/
Author: Тимошенко В.И.
Tags: равновесие жидкостей монография газовая динамика гидромеханика механика жидкостей и газа
ISBN: 966-02-2493-1
Year: 2003
Text
НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ
НАЦИОНАЛЬНОЕ КОСМИЧЕСКОЕ АГЕНТСТВО УКРАИНЫ
ИНСТИТУТ ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
В.И.Тимошенко
ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА
ВЫСОКОТЕ МПЕРАТУРНЫХ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Днепропетровск 2003
УДК 532-227, 533 , '
Газовая динамика высокотемпературных технологических процессов /Тимошен-
ко В.И. - Днепропетровск: Институт технической механики НАНУ и НКАУ, 2003.- 460 с.
Приводится систематическое описание основных особенностей высокотемпературных
течений газов, являющихся составной частью процессов, сопровождающих работу раз-
личных элементов технологических устройств. Внимание уделено как физической сущно-
сти процессов, так и формулировке математических моделей течений газов при наличии
газофазных и гетерогенных химических реакций, фазовых переходов и других процессов
высокотемпературной термо- газодинамики. Приводится описание аналитических реше-
ний и конечных соотношений, важных для практического использования и понимания
сущности газодинамических течений. Затрагиваются проблемы комплексного математи-
ческого моделирования высокотемпературных технологических процессов. Сформулиро-
ваны общие принципы создания унифицированного программно-алгоритмического обес-
печения, которое может быть использовано технологами как при проведении исследова-
ний отдельных течений, так и для имитационного моделирования технологических про-
цессов. В качестве иллюстрации применения описанных в монографии положений и ре-
зультатов рассмотрены задачи, связанные с оценкой термогазодинамических параметров
газификации углей, параметров газожидкостной системы охлаждения теплонапряженных
элементов технологических аппаратов, параметров истечения газов из емкостей, сопрово-
ждающегося фазовыми переходами и химическими реакциями, а также рассмотрены про-
цессы разгона и нагрева частиц газовым потоком и др.
Монография предназначена для научных и инженерно-технических работников, ин-
тересующихся высокотемпературными газодинамическими процессами в различных тех-
нологиях энергетики, металлургии, химического производства, авиационной и ракетно-
космической техники, а также для студентов и аспирантов соответствующих специально-
стей.
Табл. 23, илл. 80, библ. 207 назв
Ответственный редактор
академик НАН Украины В.В. Пилипенко
Утверждено к печати Ученым советом
Института технической механики НАНУ и НКАУ
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. Приходько А.А.,
д-р техн, наук, проф. Сорока П.И
ISBN 966-02-2493-1
© В.И. Тимошенко
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..........................................................9
Глава 1 Элементы прикладной газовой динамики........................13
1.1 Основные соотношения газовой динамики........................13
1.1.1 Гипотезы и определения термогазодинамики....................13
1.1.2 Основные уравнения газовой динамики.........................19
1.1.3 Простейшие аналитические решения уравнений и расчетные соот-
ношения......................................................22
1.1.4 Примеры использования соотношений газовой динамики..........28
1.2 Разрывы в газовой динамике...................................33
1.2.1 Прямой скачок уплотнения....................................33
1.2.2 Нестационарная ударная волна................................41
1.2.3 Косой скачок уплотнения.....................................43
1.3 Общие особенности влияния внешних воздействий на изменение па-
раметров газового потока.........................................46
1.3.1 Уравнение обращения воздействий. Общие условия ускорения газо-
вого потока..................................................47
1.3.2 Геометрическое воздействие на поток. Течение в сужаю пихся и
расширяющихся каналах........................................50
1.3.3 Течения с подводом тепла....................................52
1.3.4 Газодинамические комплексы. Течения с подводом массы........60
1.3.5 Ускорение твердых частиц потоком газа.......................63
1.3.6 Ускорение потоком газа испаряющихся частиц..................66
1.3.7 Адиабатическое течение газа с трением.......................69
Глава 2 Математическая формулировка задач газовой динамики..........74
2.1 Основные уравнения газовой динамики..........................75
2.1.1 Уравнение сохранения массы..................................75
2.1.2 Уравнения изменения количества движения.....................76
2.1.3 Уравнение энергии для вязкого теплопроводного газа..........80
2.1.4 Коэффициенты переноса.......................................83
2.1.5 Начальные и граничные условия...............................85
2.2 Элементы теории размерностей и подобия. Условия подобия течений
вязкого газа.....................................................86
2.3 Основные понятия о турбулентных течениях.....................91
3
2.3.1 Гипотезы и определения....................................91
2.3.2 Коэффициенты переноса в турбулентных потоках..............93
Глава 3 Течения реагирующих высокотемпературных многокомпонент-
ных газов..........................................................96
3.1 Уравнения динамики движения многокомпонентных газовых смесей..96
3.1.1 Основные понятия и определения............................97
3.1.2 Уравнение диффузии компонентов...........................103
3.1.3 Уравнение переноса энергии в течениях многокомпонентных газо-
вых смесей................................................105
3.1.4 Коэффициенты переноса в газовых смесях...................108
3.2 Элементы химической кинетики газофазных реакций...........112
3.2.1 Основные определения.....................................112
3.2.2 Константы скоростей химических реакций. Константа равновесия.115
3.2.3 Цепные химические реакции................................117
3.3 Кинетика газофазных реакций в C-O-H-N средах..............118
3.3.1 Кинетические модели воспламенения и горения водорода.........118
3.3.2 Реакции с учетом азота, кислорода и углерода.............125
3.3.3 Кинетические модели воспламенения углеводородов..........127
3.4 Основные гипотезы для турбулентных течения химически реагирую-
щих многокомпонентных смесей...................................131
3.5 Термодинамический расчет химически равновесных газофазных про-
цессов.........................................................133
3.5.1 Формулировка задачи о расчете параметров равновесной смеси газов. 133
3.5.2 Расчет равновесного состава смеси на основе соотношений дейст-
вующих масс и уравнений материального баланса.............139
3.5.3 Использование принципа минимума энтропии для определения рав-
новесного состава многокомпонентной смеси газов...........142
3.6 Режимы химических процессов при течении газовых смесей. Число
Дамкелера......................................................147
Глава 4 Упрощенное описание течения многокомпонентных смесей.........150
4.1 Общая характеристика упрощений задач газовой динамики.....150
4.2 Течения невязкого газа...................................152
4.2.1 Уравнения течения невязкого газа........................153
4.2.2 Одномерные нестационарные течения. Аналитические решения....155
4.2.3 Основные особенности двумерных стационарных течений.....171
4.2.4 Основы численного решения задач.........................177
4.3 Течения вязкого газа. Элементы теории пограничного слоя..190
4.3.1 Уравнения многокомпонентного пограничного слоя..........191
4
4.3.2 Соотношения для определения трения, тепловых и диффузионных
потоков к обтекаемой поверхности.............................<.195
4.3.3 Пограничный слой на пластине. Автомодельность..............198
4.3.4 Интегральные характеристики пограничного слоя..............201
4.3.5 Аналогия Рейнольдса между трением и тепломассопереносом.....204
4.3.6 Теплообмен в высокотемпературном реагирующем пограничном
слое...........................................................207
4.3.7 Трение и теплообмен в турбулентном пограничном слое.........212
4.4 Упрощенные уравнения многокомпонентных смесей и алгоритмы их
решения..........................................................215
4.4.1 Задачи типа пограничного слоя..............................215
4.4.2 Алгоритмы численного решения задач типа пограничного слоя...219
4.4.3 Замечания о методах численного решения уравнений Навье-Стокса.... 231
Глива 5 Сопряженные высокотемпературные термогазодинамические и
тепломассообменные гетерогенные процессы...........................234
5.1 Особенности термохимического взаимодействия газа с материалом ог-
раничивающих поверхностей........................................234
5.1.1 Формулировка условий сопряжения на границе газ-поверхность.235
5.1.2 Особенности кинетики гетерогенных реакций. Эффективная ско-
рость реакции..................................................237
5.1.3 Гетерогенные процессы на поверхностях из композиционных мате-
риалов.........................................................241
5.2 Математическая формулировка задачи о течении высокотемператур-
ной гетерогенной смеси...........................................246
5.2.1 Модели двухфазной среды....................................246
5.2.2 Формулировка уравнений для смеси газа и частиц в рамках модели
взаимопроникающих континуумов..................................247
5.2.3 Соотношения для расчета коэффициентов силового и теплового
межфазного взаимодействия......................................252
5.2.4 Гомогенная модель двухфазных течений.......................256
5.2.5 Основные особенности турбулентных течений газовзвесей......259
5.2.6 Особенности численного решения уравнений гетерогенной смеси.261
5.3 Тепломассообменные процессы при фазовых переходах в газокапель-
ных течениях.....................................................265
5.3.1 Уравнения газокапельной смеси при наличии фазовых переходов.267
5.3.2 Температура и давление насыщенного пара....................268
5.3.3 Условия материального и теплового баланса на поверхности капли.
Равновесная скорость испарения.................................270
5.3.4 Течения при наличии плавления и кристаллизации частиц......276
5
5 3 5 Гомогенные течения с фазовыми переходами...................276
5 4 Горение и газификация угольных частиц в газовом потоке......278 . ,
5.4 .! Общая характеристика взаимодействия частиц угля с высокотемпе-
ратурным газовым потоком......................................... 8
5.4 .2 Основные химические реакции. Кинетические константы скоростей
химических реакций...............................................279
5.4 .3 Газовыделение с поверхности частиц. Тепловой эффект горения час-
тиц угля............................................................ Я
5.4 .4 Изменение плотности частиц......................................285
Глава 6 Струйные течения..................................................287
6.1 Характеристики течения в невязких струях....................288
6.2 Соотношения для определения параметров в изобарических вязких
струях...........................................................293
6.2.1 Параметры основного участка: максимальная скорость, ширина
струи, профиль скорости в струе................................293
6 2.2 Численное моделирование течения в высокотемпературной турбу-
лентной струе..................................................296
6.3 До- (сверх-) звуковые струи в спутном сверх- (до-) звуковом потоке.298
6.3.1 Схемы течений.....................................................299
6.3.2 Основные уравнения. Условия вязко-невязкого взаимодействия. Ал-
горитм решения задачи о течении вязкой дозвуковой струи в спут-
ном сверхзвуковом потоке.......................................300
6.3.3 Результаты численного исследования Турбулентного смешения до-
(сверх-) звуковых струй в спутном сверх- (до-) звуковом потоке.305
6.3.4 Дозвуковая струя в спутном сверхзвуковом потоке при нерегулярном
взаимодействии ударных волн....................................308
6.4 Диффузионное горение........................................312
6.4.1 Основные понятия и определения. Формулировка задачи........312
6.4.2 Сквозной расчет равновесного горения при равных коэффициентах
диффузионного переноса окислителя и горючего................316
6.4.3 Алгоритм расчета диффузионного горения с выделением фронта
пламени.....................................................319
6.4 4 Однородный алгоритм определения положения фронта пламени..321
6.4.5 Об учете влияния пульсаций концентраций на диффузионное горе-
ние............................................................322
Глава 7 Течения в трубах и каналах.................................326
7.1 Приближение узкого канала для течений в трубах и каналах...326
7.1.1 Общая характеристика задач. Определение градиента давления.......326
7.1.2 Пространственное течение в канале конечной ширины..........328 4
7.1.3 Истечение вязкого газа через сопло Лаваля.................329
6
7.2 Описание течений в квазиодномерном приближении..............331
7.2.1 Квазиодномерные уравнения..................................331
7.2.2 Соотношения для трения и теплопередачи на поверхности труб и ка-
налов .....................................................334
7.2.3 Квазиодномерное приближение для двухфазных течений.........337
7.2.4 Алгоритмы численного решения квазиодномерных задач.........339
7.3 Примеры решения задач о течении в каналах...................342
7.3.1 Анализ течения в канале при отводе тепла...................342
7.3.2 Ускорение и нагрев частиц высокотемпературным потоком газа.344
7.3.3 Течения паро-воздушно-капельной смеси в трубопроводе.......347
Глава 8 Основные элементы расчета теплообменных аппаратов...........354
8.1 Формулировка математической модели процессов нестационарного
теплообмена в теплообменниках...................................355
8.2 Соотношения для оценки параметров теплообмена при установив-
шемся режиме....................................................359
8.2.1 Оценка параметров стационарного теплообмена при охлаждении те-
плонапряженной поверхности.................................359
8.2.2 Соотношения для оценки параметров в элементах теплообменных
устройств..................................................362
8.3 Алгоритм численного решения задач нестационарной теплопередачи в
многоканальных теплообменниках..................................366
8.3.1 Алгоритм расчета теплообмена в элементах конструкции с обобщен-
ным неидеальным контактом..................................367
8.3.2 Алгоритм решения задач о движении теплоносителя в системе кана-
лов........................................................370
8.3.3 Вопросы унификации алгоритмов расчета многоканальных теплооб-
менных устройств...........................................371
8.3.4 Анализ результатов расчетов................................373
Глава 9 Модели процессов в емкости с учетом массоэнергоподвода, хи-
мических и фазовых превращений...............................377
9.1 Физическая формулировка задачи. Основные допущения..........377
9.2 Математическая формулировка задачи..........................379
9.3 Истечение из емкости испаряющегося вещества.................381
9.4 Изменение параметров в емкости при наличии гомо- и гетерогенных
химических реакций..............................................384
9.5 Истечение из системы гидравлически связанных емкостей при нали-
чии подвижных границ............................................387
9.6 Определение неравновесного состава газовой смеси при изобариче-
ском и изохорическом процессах..................................392
9.7 Определение параметров в емкости при стационарном истечении про-
дуктов сгорания...................................................... -
Глава 10 Характерные особенности численного моделирования высоко-
температурных технологических процессов. Примеры решения
конкретных задач...................................................399
10 1 Общие вопросы формулировки математических моделей технологи-
ческих процессов и унификации их программной реализации....400
10.1.1 Основные аспекты технологии разработки программного обеспече-
ния........................................................400
10.1.2 Базисная и функциональная части комплекса программ......402
10.1.3 Сервисная часть комплекса программ......................406
10.2 Оценка термогазодинамических параметров газификаторов-восста-
новителей циклонного типа......................................407
10.2.1 Особенности технологических процессов. Проблемы математиче-
ского моделирования........................................407
10.2.2 Расчет среднеобъемных термогазодинамичесих параметров...410
10.2.3 Решение задачи в двумерном приближении..................414
10.2.4 Уравнения, описывающие образование и стекание жидкой пленки
со стенок газификатора.....................................416
10.3 Оценки технологических параметров устройств для разгона, нагрева
и плавления частиц газовым потоком..............................420
10.3.1 Общая характеристика технологии разгона и нагрева частиц.421
10.3.2 Математические модели разгона и нагрева частиц высокотемпера-
турным потоком газа........................................423
10.3.3 Особенности процессов нагрева и разгона частиц в газодинамиче-
ских трактах с геометрическим и расходным способом воздействия
на поток...................................................428
10.3.4 Оптимизация процессов нагрева и плавления частиц из тугоплавких
материалов.................................................430
10.3.5 Комплекс программ "Two-Phase" для имитационного моделирова- fe
ния процессов разгона и нагрева частиц.....................437
10.4 Газожидкостная система охлаждения теплонапряженных элементов
технологических аппаратов.......................................441
10.4.1 Моделирование теплового состояния футеровки при наличии сис-
темы охлаждения............................................441
10.4.2 Результаты параметрического расчета теплового состояния футе-
ровки со встроенным холодильником-змеевиком................445
Список использованных источников...................................448
Основные условные обозначения......................................457
8
Предисловие
Течения высокотемпературных (высокоэнтальпийных) газовых смесей и их
взаимодействие с материалами ограничивающих поверхностей являются состав-
ным, часто определяющим, элементом многих технологических процессов. Эти
течения, как правило, сопровождаются высокотемпературными физико-
химическими процессами: фазовыми переходами, равновесными и неравновес-
ными химическими реакциями в газовой фазе и на поверхностях раздела фаз. Га-
зодинамические процессы определяют как силовое взаимодействие технологиче-
ского аппарата с газовой средой - аэродинамика, так и физико-химические про-
цессы, происходящие в технологических установках различных конструкций.
Изучение течений газов в аспектах работы технологических агрегатов и энерге-
тических установок позволяет достичь глубокого понимания высокотемператур-
ных газодинамических процессов и является предпосылкой теоретической и экс-
периментальной отработки многих технологий. Как создание новых технологий,
так и усовершенствование и выбор оптимальных режимов работы технологиче-
ских аппаратов требуют знания и глубокого понимания высокотемпературных
газодинамических процессов.
Первоначально газовая динамика сформировалась как раздел механики, изу-
чающий движение сплошной среды в условиях, когда на свойства движения оп-
ределяющее влияние оказывает сжимаемость, т.е. способность вещества изменять
плотность под действием давления. Практически все вещества сжимаемы, однако
только газовая среда может сравнительно легко и значительно изменять свою
плотность, тогда как достаточно малое изменение плотности жидкостей и твер-
дых тел требует значительных усилий. Для газов характерным является то, что
изменения давления, обычно сопровождающие газодинамические течения, доста-
точны для проявления сжимаемости, то есть для изменения плотности. Мерой
сжимаемости обычно может служить предел отношения изменения плотности к
изменению давления, когда изменение давления стремится к нулю. Этот предел
обратно пропорционален квадрату скорости звука в сплошной среде.
Второй особенностью газовой среды является взаимосвязь динамических и
тепловых параметров среды. Изменение температуры газа существенно влияет на
изменение плотности, что приводит к изменению скорости и давления. С другой
стороны, при изменении скорости потока происходит превращение части кинети-
ческой энергии газа в тепловую, что влечет за собой изменение температуры. В
высокотемпературных газодинамических процессах температура оказывает влия-
ние не только на параметры течения газа, но и на термодинамическое состояние
его частиц. Повышение температуры приводит к возбуждению внутренних степе-
ней свободы газовых молекул, диссоциации и ионизации молекул, химическому
взаимодействию между отдельными компонентами неоднородной газовой смеси.
Изучение взаимосвязи изменений скорости, плотности, давления, температуры и
термодинамического состояния частиц газовой среды представляет предмет вы-
сокотемпературной газовой динамики
Аппараты, в которых применяются высокотемпературные газы, входят в со-
став большинства технологических установок, используемых в энергетике, двига-
телестроении, химии, металлургии, авиационной и ракетной технике. Как прави-
9
ло, процессы в этих установках определяются взаимодействием высокотемпера-
турных газов с элементами поверхностей технологических установок и рабочими
телами, которые находятся в твердой и жидкой фазах. Причем фазовое состояние
рабочего тела меняется в ходе технологического процесса: идет плавление и ис-
парение либо наоборот, конденсация рабочего тела. Особенности многих высоко-
температурных технологий определяются в основном газодинамическими про-
цессами, т.к. газ, как наиболее подвижная среда, является основным переносчи-
ком массы, количества движения, энергии. Поэтому, несмотря на все многообра-
зие технологических процессов, всем им присущи общие свойства, которые, в
свою очередь, определяются общими газодинамическими, тепломассообменными
и физико-химическими явлениями. Приведем краткий перечень этих процессов.
1) Течения высокотемпературных многокомпонентных смесей газов сопрово-
ждаются химическими реакциями в газовой фазе и на поверхности твердых и
жидких рабочих тел. Эти процессы, по-видимому, наиболее общие, и определяют
многие технологии: сжигание твердого и жидкого топлива, работа энергетиче-
ских установок (тепловых двигателей), восстановительные процессы при получе-
нии первичных металлов в доменных печах и в других агрегатах, конвертерная
выплавка стали, плавильные процессы в циклонных аппаратах и прочее.
2) Конденсация и испарение жидкого рабочего тела и использование этих яв-
лений в элементах теплообменных аппаратов, теплосъемников и т.д. Эти явления,
как правило, увязаны с процессами теплообмена в элементах конструкций техно-
логических аппаратов. Течения газа, жидкости или паровоздушной смеси по
трактам теплообменников, сопровождаемые конденсацией пара и испарением
влаги, являются составной частью этих процессов.
3) Плавление и кристаллизация рабочего тела, образование жидких пленок и
твердых наростов на стенклх аппаратов. В частности, эти процессы имеют место в
доменных печах, различных аппаратах циклонного типа - газификаторах, пла-
вильных аппаратах. Динамика стекания жидкой пленки наряду с массовыми гра-
витационными силами во многом определяется ее взаимодействием с высокотем-
пературным газовым потоком и условиями теплоотвода через стенки элементов
конструкции.
4) Различные виды двухфазных течений: со взвешенными частицами, с кипя-
щим слоем, течения газа в плотном слое частиц.
5) Наполнение и опорожнение емкостей, в которых происходят те или иные
физические и химические процессы: испарение, химическое гетерогенное и гомо-
генное взаимодействие и др. При этом возникает необходимость определения
среднеобъемных параметров в емкости с учетом названных процессов.
Обзор технологических процессов этим не исчерпывается. Несмотря на раз-
ную прикладную направленность, эти процессы имеют общую механическую и
физико-химическую основу. В математическом смысле эта общность заключается
в том, что уравнения, выражающие законы сохранения массы, энергии, количест-
ва движения, записанные с учетом гомо- и гетерогенных физико-химических и
фазовых превращений, во многом являются одними и теми же для различных по
прикладной направленности технологий. Набор этих уравнений обладает вполне
определенными математическими свойствами, и для получения их численного
решения могут быть разработаны алгоритмы, во многом не зависящие от физиче-
ской сущности задачи. Это, в свою очередь, позволяет разрабатывать унифициро-
10
ванные комплексы программ, обладающие достаточной гибкостью при их на-
стройке на решение различных задач
Различные технические и технологические приложения общей методологии
решения задач переноса вещества, количества движения, энергии и т.д. отличают-
ся диапазоном изменения параметров физической среды, видом веществ и компо-
нентов газовой смеси, набором физико-химических превращений, имеющих ме-
сто в технологическом процессе и т.д. Это все может быть учтено в комплексах
программ и алгоритмах, предназначенных для решения задач переноса.
Этими обстоятельствами определена тематика настоящей монографии. Обсу-
ждаются вопросы, связанные с формулировкой математических моделей течений
высокотемпературных газов при наличии газофазных и гетерогенных химических
реакций, фазовых переходов и других процессов, сопровождающих работу раз-
личных элементов технологических устройств, с разработкой обобщенных алго-
ритмов и унифицированного программного обеспечения на основе сформулиро-
ванных математических моделей. Наряду с этим рассмотрены и вопросы исследо-
вания элементов конкретных технологических процессов.
В первой главе, которую можно рассматривать как вводную, приводятся ос-
новные сведения по газовой динамике. Здесь не предполагается наличие у чита-
теля каких-либо начальных знаний по газовой динамике. Даются определения и
описываются характерные свойства газодинамических процессов, определяемые
сжижаемостью газов, взаимозависимостью температуры, давления, плотности и
скорости газовых потоков. К таким свойствам относятся: ускорение газа с пере-
ходом его скорости через скорость звука, звуковое «запирание» течений, способ-
ность газа совершать работу, появление разрывов в изменении параметров пото-
ка, влияние на параметры газа локального подвода массы и тепла и др. Приводят-
ся примеры аналитических решений задач газ ой динамики и их использования
для решения отдельных практически интересных задач.
В последующих главах описываются особенности формулировки математиче-
ских моделей различных течений высокотемпературных реагирующих газовых
смесей, гетерогенных течений газовзвесей при наличии межфазного химического
и теплофизического взаимодействий. Обсуждаются вопросы рационального уп-
рощения математических моделей и построения на их основе унифицированных
алгоритмов для численного исследования широкого класса течений. Наряду с
формулировкой математических моделей и анализом их возможных упрощений
приводятся аппроксимационные соотношения конечного вида для вычисления
важных параметров, таких как коэффициенты трения, теплоотдачи, гидравличе-
ского сопротивления и др. Применение этих соотношений позволяет, с одной
стороны, провести количественные оценки параметров в конкретных технологи-
ческих процессах и, с другой стороны, существенно упростить маюматические
модели, заменив некоторые составляющие части этих моделей, основанные на
дифференциальных уравнениях в частных производных, алгебраическими соот-
ношениями, аппроксимирующими с той или иной степенью точности решения
этих уравнений. Проводится анализ конкретных наиболее типичных для техноло-
гических приложений течений в струях, трубах и каналах, нестационарных сред-
необъемных процессов в емкостях с учетом массоэнергоподвода, химических и
фазовых превращений. Набор рассматриваемых термогазодинамических процес-
11
сов и течений определялся их актуальностью для разработки и исследования раз-
личных технологических процессов.
В последней главе рассматриваются вопросы комплексного численного моде-
лирования высокотемпературных технологических процессов. Обсуждаются во-
просы создания программно-алгоритмического обеспечения, сформулированы
общие принципы, позволяющие разрабатывать унифицированное программное
обеспечение для исследования высокотемпературных газодинамических течений,
которое может быть использовано как при проведении исследований отдельных
течений, так и для имитационного моделирования технологических процессов. В
качестве иллюстрации применения описанных в монографии положений и ре-
зультатов рассмотрены вопросы, связанные с оценкой термогазодинамических
параметров газификации углей, параметров газожидкостной системы охлаждения
теплонапряженных элементов технологических аппаратов и параметров разгона и
нагрева частиц газовым потоком. Эти задачи представляют самостоятельный ин-
терес. В частности, разгон и нагрев частиц газовым потоком является составной
частью технологических процессов газопламенного напыления, абразивной очи-
стки поверхностей, мелкодисперсного помола в струйных мельницах и др. Круг
технологических процессов, для исследования которых необходимо знание рас-
смотренных в монографии положений, приведенными примерами далеко не ис-
черпывается.
Книга предназначена для научных и инженерно-технических работников -
специалистов в области различных высокотемпературных технологий в энергети-
ке, металлургии, химическом производстве, авиационной и ракетно-космичекой
технике, а также для студентов и аспирантов соответствующих специальностей.
В монографии нашли отражение резу таты исследований, проводимых в по-
следние 10-15 лет в Институте технической механики НАНУ и НКАУ. Автор
выражает признательность за участие в ряде исследований, результаты кото-
рых использованы в книге, Белоцерковцу И.С. и Галинскому В.П., а также
Скорику А.Д., Вороновой Г.Г., Олейник Н.В., Колесниченко Н.И., Негровой А.Г.
за помощь в подготовке рукописи и оригинал-макета.
12
Глава 1
ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Приведенные в главе понятия и соотношения являются основой для понима-
ния особенностей газодинамических процессов, связанных со сжимаемостью газа,
взаимодействием тепловых и динамических характеристик газа, с изменением
этих характеристик при совершении газом работы, с течением в каналах пере-
менного сечения, с подводом тепла и др. Описание понятий газовой динамики
приводится в достаточно обширной учебной литературе, например [1, 516, 86,
100, 184], ориентированной на систематическое изложение основ газовой дина-
мики. Целью главы является краткое изложение начальных сведений по газовой
динамике. Эти сведения подобраны таким образом, чтобы, с одной стороны, дать
описание основных терминов и определений и, с другой стороны, проиллюстри-
ровать наиболее принципиальные особенности течений, которые в той или иной
мере сопровождают многие технологические процессы. В отдельных случаях ис-
пользование приведенных в этой главе соотношений дает возможность получить
интегральные оценки практически важных для технг логических приложений па-
раметров.
1.1 Основные соотношения газовой динамики
1.1.1 Гипотезы и определения <ермогазодинамики
Гипотеза сплошности среды. Газ состоит из большого числа отдельных мо-
лекул, хаотически движущихся относительно друг друга с довольно большими
скоростями. Воздействие газа на поверхности является следствием удара отдель-
ных молекул, которые, отражаясь или поглощаясь поверхностью (в зависимости
от схемы взаимодействия), передают поверхности свои импульс и энергию. Од-
нако, при изучении практических вопросов взаимодействия между средой и дви-
жущимся в ней телом газ можно рассматривать как сплошную среду, при описа-
нии которой игнорируются межмолекулярные промежутки и молекулярное дви-
жение. Это предположение называется гипотезой сплошности или непрерывности
среды. Гипотеза сплошности дает возможность рассматривать кинематические,
динамические, энергетические и другие параметры газа как непрерывные функ-
ции координат х, у, z и времени t , что позволяет использовать хорошо разрабо-
танный математический аппарат, базирующийся на непрерывных функциях. Мо-
лекулярное строение газа при этом учитывается косвенно — через физические
свойства среды - вязкость, теплопроводность и др. В рамках гипотезы сплошно-
сти основными параметрами, характеризующими термодинамическое состояние
среды, являются плотность р, давление р, температура Т. В термодинамике
13
часто используют вместо плотности удельный объем и - , то есть объем, кото-
рый танимает единица массы гача
Уравнение состояния газа. Опыт показывает, что между основными пара-
метрами, характеризующими среду, р, р и Т существует определенная зависи-
мость. Уравнение, устанавливающее эту зависимость, называется уравнением со-
стояния. Поэтому термодинамическое состояние любого газа может быть опреде-
лено двумя параметрами, так как третий параметр можно найти из уравнения со-
стояния.
Для идеально! о газа уравнение состояния можно представить в виде
р = ЕрТ , (1.1)
где R = — - газовая постоянная, Ro = 8.319 Дж/моль °К - универсальная газо-
m
вая постоянная, m - молярная масса газа, численно равная относительной массе
молекулы, выраженной в граммах. Например, для молекулярного кислорода
m = 0.032кг, для атомарного кислорода m = 016кг, для молекулярного азота
т О.028кг и для атомарного азота т=0.014кг.
Под идеальным газом принято понимать газ, в котором взаимодействие моле-
кул между собой осуществляется посредством упругих столкновений, а линейный
размер молекул по сравнению со средним молекулярным расстоянием мал. В га-
зовой динамике вместо термина «идеальный газ» часто используют термин «со-
вершенный газ», принимая, что идеальный газ - это невязкий газ.
Внутренняя энергия. Внутренняя энергия Е - это сумма кинетической и по-
тенциальной энергии частиц, составляющих систему: ядерная энергия, энергия
колебания атомов в молекуле, кинетическая энергия вращательного и поступа-
тельного движения молекул и, наконец, межмолекулярная потенциальная энергия
внутри системы.
Газовая динамика и термодинамика оперируют энергией поступательных,
вращательных и колебательных степеней свободы - термическая энергия На ка-
ждую степень свободы молекул, входящих в один моль, приходится энергия, рав-
ная — R0T. Для одного моля одноатомного газа, молекула которого может рас-
сматриваться как шарик, имеющий три поступательные степени свободы
е' = ^7?0Т. Для моля двухатомного газа, молекула которого имеет пять степеней
свободы - три поступательные и две вращательные, е' = -|/?0Т. Если возбуждена
еще и колебательная степень свободы, то молекула двухатомного газа имеет
шесть степеней свободы: 3 - поступательных, 2 - вращательных, 1 - колебатель-
ная и тогда е' - 3R0T . Здесь е' - внутренняя энергия одного моля газа.
Работа - это форма энергии, появляющейся в процессе перемещения обьекта
под действием силы. Количественно работа определяется как произведение этой
силы на величину перемещения. Для газа работа - это результат изменения объе-
14
ма, вызванного действием давления. Полагая, что под действием давления р,
распределенного на площади S, происходит изменение объема ДУ, вследствие
чего сила F = pS перемещается на расстояние l = AV/S, получим, что работа
A = IF = pSAV/S, или А = р АУ. Если давление изменяется при изменении
объема от величины Ух до V2, то работа газа представляется как сумма элемен-
тарных работ при небольших изменениях объема ДУ,, при которых можно счи-
тать давление постоянным
Л = ^р/АУ/ или А = \PdV- О 2)
Уравнение сохранения энергии. Баланс энергии - I начало термодинамики.
Уравнение сохранения энергии для газа можно записать в виде
AE = AQ-A,
где АЕ - приращение внутренней энергии, AQ - подведенное к системе тепло,
А - работа, совершаемая системой.
Внутренняя энергия Е - функция состояния, т.е. АЕ полностью определена
начальным и конечным состоянием системы АЕ = Е2 - Е± и не зависит от пути
перехода из одного состояния в другое.
Принимая полученное выше соотношение для работы, совершаемой газом,
можно записать
AQ^AE + рДУ. (1.3)
Отнеся энергию к единице массы газа, и учитывая, что объем единицы массы
газа обратно пропорционален его плотности, после перехода от конечных прира-
щений к дифференциалам перепишем последнее уравнение в виде
dq = de + pd^~ j, (1.4)
где е-внутренняя энергия единицы массы, q- количество тепла, подводимое к
единице массы газа.
Удельные теплоемкости при постоянном объеме Cv и при постоянном
давлении Ср. Удельная теплоемкость это количество тепла, которое нужно под-
вести к единице массы газа, чтобы нагреть его на 1К . Часто рассматривают
удельную мольную теплоемкость - теплоемкость одного моля газа. Величина
удельной теплоемкости газа зависит от условий, при которых подводится тепло.
При определении удельной теплоемкости особое место занимают процессы, в ко-
торых не меняется объем газа - процессы при постоянном объеме и процессы, в
которых не меняется давление газа - процессы при постоянном давлении.
Удельная теплоемкость при постоянном объеме Cv. Используя определе-
ние удельной теплоемкости и учитывая, что ДУ = 0, можно записать
15
dq = CvdT -dets, de = CvdT,
roiда Cv = , и уравнение (1.4) переписывайся в виде dq = CvdT +
Воспользовавшись приведенной выше связью внутренней энергии одного мо-
ля та с температурой, получим расчетные соотношения для определения уде1ь.
нои теплоемкости при постоянном объеме. Для одноатомною газа Cv =~R, для
5
двухатомного газа без возбуждения колебательных степеней своботы Cv = и
для двухатомного газа с возбужденными колебательными степенями свободы
С, =37?.
Удельная теплоемкость при постоянном давлении Ср. Нагрев газа при по-
стоянном давлении сопровождается увеличением объема, т.е. тепло расходуется
как на приращение внутренней энергии, так и на совершение работы, поэтому
ср>с0.
Ч гобы получить соотношение для определения Ср, перепишем уравнение
(1 4) в виде
dq = CpdT = CvdT + pd\ - |. (1.5)
kp;
С другой стороны, дифференцируя уравнение состояния с учетом постоянства
давления, получим j = /?dT. С учетом этого из (1.5) имеем
Cpdy = CvdT + RdT , откуда следует
Cp=Cv+R.
Важное значение имеет в газовой динамике отношение удельных теплоемко-
стей - .
Cv
Для одноатомного газа Сп =-₽ v - Ср 5 , „„ п
р 2 ’ Y г = 1-66 . Для двухатомного газа
о
без возбуждения колебательных степеней свободы С„ Л Я, ГЛЛ1.4.
Для двухатомного газа с возбуждение., % Cv &
С А колебательными степенями свободы
Ср=47?, у = _£. = 1 = 13з
Су о
Используя приведенные формулы можно ™
для конкретных газов. Например опоепе™ ПОСчитать Удельные теплоемкое^
им р для двухатомных газов - воздуха
16
и водорода и для одноатомного газа - аргона. Молекулярные массы этих газов
равны: твозд - 0.029кг, тц2 = 0.002кг, тАг= 0.04кг. Учитывая что
Ro =8.3144 Дж/моль К, получаем Ср=1004, Ср =14550 и
Сп = 520 для воздуха, водорода и аргона соответственно.
' кг К
Отметим, что в отличие от удельных теплоемкостей Cv и Ср, теплоемкости
одного моля газа, которые будем обозначать строчными буквами, cv = т • Cv и
ср = т Ср одинаковы для всех газов, молекулы которых имеют одно и то же
“л г. г, й + 2 „
количество степеней свободы k, а именно: = — 7?0, ср = - До.
Энтальпия. Энтальпия i — теплосодержание газа — определяется соотношени-
ем di = CpdT, то есть di - приращение тепла в изобарическом процессе. Если
считать, что удельные теплоемкости не зависят от температуры, то для определе-
ния энтальпии получаем i = CpT. Газ, для которого удельные теплоемкости не
зависят от температуры, называется совершенным. Используя уравнение состоя-
ния, для совершенного газа можно получить
С Тг-Ср Р Ср Р У Р
Р Яр Ср-Cv р у -1 р
(1-6)
Исходя из определения энтальпии для случая, когда р = const, уравнение со-
хранения энергии можем записать в виде dq = di = de + рЩ — | или di = d\ е + — |
IpJ I р)
Отсюда следует, что
i = e+—.
Р
С учетом этого в общем случае можем записать
dq = de ч-pdf-^ = d(e + —") = di
kPJ I PJ Р р
(1.7)
(1.8)
Энтропия. Энтропия S — это функция состояния, которая определяется соот-
ношением dS = .
Т
Используя уравнение сохранения энергии (1.8) и уравнение состояния, можем
записать
= dp dT dp
~T~pT=Cp^~Ry
17
С другой стороны, продифференцировав уравнение состояния и разделив по-
лученное соотношение на р = RpT, имеем
dp dp dT
Р~Р т'
(19)
,, - dT
Исключив из последних двух соотношении после очевидных преобразо-
ваний можем записать
й8 = (ср-Д)^-сЛ = с/^-Т*1
р р I р р)
или
dS = Cvdln-^~.
Р7
(1.10)
Изэнтропический процесс - это процесс, при котором энтропия не меняется,
то есть dS = 0. Изэнтропичекий процесс одновременно является и адиабатиче-
ским процессом, так как dq = TdS = О. Для изэнтропического процесса, исходя
из (1.10), имеем
р
-£- - const.
р7
Откуда, используя уравнение состояния, можем получить соотношения, свя-
зывающие параметры при изэнтропическом переходе из состояния 1 в состоя-
ние 2:
Рг__Гр2_^ Рг ^2 У 1 Рг _ Г ^2 У 1
Pi IpJ ’ Pi ’ Pi l^ij
В связи с тем, что отношение удельных теплоемкостей у входит в показатели
степени для соотношений между параметрами изэнтропического процесса, у на-
зывают показателем изэнтропы или показателем адиабаты
Сжимаемость газа, скорость звука. Важным свойством газа является сжи-
маемость, т.е. способность газа изменять объем и, следовательно, плотность при
изменении давления. Пусть изменение давления на величину Др приводит к из-
менению плотности на величину Др. Мерой сжимаемости г аза может служить
Др Др
отношение — . Чем больше Др при заданном Др , то есть чем меньше — , тем
Др Др
сжимаемость газа больше. Если Др стремится к нулю, то к нулю стремится и
Др
Др . Отношение — при этом имеет конечный предел, который равен квадразу
Др
18
скорости звука, т.е. скорости, с которой распространяются малые - звуковые воз-
мущения в газе: lim — = — = а2, где а - скорость звука. Малые (звуковые)
Лр-»о Др др
возмущения в газе распространяются адиабатически, го есть без теплоотвода о г
частиц газа. В этом случае давление связано с плотностью соотношением (1 11) и
dp Р
можно записать: — = у —, откуда следует
dp Р
(1.12)
Скорость звука, определяемая полученным соотношением, называется адиа-
батической скоростью звука. Легко убедиться, что а действительно имеет раз-
мерность скорости. Это вытекает из (1.12) и следующей цепочки соотношений
между размерностями: [RT] = Дж/кг = н-м/ кг = кг-м2'м/с2- кг = м2/с2 . Здесь и да-
лее квадратные скобки обозначают, что рассматривается только размерность фи-
зической величины, символ к«тторой заключен в скобки.
Таким образом, в газе скорость звука зависит только от показателя адиабаты,
молекулярной массы газа и температуры. В качестве иллюстрации приведем со-
отношения для скорости звука в воздухе и водороде:
воздух а = 4 ~ , водород а = 7б.29д/т .
Например, при температуре Г = 300/? имеем: для воздуха а= 347 м/сек, для
водорода а= 1321 м/сек, а при температуре 1000К для воздуха а= 634 м/сек, для
водорода а= 2413 м/сек.
1.1.2 Основные уравнения газовой динамики
Исходя из основных понятий термодинамики газа, получены два уравнения,
связывающие три величины р, р и Т; уравнение состояния (1.1) или (1.6) и
уравнение энергии (1.4) или (1.8). Для адиабатического процесса вместо уравне-
ния энергии можно воспользоваться одним из соотношений (1.9), связывающим
• Таким образом, для определения термодинамического состояния непод-
вижного газа необходимо задать дополнительное соотношение для его парамет-
ров. Такими соотношениями могут быть соотношения для определения давления,
объема, занимаемого газом, или его массы. Более подробно эти вопросы рассмот-
рены в главе 9.
При описании различных технологических процессов, как правило, необхо-
димо рассматривать газ с учетом его движения. При этом появляется неизвестная
переменная — вектор скорости V, для определения компонент которого в общем
случае нужно иметь еще три уравнения. Таким образом, чтобы описать состояние
движущегося газа, нужно добавить четыре уравнения и определить шесть неиз-
вестных: р,р,Т и три компоненты вектора скорости. Эти уравнения вытекают из
закона сохранения массы и теоремы об изменении количества движения. Кроме
того, уравнение сохранения энергии переписывается с учетом кинетической энер-
гии газа. Далее в целях выяснения основных особенностей течений газа будем
19
рассматривать одномерные стационарные течения то есть течения, параметры
которых зависят от одной пространственной координаты, в данной точке про-
странства не зависят от времени, и вектор скорости имеет только одну ненулевую
компоненту. Тогда для описания течения достаточно добавить два уравнения:
уравнение сохранения массы и уравнение изменения количества движения. Бо iee
общие уравнения рассматриваются в следующих главах
Уравнение сохранения массы. Применим закон сохранения массы к элемен-
2
тарному объему газа, О1раниченному сече-
ниями 1, 2 и поверхностью трубки тока. Схе-
ма, отражающая поток массы в выделенном
объеме газа, представлена на рис. 1.1. Через
сечение 1 втекает масса газа (puF)\. Через се-
чение 2 вытекает масса (риР)2 (F - площадь
сечения). Уравнение сохранения массы можно
записать в виде
(puF)2-(puF)1 = 0.
Рис 1.1 Схема контрольного объе-
ма для вывода одномерных урч*-
нений
Полагая, что сечения 1 и 2 для элементарного
объема расположены бесконечно близко, пе-
реходя от конечной разности к дифференциа-
лу, можем записать уравнение сохранения массы в виде:
d(puF)=0
(1-13)
Уравнение количества движения. Составим уравнение, выражающее закон
изменения количества движения. Изменение количества движения данной массы
газа равно импульсу сил, действующих на этот газ. Применим itot закон к газу в
объеме, ограниченном слева и справа сечениями 1 и 2. Количество движения газа,
втекающего в единицу времени, равно , а вытекающего - Gu2, где G = puF
- массовый расход газа, который при стационарном течении не изменяется при
переходе от сечения 1 к сечению 2. Тогда изменение количества движения за
время At определяется соотношением
G(u2 -UjJ-At.
На газ в выделенном объеме действуют следующие силы: давление на пло-
щадках 1 и 2 и на боковую поверхность объема, силы трения, сила реакции агре-
гатов, помещенных в газовый поток (турбина, компрессор и т.д.). Рассмотрим
импульс этих сил.
Схема, отражающая влияние сил давления на выделенный объем газа, пред-
ставлена на рис. 1.1. Импульс этих сил в проекции на ось контрольного объема
представим в виде
(2 \
-(pF)s+(pF)1 + jp sin pds At.
20
Пренебрегая изменением давления в пределах элементарной поверхности трубки
тока ds, можно записать
2
Jpsinp<Zs~ p&F,
где AF = F2 - Fi. С учетом этого, заменяя конечные приращения дифференциа-
лом, получим Ыр = (- d(pF) + pdF}bt = -Fdpkt.
Принимая, что импульсы сил трения и сопротивления агрегата, помещенного
в газовый поток, определяются соотношениями dPmp-PmpM и dPK=PKM,
уравнение, выражающее закон изменения количества движения, можно записать
в виде
Gdu = -Fdp - dPmp - dPk .
Разделив это уравнение на pF, получим:
р pF pF
Умножив и разделив правую часть этого уравнения на и, перепишем его в
виде
du2 dp
-~ + -^- = -dLmp-dL, (1 14)
z p
udPmp
где dLmp =——-------работа сил трения, отнесенная к единице массы газа,
„ udPk
dL = —^----совершаемая единицей массы газа техническая работа.
Легко убедиться, что dLmp и dL действительно имеют размерности работы,
отнесенной к единице массы. Например, для dLmp получаем
[dLmp ]= = м/с’н'с/кг= н-м/кг =Дж/кг.
Механическая форма записи уравнения энергии. Используя уравнение ко-
личества движения, исключим давление из уравнения энергии, записанного в ви-
, ,. dp
де dq = di---.Из уравнения количества движения имеем:
Р
dp^ du2
р --J- + dL + dLrnP>
тогда
21
d«=^+^-]+dL+<iL”'’'
„ имеет две составляющие: подведенное
Тепловой поток, подводимый * ’ сипацией кинетической энергии
извне тепло qw и тепло, о уел в свою очередь тепло, выде-
вследсзвие вязкого трения, qx, то есть q-qw Ч.
ленное в гаге вследствие трения, равно работе сил трения, т.е. «’ ’""О
С учетом этого уравнение энергии можно переписать в виде
I U I J7-
dqw=d i+y \ + dL.
(1.15)
Это механическая форма записи уравнения энергии. Она явно отражает связь ки-
нетической и тепловой энергий при наличии работы внешних сил.
1.1.3 Простейшие аналитические решения уравнений и
расчетные соотношения
Полученные уравнения описывают одномерные стационарные течения газа
При определенных условиях они могут быть проинтегрированы. Полученные в
результате этого аналитические решения, с одной стороны, дают возможность
выяснить характерные особенности течений газа и, с другой стороны, записать
важные для практического применения расчетные соотношения.
Интеграл Бернулли. Для выяснения основных газодинамических особенно-
стей будем пока рассматривать движения без трения и работы внешних сил То-
гда перепишем уравнение количества движения (1.13) в виде:
,u2 dp
d— 4-^=0.
2 р
гралПБернуллиИР°ВаВ УраВНение от сост°яния 1 до состояния 2, получим инте-
2 /р
Интеграл, входящий в это соотношение
является функцией только давления т е ’ °ЖН° вычислить. если плотность
случае необходимо определить завис™, Жидкость является баротропной. В этом
такие случаи. Д зав«™осгь плотности от давления. Рассмотрим
1. Несжимаемая жидкость - р = const
22
2 Изэнтропическое (адиабатическое) течение —— = S = const Тогда после
РУ
очевидных преобразований можем получить:
— + У — = const. (1 16)
2 Y-lp
Интеграл уравнения энергии. Рассмотрим уравнение энергии, записанное в
форме (1.15). Для течений без подвода тепла, если над газом не совершается ра-
бота, имеем dqw =0 и dL = 0. Тогда, интегрируя это уравнение, получим:
и2
= const
(1.17)
где Zq - полня энтальпия или энтальпия адиабатически ( то есть без подвода теп-
ла) заторможенного газа i статическая энтальпия. Таким образом получили,
что полная энтальпия (полное теплосодержание) единицы массы газа равно сумме
статической энтальпии и кинетической энергии.
В частности, уравнение (1.17) может быть использовано при описании движе-
ния газа по трубе, если нет теплопередачи через стенки. Это уравнение справед-
ливо независимо от того, есть трение или нет. Иначе говоря, изменение энтальпии
или, что то же, температуры энергетически изолированного газа, для которого
энтальпия торможения постоянна, связано только с изменением скорости. При
возрастании скорости газа энтальпия убывает и при достижении максимально
возможного значения скорости
“max =7%
статическая энтальпия становится равной нулю, то есть вся тепловая энергия газа
переходит в кинетическую. Для совершенного газа максимально возможная ско-
рость определится соотношением
“max ~ у^СрТо ,
где То - температура адиабатически заторможенного потока. Для совершенного
газа из (1.17) может быть получено соотношение (1.16), являющееся интегралом
уравнения количества движения, записанным с привлечением условия изэнтро-
пичности или, что то же, адиабатичности течения. Для этого нужно только вос-
пользоваться полученным ранее соотношением, связывающим энтальпию с дав-
V Р
лением и плотностью i = —-—— .
у-1 р
Параметры заторможенного потока. Остановимся на вопросе определения
константы, входящей в интеграл Бернулли (1.16). Для этого рассмотрим течение,
в котором газ адиабатически то есть без теплообмена с окружающей средой,
тормозится до нулевой скорости. Параметры адиабатически заторможенного газа
называют параметрами торможения. С учетом этого уравнение (1.16) запишем в
виде
23
и2 .
2 +у-1p Y-1 P 0
(1 IB)
Здесь и далее индекс 0 относится к "^^ед^уравнение можно переписать в
С другой стороны, учитывая (1.12),
виде
(1 19)
2 +у-1 Y-1
где а. - скорость звука в заторможенном потоке, величина которой определяется
температурой торможения.
Из этого уравнения следует, что при увеличении скорости газа скорость звека
убывает. Это является следствием снижения температуры газа при его ускорении
I 2
Если скорость газа возрастает до значения umax - J । а° (или, что то же
umax = ^2СрТ0 ), скорость звука стремится к нулю. Используя umax, интеграл
Бернулли можно переписать в виде
2 у-1 2
(120)
Критические параметры. Рассмотрим течение газа, в котором скорость не-
прерывно возрастает, начиная с некоторого значения, меньшего скорости звука.
Условия, при которых происходит ускорение потока, будут рассмотрены в §1.3. В
соответствии с (1.19), (1.20) при возрастании скорости течения скорость звука
уменьшается. В некоторый момент скорость газа станет, таким образом, равной
местной скорости звука, то есть в этот момент и=а. Эта скорость называется кри-
тической скоростью звука и обозначается как а». Критическая скорость звука —
это скорость звука в том месте потока газа, в котором скорость газа — звуковая
Все параметры газа при этом также называются критическими и обозначаются
индексом *. Подставляя в уравнение (1.17) и = а = а., можно определить кон-
станту и записать уравнение Бернулли в виде
и2 a2 y + lflf
2 у-1 у-1 2 ' 21)
Сопоставляя (1.19) и (1.20), получим
(1 22)
Используя соотношение для скорости звука П „ к
ского течения (1.11), для других критических nanL Ф°Рмулы изоэнгропиче-
““Р^метров получим:
24
Для воздуха (у = 1.4) получаем: Т* = О.833То, р* = 0.588р0, р* = О.634ро.
Число Маха - М , коэффициент скорости - X. Число Маха - число М -
это отношение скорости газа к местной скорости звука. Число Маха характеризу-
ет степень преобразования теплосодержания в кинетическую энергию. Действи-
тельно, используя уравнение энергии, записанное в механической форме (1.15),
in - i и2
запишем —-— = —. Отсюда, так как для совершенного газа i-CpT и
i0 = СрТ0, имеем
То-Т и2 и2 уД
Т ~ 2СрТ ~ yRT 2Ср
уД у-1 2
или учитывая, что ——- = —------- = - и а = yRT , получим
2Ср 2Ср 2
Т 2
Когда М—>оо, температура, а значит и теплосодержание газа, стремятся к
нулю. Из последнего соотношения получим
y = 1 + If^2- °24)
Используя это выражение и соотношения (1.11), получим зависимости, отра-
жающие изменение плотности и давления от числа Маха, которые имеют место
для изэнтропических течений газа
Наряду с числом Маха широкое использование получило понятие коэффици-
ента скорости. Коэффициент скорости А - это отношение скорости газа к крити-
ческой скорости звука, Т^и/а*. Используя критические параметры, из уравне-
ния энергии аналогично предыдущему можно получить
То-Т у-1<у-12
Т. 2 а2~ 2 ’
25
(126)
Или после очевидных преобразований получаем
V То 2 7 + 1
т что когда вся тепловая энергия переходит в
Из этого с7П10,”е^Я0^Л^оУС1И’|аСТся максимальное значения коэффициент
кинетическую (при T-+V), Д°с
скорости А1пах
Разделив обе час» уравнения (1.21) на и^2, можно записать соотношение
связывающее коэффициент скорости и число Маха, и, которого следует
-^Х2
м2 = •
х2=-^-г-
2
(127)
В газодинамических расчетах применяются оба параметра - и А и М в зави-
симости от решаемой задачи. Для задач внешней аэрога юдинамики обычно при-
меняют числоМ. Для газодинамических расчетов течений в трубах, каналах и в
различных энергетических установках чаще используют коэффициент скорости X.
Газодинамические функции. Соотношение (1.26) выражает зависимость от-
Т
ношения — от коэффициента скорости. Используя (1.26) и (1.11), получим по
аналогии с (1.25) соотношения, отражающие зависимости плотности и давления
от коэффициента скорости, которые имею I место для изоэнтропических течений
газа Эти соотношения часто используются в газодинамич. ских расчетах, поэто-
му на их основе вводятся газодинамические функции т(х), л(а), е(Л,).
1о V + 1
Ро ’
(1.28)
Использование газодинамических функций
ческие выражения, получающиеся ппи з позв°ляет как упростить аналити-
ческих задач, так и уменьшить объем3™™ реше“ий конкретных газодинами-
имеющихся в справочной литературе (на ВЫЧИСЛений благодаря использованию
ровапы газодинамические функции ’РИМеР, [1]) таблиц, в которых затабули-
26
Рассмотрим еще две газодинамические функции д(х) и i/(x), которые ис-
пользуются при расчетах расходных характеристик потока газа
Введем функцию </(Х) = . Для выяснения зависимости этой функции от
р*п*
X проведем очевидные преобразования, которые позволят воспользоваться уже
введенными газодинамическими функциями
9(X) = -P^=PO.JP__±,
p,at р. р0 а.
Принимая во внимание, что — = е(Х) , — = X, а — = I - |Y 1, получим
Ро °* Ро Iy + iJ
(1.29)
Рис. 1.2 Зависим ста газодинамических функ-
ций от X
Эта газодинамическая функция
определяет отношение расхода газа
через трубку тока при заданном
коэффициенте скорости X к соот-
ветствующему расходу при Х=1.
Эта функция равна нулю при X =0
и при Х = Хтах. При Х=1 она до-
стигает максимума и равна 1. Это
значит, что при течении газа мак-
симальный расход через единич-
ную площадь может достигаться в
сечении трубки тока, в котором
скорость равна местной скорости
звука. Характерные зависимости газодинамических функций от X представлены
на рисунке 1.2.
Второй газодинамической функцией, с помощью которой можно вычислять
расход газа, является функция z/(x)
gfc) Гг+iVi к
(X) 2 ) j Y ~ 1 -^2
у + 1
(1-30)
Эту функцию удобно использовать для расчета расхода газа при истечении
его из емкости, в которой заданы давление и температура. При допущении, что в
емкости газ неподвижен, эти параметры будут параметрами торможения, и у(к)
переходит в <?(Х).
