Л. Д. МЕШАЛКИН
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
19 6 3

Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета

СОДЕРЖАНИЕ
Задачи стр.
Предисловие 5
I. Основные понятия 7
§ 1. Поле событий 1—10 9
§ 2. Взаимоотношения между численностями
подгрупп 11—22 11
§ 3. Определение вероятности 23—28 13
§ 4. Классическое определение вероятности.
Комбинаторика 29—48 14
§ 5. Простейшие задачи о размещении 49—55 17
§ 6. Геометрическая вероятность 56—65 19
§ 7. Метризация и упорядочивание множеств 66—70 21
II. Применение основных формул 22
§ 1. Условная вероятность. Независимость 71—92 23
§ 2. Дискретные распределения: биномиальное,
полиномиальное, геометрическое,
гипергеометрическое 93—111 26
§ 3. Непрерывные распределения 112—121 29
§ 4. Применение формулы полной вероятности 122—134 31
§ 5. Вероятность суммы событий 135—140 34
§ 6. Составление уравнений с помощью формулы
полной вероятности 141—148 35
III. Случайные величины и их характеристики 36
§ 1. Вычисление математических ожиданий и
дисперсий 149—172 40
§ 2. Функции распределения 173—178 44
§ 3. Коэффициент корреляции 179—185 45
§ 4. Неравенство Чебышева 186—189 46
§ 5. Распределение функций от случайных величин 190—207 48
§ 6. Энтропия и информация 208—221 51
3

Задачи Стр.
IV. Основные предельные теоремы 55
§ 1. Теоремы Муавра — Лапласа и Пуассона 222—246 56
§ 2. Закон больших чисел и сходимость по
вероятности 247—260 62
§ 3. Центральная предельная теорема 261—280 64
V. Характеристические и производящие функции 69
§ 1. Вычисление х. ф. и пр. ф. 281—288 69
§ 2. Связь со свойствами распределения 289—298 71
§ 3. Использование х. ф. и пр. ф. для
доказательства предельных теорем 299—309 73
§ 4. Свойства х. ф. и пр. ф. 310-320 75
§ 5. Решение задач с помощью х. ф. и пр. ф. 321—328 76
VI. Применение теории меры 78
§ I. Измеримость ' 329—333 81
§ 2. Различные понятия сходимости 334—343 82
§ 3. Ряды независимых случайных величин 344—352 83
§ 4. Усиленный закон больших чисел и закон
повторного логарифма 353-362 85
§ 5. Условные вероятности и условные
математические ожидания 363—372 88
VII. Неограниченно делимые распределения. Нормальный
закон. Многомерные распределения 90
§ 1. Неограниченно делимые распределения 373—388 91
§ 2. Нормальное распределение 389—402 94
§ 3. Многомерные распределения 403—413 97
VIII. Цепи Маркова 100
§ 1. Определение и примеры. Матрица вероятностей
перехода 414—433 101
§ 2. Классификация состояний. Эргодичность 434—449 105
§ 3. Распределение случайных величии, заданных на
цепи Маркова 450—455 108
IX. Элементы статистики 110
§ 1. Оценка параметров распределений 456—467 113
§ 2. Выравнивание эмпирических кривых 468—470 118
§ 3. Применение нормальною распределения 471- 479 119
§ 4. Применение распределения Стьюдента 480—483 122
§ 5. Корреляционный и регрессионный анализ 484—489 124
§ 6. Применение критерия %2 490—500 127
Ответы 131
Приложение 15Э

ПРЕДИСЛОВИЕ
«Сборник задач по теории вероятностей» предназначен
в первую очередь для студентов физико-математических
факультетов университетов. Его цель — помочь изучающим
теорию вероятностей глубже овладеть основами теории и
познакомиться с применением теоретико-вероятностных методов
к решению практических задач. Сборник приспособлен в
основном к 3-му изданию учебника Б. В. Гнеденко «Курс теории
вероятностей» (Физматгиз, М., 1961). Он содержит 500 задач,
составленных по материалам монографий и журнальных
статей, а также заимствованных из существующих задачников
и учебников. Задачи объединены в 9 разделах, снабженных
краткими введениями и разбитых в свою очередь на
отдельные параграфы. Задачи разделов I—IV и отчасти V, VIII, IX
соответствуют полугодовому курсу «Теория вероятностей»,
читаемому на механико-математическом факультете МГУ.
Задачи разделов V—VIII — полугодовому курсу
«Дополнительные главы теории вероятностей». Сложные задачи
отмечены звездочками и снабжены указаниями. К сборнику
приложено несколько таблиц. Ответы помещены только к задачам
с нечетными номерами. Это сделано для того, чтобы приучить
учащихся самостоятельно оценивать правильность решения,
а также для того, чтобы материал сборника можно было
использовать при контрольных работах.
В дополнение к сборнику преподаватель может
использовать следующие три задачника, содержащие хорошо
подобранный материал по статистике и теории случайных
процессов:
5

1. Володин Б. Г., Ганин М. П., Динер И. Я.,
Комаров Л. Б., Свешников А. А., Старобин К. Б.
Руководство для инженеров по решению задач теории
вероятностей. Судпромгиз, Л., 1962.
2. Takacs Lajos. Stochastic Processes. Problems and
Solutions (Wiley.).
В серии: Methuens monographs an applied probability and
statistics.
3. David F. N. and Pearson E. S. Elementary
Statistical Exercises. (Cambridge, Univ. Press, 1961).
В подборе и составлении задач большую помощь мне
оказали сотрудники и аспиранты кафедры теории вероятностей
МГУ. Глубоко признателен им за это. Отдельно мне хочется
поблагодарить М. Арато, Б. В. Гнеденко, Р. Л. Добрушина
и Я. Г. Синая.
9 июля 1963 г.
Л. Д. Мешалкин

I. ОСНОВНЫЕ понятия
Задачи этого раздела соответствуют в основном
материалу § 1—8 учебника Б. В. Гнеденко. Проиллюстрируем здесь
для удобства взаимоотношения между событиями,
используемые в дальнейшем.
Пусть на плоскость наудачу бросается точка и пусть
события А и В состоят в том, что эта точка попадает
соответственно в круг Л, в круг В. На рис. \,а—\,д заштрихованы
области, попадание точки в которые соответствует событиям:
А + В(А[}В); АВ{А[\В); АО В; А\В; А.
Эти события, а также соответствующие им
теоретико-множественные операции называют: в случае «а» суммой или
объединением событий А я В; в случае «б» произведением или
пересечением событий Л и В; в случае «в» симметричной
разностью событий Л и В; в случае «г» разностью событий
Л и В; в случае «д» отрицанием события Л. Заметим, что
событие ЛОВ осуществляется тогда, и только тогда, когда
осуществляется одно, и только одно, из событий Л и В. Рис. 1,е
соответствует событию BCZ.A. Рис. \,ж — событию АВ=ф,
где 0 — обозначение пустого множества (пустое множество
иногда обозначают также Л или 0). Если АВ=ф, то Л и В
называют несовместимыми или непересекающимися
событиями.
Задачи второго параграфа рассчитаны на тех, кого в
первую очередь интересуют статистические приложения теории.
В них используются следующие обозначения: N — число объ-
7

ектов в группе; N { }— число объектов среди них,
обладающих признаком, стоящим в фигурных скобках. Эти задачи
заимствованы из первой главы книги Дж. Эдни Юл и М. Дж.
Ксндэл «Теория статистики» (Госстатиздат, М., 1960).
Начиная с задачи 23 предполагаются известными
следующие свойства вероятности:
Рис. 1
1. Если Е (U) достоверное событие, то
Р(?)=1(Р([/) = 1).
2. Если А = (J At, где AlAi = Л Aф\), то
Р(Л) = ?Р(Л,.).
i=i
В ряде комбинаторных задач очень удобно использовать
классическое определение вероятности. Пусть в результате
опыта может осуществиться только одно из п попарно
несовместимых и равновероятных исходов Et (t—1, 2,...,п).
Предположим, что событие А состоит из m элементарных исхо-
8

До» Ek . Тогда согласно классическому определению
вероятности
Основная трудность при решении задач этим методом
.'иключается в удачном выборе пространства элементарных
исходов. Особое внимание при этом следует обращать на
проверку того, чтобы выбранные элементарные исходы были
равновероятны и чтобы при подсчете т и я использовалось
одно и тоже пространство элементарных исходов.
Простейшие задачи на размещение знакомят с
некоторыми применениями комбинаторных методов в статистической
физике. Вводимый термин «статистика» используется в
смысле, специфическом для физики. Почти все задачи этого
параграфа заимствованы из учебника В. Феллера. «Введение в
теорию вероятностей и ее приложения» (ИЛ, М., 1952).
Особое внимание надо обратить на задачи § 6.
Геометрическая вероятность. Они приучают при решении использовать
чертеж. В них естественно можно ввести понятия функции
распределения и плотности. Более сложные задачи на
геометрическую вероятность можно найти в § 3. Непрерывные
распределения раздела II.
Задачи 66—70 несколько выходят за рамки обязательной
программы. Они указывают па связь введенных понятий с
задачей метризации пространства с мерой и линейного
упорядочивания множеств. Материал для этих задач
заимствован из статьи Frank'a Restl'a, опубликованной в журнале
«Psychometriks» B4, № 3, 207—220, 1959).
§ 1. Поле событий
1. Среди студентов, собравшихся на лекцию по теории
вероятностей, выбирают наудачу одного. Пусть событие А
заключается в том, что выбранный окажется юношей.
Событие В в том, что он не курит, а событие С в том,
что он живет в общежитии^
1. Описать событие ABC.
2. При каком условии будет иметь место тождества
ЛВС=Л? _
3. Когда будет справедливо соотношение CCLB?
4. Когда будет равенство А = В, будет ли оно иметь место,,
если все юноши курят?
9

2. Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных
концентрическими окружностями с радиусами rk(k= 1,2 10),
причем г1<г2< ... <г10. Событие Ak — попадание в круг
радиуса гк. Что означают события
6 ю _
в = U Ak-, с - Г) Л; я = А о д,; е = АА?
й = 1 А=-1
3. Доказать, что для любых событий А и В соотношения
ACZB; AZDB; А + В = В; АВ = 0 равносильны.
4. Доказать равенства:
а) ЛБ *= Л + В;
б) А -|- 5 = ЛВ;
в) Л-т-Я=ЛВ + Л05;
г) АОВ = АВ + АВ;
д) ЛОЯ==(Л?)о"Aя);
е) Оа = ПА;
ж) ПА = 11А-
1=1 1-1
5. Доказать, что из AOB=COD следует, что AOC=BOD.
6. Показать, что (Л + В) С = ЛС + ВС имеет место тогда, и
только тогда, когда ЛС = ВС.
7. Показать, что из ЛО-бСТС следует, что ЛСВ О С
в том, и только в том, случае, когда АВС = 0.
8. Рабочий изготовил п деталей. Пусть событие At
(/=1, 2,..., п) заключается в том, что t-тая изготовленная им
деталь имеет дефект. Записать событие, заключающееся в
том, что:
а) ни одна из деталей не имеет дефектов;
б) хотя бы одна деталь имеет дефект;
в) только одна деталь имеет дефект;
г) не более двух деталей имеют дефекты;
д) по крайней мере два изделия не имеют дефектов;
е) точно два изделия дефектны.
9. Пусть Л„— событие, заключающееся в том, что при я-м
повторении эксперимента 3t осуществилось событие Л; Вп,т —
событие, заключающееся в том, что при п первых повторениях 3t
событие Л осуществилось т раз.
10

1. Выразить S4,2 через AL.
2. Каков смысл событий
оо т
вт= ПШ Д.*).
л-1 А--0
3. Справедливы ли соотношения
ГМЛСВ и ПЛСВ, гдеВ= U вт.
и—1 л-1 т —1
10. На множестве со точек Е выделено п подмножеств
At(i = 1,2,..., п). Для любого со-множества определим %с{а) —
характеристическую функцию множества С, положив %с(со) = 1,
если м(С, и %с(со) =0 в противоюложном случае. Доказать,
что, используя At, .можно построить такие множества Bk(k =
= 1, 2, ... , 2"), что для любой ограниченной функции
F(a) = F(xA(a), . .. , у. (со))
1 п
найдутся такие постоянные Ck, что
^И=?сд и*.
§ 2. Взаимоотношения между численностями подгрупп
11. Доказать, что
а) N {АВ} -;- N {АС} + N {ВС} > N {А} + N {В} -f N {С} — N;
б) N {АВ} + N {АС} — N {ВС} <N{A}.
12. Показать, что если признак Л встречается чаще, когда
есть признак В, чем когда его нет, то В встретится совместно
с А в большем числе случаев, чем без пего. Иными словами,
дано N[AB}/N[B}>N{AB}JN{B}. _
Показать, что N{AB}/N{А}> N {AB}/N{А}.
13. Дано, что N{A} = N{B}=—N.
Доказать, что N{AB} = N{A В}.
14. Дано, что N{A} = N{B} = N{C}= —Лг и N{ABC} =
= N(ABC}.
* Эта задача тесно связана с утверждением о возможности
представления произвольной двузначной функции от высказываний в виде
формулы алгебры высказываний. См. П. С. Новиков. Элементы
математической логики. Физматгиз, М., 1959, стр. 58.
11

Показать, что 2N {ABC} = N {АВ} + N {АС} + N {ВС} -N.
15. Показать, что следующие данные несовместимы:
N=1000; N{AB} = 42;
N-{A} =¦. 525
N{B} = 312
N{C} = 470
АЧЛС} = 147;
N{BC} = 86;
N {ABC} = 25.
Указание. Оценить Л^/ШС}.
16. В дтчете приведены следующие численности как
действительно наблюдавшиеся: N=1000; ЛГ{Л}=510, N {В} = 490;
N{C} = 427; N{AB} = 189; Л^{ЛС} = 140; N{BC} = 85. Показать,
что в них должна быть какая-нибудь ошибка или опечатка и
что, возможно, опечатка состоит в пропуске 1 перед 85,
приведенными как численность N{BC}.
17. Задача-шутка (Lewis Carrol. «A Tangled Tale» —
Льюис Карроль. «Запутанная сказка», 1881). В
ожесточенном бою не менее 70% бойцов потеряли один глаз, не менее
75%—одно ухо, не менее 80%—одну руку и не менее
85%—одну ногу. Каково минимальное число потерявших
одновременно глаз, vxo, руку и ногу?
18. Показать, что если N{A) = Nx; N {В} = 2Nx; N{C} = 3Nx>
N{AB} — N{AC} = N{BC} = Ny; то значения x и у не могут пре-
1
вышать — .
4
19. Обследователь рынка сообщает следующие данные.
Из 1000 опрошенных 811 нравился шоколад, 752 нравились
конфеты и 418 — леденцы, 570 — шоколад и конфеты, 356 —
шоколад и леденцы, 348 — конфеты и леденцы, а 297 — все
три вида сладостей. Показать, что в этой информации
содержатся ошибки.
20. Следующие данные — числа мальчиков с
определенными группами недостатков на 10 000 обследованных
мальчиков школьного возраста: А — недостатки физического
развития, В — признаки нервности, D — умственная вялость.
N=10 000; N{D} = 789;
#{Л} = 877; #{ЛВ} = 338;
N {В} = 1086; N {BD} = 455.
12

Показать, что некоторые умственно вялые мальчики не
обнаруживают недостатков физического развития, и установить
минимальное число их.
21. Следующие числа — аналогичные данные о девочках
<см. предыдущую задачу):
Л^ = 10 000; #{?>} = 689;
#{Л} = 682; N{AB} = 248;
W{B} = 850; N{BD} = 368.
Показать, что некоторые физически неразвитые девочки не
являются умственно вялыми и установить минимальное
число их.
22. Производится 100 троекратных подбрасываний
монеты; после каждого подбрасывания отмечается результат —
герб или решетка. В 69 случаях из 100 гербы выпали при
первом подбрасывании, в 49 случаях гербы выпали при
втором и в 53 случаях — при третьем. В 33 случаях гербы
выпали при первом и втором подбрасываниях и в 21 случае — при
втором и третьем. Показать, что должно быть по меньшей
мере 5 случаев, в которых гербы выпали при всех трех
подбрасываниях, и что не может быть больше 15 случаев, когда
при всех трех подбрасываниях выпала решетка, хотя
обязательным не является даже и один такой случай.
§ 3. Определение вероятности
23. Даны р=Р(Л),0 = Р(Д), г = Р(Л+В). Найти Р(ЛоВ),
Р(АВ), Р(А- В).
24. Известно, что Р(ДД) =Р(Л_)Р(В) (т. е. события А и В
независимы), Cz) АВ и C^D^-B. Доказать, что Р(ЛС)>
>Р(Л)Р(С).
25. 1) Известно, что совместное наступление событий А\
и Л2 необходимо влечет наступление события Л; доказать,
¦что
p^)>PD) + PD) 1.
2) Доказать следующее неравенство для трех событий,
•если Л И 2Л зB1 Л, то
Р (Л) > Р (А,) + Р (Л2) + Р (Л,) - 2.
13

26. В эксперименте 31 возможны три попарно несовместимых
исхода Ап, а в эксперименте 21— четыре попарно несовместимых
исхода Вп. Известны совместные вероятности рпп, = Р {АпВт}:
ра = 0,01, Р21 = 0,02, р31 = 0,07,
рп = 0,02, ри = 0,04, р32 = 0,15,
р13 = 0,03, р23 = 0,08, р33 ^ 0,20,
р14 = 0,04, р2% = 0,06, р31 = 0,28.
Найти Р(Л„) и Р(Вт)при всех пят. (См. также задачу 83.)
27. Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она
не выпадет одной и той же стороной. Каждому возможному
исходу, требующему п бросаний, припишем вероятность 2~п.
Описать пространство элементарных событий.
Найти вероятность следующих событий:
а) опыт окончится до -6-го бросания;
б) потребуется четное число бросаний.
28. Бросаются две кости. Пусть А — событие, состоящее
в том, что сумма очков нечетная; В — событие,
заключающееся в том, что хотя бы на одной из костей выпала
единица. Описать события А В, ^U^, Л В. Найти их вероятности
при условии, что все 36 элементарных событий
равновероятны.
§ 4. Классическое определение вероятности. Комбинаторика
29. Ребенок играет с 10 буквами разрезной азбуки, А, А,
А, Е, И, К, М, М, Т, Т. Какова вероятность, что при
случайном расположении букв в ряд он получит слово
«математика»?
30. В лифт 8-этажного дома на первом этаже вошли 5
человек. Предположим, что каждый из них с равной
вероятностью может выйти на любом из этажей, начиная со второго.
Найти вероятность того, что все пятеро выйдут на разных
этажах.
31. Куб, все грани которого окрашены, распилен на
тысячу кубиков одинакового размера. Полученные кубики
тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что
наудачу извлеченный кубик будет иметь две окрашенные грани.
32. Одну и ту же деталь можно изготовить из
материала А или из материала В. Для того чтобы решить, из какого
материала детали выдерживают большую нагрузку,
изготовили по п изделий из каждого материала и испытали их.
14

Обозначим через xt (yj) предельную нагрузку, которую
выдержало f'-тое (/-тое) изделие из материала Л (В). Все xt
и yj получились различными. Обработку результатов опытов
было решено провести, используя критерий Вилкоксона *.
Для этого xt, yj расположили в общий ряд в порядке их
возрастания и для каждого / нашли «;- —число х, стоящих
перед у,. Оказалось, что ?«,¦•< т. На основании этого был
сделан вывод, что изделия из материала А лучше. Если изделия
из обоих материалов одного качества, т. е. все расстановки
х и у в ряд равновероятны, найти вероятность, получить
указанное выше неравенство при п = А и т —2.
33. Колода игральных карт содержит 52 карты,
разделяющиеся на 4 различные масти по 13 карт в каждой.
Предположим, что колода тщательно стасована, так что вытаскивание
любой карты одинаково вероятно. Вытащим 6 из них.
Описать пространство элементарных исходов, а также:
1. Найти вероятность того, что среди этих карт будет
король пик.
2. Найти вероятность того, что среди этих карт будут
представители всех мастей.
3. Какое наименьшее число карт надо взять из колоды,
чтобы вероятность того, что среди них встретятся хотя бы
две карты одинакового наименования, была более —?
34. п друзей садятся случайным образом за круглый стол.
Найти вероятность того, что:
а) два фиксированных лица А к В сядут рядом, причем В
слева от А;
б) три фиксированных лица А, В и С сядут рядом, причем
А справа от В, а С слева;
в) найти те же вероятности в случае, когда друзья
садятся в ряд по одну сторону прямоугольного стола.
35. Из последовательности чисел 1, 2 п наудачу
выбираются 2 числа. Какова вероятность, что одно из них
меньше k, а другое больше &, где 1<&<я— произвольное
целое число?
36. Из последовательности чисел 1, 2, ... ,N отобраны
наудачу п чисел и расположены в порядке возрастания: х1 < хг <
<С ... <С*„. Какова вероятность того, что хт < М. Найти
предел этой вероятности, когда М, N-^oo так, что »<х>0.
N
* См. Б Л. В а и дер В а р д е н. Математическая статистика. ИЛ,
М., 1960.
15

37. В лотерее п билетов, из которых т выигрышные. Как
велика вероятность выигрыша для того, кто имеет k билетов?
38. В лотерее из сорока тысяч билетов ценные выигрыши
падают на три билета. Определить:
а) вероятность получения хотя бы одного ценного
выигрыша на тысячу билетов;
б) сколько необходимо приобрести билетов, чтобы
вероятность получения цепного выигрыша была не менее 0,5.
39. В партии, состоящей из iV изделий, имеется М
бракованных. Наудачу выбирается п изделий из этой партии
(n-C/V). Чему равна вероятность того, что среди них
окажутся т бракованных (т<УИ)?
40. Пусть ф(«) означает число целых положительных
чисел ¦<« ti взаимно простых с п. Доказать, что
Ф(л) = пПA-7).
где произведение берется по всем простым числам р,
делителям п.
Указание. Рассмотреть задачу, в которой наудачу из
чисел 1, 2,..., п выбирается одно число. Оценить вероятность
того, что оно будет взаимно просто с п.
41. В чулане находится п пар ботинок. Из них случайно
выбираются 2г ботинок Bг<п). Какова вероятность того,
что среди выбранных ботинок
а) отсутствуют парные;
б) имеется ровно одна комплектная пара;
в) имеются ровно две комплектные пары?
42. Группа, состоящая из 2N мальчиков и 2N девочек,
делится случайным образом на две равные части. Найти
вероятность того, что в каждой части число мальчиков и
девочек одинаково. Вычислить эту вероятность, используя
формулу Стирлинга.
43**. В урне п белых и т черных шаров; т<п.
Последовательно без возвращения вынимаются все шары. M[k) —
число черных шаров, вынутых за k шагов, N{k) —число
белых шаров, вынутых за k шагов. Найти Р—вероятность того,
что для всех & = 1, 2,..., п-{-т, M(k)<N(k).
44*. Задача Банаха. Некий математик носит с собой
две коробки спичек. Каждый раз, когда он хочет достать
спичку, он выбирает наугад одну из коробок. Найти
вероятность того, что, когда математик вынет в первый раз пустую
коробку, в другой коробке окажется г спичек (г=0, 1, 2,..., п;
16

п — число спичек, бывших первоначально в каждой из
коробок).
45. Каждая из п палок разламывается на две части —
длинную и короткую. Затем 'In полученных обломков
объединяются в п пар, каждая из которых образует новую «палку».
Найти вероятность того, что:
а) все обломки объединены в первоначальном порядке;
б) все длинные части соединены с короткими.
46. Показать, что более вероятно при одновременном
бросании четырех костей получить хотя бы одну единицу, чем
при 24 бросаниях двух костей получить хотя бы один раз две
единицы. (Ответ известен как парадокс де Мере. Игрок
Шевалье де Мере считал эти вероятности равными и обвинял
математиков в своих проигрышах.)
47. Найти вероятность того, что при раздаче колоды в
52 карты четырем игрокам первый из них получит ровно п
пар «туз—король одной масти».
48. В некоторых сельских местностях России
существовало когда-то следующее гадание. Девушка зажимает в руке
шесть травинок так, чтобы концы травинок торчали сверху и
снизу; подруга связывает эти травинки попарно между собой
сверху и снизу в отдельности. Если при этом все шесть
травинок оказываются связанными в одно кольцо, то это должно
было означать, что девушка в текущем году выйдет замуж.
1. Найти вероятность того, что травинки при завязывании
наудачу образуют кольцо.
2. Решить тот же вопрос для случая 2п травинок.
§ 5. Простейшие задачи о размещении
49. Пусть f(x\,..., хп) — аналитическая функция п
переменных. Сколько существует у нее различных производных г-го
порядка?
50. Задач а-ш утка. Сколькими различными способами
можно разложить на п тарелках г пирожных «эклер» и s
пирожных «наполеон»?
51. Рассмотрим механическую систему, состоящую из г
неразличимых частиц. В статистической механике обычно
подразделяют фазовое пространство на большое число п
маленьких областей или ячеек, так что каждая из г частиц
попадет в одну из ячеек. Таким образом, состояние всей
¦ системы описывается как распределение г частиц по п
ячейкам, оно, следовательно, однозначно определяется набором
2 Л. Д. Мешалкин

чисел ОКЩ-К г (?=1, 2,..., п), где mt — число частиц в /-той
ячейке. Фотоны, атомные ядра и атомы, содержащие четное
число элементарных частиц, подчиняются статистике Бозе—
Эйнштейна, в которой рассматриваются только различимые
распределения и каждому из них приписывается равная
вероятность. Найти ее.
52. Продолжение. Электроны, протоны, нейтроны
подчиняются статистике Ферми—Дирака, в которой
предполагается, что: а) в одной ячейке не может' находиться более
одной частицы и б) все различные размещения,
удовлетворяющие первому условию, имеют равную вероятность. Найти
эту вероятность в случае, когда имеется г частиц и /г ячеек.
53. Пусть имеется г частиц и п ячеек, причем имеет место
статистика Бозе—Эйнштейна (см. задачу 51).
1. Доказать, что вероятность наличия в фиксированной
ячейке ровно k частиц равна
qk — Cn+r-k—2 '• Cn+r-\-
2. Показать, что
<7o><7i><7a> •••
3. Доказать, что если п и г неограниченно возрастают,
причем среднее число частиц — , приходящихся на одну ячейку
п
стремится к X <| оо, то qk -> — (правая часть извести;
под'названием геометрического распределения).
4. Доказать, что вероятность того, что ровно т ячеек
останутся пустыми, равна
Рт = (С« -Cn-m—i) : C+r-l-
54. Если при распределении г частиц по п ячейкам все п'
распределений будут иметь равную вероятность, то говоря-
о статистике Максвелла — Больцмана (см. также задачи 5
и 52). Найти вероятность того, что:
а) первая ячейка содержит kx частиц, вторая — k2 части
и т. д., где &1+&2+ • • • +&я —г,
б) при п = г ни одна ячейка не останется пустой;
в) при п — г останется пустой только одна ячейка.
55*. Поток из k частиц улавливается системой из п рас
положенных рядом счетчиков, регистрирующих частищ
Каждая частица с одинаковой вероятностью попадает в л в
бой из счетчиков. Какова вероятность того, что присутств!-
частиц будет отмечено ровно г счетчиками?
18

§ 6. Геометрическая вероятность
56. На шарик нанесена сетка географических координат.
Шарик брошен на плоскость. Предполагается, что выпадение
областей, имеющих равную площадь, равновероятны. Какова
вероятность того, что:
а) шарик прикоснется к плоскости точкой, которая
находится в области между 0-м и 90-м градусами восточной
долготы;
б) шарик прикоснется к плоскости точкой, которая
находится между 45-м и 90-м градусами северной широты;
в) меньшая дуга большего круга, соединяющая точку
касания с северным полюсом, будет меньше а.
57. Точка брошена наудачу внутрь круга радиуса R.
Вероятность попадания точки в любую область, расположенную
внутри круга, пропорциональна площади этой области.
Найти вероятность того, что:
а) точка находится от центра на расстоянии меньшем
r(r<R);
б) меньший угол между заданным направлением и
прямой, соединяющей точку с началом координат, не
превосходит а.
58. На окружности единичного радиуса с центром в
начале координат наудачу выбирается точка. Вероятность выбора
точки на любой дуге окружности зависит только от длины
этой дуги и пропорциональна ей. Найти вероятность того, что:
а) проекция точки на диаметр (ось абсцисс) находится от
центра на расстоянии, не превышающем г(г<1);
б) расстояние от выбранной точки до точки с
координатами A,0) не превышает г.
59. В квадрат с вершинами @, 0), @, 1), A,0), A,1)
наудачу брошена точка М. Пусть (?, г\) будут ее координаты.
Предполагается, что вероятность попадания в область,
лежащую целиком внутри квадрата, зависит лишь от площади
этой области и пропорциональна ей.
1. Доказать, что для 0<х, г/< 1
Р{10; Ч<У} = Р{1<х}Р{г]<у} = ху.
2. Найти для 0<г< 1
а) РШ-Т1|<2};
б) P{!rj<2};
2*
19

в) P{min(l,Ti)<2};
г) P{max(l, л)<г};
д) Р \± (I тп)<г| .
60. На плоскости начерчены параллельные прямые,
находящиеся друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость
наудачу брошена монета радиуса г<а. Какова вероятность
того, что монета не пересечет ни одной из прямых?
61. На бесконечную шахматную доску со стороной
квадрата а бросается наудачу монета диаметра 2г<а. Найти
вероятность того, что:
а) монета поЯадет целиком внутрь одного квадрата;
б) монета пересечет не более одной стороны квадрата.
62. Пусть |, ц определены так же, как в задаче 59. Найти
вероятность того, что корни уравнения
х2 -f Ъ,х — 11 = О
а) действительны; б) оба положительны.
63. В прямоугольный треугольник ABC с катетами АВ = 1
и BC — k бросается наудачу точка М. Найти совместное
распределение длины h перпендикуляра, опущенного из точки М
на АВ, и угла <х= /_МАВ (т. е. для всех х и у найти
вероятность того, что одновременно осуществляются события {h<^x}
64. На плоской горизонтально расположенной фольге
находится точечный источник радиоактивного излучения,
посылающий лучи равномерно по всем направлениям
пространства. Если параллельно фольге на единичном расстоянии от
нее поставить экран, то на этом экране можно наблюдать
точечные вспышки, вызываемые радиоактивным излучением.
Найти вероятность того, что очередная вспышка произойдет
в части экрана, расположенной внутри круга радиуса R с
центром, находящимся над источником радиоактивного
излучения.
65. Пусть g и г\ определены так же, как в задаче 59, и
пусть рг = ?2 -1- г]2, а ф = arctg — . Найти совместное
распределение р и ф, т. е. для всех х и у найти вероятность
20

§ 7. Метризация и упорядочивание множеств
вв. Показать, что
р(А,В) = Р(А0В)
удовлетворяет всем аксиомам метрического пространства *,
кроме аксиомы тождества, т. е. р(А, В)=р(В, А), и для
любых событий А, В, С всегда
р(Д В) + р(В,С)>Р(А,С).
67. Условимся говорить, что для событий (множеств) At, As,
Ak имеет место свойство bilk, если выполняются следующие два
условия:
1) 4fU,fU = A;
2)аПаП^ = л-
Доказать, что:
а) если имеет место свойство bijk, то
p(At, Aj) + р{А,-, А„) = р(Л, Ak);
б) если из Р(А) = 0 следует, что А = Л, то верно и
обратное утверждение.
68. Показать, что не всегда из свойств bijk и bikm (см.
предыдущую задачу) следует ЬЦт.
69. Пусть Л* = \АХ,..., Ап\ и В* — {Вг, ...,Вп} — две системы
вложенных друг в друга множеств Aj^ZDAj и B^D
ZDBj (j — 1, 2,..., п — 1), причем Ап [)?„ «= Л. И пусть С такое
множество, что Ап [) С = Вп f] С = Л, тогда последовательность
множеств
L' = (LX, ...,L„),
где
L^A^B^^C
мы будем называть линейно упорядоченной.
Доказать, что для: </<? Lt, Ljt Lk есть bijk. Откуда в
силу задачи 67 следует, что в этом случае
р (!?,.) +Р (^А) = Р(?А).
* См. П. С. Александров. Введение в общую теорию множеств
и функций. Гостехиздат, М., 1948, стр. 227.
21

