Г.М. Фихтенгольц
КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ТОМ 2
Содержание
ГЛАВА ВОСЬМАЯ. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
(НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления	11
263.	Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла) 11
264.	Интеграл и задача об определении площади	14
265.	Таблица основных интегралов	17
266.	Простейшие правила интегрирования	18
267.	Примеры	19
268.	Интегрирование путем замены переменной	23
269.	Примеры	27
270.	Интегрирование по частям	31
271.	Примеры	32
§ 2. Интегрирование рациональных выражений	36
272.	Постановка задачи интегрирования в конечном виде	36
273.	Простые дроби и их интегрирование	37
274.	Разложение правильных дробей на простые	38
275.	Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей 42
276.	Выделение рациональной части интеграла	43
277.	Примеры	47
§ 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы	50
278.	Интегрирование выражений вида Щ х,т\	 . Примеры	50
^ \ ух + 8 J
279.	Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры	51
280.	Формулы приведения	54
281.	Интегрирование выражений вида Я\х,л1ах2 + Ьх + с). Подстановки -^
Эйлера
282.	Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок	59
283.	Примеры	60
284.	Другие приемы вычисления	66
285.	Примеры	72
§ 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и	74

показательную функции
286.	Интегрирование дифференциалов i?(sin x, cos x) dx	74
287.	Интегрирование выражений sinv xcosKx	76
288.	Примеры	78
289.	Обзор других случаев	83
§ 5. Эллиптические интегралы	84
290.	Общие замечания и определения	84
291.	Вспомогательные преобразования	86
292.	Приведение к канонической форме	88
293.	Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода	90
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение и условия существования определенного интеграла	94
294.	Другой подход к задаче о площади	94
295.	Определение	96
296.	Суммы Дарбу	97
297.	Условие существования интеграла	100
298.	Классы интегрируемых функций	101
299.	Свойства интегрируемых функций	103
300.	Примеры и дополнения	105
301.	Нижний и верхний интегралы как пределы	106
§ 2. Свойства определенных интегралов	108
302.	Интеграл по ориентированному промежутку	108
303.	Свойства, выражаемые равенствами	109
304.	Свойства, выражаемые неравенствами	110
305.	Определенный интеграл как функция верхнего предела	115
306.	Вторая теорема о среднем значении	117
§ 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов	120
307.	Вычисление с помощью интегральных сумм	120
308.	Основная формула интегрального исчисления	123
309.	Примеры	125
310.	Другой вывод основной формулы	128
311.	Формулы приведения	130
312.	Примеры	131
313.	Формула замены переменной в определенном интеграле	134

314.	Примеры	135
315.	Формула Гаусса. Преобразование Ландена	141
316.	Другой вывод формулы замены переменной	143
§ 4. Некоторые приложения определенных интегралов	145
317.	Формула Валлиса	145
318.	Формула Тейлора с дополнительным членом	146
319.	Трансцендентность числа е	146
320.	Многочлены Лежандра	148
321.	Интегральные неравенства	151
§ 5. Приближенное вычисление интегралов	153
322.	Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций	153
323.	Параболическое интерполирование	156
324.	Дробление промежутка интегрирования	158
325.	Дополнительный член формулы прямоугольников	159
326.	Дополнительный член формулы трапеций	161
327.	Дополнительный член формулы Симпсона	162
328.	Примеры	164
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
§ 1. Длина кривой	169
329.	Вычисление длины кривой	169
330.	Другой подход к определению понятия длины кривой и ее	171
вычислению
331.	Примеры	174
332.	Натуральное уравнение плоской кривой	180
333.	Примеры	183
334.	Длина дуги пространственной кривой	185
§ 2. Площади и объемы	186
335.	Определение понятия площади. Свойство аддитивности	186
336.	Площадь как предел	188
337.	Классы квадрируемых областей	190
338.	Выражение площади интегралом	192
339.	Примеры	195
340.	Определение понятия объема. Его свойства	202
341.	Классы тел, имеющих объемы	204

342.	Выражение объема интегралом	205
343.	Примеры	208
344.	Площадь поверхности вращения	214
345.	Примеры	217
346.	Площадь цилиндрической поверхности	220
347.	Примеры	222
§ 3. Вычисление механических и физических величин	225
348.	Схема применения определенного интеграла	225
349.	Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой	228
350.	Примеры	229
351.	Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской
фигуры
352.	Примеры	232
353.	Механическая работа	233
354.	Примеры	235
355.	Работа силы трения в плоской пяте	237
356.	Задачи на суммирование бесконечно малых элементов	239
§ 4. Простейшие дифференциальные уравнения	244
357.	Основные понятия. Уравнения первого порядка	244
358.	Уравнения первой степени относительно производной. Отделение _.,
переменных
359.	Задачи	247
360.	Замечания о составлении дифференциальных уравнений	253
361.	Задачи	254
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С
ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
§ 1. Введение	257
362.	Основные понятия	257
363.	Примеры	258
364.	Основные теоремы	260
§ 2. Сходимость положительных рядов	262
365.	Условие сходимости положительного ряда	262
366.	Теоремы сравнения рядов	264
367.	Примеры	266
368.	Признаки Коши и Даламбера	270

369.	Признак Раабе	272
370.	Примеры	274
371.	Признак Куммера	277
372.	Признак Гаусса	279
373.	Интегральный признак Маклорена—Коши	281
374.	Признак Ермакова	285
375.	Дополнения	287
§ 3. Сходимость произвольных рядов	293
376.	Общее условие сходимости ряда	293
377.	Абсолютная сходимость	294
378.	Примеры	296
379.	Степенной ряд, его промежуток сходимости	298
380.	Выражение радиуса сходимости через коэффициенты	300
381.	Знакопеременные ряды	3 02
382.	Примеры	303
383.	Преобразование Абеля	305
384.	Признаки Абеля и Дирихле	307
385.	Примеры	308
§ 4. Свойства сходящихся рядов	313
386.	Сочетательное свойство	313
387.	Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов	315
388.	Случай неабсолютно сходящихся рядов	316
389.	Умножение рядов	320
390.	Примеры	323
391.	Общая теорема из теории пределов	325
392.	Дальнейшие теоремы об умножении рядов	327
§ 5. Повторные и двойные ряды	329
393.	Повторные ряды	329
394.	Двойные ряды	333
395.	Примеры	338
396.	Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости	346
397.	Примеры	348
398.	Кратные ряды	350
§ 6. Бесконечные произведения	350
399.	Основные понятия	350

400.	Примеры	351
401.	Основные теоремы. Связь с рядами	353
402.	Примеры	356
§ 7. Разложения элементарных функций	364
403.	Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора	364
404.	Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических
функций и др.
405.	Логарифмический ряд	368
406.	Формула Стерлинга	369
407.	Биномиальный ряд	371
408.	Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения	374
§ 8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов 378
409.	Общие замечания	378
410.	Вычисление числа п	379
411.	Вычисление логарифмов	381
412.	Вычисление корней	383
413.	Преобразование рядов по Эйлеру	3 84
414.	Примеры	386
415.	Преобразование Куммера	388
416.	Преобразование Маркова	392
§ 9. Суммирование расходящихся рядов	394
417.	Введение	394
418.	Метод степенных рядов	396
419.	Теорема Таубера	398
420.	Метод средних арифметических	401
421.	Взаимоотношение между методами Пуассона—Абеля и Чезаро	403
422.	Теорема Харди—Ландау	405
423.	Применение обобщенного суммирования к умножению рядов	407
424.	Другие методы обобщенного суммирования рядов	408
425.	Примеры	413
426.	Общий класс линейных регулярных методов суммирования	416
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 1. Равномерная сходимость	419
427.	Вводные замечания	419

428.	Равномерная и неравномерная сходимости	421
429.	Условие равномерной сходимости	425
430.	Признаки равномерной сходимости рядов	427
§ 2. Функциональные свойства суммы ряда	430
431.	Непрерывность суммы ряда	430
432.	Замечание о квази-равномерной сходимости	432
433.	Почленный переход к пределу	434
434.	Почленное интегрирование рядов	436
435.	Почленное дифференцирование рядов	438
436.	Точка зрения последовательности	441
437.	Непрерывность суммы степенного ряда	444
438.	Интегрирование и дифференцирование степенных рядов	447
§ 3. Приложения	450
439.	Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход к
пределу
440.	Примеры на почленное интегрирование рядов	457
441.	Примеры на почленное дифференцирование рядов	468
442.	Метод последовательных приближений в теории неявных функций 474
443.	Аналитическое определение тригонометрических функций	477
444.	Пример непрерывной функции без производной	479
§ 4. Дополнительные сведения о степенных рядах	481
445.	Действия над степенными рядами	481
446.	Подстановка ряда в ряд	485
447.	Примеры	487
448.	Деление степенных рядов	492
449.	Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются	494
450.	Решение уравнений рядами	498
451.	Обращение степенного ряда	502
452.	Ряд Лагранжа	505
§ 5. Элементарные функции комплексной переменной	508
453.	Комплексные числа	508
454.	Комплексная варианта и ее предел	511
455.	Функции комплексной переменной	513
456.	Степенные ряды	515
457.	Показательная функция	518

458.	Логарифмическая функция	520
459.	Тригонометрические функции и им обратные	522
460.	Степенная функция	526
461.	Примеры	527
§ 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера—Маклорена 531
462.	Примеры	531
463.	Определения	533
464.	Основные свойства асимптотических разложений	536
465.	Вывод формулы Эйлера—Маклорена	540
466.	Исследование дополнительного члена	542
467.	Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера—Маклорена 544
468.	Другой вид формулы Эйлера—Маклорена	547
469.	Формула и ряд Стерлинга	550
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами	552
470.	Определение интегралов с бесконечными пределами	552
471.	Применение основной формулы интегрального исчисления	554
472.	Примеры	555
473.	Аналогия с рядами. Простейшие теоремы	558
474.	Сходимость интеграла в случае положительной функции	559
475.	Сходимость интеграла в общем случае	561
476.	Признаки Абеля и Дирихле	563
477.	Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду	566
478.	Примеры	569
§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций	577
479.	Определение интегралов от неограниченных функций	577
480.	Замечание относительно особых точек	581
481.	Применение основной формулы интегрального исчисления.	,оп
Примеры
482.	Условия и признаки существования интеграла	584
483.	Примеры	587
484.	Главные значения несобственных интегралов	590
485.	Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов 595
§ 3. Свойства и преобразование несобственных интегралов	597
486.	Простейшие свойства	597

487.	Теоремы о среднем значении	600
488.	Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов	602
489.	Примеры	602
490.	Замена переменных в несобственных интегралах	604
491.	Примеры	605
§ 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов	611
492.	Некоторые замечательные интегралы	611
493.	Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных ,.. ,
сумм. Случай интегралов с конечными пределами
494.	Случай интегралов с бесконечным пределом	617
495.	Интегралы Фруллани	621
496.	Интегралы от рациональных функций между бесконечными
пределами
497.	Смешанные примеры и упражнения	629
§ 5. Приближенное вычисление несобственных интегралов	641
498.	Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей	641
499.	Примеры	642
500.	Замечание по поводу приближенного вычисления собственных
интегралов
501.	Приближенное вычисление несобственных интегралов с	,.„
бесконечным пределом
502.	Использование асимптотических разложений	650
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ
ПАРАМЕТРА
§ 1. Элементарная теория	654
503.	Постановка задачи	654
504.	Равномерное стремление к предельной функции	654
505.	Перестановка двух предельных переходов	657
506.	Предельный переход под знаком интеграла	659
507.	Дифференцирование под знаком интеграла	661
508.	Интегрирование под знаком интеграла	663
509.	Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра	665
510.	Введение множителя, зависящего лишь от х	668
511.	Примеры	669
512.	Гауссово доказательство основной теоремы алгебры	680
§ 2. Равномерная сходимость интегралов	682

513.	Определение равномерной сходимости интегралов	682
514.	Условие равномерной сходимости. Связь с рядами	684
515.	Достаточные признаки равномерной сходимости	684
516.	Другой случай равномерной сходимости	687
517.	Примеры	689
§ 3. Использование равномерной сходимости интегралов	694
518.	Предельный переход под знаком интеграла	694
519.	Примеры	697
520.	Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру 710
521.	Интегрирование интеграла по параметру	714
522.	Применение к вычислению некоторых интегралов	717
523.	Примеры на дифференцирование под знаком интеграла	723
524.	Примеры на интегрирование под знаком интеграла	733
§ 4. Дополнения	743
525.	Лемма Арцела	743
526.	Предельный переход под знаком интеграла	745
527.	Дифференцирование под знаком интеграла	748
528.	Интегрирование под знаком интеграла	749
§ 5. Эйлеровы интегралы	750
529.	Эйлеров интеграл первого рода	750
530.	Эйлеров интеграл второго рода	753
531.	Простейшие свойства функции Г	754
532.	Однозначное определение функции Г ее свойствами	760
533.	Другая функциональная характеристика функции Г	762
534.	Примеры	764
535.	Логарифмическая производная функции Г	770
536.	Теорема умножения для функции Г	772
537.	Некоторые разложения в ряды и произведения	774
538.	Примеры и дополнения	775
539.	Вычисление некоторых определенных интегралов	782
540.	Формула Стерлинга	789
541.	Вычисление эйлеровой постоянной	792
542.	Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г	793
Алфавитный указатель	795
Алфавитный указатель

Абелевы интегралы 84
Абель 290, 292, 527
Абеля лемма 306
-	подстановка 69, 608
-	преобразование 305, 312, 403
-	признак равномерной сходимости
ряда 429
-	- сходимости интеграла 564
-	- - ряда 307
-теорема328, 397, 516
Абеля—Пуассона метод
обобщенного суммирования
рядов 401, 409
Абсолютно интегрируемая функция
563, 586
-	сходящееся произведение 356
-	сходящийся несобственный
интеграл 563, 586
--ряд 296, 356, 513
	переместительное свойство 315,
332, 356, 513
	умножение 321, 513
Адамар 300
Аддитивная функция промежутка
225
Аддитивность объема 203
-	площади 188
Алгебраическая часть интеграла,
выделение 68
Амплитуда 252
Аналитическая функция 449, 450,
491,499,502
Аргумент комплексного числа 510
Арксинус, главное значение 525
-	степенной ряд 458, 467, 503, 526
Арктангенс, главное значение 524
-	степенной ряд 368, 457, 524
Архимедова спираль 175, 199
Арцела433,438,743,745
Асимптотический ряд 534, 650, 793
-	- действия 536
-	- дифференцирование 540, 793
-	- единственность 534
-	- интегрирование 538
-	- потенцирование 538
Астроида 175, 184, 185, 202, 210, 218
Барроу 15
Бернулли Иоганн 95
Бернуллиевы числа 494, 541, 703, 704
Бертрана признак 279
Бесконечно малых элементов
суммирование 221, 228
Бесселевы функции 345, 464, 468,
709, 734
Бесселя дифференциальное
уравнение 468, 675
Бета-функция 750
-	- рекуррентная формула 751
-	- связь с гамма-функцией 755
-	- симметричность 751
Биномиальный дифференциал,
интегрирование 51
-	ряд 372, 452, 468, 487, 526
Био и Савара закон 242, 557
Бонне формула 119
Бореля метод обобщенного
суммирования рядов 411
Буняковского неравенство 153, 590
Валлиса формула 145, 352, 371, 377,
613, 704
Ван-дер-Варден 479
Варианта комплексная 511
-	- предел 511
Вейерштрасс 424, 479, 488
Вейерштрасса формула 362, 473, 775,
778
Вивиани кривая 186, 223
Виета 352
Винтовая линия 186
Вороного методы обобщенного
суммирования рядов 408
Выделение алгебраической части
интеграла 68
-	рациональной части интеграла 44
Вычисление интегралов:

n
- j\n(\-2rcosx+ r2)dx 122, 140,464,
673
n
-	JlnsinjB&611, 616, 726, 785
о
00
-	je'^dx 612, 704, 719, 757
cosbxdx 701, 726
614,621,718,742
706, 721, 729, 740, 741
dx 721, 729, 740
699, 717
ou
0
00
a +x
a +x
—	jsmx2dx,jcosx2dx 721,729
о	о
Вычисление определенных
интегралов,
дифференцирование по
параметру 673, 674, 717, 721,
723, 782
—	интегральные суммы 120, 615,
617
—	интегрирование по параметру
679, 718, 721, 722, 732, 756, 786
—	интегрирование по частям 131,
603, 632, 634, 636
—	искусственные приемы 611, 621,
623
—	основная формула интегрального
исчисления 124, 554, 582
—	подстановка 134, 143, 605, 611,
630,631,764
	предельный переход по
параметру 704, 717, 719, 722,
735,788
	разложение в ряд 457—467, 614,
632, 670, 671, 672, 697, 710
Гамма-функция 361, 753
-	Вейерштрасса формула 362, 775
-	Гаусса формула 772
-	график 755
-	дополнения формула 377, 757
-	Коши формула 771
-	Лежандра формула 760, 774
-	логарифмическая производная 473,
770, 774
-	максимумы и минимумы 755, 780
-	определение ее свойствами 760, 762
-	Раабе интеграл 759
-	распространение 780
-	рекуррентная формула 361, 754
-	Стерлинга формула и ряд 792, 793
-	таблицы логарифмов 793
-	Эйлера произведение 758
-	Эйлера—Гаусса формула 361, 754,
769, 775, 780
Гармонический ряд 263, 267, 270, 289
Гаусс 281, 680, 769
Гаусса признак 280
-	формулы 142, 772
Гаусса—Эйлера формула 361, 754,
769, 775, 780
Гельдера методы обобщенного
суммирования рядов 411
Гипербола 177, 195
Гиперболические подстановки 29
-	функции, сопоставление с
тригонометрическими 196, 523
Гипергеометрический ряд 280, 297,
359, 470, 769
Гипергеометрическое
дифференциальное уравнение
470
Гипоциклоида 185
Главное значение аргумента
комплексного числа 510

-	- арксинуса 525
-	- арктангенса 524
-	- логарифма 525
-	- несобственного интеграла 591, 594
-	- степени 526
Гладкая кривая 192
-	поверхность 204
Гольдбах 338
Гульдина теоремы 229, 232
Даламбера признак 271, 278, 296, 513
Дарбу 97
-	интегралы, верхний и нижний 100
-	- как пределы 106
-	суммы, верхняя и нижняя 97
-	теорема 106
Двойной ряд 333, 452
Декартов лист 200
Дзета-функция 264, 287, 362, 469,
769, 777
Дини290,291,292
-	теорема 431
-	- обобщение 657, 695, 711
Дирихле 290, 754, 769
-	признак сходимости интеграла 564
	равномерной ряда 429
	ряда 307
-	разрывный множитель 633, 640, 741
-ряды 309, 451, 469
-	функция 105, 106, 587
Дифференциальное уравнение 244
-	- Бесселя 469, 675
-	- Гипергеометрическое 470
-	- составление 253
Дифференцирование интеграла по
верхнему (нижнему) пределу
116,600
-	- по параметру (дифференцирование
под знаков интеграла) 661, 666,
669, 710, 749
-	ряда, почленное 447, 517
Длина кривой 169, 171
-	- выражение интегралом 169
	производная 169
-	- пространственной кривой 185
е (число), трансцендентность 146
Ермакова признак 285
Живой силы закон 235
Зайдель 424
Знакопеременный ряд 302
-	- оценка остатка 303
Инерции момент плоской фигуры
241
-	- тела 241
Интегральная сумма 97
-	- верхняя, нижняя 97
Интегральный косинус 83, 566, 639,
652
-	логарифм 83, 593, 650
-	признак Маклорена—Коши 282
-	синус 83, 566, 639, 652, 709
Интегралы, не выражающиеся в
конечном виде 36, 52, 83, 86, 92,
459
Интегрирование биномиальных
дифференциалов 51
-	в конечном виде 36
-	интеграл по параметру
(интегрирование под знаком
интеграла) 663, 669, 714, 749
-	по частям 31, 130, 602
-	подстановкой (путем замены
переменнойJ3,135, 143, 602
-	правила 18
-	простых дробей 37
-	радикальных выражений 50, 51, 56,
66, 529
-	рациональных выражений 43
-	ряда почленное 447, 668, 697, 710
-	тригонометрических и
показательных выражений 74,
83, 529
Интегрируемая функция 97
-	- классы 101
-	- свойства 103
-	- с квадратом 590
Интегрируемость предельной
функции 437, 659

Интерполирование параболическое
156
Канторович 642
Кардиоида 178, 185, 200, 218
Каталана постоянная 168, 460, 734
Квадратура 16
Квадрируемая фигура 187
Квадрируемости условие 187, 189,
191
Квази-равномерная сходимость 433
Кеплера уравнение 509
Кнопп 311
Комплексная варианта 511
-	переменная, функция от нее 513,
519, 520, 522, 526
-	плоскость 509
Комплексное число 508
-	- аргумент 510
-	- вещественная часть 508
-	- действия 508
-	- мнимая часть 508
-	- модуль 508
-	- тригонометрическая форма 510
Конус круговой 208, 239, 240, 241
Корень из комплексного числа 511
Корни из вещественных чисел,
вычисление 383
Косинус, аналитическое определение
477
-	бесконечное произведение 377
-	в комплексной области 523
-	гиперболический, бесконечное
произведение 378
-	- степенной ряд 367
-	степенной ряд 367, 523
-	для логарифма 497
Котангенс, Адамара теорема 300
-	гиперболический, разложение на
простые дроби 473
-	разложение на простые дроби 472
-	степенной ряд 484, 496, 524
Коши 290, 502, 591
-	Гёльдера неравенство для
интегралов 151
	рядов 293
-	Маклорена признак 282
-	признаки 270, 290, 561, 584
-теорема321, 326
-	формула 321
Кратный ряд 350
Кубируемое тело 202
Куммера преобразование рядов 388
-	признак 277
Лагерра (Чебышева) многочлены 604
Лагранжа ряд 504
Ламберта ряд 311, 341
Ландау 310
Ландена преобразование 143
Лаплас 508, 701, 721, 729
Лежандр 92, 677, 703, 750, 753, 794
Лежандра многочлены 138, 148, 491,
508, 530, 671
-	формула 760, 774
-	функции К (к), Е (к) 142, 166, 177,
214, 224, 252, 352, 465, 675, 734,
768
--К(к,<р),Е(к,<р)93, 116, 177
Лейбниц 15, 95, 395
Лейбница и Ньютона теорема 15
-	правило 661
-	теорема 302, 308
Лемниската 178, 200, 219
Лиувилль 92
Лобачевский 614
Лобачевского формулы 634, 672
Логарифм комплексного числа 520
Логарифмическая спираль 176, 184,
185
-	функция в комплексной области 520
-	- степенной ряд 368, 453, 457, 484,
503, 522
Логарифмы, вычисление 381
Мажорантный интеграл 685
-	ряд 427
Мажорантных рядов метод 502
Маклорена—Коши признак 281
Маркова преобразование рядов 392
Маятник математический 250

Мертенса теорема 328
Механическая работа 233
Минковского неравенств 293, 590
Многозначные функции комплексной
переменной 513, 521, 524, 525,
526
Множитель сходимости 718, 722
Моавра формула 374
Модуль комплексного числа 509
-	перехода от натуральных
логарифмов к десятичным 382
-	эллиптического интеграла 93
Момент инерции плоской фигуры,
тела 241
Мэшина формула 380
Направление в промежутке 108
Натуральное уравнение кривой 180
-	- эволюты 185
Натуральный логарифм
комплексного числа 520
Начальное значение величины 14
Начальные условия 14, 244
Неабсолютно сходящееся
произведение 356
-	сходящийся интеграл 563, 565, 569,
586
--ряд 296, 304, 336, 516
Неопределенный интеграл 11
-	- геометрическое истолкование 14
-	- свойства 13
-	- существование 116
-	- таблица 17
Неопределенных коэффициентов
метод 42, 45, 67, 91, 470, 488,
492
Непрерывная функция без
производной 479
Непрерывность интеграла по
параметру 660, 675, 678, 710
-	предельной функции 420, 657
-	суммы ряд 430
-	- степенного ряда 444, 446
-	функции комплексной переменной
513
Неравенства для интегралов 151
-	для рядов 293
Неравномерная сходимость
интеграла 683, 689
-	- последовательности, ряда 429, 446
Неравномерности точки 425, 444
Несобственный интеграл от
неограниченной функции 577,
578
-	- с бесконечным пределом 552, 580
-	- сходящийся, расходящийся 552,
578
	аналогия и связь с рядами 558,
586,713
	признаки сходимости 561, 564,
584
	свойства 597
	условия существования 562, 585
Нечетная функция, интеграл по
симметричному промежутку
138
Неявные функции 474, 498
Ньютон 15, 248, 372
Ньютона—Лейбница теорема 15
-	- формула 124
Обвертывающий ряд 534, 544, 550,
651, 792
Обратные тригонометрические
функции
-	Арксинус и Арктангенс
Обращение степенного ряда 502, 506
Объем тела 202
-	- аддитивность 203
-	- внутренний, внешний 202
-	- вращения 207
-	- выражение интегралом 205
-	- как предел 203
-	- по поперечным сечениям 206, 207
-	- условие существования 203, 204
Определенный интеграл в
собственном смысле 96
-	- вычисление с помощью
интегральных сумм 120
	первообразной 124

-	- свойства 108
-	- схема применения 225
-	- условия существования 100, 105,
107
Ориентированный промежуток 108,
598
Основная последовательность
разбиений промежутка 96
-	теорема алгебры 680
-	формула интегрального исчисления
123, 127, 128, 554, 582
Особая точка функции 577, 580, 581
Особенности выделения при
вычислении интегралов 642,
646
Остаток ряда 260
Остаточное произведение 353
Остроградского метод выделения
рациональной части интеграла
43
-	формула 45
Ось вещественная 509
-	мнимая 509
Оценка остатка ряда 283, 303, 378
Парабола 16, 174, 197, 232, 233
Параметр 654
Первообразная функция 11
-	- восстановление с помощью
определенного интеграла 129,
583
Переместительное свойство
абсолютно сходящегося
произведения 356
	ряда 315, 332, 513
Перестановка двух предельных
переходов 442, 443, 658
Периодическая функция, интеграл по
периоду 138
тт(число), приближенное вычисление
379
Площадь криволинейной трапеции
192
-	как первообразная 16
	предел суммы 94
-	плоской фигуры 187
	аддитивность 188
	внутренняя, внешняя 187
	выражение интегралом 192
-	как предел 188
	условия существования 187, 189,
191
-	поверхности вращения 214
-	цилиндрической поверхности 220
Повторный ряд 330
Подынтегральная функция 12
Подынтегральное выражение 12
Подстановка (замена переменной) 23,
134, 143, 604
-	Абеля 69
-	гиперболическая 29
-	дробно-линейная 70, 87
-	ряда в ряд 485
-	тригонометрическая 29
-	Эйлера 57, 59
Показательная функция в
комплексной области 517
-	- связь с тригонометрическими
функциями 519, 523
-	- степенной ряд 367, 452, 454, 468,
518
Последовательных приближений
метод 474
Почленное дифференцирование ряда
438,517
-	интегрирование ряда 436, 669, 697,
710
-	умножение рядов 321, 328, 333, 407,
456, 513
Почленный переход к пределу 434,
515
Правильная дробь, разложение на
простые 21, 39
Предел интеграла по параметру
(предельный переход под
знаком интеграла) 442, 659, 668,
694, 696, 745, 748
-	функции комплексной переменной
514

Пределы интеграла нижний и
верхний 97
Предельная функция,
дифференцируемость 443
-	- интегрируемость 443, 657
-	- непрерывность 657
Предельный переход в ряде
почленный 434, 515
-	- под знаком интеграла 443, 659,
668, 694, 696, 745, 748
Преобразование рядов по Куммеру
388
-	Маркову 392
-	- - Эйлеру 384
Приближенное вычисление
интегралов несобственных 641,
647, 650
-	собственных 153, 646
Приближенные вычисления с
помощью рядов 378, 388, 390,
459, 460, 466, 650
Приведения формулы для
биномиальных дифференциалов
54
-	интегралов от sinA\nux cosA\mu x
78
-	определенных интегралов 130
Произведение бесконечное 351
-	- абсолютно сходящееся 356
-	- признаки сходимости и
расходимости 354
-	- расходящееся 351
-	-сходящееся 351
-	остаточное 353
-	частичное 351
Производная функции комплексной
переменной 515
Производящая функция для
бесселевых функций 345
	многочленов Лежандра 492, 508
Простые дроби 37
-	- интегрирование 37
-	- разложение правильной дроби 21,
39,42
-	- разложение функций ctg x, cth x, tg
х, х, х, х, l/sinA2, 1/sh, 1/sin, 472,
473
Прямоугольников формула 154
-	- дополнительный член 159
Псевдоэллиптнческие интегралы 86
Пуассон 122, 140, 612
Пуассона—Абеля метод
обобщенного суммирования
рядов 396
Пуассона формула 256
Раабе интеграл 759
-	признак 273, 278
Равномерная сходимость интеграла
682, 687, 688
	признаки 684, 688
	связь с рядами 684, 688
	условие 684, 687
-	- ряда, последовательности 419, 422,
424, 515
	признаки Абеля 429
	Вейерштрасса 427
	Дирихле 429
	условие 425
-	- степенного ряда 444, 446
Равномерное стремление к
предельной функции 654
Разрывный множитель Дирихле 633,
640, 736, 741
Расходящиеся бесконечные
произведения 351
Расходящийся интеграл 552, 578
-	- обобщенное значение 595
-	ряд 258, 333
Расходящихся рядов суммирование,
см. Суммирование рядов
обобщенное
Рационализация подынтегрального
выражения 50, 51, 57, 74, 85
Рациональная функция, интеграл
между бесконечными
пределами 623
-	часть интеграла, выделение 44
Регулярный метод суммирования 395

Решение уравнений рядами 498
Риман 97, 264
Римана теорема 317
Риманова (интегральная) сумма 97
Ряд (бесконечный) 257, 512
-	гармонический 263, 267, 270, 289
-	гипергеометрический 280, 297, 359,
470, 769
-двойной 333, 513
-	знакопеременный 302
-	кратный 350
-	лейбницевского типа 303
-	повторный 330
-	расходящийся 258, 292, 333
-	сходящийся 258, 292, 333, 512
-	- абсолютно 296, 336, 513
-	- неабсолютно 296, 317, 336, 516
-	остаток 260
-сумма258, 333, 512
-	условие сходимости 294
-	частичная сумма степенной, ряд,
также, см, 257, 333, 512
Сапогова признак 291
Симпсона формула 159
-	- дополнительный член 162
Синус, аналитическое определение
477
-	бесконечное произведение 376
-	в комплексной области 523
-	гиперболический, бесконечное
произведение 378
-	- разложение обратной величины на
простые дроби 473
-	- степенной ряд 367
-	разложение обратной величины на
простые дроби 472
-	степенной ряд 367, 454, 522
	для log sin x/x 497
Сочетательное свойство ряда 313,
332
Спрямляемая кривая 169
Сравнения теоремы для
несобственных интегралов 560
-	рядов 264
Среднее значение, теорема 113
	вторая 117,600
	обобщенная 114, 600
	связь с формулой Лагранжа 124
Статический момент кривой 228
-	- плоской фигуры 231
-	- поверхности вращения 240
-	- тела 239
-	- цилиндрической поверхности 240
Степенная функция, главное
значение 526
Степенной ряд 298, 364, 515
--действия 481, 485, 518
--деление 492, 518
-	- дифференцирование 447, 449
-	- единственность 445
-	- интегрирование 447
-	- круг сходимости 515
-	- непрерывность 444, 446
-	- обращение 502, 506, 518
-	- промежуток сходимости 299, 516
-	- радиус сходимости 300, 515
-	- с двумя переменными 346
-	- с несколькими переменными 350
Стильтьес 651
Стерлинг 360
Стерлинга ряд 550, 792
-	формулы 369, 550, 793
Стоке 424
Сумма ряда 257, 333, 512
Суммирование рядов обобщенное
395
	метод Бореля 411
	Вороного 408
	Гельдера411
	Пуассона—Абеля 396
	Чезаро401,409
	Эйлера 416
Сфера (полусфера) 241
Сходимости пограничная абсцисса
309
-	принцип 308, 512
Сходимость бесконечного
произведения, признаки 354

-	- ряда, признаки: Абеля 307,
Бертрана 279, Гаусса 279,
Даламбера 271, 288, 296, 513,
Дирихле 307, Ермакова 285,
Коши 270, Коши—Маклорена
282, Куммера 277, Лейбница
302, 308, Раабе 273, 278,
Сапогова291
	условие 293
-	несобственного интеграла,
признаки 561, 563, 584
	условие 560, 584
Сходящееся бесконечное
произведение 351
Сходящийся бесконечный ряд 258,
292
-	несобственный интеграл 552, 578
Тангенс в комплексной области 523
-	разложение на простые дроби 472
-	степенной ряд 493, 497, 524
Таубера теорема 398,405
Тейлора ряд 364, 449, 450
-	формула 364
-	- дополнительный член 146, 366
Теплица теорема 325
Тождество степенных рядов 445
Тор 230, 233
Торичелли 242
Трактриса 179, 248
Трапеций формула 155
-	- дополнительный член 161
Тригонометрическая форма
комплексного числа 510
Тригонометрические подстановки 29
-	функции, аналитическое
определение 477
-	- в комплексной области 522, см.,
также, Синус, и, т.д.
-	- связь с гиперболическими
функциями 1966, 523
	показательной функцией 519,
523
Улитка 177, 199
Умножение рядов 321, 328, 333, 407,
456, 513
Уникурсальная кривая 85
Френель 721, 729
Фробениус 401
-	теорема 403
Фруллани интегралы 621, 635, 636,
638, 639
Харди 576, 740
Харди—Ландау теорема 403
Центр тяжести кривой 229
-	- плоской фигуры 232
-	- поверхности вращения 240
-	- тела 239
-	- цилиндрической поверхности 240
Цепная линия 174, 184, 195, 209, 217
Циклоида 175, 184, 185, 199, 209, 218,
230, 233
Цилиндрический отрезок 210, 222,
240
Частичная сумма 257, 333, 512
Чебышев 52
Чебышёва—Лагерра многочлены 604
Четная функция, интеграл по
симметричному промежутку
138
Шаровой пояс 217
Шлёмильх 373
Штейнер 339
Штольца теорема 326
Эвольвента круга 175, 183, 185
-	цепной линии 189
Эволюта, натуральное уравнение 185
Эйлер 57, 255, 263, 358, 361, 362, 363,
376, 377, 395, 611, 699, 717, 756,
758, 764, 778
Эйлера метод обобщенного
суммирования рядов 412
-	преобразование рядов 384
-ряд 462, 490, 496, 671
-формулы 519, 527
Эйлера—Гаусса формула 361, 754,
775

Эйлера—Маклорена формула 540,
547
—	дополнительный член 540, 548
Эйлера—Маклорена ряд 543, 549
—	приближенные вычисления 546
Эйлерова постоянная 270, 285, 319,
353, 772, 775, 776, 782, 793
Эйлеровы интегралы первого и
второго рода 750, 753
—	подстановки 57, 59
Эллипс 176, 195, 198, 199, 201, 202,
229, 233
Эллипсоид 209, 211, 212, 219
Эллиптические интегралы 86
-	- в форме Лежзндра 93, 111
-	- 1-го—3-го рода 90
-	- полные 143, 166, 177, 179, 214,
224, 252, 352, 465, 675, 734, 768
Эллиптический синус 252
Эпициклоида 185
Эрмит 146

ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
(НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие
приемы его вычисления
263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла).
Во многих вопросах науки и техники приходится не по заданной функ-
функции искать ее производную, а наоборот - восстанавливать функцию
по известной ее производной. В 91, предполагая известным уравнение
движения s = s(t), т. е. закон изменения пути с течением времени, мы
ds
путем дифференцирования нашли сначала скорость v = -j-, а затем
и ускорение я=-зг • На деле, однако, часто приходится решать обрат-
обратную задачу: ускорение а задано в функции от вре-
времени t: a = a(t), требуется определить скорость си
пройденный путь s в зависимости от/. Таким обра-
образом, здесь оказывается нужным по функции a=a(t) восстановить ту
функцию v = v(t), для которой а является производной, а затем, зная
функцию v, найти ту функцию s = s(t), для которой производной бу-
будет V.
Дадим следующее определение:
Функция F(x) в данном промежутке называется первообраз-
первообразной функцией для функции f(x) или интегралом от f(x), если
во всем этом промежутке f(x) является производной для функции
F(x) или, что то же, f(x)dx служит для F(x) дифференциалом
F'(x)=f{x) или dF{x) = f(x)dx*.
Разыскание для функции всех ее первообразных, называемое ин-
интегрированием ее, и составляет одну из задач интегрального исчисле-
исчисления; как видим, эта задача является обратной основной задаче диф-
дифференциального исчисления.
* В этом случае говорят также, что функция F(x) является первообразной
(или интегралом) для дифференциального выражения fix) dx.

12	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[263
Теорема. Если в некотором {конечном или бесконечном, замкну-
замкнутом или нет) промежутке X функция F{x) есть первообразная для
функции /(*), то и функция F(x) + С, где С - любая постоянная, так-
также будет первообразной. Обратно, каждая функция, первообраз-
первообразная для/(х) в промежутке X, может быть представлена в этой форме.
Доказательство. То обстоятельство, что, наряду с F(x),
и F(x) + C является первообразной для /(х), вполне очевидно, ибо
№	F()
) ]()
Пусть теперь Ф(х) будет любая первообразная для f(x), функ-
функция, так что в промежутке X
Ф'(*) = /(*)•
Так как функции F(x) и Ф(х) в рассматриваемом промежутке имеют
одну и ту же производную, то они разнятся на постоянную [131, след-
следствие]:
Ф
что и требовалось доказать.
Из теоремы следует, что достаточно найти для данной функции
f(x) только одну первообразную функцию F(x), чтобы знать все
первообразные, так как они отличаются друг от друга постоянными
слагаемыми.
В силу этого выражение F(x) + С, где С — произвольная постоян-
постоянная, представляет собой общий вид функции, которая имеет
производную f(x) или дифференциал f(x)dx. Это выражение называется
неопределенным интегралом f(x) и обозначается сим-
символом
\f(x)dx,
в котором неявным образом уже заключена произвольная постоянная.
Произведение f(x)dx называется подинтегральным выра-
выражением, а функция f(x) - подинтегральной функ-
функцией.
Пример. Пусть f(x) - х2; тогда, как нетрудно видеть, неопре-
неопределенный интеграл этой функции будет
х3
C
Это легко проверить обратным действием - дифференцированием.
Обращаем внимание читателя на то, что под знаком «интеграла»
J пишут дифференциал искомой первообразной функции, а не
производную (в нашем примере: х2dx, а не- х2). Такой способ
записи, как будет выяснено ниже [294], создался исторически; к тому
же он предоставляет ряд преимуществ, и его сохранение вполне це-
целесообразно.

263]	§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	13
Из определения неопределенного интеграла непосредственно вы-
вытекают следующие свойства:
1.	d\f(x)dx-^f(x)dx,
т. е. знаки d и\, когда первый помещен перед вторым, взаимно сокра-
сокращаются.
2.	Так как F(x) есть первообразная функция для F'(x), то имеем
ffiA -i С*
что может быть переписано так:
J
Отсюда видим, что знаки d и\, стоящие перед F(x), сокращаются
и тогда, когда d стоит после , но только к F(x) нужно прибавить
произвольную постоянную.
Возвращаясь к той механической задаче, которую мы поставили
вначале, мы можем теперь написать, что
v=
s=\v(t)dt.
Предположим для определенности, что мы имеем дело с равноуско-
равноускоренным движением, например под действием силы тяжести; тогда
a-g (если направление по вертикали вниз считать положительным)
и - как нетрудно сообразить -
Мы получили выражение для скорости о, в которое, кроме вре-
времени t, входит еще и произвольная постоянная С. При различных
значениях С мы будем получать и различные значения для скорости
в один и тот же момент времени; следовательно, имеющихся у нас
данных недостаточно для полного решения задачи. Чтобы получить
вполне определенное решение задачи, достаточно знать величину
скорости в один какой-нибудь момент времени. Например, пусть нам
известно, что в момент t = t0 скорость v=v0; подставим эти значения
в полученное выражение для скорости
v0=gt0 + C,
откуда
C=vo~gto,

14	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[264
и теперь наше решение принимает уже вполне определенный вид
Найдем, далее, выражение для пути s. Имеем
s = J [g(t -' о) + oj dt = \ g(t - tof + vo(t -t0) н С
(дифференцированием легко проверить, что первообразная функция
может быть взята в такой форме). Неизвестную нам новую постоян-
постоянную С" можно определить, если, например, дано, что путь s = s0 в мо-
момент t = t0; найдя, что C' = s0, перепишем решение в окончательном
виде
s = 2Sif-Q2-^ vo(t-to)-i V
Значения t0, s0, v0 условно называются начальными значе-
значениями величин t, s и v.
Мы знаем, что производная функции y = F(x) дает угловой коэф-
коэффициент касательной к соответствующему графику. Поэтому задачу
разыскания первообразной
F(x) для заданной функции
f{x) можно истолковать так:
требуется найти кривую у =
— Fix), для которой имел
бы место заданный закон
изменения углового коэффи-
коэффициента касательной:
tg a =/(*).
Рис.1.	Если y = Fix) есть одна
из таких кривых, то все ос-
остальные могут быть получены из нее простым сдвигом (на произволь-
произвольный отрезок С) параллельно оси у (рис. 1). Для того, чтобы индиви-
индивидуализировать кривую в этом множестве кривых, достаточно, напри-
например, задать точку (х0, j0), через которую кривая должна пройти; н а-
чальное условие yQ = F(x0) + C даст C=yo-F(x0).
264. Интеграл и задача об определении площади. Гораздо важнее
истолкование первообразной функции как площади криволинейной
фигуры. Так как исторически понятие первообразной функции было
теснейшим образом связано с задачей об определении площади, то
мы остановимся на этой задаче уже здесь (пользуясь интуитивным
представлением о площади плоской фигуры и откладывая точную
постановку этого вопроса до главы X).
Пусть дана в промежутке [а, Ь] непрерывная функция y=fix), при-
принимающая лишь положительные (неотрицательные) значения. Рас-

264)
1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
15
я
смотрим фигуру ABCD (рис. 2), ограниченную кривой у = fix), двумя
ординатами х = а и х = Ь и отрезком оси х\ подобную фигуру будем
называть криволинейной трапецией. Желая определить
величину площади Р этой фигуры, мы изучим поведение площади
переменной фигуры AMND, заключенной между начальной ор-
ординатой х = а и ординатой, отвечающей произвольно выбранному
в промежутке [а, Ь] значению х.
При изменении х эта последняя
площадь будет соответственно из-
изменяться, причем каждому х от-
отвечает вполне определенное ее
значение, так что площадь криво-
криволинейной трапеций AMND явля-
является некоторой функцией от х;
обозначим ее через Р(х).
Поставим себе сначала зада-
задачей найти производную
этой функции. С этой целью
придадим х некоторое (скажем, положительное) приращение Ах; тогда
площадь Р(х) получит приращение АР.
Обозначим через т и М, соответственно, наименьшее и наиболь-
наибольшее значения функции f(x) в промежутке [х, х + Ах] [85] и сравним
площадь АР с площадями прямоугольников, построенных на осно-
основании Ах и имеющих высоты т и М. Очевидно,
Рис. 2.
откуда
m Ax<AP<M Ax,
AP
^ Ax "^
Если Ах—О, то, вследствие непрерывности, т и М будут стремиться
к f(x), а тогда и
Таким образом, мы приходим к замечательной теореме (обычно
называемой теоремой Ньютона и Лейбниц а):* производная
от переменной площади Р(х) по конечной абсциссе х равна конечной
ординате у = f(x).
Иными словами, переменная площадь Р(х) представляет собой
первообразную функцию для данной функции у = f(x). В ряду
других первообразных эта первообразная выделяется по тому при-
признаку, что она обращается в 0 при х = а. Поэтому, если известна
* В действительности это предложение - хотя и в другой форме - опублико-
опубликовал еще Барроу (Is. Barrow), учитель Ньютона.

16
ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
B64
какая-либо первообразная F(x) для функции f(x), и по теореме
предыдущего п°
то постоянную С легко определить, положив здесь х = д
О - F(d) I С, так что С= - F(a).
Окончательно
В частности, для получения площади Р всей криволинейной тра-
трапеции ABCD нужно взять х = Ь:
P = F(b)-F(a).
В виде примера, найдем площадь Р{х) фигуры, ограниченной п а-
раболой у = ах2, ординатой, отвечающей данной абсциссе х, и от-
отрезком оси х (рис. 3); так как парабола пересекает ось х в начале коор-
координат, то начальное значение х здесь 0. Для функции /(х) = ах2 легко
найти первообразную: F{x) = ^- . Эта
функция как раз и обращается в 0 при
#=ахг/ x = 0, так что
"	[ср. 32, 4)].
Ввиду той связи, которая существует
между вычислением интегралов и нахож-
'	дением площадей плоских фигур, т. е.
квадратурой их, стало обычным и самое
-*~х вычисление интегралов называть квад-
квадратурой.
Для распространения всего сказанного
выше на случай функции, принимающей
и отрицательные значения, достаточно условиться считать отрица-
отрицательными площади частей фигуры, расположенных под осью х.
Таким образом, какова бы ни была непрерывная в промежутке
[а, Ь] функция f(x), читатель всегда может представить себе перво-
первообразную для нее функцию в виде переменной площади фигуры,
ограниченной графиком данной функции. Однако считать эту геоме-
геометрическую иллюстрацию доказательством существования пер-
первообразной, разумеется, нельзя, поскольку самое понятие площади
еще не обосновано.
В следующей главе [305] мы сможем дать строгое и притом чисто
аналитическое доказательство того важного факта, что каждая не-
0\ х
Рис. 3.

265)	§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	17
прерывная в данном промежутке функция f(x) имеет в нем первооб-
первообразную. Это утверждение мы принимаем уже сейчас.
В настоящей главе мы будем говорить о первообразных лишь для
непрерывных функций. Если функция задана конкретно и имеет точки
разрыва, то рассматривать ее будем лишь в промежутках ее непре-
непрерывности. Поэтому, допустив сформулированное выше утверждение,
мы освобождаемся от необходимости всякий раз оговаривать суще-
существование интегралов: рассматриваемые нами инте-
интегралы все существуют.
265. Таблица основных интегралов. Каждая формула дифферен-
дифференциального исчисления, устанавливающая, что для некоторой функ-
функции F(x) производной будет /(*), непосредственно приводит к соот-
соответствующей формуле интегрального исчисления
Перебрав формулы п° 95, по которым вычислялись производные эле-
элементарных функций, а также некоторые формулы, выведенные даль-
дальше (для гиперболических функций), мы можем теперь составить сле-
следующую таблицу интегралов:
1.	Jo.tfx=C.
2.	Jbtfx=Jtfx=x+C.
4. Jirfx=jf = ln|x|
5-
6 f—L=tfx= f-J^
j l/i-x* J yi-ж2
7.	Ja*tfa- = j2l + C IV <& = «*+С
8.	fsinxrfx= -cosx + G
9.	fcosxrfx = sinx f C.
2 Г. М. Фихтенгольц, т. II

18	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[266
12.	Jshxtfx = chx i С.
13.	Jchxtfx = shxH С.
14.
По поводу формулы 4 сделаем пояснение. Она приложима в любом
промежутке, не содержащем нуля. Действительно, если этот проме-
промежуток лежит вправо от нуля, так что я:>0, то из известной формулы
дифференцирования [1пя:]' = - непосредственно следует
jf=lnx + C.
Если же промежуток лежит влево от нуля и х < 0, то дифференциро-
дифференцированием легко убедиться в том, что [In ( — х)]' = - , откуда
Обе эти формулы и объединены в формуле 4.
Рамки приведенной выше таблицы интегралов раздвигаются при
помощи правил интегрирования.
266. Простейшие правила интегрирования. I. Если а — постоянная
(я^О), то
ja-f(x)dx = a- \f(x)dx.
Действительно, дифференцируя выражение справа, мы получим [105,1]
d[a • J/(x) dx] = a-d[ J f(x
так что это выражение является первообразной для дифференциала
a-f{x) dx, ч. и тр. д. Итак, постоянный множитель можно выносить
из-под знака интеграла.
И. J[Дх)±*С*I dx= J/(x)dx± Jg(x)dx.
Дифференцируем выражение справа [105, II]:
d[ I fix) dx± \g{x) dx] = d\fix) dx+d\gix) dx = [fix)±g(x)] dx;

267]	S 1- ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	19
таким образом, это выражение является первообразной функцией для
последнего дифференциала, ч. и тр. д. Неопределенный интеграл от
суммы {разности) дифференциалов равен сумме {разности) интегра-
интегралов от каждого дифференциала в отдельности.
Замечание. По поводу этих двух формул заметим следующее.
В них входят неопределенные интегралы, содержащие каждый произ-
произвольное постоянное слагаемое. Равенства подобного типа понима-
понимаются в том смысле, что разность между правой и левой частями его
есть постоянная. Можно понимать эти равенства и буквально, но то-
тогда один из фигурирующих в них интегралов перестает быть про-
произвольной первообразной: постоянная в нем устанавливается
после выбора постоянных в других интегралах. Это важное замеча-
замечание следует иметь в виду и впредь.
III. Если
то
[ f{ax + b)dx = -- F(ax + b) + C.
Действительно, данное соотношение равносильно следующему:
-~ F[f) = F{t) =/@-
Но тогда
-у- F(ax+b) = F'(ax + b)-a = a -/(ax + b),
так что
— Г
т. е. - F(ax + b) действительно оказывается первообразной для функ-
функции f(ax + b).
Особенно часто встречаются случаи, когда а = 1 или Ъ = 0:
\ f(x
[На деле правило III есть весьма частный случай правила замены
переменной в неопределенном интеграле, о чем будет речь ниже, 268.]
267. Примеры. Г Fxs - Ъх+5) dx.
Пользуясь правилами II и I (и формулами 3, 2), имеем
fFx2-3;c+5)rf;c= Гбх2<*с- $3xdx+ [sdx =
-6 Гл:2^д:-3 fxd.v + 5 рх=2*з	*2 I 5x + C.

20	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[267
2) Легко проинтегрировать многочлен и в общем виде
Г (а^л + а1хп-1 + ...+an_1x+an)dx =
= Оо \хп dx + at xn~1dx+ ...+an-i \xdx+an \ dx =
"" хп+1+хп++а±х* + ах+С (II, I; 3, 2)
и + 1
3) fBx2 + l)»dx = f(8x6+12x4+&e!+•
8 12
= — хЧ—xs+2x3+x+C.	(пример 2)
4) f(l+yjcLdr=
|
8 —	R — 1
—x*+3x2+—x2H—д:3 + С. (II, I; 3, 2)
r(*+l)(x*-3)	гх'+д;г-3д:-3
5)	dx= 	dx-
J Зл2	J	3*2
з 3 x xaj	3J	3J	J л:
(-11	1
- A:-2dx=-x2+-x-lnx+-+C. (II, I; 3, 2, 4)
J	6 3	x
6-6-
e«
f- ci 6-6-
= \x*dx- x»dx = — xe	x«+C. (II; 3)
Дадим ряд примеров на применение правила III:
7) (а) Г~^~ = 1п |х-в|+С.	(III; 4)
J х-а
(б) Гт-^т-.- f(jc-e)-ft Л =
J (x-a)" J
=-	+С. (III; 3)
(/c-lXx-a)*-1
Г	1
8) (a) sinwxdA:-	cosmx+C,	(HI; 8)
J	/и
(m^O)
f	1
(б)	cos тих dx = — sin ж + С,	(III; 9)
J m
(в)	I e-i>*rfx-=	e-зх ( c.	(IIT; 7)
J	3

2671	§ 1- ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	21
9) (а)	| г^== = - I _ ,	= arcsin -+С.	(III; 6)
r dx 1 I ax i	x
™!*4*~* ~^aarCtg«+C-	(Ш;5)
J1+U
Примеры на все правила:
10) f-	l—^—dx= ("(
J	ex	J
„,}
_е2х_ех+А. + е-х+с. (II, III; 7, 2)
ах -1-6
cx+d
dx.
Разделив числитель на знаменатель, представим подинтегралыгое выражение
в виде
a be-ad I
с с cx+d
Отсюда искомый интеграл равен
с2
\n \cx + d\+C.	(II, I, Ш; 2, 4)
г2х"-Зх+1 г( 6 \
12)	dx= 2х-5Ч	?
Интегрирование дроби со сложным знаменателем часто облегчается разложе-
разложением ее на сумму дробей с более простыми знаменателями. Например,
1	1
.=if_L__L).
хг-аг (x-a)(x+a) 2a\x-a x + al'
поэтому [см. пример 7) (a)]
1 x-a
13)
f
-Ф 2a[J x-a J x+a\ 2а
Для дроби более общего вида
x+a
1
+ С
(х+а)(х+Ь)
можно указать, например, такой прием. Очевидно, (x+a)-(x+b) = a-b. Тогда
имеем тождественно
1	1 {х+а)-{х+Ь) 1/1	1
{x+a){x+b) a-b {x+a)(x+b) a-b \x+b x+a
Таким образом,
dx	I
,„. Г dx	I x+b
И) т—	rln	+С.
+а)(.х+Ь) а-Ь
x+b
х+а

22
ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
1267
В частности,
15) (
Знаменатель следующим образом разлагается на вещественные множители:
A(x-<x)(x-(i), где
-В+ fB*-AC	-В- УЖ^АС
А тогда, согласно примеру 14), полагая в нем а- -@,Ь= -а, получим
dx	1
J:
¦In
+ С.
Некоторые тригонометрические выражения, после тех или иных элементар-
элементарных преобразований, интегрируются также при помощи простейших приемов.
Очевидно, например,
1 + cos 2тх 1 - cos 2mx
cos2 mx =	, sin2 mx =	,
откуда
Г	1	1
17) (a) cos2 mx dx = — x -i	sin 2mx + C,
J	2 Am
F) {sin2mxdx = — x	sin2mx+C.
J	2 Am
Аналогичным образом, имеем
sin mx cos nx = — [sin (in + n) x+sin (m - n) x],
cos mx cos nx=— [cos (m+ri) x + cos (m - n) x],
sin mx sin nx = — [cos (m - n) x -
Считая m±n*Q, получим следующие интегралы:
1
18) (a) Jsi:
F) J
sin mx cos nx dx = - ¦
cosroc cos ил: Ac =
2{m+n)
1
1
-sin
2{m-ri)
1
cos (т-и)д:+С,
-sin(ra- ri)x+C,
2(m+ri)	2{m-ri)
(в) sin mx sin nx dx =	sin (m -n)x	sin (m + и) •*+C.
J	2(m-n)	2(m+n)

268]	§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	23
В заключение рассмотрим немного более сложный пример.
(•sin 2nx
19) (а) —	dx (й-1, 2, 3,...).
J smx
р sin 2nx
(а)/
Так как
л	л
sin 2их = 2 ts'n 2&x - sin Bk - 2) х] = 2 sin x 2 cos B/c - 1) х,
/с=1	4=1
л
то подинтегральное выражение приводится к 2 2 cos B? - 1)х, и искомый
интеграл будет равен
2 2	1-С.
Аналогично
fsinBn + l)A:
sin л:
fsinBn+l);<:	"sin2ytx
(б) 	.	dx=x + 2 2 ., +С.
J sin л:	a-=i 2A:
268. Интегрирование путем замены переменной. Изложим один из
сильнейших приемов для интегрирования функций — метод замены
переменной или подстановки. В основе его лежит сле-
следующее простое замечание:
если известно, что
/ио тогда
а>{х))са'(х) dx = G(co(x)) + С.
[Все фигурирующие здесь функции g(t), oipc), m\x) предполагаются
непрерывными.]
Это прямо вытекает из правила дифференцирования сложной функ-
функции [98]
если учесть, что G'(t)=g(t). Xo же можно выразить и иначе, сказав,
что соотношение
dG(t)=g(t)dt
сохраняет силу и при замене независимой переменной t на функцию
(о(х) [106].
Пусть требуется вычислить интеграл
\f(x)dx.

24	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[268
Во многих случаях удается в качестве новой переменной выбрать
такую функцию от х: t = co(x), чтобы подинтегральное выражение
представилось в виде
(	A)
где g(t) - более удобная для интегрирования функция, чем f(x).
Тогда, по сказанному выше, достаточно найти интеграл
чтобы из него подстановкой t = co(x) получить искомый интеграл.
Обыкновенно пишут просто
B)
подразумевая уже, что в функции от t, которая представлена инте-
интегралом справа, произведена указанная замена.
Найдем, например, интеграл
J sin3 л- cos х dx.
Так как dsinx = cosxdx, то, полагая t = siax, преобразуем подинте-
подинтегральное выражение к виду
sin3 х cos x dx = sin3 x d sin x= t3 dt.
Интеграл от последнего выражения вычисляется легко:
Остается лишь вернуться к переменной х, подставляя sin x вместо V.
Г • 1	j sin4* „
I sur a* cos x ax = —j—h С.
Обращаем внимание читателя на то, что при выборе подстановки
t=co(x), упрощающей подинтегральное выражение, нужно помнить,
что в его составе должен найтись множитель а>'(х) dx, дающий диф-
дифференциал новой переменной, dt [см. A)]. В предыдущем примере
удача подстановки t = sin x обусловливалась наличием множителя
cos xdx = dt.
В этой связи поучителен пример
J sin3 x dx;
здесь подстановка t=sinx была бы непригодна именно ввиду отсут-
отсутствия упомянутого множителя. Если попробовать выделить из под-
интегрального выражения, в качестве дифференциала новой перемен-
переменной, множитель sinxdx иди лучше -sinxdx, то это приведет к под-

268]
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
25
становке t = cos x; так как остающееся выражение
-sin2 х=cos2 x- 1
этой подстановкой упрощается, то подстановка оправдана. Имеем
jsm3xdx^j(t2-l)dt = ~-t + C=^^-cosx + C.
При некотором навыке в производстве подстановки можно самой
переменной t и не писать. Например, в интеграле
sin3 х cos x dx=\ sin3 xdsin x
мысленно рассматривают sin x как новую переменную и сразу
переходят к результату. Аналогично
dx
dx
Подстановка t = - здесь подразумевается.
Читатель видит теперь, что правило III, 266, по существу, сво-
сводится к линейной подстановке t = ax-\b:
Иной раз подстановка применяется в форме, отличной от указан-
указанной. Именно, в подинтегральное выражение f(x) dx непосредственно
подставляют, вместо х, функцию x=(p(t) от новой переменной t и по-
получают в результате выражение
f(<p(t))cpV)dt=g(t)dt.
Очевидно, если в этом выражении произвести подстановку t = co(x),
где (о{х) - функция, обратная для cp(t), то вернемся к исходному под-
интегральному выражению f(x)dx. Поэтому, как и прежде, имеет
место равенство B), где справа, после вычисления интеграла, следует
положить t = co(x).
Для примера найдем интеграл
dx
fx(l+fx)

26	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[268
Если положить x = te (чтобы все корни «извлеклись»), то получим
3
6
Теперь остается перейти к переменной х по формуле t = ylc, и
окончательно
ее
J
Более интересен пример
Разность квадратов под корнем (из которых первый постоянен) под-
подсказывает нам тригонометрическую подстановку x = asmt*. Имеем
У а2-.*2 = a cos t, dx = a cos t dt
и
J fdT^1 dx = a2 J cos2 f fifr.
Но мы уже знаем интеграл
a2 fcos2 t dt = a2 Г^ r+^ sin 2*1 + C
[267, A7) (а)]. Для перехода к л: подставляем t = arc sin -; преобра-
преобразование второго слагаемого облегчается тем, что
я3	1	1 /
-^sm2t=-=asm t-acos г^л'Уа2-*2.
Окончательно
I Yd2 - х2 dx = = xYa2 -x2 + y arcsin - + С.
Уменье разыскивать выгодные подстановки создается упражне-
упражнением. Хотя общих указаний по этому поводу дать нельзя, но отдель-
отдельные частные замечания, облегчающие это разыскивание, читатель
найдет в следующем п°. В канонических случаях подстановки будут
просто указаны в курсе.
* Уместно указать, что х мы считаем изменяющимся между - а и a, a t между
71 Л	X
	и — . Поэтому t = arc sin — .
2 2	а

26J>]	§ t. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	27
/*	{* X (Ix	С X^
269. Примеры. 1) (a) \exxdx, 6) 	, в) 	dx.
J	J i+Xl	J COS2 X3
(а) Решение. Полагая t = x\ имеем dt--=lx dx, так что
d	t Cx*C
J
ex'x dx = -L dt e + C
2 J	2	2
(б) Указание. Та же подстановка. Ответ: — arctgx2+С. В обоих случаях
интегралы имели вид
где g - удобная для интегрирования функция; для таких интегралов естественна
подстановка t=xs. Аналогично интегралы вида
берутся подстановкой t - х3 и т. д. Под последний тип подходит третий интеграл,
(в) Ответ: —tgx3+C.
2)
Решение. Можно положить здесь / = х2; но проще сразу взять и = ссхг+/?,
ибо множитель xdx лишь числовым коэффициентом отличается от du-2ovcdx.
Имеем, таким образом,
3) (а)
Указ
и берутся ]
РУх dx =
fln*
J дг
а н и е. Все
подстановкой
1 Г
2J
(б)
эти
1
2аСв+1)
Г dX (в)
J х\пх
J
интегралы имеют
jgQnx)— = Jg
[ t = In X.
(In
дг1п2х
вид
x)rfln
1
2<x(fi+l)
X
Ответ: (а) — In2 х+С; (б) In In x+С; (в)	h С.
2	\ах
4) Интегралы вида
dx
g(sva x) cos x dx,	g(cos x) sin x dx,	g(tg x) ¦
J	J	J	(
cos2 x
берутся, соответственно, подстановками
t=smx, u = cosx, v^tgx.

28
ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
[269
Например,
г cosxdx с dt
(а) 	:	= г— = arctg/+C = arctgsinx+C;
J l+sm2* J 1 + r8
г	(¦ sin jc	г du
(б)	tgx dx = 	dx= - —= -In Ы+С= -In IcosA-l+C;
J	J cos л:	J и	i i >
du
—
и
' dx
00 J
dx
COS2 X
-J;
dv
A2 sin2 лг-1-.В2 cos2 x J Л2 tg2 *+.B2 J ^2«2+Ба
1	Л»	1
ctg	hC= —
e2x
5) (a) j'^, F) fctgxdr, (в) \-^-dx, (r) f ,
1 e2=c+l	J sin л: cos л:
Решение, (а) Если положить / = л:2+1, то числитель 2х dx дает в точности
dt; интеграл сведется к
Заметим, что всегда, когда предложенный интеграл имеет вид
¦/'(*) rdf(x)
так что в подинтегральном выражении числитель представляет со-
собой дифференциал знаменателя, подстановка t=f(x) сразу при-
приводит к цели
\f(x)\+C.
По этому образцу имеем
г	г dsin х
(б) ctgx dx=	= ln |sin л:| +C [cp. 4) F)];
J	J sin л:
r e2x	1 j-c
J e2x+i X~~2J '
i- dx
(r)
J sin л со
dx
I COS2 X
= ln |tgjc| +C.
: COS x J tg л:
6) Из последнего интеграла легко получаются два полезных интеграла:
Г*	г*
(а)
(б)
dx
dx
COS*
X	X
sin—cos—
2 2
-И)
sin \x+
- = ln
= ln

§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	29
с	Г ,		2	-?
-dx= \ Varctg л; rf arctg д: = — (arctg х)*+С;
г 1 ах г 1 I	1
(в) tg	= - tg-rf — = ln cos	hC
J x .r2 J x x	x
[см. 4) F)].
Дадим теперь несколько примеров интегрирования выражений, содержащих
двучлены вида аг-х2, х'+а* и х*-а2. В этих случаях обычно бывает выгодно
заменить х тригонометрической или гиперболической функ-
функцией от новой переменной t, используя соотношения
1
sinsf+cossr=l, 1-t-tg2 ? = sec2?"
cos21
ch3f-sh2?-l, 1 - th2 / =
ch2/
8) Г dx
adt	a"
Подстановка: x-atgt*, dx =	, х2 + я2=- , так что
cos21	cos2 /
г it If	1
	= — cos2 tdt= — (f+sin rcos/)+C [см. 267, 17) (a)].
x
Перейдем теперь к переменной х, полагая t = arc tg — и выражая sm / и cos t
х	а
через tg t = —. Окончательно
а
С dx	1x1	х
J (л:2+а2J 1ФхгЛ-аг 2а3	а
С dx
9) -=¦
J Y
Здесь удобнее применить гиперболическую подстановку. Останавливаясь для
примера, на нижнем знаке, положим: х = a ch t (при х и / =- 0), dx = a sh t dt, Ух2 - а2 =
= ash/. Интеграл приведется просто к I Л=/+С. Для перехода к х вспомним
выражение обратной для гиперболического косинуса функции [49, 3)]
Г dx	(х ] Г(х Y
= 1п -+ / - -
J }<х*-а* \а У \а)
причем в постоянную С мы включаем и слагаемое - in a.
10) (а) Г dX , (б) f dX , Г- dX .
J (x*+a*)'U	J(x2-a2)V.	J (a2-x2)'h
л л
Причем достаточно предположить / изменяющимся между	и — .

30
ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
[269
В данном случае одинаково просто приводят к цели и тригонометрическая
и гиперболическая подстановки. Для примера, во втором интеграле возьмем
a sin / dt atgtdt
х = asset, dx =	=	, тогда x2 - a2 = a3 tg21 и
cos21 cos t
dx 1 rcostdt 1 1
(x--a~)"' aK) sin2/ e2 sin f	а2 т/ЗГГ
г dx 1 r cos
J (х*~~а~У>' a2.) sin
ID
Подстановка: x = a sin t, dx = a cos / dt приводит этот интеграл к такому [см.
6) (а)]:
Но
так что окончательно
1 г dt 1
a J sin t a
In
+ C.
? 1-cos/ a- l'c2-.\-2
		„ '
2 sin t	x
J;
+ C.
В заключение рассмотрим еще два примера интегрирования путем замены
переменной, где подстановка не столь естественна, как в предыдущих случаях,
но зато быстро ведет к цели.
dx
Положим Yx*+a=t-x и примем t за новую переменную. При возведении
в квадрат, х2 в обеих частях можно опустить, и в результате
так что
Окончательно
¦ =	 ,
It It
(тw,
=	dt.
2t2
Jdx rdt	,	, ,	,
	;= — = ln t\+C = la \х+]Гх2+а\+С.
1/V2 4-W J t
[Cp. 9)]
dx
Положим, д-^acos2
0<:у< —I где <р - новая переменная; тогда
Таким образом,
ал: = 2(jS - a) sin y cos у rfip.
f dr	Г
= 2 d<p =
J Yix-аЮ-х) J

270]	§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	31
270. Интегрирование по частям. Пусть м=/(х) и v=g{x) будут две
функции от х, имеющие непрерывные производные u' = f'(x) и»' =
=g'(x)- Тогда, по правилу дифференцирования произведения, d{uv) =
= udv + v du или и dv = d(uv) - v du. Для выражения d(uv) первообраз-
первообразной, очевидно, будет uv; поэтому имеет место формула
\udv = uv- \vdu.	C)
Эта формула выражает правило интегрирования по
частям. Оно приводит интегрирование выражения и dv = uv' dx к
интегрированию выражения v du = vu' dx.	,
Пусть, например, требуется найти интеграл! xcos x dx. Положим,
и = х, dv = cosxdx, так что du-dx, w = sinx*,
и, по формуле C),
xcosxJx = J х Jsinx = xsin x- sinx dx = xsin x + cosx + C. D)
Таким образом, интегрирование по частям позволило заменить
сложную подинтегральную функцию х cos x на простую sin x. По-
Попутно для получения v пришлось проинтегрировать выражение cos x dx
- отсюда и название: интегрирование по частям.
Применяя формулу C) к вычислению предложенного интеграла,
приходится разбивать подинтегральное выражение на два множителя:
и и dv =»' dx, из которых первый дифференцируется, а второй инте-
интегрируется при переходе к интегралу в правой части. Нужно стараться,
чтобы интегрирование дифференциала dv не представляло трудностей
и чтобы замена и на. du. я dv яа. v ъ совокупности влекла за со-
собой упрощение подинтегрального выражения. Так, в разобранном
примере было бы явно невыгодно взять, скажем, х dx за dv, a cos x
за и.
При некотором навыке нет надобности вводить обозначения и,
v, и можно сразу применять формулу [ср. D)].
Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную
область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы
интегралов, например,
хк lnm х dx, x4 sin bx dx, xk cos bx dx, xk e°x dx и др.,
* Так как для наших целей достаточно представить cos x dx хоть одним спо-
способом в виде dv, то нет надобности писать наиболее общее выражение для », содер-
содержащее произвольную постоянную. Это замечание следует иметь в виду и впредь.

32	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[271
которые вычисляются именно с помощью интегрирования по
частям.
Повторное применение правила интегрирования по частям при-
приводит к так называемой обобщенной формуле интегри-
интегрирования по частям.
Предположим, что функции и и v имеют в рассматриваемом про-
промежутке непрерывные производные всех порядков, до (и f 1)-го вклю-
включительно: и', г/, и", v", ..., z/n\ i?n\ t/n+1>, г^п+3>.
Заменяя в формуле C) v на »<">, будем иметь
J hd("+1) dx = J и ddn) = ш/п> - J ю<") du = мгХ"> - J и' »<"> dx.
Аналогично
J t/n^' <& = t/n'w - J ц("+Щ dx.
Умножая эти равенства поочередно на +1 или на -1 и склады-
складывая их почленно, по уничтожении одинаковых интегралов в правой
и левой частях придем к упомянутой формуле:
E)
Особенно выгодно пользоваться этой формулой, когда одним из
множителей подинтегральной функции служит целый многочлен. Если
и представляет собой многочлен л-й степени, то ы<п+1> тождественно
равно нулю, и для интеграла в левой части получается окончательное
выражение.
Перейдем к примерам.
271. Примеры. 1) I x8 In x dx.
Дифференцирование In x приводит к упрощению, поэтому полагаем
dx	1
и = In х, dv = x3 dx, так что du = — , v = — xl
x	4
du =
1
	X1.
4
dx
x '
Чп x
V
1

16
f xs\r\xdx = -x4nx	| x3
J	4	4J
2) (a) lnxdx, F) \arctgxdx, (в) arcsinxcfc,

' 271]	§ 1- ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	33
Принимая во всех случаях dx-dv, получим
(а)	Inхdx = xIn x- I xd\TLX = x\TLX- dx = x(lnx-\) + C;
(б)	arctgxdx = x arctgx- \xdarctgx =
r x 1
=г* arctg х- - — dx = xarctgx	In(x2+1)+C [см. 269, 5) (a)];
J X -j- 1	^
в) j arcsin x dx = х arcsin л: - J xrf arcsin x =
г xrfr
=.v arcsin x - -	= x arcsin x+}ll-x2 + С [см. 269,2)].
J /b^
3)	Г x2 sin ж dr.
Имеем
xsrf(-cosx)= -л:2 cos л:- (-cosx) «bca= -x2cosa- + 2 x cos л; dr.
Таким образом, мы привели искомый интеграл к уже известному [270 D)]; подстав-
подставляя его значение, получим
x2smxdx= -x2cosx+2(xsinx+cosx) + C.
В общей сложности здесь правило интегрирования по частям пришлось при-
применить двукратно.
Так же, повторным применением этого правила, вычисляются интегралы
Г Р(х)е°* dx, Г Р(х) sin Ьх dx, Г Р(х) cos bx dx,
где Р(х) — целый относительно х многочлен.
4)	Если воспользоваться обобщенной формулой интегрирования по частям,
то можно получить сразу общие выражения для интегралов этого вида.
Полагая v(n+v>=eaxt будем иметь
(ОХ	еах	еах
гХ")= —, f)(n-l)=— е(л-2)=— и т. д.
а	аъ	аа
Поэтому, считая Р(х) многочленом и-й степени, по формуле E) получим
Г	ГР Р' Р"	1
P(x)e<>xdx = eax	+	... +С.
J	La а2 я3	J
Аналогично, если взять t<n+i) = sin bx, то
cos bx	sin bx	cos bx
я(п)=	_	?Xn-l)=	г<"-2)=	 и т. д.
Ь	Ъ*	Ь3
Отсюда формула
г \Р' Р'" Л [Р Р"	1
P(x)smbx dx = sinbx- —	 + ... \-cosbx •	i"+••• +С-
3 Г. М. Фихтенгольц, т. II

34	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[271
Подобным же образом устанавливается и формула
[Р Р" I	\Р' Р'"
ь+cos Ъх
г	[Р Р" I	\Р' Р'"	л
Р[х) cos bxdx = %mbx • -	ь... +cos Ъх •	1	+С.
J	lb Ь3 1	Ш б4	J
х3 In2 х dx. Имеем
с	х* 1	1 г	1	1 г
\n*xd — = -x* In2*-- x4rfln2x = -x4ln2 х-- x3lnxdx,
J	44	4J	4	2 J
и мы свели дело к интегралу 1). Окончательно
-хЧп*х	(-х* In х	x4j+C = -x4(ln2x	in*+
Так, последовательно, вычисляется интеграл
[xk\nmxdx,
где к — любое вещественное число (к* -1), а т-1, 2, 3, ... Если применить к
этому интегралу формулу интегрирования по частям, положив и=Ытх, то получим
рекуррентную формулу
г	1	tn с
хк\пт х dx=	хк+Чптх	хкlnm-iхdx,
J	k+\	k+li
по которой вычисление рассматриваемого интеграла сводится к вычислению
интеграла такого же типа, но с меньшим на единицу показателем при In x.
Впрочем, подстановка f = lnx приводит рассматриваемый интеграл к виду
tmeQi+\)t d(t уже изученному в 3) и 4).
6) Любопытный пример представляют интегралы
еах cos bx dx,	eax sin bx dx.
J	J
Если к ним применить интегрирование по частям (в обоих случаях взяв, скажем,
dv = eaxdx, v = — eaX), то получим
а
С	1	b С
еах cos bxdx= — eax cos bx ч— е0* sin bx dx,
J	a	a J
e^sinbx dx= — eax sin bx	е0* cos bx dx.
j	a	a j
Таким образом, каждый из этих интегралов оказался выражением через другой *.
* Если под интегралами разуметь определенные первообразные [ср.
замечание в 266], то, желая во второй формуле иметь те же функции, что и в первой,
мы, строго говоря, должны были справа присоединить еще некоторую постоян-
постоянную. Конечно, она была бы поглощена постоянными С и С в окончательных
выражениях.

