2 632
7л t за м 11л+ Hat
5 579 - 2 16 1 5 774 1.156 5.521 0 3307 4 85 5 0.00408 3 3.866 43.2482 - Ull
Решения для Ui(t) и Uz(t) в этом случае находятся подстановкой
Х/Ув выражение (в). Как ожидалось, перемещения совпадают с вычис
ленным и прямым интегрированием по методу Ньюмарка.
Ранее отмечалось, что единственное различие между методом разложе-
ния по собственным формам и прямым интегрированием заключается в
том, что в первом случае перед временным интегрированием произво
дитгя смена базиса, а именно переход от базиса координат конечных эле
менгов к базису векторов проблемы Ку=40*Му.Так как математически я
собственных векторов и п узловых перемещений конечных элемен-
тов являются базисами одного и того же пространства, го оба метода
решения должны давать одинаковые результаты Следовательно, выбор
между прямым интегрированием и разложением по собственным фор
мам определяется лишь соображениями эффективности. Однако при
эюм выборе необходимо иметь в виду важное преимущество метода
разложения по собственным формам. Именно эго преимущество делав!
реальным расчет некоторых конструкций, в то время как прямое интег
рирование становится недопустимо дорогим.
Рассмотрим разделенные уравнения равновесия (8.46). Мы видим,
что если r,(f) и начальные условия для X/ и хг нулевые, го х^О в
любой момент времени t. Такие специфические условия могут возник-
нуть, если начальные перемещения и скорости всех узлов конечных
элементов нулевые в момент t и приложена нагрузка вида
где f(t) произвольная функция времени. В этом случае только Xj(t) не
равно нулю, поскольку—символ Кронекера). Эти усло-
вия очень специфичны, и в общем случае вряд ли можно ожидать их
выполнения для многих из п уравнений (8.46), поскольку нагрузка
произвольная. Однако в дополнение к тому, что нагрузка может быть
почти ортогональна к у>; , частотный спектр нагрузки определяет, на-
сколько большой вклад в реакцию вносит i~e уравнение (8.46). А
именно, реакция xt(i) отнсситепыю велика, если возбуждающая часгога
близка к .
Для илпюсграции этих основных положений рассмотрим следующий
пример.
Пример 8 3
Рассмогрг'гь систему с одной степенью свободы, описываемую уравне
нием
с начальными условиями х| =/. (а)
Для вычисления перемещений воспользуемся интегралом Дюамеля.
280
Замечаем, что система подвергается воздействию периодической силы
при ненулевой начальной скорости. Используя соотношение (8.48),
получаем f
xft^ = j\lnpr 'Xnw(t-T)dr+ct*mu>ti
Вычисляя интеграл, находим
X(?J = sin pt +ct sin u)t+ fl cos art
Теперь используем начальные условия для вычисления а и fl.
Подстановка t-O дает
ItaO у _ р2/Ш2
(б)
Используя условия (а), получаем
д_л . I *Р/ш3 .
~ ш 1—рг/а>г
Подставляя ос и fl в (б), имеем
х w . ыч* * а - ) я» •
" 1-р*/ш* н 1-рг/игЧ
Необходимо отметить, что при р*=ш , т.е. в случае резонанса, получа-
ется бесконечное перемещение. На практике наличие демпфирования
ограничивает перемещения, однако они могут быть весьма велики.
Рассматривая системы со многими степенями свободы, обнаружим,
что реакция системы велика, если возбуждающая частота близка к одной
из собственных частот системы. По приведенным выше соображениям,
как показывает опыт, во многих случаях практических условий нагруже-
ния для получения удовлетворительной аппроксимации реакции системы
достаточно учитывать ограниченное количество разделенных уравнений.
Наиболее часто используются первые р уравнений равновесия, т.е. в
расчете учитываются уравнения (8-46) для Ь=1,2,...,р, гдер«п. Это оз-
начает, что необходимо отыскать только р собственных значений и век-
торов задачи (8.36) и просуммировать в (8.49) реакции системы только
по р первым формам.
Главным образом, вследствие ограниченного количества форм, рас-
сматриваемых в задаче, процедура разложения по собственным формам
становится значительно более эффективной,чем прямое интегрирование.
Однако из этого также следует, что эффективность метода разложения
по собственным формам зависит от количества форм, учитываемых в
расчете. В общем случае количество учитываемых форм определяется
особенностями рассматриваемой конструкции, пространственным рас-
пределением и частотным спектром воздействия. При сейсмическом
воздействии в ряде случаев достаточно 10 нижних форм, хотя порядок
системы п может быть более 1000. С другой стороны, при взрывном
или ударном воздействии р может достигать 2.п/3. И, наконец, в виб-
рационных задачах могут рассматриваться только средние частоты, на-
пример, заключенные между верхней и нижней границами Wt и а)и со-
ответственно.
281
Решая вопрос о количестве учитываемых форм, необходимо всегда
помнить, что в ито! е отыскивается приближенное решение уравнений
динамического равновесия (8.1). Следовательно, если учтено недоста-
точное количество форм, решение (8.1) будет недостаточно точным.
Это означает, что равновесие, включающее силы инерции, не будет удов-
ле(воряться при приближенном вычислении реакции Обозначая через IF
реакцию, вычисленную суперпозицией Р форм, определим меру ошиб-
ки вычислений ep(tj, показывающую точность расчета в любой момент
времени t
ifpW ~
(8.50)
Если достигнута удовлетворительная аппроксимация решения систе-
мы (8.1), то €p(t) будет мала в любой момент t. Однако необходимо
подчеркнуть, что реакции по каждой из р учитываемых форм должны
вычисляться по возможности точно.
Важно отметить, что мера ошибки ер показывает, насколько хорошо
удовлетворяется равновесие с учетом сил инерции, и является мерой
неуравновешенности узловой нагрузки силами инерции и упругости
[см. (8.2) |. Другими словами, можно сказать, чго ер мера той части
внешней нагрузки, которая не включена в сумму реакций форм из-за
того, что не все векторы форм использованы. Полезно заметить, что при
прямом интегрировании ер всегда равна нулю в моменты времени
[за исключением Q — метода Вилсона, поскольку решается
(8.25), а не (8.29), однако возникающие при этом ошибки невелики].
Таким образом, ошибки, возникающие в методе разложения по собст-
венным формам при р<п , в случае точного решения уравнений (8.46)
обусловлены недостаточным количеством учитываемых форм, в то вре-
мя как в методах прямого интегрирования они возникают из-за слиш-
ком больших значений временного шага интегрирования.
Необходимо упомянуть еще один важный аспект. До сих пор отыски-
валось точное решение уравнений равновесия (8.1). Однако действи-
тельной целью является хооошая аппроксимация истинной реакции рас-
сматриваемой системы. В разд. 5.3 показано, что при определенных
условиях метод конечных элементов трактуется как метод Ритца. Осно-
вываясь на материале разделов 5.3 и 10.3.2, можно заключить, что в этих
случаях метод конечных элементов дает верхние границы "точных"
значений собственных частот конструкции. Вообще метод конечных
элементов хорошо аппроксимирует низшие частоты и с меньшей точнос-
тью дает значения высших частот и собственных форм. Следовательно,
обычно учет реакций, относящихся к высокочастотным составляющим
спектра, мало оправдан. Фактически, сетка конечных элементов долж-
на выбираться таким образом, чтобы все основные частоты и формы
колебаний хорошо аппроксимировались, и решение складывалось из
реакций по этим формам. Однако это возможно только при учете в
методе разложения по собственным формам важнейших форм собст-
венных колебаний системы конечных элементов.
Из вышесказанного представляется, что метод разложения по собст-
венным формам имеет существенное преимущество перед методами пря-
мого интегрирования в том, что реакции, относящиеся к высшим, воз-
можно неточно определенным частотам, не учитываются. Однако в мето-
де конечных элементов все основные частоты определяются довольно
282
точно, а реакции, соответствующие высшим собственным формам сис-
темы невелики, поэтому их учет не окажет серьезного влияния на точ-
ность решения. Кроме того,в гп 9 будет показано, что и при прямом
интегрировании можно достичь определенного преимущества, интегри-
руя точно первые р уравнений (8.46) и не учитывая высокочастотных
реакций системы конечных элементов. Это достигается использованием
безусловно устойчивых методов прямого интегрирования и соответст-
вующим подбором шага интегрирования it, который в общем случае
значительно превышает величину шага для условно устойчивых схем
интегрирования.
8.3.3. Расчет с учетом демпфирования. Общий вид уравнений равнове-
сия системы конечных элементов в базисе собственных векторов
tfi, 1^1,...,п (8.43) показывает, что при неучете демпфирования уравне-
ния равновесия разделяются, и временное интегрирование может быть
проведено для каждого уравнения в отдельности. Для систем, в которых
нельзя не учитывать демпфирование, предпочтительно опять иметь дело с
разделяющимися уравнениями в (8.43), чтобы пользоваться теми же
процедурами, что и для систем без демпфирования. В общем случае мат-
рица демпфирования С не может быть построена из матриц демпфиро-
вания элементов, как матрицы масс и жесткости, и ее назначением явля-
ется аппроксимация общей диссипации энергии. Метод разложения по
собственным формам особенно эффективен, если можно предположить
демпфирование пропорциональным, что выражается соотношением
, (8.51)
где £, - коэффициент демпфирования формы колебаний; ^ — сим-
вол Кронекера. Следовательно, используя (8.51), предполагаем,что соб-
ственные векторы tpi, а также С — ортогональны и система уравнений
(8.43) разделяется на п уравнений вида
Xz(t) + 2wiilxi(t)i-u)f-x.(t) » rt-(t), (8.52)
где r{(t) и начальные условия для xrft) определены в (8.46) и (8.47).
Отметим, что (8.52) — уравнение равновесия системы с одной степенью
свободы (8.46) е демпфированием, где — коэффициент демпфиро-
вания [4]. Если для учета демпфирования используется соотношение
(8.51), то процедура решения уравнений равновесия (8.43) та же, что и в
случае неучета демпфирования (см. разд. 8.3.2), за исключением того,
что реакции по каждой форме колебаний вычисляются из уравнения
(8.52). Эти реакции вычисляются методами прямого интегрирования
(табл. 8.1 — 8.4) или при помощи интеграла Дюамеля
Х/^==-sinaz/f* (8.53)
где »•.J
, (8.54)
a oq и Д- определяются с использованием начальных условий (8.47).
Рассматривая соотношение (8.51), отметим следующее. Во-первых,
(8.51) означает, что суммарная диссипация энергии в конструкции скла-
дывается из суммы энергий, поглощенных по каждой из собственных
форм. Демпфирование на одной собственной частоте можно получить.
283
например, путем наложения начальных условий, относящихся только к
соответствующей форме собственных колебаний (т.е. 4,= ^- для z'-й
формы) и измеряя характеристики затухания свободных колебаний.
Возможность измерять значения коэффициентов $г и аппроксимиро-
вать реальные характеристики демпфирования конструкции является
важным обстоятельством. Втооое замечание состоит в том. что при чис-
ленном решении уравнений равновесия (8.1) с использованием разделен-
ных уравнений (8.52) мы не вычисляем матрицу демпфирования С,а
только матрицу жесткости К и матрицу масс М.
Как говорилось, эффект демпфирования можно легко учесть в методе
разложения по собственным формам при условии удовлетворения
(8.51). Однако предположим, что было бы выгоднее использовать ме-
тод пошагового прямого интегрирования, и что известны реальные ко-
эффициенты демпфирования В этом случае должна быть явно
получена матрица С , подставив которую в (8.51), получим коэффици-
енты демпфирования £•. Если р=2 , то предполагается демпфирова-
ние по Релею:
С = аМ^К, (8.55)
где сх и fl — константы, которые необходимо определить по двум
данным значениям коэффициентов демпфирования, относящимся к
двум различным частотам колебаний.
Пример 8.9
Предположить, что для системы с многими степенями свободы даны
0)^2 и «4=3, и что двум этим формам соответствует демпфирование,
равное 2 и 10% от критического, т.е. ^=0,02 и Определить кон-
станты <х и р для релеевского демпфирования:
С = аМ+^К. (а)
Используя (8.51) и (а), получаем
уЛ'стМ = 2и>1 h
или а * flWi ж 2а>£^(-.
Подставив в (б) и «4, получим:
<x-M/S = 0,08;
а+ 9/3-0,60. (в)
Решение уравнений (в) дает <х=—0,336 и р—О^М. Матрица демпфирова-
ния имеет вид
С--0,336М + 0,10Ю. . (г)
Имея соотношение (г), получаем формулу для определения коэффи
циентов демпфирования при любых значениях и),
к - ~°>336 + 0,1Мш$
Si 2ш,
284
В практических задачах может быть известно более двух значений
коэффициентов демпфирования. В этом случае д_ля вычисления а и
уЗ используются два усредненных значения 4 и
Пример 8.10
Пусть известны следующие значения:
Ъ=0.002-, i^0,03;
а?э = 7; i^ = 0,10; Ш*-15'
$s’0,14 Ше*19.
Найти соответствующие значения параметров а и fl. Как и в
прим. 8.9, будем искать а и fi из соотношения
Zcotii . (а)
_ Однако для определения а и Ji нужны только две пары значений
(&Ч) и (£,“>*)•
Усредняя частоты, найдем:
1,= 0,03- ш,~4- (б)
£ = й)г=17.
Для значений (б) получим, используя (а):
с* + 16£> = 0,24-}
<х+28& = 4>08.
Следовательно, «=^0/498, Ji =0,01405 и
С = 0,0149814 + 0,01405V. (в)
Из (а) можно получить выражение для определения коэффициентов
демпфирования „
0,01498 + 0,01405Ш*
ZtOi
На рис. 8.4 показана зависимость от u)t‘
Процедура вычисления а. и J3 в прим. 8.9 и 8.10 наводит на мысль
об использовании более сложной матрицы демпфирования в случаях,
когда известно несколько коэффициентов демпфирования. Пусть коли-
чество известных коэффициентов демпфирования равно р- Тогда
матрица демпфирования, удовлетворяющая (8.51), находится с помо-
щью ряда [ 20]
с* м 2а*[М-,К]*» (8.56)
де коэффициенты ак определяются из решения системы р уравнений
= I * а<<4 * W** • • • + аР-< Ш1Р'3)- <8.57)
Необходимо отметить, что при р = 2 (8.56) приводится к формуле
релеевского демпфирования. Важно, что при р >2 матрица демпфиро-
вания С , вычисляемая по формуле (8.56), в общем случае полная.
Ь-
285
Рис. 8.4. Зависимость коэффициентов демпфирования от частоты
Другая процедура построения матрицы демпфирования [21] дает также
в общем случае полную матрицу. Поскольку вычислительные затраты
значительно возрастают при использовании матрицы демпфирования с
неленточной структурой, то в большинстве случаев при использовании
прямого интегрирования матрицу демпфирования получают по Релею.
Недостатком данной модели демпфирования является значительный уро-
вень демпфирования на высших формах колебаний по сравнению с низ-
шими, для которых обычно подбираются релеевские константы (см.
прим. 8.10).
На практике релеевские коэффициенты при расчете реальных конст-
рукций могут быть с достаточным основанием подобраны с использова-
нием характеристик демпфирования подобных типовых конструкций.
Величины коэффициентов Релея в значительной степени определяются
характеристиками диссипации энергии материалов конструкции.
Выше предполагалось, что характеристики демпфирования конструк-
ции могут быть удовлетворительно представлены пропорциональным
демпфированием в расчетах как методом разложения по собственным
формам, так и методами прямого интегрирования. Во многих случаях
предположение о пропорциональном демпфировании [т.е. удовлетво-
рении соотношениям (8.51) ] является адекватным. Однако при расчете
конструкций с широким диапазоном свойств материалов может оказать-
ся необходимым применение модели непропорционального демпфирова-
ния. Например, при анализе взаимодействия конструкции с основанием
значительная часть демпфирования приходится на основание. В этом
случае целесообразно использование при получении матрицы демпфиро-
вания различных значений коэффициентов ос и fl для различных частей
конструкций, в итоге результирующая матрица демпфирования не будет
286
удовлетворять соотношению (8.51). Другой случай непропорциональ-
ного демпфирования — наличие местных демпферов (например, в опор-
ных узлах конструкции).
Решение системы уравнений для конструкции с непропорциональным
демпфированием может быть получено с использованием алгоритмов
прямого интегрирования (табл. 8.1 — 8.4) без каких-либо модификаций.
С другой стороны, рассматривая метод разложения по собственным фор-
мам, базисными векторами в котором являются формы собственных
колебаний без учета демпфирования, мы видим, чтоФ’ЬФ в формуле
(8-43) в случае непропорционального демпфирования — полная матрица.
Другими словами, уравнения равновесия в базисе собственных векторов
больше не разделяются. Но поскольку предполагается, что основная
реакция системы формируется в подпространстве векторовнеоб-
ходимо рассматривать первые р уравнений в (8.43). Допуская, что свя-
зи в матрице Ч*ГСФ между Xi , и xi} i=p+1,...,n могут не учиты-
ваться, первые р уравнений в (8.43) можно определить от последую-
щих и решить путем прямого интегрирования (см. прим. 8.11). В другой
возможной процедуре разделение уравнений равновесия конечных эле-
ментов получается в результате использования решения квадратичной
проблемы собственных значений, дающей комплексные частоты и собст-
венные формы колебаний
Пример 8.11
Рассмотреть решение уравнений равновесия
1 •
О U+ -1
0,5 О
О
-1
2
(а)
V = В(7Л
Три формы колебаний без учета демпфирования и соответствующие
частоты получены в поим. 10.4
Преобразуем уравнения равновесия (а) к соотношениям в базисе
собственных векторов.
Используя U= ФХ,получим соответствующие (8.43) уравнения рав-
новесия
0,3 -0,2^7
-Qptf 0,6
~0,3 0,2&
-0,3
0,2т[?
0,3
2
Если известно,
если известно, что главная реакция определяется только пепяой
формой из-за нагрузки, приложенной особым образом,можно полупить
приближенное значение реакции, решив уравнение ,МОЖН° ПОЛучить
287
xt(t) < 0,3 x. <(!:)< 2x,(t) ш
(в)
и затем вычислив
U(D= X<(t)
Однако необходимо отметить, что, поскольку матрица ФГСФ пол-
ная, вычисление xt(t) из (в) не дает действительной реакции по первой
форме, так как не учтены диссипативные связи между формами колеба-
ний.
Список литературы
1. I CollaTZ. The Numerical Treatment at Differential Lquarlonr. Springer-
Vrrlag New York NY, 1966
2. 5 H Crahoali, Engineering Analysis. MeGiaw Hill Book Company. New
York. 1956
J. С Е/ Froberc, Introduction to Numerical Analysis, Addison-Wesley Publishing
Company, Inc , Reading. Mass , 1969
4. R W Clough and J Penzifn, Dynamics of Structures, McGraw-Hill Book
Company, New York, N Y . 1975
5. J M Biggs, Introduction to Stiucturaf Dynamics, McGraw-Hill Book Com-
pany, New York, N Y , 1964
6. W C. Hurty and M F. Rubinstein, Dynamics of Structures, Prentice-Hall,
Inc., Englewood Chffs, NJ., 1964.
7. M. F. Rubinstein. Structural Systems—Statics, Dynamics and Stability, Pren-
tice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ., 1970.
8. S. H. Crandall, D. C. Karnopp, E. F. Kurtz, and D. C. Pridmore-Brown
Dynamics of Mechanical and Electromechanical Systems, McGraw-Hill Book
Company, New York, N.Y., 1967.
9. R. W. Clough. “Analysis of Structural Vibrations and Dynamic Response,”
Recent Advances in Matrix Methods of Structural Analysis and Design, (R. H.
Gallagher, Y. Yamada, and J. T. Oden, eds.), University of Alabama Press,
Huntsville, Ala., 1971.
10. R. W. Ciough and K. J. Bathe, “Finite Element Analysis of Dynamic
Response,” Advances in Computational Methods in Structural Mechanics and
Design, (J. T. Oden, R, W. Clough, and Y. Yamamoto, eds.), University of
Alabama Press, Huntsville, Ala., 1972.
288
11. J. C. Houbqlt. “A Recurrence Matrix Solution for the Dynamic Response of
Elastic Aircraft,” Journal of Aeronautical Science, Vol. 17, 1950, pp. 540-550
12. E. L. Wilson, “A Computer Program for the Dynamic Stress Analysis of Under-
ground Structures,” Report UC SESM 68-1, Department of Civil Engineering.
University of California, Berkeley, 1968.
13. F L Wilson. “Elastic Dynamic Response of Axisymmetnc Structures," Report
UC SESM 69-2, Department of Civil Engineering, University of California,
Berkeley, 1969.
14. E. L. Wilson, I. Farhoomand, and K. J. Bathe, “Nonlinear Dynamic Analysis
of Complex Structures,” International Journal of Earthquake Engineering and
Structural Dynamics, Vol. 1, 1973, pp. 241-252.
15. K. J. Bathe, E. L. Wilson, and F. E. Peterson, "SAP IV—A Structural Anal-
ysis Program for Static and Dynamic Response of Linear Systems," Report
EERC 73-11, College of Engineering, University of California, Berkeley, June
1973, revised Apr. 1974.
16. EAC/EASE2 Dynamics—User Information Manual/Theoretical, Control Data
Corporation (in press)
17. N. M. Newmark^ “A Method of Computation for Structural Dynamics,"
A.S.C.E., Journal of Engineering Mechanics Division, Vol. 85, 1959, pp 67 94
18. K, J Bathe, “ADINA—A Finite Element Program for Automatic Dynamic
Incremental Nonlinear Analysis,” Report 82448-1, Acoustics and Vibration
Laboratory, Department of Mechanical Engineering, Massachusetts Institute
of Technology, Cambridge, Mass, 1975
19. K. J. Bathe, H. Ozdemir, and F l Whson, “Static and Dynamic Geometric
and Material Nonlinear Analysis," Report UC SESM 74-4, College of Engi-
neering, University of California, Berkeley, Feb 1974.
20. T. K. Caughey, “Classical Normal Modes in Damped Linear Systems." Journal
of Applied Mechanics, Vol. 27, 1960, pp. 269-271.
21. E. L. Wilson and J. Penzien, “Evaluation of Orthogonal Damping Matrices,”
international Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 4, No I,
Jan. 1972, pp. 5-10
ГЛАВА 9
АНАЛИЗ МЕТОДОВ ПРЯМОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
9.1. Введение
В гл. 8 были описаны две основные процедуры, используемые для ре-
шения уравнений динамического равновесия
MU(t)+CU(t) < KU(t) - H(t). (9.1)
Этими процедурами являются разложение по собственным формам
и ппямое интегрирование. Рассматривались следующие схемы интегои-
19 - 522
289
рования: метод центральных разностей, метод Хаболта, в — метод
Вилсона и метод Ньюмарка (см. табл. 8.1 — 8.4).
Установлено, что при использовании метода центральных разностей
временной шаг интегрирования At должен быть меньше критического
значения Attr , остальные три схемы интегрирования такого ограниче-
ния не накладывают.
Важно отметить, что вычислительные затраты при прямом интегриро-
вании (т.е. количество операций) прямо пропорциональны количеству
временных шагов, требуемых для решения. Отсюда вытекает, что, с од-
ной стороны, временной шаг должен быть достаточно мал для достиже-
ния необходимой точности интегрирования, с другой стороны, он не дол-
жен быть меньше необходимого, поскольку при этом растут вычисли-
тельные затраты.
Задачей данной главы является детальное исследование вопроса вы-
бора at для прямого интегрирования. Будут рассмотрены устойчивость
и точность схем интегрирования, определяющие выбор соответствующе-
го временного шага.
Выясним сначала взаимосвязь разложения по собственным формам с
прямым интегрированием, в гл. 8 отмечалось, что в обоих случаях ре-
шение получается численным интегрированием. Однако в методе разло-
жения по собственным формам перед интегрированием осуществляется
замена базиса координат конечных элементов базисом собственных век-
торов, являющихся решением общей проблемы собственных значений,
(9.2)
Записывая
U(t) = 9X(t), 0-3)
где столбцы матрицы ф являются М — ортогональными собственными
векторами 0>Л , и подставляя UjftJ в (9.1), получим
лха) 0.4)
где Л* — диагональная матрица собственных значений (9.2) (квадратов
частот собственных колебаний). В предположении пропорционального
демпфирования А — диагональная матрица,Д«сЦа0(2а^где ^—ко-
эффициент демпфирования для i-й формы колебаний.
Система уравнений (9.4) состоит из п разделяющихся уравнений,
которые решаются, например, с помощью интеграла Дюамеля. Вообще
говоря, здесь может быть использована любая схема численного интег-
рирования. Поскольку известны периоды собственных колебаний 7/, мо-
гут быть выбраны временные шаги для численного интегрирования каж-
дого уравнения системы (9.4). С другой стороны, если все п уравнений
интегрируются с одинаковым временным шагом at, то метод разложе-
ния по собственным формам становится полностью эквивалентным пря-
мому интегрированию, использующему ту же схему интегрирования и
тот временной шаг. Следовательно, при исследовании точности прямого
интегрирования можно сосредоточить внимание на интегрировании урав-
нений (9.4) с одинаковым временным шагом at вместо (9.1). В та-
ком случае при анализе точности и устойчивости прямого интегрирова-
ния достаточно рассмотреть только переменные At, U)t и $it а не
все элементы матриц жесткости, масс и демпфирования. Более того, по-
290
скольку все уравнения в (9.4) имеют одинаковую структуру, необходи-
мо осуществить интегрирование одной строки в (9.4)
х *2/а>х +а)1х - г, (9.5)
которая определяет движение системы с одной степенью свободы с пе-
риодом собственных колебаний Т, коэффициентом демпфирования /
и внешней нагрузкой г.
При изучении методов прямого интегрирования основной задачей
является оценка погрешности интегрирования уравнения (9.5) в зависи-
мости от At/r, / иг. Для этой цели могли быть применены различные
процедуры [1 — 23]. Однако в дальнейшем будет использована относи-
тельно простая процедура, первым шагом которой является вычисление
операторов аппроксимации и нагрузки, устанавливающих связь между
искомыми величинами в момент времени t + At и ранее вычисленными
значениями.
9.2. Операторы аппроксимации и нагрузки
прямого интегрирования
По аналогии с выводами разд. 8,2 предположим, что нам известны
решения для дискретных моментов времени 0,At,2At,3At,..4t-At,t,и необ-
ходимо найти решение для момента t+At. Для этого напишем рекуррент-
ное соотношение
А Х# * ,
(9.6)
А А
где и Х( — векторы искомых величин (например, перемещений,
скоростей и т.д.); нагрузка в момент f+У. Очевидно, что V мо-
жет иметь значение О, At или &At в зависимости от рассматриваемого
метода интегрирования. Матрица А и вектор L — соответственно
операторы аппроксимации и нагрузки. Однако прежде чем определять
матрицы и векторы для различных процедур интегрирования, отметим,
что (9.6) можно использовать для вычисления значений в любой момент
времени t+nAt, а именно, используя (9.6) рекуррентно
Это соотношение будет использовано при изучении устойчивости и
точности методов интегрирования. Ниже будут определены операторы
А и L для ранее рассмотренных методов интегрирования.
9.2.1. Метод центральных разностей, В методе центральных разностей
используются соотношения (8.3) и (8.4) для аппроксимации ускорения
и скорости в момент времени t. Уравнение равновесия (9.5) рассматри-
вается в момент t;
х« *2/бох,*о>\ - rt ;
**~2х* * »
** “ {"**-** * *«***/ •
(9.8)
(9.9)
(9.10)
Подставляя (9.9) и (9.10) в (9.8/, получаем
291
» . At‘
**d* 1+i«>At * 1 + ia>At *-** 1+iWAt *
Решение (9.11) можно записать в форме (9.6), т.е.
[*♦*«!. д
Iх* J
где
7*
/- }a)At
1+ $U)At
О
(9.11)
(9.12)
(9.13)
L«
‘At ‘
1+iwAt
. О
(9.14)
9.2.2. Метод Хаболта. В методе Хаболта уравнение равновесия (9.5)
рассматривается в момент времени t+At , а для вычисления ускоре-
ния и скорости используются два конечно-разностных выражения :
~ SXg* —Xt-anJi
Подставляя (9.16) и (9.17) в (9.15), получаем
(9.15)
(9.16)
(9.17)
где
(V*At*6k
1
. О
fl . 2к'
M*At2 3
О »
О
fl ’ UJ At ’
(9.18)
(9.19)
(9.20)
<9.21!
*
О
1
9.2.3. Метод Вилсона. Основное допущение в 9— методе Вилсона —
линейное изменение ускорения в интервале от t до t *Д< , где пара-
метр 0 > 1 определяется из условия получения оптимальных характерис-
тик устойчивости и точности. Обозначим через т приращение времени
тогда для временного интервала[ t, t+flAt J имеем:
***« “ *t “А)
Ю2
Xf * (X*44f* Xt)-Al ;
Xt*X*A* '
В момент t+At
***4f*
X»*4t •
(9.23)
(9.24)
(9.2Б)
(9.28)
В ff- методе Вилсона уравнение равновесия (9.5) рассматривается в
момент t+9At [ с экстраполируемой нагрузкой, см (8.25) ]:
х**м« ’ (9.27)
Подставляя (9.22), (9.23) и (9.24) при T*0at в (9.27), получаем
уравнение с одним неизвестным х<#44. Разрешая его относительно Я^44 и
подставляя в (9.25) и (9.26), получаем
где
А»
4- t г*
(9.28)
wat
(9.29)
(9,30)
L»
\ Л ’
fl
Zw*At
fl
. 6(0* .
(931)
9.2.4. Метод Ньюмарка. В методе Ньюмарка уравнение равновесия
(9.5)рассматривается в момент t*4f:
х«*4» * 2 ftox^^ * ш*х^^ • ,Г44« •
(932)
Для аппроксимации скорости и перемещения в момент t*At исполь-
зуются следующие формулы:
X^*4t • X»* i (933)
- x< * itAt +$~cx)xt *a x^jAi*, (9‘34>
293
где ос и (Г — параметры, выбираемые из условия получения опти-
мальной устойчивости и точности. Ньюмарк предложил в качестве безус-
ловно устойчивой схемы метод постоянного среднего ускорения, для
которого и «=^
Подставляя Хц/{ и в (9.32) и разрешая его относительно
можно затем использовать (933) и (9.34) для вычисления x^4t их^^.В
результате получаем
где
А-
(9.35)
WAt
1-fit-2Sk
к-
WAt '
(9.36)
(9.37)
fi__
WlAt*
pf
W»At
<*fi
W*
(9.38)
Следует отметить близкую связь операторов (9.36) и (9.38) в методе
Ньюмарка и операторов (9.29) и (9.31) в 9— методе Вилсона. Задавая
значения и 9*-1,0 , получаем одинаковые операторы аппрокси-
мации и нагрузки для обоих методов. Этого следовало ожидать, посколь-
ку оба метода предполагают линейное изменение ускорения в интервале
времени от t до At.
9.3. Анализ устойчивости
Целью численного интегрирования уравнений равновесия системы ко-
нечных элементов является получение хорошей аппроксимации дейст-
вительной динамической реакции рассматриваемой конструкции. Может
показаться, что для точного предсказания динамического поведения кон-
струкции все уравнения равновесия в (9.1), а значит и все п уравнений
в форме (9.5) должны интегрироваться точно. Так как при прямом ин-
тегрировании временной шаг постоянен для всех уравнений (9.5) и дол-
жен выбираться в соответствии с наименьшим периодом системы, то в
итоге At оказывается очень малым. Практически, если наименьший
период равен Т„ , го At должен быть порядка Тп/10. Однако во многих
случаях реакция формируется только несколькими формами колебаний
294
и поэтому только они учитываются в методе разложения по собствен-
ным формам. Кроме того, уже отмечалось, что учет вклада высших час-
тот в реакцию системы во многих случаях мало оправдан, поскольку
высшие частоты и формы ансамбля элементов могут быть лишь грубым
приближением к "точным" значениям. Следовательно, сетка конечных
элементов должна быть такой, чтобы по возможности точно определя-
лись р нижних частот и форм колебаний конструкций, где р зависит
от распределения и частотного спектра нагрузки. Таким образом, во
многих случаях достаточно проинтегрировать точно только р первых
уравнений из п уравнений (9.4). Это означает, что At может быть
порядка Тп/10, т.е. в Т„/Тп раз больше, чем по первой оценке. В практи-
ческих задачах отношение Тр/Тп может быть большим, например поряд-
ка 1000, что приводит к повышению эффективности расчета. Однако
при выборе временного шага At порядка Тп/10 нужно учесть, что при
прямом интегрировании автоматически вычисляются также реакции
по высшим формам с тем же временным шагом. Поскольку точное
интегрирование реакций для форм, у которых At превышает величину
полупериода собственных колебаний, невозможно, возникает важный
вопрос: какая реакция получается численным интегрированием (9.5)
при большом отношении At/T ? Это,по существу, вопрос устойчивости
схемы интегрирования. Устойчивость метода интегрирования означает,
что начальные условия для уравнений с большими величинами At/T не
должны искусственно усиливаться и делать интегрирование низших
форм бессмысленным. Устойчивость означает также, что ошибки в пе-
ремещениях, скоростях и ускорениях, которые могут возникнуть из-за
округления в ЭВМ, не должны расти в процессе интегрирования. Устой-
чивость обеспечивается, если временной шаг достаточно мал для точного
вычисления высокочастотных компонент реакции. Однако при этом
может потребоваться очень малый временной шаг, но, как отмечалось
выше, точное интегрирование высокочастотных компонент реакции сис-
темы конечных элементов во многих случаях не оправдано и поэтому не
является необходимым.
Устойчивость метода интегрирования определяется исследованием
характеристик численного решения при произвольных начальных усло-
виях. Поэтому рассмотрим интегрирование уравнения (9.5) без воз-
действия, т.е. при /"•О- Решение для заданных начальных условий полу-
чается из (9.7) в виде
(9.39)
Рассматривая устойчивость методов интегрирования, мы имеем
процедуры безусловно устойчивые и условно устойчивые. Метод интег-
рирования называется безусловно устойчивым, если решение при любых
начальных условиях не растет неограниченно при любом временном шаге
д?,в частности, при большом значении At/T. Метод называется условно
устойчивым, если вышесказанное обеспечивается при значении At/T, не
превышающем определенного уровня, обычно называемого пределом
устойчивости. Для исследования устойчивости метода интегрирования
удобно пользоваться соотношением (9.39). Для анализа используем
спектральное разложение
A''=pj"p-y) (9.40)
295
где Р - матрица собственных векторов А и J — Жорданова форма
матрицы А с собственными значениями Д; [3]. В разд. 2.6 рассмотрен
случай симметричной матрицы А (см. прим. 2.20); однако оператор
аппроксимации в общем случае несимметричен и поэтому необходимо
воспользоваться более общим разложением д - р/Ь-*.
Пусть ^fAj- спектральный радиус матрицы
y7fA)«max |Л/|; 1—1,2.,...
(9.41)
Тогда 3" ограничено при /?—если^А)«/. Это наш критерий
устойчивости. Более того, j"-»0 , еслир(А)<1, и чем меньше/jfAj, тем
быстрее сходимость.
Так как устойчивость схемы интегрирования зависит только от
собственных значений оператора аппроксимации, будет удобным при-
менить к А преобразование подобия перед вычислением собственных
значений. В случаях метода Ньюмарка и 9— метода Вилсона применим
преобразование подобия D”*AD, где D — диагональная матрица с
Как и можно было ожидать, мы увидим, что спектральные радиусы и,
следовательно, устойчивость методов интегрирования зависят только
от отношения At/T, коэффициента демпфирования / и параметров
интегрирования. Следовательно, при заданныхд//Г и / для достижения
оптимальных характеристик устойчивости и точности в 9— методе
Вилсона и методе Ньюмарка можно варьировать параметры 0 иа,^
соответственно.
Рассмотрим в качестве простого примера анализа устойчивости метод
центральных разностей.
Пример 9.1.
Проанализировать устойчивость интегрирования в методе централь-
ных разностей. Рассмотреть случай
Необходимо вычислить спектральный радиус оператора аппроксима-
ции (9.13) при Проблема собственных значений Au«Auзаписыва-
ется в виде:
L 1 о\ '
Собственные значения определяются как корни характеристического
полинома р(А) (см. разд. 2.6)
р(А) = (2-шЫ*-А)(-А) + 1,
Л,. .
Для устойчивости необходимо, чтобы А< и по модулю не превос-
ходили 1, т.е. спектральный радиус/з^А} матрицы А должен удовлетво-
рять условию ДА)< /. На рис. 9.1 показана зависимостьр(А) от АЛ/Т, где
«М.2»/Г.Спектральный радиус меньше 1 для At/T<l/jr, и, следовательно,
метод центральных разностей устойчив при условии
296
Рис. 9.1. Спектральные радиусы операторов аппроксимации, случай
Та же процедура, что и в прим. 9.1, может быть использована для ана-
лиза устойчивости в— метода Вилсона, методов Хаболта и Ньюмарка
с использованием соответствующих операторов аппроксимации. На
рис. 9.1 показаны характеристики устойчивости методов, рассмотрен-
ных в разд. 8.2 в предложении отсутствия демпфирования (т.е.^=0 ). Из
рис. 9.1 видно, что метод центральных разностей только условно устой-
чив, как показано в прим. 9.1, а методы Ньюмарка, Вилсона и Хаболта
безусловно устойчивы. В случае %>0 для анализа устойчивости необ-
ходимо принять / в качестве дополнительной переменной.
Для определения оптимального значения 8 в 6— методе Вилсона
построена зависимость спектрального радиуса оператора аппроксима-
ции от 6 (см. рис. 9.2), откуда видно, что безусловная устойчивость
метода достигается при 8*1,37. Для уточнения оптимального значения
6 необходимо дополнительно воспользоваться данными о точности
метода (см. разд. 9.4).
В методе Ньюмарка для достижения оптимальной устойчивости и
точности варьируются два параметра ос и сГ. Схема интегрирования
безусловно устойчива при значениях 0,5 и <ж.^ОЛ5(8^05^. В разд. 9.4
будет показано, что наилучшие характеристики точности достигаются
при 5*0,5 и а* 0,25.
Несмотря на то, что здесь рассмотрены только наиболее употребитель-
ныесхемы интегрирования, на самом деле их количество весьма велико
H-23J.
297
9.4. Анализ точности
Решение о выборе метода интегрирования определяется в практичес-
ких задачах вычислительными затратами, которые в свою очередь опре-
деляются количеством временных шагов интегрирования. Если исполь-
зуется условно устойчивый алгоритм, величина временного шага, а сле-
довательно, и их количество для заданного интервала определяются
критическим значением Atet,. Однако при использовании безусловно
устойчивых методов временной шаг выбирается из условий точности и
эффективности решения. Поскольку прямое интегрирование уравнений
равновесия (9.1) эквивалентно одновременному интегрированию п раз-
деленных уравнений в форме (9.5), мы можем исследовать точность
решения (9.1, оценивая точность интегрирования (9.5) в функции л1/Г, $
и г. Решение уравнения (9.5) получено в виде (9.7), и именно это урав-
нение будет использоваться для оценки погрешности интегрирования.
В литературе даются различные оценки точности методов Ньюмарка,
Вилсона, Хаболта и центральных разностей [8 — 15], и, поскольку точ-
ность конкретной процедуры зависит от ряда факторов, в дальнейшем
мы будем останавливаться на важнейших характеристиках решения.
Для этой цели рассмотрим решение задачи Коши:
Х+ШгХ =0 )
при хе=1,0; хв=0,0; J > *9,42^
точное решение которой x=cos«^. Для полноты анализа необходимо
рассмотреть также, во-первых, ту же задачу при х0=ЦО;Хе^о;х^О с точным
решением slncot , и, во-вторых, решение дЛя общих условий нагру-
жения. Кроме того, необходимо исследовать влияние параметра демпфи-
298
Рис. 9.3. Увеличение периода и уменьшение амплитуды
1 — д -метод Вилсона; 2 — метод Хаболта; 3 — метод Ньюмарка
рования /. Однако важнейшие характеристики решения уже демонст-
рируются численным решением задачи (9.42).
Методы Ньюмарка и Вилсона могут быть использованы непосредст-
венно с начальными условиями (9.42). Однако для метода Хаболта на-
чальные условия задаются перемещениями, в качестве которых исполь-
зуются точные значения Хл* и х^,,вычисленные по формуле х = cosotf.
Численное решение (9.42) различными методами показывает, что
ошибки интегрирования могут быть выражены через увеличение перио-
да и снижение амплитуды. На рис. 9.3 показаны увеличение периода и
снижение амплитуды в процентах для рассмотренных схем неявного
интегрирования в функции At/Г. Данные получены путем сравнения точ-
ного решения x«cosa>Z с численным решением уравнения (9.7) на ЭВМ.
Необходимо отметить, что (9.7) дает дискретные значения с шагом At.
Pjnn получения максимума перемещения при построении рис. 9.3 в
методах Вилсона и Ньюмарка использовались соответственно соотноше-
ния (9.23), (9.24) и (9.33), (9/34), в методе Хаболта — кубическая
интерполяция.
Кривые на рис. 9.3 показывают, что любой из методов интегрирования
точен при At/T, не превышающем 0,01. Однако при ббльших значениях
а^/Гметоды имеют разные характеристики. При заданном отношении
ЩТ tf-метод Вилсона с дает меньшее снижение амплитуды и уве-
личение периода, чем метод Хаболта, а метод Ньюмарка приводит только
к увеличению периода без снижения амплитуды.
Характеристики погрешности интегрирования, представленные не
рис. 9.3, испбльзуются при анализе одновременного интегрирования п
29
Рис. 9.4. Влияние увеличения отношения At /Г на перемещения в в -ме-
тоде Вилсона при в * 1,4
уравнений в форме (9.5). Мы видим, что уравнения, для которых отно-
шение at/T малб, интегрируются точно, а при большей величине отноше-
ния at/T решения получаются с малой точностью.
Выбор соответствующего временного шага at является важной
задачей. Для метода центральных разностей a t должен быть меньше atn,
вычисленного в прим. 9.1; это означает, что A t должен быть достаточно
мал для точного интегрирования практически всех п уравнений в (9.4).
При использовании устойчивых схем интегрирования at может
быть значительно больше, несмотря на то, что должен быть достаточно
мал для точного вычисления реакций по тем формам, которые вносят
существенный вклад в суммарную реакцию конструкции. Реакции по
остальным формам вычисляются неточно, однако эти ошибки несущест-
венны, так как сами реакции незначительны.
Для безусловно устойчивых алгоритмов временной шаг может выби-
раться путем анализа рис. 9J. Так как при численном интегрировании
форм с большим значением отношения it/T получается значительное
снижение амплитуды, рассмотрим этот случай. Пусть применяется метод
Вилсона с 6=1,4, временной шаг выбран из условия Atfa=Q0lf де —
основной период системы с шестью степенями свободы и Тм=7{/10,
Пусть начальные условия те же, что и в (9.42), и интегрирование произ-
водится для 100 временных шагов. На рис. 9.4 показаны реакции по ос-
новной и второй формам. Снижение амплитуды, вызванное численным
интегрированием, эффективно "фильтрует" реакции высших форм.
Аналогичный эффект наблюдается при применении метода Хаболта, в
то время как при использовании метода Ньюмарка высокочастотные
составляющие реакции остаются в решении. Для получения снижения
амплитуды в методе Ньюмарка необходимо принять 8">0,5 и соответ-
ственно
«- $(*+0>5)\
300
Вышеприведенные рассуждения могут быть рассмотрены как чисто
теоретические, поскольку в практических задачах начальные условия,
накладываемые на формы со 2 по 6, должны быть незначительными,
чтобы выбранный шаг интегрирования был реальным. Однако точного
интегрирования невозможно достичь для форм с большим значением
отношения &t/T, и может быть лучше просто подавить вычисление ре-
акций по этим формам. С другой стороны, поскольку предполагается,
что эти реакции незначительны, фильтрация не требуется, и из-за малых
численных ошибок метод Ньюмарка окажется более эффективным.
