/
Text
В.ИЖук
ВОЛНЫ ТОЛЛМИНА—ШЛИХТИНГА И СОЛИТОНЫ
М.: Наука, 2001.—167с.
В монографии реализуется идея использования асимптотических
многопалубных разложений при исследовании задач гидродинамической
устойчивости. Предложены новые варианты нелинейной асимптотической теории
взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком, в которых анализ поля
возмущений сводится к решению уравнений Бюргерса, Бенджамина-Оно,
Кортевега-де Вриза, а также (в случае трансзвуковых внешних скоростей)
интегро-дифференциального уравнения. Представлены солитонные решения
нелинейных эволюционных уравнений, описывающие асимптотическую
структуру волновых полей.
Для научных работников, аспирантов, студентов старших курсов,
специализирующихся в области математической физики, гидродинамики, теории
устойчивости и асимптотических методов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1. МНОГОЯРУСНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА
СВОБОДНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕГО ПОГРАНИЧНОГО
СЛОЯ
1.1. О локально-невязких возмущениях в пограничном слое с 17
самоиндуцированным давлением
1.2. Об одном свойстве линеаризованных уравнений пограничного слоя с 24
самоиндуцированным давлением
1.3. Свободное взаимодействие и устойчивость пограничного слоя в 34
несжимаемой жидкости
Глава 2. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЧЕТЫРЕХПАЛУБНАЯ МОДЕЛЬ
ЗАМКНУТОЙ СРЫВНОЙ ЗОНЫ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
2.1. Оценка толщин характерных подобластей течения 39
2.2. Редукция задачи к совместному решению уравнения Бюргерса и 41
системы уравнений Прандтля
2.3. Асимптотическая картина течения при х —> оо. Переход к 50
трехпалубной структуре поля скоростей
2.4. Асимптотическая картина течения при х —> -оо 52
Глава 3. ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ОРРА-ЗОММЕР-
ФЕЛЬДА В ОБЛАСТЯХ, ПРИМЫКАЮЩИХ К ДВУМ ВЕТВЯМ
НЕЙТРАЛЬНОЙ КРИВОЙ
3.1. Асимптотические разложения в основной части пограничного слоя ив 55
критическом слое
3.2. Асимптотика нижней ветви нейтральной кривой при Re —> оо 59
3.3. Асимптотика верхней ветви нейтральной кривой при Re —» оо 62
3.4. О вынужденных колебаниях в пограничном слое на частотах, близких 67
к верхней ветви нейтральной кривой
Глава 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ, ИНДУЦИРУЮЩИЕ
собственный градиент давления в пограничном
слое на пластине в трансзвуковом потоке
4.1. Асимптотическая структура основной части пограничного слоя для 77
трансзвукового диапазона скоростей
4.2. Внешняя область свободного взаимодействия 81
4.3. Солитоны в трансзвуковом пограничном слое 84
4.4. Роль вязкого подслоя в случае периодических по пространству 86
нелинейных волн
4.5. Переход к числам Маха, отличающимся от единицы на конечную 88
величину
Глава 5. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ БЕНДЖАМИНА-ОНО И
КОРТЕВЕГА-ДЕ ВРИЗА, ОПИСЫВАЮЩИЕ НЕЛИНЕЙНОЕ
РАЗВИТИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ В ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ И
ПРОЦЕССЫ РОЖДЕНИЯ СОЛИТОНОВ
5.1. Многослойная асимптотическая картина течения в струе 90
несжимаемой жидкости, ограниченной снизу плоским экраном
5.2. Пример течения, описываемого уравнением Бенджамина-Оно с 93
неоднородной правой частью
5.3. Генерация солитонов на стационарной неоднородности поверхности 96
5.4. Задача о вибраторе. Линейное приближение 100
5.5. Нелинейная реакция на гармонические колебания поверхности 104
5.6. Примеры решений уравнений Бенджамина-Оно и Кортевега-де Вриза, 105
иллюстрирующие характерные формы передачи возмущений вверх и
вниз по потоку
Глава б. АСИМПТОТИКА ВЕРХНЕЙ ВЕТВИ НЕЙТРАЛЬНОЙ КРИВОЙ
ПРИ ДО- И ТРАНСЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ ВНЕШНЕГО
ПОТОКА
6.1. Исходные предположения 112
6.2. О поведении функций течения в пристеночной части невозмущенного 114
пограничного слоя на пластине в сжимаемом потоке
6.3. Решение уравнений для возмущений в основной толще пограничного 117
слоя
6.4. Решение в вязком пристеночном подслое 121
6.5. Решение в критическом слое 125
6.6. Дисперсионное соотношение в случае дозвуковых скоростей 131
набегающего потока
6.7. Дисперсионное соотношение в случае трансзвуковых скоростей 133
набегающего потока
6.8. Перекрытие окрестностей верхней и нижней ветвей нейтральной 136
кривой
Глава 7. О ФОРМЕ НЕЙТРАЛЬНОЙ КРИВОЙ, ЗАМЫКАЮЩЕЙ
ОБЛАСТЬ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
7. 1 Дисперсионное соотношение в случае теплоизолированной 139
поверхности при малых числах Маха
7.2. Бифуркация нейтрального решения в случае малых отклонений 142
температуры от температуры торможения
7.3. О зарождении дополнительных ветвей нейтральной кривой внутри 147
классической петли неустойчивости
ЛИТЕРАТУРА 152
ВВЕДЕНИЕ
Результатом систематических исследований ламинарных течений вяз-
кого газа при больших числах Рейнольдса явилось построение в конце
60-х годов рациональной асимптотической теории, описывающей тон-
кую структуру решений уравнений Навье-Стокса в областях, где про-
дольные градиенты газодинамических функций не малы и, следова-
тельно, нарушаются условия применимости классических уравнений
пограничного слоя Прандтля [1]. Наиболее известным примером тече-
ния этого типа служит так называемая область свободного взаимодей-
ствия, возникающая в окрестности точки отрыва пограничного слоя от
гладкой поверхности. Термин "свободное взаимодействие" предложен в
экспериментальной работе [2] в применении к ситуациям, когда гра-
диент давления в пограничном слое индуцируется локальным вы-
тесняющим действием на невязкую часть потока самого же погранич-
ного слоя. Другими словами, задачи о вязкой подобласти течения и
внешнем невязком потоке не могут быть разделены (как это имеет
место в классической теории Прандтля) и должны решаться совместно.
Асимптотическая теория стационарного отрыва включает в себя по-
строение решения уравнений Навье-Стокса около точки отделения
нулевой линии тока от тела в виде трех асимптотических рядов для
слоев течения с разными масштабами толщины, в связи с чем ее иног-
да называют трехслойной или трехпалубной (the triple-deck structure).
В дальнейшем оказалось, что к данному типу принадлежит ряд дру-
гих течений, рассматриваемых в зависимости граничных условий са-
мостоятельно или как важные фрагменты решения нелокальных крае-
вых задач.
Нелинейная трехслойная теория свободного взаимодействия, веду-
щая свое начало от пионерских работ [3, 4] по отрыву от гладкой по-
верхности сверхзвукового пограничного слоя, а также работ [5,6] о те-
чении несжимаемой жидкости около задней кромки пластины, в своих
многочисленных приложениях позволила глубже понять природу тех
особенностей [7], которые, как правило, возникают в рамках основан-
ного на уравнениях Прандтля с предписанным градиентом давле-
ния классического подхода, свидетельствуя о необходимости его пере-
смотра.
Теория отрыва от гладкой поверхности пограничного слоя несжи-
маемой жидкости развита в [8]. В соответствии с этой теорией в точке
отрыва реализуется условие Бриллюэна-Вилля [9], причем возвратное
течение появляется в области свободного взаимодействия. Возникаю-
щая нетривиальная краевая задача для окрестности точки отрыва ре-
шена численно в [10,11].
Своеобразие задач об отрыве от гладкой поверхности обусловлено
тем, что размеры области свободного взаимодействия никак не связа-
ны с вносимыми через граничные условия масштабами длины, а яв-
ляются функциями только числа Рейнольдса. Аналогичное замечание
относится также и к теории отрыва на подвижной поверхности [12].
В то же время широкий класс течений в окрестности различного рода
препятствий, лежащих на дне пограничного слоя, соответствует режи-
му свободного взаимодействия при определенных сочетаниях парамет-
ров препятствий (их поперечных и продольных размеров) и числа
Рейнольдса [13, 14].
Исследование коротких зон отрыва на передней кромке тонкого
профиля потребовало существенной модификации математической
теории течения жидкости в области взаимодействия [15-18]. В качест-
ве одного из результатов проведенного анализа обращает на себя
внимание обнаруженная неединственность решения интегро-диффе-
ренциального уравнения, к которому сводится данная задача при
удовлетворении всех необходимых краевых условий. Более того,
родственная по своей математической формулировке задача об отры-
ве обтекающей гиперболический профиль вязкой струи [19] обла-
дает бесконечным числом решений. В связи с этим отметим, что дви-
жение в стационарном ламинарном двумерном конвективном течении
около ориентированной вертикально нагретой пластины, а также в
вязкой пристеночной струе аналогично пограничному слою, при-
чем изменение на коротких расстояниях граничных условий (напри-
мер, разрыв температуры либо излом поверхности) влечет за со-
бой возникновение области взаимодействия с двухслойной структурой
[20-23].
Если применимость концепции взаимодействия к внутренним тече-
ниям при больших числах Рейнольдса достаточно очевидна для задач о
входе потока в канал или трубу [24], то в случае развитого невозмущен-
ного течения в канале проявляется фундаментальное отличие внутрен-
них течений от внешних — отсутствует примыкающий к вязким погра-
ничным слоям основной невязкий поток. Тем не менее, как показано
в [25], деформация стенок канала формирует градиент давления по-
средством имеющего невязкую природу смещения линий тока в ядре
течения, которое взаимодействует с вязкими нелинейными пристеноч-
ными слоями. В результате, как и во внешних течениях [26], даже
сравнительно тонкие, но длинные (по сравнению с толщиной канала)
неровности на стенках могут приводить к большим локальным пере-
падам давления и вызывать отрыв вязкого потока. Дальнейшие асимп-
тотические свойства и детали поля скоростей, присущие внутренним
течениям, изучены в цикле работ [27-31].
4
Уравнения трехмерного пограничного слоя рассмотрены в [28, 29]
при описании вязкой пристеночной подобласти течения в круглой
трубе с несимметрично возмущенной формой стенки. Что касается
внешних течений, то обобщение трехпалубной теории свободного
взаимодействия на случай обтекания вязким потоком с двумерным не-
возмущенным пограничным слоем трехмерного препятствия содер-
жится в [32], где соответствующая краевая задача для несжимаемой
жидкости решена в линеаризованном варианте. Предположение о
слабых возмущениях использовалось также в [33] для иной геометрии
трехмерного течения. Условие взаимодействия в виде двойного интег-
рала Коши-Гильберта, связывающее неизвестное давление и функцию
смещения линий тока, приобретает сравнительно простой вид в
спектральном пространстве, поэтому вычислительная процедура, осно-
ванная на применении псевдоспектрального подхода, оказалась эффек-
тивной при исследовании нелинейного режима обтекания трехмерной
неровности [34].
Нестационарная форма трехпалубной теории свободного взаимо-
действия предусматривает введение временного члена в нелинейные
уравнения для нижней палубы, где медленные пристеночные движения
фактически определяют масштаб времени при условии непротиворе-
чивости всей многослойной асимптотической конструкции. Нестацио-
нарные эффекты впервые рассмотрены в [35, 36]; зависимость от
времени включена в уравнения пограничного слоя для возмущений
внутреннего течения в [25]. Однако начало исследований, в которых
присутствие времени в уравнениях трехпалубной схемы трактуется не
как модификация некоторой известной теоретической концепции,
а как адекватный способ описания нового класса течений со свободным
взаимодействием, положено в работах [37-39]. Построенное в [38] для
случая сверхзвукового внешнего потока решение линеаризованной
системы уравнений в виде бегущей волны подтвердило предположение
о существовании нестационарных движений газа, непрерывно примы-
кающих к невозмущенному пограничному слою на границе области
взаимодействия. Направление распространения волны задается величи-
ной градиента давления в начальных данных.
Общие свойства выведенного в [38] дисперсионного соотношения
исследованы в [40-42]. Предпринятый анализ показал, что для решений
типа бегущих волн дисперсионная кривая обладает бесконечным чис-
лом ветвей, хотя перемещающаяся вверх по потоку волна определяется
единственным образом. Возмущения такого рода изучаются в теории
критического слоя [43-45], который играет большую роль в теории
устойчивости вязких течений. В рассматриваемом случае критический
слой опускается на самое дно течения и сливается с нижней палубой.
Таким образом, как отмечается в [38], задача устойчивости форму-
лируется совершенно аналогично задаче о свободном взаимодействии
нестационарного пограничного слоя.
Система уравнений свободного взаимодействия при однородных
начально-краевых условиях допускает тривиальное решение, которое
соответствует продолжению решения Блазиуса через всю рассматри-
ваемую область. Найденное в [46] в рамках линейного приближения
отличное от тривиального стационарное решение (частный случай
полученного в [38] решения), которое ответвляется от решения Бла-
зиуса, экспоненциально растет вниз по потоку и переходит в задающее
отрыв от гладкой поверхности нелинейное решение [3, 4]. Последнее,
таким образом, представляет собой нелинейную собственную функцию
задачи для уравнений свободного взаимодействия со сверхзвуковым
внешним потоком. В этом смысле отрыв пограничного слоя интер-
претируется в [47] как специфическая форма потери устойчивости.
Решение задачи о вынужденных колебаниях газа в пограничном
слое под действием гармонического осциллятора, расположенного на
некотором расстоянии от передней кромки неподвижной плоской
пластинки в сверхзвуковом потоке, изложено в [48]. Если против
потока излучаемые осциллятором возмущения распространяются в
виде одной внутренней волны, то вниз по потоку поле течения вклю-
чает бесконечную систему внутренних волн.
Вековое уравнение в классической задаче Орра-Зоммерфельда
[49] для возмущенного поля скоростей в несжимаемой жидкости в
случае длинноволновых колебаний приводится к виду, в точности
совпадающему с дисперсионным соотношением линейной теории сво-
бодного взаимодействия. Следовательно, внутренние волны в погра-
ничном слое с самоиндуцированным давлением представляют собой
асимптотику волн Толлмина—Шлихтинга [50] с прилегающими к стенке
критическими слоями. Данное заключение сформулировано в [51, 52]
применительно к внешним течениям и в [53, 54] к течениям в каналах.
Именно в такую волну Толлмина-Шлихтинга вырождаются возму-
щения при удалении вниз по потоку от гармонического осциллятора на
пластине, если скорость внешнего течения дозвуковая [55-57].
Асимптотический анализ свободных и вынужденных колебаний в
каналах и трубах с точки зрения взаимодействия вязких пристеночных
слоев с невязким ядром потока несжимаемой жидкости проведен в [58-
61] для малых амплитуд, позволяющих линеаризовать уравнения дви-
жения. Нелинейные аспекты процесса распространения волн и гене-
рация вихрей при возрастании амплитудного параметра в рассматри-
ваемом классе задач о движениях жидкости в каналах с зависящими от
времени деформациями стенок обсуждаются в [62-65].
Обобщение на нестационарные движения теории коротких зон
отрыва на передней кромке тонкого профиля предпринято в [66, 67].
Нестационарный аналог фундаментального уравнения использовался
в [66] с целью изучения распространения волн Толлмина—Шлихтинга.
Абсолютная неустойчивость поля скоростей по отношению к мелко-
масштабным возмущениям и, как следствие, некорректность задачи
Коши для упомянутого уравнения установлена в [67, 68]. Быстрый рост
инкремента усиления в коротковолновой части спектра приводит к
тому, что обратное преобразование Фурье становится неограничен-
ным, причем для сколь угодно малого промежутка времени.
Многоярусные асимптотические конструкции занимают значитель-
ное место в теоретических исследованиях явления неустойчивости
течения в поле центробежных сил (вихри Тейлора-Гертлера) [69, 70].
Обтекание вогнутого участка поверхности рассмотрено в [71, 72], где
предложена линейная асимптотическая формулировка проблемы воз-
никновения вихрей Тейлора-Гертлера, включающая эффект нараста-
ния толщины пограничного слоя. Как отмечается в [71], предложенный
подход вполне аналогичен исследованию [51] влияния на волны Толл-
мина—Шлихтинга непараллельности линий тока в невозмущенном
пограничном слое. Внося дестабилизирующий фактор, вихри Тейлора-
Гертлера на вогнутой стенке наряду с волнами Толлмина-Шлихтинга
играют важную роль в процессе перехода ламинарного течения в
турбулентное, причем с ростом амплитуд обеих упомянутых мод начи-
нается процесс их взаимодействия, требующий для своего описания
построения теории на нелинейном уровне [73]. Неустойчивость Тейло-
ра—Гертлера того типа пограничного слоя, который возникает в трех-
палубной теории, рассмотрена в [74]. Механизм воздействия сильно
нелинейных вихрей Тейлора-Гертлера на развитие волн Тсллмина-
Шлихтинга малой амплитуды рассмотрен в [75, 76].
Развитие асимптотической теории взаимодействия и отрыва погра-
ничного слоя в до- и сверхзвуковых потоках за предшествующий се-
редине 80-х годов период отражено в обзорах [77—90] и в моногра-
фии [91].
В качестве одного из признаков, выделяющих данное направление
теоретической гидродинамики, можно указать использование метода
сращивания внешних и внутренних асимптотических разложений, полу-
чившего применительно к ряду задач строгое обоснование [92—94].
Характерные принципы сращивания формулируются в [95-97], а в
обзорах [98, 99] разбираются современные методы построения асимп-
тотических решений задач из различных областей динамики жидкости.
Итак, большинство эффектов, наблюдающихся в не описываемых
классическими уравнениями пограничного слоя Прандтля ламинарных
течениях, например, таких, как течения с отрывом, достаточно хорошо
поняты теоретически. В общем случае в потоке возникают вязко-не-
вязкие структуры, причем области течения вне и внутри пограничного
слоя воздействуют друг на друга на относительно коротких масштабах
длины. Несмотря на впечатляющие успехи асимптотического подхода
и наличие ряда законченных результатов, данный круг явлений продол-
жает оставаться в фокусе внимания, о чем свидетельствуют много-
численные публикации последнего десятилетия. Интерес исследовате-
лей привлекает, во-первых, возможность приложений основных идей
развитых теоретических методов к более сложным процессам (резо-
нансные тройки, трехмерные пограничные слои, высокочастотные
осцилляции в потоке, взаимодействие сильно нелинейных возмущений
различных типов, ранние стадии ламинарно-турбулентного перехода)
и, во-вторых, наличие в некоторых случаях неясностей и даже противо-
речий внутри самой асимптотической теории.
Вопрос о роли невязкой неустойчивости Рэлея на фоне имеющих
вязкую природу волн Толлмина—Шлихтинга поставлен в [100]: сильно
возмущенные течения с точками перегиба профиля скорости (напри-
мер, вблизи деформированных участков твердой поверхности или ло-
кальных зон отрыва) дают начало интенсивно растущим мелкомасш-
табным пульсациям.
Нелинейное искажение самой волны Толлмина-Шлихтинга также
приводит к генерации коротковолновых высокочастотных колебаний,
интерпретируемых как вторичная неустойчивость. С данными эффек-
тами связан отмеченный в [101] парадокс: сравнением асимптотических
(при стремящихся к бесконечности числах Реинольдса) решений урав-
нений теории взаимодействующего пограничного слоя с решениями
уравнений Навье-Стокса и экспериментами обнаружено неожиданное
согласование результатов при сравнительно низких числах Реинольд-
са [102-104]. В то же время увеличение чисел Реинольдса часто приво-
дит к расхождению асимптотической теории с реально наблюдаемыми
экспериментально свойствами течений вследствие их неустойчивости.
В [101] обращается внимание на то обстоятельство, что стационар-
ные асимптотические решения неклассических уравнений погранич-
ного слоя со взаимодействием часто получаются в результате подавле-
ния неустойчивостей. Более того, поле течения около внезапно
приведенного в движение цилиндра рассматривается в [101] как пример
нестационарного асимптотического решения, построенного благодаря
исключению быстро растущих неустойчивых мод (отсутствующих при
классической формулировке задачи для пограничного слоя). Хотя
данный подход на первый взгляд представляется неудовлетворитель-
ным, хорошее совпадение с полученными по уравнениям Навье—Стокса
результатами при умеренных числах Реинольдса служит аргументом в
пользу асимптотической теории.
Нестационарный вариант теории свободного взаимодействия со-
держит механизм неустойчивости типа Рэлея, имеющий место в нели-
нейно возмущенных областях с точками перегиба мгновенных профи-
лей продольной скорости. С данным утверждением, составляющим
основной вывод [101], связана невозможность повысить точность ко-
нечно-разностных методов расчета обсуждаемых течений путем умень-
шения шагов сетки. С одной стороны, сгущение узлов фактически
вводит более короткие масштабы длин волн, которыми обладают
быстро растущие собственные функции задачи, проявляющиеся как
вычислительная неустойчивость. Спектральные свойства неустойчи-
вых мод таковы, что нелинейная стадия их нарастания может сопро-
вождаться появлением сингулярности в конечный момент времени.
С другой стороны, предположение [105] о связи наблюдаемых в экспе-
риментах [106-108] неустойчивостей в виде высокоинтенсивных им-
пульсов, или "шипов" с самовозбуждающимися в областях с точками
перегиба рэлеевскими модами находит определенное подтверждение в
исследованиях [109]. С этой точки зрения отмеченное выше особое
поведение решений асимптотических уравнений в сильно нелинейных
областях в какой-то степени отражает реальные процессы разрушения
ламинарного режима течения в пограничном слое.
Теоретическая модель рециркуляционной зоны, имеющей харак-
терную длину порядка хорды тонкого тела, предложена в [110]. В пред-
положении, что ширина отрывной зоны не превышает толщину тела,
легко вывести систему уравнений, где в качестве одной из неизвестных
функций фигурирует форма границы вихревой области.
Возможность резонансного взаимодействия волн в пограничных
слоях и их существенная роль в нелинейной неустойчивости пред-
сказаны теоретически в [111, 112]. Нелинейная связь двух косых волн
Толлмина-Шлихтинга с прямой волной может приводить к усиле-
нию всех трех взаимодействующих волн. Важно подчеркнуть, что ин-
тенсивность взаимодействия данного типа характеризуется квадратом
амплитуды и, следовательно, превышает традиционную для стандарт-
ных нелинейных теорий величину, пропорциональную кубу амплиту-
ды. Обнаруженное в экспериментальных наблюдениях [113] пара-
метрическое резонансное трехволновое взаимодействие соответст-
вует в основных чертах модели [111, 112], подтверждаемой также
в [114].
Нестационарные уравнения для нижней палубы трехслойной тео-
рии применяются в [115] к исследованию резонансных троек в погра-
ничном слое несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса.
Предпринятый в [115] анализ, с одной стороны, придает рациональный
базис основным предположениям [111,112], а с другой стороны, допол-
няет представления [113, 114] о резонансном взаимодействии волн не-
устойчивости.
Механизм субгармонического резонанса, когда вязкие члены вхо-
дят в уравнения первого приближения для критического слоя, иссле-
дован в [116]. Предложенная в [117] теория параметрического усиления
возмущений несколько отличается от модели [111]. Механизм взаимо-
действия плоской и косой мод (либо пары косых мод) собственных
колебаний, имеющих совпадающие фазовые скорости, обсуждается
в [118].
Хорошо известный из экспериментов эффект генерации волн Тол-
лмина—Шлихтинга звуком [119-122] представляет собой специальный
случай так называемой восприимчивости (receptivity) пограничного
слоя. Объединяемый данным термином круг явлений, связанных с пре-
образованием внешних возмущений в собственные колебания с экспо-
ненциально нарастающей амплитудой, математически описывается
уравнениями с неоднородными начально-краевыми условиями [121].
Привлечение трехпалубной теории взаимодействующего пограничного
слоя позволило впервые прояснить механизм преобразования моно-
хроматической звуковой волны в волну Толлмина—Шлихтинга в окре-
стности стационарной неровности на поверхности обтекаемого те-
ла [123, 124]. Заметим, что данные [124] дополнены численными реше-
ниями уравнения Орра-Зоммерфельда для локальных профилей сред-
ней скорости [125].
Если задача о преобразовании акустических волн на локальных не-
однородностях формулируется в [126, 127] для уравнения Орра-Зом-
мерфельда, то в [128] восприимчивость двумерного пограничного слоя
по отношению к акустическим полям при наличии локализованного
отсоса изучается методом прямого численного моделирования на осно-
ве уравнений Навье—Стокса. На возможность альтернативной трактов-
ки проблемы восприимчивости к естественным, а также искусственно
вводимым возмущениям указано в [129].
Восприимчивость области отрыва на передней кромке тонкого
профиля (теория которой развита в упоминавшихся выше работах [15—
17]) составляет предмет исследования [130]. Анализ нестационарного
движения, возникающего под действием гармонических осцилляции
набегающего потока, свидетельствует о конвективной неустойчивости
взаимодействующего пограничного слоя, причем термины "конвектив-
ная" и "абсолютная неустойчивость" понимаются в смысле определе-
ний [131,132]. Развитие волн неустойчивости вниз по потоку приводит
к их трансформации в пространственно растущие волны Толлмина—
Шлихтинга посредством механизма, описанного в [133].
Внезапное расширение вихревого ядра потока, известное как раз-
рушение ("распад" или "взрыв") вихря [134], характеризуется возникно-
вением прилегающей к его оси области возвратного течения. Асимпто-
тический подход к построению теории явления разрушения вязкой
вихревой нити в случае стационарных осесимметричных течений
реализован в [135].
Ближний след и пограничный слой вблизи задней оконечности
тонкого осесимметричного тела при больших числах Рейнольдса пред-
ставляет собой еще один пример течения, допускающего асимптоти-
ческое описание в рамках концепции свободного взаимодействия. Если
теория плоских течений около задней кромки изложена, например, в
цитированной выше монографии [91], то обтекание тел с осевой сим-
метрией изучено в [136, 137] для случая, когда их радиус имеет порядок
толщины пограничного слоя. Тонкие тела вращения со степенной фор-
мой задней оконечности, но толщинами, большими по порядку вели-
чины, чем толщина пограничного слоя, рассмотрены в [138].
Плоское течение вязкой несжимаемой жидкости, покоящейся на
бесконечности, около вращающегося с постоянной угловой скоростью
эллипса с малым эксцентриситетом иллюстрирует эффект зарождения
локальных зон возвратных токов. Асимптотическая оценка для боль-
ших чисел Рейнольдса тех значений эксцентриситета, при которых
впервые возникает отрыв, дается в [139], причем качественные свойст-
ва решений интерпретируются в свете результатов [140, 141].
Теоретический анализ вихрей Тейлора-Гертлера (в частности,
цитированные выше исследования [71-76]) получил дальнейшее разви-
тие при построении асимптотических моделей, учитывающих все
характерные диапазоны изменения длин волн, в том числе меньших по
порядку величины, чем толщина пограничного слоя [142-145].
Трехмерные уравнения Навье—Стокса для несжимаемой жидкости
решаются численно в [146] с применением спектральных разложений
Фурье—Чебышева с целью исследования нелинейной эволюции вихрей
Тейлора-Гертлера в двумерных пограничных слоях и взаимодействия
с ними волн Толлмина—Шлихтинга. Отмечается качественное согласо-
вание с результатами [147], полученными с помощью метода многих
масштабов и теории Флоке. В случае трехмерного невозмущенного
10
пограничного слоя задача на собственные значения, устанавливающая
связь между скоростью роста вихрей Тейлора-Гертлера, амплитудой
боковой компоненты скорости и волновым числом, решается в [148,
149]. Анализ [150] вторичной неустойчивости вихрей Тейлора-Гертле-
ра нацелен на выяснение относительной роли четных и нечетных
собственных функций в зависимости от длины волны. Распространение
обсуждаемого круга вопросов на течения в трубах осуществлено
в [151].
При попытке построить решение в пограничном слое на поверх-
ности гладкого тела с помощью уравнений Прандтля с заданным гра-
диентом давления [152] для иллюстрации формирования особенности
в конечный момент времени используются лагранжевы координаты.
Приложением развитой в [152] теории является исследование процесса
отрыва в экваториальной плоскости сфероида, мгновенно приведен-
ного во вращение вокруг оси симметрии [153].
Развитие ламинарного пограничного слоя вверх по потоку от дву-
мерного и трехмерного препятствия, установленного на плоской стен-
ке, рассматривается в [154]. При этом обращается внимание на очень
сложную картину предотрывного поля течения для трехмерного неста-
ционарного пограничного слоя.
Некоторые вычислительные аспекты в задаче устойчивости погра-
ничного слоя обсуждаются в [155-158]. Основное внимание уделено
роли непараллельности основного потока и нелинейным эффектам,
а методы исследования основаны на прямом численном решении
уравнений Навье-Стокса, а также параболизованных уравнений.
Целью [159] служит изучение механизма восприимчивости воз-
мущенного коротким препятствием пограничного слоя по отноше-
нию к внешним гармоническим осцилляциям. Нестационарное движе-
ние вблизи неровности рассматривается в рамках трехмерных уравне-
ний трехпалубной теории, которые интегрируются численно. Неста-
ционарные локализованные в пространстве неоднородности погранич-
ного слоя (пятно Эммонса [160]) моделируются в [161] в виде реше-
ний задачи с начальными данными для трехмерных невязких возму-
щений.
Развитие искусственно вводимых в ламинарный пограничный слой
на плоской пластине трехмерных возмущений и последующие нели-
нейные стадии переходного процесса изучаются в [162] на основе пря-
мого численного решения полных уравнений Навье—Стокса. Расчетные
исследования [162], ориентированные на моделирование условий экспе-
риментов [163,164], воспроизводят данные измерений вплоть до стадии
вторичной неустойчивости. Комбинация численных и асимптотических
методов применяется в [165] к построению стационарных возмущений
двумерного течения в длинном прямолинейном канале.
Предельная асимптотическая модель трехмерных возмущений
трехмерного пограничного слоя рассматривается в [166] для дозвуко-
вых скоростей набегающего потока и при больших характерных
числах Рейнольдса. Нетривиальные решения линеаризованных уравне-
ний существуют, если частота и компоненты волнового вектора
И
удовлетворяют дисперсионному соотношению [167, 168]. Однако ана-
лиз его решений [166, 168] указывает на присутствие особенностей,
одна из которых приводит к некорректности задачи Коши по Петров-
скому [169] для системы линейных уравнений. В [170] предложена
новая, корректная по Петровскому модель, в которой сохранено число
Рейнольдса и которая учитывает изменение нормального градиента
давления, вызванного центробежными силами.
Нестационарный отрыв двумерного потока при больших числах
Рейнольдса рассматривается в [171]. Решение нестационарных двумер-
ных уравнений невзаимодействующего пограничного слоя приводит к
известной особенности в области с заданным неблагоприятным гра-
диентом давления. Однако процесс отрыва сопровождается изменением
давления через вязко-невязкое взаимодействие еще до возникновения
сингулярности (первая стадия взаимодействия по терминологии [171]).
Описывающее данную стадию численное решение получено в лагран-
жевых координатах. Сформулирован вывод о том, что взаимодействие
начинается существенно раньше, чем это следует из общепринятых
представлений о механизме нестационарного отрыва.
Предложенная в [172] теория генерации волн Толлмина—Шлихтин-
га внешней турбулентностью основана на асимптотической картине
преобразования возмущений, отличающейся от рассмотренной в [123,
124] для случая генерации акустическими полями. В качестве одного из
следствий асимптотической теории в [172] выведена формула для
амплитуды возбуждаемой волны Толлмина-Шлихтинга.
В приведенном выше обзоре работ, в которых асимптотический
подход в пределе больших чисел Рейнольдса позволяет перейти от
уравнений Навье-Стокса к сравнительно более простым уравнениям
свободно взаимодействующего пограничного слоя, значительное место
занимают различные аспекты теории гидродинамической устойчи-
вости. То обстоятельство, что рассмотрение нижней ветви нейтральной
кривой устойчивости пограничного слоя Блазиуса приводит к трехпа-
лубной структуре возмущенного поля скоростей, является, по сделан-
ному в [51] замечанию, достаточно неожиданным. Для верхней ветви
нейтральной кривой структура возмущений претерпевает дальнейшие
усложнения и включает пять подобластей [173-177]. Более того, имен-
но асимптотическая трактовка задачи устойчивости, как подчерки-
вается в [175], имеет рациональный базис, поскольку только в пределе
больших чисел Рейнольдса основное течение приобретает форму
пограничного слоя.
Плоское течение в пограничном слое нетривиальным образом
зависит от двух координат (являясь "почти параллельным" лишь при
стремлении к бесконечности числа Рейнольдса). Отмеченное услож-
няющее свойство основного течения часто игнорируется в теоретиче-
ских исследованиях устойчивости, использующих приближение парал-
лельности невозмущенных линий тока. Строго говоря, предположение
о параллельности содержит указанное в [178] противоречие: число
Рейнольдса должно быть одновременно а) асимптотически велико для
применимости данной аппроксимации и б) порядка единицы в задаче о
12
нахождении критического числа Рейнольдса. Теория, где эффекты не-
параллельности учитываются в нескольких старших членах асимптоти-
ческих рядов [51, 175], свободна от упомянутого недостатка и в первом
приближении воспроизводит обычные результаты устойчивости
локально-одномерного потока.
Пространственная устойчивость двумерного пограничного слоя на
плоской пластине исследуется в [179] на основе метода многих масшта-
бов, который приводит к неоднородному уравнению Орра-Зоммер-
фельда вследствие эффектов непараллельности. Модификация класси-
ческого метода Гейзенберга [180] предложена в [181] с целью построе-
ния равномерно пригодного решения уравнения Орра-Зоммерфельда.
В [182] приведены результаты измерений полей возмущений в погра-
ничном слое на плоской пластине, дающие информацию о существен-
ном влиянии непараллельности течения на его устойчивость.
В ранних работах [183, 184] развита формальная схема разложения
решений уравнений Навье-Стокса в ряды, справедливая при достаточ-
ной близости к нейтральной кривой линейной теории. Позднее в [185]
для чисел Рейнольдса, превышающих критическое значение на малую
величину, методом многих масштабов выведено нелинейное ампли-
тудное уравнение параболического типа, обобщающее уравнение из
[183, 184] на случай пространственных вариаций амплитуд возмущений
в течении Пуазейля и описывающее систему волн, распространяю-
щихся с некоторой групповой скоростью. Цитированная выше ра-
бота [178] касается существенно более сложного вопроса о нелинейных
возмущениях из окрестности нижней ветви нейтральной кривой для
пограничного слоя с учетом нарастания его толщины (непараллель-
ности основного потока).
Если число Рейнольдса и волновое число достаточно далеки от
нейтральной кривой, необходимы иные принципы построения нелиней-
ной теории. В независимых работах [43, 44] таким принципом служит
нелинейность критического слоя. Результаты [43, 44], получившие
развитие в [186, 187], относятся к нестационарным колебаниям, фазо-
вая скорость которых порядка скорости основного течения. Эволюция
полученных в [43, 44] структур при уменьшении фазовой скорости
периодических возмущений исследована в [188]. Математическая мо-
дель критического слоя волны Россби и ее связь с теорией [43, 44]
обсуждаются в [189, 190]. Нелинейная эволюция волны Толлмина-
Шлихтинга с параметрами из окрестности нижней ветви нейтральной
кривой изучается в [191] с учетом непараллельности потока жидкости в
пограничном слое. Полученные оценки для "быстрой" и "медленной"
переменных метода двухмасштабных разложений по продольной
координате приводят к амплитудному уравнению.
В обзорных работах [121, 192] по теории устойчивости и восприим-
чивости пограничного слоя на пластине в качестве базисного асимпто-
тического подхода рассматривается трехъярусная структура свободно-
го взаимодействия. Основная часть [121, 192] посвящена линейной
стадии распространения двумерных и трехмерных волновых пакетов и
волн Толлмина-Шлихтинга; приводятся также результаты численного
13
анализа двумерных нелинейных волновых движений с применением
псевдоспектрального метода [34,193, 194].
Физическая картина возмущений, которые вносит потенциальный
вихрь в пограничный слой при движении над локальной шерохова-
тостью в виде выступа или впадины, отражена в [195, 196]. Зарождение
волнового пакета и дальнейшая эволюция его структуры в зависимости
от напряжения вихревой нити, а также указанная аналогия с рассеива-
нием звука находятся в полном соответствии с общей концепцией
восприимчивости пограничного слоя по отношению к внешним источ-
никам различной природы [121, 197].
В [198] получен ответ на вопрос о существовании автомодельных
решений, которые описывают локально трансзвуковые течения,
а именно, исследована структура трансзвукового потока в окрестности
точки излома профиля в классе автомодельных решений уравнения
Кармана. Показано, что имеются два семейства автомодельных реше-
ний уравнения Кармана. Найдены показатели автомодельности, для
которых существуют решения с волной разрежения (решения типа
Вальо-Лаурина) и со свободной линией тока. Существование и един-
ственность автомодельных решений уравнения пограничного слоя,
описывающих течения в слоях смешения, доказаны в [199-201].
Обнаруженный более тридцати лет назад в экспериментах [106-
108] #-режим разрушения ламинарного пограничного слоя характе-
ризуется появлением на осциллограммах пульсаций скорости мощных
всплесков возмущений, имеющих специфическую форму шипов. В ка-
честве механизма образования шипов вплоть до недавнего времени
предлагалась концепция локальной высокочастотной вторичной не-
устойчивости (ЛВВ): появление пакета высокочастотных пульсаций на
неустойчивом перегибном мгновенном профиле скорости, формируе-
мом первичной волной. В середине 70-х годов в опытах [202] обнару-
жен существенно иной путь разрушения пограничного слоя, названный
субгармоническим, или УУ-режимом. Переход к турбулентности в //-ре-
жиме происходил путем плавного нарастания высших гармоник, по-
явления в спектре низкочастотных пульсаций, включая субгармонику,
и последующего их взаимодействия, причем присущих К -режи-
му всплесков-шипов не наблюдалось. Основным механизмом появле-
ния трехмерности и стохастизации течения в iV-режиме, как было уста-
новлено в [113, 203], является параметрическое резонансное усиле-
ние (теоретически предсказанное в [111]) фоновых субгармониче-
ских возмущений при их взаимодействии с основной волной неустой-
чивости.
Таким образом, если механизм //-разрушения был объяснен без
применения концепции ЛВВ-неустойчивости, то теоретические иссле-
дования К-режима развивались на базе именно этой концепции. По-ви-
димому, применением простого механизма ЛВВ к описанию значи-
тельно более сложного процесса /С-разрушения можно объяснить
весьма медленное продвижение в понимании природы данного режима
перехода. Ввиду этого в [204, 205] были проведены новые детальные
14
исследования АГ-режима перехода с применением аппарата частотно-
волнового комплексного фурье-анализа данных; полученные результа-
ты кардинальным образом изменили представления о механизмах
разрушения ламинарного течения в АГ-режиме перехода.
Новая физическая модель [206, 207] начальных стадий АГ-режима
перехода названа резонансно-волновой концепцией разрушения. Даль-
нейшее экспериментальное изучение всплесков-шипов [208] позволило
сформулировать два основных вывода: а) возникновение шипов не свя-
зано с механизмом ЛВВ-неустойчивости, как это предполагалось в
течение тридцати лет; б) шипы обладают свойствами солитонов. Вто-
рой из этих выводов заслуживает пристального внимания, поскольку из
него вытекает принципиально иная трактовка нелинейных явлений,
сопровождающих А'-режим разрушения пограничного слоя.
Выводы экспериментальной работы [208] обнаруживают неожи-
данную связь с ранее выполненными теоретическими исследованиями
возможности существования солитонных решений в пограничных
слоях. Речь идет прежде всего об одном из вариантов асимптотической
теории взаимодействия пограничного слоя, а именно о предложенной
в [209], а затем независимо в [210] четырехъярусной схеме возмущен-
ного поля скоростей. Класс волновых движений, для которого реали-
зуется четырехъярусная схема, характеризуется тем, что картина
течения при дозвуковых скоростях набегающего из бесконечности
потока полностью определяется решением нелинейного интегро-диф-
ференциального уравнения Бенджамина—Оно [211, 212]. Аналогичные
асимптотические конструкции в применении к течению в струе несжи-
маемой жидкости, ограниченной плоским экраном [210, 213], приводят
к уравнению Кортевега-де Вриза. Детальная структура решений упо-
мянутых солитоносодержащих уравнений, процессы генерации соли-
тонов, а также сложная картина межсолитонного взаимодействия
явились предметом теоретических исследований [214—220]. Солитон-
ные решения асимптотических уравнений, описывающих осесиммет-
ричные возмущенные течения в трубах, обнаружены в [221, 222]..
Анализ экспериментальных данных [223-226] и содержащиеся
в [227-230] указания на возможность применения асимптотической
теории для математического описания нелинейных стадий АГ-режима
перехода позволили прийти к выводу о правомерности высказанной
в [208] гипотезы о том, что поведение шипов может быть описано
в рамках теории солитонов. Подробное экспериментальное изучение
[231] когерентных пульсаций подтвердило отмеченное в [208] разделе-
ние возмущений на две группы: пристеночный слой сильного сдвига и
когерентные структуры-солитоны (КС-солитоны) переходного погра-
ничного слоя (по терминологии, введенной в [225]). Нелинейность в
КС-солитоне компенсирует дисперсию и, как подчеркивается в [231],
приводит к постоянству свойств солитона на большом расстоянии вниз
по потоку, составляющем десятки его характерных размеров и более
сотни толщин пограничного слоя.
Целостное представление о современном состоянии проблем
устойчивости, восприимчивости, ламинарно-турбулентного перехода и
15
управления им можно почерпнуть из недавно вышедшей моногра-
фии [232].
В предлагаемой работе подытоживаются исследования [40-42, 52,
53, 176, 177, 209, 213-216, 233-253] различных аспектов нестационар-
ного свободного взаимодействия пограничного слоя с внешним пото-
ком в условиях до- и сверхзвукового обтекания, включая трансзвуко-
вой диапазон скоростей. Применяемая нестационарная асимптотиче-
ская теория позволяет указать на ряд достаточно тонких эффектов,
недоступных для изучения другими методами. Решение начально-
краевых задач, поставленных для уравнений Навье—Стокса, чрезвычай-
но затруднительно из-за наличия малого параметра при старших про-
изводных, поскольку круг изучаемых явлений характеризуется боль-
шими значениями числа Реинольдса. Новые возможности в преодо-
лении указанных трудностей появляются в рамках асимптотического
подхода. Основная направленность предпринятого в работе асимпто-
тического анализа уравнений Навье—Стокса в пределе больших чисел
Реинольдса связана с раскрытием внутренней структуры возмущенного
пограничного слоя в задачах устойчивости и восприимчивости, полу-
чением оценок (в терминах отрицательных степеней числа Реинольд-
са и амплитуд возмущений) для функций течения в каждой из под-
областей, на которые разделяется поле скоростей. Данный подход
существенно дополняет имеющиеся представления о реакции погра-
ничного слоя на линейные и нелинейные возмущения различной
природы.