70*. Продолжение. Доказать, что если R* = {Rlt...,R^
есть последовательность множеств, таких, что для всех
i, j,k—\, 2,...,« и г'</<& для Rt, R/t Rk имеет место
свойство bljlt, то R* линейно упорядоченная последовательность
множеств.
II. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
Материал этого раздела соответствует в основном § 9, 10
учебника Б. В. Гнеденко. Центральным в нем являются задачи
на применение формулы полной вероятности. При решении
их требуется умение самостоятельно разбить сложную задачу
на ряд более простых.
Кроме определения вероятности при решении задач
предполагаются известными также определения условной
вероятности и независимости, формула полной вероятности.
Напомним их. Если Р(В)>0, то условная вероятность события А
при условии В Р(А/В) определяется посредством формулы
\ J Р(В)
На практике эту формулу используют обычно для подсчета
Р(АВ).
Независимость. События А\,...,Ап называются
независимыми, если для любого 1<г-<гс и любых 1 < /i<i2< • • • <ir-<n
имеет место соотношение
р{лгА>...,лг,} = ПР{\}.
Случайные величины ?ь ?2,..., ?л называются независимыми,
если для любых х\, Х2,..., хп имеет место равенство
р!П &<*<)! = Пр&<*().
Формула полной вероятности. Если события Bt (i == 1, 2,..., п)
п
таковы, что Bfij = A(i=?j),\J Bt = Е (т. е. В1 попарно не
пересекаются и в сумме дают все пространство элементарных
исходов) и Р (Бг) >• 0, то имеет место формула
п п
¦ Р (А) ¦= ? Р (ABt) = У Р (Б,) Р (АЩ .
22

§ 1. Условная вероятность. Независимость
71. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 из 25
вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса.
Используя понятие условной вероятности, найти вероятность
того, что студент знает все эти вопросы. Найти ту же
вероятность, используя классическое определение вероятности.
72. По ведомостям о расходе запасных частей было
установлено, что при ремонте автомобильных двигателей деталь
№ 1 заменялась в среднем в 36% случаев, деталь № 2 —
н 42% случаев, а обе эти детали одновременно заменялись
в среднем в 30%. Можно ли на основании этих данных
сделать вывод о том, что замена детали № 1 и замена детали
Кя 2 статистически связаны между собой? Найти вероятность
того, что при ремонте двигателя деталь № 2 будет заменена,
при условии, что деталь № 1 заменена.
73. Исследовать связь между темным цветом глаз у отца
(событие Л) и у сына (событие В) на основании следующих
данных, полученных при переписи населения Англии и
Уэльса в 1891 г. Темноглазые отцы и темноглазые сыновья (АВ)
составляли 5% среди всех обследованных, темноглазые отцы
и светлоглазые сыновья _(ЛВ)—7,9%, светлоглазые отцы и
темноглазые сыновья {АВ)—8,9%, светлоглазые отцы и
светлоглазые сыновья (АВ) — 78,2%.
74. Электрическая цепь между точками А и В составлена
по схеме, приведенной на рис. 2. Различные элементы цепи
выходят из строя независимо одно от другого. Вероятности
выхода из строя за время Т элементов цепи следующие:
элемент. . Ki Кг Лх Л2 Л3
вероятность 0,1 0,2 0,4 0,7 0,5
Определить вероятность перерыва питания за указанный
промежуток времени.
75. Разыскивая специальную книгу, студент решил обойти
три библиотеки. Для каждой библиотеки одинаково вероятно
есть в ее фондах книга или нет. И если книга есть, то
одинаково вероятно занята она другим читателем или нет. Что
более вероятно — достанет студент книгу или нет, если
известно, что библиотеки комплектуются независимо одна от
другой?
76. Стрелок А поражает мишень при некоторых условиях
стрельбы с вероятностью pi =0,6, стрелок В — с вероятностью
23

02 = 0,5 и стрелок С — с вероятностью рз = 0,4. Стрелки дали
залп по мишени и две пули попали в цель. Что вероятнее?",
попал С в мишень или нет?
77. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин
дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом.
Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что
мужчин и женщин одинаковое число.)
78. На фабрике, изготовляющей болты, машины А, В, С
производят соответственно 25, 35 и 40% всех изделий. В их
продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.
Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным.
Какова вероятность того, что он был произведен машиной .4;
машиной В; машиной С?
79. Известно *, что вероятность двум близнецам быть
одного пола «=Ю,64, причем вообще вероятность рождения
мальчика ==«0,51. Найти вероятность того, что второй из
близнецов мальчик, при условии, что первый из них мальчик.
80. Вероятность того, что письмо находится в письменном
столе, равна р, причем с равной вероятностью оно может
быть в любом из восьми ящиков стола. Мы просмотрели
7 ящиков и письма не нашли. Какова вероятность, что
письмо в восьмом ящике?
81. Бросают три кости. Какова вероятность того, что хотя
бы на одной из них выпадает одно очко, если на всех трех
костях выпали разные грани?
82. Известно, что при бросании 10 костей появилась по
крайней мере одна единица. Какова вероятность, что
появились две или более единицы?
* См. Э. Борель Вероятность и достоверность Фнзматгнз, М,
1961, стр. 39.
24

83. Для эксперимента, описанного в задаче 26, найти при
всех тип условные вероятности Р (Ат/Вп) и Р (Вп.Ат).
Выяснить, зависимы ли испытания 31 и 35 или нет.
(Испытания 31 и 35 зависимы, если для хотя бы одной пары
{т, п) события Ат и Вп зависимы).
84. Имеется N деревянных детских кубиков, на каждый
из них может быть наклеена картинка с изображением
буквы А или буквы В, или обе эти картинки вместе. Будем
говорить, что произошло событие А, если случайно выбранный
кубик имеет картинку с буквой А, и событие В, если — с
буквой В. Можно ли картинки наклеить таким образом, чтобы
события А и В были независимы?
85. Пусть случайные величины ? и т] независимы и
одинаково распределены, причем Р{|=1}=р>0, Р{| = 0}=1 —
—р>0. Введем новую случайную величину, положив ?=0,
если l-f-T] — четное число и ?,— 1, если i-f-Tj — нечетное число.
При каком значении р случайные величины s и ?, независимы?
86. 1. Доказать, что если Р(Л)=0,9; Р(б)=0,8, то
Р(Л/Б)> 0,875.
2. Доказать, что Р (Л2 AJ > 1 - -^- .
Р Mi)
87. Пусть Р(Л)=р; Р(В)=1 — е, где г мало, оценить
Р(Л/В) сверху и снизу.
88. Построить пример, показывающий, что из
Р(Л-В-С) = Р(Л) Р(В)Р(С) и Р(С)>0
не следует, что
Р(ЛВ) = Р(Л)Р(В).
89. Показать, что из попарной независимости событий
Л, В, С не следует их независимость в совокупности.
90. Известно, что события А и В независимы и не
пересекаются. Найти min (Р(Л), Р(В)).
91. Даны три попарно независимых события, которые
однако все три вместе произойти не могут. Предполагая, что
все они имеют одну и ту же вероятность х, определить
наибольшее возможное значение х.
92. Даны Р(Л), Р_(б), Р(С), Р(АВ). Р(ЛС), Р(ВС).
Р(АВС). Найти Р (С/А-В).
25

§ 2. Дискретные распределения: биномиальное,
полиномиальное, геометрическое, гипергеометрическое
93. Двое играют в игру, поочередно бросая монету.
Выигравшим считается тот, кто первый откроет решетку.
Описать пространство элементарных исходов. Найти pk
вероятность того, что игра закончится при &-том бросании. Во
сколько раз вероятность выигрыша больше для начавшего?
94. В партии хлопка около 20% коротких волокон.
Какова вероятность не обнаружить ни одного короткого волокна
при случайном отборе п волокон?
95. Для, прядения смешаны поровну белый и окрашенный
хлопок. Какова вероятность среди 5 случайно отобранных
волокон смеси обнаружить менее 2 окрашенных?
96. Два одинаково метких стрелка поочереди стреляют по
мишени. Каждый имеет право сделать не более двух
выстрелов. Первый, попавший в мишень, получает приз.
1. Если вероятность попадания р = -—, то, что вероятнее:
5
получат стрелки приз или нет?
2. Каково отношение вероятностей стрелков на получение
приза, если вероятность попадания р = —? Каково это
отношение, если число выстрелов не ограничивать?
97. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника:
а) 3 партии из 4 или 5 из 8;
б) не менее 3 партий из 4 или не менее 5 из 8;
в) не более п из In партий или более п из того же числа
партий;
г) не более п из 2п-\-\ партий или более п из того же
числа партий?
98. Проблема Джона Смита. В 1693 г. Джоном
Смитом был поставлен следующий вопрос: одинаковы ли
шансы на успех у трех человек, если первому надо получить
хотя бы одну шестерку при бросании игральной кости 6 раз,
второму — не менее двух шестерок при 12 бросаниях, а
третьему— не менее трех шестерок при 18 бросаниях. Задача
была решена Ньютоном и Толлетом, показавшими, что
первый человек имеет больше шансов на выигрыш, чем второй,
а второй больше, чем третий. Получить этот результат.
99. Предположим, что кость имеет s граней s^>2,
выпадение каждой из которых одинаково вероятно. Через g(t, п)
обозначим вероятность того, что при t бросаниях кости за-
26

данная грань выпадет меньше чем п раз. Доказать
следующее:
а) g(sn, п) убывает при росте s, при фиксированном п\
б) g{sn,n)<~-\
в) gBn, п) -у — при п -> оо.
100. Для того чтобы узнать, сколько рыб в озере,
отлавливают 1000 рыб, метят их и выпускают обратно в озеро.
При каком числе рыб в озере будет наибольшей вероятность
встретить среди вновь пойманных 150 рыб 10 меченых?
101. Среди коконов некоторой партии 30% цветных.
Какова вероятность того, что среди 10 случайно отобранных из
партии коконов 3 цветных? Не более 3 цветных?
102. Технический контроль проверяет изделия, каждое из
которых независимо от других изделий может с
вероятностью р оказаться дефектным.
1. Какова вероятность того, что из 10 проверенных
изделий только одно оказалось дефектным?
2. Найти вероятность того, что первым дефектным
оказалось &-тое (? = 3) проверенное изделие.
3. Найти вероятность того, что последующие 10 изделий
окажутся хорошими, при условии, что предыдущие 1=5
изделий были также хорошими. Зависит ли эта вероятность от /?
4. Найти распределение числа обнаруженных при
проверке хороших изделий между двумя последовательными
дефектными.
103. Двое играют в следующую игру. Первый записывает
одно из двух чисел: нуль или единицу, а второй стремится
отгадать, какое из двух чисел записал первый игрок. Второй
игрок заметил, что первый пишет очередную цифру
независимо от предшествующих, причем нуль у него появляется
с вероятностью /7 = 0,6. Какой должна быть стратегия
второго игрока, т. е. с какой вероятностью он должен называть
каждое из чисел, для того чтобы добиться наибольшего
числа отгадываний? Найти распределение числа отгадываний
между двумя последовательными неудачами при условии, что
второй игрок называет нуль с вероятностью У — ~ независимо
от результатов предшествующих отгадываний.
104. На отрезок АВ длины а брошены наудачу,
независимо одна от другой, пять точек. Вероятность попадания точки
на какую-либо часть отрезка зависит только от длины этой
части и пропорциональна ей. Найти вероятность того, что:
27

а) две точки будут находиться от точки А на расстоянии,
меньшем Ь, а три — на расстоянии, большем Ь;
б) две точки будут находиться от А на расстоянии,
меньшем а, одна — на расстоянии a<r<b, а три точки — на
расстоянии, большем Ь.
105. В круг вписан квадрат.
1. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу
внутрь круга, окажется и внутри квадрата?
2. Какова вероятность того, что из 10 точек, брошенных
наудачу независимо одна от другой внутрь круга, четыре
попадут в квадрат, три — в один сегмент и по одной —
в оставшееся три сегмента?
106. Вероятность того, что замаскировавшийся противник
находится на обстреливаемом участке, равна 0,3;вероятность
попадания в этом случае при каждом отдельном выстреле
равна 0,2. Для поражения достаточно одного попадания.
Какова вероятность поражения при 2 выстрелах? Какова
вероятность поражения при 10 выстрелах?
107. Спортивные общества .4 и В состязаются тремя
командами. Вероятности выигрыша матчей команд
общества А против соответствующих команд В можно принять
соответственно равными 0,8 для 1-й (против 1-й В), 0,4 для 2-й
(против 2-й В), 0,4 для 3-й (против 3-й В). Для победы
необходимо выиграть не менее двух матчей из трех (ничьих не
бывает). Чья победа вероятнее?
108. Два шахматиста А и В согласились сыграть матч на
следующих условиях: А должен для победы набрать 12
очков (выигрыш — очко), В набрать 6 очков, причем ничьи не
считаются. А обычно вдвое чаще выигрывает у В, если
считать только результативные партии, так что вероятность его
выигрыша можно считать равной —-. Игру пришлось прекра-
О
тить после того, как А набрал 8 очков, а В набрал 4 очка.
Победу решено присудить тому, у кого вероятность
окончательного выигрыша больше. Кто победитель?
109. Пусть Ak — событие, заключающееся в том, что при
проверке k изделий, поступивших на контроль, не обнаружено
ни одного дефектного. Известно, что при любых- целых k и
Z>0 Р {Ak+i/Ak}=r--P{A,}, причем Р{Л,}= \—q. Найти P{Ak].
Найти также вероятность того, что число хороших изделий,
обнаруженных до' первого дефектного, равно I (сравнить с
задачей 102, см. также задачу 117).
28

ПО. Урна содержит два шара: один белый и один черный
Производятся последовательные испытания с возвращением
вынутого шара в урну. Число испытаний неограничено.
1. Какова вероятность вынуть в конце концов белый шар,
если после неудачной пробы в урну добавляется еще а
черных шаров?
2. Какова вероятность вынуть в конце концов подряд два
белых шара, если после каждой неудачной пробы в урну
добавляют еще один черный шар?
3. Какова вероятность вынуть в конце концов подряд два
белых шара, если после каждой неудачной пробы в урну
добавляют еще два черных шара?
111. Применяя теоретико-вероятностные соображения,
проверить следующие тождества, в которых Л/^>/тг>1:
а) 1 + N~m + W-mHJV-m-l)
,V —1 (д/_!).(#_2)
(N — m)...2-l = N_.
(N — I)...(m-H)m ~~ m '
6) 1 4- -V~m 1±1 i (JV —m)-(JV—m—1) m-f 2
/V " m N* m
. (N — m)...2-l N N
NN~m m m '
\ i ,N~m m -J- 1 , (N — my m + 2
N -f- 1 ' m (N + 1) (N + 2) m
, (A/ — my m + 3 _A
(tf + l)-UV + 2)-(tf + 3) ' m " ' ~~ m
Найти соответствующие схемы извлечения шаров из урны.
§ 3. Непрерывные распределения
112. Кирхгоф исследовал 60 спектральных линий
излучения железа и нашел, что каждая из этих линий совпадает
с какой-нибудь солнечной фраунгоферовой линией. Оценить
вероятность того, что эти совпадения были вызваны
случайностью, если линии, на используемой им шкале, на
расстоянии в — мм уже различимы, а среднее расстояние между
соседними солнечными линиями было около 2 мм.
29

Указание. При решении задачи считать, что 60 линий
железа проведены на чертеже солнечного спектра наугад,
независимо одна от другой, и оценить вероятность того, что
1
каждая из этих линии окажется ближе чем на — мм к ка-
2
кой-нибудь солнечной линии. (См. также задачу 60.)
113. Какова вероятность, что из трех взятых наудачу
отрезков можно составить треугольник? Длина каждого из
отрезков не превышает а, и все значения ее одинаково
возможны.
114. Прут длины I наудачу разламывается на две части,
после чего большая из частей опять в точке, наудачу
выбранной, разламывается надвое. Найти вероятность того, что
из получившихся частей можно составить треугольник.
115. На отрезок [0,1] бросаются наудачу независимо одна
от другой две точки. Найти вероятность того, что из
отрезков: от нуля до левой точки; от левой точки до правой и от
правой до единицы можно: а) составить треугольник; б)
составить остроугольный треугольник.
116. Двое условились встретиться в определенном месте
между 18 и 19 час, ранее пришедший должен ждать другого
в течение четверти часа. Вычислить вероятность того, что
встреча произойдет, в предположении, что времена прихода
каждого из двух лиц на место встречи независимы и
равномерно распределены между 18 и 19 час.
117. Пусть событие At заключается в том, что молекула,
испытавшая соударение в момент времени, равный 0, не
испытает соударения до момента времени, равного t.
Известно, что
P\At+u/At} =P{At).
Известно также, что Р{Л1}=е-х'. Найти P(At).
118. Задача Бюффона. На горизонтальной
плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от
друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена
тонкая игла, длина которой равна 21, причем I <а. Под словом
«наудачу» здесь понимается следующее: во-первых, наудачу
центр иглы падает на прямую, перпендикулярную
проведенным линиям, и, во-вторых, угол ф, составленный иглой и
проведенными прямыми, имеет равномерное распределение,
причем положение центра и <р независимы. Найти вероятность
того, что игла пересечет какую-нибудь прямую. Какова
вероятность, что при 10 бросаниях будет 5 пересечений? Какова
30

вероятность того, что при 10 бросаниях будет одно
пересечение?
119. Пусть в задаче 63 / = к. Найти для всех х
Р{й<х/а <-?-}.
120. Для сборки шарикоподшипника необходимо, чтобы
между R — радиусом наружного кольца, г — радиусом
внутреннего кольца и d — диаметром шариков (по условиям
производства разброс диаметров шариков внутри одной партии
незначителен и им можно пренебречь) существовало
следующее соотношение:
0</?-r —d<6.
Предположим, что R, г, d независимы и равномерно
распределены соответственно на отрезках в [50,0; 51,0], [40,0;
41,0], [9,5; 10,0].
Найти вероятность сборки шарикоподшипника в случае
6 = 0,5 мм.
121. В сфере радиуса R случайно и независимо друг от
друга разбросано N точек.
1. Чему равна вероятность того, что расстояние от центра
до ближайшей точки будет не менее г?
2. К чему стремится вероятность, найденная в пункте 1,
если R-*oo и > — лХ?
ф 3
Примечание. Задача заимствована из звездной
астрономии: в окрестности Солнца Х=0,0063, если R измерено
в парсеках.
§ 4. Применение формулы полной вероятности
122. Среди 64 клеток шахматной доски выбирают наудачу
две различные клетки и ставят на них две одинаковые
"фигуры белого и черного цвета. Какова вероятность того, что эти
фигуры не будут бить друг друга, если были поставлены две
ладьи? два слона? два коня? два ферзя?
123. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара,
переложены два вынутых наудачу шара в урну, содержащую
4 белых и 4 черных шара. Найти вероятность вынуть из
второй урны белый шар.
31

124. В трех урнах содержатся белые и черные шары.
В первой — 2 белых и 3 черных шара, во второй — 2 белых и
2 черных шара, в третьей — 3 белых и 1 черный шар. Из
первой урны переложен шар во вторую. После этого шар из
второй урны переложен в третью. Наконец, из третьей урны
шар переложен в первую.
1) Какой состав шаров в первой урне представляется
наиболее вероятным?
2) Определить вероятность, что состав шаров во всех
урнах останется без изменения.
125. Некто знает не все экзаменационные билеты. В
каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет
для него наименьшей, когда он тащит билет первым или
последним?
126. Вероятность для изделий некоторого производства
удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается
упрощенная система испытаний, дающая положительный результат
с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих
стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, с
вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что изделие,
выдержавшее испытание, удовлетворяет стандарту?
127. Допустим, что вероятность попадания в цель при
одном выстреле равна р, а вероятность поражения цели при
&>1 попаданиях в нее 1—qk, Какова вероятность того, что
цель поражена, если было произведено п выстрелов?
128. В партии из N изделий имеется M<N дефектных. Из
партии наудачу отобрано n<N изделий, которые
подвергаются сплошной проверке. При проверке возможны ошибки; так,
с вероятностью р дефектное изделие признается «годным» и
с вероятностью q годное — «дефектным». Найти вероятность
того, что т изделий будут признаны «дефектными».
129. Пусть s — целочисленная неотрицательная случайная
величина, принимающая с вероятностью — е~% значение k =
— 0, 1, 2,... Эксперимент состоит в том, что на отрезок [0,1]
независимо одна от другой бросается наудачу Е, точек. Обозна-
/ i — 1 i \ .
чим X, число точек, попавших на интервал ( , — ) i =
V п п J
= 1, 2,. . .,п. Доказать, что при к = п, х, независимы.
130. Допустим, что некоторое насекомое с вероятностью
хк
е~х кладет k яиц, а (вероятность развития насекомого из
k\
яйца равна р. Предполагая взаимную независимость развития
32

яиц, найти вероятность того, что у насекомого будет ровно /
потомков.
131. При эксперименте 9J возможны М несовместимых
исходов Ат, а при эксперименте 25 — N несовместимых исходов Вп.
Показать, что условную вероятность Р(Вп/Ат) можно выразить
через вероятности Р(Ат/Вп) и Р(Вп) следующим образом:
P(^W=/^)P(B„) ¦
^] Р (Am/Bk) Р (Вк)
Это соотношение известно как формула Байесса.
132. Из урны, в которой было т>-3 белых шаров и п
черных, потеряли один шар неизвестного цвета. Для того чтобы
определить состав шаров в урне, из нее наудачу были
вынуты два шара. Найти вероятность того, что был потеряй
белый шар, если известно, что вынутые шары оказались
белыми.
Указание. Воспользоваться формулой задачи 131.
133. Вероятности единственно возможных и
несовместимых гипотез Ль Л2,..., Ak об условиях наступления события В
равны до испытаний соответственно си, а2,..., ak; вероятности
наступления события В, соответствующие гипотезам, равны
р\, р2,..., Pk- Известно, что при П\ независимых испытаниях
событие В наступило т\ раз. Известно также, что при
следующей серии в пг испытаний событие В наступило тг раз.
Доказать следующее свойство формул Байесса:
апостериорные вероятности гипотез, вычисленные после второй серии
испытаний с учетом вероятностей этих гипотез после первой
серии испытаний, всегда равны вероятностям, вычисленным
просто для серии в п\~\-п.2 испытаний, в которой событие В
наступило тп\-\-т2 раз.
134. По каналу связи может быть передана одна из трех
последовательностей букв: АЛАА, ВВВВ, СССС, причем
априорные вероятности каждой из последовательностей есть
соответственно 0,3; 0,4; 0,3. Известно, что действие шумов на
приемное устройство уменьшает вероятность правильного
приема каждой из переданных букв до 0,6, а вероятность
приема переданной буквы за две другие увеличивается до 0,2
3 Л. Д. Мешалкин
33

и 0,2. Предполагается, что буквы искажаются независимо
друг от друга. Найти вероятность того, что была передана
последовательность АААА, если на приемном устройстве
получена — ABC А.
§ 5. Вероятность суммы событий
135. События Лг (t — 1, 2, ..., п) — независимы, P^Ak) ='pk.
Найти вероятность:
а) появления хотя бы одного из этих событий;
б) не» появления всех этих событий;
в) появления только одного из них.
136. Пусть А\, А2,..., Ап—случайные события.
Доказать формулы:
a)P{U4}=i>{4}- 2 РDЛ-} +
+ S рМИЛ} +¦•¦ + (- i)n+1 р ! П А-};
6)P{R4}=SP{4}_S 2р{4 + Л/} +
+S S ? p^ + ^+^-.-. + c-o-'pfy^}.
А-1/-А+1 W+l *-=!
137. Один школьник, желая подшутить над своими
товарищами, собрал в гардеробе все фуражки, а потом развесил
их в случайном порядке. Какова вероятность Р„, что хотя бы
одна фуражка попала на прежнее место, если всего в
гардеробе было п крючков и на них п фуражек. Найти Игл Ря.
П~*оо
138. В урне имеется п билетов с номерами от 1 до п.
Билеты вынимаются наудачу по одному (без возвращения).
Чему равна вероятность того, что:
а) хотя бы при одном вынимании номер вынутого билета
совпадает с номером произведенного испытания;
б) при m-кратном (т<п) извлечении номера вынутых
билетов будут идти в порядке возрастания.
34

139. Выбирают наудачу один член разложения
определителя п-го порядка. Какова Р„ вероятность, что он не
содержит элементов главной диагонали?
Найти \\тРп.
п-*ос
140. Положим для любого п> 3
ЛоЛаО ... ОАп = {А^АъО ... ОАп_г}0Ап.
По аналогии с задачей 136 доказать, что
Р{ЛсЛаО ... О Ап) = ? (-2)*"» ? Р<4- • -ЧЬ
к- 1 V!<va<...<vfe
Найти вероятность того, что в задаче 137 нечетное число
фуражек попало на свое место.
§ 6. Составление уравнений с помощью формулы полной
вероятности
141. Вероятность того, что молекула, испытавшая в
момент ?=0 столкновение с другой молекулой и не имевшая
других столкновений до момента t, испытает столкновение в
промежуток времени от t до t-\-At равна %At-\-o{At). Найти
вероятность того, что время свободного пробега (т. е. время
между двумя соседними столкновениями) будет больше t.
142. Считая, что при размножении бактерий делением (на
две бактерии) вероятность бактерии разделиться в
промежуток времени А^ равна aAt-j-o(At) и не зависит от числа
имеющихся бактерий, а также от числа предшествующих
делений, найти вероятность того, что если в момент 0 была
1 бактерия, то в момент t окажется i бактерий.
143. Предположим дополнительно к предыдущей задаче,
что за время At каждая бактерия независимо от своей
предыдущей истории и от общего числа бактерий может
погибнуть с вероятностью bAt~\-o(At). Составить
дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют Р, {t) вероятности
того, что в момент t существует г бактерий.
144. К линии электропередачи подключены п механизмов.
Вероятность того, что механизм, потребляющий энергию в
момент времени t, прекратит ее потребление до момента
t-\-At, равна aAt-{-o{At). Если в момент t механизм не
потребляет энергии, то вероятность того, что он станет ее по-
треблять до момента t-)-At. равна $At-}-o(At) независимо от
3*
35

работы других механизмов. Составить дифференциальные
уравнения, которым будут удовлетворять Pr (t) вероятности
того, что в момент t энергию потребляют г механизмов.
Найти стационарное решение этих уравнений.
145. Два игрока А и В, имеющие соответственно капитал
а и Ь, играют в азартную игру, состоящую из отдельных
партий. Каждая партия с вероятностью — оканчивается вы-
1
игрышем первого игрока и с вероятностью — выигрышем
второго игрока. После каждой партии проигравший
уплачивает 1 рубль выигравшему. Игра продолжается до разорения
одного из игроков. Найти вероятность того, что разорится
второй игрок.
146. Предположим, что в предыдущей задаче игрок А
выигрывает с вероятностью р>—и проигрывает с
вероятностью q — \—р. Какова будет в этом случае вероятность
разорения второго игрока?
147*. Найти такое целое число р, чтобы при бросании
кости вероятность события А такого, что серия ич трех
последовательных единиц встретится раньше, чем серия C —
неединиц оказалась примерно равной половине.
Указание. Ввести условные вероятности и и v
события А при условии, что результатом первого испытания
являются соответственно единица и пеединица. Используя
формулу полной вероятности, составить уравнения, связывающие
и И V.
148*. Рассмотрим последовательность независимых
испытаний с тремя возможными исходами А, В, С и
соответствующими вероятностями p,q и г (p+g-f-r = 1).
Найти вероятность того, что:
а) А—серия длины а произойдет раньше, чем В — серия
длины Р;
б) А — серия длины а произойдет раньше, чем В — серия
длины р или С — серия длины у.
111. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Материал этого раздела соответствует в основном
главам 4 и 5 учебника Б. В. Гнеденко. Напомним, что под
случайной величиной мы понимаем (измеримую) функцию
на пространстве элементарных исходов ?2={w} . П р и-
36

м с р. Бросается игральная кость. Элементарные исходы
inI, (иг.---, сое — это выпадение соответственно грани с одним,
днумн и т. д. шестью очками. Пусть | случайная величина,
принимающая значение 0, если выпало четное число очков,
и 1 в противном случае.
Тогда
6((o1) = 6(©i) = 6((Be)=l,
5(ю,) = 5(в>4) = &К) = 0.
Равенство
¦n = /(?i. ?а> ¦¦¦Лп),
где ^ — случайные величины, заданные на одном и том же
пространстве элементарных исходов Q={(u}, понимается в
том смысле, что для каждого со
ti(©) = /EiH, 6,И, ...,6„И).
Пример. Пусть имеются две случайные величины ?i
и ?2, каждая из которых может принимать значения 0 и 1,
пусть T] = min (?ь |2). В этом случае удобно ввести четыре
элементарных исхода coj, С02, «з, со4, таких, что
li К) = li К) = 0; ^ (©з) = li К) = 1;
li К) - ?2 (юз) = 0; Ъг (©,) = ?2 (со4) = 1.
Легко видеть, что "n(coi) =г)(сог) =,п(соз) =0, а т](а>4) = 1. Под
вероятностью события { 1<х} понимают вероятность того, что
осуществится хотя бы один из элементарных исходов, для
которых 1((о)<х. Более обще. Для любого (измеримого по
Борелю) множества А значений \
\>{1 (. Л} = Р{со:?(со) ( А}.
Численные характеристики случайных величин. Функцией
распределения (ф. р.) случайной величины F%(x) или F (х)
называют Р {?<*}. Из этого определения следует, что F (х)
неубывающая, непрерывная слева функция, причем 1 — F (х) 4-
-\-F(—х) -> 0 (х -»ос). Последнее свойство часто используется
для того, чтобы найти неизвестные постоянные, входящие в
определение ф. р. В случае, когда почти всюду существует р(х)
оо
производная от F (х) и Г р (х) dx = 1, р {х) называют плотностью
— оо
X
случайной величины ?. Очевидно, что Г р (х) dx = F (х). Для
— оо
37

того чтобы охарактеризовать многомерное совместное
распределение нескольких случайных величин ?х, ... , ?„, вводят иногда
многомерные ф. p. F6i %п (xi • • • хп) = р {&i < *i, ?2 < х
•. • , ^л^-Кл}- Если для всех хг хп имеет место равенство
я
^ *„(*!••¦¦ >**) = п ^м.
то говорят, что случайные величины ?х, .. . , ?„ — независимы.
Аналогично одномерному случаю определяется р| ...| (и1...ип)—
многомерная плотность распределения. Имеем
Х1 хп
— оо — oo
Средним значением, или математическим ожиданием (м. о.),
| называют интеграл Г ;cd.F|(jc), если он существует, т. е. если
— оо
00
f | jc | dFi (х) < оо. М. о. с, обозначают обычно М? или Eg. При
вычислении м. о. полезно помнить его свойства:
а) м. о. постоянной С равно С;
б) постоянную можно выносить из-под знака м. о., т. е.
М(С?) = СМ?;
в) м. о. суммы случайных величин равно сумме
соответствующих м. о., т. е.
М {I -|- Ti) = М? + Mr);
г) м. о. произведения независимых случайных величин
равно произведению соответствующих м. о., т. е.
М?г] = М? • Mri;
Щ,к называют моментом /г-того порядка %, а М (? — М?)*
—центральным моментом k-moao порядка ?. D| = M(?— ЩJ
называют также дисперсией. Основные свойства дисперсии:
a) DC = 0; б) D(C?) = C2D?; в) если \ и т) независимы,
toDF + ti)=D6 + Dti.