27
ршпппшсний газовой динамики
1.1.4 Примеры использования соотно
..... рмкости. Будем считать, что в ем-
Расчет расхода газа при его истечении и РГ1Я™па Т которые с
кости газ неподвижен, и заданы его давление р0 и температура Т„, которые
течением времени не меняются. Э™ параметры будут параметрами торможения
истекающего потока газа. Газ истекает в среду с заданным давлени а
Определим вначале влияние параметров в емкости на расход ^рез единичную
площадь, который определяется соотношением g ри. то ы вое
газодинамическими функциями, проведем несколько тождественных преобразо
ваний:
а, р. р и „ а* Р* „т
g — ри — роао-------------Роао ’
° ао Ро Р* а* ао Ро
Учитывая (1.23), получим:
В свою очередь, для произведения роао имеем
рл=Р„ рр = Ро .[а = -ferJi
V Ро V Ро “уК/о
С учетом этого окончательно получим:
g = K
Ж
(131)
Коэффициент к принимает значения 0.725, 0.685, 0.673 и 0.628 для у =1.67,
1.4, 1.33 и 1.10, соответственно.
Расход через отверстия площади F определится соотношением:
m г. Данных в емкости давлении рп и
температуре То. В свою очередь значение А, определяется -
л определяется величиной давления
Ра в пространстве, в которое газ истекает. давлении
(1-32)
28
Максимальный расход достигается, когда Л=1. Этот расход следующим обра-
зом зависит от параметров торможения газа:
Ро
(вт0
Этот расход достигается в сечении, в котором давление равно критическому
( 2 V 1
давлению р. = ----- Pq.
h + 1J
Если давление на выходе из канала ра меньше критического (ра < р*), то
расход достигает максимального значения, величина которого зависит только от
параметров в ресивере - емкости, откуда газ истекает и в которой газ находится в
заторможенном состоянии. Этот расход не зависит от параметров в пространстве,
в которое газ истекает. Такой режим истечения называется сверхкритическим.
Если давление в окружающем пространстве (в пространстве, в которое газ ис-
текает) больше критического ра> то расход газа зависит от давления в окру-
жающем пространстве. Этот режим истечения называется докритическим. Полу-
чим соотношение, позволяющее определить зависимость расхода от давления в
окружающем пространстве. Считая процесс истечения адиабатическим и, следо-
вателыю, изэнтропическим, воспользуемся формулой
Р» I г + 1 )
Тогда скорость истечения Ха и газодинамическая функция е(х) определяются
соотношениями:
е(>.о)=^
Ро
Ро)
Подставляя это в (1.32), с учетом (1.29) получим
29
Рассмофим размерность G. Учитывая, что [р0] ^2
[й]=Дж/(кг°К) = Н-м/(кг°К) Н = кг-м/с2- получим
г PoF 1 н_= ЕЕЕ^г/с.
[ТОД] у]Н-м/кг У -и
При решении ряда задач требуется связать расход газа не с п ,
тическим давлением в потоке Такую связь легко получить из соотношения ( . ),
если заменить полное давление статическим, используя (1.28):
pFyty.)
G - т—,——
(1-34)
где y(k) - введенная выше газодинамическая функция.
Работа газовой машины (компрессор, турбина). Работа, совершаемая газом,
в соответствии с (1 13) определяется уравнением
,Т du2 dp ,т
— + dLmp. (1.35)
z р
Для упрощения не будем учитывать силы трения, т.к. силы давления на ком-
прессор или турбину велики, так же как и кинетическая энергия газа велика по
сравнению с трением. После интегрирования (1.35) от состояния (1) (перед газо-
вой машиной) до состояния (2) (после газовой машины) получим:
и2 -и2 2rdp
= (L36)
2 J р
Полагая, что изменения давления и плотности связаны изоэнтропическим со-
отношением, после интегрирования получим:
-l=&^L+_JL_pl Cp2.Ty 1
2 Y-lPi [pj
(1.37)
Компрессор или турбина, работающие в
ным компрессором или идеальной турбиной. У Л°ВИЯХ’ называются идеаль-
Последнее уравнение можно записать в виде не
отношений изоэнтропического течения (1 25) имеем-°Держа1цем скорости. Из со-
30
Исключая при помощи этого соотношения uv и и2 из (1.37) и учитывая, что в
pi/v pVv pi/r pl/Y
адиабатическом процессе —-— = —-— = -”1 - = —°2- , после очевидных преобра-
Р2 Pi Pol Ро2
зований получим:
У Poi
Y-l Poi
Р02 | Т j
Poi J
(1 38)
Таким образом, в идеальном случае техническая работа может быть определе-
на по изменению полных давлений без учета конкретных значений скорости газа
до и после машины. Работа, передаваемая газовой турбине, является положитель-
ной (Рог < Poi )> а подводимая компрессором - отрицательной (р02 >Pol)- В
общем случае правило знаков формулируется следующим образом: работа, со-
вершаемая газом, считается положительной; работа, совершаемая над газом - от-
рицательная.
Отклонение от идеального изоэнтропического процесса в машине учитывает-
ся обычно с помощью дополн ельного множителя, представляющего собой ко-
эффициент полезного действия машины. В случае компрессора получим
Lk = —, в случае турбины = т]г.£,(т] < 1) •
Отношение з«*ичений полного давления за и перед машиной п = называ-
ем
ется степенью повышения давления (для компрессора) или степенью понижения
давления (для турбины). Используя уравнение состояния, соотношение для тех-
нической работы идеальной машины можно записать также в следующем виде:
L- —л 7 -1
у-1
Дж/кг
Очень важным является то, что величина технической работы прямо пропор-
циональна начальной температуре торможения газа.
Тепловые машины. Рассмотрим газовую машину, в которой вначале проис-
ходит сжатие (компрессор) и повышение полного давления от р01 до р02, затем
к сжатому газу тем или иным способом подводится определенное количество те-
пла (происходит повышение температуры торможения газа), затем следует рас-
ширение газа (турбина, сопло) от давления р02 до давления р01. Газовая маши-
на работающая по такому принципу, называется тепловой машиной.
Оценим степень влияния теплоподвода на величину совершаемой тепловой
машиной работы.
При сжатии компрессор совершает работу над газом
31
L =___У_Рок
1 y-lpoi
£02. j Y
Poi J
(139)
При расширении i аз совершает работу
l2=-
Y P02 f Pol
Y"1PO2 kA)2
(1.40)
Рассмотрим отношение . После очевидных преобразований используя
условия изэнтропичности сжатия и расширения, получим
1/у
^2 _ Р02 Р01 (141)
I, Р« рГ
В тепловой машине после сжатия в компрессоре к газу подводят тепло Дд.
Это приводит к возрастанию энтропии на величину, пропорциональную количе-
ству подведенного тепла
п р1/?
Учитывая, что S = Cy In —= С„ In-—.получим
Р7 Р
Тогда из (1.41) имеем:
где Дд - подведенное количество тепла,
вода) тепла значение температуры газа.
^ср среднее для процесса подвода (от-
Если тепло подводится, то Дд>0
Дд<0 и
Если тепло отводится то
И
Если между двумя циклами над газом
Дд = 0и
1^2 I -1 т е пяб 6 С°Вершается никаких воздействий, го
| совеРШаемая Юмпрессором
32
боте газа, совершаемой им в турбине. В действительности
т.к. имеют-
ся необратимые потери как при сжатии, так и при расширении.
В заключение приведем три примера тепловых машин.
1. Двигатель внутреннего сгорания. Рабочее тело вначале сжимается, затем
происходит воспламенение горючего, вследствие чего выделяется тепло и повы-
шается температура сжатого газа, затем происходит расширение, при котором газ
производит работу. Работа, затраченная на сжатие холодного газа, меньше рабо-
ты, которую он произведет после подогрева (повышения температуры торможе-
ния) при расширении до первоначального давления.
2. Турбовинтовой и турбореактивный двигатель. Холодный воздух сжимается
компрессором, затем в камере сгорания при сгорании горючего происходит выде-
ление тепла и повышение температуры торможения газа. Горячий газ (смесь воз-
духа с продуктами сгорания) расширяется, отдавая энергию турбине, которая
вращает компрессор, а оставшаяся часть энергии расходуется на вращение винта
(турбовинтовой двигатель) или превращается в работу силы тяги при расширении
в сопле (турбореактивный двигатель).
3. Прямоточный воздушно-реактивный двигатель. Холодный воздух сжимает-
ся в воздухозаборнике, подогревается в камере сгорания и расширяется, истекая
через сопло. Разница энергии, затраченной на сжатие, и освободившейся при
расширении, создает тягу.
1.2 Разрывы в газовой динамике
Характерным следствием сжимаемости газа, конечности скорости звука и ее
зависимости от температуры является возможность образования в поле течения
линий и поверхностей, при переходе через которые параметры газа (скорость,
давление, температура и др.) изменяются на конечную величину, то есть имеют
разрыв. Физические и математические аспекты образования разрывов обсужда-
ются в §4.1. В настоящем параграфе получим соотношения, связывающие пара-
метры газа до и после разрыва, и выясним характерные особенности течений при
наличии разрывов.
1.2.1 Прямой скачок уплотнения
Основные соотношения на разрывах. Рассмотрим течение в цилиндриче-
ской трубке тока. Выделим сечения 1 и 2. Параметры газа в этих сечениях связа-
ны уравнениями сохранения массы, количества движения и энергии. Если между
этими сечениями на газ не оказываются никакие воздействия, то эти уравнения
можно записать в виде:
ри = р1и1,
(1-42)
P + piZ2 =рх Ч-р^!2,
(1-43)
(1.44)
33
Здесь индекс 1 относи гея к параметрам в сечении 1, параметры в сечении 2 -
без индекса. Дополним эту систему уравнением состояния (1.1).
Рассм<нрим течение совершенного газа. Воспользовавшись для определения
энтальпии соотношением (1.6), получим систему трех уравнений (1 42) - (] 44^
содержащую три неизвестные функции и,р, р. Очевидное решение этой системы
u = ut, Р~Р1, Р = Р1»
т.е. параметры газа вдоль трубки тока не изменяются, если нет никаких воздейст-
вий на газ: нет трения, работы и подвода тепла. Однако, существует и второе ре-
шение, которое физически реализуется в конкретных течениях, т.е. может быть
что в отсутствие внешнего воздействия р* рг, р рх, т.е. при беско-
нечней! сближении сечений 1 и 2 в трубке тока формируется разрыв параметров
Займемся изучением этого варианта.
Испотьзуя (1.42) и (1.43), получим следующие соотношения:
Р~Рх =Pi^i -ри2
kPl р)
Р ~ Pl 9
т.е. —---= т , где т = ри = ргиг.
(145)
Pi Р
Введя удельный объем и - —, т.е. объем, который занимает единица массы
Р
газа, перепишем (1.45) в виде:
1Д -V
(1 451)
Последнее уравнение в плоскости р, 1/р
ется прямой Релея-Михельсона.
Из (1.45) следует
определяет прямую, которая называ-
Р~Р\ _ т2
Р~Р1 Р-Р^
или =
Р-Р1 1
(146)
™ ^ывн двух ввдм
Р>ръ Р>Р1, V<V1
Эти разрывы называются скачками
Во втором случае отнения или ударными волнами
Р<Р1’ Р<Рь Р>р
34
Такие разрывы называются скачками разрежения. Ниже будет показано что в
скачках разрежения энтропия убывает, то есть в соответствии со вторым началом
гермодинамики такое течение физически не может быть реализовано
Ударная адиабата. Используя (1.45), запишем:
и2 - * Р~ Р\ Р1 Р~ Р\
Р2 J _ 1 Р Р-Р1 ’
Pl Р
и2 - * Р~ Р1 _ Р Р~ Р\
1 Pi 1 _ 1 Pl Р-Р1
Pl Р
Подставляя эти выражения в уравнение энергии (1.43), после очевидных
преобразований получим:
Из этого соотношения следует, что в скачках уплотнения i>i1, а в скачках
разрежения i < ix. Равенств > (1.47), являющееся следствием всех трех условий на
поверхности разрыва, называется соотношением Гюгонио.
у Р
Для совершенного газа, учитывая, что i =—--, из (1.47) можно исключить
Y-1 Р
I. В результате этого после очевидных алгебраических преобразований получим
соотношения, связывающие р, рг, р и рт,
(т + 1)-(т-1)₽1
_р_=__________р_
Л (т+1Л-(г-1)
р
или
Р _ (у + 1)р + (у ~ 1)Р1
Р1 (У + 1)Р1 + (У-!)/>’
(1.48)
(1.481)
Эти соотношения связывают изменение давления и плотности при переходе через
скачок уплотнения из состояния 1 в состояние 2. Кривая, отражающая эту связь
графически называется адиабатой Гюгонио или ударной адиабатой. Отметим, что
соответствующая кривая, графически отражающая связь между давлением и
плотностью при изоэнтропическом непрерывном переходе из состояния 1 в со-
р Рх
стояние 2 - —— - ——, называется адиабатой Пуассона или изэнтропой.
Р Pi
35
Графическая зависимость р/Pi от Р1/р Д
на рисунке 1.3. На эгом же _
ставлена зависимость адиабаты у
P. = (_P_Y, которая получена ранее для
Pi \Pi J
изоэнтропических течений. Из сравнен
этих кривых видно, что при изэнтропическом
сжатии плотность возрастает быстрее, чем
при сжатии в скачке уплотнения. ели
_£___> оо , при изоэнтропическом сжатии
Pi
плотность тоже возрастает до бесконечности.
При переходе через скачок уплотнения, как
это следует из уравнения ударной адиабаты,
-Р_ _> Xil э То есть отношение плотностей за
Pl Y"1
адиабаты Гюгонио представлена
Рис 1.3. Графическая зависимость
Р/Р1 от Pi/р для адиабаты Гюгонио
и перед скачком - конечная величина.
В течениях разрежения (р/Pi < 1) при уменьшении плотности давление при
переходе через скачок разрежения убывает быстрее, чем в изоэнтропическом те-
чении. Так как в изоэнтропическом течении энтропия постоянна, то в скачке раз-
режения энтропия убывает. Это следует из соотношения dS = Cvd\n —. Дейст-
PY
вительно, проинтегрировав это соотношение от состояния 1 к состоянию 2, полу-
чим после простых преобразований
s-Sj = c„din
Р7
На адиабате Пуассона Так как часть ударной адиабаты, на которой
i<l. лежит ниже адиабаты Пуассона, го „а ней -Р--P-L <1 следовательно,
Pl р7
S - Sx < 0 . Так как уменьшение энтропии нр ,
р пии не допускается вторым началом тер-
модинамики, то отсюда следует (Ьизичегк-я«
Ф ская невозможность существования скач-
ков разрежения. Часть ударной адиабаты, на котовой Р «
а которой —>1, лежит выше адиаба-
Р1
ты Пуассона, следовательно, на ней -Oil
Pi ру И тогда ~ > О, то есть при пе-
реходе через скачок уплотнения энтропия возрастает.
36
Соотношения между параметрами газа перед и за скачком (соотношения
Рэнкина-Гюгонио). Потучим соотношения, связывающие параметры до и после
скачка уплотнения.
Используя интеграл Бернулли в форме (1.18), можно с учетом (1.6) записать
следующие выражения для давления до и после скачка:
Р1 ~Р1| 4)1 —и1
р=₽(го”^Гм2}
Из уравнения (1.44) следует, что i01 = i0. Тогда вычитая из второго уравнения
первое, получим:
Р - Pi = (Р - Pi >о - (р“2 - Р1“12 )
Исключая (pu2-pxuf), при помощи соотношения (1.43) и учитывая, что
Y Ро ао Y + la*
i0=------=----- = —, получим
у~1р0 у-1 у-1 2
P-P1
(1.49)
Сравнивая (1.46) и (1.49), можем записать:
2 и 1
ии = at или — = —,
Ui Zj
(1.50)
где = Uj /а, - коэффициент скорости перед разрывом.
Разделив первое соотношение (1.50) на at, получим:
^1=1. (151)
Из этого соотношения следует, что при > 1 (сверхзвуковое течение) за ли-
нией разрыва будет А. < 1, то есть реализуется дозвуковое течение и, наоборот,
при A.J < 1, А. > 1. Первый случай имеет место в скачках уплотнения, то есть
может быть реализован, второй случай относится к скачкам разрежения и физи-
чески не реализуем.
Используя полученные соотношения, определим скорость, плотность, давле-
ние и температуру газа за скачком уплотнения.
Учитывая (1 27), выразим отношение скоростей после и до скачка через число
Маха перед скачком
37
и _ 2 +
-=т + 1М,! r+1
Из этого соотношения в частности следу
‘--'-tit1-
U! Г + Ц
О 53)
........
этого уравнения и из уравнения (1 50) ел ДУ pi u X
мая во внимание (1.27), запишем
Р___2 (154)
Pi l +
Для определения давления воспользуемся уравнением (1.43). Из этого уравне-
ния следует
Pi Pi I uiJ
Принимая во взимание (1.53) и (1.12), после очевидных преобразований
получим:
_₽_=_2ГМ2_П1. (1.55)
Pi Y + l Y + l
При переходе газа через скачок уплотнения температура его повышается, при
этом в соответствии с (1.44) энтальпия торможения и, следовательно, температура
торможения для совершенного газа не изменяется. Температуру частиц газа после
перехода их через скачок уплотнения можно определить, пользуясь уравнением
состояния и соотношениями (1.54), (1.55). Действительно, из уравнения состоя-
ния имеем:
^- = -P-.21T.e.Z_ = _P_/_P_
Pi Pi Тг 7\ Р1/ Р1
Подставляя (1.54) и (1.55), после простых алгебраических преобразований по-
лучим формулу для определения температуры газа за скачком уплотнения:
(1.56)
иен ношениями Рэнкина-I югонио
38
Определим остальные параметры за скачком - число Маха и потери потного
давления.
Число Маха за скачком. Для определения числа Маха за скачком воспользу-
емся соотношением X • =1. Из этого соотношения следует:
Используя (1 27) для замены коэффициента скорости на число Маха, после
некоторых преобразований получим:
1 + ^—^Mj2
М2 =---2---- (157)
ум2-^
Потери полного давления при переводе через скачок. Коэффициент дрос-
сепирования. При переходе через скачок происходят необратимые потери кине-
тической энергии, что приводит к потерям полного давления. Для определения
потерь полного давления в скачке уплотнения вводится коэффициент дроссели-
рования о = -^-. Учитывая, что -^- = ——Р—£1_ и последовательно исполь-
Pol Pol Р Pl Pol
зуя полученные ранее соотношения (1.25), (1.55), получим:
Ро
Pol
\^м
U+1
Исключая из этого соотношения при помощи (1.57) число М за скачк <м и
проведя соответствующие подстановки, для коэффициента дросселирования по-
лучаем:
Ро
Pol
2?
у + 1
Mf
rlV-fjLA.
Y + 1J [y + lMl
Это соотношение позволяет количественно оценить потери полного давления
при переходе через скачок уплотнения. Видно, что при увеличении числа М, коэф-
фициент дросселирования а убывает, а потери полного давления увеличиваются.
Экспериментальное определение скорости сжимаемого газа. Для экспери-
ментального определения скорости сжимаемого газа используются, как и для не-
сжимаемой жидкости, измерения статического и полного давления потока. Для
измерения полного давления (давления торможения) применяется трубка Пито.
Трубка Пито - это приемник полного давления, выполненный в виде затупленно-
го тела с отверстием в точке торможения. Эта трубка помещается в поток газа и
39
„оппрцке В точке торможения - давление тор-
при помощи мапомегра измеряетдамея„е. Схема измерений
можения. Одновременно
приведена па рисунке 1.4.
Скачок
Рис. 1.4. Схема измерений параметров сверхзвукового по-
тока
Используя замеренное давление торможения и статическое давление, которое
замеряется при помощи приемников статического давления, можно определить
число М потока. Для вычисления числа М при дозвуковых скоростях, когда
торможение потока перед точкой торможения трубки Пито происходит изэнтро-
пически без потерь полного давления, можно воспользоваться соотношением
(1.25). Для определения скорости потока нужно еще замерить температуру и по
ней определить местную скорость звука. При малых дозвуковых скоростях при
М « 1 из (1.25) можно получить формулу, которая используется для определе-
ния скорости по замеренным полному и статическому давлениям в несжимаемой
жидкости. Действительно, представляя (1.25) в виде ряда Тейлора по М2
....
р 2 8
и ограничиваясь только двумя членами этого ряда с погрешностью порядка
— М 4 , получим:
— = 1+-М2 = 1 + ^1
Р 2 2р ’
откуда следует
и = ЩРо^Р)
Из приведенных соотношений следует что ппи М лк
скорости сжимаемою газа с погрешностью меньше 1”/ < ДЛЯ 0ПРеделениЯ
диками, которые применяются для измеп₽и.л.1 * /о можно пользоваться мето-
В „КОВОМ потоке ~
скачком уплотнения рОск, а статическое Р полное давление за прямым
вление р± измеряется датчиком перед
40
скачком Поэтому для расчета числа MY необходимо получить формулу, связы-
вающую давление торможения за скачком со статическим давлением перед скач-
ком - Учитывая, что &Оск = и используя полученные ранее фор-
Pi Pi Р Pl
мулы (1.25) и (1.55), после несложных преобразований можно получить:
Это формула Рэлея, которая связывает отношение давления торможения за
скачком к статическому давлению до скачка с числом Маха.
Зная отношение ?°2 , можно опреде шть число Мг и затем, используя заме-
Рх
ренную термопарой температуру, определить скорость звука и скорость потока.
1.2.2 Нестационарная ударная волна
Рассмотрим распространение плоской ударной волны в трубе по неподвиж-
ному газу, параметры которого Тх известны. Пусть ударная волна движет-
ся вправо со скоростью 0. После прохождения ударной волны давление в газе
возрастает до величины р, и газ под действием повышенного в ударной волне
давления приводится в движение со скоростью V. Эта скорость называется ско-
ростью спутного потока. Отношение давлений в ударной волне— и величина
Р1
скорости спутного потока зависят от 0. Возможна и другая постановка задачи:
„ Р
задано отношение давлении и нужно определить скорость ударной волны и
Р1
спутного потока. Движение газа в системе координат, связанной с трубой, будет
нестационарным, т.к. ударная волна, перемещаясь вдоль трубы, приводит к изме-
нению скорости по времени - неподвижные ранее частицы газа после прохожде-
ния ударной волны начинают двигаться со скоростью V. Обратим движение, со-
общив мысленно всей трубе вместе с движущимся газом поступательное движе-
ние вправо со скоростью 0. Иначе говоря, будем рассматривать происходящие в
трубе явления в Галилеевой системе координат, движущейся равномерно вдоль
оси трубы вместе с ударной волной. В этой системе координат ударная волна
окажется как бы остановленной, а движение газа - стационарным. Неподвижную
ударную волну можно считать прямым скачком уплотнения. Невозмущенный газ
в новом рассмотрении уже не неподвижен, а подходит к ударной волне справа
налево со скоростью щ = 0 . Скорость потока за ударной волной и теперь связа-
на со скоростью спутного потока соотношением щ - V = и или
41
V = ul-u
(1-59)
Таким обраюм, для описания изменения параметров газа „ стаиио-
чсрсз него нестационарной ударной волны можно пользоваться
нарпого прямого скачка уплотнения. За меру интенсивности скач
ня гь число Мг, определяемое как отношение скорости ударной волны к
скорости звука невозмущенного газа
,, Щ О
= — = —
а1 а1
Если задано относительное увеличение давления — при прохождении неста-
Pi
ционарной ударной волны, то, используя (1.55), скорость 6 распространения
ударной волны можем определить соотношением
0 =
|у-1 ! Y + 1 р
2у 2у р1
Из этой формулы следует, что скорость распространения ударной волны по
отношению к невозмущенному газу всегда больше скорости звука в нем. При
уменьшении интенсивности ударной волны (при ——> 1) скорость ее распро-
Р1
странения стремится к скорости звука в невозмущенном газе: 0 = при = 1
или р = Р\. Таким образом звуковую волну можно рассматривать как ударную
волну очень малой интенсивности, т.е., как *тм<чалось раньше, скорость распро-
странения малых возмущений равна скорости звука в газе. Для определения ско-
рости спутного потока воспользуемся формулой и • иг = а2 , тогда получим:
а2
V = и1-и = и1 —— или V =
Используя (1.21) для исключения а2/а2 , после очевидных преобразований
получим:
v=—[м,-
“1
(160)
М,
При больших М, можно воспользоваться асимптотической формулой:
При Мг ->1 получаем, что V ->0. В кячерто₽ ..
лице изменение параметров газа после прохождения ^С^ЦИИ пРиведем в таб'
Р Д ния ударной волны. Примем, чго
42
ударная волна распространяется в неподвижном воздухе (у = 1.4) при 15°С
(Т=288К).
Таблица!1
Параметры ла нестационарной ударной волной
Mi p-pi Pi T-Tt e м/с V м/с
1.0 0 0 340 0
1.2 0.51 37 408 104
1.4 1.12 73 476 194
1.6 1.82 112 544 276
1.8 2.61 153 612 353
2.0 3.50 198 680 425
3.0 9.33 484 1020 756
4.0 17.5 878 1360 1063
_ A0 28.0 1383 1700 1360 _
1.2.3 Косой скачок уплотнения
Рассмотрим более общий случай, когда линия разрыва наклонена под некото-
рым углом о к вектору скорости набегающего потока, т.е. о - угол между каса-
тельной к линии разрыва и вектором скорости набегающего потока. Запишем
уравнение сохранения массы, количества движения и энергии для элемента линии
разрыва.
РУЛ=Р1У1П>
pt>n-V +Р п° = plvln-V1+P1n°,
(1-61)
(1-62)
(1.63)
где п ,т — единичные векторы, направленные по нормали и касательной к по-
верхности скачка, V2 = и2 + и2 - квадрат модуля скорости, Vn = V п ° и
= V • т — нормальная и касательная составляющие вектора скорости.
Из геометрических представлений следует, что проекции вектора п° на оси
декартовой системы координат х, у (ось х направлена по вектору скорости набе-
гающего потока) будут равны
п° - cos о, п° = - sin и (1 64)
Кроме того, У1п = sin о, Vlt = cos о.
43
Умножая (1 62) скалярно на т°, получим, что касательная составляющая век
тора скорости не и меняется при переходе через скачок упло! нения
Vx = •
Умножая (1.62) на п° и переписывая (1.61) и (1.63) с учетом (1.64), получим
Р^п =Р1р1п =гп’
Р^ +Р = Р1”1п +Р1’
(1.65)
Т.е. получили такую же систему уравнений, как и в случае прямого скачка
Эту систему уравнений дополним уравнением Бернулли (1.13), которое с учетом
(1.6) и того, что V2 = V2 + V2, запишем в виде.
Т.е. это уравнение совпадает с аналитичным уравнением, которое было ис-
пользовано при выводе формул прямого скачка уплотнения, если вместо io вве-
ста величину ic
, которая не изменяется при переходе через скачок уп-
лотнения.
Тогда можем записать по аналогии с (1.50)
(166)
Принимая во внимание, что Vln = sin о, Vx =Уг cos с, из последнего вы-
ражения получим
I* у-] Я 1 1 у-1
Или используя (1.27) для перехода к числу Маха, после некоторых преобразо-
ваний запишем ин
2к = _2___1_+Y-1
Vni у + 1 М2п у + 1’
где Mln = = Мхsine.
ai
(1.67)
44
Соотношение (1.67) по форме совпадает с (1.52). С учетом полученных соот-
ношений из (1.65) таким же образом, как и для прямого скачка уплотнения, полу-
чим соотношения для определения давления и плотности за косым скачком
р
Pl 1 + ^Ж
2
Pl у + 1 у + 1
р =(у + 1)р-(у-1)р1
Pl (y + !)pi-(r-l)p'
(1.68)
Компоненты вектора скорости за косым скачком уплотнения. Вектор
скорости перед и за косым скачком уплотнения представим в виде суммы его со-
ставляющих по нормали и касательной к ударной волне
V =VTT° +Vnn °.
Вычитая из второго соотношения первое и учитывая, что Ут = У1т получим:
С учетом (1.64), (1.68) запишем:
V=V1-n°.Vl sin о ^l81^0-1
—— sin2 о
2 1
Проецируя на оси Ох , Оу, после очевидных преобразований последнее вы-
ражение перепишем в виде
у У+1Mf V ’
Угол поворота потока за косым скачком уплотнения. Определим угол по-
V
ворота потока за косым скачком уплотнения р Так как tgp = , то с учетом
(1.69) получим
45
Ml sin2 СГ 1 -ctgc-
'e₽=r<-1Mf-(MI2sin2'’-1)
2
(1.70)
Рис. 1.5. Угол поворота потока за косым
скачком уплотнения
В случае, если 11
получаем ««₽ = <>. Тако» ™4W 6сСК°'
нечно малой ишенсивности
волной Маха. Подробней особенное™
волны Маха рассматриваются в S
Угол поворота потока получается рав-
ным нулю и при о = |, т.е. при переходе
через прямой скачок. При некотором
значении о = 0^-60° угол отклоне-
ния потока Р принимает максимальное
значение, величина которого определя-
ется числом Мг. Например, для
М1=15, 2 и 3 максимальные значения
угла отклонения потока 8 равны 12, 23 и
34° соответственно. Таким образом, зави-
симость угла поворота потока за скачкон
от угла наклона скачка имеет немонотонный характер. Эта зависимость представ-
лена на рис. 1.5.
1.3 Общие особенности влияния внешних воздействий на
изменение параметров газового потока
В предыдущих разделах были выписаны осн ные уравнения и формулы га-
зовой динамики. В целях выяснения принципиальных свойств течений сжимае-
мых газов, эти соотнош ия выписывались в самой простейшей форме. В этом
разделе подробно остановимся на вопросах влияния различных воздействий на
закономерности газодинамических течений и параметры газового потока. К этим
воздействиям относятся изменение площади проходного сечения струйки тока -
геометрическое воздействие, трение, подвод тепла, совершение работы газом или
над газом. Все эти воздействия в той или иной мере имеют место во многих тех-
нологических газодинамических процессах. Уравнение, на основании которого
можно качественно изучить эти особенности, получается из выписанных раннее
уравнений газовой динамики и носит название уравнения обращения воздейст-
вий. Это уравнение записано для стационарных одномерных течений газа и имеет
относительно простой вид. Несмотря на это, выводы, полученные на основании
его анализа, имеют общий характер и справедливы для реальных течений сжи-
маемого газа. Для количественных оценок влияния воздействий рч ичного вида
удобно использовать и алгебраические соотношения, вытекающие из законов со-
хранения массы, энергии и теоремы об изменении количества движения. Эти со-
отношения можно получить как применяя эти законы к конечному объему газа,
46
по аналогии с записью в §1.2 соотношений на разрыве, так и непосредственным
интегрированием дифференциальных уравнение газовой динамики.
1.3.1 Уравнение обращения воздействий. Общие условия ускорения
газового потока
Основные уравнения. Приведем уравнения описывающие одномерное ста-
ционарное движение газа:
уравнение сохранения массы
puF = G , (1.71)
уравнение состояния
(1-72)
уравнение энергии
CpdT + udu = +dqw - dL, (1.73)
уравнение количества движения
dp udu + — = -dL - dL mp. P (1-74)
Уравнения (1.73) и (1.74) относятся к единице массы газа. Наряду с газодина-
мическими параметрами в эти уравнения входят и слагаемые, отражающие раз-
личные воздействия на газовый поток. Эти воздействия связаны с изменением
площади F проходного сечения струйки тока (или для одномерного течения -
площади канала), подводом массы G, работой сил трения dLmp, внешним подво-
дом тепла dqw, работой газового потока dL. Для анализа влияния этих воздейст-
вий на параметры газового потока получим одно уравнение, описывающее изме-
нение скорости. Это уравнение называется уравнением обращенного воздействия.
Впервые оно было получено и проанализировано Л.А.Вулисом [36].
Исключим вначале при помощи уравнений (1.71) и (1.72) слагаемое, содер-
жащее дифференциал от давления в уравнении (1.74).
Продифференцируем (1.71) и (1.72) и после очевидных преобразований получим
dG dF dp du
G F p и
(175)
dp
Р
= /?[ dT + T^-}.
I Р J
Уравнения (1.73), (1.74), (1.75), (1.76) будем рассматривать, как систему урав-
нений относительно du,dp,dT и dp . Определим из этой системы уравнений du
Исключив из (1.75), (1.76) , получим
Р
(176)
47
Подставляя в (1.74) и учитывая, что ЯТ = Д запишем
Р
f 2 a2\du pdT 2^{^--^\ + dL + dLmp=Q
1“ ~7Р + М +7 I G f)
И. „.конец, исключив RdT с помощью уравнения (1.73) и принимая во вни-
манне, что Я = Ср(1 ^1), у = ^, перепишем это соотношение после приведения
у Су
подобных в виде:
<'-77>
' и F G а а
Это уравнение получило название уравнения обращения воздействия [1, 36].
Особенность этого уравнения в том, что знак его левой части изменяется при пе-
реходе скорости через скорость звука. Поэтому характер влияния отдельных фи-
зических воздействий на течение газа противоположен при дозвуковом и сверх-
звуковом режимах течения.
Воздействия, вызывающие ускорение дозвукового потока (сужение канала
dF<0, подвод дополнительной массы газа dG>Q, совершение газом работы dL>0,
трение dLmp>0 и подвод тепла dqw>0) приведет к замедлению сверхзвукового
потока; воздействие обратного знака (расширение канала d/>0, отсос газа dG<0,
сообщение газу механической энергии dL<0 и отвод тепла dqw<0) приводят к
замедлению дозвукового потока и ускорению сверхзвукового потока.
Отсюда следует важный вывод.
Под влиянием одностороннего воздействия скорость газа можно довести
только до величины, равной местной скорости звука (критической скорости) и
нельзя перевести через нее. Для того, чтобы ускорить дозвуковой поток до сверх-
звуковой скорости, необходимо в критическом сечении переменить знак воздей-
ствия. Критическим сечением называется сечение, в котором скорость газа равна
скорости звука.
Рассмотрим каждое из четырех воздействий: геометрическое сопло (сопло Ла-
валя), расходное, механическое и тепловое сопла.
Геометрическое сопло - это канал (труба) переменного сечения площадь
проходного сечения которого вначале уменьшается, достигая некоторого мини-
мального значения, а затем увеличивается. Уравнение обращенного воздействия,
описывающее изменение скорости в геометрическом сопле, записывается в виде
(м2-1)^ = ^.
' и F (1-78)
48
Из этого уравнения следует, что дозвуковой поток (М < 1) ускоряется в су-
жающейся части сопла (dF <0)' а сверхзвуковой поток ускоряется в расширяю-
щейся части. В сечении минимальной площади при dF = 0 число М становится
равным единице. В геометрическом сопле можно получить непрерывное ускоре-
ние газа от дозвуковой скорости до сверхзвуковой
Расходное сопло - канал постоянного поперечного сечения, в котором подво-
дится (отводится) масса газа. Параметры газа вдоль канала меняются в соответст-
вии с уравнением
v 7 и G
В дозвуковой части канала М < 1 поток ускоряется при подводе массы dG >
0. После достижения скорости звука для дальнейшего ускорения газа в сверхзву-
ковой части канала (М >1) масса должна отводиться (dG < 0). Форма линий тока в
таком канале будет похожей на форму этих линий в геометрическом сопле: в доз-
вуковой части линии тока будут приближаться к оси сопла, т.е. будет происхо-
дить сужение трубок тока, а в сверхзвуковой части сопла будет происходить рас-
ширение трубок тока.
Механическое сопло - это канал постоянного поперечного сечения, в кото-
ром газ совершает работу или работа совершается над газом. Уравнение обра-
щенного воздействия записывается в виде
(м2-1)—= ~4-db.
и az
В соответствии с этим уравнением для непрерывного увеличения скорости в
механическом сопле необходимо, чтобы в дозвуковой части сопла газ совершал
работу (турбина, dL > О ), в сверхзвуковой части сопла работу совершал ком-
прессор dL < 0 . Таким образом, совершаемая газом работа должна изменять знак
в сечении канала, в котором скорость становится равной скорости звука. В соот-
ветствии с формулой, вытекающей из (1.38),
в этом сечении давление торможения проходит через минимум
Тепловое сопло - это канал постоянного поперечного сечения, в котором
подводится или отводится тепло. Уравнение обращенного воздействия примет вид
и а
Для ускорения потока необходимо, чтобы в дозвуковой части канала гепло
подводилось (dqw > 0), в сверхзвуковой части отводилось (dqw < О). При этом,
как показано ниже полное давление проходит через минимум в критическом се-
чении, а температура торможения через максимум
49
1.3,2 Геометрическое воздействие на поток. Течение в
сужающихся и расширяющихся каналах
Наиболее распространенным средством управления газо ППП1||ЯПИ ппп
ком в различных технологических устройствах является измене”
ходного сечения канала или трубы (далее - канал), то есть на я
геометрическое воздействие. Выясним основные особенности такого воздействия.
Рассмотрим течение в канале, площадь поперечного сечения которого вначале
уменьшается, достигает минимума, затем увеличивается. В сечении минимальной
площади dF = О. Следовательно, в соответствии с (1.78) в этом сечении должно
быть либо du = О, либо М -1.
В первом случае в минимальном сечении при дозвуковом течении достигается
максимум скорости (минимум давления), т.е. скорость потока увеличивается при
сужении проходного сечения канала, достигает максимума и в расширяющейся
части уменьшается. В соответствии с уравнением Бернулли остальные парамет-
ры - давление, плотность, температура ведут себя противоположным образом:
уменьшаются при сужении канала, достигают минимума в сечении минимальной
площади и затем увеличиваются. В этом случае расход газа через канал может
быть определен по формуле (1.33), в которой следует положить, что F равно
площади выходного сечения канала Fa, Pq,T0 - дав.»е-<не и температура в реси-
вере, ра - давление на срезе сопла. При определенном таким образом расходе ко-
эффициент скорости в каждом текущем сечении канала определяется из решения
р
уравнения <?(Х) = д(Ха)—, которое вытекает из (1 J2), причем нужно брать ко-
рень, меньший единицы.
Во втором случае при dF = O число Маха становится равным единице -
М = 1, и при переходе через сечение минимальной площади - критическое сече-
ние - происходит монотонное увеличение скорости с переходом от дозвуковых
значений в сужающейся части канала к сверхзвуковым в расширяющейся. В этом
случае расход газа через сопло определяется расходом газа через критическое се-
чение, в котором скорость равна скорости звука, т. е. X = 1. Используя уравнение
сохранения массы puF = ptutFt, где звездочкой помечены критические парамет-
ры, получим соотношение, связывающее изменение коэффициента скорости и
площади поперечного сечения канала
F,
F
(1.79)
При полностью сверхзвуковом течении в расширяющейся части сопла рас-
пределение давления, плотности, температуры и скпп™ Р
определяются по найденному коэффициенту скорости^ и ечения ВД2ЛЬ сопла
ч'ч' u скорости А, из соотношении
р=рЖ р=рХ4 (1.80)
Суммарный расход газа нере, сопло опреда1ится>
50
I i+Г
G = -^=F.. (1.81)
V h+ij
Режим течения через сужающийся-расширяющийся канал определяется дав-
лением ра в пространстве, куда газ вытекает из сопла, отнесенным к давлению
торможения, т.е. к давлению в см хости, из которой газ вытекает. Следует отме-
тить три характерные значения этого давления - р*с,рс,ре, которые разграничи-
вают следующие режимы течения:
1) ра > р„с - полностью дозвуковое течение в сопле с максимумом скорости
в горле сопла;
2) р*с > ра > рс - течение переходит в минимальном сечении сопла от дозву-
кового к сверхзвуковому, затем в расширяющейся части сопла происходит тор-
можение сверхзвукового потока в прямом скачке уплотнения, за которым давле-
ние меньше, чем ра . Положение прямого скачка уплотнения определяется из ус-
ловия, что при дальнейшем повышении давления при дозвуковом течении через
расширяющуюся часть канала, давление на срезе сопла становится равным ра.
Строго говоря, при рассмотрении этого и следующего режимов течения в более
полной двумерной постановке, возможно образование в расширяющейся части
сопла косых скачков уплотнения с нерегулярным взаимодействием (см. п. 6.3.4);
3) Рс > Ра > Ре ~ в сопле получаем сверхзвуковое течение в расширяющей-
ся части сопла с образованием косых скачков уплотнения в истекающей струе;
4) Ра<Ре ~ получаем сверхзвуковое течение в расширяющейся части сопла с
давлением на срезе сопла, равным ре независимо от давления в окружающем
пространстве. Понижение давления до ра происходит в истекающей струе с об-
разованием волн разрежения.
Последние два режима течения в струе, истекающей из с-хтта, более подробно
рассмотрены в §6.1.
Рис. 1,6а Зависимости рлс ,рс и ре от
отношения площади выходного сечения
сопла к площади кри гического сечения,
линии 1, 2 и 3 соответственно
Рис 1.66 Изменение коэффициента ско-
рое ги на срезе сопла в зависимости от
отношения площади выходного сече-
ния сопла к площади критическогоим
сечения
51
Следовательно, р.с - давление на срезе, при котором имеет место полностью
дозвуковое истечение из расширяющейся части сопла при скорости в критиче-
ском сечении, равной скорости звука; ре - давление, которое устанавливается
при сверхзвуковом истечении из сопла; рс - это давление за прямым скачком в
сверхзвуковом потоке, параметры которого равны параметрам на срезе сопла.
Величины давлений рс, и ре, разделяющие описанные режимы течения, мо-
гут быть определены с использованием уравнения (1.78), из которого при F ~ F
(Fc - площадь среза сопла) находятся два корня — коэффициенты скорости ХСФ<1
и Хе>1. Эти коэффициенты используются для определения рс„ и ре соответст-
венно из (1.28). В свою очередь, рс может быть определено из соотношения
(1.55), связывающего давление перед и после прямого скачка, при этом число М
перед скачком определяется по формуле (1.57) с использованием ~ke. Зависимо-
сти р*с,рс и ре от отношения площади выходного сечения сопла к площади
критического сечения показаны на рис. 1.6а линиями 1, 2 и 3 соответственно. На
рис 1.66 показано изменение коэффициента скорости на срезе сопж| в зависимо-
сти от отношения площадей выходного и критического сечений (нижняя и верх-
няя кривые соответствует значениям давления на срезе, равным рсл и р,).
На рис. 1.7а 1.76 показаны изменения вдоль сопла коэффициента скорости и дав-
ления при рассмотренных режимах истечения: линии 1 и 6 - четвертый и первый
режимы, 2 - 5 — второй режим истечения. Расчеты проведены для сопла с кониче-
скими сужающейся и расширяющейся частями с углами полуконусности 20 и 10
градусов Линии 1—6 относятся к результатам, полученным при давлениях на
срезе сопла, отнесенных к давлению торможения, равных 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 и
0.95 соответственно.
Рис 1.7а Распределение коэффици-
ента скорости вдоль сопла
13.3 Течения с подводом Тепла
Течение с подводом тепла является составным
ческих процессов, включая процессы со™/ элементом многих технологи-
’ ' Р °ЖДаюЩие работу различных тепло-
52
вых двигателей. Наиболее распространенным и хорошо изученным способом
подвода тепла к газу является сжигание в его среде небольшого количества угле-
водородного топлива. В силу важности течений с поводом тепла для многих тех-
нологических приложений, анализу их основных закономерностей уделяется дос-
таточно большое внимание, например [10,49, 95, 96 и др.].
Для выяснения основных особенностей течения с подводом тепла в канале по-
стоянного поперечного сечения рассмотрим сечения 1 и 2. Уравнения сохранения
массы, количества движения и энергии при переходе от сечения 1 к сечению 2
запишем в виде:
ри = р1М1, (1.82)
p + puz =P1+P1uf, (1.83)
= + (1.84)
где Ад - подводимое к газу тепло
Эта система уравнений отличается от системы (1.42) - (1.44) наличием сла-
гаемого в правой части третьего уравнения. Следствием этого является разрыв в
значении энтальпии торможения при переходе от сечение 1 к сечению 2 —
io - i01 = Ад 0. В связи с этим для течений с подводом тепла остается в силе
уравнение (1 46), вытекающее из (1.42), (1.43). Уравнение (1.49) переписывается в
виде
Р~Р1 = а2 |2У~1 Ад
р-р! * у + Ц-Pi,
р
Сопоставляя последнее уравнение с (1.46), получаем:
„„ , оУ-1 Ад
Y + l^Pi
Р
Учитывая, что в соответствии с (1.82) — = —, из (1.85) получим следующее
Р и1
(1.85)
уравнение:
и _ 1 ! 2 у-1 Ag 1
«1 Хг2 Y + lufj-Jf
Принимая во внимание, что С То = ~~а2 = = после очевид-
yR у-1 2 у-1
ных преобразований из (1.86) получим уравнение относительно —, которое за-
и1
пишем в виде:
(1.86)
53
1 Д<7
= 0
X2
и,) Л2, Срт<,
Решая это уравнение, получаем:
(1.87)
“1
1 Ag
Если Л, =0, то из этого соотношения следует, что при выборе знака плюс
параметры газа не меняются, т.е. ± = 1, при выборе знака минус получаем соот-
ношение, выполняющееся на прямом скачке уплотнения — - В общем слу-
чае при аналитических преобразованиях знак плюс выбирается для дозвукового
течения (Xt < 1), минус - для сверхзвукового > 1). При численном счете, ко-
гда вычисляется арифметический квадратный корень, перед корнем ставится
знак, совпадающий со знаком выражения
Используя (1.87), можем определить другие параметры в сечении 2
Температура. Из уравнения сохранения энергии имеем:
io=iol + A?.
Рассматривая для простоты совершенный газ с постоянной теплоемкостью
(т.е. принимая, что io =СрТо), получим соотношения между температурами тор-
можения
(1.88)
Т°1 срто1
Далее получим уравнение для определения статической температуры газа.
К ТО1 Т1
Коэффициент скорости. Запишем с™™,.,,,,.
циентом скорости X. ния’ связывающие и с коэффи-
и
Ul ^1 аЪ
54
откуда имеем:
Давление. Из (1.82) и (1.83) следует, что
Pl Pl I “1)
или используя (1.87), имеем
Давление торможения.
Условие теплового запирания. Соотношение (1.87) имеет физический смысл
при условии, что
Ад
CDTO
.2
(1.92)
Это значит, что количество тепла, которое можно подвести к потоку, ограни-
чено. Предельно возможное количество тепла, которое может быть подведено к
потоку в трубе постоянного сечения при заданном , определяется соотношением
Ад
сРто1
(1.93)
Подставляя определенное соотношением (1.93) в (1.89), после очевид-
сРто1
ных преобразований можно убедиться, что в сечении 2 X = 1, т.е. скорость потока
55
равна местной скорости звука. В соответствии с (1.29) в этом сечении расход дос-
г „оь-о,.м<1тт.нг>т чнячеиия. и пои задан-
Рис. 1.8 Графические зависимости
тигает максимального значения, и при задан-
ном Xj при больших Д? невозможно пропус-
тить всю массу газа через это сечение. Поэто-
му соотношение (1.93) определяет условие те-
плового запирания, а сечение, в котором дос-
тигается скорость звука, называют сечением
запирания. Подставляя (1.93) в (1.87), (1.90),
(1.88), (1.91), получим, что при тепловом запи-
рании параметры газа определяются следую-
щими соотношениями:
и _ 1 |
их 2
р =11гм?
Р1 2
2ffll5i- = l+-^- = l+l[A-Xl) =i(—+ >., (1.94)
С„ТЛ ') 41л ')
1 1
Ро =Гу + 1\-11 + ^-1Г1
Pol I 2 J 2 t y + 1
В качестве иллюстрации на рисунке 1.8 представлены графические зависимо-
сти ZL и от
Pol ГО1 СРТО1
Кривая Гюгонио (ударная адиабата) для течения с подводом тепла. Для
получения уравнения ударной адиабаты для течений с подводом тепла повторим
соответствующие преобразования, проведенные в 1.2.1, с учетом отличий в урав-
нении энергии (1.44) и (1.84). Тогда получим:
=||—+-|(р-Р1)+Дд.
2Vpi pj
(1-95)
Принимая для совершенного газа i — —5 получаем, как и раннее, уравне-
ние, связывающее р, рг, р, рг, которое можно записать в виде
(у + 1)^-(у-1)
(1-96)
56
В плоскости —, р получаем се-
Р
мейство кривых, для которых А#
является параметром. Это семейство
характеризует все возможные термо-
динамические состояния, которые
могут иметь место при подводе тепла
к потоку газа, исходное состояние
которого характеризуется значения-
ми (pi,Pi). Кривые этого семейства
можно обобщенно назвать динамиче-
скими адиабатами. Одна из кривых
этого семейства, соответствующая
До
значению параметра --------—=0.4,
СрТо1
Рис. 1.9 Адиабата Гюгонио для течения с
подводом тепла
приведена на рисунке 1.9. Если газ
совершенный, с постоянными удель-
ными теплоемкостями, то кривые Гюгонио являются гиперболами с общими
Pl у-1 Р у-1 ,,
асимптотами — =----- и —----------. Участки кривых с отрицательными зна-
Р У + 1 Pi У + 1
чениями давления на рисунке не представлены, так как они не имеют физическо-
го смысла. Не имеет физического смысла и участок адиабаты, расположенной
между точками А и В пересечения прямых — = 1 и — -1 с кривой Гюгонио
Pl Р
т.к. на этом участке не выполняются соотношения Рэлея-Михельсона
—^- = щ2>0. Таким образом кривые Гюгонио распадаются на две части:
Pl Р
сверхзвуковую I мг > 1, — > 11 и дозвуковую Мх < 1, — < 1 , которые лежат
I Pi ) I Pi )
левее точки А и правее точки В. В первом случае говорят о сверхзвуковом
фронте реакции - сверхзвуковое горение, и во втором — дозвуковом фронте реак-
ции - дозвуковое горение. В сверхзвукн-вом фронте реакции давление и плотность
всегда возрастают, а скорость уменьшается. Наоборот, при дозвуковом течении,
т.е. при дозвуковом горении, давление и плотность всегда уменьшаются, а ско-
рость возрастает. Это согласуется и с выводом, полученным на основе анализа
уравнения обращения воздействий.
Проведем теперь из точки О с координатами = 1 и — = 1 прямые Рэлея-
Р1 Р
Михельсона для случая сверхзвукового горения и дозвукового горения. Наклоны
этих прямых определяют величиной удельного расхода /и2 и могут быть разны-
ми для различных условий перед скачком. Прямая Рэлея имеет два предельных
положения, при которых она является касательной к кривой Гюгонио (точки С и
57
D). Эти точки называют по имени основателей теории детонации верхней и
нижней точками Чепмена-Жуге. Изменение состояния в точках С и D идентич-
но критическому подводу тепла и характеризуется гем, что скорость за фронтом
горения равна местной скорости звука. Точками Чепмена-Жуге сверхзвуковая и
дозвуковая ветви делятся на две части. Область I - выше верхней точки Чепмена-
Жуге, является областью сверхсжатой детонации, и в этом случае за фронтом го-
рения скорость газа становится дозвуковой Это область горения, индуцированно-
го скачком, т.е. область детонации. При детонации имеет место повышение тем-
пературы, вызванное сжатием в скачке уплотнения, распространяющимся в го-
рючей смеси газов. Эго повышение температуры приводит к воспламенению и
горению смеси. Выделение тепла при горении приводит к дальнейшему повыше-
нию температуры. При этом теплота, выделяющаяся при горении, подводится к
дозвуковому потоку за ударной волной. В соответствии с уравнениями обраще-
ния воздействий это приводит к ускорению потока, и для условий, соответст-
вующих верхней точке Чепмена-Жуге (эти условия определяются соответствую-
р .
щими значениями — и-------—), поток ускоряется до звуковой скорости
Р1 СрТо\
Табл и ца 1.2.
Области на кривой Гюгонио для течений с подводом тепла
Подвод- тепла Область (точки) знак в() Обозначе- ние Измене- ние дав- ления и плотно- сти Изме- нение скоро- сти Число М за фрон- том Примечание
Сверх- звуковой М|>1 I + Сильное сверхзву- ковое решение Р2>Р1 P2>Pl + U,<U| М<1 Скачок детона- ции
D Верхняя точка Чепмена- Жуге М=Л Нормальное детонационное горение
п Слабое сверхзву- ковое ре- шение М>1 Безударный подвод тепла. Сверхзвуковое горение, скачек конденсации
Дозвуко- вой М,<1 ill + Слабое дозвуковое решение М<1 Безударный подвод тепла. Нормальное горение
С Нижняя точка Чепмена- Жуге
М=\
IV Сильное дозвуковое решение М>\ Подвод тепла - со скачком раз- режения
В области II (участок кривой Гюгонио AD) скопоетк ™
сверхзвуковая. Эту область иногда называют областью нед^жатоГд^нащи
Здесь имеет место безударный подвод тепла к свепх™™™ Детонации,
сверхзвуковое горение Это может быть „ скачок ко^енсац^;™^™;
58
Исключая из этого соотношения М2, будем им
f IzImMs I
Ро2 - 1 -------------“7
А,.' * + л« 1 + ^iMx2
- &Q
гдеА9 = сл'
Из полученного соотношения вытекают следу- .щие следствия. Потери полно-
го давления раст.т вместе с Aff . Поэтому для уменьшения потерь следует доби-
ваться по возможности максимального торможения потока перед входом в канал.
При Мх = 0 можно подвести тепло без потерь полного давления.
1.3.4 Газодинамические комплексы. Течения с подводом массы
Различные виды воздействия приводят в зависимости от вида воздействия к
изменению газодинамических комплексов, определяющих секундный расход
2
массы, количества движения и энергии единицы массы газа — ри, р + ри ,
и2
13 — соответственно. Параметры газа затем определяются, исходя из новых
значений газодинамических комплексов. Поэтому представляется удобным вос-
пользоваться общими соотношениями для соответствующих газодинамических
комплексов, которые запишем в виде
ри = Аъ (1.97)
Р + ри2 = А2,
(1.98)
(1.99)
где Д - газодинамические комплексы кото™..
ские параметры та в „сходном состоянии Гв ₽“а,°ТСЯ чери ™oW«aM"4'-
мые или множители, выражающие пазимая, КЛЮчак>т в общем случае слагае-
Р чные виды воздействия.
60
делается тепло. На нижней границе области II, в точке А, скорость вытекания
растет безгранично. Для обозначения областей I и II используются термины
"сильное" и "с .абое" сверхзвуковые решения.
В дозвуковой ветви кривой Гюгонио представляет интерес только область
III - слабое дозвуковое решение. Скорость за фронтом реакции меньше местной
скорости звука. Большинство процессов горения, если их можно представить в
виде фронта, протекают в окрестности точки В, т. е. вблизи горения с постоян-
ным давлением.