Однако в большинстве практических случаев наблюдается незначитель-
ная разница в вычислительных затратах методов Ньюмарка и в— Вил-
сона, поскольку ошибки из-за увеличения периода приводят к одинако-
вому значению шага интегрирования для обеих процедур. С другой
стороны, недостатком метода Хаболта является использование специ-
альной начальной процедуры.
Необходимо добавить, что анализ устойчивости и точности,проведен-
ный в данной главе, относится к линейным задачам метода конечных
элементов. В частности, пределы устойчивости применимы только в ли-
нейных случаях, тогда как при вычислении нелинейных реакций требует-
ся более полный учет всех факторов [ 24 — 30].
Для иллюстрации общей применимости процедур анализа точности и
устойчивости, приведенных в этой главе, дается пример прямого интег-
рирования уравнений равновесия задачи теплопроводности.
Пример 9.2
Исследовать точность и устойчивость алгоритма интегрирования,
предложенного в прим. 8.5 для решения задачи теплопроводности.
Уравнение равновесия теплового потока имеет вид
C9 + K0-Q, (а)
где С и К — соответственно матрицы теплоемкости и теплопровод-
ности; Q и в — векторы узловых значений внешнего теплового потока
и температуры.
Анализ алгоритма интегрирования прим. 8.5 аналогичен анализу схем
интегрирования для вычисления динамической реакции. Первый шаг —
представление уравнений равновесия (а) в базисе собственных векто-
ров, получаемых из решения проблемы собственных значений
Ку=АСу. (б)
Аналогично проблеме собственных значений для динамических задач
проблема (6) имеет п решений, которые можно записать в виде
КФ=СФА,
где ф — матрица собственных векторов, Ф«[^.,.,^; А-диагональная
матрица собственных значений Д>«иадОДОсновным свойством собствен-
ных векторов является их ортогональность:
ФГКФ-А; ФГСФ=1. (В)
Следовательно, если определить температуры в виде
в» ФХ. (г)
301
и подставить в в (а), то, используя условия (в), получим
Х + ЛХ = Фгр, (д)
Устойчивость и точность схемы интегрирования теперь могут быть
установлены путем исследования алгоритма интегрирования для одного
из уравнений (д), имеющего вид
X* Ах - <} , (е)
где
Я. = Vi Q •
В прим. 8.5 была использована аппроксимация
(ж)
Записывая (е) для момента времени t+At и подставляя (ж), полу-
чим
~дГ~ *Их#+Л# “ •
Запишем это выражение в форме (9.6), т.е.
где г (з)
Л = /*Ад? ; <и>
1+ Ай/
Необходимо заметить, что (з) можно также получить, применив
преобразование (г) непосредственно к уравнению (г) из прим. 8.5.
Рекуррентное соотношение (з) можно использовать при исследова-
нии устойчивости и точности схемы интегрирования. Для момента t +n&t
получим
it+n&t"* Алх#+А +
Метод интегрирования безусловно устойчив, если А" ограничено
при п-*оа для любого значения at. Это означает, что А в (и) должно
быть меньше или равно 1, для этого необходимо, чтобы
f+A&t 3 1.
Однако А з О, и, следовательно, алгоритм интегрирования безусловно
устойчив. Точность алгоритма зависит от Ад? и может быть проанализи-
рована обычным образом с использованием соотношения (к).
Список литературы
1. L. Collatz, The Numerical Treatment of Differential Equations, Spnngcr-Vcrlag.
New York. 1966.
302
2- S H Crandall, Engineering Analysis, McGraw-Hill Book Company. New
York. 1956
3. C F F ковше Introduction to \umerical Analysis Addison-Wesley Publishing
Company. Inc . Reading. Mass . 1969
4. P E Lax and R D Richtmver Survey of the Stability of Finite Difference
Equations,' Communuations in Pure Applied Mathematics, Vol 9, 1956, pp
267 293
5. P Henrici, Error Propagation for Difference Methods, John Wiley & Sons,
Inc . New York, 1963
6. G Dahlquist, "A Special Stability Criterion for Linear Multistcp Methods,"
BIT, Vol 3, 1963, pp 27-43
7. J W Leech, P T Hsu, and E W Mack, “Stability of a Finite Difference
Method for Solving Matrix Equations," A IA A Journal, Vol 3, 1965, pp
2172-2173
8. D E Johnson, "A Proof of the Stability of the Houbolt Method," A I 4 A
Journal, Vol 4, 1966, pp 1450-1451
9. G P Destefano, "Causes of Instabilities in Numerical Integration Techniques,"
International Journal of Computational Mathematics, Vol 2, 1968, pp 123-142
10. R E Nickell, “On the Stability of Approximation Operators in Problems of
Structural Dynamics," International Journal of Solids and Structures, Vol 7,
1971, pp 301-319
11. G. L Goudreau and R L Taylor, “Evaluation of Numerical Integration
Methods in Elastodynamics,” Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering, Vol 2, No 1, 1973, pp 69-97
12. К J Bathe and E L Wilson, "Stability and Accuracy Analysis of Direct
Integration Methods," International Journal of Earthquake Engineering and
Structural Dynamics, Vol 1, 1973, pp 283-291
13. R D Krieg and S W Key, “Transient Shell Response by Numerical Time
Integration,” Advances in Computational Methods in Structural Mechanics and
Design (J T Oden, R W Clough, and Y Yamamoto, eds 1 University of
Alabama Press, Huntsville, Ala , 1972
14. R D .Krieg, “Unconditional Stability in Numerical Time Integration
Methods,” Trans A S M E, Journal of Applied Mechanics, June 1973, pp 417-
421
15. R E Nickell, “Direct Integration m Structural Dynamics," A S С E, Journal
of Engineering Mechanics Division, Vol 99, 1973, pp 303-317
16. M Gfradin "A Classification and Discussion of IntegraTion Operators for
Transient Structural Response," A / A A , Aerospace Science Meeting, Wash-
ington, D C , 1974
17. J H ARGYRisand D W Schari>> , ‘ Finite Elements in Time and Space,” The
Aeionautu al Journal of the Koyal Aeronautical Society, 73, 1969, pp 1041-1044
18. C W Gear, "Numerical Integration ol Stiff Ordinary Differential Equations,”
Report 221, Department of Computer Sciences, University of Illinois, Urbana-
Champaign, January 1967
19. C W Gear. "The Automatic Integration ol Stiff Ordinary Differential Equa-
tions," Information Processing, Vol 68, 1969, pp 187-193
303
20. I. W. Sandberg and H. Schickman, "Numerical Integration of Systems of
Stiff Nonlinear Differential Equations," Bell Systems Technical Journal, Vol. 47,
1968, pp. 511-527.
21. W. Linigeb. and R. A. Willoughby, "Efficient Integration Methods for Stiff
Systems of Ordinary Differential Equations," S.I.A.M , Journal of Numerical
Analysis, Vol. 7, No. 1, 1970, pp. 47-66.
22. M. K. Jain and V. K. Sriv astava, "Optimal Stiffly Stable Methods for Ordinary
Differential Equations," Report 402, Department of Computer Sciences, Uni-
versity of Illinois, Urbana-Champaign, June 1970.
23. C. Dill and C. W. Gear, "A Graphical Search for Stiffly Stable Methods for
Ordinary Differential Equations," Journal of the Association for Computing
Machinery, Vol. 18, 1971, pp. 75-79.
24. J. A. Stricklin, J. E. Martinez, J. R. Tillerson, J. H. Hong, and W. E.
Haisler, "Nonlinear Dynamic Analysis of Shells of Revolution by the Matrix
Displacement Method," A.I.A.A. Journal, Vol. 9, No. 4, 1971.
25. G. E. Weeks, "Temporal Operators for Nonlinear Structural Dynamics Prob-
lems,” A.S.C.E., Journal oj Engineering Mechanics Division, Vol. 98, No. EM5,
Proc. Paper 9260, Oct. 1972, pp. 1087-1104.
26. T. Belytschko and B. J. Hsieh, "Nonlinear Transient Analysis of Shells and
Solids ot Revolution by Convected Elements," A.I.A.A. paper No. 73-359,
AIAA/ASME/SAE 14th Structures, Structural Dynamics and Materials Con-
ference, Williamsburg, Va., Mar. 1973.
27. J. H. Argyris, P. C. Dunne, and 1. Angelopoulos, "Nonlinear Oscillations
Using the Finite Element Technique, Computer Methods in Applied Mechanics
and Engineering, Vol. 2, 1973, pp. 203-250.
28. J. F. McNamara and P. V. Marcal, “Incremental Stiffness Method for Finite
Element Analysis of the Nonlinear Dynamic Problem,” Numerical and Com-
puter Methods in Structural Mechanics (S. J. Fenves, N. Perrone, J. Robinson,
and W. C. Schnobrich, eds.), Acade nic Press, Inc., New York, 1973.
29. K. J. Bathe, H. Ozdemir^ and E. L. Wilson, “Static and Dynamic Geometric
and Material Nonlinear Analysis ’ Report UC SESM 74-4, Department of
Civil Engineering, University of California, 1974.
30. K. J. Bathe. “An Assessment о Current Finite Element Analysis of Nonlinear
Problems in Solid Mechanics;” Proceedings, Symposium on the Numerical
Solution of Partial Differential Equations, May 1975, Academic Press, Inc., 1976.
ГЛАВА 10
ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
10.1 Введение
Нам уже встречались задачи на собственные значения, однако вопро-
сы непосредственного вычисления собственных чисел и собственных
векторов ранее не рассматривались.
304
В настоящей и последующих главах будут детально обсуждаться ма-
тематические основы и вычислительные особенности алгоритмов реше-
ния интересующих нас задач на собственные значения.
Простейшая из этих задач (в дальнейшем называемая стандартной) -
это задача типа
Ку = А^>, ПОП
где К — матрица жесткости. Эта матрица имеет порядок п , ширину по-
луленты тц , является положительно определенной или полуопределен-
ной и имеет п собственных значений и соответствующих им собствен
ных векторов, удовлетворяющих уравнению (10.1). Нумеруя собствен-
ные числа в порядке их возрастания
0* Ау« А4< ... «6 А_г < А„ (10.2)
и обозначая 7-ую собственную пару (т.е. число и вектор) как А/ и (/>:,
для р таких пар можно записать равенство
КФ = ФЛ, (Ю.З)
где Ф — матрица размером пхр ыолбцы которой являются собст-
венными векторами, а Л - диагональная матрица размером р хр, со-
держащая соответствующие собственные числа.
Вычисление собственных значений для задачи типа (10.1) встречается,
например, при оценке матрицы жесткости элемента или при подсчете
числа обусловленности матрицы жесткости всей конструкции. В разд.
3.2.5 мы говорили о том, что представление матрицы жесткости в ее
канонической форме (т.е. в базисе собственных векторов) используется
при оценке качества конечного элемента. В этом случае должны быть
подсчитаны все собственные числа и векторы матрицы К.С другой сто-
роны, для вычисления числа обусловленности матрицы жесткости требу-
ется только наименьшее и наибольшее собственные значения (см. разд.
7.5).
Весьма часто проблема собственных значений встречается в расчетах,
связанных с разложением колебаний по собственным формам (см.
разд. 8.3). В этом случае рассматривается обобщенная проблема собст-
венных значений типа
Ку»жАМу>, (10.4)
где К и М - соответственно матрица жесткости и матрица масс ансамбля
конечных элементов. Собственные числа А/ и собственные векторы --
это соответственно квадраты частот собственных колебаний a)f (рад/с)
и соответствующие им векторы форм свободных колебаний. Матрица К
обладает такими же свойствами, как и в задачах типа 10.1. Матрица
масс М может иметь ленточную структуру с шириной ленты, равной
ширине ленты матрицы К . Если же М — диагональная матрица, то
ее элементы ти или положительны, или равны нулю. Ленточная
матрица масс, получаемая при полном учете сил инерции коле-
блющихся масс всегда положительно определена, тогда как диаго-
нальная матрица масс положительно определена только в том случае,
если все ее диагональные элементы больше нуля. В общем случае диа-
20 - 522
305
। онапьнал матрица масс оказывается лишь неотрицательно определен-
ной
По аналогии с (10.3) решение частичной проблемы для р собствен-
ных чисел и соответствующих собственных векторов из (10.4) можно
представить в виде
КФ=М<РЛ, (10.5)
где столбцы матрицы Ф есть собственные векторы, а Л — диагональ-
ная матрица с последовательно расположенными соответствующими
собственными значениями.
Следует заметить, что в случае, когда М - единичная матрица,
обобщенная проблема собственных значений (10.4) сводится к стандарт-
ной задаче типа (10.1). В этом случае собственные значения и собствен-
ные векторы задачи (10.3) можно представить как квадраты частот и
формы собственных колебаний некоторой системы с единичными масса-
ми С другой стороны, по аналогии с (10.1) для обобщенной проблемы
'•обственных значений (10.4) собственные числа Z-У,...,/?, причем
количество нулевых собственных чисел так же равно количеству форм
перемещения системы как жесткого целого.
Вкратце упомянем о двух других обобщенных проблемах собствен-
ных значений. Первая проблема встречается в задачах устойчивости,
решаемых на основе линеаризованных уравнений. В этом случае
Ке$Р = ЛКу, (10.6)
где — матрица жесткости, построенная с учетом нелинейности дефор-
маций (геометрической или от действия начальных перемещений), К —
матрица жесткости с учетом линейноупругих деформаций. Матрицы
и К имеют ленточную структуру с одинаковой шириной ленты,
однако матрица К , вообще говоря, не является определенной. Поэтому
собственные числа, вычисляемые из уравнения (10.6), могут оказаться
как положительными, так и отрицательными. Наибольшее собственное
значение соответствует наименьшей критической нагрузке, а остальные
числа определяют высшие критические нагрузки.
Третья обобщенная проблема собственных значений встречается в
задачах о теплопередаче, где рассматривается уравнение
Ку = ЛСр. (10.7)
Здесь К — матрица теплопроводности, а С — матрица теплоемкости.
Собственные числа и собственные векторы определяют соответственно
частоты и формы тепловых колебаний. Решение задачи (10.7) требуется
при анализе тепловых потоков с использованием разложений по собст-
венным формам. Мадриды К и С в (10.7) оказываются положитель-
но или неотрицательно определенными, собственные значения, вычислен-
ные по уравнению (10.7), будут неотрицательными KttO, 1*1,
Современные методы решения проблем на собственные значения
представлены в работах [1 — 7]. Большинство из них разработано для
произвольных матриц достаточно общего вида. Однако в методе конеч-
ных элементов мы имеем дело с решением специфических задач, в кото-
рых каждая из матриц имеет особые свойства, такие, как ленточность.
306
положительная определенность и т.д. Поэтому разрабатываемые алго-
ритмы должны учитывать чти свойства для того, чтобы решение было
как можно более экономичным. Рекомендуемые для практического
использования численные методы решения проблемы рассмотрены в
гп 11 и 12.
10.2 . Основы решения задач на собственные значения
Прежде чем анализировать какие-либо методы решения задач на соб-
ственные значения, рассмотрим некоторые основные свойства матриц,
собственных чисел и векторов [1 — 7]. Как отмечено в разд. 10.1, мы
рассматриваем обобщенную проблему собственных значений К(р=ЛМ{|>,
которая сводится к стандартной задаче при М = 1. Приводимые
ниже замечания в равной мере относятся к другим представляющим
интерес задачам о собственных значениях.
10.2.1. Свойства собственных векторов. Ранее было установлено, что
обобщенная проблемаКу=АМ<р порождает п собственных чисел А<,...,А„
упорядоченных, как показано в (10.2), и соответствующих им п соб-
ственных векторов >рп Каждая собственная пара (At, tpt) удовлет-
воряет уравнению (10.4), т.е.
, i= п. (10.8)
Это соотношение означает следующее. Если взять какой-нибудь вектор
Д.М^и использовать его как вектор нагрузки R в уравнении К1Г"Р,то
(7=^.Следовательно, можно использовать при вычислении собственного
вектора алгоритмы решения уравнений статики. Ниже будет показано,
в частности, что алгоритм разложения L.DL7* оказывается очень важной
частью алгоритмов решения проблемы собственных значений.
Соотношение (10.8) также показывает, что собственный вектор
можно определить только с точностью до произвольного ненулевого
множителя сх
ж Л? - (10.9)
Следовательно, наряду с tpt вектора^ является также собственным
вектором. В связи с этим считается, что собственный вектор определен
только своим направлением в рассматриваемом /?-мерном пространст-
ве. В дальнейшем будем считать, что собственные векторы tpj удовлет-
воряют соотношению (10.8), а также условиям нормирования
которое устанавливает длину собственных векторов, т.е. абсолютную
величину компонент каждого собственного вектора. В то же время сле-
дует подчеркнуть, что собственные векторы все еще определены с точ-
ностью до множителя, равного — I. Другое важное соотношение, которо-
му подчиняются собственные векторы из уравнения (10.8), — это так
называемое условие М- ортогональности
(10.10)
где Sy- - символ Кронекера. Это соотношение соответствует условию
ортогональности собственных векторов стандартной задачи на собствен-
307
вне .значении (см раздел 2.6) и будет подробно рассмотрено в разде-
ле 10.2.5. Умножив обе части (10.8) на вектор ify и используя ра-
венство (10.10), получим еще одно "условие ортогональности"
yfKyy = Л ,
(10.11)
означающее, что собственные векторы в задаче (10.8) оказываются еще
и К — ортогональными.
До сих пор мы не упоминали о кратных собственных числах и соответ-
ствующих собственных векторах. Здесь важно подчеркнуть, что собст-
венные векторы в этом случае не единственны, причем в рассматривае-
мых задачах существует множество М — ортогональных собственных
векторов, образующих подпространство, которое соответствует кратно-
му собственному значению (см. разд. 2.6). Другими словами, предполо-
жим, что число Аг имеет кратность, равную /п^,«А,„»...-А/ляи!).Тогда
можно выбрать т собственных векторов > которые обра-
зуют т — мерное подпространство, соответствующее собственным чис-
лам А; } и в то же время удовлетворяют соотношениям ортогональности
(10.10) и (10.11). Но если теперь собственные векторы определяются
не единственным образом, то, напротив, пространство собственных Вик-
торов, соответствующее кратному числу Л,, единственно. Отмеченные
особенности покажем на нескольких примерах.
Пример 10.1
Пусть некоторая система с двумя степенями свободы имеет следую-
щую матрицу жесткости и матрицу масс
Предположить, что две собственные пары в задаче имеют
вид
(4, Ч) -
fa,*) “
(а)
а для задачи эти же пары будут
(б)
Проверить, что в соотношениях (а) и (б) действительно представлены
решения задач соответственно и К^>=АМ^. Сначала рассмот-
рим задачу Числа и векторы в соотношении (а) действительно
являются решением задачи на собственные значения, если они удовлетво-
ряют уравнению (10.8) при М I, а также соотношению ортогональ-
ности (10.10) при том же условии М-1.
Подстановка (а) в выражение (103), обобщающее уравнения (10.8)
для всех собственных пар, дает:
308
В соответствии с (10.10) будем иметь
ж
ЧЧ-= X/Ч " О.
Поскольку соотношения (10.3) и (10.10) удовлетворяются, можно
записать, что
Л,= а?о ^/ = 4,
Точно также подстановка чисел и векторов из (в) в уравнение (10.5)
позволяет проверить, являются ли они решениями задачи Kjp=AM^. Бу
дем иметь
или
В соответствии с (10.10) получим
w,rMw, -
w2r Mw, -
-2]
0‘,
309
-г][*
Mwz= w/ M w, - 0.
Следовательно, соотношения (10.5) и (10.10) уДОБле-|Ьиряюгея, и, ia-
ким образом
w,, <₽2=Wa.
Пример 10.2
Рассмотреть задачу на собственные значения
где
2
2
. 3
и показать, что здесь собственные векторы, соответствующие кратному
собственному числу определяются не единственным образом.
Собственные числа матрицы К есть Аув2,А^=2, Ал=3, а собственные
векторы можно представить в виде
'О
1
О
4>з~
0
0
И»
О'
о
1
Эти результаты могут быть проверены так же, как и в примере 10.1.
Однако, если вектор (f>3 определяется единственным образом, го.напро-
тив, любые линейные комбинации векторов tp, и Фа, удовлетворяю-
щие условиям ортогональности (10.10), при М=1 также будут собствен-
ными векторами рассматриваемой задачи. Например, если взять
то эти векторы действительно оказываются собственными и соответст-
вуют кратному числу Л,=Аг=2. При этом важно отметить, что любые
собственные векторы ifa и образуют базис единственного двумер-
ного подпространства, соответствующего значениям А, и А£. Решение
уравнений (10.4) для частичной проблемы отыскания р собственных
чисел и соответствующих им собственных векторов дается выражением
(10.5). Используя (10.10) и (10.11), эти решения можно представить
в виде
ФГКФ=Л; (10.12)
фгМФ*1, (10.13)
где р столбцов матрицы Ф являются искомыми собственными век-
торами. Важно отметить, что (10.12) и (10.13) являются условиями,
которым должны удовлетворять собственные векторы. С другой сторо-
ны, если р + п и удовлетворены условия М и К-ортогональности р
векторов, то из этого не следует, что они обязательно будут собственны-
ми векторами, рассматриваемой задачи. Другими словами, допустим,
что X содержит р векторов, р< п ичтоХгКХвП и X’MX-I,однако.
310
векторы в X и диагональные элемен>ы в D могут быть, а могу! и не
быть собственными парами для уравнения (104). Но если р — П. , то
Х = Ф и D=A , потому что только эти собственные векторы образуют
полное /?-мерное пространство и приводят к диагональному виду мат-
рицы К и М Изложенные соображения очеН1 важны, однако на них
часто не обращают внимания (см. разд. 10.3.2). В заключение приве-
дем следующий пример.
Пример 10.3.
Рассмотреть задачу на собственные значения Ку»АМ^,где
к = ‘ 2 -1 _ 0 -1 -1 О' -1 2_ ; М = £ 0 0 0 1 0 0 0 4 2 J
и два вектора / г /
ч = » 4 тТ
_ 0 _ 0
Показать, что векторы у, и уг, } удовлетворяя соотношениям орто-
гональности (10.12) и (10.13) [а значит и соотношениям (10.11) и
(10.10)], не являются собственными векторами для рассматриваемой
задачи.
Для проверки предположим, что V, и столбцы в Ф, и вычис-
лим (10.12) и (10.13). Получим
и
я (Ч-&) О
(а)
о
1
о
и
1
Следовательно, соотношения ортогональности удовлетворены. Чтобы
показать, что и не являются собственными векторами, исполь-
зуем (10.8). Для вектора v4 будем иметь
Kv,=
М\/,=
Теперь видно, что компоненты вектора Км/ не moi ут быть равны
компонентам вектора осМм<,где а - скаляр, и, следовательно, вектор
V/ не является собственным вектором нашей задачи. Подобным же
образом показывается, что и вектор v2 не является собственным, а
подсчитанные в (а) числа (4-1&) и (Ч + &) не являются собственными
311
значениями. Действительные собственные значения и соответствующие
собственные векторы будут вычислены в прим. 10.4.
Отметим, что рассмотренные выше соотношения ортогональности
в равной степени справедливы для собственных векторов в задачах
устойчивости и в задачах теплопроводности. Так, в задачах устойчивости
используя обозначения (10 6), будем иметь
- %; ч>ТKsipj - Л fftJ 1 14)
ФГКФ » I , фгКвФ - Л J
С учетом обозначений (10.7), для задач теплопроводности по аналогии
запишем
)
ФТСФ = I ; ФГКФ=Л J' (10.15)
1 ак же как и для обобщенной задачи Кр^АМ^, доказательство спра-
ведливости соотношений (10.14) и (10.15) связано с возможностью
преобразования этих задач к стандартной форме (см. разд. 10.2.5).
10 22. Характеристические полиномы для обобщенной проблемы
АМуш связанных с ней усеченных задач. Важное свойство собственных
чисрп задачи Кр»АМ$Р заключено в том, что они являются корнями харак
герпетического полинома,
рМ - det(K-AM) . (10.16)
Можно показать, что это свойство вытекает из основного соотноше-
ния (10.8). Переписав (10.8) в форме
(К-Л4М)у>; = 0, (10.17)
получим, что (10.8), вообще говоря, может удовлетворяться только для
нефивиального вектора tp; (т.е. для вектора, у которого есть хотя бы
одна ненулевая компонента), а для этого необходимо, чтобы матрица
К-А(М была особенной. Это означает, что при преобразовании матрицы
К~А,М в нижнюю треугольную матрицу L и верхнюю треугольную мат-
рицу S, используя исключение по Гауссу, будем иметь 0. Из соот-
ношения п
XA)“detl_S= П (10.18)
следует, что р(\)^0. Более того, если Д,- имеет кратность т, то так-
же =Л Следует заметить, что при разложении матрицы
КЧМ на множители могут понадобиться перестановки столбцов или
строк. При этом следует учитывать изменение знака определителя (см.
разд 1 8). Если перестановки не выполняются или одновременно меня-
ются местами строки и соответствующие столбцы, что на практике почти
всегда возможно (прим» 10.4 показывает случай, когда это невозмож-
но) , матрица коэффициентов останется симметричной. В этом случае
мы можем записать (10.18) в виде
pfAJ » det LD15 ~ , (10.19)
де LDLr — разложение матрицы К-АМ или матрицы, полученной из
тес одновременной перестановкой строк и столбцов, что соответствует
112
изменению нумерации степеней свободы системы (см. разд. 7.2.5). Ус-
ловие S„n=0 заменяется на условие d„„-0, а если кратность числа
Л; равна т, то последние т элементов матрицы D оказываются
нулевыми.
В разд. 7.2.5 мы рассмотрели свойства последовательности Штурма
характеристических полиномов задач, усеченных по отношению к зада-
че Ку=А^. Аналогичными свойствами обладают характеристические
полиномы усеченных задач по отношению к задаче Ку-АМу. Доказатель-
ство этого факта следует из возможности сведения обобщенной пробле-
мы собственных значений Kjp-AMy к стандартной задаче (см.
разд. 10.2.5, прим. 10.11).
Проблема собственных значений для г — усеченной задачи, соот-
ветствующей задаче К^«АМ<Р можно представить как
= (10.20)
где матрицы и имеют порядок п-г и получаются из матриц
К и М вычеркиванием г последних столбцов и строк. Характерис-
тический полином этой /^-усеченной задачи есть
р^/А^ = detCK^-A^M^) (10.21)
и так же, как и для случая М«1, собственные значения любой (г+1) —
усеченной задачи разделяются собственными значениями г — усечен-
ной задачи, т.е.так же, как и в (7.38), опять будем иметь
А^АГ^а;^ А/^... *а"_, s . (10.22)
Пример 10.4.
Рассмотреть задачу на собственные значения К^=АМ(р, где
к= '2 -1 О' -1 4 -1 0-12 М = t ' 1 (
а) Вычислить собственные значения, используя характеристический
полином (10.16).
б) Вычислить собственные векторы tpit (=1,2,3, используя соотношение
(10.17) и условие М — ортогональности.
в) Вычислить собственные значения соответствующих усеченных
задач и показать, что свойство разделения (10.22) справедливо. Раскры-
вая определитель (10.16), получим характеристический полином
р(Л) -(-^(2-^)
или р60=-£АМЛг-7/А*/2;
его корни Ау«“2; Аг-4; Ал“6.
Чтобы вычислить соответствующие собственные векторы, используем
соотношение (10.17). Для А/ имеем
1
-1
0
-1
2
-1
О'
-1 у
1
(а)
= 0.
313
Матрица коэффициентов К- Л*М может быть разложена в LD1T
без
перестановок.
В соответствии с разд. 7.2.2 получим
Г/
-/ 1
О -1
-1 О
1 -1 к = о.
1
(б)
Заметим, что с4,= 0.
с треугольной матрицей из
Для вычисления вектора
(б)
имеем систему
Л
7
Учитывая условие
-1
1
01
М— ортогональности окончательно запи-
шем
Для получения
будем иметь
и tp3 поступим аналогично. Вычисляя К=ЛгМ,
'о-t О’ -1 0 -1 0-10 ^=0
В этом случае мы не можем разложить матрицу системы с сохранени-
ем ее симметрии, так как нужно переставить первую и.вторую строки, не
трогая соответствующие столбцы. Эта перестановка приводит к новой
системе
*-/ 0 -Г
0 -1 0 &= 0
_0 -1 0
Факторизуя матрицу К«Л2М в нижнюю единичную треугольную мат-
рицу L и верхнюю треугольную матрицу S, получим
7 0 1 0 1 1 0 ~1' -1 0 0
причем Зи~0. Чтобы вычислить %, используем
С учетом соотношениями^»/ будем иметь
и будем иметь однородную
[-1 о /].
Для построения tf>a вычислим К-Л3М
систему
-1 6
-1 -2 -1 * и о
0 -1 -1
О
-1 Ц>< = 0.
314
Здесь матрица коэффициентов может быть разложена в LDLT без пере-
становок, т.е.
Заметим, что d3i = О.
тему
-/
-1
0J
О'
1 fl-
1
/
Чтобы вычислить вектор , используем сис-
1
О
1
1
1
/
1
-1
-1
О
О
О
О
-1
О
и условие М — ортогональности Это дает
Собственные значения первой усеченной задачи получаются из реше-
ния следующих уравнений
Отсюда
Поскольку для второй усеченной задачи 4 , свойство разделения
собственных значений (10.22) приводит к следующим неравенствам:
1. Для первой и второй усеченных задач
4- -J2 * 4
2. Для К^*>АМ(Р и первой усеченной задачи
2.4 (4-^/2} 4,4* (4+^2) *6.
Из соотношения (10.22) вытекает следующее важное свойство. До-
пустим, что при некотором значении мы можем разложить мат-
рицу K-/zM bLDLT, и при этом ни одна из усеченных задач не имеет ну-
левых собственных чисел. Для простоты предположим также, что среди
собственных чисел нет кратных. Упомянутое свойство заключается в
том, что в треугольном разложении матрицы K~/zM число отрицатель-
ных коэффициентов матрицы D равно количеству собственных чисел,
расположенных левее числа ju.. Другими словами, если Ях<//<Л/4<,то сре-
ди диагональных коэффициентов матрицы D окажется I отрицатель-
ных. Это положение доказывается с помощью свойства разделения
собственных значений (10.22) и относительно легко иллюстрируется гра-
фически. На рис. 10.1 прямыми линиями соединены одинаковые по но-
меру корни характеристических полиномов рассматриваемой и усечен-
ных задач, п=О,1,. .. Соответствующие ломаные обозначены как С/.
Пусть число ju выбрано так, что Проведем через верти-
кальную прямую. Мы заметим, что она пересечет первые ломаные
и не заденет остальные CU1,.с„. Поскольку
T\du , (10.23)
*•* 315
а каждое пересечение вертикальной/^ — прямой с ломаной С* соответ-
ствует появлению отрицательного коэффициента в матрице D , то в
нашем случае получим в точности I отрицательных коэффициентов на
главной диагонали этой матрицы. Отметим, что изложенные соображе-
ния справедливы также и в случае кратных собственных чисел.
Указанное равенство числа отрицательных элементов в D количест-
ву собственных чисел, меньших, чем JU может быть использовано не-
посредственно для вычисления собственных значений (см. разд. 11.5).
Для этого выберем /л так, чтобы оно оказалось, меньше, а затем боль-
ше, чем требуемое собственное число. В результате получим интервал,
внутри которого будет заключено искомое число, уменьшая который,
можно вычислить собственное значение с требуемой точностью. Следую-
щий пример иллюстрирует сказанное.
Рис. 10.1. Построение кривых для характеристических многочленов проб-
лемы Кф’-ДМф и в родственных с ней усеченных задачах
316
Пример 10.5
Использовать свойство равенства числа отрицательных элементов в
D,rfleLDLr-K-juM, количеству собственных чисел, меньших ju , для вы-
числения Лг в задачеК{р=ЛМ(?,где
Для этой задачи все собственные числа были определены в прим. 10.4.
Ниже будем придерживаться следующего алгоритма:
1. Положим ju-1 и вычислим LDI5 для К -JU М
и
1
1
LDLr=
1
-4
4 «Л
1 -4
1
Так как все диагональные коэффициенты матрицы В оказались по-
ложительными, то, следовательно, >1
2. Положим ju*=8 , вычислим
и соответственно
~-2
K-juM- -1
-1
-4
-1
О'
-1
-2.
7 \-2 1 7 i 0
LDlT = 1 1 -f 1 г 7
о 4 1. 1
Поскольку теперь все три диагональных коэффициента матрицы D от-
рицательны, то оказывается,что А3<8.
3. Так как следующее приближение JU должно по смыслу выбирать-
ся между 1 и 8, возьмем ju^5. В этом случае
LDL7
2 О'
1 -1
1
В матрице D есть два отрицательных коэффициента. Поэтому
4. Следующее приближение следует выбирать в интервале (1 — 5). По-
ложим JU^3. В этом случае
317
Так как теперь у матрицы D только один отрицательный элемент, то
заключаем, что Аг >3 , и, следовательно, второе собственное число А2
расположено в интервале 3<Аа<5". Продолжая описанный алгоритм,
можно требуемое собственное число определить очень точно (см. разд.
11.5). Отметим, что в данном примере перестановки при разложении
матрицы К-//М не понадобились.
10.2.3 . Использование "сдвигов". Так называемые "сдвиги" являются
важной процедурой, широко используемой при решении проблемы соб-
ственных значений. Сдвиги позволяют ускорить вычисление требуемых
собственных чисел и векторов. При решении задачи Ку = Л Му» "сдвиг"
на величину р выполняется путем вычисления новой матрицы
К = К-/>М , (10.24)
что позволяет перейти к новой задаче на собственные значения
Ку = /гМу.
(10.25)
Чтобы определить, как связаны решения задачи Ку=АМус решениями
задачи Kf-jUMy,запишем уравнение (10.25) в виде
Ку-/Му, (10.26)
где -f-p+ju. Так как задача типаКу«АМу имеет единственное решение, то,
следовательно,
(10.27)
Из этого вытекает, что собственные векторы задачи Ку-дгМу совпадают
с собственными векторами задачи Ку-АМу, а собственные числа оказа-
лись сдвинутыми на величину р. Это обстоятельство удобно использо-
вать при определении форм колебаний, соответствующих движению сис-
темы как жесткого целого, если применяемый алгоритм не приспособ-
лен для определения нулевых собственных значений. Рассмотрим следу-
ющий пример.
Пример 10.6
Пусть дана задача на собственные значения Ку=АМу в виде
'3 “ЗЪ 1 [2 Л . .
L-3 2^' (а)
Вычислить ее собственные числа и векторы. Затем выполнить сдвиг
на р=--2 и вновь вычислить собственные числа и соответствующие соб-
ственные векторы. Чтобы определить собственные числа, составим ха-
рактеристический полином
318
р(А) - det(K-AM) = ЗАг-18А
и получим, что А4=°0, Аг-6 . Для определения векторов tfa и <ря ис-
пользуем соотношение (10.17) и условие М— оотонормальности
^ТМ^;=7. Будем иметь
(Ь)
(с)
Выполнив сдвиг на р = -2
получаем новую задачу
(d)
для которой
А*-10 А+ 16.
Теперь собственные числа оказались равными A^=2,At = 8. По сравнению
с ранее полученными они увеличились на 2 благодаря сдвигу на р. Соб-
ственные векторы определяются на основе (10.17). Однако заметим.
что из этого соотношения получим вновь уравнения (Ь) и (с),и,таким
образом,собственные векторы задачи (d) будут совпадать с аналогич-
ными векторами задачи (а).
Приведенные рассуждения показывают, что, в принципе, нам нужны
только алгоритмы для вычисления собственных чисел и соответствую-
щих собственных векторов задачи К(^=АМ<Р, в которой все числа больше
нуля. Если же система имеет формы колебаний в виде жестких смеще-
ний, то при помощи сдвигов всегда можно свести рассматриваемую за-
дачу к другой, у которой все собственные числа положительны.
10.2.4 . Системы с нулевыми массами. Выше было отмечено, что у диа-
гональной матрицы масс М коэффициенты на главной диагонали либо
положительны, либо равны нулю. Если все элементы гпц больше нуля,
то собственные числа At следует вычислять с помощью алгоритмов,
описанных в гл. 11. Однако, если матрица М содержит г нулевых
диагональных элементов, то из этого немедленно вытекает, что в задаче
имеется в точности г бесконечно больших собственных
значений Ap'A^...’zA„_r^ «оо . Проверка этого факта выполняется с по-
мощью построения соответствующих собственных векторов.
Для пояснения этого обстоятельства напомним основную цель ре-
шения задач на собственные значения—отыскание такого вектора <р и
скаляра А , которые удовлетворяют уравнению
= АМ^,
(10.4)
где <р — вектор, имеющий хотя бы одну ненулевую компоненту. Дру-
гими словами, если у нас есть некоторый вектор ip и некоторый ска-
ляр А, которые удовлетворяют (10.4), то Л и — это собственное
число А/ и собственный вектор (Р/ нашей задачи безотносительно к
тому, как они были получены. Например, если мы знаем, что заданная
319
система имеет форму колебаний в виде жесткого смещения, то, следова-
тельно, Х, = 0 , и нужно найти вектор удовлетворяющий уравнению
= <»•
В общем случае определение jg, требует использования соответ-
ствующих алгоритмов, однако для сравнительно простых ансамблей
конечных элементов можно получить непосредственной проверкой
этого уравнения.
При наличии г нулевых диагональных элементов в диагональной
матрице масс М всегда можно немедленно определить г собственных
чисел и собственных векторов, переписывая проблему собственных зна-
чений в (10.4) в форме
М^ =//Ку»,
(10.28)
где Далее, если 0 , то собственная napafa,?,) имеет
вид
~ Р О ... О 1 0 ... 0\', = 0. (10.29)
Л-Й элемент
Tq, что и jUi в (10.29) действительно являются собственным век-
тором и собственным числом для задачи (10.28), проверяется простой
подстановкой в (10.28). Поскольку ju=A~1, то можно считать, что собст-
венная пара задачи есть еДТаким образом, если име-
ется г нулевых диагональных элементов в матрице М, то в рассматри-
ваемой задаче г собственных чисел обращаются в бесконечность, а
собственные векторы имеют нулевые компоненты, кроме одной, равной
единице и соответствующей по номеру элементу нулевой массы в матри-
це М. Следует заметить, что если собственное число А„ имеет крат-
ность г, то его собственные векторы образуют подпространство (см.
разд. 10.2.1), причем длина собственного вектора не может быть уста-
новлена с использованием условия М~ ортонормальности. В качестве ил-
люстрации рассмотрим пример.
Пример 10.7
В задаче на собственные значения
найдем У матрицы М — два диагональных нулевых элемента,
следовательно, Лл-оо, . В качестве собственных можно принять век-
торы
/1
0 .
0 ’
Ld
0
0
1 >
L0J
а также любую их линейную комбинацию. Так как^гМ^=(2 для 4 =3,4, то
нельзя с помощью условия М - ортонормальности нормировать компо-
ненты Ч>3 и ft.
10.2.5 . Приведение обобщенной проблемы собственных значений Кр«ЛМр
к стандартной форме. Большинство встречающихся задач на собственные
320
значения являются или могут быть сведены к стандартной форме. По
этой причине для решения стандартных задач на собственные значения
разработано много алгоритмов. В этом разделе будет показано, как за-
дача на собственные значенияприводится к стандартной форме.
Возможность такого преобразования важна по двум причинам. Во-пер-
вых, после приведения можно использовать различные алгоритмы реше-
ния стандартных задач на собственные значения. Во-вторых, если обоб-
щенная проблема собственных значений может быть записана в стандарт-
ной форме, то свойства ее собственных чисел, собственных векторов и
характеристических полиномов можно вывести из свойств соответст-
вующих величин стандартной задачи.
В дальнейшем будем считать, что М положительно определена,
причем она является или диагональной матрицей ztnii>0) , или
ленточной (при учете взаимных сил инерции). Если М — диагональная
с некоторыми нулевыми диагональными элементами, то прежде всего
необходимо исключить безмассовые степени свободы, как это описано
в разд 10.3.1. Процедура приведения для положительно определенной
матрицы М состоит в использовании разложения матрицы М в виде
M = ss; (10.30)
где S — какая-нибудь неособенная матрица. Подстановка (10.30) в
(10.4) дает
Ky-ASS>. (10.31)
Умножая обе части равенства (10.31) на S~* и определяя вектор
(10.32)
приходим к стандартной задаче на собственные значения
К£-А£, (10.33)
где ~ ,
K-SKS^ (10.34)
Обычно используется один из двух вариантов разложения М ; факто-
ризация Холецкого или спектральное разложение М. Факторизация
Холецкого выполняется в соответствии с разделом 7.2.4 и дает М =£М1ГИ.
С учетом (10.30) и (10.34) будем иметь
S-LM. (10.35)
Спектральное разложение М требует решение полной проблемы
собственных значений матрицы М. Пусть матрица ортогональных собст-
венных векторов есть R , диагональная матрица собственных чисел
эсть D1. Тогда справедливо разложение
M=RD®Rr, (10-36)
и при помощи (1030) и (10-34) можно записать, что
<10-37)
21 - 522
321
Следует заметить, что когда матрица М диагональная, матрицы S в
(10.35) ив (10.37) совпадают *если же М •«ленточная, то матрицы S бу-
дут различными.
Отметим, что эффективность вычисления собственных чисел и соб-
ственных векторов задачи (10.33) существенно связана с тем, что у мат-
рицы К при диагональной М оказывается та же ширина ленты, что
и у матрицы К. Если же матрица М ленточная, то 1? в (10.33) в об-
щем случае будет заполненной матрицей, из-за чего преобразование ста-
новится неэффективным почти во всех конечно-элементных задачах.
Причина этого будет обсуждаться в гл. 11 и 12.
Сравнивая факторизацию Холецкого и спектральное разложение
матрицы М , заметим, что первая с точки зрения вычислений более эф-
фективна, поскольку при вычислении матрицы 1_м необходимо мень-
шее количество операций, чем для получения матриц Я и В. С другой
стороны, спектральное разложение М может дать более точное решение
уравнения К^=ЛМ^. Положим, что матрица М плохо обусловлена в
смысле обращения; тогда процесс приведения к стандартной задаче на
собственные значения оказывается так же плохо обусловленным. В
этом случае следует использовать более устойчивые преобразования,
поскольку факторизация матрицы М по Холецкому без вращений
вызовет появление относительно больших коэффициентов матрицы
(из-за связи М и Е"4 ) • Это обстоятельство может привести к искаже-
нию коэффициентов матрицы "К и как следствие к значительным
возмущениям младших собственных чисел и их собственных векторов.
В то же время применение спектрального разложения матрицы М
позволяет получить коэффициенты матриц Я и D2 с относительно вы-
сокой степенью точности, несмотря на то, что некоторые коэффициенты
в D могут оказаться относительно малыми числами. Появление этих
малых коэффициентов связано с плохой обусловленностью матрицы
М, причем они вызовут рост коэффициентов соответствующих строк и
столбцов матрицы К.
Рассмотрим примеры приведения обобщенной проблемы собственных
значений КувЛМ<р к стандартной форме.
Пример 10.8
Пусть дана задача К^>=АМ/,где
Используем^факторизацию матрицы М по Холецкому для вычисле-
ния матрицы К соответствующей стандартной задачи.
