ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Развитие математики за последние 10—20 лет, в осо-
особенности бурный рост вычислительной техники, привел
не только к расширению приложений этой науки, но и
к перестройке ее содержания. Одной из основных черт
этой перестройки является рост роли так называемой
конечной математики, в частности, одной из важнейших
ее частей—комбинаторных методов.
Комбинаторные идеи и методы всегда были тесно свя-
связаны с практическими задачами. Эта связь отчетливо вы-
выражена в большинстве книг и статей, посвящаемых ком-
комбинаторике. В качестве примера можно указать книгу
Риордана „Введение в комбинаторный анализ" (ИЛ, 1963),
а также выпущенный в конце 1964 г. Калифорнийским
университетом (США) сборник „Applied combinatorial
mathematics".
Теоретические основы комбинаторной математики, од-
однако, развиты еще недостаточно и сильно отстают от
требований практики. Значение предлагаемой вниманию
читателей книги Райзера состоит прежде всего в том,
что в ней рассматриваются теоретические проблемы ком-
комбинаторики. Книгу выгодно отличают общность исходных
теоретических позиций, органическое единство в изложе-
изложении материала, строгость математических суждений и
доказательств.
Хотя автор и предуведомляет читателя, что от него
не потребуется специальной подготовки в области комби-
комбинаторной математики, его книгу нельзя назвать элемен-
элементарной. Написана она сжато, для успешного ее изучения
необходим сравнительно высокий уровень математической
культуры.
20 июля 1965 г, К. А. Рыбников

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Для чтения данной монографии не требуется специаль-
специальных знаний по комбинаторной математике. В первой
главе мы рассматриваем элементарные свойства множеств
и определяем понятия перестановок, сочетаний и би-
биномиальных коэффициентов. Мы, конечно, рассматри-
рассматриваем эти понятия с современной точки зрения и с самого
начала предполагаем, что читатель сможет оценить тон-
тонкости математических рассуждений. Наиболее глубокие
исследования в области комбинаторной математики про-
проводятся в рамках современной алгебры, и поэтому мы
считаем, что читатель знаком с ее основными положе-
положениями и понятиями. Одно из центральных мест в аппа-
аппарате современной алгебры занимают матрицы, и поэтому
они не случайно используются во всех главах моногра-
монографии, являясь одновременно их связующим звеном. Сна-
Сначала это просто прямоугольные таблицы, и для понима-
понимания их не требуется специальной подготовки; затем они
начинают занимать более видное место в изложении, и мы
вводим обычные правила операций над ними. К теории
чисел мы обращаемся редко, и в большинстве случаев
для понимания происходящего вполне достаточно знаком-
знакомства с общими положениями. Представления о полях и
группах мы касаемся мимоходом и только в редких слу-
случаях выходим за рамки определения этих понятий.
Многие доказательства, приводимые нами, построены
на рассуждениях вычислительного характера, на конечной
индукции и на ряде других давно известных методов,
однако это отнюдь не означает, что комбинаторная мате-
математика очень проста. Наоборот, этот раздел математики
представляет значительные трудности как для усвоения,
так и для изложения материала. Необходимость весьма

Из предисловия азтора
вдумчивого подхода к излагаемым результатам усугуб-
усугубляется тем, что приводимые нами определения и доказа-
доказательства достаточно кратки. Но прилежание и острый ум
ведут к мастерству, а наш предмет щедро вознаграждает
тех, кто познает его тайны.
Некоторые разделы нашей науки мы излагаем очень
подробно и выходим на передний край достижений сов-
современных исследований, но нам приходится расплачиваться
за это — мы вынуждены отказаться от освещения многих
интересных проблем.
В каждой главе приводится список литературы, кото-
который может служить руководством к дальнейшим иссле-
исследованиям, однако мы далеко не претендуем на полноту
этих списков.
На страницах этой книги мы касаемся ряда важных
вопросов, на которые в настоящее время еще не найдены
ответы. Но комбинаторная математика исключительно
бурно развивается в наши дни, и мы верим, что ее важ-
важнейшие открытия еще впереди.
Я выражаю признательность математикам, которые ока-
оказали мне ту или иную помощь. Профессор М. Холл
(младший) существенно помог мне и воодушевлял меня.
Профессоры Р. П. Боас, И. Нивеи и Р. Сильвермап
внесли много поправок в изложение материала. Большую
помощь мне оказали также д-р Д. Р. Фалкерсон,
д-р К. Гольдберг, д-р А. Дж. Хоффман, проф. Э. Клейн-
фельд, Д. 3. Кнут, д-р М. Ньюман, д-р Э. Т. Паркер,
проф. Т. Радо и проф. А. У. Таккер. Профессор
Г. М. Гехман и Ф. Г. Райзер помогли мне подготовить
рукопись к печати.
Герберт Дж. Райзер
Сиракузский университет,
февраль 1963 г.

Глава 1
ОСНОВЫ КОМБИНАТОРНОЙ МАТЕМАТИКИ
1. Что такое комбинаторная математика? Комбина-
Комбинаторная математика, известная также под названием ком-
комбинаторного анализа или комбинаторики, является мате-
математической дисциплиной, возникшей в древние времена.
Согласно одной легенде, китайский император Ю (при-
(примерно 2200 г. до н. э.) наблюдал магический квадрат
 9 2"
3 5 7
1 6.
на панцире некой божественной черепахи. Некоторые на-
начальные сведения о перестановках появились в Китае еще
до 1100 г. до н. э., а Бен Эзра (примерно 1140 г. н. э.),
по-видимому, знал формулу для числа комбинаций из п
элементов по г. Многие из самых ранних работ связаны
с числовой мистикой. В течение нескольких последующих
веков различные авторы подходили к комбинаторике
с точки зрения математических развлечений. Широко
известными примерами такого рода являются: задача Баше
о взвешивании, задача Киркмана о школьницах и задача
Эйлера о 36 офицерах1). Подобные задачи представляют
интерес для упражнений интеллекта, а их решения иногда
оказываются остроумными и изящными.
Многие из задач, которые изучали в прошлом для
развлечения или в силу их эстетической привлекатель-
привлекательности, приобрели в наше время большое значение как
в теоретической, так и прикладной науке. Не так давно
конечные проективные плоскости считались комбинатор-
') См. также Кутлумуратов Дж., О развитии комби-
комбинаторных методов математики, Нукус, 1961 — Прим. перев.

10 Гл. f. Основы комбинаторной математика
ным курьезом. Сегодня же они служат исходными поня-
понятиями в основаниях геометрии, при анализе и планирова-
планировании экспериментов. Новая техника с ее жизненно важными
связями с дискретным придала развлекательной матема-
математике прошлого новые серьезные цели.
Гораздо более важным является то, что современная
эпоха характеризуется возникновением широкого круга
новых замечательных задач комбинаторики. Последние
возникли в абстрактной алгебре, топологии, основаниях
математики, теории графов, теории игр, линейном про-
программировании и во многих других областях.
Комбинаторика всегда была многосторонней. В наши
дни эта многосторонность особенно возросла. Однако
многочисленные и разнообразные задачи комбинаторики
не были успешно разработаны с позиций общей теории.
Многое из того, о чем было сказано выше, в одинаковой
степени приложимо к теории чисел, ибо комбинаторика
и теория чисел являются родственными дисциплинами:
они имеют определенные пересечения в общей системе
математических знаний, и каждая из них существенно
обогащает другую.
Комбинаторика затрагивает области многих разделов
математики, и это обстоятельство затрудняет ее формаль-
формальное определение. Но в основном она имеет дело с изу-
изучением расположения элементов в множества. Обычно
число элементов конечно, а их расположение обусловлено
определенными ограничительными условиями, вытекаю-
вытекающими из условий исследуемой конкретной задачи.
В литературе, как правило, рассматриваются два об-
общих типа задач. В первом из них существование предпи-
предписанной конфигурации сомнительно, и исследование состоит
в попытках доказать это существование. Такие задачи
называются проблемами существования. Во вто-
втором типе задач существование конфигураций известно,
а при исследованиях стремятся определить число конфи-
конфигураций или дать их классификацию. Такие задачи мы назы-
называем перечислительными. В настоящей монографии
упор сделан на задачи о существовании, но имеется и
много перечислительных задач.
Можно заметить, что вторая категория задач есть не
что иное, как усовершенствование или очевидное расши-

2. Множества 11
рение первой. Это так и есть. Но на практике полу-
получается, что если существование конфигурации требует
интенсивного исследования, то почти ничего нельзя ска-
сказать о соответствующей перечислительной задаче. С дру-
другой стороны, если перечислительная задача поддается
решению, то соответствующая задача существования
обычно решается тривиально.
Проиллюстрируем эти замечания на элементарном
примере. Удалим из шахматной 8 X 8-доски два квадра-
квадратика из противоположных углов. Пусть имеется 31 кость
домино, каждая из которых покрывает две клетки на
доске. Задача состоит в том, чтобы покрыть всю доску
этими костями. В этой задаче существование решения со-
сомнительно. Покажем, что такое покрытие невозможно.
В самом деле удалены два черных или два белых квад-
квадратика, и потому доска имеет неравное число черных и
белых квадратиков. Но кость, положенная на доску,
должна покрыть один белый и один черный квадрат.
Следовательно, полное покрытие невозможно. Предполо-
Предположим, что квадраты, находящиеся на противоположных
углах, не удалены; тогда покрыть доску 32 костями
можно многими способами. При этих обстоятельствах
приходим к перечислительной задаче об определении числа
различных покрытий.
2. Множества. Пусть 5 — произвольное множество
элементов а, Ь, с Обозначим тот факт, что s является
элементом 5, с помощью записи s?S. Если каждый эле-
элемент множества А есть в то же время элемент множе-
множества 5, то А есть подмножество S и мы обозначаем
это символом Лс5. Если Лс5 и Sc/1, то эти два
множества тождественны, и мы пишем A — S. Если Лс:5,
но А ф S, то А является собственным или истинным
подмножеством множества 5: AczS. Множество всех под-
подмножеств множества 5 обозначают Р (S). Для удобства
в символике пустое множество, или нуль-множество 0,
считается членом множества Р (S).
Пусть 5 и Т — подмножества множества М. Множе-
Множество элементов е, таких, что е ? 5 и е ? Т, называют пе-
пересечением S []Т множеств 5 и Т. В более общем слу-
случае, если Tv Т2, .. ¦¦ Тг суть подмножества множества М,

12 Гл 1 Основы комбинаторной математики
то Г, П Т2 П ... П Тг обозначает множество элементов е,
таких, что е?Т{ для всякого /=1, 2 г. Подмно-
Подмножества S и Т множества М считаются непересекающи-
непересекающимися, если они не имеют общих элементов. Равенство
S Г\Т = 0 обозначает, что 5 и Г не пересекаются. Объ-
Объединение S\jT подмножеств S и Т множества М есть
множество элементов е, таких, что е принадлежит хотя бы
одному из множеств S и Т. В более общем случае, если
Тх, Т2, .... Тг суть подмножества множества М, то
Т\ U T2 U ... U Тг обозначает множество всех элементов е,
таких, что е?Т{ для одного по крайней мере 1=1,
2 г. Подмножества Т{, Т2, ..., Тг множества М
образуют разбиение последнего при условии, что
М = Г, U T2 U . . . U Т, и что Tif\Tj = <l> для i ф j
(г, ./=1, 2 г). Разбиения М называются упорядо-
упорядоченными, если равенство разбиений
М = Тх U Т2 U . . . U Т, и М = Т[ U Т2 U ... U Т'г
означает, что Т1 = Т'[ G= 1, 2 г), и неупорядо-
неупорядоченными, если равенство разбиений означает, что каждое Гг
равно некоторому Т.').
Множество S, содержащее только конечное число эле-
элементов, называется конечным. Конечное множество назы-
называется множеством из п элементов, если число его
элементов равно в точности п. Употребляя эту термино-
терминологию, мы принимаем, что п > 0, и исключаем нуль-мпо-
жество 0. В дальнейшем в тексте мы будем называть
множество из п элементов п-множеством. Таким обра-
образом, выражение „r-подмножество «-множества" означает
подмножество из г элементов множества из п элементов.
Многие вычислительные рассуждения широко исполь-
используют следующие элементарные правила. Пусть S есть
/и-множество, а Т есть я-множество. Если S f\T = 0, то
5 U Т есть (/re-j-я)-множество. Это — правило суммы.
Обобщенное правило суммы утверждает следующее:
если Ti есть п(-множество A—1, 2 г) и если
М = Г, U T2 U ••• U Тт есть разбиение М, то Л1 яв-
является (п-i-\-п2-\- ... -\- пг)- множеством.
') Порядок множеств равного объема при этом учитывается,
так как такие множества взаимно заменяемы (в противном слу-
случае они оказываются неразличимыми). — Прим. ред.

.5 Выборка 13
Пусть S и Т обозначают два множества, a (s, t) — упо-
упорядоченную пару элементов s?S и t^T1). Две пары
(s, t) и (V, t*) равны, если s = s* и t = t. Множество
всех таких упорядоченных пар называется произведением
S и Т и обозначается SX.T. Пусть M(S, T, п) обозна-
обозначает множество упорядоченных пар вида (s, t), где
s — произвольный элемент S, но каждый s?S попарно
соединен в точности с п элементами t?T. Различные эле-
элементы из 5 не должны быть попарно соединены элемен-
элементами одного и того же и-подмножества множества Т. Эго
понятие указывает, что Т содержит по меньшей мере п
элементов. Более того, М (S, T, n) = S XT тогда и только
тогда, когда Т есть и-множество. Пусть S есть т-множе-
ство. Тогда М (S, Т, п) есть (ш, и)-множество. Это — пра-
правило произведения. Обобщенное правило произведения
утверждает: если Г, есть пгмножество и если М2 =
= М(Ти Т2, п2), М3=М(М2, Т3, п3) и, наконец, Мг =
— M(Mr_v Tr, пг), то Мг есть {п{п2 ... пг)-множество.
3. Выборки. Пусть дано множество S и
(а,, а2, .... аТ) C.1)
— упорядоченное r-множество элементов S, не обяза-
обязательно различных. Два r-множества (а,, а2, .... аг) и
(а*, а* а*) равны, если ai = a* A=1, 2 г).
Назовем C.1) выборкой из S. Эта выборка имеет объем г,
и мы будем рассматривать C.1) как г-выборку из S.
Теорема 3.1. Число г-выборок из п-множества
равно п'.
Доказательство. Пусть S есть и-множество.
Настоящая теорема является частным случаем обобщен-
обобщенного правила произведения, где Г1 = Г2= ... =Tr = S
и и, = п2 = ... = пг = п.
Пусть S есть и-множество и пусть компоненты at
в г-выборке C.1) различны. В таком случае г-выборку
называют г-перестановкой из и элементов. В /--пере-
/--перестановке г <С и; и-перестановка называется перестанов-
перестановкой и элементов.
') То есть пара (s, t) отлична от пары (t, s). — Прим. ред.

14 Гл. I. Основы комбинаторной математики
Теорема 3.2. Число г-перестановок из п эле-
элементов равно
Р(п, г) = п(п—\) .. . (re —r-f-1). C-2)
Доказательство. Эта теорема есть частный слу-
случай обобщенного правила произведения, когда Т1 = Т2=:
= . . . = Тг = S и я, = п, п2 = п — 1 пт = п —
— /- —j— 1. В соответствии с C.2) введем Р(п, п) для обо-
обозначения произведения первых п натуральных чисел;
Р (и, п) записывается п! (читается „эн факториал"). Та-
Таким образом,
Р(п, п) = п\ = п(п — 1) . .. 1. C.3)
Следствие 3.3. Число перестановок п элемен-
элементов равно п\.
Отображение а (однозначное) множества S в мно-
множество Т есть соответствие, в котором связывают с ка-
каждым s ? S единственный элемент t = sa ? Т. Элемент ш
называется образом элемента s при отображении а.
Два отображения а и р множества S в множество Т
равны, если sa — s$ для всех s^S. Отображение а есть
отображение S на Т, если всякий элемент t?T является
образом некоторого элемента s?S. Отображение S на Т
будет взаимно однозначным, если различные элементы S
имеют различные образы. Пусть теперь G(S) будет мно-
множеством всех взаимно однозначных отображений S на
себя. Пусть аир входят в O(S). Тогда отображение,
переводящее s?S в (sa)p?S, есть взаимно однозначное
отображение, называемое произведением отображений a
и р. Множество Q(S) является алгебраической системой
с бинарной операцией, называемой произведением, и можно
убедиться, что G(S) удовлетворяет аксиомам группы.
Пусть S есть и-множество элементов 1, 2, ..., п.
Тогда О (S) называется симметрической группой
порядка п. Она обозначается Sn. Пусть a — элемент Sn,
который переводит I в га (г—1, 2, ..., и). Взаимно
однозначное отображение а характеризуется перестановкой
(la, 2a па). C.4)
Наоборот, всякая перестановка п элементов является
в действительности взаимно однозначным отображением

4. Неупорядоченные выборки 15
элементов на себя. Число элементов в группе называется
ее порядком. Теперь мы можем сформулировать след-
следствие 3.3 в терминах теории групп.
Следствие 3.4. Порядок Sn равен п\.
Примеры, а) Число 2-перестановок из трзх элементов
равно РC, 2) =3-2 = 5. Если перенумеровать элементы 1, 2, 3,
то 2-перестановки суть:
A, 2), A, 3), B, 1), B, 3), C, 1), C, 2).
б) Число всевозможных слов, состоящих из пяти букв ан-
английского алфавита, равно 265. Если потребовать, чтобы буквы
в этих словах были различными, то число слов будет равно
26 ¦ 25 • 24 ¦ 23 • 22 = 7 893 600.
в) Si00 имеет порядок (9,3326...) 10157. Эддингтоновская
оценка числа электронов во вселенной составляет всего лишь
A36) 2256.
г) Пусть А — матрица из т строк и п столбцов, составлен-
составленная из нулей и единиц. Существует 2тп таких матриц. Если
т — п= 100, то это даст 210 00° матриц.
Ф
4. Неупорядоченные выборки. Пусть дано множе-
множество 5 и
{аи а2 аг) D.1)
— неупорядоченная совокупность г элементов S, не обя-
обязательно различных. Число появлений элемента в этой
совокупности называется кратностью элемента. Две
таких совокупности lav a2, ..., а\ и fa*, a*_ ..., a*}
будут равны, если элементы с их соответствующими
кратностями будут теми же самыми в обеих совокупностях.
Назовем D.1) неупорядоченной выборкой из 5. Неупо-
Неупорядоченная выборка имеет здесь объем г, и мы будем
рассматривать D.1) как г-выборку из 5. Если каждый
элемент в D.1) имеет кратность 1, то r-выборка является
r-подмножеством множества S; r-подмножество «-мно-
«-множества называется также r-сочетанием из п элементов.
Для натуральных п C.3) утверждает, что
п\ = Р(п, п). D.2)
Удобно определить
0!=1, D.3)

16 Гл. 1. Основы комбинаторной математики
так что для любого положительного целого л
п\ = п(п— 1)!. D.4)
Положим теперь, что л и г—натуральные числа и опре-
определим
С(п> r) = ^==n(n-l)...(n-r+l)i
/ 0 \ D.5)
С@. r)=^J=O, ^
С@.0)=@°
Таким образом, D.5)^ определяет С (ft, г) для всех неотри-
неотрицательных целых лиг. Заметим, что если г > л,
то С (л, г) = 0. Это означает, что если л фиксировано,
то С(л, г) принимает только конечное число различных
Значений. Числа С (л, г), определенные соотношениями
D.5), — знакомые нам биномиальные коэффициенты.
Им принадлежит немалая роль в перечислительных задачах.
Теорема 4.1. Число r-подмножеств п-множества
равно
л
Доказательство. По теореме 3.2 число г-пере-
становок из л элементов равно Р(п, г). Каждая г-пере-
становка может быть упорядочена г! способами. Если
пренебречь порядком, то число различимых расположений
равно
С (л, г) = -^А. D.6)
Пусть дано л-множество 5 и пусть P(S) обозначает
множество всех подмножеств 5. Обозначим через Т мно-

4 Неупорядоченные выборки 17
жество всех л-выборок, получаемых из 2-множества целых
чисел 0 и 1. Существует естественное взаимно однознач-
однозначное отображение Р (S) на Т. Так, если X = (а,- , а,- ....
..., at | входит в Р (S), то образом X при взаимно
однозначном отображении является л-выборка с единицами
на местах iv 12, ..., ir и с нулями — на остальных
местах. Теперь применим теорему 4.1, чтобы подсчитать
число элементов в Р (S), и теорему 3.1 для подсчета
числа элементов в множестве Т. Приравнивая эти резуль-
результаты, получаем
п\ п
О/ I 1
n
п
Разумеется, тождество D.7) элементарно. Но доказа-
доказательство его демонстрирует способ, оказывающийся
эффективным во многих комбинаторных исследованиях.
Теорема 4.2. Число r-выборок аз п-множества
равно
n-\- г — Г\ / n -\- г — 1 \
<4-8>
Доказательство. Заменим «-множество 5 на
«-множество S' натуральных чисел 1, 2, ..., п. Всякая
r-выборка из множества S' может быть записана в виде
{av a2, .... аг], D.9)
где
а1 <а2< ... < аг. D.10)
Пусть теперь S* есть (п-\~г—1)-множество нату-
натуральных чисел 1, 2 л-|-г—1. Тогда
(в! + 0. в2+1, .... er + r—1) D.11)
является r-подмножеством множества S*. Более того,
соответствие
{а1( а2, ..., аг] -м- {а, + 0, а2-\-\ аТ-\-г—\)
D.12)
есть взаимно однозначное отображение r-выборки из мно-
множества S' на r-подмножество множества S*. Но по тео-

18 Гл. 1. Основы комбинаторной математики
рзме 4.1 число r-подмножеств множества S* равно
+ г—1
г
Пусть дано разбиение «-множества 5 на г^-подмно-
жества Tt (/ = 1, 2, .. ., k):
S=Tl\}T2\}...\}Tk. D.13)
Тогда
л = /-1 + /-2+ ... +rk. D.14)
Разбиение D.13) будем называть (гг г2, ..., rk)-раз-
rk)-разбиением множества 5.
Теорема 4.3. Число неупорядоченных') (rlt r2, . . .
..., гk)-разбиений п-множесшва равно
Доказательство. Пэ теореме 4.1 и обобщенному
правилу произведения число неупорядоченных (г,, г2> ...
..., гА)-разбиений «-множества равно
п\[п~гЛ /л —г, — ••-—'¦*\== 41
r2 J ¦ ¦¦{ rk j r,!r2l.../¦*! • "'¦-'
Числа D.15) называются полиномиальными коэффи-
коэффициентами. Из теоремы 4.3 следует, что число неупо-
неупорядоченных A, 1 1)-разбиений «-множества равно л ! .
В этом случае теорема 4.3 сводится к следствию 3.3.
Число неупорядоченных (г, л — г)-разбиений «-множества
равно л!
г\(п — г)\ '
В этом случае теорема 4.3 сводится к теореме 4.1.
Полиномиальные коэффициенты теоремы 4.3 имеют
другую весьма полезную комбинаторную интерпретацию.
Пусть 5 есть ^-множество элементов av a2 ak и
л = г, + г2 + ... +гА, . D.17)
где гг — натуральные числа. Пусть (at , at а,- )
означает «-выборку из множества S, в которой at содер-
') В оригинале — „упорядоченных", что неверно (см. опре-
определение и примечание к нему на стр. 11).—Прим. ред.

4. Неупорядоченные выборки 19
жится ровно rt раз A=\, 2, ..., k). Обозначим через Т
множество всех таких выборок. Тогда число элементов
множества Т равно
-!-Р г. D.18)
ибо в каждой выборке г1 элементов а1 могут быть заме-
заменены на г1 различных элементов, отличающихся от эле-
элементов выборки. Затем эти гх элементов могут быть пере-
переставлены гг\ способами, и таким образом каждая выборка
дает гх! новых выборок. Применим эту процедуру заме-
замещения к новой совокупности выборок и заменим каждый
из г2 элементов а2 на г2 различных элементов, отличных
от элементов выборки. Эта процедура ограничена тем,
что всего имеется п\ перестановок. Следовательно, число
элементов множества Т задано выражением D.18).
Примеры, а) Сдача карт при игре в бридж представляет
выбор 13 карт из колоды в 52 карты. Порядок карт при сдаче
несуществен. Значит, число различных сдач будет
=635 013 559 600.
б) В игре в бридж 52 карты колоды распределяются между
четырьмя игроками. Каждый игрок получает 13 карт. Следова-
Следовательно, число различных ситуаций за карточным столиком равно
тщг = E,3645...) 104
в) Число слов, состоящих из 12 букв, которые могут быть
образованы из четырех букв а, четырех букв Ь, двух букв с
и двух букв d, будет равно
12!
4! 4! 2! 2!
= 207 900.
г) Число слов из пяти букв, которые могут быть образованы
из букв д, b и с и в которых буква а появляется самое большее
дважды, буква b — самое большее один раз, а буква с — не более
трех раз, будет равно
51 ¦ 51 5! _
2!0!3! ^ 21112! "т 1! 1!3!
д) Бросание множества г игральных костей можно рас-
рассматривать как r-выборку из 6-множества. Число различных
выпадений будет

20 Гл. !. Основы комбинаторной математики
5. Биномиальные коэффициенты. Дано, что лиг—
натуральные числа. Тогда
п\ [п~\\ . /л — Г,
E.1)
.г/ V r j • \r-\
Формула E.1) представляет основное рекуррентное соот-
соотношение для биномиальных коэффициентов, являющееся
непосредственным следствием определения D.5). Исследо-
Исследования предыдущего параграфа показывают, что бино-
биномиальные коэффициенты — целые числа. Докажем теперь
это утверждение с помощью математической индукции.
Если л = 0 или г = 0, то оно верно непосредственно
из D.5). Если лиг положительны, то из предположения
индукции вытекает, что два члена в правой части равен-
равенства E.1)— целые. Следовательно, член в левой части E.1)
должен быть целым числом. Это утверждение может быть
сформулировано в более яркой форме: произведение г
последовательных натуральных чисел делится на г\.
Будем называть натуральное число, не равное 1, про-
простым, если оно делится только на самого себя и на
единицу.
Теорема 5.1. Если р—простое, то числа
Р\ (Р\ I P \
¦ -1 E'2)
делятся на р.
Доказательство. Пусть г — целое число в интер-
интервале l-^r^/7—1. Тогда
р(р— 1) ... (/> —r-f-1) E.3)
делится на г!. Но г! просто по отношению к р, и, сле-
следовательно,
(р — 1) (р — 2) . .. (р — г -f- 1) E-4)
делится на г\. Таким образом,
=;.;•¦ ("-п-в E.5)
делится на р.

5 Биномиальные коэффициенты 21
Формула E.1) подсказывает эффективный способ
вычисления биномиальных коэффициентов. Схематически
он иллюстрируется диаграммой E.6)
/\
/ \ / \
/v'v'\ <">
14 6 4 1
известной под названием треугольника Паскаля. Мы
рассматриваем стрелку в E.6) как односторонний путь.
Если можно пройти от одного биномиального коэффи-
коэффициента Р до другого биномиального коэффициента Q
в E.6) по последовательности односторонних путей,-начи-
путей,-начинающейся в Р и заканчивающейся в Q, мы скажем, что Р
и Q связаны односторонним маршрутом. Пусть / обо-
обозначает единицу, расположенную в вершине треугольника.
Тогда оказывается, что / и Р связаны разными односто-
односторонними маршрутами. Биномиальный коэффициент Р пока-
показывает число различных маршрутов. Эта интересная осо-
особенность треугольника Паскаля есть неотъемлемое свойство
его построения из E.1). Симметрия и монотонность гори-
горизонтальных строк в E.6) следуют из соотношений
) @<г<в), E.7)
2л — 1 \ /2л—П /2л —1\
(V)«/
E.9)
Пусть л — натуральное число. Тогда
0 Iх +1 , Iх ? + ••• + [ _ )у ¦ EЛ°)

22 Гл. I. Основы комбинаторной математики
Алгебраическое тождество E.10) является хорошо извест-
известной биномиальной теоремой. Мы даем доказательство
E.10), основанное на идеях п. 4. Пусть 5 есть «-мно-
«-множество символов
E.11)
Тогда для г > 0 коэффициент при хп~гуг в разложении
(х-\-у)" равен числу r-подмножеств множества 5. Но по
теореме 4.1 это число равно
у E.12)
следовательно, формула E.10) справедлива.
Многие тождества для биномиальных коэффициентов
легко выводятся из E.1) и E.10). Формула E.1) идеальна
для доказательства методом индукции заданного тождества.
Разложение E.10) подвергается формальным преобразова-
преобразованиям и является непосредственным источником многих
соотношений между коэффициентами. Например, если
в E.10) мы положим лг = у~1, то
2- <5ЛЗ>
С другой стороны, если положим х=\, а у =—1, то
Следующие типичные тождества часто встречаются в лите-
литературе и могут быть выведены элементарными методами:
(-;• <5Л5)
E.16)
-2я-2. E.17)
[+ + + ( 8)

Литература 23
ЛИТЕРАТУРА
Свойства делимости биномиальных и полиномиальных коэф-
коэффициентов рассматриваются в книге [1], гл. 9.
1. Dick son L. E., History of the Theory of Numbers, vol. 1,
New York, 1952.
2. Feller W., Probability Theory and Its Applications, vol. 1,
New York, 1950. (Русский перевод: Феллер В., Введение
в теорию вероятностей и ее приложения, ИЛ, 1952; русский
перевод второго издания, изд-во „Мир", 1964.)
3. Net to E., Lehrbuch der Combinatorik, Leipzig, 2 Aufl., 1927.
4. Riordan J., An introduction to Combinatorial Analysis, New
York, 1958. (Русский перевод: Р и о р д а н Дж., Введение
в комбинаторный анализ, ИЛ, 1963.)

Глава 2
ПРИНЦИП ВКЛЮЧЕНИЯ И ИСКЛЮЧЕНИЯ
1. Основная формула. Пусть дано «-множество S;
всякому a?S припишем единственный вес w(a), где
w(a) — элемент некоторого поля F. Никаких ограничений
на поле F или на выбор весов из этого поля не накла-
накладывается. Однако нередко сами комбинаторные задачи
подсказывают какие-то естественные назначения весов.
Во многих задачах каждому a ?S приписан вес w(a),
равный единице. Пусть Р обозначает /V-множество свойств
Л. р2 Pff. 0-1)
связанных с элементами множества S, и пусть
iP^P', PU О-2)
обозначает /--подмножество множества Р. Пусть
W(Pti. Р,г Pi) A.3)
равно сумме весов тех элементов из S, которые обладают
каждым из свойств Pi , Pi Pi . Если в множестве 5
нет ни одного такого элемента, то выражению A.3) при-
приписывается значение, равное нулю. Далее, пусть
равно сумме значений A.3) для всех /--подмножеств мно-
множества Р.
Распространим A.4) на случай г = 0 и положим W @)
равным сумме весов элементов S. Теперь мы в состоянии
сформулировать и доказать основную теорему вклю-
включения и исключения.
Теорема 1.1. Пусть Е(т) обозначает сумму
весов элементов множества S, которые удовлетво-

1. Основная формула 25
ряют в точности т свойствам A.1). Тогда
+ 1
) + ) + (f(){) A.5)
т ] \т)
Доказательство. Пусть а ?5; а обладает весом
w (а) и удовлетворяет в точности t свойствам A.1). Если
t < m, то а дает нуль в правой части A.5). С другой
стороны, если t=m, то а дает в правой части A.5)
вес w (а). Если же t > m, то а дает в правой части A.5)
V m
Но
( t \ (t—m\
и, следовательно, A.6) сводится к
|_ t-m \ f t-m
mj\\t-mj ^
. A.8)
Но вследствие E.14) из гл. 1 выражение в скобках в A.8)
равно нулю. Следовательно, если t > m, то а дает нуль
в правой части A.5). Из этого вытекает, что правая
часть A.5) есть сумма весов элементов множества S,
удовлетворяющих в точности т свойствам A.1).
Теорема 1.2. Пусть Е @) обозначает сумму
весов элементов множества S, не удовлетворяющих
ни одному из свойств A.1). Тогда
)=W@)—W(l)-\-WB)— ... -К— l)"W(N). A.9)
Доказательство. Это частный случай теоремы 1.1,
именно при т — 0.