Выражаю глубокую благодарность академику В.В. Румянцеву
и члену-корреспонденту В.П. Коробейникову за внимание к работе,
а также профессору И.И. Липатову за ценные замечания.
ГЛАВА 1
МНОГОЯРУСНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА
СВОБОДНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕГО
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
1.1. О локально-невязких возмущениях
в пограничном слое
с самоиндуцированным давлением
В асимптотической теории свободного взаимодействия пограничного
слоя с внешним потоком [78,79, 81] рассматриваются возмущения про-
дольной скорости порядка ? = Re~1/8 и возмущения давления порядка е2,
где число Рейнольдса Re определено по характерному размеру тела
(а не по местной толщине вытеснения). Предположим, что в отличие от
[78, 79, 81] поправка к продольной скорости и избыточное давление
имеют порядки а и а2 соответственно, причем е < а < 1.
Обозначим через t*,x*,y*,z* время и декартовы координаты,
через и*,и *,w*, p*, р* компоненты вектора скорости, плотность и дав-
ление, индексом оо пометим параметры набегающего из бесконечности
потока. Примем, что газ течет вдоль плоской теплоизолированной
пластины со скоростью t/^,, а число Маха ML отлично от единицы на
конечную величину. Введем характерное расстояние L*, отсчитывае-
мое от ее передней кромки до исследуемой области развитого погра-
ничного слоя. Выберем направления лежащих в плоскости пластины
у* = О осей х*, z* декартовой системы координат с началом на перед-
ней кромке так, чтобы векторы скорости основного двумерного те-
чения были коллинеарны плоскости х*,у*. Здесь и в дальнейшем звез-
дочками вверху отмечены размерные величины. Число Рейнольдса
Re = pi lC L* ДС —> °о и параметр а —> 0 являются, вообще говоря,
независимыми.
В невозмущенном пограничном слое зависимость продольной ком-
поненты скорости Ut, Uo и плотности pi Rq от продольной коорди-
наты х*С~1 несущественна на масштабах порядка длины области сво-
бодного взаимодействия и не будет учитываться в дальнейшем.
В основной толще пограничного слоя (область 2 на рис 1.1, иллю-
стрирующем структуру течения) асимптотическое представление пара-
метров газа имеет вид
17
У////////////////////////////////////,
Рис. 1.1
^ = U0(Ym) + aulm (T, X, Ym, Z) + a2u2m (Г, X, Ym, Z) + .
jjt = a2wlm (T, X, Ym, Z) + a3w2m (Г, X, Ym, Z) +...,
A.1.1)
Щ- = a2plm {T, X, Ym,Z) + a?p2m (Г, X, Ym, Z) +...,
Pit/,
а аргументы Т, X, Ym, Z искомых функций определяются выражениями
L* e4 * ( е4 ^1 * 4 * е4
Ul а2 ' ( a j' m' а
В области 7 на рис. 1.1, примыкающей сверху к пограничному
слою, справедливы разложения
^г = 1 + «Ч (Г, X, Гж, Z) + а3м2й (Г, X, Yu, Z) +...,
j-r = a2viu (T, X, Yu, Z) + a?v2u (Г, X, Yu, Z) +...,
j^ = a2wlu{T,X,Yu,Z) + a3w2u(T,X,Yu,Z)+..., A.1.3)
4- = 1 + а2р,„ (Г, X, YU,Z) + а3р2ц (Г, X, YU,Z) +...,
4^| = а2Ав (Г, X, Гй, Z) + а3р2и (Г, X, Ги, Z) +...,
Кое оо
18
где переменные Т, X, Z заданы посредством A.1.2), а переменная Yu
вводится равенством
е4
y*=L* — Yu. A.1.4)
а
Уравнения первых двух приближений и их решения, получающиеся
в результате подстановки разложений A.1.1) и A.1.3) в уравнения
Навье—Стокса, аналогичны выводимым в обычной теории свободного
взаимодействия [3, 4, 8, 87, 254]. Для главных членов разложения в об-
ласти 2 имеем
<1Л5)
-, pla=pla(T,X,Z),
где функция А, = Ах (Т, X, Z) остается произвольной.
В случае Ym —> 0 имеем Uo = X, Ym[l + о (I)]. При Ym = О (ос) продоль-
ная скорость U0(Ym) в невозмущенном пограничном слое становится
порядка возмущения скорости, что свидетельствует о наличии нелиней-
ной области 3 на рис. 1.1 толщиной L*oce4. Параметры газа в этой
области представим в виде
?г = ««1в (Т, X, Ya,Z) + а2и2а (Г, X, Ya, Z) + ...,
^- = a3i^lo(Т, X, Ya,Z) + a4v2a(T, X, Ya, Z) +...,
?- = р1а (Г, X, Ya,Z) + ар2а (Г, X, Ya,Z) +...,
* ¦
причем задающее переменную Ya выражение
у* = Ь*аг% A.1.7)
делает очевидной связь Ym = aYa.
19
Из представления A.1.6) вытекает система уравнений
др1а = 0
' it* ^^^ i ia j
~W эх
Эиг
ЭК
piawla _Q
3Z ' ЭК
ди,
ди1а
dZ
ЭХ +а4 ЭУЛ^ЭК J'
aw,
P.« -jf + P..«,«
A.1.8)
Pi. 4
ЭГ +"ь ЭХ +Ца д?а +Ща dZ~a4
dYa PlJ'
здесь \1 = Ц*/д1 - первый коэффициент вязкости, Рг - число Прандтля.
С учетом выписанных в [254] членов второго приближения и2т,
V2m' W2m> Plm> Pirn ИМееМ ПРИ Ym ~> ° (Уа ~> °°):
Mlfl =
5"dX '
dU0@)
а
dU0@)
[dUo(O)/dYm
d?m ЭХ а ЪТ d?m l ЭХ
о~Х~ + L 3Z2
1а [dl/0(O)/drm]/!b(O)
f
duo(O)/dYm Л
Формулы A.1.9) относятся к случаю теплоизолированной поверх-
ности, причем равенство dR0@)/dYm = 0 позволяет принять
A.1.10)
а2), Р1а=/?О(О)
всюду в нелинейной области.
Возмущение давления во внешнем потенциальном течении, инду-
цированное ростом толщины вытеснения пограничного слоя, опи-
20
сывается уравнением Лапласа (Мм < l) либо волновым уравнением
(М„, > 1). Решения указанных уравнений с граничными условиями, по-
лучаемыми предельным переходом Ym —»<» в разложении A.1.1), уста-
навливают связь между искомыми функциями р\а и Ах [87, 254]:
(i.i.ii.)
A.1.116)
где через S(X, Z) обозначена область интегрирования
на плоскости ?,, г|.
Если 3Aj/3Z = O, to соотношения A.1.11) трансформируются сле-
дующим образом:
Pla=\
ста,
Подлежащая определению функция Ах - А^{Т, X) характеризует вели-
чину мгновенного смещения линий тока.
Новыми по сравнению с теорией [78, 79, 81] элементами данного
раздела является введение независимого от числа Рейнольдса пара-
метра а, который может иметь меньший порядок малости, чем пара-
метр 8 = Re~1/8, а также иная нормировка независимых переменных
t',x*,y*,z*.
Остановимся на двумерном варианте ш* = 0, Э/Эг* = 0) рассматри-
ваемой теории [209, 210]. Неравенство а> е означает, что нелинейный
подслой (область 3) разделяется на основную невязкую часть Ya = 0A),
в которой содержащими коэффициент вязкости (J. членами в уравне-
ниях A.1.8) можно пренебречь, и вязкую пристеночную область тол-
щины Ya = о(а~2г2). Таким образом, функции первого приближения в
разложениях A.1.6) удовлетворяют невязким нелинейным уравнениям
ди1а Эи1а дща
дТ
dYa
21
Заметим, что область локально-невязкого течения в задаче о при-
соединении сверхзвукового потока исследована в [255, 256], где вблизи
стенки получен стационарный аналог уравнений вида A.1.13).
Возьмем в качестве решений системы уравнений A.1.13) функции
а1т A.1.14)
dUo(O) Ъ\ ЭД, Д/0@) ЭА,
la dY ЭХ а дТ dY '
dYm ЭХ а дТ dYm ' ЭХ
Легко видеть, что выражения A.1.14) представляют собой задаваемые
посредством A.1.9), A.1.10) главные члены асимптотик решения A.1.1)
в области 2 при Ym —> 0 и, следовательно, автоматически удовлетво-
ряют условиям сращивания при Ya —> °°.
Поскольку в области 3 граничное условие прилипания не вы-
полнено, необходимо ввести область 4 (см. рис. 1.1) на самом дне по-
граничного слоя, в котором вязкие напряжения существенны уже
в первом приближении. Положим
X = а 1/„ (Т, X, Y,, Z) +..., X = аг2ии (Т, X, Y,, Z) + ...,
A.1.15)
-?- = *Ь@) +.... 4^ = а\ {Т, X, Y,, Z) +...,
где новая независимая переменная Y, задается формулой
у^ A.1.16)
Для линейной зависимости коэффициента вязкости от температуры
Т*, а именно |i.*/(il = СТ*/Tl, (закон Чемпена), получаем уравнения
Эй,, дии
^
й,,
-
эх "эк,; эх «ь@) эу,2
=
+ 0
эх эг( ' эк,
Важно подчеркнуть, что введение области 4 имеет смысл лишь
в том случае, если внешнее по отношению к ней невязкое течение
в области 3 удовлетворяет условию непротекания. Отсюда с учетом
A.1.14) сразу следует требование
дт dYm ' эх рк экт J эх
22
A.1.18)
Воспользуемся обычным в теории свободного взаимодействия пре-
образованием подобия [78,79, 81]:
X/-.J/S-1
= С X
-5/4
-3/8
x.
1-3/4
Mi-i|
A,
A.1.19)
wl; =
лЗ/4
i 1/4
1/2
Mi-i
,.2 ,
Mi-i
1/8
-1/8
-1/4
где С - константа Чепмена:
Я., = dUo(O)/dYm = ХС-1'
X = 0,3321, Я@) =
Тогда система асимптотических уравнений для области 4 перепишется
следующим образом:
ди ди ди Эр Э и
— + U—+V— = —^- + —J,
dt дх ду дх ду
+
ду
Краевые условия для пограничного слоя на плоской пластине:
у = 0: u=v =0;
у->°°: u->A(t,x).
A120)
A.1.21)
A.1.22)
Что касается граничных условий по х, то в качестве таковых можно
взять либо условие затухания возмущений вверх по потоку
л: ->-«>: и->0, A.1.23)
либо условие периодичности.
Поскольку давление не меняется поперек каждой из областей 2,3,
4, входящий в A.1.20) градиент давления связан с наклоном линий тока
ЭЛ/Эл; посредством формул A.1.12) (в новых переменных эти формулы
23
не содержат зависящих от М«, коэффициентов). Как следует из A.1.18)
и A.1.126), при Мте > 1 функциям! удовлетворяет уравнению Бюргер-
са [257]
M + A|d_0 = O. A.1.24)
dt дх дх1
Ввиду A.1.12а) при Мте < 1 функция А должна находиться из интегро-
дифференциального уравнения Бенджамина-Оно [211, 212]
-dE = O. A.1.25)
dt дх л _«, %-х
В подвижной системе координат, где стенка перемещается вниз по
потоку с постоянной скоростью Со, стационарное решение уравнения
Бюргерса
A.1.26)
соответствует отрывному течению в невязкой области 3. С помощью
формул A.1.14) находим уравнение нулевой линии тока, которая раз-
ветвляется в точке х = - х,
х<-х00,
х>-хт.
Непосредственно над нижней ветвью нулевой линии тока уа = 0, х > -х<$,
продольная скорость отрицательна. Напомним, что линия уа = 0 яв-
ляется границей с вязким подслоем 4, внутри которого поле скоростей,
удовлетворяющее условиям прилипания, определяется из нелинейной
системы уравнений A.1.20).
Стационарное решение уравнения Бюргерса
А = —, х>-х0 A.1.27)
х + х0
реализуется в окрестности присоединения потока к поверхности тела.
Смысл A.1.26), A.1.27) поясняется в гл. 2 (см. B.2.11), B.2.12)).
1.2. Об одном свойстве линеаризованных уравнений
пограничного слоя с самоиндуцированным давлением
Положим сс = ? в разложениях A.1.1)—A.1.7), A.1.15), A.1.16), тогда
области 3 vi 4 на рис. 1.1 совпадают, переменные Ya = Yt, а возмущения
в нелинейном пристеночном подслое, как видно из A.1.8), описываются
уравнениями Прандтля, которые в двумерном случае в результате
нормировки переменных A.1.19) приобретают вид A.1.20). Однако воз-
мущенное давление в данных уравнениях нельзя вычислять по реше-
24
нию внешней задачи обтекания, а вместо A.1.22) необходимо поставить
вытекающее из A.1.9) условие
у->о°: M-»y + A(f, x). A-2.1)
Уравнения, которые позволяют рассмотреть в рамках нелинейной
теории возмущений нестационарные процессы, были независимо выве-
дены разными авторами [35—39]. Наиболее простым для математи-
ческого исследования оказался случай, когда число Маха Мтс набе-
гающего потока превышает единицу. Ограничимся в настоящем раз-
деле этим случаем.
Входящее в первое из уравнений A.1.20) самоиндуцированное дав-
ление A.1.126) в рассматриваемых переменных
Р = -д4- A-2-2)
дх
Следуя [38, 46], представим искомые функции в виде
и = у-аеш + 1а^-, v=akem + kxf(y), p=aeM + kx. A.2.3)
dy
Внесем формулы A.2.3) в систему уравнений A.1.20) и линеаризуем
полученные таким образом соотношения по амплитуде а возмущений.
В результате получим
^ ^ ^O. A.2.4)
dy* v 'dy
Граничные условия A.1.21) на пластине у = 0 дают
dy
Чтобы удовлетворить предельным условиям при х —> —°°, достаточно
принять Real к > 0. С учетом формулы A.2.2) для давления из предель-
ного условия A.2.1) при у —> °° находим
^->-. A.2.6)
Как показано в [38], решение обыкновенного дифференциального
уравнения A.2.4) с краевыми условиями A.2.5), A.2.6) существует, если
частота со и волновое число к удовлетворяют дисперсионному соот-
ношению
dAiUk2'3)
V / Г \uae\jae — ;,4'J A27)
<оД2/
где AiB?) - функция Эйри комплексного переменного 2?=со/^2/3 +
+ к у. Если на плоскости к провести разрез из начала координат
вдоль отрицательной вещественной полуоси, то выбор ветви трехзнач-
25
ной функции кт в соответствии с неравенствами - — я *= arg?
?1/3 ? — я
обеспечивает сходимость несобственного интеграла в левой части
дисперсионного соотношения.
Большой интерес представляют решения с 1тю = 1тЛ: = 0, кото-
рые можно интерпретировать в качестве бегущих волн. Рассмотрим
эти решения более подробно. Естественно задать скорость с распро-
1 (
странения бегущей волны; тогда со = — ск, 2? = к1 (у - с), а функция
-ск
1/3
ot.
-ск
1/3
в=-
A.2.8)
В [38] анализировались в основном возмущения, распространяю-
щиеся вверх по потоку; для них с < 0, а ш > 0. Для стационарных тече-
ний с = со = 0, к = к** - 0,82715 [46]. Кривая к = &(со) была продолжена
в область отрицательных значений со. Оказалось, что каждому значе-
нию со > 0 отвечает только одно значение к, однако каждое значение
ю< 0 порождает два значения к. Обратная зависимость со = со (к) полу-
чилась однозначной для всех к s* 0. Вопрос о количестве ветвей диспер-
сионной кривой при со < 0 в работе [38] не ставился. Между тем этот
вопрос относится к числу принципиальных. Наиболее просто ответ на
него можно получить следующим образом.
На плоскости комплексного переменного 2? с вырезанной отри-
цательной вещественной полуосью при | % \ —> °° справедливо асимпто-
тическое представление [258]
*¦ /ъа — I / Л I *•* лц> \ I J I / 1 ^ П\
A.2.10)
еЗ/2
Пусть ; =
| ->°о, а
Подставим формулу A.2.9) в уравнение A.2.7) и удержим в нем только
главные члены. В результате находим L, = к , откуда следует со = к .
Последнее равенство было указано в [259] в качестве определяющего
единственное решение дисперсионного соотношения при больших | ? |.
Сформулированное заключение является ошибочным. Действи-
тельно, обратимся к асимптотическому представлению функции Эйри
при больших отрицательных значениях ее аргумента, который в рас-
сматриваемом случае пробегает лишь действительные значения. Когда
| % | —» о°, a arg| % | = ± п, формулу A.2.9) нужно заменить на [258]
1/4
sin(f
3/2
4
A.2.11)
26
Поскольку несобственный интеграл от функции Эйри, взятый вдоль
всей вещественной оси, сходится:
— DO
то при С, = -ск113 ^-оо дисперсионное соотношение A.2.7) записы-
вается приближенно как
^ . A.2.13)
Нули функции из правой части последнего равенства достигаются
в точках
Разумеется, формулой A.2.14) можно пользоваться только при доста-
| -3/4
точно больших j. Положим ?, = K,j + АС,, к~ 1, А?~\t>j ¦ Решение
приближенного дисперсионного соотношения A.2.13) гласит тогда
; A.2.15)
верхний знак здесь выбирается, когда j — четное число; нечетным j со-
ответствует нижний знак. При к —»0 второй член в правой части
формулы A.2.15) становится пренебрежимо малым.
Формула A.2.15) позволяет утверждать, что дисперсионная кривая
обладает бесконечным количеством ветвей. Этот принципиальный
вывод не связан с заменой точного дисперсионного соотношения
приближенным, для него существенно лишь, что функция Ai(?) имеет
колебательный характер при отрицательных значениях аргумен-
та. Любой интервал значений ?, ограниченный точками с положитель-
ным и следующим за ним отрицательным экстремумами этой функ-
ции, порождает свою ветвь дисперсионной кривой, если производ-
ная dAi/dC, внутри него отрицательна. Из всех ветвей дисперсион-
ной кривой только одна начинается в полуплоскости со > 0, она бы-
ла определена в [38]. Все остальные ветви целиком расположены
в полуплоскости со < 0. Хотя спектр собственных значений дискрет-
ный, он имеет точку сгущения ш = к = 0. Ветви с <о< 0 соответствуют
возмущениям, которые сносятся вниз по потоку, поскольку для них
с>0.
Положим снова t, —>-°° и оценим решение A.2.3) в окрестности
стенки у —» 0. Вспоминая формулу A.2.8), находим асимптотическое
27
представление
/ = -
3/2 Я
4
Если волновое число к конечно, то постоянная
2
также конечна. Наряду с линейным членом в полученную асимптотику
входит также быстро осциллирующий член. Период задаваемых им
колебаний уменьшается обратно пропорционально
В связи с
этим вторая производная d и I dy , которая вычисляется через
dy3
<Jn
растет как | % | . Координата у = с определяет ту часть пограничного
слоя, где скорость газа совпадает со скоростью распространения вол-
ны. В области с < у < °о частицы обгоняют волну, а возмущения экспо-
ненциально затухают. Компоненты вектора скорости осциллируют в
области 0 < у < с, ограниченной критическим слоем [45] и стенкой,
причем количество колебаний увеличивается по мере возрастания ско-
рости волны.
Ясно, что наличие в асимптотическом представлении решения
быстро осциллирующего члена требует введения новой области, при-
легающей к поверхности пластинки. Малый параметр, определяющий
ее поперечный масштаб, 5„, = с, а
A.2.16)
Решение в этой области имеет вид
г,1/2
-1
<.-Л>-»|||>
1/2
^ ] - cos| 1
,1/2
v =ак ехр
к х--—
о
,-l/2s3/2
cos -
2 k
1'2
3 &J2 2
, A-2.17)
28
w „¦;— t i i л -Ч \ 51 ч„
p = a exp
При выводе системы уравнений A.1.20) принималось, что плас-
тинка термически изолирована, тогда в первом и втором приближениях
плотность газа остается постоянной в вязком подслое [37, 38, 78, 79]
(см. A.1.10)) и находится по температуре обтекаемой поверхности.
Колебания плотности, которые сопровождают колебания составляю-
щих вектора скорости, во вновь введенной области малы, поэтому в
решениях A.2.17) они не учитываются.
Внося формулы A.2.16), A.2.17) в уравнения A.1.20), можно убе-
диться, что они представляют их асимптотическое решение при а —» 0,
Ъ„ —» 0 и ограниченных значениях разности х - г/5^. К такому же выво-
ду приводит подстановка этих формул в систему уравнений Навье-
Стокса.
В исходных размерных переменных скорость с* волны и скорость
U^, набегающего потока связаны соотношением
c*U*J] =O(ec). A.2.18)
Отсюда видно, что рассматриваемая теория описывает очень мед-
ленное распространение мелкомасштабных возмущений. Такие возму-
щения сосредоточены не внутри пограничного слоя, а на его дне вблизи
обтекаемой поверхности. При к —> 0 формулой A.2.15) с отброшенным
в ней поправочным членом можно пользоваться, если под tjy понимать
точное значение координаты, при котором достигается положитель-
ный экстремум функции Эйри. Пусть к = 0(?3); тогда из равенств
A.2.18) и ?у- = -с?1/3 следует, что c*U^~l = 0A). Как легко видеть, этот
предельный случай соответствует обычной теории Прандтля, в кото-
рой масштабы возмущений сравнимы с масштабами всего погранично-
го слоя.
Аналогичный результат о бесконечном количестве ветвей у дис-
персионной кривой был установлен в [48] при изучении возмущений,
которые генерируются в пограничном слое находящимся на пластинке
осциллятором. Как будет видно в дальнейшем, многозначность реше-
ния уравнения A.2.7) присуща не только случаям, разобранным выше
(а также в [48]).
Луч arg % = ±71 является лучом Стокса, при переходе через который
асимптотические значения функции Эйри терпят разрывы. Чтобы
построить разложение, которое оставалось бы непрерывным в точках
отрицательной вещественной полуоси, воспользуемся тождеством [258]
(рис. 1.2):
29
Рис. 1.2
A.2.19)
Подстановка в w2BE) и w3BE) формулы A.2.9) дает
1
A.2.20)
Ветви многозначных функций выделяются здесь при помощи нера-
венств
-<62 =arg3?<—. A.2.21)
Нетрудно проверить, что асимптотическое разложение A.2.20) не-
прерывно в точках отрицательной вещественной полуоси, причем при
arg 2E = я сумма двух его членов в правой части ведет к формуле
A.2.11).
Откажемся теперь от ограничений A.2.10) и будем считать, что
точка С, с | С, | —> о° лежит в части плоскости %, заданной неравенствами
A.2.21). Дисперсионное соотношение в силу A.2.12) можно записать
как
= к
4/3
:-3/V4
A.2.22)
Когда arg ^ отличается от л на конечную величину, одна из экспо-
нент, фигурирующих в уравнении A.2.22), становится много больше
другой. При этом условии мы возвращаемся к решению ?, = к4/3.
Положим б^ =arg? = rc + 6'. Пусть произведение 9'|?,| <^1, а мо-
дуль \к\ волнового числа к = \к\е'вк конечен. Тогда дисперсионное
соотношение сводится к двум действительным равенствам
A.2.23)
30
Будем считать заданным волновое число к. В обоих равенствах
A.2.23) правые части становятся фиксированными величинами. Первое
из них служит для определения |?|, причем нули функции из левой
части достигаются в точках A.2.14). Из второго соотношения A.2.23)
находим приближенно
]7 sin|et. A.2.24)
Таким образом, каждой паре заданных значений Re к, Im к соот-
ветствует бесчисленное множество собственных значений Re C,j, Im ?,-,
по которым производится подсчет Re co;, Im со,. По условию C,j —> °°,
отсюда для фиксированного | к имеем со; —> <».
Аналогичные приведенным выше рассуждения справедливы, если
считать предписанной частоту со = I со I e m. Действительно, первое из
равенств A.2.23) определяет |?| после того, как в его правую часть
3
подставлено приближенное выражение 9к = —(бт—я). При больших
j абсолютные значения собственных чисел можно находить по-преж-
нему при помощи формулы A.2.14), поправочный угол 9' вычисляется
затем по соотношению A.2.24). В результате каждой фиксированной
паре Re со, Im со отвечает спектр собственных значений Re ?,;, Im ^;, а,
следовательно, и Re kj, Im kj. При Ky -»°°и фиксированном | со | полу-
чаем
Когда задано волновое число, собственные числа в плоскости со
располагаются в шахматном порядке вблизи луча 6m = const; для пред-
писанных значений частоты собственные числа в плоскости к лежат в
аналогичном порядке в окрестности луча Q^ = const.
Каждое собственное число C,j порождает собственную функцию
fj(y) в решении A.2.3). Используя эти функции, построим соот-
ветствующие им поля течений газа в пограничном слое. Их можно
трактовать как внутренние волны, возникающие в результате сов-
местного действия самоиндуцированного давления и вязких каса-
тельных напряжений. Реализация внутренних волн из найденного
спектра связана с выполнением условия —я =? 9^ =? я, которое обес-
печивает сходимость несобственного интеграла в левой части исход-
ного соотношения A.2.7). На рис. 1.3 показаны собственные числа Q
и klj'3 в соответствующих комплексных плоскостях для предельного
случая 9т = — п, причем в расчетах было положено | со | = 1, а дис-
персионное соотношение сохранялось в точном виде. В связи с этим
расположение нескольких первых собственных чисел в плоскости С, не
подчиняется описанному выше правилу. Очевидно, при определении
31
Im*1/3
1-
с
rtl i i г» 1 I I
О
ImC /
/
\о
\
\
\
\
ч
* \
\
Re С
l*Re к1/3
Рис. 1.3
решений обыкновенного дифференциального уравнения A.2.4) можно
использовать только те корни дисперсионного соотношения, которые в
плоскости ?1/3 попадают в сектор, вырезаемый изображенными штри-
ховой линией лучами, наклоны которых по отношению к положитель-
1 1
ной вещественной полуоси равны —ли — я.
При Qk = + —я внутренняя волна обладает периодической струк-
турой по продольной координате х. Если | С, | —» °°, то в первом приб-
лижении имеем вга = я 1 + — ]. Используя приближенное выражение
для частоты, находим
Таким образом, рассматриваемые внутренние волны представляют
распространяющиеся вниз по потоку периодические возмущения,
амплитуда которых экспоненциально затухает со временем. Распреде-
ление корней исходного дисперсионного уравнения A.2.7) в плоскости С
показано на рис. 1.4 для | к | = 1 и 9^. = +я/2. На рис. 1.5 нанесены собст-
венные числа в плоскости со. Переход к точной форме дисперсионного
соотношения не меняет основных выводов, следующих из асимпто-
тического анализа при | С | —» °°. Собственные числа в обеих плоскостях
Сию получены путем решения исходного соотношения A.2.7).
Re?
Рис. 1.4
32
-20 -16 -12 -8
•
Imco
-4 •
.4
• * -8
'• -12
-16
-20
-
0
-
-
-
-
4
Re со
Рис. 1.5
-12 -10
-8
-A
Рис. 1.6
-2
со
Рассмотрим решения A.2.7), которые описывают бегущие волны.
Простейший тип такого рода волн с 9^ = 0 и 9Ю = 0 или п был указан в
[38]. В системе координат, движущейся вместе с волной, возмущенные
параметры газа не меняются со временем и становятся экспонен-
циально малыми на бесконечности вверх по потоку. Благодаря чисто
действительной форме решения, в пограничном слое нет колебаний по
времени и продольной координате, но с ростом 11, | развиваются мелко-
масштабные поперечные пульсации. Ветви дисперсионных кривых в
плоскости со, А: показаны на рис. 1.6 (Im со = Im к - 0). Зададим вместо
2. В.И. Жук 33
частоты скорость распространения волны с = - со / к. Ход дисперсион-
ных кривых в плоскости к, с виден на рис. 1.7. При построении кривых
на рис. 1.6 и 1.7 использовалось точное соотношение A.2.7).
1.3. Свободное взаимодействие и устойчивость
пограничного слоя в несжимаемой жидкости
Положим снова а = е. Будем рассматривать обтекание плоской пла-
стины несжимаемой жидкостью, тогда к условиям A.1.21), A.2.1) для
системы уравнений A.1.20) необходимо добавить переписанное в пере-
менных A.1.19) условие взаимодействия A.1.12а):
. A.3.1)
^ -оо Q) — X
Что касается самого преобразования A.1.19), то в данном параграфе
удобно считать его тождественным, а единственный отличный от еди-
ницы коэффициент растяжения переменных X.j = dU0@)/dYm учесть в
краевом условии A.2.1), которое модифицируется следующим обра-
зом:
у->°°: u-'kly->A(t,x). A.3.2)
Представим искомые функции в виде
р = ает+кх, u = X1y-ae<at+kxdf/dy, v = акеш+кх/(у), A.3.3)
где волновое число к является мнимым. В силу равенства A.3.1) имеем
А = ±а-е'°'+кх, A.3.4)
к
причем верхний знак соответствует Im к > 0, нижний - Im к < 0.
34
Внесем выражения A.3.3) в систему уравнений A.1.20) и линеа-
ризуем полученные таким образом соотношения по амплитуде а
возмущений. В результате на плоскости комплексного переменного
2С = со/(A,jA:J/3 +(Х.]кI13у вторая производная функции/находится из
уравнения Эйри
^Ц--2?-^-4- = О. A.3.5)
d%A d%2
Удовлетворяя краевым условиям при у = 0 и предельному условию
при у —> °°, получим дисперсионное соотношение [38]
-И
1Г
dAi(Q
со
(Ш2
где выбор знаков в правой части осуществляется по изложенному
выше правилу.
В теории устойчивости давление и составляющие вектора скорости
принято представлять как
р = р1Р0Сх,У) + ЁрХ2 Р (F,х,у), р = e&'+k~g(y),
и* = Ul[U0(x,y) + г й (i,x,y)], п = -ей?+^ df/dy, A.3.7)
v* =lUlv(i,x,y), v^ke^^fiy)
с независимыми переменными
t'=(L*/Ul)t, x*=L*(l + x), / = L*y.
Линеаризация исходной системы уравнений Навье-Стокса по ам-
плитуде ё возмущений ведет к уравнению Орра-Зоммерфельда [260]
ydy j dy kReydy J
в котором через с = -w/fc обозначена фазовая скорость волны. Дав-
ление находится по формуле
dy
Следуя [51, 260], применим к интегрированию уравнения A.3.8) метод
сращивания внешних и внутренних асимптотических разложений, по-
лагая значения к мнимыми, Icl—» 0, l?l—>=», а 5=1^1/л/Re —> 0.
Чтобы установить предельные свойства решения, удобно ввести
переменную уг = ку. Очевидно, что для пограничного слоя
2* 35
Щ(9) = Ul(y1) = l. Отсюда следует приближенное представление обеих
функций
±ih. A.3.10)
Подстановка формул A.3.10) в разложения A.3.7) позволяет опре-
делить возмущения давления и компонент вектора скорости. Легко
видеть, что каждая из величин й = —р и и удовлетворяет уравнению
Лапласа по переменным хх=кх и yt, причем вдоль прямой ух =0
между р - р, (J,, х,, ух) и г7 = у,(/], X], j]) имеется связь
Нормировка всех независимых переменных tx = ait, Jc, и jj полу-
чается одинаковой с A.1.2), A.1.4), если ю = юе , к=к?Гъ. Тогда в
согласии с предыдущим I с I ~ е —> 0. Нормировка избыточных пара-
метров жидкости совпадает с задаваемой соотношениями A.1.1) при
?к =82.
Для основной части пограничного слоя переменная у2 — VRey = Ym•
Таким образом, функция 00(у) = U0{y2) = U0(Ym), откуда вытекает не-
вязкое решение уравнения Орра-Зоммерфельда:
7 = Л =
1
-1Ш2-у2\. A.3.11)
Второй член здесь сохранен, так как им обусловлен главный вклад в
избыточное давление. Из равенства A.3.9) находим
g = g2=±ikbv A.3.12)
Произведенный выбор произвольных постоянных обеспечивает
автоматическое сращивание формул A.3.10) и A.3.11), A.3.12). Легко
проверить, что при помощи двух последних формул можно построить
двумерный аналог решения A.1.5) для промежуточной области свобод-
ного взаимодействия, если учесть выражение A.3.4) для функции A(t, x).
Для этого достаточно положить bl=+ ia.
При | с | —> 0 критический слой располагается вблизи поверхности
пластинки. Будем считать, что он сливается с вязким пристеночным
подслоем, составляя с ним одно целое. Указанное условие определяет,
в частности, асимптотику нижней ветви нейтральной кривой устойчи-
вости в плоскости Re, к. Переменная у3 =k1/3jRsy для критического
слоя введена еще Толлмином [261], ход рассуждений которого весьма
близок к современной процедуре метода сращивания внешних и
внутренних асимптотических разложений. В рассматриваемой области
36
Re ?2
2
-2
Рис. 1.8
На плоскости комплексного переменного
3? = X,j уъ+ю(Х1к) величина / = /3 удовлетворяет уравнению
A.3.5), которое служит асимптотическим пределом для уравнения
Орра—Зоммерфельда. Отсюда выражение для /3 записывается через
функцию Эйри AiC?). Обращаясь к формуле A.3.9), заключаем, что
величина g = g3 постоянна и дается равенством A.3.12). Удовлетворяя
краевым условиям /3 = df^/dy^ = О при 5 = 0 и производя сращивание
построенного решения с решением A.3.11) для промежуточной облас-
ти, получим дисперсионное соотношение
-1-1
dAi®
J
_ .к
= + г
4/3
-.2/3
Остается заметить, что при ю = сое2 и к=к?3 оно совпадает с
соотношением A.3.6) в силу равенств у3=кх у, %= %, t, = t,. Отме-
ченные выше дополнительные равенства ёк = 8 и Ъх = + ш обеспечи-
вают совпадение разложений A.3.7) и A.1.15) (с а = ? и Rq(O) = 1) в
вязком пристеночном подслое. О траекториях, вычерчиваемых тремя
первыми корнями дисперсионного соотношения A.3.6) в комплексной
плоскости Д = А^3/2со при изменении значений К = Х[5/Лк, можно
судить по рис. 1.8 (кривые 1,2, 3 соответственно). Штриховыми линия-
37
ми Г, 2', 3' на этом рисунке представлены для сравнения результаты
решения дисперсионного соотношения A.2.7) применительно к сверх-
звуковому пограничному слою (в этом случае К = к, Q. = со).
Изложенные результаты принципиально важны. Во-первых, они
показывают, что линейная теория устойчивости пограничного слоя по
отношению к длинноволновым возмущениям может базироваться на
уравнениях Прандтля, а не на полных уравнениях Навье-Стокса.
Внутренние волны, поля которых в поперечном направлении изме-
няются в соответствии с видом собственных функций /, являются
асимптотикой волн Толлмина-Шлихтинга [260, 261]. Во-вторых, урав-
нения A.1.20) и A.3.1) с присоединенным к ним предельным условием
и - А,]у —> А при у —» оо позволяют сформулировать нелинейную тео-
рию устойчивости для длинноволновых возмущений с критическим
слоем на стенке. Для этого достаточно потребовать, чтобы искомые
функции были периодическими по координате х.
ГЛАВА 2
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ
ЧЕТЫРЕХПАЛУБНАЯ МОДЕЛЬ
ЗАМКНУТОЙ СРЫВНОЙ ЗОНЫ
В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
Хотя решения с локальными рециркуляционными зонами построены
численно для целого ряда задач трехпалубной асимптотической теории
свободного взаимодействия [85, 86, 91], существование стационарных
решений при увеличении параметра подобия, характеризующего ин-
тенсивность вызывающего отрыв внешнего возмущения, подвергается
сомнению [85, 262]. Отличительное свойство приводимого ниже
асимптотического решения уравнений Навье-Стокса с замкнутой
срывной областью состоит в том, что оно распадается на стационарную
часть внизу по потоку (в окрестности присоединения) и на нестацио-
нарную часть, распространяющуюся в виде волны отрыва вверх по
потоку. Структура возмущенного поля течения дает содержательный
пример, когда известные ранее решения локальных задач с эффектом
взаимодействия [255, 209, 256] непрерывно переходят друг в друга,
являясь составными элементами полного решения.
2.1. Оценка толщин характерных подобластей течения
Рассмотрим отрыв ламинарного пограничного слоя на пластине в
сверхзвуковом потоке, вызванный слабым скачком уплотнения. Обоз-
начим через t* ,х* ,у* — время и координаты декартовой системы с
началом на передней кромке, и*, v* — компоненты вектора скорости,
р* - плотность газа, р* - давление, М,,,, - число Маха, ц* - дина-
мический коэффициент вязкости, индексом °° пометим параметры
набегающего потока. Пусть скачок падает в точку х* = х*р, а перепад
давления характеризуется величиной Г|?2р1и»2> где ? = Re~1/8, число
Рейнольдса Re = р'м^х* /ц! —> <». Для г\ = 0A) в окрестности х*р
возникает область свободного взаимодействия с протяженностью
Ах* = О(е3х*р). Данный режим хорошо изучен с привлечением числен-
ных методов решения уравнений пограничного слоя с самоиндуциро-
ванным давлением. Установлено существование при умеренных зна-
39
чениях г\ стационарного течения, включающего замкнутую рецирку-
ляционную зону.
Остановимся ниже на случае 1 ** Г| < е~2, считая, что механизм
передачи возмущений по-прежнему контролируется взаимодействием
пограничного слоя с внешним потоком. В безразмерной системе
единиц t = t и^/Хр, х = х /хр, у = у /хр, и = и /и„, v = v /ито, р =
= p*/pl,p'= (p* -pl)/(pl«^2) обозначим через / характерную длину
области, где давление р' изменяется на величину г\е2, порождая
согласно уравнению сохранения продольной компоненты импульса
возмущение скорости и' порядка ц1/2е. По уравнению неразрывности
возмущение скорости i/ в основной толще пограничного слоя оце-
нивается как Г| е //. Данная величина, превосходя невозмущенную
вертикальную компоненту скорости порядка б4, служит также оценкой
вносимого во внешний поток возмущения давления р' за счет нарас-
тания толщины пограничного слоя. Сравнение щ2 с ц1 е // приводит
к 7 =
Таким образом, с увеличением внешнего возмущения, задаваемого
параметром ц, характерная длина уменьшается. Тем не менее условие
1 < х\ < ?~2 означает е4 < I < 1, т.е. протяженность взаимодействую-
щей области превосходит толщину пограничного слоя. В случае ц =
= 0A) возвращаемся к оценке 1=О(е ) трехслойной теории сво-
бодного взаимодействия [85, 86, 91].
Введем переменные
Профили продольной компоненты скорости Uq и плотности /?о в не-
возмущенном пограничном слое на длинах X = 0A) можно считать
зависящими лишь от вертикальной координаты Ym, причем
?/0-И + ..., Rq-*1 + ... при Ym-±°°.
В основной толще пограничного слоя (см. область 2 на рис. 1.1)
полагаем
Переменная Yu = ц1/2е~3у' порядка единицы в слабовозмущенном сверх-
звуковом течении над пограничным слоем (область 1 на рис. 1.1). Со-
40
отношение Yu = r\1/2zYm означает, что внешний край пограничного слоя
соответствует Yu —> 0. Для Yu = 0A) решение ищется в виде
u' = l + r\?2ulu(T,X,Yu) + ..., v' = i\E2viu(T,X,Ytt) + ...,
' 2^^) ' 2TXY)
Порядковое соотношение U0(Ym) = O(r\1 e) достигается в силу
свойства B.1.1) в случае, когда переменная Yа = т\~11 ?~5у' = 0A), Ym =
_ ц^еуа. Разложение B.1.2) в данной нелинейной области 3 (см.
рис. 1.1) трансформируется следующим образом:
u' = i\l'2eula(T,X,Ya) + ..., v' = r?l2z3vla(T,X,Ya) + ...,
Y
Наконец, невозможность удовлетворить условию прилипания на
твердой поверхности, исходя из разложений B.1.4), диктует необходи-
мость введения вязкого пристеночного подслоя (область 4 на рис. 1.1),
в котором определена новая переменная К, = r\lf2e~5y' = 0A), Ya = rp'K;,
а функции течения имеют вид
u' = r\ll2euu(T,X,Y,) + ..., v' = r\u2E3vu(T,X,Y,) + ...,
' U2 ., p' = 4E2pu(T,X,Y,) + ...
2.2. Редукция задачи к совместному решению
уравнения Бюргерса и системы уравнений Прандтля
Подставляя разложения B.1.2), B.1.3) в уравнения Навье-Стокса,
убеждаемся, что выражения для входящих в них возмущающих функ-
ций в точности совпадают с результатом решения асимптотических
уравнений верхней и средней палуб трехслойной теории свободного
взаимодействия [85, 86, 91], а именно
dU0 _ ЭЛ,
Ulm-Al~7^~' V\m- З^Г 0' Plm ~ l
dY dX
m dYm
Pim=plm(T, X), A,=AX(T,X), A2=A2(T, X),
V7m~ U0 3v J
dT dYm l dX ° dX '
1/2 ^ev"/-
41
Здесь функции plm, А\, А^ подлежат определению, а выражаемое
через единичную функцию Хевисайда внешнее давление
,0, Х<0,
6(X)='
[1, Х>0
формируется в результате отражения падающей на пограничный слой
ударной волны интенсивности Д// = Г|е2Р0. Краевое условие взаимо-
действия pim = -- ГГТТ^^Ре является с учетом B.1.1), B.2.1)
(*) дх
следствием сращивания в верхней части пограничного слоя давления и
вертикальной компоненты скорости, а именно
Ры=ри(Т, X, 0), vlm(T, X, Ym)-*vXu{T, X, 0) (Кв-»<-).
Представление B.1.4) решения системы уравнений Навье-Стокса в
главном приближении дает
ди1а дща ди1а _ 1 др1а
Как видно из уравнений B.2.2), в нелинейной области 3 (см. рис. 1.1)
сохраняется завихренность со1а =Эи1а/ЭКа вдоль траектории каждой
частицы. Предполагая для Т = 0 поток невозмущенным, в соответствии
с B.2.2) находим
. X), vla=-Ya^L+Dl(T, X).
dX
Разложения B.1.2) в пределе Ym —> 0 служат асимптотическим
краевым условием для системы невязких уравнений B.2.2) на верх-
нем краю нелинейной области Ya —> °°, позволяя определить функции
Bi(T, X) и ?>,(Г, X). Выражения B.2.1) при Ym = О(ци2е) дают
В, (Г, X) = Vi. А (Г, X) = ~^--V!— —^-.