Отсюда находим треугольные матрицы разложения по Холецкому
(см. разд. 7.2.4)
322
Теперь матрица К
шется в виде
в задаче на собственные значения К=17цКи£ запи-
и
П ример 10.9
Рассмотреть обобщенную задачу на собственные значения из примера
10.8. Использовать спектральное разложение М , чтобы перейти к мат-
рице К для стандартной задачи на собственные значения.
Собственные числа и соответствующие собственные векторы задачи
могут быть подсчитаны, как показано в примере 10.4:
323
Следовательно, для стандартной задачи на собсгаенные значения
матрица K=S'1KS"/ есть
Следует заметить, что полученная матрица К не совпадает с матри-
цей К из прим. 10.8.
Выше было рассмотрено приведение задачи К#> = ЛМ^ к форме
(10.33) с помощью разложения матрицы М в произведение двух тре-
угольных матриц. Отметим, что это приведение может дать неточные ре-
зультаты, если М плохо обусловлена. В таком случае кажется более
естественным использовать факторизацию матрицы К. Переписав
в видеМ^-(УХ)Ку можно перейти к задаче
(10.38)
где
Й » S *MS"T;
К - SST;
(р “ ST(P •
(10.39)
(10.40)
(10.41)
Здесь матрица S получена или на основе разложения Холецкого,
или при помощи спектрального разложения матрицы К. Если К хоро-
шо обусловлена, то приведенное преобразование будет так же хорошо
обусловлено. Но так как К — почти всегда ленточная матрица, то опи-
санное преобразование задачи оказывается малоэффективным, посколь-
ку Й становится полностью заполненной.
Далее отметим, что ортогональность собственных векторов [соотно-
шения (10.10) и (10.11) } и свойство последовательности Штурма для
характеристических полиномов задачи К(/>=АМ^ и связанных с ней
усеченных задач [соотношение (10.23)1 можно вывести, рассматривая
соответствующую стандартную задачу несобственные значения.
Следующие примеры являются иллюстрацией сказанного.
Пример 10.10
Показать, что собственные векторы задачи ортогональны с
весовыми матрицами М и К , и рассмотреть свойство ортогональности
собственных векторов задачи Кву>=ЯКу из (10 6), а также задачи Ку=ЛС|₽
из (10.7). Ортогональность собственных векторов доказывается приве-
дением обобщенной проблемы к стандартной форме и использованием
свойства ортогональности собственных векторов симметричной матри-
цы. Сначала рассмотрим задачу считая,что М — положи-
тельно определенная матрица. С помощью разложения (10.30) перей-
дем к эквивалентной задаче (10.34)
К(?=Л^,
где
M = SSr; K=S'*KS"r; £ =
Поскольку для собственных векторов </> задачи KS=Atp споавед-
ливы соотношения
324
то с помощью представлений $=5^-, можно записать, что
= 5и; Р/*<?j=Л' Sij
(а)
Если матрица М не является положительно определенной, то перей-
дем к задаче с положительно определенной матрицей К, чего
можно всегда добиться с помощью надлежащих сдвигов (см. разд.
10.2.3). Эту задачу приведем к стандартному виду
ЙИЖ
ГДе K-SST; M=S',M5‘r; S>.
Так же как и в предыдущей задаче, используя свойства ортогональности
и соотношения для и if>j , получим, что
tpj = ду ; М tfj = Зу . (б)
Заметим, что здесь собственные векторы будут К — ортогональны-
ми, так как рассматривалась задача М^=(^)К(р. Чтобы получить соб-
ственные векторы задачи Кр=АМу, нужно умножить собственные век-
торы задачи Мф=(//Х)К^ на множители /Tt,
Рассматривая эти доказательства, заметим, что мы предварительно
преобразовывали задачи о собственных значениях к такому виду, чтобы
в правой части оказывалась положительно определенная матрица. Это
необходимо для приведения обобщенной проблемы собственных значе-
ний к стандартной задаче и вывода свойств ортогональности собственных
векторов, записанных в формулах (а) и (Ь) . Для задач и
Кр=ЛС0>, приведенных в (10.6) и (10.7), можно постуйить аналогичным
образом. В результате придем к соотношениям ортогональности, запи-
санным в (10.14) и (10.15).
Пример 10.11
Доказать, что характеристические полиномы задачи и ас-
социированных с ней усеченных задач обладают свойствами последова-
тельности Штурма. Рассуждения будем проводить применительно к мат-
рицам
Доказательство основано на преобразовании задач К^=ЛМуи
к стандартным задачам на собственные значения, для
которых характеристические полиномы образуют последовательность
Штурма. Как и в примере 10.10, будем считать М положительно опре-
деленной. В этом случае можно привести задачу Ку=АМ^> к виду
гДе ~ ~ ~ ~ ~
~ M=LmLm; ^=1_м(р,
a 1_м — матрица разложения Холецкого для матрицы М.
325
Рассматривая задачи Yip^Aip vt г»/,..., л-/, мы знаем,
что их характеристические полиномы образуют последовательность
Штурма. С другой стороны, для задачи К^= АМу и ассоциированных с
ней усеченных задач К^у^-А^М6^6^ собственные значения совпадают
с решениями соответствующих стандартных задач одного
и того же порядка, поскольку
^=^т<р(г>. (б)
Следовательно, характеристические полиномы задачи К(Р“ЛМу и
ассоциированных с ней усеченных задач также обладают свойствами пос-
ледовательности Штурма. Для примера, рассматриваемого ниже, имеем
(в)
Следовательно,
Вычеркивая в К из (г) последние строки и соответствующие столб-
цы, получим
«"'-[4 s“*w-
С другой стороны, мы можем получить матрицы
пользуя соотношения (б)
Км и ис-
м и э м м
где матрицы Y1"1 и (для подсчета L‘,7) получены из матриц К и
М, записанных в (а).
В предыдущем обсуждении мы предполагали, что матрица М поло-
жительно определенная. Если М лишь неотрицательно определена, то
вместо исходной рассмотрим задачу М<р = (ЭД)К<р, в которой матрица К
положительно определена. Таким образом, и в этом случае характерис-
тические полиномы обладают свойствами последовательности Штурма.
Более того, из предыдущего рассуждения следует, что характеристичес-
кие полиномы задачК^р=АКу и К<₽=АС|₽ , приведенные в (10.6) и (10.7),
вместе с полиномами их усеченных задач такйсе обладают свойствами
последовательности Штурма.
10.3. Методы приближенного решения
Рассмотрение динамических задач показывает, что получение числен-
ных результатов в динамических расчетах оказывается гораздо более
трудоемкой операцией по сравнению со статическими расчетами. Дейст-
вительно, если статическое решение можно получить за один шаг, в дина-
мической задаче требуется нахождение ряда решений для последователь-
ности временных шагов. Именно так, шаг за шагом интегрируются урав-
нения динамического равновесия, составленные с учетом сил инерции и
затухания (см. разд. 8.2).
В расчетах, связанных с разложением по формам собственных коле-
баний, основная трудоемкость приходится на процесс вычисления необ-
ходимого количества собственных частот и форм колебаний. В связи с
этим было уделено много внимания решению уравнений типаК^=АМ^. В
настоящем разделе рассматриваются современные численные процедуры
и алгоритмы, позволяющие вычислять младшие собственные числа и
векторы задач типа К^=ЛМ^ при больших порядках соответствующих
матриц. Отметим, что большинство программ, использующих "точные"
методы, позволяет решать системы невысоких порядков. В то же время
проблема вычисления нескольких первых собственных значений и век-
торов для систем относительно большого порядка очень важна для
многих областей строительной механики и, в частности, для задач сейс-
мостойкости конструкций. В следующих разделах рассматриваются
три основных метода, которые по существу можно трактовать как ва-
рианты метода Ритца.
При этом цель рассмотрения заключается не столько в том, чтобы дать
рекомендации по применению того или иного метода, а скорее в том,
чтобы описать его практические возможности и недостатки, а также при-
нятые допущения. Кроме того, анализируя связь между приближенными
методами, мы увидим в гл. 12, что каждый из них, по существу, может
рассматриваться как один шаг алгоритма так называемых "итераций в
подпространстве"(см. разд. 123).
10.3.1. Статическая конденсация. Основная предпосылка применения
сосредоточенных масс в динамических расчетах заключается в том, что
масса исследуемой конструкции может быть сосредоточена по несколь-
ким основным ее степеням свободы без существенной потери точности
при вычислении интересующих нас частот и форм собственных колеба-
ний. В случае, если составленная матрица сосредоточенных масс имеет
некоторое число нулевых диагональных элементов, вообще говоря, тре-
буется дополнительная дискретизация массы конструкции. Обычно
число масс составляет 1/10 — 1/2 общего числа степеней свободы сис-
темы. Чем меньше количество сосредоточенных масс, на которые рас-
членяется вся масса конструкции, тем проще оказывается задача в вы-
числительном отношении, однако тем меньше шансов на получение
требуемых частот и форм собственных колебаний с достаточной сте-
пенью точности.
Предположим, что дискретизация массы конструкции по степеням
свободы уже выполнена, причем матрица масс М имеет некоторое
число нулевых диагональных элементов. В этом случае задачу на собст-
венные значенияпредставим в блочной форме
кав KJUl д Гмв
kJ [w L°
°] [>«
где if>a и ipc есть "части" собственных векторов, которые описывают
перемещения по направлениям "массовых" и "безмассовых" степеней
свободы, а Мя есть диагональная матрица, имеющая только ненулевые
327
коэффициенты на главной диагонали. Для определения вектора <ре из
(10.42) имеем соотношение
% = 0, (10.43)
из которого находим
^=-К«КСа<₽«- (10.44)
Подставляя полученный результат в (10.42), вместо исходной будем
иметь новую задачу меньшей размерности
*<,& = ЛМО% , (10.45)
в которой
к«=квв-квск;с'ксо • (10.46)
Решение обобщенной проблемы (10.45) во многих случаях можно
свести к решению стандартной задачи на собственные значения, как это
было описано в разд. 10.2.5. Поскольку Ма есть диагональная матрица
масс с положительными и чаще всего не малыми коэффициентами,
это приведение, как правило, оказывается хорошо обусловленным.
Отметим, что правую часть (10.42) можно интерпретировать как не-
который вектор нагрузок R
R= (10.47)
и по аналогии с задачами статики исключить по Гауссу неизвестные,
относящиеся к безмассовым степеням свободы, так же как это дела-
лось при исключении неизвестных, связанных с внутренними точками
элемента .или подконструкции (см. разд. 7.2.4). Однако в отличие от
задач статики величина нагрузки в выражении (10.47) зависит от собст-
венного значения (т.е. от квадрата частоты) и собственного вектора
(формы колебания). Из-за этого обстоятельства в (10.45), вообще
говоря, нельзя исключить большое число степеней свободы. В этом про-
является основная особенность рассматриваемой конденсации масс от
статического расчета, где нагрузки задаются в явном виде и поэтому
их влияние можно учесть в процессе исключения степеней свободы.
Пример 10.12
Использовать статическую конденсацию для вычисления собственных
чисел и векторов задачи К^=ЛМ^, где
к = 2 -1 0 О' -12-1 а 0-1 2-1 ,0 0-1 1 > м = "0 2 0 1
Сначала переставим столбцы и строки, чтобы привести матрицы к
виду (10.42), что дает
328
2 6
О 1
О
-1
-1
О
-1
-/J p i\ -1
Теперь задача K„^,= AMafa
' 1
к,-
I О
-1
1
г
X
г
запишется в
виде
будут
1
~ А
2
/>•
Корни характеристического полинома
det(Ke-A!4,) = 2А*-2А*^
i 1 . 1 1
Соответствующие собственные векторы определим с использованием
соотношения М — ортонормальности
(К Af Мв) (ра. = О ; Ma(fa.= 1
Это дает
~ ±~
2
i
2
С помощью (10.44)
получаем
Окончательно решение задачи имеет следующий вид
л “1 л —
1 1
4
_Х
*
<4 =
4
1 я Л + !». •
лг 2 * >
2
Лэ=ео; tf3 =
2
'Г
о
о
.0.
А^=оо
К*
4
2
О'
О
1 •
.0.
329
Отметим, что основные вычислительные трудности связаны с получе-
нием матрицы Кв согласно (10.46), причем использование для этого
обращения матрицы Кк далеко не всегда возможно. Здесь более полез-
ным может быть разложение матрицы по Холецкому
Ка=1сЦ. (10.48)
Тогда матрицу Ка можно вычислить в виде
Кв=Кв„-УгУ, (10.49)
где матрица У определяется из соотношения
(10.50)
Как было отмечено ранее, изложенная методика, по существу, являет-
ся исключением по Гауссу безмассовых степеней свободы, т.е. тех степе-
ней свободы, по направлениям которых не развиваются силы инерции.
При решении задачи Кв(^,=/(Мв^,также подчеркнем, что матрица Кв, в
общем случае оказывается заполненной. Поэтому решение может быть
сравнительно трудоемким, за исключением случая, когда порядок
матрицы невысокий.
Вместо вычисления матрицы Ка более удобным может оказаться
путь построения матрицы податливости Fe= которая получается
из соотношения
Ки
Км
(10.51)
где I — единичная матрица того же порядка, что и Кяв. Согласно
(10.51), коэффициенты матрицы Fa есть перемещения конструкции
от единичных нагрузок, приложенных по направлениям колеблющихся
масс. Если эта матрица составлена, то вместо (10.45) будем иметь сле-
дующую задачу на собственные значения
(Т^а= ЬМв(?«. (Ю.52)
По сравнению с обобщенной проблемой эта задача представ-
лена несколько иначе, тем не менее приведение ее к стандартной задаче
выполняется аналогичным образом (см. разд. 10.2.5). Для этого сна-
чала вычислим вектор
£ = , (Ю.53)
где — диагональная матрица, у которой i тый диагональный коэф-
фицент равен корню квадратному из t-того диагонального элемента
матрицы Ма. Умножая обе части (10.52) на слева и подставляя
результате (10.53), получим
Е %=(£)#.; (10.54)
Fa=M*FeM'*. (Ю-55)
330
С помощью вектора tfa находим полный вектор перемещений
К
Л.
I
ekJ
ч>«
(10.56)
где Fc вычисляется из (10.51). Соотношение (10.56) получено с учетом
того, что колебания по форме <ра вызваны силами, равными Каф’,.Ис-
пользуя (10.51), в (10.56) получаем соответствующие перемещения
для всех степеней свободы.
Пример 10.13
Применить алгоритм, задаваемый соотношениями (10.51) — (10.56)
для вычисления собственных чисел и собственных векторов задачи
К^=ЯМ^, рассмотренной в примере 10.12.
Первый шаг заключается в решении уравнений
’2
-1
0
0
-1 0 О' "о 6
2 -1 0 [7. 1 0
-1 2 -1 1У* ^J = 0 0 л
0 -1 d 0 1
причем мы не будем переставлять строки и столбцы К, чтобы строго
соответствовать равенству (10.51).
Для решения уравнений (а) используем LDLr разложение матрицы
К,где
. 0 о -1
Это дает
<= 2 2 2];
и, следовательно.
<= 2 3 0
Решение задачи на собственные значения
имеет вид
//у=4-2з^; й,=
tpat-
(б)
Так как &= , то
33
Векторы (f>Ci и вычисляются с использованием (10.56)
Поскольку оказалось, что ju = 1/Л , то приходим к выводу, что в (б),
(в) и (г) получено то же решение, что и в прим. 10.12.
Отметим, что результаты вычисления собственных значений и их век-
торов не зависят от выбора процедуры исключения безмассовых степе-
ней свободы, а определяются в основном характером дискретизации
инерционной массы системы. Как указывалось в разд. 10.2.4, каждая
нулевая масса соответствует бесконечной большой собственной частоте
системы. Поэтому если вместо уравнения Ку>=АМ{₽ решается уравнение
(10.42), то фактически это означает, что некоторые старшие конечные
частоты задачи мы считаем как бесконечно большие, полагая,
однако, что младшие частоты за счет этого изменятся незначительно.
Точность, с которой младшие частотыприближенно представ-
лены в задаче КЛ-ЛМ, ipa , зависит от способа дискретизации масс и,
вообще говоря, растет с увеличением числа степеней свободы, связанных
с сосредоточенными массами.
Таким образом, основные недостатки процедуры сосредоточения
масс с последующим исключением безмассовых степеней свободы свя-
заны, во-первых, с тем насколько удачно будет дискретизирована масса
конструкции, а, во-вторых, невозможностью оценить потребности реше-
ния в зависимости от выбора способа дискретизации. Рассмотрим при-
мер, показательный в этом смысле.
Пример 10.14
В примере 10.4 были определены собственные числа и векторы задачи
для заданных К и М . Уменьшить размерность задачи пу-
тем концентрации масс системы и вычислить младшее собственное чис-
ло и соответствующий собственный вектор; это дает следующую задачу
'2
-1
.0
Используя алгоритм.
(10.51) - (10.56),
получим
Отсюда Л,=^-,%=^/тХ2,и
V
Вычисление наименьшего собственного числа и соответствующего
собственного вектора задачи (а) приводят к результатам
2
г
сильно отличающимся от решения исходной задачи из примера 10.4,
приведенных ниже
Л=2; <$ =
Следует отметить, что при использовании процедуры концентрации
масс вычисленные собственные числа могут быть меньше (как в данном
примере) или больше собственных чисел исходной задачи.
10.3.2. Алгоритм метода Релея—Ритца. Этот метод является наиболее
общим методом вычисления приближенных значений младших собствен-
ных чисел и соответствующих собственных векторов в задаче
Алгоритм статической конденсации (разд. 10.3.1), покомпонентный
синтез форм, описанный в следующем разделе, а также некоторые
другие процедуры, по существу, являются теми же или иными варианта-
ми метода Ритца. Разница между ними заключается лишь в способе
выбора базисных векторов.
Основы метода Релея—Ритца в задачах на собственные значения рас-
смотрим применительно к задаче
К^=ЛМ^, (10.4)
где будем считать К и М положительно определенными матрицами
(т.е. 0). Как уже было замечено в разд. 10.2.3, всегда можно добить-
ся положительной определенности матрицы путем выбора надлежащих
"сдвигов". В отношении матрицыМ заметим, что у нее не должно быть
нулевых коэффициентов на главной диагонали, хотя в дальнейшем
будет показано, как ослабить это требование.
Согласно минимальному принципу Релея
Х< = (10.57)
где минимум берется по всевозможным векторам tp, а р(Ц>) есть
отношение Релея
= <10-58’
Это равенство получается из отношения Релея для стандартной задачи
на собственные значения Ку=Л^ (см. разд. 2.7 и 10.2.5). Так как К и
М положительно определены, то величина отношения р(<р) заключена в
некоторых пределах (см. разд. 2.7)
0 < ^p(tp) S < со . (10.59)
333
В методе Ритца любой вектор ip можно представить в виде линейной
комбинации базисных векторов Ритца ipt, 1=- f,...,q-
9 ’
u>=Zxitpt, (10.60)
где х(- — так называемые координаты Ритца. Из этого вытекает, что <р
лежит в подпространстве натянутом на базисные векторы Ритца
(см. разд. 2.2 и 12.3). Поскольку ip;, 1,...,g , должны быть линейно
независимы, подпространство V9 имеет размерность q и содержится
в п - мерном пространстве, в котором определены матрицы К и М.
Обычно в методе Релея—Ритца на основе минимального принципа
разыскивается некоторый вектор ipt, q, расположенный в под-
пространстве базисных векторов |/? и "наилучшим образом" аппрокси-
мирующий искомый собственный вектор.
Для применения минимального принципа Релея вначале составим
отношение Релея
к
т
(10.61)
где
Кг ч?**' ;
(10.62)
(10.63)
Необходимые условия минимумаp(ip) из (10.61) есть dpffl/dxt ~ 0
Учитывая, что 1 ’
Q/XVL 2т £ w (1064)
dxi nt* ’
а также р=к/т , перепишем условия минимумау?^/ в виде
«
Zxjiktj 0, L~1,...,q. (10.65)
В матричной форме это условие имеет вид
Кх = у?М X ,
(10.66)
где К и М — квадратные матрицы порядка gXg , коэффициенты
которых вычисляются согласно (10.62) и (10.63), а вектор х имеет
следующие компоненты в базисе Ритца
Хг= [х, хг . .. xtJ. (10.67)
Решение уравнений (10.66) дает g приближенных значенийр1,...,р9
к собственным числам Ло...,исходной задачи, а также векторы X/
х,г=[х; х'...х;]
Хгг=[х/ xf ... xfl <10-68>
х4г=[х« Х»...Х»].
334
Эти векторы необходимы для вычисления векторов являю-
щихся приближениями к искомым собственным векторам . С
помощью (10.68) и (10.60) получим, что
. (10.69)
А*
Отметим, что вычисленные значения д,...,у7? всегда дают прибли-
жение сверху, т.е.
jOy А3 £ р3 } Ад $Pg j ,,. j А9 £р3 £ Ап . (10.70)
Поскольку К ~ и М предполагаются положительно определенными,
то матрицы К и Я будут также положительно определенными.
Доказательство неравенств (10.70) раскрывает существо алгоритма,
использованного для получения приближенных собственных значений р,.
При вычислении р1 мы ищем минимум отношения p(if), достигаемый
на некоторой линейной комбинации всех базисных векторов Ритца.
Неравенство А1 <следует из минимального принципа Релея (10.57),
так как 1^ содержится в п — мерном пространстве 1/л, в котором дей-
ствуют матрицы К и И:
При вычислении р3 как приближения к Лж существенную роль иг-
рает условие ортогональности. Дело в том, что в задаче Ху» Л Му
Az- minp(tf) , (10.71)
где минимум ищется среди векторов if , принадлежащих подпростран-
ству, ортогональному к вектору ip{ с весовой матрицей М (см.
разд. 2.7)
ргМу,= 0. (10.72)
Это связано с тем, что для приближенных векторов ft, полученных
согласно методу Релея—Ритца, справедливо соотношение М - ортонор-
мальности
у/Му7 = <£у . (10.73)
Поэтому можно вычислить приближение рг как минимум отношения
Релея на всевозможных векторах if из 1^, которые удовлетворяют
условию ортогональности, т.е.
А = minp(if) (10.74)
У гМу<» 0. (10.75)
Для доказательства того, что Аг^р31 рассмотрим родственную задачу,
в которой
рг = т'тр(р), (10.76)
причем минимум ищется среди всех векторов у , которые удовлетво-
ряют условию
(pTMlft=O. (10.77)
335
Задача, определенная соотношениями (10.76) и (10.77), такая же,
как и задача в (10.71) и (10.72), за исключением того, что в последнем
случае минимум ищется среди всех if, тогда как в задаче (10.76) и
(10.77) рассматриваются только векторы из подпространства
Поскольку это подпространство содержится в Ц , то, следовательно,
другой стороны, д &pt, так как наиболее жесткие ограничения
на векторы <р в (10.77) связаны с вектором Поэтому
Аг^р>я^рг. (10.78)
Отметим, что вычисление и основано на том, что минимум
отношения р(р) ищется совместно с выполнением условий ортогональ-
ности (10.75). Аналогично, для получения pi и ф минимизируется
уз^при условиях ортогональности для всехСледова-
тельно, неравенство для pt типа (10.70) может быть доказано так же,
как для рг, но при условиях удовлетворения всем соотношениям орто-
гональности. Последнее также означает, что можно ожидать большую по-
терю точности в приближениях к старшим собственным числам по
сравнению с приближениями к младшим числам, при определении кото-
рых ставится меньше ограничений.
В практических динамических расчетах базисные функции метода
Ритца могут быть взяты из статического расчета на действие специальных
q нагрузок, записанных в матрице R, т.е.
(10.79)
где V — искомая матрица порядка и X q , составленная из базисных
векторов По существу,тем самым определяются проекции
К и М на подпространство I4, натянутое на векторы /=/,..,,q. Для
этого вычислим разложения
K=YrKY (10.80)
И ~ г
M«YrMY, (10.81)
где из (10.79) имеем
К = (10.82)
Затем рассмотрим задачу на собственные значения Кх*=узМх , реше-
ние которой может быть записано в виде
КХ=МХр, (10.83)
где р — диагональная матрица, коэффициенты которой есть прибли-
жения к собственным значениям p»dlag(р,), а X — матрица, составлен-
ная из ортогональных к М собственных векторов Ху,..., к*. Теперь
приближенные собственные векторы задачи находим согласно
уравнению
Ф=ТХ . (10.84)
До сих пор предполагалось, что матрица масс положительно опреде-
ленная, в частности, если М — диагональная матрица, то у нее все коэф-
336
фиценты главной диагонали ненулевые. Это делалось с целью избежать
рассмотрения возможности обращения в ноль квадратичной формы
стоящей в знаменателе отношения Релея, так как в этом случае
собственные числа оказываются бесконечно большими. Однако алго-
ритм метода Релея—Ритца применим и для этого случая, при условии,
что базисные векторы принадлежат подпространству собственных век-
оров, соответствующих конечным собственным значениям. Возмож-
ность построения такого базиса связана с выбором векторов нагрузок
в матрице R и подробно рассматривается в разд. 12.3.3 (см. также
прим. 10.16).
Отметим, что погрешности приближенных собственных значений
существенно зависят от выбора базисных векторов, так как векторы
if являются линейными комбинациями базисных векторов у*-,/=/,..q.
Мы можем надеяться на хорошие результаты только в том случае, если
векторы ул порождают подпространство 1^. , близкое к наименьшему
собственному подпространству К и М , порождаемому векторами
Но это не значит, что каждый из базисных векторов должен
быть близок к искомому собственному вектору; наоборот, скорее ли-
нейные комбинации базисных векторов могут дать хорошие приближе-
ния собственных векторов задачи Ку=ЛМу>. Выбор базисных векторов
будет обсуждаться в разд. 12.3, где излагается алгоритм итерации под-
пространств, основанный на методе Ритца.
Для иллюстрации алгоритма Релея—Ритца рассмотрим следующие
примеры.
Пример 10.15
Получить приближенные решения в задаче К^ЛМу, рассмотренной в
примере 10.4, где
Точные значения собственных чисел есть 2,4^=4, 6. Для по-
строения базисных векторов в алгоритме метода Ритца:
1) Использовать следующие векторы статических нагрузок:
Г' °]
0 О
о Н
(1)
2) Наряду с этим использовать также другой набор векторов нагрузок
Р=
Алгоритм метода Ритца
для случая (1) дает
О'
1
0. ‘
согласно соотношениям
(2)
(10.79) - (10.84)
' 2 -1 (Л ГУ
-1 4 -/ ¥ = 0
,0 -1 2J [р
О'
0
1
и, следовательно, матрица базисных векторов есть
Это позволяет записан». что
к =Л7 ']•
* 12 |/ 7 Г
_J_\29
" W+ \11
г9\'
м
Решение задачи имеет вид
о..»,;- [$%])
Отсюда в качестве приближений собственных чисел берем значения
PfZJO;p~4,00,v\, вычисляя
12
i
~1.342 2,000]
1,342 -2,00о\
»
0,895 1,00’
0,447 О
0,895 -1,00
находим, что
V,-
0,895
0,447 ;
0,895_
' 1,00~
0,00
-1,00
Затем возьмем векторы нагрузок из (2) и запишем
'2 -1 О'
-1 4 -1
2.
Далее находим новую матрицу
О'
1
О
а также матрицы К и Й
1 №
М ' ’в [«
«1
'rj'
Решение задачи на собг <венные значенияКх=лМх с этими матрицами
К и М дает
338
*» fA-х")ж (мт-
-стественно, что теперь получились несколько иные приближения к соб-
твенным числам р,^2,00\ р^б.ОО. Вычисляя согласно (10.84)
и
f
f
Ф-
'0,70111
0,70711
-2,1213]
6,3640 J
0,70711
0,70711
0,70711
-0,70706'
0,70713
-0,70706
находим, что
Й =
'0,7071f
0,70711
0,70711
- 0,70706
0,70713
-0,7070б_
6
i
6
Сравнивая эти результаты с точным решением, интересно отметить,
что при использовании (1)р,>А, и р».= Аг, тогда как в случае (2)yJ/=^
и р^-Аь, причем в обоих случаях мы не получили хороших приближе-
ний к двум младшим собственным значениям. Из этого следует, что
результаты вычислений целиком определяются выбором "хороших"
или "плохих" базисных векторов.
Пример 10.16
С помощью алгоритма Релея-Ритца вычислить приближения к А< и
в задаче, рассмотренной в прим. 10.12. В этом примере матрица
М— неотрицательно определенная. Поэтому возьмем такой вектор на-
грузок в R , который порождает перемещение, по крайней мере, одной
массы. Пусть
Rr= [Р 1 0 в].
Тогда решение уравнения (10.79) дает (см. прим. 10.13)
YT= [1 2 2 2].
Отсюда
К=[2]; И-[12];
Г_С Л-
Как и следовало ожидать, в этом случае р, оказалось больше А,(р,>А,у
Как уже отмечалось, метод Ритца есть весьма общий метод приближен-
ного решения, и поэтому многие другие алгоритмы, имеющие различные
названия, фактически являются вариантами метода Ритца.
В частности, в разд. 10.3.3 будет рассмотрен так называемый алго-
ритм покомпонентного синтеза форм собственных колебаний сложных
систем. Ниже будет показано, что алгоритм статической конденсации
(см. разд. 10.3.1) есть, по существу, также вариант метода Ритца.
Напомним, что в этом алгоритме мы уменьшаем число степеней сво-
боды всех масс системы до величины q,. Поэтому приближенная задача
на собственные значения (10.42), аппроксимирующая заданную задачу
типа К^=ЛМу,
339
[Ха
Kw
см л L®
“1[Ч
oj Fe ’
(10.425
имеет g конечных и (n-q) бесконечно больших собственных значений,
соответствующих "безмассовым" степеням свободы (см. разд. 10.2.л‘
Для вычисления конечных собственных значений безмассовые степе-
ни свободы исключались по Гауссу, и мы получали следующую упро-
щенную задачу
К.%-ЛМ.0>в, (10.45)
где Ка вычисляется согласно (10.46) . Однако этот подход есть, по су-
ществу, применение метода Ритца для задачи, рассмотренной в (10.42).
Базисные векторы определяются перемещениями, связанными лишь
с g степенями свободы, соответствующими вектору <ра . Решая урав-
нения
Ха КаЛГГа! Г Г
kJLfJ=Lo.
(10.51)
в которых Fa = Ka*, находим, чго базисные векторы алгоритма Ритца,
использованные в (10.80), (10.81) и (10.84),есть
' I
ЛК,-
(10.85)
Покажем, что применение векторов из (10.85) вытекает из соотноше-
ний (10.45). Для этого вычислим К и М согласно (10.80) и
(10.81), подстановка V и К в (10.80) дает
К- [1 (FcKe)T] У (10.86)
что позволяет с помощью (10.51) записать
К=Ка.
(1G.87)
Точно так же подстановка У и И в (10.81) дает
м-[1 (Екуф
(10.88)
или
М= Ма .
(10.89)
Таким образом, в алгоритме статической конденсации в действительнос-
ти реализуется алгоритм метода Ритца для модели системы с сосредото-
ченными массами. Следует подчеркнуть, что в этом алгоритме определя-
ется точно q конечных собственных чисел pi =Л/ для г= так
как базисные векторы Ритца образуют q — мерное подпространство.
Практически вычисление векторов V в (10.85) необязательно (и это
было бы дорого). Вместо этого алгоритм Ритца лучше реализуется с
использованием матрицы
340
(10.90)
Так как векторы в (10.90) образуют то же подпространство, что и
'екторы в (10.85), то использование любого набора базисных векто-
ров позволяет определять одни и те же cohci венные числа и собственные
векторы. В частности, используя (10.90), получаем задачу на собствен-
ные значения в виде
F. х = Л Та МаЪ х .
(10.91)
Чтобы показать, что эта задача эквивалентна задаче (10.45), умножим
обе части равенства (10.91) на Кв и с помощью преобразования х
приходим к задаче Квх=АМчх,что соответствует (10.45)
Пример 10.17
Использовать алгоритм Ритца для исключения безмассовых степеней
свободы в задаче рассмотренной в примере 10.12. Для этого
сначала необходимо вычислить базисные векторы Ритца из (10.90) . Это
было сделано в примере 10.13, где мы нашли, что
Уменьшение степеней свободы согласно (10.91) приводит к следую-
щей задаче
/2 /tfl
16 24J ’
~2 2'
2 *
10.3.3. Покомпонентный синтез форм. Так же как и методика стати-
ческой конденсации, покомпонентный синтез форм является в дейст-
вительности методом Ритца, в связи с чем его можно было бы изложить
s предыдущем разделе в качестве приложения. Как было неоднократно
отмечено выше, наиболее важный момент алгоритма Рйтца — это выбор
подходящих базисных векторов, так как результаты вычислений будут
настолько хорошими, насколько это позволят выбранные базисные
векторы. Специфика алгоритма Ритца, использованная в покомпонент-
ном синтезе форм колебаний, вызывает особый ишерес и должна быть
рассмотрена отдельно.
Этот синтез форм можно считать естественным развитием практи-
"еских методов расчета больших и сложных конструкций.
Основная идея этого алгоритма заключается в том, что на первой
стадии расчета сложной системы выполняются расчеты ее некоторых
подсистем (подконструкций) независимо дру| от друга, а их взаимное
влияние в составе целой системы учитывается приближенно. Например,
при расчете реактора главная труба может быть выделена в одну подсис-
ему, а окружающие ее боковые трубы образуют другую. При этом в
«редварительном расчете боковых труб считается, что в местах соедине-
ния их с главной трубой имеется жесткое закрепление, а при расчете
главной трубы влияние боковых труб учитывается в виде некоторой
сосредоточенной массы и упругой пружины. Расчеты подконструкций
можно вести одновременно и независимо друг от друга. Именно поэтому
покомпонентный син!ез форм весьма эффективен в расчетах и конструи-
ровании больших конструкций, имеющих сложную структуру.
341
Предположим, что для подконструкций, образующих некоторую сис-
тему, определены формы собственных колебаний. Попытаемся их ис-
пользовать в приближенном анализе собственных частот и форм целой
системы на основе алгоритма Релея—Ритца. Будем считать, что в каждой
подконструкции граничные степени свободы закреплены. Обозначим
матрицы жесткости подконструкций через Кх,Хв,...,Км и предположим,
что каждая L-я подконструкция в составе целой системы связана толь-
ко с (L-1 )-й и (L + 1)-й подконструкциями. Тогда матрица жесткости
всей системы имеет блочно-тридиагональный вид
(10.92)
Км-/,м Км .
где К4_/м есть матрица коэффициентов взаимных жесткостей (Ь-1).-й
и £-й подконструкций. Используя аналогичные обозначения для
матрицы масс, будем иметь
(10.93)
причем взаимные матрицы М4_, L - 0 в случае использования осреднен-
ных масс. Если младшие собственные числа и соответствующие собствен-
ные векторы каждой подконструкции вычислены, то можно записать
Kt<Pt= М^Л,
КВФЖ = МжФжЛж
Км<Рм= МмЧ^Лм
(10.94)
где Фд и Лд являются матрицами собственных векторов и собствен-
ных значений L-й подконструкции.
В покомпонентном синтезе форм приближенные формы колебаний и
частот получаются с помощью алгоритма Релея—Ритца, в котором приня-
ты следующие нагрузки в правой части выражения (10.79)
(10.95)
Здесь I4_f д — единичная матрица, порядок которой равен количеству
степеней свободы между подконструкциями L -1 и L . Эти матрицы
соответствуют нагрузкам, которые приложены по направлениям связей
между подконструкциями.
Отметим, что вычисления с помощью процедуры покомпонентного
синтеза форм на основе алгоритма Релея—Ритца дают верхние границы
342
точных собственных значений задачи К^=ЛМ(Р. Фактические погрешнос-
ти приближенных результатов можно оценить в соответствии с разд.
10.4. Однако главный недостаток описанной методики заключается в
том, что точность приближенных результатов в высшей степени опреде-
ляется выбором базисных векторов, образующих матрицу R. В то же
время разумной точности можно достигнуть при использовании в матри-
це R собственных форм подконструкции, соответствующих их млад-
шим собственным значениям. В качестве иллюстрации процедуры поком-
понентного синтеза форм рассмотрим следующую задачу.
Пример 10.18
Рассмотреть задачу на собственные значения где
-J________
} 2 -1
! /
Использовать решение задачи на собственные значения для подконструк-
ций, отмеченных пунктирными линиями в К и М , чтобы построить
матрицу нагрузок, приведенную в (10.95) для подкомпонентного синте-
за собственных форм.
Вычислить приближенные собственные значения и векторы.
Для подконструкции I
2
2
собственные числа и векторы
0]
Аг = 3;
Для подконструкции П
К,-
и соответственно
О'
d
Таким образом, матрица Р,со<ласно (10.95), имеет вид
тТ V? о
R= Т 2
0 0 1
~2 ~~2 °
.1 1 0
343
Применяя алгоритм метода Ритца, по формулам (10.79) - (10.84)
последовательно вычисляем:
22,40 5,328 7,243 222,4 50,69 77,69
к = 5,328 2.257 (586 50,69 11,94 17,59
7,243 1,586 3 J 77,69 17,59 27,5 _
0,207 -0,773 0,00690'
0,098 0,181 0,0984 -0,0655
у? да 2,83 ; Ф= 0,509 1,47 0,443
1,82 0,594 -0,385 -0,166
0,655 0,574 -0,978
Сравнивая приближенные результаты (в матрице р) с точными соб-
ственными числами рассматриваемой задачи
А,- 0,098; 4= 0,824; А3=2,00; 4= 3,18 ; А?- 3,90,
можно отметить, что если д практически совпадает с величиной то,
наоборот, и р3 не являются сколько-нибудь удовлетворительными
приближениями.
10.4. Оценка погрешностей приближенных решений
При вычислении собственных чисел и собственных векторов очень
важно иметь надежные оценки точности полученных результатов. Пред-
положим, что для задачи
(10.96)
с помощью некоторого алгоритма мы вычислили приближенные значе-
ния Л и ip соответствующей собственной пары. Введем в рассмотре-
ние (как это было и в статических расчетах) вектор невязок г
(10.97)
Вначале положим, что М®1. Тогда с помощью (10.12) и (10.13) этот
век гор представим в виде
г= Ф(Л“Л1)ФГ^. (10.98)
Поскольку А не есть точное собственное значение, то можно разре-
шить эту систему относительно
Ф(Л-Х1)-',фгг. (10.99)
Используя свойства нормы произведения и учитывая, чтоЦуЦ будем
иметь 2
Поскольку
М(Л-Л1Г112||г||2.
(10.100)
344
то окончательно получим следующую оценку погрешности вычисленного
приближения Л
(10.101)
min | A,-A | « ||r||2 .
Таким образом, норма вектора невязок 11<*Иг, согласно (10.101), яв-
ляется мерой близости вычисленного приближения А к некоторому
собственному значению Х^.
При этом номер I приближенного числа А; следует определять
с помощью рассмотренных выше свойств последовательности Штурма
(см. разд. 10.2.2 и следующую задачу).
Пример 10.19
Рассмотреть задачу на собственные значения ItysAfP , где
К-
Она имеет следующее решение:
О’
-1 .
3.
Л,= 1;
Л2 = 3;
Л3=4,
Положим, что в результате вычислений были получены
А = 3,7
’ «7 1
.-0,7
как некоторые приближения к Ла и if>2 . Оценим погрешность этих
приближений с помощью (10.101).
Вычисление вектора невязок г
' 3
-1
LZ7
о\ Г в7'
-1 0,1Ш
3JL-47.
" 0,7 '
0,1 W
-0,7
и его нормы дает
г =
'-о,гт'
-0,1555 ;
.-0,211^1 \
И2а 0,3370-
На основании (10.101) для модуля разности чисел Ла и X полу-
чим следующую оценку
|Аа-Л| < 0,3370,
которая, естественно, больше их фактической разности Л - Аа = 0,1.
В действительности мы не знаем, какие именно собственное число и
собственный вектор приближают вычисленные значения Л и В
этом случае соотношение (10.101) позволяет установить интервал, внут-
ри которого находится собственное число, уточнить которое можно
с помощью последовательности Штурма (см. разд. 10.2.2).
345
Для рассмотренного примера имеем оценки Л;
2,7630 «t Л. 4 3,4370.
Возьмем число 2,7 в качестве нижнеи границы для Л;, а в качестве
верхней - число 3,5. Треугольное разложение матрицы K-//I«LDLr дает
при /и=2,7
1
= -з,ззз
о
'0,3 -1
-1 -0.7
к° ~1
7
0,2479 1
Q3J
0,3
-4,033
0,3248 _
-3,333
1
О
0,2479
1
(а)
1
и соответственно при ju,=*3,5
'-OS -1
-1 -15
О -1
<71 Г/
-1-2
-0,5 J L0
-2 L
-0,5
0,5
2,5.
2 О'
1 -2
1
(б)
7
1
Так как в матрице D при /и»2,7 есть только один отрицательный эле-
мент, а при ju™ 3,5 появляется уже два отрицательных элемента, то,
следовательно, эти значения ju являются границами второго собствен-
ного значения, т.е. 2,7<Л^<3,5 и А и if являются приближениями к
и tft.
Для оценки близости вектора If к точному собственному вектору,
помимо нормы вектора ошибки ||г||г существенную роль играет раз-
ность между отдельными собственными числами. Предположим, что Л и
if уже вычислены, причем 1 , а Л есть приближение к собст-
венным числам Ло z = p,...,q. Для анализа возможных ошибок предполо-
жим также, что собственные числа А, для всех I , кроме Уэд..., ф, из-
вестны. Окончательные оценки основаны на том, что если|Л,-Л|4 ||rj2 для
q и |Л;-Х|йз для всех i i^p,,..,q.t то существует вектор
^"а^">а»^ДЛЯ которого ЦгЦ, /з (см. разд. 10.20). Поэтому,
если А является приближением к простому собственному числу Я/, то
соответствующий вектор ip является приближением к вектору tfi , и
разница между ними оценивается в виде
-s= mln \Лу-А| . (10.102)
Однако, если Л есть приближение к группе собственных чисел Л^,,..,^,
то тогда наш анализ показывает только, что соответствующий вектор f
близок к вектору, лежащему в подпространстве, натянутом на векторы
К,-М- В практических расчетах (при разложении по формам собствен-
ных колебаний)этого более чем достаточно, поскольку близкие собствен-
ные числа можно почти всегда считать как кратные, для которых вычис-
ленные собственные векторы определяются с точностью до соответству-
ющего им подпространства. В дальнейшем будет выведена оценка точ-
ности, с которой р приближает искомый собственный вектор, и приве-
дены примеры ее применения.
346
пример iu.^u - _ ll-ц .
Предположить, что вычислены приближения Л и tf, причем|(уи2=7
и что K<P_Atf= г. Рассмотреть случай, когда |А^-А1« ||г|1гдля и
!Л/-А|Лдля i = >п- Показать, что ||^-^l44|rVVДе F есть век-
тор из подпространства, натянутого на векторы^,,
Для приближенного собственного вектора <f справедливо разложе-
ние
~ _ Л»
Так как то норма разности if и if есть
•*-М4,а‘Ч
или, поскольку будем иметь
С п
^я-{,4,а0 ’ м
но
И.- ||К^-Лу|2- I|2
или
( п "\1k.
Н^^ог^-А)2].
Это позволяет записать
1г'.й г{Х°'Т- 161
Отсюда, объединяя (а) и (б), получаем, что ||(р- у||2 4 •
Пример 10.21
Рассмотреть задачу из примера 10.19. Предположить, чго Ai и А3 из-
вестны (т.е. А,= 1; Л3=4) и что А и (?, данные в прим. 10.19, вычис-
лены. (В действительности мы можем получить только приближения
к А/ и А3 , из-за чего все оценки погрешностей будут лишь приблизи-
тельными.) Оценить точность, с которой if приближает^.
Используя соотношение (10.102) .будем иметь
Мг-А|.