26 Гл. 2 Принцип включения и исключения
Пусть каждому a ?S приписан вес, равный -f-1. Тогда
сумма весов равна числу слагаемых в сумме. В этом слу-
случае в теореме 1.2 имеем W@) = n, a E @) есть число
элементов множества S, не удовлетворяющих ни одному
из свойств A.1). Получающийся при этом частный вид ра-
равенства A.9) называется формулой решета. Эта формула
лрйписывается Да Сильве и Сильвестру. В действительности
формула решета известна с давних времен и, возможно, уже
была известна в том или другом виде еще кому-нибудь
из семьи Бернулли. Следующие три пункта этой главы
мы посвящаем различным приложениям теоремы 1.1.
2. Приложения к теории чисел. В этом пункте мы
применяем формулу решета к избранным вопросам эле-
элементарной теории чисел.
Пусть х—действительное неотрицательное число. Обо-
Обозначим через
[х\ B.1)
наибольшее целое число, не превышающее х. Пусть также
(а, Ь) B.2)
— наибольший общий делитель двух целых чисел а и Ъ,
не равных нулю. Тогда (а, Ь)=\ означает, что а и b
взаимно просты. Будем писать
а\Ъ, B.3)
если а делит Ъ, и
а\Ъ, B.4)
если а не делит Ь.
Теорема 2.1. Дано натуральное число а и
натуральные числа а{, а2 aN, такие, что
{at, uj)—\, если i=f=j. Тогда число целых чисел k,
таких, что
0</е<и, arfk (/=1,2 N) B.5)
равно
1<( <w
' " „ 1- B-6)

2. Приложения к теории чисел 27
Доказательство. Пусть S есть я-множество
натуральных чисел 1, 2 я, a Pt — свойство, озна-
означающее, что элемент множества S делится на яД/=1,
2 N). По условию все at попарно взаимно просты.
Следовательно, выражение
W(Pit'P^ Ptr) B-7)
в формуле решета есть число таких целых чисел k, что
0<&<я, й/1 ai2 ... air'\k. B.8)
Но это число равно
Функция Эйлера <р(я), где и — натуральное число,
есть число таких целых чисел k, что
0</е<я, (k, и)=1. B.10)
Теорема 2.2. Пусть п—натуральное число.
Тогда
Произведение в B.11) распространено на все про-
простые делители р числа п.
Доказательство. В теореме B.1) заменим at
на Pi и предположим, что рг, р2 pN—простые
делители п. Тогда из B.6) следует
ф(«)=«— j] j-
ptpj
)N n „ " „ ¦ B.12)
Но это выражение эквивалентно B.11).

28 Гл. 2. Принцип включения и исключения
Функция Мёбиуса \х(п) натурального аргумента и
определена так:
B-13)
(X (и) = 0, если и делится на квад-
квадрат простого числа,
\x(p{, p2 /**) = (—1)*. если простые числа
Pi,p2, . . ., pk различны.
Функция Мёбиуса позволяет записать B.12) в более
изящном виде
Суммирование в B.14) производится по всем d—положи-
d—положительным делителям п.
Пусть п — натуральное число. Если известны простые
числа, не превышающие У п, то простые числа, не пре-
превышающие и, могут быть найдены следующим способом.
Напишем последовательность
2, 3 п. B.15)
Вычеркнем из B.15) все числа, делящиеся на 2, за-
затем— все числа, делящиеся на 3, на 5 и т. д., и, нако-
наконец, все числа, делящиеся на q, где q есть наибольшее
простое число, не превышающее Уп. Оставшиеся числа
будут все простыми, большими Уп и не превышаю-
превышающими и, потому что они не могут иметь простого множи-
множителя, не превышающего Уп, а также не могут быть
произведением двух чисел, больших ~\fn.
Этот интересный метод построения простых чисел
называется решетом Эратосфена.
Обозначим через я(х) число простых чисел, не пре-
превышающих положительного действительного числа х.
В результате применения решета Эратосфена к последо-
последовательности B.15) остается
я(/^) B.16)
целых чисел. Но число это можно подсчитать и другим
способом. В теореме 2.1 заменим at на qt и предположим,

3 Беспорядки 29
что числа qlt q2 qN все простые, не превосходя-
превосходящие У~п. Тогда по теореме 2.1 искомое число равно
Отсюда следует, что
^) 2J[J] B.18)
Суммирование в B.18) производится по всем положи-
положительным делителям d произведения qxq2 ¦ . ¦ qN, где qlt
q2 qN — простые числа, не превосходящие У п.
3. Беспорядки. Пусть
(а,, а2, .... ап) C.1)
является перестановкой п элементов 1, 2 п. Пере-
Перестановка C.1) называется беспорядком, если at=/=i
(i—\, 2, ..., и). Таким образом, в беспорядке ни один
элемент не занимает своего естественного места. Задача
Монмора, хорошо известная под французским названием
„задачи о встречах" (Le probleme des recontres), состоит
в том, чтобы подсчитать число таких беспорядков. Пусть
Dn обозначает это число. Мы можем легко вычислить Dn
по формуле решета. В самом деле, пусть 5 — множество
и! перестановок C.1) и пусть Pt обозначает то свойство,
что в перестановке C.1) имеет место ai = i(i=\, 2, ...
.... и). Тогда
W(Pii, Pt2 Ptf) = (n-r)l C.2)
и
-0i = 7r- C-3)
Таким образом, мы получаем следующую формулу для Dn:
± + -L- ... +(-1)"~). C.4)

30 Гл. 2. Принцип включения и исключения
Формула C.4) напоминает знакопеременный ряд для е~1
e-i=1_J_ , J C 5-
Фактически мы можем теперь записать C.5) в виде
а это означает, что DJn! и е ' отличаются друг от друга
меньше чем на 1 /(/t —(— 1I- Следовательно, п\е~} является
весьма хорошим приближением для Dn.
Формула C.4) имеет большое число довольно любо-
любопытных приложений. Предположим, например, что п
мужчин пришли на вечер и оставили свои п шляп в перед-
передней. Вслед за тем шляпы были спутаны и возвращены
гостям в случайном порядке. Вероятность того, что ни один
мужчина не получит своей шляпы, равна DJn\. Это при-
приложение имеет много разновидностей. Но удивительным
свойством является то, что для всех практических целей
вероятность равна е~1 и совсем несущественно, 10 человек
присутствуют или 10 000. В задаче с более серьезным
оттенком спрашивается о числе способов, которыми могут
быть размещены на условной шахматной доске восемь
ладей так, чтобы ни одна ладья не могла атаковать дру-
другую, а белая диагональ была бы свободной от ладей.
Это может быть осуществлено ?>8= 14 833 различными
способами.
4. Перманент. В дальнейшем мы будем предполагать
знакомство с элементами теории матриц и с этой целью
введем здесь систему обозначений и терминов, которые
будем использовать в тексте книги. Пусть дано множе-
множество 5. Прямоугольная таблица (array), основанная на
множестве S, есть конфигурация из т строк и п столбцов
вида
~ап а12 ... аи
*21 2
- ат1 ат2
D.1)

4. Перманент 31
Элемент a,j, находящийся в 1-й строке и /-столбце
таблицы А, должен быть элементом множества S; на само
множество S не следует накладывать никаких ограни-
ограничений. Мы будем говорить, что atj занимает (/, ^-поло-
^-положение в А. Всякий раз, когда мы пожелаем подчеркнуть
тот факт, что А содержит m строк и я столбцов, мы
будем упоминать об А как о (ш X я)-таблице, или, что
равносильно, скажем, что А имеет размер m X я. Если
т=п, то А является квадратной таблицей и имеет
порядок п. Если из А вычеркнуты /га—г строк и и — s
столбцов, то получившаяся прямоугольная таблица размера
г X s называется под таблицей А. Две (т X я)-таблицы
равны, если соответствующие элементы на (/, /)-поло-
жениях равны (/=1, 2, 3 /га; J= 1, 2 я).
В определенном смысле таблица D.1) является не чем
иным, как выборкой размера /га X я из данного множе-
множества S. Но, с другой стороны, A X я)-таблицу можно
рассматривать как выборку размера я, и таким образом
D.1) оказывается естественным обобщением этого понятия.
Теперь заменим довольно громоздкую символику D.1) на
А = [аи] A=1, 2 т; j= 1, 2 я). D.2)
Пусть е = тт(т, п). В этом случае главная диаго-
диагональ А состоит из элементов ati, находящихся в поло-
положении (i, I) для /= 1, 2 е. Транспонированной таб-
таблицей АТ от А является (я X «)-таблица, полученная из А
путем отражения А относительно главной диагонали. Таким
образом, Ат содержит aj4 в (/, /(-положениях (/= 1, 2, ...
..., я; У=1, 2 т), Таблица А называется сим-
симметрической, если А — АТ.
Предположим теперь, что множество S есть некоторое
поле F. Тогда прямоугольная таблица оказывается матри-
матрицей. Сложение и скалярное умножение для (те X я)-матриц
может быть определено обычным образом, и множество
всех (т X я)-матриц, элементы которых входят в поле F,
образует векторное пространство размерности тп над F.
Более того, (т X я)-матрица может быть умножена на
(я X О"матРиц.У п0 известному правилу умножения мат-
матриц. Матрица-произведение имеет размер mY^t. Заметим,
что если А имеет размер /га X я, то мы можем всегда
образовать произведения ААТ порядка m и АтА порядка я.

32 Гл. 2. Принцип включения и исключения
Эти произведения в действительности являются симметри-
симметрическими матрицами.
Пусть теперь дана матрица Л = [а,-у] размера т X п>
где те-<и. Введем следующее определение перманента
матрицы Л:
рег(А) = 21а\, а2, ¦.. а,„ . D.3)
1 2 т
Суммирование в D.3) производится по всем те-переста-
новкам (iv /2, ..., im) целых чисел 1, 2 п. Эта
скалярная функция матрицы А нередко появляется в лите-
литературе по комбинаторному анализу в связи с определен-
определенными перечислительными и экстремальными задачами. Рас-
Рассмотрим теперь некоторые формальные свойства per (Л).
Прежде всего, per(Л) оказывается инвариантным относи-
относительно любых перестановок строк и столбцов в А. Таким
образом, умножение одной строки А на скаляр а в F
просто заменяет per (Л) на a-per (Л). Рассмотрим далее
важный частный случай, когда А является квадратной
матрицей порядка и. В этом случае per (А) оказывается
инвариантным также и относительно транспозиций, и мы
можем записать
per (A) = per (Л7). D.4)
В этом случае per (Л) является тем же, что и детерминант,
det (^4), если не говорить о множителях ±1, предше-
предшествующих каждому произведению в правой части равен-
равенства D.3). Это предполагает возможность вычислительной
процедуры для per (Л), аналогичной хорошо развитой
теории для det (Л). В самом деле, законы, определенные
для детерминантов, аналогичны законам, определенным
для перманентов. Например, разложение Лапласа для
детерминантов целиком переносится и на перманенты.
Но основной мультипликативный закон, справедливый для
детерминантов:
det (Л?) = det (Л) • det (В), D.5)
глубоко ошибочен для перманентов. Прибавление строки А,
умноженной на некоторое число, к другой строке также
не оставляет per (Л) инвариантным. Эти обстоятельства
чрезвычайно затрудняют технику вычисления per (Л); по-
поэтому многие квадратные матрицы имеют легко вычи-

4. Перманент 33
сляемые детерминанты и неопределяемые перманенты.
Опишем теперь метод вычисления per (Л).
Теорема 4.1. Дана матрица А размера тУ(п,
где т^п. Пусть АТ обозначает матрицу, полу-
полученную из А заменой г ее столбцов на столбцы,
составленные из нулей. Пусть S(AT)— произведение
сумм строк АГ, a ^S(Ar)— суммы S(АТ) по всем
выборам для АТ. Тогда
per (Д) = 2 5(Ап_т) - (" ~ ^ ' у% S(Ап_т+1) +
Доказательство. Обозначим через S множество
всех выборок объема т
Ui.Jv-.Jm) D-7)
целых положительных чисел 1, 2 п. Пусть вес
выборки D.7) равен
axja2h . . . amJm, D.8)
Пусть Pt означает то свойство, что выборка D.7) не со-
содержит целого числа 1A=1, 2 п). Предположим
теперь, что АГ получено из А заменой столбцов с номе-
номерами iv /2, .... ir на столбцы, составленные из нулей.
Тогда
W(/>V Pi2 Pir)=S(Ar), D.9)
и, следовательно,
W(r) = 2iS(Ar). D.10)
Функция per(Л) равна сумме весов элементов S, удовле-
удовлетворяющих п — т свойствам Pt (/= 1, 2 я). Таким
образом, D.6) оказывается следствием теоремы 1.1.

34 Гл. 2. Принцип включения и исключения
Следствие 4.2. Пусть дана квадратная мат-
матрица А порядка п. Тогда
... -h(—i)n~J2^(^n_o. D.ii)
Доказательство. Это частный случай теоремы 4.1
для т = п.
Пусть А — матрица, элементами которой являются
либо 0, либо'1. Назовем такую матрицу @, 1)-матрицей;
2тп таких @, 1)-матриц размера шХл имеют важное
значение в комбинаторике; они будут играть ведущую
роль и в нашем изложении предмета. Пока же мы огра-
ограничимся немногими элементарными замечаниями относи-
относительно перманентов некоторых весьма специальных @, 1)-
матриц. Пусть / — единичная матрица порядка я, a J—мат-
J—матрица порядка я, составленная целиком из единиц. Нетрудно
проверить, что
per (У) = я!, D.12)
per (У — I) — Dn. D.13)
Заметим в заключение, что из D.11) и D.12) вытекает
тождество
л-1
п\ = 2^(—1)г ( )(л — г)". D.14)
г = 0 * /
Кроме того, из D.11) и D.13) получается вторая фор-
формула для числа беспорядков, а именно
Dn = 24(—\)r{ Un — r)n(n — r~\)"~r. D.15)
г=0 ^Г J
ЛИТЕРАТУРА
1. Feller W., Probability Theory and Its Applications, vol. 1,
New York, 1950. (О русских переводах этой книги см.
стр. 22).
2. Hardy Q. H., Wright E. M., An Introduction to the
Theory of Numbers, 3 ed., 1954.
3. Nagell Т., Introduction to Number Theory, New York, 1951.
4. R lord an J., An Introduction to Combinatorial Analysis,
New York, 1958. (О русском переводе этой книги см. стр. 22.)

Глава 3
РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
1. Некоторые элементарные рекуррентности. Про-
Простым примером рекуррентности является соотношение
г)~[ г
С помощью A.1) подбором подходящих начальных зна-
значений можно вычислять биномиальные коэффициенты для
всех неотрицательных целых я и г. Этот вычислительный
процесс схематически иллюстрирует треугольник Паскаля.
Рекуррентностяма называются соотношения многих
разных типов, и нет необходимости настаивать на фор-
формальном определении этого термина. Но в общем под
рекуррентностью понимают специальный тип отношений,
включающих количества с целочисленными параметрами.
Это соотношение таково, что его можно использовать
для вычисления значения величины шаг за шагом, исходя
из заданных начальных значений и значений, предвари-
предварительно подсчитанных. Рекуррентности естественным обра-
образом возникли во многих перечислительных задачах, и
теория рекуррентностей имеет весьма обширную литера-
литературу. Этот предмет с большой тщательностью развит
в недавно вышедшей книге Риордана, упоминаемой в лите-
литературе к настоящей главе. Мы не будем подробно остана-
останавливаться на этом, ограничившись обсуждением немногих
простых рекуррентностей, представляющих для нас спе-
специальный интерес.
Начнем с одной задачи из элементарной геометрии.
Предположим, что мы ищем число частей, на которые
делится плоскость я прямыми линиями, расположенными
произвольным образом. Обозначим это число через Рп.

36 Гл. 3. Рекуррентные соотношения
Положим по определению
Ро=1. A.2)
Легко показать, что для любого натурального я
Л, = Л,-1 + «- A-3)
Начальное условие A.2) и рекуррентность A.3) опре-
определяют Рп для всех неотрицательных целых я. Факти-
Фактически из A.2) и A.3) следует
Pn==±l+L (M)
Рассмотрим далее множество Т всех выборок объема я,
полученных из 2-множества, состоящего из 0 и 1. По-
Попробуем выяснить, каково число выборок, не содержащих
двух нулей подряд. Обозначим это число / (я) и определим
/@)=1, A.5)
а также, что тривиально,
/0) = 2. A.6)
Пусть теперь я ^ 2. Тогда существует /(я—1) таких
выборок с первым элементом, равным единице, и /(я — 2)
таких выборок с нулем в качестве первого элемента.
Следовательно,
/(я)=/(я—1)+/(я-2). A.7)
Начальные условия A.5) и A.6) и рекуррентность A.7)
определяют /(я) для всех неотрицательных целых я.
Числа /(я) называются числами Фибоначчи. Они обла-
обладают многими замечательными арифметическими и комби-
комбинаторными свойствами.
Эйлер исследовал с точки зрения рекуррентностей
задачу о беспорядках. Положим по определению
D0=l A.8)
и из тривиальных соображений
?>! = <). A.9)
Рассмотрим теперь беспорядок
(«i> «2 ап) A.10)

2. Числа размещений 37
из п элементов, обозначенных 1, 2 п, где п ^> 2.
Первое место в A.10) открыто для всех элементов,
исключая 1, т. е. для га—1 элементов. Предположим теперь,
что первым элементом в A.10) выбран аг~ k (k=f= 1). Тогда
все беспорядки A.10) делятся на два типа в зависимости
от того, находится элемент 1 на k-u месте или нет.
Если 1 находится на k-u месте, то число перестановок
будет таким же, что и число перестановок из п — 2 эле-
элементов, из которых ни один не находится на своем месте,
т. е. Dn_2- С другой стороны, если 1 не находится
на k-u месте, то допустимые перестановки таковы, что
в них элементы 1, 2 k—1, k-\-l «занимают
места от 2-го до я-го, элемент 1 не занимает /г-го места,
а всякий другой элемент не находится на своем месте.
Но это то же самое, что и перестановки из п—1 эле-
элементов, обозначенных 2 п, причем каждый элемент не
находится на своем месте. Число таких перестановок, оче-
очевидно, Dn_v Из вышеприведенных рассуждений вытекает
Dn = (n~l)(Dn_l-\-Dn_2). A-П)
Рекуррентность A.11) может быть использована для
того, чтобы дать прямое доказательство по индукции
следующей формулы:
-ТГ + 4- ••• +(~l)"iV A-12)
2. Числа размещений. Пусть Un обозначает число
перестановок из п элементов, обозначенных 1, 2, ..., п.
и таких, что элемент I не находится ни на 1-й, ни на
(/ -f- 1)-м местах, г —1, 2 п—1, а элемент « — ни
на п-и, ни на 1-м местах. Иными словами, Un есть число
перестановок, противоречивых двум перестановкам
A, 2, 3 п), (п, 1, 2 п— 1). B.1)
Пусть С обозначает @, 1)-матрицу порядка п, в кото-
которой на местах A, 2), B, 3), C, 4), .... (я, 1) находятся
единицы, а на остальных местах — нули. Пусть, далее,
J обозначает матрицу порядка п, каждым элементом кото-
которой будет единица, а / — единичную матрицу порядка п.
Тогда легко вывести, что
Ua = pet(J—I-C). B.2)

38 Гл. 3. Рекуррентные соотношения
Однако формула для перманента, выведенная в предыдущей
1лаве, не позволяет непосредственно подсчитать числа Un.
Числа Un называются числами размещений. Основа-
Основанием для такого названия является следующая ,,задача
о размещении гостей", сформулированная Люка. Спра-
Спрашивается, сколькими способами можно рассадить за круг-
круглым столом п супружеских пар, мужчин и женщин по-
поочередно, однако так, чтобы ни одна жена не сидела
рядом со своим мужем. Сначала могут быть рассажены
жены, и это можно осуществить 2«! способами. После
этого ни один муж не может занять ни одного из двух
мест рядом со своей женой, но число способов рассадить
мужей не зависит от рассаживания жен. Таким образом,
если Мп означает число размещений в указанной задаче,
то очевидно, что
Мя = 2п\и„. B.3)
Следовательно, мы можем сконцентрировать наше внима-
внимание на числах размещений Un.
Теорема 2.1. Числа размещений Un опреде-
определяются по формуле
2л /2л—1
2л-1
B.4)
Эта замечательная формула для Uп была опубликована
в сообщении Тушара. Приведенное ниже доказатель-
доказательство B.4) является изящным рекуррентным рассуждением,
принадлежащим Капланскому.
Лемма 2.2. Пусть /(я, k) обозначает число спо-
способов выбора k элементов, среди которых нет двух
соседних, из п элементов, расположенных в ряд.
Тогда
я —

2. Числа размещений 39
Доказательство. Мы имеем начальные условия
/(я, l)=("j=n, B.6)
а для я > 1
^jO. B.7)
Пусть теперь 1 < k < п. Мы можем разбить выборки
на те, которые включают в себя первый элемент, и на те,
которые не включают его. Те выборки, что включают
первый элемент, не могут включать второго, и их число
будет
fin — 2, k— 1). B.8)
Число же выборок, не включающих первый элемент, будет
/(я-1, ft). B.9)
Следовательно, мы имеем рекуррентность
fin, k) = f(n — I, k) + f(n — 2, k—l). B.10)
Теперь мы можем доказать B.5) по индукции. По пред-
предположению индукции
I n—k\ ( n—k\
/(«-1. ft)=^ k j, f(,n-2.k-l) = [k_lJ. B.11)
Но тогда из B.10) и B.11) вытекает, что
n — k\ ln — k\
ь 1 ' BЛ2)
что эквивалентно B.5).
Лемма 2.3. Пусть gin, k) обозначает число
способов выбора k элементов, никакие два из кото-
которых не являются смежными, из п элементов, рас-
расположенных в круг. Тогда
(n>ft). B.13)
n — k \ k
Доказательство. Разобьем, как мы это делали
выше, все выборки на те, которые включают первый
элемент, и те, которые его не включают. Выборки, вклю-

40 Гл. 3. Рекуррентные соотношения
чающие первый элемент, не могут включать второй и
последний элементы. Их число
/(я —3, k— 1). B.14)
Число выборок, не включающих в себя первый элемент:
/(я— 1, k). B.15)
Следовательно,
g(n. ft) = /(n-l, ft) + /(n —3. ft—1). B.16)
и теперь B.13) легко следует из леммы 2.2.
Возвратимся еще раз к перестановкам элементов, обо-
обозначенных 1, 2, ..., я. Пусть Pi обозначает то свойство,
что перестановка имеет элемент I на г-м месте (/=1,
2 я), a P'i — то свойство, что перестановка содержит
элемент / на (/—|— 1)-м месте (г=1, 2 я—1). При
этом Рп означает, что в перестановке элемент я занимает
первое место. Расположим в ряд 2я свойств
Pi. Pi Pi. P'i Рп. К- B-17)
Выберем k из этих свойств и узнаем, каково число пе-
перестановок, удовлетворяющих каждому из этих k свойств.
Ответ будет (я — ?)!, если k свойств будут совмести-
совместимыми, и 0 в других случаях. Обозначим через vk число
способов выбора k совместимых свойств из общего числа
2я свойств B.17). Тогда по формуле решета
Un = von\-v1(n-l)\ + v2(n-2)\- ... +(-1/40!
B.18)
Остается только вычислить vk. Но мы замечаем, что
если 2я свойств B.17) расположены в круг, то несовме-
несовместимыми свойствами являются только два последователь-
последовательных. Следовательно, по лемме 2.3
а это и доказывает теорему.
3. Латинские прямоугольники. Дано множество 5
из я элементов. Латинский прямоугольник, основанный
на я-множестве S, есть прямоугольная (г X ?)-таблица
Л = [аи] (/=1,2 г;У=1, 2 s). C.1)

3. Латинские прямоугольники 41
удовлетворяющая условию: каждая строка C.1) является
s-перестановкой элементов 5, а каждый столбец C.1)—
/¦-перестановкой элементов 5. Из этого следует, что г <Сп
и s ^ п. Обозначим элементы 5 через 1, 2, .. ., я и пред-
предположим, что s = n. Тогда латинский прямоугольник со-
содержит в каждой строке перестановку элементов 1, 2,..., я,
и эти перестановки выбраны таким образом, что ни один
столбец не содержит повторяющихся элементов. Латинский
прямоугольник такого типа считается нормализованным,
если первая его строка записана в естественном порядке
1, 2, ..., п. Если L(r, n) обозначает число г~уС.п латин-
латинских прямоугольников, а К {г, я)—число нормализован-
нормализованных г X п латинских прямоугольников, то очевидно
L(r, n) = nlK(r, n). C.2)
Нормализованные 2 X '1 латинские прямоугольники
являются беспорядками, и, следовательно,
К B, n) = Dn. C.3)
Очевидно также, что числа размещений Un оказываются
числами 3 X п латинских прямоугольников с исходными
строками
2 3 ... я
1 2 ... п~
В интересной формуле Риордана для /С C, я) утвер-
утверждается, что
КC, я) = У
*=(Л k
где ш = [п/2], a U0=l. Однако задача о перечислении
латинских прямоугольников, имеющих более трех строк,
лишь едва затронута. В этой связи заслуживает упомина-
упоминания важная асимптотическая формула Эрдёша и Каплан-
ского. В ней утверждается, что если г < Aп п)'!\ то
L(r, п)~п\ге~B\ C.6)
Они предположили, что формула C.6) остается справед-
справедливой для г < п'1з\ это было доказано Ямамото,

42 Гл. 3. Рекуррентные соотношения
Если r = s — n, то латинский прямоугольник называют
латинским квадратом порядка п. Такая конфигура-
конфигурация может быть рассмотрена как таблица умножения весьма
общих алгебраических систем. Обращаем внимание чита-
читателя на то, что мультипликативная таблица конечных групп
определяет латинский квадрат. Но построенный таким обра-
образом латинский квадрат обладает весьма специальными свой-
свойствами. Если теперь
L(n, n) = nl(n— 1)!/„, C.7)
то 1п обозначает число латинских квадратов порядка п,
у которых элементы первой строки и первого столбца
расположены в естественном порядке. Наши предыдущие
рассуждения относительно К {г, п) дают понять, что вы-
вычисление 1п не может быть легким. Это и на самом деле
так. Следующая таблица показывает известные значения 1п:
я 1 2 3 4 5 6 7
/„ 1 1 1 4 56 9408 16 942 080
ЛИТЕРАТУРА
Риордан [5] дает полный обзор рекуррентностеи со многими
дополнительными литературными ссылками. Числа Фибоначчи
исследованы у Диксона [1], гл. 17. Классические работы о числах
размещений включают статьи Тушара [7] и Капланского [3]. Вы-
Вывод формулы для К C, я) имеется у Риордана [4]. Асимптоти-
Асимптотические формулы для L (г, п) рассмотрены у Эрдёша и Каплан-
Капланского [2] и у Ямамото [8]. Значением /7 мы обязаны Сейду [6].
1. D i с k s о n L. E., History of the Theory of Numbsrs, vol. 1,
New York, 1952.
2. Erdos P., Kaplansky I., The asymptotic number of Latin
rectangles, Amer. Jour. Math., 63 A946), 230—236.
3. Kaplansky I., Solution of the „Probleme des menages",
Bull. Amer. Math. Soc, 4Э A943), 784—785.
4. Riordan J., Three-line Latin rectangles — II, Amer. Math.
Monthly, 53 A946), 18—20.
5. Riordan J., An Introduction to Combinatorial Analysis, New
York, 195S. (О русском переводе этой книги см. стр. 22.)
6. Sade A., Enumeration des Carres Latins. Application an 7-e
Ordre, Conjecture pour les Ordres Superieurs, Marseille, 1948.
7. T о u с h a r d J., Sur un probleme de permutations, С R. Acad.
Sci. Paris, 198 A934), 631—633.
8. Yamamoto K., On the asymptotic number of Latin rectang-
rectangles, Japan Jour. Math., 21 A951), 113—119,

Глава 4
ТЕОРЕМА РАМСЕЯ
1. Основная теорема. Мы посвящаем этот пункт опи-
описанию и доказательству важной комбинаторной теоремы,
возникшей из некоторых исследований в области основа-
оснований математики. Теорема эта названа по имени англий-
английского логика Ф. П. Рамсея. В математике принципом раз-
разбиения называется следующее утверждение: если множество
достаточно большого числа элементов разбито на не очень
большое число подмножеств, то по крайней мере одно
нз подмножеств должно содержать большое число эле-
элементов. Теорему Рамсея можно рассматривать как глубо-
глубокое обобщение этого простого принципа. В доказательстве
теоремы Рамсея широко используется аппарат рекуррент-
ностей. Теорема имеет много разнообразных приложений,
некоторые из них будут рассмотрены в следующем пункте.
Пусть дано «-множество S, и пусть Pr (S) обозначает
множество всех r-подмножеств множества S. Пусть, далее,
Pr(S) = A1[}A2U ... UAt A.1)
— произвольное упорядоченное разбиение Рг (S) на t со-
составляющих Av А2, . .., At. Пусть, наконец, заданы целые
числа qv q2 qt, такие, что
l<r<?i. ?2 4v (I-2)
Если существует (^--подмножество множества 5, содер-
содержащее все r-подмножества из Аи то будем его называть
(q{, А^-подмножеством множества 5. Теорема Рамсея
утверждает следующее.
Теорема 1.1. Пусть заданы целые числа qv
q2, ..., qt и г, удовлетворяющие A.2). Тогда суще-
существует минимальное натуральное число N(qv q2, ...
.... qt, r), обладающее тем свойством, что для всех

44 Гл. 4. Теорема Рамсея
целых чисел n~^N(ql, q2 qt, r) справедливо сле-
следующее. Дано п-множество S и произвольное упорядо-
упорядоченное разбиение A.1) множества Pr(s) на t со-
составляющих Av Л2 At; тогда S содержит
(<7»> А^)-под множество для некоторого i, i~ I, 2, .... t.
Доказательство. Чтобы добиться лучшего пони-
понимания формулировки теоремы, рассмотрим вначале раз-
различные ее частные случаи. Начнем с замечания, что в слу-
случае г = 1 теорема сводится к принципу разбиения. В этом
случае Pr(S) совпадает с S, a (qt, Л^-подмножество мно-
множества 5 является некоторым (^-подмножеством множе-
множества А[. Отсюда вытекает'), что
W(?i. 4i 4f i) = <?i + ?2+ •¦• +?* —Н-1- A-3)
Положим теперь ql = q2= ... = qt = q ^> r ^ 1.
В этом случае теорема выглядит следующим образом.
Дано «-множество S, где п достаточно велико. Все г-под-
множества множества 5 произвольным образом разбиты
на t составляющих. Тогда существует ^-подмножество
множества 5 со всеми г-подмножествами одной из t со-
составляющих. Из этого утверждения легко вывести теорему
Рамсея в общем случае. Это можно выполнить, выбирая q
равным максимуму чисел qx, q2 qt. Для ?=1 тео-
теорема Рамсея тривиальна, и в этом случае мы имеем
N (qr, r) — qv Предположим, что мы доказали теорему
для t — 2. Тогда мы покажем, что теорема должна быть
справедливой для t=2>. В самом деле, мы можем написать
Pr(S) = A1U(A2[)Az) A.4)
и положить
q'2 = N(q2> q3, r). A.5)
Теперь, если n^-N(qv q'2, r), то я-множество S должно
содержать (qv Л^-подмножество или (q2, A2 (J Л3)-под-
множество. Но если выполняется последняя альтернатива,
то ^2"п°ДмнОжество множества 5 должно содержать или
(q2, Л2)-подмножество, или (<73. Л3)-подмножество. Следо-
') См. X о л л М., Комбинаторшый анализ, ИЛ, 1963, стр. 43—45,
где приводится доказательство A.3) для t = 2. — Прим. ред.

/. Основная теорема 45
вательно, теорема справедлива для ? = 3; и очевидно, что
по индукции теорема верна для всякого t. Следовательно,
мы обязаны доказать эту теорему только для t = 2; со-
сосредоточим наше внимание на этом случае.
Из A.3) мы знаем, что
N(qv q2, l) = qx + q2—L A.6)
Более того, мы утверждаем, что
N(qv r, r) = qv A.7)
N(r, q2, r) = q2. A.8)
Чтобы доказать это, положим q^ — r и n~^qv Если А2
не пусто, то я-множество 5 содержит (г, Л2)-подмноже-
ство. С другой стороны, если Л2 пусто, то Ах — Pr(S),
и 5 содержит (qv Рт (S) )-подмножество. Тем самым до-
доказано утверждение A.7). Аналогичными рассуждениями
доказывается равенство A.8).
Чтобы завершить доказательство для t=2, применим
индукцию. На основе A.6), A.7) и A.8) мы можем при-
принять, что данные числа qv q2 и г удовлетворяют нера-
неравенству 1 < г < qx, q2. Примем в качестве предположения
индукции существование целых чисел N (qx—1, q2, r) и
N {q\, q<i—1. г)- Кроме того, включим в эту гипотезу
существование целого числа N (q'v q'y r— 1) для всех q[, q'2,
таких, что 1 <J r ^ q'v q'r Исходя из этих предположений,
а также из A.6), A.7) и A.8), мы устанавливаем суще-
существование целого числа N (qv q2, r). Эта индукция верна,
кроме того, потому, что существуют следующие целые
числа:
NB, 2, 2), NB, 3, 2), TVB, 4, 2), ...
7VC, 2, 2), 7VC, 3, 2), NC, 4, 2), ... A.9)
7VD, 2, 2), ND, 3, 2), ND, 4, 2), ...
В свою очередь это влечет существование целых чисел
N(qv q2, 3) и т. д.
В силу предположения индукции существуют числа
Pl^N(q1 — I, q2, r), p2 = N(qvq2— 1, г) и N(pv р2, г—1).