1 " ' дТ ' ' ЭХ Vo ЭХ
Исключим из последующих формул параметры A,], r0, s =
2 \1/2 1
^ —II , Pq, а также вычисленный по температуре Щ (Ym) не-
возмущенного пограничного слоя коэффициент вязкости (Iq =
при Ym - 0, совершив преобразование
t = b'T, x = bxX, ya=byYa, у, =6%
ua=buula, va=bvvla, щ=Ьиии, v^Vvu, B.2.3)
Л = ^А- P = bpplm, P0=2bpP0,
42
где коэффициенты
и> _ 13/2..1/2 1/2 . х _ л5/4 1/2,. 1/4О3/4
Ь =КХ (Хо S , Ь -А, Го (Хо S ,
иУ - i3/4 1/2.-1/4 1/4 .р _ л-1/2.,-1/2 1/2 n o ,ч
о = Л,! г0 ц.о j , 6^ = Aj (x0 s , B.2.4)
,«.г1/4 1/2 -1/4 1/4 ,у _ 1-3/4 1/2 -3/4 -1/4
В новых переменных решение в нелинейной невязкой области 3
(см. рис. 1.1) примет вид
ЭЛ ЭЛ . ЭЛ др
иа=Уа+А, Va=-ya----A---,
ЭЛ B25)
р = - —
Параметры газа в вязком пристеночном подслое 4 (см. рис. 1.1) под-
чиняются вытекающим из представления B.1.5) системе уравнений и
граничным условиям
ди, ди, ди, др д2и. Эй, Э v, ^
-tl + "/V-+u; а = з+ТТ-> -г-+ъ=0' B-2-6)
Э? Эл ду[ дх dyf ax dyt
y,=0: ut=Vi=O; у, ->°°: щ -> Л; |je|-»°°: и, -»0. B.2.7)
Градиент давления определяется до решения системы B.2.6). В
самом деле, вертикальная скорость в подслое j/ = (9A) согласно B.1.5)
порядка г|1/2е3; в невязкой области уа =0A) указанная скорость в со-
ответствии с B.1.4) имеет оценку Г|3/2е3. Следовательно, условие сращи-
вания на границе нелинейной области с вязким подслоем формули-
руется как va —> 0 при уа —> 0 (напомним, что уа = т)^)- С учетом выра-
жений для va и р из B.2.5) получаем уравнение Бюргерса с неоднород-
ной правой частью
ЭЛ . ЭЛ Э2Л .. , „ .оч
— + Л—=—т-р08(х), B.2.8)
tit ах дх
позволяющее найти неизвестную функцию А, а вместе с ней и р.
Все приведенные выше рассуждения остаются в силе, если вместо
внешнего скачка источником возмущений служит отклонение участка
пластины на угол г)е2ф0. В этом случае коэффициент перед дельта-
функцией 8(х) в B.2.8) представляет собой угол излома контура тела в
системе единиц B.2.3), B.2.4): р0 = X?' 2(Xq1 ' V1' 2<р0.
Два примера нестационарных локально-невязких течений с взаимо-
действием, подчиняющихся уравнению Бюргерса, приведены в [263]:
обтекание сверхзвуковым потоком пластины с периодически колеблю-
щимся щитком и распространение вдоль плоской поверхности клина
возмущений, вызванных внезапным изменением перепада давлений на
его задней кромке.
43
Построим решение задачи о взаимодействии пограничного слоя
на пластине в сверхзвуковом потоке с падающей на него извне в точ-
ку х = О ударной волной в предположении применимости уравнения
B.2.8). Полагая А = О при t = О и производя известное преобразование
Коула-Хопфа [264]
~~~В~дх~'
приходим к линейной задаче
Э5_Э^б рс
dt дх 2 Q2 9)
0, х < О,
1, х > О,
В результате преобразования Лапласа
B(s, x)=\B(t, x)e~s'dt
о
из B.2.9) вытекает
s-Pq/2
+К+схр
pW2
-U--I х\, х>0,
B = B0/s + K_exp(su2x), x<0.
Коэффициенты К_ и АТ+ находятся из требования непрерывности в
точке х = 0 функции В и ее первой производной:
Переходя от изображений к оригиналам, для х > 0 получаем
В = Воехр(-pot]erf[¦^r) + b0I(p0, t),
\2 J v2V/
n 1 r 1 f i! 1 I
I(pn, t) = — \ , exp + — pax \dx.
(И0' кЪ JxTT^j F{ Ax 2У0 )
Аналогично для х < 0 справедливо выражение
+ Boexp (jpofJ7(-p0, t).
Интеграл типа свертки 1(р0, i) приведем к виду
,17 1
B.2.10)
44
удобному для его оценки при t —> <*>. Максимум функции, стоящей в по-
казателе экспоненты подынтегрального выражения в B.2.10), дости-
гается на нижней границе ? = 1 интервала интегрирования, в то время
как максимум этой функции в интеграле I(-p0, t) достигается в точке
2 = sJ2p0 t\x\~ . Применение метода Лапласа к асимптотической оцен-
ке интеграла 1{р0, t) на больших временах дает
A = —, xo=Cq, со=л|-^-, х>0. B.2.11)
x + x0
Асимптотика I(—Po, t) зависит от |*|Д- При фиксированном х и
l _> оо имеем А = — sJ2p0, х < 0. Для конечных значений суммы х + c^t,
где с0 определено в B.2.11), решение при t —» <» выражается формулой
1, 2
2-„.--. -„-, ¦ 4- , ,,. ^<0- B.2.12)
В соответствии с B.2.5) имеем для давления
2
Р = \
х>0, B.2.13)
, х<0, B.2.14)
Как следует из B.2.11), B.2.12), при достаточно больших t картина
течения состоит из стационарного решения ниже по потоку от точки
падения скачка х = 0 и распространяющейся вверх по потоку волны
конечной амплитуды (волны отрыва) с фазовой скоростью - eg + O(t~l).
С фронтом волны поднятия функции -А связан импульс самоиндуци-
рованного давления р B.2.14).
Пусть контур тела задается уравнением
ГО, х < О,
| >() B.2.15)
Как отмечалось выше, излом стенки B.2.15) с точки зрения мате-
матической формулировки задачи эквивалентен падению извне на
пограничный слой скачка давления.
Решение задачи о внезапном падении давления за точкой х — 0 до
Ро < 0 (либо отклонении участка пластины на отрицательный угол)
получается из приведенных выше результатов заменой
А->-А
В частности, понижение внешнего давления сопровождается распро-
странением вниз по потоку волны с фазовой скоростью с0 = у | р0 |/2.
45
-A,p
-30
-20
Рис. 2.1
-10
-40
Рис. 2.2
Таким образом, движение, возникающее в нелинейной невязкой
области 3 на рис, 1.1, характеризуется тем, что в возмущенном поле
течения выделяются фрагменты, описываемые известными частными
решениями A.1.26), A.1.27) уравнения Бюргерса, параметры с0, х0
которых определяются интенсивностью внешнего воздействия р0. Па-
дение скачка уплотнения или излом контура тела приводит к возник-
новению обширной отрывной зоны, вытягивающейся вверх по потоку.
Ниже по потоку (а также для любого фиксированного х за фронтом
волны) решение стремится к стационарному пределу. Что касается
амплитуды волны отрыва в нестационарной части течения, то она
остается неизменной во времени и однозначно связана со скоростью
распространения вверх по потоку.
На рис. 2.1 сплошными линиями 1—3 показаны построенные чис-
ленно распределения -A(t, x) для Ро = Ъ при t = 10, 20, 30 соответ-
ственно. Распределения полного давления р(х) = P(fi(x) — дА/дх для тех
же времен изображены штриховыми линиями. В области фронта вол-
ны оно полностью определяется самоиндуцированной частью -дА/дх,
вблизи х = 0 давление складывается из внешнего и самоиндуцирован-
46
A,p
1.1
О
1.2
-30
Рис. 2.3
ного. Между ними находится область с нулевым давлением, которая со
временем увеличивается в соответствии с движением фронта волны.
Кружками показана функция -A(t, x), вычисленная по асимптотическим
формулам B.2.11), B.2.12).
По найденному A(t, x) с помощью B.2.5) можно построить дву-
мерную картину течения. Для этого же варианта расчета при / = 30 она
изображена на рис. 2.2, где линии 1-14 отвечают значениям функции
тока -2,5; -1,5; -1,0; 0; 0,1; 1,0; 3,0; 6,0; 10; 15; 21; 28; 30; 45 соот-
ветственно.
В работах, посвященных численным расчетам течения в окрест-
ности точки излома поверхности или падения внешнего скачка на
основе вязких уравнений теории свободного взаимодействия [78, 79,
81], отмечается ухудшение сходимости конечно-разностных схем либо
возникновение колебательных режимов с ростом амплитуды возму-
щающего фактора [265-267]. Как следует из вышеизложенного, в
предположении справедливости при достаточно больших углах излома
поверхности или интенсивностях падающей ударной волны невязкого
уравнения B.2.8) стационарное решение данной задачи отсутствует.
47
У/
12
< •_
а 3
-14 -12
-10
-8
-6 -4
Рис. 2.5
-2
Без ограничения общности можно положить р0 = 1, поскольку пре-
образование
А, и -> p0 и, v -> pQ v, p -> />0/>
исключает параметр />0 из задачи B.2.6)-B.2.8). На рис. 2.3 приведен
вид функции А (сплошные линии) и р (штриховые линии) для моментов
времени t = 20, 30, 40, 50 (кривые 1-4 соответственно). Конфигурация
линий тока в невязкой области 3 показана на рис. 2.4, а для t = 40 и
рис. 2.4, 6 для t = 15 (в силу указанного преобразования рис. 2.1 и 2.2
фактически получаются изменением масштабов из рис. 2.3 и 2.4, по-
строенных дляро =1).
Корректность разбиения поля возмущенного течения на четыре
подслоя должна быть подтверждена существованием решения урав-
нений Прандтля B.2.6) с градиентом давления, полученным из решения
уравнения Бюргерса B.2.8). Обратимся к анализу этого вопроса.
Результат совместного численного интегрирования системы урав-
нений Прандтля B.2.6) для области 4 (см. рис. 1.1) и уравнения Бюр-
герса B.2.8) для области 3, задающего в B.2.7) внешнее граничное
условие, представлен на рис. 2.5. Постановка задачи с начальными
условиями для классических уравнений Прандтля приводит, вообще
говоря, к возникновению особенности в конечный момент времени,
если градиент давления считается заданной функцией. Пример появле-
ния такой особенности и связанного с ней неограниченного роста
толщины вытеснения содержится в [268]. Распределения р на рис. 2.3
позволяют утверждать, что сингулярность решения уравнений погра-
48
-Ар
1,4
Г
1,0
-А 0,6
г=10
р __
S
20
-20-15-10 -5 0 5 10 15
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 x
2 -
-15 -10
2 -
-15-10 -5
5 10 *
Рис. 2.6
ничного слоя можно ожидать лишь в окрестности импульса давления,
бегущего вверх по потоку вместе с волновым фронтом функции А.
Действительно, из выражений B.2.11), B.2.12) и рис. 2.3 следует, что
функция А нигде не обращается в нуль, являясь отрицательной на всей
оси х. Следовательно, на внешней границе рассматриваемого вязко-
го пристеночного подслоя компонента скорости щ < 0. Как видно из
рис. 2.3, всюду, за исключением склона импульса давления, обращен-
ного в противоположную от направления движения волны сторону,
градиент давления является благоприятным. Профили продольной
компоненты скорости в различных сечениях х = const вязкого присте-
ночного подслоя на рис. 2.5 соответствуют t = 20, р0 = 1. Численное ре-
шение показывает, что особенность в отмеченной области на рассмат-
риваемых временах не появляется, что связано с нестационарностью
изучаемого течения.
На рис. 2.6 для t = 10 и t = 20 изображены функции одной простран-
ственной переменной А, р, определяющие решение в области 3, а в
49
плоскости х, уi для тех же времен нанесены изолинии функции тока \j//,
найденной по полю вектора и/, vl в вязком подслое 4 (см. рис. 1.1; циф-
рами у кривых отмечены значения функции тока \)//).
Мгновенные линии тока в нелинейном невязком подслое 3 со-
гласно B.2.5), B.2.8) задаются уравнением
ya=-A±-
где \уа - значение функции тока. Следовательно, линии тока с \)/а < О
замкнуты (см. рис. 2.2 и 2.4). Поскольку на всей оси х функция А
отрицательна, нулевая линия тока, заданная уравнением уа = —2А, нигде
не касается поверхности тела, хотя и стремится асимптотически к нулю
при х —> ± °°. Затухание функции A(t, x) внизу и вверху по потоку от
развивающейся отрывной зоны означает, что при | х | —> °° нарушаются
предположения, лежащие в основе четырехпалубной схемы, в част-
ности амплитуда возмущенного давления не удовлетворяет требованию
р' > г2.
2.3. Асимптотическая картина течения при х -> +».
Переход к трехпалубной структуре поля скоростей
Уравнения пограничного слоя Прандтля с градиентом давления из
B.2.13) могут быть решены аналитически [261] в автомодельном виде,
приводя в области 4 на рис. 1.1 при х > 0 к выражениям
2 f. ,„ _, „ _„,
к+х0 "J J' u "V3
B.3.1)
du,(t,x,O) _ B 1
и,= =— 3thz --^— + А-0 -2 , ?0 = arcthл - = 1,146,
х + х[ {х + х ) \ V3
dy, "V3 (x+x0J'
Поведение трения на стенке (ЭиД?,.х,О)/Э)>; в B.3.1)) показывает,
что область 4 не содержит точку присоединения пограничного слоя,
оторвавшегося выше по потоку от места падения скачка х = 0. Ниже по
потоку от точки х = 0 отрицательная продольная скорость в вязком
пристеночном подслое уменьшается по абсолютной величине с воз-
растанием х, причем для х §> l,noyi<^ x из B.3.1)имеем
IlL
3 х2'
Уже из вида автомодельной переменной у/ (х + х^)'1 следует, что толщи-
на области 4 растет с ростом х. Вводя величину
50
для выражаемой с помощью B.3.1) функции щ находим
В нелинейной невязкой области 3 на рис. 1.1 в случае х > О про-
дольная компонента скорости
иа=уа+А, А = -2/(х + х0). B.3.2)
Если х = О{1), граница вязкого подслоя соответствует уа - О(г\-Х), а в
качестве условия у/ —> °° в B.2.7) для уравнений Прандтля берется
и/ —> А, поскольку линейным по уа членом в B.2.5), B.3.2) можно пре-
небречь. Однако для х > \ линейное возрастание 8» приводит к тому,
что вязкий подслой достигается при уа = О(ц~1х). Равенство порядков
величин обоих слагаемых в B.3.2) на границе с вязким подслоем,
а именно А = 0(rpbc), позволяет оценить расстояние х = <9(Г|1/2), на ко-
тором краевые условия при yt —> °° в B.2.7) нуждаются в пересмотре.
Исходя из выражений B.2.5), B.2.11), B.2.13), в случае х = 0(гI/2)
находим
1), др/дх=О(ц-312),
Толщина вязкого подслоя при этом оценивается как уа = <9(гр1/2),
а вертикальная компонента скорости на его внешней границе
vt —> -r\ya — = O(r\~112). Выделение подобласти 3 суа = ОA) теряет
смысл, если х §> 1, поскольку убывание согласно B.2.11) функции |А|
приводит в ней ку„1> | А | и, следовательно, возмущение скорости
подчиняется линейным уравнениям, как и в основной части погра-
ничного слоя. Что касается нелинейного подслоя для х = 0{х\112), он в
силу B.3.3) характеризуется толщиной уа = О(г\~1/2) и сливается с вязким
пристеночным подслоем, образуя область 5 на рис. 1.1.
Приведенные оценки указывают вид разложений функций течения
для X = г\1/2Х+, где новая переменная Х+ = 0A). Учитывая, что зависи-
мость от времени при Т §> 1 за фронтом волны исчезает, в нелинейном
вязком подслое 5 с Yl=r^nYl+, Yt+ = 0A) имеем
и' = еи^(Х+, К,+)+..., у' = г\?г(Х\ К,+)+...,
B.3.4)
p' = ro+eptl(X\ К/+)+..„ Р' = 2це2Р0 + ?2р11(Х+, К,+)+...
В основной толще пограничного слоя
(X+, Ym)+..., v' = z2v^(X+, YJ +...,
B.3.5)
51
Представление решения в виде B.3.4), B.3.5) в точности воспро-
изводит трехслойную теорию свободного взаимодействия [85, 86, 91].
Однако область изменения продольной координаты теперь ограничена
положительной полуосью Х+ > 0. Предполагая, что снова применяется
аффинное преобразование
х+=ЬхХ+, y^=byYl+, u+=buutt, v+=bvv+, p+=bpp+u
с масштабами из B.2.4), в нелинейном вязком подслое 5 получаем
задачу
+ ди+ + ди+ _ др+ Э V ди+ Э v+
р+=-дА+/дх\ Л+=Л+(л+); B36)
j+=0: u+ = v+=0; у+ -+ + °°: и+->у++А+;
х+-> + 0: р+ -+-2/(х+J; х+-> + °о; />+->0.
Асимптотическое краевое условие в окрестности х1" = 0 вытекает
из сращивания с решением из области больших возмущений, где спра-
ведлива четырехслойная структура течения. Краевая задача B.3.6) из-
вестна в теории присоединения слоя смешения при падении сверхзву-
ковой струи на плоскость [255, 269]. Ее решение, полученное числен-
ными методами, представлено в [270]. Состоящая из подслоев 1,2,5
трехслойная область Х+ = 0A), исследование которой сводится к B.3.6),
замечательна тем, что в ней происходит касание нулевой линии тока
обтекаемой поверхности при конечном значении координаты х+ = х*.
Для х+ > х* возвратные струйки тока в течении отсутствуют. Дальняя
асимптотика х+ > 1, рассмотренная в [270], имеет автомодельный вид и
описывает выход на решение, соответствующее невозмущенному
пограничному слою.
2.4. Асимптотическая картина течения при х —> - ос
По мере продвижения вверх по потоку фронта волны B.2.12) в
интервале, заключенном между ним и точкой падения скачка х = О,
устанавливается стационарное решение А = - BроI/2, иа = уа + A, va = 0,
р = 0. Часть вязкого пристеночного подслоя 4 из указанного интервала
- с0/" + До < х < 0 за волной, где До > 0 превышает толщину волнового
фронта, представляет собой, следовательно, пограничный слой Бла-
зиуса, в который переходит автомодельное решение B.3.1) для х> 0.
Нулевая линия тока невязкого течения уа = —2Л, где А дается формулой
B.2.12), экспоненциально приближаясь при х —> — °° к стенке, тем не
менее нигде в области 3 с ней не соприкасается. Перед фронтом волны
х < - cqC - Дд имеем
[А, р]-*[-2с0, 2c%]exp[co(x + cot)], x^-°o. B.4.1)
52
Задача нахождения решения уравнений B.2.6) в вязком подслое 4
с внешним краевым условием из B.2.7), задаваемым предельным выра-
жением B.4.1), становится линейной. Положим
[и,, vt, p] = [-2c0f'(yl), 2clf(y,), 2co]exp[co(x + cor)],
тогда система B.2.6) сводится к уравнению
f'"-clf' = -cl- У1=0: / = /' = 0; у,^°°: /'->1. B.4.2)
Линеаризация уравнений пограничного слоя Прандтля оказалась
возможной благодаря нестационарности течения (с0 * 0). По решению
задачи B.4.2) находим толщину вытеснения и трение на стенке:
/ = У,+-(е-С0У1-1), 6,='
со i
du,(t, х, 0) „2 г / м
1 д/ = ~ 2с] ехр [ф + Cot)].
Таким образом, толщина вытеснения остается постоянной при х —» — °°,
а трение на стенке в рассматриваемой области не обращается в нуль ни
для каких конечных х. Последнее свойство означает, что нестацио-
нарный отрыв потока происходит на других масштабах продольной
координаты. Постоянство 8* указывает, что верхняя граница вязкого
подслоя в пределе х —> —°° по-прежнему соответствует уа = OiTf1). В си-
лу экспоненциального затухания функции А = ua{t, x, 0) внешнее крае-
вое условие для уравнений Прандтля должно измениться на расстоя-
нии, где А = O{rfx). Данная оценка определяет новую область 6 на
рис. 1.1, в которой координата Ь,= г\ес°х порядка единицы. В указан-
ной вязкой области 6 продольная скорость при >>; —> °о в силу уа = 1"|~')>,
должна иметь своим пределом
Представляя решение уравнений Прандтля B.2.6) в виде
и пренебрегая членами порядка т)~2, получим
Окончательно продольная скорость в вязком подслое и трение на
стенке
dyt
53
В неподвижной системе координат точка нестационарного отрыва
dut (t, х, O)/dy, = 0 пограничного слоя определяется следующим обра-
зом:
x = xs=- — Ы B4) - cot - — 1пц. B.4.3)
со х ' со
Точка отделения нулевой линии тока от стенки, как следует из B.4.3),
движется вверх по потоку со скоростью Cq и отстоит от области
развитого отрыва на расстоянии порядка 1пг|.
ГЛАВА 3
об асимптотике решений уравнения
орра-зоммерфельда в областях,
примыкающих к двум ветвям
нейтральной кривой
Асимптотика [173] верхней и нижней ветвей нейтральной кривой
устойчивости пограничного слоя уточняется в [51, 174, 175], где на
основе линеаризованных уравнений Навье-Стокса предпринят анализ
высших приближений по числам Рейнольдса Re. Нейтральные возму-
щения в пределе Re —»°° имеют длины волн, превышающие по порядку
величин толщину пограничного слоя.
Интерес к длинноволновой асимптотике уравнения Орра—Зоммер-
фельда возникает, в частности, потому, что собственные решения ли-
неаризованных уравнений свободного взаимодействия [78, 79, 81] яв-
ляются предельной формой волн Толлмина—Шлихтинга в несжимаемой
жидкости с прилегающими к стенке критическими слоями [52, 53]. При
этом дисперсионное соотношение, которое в точности совпадает с
вековым уравнением задачи Орра-Зоммерфельда, содержит целый
спектр решений, не рассмотренный в [51, 174, 175]. Первая мода коле-
баний из указанного спектра может быть как устойчивой, так и не-
устойчивой. Ниже строятся решения для каждой из подобластей (вклю-
чая критический слой), на которые при больших числах Рейнольдса
разделяется возмущенное поле скоростей в линейной задаче устойчи-
вости. Выводятся дисперсионные соотношения, описывающие окрест-
ности верхней и нижней ветвей нейтральной кривой для пограничного
слоя. Данные соотношения, содержащие нейтральные решения как
частный случай, асимптотически переходят друг в друга в неустойчи-
вой области между обеими из этих ветвей.
3.1. Асимптотические разложения в основной части
пограничного слоя и в критическом слое
Пусть в потоке несжимаемой жидкости исходный профиль скорости
Uo = U0(y2), Уг - Ул/Re задается функцией Блазиуса, причем число
Рейнольдса Re, а также безразмерные координаты х, у определены не
по толщине пограничного слоя, в котором переменная у2 порядка
единицы, а по расстоянию вдоль обтекаемой пластины до ее передней
55
кромки. Как известно,
Записывая возмущение функции тока в форме f(y) exp[ik(x — ct)\, по-
лучим уравнение Орра-Зоммерфельда
lfd4f 7fr
VRe
где ? считается действительной положительной величиной, а пара-
метр 5 характеризует отношение толщины пограничного слоя к длине
волны возмущений. Положим Re —> °°, к —> °°, с —> 0, 5^0. Для
основной части пограничного слоя введем разложение по малому
параметру 5, считая фазовую скорость с фиксированной:
Функции /о и/i определяются из невязкого уравнения C.1.2) с отбро-
шенной правой частью
(ио-с)^-4-~^-/}=(ио-с)/о. C.1.5)
dy{ dy{
Из дальнейшего следует, что вязкие члены в уравнении C.1.2)
имеют порядок к~х = О(о) вблизи верхней и к'1 = С*E3) вблизи ниж-
ней ветви нейтральной кривой. Член порядка 5, появляющийся в раз-
ложении C.1.3) через краевые условия сращивания для функции/,
включен в/о, так как он удовлетворяет уравнению, совпадающему с
C.1.4). Аналогично, для верхней ветви член порядка 83 в C.1.3) учиты-
вается посредством поправки порядка 8 к функции/]. Обозначая через
ф и V/ два линейно независимых решения однородного уравнения C.1.4):
Ч = Щ-с,
(ЗЛ)
вычислим общий интеграл неоднородного уравнения второго прибли-
56
жения C.1.5) с помощью решения/0 = Д]ф + bx\]i первого приближения:
2| C.1.7)
Константы Д], a2> й], 62 находятся из сращивания с решением в
области толщины у = OE-1 Re/2) непосредственно над пограничным
слоем, где f/0 = 1, ^ =§у2 =(9A). С точностью до амплитудного мно-
жителя имеем
f = e~yi ^1-~5у2+^-Ь2у1-^д3у1 + - (Л-Ю). C.1.8)
В пределе у2 —> °° разложение C.1.3) принимает вид
з2
1-е
5aI(lc)y2 52-^-y23 + ... C.1.9)
2 о 1 — с
Сравнение с первыми двумя членами в C.1.8) дает
а, =1/A-с), 6, =5A -с), aj^0. *2=°- C.1.10)
Квадратичные и кубические члены в C.1.8) и C.1.9) при условии
C.1.10) сращиваются автоматически.
Если фазовая скорость с = cr + icj мала по абсолютной величине,
можно воспользоваться представлением C.1.1) для продолжения функ-
ции Uq действительного аргумента в комплексную область и опреде-
лить комплексную точку у2, в которой выполнено U$ = с, по формуле
C.1.11)
Исходя из явных выражений C.1.6), C.1.7), нетрудно переразложить
невязкое решение C.1.3) в окрестности особой точки:
D0=-][Ui-l]dy2.
о
57
Здесь интегралы В$ и Do сходятся на бесконечности, а в первом из них
подынтегральная функция ограничена.
Вязкие черты уравнения Орра-Зоммерфельда на сингулярной
части решения C.1.12) становятся порядка конвективных в области
Уг ~Уг -0{к~1 /3). Критический слой, в котором невязкое решение
C.1.3) непригодно, существует не только для действительных, но и для
комплексных значений фазовой скорости с, если указанная область
пересекает действительную ось на комплексной плоскости у2- Как
видно из C.1.11), данное условие эквивалентно требованию
C.1.13)
которое в дальнейшем считается выполненным.
Совершим преобразование независимой переменной
Здесь и всюду ниже arg(;'?) = я/2. На поверхности пластины
Л - С, Л, AК) у2 Л-] \1К) С,
Уравнение Орра-Зоммерфельда в критическом слое переписывается
следующим образом:
C.1.14)
Решение уравнения C.1.14) ищется в виде ряда
U3c2gl+... , C.1.15)
=-?$¦ - &=-Ц- = 0, C.1.16)
о!.. __ оу о! _ _?. 4 „ _L<J?2 " 50 /^^ 1 1 'ТЛ
Wot, Wot- Z- /Vi I Z С/сХ у
Значения переменной 2? для вещественных у2 расположены на прямой
1 . 2.
C.1.18)
Вещественная координата уз и постоянная 3?о порядка единицы в кри-
тическом слое вследствие ограничения C.1.13), а индексы г и i обозна-
чают действительную и мнимую часть величины у® = y®r + i Уъ ¦
58
3.2. Асимптотика нижней ветви
нейтральной кривой при Re -» »
Необходимо различать два случая. В первом из них ? - конечная вели-
чина. Разложение C.1.15) должно переходить в C.1.3) на верхней гра-
нице критического слоя, когда переменная 3? стремится к бесконеч-
ности вдоль луча C.1.18). Решение уравнения первого приближения
C.1.16), удовлетворяющее условиям
на поверхности и не дающее экспоненциального роста на луче C.1.18)
при Уз —» +°°, выражается через функцию Эйри
C.2.1)
Для получения дисперсионного соотношения в двух приближениях
по параметру 8 достаточно ограничиться лишь первым приближением
к решению в критическом слое, поскольку поправка к нему имеет
порядок к~1/3с2 = О(83), если ? = 0A). Функция Эйри при больших 13? |
обладает асимптотикой [258]
1
2Г 5 1
ЭГ1/4--^2Г7/4+... ,
L 48 J
arg3?e(-7t,7c), C.2.2)
поэтому фигурирующий в C.2.1) интеграл сходится, а само это
выражение переходит в линейную функцию, если % —» <» в секторе
(-л/3, тс/3). Сращивание с разложением C.1.12), переписанным в пере-
менной 2Е, приводит к дисперсионному соотношению
[l-2c-6W0].
C.2.3)
где Wo = Во + Do. Для ограниченных С, отсюда сразу следует к = <9(Re3/8),
что совпадает с оценкой длины трехслойной области свободного
взаимодействия [78, 79, 81]. Критический слой, который сливается с
пристеночным, имеет в переменной у2 толщину порядка к~11Ъ ~ Rer1/8 ~ с
(рис. 3.1, а).
Обозначим левую часть C.2.3) через Ф(?) и положим
С помощью преобразования C.2.4) дисперсионное соотношение сво-
дится к уравнению стандартного вида Ф(-11/3К1/3С) = /1/3йГ4/3, свойства
59
у и
¦" [Re-
9/20
1 Re-l/2
Критический Г
| Re-itgo
| -
1
t
Re-13/20|
Рис. 3.1
которого изучены в [52]. Каждому фиксированному К соответствует
бесконечная последовательность собственных значений С и наоборот.
Поведение первого корня из этой последовательности иллюстрируется
на рис. 3.2, где изображена мнимая часть С, параметра С, а также
мнимая часть - Q, величины - Q = КС, когда К пробегает действитель-
ную положительную полуось. Каждый корень записанного в преобра-
зованных переменных дисперсионного уравнения порождает кривые на
плоскостях Re, с и Re, к. Как видно из рис. 3.2, существует действи-
тельное значение К = к„, для которого принадлежащее первой моде
значение С -с» также является чисто действительным, вычисления
дают kt = 1,0005, с* = 2,2968. Подстановка этих значений в преобразо-
вание C.2.4) фиксирует уравнение нижней ветви нейтральной кривой
устойчивости.
Формулы C.2.4) удобно разрешить относительно с и к, если входя-
щие в их правые части малые величины с и 8 вычислить по первому
5/4
,3/8,
с„,
5 = XV4 Re
-1/8
приближению: к = Х\14 Re3'* к„ с = ^/"R
Окончательно асимптотическое поведение нижней ветви нейтральной
кривой при Re —? °о в двух приближениях определяется выражениями
,3/8
,-1/8
C.2.5)
C.2.6)
Первый член асимптотики C.2.5), C.2.6) найден в [173], двучленное
разложение точно совпадает с полученным в [174] другим методом.
Отметим, что за счет комплексной поправки с в соотношениях
C.2.4) параметр К не является действительным при действительных к
(исключение составляет нейтральное решение). Кривые на рис. 3.2 ил-
люстрируют также зависимости с,- = с,- (к), со,- = со,- (к),к; = 0, а>1 = ~кс; в
60
-2
Рис. 3.3
первом приближении, получаемом отбрасыванием в дисперсионном
уравнении и выражениях C.2.4) малых поправок порядка 8 ~ с. Пре-
образование C.2.4) в этом случае сводится к перенормировке волново-
го числа и фазовой скорости с целью исключения из дисперсионного
уравнения числа Рейнольдса и коэффициента Х^ В неустойчивой
области, где к превышает нейтральное значение C.2.5), инкремент
нарастания возмущений - со, достигает максимума.
Вычислим асимптотику первой моды в случае К —> °° при заданном
числе Рейнольдса. С этой целью обратимся к рис. 3.3, на котором на-
несены траектории, вычерчиваемые на комплексной плоскости С, пер-
выми пятью корнями дисперсионного уравнения Ф@ = il/3K4/3 с ростом
параметра К, arg К = 0. При малых К все траектории выходят из нулей
производной функции Эйри (точки 1), при К —> °° первый корень стре-
мится к бесконечности, остальные приближаются к нулям знаменателя
комплексной функции Ф@ (точки 2). Все корни, за исключением
первого, дают затухающие решения. Нейтральным решениям соответ-
ствует значение ?„ = -1,9894 - / • 1,1486. Воспользовавшись свойством
возрастания по абсолютной величине первого корня при | К | -» °°, ко-
торое сохранится, если arg К Ф 0 из-за малой комплексной величины с
в C.2.4), подставим в левую часть дисперсионного соотношения
асимптотическое выражение C.2.2), тогда
Поправочный член С, 1/2 с точностью до О (С, 2) вычислим по первому
приближению, которое с учетом условия arg ? е (—п, п), выделяюще-
го однозначную ветвь квадратного корня, следует записать в виде
С = е 6 К413. В результате дисперсионное соотношение сводится к
следующему:
_• 5/6^-2/3
C.2.7)
61
Возвращаясь в C.2.7) к исходным величинам Re, с, к посредством
формул C.2.4) и разрешая полученное равенство относительно с, нахо-
дим асимптотическое представление для первой моды
с —• ¦
( 2
U
°
l3/2
1-
-r—Wn
C.2.8)
с ~
Условие \С,\ > 1, при котором получено C.2.8), означает к ^» Re3/8 и
^»Re~ . Колебания при к = O(Re3''8), к которым принадлежит
нейтральный случай, характеризуются равенством порядков сг~ с,-~ 8,
в то время как при к ^» Re3/8 из C.2.8) следует с,- < cr ~ \c\ ~ S. Пре-
дельная форма C.2.8) дисперсионного соотношения C.2.3) описывает
неустойчивые колебания с инкрементом нарастания
m -b- - l i3/2B 1/4
C.2.9)
который в первом приближении представляет собой асимптоту изобра-
?12
e/4
женной на рис. 3.2 кривой -?2, = — со,^, Re
3.3. Асимптотика верхней ветви нейтральной кривой
при Re -»«
Поскольку в критическом слое переменная % порядка единицы, не-
ограниченное возрастание | С, | при к ^> Re3/8 означает, что критический
слой отделяется от стенки. Выше получено дисперсионное уравнение
для трехслойной схемы течения (см. рис. 3.1, а), когда критический
слой совпадает с пристеночным, и вычислена его асимптотика при
| ? | —> оо. Рассмотрим теперь случай, когда толщина критического слоя
много меньше, чем его расстояние до стенки (см. рис. 3.1,5). Из C.1.11)
следует, что указанное расстояние имеет порядок у2 — 1с1Х,7 , откуда
в силу C.1.13) |с| 1> к~1/3 > с;. Необходимо построить решение в кри-
тическом слое, не содержащее экспоненциально растущих членов на
оси C.1.18) при Уз —> ± с». Единственное решение уравнения первого
приближения C.1.16), удовлетворяющее данному требованию, гласит
go = do + d1°L. C.3.1)
В следующем приближении из уравнения C.1.17) с учетом C.3.1) имеем
62
Возьмем в качестве двух линейно независимых решений уравнений
Эйри функции
2. 2.
w,C?) = AiC?), w2(^) = e3"Cw1(^e3"C). C.3.3)
Из C.2.2) вытекает асимптотическая формула при 2? —> оо;
C.3.4)
Луч arg Ж = ± я — линия Стокса функции AiB?), на нем асимптоти-
ка C.2.2) терпит разрыв. В силу определения C.3.3) линией Стокса
для функции w2B?) служит луч arg 2? = я/3 (см. рис. 1.2). При помощи
C.2.2) и C.3.4) легко вычислить вронскиан w'2(%.) wx{T) - w[{^L) w2(%) =
= —г'я .Частный интеграл неоднородного уравнения Эйри C.3.2), в ко-
тором отсутствуют экспоненциально растущие на линии C.1.18) члены,
имеет вид
A, =-2JiiLBE) J gu{T)w2{
L
Символы ± оо соответствуют уъ —> + oo. В области arg Ж е (-я, я/3) пере-
крытия секторов, где справедливы формулы C.2.2), C.3.4), находим
асимптотику функции h\ при больших | % |:
Можно показать, что в секторе arg 3? е (я/3, я) функция h\ экспонен-
циально возрастает на бесконечности.
Суммируя полученные результаты, выводим единое асимптоти-
ческое представление решения для arg Ж е (-я, я/3), 12? | -» °°:
f = do+dl^ + -^7J(ikTinc2(domn^ + -dl^2) + ... C.3.5)
2Л] v 2 у
Постоянные d§ и d\ определим из сращивания выражения для / на
верхней границе критического слоя с асимптотикой невязкого реше-
ния. Линейные части разложений C.3.5) и C.1.12) переходят друг в
друга на луче C.1.18) при у^ —> оо, если
Логарифмические члены в C.3.5) и C.1.12) при условии C.3.6) сращи-
ваются автоматически.
Значения функции/в нижней части критического слоя, т.е. на лу-
че у3 —> —оо, можно получить аналитическим продолжением ее выра-
63
жения для луча уз -> +<*> вдоль
контура достаточно большого ра-
диуса в комплексной плоскости 2?
(помечен стрелками на рис. 3.4,
ось C.1.18) обозначена штриховой
линией), используя асимптотику
C.3.5). Указанная на рис. 3.4 си-
стема разрезов однозначно опре-
деляет изменение фазы логариф-
мической функции, которое с точ-
ностью до несущественной поправ-
ки порядка | с,-11 с |~ < 1 равно -к.
Для нейтральных колебаний этот скачок фазы вычислен в [173].
В заштрихованном секторе на рис. 3.4 асимптотическая формула C.3.5)
непригодна.
Легко видеть, что выражение C.1.12), представляющее собой пре-
дельную форму разложения C.1.3), дает невязкое решение уравнения
Орра-Зоммерфельда в областях, расположенных как выше, так и ниже
критического слоя, в чем можно убедиться непосредственной провер-
кой. Однако при 0<у2<у>2Г в выражении C.1.12) следует выбрать
arg (У2 -уЪ~~11 + O(ci\c Г )> что обеспечивает сращивание его мнимой
части с мнимой частью решения C.3.5) для критического слоя при
Невязкое решение, не позволяющее удовлетворить условию при-
липания жидкости при у2 = 0, непригодно в вязком пристеночном под-
слое толщины ?~1; \с\~ <ё \у2 . После перехода в данном подслое к
новой комплексной переменной r\ = (ikcI1 y2 из уравнения Орра—Зом-
мерфельда с учетом граничных условий / = df/di\ = 0 на поверхности
получаем
dr\4 df\2
C.3.7)
3/2/V/2
Если у2 <^|с|, формула C.1.12), в которой уг —у2 —у2 — Л/, пере-
писывается в виде
, = 1 —с с 52 A) cD
Л| 1 — с Aj
+ -m-^c3[5(l-c)-82D0] + \^- + 5XlB0 \у2 + ..., C.3.8)
причем мнимая часть отброшенных здесь членов является величиной
64
высшего порядка малости по сравнению с Ъ2съ. Сращивание пропор-
циональных у2 членов в C.3.7) и C.3.8) ведет к
Но тогда сумма не зависящих от у2 членов из C.3.8) должна иметь поря-
док Йо = O(k~ll2c~112), поэтому в двух приближениях
8
сг =¦
C.3.9)
Приравняем теперь мнимые части постоянных в обеих формулах
C.3.7) и C.3.8), в результате с учетом двух членов разложения по 8
получим
L
2
Заменяя в последнем равенстве сг его выражением C.3.9) и принимая
во внимание определение 8, получим две части дисперсионного соот-
ношения:
_ 1 к к [2
C.3.10)
' V2 1
2 Xs, Re2
1-
4k
¦Wn
C.3.11)
Если с,- = 0, из C.3.11) следует асимптотика верхней ветви нейтральной
кривой, первый член которой указан в [173]:
: = 2п Re
9/20
10
cr=J-20Re-1/20
Х4п
10
C.3.12)
C.3.13)
Напомним, что для профиля Блазиуса Х4 < 0.
3. в.и. Жук
65
Согласно C.3.11) dcj/дк < 0 (при к <ё Re1/2), поэтому при заданном
числе Рейнольдса возмущения затухают, если к превышает нейтраль-
ное значение C.3.12), и нарастают, если к остается меньше него. Оба
слагаемых в C.3.11) имеют одинаковый порядок к = O(Re9/20), причем в
окрестности верхней ветви нейтральной кривой по-прежнему cr ~ 5, но
Покажем, что дисперсионные соотношения C.2.3) и C.3.10),
C.3.11) переходят друг в друга. Возьмем к ^» Re3/8, тогда из формулы
C.2.8) после выделения действительной и мнимой частей следует
1
1 -
l+Щ
_ ! i
С: — —/=¦ А
1 Л
3/2
Re
1/4
-—Щ
C.3.14)
Отбрасывая в C.3.11) содержащие множитель &4Re~2 члены, которые
при к <ё Re9/2() становятся малыми по сравненшо с величинами порядка
^'Re1/4, убеждаемся, что получающаяся в результате такого предель-
ного перехода асимптотика выражений C.3.10), C.3.11) не только в
первом, но и во втором приближении по параметру 8 совпадает с
асимптотикой C.3.14). Перекрытие окрестностей двух ветвей нейт-
ральной кривой означает, что дисперсионные соотношения C.2.3) и
C.3.10), C.3.11) описывают всю неустойчивую область, заключенную
между этими ветвями. Инкремент нарастания возмущений — со; = к с,
везде в неустойчивой области имеет порядок Re1/4, а его максимум
располагается вблизи нижней ветви нейтрально кривой. Кривая со, =
= со,(?)> Re = const (см. рис. 3.2, кривая - Ц) с промежуточной асимпто-
тикой C.2.9) может быть продолжена в окрестность верхней ветви
с помощью выражения
обращающегося в нуль при нейтральных значениях к C.3.12).
Как видно из C.3.10), C.3.11), пятислойной схеме возмущен-
ного поля скоростей с критическим слоем, отделенным от при-
стеночного невязкой областью (см. рис. 3.1, б), соответствует единст-
венная мода колебаний, которая переходит в первую моду из спектра
образующих трехслойную структуру течения собственных колеба-
ний (см. рис. 3.1, а), когда волновое число изменяется в диапазоне
Re3'8 =S * =S Re»/20.
66
3.4. О вынужденных колебаниях в пограничном слое
на частотах, близких к верхней ветви нейтральной кривой1
Пусть на расстоянии L* от передней кромки плоской пластины, обте-
каемой несжимаемой вязкой жидкостью, имеется подвижный участок
поверхности длины /*, колеблющийся с частотой со* (здесь звездочка
вверху, как обычно, относится к размерным величинам). Определив
число Рейнольдса Re = Ut,Cv*'1, где Ut, - скорость набегающего по-
тока, V* - кинематическая вязкость, будем считать Re —> °°. Исследо-
вание процесса распространения возмущений, вызванных подвижным
участком, представляет собой одну из задач о восприимчивости погра-
ничного слоя.