Так как А =3,У то з» 0,9 и
||?-<хг(МН 43744.
Точная оценка для ||^-^||2оказывается следующей:
347
IL - *+ (0,1^-о)г+ (-0.7 > < } г~ o,un.
Пример 10.22
Рассмотреть задачу Kf = , где
v \100 "Л
К= [-/ 1Оо\-
Собственные числа и собственные векторы этой задачи есть
Л-**
Л = 101; у>4 = -Хг|
2 V? [-/
Предположить, что вычислено приближенное собственное число и его
собственный вектор й= 100, Оценить погрешность приближенного
решения по (10.101) и (10.102).
Сначала определим вектор г по формуле (10.97)
rw -mi ймИ-М
г [.-* mojloj loj~l-ij-
Отсюда ||гЦ2= 1, и выражение 10.101) дает оценку
гп/п|Л,--Л|^ 1. (а)
Следовательно, искомое собственное число вычислено с ошибкой, не
превышающей одного процента. Сравнивая X с А, или Аг?находим,
что оценка (а) действительно справедлива.
Рассматривая теперь приближенный собственный вектор ф, мы ви-
дим, что он не является приближением ни для , ни для Это так-
же следует из соотношения (10.102). Действительно, если ф является
приближением к </>,, то при s = 7 имеем
Точно так же, полагая, что ф является приближением к (pz , полу-
чаем
Цр-а2(Мг *<
В обоих случаях полученные оценки велики (так как Цр,Цг— 1 и
Следовательно, ip не является достаточно хорошим прибли-
жением к какому-либо собственному вектору рассматриваемой задачи.
До сих пор обсуждались оценки погрешностей приближенных реше-
ний задачи 'К<р=А<Р. Для получения аналогичных оценок решений обоб-
щенной задачи Ку’=АМу можно использовать результаты, получен-
ные путем приведения этой задачи к стандартной форме. На основе рас-
суждений, приведенных в разд._10.2.5, можно представить обобщенную
задачу в видегде Предположим, что мы вычислили
приближения к и в виде Л и . Тогда, по аналогии с
изложенным выше, находим вектор — ошибку г^, в виде
гм=К(р-ЛМ^. (10.103)
Для того чтобы связать этот вектор г„ с вектором ошибок в стан-
дартной задаче на собственные значения, учтем, что М=5$г, и тогда
348
Г= Ку-Лу, (10.104)
, де r« S" r„,V=S’ip и K=S~*KSr. Заметим, что с помощью вектора S“V„
можно вычислить действительные границы погрешностей согласно
ИО 101), но для этого необходимо иметь разложение М в произведе-
ние 5$г , что возможно, если матрица М положительно определен-
ная.
Несмотря на то, что границы погрешностей можно определить, как
указывалось выше, практически в методе конечных элементов целесооб-
разно для вычисленных приближений Л и ip некоторого собствен-
ного числа и вектора использовать следующую относительную оценку
погрешностей (см. табл. 12.1 и 12.3)
ЦК»-^Му1|г (10.105)
Вк?12
Так как физически есть вектор упругих сил в узловых точках,
а ЛИ? есть вектор сил инерции в этих же точках, развивающихся при
колебаниях ансамбля конечных элементов по собственной форме у, то
(10.105) можно трактовать, как отношение нормы невязки уравне-
ний динамического равновесия к норме упругих сил. Эта величина долж-
на быть мала, если Л и достаточно близки к соответствующей
собственной паре. Отметим, что если М«1, то можно записать
||г||г (10.106)
и, следовательно,
€ > min • (10.107)
J Л
Пример 10.23
Рассмотреть задачу на собственные значения где
к= Г10 '1°\• м= р ч
\.~10 100 J’ " [7 4J
Ее решение с точностью до 12-го знака есть
863385512876 ,
< > \0,105070337503}
Лг = 33,2794 71629932 !рг =
г ’ ’ ™ L 0,524093989558}
Предположить, что tp^Ctpi+Stp^c , где с подбирается из условия
^zMy»/,a в качестве «Г принять значения 10'^ ffl~s и 10~е. При каж-
дом значении ff определить А из отношения Релея для вектора ip и
вычислить точные пределы разности |ЛУ —Л| и значение погрешности
по формуле (10.105).
Результаты вычислений представлены в таблице. Оценки погрешнос-
тей согласно (10.103) — (10.105) показывают, что для каждого значения
соотношение (10.101) выполняется и что величина € уменьшается
по мере увеличения точности решения.
349
10 1 10 3 10-6
0.597690792656 0.156698194481 0.640374649073 0.105594378695 0.640775610204 0.105070861597
4.154633890275 3.863414928932 3.863385512905
4.154633890275 3.863414928932 3.863385512905
-1.207470493734 4.605630581124 -0.008218153965 0.049838803226 -0.000008177422 0.000049870085
1.634419466242 1.411679295681 0.021106743617 0.015042545327 0.000021152364 0.000015049775
0.291248377399 0.000029416056 0.000000000029
2.159667897036 0.025918580132 0.000025959936
0.447113235813 0.007458208660 0.000007491764
Список литературы
1. В. Noble, Applied Linear Algebra, Prcnticc-Hull, Inc., Englewood Cliffs, N J ,
1969.
2. J. H. Wilkinson. The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Pre**, Oxford.
1965.
3. R Zurmlihl, Matnzen, Spnnger-Vcrlag, Berlin, 1964.
4. H. Я. Schwarz, H. Rutishauser, and E. Stieeel, Matnzen-Numenk, B, G.
Teubner, Stuttgart, 1972.
5. C. Lanczos, Applied Analysis, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ., 1956.
6. L. Collatz, The Numerical Treatment of Differential Equations, Springer-
Verlag, New York, 1966.
7. S. H. Crandall, Engineering Analysis, McGraw-Hill Book Company, New
York, 1956.
8. K . J Bathe, “Solution Methods for Large Generalized Eigenvalue Problems in
Structural Engineering," Report UC SESM 71-20, Civil Engineering Depart-
ment, University of California, Berkeley, California.
9. E. L. Wilson, "Earthquake Analysis of Reactor Structures,” A.S.M.E. First
National Congress on Pressure Vessels and Piping Components, San Francisco,
May 1971.
10. В M Irons, "Eigenvalue Economisers in Vibration Problems," Journal of the
Royal Aeronautical Society, Vol. 67, 1963, p 526
11. В. M Irons, “Structural Eigenvalue Problems Elimination of Unwanted Vari-
ables,” 4 I A 4 , Journal, Vol. 3, No 5, July 1965.
12. R J Glyan. “Reduction of Stiffness and Mass Matrices," A I A A. Journal,
Vol. 3, No 2. 1965.
350
13. R Uhrig. “Reduction of the Number of Unknowns in the Displacement
Method Applied to Kinetic Problems," Journal of Sound and Vibration, Vol 4,
No 2, 1966, pp 149-155
14. R G Anderson, В M Irons, and О C Zienkiewicz, "Vibration and Stability
of Plates Using 1-inite Elements International Journal of Solids and Structures.
Vol 4, 1968. pp 1031-1055
15. J N Ramsden and 1 R Stoker “Mass Condensation, a Semi-automatic
Method for Reducing the Size of Vibration Problems." International Journal for
Numerical Methods in Engineering. Vol 1, 1969. pp 3 33 349
16. R W Clough, "Analysis of Structural Vibrations and Dvnamic Response," in
Recent Advances in Matrix Methods of Structural Inalvsis and Design (R H
Gallagher, У Yamada, and J T Oden, eds I University of Alabama Press
University of Alabama, Huntsville, Ala , 1971
17. G C Wright and G A Miles. "An Economical Method for Determining the
Smallest Eigenvalues of Large Linear Systems," International Journal for Numer-
ical Methods in Engineering, Vol 3, 1971, pp 25-33
18. M Gtradin, "Error Bounds for Eigenvalue Analysis by Elimination of Vari-
ables." Journal of Sound and Vibration, Vo! 19, 1971, pp 111 132
19. W L Craver. Jr, and D M Fgle, "A Method for Selection of Significant
Terms in The Assumed Solution in a Rayleigh Ritz Analysis," Journal of Sound
and \ ibiation.NoX 22, 1972, pp 133 142
20. W C Hurty, “Dynamic Analysis of Structural Systems by C omponent Modal
Synthesis." Report 32-530, Jet Propulsion Laboratory Report, Pasadena, Calif ,
1964
21. W C Hurty, "Dynamic Analysis of Structural Systems Using Component
Modes," A IA A Journal, Vol 3, 1965, p 678
22. R, L GoldmaNj "Vibration Analysis by Dynamic Partitioning, A I A A Jour-
nal, Vol 7, No 6, 1969
23. S Hqm» "Review of Modal Synthesis Techniques and a New Approach," Shock
and Vibration Bulletin, Vol 40, No, 4, 1969
24. R. L, Batan, С, C. Feng, and T. J, Jaszlics, “Vibration Analysis of Complex
Structural Systems by Modal Substitution,” Shock and Vibration Bulletin, Vol
39, No. 3, 1969.
25. R, R. Craig and M, С, C, Bampton, “Coupling of Substructures for Dynamic
Analysis,” A.I.A.A. Journal, Vol. 6, No. 7, 1968,
26. R. L. Smith. “Substructuring Techniques to Analyze Complex Structures,"
Graduate Student Report, Structural Engineering and Structural Mechanics,
University of California, Department of Civil Engineering, Berkeley, California,
1974
351
ГЛАВА 11
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
11.1. Введение
В гл. 10 рассмотрены основные положения, на которых основано
решение проблемы собственных значений, а также даны некоторые
алгоритмы приближенного вычисления требуемых собственных пар.
Цель этой и следующей главы состоит в изложении эффективных алго-
ритмов решения проблемы собственных значений.
Как и раньше, основное внимание уделяется решению задачи
К(/>=АМ(/> (11.1)
и, в частности, вычислению наименьших собственных чисел и
соответствующих собственных векторов . Рассмотренные алго-
ритмы в зависимости от их обоснования можно разделить на четыре
группы. К первой группе относятся итерационные методы, основанные
на соотношении
. (11.2)
Вторую группу образуют методы, использующие идею одновременного
приведения матриц К и М к диагональной и единичной форме, т.е.
фгКФ-А; (113)
фгМФ=1, (11.4)
где и A=diag(Aj),£»4..,п. Методы итерации, основанные на
решении характеристического уравнения
p(Ai)~O, (11.5)
образуют третью группу, причем
р(А)~ det(K-AM). (11.6)
Методы решения четвертой группы используют свойство последователь-
ности Штурма характеристических полиномов
р(А) = det(K-AM) (117)
И
p^fA1^ cLet(Krr;-AMMfrt) (11.8)
где р^(А^) — характеристический полином г -й усеченной задачи.
Кроме того, рассматриваются некоторые методы, основанные на мини-
мизации отношения Релея [ 12 — 14] (см. разд. 2.6).
Для каждой группы методов были разработаны более или менее эф-
фективные алгоритмы [ 1 — 10], но нас интересуют в основном только
352
те, которые удобны для применения в методе конечных элементов
(разд. 11.2 — 11.5). Кроме того, в гл. 12 представлены алгоритм реше-
ния характеристического уравнения и алгоритм итерации в подпростран
стве, использующие сочетание основных положений разд. 11.2 — 11.8.
Важно подчеркнуть, что все методы в принципе должны быть итера
тивными, так как, по существу, решение задачи Ку=АМу эквивалент-
но вычислению корней характеристического полинома р(Л). Поскольку
для полиномов общего вида порядка выше 4-го не существует явной
формы для вычисления корней, то должны быть использованы итера-
ционные методы решения. При этом предварительное преобразование
матриц К и М может значительно улучшить эффективность алго-
ритмов вычисления требуемых собственных пар.
Заметим также, что если найдено некоторое собственное число А,-, то
соответствующий ему собственный вектор можно определить из
решения системы однородных уравнений
(К-А,М)<р;- 0. (11.9)
С другой стороны, если известен собственный вектор, то соответству-
ющее собственное число Л, можно найти с помощью отношения Релея.
Согласно (11.3) и (11.4),будем иметь
А,-р,гКл; (11.10)
Заметим, что эффективность применяемого алгоритма в основном оп-
ределяется его быстродействием и надежностью (в смысле качества полу-
чаемых результатов), но все-таки основным фактором является его
надежность, т.е. при хорошо определенных матрицах жесткости и масс
решение задачи Ку=АМ/ всегда должно быть получено с требуемой
точностью без срывов вычислительного процесса. В то же время не ме-
нее важно, чтобы на ранних этапах вычисления выдавалась содержатель-
ная информация об ожидаемом качестве решения, в особенности, если
К и М не являются хорошо определенными матрицами (например,К
оказалась неопределенной матрицей в результате ввода неправильных
исходных данных).
11.2. Методы, основанные на итерациях векторов
Как было отмечено, в методах, основанных на итерациях векторов,
используется соотношение
К0>-АМр, (11-1)
рассматриваемое в работах [1 — 9]. Идея этих методов заключена в
непосредственном удовлетворении равенству (11.1).
Предположим, что за вектор tf принят некоторый вектор а
в качестве Л — единица fA = /), Вычислим правую часть выражения
(11.1),т.е.
Р= (1)Мх,. (11-11)
Так как х, — произвольный вектор, то Их, = Р/ получить нельзя.
23 - 522
353
Если бы Кх,« Р,, то X/ был бы собственным вектором, и наше пред-
положение оказалось бы крайне удачным (исключая тривиальный слу-
чай) . Воспользуемся уравнениями статического равновесия (см. разд.
7.2), которые можно записать в виде
Kx2=Pv; х,, (11.12)
где — искомые перемещения, соответствующие приложенным на-
грузкам, в виде вектора Ру. Поскольку собственный вектор опреде-
ляется итерационной процедурой, то ситуация подсказывает, что век-
тор х2 по сравнению с X/ может быть более близким приближением
к собственному вектору. Почти всегда это действительно имеет место
и поэтому в результате повторения вычислений мы получаем более луч-
шее приближение к искомому решению.
Описанная процедура составляет основу так называемых "обратных
итераций". Другие алгоритмы итерации с векторами работают аналогич-
ным образом. В частности, при выполнении прямых итераций вычисли-
тельный процесс организован в обратном порядке, т.е. на первом этапе
вычисляется Ру = Кхо а затем получаем Хд как улучшенное приближе-
ние к собственному вектору путем решения системы Мхг=Ру.
11.2.1. Алгоритм обратных итераций. Алгоритм обратных итераций
позволяет весьма эффективно вычислять собственные векторы с одно-
временным определением соответствующих собственных чисел. Обрат-
ные итерации применяются в различных итерационных процедурах,
включая метод решения характеристического уравнения и метод итера-
ции в подпространстве, которые будут описаны в разд. 12.2 и 12.3.
В данном разделе будем считать, что К — положительно определен-
ная матрица, а М может быть ленточной или диагональной матрицей
масс, возможно с нулевыми диагональными элементами. Если К явля-
ется лишь неотрицательно определенной матрицей, то следует предвари-
тельно применить операцию сдвига (см. разд. 11.2.3) .
Рассмотрим вначале основные соотношения, используемые в проце-
дуре обратных итераций, а затем представим эффективную форму
этого алгоритма. Выбирая некоторый начальный вектор ху, на каж-
дом шаге итерации к=1,2.,... вычисляем последующие приближения
Кх*4У= Мх* ;
(11.13)
(11.14)
где ж.1 не М — ортогонален к (т.е. ив пределе ХА^^,
при к—*оо.
Основным шагом в этой процедуре является решение системы урав-
нений (11.13) для определения вектора хЛ+у , более близкого к собст-
венному вектору по сравнению с предыдущим приближением X*. Со-
отношение (11.14) позволяет нормировать вектор Х**У в смысле
приведения его длины к единице с весовой матрицей М. Иначе гово-
ря, для Х*.^, должно удовлетворяться соотношение ортогональности
x^Mxw - 1-
(11.15)
354
Подставляя Х*^., из (11.14) в (11.15) , находим, что соотношение
(11.15) действительно удовлетворяется. Описанную процедуру поясним
следующим примером.
Пример 11.1
Рассмотреть задачу на собственные значения К(р»ЙМу,где
'2 -1 О О'
-12-1 О
0-1 2-1
0 0-11
М =
Собственные числа и соответствующие векторы этой задачи были вычис-
лены в примерах (10.12) и (10.13). Применить два шага обратных
итераций для получения приближений к (f4.
Первый шаг заключается в разложении К в произведение LDLr (см.
прим. 10.13). В качестве начального вектора необходимо выбрать
вектор, который не ортогонален к . Так как мы незнаем у,,то в
принципе нельзя гарантировать, что ?,ГМ И^О. Опыт показал, что во мно-
гих случаях таким вектором является вектор, целиком состоящий
из единиц (однако см. прим. 11.6, в котором подобный вектор оказы-
вается неудачным). В этом примере все же используем ж^=\1 1 1 /]. Для
1 это дает следующую систему
Отсюда
х2гМх2- 136.
Следовательно,
3
Заметим, что нулевые диагональные элементы в М не требуют спе-
циального подхода. Для следующей итерации при к~2 имеем
Отсюда
xjMx,=
6336
136
355
20
50
40
56
Следовательно,
х - 1
3 Убззб
Сравнение х3 сточным решением (см.прим, 10.12) приведено ниже:
0,251'
0,503
0,603
0,705
~0,250'
0,500
0,602
0,707
Таким образом, за две итерации получено хорошее приближение к .
Соотношениями (11.13) и (11.14) определяется алгоритм обратных
итераций. Однако при непосредственной реализации его на ЭВМ более
эффективно организовать вычисления несколько иначе. Обозначая у^Мх,
вычислим для к=1,2,....
Кх*^ = У*; (11.16)
У*«= ’> (11 lyj
Уж
’ (11.19)
где при условии у^#^ в пределе получим у^,—и р(хкн)~• At
при к—»оо . Следует заметить, что существенно изменился процесс
(11.16) — (11.19) по сравнению с (11.13) при помощи итераций с век-
торами уЛ , а не с х*. В (11.18) мы получили приближение к собствен-
ному числу Al из соотношения РелеяЭто приближение удобно
использовать для определения сходимости итераций. Обозначая прибли-
жение к Af за (т.е. имеем сходимость, когда
I i (*★<) . (к) I
« tot > (11.20)
где tot (погрешность) должна быть 10 или менее, если собственное
число требуется вычислить с точностью до 2s цифр. Собственный
вектор тогда будет иметь примерно S или более верных цифр (см.
11.33). На последней i-й итерации получим
(11-21>
------- (11.22)
Юн W*
Пример 11.2
С помощью обратных итераций (11.16) — (11.19) вычислить прибли-
жения к Л1 и в задачеК|₽=ЛМ^,рассмотренной в прим. 11.1.
При оценке погрешности будем считать, что tot -10~s (т.е. $ = 3) в
(11.20).
356
Какие прим. 11.1, начнем итерации с начального вектора
х,=
f 1
1
1
1
Выполняя последовательно вычисления (11.16) — (11.19), получим
х/у,
1 р(*г)--=~~0,1470588;
Последующие итерации выполняются аналогично. Результаты вычисле-
ний приведены в табл. 11.1, из которой видно, что сходимость практи-
чески была достигнута в результате пяти итераций. Следует заметить,
что отношение Релея сходится к А, значительно быстрее, чем
вектор к (Ру (см. прим. 11.3), причем приближения сходятся к
А, сверху. Используя (11.21) и (11.22), имеем
А,= 0,146447;
0,25001
0,50001
0,60355
0,70709
Таблица 11.1
к Ум
А'**"
1 3 0 0.1470588 — 0
6 12 1.02899
7 0 0
8 8 0.68599
2 1.71499 0 0.1464646 0.004056795132 0
3.42997 6.85994 1.00504
4.11597 0 0
4.80196 4.80196 0.70353
3 1.70856 0 0.1464471 0.000119538581 0
3.41713 6.83426 1.00087
4.12066 0 0
4.82418 4.82418 0.70649
4 1.70736 0 0.1464466 0.000003518989 0
3.41472 6.82944 1.00015
4.12121 0 0
4.82771 4.82771 0.70700
5 1.70715 0 0.1464466 0.000000103589 0
3.41430 6.82860 1.00003
4.12130 0 0
4.82830 4.82830 0.70709
357
В приведенных рассуждениях была намечена схема итерационного ал-
горитма, рассмотрены два примера, однако сходимость его формально
доказана не была. Ниже будет дано доказательство сходимости, причем,
на наш взгляд, оно весьма поучительно.
Первый этап доказательства сходимости и анализа скорости сходимос-
ти обсуждаемого алгоритма напоминает рассуждения, использованные
при анализе методов прямого интегрирования (см. гл. 9). Рассмотрим
основное соотношение этого алгоритма — формулу (11.13). Если не
вычислять скалярные произведения, то на каждом к -м шаге итераций
для к=1,2.,... будем иметь
Кх*+,= Мх*, (11.23)
причем х*,, сходится к некоторому вектору, кратному . Для
доказательства сходимости удобно использовать разложение вектора
X* по базису собственных векторов
х* = Фг*, (11.24)
полагая, что матрица собственных векторов Ф“£^,...,Уя} не является
особенной. Это условие обеспечивает единственность разложения. Под-
ставляя в (11.23) выражения хЛ и xA*f из (11.24), предварительно
умноженные на Фт, и используя соотношения ортогональностиФгМФ—1,
ФГКФ=А, получим
Az^=Z/f, (11.25)
где AediatjfXj, Сравнивая (11.25) с (11.23), находим, что эти итераци-
онные процессы совпадают, если положить К=А и М»1.
Отметим, что хотя Ф — неизвестная матрица собственных векторов,
тем не менее разложение (11.24) используется лишь для анализа схо-
димости обратных итераций, поскольку теоретически (11.25) эквива-
лентно (11.23). Но сходимость процесса (11.25) относительно легко
исследовать, так как собственные числа являются диагональными эле-
ментами А, а собственные векторы есть единичные векторы ви-
да
|-«-я компонента =7
< - [0... О 1
(11.26)
При изложении основных соотношений алгоритма обратных итераций
(11.13) — (11.14), а также (11.16) — (11.22) было установлено, что на-
чальный вектор X, не должен быть М—ортогональным к вектору
Точно так же в(11.25) начальный вектор z, не должен быть ортого-
нальным к е,. Предположим, что z, имеет вид
z,r= £/ 1 (11-27)
С помощью (11.25) при к = 1,...,1 получим
zr - Г— -L- . . J-'
(11.28)
358
Будем считать, что А, < Хг. Чтобы показать, что 2^, сходится к векто-
ру, кратному е, при I—»оо, умножим 21+1 в (11.28) на AJ. Это да-
ет вектор
= -У , (11-29)
/А,/Ал/.
который сходится к вектору при . Следовательно,
Z.M сходится к вектору, кратному е, при £—»оо .
Чтобы оценить порядок и скорость сходимости, используем определе-
ние сходимости, данное в разд. 2.8. Для рассматриваемой итерационной
схемы имеем
tim }^~е;8г = •
t-»oo II - е<Лг Аг.
(11.30)
Следовательно, сходимость линейная, и ее скорость определяется отно-
шением , причем чем больше величина этого отношения, тем выше
скорость сходимости вектора к собственному вектору
В случае кратных чисел А/=Аг=,,.»Ат. Согласно (11.29), будем иметь
(11.31)
и скорость сходимости теперь зависит от величины отношения Л,Та-
ким образом, скорость сходимости обратных итераций и в этом случае
определяется отношением Ау к следующему собственному числу, отлич-
ному от Ау . Заметим, что, согласно формулам (11.16) — (11.22),при-
ближение к собственному числу Х^ вычисляется с помощью отноше-
ния Релея. В соответствии с (11.18), отношение Релея (11.25) запишется
так
zLy Z*
(11.32)
Предположим, что рассматривается последняя итерация при Л=/. Под-
ставляя zt и из (11.28) в (11.32), получим, что
х.^/х^-1
(11.33)
и, следовательно, как для простого, так и для кратного собственного
числа Х^ p(2i+1)—» Xt при i-rt>o . Скорость сходимости отношения
Релея пропорциональна отношению (Xt/X„^)a, причем здесь Л„^ оп-
ределяется по (11.31). Отмеченное обстоятельство подтверждает замеча-
ние о том, что если собственный вектор известен с точностью до е, то
отношение Релея дает приближение к соответствующему собственному
числу с точностью до ег (см. разд. 2.7). При этом говорить о скорости
сходимости итерационного процесса имеет смысл лишь после того, как
35S
он стабилизировался через некоторое число циклов вычислений (см.
разд. 11.2.6) .
Пример 11.3
Для задачи, рассмотренной в примере 11.2, подсчитать асимптотичес-
кую скорость сходимости итерационного процесса вычисления собствен-
ного вектора и отношения Релея и сравнить ее с результатами примера
11.2.
Для оценки ожидаемой скорости сходимости понадобятся собствен-
ные значения Л., и Аа . Эти числа были вычислены в примере 10.12
и оказались равными = j . Следовательно, ожидае-
мая асимптотическая скорость сходимости итераций при вычислении
собственного вектора составит 0,17 , а соответствующая скорость
сходимости отношения Релея теоретически не превосходит значения
Фактическая сходимость приближений к собственному векто-
ру определяется величиной А= 1,2,---, вычисляемой как отношение
= ||X*w ~
**' ||Хл ’
где предполагается, что вектор (р, получен в результате последней
итерации (см. 11.22). В соответствии с этим для итераций в примере
11.2 будем иметь
гг = 0О26О83; г3 = 0,170009; Г^О,167139; rs= 0,199251.
За исключением г& (процесс итераций только начинается), можно
заметить, что ожидаемая и фактическая скорости сходимости в данном
примере достаточно хорошо согласуются.
Точно так же, фактическая сходимость отношения Релея, вычислен-
ная в примере 11.2, определяется отношением
— А<|
причем в качестве А, принимается величина отношения Релея на пос-
леднем этапе. Для итераций примера 11.2 имеем
е3~ 0,028768; 0,027778; ег=0.
И здесь ожидаемая (0.029) и полученная скорости сходимости ока-
зались весьма близкими.
11.2.2. Схема прямых итераций. Алгоритм прямых итераций является
в определенном смысле двойственным по отношению к схеме обратных
итераций, поскольку здесь вычисляется собственный вектор, соответст-
вующий наибольшему собственному числу. Но если в схеме обратных
итераций предполагалось, что К положительно определенная матрица,
то будем считать, что М является положительно определенной мат-
рицей. Если это условие не выполняется, необходимо применить опе-
рацию сдвига (см. разд. 11.2.3). Выбрав начальный вектор х( для к-1,2,—,
будем иметь следующее соотношение, определяющее алгоритм прямых
итераций
Mxt,( = Kxt; (11.34)
- (-т • (11-35)
360
При условии, что вектор х, не М ортогонален к искомому век-
тору tpn> в пределе получим хА,,—при Л-»оо.
Приведенные соотношения имеют много общего с формулами схемы
обратных итераций; единственная разница заключается в том, что здесь
на каждом шагу решается система (11.34), а не (11.13). Это означает,
что в схеме прямых итераций используется треугольное разложение
матрицы М , тогда как в схеме обратных итераций — разложение матри-
цы К . Эффективность вычислительного процесса прямых итераций
можно повысить с помощью соотношений, аналогичных (11.16) —
(11.22). Если считать, что %»Кх0то для к=1,2.,... можно записать
Мх*„= у*;
y**f=Kx*,z ;
у**' = (хллЗ ’
где при условии, что yj\i # 0 , в пределе имеем yA+f—»Ку„
при к —• ео •
Сходимость описанного процесса можно исследова.ь по
(11.20). Обозначив через t последнюю итерацию, получим
= р(*м);
Vn~
(11.36)
(11.37)
(11.38)
(11.39)
и р(жк^Л„
аналогии с
(11.40)
(11.41)
При анализе сходимости прямых итераций к Ц>п можно воспользо-
ваться рассуждениями и результатами анализа сходимости для схемы
обратных итераций. Предположим, что задача на собственные значения
Ку=АМу может быть переписана в виде Му»А" Ку. Тогда использо-
вание обратных итераций для вычисления собственного вектора и соот-
ветствующего числа эквивалентно выполнению прямых итераций приме-
нительно к задаче Ку=АМу. Но в схеме обратных итераций (11.16) —
(11.22) вычисляем наименьшее собственное число и соответствующий
собственный вектор, причем для задачи Му=А~*Ку это число равно А .
Здесь Ал есть наибольшее собственное значение задачи Ку=АМу, ко-
торое определяется по схеме прямых итераций (11.36) — (11.41) вместе
с вектором ул. При этом скорость сходимости приближений к собствен-
ному вектору определяется отношением А„_,/Ал. Следует отметить, что
отношение Релея в (11.38) имеет вид (x^KxA,,)/fxA^MxA,J и является
обратной величиной отношения Релея при определении собственного
числа Ал в задаче Мф=Х’/Ку-
Для иллюстрации особенностей схемы прямых итераций рассмотрим
пример.
Пример 11.4
Использовать схему итераций (11,36) — (11.41) для вычисления Аа и
у4 задачи Ку»ЛМу с точностью до 1Q~6 (см. 11.20), если
361
В этой задаче рассматривают собственные колебания шарнирно-опер-
той балки (см. рис. 7.1), имеющей неодинаковые массы. В качестве на-
чального вектора возьмем вектор
1
1
1
1
Результаты последовательных вычислений приведены в табл. 11.2.
Таблица 11.2
к У*и У/гИ
1 1 6 5.93333 2.1909
-0.5 -1 -0.3652
-1 -11 -4.0166
2 13.5 4.9295
2 1.0955 2.1909 8.57886 0.3345 0.3084
-0.1826 15.5188 2.3694
-4.0166 -41.9921 -6.4112
4.9295 40.5315 6.1882
3 0.1672 -10.3137 10.15966 -1.1372 0.1556
1.1847 38.2720 4.2198
-6.4112 -67.7914 -7.4748
6.1882 57.7704 6.3696
4 -0.5686 -18.7569 10.55204 -1.8219 0.03719
2.1099 51.2010 4.9733
-7.4745 -79.3332 7.7059
6.3696 63.8557 6.2025
5 -0.9110 -22.2074 10.62367 -2.0995 0.006743
2.4867 55.5901 5.2556
7.7059 -89.9033 7.7433
6.2025 64.3230 6.0812
6 -1.0498 -23.5033 10.63595 -2.2115 0.001154
2.6278 57.0203 5.3651
-7.7433 -82.3457 -7.7480
6.0812 64.0072 6.0225
7 -1.1057 -24.0068 10.63802 -2.2570 0.0001954
2.6826 57.5326 5.4089
-7.7479 82.4138 7.7481
6.0225 63.7869 5.9969
8 -1.1285 -24.2083 10.63838 -2.2756 0.00003304
2.7044 57.7298 5.4267
-7.7481 -82.4222 -7.7478
5.9969 68.6811 5.9861
9 -1.1378 24.2902 10.63844 -2.2833 0.000005584
2.7133 57.8086 5.4340
-7.7478 -82.4224 -7.7476
5.9861 63.6351 5.9816
10 -1.1416 -24.3237 10.63845 -2.2864 0.0000009437
2.7170 57.8405 5.4369
-7.7476 -82.4219 -7.7476
5.9816 63.6157 5.9898
362
Таким образом, в данной задаче потребовалось 10 итераций для дос-
тижения желаемой степени точности 10~s по (11.20) . С помощью фор-
мул (11.40) и (11.41) окончательно получим
10,63М5‘,
'-0,10731 '
. i 0,25539
* -0,72827
_ 0,55277.
11.2.3. Ускорение итерационных процессов с помощью сдвигов. В
разд. 11.2.1 при анализе сходимости процесса обратных итераций пока-
зано, что если Л, <Лг, то последовательные приближения сходятся к соб-
ственному вектору со скоростью, зависящей от величины отношенияА,/Аг
Если это отношение близко к единице (например, )ц/)^=0,9999$ , то ско-
рость сходимости будет очень низкой, если же — весьма малая
величина (например, порядка 0,01), то итерации сходятся очень быстро.
В настоящем разделе показано, как можно усилить сходимость путем
выбора подходящих сдвигов. Кроме того, с помощью сдвигов можно
добиться сходимости обратных или прямых итераций к собственной па-
ре, отличной от (At, if>,) или(Ая,^). При этом сдвиге особенно эффектив-
ны в схеме обратных итераций, если матрица К не является положи-
тельно определенной, а в схеме прямых итераций — в случае, когда мат-
рица М является диагональной и имеет некоторые коэффициенты
главной диагонали, равные нулю. Будем считать, что сдвиг на некоторую
величину ju выполняется согласно 10.2.3. Рассмотрим новую задачу
вида
(К-/^М)у= ,
(11.42)
для которой собственные значения связаны с соответствующими собст
венными значениями исходной задачи соотношениями ti~Ai-JU,l*1,...,n.
Анализ сходимости прямых и обратных итераций в задаче (11.42) вы-
полним в соответствии с разд. 11.2.1.
Вначале представим задачу (11.42) в базисе собственных векторов Ф.
Используя преобразование
= Фуг, (11.43)
получаем новую задачу, более удобную для анализа сходимости итераци-
онных процессов
(Л-/Л)^ = ^уг. (11.44)
Рассмотрим схему обратных итераций и предположим, что все собст-
венные числа различны. В этом случае, с учетом замечания в разд. 11.2.1,
будем иметь на I + 1 шаге приближение к искомому собственному
вектору в виде
Z
1 1
1
т
i-n~
fa-ju)* (Аг-р){
(11.45)
363
Здесь предполагается, что все знаменатели (Ai~ju) отличны от нуля,
но могут быть положительными или отрицательными. Положим, что^--/{)
принимает наименьшее по абсолютной величине значение при i-J-
Умножение на^у-у/дает
(11.46)
для всех p*j. Следовательно, в процессе об-
ратных итераций —"бу, и при решении (11.42) последовательные
приближения сходятся к собственному вектору tf>j. При этом
Скорость сходимости в этом процессе определяется величиной отноше-
ния (Aj-jj.)/(Ap-fii) • максимум абсолютной величины которого Г дос-
тигается при p^j
I A.-JU I
г = max -i___.
**/ I Лр-// I
(11.47)
Так как величина Л/ есть ближайшее к JU собственное значение,
то скорость сходимости приближений к вектору tfj по (11.42) опреде-
ляется величиной наибольшего из двух отношений
I 4z£I
I Л-,-//1
или
I I
I А^-р I
Оценка скорости сходимости итераций к tfj для наиболее типичной
ситуации становится понятной из рис. 11.1.
На основе результатов анализа сходимости процессов обратных ите-
раций (см. разд. 11.2.1) и этого же процесса со сдвигами приходим
к следующим выводам:
во-первых, скорость сходимости отношений Релея к величине (Л, —ju)
при ju , достаточно близком Л/ , определяется наибольшим значением
одной из двух величин
I2
I
или
Aj-ju
Aj-м-f1
г
364
p(X} ‘det(K - хм)
Рис. 11.1. Скорость сходимости г в случае обратной итерации
во-вторых, анализ, проведенный в разд. 11.2.1, и рассуждения, изло-
женные выше, позволяют считать, что в случае кратного числа Л,=Лу>/=-
скорость сходимости последовательных приближений к собст-
венному вектору зависит от величины
max I
I Лр-JU
причем процесс может сойтись к вектору, лежащему в собственном
подпространстве кратного собственного значения Л/ .
Очень важным моментом в схеме обратных итераций со сдвигом
является выбор величины сдвига, достаточно близкого к ин-
тересующему нас точному собственному значению. Теоретически можно
добиться сколько угодно высокой скорости сходимости, для чего доста-
точно сделать величину |Л/-JU | достаточно малой по отношению к
Однако практически трудно выбрать подходящее JU-. Некоторые сооб-
ражения по этому поводу будут приведены в последующих разделах.
Пример 11.5
Использовать схему обратных итераций (11.16) — (11.22) для вычис-
ления (Л,, в задаче К^=АМ/? где К и И были даны в примере
11.4. Затем, используя сдвиг на величину ju=10, показать, что в этом
случае обратные итерации сходятся к Л^ и •
Используя обратные итерации для задачиКу»АМ(р,как показано в при-
мере 11.2, получим после трех итераций приближение Л/ и ft с точ-
ностью до 10~*
Л,- 0,09659 ;
0,3126
0,9955
0,9791
0,2898
Выполняя сдвиг наД/= 10, получим новую матрицу
365
K-juM «
Г-tf
1
-4 1
-/4 -4
1 -5
O'
1
-4 •
-5
После шести обратных итераций
в задаче будем иметь
о
р(х7)~ 0,6385-,
Х7=
-0,1076
0,2556
-0,7283
0,5620
С учетом сдвигов величина ju+p(%7) является приближением к собст-
венному числу, а х, есть приближение к соответствующему собствен-
ному вектору. Сравнивая с результатами, полученными в примере 11.4,
находим, что этот вектор-есть приближение к собственному вектору tfa,
т.е.
Л, - JU+р(ж7) = 10,6385; = Хг .
Пример 11.6
Рассмотреть элемент, изображенный на рис. 7.10. Показать, что стан-
дартный алгоритм обратных итераций для вычисления и tpi в дан-
ной задаче не работает, однако после выполнения надлежащего сдвига
его можно успешно использовать.
В этой задаче первый шаг обратных итераций, согласно (11.16), при
М“1 имеет вид
которая не имеет решения. С помощью сдвига на ju = -8 получим но-
вую задачу, у которой все собственные значения положительны
К-/П =
' 18 -6 -12 -6
-6 10 6 2
-12 6 18 6
-6 2 6 10
Для решения этой задачи можно воспользоваться процедурой обрат-
ных итераций с использованием начального вектора, имеющего единич-
ные компоненты. После пяти итераций с точностью до 10~в получим
следующее приближение
366
р(*е) « 6,000000', Х£ -
0,73784
0,42165
0,31625
0,42165
Окончательно, с учетом сдвигов, будем иметь
Л, = 0,0 ; = Хв .
Выше было показано, что скорость сходимости в обратной итерации
может быть значительно увеличена при использовании сдвигов. Анало-
гично рассуждения при анализе процесса прямых итераций показывают,
что при помощи сдвига на величину ft можно добиться сходимости
последовательных приближений к собственному вектору t?j , соответ-
ствующему наибольшему собственному числу | Xj-JU | задачи (11.42)
|Лу-Л/| = max (11.48)
<
При этом скорость сходимости итерационного процесса определяется
величиной
(11.49)
которая, по существу, есть отношение модуля второго по величине
собственного числа к модулю наибольшего собственного значения задачи
Ьсли Ау есть кратное собственное значение АувАу^-...-Ay^
то итерации сходятся к некоторому вектору, лежащему в подпростран-
стве, соответствующем этому значению А/ , а скорость сходимости бу-
дет зависеть от величины
max I ^2^ I
| А/-А |
Основное отличие оценок скорости сходимости обратных итераций
(11.47) и прямых итераций (11.49) связано с тем, что в (11.47) величи-
на кр записана в знаменателе, тогда как в (11.49) Ад оказывается в
числителе. Это обстоятельство ограничивает возможности усиления
сходимости прямых итераций с помощью сдвигов. При этом следует
иметь в виду, что сдвиги позволяют в схеме прямых итераций получить
сходимость либо к собственной паре (Ая, ф„), либо к паре^о#}. Для
каждого из этих случаев оптимальная величина сдвига определяется по-
лусуммами собственных чисел: iU-(X,+Xn^1)/2 и р1 = (Аг+Хп)/2, а со-
ответствующие скорости сходимости прямых итераций зависят от вели-
чин отношений (см. рис. 11.2)
. АД*АЯ
г~ 2
1 Ая* А п
367
p(X)=det(/i-A.M)
Рис. 11.2. Улучшение скорости сходимости t- при сдвиге в случае прямой
итерации для - наибольшее собственное значение)
Приведенные соображения показывают, что ускорение сходимости за
счет сдвигов гораздо эффективнее в схеме обратных итераций. Кроме
того, в этой схеме с помощью надлежащего сдвига можно добиться
сходимости к любой собственной паре. В силу указанных причин обрат-
ные итерации играют значительно большую роль в практических вычис-
лениях, и в излагаемых ниже алгоритмах для вычисления собственных
векторов всегда будет использована схема обратных итераций.
11.2.4. Итерации на основе отношения Релея. В разд. 11.2.3 показано,
что скорость сходимости обратных итераций можно существенно увели-
чить с помощью сдвигов, однако практически трудность заключается в
выборе величины надлежащего сдвига. Рассмотрим возможность выбора
в качестве сдвига величины отношения Релея (11.18), которое является
некоторым приближением к искомому собственному значению. Если на
каждом шаге итераций выполнять сдвиги, вычисляемые согласно
(11.18), то получим процесс итераций на основе отношения Релея [ 15 —
18]. В этой процедуре, предполагая, что X, есть начальный вектор, вы-
числим М X,, начальный сдвиг pfa,),обычно равный нулю, и затем
для А» 1,2,...будем иметь
(К- « у. ;
- (11.50)
У*^=Мх**/1 (11.51)
AX**J = -**' у* */’('**) 1 (11.52)
Л**г Зк+1
которые показывают, что у*н—иЛ, при Л—-сх>. Вычис-
ляемое собственное число А,- и соответствующий ему собственный
вектор ft зависят от выбора начального вектора х, и величины на-
чального сдвига р(*,). Если х, содержит устойчивые в некотором
368
смысле компоненты какого-либо собственного вектора, например,
^,а сдвиг на р(*г) обеспечивает достаточно хорошее приближение к со-
ответствующему собственному значению А* , то описанный выше ите-
рационный процесс сходится к паре собственных значений имея
асимптотически кубическую скорость сходимости. Если же процесс
сходится к другой собственной паре (вероятность этого весьма мала) ,тои
в этом случае сходимость имеет асимптотически кубический характер
[17] . Интуитивно столь высокая скорость сходимости получается на
основе следующих соображений. Допустим, что с помощью обратных
итераций удалось определить компоненты собственного вектора с по-
грешностью ~е. Тогда отношение Релея дает приближенное собст-
венное значение с погрешностью €г. Поскольку это значение, использо-
ванное в качестве сдвига, ускоряет вычисление собственного вектора,
что в свою очередь усиливает сходимость к собственному значению от-
ношения Релея, то можно ожидать, что обратные итерации со сдвигами,
равными отношению Релея, имеют кубическую сходимость и длП соб-
ственного числа, и для собственного вектора.
Для детального анализа сходимости итераций с отношением Релея
воспользуемся разложением в базисе собственных векторов. Исполь-
зуя (11.24), запишем два основных соотношения рассматриваемого
процесса (11.50) и (11.52) в следующем виде
(A-Xz*n)z*^= z* ; (1154)
РЪ«)~ +?(*.<) (11.55)
Здесь опущена операция нормализации итерируемого вектора.
Для получения представления о характере сходимости рассматривае-
мого алгоритма воспользуемся не вполне строгими рассуждениями.
Предположим, что текущий интегрируемый вектор t оказался уже
достаточно близким к векторуг^ и его можно записать в виде е,;
z/= [/ о(е) о(е) ... ofc)], (11.56)
где символ о(е) означает, что компоненты вектора z^ оказались малыми
величинами порядка в причем
Следовательно,
p(z.t)~ + о(ег). (11.57)
Для следующего приближения согласно (11.54), будем иметь
1
о(ег)
О(€)
- йу
о(е)
йя ~ й, _
(11.58)
Для получения оценки порядка сходимости интегрируемого вектора
нормализуем его по первой компоненте вектора. Это дает вектор в
следующем виде
z£,= р о(е3) 0(е3) ... о(е3)], (11.59)
Таким образом, компоненты, которые в имели порядок е, теперь
оказались порядка е3 , что соответствует кубической скорости сходи-
24 - 522 «<
мости. Следующий пример иллюстрирует особенности алгоритма итера-
ций со сдвигами в виде отношения Релея.