271]	§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ	35
Однако если в первую формулу подставить выражение второго интеграла
из второй формулы, то придем к уравнению относительно первого интеграла,
из которого он и определится:
,~ b sin bx+a cos bx
eax cos bx dx =	—	eax+C.
Аналогично находим и второй интеграл
г
J
asmbx-b cos bx
еах sin bx dx ¦¦	eax f C".
? b*
7) В качестве последнего примера применения метода интегрирования по
частям выведем рекуррентную формулу для вычисления интеграла
С dx
Jn=	„_ (и=1, 2, 3, ...)•
Применим к нему формулу C), полагая
1	2пх ¦ dx
, dv = dx, так что du= --
Мы получим
X	С	X*
Jn =	Ь 2п 	dx.
(ха+аг)" J (д:2+й2)"+1
Последний интеграл можно преобразовать следующим образом:
г х2	г(х2 + а-)-а2	г dx	r dx
J	J	J
г(х2 + а-)-а2	г dx	r
*~ J (xi+d')n+1~ X ~ J (x* + a*)n °J
""
Подставляя это выражение в предыдущее равенство, придем к соотношению
откуда
1	х	2л-1 1
Полученная формула сводит вычисление интеграла Jn+i к вычислению интег-
интеграла Jn с меньшим на единицу значком. Зная интеграл
1	х
/, = —arctg—
а а
[267, 9) (б); мы берем одно из его значений], по этой формуле, при и = 1 найдем
1x1	х
J, =	1	arctg — ,
' 2a2x2 + a2 2а3	а
3*

36	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[272
[что мы выше получили другим путем, см. 269, 8)]. Полагая в формуле F) п = 2,
мы получим далее
\ х	3	1 х	3 х 3	х
3~4^B2J+4 2" 4^
а2J + 8а* х2 + а2 + 8
и т. д. Таким образом можно вычислить интеграл Jn для любого натурального
показателя и.
§ 2. Интегрирование рациональных выражений
272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде. Мы по-
познакомились с элементарными приемами вычисления неопределен-
неопределенных интегралов. Эти приемы не предопределяют точно пути, по ко-
которому надлежит идти, чтобы вычислить данный интеграл, предо-
предоставляя многое искусству вычислителя. В этом и следующих пара-
параграфах мы остановимся подробнее на некоторых важных классах
функций и по отношению к их интегралам установим вполне опре-
определенный порядок вычислений.
Теперь выясним, что именно нас будет интересовать при инте-
интегрировании функций упомянутых классов и по какому принципу будет
произведено самое их выделение.
В 51 было охарактеризовано то многообразие функций, к кото-
которым в первую очередь применяется анализ; это - так называемые
элементарные функции и функции, которые выражаются через эле-
элементарные с помощью конечного числа арифметических дей-
действий и суперпозиций (без предельного перехода).
В главе III мы видели, что все такие функции дифференцируемы
и их производные принадлежат к тому же многообразию. Иначе об-
обстоит дело с их интегралами: очень часто оказывается, что интеграл
от функции, принадлежащей упомянутому классу, сам этому классу
не принадлежит, т. е. не выражается через элементарные функции с
помощью конечного числа названных выше операций. К
числу таких заведомо невыражающихся в конечном
виде интегралов относятся, например,
I е~х' dx, J sin х2 dx, J cos x2 dx,
psinx ,	fcos;t ,	r dx
j — ax, j — dx, j ^;
другие примеры подобного рода будут приведены ниже [280, 289.
290 и ел.].
Важно подчеркнуть, что все эти интегралы реально суще-
существуют *, но они лишь представляют собой совершенно н о-
* См. сказанное по этому поводу в 264. Мы вернемся к этому ниже, в 305.

273J	§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	37
вые функции и не приводятся к тем функциям, которые мы назвали
элементарными *.
Известны сравнительно немногие общие классы функций, для ко-
которых интегрирование может быть выполнено в конечном виде; этими
классами мы ближайшим образом и займемся. На первом месте среди
них надлежит поставить важный класс рациональных функ-
функций.
273. Простые дроби и их интегрирование. Так как из неправильной
рациональной дроби можно исключить целую часть, интегрирование
которой не представляет трудностей, то достаточно заняться интегри-
интегрированием правильных дробей (у которых степень числителя
ниже степени знаменателя).
Из них мы остановимся здесь на так называемых простых
дробях; это будут дроби следующих четырех типов:
т А	тт А	ттт Mx+N	TV Mx+N
х-а'	{x-d)k'	x*+px + q' Y- (x*+px+q)™ '
(k=2,3,...)	(m=2, 3,...)
где A, M, N, a, p, q - вещественные числа; кроме того, по отношению
к дробям вида III и IV предполагается, что трехчлен x2+px + q не
имеет вещественных корней, так что
^--<7<0 или #-^г=~0.
Дроби вида I и II мы уже умеем интегрировать [267, 7)]
dx
	±__
-а)Ь к-\ (х-а)к-1
Что же касается дробей вида III и IV, то их интегрирование об-
облегчается следующей подстановкой. Выделим из выражения x2+px + q
полный квадрат двучлена
* Для того чтобы помочь читателю освоиться с этим фактом, напомним ему,
что интегралы
dx	r dx
J 1+Х2
от рациональных функций сами уже не являются рациональными функ-
функциями. Таким образом, если бы для нас «элементарными» были лишь рацио-
рациональные функции, то уже названные интегралы от «элементарных» функций не
выражались бы через «элементарные» функции, представляя собой «неэлементар-
«неэлементарные» функции новой природы: In л: и arctgx!

38	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[274
Последнее выражение в скобках, по предположению, есть число поло-
положительное, его можно положить равным а2, если взять
Теперь прибегнем к подстановке
x+^ = t, dx = dt,
Mx+N=Mt+iN~-~A.
В случае III будем иметь
Mx+N j.. |	i 2 j ^ Mr 2tdt . („_Mp\ r dt
2
или, возвращаясь к х и подставляя вместо с его значение:
dx = ^r ln(^2 + p^ + fir) + —	-arctg-
J
Для случая IV та же подстановка даст
Mx+N
Мр\ Г
2 J J
Первый из интегралов справа легко вычисляется подстановкой
um m-lu"*	^)
Второй же из интегралов справа, при любом т, может быть вычис-
вычислен по рекуррентной формуле F) п° 271. Затем останется лишь по-
2х+р	_
ложить в результате t = —-=—, чтобы вернуться к переменной х.
Этим исчерпывается вопрос об интегрировании простых дробей.
274. Разложение правильных дробей на простые. Остановимся теперь
на одной теореме из области алгебры, которая, однако, имеет фун-

274]	§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	39
даментальное значение в теории интегрирования рациональных дро-
дробей: каждая правильная дробь
Q(x)
может быть представлена в виде суммы конечного числа простых
дробей.
Это разложение правильной дроби на простые дроби теснейшим
образом связано с разложением ее знаменателя Q(x) на простые мно-
множители. Как известно, каждый целый многочлен с вещественными
коэффициентами разлагается (и притом единственным образом) на
вещественные же множители типа х — а и x2+px + q; при этом квад-
квадратичные множители предполагаются не имеющими вещественных
корней и, следовательно, неразложимыми на вещественные линейные
множители. Объединяя одинаковые множители (если таковые име-
имеются) и полагая, для простоты, старший коэффициент многочлена
Q(x) равным единице, можно записать разложение этого многочлена
схематически в виде
О(х) = (х-аУ ...W+px+qT ...,	О)
где к, ..., т, ... суть натуральные. числа.
Заметим, что если степень многочлена Q есть п, то, очевидно,
сумма всех показателей к, сложенная с удвоенной суммой всех
показателей т, в точности даст л:
Zk + 2Zm = n.	D)
Для доказательства теоремы установим предварительно следую-
следующие два вспомогательных предложения:
1°. Рассмотрим какой-нибудь линейный множитель х-а, входя-
входящий в разложение знаменателя с показателем &з*1, так что
G(*)=(*-«)*&(*),
где многочлен Qx уже на х-а не делится. Тогда данная правильная
дробь
Р(х) ___ Р(х)
Q{x) {х-а)Шх)
может быть представлена в виде суммы правильных дробей*
A	Pt(x)
из которых первая является простой, а знаменатель второй со-
содержит множитель х-а в более низкой степени, чем раньше.
* Буквы Р, Q (с различными указателями) обозначают здесь целые многочлены,
а буквы А, М, N — постоянные числа.

40	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[274
Для доказательства достаточно подобрать число А и многочлен
Рх(х) так, чтобы выполнялось тождество
Определим сначала А так, чтобы левая часть делилась на х-а,
для чего достаточно (по известной теореме Б е з у), чтобы ее зна-
значение при х = а было нулем; это приводит к следующему выражению
для А:
Л
Оно имеет смысл именно потому, что (также по теореме Б е з у)
Qx(a) т* 0. При указанном выборе А многочлен Р1 определится просто
как частное.
2°. Пусть теперь x2+px + q будет какой-нибудь из квадратичных
множителей, входящий в разложение знаменателя с показателем т.» 1,
так что на этот раз можно положить
где многочлен Qx на трехчлен x2+px + q не делится. Тогда данная
правильная дробь
Р(х)	Р(х)
может быть представлена в виде суммы правильных дробей
Mx+N	Pt(x)
из которых первая уже будет простой, а вторая содержит в зна-
знаменателе упомянутый трехчлен снова - в низшей степени.
Для доказательства достаточно подобрать' числа М, N и много-
многочлен Рх(х) так, чтобы имело место тождество
Определим М и N так, чтобы на этот раз левая часть делилась
на квадратный трехчлен x2+px + q. Пусть остатками от деления Р
и Qx на этот трехчлен будут, соответственно, хх+(} и ух+д. Тогда
вопрос сведется к тому, чтобы на x^+px + q делилось выражение
olx+/3 - (Мх + N)(yx + д) = - уМх2 + (а - дМ - yN)x + (/3 - dN).
Выполнив здесь деление, на самом деле, в остатке будем иметь
[(ру - S)M-yN+x]x+ [qyM-
Мы должны приравнять нулю оба эти коэффициента и, таким обра-
образом, для определения М и 2V получим систему из двух линейных

274]	§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	41
уравнений; ее определитель
ру-ь -у =b^PYb+qf
ЧУ -<5
отличен от нуля. Действительно, при у ^ О его можно написать в виде
но выражение в квадратных скобках есть значение нашего трехчлена
x2+px + q в точке х= — и, следовательно, не может быть нулем,
ибо трехчлен этот не имеет вещественных корней. При у = 0 опре-
определитель сведется к <52, а в этом случае д заведомо не нуль, поскольку
многочлен 2i на x2+px+q не делится.
Установив указанным путем значения М i&N, многочлен Рг и здесь
также определим без труда как частное.
Обратимся теперь к доказательству высказанной вначале теоремы.
Оно сведется к повторному применению предложений 1° и 2°, кото-
которые обеспечивают возможность последовательного выделения про-
простых дробей из данной правильной дроби, вплоть до ее исчер-
исчерпания.
Если множитель х-а входит в Q лишь в первой степени, то, в силу
1° (при к = 1), мы поставим ему в соответствие единственную про-
простую дробь вида
А
х-а
В случае же, если показатель степени х — а есть к>\, то, выделив,
на основании 1°, простую дробь
Ак
(х-а)*'
мы к оставшейся дроби снова применим 1°, выделим простую
дробь
(х-я)*-1'
и т. д., пока множитель х — а вовсе не исчезнет из разложения знаме-
знаменателя. Таким образом, в рассматриваемом случае множителю
(х-а)к (к> 1) будет отвечать группа нз к простых дробей
Такое же рассуждение мы поочередно применим и к каждому из
оставшихся еще линейных множителей, пока знаменатель не исчер-
исчерпается или в его разложении не останутся одни лишь квадратичные
множители.

42	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[275
Аналогично этому, пользуясь 2°, квадратичному множителю
х2 +рх + q мы поставим в соответствие одну лишь простую дробь
вида
Mx+N
x*+px+q '
если он входит в первой степени, и группу из т простых дро-
дробей
M2x+N2	Mmx+Nm	. „
x*+px+q + (x*+px+qY+ '	(x*+px+q)™ '	W
если этот множитель входит с показателем т>1.
То же можно сделать и с прочими квадратичными множителями,
если они еще имеются; этим и завершается доказательство теоремы.
275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дро-
дробей. Таким образом, зная разложение C), мы тем самым знаем зна-
знаменатели тех простых дробей, на которые разлагается данная
дробь гг. Остановимся на вопросе об определении числителей,
т. е. коэффициентов А, М, N. Так как числители группы дробей E)
содержат к коэффициентов, а числители группы дробей F) 2т коэф-
коэффициентов, то ввиду D) всего их будет я.
Для определения упомянутых коэффициентов обычно прибегают
к методу неопределенных коэффициентов, который
Р
состоит в следующем. Зная форму разложения дроби ^, пишут
его с буквенными коэффициентами в числителях справа.
Общим знаменателем всех простых дробей, очевидно, будет Q; скла-
складывая их, получим правильную дробь *. Если отбросить теперь слева
и справа знаменатель Q, то придем к равенству двух многочленов
(л - 1)-й степени, тождественному относительно х. Коэффициентами
при различных степенях многочлена справа будут линейные одно-
однородные многочлены относительно л коэффициентов, обозначенных
буквами; приравнивая их соответствующим численным коэффициен-
коэффициентам многочлена Р, получим, наконец, систему п линейных уравнений,
из которых буквенные коэффициенты и определятся. Ввиду того, что
возможность разложения на простые дроби наперед установлена,
упомянутая система никогда не может оказаться противоре-
противоречивой.
Больше того, так как упомянутая система уравнений имеет реше-
решение, каков бы ни был набор свободных членов (коэффициентов много-
многочлена Р), то ее определитель необходимо будет отличен от нуля.
Иными словами, система всегда оказывается определенной.
Это простое замечание попутно доказывает и единственность
* Сумма правильных рациональных дробей всегда представляет собой пра-
правильную же дробь.

276]	§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	43
разложения правильной дроби на простые дроби. Поясним сказанное
примером.
2х+2дг+13
Пусть дана дробь 	¦—	. Согласно общей теореме, для нее имеется
(х-2)(д:2 + 1J
разложение
2хЧ-2х+13 А Вх+С Dx+E
Коэффициенты А, В, С, D, Е определим, исходя из тождества
2х2 + 2х +13 = А(х* +IJ + {Вх+О(дг2 + 1)(* - 2) + фх + Е)(х - 2).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, придем
к системе из пяти уравнений
откуда
А = \,
Окончательно
X"
X3
X3
X1
х°
В=-
2х* + Ъ
-2В+С = 0,
2A+B-2C+D = 2,
-2B+C-2D+E=2,
А-2С-2Е=13,
-1, С=-2, Z)=-3,
-+13 1 х + 2 Зх+4
Е= -4.
(х-2)(х2 + 1J х-2
Алгебраический факт, который мы только что установили, имеет
непосредственное применение к интегрированию рацио-
рациона льных дробей. Как мы видели в 273, простые дроби инте-
интегрируются в конечном виде. Теперь мы то же можем сказать о любой
рациональной дроби. Если всмотреться в те функции, через которые
выражаются интегралы от целого многочлена и от правильных дро-
дробей, то можно сформулировать более точный результат:
Интеграл от любой рациональной функции выражается в конечном
виде - с помощью рациональной же функции, логарифма и арктан-
арктангенса.
Например, возвращаясь к только что рассмотренному примеру и вспоминая
формулы п° 273, имеем
г 2х2+2х+13 ,
\(х-:	dx=
,- dx rx + 2	г Зх + 4	1 3-4* 1 (х-2J
=	ах- 	dx=	1—In—	4arctgx+C.
J x-2 J *2+l J (*2 + lJ 2jc2 + 1 2 x2 + l
276. Выделение рациональной части интеграла. Существует прием,
принадлежащий М. В. Остроградскому, с помощью кото-
которого нахождение интеграла от правильной рациональной дроби зна-
значительно упрощается. Этот прием позволяет чисто алгебраиче-
алгебраическим путем выделить рациональную часть интеграла.

44	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	1276
Мы видели [273], что рациональные члены в составе интеграла
получаются при интегрировании простых дробей вида II и IV. В пер-
первом случае интеграл сразу можно написать
Установим теперь, какой вид имеет рациональная часть интеграла
Прибегнув к знакомой уже нам подстановке x+^ = t, используем
равенства A), B) и формулу приведения F) п° 271 при п = т- 1. Если
вернуться к переменной х, то получим
г Mx+N ,	M'x+N'	г	dx
где М', N' и a означают некоторые постоянные коэффициенты. По
этой же формуле, заменяя т на т — 1, для последнего интеграла най-
найдем (если т=-2)
С	a dx	M"x+N" о с	dx
и т. д., пока не сведем показатель трехчлена x2+px + q в интеграле
справа к единице. Все последовательно выделяемые рациональные
члены суть правильные дроби. Объединяя их вместе, получим резуль-
результат вида
г Mx+N ,	R(x)	. г dx
J (рс*+рх+ЯУ""л (x*+px+q)m-^ J x*+px+q '	W
где R{x) — целый многочлен, степени низшей, чем знаменатель *, а
А - постоянная.
Р
Пусть имеем правильную дробь ^, которую будем предполагать
несократимой, и пусть знаменатель ее Q разложен на простые мно-
множители [см. C)]. Тогда интеграл от этой дроби представится в виде
суммы интегралов от дробей вида E) или F). Если к (или т) больше
единицы, то интегралы всех дробей группы E) [или F)], кроме пер-
первой, преобразуются по формуле G) [или (8)]. Объединяя все эти ре-
результаты, окончательно придем к формуле вида
M	(9)
* См. сноску на стр. 42.

276]	§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	45
Р,
Рациональная часть интеграла ^ получена от сложения выделенных
выше рациональных частей; следовательно, прежде всего она является
правильной дробью, а ее знаменатель Qx имеет разложе-
разложение
Qx{x) ^{x-af-1... (х2 +рх + q)'1...
Что же касается дроби -^ , оставшейся под знаком интеграла, то она
получилась от сложения дробей видаI и III, так что она также пра-
правильная и
Q2(x) = (x-a).. \x2+px+q)...
Очевидно [см. C)], 6 = 6162-
Формула (9) и называется формулой Остроградского.
Дифференцируя, можно представить ее в равносильной форме
Р tP л> Р
Ий +й •	A0)
Мы видели, что многочлены Qx и Q2 легко находятся, если из-
известно разложение C) многочлена Q. Но они могут быть определены
и без этого разложения. Действительно, так как производная Q' со-
содержит все простые множители, на которые разлагается Q, именно
с показателями на единицу меньшими, то Qx является наибольшим
общим делителем Q и Q', так что может быть определено по этим
многочленам, например, по способу последовательного деления. Если
6i известно, то 6г определится простым делением Q на Qx.
Обратимся к определению числителей Рх и Р2 в формуле A0). Для
этого также пользуемся методом неопределенных коэф-
коэффициентов.
Обозначим через п, пх, и2, соответственно, степени многочленов Q,
6i> 62» так что Л1 + Иг = и; тогда степени многочленов Р, Рх, Рг будут
не выше и -1, пх-\, щ-Х. Подставим в качестве Рх и Рг многочлены
степеней ^-Ih^-Ic буквенными коэффициентами;
всего этих коэффициентов будет пх + щ, то есть п. Выполним в A0)
дифференцирование
Q\	йг Q '
Покажем теперь, что первую дробь всегда можно привести
к знаменателю Q, сохраняя целым числитель. Именно
р'о r Q'lQ*
Q\	"	Q1Q2	Q

46	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[276
если Н означает частное Ц^. Но это частное можно представить
в виде целого многочлена. Действительно, если (х — а)к, при кз*1,
входит в состав Qx, то {х-а)к~х войдет в Qi,a. х-аъ состав Q2; такое
же заключение можно сделать и о множителе вида (х2 +рх + q)m при
/яэ»1. Следовательно, числитель Н нацело делится на знамена-
знаменатель, и впредь под Н можно разуметь целый многочлен (степени
«2-1).
Освобождаясь от общего знаменателя Q, придем к тождеству двух
многочленов (степени п - 1)
Отсюда, как и выше, для определения п введенных буквенных ко-
коэффициентов получим систему из п линейных уравнений.
Так как возможность разложения A0) установлена, каково бы ни
было Р, то упомянутая система должна быть совместной при
любых свободных членах. Отсюда само собой вытекает, что опре-
определитель ее отличен от нуля, а значит - система необходимо ока-
оказывается определенной, и разложение A0) - при указанных
знаменателях Q1 a Q2 - возможно лишь единственным обра-
образом*.
Пример. Пусть требуется выделить рациональную часть интеграла
С 4xi+4х3 + 16лг2 + 12х+8
	dx.
J (х+1J(л:2+1J
Имеем
4д:Н4л3+16д:2+12х:+8 f ах^+Ьх+с Т*
х3+хг+х+\
откуда
= Bах+Ь)(х3+х*+х+1) - (ах*+Ьх+с)Cх"+2х+1)+(dx2+ex+f)(x* 4-ха+х +1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях,
получим систему уравнений, из которых и определятся неизвестные а, Ь, ...,/:
d=0 (в последующем уже d в расчет не берем),
х*
-2b+e+f=4,
a-b-3c+e+f=16, e=-l, b=l, с=-4,
2а-2с+е+/=12, </=0, е = 3, /=3,
х°
* Ср. аналогичное замечание по поводу разложения правильной дроби на
простые дроби, стр. 42.

277J	§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ	47
Итак, искомый интеграл
dx-
x*-x+4	r dx	x2-x+4
г+3 \;тт= --.—;	—+3arctgx+C.
В этом примере вычисление последнего интеграла легко было произвести сразу.
В других случаях приходится снова разлагать на простые дроби. Можно, впрочем,
и этот процесс объединить с предыдущим.
277. Примеры. Приведем дальнейшие примеры на интегрирование рациональ-
рациональных функций.
Разложение на простые дроби здесь достигается путем незамысловатых пре-
преобразований:
1	(\+х*)-х°-	1	1
A+х2J
-x2 1	1 1
1 1 х 3
Ответ:	¦	arc tg x + С.
х 2 1+х* 2
г 4* + 4х11
2) 	dx.
J B*-l)B*+3)Bx-5)
Имеем
1 И
Bx-l)B«+3)Bx-5)
откуда следует тождество
ABC
	- +	; ,
f l)( 3W 5\	1	3	5
\х	л:Н—\\х	х	х-\— х
{ 2){ 2){ 2)	2	2	2
Вместо того чтобы приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях
х слева и справа, можно поступить иначе. Положим в этом тождестве последо-
13 5 113
вательно х = — , - — , —; сразу получим А= — , Б=	, С= — (ибовсякий раз
2 2 2	4	8	8
справа останется лишь одно слагаемое).

48
ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
[277
1
Ответ: —In
4
1
1
	In
8
3
X+12
3
5
X~2
+ C
iln
3)
dx
+С *.
Так как
то разложение ищем в виде
1
Ах + Б
Cx+D
Из тождества
1 =(Ax+B) {x*-xf2+\) + {Cx + D) I
получаем систему уравнений
x3
откуда
Таким образом,
Г dx
А= -С=
1 Г X+V2	1 Г х
2^2 J x*+xfi+\	2]/'2 J x*-
-V2
arctg
_ arctg
4f2 x2-xy2+l 2]/2	' ' 2]/2
Использовав формулу сложения для арктангенсов [50], можно этот результат
представить и в такой форме:
1 , х'+х ]/2+1 1 х]/2
—г In	Ц;	1	 arctg—'	\-С .
Нужно заметить, однако, что это выражение годится лишь отдельно для
промежутков (-~, -1), (-1, 1), A, +«•), ибо в точках х= ±1 оно теряет смысл.
Постоянная С для этих промежутков, соответственно, равна
С—
С, С+-
2]/2	2]/2
Скачкообразное изменение постоянной компенсирует разрывы самой функции
при х= ± 1.
4)
'2л*-4х3+24х2-40д:+20
¦dx.
1
* Очевидно, постоянная С разнится от постоянной С на	In 2.

277]	§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Прибегнем к выделению рациональной части интеграла. Имеем
49
Таким образом,
2x4-4x3+24x2-40x+20 r
I
fx+g
J + х^Т + x2
причем мы заодно уже разлагаем на простые дроби то выражение, которое еще
подлежит интегрированию (после выделения рациональной части интеграла).
Тождество
(х -1) -
2 - 40х+20 = (
-(ax*+bx*+cx+d)- 2Bдг-2) (*-
приводит к системе уравнений:
откуда
Xе
X3
JC°
6,
«+/=0,
-a-6e-5f+g = 0,
-a-2b+lSe+12f-5g=2,
8a+2b-3c-32e-16f+12g= -A,
-	6a+4b + 5c-4d+36e+12/-16?= 24,
-	46 + Sd- 24e -4f+12g= - 40,
-	2c-4rf+8e-4^ = 20,
Ответ:
5)
О2-2л:+2J
1" In ¦
-1J
3, е = 2, /=-2,
+ 2arctg(x-l) + C.
dx.
Выделим рациональную часть интеграла. Имеем
Разложение ищем в виде
Г
fx2+gx+h
Из системы уравнений:
Xs
Xs
х1
X3
X1
х°
/=0,
a-2b+3g+h~-l,
5a-b-3c+5g+ih=l,
2c-d-1e+g + 3h
t Г. М. Фихтенгольц, т. II

50	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[278
находим
e=-l, b = 0, c=-2, d=0, e=-l, f=g = h = O.
Таким образом, здесь интеграл весь сводится к рациональной функции
2l
+
§ 3. Интегрирование некоторых выражений,
содержащих радикалы
278. Интегрирование выражений вида R \х, У ах+г\ . Примеры.
Вьппе мы научились интегрировать в конечном виде рациональные
дифференциалы. В дальнейшем основным приемом интегрирования
тех или других классов дифференциальных выражений будет разыс-
разыскивание таких подстановок t = оз(х), которые привели бы подинтеграль-
ное выражение к рациональному виду и дали бы возможность пред-
представить интеграл в конечном виде в функции от t. Если при этом
сама функция со{х), которую надлежит подставить вместо t, выра-
выражается через элементарные функции, то интеграл представится в ко-
конечном виде и в функции от х.
Назовем этот прием методом рационализации под-
интегрального выражения.
В качестве первого примера его применения рассмотрим интеграл
вида	т
J V г ух+д)	v '
где R означает рациональную функцию от двух аргументов,
т - натуральное число, а а, /3, у, д - постоянные.
Положим
t = i
ух+д'	ух+д'	YVJ *-yt"i •
Интеграл перейдет в
JR(<p(t), t)<p'(t)dt;
здесь дифференциал имеет уже рациональный вид, так как R, q>, <p' -
рациональные функции. Вычислив этот интеграл по правилам преды-
предыдущего параграфа, к старой переменной вернемся, подставив t =
К интегралу вида A) сводятся и более общие интегралы
rR(xD?±PYf f^V,...
J	\ух + д) ' \ух+д)
\ \ i	\ '
* Условимся раз навсегда буквой R обозначать рациональную функцию
от своих аргументов.

279]
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
51
где все показатели г, s, ... рациональны; стоит лишь привести эти
показатели к общему знаменателю т, чтобы под знаком интеграла
т
получить рациональную функцию от х и от радикала
1^+1+2
ах+р
Примеры
¦ « к
-dx.
Здесь дробно-линейная функция
ух + д
к линейной функции. Полагаем t = Ух+1, dx = 2tdt; тогда
Г yI+T+2	ЛГ'+2^ ГГ 2 2t+2 \
	'	dx = 2	dt=	dt =
J (x+iy-VxTl	J'3-l Jl'-l f2 + /+lj
, в частности, свелась просто
= ln-
2	2t + \
arctg	hC,
]/3	у
где остается лишь подставить t =
з
2)
/x+l.
dx
x-\x+l
Полагаем t =
x+l
x~^l
C-Г
6t*dt
dx = - ——— ; тогда
x+l dx
t + 2
l
= — In
2
2/-1
arctg -^ +C,
уз
где /=
дс-1
279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры. Би-
Биномиальными называются дифференциалы вида
хт(а + Ьх"У dx,
где а, Ъ - любые постоянные, а показатели т, n, p - рациональные
числа. Выясним случаи, когда эти выражения интегрируются в ко-
конечном виде.
Один такой случай ясен непосредственно: если/) - число
целое (положительное, нуль или отрицательное), то рассматривае-
рассматриваемое выражение относится к типу, изученному в предыдущем п°. Имен-
Именно, если через X обозначить наименьшее общее кратное знаменателей
и
дробей т и п, то мы имеем здесь выражение вида R (fx) dx, так что
я
для рационализации его достаточна подстановка t = Yx.

52	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[279
Преобразуем теперь данное выражение подстановкой z = xn.
Тогда
1	2±1-1
xm(a + bxnydx=-(a + bz)Pz " dz
и, положив для краткости
будем иметь
f хт{а + Ъхп)р dx=X-Ua + bz)Pz4 dz.	B)
Если q — число целое, то мы снова приходим к выраже-
выражению изученного типа. Действительно, если обозначить через v зна-
»»
менатель дроби/), то преобразованное выражение имеет вид R(z, ^a + bz).
Рационализации подинтегрального выражения можно достигнуть и
сразу - подстановкой
Наконец, перепишем второй из интегралов B) так:
z )
Легко усмотреть, что при p + q целом мы также имеем изучен-
9
ный случай: преобразованное выражение имеет вид R\z, У-—-I .
Подинтегральное выражение в данном интеграле рационализируется
и сразу подстановкой
Таким образом, оба интеграла B) выражаются в конечном виде,
если оказывается целым одно из чисел
р, q, p + q
или (что то же) одно из чисел
7Я+1	7Я+1
Р>—> —+Р-
Эти случаи интегрируемости, по существу, известны
были еще Ньютону. Однако лишь в середине прошлого столетия
П. Л. Чебышев установил замечательный факт, что других слу-
случаев интегрируемости в конечном виде для биномиальных дифферен-
дифференциалов нет.

279J
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
53
Рассмотрим примеры,
з
1)
-dx-
1	1
Здесь т=	, n = —,
dx.
P = — ', так как
= 2,
то имеем второй случай интегрируемости. Заметив, что v = 3, положим (по общему
правилу)
тогда
fe
2)
dx
Ух
с	з
06-*3)Л = -
J	I
и т. д.
На этот раз т = 0, п = 4, р=	; третий случай интегрируемости, так как - +р =
1 1	4	п
=	= 0. Здесь v = 4; положим
4 4
*-04-1) " ,
л:
_5^
dx
и т. д.
3)
dx
-= j
г t*dt 1 г( 1 1 ) I г dt 1
.=	=_	\dt	-—In
J г4-1 4J U+l г-l j 2J /=+1 4
f+1
--arctg/+C
Здесь m= -1, и*5,
1	/Я+1
=	; второй случай:	= 0; v = 3. Положим
3	и
dt;

54	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[280
dx 3 с tdt 1 (( 1	(-1 ] 1 (t-\y Уз	2/+1
1	¦'	1^1-	+J_ arctg	+с
3 f /Л 1 с 1
= —	= -
5 J /3— 1 5JU-1
; ю t*+t+i 5
280. Формулы приведения. Так как интеграл от биномиального
дифференциала всегда может быть [см. B)] преобразован к виду
C)
то в дальнейшем ограничимся рассмотрением именно этих интегра-
интегралов.
Установим ряд формул приведения, с помощью которых
интеграл C) может быть, вообще говоря, выражен через подобный
же интеграл Jp\q', где р' и q' разнятся от р и q на произвольные це-
целые числа.
Интегрируя тождества
{а + bz)P+1zi = а(а + bz)Pzi + Ъ(а + bz)Pzi+1,
d
-г- [{а + bz)P+1zc'+1] = (р + l)b(a + bz)pzQ+1 + (а +1)(
найдем
•'p+l, Я~ ® Р* Q^ p, Q+1*
(а + bz)P+lz4^ = (р + l)bJPi q+l + (q + l)/p+1>,.
Отсюда получаются первые две формулы
JP- 9=	^ГГП +И(р~+Т) JP+1- 1'
(a+bz)P+1z4+1 up+q+2
которые позволяют увеличить показатель р или # на единицу
(если только он отличен от -1).
Разрешая эти равенства относительно Jpn q, /рд+1 и заменяя/) и q
соответственно на р - 1 и q - 1, придем к формулам
ГТТП	. _(a + bz)Pz<l+1 ар .
JP1
которые позволяют уменьшать показатель р или q на единицу
(если только сумма p + q отлична от -1).

280]	§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	55
Если ни р, ни q, ни р + q не будут целым числом (так что инте-
интеграл Jp q не вьфажается в конечном виде через элементарные функции),
то формулы приведения могут последовательно прилагаться без вся-
всякого ограничения. С их помощью параметры/) п q могут быть
сделаны, например, правильными дробями.
Остановимся на более интересном для нас случае, когда интеграл
берется в конечном виде. При этом можно предположить, что целым
оказывается показатель р или q, так как случай целого р + q подста-
1
новкой z=- приводит к случаю целого q.
Тогда последовательное применение выведенных формул позво-
позволяет свести этот целый показатель, р или q, к 0 (если он был поло-
положительным) или к — 1 (если он был отрицательным). Этим обычно
либо заканчивается интегрирование, либо - во всяком случае - зна-
значительно упрощается.
Примеры. 1) Рассмотрим интеграл *
хт
(/я - целое).
1	ти+1
Здесь п = 2, р =	; поэтому при т нечетном оказывается целым числом 	=
2	п
т+\ тя + 1 тя+1 1 т
=	, а при m четном - число	\-р =	= —. так что во всех
2	и	2 2 2
случаях интеграл в конечном виде берется. Подстановкой г=хг сведем его к ин-
интегралу
Если, считая т>\, применить к этому последнему интегралу формулу (IV),
то получим
1 /П — 1
V-z)*z~T~ m-\
или, возвращаясь к данному интегралу,
1		т-1
ш	/я
Эта формула, уменьшая значение т на 2, последовательно сводит вычисление
Ят либо к
* Аналогично можно исследовать и интегралы

56	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
при т нечетном, либо же к
[281
Г dx
На = —==== = arcsin x-\-С
при т четном.
Пусть теперь т -= -1, так что т = -fi,(i>l. Применим на этот раз формулу (II)
1 Я1+1
\Ч^~
i.ffl
откуда
С помощью этой формулы мы имеем возможность уменьшать значение ^ на
2 и, последовательно, свести вычисление H_li либо к
+ С
при [I нечетном, либо же к
г etc угг
я_2= 	--I
J х2УТ^Г2 *
+с
при ,if четном.
2) Если к интегралу *
jn =
с dx	\ с
J(x2+a2)n+1 2J
(п=1,2,3 ...)
применить формулу (I):
(n+
2и-1 1
2л а2 -п,-J-'
то, возвращаясь к /п» получим уже известную нам [271, F)] формулу приведения
1	х 2и-1 1
281. Интегрирование выражений вида R(x, Уал^ + Ьж + с). Подста-
Подстановки Эйлера. Переходим к рассмотрению очень важного класса ин-
интегралов
|	D)
, Уах2 + Ъх + с) dx.
* Аналогично можно исследовать и интеграл
dx
г
J (ха-

28Ц	§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	57
Предполагаем, конечно, что квадратный трехчлен не имеет равных
корней, так что корень из него не может быть заменен рациональ-
рациональным выражением. Мы изучим три подстановки, называемые под-
подстановками Эйлера (L. Euler), с помощью которых всегда
можно достигнуть здесь рационализации подинтегрального выраже-
выражения.
I подстановка приложима в случае, если а>0. Тогда пола-
полагают
f	= t - Yax *.
Возводя это равенство в квадрат, найдем (по уничтожении членов ах2
в обеих частях) bx + c = t2-2fatx, так что
=±	L
ijat+b
Все остроумие эйлеровой подстановки именно в том, что для опре-
определения х получается уравнение первой степени, так что х, а одно-
одновременно с ним также и радикал УахР + Ьх + с выражаются рацио-
рационально через t.
Если полученные вьфажения подставить в D), то вопрос сведется
к интегрированию рациональной функции от t. В результате, воз-
возвращаясь к х, нужно будет положить t = У ах2 + bx + c + Yax.
II подстановка приложима, если с >0. В этом случае можно
положить
Если возвести в квадрат, уничтожить с в обеих частях и сократить
на х, то получим ax + b = xt2 + 2Yct - снова уравнение первой степени
относительно х. Отсюда
Подставив это в D), очевидно, осуществим рационализацию подин-
подинтегрального выражения. Проинтегрировав, в результате положим
* Можно было бы положить и
** Или Yax*+bx+c=xt-Yc.

58	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[281
Замечание I. Случаи, рассмотренные выше (а > 0 и с > 0), при-
приводятся один к другому подстановкой х = -. Поэтому всегда можно
избежать пользования второй подстановкой.
Наконец, III подстановка пригодна в том случае, если квад-
квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с имеет (различные) вещественные корни
А и /л. Тогда этот трехчлен, как известно, разлагается на линейные
множители
ах2 + Ьх + с = а{х - Х)(х - [i).
Положим
Возводя в квадрат и сокращая на х — А, получим и здесь уравнение
первой степени а(х - /л) = t2(x - А), так что
*-
,.-а
и т. д.
Замечание II. При сделанных предположениях радикал
-Х)(х-[г) (считая для определенности, скажем, х>А) можно пре-
преобразовать к виду
так что в рассматриваемом случае
R{x, Ya
и мы, в сущности, имеем дело с дифференциалом изученного в п° 278
типа. III подстановка Эйлера, которую можно записать, в форме
тождественна с подстановкой, уже указанной в 278.
Покажем теперь, что I и III подстановок Эйлера одних доста-
достаточно для того, чтобы осуществить рационализацию подинтеграль-
ного выражения в D) во всех возможных случаях. Дей-
Действительно, если трехчлен ах2 + Ьх + с имеет вещественные корни, то,
как мы видели, приложима III подстановка. Если же вещественных
корней нет, т. е. й2-4ас<0, то трехчлен
ах2 + Ьх + с=^ [Bах + ЬJ + (Аас - Ь2)]
при всех значениях переменной х имеет знак а. Случай а<0 нас не
интересует, ибо тогда радикал вовсе не имел бы вещественных зна-
значений. В случае же а>0 применима I подстановка.

82]	§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	59
Эти соображения приводят вместе с тем к общему утверждению:
ттегралы типа D) всегда берутся в конечном виде, причем для пред-
представления их, кроме функций, через которые выражаются интегралы
>т рациональных дифференциалов, нужны еще лишь квадратные корни.
282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок. Эйлеровы
юдстановки, кажущиеся столь искусственными, могут быть все по-
1учены из наглядных геометрических соображений.
Рассмотрим кривую второго порядка
у = ± У ах2 + Ьх + с или у1 = ах2 + Ьх+с.
Если взять на этой кривой произвольную точку (х0, j0), так что
yl = ax% + bxo + c,	E)
го проходящая через нее секущая y-yQ = t(x-x0) пересечет кривую
:ще только в одной точке (х, у). Координаты последней найдутся
грюстым вычислением. Исключая у из уравнений кривой и секущей,
толучим
[у0 + t{x - xo)f = ax2 + bx + с,
эткуда, с учетом E),
2yot(x - xQ) + t2(x- х0J = а(х2 - х§) + Ь(х - х0)
1ли - по сокращении на х-х0 -
2y0t +t\x- х0) = а(х + х0) 4 Ъ.
Гаким образом, абсцисса х, ас нею и ордината у второй точки пере-
пересечения выражаются рациональными функциями от пере-
переменного углового коэффициента t. При этом очевидно, что, надле-
каще изменяя t, можно заставить точку (х, у) описать всю кривую.
Теперь ясно, что зависимость
У ах2 + bx + c-yo = t(x- x0)
i определит ту подстановку, которая заведомо рационализирует под-
подынтегральное выражение в случае D).
Пусть трехчлен ах2 + Ьх + с имеет вещественные корни Я и /л; это
шачит, что наша кривая пересекает ось х в точках (Я, 0) и (jj,, 0); взяв,
например, первую из них за точку (х0, у0), придем к III подстановке
Эйлера
fax2 + bx + с = t(x - X).
Если с >0, то кривая пересекает ось у в точках @, ± /с); взяв одну
аз них за точку (xo,jo), получим II подстановку Эйлера
Уах2 + bx + с ± У~с = tx.

60	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[283
Наконец, в сущности, в том же порядке идей получается и I под-
подстановка Эйлера, лишь за точку (х0,у0) мы принимаем беско-
бесконечно удаленную точку кривой. Именно, предполагая а>0
(в этом случае кривая будет гиперболой), рассмотрим асимптоту
кривой у- ±У~ах и станем пересекать кривую прямыми у = t + У~ах,
параллельными асимптоте (они будут проходить через упомянутую
бесконечно удаленную точку). Каждая такая прямая пере-
пересекает кривую во второй точке (х, у), координаты которой будут ра-
рациональными функциями от t. Отсюда подстановка
У ах2 + bx + c = t + Уах.
283. Примеры. Нам уже известны два основных интеграла [269, 9)
и 12); 268]:
dx	, ,	,
= ln \х+ух2±а*\+С,
Ji
dx	x
• = arcsin—\-С,
а
относящихся к рассматриваемому типу. Отправляясь от них, можно вычислить
и другие интегралы.
С dx
1) ——==. При вычислении этого интеграла будем различать два случая:
<х=»0 и
Если ос» 0, то интеграл легко преобразуется к первому из основных
(при —= +аА
- +С.
Можно еще умножить аргумент логарифма на а, что введет дополнительное сла-
слагаемое — In а и, следовательно, отразится лишь на С. Окончательно получим
Г
J
^	1\УфЧ^)\+С.	F)
<a=-0)
Если же а-=0, так что <х= - |а|, радикал перепишем в виде Ур- \л\х2. Для
того чтобы радикал вообще мог иметь вещественные значения, необходимо пред-
предположить здесь /? =¦ 0. Интеграл преобразуется ко второму из основных интегралов
при-—- = i
> и
dx	1
и
.		 „ 		О)
УИ

283]
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
61
К интегралам F) и G) с помощью элементарных приемов приводятся многие
другие. Например,
2) I У<хх%+@ dx берется интегрированием по частям
[
-J'
-Jl
_p
H/?)-/?
r 	 r
- l/axz+fidx+P
dx
Справа у нас снова получился искомый интеграл; перенося его налево и разде-
разделив все равенство на 2, найдем
= —х
dx
(8)
Для получения окончательного результата остается лишь вместо последнего
интеграла подставить его выражение F) или G), смотря по тому, будет ли <х^0
или <х-=0.
3) (а)
L-
dx
(б)
J;
dx
(в)
;¦
dx
(ax*+pyl,
сводятся к уже известным интегралам простой подстановкой х = — , dx=	dt.
Имеем (для определенности, пусть д:и(>0):
(а) Г dx	Г
J xVxxz+в J VS
- дальнейшее вычисление производится по формуле F) или G), смотря по знаку /?.
Далее,
(б)
Г ^__ f_if_
/?*
9
+ C
и аналогично
(в) Г dx - Г Ы< ! J
4) Тождественные преобразования подинтегрального выражения приводят к
уже вычисленным следующие, например, интегралы:
(а)
;;
х* dx
(б)
dx.

62
ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
[283
Имеем
(а)
Г x2dx 1 Г(а*2+/3)-/3 1 Г 	 В Г
Р Г dx
или, воспользовавшись формулой (8),
jfldx 1
Г
J
2а
2а J
dx
ад;2+/д
и т. д. [см. 1)].
Затем
(б)
ГУо^Т^	Г од;2+^	Г xdx	Г
	 </х= —==== Ас = а	+/3
J •<	J x Vax*+e	J V<xx2+B J
х Уод:2+/3
первый из интегралов берется сразу, второй вычислен в 3). Наконец,
(в)
Г х*	\_ Г dx р Г
J (ах*+0)Ч. a J у^Тй « J
dx
(«•+/»)•/.
[см. 1) и 3)].
5) Если под радикалом стоит полный квадратный трехчлен ах*+Ьх+с,
часто выгодно линейной подстановкой свести его к двучлену. Выделяя пол-
полный квадрат
1
ах2 + Ьх+с = — [Bах+ЬJ+Аас - №],
4а
полагают t = 2ax+b. Таким путем, например, из формул F) и G) получается
при «=>0
Jl
dx
.JLta
Va(ax*+bx+c)\+C=
]Га
-In
ахЛ	h
+ C,
а при а«=0
h
dx
1	2ax+b
	arcsin	+C.
F*)
G*)
6) Обратимся теперь к эйлеровым подстановкам. В 269, 12)
мы фактически применили I подстановку к вычислению интеграла
dx
Хотя второй основной интеграл
dx

283]
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
63
нам известен из элементарных соображений, но - для упражнения - мы все же
к нему применим эйлеровы подстановки.
(а) Если воспользоваться сначала III подстановкой У а2 - х2 = t(a - х), то
х = а	,
t*+l'
dx =
4at dt
lat
Г dx Г dt ЛГа+х
————=2 	= 2arctgf+C=2arctg /	\-C.
J Уа2-х2 J ?2 + !	Г a~x
Так как имеет место тождество
2arctg
. х л
arcsin—|—
а-х	а 2
то этот результат лишь формой разнится от уже известного нам.
Читателю и впредь следует считаться с возможностью для интеграла полу-
получаться в разных формах, в зависимости от примененного для его вычисления
метода.
(б) Если к тому же интегралу применить II подстановку ]/а2 - х2 = xt-a,
то аналогично получим
dx Г dt
	 _ 2 1	= _
a x	j
2arctgf+C= -2arctg
+ С.
Здесь мы сталкиваемся с другим любопытным обстоятельством *, этот результат
годится отдельно для промежутка ( - а, 0) и для промежутка @, а), ибо в точке
х = 0 выражение
- 2 arctg -
лишено смысла. Пределы этого выражения при х*-0и при х-*+0 различны:
они равны, соответственно, я и -я; выбирая для упомянутых промежутков раз-
различные же значения постоянной С так, чтобы второе из них было на In больше
первого, можно составить функцию, непрерывную во всем промежутке (-а, а),
если принять за ее значение при х=0 общий предел слева и справа.
И на этот раз мы получили прежний результат лишь в другой форме, ибо
имеют место тождества
- 2 arctg ¦
G)
dx
x+][x2-x+l
arcsin	л для
arcsin —1-я для
a
- a -= x ¦= 0.
: Ср. пример 3) n° 277.

64
ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
[283
(а) Сначала применим I подстановку: \х*-x+l = t-x,
f2-!
f
J x
2t-\
2t*-2t+2
t
dx = 2
Bt-\)>
dt,
Ч\т-
3 , 3
2/-1 Bf-l)
Если подставить сюда 1 = х+ух2-х+1, то окончательно получим
dx	3	1
J
-|m
l-l|+2In
(б) Применим теперь II подстановку: Ух3-х+1 = tx— 1,
2/-1	t2-t+l		 ;2_/_i_1
x =	, dx=-2	dt, yx2-x+l=-
х+ух*-х+1 =	,
t-\
Гг2 113 1
2 '~ J L7"/^T"hT
_
Остается подставить сюда t-
получим	x
; после очевидных упрощений
I
dx
+ 21п
1
	In Vx*-x+l-x+l
2
--In \TJxz-x+l+x+l +C.
Это выражение хотя и разнится от ранее полученного по ф о р м е, но при С =
= С+— отождествляется с ним.
8)
Г	dx
J (xz + a*)^^

283)	§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	65
(а) Так как корни подкоренного выражения вещественны, то можно применить
III подстановку fa?-x2 = t(a-x); здесь -а-=х<а и t>0. Имеем
/2-1	4а/ dt	„	 2а?	2а2(/4+1)
/2+1'	(?2+1J'	/2+1'	(г2+1J
и
Г «far I f2<2+2 Iff 1 1 1
		=— _	 л = —-	1	Л =
= -— tarctg (/ у2+1) + arctg (/ fi -1)] + С,
куда еще нужно подставить для получения окончательного результата
Воспользовавшись формулой для суммы арктангенсов, а также очевидным
соотношением
1	л
arctg—= - arctg <х ± — (при ое S 0),
а	2
можно придать результату более простую форму
1	xfl	{
- —arctg	+C, где Сг
2a2 fl.
(б) Если к тому же интегралу применить II подстановку f^ ~ л'2 = tx-a,
то получим, что
и
dx 1 г	,,,- N	, ,- N .
	—— =	[arctg (У2+1>+ arctg (У2-1)/] +С
а+Уал;
при ? =	. Этот результат годится в отдельности для про-
х
межутка (-в, 0) и для промежутка @, а); легко сообразить, что изменяя зна-
значение постоянной С" при переходе х через 0, можно сделать его пригодным во всем
промежутке (-а, а). Наконец, если преобразовать его по формуле для суммы
арктангенсов, то он отождествится с предыдущим результатом.
•J
dx
I подстановка: yx"+fi = t-x. Имеем
С dx	г	ltdt	с	du
г	it at	r
J/4+2BA-«)f*+Ju«-2.
5 Г. М. Фихтенгольц, т, П

66	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	1284
Таким образом, вопрос сводится к вычислению элементарного интеграла; в резуль-
результате надлежит подставить
284. Другие приемы вычисления. Хотя подстановки Эйлера прин-
принципиально во всех случаях решают вопрос о вычислении интеграла
типа D) в конечном виде, но иной раз - при их применении - даже
простые дифференциалы приводят к сложным выкладкам. Ввиду важ-
важности интегралов рассматриваемого типа мы укажем и другие приемы
для их вычисления.
Для краткости положим
Рациональная функция R(x, у) может быть представлена в виде част-
частного двух целых многочленов относительно х и у. Заменяя у2 всюду
на У, мы приведем R(x, у) к виду
где Р,(х) - целые многочлены. Умножая числитель и знаменатель
этой дроби на выражение Р3(х) - Pt(x)y (и снова заменяя у2 на У),
придем к новой форме для R
Интеграл от первого слагаемого справа мы уже умеем выражать
в конечном виде: следовательно, нам надлежит заняться лишь вторым
слагаемым. Умножая и деля его на у, окончательно получим такое
выражение
интегрированием которого мы и займемся.
Прежде всего выделим из рациональной функции R*(x) целую
часть Р(х), а правильно-дробную часть представим себе разложенной
на простые дроби [274]. В таком случае интегрирование полученного
выражения сведется к вычислению интегралов следующих трех типов;
I. -=== dx,
J Уахг+Ьх+с
Adx
где все коэффициенты вещественны, а корни трехчлена x2+px + q
мнимые. Остановимся на каждом из них в отдельности.

284)	8 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	67
I. Положим (для т = 0, 1, 2, ...),
Легко установить рекуррентную формулу для этих интегралов. С этой
целью, считая т е=-1, возьмем производную
(х-' /Г)' = (т -	^f
2(т-
хт [ \
=r + (ml)c?=
и проинтегрируем полученное тождество
X»-lYY=maVn + [т -i) bVm-i 4 (m - l)cFm_2.
Беря здесь т-l, найдем
1 а ' 2а °'
полагая затем т — 2 (и используя выражение для Уг), получим
У1 =
Поступая так дальше, придем к общей формуле
где рт-\(х) есть многочлен (/я-1)-й степени, aAm = const. Таким обра-
образом, все интегралы Ут приводятся к Уо.
Если в интеграле I многочлен Р(х) будет и-й степени, то этот ин-
интеграл представит собой линейную комбинацию интегралов Уо, Vlt ...
..., Vn, а значит, по предыдущей формуле, напишется в виде
ЩЩ,	(9)
где Q(x) - некоторый многочлен (и - 1)-й степени, а Я = const.
Самое определение многочлена Q(x) и постоянной А обычно про-
производится по методу неопределенных коэффициен-
коэффициентов. Дифференцируя (9) и умножая полученное равенство на /У,
получим
с) + \ Q(x)Bax + Ь) + А.

68	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[284
Если вместо Q(x) подставить сюда многочлен (и - 1)-й степени с бук-
буквенными коэффициентами, то в обеих частях мы будем иметь много-
многочлены и-й степени. Приравнивая их коэффициенты, придем к системе
и + 1 линейных уравнений, из которых и определяется п коэффициен-
коэффициентов многочлена Q(x) и постоянная Я *.
Замечание. Формула (9) осуществляет выделение алге-
алгебраической части из интеграла
Подобное же выделение могло бы быть произведено и по отноше-
отношению к интегралу общего вида
г Щ
J у? '
где R — знак произвольной рациональной функции. На этом мы не
останавливаемся.
II. Интеграл
р dx
1
приводится подстановкой х - а=- к только что рассмотренному типу.
Действительно, имеем
,	dt	„ ,	(ax*+ba.+c)t'+Ba<x+b)t+a
ах=	ax2 + bx + c=^
так что (считая для определенности х>а и t>0
/ft-» dt
f	*	=-f
y(aaa+6a+c)fa+B«x+&)f+a '
Если ас/.2 + bx + с = 0, т. е. а оказывается корнем трехчлена Y, то дело
еще упрощается: мы получаем интеграл типа, рассмотренного в 278.
III. (а) Обращаясь к последнему интегралу, рассмотрим особо слу-
случай, когда трехчлен ах^ + Ьх + с лишь множителем а отличается от
трехчлена x2+px + q. Тогда искомый интеграл имеет вид
I
Mx+N	,
ах.
2m+l
* Из доказанного явствует, что эта система будет совместной при любых
значениях свободных членов, а в таком случае ее определитель необходимо отли-
отличен от 0, и система оказывается всегда определенной. Этим попутно устанавли-
устанавливается и единственность представления (9). (Ср. стр. 42 и 46).

284]	§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	69
Его легко представить как сумму двух интегралов:
М Г 2ах+Ь	, , /лг МЬ\ Г	dx
г 2ах+Ь	, („ МЬ\ Г
2a	2/n+i --«•'" 2a] \	2m+i
из которых первый сразу берется подстановкой t = ax + bx \ с.
Для вычисления интеграла
dx	r dx
/•	ах	р
2m+T=
J (ny2j-hr4-r\ 2 J
2m+T= 2m+l
всего удобнее так называемая подстановка Абеля (N.-H. Abel)
Ь
ах+-
2
Возводя в квадрат и умножая на 4Y, получим равенство
4/2У = (УJ = 4а2х2 + Aabx + Ь\
которое вычтем из умноженного на Аа равенства
В результате получится
откуда
4 J (a-t*r
Дифференцируя теперь равенство
ПО)
tfY=axv\,
найдем
так что
Из A1) и
и, наконец,
(Ю)
f:
dx
2m + l
у 2
Vdt + t2dx = adx,
dx dt
YY a-t1 '
A1)

70	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	1284
Таким образом, весь вопрос сводится к вычислению интеграла от
многочлена.
В частности, например, при т = 1 имеем
г dx	_ 2	2ax+b
J (ax2+bx+с)'Т.~ Аас- ba f^+fx+c '
(б) В общем случае для большей симметрии обозначений положим
ах2 + Ьх + с = а(х2 +р'х + q'),
причем теперь мы можем предположить, что трехчлен в скобках не
тождествен с трехчленом x2+px + q. Поставим себе задачей пре-
преобразовать переменную х так, чтобы в обоих трехчленах
одновременно исчезли члены первой степени.
Пусть сначала р^р'. Тогда нашей цели можно достигнуть с по-
помощью дробно-линейной подстановки
A3)
надлежаще подобрав коэффициенты \х и v. Имеем
х
и аналогично - для второго трехчлена. Искомые коэффициенты опре-
определяются из условий
2\iv л р(ц + v) + 2q = 0, 2 ixv +
или
„=-2
^
Р-Р r P-P
Таким образом, ц и v суть корни квадратного уравнения
О» ~P'V + 2(<7 - q')z + (p'q -pq') = 0.
Для того чтобы эти корни были вещественны и различны * (необхо-
(необходимо и), достаточно условие
pq')^0;	A4)
удостоверимся в его выполнении.
Перепишем условие в равносильной форме
[2{д + q') -pp'f > (Ад -p2)Dq' -p'%	A4*)
Дано, что 4q-p2>0 (ибо трехчлен x2+px + q имеет мнимые корни),
поэтому неравенство A4*) заведомо выполняется, если одновременно
* При ц~ v подстановка теряет смысл, ибо сводится к

284]	§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	71
4q'-p'2<0. Остается исследовать случай, когда и 4q' -р'2>0. Тогда
<7>0, q'>0 и 4 Уда'>рр', и мы имеем последовательно*
-р'2) + 4(^' - //^(^ -p2)Dq' -/,'*).
Здесь дважды знак неравенства соединяется со знаком равенства, но
равенство не может иметь место в обоих случаях одновременно: если
q^q', то равенства, наверное, нет в первом случае, а при q=q', на-
наверное, нет во втором. Таким образом, неравенство A4*), а с ним
и (,14), доказано.
Выполнив подстановку, мы преобразуем искомый интеграл к виду
J(f8+Aynya74-/S
где P(t) есть многочлен степени 2т-I (и Я >0). Снова прибегнув (при
т>1) к разложению правильной дроби
Р@
на простые, мы придем к сумме интегралов вида
Г At+* ,Л (*-l,2,...,ni).
J (<2+A)*yafs+/?
В исключенном случае, когда /?=/>', уничтожение членов первой
р
степени достигается еще проще - подстановкой x = t—^, и мы не-
непосредственно приходим к интегралу только что указанного
вида.
Полученный интеграл, естественно, разлагается на два:
Первый из них легко берется подстановкой и = Vaf2+j3. Ко второму
же приложима уже знакомая нам подстановка Абеля
_ at
ы —
Именно, в силу A1), имеем
dt du
(/<«*+/? а-'
a -j- a'
* Поскольку

72	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[285
кроме того, как легко вычислить,
«(ос-и")
Поэтому
Г	*	(
J (/«
и искомый интеграл привелся к интегралу от рациональной функции.
Замечание. Помимо того что мы в настоящем п° указали ряд
новых приемов для вычисления интегралов типа D), совокупность
приведенных соображений дает независимое от прежнего доказатель-
доказательство утверждения, сформулированного в конце п° 281.
J уз?
Г x'-x + l	a	v-	 Г
J Уха+2х+2	J
285. Примеры. 1) | __	dx.
Полагаем
{2ах+Ь)(х*+2х+2)+(ах*+Ьх+с)(.х+1) + д.
Система уравнений
3a=l, 5a+2b = 0, 4а+ЗЬ+с=-1,
15	15
приводит к значениям а = —, Ь=	, с = —, д = — . Таким образом, если учесть
3	6	6	2
стример 5) пс 283, окончательно получим
>-х+\ . 1
"б
2)
ь
Подстановка jc—1=— (если, скажем, х^1 и /=-0) приводит интеграл к виду
У1 - 2/а
Этот интеграл легко берется элементарными средствами [см. 283, 4)].
Ответ: — t У1-2*2	arcsin / У2"+ С=
4	4У2	'
1 	 1	уг
= —	--У^-2х-1	-arcsin -~-+C.
4(х-1J'	4У2	*-1
J

285]	§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ	73
Подстановка Абеля
4х-1
t=—_—__
преобразует интеграл следующим образом:
64 (¦
3375 J ~ ''
при этом можно либо повторить для частного случая общие выкладки п° 284,
III (а), либо воспользоваться готовой формулой A2).
64
Ответ:
3375
)^тй
4х-1	1 Dх-1K 1 Dх1)
Bx2-x+2)Vt 6 Bx2-x+2)'/i 160 Bxa-x+2)V.
4)
Ух"+х+1
Дробно-линейная подстановка
И-1
дает
Требования
2fj.v±(fi+v)+2 = 0
O, (tv=- -1 удовлетворяются, например, при fi = 1, i> = - 1. Имеем
f-1	2Л
М-1
если - для определенности - считать t+1 =»0 (т. е. ж< 1). Таким образом,
Г (x+3)dx	Г (8t+4)dt
J (ха-х+1)Ух2+х+1 J Ц*+У)УЪ?Ч
(ха-х+1)Ух2+х+1
Полученный интеграл разбивается на два:
dt
С tdt	С
J ——^=+4j -
8
Первый легко вычисляется подстановкой и = УзТм-Т и оказьшается равным
yiarctg / —	ьС. Ко второму применим подстановку Абеля
у	О
3/
и=	-.
У7
з7»+Т

74	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
которая приведет его к виду
'и 1 31/5+2У2ы
:	— +С".
Остается лишь вернуться к переменной х.
5) I " ' """ '		dx.
[286
С du	1
12	= —In
J 27-8«2 ye
Указание. Представить подынтегральную функцию в виде
к третьему слагаемому применить метод п° 284, I, а к последнему - подстановку
§ 4. Интегрирование выражений, содержащих
тригонометрические и показательную функции
286. Интегрирование дифференциалов i?(sin x, cos x) dx. Дифферен-
Дифференциалы этого вида всегда могут быть рационализированы подстанов-
подстановкой t = tg^ (-л<х<я). Действительно,
It
япдс-
2tg-
2
1-tg2
1+tg2—
1+tg2
так что
Д(яп x, cos x) Л = R | IT?i , ш-2
2Л
Таким образом, интегралы типа
A)
всегда берутся в конечном виде; для их выражения, кроме функций,
встречающихся при интегрировании рациональных дифференциалов,
нужны лишь еще тригонометрические функции.
Упомянутая подстановка, являющаяся универсальной для
интеграла типа A), приводит иной раз к сложным выкладкам. Ниже
указаны случаи, когда цель может быть достигнута с помощью более

286]	§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ	75
простых подстановок. Предварительно сделаем следующие элементар-
элементарные замечания из области алгебры.
Если целая или дробная рациональная функция Щи, v) не меняет
своего значения при изменении знака одного из аргументов, например,
и, т. е. если
то она может быть приведена к виду
содержащему лишь четные степени и.
Если же, наоборот, при изменении знака и функция R(u, v) также
меняет знак, т. е. если
R(~u,v)=-R(u,v),
то она приводится к виду
это сразу вытекает из предыдущего замечания, если его применить
к функции —	 .
I.	Пусть теперь R(u, v) меняет знак при изменении знака и; тогда
R(sin х, cos х) dx = ^(sin2 x, cos x) sin x dx = - R0(l - cos2 x, cos x) d cos x,
и рационализация достигается подстановкой t = cos x.
II.	Аналогично, если R(u, v) меняет знак при изменении знака v, то
R(sin х, cosx)dx=R$(smx, cos2 x) cos x dx = i?$(sin x, 1 -sin2 x)dsin x,
так что здесь целесообразна подстановка t = sin x.
III.	Предположим, наконец, что функция R(u, v) не меняет своего
значения при одновременном изменении знаков и и v
R(-u, -v) = R(u,v).
В этом случае, заменяя и на - v, будем иметь
По свойству функции R, если изменить знаки и и v (отношение - при
этом не изменится),
а тогда, как мы знаем,

76	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[287
Поэтому
R(sin х, cos х) = Rf(tg x, cos2 x) = Rf | tg х, y^j- 1,
т. е. попросту
/?(sinx, cos x) = R(tg x).
Здесь достигает цели подстановка t = tgx I ~f <Л:<5 >
i?(sinx, cos x) dx = R(t) j-— и т. д.
Замечание. Нужно сказать, что каково бы ни было рацио-
рациональное выражение R{u, v), его всегда можно представить в виде суммы
трех выражений рассмотренных выше частных типов. Например, мо-
можно положить
. . _й(н, v)-R(-u, v) R(-u, v)-R(-u, -о) , JR( —i/, -v)+R(u, v)
Щи, V)	2	'	2	2	'
Первое из этих выражений меняет знак при изменении знака и, вто-
второе меняет знак при изменении знака v, а третье сохраняет значение
при одновременном изменении знака и и v. Разбив выражение i?(sin x,
cosx) на соответствующие слагаемые, можно к первому из них при-
применить подстановку t=cosx, ко второму - подстановку ?=sinx, и,
наконец, к третьему - подстановку t = tgx. Таким образом, для вы-
вычисления интегралов типа A) достаточно этих трех подстановок.
287. Интегрирование выражений sin" x • cos" x. Будем считать v и
/и, рациональными числами, а переменную х - изменяющейся в про-
промежутке 10, ~\ . Тогда подстановка z=sin2x, dz = 2 sin x cos x dx дает
1	—
sirT л: cos^ x dx = -z sin" x(l - sin2 x) 2 2 sin x cos xdx =
так что дело сводится к интегрированию биномиального диф-
дифференциала [279]
sin-хcos" x dx = ~ A -z) 2
B)
Вспоминая случаи интегрируемости биномиальных дифференциалов,
мы видим теперь, что интересующий нас интеграл берется в конеч-

287]	§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ	77
ном виде, 1) если ^--—(и™ ~~т~) есть Челое число> т е- если /"
11-A-V
(или v) есть нечетное целое число, либо же 2) если Чу~ есть
целое число, т. е. если /i+v есть четное целое число.
Сюда же, в частности, относится случай, когда оба показателя
ц и v - целые; впрочем, тогда выражение sin" х cos" х рационально
относительно sin x и cos x, т. е. принадлежит классу выражений, уже
рассмотренному в предыдущем п°.
В этом случае, если показатель v (или /i) будет нечетным, то
рационализация сразу достигается подстановкой t=cos х (или t=sin x).
Если же оба показателя vh/j четные (а также если они оба н е-
четные), то можно для той же цели применить подстановку t=tg x
или t=ctgx.
Заметим, что если показатели v и ц оба суть положительные
четные числа, то предпочтительнее другой прием, основанный на
применении формул
sin2x . , 1-cos 2л: „ l+cos2,r
Sin X COS X = —j—, Sin2X =	^	> COS'!X =	_-	.
Именно, если v = 2n, /л = 2т, то при vs^/л пишут
-cos 2x1"-
. ,, тЛ /sin 2^2™/
sin2<n-m>x= —2"-
а при v<fi
• on ,„ ,. v> w „, /¦sin2x"\2nM+COs2x1l'"-n
sm2nxcos2mx=-(sinxcosxJncos2<m-")x= —y— 	2
В развернутом виде получится сумма членов вида
С sin"'2:* cos"'2.x,
где v'+n'*sin + m=v-Y^. "^е члень1' У которых хоть один из показа-
показателей v', /л' есть нечетное число, легко интегрируются по указан-
указанному выше способу. Остальные члены подвергаем подобному же раз-
разложению, переходя к sin 4x и cos 4x, и т. д. Так как при каждом раз-
разложении сумма показателей уменьшается, по крайней мере, вдвое, то
процесс быстро завершается.
Вернемся к установленной выше зависимости B). Мы можем теперь
воспользоваться формулами приведения биномиальных интегралов
[280], чтобы, полагая там а = \, 6= -1, •Р=/-2—> 9 = -~> установить
формулы приведения для интегралов рассматриваемого типа.

78	ГЛ. VIII. ПЕРВООЬРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	B88
Таким путем получатся следующие формулы (которые, конечно,
могут быть выведены и самостоятельно):
(I) J sin" х cos'1 x dx =
=	-:	+ —^-j— sin1" x cos''+2 x dx (a * - 1).
(II) j sin" x cos'1 x dx =
sin^1 ж cos/<+1 л v+u + 2 Г.-.,	j	,	,ч
=	—-j	+ —~— J sin"+2 x cos" x dx (v * - 1),
(III) ("sin" x cos^ x dx =
=	;	+-— J sin" x cos''-2 x dx (y f /г ^ 0),
(IV) (sin1' x cos'' x dx =
=	¦	-+	sin" x cos'1 x dx (v + и т± 0).
Эти формулы вообще позволяют увеличить или уменьшить показа-
показатель v или [I на 2 (за указанными исключениями). Если оба показа-
показателя v и /^ - целые числа, то последовательным применением формул
приведения можно свести дело к одному из девяти элементарных
интегралов (отвечающих различным комбинациям из значений v и /<,
равных -1,0 или 1)
* = *,	6) Jg?<fc=-
2) JcosxJx=sinx,	7)
o\ (COS* , .
8) Jito-.^^1
4)	I sin x dx - - cos x,	9)
5)	J sinxcosxrfx = -
sin2x
288. Примеры. 1) I sina x cos8 x dx. Подынтегральное выражение меняет знак от
замены cos х на - cos x. Подстановка /=sin x:
г г t3 tb
sin2xcos3xdx = \t2O-t") dt =	\-C
J	J	J	J
t3 tb _ sin3* sin5*

288J	§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ	79
ч psin5x
2) 	dx. Подинтегральное выражение меняет знак от замены sin х
J cos4 х
- sin х. Подстановка t = cos x:
(¦sin5*	f/4-2/2 + l	2 1	2	1
rfx-	Л= -t	f — + C= -cosx-	4	+ C.
J cos4*	J г4	/ 3r3	,cosx 3cos3x
С	</x
3)	I	. Подинтегральное выражение не изменяет своего значения
J sin4 x cos2 x
при замене sin х на - sin х и cos х на — cos л. Подстановка t = tg л:
Г </х	f(l+<2J	2 1	1
	= 	-A-f	+ C=tgx-2ctgx--ctg3x4C.
J sin4 л: coss л: J /4	* 3f3	3
4)	sin2 x cos4 x dx. Здесь пригодна та же подстановка, но проще пользоваться
формулами удвоения угла
sin2 х cos4 х = — sin2 2x(cos 2.v-h 1) = — sin2 2x cos 2x4— A - cos Ax)
8	8	16
и
Г	111
sin2*cos4* dx = — sin3 2x-\—x	sin4x:+C.
J	48	16 64
Jdx 1 г dx
	= — 	. Пригодна подстановка / = sin x, но проще
sin x sin 2x 2 J sin2 x cos x
прибегнуть к II формуле приведения:
1	г dx	1 1 г dx	1 1	(х л]\
— 	=	4— 	=	Ь—In tg - + - +С.
2	Jsin8*cosx 2sinx 2 J cos* 2sin* 2	^2 4 /1
г dx
6) 	. Пригодна подстановка t = sin x, но проще дважды прибегнуть
J cos5 *
к I формуле приведения:
dx sin* 3 r dx
г dx sin * i r
J cos5 x 4cos4* 4 J
' cos5 x 4cos4* 4 J cos3 x '
в свою очередь,
с dx sin х 1 г dx sin x 1	(x n \ I
=	+— 	= —	4—In tg —4— 4C,
J cos3x 2cos2x 2 J cosx 2cos2x 2	\2 4j\
так что
dx sin x 3 sin x 3
cos5 x 4cos4x 8cos2x 8
x n
+ 4

80
ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
|288
7) Г4
J si;
COS4 л:
dx. Пригодна подстановка / = cos x, но проще воспользоваться
sin3 л:
II и III формулами приведения:
гcos4;
J sin3 x
lx
I sin3 x
cos5 x 3
2 sin2 x
3 rcos4x
—г ——dx<
2 J sin *
Г cos4* 1	pcos2x 1
	 dx=— cosax+ 	dx- — cos3 л+cos л:+In
J sin x	3	J sin x 3
+ C,
так что (после упрощающих преобразований)
*cos4x	cosx	3
(•cos'x	cosx	5
	dx= -—	cos x--ln
J sm3 x	2 sin2 x	2
+C.
8)
dx
с J si
dx
J sin л: cos 2x J sin дгB cos8 x -1)
. Подстановка / =
«fcc
- ])
¦!*=
dt
- = — In
1 + /У2
1-/У2
1 , 1-/
+2пы7-
= — In
n
1 + Y2COSX
+C.
f SI
9) -
J si;
sin4 x cos x
dx. Так как при изменении знаков у sin x и cos x подин-
sin Х+ COS X
тегральное выражение не терпит изменения, то пригодна подстановка t = tgx:
sin2 x cos x
sinx+cosx
dx =
-J
t-\ 1 /-1
4 r2
2 (f
¦+C =
1-Й 1
УП72 4
= —In |sinx+cosx|	cosx(sinx+cosx)+C.
4	4
10) f
J
dx
-при.
ж	ж
О. Предполагая	¦<х«= —,
с помощью подстановки t = tg x приведем интеграл к виду
Ответ:
arctg

288]	§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ	81
С dx с dt
11) 	=
Ja+btgx J (a+bt)(l+t2)
(я	л\
	-=x<— .
Разлагая на простые дроби
1	A Bt+C
(a+bt)(l + t*) a+bt
для определения коэффициентов А, В, С получим уравнения
0, аВ+ЬС=0,
b* b a
откуда А =	, В=	, С=
a	b a+bt
Ответ: 	arc tg H	In ———— + С ¦-
а*+Ьг	a*+b* тАГТг
[ах+Ып \acosx+b sinx\]+C.
аг + Ь
12) К этому же интегралу приводятся следующие два:
r sinxdx	г cosxdx
*р __ I 		гр 	 1
J acosx+usinx'	2 J acosx+bsinx '
Впрочем, проще вычислить их, исходя из связывающих их соотношений
ЬТх+аТ2= dx = x+Clt
r -asinx+bcosx
-аТу+ЬТг= 	dx =
J dcosx+osmx
f d(a cos x+bsinx)
= 	:	= ln lacosx+ftsmxl +C2,
J acosx+6sinx
откуда и получаем
• [bx -a In
T2=	[ax+bln \acosx+bsmx\]+C.
a*+ba
1-r2
¦—	dx @<r-=l, -я<х-=я). Применим здесь универ-
l-2rcosx+ra
сальную подстановку t = tg — . Имеем
1 f 1~г* j /•, Л<"	dt
2rcosx+r2
6 Г. М. Фихтенгольц, т. II
^ /j+c=arctg j^tg|

82	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
К этому интегралу приводится и такой:
\-r cos х
l-2rcos;t+
ffl 1	1-r2 л 1	(l + r x]
— dx= —I	dx-=— x+arctg	tg—
r*	J 12 2 l^rcosx + rO	2	[l-r 2)
[288
+ C.
r dx
14) I	, в предположении, что lei Э 161 (-л«=л:-=я).
J a+ocosx
Пусть сперва | а | > 161 и (что не умаляет общности) а =- 0. Подстановка / - tg —,
как и в только что рассмотренном частном случае, дает
dx	2	ПГа^Ъ х
arctg
e+ftC0SJC y
Можно преобразовать это выражение к виду
1
acosx+b
arcsm	1 С,
+6
причем верхний знак берется, если 0=ех-=я, а нижний - если - я-= je«sO, и значение
постоянной С возрастает на
при проходе х через 0.
Пусть теперь \а\ «= \Ь\ и b =-0. Та же подстановка:
2*	1
J (
-In
-In
Это выражение легко преобразуется к виду
-In
6+a cos л+ Уба - a2 sin л
а+6 cos л
Интеграл I
+ С-
+С.
я
приводится к предыдущему подстановкой x = — ±t.
2
г
15) Наконец, к интегралу 14) приводится и интеграл
J
ввести угол а под условием, что
dx
. Если
cos a = -
sm a =
W+c*

2891	§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ	83
то интеграл перепишется в виде
dx
a+ftf+c* cos {х -а)
подстановка t = x-a.. И здесь, конечно, интересен случай |а| ^ уЬ2+сг.
289. Обзор других случаев. В 271, 4) мы уже видели, как интегри-
интегрируются выражения вида
Р{х)е?х dx, P(x)sin bx dx, P(x) cos bx dx,
где Р{х) - целый многочлен. Любопытно отметить, что дробные
выражения
ех , sin х , cos* , / 1 л т \
— dx, -^~dx, -^rdx (и = 1, 2, 3, ...)
уже не интегрируются в конечном виде.
С помощью интегрирования по частям легко установить для ин-
интегралов от этих выражений рекуррентные формулы и свести их,
соответственно, к трем основным:
I. Г — dx = f-^- = h\y* («интегральный логарифм»);
тт fsinx , . ,	„	>
II. 	ах=six («интегральный синус»);
III. f—^-dx = c\x («интегральный косинус»)**.
Мы знаем уже [271, 6)] интегралы
j>sin bx dx =
je-cos bx <fa =
Отправляясь от них, можно в конечном виде найти интегралы
Г хперх sin bx dx, Г хпе^ cos bx dx,
где л = 1,2,3, ... Именно, интегрируя по частям, получим
г . „ • , , „ a sin bx - b cos bx
xneF- sin bx dx = xn	т—т-.	e°x -
J	a*+b3
^j"-1^ sin bxdx-\ ^—Jx^^^cos bx dx,
J x^x cos bx dx = x- *-sin bxJ
n~1^sinbxdx~^TF*ixn~]eax cos bx
* Подстановка x = hiy.
** Впрочем, во всех трех случаях надлежит еще фиксировать произвольную
постоянную; это будет сделано впоследствии.