В области IV (участок ниже точки С) - сильное дозвуковое решение, во
фронте реакции газ ускоряется до сверхзвуковой скорости, т.е. это решение фи-
лчески не реализуется.
В таблице 1.2 представлены различные виды фронтов реакции, их свойства и
связанные с ними области на кривой Гюгонио [10].
Течение при постоянном давлении. В заключение рассмотрим течение в ка-
нале, форма которого такая, что течение происходит при постоянном давлении.
Это течение представляет интерес в связи с тем, что для него отсутствуют огра-
ничения на количество подводимого тепла. Из уравнения количества движения
pudu + dp-О получаем, что скорость течения вдоль канала тоже постоянна
Подвод тепла приводит к увеличению температуры газа и, следовательно, к
уменьшению его плотности Для проведения количественных оценок рассмотрим
два сечения: сечение 1 — на входе в канал, сечение 2 - на выходе. Тогда в соответ-
ствии со сказанным выше можно записать р2 - рг и и2 = иг. Из уравнения энер-
2 2
гии, записанного для единицы массы газа, СрТ2 + = СрТг + ~ + &q, с учетом
равенства скоростей в сечениях 1 и 2 получим:
Т2=Т1+Лд/Ср.
Используя уравнение состояния и выражение для скорости звука а = ^jyRT
запишем выражения для плотности и числа Маха:
1 1
ро — pi---------; Л/р — Л/| —• —.
"Ч + Дд/С^ 2 ‘Д + Дд/^Т,
Тогда исходя из уравнения сохранения массы = p2u2F2 > получим соот-
ношение для определения изменения площади поперечного сечения канала
5. = 1+Дд/С„Г1.
Используя формулы изоэнтропического течения, связывающие давление тор-
можения со статическим давлением, получим уравнение для определения измене-
ния полного давления в зависимости оз количества подводимого тепла.
59
Решение этого уравнения запишем в виде.
_Ц__ Y^-±JD ,
Ui Y +1 Aui
(1.106)
n f Y As oY-1 A3
где Z) =------— -2-—T 2‘
VY + lWiAj Y + 1«i
Используя в качестве А их выражения через параметры газа в некотором на-
чальном состоянии и величины, выражающие различные виды воздействий (под-
вод массы, тепла, импульса и др ), соотношение (1.106) можно рассматривать как
общую зависимость для — — отношения скоростей газа в начальном и конечном
“1
состояниях. Так, используя (1.100), из (1.106) можно получить формулу (1.52) для
соотношения скоростей до и после скачка уплотнения. Используя (1.102), после
очевидных преобразований получаем соотношение (1.87), учитывающее влияние
подвода тепла.
Вернемся к рассмотрению течения с подводом массы. Подставляя в (1.106)
выражения для комплексов из (1 103), после очевидных преобразований получим
Y А2 1 1 1
Y + IujA 21+ДС^
1
А'
Подставляя эти соотношения в (1.106), можно записать
Из этого соотношения следует ограничение на величину подвода массы, свя-
занное с тем, что подкоренное выражение должно быть больше нуля Это выра-
жение можно переписать в виде
приток массы
Из этого следует, что относительный
следующему соотношению:
должен удовлетворять
(1.108)
Физический смысл ограничений при вдуве
запиранием. Д~“--------
21 + ДСгтах
. газа
Действительно, из (1.Ю7) При
или с учетом (1.108) Х = 1.
в поток связан со звуковым
AG = ДСтах получаем
При этом учитывается, что
62
В частности, при изучении прямого скачка уплотнения в 1.2.1 для вектора А ,
компонентами которого являются газодинамические комплексы At в (1.42),
(1.43), (1-44) используются соотношения
2 . и1
A = jp1U1, h+ —
(1.100)
При учете подвода тепла в соответствии с (1.84) трешй комплекс А3 записы-
вается в виде
и,
Лз = й +-^+а<7-
(1 102)
В настоящем разделе будем рассматривать влияние подвода массы на пара-
метры потока. Считая, что дополнительная масса AG подводится с нулевым им-
пульсом, и энергия единицы массы газа нс изменяется, для вектора газодинамиче-
ских комплексов, можно записать
A^JpxUifl + AG), Pi+Piuf,
(1.103)
где AG = AG/pjUj - относительная дополнительная масса.
Другие виды воздействия, например, рассмотренные в последующих двух па-
раграфах, могут приводить к дополнительным слагаемым или множителям в не-
скольких комплексах. Во всех случаях решение задачи определения газодинами-
ческих параметров потока после того или иного воздействия может быть сведено
к решению системы уравнений типа (1.97) - (1.99). Эту систему уравнений необ-
ходимо дополнить уравнением состояния.
С целью иллюстрации принципиальных аспектов решения полученной таким
образом системы уравнений воспользуемся уравнением состояния для совершен-
ного газа (1.6). Умножив это уравнение на и и учитывая (1.97), получим
—— ри — A,i.
у-1
(1.104)
Уравнение (1.98) перепишем в виде
р = А2 - Apt.
Исключая из (1.104) при помощи этого соотношения и соотношения (1.84) р
и i, после очевидных преобразований получим квадратное уравнение относи-
и
тельно —
ui
)2
2Y А2 “ , oY-l Аз 0
Y +1 их Аг их Y +1 uf
(1 105)
61
и температура частиц, к относительная мае-
килограмме газа, Ся — удельная теплоемкость
где ия и Та начальные скорость
са частиц, равная массе частиц в
материала частиц.
Уравнения (1.109) аналогичны уравнениям типа (1.42) - (1.43) и (] 971
(1.99), дополненным слагаемыми, отражающими изменение количества движения
и )нер!ии газа при взаимодействии его с частицами. При этом принято, что масс
1аза не изменяется, а изменения количества движения и энергии газа, связанны
со взаимодействием газа и частиц, учитываются слагаемыми с множителем к
Перегруппируем слагаемые во втором и третьем уравнениях
р + А1(1 + к)и = А2,
(1 ПО)
1 + К 2 л
—и =А3.
2 1 ~
где А2 = Pi + Pittf + AjKUg, А3 — 1} +—- + K(Cs!rs + — us ), i=i + K.CsT (для
совершенного газа i =(ср + kCs)t )
Уравнение состояния для совершенного газа можно переписать в виде
р = pRT = pRi,
где R = — —. Так как R = Ср - Cv, то може<| записать
+ KCS
Ср+кС8
Ч Cv + kCs С УЧеТОМ ЭТого уравнение состояния можем записать в виде,
аналогичном (1.6)
Умножив это уравнение на и, придем к уравнению, аналогичному (1.10^)»
исключив из которого I и р при помощи уравнений (1.110), получим квадрат
ное уравнение, аналогичное (1.105)
+ +2tl^- = 0.
y + lu1A1u1 y + luf
Решение этого уравнения запишем в виде:
64
при подводе массы без изменения удельной полной энтальпии критическая ско-
рость звука не изменяется,
Следует отметить, что при Хх =1 из (1.108) следует, что -1<ДСг<0. Это
значит, что из звукового потока массу .можно только отвести. При этом макси-
мальное количество массы которое можно отвести от потока, равно всей массе в
потоке (AG = -1).
1.3.5 Ускорение твердых частиц потоком газа
Многие технотогичсские устройства имеют узлы ввода твердых или жидких
частиц в газовый поток. В этом случае перед узлом ввода параметры газа счита-
ются известными, и возникает необходимость определения параметров газа и час-
тиц (скорости, температуры, давления) вниз по потоку от узла ввода. Для реше-
ния этой задачи могут быть использованы квазиодномерные дифференциальные
уравнения двухфазного потока. Задача такого типа рассмотрена в §7.2.1, 7.3.2.
Однако, если рассматривать достаточно мелкие частицы и не учитывать тормо-
жение частиц при их столкновениях с поверхностью канала, то задача может быть
существенно упрощена. Это упрощение основано на том, что на некотором не-
большом по сравнению с длиной канала расстоянии скорость и температура газа
и частиц сравняются. Длина участка, на котором выравниваются параметры газа и
частиц, называется длиной зоны релаксации. Смесь, в которой скорости и темпе-
ратуры газа и частиц совпадают, называют гомогенной смесью. Свойства гомо-
генной двухфазной среды и оценки длины зоны релаксации приведены в §7.2.4.
На участке выравнивания параметров газа и частиц можно также пренебречь по-
терями на трение и теплообмен газа to стенками канала по сравнению с потерями
импульса и энергии, связанными со взаимодействием газа и частиц. При перечис-
ленных допущениях можно, используя балансовые соотношения для расхода, ко-
личества движения и температуры газа, получить конечные соотношения для
оценки параметров двухфазной гомогенной среды в конце зоны релаксации.
Воспотьзуемся уравнениями, определяющими изменение массы, количества
движения и энергии для несущего газа на участке канала, ограниченного сече-
ниями 1 и 2. В сечении 1 будем считать давление, плотность, скорость и темпера-
туру газа заданными и равными рх,рх,их и Тх. Соответствующие параметры в
сечении 2 будем писать без индекса. Потерями на трение и теплоотвод на участке
канала между сечениями 1 и 2 пренебрегаем и будем считать, что площадь попе-
речного сечения в этих сечениях одна и та же Тогда уравнения сохранения мас-
сы, импульса, энергии для газовой фазы можно записать в виде
ри = Р|М| = Дх ,
р + ри2 = рх + рхих2 - Дхк(и-ив), (1109)
гХ = 11+^2. -^-uf)-xC,(T-T,).
2 2 2' ’ v
63
'вязанная с ускорением частиц, приводит к ее
бога дозвукового .азового потока св^^н параметров это может приводить к
увеличению. При определенном гомогенного течения при увеличении мас-
немоногонному изменению скорое ниями 2, 3, 4, соответствующими
совой доли частиц, чзо иллюстрируется
Тй /Ti -0.4, 0.6, 0.8. ~ возрастании к на рисунках 1.10 и 1.11 связан
Замезим, что обрыв линии р образом, приведенные рисунки косвенно
со звуковым запиранием те - МатеМатически условия запирания определя-
К = К^ °б~
в ноль. При к>кпред решение не существует для заданных и Т^При
к = кпред скорость течения в сечении 2 будет равна местной эффективной скоро-
сти звука в гомогенной смеси газа и частиц. При такой концентрации частиц про-
исходит звуковое запирание течения. Канал не может пропустить заданный рас-
ход газа. Чтобы газ мог перенести больше частиц, необходимо уменьшать расход
^2 п
либо увеличивать давление, что приводит к увеличению отношения Под-
робнее этот вопрос обсуждается в §7.3.2.
1.3.6 Ускорение потоком газа испаряющихся частиц
При вводе жидких частиц в газовый поток наряду с их ускорением и нагревом
имеет место испарение. Предстхв.иет интерес оценить влияние испарения на па-
раметры гомогенной паро- газо- капельной смеси за узлом ввода частиц. При
проведении этих оценок ограничимся условиями равновесного испарения, считая,
что парциальное давление пара равно давлению насыщения при температуре го-
могенной смеси. Более общая постанов задачи о течении газа с частицами при
наличии фазовых переходов рассматривается в §5.3.
В случае ускорения газовым потоком испаряющихся частиц дополнительно к
обмену импульсом и энергией между газом и частицами имеет место обмен мас-
сой. Вследствие испарения частиц в газовую фазу вдуваются их пары и в сечении
2 газ является смесью из двух компонент - воздуха и пара.
Наличие испарения приводит к необходимости дополнить уравнение (1.109)
испяпТ ир и’связанными со вДУвом пара в газовую фазу и затратами энергии на
испарение. С учетом этого уравнения, отражающие баланс массы, количества
движения и энергии единицы массы газа, записываются в виде
P^ = (1 + kJP1u1,
P + P^(l + Kp)u = p1+P1U2_(K_KJpiU
I+T=tl+-f ~к(ч “4)-|(u2-z
.де -энтальпия материала частиц при их Начальной
ту**гомогенногопо,ока’массы частнцкмассе подаваемого газа-
(1 112)
66
^-±4d
UX 1 + K^y + lAjU!
где D =
Y + l u£
При к = 0 из этого соотношения можно получить формуту (I 52) для соот-
ношения скоростей до и после скачка уплотнения. В случае дозвукового течения
перед корнем берется знак минус, а для сверхзвукового - знак плюс.
Анализ уравнения (1-111) показывает, что ввод частиц приводит к ускорению
дозвукового потока и к замедлению сверхзву-
кового потока. Это подтверждается рисунком
1.10. На этом рисунке показано влияние массо-
вой доли частиц и скорости газа перед узлом
ввода частиц на скорость сформировавшегося
гомогенного потока. Линии 1, 2, 3, 4, 5, 6 отно-
сятся к Xj =0.2, 0.3, 0.4, 2.1, 2.2, 2.3 соответст-
венно, где Х-1 - коэффициент скорости для те-
чения газа перед вводом частиц. При расчетах
полагалось, что скорость вводимых в поток час-
тиц равна нул*о, температура частиц равна тем-
пературе газа. Поскольку при ускорении частиц
газ совершает работу, то увеличение скорости
0,0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 К
Рис 1.10 Влияние массовой доли
частиц и начальной скорости
газа на скорость гомогенного
потока
газа после ввода частиц согласуется с уравнением обращения воздействия, рас-
смотренным в §1.3.1. Влияние температуры частиц на скорость гомогенного по-
тока иллюстрируется рисунком 1.11. На этом рисунке показано влияние массовой
доли частиц на скорость сформировавшегося гомогенного потока при разных от-
Рис 1 11 Влияние массовой
доли и температуры частиц на
скорость гомогенного потока
(Xj =0.3)
носительных температурах частиц. Линии 1, 2, 3,
Т
4, 5, 6, 7 относятся к — = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0,
71
1.2, 1.4 соответственно при Xi=0.3 и отношении
удельных теплоемкостей частиц и газа
Са/Ср=1. Ввод относительно горячих частиц
Т
(^->1) инициирует подвод тепла к газу, что
приводит к ускорению дозвукового потока. При
Т
вводе относительно холодных часгиц ( —<1)
тепло от частиц отводится, что вызывает умень-
шение скорости гомогенного потока. В связи с этим при вводе холодных частиц в
дозвуковой поток звуковое запирание течения происходи! при большей массовой
доле частиц, что приводит к увеличению его пропускной способности. Приведен-
ный пример интересен также тем, что при ускорении газом относительно холод-
ных частиц имеет место одновременное влияние на параметры газа двух воздей-
ствий: отвод тепла от газа к частицам приводит к снижению скорости газа, а ра-
65
™ смеси и заданном кр парциальная плотность пара
При найденной плотности см
может быть найдена исходя из соотношения р = р« + Р,
откуда
л КР с яоугой стороны, исходя из уравнения состояния для на-
следует р р = Р к~ • с другой с 1 р
Ра. имеем Рр = В соотношении Рр - давление насыщения -
определяется по найденной температуре Т на уравнения Клапейрона-Клазиуса
[35], из которою после определенных допущений можно получить конечное со-
отношение (подробно это рассмотрено в §5.32)
pp(T) = p*exi
где р* ,Т* — опорные значения давления и температуры, тпр молярная масса
пара.
Таким образом, кр необходимо по-
добрать так, чтобы выполнялось соотно-
шение
Р-
Рис. 1.12 Влияние испарения частиц
на скорость гомогенного потока (1-
Xj =0.2, 2 =0.6, ---------с
испарением,--------без испарения)
Следует иметь в виду, что в этом
уравнении р и Т, определяемые соотно-
шениями (1.114), являются функциями
кр. Эффективным методом расчета кр с
использованием приведенных соотноше-
ний является метод хорд или метод деле-
ния промежутка пополам - метод скани-
рования [72].
В качестве примера, иллюстрирующего влияние испарения на параметры го-
могенного потока за узлом ввода, рассмотрим ввод воды в поток воздуха при
температуре воздуха 1000 К, температуре воды 300 К, теплота испарения
г =2257 кДж/кг, -^- = 4.
Ср
Влияние испарения на скорость гомогенною потока иллюстрируется рисун-
ком 1.12. На этом рисунке пунктиром показано изменение относительной скоро-
сти при увеличении массовой доли волы к п™, - ишисительнии скир
сплошной линией-с учетом „спарен™ Поскол ькт “
газа тепло „дег и на наюел ноды/н „а ее не„а~„^ K"“pe"™ °WMOe °J
интенсивности отвода тепла и, как следствие к бпп’ ПРИВ°ДИТ к повышени!
рости Более заметное по сравнению с неис’паряюшимеЗК°МУ Уменьшени,° СКО‘
'’^испаряющимися каплями увеличение
68
массовая доля частиц, кр = кяк - отношение массы пара к массе подаваемого
газа, ks - массовая доля материала испарившихся частиц.
В свою очередь разность энтальпий iSs~iSl может быть представлена в виде
’СДт-т,,)+к.г,
где г - геплота фазового перехода. Физически это означает, что теплосодержа-
ние частиц изменяется на величину теплоты, необходимой для их подогрева до
температуры гомогенного потока, и на количество тепла, затраченного на испаре-
ние Это тепло отбирается от несущего газа, что приводит к его более интенсив-
ному охлаждению. Перегруппировав слагаемые в уравнениях (1.112), перепишем
их в виде(1.110)
Ри = А,
р + р1и1(1 + кр)+ А2, (1 113)
где Ал =(1 + кр)р1и1, A =P1+Pxuf+(k-k₽)P1u1uSiJ
A3=h + ^T + f t=(cp +кСзк-
В качестве условия, позволяющего определить массу пара в гомогенном пото-
ке в сечении 2, используется условие фазового равновесия. Система уравнений
(1.113), дополненная уравнением состояния для смеси и уравнением Клапейрона-
Клазиуса вместе с уравнением состояния для пара, позволяет определить неиз-
вестные параметры р,р,и,Т,кр.
При заданном кр, уравнения (1.113) решаются аналогично уравнениям
(1.110). В результате получим
— - 1 f V А +
и1 (i + ^P^Y + lpjuf-
Р = А~Р1и1(1 + к),
i-A (1 + к)„2
р_ (1 + Кр)р1и1
Т = Т/(с’р+кСя),
(I Н4)
гдер = 1-1-2к DJ_LAJ _2izl(l + K)(l + KJp#
У + 1 р <7 + 1 р^ J у + Г Л 'Пи*
67
За ~ ~
масса газа ^Р«. Тогда работа сил трения, отнесенная к единице массы газа
4
будет
_ unDt^dx =
dLmp—^2 р D
-гри
«.„рпгякя т можно воспользоваться следующей
В едою очередь, для определения
формулой:
где Е - коэффициент гидравлического сопротивления. Аппроксимационные соот-
ношения для коэффициента гидравлического сопротивления будут рассмотрены в
§7.2.2. Окончательно для dLmp получим:
Подставляя это в уравнение обращенного воздействия, получим:
/n,2 M2.dx
{М
Так как температура торможения, а значит и критическая скорость звука, не
изменяется вдоль трубы, то
du _ d"K
и X,
В свою очередь число Маха и коэффициент скорости связаны соотношением
(1.27). С учетом этого получим:
Л J х У + Р D '
(1.П5)
Будем считать, что Е = const и D - cr.nct п „г
ь п и - const. В общем случае зависит от ло-
кальных параметров течения и меняется с „
с , г и меняется вдоль трубы. В этом случае в качестве
— const МОЖНО ВЗЯТЬ его СреднеинТегпапии Т-
р д еинтегральное по длине трубы значение. Топа
ИНТС, Р"₽УЯ Уравнение <> 115> ™ т от 0 до л (от сечения ! до сечения 2), получим:
Л1 ^2 Х.2 y + l^Z)
70
скорости газо- паро- капельного гомогенного потока при относительно больших
к связано со подводом пара в газовую фазу. Влияние испарения на температуру
гомогенной смеси иллюстрируется рисунком 1.13. Видно, чю испарение приво-
дит к более резкому уменьшению температуры газа по сравнению с температурой
газа с неиспаряющимися частицами. Относительные массы испарившейся воды
ks и доли пара в газовом потоке кр иллюстрируются рисунком 1.14. Видно, что
при к = 0,2 вся введенная вода испарипась, т.к. ks =1. При увеличении массо-
вой доли подаваемой воды к доля испарившейся воды убывает, что связано с
тем, что большая часть тепла, отдаваемого газом, затрачивается на нагрев воды до
температуры испарения.
Рис. 1.13 Влияние испарения на
температуру гомогенного потока
(1 - без испарения, 2-е испаре-
нием)
Рис. 1.14 Зависимость доли испа-
рившихся частиц к8 и массовой
доли вдуваемого в поток пара кр
от массовой доли частиц
1.3.7 Адиабатическое течение газа с трением
Рассмотрим течение вязкого газа через цилиндрическую трубу постоянного
сечения (dF = 0) без теплоподвода (dgw=O) и без совершения механической
работы (dL = О) [1]. Тогда из уравнения обращения воздействий (1.77) получим
соотношения, связывающие изменение скорости вдоль трубы с работой сил
трения
Существенно, что трение является односторонним воздействием: работа сил
трения всегда положительна (dLmp >0). Поэтому под влиянием сил трения доз-
вуковой поток (Л/< 1) ускоряется, а сверхзвуковой поток замедляется. Непрерыв-
ный переход через скорость звука при воздействии только трения невозможен.
Так как течение газа энергетически изолировано, температура торможения не ме-
няется.
Получим выражение для определения работы сил трения. Рассмотрим трубу
диаметра D. Пусть tw - локальная сила трения, отнесенная к единице площади на
участке трубы dx (х — расстояние вдоль трубы). Тогда работа силы трения
dPmp ~ nD тwdx, совершаемая в единицу времени, определится формулой
69
J_l_'|-<p(Z2)=z-Z„- <1118)
( ^-2 ск )
При этом следует положить Z2 =1. Система уравнений (1.116) - (1.118) по-
зволяет определить приведенное расстояние от входного сечения до скачка при
заданных коэффициенте скорости во входном сечении j и приведенной длине
трубы %.
Истечение из емкости через трубу. Рассмотрим истечение газа из емкости, в
которой имеется покоящийся газ с параметрами торможения ро и То, через тру-
бу постоянного сечения в окружающее пространство, в котором задано давление
ра. Расход газа из емкое ги определяется отношением давления в окружающем
пространстве к давлению в емкости. Расчетные формулы для определения расхо-
да при до- и сверх критических режимах истечения без учета сопротивления тре-
ния трубы представлены в 1.1.3. Эти формулы могут быть использованы при рас-
чете истечения из емкости через относительно короткие трубопроводы, когда
влиянием трения можно пренебречь. Однако, многие технологические процессы
связаны с истечением газа через достаточно длинные трубопроводы, сопротивле-
ние трения которых оказывает существенное влияние на расход газа. Ниже полу-
чены соотношения, которые дают возможность учесть влияние трения.
Скорости газа на входе и выходе из грубы определяются коэффициентами
скорости и Х2, которые связаны уравнением (1.116). Считая процесс истече-
ния из емкости изэнтропическим, давление p-у во входном сечении трубы можно
определить соотношением рг = /’ол(Х.1).
Используя уравнение сохранения массы p1u1 = p2w2> уравнение состояния и
принимая во внимание, что критическая скорость звука вдоль трубы не меняется,
можем запш жгь:
Ц1 = = Р2 = Р2_ = р2
“2 ^2 Pl Pl Т2 рх т(Л,2)’
Из этих соотношений следует:
(1.Н9)
При докритическом истечении имеем - п „
/] 11Ач Р2~Ра, и система двух уравнении
(1.113) и (1.116) позволяет определить и Х2 .
При сверхкритическом истечении Х9=1 тогпя ,
2 , огда л.* находится из уравнения
^1) = Х + 1, (1.120)
р2
а — находим из уравнения
Ро
72
Введя обозначения % = Е,— и ф(Х) = Д- + 2InX, это соотношение можно
Y +1 D К
переписать в виде
ф(Хх)-ф(Х2) = Х-
(1.116)
Величина х называется приведенной длиной трубы.
Функция ф(Х) имеет при Х = 1 минимум ф(1) = 1, поэтому при заданном Хх
величина разности в левой части уравнения (1 116) не может быть больше неко-
торой критической величины
ХЛр = ф(Ь1)-1-
Так как уравнение (1.116) справедливо для любого участка трубы, то из него
следует, что скорость, равная скорости звука, может быть достигнута только в
выходном сечении трубы. Действительно, если X = 1 в каком-нибудь промежу-
точном сечении, то из уравнения (1.116), записанного для последующего сечения,
принимая Хх = 1, получим ф(Х2) = 1 - х < 1, что противоречит условию ф(х) > 1.
При дозвуковом течении на входе возможны следующие режимы.
Докритиче.кий режим: х < X кР> тогда Х2 < 1, но Х2 > Хх.
Критический режим: X = X кР, тогда Х2 -1.
Сверхкритический режим: X > ХкР, тогда при заданном Хг решения не суще-
ствует. В этом случае считаем, что Х2 =1 и из (1.116) находим Хх, при котором
устанавливается критический режим течения.
При сверхзвуковом течении на входе в трубу, когда Хх > 1, скорость течения
будет убывать в соответствии с (1.116). Зная х , можем найти Х2 < Хх. При неко-
тором значении х = X кР получим Х2 = 1. Если х < X кР, то Х2 > 1. Если х > X кР,
то непрерывное течение не реализуется. В этом случае внутри трубы во шикает
прямой скачок уплотнения, в котором сверхзвуковое течение переходит в дозву-
ковое. Датее вследствие влияния сил трения это дозвуковое течение за скачком
уплотнения ускоряется. Приведенная длина Хек > задающая расстояние от прямо-
го скачка до входного сечения трубы определяется из условия, что в выходном
сечении трубы скорость потока равна критической скорости звука. Коэффициент
скорости Х2ск, перед скачком и приведенное расстояние до скачка у^ск связаны
уравнением:
ф(*-1)-ф(Чк)=Хск. (1-117)
В соответствии с соотношениями прямо! о скачка уплотнения для определения
коэффициента скорости за скачком имеем X,,,,, = —— - . Учитывая эти, запишем
^2 ск
уравнение (1.116) для участка трубы, ограниченною скачком и выходным сече-
нием:
71
Глава 2
МЛТГМАТИЧР-СКАЯ ФОРМУЛИРОВКЛ ЗАДАЧ
газовой динамики
ПРИ „ —
™"°^к и ХаХ' ™Хго » «плевого взаимодействия газа с ограничиваю-
ства, так и парами р «„„«прпеиия этих параметров являются диф-
П1ИМИ поверхностями. Основой для определения * г г т
ференциальные уравнения, являющиеся следствием законов сохранения массы и
энергии и теоремы об изменении количества движения. Выводу и анализу этих
уравнений уделяется достаточно большое внимание в каждом курсе механики
жидкости и газа [1, 8, 51а, 516, 86, 100, 184 и др.]. Наиболее универсальным явля-
ется использование записи законов сохранения для произвольного объема в инте-
гральной форме с последующим переходом к дифференциальным уравнениям в
частных производных на основании предельного перехода при стремлении выде-
ленного объему к нулю. Использование основных соотношений векторного и тен-
зорного анализа позволяет получить уравнения, записанные в инвариантной, не
зависящей от системы координат, тензорной форме [78, 148, 184, 187]. Для более
наглядной иллюстрации физического смысла этих уравнений воспользуемся ме-
тодом контрольного объема. Этот метод основан ни записи законов сохранения
при протекании газа через грани выделенного элементарного объема в виде ко-
нечных балансовых соотношений. Этот же прием может быть использован и не-
посредственно для получения уравнений описывающих термодинамическое со-
стояние газа в емкости с конечным объемом, когда изменением параметров в пре-
делах емкости можно не учитывать. Задачи такого рода рассматриваются в главе
9. Выбор той или иной системы координат отражается на определении площадей
граней выделенного объема и поверхностны* и массовых сил, действующих на
газ. Применение такого подхода требует предельного внимания и определенной
осторожности, так как имеется опасность не учесть некоторые важные аспекты
течения. В частности это связано с необходимостью явного выделения центро-
бежных и кориолисовых инерциальных сил при использовании для описания
движения криволинейных координат. Проблемы, связанные с решением уравне-
нии газовой динамики, обсуждаются в главе 4. В настоящей главе на базе этих
уравнении проводится общий анализ течений вязкого газа, основанный на поло-
жениях теории размерности и подобия. Дается краткая информация о гидродина-
мических режимах течения и элементарные, необходимые для понимания суще-
ства вопроса, описания особенностей турбулентны* ‘ понимания сущ
с высокотемпературными течениями многокомпонентныВ°Пр0СЫ’ связаННЬ
вследствие их специфичности для механики газа и особо * реагирующих смесеи’
гических приложений, рассмотрены в следующей главе6 ВаЖНОСТИ ДЛЯ техНОЛО'
В общем случае движение газа в технологии С
ционарным и пространственным. Параметры газ СКИХ аппаратах является неста-
странственных координат. Однако kohctow & Зависят от времени и трех про-
РУ ции многих аппаратов таковы, что
74
Введя обозначена» х = и ф(х) = ~ + 21пХ это соотношение можно
Y +1 D X2
переписать в виде
ф(Х1)-ф(Х2) = Х-
(1.116)
Величина х называется приведенной длиной трубы.
Фун ия ф(Х) имеет при Х-1 минимум ф(1) = 1, поэтому при заданном Xi
величина ратиости в левой части уравнения (1.116) не может быть больше неко-
торой критической величины
ХлР = ф(^1)-1-
Так как уравнение (1.116) справедливо для любого участка трубы, то из него
следует, что скорость, равная скорости звука, может быть достигнута только в
выходном сечении трубы. Действительно, если X = 1 в каком-нибудь промежу-
точном сечении, то из уравнения (1.116), записанного для последующего сечения,
принимая Xj = 1, получим ф(Х2) = 1 - х < 1, что противоречит условию ф(х) > 1.
При дозвуковом течении на входе возможны следующие режимы.
Докритический режим: х < X кР, тогда Х2 < 1, но Х2 > Хх.
Кри гический режим: х = X кр, тогда Х2 = 1.
Сверхкритический режим: х > X кР, тогда при заданном Хх решения не суще-
ствует. В этом случае считаем, что Х2 =1 и из (1.116) находим Х1з при котором
устанавливается критический режим течения.
При сверхзвуковом течении на входе в трубу, когда Хх > 1, скорость течения
будет убывать в соответствии с (1.116). Зная х, можем найти Х2 < Хх . При неко-
тором значении х = X кР получим Х2 = 1. Если х < X кР, то Х2 > 1. Если х > X кР,
то непрерывное течение не реализуется. В этом случае внутри трубы возникает
прямой скачок уплотнения, в котором сверхзвуковое течение переходит в дозву-
ковое. Далее вследствие влияния сил трения это дозвуковое течение за скачком
уплотнения ускоряется. Приведенная длина %Ск > задающая расстояние от прямо-
го скачка до входного сечения трубы, определяется из условия, что в выходном
сечении трубы скорость потока равна критической скорости звука. Коэффициент
скорости Х2ск, перед скачком и приведенное расстояние до скачка хс,с связаны
уравнением:
ф(А-1)-ф(ЧК)=Хс«. (1 117)
В соответствии с соотношениями прямого скачка уплотнения для определения
коэффициента скорости за скачком имеем Хх ск = 1 . Учигывая это, запишем
^2 ск
уравнение (1.116) для участка трубы, ограниченного скачком и выходным сече-
нием:
71
(2 1)
„„„ Лх стремящихся к нулю
ме Дт = -Др. после перехода к
получим дифференциальное уравнение нер .
dt дх Sy
„ (r системы координат площади соответствую-
В случае выбора полярной ( , / объем, определяются соотношения-
щих граней, oi раничивающих элемеНтар координат (z,r) площади соответ-
XX—- «»
балансовое соотношение для массы газа и переходя к рд у
д" дг, Д/, стремящихся к нулю, уравнение неразрывности получим в виде:
полярные координаты
grp drpVr t gp^o _ r7^ ,
gt + dr g6
цилиндрические координаты
grp + grpV2 + SrpK = rrh
dt dz Sr
(2 1')
2.1.2 Уравнения изменения количества движения
Для вывода уравнений изменения количества движения вязкого газа запишем
уравнение, выражающее закон изменения количества движения для элементарно-
го объема. На границах этого объема действуют поверхностные силы: нормаль-
ные Р и касательные т напряжения (рис.2.1). Для обозначения направлений дей-
ствия напряжений, действующих на каждой грани элементарного объема, исполь-
зуются двойные индексы. Первый индекс обозначает координатную ось, к кото-
рой перпендикулярна рассматриваемая грань, второй индекс указывает, на какое
координатное направление проектируется это напряжение. Например, Рхх явля-
ется нормальным напряжением, действующим на площадку, перпендикулярную к
оси Ох, а тху - касательное напряжение, действующее на эту площадку. Растя-
швающее нормальное напряжение считается положительным, а сжимающее -
отрицательным. Положительное касательное напряжение тху - это напряжение,
под действием которого грань поворачивается против часовой стрелки, а тух по-
xzrx:по •исовов стретю- и“ад ю~—I
У* - Xxy •
Нормальные напряжения Pxx и P обычно ™
XX ryy ооычно Представляются как сумма гид-
ростатического давления - р и дополнит^.,
Р дополнительных напряжений пхх и тг , завися-
щих от вязкости хх УУ ’
76
Ро 4*1)
При этом отношение должно быть больше, чем .
Ро Ро
При найденном из решения системы (1.116), (1.119) (при докритическом
истечении) или уравнения (1.120) (при сверхкритическом истечении) расход мо-
жет быть определен из соотношения (1.31).
Таким образом, для определения расхода газа из емкости вначале определяет-
ся режим истечения, для чего нужно найти Xi и —— , полагая, что Х.2 =1. Если по-
Ро
лучим, что — <^-, го истечение докритическое, и Ал и Х.2 находятся из систе-
ме Ро
мыуравж о»й (1.116), (1.117).
При течении в тру с трением скорость потока по длине трубы возрастает
Однако, максимальное значение скорости (скорость на выходе) всегда остается
меньшим, чем в случае течения без трения при том же отношении — . Чем
Ро
больше приведенная длина грубы, тем меньше при заданном скорость газа
Ро
как на выходе, так и на входе. Для сохранения на входе при увеличении при-
веденной длины при заданном давлении на выходе из трубы требуется увеличить
давление в емкости. Т.е. для обеспечения заданного расхода через трубу при те-
чении с трением для каждого % необходимо обеспечить соответствующий пере-
пад давления в ресивере и на выходе из трубы. Однако, в любом случае расход
газа из емкости при истечении из трубы при заданной приведенной е трубы
X не может быть больше расхода газа при критическом течении на выходе, т.е.
при Z-2 = 1.
аг ar , avr __Ф + + (29)
р1Г+рг17+рГ^='^ & дг
2.13 Уравнение энергии для вязкого .евлонроводиого газ»
Уравнение зверпш играет определяющую роль при анализе высокотемпера-
,ур,Т,™ХХ"к„х процессов. Именно эго уравнение отражает вза„моС
и взаимовлияние динамических, диссипашвпых и тепловых пр , рые
во мно1их случаях и определяют параметры и эффективность технологического
процесса. Поэтому представляют ип герес различные формы записи уравнения
энергии, явно иллюстрирующие те или иные особенности энергообмена в газовом
потоке.
Согласно закон} сохранения энер!ии изменение полной энергии частиц газа
ДЕ равно сумме работ /ХА всех сил, приложенных к частице, и количеству теп-
ла Дф, подводимого к частице вследствие теплопроводности, диффузии и других
процессов
ДЕ-ДА + AQ.
Рассматривая по аналогии с предыдущим изменение полной энергии в выде-
ленном элементарном объеме, связанное с нестационарностью процесса и кон-
вективным переносом через грани объема, и учитывая, что полная энергия еди-
ницы массы газа равна сумме внутренней и кинетической жергий Е = е
получим:
2 ’
ДЕ-
Ixdydt
Д4 может
7же=Г ~ ~ ‘ ~ым „ „сполиуя р 2) и р б)>
ДА-
дрУ^
дх Qy
dxdydt
К выделенному элементарному об. '
всэедетвмс различных механизмов теп У М°Жет подводи^
лопроводности диАж Я Тепловая Энергия
’ ^ФФузии и др. Количесг-
80
течение газа в них можно приближенно считать зависящим от двух пространст-
венных переменных. Это позволяет рассматривать двумерные нестационарные
задачи газовой динамики. Различают плоские задачи и осесимметричные. В пло-
ских задачах параметры газа идентичны во всех плоскостях, параллельных неко-
торой заданной плоскости (скажем плоской поверхности аппарата) и зависят от
двух пространственных переменных, которые изменяются в данной плоскости
При наличии осевой симметрии параметры течения идентичны в разных мери-
диональных плоскостях и, следовательно, зависят от двух пространственных пе-
ременных - расстояния от оси симметрии и расстояния вдоль этой оси. Для про-
стоты изложения будем рассматривать двумерные течения. Переход к простран-
ственным течениям не вносит новых газодинамических аспектов и связан только
с усложнением системы уравнений и, как следствие, методов их решения.
2.1 Основные уравнения газовой динамики
2.1.1 Уравнение сохранения массы
Вывод уравнения неразрывности базируется на законе сохранения массы.
Чтобы проиллюстрировать основные особенности вывода этого уравнения, рас-
смотрим нестационарные двумерные течения с объемным выделением массы.
Выделение массы внутри объема может быть связано с конденсацией или испаре-
нием распределенных по объему жидких капель или с наличием гетерогенных
химических реакций.
Рассмотрим плоские течения
между двумя параллельными
плоскостями, распложенными на
единичном расстоянии друг от
друга. В плоскости течения вве-
дем систему декартовых коорди-
нат Оху. В газодинамическом
поле выделим элементарный объ-
ем 1 ДхДг/ с гранями а, Ъ, и с, d,
расположенными друг от друга на
расстояниях Дх и Д г/ соответст-
Дх
венно (рис.2.1). Пусть через грани Рис. 2.1. Схема, отражающая влияние сил дав-
fl и Л газ втекает в элементарный пения на выделенный объем газа
объем, а через грани end вытека-
ет Изменение массы газа в элементарном объеме за отрезок времени At - t2 -
будет равно
Дпг = ((pVx )d - (рУх )ь )дг/ At + (|рVy )с - ]а )AxAt - тпАх, Ду Д t
где тп - скорость образования массы в единицу времени, множитель 1 опущен. В
этих соотношениях и в последующих уравнениях проекции вектора скорости на
координатные направления обозначены соответствующими индексами.
Изменение массы Дт в объеме приводит к изменению плотности
Ар = (р
t+д* ~Pt)^x^y Используя условие баланса массы в элементарном объе-
75
a, dio ~JL(nxXV'x+'z*yVy
*
+±(Яю^+^)-'ах ey
_аюТ влияние вязкой диссипации и
й цЯСТИ уравие1,ия ОТР опети и СВЯЗЬ ПОЛНОЙ ЭНСрГИИ С
„ГХ™ "««“—очевилиых прео6р“
ПОЛНОЙ эн-гальпиеи, уравнен
переписать в виде
dt / А
_ \ (dqx ,
+~'(nyyvy+xyxVxПэ* дУ)
оу 4
(2.12)
xyv у.
(2.13)
течений невязкого, нетеплопроводного газа
п п« стационарных т
А” я; m полная энтальпия не изменяется вдоль
pV 5l° + pvy = 0, откуда следует, что полная эн 1<н
линиитока. ип/2/2А_сйТ + а(Г2/2),из(2.13)получимурав-
Учитывая,что di0 = dl + d(y /2)-Ср 1 ’’
нение, в которое явно входит температура
^'аГ 'гк хау а а °и
ух
д<1у
ду
(2 14)
Из этого уравнения следует, что увеличен температуры газа является ре-
зультатом перехода кинетической энергии в тепловую, работы сил, обусловлен-
ных вязкостью (вязкая диссипация), и подвода тепла.
Изменение кинетической энергии в свою очередь связано с работой гидроста-
тического давления, сил вязкости и распределенных массовых сил. Это уравнение
можно получить исходя из уравнений количества движения (2.5). Умножим пер-
вое уравнение на Vx, а второе на Vy и, сложив их, получим
dt 2 х дх pVy ду
^P_ + v
дх у дуJ
+ +т*уТ„)+
тх +Vy^Kmy,
82
(2.2)
Рхх ~ Р + пхх ’
РУУ =~Р + ПУУ
Составим уравнение, выражающее закон изменения количества движения
(изменение количества движения равно импульсу сил, действующих на газ).
Применим этот закон к газу в выделенном элементарном объеме. Вектор количе-
ства движения газа, протекающего через грань, равен массовому расходу газа че-
рез эту грань, умноженному на вектор скорости pVnV , где Уп - нормальная со-
ставляющая вектора скорости. Исходя из этого, запишем соотношения для изме-
нения количества движения газа ДК" в выделенном элементарном объеме за от-
резок времени Д£
л*=((рV, Г)„ - Ip vx Г)„ ^д t+
((рт)t+At (ри ), )длтАг/ + ЛКткхЛуМ,
где ЛКт — изменение количества движения, вызванного объемным выделением
массы газа
Выпишем соотношения для проекций сил ДР, действующих на газ в выде-
ленном элементарном объеме.
^Рх ~ [Рхха ~ Рххь )^У + (Tj/xc ~ Хухо )&х + pXAxAyAt,
АРу ^РуУс Рууа )^Х + - Тхуь )^У + р¥bxty&t,
где ЛРх,ЛРу- проекции результирующей силы на координатные направления
В соответствии с теоремой об изменении количества движения имеем
АХ = АРД#.
Разделим это соотношение на ДхДг/Д£ и запишем его в проекциях на коорди-
натные направления. Переходя к пределу при AxAi/At -> 0 и используя получен-
ные соотношения для AX' и АР , получим уравнения количества движения в
дифференциальной форме
gpvx t aPv2 дрУхуу _ др дПхх дхух
dt дх ду дх дх ду + рЛ+ЛЛ^
^+^^+^=_^+£^+£^+оУ+дг .2_.
dt дх ду ду дх ду рУ + Л^^ (23)
Группируя слагаемые в уравнении количества движения, их можно записать в
дивергентном виде
77
(2-17)
JmT 1 n-7
M = 266.93^2^2j10 ’
n(2,2) Лункина переменной T*- kT/s, к- посто-
где m молекулярная масса; ST - функции Е
я,и,а, Ьольцманя; а и о постоянвые «л в уравнении Ленарда-Джонса. Для
релеления можно воспользоваться аппроксимационной зависимостью
fi(2.2)(r)_ 1Д57(Г’) 0’1472, погрешность которой составляет 0,15 - 0,5% при 10<
Г* 100 и до 5,5 % при 3: Г*<10.
Определить е и о можно по аппроксимационным зависимостям и таблицам
[30]. Для наиболее часто встречающихся газов эти постоянные приведены в таб-
лице 2.1.
Таблица 2.1
Вещество z/k,K а, А
н2 38,0 2,915
Воздух 84,0 3,689
n2 79,8 3,749
О2 88,0 3,541
со 88,0 3,708
со2 213,0 3,897
Во многих расчетах используют аппроксимационные соотношения для ц
явной зависимостью от температуры, в частности формулу Сатерленда:
Т У*/2
273,2 J :
|1=,/>173>2 + С|
т+с I
гдец0 - коэффициент вязкости газа при Т = 273 2 К- с
характерная для данного газа Эта dronuv ’ ’ ° постоянная Сатерленда,
диапазоне температур. Иногда пользуютсГсте^^0 Т°ЧНа В огРан™енном
температурь, и еТ", выбирая раз„„чные значе„ 3аВИСИМО':™ вязкости от
зона изменения температуры. В частило И ” В зависимости от диапа-
следующие зависимости [ 164] ™’ ДЛЯ В03дУха могут быть использованы
Ц = 0’0688 10-6Тпри0.^1257Г;
М = 1,47 10~67^2/~ .
(r + lU)npnl2S-Ksrsl00№
М = 0,419 •1О~67,О’666
при 1000-Jrsrs400()
Н ~ 0,0911 • Ю~6 у 0,85
Зная динамический коэЛж ^^ООО-йТ
можно определить „о фор^^Х козффициент теплопроводности
(2 18)
(2-19)
84
где коэффициенты пропорциональности ц и ц имеют название: динамический
коэффициент вязкости и второй коэффициент вязкости. Связи между ц и ц
выбираются так, чтобы среднее значение нормальных напряжений в любой точке
газа было равно гидростатическому давлению.
g + Руу + PZz)~ Р + ~ ~Р •
Это будет выполняться, если р = — ц
Строгое обоснование этого соотноше-
ния вытекает из кинетической теории газов. С учетом этого уравнение, отражаю-
щее закон изменения количества движения для вязкого газа, можно записать в
виде
py^ + py^L^ + A
дх у ду дх дх
2^--divv\ +
дх 3 )
Жу 2
pV.^pV^^^^yY
дх у ду ду ду ду 3 J
(2.7)
ду 3
Уравнения (2.7) известны как уравнения Навье-Стокса.
Уравнения (2.7) получены при использовании декартовой системы координат.
При использовании полярной системы координат, кроме выписанных в предыду-
щем пункте соотношений для площадей граней и величины элементарного объе-
ма, необходимо учесть наличие объемных массовых сил и , которые
связанны с центробежным и кариолисовым ускорениями при движении частиц по
круговой траектории в направлении изменения полярного угла 0. С учетом этого
уравнения количества движения записываются в виде:
полярные координаты
р^к+ру ifre, +ОЙ+ЛЙГ
St p r dr r ae r ~ ar dr p Kmr’ (2g)
+ Р^е дУв pVrVe 1 dp 1 дт^ дп00 -
st р г дг + г де г ~ 7'дГ+“^" р т0’
цилиндрические координаты
dvz dvz dvz
dt У z dz P r dr
dp ! dnzz ! dxrz
dz dz dr
+ pZ+AKmz,
79
атов формулируются так называе-
текземых поверхностях технологических аП1^ск0р0СТИ поверхности. На непол-
ные условия прилипания: скорость газа равна через участок поверхности
вижпой поверхности скорость газа равна ну^'е^бходимо задать скорость вдува
осуществляется распределенный вдув газа’ * ения при решении задачи. Что
либо дополнительные соогношепия для ее Р входят только его первые
касается давления, то поскольку в уравне° А формулируется. Доста-
частныь производные, то для давления краев Д ищется решение
точно зада.ь давление па части границы обла * ВОЗМожны сле-
При формулировке граничных условии для УР темПературе обтекаемой
дующие варианты: 1) задана температура газа, равна р ле
поверхности; 2) задан тепловой поток, отводимый от газа к поверхности, 3) фор-
мулируется сопряженная задача одновременного определения температуры газа и
теплового потока к поверхности с учетом теплоотвода в материал конструкции
В задачах обтекания тел задаются параметры невозмущенного набегающего
потока. Возмущения, вызванные помещенным в поток телом, теоретически рас-
пространяются на бесконечно большие расстояния от тела. Практически при чис-
ленном решении задач либо вводится специальное преобразование координат,
переводящее бесконечную область в конечную, либо граничные условия ставятся
на линиях и поверхностях, расположенных на конечном расстоянии от тела. Рас-
стояние, на котором располагаются поверхности, ограничивающие расчетную
область, определяется эмпирически из условия независимости от него решения.
Такой прием в каждом конкретном случае имеет определенное обоснование. На-
пример, при пространственном обтекании тел возмущения, вносимые телом в по-
ток, затухают обратно пропорционально расстоянию от тела.
2.2 Элементы теории размерностей и подобия.
Условия подобим течений вязкого газа
В технологических задачах представляется важным установить соотношение
между параметрами процессов, происходящих в аппаратах с геометрически по-
7а™™ т’°тет‘ "Ые" РЯуЛИа™ "Следования газодинамических
процессов в аппарате, изготовленном в одном масштабе, спрогнозировать значе-
ния этих параметров в аппарате других разменов Пп„ ’ рогнозироваТь значе
ботке процессов возникают проблемы связанные с те кспериментальнои отра-
новке не всегда удается смоделировав все условия ня™™ ” Лаб°раторной Уста‘
важно оценить, каким образом отличия в некотопы УРН°Г° процесса- Поэтому
раторной установки и технологических процессов ИСХОдных параметрах лабо-
гических параметров, полученных в экспеп! НЯ раЗНИЦе техноло-
промышленных условиях. Многие особен Тальных Условиях и в натурных,
вызывают серьезные трудности воспроизвепеыЛЫС°КОТеМПератУрные процессы,
ловиях. Ряд проблем возникает и с пповепрг ИХ условий в лабораторных ус-
ных, особенно быетронротекающкх пмцессо' о измерений высокотемператур-
таческого, как правило, численного. модали^ УСЛ°ВИЯХ Методы
СР'Ж’Т Db,"“eH™ “"“"MX зХ“ " могуч достаточно
™„П„ -™' Днак° " ° случае воз™" РИ0СТей "Р®«“сов и их разви-
ХрХХ~Г„ультатов - про6таы с ™-
личин достаточно адекватн< промышленного процесса*1 И ИСП°ЛЬЗ°ВаНИЯ ДЛЯ Пр0'
нои экспериментальной vn И’ накОнеЧ> Даже при на-
86 тановки или возможности
во подводимой через грани элементарного объема энергии можно выразить соот-
ношением
dQ = -{(<7хь - QXa >// + (<7^ - дУс >
где qXb,qx^ и т.д. - потоки тепловой энергии через соответствующие грани Пе-
реходя от конечных разностей к производным, получаем
dQ = -f + ~^-\dxdydt.
{Sx ду )
С учетом выписанных соотношений и определений дифференциальное урав-
нение, выражающее закон сохранения энергии, может быть з аписано в виде
±р£ + ApVxE + ±pVxE = +
St дх ду дх ду
_ а (2-10)
^^xxVx +хухУ^~(^+~^-)
Учитывая связь между внутренней энергией и энтальпией e = i- — и опреде-
Р
лением полной энтальпии гб
получим Е = 10 - — . Тогда после пере-
Р
группировки слагаемых и приведения подобных из (2.10) получаем
Эта форма записи уравнения энергии имеет дивергентный вид, поэтому может
быть использована унифицированная форма записи (2.4). При этом соответст-
вующие газодинамические комплексы имеют вид
A = {p£}={pi0 -р},
(2.Н)
W = {0}.
Уравнение (2.11) можно с учетом (2.5) записать в виде
81
функциональными зависнмо-
П-теорема. Гели п размерных величин еаяза „ величи„ можво
е>ями и * из них имеют ие^иеимые р.«ч-<*
образовзть п k безразмерных комбинаи • сС0В вместо установления
Используя эту теорему, можно при ту’ЩвиТЬ связь между n-k безраз-
связи между п размерными величинами у ственн0 уменьшает набор па-
мерпыми величинами. Это во многих слу ясмые параметры Чем мень-
рамшров и apiуметов, от которых зависят pv 0СН0Вных для данного процес-
ше бе размерных комбинации можно соста задачи При п - k =1 реше-
са размерных величии, тем проще получи Р ченО только на основании
пне задачи может быть с точностью то ко ту величИНу, зависимость
теории подобия. Выделяя и» общего пр выразить искомую зависимость
которой от остальных нужно определи ,
в виде явной функции (например, [126]). пазмернЫМИ величинами можно
Всякое физическое соотношение между разм р
сформулировать как соотношение между безразмерными величина .
Ф или процессы называются подобными. если „дел.==
и тем же набором основных и производных размерных величин и функционала
ные соотношения между безразмерными величинами, полученными на основании
размерных, для обоих процессов совпадают. Остановимся на условиях подобия
газодинамических процессов подробнее.
Газодинамическое подобие. Рассмотрим два течения, описанные в своих
системах координат О1х1у1 и О2х2у2. Чтобы сопоставить эти два течения вве-
дем понятие сходственных точек и сходственных моментов времени.
Сходственные точки - это точки, координаты которых связаны соотношения-
ми х2 = kLxr, у2 =klyl. Сходственный момент времени - это момент времени,
связанный соотношением t2 = . Коэффициент kt носит название линейного
масштаба, a kt- масштаб времени.
Два потока называются подобными, если все физические величины для любых
сходственных точек и в любые сходственные моменты времени пропорциональ-
ны друг другу Таким образом, подобие потоков предполагает наличие геометри-
ческого, кинематического и динамического подобия. Определяющими для газо-
динамического подобия являются характерные значения следующие параметров:
L длина [м], V -скорость [м/с], р - плотность [кг/м3], р - давление [Па], ц -
Динамический коэффициент вязкости [Па-с], X- коэффициент теплопроводности
[Вт/К-м], Ср - коэффициент удельной теплопроводности [Дж/кг-Ю В квалпатных
скобках указаны размерности соответствующих величин. Д ' В ДР
। количества движения™™" П°ДОбиЯ Двух П0ТоК0в рассмотрим одно из уравнений
Sx Sx дх
6сзразмеряые вмичины I
У-У-Ьлт- Р = РРМ, р = р-Ри , ~ VM,x-xLM,
I размерные величины, V.. л, п м’ Д чертои сверху обозначены без-
"'Рм’Рм и - 22™!“т >,о"1их
(2 21)
Подставляя это соотношение в (2.14) и принимая во внимание (2.6), после
очевидных преобразований получим
(2 15)
где Ф - диссипативная функция
Ф =
dt dt х дх у ду'
Из этого уравнения следует, что изменение температуры является следствием
работы сил гидростатического давления, вязкой диссипации и подвода тепла. Ес-
. тепловые потоки через грани выделенного объема обуславливаются только
теплопроводностью, то для их определения используется закон Фурье;
дТ дТ
= где ~ коэФФиЧиент теплопроводности (размерность
X - Вт/мК=Дж/мс-К). В этом случае последнее уравнение можно переписать в
виде
dt дх ду
dt ду ду дх дх
(2 16)
2.1.4 Коэффициенты переноса
Коэффициенты вязкости и теплопроводности применяются при описании
движения жидкости и газа как коэффициенты пропорциональности в соотноше-
ниях, выражающих связь между тензорами напряжений и скоростей деформаций,
тепловым потоком и градиентом температуры.