Пример 11.7
Применить итерации на основе отношений Релея в задаче Л1?’Av, где
В качестве начального вектора х, взять следующие векторы
йх,= [;]; 0 Х,-Щ.
Для случая (1) с помощью (11.50)
иметь
(11.53) (при p(xt) = 0,0) будем
X » \°>500 1 •
Х* а [о,166667] ’
v - [0,998681
~ [о,31623 J
5 _ [-2,371711 .
~ L 0,08789] ’
v [-0,99931
уз ~ L 0,03701.
У = [182,379961 .
* L 0,00927] ’
v Г 1,0000 1
р(*г) = 2,90
р(х3) - 2,00598
р(х„)*= 2,000000
Следовательно, за три шага итераций получено довольно хорошее
приближение к искомым собственному числу и собственному вектору.
В случае (2) имеем
2,00999
[О,999991
уа ~ [0,033315] ’
а затем
[-225,1251 .
хз = |_ 0,00839 J ’
р{Х3)~ 2,000001
F-1,00000 1
= [0,000037] •
В этом случае оказалось достаточно двух итераций, чтобы получить
хорошие приближения к той же собственной паре, так как начальный
вектор (2) х, был ближе к собственному вектору по сравнению с век-
тором (1).
Как было отмечено выше, итерации с отношением Релея могут в
принципе сойтись к любой паре собственных значений, поэтому если надо
вычислить р наименьших собственных чисел и соответствующих им
собственных векторов, то необходимо алгоритм итераций с отношением
Релея дополнить другими процедурами, которые обеспечат сходи-
мость процесса к одной из искомых собственных пар. Например, для вы-
370
числения наименьшего собственного числа и соответствующего вектора
вначале применим обратные итерации, согласно (11.16) — (11.19b без
сдвигов для получения достаточно хорошего приближения к вектору у,.
Как только такое приближение получено, можно "включить" итерации с
отношением Релея. Однако основное затруднение здесь заключается в
том, что заранее не известно, сколько обратных итераций должно быть
выполнено перед тем, как можно начинатьсдвиги с помощью отношения
Релея. К сожалению, этот вопрос не может быть решен в общем случае,
поэтому для контроля вычислений требуемого собственного числа и
соответствующего собственного вектора необходимо использовать
свойство последовательности Штурма (см. разд. 11.5).
11.2.5. Алгоритм понижения порядка матрицы и ортогонализация по
Граму—Шмидту. В разд. 11.2.1—11.2.4 были рассмотрены особенности
вычисления собственных чисел и соответствующих собственных векто-
ров с помощью некоторых итерационных процессов. В чистом виде об-
ратные итерации сходятся к\ и Vi (см. разд. 11.2.1), а процесс прямых
итераций позволяет определить Лд и tp„ (см. разд. 11.2.2). В сочетании
со сдвигами эти алгоритмы можно использовать для вычисления других
собственных пар (см. разд. 11.2.3) . Допустим, что каким-либо образом
уже вычислена некоторая собственная пара и теперь необходимо
найти другие пары собственных чисел и векторов. Для гарантии того,
что в результате итерации мы не приблизимся вновь к и (р*, приме-
ним операцию понижения порядка матрицы или итерируемого вектора
[ 1 — 10,19,20]. Эта операция довольно широко использовалась при ре-
шении стандартных задач на собственные значения. В нашем случае ука-
занные задачи имеют вид = Ду , если М — единичная матрица, или же
Ку = Ду, где К получена в результате преобразования обобщенной
задачи к стандартному виду (см. разд. 10.2.5). Напомним, что такое
преобразование эффективно, если М — диагональная матрица с ненуле-
выми диагональными коэффициентами, поскольку вычисляемая матри-
ца К будет иметь ту же ширину ленты, что и К .
Рассмотрим операцию понижения порядка в задаче "Ktp=Aip, которая
будет справедливой и для задачи Ку =Лу. Устойчивость процесса пони-
жения может быть достигнута с помощью ортогональной матрицы Р, у
которой первый столбец совпадает с вычисленным собственным векто-
ром ф*.
Записав Р в виде
Рж РЛ], (1160)
мы должны получить У*р<-=0 для /= 2,...,п. Из этого следует, что
РГКР =
Ал
0
0]
(11.6D
поскольку у/у, = 1. Важно отметить, что РГКР имеет те же собствен-
ные числа, что и К, поэтому собственные числа матрицы К* совпадают
с числами матрицы К , за исключением Л* . Кроме того, обозначив
собственные векторы для РГКР через имеем
у( = Ру,- . (11.62)
Так как матрица Р не единственная, то можно использовать различ-
ные методы построения удобной матрицы преобразования. Если матрица
371
К -- ленточная, то желательно, чтобы это преобразование не нарушало
ее структуры. В этом случае операция понижения становится весьма эф-
фективной.
При этом оказывается, что если вычислена следующая пара собствен-
ных значений, то дальнейший процесс понижения порядка матрицы Ку
дает возможность определить третью собственную пару и т.д. Сущест-
венный недостаток операции понижения порядка матрицы заключается
в том, что собственные векторы приходится вычислять с очень высокой
точностью, во избежание накопления ошибок округлений.
Вместо понижения порядка матрицы можно "отклонять" итерируе-
мые векторы, что также в принципе позволяет приблизиться к новой
собственной паре, отличной от (Ak)
Существо процедуры основано на том, что итерируемые векторы
сойдутся к требуемому собственному вектору с помощью прямых или
обратных итераций, если они не окажутся ортогональными к этому век-
тору. Наоборот, ортогонализация итерируемого вектора к подпростран-
ству, натянутому на уже вычисленные собственные векторы, исключает
возможность сходимости итераций к какому-либо из них, как будет
показано, сходимость имеет место к некоторому другому собственному
вектору. Для этого используется широко распространенная процедура
ортогонализации по Граму—Шмидту. Она удобна при решении обобщен-
ной задачи , встречающейся в методе конечных элементов.
При рассмотрении общего случая предположим, что с помощью обрат-
ных итераций вычислены собственные векторы tf1f tfa,.. ,,у„ и что по
отношению к ним надо ортогонализовать с весовой матрицей М неко-
торый вектор Ху. Согласно процедуре Г рама—Шмидта, новый вектор х,,
М — ортогональный к собственным векторам /-4-.-,/я»0ПРеДеляется
по формуле
X, = Ху - X«i . (11.63)
Здесь коэффициенты сх,- получаются из условия, что фгМЯу«й т
И $lj. Умножая обе стороны равенства (11.63) на Л-М,будем
иметь
О£4. = у/МХу f т). (11.64)
В алгоритме обратных итераций теперь в качестве начального вектора
возьмем вместо , и при условии, что хГМ%,,(¥0.получим сходи-
мость итераций (по крайней мере теоретически, см. разд. 11.2.6) к^,^ и
Для доказательства сходимости рассмотрим процесс итерации в бази-
се собственных векторов, что позволит проанализировать его согласно
(11.25) с учетом ортогональности Грама-Шмидта. В этом случае собст-
венные векторы, соответствующие наименьшим собственным числам,
запишутся как е() (=/,...,/т7. Понижая порядок начального вектора 2у в
(11.27), получим
z, = z, - Z е,- , (11.65)
где
az = (11.66)
372
Следовательно,
।-- элемент т+1
2?-[о ... о 1 ... /] .
(11.67)
Используя теперь в качестве начального вектора итерации и про-
водя анализ сходимости, так же как и в разд. 1.1.2.1, найдем, что если
, что, в сущности, и требовалось доказать. Более
того, скорость сходимости приближений к этому собственному вектору
определяется величиной отношения . Если же будет крат-
ным собственным числом, то скорость сходимости зависит от отноше-
ния к следующему, отличному от него собственному значению.
Отметим, что все соображения о сходимости, рассмотренные при изло-
жении алгоритмов обратных итераций, прямых итераций, итераций с
отношением Релея, оказываются справедливыми и при использовании
ортогонализации по Г раму—Шмидту, если, конечно, исключить возмож-
ность сходимости к уже вычисленным собственным векторам.
Пример 11.8
Вычислить с помощью ортогонализации по Граму—Шмидту подходя-
щий начальный вектор для итерационного процесса решения задачи К<р=
•АН* где к и И даны в прим. 11.4. Предположить, что известны собст-
венные пары (Л,, tf,) и (kt, ift), вычисленные в примере 11.5, и что надо
исследовать сходимость к другой собственной паре.
Подходящий начальный вектор для итераций получим из вектора с
единичными компонентами. В соответствии с (11.63) будем иметь
1
где а, и ot4 получаются на основе (11.64)
сх, = у/Мх,; «4 = <<Мх, .
Подстановка М,Ци у* дает
а, = 2,385-, 0^= 0,1299.
Таким образом, с точностью до нескольких цифр будем иметь
•1
' 0,2683 '
-0,2199
-0,09812
0,2358.
11.2.6. Некоторые рекомендации по практическому применению
векторных итераций. В настоящем параграфе рассмотрим некоторые
практические особенности описанных выше итерационных алгоритмов,
связанные с их реализацией на ЭВМ.
Одна из важнейших особенностей заключается в том, что теорети-
чески оценки скорости сходимости итераций могут не выполняться
при практических вычислениях. В частности, мы полагали, что начальный
вектор z, в (11.27) целиком состоит из единичных компонент, кото-
рые соответствуют вектору Это означает, что начальный век-
тор достаточно хорошо представлен в каждом собственном векторе.
Такой начальный вектор был очень удобен для получения теоретической
373
оценки скорости сходимости итерационных векторов к искомому
собственному вектору. п
Однако практически вряд ли возможно выбрать вектор ху=.2? ift в
качестве начального вектора итераций. Вместо него, как правило, имеем
другой вектор
xY=Zaty>z (11.68)
с неизвестными коэффициентами разложения oq. В базисе собственных
векторов ему соответствует вектор
(11.69)
Чтобы исследовать влияние коэффициентов oq , рассмотрим особен-
ности сходимости обратных итераций без сдвига с начальным вектором,
согласно (11.68), и Лг> Лу . Как и раньше, будем исследовать процесс
итераций в базисе собственных векторов Ф, и предположим, что а,# О
для того, чтобы x,zM^# 0. После t обратных итераций вместо (11.29)
будем иметь
А=£
(11.70)
(11.71)
Можно заметить, что у итерируемого вектора теперь появились множи-
тели Д. При этом на каждой итерации уменьшение Z-й компоненты
определяется, как и в (11.29), множителем ,,п,а скорость схо-
димости процесса зависит от отношения Л,/Л2, что было отмечено в
разд. 11.2.1.
Однако практически неизвестные коэффициенты Д- могут сущест-
венно увеличить число необходимых итераций, начиная с которых ско-
рость сходимости будет близка к теоретически ожидаемой, поэтому не
только порядок и скорость сходимости алгоритма, но в равной степени
и "качество" начального вектора определяют число итераций вычисли-
тельного процесса. Кроме того, необходимо выполнять вычисления с вы-
сокой степенью точности, во избежание преждевременного принятия те-
кущего итерируемого вектора за более или менее хорошее приближе-
ние к требуемому собственному вектору.
При понижении порядка матрицы устойчивость вычислительного про-
цесса достигается за счет весьма высокой степени точности при опреде-
лении собственных векторов. Применение ортогонализации по Граму-
Шмидту также весьма чувствительно к погрешностям собственных век-
торов, причем ортогонализировать следует итерируемый вектор на
каждой итерации.
11.3. Методы преобразования исходных матриц
В разд. 11.1 было отмечено, что методы преобразования составляют
группу алгоритмов решения задач на собственные значения, которые
используют основные свойства матрицы собственных векторов ф;
ФГКФ = Л ;
ФГМФ- Г .
(11.3)
(11.4)
Поскольку существует единственная матрица ф порядка пХ п одно-
временно приводящая матрицы К и М к диагональному виду, сог-
ласно (11.3) и (11.4), то можно попробовать сформировать ее при
помощи итераций [1 — 9]. Основная схема приведения К и М к
диагональному виду использует последовательное умножение слева на
матрицу Р/ и справа на Р* при 2,.... В частности, если положить
К,»К и МУ=М,то будем иметь
К,- Р,ГК<Ъ
Кэ-РГКаЪ
Мз-р/Нр,
м3-рагмлн
(11.72)
(11.73)
М^-Р/МЛ
причем матрицы Р* подбираются так, чтобы привести К* и М* воз-
можно ближе к диагональному виду. Тогда для соотйетствующего ал-
горитма должны выполняться следующие предельные соотношения
I при А—»-оо. В этом случае матрица Ф представля-
ется в виде произведения
«Р=РуРг ...Р, ,
(11.74)
где I - номер последней итерации. Отметим, что практически не обяза-
тельно, чтобы М*,, стремилась к I , а КАи к Л. Достаточно, чтобы
эти матрицы сходились к диагональной форме, т.е. К**,—►(Пар (Кг) и
И*»,—► dlagfMjnpn к—-ею . Тогда, если I — номер последней итера-
ции, то, пренебрегая изменением порядка расположения собственных
чисел и собственных векторов, будем иметь
A=dLag(^W; (11-75)
Ф-НРг...Р( diag^=^). (11'76)
На основе изложенной выше идеи был разработан ряд различных
итерационных алгоритмов. В последующих разделах будут рассмотре-
37*
ны только алгоритмы Якоби и QR — Хаусхолдера, которые сегодня
являются наиболее эффективными в конечно-элементном анализе. Од-
нако перед детальным ознакомлением с этими алгоритмами отметим
один важный момент. Выше предполагалось, что итерации начинаются
с умножения на Р/ и слева и справа соответственно. Но перед этим
можно попытаться преобразовать исходную задачу в несколько
иную форму, для которой применение итераций оказывается более
эффективным. Если М-1 , то с помощью первых т преобразований
(11.72) может без итераций провести К к тридиагональному виду,
после чего матрицы ^,1*41+1,..., t позволяют получить диагональную
форму матрицы в результате итераций. При этом первые т
матриц .. ,Ц, могут отличаться от матриц, используемых
в последующих преобразованиях. Указанная процедура составляет ос-
нову алгоритма QR — Хаусхолдера, в котором матрицы отражения
Хаусхолдера преобразуют К в тридиагональную форму, а затем q по-
мощью матриц вращения осуществляется QR -преобразование. Анало-
гичный алгоритм можно использовать для решения обобщенной пробле-
мы Кф-ЛМр, М*1 , если она предварительно приведена к стандартному
виду.
11.3.1. Алгоритм Якоби. Основная схема алгоритма Якоби была раз-
работана более ста лет назад для решения стандартных задач на собствен-
ные значения. В настоящее время он используется достаточно широко
[ 1 - 9, 23 — 27]. Главное преимущество этого алгоритма заключено в
его простоте и устойчивости, поскольку свойства матрицы собственных
векторов (11.3) и (11.4) при М-I справедливы для всех симметричных
матриц К независимо от кратности собственных значений, метод
Якоби позволяет вычислять отрицательные, нулевые ири положительные
собственные значения.
Для стандартной задачи Кф-Аф на К-м шаге итерации по Якоби,
согласно (11.72), имеем
где I* — ортогональная матрица вращений, т.е.
Pjn-I, (11.78)
которая подбирается так, чтобы аннулировать внедиагональные коэффи-
циенты матрицы К*. Для обращения в нуль (7,у)-го коэффициента со-
ответствующая ортогональная матрица Р* имеет вид
Z-ый У“ЫЙ столвец
cos0 -sin0 Z-я
sin в cos 0 J- я строка
(11.79)
где 6 выбирается так, чтобы элемент в К*,, стал нулевым.
Обозначая элемент (i,J) в К* через будем иметь
376
, если Л,,*’# kj(j} ; (11.80)
(?- -Z , если к/р . (11.81)
Отметим, что преобразование матрицы КЛ в К**,,согласно (11.77),
изменяет лишь две строки и два соответствующих столбца. Это озна-
чает, что все матрицы К* симметричные и можно выполнять операции
только с верхней (или нижней) треугольной частью этих матриц, вклю-
чая диагональные элементы.
Важно подчеркнуть, что хотя преобразование в (11.77) приводит
внедиагональный коэффициент в К* к нулю, этот коэффициент вновь
оказывается ненулевым при последующих преобразованиях. Поэтому
при реализации алгоритмов типа Якоби приходится решать, какой
элемент надо обращать в нуль на данном шаге итерации. Один из вари-
антов решения заключается в обнулении наибольшего внедиагонального
элемента в К*. Однако на его поиски затрачивается значительное время,
и может быть предпочтительнее выполнять преобразования Якоби
систематически строка за строкой или столбец за столбцом. Недостаток
такой методики состоит в том, что независимо от своей величины вне-
диагональный коэффициент всегда аннулируется, иначе говоря, этот ко-
эффициент может уже быть близким к нулю, а преобразования все равно
должны выполняться.
Более эффективным является алгоритм метода Якоби с преградами,
в котором внедиагональные коэффициенты последовательно просматри-
ваются по строкам или по столбцам, и аннулируются лишь те из них,
которые в данном просмотре превышают по модулю текущее значение
преграды. Несколько просмотров образуют цикл, за который модули
всех внедиагональных коэффициентов должны стать меньше преграды.
В дальнейшем значение преграды уменьшается и начинается новый
цикл просмотров. При определении подходящего значения преграды
заметим, что диагонализация матрицы К физически соответствует ос-
лаблению связи между I -й и у -й степенями свободы. Степень этой
связи оценивается величиной ? с помощью которой можно
решить вопрос о целесообразности аннулирования коэффициента кц
на данной итерации. Кроме того, вместе с реальной последовательностью
преград необходимо иметь оценки сходимости процесса. Как указыва-
лось выше, Л при А-*оо. Однако практически за конечное число
шагов мы получим лишь достаточно близкое приближение к собствен-
ным числам и соответствующим собственным векторам. Пусть i но-
мер последней итерации. Это означает, что с желаемой степенью точности
Кг„=Л. (11.82)
Будем считать, что сходимость приближений с точностью s достиг-
нута, если
| ,(t)\
~ 1 « Ю~8 ( 1 = (11.83)
к С™
377
- ’ , , , $ 10' для i,j ; i < J .
ic (<*) к (**) J J
Kti kjj J
(11.84)
Поскольку kCi(V является очередным приближением к собственному
числу, то соотношение (11.83) устанавливает, что вычисленное и преды-
дущее приближения к собственным числам совпадают в з цифрах.
Мы видим, что оценка сходимости, по существу, та же, что и использо-
ванная в векторных итерациях (11.20).
Обсуждение основных моментов данного алгоритма позволяет наме-
тить схему его реализации. Для процесса Якоби с преградами она имеет
следующий вид:
1) Устанавливается очередное значение преграды. Обычно ее вели-
чина для т-го цикла вращения выбирается в виде 1О~г”.
2) Для всех (I,]) при i<J вычисляется параметр связи l(kffl/k^k#Tf
и если он оказывается больше, чем текущая преграда, то выполняется
вращение.
3) С помощью (11.83) проверяется сходимость процесса. Если усло-
вие (11.83) не удовлетворяется, то выполняется следующий цикл враще-
ний, т.е. переход к 1) и т.д. Если (11.83) удовлетворяется, то проверя-
ется условие (11.84); если и оно выполнено, то процесс итераций закон-
чен; в противном случае выполняется следующий цикл вращений. Одна-
ко, описывая этот алгоритм, мы не показали, что сходимость всегда
имеет место. Доказательство сходимости процессов типа Якоби дано в
работах [23 — 27] и здесь не будет рассматриваться. Но один важный
момент все же следует подчеркнуть: сходимость становится асимптоти-
чески квадратичной, как только внедиагональные коэффициенты станут
достаточно малыми.
Пример 11.9
Вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы К
К» 1 1 cs *<-> -г- । । । 1 •>-. Q 1 ! .
Применить описанный выше циклический алгоритм Якоби с прегра-
дами.
Для демонстрации алгоритма первый просмотр представлен более
подробно, а затем даны окончательные результаты последующих циклов
вращения. Примем начальное значение преграды равным 10*2.
Для /= 1, j=2 получим
cos 0= 0,з(п6» = 0,6618.
Далее с помощью матрицы Р4
0,7497 - 0,6518 0 0 '
В- 0,6618 0 0,7497 0 0 1 0 0
0 0 0 1
вычислим результат первого преобразования подобия
8
р7кр, = ' 1,969 0 -1,898 0,6618 ‘ 0 9,531 -3,661 0,7997 -1,898 -3,661 6 -9 0,6618 0,7997 -9 5 •
Далее для / “ И = 3 : cos 5 = 0,9398; sin 0,9398 О -0,3916 О' 0 1 0 0 0,3916 0 0,9398 0 . 0 0 0 1. 9= 0,3916;
и РДОср«В = ’ 0,7792 -1,250 0 -1,250 9,531 -3,990 О -$990 6,690 .-0,7999 0,7997 ~3,986 -0,7999' 0,7997 -3,986 5 9
причем
'0,7096 -0,6618 -0,2561 0 ‘
0,6220 0,7997 -0,2261 0
*1 *2 0,3916 0 0,9398 0
0 0 0 1
Аналогичным образом получаем последующие результаты:
для i = 1,J^9:
COS в - 0,9857 ; sin 8 = 0,1687;
'0,9857 0 0 -0,1687'
*3 = 0 0 1 0 0 1 0 0 >
.0,1687 О 0 0,9857 .
' 0,6518 -1,106 - 0,6725 0 '
PTVPJKPRP, = -1,106 9,531 -3,990 0,9999 .
-0,6725 -3990 6,690 -3,928 ’
. 0 0,9999 -3928 5/27 .
'0,6995 -0,6618 -0,2561 -0,1189 '
р,р,р. = 0,6131 0.7997 -0,2261 -0,1050 .
1 ’2’3 0,3367 0 0,9398 -0,0576 ’
0,1687 0 0 0,9857
для i= 2 , j = 3 :
cos В = 0,8312; sin В =- 0,5560;
1 0 0 0 '
тэ » 0 0,8312 0,5560 0
0 -0,5560 0,8312 0
.0 0 0 1
379
’ 0,6518 05453 -1,174 0 '
0,5453 11,83 0 2,974 1,174 0 4,388 -2,737
— 7 2574 -2,737 5,127,
'0,6945 -0,4077 -0,5808 - 0,1189
0,6131 0,7488 0,2289 - 0,1050
0,3367 -0,5226 0,7812 0,0576
0,1682 0 0 0,9857.
для i=2,j=4:
cos 9 * 0,9343-, sin 9= 05549
‘1 0 1 О'
Р Ж 0 09349 0 -0,3549 •
0 0 1 0 9
.0 0,3549 0 0,9349.
' 0,6518 -0,5098 -1,174 0,1935'
-0,5098 12,96 0,9713 0 . -1,174 -0,9713 4,388 -2559
0,1935 0 -2,559 3,999
1?1?РЛРГ = 0,6945 -0,4233 -0,5808 0,0335' 0,6131 0,6628 0,2289 -0,3639
0,3367 0,5090 0,7812 0,1316
0,1687 0,3498 0 0,9213 _
Для окончания данного просмотра аннулируем элемент (3,4), вычис-
я
cos 0 = 0,7335', sin 0 = - 0,6797 ;
'10 0 О'
0 10 О
О 0 0,7335 0,6797
О 0 -0,6797 0,7335
В результате приближенная диагональная матрица
л- р6т. . .р/кр,. .. р6
имеет вид
0,6518 -0,5098 -0,9926 - 0,6560'
Л = -0,5098 12,96 -0,7124 -0,6602
-0,9926 -0,7124 6,7596 0
. 0,6560 -0,6602 0 1,6272 .
Произведения элементарных матриц вращений Р дали приближенную
матрицу собственных векторов
0,6945 -0,4233 -0,4488 -0,3702
0,6131 0,6628 0,4152 -0,1113
0,3367 -0,5090 0,4835 0,6275
0,1687 0,3498 -0,6264 0,6759
380
Л
Точно так же после выполнения второго просмотра получим
Ф =
0,1563 - 0,3635 0,0063 -0,0176 •
-0,3635 13,08 -0,0020 0
0,0063 -Ц0020 6,845 0
. -0,0176 0 0 1,910
0,3875 -0,3612 -0,6017 -0,5978'
0,5884 0,6184 0,3710 -0,3657
о,бт -0,5843 0,3714 0,3777 9
. 0,3546 0,3816 -0,6020 0,6052 _
а после третьего цикла вращений вычисления дали следующие резулы
ТЭТЫ Л - 0,1459 13,09 6,854 1,910 j >
0,3717 -0,3717 -0,6015 -0,6015
<р = 0,6015 0,6015 0,3717 -0,3717
0,6015 - -0,6015 0,3717 0,3717
. 0,3717 0,3717 -0,6015 0,6015
Таким образом, теперь диагональная матрица собственных значений Л
оказалась вычисленной с заданной точностью. Это позволяет представить
собственные пары в следующем виде:
'0,3717'
V = 0,1459; Фг = 0,6015 0,6015 9
0,3717
-0,6015
= 1,910; -0,3717 0,3717 9
0,6015.
-0,6015
» 6,845 ; % - 0,3717 0,3717 9
-0,6015.
-0,3717'
= 13,09 ; 0,6015
^4 Л ± -0,6015 •
0,3717_
Следует заметить, что собственные числа в матрице Л и соответствую-
щие им столбцы собственных векторов матрицы Ф могут оказаться
записанными в произвольном порядке.
Следующий пример является иллюстрацией квадратичной сходимости
процесса для случая, когда внедиагональные коэффициенты оказались
достаточно малыми величинами.
381
Пример 11.10
Применить алгоритм Якоби для решения задачи Ку = Alp с матрицей
К в виде
к„ о(е) о(е)
К = о(е) к33 о(е) .
о(е) о(е) к33 .
Символ о(е) означает "порядка е " , г де е «к,i, i=t2J3. Показать, что после
одного полного просмотра все внедиагональные коэффициенты окажут-
ся малыми величинами порядка е2, что, по существу, и означает квад-
ратичную сходимость.
Поскольку ожидаемые углы вращений достаточно малы, будем счи-
тать, что sin в и cos#»/, и, согласно (11.80), получим
Если наше предположение верно, то за один просмотр все внедиагональ-
ные коэффициенты обратятся в нуль. Полагая, чтоК^К, находим К2 в
результате преобразования, обращающего в нуль коэффициент (1,2)
где 1 о(е) -о(е) о
я = кц ~ к33 1 0 п
0 1
Следовательно,
к„+0(€г) 0 0(e)
Кг= 0 кзг+о(ег) о(е)
о(е) о(е) к33
Аналогично аннулируем коэффициент (1,3) в К2 и получим матрицу
к„ + о(ег)
о(е2)
0
о(ег)
кгг+ о(ег)
о(е)
0
о(е)
к33+о(е2)
Наконец, обращая в нуль коэффициент (2, 3) в К,, окончательно име-
ем матрицу
0(еа)
0
к33+0(е2)
у которой ненулевые внедиагональные коэффициенты оказались по-
рядка € 2.
11.3.2. Алгоритм обобщенного метода Якоби. В предыдущих парагра-
фах было рассмотрено решение стандартной задачи на собственные зна-
чения с помощью матриц вращения Якоби, приводящих мат-
382
рицу К к диагональной форме. Для решения обобщенной проблемы
Ку-ЛМ#М*1 с помощью обычного алгоритма Якоби необходимо предва-
рительно преобразовать задачу к стандартному виду Если же воспользо-
ваться алгоритмом обобщенного метода Якоби, работающего непосред-
ственно с матрицами К и М [11, 28], то преобразование к стан-
дартному виду становится ненужным. Этот алгоритм, представленный
соотношениями (11.72) — (11.76), является дальнейшим развитием
схемы стандартного алгоритма Якоби и совпадает с последним при
М=1. При этом матрицы вращений Рй в обобщенном алгоритме Якоби
имеют вид
/-ЫЙ СТОЛБЕЦ
, (11.85)
------у_я строка
где постоянные ос и у выбираются так, чтобы на /с-й итерации одно-
временно аннулировать коэффициенты (l,j) матриц К* и 1*1^. Поэтому,
значения а и у определяются величинами коэффициентов к™к$к™,
иЗдесь верхний индекс^ означает номер итерации. Вычисляя
произведенияи и используя условие обращения Л^^и
в нуль, получим следующие два уравнения для определения ос и у.-
а к + (1+ а7) к«> + 7kjk) = 0', (11.86)
ат^1 * /rrijf = 0. (11.87)
Для тривиального случая, когда
.W .(*)
(т.е. соответствующие блоки второго порядка у К и М отличаются
друг от друга множителем), принимаем сх« О и 7=-кцУк^. В общем
случае вычисление а и у из (11.86) и (11.87) приводит к соотно-
шениям
к^к^’-^к^-,
к(к> = .
(11.88)
откуда находим,что
к?
х ’
(11.89)
а =
383
где величина х выражается через к(к), kff1 и к® следующим об-
разом
* “ -£- * sign < км) кц3*™ <11 -90)
Приведенные выше соотношения для а и у вообще говоря, спра-
ведливы, если М— положительно определенная полностью заполненная
или ленточная матрица масс. Для этого случая (а в действительности
при менее жестких ограничениях) справедливо неравенство
при выполнении которого х^О. Кроме того, detPA*0, что является
необходимым условием возможности работы описываемого алгоритма.
Рассмотрим некоторые частные случаи. Предположим, что М — диа-
гональная матрица масс и М = 1, а все Для этого случая, согласно
(11.88), имеем
к^-т^к™- к^-т^к^, (11.91)
причем остальные соотношения из (11.85) — (11.90) остаются без из-
менений. Если М= I, то из соотношения (11.87) следует, что а»-у, и
теперь можно заметить, что Р* в (11.85) отличается только множите-
лем от матрицы вращений в (11.79) (см. пример 11.11).
Т а бл и ца 11.3. Краткое изложение обобщенного алгоритма Якоби
Этап Формулы вычислений Число операций Требуемая память
Определение соответст- вующих величин, анну- лирующих коэффици- енты (ij) А С учетом сим- метрии матриц
W-k^-m$>k'*> кМ-к?ту-к<*п#>
-(» т(» _ ки __ kjj 12 п(п+2)
Вычисление собствен- ных векторов к**- , МайнНр* Ф •• Р*-,)ТЬ Всего для одного про- смотра 2п Зп’+ 6п1 п» 2п*+2/?
Наконец, отметим, что описанный алгоритм можно приспособить к
решению задачи и в том случае, когда М является диагональ-
ной матрицей с некоторыми нулевыми коэффициентами.
Процесс решения задачи с использованием обобщенного алгоритма
Якоби аналогичен алгоритму решения задачи КЛф , представленному
384
з предыдущем разделе. Различие заключается в том, что если М не
является диагональной матрицей, то необходимо вычислять величины
и выполнять преобразования не только К*, но и И,..
Оценка сходимости процесса производится на основе сравнений вы-
деленных приближений к собственным значениям, а также проверкой
'малости" всех внедиагональных коэффициентов. Для некоторого f-ro
номера итерации процесс считается законченным, если
(1-1,..., п),
л к!‘ . ,м_
‘ ’ Л‘ ~ ’
и выполняются условия "малости"
(11.92)
(11.93)
Г (тп*1>)г 7Й
’941
Здесь является точностью решения.
В табл. 11.3 даны основные формулы и количественные опенки для
случая, когда М является полной или ленточной положительно опре-
деленной матрицей. Эти формулы реализованы в подпрограмме JACOBI,
представленной в конце данного раздела. Общее количество операций
и требуемый размер памяти приведены для полностью заполненных
матриц К и М •
Особенности обобщенного алгоритма Якоби проследим на следую-
щих примерах.
Пример 11.11
Показать, что обобщенный алгоритм Якоби сводится к стандартному
в случае, когда М“1. Для доказательства рассмотрим процедуру
вычисления матриц преобразования, позволяющих аннулировать произ-
вольный внедиагональный элемент. Покажем, что матрицы пргюбразова-
ния, для данного случая получаемые в стандартном и обобщенном ал-
горитмах Якоби, совпадают Друг с другом с точностью до некоторого
множителя. Поскольку на каждом шаге итераций выполняется вращение
в (l,j)-й гиперплоскости, можно, не теряя общности, в рассуждениях
ограничиться рассмотрением решения более простой задачи:
fl". М*"*-
С помощью (11.88) — (11.90) находим, что
« = -7 ; Н - Г! 5
(а)
~к</ + кд t (кц - кг2)г 4A#
7= 2к„
С другой стороны, при использовании стандартного алгоритма Якоби
получается следующая матрица вращений
25 - 522
385
n , ГС04*
i_stn в
sin 91
cos 9 J ’
которую можно представить в виде
Pf = cos в
1 -tanel
tanff 1 J
(6)
Таким образом, P, в (б) совпадает с Ру в (а) с точностью до
множителя cos# , если tan9=‘J. Для стандартного алгоритма Якоби вы-
числим tan20, используя (11.80)
tan2# =
Поскольку
. 2 tan в
tan 29 = —----—
f-tan2#
(в)
(г)
то с помощью (в) и (г) можно вычислить tan 9, входящий в коэффи-
циенты матрицы (б) в следующей форме
|an (з - 4/Q2'
2Луг
Отсюда 7"= tan#. Таким образом, обобщенный алгоритм Якоби экви-
валентен стандартному в случае, когда М = I.
Пример 11,12
Использовать обобщенный алгоритм Якоби для определения собст-
венных значений и векторов в двух задачах Кф = А Му
(1) Пусть в первой задаче
«Л ' М- Г2 '1
1-/ d м zj
Так как матрица К — особенная, то среди собственных значений долж-
ны быть нулевые.
(2) Рассмотрим вторую задачу, для которой
В силу особенности матрицы М одно из собственных значений задачи
является бесконечно большим.
Используя соотношения (11.85) — (11.90) для задачи (1) будем
иметь
= к(1}=0-
х-3; /=-/ ; «= 1 ;
Следовательно,
386
Т>ткр,-
и 1
ц’н р.".
и
гобы получить Лиф
олбцы в этих матрицах п
, используем (11.75) и (11.76) и расположим
< 1’стс।вуищем порядке. Эго дает
О
2
ф =
/
VS'
1
LV6
1
7
Точно так же для задачи (2) получим
к^-2 ;
х = ~4 ;
к(,)
а=
О ;
что позволяет записать
Р/КР,
Л = 4
о?
Р,ТМР,=
2 0 [.
Р ffj ’
V2
____С
2-^2
Проведенное выше обсуждение обобщенного алгоритма Якоби поз-
воляет отметить его положительные стороны. Во-первых, отпадает не-
обходимость преобразования обобщенной проблемы к стандартной
задаче на собственные значения. Это является особенно важным, если
1) исходные матрицы К и М плохо обусловлены, 2) они имеют
весьма малые внедиагональные коэффициенты, что в принципе экви-
валентно ситуации, когда число ненулевых коэффициентов незначитель-
но. В первом случае прямое решение задачи Ку=АМу позволяет избежать
решения стандартной задачи с матрицей коэффициентов, имеющей боль-
шой разброс модулей (см. разд. 10.2.5). Во втором случае задача на
собственные значения, по существу, оказывается почти решенной, по-
скольку наличие весьма близких к нулю или же нескольких ненулевых
внедиагональных коэффициентов в матрицах К и М не может
вызвать сколько-нибудь значительные изменения их диагональных
элементов, отношения которых и являются искомыми собственными
значениями. Более того, при малых внедиагональных коэффициентах
можно ожидать более быстрой сходимости итераций (см. разд. 11.3.1).
Следует заметить, что в ani оритмах типа Якоби одновременно вычис-
ляются все собственные числа и соответствующие собственные векторы.
Однако я задачах с использованием метода конечных элементов, как
правило, требуется определить юлько некоторые собственные пары,
поэтому применение алгоритмов типа Якоби в таких задачах может ока-
заться весьма неэффективным, в особенности если матрицы К и М
387
UMi.-KiT Спасшие порядки Однако рассмотренный алгоритм может быть
эффективно использован как составная часть изложенных ниже мето-
дов реше-ин (см. разд. 12.3). Если же порядок матриц К и М отно-
стельно мал, ю решение задачи на собственные значения не оказыва-
>’Ti я чрезмерно трудоемким, и здесь алгоритмы типа Якоби весьма
пр твлекательны в силу своей простоты и элегантности вычислительной
схемы.
Подпрог рамма 7AC0BI. Подпрограмма JACOBI предназначена для
вычисления всех собственных значений и соответствующих собственных
векторов обобщенной проблемы Kf =/му. Используемые в программе
переменные поясняются в картах с комментариями.
11.3.3. Алгоритм QR — Хаусхолдера в сочетании с обратными итера-
циями. Алгоритм Хаусхолдера -QR — обратных итераций (HQRI)
является одним из наиболее важных алгоритмов, основанных на преоб-
разованиях, несмотря на то, что его возможности ограничены решением
стандартных задач на собственные значения. Поэтому при рассмотрении
обобщенной проблемы Ку-АМу ее прежде всего необходимо привести
к стандартному виду и лишь после этого возможно использование схемы
HQRI. Наименование "алгоритм решения HQRI* связано с тем, что в
его структуре можно четко выделить три основные этапа:
1) Приведение матрицы К к тридиагональному виду с помощью
преобразований Хаусхолдера.
2. Вычисление всех собственных значений с помощью QR-преобразо-
заний.
3. Вычисление собственных векторов тридиагональной матрицы с
помощью обратных итераций и переход от них к собственным векто-
рам исходной матрицы К.
Основное отличие данного алгоритма от алгоритма Якоби заключает-
ся в том, что исходная матрица за конечное число вращений приводится
к тридиагональной форме, которая оказывается особенно удобной для
вычисления собственных значений с помощью дальнейших QR -итера-
ционных преобразований. Алгоритм позволяет определять необходимое
число требуемых собственных векторов. Рассмотрим каждый этап
алгоритма HQRI более подробно.
Приведение по Хаусхолдеру: приведение матрицы К по Хаусхолде-
ру к тридиагональному виду состоит из (п-2) преобразований вида
(11.72). Полагая, что К,= К, последовательно вычисляем
(к-f,..., п-2), (11-95)
где Р* — матрицы преобразования Хаусхолдера (см. разд. 2.5 и 7.3.2)
являющиеся матрицами отражений
Р*= I- ; (11.96)
Технику вычисления'вектора vtlc,которым определяется матрица Р*,по-
кажем для А= 1 , поскольку при других значениях к все вычисления
повторяются. Вначале выделим в матрицах и w* некоторые блоки
(или подматрицы) (п-1)-то порядка и W,
388
(I । ' 5)
При к соответствующие блоки будут иметь порядок (п-к) Вы юл
нив умножение матриц в (11.95) и используя предс авпенньи 11 ЭВ),
получим матрицу
(II )9)
Поскольку первые столбец и строка матрицы должны бып.
приведены к тридиагональному виду (т.е. иметь нулевые коэбсбициенгы,
за исключением первых двух), то эта матрица должна имен я '<ц
к„ | х 0 . . . О
х ।
° I к.
о !
(1 1.100)
Символом х отмечены ненулевые коэффициенты, а подматрица К,
вычисляется в результате преобразования
где Р, есть матрица отражения (см. разд. 2.5). Кроме того, можно
применить ц для преобразования вектора к, матрицы X, и:
(11.98) в вектор, имеющий только одну первую ненулевую компонен- у.
Так как сферическая норма нового вектора должна раянятыл нормт
вектора ку, то определим из условия
(I-0wiw7)l4 » ± ЦМ-Л ’ (11 1071
где е, — единичный вектор размером (п-1), т.е. ej>=[7 0 0. .^?].Отм»
тим, что знак "+” или " выбирается так, чтобы получить наилучшук<
численную устойчивость по отношению к округлениям. При этом ока
зывается несущественным, что для нас важно лишь направление моги
вектора Л, (см. разд. 2.5). С точностью до множителя (11 102) в качен i
ве подходящего значения Wi принимаем следующее
w,» kf+ sign, (11 1<<-!)
где к21 элемент (2,1) матрицы Зная W, из (11.103),можно вы
полнить первое преобразование Хаусхолдера, согласно (11-9Б)_, при
к^1. На следующем шаге, при к^2 , точно так же преобразуется из
(11.100). При этом важно подчеркнуть, что доследующие преобратова
ния не затрагивают коэффициенты ранее преобразованных перем <
столбцов и строк матрицы Кг- Таким образом, намечен общий атно-
389
рлтм преобразования К к i ридиа, опальной форме, который удобно
проиллюстрировать на следующем примере
Пример 11 13
С помощью матрицы преобразования Xa/схолдера привести матрицу
К к тридиагональному виду
5
4
1
О
-4 10'
б -Ji 1
-* 6 -J/
1 -Ji 5
с помощью соотношении (11.95) - (11.103) преобразуем первый стол-
бец и первую строку исходной матрицы
1
о
I (оследовательно вычисляем
W. -
О '
-8,1231
1 •
с’
8, - 0,0293573 ;
0
О
о
о
-0,9701
0,2*25
0
0 J
0,2*25 0
05701 0
0 1
и, наконец, в результате первого преобразования имеем
5 *,1231 *,1231 7,8823 0 0 3,529* -1,9*03
Кг- 0 0 3,529* -15*03 *,1177 -3,6380 -3,6380 5
Далее преобразуем вторую строку и столбец матрицы К4
3,529*1 . Г И ’ 7,5У7<Л
” [- -1,9*03 \' >-*,0276 Ш = .-1,9*03 У
' 0 ' '10 0 О'
0 7,5570 ; вг~ 0,0328553; 0 10 0 0 0 -0,8763 0,*817
-1,9*03 0 0 0,*817 0,8763
и получаем матрицу К3> являющуюся одной из возможных тридиаго-
нальных форм матрицы К
5 *,1231 О 0 '
*,1231 7,8823 -*,0276 О
0 -*,0276 7,39*1 2,3219
0 0 2,3219 1,7236.
390
Сделаем некоторые важные замечания по поводу численной реализа-
ции изложенной процедуры. Прежде всего отметим, что промежуточные
матрицы Л- ^остаюпн симмегричными Следовательно, необходи-
мо запоминать только нижнюю симметричную часть исходной матрицы
К, а для хранения при к = 1,2,2 использовать зоны памяти,
занимаемые ранее наддиагональными коэффициентами, которые к это-
му моменту были обращены в нуль.
Недостаток преобразований Хаусхолдера связан с тем, что увеличива-
ется ширина ленты непреобразованной части матрицы К*.*, , из-за чет о
преимущества ленточной структуры использовать не удается.
Существенным моментом этого преобразования является вычисле-
ние матрицы произведения на первом шаге и аналогичных произ-
ведений при последующих шагах. В общем случае перемножение трех
матриц zz—го порядка требует выполнения 2п3 операций, однако в си-
лу особенностей структуры матрицы Р, произведение можно
определить следующим образом
v, = ;
>
Д= p,rw,;
и теперь
(11.104)
(11.10b)
Эти вычисления гребуют Зт*+Зт операций, где т порядок матриц
Н и (т.е. в данном случае /»?= л-/). Следовательно, вычисление про-
изведенияТ’КдР, потребует количества операций, пропорционального тг
а не что и оказывается более экономичным. Покажем схему вычис-
лений в (11 104) — (11.105) на примере 11 13.
Пример 11.14
Использовать соотношения (11.104) (11.10b) для приведения мат-
рицы К из примера 11.13 к тридиагональному виду. Преобразование
первого столбца и строки с помощью и в,, вычисленных в примере
11.13, дает.