4S Гл 4. Теорема Рамсея
Исходя из этого, мы доказываем существование N (qv q2, r).
Фактически мы доказываем следующее неравенство:
N(qv q2, r)^N(pv p2, r—1)+1- A-Ю)
Пусть
n>N{pv р2, г — 1L- 1. A.11)
Пусть а — фиксированный элемент я-множества S, aT есть
(я — 1)-множество остальных элементов S. Применим раз-
разбиение PT(S) — Al\jA2 всех /"-подмножеств множества S,
чтобы определить разбиение
РГ_1(Т) — В1ЦВ2 A-12)
множества РГ_Х(Т) всех (г — 1)-подмножеств множества Т.
Это делается следующим образом. Пусть R—-какое-либо
(г—1)-подмножество множества Т. Если R U а входит
в Ах, мы помещаем R в Bv а если R [) а входит в А2,
то — в В2. Это и дает нам разбиение A.12) множества
Множество Т содержит по крайней мере N(ри р2, г—1)
элементов. Следовательно, Т содержит или (pv 5:)-под-
множество, или (р2, ??2)'поДмножес'гво- Сначала рассмотрим
случай, когда Т содержит (pv ^-подмножество. Тогда
Т содержит Pj-подмножество U, все (г — ^-подмноже-
^-подмножества которого лежат в В1. Теперь p\=N(qx—1, q2, r)
и U как подмножество множества S содержит или
(<7!—1)-подмножество, все r-подмножества которого входят
в Av или <72'поДмножество' все /"-подмножества которого
входят в А2. Если имеет место последняя альтернатива,
то <72'п°Дмножество удовлетворяет нашим требованиям;
теорема доказана.
Предположим теперь, что U содержит (qx—^-под-
(qx—^-подмножество V, все /"-подмножества которого входят в Av
Но в этом случае W = V [} а является ^^подмножеством
множества S. Если г-подмножество множества W не со-
содержит а, то оно является /"-подмножеством множества V
и, следовательно, это г-подмножество входит в Ах. С дру-
другой стороны, если г-подмножество множества W содержит
элемент а, то оно состоит из этого элемента а и из
(г—1)-подмножества множества V. Множество V, по-
поскольку оно является подмножеством множества U,

2. Приложения 47
содержит все свои (г — 1)-подмножества в Вх. Но тогда,
по определению разбиения A.12), такое г-подмножество
множества W входит также в Ах. Таким образом, W есть
^-подмножество множества S, все г-подмножества кото-
которого входят в Ах. Другой случай, в котором Т содержит
(р2, ?2)-П0Дмн0Жеств0> может быть рассмотрен с помощью
совершенно аналогичных рассуждений. Теперь доказатель-
доказательство теоремы Рамсея полностью выполнено.
Целые числа N(q}, q2, r) имеют глубокий комбинатор-
комбинаторный смысл. Но, к сожалению, для них неизвестно никакой
рекуррентности, а рекуррентное неравенство A.10) не
очень действенно в большинстве случаев. Это доставляет
серьезные затруднения при вычислении N (q}, q2, r). Ко-
Конечно, мы всегда получаем тривиальные значения A.6),
A.7) и A.8). Но, помимо них, все известные N (qx, q2, r)
укладываются в следующую симметрическую таблицу для
N(gi, qv 2):
A.13)
Не удивительно, что еще меньше известно о случаях,
когда t > 2. В этом случае наибольшая информация к на-
настоящему времени содержится в следующем утверждении:
ЛГC, 3, 3, 2)== 17. A.14)
2. Приложения. Рассмотрим п точек, расположенных
произвольным образом в пространстве трех измерений.
Две различные точки определяют отрезок; каждый из этих
отрезков окрашен в красный или синий цвет. 2-подмно-
жества точек могут быть разбиты на множество Ах крас-
красных отрезков и множество Л2 синих отрезков. Теперь,
если qx и q2 — целые числа, такие, что 2^.qx, q2, и если
n^N(qx, q2, 2), то по теореме Рамсея должны суще-
существовать qx точек, образующих только красные отрезки,
и q2 точек, образующих только синие отрезки. Более того,
N(qx, q2, 2) есть минимальное целое число, обладающее
этим свойством,
3
4
5
з
6
9
14
4
9
18
5
14

48 Гл. 4, Теорема Рамсея
Следующее приложение теоремы Рамсея относится
к выпуклым многоугольникам.
Теорема 2.1. Дано целое число т^>Ъ. Суще-
Существует минимальное натуральное Nm, такое, что
для всех целых n~^-Nm выполняется следующее свой-
свойство: если среди п точек на плоскости никакие три
точки не лежат на одной прямой, то т точек
являются вершинами выпуклого т-угольника.
Лемма 2.2. Если среди пяти точек на пло-
плоскости никакие три точки не лежат на одной пря-
прямой, то четыре точки являются вершинами вы-
выпуклого четырехугольника.
Доказательство. Пять точек определяют десять
прямолинейных отрезков, а периметр этой конфигурации
является выпуклым многоугольником. Если этот выпуклый
многоугольник является пяти- или четырехугольником, то
имеем тривиальный случай. Предположим, что выпуклый
многоугольник оказался треугольником. Тогда две из пяти
точек попадают внутрь треугольника. Две внутренние точки
определяют прямую, а две из трех вершин треугольника
лежат с одной стороны этой прямой. Тогда эти две вер-
вершины треугольника и две внутренних точки образуют
выпуклый четырехугольник.
Лемма 2.3. Если из т точек на плоскости ни-
никакие три не коллинеарны и если все четырехуголь-
четырехугольники, образованные из этих т точек, выпуклые, то
т точек являются вершинами выпуклого т-угольника.
Доказательство. Очевидно, что т точек опре-
определяют т (т — 1)/2 прямолинейных отрезков, а периметр
этой конфигурации есть выпуклый д-уголышк. Зануме-
Занумеруем последовательно вершины д-угольника: Vx, V2 Vq.
Если одна из наших точек попадает внутрь д-угольника,
то она должна оказаться внутри одного из треугольни-
треугольников: VlV2V3, V^V^ ViVq-iVq- Но это противоречит
условию, что все четырехугольники, образованные из то-
точек, выпуклые. Следовательно, q=m, а т-угольник
выпуклый.
Теперь теорема 2.1 оказывается нетрудным следствием
теоремы Рамсея. Чтобы это доказать, положим т^4 ц

2. Приложения
49
n^-NE, m, 4). Разобьем 4-подмножества из п точек на
выпуклые и невыпуклые четырехугольники. По теореме
Рамсея существует или пятиугольник со всеми невыпуклыми
четырехугольниками, или один ж-угольник со всеми вы-
выпуклыми четырехугольниками. В силу леммы 2.2 первая
альтернатива отпадает, а по лемме 2.3 /я-угольник будет
выпуклым.
Наши рассуждения показали, что
Nm<.NE, m, 4). B.1)
Известно, что N3= 3 = 2+1, yV4 = 5 = 22+l; было
показано, что Л/5 = 9 = 23 —|— 1. Это приводит к предпо-
предположению, что
/Vm = 2m~2+ 1, B.2)
но это утверждение еще не доказано.
Наше заключительное приложение касается @, ^-ма-
^-матриц. Подматрица порядка т матрицы А порядка п на-
называется главной, если она получена вычеркиванием из
А произвольных п—т строк и стольких же столбцов.
Теорема 2.4. Дано произвольное натуральное
число т. Всякая (О, \)-матрица А достаточно
большого порядка п содержит главную подматрицу
порядка т одного из следующих четырех видов:
н 0~ ~* О'
B.3)
О
1
Звездочки на главной диагонали обозначают нули
и единицы. Элементы же, расположенные выше или
ниже главной диагонали, все либо нули, либо еди-
единицы, как показано в B.3).
Доказательство. Пусть в теореме Рамсея «-мно-
«-множество S будет множеством п векторов-строк матрицы

50 Гл. 4. Теорема Рамсея
А = [atj]. Обозначим строку i в А через ссг. Положим
/ < У и свяжем с вектор-строками а,- и ау- в А вектор
(fly;, fl/y-). Этот вектор будет @, 0), A, 0), @, 1) или A, 1).
Следовательно, мы имеем разбиение 2-подмножеств мно-
множества S
i. B.4)
Предположим, что
я>М(м, т, т, т, 2). B.5)
Тогда по теореме Рамсея существует /я-подмножество
множества 5, все 2-иодмножества которого лежат в одной
из четырех составляющих P2(S). Но из этого следует
существование главной подматрицы одного из четырех
видов, показанных в B.3).
ЛИТЕРАТУРА
Теорема Рамсея в ее первоначальной форме дана в [8].
Приведенное здесь доказательство и результаты о выпуклых
многоугольниках принадлежат Эрдёшу и Секерешу [4]. Подсчет
значений для N (qu q2, 2) и -/V C, 3, 3, 2) дан в статье Гринвуда
и Глисона [6].
1. Е г d б s P., R a d о R., A combinatorial theorem, Jour. London
Math. Soc, 25 A950), 249—255.
2. Erdos P., Rado R., Combinatorial theorems on classifications
of subsets of a given set, Proc. London Math. Soc, 3rd. ser.,
2 A952), 417—439.
3. Erdos P., Rado R., A partition calculus in set theory, Bull.
Amer. Math. Soc, 62 A956), 427—489.
4. Erdos P., Szekeres Q., A combinatorial problem in geo-
geometry Compositlo Mathematlca, 2 A935), 463—470.
5. Goodman A. W., On sets of acqnaintances and strangers at
any party, Amer. Math. Monthly, 68 A959), 778—783.
6. Greenwood R. E., Gleason A. M., Combinatorial rela-
relations and chromatic graphs, Canad. Jour. Math., 7 A955),
1—7.
7. R a d о R., Direct decomposition of partitions, Jour. London
Math. Soc, 29 A954), 71—83.
8. Ramsey F. P., On a problem of formal logic, Proc. London
Math. Soc, 2nd series, 30 A930), 264—286.
9. S k о 1 e m Т., Eln kombinatorischer Satz mlt Anwendung auf
ein logisches Entscheidungsproblem, Fundamenta Mathema-
ticae, 20 A933), 254—261,

Глава 5
СИСТЕМЫ РАЗЛИЧНЫХ ПРЕДСТАВИТЕЛЕЙ
1. Основная теорема. Дано произвольное множе-
множество S. Пусть Р (S) обозначает множество всех подмно-
подмножеств множества S. Пусть, далее,
D = (alt a2, .... ат) A.1)
есть m-выборка из множества S, а
ME) = (S1, 52 SJ A.2)
есть m-выборка из P(S). Теперь предположим, что т
элементов выборки D различны и что
a^S, (/=1, 2 т). A.3)
В таком случае будем говорить, что элемент at пред-
представляет множество Si и что подмножества Sv
S2 Sm имеют систему различных представите-
представителей (сокращенно: с. р. п.). Назовем выборку D с. р. п.
для М(S). Определение с. р. п. требует, чтобы at=huj,
как только i Ф j, но St и Sj не обязательно должны быть
различными подмножествами множества S.
Дадим простую иллюстрацию понятия с. р. п. Пусть S
есть 5-множество целых чисел 1, 2, 3, 4, 5. Положим
S1==B, 5), S2==B, 5), S3 = (l, 2> 3> 4)> 54 = (Ь 2- 5)-
Тогда D = B, 5, 3, 1) есть с. р. п. для Slt S2, S3, 54.
Если мы в этом примере заменим S4 на Si = B, 5), то
подмножества уже не будут иметь с. р. п., так как
SiU^U^ есть 2-множество, а для того чтобы предста-
представлять S\, S2, S^ требуется три элемента.
Необходимое и достаточное условие существования
с. р. п. дает следующая теорема Ф. Холла.

52 Гл. 5 Системы различных представителей
Теорема 1.1. Подмножества Sx, S2, ..., Sm
имеют с. р. п. тогда и только тогда, когда мно-
множество Si I) Si U ... U Si содержит по меньшей
мере k элементов. Это должно выполняться для
k = l, 2 т и для всех k-сочетаний (iv i2, .... У
целых чисел 1, 2 т.
Необходимость этой фундаментальной теоремы оче-
очевидна. Докажем теперь усовершенствованный вариант
условия достаточности, дающий нижнюю грань для числа
с. р. п. Затем в следующих разделах книги мы обсудим
дальнейшие разветвления и приложения наших резуль-
результатов.
Теорема 1.2. Пусть подмножества Sv S2, .... Sm
удовлетворяют необходимому условию существова-
существования с. р. п. и пусть каждое из этих подмножеств
состоит по меньшей мере из t элементов. Если
t^m, то М (S) имеет по меньшей мере t\ систем
различных представителей, а если t>m, то М (S)
имеет по меньшей мере tl/(t—т)\ таких систем.
Доказательство проводится посредством индук-
индукции относительно т. Для т = 1 теорема очевидна. В ка-
качестве предположения индукции примем, что теорема
верна для всех m'-выборок из Р (S), где т' < т. Дока-
Докажем теорему для m-выборок M(S)^=(Sl, S2, .... Sm).
Доказательство разбивается на два случая.
В первом случае мы исходим из предположения, что
множество Si U ^г2 U • ¦ • U Si. содержит по меньшей
мере k~\- 1 элементов. Это имеет силу для &=1,
2, ..., т — 1 и для всех ^-сочетаний (iv i2 ik)
целых чисел 1, 2 т. В этом случае поступаем та-
таким образом.
Пусть ах — фиксированный элемент в Sv Вычеркнем ах
всюду, где бы он ни появлялся из множеств S2, S3 Sm,
и обозначим получившиеся множества S2, 5з> ¦••> Sm соот-
соответственно; (т—1)-выборка
M'(S) = (S'2.S3 5;) A.4)
удовлетворяет необходимому условию существования
с. р. п., так как множество 5,- U «5/2 U ••¦ U Si содержит

. Основная теорема 53
по меньшей мере k -f-1 элементов. Теперь, если t^m,
то t — 1 <; m — 1 и по предположению индукции М' (S)
имеет по меньшей мере (t—1)! с. р. п. Также, если
t > ш, то t — 1 > m — 1 и по той же причине М' (S)
имеет по меньшей мере (t— 1)!/(^— tri)\ систем различных
представителей. Но аг и с. р. п. для М'(S) дают нам
с. р. п. для М (S), где аг представляет 5j. Это справед-
справедливо для каждого из t выборов элемента av Следова-
Следовательно, мы получаем искомое число с. р. п. для М (S).
Во втором случае существует ^-подмножество множе-
множества 5 вида Si U Si U .. . U St . Здесь k — целое число,
лежащее в интервале 1 <; k <J m—1, a (iv i2 lk) —
определенное ^-сочетание целых чисел 1, 2 m.
Переименуем подмножества 5j, 52 Sm, так что
S^US^U ... USik есть 5iU52U ... U5ft. Из суще-
существования этого А-подмножества вытекает, что t <J k.
Следовательно, по предположению индукции ^-выборка
E], 52 Sk) имеет по меньшей мере Л с. р. п. Пусть
?)* = («!, а2 ak) обозначает одну такую с. р. п.
Вычеркнем элементы D* всюду, где бы они ни появля-
появлялись, из множеств 5ft+!, Sk+2 Sm и обозначим по-
лучившиеся множества Sk + i> 5^+2 Sm соответственно;
(m — &)-выборка
M*(S) = (sI+i, Sl+2 S*m) A.5)
удовлетворяет необходимому условию существования
с. р. п., так как если, скажем, 5A+I U 5й+2 U ... 115*+**
содержит менее k* элементов, то
5,U52U ... U5ftU5ft+1u5ft+2U ... USk+k* A.6)
содержит менее k-\-k* элементов, а это противоречит
условию теоремы1). Следовательно, М* (S) имеет по
меньшей мере одну с. р. п., и, следовательно, М E) имеет
по меньшей мере t\ c.p. п. Это и доказывает теорему 1.2
а заодно и теорему 1.1.
') То есть необходимому условию существования с. р. п.
(теорема 1.1).—Прим. ред.

54 Гл. 5. Системы различных представителей
2. Разбиения. Пусть
Т = А1[)А2[) ... \}Ат B.1)
и
Г = 5, \}В2\) ... U#m B.2)
обозначают два разбиения множества Т, в которых ни
одна из составляющих не является нуль-множеством 0.
Возьмем m-подмножество Е множества Т, такое, что ка-
каждое АЬ^\ЕФ 0 и каждое В-}[\Е Ф ($¦ Тогда каждое из
этих пересечений должно быть 1-множеством и множе-
множество Е может быть названо системой общих предста-
представителей (сокращенно с. о. п.) разбиений B.1) и B.2).
С. о. п. существует для этих разбиений тогда и только
тогда, когда существует подходящая перенумерация со-
составляющих B.1), такая, что
AtnB^0 (/=1, 2 т). B.3)
Используем теорию с. р. п. для того, чтобы получить
следующее необходимое и достаточное условие существо-
существования с. о. п.
Теорема 2.1. Разбиения B.1) и B.2) имеют
с. о. п. тогда и только тогда, когда множество
Ai \} At\} ¦¦¦ U А, содержит не более k из соста-
составляющих Bv В2 Вт. Это должно выполняться
для k—\, 2, ..., т и для всех k-сочетаний
(tv 12, ..., lk) целых чисел 1, 2, ..., т.
Доказательство. Необходимость условия, сфор-
сформулированного в теореме, как и прежде, очевидна. До-
Достаточность докажем следующим образом. Пусть 5 есть
/га-множество элементов Ах, А2 Ат. Пусть S,— мно-
множество всех элементов Лу-, таких, что Лу- П Bi Ф 0. Тогда
М E) = E!, 52 Sm) является m-выборкой подмно-
подмножеств множества 5. Мы утверждаем, что множество М E)
удовлетворяет необходимому условию существования с. р. п.
Так как если, скажем, Sj U S2 U " ' ' U ^ь+\ содержит
только k элементов Л,- , Ait ..., Л,- то At U Л,- U ...
... U Ai содержит k-\- 1 составляющих Вх, В2, ..., Bk+V
что противоречит условию теоремы. Следовательно, по
теореме 1.1 существует с. р. п. для M(S). Теперь мы

2. Разбиения 55
можем перенумеровать компоненты B.1) так, чтобы эта
с. р. п. была D — (AV A2 Ат). Но тогда справед-
справедливо B.3), что и доказывает теорему.
Теорема 2.2. Пусть даны два разбиения мно-
множества Т: Т = А1[}А2[} ... [)Ат и T = Bl\JB2[) ...
... U Вп,. Если в этих разбиениях каждая соста-
составляющая At или Bj является r-подмножеством мно-
множества Т, то разбиения имеют с. о. п.
Доказательство. Это частный случай теоремы 2.1.
Из теоремы 2.2 вытекает следующее утверждение для
(г X т)-таблиц, элементами которых являются числа 1,
2, ..., г т. Пусть дано
А =
1 2 ... т
т-\-\ т -\~2 ... 2т
B.4)
Пусть теперь дана (г X т)-таблица В, элементами кото-
которой являются тоже целые числа 1, 2,-..., гт, но распо-
расположенные в произвольном порядке. Тогда существует
для В такая перестановка столбцов, что соответствующие
столбцы А и В будут иметь по меньшей мере один общий
элемент.
Следующая ниже иллюстрация требует знания элемен-
элементарных свойств смежных классов в теории групп1). Но
в этом случае теорема оказывается непосредственным
следствием теоремы 2.2.
Теорема 2.3. Дана конечная группа G и ее под-
подгруппа Н. Пусть G = Нхх U Hx2 U • • • U Нхт — разло-
разложение по правым смежным классам относительно Н,
a G = y[H\}y2H\] ... U утН—разложение по левым
смежным классам относительно Н2). Тогда сущг-
') См., например, Холл М., Теория групп, ИЛ, 1962. —
Прим. ред.
2) У Холла наоборот: хН — правый, а Их — левый смежные
по подгруппе Н классы. — Прим. ред.

56 Гл. 5. Системы различных представителей
ствуют элементы zv z2 zm группы О, такие,
что
O^Hz1UHz2U ... UHzm = z1H\iz2H\i ... \}zmH.
B.5)
3. Латинские прямоугольники. В этом разделе мы
приложим теорию с. р. п. к латинским прямоугольникам.
Пусть дан г X s латинский прямоугольник, составленный
из п элементов 1, 2 п. Будем говорить, что латин-
латинский прямоугольник может быть расширен до латинского
квадрата порядка га, если мы сможем присоединить к нему
п — г строк ига — s столбцов так, чтобы окончательная
конфигурация оказалась латинским квадратом и-го порядка.
Причем новая конфигурация содержит старую в левом
верхнем углу.
Теорема 3.1. Дан г X п латинский прямоуголь-
прямоугольник, построенный из п элементов 1, 2, ..., п. Он
может быть расширен до латинского квадрата
п-го порядка.
Доказательство. Пусть дано «-множество S,
состоящее из элементов 1, 2 п, и пусть St — мно-
множество всех тех элементов множества S, которые не по-
появляются в /-м столбце латинского прямоугольника. Тогда
каждое St есть (и — г)-подмножество множества S,
а М (S) = (S1, S2 Sn) есть и-выборка подмножеств
множества 5. Докажем, что М (S) удовлетворяет необхо-
необходимому условию существования с. р. п. Пусть I является
элементом множества 5. В латинском прямоугольнике г
появлений элемента / имеют место в различных столбцах.
Следовательно, этот элемент находится точно в п — т-
множествах из Sv S2 Sn. Теперь, если, скажем,
множество SY U S2 U ... U Sk содержит только k — 1 эле-
элемент, то в таком случае эти элементы появляются
в множествах Slt S2 Sk не более чем (п — r)(k— 1)
раз. Но это противоречит тому факту, что каждое из этих
множеств является (и — /-)-подмножеством множества S.
Следовательно, M(S) имеет с. р. п. Обозначим последнюю
через D = (ll, i2 /„). Тогда D может быть присоеди-
присоединена к гХ" латинскому прямоугольнику, чтобы полу-
получить (r-j-l)Xi латинский прямоугольник. Указанны^

4. Матрицы, составленные из нулей и единиц 57
процесс может быть повторен, пока латинский прямо-
прямоугольник не окажется расширенным до латинского ква-
квадрата порядка я.
Теорема 3.2. Существует по меньшей мере
я!(я— 1)! ... (я —г+1)! C.1)
гХ« латинских прямоугольников, и, следовательно,
по крайней мере
я! (л— 1)! ... 211! C.2)
я X п латинских квадратов.
Доказательство. Существует я! латинских прямо-
прямоугольников размерности 1 X я. По теоремам 3.1 и 1.2
каждый из них может быть расширен по меньшей мере
до (я—1)! латинских прямоугольников размерности 2 X я.
Следовательно, существует по меньшей мере я! (я—1)!
латинских прямоугольников размерности 2 X я. Рассуждая
далее аналогичным образом, докажем теорему.
Обозначим через /„ число латинских квадратов по-
порядка га, у которых элементы первой строки и первого
столбца расположены в естественном порядке. Тогда
из теоремы 3.2 следует, что
/„>(я — 2)!(га— 3)! ... П. C.3)
Приведем таблицу значений 1п и Ьп = (га — 2)!(я— 3)!... 1!
для я== 3, 4, 5, 6, 7:
я 3 4 5 6 7
/„ 1 4 56 9 408 16 942 080
Ьп 1 2 12 288 34 560.
4. Матрицы, составленные из нулей и единиц.
Дана матрица А размера т X п, элементами которой
являются нули и единицы. Такие @, 1)-матрицы играют
ведущую роль в решении многих комбинаторных вопросов.
Одна из главных причин этого следующая. Пусть 5 есть
я-множество элементов ах, а2 я„, а М {S)~
= (S1, S2, ..., Sm) есть m-выборка подмножеств мно-
множества S. Теперь пусть аи=\, если uj принадлежит

58 Гл. 5. Системы различных представителей
множеству St, а если это не так, то а,-. = 0. Тогда
А = [аи] (/=1, 2, .... т; ]=\, 2, ...,п) D.1)
есть @, 1)-матрица размера т X Я- Эта матрица назы-
называется инцидентной для подмножеств Sj, 52 5т
множества 5. Единицы в г-й строке матрицы А обозна-
обозначают элементы, принадлежащие множеству Sh а единицы
в /-м столбце обозначают множества, содержащие эле-
элемент dj. Таким образом, матрица А дает полное описание
подмножеств Slt S2, ..., Sm множества S. В свою оче-
очередь, если задана @, 1)-матрица А размера ту, п и
если 5 есть произвольное «-множество, то существуют под-
подмножества Sj, S2, ..., Sn этого множества, такие, что А
является их инцидентной матрицей.
Из сказанного выше ясно, что @, 1)-матрица А харак-
характеризует подмножества S,, S2 Sm множества 5. Но
мы можем характеризовать эти подмножества также
матрицей, элементами которой будут +1 и —1 или
вообще две разных величины х и у. Все такие характе-
характеристики являются вполне удовлетворительными, но они
зачастую не имеют никакого преимущества перед харак-
характеристикой с помощью инцидентной матрицы А. В самом
деле, выбор 0 и 1 в качестве элементов матрицы А осо-
особенно удобен вследствие простоты их поведения при сло-
сложении и умножении. Следующая теорема иллюстрирует
это утверждение.
Теорема 4.1. Даны подмножества Sv S2 Sm
некоторого п-множества; пусть т ^. п. Введем для
этих подмножеств инцидентную матрицу А. Тогда
число систем различных представителей для
M(S) = (S1, S2 Sm) равно per (Л).
Доказательство непосредственно следует из опре-
определений. Заметим, что определение per (Л) и существо-
существование с. р. п. одинаково требуют т -^ п.
Перестановочная матрица1) Р есть @, 1)-матрица
размера т X п, такая, что РРТ = 1, где Рт обозначает
транспонированную матрицу Р, а / — единичную матрицу
') Или матрица перестановки. — Прим. ред.

5. Граничный ранг , 59
т-то порядка. Из этого определения следует, что
Перестановочная матрица порядка т имеет единственный
элемент 1 в каждой строке и в каждом столбце, тогда
как все другие элементы — нули. Предположим теперь,
что в множестве 5 элементы и подмножества перенуме-
перенумерованы. В таком случае инцидентная матрица А заменяется
другой инцидентной матрицей А' вида
A' = PAQ. D.2)
Здесь Р—перестановочная матрица порядка т, опреде-
определенная перенумерованием подмножеств, a Q — перестано-
перестановочная матрица порядка п, определенная перенумерова-
перенумерованием элементов. Многие исследования, включающие в себя
(О, 1)-матрицу А, имеют дело с функциями, которые
подобно per (Л) остаются инвариантными относительно
произвольных перестановок строк и столбцов матрицы А.
Причина этого теперь очевидна. Подобные функции пред-
представляют интерес для комбинаторики потому, что они
не зависят от того, как конкретно перенумерованы эле-
элементы и подмножества множества S.
5. Граничный ранг. Термин линия в матрице обо-
обозначает или строку, или столбец матрицы. Следом матрицы
является сумма элементов, расположенных на ее главной
диагонали. Рассмотрим теперь @, 1)-матрицу А размера
гаХ". Граничным рангом (term rank) матрицы А назы-
называется максимальное число единиц в А, расположенных
так, что никакие две единицы не лежат на одной линии.
Таким образом, граничный ранг матрицы А равен макси-
максимальному ее следу при произвольных перестановках строк
и столбцов. Это эквивалентно максимальному числу ква-
квадратных подматриц в Л с отличным от нуля перманентом.
Понятие граничного ранга подсказывает удобное обобще-
обобщение понятий с. р. п. для подмножеств Sv 52> .... Sm
rt-множества 5. Ибо если А есть инцидентная матрица
для этих подмножеств, то последние имеют с. р. п. тогда
и только тогда, когда граничный ранг этой матрицы
равен т.
Теорема 5.1. Дана (О, \)-матрица А размера
ту, п.. Минимальное число линий в А, содержащих

60 Гл. 5. Системы различных представителей
все единицы, имеющиеся в А, равно граничному
рангу А.
Доказательство. Пусть р' равно минимальному
числу линий матрицы А, содержащих все единицы,
а р равно граничному рангу А. Требуется доказать, что
р = р'. Никакая линия не может содержать две единицы,
которые числятся в р единицах граничного ранга. Следо-
Следовательно, р'^-р- Используем теорию с. р. п., чтобы дока-
доказать, что р^-р'. Пусть минимальное покрытие единиц р'
линиями состоит из е строк и / столбцов, так что
e-\-f — pr. Как р, так и р' инвариантны относительно
перестановок строк и столбцов в А. Следовательно, можем
выбрать эти е строк и / столбцов в качестве начальных
в матрице. Запишем матрицу так:
л, J-. <»•¦>
где А1 имеет размер еХ/- Теперь граничный ранг А2
будет е, так как мы можем рассматривать А2 как инци-
инцидентную матрицу для подмножеств Su S2, ¦¦-, Se
из (га— /)-множества целых чисел f-\-\, /-|-2 га.
Эти подмножества должны удовлетворять необходимому
условию существования с. р. п. Ибо если бы это условие
не было выполнено, то мы могли бы заменить некоторые
из е строк на меньшее число столбцов, сохранив покрытие
всех единиц в А. Но в таком случае покрытие оказы-
оказывается выполненным менее чем е -)- / линиями, что про-
противоречит условию минимальности р'. Что касается А3,
то мы можем рассматривать транспонированную матрицу Лз
как инцидентную для подмножеств и показать аналогич-
аналогичными рассуждениями, что / будет граничным рангом Л3.
Следовательно, р^>0-|-/ = р' и теорема 5.1 таким обра-
образом доказана.
Теорема 5.1 имеет следующее непосредственное обоб-
обобщение. Пусть дана матрица А размера m X п, элементы
которой являются элементами поля F. Минимальное число
линий в А, содержащих все ненулевые элементы, равно
максимальному числу ненулевых элементов А, никакие
два из которых не лежат на одной линии.

5. Граничный ранг 61
Теорема 5.2. Дана матрица А размера т~Хп,
элементами которой являются неотрицательные
действительные числа; пусть m <С я. Пусть сумма
элементов каждой строки в А равна т', а сумма
элементов каждого столбца—п.'. Тогда
где каждое Pt есть перестановочная матрица,
а коэффициенты ct — неотрицательные действитель-
действительные числа.
Доказательство. Если матрица А не квадратная,
то заменим ее на
А
E.3)
А' =
2- J
. п
где J— матрица размера (п — т) X я. составленная
из единиц. Матрица А' имеет порядок га, а ее элементы
представляют собой неотрицательные действительные числа.
Сумма элементов каждой строки и каждого столбца ма-
матрицы А' равна т'. Если А' — ненулевая матрица, то она
имеет п положительных элементов, никакие два из кото-
которых не лежат на одной линии. Если бы А' не имела я
таких элементов, то в соответствии с замечаниями, выте-
вытекающими из теоремы 5.1, мы могли бы покрыть поло-
положительные элементы А е строками и / столбцами, где
е-{-/<, п. Но тогда т'п^ т' (е -j- /) < т'п, а это —
явное противоречие. Пусть теперь Рг — перестановочная
матрица порядка п, в которой единицы занимают те же
места, что и га положительных элементов матрицы А'.
Пусть из этих элементов наименьшим будет сг Тогда
А' — CjPj есть матрица, элементами которой являются
действительные неотрицательные числа. Кроме того, суммы
элементов каждой строки и каждого столбца в матрице
А' — CjPJ равны неотрицательному действительному числу
т' — Су Но в А' — CjPj появляется по меньшей мере
на один нуль больше, нежели в А'. Поэтому теперь можно
продолжать работать с А' — CjPj и повторять вышепри-
вышеприведенные рассуждения до Ах = clP[ -f- c2P'2 -f- ... -\- ctP'tl

62 Гл. 5. Системы различных представителей
Но это как раз и дает разложение вида E.2) для ма-
матрицы А.
Теорема 5.2 имеет большое число интересных при-
приложений.
Теорема 5.3. Пусть дана (О, 1)-матрица А по-
порядка п, такая, что суммы элементов по любой
строке или любому столбцу равны целому положи-
положительному числу k. Тогда
Л = Л + Р2+ ... +РА> E.4)
где все Pi —перестановочные матрицы.
Доказательство вытекает из доказательства теоремы 5.2.
В этом случае любое сj = 1 и процесс обрывается после
t = k шагов.
Теорема 5.3 позволяет . дать утвердительный ответ
на следующую задачу. Устроены танцы для п юношей и
п девушек. Каждый юноша был предварительно предста-
представлен k девушкам, а каждая девушка — k юношам. Никто
из них не пожелал расширить знакомства. Могут ли юноши
и девушки быть соединенными в пары так, чтобы не было
уже необходимости в новых знакомствах? Построим @, 1)-
матрицу А = [а^], где аГ]= 1, если юноша j бил пред-
предварительно представлен девушке I, и ап = 0 в противном
случае. Тогда А удовлетворяет требованиям теоремы 5.3,
а перестановочная матрица Pt из E.4) дает желаемое рас-
распределение юношей и девушек по парам.
Матрица А порядка п называется дважды стохасти-
стохастической, если ее элементы представляют собой неотрица-
неотрицательные действительные числа, а суммы элементов по любой
строке и по любому столбцу равны 1. Эти матрицы по праву
подверглись широкому исследованию вследствие их зна-
значения в теории вероятностей перехода. Из теоремы 5.2
вытекает
Теорема 5.4. Пусть дана дважды стохастиче-
стохастическая матрица А порядка п. Тогда
А = c,P, + с2Р2 + .. . + ctPt, E.5)
где Pt — перестановочные матрицы, а с-. — действи-
действительные положительные числа, такие, что
Cj-fc2+ ... +с,= 1. E.6)

Литература 63
Пусть матрица А — дважды стохастическая. Ее эле-
элементы — действительные неотрицательные числа, так что
per А не может превзойти произведения сумм элементов
по строкам. Но так как каждая сумма элементов
по строкам равна 1, то мы имеем
рег(Л)<1. E.7)
Равенство в E.7) выполняется тогда и только тогда, когда
дважды стохастическая матрица А является перестановоч-
перестановочной. Из теоремы 5.4 очевидно, что если А — дважды
стохастическая, то per (А) > 0. Но если А — дважды сто-
стохастическая матрица порядка га, то определение минималь-
минимального значения per (Л) является трудной, еще не решенной
задачей. В предположении Ван дер Вардена утверждается
Р« 04) >-^-. E.8)
Равенство в E.8) получается, если A~n~lJ, где J—ма-
J—матрица порядка га, составленная из единиц. В действитель-
действительности это может быть единственным случаем равенства.
Следующее предположение является обобщением E.8):
если матрицы А и В — дважды стохастические, то
per (Л?)< per (A), per (В). E.9)
Частный случай B — n~lJ эквивалентен E.8).
ЛИТЕРАТУРА
Основная теорема 1.1 рассмотрена в [8], теорема 1.2 в [6].
Доказательство теоремы 1.2 содержится в [9] и [15]. Приложения
к латинским прямоугольникам имеются в [5,6]. Многие из при-
приложений к матрицам даны в [14]. Обширные исследования пред-
предположения Ван дер Вардена имеются в работах [17, 18].
1. Berge С, Theorie des Oraphes et ses Applications, Paris,
1958. (Русский перевод: Б е р ж К., Теория графов и ее
применения, ИЛ, 1962.)
2. Everett С. J., W h a p I e s О., Representations of sequences
of sets, Amer. Jour. Math., 71 A949), 287—293.
3. F о r d L. R., Jr., Fulkerson D. R., Network flows and sys-
systems of representatives, Canad. Jour. Math., 10 A958), 78—85.
4. Ford L. R., Jr., Fulkerson D. R., Flows in Networks,
Princeton Univ. Press, 1962. (Русский перевод: Форд Л.,
Фалкерсон Д., Потоки в сетях, изд-во »Мир", в печати.)