84	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[290
Эти рекуррентные формулы позволяют свести интересую-
интересующие нас интегралы к случаю и = 0.
Если под Р{...) по-прежнему разуметь целый многочлен, то, как
окончательный результат, можно утверждать, что в конечном виде
берутся интегралы
|>(,v, еа'х, е°"х, ..., sin b'x, sin Ь"х, ..., cos b'x, cos b"x, ...) dx,
где a', a", b', b", ... - постоянные.
Дело сводится, очевидно, к интегрированию выражения
хпе°х sin'1'b'x sin*" b"x ... cos™' b'x ...
Если использовать элементарные тригонометрические формулы
. „ , l-cos2ta
sin2 bx =	1	,
sin b'x sin b"x = \ [cos (b' - b") x - cos (b' + b") x]
и им подобные, то легко разбить рассматриваемое выражение на сла-
слагаемые типа Axnef*x sin bx и Ъхпё1Х cos bx, с которыми мы уже умеем
справляться.
§ 5. Эллиптические интегралы
290. Общие замечания и определения. Рассмотрим интеграл вида
JR(x,y)dx,	A)
где у есть алгебраическая функция от х, т. е. [205] удо-
удовлетворяет алгебраическому уравнению
Р(х,у) = 0	B)
(здесь Р - целый относительно х и у многочлен). Подобного рода
интегралы получили название абелевых интегралов. К их числу от-
относятся интегралы, изученные в § 3,
dx, JR(x, Уах* + Ьх + с) dx.
Действительно, функции
удовлетворяют, соответственно, алгебраическим уравнениям
{ух + $)ут - (ах +/S) = 0, f- {ax2 + bx + c) = 0.

290]	§ 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ	85
Становясь на геометрическую точку зрения, абелев интеграл A)
считают связанным с той алгебраической кривой, которая
определяется уравнением B). Например, интеграл
\r{
dx	C)
связан с кривой второго порядка у2 = ах2 + Ьх-\с.
Если кривая B) может быть представлена параметрически
так, что функции r^t) и r2(t) оказываются рациональными (в
этом случае кривая называется у н и к у р с а л ь н о й *), то в инте-
интеграле A) становится возможной рационализация подинтегрального вы-
выражения: подстановкой x = r1(t) оно приводится к виду
К этому классу и относятся оба упомянутые выше случая. В част-
частности, возможность рационализации подинтегрального выражения в
интеграле типа C) связана именно с тем фактом, что кривая вто-
второго порядка уникурсальна [281, 282].
Очевидно, что переменные х и t связаны алгебраическим уравне-
уравнением, так что / является алгебраической функцией отх
Если расширить класс элементарных функций, включив в него и все
алгебраические функции, то можно сказать, что в случае уникурсаль-
ности кривой B), интеграл A) всегда выражается через элемен-
элементарные функции в конечном виде.
Однако подобное обстоятельство является в некотором смысле
исключением. В общем случае кривая B) не уникурсальна, а тогда,
как можно доказать, интеграл A) заведомо не всегда, т. е. не
при всякой функции R, может быть выражен в конечном виде (хотя
не исключена возможность этого при отдельных конкретных К).
С этим мы сталкиваемся уже при рассмотрении важного класса
интегралов
JR{x, Yax* + bx2 + cx + d)dx,
r		D)
J R (x, fax* + bx3 + ex2 + dx + e) dx,
содержащих квадратный корень из многочленов 3-й или 4-й степени
и естественно примыкающих к интегралам C). Интегралы вида D) -
как правило — уже не выражаются в конечном виде через элемен-
элементарные функции даже при расширенном понимании этого термина.
Поэтому знакомство с ними мы отнесли к заключительному пара-
параграфу, чтобы не прерывать основной линии изложения настоящей
* Можно дать и чисто геометрическую характеристику уыикурсальной кривой,
но мы на этом останавливаться не будем.

86	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[291
главы, посвященной, главным образом, изучению классов интегралов,
берущихся в конечном виде.
Многочлены под корнем в D) предполагаются имеющими веще-
вещественные коэффициенты. Кроме того, мы всегда будем считать, что
у них нет кратных корней, ибо иначе можно было бы вынести ли-
линейный множитель из-под знака корня; вопрос свелся бы к интегри-
интегрированию выражений уже ранее изученных типов, и интеграл выра-
выразился бы в конечном виде. Последнее обстоятельство может иметь
место иной раз и при отсутствии кратных корней; например, легко
проверить, что
rl+xl dx	х
Jl
Интегралы от выражений типа D) вообще называют эллиптиче-
эллиптическими [в связи с тем обстоятельством, что впервые с ними столк-
столкнулись при решении задачи о спрямлении эллипса, 331, 8)]. Впрочем
это название, в точном смысле, относят обычно лишь к тем из них,
которые не берутся в конечном виде; другие же, вроде
только что приведенных, называют псевдоэллиптическими.
Изучение и табулирование (т. е. составление таблиц значений)
интегралов от выражений D) при произвольных коэффициентах я,
Ь, с, ..., разумеется, затруднительно. Поэтому естественно желание
свести все эти интегралы к немногим таким, в состав которых
входило бы по возможности меньше произвольных коэффициен-
коэффициентов (параметров).
Это достигается с помощью элементарньк преобразований, кото-
которые мы рассмотрим в последующих пп°.
291. Вспомогательные преобразования. 1°. Заметим, прежде всего,
что достаточно ограничиться случаем многочлена 4-й степени под
корнем, ибо к нему легко приводится и случай, когда под корнем
многочлен 3-й степени. Действительно, многочлен 3-й степени ах> +
+ Ьх2 + сх + д с вещественными коэффициентами необходимо
имеет вещественный корень [81], скажем, Я - и, следовательно, до-
допускает вещественное разложение
ах3 + Ьх2 + сх + д = а{х - Х)(х2 +рх + q).
Подстановка х - Я = t2 (или х - Я = -12) и осуществляет требуемое при-
приведение
.77Jtdt.
Впредь мы станем рассматривать лишь дифференциалы, содержащие
корень из многочлена 4-й степени.

291]	§ 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ	87
2°. По известной теореме алгебры, многочлен четвертой степени
с вещественными коэффициентами может быть представлен в виде
произведения двух квадратных трехчленов с вещественными же коэф-
коэффициентами:
ах* + Ъу? + Ъхг +дх + е = а(х2+рх + q)(x2 +p'x + q').	E)
Постараемся теперь надлежащей подстановкой уничтожить в обоих
трехчленах сразу члены первой степени. Мы имели уже дело с по-
подобной же задачей в 284, III (б).
Если р =р', то наша цель достигается, как указывалось, простой
подстановкой x-t~^. Пусть теперь р^р'; в этом случае мы вос-
воспользуемся, как и выше, дробно-линейной подстановкой
flt+V
t+l
Возможность установить вещественные и притом различные значения
для коэффициентов /х и v, как мы видели, обусловлена неравенством
{q-q'f-ip-pXp'q-pq'^O.	F)
Мы уже доказали это неравенство в предположении, что один из
рассматриваемых трехчленов имеет мнимые корни, и это играло
существенную роль в наших рассуждениях. Пусть же теперь трех-
трехчлены E) оба имеют вещественные корни, скажем, первый - корни
а и /3, а второй — корни у и д. Подставляя
р=-{*+Р), q = *p, p'=-(y + 8), q'=yb,
можно переписать F) в виде
(«-У)(«-Л)(|3-У)(/3-«)*О,	F')
а для осуществления этого неравенства достаточно лишь позабо-
позаботиться, чтобы корни трехчленов не перемежались (например, чтобы
было а>/3>у>5), что в нашей власти*.
Таким образом, надлежаще выбрав /х и v, с помощью указанной
подстановки мы получим
* Заметим попутно, что представление неравенства F) в форме F') может
быть использовано для доказательства его и в тех случаях, когда корни а, /3,
невещественны. Если лишь первый трехчлен имеет невещественные, т. е. комплекс-
комплексные сопряженные корни а и /S, а числа у и 6 вещественны, то множители
а-у и ji-y будут сопряженными, так что их произведение будет, как
известно, положительным вещественным числом; то же относится и к множителям
а -/? и /3- 6. Если же как корни а, (I, так и корни у, 6 суть попарно сопря-
сопряженные комплексные числа, то сопряженными же будут множители
а - у и /3 - й, а также а-йи(?-'/, и их произведения снова дадут положительные
вещественные числа.

88	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	[292
что можно также (если исключить случаи вырождения, когда какой-
либо из коэффициентов М, N, M', N' оказывается нулем) переписать
в виде
при А, т и т' отличных от нуля.
3°. С помощью соображений, совершенно аналогичных тем, кото-
которые были применены в начале п° 284, можно свести этот интеграл,
с точностью до интеграла от рациональной функции, к такому:
J
*'"»
л.
Разложим теперь рациональную функцию R*(t) на два слагаемых
д,^ Д*@+Д*(-0 | R40-R4-0
Первое не меняет своего значения при замене t на —t, следовательно
сводится к рациональной функции от t2: R^t2); второе же при указан
ной замене меняет знак, а потому имеет вид R^t2)t *. Рассматриваемый
интеграл представится в форме суммы интегралов
J \A(l + mt*)Q+m't') J
Но второй из них подстановкой u = t2 сразу приводится к элементар-
элементарному интегралу
R2(u)du
и берется в конечном виде. Таким образом, дальнейшему исследова-
исследованию подлежит лишь интеграл
Г , VV"' 	.	G)
292. Приведение к канонической форме. Покажем, наконец, что
каждый интеграл типа G) может быть представлен в форме
J]
где к есть некоторая положительная правильная дробь: 0</:<1. На-
Назовем эту форму канонической.
Положим для краткости
* Ср. замечания по аналогичному поводу в 286,

292]	§ 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ	89
Не умаляя общности, дозволительно считать здесь А= ±1; кроме
того, для определенности ограничимся положительными значениями
t. Рассмотрим теперь различные возможные комбинации знаков А,
т, т' и укажем для каждого случая подстановку, непосредственно
приводящую интеграл G) к канонической форме.
1) А- + 1, т= -h2, т'= -Л'2 (Л>й'>0). Для того чтобы радикал
имел вещественные значения, нужно, чтобы было ?<т или t^-r, ¦
Полагаем
ht = z, где 0 •< z «= 1 или z =» -г, .
Тогда
dt _	dz
У
„|/(l-^l-_.
так что за к здесь следует принять -г .
2) A=+l, m=-h2, m' = h'2 (h, й'>0). Для того чтобы радикал
имел вещественные значения, ограничимся значениями /<т . Пола-
Полагаем
ht=Yl-z2, где С
Тогда
dt_	1_	dz
У ~ УАЧ1/
и можно взять к =.,,
3) ^4 = + 1, m = Л2, т' = Л'2 (Л > К > 0). Изменение ? ничем не стеснено.
Полагаем
ht = , , где
yi-z2
В этом случае
А_	dz
у~
4) J= -I, m= -h2, m' = h'2 (h, А'>0). Изменение < ограничено не-
неравенством *=-т. Берем
1
ht = ~	, где 0«=z«=l,
Vl^z2

90	гл. via. первообразная функция	[293
так что
dt	dz
У	"I/	/A2
2+А'а
и к =
5) А—-\, т= -А2, т'= -Л'2 (Л>Л'>-0). Переменная f может из-
1 1
АИА^
меняться лишь между т и Т7. Полагаем
Имеем
dt _ _	dz
у
я к = -—т— • Этим исчерпываются все возможные случаи, ибо
в случае, когда А= — 1 и оба числа т, т' >0, радикал вообще не мог
бы иметь вещественных значений. О множителе R^t2) мы не гово-
говорили ничего, ибо во всех случаях он, очевидно, преобразовывался в
рациональную функцию от z2.
Отметим еще, что, рассматривая интеграл (8), мы можем огра-
ничиться значениями z<l; случаи z>t приводится к этому подста-
1
новкой fcz = ~, где С<1-
293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода. Теперь остается
изучить простейшие из интегралов вида (8), к которым могли
бы быть сведены все интегралы этого вида, а следовательно, в ко-
конечном счете, и все вообще эллиптические интегралы.
Выделим из рациональной функции R(x), фигурирующей в под-
интегральном выражении (8), целую часть Р(х), а правильно-дробную
ее часть разложим на простые дроби. Если не объединять сопряжен-
сопряженные комплексные корни знаменателя (как мы это делали в 274), а рас-
рассматривать их порознь, подобно вещественным корням, то R(x) пред-
представится в виде суммы степеней *п (и = 0, 1, 2, ...) и дробей вида
, _ .т (т = 1, 2, 3, ...), где а может быть и мнимым числом, умно-
умноженных на числовые коэффициенты. Отсюда ясно, что интеграл (8),
в общем случае, является линейным агрегатом следующих интег-
интегралов:
т _ Г	2Ш dz	гт _ Гfb
" J VCb^Xfr:^ И	m ~ J (r2_e)
(л=0,1,2, ...)	(

293]	§ 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ	91
Остановимся на интегралах /„. Если проинтегрировать (легко про-
проверяемое) тождество
' = Bи-3Ja"-4Vr(l-z2)(l-A:2z2)
+
2n_3
то получится рекуррентное соотношение
Bл - 1)/с2/„ - Bл - 2)(&2 + 1)/л_, + Bи - 3)/п_2 =
= z2n-3f(T^2Xl~"/c2^), (9)
связывающее три последовательных интеграла /. Полагая здесь п = 2,
выразим /2 через /0 и 1г; если взять и = 3 и вместо /2 подставить его
выражение через /0 и /х, то и /3 выразится через эти интегралы. Про-
Продолжая так дальше, легко убедиться, что каждый из интегралов /„(яэ= 2)
выражается через /0 и /1( и даже, учитывая (9), можно установить и
вид связывающей их формулы
где <хп и /3„ - постоянные, а #2n-3(z) есть нечетный многочлен
степени 2и - 3. Отсюда ясно, что если Рп(х) есть многочлен и-й сте-
степени от х, то
(Ш)
где а и /3 - постоянные, а Sn-2(^) есть некоторый многочлен (и-2)-й
степени от х. Определение этих постоянных и коэффициентов много-
многочлена Q может быть произведено (если многочлен Р конкретно за-
задан по методу неопределенных коэффициентов
[ср. 284, Ц).
Заметим, что из (9) можно было бы выразить через /0 и /j инте-
интегралы /„ и при отрицательных значениях (и = - 1, - 2, ...).
так что в интегралах Нт достаточно ограничиться случаем а 5*0.
Переходя к интегралам Нт (скажем, при вещественных а), подоб-
подобным же образом установим для них рекуррентное соотношение
Bт - 2) [ - а + (к2 + 1)а2 - к2ср] Нт -
- B/и - 3)[1 - 2а(к2 + 1) + 3/t2a2] Ят_х +
+ B/и - 4)[(&2 + 1) - 3&2a] Ят_2 - Bт - 5)А:2Ят_3 =

92	ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ	1293
справедливое и при отрицательных и нулевом значениях т. Отсюда
все Нт выразятся через три из них:
dz
tfo=J__|__=/o5
(z*-a)dz
т. е. окончательно через /0, /г и Д^.
Подчеркнем, что все это сохраняет силу и при мнимых значе-
значениях параметра а; однако мы не станем входить здесь в разъяснения
по этому поводу, отсылая читателя к § 5 главы XII.
Итак, в результате всех наших рассуждений мы приходим к такому
общему заключению: все эллиптические интегралы с помощью эле-
элементарных подстановок — и с точностью до слагаемых, выражаю-
выражающихся в конечном виде, - приводятся * к следующим трем стандарт-
стандартным интегралам:
h
dz	г г2 dz
y(l-z2)(l-/c2z2)
f
dz
J A + hz") УA-г2)A-?2г2)
(последний получается из Н1 введением, взамен а 5*0, нового пара-
параметра h= --). Эти интегралы, как показал Лиувилль (J. Liou-
ville), в конечном виде уже не берутся. Их Лежандр назвал элли-
эллиптическими интегралами, соответственно, 1-го, 2-го и 3-го рода. Пер-
Первые два содержат лишь один параметр к, а последний, кроме него,
еще (комплексный) параметр h.
Лежандр внес в эти интегралы еще дальнейшие упрощения,
выполнив в них подстановку z=sin ср ш изменяется от 0 до ^1 . При
этом первый из них непосредственно переходит в интеграл
• Хотя выше даны достаточные указания для того, чтобы вопрос о приведении
произвольного эллиптического интеграла к упомянутым трем мог считаться
принцигиально решенным, но на практике на этом пути могут
встретиться трудности. В специальных монографиях, посвященных эллиптическим
интегралам и смежным вопросам, можно найти другие практически удобные
приемы для этой цели.

293J	§ 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ	93
Второй преобразуется так:
г sm2<pdm 1 г dip	1 с-,п	, 9 • о— _»
г ~—— г;		т-у У1 —A;2 Sin2 (p п(р,
т. е. приводится к предыдущему интегралу и к новому интегралу
4k?siaFq> dtp.	A2)
Наконец, третий интеграл при указанной подстановке переходит в
f	dip
A+Asin2,p)yi-A:2sin2?> '
A3)
Интегралы A1), A2) и A3) также называются эллиптическими инте-
интегралами 1-го, 2-го и 3-го рода - в форме Лежандра,
Из них особую важность и частое применение имеют первые два.
Если считать, что эти интегралы при <р = 0 обращаются в нуль, и тем
фиксировать содержащиеся в них произвольные постоянные, то по-
получатся две вполне определенные функции от гр, которые Л е ж а н д р
обозначил соответственно через Р(к,<р) и E(k,q>). Здесь, кроме неза-
независимой переменной у, указан также параметр к, называемый мо-
модулем, который входит в выражения этих функций.
Лежандром были составлены обширные таблицы значений
этих функций при различных у и различных к. В них не только аргу-
аргумент ср, трактуемый как угол, выражается в градусах, но и модуль
к (правильная дробь!) рассматривается как синус некоторого угла в,
который и указывается в таблице вместо модуля, и притом также
в градусах.
Кроме того, как Лежандром, так и другими учеными были
изучены глубочайшие свойства этих функций, установлен ряд отно-
относящихся к ним формул и т. д. Благодаря этому функции F и Е Ле-
Лежандра вошли в семью функций, встречающихся в анализе и его
приложениях, на равных правах с элементарными функциями.
Низшая часть интегрального исчисления, которой в основном мы
вынуждены пока ограничиться, занимается «интегрированием в ко-
конечном виде». Однако было бы ошибочно думать, что этим ограни-
ограничиваются задачи интегрального исчисления вообще: эллиптические
интегралы F м Е являются примерами таких функций, которые пло-
плодотворно изучаются по их интегральным выражениям и с успехом
применяются, хотя и не могут быть представлены через элементар-
элементарные функции в конечном виде.
Мы еще вернемся к интегралам F и Е в следующей главе и во-
вообще не раз будем с ними встречаться в дальнейших частях курса.

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение и условия существования
определенного интеграла
294. Другой подход к задаче о площади. Вернемся к задаче об опре-
определении площади Р криволинейной трапеции ABCD (рис. 4), которой
мы уже занимались в 264. Мы изложим сейчас другой подход
к решению этой задачи *.
Разделим основание АВ нашей
фигуры произвольным образом на
части и проведем ординаты, со-
соответствующие точкам деления;
тогда криволинейная трапеция
разобьется на ряд полосок (см.
рисунок).
Заменим теперь приближенно
каждую полоску некоторым пря-
прямоугольником, основание кото-
которого то же, что и у полоски, а
высота совпадает с одной из ординат полоски, скажем с крайней
слева. Таким образом, криволинейная фигура заменится некото-
некоторой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоуголь-
прямоугольников.
Обозначим абсциссы точек деления через
Рис. 4.
i = a<Xi-=:
A)
Основание /-го прямоугольника (г = 0, 1, 2, ..., п- 1), очевидно, равно
разности xl+1-xh которую мы будем обозначать через Axt. Что же
касается высоты, то, по сказанному, она равна .у, = /(*,). Поэтому
площадь z-го прямоугольника будет у(Ах1	А
* Обобщая при этом идею, уже однажды примененную в частном примере
[32, 4].

294]	§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ	95
Просуммировав площади всех прямоугольников, получим при-
приближенное значение площади Р криволинейной трапеции
^1 или P^2
1=0
Погрешность этого равенства при безграничном убывании всех zlx,
стремится к нулю. Точное значение площади Р получится как пре-
предел:
P=1ua2ytAx, = ]im2f(xd Axn	B)
в предположении, что все длины Axt одновременно стремятся к 0.
Тот же прием применим и к вычислению площади Р(х) фигуры
AMND (рис. 2), лишь дробить на части пришлось бы отрезок AM.
Заметим еще, что случай, когда у = f(x), принимает и отрицательные
значения, исчерпывается заключенным в 264 условием считать пло-
площади частей фигуры под осью х отрицательными.
Для обозначения суммы вида %УАх (вернее сказать - пре-
предельного значения этой суммы) Лейбниц и ввел символ
у dx, где у dx напоминает типичное слагаемое суммы, а I есть сти-
стилизованная буква S - начальная буква латинского слова «Summa» *.
Так как площадь, представляющая это предельное значение, в то же
время является первообразной для функции у, то тот же символ со-
сохранился и для обозначения первообразной функции. Впоследствии,
с введением функционального обозначения, стали писать
\f(x)dx,
если речь идет о переменной площади, и
ь
i dx
/л*).
- в случае площади фиксированной фигуры ABCD, отвечающей из-
изменению х от а до Ъ.
Мы воспользовались интуитивным представлением о площади,
чтобы естественно подойти к рассмотрению пределов своеобразных
сумм вида B) (которые исторически и были введены в связи с за-
задачей о вычислении площади). Однако самое понятие площади ну-
нуждается в обосновании, и - если речь идет о криволинейной трапе-
трапеции - оно достигается именно с помощью упомянутых пределов.
Разумеется, этому должно быть предпослано изучение пределов B)
• Термин «интеграл» (от латинского integer - целый) был предложен учеником
и сподвижником Лейб ница Иоганном Бернулли (Ioh. Bernoulli); Лейб-
Лейбниц первоначально и говорил «сумма».

96	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[295
самих по себе, отвлекаясь от геометрических соображений, чему и
посвящена настоящая глава.
Пределы вида B) играют исключительно важную роль в матема-
математическом анализе и в разнообразных его приложениях. К тому же
в различных видоизменениях развиваемые здесь идеи будут неодно-
неоднократно повторяться на всем протяжении курса.
295. Определение. Пусть функция f(pc) задана в некотором про-
промежутке [а, Ь]. Разобьем этот промежуток произвольным образом
на части, вставив между а и Ъ точки деления A). Наибольшую
из разностей Ах{, = xi+1 - xt (i=0, 1,2, ..., п- 1) будем впредь обозна-
обозначать через А.
Возьмем в каждом из частичных промежутков [xj, xi+1] по про-
произволу точку х =?,•*
Xi'sii'sxt^ (/=0, 1, ..., п - 1)
и составим сумму
о= ЛЬ) Да.
Говорят, что сумма а при А-<-0 имеет (конечный) предел I, если для
каждого числа е >¦ 0 найдется такое число й =» 0, что, лишь только
А<<5 (т. е. основной промежуток разбит на части, с длинами /Ьс,<й),
неравенство
\\
выполняется при любом выборе чисел ?,-.
Записывают это так:
/=1Ш1G.	C)
Этому определению «на языке г-й», как обычно, противопоста-
противопоставляется определение «на языке последовательностей». Представим
себе, что промежуток [а, Ь] последовательно разбивается на части,
сначала одним способом, затем - вторым, третьим и т. д. Такую по-
последовательность разбиений промежутка на части мы будем называть
основной, если соответствующая последовательность значений
Я = ЯХ, Д2, Х3, ... сходится к нулю.
Равенство C) можно понимать теперь и в том смысле, что по-
последовательность значений суммы а, отвечающая любой основной
последовательности^ разбиений промежутка, всегда стремится к пре-
пределу I, как бы ни выбирать при этом !,-.
Доказательство равносильности обоих определений может быть
проведено в том же порядке идей, что и в 53. Второе определение
• Выше мы в качестве!,- брали во всех случаях наименьшее значение

296|	§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ	97
позволяет перенести основные понятия и предложения теории преде-
пределов и на этот новый вид предела.
Конечный предел 1 суммы о при Д-»0 называется определен-
определенным интегралом функции f(x) в промежутке от а до Ь и
обозначается символом	0
в случае существования такого предела функция f(x) называется и н-
тегрируемой в промежутке [а, Ь].
Числа аяЬ носят название, соответственно, нижнего и верх-
верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах опреде-
определенный интеграл представляет собой постоянное число.
Приведенное определение принадлежит Риману (В. Riemann),
который впервые высказал его в общей форме и исследовал область
его применения. И самую сумму а иногда называют римановой
суммой*; мы же будем предпочтительно называть ее интеграль-
интегральной суммой, чтобы подчеркнуть ее связь с интегралом.
Поставим теперь себе задачей — выяснить условия, при которых
интегральная сумма а имеет конечный предел, т. е. существует опре-
определенный интеграл D).
Прежде всего заметим, что высказанное определение в действи-
действительности может быть приложено лишь к ограниченной функ-
функции. В самом деле, если бы функция f(x) была в промежутке [а, Ь]
неограничена, то - при любом разбиении промежутка на части - она
сохранила бы подобное свойство хоть в одной из частей. Тогда за
счет выбора в этой части точки ? можно было бы сделать /(?), а с ней
и сумму а, - сколь угодно большой; при этих условиях конечного
предела для а, очевидно, существовать не могло бы. Итак, интегри-
интегрируемая функция необходимо ограничена.
Поэтому в дальнейшем исследовании мы будем наперед предпо-
предполагать рассматриваемую функцию f(x) ограниченной
x)*zM (если
296. Суммы Дарбу. В качестве вспомогательного средства иссле-
исследования, наряду с интегральными суммами, введем в рассмотрение,
по примеру Дарбу, еще другие, сходные с ними, но более простые
суммы.
Обозначим через /и,- и М,, соответственно, точные нижнюю и верх-
верхнюю границы функции f(x) в /-м промежутке [х,-, х, , J и составим
суммы
;=о	,=о
* На деле еще К о ш и отчетливо пользовался пределами подобных сумм,
но лишь для случая непрерывной функции.
Г. М. Фихтенгольц, т. II

98	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[296
Эти суммы и носят название, соответственно, нижней и верх-
верхней интегральных сумм, или сумм Дарбу.
В частном случае, когда f(x) непрерывна, они являются
просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм, отвечаю-
отвечающих взятому разбиению, так как в этом случае функция Дх) в каждом
промежутке достигает своих точных границ, и точки ^ можно
выбрать так, чтобы - по желанию - было
|и, или
Переходя к общему случаю, из самого определения нижней и верх-
верхней границ имеем
Умножив члены обоих этих неравенств на Axt {Axt положительно)
и просуммировав по /, получим
При фиксированном разбиении суммы s я S будут постоянными
числами, в то время как сумма а еще остается переменной ввиду
произвольности чисел !,-. Но легко видеть, что за счет выбора ?/ мо-
можно значения /(!/) сделать сколь угодно близкими как к mh так и к
М-,, а значит — сумму а сделать сколь угодно близкой к s или к S.
А тогда предыдущие неравенства приводят к следующему уже об-
общему замечанию: при данном разбиении промежутка суммы
Дарбу s и S служат точными, соответственно, нижней и
верхней границами для интегральных сумм.
Суммы Дарбу обладают следующими простыми свойствами:
1-е свойство. Если к имеющимся точкам деления добавить
новые точки, то нижняя сумма Дарбу может от этого разве
лишь возрасти, а верхняя сумма - разве лишь уменьшиться.
Доказательство. Для доказательства этого свойства до-
достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся точкам де-
деления еще одной точки деления х'.
Пусть эта точка попадет между точками хк и хк+1, так что
Если через 5" обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней
S она будет отличаться только тем, что в сумме S промежутку [хк, хк+1]
отвечало слагаемое
а в новой сумме S" этому промежутку отвечает сумма двух слагае-
слагаемых
Мк(х' - хк) + Мк(хк+1 - х'),

2961	§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ	99
где Мк и Мк суть точные верхние границы функции f(x) в проме-
промежутках [хк, х'] и [л"', Xfc+J- Так как эти промежутки являются частями
промежутка [xk,xk+i], то
так что
Мк(х' - xk)*sMk(x' - хк),
Mk(xk+1-x')*zMk(xk+1~x').
Складывая эти неравенства почленно, получим
Мк(х' - хк) + Мк(хк+1 - x')*sMk(xk+1 - хк).
Отсюда и следует, что 5" «s S. Для нижней суммы доказательство ана-
аналогично этому.			__
Замечание. Так как разности Мк-Мк и Мк-Мк, очевидно,
не превосходят колебания Q функции f(x) во всем промежутке [а, Ь],
то разность S— S' не может превзойти произведения QAxk. Это оста-
остается справедливым и в том случае, если в к-оы промежутке взято
несколько новых точек деления.
2-е свойство. Каждая нижняя сумма Дарбу не превос-
превосходит каждой верхней суммы, хотя бы отвечающей и другому раз-
разбиению промежутка.
Доказательство. Разобьем промежуток [а, Ь] произволь-
произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу
«1 и -S,.	A)
Рассмотрим теперь некоторое другое, никак не связанное с пер-
первым, разбиение промежутка [а, Ь]. Ему также будут отвечать его суммы
Дарбу
s2 и S2.	(И)
Требуется доказать, что .у^.^. С этой целью объединим те и дру-
другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное,
разбиение, которому будут отвечать суммы
s3 и S3.	(Ill)
Третье разбиение мы получили из первого добавлением новых то-
точек деления; поэтому, на основании доказанного 1-го свойства сумм
Дарбу, имеем
Сопоставив теперь второе и третье разбиения, точно гак же за-
заключаем, что

100	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	B97
Но s~*sS3, так что из только что полученных неравенств выте-
вытекает
что и требовалось доказать.
Из доказанного следует, что все множество {s} нижних сумм огра-
ограничено сверху, например, любой верхней суммой S. В таком случае
[11] это множество имеет конечную точную верхнюю границу
и, кроме того,
какова бы ни была верхняя сумма S. Так как множество {S} верхних
сумм, таким образом, оказывается ограниченным снизу числом /*,
то оно имеет конечную точную нижнюю границу
причем, очевидно,
Сопоставляя все сказанное, имеем
s*sI^I**sS	E)
для любых нижней и верхней сумм Дарбу.
Числа /.,. и /* называют, соответственно, нижним и верхним ин-
интегралами Дарбу [ср. ниже 301].
297. Условие существования интеграла. С помощью сумм Дарбу
теперь легко сформулировать это условие.
Теорема. Для существования определенного интеграла необходимо
и достаточно, чтобы было
lim(S-j) = 0.	F)
л-»о
Сказанное в 295 достаточно для уяснения смысла этого предела.
Например, «на языке е-д», условие F) означает, что для любого г=-0
найдется такое д>0, что лишь только А<<5 (т. е. промежуток разбит
на части с длинами Axt ¦= 8), тотчас выполняется неравенство
Доказательство. Необходимость. Предположим,
что существует интеграл D). Тогда но любому заданному е > 0 най-
найдется такое й~-0, что лишь только все Zbc,<#, тотчас
а -7|<е или /-е-=(Т-</+г,
как бы мы ни выбирали |,- в пределах соответствующих промежут-
промежутков. Но суммы s и S, при заданном разбиении промежутка, являются,

298]	§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ	101
как мы установили, для интегральных сумм, соответственно, т о ч-
н ы м и нижней и верхней границами; поэтому для них будем иметь
так что
lims=/, \im S=I,	G)
Д-»0	А-»0
откуда и следует F).
Достаточность. Предположим, что условие F) выполнено;
тогда из E) сразу ясно, что /*=/* и, если обозначить их общее зна-
значение через /,
s^kS.	E*)
Если под о разуметь одно из значений интегральной суммы, отве-
отвечающей тому же разбиению промежутка, что и суммы s, S, то, как
мы знаем,
Согласно условию F), если предположить все Axt достаточно малыми,
суммы s я S разнятся меньше, чем на произвольно взятое е>0. Но
в таком случае это справедливо и относительно заключенных между
ними чисел о и /:
\в -/|<е,
так что / является пределом для а, т. е. определенным интегралом.
Если обозначить колебание М,- - mt функции в г-ом частичном про-
промежутке через со,-, то будем иметь
S-s=Z (М,- - т,) Axi=5 <°М >
1=0	/=0
и условие существования определенного интеграла может быть пере-
переписано так:
lim 24^ = 0.	(8)
А-»0 (=0
В этой форме оно обычно и применяется.
298. Классы интегрируемых функций. Применим найденный нами
признак к установлению некоторых классов интегрируемых
функций.
I. Если функция f{x) непрерывна в промежутке [а, Ь], то она ин-
интегрируема.
Доказательство. Раз функция f(x) непрерывна, то на осно-
основании следствия из теоремы Кантора [87] по заданному е>0
всегда найдется такое <5=-0, что лишь только промежуток [а,Ь] раз-
разбит на части с длинами Ах^д, то все со;<г. Отсюда
л-1	п-1
xj =e(b - а).

102	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[298
Так как Ь-а есть постоянное число, а е произвольно мало, то
условие (8) выполняется, а из него и вытекает существование инте-
интеграла. Можно несколько обобщить доказанное утверждение.
И. Если ограниченная функция f{x) в [а, Ь] имеет лишь конечное
число точек разрыва, то она интегрируема.
Доказательство. Пусть точки разрыва будут х', х", ..., х^кК
Возьмем произвольное е>0. Окружим точки разрыва окрестностями
(х'-е\ х'+е'), (х"-е", х"+е"), ...,(*<*>-е<к>, *<« + е<*>)
таким образом, чтобы длина каждой была меньше е. В оставшихся
(замкнутых) промежутках функция f{x) будет непрерывной, и мы
можем применить к каждому из них в отдельности следствие из
теоремы Кантора. Из полученных по е чисел д выберем наимень-
наименьшее (его мы также будем обозначать буквой 8). Тогда оно будет
годиться для каждого из указанных выше промежутков. Ничто нам
не мешает взять при этом <5<е. Разобьем теперь наш промежуток
[а, Ь] на части так, чтобы их длины Axt все были меньше д. Полу-
Полученные частичные промежутки будут двух родов:
1)	Промежутки, лежащие целиком вне выделенных окрестностей
около точек разрыва. В них колебание функции ш,-<е.
2)	Промежутки, либо заключенные целиком внутри выделенных
окрестностей, либо частью на эти окрестности налегающие.
Так как функция fix) предположена ограниченной, то колебание
ее Q во всем промежутке [а, Ь] будет конечно; колебание же в любом
частичном промежутке не превосходит Q.
Сумму
разобьем на две:
распространенные, соответственно, на промежутки первого и второго
рода.
Для первой суммы, как и в предыдущей теореме, будем иметь
^(Oi'Axf-^e^Axi'^si}} - a).
Что касается второй суммы, то заметим, что длины промежутков
второго рода, целиком попавших внутрь выделенных окрестностей,
в сумме <fce; промежутков же, лишь частично налегающих на них,
может быть не больше 2к, и сумма их длин <2кд, а значит и подавно
<2&е. Следовательно,
=Q - Ъке.

299J	§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ	103
Таким образом, окончательно, при Axt-<5 имеем
«[(* - а) + Зкп].
Это и доказывает наше утверждение, так как в квадратных скоб-
скобках содержится постоянное число, а е произвольно мало.
Наконец, укажем еще один простой класс интегрируемых функций,
не покрывающийся предыдущим.
III. Монотонная ограниченная функция Дх) всегда интегрируема.
Доказательство. Пусть f(x) - монотонно возрастаю-
возрастающая функция. Тогда ее колебание в промежутке [xh xi+1] будет
Зададимся любым е>0 и положим
t	e
ЯЬ)-/(а) •
Как только /Ьс,<й, тотчас будем иметь
2щЛх^Ь Z[f(xi+1)-/(*,)] = д\ДЬ)-Да)] =е,
откуда и следует интегрируемость функции.
299. Свойства интегрируемых функций. Из признака п° 297 можно
вывести и ряд общих свойств интегрируемых функций.
I. Если функция f(x) интегрируема в промежутке [а, Ь], то и функ-
функции \f(x)\ и kf(x) (где k = const) интегрируемы в этом промежутке.
Доказательство проведем для функции |/(х)|. Так как
для любых двух точек х', х" промежутка [xh xi+1] имеем [17]
то и колебание tof функции \f(x)\ в этом промежутке не превосходит
«о,- [85]. Отсюда
так как последняя сумма стремится к нулю (при А-»0), то первая и
подавно, что влечет интегрируемость функции |Дх)|.
II. Если две функции f(x) и g(x) интегрируемы в промежутке [а, Ь],
то их сумма, разность и произведение также интегрируемы.
Доказательство ограничим случаем произведения f(x)g(x).
Пусть \f(x)\=*sK, \g(x)\*sL. Взяв в промежутке [Xj, x,+1] любые
две точки х', х", рассмотрим разность
f(x")g{x") -f(x')g(x') = [/(*") - Д

104	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[299
Очевидно,
|/(*'W) -Я*'Ж*')| ^ьщ+кщ,
если через coh щ обозначить, соответственно, колебания функций f(x),
g(x) в промежутке [xt, x,+1]. Но тогда [85] и для колебания Qt функ-
функции f(x)g(x) в этом промежутке будем иметь
откуда
Так как две последние суммы стремятся к нулю (при Я->О), то пер-
первая и подавно, что и доказывает интегрируемость функции f(x)g{x).
III.	Если функция f(x) интегрируема в промежутке [а, Ъ], то она
интегрируема и в любой части [а, /3] этого промежутка. Наоборот,
если промежуток [а, Ь] разложен на части, и в каждой части в от-
отдельности функция f(x) интегрируема, то она интегрируема и во всем
промежутке [а, Ь].
Доказательство. Предположим, что функция f{x) интегри-
интегрируема в промежутке [а, Ь], и построим для этого промежутка сумму
2}(QjAxt (считая, что а и /? входят в состав точек деления). Аналогич-
Аналогичная сумма для промежутка [а, /?] получится отсюда, если опустить
ряд (положительных) слагаемых; она наверно стремится к нулю, если
стремится к нулю первая сумма.
Пусть теперь промежуток [а, Ь] разложен, скажем, на две части
[а, с] и [с, Ь] (где а<с<?), и в каждой из них функция f(x) интегри-
интегрируема. Возьмем снова сумму ^со^х,- для промежутка [а, Ь]; если
точка с оказалась в числе точек деления, то названная сумма соста-
составится из двух подобных же сумм для промежутков [а, с] и [с, Ь] и вме-
вместе с ними стремится к нулю. Заключение это остается в силе и для
случая, когда с не является точкой деления: присоединив эту точку,
мы изменим лишь один член суммы, который сам, очевидно, стре-
стремится к нулю.
IV.	Если изменить значения интегрируемой функции в конечном
числе ( = &) точек, то интегрируемость ее не нарушится.
Доказательство очевидно, ибо упомянутые изменения кос-
коснутся не более чем к членов суммы ^со,/1л:,-.
Легко понять, что и значение самого интеграла при этом не по-
потерпит изменения. Это вытекает из того, что для обеих функций -
исходной и измененной - точки |,- в интегральной сумме всегда мо-
можно выбирать так, чтобы они не совпадали с теми точками, для ко-
которых значения их разнятся.
Замечание. Благодаря этому свойству мы получаем возмож-
ь
ность говорить об интеграле f(x)dx даже тогда, когда функция f(x)

300]	§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ	105
не определена в конечном числе точек промежутка [а, Ь]. При этом
можно приписать в этих точках нашей функции совершенно произ-
произвольные значения и рассматривать интеграл от функции, определен-
определенной таким образом во всем промежутке. Как мы видели, ни суще-
существование этого интеграла, ни величина его не зависят от значений,
приписанных функции в точках, где она не была определена.
300. Примеры и дополнения. В качестве упражнения приведем еще примеры
применения признака п° 297 к конкретным функциям.
1) Вернемся к функции, рассмотренной в 70, 8): /(*) = —, если х есть несокра-
р	Я
тимая правильная дробь —, и равно 0 в прочих точках промежутка [0, 1].
а
Пусть промежуток [0, 1] разбит на части с длинами zbc,=sA. Возьмем произ-
произвольное натуральное число N. Все частичные промежутки распределим на два
класса:
р
(а)	К первому отнесем промежутки, содержащие числа — со знаменателями
q
q=sN; так как таких чисел существует лишь конечное число к = к^, то и промежут-
промежутков первого рода будет не больше 2к, а сумма их длин не превзойдет 2кк.
(б)	Ко второму отнесем промежутки, не содержащие указанных чисел; для
них колебание о>,-, очевидно, меньше —.
N
Если соответственно этому разложить сумму JZcoiAxj на две и оценить каждую
порознь, то получим в результате
Взяв сначала N-—, а затем А-=	= <5, будем иметь ?ацАх(~=?, что доказывает
г	4км
интегрируемость функции.
Пример этот интересен тем, что функция здесь имеет бесчисленное
множество точек разрыва и все же интегрируема. [Впрочем, примеры такого рода
можно построить и на основе теоремы III.]
2)	Теперь рассмотрим вновь функцию Дирихле [46; 70, 7)] %(х)=1, если
х — рациональное число, и 0, если х иррационально. Так как в любой части про-
промежутка [0, 1] колебание этой функции а>=1, то и ]?щАх1=\, так что функция
заведомо не интегрируема.
3)	Критерий существования определенного интеграла, выведенный в 297,
может быть представлен в следующей форме:
Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы
по заданным числам е=»0 и сг=-0 можно было найти такое д>0, что, лишь только
все Ax;~zd, сумма
длин тех промежутков, которым отвечают колебания
сама

106	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[301
Необходимость ясна из неравенства
4Jj
С
если, за счет выбора <5, сделать первую сумму меньшей чем га.
Достаточность же вытекает из оценок:
2j	^j	]%	Qa +e(b - a).
i	i'	I"	i'	I"
(Здесь Q, как всегда, означает колебание функции во всем рассматриваемом про-
промежутке; значком i" отмечены частичные промежутки, в которых колебания
ео/"-=е.)
4)	Применим критерий в этой новой форме к доказательству следующего
предложения:
Если функция fix) интегрируема в промежутке [а, Ь], причем значения
ее не выходят за пределы промежутка [с, d], в котором непрерывна функция
<р(у), то сложная функция <p(f(x)) также интегрируема в [а, Ь].
Возьмем по произволу числа г>0 и <г>0. По числу е, в силу непрерывности
функции (р(у), найдется такое jj»O, что в любом промежутке значений у с длиной
-=?7 колебание функции <р будет <=е.
Ввиду интегрируемости функции / по числам г/ и а теперь найдется такое 5,
что лишь только промежуток разбит на части с длинами Ах(<д, сумма 2jAxi'
i'
длин тех из них, для которых колебания функции /: a>j'[/]B= т/, сама меньше а [см.
3)]. Для прочих промежутков имеем a>rlf]^v> a следовательно, по самому выбору
числа rj, ш;"[<р(/)] < е. Таким образом, для сложной функции qj(f(x)) колебания
могут оказаться э=е лишь в некоторых из промежутков первой группы, сумма длин
которых заведомо -=<г. Применяя к сложной функции критерий 3), убеждаемся
в ее интегрируемости.
5)	Если и относительно функции <р предположить лишь интегрируемость,
то сложная функция может оказаться и неинтегрируемой. Вот пример:
В качестве функции fix) возьмем ту, которая была уже изучена выше в 1);
она интегрируема в промежутке [0, 1], причем значения ее также не выходят за
пределы этого промежутка. Далее, пусть
для 0
Функция <р0') также интегрируема в [0, 1].
Сложная же функция q>(f(x)), как легко видеть, совпадает с функцией Дирих-
л е [см. 2)]: она не интегрируема в [0, 1].
301. Нижний и верхний интегралы как пределы. В заключение мы вернемся к ниж-
нижнему и верхнему интегралам, которые в п° 296 были определены как точные
границы сумм Дарбу s и S. Мы покажем теперь, что вместе с тем они
являются и пределами названных сумм.
Теорема Дарбу. Какова бы ни была ограниченная функция f(x), для нее
всегда
Доказательство проведем, например, для верхних сумм.
Прежде всего, по наперед заданному е>0, возьмем такое разбиение проме-
промежутка [а, Ь], что для отвечающей ему верхней суммы 5" будет
5'-=/*+!;	(9)

301)	§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ	107
но возможно, так как /* служит точной нижней границей для множества
верхних сумм. Пусть это разбиение содержит т' (внутренних) точек деления.
Положим теперь
~ Zm'D'
rjafiji означает колебание функции f(x) во всем промежутке [а, Ь], и рассмотрим
произвольное разбиение промежутка, для которого все /Ьс,--= 6; пусть ему
отвечает сумма S.
Для того чтобы оценить разность между S и /*, введем еще третье разбиение
нашего промежутка, объединив точки деления первых двух разбиений. Если соот-
соответствующая ему верхняя сумма есть S", то, по 1-му свойству сумм Дарбу
[296], S"=sS\ так что и подавно [см. (9)]
S"^I*+t-.	(Ю)
С другой же стороны, по замечанию п° 296 разность S-S" не превосходит произ-
произведения Q на сумму длин Ах( тех промежутков второго разбиения, внутрь которых
попали точки деления первого разбиения. Но число таких промежутков не больше
т', а длина каждого из них меньше 8, так что
-,
откуда, в связи с A0),
S^l*+e.
Так как, с другой стороны, S&/*, то, лишь только /U,-= 8,
так что, действительно, S-I*.
Из доказанной теоремы непосредственно следует, что всегда
Это соотношение позволяет высказать критерий существования интеграла в сле-
следующей форме [ср. 297]:
Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы
пилений и верхний интегралы Дарбу были между собой равны
При выполнении его, очевидно, их общее значение и дает величину определенного
интеграла.
Новая форма условия имеет некоторое преимущество перед прежней. Для
того чтобы убедиться в равенстве интегралов Дарбу, достаточно установить,
что неравенству
при произвольном е удовлетворяет хоть одна пара сумм s и 5. Действительно,
в силу E), тогда будет также
0/=S*-/,-=?,
откуда, ввиду произвольности е, и вытекает требуемое равенство.
Легко сообразить, как в соответствии с этим может быть облегчено и условие
интегрируемости, высказанное в предыдущем п° [см. 3I.

108	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[302
§ 2. Свойства определенных интегралов
302. Интеграл по ориентированному промежутку. До сих пор, говоря
об «определенном интеграле в промежутке от а до Ь», мы всегда под-
подразумевали, что а-<Ь. Устраним теперь это стеснительное ограни-
ограничение.
С этой целью мы, прежде всего, устраним понятие направ-
направленного или ориентированного промежутка. Под ори-
ориентированным промежутком [а,Ь] (где может быть и а<Ъ и
а>Ь) мы будем разуметь множество значений х, удовлетворяющих
неравенствам, соответственно,
a=sx*sb или
и расположенных или упорядоченных от а к Ь, т. е.
в порядке возрастания, если а-<Ь, или убывания, если а>Ь. Таким
образом, мы различаем промежутки [а, Ь] и [Ь, а]: совпадая по своему
составу (как числовые множества), они разнятся по направле-
направлению.
То определение интеграла, которое было дано в 295, относится
к ориентированному промежутку [а, Ь], но лишь для случая,
когда а^Ъ.
Обратимся к определению интеграла в ориентированном проме-
промежутке [а, Ь], в предположении, что а>Ь. Можно повторить для этого
случая обычный процесс дробления промежутка путем вставления
точек деления, идущих в направлении от а к i:
Выбрав в каждом частичном промежутке [х,-, х,+1] по точке ?,-, так
что л:,-э=?г-з= xi+1, составим интегральную сумму
i=o
где - на этот раз - все Axt = xi+1 - xt < 0. Наконец, предел этой суммы
при Д = тах |^х;| ->0 и прртведет нас к понятию интеграла
| f(x)dx = lim a.
Если для промежутков [а, Ь] и [Ь, а] (где а^Ь) взять те же точки
деления и те же точки |, то отвечающие им интегральные суммы будут
разниться лишь знаками. Отсюда, переходя к пределам, полу-
получаем такое предложение:

303)	§ 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	109
1°. Если f(pc) интегрируема в промежутке [Ь, а], то она интегри-
интегрируема и в промежутке [а, Ь], причем
Впрочем, можно было бы именно это равенство принять за опре-
ь
деление интеграла при я=-й в предположении, что интеграл
а	и
существует.
ь
Заметим еще, что по определению же полагают
303. Свойства, выражаемые равенствами. Перечислим дальнейшие
свойства определенных интегралов, выражаемые равенствами*.
2°. Пусть f(x) интегрируема в наибольшем из промежутков [а, Ь],
[а, с] и [с, Ь]**. Тогда она интегрируема в двух других, и имеет место
равенство
) dx = \f{x) dx + \f(x) dx,
каково бы ни было взаимное расположение точек а, Ъ и с.
Доказательство. Положим сначала, что а^с-^b и функ-
функция интегрируема в промежутке [а, Ь].
То, что функция интегрируема в промежутках [а, с] и [с, Ь], сле-
следует из 299, III.
Рассмотрим разбиение промежутка [а, Ь] на части, причем точку
с будем считать одной из точек деления. Составив интегральную сум-
сумму, будем иметь (смысл обозначений ясен)
* Здесь и впредь, если речь идет об интеграле , мы считаем возможным
и
(при отсутствии специальной оговорки) оба случая: а-= b и а =-Ь.
** Вместо этого можно было бы предположить, чгго функция f(x) интегрируема
is каждом из двух меньших промежутков: тогда она была бы интегрируема и в
большем.

110	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[304
Переходя к пределу при А-*0, мы и получим требуемое равенство.
Другие случаи расположения точек а, Ъ, с приводятся к этому.
Пусть, например, Ъ-^скс и функция f(x) интегрируема в проме-
промежутке [с, Ь], или - что то же ввиду 1° - в промежутке [Ь, с]. В этом
случае, по доказанному, будем иметь
откуда, перенося первый и второй интегралы из одной части равен-
равенства в другую и переставив пределы (на основании свойства 1°), при-
придем опять к прежнему соотношению.
3°. Если f(x) интегрируема в промежутке [а, Ь], то и kf(x) (где
к = const) также интегрируема в этом промежутке, причем
4°. Если f(x) и g(x) - обе интегрируемы в промежутке [а, Ь], то
и f(x)±g(x) также интегрируема в этом промежутке, причем
ь	ь	ь
J [/(*) ±g(x)] dx = J/(x) dx ± fax) dx.
В обоих случаях доказательство строится аналогично, исходя из
интегральных сумм и переходя к пределу. Проведем его, например,
для последнего утверждения.
Разобьем промежуток [а, Ь] произвольно на части и составим ин-
интегральные суммы для всех трех интегралов. При этом точки |,- в
каждом частичном промежутке выбираем произвольно, но для всех
сумм одни и те же; тогда будем иметь
Пусть теперь А-0; так как для обеих сумм справа пределы суще-
существуют, то существует предел и для суммы слева, чем устанавливается
интегрируемость функции f{x)+g(x). Переходя в предыдущем равен-
равенстве к пределам, приходим к требуемому соотношению.
Замечание. Обращаем внимание на то, что при доказатель-
доказательстве двух последних утверждений не было надобности опираться на
предложения 299, I и II: интегрируемость функций kf(x) и f(x)±g(x)
устанавливается непосредственно переходом к пределу.
304. Свойства, выражаемые неравенствами. До сих пор мы рас-
рассматривали свойства интегралов, выражаемые равенствами; перейдем
теперь к таким, которые выражаются неравенствами.

304]	§ 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	111
5°. Если функция f(x), интегрируемая в промежутке [а, Ь], н е-
отрицательна и а<Ь, то
Доказательство очевидно.
Труднее доказать более точный результат:
Если функция /(.*), интегрируемая в промежутке [а, Ь], положи-
положительна и а^Ь, то
ь
>0.
Доказательство проведем от противного. Допустим, что
ъ
Тогда при Я—0 и верхняя сумма Дарбу ? также стремится к нулю
[297 G)]. Взяв произвольное %>(), можем сделать эту сумму мень-
меньшей чеме^б - а). При этом хотя бы одна из верхних границ Мг- окажется
меньшей е1, иными словами, найдется в [а, Ь] такая часть [ах, Ьг], в
пределах которой все значения f(x) <ег.
Так как и
то, аналогично, из [flx,^] выделится часть [а2,Ь^\, в пределах кото-
которой Дх)<?2, где е2 - любое положительное число <ех, и т. д.
Взяв последовательность положительных чисел ек-~0, можно опре-
определить такую последовательность вложенных один в другой (и - если
угодно - убывающих по длине до 0) промежутков [ак, Ьк], что
0</W-=eA, если ак^х^Ък (к= 1, 2, 3, ...).
* Действительно, по 2°:
6 ах 6j b
1 = 1 + 1 + 1 и, так как Г з=0, Г =»0,
а а аг Ьх
ТО
ь, ь

112	ГЛ. JX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[304
Тогда по лемме п° 38 существует точка с, общая всем этим про-
промежуткам; для нее должно быть
0</(c)<efc при *= 1,2,3, ....
что невозможно, ибо ек-*0. Теорема доказана.
Простым следствием отсюда (и из 4°) является
6°. Если две функции Дх) и g(x) интегрируемы в промежутке [а, Ь]
и всегда /(x)=s^(.x) [или f(x)-<g{x)\ то и
b	b	b	!>
f(x) dx*s \g(x) dx [или J7(x) dx < \g{x) dx\
a	a	a	a
в предположении, что а<Ь.
Нужно лишь применить предыдущее свойство к разности g(x) -f(x).
Так же легко получается:
7°. Пусть функция f(x) интегрируема в npoAi ¦т,с\тке [а, Ь] и а<Ъ,
тогда имеем неравенство
Ь	b
Существование последнего интеграла следует из 299, I. Свойство
6° применяем затем к функциям
-1 Л*) |*Я*)*|/(*)!•
Впрочем неравенство легко получить и непосредственно, исходя
из интегральных сумм*
и переходя к пределам.
8°. Если f(x) интегрируема в [а, Ь], где а-<Ь, и если во всем этом
промежутке имеет место неравенство
то
ь
m{b — a)=s f(x) dx =s M(b — a).
Можно применить свойство 6° к функциям т, f(x) и М, но проще
непосредственно воспользоваться очевидными неравенствами
и перейти к пределу.
* Так как я«=Л, то вес

304)
§ 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ИЗ
Доказанным соотношениям можно придать более удобную форму
равенства, освобождаясь в то же время от ограничения а-<Ь.
9°. Теорема о среднем значении. Пусть f(x) интегрируема
в [°> b] (a'S-b) и пусть во всем этом промежутке т?г==/(х)==М; тогда
где
Доказательство. Если а <Ь, то по свойству 8° будем иметь
откуда
Положив
т(Ь - a) =s J/(x) dx *s Мф - a),
a
b
mss±- J/(;
получаем требуемое равенство.
a
Для случая, когда а > Ъ, проводим эж ох рассуждение для J , а
б
затем, переставив пределы, приходим к прежней формуле.
Только что доказанное равенство принимает особенно простой
вид, когда функция Дх) непрерывна. Действительно, если
считать, что т и М суть наибольшее и наименьшее значения функции,
существующие по теореме В е й-
е р ш т р а с с а, 85, то и проме-
промежуточное значение /*, по теореме
Больцано-Коши, 82, дол-
должно приниматься функцией Дх)
в некоторой точке с промежутка
[а, Ь]. Таким образом,
ь
0	Рис. 5.
где с содержится в [а, Ь].
Геометрический смысл последней формулы ясен. Пусть
Рассмотрим криволинейную фигуру ABCD (рис. 5) под кривой y=f(x).
Тогда площадь криволинейной фигуры (выражаемая определенным
Г. М. Фихтенгольц, т. П

114	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[304
интегралом) равна площади прямоугольника с тем же основанием
и с некоторой средней ординатой LM в качестве высоты.
10°. Обобщенная теорема о среднем значении. Пусть 1) f(x)
и g{x) интегрируемы в промежутке [а, Ь]; 2) m*sf(x)=*sM; 3) g(x) во
всем промежутке не меняет знака: g(x)s*0 [g(.x)*s&]. Тогда*
где
До казательство. Пусть сначала g(x)s»0 и а<Ь\ тогда имеем
mg{x) *zf(x)g(x) *sMg(x).
Из этого неравенства, на основании свойств 6° и 3°, получаем
ь	ь	ь
т J g(x) dx *s J/(x)g(x) dx =s M J g(x) dx.
a	a	a
Ввиду предположения о функции g{x), no 5°, имеем
ь
Если этот интеграл равен нулю, то из предыдущих неравенств ясно,
что одновременно также
и утверждение теоремы становится очевидным. Если же интеграл
больше нуля, то, разделив на него все части полученного выше двой-
двойного неравенства, положим
а
и придем к требуемому результату.
* Самое существование интеграла от произведения f(x)g(x) следует из 299,
II. Впрочем, можно было бы вместо интегрируемости функции f(x) непосредствен-
непосредственно предположить интегрируемость самого произведения f{x)-g(x).

30S|	§ 2. СВОЙСТВА ОПРЬДЫЮШЫХ иНТЫРАЛОВ	J15
От случая a-<b легко перейти к случаю а>Ь, равно как от пред-
предположения g(x)=2=0 — к предположению g(x)s=0: перестановка преде-
пределов или изменение знака g(x) не нарушат равенства.
Если f(x) непрерывна, то эта формула может быть записана
следующим образом:
jf(x)g(x)dx=f(c)jg{x)dx.
где с содержится в [а, Ь].
305. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Если
функция/(х) интегрируема в промежутке [a, b] (a^b), то [299, III]
она интегрируема и в промежутке [а, х], где х есть любое значение
из [а, Ь]. Заменив предел Ъ определенного интеграла переменной х,
получим выражение *
X
Л
0)
которое, очевидно, является функцией от х. Эта функция обладает
следующими свойствами:
11°. Если функция f(x) интегрируема в [а, Ь], то Ф(х) будет не-
непрерывной функцией от х в том оке промежутке.
Доказательство. Придав х произвольное приращение Ах = h
(с тем лишь, чтобы x + h не выходило за пределы рассматриваемого
промежутка), получим новое значение функции A)
х+Л	х x+h
[см. 2°], так что
Х+Л
Применим к этому интегралу теорему о среднем значении 9°
Ф(х + А)-Ф(х)= fj.fi;	B)
здесь {г содержится между точными границами т' и М' функции f{x)
в промежутке [х, х 4- А], а следовательно, и подавно между (посто-
(постоянными) границами ее т и М в основном промежутке [а, Ь]**.
* Переменную интегрирования мы обозначили здесь через t, чтобы не сме-
смешивать ее с верхним пределом х; разумеется, изменение обозначения пере-
переменной интегрирования не отражается на величине интеграла.
** Напомним, что интегрируемая функция ограничена [295].

116	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	|305
Если устремить теперь h к нулю, то, очевидно,
Ф(х)-0 или Ф(х-ьп)-*Ф(х),
что и доказьшает непрерывность функции Ф(х).
12°. Если функцию f(t) предположить непрерывной в точке
t = х, то в этой точке функция Ф(х) имеет производную, равную f(x)
Ф'(х) =/(*).
Доказ ателье гво. Действительно, из B) имеем
А)-Ф(*)
h
где
Но, ввиду непрерывности функции f(t) при t = x, по любому е>0 най-
найдется такое <5>0, что при |/г|<5
f(x)-s^f(t)^f(x) + e
для всех значений t в промежутке [х, х + п]. В таком случае имеют
место и неравенства
f[x) -e^.m'=sy=sM'=sf(x) +e,
так что
|/i-/(*)|*e.
Теперь ясно, что
Ф\х) = lim -^	1	— = hm у. = f{x),
/l-O	"	Л-0
что и требовалось доказать.
Мы пришли к заключению, имеющему огромное принципиальное
и прикладное значение. Если предположить функцию f(x) непре-
непрерывной во всем промежутке [а, Ь], то она интегрируема [298, I],
и предыдущее утверждение оказывается приложимым к любой
точке х этого промежутка: производная от интеграла A) по пере-
переменному верхнему пределу х везде равна значению f(x) подынтеграль-
подынтегральной функции на этом пределе.
Иными словами, для непрерывной в промежутке [а, Ь] функ-
функции f(x) всегда существует первообразная; примером ее является опре-
определенный интеграл A) с переменным верхним пределом.
Таким образом, мы, наконец, установили то предложение, о ко-
котором упоминали еще в 264.
В частности, мы теперь можем записать функции F и Е Лежандра [293]
в виде определенных интегралов
<р	<р
F(k, <р)= !	, E(k, <f)~
J yi-/t2si

306]	§ 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	117
По доказанному только что, это будут первообразные функции, соответственно,
для функций
}f ki
и притом обращающиеся в 0 при <р = 0.
Замечание. Утверждения, доказанные в настоящем п°, легко
распространяются на случай интеграла с переменным нижним пре-
пределом, так как A°)
Ь	х
\f(t)dt=-\f(t)dt.
Производная от этого интеграла по х, очевидно, равна — f(x)
(если х есть точка непрерывности).
306. Вторая теорема о среднем значении. В заключение установим
еще одну теорему, относящуюся к интегралу от произведения двух
функций
ь
I=\f(x)g{x)dx.
а
Ее представляют в разных формах. Начнем с доказательства сле-
следующего предложения:
13°. Если в промежутке [а, Ь] (a-=Z>) f(x) монотонно убывает (хотя
бы в широком смысле) и неотрицательна, a g(x) интегрируема, то
ь	{
jf(x)g(x)dx=№Jg(x)dx,	C)
а	а
где I есть некоторое значение из названного промежутка.
Разбив промежуток [а, Ъ] произвольным образом на части с по-
помощью точек деления лг, (i = 0, 1, ..., и), представим интеграл / в виде
Л —1 f*
Ы2 J
,=0 J
¦>J
Л—1 г
1=0 J
Если через L обозначить верхнюю границу для функции \g(x)\, a
через (Of (как обычно) колебание функции f{x) в г-ом промежутке

118	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[306
[xit xi+1] длины Axh то, очевидно,
< + 1
J
I еI *Д J |/(*) -ЛхдЫх)I
Отсюда ввиду интегрируемости функции /(х) [298, 111] ясно, что
2-0 при 1 = таахАхг~ О, так что
/=lim a.
Введем теперь функцию
и с ее помощью перепишем сумму а так:
+1)
1=0
или, наконец, раскрывая скобки и иначе группируя слагаемые,
5
1=1
Непрерьшная функция G(x) [305, 11°], при изменении х в проме-
промежутке [а, Ь], имеет как наименьшее значение т, так и наибольшее зна-
значение М [85]. Так как все множители
/(*,_i)-/(*,) (при i= 1, 2, ..., п - 1) и f(xn-x),
в силу сделанных относительно функции f(x) предположений, неот-
неотрицательны, то, заменяя значения G соответственно через т и М, мы
получим два числа:
mf(a) и Mf{a),
между которыми содержится сумма в. Между теми же числами, оче-
очевидно, содержится и интеграл / как предел этой суммы, или иначе
где /WsSjUasM. Но, по непрерывности функции G(x), в промежутке
[a, b] найдется такое значение I, что /х = С7(|) [82]. Тогда
что равносильно формуле C).

306]	§ 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	119
Аналогично, если функция f(x), оставаясь неотрицательной, моно-
монотонно возрастает, то имеет место формула
где a*s?*sb. Эти формулы обычно называют формулами Бонне
(О. Bonnet). Наконец,
14°. Если сохранить только предположение о монотонности функ-
ции f(x), не требуя ее неотрицательности, то молено утверждать:
ь	s	ь
\f{x)g{x) dx =f(a)\g{x) dx +f(b)jg(x) dx	D)
Действительно, пусть, например, функция f(x) монотонно убывает;
тогда, очевидно, разность f(x)—f(b)^0, и стоит только к этой функ-
функции применить формулу C), чтобы после легких преобразований по-
получить D).
Доказанная теорема и носит название второй теоремы о среднем
значении [ср. 304, 10°].
Следующее простое замечание позволяет придать ей несколько
более общую форму. Если изменить значения функции f{x) в точках
а и Ь, взяв вместо них любые числа А я В под условием лишь
As*f(a + 0) и B*ef(b-0) (если / убывает),
+ G) и Bs*f(b-0) (если / возрастает),
то не только значение интеграла / не изменится, но и сохранится
монотонность функции f(x), так что по образцу D) можно утвер-
утверждать
ь	f	ь
g(x) dx=A jg(x) dx + BJg(x) dx.	E)
В частности,
b
\f{x)g{x) dx = f{a+0)\g{x) dx + f(b - 0)\g(x) dx.	E*)
Здесь, как и выше, I означает некоторое число из промежутка
[а, Ь], но оно, вообще говоря, зависит от выбора чисел
А и В.

120	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[307
§ 3. Вычисление и преобразование определенных
интегралов
307. Вычисление с помощью интегральных сумм. Приведем ряд
примеров вычисления определенного интеграла, непосредственно как
предела интегральных сумм - в согласии с его определением. Зная
наперед, что интеграл для непрерывной функции существует, для в ы-
числения его мы можем выбирать разбиение промежутка и точки
I, руководствуясь исключительно соображениями удобства.
ь
1) хк dx {a, b - произвольные вещественные числа, а к - натуральное
а
ЧИСЛО).	а
Сначала вычислим интеграл I xk dx (a*0). Промежуток [0, а] разобьем на
о
п равных частей, а в каждом частичном промежутке функцию хк вычислим
для его правого конца, если а=-0, и для левого - при я-=0. Тогда интегральная
сумма
' а , . 1к+2к+...+пк
и, если учесть пример 14) п° 33,
а
ak+i
хк dx = lim an =	.
л~~ к + 1
о
Отсюда уже нетрудно получить и общую формулу
Ь	Ь а
к+1
а	0 0
ь
2) I xi1 dx (Ь^а^О, (I - произвольное вещественное число).
в
На этот раз мы разобьем промежуток [а, Ь] на неравные части, а именно
между а и Ъ вставим л-1 средних геометрических. Иными словами, положив
л
а
г
рассмотрим ряд чисел
а, ад, ..., aql,
Заметим, что при л-=° отношение <? = <?п-*1, разности же aql+1-aql все меньше
величины b(q -1) — 0.
Вычисляя функцию для левых концов, имеем
л-1
2
(=0

307]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	121
Предположим теперь р* -1; тогда
F"+' - Р+1)
и, используя уже известный предел [пример 5), (в), 77], получим
h
j x>1 dx = lim on ™ FU+1 - af+*) lim
q-\
a
В случае же /i = -1 будет
11/ a I»
и на основании другого известного результата [там же, (б)]
— = lim ап = lim л I I /	1 I = In b - In a,
J х п~оо п-*~ \\ а )
г	Ь-а
3) I sin х dx. Разделив промежуток [а, Ь] на п равных частей, положим h =	;
J	п
а
функцию sinx вычислим для правых концов, если а^Ь, и для левых при
а^Ь. Тогда
л
on = h^j sin (a + ih).
(=.1
Найдем сжатое выражение для суммы справа. Умножив и разделив ее на
2 sin —, а затем представляя все слагаемые в виде разности косинусов, легко
получим
л	1 "	h
2 sin (a+ih)	2! 2 sin (a+ih) sin - =
f~i	. . A /-1	2
2sm —
 tcos
2sin-' L v	> v	1X	2sin-
2	2	A)
Таким образом,
h
"n
sin —

122	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[307
Так как /; »0 при л-»<*>, то
h
^
&\nxdx = lim	 cos \a + — h -cos \ЬЛ—h\ = cos a -cos b.
J	h~o hi { 2 )	\ 2I
sin
sin —
Аналогично, исходя из элементарной формулы *
'	1
In	SU1
2 cos (a+ili) = —	—	"-L ,	B)
'=1	2 sin —
2
легко установить, что
Ь
cos x dx=sin b - sin a.
a
4) Чтобы дать менее тривиальный пример, рассмотрим интеграл
я
In A - 2r cosx+r2) dx,
о
обычно связываемый с именем Пуассона (S.-D. Poisson). Так как
то, предполагая \г\ * 1, видим, что подинтегральная функция непрерывна, и ин-
интеграл существует.
Разделив промежуток [0, л] на п равных частей, имеем
"""вы I rC°S I+rj=^L +Г Д1
где П есть знак произведения. С другой стороны, из алгебры известно
z2"-l=(za-l) TT l-2zcos —+
л
* Которая получается из A) заменой а на аЛ—.
** Учитывая значения корней степени 2и из единицы, имеем такое разложение
zm - 1 на линейные множители:
Пп~г ( кл	кл)
Iz-cos	ism— ,
A—«I	"	">
где / есть мнимая единица. Если выделить множителиz= ± 1 (отвечающие к- -п

308]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	123
Используя это тождество при z=r, представим ап в виде
n
Пусть теперь | г \ ¦<¦ 1, тогда г-п - О и
л
j In A - 2r cos х + г2) Л = lim an = 0.
о
Если же \г\ =-1, то, переписав t/n так:
Г2П_ ¦
найдем
л
I* In A - 2r cos х + г2) Л = 2л In | г |.
о
Читатель видит, что прямой способ вычисления определенного
интеграла, как предела сумм, требует даже в простых случаях зна-
значительных усилий; им пользуются редко. Наиболее практичным яв-
является прием, излагаемый в следующем п°.
308. Основная формула интегрального исчисления. Мы видели в 305,
что для непрерывной в промежутке [а, Ь] функции f(x) интеграл
оказывается первообразной функцией. Если F(x) есть любая
первообразная для f(x) функция (например, найденная методами
§§1-4 предыдущей главы), то [263]
Постоянную С легко определить, положив здесь х = а, ибо Ф(а) = 0;
будем иметь
0 = ф(а) = Л(а) + С, откуда C= -F{a).
Окончательно
и к = 0) и собрать вместе сопряженные множители, то мы и получим, что z2" - 1
равно
^ I	кп	кп\ I	кп	кп\
(г2- 1) II г-cos	i sin — z-cos —yi sin— =
ДД I	n	n)\	n	nj
Л—1 /	,	,
= (z2"l)TT 1 -2zcos—+z4.
til I	« /

124	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[308
В частности, при х = Ъ получим
ь
W dx = F(b) - F(a).	(A)
Это - основная формула интегрального исчисления *.
Итак, значение определенного интеграла выражается раз-
разностью двух значений, при х = Ъ и при х = а, любой первообраз-
первообразной функции.
Если применить к интегралу теорему о среднем [304, 9°] и вспом-
вспомнить, что f(x) = F'(x), то получим
читатель узнает в этом формулу Лагранжа [112] для функции
F{x). Таким образом, с помощью основной формулы (А) устанавли-
устанавливается связь между теоремами о среднем в дифференциальном и ин-
интегральном исчислении.
Формула (А) дает эффективное и простое средство для вычисле-
вычисления определенного интеграла от непрерывной функции f(x). Ведь для
ряда простых классов таких функций мы умеем выражать первооб-
первообразную в конечном виде через элементарные функции. В этих случаях
определенный интеграл вычисляется непосредственно по основной
формуле. Заметим лишь, что разность справа обычно изображают
символом F{x) |? («двойная подстановка от а до Ь») и формулу пишут
в виде
ь
\f(x)dx~F{x)\l	(A*)
а
Так, например, сразу находим:
a
b
2) Г*-
J х
\пх
-\nb-\na (а=-0,
* Эту формулу называют также формулой Ньютон а-Лейбниц а.
Читатель видит, что рассуждения здесь вполне аналогичны тем, которыми
мы пользовались в 264 при вычислении функции Р(х) и площади Р. Сама
формула (А) легко могла бы быть получена сопоставлением результатов
пп° 264 и 294.

309J	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	125
3) sin* dx = -cos x ba= cos a -cos b,
ь
b .
cos л dx = sm x „= sin b -sin a
- результаты, не без труда полученные нами в предыдущем п° [ср. примеры 1,)
2), 3)] *.
309. Примеры. Приведем дальнейшие примеры использования формулы (А):
п
Г sin (m - ri)x sin (m + и) xl
r	Irs
4) (a) I sin mx sin nxdx = —\-
-| =0
m-л	m + n J _я
F)
—я
Аналогично
г	1 Г sui2t?m:i |+л
sm2mjc*te = — Ь:	=я [см. 267, 17), 18)].
J	2 l 2т ] 1-я
(в) sin 777Л cos ты: rfx = 0,
(г) I cos mx cos nx dx = 0 или л, смотря по тому будет ли лит или л = и?.
— я
5) Найти значения интегралов (т, п - натуральные числа):
С sin Bm-l).v
(a) J 	:	dx,
sin л
о
Лет nxY
-.	 dx.
sin х J
о
Указание, (а) Из формулы B), полагая в ней а = 0, h = 2х и и = т - 1, можно
вывести, что
1	"U1 sinBm-l)jc
—+ 2/ cos 2(>=	.
2	j=i	2sinA:
* Пример 4) предыдущего п° уже не может быть исчерпан так просто, ибо
соответствующий неопределенный интеграл в конечном виде не выражается.

126
ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1309
Отсюда, так как отдельные слагаемые легко интегрируются по формуле (А),
сразу получается
psin Bи
J sin
rsin Bm- l)x л
- dx = — .
sin*	2
(б) Из формулы A), полагая а = - x, A = Ix, найдем
1 - cos 2nx sin2 nx
sin Bm -
m=l	2 sin л: sin л
Отсюда, если использовать предыдущий результат,
if
sinn*"»2	я
	 dx = n — .
sin x I	2
6) Вычислить интеграл
dx
где 0-=a, /?-= 1.
Если в формуле [283 F*)]
dx
I
¦ = — In
^ + bx+c
ах-\—
отождествить
= (l -lax + a2
+ С
то, дифференцируя, найдем
b
ах + -= -<хA-2
Отсюда легко вывести, что при х = 1 выражение, стоящее под знаком логарифма,
получит значение
а при д: = - 1 значение
Таким образом, окончательно для искомого интеграла получается простое выра-
выражение
зависящее только от произведения а/?*.
* Наши вьжладки безупречны лишь при а^Д, но легко видеть, что результат
верен и при а = /?.