Одной из наиболее употребительных характеристик меры
зависимости, связи двух случайных величин | и ц является
коэффициент корреляции
М[(Б-МБ)(т|-Мт1I|
Р =
Основные свойства р:
а) — 1<р<1;
б) если | и г\ — независимы, то р = 0;
в) |р( не меняется при линейном преобразовании
случайных величин;
г) | р | = 1 тогда, и только тогда, когда одна из случайных
неличин есть линейное преобразование другой.
Если Р(Л)>0, то можно определить fg (х/Л)= Р{Кх/А\.
Под tA(xjA) в этом случае мы понимаем \ xdF\ (xjA). Опре-
деление условного математического ожидания в случае, когда
Р(А) = О, см. в разделе VI. Заметим здесь же, что при
вычислении ф. р. и моментов удобно использовать производящие и
характеристические функции (см. задачу 298 раздела V).
Энтропия и информация. Энтропией Н (?) дискретной
случайной величины ? с распределением, задаваемым рядом
{pi\ (? = 1,2,...). где pi = Р{1 = xt} называют
i
Энтропия измеряется в единицах, соответствующих
основанию логарифма а. В задачнике принято а = 2. Пусть даны
две случайные величины ? и "л и пусть plt = Р{| = xt; ц = yj\,
тогда Н (|, "л) — энтропию случайных величин ? и т) определим
как — V ри logaplt. Для каждого /, для которого ptj =
Ч
У рц > 0 можно определить условную вероятность
р(?//) = Р{? = х,/т1 = «/,} = _*/.
и условную энтропию
н (Б/л - уд = - ? р Ш 1о§* Р («'У) •
39

Величину Я (Ъц) = ^ p.jH (Цц ^ У{) называют средней услов-
i
ной антропией ? относительно ц, а величину Д, (?) = Я (?) —
— Н (\jx\) количеством информации, содержащемся в -п.
относительно \. Как нетрудно показать, 1Ц (?) = /s (т]) > 0 (см.
задачу 217). Количество информации обозначают также 1(?,,ц).
Задачи 216—221 и 259—260 раздела IV указывают на
целесообразность использования понятий энтропии и информации в
статистической теории связи. В задачах 398—400 раздела VII
понятие энтропии вводится для непрерывных распределений.
§ 1. Вычисление математических ожиданий и дисперсий
149. Найти функцию распределения и среднее значение
числа бросаний монеты в задаче 93.
150. Случайные величины | и ц независимы, причем
Щ = 2, Щ=1, Mti = 1, Dt] = 4.
Найти м. о. и дисперсию:
а) Si = 6 — 2ti;
б) S, = 2g-Ti.
151. Предположим, что в озере было 15 000 рыб, причем
1000 из них меченых (см. задачу 100). Из озера было
отловлено 150 рыб. Найти м. о. числа меченых рыб среди
отловленных.
152. Найти м. о. и дисперсию числа коротких волокон
среди случайно отобранных волокон в задаче 94.
153. При бросании п игральных костей определить м. о.,
дисперсию и центральный момент 3-го порядка суммы очкоз
на всех костях.
154. Найти м. о. и дисперсию величины свободного
пробега молекулы, описанной в задаче 141.
155. Владелец сезонного железнодорожного билета
обычно выезжает из дома между 7.30 и 8.00 утра; поездка
до станции занимает от 20 до 30 мин. Предполагается, что
время выхода и продолжительность поездки представляет
собой независимые случайные величины, равномерно
распределенные в соответствующих интервалах. Имеются два
поезда, которыми он может ехать: первый отправляется в
8.05 утра и идет 35лшм, а второй — в 8.25 утра и идет 30 мин.
Предполагая, что он выезжает одним из этих поездов,
определить среднее время его прибытия к месту назначения. Какова
вероятность того, что он пропустит оба поезда?

156. Найти м. о. и дисперсию числа дефектных изделий
среди п изделий, поступивших на контроль, см. задачу 102.
Найти также м-, о. числа хороших изделий, обнаруженных
между двумя последовательными дефектными.
157. В задаче 130 найти м. о. числа потомков у
насекомого.
158. Бросают две кости. Найти м. о. суммы выпавших
очков, если известно, что выпали разные грани.
159. Диаметр круга измерен приближенно. Считая, что
его величина равномерно распределена в отрезке [а, в], найти
распределение площади круга, ее среднее значение и
дисперсию.
160. Плотность распределения абсолютной величины
скорости движения молекул имеет вид
p(s) = 41/ —-s2e-flS\
(постоянная а может быть определена через температуру
о ОТ ,
газа и массу рассматриваемой частицы: а = , где я —
постоянная Больцмана).
1. Найти среднее значение пути, проходимого молекулой
в единицу времени (ожидаемый пробег молекулы).
2. Найти среднее значение кинетической энергии
молекулы (так называемую «среднюю энергию» молекулы).
161. Известно, что вероятность выхода из строя
электронной лампы, проработавшей х дней, равна в следующие
Л дней 0,003Д+о(Л) независимо от величины х. Здесь о (А)
означает, что о(А)->0 при Д->0. Через год работы лампу
заменяют, если она даже и не вышла из строя. Найти
среднее время работы лампы.
162. Двумерное распределение пары целочисленных
случайных величии ? и г] задается с помощью таблицы
П-/
0
1
2
3
1='
0
0,01
0,02
0
0,01
1
0,05
0
0,05
0
2
0,12
0,01
0,1
0,02
3
0,02
0,05
0
0,01
4
0
0,02
0,3
0,03
5
0,01
0,02
0,05
0,1
41

Найти:
а) Р {I = 2/л = 3};
б) М{?/т!=1};
в) М(? + л);
г) ;м{^2/л<1};
»
д) P{Htl<5/ri<2};
е) М{^.т!/г1<1}.
163. Доказать, что если ?х,?„ ... , |„ независимы,
положительны и одинаково распределены, то
М ( Ei -1- ¦ ¦ ¦ 4- Ik \ = ±_ если k < п>
ч ?!+••• + Е» У "
164. Случайная величина ? принимает целые
положительные значения. Доказать, что:
а) М? = \7Р{| = т};
б) D?= 2?mP{| = m} — М1(МЕ+1).
m»l
165. Определим D (?/Л) = м((| — М (?/Л)J/л).
Доказать, что
D (ЦА) - М ((? - М?J /Л) - [М&/Л) - М|]2.
166. Пусть случайная величина \ с вероятностью р,
совпадает со случайной величиной \ь и пусть М?г = М,. Доказать,
что D| = у pftD^ft + Оц, где ^ с вероятностью рг принимает
значения Мг

167. Найти среднее значение и дисперсию произведения
двух независимых случайных величин | и г) с равномерными
законами распределения: s — в интервале [0,1], г\ — в
интервале [1,3].
168. Доказать, что если \ и г) независимы, то
D(?.tO = Dl-Dr, + (MS)»Dt| + (МлJ0^,
т. е. D(^-ti) >D^Dr).
169. Пусть \х, ?2, ... ,\п+\ последовательность взаимно
независимых одинаково распределенных случайных величин,
принимающих с вероятностью р значение 1 и с вероятностью
9=1—р значение 0. Положим \ = 0, если \t + U+i число
четное, и т^ = 1, если 1,-f-b+i = 1. Найти м. о. и дисперсию
170. Большое число Я людей подвергается исследованию
крови. Это исследование может быть организовано двумя
способами. 1. Кровь каждого человека исследуется отдельно.
В этом случае потребуется N анализов. 2. Кровь k людей
смешивается, и анализируется полученная смесь. Если
результат анализа отрицателен, то этого одного анализа
достаточно для k человек. Если же он положителен, то кровь
каждого приходится исследовать затем отдельно, и в целом на k
человек потребуется k-\-\ анализ. Предполагается, что
вероятность положительного результата одна и та же для всех
людей и что результаты анализов независимы в теоретико-
вероятностном смысле.
1. Чему равна вероятность того, что анализ смешанной
крови k людей положителен?
2. Чему равно м. о. числа анализов %, необходимых при
втором методе исследования?
3. При каком k достигается минимум м. о. числа
необходимых анализов *?
171. Город состоит из п кварталов, причем в n-s из них про-
п
живает по Xj жителей («j + л2 + • • • = «)• Пусть т = \ njXj
7=1 п
среднее число жителей, приходящихся на один квартал. Поло-
* Как указывает В. Феллер, из учебника которого заимствована эта
задача, второй метод на практике давал экономию в числе анализов
до 80%.
43

жим также а2 = > т2. С помощью случайного выбора
без возвращения отобрано г кварталов и в каждом из них
подсчитано число жителей. Пусть Xlt...,Xr— соответствующие
числа. Доказать, что
М{Хх + ... + Xr) = mr; D (Хг + ... + Хг) = ^(я-В
п — 1
(Заметим, что при выборе с возвращением дисперсия больше.)
172. Число жителей города оценивается посредством
следующей процеДуры двойного выбора. Город разделен на я районов.
Число кварталов в /-том районе известно и равно пг так что
п = У tij есть общее число кварталов в городе. Неизвестное
число жителей в й-том квартале /-того района обозначим xjk
(так что Xj = 2j Xjk есть число жителей в /-том районе, а
k
х — V Xj — число жителей в городе).
Из /-того района выбирается с помощью случайного выбора
Гу кварталов и подсчитывается число людей, проживающих в
каждом из них. Пусть Xjk — число жителей в &-том среди
выбранных из /-го района кварталов. Тогда X;- = VX/ft есть
общее число жителей в кварталах, выбранных из /-того района.
. X,-. Показать, используя результат преды-
— г,-
дущей задачи, что М(Л) = х;
где
Чк \ Л'Ь
nj
§ 2. Функции распределения
173. Пусть р(х) — плотность случайной величины |. В ие
определение входит постоянная С. Найти ее в случае, когда
О при х<0;
а) Р(*) =
Се при х > 0;
44

б) р(х)
при х<С 0;
при х>0 (а>0, р>0);
в) p(x) = C(l-f ^Г1.
174. Для данной линии трамвая от пункта О до i
известна функция F(a, 6), представляющая собой вероятность
того, что пассажир, едущий по этой линии, сел в точке х<а
и едет до точки у Kb. Требуется определить:
а) относительную плотность движения, а именно
функцию ср(г), представляющую вероятность того, что пассажир,
едущий по данной линии, проезжает через точку г;
б) вероятность cpiB) того, что он сел до пункта г;
в) вероятность фг(г) того, что он сошел не позже г.
Предполагая, что введенные функции непрерывны и
дифференцируемы, установить зависимости между ними и
функцией р(х, Ь), выражающей плотность вероятности для
пассажира, севшего в точке х, сойти в точке Ь>х.
175. Некоторое число совершенно сферических мячей,
сделанных из однородного материала, при группировке их по
диаметру дает симметричное распределение. Покажите, что
если эти же мячи будут сгруппированы по весу,
распределение будет иметь положительную асимметрию (т. е. третий
центральный момент будет положителен).
176. Доказать, что любая функция распределения
обладает следующими свойствами:
ОО ОО
limjc Г — dF(z) = 0, lim х [ — dF (г) = 0.
X X
177. Доказать, что если случайная величина ?, имеет момент
порядка k, то lim*ft(l —F (х) + F (—х)) — 0.
178. Показать, что последовательность моментов любого
непрерывного распределения F положительно определена, т. е.
для любого т и любых вещественных хх, х%, ... ,хт
т оо
V о.1+k xtxk > 0, где а, = Г xldF (х).
l,k- 0 —оо
§ 3. Коэффициент корреляции
179. 5 и г) суть величины, имеющие конечные моменты
второго порядка. Показать, что D(s-f-il)=E)?+Dr] тогда, и
только тогда, когда эти величины не коррелированы.
45

180. Доказать, что если коэффициент корреляции р двух
случайных величин I и ц (р| =1, то существуют такие
постоянные а и Ь, что \~ar[-\-b.
181. Построить пример, показывающий, что из равенства
нулю коэффициента корреляции не следует независимость
соответствующих случайных величин.
182. Случайные величины Ь, Ь,..., ?„ независимы и
нормально распределены с параметрами а, а. Найти двумерную
плотность распределения
т п
183. Случайные величины \ и ч\ независимы и нормально
распределены с одними и теми же параметрами аист.
1. Найти коэффициент корреляции величин а| + Щ и а?, —
— prj, а также их совместное распределение.
2. Доказать, что Мтах (?, ц) = а -| —.
184. Случайный вектор (?, л) нормально распределен М? =
= Мт\ = 0; D?, = Dt^ = 1. р — коэффициент корреляции между
\ и г\. Доказать, что:
а) р = cos qn, где q = Р {?г| < 0};
б) М max (I, г\) = л/~А^±.;
в) коэффициент корреляции величин Е,а и т^равен р2.
185. Пусть ?, (t = 1, 2, ... , /г) независимы и' одинаково
распределены, причем М(?— М|K = 0. Доказать, что в этом
случае случайные величины
/-1 (=1
не коррелированы.
§ 4. Неравенство Чебышева
186. Пусть | — случайная величина, имеющая конечную
дисперсию. Доказать неравенство Чебышева, заключающееся
в том, что
p{li-Mii>6}<3-.
46

187*. Пусть | — произвольная случайная величина, причем
М? = 0, Dg = а2, и пусть F (х) — функция распределения g.
Доказать, что при х<0 F (х) < , а при х>0 F(x)>
О2 -f- Л'2
„о
Показать на примере, что эти неравенства могут
а'4-х*
для некоторых F обращаться в равенства.
188*. Если ограничиваться лишь некоторыми классами
распределений, то неравенство Чебышева иногда удается
улучшить. Так, Гауссом в 1821 г. было показано, что для
унимодальных распределений непрерывного типа, т. е. таких
распределений, плотность которых имеет единственный
максимум, при любом е>0 имеем
Р{|6_х„1>вт}<-^-,
где х0 — мода, a t2 = Dg + (#0— MgJ— второй момент
относительно моды. Если воспользоваться S ¦= — Ц** —[мерой асим-
ущ fr.--- _
метрии, введенной К. Пирсоном, то из приведенного'неравенст-
ва можно получить, что для е > | s |
Доказать оба эти неравенства.
Указание. Докажите сначала, что если g{x) не
возрастает при х>0, то при любом е>0
ОС оо
1 ^g{x)dx<~^x*g(x)dx.
189. Обобщение неравенства Чебышева.
1. Доказать, что если случайная величина g такова, что
Меа* существует (а>0 постоянная), то
P{S>e}<_^_.
2. Пусть / (х) > 0 — неубывающая функция. Доказать, что если
существует M(/|g — М||), то
Р1||-М||>еКМ^"^-М^"».
47

§ 5. Распределение функций от случайных величин
190. I и г) независимы, причем Р{?, = 0} — Р{| = 1} = —, а
Р{у]<х} = х@<х<1).
Найти функцию распределения
а) ^ = г) + 1;
б) ?2 = Л + ^;
в) ?3"= ? • л-
191. "Найти функцию распределения суммы независимых
случайных величин i и т], первая из которых равномерно
распределена в интервале (—h, h), а вторая имеет функцию
распределения F(x).
192. Функция концентрации. Величину Q6 (/) ==
= supP(x<S<x + /} называют функцией концентрации слу-
х
чайной величины ?. Доказать, что для любого г], не зависящего
от I, функция концентрации суммы | + г) Qg+n(О <Q%@-
193. Доказать, что если случайная величина \ имеет
плотность pi (х), то для любого г), не зависящего от %, сумма \-\-4\
также имеет плотность pi+n(x), причем рц.ц (х) <Сsup р%(х).
х
194. Пусть случайная величина \ имеет плотность
распределения р(х). Найти плотность распределения случайной величины:
а) г\ = аЪ, + Ь, а и Ь действительные числа;
б) г) = Е-»;
в) т) = cos 5;
г) г]--=/(!), где /(х) — непрерывная монотонная функция.
195. Доказать, что для любой случайной величины \ с
непрерывной функцией распределения F(x) для 0<л:<1
P{F(l)<x} = x.
196. Дискретная случайная величина % имеет
распределение Пуассона:
т
48

I Iyerb M — выборочное среднее N независимых
реализаций \:
а) определить среднее и дисперсию М;
б) найти распределение вероятностей М\
в) построить график для результатов пункта «б» для
К=\ при N=3 и при N=10.
197. Случайная величина ? имеет плотность
распределения Кош и:
Р(х)= С
14- х2
Пусть М — выборочное среднее N независимых
реализаций I:
а) найти С;
б) найти плотность распределения М;
в) найти вероятность того, что каждая из двух
независимых реализаций | будет по модулю меньше единицы.
198. Пусть р%(х), Pn(«/),P6+tiB) — плотности распределения
случайных величин |, г\, ?,-\-г\. Доказать, что если | и г\
независимы, то
оо оо
Рбьл(г)= j Р%(г — у)Рц(У)Лу= ^ pl{x)pX[{z — x)dx.
—ОО —ОО
199. Плотность независимых случайных величин | и г| равна:
a) Pi(x) = Рп(х) = {°ае-ах
б) Pi (X) = ft (х) = j !
1 а
X
в) Pi \х) — Рч \х) — .— е
У2л
Найти плотность распределения
*<0,
х>0;
х<0,#> а,
0 < х < а;
¦г
I
С--*-.
200. Найти функцию распределения произведения
независимых сомножителей | и г| по их функциям распределения
F\{x) и F2{x).
4 Л. Д. Мешалкин ,-.49

201. Случайные величины |i, |г |„ .••• независимы и
равномерно распределены в [0,1]. Пусть v — случайная
величина, равная тому k, при котором впервые сумма
Sk = l1 + l2+...+lk
превосходит 1. Доказать, что Mv = е.
202. Дана последовательность {?.} независимых случайных
величин, принимающих значение 0 и 1 с вероятностями —.
оо
Найти распределение случайной величины х = \ -^—
(=i
203*; При проведении вычислений по методу
Монте—Карло часто требуется последовательность независимых
нормально распределенных случайных величин. В электронной
вычислительной машине с помощью теоретико-числовых
методов или с помощью физических датчиков получают лишь
последовательность независимых равномерно
распределенных на [0,1] случайных величин h,—, \п Оказывается, что
существует такая функция ^(х), что г]* —^(?г) имеет
нормальное распределение. Однако строить по
последовательности || последовательность нормально распределенных
величин с помощью W неудобно, так как для запоминания XV
требуется слишком много ячеек памяти. Обычно для
построения нормальных величин поступают следующим образом.
Разбивают последовательность Е/ на пары. И по каждой
паре ?/( t,i+i с помощью преобразований
ср = 2я?.; 2 = —1п&+1; г =¦¦ У2гк
г),. = г cos ср; rv-fi = г sin ср
получают последовательность независимых нормально
распределенных величин. В связи с этим возникают следующие
вопросы:
а) найти функцию 1F(x);
б) доказать, что z имеет показательное распределение;
в) доказать, что i\t и r\i^i независимы и имеют
нормальное распределение с параметрами [0,1].
204*. На отрезок [0,1] брошено п точек. Считая, что точки
брошены наудачу (т. е. каждая из них расположена
независимо от других и распределена равномерно в [0,1]), найти:
а) плотность распределения ^ = max (|1; |2, ... , |„);
б) плотность распределения &-той слева точки;
50

и) совместную плотность распределения абсцисс &-той и
ш i'i точек слева (k < т);
г) плотность распределения ?2 = max \t — min^.
205*. Пусть ll (t = l,..., n)—независимые одинаково
распределенные случайные величины. Известно, что они
равномерно распределены на некотором отрезке, причем сам отре-
Яок неизвестен. Можно построить несколько оценок для
центра этого отрезка. Например,
п
Ч = — У % и а% = 4- (тах (У + min (%))»
п ?-i 2 i<i<n 1<1а
г = 1
Доказать, что эти оценки несмещенные, т. е. Mai = Маг = а,
где а — центр отрезка. Показать, что Dai>Da2, т. е. что
оценка а2 эффективнее оценки аь
206. Пусть случайные величины ^(i=l,2 л) —
независимы и одинаково распределены по закону
0 при *-<()
Р{х) .
( 1 — е~х » х > 0.
Найти закон распределения ?n = max (%) и доказать, что можно
подобрать такие постоянные ап, что законы распределения
?„ — ап стремятся к предельному.
207*. Пусть lt (i = 1, п) независимы и одинаково
распределены с непрерывной функцией распределения F(x). Обозначим
v (х) число ?* < х. Доказать, что распределение D„ =
¦F(x) не зависит от F(x). Найти распределение
sup
п
Замечание. Тот факт, что распределение D„ не
зависит от F, играет важную роль в статистике. На нем основан
критерий Колмогорова об уклонении эмпирической функции,
распределения от теоретической *.
§ 6. Энтропия и информация
208. Пусть f(x) —дифференцируемая функция,
определенная на отрезке [0, /], и пусть / @) =0 и \f(x) | <d. Сколько
необходимо двоичных единиц информации для того, чтобы
* См. Б. Л. Ван дер В а р д е н. Математическая статистика. ИЛ»
М,. I960, стр. 92, 107.
4* 51

определить с точностью до е>0 значение f (х) в каждой точке
отрезка [0, {]?
209. Имеется п монет. Все они выглядят одинаково,
однако одна из них фальшивая. Известно, что фальшивая
монета тяжелее остальных. Имеются также весы с двумя
чашечками. Разновесов нет. Сколько взвешиваний необходимо
для того, чтобы выделить фальшивую монету? Сколько
информации о положении монеты приносит при этом каждое
взвешивание?
210. Известно, что в испытании с тремя исходами,
имеющими вероятности р, q, г, энтропия #< 1. Доказать, что тогда
max (р, q„r) >~ .
211. Пусть {pk}—произвольное распределение, причем \ykpk =
оо
= k> 1. Доказать, что Я = — V pft log рЛ максимально, когда
*-К'-5:Г
212. Задача-шутка. Оценить неопределенность,
содержащуюся в следующем прогнозе погоды: либо дождик, либо
снег, либо будет, либо нет. Известно, что в данное время
года с осадками бывают 75% всех дней, причем одновременно
идти дождик и снег не могут. Предположим также, что в
день с осадками снег и дождь равновероятны.
213. Вероятность появления события А при одном
испытании равна р. Испытания повторяются до первого появления
события А. Найти энтропию числа испытаний и выяснить
характер изменения энтропии с изменением р.
214. Определить энтропию случайной величины,
подчиненной биномиальному закону распределения:
а) в общем случае;
б) при р — — и п = 10.
215. Пусть |х, |а, ... , |„ — последовательность взаимно
независимых случайных величин, принимающих значения нуль, и
единица с вероятностями р и q = 1—р соответственно. Обо-
-> •»
значим р{х), где х = (хг, ... , хп) xt — 0,1, вероятность того,
что для всех i ?, = хг Доказать, что
— ^p(x)logp(Je) = — Н(р) = р logp + q log q,
~*
X
52

где суммирование проводится по всем возможным
векторам х.
216. Доказать, что Я(?) не превосходит logo, где п —
число значений, принимаемых ?, и что максимум достигается
при
/>*¦= — (*=» 1. 2 п).
п
217*. Доказать, что:
а) ЯA,Т|)<ЯA) + Я(П);
б) /ь(л) = М&)>о
и равенство достигается тогда, и только тогда, когда 5 и ц
независимы.
Указание. Воспользоваться следующим неравенством. Если
{pt} и {<?;}(? = 1, 2, ... , п) две системы неотрицательных целых
чисел, причем ]?рг = 2<7; = 1> то
n(i)*<1-
J-1
причем равенство достигается тогда, и только тогда, когда
все Pi=qc.
218. Вероятности поступления и непоступления сигнала
на вход приемника соответственно равны.а и 1—а.
Вследствие помех сигнал, поступивший на вход приемника, может
быть воспринят на выходе с вероятностью р и не воспринят
с вероятностью 1—р. При отсутствии сигнала на входе он
может быть из-за помех воспринят на выходе с
вероятностью y и не воспринят с вероятностью 1—\. Определить
количество информации о поступлении или непоступлении
сигнала на вход по наблюдению наличия или отсутствия
сигнала на выходе.
219. По двум одинаковым дублирующим друг друга
каналам связи передается одно и то же сообщение: либо сигнал
#i с вероятностью р, либо сигнал лг2 с вероятностью I—р.
Одновременная посылка по одному каналу сообщения х\, а по
другому х2 невозможна. На каждый канал действуют
независимые помехи. Прием сообщения х\ или х2 по первому
каналу обозначен через tj\ и у2., а по второму — через
Z\ и z2 соответственно. Матрицы условных вероятностей
53

atk — P \yJxki] Для первого канала и Р {zjxk} для второго
канала одинаковы и равны
«п. Яц\ _ / д- 1 —А\
«81. «22/ \1 —°. ° /
Найти Iyz(X)- Вычислить IYz (X) при р = 0,5 и А = 6 = 0,9.
220. В условиях предыдущей задачи найти количество
принимаемой информации, когда при расшифровке передачи
пользуются одним из следующих правил:
1. Если по обоим каналам принят сигнал х\, то считается,
что переден сигнал Х\, в остальных случаях считается, что
передан сигнал хг.
2. Если по обоим каналам принят один и тот же сигнал,
то считается, что этот сигнал и был передан. Если же были
приняты разные сигналы, то считается, что был передан
сигнал Хь
221*. Доказать, что следующие условия определяют
функцию H(pi,..„ рп) с точностью до постоянного множителя,
значение которого служит только для определения единицы
количества информации:
а) Н(р, 1—р) является непрерывной функцией от р на
сегменте 0-<р-<1;
б) Н (pi,..., рп) является симметричной функцией всех
своих переменных;
в) если рп = qx + qz > 0, то
Я (рг, ... ,рп~и qlt q2) =¦- Я (plt ... ,рп) + рпН (-&- , -^-Л ;
\ Рп Рп У
г) F(n) —Н{ — , ... , —V— монотонно возрастающая функ-
V п п у
ция от п.
Замечание. Условие «г» не является необходимым и
введено лишь для облегчения доказательства.
Указание. Доказать последовательно следующие
утверждения:
1) ЯA,0) = 0;
2) H(Pl, ...,Рп, 0) = H(Pl р„);
3) Н{рх Рп~1, qx Ят) = Н (ft» • • • > Рп) +
+ PnH(^,...,f-);
\ Рп Рп У
где рп = ql + ... + qm > 0;
54

4) Я {qn fcmi;...; qnl,..., qnmn) = Я (pv ...,pn) +
*- V Pi Д /
Где Pi = <7a + ... + 7im,;
5. f(mn) = F (m) + F (л);
6. F(n) = klogn, где &— произвольная постоянная.
7. Для р = — , где г, s — целые, Н (р, 1 ¦— р) —
s
= /e(plogp + (l-p)log(l-p)).
IV. ОСНОВНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Задачи'этого раздела соответствуют материалу § 12—15,
31—32, 41—43 учебника Б. В. Гнеденко.
Нормальное и пуассоновское приближения биномиального рас-
п
пределения. Пусть Sn = V %, где \t — независимые, одинаково
распределенные случайные величины, принимающие значения
О и 1 соответственно с вероятностями р и q — I —р. В § 2
раздела II широко использовалась формула Р {Sn = m} =
--- CnPmqn~m{0<m<^.n). Нетрудно показать, что при р -» 0,п -» оо»
Пр—ьК^оо
P{Sn = т\ -*—<?-»¦ = п(т).
Про неотрицательную целочисленную случайную
величину, принимающую значение т с вероятностью п(т), говорят,
что она имеет распределение Пуассона с параметром X.
Формулу Р {Sn= т}.р^п(т) называют пуассоновским
приближением биномиального распределения. Ее используют
обычно в том случае, когда р 0,1, a npq<9*. В случае,
когда npq^ 9, используют нормальное приближение,
основанное на теореме Муавра—Лапласа, утверждающей, что при
npq —>оо
* См. А. X а л ь д. Математическая статистика. ИЛ, М., 1956, стр. 585.
55

Оценки точности этих приближенных формул содержатся в
задачах 245, 246, 324.
Закон больших чисел (ЗБЧ). Говорят, что к
последовательности случайных величин |,, |2..., ?„,.-. применим ЗБЧ,
если для любого е>0
п п
limP/|_LYU—LVM|J<e)=l.
i-l 1=1
Большинство задач на ЗБЧ легко решается с помощью
неравенства Чебышева. Напомним его. Для любой случайной
величины |, умеющей дисперсию, и для любого е>0
Р{Ц-М||>е}<-^-.
Обобщением теоремы Муавра — Лапласа служит
центральная предельная теорема (ЦПТ). Если
последовательность взаимно независимых случайных величин |i, %2,—, ?«'_••«
при любом постоянном т>0 удовлетворяет условию Линде-
берга
limirl! 1 (x-akydFk(x) = 0,
rt-»oo ?>„ *J
* = » |Jt-eftl>tB„
n
где 52 = V D?ft, то при л ^> oo равномерно относительно x
к=\
р{хЁб-«у<'}^- M--f }*•
Важно заметить, что если все %t одинаково распределены
и D? <оо, то условие Линдеберга выполнено.
Ряд задач на доказательство применимости ЗБЧ и ЦПТ
легко решаются с помощью характеристических функций
(см. задачи V раздела).
§ 1. Теоремы Муавра — Лапласа и Пуассона
222. Для экспериментальной проверки закона больших
чисел были произведены в различное время следующие
опыты:
1. Монета была брошена 4040 раз, герб выпал 2048 раз
(Б ю ф ф о н).
56

2. Монета была брошена 12 000 раз, относительная
частота выпадения герба оказалась равной 0,5016; в другом опыте
при бросании монеты 24 000 раз относительная частота
выпадения герба была 0,5005 (Пирсон).
3. Четыре монеты были брошены 20 160 раз, и
комбинации: четыре герба, три герба и решетка, два герба и две
решетки, один герб и три решетки, четыре решетки — выпали*
соответственно следующее число раз: 1181, 4909, 7583, 5085,
1402 (В. И. Романовский).
Для каждого из опытов найти следующее:
а) вероятность, что при повторении опыта отклонение (по»
абсолютной величине) относительной частоты от вероятности.
— не превзойдет полученного результата;
б) считая, что событие, вероятность наступления которого
равна 0,9999, практически достоверно, найти практическую-
верхнюю границу возможного отклонения относительной
частоты от вероятности в каждом из опытов.
223. Известно, что вероятность рождения мальчика
приблизительно равна 0,515. Какова вероятность того, что среди-
10 тысяч новорожденных мальчиков будет не больше, чем-
девочек?
224. На лекции по теории вероятностей присутствуют
200 человек. Найти вероятность того, что k человек из
присутствующих родились 1 мая и / человек родились 7 ноября.
Считать, что вероятность рождения в фиксированный день
равна — . Решить задачу при k=\ и 1=2. Найти вероят-
365
пость того, что число родившихся 1 мая и 7 ноября не
больше 2.
225. С 1871 по 1900 г. в Швейцарии родились 1359 671;
мальчик и 1285 086 девочек. Совместимы ли эти данные с
предположением о том, что вероятность рождения мальчика
равна 0,5? 0,515?
Указание. Считать, что данные несовместимы с
гипотезой о том, что частота рождения мальчика равна ро, если-
меньше 0,001 вероятность получить при «=2 644 757
биномиальных испытаниях с вероятностью успеха р0 неменьшее
отличие частоты от вероятности, чем отличается в
приведенных данных частота рождения мальчика от ро-
226. С целью экспериментального определения я игла
была брошена 5000 раз и пересекла прямые 2532 раза (Вольф»
в Цюрихе), при этом 2а = 45 мм, а 2/ = 36 мм. С какой
погрешностью было определено я? Сколько бросаний иглы не-
57