64 Гл. 5. Системы различных представителей
5. Hall M., Jr., An existence theorem for Latin squares, Bull-
Amer. Math. Soc, 51 A945), 387—388.
6. Hall M., Jr., Distinct representatives of subsets, Bull. Amer.
Math. Soc, 54 A948), 922—926.
7. Hall M., Jr., An algorithm for distinct representatives, Amer.
Math. Monthly, 63 A956), 716—717.
8. Hall Ph., On representatives of subsets, Jour. London Math.
Soc, 10 A935), 26—30.
9. Halmos P. R., V a ugh an H. E., The marriage problem,
Amer. Jour. Math., 72 A950), 214—215.
10. H i g g i n s P. J., Disjoint transversals of subsets, Canad.
Jour. Math., 11 A959), 280—285.
11. Hoffman A. J., Some recent applications of the theory of
linear inequalities to extremal combinatorial analysis, Proc
of Symposia in Applied Math., 10 A960), 113—128.
12. Hoffman A. J., К u h n H. W., Systems of distinct repre-
representatives and linear programming, Amer. Math. Monthly, 63
A956), 455—460.
13. Hoffmann A. J., Kuhn H. W., On systems of distinct
representatives, Annals of Math. Studies, v. 38, 1956, 199—206.
14. K6nig D., Theorie der Endlichen und Unendlichen Orap-
hen, New York, 1950.
15. Mann H. В., Ryser H. J., Systems of distinct representa-
representatives, Amer. Math. Monthly, 60 A953), 397—401.
16. Marcus M., Mine H., On the relation between the de-
determinant and the permanent, Illinois Jour. Math., 5 A961)
376—381.
17. Marcus M., Newman M., On the minimum of the per-
permanent of a doubly stochastic matrix, Duke Math. Journ, 26
A959), 61—72.
18. Marcus M., Newman M., Inequalities for the permanent
function, Ann. Math., 75 A962), 47—62.
19. Mendelsohn N. S., Dulmage A. L., Some generali-
generalizations of the problem of distinct representatives, Canad. Jour,
Math., 10 A958), 230—241.
20. Ore O., Graphs and matching theorems, Duke Math. Jour.,
22 A955), 625—639.
21 Ore O., Theory of Graphs, Amer. Math. Soc. Collog. Publs.,
v. 38, 1962.
22. R a d о R., Factorization of even graphs, Quarterly Jour.
Math., 20 A949), 95—104.
23 Ryser H. J., A combinatorial theorem with an application
to Latin rectangles, Proc. Amer. Math. Soc, 2 A951),
550—552.

Глава 6
МАТРИЦЫ ИЗ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ
1. Класс Ш (/?, S). Дана @, 1)-матрица А размера
т X п. Обозначим через rt сумму элементов /-й строки
матрицы А, а через Sj — соответствующую сумму для
у'-го столбца. Назовем векторы
Я = 0-1. г2 гт) A.1)
и
5 = (S!, s2 sn) A.2)
соответственно вектором сумм строк и вектором сумм
столбцов. Будем говорить, что вектор R монотонен,
если гг^г2^- ... ^гт; аналогичное определение введем
для S. Если т обозначает число всех единиц в А, то
очевидно, что
Векторы R и S определяют класс
21 = 91 (Я, 5), A.4)
состоящий из всех @, 1)-матриц размера т X и, имею-
имеющих вектор сумм строк R и вектор сумм столбцов S.
В настоящей главе мы исследуем структуру класса 5(.
Наши теоремы будут относиться к @, 1)-матрицам, однако
любой вывод может быть перефразирован в чисто комби-
комбинаторных терминах относительно множества и элемента,
ибо @, 1)-матрица размера тХга может быть интерпре-
интерпретирована как инцидентная матрица подмножеств Tv T2, ¦ ¦ ¦
..., Тт некоторого «-множества Т.
Пусть теперь R = (rv r2, •. •, гт) к S = (slt s2 ¦ ¦ ¦
. . ., sn) — векторы, компоненты которых являются целыми

6-5
Га 6. Матрицы из нулей и единиц
неотрицательными числами. Пусть % = %(R, S) обозна-
обозначает класс всех @, 1)-матриц размера m X п с R в каче-
качестве вектора сумм строк и S в качестве вектора сумм
столбцов. Исследуем условия, при которых класс 51 будет
непустым. Начнем с введения некоторых обозначений.
Пусть
6; = A, 1 1, 0, 0, .... 0) (i=l, 2 от) A.5)
есть вектор из п составляющих с единицами на первых гt
местах и с нулями на остальных. Матрица вида
я
A.6)
называется максимальной матрицей с R в качестве
вектора сумм строк. Вектор сумм столбцов S -= (sv s2, ¦ ¦ ¦
..., sn) матрицы А монотонен. Кроме того,
1 = 1
A.7)
и класс 9t (R, S) содержит только одну матрицу,
а именно А. Пусть даны два вектора: S — ^, s2 sn)
и S* = (s*, s*, ..., s*), компоненты которых — целые не-
неотрицательные числа. Вектор S* мажорирует вектор S:
5<S*, A.8)
если при перенумерован1и индексов выполняются соотно-
соотношения
1),
2, ...
A.10)
Теорема 1.1. Пусть R = (r1, r2 rm) и S =
(sv s2
sn)—два вектора с целыми неотрица-

/ Класс W СУ?, S) 67
тельными компонентами. Пусть А — т х п макси-
максимальная матрица с вектором сумм строк R и век-
вектором сумм столбцов S. Класс %(R, S) будет не-
непустым тогда и только тогда, когда
S<6\ A.12)
Доказательство. Пусть класс % содержит ма-
матрицу А. Последняя может быть построена из А посред-
посредством переноса единиц в строках матрицы А. Таким об-
образом, для S монотонного можем написать
*i + S2 + • ¦ • + si < si + S2 + • • • + ?i
A= 1, 2 n— 1), A.13)
S1-M2+ ••• +s« = S[ + s2-f ... +sn, A.14)
откуда 5 <^S
Теперь претположим, что S <^S- Перенумеруем ин-
индексы так, чтобы R n S сделались монотонными, и по-
построим матрицу А с вектором сумм строк R и вектором
сумм столбцов S. Матрица А строится из А последова-
последовательным перемещением единиц в строках А слева направо.
Сначала опишем построение, а затем проверим, может ли
оно быть выполнено. Построение начинается с перемеще-
перемещения последней единицы в некоторых строках матрицы А
до столбца п. Потребуем, чтобы столбец п имел сумму sn
и чтобы единицы появлялись в тех строках, в которых А
имеет sn в качестве наибольшей из сумм строк. В случае
когда суммы некоторых строк имеют равные значения,
предпочтение отдается самым нижним положениям. Это
дает нам матрицу вида
И„-1. А,]. A.15)
Здесь Ап_х есть т X (п —- 1) максимальная матрица
с монотонными векторами сумм строк и сумм столбцов.
Матрица же Ах есть (да X 1)-матрица с суммой столбца sn.
Оставим матрицу Ах неизмененной и повторим описанное
построение относительно Ап_х. На (п — /)-м шаге по-
построения мы уже будем иметь матрицу вида
И/. Ап-/1 A-16)

68 Гл. 6. Матрицы из нулей и единиц
Здесь Af есть мХ/ максимальная матрица с монотонными
векторами сумм строк и сумм столбцов, а матрица Ап_у—
— [ш X (га— /)]-матрица с монотонным вектором сумм
столбцов E/+1> s/+2, .. ., sn).
Теперь перейдем к (п — /-)-1)-му шагу построения и
убедимся, что он может быть выполнен. Предположим,
что мы попытались преобразовать А у в формуле A.16)
указанным выше способом и не смогли добиться того,
чтобы столбец / имел сумму Sy. Пусть (ег, е.2 ву) —
монотонный вектор сумм столбцов матрицы Ау. Тогда мы
должны иметь либо е1 < s,, либо е у > Sy. Если е1 < Sy, то
*i4-s2+ ••• +sf=el-\-e2-\- ... +е7<
а это — очевидное противоречие. С другой стороны, если
ву^> Sy, то ву~> Sy%l, Sy±2 sn, так что первые ву
строк матрицы Ап_у содержат по меньшей мере один
нуль в каждом столбце. Матрица А,— максимальная с мо-
монотонным вектором сумм строк. Но тогда по построению
остальные m — ef-\ строк матрицы Ап_у содержат только
нули. Следовательно,
Из A.12) и A.18) следует
= ei + e2+ ••• Ч «,-, + 5,. A.19)
Но тогда Sy^-вр а это противоречит тому, что ef~>Sy.
Мы можем начать построение с п-го столбца, и процесс
придет к автоматическому завершению в 1-м столбце.
Это и доказывает теорему 1.1. Заметим теперь, что если
Rt обозначает вектор сумм строк для первых / столбцов
матрицы А, то R( монотонен для всякого г= 1. 2, .. ., п.

2 Приложение к латинским прямоугольникам 69
Описанное построение для случая /? = S = C, 3, 1, 1)
иллюстрирует матрица
1110"
110 1
Л= 1 о о о • A-20>
_ 0 1 0 0_
Выше мы определили условия, при которых класс 91
будет непустым. Гораздо более трудной оказывается задача
подсчета числа матриц в классе. Несомненно, что это число
является довольно сложной функцией от R и S.
2. Приложение к латинским прямоугольникам.
Пусть дан г X s латинский прямоугольник, основанный
на п элементах 1, 2 п. В настоящем разделе мы
получим необходимое и достаточное условие для расши-
расширения латинского прямоугольника до латинского квадрата
порядка п.
Теорема 2.1. Дана @, \)-матрица А размера
т X1. причем т^п. Пусть эта матрица имеет
вектор сумм строк R — (k, k, .... k), где k — нату-
натуральное число, а в векторе сумм столбцов S =
= (Si, s2, ..., sn) имеем
0<A —S;<«—m (i=l, 2, ...,«). B.1)
Тогда
4=^1 + ^2+ ••• +Pk. B-2)
где Pi — перестановочные матрицы.
Доказательство. Мы можем принять, что
т < п. В самом деле, если т = п, то теорема сво-
сводится к теореме 5.3 гл. 5. Пусть теперь существует
@, 1)-матрица А' размера (п—т) X п с вектором сумм
строк R' = (k, k k) и вектором сумм столбцов
S' = (k — Sj, k — s2, .... k — sn). Пусть 6" — вектор,
первые k компонент которого равны п—т, а остальные
п—k компонент равны нулю. В силу B.1) имеем 5' -< S'.
Следовательно, предыдущая теорема устанавливает суще-

70 Гл. 6. Матрицы из нулей и единиц
ствование А'. Но тогда
А ~
_ А' _ B-3)
есть (ге X ге)-матрица, в которой суммы элементов строки
или столбца равны k. Значит, эта матрица оказывается
суммой k перестановочных матриц. Но тогда и А есть
сумма перестановочных матриц.
Теорема 2.2. Дан r\s латинский прямо-
прямоугольник, построенный из п элементов 1, 2, ..., п.
Обозначим через N(I) число появлений элемента i
в латинском прямоугольнике. Такой латинский
прямоугольник может быть расширен до латинского
квадрата п-го порядка тогда и только тогда, когда
N(/)>r-f s—ге (/=1, 2 п). B.4)
Доказательство. Пусть дано re-множество Т эле-
элементов 1, 2, ..., п. Обозначим через Т- множество веек
элементов Т, которые не появляются в у'-й строке латин-
латинского прямоугольника (у = 1, 2, .... г). Тогда каждое
Tj есть (п — 5)-подмножество множества Т. Обозначим
через М (/) число появлений элемента / в множествах
Г,, Г2, ..., ТГ (i=l, 2 re). Если латинский прямо-
прямоугольник может быть расширен до п X п латинского
квадрата, то M(t)-^n — 5. Но N (/)-)- М (i) = г, откуда
TV (/) > г + 5 — п.
Обратно, предположим, что N{l)~^-r-\~s — re. Пусть
А — инцидентная матрица для подмножеств Ть Т2, ..., Тг
re-множества Т. Матрица А размера г X п имеет вектор
сумм строк R = (n—s, п — 5, ..., ге — 5) и вектор
сумм столбцов S ~(М (I), М{2) /VI (ге)). По пред-
предположению N (i) = r — М (() ]> г -\- s — ге, а поскольку
наша конфигурация есть латинский прямоугольник, то
N (J) — г — М (i) <; s. Следовательно,
0<ге — s— Ж@<ге — г (/=1,2 ге), B.5)
и. по теореме 2.1
А=^РХ + Р2^ ... +Рп_г B.6)

3. Замены 71
где Pt — перестановочные матрицы. Но эти матрицы опре-
определяют r-перестановки элементов 1, 2, ..., п, а эти
r-перестановки могут быть присоединены как столбцы
к г X 5 латинскому прямоугольнику, чтобы получить г X «
латинский прямоугольник. По теореме 3.1 гл. 5 эта кон-
конфигурация может быть расширена до п X п латинского
квадрата. Можно избежать ссылки на упомянутую теорему
и дополнить транспонированный п X г латинский прямо-
прямоугольник' до п X п латинского квадрата только что опи-
описанным методом. Условие на N (i) в этом случае тривиально
выполняется.
Предшествующая теорема допускает постановку сле-
следующей задачи: дама (п X «)-таблица, основанная на эле-
элементах 1, 2, ..., п и одном неопределенном элементе х.
При каких условиях подходящая замена элемента х эле-
элементами 1, 2 п приводит к латинскому квадрату
порядка га?
Настоящая теорема решает эту задачу в очень частном
случае. В общем же виде эта задача никогда не была
успешно решена.
3. Замены. Дана матрица А в классе 9l = 9l(#, S)
всех @, 1)-матриц размера т X я с векторами сумм строк
R = (/•], г2 гт) и сумм столбцов S = (sj, s2 sn).
Рассмотрим B X 2)-подматрицы матрицы А вида
г
1 О
О 1
0 1
1 О
C.1)
Замена есть преобразование элементов матрицы А, кото-
которое переводит подматрицы типа А1 в А2, и наоборот,
а все остальные элементы оставляет неизменными. Это
в известном смысле самая элементарная операция, которая
может быть применена к А, чтобы получить новую матрицу
в классе 91. Замены полезны во многих задачах, где речь
идет о классе 91. Начнем с установления теоремы о за-
заменах.
Теорема 3.1. Пусть матрицы А а А' входят
в класс ?((/?, S). Тогда матрица А может бить

Г л 6 Матрицы из нулей и единиц
преобразована в матрицу А' с помощью конечного
числа замен.
Доказательство. Примем, что R и S монотонны,
а матрица А построена, как в первом разделе. Мы можем
применить замены к А так, чтобы n-Vi столбец в ней был
заменен п-м столбцом матрицы А. Это возможно потому,
что столбец п в А имеет свои единицы в тех. строках,
в которых наибольшей суммой является sn. Теперь оста-
оставим столбец п преобразованной матрицы неизменным и
сконцентрируем наше внимание на столбце п—1. Первые
п—1 столбцов как в А, так и в преобразованной матрице
суть матрицы с одним и тем же вектором сумм строк.
Исходя из структуры А, мы можем применить замены
к преобразованной матрице и заменить (п—1)-й столбец
ее на (п — 1)-й столбец матрицы А. Таким образом, мы
преобразовываем матрицу А в матрицу А посредством
замен. Мы также можем преобразовать заменами матрицу А'
в матрицу А. Пусть промежуточные матрицы, получаю-
получающиеся при этом преобразовании, будут Ах, А2 Aq.
По в таком случае существует замена, переводящая А в Aq.
Существует также замена, переводящая Aq в Aq_x и т. д.
Таким образом, матрица А преобразуема заменами в ма-
матрицу А'. Следовательно, матрица А может быть пре-
преобразована заменами в матрицу А'. Заметим, что формула
минимального числа замен, требуемых для преобразова-
преобразования А в А', является, очевидно, безнадежно сложной
функцией от Л и А'.
Пусть А — матрица из класса 9t (R, S). Во многих
исследованиях принимают без ограничения общности, что
векторы сумм строк R и сумм столбцов S удовлетворяют
условиям
Гх>г2>--. >гт>0, C.2)
5l>s2>... >5„ >0. C.3)
Это означает, что мы исключили строки и столбцы, со-
состоящие из нулей, и переставили оставшиеся строки и
столбцы так, чтобы они были расположены монотонно.
Непустой класс % (R, S), в котором R и S удовлетворяют

3 Замены ¦ 73
условиям C.2) и C.3), называется нормализованным.
В дальнейшем мы будем считать 91 нормализованным.
Пусть дана матрица А нормализованного класса 91.
Элемент аеу= 1 матрицы А будем называть инвариант-
инвариантной единицей, если никакая последовательность замен,
примененных к А, не заменяет этот элемент на нуль.
Если aef— 1 есть инвариантная единица матрицы А, то
по теореме о заменах элементы, находящиеся на месте (е, /)
во всех матрицах класса 91, должны быть инвариантными
единицами. Таким образом, или все матрицы класса 21
содержат инвариантные единицы, или ни одна. Поэтому
мы будем говорить, что класс 91 либо имеет, либо не имеет
инвариантной единицы.
Теорема 3.2. Нормализованный класс 91 имеет
инвариантные единицы тогда и только тогда, когда
всякая матрица этого класса имеет разложение
вида
¦J *]
oj • ^
Здесь J—матрица из единиц размера «X/
(О < е ^т, 0 </<;'«), а 0 — нулевая матрица. Целые
числа е и f не обязательно единственны, но они
определены векторами сумм строк R и сумм столб-
столбцов S и не зависят от того, какая конкретная
матрица А выбрана из класса 91.
Доказательство. Очевидно, что в J всякая 1 ин-
инвариантна. Предположим далее, что нормализованный
класс 91 имеет инвариантные единицы. Положим, что
аеу есть инвариантная единица при e-\-f максимальном
и пусть
X'
где W имеет размер е X /• Если в W появился нуль, то
при нормализации 91 требуется самое большее две замены
чтобы инвариантная единица сменилась на 0. Следова-
Следовательно, W = J, и каждая единица в J инвариантна,

74 Гл. 6. Матрицы из нулей и единиц
Теперь, поскольку e-\-f максимально, мы можем выбрать
матрицу А так, чтобы 0 появился в первом столбце X.
Далее, если Z содержит 1 в t-fi строке, то мы можем,
если это необходимо, применить замену и получить, что
в Z первый столбец содержит 1 в t-fi строке. Но тогда
У в t-fi строке будет содержать только единицы. В самом
деле, если Y содержит 0 в t-fi строке, то одна замена
образует инвариантную единицу матрицы А. Фактически
каждая единица в t-fi строке матрицы У является инва-
инвариантной. Но это противоречит условию максимальности
е -\-f. Следовательно, Z = 0 и матрица А имеет вид C.4).
А если это так, то всякая матрица А в классе 31 имеет
вид C.4).
4. Максимальный граничный ранг. Пусть р будет
минимальным, а р — максимальным граничным рангом
матриц нормализованного класса %~%(R, S). Настоящий
пункт мы посвятим изучению р. Приведенные здесь теоремы
интересны сами по себе, и, кроме того, они дают явное
выражение для р. Но метод, применяемый при выводе
этих теорем, приложим к большому числу задач. Начнем
с одного элементарного результата о промежуточных
граничных рангах.
Теорема 4.1. Пусть р — минимальный, ар —
максимальный граничный ранг матриц нормали-
нормализованного класса 31. Тогда 31 содержит матрицу Ар,
граничный ранг которой равен р, где р—произволь-
р—произвольное целое число в отрезке
р<р<-р. D.1)
Доказательство. Применение замены к матрице А
класса 31 изменяет ее граничный ранг на 1 или оставляет
его неизменным. Но по теореме о заменах мы можем пре-
преобразовать матрицу А- с граничным рангом р в матрицу А~
с граничным рангом р. Из этого следует, что существует
матрица А, граничный ранг которой равен р.

4 Максимальный граничный ранг
Теорема 4.2. Нормализованный класс 21 со-
содержит матрицу А-, в которой р единиц нахо-
находятся на местах
A,р), B. р—1). .... (р, 1).
Доказательство. Дана матрица А- с максималь-
максимальным граничным рангом р. Выберем в ней множество из р
единиц, никакие две из которых не находятся на одной
линии, и назовем эти единицы существенными для ма-
матрицы А-. Все другие единицы матрицы А- назовем
несущественными. Мы можем выбрать матрицу А-, со-
содержащую р существенных единиц в первых р строках.
В самом деле предположим, что существенная единица
находится на (/, /)-м месте и что строка /' не содержит
существенных единиц G'^p<t). Тогда назовем единицу,
находящуюся на месте (/', J), существенной, а единицу,
находящуюся на месте G, /), несущественной. С другой
стороны, если на (/', /)-м месте находится 0, то в силу
нормализации 21 существует замена, которая помещает
существенную единицу на (/, /)-е место и сохраняет
граничный ранг р. Таким способом мы получаем А- с су-
существенными единицами в первых р строках. Аналогич-
Аналогичные рассуждения относительно столбцов приводят к ма-
матрице вида
о]1 D-2)
Здесь у D и порядок, и граничный ранг равны р.
Матрица 0 — нулевая, потому что граничный ранг ма-
матрицы А- не может превосходить р. Будем говорить,
что р элементов матрицы, расположенных на местах
A, р), B, р—1), ..., (р, 1), образуют побочную диаго-
диагональ матрицы D. Получим теперь матрицу А~, имею-
имеющую р существенных единиц на побочной диагонали D.
Предположим, что существенные единицы имеются на
местах A, р), B, р — 1), . .., (d, p — d-\-1), а на месте
(d-|-l, p — d) существенной единицы нет. Тогда суще-

Гл. 6. Матрицы из нулей и единиц
ственная единица в (rf —j— 1)-Н строке и существенная еди-
единица в (р — d)-M столбце определяет B X 2)-подматрицу
матрицы D одного из следующих четырех видов
И 01 Г1 0] Г1 П Г1 М
Единицы, расположенные в D.3) на главной диагонали,
соответствуют существенным единицам матрицы А-.
В любом случае требуется не больше одной замены,
чтобы поместить две единицы на места, соответствующие
побочной диагонали в D.3). Эти единицы можно рассма-
рассматривать как существенные для матрицы А-. Это и дает
нам существенную единицу на (d-\- 1, р — d)-M месте
матрицы D. Таким образом, матрица А-, имеющая р су-
существенных единиц на побочной диагонали, существует.
Пусть дана @, 1)-матрица Q. Обозначим через N$(Q)
число нулей, а через Л/j (Q) — число единиц в Q. Пусть А
есть @, 1)-матрица размера m X п. Тогда в матрице А
выполняется условие: ш, п > 0. Но если А разбита на
блоки'), то удобно ввести вырожденные подматрицы W
размера е X /. где либо е=0, либо / = 02). В выро-
вырожденной подматрице W имеем N0(W)~ N1(W) = 0. После
этих замечаний мы готовы высказать наше основное за-
заключение относительно максимального граничного ранга р
матриц в нормализованном классе %.
Теорема 4.3. Всякая матрица А в нормали-
нормализованном классе 21 имеет разложение вида
W X
\ D-4)
где W—подматрица размера «X/ @<Се<С/и,
0<;/<>), Z — подматрица размера (т-е)У^(п—/)
и, кроме того,
N1(Z) = p-(e+f). D.5)
') То есть непересекающиеся подматрицы из некоторого
числа столбцов.—Прим- ред.
2) То есть подматрицы нулевого порядка. — Прим. ред.

4 Максимальный граничный рам 77
Целые числа е и / не обязательно единственны, но
они определены векторами сумм строк R и сумм
столбцов S и не зависят от выбора конкретной
матрицы А в классе 21. В частности, матрица А-
из теоремы D.2) удовлетворяет соотношению
NO(W) = O. Nl(Z) = p — (e + f). D.6)
Доказательство. Если матрица А имеет вектор
сумм строк R = (rv r2 гт) и вектор сумм столбцов
S —(Sj, s2, ..., sn), то из этого тотчас следует, что
•• + */)¦ D-7)
Таким образом, сумма Л/о {W) -j- Nx (Z) не зависит от вы-
выбора матрицы А в классе 51. Этого достаточно, чтобы
доказать теорему для матрицы А- теоремы 4.2. Сосредо-
Сосредоточим наше внимание на А- и применим индукцию отно-
относительно ее строк. Теорема справедлива для однострочной
матрицы. Доказательство по индукции состоит в утвер-
утверждении, что если теорема доказана для (т — 1)-строчных
матриц, то она справедлива и для матриц с т строками.
Теперь, если р=т, то теорема справедлива для е = т
и / = 0. Если же р = п, то теорема верна в случае е = 0
и f — n. Следовательно, положим, что р < т, п. Заме-
Заметим, что в этом случае е и / доставляют собственное
разложение :) матрицы А- @ < е < т, 0 < / < п). Так
как если е = 0 или т, либо / = 0 или п, то мы полу-
получим противоречие условию р < т, п.
Пусть теперь матрица А-=[а^] из теоремы 4.2 имеет
граничный ранг р < т, п. Нормализуем первую строку
матрицы А- заменами следующим образом. Если st > Sj,
аи = 0, а1;=1, то применим замену, которая заменит
аи на 1 и aXj на 0. Если I < р, то замену выбираем
так, чтобы она не помещала существенную единицу на
(р — С~\- 1, Г)-е место в А-. Таким же образом, если
') То есть представление D.2). — Прим. ред.

78 Гл. 6. Матрицы из нулей и единиц
st = Sj (i < У), аи = I, a{j = O, применим замену, в кото-
которой вместо ан появляется 0 и вместо а1}- — единица. Если
j < p, то эта замена не поместит существенную единицу
на (р — j-\- 1, /)-е место в А-. Если же этого не удастся
избежать, то матрица имеет 1 на (р — /+ 1, /)-м месте,
и вторая замена, включающая строки (р —1~\- 1) и
и (Р — У+О- возвращает 1 на (р—У+1, У)-е место.
Если мы применим все возможные замены описанного типа,
то получим матрицу вида
б,
W
В D.8) 6\ есть вектор из п' компонент, а 62 — вектор
из п — п' единиц. Вырожденный случай п — п! не исклю-
исключен. Матрица А-_^ размера (т — 1) X ti' имеет единицы
на местах A, р — 1), B, р — 2) (р— 1, 1) и поро-
порождает нормализованный класс %'. Матрица 0 — нулевая
размера (т — 1) X (п — п').
Докажем, что р—1 есть максимальный граничный
ранг матрицы класса %'. Пусть А'—матрица класса 91',
имеющая р существенных единиц на местах A, р),
B, р—1), ..., (р, 1). В D.8) заменим матрицу А-_х
на А' и назовем получившуюся при этом матрицу М'.
Матрица М' принадлежит классу 91. Если это окажется
необходимым, применим замену, чтобы поместить 1 на
A, «)-е место в матрице М'. Но в таком случае гранич-
граничный ранг матрицы М' противоречит условию максималь-
максимальности р для 91. Таким образом, А-_1 имеет максимальный
граничный ранг р—1, а ее существенные единицы рас-
располагаются на местах A, р— 1), B, р — 2), .. ., (р— 1, 1).
По предположению индукции
у, z\ D.9)
где W — матрица из единиц размера е' X /', a N{(Z') =
= р — 1—(*' + /')• Выберем /' максимальным в том

Максимальный граничный ранг 79
смысле, что каждый столбец в X', помимо существенных
единиц в Z', содержит один нуль. Нам известно, что
р — 1 < т — 1, но возможно р — 1 = га'. Последнее при-
приводит к вырожденному разложению матрицы A-_v в ко-
котором е' = 0, f = п'. Но во всех других разложениях.
О < е' < т — 1, 0 </' <га'.
Теперь в D.8) предположим, что М имеет один нуль в 6,
над некоторым столбцом из У', и пусть этот столбец из Y'
содержит несущественную единицу из A~v Тогда, про-
проведя нормализацию первой строки М, получим, что га'= га
и что нули появляются на местах f-\-\, /' + 2 га
в 6j. Теперь, если разложение Л-_1 вырожденное, то это
противоречит тому, что р—1 = га', а если оно невыро-
невырожденное, то получается противоречие сг^ г2- Следова-
Следовательно, если М имеет нуль в 6t сверх столбца из У, то
этот столбец не содержит несущественных единиц из Л-_г
Это означает, что разложение D.9) может быть пере-
перестроено так, чтобы М не имела нулей в 6, над столбцами К'.
Если это будет необходимо, можно применить замену,
чтобы поместить 1 на место A, р) в М. Это и даст нам
разложение желаемого вида.
Нетрудным следствием из этой теоремы является за-
замечательная формула, в которой р выражено через ком-
компоненты вектора сумм строк R — (r{, r2 гт) и век-
вектора сумм столбцов S = (s1, s2, ¦¦¦, sn) матриц нормали-
нормализованного класса 91 (R, S).
Теорема 4.4. Пусть
*ц = U +-(ri+i +гщ+ • • • + гт) — Он + s2 + . . . + Sj)
(t = 0, 1 т; j = 0, 1 га). D.10)
Тогда
p = min (^+ (/ + ;)} D.11)
i, i
(/ = 0, 1 т\ j = 0, I, га).
Доказательство. Пусть
w Х
у z

80 Гл. 6. Матрицы из нулей и единиц
— матрица с максимальным граничным рангом р и пусть
W — матрица размера I X }¦ Теперь р линий достаточно,
чтобы покрыть единицы в А-. Следовательно,
.
Но Л/0AГ)>0, так что
Равенство в формуле D.14) достигается для тех значе-
значений ей/1), которые указаны в теореме 4.3. Таким об-
образом, теорема 4.4 доказана.
Указанная формула пригодна и для вычисления р, но
мы не будем здесь на этом останавливаться. Следующая
теорема дает нам условия, при которых р < р.
Теорема 4.5. Дан нормализованный класс 21,
не имеющий инвариантных единиц; пусть р < т, п.
Тогда р < р.
Доказательство. По предположению р < т, п.
Следовательно, е и / из теоремы 4.3 находятся соответ-
соответственно в интервалах 0 < е < /и и 0 < / < га. По усло-
условию элемент матрицы А- из теоремы 4.3, находящийся
на месте A,1), не является инвариантной единицей. Но по
теореме 4.3 имеем N0(W)-|-N1 (Z) = р~—(<? + /). Это
означает, что в классе 21 существуют матрицы с числом
единиц в Z, меньшим, чем р — (? + /)¦ Но тогда единицы
в такой матрице могут быть покрыты менее чем р лини-
линиями. Следовательно, р < р.
Заметим, что теорема 4.5 может не удовлетворяться,
если отбросить предположение об инвариантных единицах.
Класс, содержащий максимальную матрицу А, имеет р = р.
Ограничение р < т, п не может быть устранено. Напри-
Например, класс из га! перестановочных матриц порядка п
имеет р = р. Интересной нерешенной задачей является
') То есть ( и / — Прим. ред.

5 Задачи 81
четкая классификация всех классов 2l(/?, S), для кото-
которых р = р.
5. Задачи. Предыдущий раздел был посвящен анализу
граничного ранга матрицы А нормализованного класса 21.
Мы можем связать с А другие подходящие функции и
исследовать их поведение, когда матрица А распростра-
распространяется на весь их класс'). В некоторых случаях подоб-
подобные исследования были выполнены. Например, пусть а —
минимальный, а о — максимальный следы матриц норма-
нормализованного класса 91. Тогда можно доказать, что
о== max {rnin (/, j)—t^\ E.1)
U i
(/ = 0,1 m\ j = 0, 1, ...,«),
o = min [tij-^- niax(/, /)} E.2)
(t = 0, 1 m\ y' = 0, 1, n).
Эти формулы носят черты большого сходства с формулой
для р в п. 4, а их вывод производится довольно сход-
сходными путями.
Однако многие экстремальные задачи этого вида не
могут быть рассмотрены с такой тщательностью. Пусть
дана матрица А в нормализованном классе %(R, S) и
пусть а — целое число, расположенное в отрезке 1^а<>т.
Пусть Е есть (т X е)-подматрица матрицы А, и сумма
элементов каждой строки матрицы Е равна по меньшей
мере а. Минимальное значение е, обладающее этим свой-
свойством, назовем а-шириной е (а) матрицы А. Целое число а
и матрица А единственным образом определяют е (а).
Теперь пусть е(а)—минимальная, а е(а)—максимальная
а-ширины матриц класса 51. Можно доказать, что ма-
матрица А, построенная в первом разделе, имеет а-ширину
е(а) для всякого а—1, 2, ..., гт. В самом деле, ока-
зывается, что а-я единица в последней строке матрицы А
попадает в столбец е(а). Это замечательное свойство
¦) Имеется в виду класс функций с одной и той же матри-
матрицей А. — Прим. ред.