Ранее решение такой задачи с учетом сжимаемости и при лю-
бых числах Маха на бесконечности было получено в [48, 55] для
Г = O(Re~3/8L*), со* = O(Re 4 Ut,lT~ ), исходя из линеаризованных урав-
нений теории свободного взаимодействия [3, 5], которым, как известно
[51, 52], подчиняются возмущения в указанном диапазоне частот. В до-
звуковом случае первая мода из спектра собственных решений этих
уравнений соответствует предельной форме волны Толлмина-Шлих-
тинга при больших числах Рейнольдса в окрестности нижней вет-
ви кривой нейтральной устойчивости. Как следует из [55, 56], именно
в такую волну вырождаются возмущения вниз по потоку от осцил-
лятора.
Ниже рассматривается вопрос о генерации волн Толлмина-Шлих-
тинга вблизи верхней ветви кривой нейтральной устойчивости. По-
рядки частоты и характерной длины, естественно, отличаются от
принятых в теории свободного взаимодействия, а именно полагается
Г = 0(Re-9/2OL*), со* = O(Re2/5 Ut,L*~l). Обозначим а = Re'20. Подвиж-
ную часть поверхности зададим уравнением
у* =hcl4L*G(T,X), T=a'8UlL*-4*, X = a~9L*-\x*-L*), C.4.1)
где t* - время, х*, у* - координаты декартовой системы с осью х*, на-
правленной вдоль обтекаемой пластины, h — безразмерный параметр.
Прежде всего отметим, что независимо от причин, вызывающих
колебания жидкости в пограничном слое, вблизи стенки имеется вяз-
кий подслой толщиной порядка Re L*(G>*UZll?)~l = a14L*. В част-
ности, такой подслой существует и в случае свободных колеба-
ний, когда G = 0. Из уравнения C.4.1) видно, что для h = 0A) изменяю-
щий свою форму участок поверхности погружен в вязкий подслой,
который в данном случае обусловлен колебаниями самого же этого
участка.
Найдем порядки возмущений компонент и*, v* вектора скорости и
1 В данном разделе из соображений удобства для некоторых переменных исполь-
зуются иные, чем в предыдущих разделах, обозначения.
3* 67
давления р* при обтекании колеблющейся неровности. Поверхность
подвижного участка на пластине имеет вертикальную компоненту ско-
рости
в то время как тангенциальной компонентой скорости поверхности
порядка Лап?С можно пренебречь. Компоненты U^,U0, U^,V0 вектора
скорости невозмущенного стационарного потока в пограничном слое
на плоской пластине представимы в виде
,Ym) + O(a2\
x = L*-lx\ ym=cTloz:-y.
Функции Uв, Ув> Для первой из которых справедливы предельные
свойства
Ym^0: UB^X1(x)Ym+±X/[(x)Y*+...,
Ут^~: 1/в->1 + ...,
задаются решением Блазиуса. Вследствие деформации стенки условие
прилипания должно выполняться не при Ym = 0, а на контуре Ym = hc^G,
где в силу C.4.3) невозмущенная скорость порядка ho4U^,, поэтому
такой же порядок имеет возмущение продольной компоненты ско-
рости и*. Если последняя оценка справедлива и при обтекании стацио-
нарной неровности, то возмущение вертикальной компоненты скорос-
ти v* порядка he tC, связано с изменением формы неровности во
времени. Изменение давления/?* жидкости с плотностью р* по сравне-
нию с величиной pi, в набегающем из бесконечности потоке оцени-
вается при помощи уравнения сохранения компоненты импульса вдоль
оси л:* как O(ha5p*U~)-
Данные оценки, полученные в пристеночной области вблизи осцил-
лятора, справедливы и во всей толще пограничного слоя, за исклю-
чением возмущения вертикальной компоненты скорости. Действитель-
но, при Ym = 0A) из уравнения неразрывности вытекает, что возму-
щение v* порядка ho5Ut,.
В основной части пограничного слоя поле параметров течения
записывается в виде
Тг^П [4 ha5vm' p°+ ha5pm I" CAA)
где Ро = О(а10) — невозмущенное давление, (/0, Vq, Pq — функции х, Ym, a,
а ит> vm, рт - функции Т, X, Ym, о, h. Уравнения Навье-Стокса в резуль-
тате подстановки в них выражений C.4.4) при учете соотношений
68
C.4.2) преобразуются следующим образом2:
дит гг дит
т dYm В д?т дХ dYl дХ1
avm _ арт t ^.ю
ув
dYm
+ 0
ЭХ dYm
Как видно из C.4.5), непараллельность пограничного слоя иска-
жает функции с индексом т на величину порядка О9. Нелинейные
члены дают вклад порядка ha4. Относительная величина вязких членов
в уравнениях C.4.5) может, вообще говоря, превышать значение О9.
Например, вязкие члены существенны в критическом слое (для воз-
мущений типа бегущей волны), а также около обтекаемой поверх-
ности.
Равенство порядков члена со второй производной по вертикальной
координате и нестационарного члена в первом уравнении системы
C.4.5) достигается, если Ym = crYh Yt= 0A). Последним соотношением
вводится новая переменная У; = <5~14Ь*~ху* вязкого пристеночного под-
слоя, в который погружен осциллятор. В соответствии с приведенными
выше оценками в пристеночном подслое имеем
] C.4.6)
где Uq, Vq, Pq зависят от х, c^Yb a, a И/, vh pt— от Т, X, Ylt а, h, при-
чем невозмущенный профиль продольной компоненты скорости дает-
ся выражением ?/0 = cr'KiYl + О(а16). Из уравнений Навье-Стокса
следует
2 Запись уравнений в форме C.4.5) служит обоснованием замены невозмущенной
скорости в пораничном слое решением Блазиуса, которое в данном разделе обозначается
через Uв, VB.
69
Систему уравнений C.4.7) можно получить из системы C.4.5), переходя
в ней к переменной У/ и используя соотношения C.4.3).
Граничные условия на поверхности принимают вид
Y,=hG: u,=-X{G, v,=r^-. C.4.8)
Зависимость от "медленной" координаты х функций UB, VB как и коэф-
фициентов \t, Х4, на расстояниях X = 0A) изменяет их на величину
порядка о"9, поэтому всюду ниже подразумевается х = 1 и, в частности,
^1 =0,3321, Х4=-\]/2.
Опустим в уравнениях C.4.7) отмеченные символом О попра-
вочные члены высшего порядка малости по параметру а, сохраняя при
этом члены порядка а3. Для линеаризации первого уравнения системы
C.4.7) будем считать параметр h малым. Остановимся на случае h <t a3.
Пусть стенка совершает периодические по времени колебания
) = G'(X)eiaT
с частотой, величина которой в исходной системе единиц со* =
= o"~8lCJL*~1Q. Представим искомые функции течения в нижнем под-
слое как
[щ, и„ р,] = [«/, v,f, р',УаТ. C.4.9)
От помеченных штрихами амплитуд перейдем к их фурье-образам,
обозначив последние чертой сверху, например
u,(n,K,Yho)= J uj(Q,X,Y,,a)e'iKXdX.
Уравнения C.4.7) с отброшенными нелинейными членами дают
. _ .„_ д2щ
' C.4.10)
= 0, iaKul+ = Q.
dY, ' д%
Граничные условия прилипания перенесем на линию У/ = 0, до-
пуская такую же ошибку, как и при отбрасывании нелинейных членов,
тогда из C.4.8) вытекает
Y, = 0: п, = -XiG, v, = i Q.G . C.4.11)
Выразим при помощи C.4.10), C.4.11) функции щ, 17; через неизве-
стный заранее фурье-образ давления р,. На плоскости комплексного
переменного
70
имеем
- = °>
щ<1%
2_
Ц
C.4.12)
= o"V
Удовлетворяющее условию отсутствия экспоненциального роста
на бесконечности (вдоль лучей arg 2Ё/ = ± л/6) решение задачи C.4.12)
определяется выражением
C.4.13)
2
Поскольку |2?| и |^| имеют порядок а 2, функцию Эйри Ai(^;) в
C.4.13) заменим ее асимптотикой [258] при больших значениях аргу-
мента. Возвращаясь к переменной У/, получим
щ =-A,,G + KQ.-1
C.4.14)
17, =
О, Q. > О,
Обратимся теперь к построению решения в основной толще погра-
ничного слоя. Отбросим в системе уравнений C.4.5) нелинейные чле-
ны, а также члены, связанные с непараллельностью исходного течения
в пограничном слое. Выделяя, как и в C.4.9), у всех искомых функций
с индексом т временной множитель е'ат и совершая преобразование
Фурье по координате X, сведем систему C.4.5) к уравнению Орра-Зом-
мерфельда
^ ЗУ
= aK, C.4.15)
где Ут - фурье-образ вертикальной компоненты скорости. Параметр с
в уравнении C.4.15) играет роль фазовой скорости, поскольку каждая
фурье-компонента возмущения с периодической зависимостью от
71
времени представляет собой бегущую волну. Параметр 5 имеет смысл
отношения толщины пограничного слоя к длине волны возмущений.
Вязкие члены в правой части уравнения C.4.15), которые имеют
порядок опущенных членов, обусловленных нарастанием толщины
пограничного слоя, должны быть также отброшены всюду, за исклю-
чением критического слоя. Значение координаты Ym = Y®, в окрест-
ности которой находится критический слой, отвечает равенству Ug = с,
причем вследствие малости с = О (о) при помощи разложения C.4.3)
находим
уо__? L^?r4
т Хх 24 Л«
Известно, что в отсутствие вязких членов решение уравнения
C.4.15) в точке Ym = Ym имеет логарифмическую особенность. Прирав-
нивая на данном сингулярном решении (которое будет выведено ниже)
левую и правую части уравнения C.4.15), получим оценку толщины
критического слоя Ym — Y® = О(а ). В невязком уравнении C.4.15) с
отброшенной правой частью удобно рассматривать параметры с и 8
как независимые и представить решение в виде [176, 177]
Dm=/o+52/,+-.-, C.4.16)
считая значение с фиксированным. В первом приближении
(tWH-^f/o=O. C.4.17)
Вне пограничного слоя, где UB = 1, из двух линейно независимых
невязких решений уравнения C.4.15) вида аеТ ", Yu =bYm выберем
экспоненциально затухающее при Yu —> °°. Полагая Yu —> 0, получим
асимптотическое краевое условие на внешней границе пограничного
слоя
( ±2>^ C.4.18)
Здесь и в дальнейшем верхний знак соответствует К > 0, нижний -
К < 0, постоянная а неизвестна. Предельное выражение C.4.18)
показывает, что/о,/] могут зависеть от 5 в силу граничных условий.
Разумеется, это не нарушает справедливости разложения C.4.16).
Решение уравнения C.4.17), удовлетворяющее условию
/0 —> а(\ + bYm) при Ym —> оо; записывается следующим образом:
C.4.19)
72
Выражение C.4.19) пригодно для всех вещественных Ym, если с < О,
в случае с > О оно имеет смысл только для Ym > Ym. Асимптотика ре-
шения в критическом слое на его нижней границе дает условия сра-
щивания, по которым решение невязкого уравнения C.4.17) между
критическим слоем и стенкой находится однозначно. Указанная асимп-
тотика может быть вычислена даже без обращения к решению в самом
критическом слое. Действительно, как следует из [176, 177], при К > О
асимптотическое выражение для вязкого решения на верхней границе
критического слоя допускает аналитическое продолжение на его ниж-
нюю границу через область а3 < I Ym - Y° I < с комплексных значений
Ym с обходом точки Y® по часовой стрелки. Аналогично, при К < О точ-
ка Y® обходится против часовой стрелки. Но асимптотика на верхней
границе критического слоя известна и задается пределом выражения
C.4.19) при Ym —> У^ +0. Отсюда следует, что функция C.4.19) пред-
ставляет собой решение невязкого уравнения C.4.17) также и в области
между критическим слоем и стенкой (для вещественных 0< Ym < Y®),
если фигурирующий в C.4.19) интеграл берется вдоль пути, обходя-
щего особую точку У^ по описанному выше правилу.
Пусть Yт = О(с), тогда выражение C.4.19) можно преобразовать к
виду
C.4.20)
где при вещественных Ym следует положить aig(Ym — Ym) = 0, если
Ym>Y°, и агё(Ут-У^) = -resignК, если Ym<Y°; 0(c) - единичная
функция Хевисайда.
Произведем сращивание компонент вектора скорости на верхнем
крае вязкого пристеночного подслоя, где СТ4 <ё Yт <ё с. Переходя в
C.4.20) к "внутренней" переменной У; = cr4Ym, получим
8 -—
К 2Х\К1 Ч К
[о. , к .з пХАаъ J а
— ± IG г—5-6
[К Я,, 2Х\К2 I К
v_=aa — ± /a —f-7-6 + C.4.21)
ffl I тг Л лО ту / I тг II >¦ '
-e|-S|| + ...
Первая из этих формул выведена по уравнению неразрывности
пт = —(Ж)'1 d~um/dYm. В выражениях C.4.21) удержаны главные члены
73
отдельно для их действительных и мнимых частей, которые, имея
различный порядок малости по параметру о", тем не менее вычисляют-
ся верно без учета старших членов в разложении C.4.16).
Из C.4.4) и C.4.6) вытекают условия сращивания фурье-образов
щ -> пт, аТ7; —»Vm при У/ -> оо, где функции с индексом т задаются
формулами C.4.21), а функции с индексом / определяются выраже-
ниями C.4.14). Данные условия приводят к двум уравнениям относи-
тельно фурье-образа давления pt и постоянной а. Исключая послед-
нюю, находим
h = т а к . 3*x4nV ou. з к2 ¦ {ЪА22)
—±-—ю* * , е -— т3
<in>3'2
При выводе C.4.22) подразумевалось, что К = 0A). Формула C.4.22)
непригодна, если К = О(а), поскольку фазовая скорость с = -аПК~г
является в этом случае величиной порядка единицы, что нарушает
справедливость выражения C.4.20). Вывод формулы C.4.22) теряет
силу также для К = О (о), так как при этом параметр 8 = оК, по
которому ведется разложение C.4.16), не является малым. Тем не
менее, как следует из законов затухания выражения C.4.22) вблизи
нуля и на бесконечности, использование его на всей действительной
оси К при обращении преобразования Фурье вносит погрешность, не
превышающую ошибки (порядка о), с которой получено само выраже-
ние C.4.22).
Будем считать для определенности Q. > 0. Тогда критический слой
существует при К < 0. Переходя от фурье-образов к оригиналам, для
давления получим формулу
Pi-—х
И1 2л
» aGeiKX
XL ПК'* -tfK-l-iia'nXfK&K-2 -2-U2ia3n-3/2K2
_J_f "Y dK. C.4.23)
Подынтегральное выражение в первом из выписанных интегралов
имеет полюс первого порядка в точке К° = К, + iK? комплексной
плоскости К, отстоящей от отрицательной вещественной полуоси на
малое расстояние порядка а3. Приравнивание нулю действительной и
мнимой частей знаменателя указанной подынтегральной функции дает
C-4.24)
74
Комплексная величина К° является собственным значением волно-
вого числа в задаче о свободных колебаниях в пограничном слое вбли-
зи верхней ветви кривой нейтральной устойчивости (G = 0), а вы-
ражения C.4.24) в этом случае представляют собой две части диспер-
сионного соотношения. Условие Kf = 0 определяет частоту ?1 = ?2°
нейтральных собственных колебаний. Из C.4.24) имеем
C.4.25)
Если вернуться к исходной системе единиц, то равенство C.4.25) при-
обретает вид
устанавливающий главный член асимптотики верхней ветви кривой
нейтральной устойчивости при больших числах Рейнольдса [173—177].
Рассмотрим случай Q > Q.0, тогда согласно C.4.24) имеем Kf > 0.
Пусть функция G'(X) отлична от нуля в интервале 0 < X < Ь. Тогда при
X > Ъ в первом слагаемом формулы C.4.23) в качестве пути интег-
рирования вместо отрицательной вещественной полуоси выберем по-
ложительную мнимую полуось и дугу окружности достаточно боль-
шого радиуса во втором квадранте комплексной плоскости К, на кото-
рой подынтегральная функция экспоненциально мала. В результате
выражение C.4.23) можно представить как сумму вычета в точке К0 и
двух интегралов по положительным мнимой и вещественной полуосям.
Полагая S - iK, окончательно получим
-+А dS-
S X,}
]ciG(K)e\^ + -^\ dK, C.4.26)
где Kf и Kf определяются формулами C.4.24). Первое слагаемое в
C.4.26), порождаемое полюсом трансформанты Фурье р[у представ-
ляет собой волну Толлмина—Шлихтинга с декрементом затухания К{ .
Оба интеграла в C.4.26) затухают при Х—> °° по закону O(JC2), в то
время как экспоненциальное убывание амплитуды волны Толлмина-
Шлихтинга вниз по потоку становится сколь угодно малым при стрем-
лении частоты ?1 к нейтральному значению ?2° сверху.
Заменяя в первом интеграле формулы C.4.23) путь интегрирования
на отрицательную мнимую полуось, давление для области выше по
потоку от осциллятора (X < 0) можно представить в виде суммы двух
75
интегральных членов, аналогичных интегральным членам в C.4.26) и
имеющих асимптотику 1 X Г2, X —> °°, однако член, связанный с вычетом
в точке К°, отсутствует.
Заметим, что выражение C.4.26) не содержит особенности в точке
Q = Q0 и дает решение задачи также для ?2 < Q0 [58], хотя вследствие
экспоненциального роста вниз по потоку не удовлетворяет при этом
условию применимости преобразования Фурье.
Волна Толлмина—Шлихтинга в окрестности верхней ветви кривой
нейтральной устойчивости характеризуется соотношением Kf ~ аъК®.
Данная окрестность в неустойчивой области О. < ?2° перекрывается с
окрестностью нижней ветви кривой нейтральной устойчивости при
Q = 0(а3). Действительно, в этом случае из C.4.24) следует К° ~ К®,
Kf = (9(а3/2), а частота и волновое число в размерных переменных
со* = Re2'5 t/lL-'fl ~ Re1'4 l/Il,-1,
Jk* = Re9'20 i-1^0 ~ Re3/8 IT,
что соответствует асимптотике нижней ветви кривой нейтральной
устойчивости или ее окрестности.
ГЛАВА 4
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ, ИНДУЦИРУЮЩИЕ
СОБСТВЕННЫЙ ГРАДИЕНТ ДАВЛЕНИЯ
В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НА ПЛАСТИНЕ
В ТРАНСЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
Обобщение трехпалубной теории свободного взаимодействия погра-
ничного слоя [3, 4, 6] на случай трансзвуковых скоростей может при-
водить к различным оценкам масштабов возмущений в зависимости от
роли нестационарных эффектов. Задача со взаимодействием для транс-
звукового диапазона, впервые рассмотренная в [271], допускает введе-
ние времени во внешней потенциальной области потока [39] без изме-
нения соответствующих стационарному режиму оценок. Последние,
как показано в [79], устанавливаются, например, из законов подобия,
имеющих место в теории [3, 4, 6]. Иной механизм распространения
волн предложен в [272], где введенные масштабы переменных требуют
сохранения нестационарных членов как во внешней, так и в пристеноч-
ной областях.
Ниже излагается асимптотический анализ нелинейных возмуще-
ний, амплитуда которых превышает величину, предполагаемую в [272].
Концепция самоиндуцированного давления для таких амплитуд опре-
деляет нормировку зависимых и независимых переменных, отличную
от [39, 271, 272], причем структура течения становится четырехпа-
лубной. Оценки величин вводятся как комбинации трансзвукового па-
раметра и степеней числа Рейнольдса. Специальный предельный пере-
ход к числам Маха порядка единицы сводит рассматриваемую асимп-
тотическую схему к ранее предложенной четырехслойной теории [209].
4.1. Асимптотическая структура основной части пограничного
слоя для трансзвукового диапазона скоростей
Будем изучать продольное обтекание плоской пластины трансзвуко-
вым потоком газа в предположении, что на расстоянии L* от передней
кромки в основную толщу пограничного слоя внесено возмущение вида
r U0+bulm + bu2m+..., 8vlm+bv2m + ...,
D.1.1)
C 4^
77
Здесь ось х* декартовой системы х*, у* направлена по вектору скорости
набегающего потока с числом Маха М,*,, /* — время, и , v , - ком-
поненты вектора скорости, р* — плотность, р* - давление, ц* - динами-
ческий коэффициент вязкости. Звездочками отмечены размерные ве-
личины, индекс оо относится к невозмущенному состоянию на беско-
нечности, передняя кромка соответствует х* = 0. Аргументами функций
с индексами \т, 1т,... являются
Т = 85/2 Re1'2 UllTlt*, X = 53/2 Re1/2 L*'l(x* - L*),
Рассматриваются числа Рейнольдса Re = plG^,L*/|J.l —>°°, а амплиту-
ды возмущений в D.1.1) задаются в терминах малого параметра
8 = (М^—1)<2^', где Bоо =ОA). Длина возмущенной области, в которой
X - 0A), полагается короткой (на масштабах L*), что, внося ограниче-
ние Re" < 8 <ё 1, позволяет считать профили продольной компонен-
ты скорости Uq и плотности /?о исходного стационарного решения в
пограничном слое зависящими лишь от вертикальной координаты Ym.
Упомянутое ограничение является следствием более сильного не-
равенства
1/9l, D.1.2)
предполагаемого выполненным всюду ниже. Смысл D.1.2) будет оче-
виден из дальнейшего.
Подставив D.1.1) в уравнения Навье-Стокса, получим после инте-
грирования
рш=рш(Т,Х),
ЭХ dYm дХ
1л2кЛ dUn
dY^ dYm dYn
78
Функции А,G\Х), А2(Т,Х), рш(Т,Х) в D.1.3) произвольны. Пре-
дельное поведение невозмущенного решения
U0=X1Ym+..., Ro = ro+... (Уи-»0) D.1.4)
вблизи стенки, которую примем теплоизолированной, показывает, что
в случае Ym = 0(8) первые два слагаемых в представлении как и*, так и
v* из D.1.1) становятся одного порядка. Поэтому в нижней части
пограничного слоя, где новая вертикальная координата Ya = 5 Ym —
- 8~' Re1' L*}'* порядка единицы, возмущения становятся нелинейны-
ми, а ряды D.1.1) трансформируются следующим образом:
* * *
U ~ V -7/2 Р
U: . U~ Р~ D.1.5)
Функции с индексом \а зависят от аргументов Т, X, Ya. Представляя
решение уравнений Навье-Стокса в виде D.1.5), имеем
ди1а ... ди1а ... ди\а _ 1 Ма
~W U~W+ 1а"э^~г0 эх'
а ° D.1.6)
Невязкие уравнения D.1.6) означают сохранение завихренности
cola =dula/dYa вдоль траекторий частиц газа. Предположив в началь-
ный момент пограничный слой невозмущенным, находим
Переписанные в переменной Ya пределы разложений D.1.1) для
Ym —> 0, которые при учете явных выражений D.1.3) и свойств D.1.4)
имеют вид
<4Л'7>
должны быть согласно принципу фащивания идентичны пределам раз-
ложений D.1.5) при Ya —><». Сформулированное условие, однозначно
определяя функции Ва(Т, X), Da(T, X), показывает, что pia =plm, а глав-
79
ные по 5 члены рядов D.1.7) для и* и v* дают решение уравнений
D.1.6).
Источником возмущений рассматриваемого вида может служить
локальная неровность на обтекаемой пластине, форма которой задает-
ся уравнением
2 L*Ga(T,X). D.1.8)
Условие непротекания
v ~^L + U ^L
Ща~ дт Ща дх
на поверхности Ya =Ga{T,X) деформированного участка пластины,
который погружен в нелинейную невязкую подобласть Уа = 0A) с по-
лем скоростей из D.1.7), налагает связь
a) d{Al+Ga) = __1_dBsL
1V ' а дХ V дХ
дТ 1V ' а дХ Vo дХ
на неизвестные функции Аг(Т, X), plm(T,X).
Для введенных выше характеристик длин и времен толщина вязко-
го подслоя много меньше высоты неровности D.1.8), если справедливо
неравенство D.1.2). В указанном подслое, прилегающем к твердой по-
верхности, удобно использовать координату Nt = 59М Re1/4(ya - Ga) =
= 0A). Тогда параметры течения записываются следующим образом:
Индексом 1/ помечены функции аргументов Т, X, Nh а безразмерная
вязкость (Хо вычислена по температуре Т*Т^~Х = г$х невозмущенного
пограничного слоя при Ym = 0.
Уравнения Навье—Стокса в случае представления их решения в
форме D.1.10) дают
, и | ^ дри [ ц0 д2ии
ЪТ " ЭХ иЩ г0 дХ r0 ZNf
" ЭХ иЩ дХ
ЭХ dN, ' Щ
К условиям прилипания на твердой поверхности
Ni=0: uu=vu=0 D.1.12)
80
необходимо добавить условия сращивания на нижней границе невязкой
области, влекущие за собой P\i=Pimn
N,^°°: uu^Xl(A]+Ga). D.1.13)
Обратим внимание на то, что координаты /V/ и Yа становятся одного
порядка при 5 = Re . В последнем случае нелинейная область сли-
вается с вязким пристеночным подслоем, а масштабы возмущений со-
впадают с рассмотренными в [272].
4.2. Внешняя область свободного взаимодействия
Положим Ym —» оо. Тогда предельные свойства Uo —» 1, /?о —И задают
поведение выражений D.1.3), а вместе с ними и асимптотический вид
решения D.1.1) на верхнем крае пограничного слоя
^-1-6 Ли+..., ^—6 ^ч,..,
D.2.1)
р: im ?ж2 im
Если толщина введенных выше трех подобластей течения меньше по
порядку величины, чем их длина в продольном направлении, то во
внешней области над пограничным слоем ситуация обратная: при
околозвуковом обтекании масштаб вертикальной координаты у* =
= b~2 Re/2 L*YU, где новая переменная Yu = 0A), превышает остаю-
щийся прежним масштаб 5~3/2Re~1/2 по координате х*. Возмущения
D.2.1) при Уш —» °° индуцируют во внешней области Yu = 0A) поле
параметров газа
D.2.2)
Функции с индексом 1м, 2м,... зависят от аргументов Т, X, Yu. Внося
формулы D.2.2) в систему уравнений Навье—Стокса, с учетом
получим
Э D.2.3)
81
В следующем приближении имеем
2ц I др2и - О
Х ЭХ
дТ ЭХ ЭХ ЭУМ ' дТ ЭХ ЭХ
D.2.4)
диы dv2u др2и ^ dpllL+dp2!L=3pl!L_ Эр,и др2и
дТ ЭХ dYu ' дТ дХ дТ ЭХ ЭХ '
Соотношения D.2.3) дополняются уравнением для потенциала
являющимся условием разрешимости системы уравнений второго при-
ближения D.2.4). Краевые условия
^ Эф1и(Г,Х,0)= ЭА,(Г,Х)
^т ЭГ ЭХ
ЭХ ^т ЭГ„ ЭХ
вытекают из сращивания с D.2.1).
Аффинное преобразование
T=b't, X = bxx, Ya=b?ya, N,=bynh Yu=b?yu,
ula = buu, vXa = bvv, uu = buuh vu = bvvb plm = bpp, D.2.7)
исключает из дальнейшего постоянные A,j, r0, (Xo, если в D.2.7) по-
ложить
9, Ъ* =B-к\ШоГ >
Xtroli*I/9, D.2.8)
Обозначим Л = А' + G. Вязкий пристеночный подслой при условии
отсутствия особенности в решении задачи
ди, ди, ди, др д2щ ди, dv, n ,л~ы
at ax dnt ах дщ ах дщ
щ=0: u,=v,=O, n,->«>: u,->A(t,x) D.2.10)
не влияет в рассматриваемом приближении на параметры течения в
вышележащих подобластях. Замкнутая система невязких уравнений
82
Э2Ф „ Э2ф Э2ф_ (л о л
т-+А1Г = -?> <4-2Л
dt Ox dx
Эф(?,*,О) _ ЭФ(Г,х,О)_ dAjt.x) dG(t,x)
p(tx) +^z
-p(t,x), +^.z.u;
dx dyu ox dx
позволяет независимо от D.2.9), D.2.10) найти функции A(t, x), p(t, x) и
тем самым поле скоростей в нелинейной невязкой подобласти:
Ua=na+A, Va=-na^ + -^+U'>-fa' Па=Уа~С, D.2.14)
а также в основной толще пограничного слоя по явным выражениям
D.1.3). Проведя в D.2.11) замену
получаем волновое уравнение, для которого справедливо представле-
ние [273]:
,.,.,о>=-1 я
^ 1 , ,
Здесь S, - область интегрирования xt<tt— \xt — 2; J.
Возвращаясь к переменным (ди исключая p{t, x) из D.2.12) при
помощи D.2.13), имеем
ЗА . ЗА
V А— =
dt dx
где сектор интегрирования S устанавливается неравенствами
x<t, ?,<х-К„Ц-х). D.2.16)
Для Кх —> +°° уравнение D.2.15) переходит в уравнение Бюргерса [257]
+А\Ц
dt дх jK^ldx2 Эх
Действительно, область интегрирования D.2.16) в этом пределе заклю-
чена между образующими малый угол лучами. Следовательно, подын-
тегральную функцию А(х, ?) (как и G(x, ?)) можно заменить на A(t, ?,),
тогда после интегрирования по т вместо D.2.15) получаем D.2.17).
Другой предельный случая К„ —> —°° соответствует интегрирова-
нию внутри тупого угла, близкого к п. Основной вклад дает узкая об-
83
ласть малых t-x, поскольку в остальной части сектора D.2.16) двойное
дифференцирование по переменной х в уравнении D.2.15) приводит к
величине порядка \К^\~ . Заменим, как и выше, для малых t - т функ-
цию А(т, ?,) на A(t, 4), тогда после несложных преобразований приходим
к уравнению Бенджамина—Оно [211, 212]
D.2.18)
Здесь интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.
Интегро-дифференциальное уравнение D.2.15) является следстви-
ем взаимодействия невязкой пристеночной подобласти с внешним
потенциальным течением через играющую пассивную роль основную
толщу пограничного слоя. Нетривиальный вопрос о существовании ре-
гулярного решения уравнений Прандтля D.2.9) с градиентом давления,
заданным по найденной из D.2.15) функции A(t, x), служит внутренним
критерием реализуемости введенной выше четырехпалубной структу-
ры возмущений.
4.3. Солитоны в трансзвуковом пограничном слое
Пусть поверхность обтекаемой пластины не возмущена (G = 0), тогда
инициируемое тем или иным способом нелинейное движение подчиня-
ется уравнению D.2.15) с однородной правой частью П(А). Эквивалент-
ная запись оператора П(А) в виде
л Эх oo <?v Vxv
удобна, когда решение ищется в виде бегущей волны А = А(?), ? = х - ct.
Для К„ > с из D.2.15) имеем
Для Кх < с снова приходим к уравнению Бенджамина—Оно
*
Односолитонное решение
Ас
А = 5 " Т
1 2(К)(J
уравнения D.2.15) существует при К„<с<0. Как видно из D.3.1),
фазовая скорость солитона однозначно определяет его амплитуду Ас.
84
"Масса" солитона
-J Adx= 4* 2 D.3.2)
является функцией обоих входящих в D.3.1) параметров. Заметим, что
в дозвуковом диапазоне для односолитонного возмущения величина,
аналогичная D.3.2), не зависит от фазовой скорости. Интегральная ха-
рактеристика D.3.2) существенна в механизме генерации солитонов
[215].
Периодическое решение
к2 Т I"'
1 "' -ct)]\ D.3.3)
уравнения D.2.15) также предполагает К„ < с < 0.
Основываясь на [274], представим функцию D.3.3) в виде цепочки
равноотстоящих солитонов
°° 4?
А= Z 5 " =ГТ> D-3-4)
„=-~, 1 + s (с-K^)(x-ct-2nnk )
где
s = с 9° , 90= ^-ттТ' с<0. D.3.5)
arcth90 c(c-K^y
Каждое слагаемое в D.3.4) стремится к решению типа уединенной
волны D.3.1) в пределе „s —> с, достигаемом согласно D.3.5) при 0О —> 0.
Поскольку всегда I s I < I с I, в общем случае отдельные элементы це-
почки D.3.4) не являются решениями уравнения D.2.15), удовлетворяя
ему лишь в сумме как результат нелинейного взаимодействия.
Пусть а — параметр. Уравнение D.2.15) инвариантно относительно
преобразования
х->х-т, А^А + а, К^-^К^-а, D.3.6)
поэтому наряду с D.3.3) функция
-2 л 1-е2
А = с + —r77\-^T-2F\, F 3 —^ D.3.7)
' —1/2li-a2 J l + G2-2ocos[k(x-ct)]
также является его решением. Входящие в D.3.7) четыре параметра
подчиняются ограничениям 0<ст<1, с>Кх, к>0. Заметим, что в
отличие от D.3.3) фазовая скорость с в D.3.7) может иметь любой знак.
В случае
_ [l-A]1'2 - к
а= ^ , Л = тгу, с<0
l + Aj \с\(с-К„У12
85
возвращаемся к D.3.3). Тождество
ancos[nk(x-ct)]
означает, что амплитуды гармоник в фурье-разложении функции
D.3.7) представляют собой не ряды по параметру а, а являются одно-
членами степени п.
4.4. Роль вязкого подслоя в случае периодических
по пространству нелинейных волн
Остановимся на вопросе о существовании регулярного решения в вяз-
ком пристеночном подслое щ - 0A), если в качестве внешнего крае-
вого условия при щ —» °° берется периодическая функция D.3.7). Урав-
нение D.2.15) инвариантно относительно преобразования
f->p5/3f, х->$х, А-*|Г2/3А, К„ -> р'3/^, D.4.1)
зависящего от параметра р. Семейство решений D.3.7) отображается
преобразованием D.4.1) само в себя, так как его действие на функцию
из данного семейства эквивалентно замене k —> $к, с —» Р2/Зс, Кх —¦>
Рассмотрим сначала стационарную 2я-периодическую функцию
А = , \\п I-1 +2 S (°2"
К.) L «=1
из семейства D.3.7). Будем искать стационарное 2л-периодическое ре-
шение системы уравнений Прандтля D.2.9) с заданным по А из D.4.2)
градиентом давления dpi dx = —%dA I dx и граничными условиями
П;=0: щ=с0, Vj=O; щ—>°°: щ—* А.
Здесь в качестве дополнительного параметра задачи введена скорость
стенки по касательной к себе с<> Из дальнейшего будет следовать, что
искомое решение существует не при всех с0.
Положим
D-4.3)
Система уравнений пограничного слоя Прандтля выдерживает пре-
образование
i*. У1 (YiYa)};. Щ Y2;> .. . „
-t 1/2 2 DЛ4)
Y) " P-*Y
зависящее от двух параметров yj, уг. Возьмем у\ - -1» 1г = со < ^> тогда
86
применение D.4.4) оставляет систему D.2.9) без изменения, а гранич-
ные условия примут вид
л,=0: и, = 1, i/;=0; я,-»°°: «,—»«„,, D.4.5)
где мте =AcQ\ Из D.4.2), D.4.3) имеем
1
Jo
1-ст] -^--4cosx I -
D.4.6)
( S S2
-a2 2 + ^---L
В случае краевой задачи D.2.9), D.4.5) с функцией и«,, представи-
мой в виде
ul = 1 + ? OnQn(x), Qn@) = QnBn),
и=1
были приведены условия [275]
2я 2л
/ Qxdx = О, J (м? -uoo)dx = О(д4) D.4.7)
о о
существования стационарного 2л-периодического решения системы
уравнений Прандтля. Второе условие из D.4.7) имеет место, если ряд
Фурье для величины Q2{x) содержит лишь первую гармонику. Раз-
ложение D.4.6) подчиняется данному требованию.
Примем So = 1, тогда из D.4.7) следует S\ = О, S2 = 10. Ограничимся
ради краткости первыми членами ряда D.4.3), поскольку процедура
вычислений дальнейших членов разложения по параметру а ана-
логична указанной в [275].
Вывод уравнения D.2.15) и формулировка задачи D.2.9), D.2.10)
соответствуют неподвижной стенке. Используя D.3.6), перейдем в за-
даче D.2.9), D.4.5) в систему координат, где стенка неподвижна.
Возвращаясь от и„ к А, заключаем, что для внешнего краевого условия
вида
А = -с
Z ~-П2 |-1 + 2 ? \с2п - 2дп cos[n(x + с00]]| D.4.8)
(-с0 -лте) [ „=i L JJ
2тг-периодическое решение в вязком подслое существует, если выпол-
нено соотношение
n\ D-4.9)
неявно определяющее фазовую скорость в D.4.8).
87
Распространим результат на случай любого периода с помощью
D.4.1), где следует положить р* = к. Тогда вместо D.4.8) в качестве
внешнего краевого условия возвращаемся к функции D.3.7), в которой
фазовая скорость с = к11ъ I с0 1. Что касается вязкого подслоя, то в ста-
ционарном решении уравнений Прандтля для А, заданного по D.4.2),
необходимо совершить подстановку щ —*щ+ с 0, х; —» xt — с 0 f с с0 из
D.4.9), воспользовавшись их инвариантностью относительно D.3.6), а
затем применить преобразование D.4.4) с Ji=k, J2=k~2!i.
В результате такой замены новое решение системы D.2.9) уже удов-
летворяет условиям D.2.10) с функцией А из D.3.7). Заметим, что в
D.4.9) учтено изменение Кх при переходе в движущуюся систему коор-
динат согласно D.3.6).
Итак, решение уравнений Прандтля в вязком пристеночном под-
слое с условиями прилипания на неподвижной стенке и заданным по
функции А из D.3.7) градиентом давления — П(А) существует, если
имеет место связь
+...) D.4.10)
между входящими в D.3.7) четырьмя параметрами.
Для 6 = 0 выражение D.4.10) представляет собой дисперсионное
соотношение линейной теории устойчивости пограничного слоя при
трансзвуковых скоростях внешнего потока, совпадающее с точностью
до масштабных множителей D.2.8) с полученным в [248] (см. гл. 6).
4.5. Переход к числам Маха,
отличающимся от единицы на конечную величину
Из уравнений Бюргерса D.2.17) и Бенджамина-Оно D.2.18), справед-
ливых в случае I К„, I —» «>, параметр К„ можно исключить с помощью
аффинного преобразования, выбор которого неоднозначен. Однако
преобразование, исключающее параметр I К„ I из D.2.17) и D.2.18), при
дополнительном требовании инвариантности по отношению к нему
задачи D.2.9), D.2.10), а также соотношений D.2.14), определяется
единственным образом:
Гтиа, va->\Kjlsva, p^\KJ-U4p, D.5.1)
A->\KJ~U8 A, G-*\KJ~USG.
Коэффициенты растяжения функций с индексами аи/ идентичны.
Пусть I tfj = CKS-1). Из М? = 1 + 5?L и D.2.7), D.2.8) следует
1лто1=о 2 /Ц r0 (x0 IM^-ll. D.5.2)
Суперпозиция двух преобразований D.5.1), D.2.7) при учете D.5.2) дает
x =
и =
v* =627/8?/;X,31/V
Символом ° помечены безразмерные переменные в определяемой
D.5.3) специальной системе единиц, звездочки по-прежнему означают
размерные величины.
В D.5.3) следует положить а = 59/8, тогда в терминах малого пара-
метра а получим полное совпадение с нормировкой величин A.1.1)—
A.1.4), A.1.6), A.1.7), A.1.15), A.1.16) в четырехслойной теории [209].
В случае а = Re~1/8 возвращаемся к классическому варианту [3, 4, 6]
теории свободного взаимодействия.
Порядковое соотношение IM^,—II =0(8) в D.5.3) делает очевид-
ным выбор масштабов в D.1.1), D.1.5), D.1.10), D.2.2). Непрерывный
переход через критическое число Маха в асимптотических уравнениях,
полученных как следствие оценок, задаваемых D.5.3) совместно с
D.5.2) при условии К„ = 0A), связан с нестационарностью течения.
ГЛАВА 5
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ БЕНДЖАМИНА-ОНО
И КОРТЕВЕГА-ДЕ ВРИЗА,
ОПИСЫВАЮЩИЕ НЕЛИНЕЙНОЕ РАЗВИТИЕ
ВОЗМУЩЕНИИ В ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ
И ПРОЦЕССЫ РОЖДЕНИЯ СОЛИТОНОВ
Анализ распространения по пограничному слою малых двумерных
возмущений в ряде случаев сводится к решению одного нелинейного
уравнения относительно некоторой функции, зависящей от времени и
продольной координаты [209]. Если амплитуда а и длина волны / воз-
мущений удовлетворяют условиям Re~1/8 <§ а <§ 1, / = О(Ке~112сг{), где
число Рейнольдса Re —» °° определено по характерному размеру обте-
каемого тела, то двумерное поле течения в пограничном слое может
быть построено в результате решения уравнения Бюргерса [257] при
сверхзвуковом режиме обтекания и уравнения Бенджамина-Оно [211,
212] при дозвуковых скоростях набегающего потока. Упомянутые
уравнения, выведенные в [209] с помощью асимптотических разложе-
ний решений полной системы уравнений Навье-Стокса, рассматри-
ваются в [210] как следствие предельного перехода в теории свобод-
ного взаимодействия [78, 79, 81] к высокочастотным крупномасштаб-
ным возмущениям.
5.1. Многослойная асимптотическая картина течения
в струе несжимаемой жидкости, ограниченной снизу
плоским экраном
Проиллюстрируем вывод одномерного эволюционного уравнения на
примере двумерного возмущенного течения в плоской струе несжи-
маемой жидкости, граничащей с твердой стенкой [21, 276]. Будем
считать время t, декартовы координаты х, у, компоненты вектора ско-
рости и, v и давление р обезразмеренными соответственно по ве-
личинам L*?/*~', L*, U*, p*U*2 (L*, U* — характерная длина и ско-
рость струи, р* - плотность несжимаемой жидкости). При больших
Re = f/*L*v*~' (v* — кинематическая вязкость) пристеночная струя ана-
логична пограничному слою, а невозмущенный профиль Uq продоль-
ной компоненты скорости в струе зависит от переменной Ym = Re1'^».
Дальнейший анализ основывается на свойствах функции Uq, вытекаю-
щих из вида изучаемого движения, а именно: на выходе из струи (при
90
увеличении Ут) и вблизи твердой поверхности Ym = 0, ограничивающей
струю снизу,
щ-Ю. ^0, Y.-+-.