обходимо сделать, чтобы при а=1 вероятность того, что я
будет вычислено с погрешностью, не превосходящей 0,001, была
равна 0,5; 0,95; 0,9999? (См. задачу 118.)
227. Среди семян пшеницы 0,6% семян сорняков. Какова
вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить не
менее 3 семян сорняков; не более 16 семян сорняков; ровно
6 семян сорняков?
228. Процентное содержание цементита на
металлографическом шлифе определяли с помощью острия, которым
прикасались к шлифу случайным образом и отмечали число
попаданий острия на изучаемую структуру. Каким должно
было быть процентное содержание цементита для того, чтобы
с вероятностью большей 0,95 при 400 наблюдениях острие
¦более 100 раз попало на цементит?
229. Книга в 500 страниц содержит 50 опечаток. Оценить
вероятность того, что на случайно выбранной странице не
менее 3 опечаток.
230. Для лица, дожившего до 20-летнего возраста,
вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0,006. Застрахована
группа в 10 000 человек 20-летнего возраста, причем каждый
застрахованный внес 1,2 рубля страховых взносов за год.
В случае смерти застрахованного страховое учреждение
выплачивает наследникам 100 рублей. Какова вероятность, что:
а) к концу года страховое учреждение окажется в убытке;
б) его доход превысит 6000 рублей; 4000 рублей?
231. Многие ботаники делали опыты по скрещиванию
желтого (гибридного) гороха. По известной гипотезе
Менделя вероятность появления зеленого гороха в таких опытах
равна— . При 34 153 опытах скрещивания в 8506 случаях
4
был получен зеленый горох.
1. Допуская, что вероятность получения зеленого гороха
во всех опытах была постоянной и равной -—, найти
вероятность неравенства
0,245 <v< 0,255,
где v — частота появления зеленого гороха.
2. Допуская, что вероятность получения зеленого гороха
во всех опытах была равна —, найти вероятность того, что
при повторении опытов C4 153 опыта) отклонение относи-
58

тельной частоты от — будет больше полученного по
абсолютной величине.
3. Допуская, что вероятность получения зеленого гороха
1
но всех опытах была равна ¦—, найти сколько аналогичных
4
опытов необходимо сделать, чтобы с вероятностью 0,99
можно было утверждать, что отклонение относительной частоты
от— не превзойдет 0,01.
232. При исследовании влияния радиации на деление
дрожжевых клеток препараты после облучения и инкубации
в термостате изучали под микроскопом. При этом на каждом
из 3 предметных стекол просчитали по 400 микроколоний,
отмечая те из них, которые содержали 2—4 клетки
(инактивация после 1—2 почкований). На первом стекле было
обнаружено 220 таких микроколоний, на втором— 190 и на
третьем — 210. Совместимы ли эти данные с предположением о
том, что при применявшейся дозе каждая клетка с
вероятностью — будет инактивирована после 1—2 почкований?
Какова была бы вероятность при том же предположении
получить при исследовании 10 стекол хотя бы на одном более
230 инактиваций после 1—2 почкований?
233. При проведении телепатического опыта кндуктор
независимо от предшествующих опытов выбирает с
вероятностью — один из 2 предметов и думает о нем, а реципиент
(приемник) угадывает, о каком предмете думает индуктор.
Опыт был повторен 100 раз, при этом было получено 60
правильных ответов. Какова вероятность совпадения при одном
опыте, в предположении, что телепатической связи между
индуктором и реципиентом нет? Можно ли приписать
полученный результат чисто случайному совпадению или нет?
234. Известно, что вероятность выпуска сверла
повышенной хрупкости (брак) равна 0,02. Сверла укладываются в
коробки по 100 штук. Чему равна вероятность того, что:
а) в коробке не окажется бракованных сверл;
б) число бракованных сверл окажется не более 2.
Какое наименьшее количество сверл нужно класть в
коробку для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, в ней
<Зыло не менее 100 исправных?
235. Задача-шутка. Сколько изюма в среднем
должны содержать калорийные булочки для того, чтобы вероят-
59

ность иметь в булке хотя бы одну изюминку была не менее
0,99?
236. Счетчик Гейгера—Мюллера и источник
радиоактивных частиц расположены по отношению друг к другу так,
что вероятность частице, вылетевшей из радиоактивного*
источника, быть зарегистрированной счетчиком равна ¦ .
^ ^ ^ к 10 000
Предположим, что за время наблюдения из источника
вылетело 30 000 частиц. Какова вероятность того, что счетчик:
а) зарегистрировал более 10 частиц;
б) не зарегистрировал ни одной частицы;
в) зарегистрирует ровно 3 частицы?
237. Какое наименьшее число частиц в условиях
предыдущей задачи должно вылететь из источника для того, чтобы-
с вероятностью, большей 0,99, счетчик зарегистрировал более
3 частиц?
238. Предположим, что при наборе книги существует
постоянная вероятность /7 = 0,0001 того, что любая буква будег
набрана неправильно. После набора гранки прочитывает
корректор, который обнаруживает каждую опечатку с
вероятностью <7 = 0,9. После корректора — автор, обнаруживающий
каждую из оставшихся опечаток с вероятностью г=0,5.
Найти вероятность того, что в книге со 100 тысячами печатных
знаков останется после этого не более 10 незамеченных
опечаток.
239. Используя теорему Муавра—Лапласа, доказать
теорему Бернулли, утверждающую, что для любого е>0 при
увеличении числа испытаний вероятность того, что отличие
частоты от вероятности будет больше е, стремится к нулю.
240. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных
входа. Около каждого из входов имеется свой гардероб.
Сколько мест должно быть в каждом из гардеробов для
того, чтобы в среднем в 99 случаях из 100 все зрители могла
раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли?
Предполагается, что зрители приходят парами и каждая
пара независимо от других выбирает с вероятностью — любой
из входов. На сколько можно будет сократить число мест в
гардеробе, если зрители будут приходить поодиночке и также
независимо друг от друга с равной вероятностью выбирать
любой из входов?
241. Некоторая машина состоит из 10 тысяч деталей.
Каждая деталь независимо от других деталей может
оказаться неисправной с вероятностью pt, причем для ni = 100O
60

деталей р\ = 0,0003, для гс2 = 2000 деталей р2 = 0,0002 и для
/гз = 7000 деталей р3 = 0,0001. Машина не работает, если в ней
неисправны хотя бы две детали. Найти вероятность того, что
машина не будет работать.
242. Для проверки влияния нового лекарства на кровяное
давление у 100 пациентов было измерено давление до и после
приема лекарства. При этом оказалось, что в 32 случаях
давление после приема лекарства повысилось, а в 68 случаях
понизилось. Можно ли считать установленным, что это лекарство
влияет на кровяное давление? Какова вероятность, что чисто
случайные колебания давления вызовут не меньшее
отклонение от 50?
243. В некоторых странах Западной Европы начиная с
XVII в. и до империалистической войны 1914 г. существовала
следующая государственная лотерея: лотерея содержала
•90 номеров, из которых в каждой очередной тираж
выходили какие-либо 5 номеров; игрок имел право сделать заранее
ставку на любой номер или на группу номеров, и если все
записанные им номера оказались в числе пяти, вышедших
в тираж, то взамен ставки он получал выигрыш,
превышавший ставку в 15 раз, если он записал один номер; в 270 раз,
если он записал два номера; в 5500 раз, если он записал три
номера; в 75 000 раз, если он записал четыре номера;
в 1 000 000 раз, если он записал пять номеров.
Найти среднее значение выигрыша игрока, записавшего
один номер, два номера,..., пять номеров.
Предположим, что ставку на три номера сделали 100 000
человек. Найти вероятность того, что число выигравших
среди них превысит 10.
244. Используя формулу Стирлинга, показать, что при
Я-»оо для любого фиксированного п
VT
-= ехр
У2пк
2Х
(т — %)'¦
•О.
р. 245. Используя формулу Стирлинга, показать, что если
лрA-р)>25, то %СпРкО -P)n~k =
Ы
ехр
dx +
1-2р
/2я J
а
x[(l-b*)exp[--^J-(l-a*)exp|-^j
6/2nnp(l — р)
а* )'
X
+ R,
61

<C, тоМ(-^-)-»-|-
где
, Dl 0,13-1-0,1811—2p | . f 3 ,/ jz r-1
|Я<—;— ' ' F + exp —— У np(l—p) ,
np(l-p) 12 J
а суммирование проводится по &, лежащим в пределах
пр-\ 'raVnp(l — р) <&<яр \-bVnp{\ — р).
246. Пусть Wk = С*р*9»-*, Vk = -^± , А, = ^^ .
Доказать, что для любого X — пр из условий k2 < пг и V ¦< пе,
где е < —*, следует, что Aft < 1,2е.
§ 2. Закон больших чисел и сходимость по вероятности
247. Доказать, что если цп— -»а*, a 0<?„— -> 6>0, причем
248. Доказать, что если функция / непрерывна в точке а
и если последовательность случайных величин
1п^->а, то f(?„)JU/(a).
249. Доказать, что если |?fe|<& и ?„— -* а, то и М?п-з>а.
Показать, что требование | \п | < & существенно. Как его можно
ослабить?
250. Пусть F (х) = Р {?„ < х} — непрерывна, а случайная
величина цп—-> 1 по вероятности. Доказать, что:
а) lim Р {?„ -Ь ti„ < х} = ,F (х — 1);
б) lim р(-Ь. <x\=F{x).
251. Пусть f — непрерывная, монотонно возрастающая на
отрезке [0, оо] функция, причем /@) = 0 и supf(x) <оо.
0<х
Доказать, что условие lim Mf(|?„|) = 0 необходимо и до-
статочно для того, чтобы \п—-> 0 (п -» оо) по вероятности.
252. Используя неравенство Чебышева, доказать ЗБЧ.
* Знак gn——> а означает, что последовательность \п сходится к а по
вероятности, т е. для любого е > 0 Р { | grt — я/ > 8} —»0 (л—> оо).
62

253. Доказать, что для всякой непрерывной на отрезке
[0,1] функции f(x) полиномы Бернштейна
п
равномерно по х стремятся при п~* °° к f(x). (Теорема Вей-
срштрасса.)
254. Пусть f(m) (m=l, 2,...) —любая последовательность
вещественных чисел; vn{. ..} —частота всех натуральных
чисел m <Сп, подчиненных условиям, которые написаны в скобках,
п п.
м«= т2 f (m); D"= tS (f И-м„J.
m = l m = l
¦ф (n) — произвольная неограниченно возрастающая при д->оо
функция. Доказать следующий аналог закона больших чисел
va{\f(m)-Ma\<^(n)VDa}-*l (л-оо).
255. Пусть Sn = ^ + Ег + • • • -г ?„• Доказать, что если для
всех n\Sn\<^Cn, a D(S„)>an2, то закон больших чисел к {ift}
не применим.
256. Пусть {?ft}— последовательность случайных величин,
такая, что \k может зависеть только от \ь-\ и \k+\, но не
зависит от всех других ?,-. Показать, что закон больших чисел
выполняется, если D^<C<oo.
257. Если совместное распределение величин \г, %&,..., \п
определено при каждом п, причем D?/<CC<oo, а ковариации
отрицательны, то применим закон больших чисел. Показать, что
если условие^ = соу(^, ?ft) <0(&^i) заменить на
предположение, что rlk-*0 равномерно при |t — &|->-оо, то также применим
закон больших чисел.
258. Пусть J-t.(t"=l,2...) — независимые одинаково
распределенные случайные величины с M? = a>0 и D? = a2. Как
следует из центральной предельной теоремы, в этом случае
п
[У, li — na)
1
г—— слабо сходится к нормальному закону с параметрами
а у п
[0,1]. Используя закон больших чисел доказать, что 2 " " ¦ X
0
X ( у |2^| — У па j также сходится при п-*оо к
нормальному закону с параметрами [0, 1].
63

259. Пусть ?i, I2,— — независимые одинаково
распределению случайные величины, принимающие значения 0 и 1
соответственно с вероятностями р и q=\—р. Обозначим ЗК„
совокупность всевозможных последовательностей из нулей и
единиц длины п. Доказать, что для любых е>0 и б>0
можно найти такое по, что для любого n>tio Шп распадается на
два класса 35}^ и Зй„, таких, что
1) р {fti. Б, ?„) € з»«} <«;
2)Гр (х) ='> {?i = xi> • • • > in — *п} — вероятности последователь-
ностей | = {?j,..., ln} ? SRn удовлетворяют неравенству
l- log р(х)-Н
<б, где H = — p\ogp — q\ogq.
260. Обозначения те же, что и в предыдущей задаче. Рас-
-положим {х} — последовательности, принадлежащие $}, в
порядке убывания вероятностей р(х). Обозначим т(г).—
число последовательностей, которые мы должны взять из
-ЗЙ„ , начиная с наиболее вероятной последовательности,
чтобы накопить полную вероятность г для взятых нами
последовательностей. Доказать, что для 0<г<1
§ 3. Центральная предельная теорема
261. 1000 раз бросается игральная кость. Найти пределы,
в которых с вероятностью большей 0,99 будет лежать число
выпавших очков.
262. Стрелок попадает при выстреле по мишени в десятку
с вероятностью 0,5; в девятку — 0,3; в восьмерку — 0,1; в
семерку— 0,05; в шестерку — 0,05. Стрелок сделал 100 выстрелов.
Какова вероятность того, что он набрал более 980 очков;
более 950 очков?
263. При составлении статистического отчета надо было
сложить 104 чисел, каждое из которых было округлено с
точностью до Ю ~т степени. Предполагая, что ошибки,
возникшие от округления чисел, взаимно независимы и равномерно
распределены на (—0,5-10_т, 0,5-10_т), найти пределы, в
которых с вероятностью большей 0,997 будет лежать
суммарная ошибка.
<€4

264. На отрезке [0,1] наудачу выбирается число ? и
раздало
гается в десятичную дробь I = V -" ^ - .
га-1
Доказать, что распределение Sn = \ek (?)
k-\
при надлежащей нормировке стремится при ге^со к
нормальному закону.
265. Из истории мер. Мера длины фут, как видно из
названия, имеет прямое отношение к ноге. Это — длина
ступни. Но, как известно, размеры ног бывают разные. Немцы
в XVI в. выходили из положения следующим способом. В
воскресный день ставили рядом шестнадцать первых вышедших
из церкви мужчин. Сумма длин их левых ступней делилась
на шестнадцать. Средняя длина и была «правильным и
законным футом». Известно, что размер стопы взрослого
мужчины случайная величина, имеющая нормальное
распределение со средним значением 262,5 мм и квадратичным
отклонением о=12 мм. Найти вероятность того, что два «правильных
и законных» значения фута, определенных по двум
различным группам мужчин, отличаются более чем на 5 мм.
Сколько нужно было бы взять мужчин для того, чтобы с
вероятностью большей 0,99 средний размер их ступней отличался от
262,5 мм менее чем па 0,5 мм"?
266. Пусть \t означает время между двумя
последовательными соударениями, г'-тым и (г-)-1)-м, молекулы,
описанной в задаче 141. Найти предельное при п-*со распределение
п
для V?f (см. также задачу 154).
267. Установить, будут ли выполнены закон больших чисел
и центральная предельная теорема для последовательности
взаимно независимых случайных величин %k с
распределениями, задаваемыми следующим образом (k>l):
a)P{6ft=±2*} = ~i
б) P{lk = ± 2*} = 2-Bft+I>; P{lk - 0} = 1 - 2-2*;
в) P{lk = ±k}=±k~^; P{g* = 0}= l_Ar_"a".
5 Л. Д. Мешалкин
65

268. Найти распределение t,n = >? \t, где \ь независимые,
одинаково распределенные случайные величины, каждая из
которых имеет распределение Пуассона с параметром 1. Найти
предельное распределение для ^п~п при л-»оо.
Уп
269. Доказать, что если / непрерывная и ограниченная на
[О, сю] функция, то для Л^>0
lim yf(x+±\Wte-bn = F(x + h)
П-»ЭО ^-J V П J k\
(см. предыдущую задачу).
270. Пусть \ означает сопротивление разрыву некоторого
металлического стержня. Предположим, что все стержни,
участвующие в некотором производственном процессе, имеют
одно и то же сопротивление разрыву |о = Оо. В течение
первой «стадии» процесса все стержни подвергаются, например,
термической обработке, целью которой является изменение
сопротивления разрыву каждого стержня с ао на а\. Ввиду
«случайных колебаний» обработки каждый из стержней не
приобретает точное желательное сопротивление, а
получаемые результаты ?i «случайно» колеблются около а.\. После
этого стержни подвергаются второй стадии обработки,
которая направлена на изменение ?i с а\ на аг, при этом
результат |г будет случайно отклоняться от а^ и т. д. Ниже
приводятся две простые математические модели таких процессов.
1. Предположим, что последовательные отклонения Ak =
= \k — ?/._i не имеют систематической ошибки, т. е. MAfe = ak—
— a,k-\ и независимы между собой, причем |ДА — (ak — а^_;)]<6.
Для достаточно большого п найти такое / — 0 {/п), чтобы
независимо от распределения Afe (k = 1, 2,..., п)
P{i^-aj</„}>0,95.
2. Предположим теперь, что относительные отклонения на
каждой стадии обработки хп =—sH 1 независимы, не имеют
систематической ошибки и одинаково распределены, причем
|тя|<е. Найти предельное распределение при соответствующей
нормировке для 1п?„ при п -* ею. Оценить для п= 100 и
г = вероятность того, что 0,905 <Г -^~ <С 1,105.
200 V а0
66

271. Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока
Общая сумма выпавших очков не превысит 700. Оценить
вероятность того, что для этого потребуется более 210
бросаний?, менее 180 бросаний?, от 190 до 210 бросаний?
272. Контролер проверяет одно за другим изделия
некоторого производства. На первом этапе проверки, который
длится 10 сек, он либо сразу оценивает изделие, либо
принимает решение, что проверку надо повторить. Повторная
проверка длится 10 сек, в результате ее обязательно
принимается решение о качестве продукции. Найти вероятность того,
Что за 7-часовой рабочий день контролер проверит более
J800 изделий; более 1600 изделий; не менее 1500 изделий;
предполагается, что каждое изделие независимо от других
И.члслий с вероятностью 0,5 подвергается повторной проверке.
273. Пусть 1/-область 5-мерного пространства, имеющая
единичный объем и пусть \f{x)\ <а функция, определенная
нсюду в области V. Для того чтобы методом Монте-Карло
подсчитать /= J J J }(x)dV, поступают следующим образом:
бросают в область V наудачу независимо одна от другой
N точек X],..., xn и за приближенную оценку интеграла берут
N
/„ = — У/(*,). Чему равно М/#? Оценить^ D/„. Найти при
t=i
N -* оо предельное распределение для VN (IN — /).
274. Независимые величины ?1( |а,... имеют одинаковое
распределение с M?j = 0 и D% = 1. Показать, что величины
ц й+.-.+й ис vwrrrrw
асимптотически нормальны [0,1].
275. Пусть li (t=l, 2,..., n+1) —независимые нормально
распределенные с параметрами [0,1] случайные величины.
Положим
X,
;*=!>? и ** =
1п+1
1-1 In
П
Найти предельное при гс->оо распределении у?п и т„.
276. Задач а-ш утка. На каждом из автобусных- биле--
тов стоит шестизначный номер. Билет называется «счастли-
5* б?

вым», если сумма первых трех цифр его номера совпадает
с суммой последних трех цифр. Предполагая, что все номера
билетов от 000 000 до 999 999 равновероятны, найти
вероятность того, что случайно выбранный билет окажется
«счастливым». Найти эту вероятность непосредственно и с помощью
локальной предельной теоремы. Сравнить полученные
результаты.
277*. Пусть Sn = ?j J- l2 -f ... + 1щп) — сумма случайного
числа ц (п) случайных величин ?,, где |г и \а (п) — независимы.
| J-j | <С С, М?г = a, D^ = а2; \л (п) — целочисленная,
неотрицательная случайная величина с М|л (п) = п и D\i (п) < п1~е, где е > 0.
Найти 'предельное распределение —" " при п -> оо.
о у п
278. Рассматривается серия из весьма большого числа п.
опытов, разбивающихся на группы по 3 в каждой так, что
в первых двух опытах каждой группы вероятность появления
события А равна —, а исход третьего опыта предопределен
результатами предыдущих двух опытов тем, что число
появлений А в каждой группе должно быть четным @ или 2).
Показать, что число т появлений события А во всей серии п
подчиняется тому же предельному закону Лапласа—Гаусса,
как если бы все опыты (как в схеме Бернулли) были
независимы.
279. На улице стоит человек и продает газеты.
Предположим, что каждый из проходящих мимо людей покупает
газету с вероятностью —. Пусть \ означает число людей, про-
О
шедших мимо продавца за время, пока он продавал первые
100 экземпляров газеты. Найти распределение ?.
280. Из чисел 1, 2, ...,N наудачу выбирается п чисел.
Обозначим их т1,...,тп. Положим \ь = 0, если т1 = 0 пс
mod 3, Ъ,ь = 1, если т1 — 1 по mod 3 и \t = — 1, если т1 — \
п.
по mod 3. Найти вероятность того, _что S = V \t = k.
Доказать, что когда п и N стремятся к бесконечности так
что n~o(N), — Sn сходится по вероятности к нормальному
распределению с параметрами 0,
VM-
68

V. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ И ПРОИЗВОДЯЩИЕ
ФУНКЦИИ
Материал этого раздела соответствует в основном главе 7
учебника Б. В. Гнеденко. Для решения задач первых двух
параграфов достаточно знать лишь определения
характеристической и производящей функций.
Характеристической функцией (х. ф.) случайной
величины ? называют /(/) =М exp {it\}. Производящая функция
(пр. ф.) определяется для последовательности чисел {сг}
(г«=0, 1, 2...) с помощью формулы cp(z)=2arz'' . В том слу-
/•=о
чае, когда все аг суть вероятности того, что случайная
величина s равна г, ф(г) называют производящей функцией \.
Одно из основных свойств пр. ф. и х. ф. заключается в том,
что по ним можно однозначно восстановить распределение.
IJ третьем параграфе систематически используется также
теорема о том, что для того, чтобы при п-»°°
последовательность ф. p. Fn (x)-*F{x) в каждой точке непрерывности ф. р.
Р(х), необходимо и достаточно, чтобы для каждого фиксиро-
ианного t при д-»°° соответствующие х. ф. f„@~^/@—'
х. ф. F(x). Особое внимание надо обратить на задачи 282,
284, 289, 302, 303, 317—320. В ряде задач нормальное
распределение с параметрами @,1) обозначается для
кратности 3J @,1).
§ 1. Вычисление х. ф. и пр.ф.
281. Найти законы распределения, которым соответствуют
следующие характеристические функции:
cost; cos2/; V akcoskt, где ak > 0 и V ak — 1.
fe=0 ft-0
282. Вычислить характеристические функции для
следующих законов распределения:
а) равномерного распределения в интервале (—а, а);
б) биноминального распределения;
в) распределения Пуассона;
г) распределения Коши:
р(х) = — •
Я 1+Д-2
д) показательных распределений с плотностями
0 {х < 0)
ае~ах (*>0), с>0,
Pi (*) = {
69

и
е) нормального распределения:
р(х)= Д е 2<J2 . '
283. Найти законы распределения, которым соответствуют
следующие производящие функции:
a)-L(l + Z)*; б)|A—L2)-;
284. Пусть \ — неотрицательная целочисленная величина
с производящей функцией cp(z). Найти производящие
функции: величин \-\-\ и 2\;
последовательностей:
Р{1<п\; Р{1<п};
Р{1>п}; Р{1>п+Ц; Р{1=2п}.
285. Рассмотрим последовательность испытаний Бернулли.
Пусть Un — вероятность того, что первая комбинация УН
появится при (п—1)-м и п-ш испытаниях. Найти
производящую функцию, среднее значение и дисперсию Un , если
вероятность успеха р.
286. Пусть ип — вероятность того, что число успехов в
последовательности п испытаний Бернулли делится на два.
Доказать рекурентную формулу «„=<7«n-i+P(l—ип-\)-
Вывести отсюда производящую функцию, а из нее точную
формулу для ип.
287. Назовем циклом последовательность испытаний
Бернулли до первой неудачи включительно. Найти
производящую функцию и распределение вероятностей общего числа
успехов в г циклах.
288. Пусть ип — вероятность того, что число успехов в п
испытаниях Бернулли делится на три. Найти рекурентное
отношение для ип, а из него — производящую функцию.
70

§ 2. Связь со свойствами распределения
289. Доказать, что необходимым и достаточным условием
симметричности закона распределения случайной величины
является вещественность характеристической функции.
Примечание. Закон распределения симметричен, если
F{x) = 1—F(—Jc + 0).
290. Случайную величину ? называют решетчатой,
если возможные значения | можно представить в виде
ar =a-\-k(r)h, где k(r)—целое. Максимальное значение h
называют максимальным шагом распределения. Доказать,
что если при некотором t=?Q f(t) —характеристическая
функция случайной величины 1 по модулю равна 1, то ? —
решетчатая случайная величина. Найти максимальный шаг
распределения, если известно f(t).
291*. Пусть случайная величина |?| ¦< А имеет плотность
Р(*)<М.
1. Доказать, что при ?-»°° характеристическая функция ?
стремится к нулю.
2. Показать, что найдется такая абсолютная
постоянная С, не зависящая от А и М, что
тах|/(/)|<1
m >± {АМJ
292. Пусть \—случайная величина с производящей функцией
<р(г) и пусть 2Р{| = л}2л сходится при некотором 20> 1.
Доказать, что в этом случае все моменты пгг — М (?г) существуют,
и производящая функция ty(z) последовательности —- сходится
по крайней мере при |2|<log20. Кроме того,
оо
0
293*. Доказать, что если F(x) функция распределения и
f(t) соответствующая характеристическая функция, то:
а) для любого х
л
lim
Г-*оо
—т
71

1
6) lim-L \\f(t)i*dt^Y(F{xv + 0}-F{xv-0}*
-T V
где xv —абсциссы скачков функции F(x).
294*. Доказать, что если М| = 0, то
м| _L Г i-*/@ dU
я J Р
—оо
где f(t) х. ф. ?, а /?ф — вещественная часть функции ф.
Если существует еще Dg, то
Ml
л J t
о
295. Закон распределения F(x) называют устойчивым,
если для любых щ, Ь\\ аг, Ь2 найдутся такие а3, 6з, что
F (а^х + Ьг) * F (а2х + b2) = F (а3х + Ь3).
Выяснить, какие из нижеследующих законов
распределения принадлежат к устойчивому типу:
а) несобственный закон распределения (закон
распределения с одной точкой роста);
б) биномиальный закон распределения;
в) равномерное распределение в конечном интервале;
г) закон Гаусса;
д) закон Пуассона;
е) закон Коши.
296. Доказать, что при сложении независимых случайных
величин третьи центральные моменты суммируются, а
четвертые — нет.
297. Пусть ? есть случайная величина, имеющая
распределение Пуассона с параметром v. Если рассматривать параметр v
как случайную величину с плотностью вероятности
-?— **¦-'е-0* (л: >0),
Г (Я) v ^
то вероятность того, что \ примет заданное значение k, равна
k\ Г (Я)
- е~х—-— x%~le-°JC dx =
о
а у (—1)* (—Я)(—Я —1) ... (-Я — k+l)
1 +а J A +а)* k\
72

Найти х. ф., среднее значение и дисперсию этого
распределения, которое называется отрицательно-биноминальным
распределением.
298. п раз бросается игральная кость. Пусть |ь |2.—, Ее
обозначают соответственно число выпадений единицы,
двойки,..., шестерки. Используя многомерные производящие
функции, найти:
а) cov (lv ?а);
б) М [& - му* (?, - М?,)'], где Л, / - целые > 0;
в
па-т
в) М
г)М[A+у-Ч;
е)М[(?1-?,)»+! Г1;
ж) М
Ei + Ei
§ 3. Использование х. ф. и пр. ф. для доказательства
предельных теорем
299. Пусть F(х) и Fn(x)(n—1, 2,...) — неотрицательные
целочисленные функции распределения, а ф(г) и
ф„(г) (л = 1, 2, ..^соответствующие им производящие функции.
Доказать, что из <рл (г) -» ф (г) (л -> оо) следует, что /¦¦„ (*) -»
—» F (л:) (« ->- оо) равномерно по л;.
300. Используя производящие функции, показать, что при
п—>оо, а яр -*?*,< оо биноминальное распределение сходится к
пуассоновскому.
301. Используя характеристические функции, показать, что
при X —> со
Ь и2
я*
ft!
1
X+aVX<k^X+bVx
/2я
d'
dtt.
302. Сформулировать на языке характеристических
функций необходимое и достаточное условие того, что
последовательность независимых случайных величин Еь Ег.--, Ел
подчиняется закону больших чисел. Даны /, (t) —
характеристические-функции Е;.
73

303. Пусть li, ?2.— — последовательность взаимно
независимых и одинаково распределенных случайных величин.
Доказать, что для того, чтобы для некоторой постоянной С
2j Е(-?С необходимо и достаточно, чтобы х. ф. с, была
дифференцируема в точке t = 0.
304. Производящая функция моментов.
Производящей функцией моментов называют функцию
действительного переменного
СО
m(t) = (' exp{tx}dF(x).
—00
Доказать, что: а) если две производящие функции моментоз
равны, то равны и соответствующие функции распределения;
оо
б) если последовательность tnn (t) = f exp{tx}dFn(x) сходится
- do
к m (t) при каждом значении /, то Fn (х) -> F (х) в каждой точке
непрерывности F(x).
305. Пусть \k(k-= 1, 2, ...) — независимы и для каждого k.
p{6fce*«}„p{gfc==_*a}==-L.
Воспользоваться результатом задачи 302 для того, чтобы
выяснить, для каких а к последовательности |, применим закон
больших чисел. При каких а применима центральная
предельная теорема?
306. Доказать, что если для последовательности
независимых случайных величин {%} существуют такие числа а>\
и С, что М \Ща <С С, то к последовательности применим закон
больших чисел {теорема Маркова).
307. На отрезок [0,1] брошены наудачу, независимо одна от
другой, 2я+1 точек. Обозначим ?*+1 — координату (я+1)-й
слева точки. Доказать, что распределение 2(|*+1 j уИЛ
сходится при
п-*оо к 31@,1).
Указание. Воспользоваться тем, что плотность |*+1 имеет
вид <&+,(«+1)х»A— х)п.
308. Пусть случайная величина \п имеет (^-распределение
с параметрами пр>0 и nq>0. Это означает, что ее плотность
74

ПЕР±Л±хпр~цХ^х)пЧ-1 для х с [0>1],
р(*; пр; nq)= \ Т(пР)Т(пд) к ' к 1 ь
О для *"?~[0,1].
Доказать, что 1/ — (Р + ^)~ Г^„ — \ при п->оо схо-
к р? V р + ч)
дится по распределению к 9J @,1).
309. Говорят, что случайная величина \ имеет Г-распреде-
ление с параметрами а>0 и Х>0, если ее плотность
I, i\ ——хк-1е~'1Х при л:>0
f(x; а, Я,) = г (A.) F ^
I 0 при *<0.
Пусть |„— случайная величина, имеющая Г-распределение,
и пусть М (?„) ~ — , DL = . Доказать, что распределение
а ая
у~п (-^2 1 J сходится при фиксированном аип-»оок$@,1).
§ 4. Свойства х. ф. и пр. ф.
310. Доказать, что. если f(t)—характеристическая
функция, и f(t)g(ht) —характеристическая функция для
бесконечно возрастающей последовательности значений h, то g(t) —
характеристическая функция.
311. Доказать, что любая характеристическая функция
f(t) —положительно определенна, т. е.
п
к,т=1
каковы бы ни были комплексные числа zk, вещественные
числа tk и натуральное число п. (Это свойство является не
только необходимым, но при /@) = 1 и достаточным условием
того, что непрерывная функция f(t) —характеристическая.)
312. Доказать, что функция j{t) = \ ПрИ щ <а>
а
обладающая периодом 2а, — характеристическая функция.
Используя обращение теоремы, доказанной в предыдущей
задаче (см. замечание в скобках), можно доказать общую
теорему. Если f(t) — характеристическая функция, равная
нулю при |*| >а, и если g(t)=f(t) при |*| <а и g{t-\-2a) =
=g(t), то и g(t) —характеристическая функция.
313. Доказать, что следующие функции не могут быть
характеристическими функциями:

а) е~Щ ;
б) вещественная функция, не обладающая свойством четности;
в) /@=( 1~'' ПРИ Щ<1-
1 0 » \t\>Y
г) /@ = cos (И
314. Доказать, что если / (t) является х. ф., то функции
t
1 С
gi (t) = е^()~1 и g2 (t) — — \ f (г) dz также характеристические.
о
315. Доказать, что для вещественной характеристической
функции справедливы неравенства:
а) 1 _/(,*)<л«A-/@), л = 0, 1, 2, 3,...
б) 1+/B0>2{/@}2.
316. Доказать следующие свойства х. ф.:
а) \f(t + h)-f(t)\</2[l-Rf(h)];
б) 1-Я/B/)<4A-Я/(9),
где Rf (t) — вещественная часть х. ф.
317. Показать, что из щ,ц (z) = ф| (z) q>Tj (z) не следует, что
| и г) независимы.
318. Доказать, что можно найти такие независимые
случайные величины ?,, |2, ?3, что распределение вероятностей |х, ?2
и ?3 различны, а х. ф. распределений ?х + Е2 и ta + ?з совпадают
(см. задачу 312).
319. Доказать, что из /i+n @ =/s @/п @ не следует, что
^ и г) независимы.
Указание. Рассмотреть плотность вероятности р(х,у) =
= —A+*у(л:2-—1/2))для|л:|<1,|1/|<1 и р(х, у)=0 в остальных
случаях.
320*. Доказать, что из того, что х. ф. случайной
величины \ дифференцируема ъ нуле, не следует, что существует М|.
§ 5. Решение задач с помощью х. ф. и пр. ф.
321. Решить задачу 129, используя многомерные
характеристические функции. Показать, что, если при проведении
эксперимента возможен любой из п попарно несовместимых
исходов Ак (k=\, 2,..., п), {P{Ak )=рк ; Ирк =1) и этот экс-
76

перимент повторяется v раз, причем v не зависит от
того, какие из А, произошли, то в случае, когда v имеет
пуассоновское распределение r\k числа осуществлений,
A-k(k=h 2,..., п) независимы.
322. Точка М двигается по целочисленной прямой,
переходя за один шаг из точки п(А<п<В) в точку я-f-l с
вероятностью ри в точку п—1 с вероятностью 1—р. Движение
начинается из нуля. Обозначим через г — момент первого
попадания в точку А или В. Найти распределение г и Мт. Найти
также вероятность того, что точка впервые попадет в А *.
323. В урне было М красных шаров и N-M белых. Шары
один за другим были вынуты из урны. Пусть первый вынутый
красный шар появился при &г-ом вынимании, второй при
&2-ом,.. . М-й красный шар при &лгОм вынимании. Положим
?=2&(-. Для того чтобы найтиР {?=«}, воспользуемся классическим
определением вероятности. Число всевозможных способов
вынимания шаров из урны есть С^. Обозначим Ап (М, N) число
благоприятных из них по отношению к событию | = п. Найти
N
V V Ап (k, N) х"ук. Для М = 3 и N = 6 найти Р{? = п). Эта
задача тесно связана с непараметрическим критерием Вилкоксона** .
324. Используя х. ф., показать, что для р<С—
maxl S fс *pk A—р)я~к—-^~ е~пр
1 г
<Ср,
ft! J
где С — постоянная, не зависящая от п. (Другую оценку
близости биноминального распределения Пуассона можно найти
в задаче 246.)
325*. На окружность на равном расстоянии одна от
другой нанесены 2л точек. Случайным образом эти точки
группируются в п пар и точки каждой из пар соединяются
хордой. Какова вероятность того, что построенные п хорд не
пересекутся?
Указание. Воспользоваться тем, что число
«благоприятных» исходов Мп удовлетворяет соотношению
г-0
* Эта схема была использована А. Вальдом при оценке
эффективности последовательного анализа для различения двух простых гипотез.
** См. сноску к задаче 32.
77

326. Показать, что если 1—F (х) = 0\е~сх) при д;->оо и
F (х) = О (е~сМ) при х —»— оо (с > 0), то распределение
однозначно определяется своими моментами.
327. Производится ряд независимых испытаний, при
каждом из которых вероятность благополучного исхода равна
p = l—q, до тех пор, пока не получим подряд v
благоприятных исходов, где v>0 задано. Пусть pnv обозначает
вероятность того, что для этой цели необходимо ровно п испытаний.
Доказать, что производящая функция
UKtt. =»
l-pv
/ Ч VI я Р Z ( — PZ)
Ф B = У PnvZ" = / 2 v v+1 '
л-1
и показать, что М (п) = <р'A) „ .
Р Я
328. Производится л испытаний Бернулли и подсчитывается
[х наибольшее число происшедших подряд благоприятных
исходов при этих п испытаниях. Обозначая через P„v = Р{\1 О},
показать, что
*n,v = 1 Pl.v ... — pn.v,
где pn,v определены в предыдущей задаче и, следовательно,
i-J 1—z 1— z + p<?zv^'
Л=1
Доказать, что
МО) = -^ + 0A), D(^) = 0A).
log —
Р
VI. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ МЕРЫ
Напомним определения и теоремы, необходимые при
решении задач этого раздела.
Измеримость. Если 9К — система подмножеств множества
Q = {со} удовлетворяет следующим условиям: 1. Если А ? Ш,
DO
то Л( Ж; 2. Если А, $ 3R (« = 1, 2,...), то U Л, ? «R и
оо
("I А, ? 9К, тогда говорят, что Ж является о-алгеброй в простраи*
78

стве Q. Функцию /(со) называют измеримой относительно
о-алгебры 9К, или просто 9К-измеримой, если для любого С
{со : / (со) < С} ? Ш.
Различные понятия сходимости. Последовательность
случайных величин ?„(я= 1, 2,...) сходится по вероятности к
случайной величине ?, если для любого е>0
Р{1?„-?|>е}->0 (л-оо).
Как уже было указано в разделе IV, сходимость по вероятности
обозначают |„ -> | или р lim Ъ,п = |. Если же Р {со : ?„ (со) —»
-» \ (п —»ос)} = 1, то говорят о сходимости с вероятностью 1,
такая сходимость имеет место тогда и только тогда, когда для
любого е > О
lim Р{sup | ?m (со)-?(«)[> е} = 0.
Говорят, что последовательность ?„(«= 1, 2, ...) сходится к |
в среднем, если при всех я М| ?„|2 <ос, М|?|2<сю и
М | Еп — 112 -* 0 (л -»- °°)- Такая сходимость обозначается
символом 1. i. m. Е„ = ?. Пусть F„(a')— последовательность функций
распределения. Если для всех х— точек непрерывности функции
распределения F (х), Fn (х) -> F(x), то говорят, что
последовательность Fn (слабо) сходится к Р(х). Обозначают слабую
сходимость Fn =^ F. Fn сходится к F равномерно, если sup | Fn (х) —
X
— F(x)\-*;0(п-»оо). В случае, когда f \d(Fn — F)\-*0
— do
(я—»оо), имеет место сходимость по вариации. Если члены
последовательности {Fn} являются функциями распределения
случайных величин |„ и если эта последовательность слабо сходится
к F (х) — функции распределения случайной величины ?, то
говорят, что последовательность |„ сходится к | по распределению.
Взаимоотношения между различными понятиями сходимости
выясняются в задачах 334—343.
Для решения ряда задач необходимы леммы Бореля-Кантелли.
Пусть Аи ..., Ап, ... —бесконечная последовательность событий
и пусть Р (Ak) = pk.
Лемма 1. Если ряд 2 pk < оо, то с вероятностью 1
произойдет только конечное число событий Ak.
Лемма 2. Если события Ak взаимно независимы и ряд 2pft
расходится, то с вероятностью 1 осуществится бесконечно много
событий Ak.
79

Решение задач на исследование сходимости ряпрв случайных
величин, как правило, опирается на следующую теорему о трех
рядах, принадлежащую А. Н. Колмогорову. Пусть ^ —
последовательность независимых случайных величин, С —
положительная постоянная и Ап = {со : | \п (со) | < С}. Тогда для того
ос
чтобы ряд V ?„ (со) сходился почти всюду, необходимо и доста-
п 1
точно, чтобы сходились следующие три ряда: 1. V Р (Ап);
п-\
DO ГХ>
2- J] М (Ъ%ап (со)); 3. ? D (?хл„ (со)), где хл„ (со) — характери-
п=\ л—1
стическая функция (индикатор) множества Ап.
Усиленный закон больших чисел (УЗБЧ) (см. § 34
учебника Б. В. Гпеденко). Пусть {?„} (я=1, 2,...) —
последовательность случайных величин. Говорят, что она подчиняется
УЗБЧ, если с вероятностью 1
Теорема А. Н. Колмогорова. Для применения к
последовательности взаимно независимых величин {?„} УЗБЧ до-
статочно, чтобы V—^2 <С оо. Доказательство этой теоремы
п 1
опирается на замечательное обобщение неравенства Чебыше-
ва — неравенство Колмогорова: для независимых li, I2,..., Е„,
имеющих конечные дисперсии, вероятность совместного
осуществления неравенств
|?(?,-lViy|<e (k=l,2,...,n)
1=1
п
не меньше чем 1 \ D%k.
k=\
Условные вероятности и математические ожидания. Дано
вероятностное пространство (Q, Ж, Р), где Q = {со} — некоторое
множество, Ш а-алгебра его подмножеств, Р — вероятностная
мера на 9К. Пусть 31 о-алгебра в Q, причем 31CZ 9К, и пусть
80

функция \ (со) суммируема на Q. Условным, математическим
ожиданием Ъ, относительно 91 М A/91) называют всякую
91—измеримую функцию, удовлетворяющую при любом А ? 91
соотношению
ГЕ(со)Р(йЦ= fM(S/3l)P(da>).
С помощью теоремы Радона—Никодима можно показать, что
такая функция всегда существует. Легко видеть, что
функция М(?/31) определена лишь с точностью до произвольного
множества из а-алгебры 91 , имеющего Р-меру нуль.
Функцию М(хв/91) называют условной вероятностью события В
относительно а-алгебры 91 . Ее можно определить так же, как
91 — измеримую функцию, удовлетворяющую при любом
А? 91 соотношению
Р(АВ) = ( Р E/9*0 P(dco).
А
Основные свойства условных математических ожиданий
выясняются в задачах 364—367.
§ 1. Измеримость
329. Доказать, что всякая конечная а-алгебра SK в
пространстве й= {«>} связана с некоторым разбиением этого
пространства на конечное число непересекающихся множестз
А\, Л2,..., Ап следующим образом: Ш состоит из
всевозможных конечных сумм множеств At , Доказать также, что
функция /(со) измерима относительно а-алгебры 9К тогда, и
только тогда, когда она принимает постоянные значения на
каждом из At .
330. Рассмотрим гильбертово пространство L2 измеримых
функций с интегрируемым квадратом, и пусть Н—
подпространство L2, состоящее из функций, измеримых относительно
конечной а-алгебры Ш .
Найти размерность Н. Доказать, что /J_# тогда, и только
тогда, когда интеграл от / по любому множеству С ? СК равен
нулю.
6 Л. Д. Мешалкин
81

331. Пример неизмеримого множества. Допустим,
что в единичный квадрат бросается точка и пусть 0 < ?, т^ < 1
ее координаты. Введем Q = {и} — пространство элементарных
исходов. Для любого подмножества А интервала [0,1] положим
А = {и: | (и) ? А}. Пусть ?К о-алгебра множеств А,
соответствующих измеримым в смысле Лебега множествам А. Определим
на О вероятностную меру, положив \х (А) равной лебеговской
мере множества А. Множество
М
|<a:Ti((D)<-Lj
будет неизмеримо относительно о-алгебры 3R.
Показать, что
оо
И* (М) ^ ini{V v. (Ап): Ап $ Ж, п = 1, 2, ... , MCZ\J Ап) = 1,
i?i "
a ^(M)ssup{^(A):M3A ( Ж} = 0.
332. Пусть |ft (? = 1, 2, 3,...) —последовательность
взаимно независимых случайных величин с одинаковыми
распределениями. Предположим, что ?* не имеет конечного
математического ожидания и пусть А — произвольная
положительная постоянная. Показать, что событие С,
заключающееся в том, что для бесконечно многих п осуществятся
события |5л)>Лп, измеримо. Найти Р(С).
333. Пусть |ь Ъ-,.-. — последовательность независимых
случайных величин, каждая из которых принимает толькс
два значения: 0 и 1. Причем Р{1„ — 1} = Р„ и
V рп < °о. Положим ?,„ = у 1Г Доказать, что для любого k > (
множества элементарных исходов Ak = {со : tn (со) —» & (п -» оо)
измеримы. Доказать, что ур(Л^)== 1, т. е. что последователь
ность Z,n ограничена с вероятностью 1.
§ 2. Различные понятия сходимости
334*. Пусть |( (i = 1, 2, ... , п) — независимые, одинаков
распределенные случайные величины, причем Щ = а и DH, =
= о2>0. Найти предельное распределение при п->со дл
82

t„ = —( \ ?, — па j и доказать, что не существует такой
случайной величины %, что limP{|?n—?|<е} = *•
я-»оо
Замечание. Из этой задачи следует, в частности, что
из сходимости распределений не следует сходимость по
вероятности соответствующих случайных величин.
335. Доказать, что из сходимости с вероятностью 1
следует сходимость по вероятности.
336. Доказать, что %п~>% тогда, и только тогда, когда
каждая подпоследовательность {?„;} последовательности |Л
содержит другую подпоследовательность, сходящуюся к §
с вероятностью 1.
337. Доказать, что из сходимости в среднем следует
сходимость по вероятности.
338. Построить пример последовательности, сходящейся в
среднем, но не сходящейся с вероятностью 1.
339. Построить пример последовательности, сходящейся с
вероятностью 1, но не сходящейся в среднем.
340. Доказать, что если F(x) непрерывна, то из слабой
сходимости F„ (х) к F следует, что Fn равномерно сходится
к F.
341. Показать, что из слабой сходимости функций
распределения не следует сходимость по вариации.
342. Показать, что из сходимости по вариации функций
распределения следует равномерная сходимость, и из
равномерной сходимости в свою очередь — слабая сходимость
функций распределения.
343. Доказать, что если Fn — функции распределения
целочисленных случайных величин, то из слабой сходимости
Fn к F следует сходимость по вариации.
§ 3. Ряды независимых случайных величин
344. Пусть |„—последовательность случайных величин.
Доказать, что событие С, заключающееся в том, что ряд V ?,
сходится, измеримо.
345. Дана последовательность \v g2, ... независимых
случайных величин с произвольными функциями распределения (для
простоты можно считать, что эти функции одинаковы для всех
6*

li). Известно, что в2п = Щ2п<а* и М^, = 0. Доказать, что ряд
оо
N -2j- сходится с вероятностью 1.
346. На отрезок [0,1] наудачу бросается точка |.
Определим функцию фл(?), положив ф„(е) = + 1 или — 1, в
зависимости от того, нечетно или четно целое положительное число
оо
i, при котором —=;— <?< -—. Доказать, что ряд Vcft<pft(?)
-сходится с вероятностью 1 тогда, и только тогда, когда схо-
оо
дится ряд V С*.
347. Показать, что независимо от выбора Ск в предыдущей
задаче событие С, заключающееся в том, что ряд V Ck<pk (|)
сходится, для любого п измеримо относительно фл (|), ф„ hi (?), ...
Доказать, что для любых е>0и п найдутся число N^>n и
событие Л, измеримое относительно фл(?),ф„+1 (|), ... , фдг (|),
такие, что Р(С С) Л)<е.
348. Доказать, что если случайные величины h, ?2,—,
независимы и событие С при любом я измеримо относительно
?я> Sn+i, —. то Р(С)=0 или 1 (закон нуля или единицы
А. Н. Колмогорова).
Указание. Воспользоваться тем, что для любого
события А, зависящего лишь от конечного числа \t,
Р(СЛ) = Р(С)Р(Л).
349. Пусть {Ак} (k = 1, 2, ...) — последовательность взаимно
независимых событий, тогда с вероятностью 1 осуществится
конечное или бесконечное число Ak в зависимости от того, схо-
дится или расходится ряд ]? Р (Ak) (леммы Бореля—Кантелли).
Доказать этот результат, используя теорему о трех рядах.
350. Пусть {1п) (п — 1, 2, ...) — последовательность
случайных величин, имеющих математическое ожидание, а % —
случайная величина, имеющая дисперсию, такая, что при любом
целом положительном п функции ех, ... , ?„, е — (?х + • • • + 1„)
независимы. Доказать, что в этом случае все ?„ имеют диспер-
50
сии, и ряд 2 (|fc—M|ft) сходится почти всюду.
А-1

351*. Даны отрезки а=[0, а], Р = [0, р] и Д=[0, А], причем
A<min [а, р]. На одном из отрезков а или р берется точка х0,
которая движется потом по следующему закону: если в
момент п точка находится в положении хп на отрезке а или р,
то в момент я+1 она перейдет в положение хп+\ =#п-|-Д на
том же отрезке в случае, когда а—х„>Д (соответственно
Р—х„>Д). Если же выполняются противоположные
неравенства, то точка с вероятностью — оказывается на расстоянии
Д'=Д—(а—х„ ) (соответственно Д" = Д—(р—хп)), от левого
конца отрезка, на котором она была раньше, и с
вероятностью — будет на таком же расстоянии от левого конца
другого отрезка. Доказать, что если аир несоизмеримы, то для
любого начального положения точки и для любого интервала
длины у, лежащего на одном из отрезков а или J3, с
вероятностью 1 найдется такое число п, что на n-м шаге точка
попадет внутрь интервала у.
352. В последовательности испытаний Бернулли пусть Ап
будет событием, состоящим в том, что серия из п
последовательных успехов произойдет между 2"-м и 2л+'-м
испытаниями. Доказать, что если р>—, то с вероятностью 1
осуществится бесконечно много событий А„; если р<— , то с
вероятностью 1 осуществится только конечное число событий А„.
§ 4. Усиленный закон больших чисел и закон повторного
логарифма
353. Показать, что какова бы ни была последовательность
DO О
¦ = оо, существует
последовательность независимых случайных величин {?„}, такая,
я
что Щп = О, D|„ = оя (л = 1, 2, . ..) и |— V |Д не сходится
А=>1
к нулю почти всюду.
354. Две последовательности случайных величин {?„} и {г\„}
оо
называются эквивалентными, если ^ Р{?„ ^ЛлК00- Дока-
л=1
85

зать, что если последовательность независимых случайных
величин {?„} подчиняется УЗБЧ, то существует эквивалентная ей
оо
последовательность, {т\п}, такая, что \ т1" = оо. Другими
л=1
словами, доказать, что предложение, обратное теореме
Колмогорова об УЗБЧ, не имеет места.
355. Показать, что существует следующее, несколько
ослабленное обращение теоремы об УЗБЧ. Если {?„}
последовательность независимых случайных величин такая, что M?„ = О,
— | -С С% п = 1, 2, ... , где С — некоторая постоянная, и с
п
п
вероятностью 1 последовательность J—- \ |Д сходится к .нулю,
i=i
то V -27J- <С °° для любого е > 0.
Указание. Воспользоваться тем, что если
последовательность действительных чисел {уя} такова, что последовательность
п
| — \ Уц сходится к нулю или хотя бы ограничена, то ряд
л-1
_#л
1
qrj- сходится при любом положительном е.
356. Пример разорительной «безобидной»
игры. Пусть возможные значения выигрыша при каждом
испытании будут 0, 2, 22, 23,...; вероятность того, что
выигрыш равен 2k, равна
1
Pk
2kk(k+\) '
а вероятность нулевого выигрыша равна ро=1 — (Р1+Р2+—)•
Тогда математическое ожидание величины выигрыша равно
Предположим, что игрок при каждом испытании за право
участия в игре уплачивает рубль, так что после п испытаний
его чистый выигрыш (или проигрыш) равен Sn—п, где S„ —
сумма п независимых случайных величин с заданным выше
распределением. Показать, что при каждом е>0 вероятность
86

к A—е)я
того, что в п испытаниях игрок проиграет более чем —
\og2n
рублей, стремится к 1, причем \0g2n означает логарифм при
основании 2. Иначе говоря, надо доказать, что
p{sn-n< ^z?M_n.
Указание. Использовать «метод усечения» с границей
Показать, что для «урезанных» величин \,k
Ii+ ...+1"я-пМ|1|<
п.
log2n
ere
log2n
1 — >Mli>i—^-.
log2 n log2 n
357. Пусть {?„} — последовательность взаимно независимых
1 2~~п
случайных величин, таких, что |„ = ± 1 с вероятностью
и 1п = ± 2" с вероятностью 2~п-]. Доказать, что к {?„}
применимы оба закона больших чисел.
Замечание. Это означает, что условие
J-D&+...?„)-»<)
п
не является необходимым.
358. Доказать, что если |i, ?2,— попарно независимы,
одинаково распределены и имеют конечные дисперсии, то к ним
применим УЗБЧ.
359. Пусть lk (& = 1, 2, ...) независимы,
оо
mk = mk>0; ?т, = оои?-^<оо.
Доказать, что в этом случае с вероятностью 1
Нт ±=1—= 1.
л-00 п
87

360. Пусть случайные величины \\, |... — независимы и
имеют нормальное распределение с математическим
ожиданием 0 и дисперсией 1 и пусть событие Ап заключается в том,
что Sn =|i+|2+ • • • +i«>^Bnloglog«) 2, где 1~
фиксированная постоянная. Доказать*, что при Я>1 с вероятностью 1
осуществится только конечное число А „,
Указание. Пусть событие Вг заключается в том, что в
промежутке времени от уг до уг+', где \ <^у<^%,
осуществится хотя бы один раз Ап. Воспользоваться тем, что если
осуществится бесконечно много событий Ап, то осуществится и
бесконечно много событий Вг.
361. Пусть событие Ап определено так же, как в
предыдущей задаче. Доказать*, что при Х,<< 1 с вероятностью 1
осуществится бесконечно много событий Ап.
Указание. Пусть у настолько велико, что 1—¦у—1 >^,
и пусть пг — ближайшее в уг целое число. Положим Dr =
—- S„ —S„ . Доказать сначала, что для бесконечно многих г
"г г—\
1
Dr>?.BnrloglognrJ.
362. Пусть S п — число успехов при п испытаниях Бернул-
ли с вероятностью успеха р. Доказать, что
limsup - = 1
BпрA — р) log logn) 2
(см. задачи 360—361).
§ 5. Условные вероятности и условные математические
ожидания
363. Пусть А1г А%, ..., Ап — полная система событий, т. е.
п
AtAj = 0 Aф}) и ^ А( = Q, a Blt В2, ... , Вт — другая пол-
* Предложения, доказываемые в задачах 360—361, составляют частный
случай так называемого закона повторного логарифма. Для схемы Бер-
нулли этот закон был впервые получен А. Я. Хинчиным (см. «Fundamenta
Mathematika», 6, 9—20, 1924). Позднее А. Н. Колмогоровым была
доказана более общая теорема (см. «Mathematische Annalen», 101, 126—135, 1929).
88

ная система событий. Доказать следующую обобщенную форму>
лу полной вероятности для любого события С
п т
Р(С)=И[ИР(С/Л^)Р(^/Л')
i=\ /-1
Р(Лг).
364. Показать, что если 31 — алгебра, состоящая всего из
двух элементов: 0 и всего пространства Q, то для любой
случайной величины I, имеющей м. о., М (?/3() = Щ.
365. Найти М A/Щ как функцию от и в случае, когда о-ал-
гебра 31 состоит всего из 4 элементов {0, A, A, Q}, причем
0<Р(Л)<1. Во что перейдут полученные формулы, когда
?(ш) = Хв(м), где Хв — характеристическая функция множества
В, введенная в задаче 10?
366. Показать, что если случайная величина Е, % измерима и
ограничена, то
М {ИЩ = I
почти всюду на Q.
367. Пусть дано вероятностное пространство (И, 93?, Р), и
пусть 31CZ?K — некоторая а-алгебра. Доказать,
а) что если ?>т) и существуют Щ, и Mtj, то почти всюду най
М (?/3l)>M(ri/3l);
б) что если существуют Щ и Mtj, то
М (at + br\№) = аМ (ЦЩ + Ш (т]/Э1);
в) что если существуют М? и 0 < ?„ 11, то
МF„/91) ТМ(?/91);
г) что если существуют М (|я) и Mi], причем 131— измерима, то
М(?г]/31)=?М(т1/Э1).
89

368. Случайная точка появляется с равномерным
распределением на отрезке [—а, а]. Ее наблюдают два прибора.
При этом первый прибор регистрирует ее в точке х с
вероятностью р{х), а второй — с вероятностью q{x). Найти
вероятность того, что точка, наблюденная обоими приборами,
появилась левее х.
369. Внутри единичного круга наудачу независимо одна
от другой поставлены две точки. Считая все положения точек
одинаково возможными, построить функцию распределения
расстояния между точками.
370. Пусть |{ (t = 1, 2, ... , п) — независимые нормально
распределенные с параметрами [0,1] случайные величины. Най-
п
ти м. о. и плотность распределения У Ц при условии, что
п
V \. = а.
1-1
371. Пусть ?Д? = 1, 2, ... , п) — случайные величины,
имеющие совместную плотность распределения h(xx, ... , х„), и пусть
0 <л = /&,&,,..., Ея)<С<оо. Найти:
а) м. о. случайной величины tj при условии, что
б) плотность распределения rj при том же условии.
372. Допустим, что случайная величина | имеет плотность
распределения f(x,a), зависящую от неизвестного параметра а.
Было получено п независимых реализаций | xlt ...,хп. Найти
апостериорную плотность распределения параметра a q>(a/xlt... ,xn)t
если известна априорная плотность распределения а Фх(а).
VII. НЕОГРАНИЧЕННО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН. МНОГОМЕРНЫЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Новым в этом разделе является лишь понятие
неограниченно делимого (н. д.) закона распределения, см. главу 9
учебника Б. В. Гнеденко. Закон распределения F(x)
называют н. д., если его характеристическую функцию для любого
целого п > 1 можно представить в виде
f(t)=[fn№n.
90

где /„ (t)—также характеристическая функция. В задачах
375, 381—387 предполагается известным общий вид логарифма
характеристической функции н. д. закона
log/@ = ^+ J ^-l-J^l±^dG(u), A)
где G(u) —неубывающая функция ограниченной вариации,
а подынтегральная функция при ы = 0 определяется
равенством
Ни \ 1 + 
Г{е"" —
и-о
1 4- "*J "*
Предполагается известным также, что представление logf(f)
формулой A) единственно.
Отметим, что материал большинства задач на н. д. закон
взят из 2-й и 3-й глав книги Б. В. Гнеденко и А. Н.
Колмогорова «Предельные распределения для сумм независимых
случайных величин» (ГИТТЛ, М.—Л., 1949).
§ 1. Неограниченно делимые распределения
373. Доказать, что если характеристическая функция f(t)
такова, что для двух несоизмеримых значений аргумента ^о
и ti имеют место равенства \f(t0)\=l и lf(tt)\ =1, то
)/(/)|==]. Что можно сказать о соответствующей функции
распределения? Будет ли она неограниченно делимой?
374. Доказать, что случайная величина, распределенная по
закону Коши
я \ 2 о. J
неограниченно делима.
375. Доказать, что если сумма двух независимых
неограниченно делимых случайных величин распределена: а) по
закону Пуассона; б) по нормальному закону, — то каждое
слагаемое распределено в случае «а» по закону Пуассона; в
случае «б» — по нормальному закону (см. также задачу 396).
376. Доказать, что случайная величина с плотностью
распределения
10 при х < 0;
_Ё!!_ яе-ie-* при*>0,
Г (а)
где а > 0, р > 0 — постоянные, неограниченно делима.
91

Примечание. Отсюда следует, что неограниченно
делимы распределение Максвелла и распределение %2.
377*. Доказать, что характеристические функции
неограниченно делимых законов не обращаются в нуль при |?|<!оо.
Указание. Использовать неравенство задачи C166).
378. Доказать, что функция распределения 'предельная в
смысле слабой сходимости для неограниченно делимого закона
неограниченно делимая.
379. Опираясь на утверждение предыдущей задачи,
доказать, что, если f(t) —характеристическая функция
неограниченно делимого закона распределения, то при любом с>0
функция \)(t)]c также является характеристической функцией
неограниченно делимого закона.
380. Доказать, что совокупность неограниченно делимых
законов совпадает с совокупностью законов, являющихся
композициями конечного числа законов Пуассона и предельными
для них в смысле слабой сходимости.
Указание. Воспользоваться для характеристической
функции следующим соотношением: для любого афО при
п—» сю.
п(\^а— 1) ->¦ log а.
381. Используя формулу A) (см. стр. 91), показать, что
характеристическая функция
/@ = 4зг-- '+аС @О<Р<1)
не неограниченно делима.
382. Доказать, что \f(t)\, где f(t)—характеристическая
функция, определенная в предыдущей задаче неограниченно
делима *.
383. Доказать, что для того, чтобы F(x) была
целочисленной, необходимо и достаточно, чтобы в формуле A)
(см. стр. 91) функция G(u) росла только в целых
точках =?0.
Утверждение этой задачи можно значительно усилить, а
именно см. следующую задачу.
* Из задач 381—382 следует, что неограниченно делимая
характеристическая функция [f(t)]2 разлагается на две не неограниченно делимые
характеристические функции f(t) и f(t).
92

384*. Доказать, что существует такая абсолютная
постоянная С, что для любого неограниченно делимого закона F,
для которого
оо
V {F(k+\)-F(k + 0)}<B,
k=,—оо
справедливо неравенство
!
l±^-)dG(u)<Ce,
Ф J v
где интеграл берется по всем целым точкам бесконечной
прямой (Ю. В. Прохоров).
385**. Доказать, что невырожденное неограниченно
делимое распределение не может быть сосредоточено на
конечном отрезке.
386. Доказать, что если существуют k>2 первых
семи инвариантов неограниченно делимого распределения
кь Х2,..., v.k, то последовательность ао=хг, а1=из> •••> <Х?-2= ий
неотрицательно определена, т. е. для любого многочлена
степени не выше k—2
k—2
функционал
k—2
Q(^) = ^4uau>0.
387**. Про неограниченно делимый закон говорят, что он
имеет спектр ограниченный М, если G(—oo) = G(—М) и
G(M) = G(ov).
Пусть 9К(УИ)"—совокупность неограниченно делимых
законов распределения, имеющих-спектр, ограниченный М, и
дисперсию, равную 1. ШA) — совокупность, функций
распределения случайных величин ?, таких, что |?| •</ и D ? = 1', и пусть
¦$(п, Г) = inf inf sup|Fn(x) — G(x)\,
F ? 9l(/) G ?<Ш(М) x,
где F»(jt) = F*...*FW.
я раз
93

Доказать, что для любых М, I < оо найдется k < сю, такое,
что для всех достаточно больших л
Ц)(л,0>я-*.
388*. Область притяжения закона Пуассона.
л
Пусть Sn = ^ ?fti „, где ?*.„(*= 1, 2, .... л) — взаимно неза-
висимые случайные величины, принимающие значения 1 с
вероятностью pj,„ и 0 с вероятностью 1—/?*,„, О <</??, „<<!,
а„ = V, р*. п, Ьп = max /?*, „.
k 1
Доказать, что для сходимости распределений сумм S„ к
закону Пуассона с параметром 0<а<°°, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
lim Ьп = 0; lim ап = а.
§ 2. Нормальное распределение
389*. В л-мерную сферу наудачу бросается точка
?= (?].,...,?„). Доказать, что для больших значений л убудет
распределено приближенно нормально.
390. Доказать, что для *>0 1—Ф(х)т
К2я 1л- х3 л-5
гдеФМ=к_
...+(-1)* —
¦ \ е 2 ¦ du,
• 3 ... Bft -
-i)
)•
причем при & четном правая часть превосходит 1— Ф(х),
а при k нечетном меньше 1—Ф(^).
391. Доказать, что для любого постоянного а>0
{1-ф(*+^-)}:{1-Ф(*)}-
При X —» со .
94