3091
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
127
Заметим, что при выводе основной формулы нам на деле не было надобности
требовать, чтобы функция F(x) была для /(*•) первообразной в замкнутом
промежутке [а, Ь]. Опираясь на следствие п° 131, достаточно было бы предположить
это для открытого промежутка (а, Ь), лишь бы только и на кот/ах его функция
F(x) сохраняла непрерывность.
Поэтому, например, мы имеем право писать [268]
яа2
XI а я»2
— =—,
а] -а 2
хотя при х= ±а вопрос о производной найденной первообразной еще требовал
бы исследования.
Некоторое затруднение мы встречаем при вычислении интеграла
dx
так как найденная в 288, 13) первообразная
1 + г х)
^-— tg-j
не имеет смысла при х= ±ж. Однако существуют, очевидно, пределы
lim F(x)= -л, lim F(x)=n,
х-^я+0	х->-я-0
и если, как обычно, положить F(-ra) и F(n) равными именно этим пределам, то
функция F(x) будет не только определена, но и непрерывна на концах промежутка.
Поэтому все же имеем
Jit
1-г2
- 2r cos
— я
9) Аналогично вычисляется и интеграл
п
%
j
A cos2 х+2В cos x sin x+С sin2 x
Мы уже имели [288, 10)] выражение первообразной
1
arctg
Ctgx+B
л	п
пригодное для	¦=*-=—. Отсюда
2	2
J
dx
A cos2 x + 2В cos x sin x + С sin2 x
¦F(x)
Vac-в*

128
ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[310
п п
причем значки	ьО,	0 символизируют необходимость брать соответствую-
соответствующие предельные значения функции F(x).
10) Если при вычислении интеграла
dx
исходить из формально вычисленной первообразной
	 arctg
и подставить сюда л = 0 и х=1, то для интеграла получится парадоксальное зна-
значение 0 (интеграл от положительной функции не может иметь нулевое
значение!).
Ошибка в том, что это выражение испытывает скачок при х = у 2 - /3 = х0.
Если порознь вычислять интегралы от 0 до х0 и от х0 до 1, то получится правиль-
правильный результат
о
х„-0
о
х«+0 3
11) Легко вычислить, с помощью первообразных, интегралы
2
dx
- = ln х
= 1п2,
• dx
1+х'
= arctg x
Если вспомнить о стремлении к ним соответственных интегральных сумм, то
можно получить, например, такие предельные соотношения:
1
/
lim
п-оДл+1
lim
1	1 \
	+...+-— =ln 2,
л + 2	2л!
+...Ч
2л1
—
4
310. Другой вывод основной формулы. Установим теперь основную
формулу (А) при более общих предположениях. Пусть функция /(х)
интегрируема в промежутке [а, Ь], а непрерывная в [а, Ь]
функция F(x) имеет f(x) своей производной
*"(*)=/(*)
C)
повсюду в (а, Ь) или даже лишь повсюду, исключая конечное
число точек.

310]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	129
Разобьем промежуток [а, Ь] произвольным образом на части точ-
точками
[позаботившись лишь о том, чтобы в их числе были все те
точки, где не имеет места соотношение C), если
такие точки есть]. Очевидно, будем иметь
- F(a) =
2
(=0
Применим к каждой из разностей, стоящих под знаком суммы,
формулу конечных приращений, - условия для ее применения все
выполнены. Тогда получим
F{b) - F{a) = 2F'(SMxt+1 - х,),
1=0
где I,- есть некоторое определенное (хотя нам не известное) значение
х между xt и х1+1. Так как для этого значения ^"(?/)=/(?/)> то мы
можем написать
2
Справа получилась интегральная сумма а для функции f[x). Мы
предположили, что для суммы а при Я-<-0 существует определенный
предел, не зависящий от выбора чисел !,-. Следовательно, в частно-
частности, наша сумма, сохраняющая (при указанном выборе этих чисел)
постоянное значение, также стремится к интегралу, откуда и вытекает,
что
F(b)-F{a)=lf{x)dx.
В предыдущем п° мы с помощью основной формулы вычисляли
определенный интеграл. Но она может быть использована и в дру-
другом направлении. Заменив в основной формуле Ъ на х, a f(x) на F'{x),
можно написать ее в виде
Таким образом, с помощью предельного процесса (ибо определен-
определенный интеграл есть предел), по заданной производной F\х) «вос-
«восстанавливается» первообразная функция F(x).
Впрочем, это предполагает, что производная не только ограни-
ограничена, но и интегрируема в согласии с римановым определением, что
осуществляется не всегда.
9 Г. М. Фихтенгольц, т. И

130	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[311
311. Формулы приведения. Мы видели, что основная формула при
благоприятных условиях сразу дает значение определенного интеграла.
С другой стороны, с ее помощью различные формулы приве-
приведения в теории неопределенных интегралов преобразуются в ана-
аналогичные формулы уже в определенных интегралах, сводящие вы-
вычисление одного определенного интеграла к вычислению другого (во-
(вообще более простого).
Мы имеем в виду прежде всего формулу интегрирования по частям
\и do = uv — \vdu
и ее обобщение [270 C) и E)], а также другие формулы приведения
[271 F); 280; 287], частично на ней же основанные. Общая форма их
такова:
\f(x)dx=<p(x)-\g(x)dx.	D)
Если областью применения подобной формулы является промежу-
промежуток [а, Ь], то ей в определенных интегралах отвечает формула
*	ь
\f(x)dx=<p{x)l-\g{x)dx.	E)
а	а
При этом функции /, g будем считать непрерывными.
Для доказательства обозначим последний интеграл в формуле D)
через Ф(х). Тогда
J/(*) dx = [ф) - Ф(х)] Ц=ф) I - Ф{х) \Ь
а
Так как, в то же время,
то мы и приходим к доказываемой формуле.
В частности, формула интегрирования по частям примет теперь вид
ь	ь
)udv = uv\ba- \vdu,	F)
а	а
а обобщенная формула перейдет в такую:
ь	ь
h(-l)n+1J dn+v>vdx; G)
а

3121	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	131
при этом по-прежнему функции и, v и все встречающиеся их произ-
производные предполагаются непрерывными.
Формула E), устанавливающая соотношение между числами,
принципиально проще формулы D), в которой участвуют функции;
она особенно выгодна, если двойная подстановка равна нулю.
312. Примеры. 1) Вычислить интегралы
Jm = sinm х dx, j'm -= cosm x dx
(при натуральном т).
Интегрируя по частям, найдем
./,„ = I sinm~1 xd( - cos v) - — sinm ~> x cos x
2 4 (m - 1) sinm'2 x cos2 x dx.
Двойная подстановка обращается в нуль. Заменяя cos-.v через 1 -sin2.v, получим
Jm = О' - 1)Л?1-» ~ ('» ~ Шш.
откуда рекуррентная формула:
т-\
Зт~	~ Jт — 2>
т
по которой интеграл Jm последовательно приводится к /0 или Jx. Именно, при
т~2п имеем
.	Bii-l)Bi!-3)...3.1 л
J*n = sm2" x dx =
\п = Sin2" л ил	,
.1	2д.Bи-2)...4-2 2
о
если же т = 2п +1, то
п
2п-Bп-2)...4-2
С
1= sin
о
Такие же точно результаты получаются и для Jm.
9*

132
ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[312
Для более короткой записи найденных выражений воспользуемся символом
от!! *. Тогда можно будет написать
sinm х dx = cosm x dx =
о	о
2) Доказать формулы
от-1)!! я
	•— при т четном.
/я!! 2
(от-1)!!
те!!
при т нечетном.
(а)	cosm х cos (от + 2)х dx - О,
о
л
2
(б)	cosm х sin (от+2)х dx = 	,
J	от+1
о
2	sin -
(в)	sinm х cos (m+ 2)x dx
m+\
(8)
Г
(r) sinm л sin (m+2)x dx -=
J
ot4 1
(где т - любое положительное число).
Рассмотрим интеграл
cosm+2 x cos
x
о
и дважды произведем в нем интегрирование по частям:
л
2
cosm+2 х cos (m +¦ 2)х <йс =
О
от + 2
[cosm+2 х sin (от +2)х - со8т+г х sin x cos (от+2)х]
1 г
[-
-?2J
l)cos
2)x dx.
* Напомним, что «!! означает произведение натуральных чисел, не превосходя-
превосходящих от и одной с ним четности.

312]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	133
Двойная подстановка обращается в 0. Заменяя под знаком интеграла sin2 x через
1 - cos3 х, придем к равенству
я/2
cosm *¦2 х cos (m + 2)х dx =
О	л/2	л/2
т +1 г	С
=	 cosm xcos(ot + 2);c<&+ cosm+2 xcos(m + 2)xdx,
m + 2 J	J
о	о
откуда и следует (а).
Аналогично устанавливаются остальные равенства.
3) Вычислить (при натуральном и) интегралы
я	л
2	2
Кп = cos" х sin nx dx, Ln = cos" x cos nx dx.
о	о
Интегрируя по частям, будем иметь
л/2
1 г
Кп-	I cos" х sin x cos nx dx.
n J
0
Если к обеим частям прибавить по Кп> то преобразуя выражение под знаком
интеграла справа, легко получить
1	1 (I
2Кп = —\-Кп_1 или Кп = —\—Ь
п	2\п
По этой рекуррентной формуле легко уже найти
1 B 2- 2з	2"
Аналогично
л
4) Найти интеграл
1
Hk,m= [xk\r\mxdx,
о
где i>0, a m - натуральное число.
Интегрирование по частям [ср. 271, 5)]
С
xk\amxdx =
1
1	|1 т
к+1\т\
х\
| + о Аг+1.
о	о
приводит к рекуррентной формуле
т
Нк,т= ~Т~~7 Hk,m-i>
K-j-1
откуда и получается
хк In x dx

134	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[313
Особенность этого примера в том, что в точке х = 0 значения как подинтеграль-
ных функций, так и функций под знаком подстановки определяются как предель-
предельные при х- +0.
5) По формуле (III) п" 280 имеем (считая р и q натуральными числами)
г	A~х)РхЯ+1 р г
A - х)РхЧ dx =	h —	 A -x)P"lx4 dx,
J	p+q + 1 p + q + U
что при переходе к определенным интегралам в промежутке от 0 до 1 дает
1	1
f A - х)РхЯ dx =	-	f A - x)P-lx4 dx.
J	p+q+\J
о	0
Последовательно применяя эту формулу, получим
1
I {\-x)Pxidx =
xQdx
о	о
и окончательно
p\q\
(l-x)Px4dx =
6) Если в формулах (IV) п° 287 при натуральных fi и v перейти к определенным
интегралам, то, используя результат примера 1), можно получить более общую
формулу
-1)!! л
— (при четных /< и i>),
(у+,«)!! 2
sinv х cos''
(во всех прочих случаях).
313. Формула замены переменной в определенном интеграле. Та же
основная формула (А) позволит нам установить правило замены пере-
переменной под знаком определенного интеграла.
ь
Пусть требуется вычислить интеграл I fix) dx, где f{x) - непре-
а
рывная в промежутке [а,Ь] функция. Положим х=q>(t), подчинив функ-
цяю q)(t) условиям:
1) (pit) определена и непрерывна в некотором промежутке [ос,/5]
и не выходит за пределы промежутка [а, Ь] *, когда t изменяется
в [о,Д;
* Может случиться, что функция fix) определена и непрерывна в более широ-
широком, чем [а, Ь], промежутке [А, В], тогда достаточно потребовать, чтобы значения
(p(t) не выходили за пределы промежутка [А, В].

314]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	135
2)	ф) =
3)	существует в [а, /5] непрерывная производная
Тогда имеет место формула
jf(x)dx=$f{v(t))v'(t)dt.	(9)
а	а
Ввиду предположенной непрерывности подынтегральных функций
существуют не только эти определенные интегралы, но и соответ-
соответствующие им неопределенные, и в обоих случаях можно воспользо-
воспользоваться основной формулой. Но если F(x) будет одной из первооб-
первообразных для первого дифференциала f(x)dx, то функция 0(t) = F(q>(t)),
как мы знаем, будет первообразной для второго дифференциала
f{f{t))q>'(t)dt [ср. 268]. Поэтому имеем одновременно
- Ф(а) = F(qW) - F(rfx)) = F(b) - F(a),
откуда и вытекает доказываемое равенство.
Замечание. Отметим одну важную особенность формулы (9).
В то время как при вычислении неопределенного интеграла с по-
помощью замены переменной, получив искомую функцию выраженной
через переменную t, мы должны были возвращаться к старой пере-
переменной х, здесь в этом нет надобности. Если вычислен
второй из определенных интегралов (9), который представляет собой
число, то тем самым вычислен и первый.
314. Примеры. 1) Найдем интеграл Ya2-x* dx с помощью подстановки
J
о
л
= asin/; рель аир здесь играют значения 0 и —. Имеем
а	я/2
г	a2 j sin 2Л
с = а2 \ cos2 tdt = — \t+ -
J	2{ 2 J о
о	о
[cp. 268].
2) Вообще при и натуральном с помощью той же подстановки получим
2)n& = a2"+1 f
я/2
2и!!
Bл+ 1)!!

1 36	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	1314
[см. (8)], и аналогично
2~-~-i-	Bл-1)!! л
.*) • ^2"
3)	J ^ dx.
a
Подстановка x = a sec /; пределам а и 2а переменной х отвечают пределы О
и я/3 переменной /. Находим
71/3	_
1 sin3/
sin2 / cos tdt = —
1 г .
- Si:
a2 J
о
4) Рассмотрим интеграл
л
J
a2 3
о
л; sin x
dx.
l+cos2x
о
Подстановка х^л-t (где / изменяется от л до 0) приводит к равенству
я	п
г xsinx г(л-t) sin t
	—• dx= 	 dt
J 1+COS2 /	J 1+COS2/
dx = n I	—dt- Г	dt.
J 1+cos2/ J 1+cos2/
г xsinx	г sin/	(¦ /sin/
о	о
Перенеся последний интеграл (в котором вместо / снова можно написать х) на-
налево, получаем
С х sin х	л с sin /	л	"л"
	dx = — 	dt=	arctg (cos /) =¦ — .
J 1+cos2 x 2 J 1+cos2/	2	jo 4
о	о
Ср. ниже И), где этот пример будет обобщен.
1
rln(l+x)
5) Вычислить интеграл J= 	dx.
J l+x2
о
l	л\
Подстановка x = tg<p где <р изменяется от 0 до — переводит его в
я/4
ln(l+tgy>)rfy. Но
cosy

3141	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	137
так что
л/4	л/4
Л
•J — '
71	Г	i71 \	Г
= — In 2 = In sin —\-<p\d<p- In cos cp d(p.
8	J	\4 }	J
Так как оба интеграла равны (например, второй приводится к первому подстанов-
п	л	\
кой <р =—v'> причем у> изменяется от — до 0 , то окончательно
4	4	j
л
/=-1п2.
8
г arctg х
Заметим, что то же значение имеет и интеграл I 	— dx, в чем легко
J 1+х
убедиться интегрированием по частям.	°
6) Установить, что
1	л/2
,<¦ arctg х	1
С arctg д:	If',
	dx = — 	dt.
J x	2 J sin t
о	о
t
Указание. Подстановка х = tg — .
7) Преобразовать один в другой интегралы
Л	7Х
)nd<p= Г
о v '
считая х =-1 и п - натуральным.
Это достигается путем преобразования переменной по формуле
(х + fx--i cos ip) (х - fx^l cos В) = 1.
Отсюда
- Ух2 -1 + х cos б
х - ух2-1 cos б
причем выражение справа по абсолютной величине не превосходит единицы,
и каждому 0 в промежутке [0, я] однозначно отвечает некоторое <р в том же проме-
промежутке. При 0 = 0 или л также иу = 0 или л. Имеем
sin 0 d9
sin <p dq> = ——
и так как
sin0	de
sin <p =	—===	, то dtp =	===	,
x - Уха-1 cos 0	x - Ух2 - 1 cos 0
так что окончательно
откуда и следует требуемое равенство.

138	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[314
[Заметим, что оба интеграла (с точностью до множителя л;) выражают п-й
многочлен Лежандра Рп(х), 118, 6).]
8) Какова бы ни была непрерывная в промежутке [0, а] (<з»0) функция f(x),
всегда
о	о
(л Л
(подстановка x = a-t, aa=/=»0). В частности, так как cosх = sin	х , то при
любой непрерывной функции F(u) будет
я/2	я/2
F(sin x)dx= F(cos х) dx.
о	о
9) Пусть f(x) непрерывна в симметричном промежутке [ - а, а] (а >• 0). Тогда
в случае четной функции [99, 25)]
jf(x)dx=-2Jf(x)dx,
-а	О
а в случае нечетной
а	0 я
В обоих случаях интеграл представляется в виде суммы интегралов +
— а	—а О
и к первому из них применяется подстановка х= -t.
10)	Пусть имеем непрерывную периодическую функцию f(x) с перио-
периодом ш, так что при любом х: f{x+ai)=f(x). Тогда в любых промежутках с дли-
длиной го, равной периоду, интеграл от этой функции имеет одно и то же значение
a-\-ta	о)
f = J/(X) dx.
а	0
a-i-ot 0 а> а+(о
Для доказательства разлагаем: = М- I + и, применяя к третьему
а	а 0	<о
интегралу справа подстановку x = t+w, убеждаемся, что он лишь знаком разнится
от первого.
11)	Доказать, что
xf(sin x)dx = — /(sin x) dx,
о	о
где /(и) - любая непрерывная в промежутке [0, 1] функция.

314]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	139
Указание. Воспользоваться подстановкой х = л -1.
12) Доказать, что
I rp(a cos 9 4 Ь sin в) db =-- 2 I g?(Уаг+б'2cos Я) rfA,
о
где (р(и) - любая функция, непрерывная для \u\=sYa° + b'-.
Определяя угол а соотношениями
a	b
cos a = ———— ,	sin a = ——-
a cos 0 f 6 sin в -- У^ + й2 cos @ - а).
В силу A0) можно написать
2 л	сс+я
|?>(acos0 + />sin в) с1в= Г <p(Y& +b*cos (в-aj) d6
О	а—я
или, если положить 0 - а = / и использовать 9),
л	л
L( Уоч!^ cos Я) <tt = 2 Гу( УоЧ^ cos Я) dl.
-л	О
13) Доказать, что
л/2	л/2
g- (sin 2м) cos udu= g (cos- и) cos г> «/г>,
о	о
где g(z) - любая непрерывная функция от z в промежутке [0, 1].
/	/	/
Представив первый интеграл в виде суммы интегралов = + ,
л/2 л/1 л/2
= +
0	0	л/1
подстановкой и =	и приводим и второй из них тоже к промежутку [0, гт/4]
и получаем
л/4
g (sin 2h)(cos м+sin и) du.
Здесь мы делаем замену переменной, исходя из соотношения sin 2м = cos2 v;
возрастанию и от 0 до л;/4, очевидно, отвечает убывание v от я/2 до 0. Дифферен-
Дифференцируем cos 2« du = - sin v cos v dv; учитывая, что
cos2m= У1 -sin2 2m= yi-
и
1 + cos2 «=1+2 sin
находим окончательно
(sin и + cos и) du = - cos v dv.
Теперь уже нетрудно получить требуемый результат.

140	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[314
14) В заключение вернемся к интегралу Пуассона
l(r) = j In (I - 2r cos x + r2) dx
[ср. 307, 4)]. Мы уже знаем, что при \г\ т* 1 подинтегральная функция непрерывна
и интеграл существует. Мы наново вычислим его с помощью некоторого искус-
искусственного приема, в котором замена переменной будет играть существенную
роль.
Заметим предварительно, что из очевидных неравенств
A - |г|J==1 -2r cosx + r2=s;(l + |г|J,
логарифмируя и затем интегрируя от 0 до ж, получаем (при |г|-=:1)
Отсюда ясно, что при г-0 и /(г)-О.
Рассмотрим теперь интеграл
л
7(-r)= fln(l+2rcosx+r2)<&.
о
Если в этом интеграле положить х = л~(, причем t изменяется от л до 0, то ока-
окажется, что
0	л
Ц-г)= {in (l+2r cos (n-t) +r*) d(n-t) = fln(l-2rcos( + r2) dt = I(r).
л	0
В таком случае
л
2/(г) = /(/¦)+Д - г) = I In [A - 2r cos x+ ra)(l + 2r cos x-\- r2)] dx
2/(r)= i"ln(l-2
о
Полагая х = t/2 (где t меняется от 0 до 2ж), получим
2я	л	1л
2/(»0 = - fln(l-2r2cosr + r4)A = - Г+- Г .
2 J	2 J 2 J
0	(I	я
Последний из полученных интегралов подстановкой / = 2тс - и (где и меняется
от л до 0) приводится к первому, так что у нас получается
2/(г)=/(г2), откуда 7(г) = _/(г2).
Заменяя здесь г на г2 и т. д., легко получить общую формулу
/(/-) = 1/(г2") (и=1, 2, 3, ...).

315]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	141
Пусть теперь | г | -= 1, так что f2" - 0 при и — ~; так как при этом (согласно заме-
замечанию вначале) 1{г2")-0, то должны иметь тождественно
/(#•) = О при |г|-=1.
Легко теперь вычислить этот интеграл и при \г\ =-1. В самом деле
1 -2rcosx4 ;-2=г2 1 -2	cosx + —
I	г	г2
и
( I	11
In(l-2ccosx+r2)-21n If I +ln 1 -2. — cosx + — ,
I	r	r-)
гак что, интегрируя от 0 до л, будем иметь
Но, по предыдущему, Л — = 0; следовательно, при | г \ =-1 имеем
Дг) = 2-1п \г\.
Те же результаты мы получили и в 307.
315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена. В качестве еще одного примера
на замену переменной рассмотрим замечательную формулу, установленную
Гауссом (С. F. Gauss) для преобразования интеграла
G-
Положим здесь
л/2
I	9
I
•' ]fa2 cos2 q> + й2 sin2 <p
2a sin 0
sina>=
	;
(a+ b)+(a -b) sin2 9
легко видеть, что при изменении 0 от 0 до л/2 и <р растет в тех же пределах. Диф-
Дифференцируем
cosq>d<p = la——rr—r—„,„„.,, cos в de.
Ho
так что
f(a+6)(<36)sin0
cosro =	cos 6,
(a+6) +(a-6) sin2 6
(a + 6) + (a - 6) sin2 0 y(a + 6J _ (e _ ^J sin2 в
С другой стороны,
(а+6)-(а-6)sin2 0

|/а2 cos2 да+б2 sin2 <р = а
и окончательно
	cos2 0 I- ab sin2 б

142	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[315
а + b	„—
Если положить ах=	, Ъх= yab, то
л/2	п/2
in2 m J
sin2 0
и
Это и есть формула Гаусса.
Применяя это преобразование повторно, получим, что
Г	dw
С-	(и=1, 2, 3, ...),
J У я2 cos2 оз 4 ft2 sin2 о?
где варианты й;1 , bn определяются рекуррентными соотношениями
ап =	, Ьп = Уап^Фп-i ¦
Мы уже знаем [35, 4], что эти варианты стремятся к некоторому общему пределу
fi=/i(a, b), который мы назвали «средним арифметико-геометрическим» чисел а и Ъ.
Из легко получаемых неравенств
л	л
x1-1	2Ьп
переходя к пределу, находим теперь, что
G = x/2/i(a, b), откуда ц{а, Ь) = тг/2С.
Таким образом, каждое из чисел G и fi просто выражается одно через другое.
Пусть, например, требуется вычислить интеграл
я/2	л/2
С	dB	r	de
G= ^^--^-^
J fl+cos20 J
Здесь а = /2 и Ъ = 1; варианты ап и Ъп, определенные выше, стремятся к^быстро:
уже at и bt оба приближенно равны 1,198140, и можно ;i положить равным этому
числу. Тогда получаем приближенно
G = — =1,3110288.
Обратно, интеграл G приводится к полному* эллиптическому интегралу
первого рода
о
и легко может быть вычислен по таблицам; а уже отсюда получается /;.
* Полными называют интегралы F(k, (p) и Е{к, <р) Лежандра [293,
305] при <р = тт/2: в этом случае в их обозначении обычно опускают второй аргумент
и пишут К(к), Щк). Для полных интегралов существуют особые таблицы.

316]	§ J. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	143
Рассмотрим теперь полный эллиптический интеграл первого рода
п/2
dcp
= J
при любом значении модуля А он получается из G при
а=\ и b=yi-k2 = k'.
Желая применить к нему формулу Гаусса, вычисляем прежде всего
l + yi^fc2 \+к'	-
bl/k'
a
я/2	я/2
Г	dm	г
Эта формула, равносильная формуле Гаусса, на деле была получена до
Гаусса и представляет частный случай так называемого преобразования Ландена
(Landen). Последовательно применяя ее, получим
где вариант кп определяется индуктивно
так что 0-=&„<1 и кп^кп—к чем обеспечивается быстрое стремление кп к О
при п-~. В то же время
я/2	я/2'
~ VI К-п Sill Ф	Л 1 V I Кп
Уg	2 J yi-/t*sin2y	2 y
о	о
л
откуда K(fcn) - — при п -~ <= и, наконец,
K(fc) = - lim (l+fc1)(l+A2)...(l+A:n).	A0)
2 п—«•
На этом основывается метод приближенного вычисления интеграла К(к), который
- при достаточно большом и - попросту полагают равным
316. Другой вывод формулы замены переменной. Мы дадим теперь
другой вывод формулы (9) при измененных предположениях.
Прежде всего (и это - самое важное) мы не станем предполагать
функцию f(x) непрерывной, а только лишь интегрируемой.

144	ГЛ. IX.-ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	1316
Зато от функции q>(t) мы дополнительно потребуем, чтобы при изме-
изменении t от а до /S она переходила от значения а=<р(ос) к значению Ъ =
=(рф), монотонно изменяясь.
Для определенности допустим, что а<Ь и я</3, так что функция
монотонно возрастает.
Разобьем промежуток [ос, $] произвольно на части с помощью точек
если положить Х(=срA,) (г = 0, 1, 2, ..., п), то одновременно будем
иметь
а = х0 -< хх ¦= х2 < ... < X; -= Xj+i -=...< л:„ = 6.
Если наибольшая из длин dti = ti+1-tj (обозначим ее через А) стре-
стремится к нулю, то ввиду (равномерной) непрерывности функции х-
=f(t) то же будет справедливо относительно наибольшей из длин
Axi = xi+1-xi=(p(ti+1)-(p(ti) [см. 87].
Возьмем теперь по произволу число т,- в каждом промежутке
[ti> tj+1] и составим интегральную сумму для второго из интег-
интегралов (9)
Положим |,-=qp(T,-), так что x,-=s=f,=s=xi+1. Если к функции <p(t) в про-
промежутке {/,, tj+i] применить формулу конечных приращений, то по-
получим
Axt = xi+1 - xt=cp(ti+1) -cp(t,) =q>'(rd Ath
где также /,- -= т,- -= ?,-+1, но т,- (нам не известное) вообще отлично от
наудачу взятого значения xt. Вместе с тем интегральной сумме для
первого из интегралов (9)
теперь можно придать вид
I
Эта сумма при А-*0, очевидно, имеет своим пределом интеграл
ь
J f(x) dx. Для того чтобы показать, что к тому же пределу стремится
а
и сумма а, достаточно установить, что разность а -а стремится к
нулю.
Задавшись произвольным числом е>0, ввиду (равномерной) не-
непрерывности функции <p\t), можно найти такое 8 =-0, чтобы при Д<6
выполнялись неравенства

317]	§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	145
[см. 87, следствие]. Тогда
если через L обозначить верхнюю границу для \f(x) | и сумму
заменить через /?-а.
ь
Теперь ясно, что при А-«-О сумма а стремится к пределу \j\x)dx,
/3	а
а это значит, что существует интеграл I f(f{t))f'(t) dt и имеет место
а
формула (9). Доказательство завершено.
Замечание. Подчеркнем особо, что на основании доказанного
простые и часто полезные формулы, установленные в упражнениях
8), 9), 10) п° 314, распространяются теперь на случай любой инте-
интегрируемой функции f(x).
§ 4. Некоторые приложения определенных интегралов
317. Формула Валлиса. Из формулы (8) п° 312 легко вывести знаменитую фор-
формулу В а л л и с a (J. Wallis).
Предполагая 0<л:-=я/2, имеем неравенства
sin2"+1 x-=sinan x-^sin2"-1 х.
Проинтегрируем эти неравенства в промежутке от 0 до л/2:
я/2	я/2	я/2
lsmm+1xdx~= Г sin2nxdx-= \sin2n-1xdx.
о	оо
Отсюда, в силу (8), находим
2га!! Bп-1)!! л Bга-2)!!
Bга+ 1)!!* 2га!! 2""Bл-1)!!
или
г 2л!! 1» 1 яг 2га!! I2 1
Ц2я-1)!П 2га + 1 *Т 4Bra-l)!!j 2и"
Так как разность между двумя крайними выражениями
1 Г 2га!! 1* 1 ж
2nBra+l)LBra-l)!!J 2га 2
очевидно, стремится к 0 при и - <», то тг/2 является их общим пределом. Итак,
1
л	г 2я!! I*
— = lim
2 п~ДBга-1)!П :
2я+1
или
ж	2.2-4.4 ...2и-2л
— = hm
2 л^-ЬЗ-3.5 ...Bл-1
Это и есть формула Валлиса. Она имеет исторический интерес, как первое
представление числа л в виде предела легко вычисляемой рациональной варианты.
В теоретических исследованиях ею пользуются и сейчас [см., например, 406].
10 Г. М. Фихтенгольц, т. II

146	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[318
Для приближенного вычисления числа л теперь существуют методы, гораздо более
быстро ведущие к цели [410].
318. Формула Тейлора с дополнительным членом. Положим в обобщенной
формуле интегрирования по частям G) [311] v = F - х)п. Тогда
и'=-лF-*)"-', v" = n(nT\){b-x)n-\ ...,
при х = 6 все функции и, г/, ..., гХ") обращаются в нуль. Пользуясь для и, м',
«", ... функциональным обозначением f(x), f'(x), f"(x), ..., перепишем G) в виде
0 = ( -1)" [n\f(.b)-nlf(a)-n\fXa)(b - а) - ^/"(а)F - fl)! - • • • -/С>(а)F-а
Отсюда получается формула Тейлора с дополнительным членом в виде
определенного интеграла
ь
f'(a)	f"(a)	f("Xa)	1 г
/(ft) = /(я) + ~- № " а) + --- Ф - аУ + ... + —-^ F - в)"+- /<« +D(X)F - х)" Л.
1!	2!	и!	«!J
0:
Переходя к обозначениям пп° 124 -126, заменим здесь b через х, а через х(
/у •, л- ч ^'W / ч /"(*о), ч	/(п)(*о) , .„
/(х) =/(*„) + - - - (х-хо)+-——(х-хо?+...+	— (х-хо)п +
V.	2!	п\
X
+ -[f(n+i)(t)(x-t)ndt.
х«
Новое выражение для дополнительного члена, в отличие от изученных в 124
и 126, не содержит никаких неизвестных чисел.
Если угодно, из этого выражения можно было бы вывести и уже знакомые
нам формы дополнительного члена. Например, воспользовавшись тем, что мно-
множитель (x-t)n подинтегральной функции не меняет знака, можно применить к по-
последнему интегралу обобщенную теорему о среднем [304, 10°]
\ с	1	г	/¦("+')(?)
- /("+1)(О(х-ОпЛ =—/("+1)(с) (х-О" *=	 (х
n\J	n\	J	(я+1)!
где с содержится в промежутке [х0, х]. Таким образом, мы вновь получили лагран-
жеву форму дополнительного члена.
319. Трансцендентность числа е. Та же формула G) п° 311 может послужить
отправным пунктом для доказательства одной замечательной теоремы Э р м и т а ,
относящейся к числу е.
Все вещественные (а также и вообще комплексные) числа распределяются на
два класса - алгебраические и трансцендентные. Число назы-
называется алгебраическим, если оно является корнем алгебраического уравне-
уравнения с рациональными коэффициентами (очевидно, не умаляя общности, эти

319J	§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	147
коэффициенты можно считать целыми); в противном случае число называют
трансцендентным.
Примером алгебраического числа может служить любое рациональное число
или иррациональное число, выражающееся через рациональные в радикалах:
11	1/
число	служит корнем уравнения 17лч-11=0, а число |/ 1 + ]/2 - корнем
уравнения х6 - Зх4+Ъхг - 3 = 0 и т. д.
Э р м и т установил, что е является трансцендентным числом*.
Мы приведем доказательство этой теоремы.
Допустим, что е служит корнем уравнения
c0 + c,e + c2e2+...+cmem = 0,	A)
где все коэффициенты со> ci> - • •> ст ~ целые числа.
Пусть в формуле G) п° 311 u=f(x) будет произвольный многочлен
п-й степени, а « = (- 1)"+'е~х; тогда, если взять а = 0, эта формула примет вид
\f(.x)e-xdx=-e-x[J
о
так как f^+^Xx) = 0. Полагая для краткости
Лх)+Г(х)+ ... +/(")(*) = Пх),
имеем отсюда
е »ДО) = F(b) + е » Г f(x)e ~* dr.
Возьмем здесь последовательно 6 = 0, 1, 2, ..., т; умножая получаемые равен-
равенства соответственно на с0, с1; с2, ..., ст и складывая, в силу A), придем к оконча-
окончательному равенству
т	/•
0 = c0F@) + c,F(l)+ .. . + cmF(m) + 2^Cie' f(x)e~xidx,	B)
о
которое, напомним это, должно иметь место для любого многочлена f(x).
Теперь мы покажем, что этот многочлен можно выбрать так, чтобы равенство
B) стало невозможным; этим теорема и будет доказана.
Положим, с этой целью,
1
/Ос) =	хР~\х- \)Р{х-2)Р...(х-т)Р,
где р - простое число, большее та \со\. Производные этого многочлена порядка
р и выше имеют целые коэффициенты и притом делящиеся на р; это вытекает
непосредственно из того, что произведение р последовательных натуральных чисел
делится на р\. Поэтому при любом целом значении х все эти производные имеют
целые значения, кратные р. Так как при х = 1, 2, ..., т многочлен f(x) и его первые
* Вслед за этим Л и н д е м а н (F. Lindemann) доказал трансцендентность,
числа я, чем впервые установил неразрешимость исстари знаменитой задачи о
квадратуре круга.

148	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[320
р— 1 производных обращаются в 0, то F(l), FB)	F(m) будут целыми числами,
кратными р.
Иначе обстоит дело с F@). При х = 0 многочлен f(x) обращается в 0 лишь
с р - 2 своими производными, так что
Все слагаемые, начиная со второго, как мы видели, суть целые числа, кратные р;
но /Ср~1Ч0) = (-1)Р(/п!)Р, ас ним и ДО), на р не делится. Так как при сделанных
относительно р предположениях и с0 не делится на р, то приходим к заключению,
что первая сумма, стоящая в равенстве B) справа, есть целое число, не делящееся
на р и, следовательно, заведомо не равное нулю.
Обратимся ко второй сумме в B). В промежутке [0, т], очевидно,
1
11 0D!
Поэтому
mmp+p-i
(x)e~x dx
P+P-i (•
	 e~xdx-
—	1)! J
о	о
и, если сумму | с01 + | сг \ + .. ¦ + \ ст \ обозначить через С,
m
mmp+p-i
Сеттт
Но мы знаем [35, 1)], что последний множитель при р — со стремится к 0, так что
вторая сумма в B), при достаточно большом р, будет по абсолютной величине
меньше первой. В таком случае их сумма не может равняться 0, и мы пришли
к противоречию.
320. Многочлены Лежандра. Поставим себе задачу — найти такой многочлен
и-й степени Хп(х), чтобы для любого многочлена Q(x) степени ниже и выполня-
выполнялось равенство
ь
{dx = 0,	C)
где а и b — произвольные, но фиксированные числа.
Каждый многочлен n-й степени Хп(х) можно рассматривать как n-ю произ-
производную от некоторого многочлена R(x) степени 2и, который из Хп(х) получается
и-кратным последовательным интегрированием. Если при каждом интегрирова-
интегрировании произвольную постоянную выбирать так, чтобы при х-а интеграл обращался
в 0, то для многочлена R(x) окажутся выполненными еще условия
R(a) = 0, Л'(в) = 0	Жл-ОСя) = 0.	D)
Итак, задача наша сводится к нахождению такого многочлена R(x) степени
In, чтобы было
ь
jC)(xJW«fcc = 0	E)

320]	§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	149
для любого многочлена Q{x) степени ниже п и, кроме того, выполнялись равенства
D). Но по формуле G) п° 311, если заменить в ней п на п - 1,
a
Если принять во внимание D), а также то, что &пХх) = О, то условие E) приведется
к виду
Ввиду полной произвольности многочлена (и-1)-й степени Q{x) значения
Q(b), Q'(b), ..., Q("-1X6) этого многочлена и его последовательных производных
при х = Ь можно рассматривать как произвольные числа, а тогда условие
F) равносильно следующим:
R{b) = 0, R'{b) = 0, .... В/^-Ъф) = 0.	G)
Из D) и G) видим, что многочлен R(x) должен иметь числа а и b корнями и-й
кратности и, следовательно, лишь постоянным множителем может отличаться
от произведения (х—а/Чх—ЬУ1. Таким образом, окончательно
Хп(х) = сп~^ [Се - аГ(х - Ы).
Если, в частности, взять <з=-1и6=+1, то придем к уже знакомым нам много-
многочленам Лежандра
Хп(х) сп.
dxn
Мы условились в 118, 6) обозначать многочлены Лежандра через Рп(х),
если постоянные сп выбраны так:
1 1
для этих многочленов имеем РпA) = 1, Рп(-1) = (-1)п. Обыкновенно полагают
еще Р0(х) = 1. Все члены многочлена Рп имеют показатели одинаковой с п четности.
Старший коэффициент, очевидно, будет
2ЙМ	и! '
По самому определению многочленов Лежандра имеем всегда
1
(8)
каков бы ни был многочлен Q(x) степени ниже и. В частности, если пит- два
неравных неотрицательных числа, то
1
lPn(x)Pm(x)dx=Q,	(9)
	1

150	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	1320
1
Найдем значение интеграла РЩх) dx; он лишь множителем с* =	 отлича-
J	Bw!!J
ется от интеграла
J
-dx.
dxn	dxn
	1
Если применить к последнему снова формулу G) п° 311, заменив п на п -1 и по-
положив
dn(x2 - 1)"
dxn
то он сведется к интегралу
1	1
(-1)" 	\ п <х*-irdx = 2.2nl <X-
J dxm	J
-1	о
(все внеинтегральные члены исчезают, потому что функция v и ее производные
до (и-1)-й включительно при х±1 обращаются в 0). Полагая здесь x = siat [ср.
314, 2)], получим
2л!!	2
2-2и!	=	Bи!!J,
B+1)!! 2 + 1
так что окончательно
1
[pttddx^-^-^.	A0)
В заключение, используя свойства многочлена Лежандра, выведем
рекуррентное соотношение, связывающее три последовательных таких много-
многочлена.
Заметим предварительно, что степень хп может быть представлена в виде
линейной однородной функции от Ро, PL	Рп с постоянными коэффициентами;
тогда то же справедливо и для любого многочлена степени п. Поэтому
где Ц), а1( аг, а3, ¦¦¦ - постоянные коэффициенты. Легко установить, что <з3 = а4 =
= ... = 0. Например, чтобы определить а3, умножим обе части этого равенства
на ХП-2 и проинтегрируем от - 1 до +1
ill
ГРп-хРп-г dx = a0 tPn+iPn-t dx+ax [pnPn-idx+
-l
-l	-l
Ввиду (8) и (9) все интегралы, кроме одного, будут нулями, и мы получим
1
«3
-1
\Р„ _ 2 dx - 0, откуда а3 = 0.

321]	§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	151
Коэффициент аг также равен 0, ибо левая часть равенства не содержит вовсе члена
с хп. Для определения а0 приравняем коэффициенты при хп+1 в обеих частях равен-
равенства
Bя-1)!! Bл+1)!!	п+\
)_	_
\ а° ~г , 141 > откуда а0 = - ——
п\	(/г+1)!	2/г+1
Наконец, чтобы найти о2, приравняем обе части равенства при х—1:
1
так что
" 2и+1
Подставляя найденные значения коэффициентов, окончательно получаем
Это и есть искомое рекуррентное соотношение, которое позволяет находить много-
многочлены Лежандра последовательно, отправляясь от Ро = 1 и PL = x:
Зх2-1	5л:3-Зх
321. Интегральные неравенства. В п° 133 и 144 был выведен ряд неравенств
для сумм, покажем теперь, как подобные же неравенства могут быть установ-
установлены для интегралов. Все рассматриваемые здесь функции р(х), <р(х), v'W будем
считать интегрируемыми*.
1) В п" 133 мы имели неравенство D), которое можно переписать так:
е ^y.	A2)
2Pi
Рассмотрим в промежутке [а, Ь] положительные функции р(х) и <р{х). Разделив
промежуток точками
а = хо-=х1-= ...-=х,«=.х,+1< ...~=хп = Ь
на части, с длинами Axj-xj+1 — xj, положим теперь в написанном неравенстве
Pi=p(xj)-Axi, ai=<p(xj); мы получим
Все суммы здесь имеют вид интегральных сумм и при Axj -* 0 стремятся
к соответствующим интегралам. Таким образом, в пределе получим «интеграль-
«интегральный аналог» неравенства A2):
ь
j P(x)<p(x) dx
ь
р(х) dx
а
* Из этого предположения вытекает уже интегрируемость и других встре-
встречающихся ниже функций: для обоснования этого достаточно сослаться на п° 299,
II и п° 300, 4).

152
ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[321
В частности, при р(х) = 1, будем иметь:
~ \ф) dx.
i-a J
Выражение справа называется «средним арифметическим» значений функции (р{х)
в промежутке [а, Ь], а выражение слева - их «средним геометрическим».
2) Вьгаедем теперь интегральные аналоги неравенств Коши - Гельдера
и Минковского [133, E) и G)]:
atfAIM'?
A3)
A4)
Пусть в промежутке [а, Ь] даны положительные функции <р(х) и у(х); разложив,
как и выше, этот промежуток точками х,-, положим в A3):
а в A4):
Будем иметь:
Переходя к пределу, при Axj—О, получаем окончательно
Ь	6	16	1
k.[ U^'dxY'
i ь	16
Uq>+y]kdx\ =s| Гр"л|* + ! | у'*ЛГ.
а	а	а
Отметим частные случаи этих неравенств при к = к' = 2;
I 9
$
A3*)
A4*)
A3')

322]
§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
153
I <p2 dx +
A4')
Первое из них принадлежит В. Я. Буняковскому. Второе легко приводится
к первому возведением в квадрат.
3) Перейдем, наконец, к неравенству И е н с е н а [144 A2*)]:
A5)
здесь функция f(x) предполагается выпуклой в некотором промежутке X,
которому принадлежат точки л:,-; pi - положительные числа. Пусть в некотором
промежутке [а, Ь] задана функция<р(х), значения которой содержатся в^,и по-
положительная функция р(х). Теперь Xj будут означать точки деления про-
промежутка [а, Ь]; прежние х,- в A5) заменим науСх,-), ар,-положим равными p(xi)-Axj.
Переходя, как и выше, от интегральных сумм к интегралам, получим интегральное
неравенство Ие нее на:
р(х)<р(х) dx
p(x)-f(<p(x))dx
x) dx
§ 5. Приближенное вычисление интегралов
322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций. Пусть требуется
ь
вычислить определенный интеграл /(*) dx, где f(x) есть некоторая заданная
а
в промежутке [а, Ь] непрерывная функция. В § 3 мы имели много примеров вычисле-
вычисления подобных интегралов, либо с помощью первообразной, если она выражается
в конечном виде, либо же — минуя первообразную - с помощью различных
приемов, большей частью искусственных. Нужно отметить, однако, что всем
этим исчерпывается лишь довольно узкий класс интегралов; за его пределами
обычно прибегают к различным методам приближенного вычисления.
В настоящем параграфе мы познакомимся с простейшими из этих методов,
в которых приближенные формулы для интегралов составляются по некоторому
числу значений подинтегральной функции, вычисленных для ряда (обычно равно-
равноотстоящих) значений независимой переменной.
Первые относящиеся сюда формулы проще всего получаются из геометри-
ь
ческих соображений. Истолковывая определенный интеграл f(x) dx как площадь
а
некоторой фигуры, ограниченной кривой y = f(x) [204], мы и ставим перед собой
задачу об определении этой площади.

154
ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
C22
Прежде всего, вторично используя ту мысль, которая привела к самому поня-
понятию об определенном интеграле, можно разбить всю фигуру (рис. 6) на полоски,
Ь-а
скажем, одной и той же ширины* Ах,=	, а затем каждую полоску прибли-
п
женно заменить прямоугольником, за высоту которого принята какая-либо из ее
ординат. Это приводит нас к формуле
ь
f(x) ifei
где je,-=ss?I-asx,-+1 О'=0, 1, ..., п- 1). Здесь искомая площадь криволинейной фигуры
заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников ступен-
ступенчатой фигуры (или - если угодно - определенный интеграл заменяется
интегральной суммой). Эта приближенная формула и называется формулой
прямоугольников.
Л
/7т " а х,
На практике обычно берут ?,- = —	'— = л:,-ц_7,; если соответствующую сред-
среднюю ординату f($i)=f(xj^4t) обозначить через yi+1/,, то формула перепишется
в виде
1>
Ь-а
A)
Впредь, говоря о формуле прямоугольников, мы будем иметь в виду
именно эту формулу.
Геометрические соображения естественно приводят и к другой, часто при-
применяемой, приближенной формуле. Заменим данную кривую вписанной в нее
ломаной, с вершинами в точках (л:,-, yi), где у,-=f(xj) (j=0, 1, ..., и- 1). Тогда наша
криволинейная фигура заменится другой, состоящей из ряда трапеций (рис. 7).
Если по-прежнему считать, что промежуток [а, Ь] разбит на равные части, то пло-
площади этих трапеций будут
Ь-а
Ь-а
п 2	и 2	и
Складывая, придем к новой приближенной формуле
B)
* Мы сохраняем обозначения п° 294.

3221
5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
155
Это так называемая формула трапеций.
Можно показать, что при возрастании п до бесконечности погрешности фор-
формулы прямоугольников и формулы трапеций безгранично убывают. Таким обра-
образом, при достаточно большом п обе эти формулы воспроизводят искомое значение
интеграла с произвольной степенью точности.
Для примера возьмем известный нам интеграл
dx тт
— = - = 0,785398...
2 4
и применим к нему обе приближенные формулы, беря н = 10 и вычисляя на четыре
знака.
По формуле прямоугольников имеем
x1/2 =0,05
x*h =0'15
х1ы =0,25
*7/2 =0,35
Xtji =0,45
xn/2 = 0,55
x13/2 = 0,65
Xl5/2 = 0,75
x^j i = 0,85
x19/2 = 0,95
уЩ
Ущ
Ущ
Уу,
Ущ
Уп/г
Уп,2
у»/,
Уи,г
сумма
= 0,9975
= 0,9780
= 0,9412
= 0,8909
= 0,8316 7>8562
= 0,7678 10
= 0,7030
= 0,6400
= 0,5806
= 0,5256
7,8562
По формуле же трапеций
хо =
х«,=
0,0
1,0
7о=1,0000 *1 =
yw = 0,5000 х2 =
сумма 1,5000
1 /1,5000	
Го(-2- + 7'°"Г
= 0,78498
t = 0,9901
2	= 0,9615
3	= 0,9174
, = 0,8621
5 = 0,8000
0,7 у7 = 0,6711
0,8 у8 = 0,6098
0,9 у9 = 0,5525
сумма 7,0998
Оба полученных приближенных результата обладают примерно одинаковой
степенью точности - они разнятся от истинного значения (в ту и в другую сторону)
меньше чем на 0,0005.
Читатель, конечно, дает себе отчет в том, что погрешность мы смогли оценить
здесь лишь потому, что наперед знали точное значение интеграла. Для того чтобы
наши формулы были действительно пригодны для приближенных вычислений,

156	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[323
нужно иметь удобное выражение для погрешности, которое позволяло бы не
только оценивать погрешность при данном п, но и выбирать п, обеспечивающее
требуемую степень точности. К этому вопросу мы вернемся в п° 325.
323. Параболическое интерполирование. Для приближенного вычисления интег-
ь
рала I f{x) dx можно попытаться заменить функцию f(x) «близким» к ней много-
а
членом
у = Рк(х) = аох'< + а1хк-1+ ... +ak_lx+ak	C)
и положить
Иначе можно сказать, что здесь - при вычислении площади - данная «кривая»
у=/(*) заменяется «параболой Ахго порядка» C), в связи с чем этот процесс получил
название параболического интерполирования.
Самый выбор интерполяционного многочлена Ри(х) чаще всего производят
следующим образом. В промежутке [а, Ь] берут к+1 значений независимой пере-
переменной ?0, ?г, ..., i^ и подбирают многочлен P^ix) так, чтобы при взятых значениях
х его значения совпадали со значениями функции fix). Этим условием, как мы
знаем [128], многочлен Pkix) определяется однозначно, и его выражение дается
интерполяционной формулой Лагранжа:
(*&(*&• • -(xh)
(f. -1№ о ~?2) • • • «о -^)	«1 -loXli -«• • • (f i ~
При интегрировании получается линейное относительно значений /(?0),...
• ¦ •, /(?ft) выражение, коэффициенты которого от этих значений уже не зависят.
Вычислив коэффициенты раз навсегда, можно ими пользоваться для любой функ-
функции fix) в данном промежутке [а, Ь].
В простейшем случае при к = 0, функция fix) попросту заменяется п о с т о я н-
а + Ь
ной /(?д), где f0 - любая точка в промежутке [а, Ь], скажем, средняя: ?0 =	.
Тогда приближенно
ь
/Д—) .	D)
Геометрически - площадь криволинейной фигуры заменяется здесь площадью
прямоугольника с высотой, равной средней ее ординате.
При к = 1 функция fix) заменяется линейной функцией Pjix), которая имеет
одинаковые с ней значения при х=!„ и х=|х. Если взять |0 = а, ?, = Ь, то
~ fid) + *^ /F)	E)
а-Ь	Ь-а

323]
§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
157
и, как легко вычислить,
Таким образом, здесь мы приближенно полагаем
x)Jx-(b a)m+m
F)
На этот раз площадь криволинейной фигуры заменяется площадью трапеции:
вместо кривой берется хорда, соединяющая ее концы.
Менее тривиальный результат получим, взяв к = 2. Если положить ?0 = а0,
а+Ь
?j =	,?2 = b, то интерполяционный многочлен Pz(x) будет иметь вид
а + Ь
J а+ь\
Ь-Ъ-Ь)	ia+b) 	I 2 ,
(а+Ь \(а+Ь ,\{ 2 } {ь_а)[ь_а+П
"{ 2 )
С помощью легкого вычисления установим
6
и аналогично
2 \(х-ЬK Ь-а (х-ЬУ
G)
Ь-а
Ь-а
(х-
( а+Ь\
ф-а)\Ь-—-.
2 ) Ь-а
ах =	.
6
Таким образом, приходим к приближенной формуле
6
(8)

158	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	C24
Здесь площадь фигуры под данной кривой заменяется площадью фигуры,
ограниченной обыкновенной параболой (с вертикальной осью), проходящей через
крайние и среднюю точки кривой.
Увеличивая степень к интерполяционного многочлена, т. е. проводя параболу
C) через все большее число точек данной кривой, можно рассчитывать добиться
большей точности. Но более практичным оказывается другой путь, основанный
на сочетании идеи параболического интерполирования с идеей дробле-
дробления промежутка.
ь
324. Дробление промежутка интегрирования. При вычислении интеграла fix) dx
а
можно поступить так. Разобьем сначала промежуток [а, Ь] на некоторое число, п,
равных промежутков
[х0, х,], [*!, х2]	[*n-i. хп] ixo = a, хп = Ь),
в связи с чем искомый интеграл представится в виде суммы
Xj	X,	Хя
j f{x) dx + |/(дг) dx-\ ... + J Дх) dx.	(9)
X,	X,	ЬН-1
Теперь же к каждому из этих промежутков применим параболическое интерполи-
интерполирование, т. е. станем вычислять интегралы (9) по одной из приближенных формул
D), F), (8), ...
Легко сообразить, что, исходя из формул D) или F), мы таким путем вновь
получим уже известные нам формулы прямоугольников и тра-
трапеций, A) и B).
Применим теперь к интегралам (9) формулу (8); при этом, для краткости,
положим, как и выше,
2
Мы получим
b-a
г	Ь-(
fix) dx~ -
J	6n
I
b-a
J f{x) dx~ -~ iyn
Наконец, складывая почленно эти равенства, придем к формуле
6
--—
O/7
6
{fix) dx'--
J

325]	§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ	159
Она носит название формулы Симпсона (Th. Simpson); этой формулой пользуются
для приближенного вычисления интегралов чаще, чем формулами прямоуголь-
прямоугольников и трапеций, ибо она - при той же затрате труда - дает обычно более точный
результат.
1
г dx
Для сравнения вычислим снова интеграл I - - [см. 322] по формуле
J \+х%
о
Симпсона. Мы возьмем п = 2, так что число использованных ординат на этот
раз будет даже меньшим, чем раньше. Имеем (вычисляя на пять знаков)
_1	1	3
Л-1; 4Л/,= 3,76471; 2л-1,б; 4Л/1 = 2,5б; л = 0,5.
— A + 3,76471+ 1,6 + 2,56 + 0,5) = 0,78539...
- все пять знаков верны!
Конечно, по отношению к формуле A0) могут быть повторены замечания,
сделанные в конце п° 322. К оценке погрешности приближенных формул мы сейчас
и переходим.
325. Дополнительный член формулы прямоугольников. Начнем с формулы D).
Предположим, что в промежутке [а, Ь] функция f(x) имеет непрерывные произ-
производные первых двух порядков. Тогда, разлагая fix) [по формуле Тейлора,
а+Ь
126 A3)] по степеням двучлена х	вплоть до квадрата его, будем иметь
для всех значений х в [а, Ь]
Ч
O (а
a + b
где f содержится между х и	и зависит от х.
Если проинтегрировать это равенство в промежутке от а до Ъ, то второй член
справа исчезнет, ибо
ь
К-
)±с = 0.	(П)
Таким образом, получаем
ъ
так что дополнительный член формулы D), восстанавливающий ее
точность, имеет вид
Обозначив через т и М, соответственно, наименьшее и наибольшее значения
непрерывной функции f"(x) в промежутке [а, Ь] [85] и пользуясь тем, что

160	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[325
второй множитель подынтегрального выражения не меняет знака, по
обобщенной теореме о среднем [304, 10°] можем написать
ь
1 с( a+by {Ь-аУ
J
где ц содержится между т и М. По известному свойству непрерывной функции
[82], найдется в [а, Ь] такая точка f*, что [i=f "(?*), и окончательно
(Ь -аK
9-—~ /"(**).	A2)
Замечание. Естественно было бы, разлагая функцию /(*) по степеням
а+Ь
х	, оборвать разложение уже на первой степени этого двучлена, т. е. восполь-
воспользоваться формулой
Это привело бы нас, при интегрировании, к равенству
b	Ь
а	а
так что дополнительный член выразился бы интегралом
ь
содержащим лишь первую производную fix). Но здесь второй множитель
подинтегралъного выражения меняет знак в промежутке [а, Ь], и применение
обобщенной теоремы о среднем - в целях упрощения выражения для р - оказы-
оказывается невозможным. Продвижение в тейлоровом разложении еще на один член,
в связи с равенством A1), обеспечило нам успех.
Если теперь разделить промежуток [а, Ь] на и равных частей, то для каждого
частичного промежутка [л:,-, х/+{[ будем иметь точную формулу
f /(*) dx = — /(*,+•/,) + %^ /"(?*) (*,*1*=е х,+J.
J	n	TAtP
Сложив эти равенства (при i = 0, 1, ..., и- 1) почленно, получим при обычных
сокращенных обозначениях
ь
/(x) dx= —- (У
а
где выражение
Jb-аУ /"(

326]	§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ	161
и есть дополнительный член формулы прямоугольников A). Так как выражение
/"(?*)+• ••+/"(?*-!)
п
также содержится между т и М, то и оно представляет одно из значений функ-
функции /"(*).
Поэтому окончательно имеем
1
При возрастании п этот дополнительный член убывает примерно как —*.
1	л2
г dx
Вернемся для примера к вычислению интеграла 	, произведенному
1 о Зх2-1
в 322. Для подинтегральной функции f{x) =	имеем / (х) = 2 -	— ; эта
1 ~т~ X	\* ~т~ X )
производная в промежутке [0, 1] меняет знак, но по абсолютной величине остается
меньшей 2. Отсюда, по формуле A3) | Rlo | -= 0,85 • 10"~3. Мы вычисляли ординаты
на четыре знака с точностью до 0,00005; нетрудно видеть, что погрешность от
округления ординат может быть включена в приведенную выше оценку. Истинная
погрешность, действительно, меньше этой границы.
326. Дополнительный член формулы трапеций. Займемся теперь формулой F)
при прежних предположениях относительно функции f(x). Воспользовавшись
интерполяционной формулой Лагранжа с дополнительным членом [129 G)],
можем написать [см. E)]
Интегрируя эту формулу от а до Ь, найдем
*	ь
ГШх-aXx-b) dx,
так что дополнительный член формулы F) будет
ь
Рассуждая, как выше, и пользуясь тем, что второй множитель подинтеграль-
подинтегральной функции и здесь не меняет знака, найдем
ь
1	г	(Ь- аK
? = у /"(г/*) | (* - а)(х -b)dx=- —^— f"(r,*
* Мы говорим: примерно, ибо и I может изменяться с изменением п.
Это следует помнить и впредь.
11 Г. М. Фихтенгольц, т. 11

162	ГЛ. ГХ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[327
Наконец, для случая деления промежутка на п равных частей
(Ь - аK
Rn=- -—r f"(ri) (a^srj^b).	A4)
Таков дополнительный член формулы трапеций B). При возрастании п он
также убывает примерно как -. Мы видим, что применение формулы трапеций
л2
приводит к погрешности того же порядка, что и для формулы прямоугольников.
327. Дополнительный член формулы Снмпсона. Обратимся, наконец, к формуле
(8). Можно было бы, аналогично тому, как это было сделано только что, снова
воспользоваться интерполяционной формулой Лагранжа с дополнительным
членом [129 G)] и положить [см. G)]
/(*) = Р2(х) +f~- (* -а)(х- п ~) {х -Ь) («< С - Ь).	A5)
Но мы сталкиваемся здесь снова с таким положением вещей, какое имели в п°
325 (см. замечание). Именно, проинтегрировав равенство A5), мы не могли бы
упростить интегральное выражение для дополнительного члена с помощью тео-
( а+ь\
ремы о среднем, так как выражение {х-а) \х	¦ (х-Ь) в подынтегральной
функции уже меняет знак в промежутке [а, Ь]. Поэтому мы поступим иначе.
Выражение
( а+Ь\
RJ,z) + K{z-a) z—— I (z-i),
а+ b
каково бы ни было число К, в точках z = а, 	, b принимает те же
значения, что и функция /(г). Легко подобрать теперь число К так, чтобы и п р о-
а+b (а+Ь\
изводная этого выражения при z=	 совпадала с производной /' 	 .
Таким образом, при этом значении К, мы имеем в лице написанного выражения
не что иное, как интерполяционный многочлен Э р м и т а [130], отвечающий
а+Ь
простым узлам a, b и двукратному узлу	. Воспользовавшись формулой Э р-
мита с дополнительным членом [130 A1)] - в предположении существования
для функции fix) производных до четвертого порядка включительно - получим:
K(x_a-)(x_ajb)( _ил /(<)(б _ )(x_a + bY( _b)	^?^Ь)
"Х	Г 2 ) Х	4! Х ° Г 2 j
Теперь проинтегрируем это равенство от а до Ь; мы найдем, что
ь
b-af
=	f(a)+4/1 — I +f{b) I + — I /0)@(x - a) I x - ~—- \(x-b) dx,
6 L	12/	J 24J	12
'-tJ*-1

327]	§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ	163
так как
ь
?, J a + b\, tw C( a + b\\(
]
Если предположить производную /D)(л:) непрерывной, то, как и в предыдущих
случаях, дополнительный член формулы (8)
ь
1
р =
о
1 г	/ а + Ь\-
— \/ЩО(х-а)\х- ~—\(x~b)dx,
24 J	{ 2 )
пользуясь тем, что второй множитель в подинтегральном выражении не меняет
знака, можно представить в такой форме*:
ь
г	( a+bV
J (x-e)lx-—J
1	г	( a+bV
—У<4>(С*) J (x-e)lx-—J (x-b)dx =
b
а-[Ь\- (Ь-а)°
)
Если промежуток [а, Ь] разделен на п равных частей, то - для формулы С и м-
пеона A0) - получим дополнительный член в виде
При возрастании п это выражение убывает примерно как —; таким
п*
образом, формула Симпсона действительно выгоднее двух предшествующих
формул.
1
с dx
Обратимся снова к примеру интеграла 	. Для того чтобы избежать
J 1+ха
о
вычисления четвертой производной, фигурирующей в формуле A6), мы заметим,
что функция f{x)=	сама является производной от y=arctgx, так что мы
можем воспользоваться готовой формулой из 116, 8). В согласии с ней
/¦D)(х) *- j'E) = 24 cos5 у sin 5 ly + -1 = 24 cos5 у cos 5y;
* Если f(x) есть многочлен степени не выше третьей, то, очевидно, ? обра-
обращается в 0. Значит, для такого многочлена формула (8) будет точной (в чем
легко убедиться И непосредственно).

164	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[328
это выражение, по абсолютной величине, не превосходит 24, так что по формуле
1
A6) |Л2Н	=0,0006. Истинная погрешность, как мы видели, значительно
меньше этой границы.
Замечание. На этом примере бросается в глаза, что граница погрешности,
найденная по нашей формуле, оказывается довольно грубой. К сожалению - и в
этом практический недостаток выведенных формул, - подобное обстоятельство
встречается нередко.
Тем не менее именно с помощью этих формул, позволяющих все же оценивать
погрешность наперед, можно осуществлять приближенное вычисление определен-
определенных интегралов. Обратимся к примерам.
2
rdx
328. Примеры. 1) Вычислим интеграл — = 1п2 с точностью до 0,001, во-
J х
1
спользовавшись формулой прямоугольников.
1	2
Так как для f{x) = — имеем 0</"(x) = —=s2 (если 1 asx=s2), то по формуле A3)
х	х2
0 «=*„-=-!;.
12л2
Если взять п= 10, то дополнительный член нашей формулы будет Л10-=	-=
\2\J\j
-= 0,84 • 10~3. Нам придется внести еще погрешность, округляя значения функции;
постараемся, чтобы границы этой новой погрешности разнились меньше чем на
0,16 • 10~3. С этой целью достаточно вычислять значения функции — с четырьмя
х
знаками, с точностью до 0,00005. Имеем:
*1/а = 1,05 ущ = 0,9524
х,/2=1,35 Л/| = 0,7407
л-9/2=1,45 Л/г = 0,6897
*ii/,= 1.55	*!,, = 0,6452 _^ = о,69284
*13,2=1>65	л,/,-0,6061 10
*U/l=l,75	y»,r 0,5714
«it/,-1,85	yB,t- 0,5405
л1в/г = 1,95	л»/г = 0,5128
сумма 6,9284
Учитывая, что поправка к каждой ординате (а следовательно, и к их среднему
арифметическому) содержится между ±0,00005, а также принимая во внимание
оценку дополнительного члена Rla, найдем, что In 2 содержится между границами
0,69279 = 0,69284-0,00005 и 0,69373 = 0,69284+0,00005 + 0,00084, а следовательно,
и подавно между 0,692 и 0,694. Таким образом, In 2 = 0,693 ±0,001.

328|	§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ	165
2)	Провести то же вычисление по формуле трапеций.
В этом случае по формуле A4)
I
г! 6л2'
Попробуем и здесь взять и= 10, хотя тогда гарантировать можно лишь что | Rl0 \ --
-=	= 1,7-10—3. Ординаты (вычисленные с той же точностью, что и выше)
600
будут
л-^1,1 ух = 0,9091
.т., = 1,2 у2 = 0,8333
*¦"!* Л"Ж *-!-° >-1'0000
х. = 1,4	у* = 0,7143 v — 9 О i> — П WVl
2:1.6	^S су^а-15000^
л, = 1,7	у, = 0,5882
л:8=1,8	у8= 0,5556	i /1,5000 \
л-9=1,9	у9 = 0,5263	-|——+6,1877j= 0,69377
сумма 6,1877
Учитывая все поправки, найдем, что In 2 содержится между границами 0,69202 =
= 0,69377-0,00005-0,00170 и 0,69382 = 0,69377+0,00005, т. е. снова между 0,692
и 0,694, и т. д.
3)	С помощью формулы Симпсона, при том же числе ординат,
можно получить более точный результат. Так как четвертая производная под-
24
интегральной функции есть —, то по формуле A6)
.г5
24
180- BнL 15 -BпУ
При и = 5 (тогда число ординат будет то же, что и в предыдущем случае) имеем
s| -=1,4-10—в. Вычисление поведем на пять знаков, с точностью до 0,000005:
*i/2 = l,l	Л/ =0,90909
л. = 1,4 у2 = 0,71429 *s/2=1>3	,v8/22 = 0,76923
*з=1,6 Уз = °.625О0 x&lit=\,5	ybji = 0,66667
хЛ=1,8 ^4 = 0,55556 х?^=1,7	у, / =0,58824
сумма 2,72818-2	*9/?.= J'9 y*h° °'52632
5,45636	сумма 3,45955-4
13,83820
*о=1,О уо= 1,00000
х5 = 2,0 уъ = 0,50000
сумма 1,50000
— A,50000+5,45636+13,83820) = 0.693152.

166	ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ	[328
Отсюда In 2 содержится между границами
0,693133 = 0,693152-0,000005-0,000014
0,693157 = 0,693152 + 0,000005,
так что, например, можно положить In 2 = 0,69315±0|OO002.
В действительности In 2 = 0,69314718..., и истинная погрешность оказывается
меньшей чем 0,000005 [ср. замечание в конце предыдущего п°].
4) Поставим себе задачей вычислить полный эллиптический ин-
интеграл 2-го рода*
п
2
1
1 - — sin2 х dx
г
о
с точностью до 0,001 по формуле Симпсона.
Л[ I	л
Для функции f{x) = I / 1	sin2 х, при изменении л- от 0 до — , имеем
I/WH12**, поэтому [см. A6)]
2 1
• 2-=—	, так как I —
1 180-BиL 3 BлL
Возьмем и = 3, так что | Rs | -= 0,00052. Тогда
*о = О @°)	л =
л-1; =— A5°) 4уц ,-/l2 +/12 = 3,9324
'¦'¦ 12	/2
хх^ C0°)	2Л=/14/2= 1,8708
с3 =- D5е) 4у31 =/12 = 3,4641
л 15,4771
л	_	= 1,35063...
я-2 = - F0°)	2^2=/10/2=1,5811	2 18
=/12-/12 = 2,9216
л
xs^- (90°)	v3=/2/2 = 0,7071
сумма 15,4771
* См. сноску на стр. 142.
** Очевидно, y=f(x)s*—; дифференцируя тождество уг=\ — sin2я:, легке
/2	2
последовательно получить оценки (сверху) абсолютных величин производныз
у', у", у'", №¦

328J
5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
167
К полученному результату, кроме поправки 2?3, следует добавить еще (неотрица-
0,0003. п
тельную) поправку на округление, которая не превссходит 	-=0,00003.
36
Таким образом,
и можно утверждать, что Е
36
1,35011-= e|— U 1,35118,
1,351+0 0
У
(На деле в полученном результате все знаки верны.)
5) Вычислить интеграл
1
о
с точностью до 0,0001 по формуле Симпсона.
Непосредственно вычислив четвертую производную от подинтегральной
функции, убеждаемся, что по абсолютной величине она не превосходит 12; поэтому
180-BпL
Достаточно взять и=5, ибо |.R5|-=0,7-10-5. Имеем
*о = О,О у„ = 1,00000	Xl/ =0,1
ДС.-1.0 у5 = 0,36788	-*8/22 = 0,3
=0,99005
]-0,91393
x,-0,2	у, =0,96079
л:, = 0,4	y» = 0,85214
^3 = 0,6	уд = 0,69768
^4 = 0,8	y4 = 0,52729
сумма 3,03790-2
Jf9/, = 0,9 y9/o = 0,44486
сумма 3,74027-4
14,96108
1,36788 + 6,07580+14,96108
30
= 0,746825
6,07580
0,746813-= W^ 0,746837
^=0,7468+0>00005.
(И здесь в полученном результате верны все шесть знаков!)
6) Найдем интеграл
1
-
J
arctgx
dx

168
ГЛ. IX. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
[32
[ср. 314, 6)] по формуле С и м п с о н а, при п = 5, вычисляя на пять знаков
Уо-1
75=0,78540
сумма 1,78540
Л = 0,98698
У2 = 0,95127
уа = 0,90070
у^ 0,84343
Л/2 = 0,99668
у8/22 = 0,97152
Л/2 = 0,92730
Л/2 = 0,87246
уа,г 0,81424
сумма 4,58220 • 4
18,32880
1,78540 + 7,36476 +18,32880
__	,
= 0,915965.
сумма 3,68238-2
7,36476
В полученном результате все знаки верны. Предоставляем читателю оценить
погрешность по формуле A6).
Значение G иногда называют постоянной Ката л ана (Е. Catalan) [см.
также 440, 6) (а)].
Замечание. Последние три примера интересны в том отношении, что
соответствующие первообразные функции в конечном виде не выражаются, так
что ими воспользоваться для вычисления определенных интегралов было бы не-
невозможно.
Наоборот, если эти первообразные представить в виде определенных инте-
интегралов с переменным верхним пределом, то можно было бы вычислить значения
этих интегралов, отвечающих ряду значений верхнего предела. Этим, с принци-
принципиальной стороны, выясняется возможность составления для функций, заданных
лишь их интегральными выражениями, таких же таблиц, какие известны читателю
для элементарных функций.
На этом пути можно также получить для упомянутых функций и приближен-
приближенные выражения.

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
§ 1. Длина кривой
329. Вычисление длины кривой. Пусть на плоскости параметриче-
параметрическими уравнениями
задана непрерывная простая кривая АВ. В первом томе [247] было
установлено понятие длины кривой как точной верхней гра-
границы S периметров, вписанных в кривую ломаных
S = sup{^}.	B)
В предположении, что функции A) имеют непрерывные производные,
было доказано [248], что кривая спрямляема, т. е. длина дуги
конечна. Больше того, если рарсмотреть переменную дугу AM,
где М - любая точка кривой, отвечающая значению t параметра, то
было установлено, что длина
есть дифференцируемая функция от t, производная которой выра-
выражается так:
или - короче -
YW^	C)
[248 A0)] и, очевидно, тоже непрерывна.
Владея понятием интеграла, мы можем теперь перейти и к вы-
вычислению длины s кривой АВ. По основной формуле интеграль-
интегрального исчисления, сразу получим

170	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[329
или
AB=S= \ixf+y? dt = jfW(t)Y+ WU)f dt.	D)
Длина переменной дуги AM, о которой выше шла речь, как легко
понять, выразится формулой
xJVy} dt.	E)
Может случиться, что за начальную точку отсчета дуг берется какая-
либо внутренняя точка Мо. Если t0 по-прежнему определяет
именно эту точку (в этом случае t0 уже не будет концом проме-
промежутка, где изменяется t), то формула E) дает, очевидно, величину
дуги AM со знаком, именно, со знаком плюс, если t > t0 и точка
М лежит с положительной стороны от начала отсчета дуг Мо, и со
знаком минус, если t-^t0 и точка М лежит с отрицательной стороны
от Мо.
Если кривая задана явным уравнением в прямоугольных коор-
координатах
y=f(x) (xo*sx*sX),
то, принимая х за параметр, из формулы D), как ее частный случай,
получим
х	х
S = J /ТТ^ dx = J /TTL/W dx.	Da)
Наконец, случай полярного задания кривой
как известно, также приводится к параметрическому с помощью обыч-
обычных формул перехода
х = г cos в = gF) cos в, y = r sin в = gF) sin в;
роль параметра здесь играет в. Для этого случая
в	в
s= \Y7^T^d6=|/Ш?7Ш?^ •	Dб)
Легко для этих двух частных случаев задания кривой написать
и выражения для величины переменной дуги AM, если М отвечает
абсциссе х или полярному углу в:
х
\	Ea)

330)	S i. длина кривой	171
или, соответственно,
AM = .9 = s(d) = J fr*+~rf dd.	E6)
e.
330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вы-
вычислению. При определении самого понятия длины непрерывной про-
простой кривой A) мы исходили из равенства B). Докажем теперь, что
-	в случае незамкнутой кривой — ее длина S является не
только точной верхней границей для множества длин
{/>}, вписанных в кривую ломаных, но и попросту пределом для р
-	при условии, что стремятся к 0 длины всех сторон ломаной (р)
(или, точнее, длина Я* наибольшей из этих сторон):
S = \irap.	F)
л*-о
Впрочем, удобнее исходить из значений параметра t:
/0-=*i-= .. .<?,<?,+1-= ... **„=Г,	G)
определяющих положение на кривой вершин ломаной (р), и предпо-
предположить, что стремятся к нулю все приращения Atj = ti+1-t( (или,
точнее, наибольшее из них Х = max At,). Две леммы п° 245 обеспечи-
обеспечивают равносильность обеих характеристик предельного процесса. Итак,
подлежит доказательству предельное соотношение
S = \imp.	F*)
Сначала отметим следующее важное свойство периметра р. Если
он отвечает некоторому способу G) разложения промежутка [tQ, T],
и затем мы вставим еще одну точку деления t:
то периметр р разве лишь увеличится, причем увеличение его не прев-
превзойдет удвоенной суммы колебаний функций y(t) и tp(t) в промежутке
[tk, tk+1]. Действительно, добавление новой точки t заменяет в сумме
р одно слагаемое (длину стороны):
-V(tk)f	(8)
суммой двух слагаемых (суммой длин двух сторон)
^Ш (9)
которая во всяком случае не меньше, чем слагаемое (8).