Значения этих коэффициентов и их зависимости от параметров жидкости оп-
ределяются в основном в результате обработки экспериментальных данных. Для
газа коэффициенты вязкости и теплопроводности могут быть рассчитаны на ос-
новании кинетической теории газов, например [30, 44, 79]. Эти коэффициенты
отражают влияние хаотического молекулярного движения на перенос импульса и
тепла, вследствие чего они имеют общее название - коэффициенты переноса. Ки-
нетическая теория газов позволяет получить соотношения для расчета коэффици-
ентов переноса при довольно общих предположениях
Коэффициенты вязкости и теплопроводности. Число Прандтля. Из кине-
тической теории газов следует, что динамический коэффициент вязкости ц в ши-
роком диапазоне изменения давления является функцией температуры и может
быть рассчитан по формуле [30,44]
83
90
г,ат г 1 с
* ахРг ах
и .акнм образом исключить коэффииисиг теплопроводности из уравнения энергии
Вис и в качестве масштабной величины для i величину, равную , т.е. при-
няв, что l = i V2 можно уравнение энергии записать в безразмерном виде, в ко-
торый будет входить как полученный ранее параметр подобия Re, так и Рг. До-
полнительные параметры подобия порождаются граничными условиями для
уравнения энергии, которые ставятся па обтекаемой поверхности. Эти условия и
соответствующие им параметры подобия будут рассмотрены в последующих раз-
делах Для нестационарных течений, в связи с наличием дополнительного опре-
деляющего масштаба - масштаба времени tM, появляется еще один безразмер-
ный комплекс - число Струхаля Sh = - безразмерное время. Для течений,
LM
в которых существенной является сила тяжести при массовых силах в уравнении
количества движения появляется безразмерный комплекс - число Фруда
V2
?г ~ ~ > гДе S ~ ускорение свободного падения.
ц,РЛ3аК'"°Че"Ие Приведем список полученных параметров подобия газодинами-
ческих течении и определим их физический смысл:
Мн “ ЧИ“° Маха’ отношение скорое™ набегающего потока к скоро-
Мн = 0 и этот параметр подобия выпадает У1”'"6’ НеСжимаемои жидкости
С,
У - Су отношение удель„ых теплоемкостей „ри „
постоянном объеме.
Rp-_
-о Рейнольдса: отношенне и„ерциальнь1х сил к силам
трения. Для певязкого течения -3_л
Дает. Re ’ И ЧИСЛ° Re из параметров подобия выпа-
Рг _
X -'«ело Прандтля: отношение Тепп -
вследствие диссипации, к тепловой эн ЭНергии’ выделившейся
Еи Л чнедо Эйлер,/Н’ГИИ'ПОДВеЛеННО|,те"Д<>проводностью.
Pmvm ера- Сношение сип по
Sh = вления к силам инерции.
' -'"«о Струхал»: отношение хя
И “Ре"“" ’‘’‘-^еркому вреаеН1, кт аРветеР««> ДЛ- Данного процес-
Н0Г° массопереноса.
k = ^^-^LCp, (2.20)
4 ?
где ср - коэффициент удельной теплоемкости газа при постоянном давлении.
цс 4y
Тогда для числа Прандтля имеем Рг = —— =----—. Для одноатомного газа
X 9у-5
у = 1.66 и Рг = 0.67. Для двухатомного газа у = 1.4 и Рг - 0.74. Для двухатом-
ного газа с возбужденными внутренними степенями у = 1.33 и Рг = 0.76. В
практических расчетах часто принимают Рг = 0.7 .
Погрешность формулы (2.20) для газа из одноатомных молекул - до 5%, двух-
и трехатомных - 15 %.
2.1.5 Начальные и граничные условия
При решении стационарных эволюционных задач необходимо в некоторый
начальный момен времени задать значения всех искомых газодинамических па-
раметров как функций пространственных координат. Эти функции служат в каче-
стве начальных условий. Собственно целью решения нестационарных уравнений
газовой динамики и является исследование эволюции изучаемого процесса во
времени, начиная с некоторого начального состояния.
Для однозначного определения решения уравнений газовой динамики, соот-
ветствующих тому или иному газодинамическому процессу, на поверхностях,
ограничивающих рассматриваемую область течения, задаются граничные усло-
вия. В зависимости от постановки задач эти условия могут сводиться либо к про-
стейшим наперед заданным соотношениям, либо требовать решения отдельных
задач. Последнее относится, в частности, .к задачам с сопряженным тепломассо-
обменом, сопровождающим обтекание высокотемпературным потоком газа по-
верхностей из химически активного материала. Газодинамические и тепломас-
собменные процессы часто описываются одними и теми же системами диффе-
ренциальных уравнений. Вновь сформулированная физическая задача в матема-
тическом отношении отличается от решенной задачи только граничными усло-
виями. При формулировке физической задачи условия на границах рассматри-
ваемой области однозначно следуют из самой постановки задачи. Однако эта од-
нозначность может оказаться кажущейся. Необходимые граничные условия
должны согласовываться с требованиями корректности и единственности реше-
ния соответствующей математической задачи.
В исходные дифференциальные уравнения входят первые и вторые частные
производные от компонент вектора скорости и энтальпии или температуры. В
связи с этим нестационарные уравнения динамики вязкого теплопроводного газа
по своим математическим свойствам во многом коррелируют с уравнением не-
стационарной теплопроводности, для которого вопросы постановки граничных
условий определены. Для однозначного определения решения уравнений тепло-
проводности формулируется краевая граничная задача - на всех границах расчет-
ной области должны быть заданы либо значения температуры, либо ее нормаль-
ные производные первого порядка, либо некоторые комбинации температуры и ее
производных. По аналогии с этим для полной системы уравнений газовой дина-
мики формулируется краевая задача. Для уравнений количссгва движения на об-
85
________________________________- т д а пульсационные соответственно
„е„и значения параметрон U.V.P._' метра f можно записать в вида
u’.v'.p'.T'.i' « Т.Д. Мгновенные значен
/ = /+/'• и температуры представляют собой ве-
Средние шачения скорости, Давле"И’'цИ0ННЫХ датчиков. Средние значения
личины, измеряемые при п0М0ШИ J Средние значения произведения
пульсационных составляющих ра Lj0M потоке, как правило, не равны ну-
пульсациопных составляющих в тур > ях наряду с молекулярным и осред-
лю. Таким образом, в турбулентных дь‘ еще макроскопический перенос,
ненным конвективным переносом пр льнЫХ макрочастиц, состоящих из
вызванный пульсационным движени тнОМ потоке дополнительного
большого числа молекул, оя сВЯЗано с неравенством нулю осреднен-
механнзма передачи импульс ктеристик. Проиллюстрируем это на кон-
^рХТпри'^ссХм единичную перпендикулярную оси Оу.
Обозначим проекции вектора скорости на оси Ох и Оу как и и V. Через эту
площадку протекает масса газа т = р • V. С этой массой газа переносится импульс
]х = ти и энергия qT = m-i.
При наличии пульсаций
jx =(т+т'Уи + и') = ти + т'и' + т'и +ти',
qT ~(т +т'^1 +i')=mi +m'i +m'i +mi',
где m -pv - осредненный поток массы, т' - пульсация потока массы. Проведем
осреднение по достаточному промежутку времени и, учитывая, что осреднение
пульсаций равно нулю, получим
jx - ти + т'и' = ти + (ро) и',
qT - mi +m'i' = mi + (pt>) i’.
Таким образом, потошис, дополнительные потоки импульса и энергии, рав-
ные соответственно (pv)'u' и (ооУ/' R „
количества движения поток „„nyLa че! """" ‘ "“Р”0* °® ИЗМеНе,““‘
противоположно направленной силе Р 3 не^0Т0РУю площадку эквивалентен
Следовательно, возникает дополните ° К°ТОрОи среда Действует на площадку,
нижней относительно площадки частями пот аПряЖение трения между верхней и
ХТх = -(pL>) U' .
Для описания турбулентных н-,™
Г и" теп ПОТ°Ка Тепла вв°Дят понятий Трения и Дополнительного турбу-
Ит итеплопров°дносТи используя к^Р УЛеНТНых коэффициентов вязкости
нием можем записагь Оторые по аналогии с ламинарным течс-
92
измерения требуемых параметров на натурной установке, возникает вопрос об
объеме экспериментальных и теоретических исследований, достаточном для по-
нимания и количественного описания процессов.
Мощным подспорьем при решении перечисленного круга вопросов является
теория размерностей и подобия. На основании теории размерностей и подобия
устанавливаются условия, которые должны соблюдаться в экспериментах на мо-
делях или при математическом моделировании для адекватного изучения процес-
сов, и выделяются характерные и удобные параметры, определяющие основные
эффекты и режимы процессов. Сочетание соображений теории размерностей и
подобия с общим качественным анализом механизма технологических процессов
в ряде случаев может служить эффективным методом априорных оценок пара-
метров процессов и закономерностей их изменения.
Элементы теории размерности. Основные и производные единицы. Меж-
ду единицами измерения разных величин устанавливаются зависимости на осно-
вании тех законов или определений, которыми связываются между собой изме-
ряемые величины. Таким образом, из нескольких условно выбираемых основных
величин строятся производные величины. В зависимости от выбранных основных
величин строятся различные системы измерения. В системе измерения СИ в каче-
стве основных величин, которыми оперируют в газовой динамике, выбраны дли-
на, масса, время и температура с единицами измерения метр (м), килограмм (кг),
секунда (с), градус Кельвина (К) соответственно. Остальные величины - ско-
рость, сила, давление, мощность, энергия и т.д. яв яются производными величи-
нами и их размерности являются комбинациями размерностей основных величин.
Причем, вид соотношений, связывающих эти основные и производные размерно-
сти, прямо следует из физического определения параметров с производными раз-
мерностями. В общем виде для записи соотношений между основными и произ-
водными величинами служит формула размерности
[Д]= LpMqTr.
В соответствии с этой формулой величина А имеет размерность р, q и г отно-
сительно единицы длины - L, массы - М и времени - Т. Как и раньше квадратные
скобки обозначают, что рассматривается только размерность соответствующей
величины. Формулы размерности выражают соответственно физический закон
или определение. Например, в соответствии со вторым законом Ньютона, сила
равна произведению массы и ускорения. Принимая во внимание, что размерность
ускорения а равна м/с2, получаем формулу для единицы измерения силы
[Р] = Н = кг-м2/с2,
т.е. имеем в этом случае р = 1, q = 2, г = -2 .
В качестве основных единиц в зависимости о г изучаемого процесса могут
быть выбраны различные величины Главное, чтобы размерности основных вели-
чин были независимые, т.е. чтобы размерность ни одной из основных величин не
могла быть получена в виде некоторой комбинации других основных величин.
Мощным инструментом теории размерности является П-теорема, которую
можно сформулировать следующим образом [126, 128]:
87
Мт
(2 22)
средние параметры в вязком
скорость вдува на стенке, др/дх
подслое;
- произ-
Здесь чертой сверху обозначены
рда тш, vw - плотность, сила трения и
водная от давления по касательной к стенке.
Во внешней области используется постоянное значение турбулентной вязкости:
рт =0,016 8p|j(ue-u)di/|/(l + 5,5(!//S)D)
где 8 - толщина пограничного слоя.
В струйных течениях и зонах смешения двух потоков полагается, что коэф-
фициент турбулентной вязкост,t не изменяется поперек потока. Для его опреде-
ления имеется несколько формул. В качестве примера приведем прост, йшую
формулу, которой можно пользоваться при расчете течения в слое смешения
рт = k(peue - pQu0 ) b, (2.23)
где b - поперечный размер зоны смешения; k — постоянная величина, значение
которой выбирается из эксперимента; "е" и "0" - индексы, относящиеся к пара-
метрам в невязких потоках выше и ниже зоны смешения. В качестве примеров
дифференциальной модели турбулентности приведем соотношение для определе-
ния Му по значениям кинетической энергии турбулентности k , изотропной дис-
сипации энергии е:
k2
VT=cm-p-~, cm=0,09.
Значения k и е определяются и*, mr... ~
уравнений: 3 следУюи*еи системы дифференциальных
dft д , .яъ
2ц.
- £----".
п2
94
параметров. Используя эти определения, после очевидных преобразований урав-
нение (2.21) можно записать для безразмерных величин
pVx dVJ + pv dVJ Рм 8p । рм f+
* дх y dy Pmvm dx pMVmLm[ дх dy
где i^xx^xy выражаются через безразмерные величины соотношениями (2.6).
Принимая в качестве масштабных величин для давления Рм = pMV^, уравнение
количества движения, записанное в относительных безразмерных величинах, со-
держит один безразмерный комплекс, который называется числом Рейнольдса:
Re = Рм^м^м Таким образом, из уравнения количества движе»»ия следует, что
Им
для динамического подобия двух потоков необходимо, чтобы для обоих потоков,
кроме наличия геометрического подобия должны совпадать числа Рейнольдса.
Однако единственное решение уравнений газовой динамики - уравнения нераз-
рывности, количества движения и энергии определяется граничными и началь-
ными условиями. Таким образом, граничные условия могут быть источником до-
полнительных параметров подобия. В качестве иллюстрации рассмотрим задачи
обтекания тел газовым потоком при заданных параметрах набегающего потока:
РН’Рн^н^Рн • Поскольку для масштаба давления введен комплекс pMV^ , то
параметры набегающего потока определяют еще один параметр подобия. Дейст-
вительно, выберем в качестве масштабных параметров рн и VH, получим, что
Ин -1, Рн -1> а Рн =--= ~ число Эйлера. Для сжимаемого газа, ис-
Phvh
пользуя определения адиабатической скорости звука (а2 = ур/р) и числа Маха,
1
получим
Рн = Еи =
. Если перед обтекаемым телом образуется ударная
волна, то в качестве граничных условий можно использовать условие на ударной
волне. Тогда соотношения косого скачка уплотнения, полученные в §1.2.3, будут
служить граничными условиями. Как эти соотношения, так и число Ей , содержат
два безразмерных параметра Мн и у. Граничное условие, которое ставится на
поверхности тела (условие Vx = Vy =0 для вязкого газа или V п# =0 для не-
-о
вязкого газа, пв - единичный вектор нормали к обтекаемой поверхности), не по-
рождает новых параметров подобия. Таким образом, для динамического подобия
двух газодинамических потоков необходимо геометрическое подобие границ и
равенство безразмерных комплексов Re,AfH,y - параметров подобия.
Рассмотрим параметры подобия, которые необходимы для энергетического
(теплового) подобия потоков. Прежде всего, заметим, что из параметров Л.,Ср и
ц может быть составлен безразмерный комплекс Рг = ——, который называется
числом Прандтля С использованием этого комплекса можно, например, записать
89
Глава 3
ТЕЧЕНИЯ ^'„^ZoHEHTHbW^B
ргой реагирующих газов являются основной и
Течения многокомпонентных смес н процессов. в значительной мере
определяющей частью многих технол о смешения различных газов, с
эти процессы связаны е организацией эфф хИМИчеСкого взаимодействия меж-
интенсификацисй или наоборот исклю ЯВЛЯется основным средством
ду компонентами смеси. Горение • уровня, необходимого
повышения температуры в =описанию раз-
^чныГаспеХ°теченийГхимически реагирующих многокомпонентных смесей, в
“Дайной важностью таких ~
ется большое внимание, например, монографии [44, 49, 84, 93, 96, 110, 131J. Осо
бенность описания этих течений состоит в необходимости одновременного учета
макросвойств потока, описываемых уравнениями движения вязкого газа, и мик-
росвойств смеси, определяемых кинетикой химических превращении. Реалисти-
ческая модель таких течений должна объединить эти два различных аспекта в
рамках единого макроскопического подхода. При изучении химически реаги-
рующих газовых смесей важная ро принадлежит эксперименту. Опытные дан-
ные используются для обоснования принимаемых допущений и для оценк* точ-
ности и обоснованности используемых математических моделей. Определяющую
роль играет эксперимент при определении механизмов и кинетики химических
реакций. Однако, трудности, связанные с постановкой и проведением экспери-
ментов, особенно для высокотемпературных и быстропротекающих процессов,
обуславливают чрезвычайную важность исследования таких течений с использо-
ванием методов математического, как правило, численного моделирования. При
этом важно на основе понимания основных физических и физико-химических
особенностей конкретного технологического процесса выбрать оптимальную (с
позиций простоты и возможности адекватного описания конкретного технологи-
ческого процесса) математическую модель. В настоящей главе дается изложение
основных аспектов построения математических моделей различного уровня опи-
сания течений химически реагирующих смесей.
3.1 Уравнений динамики движения многокомпонентных газовых смесей
Для течений многокомпонентных газовых смесей средние для всей смеси па-
раметры (составляющие вектора скорости, плотность давление энтальпия или
температура) определяются так же, как и для гпмпс давдение’ энталышя пли
ценных в предыдущем разделе уравнений выпажч ИСХОДЯ И3 П0ЛУ'
сы, количества движения, энергии. Наличие равных 3аК0НЫ сохРанения мас'
при записи уравнения состояния, слагаемых в комп<>ненг смеси проявляется
изменение энергии в контрольном элемент™^^*1™ ЭнеРгии> определяющих
• ангарном объеме вследствие диффузион-
96
= ~ число ФрУДа: отношение инерциальных сил к силам тяжести Для
газовых потоков, когда силы инерции намного больше сил тяжести, этот параметр
выпадает из параметров подобия.
2.3 Основные понятия о турбулентных течениях
2.3.1 Гипотезы и определения
Уравнения движения вязкого газа получены с использованием соотношений
(2.6), связывающих компоненты напряжений с производными компонент скоро-
сти течения. Эти соотношения могут быть строго обоснованы кинетической тео-
рией газов [79], в которой считается, что перенос количества движения, тепла и
вещества происходит в силу молекулярных процессов вязкости, теплопроводно-
сти и диффузии. При этом напряжения трения и тепловые потоки однозначно оп-
ределяются градиентами скорости и температуры. При относительно небольших
числах Рейнольдса это определяет структуру течений вязкого газа, которая имеет
«слоистый», упорядоченный характер, линии тока представляются гладкими кри-
выми и для стационарных течений совпадает с траекториями частиц газа. Такие
течения называются ламинарными. Однако, при увеличении чисел Рейнольдса
такой характер течения нарушается. Усиливается обмен импульсом и энергией в
поперечном к основному течению направлении. Причем этот обмен происходит
не столько вследствие хаотического молекулярного движения отдельных моле-
кул, сколько вследствие хаотического движения крупных макроскопических об-
разований - молей. Т.е. в потоке образуются группы частиц газа, состоящие из
достаточно бо шого количества молекул, которые, постоянно перемещаясь в
произвольном направлении, приводят к переходу упорядоченного движения газа
к пульсационному хаотическому движению. Вследствие чрезвычайно сложной
картины турбулентного течения, недостаточного понимания механизмов форми-
рования турбулентных течений, строго обоснованные математические модели
таких течений отсутствуют. При решении отдельных задач вводится много раз-
личных предположений и допущений, для определения диапазона применимости
которых необходимо привлечение экспериментальных данных. Имеющиеся ма-
тематические модели турбулентного течения являются по существу средством не
столько описания этих течений, сколько средством интерполяции и в некоторых
случаях экстраполяции экспериментальных данных. Наиболее удачные матема-
тические модели для своего практического использования требуют относительно
небольшого количества экспериментальных данных.
Вследствие хаотического движения отдельных молей скорость, давление,
температура и другие параметры в каждой точке поля потока установившегося
течения не постоянны во времени, а изменяются с большой частотой. Такое изме-
нение параметров называется пульсационным и является наиболее характерным
для турбулентных течений. Амплитуда пульсаций представляет, как правило, не-
сколько процентов от средних значений параметров. Пульсационное движение,
накладывающееся на основное движение, очень сложно для теоретического опи-
сания, поэтому закономерности развитою турбулентного течения приходится оп-
ределять для осредненных по времени величин. Обозначим осредненные по вре-
91
то легко убедиться, чго объемная концентрация
количество молей любою ^а’ ™ ии.
раина относительной молы.»п®™ оДнс1|тов с„есИ вводится понятие конне„.
Кроме понятия коицеШР ~ ПуСТЬ _ количество атомов i-0.0
^"“’"""омооне.™' Тогда относительная массовая Х/ и
.ин Того,„оме- могут быть определены _е„„е„
=2^ -Ck »
‘ fc=1
(3 4)
..де с; - количество атомов i-oro элемента в единице объема, Xek - отношение
ке
„ «аггр смеси У Xе = 1, ке - количество всех элементов,
массы i-oi о элемента к массе смеси
i=l
т* - атомная масса i-oro элемента.
При задании состава смеси, в которой одно из веществ является горючим, а
второе окислителем часто пользуются понятием «коэффициент избытка окисли-
теля» Коэффициент избытка окислителя а определяется как отношение массы
окислителя в смеси к массе окислителя, определяемой стехиометрическим урав-
нением реакции при заданной массе горючего. Для определения этого коэффици-
ента необходимо рассмотреть уравнение химической реакции между горючим
(вещество А) и окислителем (вещество В):
vaA + vbB = vcC + vdD,
где А, В, С и D - химические формулы участвующих в реакции ве-
ществ,vA,vB vc, vc - соответственно числа молей этих веществ — стехиометри-
ческие коэффициенты реакции.
ВВДа назь1ваются стехиометрическими уравнениями реакции.
модействии'^пе^1013^ СОХранения химических элементов при химическом взаи-
рическом соотношении^ппХеТ Г°РЮЧег° И окислителя находятся в стехиомет-
яи концентрация оки^ - принимают а = 1. Ес-
рическим уравнением то а<1 или б°ЛЬШе’ чем предусмотрено стехиомет-
нии а, исходные массовые кпи ₽ соответственно. При известном значе-
лить из соотношений Ц НТрации г°рючего и окислителя можно опреде-
а vBmB
^яаЯэтуситемуура1!нсний пол**м+*'
98
( V , ди
xTx = -(ру) и = Рт -Г- >
Sy
7~Г' , ST
QTy =-\pv)i =-\т—~.
ду
С учетом молекулярной вязкости и теплопроводности напряжение трения и
удельный тепловой поток могут быть представлены в виде
тх=(р + Мт)^, qy=-[k + -kT)^-.
Представим аналогичным образом дополнительные касательные напряжения
и потоки тепла на других элементарных площадках. С учетом этого уравнения
осредненного турбулентного движения можно записать в виде (2.8), (2.12), под-
ставив вместо ц и X эффективные значения коэффициентов переноса и
ХЭф, определяемые соотношениями
№эф — Ц + У-т и ^-эф = X. + Ху .
Для определения турбулентных коэффициентов переноса цг,Хг и др. ис-
пользуют различные гипотезы и допущения, подгобно описанные в литературе
(например, [68, 96, 141]).
2.3.2 Коэффициенты переноса в турбулен<ных потоках
Коэффициенты турбулентной вязкости, теплопроводности можно назвать ко-
эффициентами турбулентного переноса. Для определения коэффициента турбу-
лентной вязкости имеются эмпирические и полуэмпирические методы, кото-
рые можно разбить на два класса: методы, основанные на алгебраических соот-
ношениях (алгебраическая модель), и методы, которые требуют для определения
решения дифференциальных уравнений (дифференциальная модель турбу-
лентности).
Методы первой группы позволяют определить локальные характеристики
турбулентного движения, независимо от предыстории движения, методы второй
группы учитывают эволюцию движения. Методы обеих групп описаны в [68, 96,
100, 127 и др.]. Ограничимся здесь лишь изложением наиболее типичных и часто
используемых подходов.
Из алгебраических соотношений широкое распространение получили двух-
слойные модели турбулентности. В соответствии с двухслойной моделью выде-
ляют область, течение в которой определяется торможением газа при его трении
об обтекаемую поверхность (пристеночная область) и область, примыкающую к
пристеночной, течение в которой формируется при определяющем влиянии ос-
новного потока. В рамках двухслойных моделей широкое распространение полу-
чили соотношения, предложенные Себеси. В пристеночной области коэффициент
Цу определяется по формуле
93
Уд^А __
= Хо ТлтА+^^втв
i де d-
I 1'2 / . о
о тп X" = о и тогда а = р = а, где а -
Бели иснолыуется чистый кислород, N2
введенный ранее коэффициент H36b‘™°30BaHbI и задания исходного состава
Эти соотношения могут быть рассматрИваемых условий газом, ис-
любои смеси окислителя с Р конкретном технологическом процессе
пользующейся для сжигания горючею в конкрс
Х°, на массовую долю инертного газа или
В этом случае необходимо заменить -&n2
смеси инертных газов.
Удельные характеристики смеси газов. При рассмотрении смеси газов
обычно принимают, что газы в смеси являются совершенными. При этом можно
считать, что внутренняя энергия, обусловленная наличием /г-ого компонента ek
будет равна внутренней энергии k-ovo компонента. Это следует из того факта, что
в совершенном газе отдельные молекулы взаимодействуют друг с другом лишь в
результате столкновения, и можно пренебречь энергией полевого взаимодействия
между молекулами. При этих условиях каждый газ в смеси вносит свой вклад в
суммарное значение энергии, равное энергии, которую этот газ имел бы, если бы
он один занимал весь рассматриваемый объем. Это относится не только к энер-
гии, но и к любой термодинамической функции - энтальпии, энтропии, теплоем-
кости и др. Исходя из этого, межи, записать
e = = =X^CP».C»=Z^C.
В этих соотношениях - это массовая Xk или относительная мольная nk
концентрации k ого компонента в зависимости от того, относится соответствую-
ZcXZT™ п^аММУ Га3а ИЛИ - °ДН0Му МОЛЮ- Для об^ей характеристики
ОНЯТИе МОЛЯРН°Й массы смеси. Для определения молярной
массы смеси рассмотрим смесь К компонент с массой Mk \ молярной массой
каждого газа mk. Каждый газ будет состоять из TV Mk ,
пять из Nk =---- молей. Эффективная
mk
(3.8)
молярная масса смеси может быть определена enn™ М
р делена соотношением т = — Тогда учи-
тывая, что общее количество молей смеси N
(N = Vw) М *еи CMe™ равно сумме молей каждого газа
V7-2^Nk), получаем ~~ V р
. т mk ^Дслим обе части этого соотношения на
М, с учетом (3.1) получим
(3.9)
100
de _ д г \дъ e (ди ")2
dt-5n(V + V*'lfo + C1
-lp+^^“+n/v)]' <224>
где / = 1-0,4/1,8exp^-(fc2/бце^2) v и vt - кинематические коэффициенты
ламинарной и турбулентной вязкости; с( - эмпирические постоянные; —-кон-
вективный оператор.
И, наконец, запишем уравнение для непосредственного определения коэффи-
циента турбулентной вязкости, полученное Секундовын [127]
^=£((jrvi+',)^-+ov>M-^(₽v'+v)) (2-25>
где К, а, у, Р - эмпирические константы.
Эмпирические константы в уравнениях (2.24), (2.25) выбираются для каждого
класса течений исходя и требования совпадения результатов расчетов трения, те-
пловых потоков, характеристик смешения и др. с экспериментальными данными.
Достоинство той или иной модели определяется исходя из следующих критериев.
С одной стороны необходимо, чтобы для определения констант требовалось как
можно меньше экспериментальных данных. С другой стороны, класс газодинами-
ческих задач, для решения которых эти константы могут быть использованы,
должен быть как можно шире. По существу имеющиеся модели турбулентности
являются основой для интерполяции и в некоторых случаях экстраполяции экс-
периментально полученных результатов.
95
, „«^нлчения энтальпии одного моля и сим-
стй будем “"“и oZn, килограмма вещества.
вол i для обозначения
Мольные энтальпии и геплоемкосп. веществ
т.к О О2 Н н2 н2о СО СО
293 15 249507 0 218275 0 -242116 -110726 -394082
400 2142 3055 2089 2932 3476 2949 4301
cph 1000 2124 3511 2089 3037 4213 3353 5442
Дм- 2000 2089 3792 2089 3441 5302 3634 6057
МОЛЬ К 3000 2089 3985 2089 3722 5741 3722 6232
т.к СН4 Слрафит Сгаэ N № NH3 NO
293 15 -74929 0 716061 473365 0 -46137 90504
Ср Дж 400 43.36 13.34 20.89 20.89 29.49 40.38 30.21
1000 73.74 21.95 20.89 20.89 33.01 57.58 31.43
2000 95.15 25.46 21.07 20.19 37.39 74.26 36.66
моль К
3000 101.83 27.04 21.77 21.07 37.04 81.99 37 42’
Предсгавляет интерес сопоставить величины удельных теплоемкостей одно-
атомных и двухатомных газов с величинами, которые получаются при использо-
вании формул для совершенного газа, приведенных в §1.1. В частности, для одно-
5 7
атомного I аза имеем ср ——Ro, для двухатомного газа ср = — Ro и для двухатом-
ного газа с возбужденными колебательными степенями свободы ср = 4RO. Под-
ставляя значение универсальной газовой постоянной 7?0 = 8.31 , получа-
Дж моль К '
ем ср = 20.77для одноатомного газа, ср = 29.1 —ДЖ для двухатом-
Дж моль К
р 24 моль К ДЛЯ двУхатомного газа с возбужденными внутренни-
ми степенями свободы. Эти величины
орошо согласуются со значениями, при-
102
него переноса компонент смеси и теплового эффекта химических реакций между
компонентами смеси. Кроме того, при анализе течений смеси вязкого теплопро-
водного газа необходимо определение зависимости коэффициентов переноса (ко-
эффициентов вязкости, теплопроводности, диффузии) от концентрации компо-
нент смеси. Для турбулентных течений при феноменологическом описании вво-
дятся, так же как и для гомогенного газа, эффективные коэффициенты турбу-
лентного переноса, которые слабо зависят от состава многокомпонентной смеси.
3.1.1 Основные понятия и определения
Задание состава многокомпонентной смеси газов. Количественный состав
многокомпонен ой смеси определяется концентрациями отдельных его компо-
нентов. В зависимости от рассматриваемых процессов пользуются понятиями от-
носительной массовой, мольной, относительной мольной, объемной концентра-
ций.
Относительная массовая концентрация (далее массовая концентрация) fe-ой
компоненты Xk определяется как отношение массы компоненты к общей массе
смеси или, что та же, как отношение массы pk компоненты в единице объема к
массе смеси в единице объема
Xk~^-, (3.1)
Р
где p = J>ft — плотность смеси. Здесь и далее суммирование ведется по всем
компонентам.
Мольная концентрация /?-ой компоненты Ck равна количеству молей Nk k-
ой компоненты в единице объема V:
(3 2)
v mk
где mk - молярная масса /с-ой компоненты.
Относительная мольная концентрация /г-ой компоненты определяется как
отношение количества молей /?-ой компоненты в единице объема Ck к количест-
ву молей всех компонент смеси в единице объема
'•k=cs/yc1 = i-/y^‘,xi = ^L (3.3)
При определении объемной концентрации следует иметь в виду, что каждая
компонента в смеси занимает весь объем, занятый смесью, и находится под «сво-
им» парциальным давлением. Объемная концентрация определяется как от-
ношение объема, который бы заняла компонента смеси при давлении смеси, яв-
ляющемся суммой парциальных давлений компонент, к объему всей смеси. По-
скольку при одинаковых давлении и температуре один моль каждого газа занима-
ет один и тот же объем или, что то же, в единице объема содержится одно и то же
97
Л2 = -pA2£radXi,
где О12 - бинарный коэффициент диффузии. Для определения этого коэффици-
ента можно воспользоваться соотношениями, вытекающими из кинетической
теории газов. Заметим, что бинарный коэффициент диффузии Dtj пропорциона-
лен Т^2/р, причем коэффициент пропорциональности зависит от природы
имеющихся молекул (§3.2.1).
Для многокомпонентных смесей диффузионные потоки массы определяются
из более сложных соотношений с учетом бинарных коэффициентов диффузии
разных компонент и их концентраций [44, 49, 79, 96]
Входящие в это соотношение коэффициенты диффузии многокомпонентной
смеси Dkj выражаются в виде определителя К-го порядка через К(К-1)/2 ко-
эффициентов диффузии бинарной смеси Dkj, а также через концентрации и мо-
лекулярные веса компонентов. Для инженерных технологических расчетов удоб-
но воспользоваться понятием эффективного коэффициента диффузии, что позво-
ляет формально использовать закон Фика для определения вектор», потока диф-
фузии. Эффективный коэффициент диффузии зависит в общем случае от молеку-
лярной массы компонентов, бинарных коэффициентов диффузии и от состава газа.
Соотношения для вектора диффузионных потоков часто записывают в виде
Ink=~^—^-gradXk, (3.15)
где Smk = ------безразмерный комплекс - число Шмидта
С учетом высказанных замечаний уравнение диффузии запишется в виде
apxfe - 1
— +dlvpVX>-div—-p-gradX^Wj,. (
Используя формулы для массовой концентрации элемента (3 4) можно полу-
чить уравнение диффузии для /-ого элемента. ' Л У
Действительно, умножив уравнения (3 16^ на Ni*mi
на —— и сложив их> Получим
(3 16)
^-+Л1>(рХ,'г)=-Л1,£?Ф<Г4
(3.17)
104
vAmA x a • vBmB
^АтА+^^Втв' B vAmA+a‘vBmB
(3 6)
Многие технологические процессы сопровождаются горением горючего газа в
воздухе. В этих случаях для определения состава смеси иногда используют поня-
тие «коэффициент избытка воздуха». При горении в воздухе исходная смесь
включает в себя горючий газ, окислитель, в качестве которого выступает кисло-
род воздуха, и ;«зот, который в некоторых случаях можно рассматривать как
инертный газ, не принимающий участия в химической реакции. Состав воздуха
характеризуется концентрацией кислорода Х^ и азота . При технологиче-
ских расчетах нужно определить массу воздуха, необходимую для сжигания мас-
сы Мд горючего газа. В соответствии со стехиометрическим уравнением реак-
ции горения для сжигания М А кг горючего необходимо МОг килограмма кисло-
рода
мо^^^мА.
''л'Пл
Чтобы иметь Мо^кг кислорода, необходимо взять Мвкг воздуха, причем
+ .
I Л°2 J
В последнем соотношении введен коэффициент избытка воздуха р, который
имеет тот же смысл, что и введенный ранее коэффициент избытка окислителя а.
Коэффициент избытка воздуха - это отношение всей массы воздуха принимаю-
щей участие в химическом процессе, к массе воздуха, содержащей количество
кислорода, находящегося в стехиометрическом отношении к массе горючего. Ис-
пользуя это определение, получим соотношение для массы воздуха, необходимой
для сжигания МА кг горючего при коэффициенте избытка воздуха Р,
[ Х°О, J ’А
Концентрация компонент в исходной смеси при этом может быть определена
соотношением
d • vBmB
vAmA + dvBmB ’
d-vBmB
vAmA+d vBmB '
(3 7)
99
дТ v 8Xh -Со~ + У\~,
Sn дп
коэффициент удельной теплоемкости смеси
где СР=£Х.^-£ХЛС,
газов.
С учетом этого можно записать
(3 19')
dnl'
к П^о^птпа r#> = .£—ipr = ——число Льюиса
где Pr =-- число Прандтля, ье г«
СрМ И
При Le = l выражения для потока энергии, записанные в виде (3.191), для
смеси газов и однокомпонентного газа совпадают. Условие, что Le = 1, можно с
допустимой погрешностью принять при молекулярном переносе для многих га-
зов. В турбулентных течениях вводятся турбулентные коэффициенты переноса,
при этом условие LeT = 1 может быть принято для всех газов. С учетом получен-
ных соотношений, используя (2.12), запишем уравнение энергии для смеси реаги-
рующих газов
р — + pVx^ + pV = — (7
dt дх у ду дхV
xv w dy
(3.20)
Таким образом, изменение полной энергии газа происходит в результате рабо-
ты сил трения и переноса энергии теплопроводностью и диффузией (вторые два
но^мпл'^ ричем’ как Уже отмечалось, при Le = 1 уравнения энергии для од-
интегоиоованиТч И ДЛЯ СМеСИ Га3°В совпаДают- При найденных в результате
этого уравнения и уравнений диффузии полной энергии и массо-
вых концентрации компонент, учитывая, что / = е + температура смеси нахо-
смеси с энт^ьпиями^тдел^н^х к° РеШеНИя Уравнения, связывающего энтальпию
сдельных компонент
‘-Х*Л(Т)=о
h
В свою очередь i (ТА — ,
нент, которые можно оппеп * где ^ft(T)_ мольные энтальпии ко.мпо-
ний вида (3 13). елить пРи помощи аппроксимационных соотноше-
106
Аналогичным образом, используя понятие молярной концентрации компо-
нент, можно получить
к
т = ^пктк. <ЗЛ0)
/«л
Получим далее уравнение состояния для смеси. Учитывая, что каждый газ
рассматриваем как совершенный, для каждого компонента можно воспользовать-
ся уравнением состояния Клапейрона
Pk =Pk~Tk^
mk
где Rq - универсальная газовая постоянная, pft =Xkp - масса /г-ой компоненты в
единице объема. В смеси совершенных газов справедлив закон Дальтона о равен-
стве давления смеси сумме парциальных давлений р~^рк . Принимая, что
k
Tk=T - температура смеси и используя закон Дальтона, получим уравнение со-
стояния смеси совершенных газов в виде
р=рв0Х—г=р—г. (3.11)
mk т
В случае совершенны* газов внутренняя энергия и энтальпия (теплосодержа-
ние) единицы массы каждого газа могут быть определены из следующих соотно-
шений.
е*= fc„,dT+i;, \cPtdT + i-h, (3.12)
pfe
где ik - теплообразование k-oro компонента, равное энергии, которую необходи-
мо затратить, чтобы получить единицу массы данного вещества из элементов при
температуре Т*. Учитывая соотношения (3.8), легко получить связь между теп-
„ . р
лосодержанием смеси и внутренней энергией i = е + —, что совпадает с соответ-
Р
ствующим соотношением для однокомпонентного газа.
Значения i*k для более чем 220 веществ можно найти в термодинамических
таблицах, приведенных в [142]. В этом справочнике приведены обширные табли-
цы зависимости энтальпий от температуры для большого количества индивиду-
альных веществ Значение теплообразования некоторых веществ при атмосфер-
ном давлении и стандартной температуре 293К приведено в таблице 3.1. Для
справки в этой же таблице приведены ориентировочные значения CPll - удель-
ных теплоемкостей при постоянном давлении, определенные по соотношению
СРк =(hk(T + ЛТ)-hh(TS)/ЛТ при AT = lOOTf . Здесь и далее для определенно-
101
тов реакции в общем случае не совпадают Разность этих энтальпий и представая
ет собой теплоту реакции Однако, в соответствии с законом сохра энергии
ei сииии iviuiviy ц а , энтальпии газов, вступивших в
энтальпия продуктов реакции должна быть равна „oaviI„„ „
реакцию. Это достигав гея тем, что температура продуктов р Р ~ м-
пературе исходных реагентов: поглощаемое или выделяемое в химической реак-
ции тепло приводит к изменению температуры газовой смеси. ~
Полученное уравнение совместно с системой уравнений диффузии (3.9),
уравнениями движения (2.7) и неразрывности определяют течение многокомпо-
нентных газовых смесей с химическими реакциями.
Для замыкания системы необходимо привлечь соотношения, определяющие
значения скоростей образования-расходования компонентов Wk. В общем слу-
чае для этого используются соотношения химической кинетики.
3.1.4 Коэффициенты переноса в газовых смесях
Коэффициенты переноса в газовых смесях определяются, исходя из коэффи-
циентов переноса отдельных компонент. Для гомогенных газов эти коэффициен-
ты определены как для ламинарного, так и турбулентного режимов в диапазоне
изменения параметров газа и жидкости, характерном для многих физических
процессов. Некоторые формулы для расчета коэффициентов переноса гомоген-
ных газов приведены в §2.1.4. Для многокомпонентных газов выражения для этих
коэффициентов достаточно громоздки и требуют большого количества вычисле-
ний, которое возрастает при увеличении числа компонент. Объем вычислений,
необходимых для определения коэффициентов переноса, может составлять зна-
чительную часть от общего объема вычислений. Поэтому в практических расче-
тах целесообразно по возможности упростить выражения для коэффициентов мо-
лекулярного переноса с учетом особенностей конкретных газовых смесей и рас-
сматриваемых условий течения. Сущее енные упрощения достигаются при оп-
ределении переносных свойств газовых смесей путем использования при расчете
коэффициентов вязкости и теплопроводности отдельных компонентов и смеси в
целом, различных допущений, а также эмпирических и полуэмпирических соот-
ношений вместо строгих формул молекулярно-кинетической теории. В настоящее
время подобный подход получил широкое применение в практике расчетов газо-
вых смесей в различных технологических процессах [30, 44 49 96] Использова-
ние приближенных соотношений, которые прошли достаточную расчетную или
экспериментальную проверку, позволят практически без снижения точности рас-
четов существенно сократить затраты машинного времени.
Коэффициенты вязкости и теплопроводности. Вычисление коэффициентов
вязкости многокомпонентной смеси газов представляет определенные трудности,
несмотря на то, что в кинетической теории газов *Рудн
ные методы вычислений (см. например [79]). Наиболее шиХТприменециеZ
практического использования получила формула Уилке ₽ пРимене«ие ДЛЯ
(3 22)
108
веденными в таблице во всем диапазоне температур для одноатомных газов, и
при температуре, меньшей 1000К, для двухатомных газов. Увеличение ср двух-,
трехатомных газов с ростом температуры свидетельствует о возбуждении внут-
ренних степеней свободы многоатомных молекул. В связи с этим для численного
определения энтальпий многоатомных газов при высоких температурах необхо-
димо воспользоваться интерполяционными формулами. В [142] для аппроксима-
ции зависимости мольной энтальпии от температуры предложена формула
<3|3>
Значения коэффициентов hi, входящих в эту интерполяционную формулу,
г, ,, dh
приведены в [142]. Учитывая, что сР
из этой формулы можно получит».
соотношения для определения мольной теплоемкости сР.
3.1.2 Уравнение диффузии компонентов
Для определения концентрации компонент смеси воспользуемся уравнением,
вытекающим из условия баланса массы в выделенном элементарном объеме
(рис. 2.1). В отличие от гомогенного газа, кроме макроскопического переноса че-
рез грани выделенного объема массы данной компоненты конвективным пото-
ком, имеет место молекулярный перенос диффузией. В связи с этим поток fe-ой
компоненты через единичную площадку грани элементарного объема с нормалью
п° равен:
pVnXk + Ihn,
где Ц - вектор диффузионного потока /г-ой компоненты, индекс п обозначает
проекцию вектора на нормаль к соответствующей грани выделенного объема. С
учетом этого уравнение баланса массы для fe-ой компоненты можно переписать в
виде
^+dlv(pXkv')=-divIll+Wt, (3.14)
ot
где Wk - скорость изменения массы данной компоненты в единице объема вслед-
ствие химических реакций - массовая скорость образования fe-ой компоненты.
Диффузионные потоки возникают по следующим причинам: 1) под действием
градиента концентрации (массовая диффузия), 2) под действием градиента давле-
ния (бародиффузия), 3) под действием градиента температуры (термодиффузия) и
4) под действием массовых сил. Во многих практических приложениях для расче-
та технологических процессов эффектами термодиффузии, бародиффузии и
влиянием массовых сил на величину диффузионного потока можно пренебречь.
Вектор диффузионного потока массы для бинарной смеси, состоящей из двух
компонент, можно определить из закона Фика
103
ют®'" “ '„комнонситной смеси газов коэффициент диффузии k-той ком„опен.
тм зависит от Диффу—их
N — МОЖ™
по формуле У илке
Dkl
(3.24)
Более точные зависимости приводят к громоздким вычислениям и, в общем
случае, к итерационным процессам [79]. Упрощенные подходы определения эффек-
тивных коэффициентов диффузии, более точные, чем (3.23), приводятся в [168].
Коэффициенты переноса продуктов сгорания углеводородных топлив. В
монографии [59] для определения коэффициента вязкости ц продуктов сгорания
замороженной смеси использована эмпирическая зависимость
/ Т НлР
где , pk - коэффициент вязкости и парциальное давление отдельных компо-
нентов смеси; - поправочные множители, введенные в формулу с целью при-
ведения в соответствие данной зависимости и результатов расчета ц методом
молекулярно-кинетической теории газов.
Величины ц£ в интервале температур Т от 400 до 3000 К аппроксимируются
полиномом
i=0
ния коэффициентов Ьы для отдельных компонентов приведены в таблице 3.2.
погрешности множители подобраны методом минимизации квадратичной
симости не превьадает ±Ts %Же ПоГрешНость предлагаемой эмпирической зави-
Газ со'н2о°’ о2 n2 н2
Р* 115 1.1 0.89 0.76 0.99 044
Аналогичный метод расчета иг
теплопроводности. Используется -ч П°ЛЬЗован и Для определения коэффициента
Уется эмпирическая зависимость
гда h - коэффициенты т " " >
квадрагичЬ1е-МН°Жители- °ТдаЛЬН“ компонентов смеси; о* '
«WH4H0H ПОгрешности МеТ°ДОМ
Н ОН NO О N
НО
При записи последнего уравнения учтено, что для газофазных реакций
k
1к - О, т.к. в газофазных реакциях масса химических элементов не
mk
изменяется. Иначе обстоит дело при наличии гетерогенных реакций (см. напри-
мер § 5.4). Если воспользоваться уравнением (3.15) и принять, что число Smh
одно и то же для разных компонент, что может быть принято для турбулентных
течений или для смесей с близкими молекулярными массами компонент, то урав-
нение диффузии элементов может быть записано в виде
+ div(pXteV )= div-^— ц • gradXe .
(3.171)
Интегрируя это уравнение, можно определить концентрации элементов.
Суммируя уравнения (3.16) при k = 1,..., К с учетом того, что масса смеси при
химической реакции между компонентами не изменяется и что ^Xk =1, полу-
чим уравнение неразрывности для смеси в целом
^ + dtvpV=O,
которое совпадает с соответствующим уравнением для однокомпонентного газа.
Учитывая это и расписывая операторы div и grad, уравнение (3.16) можно пере-
писать в виде
д dXk д _ dXk ~
= — pDk —s- +—pDk —£ + Wk.
дх дх ду ду
(3-18)
dt дх у ду J
3.1.3 Уравнение переноса энергии в течениях
многокомпонентных газовых смесей
Для получения уравнения энергии можно воспользоваться уравнением (2.12)
или (2.16), выражающим в общем виде закон баланса энергии в выделенном эле-
ментарном объеме, принимая при этом, что qk это потоки энергии через грани
элементарного объема. Учитывая перенос энергии теплопроводностью и диффу-
зией, соотношение для проекции потока энергии на нормаль п к некоторой по-
верхности можно представить в виде [2, 44, 49, 96]
Qn=~^pDkik^- (319)
Представляет интерес переписать последнее соотношение, перейдя от темпе-
ратуры к энтальпии смеси. Для этого воспользуемся следующей цепочкой преоб-
разований
di _^У^Хк1к V_y + _
dn~ dn k dn dn
105
переноса отдельных компонент. Как отмечено в [59], погрешность определения .
по вышеприведенной формуле для продуктов сгорания различных углевод *
ных газов с коэффициентом избытка окислителя от 0.8 до 1.2 не превышает ±2°/
Заметим, что использование приведенных соотношения за пределами указанного
диапазона изменения коэффициента избытка окислителя может привести к ЗНач
тельной погрешности. В этом случае предпочтительней являются приведенные
выше формулы Уилке и Массона Саксена.
Коэффициенты турбулентного переноса. Уравнения и формулы для опред
ления эффективных коэффициентов вязкости в турбулентном потоке приведены6"
§2.3.2. Уравнения, аналогичные (2.2.4), (2.25), можно получить для определена8
среднеквадратичных значений пульсаций энтальпии и концентраций компон
(например, [91, 93] и §6.4.5).
Коэффициенты турбулентной теплопроводности и диффузии можно опреде
лить при заданных значениях турбулентных чисел Прандтля Ргг и Шмидта
Sm.if
lT=^L,DiT=-^
PrT pSrn.iT
Значения PrT и SmiT изменяются незначительно. Так, Ргг изменяется в диа-
пазоне 0.7 - 0.9 независимо от температуры. В практических расчетах принимают
Ргг =0.9 (иногда 1), SmiT- 1.
(3.25)
3.2 Элементы химической кинетики газофазных реакций
3.2.1 Основные определения
В газовой смеси могут происходить химические реакции, в результате кото-
рых молекулы fe-того газа могут образовываться или распадаться. Изучением ме-
ханизма химических реакций занимается химическая кинетика [44, 84]. Здесь
вкратце остановимся на тех вопросах, которые необходимы для задач газовой ди-
намики.
Теплота реакции. Все химические реакции, сопров аются либо выделени-
ем тепла (экзотермические реакции), либо поглощением тепла (эндотермические
реакции). Для полноты характеристики реакции в химическое уравнение вводится
величина, связанная с энергетическим эффектом реакции — теплотой реакции,
химическое уравнение реакции записывается в виде
где AQ - теплота реакции. При этом считается, что температура веществ, всТ^
пивших в реакцию, и продуктов реакции одна и та же. Теплота реакции,
рой образуется вещество из химических элементов, называется теплотой обр
вания вещества. В
Теплота реакции может быть определена из закона сохранения энергии, ПР
мененного к веществам, участвующим в реакции
= +vchc -vAhj
(3.26)
влв,
112
Для иллюстрации влияния химических реакций на температуру смеси пред-
ставляет интерес получить уравнение энергии в форме, содержащей непосредст-
венно температуру.
Переходя в уравнении (3.20) к удельной энтальпии при помощи преобразова-
ний, примененных при получении уравнения (2.16), и используя для определения
тепловых потоков (3.19), уравнение энергии можно записать в следующем виде:
.ST
(3 21)
Учитывая, что i = Xkik (т).
di di rr di TZ di
— ------h Vx---h V.. — в виде
dt dt x дх y ду
перепишем конвективный оператор
— = С dT I
dt P dt +
Уг/У
dt
Воспользовавшись (3.18) для исключения —и внеся ift(T) под знак no-
di
вторной производной, получим
p«=pcp^+AyitpP^+AyispI)^.
*dt н Р dt dx^kP k dx ду^к к ду
-VoD C SXh nn c dXk —
k Ph dx ' dx k Ph dy ' dy'
Комбинируя это выражение и уравнение (3.21), после очевидных сокращений
и простых преобразований получим уравнение энергии, записанное относительно
температуры смеси
р х дх у ду
dP
= + цФ +
dt
(3 211)
где ^эфх = *• + PDkCPk » ^эфу ~ + PDkcPk ~ эффективные коэффи-
циенты теплопроводности, которые учитывают перенос тепла двумя механизма-
ми: теплопроводностью и диффузией.
Последняя сумма в уравнении (3.21') отражает влияние на температуру смеси
тепла, выделяемого в процессе химических реакций. Заметим, что при одинако-
вой температуре суммарные энтальпии газов вступивших в реакцию, и продук-
107
Скорость химических реакций. В реагирующей смеси газов обычно
кает несколько химических реакций между разными компонентами см ПР°Те'
определения скорости а -той химической реакции рассмотрим ее стехиом ** ‘^Ля
ское уравнение
УдаА + VOaD + vCaC»
которое является балансовым соотношением между изменением козичества
лей каждою вещества. Из этого уравнения следует, что u ‘ ’
d^Aa _ dCBa _ dCpg _ d^Ca _ &
vAa vBa vDa vCa ’ ^-27)
где dCk - дифференциал мольной концентрации k -той компоненты
Рассматривая конкретные реакции легко убедиться, что соотношение (3 27)
выражает закон сохранения массы химических элементов в химических реакциях
Убедимся в этом на примере реакции
2СО + 2Н2++СН4+СО2.
Обозначим мольные концентрации веществ, участвующих в реакции, как
Ссо£н2о£о2,Сн2. • Мольные концентрации этих веществ до реакции снабдим
верхним индексом “о” - C°k. Условия сохранения числа атомов записываются так:
для углерода
для кислорода
для водорода
^со +^сн4 +^со2 = С° со +С°сн4 +С°со2
Ссо +2ССОг = С ° со +2С°со2
2Сн2 +4Ссн4 = 2С°я2 +4С°сн4
Обозначив через ACft=Cfc-C£ изменение мольной концентрации компонен-
тов в /г-той реакции, перепишем последние соотношения в виде
ЛСсо ~ ~^сн4 ~ ^со2 >
^Ссо ~ ~2дСс0г,
ЛС„г=-2ДССЯ4.
vHi0=2. vc„4=l, vc0 =1, из этих еоопю^
НИИ легко получить 2
vco2
^сн4
усн4
ет<
за*
мо.
ках
ще<
114
где - коэффициент вязкости, молекулярный вес и относительная моль-
ная концентрация й-й компоненты.
Для определения теплопроводности смеси газов можно воспользоваться фор-
мулой Масона и Саксена
n г N С„ YT1
’ <323>
*=1 L i=l \nkJ
Коэффициент диффузии. Коэффициенты диффузии смеси газов определяют-
ся методами кинетической теории. Не рассматривая подробно эти методы, приве-
дем результирующие приближенные соотношения для определения коэффициен-
тов диффузии в бинарной смеси газов, полученные Бердом, Гиршфельдером,
Кертисом с поправочным коэффициентом Уилке и Ли [30, 79]:
°1,2 ~
утЗ/2
ра122О^2^
х1/2
^1+^2 |
т^тпу J
(3 24)
Коэффициент В является функцией молекулярных весов т1 и т2:
( V/2
В = 0,00214 -0,000492
тхт2 J
Для являющейся функцией температуры, можно воспользоваться ап-
проксимационной зависимостью
= 1,07
-0,741(10feT/£12 )
Vele2al°2
где e12,q12 - постоянные сил: g; 2 = -°l +-?Jj , £12 = v x , £. и a. - no-
2 ’ o12
стоянные сил в уравнении Ленарда-Джонса (табл.2.1).
Используя формулы (2.17), (3.24) и уравнение состояния, можно получить со-
отношение для определения числа Шмидта
P2 A 2 \
109
„„„„л R пеагиоующсй смеси газов обычно проте-
Скоросгь химических реа • разными компонентами смеси Для
™ Хакции рассмотрим ее
определения скорости а -той химича w г
ское уравнение
+ vB„ В « v„„Z> + vc„C,
которое является балансовым соотношением между нзмененнем количества мо-
лей каждо! о вещества. Из этого уравнения следует, что
dCAa _ dCBg _ __^Сра = _^Са =
vAa vBa VDa VCa
(3.27)
где dCk - дифференциал мольной концентрации k -той компоненты.
Рассматривая конкретные реакции легко убедиться, что соотношение (3.27)
выражает закон сохранения массы химических элементов в химических реакциях.