392*. Построить пример, показывающий, что из условий:
а) ? нормально распределено;
б) т] нормально распределено;
в) cov (?, п)=0
не следует, что ? и т] независимы.
393. Всегда ли линейная комбинация нормально
распределенных случайных величин распределена нормально?
394. Доказать, что если ? и -п независимы и нормально
распределены с параметрами а\ = й2 = 0, ai = 02 = o, то величи-
ны p2=E2+Ti2 и б=-^-также независимы.
Нижеследующая задача показывает, что верно и
обратное утверждение.
395*. Если ? и т] независимы, одинаково распределены,
имеют плотность, и р = Yl2 + rf и б = — независимы, то |
11
и х\ нормально распределены.
396**. gb I2,..., ?„ независимы и их сумма нормально
распределена. Доказать, что каждое из |, имеет нормальное
распределение.
397*. Если gi, ?2,-", ?л независимы, одинаково распределены
и имеют дисперсию и если, кроме того, можно найти
ортогональную матрицу C = ||ciy-||, отличную от тождественной,
такую, что
Л/
2j с^*
*=i
независимы, то lk нормально распределены. Рассмотреть
частный случай п = 2, и матрица
1 1
С =
f2 \f2
1 1
V2 /2
398. Пусть р(х) плотность распределения. Энтропией
непрерывного распределения называют
Н {р (х)) = — С р {х) In р (*) dx.
95

Доказать, что если Г хр (х) dx = О, Г хър (х) dx= 1, то Я (р (х) )<
—оо —оо
< In |/2л:е, причем равенство достигается только для
нормального распределения*.
399. Пусть р (х) = 0 при х •< 0, а
f*P(*)
dx = а.
Доказать, что максимум энтропии имеет место, когда
р(х) =— ехр ,
а { а )
и он равен In еа.
400. Энтропия многомерного непрерывного распределения
с плотностью р(х\, Х2,..-, хп) определяется формулой
Я' = — J • • ¦ { Р(*!• • • • • хпIпР(*i xn)dxx...
dx„
Доказать, что для многомерного нормального распределения с
плотностью
1
/>(*!.-... *„) = — ехр [ — — 2j at]xtxj
Bл) 2
Я = In BяеJ | аи \ 2 ,
где |а(.у-| — определитель, элементы которого air
401*. Пусть р(х)—плотность распределения |. Показать,
л
что для любого п Y\ Р(хк — хо) достигает максимум при х0 =
1
— \ хь тогда, и только тогда, когда
р (х) = —-= ехр J — -—-J-1
*=i
* Впервые энтропия Я (p (л:)) была введена К. Шенноном. Ю. В. Лин-
ник использовал ее для доказательства центральной предельной теоремы
в условиях Линдеберга («Теория вероятностей и ее применения», [V,
вып. 3, 1959).
96

402*. Пусть 9t — совокупность функций распределения
F(x), определяемая следующими тремя условиями:
1) каждая функция распределения F^ 9t однозначно
определяется своими математическими ожиданием |л и
дисперсией а;
2) для произвольных #>0 и Ь из F(x) ? 31 следует, что
F (ах+ Ь) ? 91;
3)H3f(8HGC1 следует, что F>^G? 91. Доказать, что
91 — совокупность нормальных распределений.
§ 3. Многомерные распределения
403. Дана случайная величина ?, принимающая
комплексные значения: ?=H-ni, где |, т] — случайные величины,
принимающие действительные значения. Пусть t,t = te —новая
случайная величина. Каким должно быть распределение Z,,
чтобы все величины t,t имели одинаковое распределение?
Можно считать, что случайный вектор (?, г\) имеет плотность.
404*. Пусть D — односвязная область на плоскости,
имеющая достаточно гладкую границу, в ней задана плотность
Р(х> У)>0. Доказать, что можно ввести новые координаты,
которые будут независимы.
405. Даны две случайные величины: | и ц, принимающие
значения:
Ъ = а1,а2,..., ап;
r) = bub2,...,bm.
Задано их совместное распределение:
Строится новая случайная величина ? = ср(|, ц), гдеф(*, у)—
любая функция двух переменных на множестве пар (afij).
Очевидно Щ2<С°о, т. е.
Если в пространстве функций ф, где ф задается набором чисел:
{c(i, !)W = i,...,n; У = 1.....4
ввести скалярное произведение следующим образом:
г./
7 Л. Д. Мешалкип
97

то получаем евклидово пространство Я|>Г). Рассмотрим Н\
подпространство Я|1Г), натянутое на функции, зависящие только от \
Н\ = {U ¦ Ф [х, у) = ф (л;)}.
Найти ортогональную проекцию ц на подпространство Н\.
406. Пусть ?={?].,..., \,n)—случайная величина, распределен-
ная в TV-мерном пространстве. t= {tv..., tN\ — вектор TV-мерного
N
пространства, (t, g) = V 5 А — скалярное произведение. xf@ =
= MeW-&>— характеристическая функция случайного вектора |.
Известно, что функция х-» @ обладает следующими свойствами:
а)Х?@) = 1;
б) »@ непрерывна по t\
-» ->
в) для любого набора векторов t1,..., tk и любого набора
комплексных чисел аг,..., ak выполнено соотношение
к
^ Х? ?"-?") «А >0.
Доказать, что функция
Х@ = е 2
удовлетворяет условиям «а», «б», «в».
407. Пусть llt Хъ, 13—случайные величины с M%t = 0 и
матрицей вторых моментов V = I]vikij и пусть 1 — р = Р{1 ^|<
<<Y> |ia|<aa; (ЫОзЬ Доказать, что в случае, когда 1е
не коррелированы, оценка
p<min|liS«}
не может быть улучшена.
408. Пусть ^ и р определены так же, как в предыдущей
задаче. Доказать, что p-<tr(FJ3_1), где В—любая положительно
определенная матрица с диагональными элементами <Гау-.
Указание. Воспользоваться тем, что если у положительно
определенной квадратичной формы 5 (х) = )j aikxcxk диагональ-
ные элементы обратной матрицы < 1, то для х = (х1г х2,
х3), таких, что max (|^1) > 1, S(x) > 1.
98

409. Дано п случайных величин ij,...,Sn, и пусть
р,-,у—коэффициент корреляции между ?, и \-г Доказать, что 'матрица
||Р'./Р?/=1 неотрицательно определена. В случае я = 3 найти
возможные значения для с = р12 = р13 = ргз-
410. Доказать, что для нормального двумерного
распределения любой центральный момент ^ четного порядка i-\-k=2n
равен коэффициенту при t'uk в полиноме
411. Каждая из величин 1, т) и ? имеет среднее значение 0
и дисперсию 1. Величины эти удовлетворяют соотношению
ac,-\-bt]-\-ct, = 0. Найти матрицу вторых моментов и показать,
что
а4 _|_ &4 _|_ С4 ^ 2 (д%1 + a2c2 _|_ fc2c2).
412. Рассмотрим две случайные величины ? и т) с
совместным распределением непрерывного типа. Пусть
/ (t,u) = Мехр {i (^ + иг\)}.
Предположим также, что г\ > 0. Если интеграл
оо
6 w 2m J V ди )и=-ы
—оо
сходится равномерно относительно х, то он представляет
плотность вероятности величины -^—.
. 413. Величины |ь ..., Е„ имеют собственное нормальное
1 распределение со средними значениями т\,.,. ,тп и
матрицей вторых моментов Л=ЦА,{А ||. Доказать, что величина
4 = II т?-<6/-«/)&-'я*).
/4=1
где Л/,); — алгебраическое дополнение элемента X/jft имеет ха
распределение с я степенями свободы и J плотностькГ&л (х) =
= 2 2 ! Х2 е 2 при л;>0; kn(x) =п; при *<0.
7* 99

Указание. Воспользоваться тем, что
—^ ? ЛЛ4 (х, - m,-) (xk - mk) = С»
/.ft
суть поверхности равной вероятности, а также тем, что для
любой положительно определенной квадратичной формы Q
с матрицей А.
j ...§dXl...dxn =
Q(x1...xn)<c\
я2
r(i+.
/|Л
VIII. ЦЕПИ МАРКОВА
Задачи этого раздела соответствуют в основном § 17—20
учебника Б. В. Гнеденко. Рассмотрим последовательность
дискретных случайных величин с,1г ...,!„ Будем говорить,
что эта последовательность образует цепь Маркова, если для
любого конечного набора целых чисел п-^п^^ .. .<^пг<Сп
совместное распределение |ni, t„2,..., %п , |п таково, что условная
¦вероятность соотношения |„ == х при условии &,, = *i> • • •
¦ ¦-,\п —хг совпадает с условной вероятностью \п—х при условии
\а = хг. Здесь jtx... Jcr, х — произвольные числа, для которых
наши условия имеют положительную вероятность. В том
случае, когда вероятности перехода
Р/* = Р(бт-и = ?*/?« = Я/)
не зависят от т, цепь Маркова называют однородной. Матрица
вероятности-перехода цепи Маркова P=||piy.|| обладает,
очевидно, следующими свойствами: a) pik > 0; б) для всех i ^ pik = 1.
k
Матрицы, для которых выполняются условия «а» и «б»,
называют стохастическими.
Иногда вместо того, чтобы говорить, что 1п = Ек, говорят,
что система в момент времени п находится в состоянии Ек.
Если число состояний, в которых может находиться система,
конечно, то цепь Маркова называют конечной. Обозначим
Pft) = p{6« = ?*/**-«=?,}
100

Если для всех k существует предел рк = lim р!?"> и этот предел
не зависит от i, то про соответствующую цепь Маркова
говорят, что она зргодична. При этом р; называют предельными,
или финальными вероятностями.
Если из состояния Et система может перейти в
состояние Ef с положительной вероятностью за конечное число
шагов, то говорят, что Ej достижимо из Ei. Состояние Et
называют существенным, если для каждого состояния Е/,
достижимого из Е{, Et достижимо из Ef. Если же для хотя бы
одного / Ef достижимо из ?j, а ?, не достижимо из Е;, то
Et — несущественное состояние. Состояние называют
возвратным, если, выйдя из него, система вернется в него с
вероятностью 1 за конечное число шагов. Если же вероятность
вернуться меньше 1, то состояние — невозвратное. Состояние
называют периодическим, если возвращение в него возможно
лишь за число шагов, кратное г>1. Цепь Маркова называют
неприводимой, если каждое состояние цепи достижимо из
любого другого состояния. Иногда рассматривают также
цепи Маркова r-го порядка. Они определяются требованием,
чтобы для любого набора целых чисел п\< ... <nJ<n
Р Vin+r = Х%п = Хп] 5„-]-1 = Хп+\\ • • • Ьп+г-1 — Хп+г-\ 1 =
= " |эт+г = XIZn^ = Хщ\ • • • > bns — Xns', Sn ~ xn', . • .
• ¦ ¦ Ьп+r-l = Xn+r-l }.
где x, xt — произвольные числа, для которых условия имеют
положительную вероятность. При г=1 получаем определение
обычной цепи Маркова.
§ 1. Определение и примеры. Матрица вероятностей перехода
414. Пусть %k (k = \, 2,...)—независимые целочисленные
одинаково распределенные случайные величины, причем
P{ta=k} = Pk{k = 0, +1, ±2,...),
и пусть ti„ =^1+ •• • +Sn- Доказать, что т\п образуют цепь
Маркова. Найти соответствующую матрицу вероятностей
перехода.
101

415. Вероятности перехода за один шаг в цепи Маркова
задаются матрицей
Р =
\
1
3 *
1
1
4 '
0,
1
3 '
1
1
4 '
1
>
1
3 '
0,
о,
0,
0
0
1
т
1
а) чему равно число состояний;
б) сколько среди них существенных и несущественных;
в) за сколько шагов из второго состояния можно перейти
в третье;
г) найти вероятности перехода за два шага.
416. Пусть Ъ, Ъ., ¦ ¦ ¦ — последовательность целочисленных
случайных величин, и пусть для любого п>0 и любых целых
k\ jo;...; /
р {Ъп+i = k/io = 7о*. 5i = iv • • •; in = in) =
Доказать, что в этом случае для любых 0 < щ < п и любых
целых }{ и kj
PJ?„+i = &/Ц = jlt |пг = /а, • • • 1 =
= Р (Sn+i = & L =- y's), где ns = max Ц}.
417. Доказать, что для однородной цепи Маркова с
матрицей вероятностей перехода Р~'Ар. j имеет место следующее
соотношение:
ЯЙ^Ей/РГ" (л = 2,3...).
418. Пусть Л — событие, зависящее только от (п—1)
первых исходов цепи Маркова, а В — событие, зависящее только
от (п+1), (п+2),..., {п-\-т) исходов. Доказать, что при
102

фиксированном состоянии в момент времени п события А и В
независимы.
419. Неограниченное случайное блуждание.
Точка движется по целочисленной прямой, переходя за один
шаг из точки I в точку i—1 с вероятностью р, в точку i—
с вероятностью q и в точку с—J— 1—с вероятностью r(p-\-q-\-
~{-r='l). Найти матрицу вероятностей перехода: за один шаг;
за два шага.
420. Пусть |Д?= 1, 2...) — независимые одинаково
распределенные случайные величины, принимающие значения — 1 и
+ 1, соответственно с вероятностями р и 1 — р. Положим
?„ = \п ?„_|_i. Будет ли последовательность t,n цепью Маркова?
Существует ли предел при n-^оо Р{?„ = 1}?
421. Пусть |, определены так же, как в предыдущей зада-
k к
че, и пусть ?п = max V^— min V ?•. Будет ли цепью
Маркая 4^. Kft<n ?J
кова последовательность ?„?
422. Дана цепь Маркова, состоящая из конечного числа
состояний E\,...,ES. Пусть gf — помер состояния, в которое
попадает система после t'-того шага.
Будут ли цепью Маркова последовательности:
а)
j. f 1, если S; = 1.
\ 0, если %Ф 1'
Будет ли последняя последовательность цепью порядка 2?
423. К рабочему, стоящему па контроле, через минуту
поступают изделия, причем каждое из них независимо от
других может оказаться дефектным с вероятностью 1>р>0.
Поступившие изделия рабочий одно за другим проверяет,
затрачивая на проверку каждого по одной минуте. Если же
изделие оказывается дефектным, то он прекращает проверку
других изделий и исправляет дефектное. На это он тратит
еще 5 мин. Обозначим ?„ ¦— число изделий, скопившихся у
рабочего через п минут после начала работы. Будет ли
последовательность tn цепью Маркова?
424. Пусть tn определено так же, как в предыдущей
задаче, а уп — время, уже затраченное рабочим на проверку и
ремонт того изделия, которое в данный момент обслуживает
103

рабочий. Будут ли последовательность двумерных случайных
величин (?„> v„) цепью Маркова?
425. Электрон может находиться на одной из счетного
множества орбит в зависимости от наличной энергии. Переход с ('-той
орбиты на /-тую происходит за одну секунду с вероятностью
Cfi-^-П (i, /= 1, 2 оо).
Найти:
а) вероятности перехода за две секунды;
б) постоянные Сг.
426. Пусть случайные величины ?0, ..., |„... образуют цепь
Маркова ^-го порядка. Доказать, что случайные векторы
?„ = (?„, ?„-!-!, •¦•,%n+r-i) образуют цепь Маркова 1-го порядка.
427. Доказать, что если случайные величины |0, 5Х, ...,?#¦
образуют цепь Маркова, то случайные величины цк = \ы-к также
образуют цепь Маркова.
428. При изучении цепей Маркова часто приходится
подсчитывать число переходов из состояния Et в состояние ?,-. Пусть
матрица исходной цепи Маркова будет Р = ||р„- ||f,=1. Введем
последовательность новых случайных величин ?lt..., t,n,... таким
образом, что ?„ будет принимать значение Е[}, если исходная
цепь на п шаге перешла из состояния Et в состояние Е-г
Доказать, что ?„ образуют также цепь Маркова и найти
соответствующую матрицу вероятностей перехода.
429. Даны последовательность %t(i = 1, 2,...) независимых
случайных величин, равномерно распределенных на отрезке [0,1],
цепь Маркова с конечным числом состояний Ег, ..., Es и
матрицей вероятностей перехода Р = \\pij ||?, ,. Строится функция
/(т], |), определенная следующим образом: 1) ц принимает
значения Ег, ..., Es; 2) если -п = Ес и р-1Л + ...-'- pi,m-\ < ? < pi.i +..
... тР,и, то f (% I) = Ет. Доказать, что последовательность
Cn+i =/(?п> Sn+i) является цепью Маркова с матрицей
перехода Р.
430. Доказать, что для того, чтобы состояние Ес в
однородной цепи Маркова было возвратным, необходимо и достаточно,
чтобы ряд V plf расходился.
л- 1
Указание. Ввести вероятности/}"' того, что первое
возвращение в состояние Е1 произойдет на га-м шаге, и
воспользоваться формулой
№ = S Ят)яГ
т-
101

431. Рассмотрим цепь Маркова с двумя состояниями Ех и Ег>
вероятностями перехода рп = р22 = р; р12 = р21 = q @ < р < 1,
р + <7=1) и начальными вероятностями Р{|0 = ?,} = а, Р{|0 =
= ?2} = 1 - а. Найти {$)}, Pt (п) = Р {g„ = Et}
и соответствующие предельные вероятности рс.
432. N черных и Я белых шаров разложены по двум
урнам так, что каждая урна содержит N шаров. Число
черных шаров в первой урне определяет состояние системы. На
каждом шагу случайно выбирается по одному шару из
каждой урны, и эти выбранные шары меняются местами. Найти
Pjk. Показать, что предельная вероятность uk равна
вероятности получить ровно k черных шаров, если N шаров
выбирается случайно из совокупности, содержащей N черных и
N белых шаров.
433. Цепь Маркова с состояниями Ео, Е\,... имеет
вероятности перехода
Показать, что при п -> со
X
#-7(т)'т
Такая цепь встречается в статистической механике и может быть
интерпретирована следующим образом. Состояние системы определяется
числом частиц в некоторой области пространства. За каждый
промежуток времени единичной длины частица может покинуть эту область с
вероятностью q. Кроме того, в этой области пространства могут
появиться новые частицы, н вероятность этого задается выражением Пуассона
е —- . Стационарным распределением оказывается тогда распределе-
%
ние Пуассона с параметром — •
Я
§ 2. Классификация состояний. Эргодичность
434. Эргодичны ли цени Маркова со следующими
матрицами вероятностей перехода за один шаг:
/1 1 \ / I 1
О, 1\ fl,0\ fl,0\ ( т. т \ Т' Т
1. о у ч 1, о у \ о. 1, л 1 / \ 1. о
trvi

Если эргодичны, то найти предельное распределение.
435. Рассмотрим цепь Маркова с состояниями Е\,
и матрицей вероятностей перехода
Найти для г = 0,
Г 1 1
2 ' 4 '
0, 0,
0, 0,
0, 0,
, 0, 1,
1, 2, 3 аг
0, ~г, 0
4
1, о, 0
0, 1, о
0, 0, 1
0, 0, 0
= limp<43"+r>.
436. Рассмотрим цепь Маркова со следующей матрицей
вероятностей перехода за один шаг
Ри Рг Ра
где 0<р?<1Ур, = 1. Доказать, что Р {1п = ?,} -»— при
т
П -у оо.
437. Доказать, что если число состояний в цепи Маркова
а<сю и если Ek достижимо из Е}, то оно достижимо за а или
меньше шагов.
438. Пусть цепь содержит а<^оо состояний и пусть Ek —
возвратное состояние. Доказать, что существует такое число
<7<С 1» ПРИ котором для /г > а вероятность того, что время
возвращения в Ek превысит п, меньше чем qn.
439*. Рассмотрим последовательность случайных величин
{?„}, определенную с помощью следующей рекурентной
формулы:
1„ =
ЪП-1 — *-Г»1п-1.
Sra-1 ~Г Лл-!'
если ^л_1> &
если.|„-1<^»
где &— фиксированное целое число, а {г\п\— независимые,
одинаково распределенные случайные величины, причем
PHi = '} = qy(i-p)m-' Ффтр).
106

Доказать, что случайные величины \п образуют цепь Маркова.
Показать, что при k <^тр цепь не эргодична, а при & > тр
эргодична.
Указание. Целесообразно выписать уравнение, которому
должны удовлетворять р;- = lim Р {1п — /} и ввести производящие
я-» о
функции
оо k—1
"(г) = 2р'2/ и ukW = YxpiZJ'
О О
440. Случайное блуждание с отражающими
экранами. Рассмотрим симметричное блуждание в
ограниченной области плоскости. Граница является отражающей
в том смысле, что всякий раз, когда при неограниченном
случайном блуждании частица должна покинуть область, она
вынуждена возвратиться в предыдущее положение. Показать,
что если каждая точка области достижима из каждой другой
точки, то существует стационарное распределение и что
1
Ок = — , где а — число состоянии в ооластн.
" а
441. Показать, что состояние Et- конечной цепи является не
возвратным тогда, и только тогда, когда существует такое Ek,
что Ek достижимо из Ej, а Е} недостижимо из Ek. (Для
бесконечной цепи это неверно, как показывает следующая задача.)
442. Предположим, что в бесконечной цепи возможны только
переходы Ej -»?/+1 и Ej -»Еа и что их вероятности равны
1—р; и Pj. Показать, что все состояния невозвратны или все
состояния возвратны в зависимости от того, сходится ли ряд
2р;- или расходится.
443. Показать, что неприводимая цепь, для которой хотя бы
один диагональный элемент ру-;- положителен, не может быть
периодической.
444. Обозначим Мц математическое ожидание г числа шагов,
необходимого для перехода из Et в Ej. Доказать, что в
пределах одного класса существенных состояний или все Ми
бесконечны, или все Ми конечны. Классы, в которых все М1{
конечны, называются положительными, а классы, в которых все
Ми — оо, называются нулевыми. Доказать, что в нулевых
классах некоторые MLj могут быть конечны.
445. Доказать, что конечная неприводимая цепь Маркова
является непериодической тогда, и только тогда, когда
существует такое п, что р!?> > 0 для всех i и к.
107

446. Эргодическая теорема для средних. Для
произвольной цепи определим числа Д-^ равенствами
Alk ~vLPik-
Доказать, что если EL и Ек принадлежат к одному и тому же
классу существенных состояний, то Д-'f стремятся при п->оок
пределу, который не зависит от L Если Ek невозвратно, то АтР -*0
для всех i.
447*. Доказать, что если собственное значение конечной
стохастической матрицы | К | ¦= 1, то К = \' 1, где п — натуральное
число.
448*. Доказать, что если стохастическая матрица имеет
два собственных значения, по модулю равных единице, то
соответствующая цепь Маркова неэргодична.
449 *. Пусть для любой стохастической матрицы порядка $
р = 1Ы!?/-1
S
A(P)=maxV|ft/ —pft/|;
'* fti
у(Р) максимальный из модулей корней характеристического
уравнения \Р — ХЕ\ = О, не равных 1, р" (Р) = 1 — у (Р). Схему серий
цепей Маркова называют эргодической, если lim A (kPn) = 0 для
/г-»оо
k = 0, 1, 2,..., где kPn = к+гРп.. .тРп матрицы, задающие п-ю
серию. Доказать, что для того, чтобы lim А (РТп)) = 0,
я-»оо
необходимо и достаточно, чтобы р(Рп) т (п) —»оо при п—>оо,
где Рп ¦— последовательность матриц, определяющих
однородную схему серий.
§ 3. Распределение случайных величин, заданных на цепи
Маркова
450**. Дана последовательность серий однородных
испытаний цпЛ.. .ч\п,п (п = 1, 2, ...), связанных в цепь Маркова с
матрицей вероятностей перехода Р(п), Обозначим ?,п число
попаданий в первое состояние при испытаниях п-й серии. В начальный
момент времени система находится в первом состоянии.
108

а) Доказать, что если Р (п) = I « п , то п — ?„ в
\ 1 0 /
пределе имеет распределение Пуассона.
'l--L,-i-
л /г
б) Доказать, что если Р(га) = | | 0 < у <С 1>
у ' 1 — ^
то ?„ после надлежащей нормировки имеет в пределе такое же
распределение, как случайная величина 5 = % + Лг + • • • + ¦%.
где Т1г независимы и имеют показательное распределение (с
показателем 1), а [л, — распределено по закону Пуассона.
В задачах 451—453 EX,...,EN состояния, в которых может находиться
цепь Маркова. Равенство ?„ - k означает, что в момент времени t = п цепь
находится в состоянии Е^. Положим Р ( ?,п+т — Щ\т = / ) = Pfk • Пусть
mln (рт) =• d > 0, тогда существует lim р^ = pfe. Выберем Р {|0 -- /'} = Ру.
451*. Пусть т](*) = 1, если при t = п цепь находится в Ek,
и r|W =0 в противном случае. Положим
5(* = S^
г=1
Доказать, что —-— —>р..
п R
Указание. Оценить дисперсию ?W и воспользоваться
неравенством Чебышева.
452*. Обозначим v<*> момент первого попадания в Ek при
условии, что |0 = &. Доказать, что:
а) P{v<*>>/i}<A — d)«;
б) Mv<*> = —!— .
Рк
Указание. Воспользоваться соотношением \k (z) = 1 —
-» где vft(z) — производящая функция v<*\ а
и* B)
л = 1
453. Пусть цМ = v{*> + ... -f v<*>, где v^>— время от га-го
попадания в Ek до (п + 1) попадания в ?ft включительно.
109

Доказать, что
,*<«¦
•п I Г - —
П~*0О
а Уп уг2л
где о2 = Dv{*\
454*. Обозначим ^fe) число попаданий в ?t за п первых
шагов. Доказать, что при надлежащей нормировке ?№> при
п—> ос сходится к нормальному закону.
Указание. Воспользоваться соотношением
где ц<*> определено" в предыдущей задаче.
455*. Пусть матрица вероятностей перехода имеет вид
/1 — Ll и \
, и пусть sn = av если в момент времени г = п
\А 1 —л /
цепь находится в первом состоянии и с,п = агфах, если — во
втором состоянии. Пусть ?„ = ?0 -f- ... + !„¦
Доказать, что
U2
limPj ^ -=^Ш=<* =—U- е 2 rfu.
' l а| (Ч-иK
IX. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ
Этот раздел знакомит с некоторыми простейшими
приемами и понятиями математической статистики. При решении
ряда задач необходимы довольно громоздкие вычисления, в
ходе которых используются таблицы, помещенные в конце
книги. Напомним необходимое.
Выравнивание эмпирических кривых с помощью кривых
Пирсона. Сначала вычисляются 2, 3 и 4-й центральные
моменты эмпирического распределения соответственно цг, щ, уп,
затем параметр
х = -
где
s =
Из(* + 2J
16E+1) '
6(|*«-|х§-1)
ПО

Этот параметр используют для выбора типа кривой, с
помощью которой будет произведено выравнивание.
Правило для определения типа кривой Пирсона по к.
тип III тип V тип III
х<0 |0<х<1
тип I
О 1
тип IV
х>1
тип VI
Норм, кривая (щ = З^г)
ТИП II. (^4<3^2)
ТИП VII. (|14>3|1|)
Примеры: 1. х = 40, берем тип III
2. х = 0,005, щ = 2, h> = 1 берем тип II.
Плотности кривых Пирсона некоторых типов:
Тип I. /,(*) = /1>0(l + JLJ(\- JLy*-ii<x<it.
Тип П. fn(x)=fn,o 1
\х\<1.
Л
Тип. III. /ш(х)-/ш,0|'1 +
k
— р-
— h<.x для /х>0
*< — 1г Для /х<0.
Для определения параметров, входящих в выражение
плотности кривой Пирсона, приравнивают первые четыре
момента эмпирического распределения к соответствующим
моментам кривой Пирсона.
Проверка гипотез о средних. Пусть |ь |2,..., \п —
независимы и одинаково распределены, причем их функции
распределения близки к нормальной. Допустим надо проверить
гипотезу о том, что М|, =а. Для проверки этой гипотезы
обычно используется ^-распределение Стьюдента. Его
применение основано на том, что в случае, когда |, распределены
нормально, распределение случайной величины
t
У п(п-
1 VI
где g = — х
1)
?-1
-тЕ*
1=1
Ш

не зависит от а и D?. Про величину t говорят, что она имеет
распределение Стьюдента с (п—1) степенями свободы. Таблицы
функции Р (z) — Р {111 > z) есть в конце книги. Пользуясь этими
таблицами, находят такое значение zQ, чтобы Р (z0) было мало.
Например, равнялось 5%. Если окажется, что вычисленное на
основании эмпирических данных |/|> z0, то проверяемую
гипотезу отвергают, если же оказывается, что \t\<Zo, то
считают, что эксперимент не противоречит проверяемой
гипотезе, подтверждает ее. Из таблиц видно также, что при /г>20
распределение лишь незначительно отличается от
нормального закона. Сравнение двух средних. Пусть |ь |г,..., \,п и
Ль Л2. •••» Лл —соответственно независимые реализации ?
и у). Требуется проверить гипотезу о том, что М| = Л1г|. В том
случае, когда дисперсия ? и г\ приблизительно равны и
распределение Е и rj близко к нормальному, можно опять
воспользоваться распределением Стьюдента, так как в
нормальном случае, когда М? = Мг] и Щ = Ьг\,
t =
g— Ч /~/г + т
где | = — VL; -ц = — у г\,, имеет ^-распределение с m +
+ л — 2 степенями свободы.
Проверка гипотезы об отличии от нуля коэффициента
корреляции. В том случае, когда нормально распределенные
случайные величины | и т) не коррелированы и г-выборочный
коэффициент корреляции построен по п парам наблюдений,
величина
t = -L_ /я — 2 .
где
л
2 (ь-Тнт-ч)
<-1
г =
имеет ^-распределений с (л—2) степенями свободы. Если
окажется, что Щ >z0, то гипотезу о том, что | и г| не
коррелированы, отвергают.
112

Проверка гипотез о характере распределения с помощью
критерия х2- Пусть имеется п реализаций случайной
величины |. Надо проверить гипотезу о том, что функция распре--
деления | есть F(x). Для проверки этой гипотезы область
возможных значений | разбивают на s частей. Обозначим:
р{ (/=1, 2 s)—вероятность попасть в t'-тую часть, а
т1 — число реализаций, попавших в i-тую часть. Тогда
величина
S
2 ^ VI (mi — npi)*
—> npi
i-l
имеет при больших п приближенно х2_Распределение с (s—1)
степенями свободы. Так же как и в случае с
^-распределением, пользуясь таблицами, помещенными в конце книги,
находят критическое значение х«р- Если окажется, что
Х2>Хкр, проверяемую гипотезу отвергают, а если окажется
Х2<Хкр — принимают. Иногда проверяемая гипотеза состоит
н том, что распределение s принадлежит некоторому классу
распределений, зависящему от / параметров, причем
параметры оцениваются по выборке. В этом случае х2 имеет
приближенно х2"РаспРеДеление с (s—'—1) степенями свободы.
Пример. Если мы с помощью критерия х2 проверяем
гипотезу о том, что случайная величина | имеет нормальное
распределение, и при этом математическое ожидание и
дисперсия | оцениваются по выборке, то надо использовать х2-рас_
пределение с (s—3) степенями свободы.
Большинство задач этого параграфа заимствовано из
книг:
Юл. Дж. Эдни и Кендал М. Дж. Теория статистики. Госстатиэ-
дат, М., 1960.
Хальд А. Математическая статистика с техническими приложения
ми. ИЛ, М., 1956.
Г ю и т е р Н. М. и Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшей
математике, т. III. ГИТТЛ, М., 1947.
§ 1. Оценка параметров распределений
456. Оценка среднего и меры разброса.
Нижеследующая таблица дает 58 значений величины е,
полученных Милликеном при определении величины заряда
электрона, равной е-10-10ед.
8 Л Д. Мешалкин
113