172	I Л. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[330
С другой стороны, вся сумма (9) не превосходит суммы
I «КО - 9(h) I + I f@ -V(h) I
и, следовательно, увеличение периметра/7 и подавно не превос-
превосходит этого числа, которое, очевидно, меньше упомянутой удвоенной
суммы колебаний.
В дальнейших рассуждениях ограничимся случаем конечного S.
Для произвольно малого числа е >0, по определению точной верх-
верхней границы, найдется такой способ разбиения промежутка [t0, T] на
части точками
tf = to^t?^t$^...t* = T,	A0)
что для соответствующего периметра р* будет выполняться неравен-
неравенство
Ввиду равномерной непрерывности функций <р@ и tp(t) существует
столь малое число й>0, что
лишь только \t"-t'\<d. Разобьем же промежуток [t0, T] на части
точками G) под единственным условием, что А«=# (т. е. что все Zl?,<<5),
и составим соответствующую сумму р.
Рассмотрим третий способ дробления промежутка [t0, T] на части,
при котором точками деления служат как все точки t, способа G),
так и все точки t* способа A0); пусть ему отвечает периметр р0. Так
как этот способ получен из A0) путем добавления новых точек, то
в силу сказанного вначале
Р0**Р*-	A2)
С другой стороны, тот же способ получен и из G) добавлением
точек t%. Добавление каждой точки t * увеличивает р не более, чем
на удвоенную сумму соответствующих колебаний функций cp(t) и ip(t),
т. е. меньше, чем на ^— . Так как этот процесс повторяется меньше,
чем m раз, то р0 превзойдет р меньше чем на -^:
ро^р + ~.	A3)
Из неравенств A3), A2), A1) следует, что

330]	§ 1. длина кривой	173
так что 0<S—p<e, откуда вытекает доказываемое утверждение F*),
а значит и F).
Так как из F) обратно вытекает B), то равенство F) можно рас-
рассматривать как новое определение длины кривой, равносильное преж-
прежнему.
Замечание. Однако, как нетрудно видеть, в случае замкну-
замкнутой кривой такое определение не может быть применено безогово-
безоговорочно: ведь даже при соблюдении
указанного условия ничто не ме-
мешало бы ломаной стягиваться в
точку, а ее периметру стремиться
к 0 (рис. 8). Суть дела в том,
что при незамкнутой кри-
кривой одно убывание всех звеньев
ломаной (р) до нуля уже обеспе-	">ис"
чивает все более тесное примы-
примыкание их к соответствующим частичным дугам; поэтому-то и естест-
естественно предел ее периметра р принять за длину всей дуги. В случае
же замкнутой кривой дело обстоит уже не так.
[Отметим, что если вместо стремления к 0 длин всех сторон
ломаной, потребовать того же относительно диаметров соответствую-
соответствующих дуг, то новое определение было бы в равной мере приложимо
как к незамкнутым, так и к замкнутым кривым.]
Покажем теперь, как из определения F) или — что то же - F*)
непосредственно вывести выражение D) для длины S кривой. Будем
исходить из готового выражения для периметра р ломаной [см. 248
G)]:
2
1=0
где т,, т, - некоторые значения t из промежутка [?,, ti+1].
Если заменить во втором слагаемом под знаком корня везде т,
на t,, то преобразованное выражение
л-1
/=0
очевидно, представит собой интегральную сумму как раз
для интеграла D). При стремлении Я к нулю, эта сумма и будет иметь
своим пределом упомянутый интеграл*. Для того чтобы показать,
что к тому же пределу стремится и периметр р ломаной, достаточно
обнаружить, что разность р - а стремится к нулю.
* Существование его не вызывает сомнений, ибо подинтегральная функция
непрерывна [298, I].

174	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
С этой целью произведем оценку этой разности
[331
'ет - У W(*S?
Элементарное неравенство
если применить его к каждому слагаемому написанной выше суммы
в отдельности, даст нам
/> - ff Н2>'(*<)-У (*/) И,-•
Ввиду непрерьшности функции y>'(t), по любому заданному е>0
найдется такое й>0, что \ip'(t)-y>'(t)\<e, лишь только \t-t\<b. Если
взять А«=<5 (т. е. все At^b), то и |г,~т(|<й, так что |f'(T/)~?'(^)He и
Это доказывает формулу D).
331. Примеры. 1) Цепная линия: >^och- (рис. 9). Мы имели уже в
а
252, 1):
у
х
а
Тогда по формуле Eа), если за начало от-
отсчета дуг принять вершину А кривой
s----AM =
г х	х
= \ch-dx = ash-.
J а	а
Рис. 9.
способ графического спрямления цепной линии.
хг
2) Парабола: у= — .
2
Вспоминая, что tg а = у'х - sh —, имеем
а
также s = a tg а. Таким образом, в д МР5
(рис. 9) катет MS=a tga в точности равен
(по длине) дуге s. Мы получили простой
* Неравенство это очевидно при а = 0; если же а#0, то оно непосредственно
вытекает из тождества
= F-*>i),
так как множитель при разности в скобках по абсолютной величине меньше
единицы.

331]	§ 1. ДЛИНА КРИВОЙ	175
Приняв за начало отсчета дуг вершину О (х = 0), для произвольной точки М
с абсциссой х имеем
If	1 Г 1		 р2		. 1
=- ]/л?Тр2Лс = - 1-х Vx2 +р2+- \п(х+]/х*+р*)\
pJ	p L2	2	J
р
— In
2
3) Астроида: x = acos31, y = asin31.
Пользуясь уже вычисленными [224, 4)] значениями х\ и у\, имеем
У*/2 +y'f = За sin * cos г (если 0=s?=e- .
Длина четверти астроиды между точками А(а, 0) и В@, а), по формуле D), равна
2
За
За
АВ = За sin / cos t dt = — sin21
J	2
о
так что длина всей кривой будет 6а.
4) Циклоида: x = a(t-sin t), y = a(l -cost).
Здесь (при 0=в?«г2л)
ТхР+УР = аУA-со8 02+81П^7= 2а sin —;
2
длина одной ветви циклоиды, по формуле D), будет
2я
Г t	t
2а sin — dt = - 4а cos —
J 2	2
5) Эвольвента круга: *=a(/sin ?+cos/), y = a(sin /-
Имеем (при /=-0)
Yxf+y'f = a]f{t cos ty+{t%\atj2 = at,
так что переменная дуга AM от точки A (t = 0) до любой точки М (t =- 0) выразится
так:
-w о*2
ЛЛ/=1 = —.
2
При /<:0 в предшествующей формуле справа нужно лишь поставить знак
минус.
6) Архимедова спираль: /- = ав.
По формуле E6), отсчитывая дугу от полюса О до любой точки М (отвечаю-
(отвечающей углу 8), получаем
о
ом=а( yiТе* de = a- [в
J	2
О

176
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[331
Любопытно, что подставив здесь в = —, мы придем к выражению, формально
а
сходному с выражением для длины дуги параболы [см. 2)].
7) Логарифмическая спираль: /- = аетв (рис. 10).
1	-w
Так как г'о = тг, то г = — г«, и для дуги М0М между двумя точками с координа-
т
тами (/-„, 0О) и (/% 0) будем иметь по той же формуле E6)
-J,
- I r'udB-
1 +-(г-го).
Если вспомнить, что для логарифмической спирали tg со = —, то полученный
т
результат можно написать так:
J
COS ft)
Приближая точку Мо к полюсу О,
т. е. устремляя /-„ к нулю и прини-
принимая получаемый при этом
предел длины дуги М0М з а
длину дуги ОМ, мы придем к еще
более простому результату
COS О)
С помощью этой формулы из
А МОТ (см. рисунок) уже легко усмо-
усмотреть, что дуга s равна полярному
отрезку касательной tp:
ОМ=ТМ*.
Мы получили весьма простой способ
графического спрямления нашей кривой.
Рис. 10.	хг yi
8) Эллипс: — + — =1.
аг Ьг
Удобнее, впрочем, взять уравнения эллипса в параметрической форме х=a sin t,
6 cos/. Очевидно,
1г+У12=Уа* cos2 r + 62sin2 /= ]/(Г2 - (а2 - б2) sin2 f = efl -?2sin2/,
fa2 - Ь*
где f	 есть численный эксцентриситет эллипса.
а
* Это свойство логарифмической спирали позволяет легко установить такое
предложение: когда эта кривая катится без скольжения по прямой МТ,
то полюс О (если считать его неизменно связанным с кривой) описывает некото-
некоторую прямую. Предоставляем читателю доказательство.

331]	§ 1. длина кривой	177
Вычисляя длину дуги эллипса от верхнего конца малой оси до любой его точки
в первом квадранте, получим
= a{ /I -e2sin2 f Л = пЕ(е, t).
Таким образом, длина дуги эллипса выражается эллиптическим инте-
интегралом 2-го рода [293, см. также 305]; как указывалось, этот факт послужил
поводом для самого названия «эллиптический».
В частности, длина четверти обвода эллипса выражается через полный
эллиптический интеграл*
a I ]/l
о
]?2sin2f<# =
о
Длина же всего обвода будет
х
Интересно отметить, что для длины одной волны синусоиды у - с sin — , где
		Ь
с = /а2 - № получается в точности такой же результат. Геометрически это совпаде-
совпадение объяснить легко. Вообразим прямой круговой цилиндр; в пересечении его
поверхности с плоскостью, наклонной к образующим, получится эллипс. Если
разрезать поверхность цилиндра по образующей, проходящей через вершину
малой оси, и развернуть, то обвод эллипса перейдет в синусоиду.
Аналогично к эллиптическим интегралам (обоих родов) при-
приводится и вычисление дуги гиперболы.
9) Улитка: r=acos0+6.
Здесь г[) = - a sin в и
[Aab	в 1
1	sin2 — .
(а+ЬУ 2J
Поэтому (при b * а) для длины дуги от точки, для которой в = 0, до точки с любым
в-= л получим выражение в виде эллиптического интеграла B-го
рода)
Л/ Aab	в
/ 1	sin2 —
' {+ЬУ 2
о
_е
2
(а+ЬУ	[
\а+Ь 2
о
Длина всей кривой выразится полным эллиптическим интегралом:
* См. сноску на стр. 142.
12 Г. М. Фихтенгольц, т. II

178
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[331
Однако для частного случая - кардиоиды (Ь = а) дело значительно
упрощается. В этом случае
0
г2 +/"а2 = 4а2 cos2 —,
так что (О<0=вл)
о
в
СО	V
s = 2а \ cos — d6 = 4а sin - .
J 2	2
Если (рис. 11) из полюса О радиусом 2а описать дугу AL до пересечения с продолжен-
продолженным радиусом-вектором ОМ, то хорда AL, очевидно, будет равна дуге s=AM.
Длина всей кардиоиды будет 8а.
10) Лемниската:
г2 = 2а2 cos 20.
Вычислим длину дуги лемнискаты от вершины, отвечающей 9 = 0, до любой
л
точки с полярным углом 8-= — .
4
Имеем
гг'0= -2л2 sin 20,
2а2 sin 20
откуда гв =	.
В таком случае
и по формуле E6)
0
Рис. 11.
мы снова приходим к эллиптичес-
эллиптическому интегралу A-го рода). Так
как таблицы вычислены для интегралов, в которых множитель кг при sin2 8 меньше
единицы, то прибегаем к замене переменной. Положим 2 sin2 8= sin2 у (так как
л
9-=-, то 2sin29<l, и угол д> отсюда определить действительно можно); тогда
4
cos 9 d6 = — cos q> d(p,
n
У1-2 sin2 q> = cos <f
и окончательно

331]	§ 1. ДЛИНА КРИВОЙ	179
л	л
Полагая в предельном случае* 0 = -, а д> = -, для длины четверти лемнискаты
получим выражение через полный эллиптический интеграл
'(#
длина всей лемнискаты будет 5=4аК
У
Замечательно, что задача спрямления дуги кривой столь часто приводит именно
к эллиптическим интегралам.
11) В заключение приведем пример использования формулы для длины дуги
при построении эвольвенты кривой [256].
Рассмотрим цепную линию. Если текущие координаты ее точки обо-
обозначить через ?, ?7 (применительно к обозначениям п° 256), а дугу ее, отсчитываемую
от вершины, - через а, то уравнение кривой напишется в виде
а
а дуга представится формулой [см. 1)]
а = a sh — .
а
Отсюда можно выразить ( и t] непосредственно в функции от а:
? = e[ln (о + Уаг + а2) - In в], т}=Уа'+а*.
Теперь по формулам A7) п° 256, учитывая, что здесь [см. A8)]
а	а
cos В = ————— , sin В =
можно написать параметрические уравнения произвольной эвольвенты
а
Остановимся на той из эвольвент, которая отвечает с = 0; она исходит из вер-
вершины цепной линии и имеет в ней точку возврата (рис. 12). Исключая а, эту кривую
(называемую трактрисой) можно выразить и явным уравнением
х= ±
* Мы вынуждены рассматривать этот случай именно как предельный, пере-
п	п
ходя в полученном выражении для s к пределу при в—— или ф-+-, так как при
л	4	2
в = - производная г» = » и формула E6) непосредственно неприложима.
4
12*

180	I Л. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Если вспомнить выражение «отрезка касательной» [230 D)]
[332
i - —
Ух
то отсюда легко получить, что t = a. Этим выражено замечательное свойство
трактрисы: отрезок касательной для нее имеет постоянную величину*.
Этот результат легко получается и непосредственно из свойств цепной линии
[см. в 1) ее спрямление, рис. 9].
О	Т
Рис. 12.
332. Натуральное уравнение плоской кривой. Представление кривой
с помощью уравнения между координатами ее точек (по отношению
к какой-либо системе координат), несмотря на всю полезность та-
такого представления, часто носит искусственный характер, поскольку
координаты не являются существенными геометрическими элементами
кривой. Такими существенными элементами, наоборот, являются д у-
г а кривой s, отсчитываемая в определенном направлении от некото-
некоторой начальной точки, и радиус кривизны R (или сама кри-
кривизна Jk = i] [см. 250, 251].
Для каждой кривой между этими элементами можно установить
зависимость вида
которая и называется натуральным уравнением кривой*
* С этим связано и самое название трактриса (происходящее от латин-
латинского глагола trahere - влечь, тащить): если движущаяся по горизонтали
точка Т при помощи нити ТМ тащит за собой точку М, то последняя будет
описывать как раз трактрису.
** Перевод немецкого термина: natiirliche Gleichung; не менее выразителен
и французский термин: equation intrinseque (т. е. «внутреннее уравнение»!.

332]	§ I. длина кривой	181
Докажем, что кривые, имеющие одно и то же натуральное урав-
уравнение, могут отличаться только своим положением на плоскости,
так что форму кривой натуральное уравнение определяет вполне
однозначно.
Пусть же две кривые (I) и (II) имеют одно и то же натуральное
уравнение, которое мы возьмем в виде
j-g(s).	A4)
Для того чтобы доказать их конгруентность, сначала перенесем одну
из кривых так, чтобы совпали точки, от которых на обеих кривых
отсчитываются дуги, а затем повернем эту кривую так, чтобы сов-
совпали положительные направления касательных в этих точках.
Отметим указателями A и 2) соответствующие одному и тому же
значению s элементы обеих кривых:
координаты переменной точки: (х1г jx) и (х2. >>2);
угол касательной с осью х: х1 и а2;
радиус кривизны: Rt и R^.
В силу A4) будем иметь при всех s: ^-=^-, т. е. [250, B)]
 Л2
J
ds ds
Кроме того, как предположено, при s =0
¦*i = *8. уг=у2	A6)
и
Из A5), по следствию п° 131 вытекает, что ху и а2 могут разниться
лишь на постоянную; но, как мы видели, при s = 0 эти величины сов-
совпадают, следовательно равенство A7) имеет место всегда. В таком
случае для всех значений s будет [249, A5)]
dx,	dx,
~ = cos x, = cos a, = — ,
ds	*	^ ds '
dy, ¦	¦	dy°
откуда аналогичным образом заключаем, что и равенства A6) имеют
место всегда, т. е. кривые совпадают.
Покажем теперь, как по натуральному уравнению A4) кривой
восстановить координатное представление ее. Прежде всего из A4)
da . ч
имеем -r=g\s), так что
S
*0,	A8)

182	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	C32
где а0 - постоянная. Затем, исходя из равенств
dx — coscr.ds, dy = sina.ds,	A9)
интегрируя, находим
о
y= sma.ds + y0,	B0)
где х0 и у0 - новые постоянные.
Нетрудно понять, что вращение кривой влечет за собой измене-
изменение постоянной а0, а параллельное перенесение ее связано с измене-
изменением постоянных х0, у0*. Равенство этих постоянных нулю означает,
очевидно, что кривая расположена так, что начальная точка для от-
отсчета дуг совмещена с началом координат, а положительное направ-
направление касательной в ней совпадает с положительным направлением
оси х.
Пусть теперь уравнение A4) взято произвольно [лишь функцию g(s)
мы будем предполагать непрерывной]. Тогда, определив сначала
а формулой A8), а затем х и у - уравнениями B0), получим пара-
параметрическое представление некоторой кривой. Дифференцируя B0),
вернемся к A9), откуда прежде всего усматриваем, что
так что ds, действительно, является дифференциалом дуги этой кри-
кривой, a. s - дугой (если надлежаще выбрать начальную точку отсчета).
Затем те же равенства A9) приводят к заключению, что а служит
углом касательной к той же кривой с осью х. Наконец, дифферен-
дифференцируя A8), найдем, что кривизна будет равна
и, таким образом, уравнение A4) действительно оказывается нату-
натуральным уравнением для нашей кривой. Итак, каждое урав-
уравнение вида A4), где функция g(s) непрерывна, может быть рассматри-
рассматриваемо как натуральное уравнение некоторой кривой.
Обращаем внимание читателей на то, что за счет выбора началь-
начальной точки и направления отсчета дуг на кривой в ее натуральное урав-
уравнение можно вносить (впрочем несущественные) изменения.
* Обращая эти утверждения, легко получить новое доказательство того предло-
предложения, которое было высказано выше.

333]
§ I. ДЛИНА КРИВОЙ
183
В заключение заметим еще, что две симметрично располо-
расположенные кривые* (рис. 13) имеют натуральные уравнения вида A4),
разнящиеся лишь знаком правой части
1
и j=-
B1)
Действительно, при согласном выборе начальных точек и направления
для отсчета дуг на обеих кривых, радиусы кривизны их будут иметь
противоположные знаки. Обратно, две кривые, имеющие, соответ-
соответственно, уравнения B1), передви-
передвижением по плоскости могут быть
приведены в симметричное поло-
положение. Можно не считать и такие
две кривые существенно разнящи-
разнящимися по форме.
333. Примеры. 1) Найти кривую, отве-
отвечающую натуральному уравнению R" = las.
Имеем
doc 1
ds
-w-
Рис. 13.
так что ds=aoc da.. Выбирая а в качестве параметра, получим затем
<?e = cosa ds = ах cos ос drt, dy = sm a ds = az sin ос doc,
откуда
jc=-a(cosa+asina), у - a(sin a - a cos a).
Кривая оказалась эвольвентой круга [225, 8)].
2) То же для натурального уравнения Rl+st = l6at. Здесь
da
ds у 16a»-.Я
a=»arcsin —, s-4asina,
4a
ds-= 4a cos ос doc.
Тогда
dx = cosa ds-4a cos2 a aa,
и отсюда, интегрируя,
dy = sin a ds = 4a sin a cos a doc
x = 2a\oc-{—sin2al=aBa+sin2a),
y= -
= a-a(l+cos2a).
* Совместить их перемещением по плоскости нельзя; для этого по-
понадобилось бы вращение в пространстве.
** Так как нам нужно восстановить хоть одну кривую, то выбирать постоян-
постоянные интегрирования мы будем лишь по соображениям удобства. Это замечание
следует иметь в виду и впредь.

184	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[333
Если перейти к параметру / = 2а-я, то уравнения полученной кривой примут вид
x=na+a(t -sin t), ya-a(\-cost),
и мы узнаем циклоиду [225, б)], лишь сдвинутую и перевернутую по сравне-
сравнению с обычным ее расположением.
3) То же для натурального уравнения R^ms.
Очевидно,
da. I	In j
— = —, а =	, s = em, ds*=menmda,
ds ms	m
dx = cos a- memt* da, dy = sin a • mem da
и, наконец,
m	m
(m cos a +sm a)emct, у =	(m sin a - cos a)em".
l+2
x	(m cos a +sm a)e, у
1+m2	l+/n
Перейдем к полярным координатам. Прежде всего
„	т
г=
Затем, вводя постоянный угол со под условием tg со = —, будем иметь
т
1
tg a
у т sin a - cos a	m
- =	=	= tg (a - со),
л: mcosa+sina	1
И—tga
т
так что полярный угол в можно принять равным а-со, откуда а = со+0. Оконча-
Окончательно полярное уравнение найденной кривой будет таково:
это - логарифмическая спираль [226, 3)]. Величина коэффициента
при етв роли не играет, его можно свести к 1 поворотом полярной оси.
4) Займемся теперь задачей другого рода: станем по заданной кривой уста-
устанавливать ее натуральное уравнение.
(а)	Для цепной линии > = ach— имели [331, 1); 252, 1)]
а
х		у*
s*	a	a
отсюда R = a\— .
а
(б)	Для астроиды х = а cos31, у = a sin31, если за начало для отсчета дуг
выбрать середину ее ветви в первом квадранте, будет [ср. 331, 3)]
За	За
s = — sm21	, R = За sin t cos t.
2	4
Поэтому
За	За
R* = 4—sin2/-—
2	2
и окончательно натуральное уравнение астроиды может быть написано в виде
9а2
(За Л(Ъа Л 9а2
= 4 — + s\\	s \=
14 Д4 J 4

334]	§ 1. длина кривой	185
(в)	В случае кардиоиды /- = e(l + cos 0) у нас было [331, 9); 252, 6)]
9	4	9
j=4asin —, R = — a cos— ;
2	3	2
очевидно, 9R2 + s2 = 16a2.
(г)	Последние два результата содержатся как частные случаи в следующем.
Для эпи- и гипоциклоиды [225, 7)] натуральное уравнение будет A +
+ 2тJ R* + л3 = 16/я2A + т*)а\
(д)	Нетрудно вновь получить натуральные уравнения эвольвенты кру-
круга, циклоиды и логарифмической спирали, известные нам
из 1)-3).
5) По натуральному уравнению кривой можно установить натуральное уравне-
уравнение ее эволюты. Мы имели соотношение [255, 15)]
dR
Р = Д-т-.	B2)
ds
Если начало для отсчета дуг на эволюте выбрать так, чтобы было R = a [см.
255, 2°], то, исключая R и s из этих двух соотношений и натурального уравнения
данной кривой, придем к зависимости между рист, т. е. к натуральному
уравнению эволюты.
(а)	Для логарифмической спирали R = ms; тогда р = mR = та.
С точностью до обозначений мы вернулись к прежнему уравнению, отсюда заклю-
заключаем, что эволютой будет такая же логарифмическая спираль, которая от исходной
может отличаться лишь положением [ср. 254, 5)].
(б)	Для эвольвенты круга
dRlfa 1 a
ds [/2 Vs a>
4 = — ,
1л
a
a
(результат, который следовало предвидеть).
(в) Если натуральное уравнение кривой имеет вид R2+?2.s2 = c2, то ее эволюта
будет такой же кривой, но в к раз увеличенной по линейным размерам.
Действительно, имеем
и, наконец,
Отсюда и вытекает сделанное утверждение.
Полученный результат применим к циклоиде [ср. 254, 4)], к э п и -
и гипоциклоиде, в частности, к кардиоиде и к астроиде
[ср. 254, 3)].
Замечание. Указанный метод во всех случаях позволяет судить лишь
о форме эволюты, оставляя открытым вопрос об ее положении.
334. Длина дуги пространственной кривой. По отношению к простой
пространственнойкривой

186	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[335
определение длины дуги может быть дано в таком же виде, как и
для плоской кривой [249, замечание]. Здесь также для длины дуги
получается формула, аналогичная D),
и т. д. На этот случай, почти без изменений, переносится все сказан-
сказанное относительно случая плоской кривой. Не задерживаясь на этом,
приведем примеры.
1) Винтовая линия: x = acos/, y=asin t, z=ct.
Так как здесь
то длина дуги кривой от точки А (/ = 0) до точки М (t — любое) будет
- результат очевидный, если вспомнить, что при разворачивании цилиндрической
поверхности винтовая линия на ней превратится в наклонную прямую.
2) Кривая Вивиани: x = R sin21, y=Rsint cos t, z = R cos /.
Имеем
В таком случае длина всей кривой выразится полным эллиптическим
интегралом 2-го рода
S=4R У1+8Ш»/Л = 4Д yi+cos«/<U = 4y2fl I \f I—sin1 / dt = 4У2ЛЕ1 —
0	0
§ 2. Площади и объемы
335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности. Мно-
Многоугольной областью, или - короче — многоуголь-
многоугольником, мы будем называть произвольную конечную (возможно, и
несвязную) плоскую фигуру, ограниченную одной или несколькими
замкнутыми ломаными. Для такой фигуры понятие площади было
достаточно изучено в школьном курсе геометрии, его мы положим
в основу.

335]	S 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ	187
Возьмем теперь произвольную фигуру (Р) на плоскости, пред-
представляющую собой ограниченную и замкнутую область.
Ее границу или контур (К) мы всегда будем себе представлять
в виде замкнутой кривой (или нескольких таких кривых)*.
Станем рассматривать всевозможные многоугольники (Л), цели-
целиком содержащиеся в (Р), и много-
многоугольники (В), целиком в себе со-
содержащие (Р) (рис. 14). Если А и
В означают, соответственно, их пло-
площади, то всегда А^В. Множество
чисел {Л}, ограниченное сверху лю-
любым В, имеет точную верхнюю
границу Р* [11], причем P*=*sB.
Точно так же множество чисел {В},
ограниченное снизу числом Р*, имеет	Рис- 14-
точную нижнюю границу Р*»
2&Р*. Эти границы можно было бы назвать первую - внутрен-
внутренней, а вторую - внешней площадью фигуры (Р).
Если обе границы
совпадают, то общее их значение Р называется площадью фи-
фигуры (Р). В этом случае фигуру (Р) называют квадрируемой.
Как легко видеть, для существования площади необходимо и до-
достаточно, чтобы для любого е=-0 нашлись такие два многоугольника
(А) и (В), что В-А^е.
Действительно, необходимость этого условия вытекает из основ-
основных свойств точных границ [11]: если площадь Р существует, то най-
найдется А>Р-~ и В<Р + ~. Достаточность сразу же следует из нера-
неравенств
Пусть теперь фигура (Р) разложена на две фигуры (Pt) и (Р2)**;
можно себе представить, например, что это осуществлено с помощью
кривой, соединяющей две точки ее контура, или целиком лежащей
внутри (Р) (рис. 15, а и б). Докажем, что
* В этом параграфе, говоря о кривой, мы всегда будем иметь в виду не-
непрерывную простую кривую, допускающую параметрическое представление.
Как доказал Ж о р д а н (С. Jordan), замкнутая кривая этого типа всегда раз-
разбивает плоскость на две области, внутреннюю и внешнюю, для которых и служит
общей границей.
** Они могут иметь частично общую границу, но не налегают одна
на другую, т. е. не имеют общих внутренних точек.

188
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1336
квадрируемость двух из этих трех фигур (Р), (i\), (Р2) влечет за
собой квадрируемость третьей, причем всегда
Р = Р^Р2,	A)
т. е. площадь обладает свойством аддитивности.
Предположим для определенности, что имеют площади фигуры
(Pj) и (Р2). Рассмотрим соответствующие им входящие и выходящие
многоугольники {Аг), (В-^ и (А2), (В^). Из взаимно неналегающих
многоугольников (Aj), (A2) составится многоугольная область (А)
с площадью А=А1+А2, целиком содержащаяся в области (Р). Из
Рис. 15.
многоугольников же EХ) и (В2), возможно и взаимно налегающих,
составится область (В) с площадью В^Вх + Вг, содержащая в себе
область (Р). Очевидно,
так как при этом Вг от Ах и В2 от А2 могут отличаться произвольно
мало, то это же справедливо относительно В и А, откуда и вытекает
квадрируемость области (Р).
С другой стороны, имеем одновременно
Л, + А2=
В2
В2,
так что числа Р я Рх + Р2 содержатся между одними и теми же и при-
притом произвольно близкими границами А1+А2к В1+В2, следовательно,
эти числа равны, ч. и тр. д.
Отметим, в частности, что отсюда Р^Р, так что часть фигуры
имеет площадь, меньшую чем вся фигура.
336. Площадь как предел. Условие квадрируемости, сформулиро-
сформулированное в предыдущем п°, может быть перефразировано так:
1) Для того чтобы фигура (Р) была квадрируема, необходимо и
достаточно, чтобы существовали такие две последовательности много-

§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
189
угольников {(A-ri)} и {{Вп)} и соответственно, содержащихся в (Р) и со-
содержащих (Р), площади которых имели бы общий предел
lim Ап = Иш В„ = Р.
B)
Этот предел, очевидно, и будет площадью фигуры (Р).
Иногда вместо многоугольников выгоднее использовать другие
фигуры, квадрируемость которых уже установлена:
2)	Если для фигуры (Р) можно построить такие две последова-
последовательности квадрируемых фигур {(Qn)} и {(Rn)}, соответственно,
содержащихся в (Р) и содержащих (Р), площади которых имеют об-
общий предел
]\mQn = Mm.Rn = P,	C)
то фигура (Р) также к в а д р и р у е м а, причем упомянутый пре-
предел и будет ее площадью.
Это сразу вытекает из предыдущего утверждения, если заменить
каждую фигуру (?>„) содержащимся в ней многоугольником (Ап), а
фигуру (Rn) - содержащим ее
многоугольником (Вп), настолько
близкими к ним по площади,
чтобы одновременно выполнялось
и B).
Хотя на практике выбор фи-
фигур (Ап), (Вп), (Qn), (Rn), упоми-
упоминавшихся в двух сформулиро-
сформулированных выше признаках, и не
создает затруднений, но все же
представляет принципиальный ин-
интерес устранение связанной с этим
выбором неопределенности. С этой целью можно поступить,
например, так:
Заключив рассматриваемую фигуру (Р) внутрь некоторого прямо-
прямоугольника (R) со сторонами, параллельными координатным осям,
разобьем его на части с помощью ряда параллелей его сторонам.
Из прямоугольников, целиком содержащихся в области (Р), составим
фигуру (А) (на рис. 16 она заштрихована), а из прямоугольников,
имеющих с (Р) общие внутренние точки, но могущих частично и вы-
выходить из этой области, составим фигуру E). Эти фигуры представ-
представляют, очевидно, частный случай тех многоугольников (А) и (В), о ко-
которых была речь в определении понятия площади; их площади А я В
зависят от способа разложения на части прямоугольника {К). Будем
через d обозначать длину наибольшей из диагоналей частичных прямо-
прямоугольников.
3)	Если при d-~ 0 обе площади А и В стремятся к общему пределу
Л и только в этом случае, область (Р) будет квадрируема;
Рис. 16.

190	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	1337
при выполнении этого условия упомянутый предел и будет площа-
площадью фигуры (Р).
Читатель легко сам выразит понятие предела, которое здесь фи-
фигурирует, как «на языке е-д», так и «на языке последовательностей».
В доказательстве нуждается только необходимость ука-
указанного условия. Допустим же, что площадь Р существует, и устано-
установим, что тогда
limi=limi? = .P.	D)
По заданному е=-0 найдутся [335] такие многоугольники А а В,
что В-А^е; при этом можно предположить, что их контуры
не имеют общих точек с контуром {К) фигуры (Р). Обо-
Обозначим через д наименьшее из расстояний между точками кон-
контуров обоих многоугольников, с одной стороны, и точками кривой (К)
- с другой*. Если взять теперь d<d, то каждый частичный прямо-
прямоугольник, хотя бы в одной точке задевающий кривую {К), заведомо
лежит вне многоугольника (Л) и внутри многоугольника (В). Отсюда
следует, что
так что Р-А^е и В-Р<е, что и приводит к D).
Ясно, что на равенстве D) можно было бы построить и самое
определение понятия площади, очевидно, равносильное прежнему.
Такое определение представляется весьма простым и естественным;
недостатком, однако, является его (конечно, кажущаяся) зависимость
от ориентации координатных осей.
337. Классы квадрируемых областей. Кривая (К) — контур области
(Р) - играет существенную роль в вопросе о квадрируемости
этой области.
Если квадрируемость налицо, то, как мы видели в 335, по задан-
заданному е=-0 кривая (К) может быть заключена в некоторую много-
многоугольную область (В-А), содержащуюся между контурами обоих
многоугольников (А) и (В) (см. рис. 14) и имеющую площадь В-А^е.
* Пусть имеем две конечные непрерывные кривые на плоскости; пред-
предположим, например, что они заданы параметрически
(I) х=9>0), У=Ч>(.О; (II) х =?>*(«), y=V*(u),
где q>, v, 9*, у>* - непрерывные функции, каждая от своего аргумента. Тогда рас-
расстояние между двумя произвольными точками этих кривых
будет непрерывной функцией от (/, и) в замкнутой области [/„, Т;и0, U] и, следова-
следовательно, достигает там своего наименьшего значения [173]. Если кривые не пере-
пересекаются, то это наименьшее расстояние будет отлично от нуля.

337]
6 1. ПЛОЩАДИ И ОЁЪЁМЫ
191
Допустим теперь, обратно, что контур (К) может быть заключен
в многоугольную область (С) с площадью С<е, где е - любое на-
наперед заданное положительное число. При этом, без умаления общ-
общности, можно предположить, что (С) не покрывает всей фигуры (Р).
Тогда из точек области (Р), не попадающих внутрь (С), составится
многоугольная область (А), содержащаяся в (Р); если же к (А) при-
присоединить (С), то получится многоугольная область (В), уже содер-
содержащая в себе (Р). Так как разность В-А = С^е, то - по критерию
п° 335 - отсюда следует квадрируемость области (Р).
Для облегчения речи условимся говорить, что (замкнутая или не-
незамкнутая) кривая {R) имеет площадь 0, если ее можно
покрыть многоугольной областью с произвольно малой площадью.
Тогда приведенное выше рассуж-
рассуждение позволяет сформулировать
следующее условие квад-
квадрируемости:
для того чтобы фигура (Р)
была квадрируема, необходимо и
достаточно, чтобы ее контур
(К) имел площадь 0.
В связи с этим приобретает
важность выделение широких
классов кривых с площадью 0.
Прежде всего легко показать, что этим свойством обладает лю-
любая непрерывная кривая, выражаемая явным уравнением вида
F
*~х
Рис. 17.
или x=g(y)
E)
(/ и g - непрерывные функции).
Пусть, например, мы имеем дело с первым из этих уравнений.
По заданному е>0 можно промежуток [а, Ь] разложить на части
[Xj, х,+1] (/=0, 1, ..., л-1) так, чтобы в каждой из них колебание
со,- функции / было ^tzt 187]. Если обозначить, как обычно, через
/и,- и Mt наименьшее и наибольшее значения функции / в i-ом про-
промежутке, то вся наша кривая покроется фигурой, составленной из
прямоугольников
[Xi, xi+1; mh M,] (/=0, 1, ..., п-1)
(см. рис. 17) с общей площадью
2 (Mi - тд(х1+1 - х,) = 2 "И*, *iTi2 Axi =е>
что и требовалось доказать. Значит, кривая E) имеет площадь 0.
Отсюда следует:

192	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	C38
Если фигура (Р) ограничена несколькими непрерывными кривыми,
каждая из которых порознь выражается явным уравнением E) (того
или другого типа), то эта фигура квадрируема.
Действительно, поскольку каждая из упомянутых кривых имеет
площадь 0, то и весь контур, очевидно, также будет иметь площадь 0.
Из этого критерия можно получить другой, более частный, кри-
критерий, который на практике, однако, оказывается более удобным.
Назовем кривую, заданную параметрическими уравнениями
*=9>@, y=W),	F)
гладкой, если 1) функции уи^ имеют непрерывные производные
во всем промежутке [t0, Т] изменения параметра, и 2) на кривой нет
ни кратных, ни вообще особых точек. В случае замкнутой кри-
кривой, потребуем еще равенства
4>'(to)=<p\T), y'(to)=V'(T).
Установим теперь, что гладкая кривая имеет площадь 0.
Возьмем на кривой любую точку М, определяемую значением t
параметра. Так как эта точка - не особая, то, как мы видели [223],
существует такой промежуток:
ff = (F-5", 7+8),
что соответствующий участок кривой может быть выражен и явным
уравнением.
Применим теперь лемму Боре ля [88] к промежутку [t0, T] и
к покрывающей его системе 2!= W окрестностей; весь промежуток
перекроется конечным числом таких окрестностей, так что кривая
распадается на конечное число частей, каждая из которых выражается
явным уравнением E) (того или другого типа). Остается лишь со-
сослаться на доказанное выше. Итак,
если фигура (Р) ограничена одной или несколькими гладкими
кривыми, то она заведомо квадрируема.
Заключение это сохраняет силу даже в том случае, когда кривая
имеет конечное число особых точек: выделив эти точки с по-
помощью окрестностей произвольно малой площади, мы будем иметь
дело уже с гладкими кривыми.
338. Выражение площади интегралом. Обратимся теперь к вычи-
вычислению площадей плоских фигур при помощи интегралов.
На первом месте рассмотрим, впервые - в строгом изложении,
уже встречавшуюся нам задачу об определении площади криво-
криволинейной трапеции ABCD (рис. 18). Эта фигура ограничена
сверху кривой DC, имеющей уравнение
У=Дх),

3381
§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЁМЫ
193
где Дх) есть положительная и непрерывная в промежутке [а, Ь] функ-
функция: снизу она ограничена отрезком АВ оси х, а с боков — двумя
ординатами AD и ВС (каждая из которых может свестись к точке).
Собственно, существование площади Р рассматриваемой фи-
фигуры ABCD следует из доказанного в предыдущем п°, и речь идет
лишь об ее вычислении.
С этой целью разобьем промежуток [а, Ь], как обычно, на части,
вставив между а и b ряд точек
Обозначив через w,- и А/,-, соответственно, наименьшее и наибольшее
значения функции f(x) в г-ом промежутке [xh xi+1] (/=0, 1,..., и-1),
составим суммы (Дарбу)
Они, очевидно, представляют со-
собой площади ступенчатых фигур,
составленных, соответственно, из
входящих и выходящих прямо-
прямоугольников (см. рисунок). По-
Поэтому
Рис. 18.
Но при стремлении к нулю наибольшей из разностей Axt обе суммы
имеют своим пределом интеграл I f(x) dx*, следовательно, ему и равна
искомая площадь	°
G)
Если криволинейная трапеция CDFE ограничена и
снизу и сверху кривыми (рис. 19), уравнения которых
•то, рассматривая ее как разность двух фигур ABFE и ABDC, получим
площадь названной трапеции в виде
6	Ь
-Уд dx = J Шх) - Мх)} dx.
(8)
* В силу 336, 1) это само по себе доказывает квадрируемость криволинейной
трапеции ABCD; чтобы получить упоминавшиеся там последовательно-
последовательности фигур, можно было бы, например, делить промежуток на равные части.
13 Г. М. Фихтенгольц, т. II

194
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[338
Пусть теперь дан сектор АО В (рис. 20), ограниченный кри-
кривой АВ и двумя радиусами-векторами ОА и ОВ (каждый из которых
может свестись и к точке). При этом кривая АВ задается полярным
уравнением r=gF), где gF) - положительная непрерывная в про-
промежутке [а, /3] функция. И здесь вопрос стоит лишь о вычисле-
вычислении площади Р сектора, так как существование площади
обусловлено свойствами контура фигуры.
Вставив между а и /3 (см. рисунок) значения
проведем соответствующие этим углам радиусы-векторы. Если ввести
и здесь наименьщее и наибольшее из значений функции gF) в [6t, б,+1]:
Ж~А
Рис. 19.
Рис. 20.
,и, и М,-, то круговые секторы, описанные этими радиусами, будут,
соответственно, входящими и выходящими для фигуры АО В. Со-
Составим отдельно из входящих секторов и из выходящих секторов две
фигуры, площади которых будут
и, очевидно, <7<P~=Z-
В этих суммах а и 2! легко узнать суммы Дарбу для инте-
/з
грала ^ I [gF)]2 ^0; ПРИ стремлении к нулю наибольшей из разностей
а
Ад, обе они имеют пределом этот интеграл*, так что и
(9)
* Здесь можно было бы сделать замечание, аналогичное замечанию на стр.
193, но со ссылкой на 336, 2).

339)
§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
195
339. Примеры. 1) Определить площадь Р фигуры, ограниченной цепной
х
линией у = а сп —, осью х и двумя ординатами, отвечающими абсциссам
а
О и х (рис. 9).
Имеем
»= ach-,
J a
о
x
— = as,
a
где 5 - длина дуги AM цепной линии
[331, 1)]. Таким образом, искомая
площадь АОРМ оказалась равной пло-
площади прямоугольника, построенного
на отрезках PS и SM (ибо SM=AM).
2) Даны эллипс — + — = 1 и
точка М(х, у) на нем (рис. 21). Определить площадь криволинейной трапеции
ВОКМ и сектора ОМВ.
Из уравнения эллипса имеем у = — У а- - х-, так что по формуле G)
а
X
г b ,r	 ab х Ъ ,		ab x ху
Р, - пл. ВОКМ - — ]'а2 - х2 dx - — arcsin —\— х }'аг - .г2	= — arcsin —Ь — .
1 J а ' 2 а 2а '	2 а 2
О
Так как последнее слагаемое представляет площадь д ОКМ, то, отнимая ее,
для площади сектора получим выражение
ab	х
Р„ = пл. ОМВ -- — arcsin — .
2	а
Ttab
При л: = а для площади четверти эллипса найдем значение — , так что площадь
4
всего эллипса P=nab. Для круга a = b = r и получается известная формула Р=лг/-2.
Xs у2
3) Пусть даны гипербола	=1 ина ней точка М(х, у) (рис. 22).
аг Ьг
Определить площадь криволинейных фигур АКМ, О AM и OAML.
b
Из уравнения гиперболы имеем у - — Ух'2 - а2, и - по формуле G) -
а
Рг = ши АКМ =
a J
b rl
TIT
	аг .
*-a*-- In (x
2
	л h
J „
1	ab x -t l^x2 - fl-
-Л'	In

196
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[339
Так как
форме
a у
	= —, то это выражение можно представить в более симметричной
a b
х у
- +
а Ь
Отсюда уже легко получить
ab (х
—\\
2
а Ъ)
1	1	(х у\
= — xy + -ab\n \ — + — \.
2	2	\а Ь)
Замечание. Полученный результат позволит нам несколько углубить
аналогию между тригонометрическими (круговыми) и гиперболическими
Рис. 22.
функциями. Сопоставим круг радиуса 1: х2+>'2=1 и ра внобочную гипер-
гиперболу: л-3-у2=1 (рис. 23, а и б). Эти кривые параметрически могут быть пред-
представлены так:
для круга:	OP = x = cos t, PM = у = sin t,
для гиперболы: OP = x = cht, PM=y = sht.
Но в то время как в случае круга ясна геометрическая роль t - это <$АОМ, для
гиперболы так истолковать числовой параметр / невозможно. Можно, однако,
для круга дать и другое истолкование параметра t, именно: t есть удвоен-
удвоенная площадь сектора АОМ (или площадь сектора М'ОМ). Оказывается,
что это истолкование переносится и на случай гиперболы.
В самом деле, если координаты точки М суть
у = sh t = -
то х+у = е* и t = \n(x+y). Если вспомнить найденную выше для Р2 формулу и
положить в ней а = b = 1, то получим, что t равно удвоенной площади
сектора А ОМ (как и для круга).
Итак, в круге отрезки РМ и ОР представляют круговые синус и ко-
косинус от удвоенной площади кругового сектора АОМ, а для гипер-
гиперболы аналогичные отрезки выражают гиперболические синус и коси-
косинус от удвоенной площади гиперболического сектора АОМ. Роль

339]
§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
197
гиперболических функций по отношению к гиперболе вполне аналогична роли
круговых (тригонометрических) функций по отношению к кругу.
Ш)
Рис. 23.
С указанным истолкованием аргумента гиперболических функций, как некоей
площади, связаны и обозначения обратных им функций [см. 49, 3) и 4)],
Arsh х, Arch х и т. п.
Буквы Аг являются начальными от латинского слова Area, означающего «площадь».
4)	Найти площадь Р фигуры, ограни-
ограниченной осями координат и параболой
Vx + уу — уа (п > 0).
а
Ответ: Р= у dx = — а2. (Читателю
J	6
о
самому предоставляется сделать чертеж.)
5)	Определить площадь фигуры, за-
заключенной между двумя конгруентными
параболами уг = 2рх и хг-2ру (рис. 24).
Очевидно, нужно воспользоваться фор-
формулой (8), полагая там
У1="Тр' У^2рХ-	Рис.24.
Для установления промежутка интегрирования решим совместно данные
уравнения и найдем абсциссу точки М пересечения обеих парабол, отличной от
начала: она равна 2р. Имеем
2р
У2^-1Ц- 1 }г2рх*--\ =-/*
2р) {3	вр) |о 3

198
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
|339
6) Найти площадь Р эллипса, заданного уравнением
АхЧ2Вху-\ Су°-=1 (АС-Вг>0, С=-0).
Решение. Из этого уравнения
-Bx-
-Вх +
У&х2-
с
УВ*х2-
С(Ах2~
С(Ах2-
1)
1)
причем j>1( y\ получают вещественные значения лишь для х, удовлетворяющих
неравенству
т. е. содержащихся в промежутке [-а, а], где а =
Тогда искомая площадь будет
АС-В2
^ j УС-
-dx =
2 ,	f ,	2 ,	1	5
= - УАС-В* У<х.2-х*<1х+ - УаС-В*—ло.-= -—
7) Пусть, наконец, эллипс задан общим уравнением
ах2 + 2Ьху + су2 + 2дх+2еу-\ -/= 0:
требуется найти его площадь Р.
Задача эта может быть сведена к предыдущей.
Если перенести начало в центр (?, rj) эллипса, определяемый, как
из уравнений
то уравнение примет вид
ах2 + 2Ьху + су2 +/' = 0,
где
известно,
(И)
A2)
Исключая f, rj из равенств A1) и A2), найдем
I a b д
\Ь
,) е f-f
=0,
откуда
Г' —
Л
ас-Ь2'
где
а Ь д
bee
д е f
* Очевидно, /' и А отрицательны (иначе уравнение не выражало
ственной кривой).
бы веще-

веще339]	§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ	199
Полученное уравнение легко приводится к виду, рассмотренному в 6), если
положить
a	b	с
А	В	С
Значит, площадь эллипса будет
/'|	пЛ
p*
8)	Формула G) может быть использована и в том случае, если кривая, ограни-
ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрически или уравнениями
вида F). Произведя замену переменной в интеграле G), получим (в предположе-
предположении, что х = а при t = t0 и x = b или t=T):
т	т
y>(t)<pXt)dt.	A3)
'.	t.
Если, например, при вычислении площади эллипса исходить из его пара-
параметрического представления
х = a cos /, y^bsmt
и учесть, что х возрастает от - а до а, когда t убывает от п до 0, то найдем
О	я
Р = 2 6 sin t-{-a sin t)dt = 2ab sin21 dt = nab.
n	0
Мы вычислили здесь площадь верхней половины эллипса и удвоили ее.
9)	Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной циклоидой
x = a(f-sinO, у = а{\ -йоъ t). Имеем по формуле A3)
2л
2л
Г	/	1
д2A - cos О2 dt = а1 — t-2smt+ — sin
J	V.2	4
Зла2.
о
Таким образом, искомая площадь оказалась равна утроенной площади обра
зующего круга.
10) Найти площадь одного витка архимедовой спирали г=ав
(рис. 25).
Имеем по формуле (9)
2л
2л 4
о = З"
в то время как площадь круга радиуса 2ла будет Ал3аг. Площадь витка спирали
равна трети площади круга (этот результат был известен еще Архимеду).
Предоставляем читателю показать, что площади фигур, заключенных между
последовательными витками, составляют арифметическую прогрессию с раз-
разностью 8л3а2.
Ш Найти площадь улитки
при

200	гл. х. приложения интегрального исчисления
Имеем по формуле (9)
_ 1
~~2
0 + —a2sin20 + 2a6sin
4
В частности, площадь кардиоиды F = а) равна-™2.
12) Найти площадь лемнискаты г- = 2а2 cos 28.
Рис. 25.
Достаточно удвоить площадь правого овала, которому отвечает
1339
П	71
угла 0 от	до — :
4 4
изменение
i	4
' = 2.-2as j cos29a?0 = 4e2 fcos20dO = 2а2.
13) Найти площадь декартова листа д:+^3-3олг^ = 0.
Перейдем к полярным координатам. Полагая в уравнении кривой
x=rcos6, y
до сокращении на г2 придем к такому полярному уравнению;
За sin б cos 0
sin8 e+cos3 9 '

339]	S 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ	201
Так как самый виток кривой отвечает изменишю угла в от 0 до —, то по формуле (9)
я
2
9а2 г sin2 в cos3 в
Р	de
Р	de.
2 J (sin3 0+cos3 0J
о
Заменяя sin в через tg 6 cos 8, приведем подинтегральное выражение к виду
tg2 9d tg 0
(l+tg30J '
откуда сразу находится первообразная функция
1 1	1 cos30
Таким
образом,
3
Р-
l + tg3(
За2
2 si
) 3
COS30
sin3 0+cos3 б
>S30
1 За2
о 2 '
14) Решить задачу 6) наново, воспользовавшись полярными координатами.
Решение. Вводя полярные координаты, представим уравнение A0) эллипса
в виде
1
2
Г	.
A cos2 в + 2В cos 0 sin 0 + Csin20
Тогда по формуле (9) сразу получаем [309, 9)]
Р=9._
J /4cos20 + 2Bcos0sin 0 + Csin2 0
Площадь всего эллипса мы здесь приравняли удвоенной площади той его
части, которая лежит в I и IV координатных углах. Какие затруднения встретились
бы при использовании результата 10) 288 для вычисления непосредственно всей
площади эллипса?
15) Формулу (9) можно приспособить к случаю, когда кривая задана своими
параметрическими уравнениями вида F). Так как
V	.ХУ/ — XtV
r* = x*+y\ 0 = arctg- и В\=—	-,
х	х*+у2
ТО
1	1
-r*dO=-(x/t-xiy)dt.

202	ГЛ X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[340
Если изменению угла в от а до [> отвечает изменение параметра t от /0 до Т, то
г	г
'.	t.
Ввиду большей симметричности эта формула зачастую приводит к более простым
выкладкам. Например, если по ней вычислить плошадь эллипса, исходя из
его параметрических уравнений х = a cos t, y = b sin t, то получим
In	2я
1 Г	If
Р = — \{aco&t-bcost >r asm t-bunt) dt = — ab \dt = nab.
о	о
16) Вычислим еще по формуле A4) плошадь астроиды х = а cos3 t, y = asina t.
Имеем
2я
1 г
Р = — [a cos3 «• За sin2 /cos/ + 3acos2 «sin t-asin3t]dt =
о
3 ( sin 40
sin21 cos2 / dt = — а2 Г-
16 I 4 J
о
340. Определение понятия объема. Его свойства. Наподобие того,
как в 335, исходя из понятия площади многоугольника, было уста-
установлено понятие площади для произвольной плоской фигуры, мы
сейчас дадим определение объема тела, опираясь на объем много-
многогранника.
Итак, пусть дано произвольной формы тело (К), т. е. ограничен-
ограниченная замкнутая область в трехмерном пространстве. Границей E) тела
пусть служит замкнутая поверхность* (или несколько таких поверх-
поверхностей).
Мы будем рассматривать многогранники (X) объема X, целиком
содержащиеся в нашем теле, и многогранники (У) объема Y, содер-
содержащие в себе это тело. Существует всегда точная верхняя граница У%
для X и точная нижняя граница V* для Y, причем V* =s V*; их можно
было бы назвать, соответственно, внутренним и внешним
объемами тела.
Если обе границы
совпадают, то их общее значение V называется объемом тела
(У).
В этом случае тело (V) иногда называют кубируемым.
* Мы имеем в виду непрерывную поверхность, допускающую параметрическое
представление.

3401	^ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ	203
И здесь легко видеть, что для существования объема необходимо
и достаточно, чтобы для любого е=»0 нашлись такие два многогран-
многогранника (X) и (У), для которых Y -Х-^е.
Далее:
Если тело (V) разложено на два тела (Fj) и (К2), то из существо-
существования объема для двух из этих трех тел вытекает существование
объема для третьего. При этом
т. е. и объем обладает свойством аддитивности.
Легко перефразировать для объемов и те предложения 1), 2), 3),
которые в 336 были доказаны для площадей.
1) Для того чтобы тело (V) имело объем, необходимо и доста-
достаточно, чтобы существовали такие две последовательности, соответ-
соответственно, входящих и выходящих многогранников {(Хп)} и {(Yn)}, объемы
которых имели бы общий предел
Этот предел и будет объемом тела (F).
Полезно отметить и такое предложение, где вместо многогран-
многогранников фигурируют произвольные тела, заведомо имеющие объемы.
2) Если для тела (V) можно построить такие две последователь-
последовательности, соответственно, входящих и выходящих тел {(Тп)} и {(?/„)},
которые имеют объемы, причем эти объемы стремятся к общему
пределу
то и тело (К) имеет объем, равный упомянутому пределу.
В заключение упомянем о возможности выбирать многогранники,
приближающиеся к рассматриваемому телу, «стандартным» образом.
Заключив тело внутрь некоторого прямоугольного параллелепипеда
(W) с гранями, параллельными координатным плоскостям, разобьем
его на части с помощью ряда плоскостей, параллельных его граням.
Из частичных параллелепипедов, входящих в (V), составим тело (X),
а присоединив к ним и частично выходящие из (F) параллелепипеды,
получим тело Y. Эти тела представляют частные случаи тех много-
многогранников (X) и (У), о которых была речь выше. Будем обозначать
через d наибольшую из диагоналей тех прямоугольных параллеле-
параллелепипедов, на которые был разложен параллелепипед (W).
3) Если при d^-О оба объема X и Y стремятся к общему пределу
V и только в этом случае тело (V) будет иметь объем;
при выполнении этого условия упомянутый предел и выразит объем
тела (V).
Доказательство всех этих утверждений мы предоставляем чита-
читателю; их легко скопировать с рассуждений п° 336-

342]
2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
205
окружить точку (и, v) на плоскости uv такой окрестностью
а = (и - д, и + д; v-8, v + S),
чтобы соответствующий участок поверхности выражался явным урав-
уравнением. Остается лишь применить к замкнутой области (Q) и к по-
покрывающей ее системе окрестностей J? = М лемму Б о р е л я [175],
чтобы установить возможность разложения рассматриваемой глад-
гладкой поверхности на конечное число частей, каждая из которых выра-
выражается явным уравнением одного из трех типов. Отсюда - по преды-
предыдущему - следует, что гладкая поверхность имеет
объем 0.
Теперь ясно, что
тело, ограниченное одной или несколькими гладкими поверхностями,
заведомо имеет объем.
Допустимо, впрочем, и наличие на ограничивающей тело поверх-
поверхности конечного числа особых точек, которые могут быть выде-
выделены окрестностями с произвольно малым объемом.
342. Выражение объема интегралом. Начнем с почти очевидного
замечания: прямой цилиндр высоты Н, основанием которого служит
квадрируемая плоская фигура (Р), имеет объем, равный произ-
произведению площади основания на высоту: V=PH.
Рис. 26.
Возьмем [336, 1)] многоугольники (Ап) и (ДО, соответственно со-
содержащиеся в (Р) и содержащие в себе (Р), так, чтобы их площади
Ап и Вп стремились к Р. Если на этих многоугольниках построить
прямые призмы (Хп) и (Yn) высоты Н, то их объемы
Хп=АпН и Yn=BnH
будут стремиться к общему пределу V=PH, который в силу 1) п° 340
и будет объемом нашего цилиндра.
Рассмотрим теперь (рис. 26) некоторое тело (F), содержащееся
между плоскостями х = а и х = Ь, и станем рассекать его плоскостями,

342]
2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
205
окружить точку (и, v) на плоскости uv такой окрестностью
а = (и - д, и + д; v-8, v + S),
чтобы соответствующий участок поверхности выражался явным урав-
уравнением. Остается лишь применить к замкнутой области (Q) и к по-
покрывающей ее системе окрестностей ]? = {а} лемму Б о р е л я [175],
чтобы установить возможность разложения рассматриваемой глад-
гладкой поверхности на конечное число частей, каждая из которых выра-
выражается явным уравнением одного из трех типов. Отсюда - по преды-
предыдущему - следует, что гладкая поверхность имеет
объем 0.
Теперь ясно, что
тело, ограниченное одной или несколькими гладкими поверхностями,
заведомо имеет объем.
Допустимо, впрочем, и наличие на ограничивающей тело поверх-
поверхности конечного числа особых точек, которые могут быть выде-
выделены окрестностями с произвольно малым объемом.
342. Выражение объема интегралом. Начнем с почти очевидного
замечания: прямой цилиндр высоты Н, основанием которого служит
квадрируемая плоская фигура (Р), имеет объем, равный произ-
произведению площади основания на высоту: V=PH.
Рис. 26.
Возьмем [336, 1)] многоугольники (Ап) и (!?„), соответственно со-
содержащиеся в (Р) и содержащие в себе (Р), так, чтобы их площади
Ап и Вп стремились к Р. Если на этих многоугольниках построить
прямые призмы (Хп) и (Yn) высоты Н, то их объемы
будут стремиться к общему пределу V=PH, который в силу 1) п° 340
и будет объемом нашего цилиндра.
Рассмотрим теперь (рис. 26) некоторое тело (F), содержащееся
между плоскостями х = а и х = Ь, и станем рассекать его плоскостями,

206
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1342
перпендикулярными к оси х. Допустим, что все эти сечения к в а д-
р и р у е м ы, и пусть площадь сечения, отвечающего абсциссе х,
- обозначим ее через Р(х) - будет непрерывной функцией от х (для
)
Если спроектировать (без искажения) два подобных сечения на
какую-либо плоскость, перпендикулярную к оси х, то они могут либо
содержаться одно в другом (как на рис. 27, а), либо частично одно
на другое налегать или лежать одно вне другого (см. рис. 27, б, в).
Рис. 27.
Мы остановимся сначала на том случае, когда два различных се-
сечения, будучи спроектированы на плоскость, перпендикулярную к оси
х, оказываются всегда содержащимися одно в
другом.
В этом предположении можно утверждать, что тело (V) имеет
объем, который выражается формулой
V=
A5)
Для доказательства разобьем отрезок [а, Ь] на оси х точками
на части и разложим плоскостями х ¦-*,-, проведенными через точки
деления, все тело на слои. Рассмотрим /-й слой, содержащийся между
плоскостями
х = Х(Пх = х!+1 (i = 0, 1, ..., п~ 1).
В промежутке [xt, xi+1] функция Р(х) имеет наибольшее значение Mt
и наименьшее значение от,; если сечения, отвечающие различным зна-
значениям х в этом промежутке, поместить на одну плоскость, скажем,
x = xt, то все они (при сделанном предположении) будут содержаться
в наибольшем, имеющем площадь Л/,-, и содержать в себе наимень-
наименьшее, с площадью w,-. Если на этих, наибольшем и наименьшем, се-
сечениях построить прямые цилиндры высоты Axj--=xi+1-xh то боль-
больший из них будет содержать в себе рассматриваемый слой нашего
тела, а меньший сам будет содержаться в этом слое. На основании

342J
§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
207
сделанного вначале замечания объемы этих цилиндров будут, соот-
соответственно, MtAxt и nijAxj.
Из входящих цилиндров составится тело (Г), а из выходящих -
тело (?/); их объемы равны,
соответственно,
и, когда стремится к нулю
А = max Ax[, имеют общий пре-
предел A5). В силу 340, 2) таков
же будет и объем тела (К)*.
Важный частный случай,
когда заведомо выполняется
указанное выше предположе-
предположение о взаимном расположении
сечений, представляют тела
вращения. Вообразим на
плоскости ху кривую, задан-
заданную уравнением j = /(x) (a=s
=е;с=ег6), где f(x) непрерывна и
неотрицательна; станем вра-
вращать ограниченную ею криво-
криволинейную трапецию вокруг оси
х (рис. 28, а и б). Полученное
тело (F), очевидно, подходит под рассматриваемый случай, ибо сече-
сечения его проектируются на перпендикулярную к оси х плоскость в виде
концентрических кругов. Здесь
Рис. 28.
так что
V=n\fdx=n\[f(x)]2dx.
A6)
Если криволинейная трапеция ограничена и снизу и сверху кри-
кривыми y1 = fi(.x) и у2 = /2{х), то, очевидно,
ь	ь
?} dx,
A7)
хотя предположение о сечениях здесь может и не выполняться. Во-
Вообще доказанный результат легко распространяется на все такие тела,
* Деля, например, промежуток на равные части, легко выделить те после-
последовательности входящих и выходящих тел, о которых говорится в цитиро-
цитированном предложении.

208
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[343
которые получаются путем сложения или вычитания из тел, удовлет-
удовлетворяющих упомянутому предположению.
В общем случае можно утверждать лишь следующее: если тело
(V) имеет объем*, то он выражается формулой A5).
В самом деле, задавшись произвольным е>0, мы можем между
плоскостями х — а и х = Ъ построить такие два тела, [X) и (У), с о-
ставленные из параллелепипедов, чтобы первое со-
содержалось в (F), а второе содержало в себе (К), и притом бьшо Y-X^e.
Так как к этим телам формула наша, очевидно, приложима, то, обо-
обозначив через А{х) и В(х) площади их поперечных сечений, будем иметь
X =
ь	ь
JA(x) dx, Y= JB(x) dx.
С другой стороны, так как A(x)=sP(x)=sB(x), то и
P(x
B(x) dx = Y,
так что объем V и интеграл j P(x) dx оба содержатся между одними
и теми же границами X и Y,
разнящимися меньше, чем на е.
Отсюда и вытекает требуемое за-
заключение.
О
343. Примеры. 1) Вычислить объем
V кругового конуса с радиу-
радиусом основания г и высотой h.
Проведем через ось конуса секу-
секущую плоскость и выберем эту ось за
ось х, считая начальной точкой вер-
вершину конуса; ось у проведем перпендикулярно к оси конуса (рис. 29). Уравнение
образующей конуса будет
г
Рис,
и - по формуле A6) - получим
\\—х\ dx =
J \h j	IP 3
Результат этот известен читателю из школьного курса.
* Так будет, например, если тело ограничено одной или несколькими глад-
гладкими поверхностями [341].

343]	§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ	209
х^ v^
2) Пусть эллипс —I—=1 вращается вокруг оси х. Так как
а2 Ь%
б2
;у2 = --(а2-л:2),
а2
то для объема эллипсоида вращения найдем
г Ь2	б2 г	ь% (
Jfl!	а2 J	вЧ
х3\ Iя 4
3 j о 3
Аналогично для объема тела, полученного от вращения вокруг оси у, найдем
4
выражение — жагЬ. Предполагая же в этих формулах а = 6 = г, мы получим для
4
объема шара радиуса г известное значение ~пг3.
3)	Определить объем тела, полученного от вращения цепной линии
х
у = a ch — вокруг оси х, между сечениями, соответствующими точкам 0 и х.
а
Имеем
с х 1 г( 2х\
У=ла*\ ch*-dx = -na4 1 + ch— <fe =
J a 2 J \	a J
о	о
1	/ a 2x) 1 I	x	x\
= —яа2 |л: + — sh — \= — ла ал: fa ch — -a sh — .
2	{ 2 a) 2 {	a	a)
X
Вспоминая [331, 1)], что ash— есть длина дуги s нашей кривой, окончательно
a
получим
V = — ла(ах+sy).
4)	То же - для ветви циклоиды
* = a(f-sin/), j> = a(l-cosO @=в?ае2я).
Параметрические уравнения кривой облегчают выполнение подстановки
* = a(f-sinO> dx = a(l - cos t)dt в формуле
2ла
y*dx.
о
Именно:
2л
У=ла3 I (I -cosГ)аdt=ntP I — f-4sinH—sin lt + — sin3
J	\2	4	3
И Г. М. Фихтенголъц, т. II

210	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	{343
L L L
5) То же для астроиды х3 +у* = а3.
Имеем
г/
J
-\3 32
In	1 |Z	т>	lid	Oil	1
y=\a3 -Xя/ , V=n \cr -Xs/ dx =	na3.
\	I	\\	7	Ю5
Предлагается повторить вычисления, исходя из параметрических уравнений
астроиды и прибегнув к замене переменной (как в предыдущей задаче).
6) Найти объем общей части параболоида 2аг=хг+у* и сферы
y
Решение. Вместе с обоими этими телами и общая часть их будет телом
вращения вокруг оси z. Пересечение указанных поверхностей происходит
по плоскости z = a.
Плоскости, перпендикулярные к оси z, пересекают рассматриваемое тело по
кругам; квадраты радиусов этих кругов равны 2az, пока z=sa, и 3a2-z2, лишь
только z становится >а. Пользуясь формулой, аналогичной A6), будем иметь
а	а Уз"
К=2ла [zdz+n j Ca2-z2)<fe = —(бУЗ-5).
О	а
7) Найти объем общей части сферы x2+y2+z2 = R2 и конуса xz = y*+z2
(xs*0).
R
Указание. Пересечение поверхностей происходит по плоскости х = —^.
У2
Имеем
R
Уг"	r
=л x*dx+n \(R--x2) dx =	B- ]/2).
О	_R_
yf
До сих пор мы рассматривали примеры применения частной формулы A6).
Перейдем теперь к общей формуле A5). Так как самое существование
объема во всех случаях легко может быть обосновано, например, исходя из со-
соображений п° 341, то мы на этом останавливаться не будем и займемся лишь
вычислением объема.
8) Определить объем цилиндрического отрезка. Так называют
геометрическое тело, отсекаемое от прямого кругового цилиндра плоскостью,
проходящей через диаметр основания (рис. 30).
Положим, что основание цилиндра есть круг радиуса а:
и что секущая плоскость проходит через диаметр А А' и составляет угол а с пло-
плоскостью основания. Определим площадь сечения, перпендикулярного к оси х
и пересекающего ее в точке М(х). Это сечение будет прямоугольным тре-
треугольником; очевидно,
Р(х) = пл. MNP = — у- tg а = — (аг - х") tg а,

343)
§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
211
так что по формуле A5)
If
К= —tga Uai-
2	2
= — a3tga = — a2h,
где h = KL есть высота цилиндрического отрезка.
Интересно отметить, что тот же объем можно было бы получить, заставив
ось у играть ту роль, какую до сих пор играла ось х, т. е. рассекая тело плоскостя-
плоскостями, перпендикулярными оси у (рис. 31). Такая плоскость, проведенная через точку
Рис. 30.
Рис. 31.
М с ординатой у, пересечет наше тело по прямоугольнику SQ, площадь
которого будет
Р(у) = 2ху tg a = 2 tg a-yftf-y2.
Поэтому, аналогично A5),
= 2 tg а Ufa2 - уг dy = — tg a(a2 -
2
= — a3 tga.
о 3
9) Найти объем трехосного эллипсоида, заданного каноническим урав-
уравнением
а2 Ъг с2
(рис. 32).
Плоскость, перпендикулярная к оси х и проходящая через точку М(х) на этой
оси, пересечет эллипсоид по эллипсу; уравнение проекции его (без искажения)
на плоскость yz будет таково:
-(¦-ЗЧ-г)
= const).
Отсюда ясно, что полуоси его будут, соответственно,
И*

212	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
а площадь [см. 339, 2), 8), 15)] выразится так:
/ х2\ nbc
Р(х) = лЬс 1 - - =	(а2-*2).
V аг) а2
Таким образом, по формуле A5) искомый объем
а
жЬс с	. 4
C43
жос (¦	4
I' =	 (а2 - л-2) а"* = — Tiabc.
аг J	3
10) Найти объем эллипсоида, отнесенного к центру,
А х2 + 2Вху + Сгг + 2Fyz+IGzx+2Hxy = 1.
Z1
Рис. 32.
Решение. Если фиксировать z, то уравнение соответствующего сечения
(или - вернее - его проекции на плоскость ху) будет
ахг + 2Ьху+ су* + 2dx+2ey+f= О,
где положено
По 339, 7), площадь этого сечения равна
пА*
(АВ-Ю)'г
если через /1* обозначить определитель
^ Я й
Н В Fz =Az*-(AB-H2),
Gz Fz Сгг-\
A H G
H В F
где
Подставляя, получим
G F С
(АВ-Н"K'°-

343]
§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
213
Очевидно, г может изменяться лишь в пределах
от -
ГАВ-Н*
	д0
Л
АВ-Н-
	;
А
интегрируя в этих пределах, найдем окончательно
4 1
3 1/^|
11) Рассмотрим два круговых цилиндра радиуса г, оси которых пересекаются
под прямым углом, и определим объем тела, ограниченного ими.
Тело OABCD, изображенное на рисунке 33, составляет восьмую часть интере-
интересующего нас тела. Ось х проведем через точку О пересечения осей цилиндров
перпендикулярно к обеим осям. Тогда в
сечении тела OABCD плоскостью, проведен-
проведенной на расстоянии х от О, перпендикулярно
к оси х, получится квадрат KLMN, сто-
сторона которого MN= 1/г2-х2, так что Р(х) =
= гг-хг. Тогда по формуле A5)
J
16
12) Решим, в заключение, ту же задачу,
но в предположении, что цилиндры имеют
различные радиусы: г и R =- г.
Разница, по сравнению с прежним, будет
лишь в том, что, вместо квадрата, в сечении
рассматриваемого тела плоскостью на рас-
стоянии х от О получится прямоуголь-
прямоугольник со сторонами Уг% - ха и
б	б
Рис. 33.
У	У2 - хг. Таким
образом, в этом случае объем V выразится уже эллиптическим инте-
интегралом
V= 8
*-*") dx
или, если сделать подстановку jc=/-sirup и положить к = —,
R
К= 8Rra f cos2у ¦ уГ-~к*Щп*<р d<f = 8Яг2 • /.
О
Займемся сведением интеграла / к полным эллиптическим интегралам обоих
видов. Прежде всего
q> cos2 a
С cos3 rp	Г sin2 q> cos
/=	— dp - k*	y
J yi-k2sin'p	Jy\-k2sm

214	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[344
Но
л	л
2	2
j= —	- d<p= -¦ - -
J Vl-k*sm*(p	k2 J 1
d(p
0
С другой стороны, интегрируя по частям, имеем
1 |>	I 1 ~1	1
— У\ - k*sm*<p d<p= I - — К (к) + — Е(Л).
Л2 J	\ A:2 J	А:2
24Jsir
1
= — sin у |/l-A:2sm2<p
2-
- cos 2<p ¦ Vl - к2 sin2® dip = I (
J	'	r r J
О	о
Отсюда
Таким образом, окончательно
к- !^ Ki+*») е да - A - *•) к да].
344. Площадь поверхности вращения. Пусть имеем на плоскости
ху (именно, в верхней полуплоскости) некоторую кривую АВ (рис. 34),
заданную уравнениями вида F), где у, у - непрерывные функции с
непрерывными же производными <р', \р'. Предполагая отсутствие осо-
особых и кратных точек на кривой, мы можем ввести в качестве пара-
параметра дугу s, отсчитываемую от точки A(t^), и перейти к представ-
представлению
х = Ф(я), y = W(s).	A8)
Параметр s изменяется здесь от 0 до S, если через S обозначить длину
всей кривой АВ.
Если вращать кривую вокруг оси х, то она опишет некоторую
поверхность вращения. Поставим своей задачей - вычи-
вычислить площадь этой поверхности.
Мы лишены возможности установить здесь в общем виде понятие
площади «кривой» (т. е. н е п л о с к о й) поверхности; это будет еде-

344]
§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
215
лано в третьем томе. Сейчас же мы определим это понятие специ-
специально для поверхности вращения и научимся вычислять ее площадь,
причем будем исходить из данных еще в школьном курсе правил вы-
вычисления боковых поверхностей цилиндра, конуса и усеченного ко-
конуса. Впоследствии мы убедимся, что полученная нами формула вхо-
входит как частный случай в общую формулу для площади кривой поверх-
поверхности.
Возьмем на кривой АВ в направлении от А к В ряд точек (см.
рис. 34)
и рассмотрим ломаную ААХ.. .Ап^В, вписанную в кривую. Станем
вместе с кривой вращать вокруг оси х эту ломаную; она опишет
некоторую поверхность, площадь которой мы умеем определять по
правилам элементарной геоме-
геометрии. Условимся под пло-
площадью поверхности, опи-
описанной кривой, разуметь
предел Р площади Q по-
поверхности, описанной
ломаною, при стремлении к
нулю наибольшей из частичных
дуг. Это определение площади
поверхности вращения дает нам
ключ к ее вычислению.
Мы уже знаем, что ряд то-
точек A9) может быть получен, ис-
исходя из ряда возрастающих значений s, вставленных между 0 и S:
0 = 5'0< JX<J2< . . . <.У,<.У,+1< . . . ^Sn-1<Sn = S.
Каждое звено ломаной при вращении вокруг оси х будет описывать
поверхность усеченного конуса*. Если обозначить ординаты точек
Aj и Ai+1 соответственно через yt и j,+1, а длину звена AtAi+1 через
/,, то площадь поверхности, описываемой i-u звеном, будет
х
Рис. 34.
Площадь же поверхности, описываемой всей ломаной линией, будет
л-1
(=0
i + УНг
* В частности, эта поверхность может выродиться в поверхность конуса или
цилиндра; площадь ее, однако, и в этом случае можно вычислить по общей формуле
для поверхности усеченного конуса.

216
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[344
Полученную сумму можно разбить на две суммы следующим образом:
Q = Ъг  yih +п (J«+i-ydh¦
( = 0	1=0
Так как функция y = W(s) непрерывна, то (по свойству равномер-
равномерной непрерывности) можно предположить нашу кривую разложен-
разложенной на столь мелкие части, что все разности yt+1-yi по абсолютной
величине не превзойдут произвольно малого положительного числа е.
Тогда
л-1
( = 0
л-1
2
i=0
отсюда следует, что эта сумма стремится к нулю при max As(-*O.
Что касается суммы:
л— 1
2ж 2 yih,
о
то ее можно разложить на две суммы:
Ъг
2
= 0
yL Ast - In 5 y,{ds, - /,).
Так как функция W(s) непрерывна, то она ограничена, так что все
|j,|=sM, где М - некоторое постоянное число. Обозначая послед-
последнюю сумму через т, имеем
¦¦2л
л-1
-.2nM\S-2h\-
2
При дроблении кривой на все более и более мелкие части раз-
разность
л-1
s- 2 it,
1=0
по определению длины дуги, как предела периметра вписанной ло-
ломаной*, должна стремиться к нулю. Но тогда и т-»0.
Оставшаяся сумма
л-1
а = 2я 2 У1 Asi
1 = 0
* Это непосредственно следует из определения лишь для простой незам-
незамкнутой кривой, но затем легко получается и для простой замкнутой кри-
кривой, путем разложения на две незамкнутые кривые.