^ E.1.1)
Пусть в потоке имеется возмущение продольной компоненты
скорости порядка а. Такое возмущение можно создать, например,
располагая на обтекаемой поверхности малое препятствие высотой
порядка у = O(Re~~x/2a). Обозначим характерный масштаб длины волны
возмущений через /, тогда из уравнения неразрывности следует поря-
док возмущения вертикальной компоненты скорости v = O(Re~l/2<xl~l)
в основной толще струи при Ym = 0A). Приравнивая порядки чле-
нов уравнения сохранения вертикальной компоненты импульса
др/ду ~ Uod и/дх ~ Re~1/2 а Г2, легко оценить возмущение давления
Ар = O(Re~'a/). С другой стороны, вблизи стенки, где возмущение
скорости и порядка самой скорости, уравнение сохранения продольной
компоненты импульса дает др/дх ~ иди/дх, т.е. Ар = (^(S2). Сравнивая
две оценки для Ар, получим порядок длины волны возмущения / =
= <9(Re-I/2or1'7). Данные оценки позволяют представить решение урав-
нений Навье-Стокса в основной толще струи в виде
U = Un +<XMim +<X M7m +..., V = СХ Vim + ОС V'>n,+...,
3
p2m+---
Здесь все искомые возмущающие функции с индексами 1т, 2т зави-
сят от переменных Г = Re1 n a?nt, X = Re1/2 av2x, Ym =Rell2y, ар«,-
давление на верхней границе струи. Из системы уравнений первого
приближения
Mm
вытекают явные выражения [21, 276]
E.1.3)
Как видно из E.1.1), E.1.3), vlm —> 0 при Ym —> 0, что указывает на не-
обходимость учитывать вблизи стенки следующие члены разложения
для и. Подставляя E.1.3) в систему уравнений второго приближения
91
M
... dU0 +u
2тЖ
эк,
Mm
эх '
получаем
+ y ^ + H ^bB- + U[ ^1а. = _^йа.
_
ЭЛ2 ЭА, rfy0 ЭА,
,
) J
О
Oi ЭУ l2
(функция А2(Т, X), как и Ai(T, X), произвольна).
Найдем предельный вид разложений E.1.2) вблизи стенки. Исполь-
зуя E.1.1), при Ym -» 0 имеем
ЭХ
дТ
ЭХ
ЭХ3
E14)
ЭХ о
Первые два члена асимптотических рядов E.1.4) для и пи становят-
ся одного порядка, если Ym = О (а). Это служит основанием отдель-
но рассмотреть пристеночную область, в которой новая переменная
Yа = arxYm порядка единицы, а решение ищется в виде
5/
2va
= осия+..., v =a5/2va +..., р = рао+а2ра+... E.1.5)
Система уравнений Навье-Стокса в результате подстановки в нее вы-
ражений E.1.5) с зависящими от Т, X и Ya = Re1/2 arly функциями иа, va,
Ра Дает
дТ а ЭХ
y Эи^ = _^ 1/2 7/2
" dYa ЭХ
EЛ'6)
dYa
ЭХ ЭУа
Символом О в уравнении сохранения продольной компоненты им-
пульса обозначен порядок вязких членов. При а = О(Кс1П) нелинейной
пристеночный подслой Ya = О A) вязкий, такой случай изучался в
[21, 276]. Ниже предполагается а > Rer1/7, тогда нелинейная область
толщины у = О (Re~1/2a) разделяется, в свою очередь, на основную
92
невязкую часть, где Ya = 0A), а вязкие члены в первом уравнении
системы E.1.6) малы, и непосредственно примыкающий к обтекаемой
поверхности вязкий подслой, в котором Ya ~ (Re~1/2or7/2I/2 < 1.
К системе E.1.6) с отброшенными вязкими членами необходимо
добавить граничное условие непротекания на стенке и предельные
условия на верхнем краю нелинейной области, задаваемые переписан-
ными относительно переменной Уа выражениями E.1.4). Нетрудно
убедиться, что функции
обеспечивающие выполнение условий сращивания при Ya —» °°, являют-
ся решением нелинейной системы E.1.6). Остается удовлетворить
условию непротекания. Пусть источником возмущений служит упомя-
нутая выше неровность на обтекаемой поверхности, форма которой
описывается уравнением Ya = g(T, X). Тогда граничное условие имеет
вид
Уа=8: *.-% = &,¦ E.1-8)
дТ дТ
Для функций иа, va, задаваемых формулами E.1.7), условие E.1.8)
приводит к неоднородному уравнению Кортевега-де Вриза
Т^1Г = 1гф«г,*), АвА1+«- * = % С5-1-9)
dt дх дх Эл
в котором с целью исключения постоянных Я,] и <2о выполнено пре-
образование независимых переменных Т = X^Q^l2t, X = X^Q^l2x. Если
функция А найдена из одномерного уравнения E.1.9), то двумерное
поле скоростей и давление полностью определяются как в нелинейном
подслое, так и в основной толще струи.
5.2. Пример течения,
описываемого уравнением Бенджамина-Оно
с неоднородной правой частью
Нелинейное эволюционное уравнение
дА л ЗА
E-2л)
где Ж— оператор Коши-Гильберта, предложено Бенджамином [211]
и позднее Оно [212] для описания внутренних волн в стратифицирован-
ной жидкости. Более общее интегро-дифференциальное уравнение
93
[277] для длинных гравитационных волн в стратифицированной жид-
кости конечной глубины содержит в приближении глубокой воды
уравнение Бенджамина—Оно E.2.1) как предельный случай. В при-
ближении мелкой воды модель [277] переходит в уравнение Корте-
вега-де Вриза.
Другая область применимости уравнения E.2.1) связана с иссле-
дованием процессов распространения возмущений в пограничном слое.
Асимптотический анализ [209] показывает, что при определенных
амплитудах и длинах волн возмущения в пограничном слое подчи-
няются уравнениям Бюргерса и Бенджамина-Оно в условиях сверх-
и дозвукового обтекания соответственно.
Существование "порождающей" модели [277] свидетельствует об
известной близости свойств уравнений Бенджамина-Оно и Кортевега-
де Вриза; в частности, наличие солитонных решений относится к числу
важнейших из них. Возможные подходы к интегрированию однород-
ного уравнения Бенджамина-Оно основаны на применении различных
модификаций метода обратной задачи рассеяния. Обзоры таких ме-
тодов для уравнения Кортевега-де Вриза содержатся в [264, 278], где
указаны также работы, посвященные уравнению E.2.1).
Ниже рассматривается уравнение Бенджамина—Оно с неоднород-
ной правой частью
дА лдА I? Э2А/Э?2 ,е ,, , ,,„„
^ + Л— = - — ^-^-0(Г,дс). E.2.2)
dt ах nj^ %-х
Хотя к уравнению E.2.2) сводится описание различных физических
ситуаций, с целью интерпретации его решений остановимся для опре-
деленности на задаче об эволюции возмущений в дозвуковом погра-
ничном слое. В этом случае неоднородный член 0(f, x) связан с нали-
чием короткой неровности на обтекаемой твердой поверхности.
Поясним основные предположения при выводе уравнения E.2.2),
исходя из хорошо известной в теории свободного взаимодействия
пограничного слоя с внешним дозвуковым потоком [85, 86, 91] мате-
матической задачи
др
ду
ди ди
dt дх
ди
Vdy- = ~
и = 0,
др
V
д2и
Э('
ди
дх'
\х\-
dv
"ду
E.2.3)
. . 1 7 ЭА,/Э^ „
p(t,x) = J —*—2.^.
Я-U q-x
Система уравнений и граничных условий E.2.3), в которой время ?,
декартовы координаты х, у, компоненты вектора скорости и, v, избы-
точное давление р предполагаются обезразмеренными по отношению
к величинам, включающим отрицательные степени числа Рейнольд-
са Re = е"8 —* °° (см. A.1.19)), справедливы в вязкой пристеночной под-
94
области пограничного слоя. Обтекаемая неровность с уравнением
контура у = g(t, х) считается локальной, а не известная заранее функция
Д[(/, х) имеет смысл величины смещения линий тока в основной толще
пограничного слоя относительно их невозмущенного положения при
1x1 —» °о. Заметим, что компонента скорости и на подвижном контуре
у - g(t, x) в рассматриваемых переменных имеет порядок е4 и ею можно
пренебречь.
Введем параметр % и совершим преобразование зависимых и неза-
висимых переменных:
у^ху, и^хи,
р->%2р, \-+хАи g^XS-
Применение E.2.4) к системе соотношений E.2.3) дает
Эй Эй Эй др _л д и Эй ди „ Эр ,_ „ ^
dt Эх ду дх Эу Эх ду ду
Краевые условия в E.2.3) инвариантны относительно E.2.4). Заметим,
что точным решением уравнений E.2.5) служат функции
ЭЛ| ЭЛ, , ЭА, Эр . ._ _ ..
и = у + А1, » = -У-^г ~ ^г ~ Ai—t - ^, р = p(t,x), E.2.6)
Эх dt Эх Эх
которые, однако, не удовлетворяют условиям прилипания и = О,
v = dg/dt на обтекаемой поверхности у = g(t, x). Положим х ~^ °°> тогда
вязкий член %^Э2н/Э>>2 в E.2.5) оказывается существенным лишь в
узких областях толщины Ду = О(х~~2), в то время как при у = 0A) задача
в первом приближении становится невязкой. Поэтому граничные усло-
вия прилипания можно заменить на условие непротекания
y = g(t,x): (,=^ + гД. E.2.7)
dt дх
Выражения E.2.6) с любой затухающей на бесконечности по про-
странственной координате х функцией A\(t, x) удовлетворяют асимпто-
тическим краевым условиям при у —» °° и I x I —> °о. Легко проверить,
что условие E.2.7), налагаемое на E.2.6), сводит задачу нахождения
Аи р, а вместе с ними двумерного поля скоростей и, v к уравнению
E.2.2) относительно функции A =Ai + g, причем неоднородный член
имеет вид
Л] lf^d%. E.2.8)
Компоненты вектора скорости м, v задаются формулами
v°=-n^, n = y-g, v=v°+^- + u^-. E.2.9)
Эх dt дх
95
Выражения E.2.9) относятся к нелинейной области на дне погра-
ничного слоя, толщина которой порядка высоты препятствия, причем
профиль продольной скорости исходного невозмущенного течения
вырождается в указанной области в и = у. Поскольку, как видно из
E.2.9), компонента скорости и для А * 0 не удовлетворяет условию
прилипания на теле п = 0, между нелинейной невязкой областью с
п = 0A) и стенкой расположен значительно более тонкий вязкий под-
слой. Предел при п —» 0 функций E.2.9) является асимптотикой реше-
ния в вязком подслое на его верхней границе.
Редукция системы уравнений и граничных условий E.2.3) к урав-
нению E.2.2) несколько отличается от процедуры его вывода [209].
Приведенные выше рассуждения иллюстрируют тот факт, что урав-
нение Бенджамина-Оно, полученное в [209] из асимптотических раз-
ложений решений полной системы уравнений Навье-Стокса, можно
рассматривать также как следствие специального предельного перехо-
да в задаче E.2.3). Близкий подход к обоснованию уравнения Бенджа-
мина-Оно, основанный на рассмотрении высокочастотных возму-
щений большой амплитуды в рамках уравнений теории свободного
взаимодействия, содержится в [210].
Пусть возмущение продольной компоненты скорости величины
порядка allt, имеет длину волны сг^е"/2?*, где число Рейнольдса Re
определено по характерному размеру тела L* и скорости набегающего
потока Ut,- Теория свободного взаимодействия [85, 86, 91], имеющая
следствием E.2.3), строится в предположении Re —» °°, а —» 0, aRe1/8 =
= 0A). В основе анализа [209] лежат порядковые соотношения
Re —» оо, а —» 0, aRe1/8 —¦> °°, приводящие к уравнению Бенджамина-
Оно. Отсюда следует равенство а = %Re~1/8, позволяющее связать обе
точки зрения на вывод уравнения E.2.2).
5.3. Генерация солитонов
на стационарной неоднородности поверхности
Рассмотрим обтекание расположенной на дне пограничного слоя не-
ровности. Предположим, что неровность образуется в результате де-
формации первоначально плоской поверхности, поэтому решение
уравнения Бенджамина-Оно ищется при условии А@, х) = 0. Пусть по
истечении конечного промежутка времени движение непроницаемой
границы прекращается и в последующем ее конфигурация остается
неизменной. В соответствии с этим неоднородный член E.2.8), порож-
дающий нетривиальные решения уравнения Бенджамина—Оно с нуле-
выми данными Коши, не зависит от переменной t вне некоторого на-
чального временного интервала.
Излагаемые результаты анализа развития возмущений, индуци-
руемых деформацией дна, основываются на численных методах реше-
ния уравнения Бенджамина—Оно. В качестве примера неоднородности
возьмем углубление на поверхности, форма которого задается урав-
96
нением
LH(t)coA™
{2b
0,
E.3.1)
Рис. 5.1 относится к g0 = 3, b = 7,5. Функция ф = 5ЩЭ2#/Эх2}, t > 1,
входящая согласно E.2.2) в изучаемое уравнение как неоднородный
член, представлена на рис. 5.1, д. В областях 2 и 4 она принимает по-
ложительные значения, в областях 1 и 3 - отрицательные, причем об-
ласти 2,3 находятся внутри обозначенного на рис. 5.1 вертикальными
штриховыми линиями интервала координаты х, где g * 0, а области
1,4 — вне него. На рис. 5.1, б, в, г приведены решения уравнения Бенд-
жамина-Оно для времен t - 10, 20, 30 соответственно. В начальные
моменты времени (рис. 5.1, б) решение повторяет форму неоднородной
части ф. Характерная для развитого режима структура решения про-
является при f ^ 20. В сторону отрицательных х распространяется це-
почка возмущений (солитонов), периодически зарождающихся в облас-
ти 2 и проходящих через неблагоприятную для них область 1. Каждый
отдельный элемент этой цепочки представляет собой локализован-
ную по продольной координате волну поднятия функции -А (толщины
вытеснения). На рис. 5.1, в заметны два солитона, на рис. 5.1, г - три.
Бегущий с отрицательной фазовой скоростью солитон при х < —15
уходит из области действия источников и может быть идентифи-
цирован с известным точным решением [211, 212] однородного урав-
нения Бенджамина-Оно
-As= j-^ -т, а>0. E.3.2)
l + ^f l
16
Для солитонной части приведенного на рис. 5.1 решения входящий в
E.3.2) параметр оказывается равным а = 3. Разумеется, в силу взаи-
модействия солитонов друг с другом, их профили и фазовые скорости
описываются формулой E.3.2) лишь приближенно.
В сторону положительных х распространяется осцилляторная вол-
на, имеющая две характерные области: интервал почти постоянного
решения A(t, х) ~ 1,25 и осцилляторный хвост (х > 20). Поскольку
источники в областях 2 и 3 мощнее источников 1 и 4, то реали-
зующееся течение в основном определяется ими. В результате суммар-
ное действие всего распределения ф сводится к простому действию типа
сток—источник. Первый порождает цепочку солитонов, второй — ос-
4. В.И. Жук 97
-0,2 -
45
Рис. 5.1
цилляторную волну. Как видно из
рис. 5.1, скорость распространения
возмущений в осцилляторной вол-
не в 3-4 раза больше, чем скорость
солитонов, поэтому вычислитель-
ные возможности позволяют про-
следить дальнейшую эволюцию
только солитонной части решения,
являющейся к тому же и наиболее
интересной с физической точки
зрения.
На рис. 5.2 изображена часть
распределения -А при х < 0. Отме-
тим, что численным интегрирова-
нием охватывалась область с пра-
вой границей х = 30. Это предель-
ное значение находилось путем
численных экспериментов, в ходе
которых определялась степень
влияния границ расчетной области
на точность вычисления интеграль-
ного члена уравнения. Оказалось,
что нелокальность интегрального
оператора с сингулярным ядром в
значительной степени подавляется операцией дифференцирования по
пространственной координате. В описываемом расчетном варианте на
расстояниях Д х ^ 10 от границ влиянием последних можно пренебречь.
Кривые на рис. 5.2, а,б,в соответствуют t = 60, 90, 120 и изобра-
жают цепочку почти одинаковых солитонов, удлиняющуюся пропор-
ционально времени. Количество солитонов, появившихся к определен-
ному моменту времени, можно оценить, исходя из простых соображе-
ний, основанных на законе сохранения:
Э/ - - ° °
—— = Ф, /_ = J Adx, Ф = -Г §dx.
"t -„о _^
Ограничиться здесь интегрированием по отрицательной полуоси х
позволяет свойство решения A(t, 0) = 0, Ж\ЪА{г, x)/dx]\xQ = 0. Инте-
грал от функции источника по областям 1 и 2 на рис. 5.1, а дает
величину порядка Ф = 0,8. При любых значениях параметра а соли-
тонное решение E.3.2) обладает "массой"
поэтому число N сформировавшихся ко времени t солитонов равно
целой части величины Dл)-]Фл Для времен t= 60,90,120 эта формула
98
-60 -30
°90
-60 -30
Ц1ЛЛЛМ/Ч.
-90 -«0 -30 0
Рис. 5.2
дает N = 3, 5, 7. Сравнение с соответствующими кривыми на рис. 5.2
убеждает в хорошем согласии с приведенной оценкой.
Из аналогичных соображений можно получить связь между амп-
литудой солитонов а и пространственным периодом их чередования Y.
Зная отношение длины пути распространяющегося с фазовой ско-
ростью - а/4 первого солитона за время t к числу N, найдем Y = лаФ.
Для рассматриваемого примера с а = 3 имеем Y = 12, что с хорошей
точностью воспроизводится в расчетах.
Более точные сравнения с известными аналитическими резуль-
татами с целью оценки качества численной схемы позволяют сделать
вывод, что ошибка получаемых решений не превышает 3-5%. Отме-
тим, что везде в расчетах длина шагов по пространству hx = 0,25 и по
времени Й, =0,002.
Покажем, как изменяется решение уравнения Бенджамина-Оно с
заменой знака gQ в E.3.1) на противоположный, т.е. в случае не-
однородности на поверхности типа локального возвышения. На
рис. 5.3, а,б,в для g0 = -3, b = 7,5 даны распределения -A (t, х) в моменты
времени t = 20, 40, 60 соответственно. Качественная особенность
данного решения по сравнению с рассмотренными выше обусловлена
тем, что области 7 и 4 (см. рис. 5.1, а) становятся самостоятельными
источниками солитонов (х < — Ь) и осцилляторной волны (х > Ь).
Поскольку их мощность меньше, чем в областях 2 и 3 на рис. 5.1, а,
солитоны рождаются значительно реже и обладают меньшей ампли-
тудой (а = 1,3). Аналогичное замечание справедливо и для осцилля-
торной волны.
Наиболее интересным является интервал внутри штриховых линий
(| х | < Ь). Находящиеся в нем области 2 и 3 конкурируют между собой,
поскольку каждая из них создает возмущения, распространяющиеся
навстречу друг другу. В данной ситуации реализуется случай почти
стационарной волны, состоящей из двух солитонов (большой и малый
пики) и широкого углубления на графике функции -А.
4* 99
Приведенный обзор результатов для не зависящего от времени
неоднородного члена показывает, что решение уравнения Бенджами-
на-Оно не стремится ни к какому стационарному пределу.
5.4. Задача о вибраторе. Линейное приближение
Пусть форма неровности на поверхности изменяется со временем по
закону
r<0: g = 0, t>0: g = hG(x)sin(ooor), OH>0. E.4.1)
При h —»0 отбросим в уравнении E.2.2) нелинейный член и восполь-
зуемся преобразованием Фурье-Лапласа
(Л>\/) = ] (A,p,g)e-iladx,
(А ,р ,g )= j (A ,p ,g )e imdt.
о
Связь давления р и величины смещения линий тока А\ - А - g в погра-
ничном слое р = -Ж{дА1/дх} сводится к равенству р** =\к\ А{*.
Из линеаризованного уравнения Бенджамина—Оно
ЭД, dg
+
находим наряду с А** трансформанту давления
(Qkg** .. = h(u0G*(k)
ik2 +шsign к' co2+cOq
Здесь G*(k) -фурье-образ функции G(x) из E.4.1). Обратное преобра-
зование Лапласа
• =_1_'Т «л />0
посредством переноса пути интегрирования в левую полуплоскость
сводится к сумме вычетов в трех полюсах функции р** на мнимой оси
комплексной плоскости ш. Полагая / —> - °°, имеем
* _ih .А* Г ехр(гШ0Г) 2 exp(-/?2/sign?) ехр(-г'Ш0/) 1
2 ° \_к2 + (aosignk к4-ml к2 — сооsignA:J'
Прообраз давления удобно представить в виде
р = — J p*elkxdk = Im П1 + Im П2,
100
71 о k2-(O0
k2 exp (ik2t-ikx) 1
k2+G)n
— exp (ia)ot - ikx) \ dk,
„ /KOo7 kG{-k) , . .. ...
П, = —- j —^—-—- exp {-i&ct - ikx) dk.
2 2k 'o k2+a F °
E.4.2)
Заметим, что подынтегральная функция в П; не имеет особенностей на
действительной положительной полуоси комплексной плоскости к,
поскольку сумма членов в квадратных скобках обращается в нуль при
к = 0)q/2. Что касается осциллирующего по времени слагаемого ЬпПг,
то, как легко видеть, оно убывает при | х \ —> °° по закону О(х~2). Для
асимптотической оценки П[ в случае отрицательных х путь интегри-
рования можно совместить с лучом к = sem ,0<s<°°, так как в секто-
ре 0 < arg к < тс/2 оба слагаемых в подынтегральном выражении экспо-
ненциально убывают при к —> <>°, если х < —xq, где постоянная дг0 > О
связана с инкрементом роста функции G*(k). Функция G(x) предпо-
лагается финитной, следовательно, х0 существует. Переходя к пере-
менной s и разбивая П[ на два интеграла, получаем
Am °° г2 G*(—il/2r
п, = г,
Г гг
2
2s)
exf>(-is-iillsx)ds,
E.4.3)
271
sG\-iV2s)
is2 - Юг,
exp [io)or + 2 '/ 2 A - i) sx\ ds.
Оценка интеграла Г] методом Лапласа дает закон О(Г2) его затухания
со временем. Интеграл Г2 убывает при х —> — °° как О(х~2). Таким обра-
зом, возмущения, вносимые в пограничный слой, затухают вверх по
потоку от колеблющегося участка поверхности.
Для вычисления E.4.2) в слу-
чае положительных х продеформи-
руем путь интегрирования в П], обой-
дя точку к = к0 = а>о , например, в
верхней полуплоскости (контур у
на рис. 5.4, а). После этого снова
разобьем Щ на два интеграла, рас-
сматривая порознь вклад от каждого
слагаемого в квадратных скобках.
В интеграле от функции, содержащей
первое из упомянутых слагаемых,
выберем, как и прежде, в качестве рис 5 4
101
пути интегрирования луч к = sem/4, 0 < s < °°. Путь интегрирования
от функции, содержащей второе слагаемое в Щ, совместим с лучом
к = ге~т14, 0 < г < °о; что допустимо в силу экспоненциального
убывания подынтегрального выражения в секторе — п < arg к < 0 для
х>Х\, где постоянная X] > 0 зависит от инкремента роста G*{k).
Поскольку при такой деформации контура у необходимо пересечь
полюс к = к0 =ОH/2 (рис. 5.4, а), П] распадается на сумму двух инте-
гральных членов и вычета в точке к^.
I A j.
П1 - Г, + Г2 + res ftC0° f (~^ ехр Цщ1 - ikx)
I 2л(А:0 -к )
E.4.4)
где Fj определен по E.4.3) и стремится к нулю как О(г2) при f —> °°, а Г2
имеет вид
Г2{ 2 ex
2л 0 /г -ш0
Затухание интегрального слагаемого Г2 при д: —> °° оценивается как
О(д:). Следовательно, ниже по потоку от вибратора выделяется ком-
понента решения, порождаемая вычетом. Данная компонента пред-
ставляет собой распространяющуюся с фазовой скоростью ш0 вол-
ну, которая является высокочастотным пределом волны Толлми-
на-Шлихтинга [56]. В соответствии с E.4.2), E.4.4) искомое давле-
ние, а также функция смещения линий тока за вибратором имеют
вид
1n (/2) А = щи2р. E.4.5)
Нейтральность волны E.4.5) для всех частот соо обусловлена малостью
вязких эффектов в условиях применимости уравнения Бенджамина-
Оно.
Гармонический режим E.4.5) устанавливается по истечении на-
чальной стадии, которая отвечает прохождению волнового пакета, свя-
занного с запуском вибратора. Характер колебаний в пакете следует
из анализа асимптотики х —> °°, xlt = const. Применяя метод перевала
для вычисления Fj, берем в качестве пути интегрирования ломаную
(рис. 5.4, б), состоящую из отрезка
= se'iK/\ 0<s<s0, so=x/B3/2t)
и луча
Точка излома соответствует s = Sq, q - -s0. Используя s и q как
102
переменные интегрирования, имеем
Г, =Г
F(k) = -
Оценка первого слагаемого в E.4.6) методом Лапласа дает закон
0(t~2) его затухания при t —> °°. Интеграл по лучу (второе слагаемое),
являющемуся перевальным контуром, определяется окрестностью точ-
ки перевала к= к„ = x/Bt), q = 0. В пределе t —> о° получим
E.4.9)
Выражение для давления согласно E.4.2), E.4.7) принимает вид
Р~ %nu2t712 (x4/(\6t4)-a>l) Kit) Sm[~4t~l
Возьмем в качестве примера
_cos^_?j, \x<bt
О, \x>b,
тогда соответствующий фурье-образ
6*(к)= П ™фк] .
к(Ь2к2-п2)
При х > t из E.4.8), E.4.9) вытекает
l6ha>onU2t7'2 . (bx\ . (х1 п
Р = ^г~л sin — sin
ь2х4 Kit) K4t 4
Таким образом, в головной части волнового пакета непрерывный
переход к невозмущенной области х —> °° сопровождается осцилляци-
ями со все более короткими длинами волн, убывающими по закону
О(л~'). Формула E.4.8) выведена для к*>к0 =(Л1012 (рис. 5.4, б). Для
к* < к0 в правую часть равенства E.4.8) необходимо добавить гармони-
ческую компоненту давления E.4.5), поскольку с уменьшением x/Bt)
контур интегрирования в Г! пересекает полюс к$ функции F(k).
103
5.5. Нелинейная реакция
на гармонические колебания поверхности
Ниже рассматривается нелинейная задача о вибраторе, движение ко-
торого подчиняется уравнениям E.4.1), E.4.9) с h = 1, b = 7,5. Обратим-
ся к случаю низкочастотных колебаний с периодом Т = 2 к Guq1 = 30.
При малых щ интерпретация решения в фазах положительных и
отрицательных значений g(t, х) может опираться на данные соответст-
венно рис. 5.3 и рис. 5.1, 5.2.
Функция -A(t, х) представлена на рис. 5.5, я для t = 35, т.е. по
окончании одного цикла колебаний. Решение состоит из одного соли-
тона, распространяющегося в область отрицательных х, и осциллятор-
ной волны, пики которой здесь и далее пронумерованы цифрами 1,
2,... Указанная структура сформировалась во время начальной отри-
цательной фазы колебаний. В положительной фазе образуется стоячая
волна, аналогичная представленной на рис. 5.3. Наступающая очеред-
ная отрицательная фаза дает возможность распада стоячей волны на
два солитона, отмеченных на фиг. 5.5, а символами 1с и 2с. Последние,
в отличие от обсуждавшихся выше солитонов, (см. уравнение E.3.2)),
бегут по положительному фону, поэтому величина их фазовой ско-
рости зависит не только от амплитуды, но и от фонового значения.
Отметим в этой связи, что преобразование Галилея, примененное к
E.2.1), порождает модифицированное солитонное решение однород-
ного уравнения Бенджамина-Оно
16
В обсуждаемом примере соотношение между параметрами а и 2
таково, что результирующее движение осуществляется в направлении
положительных х, причем скорость солитона 1с меньше скорости со-
литона 2с.
В последующие моменты времени солитонная природа этих обра-
зований проявляется более отчетливо. На рис. 5.5, б для t = 50 обра-
щает на себя внимание комплекс, состоящий из пиков 1 я 2с и иллюст-
рирующий процесс взаимодействий солитона и первого максимума
осцилляторной волны, который также проявляет себя как солитон.
Поведение пары солитонов аналогично взаимодействию солитонов
уравнения Кортевега—де Вриза.
На рис. 5.6 приведена картина дальнейшего развития решения в
области положительных х. Рис. 5.6, а дает мгновенное распределение
-A(t, x) для t = 65 ровно через один период колебаний вибратора от
момента времени, изображенного на рис. 5.5, а. Распад очередной
стоячей волны привел к появлению еще одной пары солитонов: Зс и 4с,
причем солитон 4с начал взаимодействовать с солитоном 1с. Солитон
104
75 90
Рис. 5.5
Рис. 5.6
2с к этому времени находится во взаимодействии с пиком 2 осцилля-
торной волны.
По истечении еще одного периода колебаний решение -A(t, х) при-
обретает вид, изображенный на рис. 5.6, б для t - 95. В возмущенной
области появились новые солитоны 5с и 6с, причем, как показывает
сравнение с рис. 5.5, а, этот процесс повторяется периодически. Соли-
тон 2с прошел значительное расстояние в осциллирующей части ре-
шения и взаимодействует с пиком 4. Видно, что с увеличением времени
в области положительных х имеется тенденция к образованию струк-
туры, состоящей из солитонов, которые возникли вследствие распада
стоячей волны и распространяются по положительному фону, и соли-
тонов осцилляторной волны. Между солитонами обеих групп происхо-
дит постоянное взаимодействие.
5.6. Примеры решений уравнений Бенджамина-Оно
и Кортевега-де Вриза, иллюстрирующие
характерные формы передачи возмущений
вверх и вниз по потоку
Преобразование
t ->
X -»
1-1
1*,
А ->
ф ->
E.6.1)
переводит уравнение Бенджамина—Оно в себя при любом (J. Однопара-
метрическое семейство решений E.3.2) переводится с помощью E.6.1)
в решение с единичной амплитудой а = 1 из этого же семейства, если
положить Р = сг1. Отсюда следует, что солитоны являются существенно
нелинейными объектами для любых, в том числе и бесконечно малых
амплитуд, поскольку все члены уравнения Бенджамина—Оно на ре-
шениях E.3.2) имеют одинаковый порядок независимо от величины а.
Аналогичное замечание о роли нелинейности справедливо и по отно-
5. в.И. Жук 105
шению к процессу зарождения солитонов, когда неоднородный член
ф (/, х) отличен от нуля.
В нелинейной невязкой области, где справедливы выражения
E.2.9), уравнение для линий тока п = -А ± (A2 +2Mf)X12 допускает
существование зон возвратного течения с отрицательными значениями
функции тока \|л Действительно, на участках, где А < 0, поле течения
п 3= 0 включает две линии тока с одинаковыми значениями функции
\|/ =? 0. В частности, верхняя ветвь нулевой линии тока отстоит от
поверхности тела на расстоянии п = -2А. Точки ветвления нулевой ли-
нии тока совпадают с точками обращения в нуль функции А. В по-
следних невязкий поток отрывается от тела, если дА/дх < 0, либо при-
соединяется к нему, если дА/дх > 0.
Известные аналитические решения уравнений B.2.8), E.1.9), E.2.2),
с однородными правыми частями могут быть интерпретированы как
нелинейные собственные функции в задаче о распространении невяз-
ких возмущений в пограничном слое на плоской поверхности g - 0.
Солитон уравнений Бенджамина-Оно E.3.2) в системе координат,
движущейся вместе с ним вверх по потоку с фазовой скоростью -а/4,
задает отрыв и присоединение нулевой линии тока в точках соответст-
венно xt=+4-3i/2a~1, где х, = х + at 14. Между указанными точками
заключена область рециркуляционного движения.
Солитон уравнения Кортевега-де Вриза
А = -a ch
-2
1/2
12J Г ¦ з
а
-t
а>0 E.6.2)
соответствует, как и E.3.2), бегущей против основного течения локаль-
ной рециркуляционной зоне. В отличие от алгебраического солитона
E.3.2), "масса" которого
/=-| Adx E.6.3)
не зависит от амплитуды, а именно I =4п для любых а, аналогичный
инвариант E.6.3) солитонного решения с экспоненциальным затуха-
нием E.6.2) связан с амплитудой соотношением /=4C<з)
Обратимся к численным решениям эволюционных уравнений
E.1.9) и E.2.2) с граничными условиями А (?,*) -» 0 для \х\—»°° в пред-
положении первоначального невозмущенного течения А@, х) = 0. Ста-
ционарное локальное возмущение поверхности приводит к возбуж-
дению идущего вверх по потоку цуга солитонов, зарождающихся в тех
интервалах х, где неоднородный член ф > 0. Интервалы х, соответ-
ствующие ф < 0, являются источниками распространяющейся вниз по
потоку осцилляторной волны. Это в равной мере относится как к урав-
нению Бенджамина—Оно, так и к уравнению Кортевега—де Вриза. Де-
тальная структура решения А сильно чувствительна к виду уравнения
106
контура обтекаемой неровности у = g(t, х), определяющего сочетание
интервалов знакопостоянства ф. Как правило, между цепочкой солито-
нов и осцилляторнои волной возникает область слабо зависящего от
времени распределения А (стоячая волна).
Все три упомянутые формы волновых движений видны на рис. 5.7
иллюстрирующем результат численного интегрирования уравнения
Бенджамина—Оно в окрестности неровности E.3.1) с g0 = 3, Ъ = 7,5.
Рис. 5.7, а,б,в,г, на которых двумерные поля течения в нелинейной
невязкой области построены с помощью E.2.9), соответствуют момен-
там времени t = 8, 20, 35, 50. В левой части области углубления поверх-
ности происходит периодическое зарождение солитонов, уходящих
вверх по течению. На рис. 5.7, а,б заметен хвост осцилляторнои волны,
бегущей вниз по течению.
Мгновенная картина движения, индуцируемая двумя препятствиями
вида E.3.1) с go = -3, b - 7,5, центры которых находятся в точках
хс = Х\ = 0 и хс = Х2 = 15, изображены на рис. 5.8, а для t - 60. Здесь и
ниже экстремумы функции g отмечены стрелками. На левой границе
неровности с центром в точке Х\ по-прежнему имеет место зарождение
бегущих вверх по потоку солитонов. Вниз по потоку от второй неров-
ности, локализованной в точке хх, распространяется осцилляторная
волна. Что касается области между первым препятствием с хс = Х\ и
осцилляторнои волной, то после переходного процесса решение в ней
приближается к стационарному.
Увеличение расстояния между двумя препятствиями приводит,
однако, к появлению дополнительных солитонов в интервале Х\ < х <
< Х2- Такой случай слабого взаимодействия двух неровностей, осуще-
ствляемого через солитоны, показан на рис. 5.8, б для t = 75 и х\ =0,
х2 = 45. Здесь порождаемые вторым препятствием с хс = xi солитоны
идут по положительному фону функции А.
Представляет интерес обтекание конечного числа равноотстоящих
друг от друга неровностей. Периодический по времени процесс гене-
рации солитонов наблюдается при этом на крайнем левом элементе
последовательности неровностей. Пример такого рода приведен на
рис. 5.8, в, где уравнение контура тела задается суммой шести функций
вида E.3.1) с центрами в точках 0, d, Id, ...,5d,d= 15, а Г = 60. Решение в
области над цепочкой неровностей ниже по потоку от ее первого
элемента является слабо нестационарным и близким к периодическому
по переменной х.
Неоднородный член ф = Э g/dx уравнения Кортевега-де Вриза
для функции g в виде локального единичного возвышения приводит к
генерации бегущих в сторону отрицательных х солитонов [216]. В про-
тивоположную сторону распространяется осцилляторная волна, а вбли-
зи максимума g возникает зона почти стационарного решения. По
аналогии с рассмотренным выше уравнением E.2.2) данные типы
волновых движений проявляются как характерные компоненты в
большинстве более сложных решений уравнения E.1.9).
5* 107
Пусть, например, график функции g состоит из двух поднятий
g = r(x) + r(x-x0), r(x) = hexp(-x2/b2). E.6.4)
Распределение —A(t, х) ко времени t = 202 для Xq = 15, Ь = 5, h = 16
изображено на рис. 5.9. Помимо солитонов и осцилляторной волны в
области действия возмущающей функции g образуется стоячая волна,
108
Рис. 5.9
имеющая два пика (отмечены цифрами 1 и 2). При увеличении xq реше-
ние усложняется: между двумя максимумами g возникает структура из
одного или нескольких солитонов, испытывающих изменения амплитуд
и перемещающихся внутри этой области.
Если форму контура g модифицировать путем многократного пов-
торения некоторого элементарного профиля, сдвигая его с некоторым
периодом по координате х, решение уравнения Кортевега-де Вриза
испытывает изменения только внутри такой цепочки неровностей, где
устанавливается картина, близкая к периодической. При малых перио-
дах повторения образуется последовательность стоячих волн; с увели-
чением периода кроме них возникают солитоны, совершающие пере-
мещения внутри пространства между двумя соседними стоячими вол-
нами.
Рассмотрим решения уравнения Кортевега-де Вриза с зависящей
от времени функцией ф, а именно
r<0: g = 0; t>0: g = r(x)sin (юг), E.6.5)
где г(х) берется из E.6.4). На рис. 5.10, а дано распределение —A{t, x) в
случае Ь = 5, h = 16, Т = 2тгаг1 = 50 для времени t = 140. Решение вверх
по потоку состоит из солитонов, рожденных в моменты положитель-
ной и отрицательной фаз колебаний. Они различаются временем и
местом образования, поэтому амплитуды их неодинаковы, что приво-
дит к сложной картине межсолитонного взаимодействия. Все солито-
ны, движущиеся вниз по потоку (наряду с некоторыми из бегущих
вверх по потоку), образуются из-за распада волн, аналогичных стоячим
волнам для не зависящего от времени ф. Существование таких солито-
109
-1 -
-A
1
Рис. 5.10
нов с положительными фазовыми скоростями объясняется тем, что
они бегут по положительному фону осцилляторной волны. В связи с
этим отметим, что наряду с E.6.2) функция
, = 2-ach-2 \{±
=r->i\t
E.6.6)
также является решением однородного уравнения Кортевега—де Ври-
за. В отличие от E.6.2) солитон E.6.6) при 2 > 0 может двигаться
вниз по потоку. Расшифровка изображенной на рис. 5.10,д структу-
ры может быть проведена, исходя из законов взаимодействия одиноч-
ных солитонов уравнения Кортевега-де Вриза и специфики их зарож-
дения.
С увеличением частоты to время действия источников и стоков,
роль которых играет неоднородный член, уменьшается. Это приводит
к тому, что некоторые солитоны за один период колебаний появиться
не могут, и структура течения упрощается. Указанная тенденция под-
тверждается рис. 5.10, б, соответствующим периоду Т = 2тгсо~1 = 6,25,
причем решение дано для времени t = 270 (превышающего время
ПО
развития процесса на рис. 5.10, а). Как амплитуда солитонов, так и темп
их зарождения уменьшились. Время образования одного солитона оце-
нивается как At = 125. Процесс возбуждения солитонов определяется
уже интегральным действием нескольких периодов колебаний.
Приведенные результаты соответствуют вполне определенным
значениям амплитуд, и поэтому найденные решения не исчерпывают
всех возможных режимов. Однако они содержат много качественных
особенностей, представляющих самостоятельный интерес, а также
важных для интерпретации более сложных нелинейных структур.
ГЛАВА 6
АСИМПТОТИКА ВЕРХНЕЙ ВЕТВИ
НЕЙТРАЛЬНОЙ КРИВОЙ ПРИ ДО-
И ТРАНСЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ
ВНЕШНЕГО ПОТОКА
Асимптотические разложения специального вида, позволяющие пост-
роить собственные функции и вычислить собственные значения в
задаче устойчивости пограничного слоя при больших числах Рей-
нольдса, дают возможность в качестве следствия не только определить
поведение нейтральных кривых, но и уточнить характер изменения
инкремента нарастания возмущений в наиболее интересных областях,
заключенных между упомянутыми кривыми. Более того, применением
асимптотических подходов, где малыми параметрами служат отрица-
тельные степени числа Рейнольдса, удается найти аналитическое вы-
ражение для дисперсионного соотношения, полезное для качествен-
ного, а в ряде случаев и количественного (как показывает сравнение с
экспериментом) анализа линейных возмущений в пограничном слое.
Следует отметить, что предположение о больших числах Рейнольд-
са является здесь не просто необходимым условием существования
исходного пограничного слоя, устойчивость которого исследуется,
а означает возникновение многоярусной структуры возмущенного
течения внутри него. Оценки таких величин, как толщина пристеноч-
ного и критического подслоев, а также расстояние между ними, вводят-
ся как асимптотические в терминах малых параметров, связанных не
только с пространственно-временными характеристиками изучаемых
пульсаций, но и с числом Рейнольдса.
6.1. Исходные предположения
Рассмотрим внутренние волны в пограничном слое на плоской пла-
стине, обтекаемой равномерным потоком сжимаемого газа со ско-
ростью LC,, температурой 7^, плотностью pi, числом Маха Мм и
коэффициентом вязкости ц1,. Обозначим через L* длину участка пла-
стины выше по потоку от изучаемой области. Определенное с по-
мощью L* число Рейнольдса Re = pt,Ut,L* I u.1 полагаем значительно
превышающим единицу. Существенную роль в настоящем анализе
играет поведение невозмущенных профилей продольной компоненты
скорости U0(x, Ym) и плотности R0(x, Ym), где Ym = Re1/2 L*~xy*, в при-
112
стеночной части пограничного слоя. Для Ym —> 0 в общем случае имеем
Uo -> К?а +^гУт + J^m +^tKY* +..., F.1.1а)
2 О 24
*о ~> 'о +rlYm +\r2Yl+jr3Yl+... F.1.16)
2 о
Здесь и ниже звездочками вверху обозначены размерные величины,
t* = ifU^t - время, х* = 1?х, у*=Су - координаты декарто-
вой системы с началом на передней кромке, и* = U^(Uq+u), v * =
= LC(Re~1/2 Vq +v) - компоненты вектора скорости, р* = pL(/^j +p) —
плотность газа, р* = A^+pl^C (Re"' P0+p) - давление, Т* =
= 7^(То + f) - температура, ц* = ц!(|Л.о + Д) - динамический коэффи-
циент вязкости, у - отношение удельных теплоемкостей, Рг - число
Прандтля, индексом °° помечены параметры набегающего из беско-
нечности потока.