82 Гл. 6. Матрицы из нулей и единиц
матрицы А дает эффективный способ вычисления е(а).
Но относительно поведения е (а) известно очень мало.
Больше информации можно получить о его предельном
значении. В гл. 8 это сделается очевидным. Там мы рас-
рассмотрим взаимосвязь между еA) и конечными проектив-
проективными плоскостями.
Для некоторых классов частных видов существуют
задачи, интересные сами по себе. Пусть 91 (К, К) обозна-
обозначает класс, в котором т = п, а также
R = S = K = (k, k k), E.3)
где k — фиксированное целое число, расположенное в от-
отрезке 1 <;&<;«. Таким образом, %(К, К) есть класс
всех @, 1)-матриц порядка п, в каждой строке и каждом
столбце которых имеется точно k единиц. В случае k = 1
класс состоит из п\ перестановочных матриц порядка п,
а в случае k = п — из матриц J порядка п. Из тео-
теоремы 5.3 гл. 5 следует, что в классе 51 (К, К)
р = р=т = и. . E.4)
При этих условиях естественно задать вопрос о мини-
минимальном и максимальном значениях перманента матриц
класса 91 (/С, К). Однако ни то ни другое значение еще
не определены. Задача определения минимального значе-
значения может иметь важное комбинаторное значение. Соот-
Соответствующая задача для дважды стохастических матрин
приводит к предположению Ван дер Вардена (см. гл. 5).
ЛИТЕРАТУРА
Теорема 1.1 принадлежит Гейлу [9] и Райзеру [13], а тес-
рема 4.2—Хаберу [101. Остальные теоремы в §§ 2, 3 и 4 до-
доказаны Райзером [12, 13, 14]. В п. 3 при изложении доказательств
мы следовали Хаберу [10]. Минимальный граничный ранг р рас-
рассмотрен в [10, 11]. Следы матриц изучены в [5] и [15], а а-ши-
рины — в [6, 7, 8].
1. Dulmage A. L., Mendelsohn N. S., Coberings of bi-
bipartite graphs, Canad. Jour. Math., 10 A958), 517—534.
2. Ddraage A. L, Mendelsohn N. S., The term and sto-
stochastic ranks of a matrix, Canad. Jour. Math., 11 A959),
269-279, '

Литература. 83
3. Е v a n s Т., Embedding incomplete Latin squares, Amer. Math
Monthly, 67 A960), 958—961.
4. Ford L. R., Jr., Fulkerson D. R., Flows in Networks,
Princeton Univ. Press, 1962. (О русском переводе этой книги
см. стр. 62.)
5. Fulkerson D. R., Zero-one matrices with zero trace,
Pacific Jour. Math., 10 A960), 831—836.
6. Fulkerson D. R., Ryser H. J., Widths and heights of
@,l)-matrices, Canad. Jour. Math., 13 A961), 239—255.
7. Fulkerson D. R., Ryser H. J., Multiplicities and minimal
widths for @, l)-matrices, Canad. Jour. Math., 14 A962),
498—508.
8. F u I k e r s on D. R., R у s e r H. J., Width sequences for spe-
special classes of @, l)-matrices, Canad. Jour. Math., 15 (I9t>3),
№ 3, 371—398.
9. О a 1 e D., A theorem on flows in Networks, Pacific Jour.
Math., 7 A957), 1073—1082.
10. H a b e r R. M., Term rank of @, l)-matrices, Rend. Sem.
Math. Padova, 30 A960), 24—51.
11. Haber R. M., Minimal term rank of a class of @, l)-mat-
rices, Canad. Jour. Math., 15 A963), 188—192.
12. Ryser H. J., A combinatorial theorem with an application
to Latin rectangles, Proc. Amer. Math. Soc, 2 A951),
550—552.
13. Ryser H. J., Combinatorial properties of matrices of zeros
and ones, Canad. Jour. Math., 9 A957), 371—377.
14. Ryser H. J., The term rank of a matrix, Canad. Jour.
Math., 10 A958), 57—65.
15. Ryser H. J., Traces of matrices of zeros and ones, Canad.
Jour. Math., 12 A960), 463—476.
16. Ryser H. J., Matrices of zeros and ones, Bull. Am r. Math.
Soc, 68 A960), 442—464.

Глава 7
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ
1. Теоремы существования. Пусть А{ = ШМ'\ и
A2~(a(?j\ обозначают два п X ti латинских квадрата,
основанных на п элементах 1, 2, ..., п, и пусть га^>3.
Латинские квадраты Ах и Л2 называются ортогональ-
ортогональными, если все п2 2-выборок
(а</>, aff) (/, j=\, 2, .... п) A.1)
различны. Иными словами, предположим, что один из ла-
латинских квадратов наложен на другой. Тогда получаю-
получающаяся конфигурация будет (п X «)-таблицей (я by n array),
состоящей из упорядоченных пар чисел 1, 2, ..., п,
а требование ортогональности латинских квадратов озна-
означает, что все элементы этой таблицы различны. Эта
(п X ге)-таблица 2-выборок, составленная из пары ортого-
ортогональных латинских квадратов, в литературе часто назы-
называется греко-латинским или эйлеровским квадратом.
Приведем пример пары ортогональных латинских квадра-
квадратов 3-го порядка:
2 3-J г 1 2 3 1
2 3 1
3 1 2
А2 =
3 1 2
2 3 1
A.2)
В более общей постановке, пусть Av А2 At —
множество двух или более латинских квадратов порядка
га^>3. В этом множестве латинские квадраты называются
ортогональными, а все множество Av A2, ..., At —
ортогональным множеством, если А{ ортогонален Aj
для всяких / Ф j. В настоящей главе мы изучаем орто-
ортогональные множества. Эти конфигурации имеют длинную
историю и одно время подвергались исследованию ради
развлечения. Но в наши дни мы осознаем их важность
при изучении конечных проективных плоскостей и при-

/ Теоремы существований 83
мыкающих к ним вопросов. Начнем со следующего эле-
элементарного результата.
Теорема 1.1. Пусть дано множество t орто-
ортогональных латинских квадратов Av A2 At по-
порядка «^>3. Тогда
*<я—1. A.3)
Доказательство. Перенумеруем элементы каждого
латинского квадрата так, чтобы первая строка каждого
из латинских квадратов состояла из элементов 1, 2 п
именно в таком порядке. Это не нарушает ортогональ-
ортогональности множества. Рассмотрим теперь t элементов, нахо-
находящихся на месте B,1) этих латинских квадратов. Эти
t элементов должны быть различными, потому что в про-
противном случае мы получили бы противоречие с условием
ортогональности множества. Ни один из этих элементов
не равен 1. Следовательно, t^n—1.
Если в A.3) имеет место равенство, то ортогональное
множество называется полным. Множество A.2) является
полным.
Здесь мы предполагаем, что читатель знает элемен-
элементарные свойства конечных полей. Это поля, составленные
из конечного числа элементов. Если п обозначает число
элементов поля, то хорошо известно, что п = ра, где
р — простое, а а—натуральное число. Обратно, для
любого простого р и натурального а существует поле
из п = ра элементов. Более того, два поля из п = ра эле-
элементов определяются единственным образом с точностью
до изоморфизма. Поле из п = ра элементов носит назва-
название поля Галуа и обозначается символом GF(pa). Если
а—1, то элементы поля Галуа могут быть выбраны
в виде полной системы вычетов 0, 1 р—1 по мо-
модулю р. Операции над полем — сложение и умножение —
осуществляются по модулю р. Ниже мы докажем теорему
существования для полного множества ортогональных
латинских квадратов. В доказательстве используется суще-
существование поля Галуа GF(pa).
Теорема 1.2. Пусть п — ра, где р — простое,
а а — натуральное числа. Тогда для п^-Ъ сущест-

S6 Гл. 1. Ортогональные латинские квадраты
вуеш полное множество из п.—-1 ортогональных
латинских квадратов порядка п.
Доказательство. Обозначим элементы поля Галуа
GF(pa) так: ао = О, аг=\, а2 an_v Определим
п — 1 матриц порядка п
Ае = [ач] 0'. 7 = 0, 1 я —1; е=1, 2 я-1),
A.4)
где
a<fJ=aeat-\-ar A.5)
Здесь каждая матрица Ае является латинским квадратом.
В самом деле, если Ае имеет два одинаковых элемента
в одной и той же строке, то существуют j и j' такие, что
Но из этого следует а. = а., и j' = f'. Аналогично,
если Ае имеет два одинаковых элемента в одном и том же
столбце, то существуют i и /' такие, что
aeai~\-aJ = aeai,~\-aJ. A.7)
Но поскольку аеф0, отсюда вытекает, что al = al, и
/ = /'. Следовательно, каждая матрица Ае есть латинский
квадрат. Теперь пусть 1<^е</<С«—1. В таком слу-
случае Ае и А, ортогональны. Действительно, положим, что
Тогда
aeai+aj = aeav + ar A^)
a/ai-\-aJ = afar-\-aJl. A.10)
Вычитание A.10) из A.9) дает
ai{ae~af) = ai'(ae-af)- AЛ1)
Поскольку аефа., имеем ai = ai, и l = i'. Но тогда
подстановка в A.9) дает а. = а., и }-=]'. Следовательно,
множество A.4) ортогонально.
Теорема 1.3. В случае п^>3 и t^-2 множество t
ортогональных латинских квадратов порядка п

/. Теоремы существования
87
эквивалентно [я2 X (t-\- 2)\-таблице.
(t=\, 2
2
2). A.12)
Элементы aLj таблицы А нумеруются 1, 2, ..., я,
а строки каждой (я2 X 2)-подтаблицы таблицы А
представляют я2 2-выборок из 1, 2 я.
Доказательство. Дана таблица А. Переставим
в ней строки таким образом, чтобы элементы строк в пер-
первых двух столбцах находились в естественном порядке
A, 1), A, 2), . ... A, я) (я, 1), (я, 2) (я, я). Для
каждого е = 3, 4 t-\-2 построим (я X я)-таблицу
Ае следующим образом. Первая строка Ае состоит из пер-
первых я элементов столбца е таблицы Л, вторая строка Ае
из следующих я элементов столбца е таблицы Л и т. д.
до последней строки, состоящей из последних я элементов
столбца е таблицы А. Тогда А-,, А,,
At+2 образуют
множество t ортогональных латинских квадратов порядка я.
В самом деле, предположение относительно А таково, что
каждая из таблиц является латинским квадратом. Действи-
Действительно, по виду первого столбца таблицы А устанавливаем,
что Ае не имеет двух одинаковых элементов в строке,
а по виду второго столбца таблицы А — что Ае не имеет
двух одинаковых элементов в столбце. Итак, если е ф /,
то Ае
ортогональны в силу способа построения
А
столбцов ей/ таблицы А. Обратное предложение дока-
доказывается аналогично.
Например, с латинскими квадратами A.2) связана такая
таблица:
1 111"
12 2 2
13 3 3
2 12 3
2 2 3 1 ¦ A.13)
2 3 12
3 13 2
3 2 13
3 3 2 1

88 Гл. 7. Ортогональные латинские квадраты
Теорема 1.4. Если существует множество из t
ортогональных латинских квадратов порядка п
и если существует множество из t ортогональных
латинских квадратов порядка п', то существует
и множество из t ортогональных латинских квад-
квадратов порядка пп'.
Доказательство. Представим оба множества t
ортогональных латинских квадратов порядка пап' по-
посредством [п2 X (^-f~ 2)] -таблицы Л и соответственно
[п'2 X (t-\- 2)]-таблицы А'. Обе эти таблицы А я А'
имеют вид, описанный в теореме 1.3, и построены из эле-
элементов, занумерованных соответственно 1, 2, ..., п и
1, 2 п'. Обозначим соответственно строку / таблицы А
и строку j таблицы А' через
(ап, аа, ..., aut+2), A.14)
Соединим A.14) и A.15) в строку из t-^-Ч компонент
вида
((а,,, а;.,), (а„, a'J2) (а// + 2, a'JJ+2)). A.16)
Тогда (пп'J строк вида A.16) образуют \(пп'J X (t-\- 2)]-
таблицу. Элементами этой таблицы являются пп' 2-выборок
вида
A, 1), A, 2) A. п') (я. 1), (я. 2) (я, я').
A.17)
Из построения таблиц Л и Л' следует, что строками
каждой [(пп'J X 2]-подтаблицы нашей последней таблицы
являются (пп'J 2-выборо:< элементов A.17). Тогда по тео-
теореме 1.3 эта таблица размера (пп'J X (t-\- 2) эквивалентна
множеству из t ортогональных латинских квадратов по-
порядка пп'.
Теорема 1.5. Пусть дано разложение произволь-
произвольного натурального числа п по натуральным сте-

Предположение Эйлерй 89
пеням п{ различных простых чисел рг, а именно
n = p°ipaa* ... paNN. Пусть
t=mm{paj~l) (/=1,2 N). A.18)
Тогда для t'^-2 существует множество из t орто-
ортогональных латинских квадратов порядка п.
Доказательство. По теореме 1.2 существует
множество из t ортогональных латинских квадратов по-
порядка р"'- для каждого /=1, 2, ..., N. Доказательство
настоящей теоремы получается многократным приложением
теоремы 1.4.
Предыдущая теорема устанавливает существование
пары ортогональных латинских квадратов порядка п ф 2
(mod 4). В следующем пункте мы исследуем ортогональ-
ортогональные латинские квадраты порядка п = 2 (mod 4).
2. Предположение Эйлера. Эйлер предложил задачу
о 36 офицерах. Она состояла в требовании расположить
36 офицеров 6 рангов и из 6 полков в каре. Каждая
шеренга и каждая колонна этого каре должны содержать
одного и только одного офицера каждого ранга и одного
и только одного офицера из каждого полка. Мы можем
занумеровать полки н ранги цифрами 1, 2, ..., 6 и обо-
обозначить каждого офицера 2-выборкой целых чисел от 1
до 6. Первая компонента 2-выборки обозначает ранг
офицера, а вторая — его полк. Задача Эйлера, таким
образом, сводится к построению пары ортогональных
латинских квадратов порядка 6. В 1782 г. Эйлер высказал
предположение, что не существует пары ортогональных
латинских квадратов порядка я=2 (mod 4). Тэрри при-
примерно в 1900 г. подтвердил путем систематического пере-
пересчета справедливость предположения Эйлера для я =6.
Однако совсем недавно объединенные усилия Боса, Шрик-
ханде и Паркера привели к следующей теореме.
Теорема 2.1. Пусть п^2 (mod 4) и пусть п > 6.
Тогда существует пара ортогональных латинских
квадратов порядка п.

90 Гл. 7. Ортогональные латинские квадраты
Эта теорема показывает, что действительное положе-
положение дел как раз противоположно предполагаемому; она
демонстрирует опасность перехода к общим выводам на
основании ограниченного числа эмпирических данных. Мы
не можем входить здесь в подробности доказательства
теоремы 2.1. Однако мы дадим простое и изящное по-
построение для частного случая этой теоремы.
Теорема 2.2. Пусть я= 10 (mod 12). Тогда суще-
существует пара ортогональных латинских квадратов
порядка п.
Доказательство. Пусть т — целое число, для
которого пара ортогональных латинских квадратов по-
порядка т существует. Введем числа / = 0, 1 1т и
определим векторы
N А, = (Л / /),
Я, = (/-И. '+2, .... t+m\ V2.1)
Ct = (i— 1, / —2 i — m).
Каждый из этих векторов имеет т компонент, а эти
компоненты могут быть рассмотрены как целые числа
по модулю Bm -f- !)• Образуем теперь разности по модулю
D = At — Bl={2m, 2m —1, .... т -f 1).
D' = Bl — Al=(\, 2, .... m),
E^Ai — Ci = {\, 2 m), B.2)
E' = Cl — Ai = Bin, 2m— 1 ra f 1),
F = Bi—Ci = B, 4 2m),
F' = Cl — Bi = Bm — 1, 2m — 3 1).
В B.2) очевидно, что 2m компонент в D и D' суть 1, 2, .. .
..., 2m (mod 2m -)- 1), и то же самое имеет место для ?
и ?¦', Z7 и F'. Это выполняется для каждого / = 0,1 1т.
Из векторов B.1) построим векторы
А = (Ао, Л, Л2,„),
fi = (fio- fi. B2m\ B.3)

2. Предположение Эйлера
91
Тогда в силу
A—B = (D,
А—С = (Е,
B — C = (F,
B.2)
D
Е
F, .,.,
D),
Е),
F).
B—A = (D', D', .
С — А = (?", ?", ..
C — B = (F'. F', ..
... D'),
., ?').
., F').
B.4)
Каждый из векторов B.3) и B.4) имеет тBт-\- \) ком-
компонент. Введем перестановку из т элементов
X = (xv x2, ..., хт).
Из нее построим т Bт -\- 1)-выборку
У = (Х, X X).
B 5)
B.6)
Теперь из А, В, С и У построим таблицу размера
4Х 4/иB/и+1)
Г А В С Y
В A Y С
С У А В
L К С В A J
B.7)
Из G выделим [2 X 4т Bт 4- 1)]-подтаблицу О'. Она со-
содержит одну из подтаблиц
А У
У А
I i
В У
У В
С У
У С
Если учитывать структуру А, В, С и К, то это означает,
что О' содержит столбцы
B.9)
Здесь г = 0, 1 2т (mod 2m -f- 1), а у = 1, 2, т.
Кроме того, G' содержит одну из подтаблиц
А Б"
В А
А С
С А
ИЛИ
В С
с в
B.101

92 Гл. 7. Ортогональные латинские квадраты
Если 1Ф j, то i — j (mod 1m -f- 1) является компонентой D
ичи D'; то же самое имеет место для Е или Е', а также
для F или F'.
Если, скажем, компонента I — j (mod 2m -\- 1) появля-
появляется в качестве компоненты D, то она появляется 2т-\- 1
раз в Л — В. Места / — y(mod2m-j-l) в Л—В таковы,
что G' содержит столбец вида
;). cud
Такая же ситуация имеет место во всех случаях, а это
означает, что G' содержит B.11) для всех i ф j,
i, j = 0, 1 2m (mod 2m -f- 1).
По условию, выдвинутому в начале доказательства,
целое число m таково, что существует пара ортогональ-
ортогональных латинских квадратов порядка т. Пусть Я — DХда2)-та-
блица из элементов xv x2, .... хт, а транспонированная
к ней имеет вид, описанный в теореме 1.3. Построим
таблицу
G Н
0
0
0
0
1
1
1
1
... 2т -
... 2т
... 2т
... 2т _
B.12)
Эта таблица имеет четыре строки и
4mBm+l)H-m2-f 2/к+1 =CmH-1J B.13)
столбцов. Столбцы каждой [2 X (Зт-f- 1J]-подтаблицы
таблицы Z суть (Зт-(-1J 2-выборок из элементов О,
1 2m (mod 2m -f- 1) и xv x2 хт. Следовательно,
таблица, полученная транспонированием Z, имеет вид, опи-
описанный в теореме 1.3. Таким образом, существует пара
ортогональных латинских квадратов порядка я==3/п-(-1.
По теореме 1.5 мы можем положить m^3(mod4), что
даст нам я= 10 (mod 12). Выбор других значений для m
приведет к значениям п, предварительно рассмотренным
в теореме 1.5.

3. Конечные проективные плоскости
93
Рассмотренное здесь построение дает следующую пару
ортогональных латинских квадратов 10-го порядка:
В =
0
X,
х2
-*"з
1
3
5
2
4
6
0
6
5
4
*з
х2
X,
1
2
3
6
1
х2
*з
2
4
3
5
0
X,
1
0
6
5
*з
х2
2
3
4
5
0
2
X,
х2
х3
3
4
6
1
х2
Xi
2
1
0
6
*з
3
4
5
4
6
1
3
*i
х2
*з
5
0
2
*з
х2
X,
3
2
1
0
4
5
6
Ч
5
0
2
4
Xi
х2
6
1
3
1
*з
х2
х\
4
3
2
5
6
0
х2
*3
6
1
3
5
X,
0
2
4
3
2
х3
х2
х\
5
4
6
0
1
X,
х2
х3
0
2
4
6
1
3
5
5
4
3
*з
х2
*1
6
0
1
2
1
2
3
4
5
6
0
Xj
х2
х3
2
3
4
5
6
0
1
Xj
*з
Хо
2
3
4
5
6
0
1
х2
х3
X,
4
5
6
0
1
2
3
х2
X,
Хо
3
4
5
6
0
1
2
*з
х\
х2
6
0
1
2
3
4
5
х3
х2
X,
3. Конечные проективные плоскости. Мы начинаем
исследование конечных проективных плоскостей. С первого
взгляда эти системы кажутся совершенно не относящимися
к ортогональным латинским квадратам, рассматриваемым
в предыдущих разделах. Однако в п. 4 мы покажем, что
эти два вопроса известным образом взаимосвязаны. Проек-
Проективная плоскость л— это математическая система, соста-
составленная из элементов, называемых „точками", и из других
элементов, называемых „прямыми". Точки и линии связаны
„отношением инцидентности". А именно мы предполагаем,

94 Гл. 7. Ортогональные латинские квадраты
что существует вполне определенное соотношение „точка Р
лежит на прямой L", или эквивалентное: „прямая L про-
проходит через точку Р", удовлетворяющее следующим по-
постулатам:
C.1) две различные точки л лежат на одной и только
отпой прямой л;
C.2) две различные прямые л проходят через одну и
только одну точку л;
C.3) существует четыре различных точки л, никакие
три из которых не лежат на одной прямой.
Постулаты C.1) и C.2) являются целиком основными
для системы. Постулат C.3) служит для того, чтобы ис-
исключить некоторые вырожденные системы, удовлетворя-
удовлетворяющие только C.1) и C.2). Из этих постулатов вытекает
следующий:
C.4) существует четыре различных прямых в л, ника-
никакие три из которых не проходят через одну и ту же точку.
Теперь ясно, что всякое предложение, относящееся
к проективной плоскости, имеет двойственное предложение,
получающееся соответствующей заменой слов „точка"
и „прямая" и выражений „точка Р лежит на прямой L"
и „прямая L проходит через точку Р". Постулат C.2)
двойствен постулату C.1), а C.4) двойствен C.3). Этот
„принцип двойственности" имеет фундаментальное значение
в теории проективных плоскостей.
Теорема 3.1. Даны две различные точки Р и Р'
и две различные прямые L и L' на плоскости л.
Существуют взаимно однозначные отображения:
точек, лежащих на прямой L, на точки прямой L'\
прямых, проходящих через точку Р, на прямые,
проходящие через точку Р'\ точек прямой L на
прямые, проходящие через Р.
Доказательство. Обозначим через PQ единствен-
единственную прямую, проходящую через две различные точки Р и Q
плоскости л. Пусть L и L' — две различные прямые
на я. Существует точка О на л, не лежащая ни на L,
ни на V'. В самом деле, если бы все точки плоскости л
лежали на L и на L', то существовали бы точки А, В
прямой L и точки С, D прямой V', такие, что А, В,

S. Конечные проектиёные плоскости С5
С, D удовлетворяли бы требованиям C.3). Но из этою
следовало бы, что прямые АВ и CD проходят через точки,
не лежащие на L или V'. А теперь из точки О, не ле-
лежащей на L или V', мы можем установить взаимно
однозначное соответствие точек прямой L с точками пря-
прямой Z/, так как если Р лежит на прямой L, то един-
единственная прямая ОР проходит через единственную точку Р'
на прямой V'. Это взаимно однозначное отображение
всех точек L на все точки V'.
Второе утверждение теоремы двойственно первому.
Пусть О — точка плоскости л, не лежащая на L. Тогда
существует взаимно однозначное отображение точек, ле-
лежащих на прямой L, на прямые, проходящие через
точку О. Это справедливо также, если точка лежит на
прямой L' вследствие второго утверждения теоремы.
Заметим, что мы показали, что на каждой прямой пло-
плоскости л лежат по меньшей мере три различные точки,
а также, что по меньшей мере три различные прямые про-
проходят через каждую точку плоскости л.
Проективная плоскость л называется конечной, если
она содержит только конечное число точек. Конечные
проективные плоскости имеют фз'ндаментальное значение
в комбинаторной математике, и в дальнейшем изложении
этого предмета они будут играть ведущую роль. Пусть
L — прямая на конечной проективной плоскости л, и пусть
число всех точек, лежащих на прямой L, равно n-f- 1.
Натуральное число п называется порядком плоскости л
и является основным инвариантом для л.
Теорема 3.2. Пусть задана конечная проектив-
проективная плоскость л порядка п. Тогда число точек, ле-
лежащих на любой прямой плоскости л, как и число
прямых, проходящих через любую точку плоско-
плоскости л, равно «. —|— 1. Более того, плоскость л имеет
всего п2-\-п-\-1 точек и столько же прямых.
Доказательство. Первое утверждение теоремы
непосредственно следует из теоремы 3.1 и из определения
порядка. Зададим точку О на плоскости л. Существует
/t —(— 1 прямых, проходящих через О, и на каждой из этих
прямых имеется в точности п точек, кроме точки О. Сле-

96 Гл. 7. Ортогональные латинские квадраты
довательно, плоскость л имеет всего 1 -\- п (п-{- 1) = п2-\~
-\-n-\-\ точек. Двойственное утверждение состоит в том,
что плоскость л имеет всего n2J\-n-\~\ прямых.
Для конечной проективной плоскости порядка п воз-
возможны различные эквивалентные системы постулатов. На-
Например, пусть я— математическая система, удовлетворяю-
удовлетворяющая постулатам C.2) и C.3). Пусть я имеет всего
п2-\-п-\- 1 точек, где точно п-\- 1 точек лежат на каждой
прямой и в точности п-\-1 прямых проходят через ка-
каждую точку. Тогда система я является конечной проек-
проективной плоскостью порядка п. Потому что если О — точка
на я, то через нее проходит как раз п-\- 1 прямых, а на
каждой прямой, кроме точки О, имеется п точек. Это
объясняет, почему на я имеется всего п2--\-п-\~\ точек.
Следовательно, две различные точки я лежат на одной
прямой. Это доказывает C.1), и значит я оказывается
конечной проективной плоскостью порядка п.
Заметим, наконец, что во многих исследованиях удобно
рассматривать прямые на конечной проективной плоскости
порядка п как некоторые (п-\- 1)-подмножества точек.
„Наименьшая" проективная плоскость имеет порядок п—2.
Следующие 3-подмножества элементов 1, 2, ..., 7 пока-
показывают семь прямых проективной плоскости порядка 2
L}={1, 2, 4}, L2={2, 3, 5}, Z.3={3, 4, 6),
L4-{4, 5, 7}, L5={5, 6, 1], L6={6, 7, 2],
L7={7, 1, 3}.
4. Проективные плоскости и латинские квадраты.
В настоящем разделе мы установим связь между конеч-
конечными проективными плоскостями и полными множествами
латинских квадратов.
Теорема 4.1. Пусть ft>-3. Построить проек-
проективную плоскость порядка п можно тогда и только
тогда, когда можно построить полное множество
п—1 ортогональных латинских квадратов по-
порядка п.
Доказательство. Пусть дана проективная пло-
плоскость я порядка п. Пусть L — некоторая прямая

4. Проективные плоскости и латинские квадраты 97
плоскости я, a Pv Р2, ..., Рп + Х — точки на ней.
Остальные п2 точек, не лежащих на прямой L, обозначим
через Qi, Q2, ..., Qni. Занумеруем произвольным образом
через 1, 2 п прямые, проходящие через точку PJt
и пусть эта нумерация проведена для каждого у=1,
2 п-\~1. В частности, пусть Q;Pj занумерована а1у
Тогда
А = [аи\ (t=l. 2 Я2. j=u 2, ..., п+1) D.1)
есть [к2 X (и +¦ 1)]-таблица из элементов 1, 2, ..., п.
Строки каждой (к2 X 2)-подтаблицы, выбранной из А,
суть п2 2-выборок из элементов 1, 2, ..., п. Так как
если мы предположим, что uij=uvj и а,-& = а^ь где
/ ф i' ц j ф k, то Q(P7- = QfPj и Q(Pj == Q('/V Но в таком
случае QtQi' должна проходить через точки Pj и Pk, так
что QiQr = L, а это противоречит тому факту, что
точки Qi и Qj. не лежат на прямой L. Следовательно,
D.1) есть таблица типа, описанного в теореме A.3), а она
дает полное множество п— 1 ортогональных латинских
квадратов порядка п.
Обратно, пусть D.1) — таблица типа, описанного в тео-
теореме 1.3. В ней п2 строк пусть обозначают „обычные"
точки Qi, Q2 Qn2, и пусть Plt P2, . • ., Рп + \ — „идеаль-
„идеальные" точки. „Обычная" прямая L^ проходит через Pj
и обычные точки с элементом I в столбце j таблицы А.
„Идеальная" прямая L проходит через идеальные точки
Pj, P2 Р/г + 1- Таким образом мы определили конфи-
конфигурацию я, состоящую из п2+к+ 1 точек. Каждая точка
лежит как раз на п+1 прямых, а каждая прямая про-
проходит точно через п+1 точек. Пусть Lij и Leu — две
обычные прямые, причем J ф k. Эти прямые проходят
через единственную точку с элементом I в столбце j и
элементом I' в столбце k таблицы А. Пусть, далее, Lrj
и Li'j — две обычные прямые, причем I Ф i'. Эти прямые
проходят через единственную точку Р-у Обычная прямая Ln
и идеальная прямая L также проходят через единствен-
единственную точку Р1у Это доказывает C.2). Четыре точки: A, 1),
A, 2), B, 1), B, 2) — в первых двух положениях удовле-

98 Гл. 7. Ортогональные латинские квадраты
творяют постулату C.3). В силу замечаний, вытекающих
из доказательства теоремы 3.2, выясняется, что я есть
конечная проективная плоскость порядка п.
Теорема 4.2. Пусть п = ра, где р—простое,
а а — натуральное числа. Тогда существует конеч-
конечная проективная плоскость я порядка п.
Доказательство. Эта теорема является следствием
теорем 1.2 и 4.1. Плоскость порядка 2 требует специаль-
специального рассмотрения, что было проделано в предыдущем
пункте.
Пусть даны натуральное число п и наибольший квад-
квадрат d, делящий п. Напишем п = n'd и назовем п' сво-
свободной от квадрата частью числа п. Если d=\, то
само п является числом, свободным от квадрата, а если
п'~1, то п является квадратом. Теперь мы в состоянии
сформулировать теорему Брука — Райзера о несущество-
несуществовании конечных проективных плоскостей.
Теорема 4.3. Пусть »=1 или 2(mod 4), и пусть
свободная от квадрата часть числа п содержит
по меньшей мере один простой множитель р^
^ 3 (mod 4). В таком случае конечной проективной
плоскости я порядка п не существует.
Мы докажем обобщение этой теоремы в гл. 8. Оче-
Очевидно, что теорема исключает возможность построения
геометрий для бесконечно большого числа значений п,
например для п ~2р, где р — простое и /? = 3(mod 4).
Разумеется, теоремы 4.2 и 4.3 оставляют вопрос нере-
нерешенным для бесконечно большого числа значений п. Но
до сего времени никаких значений п, кроме упомянутых
в теоремах, не было ни добавлено, ни исключено. Это
привело к развитию двух противоположных точек зрения.
Одни настаивают, что плоскость я порядка п существует
тогда и только тогда, когда п = ра, а другие считают,
что если п не удовлетворяет условиям теоремы 4.3, то
плоскость обязательно существует. Определение точных
оценок для п есть одна из главных нерешенных проблем
комбинаторики в наши дни. Первым неопределенным слу-
случаем является п =10. Существование плоскости 10-го по-
порядка требует построения множества из 9 ортогональных

Литература 99
латинских квадратов 10-го порядка. Однако еще никто
не построил множества из трех ортогональных латинских
квадратов порядка 10.
ЛИТЕРАТУРА
В статьях [8, 9] содержится материал, относящийся к п. 1
этой главы. Фундаментальные работы относительно предположе-
предположения Эйлера включают [2, 3, 11, 12]. Наше изложение теоремы 2.2
имеется в [4]. Тэрри [18] исследовал случай п = 6. Теорема 4.1,
представлена в [1, 17], теорема 4.2—в [19], а теорема 4.3—в [5].
1. В о s e R. С, On the application of the properties of Galois
fields to the problem of construction on hyper-Oraeco-Latin-
squares, Sankhya, 3 A938), 323—338.
2. В о s e R. C, S h r i k h a n d e S. S., On the falsity of Enler's
conjecture about the non-existence of two orthogonal Latin
squares of order 4t-f- 2, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 45A959),
734—737.
3. В о s e R. C, S h r i k h a n d e S. S., On the construction of sets
of mutually orthogonal Latin squares and the falisity of
a conjecture of Euler, Trans. Amer. Math. Soc, 95 A960),
191—209.
4. В о s e R. C, Shrikhande S. S., Parker E. Т., Further
results on the construction of mutually orthogonal Latin squa-
squares and the falsity of Euler's conjecture, Canad. Jour. Math.,
12 A960), 189—203.
5. Bruck R. H., Ryser H. J., The nonexistence of certain finite
projective planes, Canad. Jour. Math., 1 A949), 88—93.
6. H a 1 1 M., Jr., Projective planes, Trans. Amer. Math. Soc,
54 A943), 229—277.
7. Hall M., Jr., Projective planes and Related Topics, California
Institute of Technology, 1954.
8. M а с N e i s h H. F., Euler squares, Ann. Math., 23 A922),
221 227.
9. M a n n H. В., The construction of orthogonal Latin squares,
Ann. Math. Stat., 13 A942), 418—423.
10. Mann H. В., On orthogonal Latin squares, Bull. Amer. Math.
Soc, 50 A944), 249—257.
11. Parker E. Т., Construction of some sets of mutually orthogo-
orthogonal Latin squares, Proc. Amer. Math. Soc, 10 A959), 946—949.
12. Parker E. Т., Orthogonal Latin squares, Proc Nat. Acad.
Sci. U.S.A., 45 A959), 859—862.
13. Parker E. Т., Nonextendibility conditions on mutually orthogo-
orthogonal Latin squares, Proc. Amer.'Math. Soc, 13 A962), 219—221.