Убедимся в этом на примере реакции
2С0 + 2Н2оСЯ4+С02-
Обозначим мольные концентрации веществ, участвующих в реакции, как
^со^н2о-^о2,^н2. • Мольные концентрации этих веществ до реакции снабдим
верхним индексом “о” - C°k. Условия сохранения числа атомов записываются так:
для углерода
для кислорода
для водорода
Ссо +Ссн4 +Ссо2 - С°со +С°сн4 +С°со2
Ссо +2ССОг = С°со +2С°со2
2Ся2 +4CCHt =2С°нг +4С°сн4
Обозначив через ДСЛ Ck Ck изменение мольной концентрации компонен-
тов в /г-той реакции, перепишем последние соотношения в виде
ДСОТ=-ДССЯ1 -ДСсрг,
ЛСсо=_2дсс0!,
Учитывая, что vco=2,
ний легко получить
ACW = -2ЛГ
н 2
vH2o ~ 2, = 1,
vco2 =1, из этих соотноше-
—Ссо- = _ АСсо2 Д ССНА
СО Уд2 vco^
114
Газ СО2 СО Н2О О2 N2 Н2 Н ОН NO О N
«/ 1.17 0.75 0.92 0.81 0.99 0 75 1 I I 11
Величины аппроксимируются полиномом
^ = S««(tio-3L
i=0
где значения aki приведены в таблице 3.3.
Таб л и ца3.2
Коэффициенты bik для расчета вязкости
отдельных компонентов
Компоненты смеси bi0 Ъп Ъ12 Ь15 bi6
СО2 -540 8100 -6466 3999 -1378 237 -15
Ь со 228 5766 -2952 864 153 141 21
Н2О 218 1277 4693 -3476 1053 -127 3
02 802 3847 2422 -4340 2618 -705 71
n2 -1 7226 -6064 4049 -1506 285 -21
Н2 265 2455 -1069 468 -122 16 -1
н И 1329 599 -716 267 -34 0.2
он 13 5047 -3038 2652 -1116 244 -21
NO 697 3943 1462 -3032 1794 -462 44
О 1063 2991 4647 -6355 3456 -854 80
N 6 8827 -8616 6720 -2937 658 -59
Таблица 3.3.
Коэффициенты aik для расчета теплопроводности
отдельных компонентов
Компоненты смеси «Ю «й" ai2 ai3 «/4 ai5 «/6
СО2 -1075 9764 -2691 840 -229 45 -4
СО 23 10219 -9061 9435 -5265 1414 -145
Н2О 2176 -6848 25046 -13331 3127 -241 -9
02 179 8335 -894 -894 687 -186 18
n2 925 5085 1981 -2150 927 -200 18
Н2 4588 57831 -41507 34462 -14866 3192 -273
н -43318 207373 -280539 270123 -137267 34342 -3337
он 581 6405 -760 612 -418 135 -16
NO 1558 1226 13188 -14763 7949 -2121 223
О -5494 34425 -50552 50143 -25762 6467 -629
N 41059 -17780 -4460 8870 -3183 488 -28
Для расчета коэффициентов переноса продуктов сгорания по вышеприведен-
ным зависимостям необходимо знать их парциальные давления и коэффициенты
111
о'л=*дС?Св’- ,329>
„„. ипгти является функцией температуры и не
Коэффициент пропорцион компонент. Этот коэффициент называется
зависит от концентрации Ре^иРУ ессе протекает несколько реакций од-
консгантои скорости реакци . - ппинципом независимости отдельных ре-
новременно, то можно воспользова СИстеме протекает несколько реакций, то
акций. Согласно этому принципу, от другой и каждая подчинена закону деист-
В^язи с этим суммарная скорость образования ft-той компоненты
- разнос™ скоростей образования этой компоненты в прямой „ обратной
реакциях. Например, для компоненты А получим
(3 30)
Здесь и далее штрих и два штриха относятся к константам скоростей прямой н
обратной реакций. Соотношение (3.30) можно переписать в виде
шл = -(С? 'С?~Кс Со Сс>- (3.30')
где Кс
*л(г)'
В случае, если исчезновение компоненты А в прямой реакции н ее образова-
ние в обратной реакции происходит с одинаковой скоростью, то концентрация ft-
той компоненты не изменяется. Это имеет место при определенном соотношении
между мольными концентрациями компонент для заданной температуры. В этих
условиях имеем = 0. Соответствующее соотношение между мольными кон-
центрациями представляется, как это следует из (3.3О1), в виде
, , .Cvb
к (t)=La^b
(3.31)
В этих условиях реагирующие компоненты находятся в химическом равнове-
сии. Соответствующее соотношение между мольными концентрациями компо-
нент является функцией только температуры и не зависит от концентраций. В
связи с этим параметр Кс(т) называется константой равновесия.
Зависимость констант равновесия от температуры может быть определена ме-
тодами статистической термодинамики. Для многих веществ затабулированы
константы равновесия для реакций образования этих веществ из элементов. В
практических расчетах удобно пользоваться аппроксимационными соотношения-
('«О- Более подробно
зук.™я^™„ХЯв0„”"Я “ C”P0CTCf'
(3 32)
116
Здесь, как и ранее, hk обозначает энтальпию одного моля вещества k,
hk = ik(T)/mk, где ik - энтальпия единицы массы вещества, Т - температура
исходных веществ. Если AQ > 0, то реакция идет с выделением тепла. Такая ре-
акция называется экзотермической. Если AQ < 0, то реакция идет с поглощением
тепла. Такая реакция называется эндотермической. Тепловой эффект реакции во
многих случаях слабо зависи i от температуры, при которой происходит реакция.
В качестве иллюстрации в таблице 3.4 приведены значения теплот некоторых
реакций
Т аб л и ц а 3.4
Уравнение реакции Т = 300К I 7 = 1000# 7 = 2000# 7 = 3000#
Теплота реакции кДж/моль
2СО + О2=2СО2 570 587 558 548
СН^+О2=СО2+2Н2О 804 801 807 812
2Н2+О2=2Н2О 484 496 503 504
СО + Н2О = СО2 + Н2 43 35 27 21
СО+ЗН2=СН4+Н2О 206 226 225 216
\2СО72Н2=СН^+СО2 249 261 252 237
Тепло, выделившееся (поглотившееся) в процессе реакции, идет на изменение
температуры реагирующей смеси. Таким образом, энтальпии веществ, вступив-
ших в реакцию, и продуктов реакции совпадают, а температуры исходных ве-
ществ и продуктов реакции отличаются. Именно по этой причине дифференци-
альное уравнение энергии (3.20), записанное относительно полной энтальпии, не
содержит слагаемых, отражающих выделение тепла в химических реакциях. Од-
нако такое слагаемое появляется в уравнении (3.21'), записанном относительно
температуры.
Обратимые и необратимые реакции. Реакции могут протекать как в прямом
направлении, так и в обратном. Реакция называется односторонней, когда реакция
идет в одну сторону и до конца, при этом обратная реакция отсутствует. Обрати-
мой называется такая реакция, при которой возможна как прямая реакция между
исходными веществами А и В, так и обратная реакция между продуктами пря-
мой реакции D и С. Если в реагирующей системе возможны как прямая, так и
обратная реакции, то через некоторый промежуток времени всегда наступает рав-
новесие, когда скорости прямой и обратной реакций совпадают. Это состояние
равновесия при заданных давлении и температуре определяется соотношением
между концентрациями этих веществ. Среди газовых реакций, строго говоря, не
существует необратимых реакций. При достаточно большой температуре обрат-
ная реакция всегда становится заметной. О необратимости данной газовой реак-
ции можно говорить лишь приближенно. В условиях протекания многих техноло-
гических процессов реакции горения углеводородного газа (метан, водород, оки-
си углерода и др.) можно считать необратимыми.
113
гтрр которых служат свободные атомы и радикалы. Источником
центров, в качестве ко Р ЯВЛЯеТся термическая диссоциация молекул исход-
появления активных^темП ре некоторое количество свободных атомов
ного вещества. При л ако необходим определенный уровень тем-
и радикалов "Р^Х ’активных центров и скорость их образо-
пературы для того, ^Хдения цепной реакции. Большую роль в кине-
те цеп7ыхДреХй имеет инициирующее действие поверхностей аппарата. Об-
рыв цепей связан с гибелью активных центров реакции, т.е. с такими химически-
ми процессами, которые идут при участии атомов и радикалов, но которые не
приводят к регенерации последних. Эти процессы могут иметь место как в объе-
ме так и на поверхности (на стенках аппарата или на твердых или жидких части-
цах). Объемный обрыв цепей сводится к рекомбинации свободных атомов или
радикалов.
Разветвленными цепными реакциями называются такие реакции, в которых в
каждом звене цепи на каждый исчезнувший активный центр в среднем возникает
больше одного нового центра.
Скорость цепной реакции является производной от скоростей простых реак-
ций, входящих в длину цепи. Температурная зависимость констант скоростей
простых химических реакций выражается законом Аррениуса. Для разветвленной
цепной реакции зависимость результирующей скорости реакции от температуры
может быть более сложной.
Типичным примером разветвленной цепной реакции является реакция горе-
ния водорода. В результате экспериментальных исследований этой реакции полу-
чен фактический материал, легший в основу теории разветвленных цепных реак-
ций. Характерные основные черты механизма этой реакции свойственны также и
реакции горения других газов. В связи с этим изучению этой реакции уделяется
большое внимание. В настоящее время накоплен достаточный для многих прак-
тических применений фактический материал по кинетике этой реакции [51, 49,
84, ПО]. Это определяется и тем, что водород является одним из газов, который
участвует во многих технологических процессах в энергетике, двигателестрое-
нии, металлургии и т.д.
3.3 Кинетика газофазных реакций в C-O-H-N средах
3.3.1 Кинетические модели воспламенения и горения водорода
Все элементы механизма горения водорода с учетом обрыва цепей в объеме и
на поверхности подробно описаны в [84]. Согласно наиболее точно представлен-
механизму горения водорода активными центрами реакции являются атомы
водорода и кислорода и ОН и НО2. Условия появления активированных цен-
ш смеси-в сил* с“сти и бь1с1ро-
делей воспламенения водорода ПреДПОЛОЖИТельные описания кинетических мо-
Ры^“яИТ^ Р^Ции зарождения цепи, в кото-
реакциями являются реакции Р носительно низких температурах этими
Н2+О2~+Н2О + О,
Предполагая, что реакции идут непрерывно заменяем конечные приращения
дифференциалом и приходим к (3.17).
Скоростью химической реакции а называют величину (Ьа , которая опреде-
ляется соотношением
Введем понятие скорости химической реакции для k -той компоненты. Для k-
той компоненты скорость а -той химической реакции Wka - это изменение
мольной концентрации Л-ого компонента в единицу времени, происходящее
вследствие а-той химической реакц при отсутствии диффузии. Таким обра-
зом, в соответствии с вышеприведенными определениями имеем
at
Скорости прямой и обратной реакций обычно обозначают, как W и W”.
Если одно и то же вещество А принимает участие в качестве исходного или
конечного вещества в нескольких реакциях, то полное изменение концентрации
Ck будет алгебраической суммой образования или расходования вещества А и
может быть записано в виде
WA = ^vAa<^
а=1
где г - число реакций, в которых принимает участие вещество А в качестве ис-
ходного или конечного продукта, vАа — стехиометрический коэффициент, с ко-
торым вещество Л входит в а -ую химическую реакцию, причем если Ak явля-
ется исходным веществом (реагентом), то vAa берется с плюсом, если Аа - про-
дукт реакции, то vAa берется с минусом, 6)а - скорость протекания а -ой хими-
ческой реакции.
Учитывая, что Ck - количество молей вещества в единице объема, массовая
скорость изменения вещества в единице объема в единицу времени определяется
соотношением
= (3.28)
3.2.2 Константы скоростей химических реакций. Константа равновесия
Основным соотношением, описывающим скорость химической реакции, явля-
ется соотношение, задаваемое законом действующих масс. В соответствии с этим
законом скорость химической реакции пропорциональна произведению степеней
мольных концентраций реагирующих компонент, причем показатель степени для
каждой мольной концентрации входящей в произведение, равен соответствую-
щему стехиометрическому коэффициенту
115
|н2О2 + 2°2
нием времени по экспоненциальному закину
жутка времени реакции приобретает характер взрыв
Одной из особенностей разветвленных цепных реакции является наличие пе-
риода индукции, который проявляется в том, что в течение некоторого времени
не обнаруживается сколь-нибудь заметное повышение температуры. По истече-
нии этого времени температура начинает заметно возрастать. Скорость всего
процесса в целом определяется скоростью наиболее медленной стадии. При горе-
нии водорода минимизирующей является реакция
н+о2 = он+о.
При температуре в диапазоне 1000— 3000К, давлении 1 — 10 атм и а = 0.5-5
механизм воспламенения и горения смеси водорода с воздухом может быть опи-
сан последовательностью элементарны» стадий, представленных в таблице 3.5. В
этой таблице для бинарных реакций размерность коэффициента — см /моль-с; для
реакций третьего порядка - см6/моль2 с.
Кинетика химических реакций при воспламенении водорода
№ п/п Реакция Константы скоростей реакций Тепл.эф. реакции, Дж/моль
Прямая k Обратная k-"
Зарождение цепи
1 Н2+О2<->Н2О+О 4.1-10,3exp(-50470/RT) ±7350
2 Н2+О2<->2ОН 1.710,3ехр(-24232/Т) 5.7-1011- ехр(-14922/Т) ±78680
3 Н2+О2<->Н±НО2 1.9-10,3ехр(-24100/Т) 1.3-1013 ±227585
4 Н2+М О2Н+М 5.5-10|8'Г1ехр(-51987/Т) 1.810|8Т‘ ±435981
5 О2+М <->2О4М 7.2-10,8Т'ехр(-59340/Т) 4.010|7Т‘ ±498357
Продолжение цепи
Н2+ОН<->И+Н2О
±63178
Н2О+О<-> 2ОН
8.4-1013-
ехр(-10116/Т)
5.3-1012-
•ехр(-503/Т)
н+о2<-юн+о
о+н2<>он+и
10
П20+МоОН+Н+М
21013ехр(-2600/Т)
5.8Ю13ехр(-9059/Т)
Разветвление цепи
Jj±0l4exp(-8455/T)
7.51013ехр(-5586/Т)
±73630
_gjJ0l8T~lexp(-5Q830/T)
з.о-ю13-
ехр(-4429/Т)
4 4 1020Т1-5
±70528
±8152
±499158
±427829
120
Если А.(Т) = const = Аг, то получим закон Аррениуса
Параметр Е в случае простых реакций, протекающих в одну стадию, характе-
ризует максимальную энергию (в расчете на 1 моль), которой должны обладать
реагирующие частицы, чтобы иметь возможность вступить в химическую реак-
цию. Частицы, энергия которых больше или равна Е, называются активными, а
параметр Е в связи с этим называется энергией активации. В случае сложных ре-
акций параметр Е не имеет простого физического смысла и является некоторой
функцией энергии активации отдельных стадий протекания процесса или вообще
является чисто эмпирической величиной. Но и в этом случае параметр Е называ-
ют эффективной энергией активации или эмпирической энергией активации.
Обычно для определения константы скорости протекания сложных химиче-
ских реакций используют так называемый модифицированный закон Аррениуса.
k = A'TS ехр(- E/R0T), (3.33)
где А' - const, s - постоянный показатель степени, Е - энергия активации, ко-
торая может зависеть от температуры.
3.2.3 Цепные химические реакции
В химической кинетике различают простые и сложные реакции. Простая ре-
акция протекает в один элементарный химический акт, и ее химическое уравне-
ние тождественно ее стехиометрическому уравнению. Сложная реакции пред-
ставляет совокупность одновременно протекающих элементарных процессов.
Большинство практически интересных химических реакций имеют всегда более
или менее сложный механизм, слагающийся из отдельных элементарных процес-
сов. В сложной химической реакции образуются промежуточные вещества, кото-
рые, как правило, оказываются более активными, чем исходные реагенты. Моле-
кулы этих веществ называют активированными или активными центрами. Эти
молекулы имеют энергию, достаточную для продолжения реакции (прототип
энергии активации). Одним из видов сложной реакции являются цепные реакции.
Для реакций этого типа характерно то, что одновременно с молекулой продуктов
реакции образуется и активная частица. Т. е. активные частицы образуются не
только вследствие внешнего воздействия (например, подвода тепла), но и за счет
энергии, выделяемой в самой реакции. В результате этого происходит непрерыв-
ная регенерация активных частиц (активных центров): на смену вступающим в
реакцию активным частицам реакцией поставляются новые активные частицы.
Реакция, начатая одной активной частицей, не прекращается, пока не нарушится
последовательность звеньев вследствие гибели активной молекулы.
Характерная особенность цепных реакций - периодическая регенерация ак-
тивных частиц. Кинетика цепной химической реакции, ее скорость и средняя
длина цепи (количество простых реакций в цепи) находятся в прямой связи с ус-
ловиями протекания реакции и, в первую очередь, с условием зарождения и об-
рыва цепи. Цепная химическая реакция осуществляется при помощи активных
117
Коистаиты скорости реакции даются в виде
ft, =X,(a)TN' ехр(-В< ШТ),
А (а) есть функция избытка окислителя,
где нрелзксионенциальныи множи определв1ы исходя из изменения
Значения параметров с'лост„я„„ьтм давлением.
температуры в трубчатом ре V соотношениямн:
Эти шачения задаются следует
в первой реакции -
д(а)= (8.917а +31.433/а-28.950) Ю41
JEj = 4.865 кал/моль, = -Ю,
,3
моль-с
,3
во второй реакции -
Л2(а)=(2.00+1.333/а-0.833а)-1058 ,с
Ег =42.500 кал/моль, N2 =-13
Результаты численных расчетов1. В качестве примера, иллюстрирующего
основные особенности расчета, рассмотрим горение водорода в кислороде при
постоянном давлении в смеси. Изменение мольных концентраций компонент и
температура смеси определялась в результате численного решения следующей
системы уравнений
dt ка а у dt ,
i i dr lyy
V dt Т dt+M^^VkaG)a'
k a
dT_ 1Хйа
dt YC*CPk’
(3 36)
Изменение мольной концентрации компонентов вследст-
этих уравнений приведен §9.2еРМИЧеСКОГ° РаСШИРения смеси- По^обно ВЫВОД
проХХре™Ря7анной адХй парьГ XMeCK”X реакций’ проходящих в
используемые в расчетах пеакпии и Р ’ озволил определить наиболее часто
не 3.5 ам же приведены данные пЛ^жа™ реакций представлена в табли-
ных реакций и тепловые эфАекты ™ 03Ффициентам скоростей прямых и обрат-
Р акции, полученные расчетным путем с ис-
' Результаты получены Белоцерковцем И.С
122
H2+O2<r>2OH.
С повышением температуры начинается диссоциация водорода, кислорода и
молекул воды, которые также порождают активные центры
Н2+М++2Н+М,
О2+М<ч>2О+М,
Н2О+М<~>Н+ОН+М.
Далее идут реакции, приводящие к продолжению цепи, в которых вместо од-
ного активного центра появляется другой
ОН +Н2-+Н2О + Н,
О +Н2О<г>2ОН.
В следующих реакциях имеет место разветвление цепи
ОН+М+>О+Н+МУ
Н+О2<->ОН+О,
О+Н2^ОН+Н.
В этих реакциях вместо каждого активного центра, возникающего в реакциях
зарождения и продолжения цепи, образуется два активных центра. Таким обра-
зом, происходит нарастание количества радикалов ОН, атомов водорода и кисло-
рода в геометрической прогрессии, скорость реакции возрастает и, в конце кон-
цов, скорость реакции становится настолько большой, что реакционная смесь как
бы претерпевает взрыв.
Одновременно с генерацией активных частиц происходит обрыв цепей в объ-
еме и на стенке. К обрыву цепей в объеме приводит реакция
Н + О2+М = НО2+М,
а к обрыву цепи на стенке - реакция
Н^>-Н2.
2 2
В кинетике горения водорода принимает участие еще одна активная частица
НО2, называемая малоактивным радикалом. Продолжение цепи с помощью это-
го малоактивного радикала описывается уравнением
НО2+Н2=Н2О + Н,
НО2 + Н2О = Н2О2+ОН ,
а обрыв цепей на стенке протекает так:
119
Рис. 3.3 Влияние коэффициента избытка окис-
лителя на температуру смеси (1- а = 1,2 - а =
0,5, 3 - а= 0,2, значки - равновесные значения)
р.™ обратвой реакци» — ЧеРИ "
наоборот.
Для выбранной системы реак-
ций простейшим тестом, подтвер-
ждающим правильность задания
констант скоростей реакции, явля-
ется выход температуры и состав
смеси на равновесные значения в
результате интегрирования систе-
мы уравнении (3.36) при
Динамика же процесса перехода к
равновесному состоянию зависит
от выбора системы реакций. Ми-
нимальное количество и вид реак-
ций, позволяющих с приемлемой
точностью описать неравновесный
процесс в заданном диапазоне из-
менения давлений и температур,
должны определятся из сопостав-
ления расчетных данных с результатами эксперимента.
Для набора из 8-ми базовых реакций на рис.3.2 показано изменение с течени-
ем времени массовых концентраций неравновесной смеси при горении водорода в
кислороде с прежними начальными значениями определяющих параметров и
компонент. Для сравнения значками нанесены значения массовых концентраций
компонент, соответствующие равновесному составу смеси.
Влияние соотношения топливных компонент на температуру при горении во-
дорода в кислороде илчюст-
рирует рис.3.3. На этом ри-
сунке кривые 1 - 3 соответст-
вуют разным значениям ко-
эффициента избытка окисли-
теля а, определяющего на-
чальный состав газовой смеси.
Значки соответствуют значе-
ниям равновесной температу-
ры. Расчеты проведены ДЛ*
набора из базовых 8-ми хими-
ческих реакций [66].
Динамика процесса горе
ния водорода в кислороде по
казана на рис.3.4 в виде зави
симости температуры газово
2-«-0.5.3.а:Л°^И8’ (I -а = 1
5-«-0.5,6-а.0; ИЯ. 4-а»1
16 реакций [491) ——
п смеси от времени прош*
нп1СООТНОШеНи» к°мпонент лля горения при разном наЧ^
™6орМХ "а6оров “мических реакций.
Х ЖИриым шрифтом В таблице", б"60 к' вкпючал 8 базовых „„
-5, набор 2 включал 16 реакции (P63 |
Р‘
124
Продолжение габл. 3.5
Другие реакции
12 НО2+М<-»Н+О2+М 1.7-10,6exp (-23100/T) 1.1-1016 exp(440/T) +208396
13 2ОН<+Н+НО2 1.7-10"exp -T0,s exp(-21137/T) 6.0-IO13 ±148905
14 Н20+0+->Н+Н02 5.81O"T0’5 exp(-28686/T) 3.0-1013 ±220235
15 ОН+О2<+О+НО2 3 7.io"t0'64 exp(-27840/T) IO13 ±219433
16 Н2О+О2<-»ОН+НО2 2.0-10”T°’5 exp(-36296/T) 1.2-10'3 ±290763
17 Н2О+ОН<-»Н2+НО2 1.2-iol2T°’21 exp(-39815/T) 1.7-10'3 exp(- 12582/T) ±212083
Реакции с участием азота Ь
18 o+n2<->n+no 5.0-10l3exp(-37940/T) 1.1-1013 I ±314742
19 H+NO«->N+OH 1.7-10l4exp(-24500/T) 4.5-1013 ±202761
20 o+no++n+o2 2.4-10”'T0,5 exp(-19200/T) 1 0-10l2T°15 exp(-3120/T) ±132233
21 no+oh<^h+no2 2.0-10"T'°’5 exp(-155OO/T) 3.5-1014 exp(-740/T) ±121537
22 no+o2<->o+no2 1.0-10,2exp(-22800/T) 1.0-1013 exp(-302/T) ±192065
23 no2+h2<-»h+hno2 2.4-l0l3exp(-14500/T) 5.0-10”Т°’5 exp(-1500/T)
24 NO2+OH«->NO+HO2 1 0-10"T°’5exp(-6000/T) 3.01012T°-5 exp(-1200/T) ±27368
25 N02+MoNO+0+M l.l-10,6exp(-32712/T) l.l-10lsexp(941/T) ±306292
26 hno2+m<->no++o H+M 5.0-1017T'exp(-25000/T) 8.0-10’5 exp(1000/T)
27 N2+O2<->2NO 2.2-1014exp(-16550/T) ±182509
28 no+n<^n2+o 5.2-10l3exp(-107000/T) ±314742
29 N+O+MeNO+M l.l-10’3exp(-41700/T) ±630590
30 2N+M<->N2+M 2.7-10,6T'0-5 ±945332
Наиболее часто в литературе используется набор из помеченных в таблице
жирным шрифтом восьми реакций [43, 48, 66, 112, 199]. В дальнейшем эти реак-
ции будем называть базовыми. Более полный набор реакций содержит 20 реакции
[49] и 28 реакций [199] из полной системы 60 реакций. С целью уменьшения объ-
ема вычислений в [199] предложена упрощенная кинетическая модель воспламе-
нения водорода, состоящая из двух стадий
Н2 + О2->2ОН,
2OH + H2^2H2O.
(3-35)
121
Продолжение таблицы 3 6
10 Реакции обмена у N2+C<r*CN+N тлеродом 2104T1 1 31560
11 CO+M<r*CN+O 2-104П 1 45800
12 CO?+N*+CN+O2 ЗЛО2*1 1 49560
13 N2+CO<+CN+NO Тю3*2 2 92010
14 со+но<^со2+н i-io-3*2 2 20980
15 co2+o<^co+o2 3102T1 1 18210
16 2CO++CO2+C 1.10-3*2 2 72390
17 co+o++o2+c 2 104T1 1 69570
Как отмечается в [44], скорости реакций, приведенные в таблице 3.6, известны
в лучшем случае с точностью до множителя 5.
В оценочных расчетах пользуются упрощенной схемой реакций
2СО + О2 = 2СО2+М.
Следует обратить внимание, что скорости реакций, происходящих под воз-
действием каталитических молекул М, которые сами не вступают в реакцию, а
только приводят к диссоциации молекулы, с которой они сталкиваются, строго
говоря, зависят от вида молекулы М.
В этом уравнении М - молекула газа, в результате столкновения с которой
происходит диссоциация молекул СО2. В оценочных расчетах можно принять
А-104, В = 16000. В действительности константы скорости диссоциации СО2
в зависимости от вида молекул М могут быть посчитаны по формулам
*,(со2,со2)=з | •«/- —
Wj Д R0T
Л,(сог,о)=б-ю12
*,(CO2,W2)=210ll[_£_Y’2 exp[__D_]
, х ( Г> \4-38 / \
ЛДСО2, Аг) = 5 8 10й -Р_ exnl D 1
IM VoTj’
05 Дж/моль энергия диссоциации двуокиси углерода
СО2->О + СО, Во - универсальная газовая постоянная, — = 63326 К,
[ ] =• см3/моль.
126
пользованием аппроксимаций [142] для зависимостей мольных энтальпий от тем-
пературы.
Зависимости коэффициентов скоростей реакций от температуры, приводимые
в литературе, например [43, 48, 66, 112, 183, 199, 202], имеют значительный раз-
брос. Для примера можно сравнить
данные по одинаковым элементар-
ным реакциям водорода с кислоро-
дом приведенные ниже в таблицах
3.7, 3.8, 3.9. Различие в аппроксима-
ции коэффициентов скорости одних
и тех же химических реакций оказы-
вает существенное влияние на ре-
зультаты расчетов. На рис.3.1 пред-
ставлены расчетные зависимости
температуры изобарической смеси
от времени процесса при стехиомет-
рическом соотношении горючего и
окислителя (коэффициент избытка
окислителя а = 1). Расчеты выпол-
Рис. 3.1 Изменение температуры газовой сме-
си при изобарическом горении водорода
нены при начальных значениях параметров: Ро=О,1мПа, 7q=1000K Линии
соответствуют разным наборам химических реакций: 1 и 2 - 8 и 13 реакций из
[48], 3 - базовые 8 реакций из таблицы 3.5, 4 и 5 - два набора из 20-ти реакций из
[49], * - равновесная температура.
Расчетные кривые, представленные на рис.3.1, выходят на различные уровни
температуры при t —> со, которые должны соответствовать равновесной темпера-
туре (значки). Только расчетная кривив 3 удовлетворяет этому условию.
Рис. 3.2 Изменение массовых концентраций ком-
понентов смеси в зависимости от времени при изо-
барическом горении водорода в кислороде (1 - О2,
2 - Н2, 3 - Н2О, 4 - ОН, 5 - О, 6 - Н, значки - рав-
новесные значения)
Сопоставление отношения констант прямой и обратной реакций из табли-
цы 3.5 с константой равновесия соответствующей реакции, рассчитанной по ин-
терполяционному полиному из [142], показывает нарушение баланса между пря-
мой и обратной реакциями. Не
учет баланса между констан-
тами скоростей прямой и об-
ратной реакций является при-
чиной ошибки многих иссле-
дователей, пытающихся опи-
сать неравновесные газодина-
мические процессы (см.
рис.3.1). Для получения досто-
верных результатов необхо-
димо использовать хорошо
апробированные эксперимен-
тальные данные по скоростям
химических реакций. Если для
рассматриваемой реакции в
качестве опорного выбирается
коэффициент скорости прямой
реакции, то коэффициент ско-
123
В этой же таблице приведены соответствующие константы скорости реаКцИ11
Констан гы скорости реакции представлены в виде k = АТ ехр(- Е / RqT\ Здесь
Ro = 1.987—^—, размерность бимолекулярных реакций см3/моль-с, а
моль К
тримолекулярных смъ/моль2 с
Этот набор реакций используется в [112] для оценки процессов образования и
распространения токсичных компонентов применительно к проблеме распро-
странения токсичных компонентов в атмосфере при струйных течениях вблизи
выхлопных устройств.
В действительности механизм реакции в C-O-H-N средах гораздо сложнее В
таблице 3.8, взятой из [183], приведены системы 20 реакций в C-O-H-N среде В
этой работе изучается влияние кинетики химических реакций на процесс выгора
ния углерода и воздушных смесей в ламинарном и турбулентном потоках
Т а б л и ц а 3.8
Кинетика химических реакций при выгорании
углеводородно-воздушных смесей k = АТпекр(<~ Е / R0T]
№/№
Реакция
2
3
4
5
6
8
9
10
Н2+О2->ОН+ОН
Н+Н2О->Н2+ОН
~Н2+ОН->Н+Н2О
Н+О2-Ю+ОН
о+он->н+о2
О~^Н2—>Н+ОН
Н+ОН->О+Н2
ОН+ОН->Н2О+О
НгО+О-ЮН+ОН
_ Н+Н+М~>н2+М
12
13
14
15
16
17
18
19
20
_0±О+М-Ю2+М__
он+н+м->н2о+м
Л+О+М-ЮН^М
2.5-1012
8.4-1013
2.5-1012
2 2-1014
1.2-1011
1.7-1013
1.2-1013
7.6-1012
8.3-10'3
~5Тотг~
'?4Й01т"
0
0,24
0
0,44
0
0
0
о
E/Ro
К
Г19653,85
110179,69
2318,147
8415,881
AQ
Дж/моль
-74833,4
-62808,1
0
, 0
МТ?
НО17
-352,761
4787,477
3880,376
503,945
~9121Л04^
62808,1
-66830,5
66830,5
-8044,8
8044,8
70811
-70811
-0±СО+М-^СО2+М '
—N1+O->NQ+n
~lb±P2~>NO+NO
Х8Ю1
ТфиГ
блчо'-
~4Ч0пг
о
о
о
554339?
Т38О8Д9
2015/78^
38199,03
ЗТт?8?з~
о
450299,3
509085
513107,4
442254,5
93101,8
-93101,8
535398,2
-315339
133954,3
200784,8
-Л1Гб4756,93 | -1813 85
Согласно литературным данным в процессе сгорания углеводородов моЖ
выделить две основные макроскопические стадии. На первой из них происхо
превращение углеводородов в СО,Н2,Н2О и частично в СО2, во второй - ДоГО
128
0
0
0
0
0
2 - 17 из таблицы 3.5). Набор реакций 1 позволяет достаточно правильно описать
процесс горения кислородно-водородной смеси при осуществлении принуди-
тельного воспламенения. Набор 2 описывает процесс самовоспламенения газовой
смеси (время воспламенения определяется по градиенту температуры смеси).
Влияние соотношения компонент и выбора набора реакций сказывается на уров-
нях равновесной температуры смеси и на скорость процесса перехода к равновес-
ному состоянию.
Для более полного изучения вопроса о влиянии выбора системы реакций для
описания процесса неравновесного горения водорода в кислороде, а также выбора
оптимального набора реакций и расчетных соотношений для коэффициентов ско-
ростей реакций необходимо провести детальные параметрические исследования и
сравнения с экспериментальными данными, имеющимися в литературе. Это же
замечание относи • ся и для других химических реакций в C-O-H-N средах, кото-
рые рассматриваются в следующих параграфах.
3.3.2 Реакции с учетом азота, кислорода и углерода
Истечение углекислого газа в воздухе при повышенной температуре сопро-
вождается реакциями диссоциации и рекомбинации двуокиси углерода, кисло-
рода и азота, а также обменные реакции. Перечень основных реакций приведен
в таблице 3.6 [44].
В этой же таблице приводятся также значения коэффициентов, входящих в
выражения для констант скоростей реакций, представленных в виде
k = А Тп ехр(- В/Т}-.
моль с
Таблица 3.6
Кинетика реакций при горении углеродно-воздушных смесей
№ п/п Реакция La B,K
Диссоциация
1 СО2+М<^СО+О+М 1,2-105 0.5 34360
2 N2+M<~>2N+M 8,6-1013 -1 113350
3 NO+M++N+O+M 2,9-Ю13 -1 75560
4 СО+М<г>С+О+М 8,5-1013 -1 128960
5 CN+M++C+N+M 5,2-1013 -1 94140
6 О2+М«~>2О+М 2,6-1013 -1 59390
Реакции обмена в воздухе
7 NO+O<t>O2+N 3,2-103 1 19680
8 N2+O2^2NO 2,0-108 0 61600
9 N2+O<->NO+N 7,0-107 0 38000
125
Продолжение табл. 3.9
1 2 - ^~~н+нсо^н^со___ _ 3 4 5
1,99-1011 0 0
29 1.0-1011 0 0
30 О\НСО=ОН+СО___ 5.01-Ю13 0 36.25
31 32 ()1]7аьоН2О'НСО 5.0110" 0 Q 3.17 1.91
33 1.26-1010 ~~Гоио?° 0 2.32
34 35 3.98-109 0 0
1.26-10" 0 1.01
36 О+СН2Н^СН2О
37 О2+СН}=О+СН3О 2.51-ю10 0 14.60
38 СН2О+СН3=НСО+СН4 1.0-1 о7 0.50 3.02
39 НСО+СНз=СО+СН4 3.16-108 0.50 0
40 сн}о+м=н+сн2о+м 5.O1-1O10 0 10.57
41 о+он+м+но2+м 1.0-1011 0 0
42 О+НО2=ОН+О2 5.O1-1O10 0 0.50
43 НО2+НСО=О2+СН2О 1.0-1011 0 1.51
44 О2+СН2О=Н2О+СН2О 1.0-1 о9 0 0.30
45 НО2+СНз=О2+СН4 1.0-109 0 0.20
46 О2+НСО=НО2+СО 3.02-109 0 3.52
47 н+но2=он+он 2.51-10" 0 0.96
48 Н+НО2=О2+Н2 2.54-1O10 0 0.35
49 ОН+НО2=Н2О+О2 5.O11O10 0 0.50
50 НО2+НО2=О2+Н2О2 1.99-109 0 0
51 Н2О2+М=ОН+ОН+М 1.2-1014 0 22.91
52 Н+Н2О2=Н2+НО2 1.70-109 0 1.91
53 НО2+СН4=Н2О2+СНз 5.01-509 0 6.29
54 но2+сн2о^н2о2+нсд 1 0-Ю9 0 4.03
55 ОН+Н2О2-Н2О+НО2 1 1.O-1Q10 0 0.91
Размерности коэффициентов скоростей реакций следующие: 103
6 моль К
для бимолекулярных и 10б См
моль2 - к ДЛЯ тРим°лекулярных реакций.
В приведенный перечень входят «
серия работ посвящена упрощенно элементарных реакций. Поэтому целая
низму окисления метана. В частност^’ называемомУ квазиглобальному, ь‘еха'
вии со стехиометрическим уравнение^ СК°рости Сг°рания метана в соответст-
130
3.3.3 Кинетические модели воспламенения углеводородов
В высокотемпературных технологических процессах, связанных с горением
углеводородов, участвуют газовые компоненты, содержащие атомы С, О, Н и N.
Такие смеси получили название C-O-H-N смесей. Кинетика воспламенения газо-
образных углеводородов сходна с кинетикой воспламенения водорода в том
смысле, что также включает разветвленные цепные реакции. Однако особенности
механизма горения углеводородов обусловлены большим многообразием процес-
сов и участвующих в них веществ, что делает его значительно более сложным.
Несмотря на большое многообразие промежуточных веществ, возникающих в
ходе горения, при достаточном содержании кислорода в горючей смеси и не за-
торможенности реакций, единственным конечным продуктом реакции горения
углеводородов являются вода и углекис ш газ.
Химическое взаимодействие углеводородов с кислородом осуществляется в
двух режимах. При 200 - 500К имеет место реакция медленного окисления, про-
текающая по механизму вырожденных разветвлений. При более высоких темпе-
ратурах имеет место реакция горения, которая следует обычному механизму раз-
ветвленных цепей и с которой связаны обычные горячие пламена углеводородов.
Для системы C-O-H-N может быть сформулирована система цепных химиче-
ских реакций, приведенных в таблице 3.7 [112].
Таб л и ца 3.7
Система реакций для C-O-H-N среды [112]
№ п/п Реакция A n E
1 2 3 4 5
1 со+о+м-^со2+м 3.510’4 0 2100
2 н+н+м~>н2+м 1.4-1020 1.5 0
3 О+О+М—>О2+М 5.5-1017 0.87 0
4 ОН+Н+М->Н2О+М 1.2-1O20 1.0 0
5 о+н+м-юн+м 3.3-10'8 0.5 0
6 N+N+M->N2+M 2.7-1016 0.5 0
7 он+со->со2+н 3.3-1015 0 0
8 ОН+Н2->Н2О+Н 2.5-1012 0 5100
9 ОН+ОН->Н2О+О 1.1-1014 0 8600
10 Н2+О-ЮН+Н 1.0-1012 0 1200
11 о2+н^>он+о 1.3-1012 0 9860
12 N2+O2-*NO+NO 2.2-1014 0 16550
13 no+n->n2+o 5.2-1013 0 107000
14 no+o->o2+n 5.0-1013 0 200
15 N+O+M-+NO+M 1.1-10’3 0 41700 1
127
_ вещества пропорционален градиенту массовой
ем, что ^рбуленпи» перенос’е зак01И Фика), можем записать
концентрации вещества (обо
---г;-
(pVy)X'k=pDKT^-^
где Пгт - коэффициент турбулентной диффузии.
нХ С Хктиан™ коэффициентом турбулентной диффузии используй
п Шмидта SmT где ц - эффективный ко-
ся также турбулентное число Шмидта ьтт
г- отлета являющийся следствием пульсационного пе-
эффициент турбулентной вязкости, являющ
^“г^осколькутурбулентный перекос ьещестьа и импульса осущесгаляегс» а ре-
зультате пульсационного движения макромолеи, то коэффициенты рЛкт и рт
близки по величине и на практике часто принимают Sm^ = 1. По аналогии с этим
вводятся турбулентные числа Льюиса LeT и Прандтля Ргг
Ргт=йа LeT SmT-Ргт.
В таком приближении можно использовать для описания турбулентных тече-
ний газовых смесей уравнения, по форме совпадающие с уравнениями ламинар-
ного течения, с добавленными слагаемыми, описывающими турбулентный перенос.
Проблема адекватного описания турбулентных течений химически реаги-
рующих газов находится на уровне, не позволяющем с уверенностью формулиро-
вать математические модели таких течений. В то же время решения этих задач
чрезвычайно важно для технологических приложений. Сложность этой проблемы
связана, с одной стороны, с незавершенностью теории турбулентности, с другой -
со специфическими особенностями турбулентных течений с химическими реак-
циями, определяющими в сложном характере взаимного влияния процессов тур-
булентного переноса и процесса химического реагирования. Принципиальным
является необходимость учета влияния турбулентности на скорости химических
превращений и обратное влияние химических реакций на характеристики турбу-
лентности. частности, в потоках с интенсивным изменением плотности среды,
экспеоиментяп2нп"1ДеЛеНИеМ СЧеТ химических реакций, требуют тщательной
мических моделей^уоб^л РКИ раЗЛИчные аппроксимации, используемые для хи-
мических моделей турбулентных течений с постоянной плотностью
скими турбулентных течений с химиче-
тывающих влияние химических ДИентных моделях турбулентности, не учи-
рости химических реакций определяются Турбулентное тРение. ПРИ этом СК°-
ции и температуры. Такой подхо ” П° осредненным значениям концентра-
става достаточно малы. ОднакоДо ПраВДан’ когда пульсации температуры и со-
весьма затруднительна, если отсутсЦеНКа Границ применимости этого подхода
ные данные. Этот подход является п7ЮТ достаточно детальные эксперименталь-
ных расчетов. лезным на стадии оценочных предваритель-
132
рание СО и Н%. Первичная реакционная зона вместе с областью подогрева экви-
валентна фронту пламени. Зона догорания представляет собой протяженную об-
ласть с плавно изменяющимися параметрами. Влияние кинетики реакций в пла-
мени наиболее существенно в зоне догорания.
В качестве иллюстрации в табл. 3.9 приведен перечень реакций, которые мо-
гут иметь место при сгорании мегана в воздухе.
Таб л и ца3.9
Химическая модель окисления метана [491
№ п/п Реакция k = ATn exp(- E / т\ T = TK /1000
Л . J i n J I E.K
1 2 3 4 5 1 СН4+М=Н+СН2+М 1.99-1014 0 44.51
2 Н+СН4=Н2+СН3 1.261011 0 5.99
3 ОН+СН4=Н2О+СН 3.16-109 0 1.91
4 О+СН4=ОН+СН3 1.99-1O10 0 4.63
5 НО2+СО=ОН+СО2 1.0-10" 0 11.58
6 ОН+НСО=Н2О+СО 1.0-IO11 0 0
7 он+со=н+со2 2.51-108 0 0.55
8 н+о2=о+он 2.19-10" 0 8.51
9 О+Н2=Н+ОН 1.58-107 1 4.48
10 О+Н2О=ОН+ОН 6.31-10'° 0 9.26
11 Н+Н2О=ОН+ н2 9.55-10*° 0 10.22
12 нсо+м=н+со+м 1.26-10" 0 9.57
13 н+о+м=он+м 1.0-IO10 0 0
14 0+0+М=02->гМ 5.01 -IO9 -0.25 0
15 н2+м=н+н+м 2.19-10" 0 48.34
16 О2+Н2=ОН+ОН 7.94-10" 0 22.66
17 o+no=o2+n 2.51-104 1.0 19.44
18 o+n2=n+no 1.41-10" 0 37.86
19 NO+M=O+N+M 3.98-1017 -1.50 76.03
20 N2O+M=O+N2+M 5.01-10" 0 29.20
21 no+no=o+n2o 1.0-10" 0 38.27
22 no2+m=o+no+m 1.0-1013 0 32.73
23 o2+no=o+no2 1.0-109 0.5 22.91
24 OH+N=H+NO 3.98-10'° 0 0
25 H2O+M=H+OH+M 2.19-1013 0 52.92
26 H+O2+M=HO2+M 1.51-109 0 -0.50
27 O+CO+M=CO2+M 5.89-109 0 2.06
28 O+CO2=O2+CO 1 90-10*° 0 27.29
129
,avnH сохранения массы всех химических элементов. Число
1) Выполняется закон с р равНо числу химических элементов,
уравнений. отрв«ее эт В "Р" —
2) Величина вну р нной системе в связи с установлением равно-
щепиях, происходят ннОЙ При этом Е не обязательно должно раС-
сматриват1^я^ качестве заданной величины. Она может быть и определяемой.
3) Многокомпонентная смесь подчиняется уравнению состояния смеси иде-
Как следует из §3 3.1, для замыкания задачи к этим условиям необходимо до-
бавить дополнительные соотношения. В частности такими соотношениями могут
быть соотношения действующих масс, которые являются следствием того, что
при химическом равновесии скорости прямых и обратных реакции равны.
Общей методической основой определения состава равновесной смеси газов
является принцип максимума энтропии для термодинамической системы [51, 44,
131]. С использованием этого принципа условие термодинамического равновесия
формулируется следующим образом; если у системы задана энергия Е и внеш-
ние параметры, то энтропия системы S при соответствующем равновесии внут-
ренних параметров имеет максимум.
К внешним параметрам системы относится давление и температура. К внут-
ренним параметрам относятся концентрации компонент смеси. Таким образом,
при химическом равновесии мольные концентрации компонентов Ck должны
быть таковыми, чтобы при заданной внутренней энергии Е ^^CkEk энтропия
k
смеси S = Y СkSk имела максимальное значение. Здесь и далее Ek , Sk и объ-
ем Vk относятся к одному молю й-той компоненты смеси, а Е и S к единице
объема.
Для иллюстрации принципа максимума энтропии получим на основе его ис-
ма1эн°ВпНИЯ соотнои1ение зак°на действующих масс (3.31). Из условия максиму-
ма энтропии следует 7
dS = YCkdSk^SkdCk^
™и, так как в соответствии dS„ + ftdn)>HMeeM
+ S[StdC» + ~J=0. (3.37)
в свою Очередь, исходя из того что
ских реакциях не изменяется имеем В1^Ренняя энергия смеси при химиче-
~£-a^kdCk + СkdEk = 0 . Используя
ЭТО соотношение, исключим У с dv
L из (3.37). в результате получим
^'E^k+ZCkPk/TdVt=o
134
CH + 2(?2 — CO2 + 2/f
в [49] на основании этих работ приводится аппроксимирующее реальный кинети-
ческий механизм соотношение
й>Сн4 = -р2Ссн^ Cq2 ехр(- Е! RqT) , Е=18000 кал/моль.
3.4 Основные гипотезы для турбулентных течений
химически реагирующих многокомпонентных смесей
Предполагая, что переменность осредненных теплофизических свойств и тер-
модинамических параметров газа не приводит к качественному изменению харак-
теристик пульсационного движения, рассмотренные в §2.3 гипотезы и модели
турбулентных течений могут быть обобщены на течение газовой смеси с химиче-
скими реакциями.
В случае турбулентного движения реагирующих газовых смесей средняя ско-
рость химических превращений существенным образом зависит от интенсивности
пульсационного движения. При упрощенных подходах к описанию турбулентно-
го течения реагирующей смеси газов предполагают, что осреднение скорости хи-
мических реакций определяется осредненными величинами. В некоторых случаях
это может оказаться весьма приближенным. Для смесей газов сохраняется форма
записи основных законов сохранения, полученная на основе осреднения.
Следует отметить, что турбулентное смешение не должно немедленно приво-
дить к химической реакции, т.к. химические реакции происходят на молекуляр-
ном уровне смешения реагентов. В турбулентном потоке наряду с пульсациями
происходит молекулярная диссипация турбулентности, лимитирующая скорость
химических процессов. В связи с этим возникает необходимость формулирования
дополнительных уравнений баланса для пульсационных характеристик всех па-
раметров течения. При этом почти всегда неизбежен ввод эмпирической инфор-
мации. Влияние пульсаций должно быть существенным на начальной стадии хи-
мических реакций.
При получении осредненных уравнений переноса химических веществ (3.16)
появляется необходимость определения осредненных произведений значений
пульсации газодинамических параметров и массовых концентраций компонент.
Так же как и для турбулентных течений однородного газа, для многокомпонент-
ных смесей широко используется гипотеза о пропорциональности осредненных
произведений пульсационных составляющих градиентам осредненных парамет-
ров. Рассмотрим для определенности осредненные произведения pVxXh. При-
мем, что pVy = pVy + (pV^ ) и Xk = Xk + Xk , получим
₽к,х» .
При этом учтем, что среднее значение пульсационной составляющей рассмат-
риваемой характеристики равно нулю (более подробно в §2.3). Второе слагаемое
в последнем соотношении отражает влияние турбулентности на вклад в перенос
вещества k в направлении оси Оу . Принимая по аналогии с ламинарным течени-
131
при этом константа равновесия определяется соотношением
* дг -
Учитывая важность чакона действующих масс для практических применений
рассмотрим различные формы записи этого закона. Как следует из (3.39), уравне-
ние (3.31) можно переписать в виде, содержащем парциальные давления. Для это-
го воспользуемся связью парциального давления с числом молей в единице объе
ма, вытекающей из уравнения состояния, записанного для /г-той компоненты
Pfe Pk
Ck-mk'R.T
С учетом этого соотношения (3 31) перепишем в виде
'РвЬ- =кр(т),
PVd Рс
(3.391)
где Kp(7')=K\t) (RJYv.
И, наконец, перепишем соотношение (3.31) в виде, содержащем относитель-
ные мольные концентрации nk . Из (3.3) имеем Ck=nk- = nk N/V, где
N р
N/V - число молей всех компонент в единице объема. Учитывая, что — = — и
V m
используя уравнение состояния (3.11), получаем
Сл R T nk
С учетом этого соотношение (3.31) можно записать в виде
( RT'>\^Va
где Кп(т,р)= -----------I - константа равновесия а-той реакции в случае,
если состав смеси задается относительными мольными концентрациями, vak ~
стехиометрический коэффициент вещества k а -той химической реакции,
Ava = vaA +vaB ~ (vaD + vac) ~ изменение числа молей в химической реакции.
Если в а-той реакции количество молей не изменяется, т.е. Ava = 0, то кон-
стантой равновесия Кп является функция только температуры. В свою очередь
константы КДт) и Кп(Т,р) можно связать соотношением
р
136
Другой подход связан с применением метода функции плотности вероятно-
сти. В основе метода лежит использование эволюционных уравнений для функ-
ции плотности вероятности [91, 93, 132, 174]. Подробное обоснование метода
функции плотности вероятности и описание результатов содержится в [174]. Од-
нако применение этого метода требует проведения довольно большого объема
вычислений, что ограничивает его использование простейшими реагирующими
системами. Увеличение числа реагирующих компонент приводит к росту незави-
симых переменных. Существует некоторая формальная аналогия с методологией
кинетической теории газов. Практические возможности метода функции плотно-
сти вероятности расширяются, если описание процессов с использованием этого
метода применять не для всех переменных, а лишь для некоторых из них, сохра-
няя для других переменных описания на основе уравнений § 3.1 и § 3.4. В качест-
ве переменных, описываемых с помощью метода функции плотности вероятно-
сти, используются концентрации реагирующих компонент, температуры и плот-
ности.
3.5 Термодинамический расчет химически равновесных
газофазных процессов
3.5.1 Формулировка задачи о расчете параметров равновесной смеси газов
Химические реакции, протека» • -,ие в смеси газов, в конце концов приходят к
состоянию равновесия, в котором концентрации кажд о из участвующих в реак-
ции веществ не изменяются. Этот случай равновесия называют химическим рав-
новесием.
Задача расчета термодинамического равновесия заключается в определении
всех параметров и термодинамических свойств равновесной системы. Состояние
химического равновесия определяется только термодинамическими параметрами
системы и не зависит от того, в результате каких реакций достигнуто равновесие.
При расчете параметров равновесной смеси газов необходимо определить коли-
чество компонент смеси и их концентрации, а также газодинамические и термо-
динамические параметры: давление р, удельный объем v, температуру Т, внут-
реннюю энергию Е, энтальпию i, энтропию S. Чтобы однозначно охарактеризо-
вать состояние, необходимо и достаточно задать содержание химических элемен-
тов в рабочем теле и значения двух из перечисленных газодинамических и термо-
динамических параметров. Их выбор может быть произволен и определяться ис-
ходя из технологического процесса и возможностей контроля его параметров.
Обычно задают значения одного “механического” (давление рили объем V) и
одного “термодинамического” и “энергетического” параметров (Т, Е, i или S).
Набор компонент, концентрации которых определяются при расчете, целесооб-
разно ограничить компонентами, которые присутствуют в смеси в заметном ко-
личестве. Это требует априорного задания количества и вида компонент с после-
дующим подтверждением правильности выбора в результате решения задачи.
Таким образом, определение параметров равновесного состояния смеси за-
ключается в нахождении значений зависимых переменных, включая число молей
компонентов (или их концентраций). Но при этом на искомые величины налага-
ются дополнительные ограничения, вытекающие из физических и термодинами-
ческих положений. Эти ограничения сводятся к следующему.
133
Между предполагаемыми компонентами равновесном смеси, как это следует
из § 3 4 может протекать большое количество реакции Так как параметры, ха-
рактеризующие химическое равновесие, не зависят от пути перехода газовой сме-
си в равновесное состояние, то в качестве химических реакции, законы дейст-
вующих масс для которых включаются в систему уравнении, могут быть выбраны
любые независимые реакции между компонентами смеси, концентрации которых
нужно определить. Требование независимое ги реакции означает, что стехиомет-
рическое уравнение ни одной из рассматриваемых реакции не может быть позу-
чено линейной комбинацией других рассматриваемых реакций.
Как эго отмечено в начале параграфа, равновесный состав газовой смеси оп-
ределяется ее элементным составом, температурой и давлением. В свою очередь,
если рассматривать процесс, происходящий в заданном объеме V реакционного
пространства, температура Т и давление р смеси газов определяются составом
газа и тепловым эффектом химических реакций.
В этом случае для определения р и Т необходимо воспользоваться уравнени-
ем состояния газовой смеси и уравнением, выражающим условие сохранения
энергии.
Если iexod - удельная энтальпия исходных газовых компонент, 1вых^Г) -
удельная энтальпия продуктов реакции и Qw - энергия, отводимая (подводимая)
от единицы массы газа (теплопередача и др.), то температура определяется из
}равнения
1вых(Т) i-вход ~ Qw • (3 43)
Давление определяется из уравнения, являющегося следствием уравнения со-
стояния при условии постоянства объема и массы в .ществ, участвующих в процессе
р=р„~
(3 44)
де то ,Т„ ,рс эффективная молекулярная масса, температура исходных газовых
сов^Улельная эмтяп реакционном пространстве до начала химических процес-
по формуле ЬПИЯ ИЛИ ЭНергия пРоДУктов реакции может быть определена
"Ч
В свою очередь, мольная компонента ЛДт) «
шью аппроксимационного соотношения (3.13) определена с номо-
реагирующих газов в реавдионн ИНамичеси,го расчета смеси равновесно
массы необходимо решать систему Уравн^ий^Х)3-^”^0 °бЪСМа И задаИН°Й
138
Так как Vk - объем одного моля газа, а Ск - количество молей в единице
объема, то Vk =-^-, откуда следует dVk = . С учетом этого последнее урав-
Сь Ck
нение можно переписать в виде
Используя условие сохранения массы химических элементов, записанное в
виде (3.27) = const, получим
X(SkT~Ek-pkVk)vk^O.