1.4,740
2.4,747
3.4,749
4.4,758
5-4,761
6-4,764
7-4,764
8-4,764
9-4,765
10-4,767
11.4,768
12.4,769
13.4,769
14.4,771
15.4,771
16.4,772
17.4,772
18.4,772
19.4,774
20.4,775
21.4,775
22.4,776
23.4,777
24.4,777
25.4,778
26.4,779
27.4,779
28.4,779
29.4,781
30.4,781
31.4,782
32.4,783
33.4,783
34.4,785
35.4,785
36.4,785
37.4,788
38.4,788
39.4,789
40.4,789
41.4,790
42.4,790
43.4,790
44.4,791
45.4,791
46.4,791
47.4,792
48.4,792
49.4,795
50.4,797
51.4,799
52.4,799
53.4,801
54.4,805
55.4,806
56.4,808
57.4,809
58.4,810
Вычислить среднее арифметическое значение величины е
58
х = —-/_*р среднюю точку —{хх-\-хъ^, выборочную медиа-
i-\
i
58
1 VI,
Х)\
ну — (лг29 + *зо)> выборочную дисперсию S2 = — \ (xi
2. о/ т^т
размах г = дг58—хх и [выборочное [среднее отклонение d~
58
¦ у \xt — х\ ¦ Сравнить между собой полученные характе-
58
г-1
ристики, учитывая, что для нормального распределения медиана
и среднее совпадают, а между дисперсией о2 = М (| — М|J
и средним отклонением б = М | \ — М| | имеет место
соотношение б
-/т-
Указание. Для облегчения вычислений х, s2 и d
целесообразно перейти к новым переменным yl = A(xt — В), где А и
В— надлежащим образом выбранные постоянные. Например,
можно взять А = 1000, а В = 4,780. Затем вычислить для yt
соответствующие характеристики и воспользоваться очевидными
— 58
формулами
58
58Л LAxai *
Х = В+ -*-;
А
St = -J—Y(yl-y)t; d
57-Л2
i-i
i-i
114

457. Группированные данные. Нижеследующая
таблица дает распределение продолжительности жизни в
часах электрических ламп.
Продолжительность
жизни
950—1000
1000—1050
1050—1100
1100—1150
1150—1200
1200—1250
1250-1300
1300—1350
1350—1400
1400—1450
1450—1500
1500—1550
1550—1600
Число
2
2
3
6
7
12
16
20
24
27
29
29
28
Продолжительность
жизни
1600—1650
1650—1700
1700—1750
1750—1800
1800—1850
1850—1900
1900—1950
1950—2000
2000—2050
2050—2100
Всего . . .
Число
25
21
16
12
8
6
3
2
1
1
300
Найти среднюю продолжительность жизни лампы и квад-
ратическое отклонение.
Указание. Пусть х( — среднее значение t-того интервала
а /гг — число наблюдений, попавших в этот интервал, причем
^nl = N, где N — общее число наблюдений. Вычисления суще-
ственно упрощаются, а если можно найти такие числа а и Л,
что для каждого i xt = a-\- hXL, где Xt — целое число. В этом
случае целесообразно воспользоваться формулами
x = a + hX; S^ = -j^:-i^inl(xl~x)i =
458. Поправка Шеппарда. В том случае, когда
интервал группирования h велик (см. указание к предыдущей
задаче), при оценке D| вводят поправку на группировку.
Для этого из вычисленного на основании группированных
данных Ьг вычитают —.
12
Даны следующие 45 чисел:
40; 43; 43; 46; 46; 46; 54; 56; 59; 62; 64; 64; 66; 66; 67; 67;
68; 68; 69; 69; 69; 71; 75; 75; 76; 76; 78; 80; 82; 82; 82; 82; 82;
83; 84; 86; 88; 90; 90; 91; 91; 92; 95; 102; 127.
8*
П<;

Вычислить среднее арифметическое и квадратическое
отклонение:
а) не прибегая к группировке чисел;
б) объединяя числа в группы с интервалом в 5 единиц
40—44, 45—49, 50—54 и т. д.
в) объединяя числа в группы с интервалом в 10 единиц
40—49, 50—59 и т. д.
Сравнить полученные результаты.
459. При подсчете числа простых чисел, которые в
восьмом, девятом и десятом миллионах приходятся па каждую
из 2000 групп по 500 последовательных чисел, обнаружились
следующие данные: ни в одной группе не оказалось менее
17 простых чисел и более 46. В верхней строке прилагаемой
таблицы поставлены все числа х A7 <;%:•<46), фактически
наблюдавшиеся; в дальнейших трех строках в каждом
столбце под соответствующим значением х указано число групп
Ni(x), Л^(#), N3(x), содержащих х простых чисел,
соответственно в восьмом, девятом и десятом миллионах.
к
Щх)
Щх)
Щх)
к
Щх)
Щх)
Щх)
X
Щх)
Щх)
Щх)
17
—
1
—
27
102
106
130
37
78
82
72
18
1
—
1
28
141
174
135
38
63
48
54
19
4
—
1
29
149
202
171
39
38
41
27
20
5
2
7
30
165
168
177
40
16
20
20
21
6
7
9
31
188
202
210
41
15
11
11
22
11
9
13
32
203
187
194
42
14
5
4
23
18
15
20
33
181
187
171
43
4
1
4
24
48
40
46
34
160
135
143
44
1
4
2
25
63
68
73
35
141
140
111
45
—
1
—
26
70
61
105
36
115
82
89
46
—
1
—
Вычислить средние числа М\, М2, Mz простых чисел на
каждую группу и их дисперсии 0ь <*2, Оз для каждого
миллиона. Показать, что если бы в каждом миллионе простые
числа были расположены случайно, то дисперсии были бы
значительно больше.
460. Метод наибольшего правдоподобия. Пусть
случайная величина | принимает значение х с вероятностью
q{x; аь a2,...,as), где at (t = l, 2,..., s) неизвестные
параметры. Допустим, что имеется п независимых реализаций |
хи...,хп. За оценку а1 при использовании метода
наибольшего правдоподобия берут те значения а(, при которых макси-
U6

мально произведение П д(х,\ fli, а2, •••, a.s)- В случае, когда Е
k А
непрерывна, q всюду надо заменить на плотность. Оценить
методом наибольшего правдоподобия первоначальное число
рыб в озере, описанном в задаче 100.
461. При я=*100 испытаниях по схеме Бернулли было
получено т=65 успехов. Пользуясь методом наибольшего
правдоподобия (см. задачу 460), оценить р — вероятность
успеха в отдельном испытании.
462. Произведено п выстрелов из пушки по неподвижной
точечной цели без перемены прицела, причем в 0<k<n
случаях наблюдался перелет, а в остальных п—k случаях —
недолет. В дальнейшем, когда мы будем говорить «высота
выстрела», то под этим будет подразумеваться высота точки
попадания снаряда в вертикальную плоскость, проходящую
через цель перпендикулярно к направлению стрельбы.
Высота выстрела отсчитывается от горизонтальной плоскости,
проходящей через цель. Допустим, что все высоты выстрелов
независимые, одинаково нормально распределенные
случайные величины с единичной дисперсией и математическим
ожиданием \х. Какую поправку нужно внести в установку пушки
для того, чтобы среднее значение высот выстрелов было
возможно ближе к высоте цели?
Указание. Воспользоваться методом наибольшего
правдоподобия, введенным в задаче 460.
463. а (хг, х%, ..., хп)—оценка параметра а называется
состоятельной, если при п~*оо для любого е>0 Р{\а — а|>
>е}-»0. Доказать, что оценка для ц, полученная в
предыдущей задаче, состоятельна.
464. a fa, х2, ..., хп) — оценка параметра а называется
несмещенной, если Ма (хх, х2, ¦ ¦ ¦, хп) = а. Доказать, что х =
п п
= — \ xt и S2 = ¦ \ (Xt —xY являются несмещенными
оценками для математического ожидания и дисперсии.
465. Метод моментов. Для оценки неизвестных s
параметров распределения при использовании этого метода
приравнивают первые s моментов теоретического
распределения к их оценкам, полученным на основании эмпирического
материала; решая затем получившиеся s уравнений, находят
оценки для неизвестных параметров. Доказать, что оценки
параметра пуассоновского распределения, полученные мето-
117

дом моментов и методом наибольшего правдоподобия,
совпадают. Доказать несмещенность и состоятельность этой
опенки (см. задачи 460, 463, 464).
466. Пусть случайная величина | имеет равномерное
распределение на отрезке [а, а+1], причем а неизвестно. Было
получено п независимых реализаций | хь лг2,..., хп. Для оценки •
параметра а можно построить следующие две оценки:
IV 1 , . п
fli = — \xi г и «2 =-тах(х(.) — .
п *-* 2 i я -f 1
Доказать, что Mai = Маг = а, то есть оценки несмещенные.
Найти Daf и Da2 и показать, что при n-»ooDa2=o(Daj).
467. Пусть | — случайная величина, имеющая
непрерывную плотность р (х), причем для всех х р(х)=рBа— х) и
p(a)>0. Доказать, что в этом случае выборочная медиана
является состоятельной оценкой для параметра а.
§ 2. Выравнивание эмпирических кривых
468. Ниже даны три эмпирических ряда. Выравнять их,
используя кривые Пирсона.
X
Nt
Ns
N3
1
1
1
7
2
7
3
7
3
23
13
12
4
50
21
16
5
84
39
19
6
119
49
20
7
129
52
18
8
120
9
92
49 35
15
11
10
53
23
7
11
27
10
4
12
9
5
3
469. Выравнять ряд, показывающий распределение
возраста научных работников в СССР в 1928 г. («Научные
работники в СССР» Изд-во АН СССР, М., 1928, стр. 752.)
Возраст
0,1 %
20
и
25
93
30
163
35
178
40
176
45
132
50
100
55
67
60
40
65
24
70
12
75
3
80
1
118

470. Выравнять с помощью кривой Пирсона ряд,
показывающий распределение остаточного удлинения X (%)
болтового железа.
*>
П]
26
1
28
6
30
27
32
40
34
54
36
45
38
23
40
7
42
2
§ 3. Применение нормального распределения
471. Производились опыты по выяснению устойчивости
различных железных сплавов против коррозии.
Произведенные для определенного сплава опыты
обнаружили, что он не поддается коррозии в среднем в течение
875 дней. Это определение сопровождается стандартным
уклонением, равным 85 дням. Указать, какое количество
листов, изготовленных из данного сплава, должно быть
подвергнуто испытанию, чтобы с вероятностью 0,90 ожидать
величину уклонения от средней не больше чем на 5%.
472. Стальная проволока, идущая на изготовление
канатов, выдерживает в среднем растягивающее усилие в
6720 кг/см2. Стандартное уклонение отдельных образцов от
этого среднего имеет величину 220 кг/см2. Серия
последовательно проведенных наблюдений показала, что в отношении
растягивающих усилий, выдерживаемых отдельными
образцами проволоки, имеет место нормальный закон
распределения.
Из каждой партии проволоки, поступившей на завод,
было подвергнуто испытанию 20 экземпляров. Результаты
испытаний даются в приводимой ниже таблице.
1-я партия
2-я партия
6300
6870
6720
6980
6780
6780
6780
6720
6630
6660
6900
7130
6690
6750
6560
6700
6930
6720
6950
6960
7150
6950
7230
7240
7090
6800
7000
7070
6700
7140
7280
7120
6690
7070
6950
6590
6890
6910
6630
7220
119

Возможно ли на основании этих испытаний утверждать,
что обе партии проволоки требуемого качества и результаты
испытаний следует объяснить случайностью выборки?
473. Испытания на растяжение, проводимые для одного и
того же сплава, приготовленного на пяти различных заводах,
показали следующий результат:
Завод
Средняя величина растягивающего
Стандартное уклонение, кг/см? . . .
I
7328
299
II
6165
609
Ш
7052
132
IV
7997
311
V
8583
251
Следует ли объяснять различие средних случайным
отбором образцов или же различием качества сплавов, т. е.
уклонением в производстве одного из заводов от стандартной
марки?
474. Приводимая ниже таблица дает среднюю длину яйца
кукушки вообще и среднюю длину яйца кукушки,
положенного в гнездо определенного вида птиц. Измерения
производились с целью обнаружить разницу в размерах яиц,
опускаемых кукушкой в гнезда различного вида птиц.
Отложенные яйца
Числа
наблюдений
Средняя
длина в мм
Стандартное
уклонение
Вообще
1-й вид
2-й внд
3-й вид
1572
91
115
58
22,3
21.9
22,4
22,6
0,96
0,79
0,76
0,86
Выяснить, существует ли действительно разница в длине
или же расхождение носит случайный характер.
Указание. Вычислить отношение разности средних
значений к ее стандарту и для оценки вероятности уклонения
воспользоваться интегралом Лапласа.
475. Таблица дает результаты ряда наблюдений над
скорлупой крабов, живущих в глубокой и мелкой воде.
120

Мелководные крабы
Глубоководные
крабы
Средняя
длина
скорлупы
в см
8,41
8,59

Средняя
ошибка
0,04
0,05
Наблюдения производились с целью обнаружить влияние
окружающей среды на организм. Выяснить, можно ли
приписать получившуюся разницу влиянию среды или ее следует
отнести за счет случайности выборочного исследования.
476. Пусть х1,. . . , хп— независимые реализации нормально
распределенной случайной величины |, а а—стандартное
уклонение |. Для оценки а обычно используют
Г-—-п J
S=V ^rS {xi-xJ
i = l
Показать, что MS = a — + of—) a DS = -— 4-of — Y
4n \ n J' 2/i ' \ n J
477. Исследование длины и ширины 139 черепов,
найденных в Верхнем Египте и относимых к расе, жившей за
8000 лет до нашей эры, показало, что стандартное уклонение
длины и ширины черепа 5,722 и 4,612 мм соответственно. Те
же величины, выведенные на основании обследования 1000
европейцев, оказались равными 6,161 и 5,055 мм.
Предполагая, что законы распределения длины и ширины черепа
нормальные, выяснить, можно ли считать расхождение
стандартов случайным.
478. Распределение значений величины х имеет
стандартное уклонение о. Отдельное измерение значений х
сопровождается средней квадратичной ошибкой а'. Для измерения х
приходится пользоваться образцами, изготовление которых
обходится а рублей за штуку. Стоимость производства
одного измерения а' рублей. Сколько следует изготовить
отдельных образцов и сколько измерений произвести над каждым,
чтобы среднее значение величины х, установленное в
результате этой серии наблюдений, сопровождалось средней
квадратичной ошибкой, не превосходящей d, и стоимость
производства опыта была бы возможно малой?
479. Некоторый счетчик космического излучения за
фиксированное время зарегистрировал п = 80 космических частиц.
121

Процесс регистрации, конечно, подвержен влиянию случая.
Указать интервал {а(п), Ь(п)), который бы с вероятностью
>0,99 накрывал бы X — среднее значение интенсивности
космического излучения (см. задачу 301).
§ 4. Применение распределения Стьюдента
480. В процессе производства электрические счетчики с
вращающимся диском были отрегулированы для того, чтобы
синхронизировать их работу со стандартным счетчиком.
Проверка 10 счетчиков, заключающаяся в определении
постоянной счетчика, при помощи точных ваттметров и
секундомеров показала следующие результаты:
Счетчики
1
2
3
4
5
X
0,983
1,002
0,998
0,996
1,002
Счетчики
6
7
8
9
10
X
0,983
0,994
0,991
1,005
0,986
причем постоянная, характеризующая стандартный счетчик,
взята равной 1,0000. Можно ли отклонения от стандарта
рассматривать как случайные или, напротив, результаты
указывают на то, что постоянные отрегулированных
счетчиков систематически отклоняются от постоянной стандартного
счетчика? Ответить на этот вопрос, проверив гипотезу о том,
что десять измерений образуют случайную выборку,
извлеченную из нормально распределенной генеральной
совокупности со средним |о= 1.0000.
481. Чтобы проверить, оказывает ли влияние на прочность
бетона особый способ его приготовления, был сделан
небольшой эксперимент. Из данной партии сырья были взяты 6
выборок, причем выборки были сделаны однородными,
насколько возможно. Затем 6 выборок были разделены случайным
образом на две группы из трех выборок каждая, и из
каждой выборки был сделан пробный куб, причем выборки из
группы II подверглись особой обработке. После 28-дневной
выдержки шести пробных кубов определили их
сопротивление на сжатие, получив следующие результаты опыта:
122

Бетон I. . . .
Бетон II . . .
290
309
311
318
284
318
Проверить с помощью критерия Стьюдента гипотезу о
том, что бетон обеих групп одинаково прочен.
482. Понадобилось сравнить два метода определения
содержания крахмала в картофеле. Были взяты 16 клубней
картофеля с меняющимся в широких пределах содержанием
крахмала, и к каждому клубню были применены два метода
измерения. В таблице даны численные результаты у —
разности между процентом содержания крахмала, определенного
I и II методами.
N
1
2
3
4
5
6
7
8
У
0,2
0,0
0,0
0,1
0,2
0,2
0,3
—0,3
N
9
10
11
12
13
14
15
16
У
0,1
0,2
0,3
0,0
-0,1
0,1
-0,2
0,1
С помощью критерия Стьюдента проверить гипотезу о
том, что оба метода не дают систематического различия
в определении процентного содержания крахмала.
483, Для того чтобы исследовать эффект использования
специальной сеялки, десять участков земли были засеяны
при помощи обыкновенной сеялки и десять участков — при
помощи специальной сеялки, -и затем сравнивались
полученные урожаи зерна. Двадцать участков равной площади были
избраны попарно, причем пару составляли два соседних
участка. Вопрос о том, какой из двух соседних участков должен
был обрабатываться специальной машиной, решался
бросанием монеты. Результаты даны в таблице.
Проверить двумя различными способами с помощью
критерия Стьюдента гипотезу о том, что специальная машина не
дает прибавки урожая, определяя значимость:
123

№
пары
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Специальная
машина
8,0
8,4
8,0
6,4
8,6
7,7
7,7
5,6
5,6
6,2

Обыкновенная
машина
5,6
7,4
7,3
6,4
7,5
6,1
6,6
6,0
5,5
5,5
Разница
в урожае
2,4
1,0
0,7
0,0
1,1
1,6
1,1
—0,4
0,1
0,7
а) отличия от нуля разности урожаев;
б) различия среднего урожая на полях, обработанных
специальной машиной, и урожая на полях, обработанных
обычной машиной.
Объяснить, почему в первом случае получились более
значимые результаты.
§ 5. Корреляционный и регрессионный анализ
484. Теммис исследовал различные виды цветочной
пыльцы и нашел связь между величиной пылинки и количеством
пор для выхода пыльцевых трубок. В качестве примера мы
Диаметр (у)
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
х=0
3
7
Количество пор (х)
]
3
6
1
2
4
5
1
3
3
4
3
4
3
4
3
124

рассмотрим результаты исследований пыльцы шаровидной
фуксии (Puchsia globosa). Эта пыльца может иметь от 0 до
4 пор, расположенных в экваториальной плоскости пылинки.
Для измерения диаметров пылинок были выделены 5 групп
(по 10 пылинок в каждой группе) с количеством пор 0, 1, 2,
3 и 4. Результаты измерений округлялись до числа, кратного
5 мк. Количества пылинок указаны в корреляционной
таблице.
Найти эмпирическую линию регрессии.
485. В восточной Англии в течение 20 лет (с 1885 по
1904 г.) велись наблюдения за урожаем пшеницы и
количеством осадков осенью. В результате оказалось, что урожай
пшеницы и осенние осадки связаны отрицательной
корреляцией, равной —0,63. Можно ли взаимосвязь между осадками
и урожаем пшеницы считать доказанной?
486. Найти коэффициент корреляции между весом 1 м2
(v) технического полотна и его плотностью по основе (и) по
длине полоски в 50 мм. Результаты 25 испытаний приведены
в таблице п = 25.
и
197,4
188,3
197,8
182,7
190,3
192,7
193,6
191,1
191,3
194,3
195,4
196,6
о
112
113
115
111
112
113
114
112
113
114
112
113
и
177,7
196,7
190,8
191,7
195,2
200,2
196,1
189,9
184,8
198,6
190,2
183,5
187,2
V
ПО
112
111
113
112
112
114
112
111
112
112
111
111
Значима ли зависимость между и и и?
487. Оценить статистическую зависимость между
прочностью одиночной нити пряжи и (в граммах) и удлинением той
же пряжи v (в процентах) методом линейной корреляции.
Два параллельных ряда представлены в таблице, и = 100.
125

и
185
180
175
155
190
180
150
160
130
165
190
180
215
215
185
130
230
190
200
180
185
175
185
160
175
V
4,6
4,6
4,8
4,6
5,2
3,6
3,4
4,4
3,6
4,8
4,6
5,0
5,2
4,6
5,2
3,6
5,6
4,8
4,4
4,6
5,0
4,6
5,0
4,8
4,4
u
165
175
170
165
190
150
205
150
165
160
180
170
230
165
165
160
130
185
160
180
155
130
150
165
160
V
4,8
4,8
4,4
5,2
5,4
3,6
5,6
3,6
4,2
4,6
4,6
4,2
5,6
3,6
4,2
4,6
3,2
5,0
4,6
4,8
4,4
4,0
4,0
4,2
4,8
и
160
170
170
170
210
200
215
215
210
185
185
165
170
140
160
185
185
185
210
170
155
150
165
130
155
0
4,6
4,6
4,8
4,6
5,2
5,2
5,0
5,4
5,2
4,6
5,0
4,8
4,6
4,0
4,2
5,2
4,8
5,0
5,2
4,4
4,2
4,0
4,2
4,4
3,6
и
130
135
160
170
165
180
170
170
150
180
180
165
190
170
175
130
165
155
175
150
175
155
180
150
150
V
4,2
3,6
3,6
4,2
4,6
4,4
4,2
4,4
4,0
4,4
4,8
4,4
4,6
4,6
4,2
3,0
3,6
3,0
4,2
5,8
4,6
4,0
5,0
3,8
4,2
488. Оценить статистическую зависимость между
прочностью (в граммах) одиночной крученой суровой нити и
удлинением (в процентах) той же нити методом линейной
корреляции. Данные приведены в таблице, п=100. Сравнить
полученные результаты с результатами предыдущей задачи.
и
1800
1540
1840
1940
1700
1700
1620
1880
1740
1860
1740
1800
1740
V
6,4
6,0
5,4
6,8
5,8
5,4
5,6
6,4
6,2
6,6
6,0
5,6
6,0
и
1740
1640
1660
1560
1680
1620
1780
1840
1740
1800
1740
1860
1820
о
7,2
7,0
7,0
6,0
6,2
5,2
5,0
5,4
6,0
5,0
6,0
6,0
5,4
и
1640
1700
1560
1600
1840
1740
1740
1640
1600
1740
1840
1740
1640
•о
6,6
6,4
6,0
6,0
6,4
6,4
6,2
5,8
5,4
5,2
6,8
7,0
6,0
и
1560
1640
1720
1620
1660
1560
1880
1780
1660
1520
1660
1740
1840
V
6,0
7,0
8,0
7,2
7,4
6,8
7,8
7,2
6,8
7,4
6,2
6,8
7,2
126

1
и
1640
1900
1780
1740
1860
1960
1740
1740
1800
1860
1740
1820
V
5,6
6,2
5,2
5,4
5,0
6,0
5,0
6,0
6,0
6,0
6,8
6,0
и
1980
1740
1740
1620
1800
1600
1640
1740
1700
1660
1640
1680
V
6,2
5,8
6,0
6,4
5,2
4,8
4,8
6,8
7,4
6,8
6,4
6,4
и
1800
1740
1660
1680
1620
1600
1860
1780
1620
1660
1500
1500
0
6,6
6,8
6,6
7,4
6,8
6,2
6,8
7,0
6,8
6,6
6,0
5,6
и
1720
1640
1720
1660
1680
1880
1500
1660
1820
1500
1560
1800
V
6,4
6,4
6,4
6,2
6,2
7,0
6,0
7,2
7,2
6,4
1 7'4
7,4
489. Коэффициент корреляции между процентом сухого
вещества в свежем шпинате и процентом сохранившейся
после высушивания при 90°С аскорбиновой кислоты,
определенный по 24 наблюдениям, равен г=0,6182. Отличается ли
эта величина значимо от нуля?
§ 6. Применение критерия %2
490. Ниже приводятся ставшие классическими данные
Борткевича о числе лиц, убитых ударом копыта в 10
прусских армейских корпусах за 20 лет A875—1894).
(—число смертей в одном корпусе
за год
Число случаев, когда произошло
i смертей
0
109
1
65
2
22
3
3
4
1
Всего
200
Используя критерий %2, проверить гипотезу о том, что число
смертей в одном корпусе за год подчиняется распределению
Пуассона.
491. В опыте Резерфорда, Чедвика и Эллиса радиоактивное
вещество наблюдалось в течение N = 2608 промежутков
времени, каждый длиной в 7,5 сек; для каждого интервала
регистрировалось число частиц достигших счетчика. В таблице
приведены числа Nk промежутков времени, в течение
которых наблюдалось ровно k частиц. Общее число частиц равно
127

r=S?/V,t=10 094. Среднее число частиц равно ?„=— =3,870.
N
Используя критерий %2, проверить гипотезу о том, что число
частиц, достигающих счетчика, подчиняется закону Пуассона.
Для ускорения вычислений в таблице приведены значения
N — е~% .
к
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Итого. . .
Nk
57
203
383
525
532
408
273
139
45
27
16
2608
л, *•* -*¦
N е
Ы
54,339
210,523
407,361
525,496
508,418
393,515
253,817
140,325
67,882
29,189
17,075
2608,000
492. По официальным данным шведской статистики в
Швеции в 1935 г. родилось 88 273 ребенка, причем в январе
родилось 7280 человек, в феврале —6957, в марте — 7883, в
апреле — 7884, в мае — 7892, в июне — 7609, в июле — 7585,
в августе — 7393, в сентябре — 7203, в октябре—6903, в
ноябре— 6552, в декабре — 7132 человека. Используя
критерий %2, проверить, совместимы ли эти данные с гипотезой о
том, что день рождения наудачу выбранного человека с
равной вероятностью приходится на любой из 365 дней года.
493. Проверить, что распределение 2000 групп по 500
чисел в 10-м миллионе по числу входящих в них простых чисел,
согласно последней строке таблицы, приведенной в задаче
459, вполне удовлетворительно выражается законом Гаусса.
Проверить, что для 9-го миллиона приближение к закону
Гаусса менее удовлетворительно.
494. Ниже приводятся результаты опыта (данные Уэлдо-
на) с подбрасыванием костей. Выпадение 6 очков па одной
грани при 4096 подбрасываниях 12 костей.
№

Число выпадений
6 очков
Численности случаев
0
447
1
1145
2
1181
3
796
4
380
5
115
6
24
7
и
более
8
Итого
4096
Проверить с помощью критерия %2 гипотезу правильности
костей.
495. Известно, что если имеет место гипотеза Я, то
вычисленная на основании результатов опыта величина X2 имеет
X2 распределение с / = 8 степенями свободы. Для проверки
гипотезы опыт был повторен пять раз. Отдельные повторения
опыта можно считать независимыми. Значения А'2 получились
при этом равными 11,0; 12,0; 12,5; 13,0; 11,5. Показать, что
все пять результатов, вместе взятые, не дают столь большой
уверенности в правильности гипотезы Я, как каждый из них
в отдельности.
496. Проверить гипотезу о том, что ошибки при
определении заряда электрона в опыте Милликена (см. задачу 456)
подчинялись нормальному закону.
497. Согласно закону Геллина, предложенного им в
1895 г., вероятности рождения двоен, троен и четверней есть
соответственно р, р2, р3, где р — число постоянное для данной
группы населения. На основании приведенных ниже данных
проверить, выполняется ли закон Геллина для многоплодных
рождений среди японцев и белого населения США. В
таблице v4- частота рождений с i детьми за наблюдаемый период.
Годы
1922—1936
1926—1931
Население
белые
США
японцы
Число
рождений
27 939 615
1 226106
v2
0,01129
0,00697
v3
0,0001088
0,0000473
v4
0,00000177
498. Ниже даются числа красных кровяных шариков з
169 отделениях гемацитометра, наблюденные И. Хольмбер-
гом. С помощью критерия %2 проверить гипотезу о том, что
распределение числа красных кровяных шариков подчиняется
закону Пуассона. Для сокращения выкладок указаны также
пр t.
9 Л. Д. Мешалкин
129

1
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Число ^отделений с
с кровяными
частицами
1
3
5
8
13
14
15
15
21
пр{
15,8
J
11,4
15,1
18,0
19,5
19,3
1
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Число v.отделений с
i кровяными
частицами
18
17
16
9
6
3
2
2
1
"Pi
17,7
15,1
12,0
8,9
^
| 16,3
)
499. При переписи населения Англии и Уэльса в 1901 г.
было зарегистрировано (с точностью до тысячи) 15 729 000
мужчин и 16 799 000 женщин; 3497 мужчин и 3072 женщин
были зарегистрированы как глухонемые от рождения.
Проверить гипотезу о том, что глухонемота не связана с полом.
500. В статье, трактующей о взаимосвязи между
односторонним развитием глаз (измеренным по астигматизму,
остроте зрения и т. д.) и односторонним развитием рук, были
приведены следующие данные.
Односторонность в развитии рук,
по испытанию в поднимании тяжести
Глазная односторонность, по общему
астигматизму
лево-
глазые
34
27
57
118
обое-
глазые
62
28
105
195
право-
глазые
28
20
52
100
итого
124
75
214
413
Лепорукие (левши)
Обоерукие . . .
Праворукие . . .
Итого
Можно ли на основании этих данных сделать вывод о
том, что одностороннее развитие рук не зависит от
одностороннего развития глаз?