345]	§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ	217
является интегральной суммой для интеграла
s
2я J у ds,
о
который вследствие непрерывности функции у = W(s) существует, так
что при maxz1s,—0 сумма а стремится к этому интегралу.
Мы получаем окончательно, что - при сделанных предположе-
предположениях - площадь поверхности вращения существует и выражается фор-
формулой
S	S
j	^(s)ds.	B0)
Если вернуться к общему параметрическому заданию F) нашей
кривой, то, произведя в предшествующем интеграле замену пере-
переменной [см. 313, (9)], преобразуем его к виду
т	т
Р = 27i$yfx't*+y't2 dt = 2л jf(t)Y\^pr(iW^W(tW dt.	B1)
'•	и
В частности, если кривая задана явным уравнением у = f(x) (a*&x*sb),
так что в роли параметра оказывается х, будем иметь
(x)Yl + [f'(x)fdx.	B2)
345. Примеры. 1) Определить площадь поверхности шарового пояса.
Пусть полукруг, описанный около начала радиусом г, вращается вокруг оси х.
Из уравнения круга имеем у = \г*-хг; далее,
Ух
В таком случае площадь поверхности пояса, описанного дугой, концы которой
имеют абсциссы xt и дг2=»л-1( по формуле B2) будет
г\
2пг{х„ - хх) =
где А есть высота пояса. Таким образом, площадь поверхности шарового пояса
равна произведению окружности большого круга на высоту пояса.
В частности, при хг = - г, х2 = г, т. е. при h = 2r, получаем площадь всей шаровой
поверхности Р=Апгг.
2) Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги цепной
линии y = ach —, концы которой имеют абсциссы 0 и х.
а

218	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[345
Так как \ \+у'х =сЬ. —, то по формуле B2)
я Ich2- dx = -V,
j a	a
где V - объем соответствующего тела вращения [см. 343, 3)].
3) То же для астроиды х = а cos3 /, у = a sin31.
Достаточно удвоить площадь поверхности, описанной дугой астроиды, лежа-
(	л\
щей в 1 квадранте lO^s/^— I . Мы имели уже
Уx^+y't* = ~iasm f cos t;
в таком случае по формуле B1)
sin5/
л 12
г a sin3 /¦ За sin /cos /Л = 12яа2 sin4 /cos tdt=12nefi
J	J	5 о 5
4) To же для циклоиды x = a(z-sin /), y = a(l-cos/)-
/	/
Так как у = 2а sin2 —, ds = la sin — dt, то
2л
" 64
С / г /"cos3 и	\
Р=2л 4a2sin3 —Л=16яа2 sin8 и du = 1 бяа2	cos и
= — яа*.
О 3
5) Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды
a(l+cos0) вокруг полярной оси.
Следует в основной формуле B1) перейти к полярным координатам:
S	/3
yds = 2n{rsmey7*Tifd6-	B3)
О	a
В нашем случае <х = 0, /? = л, и
во	о
y=rsind = аA +cos б) sin в = 4a cos3 — sin — , rfs = 2а cos — rfO,
поэтому
Г 0 0	32
= 2л ¦ 8а2 cos4 —	sin — dO^ — na*.
J 2 3	5
о

345]	§ 2. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ	219
6) То же для лемнискаты r2 = 2Ф cos 26.
ау2
Здесь у = а ]/2 ]/cos 26 sin 0, ds = - ¦ dd, так что по формуле B3)
Vcos29
4
Г
\2\
— L=7,361e2.
о
Наконец,
7) определим поверхность эллипсоида вращения как вытянутого,
так и сжатого (сфероида).
х2 у*
Если эллипс —I— = 1 вращается вокруг оси х, и а>Ь, то имеем последо-
а2 Ьг
вательно
Ъ2	Ь2
у> = Ь>— х\ у/= — х,
а2	а2
+ (у/У = I/ Ь*-- х2 + -х2 = - ]Га* -
I/	2 4
a2
Но а" - bz = с2, где с - расстояние фокуса от центра и — равно эксцентриситету
а
к эллипса. Таким образом,
	 Ь
а
П ,,	 а2	гл;
— д: Va8-e2x2H—arcsin —
V2	2e	a
= 2я — (а Уаг-г2л2+а2 arc sin e);
но в2 - f 2в2 = в2 - с2 = б2, так что окончательно имеем
/¦ а	^
Р = 2пЬ\ЬЛ—arc sine .
Если эллипс вращается вокруг малой оси, то для того, чтобы удобнее было
воспользоваться уже произведенными выкладками, мы будем считать, что ось
х и служит малой осью. Тогда в полученном для у у\ +у'% выражении нужно лишь
обменять а и Ъ местами, так что теперь
а "I/ а2-Ьг а
Ь /	Ь2	Ь

220	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
в таком случае
[346
с=?а, так что окончательное выражение для Р будет такое
( Ь* , а+с\ „ /" б2 1 И-еЛ
Р=2па \а+— In	=2м о+	In	 .
V 2с а-с)	[ 2а е 1-е)
346. Площадь цилиндрической поверхности. Рассмотрим еще один
частный тип кривой поверхности, для которой мы также здесь
определим понятие площади {предвосхищая то общее определе-
определение, которое будет дано лишь впоследствии). Мы имеем в виду ци-
цилиндрическую поверхность.
Вернемся к кривой АВ на плоскости ху, о которой была речь в 344.
Приняв ее за направляющую, представим себе цилиндрическую по-
поверхность с образующими, параллельными оси z (рис. 35). По этой
поверхности проведем кривую CD, которая с каждой образующей
пересекается в одной точке; эта кривая определится, если к уравне-
уравнениям F) присоединить еще третье
(Х-0).	B4)

346)	§ 1. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЬ!	221
Речь идет о вычислении площади Р части цилиндрической поверх-
поверхности «под этой кривой».
Как и в п° 344, введем дугу s в качестве параметра; тогда не только
уравнения F) кривой АВ заменятся уравнениями A8), но и уравнение
B4) перейдет в
z = X(s).
Вписав в кривую АВ ломаную ААХ ... Ап_гВ и, в соответствии с этим,
в кривую CD - ломаную CQ ... Сп-хТ> (см. рисунок), из трапеций
AjAi+1Ci+1Ci составим призматическую поверхность, вписанную в рас-
рассматриваемую цилиндрическую поверхность. Под площадью
этой последней будем понимать здесь предел Р
площади Q упомянутой призматической поверх-
поверхности при стремлении к нулю наибольшей из частичных дуг.
Полагая z,=y4,Q, имеем (сохраняя в остальном прежние обозна-
обозначения)
С помощью таких же соображений, что и в 344 (провести их пол-
полностью читатель сможет сам), вопрос приводится к вычислению пре-
предела суммы
л-1
в которой легко узнать интегральную сумму. Окончательно*
s	s
Возвращаясь к произвольному параметру /, легко получить и об-
общую формулу
Р = jzYtfTy? A = J Х@ YWWWUW*.	B5)
Наконец, для случая явного задания кривой А В: j=/(x)
эта формула перепишется так:
B6)
* Этот результат становится совершенно наглядным, если представить себе
цилиндрическую поверхность развернутой по плоскости, так что рассматриваемая
фигура превратится в «криволинейную трапецию».

212
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[347
347. Примеры. 1) Пусть на рис. 36 кривая АВ представляет собой параболу
с вершиной в точке В. Ее уравнение (при обозначениях рисунка)
Ьх*
у = Ь	-.
а2
Построенная на ней цилиндрическая поверхность пересечена плоскостью ОВС
с уравнением
с
z= -х.
а
Найти площадь Р части ABC цилиндрической поверхности.
Решение. По формуле B6)
= {zfiW2dx = -a [хуа
2) Если кривая АВ будет четвертью окружности у = ]/а2 - х2 @=s x =s. а), то восполь-
воспользоваться формулой B6) - безоговорочно - нельзя, ибо при х^а производная
Рис. 36.
ух обращается в °°. Прибегнув к параметрическому представлению
x = acost, y
мы по общей формуле B5) будем иметь
2 Ж = ас icostdt^ac.
Если вернуться к цилиндрическому отрезку, о котором была
речь в 343, 8), то боковая поверхность его, как следует из полученного только
что результата, окажется равной 2оЛ (с = А).
3) Наконец, решим ту же задачу в предположении, что кривой АВ будет чет-
четверть эллипса
х = a cos Л y = bsint 0=s/=s — .

347|	§ 1 ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ	223
[Явным уравнением здесь не следует пользоваться по той же причине, что
и выше].
(а) Пусть сначала а =- Ь. Вводя эксцентриситет в =	эллипса по формуле
а
B5), получим
л
2	а
Р=с Г cos t fa2 sin21 + b2 cos2 / dt = — j Yb2+e2u2~du
о	о
(подстановка « = asinO. и окончательно
1-Е2 1+61
2 I 2e
}
(б) В случае e-=Z>, эксцентриситет е = -
In	\.
1-е/
P = 6c Г yi-?2sinz/ cosr & = — jyi-еЧ— arcsinej.
о
4) Рассмотрим часть цилиндрической поверхности хг+у2 = Ях, ограниченной
сферой хг+у2+z2 = Л2; кривая, получающаяся в пересечении [кривая В и в и а н и ,
229, 1)], как мы знаем, может быть представлена параметрически так:
х = R sin2 /, у = R sin t cos t, z = R cos /.
Если ограничиться первым октантом, то / здесь надлежит изменять от 0 до —.
Очевидно, первые два уравнения играют роль уравнений (б), а последнее - уравне-
уравнения B4).
Площадь упомянутой поверхности по формуле B5) будет
5) Определить площадь поверхности тела, общего двум цилиндрам радиуса г,
оси которых пересекаются под прямым углом [ср. 343,11)]. Введем систему коорди-
координат, как на рис. 33.
Ограничиваясь одной из цилиндрических поверхностей, для первого октанта
имеем
х = г cos ?, у - г sin /
и, наконец,
По формуле B5) половина искомой площади равна
—) .
sin

114	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	|347
6) Та же задача - но для случая, когда цилиндры имеют различные радиусы
/• и R^r [ср. 343, 12)].
Вычислим сначала площадь части цилиндрической поверхности радиуса г.
Имеем
x-rsmt, у = г cost
z = YR*^x* = yR*-r2sirtl = R ]Al - Jt2 sin2 /
По формуле B5)
(	п\
j к = -) .
i = 8Rr f fl - к" ske~t dt = 8ЯгЕ (к).
о
Обращаясь теперь к цилиндрической поверхности радиуса R, обменяем ролями
ось z и ось у. На этот раз
x = Rsint, z^Rcosr,
причем / может изменяться (если, как всегда, ограничиться первым октантом)
лишь от 0 до arcsin к. Тогда, по формуле, аналогичной B5), получим
arcsin A-	arcsin к
"к*'
О
Подстановка
к cosy d<p
yYx',2 + z?dt = 8Rr
sin f = k sin <p,
71
где у изменяется от 0 до —, дает
arcsin к
J
о	о
С последним интегралом мы уже встречались в 343, 12); он равен
(l-i
Таким образом,
рг-.
Окончательно
- A - к)Щк)}.
Этим исчерпываются простейшие геометрические приложения опре-
определенного интеграла. С вычислением геометрических протяжений в бо-
более сложных и более общих случаях мы встретимся в третьем томе.

348J
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
225
§ 3. Вычисление механических и физических величин
348. Схема применения определенного интеграла. Прежде чем перейти
к применениям определенного интеграла в области механики, физики
и техники, полезно наперед уяснить себе тот путь, по которому в
прикладных вопросах обычно приходят к определенному интегралу.
С этой целью мы набросаем об-
общую схему применения интеграла,
иллюстрируя ее примерами уже из-
изученных геометрических задач.
Вообразим, что требуется опре-
определить некоторую постоянную ве-
величину Q (геометрическую или иную)
связанную спромежутком
[а, Ь]. При этом пусть каждому час-
частичному промежутку [а, /?], содержа-
содержащемуся в [а, Ь], отвечает некоторая
часть величины Q так, что разло-
разложение промежутка [а, Ь] на частич-
частичные промежутки влечет за собой
разложение на соответствующие ча-
части и величины Q.
Точнее говоря, речь идет о не-
некоторой «функции от промежутка»
?№> Д]), обладающей «свойством
аддитивности»; это значит, что, если промежуток [а, /3] состоит из
частичных промежутков [ос, у] и [у, /5], то тогда и
Задача же состоит в вычислении ее значения, отвечающего всему про-
промежутку [а, Ь].
Для примера возьмем на плоскости кривую y=f(x) (a=sx=«6) (рис. 37)*. Тогда
1) длина S кривой АВ, 2) площадь Р ограниченной ею криволинейной
трапеции АА'В'В иЗ) объем V тела, полученного от вращения этой трапеции
вокруг оси х, - все три являются величинами указанного типа. Нетрудно дать
себе отчет в том, какие «функции от промежутка» ими порождаются.
Рассмотрим «элемент» AQ величины Q, отвечающий «элементар-
«элементарному промежутку» [х, х + Ах]. Исходя из условий вопроса, стараются
найти для AQ приближенное выражение вида q{x) Ax, линейное от-
относительно Ах, так чтобы оно разнилось от AQ разве лишь на бес-
* Функция f(x) предполагается непрерывной и имеющей непрерывную произ-
производную. Для определенности мы допустим, что кривая все время идет вверх
и выпукла вниз.
15 Г. М. Фихтенгольп. т. II

226	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[348
конечно малую порядка высшего, чем Ах. Иными словами, из бес-
бесконечно малого {при zlx-*0) «элемента» AQ выделяют его главную
часть. Ясно, что тогда относительная погрешность приближенного
равенства
AQ~q(x)Ax	A)
будет стремиться к нулю вместе с Ах.
Так, в примере 1) элемент дуги MMt можно заменить отрезком касательной
МК, так что из AS выделяется линейная часть
'х2 Ах = ]/1 + [/Хх)]2 Лх.
В примере 2) естественно заменить элементарную полоску АР входящим прямо-
прямоугольником с площадью
у Ах = fix) Ах.
Наконец, в примере 3) из элементарного слоя AV выделяется его главная часть
в виде входящего кругового цилиндра, с объемом
яу* Ax=>n[f(x)\* Ах.
Во всех трех случаях нетрудно показать, что погрешность от такой замены
будет бесконечно малой высшего порядка, чем Лх. Именно*, в случае 1) она будет
меньше КМЛ = Ау - dy, в случае 2) - меньше Лх Лу, а в случае 3) - меньше
лBу + Ау) Ах Лу.
Лишь только это сделано, можно уже утверждать, что искомая
величина Q точно выражается интегралом
ъ
B)
а
Для пояснения этого разложим промежуток [а, Ь] точками хг,х2, ...
..., х„_1 на элементарные промежутки
[a, xj, [*!, х2], ..., [xh хш], ..., [хп_:, Ъ].
Так как каждому промежутку [xt, xi+1] или [xhXj +Ax,] отвечает
элементарная часть нашей величины, приближенно равная q(x^Axt,
то вся искомая величина Q приближенно выразится суммой
Степень точности полученного значения будет тем выше, чем мельче
частичные промежутки, так что Q, очевидно, будет пределом упомя-
упомянутой суммы, т. е. действительно выразится определенным интегралом
\q(x)dx.
* При предположениях, сделанных в сноске на предыдущей странице.

348]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИИ	227
Это в полной мере относится ко всем трем рассмотренным примерам. Если
выше мы получили формулы для величин S, Р, V несколько иначе, то это потому,
что задача наша состояла не только в вычислении их, но и в доказатель-
доказательстве их существования - в согласии с ранее данными определениями.
Таким образом, все дело сводится к установлению приближен-
приближенного равенства A), из которого непосредственно получается оконча-
окончательный результат B).
Обыкновенно, впрочем, вместо Ах и AQ пишут dx и dQ, а равен-
равенство A) для «элемента» dQ величины Q записывают в форме
dQ = q(x)dx.	C)
Затем «суммируют» эти «элементы» (на самом деле беря интеграл!),
что и приводит к формуле B) для всей величины Q.
Мы подчеркиваем, что пользование здесь интегралом, вместо
обыкновенной суммы, весьма существенно. Сумма давала бы лишь
приближенное выражение для Q, ибо на ней отразились бы погреш-
погрешности отдельных равенств типа C); предельный же переход, с по-
помощью которого из суммы получается интеграл, уничтожает погреш-
погрешность и приводит к совершенно точному результату. Итак, сначала
в интересах простоты, в выражении элемента dQ отбрасываются бес-
бесконечно малые высших порядков и выделяется главная часть, а за-
затем, в интересах точности, суммирование заменяется интегрирова-
интегрированием, и просто получаемый результат оказывается точным.
Впрочем можно было бы подойти к вопросу и с иной точки зре-
зрения. Обозначим через Q{x) переменную часть величины Q, отвечаю-
отвечающую промежутку [а, х], причем Q(a), естественно, полагаем равным 0.
Ясно, каким образом рассмотренная выше «функция промежутка»
6(К РЪ выражается через эту «функцию точки» Q{x)
В наших примерах функциями точки являются: 1) переменная дуга AM,
2) площадь переменной трапеции АА'М'М и, наконец, 3) объем тела, полученного
от вращения именно этой трапеции.
Величина AQ есть попросту приращение функции Q(x), а произ-
произведение q(x) Ax, представляющее собой его главную часть, есть
не что иное, как дифференциал этой функции [103, 104]. Таким обра-
образом, равенство C), написанное в дифференциальных обозначениях,
на деле является не приближенным, а точным, если только под
dQ разуметь именно dQ(x). Отсюда также сразу получается требуемый
результат:
ь
('q(x) dx =Q(b) -б(в) = Q([a, b])^Q.

228
I Л. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
!349
Отметим все же, что в приложениях более удобной и плодотвор-
плодотворной является идея суммирования бесконечно малых
элементов.
349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой. Как известно,
статический момент М материальной точки массы т относительно некоторой
оси равен произведению массы т на расстояние d точки от оси. В случае с и с т е -
м ы п материальных точек с массами т1, т2,
d d
тп, лежащих в одной плоскости
Рис. 38.
1 2
с осью, соответственно, на расстояниях dlt d2, ¦ ¦ ¦, dn от оси, статический момент
выразится суммой
При этом расстояния точек, ле-
лежащих по одну сторону от оси, бе-
берутся со знаком плюс, а расстояния
точек по другую сторону - со знаком
минус.
Если же массы не сосредоточены
в отдельных точках, но расположены
сплошным образом, заполняя линию
или плоскую фигуру, то тогда для вы-
выражения статического момента вместо
суммы потребуется интеграл.
Остановимся на определении ста-
статического момента М относительно
оси х масс, расположенных вдоль некоторой плоской кривой АВ (рис. 38). При
этом мы предположим кривую однородной, так что ее линейная плот-
плотность р (т. е. масса, приходящаяся на единицу длины) будет постоянной; для
простоты допустим даже, что р = 1 (в противном случае придется полученный
результат лишь умножить на р). При этих предположениях масса любой дуги
нашей кривой измеряется просто ее длиной, и понятие статического момента
приобретает чисто геометрический характер. Заметим вообще, что когда говорят
о статическом моменте (или центре тяжести) кривой - без упоминания о распре-
распределении вдоль по ней масс, - то всегда имеют в виду статический момент (центр
тяжести), определенный именно при указанных предположениях.
Выделим теперь какой-нибудь элемент ds кривой (масса которого также
выражается числом ds). Приняв этот элемент приближенно за материальную
точку, лежащую на расстоянии у от оси, для его статического момента получим
выражение
dMx = у ds.
Суммируя эти элементарные статические моменты, причем за независимую пере-
переменную возьмем дугу s, отсчитываемую от точки А, мы получим
М,
-J
у ds.
D)
Аналогично выражается и момент относительно оси у
S
Mv~ \xds.
E)

350)	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН	22*
Конечно, здесь предполагается, что у (или х) выражено через s. Практически в этих
формулах * выражают через ту переменную (t, х или в), которая играет роль не-
независимой в аналитическом представлении кривой.
Статические моменты Мх и Му кривой позволяют легко установить положение
ее центра тяжести C(f, if). Точка С обладает тем свойством, что если в ней сосре-
сосредоточить всю «массу» S кривой (выражаемую тем же числом, что и длина), то
момент этой массы относительно любой оси совпадает с моментом кривой
относительно этой оси; в частности, если рассмотреть моменты кривой относи-
относительно осей координат, то найдем
S	S
S? = My= [xds, Stj = Mx = [yds,
0	О
откуда
« = —— = — \ х ds, ri =	= — \ у ds.	F)
s si	' s sJ
Из формулы для ординаты rj центра тяжести мы получаем замечательное
геометрическое следствие. В самом деле, имеем
• I у ds, откуда 2nr)s = 2n\ у ds;
J	J
но правая часть этого равенства есть площадь Р поверхности, полученной от вра-
вращения кривой АВ [см. 344, 20)], в левой же части равенства 2лг] обозначает длину
окружности, описанной центром тяжести кривой при вращении ее около оси х,
a S есть длина нашей кривой. Таким образом, приходим к следующей теореме
Г у льдина (P. Guldin):
Величина поверхности, полученной от вращения кривой около некоторой не
пересекающей ее оси, равна длине дуги этой кривой, умноженной на длину окружно-
окружности, описанной центром тяжести С кривой (рис. 38)
Эта теорема позволяет установить координату г/ центра тяжести кривой, если
известны ее длина S и плошадь Р описанной ею поверхности вращения.
х2 уг
350. Примеры. 1) Найти статический момент обвода эллипса —у — = I
относительно оси х (предполагая а ¦>¦ Ь).	°2 ^2
Для верхнего (или нижнего) полуэллипса этот момент только отсутствием
множителя 271 отличается от величины соответствующей поверхности вращения.
Поэтому [см. 345, 7)]
(а
Мх = 26\ЬН— arcsine
{
1
2) Если рассматриваемая дуга симметрична относительно некоторой
прямой, то центр тяжести дуги необходимо лежит на этой прямой.
Для доказательства примем ось симметрии за ось у, а точку ее пересечения
с кривой - за начальную точку для отсчета дуг. Тогда функция х = 0(s) окажется
нечетной функцией от j и, если на этот раз длину всей кривой обозначить
через 25, будем иметь [см. 314, 9)]
s
-5
откуда и f = 0.

230
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
|351
3) Пользуясь теоремой Гульдина, определить положение центра тяжести
дуги АВ (рис. 39) круга радиуса г.
Так как эта дуга симметрична относительно радиуса ОМ, проходящего через
ее середину М, то ее центр тяжести С лежит на этом радиусе, и для полного опре-
определения положения центра тяжести необходимо лишь найти его расстояние ?;
от центра О. Выбираем оси, как указано на рисунке, и обозначим длину дуги АВ
через s, а ее хорды АВ (=А'В') - через d. От вращения рассматриваемой дуги
вокруг оси х получается шаровой пояс, площадь поверхности Р которого, как мы
знаем [345, 1)], равна Irtrd. По теореме Гульдина та же поверхность равна
Inrjs, так что
st] = rd
rd
и v = —
В частности,
окружности d
для
2r, s =
полу-
r и
2
7 = -г= 0,637г.
л
4)
ветви
Определить центр тяжести
циклоиды
= a{t-smt), y = a(l-cosO
Если принять в расчет симметрию, то сразу ясно, что ?=.та. Учитывая же
4
результаты примера 4) п° 345, легко получить затем rj = — a.
5) В тех случаях, когда наперед ясно положение центра тяжести, теоремой
Гульдина можно воспользоваться для определения площади поверхности
Рис. 40.
вращения. Пусть, например, требуется определить величину поверхности кольца
(тор а), т. е. тела, образованного вращением круга около оси, не пересекающей
его (рис. 40). Так как очевидно, что центр тяжести окружности совпадает с ее цен-
центром, то (при обозначениях рисунка) имеем
351. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры.
Рассмотрим плоскую фигуру АА'В'В (рис. 41), ограниченную сверху кривой АВ,
которая задана явным уравнением y=f(x). Предположим, что вдоль по этой
фигуре равномерно распределены массы, так что поверхностная плот-
плотность их р (т. е. масса, приходящаяся на единицу площади) постоянна. Без
существенного умаления общности можно тогда принять, что р = 1, т. е., что масса

351]
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
231
любой части нашей фигуры измеряется ее площадью. Это всегда и под-
подразумевается, если говорят просто о статических моментах (или о центре тяжести)
плоской фигуры.
Желая определить статические моменты Мх, My этой фигуры относительно
осей координат, мы выделим, как обычно, какой-нибудь элемент нашей фигуры
в виде бесконечно узкой вертикальной полоски (см. рисунок). Приняв эту полоску
приближенно за прямоугольник, мы видим, что масса ее (выражаемая тем же
числом, что и площадь) будет у dx. Для определения соответствующих элементар-
элементарных моментов dMx, dMy предположим всю массу полоски сосредоточенной в ее
Рис. 41.
центре тяжести (т. е. в центре прямоугольника), что, как известно, не изменяет
величины статических моментов. Полученная материальная точка отстоит от оси
1	I 1 J Л
х на расстоянии — у, от оси у - на расстоянии лН—dx\ ; последнее выражение
можно заменить просто через х, ибо отброшенная величина —dx, умноженная
на массу у dx, дала бы бесконечно малую высшего порядка. Итак, имеем
dMx = — y- dx, dMy = xy dx.
Просуммировав эти элементарные моменты, придем к результатам
ь	ь
Мх =
= — \у2 dx, My = xy dx,
G)
причем под у разумеется, конечно, функция f{x), фигурирующая в уравнении
кривой АВ.
Как в случае кривой, по этим статическим моментам рассматриваемой фигуры
относительно осей координат легко определить теперь и координаты |, t] центра
тяжести фигуры. Если через Р обозначить площадь (а следовательно, и массу)
фигуры, то по основному свойству центра тяжести

232	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[352
откуда
ь
¦ If	Mx 1 f
- = — xy dx, n =	= — у2 dx.
Pi	' P 2PJ
ь
(8)
И в данном случае мы получаем важное геометрическое следствие из формулы
для ординаты т] центра тяжести. В самом деле, из этой формулы имеем
2лг)Р = п \y*dx.
Правая часть этого равенства выражает объем V тела, полученного от враще-
вращения плоской фигуры АА'В'В около оси х [342 A6)], левая же часть выражает произ-
произведение площади этой фигуры Р на 2иг\ - длину окружности, описанной центром
тяжести фигуры. Отсюда вторая теорема Г у льдина:
Объем тела вращения плоской фигуры около не пересекающей ее оси равен произ-
произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести
фигуры:
V=P-birj.
Заметим, что формулы G), (8) распространяются на случай фигуры, ограни-
ограниченной кривыми и снизу и сверху (рис. 19). Например, для этого случая
Ga)
отсюда ясно уже, как преобразуются формулы (8). Если вспомнить формулу (8)
п° 338, то легко усмотреть, что теорема Гульдина справедлива также и для
этого случая.
352. Примеры. 1) Найти статические моменты Мх, Му и координаты центра
тяжести фигуры, ограниченной параболой уг = 2рх, осью х и ординатой,
соответствующей абсциссе х.
Так как у= ^2рх, то по формулам G)
X
J-pxK
о
С другой стороны, площадь [338, G)]
о
В таком случае по формулам (8)
t_3	_3
~1Х' V~~8

353]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН	233
Пользуясь значениями ? и т], легко найти - по теореме Гульдина -
объем тела вращения рассматриваемой фигуры вокруг осей координат или вокруг
конечной ординаты. Например, если остановиться на последнем случае, так как
2
расстояние центра тяжести от оси вращения есть — х, то искомый объем будет
8
К= — лх2у.
15
2)	Найти центр тяжести первого квадранта эллипса —I— = 1, восполь-
воспользовавшись результатами 339, 2) и 343, 2).	°2 &
Аа ЛЬ
По теореме Гульдина | = — , г)=> — .
Ъп Ъл
3)	Если фигура имеет ось симметрии, то центр тяжести фигуры необходимо
лежит на этой оси.
Докажем это для случая фигуры, ограниченной снизу и сверху кривыми ух =/i(x)
и j'2=/2W. Если взять ось симметрии за ось у, то обе функции ух и уг окажутся
четными; промежуток же изменения х в этом случае будет иметь вид [-а, а].
Тогда, по второй из формул Gа) [см. 314, 9)]
а
вместе с чем и ? = 0.
4)	Найти центр тяжести фигуры, ограниченной ветвью циклоиды х =
= a(t - sin t), у = аA - cos t) и осью х.
Воспользовавшись 339, 9) и 343, 4), по теореме Гульдина легко устано-
установить: г] = —а. По симметрии | = яа.
6
5)	То же для фигуры, ограниченной двумя параболами уг = 2рх и х' = 2ру
(см. рис. 24).
Вспоминая пример 5), 339, по формуле Gа) находим
2р	_рЗ
,7=1 = 1 fjc(y^--]d*=--- =-p.
Pi У	2р)	4 10
о	-р2
6)	Подобно первой теореме Гульдина [ср. 350, 5)] и вторая теорема также
может быть использована в том случае, когда положение центра тяжести ясно,
для определения объема соответствующего тела вращения. Например, для тора
(рис. 40) получается объем V= 2n2r2d.
353. Механическая работа. Из элементарной механики читателю известно,
что если сила, приложенная к двужущейся точке М, сохраняет постоянную вели-
величину F и постоянный угол с направлением перемещения точки, то работа А этой
силы на перемещении s точки выразится произведением Fcos(F, s)-s, где (F, s)
обозначает угол между направлениями силы и перемещения точки. Произведение
Fs = Fcos(F, s), очевидно, представляет собой проекцию силы F на перемещение
s; вводя эту проекцию, можно выражение для работы представить в виде А = Fss.
Если направление силы совпадает с направлением перемещения точки, то 4= Fs;
в случае же, когда оба направления прямо противоположны, А= - Fs.
Вообще говоря, однако, и величина силы F и угол (F, s) ее с направлением
перемещения могут не оставаться постоянными. При непрерывном изменении
хоть одной из этих величин для выражения величины работы приходится прибег-
прибегнуть снова к определенному интегралу.

234
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1353
Пусть путь s, проходимый точкой, будет независимой переменной: при этом
предположим, что начальному положению А нашей точки М соответствует зна-
значение s = s0, а конечному В - значение s= S (рис. 42). Каждому значению s в про-
промежутке (s0, S) отвечает определенное положение движущейся точки, а также
определенные значения величин F и cos (F, s), которые, таким образом, можно
рассматривать как функции от .$. Взяв точку М в каком-нибудь ее положении,
определяемом значением s пути, найдем теперь приближенное выражение для
элемента работы, соответствующего приращению ds пути, от * до s+ds, при
котором точка М перейдет в близкое положение М' (см. рисунок). В положении
М иа точку действует определенная сила F
под определенным углом (F, s); так как
изменение этих величин при переходе точки
из М в М' - при малом ds - также мало,
пренебрежем этим изменением и, считая
величину силы F и угол (F, s) приближенно
постоянными, найдем для элемента работы
на перемещении ds выражение
dA = F cos (Fty-ds,
так что вся работа А представится инте-
интегралом
S
Л= I F cos (F,s)-ds.
(9)
Из этого общего выражения для работы
силы F ясно, что при (F, s) = — работа об-
Рис. 42.	2
ращается в нуль; действительно, при этом
cos (F, s) = 0, так что подинтегральная функ-
функция оказывается нулем. Таким образом, сила, перпендикулярная к направлению
перемещения, механической работы не производит.
Если действующую на точку силу F разложить (по правилу параллелограмма)
на две составляющие - по касательной к пути, т. е. по направлению перемещения,
и по нормали к нему, то, согласно сказанному, работу будет производить лишь
касательная составляющая Fs = Fcos(F, s):
= \Fsds.
(9а)
Положим теперь, что F есть равнодействующая всех приложенных к точке
сил; тогда, по закону движения Ньютона, касательная составляющая Fs
равна произведению массы т точки на ее ускорение а, и выражение для работы
А можно написать в виде
Вспомним теперь, что
dv
а = — и
dt
А = I та ds.
So
ds	dv ds dv
¦¦ — , так что а = —¦ — = — v;
dt	ds dt ds

354)	§ з. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН	235
в таком случае
S	S
г du	г (X \ 1 s 1	1
А = mv — ds- I и — me» = — mv- = — от И	/m;*,
J ds J {2 ) 2 s, 2	2 °
где через v0 и К обозначены величины скорости, соответственно, в конечной и на-
начальной точках пути.
1
Как известно, — тог есть живая сила или кинетическая энергия
2
точки; таким образом, мы пришли к важному предложению: механическая работа
А, произведенная силой, под действием которой происходило движение точки, равна
приращению кинетической энергии точки. (Разумеется, работа А и приращение
кинетической энергии могут одновременно
оказаться и отрицательными). Этот прин-
принцип, который можно распространить и
на системы материальных точек, и на	Щ
сплошные тела, играет в механике и физике	Щ_
очень важную роль. Его называют «за-
коном живой силы».
354. Примеры. 1) Применим в ви-	Р с 43
де примера формулу (9) к вычислению
работы растяжения (или сжатия) пру-
пружины с укрепленным одним концом (рис. 43); с этим приходится иметь дело, на-
например, при расчете буферов у железнодорожных вагонов.
Известно, что растяжение s пружины (если только пружина не перегружена)
создает натяжение р, по величине пропорциональное растяжению, так что p = cs,
где с - некоторая постоянная, зависящая от упругих свойств пружины («жест-
(«жесткость» пружины). Сила, растягивающая пружину, должна преодолевать это натя-
натяжение. Если учитывать только ту часть действующей силы,
которая на это затрачивается, то ее работа при возрастании растя-
растяжения от 0 до S выразится так:
I = \ р ds = (
s = c I sds = c —
о	о
Обозначив через Р наибольшую величину натяжения (или преодолевающей
ее силы), соответствующую растяжению S пружины (и равную cS), мы можем
представить выражение для работы в виде
A = -PS.
Если бы к свободному концу пружины сразу была приложена сила Р (на-
(например, подвешен груз), то на перемещении S ею была бы произведена вдвое
большая работа PS. Как видим, лишь половина ее затрачивается на растяжение
пружины; другая половина пойдет на сообщение пружине с грузом кинетической
энергии.
2) Пусть некоторое количество газа (пара) содержится в цилиндре (рис. 44)
по одну сторону поршня, и предположим, что газ этот расширился и передвинул
поршень направо. Поставим себе задачей определить работу, произведенную
при этом газом. Если начальное и конечное расстояния поршня от левого дна
цилиндра обозначить через Sj и s2, давление (на единицу площади поршня) -

236
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[354
через р, а площадь поршня - через Q, то вся сила, действующая на поршень, будет
pQ, и работа, как мы знаем, выразится интегралом
,l = QJpds.
Обозначая через V объем рассматриваемой массы газа, очевидно, будем иметь
V=Qs. Нетрудно теперь перейти от переменной s к новой переменной V; мы
получим
V,
A0)
v,
Рис. 44.
где У1 и V.z означают начальное и
конечное значения объема V.
Если бы нам известно было
давление р как функция от объема
V, то этим определилась бы работа
А. Предположим сначала, что при расширении газа температура его остается
постоянной, так что необходимая для его расширения энергия в виде тепла при-
притекает извне; в этом случае процесс называют изотермическим. Считая
газ «идеальным», по закону Бойля - Мариотта будем иметь: pV= с = const,
так что р = — , и для работы получаем значение
V,
-J-
= с In — .
Если обозначить через рг и рг давления в начале и в конце процесса, то рг Уг = р„ V.,
V, />i
и —- = — . Поэтому работу расширения, связанного с переходом от давления р,
Vi Рг
к давлениюp.^Pi, можно представить в виде
. , Pi
А = с In — .
Pi
Наконец, вместо с в эти формулы можно подставить произведение р^Ух-
Часто бывает, однако, естественнее предположить, что во время расширения
не происходит теплового обмена между газом и окружающей средой, и на произ-
производство работы затрачивается энергия самого газа, температура которого при
этом понижается; такой процесс называется адиабатическим. В этом
случае зависимость между давлением р и объемом V рассматриваемой массы
газа имеет вид
pVk-c = const
[эта зависимость будет выведена ниже, 361, 3)], где к есть характерная для каждого
газа (пара) постоянная, всегда большая единицы. Отсюда p = cV~k и
V,
Л=
= °— Vl~k
\-k
, с
=	(VI'
v, \-k 2
yk-i

355)	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН	237
Этот результат можно представить в более удобной форме, если вспомнить,
что с Кг* =Pi,c V^~k = р2; подставляя, придем к следующему выражению для работы:
fc-1
Мы лишь для простоты рассуждения и наглядности предположили расширяю-
расширяющийся газ заключенным в цилиндр. Основная формула A0), равно как и получен-
полученные из нее частные формулы, сохраняют силу независимо от формы, которую
имеет в каждый данный момент рассматриваемая масса газа. Разумеется, те же
формулы выражают и работу сжатия газа от объема К2 до объема Vx -= Vz
(сопровождаемого повышением давления от р2 до р1^-р2), т. е. работу внешней
силы, заставляющей газ сжиматься; работа самого газа в этом случае отрица-
отрицательна!
355. Работа силы трения в плоской пяте. Пятой вообще называют опорную
часть вертикального вращающегося вала; неподвижная опора, в которой вращает-
вращается пята, называется подпятником. В настоящем п° мы рассмотрим вопрос
о мощности, затрачиваемой на преодоление трения в пятах, ограничиваясь простей-
простейшим случаем - плоской пяты.
Плоская пята представляет собой цилиндрическое тело, которое на подпятник
опирается своим плоским основанием (рис. 45). Это основание имеет, вообще,
форму кругового кольца, с внешним радиусом R и внутренним радиусом г0; в част-
частном случае, при го = О, мы получаем сплошное круговое основание.
Обозначим через Р полное давление, передаваемое пятой, через ы A/сек.) -
угловую скорость вращения вала, через ft — коэффициент трения, наконец, через
р - давление на единицу площади пяты в рассматриваемой ее точке. Не касаясь
пока вопроса о распределении давления, отметим лишь одно очевидное
обстоятельство: точки пяты, равноудаленные от ее центра О, находятся в одина-
одинаковых условиях, и в них давление должно быть одинаково. Таким образом, р во-
вообще можно считать функцией от радиуса-вектора г. Ниже будут указаны допуще-
допущения, которые обычно делаются относительно этой функции: по одному условию
она должна удовлетворять во всяком случае, именно полное давление на пяту
должно уравновешиваться давлением Р со стороны вала.
Для того чтобы вычислить это полное давление, прибегнем снова к методу
суммирования бесконечно малых элементов по схеме п° 348, причем за независи-
независимую переменную примем радиус г, изменяющийся от га до R. Разбивая этот про-
промежуток на части, мы в то же время можем разложить все кольцо на элементарные
концентрические кольца, так что все давление Р сложится из элементарных давле-
давлений, соответствующих отдельным кольцам. Рассмотрим теперь кольцо, ограни-
ограниченное окружностями радиусов гиг+dr (на рис. 45, б оно заштриховано). Площадь
этого кольца есть я(г+«?#¦)*-яг2 = 2яг dr+n(drJ; отбрасывая бесконечно малую
второго порядка n(drJ, можно принять эту площадь приближенно равной 2лг dr.
Если р есть давление (на единицу площади) в точке, отстоящей от центра на рас-
расстояние г, то рассматриваемому кольцу отвечает элементарное давление
так что, суммируя, получаем равенство
[	A1)
Оно, повторяем, и выражает тот факт, что суммарное давление, распределенное
по пяте, равно давлению со стороны вала.

238
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[355
Определим теперь момент М силы трения во вращающейся пяте относительно
оси вращения. Рассмотрим снова элементарное кольцо, о котором шла речь выше;
развивающаяся в нем сила трения, противодействующая вращению, будет
fidP=2n/iprdr,
так что соответствующий ей элементарный момент dM выразится произведением
из этой силы на плечо г (общее для
всех точек кольца)
Ш)
dM=2nfipr"dr.
Отсюда полный момент трения будет
я
M=2n/i\pr*dr.	A2)
Как известно из механики, рабо-
работа А, производимая таким постоян-
постоянным вращательным моментом М в
одну секунду, получается умножением
момента М на угловую скорость cj
A/сек.) вращения
Для того чтобы довести до конца
вычисление работы А, теперь нужно
сделать те или иные допущения от-
относительно закона распределения р на
поверхности пяты.
Самым простым является предпо-
предположение, что давление распределяется
равномерно, т. е. что р = с = const.
Величина этой постоянной определя-
определяется из условия A1). Впрочем, в этом
случае непосредственно ясно, что если
давление Р равномерно распределяет-
распределяется по площади кольца .т(Л2 - г%), то на единицу площади придется давление р =
Р
Рис. 45.
Подставляя это значение вместо р в A2), найдем далее
я
М = 2л [I -
2
dr = -fiP
3^
К--г0
В частности, для сплошной пяты будем иметь: М =—fiPR.
Однако эти результаты прилагают лишь к новым, не обтершимся еще пятам.
Дело в том, что при вращении вала точки пяты, дальше отстоящие от центра О,
движутся с большей скоростью, в них работа трения больше и, соответственно,
больше и изнашивание как пяты, так и подпятника; благодаря этому часть давления
перелагается на более близкие к центру части пяты. Для старых приработавшихся
пят обычно допускается, что давление на них распределяется так, что работа
трения (на единицу площади), а с нею и изнашивание, всюду сохраняют постоян-

356]	§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН	239
ную величину. Разделив элементарную работу dA = w dM на площадь 2лг dr эле-
элементарного кольца, запишем наше допущение в виде
cufipr- const, откуда и />/-=e = const;
итак, мы предполагаем, что р изменяется обратно пропорционально расстоянию
г от центра. Подставляя с вместорг в условие A1), найдем величину этой постоянной
Р = 2пс dr = 2nc(R - г0), откуда с =
Наконец, заменив и в A2) рг полученным выражением, придем к такому результату:
1
-ro)J	2
1
Для сплошной же пяты М = — цРЯ.
Легко видеть, что потеря мощности на трение в случае приработавшихся
пят меньше, чем в случае новых пят.
356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов. Приведем еще ряд
задач, решаемых методом суммирования бесконечно малых элементов.
1) Найти формулу для выражения статического момента М тела (V) относи-
относительно данной плоскости, если известны площади поперечных сечений тела парал-
параллельно этой плоскости (в функции расстояния х от нее). Плотность предполагается
равной единице.
При обозначениях п° 342, масса (объем) элементарного слоя тела на расстоя-
расстоянии х от плоскости есть Р(х) dx, его статический момент dM= xP(x) dx, так что,
суммируя, получим
ь
М= [xP(x)dx.
Расстояние ? центра тяжести тела от данной плоскости выразится так:
б
I xP(x) dx
, м i
V ь
jp(x)dx
а
В частности, для тела вращения
ь
ху2 dx
ь
y2dx

240	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[356
Если применить этот результат (а) к круговому конусу и (б) к полусфере, то
найдем, что расстояние центра тяжести от основания составит (а) — высоты,
3	4
(б) — радиуса.
о
2) Найти формулу для выражения статического момента М поверх-
поверхности вращения относительно плоскости, перпендикулярной к оси враще-
вращения. «Поверхностная плотность» предполагается равной единице.
Примем ось вращения за ось х, а за начало координат возьмем точку пересе-
пересечения ее с упомянутой плоскостью. При обозначениях п° 344 масса (площадь)
элементарного кольцевого слоя на расстоянии s от начала дуги есть 2лу ds, его
статический момент dM=2nxy ds и, окончательно,
S	S
С	Г
М=2л \ xyds = 2л 0(s)lF(s)ds.
J	J
о	о
В частности, если вращающаяся кривая задана явным уравнением y=f(x)
Расстояние f центра тяжести поверхности от данной плоскости будет
S	Ь
\ ху ds xy^l +y'^ dx
.. М {	а
\yds Jj
о
Применить последнюю формулу к поверхности (а) кругового конуса, (б) полу-
полусферы.
Ответ. Расстояние центра тяжести от основания равно (а) — высоты, (б)
1	3
— радиуса.
3) Определить статические моменты Myz , Мгх, Мху относительно координатных
плоскостей для цилиндрической поверхности [346, рис. 35] и поло-
положение ее центра тяжести. Применить полученные формулы к боковой поверхности
цилиндрического отрезка [343, 8)].
Ответ. Общие формулы
S	S	S
Муг = xz ds, Мгх = I yz ds, Mxy = — I z2 ds,
oo	о
,. Myz	Mzx	Mxy
л	л
где Р - площадь поверхности. В предложенном примере: ? = 0,т] = —а, ? = — А.
4) Моментом инерции (или квадратичным моментом) мате-
материальной точки массы m относительно некоторой оси (или плоскости) называется
произведение массы я? на квадрат расстояния d от точки до оси (до плоскости).

356]
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
241
Исходя из этого, предполагается найти выражение для момента инерции 1У относи-
относительно оси у плоской фигуры А1В1В2А2 (рис. 46), в предположении, что «поверх-
«поверхностная плотность» распределения масс есть единица.
Имеем
ь
dly = х2О2 - Л) dx, Iy= \ х2(у2 - Уг) dx.
Например, для случаев, изображенных на рис. 47, получим:
(а)
1У=Ъ
12'
bh*
в частности, при е = О будет /у= — ;
(Ь)
с+г
Iy=2
яг4
в частности, при с = 0 будет /у = —.
5) Определить момент инерции тела (V), рассмотренного в задаче 1), отно-
относительно упомянутой там плоскости. Применить полученную формулу
к вычислению момента инерции (а) кру- п
гового конуса, (б) полусферы - относи- "
тельно плоскости основания.
Ответ. /= х2Р(х) dx;
в частности,
(a) /=^-
-
15
а:
х
6) Давление жидкости на какую-ни-
какую-нибудь площадку, расположенную на глу-
глубине Ым) под ее поверхностью, равно весу
цилиндрического столба жидкости высоты
А, имеющего эту площадку своим осно-
основанием. Таким образом, давление (в кГ/мг)
на глубине h (м), приходящееся на единицу
площади, равно hy, если у означает удель-
удельный вес жидкости (кГ/м3).
Предположим, что в жидкость вертикально погружена плоская фигура А^
(рис. 46)*.
Найти полное гидростатическое давление W на эту фигуру и его момент М
(относительно свободной поверхности жидкости).
Рис. 46.
* Мы берем ось у лежащей на свободной поверхности жидкости.
16 Г. М. Фихтенгольц, т. II

242	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Элементарная площадка dP=(y%-y^)dx испытывает давление
[356
момент которого относительно оси у равен
dM = y**(yt-yJ dx.
Отсюда
Первый интеграл, очевидно, представляет собой статический момент
My фигуры относительно оси у; второй же дает момент инерции 1у фигуры
относительно той же оси.
0°
lOj
h
с
1
h
—у
Рис. 47.
Если | есть расстояние центра тяжести С фигуры от свободной поверхности,
а Р - ее площадь, то можно написать, что W = yP?. Центр давления, т. е.
точка приложения равнодействующей всего давления, от свободной поверхности
отстоит на расстоянии
~W~ly~'
Приложим эти формулы к случаям, изображенным на рис. 47.
В случае a): f = с, P=bh и W = ybhc. Далее, так как в 4) мы уже вычислили 1у-
bh3	№
= ЪсгИл	, то можем сразу написать I* = сн	. В частности, если c = h/2 (т. е.
12	12с	1
верхняя сторона прямоугольника лежит на уровне жидкости), имеем W = — yb№,
7	'	2
ш
В случае б): ? = е, Р = лг% и W = успгг. Здесь 1у-ттг2с2^	[см. 4)]. Поэтому
гг	4
|* = с+—.
Ас
7) Если в стенке резервуара, наполненного водой, на глубине h (м) под поверх-
поверхностью воды имеется горизонтальная щель, то через нее вода будет вытекать
со скоростью
	U=V2iA*.
сек)
* Эта формула, доказываемая в гидродинамике, известна под названием
формулы Торич елли. Отметим, что она имеет такой же вид, как и фор-
формула для скорости, приобретаемой тяжелой материальной точкой при падении
с высоты И.

356)
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
243
Предположим теперь, что в стенке резервуара имеется прямоугольное от-
отверстие (рис. 48). Требуется определить расход воды, т. е. объем воды Q(m3), вы-
вытекающий в 1 сек.
Рис. 48.
Рис. 49.
Элементарной полоске ширины dx на глубине х отвечает скорость v - ^2gx;
так как ее площадь есть b dx, то расход воды через эту полоску выразится так:
dQ= l[2gx-bdx. Суммируя, найдем
-4)
К
Фактический расход несколько менее вычисленного, ввиду наличия трения
в жидкости и сжатия струи. Влияние этих факторов обыкновенно учитывают
с помощью некоторого эмпири-	п\
ческого коэффициента ,а-=1 и т
пишут формулу в виде
2 	 / I 1\
= -fipgb\h*-hl).
При ha = 0 отсюда получается фор-
формула для расхода воды через
прямоугольный водослив
л
2 _ -
][2bh\
\ л,
L-—m)
8) Изучая магнитное поле t
тока, Био и Савар пришли
к заключению, что сила, с кото-
которой ток действует на «магнитный	Рис. 50.
заряд», может быть рассматри-
рассматриваема как равнодействующая сил, как бы исходящих от отдельных бесконечно
малых «элементов тока». По установленному ими закону, элемент тока ds
(рис. 49) действует на магнитный заряд т, помещенный в точке О, с силой*
lm sin cp ds
где / - сила тока, г - расстояние ОМ, а <р - угол (ds, r).
* Формула имеет место в таком виде лишь при надлежащем выборе единиц
(например, если силу выражать в динах, расстояние - в см, магнитный заряд
и силу тока - в электромагнитных единицах).

244	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[357
Сила эта направлена по перпендикуляру к плоскости, проходящей через О
и ds, и притом - в случае, изображенном на рисунке, - в сторону от читателя.
При желании установить действие конечного отрезка тока на магнитный
полюс, приходится суммировать эти элементарные силы.
Для примера определим силу, с которой действует на единицу «магнитного
заряда» прямолинейный отрезок тока ВС (рис. 50), при указанных на рисунке обо-
обозначениях.
а
Так как sin <р = sin < ОМА = — , то dF можно представить в виде
aids aids
dF=
Элементарные силы здесь можно непосредственно складывать, ибо они все имеют
одно и то же направление. Поэтому
§ 4. Простейшие дифференциальные уравнения
357. Основные понятия. Уравнения первого порядка. В главе VIII мы рассматри-
рассматривали задачу об определении функции у=у(х) по заданной ее производной
/=/(*)	A)
[или - что то же - по ее дифференциалу dy=f(x)dx] и учились производить
операцию интегрирования или квадратуру, с помощью которой
она решается,
>•= jf(x)dx+C*.
B)
В этом общем решении фигурирует постоянная С. Как мы видели
на примерах [263, 264], если даны начальные условия
у=у0 при х = х0,	C)
то этим определяется конкретное значение постоянной С=С0. Подставив его
в B), мы придем к частному решению нашей задачи, т. е. к конкретной
функции у = у{х), которая не только имеет наперед заданную производную, но
и удовлетворяет начальным условиям C).
Часто, однако, приходится определять функцию у = у{х) из более сложных
соотношений вида
Fix, у, у', у", ...) = 0,
связывающих значения независимой переменной х со значениями как самой искомой
функции у, так и ее производных у', у", ... Такого рода соотношения вообще
называются дифференциальными уравнениями.
Остановимся на уравнении первого порядка, содержащем лишь
первую производную у',
Fix, у, /)-0.	D)
Решением его является любая функция y=yix), которая удовлетворяет ему
тождественно относительно х. Как можно показать (при известных предполо-
* В этом параграфе под символом f(x) dx мы будем разуметь хотя и произ-
произвольную, но определенную первообразную функцию, так что постоянную
интегрирования мы в этот символ не включаем и будем писать ее отдельно.

358|	§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	245
жениях относительно функции F), общее решение его, подобно упомяну-
упомянутому вначале простейшему случаю [см. B)], и здесь также содержит произвольную
постоянную С, т. е. имеет вид
v=<p(x, С).	E)
Иногда, впрочем, это решение получается в неявной форме
Ф(х, у,С) = 0 или ц)(х,у) = С.	F)
Разыскание общего решения дифференциального уравнения, в той или иной
форме называется интегрированием уравнения.
Для примера рассмотрим такую задачу: найти кривые, для кото-
которых поднормаль постоянна. Если представить себе такую кривую
выраженной явным уравнением у = у{х), то вопрос сведется к разысканию таких
функций, которые удовлетворяют условию уу' =р, где р = const [230 C)]. Перепишем
его в виде (у2)' = 2р; теперь ясно, что общим решением его будет
у* = 2рх + С или у** ±]/2рх+С.	G)
Таким образом, поставленному требованию удовлетворяет целое семейство пара-
парабол, получающихся одна из другой смещением параллельно оси х.
Здесь ответ на задачу дает именно общее решение, поскольку требовалось
разыскать все кривые, обладающие упомянутым свойством. Если бы в задаче
было дополнительно указано, что кривая должна проходить через заданную точку
(*о> Уо>' то> подставив эти значения х и у в полученное уравнение G), мы сможем
определить значение С:
Полагая в G) С =С0, мы придем к частному решению уг = 2рх+С0, выра-
выражающему уже конкретную кривую.
Нужно сказать, что чаще всего бывает именно так, что задача, приведшая
к дифференциальному уравнению, требует конкретного частного решения.
Обычно последнее определяется начальными условиями типа C),
выдвигаемыми самой задачей. По этим условиям, как и только что, прежде всего
может быть установлено конкретное значение С=С0; оно определится из уравне-
уравнения, которое получится, если в общем решении E) [или F)] положить х = х0, у = уа.
Если теперь в это общее решение подставить найденное решение С„ вместо С,
то и придем к тому частному решению, которое удовлетворяет задаче.
358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделение переменных.
Предположим теперь, что в уравнение D) производная у' входит в первой
степени, т. е., что уравнение имеет вид
Р(х, y)+Q(x, y)y' = 0,
dy
где Р, Q суть функции от х и у. Полагая здесь у' = — , можно представить уравне-
ах
ние в форме
Р(х, у) dx + Q(x, у) rfy = 0,	(8)
которая часто более удобна.
Мы остановимся здесь подробнее лишь иа тех простейших частных случаях
уравнения (8), когда интегрирование его непосредственно сводится к
квадратурам; рассмотрение этих случаев, таким образом, служит естественным
дополнением главы VIII,

246	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[358
Если в уравнении (8) коэффициент Р на деле зависит только от дг, а коэффи-
коэффициент Q - только от v, т. е. если уравнение имеет вид
Р(х) dx+Q(y) dy = 0,	(9)
то говорят, что переменные отделены. В этом случае интегрирование
производится очень просто.
Пусть функции Р(х) и Q(y) непрерывны (в соответствующих промежутках).
Тогда Р(х) dx будет дифференциалом функции Р(х) = Р(х) dx, a Q(y) dy - диффе-
дифференциалом функции Q(y) = Q(y) dy, даже если под у разуметь функцию у(х), удовлет-
удовлетворяющую уравнению (9)*. В таком случае левая часть уравнения (9) представит
собой дифференциал от суммы P(x) + Q(y). Так как этот дифференциал, в силу
уравнения (9), равен 0, то сама функция сводится к постоянной
P(x) + Q(y) = C.	A0)
Легко видеть, что и обратно, если функция у = у(х) удовлетворяет (при любом х)
этому уравнению, то удовлетворяется и уравнение (9). Равенство A0) дает общее
решение уравнения (9).
При решении уравнения (9) иногда предпочитают члены с dx и dy помещать
в разных частях уравнения
Q(y)dy=-P(x)dx.	A1)
Интегрируя каждую часть порознь и не забывая о произвольной постоянной,
которую достаточно присоединить к одному из интегралов, придем к результату
=- jp(x)dx+C,
тождественному с полученным выше.
Предположим, что требуется удовлетворить начальным условиям
C). Вместо того чтобы сначала находить общее решение, а затем подбирать по-
постоянную С, исходя их этих условий, можно поступить проще: «просуммировать»
элементарные величины A1), справа между х„ и х, а слева - между соответствую-
соответствующими им значениями уа и у. Мы получим равенство
JQ(y)dy=-jp(x)dx,
которое и дает требуемое частное решение; самый вид его подчеркивает, что оно
заведомо выполняется при х=х„ и у=у0. Читатель легко уяснит себе, что этот
прием лишь формой отличается от прежнего.
Пример 1): Пусть дано уравнение
dy
sa\xdx-\	= 0.
Интегрируем
с	г dy
I sin x dx+ — = С или -cosx +2Уу= С,
J	J уу"
откуда
(cos*+CJ
У
* Ввиду инвариантности формы дифференциала [106].

359]	§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	247
Таково общее решение предложенного уравнения. Если даны началь-
начальные условия, например у = 1 при х = 0, то, подставляя эти значения, сразу
находим С= 1, что приводит к частному решению
A+COSJtJ
у = __________
Как упоминалось, можно в этом случае избежать необходимости предвари-
предварительно составлять общее решение, написав сразу
г dy г	_ .
—— = - sinxrfx, т.е. 2( уу-l) = cosх-1,
1 *'	О
откуда
,- l + cosx
2 ' - { 2 J
Часто случается, что хотя уравнение (8) и не имеет вида (9), но может быть
преобразовано к этому виду, после чего интегрируется, как указано выше. Такое
преобразование и носит название отделения переменных. Переменные
легко отделяются в том случае, когда коэффициенты Р и Q представляют собой
произведения множителей, зависящих каждый только от одной переменной, т. е.
когда
Р(х, у) = Pi{x)Pz(y) и Q(x, у) = Q\{x)Q«(y).
Действительно, достаточно разделить обе части уравнения
0	A2)
на P2(y)Qi(x), чтобы этим уже отделить переменные:
. Q4y) , .
dx-\	dy = 0.
P&)
X	X'
Пример 2): у sin — dx - cos — dy = 0.
Уравнение имеет вид A2); отделяем переменные
х
sin —
dy г
— -•	dx
и интегрируем
¦У х
cos—
2
- 2 In cos— + с.
Потенцируя, определяем отсюда у
ес	2ес
X 1+COSX*
COS2 —
2
Полагая еще С- 2ес, приведем общее решение к виду
С
1 + COSX
359. Задачи. Рассмотрим ряд задач из различных областей знаний, ИёпОсред-
ственно приводящих к дифференциальным уравнениям с отделяющимися1 йбре-
менными.

248
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[359
1) Найти кривые, у которых отрезок п нормали (до пересечения с осью х) со-
сохраняет постоянную величину г.
Воспоминая выражение для и [230, D)], записываем условие, которому должна
удовлетворять искомая функция у от х, в виде дифференциального уравнения
Отсюда
или
ydy
= ±dx.
У	~][г<>-у*
Интегрируем:
- ]/гг-уг = + (х+С) или (х+О2+у2=г2.
Как и следовало ожидать, мы получили семейство окружностей радиуса г с
центром на оси х.
2) Найтн кривые, у которых отрезок / касательной до пересечения с осью х со-
сохраняет постоянную величину а.
В силу 230 D), дифференциальное уравнение задачи имеет вид
dy
Полагая у' = — , его легко преобразовать так:
dx
Интегрируем:
мы получили семейство трактрис [ср. 331, 11)].
3) Закон охлаждения. Пусть охлаждающееся тело температуры 6° С
окружено средой с температурой 0° С. Ньютон установил закон, по которому
скорость охлаждения пропорциональна самой температуре 8, т. е.
dt
где к - положительная постоянная. Определить закон, по которому убывает тем-
температура тела, начиная с момента / = 0.
Имеем
откуда, интегрируя, найдем In в= -kt+lnC*. Очевидно, в = Се~ш. Полагая здесь
t = 0, видим, что С есть не что иное, как начальная температура 0О.
Подставляя, придем к окончательной формуле
которая определяет температуру Тела в любой момент, если только она была
известна в начальный момент (80).
In С.
* Предвидя потенцирование, мы сразу оерем постоянную для удобства в виде

359]	§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	249
Коэффициент к зависит от свойств тела и среды; он определяется опытным
путем.
4) Экстратоки размыкания и замыкания. Если в электри-
электрической цепи действует постоянное напряжение V, то, обозначая через R сопротив-
сопротивление цепи и через / - силу тока, по закону Ома будем иметь V- RI. Когда же
напряжение К меняется (а также в момент размыкания или замыкания тока постоян-
постоянного напряжения), во многих случаях имеет место явление самоиндукции, которое
состоит в появлении дополнительной электродвижущей силы, пропорциональной
dl
скорости изменения силы тока — ,но имеющей обратный знак.
dt
Таким образом, величину этой электродвижущей силы самоиндукции можно
dl
представить так: - L— , где L - «коэффициент самоиндукции» (JL =- 0).
dt
Если налицо самоиндукция, то при размыкании тока его сила не сразу падает
до нуля, а при замыкании - не сразу достигает своей нормальной величины. Иссле-
Исследуем эти явления аналитически.
Закон Ома теперь принимает следующую форму:
dl	dl R V
V-L — = RI или	h—/= —.	A3)
dt	dt L L
(а)	Пусть постоянный ток силы 10 в момент t = 0 размыкается. Так как тогда
V=0, то имеем
dl R	dl R
—I—/=0 или —=	dt
dt L	I L
и (аналогично З))
--(
/=v L ¦
Этот ток, проходящий в цепи под действием одной лишь электродвижущей
силы самоиндукции, называется экстратоком размыкания. С возра-
возрастанием / его сила быстро стремится к 0, и через короткое время он становится
неощутимым.
(б)	Если цепь в момент ? = 0 замыкается, в ней начинает действовать
постоянное напряжение V, то из уравнения A3), снова отделяя переменные, получим
-Rdl R	R	-т>
	=	dt, ln(V-Rl) =	t+lnC, V-RI=Ce L .
V-RI L	L
Постоянную С определим из начальных условий 1=0 при t = 0; оче-
очевидно, С= V, так что окончательно
v( -?/]
/=— 1-е L .
R {	'
V
Мы видим, что наряду с током —, отвечающим закону Ома, одновре-
R
у _«,
менно протекает в обратном направлении ток — е . Это и есть экстра-
R
ток замыкания; его сила также быстро убывает с возрастанием t.

250	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	C59
5) Уравнение химической реакции. Рассмотрим химический
процесс, состоящий в превращении взаимодействующих веществ А, В, ... в ве-
вещества М, N, ... Для оценки количества вещества, участвующего в реакции, его
выражают в грамм-молекулах или молях. Молем какого-нибудь вещества
называется такое его весовое количество, которое выражается в граммах числом,
равным его молекулярному весу. В моле любого вещества всегда содержится одно
и то же количество молекул, независимо от вещества.
Если предположить, что во взаимодействие вступают на каждую молекулу
одного вещества по одной молекуле другого, то на каждый моль одного придется
один моль другого. По истечении времени t от начала реакции, от каждого из
взаимодействующих веществ вступит в реакцию одно и то же количество х молей.
dx
Скорость возрастания х относительно времени, т. е. производная —,
at
называется скоростью химической реакции.
Пусть в процессе участвуют два вещества А и В, первоначальные количества
которых (в молях) обозначим через а и Ь (при этом пусть, скажем, b^-d). Через
промежуток времени t будем иметь количество а-х вещества А и количество
Ь-х вещества В. Естественно допустить, что скорость химической реакции в момент
t пропорциональна произведению реагирующих масс, т. е. произведению
количеств реагентов, не подвергшихся еще превращению. Это приводит к такому
дифференциальному уравнению
dx	dx
— = k{a-x){b-x) или	——- = kdt.
dt	(a~x)(b-x)
Интегрируя, получим
1 а-х
In	= -kt+C.
b-a b-x
1 a
Так как при t = 0 мы должны иметь и х = 0, то С =	In — . Подставляя это зна-
значение С: Ъ-а b
(а-х)Ь	i-e-Kb-ayt
In	=-k(b-a)t, легко находим затем x-ab	——т.-
ф-х)а	b-ae-Kb-a)t
При возрастании / показательное выражение стремится к 0; через конечный
промежуток времени оно становится настолько малым, что х практически уже не
отличить от а, и реакция заканчивается.
6) Математический маятник. Пусть материальная точка массы
т подвешена на нерастяжимой нити или стержне длины / (весом которых пренебре-
пренебрегаем) так, что может двигаться по дуге окружности (рис. 51). Эта система называется
математическим маятником. Выведя маятник из положения равновесия ОА
в положение О В (а -= я/2), предоставим маятник самому себе, не сообщая ему началь-
начальной скорости.
Маятник перейдет в симметричное положение ОВ\ потом вернется в положе-
положение ОВ и т. д. Задача состоит в установлении характера колебаний маятника, т. е.
в выяснении зависимости между углом 6 = <$АОМ и временем /. Для определен-
определенности рассмотрим движение точки М по дуге АВ, отсчитывая пройденный путь
s=AM = IB от точки А, а время t - от момента прохождения маятника через поло-
положение равновесия.
Разлагая силу тяжести F= mg, действующую на точку М, как указано на ри-
рисунке, видим, что ее касательная составляющая Fs= - mg sin 6*,

3591
4. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
251
в то время как нормальная составляющая уничтожается сопротивлением нити
или стержня. Если через v обозначить скорость точки М, то ее кинетическая энергия
в рассматриваемом положении будет — mv* и сведется к 0 при переходе М в В.
С другой стороны, работа А, произведенная силой Fs на пути MB выразится так
[352 (9а)]:
Л = ¦- mg sin 6 ds
(здесь S=AB) или, если перейти к
переменной 6,
Л= -mgl | sin
0
= - mgl(cos в - cos а).
Тогда, по закону живой силы [352],
имеем:
— mv2 = mgl (cos 0 - cos a),
Рис. 51.
v= y^/]/2(cos0-cosa).
ds d6
Так как v = — = / — , то для определения зависимости между 6 и t получаем
dt dt
дифференциальное уравнение
de ~\[g~ ,		~\fl	de
— = / — V2(cos0-cosa) или dt=\
dt \ I '	У g
где переменные уже отделены.
Интегрируя слева от 0 до /, а справа от 0 до в, приходим к искомой зависи-
зависимости:
]/2(cos0-cosa)
-V?/
]/2(cos 0 - cos a)
A4)
Однако, квадратура на этот раз в конечном виде не берется: как сейчас увидим,
интеграл справа непосредственно приводится к эллиптическому интегралу 1-го
рода.
Переписав A4) в виде
и положив sin— = k @-=?«=!), введем новую переменную интегрирования <р по
* Сила направлена против движения!

252	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[359
формулам
9	1 в
sin — = fc-smp, — cos— de = k-cosq>'dq>;	A5)
при этом изменению 6 от 0 до а отвечает изменение у от 0 до я/2. Тогда
\ 8 J yl-ka'Sin2ip
8
Так как по первой из формул A5) легко выразить <р через 6, то зависимость / от 6
можно считать установленной.
Желая выразить, наоборот, 8 через /, мы нуждаемся в обращении эллипти-
эллиптического интеграла
<р
С
J yi-
dv
Это равенство определяет и как монотонно возрастающую непре-
непрерывную (и даже дифференцируемую) функцию отр в промежутке (-<», +«¦), кото-
которая и сама при этом изменяется от —<*> до +•=. В таком случае [83] переменная
<р оказывается однозначной функцией от и в промежутке (—~, +~); ее Я к об и
обозначил через am и*. Из A6) теперь ясно, что
1/7
i/—
. в . а . 1/7
и, значит, sin— = sin — -sin am I/ — /.
Функцию sin am и («синус амплитуды» или «эллиптический синус») обычно обозна-
обозначают просто через sn и**. Итак, окончательно, зависимость 6 от / выражается ра-
равенством
.8 .a ][g
sm —= sm—sn I/ —/.
2 2 |/ /
Определим, в заключение, продолжительность Т одного размаха маятника
из положения ОБ' в положение ОБ; она вдвое больше промежутка времени,
нужного для перехода из ОАь ОБ. Полагаяв A4) 0=осиливA5)?>=я:/2***, получим
(после удвоения) выражение для Т через полный эллиптический интеграл
1-го рода:
л/2
Отметим, что период колебания Т на деле зависит от угла а, на который
маятник первоначально был отклонен, ибо к зависит от а. Заменяя - при малых
* am — начальные буквы от слова amplitude (амплитуда).
** Функция sn и, рассматриваемая как функция комплексного аргумента,
является одной из простейших (введенных Абелем и Якоб и), так назы-
называемых, эллиптических функций.
*** Если верхний предел интеграла A4) взять равным а, то интеграл станет
«несобственным» [см. ниже 479], ибо на этом пределе подинтегральная функция
обращается в «°. Это затруднение исчезает при пользовании интегралом A6).

360j	S 4. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	253
углах а - модуль к нулем, получим простую приближенную формулу
которая обычно и приводится в элементарных курсах физики.
360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений. Ограничиваясь
уравнением первого порядка вида (8), мы остановимся на вопросе о составлении
подобного уравнения. Наши замечания по этому поводу читатель сопоставит со
сказанным в 348 относительно простейшего уравнения dQ = q(x) dx.
Как правило, при составлении уравнений приходится рассматривать беско-
бесконечно малые элементы входящих в рассмотрение тел и бесконечно малые прира-
приращения тех величин, о которых идет речь. Правда, в задачах предыдущего п° нам,
как будто, удалось избежать этого, но лишь ценой использования уже гото-
готового выражения для углового коэффициента касательной, готового выра-
выражения для скорости изменения той или иной величины, коюрые сами поя-
появились из рассмотрения бесконечно малых элементов.
При установлении зависимости между бесконечно малыми элементами сле-
следует пользоваться всеми возможными упрощающими допущениями
и приближенными заменами, сводящимися в сущности к отбрасы-
отбрасыванию бесконечно малых высших порядков. В частности, все бесконечно малые
приращения рассматриваемых величин рекомендуется
заменить их дифференциалами; как читатель знает, это также
сводится к отбрасыванию бесконечно малых высших порядков. Истинный смысл
всех этих указаний лучше всего выяснится на примерах (см. следующий п°).
Здесь же мы хотим остановиться еще на разъяснении того важного обстоя-
обстоятельства, что получающееся в результате всех этих упрощений и отбрасываний
дифференциальное уравнение вида (8)
Р(х, у) dx+Q(x, y)dy = 0
оказывается отнюдь не приближенным, а вполне точным*.
Итак, предположим, что заменяя приращения Ах и Лу дифференциалами dx
ndyn отбрасывая - в случае надобности - бесконечно малые слагаемые в ы с ш е -
г о, чем Ах, порядка, мы пришли к уравнению (8). Если бы мы не делали этой
замены, то вместо dx и dy имели бы Лх и Лу. Восстановим, сверх того, все отброшен-
отброшенные бесконечно малые высших порядков и, перенеся в правую часть, обозначим
их сумму через а; очевидно, а также будет бесконечно малой высшего порядка.
Таким образом, рассуждая строго, мы пришли бы не к равенству (8), а к такому:
Р(х, y)Ax + Q(x, у)Лу = а,
которое вполне точно. Разделим теперь обе части его на Лх
Лу а
Р(х, y)+Q(x, У) — - —
Лх Лх
а
и перейдем к пределу при zbc-O. Так как при этом	'О, то в пределе получим
равенство	^х
dy
Р(х, y) + Q(x, у)у'= 0 или Р(х, y) + Q(x, у) — = 0,
dx
которое тождественно с (8). Поэтому и уравнение (8) оказывается точным.
Хотя при обычном методе составления уравнения мы явным образом не при-
прибегаем к предельному переходу, но фактически мы его именно и выполняем, когда
* Это аналогично сказанному в конце 348 о равенстве dQ = q(x) dx.

254
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
C61
отбрасываем бесконечно малые высших порядков и заменяем приращения диффе-
дифференциалами.
Обращаем внимание читателя на то, что мы вовсе не утверждаем, что всякое
отбрасывание бесконечно малых высшего порядка приводит к точному ре-
результату. Лишь в том случае, если это отбрасывание доведено «до конца», и в ре-
результате получилось уравнение вида (8), линейное и однородное отно-
относительно дифференциалов, можно уже ручаться за его точность. [Опять аналогия
с п° 348!]
361. Задачи. 1) Барометрическая формула. Поставим своей
задачей установить зависимость между высотой И(м) места над уровнем моря
и давлением воздуха р (кг/м2).
Вообразим над уровнем моря площадку в 1 мг и рассмотрим призматический
столб воздуха, опирающихся на эту площадку. Давление воздуха р в сечении этого
столба на высоте h обусловлено весом той части столба, которая опирается на
упомянутое сечение. Увеличение высоты h на бесконечно малую величину
dh влечет за собой убыль давления - dp, которая измеряется весом слоя воздуха
между площадками {К) и (Ji+dh) (рис. 52)
-dp= s dh,
где 5 есть вес (в кг) 1 м3 воздуха под давлением р. Мы пренебрегаем здесь тем,
что на деле s меняется при переходе от нижней площадки рассматриваемого
слоя к верхней.
Как легко вывести из закона Бойля -Мариотта, величина 5 сама
пропорциональна давлению р: s = kp, так что окон-
окончательно
dp
dp= -kp dh или — = -?k dh
- уравнение уже знакомо
3) и 4) (а)].
Отсюда
нам типа [ср. 359, задачи
Если решить это уравнение относительно //,
то получим формулу
, 1 . Ро
h = — In —,
k p
Уровень моря
Рис. 52.
позволяющую судить о высоте h подъема над уровнем
моря по давлению р воздуха.
Постоянная \jk, как устанавливается в физике, равна (с округлением) 8000
A + 0,004г), где t — средняя температура воздуха. Если перейти к десятичным
логарифмам (умножив и разделив на модуль М=0,43) и заменить отношение
давлений pjp отношением барометрических отсчетов bjb, то получим окончатель-
окончательную формулу h = 18 400A +0,0040 log bjb.
Эта формула годится и для определения разности высот h любых двух точек,
в которых показания барометра соответственно равны Ьо и Ь.
2) Трение канатов и ремней. Представим себе, что через непо-
неподвижно укрепленный цилиндрический барабан перекинут канат (ремень и т. п.),
который прилегает к цилиндру по некоторой дуге АВ (рис. 53а), соответствующей
центральному углу со («угол обхвата»). Пусть к концу А каната приложена сила
So, а к концу В - сила 5:.
Если между канатом и барабаном существует трение, то сила So может уравно-
уравновесить даже ббльшую ее силу, приложенную на другом конце. Какова же та наи-
наибольшая сила S,, которая при наличии трения может быть уравновешена дан-
данной силой Sn ?