100 Гл. 7. Ортогональные латинские квадраты
14. Pickert С, Projective Ebenen, Berlin, 1955.
15. Ryser H. J., Geometries and incidence matrices, Slaught
Memorial Papers, № 4, 1955, 25—31.
16. Скорняков Л. А., Проективные плоскости, УМН, 6, № 6
A951), 112—154.
17. Stevens W. L., The completely orthonalized Latin square,
Ann. Eugen., 9 A939), 82—93.
18. Tarry O., Le probleme de 36 officieurs, Comptes Rendu de
Г Association Francaise pour V Avancement de Science Natu-
rel, 1 A900), 122—123; 2 A901), 170—203.
19. Veblen O., Bussey W. H., Finite projective geometries,
Trans. Amer. Math. Soc, 7 A905), 241—259.

Глава S
КОМБИНАТОРНЫЕ СХЕМЫ
1. (&, v, r, k, ^-конфигурация. В настоящем пункте
мы введем комбинаторные конфигурации, являющиеся
обобщением конечных проективных плоскостей, описанных
в предыдущей главе. Пусть задано f-множество X эле-
элементов Xj, х2, . ¦ ., xv, и пусть Xv Х2, ¦ ¦ ¦, Хь — b раз-
различных подмножеств X. Эти подмножества называются
уравновешенной неполной блок-схемой, если они удо-
удовлетворяют следующим требованиям:
A.1) Каждое Xt является ^-подмножеством множе-
множества X.
A.2) Каждая пара элементов множества X является
2-подмножеством точно Я множеств из Хх, Х2, ¦ ¦¦, Хъ.
A.3) Целые числа v, k, Я удовлетворяют условиям
О < А, и k<v—\.
Требования A.1) и A.2)—основные при определении
уравновешенных неполных блок-схем, а требование A.3)
введено для того, чтобы исключить некоторые вырожден-
вырожденные конфигурации. Уравновешенные неполные блок-схемы
имеют большое значение в той области статистики, кото-
которая имеет дело с анализом и планированием эксперимен-
экспериментов. Там элементы называются многообразиями ]) (varie-
(varieties), а множества — блоками (blocks). Эта номенклатура
объясняет, почему именно мы ввели буквы v и Ь. Пусть
х ? X, и пусть х входит в г из подмножеств Хх,
Х2, ¦•-, Хь. Теперь рассмотрим v—1 2-подмножеств
множества X, содержащих х. Требования A.1) и A.2)
могут быть использованы для подсчета числа появлений
этих v—1 2-подмножеств в Xх, ..., Хь. Если прирав-
Также обработками. — Прим. ред.

102 Гл. 8. Комбинаторные схемы
нять результаты подсчета, то получим
r{k— l) = A,(t>— 1). A.4)
Это показывает, что г является другим инвариантом урав-
уравновешенных неполных блок-схем, который обозначает
число повторных появлений элемента в подмножествах
Хх, Х2, ..., Хь. Поскольку каждый из v элементов
появляется точно г раз и поскольку каждое X', есть
^-подмножество множества X, то отсюда следует, что
bk = vr. A.5)
Уравновешенная неполная блок-схема включает в себя
пять основных параметров b, v, r, k, Я; в дальнейшем
мы будем ее называть ф, v, r, k, К)-конфигурацией.
Указанные пять чисел не являются независимыми. Они
связаны соотношениями A.4) и A.5). Однако эти соотно-
соотношения ни в коем случае не являются единственными необ-
необходимыми условиями для существования (b, v, r, k, Я)-кон-
фигурации. Фактически центральной задачей при изучении
этих конфигураций является определение точной области
значений b, v, r, k, Я, при которых конфигурации су-
существуют. Эта задача еще не решена, а отдельные част-
частные случаи ее имеют сами по себе большое значение.
Пусть дана инцидентная матрица
A = [atJ] (/=1,2 b; j=l. 2 v) A.6)
для (b, v, r, k, А,)-конфигурации. Это означает, разу-
разумеется, что А есть (О, 1)-матрица размера b X v, в которой
atj=\, если Xj?Xt, и а/у- = 0, если Xj(^Xt.
Основные свойства (b, v, r, k, Я)-конфигураций:
AJ=kf, A.7)
АТА = (г~1)Г + М. A.8)
Здесь АГ обозначает транспонированную матрицу А. Мат-
Матрица J есть матрица порядка v, составленная из единиц,
J' — матрица размера by^v, составленная из единиц,
а /—единичная матрица порядка г». Обратно, пусть дано,
что 0<А,и&<г>— 1. Тогда, если А есть @, 1)-матрица
размера byC.v и если А удовлетворяет A.7) и A.8),

/. Конфигурация (b, v, r,k,X) 103
то мы утверждаем, что (b, v, г, к, Я)-конфигурация
с инцидентной матрицей А существует.
Если в @, 1)-матрице заменить нули на единицы и
наоборот, то получающаяся при этом матрица называется
дополнением первоначальной матрицы. Пусть А — матрица
инцидентности для (Ь, V, г, к, Я)-конфигурации, а А' — ее
дополнение. Нетрудно проверить, что
A'J=k'f, A.9)
А'тА' = {г'~ Я,')/+*,'./. A.10)
где r' = b— г, k' = v — k, Я' = b — 2r -f- Я. Из послед-
последнего соотношения и из A.4) и A.5) следует, что
(Ь — r)(v — k — 1) = Я' (v — 1). Следовательно, при 0 < Я
и k < v—1 имеем 0 < Я' и k'<_v—1. Таким образом,
А' определяет ф, v, r', k', Я')-конфигурацию. Она назы-
называется дополнением (b, v, r, k, Я)-конфигурации.
Пусть Аг и А2 — матрицы инцидентности для двух
(b, v, r, k, Я,)-конфигураций. Две конфигурации считаются
изоморфными, если существуют перестановочные матрицы
Р порядка Ь и Q порядка v, такие, что
Al=PA2Q. A.11)
Всякий раз, когда мы пытаемся классифицировать (b, v,
г, It, Я)-конфигурации для отдельных множеств парамет-
параметров, мы учитываем только конфигурации, различные
. в смысле изоморфизма. Этот метод вполне оправдан, так
как изоморфные конфигурации отличаются только нуме-
нумерацией элементов и подмножеств. Матрицы инцидентности
дают нам мощное средство исследования (b, v, r, /г, Я)-кон-
фигураций. Проиллюстрируем это путем применения мат-
матриц инцидентности для доказательства неравенства Фишера.
Теорема 1.1. Для (b, v, r, k, Х)-конфигурации вы-
выполняется неравенство
Доказательство. Пусть А— матрица инцидентности
{b, v, r, k, Я)-конфигурации. Известно, что А имеет раз-
размеры ЬУ\1). Предположим, что Ь < V. Присоединим v—b
строк, составленных из нулей, к матрице А, получим

104 Гл. 8. Комбинаторные схемы
квадратную матрицу А* порядка v, такую, что
. A.12)
Вычислим теперь dei(A*TA*) двумя разными способам.'!.
Матрица А* содержит строку нулей, так что det (A*TA*) =
= det(^*r)det(^*) = O. Матрица (г—A,)/ + AJ имеет
порядок v, имеет г на главной диагонали и X на всех
других местах. Возьмем эту матрицу и вычтем 1-й столбец
из каждого из остальных столбцов. Затем прибавим к пер-
первой строке строки 2, 3, ...,v. Полученная матрица имеет
нули на главной диагонали. Более того, получаем, что
det ((/- — Я) /+AJ) = (/¦ + (*> — l )/,)(/¦ —А,)"-1, A.13)
Следовательно, det (А*ТА*) Ф 0, а это противоречит
нашему предыдущему утверждению. Следовательно, b ^ v.
Из A.4) и A.5) вытекает, что (b, v, r, k, ^-конфи-
^-конфигурация в случае, когда k = 2, А,= 1, имеет b = v (v — l)/2,
r = v—1. Следовательно, конфигурация оказывается мно-
множеством всех 2-подмножеств г»-множества. Гораздо более
интересное положение возникает в случае k — 3, Я=1.
Пусть дано 1»-множество X, где v ^> 3. Штейнеровой
системой троек порядка v называется множество всех
3-подмножеств, или троек, из X, такое, что всякое
2-подмножество из X оказывается подмножеством только
одной тройки. Штейнеровы системы троек порядков 3, 7
и 9 таковы:
(г» = 3):{1. 2, 3};
(•у = 7): {1, 2, 4}, {2, 3, 5}, {3, 4, 6),
{4, 5, 7}, {5, 6, 1}, {6, 7, 2), {7, 1, 3};
(г» =9): {1, 2, 3), {4, 5, 6}, {7, 8, 9},
{1, 4, 7.J, {2, 5, 8), {3, 6, 9},
{1, 5, 9,), {2, 6, 7), {3, 4, 8),
{1, 6, 8,), {2, 4, 9}, {3, 5, 7}.
Заметим, что система троек Штейнера порядка 7 есть
то же самое, что и проективная плоскость порядка 2
(см. предыдущую главу). Ясно, что системы троек Штей-
Штейнера порядка v > 3 являются (b, v, r, к, Я)-конфигура-

/. Конфигурация (Ь, xi, r, k, к) 105
циями с k = 3, Я=1. Следовательно, в силу A.4) и A.5)
Отсюда вытекает, что система троек Штейнера имеет
порядок v'^>>3 и что v^=\ или 3 (mod 6). Для всех
этих значений v тройки Штейнера построены. Раисе по-
получил такое построение еще в 1859 г., затем было полу-
получено много последующих построений. Для v ==3,7 и 9
системы оказались единственными. Существуют точно две
системы 13-го порядка и 80 систем 15-го порядка. Для
г/>15 число различных систем неизвестно. Ограничим
наше изложение следующим элементарным построением.
Теорема 1.2. Если существуют системы троек
Штейнера S1 порядка vx и S2 порядка v2, то су-
существует штейнерова система троек S порядка vxv2.
Доказательство. Пусть дано, что {at, aj, ak\ ? Sv
a {br, bs, bt]?S9. Образуем г^г^-множество элементов
Cij(i=il, 2, ..., г>]| /=1, 2, ..., v2) и положим, что
тройка [clr, cJS, ckt\ входит в S, если: 1) r = s — t и
тройка [ah a.j, ak\ ?SV либо 2) i = J—k и {br, bs, bt\ ^5k,
либо 3) [at, aj, aft]?5i и {br, bs, bt}?S2. Нетрудно
проверить, что эти правила характеризуют S как штей-
нерову систему троек порядка vxv2- Те тройки 5, для
которых r — s — t—1, изоморфны системе Slt а тройки
Sj, для которых i = j = k=l, изоморфны S2-
Пусть число п—целое неотрицательное. Системой
троек Киркмана порядка ¦и=6я-|-3 называют си-
систему троек Штейнера порядка v = 6n-\-3 со следующим
дополнительным условием. Множество из А==Bя-|-1)Х
Х(Зга+1) троек разбито на Зя-)-1 компонент, каждая
из которых представляет собой B/г—(— 1)-подмножество
троек, а каждый из г/ = 6л-)-3 элементов системы троек
появляется в каждой компоненте в точности один раз.
Система троек Штейнера порядка 3 есть вырожденная
система троек Киркмана при п = 0. Указанная выше си-
система троек Штейнера порядка 9 есть система троек
Киркмана при п=\. Здесь 12 троек разбиты на 4 ком-
компоненты. Каждая из них записана в строку из 3 троек;

106 Гл. S. Комбинаторные схемы
каждый из 9 элементов появляется в каждой строке
в точности один раз.
Знаменитая задача Киркмана о 15 школьницах может
быть сформулирована следующим образом. Учительница
выводит свой класс из 15 девочек на ежедневную про-
прогулку. Школьницы построены по трое в пять рядов, так
что каждая из них имеет двух компаньонок. Задача состоит
в том, чтобы так строить класс, чтобы в течение семи
дней подряд ни одна из школьниц не гуляла с каждой
из своих подруг по тройке более одного раза. Эта задача
эквивалентна требованию построить систему троек Кирк-
Киркмана для случая п = 2. Всем этим требованиям удовлетво-
удовлетворяет следующая система:
{1,2,5}, C, 14, 15], {4, 6, 12}, {7,8,11}, {9,10,13},
1, 3, 9}, {2, 8, 15}, {4, 11, 13}, {5, 12, 14}, {6, 7, 10},
1, 4, 15}, {2, 9, 11}, {3, 10, 12}, {5, 7, 13}, {6, 8, 14},
1, 6, 11}, {2, 7, 12}, {3, 8, 13}, {4, 9, 14}, {5, 10, 15},
1, 8, 10}, {2, 13, 14}, {3, 4, 7}, {5, 6, 9}, {11, 12, 15},
1,7, 14}, {2, 4, 10}, {3,5, 11}, {6, 13, 15}, {8, 9, 12},
{1, 12,13}, }2, 3, 6}, {4,5,8}, {7,9,15}, } 10, 11, 14}.
2. (v, k, ^-конфигурация. Пусть дано ^-множество X
элементов xv х2 xv, и пусть Xх, Х2, ..., Xv бу-
будут подмножествами множества X. Эти подмножества
образуют (v, k, ^-конфигурацию, если они удовлетво-
удовлетворяют следующим требованиям:
B.1) Каждое подмножество Xi есть k-подмножество.
B.2) Каждое пересечение Xt fl Xj при i ф j есть
Я-подмножество.
B.3) Целые числа v, k, Я удовлетворяют условию
0 <Х <k <v—l.
Пусть
Л = [аи] (/, у=1, 2 v) B.4)
— матрица инцидентности для (v, k, ^-конфигурации.
Тогда А является (ОД)-матрицей порядка v, из B.1) и
B.2) следует
ААГ = В = {k — X) I + U. B.5)
Здесь Аг обозначает транспонированную матрицу А. Мат-
Матрица J составлена из единиц и имеет порядок v, а мат-

2. Конфигурация (v, k, X) 107
рица / — единичная матрица того же порядка. Наоборот,
пусть 0 < >, < & < ij—1. Тогда, если А есть @,^-мат-
@,^-матрица порядка v и если А удовлетворяет B.5), то мы мо-
можем утверждать, что существует (f, k, ^-конфигурация
с матрицей инцидентности А.
Матрица, составленная из действительных чисел, на-
называется нормальной, если она перестановочна со своей
транспонированной матрицей при умножении.
Теорема 2.1. Матрица инцидентности А лю-
любой (v, k, Х)-конфигурации нормальна. Так что
ААТ=АТА = В. B.6)
Доказательство. Пусть А — матрица инцидент-
инцидентности (г/, k, ^-конфигурации. Из A.13) известно, что
det(B) = (ft + (w—1)Я)(А—Я)". B.7)
Следовательно, det (ААГ) = det (Л) (let (Ат) = det (В)фО,
и, значит, de.t(A) Ф 0. Это означает, что матрица А — не-
невырожденная и имеет обратную матрицу, обозначенную А~1.
Известно, что AJ=kJ. Следовательно, отсюда вытекает,
что A~lJ= k~lJ. Более того,
B.8)
Транспонировав теперь обе части B.9), получим
= (k — l-\-lv)k~l J. B.9)
JA = (k — l-\-kv)k~lJ. B.10)
Следовательно,
JAJ=(k — l-\-lv)k~lvJ. B.11)
Но также
JAJ=kvJ, B.12)
откуда следует, что
k~l = k2 — lv. ' B.13)
Подставив этот результат в B.10), получим
JA = kJ. B.14)

108 Гл. 8. Комбинаторные схемы
Наконец,
АТА = А -1 (ААТ) А = А'1ВА =
= (k — Я) /+ ЯЛ~\/Л = {k — кI-\-М=В, B.15)
а это и есть желаемый результат.
Теорема 2.2. (v, k, Х)-конфигурация эквивалентна
(Л, v, г, k, ^-конфигурации, в которой. b = v и г = к.
Доказательство. Эта теорема является непосред-
непосредственным следствием теоремы 2.1.
В статистике (v, k, А,)-конфигурация называется сим-
симметрической уравновешенной неполной блок-схемой.
Эти конфигурации встречаются во многих областях чистой
и прикладной математики. Остальную часть этой,главы
мы посвятим их изучению.
Теорема 2.3. Конечная проективная плоскость
порядка п эквивалентна (v, k, к)-конфигурации с пара-
параметрами f —K2-j-K-j-l, k = n--\-l, Я=1.
Доказательство. Эта теорема следует из резуль-
результатов п. 3 гл. 7 и из теоремы 2.1.
В гл. 7 мы установили существование проективной
плоскости порядка п = ра, где р — простое, а а — нату-
натуральное числа. Мы также отметили, что до сих пор были
построены конечные проективные плоскости только поряд-
порядков, являющихся степенями простого числа. Известно, что
проективные плоскости порядков я =2, 3, 4, 5, 7 и 8
единственны. Число проективных плоскостей порядка
п — ра для п > 8 неизвестно.
Изучим теперь другой важный класс (v, k, ^-конфи-
^-конфигураций. Матрица Н порядка п, составленная из элемен-
элементов -|- 1 и —1, называется матрицей Адамара (или
адамаровой), если
HHr = nf, B.16)
где НГ обозначает транспонированную матрицу Н, а
/ — единичную матрицу порядка п. Из матричного равен-
равенства B.16) следует, что
абс. знач. det {H) = nn>2. B.17)

2. Конфигурация (v, k, к) 109
Упомянем попутно, что матрицы Адамара появляются
¦весьма естественно из следующих рассуждений. Если эле-
элементы некоторой матрицы действительны и абсолютное
значение каждого элемента не превосходит 1, то знамени-
знаменитое неравенство Адамара утверждает, что абсолютное зна-
значение детерминанта этой матрицы не превосходит я™'2.
Более того, можно доказать, что значение я"'2 достигается
тогда и только тогда, когда матрица — адамарова.
Из матричного равенства B.16) следует, что
Н~1=^п'1Нт. B.18)
Следовательно, Н—нормальная матрица и
ННТ = НтН = п1. B.19)
Если строку или столбец матрицы Адамара умножить
на —1, то матрица сохраняет свойство быть адамаровой.
Следовательно, мы всегда можем принять, что элементы
первой строки и первого столбца являются положитель-
положительными единицами. Такая матрица Адамара называется нор-
нормализованной. Например, нормализованные матрицы Ада-
Адамара порядков 1 и 2 суть:
1 г
Ь
Рассмотрим теперь нормализованную матрицу Адамара
порядка я ^ 3. Мы можем переставить столбцы ее так,
чтобы во второй строке первая половина членов состояла
из положительных единиц, а вторая — из отрицательных.
Пусть t обозначает число положительных единиц на пер-
первых я/2 местах в третьей строке, a t' — число положи-
положительных единиц на остальных я/2 местах третьей строки.
Тогда в силу B.16) имеем 2t~^2t' = n и 2t~2t' = 0.
Следовательно, n = 4t; тем самым мы показали, что поря-
порядок матрицы Адамара п=\,2 или я = 0 (mod 4).
Предполагается, что матрицы Адамара существуют для
всех порядков я = 0 (mod 4). Для их построения пригодны
разнообразные методы. Например, для я ^ 200 матрицы
Адамара были построены для всех порядков я=гО(той 4),
за исключением я=116, 156 и 188. Ниже мы опишем
одно очень несложное построение. Пусть A = [alt\—мат-

по
Гл. 8. Комбинаторные схемы
рица порядка га, а Л' = Га'гЛ— матрица порядка га'. Эле-
Элементы этих матриц пусть находятся в поле F. Прямым
произведением матриц А я А' называется матрица
апА' а12А' . .. аыА'
АХ А'.
а21А' а22А'
И'
B.20)
Это матрица порядка гага'.
Теорема 2.4. Прямое произведение двух матриц
Адамара будет снова матрицей Адамара.
Доказательство. Даны адамаровы матрицы Н по-
порядка п и Н' порядка га'. Можно проверить последова-
последовательность внутренних произведений Я X Я' и убедиться,
что требования для матрицы Адамара выполняются. Даль-
Дальнейшие альтернативные суждения используют некоторые
важные формальные свойства символа прямого произве-
произведения. Так,
(я х и') (я х я')г = (я х я') (нТ х н'т) =
= ЯЯГ X Я'Я'Г = nln X л7„. = яя7яя-, B.21)
где 1п, /„¦, /лл- —единичные матрицы порядков га, га', гага'
соответственно. Заметим, что мы установили существова-
существование матриц Адамара порядка п — 2а, где а — произволь-
произвольное целое положительное число.
Теперь установим взаимосвязь между матрицами Ада-
Адамара и (v, k, ^-конфигурациями.
Теорема 2.5. Нормализованная матрица Ада-
Адамара порядка n = 4t^8 эквивалентна (v, k, ^-кон-
^-конфигурации с параметрами v=4t—- 1, k = 2t—1,
Доказательство. Положим, что Я — нормализо-
нормализованная матрица Адамара порядка га = 4?^>8. Вычеркнем
первую строку и первый столбец этой матрицы и заменим
все —1 нулями. Получим @,1)-матрицу А порядка

3. Теорема несуществования 111
v = 4t— 1. Поскольку Н—нормализованная матрица Ада-
мара, то оказывается, что А удовлетворяет матричному
равенству
AAT = tI + (t— 1)У. B.22)
Следовательно, А является матрицей инцидентности (v, k, Я.)-
конфигурации с параметрами х == 4t—1, k = 2t—1,
h — t—1. Все рассуждение обратимо, и мы можем при-
применить матрицу инцидентности A (v, k, А,)-конфигурации
с параметрами v = № — 1, k — 2t — 1, % = t — 1 к тому,
чтобы построить нормализованную матрицу Адамара по-
порядка п = U.
Дополнением к (v, k, А,)-конфигурации с параметрами
v = 4t— I, k = 2t — I, к — t— 1 является (v, k'', V)-
конфигурация с параметрами v = 4t—1, k' = 2t, X' — t.
Назовем обе эти конфигурации адамаровыми. Интересно
отметить, что (v, k, А,)-конфигурация с параметрами v = 7,
k = 3, X = 1 играет в нашем изложении единственную
в своем роде роль. Эта конфигурация одновременно
является системой троек Штейнера, конечной проективной
плоскостью и адамаровой конфигурацией.
3. Теорема несуществования. Начнем с некоторых
предварительных замечаний. Пусть S = (si;-) и 5' = (s^ Л —
две симметричные (п X и)-матрицы с элементами, принад-
принадлежащими полю F. Будем говорить, что S и S' кон-
конгруэнтны над F, или S = S', если существует невыро-
невырожденная (я X и)-матрица Р с элементами из F такая, что
PTSP = S', C.1)
где Р обозначает транспонированную матрицу Р. Не-
Нетрудно проверить, что конгруэнтность матриц удовлетво-
удовлетворяет обычным требованиям, предъявляемым к соотношению
С С
равенства. Таким образом, из S = S и S = S' следует,
С С С С
что S' = S, а из 5 = 5' и 5' ¦= 5* следует: 5 = S*.
Пусть S = (Sij)—симметрическая (п X и)-матрица с эле-
элементами в F и пусть
п
f = f(xv x2 хп)= 2 XiSijXj C.2)
i, ]=\

112
Гл. 8. Комбинаторные схемы
— квадратичная форма неизвестных xv x2, • ••, хп. Назо-
Назовем / квадратичной формой матрицы S. Предположим,
что S' = (s'r'\ — симметричная (п X «)-матрица с элемен-
С
тами в F и что S = S' над F. Тогда мы знаем, что суще-
существует невырожденная матрица P = (pij) с элементами
в F, такая, что PrSP — S'. Положим, что yv у2 у„—
другое множество неизвестных, и запишем
п
= It РцУ] (i=L 2, ..., п).
C.3)
Матрица Р — невырожденная, поэтому она имеет обратную
матрицу Р
'1
i =2
= (qij) и формула C.3) эквивалентна
Xj A=1.2 п). C.4)
Если теперь мы подставим C.3) в C.2), то получим новую
квадратичную форму f неизвестных уг, у2 уп- Не-
Непосредственным подсчетом можно проверить, что
ч Уп)=
%_
C.5)
Иными словами, /' есть квадратичная форма матрицы S'.
Квадратичные формы / и /' называются конгруэнтными
над F. Мы показали, что если x'v х'2, . ¦ ¦, х'п — произ-
произвольные элементы F и если
2
то
у'2
справедливо в F. Кроме того, если у*, у*2,
вольные элементы F и если
п),
C.6)
у'п) C.7)
уп — произ-
х, =
2
=»¦2
C.8)

3. Теорема несуществования
113
то
C.9)
тоже выполняется в F.
Если А — матрица порядка п, А' — матрица порядка п'
и если элементы этих матриц—элементы поля F, то пря-
прямой суммой матриц А и А' является матрица порядка
ra-j-ra', определенная следующим образом:
А-\-А'-.=
А О
О А'
C.10)
= 5;
где нули обозначают нулевые матрицы. Если
S2 = S2, то отсюда без труда следует, что
i с — с' i с'
Усложнения в теории конгруэнтности матриц зависят от
того, насколько широки предположения о природе поля F.
В классической работе Сильвестра рассматривается задача
для случая поля действительных чисел, и это не очень
трудно. Но в случае поля рациональных чисел положе-
положение делается гораздо более сложным. Дело в том, что
этот предмет тесно связан с глубокими проблемами тео-
теории чисел. Сделаем некоторые элементарные замечания
о конгруэнтностях над полем рациональных чисел. Пусть
т — натуральное число. По теореме Лагранжа о 4 квад-
квадратах 1)
.fl2+c;[+ al, C.12)
где а,, а2, а3, а4 — целые числа. Для наших целей доста-
достаточно знать, что эти 4 количества — рациональные числа.
Обозначим через In единичную матрицу порядка п и опре-
определим
%, а0 по а.
а0 —
— а.
«з — а4 —о-х
\-а.
а0 — a, J
C.13)
') См., например, Арнольд И. В., Теория чисел, Гос-
учпедгиз, 1939. — Прим. ред.

114 Гл. 8. Комбинаторные схемы
рицу Н , получим
Тогда, если мы умножим Н на транспонированную мат-
= т/4. C.14)
Следовательно, мы показали, что
т/4=/4 C.15)
над рациональным полем. В силу C.11), отсюда следует
mln = /„ C.16)
для всех я = 0 (mod 4).
Возвратимся к (v, k, ^-конфигурациям. Центральной
проблемой при их изучении является определение точной
области значений v, k, X, для которых конфигурация суще-
существует. По определению v, k, X — целые и такие, что
0<Я<&<г>—1, а B.13) утверждает
k — X = k2 — Xv. C.17)
Это необходимые условия относительно v, k, X, для
того чтобы конфигурация существовала. Всякий раз, когда
мы будем обсуждать вопрос о существовании этих конфи-
конфигураций, мы будем предполагать, что параметры удовле-
удовлетворяют этим требованиям. Ниже мы дадим теорему, содер-
содержащую дальнейшие необходимые условия. Другие необ-
необходимые условия неизвестны, так что можно предполагать,
что (v, k, ^-конфигурации существуют, если только они
не подпадают под исключена, сформулированные в тео-
теореме 3.1.
Теорема 3.1. Пусть v, k, X — целые числа, для
которых существует (v, k, Х)-конфигурация. Если
v — четное, то (k — X) — квадрат. Если же v — не-
нечетное, то диофантово уравнение
x'2 = (k — Х)у2-\-(—1) 2 Xz2 C.18)
имеет решение в целых ненулевых х, у, z.
Доказательство. Пусть А — матрица инцидент-
инцидентности (v, k, ^-конфигурации. В силу матричного равен-

3. Теорема несуществования 115
ства B.5) имеем
AAT = B = (k — A,)/ + AJ. C.19)
Учитывая B.7) и C.17), отсюда получаем
(det (А) J --= det (В) = k2 (k — Я,)8 ¦ C.20)
Следовательно, число k2(k—kf~ —квадрат. Если теперь
v — четное число, то (k — X) — квадрат. Первое утвер-
утверждение теоремы доказано.
Далее, пусть v—нечетно. По C.19)
В=1 C.21)
над полем рациональных чисел. Рассмотрим сначала слу-
случай ^==1A110A4). В силу C.11) и C.16)
В = (А —*.)/„_! + Л. C.22)
или в терминах квадратичных форм
Щ+у1+ ... +У1^)+У1 C.23)
Здесь
Xi = РпУх-r Piib+ ••• +PivVv (i=U 2, ..., v).
C.24)
где элементы матрицы P=[pj.] рациональны, а сама мат-
матрица Р — невырожденная.
В C.24), если ри Ф 1, положим х, = yv а если рп = 1,
то положим х, = — у,. Из этого следует
У1 = «2У2+«зУз+ ¦•¦ +evVv> C-25)
где е2, е3, .... ev—рациональны. В силу C.24) имеем
х2 = р2у2 + р3уг -f • • • + J3oyo. где /?2, jo3 /?^ —
рациональны. В свою очередь, если р2ф1, мы положим
х2 = У2> а если /?2=1, то положим х2 = —- У2- Это вле-
влечет соотношение
Уг = /зУз + /Л + • • • + /вУ„. C.26)

116 Гл. 8. Комбинаторные схемы
где /3, /4, •-., /^—рациональные. Продолжим эти рас-
рассуждения до момента, когда
где gv-\ и gv—рациональные. Согласно C.24) имеем
х^\ — Яъ-\Уь-\-*гЯъУь> где Яь-\ и Я* ~ рациональные.
Наконец, положим xv_l— + yv_v и это даст нам
yv_] = hvyv, где hv — рациональное. До сих пор мы оста-
оставляли yv неуточненным; теперь положим, что yv — рацио-
рациональное число, не равное нулю. Тогда yv_v yv_2< •••• У]
определены единственным образом посредством указанных
выше соотношений, a xv x2, ..., xv определены также
единственным образом соотношением C.24). Кроме того,
лг? = у? (/ = 1, 2, ..., г;—1). Если мы подставим эти
рациональные числа в C.23), то получим
(k-l)xl+X(xl + x2+ ... -+xvy=yl, C.28)
что и доказывает теорему для случая г; ^1 (mod 4).
Пусть теперь ¦и^3(тос14). Доказательство в этом
случае потребует только внесения небольших изменений
в изложенные выше рассуждения. Из C.21), C.11) и C.16)
получаем
!. C.29)
В терминах квадратичных форм это означает
(k — k)(x\+xl+ ... +xl) +
+ Я.(^ + *2+ ... -г- xvf+xl+l =
= (й_^)(у2+у2+ ... +^+1). C-30)
Здесь
(i= 1. 2 г*+ 1), C.31)
где элементы матрицы /3' = [/?j.1 — рациональные числа,
а сама матрица невырождена. Положим, как и прежде,
jtj=+yi и получим соотношение

3. Теорема несуществования 117
где е'г е'г ..., e'v+1—рациональные числа. Положим
х2 = ± у2 и получим
^2= /зУз+ /^4 + ••• +/; + 1У„ + 1. C-33)
где /з, /4 /o+i — рациональные. Так мы продол-
продолжим до
где g'v и g^+1—рациональные. Согласно C.31), имеем
^^Х + СЛ+г где Ч'ь и ^+1— Рациональные.
Наконец, положим xv= ±yv, а это даст нам yv = h'v+lyv + v
где hv+i — рациональное. Теперь будем считать, что уа+\ —
рациональное число, не равное нулю. В таком случае
Уь' Уо-1' ¦¦¦< У\> а также xv х2 xv+i определены
единственным образом. Кроме того, xf = у\ (i = 1, 2 v).
Если мы подставим эти рациональные числа в C.30), то
получим
А,(*1+*2+ ... +xvJ+xl+1 = (k-l)yl+v C.35)
что и доказывает теорему для г; ^3 (mod 4).
Пусть а и m — натуральные числа, взаимно простые.
Если сравнение х2 ^ a (mod in) имеет решение, то а на-
называется квадратичным вычетом т; если же решения
нет, то а называется квадратичным невычетом т.
Пусть даны натуральные числа а, Ь, с, свободные от
квадратов, попарно взаимно простые и не все одного и
того же знака. Диофантово уравнение
a*2 + 6y24-cz2 = 0, C.36)
коэффициенты а, Ь, с которого удовлетворяют указанным
требованиям, называется уравнением Лежандра. Класси-
Классическая теорема Лежандра утверждает, что уравнение C.36)
имеет целочисленные ненулевые решения х, у, z тогда
и только тогда, когда величины —be, — ас, —-ab являются
квадратичными вычетами а, Ъ, с соответственно. Необхо-
Необходимые условия теоремы очевидны: если уравнение C.36)
имеет решения х, у, z целочисленные и не все равные
нулю, то мы можем утверждать, что эти три целых числа
не имеют общих простых множителей. Отсюда следует,

118 Гл. 8. Комбинаторные схемы
что если простое число р делит а, то оно не делит Z.
В самом деле, если p\z, то р | у, р2\ах2 и р \ х. Таким
образом, C.36) означает, что (Ьг-1уJ =—be (mod а). Дру-
Другие необходимые условия получаются симметричными рас-
рассуждениями. Существенным в теореме Лежандра является
утверждение, что эти необходимые условия являются также
достаточными. Эта часть доказательства далеко не оче-
очевидна ').
Легко превратить уравнение C.18) в уравнение Ле-
Лежандра. Пусть (k — к)' и If обозначают соответственно
свободные от квадратов части для h — к и к. Пусть
теперь d—((k — к)', If), где этот символ означает по-
положительный наибольший общий делитель чисел (k — к)'
и к'. Тогда C.18) имеет решение в целых х, у, z,
не равных нулю одновременно, тогда и только тогда,
когда уравнение
C.37)
имеет ненулевое решение в целых х, у, z. Более того,
уравнение C.37) есть уравнение Лежандра. Таким образом,
если г;—нечетное и если (г;, k, ^-конфигурация суще-
существует, то величины
(_!)—*'(*-*>', (_l)Vr> (k_Xy (з.з8)
, (k — X)' %'
являются квадратическими вычетами d, -—-z——, —г соот-
соответственно. Многие важные (у, k, ^-конфигурации имеют
нечетное v w {k, %)=\. V них {k — к, к) = 1 и, следо-
следовательно, d= 1. Ясно, что для этих конфигураций первое
из необходимых условий тривиально. Третье необходимое
условие также тривиально, потому что мы всегда имеем
k2 = (h — к)-]-кг>, а это означает, что k — к есть ква-
дратический вычет к. Но отсюда следует, что (k — к)г
является квадратическим вычетом к'. Таким образом, пол-
полностью теорема 3.1 для (г;, k, ^-конфигураций при v
') Подробное доказательство этой теоремы см., например,
в книге Дирихле Лежен П. Г., Лекции по теории чисел,
ОНТИ, 1935. —Прим. ред.