-52,738 '
38,4924 ;
у 12,1231
&=[-1,5746 1,1493 -0,36197}, &= 13,9403, q,=
_ г6
Н Г 12,7910
-4 - -1,5746
5 0
‘ 1,8064'
0,7331 •
- 0,3620J
2,9403
-0,3620
14,6734
-5,9548
2,9403
1,8064 0
0,73307 0
-0,3620 0
или
391
7,8823 3,5294 -1,9403'
= 4^ V177 ~3,6380 ,
[-1,9403 -3,6380 5 J
откуда находим
5 4,1231 0 0
К & 4,1231 7,8823 3,5294 -1,9403
0 3,5294 4,1177 -3,6380
0 -1,9403 -3,6380 5
Далее преобразуем второй столбец и строку
W = Г ^и77 -3,63801 й Г38,1759
2 [-3,6380 5 J 2 37,1941
р’’» [1,2543 -1,2220]-, ft. = 11,8497-, q^=
- 1,68781.
-а*ббб I;
р’к Б- \*>1177 -3,63801 [9,4786 -9,23481
а «2~ \-3)638о 5 J “ [-2,4337 2,3711]
-12,7550 3,27491 _ [73941 2,32191
-3,5263 0,90538] ~ [2,3219 1,723б]
и, следовательно.
5 4,1231 0 0 '
Ка = 4,1231 7,9823 -4,0276 0
•'Э 0 -4,0276 7,3941 2,3219
0 0 2,3219 1,7236
В процедуре HQRI QR-преобразований "работают" с тридиагональной
формой, полученной по Хаусхолдеру из исходной матрицы К. Такая
двухстадийная последовательность обработки К , как правило, более
эффективна, чем непосредственные Q R-итерации матрицы К . Однако
вначале рассмотрим QR-преобразования симметричной матрицы общего
вида. Название этих преобразований — QR — связано с тем, что осно-
вой преобразования является разложение матрицы К в произведение
ортогональной матрицы Q и верхней треугольной формы R
K=QR. (11.106)
Отсюда следует, что
RQ=QrKQ, (11.107)
и при вычислении RQ фактически осуществляется преобразование
вида (11.72). В принципе факторизацию в (11.106) следует выполнять
с помощью процесса ортогонализации столбцов матрицы X по Граму-
Шмидту. Но практически более удобным может оказаться приведение К
392
к верхней треугольной форме с помощью якобиевых матриц вращения,
что дает (см. разд. 7.3.1)
рЛ-г PvPa>~p <11108)
Здесь , согласно (7.53), подбирается так, чтобы коэффициент (J,i)
становился равным нулю.
На основе (11.108) и в соответствии с (11.106) можно записать, что
Q-^pv. Рл^.
(11.109)
Полностью алгоритм QR-итераций получается путем повторения опера-
ций (11.106) и (11.107). Полагая, что , будем иметь
K*=Q*R* (11.110)
и
В пределе при к —• оо матрицы К**/ стремятся к диагональной
форме, а произведение матриц Q,...Q^_,QA стремится к матрице собствен-
ных векторов Ф,т.е.
*А , Q,.. —-Ф, к—оо.
При этом расположение собственных чисел на диагонали Л , вообще
говоря, не соответствует номерам столбцов (т.е. собственных векторов)
матрицы ф . Для иллюстрации рассмотрим следующую задачу.
Пример 11.16
Вычислить QR-итерации, в которых матрица Q получается с по-
мощью матриц вращения Якоби, и решить проблему собственных значе-
ний для матрицы К
’ 5 -4 1 О 1
U 1 5J
Используя матрицу из (7.50) для аннулирования коэф-
фициента текущей матрицы (отмечено черточкой) будем иметь
kji
к2
Для аннулирования коэффициента (2, 1), согласно (11.108), находим.
ЧТО sin 0=- 0,6247; cos0 = 0,7809;
' 0,7809 0,6247 0 „ -0,6247 0,7809 0 0 0 1 0 ' 0 . 0 ’
_ 0 0 0 1
393
’ 6,903 -6,872 3,280 -0,6297
= 0 2,186 -2,999 0,7809
2,1 1 —9 6 -9
0 1 -9 5
Далее обращаем в нуль коэффициент (3, 1)
6,981 -7,907 9,166 - 1,239 '
Рт РГ К = 0 2,186 -2,999 0,7809
*3,1 *2,1 0 -2,892 5,922 -3,856
0 1 -9 5
Так как коэффициент (4, 1) также обратился в нуль, то следующим
аннулируем коэффициент (3, 2). Это дает
' 6,981 -7,907 4,166 -1,239'
ргртргК = 0 3,625 -5,832 3,596
3^ V 2,1 ' 0 0 1,277 -1,703
0 1 -9 5 .
Аналогичным образом аннулируем коэффициент (4, 2)
'6,981 -7,907 9,166 -1,239
pr prprрг к _ 0 3,761 -6,686 9,798
42 ЦД1*/ “ 0 0 1,277 -1,703
0 0 -2,305 3,877
и, наконец, приходим к верхней треугольной форме .
Ry® рг рг к
'6,981 -7,907 _ 0 3,761 9,166 -1,239 -6,686 9,798
0 0 2,635 -9,216 . 0 0 0 0,3892^ Произведение матриц дает матрицу ’ 0,7715 0,9558 0,3162 43.6172 0,3799 0,9216 0,3119 ' 0,5999
4= •эу = о,1593 . о -0,7597 0,1059 0,2659 -08933 0,6228 0,9671
Первый цикл QR-итераций заканчивается вычислением матрицы "К2
10,21 -3,353 0,9066 0
-3,353 7,771 -3,123 0,1035 0,9066 -3,123 3,833 -0,3282 0 0,1035 -0,3282 0,1818
Результаты вычислений в последующих циклах QR-итераций запишутся
так:
для к^2'.
394
Mz
1S = R,Q3 =
для A«j;
»з =
R2
10,76 -5,723 1,509 - 0,0996
0 6,979 -9,163 0,2289
0 0 2,265 -0,2752
0 0 0 0,1971 .
0,6029 0,9993 0,5089 0,3665 -
0,6885 -0,0257 0,9099 0,5978
0,3873 -0,6909 -0,2715 0,6096
-0,1147 0,5867 0,7070 0,3779
12,05 -2,331 0,0856 0 '
-2,331 7,726 -0,9983 0,0022
0,0856 -0,9983 2,0790 -0,0173 л
*- 0 0,0022 -0,0173 0,1961 .
12,28 -3,761 0,2785 -0,0005 ‘
0 7202 1,173 0,0099
0 0 1,938 -0,0182
0 0 0 0,1959
0,5011 0,5302 0,5793 0,3713 "
0,6682 -0,2076 0,3860 0,6012
0,5000 0,5157 - 0,3992 0,6018 9
0,2290 0,6901 - 0,6319 0,3722 _
12,77 -1,375 0,0135 0 '
-1,375 7,162 -0,2981 0
0,0135 -0,2981 1,922 -0,0013
0 0 -0,0013 0,1959_
Наконец, после девяти итераций имеем
13,09 - 0,0869 0 0
R9 = 0 0 $859 -0,0005 0 1,910 0 0 >
0 0 0 0,1959 _
0,3796 0,5997 0,6015 0,3717'
-0,6033 - 0,3689 0,3718 0,6015
0,5997 - -0,3796 -0,3717 0,6015
~0,3689 0,6033 -0,6015 0,3718 _
" 13,09 -0,0298 0 0 '
-0,0298 6,8592 -0,0001 0
• w 0 -0,0001 1,910 0
0 0 0 0,1959 _
39
Таким образом, в результате выполнения девяти циклов QR -итераций
получены следующие результаты
A±o,i459; ъ- '0,3717' 0,6015 0,6015 0,3718 3 Аг± 1,910; 0,6015 0,3718 -0,3717 -0,6'015 3
05997 ~ - 0,3746'
6,854- -0,3689 -0,3746 0,6033 0,5997
0,6033 - 0,3689 _
Их можно сравнить с результатами, полученными с помощью алгоритма
Якоби в примере 11.9. Интересно отметить, что в приведенном выше
решении первыми были вычислены наименьшее собственное число и
соответствующий вектор , причем достаточно хорошие приближения
получились уже после трех первых QR —итераций. Отмеченное обстоя-
тельство связано с тем, что QR-итерации весьма тесно связаны с обрат-
ными итерациями (см. пример 11.16), в которых первыми также вычис-
ляются наименьшее собственное число и соответствующий ему вектор.
Следует отметить, что хотя QR-итерации внешне напоминают враще-
ния в алгоритме Якоби, по существу, это два совершенно разных алго-
ритма. Различие выступает особенно явно при анализе сходимости QR -ал-
горитма. В действительности Q6. -алгоритм теснейшим образом связан с
алгоритмом обратных итераций. Чтобы понять это в прим. 1 Т.16, срав-
ним результаты применения QR -преобразований и обратных итераций,
предполагая, что матрица К неособенная. Это предположение необхо-
димо для возможности выполнения итераций, причем его всегда можно
выполнить с помощью надлежащих сдвигов (см. разд. 10.2.3).
Пример 11.16
Исследовать связь между QR-алгоритмом и алгоритмом обратных
итераций.
При использовании QR-алгоритма после выполнения i циклов
итераций будем иметь
ОГоГ,... q3g Q,... Q,,
Км’ММ; Pt=Qc..Qt.
Положим, что
S,-PZ...R, .
Тогда можно записать
PfSf = .
Замечая, что
получим
P/S< = .
Аналогичным путем находим и тд. Следовательно,
396
P1Sf=K‘. (a)
Если предположить, что К — неособенная матрица, то с помощью (а)
можно записать
Ч -k-'s;.
Приравнивая столбцы в правой и левой частях этого соотношения, бу-
где матрица Е составлена из последних р столбцов единичной мат-
рицы I.
Теперь рассмотрим процесс одновременных обратных итерации р
векторов, который можно представить в виде
КХ4«Х^Ц (к-1,2...).
Здесь L* — нижняя треугольная матрица, подобранная так, что ХАХА=.1 .
Матрицу L* можно найти с помощью ортогонализации итерируемых
векторов по Граму—Шмидту. Это позволяет после выполнения t цик-
лов итераций записать
X, = К'ХД,; Lt=L,...Lf. (в)
С другой стороны, соотношение (б) можно представить в следующей
форме
PfE=K-<ESf . (г)
Здесь матрица 5( составлена из последних р столбцов и строк
матрицы Учитывая, что(1*1-У(1$Е)=1и I из (в) и (г), получим
соответственно
х;к'г/хс (д)
и
ЕтК’г,Е . (е)
Соотношения (д) и (е) позволяют выявить связь между алгоритмом
обратных итераций и QR-преобразованием. В частности, если выбрать
Х0=Е,то из соотношений (д) и (е) следует, что Т,= 5< , поскольку эти
матрицы являются множителями в разложении Холецкого некоторой
положительно определенной матрицы. Теперь с помощью соотношений
(в) и (г) можно заметить, что полученные в результате обратных ите-
раций векторы Х( являются, в сущности, последними столбцами
матрицы , вычисленной с помощью QR -алгоритма.
Установленное соотношение между алгоритмом простых обратных
итераций и QR—алгоритмом, выполняемым согласно (11.110) и
(11.111), показывает, что сходимость QR-алгоритма можно ускорить
с помощью сдвигов. Практически QR-итерации всегда результируются
со сдвигами, поэтому вместо (11.110) и (11.111) используются следую-
щие соотношения
KA-juJ - ; (11.112)
397
где, как и прежде, К>+7—’A,Q,...QAhQ*—»ф при к—•*<». Отметим, что ес-
ли в качестве сдвига juk на к-й итерации выбирать величину коэффи-
циента (п,п) матрицы К*, то QR-итерации будут соответствовать
итерациям на основе отношения Релея, обладающим асимптотически
кубической сходимостью.
Как указывалось выше, QR-итерации следует начинать после приве-
дения К к тридиагональному виду с помощью преобразования Хаус-
холдера, т.е. QR-алгоритм применяют к матрице в (11.95), кото-
рую обозначим как Ту. Если исходная матрица тридиагональна, то про-
цесс QR -итераций особенно эффективен, поскольку практически
оказывается, что для вычисления всех собственных чисел требуется 9пг
операций. При этом не обязательно строго придерживаться описанной
выше процедуры и показанной на примере 11.15. Вместо этого можно,
например, выразить коэффициенты матрицы 1*», через коэффициенты
матрицы Т* , к=1,2,... [1,36].
Собственные векторы при использовании QR-алгоритма, обычно
вычисляются с помощью обратных итераций и, как правило, с наиболь-
шей машинной степенью точности. Если предварительно вычислено соб-
ственное значение с высокой степенью точности, то обычно бывает дос-
таточно двух циклов обратных итераций (с предварительными сдвига-
ми, равными соответствующим собственным значениям) для определе-
ния собственного вектора тридиагональной матрицы Т,, если в качест-
ве начального выбирается вектор с единичными компонентами. Далее
собственные векторы матрицы Ту преобразуются с помощью ранее
полученных матриц Хаусхолдера р* в собственные векторы исходной
матрицы К . Если обозначить собственные векторы матрицы Ту че-
рез ft , то с помощью матриц , согласно (11.95), будем иметь
= (11.114)
В табл. 11.4 представлены основные параметры и этапы процедуры
HQRI.Следует заметить, что большую часть операций составляют преобра-
зования по Хаусхолдеру по (11.95), а также операции преобразования
собственных векторов (согласно 11.114), если их требуется достаточно
много.
В то же время вычисление собственных векторов матрицы Ту не яв-
ляется трудоемким процессом.
Таблица 11.4. Основные параметры и этапы алгоритма
Хаусхолдера -QR-обратных итераций
Этап алгоритма Основные соотношения Количество операций Требуемая память
— — .—
Преобразование Хаусхолдера QR-итерации Вычисление р собственных век торов *'2’ п~2; к,яК T*«=Q*4Q*; Л. 1,2,...-, Ту- К„_у к- i Sn‘ 10рп С учетом симметрии матрицы £[n(n+lff*6n
398
Продолжение табл. 11.4.
'‘Этап алгоритма Основные соотношения Количество операций Требуемая память
Преобоазованиер собственных век рп(п-1)
торов
Итого для всех этапов — +9рп -
Следует отметить, что в табл. 11.4 не приведено количество операций,
требуемых для преобразования обобщенной проблемы собственных
значений к стандартному виду. Если это преобразование используется,
то собственные векторы исходной задачи должны также быть преобра-
зованы в собственные векторы исходной задачи, как эго рассматрива-
лось в разд. 10.2.5.
11.4. Вычисление собственных значений с помощью
характеристических полиномов
Как было отмечено в разд. 10.2 2, корни характеристического поли-
нома р(Л)
р(А)~ detfK-AM) (11.6)
являются собственными значениями задачи Ку — АМу. Соответствую-
щие алгоритмы представлены в работах [1 — 11 ], где используется два
основных подхода в зависимости от того, вычисляются ли коэффициен-
ты полинома в явном виде или же его значения определяются численно.
При этом все алгоритмы так называемых итераций с полиномами в прин-
ципе могут работать непосредственно с матрицами К и М. Однако ес-
ли М есть единичная матрица, то удобно сначала привести К к три-
диагональной форме, как это делается в HQRI-процедуре (см. разд.
11.3.3).
Если М^1, то может оказаться более удобным свести исходную
задачу к стандартной форме (см. разд. 10.2.5) , а затем использовать
преобразование Хаусхолдера для перехода к тридиагональной форме.
Если же 1ребуется определить не все, а только несколько собственных
значений, то, как правило, наиболее эффективным оказывается прямое
использование матриц К и М в соответствующих алгоритмах.
Отметим, что алгоритмы "итераций с полиномами" позволяют вычис-
лять лишь собственные значения. Соответствующие им собственные
векторы наиболее удобно определять при помощи обратных итераций
со сдвигами, равными по величине предварительно найденному собствен-
ному числу.
11.4.1. Итерации с полиномами в явной форме. В алгоритмах итерации
с полиномами в явной форме вначале необходимо определить коэффици-
енты полинома a., а„ , что позволит представить его в виде
= а»* а,А + агЛг+... а„Л”. (11.115)
Второй этап связан с вычислением корней полинома. Описанную про-
цедуру покажем на примере следующей задачи.
399
Пример 11.17
Вычислить коэффициенты характеристического полинома задачи
К^ЛМрдля К и М из примера 11.4
p4V»det
5-2А -4
-4 6-2А
1
1 О
-4 1
6-А -4
-4 5-А
Раскрывая определитель по первой строке (см. разд. 1.8), будем иметь
'6-2А
pft)=(5-2A)d.et -4
'-4
*69 det 1
о
6-2Л 1
-4 -4
/ 5-Х
Далее запишем
р(А) • (5-2Х>{(6-2Х)[(б-АХ5-Х) -1б] +
+ 4[-4(5-А)+4]+ 16-(6-А)} +
+ 4{-4f(6-A)(5-A) -16]+ 4(5-А)-4) +
+{-4[(-4)(5-Л)+4]-(б-2АХ5-А)+ 1}
и окончательно приходим к следующему выражению
р(А)» 4А*-66#+276Хг- 2S5X+25.
В общем случае при достаточно больших порядках матриц не удается
вычислить коэффициенты полинома так же легко, как и в приведенном
примере, так как непосредственное раскрытие определителя требует
порядка п! операций, что практически невыполнимо. Поэтому на этом
этапе могут быть использованы различные методики, но как только ко-
эффициенты полинома получены, то для нахождения его корней может
быть использован метод хорд или метод Ньютона*
Хотя использование этого алгоритма кажется наиболее естественным,
однако на пути его применения стоит одна серьезная проблема. Дело в
том, что малые возмущения коэффициентов полинома могут привести
к диагональным изменениям его корней. Но незначительный оШйбки в
коэффициентах всегда неизбежны из-за существования ошибок округ-
ления при выполнении операций на ЭВМ, поэтому йвное вычисление ко-
эффициентов ав,...,а« из К и И с последующим определением
собственных значений практически не используется.
11.4.2. Итерации с полиномами в неявной форме. В алгоритма ите-
раций с полиномами в неявной форме значений р(А) вычисляется
непосредственно, т.е. без определения коэффициентов авл..,,4|к
(11.115). Значениер(Л) может быть получено Путем разложения К® AM
в произведение нижней треугольной матрицы L t единичной диаго-
налью и верхней треугольной матрицы S , т.е.
400
K-AM»LS , (11.116)
откуда „
detCK-AM)- ГВП . (11.117)
Техника этого разложения была рассмотрена в разд. 7.2, где отмеча-
лось, что в процессе разложения могут потребоваться перестановки
строк и столбцов и при каждой перестановке определитель меняет знак.
Одновременная перестановка строк и соответствующих столбцов с це-
лью сохранения симметрии, по существу, является изменением первона-
чальной нумерации степеней свободы рассматриваемой системы. Прак-
тически неизвестно, какие перестановки строк и столбцов могут потре-
боваться, но принципиальная возможность выполнения этих перестано-
вок до начала процесса исключения по Гауссу показывает, что алгоритм
Гаусса (7.10) — (7.14) может быть использован для вычисления значе-
ния определителя. Рассмотрим следующий пример.
Пример 11.18
Используем исключение по Гауссу для вычисления значения полино-
ма />60=(1е((К-ЛЬ^где
*2 -/
К» -/ 4
0 -1
В этом случае
К-ЛМ«
О -1 о'
1 2 -1
0 -/ 1
Поскольку первый коэффициент главной диагонали оказался равным
нулю, то необходимо выполнить некоторые перестановки. Если предста-
вить первую и вторую строки, не трогая соответствующие столбцы, то
получим новые матрицы
После этого разложение матрицы R-ДЙ
путем (см. примеры 10Д и 10.5)
легко выполняется обычным
К-ЛМ = ~1 ~-1 2 -Г
0 1 ~1 0
0 11 1
Отсюда
det(K-AH)» (-1)(-1)(D ~ 1.
Учитывая применение знака определителя за счет перестановки строк
(см. разд. 1.8), окончательно получим
det(K-AM)= -1.
Как отмечалось выше, если в исключении по Гауссу выполнялись
перестановки или каждая перестановка строки сопровождалась переста-
26 - 522
401
новкой соответствующего столбца, то матрица коэффициентов К-ЛМ в
(11.116) останется симметричной. Для этого случая, как и ранее, в
разд. 7.2.2 SeD15и, следовательно,
det(K-AM)® fl с1ц . (11.118)
м
Заметим, что наряду со схемой прямого вычисления р(Л) , можно
использовать ряд итерационных алгоритмов для вычисления корней
характеристического уравнения. Здесь широко используется весьма
простой алгоритм метода хорд (секущих), основанный на линейной ин-
терполяции. Полагая, что fik^<.juk , находим следующее приближение
по формуле
<11 ‘119>
где ju»t — приближение, полученное на к -м шаге. Можно заметить,
что метод хорд (11.119) является вариантом метода Ньютона (метода
касательных)
; л (11.120)
в котором аппроксимируется разностным выражением
P(fix) - р(М
(11.121)
Р'(А) *
Проведенные исследования показали, что схемы, использующие точное
значение р'(Рь)гпрактически малоэффективны [11].
Другой подход, обычно используемый при решении задач с комплекс-
ными собственными значениями, заключен в применении метода Мюл-
лера, основанного на параболической интерполяции. Недостаток этого
метода при решении задач типа К^«АМу при вещественных начальных
значенияхи fUx-z связан с тем, что вычисленное значение//**, мо-
жет оказаться комплексным.
До сих пор мы не рассматривали к какому собственному числу схо-
дится та или иная итерационная схема. Это, конечно, зависит от выбора
начального приближения. Если предположить, что //*_, и//* меньше,
чем к,, то итерации по Ньютону и алгоритм метода секущих монотонно
сходятся к Л, с недостатком (см. рис. 11.3). Порядок сходимости
соответственно будет асимптотически квадратный и линейный. Сходи-
мость этих процессов основана на том, что р'СХУгО при Л< Л, незави-
симо от порядка и ширины ленты матриц К и М. Однако при произ-
вольных начальных значениях //*_, и JU* сходимость указанных про-
цессов гарантировать нельзя, поэтому при построении алгоритма для
решения частичной проблемы собственных значений на основе метода
хорд необходимо его дополнить некоторыми процедурами, обеспечиваю-
щими сходимость последовательных приближений к тому или иному
требуемому собственному значению. Рассмотрим следующий пример.
Пример 11.19
С помощью алгоритма метода секущих вычислить А/ в задаче К^=ЛМ^
где
402
p(X)=det(K -ХМ)
Рис. 11.3. Использование метода хорд для вычисления
Для построения процесса нужно выбрать два начальных приближения
jut и jut) которые расположены левее искомого корня Л,. Предполо-
жим, что а/4=0, и вычислим два значения характеристическо-
го полинома с помощью разложений Холецкого при и ju^-0
откуда
р(-<) -({№)(&)* м.
Аналогичным образом
р(0)= det
’ 2
-1
О
-1
О
-1
2
= 12 .
Подставив полученные значения р(-1) и р(0) в (11.119), находим следую
щее приближение
403
Рз = °~Т2-26,25^~(~1^ > °’8^ •
Повторяя проведенный цикл вычислении, последовательно находим
р(0,8421)= 4,7150 р(1,9203) = 0,16899
JU4 « 1,3871 = ^S870
р (1,3871)= 1,8967 р(1,9870) =-0,026347
JU? = 17380 - 19993
р(1„7380)=0,63136
]Ue = 1,9203
Таким образом, после шести итераций получили неплохое приближенное
значение к,, Л,» 1,9993 с недостатком.
11.5. Алгоритм, основанный на свойстве
последовательности Штурма
В разд. 10.2.2 обсуждались свойства последовательности Штурма,
которым обладают характеристические полиномы задачи K^=AMjp и
соответствующих ей усеченных задач. Основной результат заключается
в следующем. Предположим, что при некотором значении juk можно
матрицу К-^М разложить по Гауссу в!Л)1.г.Тогда количество отрица-
тельных коэффициентов в D будет равно количеству собственных
значений, расположенных левее juk. Этот результат можно непосредст-
венно использовать для создания алгоритмов вычисления собственных
чисел и соответствующих собственных векторов [1, 11, 37—40]. Рас-
сматриваемый алгоритм, так же как и в разд. 11.4, позволяет определить
только собственные числа, а соответствующие им собственные векторы
находятся с помощью обратных итераций со сдвигом (см. разд. 11.2.3).
Допустим, что необходимо вычислить все собственные числа в интер-
вале между некоторыми значениями А = Af и k=-kU} причем АИ>А,
(см. рис. 11.4). Если,например, А = А< равно нулю, то это означает, что
необходимо вычислить все положительные собственные значения, распо-
ложенные левее величины Л = Л„. Алгоритм основан на треугольном раз-
ложении матрицы К-причем величина juk подбирается так, чтобы
получить нужное количество положительных коэффициентов матрицы.
Вычислительный алгоритм, называемый методом бисекций, приво-
дится ниже (на рис. 11.4 показан типичный случай).
1. Вычисляем треугольное разложение матрицы K-AtM и находим
количество собственных значений, расположенных на оси О—А левее А/
(например,
2. Выполняем треугольное разложение матрицы К~АИМ и находим
количество собственных значений, расположенных на оси 0-к левее
величины А« (например, <?„). Следовательно, в интервале между Аи
и At находится собственных чисел нашей задачи.
3. С помощью бисекций на основе свойств последовательности Штур-
ма определяем изолированные друг от друга интервалы, каждый из
которых содержит только одно простое собственное значение.
404
Интервал с двумя кратными
собственными значениями
Рис. 11.4. Использование
собственных значений
&5i — бисекция L
свойства последовательности Штурма для выделения
Вычисляем собственные числа с требуемой точностью, а затем при
помощи обратных итераций со сдвигами находим соответствующие
собственные векторы.
Заметим, что при вычислении собственных значений на 4-м этапе
метод бисекций зачастую не используют, а применяют более эффектив-
ные процедуры (например, алгоритм метода хорд, представленный в
разд. 11.4.2, прим. 11.20).
Изложенный выше подход к вычислению требуемых собственных
чисел достаточно прост. Однако он может оказаться весьМа трудоемким,
поскольку каждая операция 3-го этапа требует выполнения треуголь-
ных разложений, а их может оказаться достаточно много, в особенности*
если нужно вычислить кратные собственные числа (см. рис. 11.4) или
группу близких собственных чисел. Для этих случаев необходимо приме-
нить дополнительные способы ускорения вычислительного процесса. В
общем случае данный алгоритм оказывается эффективным лишь тогда,
когда искомые собственные значения удается отделить друг от друга с
помощью небольшого числа факторизаций, а также при условии, когда
наименьшее вычисляемое собственное значение много больше, чем Л,.
Пример 11.20
Использовать метод бисекций в сочетании с алгоритмом метода се-
кущих для вычисления в задаче К{р= ЛМ/>, где
К=
-1 О
4 -1
-1 2
Эта задача уже рассматривалась в примере 10.5, где собственные чис-
ла фактически были отделены с помощью метода бисекций. В частности,
было установлено, что
405
Л < 3 < < 5 < Л3 .
Следовательно, итерации с помощью метода секущих можно начинать
с начальных приближений ^=3,^=5, так как
= ; P<7<J = £ >
то, используя (11.119), получим
Далее вычисление j0^eaet(K-jttsM) показывает, что^(]и3)=0,0. Следо-
вательно, Аг=//Зж4 , и в данном случае для вычисления Аг потребовался
только один шаг итерации метода секущих. Заметим, что для вычисле-
ния p(fi3) с помощью разложения по Гауссу матрицы K-/z3M потребо-
валась бы перестановка строк (см. прим. 10.4).
Метод бисекций имеет два главных недостатка: 1) необходимо вычис-
лять разложение матрицы K~/z4M с максимально возможной точностью,
хотя сама матрица может оказаться плохо обусловленной даже в случае
использования перестановок строк; 2) сходимость при вычислении
группы близких собственных чисел может оказаться очень медленной.
Однако свойства последовательности Штурма могут быть использованы
в сочетании с другими подходами, и в этих случаях указанные свойства
могут оказаться исключительно полезными (см. разд. 12.2).
Список литературы
1. J Н Wilkinson, The Algebraic Eigenvalue Problem, Oxford University Press,
Inc , London, 1965.
2. V. N Faddeeva, Computational Methods of Linear Algebra, Dover Publica-
tions, Inc., New York, 1959
3. B. Noble. Applied Linear Algebra, Prentice-Hall, Inc , Englewood Cliffs, N J ,
1969.
4. С E FrOberg, Introduction to Numerical Analysis, Addison-Wesley Publishing
Company, Inc , Reading, Mass, 1969
5. C. Lanczos, Applied Analysis, Prentice-Hall, Inc . Englewood Cliffs. NJ , 1956.
6. S. H. Crandall, Engineering Analysts, McGraw-Hill Book Company, New
York, 1956.
7. R. Zurmuhl, Matnzen, Springer-Verlag. Berlin, 1964
8. FLK. Schwarz, H. Rutishauser. and E. Stiefel, Matrizen-Numenk, B. G.
Teubner, Stuttgart, 1972.
9. A. S. Householder, Principles of Numerical Analysis, McGraw-Hill Book Com-
pany, New York, 1963.
10. G. Peters and J. H. Wilkinson, "Ax = ABx and the Generalized Eigenprob-
lem,” S./.A.M., Journal of Numerical Analysis, Vol. 7, 1970, pp. 479-492.
11. К. J Bathe, “Solution Methods for Large Generalized Eigenvalue Problems in
Structural Engineering,” Report UC SESM 71-20, Civil Engineering Depart-
ment, University of California, Berkeley, California
12. W W Bradbary and R Fletcher, "New Iterative Methods for Solution of
the Eigenproblem Arising in Structural Dynamics," Proceedings, 2nd Con-
ference on Matrix Methods in Structural Mechanics, Wright-Patterson A F В ,
Ohio, 1968.
13. R. Fox and M Kapoor, “A Minimization Method for the Solution of the
Eigenproblem Arising in Structural Dynamics,” Proceedings, 2nd Conference
on Matrix Methods in Structural Mechanics Wright-Patterson A F.B , Ohio,
1968.
14. I. Fried, “Optimal Gradient Minimization Scheme for Finite Element Eigen-
problems,” Journal of Sound and Vibration, Vol. 20, No. 3, 1972, pp. 333-342.
15. S. H. Crandall, “Iterative Procedures Related to Relaxation Methods for
Eigenvalue Problems,” Proceedings, Royal Society, London, Vol. A2O7, 1951,
p. 416
16. A. M. Ostrowski, “On the Convergence of the Rayleigh Quotient Iteration for
the Computation of the Characteristic Roots and Vectors, Parts I-VI,” Archives
for Rational Mechanics and Analysis, Vols 1-4, 1958-1959.
17. B. N. Parlett and W. Kahan, "On the Convergence of a Practical QR
Algorithm,” Proceedings, I.F.I.P. Congress, 1968.
18. W. G. Poole, Jr., “A Geometric Convergence Theory for the Eigenvalues of a
Symmetric Tridiagonal Matrix," Technical Report CS 43, Computer Science
Department, Stanford University, California, 1966.
19. H Wiei anoi, "Bestnnmung hoherer Eigenwerte durch gebrochene Iteration
Bericht B44 J 37 der Aerodynamischen Versuchsanstalt, Gottingen. 1944
20. F. F Osborni . ‘On Acceleration and Matrix Deflation Processes Used with
the Power Method. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathe-
matics Vol 6, 1958. pp 279-287
21. H Rutishausir, “Deflation bei Bandmalrrzen," Z A M.P., Vol 10, 1959, pp
314 319
22. C A Fflippa, ‘BANEIG Eigenvalue Routine for Symmetric Band Matrices,”
Computer Programming Series, SESM. Department of Civil Engineering,
University of California, Berkeley, California, 1966
23. C G. J Jacobi, “Ober ein leichtes Verfahren die in der Theorie der Sacular-
storungen vorkommenden Gleichungen numcrisch aufzulosen," Crelle's Jour-
nal, Vol 30, 1846, pp. 51 94
24. H H. Goldstine. F. J Murray, and J von Neumann, “The Jacobi Method
for Real Symmetric Matrices," Journal oj the Association oj Computing
Machines, Vol. 6, 1959, pp. 59 96
25. A. SchOnhage, "Zur Konvergenz des Jacobi-Verfahrens," Numerische Mathe-
matik, Vol. 3, 1961. pp 374 380
26. G. E. Forsythe and P Henrici, “The Cyclic Jacobi Method for Computing
the Principal Values of a Complex Matrix,” Transactions oj the American
Mathematical Society, Vol 94. I960, pp 1 23
27. J. H Wilkinson, “Note on the Quadratic Convergence of the Cyclic Jacobi
Process," Numerische Mathematik, Vol 4, 1962, pp 296 300
407
28. S. Falk and P Langemeyer, “Das Jacobische Rotationsverfahren Tiir Reell-
symmetrische Matrizenpaare," Elektromsche Datenverarbeitung I960 pp 30
34.
29. R. S. Martin, C. Reinsch, and J H Wilkinson, "Householder's Tridiagonali-
zation of a Symmetric Matrix," Numensche Mathematik, Vol II 1968 pp
181-195.
30. J.G, F. Francis. “The QR Transformation, Parts I and II," Computer Journal
Vol. 4. 1961-1962, pp. 265, 332
31. V. N. Kublanovskaya, “On Some Algorithms for the Solution of the Complete
Problem of Proper Values," Journal of Computer Mathematics and Mathe-
matical Physics, Vol. 1, 1961
32. B. N. Parlett, “Convergence of the QR Algorithm," Numensche Mathematik,
Vol. 7, 1965, p. 187; Vol. 10, 1967, p. 163
33. B. N. Parlett, "Global Convergence of the Basic QR Algorithm on Heisenberg
Matrices," Mathematical Computation, Vol 22, 1968, p. 803.
34. J. H. Whkinson, "The QR Algorithm for Real Symmetric Matrices with
Multiple Eigenvalues," Computer Journal, Vol 8, 1965, p 85
35. W. Kahan and J. Varah, "Two Working Algorithms for the Eigenvalues of a
Symmetric Tridiagonal Matrix," Technical Report CS 43, Computer Science
Department, Stanford University, California, 1966.
36. J. M. Ortega and H. F. Kaiser, “The LLT and QR Methods for Symmetric
Tridiagonal Matrices," Computer Journal, Vol. 6, 1963, pp. 99-101.
37. J. W. GivfnSj "A Method of Computing Eigenvalues and Eigenvectors Sug-
gested by Classical Results on Symmetric Matrices," National Bureau of Stan-
dards Applied Mathematics Series 29, Government Printing Office, Washington,
D C., L953, pp. 117-122.
38. W. Barth. R. S. Martin, and J. H. Wilkinson, “Calculation of the Eigenvalues
of a Symmetric Tridiagonal Matrix by the Method of Bisection,” Numerische
Mathematik, Vol. 9, 1967, pp. 386-393.
39. К. K. Gupta, “Vibration of Frames and Other Structures with Banded Stiffness
Matrix," International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 2,
1970, pp. 221-228.
40. К. K. Gupta, “Solution of Eigenvalue Problems by the Sturm Sequence
Method,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 4,
1972, pp. 379-404.
SOMOOTIlt J SCO* I |A,»,I,1IG»,D,».»TCL,»S*AI.IPP».IOOT>
иииииииииии
. ПРОГРАММА ’
. РЕШЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ .
• МЕТОДОМ ЯКОБИ
I - - ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ’
. *(»,») МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ (ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННАЯ)
. • (<) МАТРИЦА МАСС (ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННАЯ)
. 1(1.1) МАТРИЦА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ
. ВЕКТОР СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
408
ии и иии ии ии и иии иии UUUUUU UUU ими иии иии
. 0(1) РАБОЧИЙ МАССИВ
. ПОРЯДОК МАТРИЦ А И В
. ОТОЬ ПОГРЕШНОСТЬ РЕШЕНИЯ (РЕКОМЕНДУЕТСЯ
. 03311 МАКСИМАЛЬНОЕ КОЛИЧЕСТВО ЦИКЛОВ ВРАЩЕНИЯ
. (РЕКОМЕНДУЕТСЯ 15)
. ХРРЗ - ПРИЗНАК ПЕЧАТИ В ПРОЦЕССЕ ИТЕРАЦИИ
. 0 -БЕЗ ПЕЧАТИ
. 1 -ПЕЧАТЬ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
. ХООТ ’НОМЕР УСТРОЙСТВА ДЛЯ ПЕЧАТИ
* - - РЕЗУЛЬТАТ
. 1(3,0) ДИАГОНАЛИЗИРОВАННАЯ МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ
. 0(3,3) ДИАГОНАЛИЗИРОВАННАЯ МАТРИЦА МАСС
. 1(3,3) МАТРИЦА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ
. 1160(0) ВЕКТОР СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
IRPXXCIT 0111*1(1-0,0*1)
103 (В) *0103(1)
son (1)«DSQ1T(1)
ЭТА ПРОГРАММА ИСПОЛЬЗУЕТ ОДИНАРНУЮ ТОЧНОСТЬ ДЛЯ* ЭВМ*CDC.
• И ДВОЙНУЮ ТОЧНОСТЬ НА [ВМИЛИ UNIVAC. ДЛЯ УКАЗАНИЯ ТОЧ- •
• НОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ НЕОБХОДИМО СОХРАНИТЬ ИЛИ ИЗМЕНИТЬ
. СООТВЕТСТВУЮЩИМ ОБРАЗОМ ПРИВЕДЕННЫЕ ВЫШЕ КАРТЫ
*'*Чти1оо*о(ольэ(о^оь1(о*,оьпв«(оьо(0)*.......................
ИНИЦИАЛИЗАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И МАТРИЦЫ
СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ
00 10 1*1,1
IP (1 (1,1) .6Т.0. .110. 0(I,I).61. 3.) 60 то •
08 IT В (ХООТ,2020)
STOP
• D(X)*1 (I, !)✓ (1,1)
10 1X81 (X) *0(1)
00 30 1*1,0
ОС 20 0*1,3
20 Х(1,0)>1.
30 X (Х,Х)*1.
IP(3.RQ. 1) ИТОН
НАЧАЛО ИТЕРАЦИЙ «1 1»в 1ИИ 1UMTI03
330111**'
01*11-1
«о вз1вст*озто*1
TP (IPPR. 30.1) 01XTI (ХООТ,200С)311111
ПРОВЕРКА ВНЕДИАГОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ВРЗ*(.С1**ЗЗП1Р)**2
00 210 0*1,33
JJ*J*1
DO 2П 1*JJ,3
BPKU*(1 (J,l)*l (0,1)1/(1 (J,J)*1 (1,1)1
IP TCI О* (3(0,1)*3 (J,8) )/(3|J,J)*0(3,3))
IP((IPTOL1 .LT.I1S) .103. (1PT01I.IT. IPS)) 00 TO 210
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ МАТРИЦЫ ПОВОРОТАСА ИСБ
111*1(1,1) *3(J,1)-1(1,1) *1(0,1)
1 JJ*1 (J, J)«0 (J,l) -0 (J,J) *1 (J,3)
13*1 (J, J) 4 (3,0) -1 (3,8) «0 (J,J)
CO OCX* (10*10*1.*M3*MJ) /0.
IP (С ВВС В) 5C.10.10
50 ORXTB (IOOT,20 20)
STOP
4 OS
•о SQca*SQiT(caic()
D1-RB/2.*SQCR
D2-RB/2.-SQCH
DEB-D1
IF (IDS (02» .STUBS (01)) 088*02
IF PM) 80,70. SO
70 CI-0.
CO —R(J,R)/a(a,R)
SO TO 90
80 01*188/088
CO—RJJ/D88
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦ А И В
90 IF (В-2)100,190,100
100 JF1«J*1
J81-J-1
П1»1*1
BB1-R-1
IF (JD1-1) 130, 110,110
110 DO 120 I>1,JB1
»JM (I, J)
BJ'S (I, J,
88*8(1,8)
BR"D (1,8)
I(I,J)>1J*CS«1R
В (I, J) aBJ*CO*BR
1(I,R)*M*CI*1J
120 0(I,R)-BR*CI«U
130 IF (KF1-B) 100,IRC, 160
100 DO 150 I*RF1,B
RJ-R (2,1)
BJ«B(J,I)
88*8 (8,1)
BR*B(R,I)
I (J,I)-RJ*CO«RR
B(J,I)«BJ*CO«BR
I (8,1)-18*01*82
150 В (8,1) -88*08*82
160 IF (2F1-R81) 170,17C , 197
170 DO 18C I-2F1,R81
82*8 (J,I)
BJ«B (J, I)
RR-R (1,8)
BR«B (1,8)
R (J,I)>RJ*CO«RR
B(2,I)-B2*CG«BR
8 (1,8)-88*08*82
180 В (1,8» -08*08*82
190 88*8(8,8)
BR«B(R,R)
a (R,R)«aR*2.*ca*a(j,R) *ca*ca*a(j,j»
В (8,8) >BR*2.*Ca*( (J,R) ♦CR»CR*B (J, J)
a (J,J»*r (J,J) *2.*ca«a(J,R»*ca«ce*aR
в (J, J) "B (J, J) *2. *CO*B (J, R) *CO«ce«BR
R(J,R) >0.
B(J,R)>0.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ
DO 200 Т-1,В
1J-R (I ,Л)
IR-X (1,8)
X (I, J) •«♦CS-1R
200 X (I,R)«IR»CR‘IJ
210 COBTI803
nnn г* п о л по п пп поп
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПОСЛЕ
КАЖДОГО ЦИКЛА ВРАЩЕНИЯ
00 220 Т-1.В
IP (к (1,1) .ОТ.С. .kBD. 1(1,1) .ОТ.0.) ас ТО 220
BRITS (IЭОТ, 2020)
STCP
220 BIGT(I)>k(I,I)/B(I,I)
IP (I PPR. EQ. 2) GC TT 2JO
RITB(I)OT,2Ci:)
8RITE (I ЮТ,2C1C) (RieV(I) ,1*1,B)
ПРОВЕРКА СХОДИМОСТИ
230 DO 2«3 1-1.»
TOL*RTOL*D(I)
DIP*kBS (BIGB (I)-D (I) )
IP (D IP. GT. TOL) GO ?0 20)
290 COBTIBO*
ПРОВЕРКА ВНЕДИАГОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
EPS»RTCl**2
DO 250 J*1,BB
JJ«J*1
DO 250 R«JJ,B
EPSk* (k (J,R) *k (J,k) ) / (k (J,J) • к (8,8))
EPSS* (B (J,It) «В (J,8) )/(B (J, J) «В (8,8))
IP((BPSk.LT.EPS).kBD.(EPSB.LT.EPS) )GC IC 253
GO TO 280
250 COBTIBOP
ЗАПОЛНЕНИЕ НИЖНЕИ ЧАСТИ МАТРИЦ А И В , МАСШТАБИРОВАНИЕ
СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ
255 DO 280 1*1,В
DO 200 0*1,В
к (J,I)«k (I,J)
260 В (J,I)*B(I,J)
DO 270 0*1,В
BB*SQRT (В (0,0))
DO 270 8*1,В
270 I (R,O)*E (K,O)/EB
RETORB
ИЗМЕНЕНИЕ МАТРИЦЫ D И ПЕРЕХОД НА НОВЫЙ ЦИКЛ ВРАЩЕНИЙ
280 DO 290 1*1,8
290 D(I)*EIGB(I)
IP (BSBEEP. LT. BSBkl) GO TO «0
GO TO 255
2000 PORHkT(2?HOSBEEP BOBBER IB «OkCCBI* * ,I«)
2010 POBBkT(ISO,6B20.12)
2020 POIRkT (2580*** ERROR SOLOTICB STOP /
1 30B BkTIICBS ROT POSHES DBPIBI1B)
2 0 30 POIBBT (36B0C0RREBT lIGRRtklOES IB «JkCCBI* к RE,/)
BSD
411
ГЛАВА 12
БОЛЬШАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
12.1. Введение
В гл. 11 рассмотрены четыре основные группы вычислительных ме-
тодов решения проблемы собственных значений, однако ни один из
представленных методов нельзя считать абсолютно универсальным.