36Ц
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
255
Для решения этого вопроса рассмотрим сначала, как распределится натя-
натяжение ? вдоль части АВ каната в тот момент, когда лишь начинается сколь-
скольжение. Что это натяжение не будет постоянным, явствует уже из того, что в точках
А а В оно, соответственно, равно So и Sx.
Возьмем на дуге АВ какую-нибудь точку М, положение которой определяется
углом 6 = <$АОМ, и установим, какие силы действуют на элемент ММ' каната,
отвечающий центральному углу dd. Прежде всего в точке Мдействует натяжение
S=S{Q), а в точке М' - натяжение S+dS (рис. 536). Обе эти силы направлены
М-	М'
ib^L
по касательным к окружности барабана. Для того чтобы определить силу трения
на рассматриваемом элементе, нужно вычислить нормальную силу dN, прижи-
прижимающую этот элемент к поверхности барабана. Она слагается из радиальных
составляющих обоих натяжений, так что
d6	de
dN= Ssin	h(S+dS) sin — .
d6
Здесь можно отбросить произведение dS sin — как бесконечно малое высшего
d6	de
порядка и заменить sin — эквивалентной ему бесконечно малой — (что снова
2	2
равносильно отбрасыванию бесконечно малой высшего порядка). Окончательно
dN=Sd6. Так как сила трения пропорциональна этой нормальной силе, то, обо-
обозначая множитель пропорциональности (коэффициент трения) через ц, получим
dR=fidN=fiSde. Трение противодействует начинающемуся движению, так что
сила dR вместе с натяжением S в точке М должны уравновешивать натяжение
S+dS в точке М', откуда dS=/iSd6. Мы снова получили дифференциальное урав-
уравнение знакомого типа. Можно сразу написать его решение (с учетом начального
условия S= So при в = 0): S-Soe№. Наконец, полагая здесь 0 = а>, найдем St = Suei"».
Эта важная формула принадлежит Эйлеру.
3) Формула Пуассона (S. D. Poisson). Предложим себе установить
зависимость между объемом V и давлением р одного моля идеального газа при

256	ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	[361
адиаб атическом процессе (т. е. в случае полного отсутствия теплового
обмена между газом и окружающей средой).
Состояние газа, кроме величин V и р, характеризуется еще его (абсолютной)
температурой Т. Впрочем эти величины не независимы; они связаны известной
формулой Клапейрона
pV=RT (R - газовая постоянная).	A7)
Установим, какое количество энергии dU, в единицах тепла, нужно затратить,
чтобы перевести газ из состояния (р, V, Т) в бесконечно близкое состояние (p+dp,
V+dV, T+dT).
Процесс перехода можно представить себе состоящим из двух стадий. Во-
первых, объем V газа увеличивается на dV и, во-вторых, температура Т газа -
при постоянном объеме — изменяется на dT.
Чтобы вычислить элементарную работу расширения газа, предположим
для простоты, что рассматриваемая масса газа находится в цилиндре по одну
сторону поршня [ср. 354, 2)]. Сила, действующая со стороны газа на поршень,
будет pQ, где Q - площадь поршня. Если при расширении газа поршень сдви-
сдвинулся на расстояние ds, то работа, произведенная газом, будет равна pQ ds или
р dV (так как Qds = dV). Так выражается работа - в обычных единицах работы,
например, в кем (если р дано в кг/м2, V - в ма). Желая установить потраченное
на эту работу тепло, нужно полученное выражение умножить на так называемый
«термический эквивалент работы» А =	 кал/кгм, что даст Ар dV.
Изменение температуры на dT потребует cv dT кал, где с„ есть теплоемкость
газа при постоянном объеме. Складывая, получим
dU=cvdT+ApdV.	A8)
Исключить отсюда dT легко. Если продифференцировать формулу A7)
pdV+Vdp = RdT	A9)
и определить dT
dT = —(pdV+Vdp),
К
то остается лишь подставить это выражение в A8)
с„	Cv+AR
dU=— Vdp+-	pdV.
R	R
Можно показать, что cv+AR есть как раз теплоемкость ср газа при постоян-
постоянном давлении*, так что окончательно
cv	Cn
du = — Vdp+ —
Вернемся теперь к сделанному вначале предположению, что процесс протекает
адиабатически; тогда dU-О. Таким образом, мы приходим к дифферен-
дифференциальному уравнению, связывающему р и V,
dp dV	(	с„ \
cvVdp+cppdV=O или	Ь&	= 0 где ? = — =• 1 .
d V	\	cv J
Интегрируя, найдем \np+kbi V=0 или pVk = C.
Это и есть формула Пуассона.
* Если из A9) определить pdV=RdT- V dp и подставить в A8), то получим
dU=(cv+AR) dT-AVdp. Полагая здесь р = const, т. е. dp = O, придем к равенству
dU'= (с„+AR) dT, которое и показывает, что cv+AR есть ср.

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
§ 1. Введение
362. Основные понятия. Пусть задана некоторая бесконечная по-
последовательность чисел
«1, а%, a.j, ..., ап, ...	A)
Составленный из этих чисел символ
а1+а, + а3+ ... +ап+ ...	B)
называется бесконечным рядом, а сами числа A) - ч л е-
н а м и ряда. Вместо B), пользуясь знаком суммы, часто пишут так:
2ап;	Bа)
л=1
указатель п пробегает здесь все значения от 1 до ~*.
Станем последовательно складывать члены ряда, составляя (в бес-
бесконечном количестве) суммы;
= ах + а2 + а3, |
их называют частными суммами (или отрезками) ряда.
Эту последовательность частичных сумм {Ап} мы всегда будем сопо-
сопоставлять с рядом B): роль этого символа и заключается в порождении
упомянутой последовательности.
Конечный или бесконечный предел А частичной суммы Ап ряда B)
при и-»~:
А = lim An
называют суммой ряда и пишут
А = ах+а2+ ...+ап+ ... = 2 ап,
п=1
* Впрочем, нумерацию членов ряда иногда бывает удобнее начинать не с
единицы, а с нуля или же с какого-либо натурального числа, большего единицы.
17 Г. М. Фихтснгольп, т. II

258	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	1363
придавая тем самым символу B) или Bа) числовой смысл. Если ряд
имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в про-
противном же случае (т. е. если сумма равна + <», либо же суммы вовсе
нет) — р а с х о д ящим с я*.
Таким образом, вопрос о сходимости ряда B), по определе-
н и ю, равносилен вопросу о существовании конечного предела для
последовательности C). Обратно, какую бы варианту х = хп {п = 1,2,
3, ...) наперед ни взять, вопрос о наличии для нее конечного предела
может быть сведен к вопросу о сходимости ряда
х1 + (х2-х1) + (х3-х2) + ... +(х„-*„_!)+...,	D)
для которого частичными суммами как раз и будут последовательные
значения варианты:
Х[, Х2, Xj, . . ., Хп, . . .
При этом сумма ряда совпадает с пределом варианты.
Иными словами, рассмотрение бесконечного ряда и его суммы
есть просто новая форма изучения варианты (или последова-
последовательности) и ее предела. Но эта форма, как читатель увидит из даль-
дальнейшего изложения, представляет неоценимые преимущества как при
установлении самого существования предела, так и при его вычис-
вычислении. Это обстоятельство делает бесконечные ряды важнейшим ору-
орудием исследования в математическом анализе и его приложениях.
363. Примеры. 1) Простейшим примером бесконечного ряда является уже
знакомая читателю геометрическая прогрессия:
a+aq+aq2+ .
Ее частичная сумма будет (если q и 1)
a-aqn
Если знаменатель прогрессии, q, по абсолютной величине меньше единицы, то
[как мы уже знаем, 25, 7)] sn имеет конечный предел
т. е. наш ряд сходится, и s будет его суммой.
При |«[з&1 та же прогрессия дает пример расходящегося ряда. Если
то его суммой будет бесконечность (определенного знака), в прочих случаях суммы
вовсе нет. Отметим, в частности, любопытный ряд, который получается при а = 1
* Об этом уже была речь в первом томе [25, 9)].

363]	§ 1. ВВЕДЕНИЕ	259
и q= - 1:
1-1 + 1-1 ! ... = 1 + (-1)+1+(-1)+...*.
Его частичные суммы попеременно равны то 1, то 0.
2)	Вещественное число а, разложенное в бесконечную десятичную дробь
С„, сгс2с3 ... сп ...
[9], очевидно, представляет собой сумму ряда:
0+io'io*+i03 "•• ' ю" "¦•
3)	По образцу D) построен ряд
2 In (l + -)=2 [1п(и+1)-1пи],
n=i V л / п=г
явно расходящийся, ибо In (и+1) —+•=.
4) На той же идее построены следующие ряды (где а обозначает произвольное
число, отличное от - 1, -2, -3, ...):
А	" ' ' '
2
_ у1 Г	i
и, вообще, при любом целом
2
5) Аналогично трактуется ряд
где х есть любое фиксированное число, отличное от ±1. Так как «-я частичная
сумма равна
1	1
1-Х 1-.Y2»'
X	1
то при I х I -= 1 ряд сходится к сумме — , а при I х I =-1 — к сумме
1-х	1-.
* Если какой-либо член а ряда оказывается отрицательным числом:
а- -Ь (где 6 =»0), то вместо того, чтобы писать:
• • • +{-Ь) + • •., пишут: . ..-6+...
Подчеркнем, что членом ряда здесь будет все же - Ь, а не Л.
17*

260	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[364
6)	Легко установить расходимость ряда
- 1	11	1
?ifi У2 /3 }fJt
В самом деле, так как члены его убывают, то его и-я частичная сумма
1	11
1 +	h ¦¦¦-)—-=~и	=уп
fi yn fn
и растет до бесконечности вместе с п.
7)	Наконец, менее тривиальный пример нам доставит уже известное [37] раз-
разложение числа е:
11	1	- 1
112
Вспоминая приближенное вычисление числа е в 37, читатель на этом примере
сможет оценить выгоду последовательного введения все менее и менее значитель-
значительных поправок, постепенно улучшающих получаемые в лице частичных сумм при-
приближенные значения е.
364. Основные теоремы. Если в ряде B) отбросить первые т чле-
членов, то получится ряд:
«т + 1 + Ят + 2+ ¦ • • +ат + к+ ¦ ¦ ¦ = 2 ап,	E)
называемый остатком ряда B) после т-т о члена.
1°. Если сходится ряд B), то сходится и любой из его остатков
E); обратно, из сходимости остатка E) вытекает сходимость ис-
исходного ряда B).
Фиксируем т и обозначим k-ю частичную сумму ряда E) че-
через А'к:
А'к = ат+1 + ат+2+ ¦ ¦ ¦ +am+i,.
Тогда, очевидно,
A\l'=Amjrii — Am,	(р)
Если ряд B) сходится, так что Ап-+А, то - при безграничном возра-
возрастании к - существует конечный предел
А' = А-Ат	G)
и для суммы А'к, что и означает сходимость ряда E).
Обратно, если дано, что сходится ряд E), так что А'к-*А', то пере-
перепишем равенство F), полагая в нем к — п-т (при а^-т), так:

3641	S i введение:	261
отсюда можно усмотреть, что - при безграничном возрастании п -
частичная сумма Ап имеет предел
А=А,п-гА',	(8)
т. е. сходится ряд B).
Иными словами, отбрасывание конечного числа начальных членов
ряда или присоединение в начале его нескольких новых членов не от-
отражается на поведении ряда (в смысле его сходимости или
расходимости).
Сумму ряда E), если он сходится, обозначим вместо А' символом
ат, указывая значком, после какого члена берется остаток. Тогда
формулы (8) и G) перепишутся следующим образом:
А=Ат-\-хт, хт=А-Ат.	(9)
Если увеличивать т до бесконечности, то Ат^А, а ат—0. Итак:
2°. Если ряд B) сходится, то сумма <хт его остатка после т-го
члена с возрастанием т стремится к нулю.
Упомянем следующие простые свойства сходящихся рядов:
3°. Если члены сходящегося ряда B) умножить на один и тот же
множитель с, то его сходимость не нарушится (а сумма лишь умно-
умножится на с).
В самом деле, частичная сумма Ап ряда
очевидно, равна
Ап = саг - са2 - - ... •+- сап = с(а^ - а2 - ... + ап) = сАп
и имеет пределом сА.
4°. Два сходящихся ряда
А = ах -г а2 f ... + ап -г ...
и
B = b1 + b2 i- ... +bn+ ...
можно почленно складывать {или вычитать), так что ряд
также сходится, и его сумма равна, соответственно, А + В.
Если Ап, Вп и Сп означают частичные суммы упомянутых рядов,
то, очевидно,
Сп = (а, ± 6,) 4 (а2 ± Ь2) + ... + (в„ + Ьп) =
b?+ ... -'-bn)=An + Bn.

262	ГЛ. ХГ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[365
Переходя к пределу, найдем, что lim C,,^lim An + lim Bn, что и дока-
доказывает наше утверждение.
В заключение сделаем еще одно замечание.
5°. Общий член ап сходящегося ряда стремится к нулю.
Это может быть доказано совершенно элементарно: раз Ап (а с
ним и Ап-2) имеет конечный предел А, то
В предыдущем утверждении содержится необходимое усло-
условие для сходимости ряда, которым мы будем часто пользоваться. При
нарушении его ряд заведомо расходится. Однако
важно подчеркнуть, что это условие не является само по себе доста-
достаточным для сходимости ряда. Иными словами, даже при вы-
выполнении его ряд может расходиться. Примерами
этого служат ряды
'1+3 и k-fn
рассмотренные выше [363, 3) и 6)]; многочисленные другие примеры
этого же рода читатель найдет в последующем.
§ 2. Сходимость положительных рядов
365. Условие сходимости положительного ряда. Займемся теперь
вопросом об установлении сходимости или расходимости ряда. Этот
вопрос всего проще решается для рядов, члены которых неотрица-
неотрицательны; для краткости такие ряды мы будем называть просто поло-
положительными.
Пусть ряд
2 ап =
2,
1
ап = ах f а2 + ... -;- ап f ...	(А)
будет положительным, т. е. апг=0 (п= 1, 2, 3, ...). Тогда, очевидно,
т. е. варианта Ап оказывается возрастающей. Вспоминая тео-
теорему о пределе монотонной варианты [34], мы непосредственно при-
приходим к следующему основному в теории положительных рядов пред-
предложению:
Положительный ряд (А) всегда имеет сумму; эта сумма будет
конечной (и, следовательно, ряд - сходящимся), если частичные суммы
ряда ограничены сверху, и бесконечной (а ряд - расходящимся) в про-
противном случае.
Все признаки сходимости (и расходимости) положительных рядов
в конечном счете, основаны на этой простой теореме, Но н е п о-

365)	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	263
средственное ее применение лишь в редких случаях позволяет
судить о характере ряда. Приведем примеры этого рода.
1) Рассмотрим ряд
у 1	11	1
п=1«	2 3	п
известный под именем гармонического ряда*.
Имеем очевидное неравенство:
11	111
Если, отбросив первые два члена, остальные члены гармонического ряда после-
последовательно разбить на группы, по 2, 4, 8, ¦ •., 2'?~1, . •. членов в каждой
1 1 !
Т^4~'
2
то каждая из этих сумм в отдельности будет больше —; в этом легко убедиться,
полагая в A) поочередно п= 2, 4, 8, ..., 2к~1, ... Обозначим и-ю частичную сумму
гармонического ряда через Нп; тогда, очевидно,
Мы видим, что частичные суммы не могут быть ограничены сверху: ряд имеет
бесконечную сумму.
Упомянем уже здесь, что Нп с возрастанием п возрастает очень медленно.
Эйлер, например, вычислил, что
#юоо = 7,48 ..., #! 00оо00 = 14,39 ..., и т. д.
Впоследствии мы будем иметь случай точнее охарактеризовать возрастание сумм
Нп [367, 10)].
2) Рассмотрим теперь более общий ряд:
^,1	11	1
2, — = 1+—Ь—!-...+ — +•••,
Zi\ ns	2s 3«	ns
где 5 - любое вещественное число; он содержит в себе, как частный случай (при
s= 1), предыдущий ряд. По сходству с рядом 1), и этот ряд тоже называют гар-
гармоническим.
Так как при 5 «= 1 члены рассматриваемого ряда больше соответствующих
членов ряда 1), то, в этом предположении, частичные суммы и подавно не огра-
ограничены сверху, так что ряд расходится.
* Каждый член его, начиная со второго, представляет собой среднее гар-
гармоническое двух соседних членов. [Число с называется средним гар-
1 ! I Ml
адоническим чисел а и Ь, если — = — —|— .
с 2 U Ь] \

264	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[366
Займемся случаем, когда s>l; положим для удобства s= I +a, где сг^О.
Аналогично A), имеем на этот раз:
1	1	1	11
"' (iny""' ns п<>'
Выделяя, как и выше, последовательные группы членов:
с помощью B) легко показать, что эти суммы соответственно меньше членов
прогрессии
11111	1	1
2"' 4" B")»' 8я B<>K ' ¦"' B''-1)" B")*-1'
В таком случае ясно, что какую бы частичную сумму рассматриваемого ряда
ни взять, она будет меньше постоянного числа
следовательно, ряд сходится.
[Его сумма, зависящая от s, представляет знаменитую функцию C(s) P и м а н а,
играющую важную роль в теории чисел.]
366. Теоремы сравнения рядов. Сходимость или расходимость по-
положительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с дру-
другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся. В основе такого
сравнения лежит следующая простая теорема.
Теорема 1. Пусть даны два положительных ряда
2ап = а1 + а2+ ... +ап+ ...	(А)
Л = 1
и
Z ьп=ъ±+ь2 + ... + ъп + ...	(в)
л=1
Если, хотя бы начиная с некоторого места (скажем, для п >iV), вы-
выполняется неравенство: ап=^Ьп, то из сходимости ряда (В) вытекает
сходимость ряда (А) или - что то же - из расходимости ряда (А)
следует расходимость ряда (В).
Доказательство. На основании того, что отбрасывание ко-
конечного числа начальных членов ряда не отражается на его поведе-
поведении [364, 1°], мы можем считать, не нарушая общности, что ал*&Ьп

366]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	265
при всех значениях и= 1,2,3, ... Обозначив частные суммы рядов
(А) и (В), соответственно, через Ап и Вп, будем иметь:
Ап-*Вп.
Пусть ряд (В) сходится; тогда, по основной теореме [365], суммы
Вп ограничены:
Bn=sL (L = const; n= 1, 2, 3, ...).
В силу предыдущего неравенства, и подавно
а это, по той же теореме, влечет за собой сходимость ряда (А).
Иногда на практике более удобна следующая теорема, вытекаю-
вытекающая из первой:
Теорема 2, Если существует предел*
On
то из сходимости ряда (В), при К-< + ~, вытекает сходимость ряда
(А), а из расходимости первого ряда, при К>-0, вытекает расходимость
второго. [Таким образом, при 0 < К< + ~ оба ряда сходятся или оба
расходятся одновременно.]
Доказательство. Пусть ряд (В) сходится и К< + ~. Взяв
произвольное число е>0, по самому определению предела, для до-
достаточно больших п будем иметь
~^К+е, откуда ап^(К+е)Ьп.
On
В силу 364, 3°, одновременно с рядом (В) будет сходиться и ряд
2^{К+е)Ь„, полученный умножением его членов на постоянное число
К+е. Отсюда, по предыдущей теореме, вытекает сходимость ря-
ряда (А).
Если же ряд (В) расходится и К>0, то в этом случае обратное
отношение — имеет конечный предел; ряд (А) должен быть расходя-
Оп
щимся, ибо если бы он сходился, то, по доказанному, сходился бы
и ряд (В).
Наконец, приведем еще одну теорему сравнения, также представ-
представляющую собой следствие первой.
Теорема 3. Если, хотя бы начиная с некоторого места (скажем,
для п >-N), выполняется неравенство**
* Мы предполагаем при этом, что Ьп^0-
** При этом ап и Ьп, конечно, предполагаются отличными от нуля.

266	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[367
то из сходимости ряда (В) вытекает сходимость ряда (А) или -
что то же — из расходимости ряда (А) вытекает расходимость
ряда (В).
Доказательство. Как и выше, при доказательстве теоремы
1, не умаляя общности, можно считать, что неравенство C) справед-
справедливо для всех значений п= 1, 2, 3, ... В таком случае будем иметь:
«1 ^i ' а, ^Ьг' " ' ' ' ап_г ^bn-i '
Перемножив почленно эти неравенства, получим:
afjf или пп^.Ъп (п = 1,2,3,...).
Пусть ряд (В) сходится; вместе с ним сходится ряд J>' — -Ьп, полу-
ченный умножением его членов на постоянный множитель -^ . А то-
гда, по теореме 1, сходится и ряд (А), ч. и тр. д.
Перейдем теперь к примерам установления сходимости или рас-
расходимости рядов непосредственным применением теорем срав-
сравнен и я.
Х7 1
367. Примеры. 1) Л 	 (а=>0).
п=1 1+ап
Если ва=1, то нарушается необходимое условие сходимости, 364, 5°
и ряд расходится. При а=-1 члены ряда оказываются меньшими членов сходя-
сходящегося ряда У — Г: ряд сходится (теорема 1).
2) ^ — сходится, так как
л=1 Bи)!
(и!J	и!	1
Bга)! ~ 2".Bя-1)!!"" 2"
(теорема 1).
3) 2 2" • sir> — (° -= х -= Зя).
п=!	3"
Так как
2" • sin —• -= л ,
3" [З
— I сходится, то это же справедливо и для данного ряда (теорема 1).

367)	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	267
4) Рассмотрим вновь гармонический ряд 2 — и сопоставим его,
л=1 И
по теореме 2, с заведомо расходящимся рядом
2 [1п(я+1)-1пи]= 2'mfl+-) [363, 3)].
1	V П)
V. П
Так как [77, 5) (а)]
lim—	-1,
n
то отсюда уже вытекает расходимость гармонического ряда.
Или иначе: применяя к функции In x в промежутке [я, п+\} формулу конеч-
конечных приращений, найдем, что
1
1п(и+1)-1пя-	 @*0*1).
п + 0
В таком случае гармонический ряд, члены которого соответственно больше, и по-
подавно расходится (теорема 1).
5) Аналогично можно установить вновь сходимость ряда 2	(ПРИ ° ^ 0),
сопоставляя его с заведомо сходящимся рядом
1 Ч
-1Г пЛ'
Применяя к функции — в промежутке [и — 1, и] формулу конечных приращений,
ха
найдем:
1	1	а
001
Таким образом, при и*2
откуда, по теореме 1, и вытекает сходимость испытуемого ряда.
6) Чтобы подобным же приемом получить новый результат, рассмотрим
ряд У	(члены которого еще меньше, чем соответствующие члены гармони-
-ей1пй
ческого ряда).
Сопоставим его с заведомо расходящимся рядом
In In (и г 1)-In In и].

268	ГЛ. М. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	|367
Применяя формулу конечных приращений к функции In In x в промежутке [я,
я+l], получим:
I
In In (;г+1)-1п 1пя =	@-= 0-= 1),
(и + 0Iп(и+0)
откуда, по теореме 1, заключаем, что данный ряд, члены которого соответственно
больше, и подавно расходится.
7) Сравнение с гармоническими рядами 4) и 5) позволяет установить поведение
многих рядов. По теореме 1:
I 11
(а) у — ¦¦¦¦ расходится: —=—— -	;
(в) V	— (р=»0) расходится: Aпи)Р<и (для достаточно больших и);
еAп)р
- л! и! 2
(г) У —	сходится:	=— (для и=-3);
~	1	111
| Г1 |	"\* . , .,. .	*-*v/Л ТТfXTf*О •		 —- 	 ~~-
^2(\ппУпп	AпиIп" И1п1пд „1
(для достаточно больших и);
~1	111
(е)	V	 сходится: 	=	; — (то же);
^з С" 1п "Iл "	Aп1пяIпп и'"!11'1 л2
I	1111
(ж)	У	расходится:	=	=> — - —
^ On «)ln 1п"	Aпл)|п1пп eOnin.i? einn „
(то же).
8) По теореме 2:
(а) У	F =- 0) сходится при s =- i, расходится при i=s 1:
1	1 1
™ 1	11
(б)	V —	расходится: 	:—-*1;
1 п	п П
п \jn	п |/я
°°	X	X I
(в)	^ sin—	@-=х-=я) расходится; sin — :—-i; аналогично,
расходятся и ряды У In И— (х>0) и

367J	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	269
(г) 2 1-cos — сходится: 1-cos — :•—>—.
n=i V	nj	n n" 2
9) Вот более сложные примеры этого же типа:
Обозначим через хп отношение общего члена этого ряда к — :
и
In хп = In п+п In 11
I n
Пользуясь разложением In A + х), о котором была речь в 125, 5), можно написать:
( 1пл*| In л 1 /In л^2	(\пп\-
I п )	п г\п )	\ п )
где <хп~0 при л-~. Поэтому
1	In2 л	In2 л
2	и	п
следовательно, хп -* 1, и предложенный ряд расходится.
Пользуясь и здесь упомянутым разложением log A+х), будем иметь:
2л+1 ( 2 \ 2 \ ( 2 \* \ ( 2 \*	( 2
1	1A	() 1) ^(
где /?„ -~ 0 при и - «=, так что
2л+1	2и + 3 ( 1 V	8л [ 1\!
и In	1 =	 +вп ¦	 .
2и-1	3Bл-1) l.2«-lj	2л-1 12л- lj
1
Таким образом, отношение общего члена испытуемого ряда к	имеет
1	Bл -1J
пределом —: наш ряд сходится.
10) Наконец, рассмотрим ряд
^ С1 "+1\
2	In	¦
п = 1 \п	п )
Мы знаем [133, 4)], что
0, -1-= х-
Пользуясь им, можем написать:
>Н 1 I 1 \ 1
In 	= ln 1+-U-,
я	\ л / л

270	ГЛ. ХГ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[368
я в то же время
. й+1 , п	( 1 \ 1
In — • = - In	= — In 1 —	=>	.
п	и+1	I. л+lj и+1
Поэтому
1 и+1 11	11
0<_-1п	-=	=	«-¦ — .
п	п и и + 1 и(и + 1) п"
Таким образом, члены данного ряда положительны и меньше соответственных
членов сходящегося ряда у — [365, 2)]; следовательно, и данный ряд сходится.
-° и2
Если обозначить его сумму через С, то частичная сумма
" !\ к+\\
2 г-In—- =Я„-1п(«+1ЬС
(Нп обозначает, как всегда, частичную сумму гармонического ряда). Можно за-
/ ! 1
менить здесь In (и+1) на In и, так как их разность, равная In 11H— , стремится
I п)
к нулю. Окончательно: обозначая через уп некоторую бесконечно малую, имеем
для Нп замечательную формулу
Нп = Ып + С + уп.	D)
Она показывает, что при бесконечном возрастании п частичная сумма Нп гармо-
гармонического ряда растет, как In п.
Фигурирующая в формуле D) постоянная С называется эйлеровой по-
постоянной. Ее численное значение (которое удается вычислить из других
соображений) таково:
С = 0,577 215 664 90...	E)
368. Признаки Коши и Даламбера. Сравнение данного ряда
2 а,г--а| + ао+ ... +а„+ ...	(А)
п=1
с различными стандартными рядами, заведомо сходящимися
или расходящимися, может быть проведено и в другой, так сказать,
более организованной форме.
Возьмем для сравнения, в качестве ряда (В), с одной стороны,
сходящуюся геометрическую прогрессию
4 + <72+ • • • +Чп+ ¦ ¦ ¦ @-=#-=1),
а с другой стороны - расходящуюся прогрессию
21 = 1 + 1+•¦.+!+...
Сравнивая испытуемый ряд (А) с этими рядами по схеме теоремы 1,
придем к следующему признаку:
Признак Коши. Составим для ряда (А) варианту

368]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	271
Если, при достаточно больших п, выполняется неравенство
где q — постоянное число, меньшее единицы, то ряд сходится;
если же, начиная с некоторого места,
то ряд расходится.
п	п
Действительно, неравенства /а„«=дили Ya~n»l равносильны, соот-
соответственно, таким: an=sqn или ап»1; остается применить теорему 1*.
Чаще, однако, этот признак применяют в другой, предельной,
форме:
Допустим, что варианта Qn имеет предел (конечный или нет):
Тогда при B-=1 ряд сходится, а при B=~1 ряд расходится.
Если g< 1, то возьмем положительное число е, меньшее чем 1 - (?,
так что и B + е<1. По определению предела, для n>N будет:
Число (?+? играет роль числа q в предыдущей формулировке: ряд
сходится.
Если же б=-1 (и конечно), то, взяв е = (?-1, так что B-е=1, для
достаточно больших значений п на этот раз будем иметь (?п>\: ряд
расходится. Аналогичный результат и при Q= +~.
В случае, когда B=1, этот признак не дает воз-
возможности судить о поведении ряда.
Варианту Qn будем называть вариантой Коши.
Если сравнение ряда (А) с указанными стандартными рядами про-
производить по теореме 3, то придем к такому признаку:
Признак Далалгбера (J. d'Alembert). Рассмотрим для ряда (А) ва-
варианту
Если, при достаточно больших п, выполняется неравенство
* Расходимость ряда, конечно, может быть установлена и простой
ссылкой на нарушение необходимого условия сходимости - 364, 5°.

272	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[369
где q — постоянное число, меньшее единицы, то ряд сходится;
если же, начиная с некоторого места,
то ряд расходится*.
И в этом случае удобнее пользоваться предельной формой
признака:
Допустим, что варианта <5j)n имеет предел {конечный или нет):
Тогда при @<1 ряд сходится, а при ®>1 ряд расходится.
Доказательство — такое же, как и в случае признака К о ш и.
И этот признак ничего не дает, если оказыва-
оказывается, что <5?) = 1.
Варианту ®„ назовем вариантой Даламбера.
В примере 77, 4) мы видели, что из существования предела для
варианты ®„ вытекает уже существование предела и для варианты
Bл» причем оба предела равны. Таким образом, во всех случаях, когда
признак Даламбера дает ответ на вопрос о поведении ряда,
ответ может быть получен и с помощью признака К о ш и. На при-
примерах мы увидим ниже, что обратное утверждение неверно, и при-
признак К о ш и сильнее признака Даламбера. Однако на практике
пользование признаком Даламбера обыкновенно проще.
369. Признак Раабе. В тех случаях, когда указанные простые при-
признаки не дают ответа, приходится прибегать к более сложным при-
признакам, основанным на сравнении испытуемого ряда уже с другими
стандартными рядами, так сказать, «медленнее» сходящимися
или «медленнее» расходящимися, чем прогрессия**.
Мы рассмотрим здесь еще признак Раабе (J. L. Raabe); он
осуществляет сравнение данного ряда (А) с гармоническими рядами
- сходящимися:
и расходящимися:
i
* И здесь расходимость прямо вытекает из нарушения необходимого
ап+1 Л
условия сходимости: ведь если	=в1 или Оп+^ап, то ап не может стре-
стремя
мяться к 0.
** Ср. 375, 7).

369]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	273
- именно с помощью теоремы 3. При этом приходится рассматри-
рассматривать варианту Раабе:
Признак Раабе. Если, при достаточно больших п, выполняется не-
неравенство
где г - постоянное число, большее единицы, то ряд сходится;
если же, начиная с некоторого места,
то ряд расходится.
Итак, пусть, при достаточно больших п, имеем:
'П+1
или
Возьмем теперь любое число s между 1 и г: r>s>\. Так как по из-
известному предельному соотношению [77, 5)]:
.. КГ-
lim	:	s>
n
то для достаточно больших п будет
1 'и
1+- -1
я)	Л Ц» , . г
г или 14-1
+»)
<: Г ИЛИ I1	1 +
1	' nJln { п)	п
п
а следовательно, и
Это неравенство можно переписать следующим образом:
1
Справа мы имеем отношение двух последовательных членов ряда
применив теорему 3, убеждаемся в сходимости ряда (А).
Если же, начиная с некоторого места,
18 Г. М. Фихтенгольц, т. 11

274	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	f37O
то отсюда сразу находим, что
п
и+1
ап и+1 1 '
п
применив к рядам (А) и (Н) теорему 3, заключаем о расходимости
ряда (А).
Признак Р а а б е тоже применяется преимущественно в пре-
предельной форме:
Допустим, что варианта §1п имеет предел {конечный или нет):
lim $,„ = $.
Тогда при §{,> 1 ряд сходится, а при §{,<\ ряд расходится.
Сравнивая признаки Даламбера и Ра а бе, видим, что по-
последний значительно сильнее первого. Если предел @ = lim <g)n суще-
существует и отличен от единицы, то для <$,„ = п —— 1 существует пре-
дел Ц, равный + ~ при <5j) -< 1 и - ~ при <5j) > 1. Таким образом, если
признак Даламбера дает ответ на вопрос о поведении данного
ряда, то признак Р а а б е и подавно его дает: больше того, все такие
случаи охватываются всего двумя из возможных значений <$,,
именно ±~. Все остальные значения Л, (исключая $1=1), также даю-
дающие ответ на вопрос о сходимости, соответствуют, таким образом,
случаям, когда признак Даламбера заведомо ответа не дает,
потому что @ = 1.
Но все же и здесь при §{=\ мы не имеем ответа на
вопрос о поведении ряда; в подобных случаях (которые
очень редки) приходится прибегать к еще более тонким и сложным
признакам [см., например, ниже п° 371].
Обратимся к примерам.
370. Примеры. 1) Применим признак К о ш и к следующим рядам:
~ 1	_ 1
(<i) 2, -.—пг. tn=,—-» <S^0: Ряд сходится;
п = 2 (In n)"	111 И
(б)	2 {-} (*»0), &,= -, B = 0: ряд сходится;
(в)	2 I — I (х^О; ап - положительная варианта, имеющая предел а):
л=г \ап)
X
t/; = —. Если а = 0, то B=+~, и ряд расходится, еслиа=+~, то B = 0, и ряд
°п	а
сходится; наконец, при 0-=а«=+™ будет (i! = — и поведение ряда зависит от х:
х

370]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	275
при х-=а ряд сходится, при х>а - расходится. При х = а в общем случае и пове-
поведении ряда ничего сказать нельзя, оно зависит уже от характера приближения
ап к а.
2) Применим признак Даламбера к следующим рядам:
"° Х^	X
(а)	1+2 — (х^-0), )„=	, '3) = 0: ряд сходится;
п=1 и!	й+1
(б)	2j пхп~Цх^0), ~irn = x	. '3) = х: ряд сходится при л¦< 1
п = ]	И
и расходится при хз=1 (при л = 1 в этом убеждаемся непосредственно).
Z, хп	_ / и И
(в)	Л — (л: =- 0, 5 =- 0), >2)„ = х	, *2Р = л" ряд сходится
п=ш5	\п+1)
при л-= 1 и расходится при х=-1; при л = 1 получается гармонический ряд, пове-
поведение которого, как мы уже знаем, зависит от s.
(г)	2 «'• I — I "(* =- °) ®" = 7	Пп' ® = ~": при ¦* * е ряд сходится> °РИ
. W	A)
х>-е расходится; при х = е признак Даламбера в предельной форме ничего
{ 1V
не дает, но так как варианта 11 +— I приближается ке возрастая, так что
I )
©n^l, то первоначальная форма признака позволяет все же заключить о рас-
расходимости ряда.
(д) 2	(х»0), ^п=х- 1ч— , б$) = х-е: при х-=— ряд сходится, а
л=1 n!	I n)	e
1	1
при х =— расходится; при х = — на этот раз при помощи признака Д а л а м -
е	е
б е р а ничего установить нельзя, так как б$п приближается к ® = 1 снизу. Мы вер-
вернемся к этому случаю ниже, в 5) (г).
3) Возьмем ряд
где а и b - два различных положительных числа. Здесь ®2n-i = a> ©2п = 6> и при-
признак Даламбера (в первоначальной форме) позволяет сделать заключение
о сходимости или расходимости ряда, лишь если оба числа a, b меньше единицы
или оба - больше.
В то же время
2л-1	2л
так что i? = Yab; по признаку К о ш и , при ab -= 1 ряд сходится, а при аб =-1
(очевидно, и при ab = 1) - расходится.
4) Рассмотрим ряд ^т(п)х", где х=-0 и т(и) означает число делителей
натурального числа п. Ввиду прихотливого хода изменения функции т(я) не пред-

276	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[370
ставляется возможным применить здесь признак Даламбера. Между тем
признак К о ш и вполне приложим:
п	п
x^Qn= V?(ri)-x=*sYn-x, так что & = х,
и при л-= 1 ряд сходится, а при *=-1 (очевидно, и при х= 1) - расходится.
5) Приведем примеры применения признака Р а а б е .
(а) 1+2
п=1 \?пу.\ 2л + 1
Признак Даламбера к этому ряду неприложим, ибо
(и притом ®„ ¦= 1). Составим варианту Р а а б е :
^	3
Так как Si = lim аЯп = — =-1. то ряд сходится.
2
,,. -^	и!	. ..
Так как ®п =	, @ = 1, то здесь признак Даламбера неприло-
х+п+1
жим. Имеем, далее, Sin	х> так что	$1 = х. Таким образом, при x-=l ряд
п+\
расходится, а при х =-1 сходится; при л: = 1	получается расходящийся гармониче-
гармонический ряд (без первого члена).
¦?,	и!х"
(в) 2-
n=i (х+а^ (Ьс+а^	(пх+ап)
где х >• 0, и яп - положительная варианта, имеющая конечный предел о.
Имеем: ©„ = —		, @ = 1. Далее, Лп= Ш"+1 , Ц = -. Итак, при
(+l)+a	(п+\)х	х
+i	)
х<а ряд сходится, при х>а он расходится. При х = а в общем случае ничего
сказать нельзя: поведение ряда тогда зависит от характера приближения ап к а.
(г) Наконец, рассмотрим ряд
Для него
р
-1
(¦4)"
чтобы вычислить предел этой варианты, заменим ее более общим выражением:
1
Л ¦-
1A+*)*

371)	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	277
к которому уже можно применить методы дифференциального исчисления. По
правилу Лопиталя, переходим к отношению производных:
,	.	In A+*)--•*-
У	1 „ 1-4	е	1 + х
1 I	[ х2) х	\	!	Y2
[A+*)*]=	A+*>v
Полагая
1	х
In A + .г) = х	х- + о(лг2), 	= х - х- + о{х-),
2	1+х
1
сразу получаем, что искомый предел равен — . Ряд расходится.
371. Признак Куммера. Теперь мы выведем один весьма общий признак, при-
принадлежащий Куммеру (Е. Е. Кшшпег); его скорее можно рассматривать как
общую схему для получения конкретных признаков.
Признак Куммера. Пусть
Clt С2, •-., Сп, •¦•
будет произвольная последовательность положительных чисел, такая, что ряд
°° 1
2-
1 Сп
расходится*. Составим для испытуемого ряда (А) варианту
Если (для n>N) выполняется неравенство
где б - постоянное положительное число, то ряд сходится. Если же (для
то ряд расходится.
Доказательство. Пусть
Жп = СП'-—-
(неравенство это, очевидно, можно считать выполненным при всех и).
Умножив обе части этого неравенства на ап+1, получим:
CnOn-Cn+iOn+i^^'in+i,	F)
значит,
* Обращаем внимание читателя на то, что последним предположением мы
будем пользоваться только при выводе признака расходимости: признак
сходимости в нем не нуждается,

278	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[371
Отсюда следует, что переменная спап монотонно убывает и, следовательно,
стремится к конечному пределу (так как она ограничена снизу нулем).
Итак, ряд
2
сходится, ибо сумма его п первых членов:
c1a1-cn + lan+i
имеет конечный предел. Но тогда из неравенства F), по теореме I, следует, что
сходится ряд 2 <5вп+1> а с ним и данный ряд (А).
п = 1
Если же, для n>N,
Жп = Сп	 сп+i=e0,
Яп + 1
то имеем:
]
аП+1 СП+1
Так как ряд у — предположен расходящимся, то, по теореме 3, расходится и
Сп
испытуемый ряд (А), ч. и тр. д.
В предельной форме признак К у м м е р а выглядит так:
Допустим, что варианта Жп имеет предел (конечный или нет):
Тогда при Ж^Оряд сходится, а при ЗС-=О - расходится.
Покажем теперь, как при помощи признака К у м м е р а можно получить
некоторые важные признаки сходимости как частные случаи его.
а)	Положим, например, сп=1; условие, чтобы ряд Jj?— расходился, соблю-
соблюдено. Имеем:	сп
3Cn__5L..-l-J_-1.
ап+1	6J)n
Если варианта @„ стремится к пределу ®, то Жп стремится к пределу Ж =	1
(е){=+°°, если ® = 0, Ж= — 1, если ©= + ~). При @>-1, очевидно, Ж^О, и по
признаку Кум мер а ряд расходится; если же @-=1, то Ж>0, и ряд сходится.
Таким образом, мы пришли вновь к признаку Даламбера.
б)	Положим, далее, сп = п и отметим, что ряд V — расходится. Выражение
Жп получит вид:	"
сг	ап
Если варианта §1п стремится к пределу §1, то Жп стремится к пределу Ж = Л -1
(ЭС=±~, если Ji=±~). При Л>1 имеем Ж^О, и по признаку Куммера
ряд сходится; если же Л, •< 1, то Ж^О, так что ряд расходится. Мы вновь получили
признак Р а а б е .

372]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	279
1
в) Наконец, возьмем сп = п In n (лз=2), такой выбор допустим, ибо ряд V
-" п In п
расходится [367, 6)]. Имеем в этом случае
Ж \пп
что можно также представить в виде:
nl~n--l j-lj-ln 1+-
если обозначить через §hn новую варианту:
Отсюда получается уже новый
Признак Бертрана (J. Bertrand). Допустим, что варианта §hn имеет
предел (конечный или нет):
ей = lim Sbn.
Тогда при 3d =¦ 1 ряд сходится, а при об *= 1 — расходится.
{ 11n+1
Действительно, так как lim In 1ч— =log e=l, то варианта Кум-
I п)
мера §in стремится к пределу |С= §}>- 1 (Ж= ± °°? если ^= ± ~). Остается со-
сослаться на признак Куммера.
Сопоставляя признаки Раабе и Бертрана, можно было бы повторить
те же замечания, которые мы выше сделали по поводу признаков Даламбера
и Р а б б е [369]. Эта цепь все более и более чувствительных (но и более сложных!)
признаков может быть неограниченно продолжена.
372. Признак Гаусса. Из признаков Даламбера, Раабе и Бер-
Бертрана легко может быть получен следующий признак Гаусса (С. F. Gauss).
Признак Гаусса. Допустим, что для данного ряда (А) отношение
может быть представлено в виде:	ап+\
l1,
«n+i	» n8
где А и fi - постоянные, а вп есть ограниченная величина: | вп \ *г?; тогда
ряд сходится, если А=-1 или если А=1, /и=-1, и расходится - если Я-=1 или Х=\,
Случаи X^ 1 приводятся к признаку Даламбера, ибо lim — + = —.
Пусть теперь Я = 1; тогда	ап *•
31п = «\—-—1 =<" + — . 3l=ft,
\an+i I	n
и случаи /I% 1 исчерпываются признаком Раабе. Наконец, если (i-l, то имеем:
<$л = 1пи(Ил-1) = —<0Л.
п
In и
Так как —, как известно, стремится к нулю при и - °°, а бп ограничена, то ой =*
п
= limс^„ = 0, и по признаку Бертрана ряд расходится.

280	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	1372
Примеры. 1) Рассмотрим так называемый гипергеометрический ряд
(Гаусс):
F(u, ft у, х)=1+2
л=1
11д; |д;
Ьу	Ь2.у.(у+1)
предполагая пока а, /?, у, х =- 0. Здесь
-V — X,
так что по признаку Даламбера сразу устанавливается сходимость при
х-= 1 и расходимость при х> 1. Если же л: = 1, то возьмем отношение
и, пользуясь разложениями:
1	a a2 I
	_j	|	 .. ._
a	«	2>
a	« a я2>	jff	n /ff я2'
i+_ i+_	i+L г+L
n n	n n
представим его в виде:
ап	y-a-/?+l вп
ап+1	л	и2'
где @п ограничена. Применяя признак Гаусса, видим, что ряд F(a, /?, у, 1)
сходится при у-а-{1^0 и расходится при y-a-$=sO. Ниже мы вернемся к ги-
гипергеометрическому ряду при более общих предположениях относительно а, ^,
у и *.
2) Другим примером на применение признака Гаусса может служить ряд
1 +
ге'-+Ш+-
который сходится прир>2и расходится прир=&2. Здесь - по формуле Тейлора
2я Ь2 Bи)«
откуда
an , 2 fln
	= 1Н	1— (вл ограничена),
вп+i и я3
и т. д.

373|	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	281
373. Интегральный признак Маклорена—Коши. Этот признак по
форме отличается от всех предыдущих. Он построен на идее сопо-
сопоставления ряда с интегралом и представляет собой обобщение того
приема, которым мы уже пользовались для выяснения сходимости
или расходимости ряда в примерах 4), 5), 6) п° 367.
Пусть предложенный ряд имеет форму
%ап= %№,	G)
где /(я) есть значение при х = п некоторой функции f(x), определен-
определенной для хэ=1*; функцию эту предположим непрерывной, положитель-
положительной и монотонно убывающей.
Рассмотрим какую-либо первообразную функцию F(x) для
f(x); так как ее производная F'(x) = f(x)>0, то F(x) возрастает вместе
с х и, при х — + ~, наверное, имеет предел, конечный или нет. В пер-
первом случае ряд
2[F{n+\)-F{ri)}	(8)
сходится, а во втором - расходится. С этим рядом мы и сравним
испытуемый ряд.
По формуле конечных приращений, общий член ряда (8) пред-
представится в виде:
так что вследствие монотонности функции f(x)
ап+1 = /(и +1) - F{n +1) - F(n) < fin) = ап .	(9)
В случае сходимости ряда (8), по теореме 1, сходится ряд
— 2 f(n + 0) члены которого меньше соответственных членов ряда
п=1
(8); значит, сходится и данный ряд G). В случае расходимости ряда
(8), расходится и данный ряд G), ибо члены его больше соответствен-
соответственных членов ряда (8).
Таким образом, мы приходим к следующему интересному при-
признаку (впервые найденному в геометрической форме М а к л о р е-
н о м, но позабытому и лишь впоследствии вновь открытому Коши):
* Начальным значением номера и, вместо 1, может быть и любое другое
натуральное число пв; тогда и функцию /(х) надлежит рассматривать при

282	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[373
Интегральный признак. При сделанных предположениях ряд
G) сходится или расходится в зависимости от того, имеет ли
функция
при х — + «¦ конечный предел или нет.
Приведем примеры применения этого признака (помимо рассмо-
рассмотренных в 367).
Здесь f(x) =—, ., ; F(x) =	г	'0 при jc — +°=>: ряд схо-
дится.
v
2)
л=з n-ln и-ln In n
Имеем f(x) - х1пхЛа1пх ', F(x) = In In In д:- + °°: ряд расходится.
3) 2 ~.	,} , ,гг- (cr>0).
' л=зй-1п«-Aп1пйI+я v '
В этом случае
' ^ = ~а.Aп1пл-)сг~" *
ряд сходится, и т. д.
Первообразную функцию F(x) можно взять и в форме определен-
определенного интеграла
Предел его при х — + <*> называют «интегралом от 1 до + ~»* и обо-
обозначают так:
Итак, предложенный ряд G) сходится или расходится, смотря по
тому, имеет ли этот интеграл конечное значение или нет**.
* Это так называемый несобственный интеграл; подобными инте-
интегралами мы будем заниматься в главе XIII.
** При такой формулировке признака доказательство легко провести без
предположения о непрерывности функции fix) и используя только опре-
определенный интеграл (который для монотонной функции существует, 298, III).

373|
§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ
283
В такой форме интегральный признак допускает простое геоме-
геометрическое истолкование, близкое к идее Маклорена. Если изоб-
изобразить функцию f(x) кривой (рис. 54), то интеграл F(x) будет вы-
выражать площадь фигуры, ограниченной этой кривой, осью х и двумя
ординатами; интеграл же F( + ¦»), в некотором смысле, можно рас-
рассматривать как выражение для площади всей бесконечно прости-
простирающейся направо фигуры под кривой. С другой же стороны, члены
X
¦Пх)
Ш&Шк
я i
Z 3	л
Рис. 54.
ах,аг, ..., ап ... ряда G) выражают величины ординат в точках х =
= 1, 2, ..., п, ... или, что то же, площади прямоугольников с осно-
основаниями 1 и с высотами, равными упомянутым ординатам.
Таким образом, сумма ряда G) есть не что иное, как сумма пло-
площадей выходящих прямоугольников, и лишь первым чле-
членом отличается от суммы площадей входящих прямоугольни-
прямоугольников. Это делает совершенно наглядным установленный выше резуль-
результат: если площадь криволинейной фигуры конечна, то и подавно
конечна площадь заключенной в ней ступенчатой фигуры, и предло-
предложенный ряд сходится; если же площадь криволинейной фигуры
бесконечна, то бесконечна и площадь содержащей ее ступенчатой
фигуры, так что в этом случае ряд расходится.
Сделаем теперь некоторые замечания относительно дальнейшего
использования неравенств (9).
а) В случае существования конечного предела
lim
можно указать удобную оценку остатка предложенного ряда.
Именно, просуммировав неравенства
при к-n + l, ...,п + т, получим
2 ak^F(n +
п+т—1
2
2
«*¦

284	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	|373
Перейдем к пределу, увеличивая здесь т до бесконечности:
ИЛИ
^+-)-Дв+1)* 2 а*-в/;( + -)-Ди);	(Ю)
это и дает искомую оценку как сверху, так и снизу*.
Например, для ряда _/, 	(ст>0) будет
п=1И1+о
11 ~ 1 11
—-—	=e 2i	^	•	O1)
a («+1)<* i, = n+lk1+a о na
б) Если же F{x) возрастает до бесконечности вместе с х, то эта
функция позволяет судить о быстроте роста частичной суммы
предложенного ряда. Рассмотрим неравенства
О < /(к) - [F{k + 1) - F(k)] <= f(k) -f(k+l)
и, просуммировав их от к = 1 до к = п, получим возрастающую,
но ограниченную варианту
2 № - \F[n+1) - ад < /A) - /(«+о - /A),
* Так как
п+т
F{n+m)-F(n)~ J fit)Л,
л
то, переходя к пределу при лг- =°, получаем несобственный интеграл
+•>
F(+~)-F(ii)= J ДОЛ-
п
Поэтому неравенства A0) могут быть переписаны так:
Г/(О<Й=е 2 акт 2 f(k)*&\
ЛОЛ.	A0а)
я

374]	§ 2. сходимость положительных рядов	285
которая стремится к конечному пределу. То же справедливо и отно-
относительно варианты
2
*=1
Если через С обозначить ее предел, а через <хп - бесконечно малую,
которой она разнится от своего предела, то придем к формуле:
1
Например, при fix) = —, Fix) = In x, отсюда вновь получается формула D) п° 367.
374. Признак Ермакова. Примерно ту же область применения, что и интеграль-
интегральный признак, имеет и своеобразный признак, предложенный В. П. Ермако-
Ермаковым. Формулировка его не содержит понятий интегрального исчисления.
Признак Ермакова. Предположим по-прежнему функцию fix) непрерыв-
непрерывной*, положительной и монотонно убывающей для х=»1**. Тогда, если для
достаточно больших х Скажем, для *э*л:0) выполняется неравенство
f(e*)-e*
-———-=s<7«=l,
fix)
то ряд G) сходится, если же (для xs*x0)
f(ex)-e*
fix)
то ряд G) расходится.
Доказательство. Пусть выполняется первое неравенство. При любом
будем иметь (подстановка / = еи)
fit)dt= j fie")-e" du^qJ fit) dt.
отсюда
e	x	e	e.	e	e
-4) J /(/) *•?<?[ J ДО *- J Д0л]=е?[|/(ОА~ J/@*]=e<7 J
так как
ex>x,	A2)
* На деле требование непрерывности может быть опущено. См. сноску **
на стр. 282.
** См. сноску на стр. 281.

286	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	|3?4
в вычитаемое в последних скобках положительно. В таком случае
J /(/) dt,
rx.	xt
прибавляя к обеим частям интеграл /(?) dt, получим
,х
1
ех.
1
1-
и тем более - учитывая A2) -
Так как с возрастанием х и интеграл возрастает, то для него существует конеч-
конечный предел х — ":
и - по интегральному признаку - ряд G) сходится.
Пусть теперь имеет место второе неравенство. Тогда
и - если к обеим частям прибавить интеграл f{t)dt
I
X	Хо
(так как, ввиду A2), лго<е**). Определим теперь последовательность
полагая хп = ехп-г; по доказанному
хп
м
у Г
1 = 1 J

S 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	287
Отсюда ясно, что
Г= lim
Г
J
и - по интегральному признаку - ряд G) расходится.
Примеры предыдущего п° легко исчерпываются и с помощью доказанного
признака:
1) 2 -Аг— (*=-<»¦
п=2 И'1П1+О П
1
В этом случае fix) =	, и выражение
х-\п1+а х
/(<•*)•<•* 1п1+".«
	=	— 0 при .V —~,
fix)	х"
так что при достаточно больших х оно становится меньшим любой правильной
дроби q: ряд сходится.
1
2) 2
п=зй-1п и-In In п
1
Здесь fix) =	, а выражение
х • In х • In In х
= 1п1пд:-*оо при х-*<*>,
fix)
и при достаточно больших х превзойдет единицу: ряд расходится.
л=зя-1пя-Aп1пиI+а
Имеем на этот раз
f{x) =
хЛп л:-Aп In xI+a
-0 при х-~: ряд сходится.
fix)	1п° х
Заметим в заключение, что функция ех, фигурирующая в признаке Ерма-
Ермакова, может быть заменена любой другой функцией (fix), монотонно возра-
возрастающей, положительной, имеющей непрерывную производную и удовлетворяю-
удовлетворяющей неравенству
Ф>х,	A2*)
которое заменяет A2). Доказательство может быть скопировано с приведенного
выше. Таким образом, в общей форме признак Ермакова является источни-
источником для получения ряда конкретных признаков, отвечающих различному выбору
функции (fix).
375. Дополнения. 1) Мы воспользуемся оценками A1), чтобы охарактеризовать
поведение функции Р и м а н а [365, 2)]
(которая определена лишь для п => 0) при приближении а к 0.

288	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[375
Прежде всего, полагая и=0 в первом из неравенств A1) и п= 1 во втором из
них, легко получить
1
откуда
lim а - СA + ст) = 1.
а-0
Можно прийти к более точному результату, если, исходя из очевидного ра-
равенства
применить неравенства A1) при произвольном и:
п1+" О ЦЛ+1)
1	1 1 /1 A
+^+"-+тг+-—] ¦
z	и о \n j
Переходя здесь к пределу при ст->0, мы получим
Г	1 1
k(l+a)--Us
L	О \
И	1- ...Л	1п(и+1)=е lim
2	и	—„
lim f(l + cr)	UslH	1-...+	In и*.
<r»oL	cr J	2	и
Наконец, ввиду произвольности и, устремим здесь п к бесконечности. Так как
первое и последнее выражения, в силу D) п° 367, при этом стремятся к эйлеровой
постоянной С, то наибольший и наименьший пределы совпадают, так что суще-
существует обычный предел и равен
limfcd + ff)	] = С.
о—о L	о!
[Эти результаты принадлежат Дирихле.]
2) Пусть члены ряда (А) монотонно убывают; тогда ряд (А) сходится
или расходится одновременно с рядом 2 2л-а2* (К о ш и).
* = 0
Действительно, с одной стороны,
d2k^a1 + (a2 + aj+ ... +(а2к+ .. ¦ +o2t+1~i)<a1 + 2a2+ ... +2ка2к,
а с другой -
— al + a2 + 2al+ ... +2к~1а2к = — (al + 2a2 + 4ai+ ... +2ка2к)-
* Мы пока не знаем, существует ли предел выражения СA+<?)	при а-*О,
а
и потому пользуемся наибольшим и наименьшим пределами [42]. Пределы
1 Г 1 I 1 Г 1	1
жений —	1 и —	1 находим по формуле 77, 5), (б).
а \п" \ сг |(л-И)о I

375] § 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	289
Отсюда и следует требуемое заключение.
Например, поведение ряда,2"— совпадает с поведением	ряда_2" 2Л-—=
1 и	о 2"
=^1, явно расходящегося. Ряд ^	(р^О) сходится вместе с рядом 2 ^¦!с'~п—<П=
о i л1+	о 2"A+ I
• Ряд ^—	 расходится, ибо расходится ряд
о 2fco	2 я In /г	i 2*ln2" i Ып2
и т. д.
В этой теореме ряд сравнения _2'2*а2* может быть заменен и более общим
рядом J^m*»aa*, где т - любое натуральное число.
к = 0
3) Пусть (А) будет произвольный сходящийся ряд. Какие заключения
1
можно сделать о порядке малости общего члена ап по сравнению с — ?
п
Прежде всего, очевидно, что если эти бесконечно малые вообще сравнимы
между собой [60], т. е. если существует предел
hm ¦— =
то необходимо с = 0, так что
(-).	A3)
п )
Действительно, иначе - ввиду расходимости гармонического ряда 2	и Дан"
1 п
ный ряд был бы расходящимся [366, теорема 2].
Однако существование такого предела, вообще говоря, не обязательно, как
видно на примере ряда
111111111
]
1
Сходимость этого ряда ясна из сопоставления с рядом У! — ; в то же время, если
1 и2
п не есть полный квадрат, то для него пап = —, в противном же случае: пап=1.
п
Впрочем, если члены ряда монотонно убывают, то для сходи-
сходимости его условие A3) все же необходимо. Действительно, при любых
т и п>т:
¦+an~=<*-m,
ат - остаток ряда. Отсюда
п
— -ат.
пт
11) Г. М. Фихтенгольц, т. II

290	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	1375
Пусть сначала т взято так, чтобы ат бьшо меньше произвольно заданного числа
?>0; если предположить теперь я настолько большим, что
то одновременно пап^е, ч. и тр. д.
Заметим в заключение, что даже для рядов с монотонно убывающими членами
условие A3) отнюдь не является достаточным для сходимости. Это видно
на примере ряда
2 иши
4) Если ряд 21 dn расходится, и Dn означает его п-ю частичную сумму, то
1
ряд ^—¦ также расходится, в то время как ряд 2 " у+~в {а =- 0) сходится. [Абель
(N. H. Abel) и Дин и (U. Dini).]
Имеем:
dn+i	dn+m dn+1+ •.. +dn+m	Dn
1.
Dn+m	Dn+m
Сколь большими ни взять п, всегда можно выбрать такое т, чтобы было
Dn I	dn+1	dn+m 1
	=—и, следовательно, —-—[-¦••+	-
		n+1	Dn+m 2
Для ряда 2 —— нарушено основное условие сходимости [364, 5°] - ряд рас-
1 Dn
ходится.
- dn
Для доказательства сходимости ряда 2i —1+о~ м*1 прибегнем к приему,
сходному с примененным К о ш и [373].
р dx 11
К функции I	=	•— в промежутке от x = Dn_1 до x = Dn применим
J х1+а а ха
формулу конечных приращений:
1 ( 1
где
Таким образом, члены рассматриваемого ряда соответственно меньше членов
сходящегося ряда 2j — I	1» что и доказывает высказанное утверж-
утверждение. ^ "-1 п'

375]	§ 2. СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ	291
5)	Если ряд 2 cn сходится и уп означает его остаток после п-го члена, то ряд
1
°° с
2	 расходится, в то время как ряд
1 Уп-1
2^ »-=-!)
сходится (Дини).
Доказательство аналогично предыдущему.
6)	Следующий признак сходимости недавно был указан Н. А. Сапого-
вы м:
Если ип — положительная монотонно возрастающая варианта, то ряд
V (л "п \\	V (Un+1 Л\
^1	равно как и ? I	- II
л=1 V ип+1) [	л=1 V ип )\
сходится при условии ограниченности этой варианты и расходится - в противном
случае.
Положим (при л= 1, 2, 3, ...)
тогда предложенный ряд перепишется так:
и его поведение совпадает с поведением ряда
n=\Dn'
DO
а значит - и с поведением ряда 2 dn (в случае расходимости его можно со-
сослаться на результат Абеля - Дин и, 4)). Последний же ряд сходится или
расходится в зависимости от того, будет ли варианта ип ограниченной или нет.
7) Пусть даны два сходящихся ряда:
2
л=1
1

292	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[375
Второй называется медленнее сходящимся, чем первый, если
остаток у'п второго ряда есть бесконечно малая низшего порядка чем
остаток уп первого:
lim — = 0.
Уп
Для каждого сходящегося ряда 2 сп можно построить ряд, медленнее
сходящийся. Достаточно рассмотреть, например, ряд
2 с'п^ 2
п=1	п=1
так как в этом случае уп /
Рассмотрим теперь два расходящихся ряда:
2 dn и 2 d'n ¦
n=L	л=1
Про второй говорят, что он расходится медленнее, чем первый, если
его частичная сумма Dn является бесконечно большой низшего порядка,
чем частичная сумма Dn первого:
D'n
lim — = 0 .
Для каждого расходящегося ряда 2 dn молено построить ряд, медленнее
1
расходящийся. С этой целью можно, например, взять ряд
2 d'n = Wi+ 2
n = l	n=2
здесь D'n = YDn.
Аналогичные заключения можно получить и с помощью рядов Абеля
и Д и н и , рассмотренных в 4) и 5).
Построенные примеры приводят к такому принципиально важному утвержде-
утверждению: никакой сходящийся (расходящийся) ряд не может служить универсаль-
универсальным средством для установления путем сравнения с ним** сходимости (расходи-
(расходимости) других рядов.
Это ясно из того, что
Уп-х-Уп
dn
d'n
* За у0 принимаем всю сумму 2 сп ¦
1
** С помощью любой из теорем п° 366.

376J	§ 3. СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ	293
8) Пусть даны две последовательности положительных чисел
Oi, а2, ..., ап, ... и Ь1г bo, ..., Ьп, ...
Каково бы ни было и, для первых п чисел этих последовательностей имеет место
неравенство Коти - Гельдера:
,-=1 \=1
и неравенство Минковского:
[133 E) и G)]. Здесь к - произвольное число =-1, а к' другое число тоже =-1, кото-
которое связано с к соотношением
1 1
h
Переходя в этих неравенствах к пределу при и->~, получим подобные же не-
неравенства для бесконечных рядов:
причем из сходимости рядов в правых частях вытекает сходимость рядов в левых.
§ 3. Сходимость произвольных рядов
376. Общее условие сходимости ряда. Обратимся к вопросу о схо-
сходимости рядов, члены которых могут иметь произвольные знаки. Так
как, по определению, сходимость ряда
Z ctn^^ + a^ ... +с„+...	(А)
л = 1
приводится к сходимости последовательности
составленной из частичных сумм ряда, то естественно при-
применить к этой последовательности принцип сходимости [39J. Из двух

294	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	C77
номеров п и п', которые в нем упоминаются, можно, не умаляя общ-
общности, считать л'>яи положить п' = п + т, где т - любое натураль-
натуральное число. Если вспомнить, что
¦ ¦ ¦ + ал+т,
то принцип сходимости применительно к ряду можно перефразировать
так:
Для того чтобы ряд (А) сходился, необходимо и достаточно, что-
чтобы каждому числу ?>0 отвечал такой номер N, что при n>N нера-
неравенство
|яп+1 + яп+2+ • • • +ап+т\ <е	B)
выполняется, каково бы ни было т = \,2,Ъ, .. .*
Иными словами: сумма любого числа членов ряда, следующих
за достаточно далеким, должна быть произвольно
мала.
Если, предполагая ряд сходящимся, в неравенстве B) взять, в
частности, т = 1, то получим:
[а„+1|-се (при n=-N),
так что an+i^-0 или (что то же) ап-*0, и мы вновь приходим к извест-
известному необходимому условию сходимости ряда [364, 5°]. Оно
требует гораздо меньшего, чем принцип сходимости: необходимо,
чтобы не только далекие члены, в отдельности взятые,
были малы, но и сумма далеких членов, взятых в любом
количестве, должна быть мала! В этом смысле поучительно вер-
вернуться к гармоническому ряду [365, 1)] и к неравенству A), установ-
установленному для его членов. Хотя общий член здесь и стремится к 0, но
неравенство B) (настоящего п°) при е = = и т-п не выполняется ни
при одном п, и гармонический ряд расходится!
Нужно сказать, однако, что проверка выполнения приведенного
общего условия сходимости ряда в конкретных случаях обычно бы-
бывает затруднительна. Поэтому представляет интерес изучение класса
случаев, когда вопрос решается с помощью более простых средств.
377. Абсолютная сходимость. Мы видели в предыдущем параграфе,
что в отношении положительных рядов сходимость, по большей ча-
части, устанавливается легко, благодаря наличию ряда удобных при-
признаков. Поэтому естественно начать с тех случаев, когда вопрос о
сходимости данного ряда приводится к вопросу о сходимости поло-
положительного ряда.
Если члены ряда не все положительны, но начиная с некоторого
места становятся положительными, то отбросив достаточное количе-
* Оба автора принципа сходимости - Больцано и Коши сформу-
сформулировали его именно как условие сходимости бесконечного ряда.

377]	§ 3. СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ	295
ство начальных членов ряда [364, 1°], сведем дело к исследованию
положительного ряда. Если члены ряда отрицательны или, по край-
крайней мере, с некоторого места становятся отрицательными, то мы вер-
вернемся к уже рассмотренным случаям путем изменения знаков всех
членов [364, 3°]. Таким образом, существенно новым случаем будет
тот, когда среди членов ряда есть бесконечное ко-
количество как положительных, так и отрицатель-
отрицательных членов. Здесь часто бывает полезна следующая общая
Теорема. Пусть дан ряд (А) с членами произвольных знаков. Если
сходится ряд
2 К| = К| + |flss|.+ ... + \ап\ + ...,	(А*)
k=l
составленный из абсолютных величин его членов, то и дан-
данный ряд также сходится.
Доказательство сразу получается из принципа сходимо-
сходимости: неравенство
|#n + l + #n+2+ • • • ~^~ап+т\ == |#n+l| + |fln+2| + . . . + |йл+т|
показывает, что если условие сходимости выполняется для ряда (А*),
то оно тем более выполняется для ряда (А).
Можно рассуждать и иначе. Из положительных членов
ряда (А), перенумеровав их по порядку, составим ряд
2 Pk=Pi+p2+---+Pk+---;	(P)
/с=1
так же поступим с отрицательными членами и составим ряд
из их абсолютных величин
со
^-i Чт
т=1
Сколько бы членов того или другого ряда ни взять, все они содер-
содержатся среди членов сходящегося ряда (А*), и для всех частичных
сумм Рк и Qm выполняются неравенства
так что оба ряда (Р) и (Q) сходятся [365]; обозначим их суммы соот-
соответственно, через Р и Q.
Если взять п членов ряда (А), то в их составе окажется к поло-
положительных и т отрицательных, так что
Здесь номера к и т зависят от п. Если в ряде (А) как положительных,
так и отрицательных членов бесчисленное множество, то при ?z-"¦<*>
одновременно к-+°° и т—<*>.

296	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[378
Переходя в этом равенстве к пределу, приходим снова к заклю-
заключению о сходимости ряда (А), причем его сумма оказывается
равной
A=P-Q.	C)
Можно сказать, что при сделанных предположениях сумма дан-
данного ряда равна разности между суммой ряда, составленного из одних
положительных его членов, и суммой ряда, составленного из абсолют-
абсолютных величин отрицательных членов. Этим мы в последующем будем
пользоваться.
Если ряд (А) сходится вместе с рядом (А*), составленным из аб-
абсолютных величин его членов, то про ряд (А) говорят, что он аб-
абсолютно сходится. По доказанной теореме, одной сходимо-
сходимости ряда (А*) уже достаточно для абсолютной сходимости
ряда (А).
Как увидим ниже, возможны случаи, когда ряд (А) сходится, а
ряд (А*) - нет. Тогда ряд (А) называют неабсолютно схо-
сходящимся.
Для установления абсолютной сходимости ряда (А) - к по-
положительному ряду (А*) могут быть применены все признаки схо-
сходимости, изученные в предыдущем параграфе. Но нужно быть
осторожным с признаками расходимости: если даже ряд (А*)
окажется расходящимся, то ряд (А) может все же сходиться (н е а б-
с о л ю т н о). Исключение представляют только признаки К о ш и
и Даламбера, и именно потому, что когда они констатируют
расходимость ряда (А*), то это значит, что общий член \ап\ ряда (А*)
не стремится к нулю, а тогда ио„к нулю не стремится, так что и ряд
(А) также расходится. Поэтому упомянутые признаки могут быть пере-
перефразированы применительно к произвольному ряду. Сделаем это,
например, для признака Даламбера (который преимущественно
и применяется на практике):
Признак Даламбера. Пусть для варианты @* = 1^2±ii сущест-
\ап\
вует определенный предел:
<g)*=lim<g)*,
тогда при <Ц)*-с 1 данный ряд (А) абсолютно сходится, а при
@* > 1 он расходится.
378. Примеры. 1) Применить признак Даламбера ко всем рядам (а)—(д),
о которых была речь в 2) п° 370, но отбросив требование х=-0. Мы получим,что:
(а)	ряд абсолютно сходится для всех значений х;
(б)	ряд абсолютно сходится при -1-=л:«=1 и расходится при дэ=1 или
x=s -1 (при х = ± 1 нарушается необходимое условие сходимости);
(в)	ряд абсолютно сходится при -1-=л-=1 и расходится при х=~1 или х-= -1,
если б>1, то при х= ±1 ряд также абсолютно сходится, если же0-=,$==1,

378]	§ з. сходимость произвольных рядов	297
то при х — 1 ряд заведомо расходится, а при х= -1 вопрос пока остается
открытым;
(г)	ряд абсолютно сходится при -е^х^е и расходится при хз=е или
x=s - е (при х - + е нарушается необходимое условие сходимости);
1	1	1
(д)	ряд абсолютно сходится при	-х^— и расходится при хз=—
1/1	ее
или х~=—• при х= - — вопрос пока остается открытым)
е \	е
HJX1 ,
^ia+x)(.i+x*)-...-(i+x")
Имеем
| х |, если - 1 -=;
1*1
\\+хп\
О, если л:-= -1 или
итак, ряд абсолютно сходится для всех значений х^ - 1.
хп
3)
Л = 1 1-Х"
Здесь
н1;,1
лс|, если -l<x-=l,
если д: =-1 или л; -= - 1.
При | х | «= 1 ряд абсолютно сходится; при | х | =-1 признак Даламбера
ничего не дает, но все же можно заключить о расходимости ряда, ввиду нарушения
необходимого условия сходимости.
4) Вернемся к гипергеометрическому ряду [372]
, „	ч , ^т а.(а-1-1)	(а+и-1
F(a, ft у, x)=\+Z
n\y-{y+i)- ¦ ¦ --{у+п- 1)
- при любых а, /?, у, х (параметры а, /?, у предполагаются лишь отличными от
нуля и от целых отрицательных чисел).
Применяя признак Даламбера в новой форме, убеждаемся, что при [ х \ -= 1
этот ряд абсолютно сходится, а при |*|^1 расходится.
Пусть теперь х=\; так как отношение
ап+1	п	и3	" ~~
для достаточно больших п будет положительно, то члены ряда, начиная с неко-
некоторого места, будут иметь один и тот же знак, а тогда к ним (или к их абсолют-
абсолютным величинам) приложим по-прежнему признак Гаусса, который показывает,
что ряд сходится (конечно, абсолютно) при у-а-/?=-0 и расходится при
y/
Пусть, наконец, х= -1. Из только что сказанного ясно, что при у-а-/?=»0
будет сходиться ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

298	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[379
F(a, /?, у, -1), так что данный ряд в этом случае сходится абсолютно. При
у—а-/?-= -1 будем иметь, начиная с некоторого места,
ап
¦Л, т. е. \ап\-= \ап+1\,
ап не стремится к 0, ряд расходится.
В случае х=-\ и -1я?у-а-/?==0 вопрос о сходимости ряда
F(.a, Р,У> -1) остается пока открытым.
379. Степенной ряд, его промежуток сходимости. Рассмотрим сте-
степенной ряд вида
2 опхп = ао + ахх + а^х2 + ... + апхп + ...,	D)
л=0
представляющий собой как бы «бесконечный многочлен», расположен-
расположенный по возрастающим степеням переменной х(а0, а1,а2,... здесь обо-
обозначают постоянные коэффициенты). Выше мы не раз имели дело с
такими степенными рядами [см., например, в предыдущем п° 1)
(а)- (Д)].
Предложим теперь себе выяснить, какой вид имеет «область
сходимости» степенного ряда, т. е. множество % = {х} тех значений
переменной, для которых ряд D) сходится. Это послужит снова важ-
важным примером применения изложенного выше.
Лемма. Если ряд D) сходится для значения х = х, отличного от
О, то он абсолютно сходится для любого значения х, удовле-
удовлетворяющего неравенству: |х|<|3с|.
Из сходимости ряда:
2 я„хп = ао=а^с + оус2 + ... +апхп+ ...
п=0
вытекает, что его общий член стремится к 0 [364, 5°], а следователь-
следовательно, - ограничен [26, 4°]:
\апхп\^М (и = 0, 1,2,3, ...).	E)
Возьмем теперь любое х, для которого |х|-=|3с|, и составим
ряд
2 \апхп\ = |ао| + {а^х] + IflgX2! + ... + \апхп\ + ...	F)
п->0
Так как [см. E)]:
X
X

379]	§ 3. СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ	299
и члены ряда F) оказываются меньшими соответствующих членов
сходящейся геометрической прогрессии со знаменателем
м+м-\=\+м
xl*	,, \x
_ + ... +M-\ =
X>	X
то, по теореме 1 п° 366, ряд F) сходится. В таком случае, как мы
знаем, ряд D) сходится абсолютно, ч. и тр. д.
При х=0 сходится, очевидно, всякий ряд D). Но есть степенные
ряды, которые - помимо этого - не сходятся ни при одном значе-
значении х. Примером такого «всюду расходящегося» ряда может служить
ряд ^ п- х"> как в этом легко убедиться с помощью признака Д а-
1
л а м б е р а. Подобные ряды для нас не представляют интереса.
Предположим же, что для ряда D) вообще существуют та-
такие отличные от 0 значения х=х, при которых он сходится, и рас-
рассмотрим множество {\х\}. Это множество может оказаться либо
ограниченным сверху, либо нет.
В последнем случае, какое бы значение х ни взять, необходимо
найдется такое х, что |х| -= |3ё|, а тогда, по лемме, при взятом зна-
значении х ряд D) абсолютно сходится. Ряд оказывается «всюду
сходящимся».
Пусть теперь множество {|3с|} сверху ограничено, и R будет его
точная верхняя граница. Если- |х| >jR, to сразу ясно, что при
этом значении х ряд D) расходится. Возьмем теперь любое х, для
которого \х\ <Л. По определению точной границы, необходимо най-
найдется такое ~х, что \х\ < |3c[==jR; а это, по лемме, снова влечет за
собой абсолютную сходимость ряда D).
Итак, в открытом промежутке (-R, R) ряд D) абсолютно
сходится; для x>R и х< -R ряд заведомо расходится,
и лишь о концах промежутка х = ± R общего утверждения сделать
нельзя - там, смотря по случаю, может иметь место и сходимость,
и расходимость.
Поставленная нами задача решена.
Для каждого степенного ряда вида D), если только он не является
всюду расходящимся, «область сходимости» % представляет собой
сплошной промежуток от -R до R, со включением концов или нет;
промежуток этот может быть и бесконечным. Внутри промежутка,
к тому оке, ряд сходится абсолютно.
Упомянутый промежуток называют промежутком сходи-
сходимости, а число R @< jR«s + ¦») - радиусом сходимости ряда.
Если вернуться к примерам 1) (а) - (д) предыдущего п°, то, как легко
видеть, в случае
(a) R= + -; (б), (в) Д = 1; (г) R = e; (д) R = \ .

300	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[380
Для всюду расходящегося ряда принимают R = 0: его «область
сходимости» сводится к одной точке х = 0.
380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты. Теперь мы докажем
более точную теорему, в которой не только вновь устанавливается существование
радиуса сходимости, но и определяется его величина в зависимости от коэффи-
коэффициентов самого ряда D).
Рассмотрим последовательность:
п
Pi=KI, Ра = V"I«2J	 ?п=Т\<*п\, ¦¦¦
Обозначим наибольший предел этой последовательности [который
всегда существует, 42], через р, так что
л
р = Tim рп = lim У | о.ч | ¦
П -* «	Л -* =»
Теорема Коши — Адамара. Радиус сходимости ряда {А) есть величина,
п
обратная наибольшему пределу р варианты рп = У\ап\:
1
R = —
9
(при этом, если р = 0, то R = + ~, еслир ~ + ~, то R = 0).
Теорема эта, открытая Коши, была забыта; А д а м а р (J. Hadamard)
вновь нашел ее и указал важные приложения.
Доказательство. I случай: р = 0. Докажем, что в этом случае i?=+==,
т. е. что при любом х ряд D) абсолютно сходится.
("	)
Так как последовательность []/|ап\ | состоит из положительных элементов,
то из того, что р = 0, следует, что она имеет определенный предел:
п
lim У\ап\ =0;
отсюда варианта Коши
л	л
&.= У\ап\-\х\п= \х\ -ГЫ -0
при и-оо, каково бы ни было х. Следовательно, по признаку Коши [368], ряд,
составленный из абсолютных величин членов ряда A), сходится, а значит сам
ряд A) сходится абсолютно.
// случай: р = + •=. Докажем, что в этом случае R = 0, т. е. при всяком х * 0 ряд
A) расходится.
Так как
п
р= Пт УТо^Т= +~»
то, очевидно, можно найти такую частичную последовательность {и,}, чтобы
щ
lim У\ащ\ ~ •!-<».