Зависящие от переменных х, Ym функции Uq, Vq, Pq, Rq, Го опи-
сывают невозмущенное ламинарное течение в пограничном слое, где
Ym = 0A). Считая возмущения указанных функций й,и,р, р,Т малы-
ми, будем искать их из линеаризованных уравнений Навье-Стокса. Что
касается основного потока, то при Re —> °° с точностью до величин
порядка Re~1/2 функции Uo, Vq, Rq, Tq можно полагать удовлетво-
ряющими системе уравнений пограничного слоя, причем на его внеш-
нем крае
?/0->1, Я0^1(Ут^~). F.1.2)
Выделим зависимость возмущений от времени и пространственной
координаты, положив
[м, и, р, р] = [м, v,p, p]expO'cof + ikx). F.1.3)
Порядок величины волнового числа удобно задавать через параметр а,
вводимый по формуле
к = (о/Е4)К, F.1.4)
где е = Re~1/8, К > 0. Для К = 0A) из F.1.4) следует, что с устанавливает
оценку отношения толщины пограничного слоя (порядка е4) к длине
волны возмущений 2nkrx. Область неустойчивости пограничного слоя,
включая окрестность нейтральной кривой вместе с асимптотиками ее
ветвей, соответствует е =? а =? 1. Поэтому К = 0A) означает, что
аргументами экспоненциальной функции в F.1.3) являются быстрые
переменные в силу к > 1, I ш I > 1. Зависимость Uo, Ro от медленной
переменной х за счет нарастания толщины пограничного слоя вносит
аналогичную зависимость в возмущающие функции F.1.3). На мас-
штабах к(х - 1) = 0A) медленная переменная изменяет амплитуды
113
и, v, р, р , а также к на величины порядка ?4ст ' и в дальнейшем учи-
тываться не будет.
Определим комплексную величину с = -со/Н. Однородная краевая
задача для амплитудных функций п, Т>, р, р приводит к дисперсион-
ному соотношению, одна из форм записи которого имеет вид
,?), F.1.5а)
z). F.1.56)
Инкремент нарастания собственных колебаний F.1.3)
-со,- ={cleA)Kci. F.1.6)
Обычно дополнительное требование принадлежности волнового числа
той или иной области, определяемой либо предположением о струк-
туре возмущенного течения, либо особенностями профилей Uo, RQ,
ведет к зависимости а = а(е).
При а = е = Re~1/8, M» < 1 возмущенное поле скоростей обладает
трехслойной структурой и описывает асимптотику нижней ветви нейт-
ральной кривой [51, 52, 174]. В окрестности последней длина волны
порядка е3 = Re"-3/8. Теория верхней ветви кривой устойчивости для
несжимаемой жидкости базируется на пятислойной структуре возму-
щений [174-177] с о = е2/5 = Re~1/2° и длиной волны порядка е18/5 = Re-"9/2°
(см. гл. 3). Соотношение а = е4/3 = Re~1/6 позволяет провести асимпто-
тический анализ пульсаций из окрестности нижней ветви нейтральной
кривой в трансзвуковом диапазоне скоростей внешнего потока [272]
с оценкой длины волны е8/3 = Re~1/3.
Легко видеть, что характерный продольный масштаб возмущений
в случае малых а превышает по порядку величины толщину погра-
ничного слоя. Искомые асимптотики нейтральных кривых в пределе
Re -» °° для Mo. «s 1, как и в цитированных выше работах, отвечают
случаю О -> 0, причем связь а с числом Рейнольдса подлежит опреде-
лению. Возможность пренебречь непараллельностью основного тече-
ния следует из условия crRe1^2 —> °°, которое одновременно с а —? О
всюду ниже будет выполнено.
6.2. О поведении функций течения в пристеночной части
невозмущенного пограничного слоя на пластине
в сжимаемом потоке
Коэффициенты Xj, rj, j = 0, 1,... в F.1.1) изменяются вместе с коор-
динатой х. Прежде чем перейти к построению решений уравнений
устойчивости, оценим значения коэффициентов Xj, rj в зависимости от
числа Маха и температурных краевых условий на стенке. В случае
несжимаемой жидкости
Х2 = Х3 = г, = г2 = гъ = О, А,, = &/Bл;)Ш, Х4 = -Х\ /Bл:),
d = 0,4696. F.2.1)
114
На положение верхней ветви нейтральной кривой в отсутствие сжи-
маемости определяющее влияние оказывает свойство Я,4 < 0, отражаю-
щее тот факт, что профиль Uo не имеет точек перегиба. Выражения
F.2.1) будут следовать из дальнейшего как частный случай.
Вычислим коэффициенты рядов Тейлора в точке Ym = 0 функ-
ций Uo, Ro на примере модели Чепмена, а именно, полагая |J.*/(xl =
_ ?,^,» и^ в качестве зависимости коэффициента вязкости от темпе-
ратуры. Совершим указанное в [279] преобразование (известное в ли-
тературе как преобразование Дородницына-Хоуарта [280])
Ym = f Rodt- F-2.2)
о
Пусть С\ - константа; тогда в качестве автомодельной переменной
для пограничного слоя на пластине возьмем
Т) = ?т/BС]ХI'2. F.2.3)
Отыскание решений системы уравнений пограничного слоя сжимае-
мого газа сводится к задаче для функций /0 = fo(r\), То = Т0(г\):
/о/о" + (~-fo] =0, ?/0 = /о. ЗД> = 1, F.2.4а)
V ci J
O"J =0, F.2.46)
Л = 0: /о=/о=0, TO = TW; n-^00: /о'->1. Го->1. F.2.4в)
Здесь Tw — температура газа на обтекаемой поверхности. Аппрокси-
мация Чепмена состоит в подстановке выражения \1q = СТ0 в F.2.4),
причем естественно положить С = С\, Ясно, что любое линейное соот-
ношение между коэффициентом вязкости и температурой после пере-
хода к определенным выше безразмерным переменным ведет к Цо = ^о-
Поэтому введение константы Чепмена С Ф 1 делает связь ц0 = Го заве-
домо невыполнимой на внешнем крае Ym—*°° пограничного слоя, где
До -» 1, То -» 1. Следовательно, решение, получаемое в результате про-
цедуры Чепмена [280], может рассматриваться лишь как модельное
(за исключением случая С = 1). Если \iw = \io(Tw), то обычно прини-
мается С= T~][iw.
Закон Чепмена совместно с предположением Рг = 1 дает соотно-
шение Крокко
То = 1 + ^ Mi (/о' - /о'2) + (Tw -1)A - /0'), F.2.5)
а уравнение для /0 становится идентичным уравнению Блазиуса. Его
115
решение вблизи поверхности [280]
F'2-6)
где число а приведено в F.2.1). Подстановка выражения F.2.6) в F.2.5)
с учетом F.2.3) позволяет при малых значениях координаты Ym пере-
писать связь F.2.2) в форме
V 1Ж.
5
1/2
2
63/2 3/2
где
3 ^°°\4Т:Сх*т'
F.2.7)
F.2.8)
представляет собой температуру торможения. Граничное условие
Tw = Тг в F.2.4в) эквивалентно условию отсутствия потока тепла
dTo(O)/dYm на обтекаемой поверхности.
Переходя в F.2.5), F.2.6) к переменным х, Ym с помощью F.2.7),
находим коэффициенты разложений F.1.1):
Г
а2
Т
2Т
-М
F.2.9)
Г2 -
Г3 ~
X]
a2Tw
Хотя рассматриваемая ниже теория ни в коей мере не ограничивается
предположением о справедливости закона Чепмена, приведенные вы-
ражения иллюстрируют свойства коэффициентов \j, rj как функций
MinTw.
На расстояниях порядка длины волны осцилляции, а именно,
к(х - 1) = 0A) при условии К = 0A) (где К определено посредством
F.1.4)), поправочные члены с оценкой ^сг1, связанные с непараллель-
ностью линий тока невозмущенного пограничного слоя, имеют более
высокий порядок малости, чем все рассматриваемые ниже асимптоти-
ческие приближения. Следовательно, в Uo, Rq, а также в Xj, гуиз F.1.1)
(в том числе и задаваемых формулами F.2.9)) можно принять х = 1.
116
6.3. Решение уравнений для возмущений
в основной толще пограничного слоя
Функции п, v, p, p в F.1.3), зависящие от вертикальной координаты,
находятся из линеаризованных уравнений Навье-Стокса. Заменяя
комплексную частоту ш параметром с = -озк'1 = — coa^'Re"^ и от-
бросив в уравнениях Навье—Стокса заведомо несущественные в силу
сделанных предположений члены, приходим к уравнениям [281], кото-
рые естественно записать в переменной Уш:
^ U2\x0^-^:, F.3.1a)
c)u + R0
iaKRo(Uo-c)v =—^-, F.3.16)
ioK(U0 - c)p + iaKRou + /^ -^— + ^- v = 0, F.3.1b)
о ^ ^ dYm dYm
ioKMi ^(Щ - c)p - iaK(U0 -c)p^
dYm
i/2jio^p; F31r)
Yl
Здесь )io = fxGo), невозмущенный профиль температуры Tq= Щ (Ym),
Рг — число Прандтля. Как видно из F.3.1), в области Yт = 0A) вязкие
эффекты играют роль пренебрежимо малой поправки, которая может
быть вычислена после решения не вязких уравнений. Однако связанные
с тангенциальными напряжениями и вертикальным потоком тепла
члены в F.3.1) не могут быть отброшены в критическом и присте-
ночном подслоях, где порядок названных членов, формирующих реше-
ние уже в первом приближении, превосходит Re~1/2.
Разложим решение невязкой задачи (уравнений F.3.1) без учета
членов порядка Re~1/2) в ряды по параметру СТ, считая фазовую ско-
рость с фиксированной:
2 + ..., F.3.2a)
+ ... F.3.26)
Предположение о независимости а и с в представлении F.3.2) удобно
для формального построения решения в области Ym = 0A), хотя в ре-
зультате наложения условий сращивания при Уш —» °° и Уш —> 0 они в
дальнейшем окажутся связанными. Разложения F.3.2) означают, что
характерная длина волны возмущений превышает по порядку величи-
ны толщину пограничного слоя.
117
В первом приближении
Q ^^O, ^- = 0, F.3.3а)
dY
Ym dYm
iK(U0 -с)щ + f^2. „, = 0, iK(U0 -c)Pl + ^ у, = 0. F.3.36)
aim aim
Решение системы уравнений F.3.3) определяется с точностью до муль-
типликативной ПОСТОЯННОЙ <Х\.
Функции второго приближения удовлетворяют уравнениям
iK(U0 - с)р2 + iKRM +^^ + ^,=0,
a i
iKR0(U0 - c)u2 + Rq —2-и 2 = -f
-c)p2 +^v2-iKR0 Ml(U0 - c)Pl = 0,
решение которых также содержит произвольную постоянную
м,= ^ ^-J{Ym), v2=iK(U0-c)J(Ym), F.3.5a)
2 R0(U0-c) dYm m 2 ° m
F.3.56)
, F.3.5в)
/Gт)=
F.3.5г)
В пределе Уш —> °о из выражений F.3.4), F.3.5) в силу F.1.2) получаем
v ^G(a1+aa2)(l-c) + G2/W~M"A~c)\+... F.3.6)
1 — с
Линейный рост f2 с увеличением Ym в F.3.5а) показывает, что два
первых члена разложения по параметру а для v из F.3.2а) становятся
одного порядка в случае Ym = G~1YU = 0A). Асимптотика F.3.6) делает
последнее утверждение очевидным. В определяемой этим условием
118
новой области, непосредственно примыкающей сверху к пограничному
слою, координаты у = е4а~'1'и и х = 0(?4а~1) являются равноправны-
ми (если М^-1 не мало), поэтому уже в первом приближении
dp I dYm Ф 0. Система уравнений для введенной области Yu = oYm = 0A)
получается либо переписыванием в переменной Yu уравнений Навье-
Стокса, либо как следствие F.3.1):
(\-с)п = -р, Щ1-ф = -dpldYu,
iK(l-c)p+iKu + d
откуда
d2 UI dY2 - К2[1~м1A-с2)]v = 0.
Пусть К действительно и положительно. С точностью до множи-
теля Ъ имеем
v =bexp(-KMu), fl = [l-Mi(l-cJ]1/2, F.3.7)
Условие затухания возмущений при Yu —? °° выполнено, если ветвь
многозначной функции тЭ- = [1-М
ким продолжением ее выражения
многозначной функции тЭ- = [1-М^A — с) ]1/2 определена аналитичес-
из области малых комплексных значений с. В F.3.7) положим Yu = oYm,
считая теперь \ < Ym< сг1; тогда условие сращивания с F.3.2) озна-
чает, что предельное выражение
решения F.3.7) при Yu —? 0 должно переходить в асимптотику F.3.6)
функции и на верхней границе Ym -» °° пограничного слоя. Следова-
тельно,
Ут->°°: v,-»b, v2^>GbK$Ym. F.3.8)
В силу линейности задачи без ограничения общности можно при-
нять множитель Ъ не зависящим от а. Тогда предельные свойства
F.3.8) возможны только при aj = 0 и наличии двух соотношений между
постоянными Ъ, а\ и/>[, а именно
Ь = оах A - с), а, = -i$Pl /A - сJ. F.3.9)
Таким образом, краевые условия затухания возмущений вне погранич-
ного слоя и условия сращивания на его внешнем крае оставляют произ-
вольной лишь одну из трех постоянных Ъ,ах,рх.
Определим величину Y% (вообще говоря, комплексную) равен-
119
ством U0(Y^) = с и введем функции Фо(Ут) и
шений
с помощью соотно-
F.3.10)
Обозначим для краткости
F.3.11а)
F.3.116)
Из определения F.3.10) функций Фо(Ут),
свойства при Ym—> Ym:
-О, Ф0=ОA), 4*0=0A),
вытекают следующие
F.3.12а)
? (-1
Расходящийся в критической точке Ym =
пишем следующим образом:
—„--ЛЬ 1 + —
Ym-Y° у Ym- Yri
где несобственный интеграл
F.3.126)
интеграл F.3.5г) пере-
F.3.13)
1
1
в силу F.1.2) сходится на бесконечности. Что касается точки Ym = У^,
то она не является особой для интеграла Ii(Ym), так как в ее окрест-
ности подынтегральная функция ограничена вследствие выбора коэф-
фициентов т° и Л F.3.11) и свойств F.3.12).
120
Комплексной величине с = сг + /с,- соответствует комплексное зна-
чение Y®, причем в случае с, < с,, действительная часть Y® интерпрети-
руется как расстояние между критическим слоем и твердой поверх-
ностью. Заметим, что отыскание при с,- ^ 0 корня уравнения U$( Y®) = с
предполагает аналитическое продолжение заданной на действительной
оси функции U0(Ym) в комплексную плоскость. Сам критический слой
представляет собой пересечение окрестности
Y -Y
F.3.14)
с действительной осью комплексной плоскости Ym. Оценка F.3.14) для
толщины критического слоя устанавливается условием равенства
порядков величин инерционных и вязких членов в уравнениях F.3.1)
на сингулярном в точке Ym = Y® решении м2, v2, Рг из F.3.5). В силу
F.1.4) данная оценка эквивалентна известному порядковому соотно-
шению [173] между указанной толщиной и волновым числом: Ym—Y% =
= О(к~из).
Хотя в случае с, Ф 0 решение F.3.2) с задаваемыми посредством
F.3.4), F.3.5) функциями первых двух приближений формально может
быть продолжено вдоль действительной оси на комплексной плоскости
Yт вплоть до стенки Ym —> 0, для с, = 0 такое продолжение невозможно.
Кроме того, входящая в F.3.5) величина I(Ym) представляет собой
многозначную аналитическую функцию, поэтому, даже зафиксировав
условием
Ут-^+оо: arg[l + (ym-#)-']->0 F.3.15)
однозначную ветвь комплексной логарифмической функции из F.3.13)
в бесконечно удаленной точке на действительной оси, необходимо
указать способ продолжения из данной точки решения F.3.2), кото-
рое будет зависеть от пути обхода логарифмической точки ветвления
Yт = У„. Упомянутый путь не может пересекать окрестность F.3.14) на
комплексной плоскости, поскольку само решение F.3.2) в ней не-
пригодно.
6.4. Решение в вязком пристеночном подслое
Пусть критический слой отделен от стенки, т.е. имеет место нера-
венство
|°| F.4.1)
Тогда невязкое решение на интервале действительной оси 0 < Ym <
< I Ym I должно сращиваться с верхним краем вязкого пристеночного
подслоя при Yт —> + 0 и нижним краем критического слоя при Ym —>
121
-H Y°\-0. Выражение
y = a'lt6Y, F.4.2)
служит определением новой переменной Y,, одновременно являясь
оценкой толщины вязкого пристеночного подслоя, в котором К/ = 0A).
В масштабах переменной Ym указанная толщина задается связью
Ут=(е2/а)Уг. F.4.3)
Вид решения линеаризованных уравнений Навье-Стокса для У; =
= О{\) подсказывается разложениями F.3.2):
, v =t2v,{Y,) + ..., F.4.4а)
, p = ap,(Yl) + ... F.4.46)
Важно подчеркнуть, что оценка v = O(e2) в F.4.4а), являющаяся
следствием уравнений неразрывности, отличается от оценки v = О(о)
в F.3.2а). Свойство F.1.1) и вид решения F.3.4) показывают, что для
Ym —> 0 функция v из F.3.2) имеет порядок ас. Но тогда необходимым
условием сращивания вертикальной компоненты скорости на верхней
границе вязкого пристеночного подслоя служит соотношение
с = о/+ оA), / = 0A), F.4.5)
означающее равенство порядков первых двух членов разложения
F.3.2а) для v вблизи стенки.
Оценка F.4.5) показывает, что толщина F.4.2) вязкого пристеноч-
ного подслоя, которая может быть установлена из различных сообра-
жений, получается, в частности, приравниванием характерных величин
нестационарного (пропорционального со = - с к) и вязкого членов в
уравнении F.3.1а), откуда
y = O[(<oRe)-in]. F.4.6)
Из F.1.4) видно, что для К = ОA), У/ = ОA) величины вертикальной
координаты F.4.2) и F.4.6) эквивалентны.
С учетом оценки F.4.5), означающей, что рассматриваются малые
фазовые скорости, разрешим уравнение U0(Ym) = с:
m 1 о >3
Коэффициент F.3.116) вычисляется в виде ряда:
т2 „2'
L -
F.4.8)
122
где обозначено
•^¦0 "" л + ' •"•! ~ л "*" > Л2 — . +
го
'0
Представление F.4.4) имеет следствием
е2
(е
iKro Гр
-/ \ui + -^i
dY,
= ~iKP
dY?
F.4.9)
F.4.10)
F.4.11)
Сохранение в F.4.10) членов порядка а~2е2 позволяет единым образом
описать нижний подслой для различных соотношений между С и е.
Удовлетворив граничным условиям щ = V[ = 0 при F/ = 0, с учетом
вытекающего из F.3.3а) и F.4.11) равенства р\ = р/ найдем
'dAiQTlae^wSe^Se dAi(%) dMQ
v,=-
e2Vo L
Здесь Ai(Z) - функция Эйри комплексной переменной
г\
1/3
. F.4.12)
F.4.13)
Если вместо F.4.1) выполнено условие
Y°=O$), F.4.14)
то критический слой соприкасается со стенкой; в этом случае из F.4.5),
F.4.7) и определения |3 в F.3.14) имеем
G=e = p. F.4.15)
Из F.4.15) следует равенство толщин пристеночного Yт = СКе2^1) и
критического Ym = Оф) слоев. Возмущенное поле течения, таким обра-
зом, приобретает трехслойную структуру, поскольку пристеночный и
критический слои становятся идентичными (рис. 6.1, а).
Предельный переход У; -> +°° в F.4.4) устанавливает асимптотику
на внешней границе вязкого пристеночного подслоя. Возвращаясь с
помощью F.4.3) к переменной Ym в F.4.12), F.4.13), для случая F.4.15)
находим
V =-E-7
f
-e
F.4.16)
где использовано обозначение
n-l
пъ
J_
Критический |Re-23/36l
Рис. 6.1
Положим Ym —> 0 в F.3.4), F.3.5а) и перейдем к предельной форме
решения F.3.2) около стенки:
v =-
-гг- - e
Vo
+ ...
F.4.17)
Дисперсионное соотношение представляет собой условие сращивания
F.4.16) и F.4.17):
Н
-/("*
1/3'
• 1/3
1,4
Л
5/3,
.1/3/
F.4.18)
Для больших А" в силу асимптотических свойств функции Эйри [258]
уравнение F.4.18) приобретает вид
!¦¦
к
+ е
га/4
2/1 Л«2ч1/4
A-M.J
F.4.19)
Дисперсионное соотношение F.4.18), исчерпывающим образом
изученное в [52, 57, 177, 252], обладает счетным множеством решений
f = fr + ifi =/(/Q> первое из которых соответствует неустойчивой моде:
fi<0 при К <Кt, fi> 0 при К >Kf. Нейтральное значение
к.=:
iN, KN =1,00049
дает
-1/2, .1/4,
. fN =2,2968.
С учетом F.4.5) правая часть F.1.5а) при с,- = 0 оказывается вы-
численной: сг = еДЛГ*). Последней формулой определяется асимптотика
нижней ветви нейтральной кривой [51, 52, 173, 174, 177] для е —> 0
(Re -> оо).
124
Предельная форма F.4.19) соотношения F.4.18) относится к пер-
вой моде. Выделяя в F.4.19) мнимую часть, находим, что инкремент
нарастания F.1.6) описываемых F.4.18) пульсаций -со,= г~гЩ{К) при
К —> °° стремится к постоянной
При конечном значении К = К+= 2,716 инкремент нарастания задавае-
мых F.4.18) собственных колебаний имеет максимум
ГПах(—СО ¦) — с I\-+JAJ\,) — с СО^лл, , 1л+ —I, Z4 • Z . \OA.Zl)
Перейдем теперь от F.4.15) к случаю
1 §> а > е, F.4.22)
тогда в силу F.3.14), F.4.3) устанавливающий оценку толщины крити-
ческого слоя (в терминах Ym) параметр Р < а, а порядок толщины при-
стеночного слоя а~1е2 < а. Следовательно, структура волн F.1.3) яв-
ляется пятислойной (рис. 6.1,6): критический слой отделен от присте-
ночного интервалом порядка Y^ = O(o"), куда может быть аналити-
чески продолжено решение F.3.2).
Воспользуемся асимптотикой [258] функций Эйри для |Z| > 1,
I С, I > 1, преобразовав F.4.12) в случае а > г к виду
~7~Г*1 + -1/2 ,-3/2 3/2
/'О ' / г0
v
ll2f\/2 1/2
F.4.23)
Верхняя граница вязкого подслоя достигается при 1 <^ У; < а2е~2, так
как на ней Ym<\ с\ = О{<5). Следовательно, переход к пределу К/ —? +°° в
формуле F.4.23) с целью сращивания с решением в основной толще
пограничного слоя не нарушает, как видно из F.4.13), условия |Z| > 1
ее вывода. Переписывая в переменной Ym результат данного пре-
дельного перехода, находим асимптотический вид функции и при
с2
-г
гтг л/г.з
Jr0 l J
6.5. Решение в критическом слое
Функции F.3.4), F.3.5), описывающие возмущения в той области, где
вязкость несущественна, удобно переразложить в ряды по переменной
Ym - Y®. Тогда предел Ym - Y® \\c\~ —>0 служит внешней асимптотикой
125
решения в критическом слое, а область Уш - Ym = 0(с) (в соответствии
с F.4.5) |с|^1) охватывает пристеночную область толщины порядка
Ym = О(с), включая критический слой. Используя представление
F.3.10), F.4.7), F.4.8), преобразуем выражения F.3.4), F.3.5) для об-
ласти
iK Vo
F.5.1а)
Vo
р = —Ц- + а - У11—я-+..., F.5.1b)
где Ло определено в F.4.9).
Основываясь на оценке F.3.14) толщины критического слоя, вво-
дим для него разложения
? = р-'(Ут-1^), п = -Щ^- + (Уис(^) + ..., F.5.2а)
+ CT2Pt/,(^) + ..., F.5.26)
iK
Внося F.5.2) в систему уравнений F.3.1) (или, что то же самое, в систе-
му уравнений Навье—Стокса) и считая величину Р независимым малым
параметром, получаем
^ _ иа«?: 1кттг = 0> F_5_3)
?b_iQ&^ + i^iZjPe_jZL\ + 2ZLAo!sOt F.5.4)
—с- + iKuc + Црс - —^ = 0. F.5.5)
dc, г0 Л[Г0
Здесь \iw - \i(Tw), Tw - температура газа на поверхности пластины
Ym = 0.
Возьмем на комплексной плоскости % два линейно независимых
126
решения уравнения Эйри (см. рис. 1.2)
2. ( 2.
—in '
F.5.6)
с вронскинианом г'Bл) и асимптотическим поведением
1 -1%г ч
4-e 3 2Г-—2Г7/4+... ,
2л/1С V. 48
-1/4 , 5 QV.-7/4
3 2-1/4 +^L;
48
F.5.7)
F.5.8)
при | % \ -> oo. Тогда единственное решение уравнения F.5.3), не обла-
дающее экспоненциальным ростом при действительных % —> +°°, имеет
вид
рс = -2Я1
)d2E
1/3
,5/3 2
.1/3
I
F.5.9)
Найденное рс позволяет построить решение уравнения F.5.4), не
растущее по экспоненте при ^ —> +°°:
da.
'«) ? ф«>
.,1/3
1/3
F.5.10)
ф«=-
I/3
127
Здесь символами +°°г1/3 обозначены бесконечно удаленные точки на
комплексных плоскостях %р, %и, достигаемые вдоль прямых, соответ-
ствующих действительным 4, когда \ —» +<». Заметим, что определен-
ная в F.5.2а) переменная Ъ, для действительных Ym и с,- Ф О является
комплексной, причем в случае | ^ | ^ 1 аргумент ^ мало отличается от
О или +л, если с, < с,..
Асимптотические свойства м>\ и w2 позволяют найти предельное
поведение решения F.5.9) при | ^ | —»°°:
Фо All ^
Г' 7 ' F'5Л1)
6 6)
Асимптотика F.5.7) функции Wj справедлива вне окрестности линии
Стокса arg Ж = +к. Значения -5 к/3 или я/3 задают линию Стокса
асимптотики F.5.8) функции w2. Перекрытие допустимых интервалов
изменения аргументов в формулах F.5.7), F.5.8), а именно заключен-
ный между двумя линиями Стокса сектор arg 3? б (—я, я/3), и выделяет
с учетом определения 2?р область arg %, где справедливо выражение
F.5.11).
Аналогично, предельная форма решения F.5.10) при |^| —> °°
имеет вид
dur r>iAn 1 ,. ( In тС\ ., . ,_.
TF^T^J + -' аг§^еГ^' 7 • F'5Л2)
Уравнение F.5.5) служит для нахождения функции vc, которая при
| Zj | —> °° обладает асимптотикой
F-5ЛЗ)
Переписывая F.5.11)—F.5.13) в переменной Ym - Y° = Щ, убеж-
даемся, что имеет место сращивание в пределе Ym — Y^—? 0, точнее,
(Ym -Ym)c~y —>0, сингулярных членов выражений F.5.1) с асимптоти-
ками при |^| —> °° функций ис, vc, pc, регулярных во всех конечных
точках комплексной плоскости ^. Член порядка In P, возникающий
после перехода к Ym - Y® в F.5.13), может, очевидно, быть включен в
неизвестную константу Z)b выбор которой диктуется условиями сра-
щивания линейных по ^ членов.
Необходимость рассмотрения критического слоя связана не только
с устранением особенности в критической точке Ym=Ym, но, прежде
всего, с нахождением интервала изменения аргумента фигурирующей в
F.3.13) и F.5.1) логарифмической функции. Поскольку область при-
годности асимптотик F.5.11)—F.5.13) заключена между двумя лучами
Стокса, аналитическое продолжение невязкого решения F.3.2) из об-
128
ласти над критическим слоем (|?| -> °°, arg % -> 0) в область ниже
критического слоя (|^| —» °°, arg ^ —> +п) возможно вдоль пути, обхо-
дящего точку Ym = Ym по часовой стрелке. Данное правило обхода
обеспечивает выполнение условий сращивания с вязким решением
критического слоя как на верхней, так и на нижней его границах.
Из изложенного вытекает, что невязкое решение F.3.2) вместе с
его асимптотикой F.5.1) справедливо не только в области выше крити-
ческого слоя, но и между критическим слоем и стенкой, где лога-
рифмическая функция приобретает вид In
Y - У
-т.
Разумеется, аналитическое продолжение решений уравнений
F.5.3) - F.5.5) вдоль какого-либо контура не зависит от способа обхода
точки Ym =Y®, однако их асимптотика является колебательной на лу-
чах Стокса и экспоненциально растущей в секторе arg ^ е (к/6, 5п/б).
Докажем последнее утверждение.
Прежде всего отметим, что попытка применить формулы F.5.7),
F.5.8) к исследованию функции F.5.9) в области arg2?p e (л/3, я)
приводит к неопределенности вследствие почленного сокращения двух
рядов с экспоненциально растущими членами. Рассмотрим наряду с
F.5.6) решение уравнения Эйри (см. рис. 1.2)
обладающее при | 2? | —»°° асимптотикой
2
48
Известное [258] тождество WiC?) + W2&) + и^B?) = 0 позволяет, осно-
вываясь на F.5.8), F.5.14), записать асимптотическое разложение:
L 3 U-l/4_J_2-7/4 J
[ I 48 J
F.5.15)
В отличие от F.5.7) представление F.5.15) остается справедливым на
луче arg % — к.
Построим с помощью линейно независимых решений уравнения
129
Эйри W\ и w3 другое частное решение
F.5.16)
неоднородного уравнения F.5.3), где символами -м»/-1/з обозначены
бесконечно удаленные точки прямой 2?р = г1/3т| при действительных
Г) —» +оо. В области перекрытия интервалов пригодности асимптотик
F.5.7), F.5.14) при | % | -> °° имеем
р^Фр/Жр + ..., arg3Epe(-n/3,n). F.5.17)
Два частных решения неоднородного уравнения F.5.3) связаны соотно-
шением
Рс=Р* +2iWi+S3h'3. F.5.18)
Найдем константы 2j и S3. Пусть 2Ер -» ею, argS?p = 0; тогда со-
гласно F.5.6), F.5.14) vfiB?p) —> 0, и^зC?р) —> °°. Но поскольку при этом
рс, р* силу F.5.11), F.5.17) ограничены, то Е3 = 0. Устремим теперь 3?р
к бесконечности вдоль полуоси arg 3?р = чип. Воспользовавшись тем,
что интеграл от функции Эйри AiB?p) вдоль действительной оси су-
ществует, в F.5.9), F.5.16) произведем замену
F.5.19)
Подставим в F.5.9), F.5.16) с учетом F.5.19) вместо н>з и w j их
асимптотики F.5.14), F.5.15), положив в последних arg 3?p = Я, а вместо
w2 - асимптотику F.5.8) с arg3?p = -п. Тождество F.5.18) в пределе
I ЗЁр I —> °° дает Sj = 2mQo(pp. Окончательно имеем
Принимая во внимание асимптотическое поведение w>i и р* согласно
F.5.7), F.5.17), а также определение 2Ер, заключаем, что функция рс
экспоненциально возрастает в секторе arg^e — л, — п . Аналогич-
\6 6 у
ными свойствами обладают функции ис и ц..
130
6.6. Дисперсионное соотношение
в случае дозвуковых скоростей набегающего потока
Перепишем предельную форму F.5.1) решения F.3.4), F.3.5) в виде
ряда по переменной Ym, предполагая выполненным Ут<^|У^| вместе с
неравенствами F.4.1), F.4.22). Выражая а^ через амплитуды давления
Рх с помощью F.3.9) и учитывая F.4.7), имеем
0-c) Vo
+ a2-^A0[ln(a71)-ml-
л,г0
1/2Уи +... F.6.1)
Пусть число Маха Мто меньше единицы на конечную величину.
Условие сращивания с вязким пристеночным подслоем в первом при-
ближении формулируется как условие непротекания v = 0 при Ym = 0 и
влечет за собой оценку F.4.5). Уточним данную оценку с помощью
предельного перехода Ym -» 0 в F.6.1):
f=
Л1г0A-Моо)
2,1/2
)
Таким образом, для действительных К фазовая скорость с точностью
до членов более высокого порядка малости также действительна.
Связь F.6.2) представляет собой дисперсионное соотношение в первом
(невязком) приближении. Частота колебаний со = —ck в соответствии с
F.6.2) выражается как функция модифицированного волнового числа
К (отличающегося от к нормировкой F.1.4)) в виде
co = -G2Re1/2 Kf(K,M~) + - F.6.3)
Разложение F.6.2) может быть продолжено как по параметру а,
так и по отрицательным степеням числа Рейнольдса (по е) после уточ-
нения граничных условий за счет вязких эффектов. Выполнение усло-
вия непротекания для вертикальной компоненты скорости, приводящее
к соотношению F.6.2), позволяет теперь удовлетворить условию при-
липания п = v — 0 при У/ = 0 в вязком пристеночном подслое, что
приводит к решению F.4.23).
Заметим, что функция F.4.23), найденная в качестве асимптотики
при с > е решения F.4.12) уравнений F.4.10), F.4.11), служит точным
решением задачи
й2щ iKrQf iKpx dvl
id lf> jj ,=0, p,=Pl,
1 ^w ^w 1 F.6.4)
Y[=0: щ = ut = 0; У, -»-H>°: | щ \ < °°.
131
Мнимая часть с,- фазовой скорости с = cr + iCj является величиной более
высокого порядка малости по сравнению с ее действительной частью с,.
и представляет основной интерес при исследовании дисперсионного
соотношения в следующих за F.6.2) приближениях. Учет вязкого под-
слоя (см. рис. 6.1, б) означает, что условие непротекания заменяется
условиями сращивания при Ym —> 0 с внешним пределом F.4.24) ре-
шения F.4.23) при У; —» +<».
Легко проверить, что сращивание линейных по Ym членов в F.6.1) и
в F.4.24), означающее равенство на внешней границе вязкого присте-
ночного подслоя амплитуд продольной компоненты скорости щ и uh
достигается автоматически в случае выполнения F.6.2). Как видно из
F.4.24), не зависящие от Ym слагаемые в F.6.1) должны в сумме давать
величину порядка е2 = Re/4. Пренебрегая последней, получаем невяз-
кое условие непротекания на твердой поверхности Ym = 0, эквивалент-
ное дисперсионному соотношению F.6.2). Выделим в не зависящих от
Ym членах выражения F.6.1) действительные части. Согласно принципу
сращивания, их сумма должна давать действительную часть выражения
F.4.24). В результате получаем
a2 f^A0 - gC<(l - Mb = -Re"'4 *# 2 • F-6.5)
Из условия равенства порядков всех трех членов в F.6.5) находим
a = Re/12. F.6.6)
Связь F.6.5) вместе с F.6.2) представляет собой две части диспер-
сионного соотношения
c,.=Re'U12 /(К,МЛ с, =Re-ll6h(K,M^), F.6.7)
где
ыкш )- ° + ' Пц> а и2I'2
Нейтральное решение с-, = 0 существует в случае Ло < 0 и реализуется
для определенного значения К = Ktt. Из F.6.7) имеем
27t '" °'Ш
2 1/2,, М2 ч5/4
г0
F.6.8)
Асимптотика верхней ветви нейтральной кривой при Re —» °°
задается формулами
k=Re5n2Ktt, c = cr=Re-unf(Ktt,M~).
При выполнении F.6.6) и К = О(\) получаем оценки параметров к, с, со
в терминах степеней числа Рейнольдса. Область изменения этих пара-
132
метров в пределах упомянутых оценок назовем окрестностью верхней
ветви нейтральной кривой. Инкремент нарастания пульсаций из данной
окрестности
Введенные выше пять подслоев, в которых переменные Yu, Ym, ^,
crYm, Yjпорядка единицы, в силу F.6.6), F.6.7) имеют толщины А у
порядка Re~5/12, Re/2, Re3/36, Re~7/12, Re~2/3 соответственно (см.
рис. 6.1, б).
6.7. Дисперсионное соотношение
в случае трансзвуковых скоростей набегающего потока
В рассматриваемой здесь задаче параметром, определяющим трансзву-
ковой характер течения, служит фазовая скорость возмущений. Поло-
жим М^-1 = cSm, где S^ = 0A), I с I < 1. Поскольку теперь в соответ-
ствии сF.3.7)
fl = [l-Mi(l-cJ]I/2=cI/2B-S,JI/2 + ...,
то условие v — О для Ym = 0, где v выражается с помощью F.6.1), озна-
чает с = <9((Т2/3), а дисперсионное соотношение в первом приближении
приобретает вид
?-2/3
2/\ ОD/31) F.7.1)
\2/3 2/зг? ^ о/з
Вместо параметра S^ (который с учетом следующих приближений
может быть комплексным) введем действительный параметр
Пусть
c = a2/3q(K,Q^), F.7.2)
тогда
Проведем разрез вдоль части действительной оси -«> < qr < Q^/2 на
комплексной плоскости q = qr+ iqi. Принадлежность Ф правой полу-
плоскости обеспечивается выбором —Я < arg (q — Q^/2) < к. Для дейст-
вительных положительных К из F.7.1) следует, что
где величина s является чисто действительной. Разрешим дисперсион-
ное соотношение F.7.1) относительно К с точ
нимая s в качестве независимой переменной:
ное соотношение F.7.1) относительно К с точностью до G /3 lna, при-
F.7.3)
133
У1 a
Re-'Д I
иД I Re-49/781
————- j .
J_
НрЕсгено-шы* |Re-17fl6|
T
Рис. 6.2
Согласно F.7.3) действительные s > max @, Q^/2) взаимно однозначно
связаны с К > 0. Окрестность разреза, в частности случай s —»<2~/2,
здесь не рассматривается.
В трансзвуковом диапазоне скоростей
= 0(ст5/ Re1/2), что дает
оценку толщины вязкого пристеночного подслоя Лу = 0(E~ ' Re~3 4)
(рис. 6.2). Вытекающее из F.3.9), F.7.2) порядковое соотношение
а, = О(а ) диктует следующее представление для параметров тече-
ния в указанном подслое:
= ap,(Yl) +...,
F.7.4а)
F.7.46)
= a
e'
где переменная У/= 0A) определена равенством Y: = a Re' Ym.
Подставляя F.7.4) в F.3.1), для функций с индексом / получаем урав-
нения вида F.6.4), в которых/заменено на s. На внешней границе вяз-
кого подслоя У; —> оо справедливо выражение
¦1/2 3/2 3/2
I S Го
F.7.5)
Произведем сращивание действительных частей в асимптотиках
F.6,1) и F.7.5). Принимая во внимание
имеем равенство
,8/3
л
,1/2
^1/23/2^3/2- F-7.6)
134
Требование
CT = Re/26 F.7.7)
определяет окрестность верхней ветви нейтральной кривой, когда все
члены в F.7.6) одного порядка. Две части дисперсионного соотноше-
ния в соответствии с F.7.3) и F.7.6) записываются в виде
с =Re-I/I3,,
с, =
где
3/4
J
F.7.8)
F.7.9)
В отличие от F.6.7), здесь из трех величин К, сг, с; в качестве
независимой вместо К выбрана отнормированная действительная часть
фазовой скорости в первом приближении s, неявно через F.7.3) связан-
ная с К. Значение s = s**, отвечающее нейтральным колебаниям с,- = О,
находится как корень уравнения
slBstt.-Qoc)ll2=l, F.7.10)
в котором
Е = —
3/2,,1/2
F.7.11)
Предполагается, как и выше, что Aq < 0. Тогда нейтральное значение
отнормированного волнового числа таково:
К» =\lrosttB$t*-?L)U1E-6n\ F.7.12)
Асимптотика верхней ветви нейтральной кривой при Re —»<» полу-
чается возвращением к исходной системе единиц:
В случае звукового внешнего потока Q^ = 0 находим s** = 2 13. Зави-
симость ?** от Q* приведена на рис. 6.3.
Волна Толлмина-Шлихтинга, описываемая собственным реше-
нием уравнений F.3.1) в диапазоне
F.7.7) с дисперсионным соотноше-
нием F.7.8), сохраняет структу-
ру, состоящую из внешней потен-
циальной области, основной толщи
пограничного слоя, критического
слоя, области между критическим
слоем и стенкой, пристеночного
подслоя (см. рис. 6.2, б). Характер- i
ными вертикальными координата- ~~
ми в пяти подслоях служат bYu, Ym,
135
0 4
Рис. 6.3
8
?,,crYn,Y,. Величины Re"9/26, Re-1/2, Re9778, Re5/26, Re7'26 соответ-
ственно задают порядки толщин Ду каждого из подслоев в исходной
безразмерной системе единиц.
6.8. Перекрытие окрестностей верхней и нижней ветвей
нейтральной кривой
Остановимся на случае трансзвукового обтекания. Выберем пара-
метр а из тех соображений, чтобы толщина вязкого пристеночного
подслоя Ду = О(а~5/6 Re~3/4) совпадала по порядку величины с расстоя-
нием между критическим слоем и стенкой Ду = O(cRe/2). Указанный
режим, в котором по-прежнему с = O(g /3), реализуется при с = Re~1/6
и дает толщину пристеночного подслоя Лу = O(Re~n ). Возмущенное
течение теперь обладает трехслойной структурой (см. рис. 6.2, а),
поскольку критический слой, толщина которого Ду = О(к~113 Re~1/2)
вследствие к = 0(oReu ) характеризуется той же оценкой 0(Re~11/18),
сливается с пристеночным. Следствием сращивания F.3.2), F.3.4),
F.3.5) с выражаемым через функцию Эйри Ai BE) решением в вязком
подслое является дисперсионное соотношение
dMQ
С
• 1/3^4/3
I Л
F.8-1)
связывающее отнормированную фазовую скорость q — qr-\-iqi -
= са~2П, волновое число К и параметр Q^ = а~2/3(М^-1). Ранее иссле-
дованное в [272] дисперсионное соотношение F.8.1) содержит нейт-
ральное решение К - К*, q = qr= q*. Вспоминая задаваемую F.1.4) нор-
мировку к, находим асимптотику нижней ветви нейтральной кривой
при Re —» °°:
k = ReinK*, c = cr=Re~U9q*, CO = cor =-кс = -Re2/3 q*K*.
Колебания в окрестности нижней ветви при К < К* устойчивы (q, < 0),
при К>К* неустойчивы (qt > 0).
Опираясь на асимптотические свойства функции Эйри [258], выпи-
шем асимптотику первого корня дисперсионного соотношения F.8.1)
при | q | —> °°, | К | —> оо, 0^— O(q), которая получается из F.8.1) пре-
дельным переходом | С, | —> °°:
136
Главные члены в F.8.2) дают выражение для невязкого приближения:
K = %lroqrBqr-Q^I12. F.8.3)
Выделив в F.8.2) мнимую часть, получим
чЗ/4
)
А, ц Bqr-Qx)
Напомним, что пятислойная схема возмущенного течения (см.