Поэтому для каждой конкретной задачи следует выбирать наиболее
эффективный метод решения в соответствии с ее характерными осо-
бенностями.
Для создания оптимального алгоритма решения задач типа К<р=АМр
высоких порядков представляется целесообразным попытаться использо-
вать методы, изложенные в разд. 11.2 — 11.5 с учетом специфики матриц
К и М.
В дальнейшем будут детально рассмотрены два алгоритма: решения
характеристического уравнения и метод итераций в подпространстве,
которые, на наш взгляд, оказываются весьма эффективными в ко-
нечно-элементных задачах [ 1 — 8].
Будем называть задачу на собственные значения "большой", если
трудоемкость вычисления требуемых наименьших собственных пар
много меньше трудоемкости решения полной проблемы собственных
значений. Вообще задачу можно считать "большой", если оперативная
память достаточно мощной вычислительной машины оказывается все же
мала для применения обобщенного алгоритма Якоби или алгоритма
QR — Хаусхолдера в сочетании с обратными итерациями HQR1. В этом
случае рассматриваемые ниже два метода будут более эффективными,
поскольку они оказываются удобнее во многих задачах, которые можно
решить в оперативной памяти с помощью HQRI или Якоби — преобра-
зований. Дело в том, что, с одной стороны, эти методы позволяют не-
посредственно находить требуемые собственные числа и векторы без
предварительного преобразования исходных матриц, а с другой-дают
возможность учесть особенности структуры матриц К и М для
оптимизации вычислительного процесса.
Несмотря на то, что метод решения характеристического уравнения
и метод итерации в подпространстве приспособлены для определения
младших собственных чисел и собственных векторов, они могут быть
использованы при соответствующей модификации и для вычисления
старших собственных значений, что необходимо в задачах устойчивости.
Метод решения характеристического уравнения наиболее эффективен
при использовании оперативной памяти для задач с малой шириной лен-
ты, тогда как метод итераций в подпространстве предпочтителен при
анализе "самых" больших систем.
12.2. Метод решения характеристического уравнения
Описываемый ниже алгоритм состоит из трех процедур: вычисления
характеристического полинома />М=с1е1(К-Л1^применения метода хорд
с контролем на основе свойств последовательности Штурма полиномов
р/ЯХр^^и определения собственных векторов с помощью обратных
412
итераций (см. разд. 11.4.2, 11.5 и 11.2.3). Разработка данного алгоритма
направлена на оптимизацию процесса вычислений младших собственных
пар задачи Важным преимуществом этого метода является то,
что он "работает" непосредственно с исходными матрицами К и М, не
требуя предварительного преобразования задачи к стандартному виду,
поскольку такое преобразование может ухудшить обусловленность
задачи или вызвать увеличение ширины ленты новых матриц.
12 .2.1. Предварительные замечания. Напомним, что итерация полино-
ма р(Л) и использование свойств последовательности Штурма являются
основными средствами вычисления собственного значения, в то время
как обратные итерации являются способом вычисления собственных
векторов. Кроме того, если вычислено собственное значение или собст-
венный вектор, то другой элемент пары можно найти следующим обра-
зом:
1. Если известно А/ , то собственный вектор получается из решения
уравнения (К-А<М)у,- =0.
2. Если известен tfi, то собственное значение А/ находят с помощью
отношения Релея Я; = Vi •
Однако, если найдены весьма грубые приближенные значения tfi или
Л/,то необходимо выполнить дальнейшие итерации для уточнения одного
из элементов пары после чего другой элемент определяют из соот-
ношений 1 или 2.
Предположим, что с помощью итераций полиномов найдено достаточно
хорошее приближение JU к некоторому собственному значению А/ (от-
ношение мало для всеху,у #7. В этом случае можно исполь-
зовать обратные итерации со сдвигом на JU для вычислений tf>t, как
указывалось в разд. 11.2.3. Для ускорения сходимости можно применить
итерации на основе соотношения Релея со сдвигом, при этом получим Я/
и одновременно. С другой стороны, предположим, что имеется
вектор {Р, который достаточно близок к собственному вектору . В
этом случае с помощью соотношения Релея находим приближенное зна-
чение А , а затем можно продолжить обратные итерации или итерации
на основе соотношения Релея. Важно отметить, что сходимость к требуе-
мой паре может быть обеспечена, если полученный вектор достаточно
близок к искомому (см. разд. 11.2.4).
Таким образом, решение задачи сводится к отысканию либо требуе-
мого собственного значения, либо собственного вектора. Однако выбор
между этими возможностями или одновременным определением того и
другого зависит от затрат времени для выполнения вычислений. В разде-
ле 11.2 обсуждались особенности получения с помощью обратных итера-
ций (без сдвигов) приближения к собственному вектору tfL при i > 1.
В этом случае необходимо исключить уже вычисленную собственную
пару с помощью понижения порядка матрицы, что возможно, если соб-
ственная пара вычислена весьма точно. Другой недостаток связан с мед-
ленной сходимостью при достаточно близких собственных значениях.
Поэтому наиболее эффективным оказывается алгоритм, в котором вна-
чале вычисляется приближение к неизвестному собственному значению
с помощью итераций с полиномами, а затем оно уточняется с помощью
обратных итераций со сдвигами.
12 .2.2. Алгоритм решения. Рассмотрим процесс вычисления пары(А<,$).
Пусть и ytz* - два приближения к А/ , причемуИ^/^А/ (оис.
413
Рис. 12.1. Характеристический многочлен р(\ )
12.1). Для получения очередного приближения jukH к собственному
значению Я/ воспользуемся улучшенным методом хорд
> (12.1)
где fi — некоторый постоянный коэффициент. При 1%—1 имеем
обычный метод хорд, описанный в разд. 11.4.2, в котором при
к-~оо.Однако сходимость приближений может оказаться весьма медлен-
ной. Улучшить сходимость можно путем выбора £ &2. Известно, что
при fi^2 jUkH jua , гдеjua — абсцисса локального минимума поли-
нома (см. рис. 12.1). Следовательно, в процессе итераций при мож-
но перескочить только один корень, что определяется по смене знака р.
Однако с помощью свойства последовательности Штурма(число отрица-
тельных диагональных элементов разложения на треугольные множите-
ли для ju.k+i равно числу собственных значений, меньших можно
не ограничиваться случаем £ = 2 и добиться существенного ускорения
итерационного процесса. В итерациях с полиномами £ удваивается
после каждого шага, при котором в двух последовательных приближе-
ниях не меняются две старшие значащие цифры (т.е. когда поправка
текущего приближения сравнительно мала). Хотя в процессе итераций
можно перескочить через один или несколько корней, это обстоятельст-
во не является серьезным недостатком алгоритма, так как с помощью
подсчета числа отрицательных диагональных элементов при треугольном
разложении всегда можно определить место текущего приближения в
спектре искомых собственных значений. Как только установлен факт
перескока, можно с помощью обратных итераций в сочетании с ортого-
нализацией по Граму—Шмидту уточнить собственное значение и получить
собственный вектор (см. разд. 11.2.5). За исключением редких случаев
использование итераций на основе соотношения Релея не требуется, так
как получаемый итерационный вектор является достаточно хорошим
414
приближением к искомому собственному вектору и сходимость обыч-
но быстрая, а последующие факторизации могут оказаться малоэффек-
тивными.
Так как метод хорд используется лишь для получения приближенной
величины очередного собственного значения, то совпадение двух после-
довательных приближений (12.1) с точностью до шести старших знача-
щих цифр может приниматься за момент, с которого целесообразно
начинать обратные итерации.
Особое значение имеет эффективное вычисление р(К) (см. разд.
11.4.2). Необходимо отметить, что в рассматриваемом алгоритме разло-
жение матрицы К-ЛМ в произведение LD15 выполняется с помощью
исключения по Гауссу без перестановки строк. Следовательно, устойчи-
вость разложения в принципе не гарантируется приЛ>Л/. Однако незна-
чительным изменением текущего приближения А можно добиться ус-
тойчивого проведения треугольного разложения. Этот не вполне строгий
прием оправдан тем, что практически рассматриваемая ситуация встре-
чается достаточно редко. Таким образом, разложение на множители
можно в принципе выполнять без перестановки строк.
Для вычисления последующих собственных значений можно также
построить процесс односторонних приближений, исключая вычисленные
собственные числа с помощью перехода к новому полиному (рис. 12.2)
по формуле
(12.2)
где ранее вычисленные собственные значения. Заметим, что во из-
бежание деления в (12.2) на число, близкое к нулю, следует выбирать
Л Л у
Л-1
^2> Л-3, ^4
Рис. 12.2. Уменьшение степени характеристического многочлена путем
исключения Л/
415
два начальных приближения процесса (12.1) достаточно далеко от уже
вычисленных корней.
12 .2.3. Заключительные замечания. Отметим некоторые особенности
описываемого алгоритма.
1. Принципиальное преимущество рассматриваемого алгоритма за-
ключено в том, что каждая собственная пара получается независимо от
всех ранее вычисленных. Собственные значения и собственные векторы
не обязательно вычислять с высокой степенью точности, как, например,
при понижении порядка матриц (см. разд. 11.2.5). Ошибки определения
собственных пар не влияют на точность вычисления последующих собст-
венных значений и векторов.
2. При вычислении простого собственного значения не требуется ор-
тогонализация по Граму- Шмидту для всех ранее вычисленных собствен-
ных векторов. Однако для случая кратных собственных значений в раз-
работанных программах использована ортогонализация итерационного
вектора лишь к последним шести вычисленным собственным векторам.
3. Следует отметить, что при вычислении р(Л) необходимо предус-
мотреть масштабирование его величины р(Л).
4. Для того чтобы начать итерацию методом хорд,необходимы два
приближения, меньших, чем Л, . В качестве одного из них можно при-
нять р1=0,0. Другое находится с помощью обратных итераций для
Предположим, что за (к-1) обратных итераций получен вектор х,. Тог-
да для второго начального приближения можно использовать следующую
формулу
(1-№)-***** (12.3)
Х*МхЛ
Однако может оказаться, что Jltg, больше Я/. Такая ситуация про-
веряется на основе свойства последовательности Штурма при фактори-
зации для fUg. Если обозначить через / число отрицательных коэф-
фициентов, полученных при треугольном разложении, то предлагается
уменьшать делением на (т*1) и выполнять проверку по Штурму
до тех пор, пока у не окажется равным нулю.
5. Данный алгоритм наиболее эффективно работает, если исходные
матрицы размещены в оперативной памяти. Использование внешней
памяти (диски, ленты) существенно замедляет процесс треугольного
разложения.
Для оценки возможностей алгоритма при решении конкретных
задач в табл. 12.1 приведены основные этапы метода, число арифметичес-
ких операций и требуемый объем памяти. Число итераций, необходимых
для получения решения,зависит от рассматриваемой задачи. Практичес-
ки оказывается, что в среднем требуется около шести шагов метода
хорд и шесть обратных итераций для получения одной собственной па-
ры. Однако при вычислении близких собственных значений число итера-
ций может увеличиваться.
В табл. 12.2 приводятся временные показатели алгоритма, получен-
ные при решении некоторых конкретных задач.
Относительная погрешность решения (см. разд. 10.4) для каждой па-
ры может быть записана в виде
416
Таблица 12.1. Краткие сведения о методе решения
характеристического уравнения
Этапы Формулы Число опера ций Требуема*’ «« мя п
тп,т„‘О
Итерация по методу n(nn-f) п
хорд K-LDLr %птг+^пт ^пт^г т
Обратная итерация П d К**Т = У* п п(2тЧ) п п(2т+1) Учи п 1в<мяся сим мел ричность матриц
У**т»Мх^ п(2т+1) п
*k*f Jk+f 2п 2п 2.n6n*1)iSn п(т+1)+ ПОП
(ы* ’ где 13п 13п {Алгорпм мо- жет бьпь приме* нем при исполь- зовании внеш-
Оценка погрешности Znm+bn 5пт+2п ней памнти)
ИкгГ'Х
Итого для вычисления р наименьших собственных значений и соответствующих собственных векторов в предположении, что требуется шесть итераций по методу хорд и шесть обратных итераций для каж дой пары (ЗптЧ + Мпггч- +110п)р (2птг+ *26пт* ★116п)р
Таблица 12.2. Затраты машинного времени при использовании
метода решения характеристического уравнения
Система Поря- док сис- темы Макси- мальная ширина полулен ты тк Матрица масс Число пар ЭВМ Время централь- ного про- цессора,
Плоская рама 297 29 Диагональная 3 CDCM00 40
Плотина 226 68 Ленточная 7 CDC6W0 71
Здание 340 31 Диагональная 7 СК. 6600 20
Трубопровод 566 11 То же 7 СК 6600 11
Арочная пло- тина 417 23 30 CDC6600 98
,124,
где и I -й собственный вектор и собственное значение,
полученное на последней итерации.
В заключение отметим, что рассматриваемый алгоритм был реализо-
ван в ряде конечно-элементных программ [ 1,5,7].
27 - 522
417
12.3. Метод итераций в подпространстве
Основная идея метода, рассмотренного в предыдущем разделе, состо-
яла в создании оптимальной комбинации метода итераций с полиномами
и метода обратных итераций для решения задач с малой шириной ленты.
Однако при увеличении ширины ленты матриц К и М итерации с
полиномами становятся значительно более трудоемкими по сравнению
с обратными итерациями векторов.
На рис. 12.3 показано число обратных итераций, соответствующих
одной итерации с полиномами в зависимости от половины ширины ленты
матриц жесткости. При этом предполагается, что ортогонализация по
Граму-Шмидту текущего приближения производится по отношению
к шести последним вычисленным собственным векторам. На рисунке
показано, чго при большой ширине ленты одна итерация с полиномами
оказывается эквивалентной по времени большому числу обратных ите-
раций.
Затраты на вычисление определителя резко возрастают, когда опера-
ции должны выполняться с использованием внешних устройств, так
как при вычислении определителя требуется значительно больше обра-
щений к внешней памяти по сравнению с обратными итерациями. Эти
соображения показывают, что при использовании внешней памяти для
решения задач с большой шириной ленты более предпочтительными ока-
зываются векторные итерации. Наибольший эффект достигается при од-
новременном вычислении всех требуемых собственных векторов, что и
было использовано при разработке алгоритма так называемых итераций
в подпространстве.
Рис. 12.3. Число обратных итераций на один корень многочлена (ортогона-
лизация по Г раму—Шмидту использовалась для нахождения шести последних
собственных векторов)
418
Этот метод включает в себя следующие три основные этапа.
(1) Определение компонен! q начальных векторов (q>р) , где р —
число требуемых собственных значений и векторов) .
(2) Выделение "наилучшего" собственного значения и "наилучшего"
собственного вектора (среди q итерационных векторов) с помощью
одновременных обратных итераций и алгоритма метода Ритца.
(3) Проверка правильности отыскания требуемых собственных пар
с помощью свойств последовательности Штурма после завершения ите-
рационного процесса.
Следует подчеркнуть, что название метода "итерации в подпростран-
стве" связано с итерациями в подпространстве размерностью q и не
может рассматриваться, как одновременные итерации с q отдельными
векторами. Заметим, что выбор начальных векторов в шаге (1) и про-
верка по Штурму в шаге (3) являются важными этапами процесса ите-
рации.
Метод итерации в подпространстве во многом основан на различных
ранее использованных алгоритмах [9 — 16]: одновременная векторная
итерация, свойство последовательности Штурма (см. разд. 10.2.2) и
алгоритм метода Релея-Ритца (см. разд. 10.3.2). В этом направлении
наиболее полные исследования выполнены Рутисхаузером [ 17].
12.3.1. Предварительные замечания. Основной целью в методе итера-
ций в подпространстве является вычисление р наименьших собствен-
ных значений и соответствующих собственных векторов, удовлетво-
ряющих соотношению
Кф = М<РЛ, <12-5)
где AsdiagfA,) и Ф=[<^,.-,%>]• Кроме того, собственные векторы долж-
ны удовлетворять условиям ортогональности
ФГКФ=Л; ФГМФ=1, (12.6)
где I --единичная матрица порядка р, так как Ф Состоит только
из р собственных векторов.
Подчеркнем, что соотношение (12.5) — необходимое и достаточное
условие того, чтобы векторы в Ф были собственными в то время,
как условия ортогональности (12.6) являются лишь необходимыми,
но не достаточными. Другими словами, если имеем р векторов, ко-
торые удовлетворяют (12.6) р<п, то они не обязательно являются
собственными. Однако, если р векторов удовлетворяют (12.5), то
они обязательно будут собственными, хотя следует убедиться в том,
что они именно р собственные векторы, которые нам необходимы
(см. разд. 10.2.1).
Основная идея метода итерации в подпространстве использует тот
факт, что собственные векторы в (12.5) составляют И — ортогональ-
ный базис р -мерного подпространства, принадлежащего наименьшим
собственным значениям операторов К и М, которое в дальнейшем
обозначим как Е^,. Итерации р линейно-независимыми векторами
могут рассматриваться как итерации в подпространстве.
Начальные векторы образуют подпространство и итерации продол-
жаются до тех пор, пока с достаточной точностью не будет получено
подпространство Е^, Тот факт, что итерации производятся в подпрост-
419
ранстве)Имеет ряд важных особенностей. Общее число требуемых итера-
ций зависит от "близости" Е1 к £», а не от того, как "близок" каж-
дый итерируемый вектор к собственному. Следовательно, эффектив-
ность алгоритма заключается в том, что много проще построить р -мер-
ное начальное подпространство, близкое к Еж, чем найти р векторов,
каждый из которых достаточно "близок” к соответствующему собствен-
ному вектору.
Алгоритм выбора начальных векторов будет рассмотрен позже.
Поскольку итерации производятся с подпространством, то под сходи-
мостью понимается сходимость подпространства, а не отдельных итери-
руемых векторов. Другими словами, если итерируемые векторы ока-
жутся линейной комбинацией искомых собственных векторов, то реше-
ние будет получено за один шаг.
Для пояснения основной идеи рассмотрим вначале одновременные
итерации с р векторами. Пусть Ху представляет собой р начальных
векторов, которые образуют начальное подпространство Et. Одновре-
менные обратные итерации с векторами можно записать следующим
образом
КХ*+,«МХД; Л=/,2,... (12.7)
Отсюда следует, что р итерируемых векторов в ХА+, порождают
p-мерное подпространство E^t и последовательность построенных
подпространств сходится к Е~, если начальные векторы не оказывают-
ся ортогональными к Это,на первый взгляд, противоречит факту,
что итерации для каждого вектора в X*w , как известно, должны схо-
диться к собственному вектору, соответствующему наименьшему соб-
ственному значению (см. разд. 11.2.1).
В действительности никакого противоречия нет, поскольку точно
вычисленные векторы в X*,, образуют подпространство £й,,темне
менее с каждой итерацией они становятся все более и более "парал-
лельными", и ухудшают базис £**у . Один из способов сохранения
численной устойчивости вычисленного процесса заключается в построе-
нии ортогонального базиса подпространства Е^ с помощью процесса
Грама—Шмидта (см. разд. 11.2.5). В этом случае итерации проводятся
следующим образом
КХ^ = МХ*; (12.8)
%ки = Хк-Н^к-Ы ) (12.9)
где Raw— верхняя треугольная матрица, выбранная так, что
х;(мхк),= 1.
Предполагая, что начальные векторы из Ху не ортогональные к иско-
мым собственным векторам , в пределе получим
ХА»у » Ф J ” Л .
Отметим, что итерации согласно (12.7) порождают такую же после-
довательность подпространств, как и итерации по формулам (12.8)
и (12.9). Однако I -й столбец из ХЛ„, в итерациях по (12.8) и (12.9)
сходится линейно к со скоростью, пропорциональной величине
420
max{A/-»A, A</Az+J. Для иллюстрации особенностей вычислительного
процесса рассмотрим пример.
Пример 12.1
Рассмотреть задачу Ку=АМу,где
Два младших собственных значения и соответствующие собственные
векторы вычислены в примере 10.4
Л,-2,
Аг= 4,
-/
О
1
Используем одновременные векторные итерации в сочетании с ортого-
нализацией по Граму—Шмидту, согласно (12.8) и (12.9) для вычисления
приближенных значений А,,$,Аг,^.Начальные векторы примем в следую-
щем виде
О 21
С помощью соотношения КХ2аМХ, определяем
К
0,25 0,75 ‘
Q50 0,50
0,75 0,25
М — ортогонализация столбцов Хг дает
0,3333 1,179 '
*2= 0,6667 0,2357 ; R,= 1,333 -1,650'
1,000 -0,707 ’ Z _ 0 2,121
Продолжая подобным образом, получим последовательно дальнейшие
приближения
0,5222 1,108 '
Хэ = 0,6963 0,8704 0,1231 -0,8614_
х4 = '0,6163 0,7044 0,7924 1,058 ' 0,0622 -0,9339^
ху« 0,6623 0,7064 0,7506 1,030’ 0,0312 -0,9678 9
п _ \ 2,006
R5" 0
-0,98471.
3,830 J’
-0,52021
3,954 _р
-0,263$\.
3,988 J •
421
Х4= 0,6898 1,015 0,7069 0,0156 0,7290 -0J891 9 К’ 2.001 _ 0 0.13291. 3,997 J ’
х7= 0,6960 1,008 ' 0,7071 0,0078 0,7181 -0,9921_ \ 2,000 L 0 -0,06631. 3,999]’
ха= 0.7016 1,009 ' 0,7071 0,0039 0,7126 -0,9961 ь» ' -J » w3- Г 2,000 L 0 0,03311. 9,000]’
х9= ’0,7093 1,002 ‘ 0,7071 00020 .0,7099 -0,9980 > R9 \2,000 L ° $01661. 9,000]’
Х„= Г0,7057 1,001 0,7071 0,0010 {0,7085 -0,9990 Ко’- Г2,000 L о 0,0083 9,000]'
После девяти итераций окончательно будем иметь
0,7057’
Уу = 0,7071 р,7085_ 1,0ОГ ; Л, == 2,000
% = 0,0010 0,9990, ; Аг = 9,000
Следует отметить, что хотя начальные векторы из Хг порождают
подпространство собственных векторов и , потребовалось срав-
нительно большое число итераций для получения удовлетворительных
результатов.
Приведенный пример иллюстрирует процедуру итераций согласно
(12.8) и (12.9) и одновременно показывает основной недостаток мето-
да. Он состоит в том, что если подпространство Еь-н и сошлось кЕ« и
векторы из Х^у образуют базис в Е~ (т.е. они являются линейной ком-
бинацией искомых собственных векторов), тем не менее может потре-
боваться достаточно много итераций для "поворота" этого базиса до
соответствующего базиса собственных векторов рассматриваемой
задачи.
12.3.2. Итерации в подпространстве. Следующий алгоритм, называе-
мый итерациями в подпространстве, позволяет определить ортогональ-
ный базис векторов в с сохранением численной устойчивости
итераций (12.7) и за один шаг позволяет отыскать требуемые собствен-
ные векторы, если Ещ сошлось к . Вычислительная процедура
строится следующим образом. Для к~1,2,... выполняется преобразова-
ние Ек для получения по формуле
КХА„=МХ,.
Далее определяют проекции операторов К и М на Ek,t
Мъ,= Х^МХ*>,,
(12.10)
(12.11)
(12.12)
422
дчн которых на каждом А+/ iuai е решается вспомогательная задача
h<j собственные значения
(12 13)
Улучшенные приближения к собственным векторам находят из
соотношения
х^-х^о^. <12-14>
Далее, предполагая, что векторы из X, не ортогональны ни к одно-
му из искомых собственных векторов, в пределе получим Л**,—“Л и
Х*+,—«-ф при к—•со. При этом предполагается, что нумерация ите-
рируемых векторов в Х^ по столбцам соответствует нумерации соб-
ственных векторов помощью описанного алгоритма решается
задача из примера 12.1.
Пример 12.2
Применить метод итерации в подпространстве для решения задачи из
примера 12.1.
Используя соотношения (12.10) — (12.14) и матрицы К,М и Ху при-
мера 12.1, получим
/1
0J ’
Следовательно,
Лг =
Сравнение этих результатов с решением из примера 12.1 показывает,
что получены точные собственные значения и собственные векторы в
первой же итерации в подпространстве. Этого следовало ожидать, по-
скольку начальные векторы из Ху уже находятся в пространстве соб-
ственных векторов ф, и фе.
Рассматривая итерацию в подпространстве, можно заметить, что и
в (12.11) и (12.12) соответственно стремятся к диагональной фор-
ме при увеличении числа итераций; иначе говоря, и оказы-
ваются диагональными матрицами, если столбцы в X*.,, определяют с
точностью до множителя соответствующие собственные векторы. Следо-
вательно, как отмечалось в разд. 11.3.2, обобщенный метод Якоби мо-
жет быть весьма эффективно использован при решении вспомогательной
задачи на собственные значения (12.13).
423
Важным вопросом является сходимость рассматриваемого алгорит-
ма. Если предположить, что при итерации векторы из X*,, пронумеро-
ваны так, чтобы I -й диагональный коэффициент в Л**, был больше
любого (I — /)-го коэффициента 1=1,2,...,р,то I -й столбец из Х**,схо-
дится линейно к ifi со скоростью, пропорциональной отношениюА^^.
Хотя это скорость асимптотической сходимости, тем не менее она пока-
зывает, что приближения к наименьшим собственным значениям схо-
дятся быстрее. Это обстоятельство указывает на возможность дополни-
тельного увеличения скорости сходимости итераций путем увеличения
числа итерируемых векторов q по сравнению с искомыми р векто-
рами, q>p- Однако итерации с большим числом векторов, естественно,
увеличиваю! продолжительность одного цикла вычислений. Авторы
рекомендуют принимать q=min{2p,p-fe}. Отметим, что в случае кратных
собственных значений скорость сходимости не уменьшается при усло-
вии
Как и для других итерационных схем, вопросы сходимости могут
быть рассмотрены на практике, если итерационные векторы сравнитель-
но близки к собственным. Однако в действительности очень важно оце-
нить первые итерации, так как эффективность алгоритма в большей сте-
пени определяется тем, насколько они дают хорошее приближение к
искомым парам. Заметим, что одна итерация в подпространстве по
(12.10) - (12.14) фактически является применением метода Ритца к
решению рассматриваемой задачи (см. разд. 10.3.2). Следовательно,
все свойства метода Ритца применимы и к методу итераций в подпрост-
ранстве, т.е. наилучшим образом приближаются низшие собственные
значения, причем получаемые решения являются приближениями свер-
ху. Метод итераций в подпространстве можно понимать, как система-
тическое применение метода Ритца, в котором приближения собственных
векторов, полученные в предыдущей итерации, используются для фор-
мирования векторов нагрузок текущей итерации.
Кроме того, важно понять, что при использовании алгоритма (12.7) —
(12.9) или алгоритма (12.10) — (12.14) итерационные векторы пред-
ставляют одно и то же подпространство E^i • Следовательно, всегда
можно отклониться от схемы (12.10) — (12.14) и вначале использовать
простую обратную итерацию (12.7) или обратную итерацию с ортогона-
лизацией по Граму—Шмидту (12.8) и (12.9), а затем итерацию в под-
пространстве. Полученные результаты теоретически будут одинаковыми
с использованием только итераций в подпространстве.
Рекомендации о переключении с одного алгоритма на другой всегда
затруднительны, поскольку каждый из них обладает определенными
достоинствами и недостатками, особенно при рассмотрении случая рабо-
ты с внешней памятью. Заметим только, что,используя итерацию в под-
пространстве, на каждой итерации получают "наилучшее" приближение
и имеют возможность контроля сходимости.
12.3.3. Начальные векторы. Первый шаг в методе итераций в под-
пространстве заключен в назначении начальных векторов в X, [см.
(12.10)]. Если эти векторы представляют собой пространство, соот-
ветствующее наименьшим искомым собственным значениям, то итера-
ция сходится за один шаг. Это очевидно для случая, когда имеется толь-
ко р ненулевых масс в диагональной матрице масс и начальные векто-
ры являются единичными в соответствии с нумерацией степеней свобо-
ды сисгемы.
424
Пример 12.3
С помощью итерации в подпространстве найти пары и^2,^) в
задаче Кр-АМу,где
Как отмечалось выше, в качестве начальных используем векторы е, и
К2= 4
Следовательно,
Сравнивая полученное решение с результатами примера 10.12 убеж-
даемся в том, что точное решение достигнуто за один шаг итераций в
подпространстве.
Для демонстрации второго очевидного случая сходимости в методе
итераций в подпространстве за один шаг приводится пример, в котором
матрицы К и М являются диагональными. Заметим, что для дальнейше-
го рассмотрения метода важно обратить внимание на отношение кц/тц.
Пример 12.4
Построить начальные векторы для задачиК(р»АМ|Р, где
0
*
1
425
Отношения Ки/та последовательно равны ^,оо, 1 и 8 и в действи-
тельности являются собственными значениями данной задачи. Следо-
вательно. начальными векторами будут
О । Г
О I О
1 i 0 ’
о I 0.
для которых сходимость однозначно обеспечивается за один шаг.
Оба рассмотренных выше случая относились к матрицам специально-
го вида, для которых в качестве начальных принимались единичные
векторы, и они приводились только для демонстрации методики выбо-
ра и приличных начальных приближений.
В общем случае такой подход практически невозможен,поскольку
матрицы К и М могут иметь другие формы. Однако приведенные
выше рассуждения показывают, что начальные векторы должны вклю-
чать в себя те степени свободы, которые соответствуют наибольшим
массам и наименьшим жесткостям. В связи с этим можно рекомендо-
вать следующий алгоритм назначения начальных векторов. Первый стол-
бец в MX, должен соответствовать диагонали матрицы М, что обеспе-
чивает участие в решении степеней свободы, связанных со всеми масса-
ми. Остальные столбцы в MX, должны быть единичными и соответст-
вовать степеням свободы с наименьшими отношениями кц/гпц.
Заметим, что за исключением первого столбца, приведенный алго-
ритм порождает те же начальные подпространства, которые использо-
ваны в примерах 12.3 и 12.4. Так как в итерациях должно использо-
ваться q векторов, q>p, то первый столбец может рассматриваться
как некоторый дополнительный вектор.
При решении больших систем необходимо учитывать и взаимное
расположение начальных векторов (см. программу SSPACE).
Практика вычислений показала, что предложенный алгоритм назна-
чения начального итерационного подпространства с q векторами при
условии выбора q равным д=т1п[2р,р+в} является достаточно эффек-
тивным и обеспечивает вычисление наибольшего искомого собственного
значения с точностью до шести значащих цифр примерно за девять
итераций. При этом меньшие значения будут получены с большей точ-
ностью.
Естественно, что данный алгоритм не является единственным и для
конкретных задач могут быть назначены "лучшие" начальные подпрост-
ранства. Например, при оптимизации поведения конструкции в качест-
ве начального подпространства могут быть выбраны решения, получен-
ные на более раннем шаге оптимизации.
12.3.4. Сходимость. При итерациях в подпространстве, так же как и
при реализации других итерационных процессов, необходимо на каждом
шаге анализировать сходимость полученных приближений. Предполо-
жим, что на (к — 1) и к шаге итераций вычислены приближенные
собственные значения и для l^1f,..,p, так же к$к и в случае
обратных итераций (см. разд. 11.2.1) сходимость достигается при
к 1 (12.15), где to! должно быть равно -ЯГ2*; при
этом предполагается, что собственные значения должны быть вычислены
426
граница длч <4 a Xs
Iдля Л, 1 л
Радиус 0,01 $'1}
Рис. 12.4. I раницы собственных значений при использовании оценок последо-
вательности Штурма, р= 6
с точностью до 2s значащих цифр. Например, если итерации произво-
дятся до тех пор, пока все р отношений (10.15) не будут меньше, чем
10~6, то Лр будет вычислено с точностью около шести значащих цифр,
а меньшие собственные значения с еще большей степенью точности.
Заметим, что собственные векторы будут вычислены с точностью до s
(или более) значащих цифр.
Другой важный аспект использования метода состоит в том, что не-
обходимо убедиться, действительно ли найдены те собственные значе-
ния и векторы, которые требуются, если (12.5) и (12.6) удовлетворяют-
ся для любой вычисленной собственной пары. Как уже отмечалось,
итерации (12.10) — (12.14) сходятся в пределе к собственным векторам
если начальные векторы в X, не ортогональны ни к одному ис-
ходному собственному вектору. Как показывает опыт, задание начально-
го подпространства по описанному выше алгоритму является удовлетво-
рительным, хотя формальное математическое доказательство его сходи-
мости отсутствует. Однако если неравенство (12.15) удовлетворяется
при s , равном по крайней мере 3, то можно быть уверенным, что наи-
меньшие собственные значения и соответствующие собственные векторы
в самом деле вычислены. Для проверки используется свойство последо-
вательности Штурма задач К(р=ЛМ(р и К<7’^=Ул1М<!г^мсо сдвигом fl, при-
чем fi должно быть приближением справа к искомому значению Ар
(рис. 12.4). Свойство последовательности Штурма заключается в том,
что при разложении К-yuM в произведение!Л)1.г число отрицательных
элементов в D равно числу собственных значений, меньших, чем ju.
Следовательно, в рассматриваемом случае необходимо иметь р отрица-
тельных элементов в D - Однако при практическом применении про-
верки по Штурму необходимо учесть, что вычислены лишь приближения
к точным величинам собственных значений Ку=ЛМу. Пусть I —послед-
няя итерация и вычисленные собственные значения с точностью до 10"2*
равны Л^Л^*'{.., . Тогда для грубой оценки области, в которой на-
ходятся точные величины собственных значений можно воспользоваться
неравенством
0,99Л-М}<Л; < 1,01 (12.16)
427
что позволяет установить границы, левее которых лежат точные собст-
венные значения и, следовательно, применить проверку по Штурму
на практике.
12.3.5. Заключительные замечания. Метод итераций в подпространстве
представлен уравнениями (12.10) — (12.14). В практических приложе-
ниях более эффективное решение может быть разработано с использова-
нием формул из табл. 12.3, в которой также приводится число арифме-
тических операций. Заметим, что метод итераций в подпространстве
весьма эффективен при решении систем с большой шириной ленты. Кро-
ме того, при использовании внешних запоминающих устройств решение
будет эффективным вследствие сравнительно небольшого числа обраще-
ний к этой памяти, что дает возможность найти низшие собственные
значения и соответствующие векторы для очень больших систем [1, 5 —
8]. В табл. 12.4 приводятся затраты машинного времени при решении
различных задач.
Таблица 12.3. Краткие сведения о методе итераций в подпространстве
Этапы Формулы Число операций Требуемая память
Разложение К Итерация в под- пространстве * "Lt--??. f*1 ? t Xi 3 Xi g © " ? I r inm2+/nm nq(2m+1) inqfy+l) nq.(2m+1) inq(q+1) nq2 1>nm2+ /пт nq(2m+1) inq(q+1) nq /nq(q+D Величиной пренебре- гаем nq2 Алгоритм эф- фективно применяется при исполь- зованиивнеш- ней памяти
Проверка по Штурму R-LDl.r nfrn+1) £пт*+/пт n /nm2+/nm
Оценка погрет- 2nm+4n Snm +2n
ности
Итого для вычис- ления р наи- меньших собст- венных значений и соответствую- щих собственных векторов в предпо- ложении, что тре- буется десятая итераций и =т1прр,р+в} Ч^Прч-^Jnq^eH тпг+пт(3+5р)+ +2np+20nq(m+
Рассматривая в целом эффективность метода итераций в подпростран-
стве, можно отметить, что эффективность метода объясняется, во-пер-
вых, возможностью выбора начального подпространства, достаточно
близкого к подпространству, соответствующему наименьшим собст-
венным значениям, а во-вторых, алгоритмом перехода от одного под-
пространства к другому, обеспечивающему при этом переходе вычисле-
428
Таблица 12.4. Затраты машинного времени при использовании
метода итераций в подпространстве
Система Порядок системы Макси- мальная ширина полу- ленты Матрица масс Кол-во пар ЭВМ Время централь- ного процес- сора, с
Трехмерная 4<5в 155 Диагональная 4 CDC64W 160
рамная кон- струкция Трубопровод 566 11 То же 28 CDC660O 192
Реактор с фундаментом //74 137 и 95 CDC66A7 890
Плотина 2916 991 и 4 CDC76OO 995
Аэродинами- ческая труба 5952 215 и 10 СК 7600 1000
ние "наилучшего" приближения собственных значений векторов. До-
полнительные возможности метода итераций в подпространстве заклю-
чаются в более эффективном выборе начального подпространства, что
сокращает число необходимых итераций. Кроме того, использование
сдвигов и других ускоряющих процедур [9] также способствует уве-
личению эффективности метода.
Реализация метода в виде программы для ЭВМ приводится ниже.
Программа SSPACE представляет собой реализацию на ЭВМ метода
итераций в подпространстве для отыскания низших собственных значе-
ний и соответствующих собственных векторов обобщенной проблемы на
собственные значения Ку=ЛМ^. Переменные и используемые подпрограм-
мы описываются в картах, содержащих комментарии к программе.
SURRuUTtNf SSPRTF I GV. Т Т , W , AR , ЯР , V К , П, В ТО! V.RUP.Bt '!,
1 RU₽C,NN,NN*,NWK , NWN,NPCTT,R TTl ,NC. , NNT ,NtTf и , I F SS , I f PP , NST I F , I TUT I
c...........................................*...............
С * ПРОГРАММА
C РЕШЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ПРОБЛЕМЫ НА СОБСТВЕННЫЕ 3HA-
£ • ЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ИТЕРАЦИЙ В ПОДПРОСТРАНСТВЕ ’
С .
с . -
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
- ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
МАТРИЦА ЖЕСТКОСТЕЙ В КОМПАКТНОЙ ФОРМЕ
(ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННАЯ)
МАТРИЦА МАСС В КОМПАКТНОЙ ФОРМЕ
ВЕКТОР АДРЕСОВ ДИАГОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТЕЙ
СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
РАБОЧИЙ МАССИВ
РАБОЧИЙ МАССИВ
РАБОЧИЙ МАССИВ, СОДЕРЖАЩИЙ ПРОЕКЦИЮ
РАБОЧИЙ МАССИВ, СОДЕРЖАЩИЙ ПРОЕКЦИЮ
R(NWK I
e<NWM I
RINN.NC >
ГICV(NC>
TTTNNI
WINNI
NUNNC >
BRtNNC)
VEC<NC,NCI> РАБОЧИЙ МАССИВ
OtNCI
PTOLVTNCI
BUPINCl
BIOINC!
BUPCINCI
NN
РАБОЧИЙ МАССИВ
• РАБОЧИЙ МАССИВ
» РАБОЧИЙ МАССИВ
• РАБОЧИЙ МАССИВ
РАБОЧИЙ МАССИВ
• ПОРЯДОК МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ И МАСС
429
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с •
с ,
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
с .
ЧКЧ 4N ♦ I
NWK • КОЛИЧЕСТВО ЭЛЕМЕНТОВ НИЖЕ ГРАНИЧНОЙ
ЛИНИИ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ
NWM . КОЛИЧЕСТВО ЭЛЕМЕНТОВ НИЖЕ ГРАНИЧНОЙ
ЛИНИИ МАТРИЦЫ МАСС
№».ЧШ«ДЛЯ СВЯЗАННОЙ МАТРИЦЫ МАСС
Nwh«mh ДЛЯ ДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ МАСС
MROOT КОЛИЧЕСТВО ТРЕБУЕМЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И
ВЕКТОРОВ
ктае . ТОЧНОСТЬ РЕШЕНИЯ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
I I.E-Ce ИЛИ МЕНЬШЕ)
МС КОЛИЧЕСТВО ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИТЕРАЦИОННЫХ ВЕКТОРОВ
(РЕКОМЕНДУЕТСЯ И!HI г«М«ООТ. м«оэт»в», НО NC •
НЕ МОЖЕТ БЫТЬ БОЛЬШЕ КОЛИЧЕСТВА СТЕПЕНЕЙ-
СВОБОДЫ С МАССАМИ
NHC • МСМНС» 1>/гОБЪЕМ ПАМЯТИ ДЛЯ ВЕКТОРОВ
мтея . МАКСИМАЛЬНОЕ КОЛИЧЕСТВО ИТЕРАЦИЙ В ПОД
ПРОСТРАНСТВЕ (РЕКОМЕНДУЕТСЯ 16)
ПАРАМЕТРЫ NC И/ИЛИ М ТЕ" ДОЛЖНЫ БЫТЬ •
УВЕЛИЧЕНЫ, ЕСЛИ РЕШЕНИЕ НЕ СХОДИТСЯ
IFSS - ПРИЗНАК ПРОВЕРКИ ПО ШТУРМУ
ПРИ О -НЕТ ПРОВЕРКИ
ПРИ 1 -ПРОВЕРКА
. ПРИЗНАК ПЕЧАТИ В ПРОЦЕССЕ ИТЕРАЦИЙ
ПРИ О-НЕТ ПЕЧАТИ
ПРИ 1 -ПЕЧАТЬ
NSTIF ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ ФАЙЛ ДЛЯ РАЗМЕЩЕНИЯ МАТРИЦЫ *
•тит ВЫВОДНОЙ ФАЙЛ ДЛЯ ПЕЧАТИ ЖЕСТКОСТИ
РЕЗУЛЬТАТ
FIGVINROHI • СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
RINNtHRO-’T) • СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
с .... , ...... ...... ..................
IFFIIC1T RE*L»fl IA-H.O-ZI
*bs<xi»c*es<xi
SC«TIXI«CSORT( XI
С ЭТА ПРОГРАММА ИСПОЛЬЗУЕТ ОДИНАРНУЮ ТОЧНОСТЬ НА ЭВМ* СВС ’
С • и ДВОЙНУЮ ТОЧНОСТЬ для IBM или 1/NIVAC ДЛЯ УКАЗАНИЯ .
С . ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ НЕОБХОДИМО СОХРАНИТЬ ИЛИ ИЗМЕНИТЬ*
С -СООТВЕТСТВУЮЩИМ ОБРАЗОМ ПРИВЕДЕННЫЕ ВЫШЕ КАРТЫ
С........................................................
Э1HENSILK A(NWK) »В< №Н| »’I NN»NCI»ТТ(NNI.WI NN I»FIGV(NCI.
I D(NC I. V*C (NC ,Nf I. A₽(NKC I ,P»(NNC ) • Я ТС I V (NC I r
? It '(NLb^’JPI IN " I
fNTFSf0 4AXMNNM)
С УСТАНОВЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ИТЕРАЦИЙ ПО ЯКОБИ
T^i J.о CCCKOOOOOOI
с ИНИЦИАЛИЗАЦИЯ
С
ICCNV *•
NSCH«C
NS*АХ* 12
М«кс ♦ 1
NC1.NC - 1
IN г NST 1F
nHh I NSTTFI А
Пи 60 ! « 1.NC
СИ
г
С НАЗНАЧЕНИЕ НАЧАЛЬНЫХ ИТЕРАЦИОННЫХ ВЕКТОРОВ
NP«N4/NC
I F <ЧИМ .ГЛ .NNI Г» I ТО 4
J.C
ПГ 2 !> ькч
430
I I•-AXA t1 >
< (I . 1 I • P ( I I
IF 1Ч( | ).( Г .0 I f I ' i
Iе t *.IF.JI il ’’ lb
ИЧ tr ‘ ( гит , 1 > 1 I
X ТГ P
* Dr 1J I * 1,44
I I -И1Л1 1 )
° <1,11 (111
III Ml I 1*14 I I l/«( I I >
16 lie J»2,4C
DO 20 I*1,44
20 Pl 1,11*0.
c
I *44-40
00 И J-2.4C
RT-O.