380]	§ з. сходимость произвольных рядов	301
Следовательно, при каждом х^О найдется такой номер г0, что для всех js-i0 будет
выполняться неравенство:
	 1
/|ол4|=-	 или \a4-x"i\ =-l.
Видим, что в этом случае не выполняется необходимое условие сходимости
ряда (общий член ряда не стремится к нулю). Следовательно, ряд D) расходится.
Ill случай: р - конечное положительное число: 0 <= р «= + <*=. Докажем, что в этом
1	1	1
случае R = — , т. е. что при | х \ ~? — ряд абсолютно сходится, а при | х | =
Р	Р	Р
1
ряд расходится. Возьмем любое х, для которого |х| -=—-. Выбереме=-0 настолько
Р
малым, чтобы выполнялось неравенство
I г I
р+е
По этому г, очевидно, всегда можно найти такое число Nf, чтобы для всех n-~Nt
было:
на основании 1-го свойства наибольшего предела последовательности 42].
Отсюда следует, что варианта К о ш и
еп = У\^х"\ = \х\ ¦ УКИ \х\ .(Р+е)* 1
при всех n>-Ns. По признаку К о ш и , ряд, составленный из абсолютных величин
членов ряда D), сходится, а значит сам ряд D) сходится абсолютно.
Возьмем теперь любое х, для которого | jc | =— . Выберем е настолько малым,
Р
чтобы было
По 2-му свойству наибольшего предела [42], для сколь угодно больших
п будет выполняться неравенство:
У|в„|>р-е,
так что
Следовательно, для сколь угодно больших п общий член ряда
и ряд D) расходится.

302	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[381
381. Знакопеременные ряды. Знакопеременными назы-
называются ряды, члены которых поочередно имеют то положительный,
то отрицательный знаки. Знакопеременный ряд удобнее записывать
так, чтобы знаки членов были выявлены, например
сх-с2 ic3-c4i ...+( -1)"-]сп1 ...(с„=-0).	G)
По отношению к знакопеременным рядам имеет место следующая
простая теорема.
Теорема Лейбница. Если члены знакопеременного ряда G) моно-
монотонно убывают по абсолютной величине:
сл+х^сп (л = 1,2, 3, ...)	(8)
и стремятся к нулю:
lim cn = 0,
то ряд сходится.
Доказательство. Частичную сумму четного порядка
dm можно написать в виде:
Qm = (Ci ~ Cj) + (С3 - С4) + . . . + (C2m_i - С ).
Так как каждая скобка, ввиду (8), есть положительное число, то от-
отсюда ясно, что с возрастанием т сумма С2т также возрастает. С дру-
другой стороны, если переписать Сгт так:
Сът = С1 - (С2 - С3) - . . . - (c2m-2 - C2m-l) ~ С2т ,
то легко усмотреть, что Сгт остается сверху ограниченной:
В таком случае, по теореме о монотонной варианте [34], при без-
безграничном возрастании т частичная сумма Сгт имеет конечный
предел
limC2m = C.
Переходя к частичной сумме нечетного порядка C2m+i, имеем,
очевидно, C2m+i = C2m+C2m. Так как общий член стремится к нулю,
то и
lim Czm+i = С.
Отсюда следует, что С и будет суммой данного ряда.

382]	§ 3. СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ	303
Замечание. Мы видели, что частичные суммы четного по-
порядка Сгт приближаются к сумме С ряда возрастая. Написав
Сът-i в виде
-l = С1 ~ (С2 ~ Сз) ~ • ¦ • ~ (c2m-2 - C2m-l),
легко установить, что суммы нечетного порядка стремятся к С убы-
убывая. Таким образом, всегда
В частности, можно утверждать, что
Это позволяет дать весьма простую и удобную оценку для остат-
остатка рассматриваемого ряда (который и сам представляет собою та-
такой же знакопеременный ряд). Именно, для
очевидно, имеем:
наоборот, для
У%т-\= -
будет:
Таким образом, во всех случаях остаток ряда лейбницев-
ск о г о типа* имеет знак своего первого члена и меньше его по
абсолютной величине.
Это замечание часто используется при приближенных вычислениях
с помощью рядов [см. 409].
382. Примеры. 1) Простейшими примерами рядов л е й б н и ц е в с к о г о
типа служат ряды
(a)
2	1+
л=1 и	2 3
п=1 2л-1	3 5	2и-1
Сходимость обоих вытекает из доказанной теоремы.
В то же время ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходят-
расходятся: для ряда (а) это будет гармонический ряд, для ряда же (б) получится ряд
1 1	1
1
* Так мы называем знакопеременный ряд, удовлетворяющий условиям теоремы
Лейбница.

304	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[382
расходимость которого ясна из того, что его частичная сумма
Таким образом, в лице рядов (а) и (б) мы имеем первые примеры н е а б с о-
лготно сходящихся рядов. [Ниже мы увидим, что сумма первого из них
п
есть In 2, а сумма второго равна — ; 388, 2); 405, 404].
4
2) По теореме Лейбница сходятся ряды
3
\	,	E0).
л = 1 /2s ' n=2n-\nsn' л=3 nln И-Aп In ri)s
Если заменить все члены их абсолютными величинами, то, как мы знаем,
при 5>1 получатся сходящиеся ряды, а при ,y=s=l расходящиеся. Таким образом
исходные ряды при s =-1 оказываются абсолютно сходящимися, а при .?=sl -
неабсолютно сходящимися.
00 хп
В частности, про степенной ряд У! —, который мы рассматривали в 370
п=1Иа
и 378, теперь можно сказать, что на конце х- -1 своего промежутка сходимости,
при s=sl он все еще сходится, но неабсолютно.
^	х
3)	Рассмотрим ряд л (-l)nsin —, при любых лг^О. Теорема Лейб-
Лейбла	п
н и ц а применима, если не к этому ряду, то к его достаточно далекому (по но-
х
меру) остатку. Действительно, при достаточно большом п, sin — приобретает
п
знак л: и по абсолютной величине убывает с возрастанием п. Итак, ряд сходится
[очевидно, неабсолютно, см. 367, 8) (в)].
4)	Для того чтобы выяснить, что требование монотонного убывания чисел сп
в теореме Лейбница отнюдь на является лишним, рассмотрим знакопере-
знакопеременный ряд
-+-
fi-\ p+\ уз-i уз+i ya-i уп+i
общий член которого стремится к нулю. Сумма 2п его членов равна
2
у*+Г
и бесконечно возрастает вместе с п: ряд расходится! Нетрудно проверить, что
монотонность убывания нарушается всякий раз при переходе от члена
1 1
	— к члену ——==	.
Уи+1	уй+1-i

383]	§ з. сходимость произвольных рядов	305
Для той же цели может служить и расходящийся ряд
в чем убедиться предоставляем читателю.
5)	Последний ряд дает повод к такому замечанию. Если его сопоставить со
сходящимся рядом 2j	—" > т0 оказывается, что отношение их общих
ч=1 Уп
членов стремится к 1. Таким образом, теорема 2 п° 366 не имеет аналога в теории
рядов с членами произвольных знаков.
6)	Использование в выкладках расходящихся рядов и действий над
их бесконечными суммами может привести к парадоксам. Вот, например,
один из них:
111	/11	^ A 1
1- + г + ?+.	2
Если то же преобразование применить к сходящемуся ряду
Р=1	1	h--. 0s=-0),
2» 3» 4s
то получим, что
где
1 1 1
9=И	1	1	h...
2s 3s 4s
При s -= 1 (в этом случае последний ряд расходится!) снова приходим к пара-
парадоксу: р-=0 [ср. 381, замечание]. При i=-l мы имеем дело с сходящимися рядами,
и получается правильный результат.
383. Преобразование Абеля. Часто приходится иметь дело с сум-
суммами парных произведений вида
S = 2 ««А = «I/3! + «2& + • • • + «mjSm •	(9)
Во многих случаях при этом оказывается полезным следующее эле-
элементарное преобразование, указанное Абелем (N. H. Abel).
Введем в рассмотрение суммы
Вг = /31, В2=/?1+/52, Вз=/51+& + /5з, ...,
20 Г. М. Фихтенгольц, т. II

306	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
Тогда, выражая множители /5,- через эти суммы,
[383
сумму S можно написать в виде
S = а1Вх + ъ(В2 - Вх) + а3(В3 - В,) + ... + ocm(Bm - В,^).
Если раскрыть скобки и иначе сгруппировать члены, то и получим
окончательную формулу*
(=1
(«2 -
• • • +(<Zm-l—«т)Вш-
[Если переписать ее в виде
m-1
/- am)B/+ amBm •
m-l
то станет ясно, что эта формула для конечных сумм является ана-
аналогом формулы интегрирования по частям для интегралов: диффе-
дифференциал здесь заменен разностью, а интеграл - суммой.]
Основываясь на формуле A0), выведем теперь следующую оценку
для сумм указанного вида:
Лемма. Если множители щ не возрастают (или не убывают), а
суммы Bt все ограничены по абсолютной величине числом L:
(/-1,2,..., m),
то
\S\ =
Действительно, так как все разности в A0) одного знака, то
+ 2|ат|).
т-1
¦-2
Нетрудно видеть, что если множители а,- не возрастают и поло-
положительны, то оценку можно упростить:
\S\ =
(И)
Этими оценками мы будем ниже не раз пользоваться по разным
поводам. Сейчас мы их применим к выводу критериев сходимости,
более общих, чем установленный выше критерий Лейбница.
* По сути дела, мы уже пользовались подобным преобразованием при дока-
доказательстве второй теоремы о среднем значении [306].

384]	§ 3. СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ	307
384. Признаки Абеля и Дирихле. Рассмотрим ряд:
2 anbn = a1b1 + a2b2 + ... +anbn+ ...,	(W)
л=1
где {ап} и {Ьп} - две последовательности вещественных чисел.
Следующие предположения относительно каждой из них в отдель-
отдельности обеспечивают сходимость этого ряда.
Признак Абеля. Если ряд
2 bn = b1 + b2+ ...+bn+...	(В)
л = 1
сходится, а числа ап образуют монотонную и ограниченную последо-
последовательность
\an\*sK (и = 1,2, 3, ...),
то ряд (W) сходится.
Признак Дирихле. Если частичные суммы ряда {В) в совокупности
ограничены *:
\Вп\^М (и= 1,2,3,...),
а числа ап образуют монотонную последовательность, стремящуюся
к нулю:
lim ап=0,
то ряд (W) сходится.
В обоих случаях для установления сходимости ряда (W) мы при-
прибегнем к принципу сходимости [376]. Рассмотрим поэтому сумму
п + т	т
2 аФк = 2 an + ibn+i',
к=п + 1	( = 1
она имеет вид (9), если положить щ = ап+ь J3i=bn+i. Попытаемся оце-
оценить эту сумму с помощью леммы.
При предположениях Абеля, по заданному е>0 найдется такой
номер N, что при п >-N неравенство
будет выполняться, каково бы ни было р (принцип сходимо-
с т и). Следовательно, за число L, упоминавшееся в лемме, можно
принять е. Имеем тогда при n>N и т-1, 2, 3, ...:
п+т
2 аФ>к
что и доказывает сходимость ряда (W).
* Это требование шире предположения о сходимости ряда (В).
20*

308	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[385
При предположении Дирихле, по заданному е>0 найдется
такой номер N, что при п >N будет
\ап
Кроме того, очевидно,
и можно в лемме положить L-2M. Тогда, при n>N и т— 1, 2, 3, ...,
=s2M-f|an+i| +
и сходимость ряда (W) доказана.
Замечание. Признак Абеля вытекает из признака Д и-
р и х л е. Ведь из предложений Абеля следует, что ап имеет ко-
конечный предел а. Если переписать ряд (W) в виде суммы рядов
2 {an-a)hn\-a 2 Ьп,
то второй из них сходится по предположению, а к первому применим
уже признак Дирихле.
385. Примеры. 1) Если ап, монотонно убывая, стремится к нулю, а Ьп — (—1)п~',
то условия теоремы Дирихле, очевидно, выполнены. Следовательно, ряд
2 (- \)п'1ап = а1- а, + а3- ... +(- 1)"-»й„+ . -.
п = 1
сходится. Таким образом, теорема Лейбница получается, как частное след-
следствие теоремы Дирихле.
2) При тех же предположениях относительно ап, рассмотрим ряды (х - любое):
2 ctn-sinnx, 2an'cosnx.
n=i	л=а
Полагая а = 0ий = л;в тождествах A) и B) п° 307, которые там были установ-
установлены по другому поводу, мы найдем
п	cos—л--cos
2 sin ix =
1	( 1)
— х-cos «+— ¦
2 sin — x
sin n-\—
1
sin I n-\—I x-sin— x
v .	\ 2)	2
2j COS IX	,
*~	2 sin — x

385]	§ 3. СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ	309
в предположении лишь, что х не имеет вида 2кп (к = 0, +1, ±2, .. .)• Таким обра-
образом, если только х ^ 2кж, обе суммы при любом п по абсолютной величине ограни-
1
чены числом
х
sin —
2
По признаку Дирихле, оба ряда сходятся при любом значении х, отлич-
отличном от 7кп, впрочем, первый ряд сходится и при х = 2кл, ибо все члены его обра-
обращаются в 0.
В частности, например, сходятся ряды
^, sin пх	?-, ( 1	1 1 sin пх
2 	. 2 i+;r+--^— 	и т- п-
л=1 п	п=1 I 2	п) п
3) Большой интерес представляют ряды вида
2 -х ,	A2)
где {ап} - произвольная последовательность вещественных чисел; они носят
название рядов Дирихле.
Для них может быть доказана лемма, имеющая сходство с леммой п° 379,
относящейся к степенным рядам:
Если ряд A2) сходится при некотором значении х = х,то он сходится при всяком
Это сразу следует из теоремы Абеля, так как при х => х ряд A2) получается
из сходящегося ряда
умножением его членов на монотонно убывающие положительные множители
-Л;	A1=1,2,3,...).
пх-х
^ 1 1
Существуют ряды A2) «всюду сходящиеся», вроде 2	> и «всюду
1 2" пх
расходящиеся», вроде 21 — • Если исключить эти случаи, то с помощью при-
1 пх
веденной леммы легко установить существование пограничной абсцис-
абсциссы сходимости А, такой, что ряд A2) сходится при х =-Я и расходится при
х^к. Например, для ряда 21 — > очевидно, Я = 1, а для ряда 21
1 пх	1 пх
имеем /1 = 0. Если угодно, для «всюду сходящегося» ряда можно считать Я= -¦*>,
а для «всюду расходящегося» положить Я= +<*>.
Читатель легко усмотрит сходство со степенными рядами: в обоих случаях
«область сходимости» представляет собой сплошной промежуток. Но есть
и существенное отличие: область абсолютной сходимости здесь может не
°° (—I)"
совпадать с областью сходимости вообще. Так, указанный только что ряд 21
1 пх
сходится для х>0, а абсолютно сходится лишь для л' =-1.

310	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[385
4) Сопоставим с рядом Дирихле A2) ряд
^т	п\ап
n=ix{x+ !)•... -(х+п)'
A3)
при тех же значениях коэффициентов а„. При этом, естественно, будем считать
х отличным от 0, -1, - 2, ... и т. д.
С этим ограничением имеет место такое предложение, принадлежащее Лан-
Ландау (Е. Landau): ряды A2) и A3) сходятся при одних и тех оке значениях х.
Ряд A3) получается из ряда Дирихле A2) путем умножения его членов,
соответственно, на множители:
(и= 1,2,3,...).	A4)
При достаточно больших значениях и эти множители приобретают определен-
определенный знак. Кроме того, начиная с некоторого места, они изменяются уже моно-
монотонно.
Действительно, отношение (н+1)-го множителя к n-му будет таково:
\ п
КГ
Но [125, 4)]
( 1
v+n+1	х+1
1 +
п
\\ +1 х+1 (х+\)х I
1 +1+о\
и	2н2	[п2
и, аналогично,
1	х+1 (х + \У
= 1	+—— + о\-\,
x+i	п	и2
1 + —
п
откуда
6с+1)а- М-
= 1 + ——-—\-o\-\.
Из последней формулы явствует, что при {х+\)х>-0 упомянутое отношение
в конце концов становится бблыпим единицы, а при (x+l)x«=0 — меньшим еди-
единицы.
Для того чтобы установить ограниченность множителей A4), мы сошлемся
на то, что [как это будет доказано ниже, в п° 402, 10)] для выражения A4) при
п-~ существует конечный предел. Таким образом, по признаку Абеля,
сходимость ряда A2) влечет за собой сходимость ряда A3).

385J	§ 3. СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ	311
Так как названный предел (как мы увидим) всегда отличен от 0, то подобные
заключения применимы к множителям, обратным по отношению к A4). В таком
случае, по той же теореме, и сходимость ряда A3) влечет за собой сходимость
ряда A2). Этим доказано все.
5) Подобного же рода взаимность может быть установлена между поведе-
поведением так называемого ряда Ламберта (J. H. Lambert):
х
2ап-^—п	A5)
л=1 1-х"
и степенного ряда [379]
2 апхп,	A6)
л=1
с теми же коэффициентами ап (значения х = ±1, конечно, исключаются). Точнее
говоря:
Если ряд
2 ап	(А)
л=1
сходится, то ряд Ламберта A5) сходится при всех значениях х; в противном
же случае он сходится как раз для тех значений х, для которых сходится степен-
степенной ряд A6). [К н о п (К. Кпорр).]
(а) Пусть сначала ряд (А) расходится, так что радиус сходимости ряда
(А) будет R=ml. Покажем, что для \х\ ¦< 1 поведение рядов A5) и A6) одинаково.
Если сходится ряд A5), то сходится и ряд, полученный умножением его членов
на хп*, а следовательно, и ряд A6), который является разностью обоих рядов
[364, 4°]:
хп=2 \ап~.	Z-an-j—^
л=1 L 1-х" \-хп
2 апх2 \ап.Zanj^
n=i	л=1 L 1-х" \-хп
Пусть теперь сходится ряд A6); тогда, по признаку Абеля сходится
ряд, полученный умножением его членов на монотонно убывающие мно-
1
жители	:
1-х2"
2 йпхп	, равно как и 2
* Если какой-либо ряд, скажем, 2 Ьп сходится, то это значит, что степенной
1
Ряд 2 ЬпХп сходится при л: = 1, а тогда, по лемме п° 379, этот ряд заведомо сходится
при любом х, для которого |х|-=1. Этим замечанием мы еще дважды будем
пользоваться в рассуждении, проводимом в тексте.

312
ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
[385
Следовательно, сходится и ряд A5), который представляет сумму этих рядов
[364, 4°]:
v x" v
Для |х|=-1 ряд A6) заведомо расходится; мы утверждаем, что при этом
значении л: расходится и ряд A5). Действительно, в противном случае, из сходи-
сходимости ряда
У *"	у	1
вытекала бы сходимость рядов [364, 4°]:
у
c-r
2'*«=
л=1
«л-
fir
1 Ui
вопреки предположению.
F) Если ряд (А) сходится (так что if s=l), то для |л:|*=1 ряд A6) сходится,
и сходимость ряда A5) устанавливается как и выше. Остается показать, что ряд
A5) сходится и при |л:| »1.
=1 и ряд
Действительно, тогда
у
1L
как упомянуто, сходится, следовательно, сходится и ряд [364, 4°]:
n=l
_=_ У л	J	у
я,1 + а„
6) В заключение, в качестве примера непосредственного применения преобра-
преобразования Абеля A0), приведем тождество
2
л=1
= (!-*) 2 А„х",
1
2
л=1
где
(п-0, 1, 2, ..

386]	§ 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	313
При этом |л:| предполагается не только меньше радиуса сходимости Я первого
ряда, но и меньше 1.
В самом деле, имеем:
л	л—1
2 «/*'= 2 Al(x'-xi + l)+Anxn.
i = 0	1 = 0
Отсюда при и-»»» и получается требуемое равенство, если только установить
еще, что Апхп - 0. С этой целью возьмем число г под условиями
\x\-=r-=R, rf-1.
Тогда |о,| r'=sL (для / = 0, 1, 2, ...) и
11	П	L (\х\\п Lr
+-+-+¦••+-= 1*1"=;— — — I
ГГ2	,."/	1Г\Г/1
Последнее же выражение при сделанных предположениях, очевидь стремится к 0.
§ 4. Свойства сходящихся рядов
386. Сочетательное свойство. Понятие суммы бесконечного ряда
существенно отличается от понятия суммы конечного числа слагаемых
(рассматриваемого в арифметике и алгебре) тем, что включает в себя
предельный переход. Хотя некоторые свойства обычных
сумм переносятся и на суммы бесконечных рядов, но чаще всего лишь
при выполнении определенных условий, которые и подлежат изуче-
изучению. В иных же случаях привычные нам свойства сумм разительным
образом нарушаются, так что, вообще, в этом вопросе надлежит
соблюдать осторожность.
Рассмотрим сходящийся ряд
2 ап = а1 -I а2 -\- ... -I ап + ...	(А)
и станем объединять его члены произвольным образом в группы, не
меняя при этом их расположения:
йх + ... + а„г, ащ f.i-\- ... + аПг, •..,
Ял*_,+1+ ... +ап/с, .. ¦
Здесь {пк} есть некоторая, извлеченная из натурального ряда, ча-
частичная возрастающая последовательность номеров.
Теорема. Ряд, составленный из этих сумм:
... (А)
всегда сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд. Иными
словами: сходящийся ряд обладает сочетательным свой-
свойством.

314	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[386
Действительно, последовательность частичных сумм нового ряда
А л	А
1' Л2> • • • у ЛА» • • •
есть не что иное, как частичная последовательность
А А	А
сумм исходного ряда. Этим [40] и доказывается наше утверждение.
Мы видим - пока - полную аналогию с обычными суммами; но
эта аналогия нарушается, если мы попытаемся применять сочетатель-
сочетательное свойство, так сказать, в обратном порядке. Если дан сходя-
сходящийся ряд (А), члены которого каждый в отдельности представ-
представляют собой сумму конечного числа слагаемых, то, опустив скобки,
мы получим новый ряд (А), который может оказаться и расходя-
расходящимся.
Вот простые тому примеры: ряды
A-1) + A-1) + A-1)+... =0 + 0 + 0+... =0
и
1-A -1) - A-1)-... = 1-0-0-...=1,
очевидно, сходятся, между тем как полученный из них опусканием
скобок ряд
1-1 + 1-1 + 1-1 + ...
будет расходящимся.
Конечно, если — опустив скобки — мы получим сходящийся
ряд (А), то его сумма будет та оке, что и у ряда (А). Это вытекает
из данного выше.
При некоторых условиях можно наперед гарантировать, что ряд
(А) будет сходиться. Простейшим случаем этого рода является тот,
когда все слагаемые в (А) внутри одних и тех же
скобок будут одного знака*.
Действительно, тогда при изменении п от пн-i до пк частичная
сумма Ап будет изменяться монотонно, следовательно, будет содер-
содержаться между A^i_1=Aic-1 и Ащ=Ак. При достаточно большом/:
эти последние суммы произвольно мало разнятся от суммы А ряда
(А), следовательно, то же справедливо и относительно суммы Ап при
достаточно большом и, так что Ап->-А.
Этим замечанием мы не раз будем пользоваться в последующем.
* Этот знак от одних скобок к другим может меняться.

387]	§ 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	315
Рассмотрим и сейчас такой
" (-1)Ё(Ул)
Пример. Установить сходимость ряда 2i 	•
n=i n
Здесь сначала идут 3 отрицательных члена, за ними 5 положительных и т. д.
Если объединить каждую такую группу членов одного знака в один член, то полу-
получится знакопеременный ряд
Легко установить неравенство
к	к + 1
2 1 1
например, так как сумма первых к слагаемых меньше, чем к— = —, а сумма
кг к
последних (к+1) слагаемых меньше, чем (к + 1)	= —, то вся сумма, действи-
2	№+к к
тельно, будет меньше, чем —. Отсюда заключаем, что члены ряда A) будут стре-
к
миться к нулю, монотонно убывая по абсолютной величине. Тогда, по теореме
Лейбница, ряд A) сходится, следовательно, в силу сделанного выше заме-
замечания, сходится и предложенный ряд.
387. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Пусть
дан сходящийся ряд (А), имеющий сумму А. Переставив в нем члены
произвольным образом, мы получим новый ряд:
2а'к = а1 + а'2+...+а'к+...	(А')
Каждый член а'к этого ряда отождествляется с определенным членом
пщ. исходного ряда*.
Возникает вопрос, сходится ли ряд (А') и - в случае сходимости -
будет ли его сумма равна сумме А исходного ряда. При рассмотрении
этого вопроса нам придется провести резкое различие между абсо-
абсолютно и неабсолютно сходящимися рядами.
Теорема. Если ряд (А) абсолютно сходится, то ряд (А'), полу-
полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту
же сумму А, что и исходный ряд. Иными словами: абсолютно
сходящийся ряд обладает переместительным свойством.
Доказательство, (а) Проведем доказательство в два при-
приема. Предположим сначала, что ряд (А) - положительный.
* Причем последовательность номеров {щ} без пропусков и повторений вос-
воспроизводит - с точностью до порядка - натуральный ряд.

316	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[388
Рассмотрим произвольную частичную сумму А'к ряда (А'). Так
как
то, взяв п' большим всех номеров щ, и2, ..., пк, очевидно, будем иметь
A'k=sAn,, а следовательно, и подавно
В таком случае (А') будет сходящимся [365] и его сумма А' не пре-
превзойдет А:
А'^А.
Но и ряд (А) из (А') получается перестановкой членов, поэтому
аналогично:
A<sA'.
Сопоставляя полученные соотношения, придем к требуемому равен-
равенству: А'=А.
(б) Пусть теперь (А) будет произвольный абсолютно сходящийся
ряд.
Так как сходящийся положительный ряд:
2 |а„| = |о,| + |о2| + ••¦ + Ы + ••¦,	(А*)
п = 1
по доказанному, при любой перестановке членов останется сходя-
сходящимся, то по теореме п° 377 сохранит при этом свою (абсолютную)
сходимость и ряд (А).
Далее, мы видели в 377, что, в случае абсолютной сходи-
сходимости ряда (А), его сумма выражается так:
A=P-Q,
где Р и Q суть суммы положительных рядов
2
/.=1
2 Чт,	(Q)
т = 1
составленных, соответственно, из положительных и абсолютных ве-
величин отрицательных членов ряда (А).
Перестановка членов в ряде (А) вызовет перестановку членов и
в этих рядах, но не отразится (по доказанному) на их суммах Р и Q.
Следовательно, и сумма ряда (А) останется прежней, ч. и тр. д.
388. Случай неабсолютно сходящихся рядов. Обратимся теперь к
рассмотрению неабсолютно сходящихся рядов и установим,

388]	§ 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	317
что они переместительным свойством не обладают: в каждом таком
ряде надлежащей перестановкой членов можно изменить его сумму
или даже вовсе нарушить сходимость.
Предположим, что ряд (А) сходится, но неабсолютно. Из
сходимости следует, что limon = 0 [364, 5°]. Что же касается рядов
(Р) и (Q), о которых мы упоминали в предыдущем п°, то, хотя, оче-
очевидно,
lim/>ft-0 и lim<7m=0,	B)
к-*~ °°	тп-*- °°
но в данном случае они оба расходятся.
Действительно, имеют место равенства
An = Pk-Qm, A*=Pk + Qm,	C)
если кат означают число положительных и отрицательных членов
в составе первых и членов ряда (А). Подчеркнем, что из трех номе-
номеров п, к, т один может быть взят произвольно, а другие два по нему
подбираются. Из сходимости одного из рядов (Р) или (Q), ввиду пер-
первого из равенств C), вытекла бы с необходимостью и сходимость
другого, а сходимость обоих, ввиду второго из этих равенств, имела
бы следствием сходимость ряда (А*) - вопреки предположению!
Докажем теперь следующую замечательную теорему, принадле-
принадлежащую Р и м а н у:
Теорема Римана. Если ряд (А) неабсолютно сходится, то
какое бы ни взять наперед число В (конечное или равное ± ~), можно
так переставить члены в этом ряде, чтобы преобразованный ряд имел
своей суммой именно В.
Доказательство. Остановимся на случае конечного В. За-
Заметим, прежде всего, что из расходимости рядов (Р) и (Q), в силу
364, 1°, вытекает, что и все их остатки также будут расходя-
расходящимися, так что в каждом из этих рядов, начиная с любого
места, можно набрать столько членов, чтобы сумма превзо-
превзошла любое число.
Пользуясь этим замечанием, мы следующим образом произведем
перестановку членов ряда (А).
Сначала возьмем столько положительных членов нашего
ряда (в том порядке, в каком они в нем расположены), чтобы их сумма
превзошла число В:
PiJrp2+ ..	B
Вслед за ними выпишем отрицательные члены (в том по-
порядке, в каком они расположены в данном ряде), взяв их столько,
чтобы общая сумма стала меньше В:
Px+Pi-v ... +Pk~ 11-42- ¦¦¦ -Чт^В.

318	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	C88
После этого снова поместим положительные члены (из числа
оставшихся) так, чтобы было
• + PK — <7l — ¦ ¦ ¦ — qml +Pki+1 + ¦ ¦ ¦ +Pk, ="-O.
Затем наберем столько отрицательных членов (из числа остав-
оставшихся), чтобы было
РХЛ- . . . + Ркх - #i - • • • - <7т, +Ркх + \ + ¦ ¦ ¦ +Рк, — Чтх+Х - ... - #т, ¦= В
и т. д. Процесс этот мы мыслим продолженным до бесконечности;
очевидно, каждый член ряда (А), и притом со своим знаком, встре-
встретится на определенном месте.
Если всякий раз, выписывая члены р или q, набирать их не больше,
чем необходимо для осуществления требуемого неравенства, то укло-
уклонение от числа В в ту или другую сторону не превзойдет по абсо-
абсолютной величине последнего написанного члена. Тогда из B) ясно,
что ряд
(рх+ ... +Pkl)-(q1 +¦¦¦ +qmd +•¦•
¦ ¦ ¦ +(Pk(.1+i+ ¦ ¦ ¦ +Pk()-(qmt-r+i+ ¦ ¦ ¦ -<7m<)+ • • •
имеет своей суммой В. В силу замечания п° 386, это останется вер-
верным и после раскрытия скобок.
Если В = + °°, то, взяв последовательность возрастающих до бес-
бесконечности чисел Вь можно было бы набор положительных чисел
подчинить требованию, чтобы суммы последовательно становились
больше Вх, В2, Bs и т.д., а из отрицательных членов помещать лишь
по одному после каждой группы положительных. Таким путем, оче-
очевидно, составился бы ряд, имеющий сумму + <=. Аналогично можно
получить и ряд с суммой - ~*.
Установленный результат подчеркивает тот факт, что н е а б с о-
л ю т н а я сходимость осуществляется лишь благодаря взаимно-
взаимному погашению положительных и отрицательных
членов, и потому существенно зависит от порядка, в котором они
следуют один за другим, между тем, как абсолютная сходи-
сходимость основана на быстроте убывания этих членов — и от порядка
их не зависит.
Примеры. 1) Рассмотрим заведомо неабсолютно сходящийся ряд:
* Читатель легко сообразит, как разместить члены данного ряда, чтобы частич-
частичная сумма преобразованного ряда имела в качестве наименьшего и наи-
наибольшего пределов два наперед заданных числа В и С>С.

388]	§ 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	319
сумма которого, как легко показать [см. 2)], есть In 2. Переместим его члены так,
чтобы после одного положительного следовали два отрицательных:
11111	1	11
1	E)
мы утверждаем, что сумма ряда от такого перемещения умень-
уменьшит с я вдвое.
В самом деле, если обозначить частичные суммы этих двух рядов, соответ-
соответственно, через Ап и Ап, то
л' -$( 1 - J -1]- У( Х _ М 1 У( 1 -1}-1 j
зт ё\2к-\ 4fc-2 4к}~кй[4к-2 4к} = 2,й{2к-1 2к)~2 2т>
, 1
так что Azm -— In 2. Так как
1	1
'	А
4/и	4/и - 2
стремится к тому же пределу — In 2, то ряд E) сходится и имеет суммой именно
это число.
2) Более общий результат можно получить, если исходить из формулы для
частичной суммы Нп гармонического ряда [367 D)]
#л = И—+...Н— = In n+C+yn,
2	п
где С есть эйлерова постоянная, а. уп - бесконечно малая. Отсюда,
прежде всего, имеем
Расположим теперь члены ряда D) в таком порядке: сначала поместим р поло-
положительных и q отрицательных, потом снова р положительных и q отрицательных
и т. д. Для того чтобы определить сумму ряда
1	11	11	11
+ з"+'"+27м 2~---~2	F>
нам удобнее объединить последовательные группы из р или q членов. Частичная
сумма Ат полученного таким путем ряда равна
т = \п\2 |/-

320	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[389
( \П\
и стремится к пределу In 2 / — ; к тому же пределу стремится и сумма Avl_x.
\ 1 1)
Наконец, в силу замечания п° 386, и ряд F) будет иметь суммой это же число
1
В частности, для ряда D) получается In 2 (р = <? = 1), для ряда E), как и в 1),
1
— In 2 0>=1, Ч~2). Аналогично:
11111
(р=2, q=l)
11111 1 1 1 11
1	f.	+	...=0
2 4 6 8 3 10 12 14 16 5
(р=1, q=4)
и т. п.
Заметим, что если численность последовательных групп положительных и
отрицательных членов еще изменять от группы к группе, то легко закон этого
изменения подобрать так, чтобы для преобразованного ряда действительно полу-
получить любую наперед заданную сумму. Предоставляем читателю убедиться
в этом.
389. Умножение рядов. О почленном сложении (или вычитании) двух
сходящихся рядов, равно как о почленном умножении сходящегося
ряда на постоянный множитель - уже была речь в 364, 3° и 4°. Те-
Теперь мы займемся вопросом об умножении рядов.
Пусть даны два сходящихся ряда:
..+ап+...	(А)
В = Zbm = bl + b2+...+bm+...	(В)
т = \
Подражая правилу умножения конечных сумм, рассмотрим и здесь
всевозможные парные произведения членов этих рядов: af)k\ из них
составится бесконечная прямоугольная матрица:
аф1 ajZ»! a3bl ... афх .. ¦
аф„ аф* аф2 ... аф2 ¦ ¦ ¦
аф3 аф3 аф3 ... аф3 ...	G)
афк ... афк

389]
§ 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
321
Эти произведения можно многими способами располагать в виде
простой последовательности. Например, можно выпи-
выписывать произведения по диагоналям или по квадратам:
a A
я А
a A
a2b2
a2b3
aA
(кЬг
a3b3
. . .
. . .
. . .
что, соответственно, приводит к последовательностям:
или
«А; ДА>
«A» #2^2' °2^
(8)
(9)
Составленный из подобной последовательности ряд называется
произведением рядов (А) и (В).
Теорема Кохии. Если оба ряда (А) и (В) сходятся абсолютно,
то их произведение, составленное из произведений G), взятых в л ю-
б о м порядке, также сходится и имеет своей суммой произведение
сумм АВ.
Доказательство. По предположению, ряды
... +\an\+ ...
(А*)
(В*)
сходятся, т. е. имеют конечные суммы, скажем, А* и В*.
Расположив произведения G) произвольным образом в виде по-
последовательности, составим из них ряд:
2 аФк. = афЬх + aubk, + ...
(Ю)
Чтобы доказать сходимость соответствующего ряда из абсолютных
величин:
2 I афк. | = | в/А, | + | я/А. I + • • • +1 аФь.\ +¦¦¦>
s=l
(И)
21 Г. М. Фихтешольц, т. II

322	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[389
рассмотрим его s-ю частичную сумму; если через v обозначить наи-
наибольший из значков il5 къ i2, к2, ..., /s. ks> т°, очевидно,
Отсюда [365] вытекает сходимость ряда A1), следовательно, и абсо-
абсолютная сходимость ряда A0).
Остается определить его сумму. Мы вправе придать членам ряда
A0) более удобное для этого расположение, ибо ряд этот, как абсо-
абсолютно сходящийся, обладает переместительным свойством [387].
Разместив эти члены по квадратам, как в (9), мы объединим
последовательные группы, которые отличают один квадрат от другого
афх + (афг + аф2 + афг) + {аф% + аф3 + аф3 + аф2 + аф^ + ... A2)
Если через Ап и Вт, как обычно, обозначить частичные суммы рядов
(А) и (В), то для ряда A2) частичные суммы будут
они стремятся к произведению АВ, которое, таким образом, является
не только суммой ряда A3), но и ряда A0).
При фактическом умножении рядов чаще всего представляется
удобным размещать произведения G) по диагоналям, как в
(8); обычно члены, лежащие на одной диагонали, при этом объеди-
объединяются:
АВ - афх + (афг + афу) + (аф3 + афг + аф^) + ...	A3)
В этом именно виде К о ш и впервые и представил произведение
двух рядов. Так, написанный ряд мы впредь будем называть произ-
произведением рядов (А) и (В) в форме Коши.
Пусть, например, перемножаются два степенных ряда
2^	0 1 2 ... +апхп+ ...,
л=0
... +bmxm+ ...
[причем л: взято внутри соответствующих промежутков схо-
сходимости, 379]. Тогда, как нетрудно сообразить, указанный прием
отвечает приведению подобных членов в произведении:
2 апхп • 2 Ьтхт = аф0 + (афг + афо)х + (аф2 + аф1
Л = 0	Л! = 0
Таким образом, произведение двух степенных рядов в форме К о-
ш и непосредственно представляется в виде степенного же ряда.

§ 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	323
390. Примеры. Во всех примерах, кроме последнего, произведения рядов бе-
берутся в форме К о ш и.
1)	Помножив ряд
1 ^
— = Z хп~1+х + хг+...+хп+... (|х|-=1)
1 - х о
на самого себя, таким путем получим:
1	°°
	= У. их"-1 = 1 + 2x4- Зх2 + ... + пхп~г + ...
A - хУ 1
2)	Умножение рядов:
1 °°
	= 2(
1-f-JC 0
^	Хт	X2 X3	Хт
2 (- ])"•-! —^х- +--...+(- iyn-i—+...	A4)
1	m	2 3	/и
(где | л: | -= 1) даст такой результат:
Ниже мы увидим [405], что сумма ряда A4) есть ln(l+x), так что последнее
,	In A4-х)
разложение представляет функцию 	.
1+х
3) Произвести возведение в квадрат:
(z - любое).
Указание. Воспользоваться элементарно доказываемой формулой:
„ 2v\
4) Тождество [см. 385, 6)]
2,Апхп = -	2<
п-0	1—Хп=0
21*

324	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	1390
2апхп = A-х) 21 Апхп
л=0 п-й
(где Ап^па+а^Л-	Ьял)
легко доказывается путем почленного умножения.
При этом, если в промежутке (-7?, 7?) @-=/{=sl) сходится один из двух рядов,
отсюда уже следует сходимость в том же промежутке и другого ряда.
5) Доказать тождество (я=»0):
/1 1 х ЬЗ х2	W 1 ЬЗ
l	I	t
6) Как мы знаем уже [378,1) (а)], ряд
^,а" л: .v2 Xs
?1
абсолютно сходится при всех значениях х, обозначим его сумму через Е(х).
Заменив здесь л: на у, получим аналогичный ряд с суммой Е(у). Произведение
обоих рядов в форме К о ш и имеет общий член:
уп х уП-1 Х2 уп-г	хк уп-к	хп
' л!" + 7Г (п- 1)!+2Т'(и-2)! +'"+к\' (п-к)\+ "'+ri'
2 L
ЩУ	и! ¦
Таким образом, для неизвестной нам пока функции Е(х) получается соотно-
соотношение
— при любых вещественных хм у. Впоследствии это даст нам возможность уста-
установить, что Е(х) есть показательная функция [439, 3); ср. 75, Г].
7) С помощью признака Даламбера легко показать, что ряды
•?,	Хт	X2 X*	Хт
(-1)"
1+ ...+A)
Bл)!	2! 4!	2п!
™-1	х3 хъ
(l)mi
S(xJ (l)x+...+(l)+..
i	Bm-l)!	3! 5!	Bm-l)!
абсолютно сходятся при всех значениях х. Путем умножения рядов можно
доказать соотношения
С(х+у) = С(х)-Оу) - S(x).S(y),

391]	§ 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	325
Так как на деле S(x) и С(х) есть не что иное, как sin x и cos х [404], то мы узнаем
здесь известные теоремы сложения для этих функций.
8) Рассмотрим, наконец, положительный ряд
который сходится для х=-1 [365, 2)] и представляет функцию С Р и м а н а. Вы-
Вычислим, с помощью умножения рядов, ее квадрат.
Всевозможные произведения
111
пх тх (п-т)х
на этот раз мы разместим так, чтобы члены с одним и тем же числом к=п ¦ т
в знаменателе стояли рядом, а затем - объединим их. Каждому к будет отвечать
столько (равных между собой) членов, сколько делителей п имеет число к, т. е.
т{к). Итак, окончательно,
391. Общая теорема из теории пределов. Для упрощения изложения в ближай-
ближайшем п° и в последующем мы установим здесь одну теорему из теории пределов,
дающую широкое обобщение известных теорем Коши и Штольца [33].
Эта теорема принадлежит Теплицу (О. Toplitz). Мы докажем ее в два приема.
I. Предположим, что коэффициенты tnm {l=sm=sn) бесконечной ^треугольной»
матрицы
hi
hi hz
hi Ы t33
		A5)
hii tnz 'лз • • • 'л/1
удовлетворяют двум условиям:
(а)	Элементы, стоящие в любом столбце, стремятся к нулю:
tnm — Q nPu я-*°° (т фиксировано).
(б)	Суммы абсолютных величин элементов, стоящих в любой строке,
ограничены все одной постоянной:
I ttn I + \tnz 1+ • • ¦ +1 Inn \*sK (К = const).
Тогда, если варианта хп — 0, то это псе справедливо и относительно варианты
составленной из значений исходной варианты с помощью коэффициентов мат-
матрицы A5).

326	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	C91
Доказательство. По е=-0 найдется такое т, что при п=-/и будет:
е
| Хп | -= — ; для этих п имеем, используя (б):
2л
Так как т здесь уже постоянно, то - ввиду (а) — существует такое Ns&m, что
Е
при n^N ж первое слагаемое справа будет <—, следовательно, \х'п\^е, что
и тр. д.
II. Пусть коэффициенты tnm, кроме условий (а) и (б), удовлетворяют еще условию:
(в)	2Wni + fnj+...+fmi-l прип-~*.
Тогда, если варианта хп-*а (а — конечно), то также и
Хп = tniXi + /Л2*2 + • • • + tnn*n - О.
Доказательство. Выражение для х'п, очевидно, можно переписать
так:
х'п = tni(xi- a)+tn«(x,_- a)+ ¦ ..+tnn(.Xn-a)+Tn-a.
Применяя теорему I к варианте хп-а^0 и опираясь на (в), непосредственно при-
приходим к требуемому заключению.
1°. Теорема К о ш и [33] отсюда получается, если положить
1
'щ = 'П2 = • • • = tnn — •
П
Выполнение условий (а), (б), (в) очевидно.
2°. Обратимся к теореме Штольца [33], сохраняя прежние обозначения.
Итак, пусть имеем две варианты хп и уп, из которых вторая стремится монотонно
к +оо. Предположим, что варианта
-а,
Уп-Уп-i
(я= 1,2,3,...; хо=Л=О):
и применим к ней теорему II, полагая tnm =	. Выполнение условий
Уп
(а), (б), (в) легко проверяется. Тогда получим, что варианта
хп irt Хт — Хт—г
— = ^i tnm	' а>
Уп ш=1 Ут~Ут—1
ч. и тр. д.
Приведем ряд других полезных следствий теоремы Теплица.
3°. Пусть даны две варианты хп -* 0 и уп - 0, причем вторая из них удовлетворяет
условию:
(л=1, 2, 3, ...; АГ= const).
Тогда и варианта
yn -1 + • • • + ХпУ1 "* 0.
В применениях обычно Тп = 1.

392]	§ 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ	327
Простое применение теоремы I при tnm = yn—m+i-
4°. Если варианта хп-а, а варианта уп-Ь, то варианта
2П =	-аЬ.
п
Пусть сначала я-0 и требуется доказать, что zn—0. Это просто вытекает из
следствия 3°, если заменить в нем уп на — . Условие, наложенное там на уп, легко
п
проверяется с учетом того, что здесь уп ограничено: \yn\*sK.
Обращаясь к общему случаю, перепишем гп в виде
¦+уп
Первое слагаемое справа стремится к 0, по только что доказанному. Второе же
слагаемое стремится к ab, ибо множитель при а имеет пределом Ъ по теореме
Коши A°).
5°. Если хп-*а, то и*
2"
Применяем теорему II, полагая
Так как С™ «= л771 и	-0 [32, 9)], то условие (а) выполнено. Выполнение условий
(б) и (в) вытекает непосредственно из того, что
2
т = 0
6°. Если хп-*а и z = const (z»0), то и
хп
Это - простое обобщение предыдущего утверждения, и доказывается оно анало-
аналогично. Можно коэффициенты расположить и в обратном порядке, так что и
'¦•Х2+...+1-Хп
*'———1г^	*
392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов. Как указал М е р т е н с
(F. Mertens), результат Коши может быть распространен на более общий случай.
* Конечно, несущественным является то, что нумерацию значений варианты
мы начинаем с 0 вместо 1.

328	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[392
Теорема Жертенса. Если ряды (А) и (В) сходятся, причем хоть
один из них сходится абсолютно, то разложение A3) имеет место.
Доказательство. Пусть, скажем, ряд (А) сходится абсолютно, т. е.
сходится ряд (А*).
Объединяя члены на л-й диагонали, положим
сп = a1bn+a2bn-i+ ¦ ¦ ¦ +an-l
так что нужно доказать, что Сп-~АВ.
Прежде всего, нетрудно видеть, что
Сп = ахВп + агВг _!+ ... +an-1Bi+anBl.	A6)
Если положить Вт = В - /?т (гле остаток /?т -* О при т - °°), то сумма Сп пере-
перепишется так:
Сп = АпВ-уп, где уп=*афп+афп-\Л- ¦ ¦¦+an-iP2+anpi;
так как Ап -~А, то весь вопрос сводится к доказательству соотношения: lim yn = 0.
А это утверждение сразу следует из 3°, 391 (при хя=/?п и уп = ап), если учесть,
что
где А* - сумма сходящегося, по предположению, ряда (А*).
В виде примера применения теоремы, вернемся к задаче 4) п° 390. Упомянутое
там равенство, как мы видим теперь, имеет место и на конце х = ± R промежутка
сходимости ряда ^ апхп, если Я<1 и ряд на этом конце вообще сходится (хотя
о
бы и н е а б с о л ю т н о).
Заметим, что если бы оба ряда (А) и (В) сходились лишь
неабсолютно, то уже нельзя было бы ручаться за сходи-
сходимость ряда A3). Для примера попробуем умножить ряд
~ (-1)"	1 1	1
2 —-— = i—+—..^(-ly-1—+...
»-1 Тп	V* УЗ	fn
[как мы знаем, 382, 2] сходящийся неабсолютно] на самого себя. В этом
случае
(XI	1	X \
так как каждое слагаемое в скобках больше — , то | сп\ =» 1 (при п> 1) и ряд _2" сп
п	1
расходится [364, 5°].
Однако если аналогично поступить с также неабсолютно сходящимся
[382, 1)] рядом
44
2 3

393]	§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ	329
то окажется, что
Здесь, при возрастании п, \сп\ стремится к 0, монотонно убывая, так что [по тео-
теореме Лейбница, 381] ряд 2сп все же будет сходящимся. Какова же
1
его сумма, будет ли она равна (In 2)a ? На этот вопрос отвечает
Теорема Абеля. Лишь только для двух сходящихся рядов (А) и (В) и их
произведение, взятое в форме Кош и, оказывается сходящимся, то его
сумма С необходимо равна А • В.
Доказательство. Сохраняя прежние обозначения, из A4) легко полу-
получаем:
d + C.,+ ... + Сп = А1Вп+А2Вп_1 + ... +АпВ1.
Разделим это равенство почленно на п и перейдем к пределу при п-°°. Так как
Сп~С, то по теореме Коши [33; см. также 391, Г] и среднее арифметическое
Q+C.+•••+<:„
л
С другой стороны, в силу 391, 4° (если положить там хп = Ап, уп = Вп),
AlBn+AiBn_l+ ... +
¦~АВ.
Отсюда С=А-В, ч. и тр. д.
§ 5. Повторные и двойные ряды
393. Повторные ряды. Пусть задано бесконечное множество чисел
ej» (/=1,2,3, ...;*= 1,2,3, ...),
зависящих от двух натуральных значков. Представим себе их рас-
расположенными в виде бесконечной прямоугольной матрицы:
4 4	/
42> 42) • • • af
43) 43) ••• 43
Такого рода матрица носит название бесконечной прямоугольной
матрицы с двумя входами.

330	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[393
Теперь остановимся на одном понятии, связанном с рассмотрением
матриц вида A) - понятии повторного ряда.
Если в бесконечной прямоугольной матрице просуммировать каж-
каждую строку отдельно, то мы получим бесконечную последователь-
последовательность рядов вида
%а?\	B)
Просуммировав теперь эту последовательность вторично, будем
иметь
2 2 <№¦	C)
Полученный символ и носит название повторного ряда. Если
заменить строки столбцами, т. е. если суммировать члены нашей бес-
бесконечной матрицы по столбцам, то мы получим второй повторный
ряд
2 2 "Г-	D)
Повторный ряд C) называется сходящимся, если, во-пер-
во-первых, сходятся все ряды по строкам B) (их суммы, соответственно,
обозначим через А(®) и, во-вторых, сходится ряд
его сумма и будет суммой повторного ряда C). Легко перефразиро-
перефразировать все это и для ряда D).
Элементы матрицы A) можно многими способами представить
в виде обыкновенной последовательности
иг,щ, ...,щ, ...	E)
и по ней составить простой ряд
2 щ	F)
[Об этом мы уже говорили в связи с частного типа матрицей G)
п° 389]. Обратно, если имеем обыкновенную последовательность E),
то разбив все ее члены (не считаясь с их расположением) на беско-
бесконечное множество бесконечных групп, можно ее представить мно-
многими способами в виде матрицы с двумя входами A), и по этой ма-
матрице составить повторный ряд C). Естественно встает вопрос о связи
между рядами F) и C), состоящими из одних и тех же членов.

393]
§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ
331
Теорема 1. Если ряд F) сходится абсолютно к сумме U, то,
как бы его члены ни расположить в виде матрицы A), сходится и по-
повторный ряд C), причем имеет ту же сумму.
Доказательство. Ряд
2Ы
1
F*)
по предположению, сходится; обозначим его сумму через U*.
Тогда, прежде всего, при любых пак,
(=1
откуда следует сходимость ряда 2 I Я/А)! [365], а значит и сходимость
ряда 2 а\к) [377] (при любом к).
Далее, для любого числа е>0 найдется такое г0, что
2 I
следовательно, и подавно
2 щ
и-2 «г
г=\
G)
(8)
Члены Их, «2, ..., иг ряда F) содержатся в первых п строках и пер-
первых т столбцах матрицы A), если пят достаточно велики, скажем,
при п>п0 и т>т0. Тогда для указанных пит выражение
2 2
к=\ (=1
представляет сумму группы членов щ с номерами, большими г0, и
ввиду G) по абсолютной величине <е. Переходя к пределу при ш-<-~,
получим (для и>и0)
так что - в связи с (8) -
откуда следует сходимость повторного ряда C), и именно к сумме U.

332	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[393
Замечание. Некоторые строки матрицы A) могут состоять
и из конечного числа членов; легко распространить результат и на
этот случай.
Если вспомнить, что в 386 мы разбивали члены простого ряда
лишь на конечные группы, не нарушая при этом их
расположения, то станет ясно, что теорема 1 формулирует да-
далеко идущее распространение (совместно) сочетательного и переме-
стительного свойства абсолютно сходящегося ряда.
Обратная теорема имеет место лишь при усилении предположений
о повторном ряде.
Теорема 2. Пусть дан повторный ряд C). Если по замене его чле-
членов их абсолютными величинами получается сходящийся ряд, то схо-
сходится не только ряд C), но и простой ряд F), состоящий из тех же
членов, что и ряд C), расположенных в любом порядке, и притом -
к той же сумме.
Доказательство. По предположению ряд
2 2ИАI
сходится; пусть А* - его сумма. При любых пат, имеем
1 ii
/с=1 (=1
Возьмем теперь произвольную частичную сумму ряда F*):
При достаточно больших п и т, члены щ,щ, ...,иг будут содер-
содержаться в первых п строках и первых т столбцах матрицы A). Тогда
из (9) следует, что
U*^A*
и ряд F*) сходится, т. е. ряд F) сходится абсолютно.
Остается применить теорему 1.
Так как, очевидно, все сказанное о повторном ряде C) справед-
справедливо и для повторного ряда D), то как следствие из доказанных тео-
теорем получается следующее важное предложение, которое часто бы-
бывает полезно*.
Теорема 3. Пусть дана матрица A). Если по замене членов ряда
C) их абсолютными величинами получается сходящийся ряд, то схо-
сходятся оба повторных ряда C), D) и имеют ту же сумму:
2 24»= 2 2<Ф-
к-\ /=1	(=1 к=\
* В немецкой литературе это предложение носит название «grosser Umord-
nungssatz».

394]	§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ	333
394. Двойные ряды. С бесконечной прямоугольной матрицей A)
связано и понятие двойного ряда. Так называется символ
-t ¦<#> I 4*° i 4k) f ¦ • • t af i ...
+	= 2 «$*>•	(io)
Ограничившись первыми т столбцами и первыми п строками, рас-
рассмотрим конечную сумму
1=т, Л = п
l,k=l
называемую частичной суммой данного двойного ряда. Ста-
Станем увеличивать числа тип одновременно, но независимо друг от
друга, устремляя их к бесконечности. Предел {конечный или бесконеч-
бесконечный)
называют суммой двойного ряда, и пишут
Z 4
l,k=\
Если ряд A0) имеет конечную сумму, его называют схо-
сходящимся, в противном же случае — расходящимся.
Вернемся для примера к матрице G) предыдущего параграфа, с
общим членом
В этом случае частичная сумма, очевидно, равна (если сохранить
прежние обозначения)
С (л) _ Л R
так что двойной ряд, соответствующий упомянутой матрице, всегда
С=ПтАтВп=АВ.
сходится и имеет сумму*
* Таким образом, если произведение двух сходящихся простых рядов пред-
представить в виде двойного ряда, то суммой последнего всегда будет произ-
произведение АВ; трудность была в доказательстве того же по отношению к произ-
произведению рядов, представленному простым рядом.

334	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[394
На двойные ряды легко перенести теоремы [364, 3° и 4°] об умно-
умножении членов сходящегося ряда на постоянное число и о почленном
сложении или вычитании двух сходящихся рядов; предоставляем сде-
сделать это читателю.
Точно так же для сходимости двойного ряда необходимо
стремление к 0 общего члена:
lima}*) = 0
[ср. 364, 5°]. Это сразу видно из формулы
а?>=Af> -А& - /*{*"« + А<??\
Естественно сопоставить двойной ряд A0) с повторными
рядами C) и D), рассмотренными выше. Так как
то, переходя здесь при фиксированном п к пределу при т -*¦ ~ (в пред-
предположении, что ряды по строкам сходятся), получим
Теперь ясно, что сумма повторного ряда C) есть не что иное, как
повторный предел
lim
л-™
Вопрос же о равенстве сумм двух повторных рядов C) и D) является
частным случаем вопроса о равенстве двух повторных пределов.
Применяя к рассматриваемому случаю общую теорему п° 168 о
двойном и повторном пределах*, придем к результату:
Теорема 4. Если 1) сходится двойной ряд A0) и 2) сходятся все
ряды по строкам, то сходится повторный ряд C) и имеет ту оке
сумму, что и двойной ряд
2 #
i,k=\
Аналогичная теорема имеет место и для второго повторного
ряда D).
* Здесь т и п играют роль независимых переменньк, а частичная сумма Am ~
роль функции от них.

394]	§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ	335
Вопрос о сходимости двойного ряда A0) просто решается для
случая положительного ряда, т. е. ряда с неотрицательными
членами: а^з»0.
Теорема 5. Для сходимости ряда A0), если в^г^О, необходимо
и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограничены.
Доказательство. Необходимость этого утверждения ясна.
Докажем достаточность. Пусть Affi*sL. Возьмем точную верхнюю
границу множества сумм А$:
А=тр{А%>}
и покажем, что она и будет являться суммой нашего ряда.
Зададим любое е=-0. По определению точной верхней гра-
границы, можно найти такую частичную сумму А^«\ что
Если взять т>т0, п > п0, то и подавно
А^^А -б
так как А$ с возрастанием обоих значков п и т, очевидно, воз-
возрастает.
Так как всякая частичная сумма не превосходит А, то можно на-
написать, что
\А^-А\^е (при/и=»/и0, и>и0),
а это и означает, что
т. е. ряд A0) сходится.
На основе этой теоремы можно установить теорему о сравнении
положительных двойных рядов, аналогичную теореме 1 п° 366; пре-
предоставляем это читателю.
Рассмотрим теперь двойной ряд, составленный из матрицы, в ко-
которой не все элементы положительны. Очевидно, что, как для про-
простых рядов, мы можем исключить из рассмотрения те случаи, когда
все элементы матрицы отрицательны или когда есть только конеч-
конечное число положительных или отрицательных элементов, так как все
эти случаи непосредственно приводятся к только что рассмотрен-
рассмотренному. Поэтому мы предположим, что в рассматриваемой матрице
A), а значит и в ряде A0), есть бесконечное множество как положи-
положительных, так и отрицательных элементов.

336
ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
[394
Кроме матрицы A), составим еще матрицу из абсолютных вели-
величин элементов.
i
42>
<#>| ... \аР\ ...
42)| ••• !я;2)! ...
4*>! ... №\ ...
и по этой матрице составим двойной ряд
A0*)
Подобно теореме п° 377 о простых рядах, и здесь имеет место
Теорема 6. Если сходится ряд A0*), составленный из абсолютных
величин членов данного ряда A0), то и данный ряд сходится.
Доказательство. Представим а\к^ в виде:
где
> =pf
Л*)
Ф
.(*) = J
Так как ^^la^l, gp:)=s|ap:)|, то из сходимости двойного ряда
A0*) вытекает сходимость двойных рядов
Но тогда сходится и ряд
2
1,к=1
а именно имеет сумму
2{
1,к=\
= P-Q.
Если одновременно с рядом A0) сходится и ряд A0*), то ряд A0)
называется абсолютно сходящимся. Если же ряд A0) сходится,
а ряд A0*) расходится, то ряд A0) называется неабсолютно
сходящимся.
Докажем теперь теорему о связи между двойным рядом A0) и
простым рядом F), состоящим из тех же членов. Она аналогична
теоремам 1 и 2.
Теорема 7. Пусть даны двойной ряд A0) и простой ряд F), состоя-
состоящие из одних и тех же членов. Тогда абсолютная сходимость

394J	§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДЙОЙНЫЕ РЯДЫ	337
одного из них влечет за собой абсолютную же сходимость дру-
другого и равенство их сумм.
Доказательство. Предположим сначала, что сходится аб-
абсолютно двойной ряд A0), т. е. сходится ряд A0*); сумму последнего
обозначим через А*. Взяв любое натуральное число г, составим ча-
частичную сумму ряда F*):
Как и при доказательстве теоремы 2, легко устанавливается неравен-
неравенство U*<A*, а с ним и абсолютная сходимость ряда F).
Пусть теперь дано, что сходится абсолютно простой ряд F), т. е.
сходится ряд F*); его сумму обозначим через U*. Какую бы частич-
частичную сумму
А=1 1 = 1
ряда A0*) ни взять, найдется столь большое г, что все слагаемые
этой суммы будут содержаться среди первых г членов ряда F*), так
что
В таком случае, по теореме 5, двойной ряд A0*) сходится, а значит
ряд A0) сходится абсолютно.
Наконец, для вычисления суммы U ряда F) - ввиду его абсо-
абсолютной сходимости — можно члены его расположить в любом удоб-
удобном для этой цели порядке [387]. Мы расположим их по квад-
квадратам схемы A); тогда, если еще объединить члены, отличающие
один квадрат от следующего за ним, получится:
что и завершает доказательство.
Сопоставляя теоремы 1, 2 и 7, сформулируем, в заключение,
такое
Следствие. Пусть матрица A) и последовательность E) состоят
из одних и тех же членов. Тогда двойной ряд A0), повторные ряды
C), D) и, наконец, простой ряд F) - если хоть один из них
оказывается сходящимся по замене его членов
их абсолютными величинами - все четыре сходятся и
имеют одну и ту же сумму.
В случае положительных рядов (т. е. при а^»0), очевидно, до-
достаточно сходимости одного из указанных рядов, чтобы сходились
все четыре и притом к одной и той же сумме.
22 Г. М. Фихтенгольц, т. II

338
ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
[395
395. Примеры.
1) Интересный пример дает матрица @«=х< 1):
X
x(l-x)
X\\ — X)"
-x2
-X2(l
-X2(l
-x2)
-x2J
X2
x2(l-x2)
^2A _ _j-2J
-x»
-X3(l
-X8(l
-Xs)
-X8J
хз
X8(l
xKl
-**) ..
-х*У ..
Здесь ряды по строкам абсолютно сходятся и имеют, соответственно,
суммы х, хA-х), хA-х)8, ... Ряд, составленный из этих сумм, также абсо-
абсолютно сходится; его сумма равна 1. Между тем другой повторный ряд не схо-
сходится, так как ряды по столбцам имеют суммы, попеременно равные +1 или - 1.
Этот факт нисколько не противоречит теореме 2, ибо для матрицы из аб-
абсолютных величин ни один повторный ряд не сходится. Мы видим лишь,
что предположение об абсолютной сходимости рядов по строкам (по
столбцам) и об абсолютной же сходимости ряда, составленного из их
сумм, не может заменить требования, чтобы сходился повторный ряд для матрицы
абсолютных величин.
2) Приведем знаменитый «парадокс Йог. Бернулли». Рассмотрим поло-
положительную матрицу (недостающие члены можно заменить нулями):
1
Ь2
1
1
гТз
1
1
1
	>¦
1
1
1
1
и приравняем сумму двух соответствующих ей повторных рядов. Если сначала
суммировать по строкам, то получим суммы [ср. 25, 9)]: 1, —, —, —, ..., из кото-
2 3 4
рых составится гармонический ряд; его сумму обозначим через s. Суммируя же
по столбцам (все они содержат по конечному числу членов!), придем к результатам
1111
—,—,—,—, ...; из них составится гармонический ряд без первого члена, что
2 3 4 5
в сумме даст s-1. Итак, ,$=,$-1!
На деле, конечно, этот «парадокс» является лишь доказательством от против-
противного того факта, что сумма s не может быть конечной, т. е. что
гармонический ряд расходится.
3) Пусть q пробегает всевозможные степени с натуральными основаниями
и показателями (бблыпими единицы), и притом - каждую однажды.
Доказать, что
j
[X. Гольдбах (Ch. Goldbach)].

395]	§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ	339
Если т принимает всевозможные натуральные значения (^1), не являю-
являющиеся степенями, то
= Z{ — + — +... I- — Н—+... + — + —+... +...
_ у f 1
Отсюда
где и пробегает на этот раз уже все натуральные значения, начиная с 2, так что,
действительно, G = l [25, 9].
[Обоснование, со ссылкой на доказанные теоремы, предоставляем читателю].
Любопытно сопоставить этот результат с результатом Штейн ера
(J. Steiner):
~ °° 1 ~ 1
2 Z -— = 2 ——— =i-
т=2 к=2 тк т=2т(т-\)
Здесь степени могут появляться и не однажды!)
4) Рассмотрим матрицу с общим членом
<*) =	(к-1)	(/-1I
' (
Воспользовавшись установленным в 4), 363 соотношением
i	l	..	l	- (,,)
л=1 (а+и)(а + " + 1)	(ct + n+p) />(<*+!)•.. .'(а+р)
(при а = 0, р~к), легко просуммировать члены А>ой строки:
~да (k-Vfi j_.
отсюда сумма повторного ряда
Ввиду симметрии выражения л/ относительно i и А:, второй повторной ряд
тождествен с первым, и приравнивание их сумм ничего нового не даст.
22»

340
ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
[-195
Видоизменим теперь матрицу так: сохранив в ти-ой строке первые т - 1 членов
прежними, вместо т-то члена подставим сумму rm всех членов тя-й строки, начиная
с m-го, а остальные члены отбросим. Для новой матрицы
4m)
Ят—1 fjn
„(т + 1) „(т + 1)
Суммы рядов по строкам, а с ними и сумма первого повторного ряда останутся
прежними [см. A2)]. Для суммирования рядов по столбцам вычислим сначала
rm = 2j 77Г
(т-1)!
(/п-1)!
n=i (m-l+n)-...-Bm-l+n) mKm+X)-.. .-{2т- 1)'
здесь мы снова воспользовались соотношением A1), при а = тя-1, р = т. Сумма
же остальных членов тя-го столбца равна
(m-l)!
(т-\)\
... 'Bт+л)
)-. ¦. -2т
[в A1) мы положили а=р = т]. Окончательно же, сумма членов /л-го столбца
хжазывается равной
m{in+\)- ...•
- = 3-
К/и-1)!]2
2т!
Приравнивая, по теореме 3, суммы обоих повторных рядов, мы приходим к инте-
интересному соотношению:
Ъп\
A3)
Так как ряд справа сходится очень быстро, то он облегчает приближенное
вычисление суммы важного ряда, стоящего слева. Больше того, ниже [440, 7]
мы увидим, что выведенное соотношение позволяет выразить сумму первого
л2
ряда «в конечном виде»: она равна — (этот результат принадлежит Эйлеру).

395]	§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ
5) Остановимся на ряде Ламберта:
341
<р(х)=
л=1 1-хк
ограничиваясь предположением, что |х|^1. Мы видели [385, 5)], что при этом
предположении ряд Ламберта сходится при тех же значениях х, что и сте-
степенной ряд
Z
k=\
Допустим же, что радиус сходимости R этого ряда ^0 [379], и будем считать
Очевидно:
Составим теперь матрицу из этих членов, умноженных еще на a/f, помещая оди-
одинаковые степени х в один столбец (пустые места можно заполнить нулями):
а2х2
а2хе
а7х'
Повторный ряд по строкам как раз и имеет сумму <р(х). Так как сте-
степенной ряд, а с ним и ряд Ламберта, сходится при замене х на | х \ и а^ на
Iafi|, то можно применить теорему 3 и просуммировать по столбцам. Мы
получим разложение ср(х) в степенной ряд
{х) = 2 "-пх", причем лп = 2 ак>
п=1	(г/л
значок к/n условно означает, что сумма распространяется лишь иа делители А;
числа п.

342	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
Например, полагая я/( - 1 или а^ - к*, будем иметь соответственно
STI X*	sr,	sr, КХК	sr,
2 ~.	г=2 Ф)-х", 2 :	т. = 2 a{ri)xn,
где т(н) означает число, a o(ti) - сумму делителей п.
6) Расположив те же члены иначе, без пропусков:
[395
а,*1-
мы сохраним те же суммы по строкам, по столбцам же получим, по порядку:
fix), Дх2), f(x3), f(x*), ... Таким образом, мы приходим к тождеству, связываю-
связывающему функции (р и /:
те
Ф) = Z fix").
Например, взяв а^ = ак, где |a[ssl, будем иметь
ах
/(*) =
1-ах'
так что
7) Полученный результат можно обобщить. Пусть даны два степенных ряда
и
2
п=1
Ограничимся значениями х, для которых |x|-= 1, и оба ряда абсолютно сходятся.
Составим матрицу из элементов anbmxmn. Так как (для т=»1 и л>1)
шз=и+л, то
[ =s | апхп | • | omxm |.
Отсюда легко заключить, что двойной ряд, соответствующий взятой матрице,
абсолютно сходится. Приравнивая, на основании следствия, суммы повторных
рядов, найдем тождество:
2
т=1
2
п=1
* В обоих случаях, как легко проверить, R=l, так что достаточно
сто |лг|<1.
считать
просто |

395]	§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ	343
Отсюда тождество предыдущего упражнения получается при Ьт = 1 [так что
1-х
8) Ряд
2 *<
к 0
получается умножением рядов 2 х' и 2 Ук> которые (абсолютно) сходятся при
i = 0	/с=0
[х\^1 и |>|-=1; для этих значений (абсолютно) сходится и двойной ряд.
Если 1*1^1 или |>|^1, то нарушается необходимое условие сходимости:
общий член не стремится к 0, ряд расходится. Легко проверить непосредственно,
что расходимость налицо и в случае, если | х | = 1 или | у | - 1.
9)	Рассмотрим ряд
¦^ 1
2, 	 (а^О, |б=>0).
i,k=l i'kP
Он также получается умножением рядов 2 ~г и 2 ~s • которые сходятся при
а =-1 и /? =-1, так что и двойной ряд при этих предположениях сходится.
Наоборот, если a=sl (или |6=sl), то двойной ряд наверное расходится, ибо
тогда расходятся все ряды по строкам (по столбцам) (ср. следствие предыду-
предыдущего п°).
10)	Исследуем сходимость ряда
i т.'
Для этого представим его в виде простого ряда, расположив члены его по
диагоналям. Так как члены, лежащие на одной диагонали, равны, то, объеди-
объединив их для удобства подсчета, получим ряд
2 <«-»-.
Ввиду очевидных неравенств
— и=еи - 1 -= п,
деля на па, будем иметь
1	1 ^	1^1
2	па~1	па па~1
Отсюда ясно, что полученный нами простой ряд сходится при а >¦ 2 и расходится
при стяз2. По теореме 7, то же справедливо и для двойного ряда.
11) Рассмотрим теперь более сложный ряд

344
ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
[395
где форма Ахг+2Вху+СУ предполагается определенной положи-
положительной, так что А = АС-В*>-0, а также А и С^О.
Если через L обозначить наибольшее из чисел \А\, \В\, \С\, то, очевидно,
AP+2Bik+Ck>*sL(i+k)\
В таком случае из 10) ясно, что при g=sl наш ряд расходится.
С другой стороны, имеем
так что
a l	ш а? 1
s—•— и, аналогично, a) J^—•—.
A? j2P	A? kt9
Отсюда легко получить, что
Сопоставляя это с 9), видим, что при р =-1 рассматриваемый ряд сходится.
12) В теореме 4, вместе с предположением о сходимости двойного ряда, делает-
делается особо предположение о сходимости всех рядов по строкам. Следующий простой
пример показывает, что без второго предположения обойтись нельзя - оно не
вытекает из первого. Двойной ряд по схеме
1
— 1
1
2
1
~2
1
3
1
~3
-1
1
1
~2
1
2
1
3
1
3
1
— 1
1
2
1
~2
1
3
1
з
	,—r-
-1
1
1
~2
1
2
1
3
1
3
сходится, его сумма равна 0. Между тем все ряды по строкам расходятся.
13) Установить суммы следующих двойных рядов:
(в) 2
1
m,T=lDn-lJ'"+i 8 2
(д) i
1	з
= 1п2;
= -ln2;

395]	§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ	345
Указание. Перейти к повторному ряду, начав с суммирования по т.
Использовать разложения
1	+	f ...-In 2
2 3 4
111	л
1
как известные.
14) Рассмотрим функцию двух переменных
фс,г) = е
Перемножая абсолютно сходящиеся ряды
.Kif-V--. х
получим для этой функции (также абсолютно сходящийся) двойной ряд
™ ( х У"^ ( — 1)^
Ч\л, Z) - ^_i — I —— i.
lt A — U V. *- /	i.п..
Собирая (следствие) члены с одинаковыми степенями z, можно преобразовать
его в повторный ряд
где для лз=О
а для я-=0
xYk+n
Впрочем, легко видеть, что
Функция Уп(х) (и = 0,1,2, ...) называется функцией Бесселя со значком
н; эти функции играют важную роль в математической физике, небесной механике
и т. д. Функция <р(х, г), из разложения которой они получаются, носит название
«производящей функции» для бесселевых функций.
* Сумма 2 ат по определению, есть сумма двух рядов
2ап+2а-п-
л=0 п=1

346	ГЛ. XI. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ	[396
396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости.
Степенным рядом с двумя переменными х, у на-
называется двойной ряд вида
2 «/,/с*'/,	A4.
(,/с=0
расположенный по целым положительным степеням переменных х и у
Как мы сделали это в 379 по отношению к простым степенные
рядам, мы и здесь поставим себе задачей выяснить вид «области схо
димости» ряда A4), т. е. множества в^={М(х, у)} тех точек плоско
сти, для которых ряд сходится.
Лемма. Если ряд A4) сходится в некоторой точке М(х, у), коор
динаты которой обе отличны от О, то он абсолютно схо
дится во всех точках М(х,у), удовлетворяющих неравенствам: | х | -
-=1*1> IjM^IjM (т- е- во всем открытом прямоугольнике с центров
в начале координат и с вершиной в точке М).
Доказательство вполне аналогично доказательству леммы п° 37
Из ограниченности членов ряда A4) при х = х, у=у
гД = О, 1,2, ...)
получается
так что - если только |х|<|х|, |j|<|j>| - справа мы имеем о(
щий член сходящегося ряда [395, 8)]; отсюда и следует абсолютна
сходимость ряда A6).
Мы станем изучать лишь такие ряды, для которых подобные точк
М существуют - другие ряды для нас не представляют интерес
Самый характер леммы позволяет нам ограничиться рассмотрение
лишь первого координатного угла; полученные результаты - г
симметрии - легко можно будет распространить и на остальнь
углы.
Возьмем же в первом угле луч OL, исходящий из начала, п<
углом в к оси х (рис. 55). Как и в 379, пользуясь леммой, можно п
казать, что найдется такое положительное число Щв) (которое м
жет оказаться и бесконечным), что во всех точках М на этом лу*
для которых
ряд A4) сходится абсолютно, в то время как при условии
он расходится.

396]
§ 5. ПОВТОРНЫЕ И ДВОЙНЫЕ РЯДЫ
347
Если хоть для одного луча Л(в) = + °°, то, в силу леммы, ряд ока-
оказывается сходящимся (и притом — абсолютно) на всей плоскости,
которая и играет роль «о