4. Матричное уравнение ААТ—В 119
нечетном и при (k, к) = 1 формулируется так: для
(v, k, ^-конфигурации с нечетным v и (k, h)=l
v-l
число (—1) 2 // является квадратичным вычетом
для (k — l)'.
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать тео-
теорему 4.3 гл. 7.
Теорема 3.2. Пусть «=1 или 2 (mod 4), а сво-
свободная от квадрата часть п содержит по меньшей
мере один простой множитель р = 3 (mod 4). Тогда
конечной проективной плоскости я порядка п не
существует.
Доказательство. Конечная проективная плоскость
порядка п есть (v, k, ^-конфигурация с параметрами
v = п2-\-я-4-1, fe = «-4-l, Я,= 1. У нас v нечетно и
(й, А,)=1. Предположение, что п^\ или 2 (mod 4)
означает, что —^— нечетно. Следовательно, если пло-
плоскость существует, то —1 есть квадратичный вычет р.
Из элементарной теории чисел') мы знаем, однако, что
— 1 есть квадратичный невычет простого числа /7^=3 (mod 4).
Существование матриц Адамара предполагается для
всех rt = 0(mod4). При этих обстоятельствах мы бы не
стали прибегать к теореме 3.1, чтобы исключить адама-
ровы конфигурации, и это совершенно верно. Адамарова
конфигурация имеет параметры v = 4t—1, & = 2^—1,
k = t— 1 или v~4t—1, k' = 2t, "K'z=t. Эти значения
приводят к диофантовым уравнениям:
х? = ty2 — (t — 1) z2; x'2^=ty2 — tzi. C.39)
Первое из них имеет решение х = у = z = 1, а второе—
4. Матричное уравнение ААТ = В. В этом пункте
мы изучаем матричное уравнение ААТ = В. Повсюду
в дальнейшем А будет обозначать матрицу порядка v
с рациональными или целыми элементами, а Ат — транс-
') См. сноску на стр. 112, 117. —Прим. ред.

120 Гл. 8. Комбинаторные схемы
понированную матрицу А. Матрица В имеет порядок v
и определяется соотношением
B=(k — X)I + XJ. D.1)
В этом выражении /—единичная матрица порядка v,
a J— матрица порядка v, составленная из единиц. По-
Положим, что k и X целые и такие, что 0<^<&<г> — 1
и
k — X = k2 — Xv. D.2)
Начнем с такой теоремы.
Теорема 4.1. Пусть А — матрица с рациональ-
рациональными элементами, такая, что ААТ = В. Тогда
ATA = (k — X)I + -^ATJA. D.3)
Доказательство. В п. 2 мы указали, что матрица
В—невырожденная. Теперь мы утверждаем, что матрица,
обратная В, задается соотношением
/
Это верно потому, что если мы умножим D.4) слева
на В и применим D.2), то получим ВВ~~ =Л Предпо-
Предположим теперь, что ААТ = В. Тогда А(АТВ~1) = [, и,
поскольку сама матрица и обратная ей перестановочны,
получим
АТВ-1А=1. D.5)
Тогда в силу D.4)
{jh;I-ww=bJ)A = r' D-6)
откуда
ATA = (k— X)I+^ATJA. D.7)
Из теоремы 4.1 вытекает много интересных следствий.
Пусть st обозначает сумму элементов г-го столбца матрицы
A, a tt обозначает сумму квадратов элементов /-го столбца

4. Матричное уравнение ААТ=В 121
матрицы А. Подсчетом можно проверить, что
ATJA = [s,Sj] (Л У=1, 2, .... v). D.8)
Следовательно, из теоремы 4.1 вытекает, что
— l) (i=l, 2 v). D.9)
Затем мы обнаруживаем, что если А— матрица, составлен-
составленная из рациональных элементов и такая, что ААТ = В,
и если JA = kJ, то АТА = В. Это утверждение является
непосредственным следствием теоремы 4.1. Были прове-
проведены широкие исследования матричной конгруэнтности
с
В = 1 над полем рациональных чисел. Здесь мы не можем
входить в детали этих исследований. Мы просто отметим,
с
что, как известно, мы всегда имеем В=-1 над полем ра-
рациональных чисел, за исключением тех значений г;, k, X,
для которых (г;, k, ^-конфигурации исключены условиями
с
теоремы 3.1. Известно также, что если 5 = / над рацио-
рациональным полем, то существует матрица А с рацио-
рациональными элементами, такая, что ААТ = АтА = В. Эти
исследования имеют сами по себе существенный интерес,
но они не дают новой информации относительно условий
несуществования (v, k, Я)-конфигураций.
Естественно было бы изучить матричное уравнение
ААТ~В для случая, когда А составлена из целочислен-
целочисленных элементов. Начнем с элементарных наблюдений. Пусть
дана матрица А с целочисленными элементами, такая, что
ААТ = АтА = В. Тогда мы утверждаем, что матрицей
инцидентности для (г;, k, /^-конфигурации является -или
матрица А, или матрица —А. В самом деле, из АТА = В
следует, что ([ — /г, а в силу D.9) мы имеем s?=&2.
Теперь из ti = k, st = k следует, что элементы г-го
столбца матрицы А суть нули и единицы, а из t( = k,
st = — k вытекает, что элементы г-го столбца матрицы А
¦суть нули и отрицательные единицы. Каждый элемент
матрицы В, не лежащий на главной диагонали, равен на-
натуральному числу к, а это означает, что обе разновидности
столбцов ие встречаются. Следовательно, А или — А будет
матрицей инцидентности (г;, k, ^-конфигурации.
Пусть 5 и S' — две симметрические (п X «)-матрицы
с элементами из кольца целых чисел. Матрица 5 вполне

122 Гл. 8. Комбинаторные схемы
представляет матрицу S', если существует матрица Р
порядка п с целыми элементами и такая, что
P?SP = S', D.10)
где РТ обозначает транспонированную матрицу Р. В част-
частности, единичная матрица / порядка п вполне представляет
S' в случае, если существует матрица Р порядка п
с целыми элементами и такая, что
PTP = S'. D.11)
Ясно, что если (г;, k, ^-конфигурация существует, то
единичная матрица / порядка г; вполне представляет В.
Ниже мы докажем обратное предложение для некоторых
значений v, k, к. К сожалению, задача определения того,
будет или нет одна матрица вполне представлять другую,
остается вообще неразрешенной проблемой. Дальнейшие
продвижения здесь могут доставить нам более глубокое
понимание (v, k, ^-конфигураций.
Пусть дана матрица А с целыми элементами, такая,
что ААТ = В. Если мы перемножим на —1 элементы
какого-либо столбца матрицы А, то мы не нарушим
матричного уравнения ААТ = В. Следовательно, мы можем
выбрать матрицу А таким образом, чтобы суммы их эле-
элементов в столбцах были неотрицательными. О матрице А,
в которой эти требования выполняются, говорят, что она
имеет нормализованный вид.
Теорема 4.2. Пус пь А — матрица с целыми эле-
элементами, такая, что ААТ = В. Запишем А в норма-
нормализованном виде. Если (k, к) свободно от квадрата
и если (k — к) нечетно, то А — матрица инцидент-
инцидентности для (v, k, к)-конфигурации.
Доказательство. Снова обозначим через st сумму
элементов 1-го столбца в матрице А, а через t; — сумму
квадратов элементов того же столбца. Матрица А записана
в нормализованном виде, так что каждое si~^-Q. Из урав-
уравнения D.9) следует
2) (/==1, 2 v). D.12)

4. Матричное уравнение ААТ=В 123
Поскольку (k, А.) свободно от квадрата, то из D.12) и
D.2) нетрудно вывести, что каждое sl^0(mod k). За-
Запишем St — uft; тогда равенство D.9) примет вкд
*( = A,«J+(ft —Я,) A=1, 2, ..., v). D.13)
Предположим, что некоторое ut = 0. Тогда $г = 0, и
в силу D.13) tl = k — %. Но
sj =*¦. = & — А, =э 0 (mod 2), D.14)
а это противоречит нашему условию, что (k — А.) нечетно.
Следовательно, каждое ut ф 0. Но из JAATJ=JBJ следует
sf+^+ ••¦ +4 = *2w- DЛ5>
откуда
«*4-«2 + ...+«! = ¦». D.16)
Но если каждое и1ф0, то каждое ut=\, а каждое
st = k. Таким образом, каждое tt = k. Но отсюда сле-
следует, что Л есть матрица инцидентности (г;, k, л)-конфи-
гурации.
Ограничение теоремы 4.2, заключающееся в том,
что (k, X) должно быть свободно от квадрата, не очень
существенно. Многие важные (г;, k, А,)-конфигурации удо-
удовлетворяют этому требованию, например конечные проек-
проективные плоскости и адамаровы конфигурации с пара-
параметрами v~ 4t — 1, k = 2t — 1, X = t — 1 и с условием
(k, А,) = 1. С другой стороны, ограничение, заключающееся
в том, что (k — А.) должно быть нечетным, исключает из
рассмотрения многие конфигурации. Но мы теперь знаем,
что теорема 4.2 не обязательно верна для (k — А,) целого
и четного. В этом случае из того, что (k, A.) свободно
от квадрата, все еще следует, что каждое sl^Q(moAk).
Но мы не можем, вообще говоря, заключить, что каждое
ut Ф 0.
Пусть Н — адамарова матрица порядка п = 2 или
«^ 0 (mod 4). Выберем Н так, чтобы ее первый столбец
был составлен только из положительных единиц, и обра-
образуем прямую сумму
И' = Н-{-Н-{- ... -j-#(rt+l слагаемых). D.17)

124
Гл. 8. Комбинаторные схемы
Получится матрица порядка п2-}- п. Пусть теперь б — век-
вектор-строка из п компонент с 1 на первом месте и 0 на
всех остальных местах. Окаймим матрицу Н' начальным
вектором-строкой
6'= F, 6 6) (всего п-\-\ компонент 6). D.18)
Ясно, что 6' имеет всего п2-\-п компонент. Затем окаймим
полученную таблицу начальным вектором-столбцом из
п2-\-п-\-[ компонент. Этот вектор имеет 0 на первом
месте и единицы на всех остальных местах.
Получающаяся при этом матрица А имеет порядок
п2-\-п-\-1; легко проверить, что она удовлетворяет
матричному уравнению ААТ = nl -\- J. При этом матрица А
записана в нормализованном виде. Но А не является
матрицей инцидентности проективной плоскости порядка п.
Заметим, что решение только что описанного вида и
матрица инцидентности проективной плоскости существуют
одновременно, если п = 2а. Покажем эти решения для
случая п =2:
0 1
1 1
1 1
1
0 1
1 О
-1 О
О 1
О 1
О О
О О
О 1
О О
0 О
1 О
— 1 О
О 1
О 1
О
О
О
О
 1
О 1
0 0 110 10
0 0 0 1 10 1
10 0 0 1 10
0 10 0 0 1 1
10 10 0 0 1
о-
о
о
о
о
1
D.19)
0 10 0 0
10 10 0
D.20)

4. Матричное уравнение ААТ
125
Далее покажем, что целые решения также существуют
для п =10. Определим
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
—1
1
1
1
1
— 1
—1
—1
—1
1111
1111
3/ —У
-/
—1 —1 —1 —1
1111
3/ —У
D.21)
где / обозначает единичную матрицу четвертого порядка,
a J—матрицу четвертого порядка, состоящую из единиц.
Тогда Н* — матрица порядка 10; нетрудно проверить,
что она удовлетворяет соотношению Н*Н*Т = 10/, где
/—единичная матрица порядка 10. Теперь мы можем
выполнить построение, описанное в предыдущем разделе,
заменив лишь Н на Н\ Это дает матрицу А порядка 111,
удовлетворяющую матричному уравнению ААТ — 10/-J- J.
Но А ни в коем случае не является матрицей инцидент-
инцидентности проективной плоскости порядка 10. По-видимому,
существует широкое разнообразие целочисленных реше-
решений, которые не сводятся в их нормализованном виде
к матрицам инцидентности. Фактически мы предполагаем,
что для v = п2-\-п-\-\, k = n-\-l, 1=1 такие реше-
решения всегда существуют, имея только в виду, что п четно
и что nI-\-J = I над полем рациональных чисел.
Выше мы заметили, что существование матриц Ада-
Адамара предположено для всех я = 0 (mod 4). Покажем, что
это предположение могло бы быть доказано, если бы
теория целочисленных представлений матриц была более
полной. Существует матрица Адамара порядка 2а, а пря-
прямое произведение двух адамаровых матриц есть тоже
адамарова матрица. Следовательно, существование матриц

12б Гл. 8. Комбинаторные схемы
Адамара всех порядков вида At, где t нечетно, влечет
за собой существование матриц Адамара всех порядков
вида п = 0 (mod 4). Но матрица Адамара порядка At ^8
эквивалентна адамаровой конфигурации с параметрами
v — At—1, k~2t—1, K^=t—1. Эти конфигурации
для случая t нечетного рассмотрены в теореме 4.2. Сле-
Следовательно, проблема существования матриц Адамара всех
порядков вида /i^0(mod4) может рассматриваться как
проблема относительно целочисленных представлений.
5. Экстремальные задачи. До сих пор наше изуче-
изучение {v, k, Я,)-конфигурации было сосредоточено на задаче
определения точных областей значений v, k, X, для кото-
которых эти конфигурации существуют. Гораздо более труд-
трудная задача определения точного числа различных кон-
конфигураций для каждого выбора значений v, k, К значи-
значительно превышает уровень развития современных методов.
Упомянем в этой связи высказанное ранее предположение,
что всякая проективная плоскость простого порядка един-
единственна.
Существуют также важные задачи о (v, k, ^-конфи-
^-конфигурациях, которые непосредственно не относятся к этим
двум основным задачам. В некоторых из них речь идет
о выявлении свойств, присущих самим конфигурациям.
Например, дана матрица инцидентности А проективной
плоскости порядка п. Существуют ли перестановочные
матрицы Рф! и Q, такие, что PAQ — A? Это — нере-
нерешенная задача. Положительный ответ имел бы важные
следствия в геометрии и указал бы, что всякая конечная
проективная плоскость обладает нетривиальной колли-
неацией.
Много важных задач относится к существованию и
классификации частных видов конфигураций с теми или
иными дополнительными требованиями, налагаемыми на
них. Упомянем об одном особенно интересном примере.
Матрица порядка п вида
' aQ ax а2 ап_{
ап-\ аа а\ ап-2 E.1)

5 Экстремальные задачи 127
называется циркулянтом. Матрица инцидентности D.20)
проективной плоскости порядка 2 является циркулянтом.
Матрицы инцидентности некоторых (v, k, ^-конфигураций
могут быть преобразованы в циркулянты перестановками
строк и столбцов. Эти конфигурации эквивалентны совер-
совершенному разностному множеству в теории чисел и будут
исследованы в гл. 9. Однако сначала обсудим некоторые
экстремальные задачи, которые объединяют (v, k, ^-кон-
^-конфигурации и некоторые из понятий, введенных в настоя-
настоящей монографии ранее.
Пусть даны фиксированные целые числа v и k,
такие, что
1<А<«, E.2)
и пусть 91(/<, К) — класс всех @, 1)-матриц порядка v,
имеющих в каждой строке и в каждом столбце ровно k
единиц. В гл. 6 мы отмечали, что каждая матрица А
в классе 91 (К, К) имеет рег(Л)>0. Но для матриц
Этого класса мало что известно о минимальном значе-
значении per (Л). Если 91 (К, К) содержит матрицу инцидент-
инцидентности (v, k, ^-конфигурации, то можно на основании
очень ограниченных данных предполагать, что перманент
этой матрицы мал или даже минимален в классе 91 (К, К).
Вычисления здесь делаются практически невозможными,
даже для малых значений v. Аналогичная задача относи-
относительно дважды стохастических матриц приводит к пред-
предположению Ван дер Вардена (см. гл. 5).
Не так уж много известно о перманенте матрицы
инцидентности (v, k, Я,)-конфигурации. Однако, чтобы
выполнить большие выкладки в этой области, были при-
применены электронные вычислительные машины. Было под-
подсчитано, что проективные плоскости порядков 2, 3 и 4
имеют перманенты, равные соответственно 24, 3852
и 18 534 400. Перманент матрицы инвариантен относи-
относительно перестановок строк, столбцов и относительно
транспозиций. Пусть Л и Л' обозначают матрицы инци-
инцидентности двух (v, k, Я,)-конфигураций с одними и теми же
параметрами v, k и К. Пусть, однако, эти матрицы будут
таковы, что они не переводятся одна в другую только что
описанными операциями. Тогда мы предполагаем, что

128 Гл. в. Комбинаторные схемы
перманенты этих матриц различны. Их детерминанты,
разумеется, равны по абсолютной величине.
Обозначим через Z матрицу инцидентности проектив-
проективной плоскости 2-го порядка. Эта матрица имеет поря-
порядок 7 и обладает замечательным свойством
per(Z) = a6c. знач. det(Z) = 24. E.3)
Теперь приведем без доказательства одну интересную тео-
теорему, которая покажет особую роль матрицы Z в теории
перманентов.
Теорема 5.1. Пусть А — циркулянт в классе
К (К, К). Если k>3, то
рег(Л)>абс. знач. det (Л). E.4)
Если k = 3 и если
рег(Л) = абс. знач. det (Л), E.5)
то перестановками строк и столбцов матрица А
преобразуется в прямую сумму матриц Z, взятых
е раз. Следовательно, v = 7e, a per (Л) — B4)е.
Матрицы инцидентности (v, k, А,)-конфигураций возни-
возникают также в экстремальных задачах относительно детер-
детерминантов.
Теорема 5.2. Пусть Q—@, \)-матрица порядка v,
содержащая т единиц. Определим k и К следующим
образом:
x = kv, E.6)
>- = ^ E.7)
и предположим, что 0<А,<&<г> — 1. Тогда
абс. знач. det(Q)<k(k — I) 2 ; E.8)
при этом равенство достигается тогда и только
тогда, когда Q — матрица инцидентности (v, k, k)-
конфигу рации.
Мы опускаем доказательство теоремы 5.2. Фактически
эта теорема может быть обобщена в нескольких напра-
направлениях. Кажется неправдоподобным, что неравенства

5. Экстремальные задачи 129
вида E.8) будуг решать глубокие арифметические
проблемы, связанные с (v, k, ^-конфигурациями. Од-
Однако такие неравенства интересны сами по себе. За-
Заметим, что из теоремы 5.2следует, что если класс 91(К, К)
содержит матрицу инцидентности (v, k, ^-конфигурации,
то детерминант этой матрицы максимален по абсолютному
значению в сравнении с матрицами этого класса. Это
довольно неожиданно, потому что наши прежние замеча-
замечания указывали, что перманент такой матрицы мог,
по-видимому, быть минимальным относительно матриц этого
класса.
Укажем на интересную связь между конечными проек-
проективными плоскостями и 1-шириной, определенной в гл. 6.
Теорема 5.3. Пусть %(К, К) — класс с пара-
параметрами v = n'2-\-n-\-1, k = n2, и пусть п^-2.
Матрицы в %(К, К), которые являются дополне-
дополнениями матриц инцидентности проективных плоско-
плоскостей порядка п, имеют \-ширину еA) = 3, а все
другие матрицы в 91 (X, К) имеют I-ширину еA) = 2.
Доказательство. Оно получается почти непосред-
непосредственно. Дано, что А — матрица в классе 91 (К, К). Обра-
Образуем АТА, где Ат — транспонированная матрица А. Обо-
Обозначим через К' минимальное и через К — среднее значение
элементов АТА, не лежащих на главной диагонали АТА:
Очевидно, что
*|ii> =„(-.). E.9)
Предположим, что К' = Х. Тогда А есть дополнение
матрицы инцидентности проективной плоскости порядка п.
В этом случае из равенств v = /г2 —J— л. —j— 1, k = n2,
Х — п(п— 1) следует, что всякая (v X 2)-подматрица
матрицы А имеет точно одну строку, состоящую из нулей.
Но это означает, что А имеет 1-ширину еA)=3. С дру-
другой стороны, ^предположим, что Я/ < А,. Тогда из равенств
г) = й2-|-я-)-1, k = n2 следует, что К' = К — 1. Но это
означает, что некоторая (v X 2)-подматрица матрицы А
не имеет строки, состоящей из нулей. Следовательно,
А имеет 1-ширину еA)=2.

130 Гл. 8. Комбинаторные схемы
Пусть еA) — максимальная 1-ширина матриц А в классе
%(К, К) из теоремы 5.3. Тогда отсюда следует, что
е A) = 3, если проективная плоскость порядка п суще-
существует, и еA) = 2 в противном случае. В гл. 6 мы обо-
обозначили через е(а) минимальную, а через е(а) — макси-
максимальную а-ширины матриц А в нормализованном классе
2t (R, S). Мы отмечали, что для вычисления е (а) пригоден
один весьма эффективный метод, однако относительно
поведения е(а) известно очень мало. Теорема 5.3 по-
показывает большую сложность е (а).
ЛИТЕРАТУРА
Классической работой о (b, v, г, k, Я)-конфигурациях яв-
является [3]. Наше доказательство неравенства Фишера имеется
в [4]. О системах штейнеровских троек написано в [12], [17],
[21], [34], [36], [40], [42], [52]. Теорема 2.1 впервые появилась
в [43]. Единственность плоскости 8-го порядка доказана в [20].
Матрицы Адамара рассмотрены в работах [2], [6], [10], [14],
[38], [56], [57, 58]. Пункт 3 основан на работах [8] и [7]. Рас-
Рассмотрение уравнения Лежандра имеется в [35]. Пункт 4 в боль-
большей части следует работе [44]. Чтобы познакомиться со
смежными вопросами, см. [1], [13], [19], [28]. Материал, служа-
служащий основой п. 4, см. в [29] и [54]. Вычисление перманентов
рассмотрено в [37]. Теоремой 5.1 мы обязаны работе [55]. Тео-
Теорема 5.2 появилась в статьях [45, 46], а обобщение этих работ
рассмотрено fe [33].
1. Albert A. A., Rational normal matrices satisfying the
incidence equation, Proc. Amer. Math. Soc, 4 A953), 554—559.
2. В a u m e г t L., О о 1 о m b S. W., Hall M., Jr., Discovery
of an Hadamard matrix of order 92, Bull. Amer. Math. Soc,
68 A962), 237—238.
3. Bose R. C, On the construction of balanced incomplete
block designs, Ann. Eugen., 9 A939), 353—399.
4. Bose R. C, A note on Fisher's inequality for balanced
incomplete block designs, Ann. Math. Stat., 20 A949), 619—620.
5. BoseR. C, Mesner D. M., On linear associative algebras
corresponding to association schemes of partically balanced
designs, Ann. Math. Stat, 30 A959), 21—38.
6. Brauer A., On a new class of Hadamard determinants, Math-
Zeit., 58 A953), 219—225.
7. Bruck R. H., Ryser H. J., The nonexistence of certain
finite projective planes, Canad. Jour. Math., 1 A949), 88—93.

Литература 131
8. С h о w I a S., Ry se r H. J., Combinatorial problems, Canad.
Jour. Math., 2 A950), 93—99.
9. Connor W. S., On the structure of balanced incomplete
block designs, Ann. Math. Stat, 23 A952), 57—71.
10. Dade E., Goldberg K., The construction of Hadamard
matrices, Michigan Math. Jour., 6 A959), 247—250.
11. Fischer R. A., Yates F., Statistical Tables for Biological,
Agricultural, and Medical Research, London, 2 ed., 1943.
12. Fort M. K., Jr., H e d 1 u n d 0. A., Minimal coverings of
pairs by triples, Pacific Jour. Math., 8 A958), 709—719.
13. О о I d h a b e r J. K-, Integral p-adic normal matrices satisfying
the incidence equation, Canad. Jour. Math., 12 A960), 126—133.
14. О r u n e r W., Einlagerung des regularen «-Simplex in den
я-dimensionalen Wiirfel, Comment. Math. Helv., 12 A939—1940),
149—152.
15. Hall M., Jr., Some Aspects of Analysis and Probability,
New York, 1958, 35—104.
16. Hall M., Jr., Theory of Groups, New York, Macmillan, 1959.
(Русский перевод: М. Холл, Теория групп, ИЛ, 1962.)
17. Hall M., Jr., Automorphisms of Steiner triple systems, IBM
Jour. Research and Dev., 4 A960), 460—472.
18. Hall M., Jr., Connor W. S., An embedding theorem for
balanced incomplete block designs, Canad. Jour. Math.,
6 A953), 35-41.
19. Hall M., Jr., Ryser H. J., Normal completions of inci-
incidence matrices, Amer. Jour. Math., 76 A954), 581—589.
20. Hall M., Jr., Swift J. D., Walker R. J., Uniqueness
of the projective plane of order eight, Math. Tables Aids
Comput, 10 A956), 186—194.
21. Hanani H., A note on Steiner triple systems, Math. Scand.,
8 A960), 154—156.
22. Hanani H., The existence and construction of balanced
incomplete block designs, Ann. Math. Stat., 32 A961),
361—386.
23. Hoffman A. J., Newman M., Straus E. O.,
Taussky O., On the number of absolute points of a cor-
correlation, Pacific Jour. Math., 6 A956), 83—96.
24. Hoffman A. J., Richardson M., Block design games,
Canad. Jour. Math., 13 A961), 110—128.
25. Hughes D. R., Collineations and generalized incidence
matrices, Trans. Amer. Math. Soc, 86 A957), 284—296.
26. Hughes D. R., Generalized incidence matrices over group
algebras, Illinois Jour. Math., 1 A957), 545—551.
27. I s b e 11 J. R., A class of simple games, Duke Math. Jour.,
25 A958), 423—439.

132 Гл. 8. Комбинаторные схемы
28. J о h n s e n E. С, Matrix rational completions satisfying ge-
generalized incidence equations, and integral solutions to the
incidence equation for finite projective plane cases of orders
n=2 (mod 4). Doctoral dissertation, Ohio State University, 1961.
29. Jones B. W., The Arithmetic Theory of Quadratic Forms,
Carus Math. Monograph, № ю, New York, 1950.
30. К 1 e i n f e 1 d E., Finite Hjelmslev planes, Illinois Jour. Math.,
3 A959), 403—407.
31. Majumdar K. N., On some theorems in combinatorics re-
relating to incomplete block designs, Ann. Math. Stat, 24 A953),
377—389.
32. Mann H. В., Analysis and Design of Experiments, New
York, 1949.
33. M a r с u s M., О о r d о n W. R., Generalizations of some inequa-
inequalities of H. J. Ryser, Illinois Jour. Math., 7 A963), № 4,582—592.
34. Moore E. H., Concerning triple systems, Math. Ann., 43
A893), 271—285.
35. N a g e 11 Т., Introduction to Number Theory, New York, 1951.
36. N e 11 о Е., Lehrbuch der Combinatorik, Leipzig, 2 Aufl., 1927.
37. Nikolai P. J., Permanents of incidence matrices, Math.
Сотр., 14 A960), 262—266.
38. P a 1 e у R. E. A.C., On orthogonal matrices, Jour. Math, and
Physics, 12 A933), 311—320.
39. Parker E. Т., On collineations of symmetric designs, Proc.
Amer. Math. Soc, 8 A957), 350—351.
40. R e i s s Л1., Ober eine Steinersche combinatorische Aufgabe
welche im 45sten Bande dieses Journals, Seite 181, gestelit
worden ist, Crelle's Jour., 56 A859), 326—344.
41. Richardson M., On finite projective planes, Proc. Amer.
Math. Soc, 7 A956), 458—465.
42. Rouse Ball W. W., Mathematical Recreations and Essays
(revised by H. S. M. Coxeter), New York, 1947.
43. Ryser H. J., A note on a combinatorial problem, Proc.
Amer. Math. Soc, 1 A950), 422—424.
44. Ryser H. J., Matrices with integer elements in combinato-
combinatorial investigations, Amer. Jour. Math., 74 A952), 769—773.
45. RyserH. J., Inequalities of compound and induced matrices
with applications to combinatorial analysis, Illinois Jour.
Math., 2 A958) 240—253.
46. Ryser H. J., Compound and induced matrices in combina-
combinatorial analysis, Proc. of Symposia in Applied Math., 10 A960),
149—168.
47. Ryser H. J., Matrices of zeros and ones, Bull. Amer. Math,
Soc, 66 A960), 442—464.

Литература 133
48. Schiltzenberger M. P., A non-existence theorem for an
infinite family of symmetrical block designs, Ann. Eugen., 14
A949), 286—287.
49. Shrikhande S. S., The impossibility of certain symmetri-
symmetrical balanced incomplete block designs, Ann. Math. Stat, 21
A950), 106—111.
50. Shrikhande S. S., The non-existence of certain affine
resolvable balanced incomplete block designs, Canad. Jour.
Math., 5 A953), 413—420.
51. Silver man R., A metrization for power sets with applica-
applications to combinatorial analysis, Canad. Jour. Math., 12
A960), 158—176.
52. Skolem Т., Some remarks on the triple systems of Steiner,
Math. Scand., 6 A958), 273—280.
53. S p г о 11 D. A., Note on balanced incomplete block designs,
Canad. Jour. Math., 6 A954), 341—346.
54. T a u s s к у О., Matrices of rational integers, Bull. Amer. Math.
Soc, 66 A960), 327—345.
55. T i n s 1 e у М. F., Permanents of cyclic matrices, Pacific Jour.
Math., 10 A960), 1067—1082.
56. T о d d J. A., A combinatorial problem, Jour. Math. Phys.,
12 A933), 321—333.
57. Williamson J., Hadamard's determinant theorem and the
sum of four squares, Duke Math. Jour., 11 A944), 65—81.
58. Williamson J., Note on Hadamard's determinant theorem,
Bull. Amer. Math. Soc, 53 A947), 608—613.