00 60 1-1,1
IF twtI 1.1Г,BT » GO T(> »C
RT*W<II
IJ* I
*0 continue
00 40 t-l,NN
IF trill l.lt .ATI GJ TO 1C
RT*htI)
I J-t
50 CCNTINUE
TilJI-FICATHJI
wt IJl’O.
l-l-ND
30 <1<IJ,II*1.
c
WHITE I I GUT. 100» 1
WHITE I IOUT, 10021 < TH J) ,J*2,NC I
c
С РАЗЛОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА МНОЖИТЕЛИ
С
ISH-0
САН ОЕСОИР tA,HAXA,NN,ISH,I0UTI
с
с------НАЧАЛО ИТЕРАЦИОННОГО ЦИКЛА
С
NITE-0
100 NITE-NITE ♦ 1
IF <IFPR.EO.OI GO ТО 50
WRITE t IOUT ,10101 NITE
C
С ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ * И "
С
90 IJ-0
СО 110 J-l.NC
00 120 K-l.NH
120 TTIKI*HIK,J>
САН НЕСЕМ I A, T T, WAX A, NN 1
00 130 l-J.NC
AHT-O.
ОС 1*0 K*1.NN
1A0 ART-ART ♦ RtK.I 1-TTtKI
IJ-IJ ♦ 1
130 ARtiJl-*RT
00 150 K-l.NN
15J RtX.JI-TTtKI
110 CCNT1NUE
I J-0
DO 160 J-l.NC
CALL MULT |TT.H,H!1,JI,»*XA,NN,NWN1
DO 180 I»J,NC
еят «о.
DC 1ЧС k-I.NN
431
190 ert«brt ♦ в <к, I («тт<к ।
и-и * 1
1во в₽| I л«врт
И (ICONV.GT.ni GO ТО U0
DO 200 K’l.NN
200 R(K,JI’TT(KI
160 CONTINUE
С
С РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
С
И (IFPR.fO.Cl GO ТО Э2С
INO’ 1
21J WRIТс ((OUT,10201
I I • 1
С1 3 I 1 1’1, N(
I Tf ив.j j.fr-1
ИВ ITf( пит, 1110 51 ( AB ( J) , J и 1 ,t Tf мВ |
300 I I ’ 11 ♦ Fl - I
KBIT ПЧТ, 1 03 0 1
11= 1
on 31.1 I’l.NC
I TF MP.tim-I
WRITU ПИТ, l>t 15 1 03 P( JI, J’l I ,1 VHP |
31.1 1 I -11 ♦ M - I
I F ( INn.tC.2l CITI 350
C
320 I At L JACCRI ( AB , «Ц , Vf C , f H.V ,W,Nf ,NNC ,T 'I J, NS »A«, I FPB, IOUT I
c
IF (IFPB.fO.OI G 1 T350
wRiTi (ист, Ю-.01
140’2
GJ T 1 211
С РАЗМЕЩЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ В ПОРЯДКЕ
С ВОЗРАСТАНИЯ
35i> IS’O
11’1
m 3to i’i,nci
1TFMP’I I «51- I
IF (EIGV(!♦!I.GE.5IGV(I 11 G' TO 160
IS’1S*1
ncvT’i icvu«i i
cIGVJ1♦11’EIGV(I I
6ICV(II«tIGVT
3T>BR(IT‘»P|
3B ( iTrMPI’RPI 11 I
P«( I I I’BT
ПО 3?1 M’l.NC
RT’VEF(К,1♦11
VFC(A•I♦ I l«VrC(K, I I
3TJ VEC1K.1 I’PT
360 H’1TE"P
IF US.GT.01 GO T3 350
IF (IFPR.EO.01 Gn ТП 3T5
WRITE ( IOUT, 1035)
WRITE (ICUT.1006) (EIGV(I I.I’l.NCI
С ВЫЧИСЛЕНИЕ В РАЗ ПРИБЛИЖЕННЫХ СОЬС ( ВЕННЫХ ВЕКТОРОВ
с (ICOMV.EQO)HJIH ОКОНЧАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ СОБСТВЕННЫХ
С BEKTOPOB(ICONV.ET.O)
ЗТ5 ОС 620 1’1,6'N
00 622 J’l.NC
622 TT(JI’R( I.J I
DC 626 K’l.NC
RT«O.
DC 630 L’l.NC
630 RT-RT ♦ TTIII»VEC(I.*I
626 RII.KImRT
620 CCNTINUE
432
IF IICORV.GT.OI GJ TO $00
c
С ПРОВЕРКА СХОДИМОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ
С
ОС 300 I-l. NC
DIF«AB$IEIGVIII-OII>>
300 RTOLVl I UDIF/EIGVI I I
IF IIFPR.EO.OI GO TO 38$
WHITE IICUT,10$0*
WRITE !IOUT,1OO$I I RT0L9111,1 UNCI
C
38$ 00 390 !• UNROOT
IF IRTCLVIII.GT.RTOLI GO TO *30
390 CONTINUE
WRITE I TOUT, 10601 RTOL
ICCNV1
GO TO 100
400 IF (NITE.LT.NITEHI GO TO 410
WRITE 11 OUT, 10701
ICONV-2
1FSS-0
GO TO 100
C
410 ОС 440 I-l.NC
440 O(II"ElGV<tl
GO TO 100
C______КОНЕЦ ИТЕРАЦИОННОГО ЦИКЛА OOF
С
$00 WRITE IICUT,11001
WRITE IIOUT,10061 <EIGVIIbI«l,NROOII
WRITE IIOUT,11101
DO $30 J-UNROOT
$30 WRITE IIOUT,10091 I RIK, J UK« UNNI
С ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПЕЧАТЬ НОРМЫ ОШИБОК
С
REWIND NSTIF
REACINSTIFI «
С
00 $80 L« UNROOT
RT-EIGVIL >
CALL HULTITT,A,Rll,lI,NAXA,NN,NWRI
VNORN-O.
ОС $90 I"1,N6
$90 9N0RR"VN0RH» till 3 • V T 111
CALL MULTIW.R.RI Ы I,PAaA.NH,NW*I
W6CRM-O.
00 600 I-UNN
TTI1 l«TT111 - RT»W<1 I
600 WNCRNSWRCFM « TTII»«TT<It
VN0RN«SQRTIVNORM»
WACRM-SCRTIWNORM)
OIL I «WNl RP/VN MM
580 C MHUI
WRITEIICtIT, 11151
MR I ТЕ I IGlT , 1C06) 1П1! I , I ‘ I ,N6’» T I
c
С ПРОВЕРКА ПО ШТУРМУ C
c
IF tIFSS.10,.4 GJ 70C
CAIL SCHFCK IF IGV.RTri V.PUP.FI 0 RllP‘ ,l> NC ,Nf l,«Trt ,$HI1T t
C
WRIT? II'UT,11201 SHIFT
c
С СДВИГ МАТРИЦЫ
С
Rfwno KSIIF
RFAO INSTIFI A
28 - 522
433
IF (NHM.GT.NN» G-' Tn
СП 640 f. 1,NN
1 I «МАХА 11 )
*40 *(11 »«*(!!» - t4l»*SH|FT
CO T1 66)
645 DO 65u I«I«NWK
*50 Al U> M I I - M 1 ) • $h | F T
C
С РАЗЛОЖЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАННОЙ МАТРИЦЫ
660 lSh«l
CAIN. IHCO* ( A , MAX* , I SH, I'NIT »
r ПОДСЧЕТ КОЛИЧЕСТВА ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
С ДИАГОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
К5Сн«'
ОС F64 I«l,N’.
11>м*ХА < I 1
IF (А(|| I.LT....I NSCH.NSCH • t
N64 CONTINUE
IF (NSCF.FQ.NFI I GO TO e Til
NMIS«NSCH - NEI
WRITE I I%T, 11 JOI NMIS
GC TO 703
670 WHITE (ICUT.11A0I NSCh
700 RETURN
c
1002 FCRMAT 11H0.10F10.0I
1005 FORMAT I IF , 12E 11.41
1006 FCRMAT UH0.bf22.14>
100? FORMAT I///63H STOP, NC IS LARGER THAN THE NUMBER OF MASS DEGREES
10F FRfECOM >
1X1 FORMAT 1 Z//.62H DEGREES GF FREEDOM EXCITED PV UNIT STARTING I ТЕ PA
1TI0N VECTCRSI
1010 FORMAT (1H1.32HI T f R A T I 0 N N U M R E R 141
1020 FORMAT (2 8H0PR0 JEC TICN CF A (MATRIX ARI 1
1030 FORMAT < 28HOPROJECTICN CF 8 (MATRIX BRI I
1035 FORMAT (ЗОНОEIGENVALUES CF AP-IAMPCA»RR I
1040 FORMAT (40HOAR ANO RR AFTFR JACOBI DIAGONALIZATION I
1050 FORMAT < 43H0R El AT IVE TOLERANCE REACHED CN EIGENVALUES I
1060 FORMAT (///.ЗОН CONVERGENCE REACHEC FOR RTDL E10.4I
1070 FORMAT (IH1,51H««R NO CONVERGENCE IN MAXIMUM NUMBER OF ITERATIONS
1 9HPERMITTEC/35H WE ACCEPT CURRENT ITERATION VALUES/
2 42H THE STURM SEQUENCE CHECK IS NCT PERFORMFOI
1100 FORMAT I///.31H THE CALCULATED F1GENVALUES ARE I
1115 FCRMAT I//1X,36HPRINT ERROR NORMS ON THE EIGENVALUES I
1110 FORMAT (//, Э2Н THE CALCULATED EIGENVECTORS ARE //I
1120 FORMAT (///,23H CHECK APPLIED AT SHIFT E22.14I
1130 FORMAT (// 10H THERE ARE I4.21H EIGENVAIUES MISSING I
1140 FORMAT (// 20H WE FOUND THE LOWEST 14.12H EIGENVALUES I
C
ENO
SUBROUTINE OECOMP (А.МАХА,NN.ISM,IOUTI
c .....................................................
cJ ПРОГРАММА
С . РАЗЛОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ НА МНОЖИТЕЛИ
С .
с .
с......................................................
с
IMPLICIT REAL«8 (A-H.0-2I
A8S(XI«СAES(XI
DIMENSION А< 11 .МАХА111
IF (NN.EQ.l) RETURN
434
ОС 200 N*1,NN
KN*HAXAIHI
KI.КН » 1
KU.MAXAIN.ll - I
KH.KU - Ml
IF <KHI 10*.2*0,210
210 K*N - «И
IC.O
KLT.KU
00 260 J- I.KH
IC-1C ♦ 1
KLT**LT - 1
KI.NAXAIKI
NO*NAXAIK,|I - KI - I
IF (HOI 260,260,220
270 *K*NINO 11C,NOI
C*0.
ОС 280 l-l.KK
280 C«C * A(KI.1l*A(KLT»lI
A( KLT I• A(KI T I - C
260 K«K * 1
2*0 K*N
8*0.
CC 100 KK-KL.KU
K«K - 1
KI*MAXA(KI
С*А(кк|/А|к1 |
IF I68SICI.it.I.Е0П GJ Tn 290
WRITE IICUT,20101 N,C
STCP
290 8*8 * C*AIKK|
3vO AIKKI-C
1IHNI.IIKM - 8
3.* IF IAIKNII 3U',3lO,2r>
310 IF IISH.EC.GI GO TO 320
IF (A(KN|, €0.0.1 AIKNI-I,E-16
GC TH 2v(l
320 WRITEUCIT,20001 N, AIKNI
STOP
200 CONTINUE
RETURN
2103 FORMAT I//*8H STOP - STIFFNESS MATRIX NOT POSITIVE DEFINITE ,//
1 32H NONPOSITIVE PIVOT FOR EQUATICN ,1*,//
2 10H PIVOT • .E20.12 I
2010 FCRHAT l//*?H STOP - STURM SEQUENCE СНЕС* FAILED 8ECAUSE OF
135HMULTIPLIER GROWTH FOR COLUNN NUMBER,tA.//12H MULTIPLIER",E2O.8I
ENC
SUBROUTINE REOBAK IA.V.PAXA.NNI
..
С ’ ПРОГРАММА
C ’. ВЫЧИСЛЕНИЯ И ОБРАТНОЙ ПОДСТАНОВКИ ИТЕРАЦИОННЫХ
С • ВЕКТОРОВ
С...................................................................
с
IMPLICIT RERLP8 (А-Н.С-21
DIMENSION Al 11,VIII.NAKAI 11
С
00 *00 №1,NN
KL«MAXA(NI » 1
KU>WAXA(N*1I - 1
IF IKU-KLI *00,*10,*10
*10 K*N
C*0.
00 *20 KK*KL,KU
R*K - 1
435
*20 С«С * AIKKIRVIKI
* NI*V(N> - С
400 CCATINUE
ОС *W N-l.NH
««FAXAIM
*ao mhi«v(ni/a<k>
IF INN.EC.I > RETURN
N«NN
i>0 900 L-2.NN
I<L<MAXA<M * 1
KU>MAXAIN*1I - 1
If IKU-KL) 900.510.910
910 K-N
DO 920 KX«Kl.KU
K«K - 1
920 V«K)*V<KI - AIKK>*VIM
900 N«N - 1
RE TUAN
ENO
SUBROUTINE MULT ITT,R,RR.МАХА.AN,NWMI
C .
С ПРОГРАММА
C • ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ R РАЗ И ЗАПИСИ РЕЗУЛЬТАТА В ТТ
С I...........................................................
с
IMPLICIT REAL»» (A-H.C-II
DIMENSION TTIll.BllI.RRIll.MAXAIl)
С
IF INWM.GT.NNI GO TO 20
00 10 I«l.NN
10 TH I »•»(! I*RR< 11
RETURN
C
20 00 *0 !«l,NN
AT TTIII-O.
CO 100 I-l.NA
KL«MAXAU I
KU«MAXA<I«1> - 1
11*1 * I
CC'RRII I
ОС 100 KMKL.XU
1T-1I - 1
V». T I (111-TTI11 I ♦ МШЧС
IF (NN.ЕС.II RETURN
CO 200 1’2.NN
KL«MAXA<I) * I
ku*maxah*ii - 1
IF (KU-XL I 20C.21J.210
210 II-I
AA«O>
CO 22) KK«KL.KU
II-II - 1
22) AA.AA * BIKKlRRRtlll
TT< I l«TT<11 * AA
200 CONTINUE
C
RETURN
ENO
436
SUBROUTINE SCHECK (EIGV.RTOlV.BUP.aLO.BUPCfNElM.NC.NEI ,»TCIL,SHIFT»
c
С. ПРОГРАММА
с . ВЫЧИСЛЕНИЯ СДВИГА ДЛЯ ПРОВЕРКИ ПО Ш ГУРМУ
«*к« > . Я « • f • "
с
IMPLICIT RE*L*8 (А-И.О-ZI
DIMENSION EIGVINCI,RTOLVINC l,8UP(NCI.PLOIHC I MIII'C (W, I,N'4| 'fC1*
C
FTCl-O.Ol
c
DO 100 1-1,NC
eUPItl-EIGVI 11*11. » FTOL I
100 BLOII I«E1GV(II*( U - ETCH
NROOT.O
DO 120 1*1,NC
120 IF (RTDLVd ULT.RTOLI NROCT-NROCT*I
IF INROCT.GE.il GO TO 200
RITE 16,10101
STOP
c
С ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
С
20J ОС 260 (•l.NROJT
260 NEIVIII*!
IF (NROJT.NE.il GJ Tn 2Е0
RUFC111«PUP 111
LM«1
fl
I«2
GO TJ 2S5
267 1*1
1*2
27* IF IBUP 11-11 .Iе .8101 111 GO TO 290
Nf |VH)»KFIV(1 !♦! 1*1*1 IF (I.lf.KPu)TI GJ TO 2П
2Я0 BUPC(1 )«eup(1-11
IF I I .GT.NRDOD G1 TC 29 L «1*1 !!*!
290 IF ( 1 .1 6.N000TI GJ Tn 27C RilPC II 1 «PUPI 1 -1 1 L««l
IF lNk( iT.fO.NCI (P Tn
2 95 1 F ( 9UPI1 -I 1 .1 . HI 4 1 » 1 < i T 1 1 JO
IF (RTVIVI I I.GT.4 Ц » t W G «UPCIIMPI’PI 1 > N> 1 VII 1 "Nt 1 V (I > ♦ 1 MU ГТ-NHH Tf I
1 F I NOJCI .fO.NC » ’» 1 Ti <00 1 «!♦! GC TJ 2$5
C
С ВЫЧИСЛЕНИЕ СДВИГА
С
TOO N’lTF (6,10201
WP|T> (6,14151 I *»UPC I I I , I • I ,1 MI
RR1T*- (6,14301
UHU (6.1J06I (Nf IV( I I ,1-1 ,LM|
Ll*L4-l
IF (IP.EC.II G> T I 310
33" Г0 32U 1*1,11
32" NE1V(II*NE1VILI»NFIV(II
I •( -1
11*11.-1
IF (l.NE.lI GO T I ’30
437
31> WRITE <e.!U4U>
WRITE I6.1JU6I (NcIWIIl,l«l,LM)
I *C
00 340 l-l.l*
l*l»l
IF INEIVII I.GE.NRilJT I Gt Tl ISO
340 CONTINUE
350 SH|FT*BUPC!LI
NEI*NEIVII I
RETURN
IOC 5 FORMAT i1H0.6E22.141
1006 format !lhO,61221
1010 FORMAT I !3THO*««ERROR SOt UTION STOP IN *$CHECK«, / 12X, 21HN0 EIGENVALUES FOIMC., / IX»
1020 FORMAT i///.3TH UPPER BCUNDS CA EIGENVALUE CLUSTERS I
Lt»30 format I34HONO OF EIGENVALUES IN EACH CLUSTER 1
1040 FORHAT (42HONO OF EIGENVALUES LESS THAN UPPER BOUNDS I ENO SUBROUTINE JACOBI !A,B,X,ElGV.O.N.NWA.RTOL,NSM*X,IFPR,IOUT1
c * ПРОГРАММА
С . РЕШЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ПРОБЛЕМЫ НА СОБСТВЕННЫЕ
С . ЗНАЧЕНИЯ МЕТОДОМ ЯКОБИ
*” *! NPUC1 A-hZc-I I
A8S<XI*0ABS!XI
SORT IXI*OSQRTIXI
DIMENSION AINWAI .RINWAI .XIN.NI.E IGVINI ,O!NI
С ИНИЦИАЛИЗАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И МАТРИЦЫ
С СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ
N1*N * I
11*1
DO 10 1*1,N
IF!А!II I.GT.О. .«NO. El III.GT.O.I GO TO 4
WHITE!1 OUT,20201 11,Al 111,B111 I
STOP
4 OlI>>*iII)/B<III
EIGVlll*O!I>
10 11*11 ♦ N1 - I
00 30 1*1,N
00 20 J*1.N
20 X!I,JI«O.
30 XII,I>*1.
IFIN.EO.il RETURN
С ИНИЦИАЛИЗАЦИЯ СЧЕТЧИКА ПРОСМОТРОВ И НАЧАЛО ИТЕРАЦИИ
С
NJWEEP-0
NR*N-1
40 NSNEEP*NSwEEP*l
IFIIFPR.EO.11 WRITE!!0UT,2000INSWEEP
C
С ПРОВЕРКА ВНЕДИАГОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
С
EPS*1.1 l**NSWEf₽1**2
ОС 210 J*1,NR
JP1«J»1
JM1*J-1
IJK*JM1*N - JW1PJ/2
JJ*LJK ♦ J
DC 210 K*JPl,N
KPl.5,1
RMl.K-I
438
JK«tJK « к
- км1«к/2 ♦ к
f₽тл*.(*(j« i«4(jk। iz<»।jj।»*mi ।
CPT 318.(81 JKI*t»< JKI I / <* I JJI *M« » (
1F( (EPT JI A.l T.fPSI.ANn.lEPT'H A.IT.t PSI H.'l Til 210
c
С ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ МАТРИЦЫ ПОВОРОТА СА И1Б
С
j»i- м ja i
AJJ.At J J 1*81 JKI-М JJI’AtJ»l
ab-ai jj!•»(««i*aik* »»Mjj i
CHF C »•(A8»AF.A,»AK»»A J J I M
IF (CHECK I3J.6J.6J
5c WRITE!(CUT,20201
STOP
6v SOCH.SORT(CHECK I
01"ABZ2..S0CH
02»* 4Z2 .-SOCH
CE6-S1
IF < »V ( 02I.GT.ABSI0I > I0EM02
IFI0En)BJ,70.8J
Tu CA«O.
CG — A( JKI/AIKKI
GC TO 90
80 CA.AKK/OEA
CG--AJJZOEN
C
с ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦ А И В
С
90 IF IN-21100. 190. DO
100 IFUM1-1II30.110.110
113 ОС 120 I«1.JM1
IP1-I - 1
IJ-|Ml«h - |Ml«l/2 • J
IK«tMl*h - IM1PI/2 • К
AJ*A<IJ|
BJ.8IIJI
AK.AIIKI
8K*8(|K>
A( IJ l«A J.CG*AK
en j»*bj*cg«m
A(1 КI«АК.СА*AJ
120 EIIKI-BK»CA*ej
130 IFIKP1-NI1A0.1A0.1A0
1*0 LJI«JM1»N - JHl«J/2
LK|>KP1»N - КИ19К/2
00 150 I«KP1,N
JI'LJI * I
KI-LK1 * I
AJ«AIJII
BJ'PIJI I
AKaAIKII
BF»BlKI I
AIJII*AJ*CG«AF
81 J!>*8J*CG*8K
AIK I |>AK*CA»AJ
150 BIKI>«BK*CA*OJ
160 IFIJP1-KMD1T0.110.150
170 LJI-JM1PN - JM1PJ/2
DC 100 I«JP1.KM1
JI»LJI ♦ I
IMl'l - I
!K«IMl*N - IMIHZ2 ♦ К
AJ«A<JI I
Bj«eiл I
AK-AIIKI
8K«BI|K)
A I JI I«АJ«CG»AK
81 JIl>BJ*CG«8K
A( t« )*AK*CA«AJ
439
1ЧС »(|KI-8K«C*»8J
140 *K.*(KKI
8К«Я(КК)
A IKK I.*K»2.»C*«*t JKI«C**C*«*(JJI
R(KKI-RK»2.«C4*B(JK ItCIHIMI JJI
*1JJ)>«IJJI*2.*CG«*lJKI«CG*CG«*K
PIJJI-’l JJI*Z.*CG«I4 JKI«CG»CG»BK
*<JKI«O.
41JKI-O.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ
пс г-' |«ьм
XJ.XI 1.JI
ХК«Х( I , К I
К I Г, Jl> <J»CG»XK
,'CC XII ,KI«XK»C*»XJ
•IJ CONTINUE
С ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЦИКЛА ВРАЩЕНИЯ
(.
11*1
АО 220 I-1.N
IF IMIlbGT.O. «АНО. MID.GT.tM GO ТО 219
taR|TE(IOUT«2O2O) 11,А(И I•В(I(I
STOP
211 ₽!GV<II•*<11I/B(111
220 П»П ♦ hl - I
IFI(FPB.EQ-OIGO T3 230
kPirecicuT, 20ЭЛ
frAITctl3UT,2010) <EIGVl11»I*1,N>
С ПРОВЕРКА СХОДИМОСТИ
с
09 24) I»bN
Tau«₽TOL«on >
DIF«48S<‘IGV(I>-n(I))
IH0I₽.GT.TCL)G0 TO 280
2*0 CONTINUE
С ПРОВЕРКА ВНЕДИАГОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
f
F*$«RT0l»*2
OU 250 J«1»NR
JHUJ-I
“ JHl*J/2
♦ J
PC >50 KiJPhN
KuhK-i
JK«LJK ♦ К
KK»KM1«N - KM1-K/2 ♦ «
bPS**(A(JKI*A(JKI)/t A(JJ)*A IKK) |
6PSA«(Rt JK>’MJK)l/te<JJI*8(KK))
IM И PSA,LT* EPS), ANOt IE₽SA,LT »EPS ) IGC TO 250
GC T ) 2BJ
250 CONTINUE
С ЗАПОЛНЕНИЕ НИЖНЕЙ ЧАСТИ МАТРИЦ А И 6 МАСШТАБИРОВАНИЕ
259 И«1
UC 275 1-ЬЫ
nn. sc«T(e<n н
00 2Т0 К» UN
270 X!К • Т1«Х<К'11/38
2/5 U-d ♦ Ni - I
RETURN
С
С ИЗМЕНЕНИЕ МАТРИЦЫ D И ПЕРЕХОД НА НОВЫЙ ЦИКЛ ВРАЩЕНИЯ
С
280 ОС 290 Г-l.N
290 01 IHfclGVll I
IEfNSWEEP.lT.NSMAXIGC ТС 40
GO TO 255
440
20UC FORMAT 12THOSWEEP HUMBER IN «JACOBI* • .IM
2010 FCRRRTI 1H06E20.12 I
2U20 FORMAT I2SH0*** ERROR SOLDI ION STOP /
1 Э1Н MATRICES NOT POSITIVE DEFINITE /
2 AH 11 * *l«*6HA|111,E20«12,6HB11 Il«,E20*12 I
20JO FORMATI36H0CURREMT EIGENVALUES IN «JACOBI* ARE./I
ENO
12.4. Выбор метода решения
При выборе метода решения проблемы на собственные значения
необходимо прежде всего иметь в виду, что до сих пор не существует
единого алгоритма, который был бы эффективен во всех случаях. Реше-
ние этого вопроса зависит от характеристик матриц К, М и главным
образом от порядка и ширины ленты матриц, а также от числа искомых
собственных значений и собственных векторов. В наиболее часто встре-
чающихся задачах выбор лежит между методом решения характерис-
тического уравнения и методом итераций в подпространстве. По этой
причине оба метода включены в системы расчета конструкций [ 5 — 8].
В некоторых специальных программах могут быть также эффективно
использованы метод Хаусхолдера — QR. —обратных итераций и обобщен-
ный метод Якоби (см. разд. 11.3.2 и 11.3.3). Краткие сведения об этих
методах приведены в табл. 11.3, 11.4,12.1 и 12.3.
Обобщенный метод Якоби эффективен при решении полной проблемы
собственных значений с небольшим числом внедиагональных элементов
или при малой величине этих элементов, т.е. когда задача на собственные
значения уже почти решена. По этой причине обобщенный алгоритм
Якоби эффективно используется для решения проблемы (12.13) с мат-
рицами и М*+« в методе итераций в подпространстве. Если же по-
рядок матриц сравнительно мал, то решение не требует больших затрат
и метод Якоби мож_ет быть принят вследствие его простоты.
Метод Хаусхолдера — QR-обратных итераций наиболее эффективен
при отыскании всех собственных значений и собственных векторов для
матриц, которые имеют большую ширину ленты или полностью заполне-
ны. Как указывалось в разд. 10.3.1, подобная задача возникает после
статической конденсации безмассовых степеней свободы. Полностью
заполненная матрица встречается, если обобщенная проблема с ленточ-
ной матрицей масс приводится к стандартной форме (см. разд. 10.2.5).
Эффективность алгоритмов статической конденсации или приведения
к стандартной форме зависит от первоначальной ширины ленты матрицы
жесткости, от увеличения ширины ленты вследствие статической конден-
сации, числа первоначальных и окончательных степеней свободы и числа
требуемых собственных значений и собственных векторов.
В большинстве случаев массы связаны с половиной или большим
числом степеней свободы, и, следовательно, если порядок системы
велик, то статическая конденсация приводит к образованию также
большой системы, которая может утратить свои ленточные свойства.
Если рассматривать преобразование к стандартной задаче на собствен-
ные значения, когда матрица масс является ленточной и система велика,
то это преобразование почти всегда крайне неэффективно.
Метод решения характеристического уравнения весьма эффективно
используется для вычисления с высокой точностью низших собственных
значений и соответствующих собственных векторов систем с малой
441
шириной ленты. Если используются компактные формы представления
матриц в памяти, то сравнительно большие системы могут быть решены
только в оперативной памяти (см. разд. 6.2.3). Использование ленточ-
ной матрицы масс сравнительно мало увеличивает трубоемкость расчета.
Заметим, что при решении полной проблемы собственных значений этот
метод в зависимости от ширины ленты может быть более эффективен,
чем метод Хаусхолдера — QR-обратных итераций.
Метод итераций в подпространстве весьма эффективен при вычисле-
нии наименьших собственных значений и соответствующих собственных
векторов систем с большой шириной ленты и таких больших, что не по-
мещаются в оперативной памяти. Необходимо заметить, что в этом
методе проблема собственных значений оператора (12.13) решается в
быстродействующей памяти, и в случае вычисления большого числа
векторов требуемый объем этой памяти может определить размер всей
задачи.
Кроме того, при выборе метода необходимо учитывать возможность
на сравнительно ранней стадии решения определять обусловленность
матриц К и М. При решении конкретных задач ошибки исходных дан-
ных могут привести к тому, что матрица К не будет положительно-
определенной, что должно быть выяснено при разложении матрицы К в
произведение LDLr до начала итераций. Иначе говоря, все элементы в
D должны быть больше нуля и при появлении отрицательных элементов
решение должно быть прекращено. В этом случае затраты будут незна-
чительными, так как сами итерации еще не начинались. Методы, рас-
смотренные в данной главе, позволяют выполнить подобный анализ, в
то время как при использовании метода Хаусхолдера — QR -обратных
итераций или метода Якоби, решение будет фактически продолжаться
до тех пор, пока один из диагональных элементов не станет отрицатель-
ным, указывая на ошибку исходных данных.
При решении ряда динамических задач необходимо уметь определять
собственные значения, лежащие внутри определенного интервала. Если
порядок матриц не очень велик, то в этом случае может быть эффекти-
вен метод Хаусхолдера — QR -обратных итераций, позволяющий найти
все собственные значения, или метод решения характеристического
уравнения, в котором вычисляются все Собственные значения от наи-
меньшего до требуемого максимального. Однако, если необходимо
определить небольшое число собственных значений и собственных векто-
ров, то весьма эффективным будет алгоритм, основанный на комбина-
ции приемов, использованных в методах решения характеристического
уравнения и итераций в подпространстве.
Необходимо заметить, что все приведенные выше соображения приме-
нимы и для других задач, отличных от К^= АМ^ , где К — матрица
жесткости, а И — матрица масс, при использовании соответствующих
матриц вместо К и М.
При решении задач устойчивости Кеу=АКу, где К и К« —матрицы
жесткости, учитывающие соответственно линейные и нелинейные дефор-
мации, необходимо уметь определять наибольшие собственные значения
и соответствующие им собственные векторы. В этом случае могут быть
использованы методы решения характеристического уравнения и итера-
ций в подпространстве при условии, что перед началом решения надле-
жащим образом будет выполнена операция сдвига, а сам алгоритм будет
442
приспособлен к нахождению наименьших отрицательных собственных
значений
В заключение отметим, что методы, рассмотренные в настоящей главе,
по-видимому, являются наиболее эффективными Однако следует
ожидать дальнейшего усовершенствования методов решения задач на
собственные значения для больших систем конечных элементов, и они,
безусловно, появятся в ближайшее время
Список литературы
I К J Bathe “Solution Methods of Large Generalized Eigenvalue Problems in
Structural Engineering’’ Report UC SESM 71 20 Civil Engineering Depart-
ment, University of California Berkeley 1971
2 К I BATHgandt L Wilson^ Large Eigenvalue Problems in Dynamic Analy
SIS " A S С E Journal of Engineering Mechanics Division Vol 98 1972 pp
1471 1485
3 К J BATHFandE L Wilson, Eigensolution ef Large Structural Systems wifh
Small Bandwidth 4 S С Ё , Journal of- Engineering Mechanics Division Vol
99 1973 pp 467 479
4 К J Bathe and E L Wilson, Solution Methods for Eigenvalue Problems in
Structural Mechanics," International Journal for Numerical Methods in Engi-
neering, Vol 6, 1971, pp 213-226
5. К J Bathe, E L Wilson, and E E Peterson, SAP IV A Structural Analy-
sis Program for Static and Dynamic Response of Linear Systems,' Report EERC
73-11, College of Engineering, University of California, Berkeley, June 1973,
revised Apr 1974
6. EAC/EASE2 Dynamics—User Information Manual/Theoretjcal, Control Data
Corporation, Minneapolis, Minn (in press)
7. К J.Bathj. "ADINA—A Finite Element Program for Automatic Dynamic
Incremental Nonlinear Analysis,” Report 82448 1, Acoustics and Vibration
Laboratory, Department of Mechanical Engineering, Massachusetts Institute
of Technology, 1975
8. К J Bathe, “An Assessment of Current Finite Element Analysis of Nonlinear
Problems in Solid Mechanics,” Proceedings, Symposium on the Numerical
Solution of Partial Differential Equations, May 1975, Academic Press, 1976
9. J H Wilkinson, The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Press, Oxford,
1965
10. H R Schwarz H Rutishauser, and E Stiefel, Matnzen-\umerik, В G
Teubner, Stuttgart, 1972
11. F L Baler, “Das Verfahren der Treppen-Iteration und Verwandtc Verfahrcn
"zur Losung Algebraischer Eigenwertprobleme, ZA MP Vol 8 1957 pp
214-235
12. О E Bronlund, “Eigenvalues of Large Matrices,” Symposium on finite Ele-
ment techniques at the Institut fur Statik und Dynamik der Luft und Raum-
fahrtskonstruktionen. University of Stuttgart, Germany, 1969
443
13. A Jennings, “A Direct Iteration Method of Obtaining Latent Roots and
Vectors of a Symmetric Matrix,” Proceedings of the Cambridge Philosophical
Society, Vol 63, 1967, pp 755 765
14. A Jennings and D R L Orr, “Application of the Simultaneous Iteration
Method to Undamped Vibration Problems," International Journal Jor Numerical
Methods in Engineering, Vol 3, 1971, pp 13-24
15. S В Dong, J A Wolf, and F E Peterson, “On a Direct-Iterative Eigensolu-
tion Technique," International Journal for Numerical Methods m Ingineering,
Vol 4, 1972, pp 155-162
16. P S Jensen, "The Solution of Large Symmetric Eigenproblems by Sectioning
SIAM Journal of Numerical Analysis, Vol 9, 1972, pp 534 345
17. H Rutishauser. "Computational Aspects of F L Bauer s Simultaneous Itera-
tion Method," Numerische Mathematik. Vol 13, 1969, pp 4 13
ОГЛАВЛЕНИЕ Стр
Предисловие к русскому изданию.................................. 5
Введение ....................................................... 6
Часть 1. Матрицы и линейная алгебра............................ 8
Глава 1. Краткие сведения о матрицах......................... 8
1.1. Введение ...................................... 8
1.2. Матрицы........................................ 8
1.3. Виды матриц......................................... 10
1.4. Равенство матриц, сложение и умножение на скаляр . . 12
1.5. Умножение матриц.................................... 13
1.6. Обратная матрица.................................. 18
1.7. Блочные матрицы..................................... 20
1.8. След и определитель матрицы ........................ 21
Список литературы...................................... 24
Глава 2. Матрицы и векторные пространства . . . ............ 25
2.1. Введение ........................................... 25
2.2. Векторные пространства, подпространства и представ-
ление матриц ........................................ 25
2.3. Матричная форма линейного преобразования............ 31
2.4. Изменение базиса.................................... 34
2.5. Матричное представление вариационного уравнения
Лагранжа............................................. 36
2.6. Проблема собственных значений....................... 42
2.7. Отношение Релея и максимальная оценка собственных
значений ............................................ 53
2.8. Нормы вектора и матрицы ............................ 59
Список литературы...................................... 64
Часть 2. Метод конечных элементов............................. 65
Глава 3. Основы метода конечных элементов .................. 65
3.1. Введение ........................................... 65
3.2. Принцип возможных перемещений как основа метода
конечных элементов................................... 73
3.2.1. Перемещения и деформации при плоском напря-
женном состоянии.................................. 73
3.2.2. Общая формулировка метода...................... 76
3.2.3. Осредненные значения коэффициентов матриц
конечных элементов............................... 83
3.2.4. Частные случаи общей формулировки . . . д. . . . 85
3.2.5. Условия сходимости.............................. 85
3.3. Модели конечных элементов в обобщенных координа-
тах ................................................. 90
3.3.1. Основные положения и частные примеры....... 92
3.3.2. Пространственная изотропия..................... 102
Список литературы ................................... ЮЗ
Глава 4. Матрицы изопараметрических конечных элементов .. 106
4.1. Введение........................................... 106
4.2. Получение матрицы жесткости для стержневого элемен-
та в изопараметрической форме....................... 106
4.3. Общий случай ....................................... Ю8
4.3.1. Изопараметрический элемент в локальной систе-
ме координат..................................... 109
4.3.2. Матрицы элемента в глобальной системе коорди-
нат 122
4.4. Условия сходимости................................. 124
4.5. Другие виды элементов.............................. 126
4.6. Численное интегрирование .......................... 129
4.7. Практические замечания по применению изопараметри-
ческих элементов.................................... 138
4.8. Реализация программы для изопараметрических конеч-
ных элементов на ЭВМ ............................... 142
Список литературы..................................... 142
Глава 5. Вариационная формулировка метода конечных эле-
ментов ............................................. 148
445
5.1. Введение .......................................
5.2. Вариационные принципы задач строительной механики
5.3. Решение методом Ритца ..........................
5.4. Решение задач теплопроводности .................
5.5. Несовместные, смешанные и гибридные модели
элементов; метод конечных разностей в дифферен-
циальной и энергетической формах.....................
Список литературы.................................
Глава 6. Реализация метода конечных элементов на ЭВМ . . . .
6.1. Введение .........................................
Стр.
148
148
151
158
162
170
173
173
174
175
177
177
181
182
182
188
6.2. Организация программы по построению матриц конст-
рукции .............................................
6.2.1. Ввод информации об узлах и элементах......
6.2.2. Построение матриц жесткости, масс и эквива-
лентных узловых сил..............................
6.2.3. Построение матриц для ансамбля............
6.3. Вычисление напряжений в элементе...............
6.4. Программа STAP ................................
6.4.1. Исходные данные для программы STAP........
6.4.2. Распечатка программы STAP ................
Список литературы...................................... 205
Часть 3. Решение системы уравнений равновесия метода конеч-
ных элементов .............................................. 206
Глава 7. Решение систем уравнений статического расчета .... 206
7.1. Введение ......................................... 206
7.2. Прямые решения, основанные на методе Гаусса..... 206
7.2.1. Введение в метод Гаусса...................... 207
7.2.2. Метод Гаусса................................. 211
7.2.3. Реализация на ЭВМ исключения по Гауссу..... 213
7.2.4. Метод Холецкого, статическая конденсация, су-
перзлементы и фронтальное решение................... 219
7.2.5. Анализ решения уравнений с симметричной матри-
цей коэффициентов ...........................'. . . 2’8
7.3. Прямое решение с использованием ортогональных мат-
риц ................................................... 239
7.3.1. Метод Гивенса................................ 24С
7.3.2. Метод Хаусхолдера............................ 243
7.4. Итерационный метод Гаусса—Зейделя ................ 246
7.5. Ошибки решения................................... z.48
Список литературы................................... 256
Глава 8. Решение уравнений равновесия для динамических
задач..................................................... 259
8.1. Введение ......................................... 259
8.2. Методы прямого интегрирования..................... 260
8.2.1. Метод центральных разностей ................. 261
8.2.2. Метод Хаболта................................ 265
8.2.3. 0 — метод Вилсона............................ 267
8.2.4. Метод Ньюмарка .............................. 270
8.3. Разложение по собственным формам................. 273
8.3.1. Разложение перемещений по собственным формам 274
8.3.2. Расчет без учета демпфирования............... 277
8.3.3. Расчет с учетом демпфирования................ 283
Список литературы......................... . . . 288
Г пава 9. Анализ методов прямого интегрирования........... 289
9.1. Введение ......................................... 289
9.2. Операторы аппроксимации и нагрузки прямого интег-
рирования ............................................. 291
9.2.1. Метод центральных разностей ................. 291
9.2.2. Метод Хаболта................................ 292
9.2.3. Метод Вилсона................................ 292
9.2.4. Метод Ньюмарка............................... 293
9.3. Анализ устойчивости............................... 294
9.4. Анализ точности................................... 298
Список литературы...................................... 302
446
Стр.
Глава 10 Основы численных методов решения задач на собст-
венные значения 304
10.1. Введение......................................... 304
10.2. Основы решения задач на собственные значения .... 307
10.2.1. Свойства собственных векторов............... 307
10.2.2. Характеристические полиномы для обобщенной
проблемы Kw=AM<₽ и связанных с ней усеченных
задач............................................... 312
10.2.3. Использование "сдвигов"..................... 318
10.2.4. Системы с нулевыми массами ................. 319
10.2.5. Приведение обобщенной проблемы собственных
значений К<Р«АМу к стандартной форме............. 320
10.3. Методы приближенного решения..................... 326
10.3.1. Статическая конденсация..................
10.3.2. Алгоритм метода Релея — Ритца............
10.3.3. Покомпонентный синтез форм...............
10.4. Оценка погрешностей приближенных решений......
Список литературы...................................
Глава 11. Методы решения проблемы собственных значений . .
11.1. Введение......................................
11.2. Методы, основанные на итерациях векторов......
11.2.1. Алгоритм обратных итераций...............
11.2.2. Схема прямых итераций....................
11.2.3. Ускорение итерационных процессов с помощью
327
333
341
344
350
352
352
353
354
360
сдвигов.......................................... 363
11.2.4 . Итерации на основе отношения Релея........ 368
11 2.5 Алгоритм понижения порядка матрицы и орто-
гонализация по Граму—Шмидту........................ 371
11.2.6 . Некоторые рекомендации по практическому
ттрименению векторных итераций...................... 373
11.3. Методы преобразования исходных матриц........... 375
11.3.1 Алгоритм Якоби............................. 376
11.3.2. Алгоритм обобщенного метода Якоби.......... 382
11.3.3. Алгоритм QR — Хаусхолдера в сочетании с
обратными итерациями................................ 388
11.4. Вычисление собственных значений с помощью харак-
теристических полиномов .............................. 399
11.4.1. Итерации с полиномами в явной форме ....... 399
11.4.2. Итерации с полиномами в неявной форме...... 400
115. Алгоритм, основанный на свойстве последовательнос-
ти Штурма.......................................... 404
Список литературы..................................... 406
Глава 12. Большая проблема собственных значений.......... 412
12.1. Введение........................................ 412
12 2. Метод решения характеристического уравнения .... 412
12.2.1. Предварительные замечания.................. 413
12.2.2. Алгоритм решения .......................... 413
12.2.3. Заключительные замечания................... 416
12.3. Метод итераций в подпространстве . ............. 418
12.3.1. Предварительные замечания.................. 419
12.3.2. Итерации в подпространстве ................ 422
12.3.3. Начальные векторы.......................... 424
12.3.4. Сходимость................................. 426
12.3 5. Заключительные замечания.................. 428
12.4 Выбор метода решения ............................ 441
Список литературы .................................... 443
К.Бате, Е.Вилсон
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И МЕТОД
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Редакция переводных изданий
Зав. редакцией М.В.Перевалюк
Редактор М.ВЛЛилейко
Технический редактор И.В. Верина
КорракторыВ. И. Галюзова , Е. Р. Герасимюк
ИВ №2735
Подписано в печать 15.07.82 Формат 60x90 1/16 Ьум<нь
офсетная 80 r/MZ Усл.-печ.л. 28,0 Печать офсет нан
Печ.л. 28,0 Уч.—изд.л. 28,64 Усл.кр —отт 28,00 Тираж 3000 экз
Изд. № А-УШ-8755 Заказ №522 Цена 4 руб 60 коп.
Стройиздат, 101442, Москва, Каляевская, 23а
Тульская типография Союзполиграфпрома при Государственном
Комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли.
г. Тула, пр. Ленина, д. 109