рис. 6.2,6), описывающая верхнюю ветвь нейтральной кри-
вой, характеризуется соотношениями к = O(Re5 ), cr = O(Re~ ),
с,- = 0(Re~2/13); трехслойная схема (см. рис. 6.2, а), соответствую-
щая нижней ветви, возникает при к = O(Re ), cr = O(Re~ ),
с, = 0(Re~1/9).
F.8.1) положим
с, = 0(Re~1/9). В асимптотиках F.8.3), F.8.4) дисперсионного уравнения
К-+°°, qr->°°, qt -» О,
а именно совершим замену
Если помеченные знаком ~ величины порядка единицы, то к, с,., с,,
М^-1 попадают в диапазон верхней ветви нейтральной кривой. Не-
посредственной проверкой убеждаемся, что асимптотика F.8.3) в ре-
зультате данной замены с точностью до обозначений совпадает с
уравнением E.7.3), связывающим волновое число с действительной
частью фазовой скорости. Что касается асимптотики F.8.4) мнимой
части фазовой скорости, то она переходит в асимптотику при s —> О,
<2оо —* 0 функции g из F.7.9), поскольку в выражении для g следует
пренебречь первым слагаемым. Совпадение предела К —> °° диспер-
сионного соотношения F.8.1) с пределом К —> 0 (s—> 0 в силу F.7.3))
обеих частей дисперсионного соотношения F.7.8) указывает на сущест-
вование области перекрытия окрестностей верхней и нижней ветвей
нейтральной кривой.
В соответствии с F.7.7), F.7.8) инкремент нарастания возмущений
- СО,- = Cjk в окрестности верхней ветви нейтральной кривой имеет вид
чЭ/2.,1/2
где Е определено в F.7.11).
В окрестности нижней ветви нейтральной кривой для сог и со,- спра-
ведлива одинаковая оценка Re2/9, поэтому со,- по порядку величины
6. в.и. Жук 137
меньше, чем F.8.5). Отсюда следует, что, несмотря на существование
локального максимума -со,- как функции, зависящей от К по уравнению
F.8.1) (см. [272]), абсолютный максимум инкремента нарастания рас-
положен в области, примыкающей не к нижней, а к верхней ветви
нейтральной кривой. Например, для звукового обтекания ??«. = 0 значе-
ние s - smax' ПРИ котором функция Q в F.8.5) достигает максимума,
вычисляется явно:
„ _? ?-14/13 ? -Г7.25/4>
Jmax °max-^ > ¦'max \> *• I
О _i?-l/13/25/4?l/4 _23/2-7/2
max
3
Как видно из F.2.9), коэффициенты А.2 < О, Г\ < 0, а вместе с ними
и введенный в F.4.9) параметр Ло<О, если Tw<Tr. Тем самым при
выполнении последнего условия изложенная выше теория в качестве
одного из следствий дает критическое значение частоты и волнового
числа (формулы F.6.8) и F.7.12)), соответствующие асимптотике верх-
ней ветви нейтральной кривой.
В случае Т„, > Т,. теория остается справедливой, описывая посред-
ством выражений F.6.7), F.7.8) часть неустойчивой области выше
нижней ветви нейтральной кривой. Однако параметры колебаний из
окрестности верхней ветви уже не подчиняются предположениям, на
которых базируется построение асимптотических решений системы
уравнений F.3.1).
ГЛАВА 7
О ФОРМЕ НЕЙТРАЛЬНОЙ КРИВОЙ,
ЗАМЫКАЮЩЕЙ ОБЛАСТЬ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Дается оценка величины числа Маха, превышение которой влечет за
собой качественное отличие свойств неустойчивой моды собственных
колебаний пограничного слоя от известных для случая несжимаемой
жидкости. Сжимаемость газа имеет следствием появление максимума
инкремента нарастания в окрестности верхней ветви нейтральной кри-
вой, причем последний может не только превосходить локальный
максимум из окрестности нижней ветви, но и иметь другой порядок
величины. Приводится пример, когда функция, описывающая верх-
нюю ветвь нейтральной кривой, становится трехзначной. При данном
условии фиксированному числу Рейнольдса соответствуют четыре
нейтральных значения волного числа, а область неустойчивости делит-
ся на две.
7.1. Дисперсионное соотношение
в случае теплоизолированной поверхности
при малых числах Маха
Пусть Ти, = Тг, что равносильно отсутствию теплового потока через
обтекаемую поверхность; тогда d2U0@)/dY^ = 0, dRo(O)/dYm=O.
Отсюда в формулах F.4.9) имеем Ад = 0, а величина Ah как видно из
F.2.9), определяется числом Маха, причем всегда Aj > 0. Будем рас-
сматривать числа Маха порядка М,,, = O(Gl/2). Данный случай является
характерным в том смысле, что именно при таких величинах М^ свой-
ства функции -со, (определенной посредством F.1.6)) для сжимаемого
газа начинают качественно отличаться от известных в теории устойчи-
вости несжимаемой жидкости [52, 173, 176, 177, 282]. Поскольку вве-
денная оценка влечет за собой Х3 = О(о), г 2 = О((Т), естественно за-
писать
Л, = аЛ**,
где величина Л, порядка единицы. Обращаясь к величине Л, опре-
деленной в F.4.8), заключаем, что второй и третий члены разложения
6* 139
no Y® оказываются одного порядка, так как при любых числах Маха
Л2 = 0A).
Предположим, что критический слой взятых в виде волны Толл-
мина-Шлихтинга F.1.3) возмущений отделен от стенки невязкой об-
ластью, толщина которой IY°\ = 0(о) превышает по порядку величины
определяемую формулой F.3.14) толщину Р самого критического слоя,
т.е. имеют место неравенства F.4.1), F.4.22). Тогда, согласно резуль-
татам разд. 6.5, путь интегрирования в F.3.5г) с началом в действитель-
ной точке Yт области между критическим слоем и стенкой должен
обходить особую точку Y® против часовой стрелки [173, 248]. Полагая
Ym < а в F.3.4), F.3.5), находим
и =-iapMl-Mt)U2Ym + iaPl(l-M2J'2c - ia2^- +
G1Л)
X r0
Формула G.1.1), выведенная с учетом оценки F.4.5), отличается от
F.6.1) тем, что вместо Ло из F.4.9) в нее входит задаваемый посред-
ством F.4.8) параметр Л. Предел Ym —> О соответствует переходу в об-
ласть вязкого пристеночного подслоя (где решение F.3.2) с асимптоти-
кой G.1.1) непригодно и заменяется решением F.4.4), F.4.23) с асимп-
тотикой F.4.24) при Y/ —> +°°).
Условия сращивания действительных частей выражений G.1.1) и
F.4.24) для U принимают вид
4 пХ4К4 4 пЛ]*К3 г2 X]'2
Cj=a —s-g—\-о —-^ 1 fj2—• G.1-2)
2^, Xi а 2 К
Выражение G.1.2) является второй частью дисперсионного соот-
ношения F.1.56). Все три слагаемых одного порядка при условии
a = e2/5 = Re"!/2°. G.1.3)
Оценка G.1.3) отвечает окрестности верхней ветви нейтральной
кривой из теории устойчивости несжимаемой жидкости [174-177].
Перепишем дисперсионное соотношение в другой форме, вводя ком-
плексную частоту со = со,. + /со;=-cK =-cA"Re9/20. Учитывая F.6.2),
имеем
cor=-Re2/5/sr2/^,, G.1.4а)
1/4| -wv4^ | ,„.,м „ | ,v, | 146)
Нейтральное значение К = Kqq для несжимаемой жидкости следует из
140
G.1.46) при Л, = 0, приводя к известному выражению [173-177, 282]:
совпадающему с одночленным приближением двучленного разложения
C.3.12).
Скорость роста амплитуды -со, обладает одним максимумом, поло-
жением которого К = К+ > 0 задается параметром Л) :
К+ = 1—1-.
5 Л,4
Формулу для инкремента нарастания удобно представить в виде
-со, = Re1/4co00Q(A'), Q(K) = l + ——
где с учетом оценки числа Маха введенный в F.4.20) коэффициент
со^ = 2~1/2А,У2. Нейтральное значение К** = sKqq для Л*,* *¦ 0 определя-
ется корнем уравнения
s - — K+s -1 = 0, К+ = КтК+ .
Предельные случаи малых и больших значений Л] задаются асимпто-
тиками
1
4
+ ' 4 + °°[5Л:+
Обратим внимание, что значение К = — К. - вторая (помимо К = 0)
4
точка пересечения функции Q с линией Q = 1, отвечающей асимптоте
инкремента нарастания F.4.20). Максимум функции О., расположенный
между этими точками:
1 f5 Q5 ^-1I1/2A**5
Е ~ + -21'2 ' ' С7 15)
может как угодно превосходить максимум Q+L) из F.4.21), существую-
щий в окрестности нижней ветви нейтральной кривой. Но еще бо-
лее важное замечание состоит в том, что предположение G.1.3) вовсе
141
не обязано выполняться. Полагая сие независимыми, вместо G.1.5)
получаем
max О = of > = 1 + aV2?+,
и, таким образом, данное экстремальное значение при ?2/5<§а<§1
становится величиной другого порядка по отношению к О*.'.
7.2. Бифуркация нейтрального решения
в случае малых отклонений температуры поверхности
от температуры торможения
Из выражений F.2.9), F.4.9) видно, что, выбирая Tw — Тг = О(<32) и
М„ = O(g1/2), можно добиться выполнения оценок
2 .** . . **
Ло = О Ао , Л, = оА1 ,
в то время как всегда А2 = 0A). Тогда вместо G.1.2) требование сращи-
вания действительных частей в G.1.1) и F.4.24) приводит к выражению
G.2.1)
Здесь по-прежнему случай G.1.3) является наиболее общим в том
смысле, что иные порядковые соотношения между с и е (а, следова-
тельно, между Ло, Л] и е) будут вытекать из G.2.1) как частные случаи.
Коэффициент усиления в волне Толлмина-Шлихтинга
G.2.2)
где
* = —, У,=-^Ч у2=-Щ-^-. G.2.3)
л00 л00 Л2 Л00 Л2
В G.2.3) учтено А2 < 0 (так как ^4 < 0), поэтому всегда у; > 0. В пре-
деле У] —» 0, уг —»0 нейтральное значение имеет вид
Таким образом, в зависимости от соотношения между Yi и у2 нейтраль
может смещаться как вверх, так и вниз от положения Кт, соответст-
вующего случаю несжимаемой жидкости.
В точках
г I—тпгЛ
G.2.4)
инкремент роста амплитуды достигает максимума и минимума соот-
142
ветственно. В том случае, когда действительные К_, К+ существуют,
функцию Q.(K) из G.2.2) удобно представить в виде
1К5+(К +К)КЛК КК\
(К +)К +\ G.2.5)
4 3
На полуоси К > О функция Q(K) обладает одним максимумом
-к1- — ?_?+• G.2.6)
Как видно из G.2.6), найдутся такие уь у2, что максимум Cl^ функции
G.2.5) превысит максимум &+ из F.4.21) на любую наперед заданную
величину.
Если у2 > 0, что имеет место для Tw > Т,., то К_ < О и, таким обра-
зом, максимум G.2.6) является единственным экстремумом функции
Q.{K) на положительной полуоси К, причем всегда О.^ >1. В этом
случае верхнее нейтральное значение К**, по-прежнему, только одно.
Пусть теперь у2 < О (TW < Г,.). Область
-yjY?<Y2<°. Yi>0
посредством G.2.4) взаимно однозначно отображается на область
К+> К_> 0. G.2.7)
Уравнение
О.(К) = 0 G.2.8)
всегда имеет по крайней мере один действительный корень. Как сле-
дует из G.2.5), функция Q.(K) > 0 при К —> 0 и Q(k) < 0 при К —> +°°.
Минимальное и максимальное значения функции G.2.5) в точках
локальных экстремумов соответственно С1_ = О.(К_) и Q.+ = Q(k+).
Необходимое и достаточное условие существования трех действитель-
ных корней уравнения G.2.8) в области G.2.7) на плоскости К_, К+
задается неравенствами О._ < 0, Q+ > 0. Эквивалентная формулировка
данного условия имеет вид неравенств
k+>f(k_\ L<f(k+) g.2.9)
совместно с G.2.7), а зависимость функции / от своего аргумента к
имеет вид
Н Ц-^ + \к. G.2.10)
143
- А
Легко убедиться, что множество
значений К_, К+, удовлетворяю-
щих G.2.7), G.2.9), не является
пустым. Рассмотрим, например,
окрестность точки к_ = к+ =
= кв =6 , в которой уравнение
G.2.8) имеет корень к = кв крат-
ности 3.
На плоскости к_, к+ две
.? кривые K+=f(k_), K_=f(k+),
ограничивающие упомянутую об-
ласть G.2.7), G.2.9) (заштрихована
на рис. 7.1), имеют общую точку
К_ = К+ — Кв, в которой происходит касание второго порядка (точка
В). Поэтому отыскание нулей функции ?1(К) в окрестности точки кв
должно сводится к решению уравнения порядка не ниже третьего.
Положим
5 2/5
3
2 4
Рис. 7.1
,-f.
G.2.11)
Уравнение нейтральных колебаний G.2.8) заменой G.2.11) преобразу-
ется к виду
т5+|A-е,)т4 +1A-6 3 2
G.2.12)
Оставляя в левой части G.2.12) главные члены при е^ 2 —> 0, приходим
к уравнению
Т3 + 3(е2-2е1)т + е2-C/2)е1 =0. G.2.13)
Из G.2.13) очевиден порядок малости переменной х, а именно
т=1е,11/2Т/21/2.
Переписанное относительно величины Т = 0A), уравнение G.2.13)
принимает вид
T3-3sign(e,)T + 20 = O, G.2.14)
где
0 =
о1/2 . ,3/2 •
Z 16, I
G.2.15)
144
Для е, > 0 и I 0 I < 1 уравнение G.2.14) имеет три действительных корня
Т_ < То < Т+. Обозначим *F = arcsin 0, тогда
T0=2sin(xP/3), T_=2sin(xP/3-2n/3), T+=2sin(vF/3 + 2n/3).
Для е1 < О единственный действительный корень уравнения G.2.14)
задается формулой Кардано
Т = [@2 +1I/2 -0]1/3 - [@2 +1I/2 +0]ш.
Точка Т = 0, е, = 0, е2 = 0 (К = 61/5, у, = ~61/5, у2 = --62/51 яв-
ляется точкой бифуркации. Выберем на плоскости е t, е2 путь, задавае-
мый формулой
3 , ,3/2 ®
e2=-fi+lfil 2U7
для фиксированного I 0 I < 1, например для 101=0. Принимая ех в ка-
честве текущего параметра, находим из G.2.14), G.2.15), что единст-
венное нейтральное решение т = 0 при е j < 0 становится трехзначным
при е j > 0:
|/2C/2I/2
хо=О, т_=^|/2C/2)ш, т+=е|/2C/2)
Заштрихованная на рис. 7.2 область неустойчивости при €\ > 0 де-
лится на две. Окрестность нейтральной точки G.2.11), таким образом,
дает пример односторонней бифуркации, поскольку решения т_, т +
непродолжимы в область 6] < 0.
В качестве примера двусторонней бифуркации нейтрального реше-
ния рассмотрим случай у, + у2 = 0, У2 < 0. Данный пример характе-
ризуется тем, что корень К = К^ = 1, соответствующий нейтрально-
му решению К = А"оо для несжимаемой жидкости, остается неподвиж-
ным при изменении коэффициентов уравнения G.2.8). Согласно G.2.2)
имеем
= 1-К5-\у2\К3A-К). G.2.16)
На кривой Q = Q.(K) при у2 < -Ю/3 появляются точки перегиба, а при
у2 < -15/4 в области К > 1 зарождаются точки минимума К_ и максиму-
ма К+> К_. С увеличением I у2 I точка К_ движется влело, а точка
К+ - вправо. При у2 = -5 левый экстремум К, сливается с неподвиж-
ным корнем ki* = 1.
Положим
К = 1 + т, у,= 1у21 = 5 + 5, G.2.17)
тогда при малых х и 5 выражение G.2.16) примет вид
G.2.18)
145
Рис. 7.2
Рис. 7.3
Представление G.2.18) показывает, что изменение 5, сопровождаемое
сменой знака, влечет за собой пересечение неподвижного корня К^
другим корнем Щ? =1-5/5 уравнения G.2.16). Третье нейтральное
значение К^ > К^ всегда располагается справа от К$. Для 5 < 0 из
двух областей неустойчивости К < 1 и K.Q < К < К*? первая с изме-
нением у2 сохраняет свою верхнюю границу неизменной. Для 5 > 0 из
двух областей неустойчивости К < К^ и 1 < К < К^ вторая имеет
фиксированную нижнюю границу.
Пусть теперь в G.2.17) предположения относительно величины т не
налагаются, тогда нули функции G.2.16) достигаются в трех точках
1Й A + т*)
xn=0, x =—о, т. = т* +
0 5 + 5C +2т,)
5,
где число т» > 0 является единственным действительным корнем урав-
нения х3 - 5т - 5 = 0. Две нейтральные кривые т0 и т_ пересекаются в
точке бифуркации К = 1, у2 = -5. Рождение дополнительных нейтра-
лей (помимо всегда существующей т0), а также заключенной между ни-
ми новой области неустойчивости происходит при некотором значении
параметра в интервале —5 < уг < -15/4 E < 0). Две области неустойчи-
вости (заштрихованы на рис. 7.3) соприкасаются в точке бифуркации.
В случае у2 —> -°° справедливы асимптотики
G.2.19)
146
Как видно из G.2.19), максимум коэффициента усиления П(К+) и
верхнее нейтральное значение К^ неограниченно возрастают при
движении параметра у2 вдоль отрицательной полуоси.
Возвращаясь к исходному выражению G.2.2), отметим, что реали-
зация условий G.2.7), G.2.9) означает существование наряду с ней-
тральным значением волнового числа kt = Re Kt трех нейтральных
значений кЦ:2-3) = Re9/20 к?2'3). Если К™ < К™ < кЦ\ то, помимо об-
ласти неустойчивости kt < к < k;J, появляется вторая область неустой-
чивости к!?* <к<кЦ\ не имеющая своего аналога в случае несжи-
маемой жидкости.
Построенный пример неединственности верхней ветви нейтраль-
ной кривой опирается на свойства задаваемой в критической точке с
помощью F.3.116) величины Л. Переход в G.2.1) к пределу е —> О
(Re —> оо) при фиксированном с исключает слагаемое, связанное с
вязкими эффектами в пристеночном подслое. В указанном пределе
нейтральные кривые с, = 0 соответствуют невязкой моде собственных
колебаний и определяются корнями уравнения Л = О, т.е. обобщенными
точками перегиба.
7.3. О зарождении дополнительных ветвей
нейтральной кривой внутри классической петли
неустойчивости
Как показано в разд. 7.2, даже при числах Маха М^ и отклонениях
температуры обтекаемой поверхности от температуры торможения
Tw - Т,., стремящихся к нулю как некоторые отрицательные степени
числа Рейнольдса Re —> °°, функция, задающая нейтральную кривую,
может стать трехзначной. Последнее условие означает появление
новой области неустойчивости, не имеющей своего аналога в пределе
несжимаемой жидкости. Представляет интерес установить вид
нейтральной кривой в зависимости от числа Рейнольдса, если осталь-
ные параметры задачи остаются фиксированными. Данная интерпре-
тация решений дисперсионного уравнения G.2.8), приближенная к
традиционным, принятым в литературе способам выбора переменных
при изображении нейтральных кривых, излагается ниже.
Коэффициенты уь Ъ из G.2.3), входящие в выражение G.2.2) для
функции Q(K), получаются нормировкой зависящих только от числа
Маха М„ и температуры поверхности Tw величин у*, у*2, если их опре-
делить следующим образом:
Yl=Re0Y:, y2=Re1/10^. G.3.1)
Формула G.2.2) основана на предположении М^ =O(Re1/20),
Tw-Tr = O(Re1/I0), которое приводит к оценкам уг = 0A), у2 = 0A).
147
Подчеркнем, что параметры yj\ у2 не зависят от числа Рейнольдса.
Но тогда изменение последнего при фиксированных Мтс, Tw в силу
G.3.1) налагает связь
У2=Соу2. G.3.2)
Соотношение G.3.2) означает, что на плоскости К_,К+ перемен-
ные должны изменяться вдоль лучей
^=7^^-. G.3.3)
1-50
где вместо константы Со введена величина 50 = 1Ч Со > 0. Пара-
4
метры в], е2, определяющие отклонение у1; у2 от соответствующих
точке Кв значений, вследствие G.2.11), G.3.2) также оказываются
зависимыми:
е2 =-50 + 2е, -250е, +е, -50.
Найдем на плоскости К_,К+ точку пересечения луча G.3.3) при
80 = const с кривой К+ = f(K_), где функция / задана посредством
G.2.10). На рис. 7.1 дуга АВ представляет собой часть кривой
К+ = f(K_). Будем считать параметр 50 малым, тогда рассматриваемый
луч проходит через окрестность точки К+ = К_ = Кв = б1 , а формула
G.2.4) переписывается следующим образом:
A±§1/2). G.3.4)
Подставим G.3.4) в уравнение К+ = f(K_) и, пользуясь малостью 50,
разрешим его относительно переменной €\:
Переход через точку е_ соответствует появлению двух новых корней
уравнения G.2.8) наряду с всегда существующим действительным кор-
нем вне области G.2.9). Заметим, что движение точки по лучу G.3.3)
при увеличении в] означает в силу G.2.4), G.2.11), G.3.1) возрастание
числа Рейнольдса.
Найдем теперь точку пересечения луча 5q = const с кривой
К_ = f(K+) (дуга ВС на рис. 7.1). Воспользовавшись, как и выше, выра-
жениями G.3.4), получим
Превышение параметром ej величины е+ приводит к исчезновению
двух дополнительных корней уравнения G.2.8).
148
Таким образом, область G.2.9) вместе со своей границей ABC
отсекает на луче G.3.3) отрезок
е1=25о + 45^/20, -1«в«1. G.3.5)
Нетрудно убедиться, что величину © из G.3.5) можно считать сов-
падающей с параметром уравнения G.2.14), которое при -1 < 0 < 1
имеет три различных действительных корня.
Пересечение луча G.3.3) с кривой К+ = f(K_) при 0 = -1 отвечает
двукратному корню Т = -1 и простому корню Т = 2. Пересечение с кри-
вой К_ = f(K+) при 0=1 означает существование двукратного корня
Т = 1 и простого корня Т = -2. Что касается окрестностей точек 0 = ±1,
то поведение в них нейтральных кривых описывается функциями
у A + ©) I }, G.3.6a)
Г2 11/2
± I — Cl - G»J \- G.3.66)
Как видно из G.3.6), в точках появления и исчезновения двух до-
полнительных действительных корней уравнения G.2.14) (и, следо-
вательно, уравнения G.2.8)) нейтральные кривые имеют вертикальные
касательные. В интервале -1 < 0 < 1, соответствующем е_ < е1 < е+,
функция К = ?(У),у2). неявно задаваемая уравнением G.2.8), является
трехзначной.
Итак, асимптотический анализ окрестности точки К_ — К+ = Кв,
которую при малых 50 пересекает луч G.3.3), показывает, что с
увеличением числа Рейнольдса в неустойчивой области ниже верхней
ветви нейтральной кривой при ?\ = е_ зарождаются две новые ветви
вида G.3.6а). Значения К между названными двумя ветвями принад-
лежат устойчивым колебаниям. Так из ветвей, которая соответствует
знаку минус в G.3.6а), при дальнейшем росте числа Рейнольдса
сливается в точке в] = е+ с первоначально существующей (для в] < е_)
ветвью и, как следует из G.3.66), данные кривые непродолжимы в
область в; > е+. Единственная ветвь нейтральной кривой, сущест-
вующая при ?] > е+является продолжением решения G.3.6а) со знаком
плюс.
Обозначим через Re0 то значение числа Рейнольдса, которому
согласно формуле G.3.1) соответствует у! = 1. Вместо волнового числа
k = Re9/20K, К = 0A), определенного в системе единиц с масштабом
длины порядка продольного размера обтекаемой пластины, обычно
вводится параметр а = Re/2 к = Re~1/20 К [173, 282], оцениваемый как
отношение толщины пограничного слоя к длине волны возмущений.
149
a.
0,2
0,1 -
a.
0,2
0,1
2 4 6
Рис. 7.4
8 Т.
4 6
Рис. 7.5
На рис. 7.4 в переменных
Yi =
Re
1/20
Re>/2°
a, =aRe{,/2O=
{/2O
{,
показано решение уравнения G.2.8) для фиксированного 50 = 0,0587,
когда параметры у,, уг изменяются вдоль кривой G.3.2), а соответ-
ствующая им точка на плоскости К_,К+ движется по лучу G.3.3).
Обратим внимание на следующую качественную особенность пове-
дения нейтральных решений, вытекающую из вида функции G.2.10).
Наклон луча G.3.3) при 80 = const превышает угловой коэффициент 3/5
асимптоты данной функции, если 5о > 1/16. Но тогда луч G.3.3) не пере-
секает кривую ВС на рис. 7.1 и, следовательно, нейтральная кри-
150
вая G.2.8) лудет состоять из трех ветвей при сколь угодно больших
числах Рейнольдса. Такой случай для 5о = 0,0662 проиллюстрирован на
рис. 7.5.
Заметим, что нижняя ветвь нейтральной кривой [173, 282] в рас-
сматриваемых переменных сливается с осью абсцисс. Области экспо-
ненциально растущих возмущений на рис. 7.4, 7.5 заштрихованы.
Возникновение новых ветвей означает, что внутри классической пет-
ли нейтральной кривой появляется дополнительная петля, разделяю-
щая при каждом заданном числе Рейнольдса интервал неустойчивости
на два.
ЛИТЕРАТУРА
1. Prandtl L. Uber Fliissigkeitsbe-
wegung bei sehr kleiner Reibung //
Verhandl. d. III. Intern. Math. Kongr.,
Heidelberg, 1904. Leipzig: Teubner,
1905. S. 484-491.
2. Chapman DR., Kuehn D., Lar-
son H. Investigation of separated flows in
supersonic and subsonic streams with
emphasis on the effect of transition //
NASA Rep. 1958. N 1356.
3. Нейланд В.Я. К теории отры-
ва ламинарного пограничного слоя в
сверхзвуковом потоке // Изв. АН
СССР. МЖГ. 1969. № 4. С. 53-57.
4. Stewartson К., Williams P.G.
Self-induced separation // Proc. Roy.
Soc. London. A. 1969. Vol. 312, N 1509.
P. 181-206.
5. Stewartson K. On the flow near
the trailing edge of a flat plate. II //
Mathematika. 1969. Vol. 16, pt. 1, N 31.
P. 106-121.
6. Messiter A.F. Boundary layer
flow near the trailing edge a flat plate //
SIAM J. Appl. Math. 1970. Vol. 18, N 1.
P. 241-257.
7. Goldstein S. On laminar bounda-
ry-layer flow near a position of sepa-
ration // Quart. J. Mech. and Appl. Math.
1948. Vol. 1.N1.P. 43-69.
8. Сычев В.В. О ламинарном от-
рыве // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972.
№ 3. С. 47-59.
9. Thwaites В. Incompressible aero-
dynamics. Oxford: Clarendon press,
1960.636 р.
10. Smith F.T. The laminar separa-
tion of an incompressible fluid streaming
152
past a smooth surface // Proc. Roy. Soc.
London A. 1977. Vol. 356, N 1687.
p. 443-463.
11. Королев ГЛ. Численное ре-
шение асимптотической задачи об
отрыве ламинарного пограничного
слоя от гладкой поверхности // Учен,
зап. ЦАГИ. 1980. Т. 11, № 2. С. 27-36.
12. Сычев Вик.В. Теория неста-
ционарного отрыва пограничного
слоя и разрушения следа // Успехи
механики. 1983. Т. 6, вып. 1/2. С. 13-
51.
13. Боголепов В.В., Ней-
ланд В.Я. Исследование локальных
возмущений вязких сверхзвуковых
течений // Аэромеханика. М.: Наука,
1976. С. 104-118.
14. Smith F.T., Brighton P.W.M.,
Jackson P.S., Hunt J.C.R. On boundary-
layer flow past two-dimensional obstac-
les // J. Fluid Mech. 1981. Vol. 113.
P. 123-152.
15. Рубан А.И. Особое решение
уравнений пограничного слоя, непре-
рывно продолжимое через точку
нулевого поверхностного трения //
Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. № 6.
С. 42-52.
16. Рубан А.И. Асимптотическая
теория коротких зон отрыва на пе-
редней кромке тонкого профиля //
Там же. 1982. № 1. С. 42-51.
17. Stewartson К., Smith F.T.,
Kaups К. Marginal separation // Stud.
Appl. Math. 1982. Vol. 67, N 1. P. 45-
61.
18. Brown S.N., Stewartson K. On
an integral equation of marginal separa-
tion // SIAM J. Appl. Math. 1983.
Vol. 43, N5. P. 1119-1126.
19. Заметаев В.Б. Существова-
ние и неединственность локальных
зон отрыва в вязких струях // Изв.
АН СССР. МЖГ. 1986. № 1. С. 38-
45.
20. Messiter A.F., LindnA. The ver-
tical plate in laminar free convection:
Effects of leading and trailing edges and
discontinuous temperature // Ztschr. an-
gew. Math, und Phys. 1976. Bd. 27, N 5.
S. 633-651.
21. Smith F.T., Duck P.W. Separa-
tion of jets of thermal boundary layers
from a wall // Quart. J. Mech. and Appl.
Math. 1977. Vol. 30, pt. 2. P. 143-156.
22. Merkin J.H., Smith F.T. Free
convection boundary layers near corners
and sharp trailing edges // Ztschr. angew.
Math, und Phys. 1982. Bd. 33, N 1.
S. 36-52.
23. Merkin J.H. Free convection
boundary layers over humps and inden-
tations // Quart. J. Mech. and Appl. Math.
1983. Vol. 36, pt. l.P.71-85.
24. Smith F.T. On entry-flow effects
in bifurcating, blocked or constricted
tubes // J. Fluid Mech. 1976. Vol. 78,
pt. 4. P. 709-736.
25. Smith F.T. Flow through con-
stricted on dilated pipes and channels.
Pt. 1,2 // Ouart. J. Mech. and Appl. Math
1976. Vol. 29, pt. 3. P. 343-376.
26. Smith F.T. Laminar flow over a
small hump on a flat plate // J. Fluid
Mech. 1973. Vol. 57, pt. 4. P. 803-824.
27. Smith F.T. Pipeflows distorted
by non-symmetric indentation or bran-
ching // Mathematika. 1976. Vol. 23,
pt. 1,N45. P. 62-83.
28. Smith F.T. Steady motion
through a branching tube // Proc. Roy.
Soc. London. A. 1977. Vol. 355, N 1681.
P. 167-187.
29. Smith F.T. Upstream interac-
tions in channel flows // J. Fluid Mech.
1977. Vol. 79, pt. 4. P. 631-655.
30. Smith F.T. The separating flow
through a severely constricted symmetric
tube // Ibid. 1979. Vol. 90, N 4. P. 725-
754.
31. Smith F.T., Duck P.W. On the
severe non-symmetric constriction, cur-
ving or cornering of channel flow // Ibid.
1980. Vol. 90, pt. 4. P. 727-753.
32. Smith F.T., Sykes R.I., Brigh-
ton P.W.M. A two-dimensional boundary
layer encountering a three-dimensional
hump // Ibid. 1977. Vol. 83, pt. 1.
P. 163-176.
33. Smith F.T., Gajjar J. Flow past
wing-body junction // Ibid. 1984.
Vol. 144. P. 191-215.
34. Duck P.W., Burggraf O.R.
Spectral solutions for three-dimensional
triple-deck flow over surface topograp-
hy//Ibid. 1986. Vol. 162. P. 1-22.
35. Schneider W. Upstream propa-
gation of unsteady disturbances in su-
personic boundary layers // Ibid. 1974.
Vol. 63, N 3. P. 465-485.
36. Brown S.N., Daniels P.G. On the
viscous flow about the trailing edge of a
rapidly oscillating plate // Ibid. 1975.
Vol. 67, pt. 4. P. 743-761.
37. Рыжов О.С. Уравнение не-
стационарного пограничного слоя с
самоиндуцированным давлением //
Докл. АН СССР. 1977. Т. 234, № 4.
С. 780-783.
38. Рыжов О.С, Терентьев Е.Д.
О нестационарном пограничном слое
с самоиндуцированным давлением //
ПММ. 1977. Т. 41, вып. 6. С. 1007-
1023.
39. Рыжов О.С. О нестационар-
ном пограничном слое с самоиндуци-
рованным давлением при околозву-
ковых скоростях внешнего потока //
Докл. АН СССР. 1977. Т. 236, № 5.
С. 1091-1094.
40. Жук В.И., Рыжов О.С. Об
одном свойстве линеаризованных
уравнений пограничного слоя с само-
индуцированным давлением // Там
же. 1978. Т. 240, № 5. С. 1042-1045.
41. Жук В.И., Рыжов О.С. О ре-
шениях дисперсионного уравнения из
теории свободного взаимодействия
пограничного слоя // Там же. 1979.
Т. 247, № 5. С. 1085-1088.
42. Ryzhov O.S., Zhuk V.I. Internal
waves in the boundary layer with the
153
self-induced pressure // J. mec. 1980.
Vol. 19, N2. P. 561-580
43. Benney D.J., Bergeron R.F. A
new class of nonlinear waves in parallel
flows // Stud. Appl. Math. 1969. Vol. 48,
N3. P. 181-204.
44. Davis RE. On the high Rey-
nolds number over a wavy boundary // J.
Fluid Mech. 1969. Vol. 36, pt. 2. P. 337-
346.
45. Stuart J.T. Nonlinear stability
theory // Annu. Rev. Fluid Mech. 1971.
Vol. 3. P. 347-370.
46. Lighthill MJ. On boundary lay-
ers and upstream influence. I. Supersonic
flows without separation // Proc. Roy.
Soc. London. A. 1953. Vol. 217, N 1131.
P. 478-507.
47. Ryzhov O.S. Stability and sepa-
ration of viscous flows // Laminar-turbu-
lent transition: IUTAM Symp., 1984. В.;
Heidelberg: Springer, 1985. P. 337-347.
48. Терентьев Е.Д. Расчет дав-
ления в линейной задаче о вибраторе
в сверхзвуковом пограничном слое //
ПММ. 1979. Т. 43, вып. 6. С. 1014-
1028.
49. Линь Цэя-цзяо. Теория гид-
родинамической устойчивости. М.:
Изд-во иностр. лит., 1958.
50. Tollmin W. Uber die Enstehung
der Turbulenz. Mitt. I. // Nachr. Ges.
Wiss. Gottingen. Math.-phys. Kl. 1929.
H. l.S. 21.
51. Smith F.T. On the nonparallel
flow stability of the Blasius boundary
layer//Proc. Roy. Soc. London. A. 1979.
Vol. 366, N 1724. P. 91-109.
52. Жук В.И., Рыжов О.С. Сво-
бодное взаимодействие и устойчи-
вость пограничного слоя в несжи-
маемой жидкости // Докл. АН СССР.
1980. Т. 253, № 6. С. 1326-1329.
53. Жук В.И., Рыжов О.С. О сво-
бодном взаимодействии пристеноч-
ных слоев с ядром течения Пуазей-
ля// Там же. 1981. Т. 257, № 1. С. 55-
59.
54. Богданова Е.В., Рыжов О.С.
О колебаниях, возбуждаемых гармо-
ническим осциллятором в течении
Пуазейля // Там же. № 4. С. 837-841.
154
55. Терентьев Е.Д. Линейная за-
дача о вибраторе в дозвуковом пог-
раничном слое // ПММ. 1981. Т. 45,
вып. 6. С. 1049-1055.
56. Терентьев Е.Д. Линейная за-
дача о вибраторе, совершающем гар-
монические колебания на закрити-
ческих частотах в дозвуковом по-
граничном слое // Там же. 1984. Т. 48,
вып. 2. С. 264-272.
57. Рыжов О.С, Терентьев Е.Д.
О переходном режиме, характери-
зующем запуск вибратора в дозву-
ковом пограничном слое на пласти-
нке // Там же. 1986. Т. 50, вып. 6.
С. 974-986.
58. Богданова Е.В., Рыжов О.С.
О возмущениях, генерируемых ос-
цилляторами в потоке вязкой жид-
кости на закритических частотах //
ЖПМТФ. 1982. № 4. С. 65-72.
59. Богданова Е.В. О свободных
колебаниях вязкой несжимаемой
жидкости в полубесконечной круг-
лой трубе // Докл. АН СССР. 1982.
Т. 263, № 4. С. 829-833.
60. Богданова Е.В. О свободных
колебаниях вязкой несжимаемой
жидкости на входе в трубу кольце-
вого сечения малой кривизны // Там
же. Т. 265, № 3. С. 556-560.
61. Bogdanova E.V., Ryzhov O.S.
Free and induced oscillations in Poi-
seuille flow // Quart. J. Mech. and Appl.
Math. 1983. Vol. 36, pt 2. P. 271-287.
62. Duck P.W. Pulsatile flow
through constricted or dilated channels //
Ibid. 1980. Vol. 33, pt 1. P. 77-92.
63. Stephanoff K.D., Pedley T.J.,
Lawrence C.J., Secomb T.W. Fluid flow
along a channel with an asymmetric
oscillating constriction // Nature. 1983.
Vol. 305, N 5936. P. 692-695.
64. Duck P.W. Pulsatile flow thro-
ugh constricted or dilated channels. II //
Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1985.
Vol. 38, pt 4. P. 621-653.
65. Pedley T.J., Stephanoff K.D.
Flow along a channel with a time-
dependent indentation in one wall: The
generation of vorticity waves // J. Fluid
Mech. 1985. Vol. 160. P. 337-367.
66. Рубан А.И. Об устойчивости
предотрывного пограничного слоя на
передней кромке тонкого профиля //
Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. № 6.
С. 55-63.
67. Smith F.T. Concerning dynamic
stall // Aeronaut. Quart. 1982. Vol. 33,
pt4. P. 331-352.
68. Ryzhov O.S., Smith F.T. Short-
length instabilities, breakdown and initial
value problems in dynamic stall // Mathe-
matika. 1984. Vol. 31, pt 2, N 62.
P. 163-177.
69. Taylor G.I. Stability of viscous
liquid contained between two rotating
cylinders // Philos. Trans. Roy. Soc.
London A. 1923. Vol. 223. P. 289-343.
70. G order H. Uber eine drei-di-
mensionale instabilitat laminarer Grenz-
schichten and concaven wanden // Ztschr.
angew. Math, und Mech. 1941. Bd. 21,
N 2. S. 250-252.
71. Hall P. Taylor-Gortler vortices
in fully developed or boundary-layer
flows: Linear theory // J. Fluid Mech.
1982. Vol. 124. P. 475-494.
72. Hall P. The linear development
of Go'rtler vortices in growing bounda-
ry layers // Ibid. 1983. Vol. 130. P. 41-
58.
73. Hall P. On the non-linear evolu-
tion of Gortler vortices in non-parallel
boundary layers // IMA J. Appl. Math.
1982. Vol. 29, N 2. P. 173-196.
74. Hall P., Bennett J. Taylor-
Gortler instabilities of Tollmien-Schlich-
ting waves and other flows governed by
the interactive boundary-layer equati-
ons // J. Fluid Mech. 1986. Vol. 171.
p. 441-457.
75. Bennet J., Hall P. On the
secondary instability of Taylor-Gortler
vortices to Tollmien-Schlichting waves
in fully developed flows // Ibid. 1988.
Vol. 186. P. 445^169.
76. Hall P. The nonlinear develop-
ment of Gortler vortices in growing
boundary layers // Ibid. 1988. Vol. 193.
P. 243-266.
77. Brown S.N., Stewartson K. La-
minar separation // Annu. Rev. Fluid
Mech. 1969. Vol. 1. P. 45-72.
78. Нейланд В.Я. Асимптотиче-
ские задачи теории вязких сверхзву-
ковых течений. М., 1974. (Тр. ЦАГИ;
Вып. 1529).
79. Stewartson К. Multistructured
boundary layers on flat plates and related
bodies // Adv. Appl. Mech. 1974.
Vol. 14. P. 145-239.
80. LagerstromPA. Solutions of the
Navier-Stokes equation at large Rey-
nolds number // SIAM J. Appl. Math.
1975. Vol. 28, N 1. P. 202-214.
81. Рубан A.M., Сычев ВВ.
Асимптотическая теория отрыва ла-
минарного пограничного слоя в не-
сжимаемой жидкости // Успехи меха-
ники. 1979. Т. 2, вып. 4. С. 57-95.
82. Боголепов В.В., Елькин Ю.Г.,
Ермак Ю.Н., Липатов ИМ. Некото-
рые проблемы теории вязких тече-
ний с взаимодействием // Вихревые
движения жидкости: Устойчивость и
отрыв пограничного слоя, свободные
и квантовые вихри. М.: Мир, 1979.
С. 101-125.
83. Messiter A.F. Boundary-layer
separation // Proc. 8th US Nat. congr.
appl. mech. North Hollywood (Calif.):
Western Periodicals, 1979. P. 157-
179.
84. Adamson T.C., Messiter A.F.
Analysis of two-dimensional interactions
between shock waves and boundary
layers // Annu. Rev. Fluid Mech. 1980.
Vol. 12. P. 103-138.
85. Нейланд В.Я. Асимптотичес-
кая теория отрыва и взаимодействия
пограничного слоя со сверхзвуковым
потоком газа // Успехи механики.
1981. Т. 4, вып. 2. С. 3-62.
86. Stewartson К. D'Alembert's
paradox // SIAM Rev. 1981. Vol. 23,
N 3. P. 308-343.
87. Smith F.T. On the high Reynolds
number theory of laminar flows // IMA
J. Appl. Math. 1982. Vol. 28, N 3.
P. 207-281.
88. Сычев Вик.В. Теория не-
стационарного отрыва пограничного
слоя и разрушения следа // Успе-
хи механики. 1983. Т. 6, вып. 1/2.
С. 13-51.
155
89. Messiter A.F. Boundary-layer
interaction theory // Trans. AS ME. B.
1983. Vol. 50, N4. P. 1104-1113.
90. Smith F.T. Steady and unsteady
boundary-layer separation // Annu. Rev.
Fluid Mech. 1986. Vol. 18. P. 197-220.
91. Асимптотическая теория от-
рывных течений / Под ред. В.В. Сы-
чева. М.: Наука, 1987. 256 с.
92. Eckhaus W. Matched asymptotic
expansions and singular perturbations.
Amsterdam; L.: North-Holland, 1973.
93. Ильин A.M. Краевая задача
для эллиптического уравнения вто-
рого порядка в области с узкой
щелью. 1. Двумерный случай // Мат.
сб. 1976. Т. 99 A41), № 4. С. 514-537.
94. Ильин A.M. Согласование
асимптотических разложений реше-
ний краевых задач. М.: Наука, 1989.