ОТВЕТЫ
I
1. 1. Выбран юноша, который не живет в общежитии и не
курит;
2. Когда все юноши живут в общежитии и не курят;
3. Когда курящие живут только в общежитии;
4. Когда ни одна девушка не курит, а все юноши курят.
Нет, так как могут курить и девушки.
9. 1) В4,2 = ЛЛДЛ + ЛДЛЛ + лДДа +
"г A^A^A^Ai ~г А^А^А^А^ -г АуА^А^А^,
2) при бесконечном повторении эксперимента 21
событие А осуществится не более т раз;
3) справедливы.
17. 10%.
21. 108.
23. Р(Ло5) = 2г — р — q;
Р(АВ)^г — д; Р(А-В) = 1—г.
27. Пространство элементарных исходов состоит из
последовательностей: гг; рр; грр; ргг; гргг; ргрр;...
а) т?; б)т-
29. 3!2!2!
J0!
9* 1Я1

31. 0,096.
33. 1 А- 2 С}(С1з),С?з + ^[с!з-С?3]2
°52 с52
3. для нахождения п надо решить уравнение
Г" 2
35.
2(k — \)(n — k)
п(п — 1)
,k
37. \~.-^Ч
39.
Г&Т 92'' пГ^г~^ 92^—2 /"^ Г'2Г' ¦* 92''—4
41- а) —-5Г—; б) -^ , в) -^ .
и2я и2и и2ге
43. Рассмотрим блуждание по двумерной целочисленной
решетке точки ?(/), определенной следующим образом:
|@) = @,0), l(l) = (M(l), N(l)) для 0<1<т~п. Очевидно,
что все траектории точки ?, ведущие из точки @, 0) в точку
(т, п), равновероятны. Общее число таких траекторий Ст+п-
Обозначим через z число траекторий, идущих из @,0) в
(т, п) и имеющих хотя бы одну общую точку с прямой
г
х = у, отличную от @,0). Тогда Р=1 — ~ . Для того чтобы
найти z, заметим, что между множеством траекторий,
идущих из A,0) в (т,п), и множеством траекторий, идущих из
@, 1) в (т,п) и имеющих хотя бы одну общую точку с
прямой х=у, можно установить взаимнооднозначное
соответствие. Для этого достаточно сопоставить каждой траектории,
выходящей из A,0), ту траекторию, выходящую из @,1),
которая получается из первой при зеркальном отражении
относительно прямой х=у отрезка первой траектории от
точки A,0) до первой точки, общей с прямой х=у. Теперь z
найти легко.
2 = 2C2+m_j. Ответ: Р
n-t т
132

45. а)
б)
47. Р.
1 = 2"-я! .
1-3-5... Bл— 1) ~ Bл)! '
я! я! 2"
1-3-5. .. Bл —1) Bя —1)!! CJ,
4-л
wi VI ^ft nfe /3—А—2л
ь4 Jj W- я ' * ' и44
? = 0
/МЗ
и52
49, 51. Решение этих задач опирается на следующую
лемму. Всего существует Сп+Г-\ различных способов
размещения г неразличимых объектов по п ячейкам.
Доказательство. Представим себе ячейки как
промежутки между (гс+1) черточками, а за объекты возьмем
буквы А. Символ |/4/4||/4 Ц|у4у4у4у4| будет обозначать, что
всего имеется 6 ячеек и 7 объектов, при этом в 1-й ячейке —
2 объекта, в 3-й ячейке — 1 объект, в 6-й ячейке — 4,
ячейки 2, 4, 5 — пустые. Распределение объектов по ячейкам
фиксировано, как только указаны места, на которых стоят буквы.
Буквы же могут стоять на (п-\-г—1) местах, поэтому число
различных размещений совпадает с
Cn+r—i' 49. Сп+г— и 51. 1:Сл+г—1-
55. n-kCn\Crh— С\(г — 1)* + С* {г — 2)* — ...
,/•—i
...—(— ly-'CT ¦!*]
д)
57.
59.
для
61.
¦> (т)"
а) 1-A-
•<Ь
а)-(«-
;б) ¦
-гJ;
2г2;
-2гJ
2а
я
б) гA — In г); в) 1 —A —г)а; г) 22;
для г> -1-, 1 — 2A -z)\
<ц 1-4ф
63. Для 0 < х < Л и arctg — < у < arctg —
Р{/г<х, а<г/}= J-B/ — хctgг/).
Ы
133

ДляО<*<& и 0<«/<arctg^-;
к
II
71
11*
73.
75.
77.
79.
81.
83.
85.
87.
20 19 18
25 ' 24 ' 23
Р«(В/Л) = 0,39; Р (В/Л) =
•-(*)'•
20
21
11
17
О
Ч
Зависимы.
При р = —
?=±<Р(Л/В)<-?--
= 0,10
1—8 1-е
89. Пусть ?, т\, ? определены так же, как в задаче 85,
пусть р = — , тогда события Л = {| = 0}, В = {л = 0}, С
= {? = 0} попарно независимы. С другой стороны, ABdC
следовательно, А, В, С зависимы в совокупности.
91. *= — .
2
93. Pk = 2~fe. В 2 раза.
з
95. 2~5 V Cf
&
134

97.a)P„ = cS.(-Ly.-l=-i.,
6) P3,4+P4,4 = -^;
16
Pb,8 + Рб,8 + ^7,8 + P8,8 = (Cl + Cl -|- & -b Cg) 2^ = -^ > ± •
256 16
в) ? P** --- A + C>„ -f • • • + Cln) 2" >
>A + C\n Л- ¦ ¦ ¦ + CV) 2-2" = (C2nn+1 + ...-!-CfnJ-«« =
2rt
= J] *W,
k--n-\-\
г) равновероятно.
з
101. C?0@,3K-@,7O; ?C?0@,3)*.@,7I(>-*.
103. Второй игрок должен называть нуль с вероятностью 1.
Вероятность того, что между двумя последовательными
неудачами будет k отгадываний, равняется 2-*-1.
105. 1. — ;
я
2 10м Л1УЛ_ЛУ
4!3! 1! 1! 1! ' V я ) \ п ) '
107. РА = 0,8-0,4-0,4-!-0,8-0,6-0,4 + 0,8-0,4-0,6 +
+ 0,2• 0,4-0,4 = 0,544 > —.
109. Р{Л,} = A-#; A-<?)<<?.
113. — .
2
115. а) —;
б) 31п2 —2 = 0,082
135

117. e~xt.
119. Для 0<x<k-—Lp{ft<jc/a<—1 =
у 3 v 6 '
.21. 1.A--;-); 2.e 3 .
123. 0,52.
125. Безразлично.
127. \-(l-p(l-q))n.
135. a) l-fl(l-ft); б)ПA-Р;); в)^р,П0-Ру).
137. Надо воспользоваться формулой задачи 136,а
' P.-1--L+-L-...±J-;
" 2! 3! п\
lim Р„ = 1 -.
139. Общее число членов разложения определителя п-го
порядка равно п\. Число членов, содержащих заданный
элемент, равно {п—1)!. Число членов, содержащих два заданных
элемента, равно (п—2)! и т. д.
Откуда
Р_ = 1 — — + -1 - + ...+ (— 1)" — lim Р„ = е~К
п 1! 2! 3! п\
141. е-Ч
143. p'r (t) = - Ьгр, (/) + а (г ~ 1) pr_, (t).
145. —-±— .
147. р = 21.
136

Ill
149. Пусть s — продолжительность игры, тогда
p{l = k} = 2'k и М^ = 2.
151. 10.
153. 3,5я; — -17,5га; 0.
6
155. ^8,50; —.
24
157. Хр.
159. Пусть S — площадь круга, a d — его диаметр. Для
< * < —— ; Р {5 < л:}
4 4 Ь—а
V IT"",
М5-=мГ— d2) =- — M(d2) = — (Ь2-Ь afc-f а2).
V 4 У 4 V ; 12 V '
DS = D (—d2^ = --' D (d2) = — (M (d4) — (MdJ) =
\ 4 у 16 16
= -^- (b — aJ Dfc2 -f 7ай + 4a2).
720
161. —!— A —е-ьоэб)-^ 222 (дня).
0,003
167. МFл) = 1; D(|r|)--f •
169. №? = ]? Мл, = 2/г/х7;
v-i
re re—I
D? = ? Dti, + 2 ^ cov (T|t, tij+1) = n2pq(l - 2pq) +
i-l i-l
+ (n-\Jpq(p-q)\
RCl+l 1
173. a) 1; 6) —5 ; в) —.
' Г(а+1) ' л
183. 1. Пусть ?i = а? -|- рту, ?2 = «5 — Рч.
137

D^ = D?2 = (a2 + p») a2; p (?lf ?,) = a2 -p2;
p. . (x, y) = X
rS..?2 ^ 2яаа (a" + P») A — p«)
) ( CXp { (jr ~(a + P) ДJ ~ 2P (^ ~ (« + P) Д) (У - (a - P) a) + (у -(a- Р)а)^ ¦
187. Для x<^0 это следует из неравенств
—сю оо
— х= J («/-^)^(«/)<j(y-x)dF(«/)
— 30 JC
X XX
<A-F(X))((T2 + X2).
Для л:>0 доказательство аналогично.
h
Ш.± §F(x-y)dy.
-h
197. а) С = —; б) та же, что и у ?; в) —
Я 4
199. а) Для х>0 '/%(*) = ¦
A + *)i
б)дляО<*<1 pt(Jc) = -i-;
для х > 1 Ре W =
в) ft м = •
' ^ w Я A + **)
203. а) ty (х) — функция обратная к
^-wM-f}""-
207. P{v(x) =k} = CnFk (x) A — F {x))n~k.
209. k взвешиваний, где k определяется из условия 3ft_1<^
<rc<3fe; log2 3 дв. ед.
138

213. н giggp±_o -P)iog(i -p) . при уменьшении p от
p
1 до 0 энтропия монотонно возрастает от 0 до оо.
219. IYz (Х) = —plogp-A-р) log(l-p)-f-
+ РЬ? log ^ +
+ (i-p)(i-a)Mog Аа^~р)(!~б^ +
рД2 + A — р)A —ОJ
+ 2pA(l~A)log Л^1AГА1П „. +
рДA — Д) + A — р)A — о)б
+ 2(l-p)(l-o)olog- A-р)A-б)_5
^ v wv ' ё рЛA-Д) + A_р)бA-б) ^
^ИУ В рA_ДJ+A-рN2 ^
+ A-р) в» log ^=^ -;
^ ^ рA_дJ + A_р)б2
/yz (X) = 0,2234 дв. ед.
IV
223. Пусть S — число мальчиков среди новорожденных.
Надо найти вероятность того, что 5<5000. Поскольку
MS = 5150, a DS^2500, то искомая вероятность равняется
ф(—3) =0,0013.
225. h= '359 671 =0,5141;
1285 086 + 1359671
„,,/lii^^/X =0,0003.
С гипотезой 0,5 несовместимы, с гипотезой 0,515 совместимы.
227. Применить пуассоновское приближение. 0,93803;
0,99983; 0,16062.
229. Применить распределение Пуассона. 0,00016.
231. 1.-^6. «0,249;
34 153
139

ay ~
0,249 + al/ v'249'0'751 =0,245, a = — 1,71;
17 34 153
0,249 + p l/0'249'0'751 = 0,255, p % 2,56;
V 34 153
P@,245<p< 0,255)%ФB,56) — Ф(— 1,71)%0,951;
2. 1— Ф @,401) -;-Ф(— 0,401)% 0,688;
3. Ф / --'01_!^L- \ > 0,995. Достаточно взять n > 12500.
233. —-; вероятность получить худшее по абсолютной
величине совпадение числа отгадываний с 50 около 0,05.
Результат можно приписать чисто случайному совпадению.
235. е~* < 0,01; х>5.
237. е-*(\ +х- — + —")<0,01; п =* х-10.000%; 107.000.
241. Обозначим ?, (? = 1, 2, 3) число неисправных деталей
в ?-той группе. Из условия задачи следует, что ?, имеют
приближенно распределение Пуассона с параметрами %1 = 0,3;
Х.2 = 0,4; %s = 0,7. Число неисправных деталей в машине
\ = 1х + ^2 + ?з также имеет распределение Пуассона с
параметром X. = 1,4
Р{?>2}= 1 — е—*¦ A +Ь)= 0,408.
243. Если игрок записал & номеров, то вероятность pk, что
все записанные им номера будут находиться среди пяти вышед-
r5 -k
ших в тираж, равна pk = ¦—т=— ;
_ J_ _ _2_ _ 1_ _ 1
Pl_18' Ра~80Г Рз~ 11748' Pi== 511038 '
= 1
Pi ~ 43 949 268
Обозначим среднее значение выигрыша игрока,
записавшего k номеров, через Ek; если ставка равна а рублей, то
Е, = 15а а-1 = а, Е« = а% — -—а и т. д.
1 18 6 2 89 3
140

Так как все Ek <0, то, очевидно, лотерея представляла
игру, невыгодную при записи любого числа номеров.
Вероятность того, что число выигравших среди записавших три
номера будет более 10, равна ^0,24.
| х — 35001
261.
1000--—-17,5
< 1,96; |* —3500 |< 106.
263. ^_0,866-10-т+2
265. %0,24; ^3840.
267. а) нет; б) ЗБЧ да, ЦПТ нет; 6) ЗБЧ нет; ЦПТ да.
271. 0,08; 0,0013; 0,85.
273. М/Л. = /; D/дг <
4а»
N
нормальное с параметрами @,о),
где а
¦2 _
{f{x)-I)*dV.
275. Величины
xl—n
j/2n
277. Нормальное [0,1].
и хп асимптотически нормальны @,1).
279. Пусть Tjj — число людей, прошедших мимо продавца за
время от продажи (t — 1)-й газет до времени продажи i-той
газеты; т)(-(i = 1, 2, .. . ,п) независимы и одинаково распределены
I = 2т]г. Применяем ЦПТ. М? = 300, D? = 100, Di\ = 900.
Величина -2-Ш асимптотически нормальна [0,1].
281. a) cos^= JL e»«-i) + J_ effti). Следовательно,
F(x) =
0
о
1
6) COS2/ = — e"<-J> + — + — 6'
4 2 4
Х< — 1
-1<*<1
*>1
42-
141

F(x)
I 0
_l_
4
_3_
4
1
*<—2
— 2<*<0
0<x<2
2<x
в) ?aftcos& = "f 1У~Ш+ тХУ
Ш
Дискретное распределение, со скачками — ak в точках ± &.
» 2
283. а) — A + 2J = — + — г + — z\
4 V 4 2 4
Дискретное распределение, со скачками в точках 0; 1; 2; соот-
1 1 1
ветственно равными —; — ; —;
2 \ 2 ) 2 4 8
Дискретное распределение. Значение k > 0 принимается с
вероятностью 2~k~1;
в) распределение Пуассона с параметром X;
г) биномиальное распределение с вероятностью успехар=—.
285. фB)
Pd-P)z2
М/„
287. ф B) =
A-/к)A-A-р)г)
1-ЗрA-р)
М?/„ =
1
РA-Р)
Р2A-РJ
¦рг
Рг.& = A-р)ЛР^+,_1.
291. 1. Пусть р(х)— плотность. Для любого е>0 можно
найти ступенчатую функцию ф(л:), имеющую конечное число*
скачков, такую, что J \р(х) — ср (х) [ dx <С е. Интеграл J etxq (х)
Ьи
можно представить в виде конечной суммы вида V Си Г e~ltx dx.
аи
Каждое слагаемое этой суммы стремится при t -> со к нулю.
Следовательно, найдется Т, такое, что для \t\~^>T.
| J ё**р (х) dx | < 2е.
142

I 1 w
293. a) J- Г / @ е-»* Л = — Г Л Г <*<»-*> dF (у) =
_Г —Г —оо
оо h h ее
Для любого h второй и третий интегралы при Т ->оо
стремятся к нулю. Если /г выбрано достаточно малым, то предел
при Т ->оо первого интеграла будет как угодно мало
отличаться от скачка функции F в точке х.
б) Для доказательства достаточно заметить, что предел
интеграла слева равен согласно пункту «а» скачку в нуле
функции распределения F*(x) = F(x) *[1—F(—х-\-0)] и
подсчитать величину этого скачка.
295. Устойчивыми будут случаи «а», «г», «е».
\l-j-a/ \ 1-i-а у а а \ a J
305. ЗБЧ применим при а < —¦. ЦПТ при всех значениях а,
323. (l+yx)(l+yx*)...(l+yxfl); А.
2"
325.
(я+ 1I
VI
333. Ak = (f\fr: ?„< k\)\( [И*: ?„ < А - 1 V
Для доказательства того, что 2Р(Лм) = 1, применить лемму
Бореля — Кантелли.
353. Последовательность \п можно построить так, чтобы при
с* < п2 выполнялись условия
P{5„ = «} = P{l„ = -«} = -g-;
р{5и = о>-1—5-,
а при <^;>га2— условия
1
2 =РЙя = ая} = Р{511 = -ая}.
143

Затем к со-множествам {со: 6„ (со) > п) применить лемму
Бореля — Кантелли.
п
355. Из того, что последовательность |— \ \Х с вероят-
1 сходится к нулю, следует, что ряд \ ~rpz сходится.
ностью
л-1
Величины —щг ^С^00. следовательно, согласно теореме о
! п
3 рядах схрдится и ряд N —^ .
365.
М F/91)
Р(Л)
f6((o)P(dco) для (о ? Л;
Р(Л)
6 (со) Р (dco) для со ? Л;
М(ив(со)/31) =Р (В/91);
Р (В/91) =
[-^- для со (Л;
1 Р(Л) ч
Р(ВЛ)
для со ( Л.
367. а) Для любого Л ? 91 в силу 6 > г\
Г М F/9i) Р (dto) = Г 6 Р (с/со) > Г т]Р (dto) = С М {ц/Щ Р (Ло).
А Л А Л
Положим
Ап = {со : М F/91) <М (л/31) - -L}.
Очевидно
Л„ ( 91 и f MF/9i)P(rfco)< f М (т|/91) Р (dco) - — Р (Ап).
Следовательно, Р (Л„) = 0. Но
А = | М F/91) < М (л/91) | CZ у Ап.
144

Откуда и следует Р{А) = 0.
в) Из соотношений 0 ¦< ?х <...•< \п ¦<... согласно «а»
вытекает, что 0< М (li/91) < ...- < М (|„/31) < Для почти всех со
существует при га—>оо предел M(|„/9J), возможно и
бесконечный, обозначим его ср(со). Но так как предел интеграла Лебега
от монотонной последовательности функций равен интегралу от
предельной функции, то для любого А ? 91
im Г М Aп/Щ Р [du>) = Гф(со) du>.
п-юо
А А
С другой стороны, согласно определению условного
математического ожидания
ln(®)d& = JM(S„/3t)dco,
А А
переходя к пределу, получаем
f Ф (со) Р (dco) = lim f ln (to) Р (dw) = f lim ln (to) P (da) =
-j4(co)P(dco).
Откуда следует, что ф(ш) = M (?/21).
1
369. F(p) = Jr/(p, r)dr, где
о
( р2 если 0 < р < 1 — г;
/.(Р>г)= Р2 — 5X + S2 если 1—r<p< 1+г;
{ 1 если 1 -|- г < р;
Sl = ii (JL _ *™\ a = 2Л8О-arccos(J^t^iLlV,
S.-.l-fJ—i!!liV p = 2arccosA+'-2-p2\.
2 V180 rt У I 2r J
371. Положим xx —рсозфх; xa = рэтф^оэфа;
x3 = p sin фх sin ф2 cos ф8;. ..; xn_x = p sin фх . .. sin ф„_2 cos ф„_х
10 Л. Д. Мешалкин 145

psin фх ... sin ф„_х и пусть
2л
г = р"-1 j sin" ф1 Жрх J sin»-392 dq>,... j sin Ф„_2 с/ф„_2 j Л dq>n_lt
0 0 0 0
тогда условная плотность есть hz*1, условное математическое
ожидание
л л 2д
обо
VII
373. f(t) = ea, где а—произвольная постоянная. Будет.
393. Нет.
403. Плотность р (х, у) должна зависеть лишь от х2 + уа.
405. Это будет вектор с координатами ci%/ = V pi,kbk.
409. —-L<C<1.
h-\
4П. P(l, -П)
C2 — g2 __ |
2ab
VIII
415. Все состояния существенные. Из 2-го состояния в 3-е
можно пройти за 2 шага.
р« =
' 13
36 '
5
12 '
5
'24 '
1
1
13
36 '
5
12 '
II
24 '
1
1
Т'
1
9 '
1
6 '
1
12 '
0,
I
6
0
I
4
1
1
4
419. Pi = || Р,/II. гдер„
0 /<
Р /--
г / =
, 0 j>
— 1
-f 1,
+ 1:
146

где
421. Нет.
423. Нет.
Ра = Р2=||
Р® =
0
Р2
2рд
q* + 2рг
2rq
rz
, о
Pfjh
/<<
/ = *'
/ = »
/ = '
/ = i
/ = »
/>
-2,
-2,
-1,
>
+ 1,
+ 2>
г+ 2.
425. a) V Cfk exp{— a 1i — k \ — a | k — /|};
1 _e-a
б)С'Д1+,-«-,-^'
431,
Р1(п) = ар<$ + Щ?=-- +
P2 (n) = apf2) + p>!
,(л)
22

fate-
-P)(P-
2
-P)fp-
-9)"
-<?)"
435.
Pa = — •
F2 2
a, =
IX
457. jc= 1502,5; S2^40 720.
459. M, = 31,5645; M2=31,476; M3=30,995;: of'-17,1888;
2 2
02 =16,071; аз =16,5930. При случайном распределении »
каждом миллионе вероятности встретить простое число pas-
Mi
ны соответственно: pi=—i =0,063129; p2=0j062952 ; _р3 =
500
10»
147

= 0,06199. Таким образом, например, для 10-го миллиона
дисперсия, соответствующая схеме Бернулли, была бы
«РзО ~Рз) = 500• р3A—Рз)=29,073 вместо наблюдаемой
16,5930. (Схема с невозвращаемыми шарами дает 29,015).
461. р= —= 0,65.
п
468. 1) и = 0,0009. Кривая II типа:
—"Ч'-Ы»-1)'}"
2) х = 0,000. Кривая нормальная:
у = 54,545-е- о,юз8(дг-6.967)».
3) х = 0,011. Кривая II типа: у = 19,10 х
469. т1 = 0,087; а = 2,203; ji, = 0,605; ji§ = 0,366;
Hi = 2,968; S = 8,272; x = — 0,260. Кривая I типа.
i/= 179,43 (l + -^-Y'25Yl * \6'oie
3,017^ V 12,043
471. n=l0.
473. Сплав, приготовляемый на втором заводе, иной
марки, чем сплав четырех остальных. Результат получается
путем применения правила За.
475. Отношение величины расхождения к его среднему
¦квадратическому отклонению ^0,06, близко к 3. Вероятность
получить такой результат при равных средних мала. Наблю-
-дения говорят о влиянии условий жизни на организм.
477. Принимая среднюю ошибку при определении
дисперсии, оцениваемой на основании серии п наблюдений, равной
о
7=", найдем, что вероятность получившегося или большего
у 2л
расхождения для длины черепа имеет величину «=*0,23 и для
ширины М),14.
479. Воспользуемся нормальным приближением закона
Пуассона. ст= l/To«9, а(п) ^56, а 6 (п) «Л 0,4.
481. / = 2,3; число степеней свободы 3. Р{| <|>2.3} = 8%.
Различие не может быть признано значимым.
148

483. а) Число степеней свободы 9; /=3,2 и Р{|/|>3,2}^1%,
Следует признать, что применение специальной машины
увеличивает урожай.
б) Этот метод методически не правилен, так как при
большом разбросе урожайности между участками,
обрабатываемыми одной машиной, эффект повышения урожайности
из-за применения специальной машины может быть не
обнаружен.
485. Можно. Отличие весьма значимо.
487. г = 0,67. Связь весьма значима.
489. Отличие весьма значимо.
491. Применяем критерий %2 с 9 степенями свободы. При
идеальных условиях вероятность получить худший результат
равна 0,17.
493. При проверке с помощью критерия %2, объединяя
л:<20 и х>42, получаем, что вероятность получить худшее
совпадение не менее 0,8.
495. Рассуждение основано на том, что сумма
независимых случайных величин, имеющих х2~РаспРеДеление' также
имеет х2-распределение с числом степеней свободы, равным
сумме чисел степеней свободы слагаемых. Отсюда получаем
Р{Х|>13}«0.11;
Р\1\й> 60} = 0,025.
497. Расхождение весьма значимо.
499. Гипотеза об отсутствии связи между полом и
глухонемотой не подтверждается.

Приложение Таблица 1
Функция нормальною распределения Ф (/) — —zzr \ е их
У'2л J
—во
t
-0,0
-0,1
-0,2
—0,3
—0,4
—0,5
—0,6
—0,7
—0,8
—0,9
-1,0
-1,1
-1,2
-1,3
-1,4
-1,5
0
0,5000
,4602
,4207
,3821
,3446
,3085
,2743
,2420
,2119
,1841
,1587
,1357
,1151
,0968
,0808
,0668
1
0,4960
,4562
,4168
,3783
,3409
,3050
,2709
,2389
,2090
,1814
,1562
,1335
,1131
,0951
,0793
,0655
2
0,4920
,4522
,4129
,3745
,3372
,3015
,2676
,2358
,2061
,1788
,1539
,1314
,1112
,0934
,0778
,0643
3
0,4880
,4483
,4090
,3707
¦3336
,2981
,2643
,2327
,2033
,1762
,1515
,1292
,1093
,0918
,0764
,0630
4
0,4840
,4443
,4052
,3669
,3300
,2946
,2611
,2297
,2005
,1736
,1492
,1271
,1075
,0901
,0749
,0618
5
0,4801
,4404
,4013
,3632
,3264
,2912
,2578
,2266
,1977
,1711
,1469
,1251
,1056
,0885
,0735
,0606
6
0,4761
,4364
,3974
,3594
,3228
,2877
,2546
,2236
,1949
,1685
,1446
,1230
,1038
,0869
,0721
,0594
7
0,4721
,4325
,3936
,3557
,3192
,2843
,2514
,2206
,1922
,1660
,1423
,1210
,1020
,0853
,0708
,0582
8
0,4681
,4286
,3897
,3520
,3156
,2810
,2483
,2177
,1894
,1635
,1401
,1190
,1003
,0838
,0694
,0571
9
0,4641
,4247
,3859
,3483
,3121
,2776
,2451
,2148
,1867
,1611
,1379
,1170
,0985
,0823
,0681
,0559

Продолжение табл. 1
t
—1,6
—1,7
—1,8
—1,9
—2,0
-2,1
—2,2
—2,3
—2,4
—2,5
—2,6
—2,7
—2,8
—2,9
Ф (<)=-
0
0,0548
,0446
,0359
,0288
,0228
,0179
,0139
,0107
,0082
,0062
,0047
,0035
,0026
,0019
3,0
0,0013
1
0,0537
,0436
,0351
,0281
,0222
,0174
,0136
,0104
,0080
,0060
,0045
,0034
,0025
,0018
—3,1
0,0010
2
0,0526
1 ,0427
,0344
,0274
,0217
,0170
,0132
,0102
,0078
,0059
,0044
,0033
,0024
,0018
—3,2
0,0007
3
0,0516
,0418
,0336
,0268
,0212
,0166
,0129
,0099
,0075
,0057
,0043
,0032
,0023
0017
—3,3
0,0005
4 5
0,0505
,0409
,0329
,0262
,0207
,0162
,0125
,0096
,0073
,0055
,0041
,0031
,0023
,0016
—3,4
0,0003
0,0495
,0401 '
,0322
,0256
,0202
,0158
,0122
,0094
,0071
,0054
,0040
,0030
,0022
,0016
-3,5
0,0002
6
0,0485
,0392
,0314
,0250
,0197
,0154
,0119
,0091
,0069
,0052
,0039
,0029
,0021
,0015
—3,6
0,0002
7
0,0475
,0384
,0307
,0244
,0192
,0150
,0116
,0089
,0068
,0051
,0038
,0028
,0021
—3,7
0,0001
8
0,0465
,0375
,0301
,0239
,0188
,0146
,0113
,0087
,0066
,0049
,0037
,0027
,0020
—3,8
0,0001
9
0,0455
,0367
,0294
,0233
,0183
,0143
,0110
,0084
,0064
,0048
,0036
,0026
,0019
—3,9
0,0000

Таблица 2
Критерий Стьюдента. Доверительные границы для t с / степенями свободы
f
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
t
/
Двусторонние границы
5%
12,710
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,201
2,179
2,160
2,145
2,131
2,120
2,110
2,101
2,093
2,5%
2%
31,820
6,965
4,541
3,747
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,718
2,681
2,650
2,624
2,602
2,583
2,567
2,552
2,539
1%
Односторон
'%
63,660
9,925
5,841
4,604
4,032
3,707
3,499
3,355
3,250
3,169
3,106
3,055
3,012
2,977
2,947
2,921
2,898
2,878
2,861
0,5%
пне границы
0,1%
636,600
31,600
12,920
8,610
6,869
5,959
5,408
5,041
4,781
4,587
4,437
4,318
4,221
4,140
4,073
4,015
3,965
3,922
3,883
0,05%
f
1
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
80
100
200
500
t
/
5%
2,086
2,080
2,074
2,069
2,064
2,060
2,056
2,052
2,048
2,045
2,042
2,021
2,009
2,000
1,990
1,984
1,972
1,965
1,960
2,5%
Двусторонние границы
2%
2,528
2,518
2,508
2,500
2,492
2,485
2,479
2,473
2,467
2,462
2,457
2,423
2,403
2,390
2,374
2,365
2,345
2,334
2,326
1%
1%
2,845
2,831
2,819
2,807
2,797
2,787
2,779
2,771
2,763
2,756
2,750
2,704
2,678
2,660
2,639
2,626
2,601
2,586
2,576
0,5»/о
Односторонние границы
0.1%
3,850
3,819
3,792
3,767
3,745
3,725
3,707
3,690
3,674
3,659
3,646
3,551
3,495
3,460
3,415
3,389
3,339
3,310
3,291
0,05%

Таблица 3
Распределение Пуассона. Функция 2i~~7 е
К X
X
0
1
2
3
4
5
0,1
1,000000
,095163
,004679
,000155
0,2
1,000000
,181269
,017523
,001149
,000057
0,3
1,000000
,259182
,036936
,003600
,000266
o,t
1,000000
,329680
,061552
,007926
,000776
0,5
1,000000
,393469
,090204
,014388
,001752
,000172
*
0
1
2
3
4
5
6
0,6
1,000000
,451188
,121901
,023155
,003358
,000394
0,7
1,000000
,503415
,155805
,034142
,005753
,000786
0,8
1,000000
,550671
,191208
,047423
,009080
,001411
,000184
_J-
0,9
1,000000
,593430
,227518
,062857
,013459
,002344
,000343
1.0
1,000000
,632121
,264241
,080301
,018988
,003660
,000594

Продолжение гйабл. 3
ЯЬх „_: -' ' — —— . : ' " ~ '
Л
ж
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1,2
1,000000
,698806
,337373
,120513
,033769
,007746
,001500
,000251
1,4
1,000000
,753403
,408167
,166502
,053725
,014253
,003201
,000622
1,6
1,000000
,798103
,475069
,216642
,078813
,023682
,006040
,001336
,000260
1,8
1,000000
,834701
,537163
,269379
,108708
,036407
,010378
,002569
,000562
2,0
1,000000
,864665
,593994
, 323324
,142877
,052653
,016564
,004534
,001097
,000237
X
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2,2
1,000000
,889197
,645430
,377286
,180648
,072496
,024910
,007461
,001978
,000470
2,1
1,00000
,909282
,691559
,430291
,221227
,085869
,035673
,011594
,003339
,000862
2,6
1,000000
,925726
,732615
,481570
,263998
,122577
,049037
,017170
,005334
,001487
2,8
1,000000
,939190
,768922
,530546
,303063
,152324
,065110
,024411
,008131
,002433
3,0
1,000000
,950213
,800852
,576810
,352768
,184737
,083918
,033509
,011905
,003803
4,0
1,000000
,981684
,908422
,761897
,566530
,371163
,214870
,110674
,051134
,021363

Продолжение табл. 3
к
X
10
11
12
2,2
2,1
2,6 2,8
0,000376
0,000660
3,0
4,0
0,001102 1 0,008132
,000292 ,002840
I ,000915
X
5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1,000000
,993262
,959572
,875348
,734974
,559507
,384039
,237817
,133372
,068094
,031828
,013695
,005453
,002019
,000698
1,000000
,997521
,982649
,938031
,848796
,714943
,554320
,393697
,256020
,152763
,083924
,042621
,020092
,008827
,003628
,001400
,000509
1,000000
,999088
,922705
,970364
,918235
,827008
,299292
,550289
,401286
,270909
,169504
,098521
,053350
,027000
,012811
,005717
,002407
,000958
1,000000
,999665
,996981
,986246
,957620
,900368
,808764
,686626
,547039
,407453
,283376
,184114
,111924
,063797
,034181
,017257
,008231
,003718
,001594
,000650
1,000000
,999877
,998766
,993768
,978774
,945036
,884309
,793219
,676103
,544347
,412592
,294012
,196662
,124227
,073851
,041466
,022036
,011106
,005320
,002426
,001056
,000439
1,000000
,999955
,999501
,997231
,989664
,970747
,932914
,869859
,779779
,667180
,542070
,416960
,303224
,208444
,135536
,083459
,048740
,027042
,014278
,007187
,003454
,001588
,000700

Таблица 4
Доверительные границы для %2 с / степенями свободы
f
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
5%
3,84
5,99
7,81
9,49
11,1
12,6
15,3
16,9
18,3
19,7
21,0
22,4
23,7
25,0
26,3
27,6
1%
6,63
9,21
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
24,7
26,2
27,7
29,1
30,6
32,0
33,4
0.1%
10,8
13,8
16,3
18,5
20,5
22,5
24,3
26,1
27,9
29,6
31,3
32,9
34,5
36,1
37,7
39,3
40,8
f
18
1 19
1 20
i 21
22
23
. 24
1 25
i 30
1 35
1 40
1 45
. 50
1 55
: 60
1 65
70
i
5%
28,9
30,1
31,4
32,7
33,9
35,2
36,4
37,7
43,8
49,8
55,8
61,7
67,5
73,3
79,1
84,8
90,5
1%
34,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
44,3
50,9
57,3
63,7
70,0
76,2
82,3
88,4
94,4
100,4
0.1%
42,3
43,8
45,3
46,8
48,3
49,7
51,2
52,6
59,7
66,6
73,4
80,1
86,7
93,2
99,6
106,0
112,3

Лев Дмитриевич Мешалкнн
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Редактор Ч. И. Дозорцева
Технич. редактор М. С. Ермаков
Корректоры Л. С. Гршшхева, М. И. Эльмус
Сдано в набор 26/1V 1963 г.
Подписано к печати 23/ХП 1963 г.
Л-32246 Формат 60X90/ie Печ. л. 10,0
Уч.-изд. л. 8,43 Изд. № 350 Заказ 535
Тираж 33 000 экз. Цена 45 коп.
Издательство Московского университета
Москва, Ленгоры, Административный корпус
Тип. Изд-ва МГУ. Москва, Ленгоры