(3.38)
Tf dT
В свою очередь имеем pkVk = R0T, Sk = |CV.-----------Ro In pk + JR0 In p0,
0
Ek -EOk + fa^dT [44, 51]. Тогда для выражения в скобках под знаком суммы
о
можно переписать в виде:
s»T-n-ftn = -В0Г1пр1 +т[си -
о
т А
Ео+ fcvd7 -ВТ.
о )
После очевидных упрощений из последнего соотношения следует:
Sk? ~Ek~ PiYk = In + со (Г),
где со (7) = Т JcF/ — + RqCVi - f Ео + JcrdT | - RT.
о Т I о J
Подставляя это выражение в (3.44), получаем,
=2Lvfecofe(T) или =^vfecofc,
k k
откуда следует
П₽?=ехр^-^.
(3-39)
мае?П ЧП T (3’46) "° является соотношением закона действующих
масс (3.31), записанным относительно парциальных давлений газовых компонент,
135
5) СО + ЗН2^СН4+Н2О,
6) 2СО + 2Н2^СН4+СО2.
„11МЙ являются независимыми. Например, уравнение реак.
Не все из эгих Реакц ением уравнений 4 и 5; умножив уравнение 4 на
ции 6 может быгьнолу^^ 3> получим уравнение 1 и т.д. Набор независимых
два, исходя из возможности упрощения алгоритма расчета со-
~ независимых реакций выберем реакции
' Уравнения, выражающие условия равновесия этих реакций, записываются в виде
Z Ч , псо ' по2
пн2о
(3.45)
крАт')/р2^
2 „2
пСО ' пН2
ПСН< 'псо2
Соотношения, необходимые для определения функциональной зависимости
Кр(Т), могут быть получены с использованием данных из [142], где приведены
константы равновесия реакций диссоциации различных газов. Константы равно-
весия произвольной реакции могут быть представлены в виде некоторой зависи-
мости от констант равновесия диссоциации газов, принимающих участие в рас-
сматриваемой реакции. Проиллюстрируем это на примере реакции 1. Для получе-
ния уравнения этой реакции рассмотрг .. диссоциацию О2 , СО и СО2:
а) О2+М<г+2О,
б) СО + М оС + О,
в) СО2+М<->С + 2О.
тли уоавнеттяРаВНеИИе На ДВа’ а уРавнение (в) - на минус два и сложив все
^но^ИЯзапИшХГввдеВНСНИе Pea”“™ L Дм ₽еак“™ <»>• <«• «
К
Ро2
= pL=p^o_t
ро2 пОг ’
Ко =Рс^Ро__ ПС-по
Рсо - р-----У-
Рсо псо
КРсаг
Рсо, пСОг
Исключая ,13Этихсо(>тно
с и по > получим
140
Зависимости констант равновесия от температуры и давления могут быть опреде-
лены методами статистической термодинамики [51] Для многих реакций имеют-
ся затабулированные значения констант равновесия и аппромаксимационные со-
отношения. В частности, в [142] приведены логарифмы констант равновесия
lgKp(T) и константы равновесия Кр(т) реакций диссоциации 220 газов в диа-
пазоне температур Т=300 20000К. В этом же справочнике приведены коэффи-
циенты в интерполяционных формулах для логарифмов равновесия реакции дис-
социации газов.
Теперь рассмотрим уравнения, выражающие условия сохранения массы эле-
ментов в химических реакциях. Используя (3.3), (3.4) и (3.10) можем записать
Л=1 mk m fe=1
где nk - относительная мольная концентрация k-oro компонента.
Учитывая, что m = ^mhnk , это уравнение можно переписать в виде:
^Neikmei / mk - Xet ) mknk = 0,i = 1,2,..., Кe, (3 40)
k
где Ke - количество химических элементов в смеси.
К этим уравнениям добавим следующее соотношение:
(3-41)
fei
Массовые концентрации химических элементов могут быть определены из
уравнения диффузии химических элементов (3.17). Поскольку в газофазных хи-
мических реакциях массовая доля химического элемента не изменяется, то во
многих случаях массовый состав химических элементов известен и определяется
исходными данными, исходя из массовых долей исходных веществ и их химиче-
ских формул.
Таким образом, условия сохранения массы химических элементов дают
Ке +1 линейных алгебраических уравнений (3.40), (3.41) для определения К
неизвестных относительных мольных концентраций nk при условии, что массо-
вые концентрации элемента X? определены.
Дополним эту систему уравнений уравнениями, вытекающими из закона дей-
ствующих масс для любых независимых К - (Ке +1) химических реакций, кото-
рые могут происходить между компонентами смеси. При этом удобно для замы-
кания системы уравнений (3 40), (3.41) для nk воспользоваться уравнением дей-
ствующих масс, записанных для относительных мольных концентраций, которые
перепишем в виде:
-Kan(P,T)nvD-Dn^c =0, а = 1, 2,..., К-(ке +1). (3.42)
137
* М насчет концентраций смеси, состоящей из семи ко™ОНС(|т
Таким обратом, рост ся к решению системы семи rpancUc„;KH.r_
уДения (3.41) „ уравне„ий (3.45) При
ных уравнении: трех урав „ обьеме реакционного пространства к
заданных температуре >"с* д уравнения (3,43) и (3.44), что позволит оПре.
™ системе смеси Для решения такой енстемм
делить давление и температуру F
уравнений применяют итерационный метод.
уравнении р огсутстВии той или инои компоненты, соотношения
В некоторых с у .Р нт при заданных давлении и температуре
для определения —В [73] ^™»’»™ соответствующие еоотношен™
можно получить в явном в д с I J Р _ и N з _ со со н 0
для смесей, состоящих из. I - LO и си2, ’ П2>
4 СО, СО2, Н2, Н2О, N.
3 5.3 Использование принципа минимума энтропии для определения
равновесного состава многокомпонентной смеси газов
Для определения равновесного состава смеси необходимо решить систему
уравнений, включающую: трансцендентные уравнения закона действующих масс
для выбранной совокупности химических реакций; систему линейных уравнений,
выражающих закон сохранения элементов; соотношение, выражающее закон со-
хранения энергии; уравнение состояния для смеси. Полученная таким образом
система уравнений, решается итерационными методами. При этом возникают
проблемы с выбором достаточно хорошо сходящихся итерационных алгоритмов.
Это связано с тем, что полученная система уравнений во многих случаях является
плохо обусловленной в силу того, что небольшие изменения в значениях опреде-
ляющих параметров (например, давление и температура смеси) могут привести к
значительным изменениям всего компонентного состава. Другой особенностью
задачи является неоднозначность в выборе системы независимых реакций. Равно-
значные химические реакции могут происходить одновременно, и выбор той или
иной системы независимых реакций определяет степень сложности получаемых
трансцендентных уравнений. Следующей проблемой является необходимость
выбора веществ, которые могут присутствовать в равновесной смеси. При одном
и том же наборе химических элементов различных их комбинаций может быть
достаточно много. Например, для C-O-H-N среды в качестве продуктов ре-
акции может рассматриваться, как это было отмечено ранее на примере описания
мстана, олее веществ. Ответ на вопрос, какие из этих веществ будут присут-
з17ь^нГеТ“ КОЛИЧеСтае’ М°ЖеТ быть найден "°™е специального анализа,
ствовать в nnonv^T СТ°роНЫ’ не пропустить те вещества, которые могут присут-
с другой стороны ппш«аКЦИИ’ Заметно влияя на их термодинамические свойства,
явТнием^^ Xo^XTa= “ ~ ‘
на действующих масс увеличивается Трансцендентных Уравнении зако-
решения системы уравнений и к nnnfin Э пРИв°Дит к усложнению численного
ционного процесса. Р емам констРУИрования сходящегося итера-
алгоритма расчета рТвТХюныГгаГКТИЧеСКИЙ^НТереС РазРаботка обобщенного
от количества компонент смеси и М°ВЫХ СМесей> сложность которого не зависит
спользование которого не требует выбора не-
142
3.5.2 Расчет равновесного состава смеси на основе соотношений
действующих масс и уравнений материального баланса
Пользуясь приведенными в [142] данными и принципом независимости пара-
метров состояния равновесия от пути, по которому система пришла в это состоя-
ние, можно определить константы равновесия многих практически интересных
реакций.
В качестве иллюстрации определения равновесия состава газовой смеси рас-
смотрим газовую смесь, состоящую из смеси компонент
СО, Н2, СО2, Н2О, СН±, О2, N2, которые пронумеруем 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 соответ-
ственно. Эти компоненты состоят из четырех элементов O,C,H,N, которые
пронумеруем 1, 2, 3, 4.
Определение равновесного состава этой смеси является составной частью
расчета параметров процессов, происходящих в углеводородных смесях, т.е. в так
называемых C-O-H-N средах.
Будем считать, что массовые концентрации химических элементов заданы.
Входящие в уравнения сохранения массы элементов молекулярные массы компо-
нентов npi чедены в таблице.
Цифрами везде обозначены номера компонентов и элементов
k 1 2 3 4 5 “6 7
кг mk моль 0.028 0.002 0.044 0.018 - а - 0.016 0.032 0.028
Матрица Ne f коэффициенты Nfk которой определяют количество атомов i-
того элемента в й-той компоненте может быть записана в виде
1 0 2 1 0 2 0
1010100
0202400
0 0 0 0 0 0 2
В рассматриваемом примере имеем смесь из 7 компонентов, состоящих из че-
тырех элементов. Для определения концентраций компонент имеем три уравне-
ния вида (3.40) и уравнение (3.41). Для замыкания задачи определения равновес-
ного состава необходимо использовать три уравнения закона действующих масс
вида (3.42).
Между рассматриваемыми компонентами могут происходить различные хи-
мические реакции, например
1) 2СО + О2 <>2СО2,
2) СН4 + 2О2 о СО2 + Н2О,
3) 2Н2+О2 <г>2Н2О,
4) СО + Н2О <^СО2+Н2,
139
Дифференцируя функцию Лагранжа по давлению р и приравнивая ре-,уль,п
нулю, получим
= RbTYMi | = XpV = O
ф др \ /=i )
Т. к V * 0, то имеем Хр = 0 •
При дифференцировании функции L по температуре примем во внимание, что
частные производные по температуре берутся при постоянном давлении. Следо-
вательно, так как энтропия и полная энергия, входящие в L, относятся к одному
молю вещества, эти производные берутся при постоянном объеме. Тогда
8Т Т ' сТ Vh'
где Су* - теплоемкость k-того компонента при постоянном объеме
С учетом этого имеем при ).р = О
^“§сг,^+х‘)м‘=0.
откуда
Возьмем теперь частные производные от L по числам молей Mk
dL д ( ( р тм Л А
8 Ке
+X о
После выполнения дифференцирования и учитывая, что Ч =-1, ПОл)чим
s°k-R. ~~~-R+
Т V 2^kejnkj^Q
Учитывая, что RoT + Uh = T
k еднее соотношение можно переписать в виде
^к ~Т ^nMk-R + Vi л
(3.46)
k = 1,2,
(3 46)
144
2
РСО2_______ р пСО • пО2
ЛРо2 ЛРсо ПСО2
Сопоставим это выражение с (3.41), имеем
КР.(Г)=
Pco-2
К2
PO2 Pco
или
lg^n =21gKpcos -IgX^ -2lgX,
Зависимости от температуры констант равновесия реакций диссоциации раз-
личных газов могут быть аппроксимированы следующей формулой:
lgK'f)(T)=felnx + ,
j=-2
где x = T7104 , температура находится в диапазоне 293,15 < Т < 6000К.
Значения коэффициен /ов kj для большого количества газов приведены в
[142]. Использовав значения коэффициентов fejC°2 \ fej°2 \ fej°\ определим коэф-
фициенты аппроксимационного соотношения для константы равновесия Кр^.
= 2fejc°2 - fej°2 - 2fejco>,
где j — номер соответствующего коэффициента в аппроксимирующей формуле.
Аналогичным образом можно определить коэффициенты аппроксимирующих
соотношений для Кр^ и К р& . Коэффициенты kt приведены в таблице 3.10.
Таблица 3.10
Коэффициенты в интерполяционных формулах для констант равновесия
Номер реакции k fe_2*104 fe_i fy) k2
1 -0.32476 -3 492 2.97578 -10.6344 7.36369 -15.8078
3 -1.4580 .8479 2.4802 -8 3963 3 0621 8 019
6 -4.32074 0.1134 1.1932 -26.3913 39.8078 -84.3668
I [родолжение таблицы 3 10
Номер реакции ^3 К fey
1 24.5837 -20.6932 0.3285 14.386 -38.109
3 -32 5177 46.3236 -15.7891 -25 288 -9.791
6 133.809 -116.36 7.91120 72.362 -42.248
141
и сланном объеме реагирующего пространства и за-
4) СгоРа^ео^”^Иэ^аерг^и3Задаваемь1е параметры Е, V, определяемые пара-
данной п j
МеТРЫ ’ L MOI VT быть выполнены с помощью единой системы уравне.
Все эти расчеты могут о необходимо задать зависимость от темпера-
ний. Для замыкания этих урав омПОНентов рассматриваемой смеси. Не-
туры э„™ь„™ И этих зависимостей приведена в [142) в
обходимая информация для опр Д -
«ипе таблиц и аппроксимационных соотношении.
виде таблиц и Р система нелинейных уравнении решается методом
Полученная таким Р Ньютона [72]. Определение последующего ите-
последовательных при л предЬ1дущем приближении осуществляется с
рационного решени р зависимостей, накладывающих ограничения на
--- итерационном Шате. Система линей-
Хх ^“браических уравнений, полученная на каждом итерационном цикле,
может быть записана в общем виде
К,
aki T+ak2-V + ak3 • К + S°^3+i • = aki+Ke’
i=i
(fe = l,2,...,iCe+3).
В этих уравнениях в качестве новых неизвестных переменных использованы
Xi = In(I = 1,2,-Л); у = ln^-ln(BoTp).
На каждой итерации по Ньютону новые значения искомых переменных опре-
деляются из выписанной системы уравнений и, если они выходят из области до-
пустимых значений или слишком быстро изменяются, то корректируются в соот-
ветствие с дополнительными условиями [131], накладываемыми на градиенты
искомых неизвестных.
Для изложенной методики расчета характерна высокая степень универсально-
сти и единообразия полученной системы уравнений, которая пригодна без всяких
изменений к расчету любых видов и любых смесей газов. Это определяется тем,
что необходимая для расчета информация касается только термодинамических
свойств компонентов. Представляется возможность создание расчетных ал> орит-
мов, не зависимых от количества рассматриваемых компонентов и их видов.
Принципиальной особенностью этой методики по сравнению с методами, осно-
ванными на использовании констант равновесия и законов действующих масс,
является то, что для этой методики нет необходимости рассматривать химические
реакции, использовать константы равновесия и т.п. Это существенно упрощает
логику термодинамического анализа и математическую модель. При увеличении
числа рассматриваемых компонент увеличивается полное число уравнений, вид
этих уравнений не меняется и изменения в алгоритмы расчета не вносятся.
146
зависимых химических реакций. Такой алгоритм основывается на использовании
принципа максимума энтропии.
Перейдем к формулировке алгоритма численного определения параметров
термодинамически равновесной смеси газов, основанном на принципе максимума
энтропии. Для отыскания экстремума энтропии при ограничениях, связанных с
сохранением внутренней энергии и массы элементов при переходе к равновесно-
му состоянию и с учетом выполнения уравнения состояния, формулируется зада-
ча на условный экстремум. Для решения этой задачи в [131] предлагается исполь-
зовать метод неопределенных множителей Лагранжа [192]. В соответствии с этим
методом составляется вспомогательная функция Лагранжа
L = f(xl,x2,...,xn)+^ki(pi(x1,x2,...,xn),
i
где f(x1,x2,...,xn) - функция, для которой ищется условный экстремум, <pt- - ус-
ловия, ограничивающие область допустимых значений переменных, - неопре-
деленные множители Лагранжа.
В рассматриваемом случае ограничения, накладываемые функциями <pz, яв-
ляются следствием условий сохранения внутренней энергии смеси и массы хими-
ческих элементов, функция фр - следствие уравнения состояния. Используем для
определения концентрации компонент и химических элементов величины, равные
С
количеству молей вещества или элемента в килограмме смеси Мг = —^-. Тогда
Р
для срг, ф;, фр можем записать:
Ф1=-£а°+5>аЯа(Г),
k
k
^P=pV-R0T^Mh .
k
Произведя соответствующие подстановки, получим выражение для функции
Лагранжа
й=1 I *=1 )
| + A J pV-R^T^Mi
Условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю частных
производных этой функции по каждому аргументу. Полученная, исходя из этого,
система уравнений служит для определения параметров равновесного состояния.
143
- Г..ДППНРНТОВ в а-той реакции тогда можно определить как
ческих превращении компонентов в u i
Р где р и т - плотность и молярная масса смеси. Характерное время газо-
на ’
динамического пронесса определяете» как где L.V - масштабы дл» геомет-
рических размеров и скорости газа. Тогда число Дамкелера можно определить
соотношением
время потока _ L/U
Da ~ время реакций р/тWa
В соответствии с приведенными выше определениями при Da «1 имеет ме-
сто химически замороженное течение, при Da »1 равновесное течение Если
Da- 1 режим течения является кинетическим. Поскольку величина числа Дамке-
лера определяется скоростью химических реакций, то в реальном потоке возмож-
но существование нескольких режимов течения. По отношению к некоторым
компонентам смеси, которые принимают участие в медленно протекающих хи-
мических процессах, течение является замороженным. По отношению к другим
химическим компонентам, которые участвуют в быстро протекающих химиче-
ских процессах, течение являет..* равновесным. Для компонент, отношение вре-
мен химических превращений и газодинамических процессов которых конечно,
имеет место кинетический режим течения.
Рассмотренные режимы течения относятся к течениям предварительно пере-
мешанных смесей. В случае, если в технологический аппарат подаются не пере-
мешанные газы, представляет интерес сопоставить скорости изменения концен-
траций компонент в данной точке поля потока вследствие диффузионного пере-
носа и химических реакций. В связи с тем, что скорости химических превраще-
ний при достаточно высокой температуре, как правило, намного больше, чем ско-
рость диффузионного переноса, химическое взаимодействие между компонента-
ми лимитируется диффузией. В этом случае химическое взаимодействие проис-
ходит в узком фронте реагирования, который можно представить в виде поверх-
ности или линии. Вещества, вступающие в реакцию, разделены этой поверхно-
стью. На фронте реакции диффузионные потоки реаге ов находятся в стехио-
метрическом соотношении, и концентрации реагентов равны нулю. Такой режим
реагирования называют диффузионным. В количественн оценках для опреде-
ления диффузионною режима можно воспользоваться диффузионным числом
Дамкелера, которое определяется как отношение времени диффузии к времени
химических реакций. Полагая, что время диффузии имеет порядок —, для диф-
фузионною числа Дамкелера Dad можем записать
Dad = вРемя' диффузии _ L2/D
время реакций p/mWa '
Диффузионный режим реагирования
робно диффузионные рассмир11ваютсТя »1 - Волее под-
148
Теперь выпишем уравнения, которые получаются при дифференцировании
функции Лагранжа по множителям
~=-PV+R,TYMk^O, (3 47)
= %МЛ, =0, (j = 1,2,...,К. -1).
k=l
Таким образом, получаем систему (3.46'), (3.47), состоящую из А + АГе+1
уравнений относительно К + Ке+3 переменных: Mk(k = l,2,...,K),
ке. (/ = 1,2,..., Ке -1), р, V, Т, I, Е, S.
Дополним полученную систему уравнений уравнениями, определяющими эн-
тальпию, внутреннюю энергию и энтропию смеси.
к
~bCM+Xhk-Mk=0,
k=i
-®»+ЕЕ*м«=°- <348)
где hk ,Ek - энтальпия и внутренняя энергия одного моля A-того компонента, -
энтропия Ar-той компоненты при температуре Т и парциальном давлении в 1 атм.
Итак, получена система уравнений для определения параметров равновесного
состояния реагирующей смеси газов. Эта система состоит из К уравнений (3.46),
Ке +1 уравнений (3.47) и уравнений (3.48). Всего К + Ке +4 уравнения, содер-
жащих К + Ке+6 неизвестных: Mh[k-1,2,..., А) р, V, Т, I, U, S и
^О‘ = 1,2,..., А’е). Следовательно, для определения параметров равновесия реа-
гирующей смеси газов две характеристики смеси должны быть заданы так же, как
и элементный состав (содержание химических элементов в рабочем теле). Наибо-
лее часто при расчете технологических процессов возникает необходимость в оп-
ределении параметров равновесной смеси при одном из следующих условий.
1) Нагрев смеси до заданной температуры при заданном объеме. Задаваемые
параметры V, Т, определяемые параметры р, I. Е, S.
2) Равновесный состав смеси получают в результате сгорания топлива при за-
данном теплосодержании и давлении. Задаваемые параметры I, р, опреде-
ляемые параметры V, S, Е, Т.
3) Изэнтропическое расширение до заданного давления. Задаваемые парамет-
ры S, р, определяемые параметры Т, V, I, Е.
145
Глава 4
УМТОГОЕКОМПоХСТННЬ« СМЕСЕЙ
.„„™и тоеделью простые соотношения, которые дали ост-
„ожп "сть'бст^бых вычислительных трудностей выяснить основные особенно-
стХмоХннамическнх процессов. Приведенные в предыдущих двух главах
Хнения и математические модели отдельных процессов позволяют провести в
достаточно полной постановке исследования течении высокотемпературных та-
?ов Изложенные в этих главах особенности течении и формулировки математи-
ческих моделей далеко не исчерпывают проблему описания высокотемператур-
ных технологических процессов. В этих главах не рассмотрен, например, боль-
шой комплекс вопросов связанных с исследованием многофазных течений при
наличии гетерогенных химических реакций и фазовых переходов и ряд других
вопросов, возникающих при математическом моделировании газодинамических
процессов, сопровождающих высокотемпературные технологии. В то же время
уже приведенные математические модели и особенности описания газодинамиче-
ских процессов достаточно сложны для практического использования. Прежде
чем перейти к рассмотрению других аспектов высокотемпературных газодинами-
ческих процессов, связанных, в том числе, и с неоднофазностью течений, пред-
ставляется необходимым рассмотреть основные приемы упрощения математиче-
ских моделей на основе различных допущений и использования хорошо извест-
ных и надежных экспериментальных данных. Это позволит, с одной стороны, по-
лучить некоторые представления о методах решения задач, получить расчетные
соотношения для оценок практически важных параметров и, с другой стороны,
при включении в рассмотрение других термо- и газодинамических процессов,
например, связанных с гетерогенными химическими реакциями и фазовыми пе-
реходами, использовать рассмотренные в этой главе упрощенные уравнения и
соотношения.
4.1 Общая характеристика упрощений задач газовой динамики
опо2юлТюшихЧпгТЬЮ описанных в предыдущих главах математических моделей,
решений сфо₽—мных :•
лучения решений этих уравнений я«п °СН0ВНым ^Дством практического по-
ного решения с применением ЭВМ ПРиме”' методы числен-
дователя специальной подготовки и опыта г Э™Х МеТ°Д°В ^У” °Т Г
Вопросам численного решения полной ЧИСленных исследовании,
газовой динамики и анализу полученных пп УраВНений высокотемпературной
графин и многочисленные статьи Вс РИ ЭТ°М РезУльтатов посвящены моно-
ния и повышения мощности ЭВМ ЛеДСТВИе совеРшенствования методов реше-
Стокса достигнут значительный ппот^ргсЧ^СЛеНН°М Решении Уравнений Навье-
Гр • Однако состояние алгоритмического и
150
3.6 Режимы химических процессов при течении газовых смесей.
Число Дамкелера
Характер протекания химических и тепломассообменных процессов в значи-
тельной мере зависит от особенностей функционирования технологических аппа-
ратов и режима их работы. Это обуславливает использование специфических уп-
рощений при математическом моделировании этих процессов. Что касается хи-
мических процессов, то в выборе упрощенных моделей определяющее место за-
нимают соотношения между характерным временем химических реакций и вре-
менем, характерным для изменения газодинамических параметров. Характерное
время лирических реакций определяется скоростью протекания химических ре-
акций, которые зависят от массовых концентраций компонент, температуры и
давления. Характерное время газодинамических процессов зависит от скорости
переноса вещества, которая определяет время пребывания частиц га» в опреде-
ленном месте технологического пространства. Исходя из соотношения этих вре-
мен, выделяют два предельных режима течения. В случае, если время, за которое
происходит изменение газодинамических параметров, намного меньше, чем вре-
мя, необходимое для существенного изменения химического состава газовой сре-
ды, определяемого в свою очередь скоростью химических реакций, то газовые
компоненты не успевают вступить в химическое взаимодействие, и состав газа в
конкретном месте технологического пространства определяется только конвек-
тивным и диффузионным переносом компонент смеси. Этот режим течения назы-
вают химически “замороженным” или просто замороженным. Многокомпонент-
ная смесь газов в этом случае ведет себя как смесь инертных газов и химические
реакции можно не рассматривать.
Второй предельный режим течения определяется условием, что характерное
время химических реакций намного меньше характерного времени изменения
газодинамических параметров. В этом случае в каждой точке реакционного про-
странства химические реакции проходят до конца, и между компонентами смеси
достигается химическое равновесие. Такой режим течения называют равновес-
ным. При расчете течения смеси, находящейся в химическом равновесии, ско-
рость химической реакции считается бесконечно большой. В этом случае из сис-
темы определяющих уравнений исключаются уравнения диффузии газовых ком-
понент (3.16) и вместо них используют уравнения переноса (диффузии) химиче-
ских элементов (3.17). При найденных в рассматриваемой точке реакционного
пространства концентрациях химических элементов, а так же известных давлении
и температуре газа концентрация компонент смеси находится на основании зако-
на действующих масс и других соотношений, описанных в 3.2. Алгоритмы опре-
деления состава равновесной смеси описаны в предыдущем параграфе.
В количественном отношении характер течения определяется числом Дамке-
лера Da, которое по сути представляет собой отношение характерного времени
изменения газодинамических параметров к характерному времени химических
превращений. Этот параметр введен немецким ученым Геральдом Дамкелером в
тридцатых годах прошлого столетия [195].
В соответствии с §3.2 скорость изменения мольных концентраций компонент
Г- ТТ7 МОЛЬ _
в единице объема гГа имеет размерность —-—. Тогда характерное время хими-
147
этических оценок отдельных инерционных и дИс.
вье-Стокса в результате асиМ енной близости от обтекаемых поверхностей
сипативных эффектов в Д ыс газовые потоки - слоев смешения. Тео-
или поверхностей, раздели шI я достаточно развита для практического
рия пограничного.слоя исследования течений высокотемпературных га-
ЭТ°Й Те°РИИ ~ В
УЧСПриЙ"«’б’“ЯИМ0 Решение давнений
невязкХбтекакня и пограничного слоя. При этом решения уравнении потра.
““’ ого опоя удовлетворяют на поверхности тела граничным условиям, форму,
лируемым для уравнений Навье-Стокса. На внешней границе пограничного
ело» формулируются условия асимптотического сопряжения с решением уравне-
НИЙ Эйлера. В свою очередь решения уравнении Эйлера должны удовлетворять
этим условиям сопряжения на поверхности тела и каким либо условиям на внеш-
ней границе расчетной области. В некоторых случаях возможно описание тече-
ний только с использованием уравнений пограничного слоя. Это относится к те-
чениям, в которых изменение давления в поперечном к основному течению на-
правлению пренебрежимо мало, что имеет место при течении в гладких трубах,
каналах, а также в некоторых струйных дозвуковых течениях.
В настоящей главе обсуждаются перечисленные математические модели для
упрощенного решения задач газовой динамики. В простейших случаях приводят-
ся аналитические решения соответствующих уравнений и эмпирические соотно-
шения, которые могут использоваться при оценках параметров некоторых техно-
логических процессов. Наряду с этим описываются типичные алгоритмы числен-
ного решения соответствующих задач. Примеры использования представленных в
настоящей главе упрощений, соотношений и алгоритмов приводятся в главах 6 -
9 при рассмотрении конкретных примеров. В целях замкнутого представления о
современных методах решений задач газовой динамики в последнем параграфе
настоящей главы приводится краткая информация о современных методах чис-
ленного решения полной системы неупрощенных уравнений газовой динамики В
целях простоты изложения рассматриваются подходы к решению двумерных за-
дач, о о щения которых на трехмерный случай не представляет затруднений.
4.2 Течения невязкого газа
ются процессы ииепЧаЯХ определяющими газодинамическими процессами явля-
ХТи^ пеРен°са массы вещества, количе-
ляются второстепенными и ^этапах пппТ^6 ° ДИССИПацИеЙ и Диффузией, яв-
могут не учитываться. В значительной Р Ведения оденок изменения параметров
нестационарным процессам или к ста..?^ Э™ 0ТН0СИТСЯ к быстропротекающим
телыто небольшим отношением _™Нарным "Россам в аппаратах с относи-
та к его объему. Дп, „„„“„«"Хх" 0ГР“Г"=а““«« поверхностей аппара-
приближением невязкого газа В н течений целесообразно воспользоваться
нения динамики невязкого газа. Коу™146*4 разделе приводятся основные урав-
нессами, имеющими место при залу/ ВОПРОСОВ’ связанных с переходными про-
нологических устройств, требует пяг^6’ останове или смене режима работы тех-
времени и пространстве, процессов вМ°Трения нестационарных, меняющихся во
связи с этим на примере одномерных про-
ми тст™" ХИМИЧеских "Р««еов между газовыми компонента-
окрестности технологических поверхностей оказывают влияние и катапити
ческие свойства материала поверхности. Во многих практических случаях ката’
литические свойства поверхности приводят к достаточно большой сХрости хи
скорость ОСН°В"ОГО пот°ка' «°™1 химические реакции идут с конечной
149
отеческих оценок отдельных инерционных и дис-
вье-Стокса в результате acHMnJe нной близости от обтекаемых поверхностей
сипазивных эффектов в непосред газовые потоки - слоев смешения. Тео-
или поверхностей, разделяющих Р достаточно развита для практического
рия пограничного слоя в насто ия течеНий высокотемпературных га-
применсния, в том числе и Д применения этой теории изложены в
зов. Основные положения и результате, 1(Р 18g]
учебной литературе, на"рИМ^че^и^ /[еобхоДимо совместное решение уравнений
При расчете некот р orQ слоя При этом решения уравнений погра-
ZZX““”«opIUo. но поверхности тела граничным условиям, форму.
л™уемм“лл» Уравнений НаоьеТтокса. На внешней "границе пограничного
слоя формулируются условия асимптотического сопряжения с решением уравне-
ний Эйлера. В свою очередь решения уравнении Эйлера должны удовлетворять
этим условиям сопряжения на поверхности тела и каким либо условиям на внеш-
ней границе расчетной области. В некоторых случаях возможно описание тече-
ний только с использованием уравнений пограничного слоя. Это относится к те-
чениям, в которых изменение давления в поперечном к основному течению на-
правлению пренебрежимо мало, что имеет место при течении в гладких трубах,
каналах, а также в некоторых струйных дозвуковых течениях.
В настоящей главе обсуждаются перечисленные математические модели для
упрощенного решения задач газовой динамики. В простейших случаях приводят-
ся аналитические решения соответствующих уравнений и эмпирические соотно-
шения, которые могут использоваться при оценках параметров некоторых техно-
логических процессов. Наряду с этим описываются типичные алгоритмы числен-
ного решения соответствующих задач. Примеры использования представленных в
настоящей главе упрощений, соотношений и алгоритмов приводятся в главах 6 -
9 при рассмотрении конкретных примеров. В целях замкнутого представления о
современных методах решений задач газовой динамики в последнем параграфе
настоящей главы приводится краткая информация о современных методах чис-
ленного решения полной системы неупрощенных уравнений газовой динамики. В
целях простоты изложения рассматриваются подходы к решению двумерных за-
дач, обобщения которых на трехмерный случай не представляет затруднений.
4.2 Течения невязкого газа
югся процессы инеппи^ 0Пределяю1цими газодинамическими процессами явля-
ства движения и энергишЭфф™6 связаннью МаССЫ ВеЩеСТВа’ К0ЛИЧе‘
ляются второстепенными и на этапах поове лисс™ацией и диффузией, яв-
могут не учитываться. В значительной меп? °ЦеН°К ИЗМенения параметров
нестационарным процессам или к ставив Э™ °ТН0Сится к быстропротекающим
тельно небольшим отношением плотя РНЫМ процессам в аппаратах с относи-
та к его объему. Для описанияповерхностей аппара-
приближепием невязкого газа. В насто Чении целесообразно воспользоваться
нения динамики невязкого газа. Knvr ^ЩеМ разделе приводятся основные урав-
цессами, имеющими место при запуск? °Просов’ связанных с переходными про-
нологических устройств, требует оассмп^?ТаН°Ве ИЛИ смене режима работы тех-
времени и пространстве, процессов. В свя™"?* Иестационарных, меняющихся во
152 С этим на примере одномерных про-
программного обеспечения так же как мощности современной вычислительной
техники массового распространения накладывают все же серьезные ограничения
на повседневное применение методов и программ численного решения уравнение
Навье Стокса для расчетов технологических процессов. В значительной мере эти
ограничения связаны с тем, что для большинства практически интересных тече-
ний в технологических аппаратах характерны большие числа Рейнольдса и тур-
булентный режим течения. Для течений с большими числами Рейнольдса харак-
терно крайне нерегулярное поведение параметров в поле потока, выражающееся в
появлении зон с резким их изменением: слоев смешения, пограничных слоев, зон
отрыва потока и т.д. Толщина этих областей пренебрежимо мала по сравнению с
характерными геометрическими размерами и в тоже время течения в этих облас-
тях в существенной мере влияют на картину течения в целом и важны для опре-
деления практически важных параметров. Трудности возрастают при исследова-
нии турбулентных течений. Это связано, с одной стороны, с необходимостью
привлечения эмпирической информации для замыкания существующих теорий
турбулентности, с другой стороны - с дальнейшим усложнением системы диффе-
ренциальных уравнений, описывающих осредненные турбулентные течения и их
микроструктуру [68, 93, 174]. Включение в математическую модель физико-
химических процессов горение, диссоциацию, ионизацию и др. еще более услож-
няет задачу. Дальнейшее усложнение математических моделей высокотемпера-
турной газовой динамики имеет место при рассмотрении гетерогенных процессов
при взаимодействии высокотемпературного газа с частицами твердой и жидкой
фаз, что сопутствует многим технологическим процессам. Математические моде-
ли неоднофазных течений рассматриваются в следующей главе. Отмеченные об-
стоятельства приводят к тому, что для исследования газодинамических процессов
широко используются различные допущения, позволяющие упростить постанов-
ку задачи. Эти допущения основаны как на строгих асимптотических оценках, так
и на интуитивных соображениях. В результате этого формулируются упрощен-
ные математические модели, оптимальные с точки зрения их адекватности изу-
чаемым физическим процессам и реализуемости на ЭВМ при помощи имеющих-
ся алгоритмов. Эти математические модели широко применяются для расчетов
течений в струях [27, 28, 29, 40 96, 141 и др.], в соплах и каналах [96, 113 и др.],
для течений, связанных с обтеканием поверхностей [77, 81, 117, 148, 187 и др.],
истечения газа из технологических емкостей [25, 53, 152, 160 и др.] и т.д.
Основные пути и направления упрощения уравнений Навье-Стокса при реше-
нии практических задач описаны в [164, 148, 201]. При больших числах Re в пер-
вом приближении расчет газодинамических течений сводится к решению уравне-
ний, которые описывают течения без учета влияния вязкости газа — уравнения
Эйлера. Для отдельных процессов, связанных с истечением газа из достаточно
больших емкостей, могут быть проведены дальнейшие упрощения математиче-
ской постановки задачи. В частности, течение в емкости может описываться в
среднеобъемном приближении, в рамках которого расчет изменения параметров
сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение урав-
нений Эйлера позволяет определить распределение давления на обтекаемых по-
верхностях технологических аппаратов и провести исследования конвективного
переноса вещества и энергии внутри технологических аппаратов. При необходи-
мости определения сил трения, тепловых и диффузионных потоков необходимо
использовать уравнения пограничного слоя, которые вытекают из уравнений На-
151
Наряду с этой формой записи широко используется в газодинамическ W
четах дивергентная форма записи уравнений Эйлера Их Рас-
SA dF dG .-jy
dt дх ду
(4.5)
где A,F,G,W - векторы газодинамических комплексов, которые выражаются
через газодинамические параметры следующими соотношениями:
A = ^,pVx,pVy,pE,pXk\
F = R . № + p\{pVxVy \pVxio, pVxXk },
G^Vy,pVxVy,pVy2 + P,PVyio,pVyXk],
W = jm,pX + XKmjc ’P^ + Г
Преимуществом этой записи уравнений является то, что она наиболее орга-
нично отражает действие за нов сохранения. В связи с этим ее часто называют
консервативной формой записи или записью уравнении в форме законов сохра-
нения. Эти преимущества наиболее ярко и принципиально проявляются при ис-
пользовании конечноразностных методов численного решения задач газовой ди-
намики, так как позволяют производить расчет течений с разрывами газодинами-
ческих параметров, вызванных появлением ударных волн и волн разрежения.
Обоснованием этому служит то, что в соответствии с изложенным в главе 1,
при переходе через поверхности ударных волн и других разрывов газодинами-
ческие комплексы, выражающие потоки массы, количества движения и энергии,
не изменяются (то есть непрерывны). Это обосновывает использование диффе-
ренциальных уравнений и методов конечно-разностной аппроксимации к расче-
там разрывных течений. Более подробно основные аспекты применения конеч-
но-разностных методов численного решения уравнений невязкого газа рассмат-
риваются в §4.2.4.
Остановимся на формулировке граничных условий. Так как при записи урав-
нений невязкого газа из полной системы уравнений газовой динамики опущены
вторые производные от компонент вектора скорости, энтальпии и концентраций
компонент, то условия прилипания или сопряженного тепло- и массообмена не
гут ыть удовлетворены. На обтекаемой поверхности ставится условие непро-
топа скопляй ГВетствии с кот°рым нормальные к поверхности составляющие век-
ется так- скаляпнлИ Т°ЧеК ПОвеРхн°сти совпадают. Математически это записыва-
нормали к повеохност,°ИЗВеДеНИе вектора ск°рости газа и единичного вектора
нормали. На^асательну^^поверхно1^ П°ВеРХНОС™ "° направлению
вия не ставятся, т.е допускается составляющую вектора скорости усло-
вии тел в набегающем Потоке за™ ЬЖеНИе газа вдоль поверхности. При обтека-
жс, как и для полной системы уравнГ^ Параметры невозмущенного потока так
154
цессов описываются основные особенности, связанные с нестационарностью:
формирование и распространение волн сжатия и разрежения, распадом произ-
вольных разрывов, возникающих при импульсных процессах и др. Аспекты, свя-
занные с сугубо пространственными явлениями, рассматриваются на примерах
двумерных стационарных задач. Эти задачи обычно формулируются при описа-
нии технологических процессов в плоских реакционных пространствах или про-
странствах, обладающих осевой симметрией. Задачей этого раздела является дать
сведения об основных уравнениях и на их основе проиллюстрировать наиболее
типичные подходы к получению количественных результатов. При этом рассмат-
риваются как аналитические решения, так и методы численного конечно-
разностного решения соответствующих задач.
4.2.1 Уравнения течения невязкого газа
В приближении невязкого газа уравнения многокомпонентной газовой дина-
мики могут быть существенно упрощены - можно отбросить слагаемые, учиты-
вающие диссипативные процессы и молекулярный или турбулентный перенос
вещества. При строгом математическом подходе уравнения, описывающие тече-
ние невязкого газа, получаются просто из общей системы уравнений газовой ди-
намики (2.5.), (3.18), (3.20) в результате предельного перехода при -~L= стремя-
•yR-Г
щемся к нулю [8, 86, 100, 148 и др.]. На основании сказанного уравнения движе-
ние невязкого газа, которые называются уравнениями Эйлера, можно в декарто-
вых координатах записать в виде:
уравнение неразрывное Ле
dt дх ду
уравнения количества движения
. (42)
р dt * дх а ду дх
dV, dVu dVu др _
р —+ р Vx —у- + р Vu —+ рУ + ЬКт
р dt р х ду р у ду ду Р
уравнение энергии
₽1£+₽r'lr+pt'*'lr=0’
dt дх у ду
уравнение конвективного переноса компонент смеси
dXk „ дХк ТЛ дХк ~
Р + Ргх + РК ~~ = wk
dt ду у ду
(4 3)
(4.4)
Таким же образом используя (2.8) и (2.9) можно записать уравнения невязкого
газа в полярных и цилиндрических координатах
153
К а.ш^й t и X И изменяется вдоль некоторых линий
х°7(“ Z «.Xхарактеристиками уравнений в частных произ-
'даы а соответствующая форма записи ураннений называется характерно,„чеад.
Считая что плотность является функцией давления и энтропии p = p(p,S)>
исключим ’и, уравнения неразрывности производную от р в результате следую-
щей цепочки преобразований
др <№ = дР+и^Р- + р— =
dt + дх dt дх дх
_М^- + и^ + М—+ и—"I + P—
~dp[dt дх) dS\dt дх) дх
Исходя из этого, принимая во внимание определение адиабатической скоро-
сти звука а - — = — и уравнение сохранения энтропии, первые два уравнения
др а2
системы (4.6) можно записать в виде уравнений, содержащих производные только
от р и и
ди ди 1 др
— + и—+—— = 0.
at дх р дх
Умножая первое уравнение на — и сложив и вычтя его из второго уравнения
получим следующую систему
Учитывая, что ~ + (и + а)-^-~ — ппм dx д д d
dt 1 сх ~ dt Р ~^7 = и±а и ^Г + м^- = 3“ ПРИ
dx сх at dt Qt дх dt
dt ’ P ИЯ можно переписать в виде, содержащем обыкновенные произ-
водные только по одному направлению
du 1 dp
dt ра dt
du__i^dp
dt pa dt
dS n
ST0
^=o„p„^ = u+a.
"РИ^ = “
(4-7)
156
4.2.2 Одномерные нестационарные течения. Аналитические решения
Одномерными нестационарными течениями газов называются течения, пара-
метры которых (скорость и, давление р, плотность р, температура Г) зависят
от одной пространственной координаты и времени t и для которых вектор скоро-
сти направлен вдоль одного координатного направления (проекции этого вектора
по другим координатным направлениям равны нулю).
К этим течениям относятся течения невязкого газа в трубах и каналах с посто-
янным поперечным сечением, а также радиальные расходящиеся или сходящиеся
течения, т.е. течения, обладающие цилиндрической или сферической симметрией.
С определенной степенью приближения в рамках модели одномерных, нестацио-
нарных течений изучаются и течения невязкого и вязкого газов в каналах пере-
менного поперечного сечения с относительно малым наклоном стенок к оси кана-
ла, т.е. tg6«l (6 - угол между касательной к одной из стенок канала и его
осью). Для этих течений характерно слабое изменение параметров в поперечном
сечении канала и малые по сравнению со скоростью течения вдоль канала значе-
ния поперечной составляющей вектора скорости. Эти течения называются квази-
одномерными. Подробнее такие течения рассматриваются в главе 7, в которой
рассмотрены некоторые примеры исследования течений в трубах и каналах. Од-
номерные нестационарные течения достаточно полно для понимания их особен-
ностей описаны в учебной литературе, например [1, 45, 86, 95, 100, 184]. Исходя
из этих работ, в настоящем разделе рассматриваются аналитические решения, ко-
торые позволяют выяснить важные для практического использования основные
особенности нестационарных течений газа. Примеры численных решений задач
одномерной нестационарной газовой динамики рассматриваются в главе 7.
Уравнения одномерного нестационарного движения. Приняв во внимание,
что в силу определения одномерного нестационарного течения, все производные
от параметров течения по независимой переменной у равны нулю, можно, ис-
пользуя (4.1), (4.2), записать систему уравнений одномерного нестационарного
адиабатического течения
др др и
dt дх
ди др
ри = ——,
дх дх
:' . _ dS
' ” дх
ди
р s?+l
dt дх
(4-6)
где в дополнение к использованным раннее обозначениям принято и = Vx. Более
общие уравнения одномерной нестационарной газовой динамики, учитывающие
грение, теплоподвод и другие эффекты рассматриваются в главе 7.
Вместо уравнения энергии использовано уравнение сохранения энтропии. Это
уравнение может быть получено аналогично уравнению энергии в результате рас-
смотрения изменения энтропии в выделенном контрольном элементарном объеме
С целью получения аналитических решений перепишем эту систему уравне-
ний в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В эти уравне-
ния будут входить производные искомых функций только по одной переменной,
155
нплоемкоетями при адиабатическом течении, ис„ояь.у,
,аза с постоянными тепл
2 =v£ получим
формулу для скорости твука и р
2ada о I р ) \р Р dp)
-а‘
= а'
dp 2da
откуда следует — = - и тогда
ра У 1
Jpa Jy-l у-1
С учетом этого имеем следующие соотношения для инвариантов Римана
г 2а
2а
(4-9)
Соотношения (4.8), (4.9), являются основой для получения аналитических ре-
шений многих задач о нестационарных течениях газа '
Течения с простыми волнами. Полученные соотношения могут быть приме-
нены к исследованию течений, начинающихся с состояния, характеризующегося
условиями и = const и а = const, в частном случае - течений, начинающихся с
состояния покоя и = 0. Эти течения характерны для некоторых процессов, свя-
занных с начальной стадией запуска технологических аппаратов. Для таких тече-
ний характерно то, что один из инвариантов Римана 1+ или I постоянен не
только на характеристике соответствующего семейства, но и во всех точках пото-
ка. Такие течения получили название течений с простыми волнами. Название
волна для описания движения газа оправдано тем, что при таких движениях со-
стояние с некоторыми значениями параметров — скорости, давления, плотности,
скорости звука - распространяется по частицам газа со своей скоростью, опере-
жая частицы или отставая от них.
Задача о поршне. Задача формулируется следующим образом (рис.4.1)-
noD^n^Hf^^n^.r^H^flPH4CCKO^ трубы ИЛИ канала ^ева и справа от перегородки '
тень начиня И СЯ С известными параметрами. В момент времени t - 0 пор-
шень начинает двигаться слева направо с заданной скоростью V = V(t),
V(0) = 0. Траектория движения порш„я, определяемая урав1Книем £ = ?('>
— на рнс.4.1. таким о6разом. „ри f>Q дарШня
158
Эго система уравнений одномерной нестационарной газовой динамики, запи-
санная в характеристической форме. Она состоит из двух групп обыкновенных
дифференциальных уравнений. Первая группа уравнений является следствием
дифференциальных уравнений в частных производных (4.6) и связывает измене-
ния газодинамических параметров вдоль некоторых линий. Эти уравнения назы-
ваются условиями или уравнениями совместности. Во вторую группу уравнений
входят дифференциальные уравнения линий, на которых должны выполняться
условия совместности. Эти линии называются характеристиками системы урав-
dx
нений нестационарной газовой динамики. Таким образом, линии тока — = и яв-
dt
ляются характеристиками, вдоль которых сохраняется энтропия. Кроме того,
. dx
имеем два семейства характеристик (характеристики первого — = и + а и второ-
dt
dx
го — - и - а семейств), вдоль которых выполняются условия совместности для
dt
остальных газодинамических параметров. Таким образом, переход к характери-
стической форме записи уравнений позволил существенно упростить систему
уравнений нестационарной газовой динамики, а именно свести систему диффе-
ренциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений.
Примеры аналитического решения уравнений. Уравнения (4.7) могут быть
решены аналитически, если принять, что плотность зависит только от давления
Р-р(р)- Течения, в которых выполняется эго допущение, называются баротроп-
ными. Учитывая, что в этом случае скорость звука а2 =— тоже будет функцией
др
от давления, введем функцию Q(p)
Q = или dQ = — .
J ра ра
Тогда уравнение (4.8) можно переписать в виде
dJ+=O при dx = (u + a)dt, dI_=O при dx = (u-a)dt
где I+ - и + Q, I+ — и —Q.
После интегрирования получим
Ц = и + Q - const при dx = (и + a)dt
(4.8)
J_=u-Q = const при dx = (u-a)dt,
т.е. /+ и I сохраняются вдоль характеристики первого и второго семейств соот-
ветственно. Эти величины называют инвариантами Римана1. Для совершенного
1 Риман (1826 - 1866) - немецкий ученый, который развил, в частности, теорию одномер-
ных нестационарных течений газа.
157
2
= 2V(t,) + --S«o-
„ .. м ! и определим параметры на произволь
Решая систему уравнении (4.1 ид у • ’ ей из лежащей на траектории
тйха—
поршня ТОЧКИ следуКЛШ
и =lf Д----= const =
1
2< + У'1 )
ао , Xzl r = const = a.(f,)-
2 4 +
Toina dx/dt = (u + a)=conSt, откуда следует, что характеристики первого
семейства - прямые линии. На этих характеристиках скорость газа равна скорости
поршня в момент времени t = tt.
Кроме того, из (4.11) имеем
а = ао+-^
и + а = а0 +——V,
/ \ \ ах
следовательно, с ростом V(V > 0) величина (и + а), а вместе с ней и — при пе-
реходе вдоль траектории поршня от одной характеристики первого семейства к
другой увеличивается. Это приводит к тому, что характеристики представляют
собой сходящийся пучок прямых, которые, в конце концов, должны пересечься.
Поскольку каждая характеристика имеет свое постоянное значение Д, их пере-
сечение друг с другом означает физически бессмысленную многозначность
функции Д (t,x). Выход из этого положения заключается в формировании линии
разрыва газодинамических параметров, которая является огибающей семейства
характеристик. Используя формулы изоэнтропического течения, получаем, что
2
₽= ~1 • P = s-py,
\ао)
т.е. с увеличением скорости звука а давление р и плотность р возрастают
(Р> Ро, Р>Ро).те. образовавшийся разрыв будет ударной волной.
Точение за вор,ином: волны разрежении. Рассмотрим область, лежащую
слева от порши, - область в . в этой области „а „„„„„ которая явля-
ете, характеристикой втором, семейства, имеем и=0 Тмда „а всех
160
х = х(/) (линия OL ). Требуется опре-
делить движение газа по обе стороны
от поршня при t > О.
Возмущения, вызванные движени-
ем поршня, распространяются вправо
и влево со скоростью звука в покоя-
щемся газе а = а0 (подобласть 1 об-
ластей © и ©). Можно отдельно рас-
смотреть области, лежащие слева и
справа от поршня, т.е. задача распада-
ется на две: задача о вдвигании порш-
ня в трубу или канал (область ф) и
задача о выдвижении поршня из тру-
бы или канала (область © ).
Рис. 4.1 Схема течения при движении
поршня
Течение перед поршнем. Форми-
рование ударной волны. Рассмотрим
область, расположенную справа от поршня (область ф).
Линия — -а0, выходящая из точки х = О, t = 0, это характеристика первого
семейств. На ней имеем и-0 и a = a0=const. Тогда па всех характеристиках
второго семейства dx = (и — a)dt, выходящих из этой линии, инвариант Римана
1_ принимает одно и то же значение:
2 2
= Га = -—Г“0’
(4-10)
т.е. инвариант 1_ постоянен во всей области течения. Проведем из произвольной
точки траектории поршня характеристику первого семейства
dx = (и + a)dt. На каждой такой характеристике имеем
т
1+=и +------а = const.
у-1
(4.Н)
Значения Ц легко определить, зная закон движения поршня x = X(t). Дей-
ствительно, в произвольной точке траектории поршня, характеризуемой коорди-
натами = X(ff)), известна скорость движения газа, равная скорости поршня
v ~ Скорость звука в газе на поверхности поршня можно определить из со-
отношения (4 10)
С учетом этого имеем
159
„ПР (пои Y<3), чем при стационарном исте-
сопло.
чеиии черезпео.раиичениорзада„у, , которой поршень. ДВ11гаясь
Центрированные волны. ппстигает некоторой скорости V = V и за.
vckodchho в момент времени t = t0 достш
У Р - ркооосгью. в областях Фи® поля потока тогда
тем движется с постоянной с i сть 0 _ 30На первоначально покоящегося газа,
можно выделить три области: ° *а и область 2 - зона течения газа с
область 1 - зона ускоряющеюся поршнем га
_ v м а = ап------Vd в области ® при t0 -> О
постоянными параметрами и Vр 1 о 2
^ouuk-ярт пои внезапном начале движения поршня с
получаем учение, которое = 0 ипри (>0 имеем V = Vp),T.e.
постоянной скоростью (при t < о имеем н р
получаем течение с центрированной волной разрежения, в которой все характе-
ристики второго семейства выходят из одной точки центра Если при этом
Vp >Umax =-2уа0, то сразу за поршнем формируется зона вакуума. В области
Ф при t0 ->0 зона формирования ударной волны стягивается в точку. Получает-
ся простая картина течения. Газ перед поршнем движется с постоянной скоро-
стью, равной скорости поршня. Область движущегося газа отделяется от покоя-
щегося газа нестационарной ударной волной. Скорость ударней волны или, что
то же, угол наклона траектории ударной волны в плоскости (t,x) можно опреде-
лить по полученным в §1.2.2 формулам, исходя из известной скорости спутного
потока за ударной волной, равной скорости поршня.
Нестационарная ударная волна. Рассмотрим распространение со скоростью
D ударной волны по газу, имеющему параметры: давление pv, скорость иг,
плотность и удельную внутреннюю энергию ej. Частный случай этого тече-
ния, распространение ударной волны по покоящемуся газу (их =0), рассматри-
вался в §1.2.2, в котором параметры, определяющие распространение ударной
волны, были определены с помощью соотношений, выписанных для стационар-
ной ударной волны. В более общем случае распространения ударной волны по
движущемуся газу многие из полученных ранее соотношений также могут быть
использованы, асчетные соотношения во многих деталях аналогичны расчетным
соотношениям для стационарного разрыва. Уравнения сохранения массы, количе-
pa XTcZewJВЫПИСЫВаЮТСЯ элементарного объема, связанного с
то “ ZTd У7оЬ СКОРОЯЬ « разрыва в
плоскости (х,т) записывайся в виде ’ Уравнение траектории разрыва
dx
Считается, что векторы скорости гача м
жительном направлении, т.е удап СКорости разрыва направлены в поло-
вдоль оси Ох. Скорость газа относ распР°страняется слева направо
потока массы газа через повеохног ИТ6ЛЬН° разрыва равна (ux -D) и плотность
ТЬ разрь,ва ~ Pi(uj -D).C учетом этого урав-
162
характеристиках первого семейства ^ = (и + а), пересекавших эти линии, будем
at
иметь
2 2
и 4------ а =----а0 - const.
(4 12)
Кроме того, на каждой характеристике второго семейства
и------а-1 = const,
у-1
(4-13)
причем 1_, оставаясь постоянным вдоль характеристики, принимает разные зна-
чения на разных характеристиках.