95. Van Dyke M.D. Perturbation
methods in fluid mechanics. N.Y.: Acad.
press, 1964. Рус. пер.: Ван Дайк М.Д.
Методы возмущений в механике
жидкости. М.: Мир, 1967.
96. Cole J.D. Perturbation method
in applied mathematics. Waltham
(Mass.): Blaisdell, 1968. Рус. пер.:
Коул Дж. Методы возмущений в
прикладной математике. М.: Мир,
1972.
97. Lagerstrom P.A., Casten R.G.
Basic concept underlying singular pertur-
bation techniques // SIAM Rev. 1972.
Vol. 14, N1. P. 63-120.
98. Рыжов О.С. Асимптотиче-
ские методы в динамике жидкости //
Журн. вычисл. математики и мат.
физики. 1980. Т. 20, № 5. С. 1221-
1248.
99. Диесперов В.Н., Рыжов О.С.
Асимптотические методы в механике
жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ.
1982. №2. С. 75-87.
100. Smith F.T., Bodonyi R.J. On
short-scale inviscid instabilities in flow
past surface-mounted obstacles and other
non-parallel motions // Aeronaut. J. 1985.
Vol. 89, N886. P. 205-212.
101. Tutty O.R., Cowley SJ. On the
stability and the numerical solution of
the unsteady interactive boundary-layer
156
equation // J. Fluid Mech. 1986.
Vol. 168. P. 431^56.
102. Jobe C.E., BurggrafO.R. The
numerical solution of the asymptotic
equation of trailing edge flow // Proc.
Roy Soc. London A. 1974. Vol. 340,
N1620. P. 91-111.
103. Sobey l.J. On flow through
furrowed channels. Pt 1. Calculated flow
patterns // J. Fluid Mech. 1980. Vol. 96.
P. 1-26.
104. Dennis S.C.R., Smith F.T.
Steady flow through a channel with a
symmetrical constriction in the form of a
step // Proc. Roy. Soc. London A. 1980.
Vol. 372, N 1750. P. 393-414.
105. Greenspan H.P., Benny D.L.
On shear-layer instability, breakdown
and transition // J. Fluid Mech. 1963.
Vol. 15, pt 1. P. 133-153.
106. Schubauer G.B., Skram-
stad H.K. Laminar boundary-layer oscil-
lations and transition on a flat plate //
J. Res. Nat. Bur. Stand. 1947. Vol. 38.
P. 251-292.
107. KlebanoffPS., Tidstrom K.D.
Evolution of amplified waves leading to
transition in a boundary layer with zero
pressure gradient. Wash. (D.C.), 1959.
(Techn. Note / NASA; D-195).
108. KlebanoffPS., Tidstrom K.D.,
Sargent L.M. The three-dimensional
nature of boundary-layer instability // J.
Fluid Mech. 1962. Vol. 12, pt 1. P. 1-
34.
109. Nishioka M., Asai M., lida S.
An experimental investigation of the
secondary instability // IUTAM symp. on
laminar-turbulent transition: Abstracts.
Stuttgart, 1980. P. 30-31.
110. Brown S.N., Cheng H.K.,
Smith F.T. Nonlinear instability and
break-up of separated flow // J. Fluid
Mech. 1988. Vol. 193. P. 191-216.
111. Craik A.D.D. Non-linear reso-
nant instability in boundary layers // Ibid.
1971. Vol. 50, pt 2. P. 393-413.
112. Володин А.Г., Зелъман М.Б.
Трехволновое резонансное взаимо-
действие возмущений в пограничном
слое // Изв. АН СССР. МЖГ. 1978.
№ 5. С. 78-84.
113. Kachanov Yu.S., Levchen-
ko V.Ya. The resonant interaction of di-
sturbances at laminar-turbulent transition
in a boundary layer // J. Fluid Mech.
1984. Vol. 138. P. 209-247.
114. Козлов В.В., Левченко В.Я.,
СарикВ.С. Образование трехмерных
структур при переходе в погранич-
ном слое. Новосибирск, 1983.
(Препр. / Ин-т теорет. и прикл.
механики СО АН СССР; № 10-83).
115. Smith FT., Stewart P.A. The
resonant-triad nonlinear interaction in
boundary-layer transition // J. Fluid
Mech. 1987. Vol. 179. P. 227-252.
116. Wu X. Viscous effects on fully
coupled resonant-triad interactions: An
analytical approach // Ibid. 1995.
Vol. 292. P. 377^07.
117. Herbert T. Secondary instabi-
lity of plane channel flow to subharmonic
three-dimensional disturbances // Phys.
Fluids. 1983. Vol. 26, N4. P. 871-874.
118. Wu X., Stewart P.A. Interaction
of phase-locked modes: A new
mechanism for the rapid growth of three-
dimensional disturbances // J. Fluid
Mech. 1996. Vol. 316. P. 335-372.
119. Reshotko E. Boundary-layer
stability and transition // Annu. Rev.
Fluid Mech. 1976. Vol. 8. P. 311-349.
Рус. пер. в кн.: Вихревые движения
жидкости. Устойчивость и отрыв
пограничного слоя, свободные и
квантовые вихри. М.: Мир, 1979.
С. 11-57.
120. Кочанов Ю.С., Козлов В.В.,
Левченко В.Я. Возникновение турбу-
лентности в пограничном слое.
Новосибирск: Наука, 1982.
121. Козлов В.В., Рыжов О.С.
Восприимчивость пограничного
слоя: Асимптотическая теория и
эксперимент. М.: ВЦ АН СССР,
1988.
122. Nishioka M., Morkovin M.V.
Boundary-layer receptivity to unsteady
pressure gradients: Experiments and
overview // J. Fluid Mech. 1986.
Vol. 171. P. 219-261.
123. Рубан А.И. О генерации
волн Толлмина-Шлихтинга звуком //
Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 5.
С. 44-52.
124. Goldstein M.E. Scattering of
acoustic waves into Tollmien-Schlich-
ting waves by small streamwise varia-
tions in surface geometry // J. Fluid
Mech. 1985. Vol. 154. P. 509-529.
125. Goldstein ME., Hultgren L.S.
A note on the generation of Tollmien-
Schlichting waves by sudden surface-
curvature change // Ibid. 1987. Vol. 181.
P. 519-525.
126. CroushJ.D. Localized recepti-
vity of boundary layers // Phys. Fluids.
1992. N A4. P. 1408.
127. Choudhari M., Streett C.L. A
finite Reynolds number approach for the
prediction of boundary layer receptivity
in localized regions // Ibid. P. 2495.
128. Croush J.D., Spalart P.R. A
study of non-parallel and nonlinear
effects on the localized receptivity of
boundary layers // J. Fluid Mech. 1995.
Vol. 290. P. 29-37.
129. Hill D.C. Adjoint systems and
their role in the receptivity problem for
boundary layers // Ibid. Vol. 292. P. 183-
204.
130. Goldstein M.E., Leib S.J.,
Cowley SJ. Generation of Tollmien-
Schlichting waves on interactive margi-
nally separated flows // Ibid. 1987.
Vol. 181. P. 485-517.
131. Briggs R.J. Electron stream
interaction with plasmas. Cambridge
(Mass.): Mass. Inst. of Technol. press,
1964.
132. Bers A. Linear waves and
instabilities // Plasma physics / Ed. by C.
De Witt and J. Peyraud. N.Y. etc. Gordon
and Breach, 1975. P. 113-216.
133. Goldstein M.E. The evolution
of Tollmien—Schlichting waves near a
leading edge // J. Fluid Mech. 1983.
Vol. 127. P. 59-81.
134. Leibovich S. The structure of
vortex breakdown // Annu. Rev. Fluid
Mech. 1978. Vol. 10. P. 221-246. Рус.
пер. в кн.: Вихревые движения жид-
кости. Устойчивость и отрыв погра-
ничного слоя, свободные и кванто-
вые вихри. М.: Мир, 1979. С. 160-196.
157
135. Сычев Вик.В. Асимптоти-
ческая теория разрушения вихря //
Изв. РАН. МЖГ. 1993. № 3. С. 78-90.
136. Bodonyi R.J., Smith F.T.,
Kluwick R.A. Axisymmetric flow past a
slender body of finite length // Proc. Roy.
Soc. London A. 1985. Vol. 400, N 1812.
P. 37-54.
137. Сычев Вик.В. О течении
вблизи задней оконечности тонкого
осесимметричного тела // Изв. АН
СССР. МЖГ. 1990. № 5. С. 10-18.
138. Королев Г.Л., Сычев Вик.В.
Асимптотическая теория обтекания
задней оконечности тонкого осесим-
метричного тела // Там же. 1993. № 5.
С. 68-77.
139. Сычев В.В., Сычев Вик.В.
О течении вязкой жидкости около
вращающегося эллиптического ци-
линдра // Журн. вычисл. математики
и мат. физики. 1995. Т. 35, № 6.
С. 1001-1008.
140. Воголепов В.В., Ней-
ланд В.Я. Обтекание малых неровно-
стей на поверхности тела сверхзвуко-
вым потоком вязкого газа. М., 1971.
(Тр. ЦАГИ; Вып. 1363).
141. Smith F.T., Daniels P.G.
Removal of Goldstein's singularity at
separation of flow past obstacles in wall
layers Hi. Fluid Mech. 1981. Vol. 110.
P. 1-37.
142. Тимошин С.Н. Асимптоти-
ческий анализ пространственно-не-
устойчивого спектра вихрей Герт-
лера // Изв. АН СССР. МЖГ. 1990.
№ 1.С. 32-41.
143. Боголепов В.В., Липа-
тов И.И. Асимптотический анализ
развития вихрей Гертлера в погра-
ничном слое жидкости около вогну-
той поверхности. М., 1990. (Препр. /
ЦАГИ; № 8).
144. Боголепов В.В., Липа-
тов И.И. К асимптотической теории
вихрей Гертлера в пограничном слое
жидкости // ЖПМТФ. 1992. № 3.
С. 58-68.
145. Боголепов В.В. Нелинейное
развитие вихрей Гертлера в присте-
ночной части пограничного слоя //
Изв. АН СССР. МЖГ. 1994. № 1.
С. 29-35.
146. Malik M.R., Hussaini MJ. Nu-
merical simulation of interactions betwe-
en Gortler vortices and Tollmien-Schli-
chting waves // J. Fluid Mech. 1990.
Vol. 210. P. 183-199.
147. Nayfeh AM., Al-Maaitah A.
Influence of streamwise vortices on Toll-
mien-Schlichting waves // Phys. Fluids.
1988. Vol. 31, N 12. P. 3543-3549.
148. Bassom A.P., Hall P. Vortex
instability in three-dimensional boundary
layers: The relation between Gortler and
crossflow vortices // J. Fluid Mech. 1991.
Vol. 232. P. 647-680.
149. Fu Y., Hall P. Crossflow ef-
fects on the growth rate of inviscid
GOrtler vortices in a hypersonic boundary
layer // Ibid. 1994. Vol. 276. P. 343-
367.
150. Li F., Malik M.R. Fundamental
and subharmonic secondary instability of
Gortler vortices // Ibid. 1995. Vol. 297.
P. 77-100.
151. Walton A.G. Strongly nonlinear
vortex-Tollmien-Schlichting-wave inte-
raction in the developing flow through a
circular pipe // Ibid. 1996. Vol.319.
P. 77-107.
152. Van Dommelen L.L., Cow-
ley SJ. On the Lagrangian description of
unsteady boundary-layer separation. Pt 1.
General theory // Ibid. 1990. Vol. 210.
P. 593-626.
153. Van Dommelen L.L. On the
Lagrangian description of unsteady boun-
dary-layer separation. Pt 2. The spinning
sphere // Ibid. P. 627-645.
154. Puhak R.I., Degani A.T.,
Walker J.D.A. Unsteady separation and
heat transfer upstream of obstacles //
Ibid. 1995. Vol. 305. P. 1-27.
155. Bridges TJ., Morris P.J. Boun-
dary layer stability calculations // Phys.
Fluids. 1987. Vol. 30, N 11. P. 3351-
3358.
156. Spalart P.R., Yang K.-S. Nu-
merical study of ribbon-induced transi-
tion in Blasius flow // J. Fluid Mech.
1987. Vol. 178. P. 345-365.
158
157. Bertolotti F.P., Herbert Th.,
Spalart P.R. Linear and nonlinear stabi-
lity of the Blasius boundary layer // Ibid.
1992. Vol. 178. P. 345-365.
158. Govindarajan R.P., Narasim-
ha R. Stability of spatially developing
boundary layers in pressure gradient //
Ibid. 1995. Vol. 300. P. 117-147.
159. Tadjfar M., Bodonyi R.J. Re-
ceptivity of a laminar boundary layer to
the interaction of a three-dimensional
roughness element with time-harmonic
free-stream disturbances // Ibid. 1992,
Vol. 242. P. 701-720.
160. Emmons H.W. The laminar-
turbulent transition in a boundary layer.
Pt 1 // J. Aeronaut. Sci. 1951. Vol. 18,
N 7. P. 490-498.
161. Bowles R.J.A., Smith F.T.
Short-scale effects on model boundary-
layer spots // J. Fluid Mech. 1995.
Vol. 295. P. 395-407.
162. Rist U., FaselH. Direct nume-
rical simulation of controlled transition in
a flat-plate boundary layer // Ibid.
Vol. 298. P. 211-248.
163. Кочанов Ю.С., Козлов В.В.,
Левченко В.Я., Рамазанов М.П. Экс-
периментальное изучение К-режима
разрушения ламинарного погранич-
ного слоя. Новосибирск, 1984.
(Препр. / Ин-т теорет. и прикл.
механики СО АН СССР; № 9-84). То
же // Изв. СО АН СССР. Сер. техн.
наук. 1989. Вып. 2. С. 124-158.
164. Kachanov Y.S., Koilov V.V.,
Levchenko V.Y., Ramazanov M.P. On
the nature of K-breakdown of a lami-
nar boundary-layer; new experimental
data // Laminar-turbulent transition /
Ed. V.V. Kozlov. В.: Springer, 1985.
P. 61-73.
165. Stocker J.R., Duck P.W. Sta-
tionary perturbations of Couette-Poi-
seuille flow: the flow development in
long cavities and channels // J. Fluid
Mech. 1995. Vol. 292. P. 153-182.
166. Рыжов О.С, Теренть-
ев Е.Д. О волновых движениях
в пространственном пограничном
слое // ПММ. 1991. Т. 55, вып. 6.
С. 912-927.
167. Stewart PA., Smith F.T. Three-
dimensional instabilities in steady and
unsteady nonparallel boundary layers
including effects of Tollmien-Schlich-
ting disturbances and cross flow // Proc.
Roy. Soc. London A. 1987. Vol. 409,
N 1837. P. 229-248.
168. Савенков И.В. Развитие
волновых пакетов в трехмерном
пограничном слое // Журн. вычисл.
математики и мат. физики. 1991.
Т. 31, №11. С. 1754-1759.
169. Петровский И.Г. Лекции об
уравнениях с частными производ-
ными. М.: Гостехтеоретиздат, 1953.
170. Рыжов О.С, Терен-
тьев Е.Д. О равномерно пригодной
модели, описывающей движения
в пространственном пограничном
слое // Журн. вычисл. математики
и мат. физики. 1995. Т. 35, № 6.
С. 964-976.
171. Cassel K.W., Smith F.T.,
Walker J.D.A. The onset of instability in
unsteady boundary-layer separation // J.
Fluid Mech. 1996. Vol. 315. P. 223-
256.
172. Duck P.W., Ruban A.I., Zhik-
harev C.N. The generation of Tollmien—
Schlichting waves by freeTStream turbu-
lence//Ibid. Vol. 312. P. 341-371.
173. Lin C.C. On the stability of
two-dimensional parallel flow. III. Stabi-
lity in a viscous fluid // Quart. Appl.
Math. 1946. Vol. 3, N 4. P. 277-301.
174. Михайлов В.В. Об асимпто-
тике нейтральных кривых линейной
задачи устойчивости ламинарного
пограничного слоя // Изв. АН СССР.
МЖГ. 1981. № 5. С. 39-46.
175. Bodonyi BJ., Smith F.T. The
upper branch stability of the Blasius
boundary layer, including non-parallel
flow effect // Proc. Roy. Soc. London A.
1981. Vol. 375, N 1760. P. 65-92.
176. Жук В.И., Рыжов О.С. Об
асимптотике решений уравнения
Орра-Зоммерфельда, задающих не-
устойчивые колебания при больших
значениях числа Рейнольдса // Докл.
АН СССР. 1983. Т. 268, № 6. С. 1328-
1332.
159
177. Жук В.И. Об асимптотике
решений уравнения Орра-Зоммер-
фельда в областях, примыкающих к
двум ветвям нейтральной кривой //
Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 4.
С. 3-11.
178. Smith F.T. Nonlinear stability
of boundary layers for disturbances of
various sizes // Proc. Roy. Soc. London
A. 1979. Vol. 368, N 1735. P. 573-589.
179. Van Stijn Th.L., Van de Vo-
oren A.I. On the stability of almost pa-
rallel boundary layer flows // Compu-
ters and Fluids. 1983. Vol. 10, N 4.
P. 223-241.
180. Heisenberg W. t)ber Stability
und Turbulenz von Flussigkeitsstro'mun-
gen // Ann. Phys. 1924. Bd. 74, N 15.
S. 577.
181. Tsuge S., Sakai H. Uniformly
valid solution of the Orr-Sommerfeld
equation by a modified Heisenberg
method // J. Fluid Mech. 1985. Vol. 153.
P. 167-183.
182. Левченко В.Я. О влиянии
непараллельности течения на устой-
чивость ламинарного пограничного
слоя // Аэромеханика. М.: Наука,
1976. С. 147-152.
183. Stuart J.T. On the non-linear
mechanics of wave disturbances in stable
and unstable parallel flows. Pt 1. The
basic behaviour in plane Poiseuille
flow // J. Fluid Mech. 1960. Vol. 9, pt 3.
P. 353-370.
184. Watson J. On the non-linear
mechanics of wave disturbances in stable
and unstable parallel flows. Pt 2. The
development of a solution for plane
Poiseuille flow and plane Couette flow //
Ibid. P. 371-389.
185. Stewartson K., Stuart J.T. A
non-linear instability theory for a wave
system in plane Poiseuille flow // Ibid.
1971. Vol. 48, pt 3. P. 529-545.
186. Haberman R. Critical layers in
parallel flows // Stud. Appl. Math. 1972.
Vol. 51, N2. P. 139-161.
187. Robinson J.L. The inviscid
nonlinear instability of parallel shear
flows // J. Fluid Mech. 1974. Vol. 63,
pt 4. P. 723-752.
188. Зубцов А.В., Понома-
160
рев В.И. Об одном классе нестацио-
нарных волн в ламинарном погра-
ничном слое несжимаемой жид-
кости // Аэромеханика. М.: Наука,
1976. С. 140-147.
189. Stewartson К. The evolution of
the critical layer of a Rossby wave //
Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics.
1978. Vol. 9. P. 185-200.
190. Stewartson K. The evolution of
the critical layer of a Rossby wave.
Pt II // Ibid. Vol. 10. P. 1-24.
191. Рубан A.M. Нелинейное
уравнение для амплитуды волны
Толлмина-Шлихтинга в пограничном
слое// Изв. АН СССР. МЖГ. 1983.
№ 6. С. 60-67.
192. Рыжов О.С, Савенков И.В.
Асимптотический подход в теории
гидродинамической устойчивости //
Мат. моделирование. 1989. Т. 1, № 4.
С. 61-86.
193. Burggraf O.R., Duck P.W.
Spectral computation of triple deck
flows // Numerical and physical aspects
of aerodynamical flows. N.Y.: Acad.
press, 1982. P. 145-158.
194. Duck P.W. Unsteady triple-
deck flows leading to instabilities // Proc.
of IUTAM symp. of boundary-layer se-
paration, London, 1986. B. etc.: Springer,
1987. P. 297-312.
195. Рыжов О.С, Тимофеев СВ.
О взаимодействии вихря с локальной
шероховатостью на обтекаемой по-
верхности // Мат. моделирование.
1992. Т. 4, №6. С. 27-49.
196. Ryzhov O.S., Timofeev S.V.
Interaction of a potential vortex with a
local roughness on a smooth surface//
J. Fluid Mech. 1995. Vol. 287. P. 21-58.
197. Goldstein M.E., Hultgren L.S.
Boundary-layer receptivity to long-wave
free-stream disturbances // Annu. Rev.
Fluid Mech. 1989. Vol. 21. P. 137-166.
198. Диесперов В.Н. Некоторые
решения уравнения Кармана, описы-
вающие трансзвуковое обтекание
точки излома профиля с криво-
линейной образующей // ПММ. 1994.
Т. 58, вып. 6. С. 68-77.
199. Диесперов В.Н. О существо-
вании и единственности автомодель-
ных решений, описывающих течение
в слоях смешения// Там же. 1984.
Т. 50, вып. 3. С. 403-414.
200. Диесперов В.Н. Исследова-
ние автомодельных решений, описы-
вающих течения в слоях смешения //
Докл. АН СССР. 1984. Т. 275, №6.
С. 1341-1346.
201. Диесперов В.Н. Об одной
задаче в теории слоев смешения //
ПММ. 1996. Т. 60, вып. 6. С. 1008-
1020.
202. Качанов Ю.С., Козлов В.В.,
Левченко В.Я. Нелинейное развитие
волны в пограничном слое // Изв.
АН СССР. МЖГ. 1977. №3. С. 49-
58.
203. Качанов Ю.С, Левчен-
ко В.Я. Резонансное взаимодействие
возмущений при переходе к турбу-
лентности в пограничном слое.
Новосибирск, 1982. (Препр. / Ин-т
теорет. и прикл. механики СО АН
СССР; № 10-82.)
204. Качанов Ю.С, Козлов В.В.,
Левченко В.Я., Рамазанов М.П. Экс-
периментальное изучение А"-режима
разрушения ламинарного погранич-
ного слоя. Новосибирск, 1984.
(Препр. / Ин-т теорет. и прикл. меха-
ники СО АН СССР; № 9-84.)
205. Kachanov Yu.S., Kozlov V.V.,
Levchenko Y.Ya., Ramazanov M.P. On
nature A"-breakdown of a laminar boun-
dary layer: New experimental data//
Laminar-turbulent transition / Ed.
V.V. Kozlov. В.: Springer, 1985. P. 61-
73.
206. Качанов Ю.С. Резонансно-
волновая природа перехода к турбу-
лентности в пограничном слое //
Моделирование в механике: Сб. науч.
тр. / Ин-т теорет. и прикл. механики
СО АН СССР. 1987. Т. 1A8), №2.
С. 75-98.
207. Kachanov YuS. On the reso-
nant nature of the breakdown of a
laminar boundary layer // J. Fluid Mech.
1987. Vol. 184. P. 43-74.
208. Бородулин В.И., Кача-
нов Ю.С. Роль механизма локальной
вторичной неустойчивости в К -раз-
рушении пограничного слоя // Изв.
СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1988
Вып. 5. С. 65-77.
209. Жук В.И., Рыжов О.С.
О локально-невязких возмущениях
в пограничном слое с самоиндуциро-
ванным давлением // Докл. АН
СССР. 1982. Т. 263, № 1. С. 56-59.
210. Smith F.T., BurggrafO.R. On
the development of large-sizes short-
scaled disturbances in boundary layers //
Proc. Roy. Soc. London A. 1985.
Vol. 399, N1816. P. 25-55.
211. Benjamin Т.В'. Internal waves
of permanent form in fluids of great
depth // J. Fluid Mech. 1967. Vol. 29,
pt 3. P. 559-592.
212. О no H. Algebraic solitary
waves in stratified fluid // J. Phys. Soc.
Jap. 1975. Vol. 39, N4. P. 1082-1091.
213. Жук В.И., Попов СП. О не-
линейном развитии длинноволновых
невязких возмущений в пограничном
слое // ЖПМТФ. 1989. № 3. С. 101-
108.
214. Popov S.P., Zhuk V.I. Investi-
gation of nonlinear waves in boundary
layers based on Burgers and Benjamin-
Ono equations // Soviet Union-Japan
symp. on computational fluid dynamics,
Khabarovsk, 1988: Proceedings/ Ed.
P.I. Chushkin, V.P. Korobeinikov. Mos-
cow, 1989. Vol. 3. P. 142-148.
215. Жук В.И., Попов СП. О ре-
шениях неоднородного уравнения
Бенджамина-Оно // Журн. вычисл.
математики и мат. физики. 1989.
Т. 29, №12. С. 1852-1862.
216. Жук В.И., Попов СП. Мо-
делирование нелинейных волн в
пограничных слоях на основе урав-
нений Бюргерса, Бенджамина-Оно и
Кортевега-де Вриза // Мат. модели-
рование. 1990. Т. 2, № 7. С. 96-109.
217. Попов СП. Структура вол-
новых возмущений, развивающихся в
пограничном слое с самоиндуциро-
ванным давлением в тонких плен-
ках// Докл. АН СССР. 1989. Т. 307,
№2. С. 309-311.
218. Попов СП. Численное ре-
шение уравнения Бенджамина-Оно.
М.: ВЦ АН СССР, 1990.
219. Попов СП. О солитонных
161
возмущениях, возбуждаемых осцил-
лятором в пограничном слое // Журн.
вычисл. математики и мат. физики.
1992. Т. 32, № 1.Q 71-81.
220. Bogdanova-Ryzhova E.V., Ryz-
hovO.S. Solitary-like waves in boun-
dary-layer flows and their randomiza-
tion // Philos. Trans. Roy. Soc. London
A. 1995. Vol. 352. P. 389-404.
221. Savenkov I.V. Wave packets,
resonant interactions and soliton forma-
tion in inlet pipe flow // J. Fluid Mech.
1993. Vol. 252. P. 1-30.
222. Савенков И.В. О нестацио-
нарных осесимметричных течениях в
трубах с упругими стенками // Журн.
вычисл. математики и мат. физики.
1996. Т. 36, №2. С. 147-163.
223. Бородулин В.И., Кача-
нов Ю.С. Когерентные структуры-
солитоны в пограничном слое и
механизм их формирования // Совре-
менные проблемы механики жид-
кости и газа: Всесоюз. школа-семи-
нар. Иркутск, 1990. С. 65-66.
224. Borodulin V.I., Kachanov Y.S.
Experimental study of soliton-like
coherent structures in boundary layer //
Proc. 19th session: Scientific and
methodologic seminar on ship
hydrodynamics, Varna, Bulgaria, 1990.
Varna, 1990. Vol. 2. P. 99-1-99-10.
225. Kachanov Yu.S. Secondary and
cascad resonant instabilities of boundary
layers. Wave-resonant concept.of a
breakdown and its substantiation // Lami-
nar-turbulent transition / Ed. D. Arnal,
R. Michel. В.: Springer, 1990. P. 65-80.
226. Kachanov Yu.S. The mecha-
nisms of formation and breakdown of
soliton-like coherent structures in boun-
dary layer // Advances in turbulence /
Ed. A.B. Johansson, P.H. Alfredsson. В.:
Springer. 1991. Vol. 3. P. 42-51.
227. Рыжов О.С. Об образова-
нии упорядоченных вихревых струк-
тур из неустойчивых колебаний в
пограничном слое // Журн. вычисл. и
математики и мат. физики. 1990.
Т. 30, №12. С. 1804-1814.
228. Рыжов О.С. Возникновение
упорядоченных вихревых структур
в пограничном слое // Проблемы
162
прикладной математики и инфор-
матики. М.: ВЦ РАН, 1992. Ч. 1:
Механика и математическая физика.
С. 67-90.
229. Качанов Ю.С, Рыжов ОС.
Формирование солитонов в пере-
ходном пограничном слое; теория и
эксперимент // Сиб. физ.-техн. журн.
1992. Вып. 1.С. 34-52.
230. Kachanov Yu.S., Ryzhov O.S.,
Smith F.T. Formation of solitons in
transitional boundary layers: Theory and
experiment // J. Fluid Mech. 1993.
Vol. 251. P. 273-297.
231. Бородулин В.И., Кача-
нов Ю.С. Формирование и развитие
когерентных структур в переходном
пограничном слое// ЖПМТФ. 1995.
Т. 36, № 4. С. 60-97.
232. Бойко А.В., Грек Г.Р., Дов-
гальА.В., Козлов В.В. Возникно-
вение турбулентности в пристен-
ных течениях. Новосибирск: Наука,
1999.
233. Жук В.И. Нелинейные воз-
мущения, индуцирующие собствен-
ный градиент давления в погра-
ничном слое на пластине в транс-
звуковом потоке //ПММ. 1993. Т. 57,
вып. 5. С. 68-78.
234. Жук В.И., Рыжов О.С.
О пограничном слое с самоиндуциро-
ванным давлением на движущейся
поверхности // Докл. АН СССР. 1979.
Т. 248, №2. С. 314-318.
235. Жук В.И., Рыжов О.С. Об
образовании рециркуляционных зон
в пограничном слое на движущейся
поверхности // Изв. АН СССР. МЖГ.
1980. №5. С. 3-10.
236. Ryzhov O.S., Zhuk V.I. Stability
and separation of freely interacting
boundary layers // Lect. Notes Phys.
1981. N141. P. 360-366.
237. Жук В.И. О локальных ре-
циркуляционных зонах в сверхзву-
ковом пограничном слое на дви-
жущейся поверхности // Журн. вы-
числ. математики и мат. физики.
1982. Т. 22, № 5. С. 1255-1260.
238. Жук В.И., Рыжов О.С. Об
отрыве сверхзвукового пограничного
слоя // Проблемы прикладной мате-
матики и информатики. М.: Наука,
1987. С. 90-103.
239. Жук В.И. О течении в об-
ласти свободного взаимодействия
около проницаемого участка стенки
// Журн. вычисл. математики и мат.
физики. 1988. Т. 28, № 6. С. 941-945.
240. Жук В.И., Попов СП. Не-
стационарная волна отрыва в погра-
ничном слое при сверхзвуковом
обтекании // Докл. АН СССР. 1988.
Т. 303, № 4. С. 822-824.
241. Жук В.И., Рыжов О.С. Об
устойчивости свободно взаимодейст-
вующего пограничного слоя // ПММ.
1981. Т. 45, вып. 3. С. 552-563.
242. Zhuk V.I. On long-wave asy-
mptotic solutions of the Orr-Sommer-
feld equation for boundary layer //
Laminar-turbulent transition: IUTAM
symp., 1984. В.; Heidelberg: Springer,
1985. P. 723-728.
243. Zhuk V.I. Soliton disturbances
in a transonic boundary layer // Interna-
tional workshop on advances in analitical
methods in aerodynamics: Program and
abstracts. Poland, 1993. P. 31-32.
244. Жук В.И. Асимптотическая
модель замкнутой срывной зоны в
сверхзвуковом потоке // Изв. РАН.
МЖГ. 1992. № 2. С. 76-84.
245. Жук В.И. О вынужденных
колебаниях в пограничном слое на
частотах, близких к верхней ветви
нейтральной кривой // ПММ. 1987.
Т. 51, вып. 3. С. 417-424.
246. Жук В.И. Нелинейные воз-
мущения, индуцирующие собствен-
ный градиент давления в погранич-
ном слое на пластине в трансзвуко-
вом потоке// Там же. 1993. Т. 57,
вып. 5. С. 68-78.
247. Zhuk V.I. Boundary layer free-
interaction theory for transonic flow //
Euromech-384: Colloq. on steady and
unsteady separated flows. Manchester
UK, 6-8 July 1998. Manchester, 1998.
248. Жук В.И. Асимптотика
верхней ветви нейтральной кривой
при до- и трансзвуковых скоростях
внешнего потока // Журн. вычисл.
математики и мат. физики. 1991.
Т. 31, №11. С. 1716-1730.
249. Жук В.И. Бифуркация верх-
ней ветви нейтральной кривой для
пограничного слоя на пластине в
сжимаемом потоке // Там же. 1994.
Т. 34, № 1.С. 130-147.
250. Жук В.И. Бифуркация верх-
ней ветви нейтральной кривой и
неединственность области неустой-
чивости пограничного слоя // Докл.
РАН. 1994. Т. 335, № 6. С. 725-728.
251. Жук В.И. О форме ней-
тральной кривой, замыкающей об-
ласть неустойчивости пограничного
слоя // Там же. 1995. Т. 344, № 5.
С. 615-618.
252. Ryzhov O.S., Zhuk V.I. On the
stability of a compressible boundary
layer against three-dimensional distur-
bances with self-induced pressure gra-
dient // Current problems in computatio-
nal fluid dynamics / Ed. O.M. Belo-
tserkovskii, V.P. Shidlovski. Moscow:
Mir, 1986. P. 286-307.
253. Жук В.И. О возбуждении
волн Толлмина—Шлихтинга при взаи-
модействии акустического поля с
трехмерной неровностью на обте-
каемой поверхности // Изв. АН
СССР. МЖГ. 1989. № 2. С. 45-51.
254. Рыжов О.С. О нестацио-
нарном пространственном погра-
ничном слое свободно взаимодей-
ствующем с внешним потоком //
ПММ. 1980. Т. 44, вып. 6. С. 1035-
1052.
255. Нейланд В.Я. К асимптоти-
ческой теории присоединения сверх-
звукового потока//Тр. ЦАГИ. 1975.
Вып. 1650. С. 3-17.
256. Крапивский П.Л., Ней-
ланд В.Я. Отрыв пограничного слоя
от подвижной поверхности тела в
сверхзвуковом потоке газа // Учен,
зап. ЦАГИ. 1982. Т. 13, № 3. С. 32-42.
257. Burgers J.M. A mathematical
model illustrating the theory of turbu-
lens// Adv. Appl. Mech. 1948. Vol. 1.
P. 171-199. Рус. пер.: Бюргере Дж.М.
Об одной математической модели,
иллюстрирующей теорию турбу-
лентности // Проблемы механики.
М.: Изд-во иностр. лит., 1955. С. 422-
445.
163
258. Вазов В. Асимптотические
разложения решений обыкновенных
дифференциальных уравнений. М.:
Мир, 1968. 464 с.
259. Daniels P.G. The flow about
the trailing edge of a supersonic oscilla-
ting aerofoil// J. Fluid Mech. 1975.
Vol. 72, pt 3. P. 541-557.
260. Бетчов Р., Криминале В.
Вопросы гидродинамической устой-
чивости. М.: Мир, 1971. 350 с.
261. Шлихтинг Г. Теория погра-
ничного слоя. М.: Наука, 1974. 711 с.
262. Smith F.T. A reversed-flow sin-
gularity in interacting boundary-layers //
Proc. Roy. Soc. London A. 1988.
Vol. 420, N1858. P. 21-52.
263. Липатов И.И., Ней-
ланд В.Я. К теории нестационарного
отрыва и взаимодействия погранич-
ного слоя со сверхзвуковым потоком
газа//Учен. зап. ЦАГИ. 1987. Т. 18,
№ 1. С. 36-49.
264. Абловиц М., Сигур X. Соли-
тоны и метод обратной задачи. М.:
Мир, 1987.479 с.
265. Rizzetta D.P., BurggrafO.R.,
Jenson R. Triple-deck solutions for vis-
cous supersonic and hypersonic flow past
corners// J. Fluid Mech. 1978. Vol. 89,
pt 3. P. 535-552.
266. Казаков В.А. Сильно неяв-
ный попеременно-треугольный ме-
тод для решения задач асимптоти-
ческой теории пограничного слоя //
Журн. вычисл. математики и мат.
физики. 1985. Т. 25, №9. С. 1382-
1390.
267. CasselK.W., Ruban A.I., Wal-
ker J.DA. An instability in supersonic
boundary-layer flow over a compression
ramp// J. Fluid Mech. 1995. Vol. 300.
P. 265-285.
268. Van Dommelen L.L., Shen S.F.
The spontaneous generation of the sin-
gularity in a separating laminar boun-
dary-layer// J. Comput. Phys. 1980.
Vol. 38, N2. P. 125-140.
269. Daniels P.G. Laminar boun-
dary-layer reattachment in supersonic
flow// J. Fluid Mech. 1979. Vol.90,
N 2. P. 289-303.
270. Daniels P.G. Laminar boun-
dary-layer reattachment in supersonic
flow. Pt 2. Numerical solution // Ibid.
1980. Vol. 97, N 1. P. 129-144.
271. Messiter A.F., Feo A., Mel-
nik R.E. Shock-wave strength for separa-
tion of a laminar boundary layer at
transonic speeds // AIAA J. 1971. Vol. 9,
N6. P. 1197-1198.
272. Рыжов О.С, Савенков И.В.
Об устойчивости пограничного слоя
при трансзвуковых скоростях внеш-
него потока// ЖПМТФ. 1990. №2.
С. 65-71.
273. Майлс Дж. У. Потенциаль-
ная теория неустановившихся сверх-
звуковых течений. М.: Физматгиз,
1963.272 с.
274. Miloh Т., Tulin M.P. Periodic
solutions of the DABO equation as a sum
of repeated solitons // J. Phys. A. 1989.
Vol. 22, N 7. P. 921-923.
275. Wood W.W. Boundary layers
whose streamlines are closed // J. Fluid
Mech. 1957. Vol. 2, pt 1. P. 77-87.
276. Рыжов О.С. Неустойчи-
вость распространяющейся вдоль
стенки струи вязкой жидкости //
ЖПМТФ. 1982. № 2. С. 26-33.
277. Joseph R.I. Solitary waver in a
finite depth fluid // J. Phys. A. 1977.
Vol. 10, N 12. P. L225-L227.
278. Калоджеро Ф., Дегаспе-
pucA. Спектральные преобразова-
ния и солитоны: Методы решения и
исследования нелинейных эволю-
ционных уравнений. М.: Мир, 1985.
472 с.
279. Дородницын А.А. Погра-
ничный слой в сжимаемом газе //
ПММ. 1942. Т. 6, вып. 6. С. 449-
486.
280. Stewartson К. The theory of
laminar boundary layers in compressible
fluids. Oxford: Clarendon press, 1964.
192 c.
281. Dunn D.W., Lin C.C. On the
stability of the laminar boundary layer in
a compressible fluid // J. Aeronaut. Sci.
1955. Vol. 22, N 7. P. 455-477.
282. Reid W.H. The stability of
parallel flows // Basic developments in
fluid dynamics. N.Y.; L.: Acad. press,
1965. Vol. 1. P. 249-307.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1
МНОГОЯРУСНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА СВОБОД-
НО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
1.1. О локально-невязких возмущениях в пограничном слое с самоинду-
цированным давлением 17
1.2. Об одном свойстве линеаризованных уравнений пограничного слоя
с самоиндуцированным давлением 24
1.3. Свободное взаимодействие и устойчивость пограничного слоя в не-
сжимаемой жидкости 34
Глава 2
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЧЕТЫРЕХПАЛУБНАЯ МОДЕЛЬ ЗАМК-
НУТОЙ СРЫВНОЙ ЗОНЫ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
2.1. Оценка толщин характерных подобластей течения 39
2.2. Редукция задачи к совместному решению уравнения Бюргерса и сис-
темы уравнений Прандтля 41
2.3. Асимптотическая картина течения при х —>+ °°. Переход к трехпа-
лубной структуре поля скоростей 50
2.4. Асимптотическая картина течения при х —> - °° 52
Глава 3
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ОРРА-ЗОММЕР-
ФЕЛЬДА В ОБЛАСТЯХ, ПРИМЫКАЮЩИХ К ДВУМ ВЕТВЯМ
НЕЙТРАЛЬНОЙ КРИВОЙ
3.1. Асимптотические разложения в основной части пограничного слоя и
в критическом слое 55
3.2. Асимптотика нижней ветви нейтральной кривой при Re —> <*> 59
3.3. Асимптотика верхней ветви нейтральной кривой при Re—>°° 62
3.4. О вынужденных колебаниях в пограничном слое на частотах, близ-
ких к верхней ветви нейтральной кривой 67
165
Глава 4
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ, ИНДУЦИРУЮЩИЕ СОБСТ-
ВЕННЫЙ ГРАДИЕНТ ДАВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
НА ПЛАСТИНЕ В ТРАНСЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
4.1. Асимптотическая структура основной части пограничного слоя для
трансзвукового диапазона скоростей 77
4.2. Внешняя область свободного взаимодействия 81
4.3. Солитоны в трансзвуковом пограничном слое 84
4.4. Роль вязкого подслоя в случае периодических по пространству нели-
нейных волн 86
4.5. Переход к числам Маха, отличающимся от единицы на конечную
величину 88
Глава 5
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ БЕНДЖАМИНА-ОНО И КОРТЕВЕГА-
ДЕ ВРИЗА, ОПИСЫВАЮЩИЕ НЕЛИНЕЙНОЕ РАЗВИТИЕ
ВОЗМУЩЕНИЙ В ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ И ПРОЦЕССЫ
РОЖДЕНИЯ СОЛИТОНОВ
5.1. Многослойная асимптотическая картина течения в струе несжимае-
мой жидкости, ограниченной снизу плоским экраном 90
5.2. Пример течения, описываемого уравнением Бенджамина-Оно с не-
однородной правой частью 93
5.3. Генерация солитонов на стационарной неоднородности поверх-
ности 96
5.4. Задача о вибраторе. Линейное приближение 100
5.5. Нелинейная реакция на гармонические колебания поверхности 104
5.6. Примеры решений уравнений Бенджамина-Оно и Кортевега-де Ври-
за, иллюстрирующие характерные формы передачи возмущений
вверх и вниз по потоку 105
Глава 6
АСИМПТОТИКА ВЕРХНЕЙ ВЕТВИ НЕЙТРАЛЬНОЙ КРИВОЙ
ПРИ ДО- И ТРАНСЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ ВНЕШНЕГО ПО-
ТОКА
6.1. Исходные предположения 112
6.2. О поведении функций течения в пристеночной части невозмущенного
пограничного слоя на пластине в сжимаемом потоке 114
6.3. Решение уравнений для возмущений в основной толще пограничного
слоя 117
6.4. Решение в вязком пристеночном подслое 121
6.5. Решение в критическом слое 125
6.6. Дисперсионное соотношение в случае дозвуковых скоростей набега-
ющего потока 131
6.7. Дисперсионное соотношение в случае трансзвуковых скоростей на-
бегающего потока 133
6.8. Перекрытие окрестностей верхней и нижней ветвей нейтральной
кривой 136
166
Глава 7
О ФОРМЕ НЕЙТРАЛЬНОЙ КРИВОЙ, ЗАМЫКАЮЩЕЙ ОБ-
ЛАСТЬ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
7.1. Дисперсионное соотношение в случае теплоизолированной поверх-
ности при малых числах Маха 139
7.2. Бифуркация нейтрального решения в случае малых отклонений тем-
пературы от температуры торможения 142
7.3. О зарождении дополнительных ветвей нейтральной кривой внутри
классической петли неустойчивости 147
ЛИТЕРАТУРА 152