Глава 9
СОВЕРШЕННЫЕ РАЗНОСТНЫЕ МНОЖЕСТВА
1. Совершенные разностные множества. Пусть
D = {dv d2, ..., dk)—^-множество целых чисел по мо-
модулю v и такое, что всякое число а ф О (mod v) может
быть выражено к способами в виде
dt — dj= а (той v), A.1)
где dt и dj—элементы D. Предположим далее, что
0<k<k<v—l. A.2)
Эти неравенства служат только для того, чтобы исклю-
исключить некоторые вырожденные конфигурации. Множество D,
для которого эти требования выполняются, называется
совершенным разностным множеством или, короче,
разностным множеством. Нетрудно проверить, что
k=k{k~}) . A.3)
v — 1 v '
Это утверждение непосредственно вытекает из следую-
следующей теоремы:
Теорема 1.1. Совершенное разностное множе-
множество D эквивалентно (v, k, ^-конфигурации с цир-
циркулянтом в качестве инцидентной матрицы.
Доказательство. Дано гьмножество X целых
по модулю v чисел: 0, 1 v—1, а также задано
разностное множество D. Определим v разностных мно-
множеств
Я.= К + *. <*2+е dk + e] A.4)
(е = 0. 1 v—l),
где каждое De есть ^-подмножество множества X, aD = Do.
Из определения разностного множества сразу следует,
что каждое пересечение De f) D* при е ф f являете^

i. Совершенные paSnoctHUe мнбжества 155
^.-подмножеством множества X. Следовательно, подмно-
подмножества A.4) являются (v, к, ^-конфигурациями. Более
того, матрица инцидентности для подмножеств Do, Du ...
.... Dv-\ множества X есть циркулянт. Нетрудно до-
доказать и обратное предложение.
Из предыдущей теоремы ясно, что разностные мно-
множества могут быть рассмотрены как частные виды (v, к, %)-
конфигураций, и, следовательно, теорема 3.1 гл. 8 спра-
справедлива для разностных множеств. Однако произвольная
(v, к, ^-конфигурация, вообще говоря, не соответствует
разностному множеству. В самом деле, известны различные
значения v, k и %, для которых (v, к, ^-конфигурации
существуют, а разностные множества — нет. Для построе-
построения разностных множеств применимо большое число раз-
разных методов. Разностное множество, для которого А,—1,
называется плоским. Плоское разностное множество, для
которого n = k — X, приводит к проективной плоскости
порядка п. Проективная плоскость этого вида называется
циклической. Зингер построил циклические проективные
плоскости всех порядков вида п = ра, где р — простое,
а а — натуральное числа. Есть предположение, что всякая
конечная циклическая проективная плоскость должна
иметь порядок п = ра. Справедливость этого предположе-
предположения установлена для «^1600. Упомянем попутно и о
другом предположении, что каждая конечная циклическая
проективная плоскость есть дезаргезиан. В самом деле,
из этого предположения следует, что п = ра, но мы не
пытаемся здесь продолжать обсуждение интересной темы
о дезарговых плоскостях Следующая таблица показывает
плоские разностные множества для нескольких первых
значений п:
Плоское разностное множество
@, 1, 3}
0, 1, 3, 9}
0, 1, 4, 14, 16}
0, 1, 3, 8, 12, 18}
{0, 1, 3, 13, 32, 36, 43, 52}
{0, 1, 3, 7, 15, 31, 36, 54, 63}
{0, 1, 3, 9, 27, 49, 56, 61, 77, 81}
{0. 1, 3, 12, 20, 34, 38, 81, 88, 94, 104, 109).
п
2
3
22
5
7
23
З2
11
V
7
13
21
31
57
73
91
133

136 Гл. 9. Совершенные разностные мноЖестёа
Обзор разностных множеств с параметрами v, к, к
был проделан для к, лежащего в отрезке
3</г<50. A.5)
Пусть v, к, к — целые параметры, удовлетворяющие A.3),
A.5) и
к<~. A.6)
Последнее утверждение не ведет к ограничению общности,
поскольку дополнение к разностному множеству само есть
разностное множество. Указанным требованиям удовле-
удовлетворяют 268 выборов значений V, к и к. Теорема 3.1
гл. 8 исключает (v, к, ^-конфигурации в 101 случае.
Разумеется, это означает, что разностные множества для
этих 101 случаев не существуют. В оставшихся 167
случаях доказано существование разностных множеств
в 46 и несуществование в 109 выборках. Таким образом,
существование разностных множеств осталось невыяснен-
невыясненным только в 12 случаях.
Построению разностных множеств посвящено большое
число теорем. Докажем здесь следующий элементарный
результат.
Теорема 1.2. Пусть дано простое число jo^-7,
такое, что /?^3(mod 4). Тогда множество D, со-
составленное из k~(p—1)/2 различных квадратич-
квадратичных вычетов dv d2 dk (mod p), образует раз-
разностное множество с параметрами v — p — At—1,
Доказательство. Пусть с — квадратичный вы-
вычет р, dt и dj — элементы множества D и пусть
dt — dj: = 1 (mod р). Тогда числа di = c dt (mod p) и
d) = с dj (mod p) также входят в D и удовлетворяют со-
соотношению di — dj^c(mod p). С другой стороны, по-
положим, что dl и dj входят в множество D и пусть
d'i — d'j = c (mod p).
Тогда числа dt^c~l d'i (modр) и dj = c~l d) (mod p)
тоже являются элементами D и удовлетворяют соотноше-

2. Теорема О множителе 137
нию dt — tf;== I (mod p). Таким образом, совокупность
чисел dt и dj множества D такая, что dt — d>^\(mod p)
является такой же, как и совокупность чисел dt и dj,
входящих в D, для которых di — dj ^ с (mod p). Более
того, если /?^3 (mod 4) и если с распространяется на
(р—1)/2 различных квадратичных вычетов по модулю р,
то —с распространяется на (р—1)/2 различных квадра-
квадратичных невычетов по модулю р. Итак, dt — dj^ с (mod p)
эквивалентно dj — dt^ — с (mod p), чем доказано, что D
есть разностное множество.
Разностное множество D порождает адамарову конфи-
конфигурацию. Матрица инцидентности А этой конфигурации
является циркулянтом. Это не означает, что матрица
Адамара Н порядка р-{- 1 = At, связанная с А, есть цир-
циркулянт. Граничное условие, примененное при получении
Н из Л, разрушает циркулянтное свойство Н. Откло-
Отклонимся немножко и заметим, что матрица Адамара четвер-
четвертого порядка
1 — 1 —1 —Г
— 1 1 —1 —1
_1 _i I _i
— 1 —1 —1 1
A.7)
является циркулянтом. Предполагается, что матрица Ада-
Адамара порядка п > 4 не может быть циркулянтом. Мы
докажем, что если Н — матрица Адамара порядка п, а
Н — циркулянт, то п должно быть точным квадратом.
В самом деле, пусть J—матрица порядка п, составлен-
составленная из единиц. Поскольку И — матрица Адамара по-
порядка п, мы имеем ИИТ — п/', где Нт — транспонирован-
транспонированная матрица Н. Поскольку Н является циркулянтом,
имеем HJ—JH~eJ, где е — целое число. Следовательно,
HHTJ=e4=nJ, A.8)
а это указывает на то, что п = е2.
2. Теорема о множителе. Пусть X есть г/-множество
целых чисел по модулю v: 0, 1 v—1, и пусть
D={dld2 dk) и D' = {d[, d'i, .... d'k) суть разност-
разностные множества с одними и теми же параметрами v, k, к.

138 Гл. 9. Совершенные разностные множества
Зададим целое число t, такое, что (/, v)=z\, и произ-
произвольное целое s. Тогда E~{tdv td2 tdk\ и
E' — {d[-\-s, d2-\-s, ..., d'k-\-s\, поскольку они явля-
являются ft-подмножествами множества X, суть разностные
множества. Будем теперь искать такие целые числа / и s,
чтобы Е и Е' были одним и тем же ft-подмножеством
множества X. Предположим, что такие целые числа мо-
могут быть определены. Тогда при классификации разност-
разностных множеств естественно определить D и D' как одно
и то же в смысле изоморфизма разностное множество,
Заметим, что такие целые числа / и s не обязательно
существуют. Например, нетрудно показать, что для г;—31
квадратичные вычеты по модулю 31
D=[l, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18, 19, 20, 25, 28] B.1)
и разностное множество
D'= {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 15, 16, 17, 23, 24, 27, 29, 30}
B.2)
не могут быть преобразованы только что описанным
методом в одно и то же разностное множество. Здесь
мы не будем пытаться исследовать единственность раз-
разностных множеств. Однако предшествующие рассуждения
имели в виду обосновать идею множителя разностного
множества; теперь мы исследуем это понятие несколько
подробнее.
Целое число / называется множителем разностного
множества D=[dv d2, ..., dk), если существует це-
целое число s, такое, что Е = [td1, td2, ..., tdk) и Е' =
= [d1-\- s,d2-\- s, ..., dk-{-s) являются одним и тем
же ft-подмножеством множества X. Множитель / должен
удовлетворять сравнению tdt—tdj= I (mod v) для каких-
либо t и j; следовательно, всякий множитель удовле-
удовлетворяет условию
(Л */)=1. B.3)
В терминах предшествующего рассмотрения ясно, что
множитель устанавливает изоморфизм разностного мно-
множества с самим собой. Всегда имеется тривиальный мно-
множитель /=1. Более того, легко проверить, что множи-

2. Теорема о множителе 139
тели по модулю v образуют мультипликативную группу.
Эта группа называется группой множителей разностного
множества. Множители были введены в исследование
разностных множеств М. Холлом и оказались очень
сильным средством для вывода теорем как существова-
существования, так и несуществования. К сожалению, теория, кото-
которую мы излагаем, не имеет известных аналогий с (v, k, X)-
конфигурациями.
Начнем наше исследование множителей с некоторых
общих замечаний о сравнениях. Пусть даны полиномы
f(x)> S(x)' h(x) с целыми коэффициентами. Будем
писать
==? (х) (mod й(х)), B.4)
если существует полином к (х) с целыми коэффициентами,
такой, что / (х) — g (x) = k(x)h (х). Пусть теперь заданы
произвольные целые числа а и b и натуральное число т.
Зададим натуральные числа а' и Ъ', такие, что а^а'
(mod т) и b^b' (mod т). Тогда получим, что а = b (mod m)
тогда и только тогда, когда a'^^'(modm). Более того,
сравнение
a==?(modm) B.5)
эквивалентно полиномиальному сравнению
ха' ==3 ХЬ'
Заменим обозначения в B.6) на
xa==x*(modxff!— 1).' B.7)
„Отрицательный" показатель степени в B.7) не должен
быть причиной путаницы, потому что B.7) лишь поясняет
B.6). Таким образом, B.5) справедливо для целых чисел
а и b тогда и только тогда, когда B.7) выполняется для
тех же чисел.
Пусть теперь задано разностное множество D = [dv
d2, ..., dk) с параметрами v, к, к. Определим
6{х) == xrfJ -j-x^2 -j- . . . -|- хЛк (mod xv — 1). B.8)

140 Гл. 9. Совершенные разностные множества
Поскольку D есть разностное множество, то из этого
следует, что
9 (х) 9 (х-1) = к + Ьх -R*2 + . .. + Xxv~1 (mod xv — 1).
B.9)
В самом деле, правая часть B.9) есть сумма членов вида
х '~ i и содержит х° = I точно к раз, а каждую степень
х, х2 xv~1 точно к раз. Положим
Г(х)=1-|~х + ... + xv~K B.10)
Тогда мы можем переписать B.9) в виде
9(х)9(х-1)=зА — l-i-lT(x) (modx*— 1). B.11)
Заметим, что если е есть v-R корень из единицы и если
гф\, то отсюда следует, что Т (е) = 0 и из B.11) сле-
следует
к — Я, = 9(е)9(е-1). B.12)
Это равенство интересно само по себе: оно показывает
нам, что разностные множества приводят к задаче разло-
разложения на множители (факторизации), включающей v-e
корни из единицы. Возвратимся к множителю / и заметим,
что t будет множитель разностного множества D тогда и
только тогда, когда
Q(x') = xsQ(x) (modx*— 1). B.13)
В самом деле, показатели степеней в левой части сравне-
сравнения суть td1, td2 tdk(mo&v), а в правой — dl-\-s,
d2~\- s, .... dk-\-s (mod v). Теперь мы подготовлены
к тому, чтобы доказать следующую теорему.
Теорема 2.1. Пусть дано разностное множе-
множество D с параметрами v, k, X. Пусть р — простой
делитель к — %, такой, что р ¦>( v и р > X. Тогда р
является множителем разностного множества D.
Доказательство. Поскольку D — разностное мно-
множество, мы имеем
Q(x)Q(x-1)~k~l-{-lT(x) (mod**— 1). B.14)

2. Теорема о множителе 141
Пусть f(x) — произвольный полином с целыми коэф-
коэффициентами. Из определения Т (х) следует
f(x)T(x)~f(l)T(x) (mod*'—!). B.15)
По условию р\ к— X и pJfv. Известно также, что
k — X = k2— Xv. Отсюда следует, что р ¦>( к, так как
в противном случае р\ kv и р\ к, поскольку р > X. Та-
Таким образом,
^). B.16)
Все коэффициенты в разложении 9(хр), за исключением
коэффициентов при хр ', хр 2, .. ., хр *, делятся на р.
Умножим теперь B.14) на 9(х"~') и применим B.15) и
B.16). Тогда мы можем записать результат в виде
) (mod xv — 1), B.17)
где R(x)— полином с целыми коэффициентами. Выраже-
Выражение Q(xp) 9 (х) в формуле B.17), рассматриваемое как
полином степени, меньшей, чем v, имеет целые неотрица-
неотрицательные коэффициенты. Далее, р > X, а это означает,
что R (х) в той же формуле, рассматриваемое как полином
степени, меньшей v, имеет целые неотрицательные коэф-
коэффициенты. Умножим B.17) на 0(х) и применим B.14)
и B.15). Это даст
(k — l)Q(xp)~pR{x)Q(x) (modx*1— 1). B.18)
Выражения 9(хр), R(x) и 9 (х) в этой формуле, рас-
рассматриваемые как полиномы степени, меньшей v, имеют
целые неотрицательные коэффициенты. Более того, струк-
структура B.18) указывает, что R(x) не может иметь более
одного ненулевого члена. Следовательно, R(x) = axs,
где а и s — целые неотрицательные числа. В • формуле
B.18) мы можем положить х=1, откуда получается
к — % = pR{\). Следовательно,
(k~ l)Q(xp)~(k — X)xsQ(x) (mod x" — 1), B.19)
где р — множитель.
Теорема 2.1 доказывает существование нетривиального
множителя для всякого плоского разностного множества,
поскольку требования р \ v и р > к определенно удовле-
удовлетворяются в этом случае. В выводе теоремы 2.1 исполь-

142 Гл. 9. Совершенные разностные множества
зуется ограничение р > X. Однако мы предполагаем, что
это ограничение не составляет существенной части пред-
предположения. К тому же все известные разностные множе-
множества имеют (k — к, v)=l, так что можно предполагать,
что всякий делитель k — к есть множитель разностного
множества.
Сформулируем без доказательства следующее обобще-
обобщение теоремы о множителе.
Теорема 2.2. Пусть дано разностное множе-
множество D с параметрами v, k, к. Положим, что d
есть делитель k — к, что (d, v) — 1 и что d > к.
Пусть t — такое целое число, что для каждого р,
простого делителя d, существует целое число j,
такое, что р-*^t(modv). Тогда t — множитель раз-
разностного множества D.
Из понятия множителя может быть выведено большое
число теорем, заслуживающих внимания. Мы не будем
изучать эти результаты. Закончим тем, что на небольшом
числе примеров покажем, как можно применить понятие
множителя, чтобы решить вопрос о существовании или
несуществовании определенных разностных множеств.
Примеры, а) Существует разностное множество с парамет-
параметрами v = 37, k = 9, Я = 2. Пусть D = {rf[, d2, ¦ ¦., d^} —разност-
—разностное множество с произвольными параметрами v, k, X. Будем
говорить, что D фиксировано множителем t, если D = {tdit td2,...
..., td/i]. Предположим, что (t — 1, v) = 1. Тогда мы утверждаем,
что существует и, такое, что разностное множество Du = {dt -f-
-f- u, d2-\-u d/g-j-u] фиксировано t. В самом деле, множи-
множитель t отображает разностное множество Du на разностное мно-
множество
Ds+tu={di + s + tu, d2 + s + tu dn + s + tu). B.20)
Следовательно, множитель оставляет фиксированным разностное
множество при и, определенном сравнением
(t— 1)м = — s(raodf). B.21)
Рассмотрим теперь разностное множество с параметрами
v = 37, k = 9, Л = 2. Мы имеем p=k — X = 7, 7-f37 и 7>2.
Следовательно, по теореме 2.1 р = 7 есть множитель. Кроме
того, F,37) = 1, так что разностное множество фиксировано чис-
числом 7. Мы можем умножить элементы этого разностного мно-
множества на соответствующий множитель так, чтобы один элемент

Литература. 143
разностного множества был равен 1. Тогда следующие степени
числа 7 (mod 37)
{1, 7, 9, 10, 12, 16, 26, 33, 34} B.22)
должны быть членами разностного множества. Это фактически
и есть желаемое разностное множество. Итак, само построение
показало, что разностное множество с этими параметрами един-
единственно в смысле изоморфизма.
б) Существует разностное множество с параметрами v = 23,
ft =11, X = 5. В этом случае ft— % = 6, а два простых дели-
делителя 6 оба меньше 5. Следовательно, мы не можем применить
теорему 2.1 непосредственно. Однако мы имеем 9 = 25 (mod 23)
и 9 = З2 (mod 23). Из этого следует, что d = 6 и t = 9 удовле-
удовлетворяют требованиям теоремы 2.2. Следовательно, 9 есть мно-
множитель разностного множества. Кроме того, (8,23) =1, так что
существует разностное множество, фиксированное числом 9.
Мы можем потребовать, чтобы 1 была элементом этого разност-
разностного множества. Тогда следующие степени 9 (mod 23)
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18} B.23)
должны быть членами разностного множества. Это еще один
пример единственного разностного множества с заданными пара-
параметрами. Нетрудно убедиться, что как 2, так и 3 являются мно-
множителями этого разностного множества.
в) Не существует плоского разностного множества с пара-
параметрами f=lll, ft = 11, Я = 1. Это случай циклической про-
проективной плоскости порядка 10. Следуя теореме 2.1, мы узнаем,
что р = 1 есть множитель. Кроме того, A, 111)= 1, так что су-
существует разностное множество, фиксированное числом 2. Если
мы применим множитель 2 к этому разностному множеству, то
получим
6 (л:2) = 6 (х) (mod*111 — 1). B.24)
Пусть теперь е — кубический корень из единицы не ф 1. Так как
111=3-37, то
6 (е2) = 6 (е). B.25)
Из этого следует, что 6(е) = б(е~1)— рациональное. Но тогда
по формуле B.12) выходит, что ft —A = 10 является квадратом.
Следовательно, циклическая проективная плоскость порядка 10
не существует.
ЛИТЕРАТУРА
Классические работы по разностным множествам включают
статьи [12] и [4]. Материал п. 2 основан на работах [4] и [6].
Доказательство теоремы 2.2 находится в работе [5].
1. В г и с k R. H., Difference sets in a finite group, Trans. Amer.
Math. Soc, 78 A955), 464—481.

144 Гл. $ Совершенные разностные мнбЖеСтва
2. Evans Т. А., М a n n H. В., On simple difference sets, Sankhya,
11 A95!), 357—364.
3. GordonB., Mills W.H, W e 1 с h L. R., Some new diffe-
difference sets, Canad. Jour. Math., 14 A962), 614—625.
4. Hall M., Jr., Cyclic projective planes, Duke Math. Jour.,
14 A947), 1079—1090.
5. Hall M., Jr., A survey of difference sets, Proc. Amer. Math.
Soc, 7 A956), 975—986.
6. Hall M., Jr., Ryser H. J., Cyclic incidence matrices, Canad.
Jour. Math., 3 A951), 495—502.
7. Hoffman A. J., Cyclic affine planes, Canad. Jour. Math.,
4 A952), 295—301.
8. Hughes D. R., Partial difference sets, Amer. Jour. Math., 78
A956), 650—674.
9. Lehraer E., On residue difference sets, Canad. Jour. Math., 5
A953), 425—432.
10. Mann H. В., Some theorems on difference sets, Canad. Jour.
Math., 4 A952), 222—226.
11. Ostrom T. Q., Concerning difference sets, Canad. Jour.
Math., 5 A953), 421—424.
12. Singer J., A theorem in finite projective geometry and some
applications to number theory, Trans. Amer. Math. Soc, 43
A938), 377—385.
13. Stan ton R. Q., Sprott D. A., A family of difference sets,
Canad. Jour. Math., 10 A958), 73—77.
14 Turyn R., Storer J., On binary sequences, Proc. Amer.
Math. Soc, 12 A961), 394—399.
15. Whiteraan A. L., A family of difference sets, Illinois Jour.
Math., 6A962), 107—121.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
s ? 5 s является элементом 5
Л с 5 Л есть подмножество множества 5
AaS А есть собственное подмножество
множества S
Р (S) Множество всех подмножеств мно-
множества S
0 Нулевое множество
5 П Т Пересечение множеств 5 и Г
S[}Т Объединение множеств S и Т
«-множество Конечное множество из п > 0 эле-
элементов
SXT Произведение множеств S и Т
(Cj, a2, .... аг) Упорядоченное r-множество, назы-
называемое выборкой объема г, или
г-выборкой; r-перестановка из
п элементов в случае, когда ком-
компоненты различны и выбраны из
«-множества
Р(п, г) Число r-перестановок из п эле-
элементов
п\ я-факториал
G(S) Множество всех взаимно однознач-
однозначных отображений в 5 на себя
5Я Симметрическая группа порядка а
{av а2 ат) Неупорядоченная выборка г эле-
элементов, не обязательно различных,
объема г, или r-выборка; /--под-
/--подмножество, если компоненты раз-

146 Список обозначений
личны, r-сочетание из я элементов,
если компоненты различны и выб-
выбраны из я-множества
С (п, /•) = () Биномиальный коэффициент
w(а) Вес элемента а
[х] Наибольшее целое число, не пре-
превосходящее х
(а, Ь) Положительный общий наибольший
делитель чисел а и b
а\Ь а делит b
а\ b а не делит b
ф (я) Эйлеровская ф-функция
[I (я) Функция Мёбиуса
л{х) Число простых чисел, не превы-
превышающих х
Dn Число беспорядков из п элементов
А = [пц] Прямоугольная таблица, называе-
называемая матрицей, если элементы atj
выбраны из поля
Аг Транспонированная матрица А
per (А) Перманент матрицы А
det (^4) Детерминант матрицы А
@,1)-матрица Матрица, элементами которой
являются нули и единицы
/ Единичная матрица
J Матрица, составленная из единиц
Un Числа размещений
С @,1)-матрица, в которой единицы
расположены на местах: A,2),
B,3), C,4) (я, 1), а нули —
на всех остальных местах
/„ Число латинских* квадратов по-
порядка я, в которых элементы пер-
первой строки и первого столбца рас-
расположены в естественном порядке
Pr(S) Множество всех г-подмножеств
множества S
N {qx qt, r) Минимальное натуральное число
в теореме Рамсея

Список обозначений 147
Nm Минимальное натуральное число
в теореме о выпуклых многоуголь-
многоугольниках
Система различных представителей
Система общих представителей
Граничный ранг
гт) Вектор сумм строк
sn) Вектор сумм столбцов
Общее число единиц в @, ^-мат-
^-матрице
Класс всех @,1)-магриц, вектор
сумм строк которых R, а вектор
сумм столбцов — S
Максимальная матрица
S* мажорирует S
Специальная матрица, построен-
построенная в 51
Минимальный граничный ранг мат-
матриц в нормализованном классе 21
Максимальный граничный ранг мат-
матриц в нормализованном классе 91
Afo(Q) Число нулей в @,1)-матрице Q
N^Q) Число единиц в @,1)-матрице Q
а Минимальный след матриц в нор-
нормализованном классе 51
а Максимальный след матриц в нор-
нормализованном классе $
е (а) а-ширина
е(а) Минимальная а-ширина матриц
в нормализованном классе 91
е(а) Максимальная а-ширина матриц
в нормализованном классе 9t
21 (К, К) Класс, в котором R = S = K =
= (k, k k)
GF(pa) Поле Галуа
ц Проективная плоскость
с.
с.
= С-1.
21 =
S
р. п.
0. П.
р
Г2
s2, ....
т
21 (Я, 5)
Л
<S*
Л
р
р

148 Список обозначений
В Матрица порядка v, в которой эле-
элементы на главной диагонали равны k,
а все остальные элементы равны X
Н Матрица Адамара
АХ Л' Прямое произведение А и А'
с
S — S' S конгруентна S'
A _L А' Прямая сумма А я А'
D = [dv d2, ¦ .. , dk) Совершенное разностное множество
t Множитель разностного множества
в (ж) xdi + xd*+...+xdk(mouxv— I)

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алберт (Albert A. A.) 130
Арнольд И. В. 113
Йонес (Jones В. W.) 132
Ионсен (Johnsen E. С.) 132
Басси (Bussey W. Н.) 100
Бен Эзра (Ben Ezra) 9
Берж (Berge С.) 63
Бомер (Boumert L.) 130
Боуз (Bose R. С.) 89, 99, 130
Брауер (Brauer A.) 130
Брук (Bruck R. Н.) 99, 130,
143
Веблен (Veblen О.) 100
Воган (Vaughan H. Е.) 64
Гейл (Gale D.) 82, 83
Глисон (Gleason A. M.) 50
Голомб (Golomb S. W.) 130
Гольдберг (Goldberg К.) 131
Гольдхабер (Goldhaber J. К)
131
Гордон (Gordon W. R.) 132,
144
Гринвуд (Greenwood R. Е.) 50
Грюнер (Gruner W.) 131
Гудман (Goodman A. W.) 50
Дейд (Dade E.) 131
Диксон (Dickson L. Е.) 23, 42
Дирихле Лежен П. Г. 118
Дюльмаш (Dulmage A. L.) 64,
82
Зингер (Singer J.) 135, 144
Капланский (Kaplansky I.) 38,
42
Кёниг (Konig D.) 64
Клейнфельд (Kleinfeld E.) 132
Коннор (Connor W. S.) 131
Кун (Kuhn H. W.) 64
Лемер (Lehmer E.) 144
Люка (Luca) 38
Мажумдар (Majumdar К. N.)
132
Макнейш (MakNeish H. F.) 99
Манн (Mann H. В.) 64, 99,
132, 144
Маркус (Marcus M.) 64, 132
Мендельсон (Mendelsohn N. S )
64, 82
Меснер (Mesner D. М.) 130
Миллс (Mills W. Н.) 144
Минк (Mine H.) 64
Мур (Moore E. Н.) 132
Нагел (Nagell Т.) 34, 132
Нетто (Netto E.) 23, 132
Николаи (Nikolai P. J.) 132
Ньюман (Newman M.) 64, 131
Ope (Ore О.) 64
Остром (Ostrom T. G.) 144
Исбел (Isbell J. R.) 131
Иэйтс (Yates F.) 131
Паркер (Parker E. Т.) 89, 99,
132

150
Именной указатель
Пиккерт (Pickert Q.) 99
Пэли (Paley R. Е. А. С.) 132
Радо (Rado R.) 50, 64
Райзер (Ryser H. J.) 64, 82,
83, 99, 130, 131, 132, 144
Раисе (Reiss M.) 105, 132
Райт (Wright E. М.) 34
Рамсей (Ramsey F. Р.) 43,50
Риордан (Riordan J.) 23, 34,
35, 42
Ричардсон (Richardson M.)
131, 132
Роуз Белл (Rouse Ball W. W.)
132
Свифт (Swift J. D.) 131
Сейд (Sade A.) 42
Секереш (Szekeres G.) 50
Сильверман (Silverman R.)
131
Сильвестр (Sylvester) 113
Сколем (Skolem T.) 50, 133
Скорняков Л. А. 99
Спрот (Sprott D. A.) 133, 144
Стентон (Stanton R. Q.) 144
Стивен (Stevens W. L.) 100
Cropep (Storer J.) 144
Таусская (Taussky O.) 131,
133
Терри (Tarry G.) 89, 100
Тинсли (Tinsley M. F.) 133
Тодд (Todd J. A.) 133
Турин (Turyn R.) 144
Тушар (Touchard J.) 38, 42
Уокер (Walker R. J.) 131
Уэйплс (Whaples G.) 63
Уэлч (Welch L. R.) 144
Фалкерсон (Fulkerson D. R.)
63
Феллер (Feller W.) 23, 34
Фишер (Fischer R. A.) 131
Форд (Ford L. R.) 63, 83
Форт (Fort M. K.) 131
Хабер (Haber R. M.) 82, 83
Халмош (Halmos P. R.) 64
Ханани (Hanani H.) 131
Харди (Hardy G. H.) 34
Хедлунг (Hedlung G. A.) 134
Хиггинс (Higgins P. J.) 64
Холл М. (Hall M.) 44, 55, 64,
99, 130, 131, 139, 144
Холл Ф. (Hall Ph.) 64
Хоффман (Hoffman A. J.) 64,
131, 144
Хьюз (Hughes D. R.) 131, 144
Човла (Chowla S.) 131
Шрикханде (Shrikhande S. S.)
89, 99, 133
Штраус (Straus E. G.) 131
Шютценберже (Schiitzenber-
ger M. P.) 133
Эванс (Evans T.) 83, 144
Эверетт (Everett С J.) 63
Эйлер Л. 89
Эрдёш (Erdos P.) 42, 50
Уайтмен (Whiteman A. L.) 144
Уильямсон (Williamson J.) 133
Ямамото (Yamamoto K-) 41,
42

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамара матрица 108
нормализованная 109
— неравенство 108, 109
Адамаровы конфигурации 111
Беспорядок 29
Блок 101
Брука — Райзера теорема 98
Ван дер Вардена предполо-
предположение 63, 82, 117
Вектор монотонный 65
Вес элемента 24
Включения и исключения тео-
теорема 24
Выборка 13
— неупорядоченная 15
Галуа поле 85
Главная подматрица 49
Граничный ранг 59
Греко-латинский квадрат 84
Дважды стохастическая ма-
матрица 62
Двойственности принцип 91
Дополнение @,1)-матрицы 103
— F, v, r, k, X) -конфигура-
-конфигурации 103
Задача о встречах 29
Замена 71
Изоморфные конфигурации 103
Инвариантная единица 73
Инцидентная матрица 58
Квадратичная форма матрицы
112
Квадратичный вычет 117
— невычет 117
Киркмана задача 106
— троек система 105
Конгруэнтные квадратичные
формы 112
— матрицы 111
Коэффициенты биномиальные
16
— полиномиальные 18
Кратность элемента 15
Латинский квадрат порядка п
42
— прямоугольник 40
нормализованный 41
Латинского прямоугольника
расширение 56
Лежандра теорема 117
— уравнение 117
Линия в матрице 59
Мажорирующий вектор 66
Максимальная матрица 66
Максимальный граничный ранг
79
Мёбиуса функция 28
Многообразие 101
Множителей группа 139
Множитель разностного мно-
множества 138
Монмора задача 29
Несущественные единицы 75
Нормализованный вид матри-
матрицы 122

152
Предметный указатель
Нормализованный класс
Ж (Л, S) 73
Нормальная матрица 107
Объединение множеств 12
Ортогональное множество 84
— — полное 85
Ортогональные латинские ква-
квадраты 84
Отображение в 14
— на 14
Паскаля треугольник 21
Пересечение множеств 11
Перестановка 13
Перестановки матрица 58
Перестановочная матрица 58
Перманент 32
Побочная диагональ матрицы
75
Подмножество 11
— истинное 11
— собственное 11
Проективная плоскость 93
— — конечная 95
¦ порядок 95
циклическая 135
Произведения правило 13
• обобщенное 13
Простое число 20
Прямая сумма матриц 113
Прямое произведение матриц
ПО
Разбиение множества 12
Разбиения неупорядоченные
12
— упорядоченные 12
Размещений числа 38
Разностное множество 134
плоское 135
— — фиксированное множите-
множителем / 142
Рамсея теорема 43
Рекуррентность 35
Решета формула 26
Риордана формула 41
Свободная от квадрата часть
числа 98
Симметрическая группа 14
Система общих представите-
представителей 54
— различных представителей
D1
— троек Киркмана 105
Штейнера 104
След 59
— максимальный 81
— минимальный 81
Совершенное разностное мно-
множество 134
Сумм столбцов вектор 65
— строк вектор 65
монотонный 65
Суммы правило 12
обобщенное 12
Существенные единицы 75
Таблица квадратная 31
— прямоугольная 30
Таблицы размер 31
Уравновешенная неполная
блок-схема 101
— симметрическая 108
Фибоначчи числа 36
Холла теорема 51—52
Циркулянт 117
Штейнерова система троек по-
порядка v 104
Эйлера предположение 89
Эйлеровский квадрат 84
Эратосфена решето 28
Эрдёша — Капланского фор-
формула 41
(b, v, r, k, X) -конфигурация 102
(тХл)-матрица 31
л-множество 12
(qi, А г) -подмножество 43
г-выборка 15
г-перестановка 13
г-сочетание 15
(v, k, X) -конфигурация 106
а-ширина 81

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика 5
Из предисловия автора 7
Глава 1. Основы комбинаторной математики 9
1. Что такое комбинаторная математика? 9
2. Множества И
3. Выборки 13
4. Неупорядоченные выборки 15
5. Биноминальные коэффициенты 20
Литература 23
Глава 2. Принцип включения и исключения 24
1. Основная формула 24
2. Приложения к теории чисел 26
3. Беспорядки 29
4. Перманент 30
Литература 34
Глава 3. Рекуррентные соотношения 35
1. Некоторые элементарные рекуррентности 35
2. Числа размещений 37
3. Латинские прямоугольники 40
Литература 42
Глава 4. Теорема Рамсея 43
1. Основная теорема 43
2. Приложения 47
Литература 50
Глава 5. Системы различных представителей 51
1. Основная теорема 51
2. Разбиения 53
3. Латинские прямоугольники 56
4. Матрицы, составленные из нулей и единиц 57
5. Граничный ранг . . 59
Литература 63

154 Оглавление
Глава 6. Матрицы из нулей и единиц 65
1. Класс ?!(/?, S) 65
2. Приложение к латинским прямоугольникам 69
3. Замены 71
4. Максимальный граничный ранг 74
5. Задачи 81
Литература 82
Глава 7. Ортогональные латинские квадраты 84
1. Теоремы существования 84
2. Предположение Эйлера 89
3. Конечные проективные плоскости 93
4. Проективные плоскости и латинские квадраты ... 96
Литература 99
Глава 8. Комбинаторные схемы 101
1. (b, v, г, к, А)-конфигурация 101
2. (v, k, А)-конфигурация 106
3. Теорема несуществования 111
4. Матричное уравнение АА = В 119
5. Экстремальные задачи 126
Литература 130
Глава 9. Совершенные разностные множества 134
1. Совершенные разностные множества 134
2. Теорема о множителе 137
Литература 143
Список обозначений 145
Именной указатель 149
Предметный указатель 151
Г. Дж. Райзер
КОМБИНАТОРНАЯ МАТЕМАТИКА