Из решения системы уравнений (4.12) и (4.13) следует, что и и а постоянны
на характеристике второго семейства и, следовательно, эти характеристики -
прямые линии = (и- а). Из уравнений (4.12), (4.13) следует, что
at
2
2
Это позволяет сделать вывод, что с ростом и скорость звука а, а значит и р
и р, убывают, т.е. за поршнем формируется волна разрежения. Наклон характе-
dx ( \ г
ристик — = \и - а) убывает с ростом и, следовательно, характеристики второго
семейства представляют расходящийся пучок прямых.
Расширение в вакуум. Рассматривая нестационарные волны разрежения (об-
ласть 0 за поршнем), легко убедиться, что при увеличении скорости движения
поршня скорость звука в газе уменьшается и в пределе может стать равной нулю.
При этом скорость частиц газа принимает максимально возможное для данных
2
условии значение umax =---а0.
В этом случае вся тепловая энергия переходит в кинетическую. Если скорость
поршня V > umax, то правее характеристики второго семейства, на которой
и = umax ,о = 0 имеем зону вакуума - р = О, р = 0, и параметры газа слева от
этой характеристики не зависят от скорости поршня и вообще от наличия порш-
ня.
Обратим внимание, что для стационарного ускоряющегося течения было по-
лучено
umax
«О < 1 ~ Umax ’
где верхние индексы с,п относятся к стационарному и нестационарному течениям
Как видим, максимальная скорость расширения газа в вакуум из одного и того
же состояния покоя зависит от условий истечения. При нестационарном расши-
161
ударной волной и скорости ударной волны из первых двух уравнений (4.14) Мо
но получить следующие соотношения *
т
U = »i'
(4 18)
Pi
или с учетом (4.17)
(4 18')
Таким образом, если известно давление за ударной волной, то остальные па-
раметры газа и скорость ударной волны могут быть определены по конечным со-
отношениям (1.48), (4.16) и (4.18). При Ui =0 из (4.18) вытекают формулы, полу-
ченные в §1.2.2 для скорости спутного потока за ударной волной, распростра-
няющейся в неподвижном газе. Отметим, что исходя из (4.18) давление за неста-
ционарной ударной волной определится соотношением
Р _ 2у ГD-Ut У у-1
Pi Y + Ц Qi J у + 1’
из которого следует, что давление за движущейся ударной волной будет меньше
или больше, чем за стационарной ударной волной в зависимости от того, движет-
ся ударная волна по направлению ( D > 0) или против направления (D < 0 ) тече-
ния газа.
Элементарная теория ударной трубы. Ударная труба - это устройство, слу-
жащее для создания кратковременных
высокоскоростных потоков. Схема
этого устройства приведена на рис.4.2
[100]. Закрытая по концам цилиндри-
ческая трубка разделена на два отсека
диафрагмой, по обе стороны от кото-
рой находятся газы различных физи-
ческих свойств, определенных показа-
телем адиабаты у и молекулярной
массой т. Газ, находящийся в левом
отсеке, сжат до значительно большего
давления р, чем в правом. В некото-
рый момент времени диафрагма раз-
рушается. После разрыва диафрагмы в
правую сторону будет распростра-
няться ударная волна, за которой фор-
164
пение сохранения массы газа при переходе через разрыв записываем в виде
R(U-D)=pl(ul-D), где прописными символами обозначены параметры газа
после прохождения ударной волны (слева от разрыва), индексы 1 относятся к па-
раметрам газа до прохождения ударной волны (справа от разрыва). Используя
уравнения сохранения количества движения и энергии, систему уравнений, свя-
зывающую параметры слева и справа от разрыва, можно записать в виде
R(U-D) = pl(u1 -D)=m,
RU(U - D)+ Р p1ul(u1 -Л)+ Pi,
^£+^V-z>)+ptz=P1L („,-Z>)+ftB1,
(4 14)
где m как и в стационарной задаче — плотность потока массы через поверхность
разрыва.
По аналогии с решением стационарной задачи (см. §1.21) из соотношений
(4 14) можно получить уравнение прямой Рэлея-Михельсона и уравнение ударной
адиабаты, которые запишем в виде:
уравнение прямой Рэлея-Михельсона
(4 15)
Pi к
уравнение ударной адиабаты
Е ел
(4-16)
Учитывая, что удельная внутренняя энергия связана с удельной энтальпией
р
соотношением е - i--, из уравнения (4.16) легко получить уравнение (1.47), а с
Р
учетом того, что для совершенного газа i= - — и е = --~, можно полу-
у-1р У-1р
чить уравнение для адиабаты Гюгонио (1.48).
Таким образом, уравнения Рэлея-Михельсона и уравнение ударной адиабаты
(адиабаты Гюгонио) имеют один и тот же вид для одномерных стационарных и
нестационарных течений газа
Используя (1.48) и уравнение прямой Рэлея-Михельсона (4.15) для плотности
потока массы т, можно получить следующее соотношение
т = ±Р1 «1А ~ (у +1)— + (у -1)
V 2УI Pi >
(4-17)
Здесь и далее верхний знак берется для ударной волны, бегущей влево, а ниж-
ний - для ударной волны, бегущей вправо. Для определения скорости потока за
163
1 | Д1
M1
Рл Gi +1 Y1
г2-
74 • (4.21)
отношение давлений в отсеках трубы,
Здесь Р* заданное начальное
Pi
М1 - — безразмерная скорость ударной волны.
Соотношение (4 21) может быть использовано для определен™ безразмерной
Соотношение (4.Zи МОжно найти ск0р0сть спутного По_
скорости ударной волны . Затем из v )
тока. Определим приближенно максимальное значение М„ соответствующее
бесконечно большому отношению Для этого достаточно положить равным
пулю выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части (4.21). Пренебре-
гая величиной —— по сравнению с М1, получим
мг
Y1 +1 Д4
Y4 -1 а1 '
(4 22)
Для отношения —, учитывая (1.12), получаем — = ^4^4т1
«1 Я] \ 71^4
Таким образом, для достижения большой скорости ударной волны и, как
следствие, большой скорости спутного потока за ней в качестве газа, находящего-
ся в левом отсеке трубы под большим давлением, нужно выбирать газ с малой
молекулярной массой, например, водород (т-0.002кг) и, наоборот, в правом
отделении помещаются тяжелые газы, например, аргон (т-0.04 кг). В качестве
иллюстрации на рис. 4.3 показаны зависимости Мг (сплошные линии) и скорости
спутного потока — (пунктир)
а1
I Р4
от lg-^- Для отношений скорос-
тей звука a4/ai= 1, 2, 4, 10, 20
(кривые 1, 2, 3, 4, 5 соответ-
ственно). Для справки в таблице
4.1 приведены отношения ско-
ростей звука в случаях, ко-
гда левый отсек трубы заполнен
водородом ИЛИ воздухом при
давлении р4 и температуре
166
мируется спутный поток, в левую сторону будет распространяться волна разре-
жения. Эти волны распространяются справа налево, но сносятся вправо спутным
потоком. Газы, первично находящиеся в левом и правом отсеках, будут разделе-
ны поверхностью контактного разрыва, распространяющегося вправо со скоро-
стью спутного потока. При переходе через поверхность контактного разрыва дав-
ление и нормальная к поверхности разрыва компонента вектора скорости не из-
меняются, остальные параметры (плотность, температура, энтропия и др.) могут
скачкообразно изменяться. Спутный поток обтекает испытываемую модель (на
рисунке не показано), помещенную в правом отделении трубы. Быстродейст-
вующая аппаратура производит измерения необходимых параметров потока.
Элементарный расчет ударной трубы заключается в следующем. Состояние
газов, находящихся в отсеках трубы, определяется параметрами: yi.znj.Px - ле-
вый отсек и У4,т4,р4 - правый отсек, причем, р4 » р^. Трубу будем считать
теплоизолированной, а движение газа адиабатическим. На рис.4.2б приведены
графики распространения ударной волны, контактного разрыва и веера волн раз-
режения.
Область трубы, занятая волнами разрежения (со временем протяженность
этой области увеличивается), представляет собой область непрерывного изоэн-
тропического движения, так что на границах этой области имеем
-Р±-=-Р?_ ИЛИ11=Ы744
Р4У4 Рз?4 Рз каз>
(4.19)
где а= у — - адиабатическая скорость звука. Рассматривая волны разрежения
V Р
как центрированную простую волну и пользуясь соотношениями для инвариантов
Римана, получим
2 2
(4 20)
Так как при переходе через контактный разрыв давление и скорость непре-
рывны, то имеем
Рз =Р2 и и3 = и2 =V,
где V - скорость спутного потока
С учетом этого из (4.19) и (4.20) получим
2Y4.
Р4 - Рг ’
а4
Разделив обе части равенства на , используя соотношения (1.30) и (1.60)
или (4.18) при Uj = 0, получим
165
Рис. 4.4 Схемы распада произвольного разрыва
параметрами и
(jt?2’P2’U2) УДаРной волной yg
либо волной разрежения ВР.
волны будем называть соответст-
венно “левой” и “правой”.
Перейдем к математическому
рассмотрению задачи о распаде
произвольного разрыва.
На ударной волне должны вы-
полняться соотношения (4.14), из
которых следуют уравнения (4.17)
и (4.18). Учитывая, что знак плот-
ности потока массы т зависит от
направления распространения ударной волны, введем вмеси, т величины С, = „
и С2 = -т. Для ударной волны, распространяющейся влево, имеем
U-ul+^O.
(423)
Для ударной волны, распространяющейся вправо от начального разрыва
= (424)
С2
В этих соотношениях Ck - ^((7+1>+(т’1)л). (й = 1.2).
В случае, если от места первоначального разрыва распространяется волна раз-
режения, нужно воспользоваться условиями непрерывности инвариантов Римана
2 9
—-a = U+—A,
у-1 у-1
Р_ = _Р_
р7 Я7’
где и, U скорости газа, а, А - скорость звука до и после прохождения волны
разрежения
nve^Hnn,nJIWC бе*’ется для волны разрежения, распространяющейся влево, а ми-
нус - для волны разрежения, распространяющейся вправо.
Используя выражение для скорости звука о, CZ и условие изоэктропиЛ
ста, из последнего уравнения получим ’ ₽
Перепишем это
Уравнение в форме (4 23) /д9гП ппН
), (4.24), записанной для ударных волн.
168
Тд =300 и 2000ТС, а правый отсек - аргоном, азотом или воздухом при давле-
нии Pi и температуре Т, = 300 К.
Таблица 4.1
Отношение скоростей звука ц4 /аг для разных газов
| T4=300tf
' Hz<^Ar 4 47
H2<^N2 3.75
Воздух <=> Воздух 1
Г4=20007Г |
П?54
9.68
1.58
Задача о распаде произвольного разрыва. Пусть в момент времени t - О
при х<0 находится однородный газ с параметрами «i.Pi.pi, а при х>0 газ с
параметрами и2,р2,р2. Газы могут быть различными по термодинамическим
свойствам, и их параметры вполне произвольны (например, если привести в со-
прикосновение две массы газа, сжатые до различных давлений, и убрать перего-
родку между ними, то поверхность их соприкосновения будет поверхностью раз-
рыва в начальном распределении давления). Требуется определить движение газа
при t > 0. Сформулированная таким образом задача называется задачей о распаде
произвольного разрыва [45, 95]. Частным случаем этой задачи является рассмот-
ренная в предыдущем разделе задача, на осн ании которой строится элементар-
ная теория ударной трубы. Построим обобщенное решение этой важной задачи,
которая представляет терес для практического ан за ситуаций, возникающих
при исследовании быстропротекающих импульсных газодинамических процес-
сов. Кроме того, решение этой задачи используется при конструировании многих
современных разностных схем численного решения уравнений нестационарной
газовой динамики.
Прежде всего отметим, что существование произвольного разрыва при t > О
невозможно, т.к. на поверхностях разрывов, которые могут существовать в газе в
качестве устойчивых образований, должны соблюдаться определенные условия,
вытекающие из законов сохранения массы, количества движения и энергии. Так
скачки плотности и давления в ударной волне связаны друг с другом соотноше-
нием Гюгонио. На контактном разрыве должны быть непрерывными давление и
нормальная компонента скорости и т.д. Если в начальном разрыве эти необходи-
мые условия не выполнены, то разрыв не может существовать как таковой, и
должен распасться на несколько разрывов, которые с течением времени будут
отходить друг от друга. Схематически картина возникающего течения на плоско-
сти x,t представлена одной из четырех возможных конфигураций на рис. 4.4.
Типичным для схем распада разрыва является наличие показанного штриховой
линией контактного разрыва КР, на котором плотность и внутренняя энергия
имеют разрыв, а давление и поперечная компонента скорости непрерывны. Их
одинаковые значения слева и справа от контактного разрыва обозначим Р и U, а
разные значения плотности и внутренней энергии обозначим Rj ,Et и R[r,Eu .
Область распада разрыва отделена слева и справа от областей с начальными
167
, (4 24) Аналогичным образом, при Р > р2 для опреде-
ударной волной формул}. ’ разрыв ЯВЛяется волной разрежения), а при
лсния с2 используется ( ударной волной).
„ . п (4 ?4) (правый разрыв является у д н
«ак этершмппый процесс доведен до сходимости, ю.тачина v
может быть найдена по формуле
Схщ +Czu2 + Pi-P2
Ci +c2
Что касается плотности, то в области слева от контактного разрыва исполь-
зуются соотношения
1
В =Р1 — Г при P>Pi
\Р1)
(у + 1)Р + (у-1)Р1
*'=Р1Ы^^>при
Р<Р1-
Аналогичным образом Рп определяется по заданным Р и р2 из соотноше-
нии изоэнтропы при Р>р2 и адиабаты Гюгонио при Р < р2 • В случае, если по
обе стороны начала разрыва находятся газы с различными термодинамическими
свойствами, то в соответствующих соотношениях используют различные показа-
тели адиабаты уг и у2 Для левого и правого разрыва и областей а и b соответ-
ственно.
Положение фронтов разрывов в плоскости (х, t) определяется скоростями их
распространения. Если разрыв - это ударная волна, то скорость его распростра-
нения определяется, исходя из (4 18), соотношениями
- для правого разрыва.
п _ С1
~ и1 ~~--для левого разрыва и
Z>2=u2-S.
Р2
Положение волны разрежения определяется характеристиками, ограничи-
^^X^XXCXPa“H™3T,n‘XaPaKrepBCI,,,t- D “ D Ha№
D'=Ui’“‘ ' °:=«, -u),
D==“=-“2..D;=y+a^=a2_ti(u2 1
170
Для левой волны разрежения
(4 25)
для правой волны разрежения
[7-u2_£l£2 =0. (426)
С2
В этих выражениях Ck = -—- —-——------- (k = l 2)
2у ak П ’ ’ '
1-1 - Г1
Полученные соотношения (4.23), (4.24), (4.25) и (4.26) позволяют определить
схему распада произвольного разрыва и найти численные значения скорости и
давления в ооласти между расходящимися разрывами, которые сформировались
при распаде.
Поскольку эти уравнения нелинейны относительно Р, то они решаются ите-
рационным методом. Основная система уравнений, служащая для определения U
и Р, записывается в виде
(4-27)
U-u2 + ?~Р1 =0.
C2(AP2>Pz)
Зависимость Cj(p) и С2(р) от давления в вышеприведенных формулах вы-
оирается исходя из вида разрыва. Если левая волна является ударной волной, то
С1 определяется из соотношения (4.24), а если левая волна является волной раз-
режения, то для определения Q используется соотношение (4.26). Аналогичным
образом определяется С2 для правой волны из соотношения (4.24) или (4.26).
Система уравнений (4.27) может быть решена методом простой итерации. На ка-
ждом итерационном шаге считаем, что и С2 известны и рассчитаны по значе-
нию Р, взятому из предыдущей итерации. Из (4.27) получаем
Р = ф(р) = C?fi +CiP2 +C1u2(u1 -u2) (4 28)
Ci ~С2
Это трансцендентное уравнение решается относительно Р методом простой
итерации
Р^Ф^"’1)).
Причем, если Р > рг - левый разрыв является волной разрежения, для опре-
деления С, используем формулу (4.26), а если Р < рт - левый разрыв является
169
осимые в сверхзвуковой поток, влияют только
Таким образом, возмущения, вн хноСТЬЮ возмущений. По сравнению с
на часть поля потока, ограниченна постановку граничных условий, так и ме-
дозвуковым потоком это упрощает удрОщСНий для некоторых задач удается
тоды решения задач Вследствие юЩИХ пунктах рассмотрим наиболее
получить аналитическое решение. В последу
важные из этих решений.
- ппчепхности сверхзвуковым потоком. Рассмотрим
Обтекание выпуклой Р lg()O) сверхзвуковым потоком газа,
^^зада^получида'названкю -дачи Прандтля-Майера, ее решение - решение
ПРЯПусть обтекании этого угла поток поворачивается на угол 5. Упрощаю-
“Хожно^редатавить в виде функциональной зависимости, « содержащей ли-
лейных пространственных переменных. Для описания такого течения удобно ис-
пользовать полярную систему координат (г,0) с полюсом в угловой точке. Урав-
нения в этой системе координат записываются, исходя из (2.8), в виде
дгрУ,. [ 9рУе _Q
дг 90
TZ дУх рУе дУг рУе2 _ др
у дУв 1 РУ6 dVQ t рУгУ6 = 1 др
р г дг г де г г 90
В связи с тем, что в формулировке задачи в списке определяющих параметров
отсутствует линейный геометрических ра ••>ер, в соответствии с теорией размер-
ности (см. §2.2) газодинамические параметры не зависят от линейных размеров,
т.е. являются функцией только полярного угла 0 и не меняются вдоль радиус-
вектора, исходящего из угловой точки. В связи с этим, используя систему уравне-
ний газодинамики, записанную в полярной системе координат, получим систему
обыкновенных дифференциальных уравнений для определения параметров пото-
ка при обтекании выпуклого угла, которую запишем в виде:
уравнение неразрывности
dpK
~^+РК=о.
уравнения количества движения
(4 29)
(4 30)
dVr
^+v JL^p
de r pv6 de
(4.3D
172
4.2.3 Основные особенности двумерных стационарных течений
Как уже отмечалось, двумерные стационарные течения газов сопровождают
многие технологические процессы. Характер-
ные особенности этих течений существенным
образом определяются соотношением между
скоростью движения частиц газа и скоростью
распространения малых возмущений по части-
цам газа - скоростью звука. Принципиальные
особенности течения газа различны для дозву-
ковых и сверхзвуковых течений. В покоящемся
газе малое возмущение (вызванное, например,
локальным повышением давления) распростра-
няется во все стороны со скоростью звука.
Фронт возмущения представляет сферическую
поверхность. В движущемся газе возмущения,
распространяясь по газу, сносятся вместе с час-
Рис 4.5 Схемы распространения
возмущений при до- и сверхзву-
ковых течениях [8]
тицами газа (рис. 4.5). Однако с течением вре-
мени возмущения достигают любой точки про-
странства как вниз, так и вверх по потоку. Та-
ким образом, для стационарных дозвуковых
течений возмущения, внесенные в поток в некотором месте, оказывают влияние
на параметры потока во всем пространстве. При математическом описании таких
течений в связи с этим формулируется краевая математическая задача, когда гра-
ничные условия задаются на всех границах рассматриваемого пространства. Это
создает определенные сложности как при постановке краевой задачи, так и при
получении решения. Это особенно принципиально при численном решении. При
сверхзвуковых скоростях потока возмущения распространяются по частицам со
скоростью звука и вместе с частицами со скоростью, большей скорости звука.
Вследствие этого зона, в которой возмущения оказывают влияние на параметры
потока, ограничена конической поверхностью. Эту поверхность называют кону-
сом Маха, синус угла полураствора которого определяется отношением скорости
звука к скорости газа, т.е.
1
since = —,
М
где М - число Маха набегающего потока газа. Угол полураствора конуса а на-
зывают также углом возмущения или углом Маха. В двумерных течениях в плос-
кости течения область распространения возмущений ограничивается линией воз-
мущений или линией Маха. Для осесимметричных течений - это линии пересече-
ния меридиональной плоскости с конусом Маха. Плоские двумерные течения об-
разуются, когда возмущения инициируются не изолированным точечным источ-
ником, а непрерывной совокупностью источников, расположенных на прямой,
перпендикулярной к плоскости течения. Фронт возмущений в этом случае явля-
ется плоскостью. Линии возмущения являются линиями пересечения фронта воз-
мущений и плоскости течения. В каждой плоскости, перпендикулярной линии
возмущения, течения идентичны, и для изучения течения достаточно рассмотреть
одну из плоскостей.
171
В свою очередь имеем
у2 = У2+*о и а = ^о-
С учетом
iroi о периос
уравнение движения можно записать в виде
Ин ги рируя >! о уравнение, получим
где е0 - постоянная интегрирования.
Используя этот интеграл, с учетом (4.31) получим
^“,^rc41f4‘(0+e«)V
\у-1 Vy+1 I4\Y + 1 J
(4 32)
Эти соотношения определяют компоненты вектора скорости на каждом луче
6 = const Представляет интерес найти величину полной скорости V = ^Vr + Ve .
Используя (4.32), после очевидных несложных преобразований получим выраже-
ние для коэффициента скорости
Это соотношение удобно переписать в виде, разрешенном относительно О
JHlarcSinJi3.^-l)=e+eo. (433)
Постоянная интегрирования 60 определяется из условия, что при
коэффициент скорости А. равен коэффициенту скорости невозмущенного потока А.1 -
Определив X, можно определить давление, плотность и температуру газа, ис-
пользуя формулы изэнтропического течения (1.28).
Для практического применения в расчетах технологических процессов пред-
ставляет интерес определить параметры потока после его поворота, исходя из за-
данного угла поворота 6 и параметров набегающего потока. Для получения не-
174
В связи с изложенным выше, область возмущенною течения ограничена ли-
нией возмущения, которая наклонена к направлению набегающего потока под
углом «1 =arcsin-^—. Если после поворота потока число Маха течения обозна-
чим через М2, то область течения вниз по потоку будет ограничена лучем, на-
клоненным к правой стороне угла под углом а2 =arcsin-^—. Правее этой линии
поток будет параллельным стороне угла, параметры его будут постоянны и будут
определяться числом Маха М2 .
Используя уравнение неразрывности (4.30) и второе уравнение количества
движения (4.31), легко убедиться, что Ve = а. Действительно, из уравнения не-
разрывности следует
^+гг=-ув1^.
de г ° р de
Сопоставляя это уравнение со вторы ч уравнением количества движения,
получим
.2 dp _ dp
6 de~de
или V2 = — = а2.
dp
Из этого следует, что нормальная составляющая к каждому лучу 0' = const
равна скорости звука и, следовательно, эти лучи будут линиями возмущения, ог-
раничивающими распространение вверх возмущений, вызванных увеличением
угла поворота Последний луч, на котором скорость потока становится парал-
лельной правой стороне уг.»а, также является линией Маха и наклонен, как уже
отмечалось, под углом
. 1 у
a2 = arcsin-- к этой стороне. .
М2 I
Для определенности полярный
угол 0 будем отсчитывать от луча,
перпендикулярного направлению
невозмущенного потока. Схема
обтекания сверхзвуковым потоком
выпуклого угла представлена на
рис. 4.6.
Рис. 4.6 Схема обтекания сверхзвуковым пото-
ком выпуклого угла
Для невязкого стационарного
течения из уравнения энергии (4.3)
следует, что полная энтальпия в
потоке не изменяется. Для совершенного газа с учетом соотношений (1.20), (1.21)
это условие может быть записано в виде
V2 , а2 _1у+1а2_У^
2 у-1 2у-1 * 2
173
^йтакяния каждого угла могут быть использо-
внешних тупых углов. Для расчета обтекания
ваны полученные соотношения. приходим к гладкой выпуклой по-
При бесконечном увеличсниi поворачивается на угол 5. Коэффици-
верхносли, при обтеканииI котор может быть опреДелен, исходя из
ент скорости в ^^-/'"' ^Г^Хьзованием соотношений (4.34), (4.35).
значения угла поворота потока с испо соотиошений. При об.
Остановимся на некоторых следствиях из у г
текаи те выпуклой поверх.«» или угла сверхзвуковое поток расширяете»
следовательно, скорость его увеличиваете», давление, плотность и температура
уменьшаются. При этом увеличивается и число Маха, вследствие чего угол на-
гона линий Маха к обтекаемой поверхности уменьшается, и они образуют веер
расходящихся линий, которые представляют собой волну разрежения. Как следу-
ет из предыдущего, в случае равномерного набегающего потока параметры газа
вдоль липин Маха нс изменяются, и эти линии будут прямыми. Каждая из пря-
мых линий Маха может быть взята за начальную. Расчет парамегров на любом
участке криволинейной поверхности может проводиться независимо от предыс-
тории формирования параметров на этой линии. Для определения коэффициента
скорости к2 в рассматриваемой точке обтекаемой поверхности используется со-
отношение (4.34), в котором следует принять, что 5- это результирующий угол
поворота потока при обтекании выпуклой поверхности или угла, - коэффици-
ент скорости на начальной линии Маха. Так как при переходе через волны разре-
жения энтропия газа не изменяется, то для расчета температуры, плотности и дав-
ления используются газодинамические функции т(Х), е(А.), л(Х) .
В заключение отметим, что являясь точным решением уравнений газовой ди-
намики применительно к задаче обтекания безграничным сверхзвуковым потоком
выпуклого угла, соотношения (4.34), (4.35) роки используются для прибли-
женного определения давления на гладких выпуклых и вогнутых поверхностях,
оотекаемых ограниченным сверхзвуковым потоком в условиях, когда отражением
возмущений от границы поля потока можно пренебречь. В практических прило-
жениях часто используется и соотношение между малым изменением угла накло-
на обтекаемой поверхности и изменением коэффициента скорости или давления,
которое получается при переходе в (4.34) к малым приращениям. После диффе-
ренцирования (4 35) имеем
поверхности с ммым" ЮМеНеНИЯ давленм "» обтекаемой
М2 ур '
Обтекание вогнутого тупого угла Ппи К
поверхности происходит сужение прох'о Р оотекании вогнутой криволинейной
вии с условиями обращения возлемгт^°ДНОГ° Сечения’ ПРИ котором в соответст-
е скорости сверхзвукового потока умень-
(4.36)
176
обходимых расчетных соотношений запишем уравнения, связывающие углы
0, а и 8
На левом и правом граничных лучах имеем соответственно (рис.4.6)
а1 = ~-01 и а2 - — -02 +8 .
Вычтем из второго соотношения первое
б = (а2 + 02)-(а1+01).
Обратим внимание на то. что в соответствии с определением а и соотноше-
нием (4.33), (а+ 6) является функцией коэффициента скорости, тогда последнее
соотношение можно переписать в виде
S = (434)
где д(х)=а(Х)+б(х)
Из определения угла а с учетом (1.27) следует
1 1 /у+1 I у + 1
а = aresm— = arcsin—, -- 1—------X
М XV 2 V Y-1
Используя эту формулу, соотношение (4.33) и соотношения между обратными
тригонометрическими функциями, с точностью до константы получим
*&)= arcsin^pF-l) + arccos^^f^^l) • (4.35)
Таким ооразом, зная угол поворота потока 8 и коэффициент скорости набе-
гающего потока X,, из (4.34), используя (4.35), получим соотношение для опре-
деления Х2 — коэффициента скорости после поворота потока. В общем случае
значение Х2 определяется в результате итерационного решения трансцендентно-
го уравнения вида
<;(x2)=/(Xi,8).
Для определения Х2 можно воспользоваться и соотношением, приведен-
ным в [1]
8 = 7,б(х3-X3). (4.36)
Эта формула получена в результате аппроксимации табличных данных при
У -1-4. При X < 2,3 ее погрешность не превосходит 1%
Полученные соотношения могут быть использованы и при определении пара-
метров газа при обтекании выпуклой криволинейной стенки безграничным рав-
номерным потоком. Чтобы показать это, заменим произвольную криволинейную
стенку вписанной ломаной линией, состоящей из последовательных прямолиней-
ных отрезков. Обтекание такой ломаной сводится к обтеканию последовательных
175
nn газа так и к решению уравнении, учитывающЯ
как к расчету течений невЯЗК°™‘С.с’токса и всевозможных их упрощений
влияние вязкости, уравнении нИЯ уравнений газовой динамики
Основные приемы числе"’ й ввоДИтся конечно-разностная сетка. В Пр0'
Для численного решения урав! 1ОЦИОИНЫХ) задач находятся значения исК0-
цессе решения нестационарны i проДВижении по времени t с некого.
mi,IX функций в узлах разносп м значениям искомых функций при
рым вигом М На каждом шаге по из
(на слое t=const) определяются значения пара-
конкретном t I h v
метров в момент времени"'"*11 = <'”' + коиенко-разноетной аппрога.
мании производных ..о пространственным переменным область, в которой ищет,
са решевне покрываете» нелереоекаюшимнея ячейками. Две соседние ячейки
“моют одну общую грань. Для двумерной задачи ячейка представляет собой че-
тырехугольник (в общем случае с криволинейными сторонами) В трехмерном
случае каждая ячейка представляет собой гексаэдр произвольной формы. Узлами
разностной сетки являются точки, в которых пересекаются грани (две в двумер-
ном случае и три в трехмерном). В двумерном случае ячейка является криволи-
нейным четырехугольником, и узлы сетки образуются пересечением сторон яче-
ек. Узлы разностной сетки упорядочиваются определенным образом. Параметры
в каждом узле определяются двумя индексами i, j. Введем обобщенные про-
странственные координаты qh, k =1,2. При переходе к конкретным координатам
имеем: декартовы координан, - q1=x,qz=y, цилиндрические координаты-
q1 -z,qz = г, полярные координаты - q1 = G, q2 = г и т.д. Координату (i,j)-ro
узла разностной сетки обозначим как (ql,qz). Значения функций могут быть за-
даны в узлах сетки, тогда - значение функции f в узле (i, j) либо в центрах
ячеек, тогда ;-+^/ _ значение функции в ячейке, ограниченной узлами (i, j),
(i+1, j), (i, y+1), (i+1, j+1). Спосоо задания функций определяется конкретной
конечно разностной схемой. При выборе системы координат и разностной сетки
пелеляютсяЯга^>пиИНаМИЧеСКИХ ЗЭДаЧ ИСХодят из того, что область, в котрой оп-
геометрической копЛ^4^™6 ПараметРы> может быть довольно произвольной
стой при примененииZhoto™ В уменьшения связанных с этим трудно-
геометрических переменных' ХэТя’ю
прямоугольному виду. В связи с эти ^ИХ Привести область к стандартному
чально записаны дифференциале. М’ °°Ласть переменных, в которых первона-
преобразованных переменных ° уравнения> называют физической, а область
Это осуществляется введением ™ОИ°бЛаСТЬЮ’
вой независимой переменной
k = 1,2,
178
шается. Вследствие этого угол наклона к обтекаемой поверхности линий возму-
щения, исходящих из точки этой поверхности, увеличивается и образует сходя-
щийся веер линий возмущения. На некотором расстоянии от поверхности это
приводит к пересечению линий возмущения и образованию разрыва параметров в
поле потока. Предельным случаем вогнутой криволинейной поверхности, когда
размер участка поворота сводится к нулю, имеем обтекание вогнутого угла
Р > ^ • При обтекании акого угла в угловой точке формируется косой скачок уп-
лотнения, через который поток поворачивается на угол 8 = л-0 . Таким образом,
в этой задаче угол поворота потока известен. Параметры потока после поворота
могут быть определены, исходя из числа Маха М набегающего потока и угла
поворота потока 5 с использованием формул для косого скачка уплотнения. В
частности, угол наклона скачка уплотнения к вектору скорости набегающего по-
тока может быть определен из полученного ранее соотношения (1.70), а все ос-
тальные параметры из соотношений (1.68), (1.69).
Заметим, что присоединенный к угловой точке (вершине угла) косой скачок
уплотнения образуется при обтекании углов 5, мень некоторого угла 5тах,
равного максимально возможному углу поворота потока при переходе через ска-
чок. Как следует из рис. 1.5, величина «того угла зависит от М . Если 8 > 8тах , то
перед углом образуется отсоединенным от вершины угла криволинейный скачок с
дозвуковой скоростью за ним. Для расчета таких течений отсутствуют аналитиче-
ские решения, и необходимо применять численные конечно-разностные методы.
4.2.4 Основы численного решения задач
Для решения уравнений механики жидкости и газа разработано большое ко-
личество конечно-разностных методов. Даже простое перечисление этих методов
привело бы к длинному списку. Одни методы и настоящее время применяются
редко и представляют исторический интерес. Другие - широко используются при
исследовании многих газодинамических течений, и с их помощью получены но-
вые интересные результаты. Некоторые методы и наиболее характерные резуль-
таты описаны в монографиях [7, 23, 45, 77, 173]. Анализу общеметодических
вопросов реализации конечно-разностных схем посвящены монографии [23, 45,
122, 181].
Несмотря на большое количество конечно-разностных схем, в формальной за-
писи разностных уравнений, к которым приводит их применение для уравнений
газовой динамики, можно выделить ряд общих закономерностей [164, 201]. Это
позволяет провести структурный анализ конечно-разностных схем, который в
свою очередь дает возможность уменьшить трудозатраты на разработку программ
для ЭВМ и их модификацию при переходе на другую, не предусмотренную при
разработке программ, конечно-разностную схему. Последнее представляется
важным в связи с тем, что в настоящее время, несмотря на наличие хорошо заре-
комендовавших себя схем, все же нельзя отдать предпочтение какой-либо одной
схеме. Поэтому, чтобы отделить особенности решения газодинамической задачи,
связанные с реализацией определенной конечно-разностной схемы, целесообраз-
но проводить расчеты одного и того же течения с привлечением нескольких ме-
тодов разностной аппроксимации уравнений газовой динамики. Это относится
177
J A<7‘ I
"'"’"’‘'‘IKM'
w „ екогоеп. звука V„ - «етаяляюшая вектора скорое™. Физическ™ смысл
„ого толов... заключается в том. тобь, узел (У)на новом слое по времени лмв.
дал в зону яякя.шя возмущений, когорые вносятся потоком в узлах ра-,„оеп,ой
се.™ 0-1 W+0 Описанная схема предельно проста да,
численно» реализации вычислительного алгоритма. Однако, она обладает суще,
ствеипым недостатком, связанным с ее немонотонностью при переходе со стоя
f(") на слой в первоначально монотонном решении появляются нефизич-
ные осцилляции. Таким образом, хотя эта схема в принципе позволяет получать
решения задач при наличии скачков уплотнения, однако диапазон ее применимо-
сти для таких задач oi раничен. Для расширения диапазона ее применимости вво-
дят специальные процедуры сглаживания, например [57, 164]. Кардинальным
способом устранения этого недостатка является применение монотонных конеч-
но-разностных схем. Наиболее эффективной и получившей широкое распростра-
нение получила монотонная конечно-разностная схема Годунова [45].
Конечно-разностная схема Годунова. Для формулировки соотношений, ко-
торые аппроксимируют исходную систему дифференциальных уравнений, рас-
смотрим одну ячейку разностной сетки с координата-
ми узлов <9?’^)
(рис.4.7). Рассмотрим точки, лежащие на срединах
граней этой ячейки. Проинтегрируем (4.5) по q2 в
пределах q2,q2, где (£,q2 - соответствующие коор-
Рис. 4.7 Схема ячейки
разностной сетки
динаты точек, лежащих на срединах граней ячейки,
расположенной между узлами и
G G»/) (на рисунке эти точки помечены крести-
ками). Одновременно используем правило дифферен-
цирования интеграла по параметру, в соответствии с которым
Bgl ог/_г'1
~ dqv J ’
„№1
ГДС ИНДеКСЫ + и — ОТНЛСатга е/ ««
dq2 араметрам в центре соответствующих граней,
~ ^Р ’ где Р “ Уг°л наклона соответетвх,.^
691 ответствующеи грани. С учетом этого получаем
?! I ^71 dqx J
180
где Г*, Гв определяются формой границ области и задают диапазон изменения
переменной qk. Переменная г]Л в счетной области изменяется в промежутке
[0,1]. Обычно оказывается достаточным ввести преобразование для одной коор-
динаты.
Далее в качестве иллюстрации приведем краткое описание двух наиболее по-
пулярных конечно-разностных методов численного решения уравнений газовой
динамики.
Конечно-разностная схема Мак-Кормака [102]. Для численного решения
уравнений газовой динамики, как отмечалось в §4.1.1, их удобно записать в ди-
вергентном виде (4.5). Это позволяет рассчитывать поле потока при наличии раз-
личных нерегулярностей в изменении параметров потока - ударных волн, волн
разрежения, контактных разрывов и т.д. При заданных значениях параметров газа
и, следовательно, газодинамических комплексов, расчет комплексов А^+1^ на
новом временном слое производится в два этапа. На первом этапе расчета - «пре-
дикторе» - определяем промежуточные значения комплексов, которые обозначим
через Ац с первым порядком аппроксимации. При этом погрешность разностной
аппроксимации убывает как rnax^t.Ag1,Л?2). На этапе «предиктор» использует-
ся расчетное соотношения
А» = A” -«rrtew-Д/МттКи , (4.37)
t\q ixq
где Fj1, Gfi-F, G^n ,qj ,q2 ,Д"), 5 - свободный параметр, принимающий
значения ± 1.
На следующем этапе расчета - «корректоре» - параметры на новом времен-
ном слое определяются со вторым порядком аппроксимации (погрешность убы-
вает на тах(Д?2,(Д91)2,(А92)2)
J(n+1) = ifд(1) + _F$\)-
щ l'J Дд1 V 7
-б-Д-^-Ц^Л-Д^Й^), (4 38)
Aq2 1 J
где F^G\=F,G(tn+1,ql,q2,Ai), 8 = T1.
При известных значениях комплексов Д; на каждом полушаге газодинами-
ческие параметры определяются, исходя из соотношений, которые приведены в
конце параграфа.
Разностная схема явная и поэтому на шаг интегрирования накладываются ог-
раничения, обусловленные условиями устойчивое ги, которые записывают в виде
179
на грани необходимо воспользоваться реШе-
рыва. Для определения паРам^°Вого азрыва, описанным в §4.2Л. Причем, па-
нисм задачи о распаде произвольноf в какуЮ часть области ргврыва
рамезры на .рани определяют*я су рисунков 4.4, попадает грань. Если
схема которого представлена па д амс1рЫ на грани находятся при помо-
грань попадает в волну разрежен. значений параметров на граничных лучах
щн линейной интерполяции, исход^пада разрыва в §4.2.4 рассматривалась одно-
волн разрежения. При описании р нНЫМИ в этом параграфе, можно восполь-
мерная задача. Соотношениями, п У честь? ЧТо касательная к грани со-
зоваться при решении двУ^Р““Хется ’ переходе через поверхность разрыва,
ставляющая скорости не граньЮ ячейки, рассматривается одно-
1 огда в системе коорд скоростью, равной проекции вектора скорости
мерное нестационарное течение си чч н
в ячейках на нормаль к соответствующей грани.
В результате применения соотношений (4.39) вычисляются газодинамические
комплексы в центрах ячеек. Соотношения, при помощи которых определяются
параметры газа, приводятся ниже.
Несмотря на то, что схема Годунова имеет первый порядок аппроксимации
(погрешность убывает, как тах^.Дф), она достаточно широко используется
для практического решения многих газодинами «ских задач благодаря ее моно-
тонности. Из-за невысокого порядка аппроксимации для получения решения с
достаточной точностью необходимо выбирать мелкие ячейки, что приводит к
увеличению узлов разностной сетки и, как следствие, к увеличению количества
вычислений и времени решения задач на ЭВМ. С целью повышения порядка ап-
проксимации разработаны модификации этого метода, связанные с разными спо-
собами переноса (экстраполяции) значений параметров с центра ячеек на ее грани
с последующим использованием уточненных значений для расчета распада раз-
рыва. Первоначально это было предложено Колганом [82], который повысил по-
рядок аппроксимации почти до второго. Далее были предложены варианты неяв-
ных схем Годунова в применении к решению уравнений Эйлера [64] и Навье-
Стокса [65]. В последующем порядок аппроксимации был повышен до третьего и
далее четвертого порядка, так называемые TVD-схемы. Заметим, что при четвер-
том порядке аппроксимации погрешность замены дифференциальных уравнений
разностными убывает при уменьшении размеров ячеек разностной сетки как
гпах((Дд() ,(Д(?.) ) Использование приемов, повышающих порядок аппрокси-
мации, приводит к увеличению объема
однако позволяет уменьшать количество
нию времени решения задачи
вычислений при расчете одной ячейки,
ячеек, что в итоге приводит к уменьше-
Определение параметров газа при известных комплексах А,,. В резульШ-
“НОЙ “"-“костной схемы „а новом слое по време-
ни „ыппслаюю, газодинамические комплексы А,,. При известных значениях
комплекса Аг на каждом полушаге г^е,
У азодинамические параметры определяются,
исходя из следующих соотношений:
182
+ s+-g_+ Jw?1 2 =0.
9-
Проинтегрировав no q в пределах от до q\, получим
— J = |/^2 - |^д2 +
9-9- <9? ). ). j
91 9I92
+ j(^+ ~ g_)dq2 + J fwdq'dq2,
ч- Ч-Ч-
где d± =g±-f±^.
a9i
Это соотношение является точным следствием дифференциальных уравнений.
Вычислим интегралы, используя значения подынтегральных функций в средине
соответствующих промежутков интегрирования, а именно используя значения а в
центре рассматриваемой ячейки и значения f в точках, расположенных между
узлами граней (i, j),(i,y-1) и (i-l,/),(i-l,j-l). Применяя для значений ком-
плексов и параметров в центре ячейки прописные латинские буквы, а для значе-
ний комплексов на гранях соответственно заглавные буквы, можем записать
а(Г)=аГ; Г(4 39)
| J Aq2-Aq2 Aq2
1 де Д92 = |(д92 + Ag2^ ) D± = G± - F± .
Z oq-^
Это выражение получено с использованием конечно-разностной аппроксима-
8а а^-а^
ции -— =-----------. Считая, что все параметры, необходимые для вычисления
dt Ы
комплекса на гранях ячеек берутся с предыдущего слоя по времени, т.е. при
t = tn, получаем явную схему конечно-разностной аппроксимации уравнений.
При использовании срединных значений подынтегральных функций получаем
схему, аппроксимирующую исходные дифференциальные уравнения с погрешно-
стью порядка тпах(Дд1,Дд2) - т.е. это схема первого порядка аппроксимации.
Дтя вычисления комплексов на гранях ячеек необходимо знать параметры на
этих гранях. В результате применения расчетных соотношений (4.39) получим
значение комплекса aZy- в центрах ячеек Считается, что в пределах ячейки значе-
ния параметров не меняются. При этом при подходе к грани, разделяющей сосед-
ние ячейки с разных сторон (с разных ячеек), получим в общем случае произ-
вольный разрыв параметров на грани. Как отмечалось в п. 4.2.4, такой разрыв не
может существовать, происходит его распад. Грань попадает в зону распада раз-
181
щсний. Могут реализоваться режимы течения, схематически показанные на
рис. 4.8. На этих рисунках показаны линии распространения возмущений С и
п dx
с , которые являются характеристиками -~^ = и±а соответственно, и характе
ристика Со, которая является линией тока
ных условий используются аналитические
— = и . Для формулировки гранич-
dt
решения нестационарной газовой ди-
намики (4.8), (4.9), приведенные в
б)
§4.2.2.
Для пояснения основных поло-
жений формулировки граничных
условий и алгоритмов их численной
реализации рассмотрим следующую
модельную задачу. Пусть на прямой
t = t0 заданы значения параметров
газа и,р,р. Проведем из точек этой
dx
прямой характеристики —• = и ± а
dt
д)
е)
Рис.4.8 Схемы течений в граничных узлах
3)
анты Римана
dx
и — = и (линии С+, С_ и Со соот-
dt
ветственно), выбрав эти точки так,
чтобы характеристики пересеклись в
одной и той же точке О Вдоль ли-
ний С+ и С_ сохраняются инвари-
г .. . 2а
ким образом в точке О известны 1+,1_
I -и —, а вдоль линии Со
Y-1
сохраняется энтропия S = — Та-
Р7
и S. Зная эти величины, можно найти
и,р,р. Таким образом параметры, заданные на некоторой линии в момент време-
ни t = t0, могут быть использованы для определения параметров на этой линии в
момент времени t = t0 + At.
При разностном решении задачи граничные условия формулируются с учетом
локального, в пределах ячейки разностной сетки, сохранения инвариантов вдоль
характеристик. При этом возможны различные рассмотренные ниже случаи.
Левая граница. Могут реализовываться четыре режима течения: дозвуковой
втекающий или вытекающий потоки и сверхзвуковой втекающий или вытекаю
щий потоки (рис. 4.8 а, б, в, г).
Дозвуковой втекающий поток В cbvuap лпат
две характеристики сГиЪГТтТэтомуна^ I ЛевуЮ ГраНИЦу ИЗВНе ПрИХ !
У на этой гарнице должны быть заданы два
184
P = A^u = ~,v = ^ E = ^-,Xk=^-, (440)
A A Ax ’ * Aj
р = р/г0Х^т,
rnk
i~^lxkik('r) E = e + x —~,e-pi-p. (441)
Для совершенного газа уравнение состояния удобно взять в виде р - ——— рг.
Тогда давление и энтальпия могут быть определены из соотношений:
i=—♦ Р = (у-1>.
Р
Для многокомпонентного реагирующего газа температура, энтальпия и давле-
ние определяются из решения системы уравнений (4.39) методом итерации. Мо-
жет быть использована следующая итерационная процедура. Задаем начальное
значение температуры смеси Т, равное значению температуры в предыдущий
момент времени или значению температуры в соседнем узле. Из уравнения со-
стояния при заданных р и Xk находим р. Из второго соотношения (4.39) нахо-
дим i. Подставим найденные значения в третье соотношение (4.41), получаем
трансцендентное уравнение относительно Т:
f(T)=pi(T)-p(T)-e = O.
Для решения этого уравнения может быть применен метод последовательных
приближений. Эффективным оказывается метод хорд. В некоторых случаях мо-
жет быть применим метод Ньютона:
гр _гр
После определения параметров вычисляем газодинамические комплексы
F, G, W по соотношениям (4.5).
Формулировка и численная реализация граничных условий. Рассмотрим
вопросы постановки и реализации различных граничных условий на примере од-
номерного течения. Реализация граничных условий в одномерной и многомерной
задачах практически совпадает, основные отличия связаны только с наличием
других компонент вектора скорости. В многомерной задаче граничные условия
реализуются, как и в задаче распада разрыва на внутренних гранях ячеек, для ло-
кального одномерного течения, направленного по нормали к рассматриваемой
границе.
В каждый момент времени граничные условия на левой и правой границе рас-
четной области задаются в зависимости от направления распространения возму-
183
„ являются три граничные условия, по кото-
попадают на границу и поэтому на ней зад 1
рым определяются все параметры
В1,“ c'iy4ae 'Р"0-4'81'’на '’еву,°грании>'
Сверхтуковои й области, и внешние возмущения не
приходят <ри характеристики ит расчетной ппппиа не яяпаются
попадают на границу. По ному на ней граничные условия зада ся.
Правая Гранина. Так же как и на левой границе могут реализовываться не-
прапгп. ра. . ПТркяюший или вытекающий потоки и сверх-
тыре режима течения: дозвуковой втекающий или в рл
звуковой втекающий или вытекающий потоки (рис. ,
По лковой дающий поток. На правую границу извне приходят две харак-
теристики Со и С (рис.4.8д) и поэтому на ней должно быть задано два гранич-
ных условия. Вдоль характеристики С+ переносится инвариант Римана 1+, по-
считанный по параметрам во внутреннем узле разностной сетки. Будем считать,
что для втекающего газа известны давление торможение р0 (это может быть дав-
ление в ресивере) и полная энтальпия i0. Тогда для определения параметров на
границе расчетной области имеем следующую систему уравнений.
(4-43)
Подставляя выражение для а из первого уравнения системы в третье, полу-
чим квадратное уравнение для вычисления скорости и
и2 - 2^—-1+ • и +^-if zf
у + 1 у + Ц
Решая это уравнение, получаем
Знак минус перед корнем выбран, исходя из условий 1+ = 2а0 /(у -1) и
1о = а-о /(У — 1) при и =0.
После вычисления и значение р находится из второго уравнения системы
(4 43), а скорость звука а - из первого. При известных р и а находится р из
выражения а 2 =у/>/р.
(рИс.4.8е). Пргаод11т одна стака с
извне и, следовательно, на этой гпанипе плп»Иа а
ловие. Вдоль характеристик С 7 С „а °™° 3WH° °ДН° Пмнич"ое уС‘
° + на границу переносятся инвариант Римана
Z -U +------ и энтропия посчитяигги.г. ~ А
У 1 pY ’ “«считанные по параметрам в расчетной оо-
ласти. На границе счизается заданным давление
для определения параметров на правой границе
Ра . Имеем систему уравнений
186
граничных условия. Вдоль характеристики С_ на границу переносится инвариант
Римана 1_, рассчитанный по параметрам во внутреннем узле разностной сетки.
Для определенности будем считать, что для втекающего газа известны давление
торможение р0 (это может быть давление в ресивере) и полная энтальпия i0 . То-
гда для определения параметров на границе расчетной области имеем следующую
систему уравнений
Р I 2у
и2 а2
----1----
2 у-]
(4.42)
Здесь скорости отнесены к критической скорости звука а», энтальпия к а2 ,
давление к роа2, и использовано соотношение р о = - + * р а 2 .
2 у
Первое и последнее выражения из (4.42) позволяют получить квадратное
уравнение для определения скорости и
решение, которого имеет вид
Знак плюс перед корнем выбран, исходя из условий 1_ = -2ао /(у -1) и
*0 =а2/(у-1) пРи и = 0.
После вычисления и значение р находится из второго уравнения системы
(4.42), а скорость звука а - из первого. По известным р и а находится р из вы-
ражения а 2 =у-р/р.
Дозвуковой вытекающий поток. В случае б) на левую границу приходит из-
вне одна характеристика С+ и поэтому на ней должно быть задано одно гранич-
ное условие, а вдоль характеристик С_ и Со на границу переносятся энтропия S
и инвариант Римана Z, рассчитанные по параметрам во внутреннем узле разно-
стной сетки. Будем считать, что известно давление р = ра в области, куда выте-
кает газ. Тогда для определения плотное ги и скорости на левой границе будем
иметь следующие соотношения
Сверхзвуковой втекающий поток В этом случае (рис.4.8в) на левую границу
извне приходят три характеристики, то есть возмущения из расчетной области нс
185
р/рЛ
ПТУ'
~^34 0.4068 0J6102 0.8136 1.0 х
Рис.4.9 Изменение давления и плотности при
распаде разрыва
к р0, давление к роа„, время отне-
сено к L/a0, а скорость звука,
индексом 0 помечены параметры в
правой половине трубки. Линии 1,
2, 3, 4, 5 относятся к моментам вре-
мени т = -^р- = 0.089, 0.176, 0.262,
0.348, 0.435. Сплошные кривые по-
лучены при помощи конечноразно-
стной схемы Годунова, кривые с
кружочками, иллюстрирующие из-
менение плотности, получены при
помощи схемы Мак-Кормака. В ос-
новном результаты совпадают, од-
нако на кривых с кружочками вид-
ны характерные «забросы» в значе-
нии плотности, связанные с немоно-
тонностью конечноразностной схе-
мы. На приведенных рисунках вид-
ны волна разрежения и волна сжатия, которые движутся в разные стороны. На
графике пло дести между этими двумя волнами видна еще одна линия разрыва-
контактный разрыв. После достижения закрытых торцов трубы волны отражают-
ся, и течение приобретает колебательный характер. Дальнейшая эволюция карти-
ны течения иллюстрируется рисунками 4.10 и 4.11. На рисунке 4.11 показаны ли-
Ш
0.8186 1.0 х
нии равного уровня для скорости давления и плотности на промежутке времени
т = 0-2.5. Видно, что возникающие после снятия перегородки ударная волна и
волна разрежения распространяются вправо и влево, затем отражаются от закры-
того торца трубки и движутся в противоположные стороны На рисунке волна
разрежения — это более размы-
тая по сравнению со скачком
уплотнения зона цветового
перехода. Области повышен-
ного и пониженного давления
при отражении волн меняются
местами. Далее картина по-
вторяется. На рисунке изоли-
ний плотности виден также
контактный разрыв, который
возникает в момент снятия
перегородки. Дальнейшая эво-
люция течения иллюстрирует-
Р/Р0аг0
Рис.4.10 Изменение давления в сечениях трубы
закрытой по торцам J ’
сунке показано изменение с течением времени
цах и в центре трубы. Видно, что имеет место
ражение ударных волн и волн разрежения от
ся рисунком 4.10. На этом ри-
давлепия на левом и правом тор-
многократное отражение и переот-
зату хающей амплитудой. Затухание ампл Закрытых ТОРЦ°В трубки с медленно
ется необратимыми потерями полнот ПЛИТудь1 колебаний в основном определя-
VIо давления в ударных волнах.
188
Сверхзвуковой втекающий поток. В этом случае (рис.4.8э/с) на правую грани-
цу извне приходят три характеристики, то есть возмущения из расчетной области
не попадают на границу, и поэтому на пей задаются три граничные условия, по
которым определяются все параметры.
Сверхзвуковой вытекающий поток (рис.4.8з). На правую границу извне не
приходит ни одна характеристика и поэтому на ней не задаются граничные условия.
При численном решении задач с применением конечно-разностной схемы
Мак-Кормака с использованием приведенных соотношений вычисляются пара-
метры в узлах разностной сетки, лежащих на границе Необходимые инварианты
Римана определяются по параметрам в граничных узлах, определенных в резуль-
тате расчетов по конечно-разностным соотношениям (4.38), (4.39), (4.41). При
использовании схемы Годунова приведенные соотношения используются для оп-
ределения параметров в центрах фиктивных ячеек, расположенных правее или
левее границы расчетной области. Величины на граничных гранях определяются
затем в результате расчета распада разрыва.
Метод установления. Описанные конечно-разностные схемы дают возмож-
ность получать численные решения нестационарных задач газовой динамики
Ниже в этом параграфе и в параграфе 7.3.1 приводятся примеры решенных неста-
ционарных задач. Однако применение этих методов оказывается достаточно эф-
фективным и для решения стационарных задач: решение сзационарной задачи
получается как результат развития во времени некоторого начального течения
при стационарных граничных условиях, т.е. стационарное решение получается
как предел решения нестационарных ур нен»»»' при стремящемся к бесконечно-
сти времени. Практически установление стационарного поля потока достигается
при конечном количестве циклов-шагов по времени. Количество этих циклов за-
висит от выбор । .ача ного распределения параметров, размеров разностной сет-
ки и может быть различным для различных разностных схем, изменяясь от сотен
до тысячи и более. Примером применения метода установления может быть рас-
смотренная в §1.3.2 задача об истечении газа через сопло Лаваля при различных
давлениях на выходе из сопла (рис. 1.7а и рис. 1.76). При получении этих
результатов нестационарные уравнения гаювой динамики решались с использо-
ванием конечно-разностной схемы Годунова.
Иллюстрационный пример расчетов. В качестве иллюстрации применения
численных методов рассмотрим следующую задачу. Пусть в трубке, закрытой с
обоих торцов и разделенной на две половины перегородкой, находится газ при
разных давлениях и одинаковой температуре В левой половине трубки давление
газа в 1.5 раза больше, чем в правой. В момент времени t = 0 перегородка снима-
ется. В начальной стадии, пока возмущения, вызванные снятием перегородки не
достигли торцов трубки, имеет место распад разрыва, аналогичный распаду, опи-
санному при анализе течения в ударной грубе (рис.4.2). Кривые распределения
давления и плотности в разные моменты времени представлены на рис 4.9. На
этих рисунках расстояние вдоль грубки отнесено к ее длине х -xl L, плотность
187
Элементы теории пограничного слоя
4 3 Течения вязкого газа. Элемент
_„оЯЮТся системой уравнении, которая включает
Течения вязкого газа описи колиЧеСтва движения в проекции на оси
уравнение неразрывности, УравН ение состояния. Эти уравнения могут быть
Ох и Оу, уравнение ’“«Р™ 5 &|ияние „экоста учитывается в этих уравнен,,,
записаны в виде (2.1), (X. О. V6- '• динамический коэффициент вязкости
ях членами содержащими множитель Ц Дина
ях членами, д коэффициента вязкости для газов имеет порядок
Величина динамического коэфф 2(fC _ ) ? Па (. Однако>
w4 If)6 Па-с Например, для воздух P
’ Учения динамического коэффициента вязкости достаточно
смотря на то, что зна яния вязкости на закономерности течения не-
„алы, для »"Р«« Х"н “н”"е силы с силами вязкого трения. Количес,-
сопоставление можно сделать на основе оценок числа Рейнольдса, ко-
, ”°К отмечалось ранее, и является характерным отношением сил инерции к
силам трения. Учитывая, что =ВДИМ- ЧТО СтеПеНЬ ВЛИЯНМ сил
трения определяется не только динамическим коэффициентом вязкости, но и
плотностью газа, скоростью его движения и характерным размером тела. Напри-
мер для воздуха при характерной длине 1м, характерной скорости 1 м/с и плот-
ности 1кг/м3 число Рейнольдса будет 0.6 105. Так при одних и тех же условиях для
тела с характерным размером 1 м и для частицы с характерным размером 10 м
число Рейнольдса и, следовательно, эффект влияния вязкости будут существенно
различны. Для реальных технологических процессов число Рейнольдса может
принимать значения 107, 108 и более. Это является обоснованием того, что во
многих практических случаях газодинамические параметры могут быть опреде-
лены из уравнений, которые получаются при Re -> оо, т.е. из уравнений, описы-
вающих течения невязкого газа. Для невязкого газа обычно ставится условие, что
нормальная к поверхности составляющая вектора скорости рхвна нулю - условие
непротекания. На касательную к обтекаемой поверхности составляющую вектора
скорости ограничения не ставится. Именно это приводит к невозможности опре-
деления сил трения на поверхности в рамках модели невязкого газа или к появле-
нию контактных разрывов при взаимодействии двух потоков. В качестве условий
сопряжения этих потоков на поверхности контактного разрыва ставится условие
непрерывности давления и нормальной составляющей вектора скорости и не ста-
вятся условия на касательные к контактной поверхности составляющие вектора
скорости и остальные параметры, вследствие чего эти параметры могут иметь
разрыв при переходе через контактную поверхность. Однако эффекты вязкости
приводят к тому, что скорость меняется непрерывно в связи с чем касательная
₽а-X для неподвижной по-
ство газового потока при^оди^ кТаCK°P°C™ повеРхности. Именно это свои-
больших числах Re скорость газа и СИЛ ТреНИЯ НЭ пОвеРХНОСТИ’ Пр"
потока в тонком пристеночном спп₽Яется от НУЛЯ Д° скорости невязкого
слоем. На поверхности взаимолействи Г&3а’ КОТоРый называется пограничны
намические параметры также меняются^* ПОТОКОВ скоРость и другие газоди-
кости линия контактного разрыва ” Непрерь1вно- Вследствие влияния вяз
хотя и достаточно малой толпты^ пРевРЭщается в слой смешения конечной,
’ лЩины. Слой смешения называют также свобод-
190
Скорость
Плотность
Давление
р/рпа
Рис. 4.11 Линии равного уровня скорости, давления и плотности
f IlliIlliIIIIIIlliII ~•llllllli
Отсюда следует:
S2 RUI± = JL. или —т== • (4.44)
L2 Нм Re L ^Re
„ ыеколя из уравнения неразрывности (2.1). Учиты-
Масштаб V определяется, исходя из ур
вая, что
dpV^ RU_ а 8Pvy -
дх L ’ ду 5
и приравнивая масштабы производных, получим
RU RV
L ~ 5 ’
откуда следует
V~Uj-«U. (4.45)
Уравнение количества движения. Перейдем к оценке величины отдельных
слагаемых в уравнении количества движения Будем рассматривать стационар-
ные, то есть не зависящие от времени течения. Произведем оценки членов урав-
нения количества движения в проекции на продольное направление (первое урав-
нение (2.7)).
TZ dVx RU2 xr dVx U RU2
dx L y dy L 5 L
др P RU2
dx L 2
Таким образом, все инерциальные (конвективные) члены имеют один и тот же
порядок RU2 / L.
Перейдем к оценке слагаемых, обусловленных вязкостью
—V________________.. A A dVx и и L2
ALAlL. А~ц ^5 1 U L
ду[^дУ) Им52
Сопоставляя порядки выписанных членов, приходим к выводу, что наиболь-
удет слагаемое ц . В частности, отношение любого другого из рас-
емотрсиных слагаемых к ApSe имеет порвдок | * ±<<J Пр_
этом, именно ,то слагаемое „с„о„ьэова„ось м
192
ноструйным пограничным слоем. Для течений как в пристеночном пограничном
слое, так и в слое смешения характерно, что сила инерции, градиент давления и
силы трения соизмеримы.
Основные свойства таких течений рассмотрим на примере стационарного те-
чения в пристеночном пограничном слое. Особенности, связанные с течением в
свободноструйных пограничных слоях рассматриваются в главе 6. При изложе-
нии материала используются основные положения и результаты, представленные
в [2, 8, 100, 188].
4.3.1 Уравнения многокомпонентного пограничного слоя
Оценки характерных параметров пограничного слоя. Параметром, кото-
рый является определяющим для проведения упрощений полной системы урав-
нений газовой динамики до уравнений пограничного слоя, является его толщина.
Толщина пограничного слоя выбирается из условия, что в пограничном слое силы
трения и силы инерции соизмеримы или одного порядка. Две величины а и Ъ
явл«« тся величинами одного порядка (обозначается как а~Ь или а - 0(b)), если
lim----конечна. величина, т.е. одна величина стремится к нулю с той же скоро-
б->о Ь
стью, что и другая. Для проведения оценок порядков сил инерции и сил вязкости
и сопоставительного анализа слагаемых в уравнениях газовой динамики введем
следующие обозначения масштабов основных переменных: L,U - для продоль-
ной координаты х и скорости Vx; 8,V - для нормальной к поверхности попе-
речной координаты у и скорости Vy; P,R - для давления и плотности. Для ко-
эффициента вязкости введем масштаб цм, равный некоторому характерному для
данного процесса значению. За масштаб L можно принять характерную для по-
тока в целом длину, определяемую размерами технологического пространства
или размерами обтекаемых тел. За масштаб U,R примем типичные для рассмат-
риваемого течения скорость и плотность газа. В качестве характерной величины,
определяющей изменение давления, примем произведение RU2, которое называ-
ется удвоенным скоростным напором или динамическим давлением, т.е.
P = RUZ. Проведем соответствующие оценки. Масштаб 5 определим, исходя из
соотношения между силами трения и силами инерции. Пусть б - толщина погра-
ничного слоя, Им - характерное значение вязкости газа. Силы инерции опреде-
ляются конвективным слагаемым в уравнении количества движения
TZ dVX
PVx~^-> а
дх
U '‘хи
сила трения - слагаемым - =
Тогда для оценок отношения инерциальных сил к силам трения получаем:
pVx RU2/
У х дх /L
^хУ HmW
ду 75
191
pVx
dv^
дх
dVx
dy
dp+±(^\
dx dy < dy )
(4.46)
+ргу
это уравнения P диффузии. В приближении пограничного
Уравнение энергии и УР (3j 1) для вязкого многокомпонентно-
слоя уравнения энергии упрощены. Действительно, сопоставим
го газа могут быть также у I ываЮЩие вязкую диссипацию. Обозначим
слагаемые в уравнении э р , У (3,20) получим:
суммы этих слагаемых через Ф. Тогда из ^.1 ;
Х*У У’ dy
yx
dx
или учитывая выражения для вязких напряжений, получим
. Г/ атг О Глт7 dV..Yl (dU„ dUy
дх
Ф =
Сопоставляя слагаемые этого выражения с учетом оценок для масштабов
(4 44) и (4.45), легко убедиться, что в ••ыражении для Ф необходимо оставить
только одно слагаемое, которое содержит повторные производные по у, т.е.
д „ dVx
Ф =—цК—
dy ду
Отношение остальных слагаемых к этому слагаемому будет иметь порядок
4«г
L2
Аналогичным образом, рассматривая выражения потоков тепла, обусловлен-
ных теплопроводностью и диффузией, легко убедиться что с погрешностью
52 л
«1 можно оставить только слагаемые, которые содержат повторные про-
изводные по у. С учетом этого уравнение энергии для многокомпонентного по-
граничного слоя можно записать в виде
(4 47)
194
ничнго слоя 5. Следовательно, отношения всех остальных вязких слагаемых к
этому слагаемому стремится к нулю, когда 5 —> О, и эти слагаемые могут быть
опущены в уравнении пограничного слоя. В соответствии с определением погра-
5 dVx
ничного слоя слагаемое —ц—— имеет тот же порядок, что и конвективные сла-
ду ду
гаемые, являющиеся проявлением сил инерции.
Произведя такую же оценку членов уравнения количества движения в проек-
ции на нормаль к обтекаемой поверхности (второе уравнение (2.7)), убедимся, что
все члены этого уравнения будут иметь более высокий порядок малости, чем чле-
ны первого уравнения. Действительно, для конвективных (инерциальных) сла-
гаемых с учетом (4.38) имеем
Tr dV RUV RU2 8 Tr dV Ry2 RU2 8
L L L y dy 8 L L
Для слагаемых, обусловленных вязкостью получим
д dVx д dVx U д dVx V U 8
5хЦ ду ~дуИ дх Ь8’дхЦ дх ь2~^м l2 L’
д 8V у U
ду ду 8 L8
Наибольший порядок этих слагаемых будет . Учитывая (4.44), получаем
L8
U RU2
L8 L
L ’
Таким образом, и инерциальные, и основные диссипативные слагаемые имеют
Я172 8 „
один и тот же порядок малости —• — . Следовательно, такой же порядок будет
др др RU2
иметь и производная —. 1огда, учитывая, что —-----------, получаем
ду дх 2
др 1 др др
и’ слеД°вательН0> —стремится к нулю при Re-»oo.
Из этих оценок вытекает важное следствие: давление на поверхности тела
равно давлению на внешней границе пограничного слоя и может быть определено
в результате решения уравнений, описывающих течение во внешнем невязком
потоке. Вязкость газа необходимо учитывать при расчете сил трения на поверх-
ности. Для этого можно использовать упрощенные на основании проведенных
асимптотических оценок уравнения движения вязкого газа. Оставляя в элих урав-
нениях лишь слагаемые одного порядка, запишем их в виде
О
дх ду
193
dUv\
ХуХ ~ Qy дХ J
пленки слагаемых для течения в пограничном слое,
Испо зьзуя приведенные оценки
дУх ИсХодя из эгого, для силы зрения xw на обтекае-
можпо записать хух Ц
мои гюверхнос1и получим
SV J
Здесь и далее индекс н> указывает, что параметры берутс» на поверхности
при у = О. Введя масштаб , Ум = запишем
_SVJ
l
/I 2
^RUm, т.е, отнесем
трение к характерному скоростному напору, тогда, используя введенные выше
масштабы и переходя к безразмерным переменным, с учетом (4.37) получим
[w
cf= -w-=w
%Рмим
~PMUML &
Отсюда следует
(4 49)
т.к. в соответствии с теорией подобия и размерностей безразмерный комплекс
l/2CyVRe должен быть функцией безразмерных величин Зависимость Cffite
от определяющих величин можно получить из решения уравнений пограничного
слоя. Обычно это численное конечно-разностное решение.
Рассмотрим выражение для определения теплового потока к поверхности тела
Qw -
4=0
Введем масштабы основных величин
1 Этот масштаб выбран, исходя из (4.44)
196
или переходя в правой части этого уравнения от статической энтальпии к энталь-
пии торможения, которые в приближении пограничного слоя (Vx « Vy ) связаны
Vj
2 ’
соотношением i
перепишем это уравнение в виде
дх у ду
ду Рг ду
8у ))
(4.471)
Эта форма записи уравнения энергии наиболее удобна для анализа течения в
пограничном слое высокотемпературного сжимаемого газа. Обратим внимание,
что наряду с введенным понятием толщины пограничного слоя, которую называ-
ют динамической толщиной пограничного слоя, вводят также понятие теплового
пограничного слоя как слоя газа, в пределах которого температура меняется от
значен» к температуры поверхности до температуры в невязком внешнем потоке
газа Производя соответствующие оценки слагаемых, отражающих передачу теп-
ла теплопроводностью, можем получить для толщины теплового пограничного
слоя
5Г____1___1
L 7р7 VRe ’
Аналогичным образом, производя оценки слагаемых в уравнении диффузии,
можно получить, что в выражении для диффузионного потока с погрешностью
52
-—g можно оставить только слагаемое с повторной производной по у. Тогда в
приближении пограничного слоя это уравнение примет вид
рг +рк ®^-=—ц—'l
дх у ду dy\Smk ду )
(4 48)
Слой газа, в котором перенос вещества диффузией соизмерим с переносом ве-
щества конвекцией, называют диффузионным пограничным слоем Для оценки его
толщины можно использовать соотношение:
х 1 1
L JSm Ле
Учитывая, что в газе Рг ~ 1 и Sm х 1, имеем 5Г ® 5, = 5.
4.3.2 Соотношения для определения трения, тепловых и
диффузионных потоков к обтекаемой поверхности
Коэффициенты трения и теплопередачи. Напряжение грения в вязком газе
определяется соотношением
195
перепишем соотноше-
(4.54)
(4.55)
Введя безрашерную концепграцию 9* х
нис для диффузионного потока на поверхности в виде.
(Xkt> ~Xkw)?wDkw дУ U=
Введенный таким образом безразмерный диффузионный поток называют, по
аналогии с тепловым потоком, диффузионным числом Нуссельта Nu&, т.е.
д,__________ikwL_______
Л (-Хйб ~ Xku> )рwDfiw
В практических расчетах используется понятие коэффициента массообмена
Р, с использованием которого для диффузионного потока имеем
где индексы 5 и w относятся к параметрам на стенке и на границе диффузионно-
го пограничного слоя.
Коэффициент р характеризует интенсивность переноса массы в пограничном
слое на непроницаемой поверхности. Коэффициент р связан с безразмерным ко-
эффициентом массопереноса соотношением
р£>
Этот коэффициент является функцией других безразмерных параметров
Re,M,Pr,^-,Sm |
(4.56)
Nut
4.3.3 Пограничный слой на пластине. Автомодельность
Задача определения функциональных зависимостей в выражениях (4.49),
(4.53), (4.56) существенно упрощается, если рассматривается пограничный ело
на полубесконечной пластине, помещенной в равномерный поток. Это позволяет
получить решения уравнений пограничного слоя и найти параметры, определяю-
щие трение, тепло- и массоподвод к поверхности тела. Значимость этих р еНИИ
повышается тем, что для расчета коэффициентов трения, теплоотдачи и массопе-
реноса при обтекании произвольных поверхностей и при наличии химических
процессов между компонентами высокотемпературной смеси используются зави-
симости, структура которых вытекает из решения задачи о течении несжимаемой
жидкости в пограничном слое на пластине. Сжимаемость, высокотемпературные
эффекты, наличие градиента давления учитываются введением соответствующих
эмпирических множителей и поправок
198
Т -Т Т Л. -A. v - а -к
1М - ~ 1W' Л-М ~ Лб > Ум - Г— > Ум - Л-М т ’
у Re L
где TS,TW - температура в набегающем потоке и температура поверхности
Т
Введя безразмерную температуру 0 =-, перепишем это уравнение в виде:
Г8 ~Tw
-—g“|£.- = Х—I Vr^.
(т» -T„Xs aj/U
Введенный таким образом безразмерный тепловой поток носит название чис-
ла Нуссельта Nu, т.е.
В инженерной практике для определения теплового потока используется фор-
мула Ньютона-Рихмана
Уи>=а(Ти>-Тоа}), (4.51)
где а - коэффициент теплоотдачи.
Коэффициент теплоотдачи а связан с числом Nu следующим соотношением:
Nu =----
А.
(4.52)
Используя приведенные соотношения, можем записать следующее обобщен-
ное выражение для определения теплового потока
Nu
(4 53)
Коэффициент массообмена. Диффузионный поток /г-ого компонента к по-
верхности определяется в многокомпонентной смеси выражением
Jw - Pu>Dk~—
ду U
где Dk - эффективный коэффициент диффузии.
Введем масштаб основных величин
XkM =XkS (pD)M ~pwDkw, yM = — , jwM =(pD)M-—
VRe ь
где - массовые концентрации /г-той компоненты в набшающем пото-
ке и температура поверхности.
197
„ п ннаты х подобны, в связи с этим пограничный слой
значениях продольной координ «самоподобным».
"а тре,|М “ ,ювсрх"‘,от пр"учим
или, переходя к коэффициенту трения, получим
С -9^-1
f 1nT7Z d%=0 V
„Р&и6
Принимая для простоты цм = pw и учитывая, что - const, получим
где Re= = P&U&— с = 2— - постоянный параметр, который находится из
Pw ’ <4=0
решения уравнений пограничного слоя. Из численного решения задачи для не-
сжимаемой жидкости следует, что с = 0,332 и таким образом для несжимаемой
жидкости имеем
с/ =
0,332
(4.57)
Учет влияния сжимаемости производится введением множителей, зависящих
от числа Маха и других параметров. Конкретные соотношения для этих множите-
лей приводятся в следующих параграфах.
Рассмотрим теперь соотношения для определения теплового потока. По ана-
логии с определением трения можно записать
*6 1 w
т )ве1
Где ^In_o ЯВЛЯеТСЯ некот°рой функцией от числа Рг.
Используя полученное соотношение, получим
200
Основными особенностями задачи о течении в пограничном слое на полубес-
конечной пластине являются постоянство параметров на границе пограничного
слоя и отсутствие характерного линейного размера. Это существенно упрощает
задачу, что позволяет получить конечные аналитические выражения для практи-
чески важных параметров: коэффициента трения, коэффициента теплопередачи,
толщины пограничного слоя и др.
Параметры невязкого потока на поверхности пластины известны и равны па-
раметрам невозмущенного набегающего потока. Примем эти параметры в качест-
ве характерных масштабов. Чтобы отразить это снабдим соответствующие мас-
штабные величины индексом 5. Скорость газа в пограничном слое, отнесенная к
скорости на границе пограничного слоя, будет функцией безразмерных координат, в
качестве которых служат расстояния от кромки пластины и по нормали к пластине -
х и у, отнесенных к их характерным размера ч L и 5 соответственно, т.е.
U6 (l sj
n s
Принимая во внимание, что о ~ — , перепишем пос 1еднее соот-
V Re \ Ps^6
ношение в виде:
Однако, так как в рассматриваемой задаче характерный размер L отсутствует,
то в соответствии с теорией размерностей решение задачи не должно зависеть от
L. Это значит, что х и у должны входить в функцию f в таком сочетании чтобы
был исключен характерный размерь Это имеет место, если следующим образом
ввести переменную г]:
0 = У
С учетом этого получим
/рб^б / F /Р8^8
W/П У\рмх
Из этого соотношения следует, что скорость в пограничном слое, который
формируется при обтекании пластины, зависит от одной независимой переменной
г) Это же относится и к остальным переменным. Вследствие этого уравнения
пограничного слоя в частных производных можно свести к обыкновенным диф-
ференциальным уравнения [8, 86, 100 и др.]. Это позволяет существенно упро-
стить их решение. При этом получается, что изменение параметров по толщине
пограничного слоя имеет один и тот же характер на разных расстояниях от пе-
редней кромки пластины, то есть профили изменения параметров при разных
199
„ ..... ппогекающей в пограничном слое, равна массе невязко-
и действительной масс , ₽ которого равна толщине вытеснения
го I аза, переносимой в слое, толщина котори! и Е
/(р6Уб-рКг)^ = РбУб6*-
О
После деления на РбИ5 и учитывая, что Рб и V8 - это параметры невязкого
1аза на поверхности тела которые являются функциями только от х, получим
Поскольку 5 - это условная толщина пограничного слоя, и при pVx ->p8Vg
имеем 8 -> а заменим последнее соотношение следующим
(4 60)
Подинтегральное выражение стремится к нулю, когда у —>со, таким образом
интеграл имеет конечное значение.
Аналогичным образом вводится понятие толщины потери импульса - 8
Для вывода соотношения для 8** рассматривается потеря импульса, вызванного
изменением скорости в пограничном слое вследствие влияния вязкости
5
^P^ = \pVx(yb-Vx}dy
о
или разделив на p5Vs2 и устремив 8 к оо, получим
Для получения представлений о характерных значениях 8* и 8** рассмотрим
обтекание плоской пластины. Как было показано выше, параметры пограничного
слоя на пластине являются функцией автомодельной переменной т] = у1^-
Тогда учитывая, что dy = , получим
V Рб'5
202
Чи>х
Из численного решения задачи о течении в пограничном слое на пластине
можно получить — = 0.664^/Рг , и тогда имеем
dq
Nu = 0.664^Рг •
= . 0.664=Ург •
(4.58)
Рассмотрим теперь соотношения для определения толщины пограничного
слоя. Прежде всего отметим, что толщина пограничного слоя понятие асимптоти-
ческое, т.е. внешняя граница пограничного слоя находится на расстоянии от по-
верхности тела, на котором Vx ->и$, т.е. строго говоря в масштабе —-L= это
VRe
бесконечно удаленное расстояние. Однако в практических расчетах считают, что
V
на границе пограничного слоя —— = 0,95 -ь0,99 и, исходя их этого, определяют
ut>
V i \
конечную толщину пограничного слоя Имея зависимость —— = будем счи-
тать, что на границе пограничного слоя г) = т]8 = const, тогда используя определе-
ние T] , получим
5 Пб
или — = -
,Re6x
Из численного решения задачи следует, что можно принять т)5 = 5, при этом
/U& = 0,99, тогда получаем
5
VRe6x
(4-59)
Из полученных соотношений следует, что на пластине толщина пограничного
слоя нарастает пропорционально у[х , а коэффициент трения убывает пропор-
ционально —=, где х — расстояние от передней кромки пластины.
4.3.4 Интегральные характеристики пограничного слоя
Вследствие подтормаживающего влияния обтекаемой поверхности невязкий
поток оттесняется от поверхности. Расстояние, на которое оттесняются пинии
тока невязкого потока, называется толщиной вытеснения. Соотношение для опре-
деления толщины вытеснения 5* находится из среднеинтегрального условия ба-
ланса массы. Это условие формулируется следующим образом: разность массы,
которая могла бы быть перенесена в пограничном слое, если бы г аз был невязким,
201
0,332
С учетом этого получим:
... - о 332 ЕьмДй=0-332
й -ода1|₽Ло^ 'Р,Л
Из этих соотношений окончательно получим
£* 0,664
х
что совпадает с (4.62).
4.3.5 Аналогия Рейнольдса между трением и тепломассопереносом
Рассматривая обтекание полубесконечной пластины, выпишем уравнение ко-
dp _п.
личества движения, учитывая, что - и .
т7 ди TZ 8U д ди
Р х дх +Р у ду дуР ду
гдеи=%-
Это уравнение решается при следующих граничных условиях: при
у ~ О U = 0 и при у = О U = 1
Введя безразмерную полную энтальпию Н = ——и полагая Рг = 1, урав-
i-ob ~^ow
нение энергии (4.471) можем записать в виде
т/ дН хг дН
pV-----+ рИ„---=
дх у ду
д дН
ду ду
Это уравнение решается при следующих граничных условиях: при
У ~ О Н = 0 и при у - 8 Н = 1. Таким образом, и U и Н удовлетворяют одним
и тем же дифференциальным уравнениям и одним и тем же граничным условиям,
т.е. U и Н как функции определяющих параметров выпадают. Это значит, что
dp
ПРИ dx = ° И ПРИ ₽Г = 1 изменение скорости в пограничном слое и изменение
полной энтальпии связаны следующими соотношениями:
(4.63)
Из этого соотношения следует, что
204
или разделив на х и, учитывая, что ——— = RCj
V РгУб*
получим
5*
X
const
'Re.
Из численного решения автомодельных уравнений пограничного слоя опре-
деляется константа, с учетом этого получим
5* 1,721
х ^Rex
Аналогичным образом имеем для толщины потери импульса:
5** 0,664
х Jr^'
(4.61)
(4-62)
Интересно сопоставить эти уравнения с уравнением для толщины погранич-
ного слоя
5 =
Таким образом 5 s 35* s 7,55**.
В общем случае можно получить дифференциальное уравнение, связывающее
5*, 5** и [100, 188]
Это уравнение, записанное для частного случая обтекания пластины, позволя-
ет более полно представить физический смысл толщины потери импульса.
На пластине имеем - 0 и тогда — psl7f 5’
dx dx
или
Из этого соотношения следует, что потеря импульса равна сопротивлению тре-
ния. Используя определение коэффициента трения Cf = т
получим:
Ранее было получено, что
6”=ifc,dx.
5 ~ гт2
Рби8 о
203
а рг^1 но в этом случае лучше пользоваться скоррек.
полыовать и тогда, когда
тированным соотношением
№£, = 1с,7К-Гг». (46S)
J5 2 '
.V dp * О можно пользоваться следующим соотношением-
Для течении, в которых и,
VRe 2
где и, s зависят от распределения давления.
Введем безразмерную массовую концентрацию Xk
v _ Xk~Xkw
k'xk,-xkw'
где индексы 5 и w относятся к параметрам во внешнем потоке на границе погра-
ничного слоя и на поверхности тела. Если Х8 и Xw постоянны, то диффузия в
пограничном слое сохраняет свой вид и для безразмерной концентрации
дх у ду
д 1 dXk
-----р—-.
ду Smk ду
В случае Sm = 1 это уравнение совпадает по форме с уравнением количества
движения на плоской пластине и с уравнением энергии, записанным для безраз-
мерной полной энтальпии. Так же как безразмерные скорость и полная энтальпия,
безразмерная массовая концентрация удовлетворяет условиям:
Xk = 0 при у = 0 и Xk = 1 при у = 8 .
Таким образом, скорость, полная э альпия и массовая концентрация компонент
удовлетворяет одному и тому дифференциальному уравнению и одним и тем же
граничным условиям. В связи с этим между ними имеется следующее соответствие
Yx_ _ jo iow _ Xk~ xkl»
^8 iO5 ~ i-ow Xkf) - Xhw
(4.66)
НеКОТОрую аналогию между трением, тепло- и массопере-
ми трения теплone Соотношение’ можно установить связь между коэффициента-
’ редачи и теплообмена. Действительно, из предыдущего имеем:
р vy Qy pr М 9у
И ду Sm^dy
206
Из
V2 _.
Обратим внимание на то, что при у = О, Vx = 0 и io - i + % i
ду ду+ х ду ду р ду'
Полученные соотношения позволяют при Pr = 1 получить связь между тепло-
вым потоком и трением. Действительно,
, дТ X „ дТ _ 1 di _
Qw ду Ср^рду Рг%
, ,di0 iO8 -iow дУх _ Igf, - iow
=иг»__^ зу ’ v()
т.е. имеем
= (4.64)
~~ ^ow ^S
Это соотношение выражает аналогию между трением и теплообменом и носит
название аналогии Рейнольдса.
Запишем эту аналогию для безразмерных параметров Nu и Cf . Учитывая, что
^=|рЛ2С,.
9w =^И'(ТО — = Wu(i0 —
можно записать
или учитывая, что Pr = 1, и вводя число Re, получим
Перепишем это соотношение в общепринятом виде
= (4 64')
Re 2 г
Это соотношение имеет строгое обоснование для совершенного газа при
Pr = 1 и — = 0. Однако, в приближенных оценочных расчетах его можно ис-
dx
205
™ ..а понятием полной энтальпии потока, т.к. именно полная эн-
удобно пользоваться ПО ИМГПР U тепловую КОТОПЛЫ гчА
J o^ninvPT энергию, в том числе и тепловую, которой обладает
™ьпРи n°z: zz™может £
газ при одной и Г1гппости смеси и от ее состава. Эти общие особенно
сТэ^™= СМеСИ ГаЗОВ ОбСуЖдадись
при формулировке различных форм уравнения энергии многокомпонентной реа-
гирующей смеси газов в §3.1.3. В настоящем разделе проводится дальнейшая
конкретизация сформулированных в §3.1.3 положении, отражающая специфику
течений в пограничном слое. Основные аспекты методологии расчета тепловых
потоков в высокотемпературном пограничном слое изложены в [2].
Энтальпия восстановления. В случае обтекания теплоизолированной по-
верхности полная энтальпия удовлетворяет следующим граничным условиям:
1О = Ч при у = 5 и = 0 при у = О.
В случае Рг = 1 и Le = 1 решением уравнения энергии (4 471) при этих гра-
ничных условиях будет i0 =i0& = const. Т.е. полная энтальпия не изменяется в
пределах пограничного слоя. Длв газов Рг < 1. В этом случае, если процессы вы-
деления тепла вследствие трения и отвода тепла теплопроводное лю и конвек-
тивным переносом находятся в равновесии, то энтальпия торможения при темпе-
ратуре теплоизолированной поверхности меньше энтальпии тормгжения во
внешнем потоке. Энтальпию газа при температуре теплоизолированной поверх-
ности 1е называют энтальпией восстановления. Вводится понятие коэффициента
восстановления [2]
С учетом этого имеем, учитывая, что в соответствии с (1 15 ) i -is= —
\ • Jo 5 2
гиивнешнеmCHT Восстановления г показывает, какая доля кинетической энер-
гии внешнего потока затрачена на повышение теплосодержанния газа у стенки.
При ламинарном течении вдоль пластин г ~ ^Рг
™е темп^р^^^ь1НыхГстаХвданг1я^1Тт^НТаЛЬГ1ИИ ВОССтановленИя используется поня-
’’•Х-Ч-и».-).
(4 68)
208
где Рг, Sm - числа Прандтля и Шмидта
Из (4.64) следует, что
dio dXk
1-1-^ = ^-^
тогда при Рг = Sm = 1
4w _
Принимая во внимание, что
получаем соотношение между коэффициентами тепло- и массопереноса
(4 67)
и, наконец, переходя к безразмерным коэффициентам массо- и теплопереноса
(соотношения (4.52), (4.55)), можем записать:
Nu
Nu
Рг- Sm ’
(4-67’)
4.3.6 Теплообмен в высокотемпературном реагирующем
пограничном слое
При высоких температурах газа в реакционном пространстве высокотемпера-
турных технологических аппаратов, в частности, камерах сгорания, течения в по-
граничном слое сопровождаются химическими реакциями. Если поверхность хи-
мически не взаимодействует с газом внешнего потока, то химические реакции
могут протекать в виде диссоциации и рекомбинации молекул газа или с образо-
ванием новых компонент газа (например, при горении смесей). При наличии хи-
мических реакций в пограничном слое необходимо учитывать дополнительное
выделение и поглощение тепла внутри слоя. В этих условиях, кроме совокупно-
сти уравнений пограничного слоя, нужно рассматривать уравнения, определяю-
щие условие протекания химических реакций. Рассматривая движение смеси га-
зов в целом, нужно иметь в виду, что физические параметры смеси р,ц,А.,Ср, и
др. зависят от состава, давления и температуры смеси. Определение этих пара-
метров связано с некоторыми предположениями, которые делаются при задании
параметров смеси различных газов. Ряд предположений приходится делать при
задании кинетики химических реакций. Поэтому расчеты даже в случае ламинар-
ного режима течения в пограничном слое должны обязательно сопоставляться с
экспериментальными данными. В этих условиях для определения энергетическо-
го (теплового) взаимодействия реагирующего газа с обтекаемой поверхностью
207
а ^.ношение может быть использовано для определения теп-
Формально поверхНости как однородным газом, так многоком-
лового потока при обгекан следует, что влияние химических реаК-
попентной реагирующей см ‘ если в формулах, полученных дпя
ций в некоторой степени M7"ebb"^y|OЭ11Тальпию.
расчета теплообмена исполь теплового потока используется, как
В „рак™чееких рае«цах (4 51). Однако . ее первоначал^
аТписГне умываются перенос тепла диффузией и выделение тепла в хн„„чс.
реакциях. Для направления ситуации можно использовать модифицировав
ную Ф^Р^лу, в которой вместо разности температур используется разность „ол.
ных энтальпий [2]
а
(ie iiv ) »
(4.70)
- энтальпия смеси газов при температуре поверхности Tw
где iw = ^Xkik(Tw)
При этом используется понятие энтальпии восстановления, то есть энтальпии
газа при температуре теплоизолированнной поверхности.
Использование этой формулы дает возможность частично учесть наличие хи-
мических реакций и повышает точность определения теплового потока.
Химически равновесный пограничный слой на некаталитической по-
верхности. Основные особенности определения состава химически равновесного
газа описаны в § 3.5. Если концентрации химических элементов, давление и тем-
пература или энтальпия газовой смеси заданы, концентрации газовых компонент
определяются, исходя из уравнений материального баланса и соотношений закона
действующих масс или условия минимума энтропии. В свою очередь для опреде-
ления концентраций элементов в § 3.1.2 получено уравнение диффузии химиче-
ских элементов (3.17), которое в случае равенства эффективных чисел Шмидта
для различных компонент записывают в сравнительно простом виде. В прибли-
жении пограничного слоя уравнение диффузии химических элементов имеет вид
pu<^+pvdXke._ а м
ду ду Sm ду ’
Ai
уч
С
Поскольку при химических реакциях выполняется условие сохранения массы
элементов, то вдоль внешней границы пограничного слоя концентрации химиче-
ИХ 3Ha4ei"M опРеЛеляются, „сходаиз состава та-
не вступает в химически6” ПОТОКе‘ обтекаемой поверхности, материал которой
поток элементов равен некуда с”™”" Г“°В°Й CMCC"’ ДИфФу3“<’Н"“Й
Sd
W |
= 0.
Пе
ро<
в г
ПО1
неь
Рг,
I *
210
I
Коэффициент теплоотдачи в химически реагирующем пограничном слое.
Получим соотношения для определения теплового потока к поверхности, обтекае-
мой высокотемпературной смесью газов при заданной температуре поверхности.
При движении многокомпонентного газа тепловой поток к поверхности опре-
деляется не только теплопроводностью смеси газов, но и переносом тепла вместе
с диффундирующими компонентами и выделением тепла вследствие химических
реакций.
Тепловой поток к поверхности в соответствии с (3.19) определяется соотно-
шениями
I k ду
где -эффективный коэф ициент диффузии, ^(Т1) - теплосодержание диф-
фундирующих компонент Первое слагаемое определяет перенос тепла теплопро-
водностью, а второе - диффузией.
Учитывая, что полная энтальпия смеси газов определяется соотношением
и2
= 1 + —-,где i = , и на поверхности тела и = 0, можем записать
2 ъ
где Ср = - замороженная удельная теплоемкость смеси газов при от-
сутствии химических реакций, т.е. при постоянном составе газа.
Первое слагаемое определяет изменение энтальпии смеси, связанное с изме-
нением температуры, второе - с изменением состава газа, т.е. второе слагаемое
учитывает эффект химических реакций. Определив с помощью последнего соот-
дТ
ношения —— и подставив его в формулу для теплового потока, получим
(4 69)
г X Smh
где Le - -=-=----- - число Льюиса
CppDh Prh
Для течения газов характерно, что во многих случаях особенно для турбу-
зентных течений, можно принять Le = 1, тогда для определения теплового пото-
ка получаем соотношение
209
„.лпяпятуоа и покомпонентный состав газа в г.
При найденной ’нтальпии ^тиОпределяются по методике § 3.5.2. диф"0
граничном слое при нсо Д действующих масс, и уравнения элем!ц
Ре|ЩИРУ”УРавнения’вь’Ра’кз,О^03^инейных алгебраических уравнений отнп™
тарного баланса, получаем систему линейных а н /н ни относи-
тслыю dX* , входящих в определение и Используя Ргэ0, можно для
dT
расчета теплопередачи в диссоциированном равновесном пограничном слое ис-
пользовать аппроксимационные соотношения для числа Нуссельта, полученные
для совершенного газа в предыдущем и следующем параграфах.
4.3.7 Трение и теплообмен в турбулентном пограничном слое
Для определения трения и теплообмена при турбулентном течении в погра-
ничном слое используются соотношения, обобщающие результаты эксперимен-
тальных исследований [1,2, 100]. Определяющим является соотношение, полу-
ченное для течений несжимаемой жидкости. При необходимости определения
трения и теплообмена в сжимаемом газе вводятся соответствующие поправки.
Наиболее широкое распространение получили следующие соотношения для
определения коэффициента трения на плоской пластине в несжимаемом погра-
ничном слое
ж
П|
П1
к
н<
ГС
ш
Cf =(21gRex-0,65)"2’3,
Cf = 0,085Rex°’29+0’001'gRe*
В диапазоне значений Re от 106до 108 можно использовать более простую формулу
Cf= 0,059 Re;0’2. (472)
Обобщение экспериментальных данных дает следующую формулу для пара-
метров теплообмена на пластине т Н J j F
(4 71)
ре
где
7Vu = 0,0296Re°’8Pr°’43 (4 73)
™с,'о'рХльдса^рассчитанное'по^а^” В“ДУ’‘а' В °ЫПИСан“ых
сяо». В качестве П’аНИЦС
стины. ° Расстояние от передней кромки пла-
Из сравнения формул (4.72) и (4 73Т гп
аналогия Рейнольдса имеет вид едует’ что в этой области изменения Re
для
^ = -CzRePr°’43
(4.74)
2 f'"
Влияние сжимаемости на коэймЬ
егью ог числа М . При М = 0 имеем^е^ ГРения характеризуется его зависимо-
довапия различных авторов хорошо есжимаемУЮ жидкость Результаты иссле-
ность использовать единую аппроксИм^аСУЮТСЯ МеЖду собой и дают возмож-
ванной поверхности, проверенную Х™°Н"УЮ за=и™мость для теплоизолиро-
j да значении М — 9
зави
212
Тогда можно считать, что в пограничном слое концентрации химических эле-
ментов не изменяются и равны их концентрациям на границе пограничного слоя.
При этом удовлетворяется как уравнение диффузии элементов, так и сформули-
рованные условия на границе пограничного слоя и на обтекаемой поверхности.
Так как давление по толщине пограничного слоя не изменяется, то при из-
вестных концентрациях элементов концентрации компонент смеси в пограничном
слое определяются только температурой. Это позволяет существенно упростить
расчет параметров в многокомпонентном пограничном слое, так как не нужно
решать уравнения диффузии компонентов и элементов. Уравнение энергии, запи-
санное относительно энтальпии смеси также упрощается при помощи эффектив-
ных коэффициентов теплопроводности, введенных в §3.1.3 при выводе уравнения
(3.21). Остановимся на этом подробнее.
Тепловой поток, переносимый к поверхности в пограничном слое теплопро-
водностью и диффузией, определяется соотношением
, дТ „ дХк
Принимая во внимание, что в пределах пограничного слоя при оговоренных
v v (гг\ SXk дХк дТ
условиях Хк ~Хк{1 ) и, следовательно, ------------, получаем
Sy ST ду
raelx=-£.,(T)Dsp^..
k=l
При высоких температурах может быть во много раз больше, чем X.
Аналогично можно определить = “ полная Удельная теплоемкость,
учитывающая тепло химических реакций. Учитывая, что i = и
— , получаем
г dth Д. dXk — Л. dXk
р-ф k dT dT р+&dT
Первое слагаемое представляет собой теплоемкость замороженной смеси, а вто-
рое учитывает наличие химических реакций.
Используя метод полных коэффициентов при условии, что элементный состав
в пределах пограничного слоя не изменяется, систему уравнений равновесного
пограничного слоя сведем к системе уравнений, по форме совпадающих с урав-
нением для химически инертных газов, только вместо Рг посгавим
211
о 18 до 0 1 при изменении Re от 106 до Ю10, п
где п изменяется от 0,1» Д° н ири
, й „ п 2 что согласуется с (4.72) и (4 78)
k 5 10 й 106 можно принятья U,Z, что
Эксперимент показывают, что условия Nu ~ Re ’ , C,~Re являюТся
_ ™ сотяничною слоя на произвольной поверхности По.
раХеЛ,у^уяе.™ого трения и теплообмена удобнее .место Re „ Nu
„вес™ критерия подобия Мт/Ке°'8 и С, /. Расчетные формулы m ,ца.
СТИНЫ „р„ этом исходя нт определения № и С, можно записать в виде
Р°ЧМ'2 Cp(re-Tj
’" = Re“'' '
(4 81)
Pr
Te= 7i
—мА г = еРг1/3,
2 )
. _2.Г рг0,2 Риз M-w ul
:w~ 2 Cfla Кеиз ^.0,2
(4 82)
Формулу (4.79) можно записать в виде
-^- = О,296Рг0’43
Re°’8
(4 83)
где Krt
+ Г(о]
Для Кт могут быть использованы и другие аппроксимации, например,
К.
где p<") „ p<°> вычисляют при некоторой подобранной температуре
7’(°)=1Т .2Г 1у —1
3 з w ь~Т~гМ
называемой определяющей.
При малой скорости потока и б
пользована формула °льшом перепаде температур может быть ис
Ча"° «пол-уетс также
214
Cz=C/o(l + rco)-°-55:
(4 75)
где г = Рг1/3, со = 1 = М2, Cf0 - коэффициент трения в несжимаемой
z
жидкости.
Как видно, с увеличением М коэффициент трения на теплоизолированной
поверхности падает, что связано с уменьшением плотности у поверхности, тем-
пература которой равна в этом случае температуре восстановления Те.
Если температура смеси Tw меньше Те, то тепловой поток направлен от газа
к стенке В этом случае характер изменения физических свойств газа в погранич-
ном слое будет другим, и необходимо ввести поправку на влияние температурно-
Т
го фактора . В диапазоне М = 2 4-5 может быть использована следующая эм-
пирическая формула
(т Г0’35
С/'С/0Ш (1 + ™)’0'55. (4 76)
которая при 10е < Rex < 108 с учетом (4.72) переписывается в виде
(т Г0-35
С, =0,059Re°'2[7-"J (1 + г.)-°-55. (477)
Для практических целей удобно определять параметры течения по температу-
ре поверхности, используя обозначения
Г - Rp - U6PwX
'-'fw л ’ — >
Pw ’ U6 Pu>
где индекс «ш» относится к параметрам, рассчитанным по температуре смеси.
С учетом этого формула (4.77) может быть приведена к виду
С,„ =0.059 Re“-2^ (1 + (4.78)
Используя аналогию между трением и теплообменом, эмпирическая формула
для критерия Nuw может быть записана в виде
( А0,4
(1 + г«)°-4 (4 79)
<е )
Для расчета теплообмена и трения могут быть использованы критериальные
зависимости
Nuw
Re°8
гД.со
Т
(4.80)
213
_ и. следовательно, » тг °' П₽" — I
„ов в потрани-шом слое используете, &, определенное из решен»
обтекания ^“""^“““"“'’’инзересные течения, описываемые упрощен^,
„и X— “ " Ра“Рда"еИИе даМе,"“ ™°“ ЯВ',ЯеТС" НСгаМИ-
„ей функцией, то есть, & подлежит определению. В частности, к таким
ям относятся течения в струях, истекающих в спутный поток, течения в трубах и
каналах и ряд других течений.
При вытекании струи в спутный поток для определения давления на границе
струи необходимо рассматривать задачу взаимодействия струи с внешним пото-
ком, решение которой связано с определением давления.
Схожая ситуация имеет место и при течении в трубах и каналах. На входном
участке на стенках кашла формируются обычные пограничные слои. При удале-
нии от входного участка толщина этих пограничных слоев увеличивается, и на
некотором расстоянии от входного сечения пограничные с юи, сформированные
на противоположных стенках канала, смыкаются, зона существенного вязкого
течения занимает все поперечное сечение канала. Для многих технологических
приложений можно с тать, что давление не изменяется в поперечном сечении, и
течение в канале может быть описано уравнениями пограничного слоя. Продоль-
ный градиент давления подлежит определению из условия сохранения расхода
при течении газа по каналу.
Перечисленные задачи объединены общностью математической постановки,
Системы уравнений для их решения содержат уравнения второго порядка пара-
болического типа - уравнения для продольной составляющей вектора скорости,
температуры или энтальпии, концентрации компонент для смеси газов и уравне-
ние первого порядка - уравнение неразрывности. Кроме того, в эти задачи входят
неизвестные параметры или функции: толщина пограничного слоя или ширина
струи, толщина вытеснения и распределение давления в задачах вязкого взаимо-
действия, продольный градиент давления в течениях в трубах и каналах.
Поскольку такая постановка задач является обобщением приближения погра-
ничного слоя, класс задач, объединенных описанной общностью, будем называть
задачами типа пограничного слоя.
нений^тдач°гипя КОНечно~разностной аппроксимации дифференциальных урав-
УРавнений соответствующих алгебраичес^
для определения свободных папа^Д организация итерационного процесса
конкретной гидрогазодинамической а ФуНкций практически не зависят от
зволяет при разработке методов и я ЗЯДачИ’ в КОТОРОЙ они используются. Это no-
математических свойств этих зап ГОритмов Решения задач исходить только из
Созданные на этой основе алГоХ1?™СЧЬСЯ ОТ "х Физических особе,<н««й
решения широкого класса палим, „ * "Рограммы могут быть использованы дл
Уравнения, описывающие точе™*"’"'""™' 3!™4'
упрощений, записываются в виде Па ПогРаничного слоя с учетом принять
216
/ xO,4+0,2exp(-<or)
(1+шг)0''1
которая дает удовлетворительно согласующиеся с опытом результаты как при
дозвуковых, так и при сверхзвуковых скоростях.
4.4 Упрощенные уравнения многокомпонентных смесей и
алгоритмы их решения
4.4.1 Задачи типа пограничного слоя
Для многих течений характерным является то, что изменение газодинамиче-
ских и термодинамических параметров в направлении у, перпендикулярном на-
правлению основного течения, происходит гораздо быстрее, чем изменение этих
параметров по направлению х, ориентированному по основному течению. Вслед-
ствие этого вторые производные от параметров потока по у намного больше, чем
по х. Это является основным результатом полученных при выводе уравнений по-
граничного слоя асимптотических оценок уравнений газовой динамики. Из этих
оценок следует, что слагаемые, содержащие повторные производные по продоль-
ной координате х, и смешанные производные можно опустить с погрешностью
— I и -1 — 1 соответственно. Второе существенное упрощение вносится тем,
Эр _
что можно принять — = 0 и опустить уравнение количества движения в проек-
ту
ции на направление, пер ендикулярное основному течению. На основании этого
получены уравнения пограничного слоя, которые описывают течения газа в тонких
слоях. Однако эти допущения могут быть приняты и для многих других течений.
Наиболее характерным примером таких течений являются течения в дозвуко-
вых струях, изобарических (с малой нерасчетностью) сверхзвуковых струях, а
также течения в трубах и каналах, в которых длина канала намного превосходит
его ширину, или угол между касательной к стенке канала и его осью намного
меньше единицы.
На начальном участке струи, формирующейся при вытекании газа из сопла
или трубы при взаимодействии потока в струе с внешним потоком, в окружаю-
щем пространстве образуются слои смешения, течение в которых описывается
уравнениями пограничного слоя. Для описания течений на участке струи после
смыкания слоев смешения по-прежнему формально можно использовать уравне-
ния пограничного слоя несмотря на то, что области этих течений могут и не быть
асимптотически тонкими. Отдельные характерные особенности течений в струях,
трубах и каналах рассматриваются в главах 6, 7.
При расчете течений в пограничном слое и дозвуковых изобарических струях
dp
считается, что — задано. При вытекании струи в покоящуюся среду (затоплен-
ное пространство) давление на границе струи считается равным давлению в зато-
215
Решение этих уравнений для разных функций, в связи с формулировкой ра
граничных и начальных условий, могут отличаться. Рассмотрим случай, когда НЫХ
ду решением этих уравнений может быть установлена некоторая зависимость
Пусть на линиях у - Уо и у = у&, ограничивающих область течения, За
значения скорости, темпера iypw и концентрации компонент, не зависящие
т.е. задано f = f0 при у = уои f = ft> при у = уъ. Кроме того, в начальном *
нии при х = х0 задано f - f0. В этих условиях можно ввести нормированную
комую функцию 6 = ———, которая удовлетворяет уравнению вила (d
fb-fo и сле-
дующим граничным и начальным условиям: 0 = 0 при у = у0} 0 = j При
Аналогичным образом, если на одной из границ — - 0 (для определенности
пусть эго будет нижняя граница у = у о), а на другой границе задано не зависящее
от х значение /, и задано значение функции / = /0 в начальном сечении х = х0
то граничные и начальные условия для нормализованной функции 0 можно запи-
сать в виде
~ = 0 при у = у0, 0 = 1 при у = у5, 0 = О при X = х0 .
И, наконец, если на обеих границах ^- = 0, то 0-/-/о, где f0 значение
ду
функции f в сечении х = х0 . Граничные и начальные условия в этом случае запи-
сываются в виде:
— = 0 при у = Уо, — = 0 при у = у&, 0 = 0 при х-х0.
ду ду
Во всех рассмотренных случаях уравнения (4.85), (4.86), (4.87) и, следова-
тельно, (4.88) при Pr = l, Sm-1, Le = l могут быть записаны в одном и том же
виде относительно нормализованной функции 0
зо а© 1 д мао
ри —+ ри—=---------ру® —
дх ду у<° ду ду
Решив это уравнение при соответствующих выписанных граничных условиях,
газодинамические параметры можно определить, пользуясь следующими сооТ
ношениями
0_ и~ио *о~Ёо
и&~и0 »о,6~^
Эти соотношения выражают аналогию между тепломассопереносом для зада4
типа пограничного слоя. Строго эта аналогия выполняется при оговоренных вы-
(4.881)
(4.89)
feO
218
дутР , дуУи t дуюри Q
dt дх ду
(4 84)
ди ди и
pT7 + Pu/- + p/- =
dt дх ду
at; _ dp 1 д
ду dx уа ду
(4.85)
p«L+p„»L+pO«t= J_Aij,»aL+AALfi_±V±^
dt дх ду у® ду Рг ду у^Зу^Ч Рг/ ду 2
dt ах ду у™ ду Smh У ду k
(4.87)
где со = 0,1 для плоских и осесимметричных течений, и, v (аналоги Vxn Vy) -
проекции вектора скорости на направление основного течения и на нормаль к
этому направлению. Н уравнении (4.85) вместо частной производной от давления
использована обыкновенная производная, так как в приближении пограничного
слоя считается, что давление не меняется в поперечном направлении.
В уравнениях (4.85) (4.87) при рассмотрении ламинарных течений ц, Рг,
Sm,Le - коэффициент молекулярной вязкости, числа Прандтля, Шмидта и
Льюиса-Семенова. Для турбулентных течений - это эффективные турбулентные
коэффициенты, для определения которых могут быть использованы аппроксима-
ционные соотношения из различных моделей турбулентности в зависимости от
рассматриваемых течений.
Аналогия м«жту тепло- и массопереносом для задач типа пограничного
слоя. Для пограничного слоя на твердой поверхности при определенных услови-
ях в §4.25 получены соотношения, составляющие аналогию между тепло- и мас-
сопереносом. Поскольку в основе задач типа пограничного слоя лежат уравнения,
по форме совпадающие с уравнениями пограничного слоя, то эта аналогия может
быть распространена и на другие течения, описание которых сводится к решению
задач типа пограничного слоя. Представляет интерес рассмотреть течения, для
которых можно положить Рг = 1, Sm = 1, Le = 1 и др/дх = 0.
В этих условиях уравнения, определяющие профиль скорости, полной энталь-
пии i0 и массовой концентрации компонент (при условии, что =0), имеет
один и тот же вид
df df df 1 а ша/
р— + ри — + ри—=---ци —.
dt dx ду у™ dy dy
(4 88)
где f - одна из функций и, i0, Xk.
217
. • ж„имы внешней границы расчегной области и продОЛЬНОГо
ров или функции формь сы реализации алгоритмов обсуждаются в по
градиента давления Частные вопросы рио
следующих разделах при описании конкр
Стандартная форма записи уравнений второго порядка. Для численного
решения Х типа пограничного оно» удобно перейти к нормированной nqj(,
менной н = » . где у = б(х) - уравнение внешней границы расчетной области.
5(х)
При расчете течения в пограничном слое или струе эта поверхность совпадает с
границей погранично! о слоя или струи. Для течений в трубе или канале p = 6(x)_
эго уравнение стенки канала или трубы.
В нормированных переменных расчетная область имеет прямоугольную фор.
му и ограничена в плоскости (х,г|) прямыми т] = 0, т) = 1 и х = 0, x = Sk. Урав-
нения стационарного пограничного слоя являются по математическим свойствам
схожими с нестационарными уравнениями теплопроводности, при этом продоль-
ная координата х аналогична времени в уравнении теплопроводности. Следова-
тельно, для уравнения пограничного слоя, так же как и для уравнения теплопро-
водности, формируются эволюционные по х и краевые по г| математические
задачи. Для однозначного определения решения системы уравнений второго по-
рядка: уравнения для продольной составляющей скорости (4.86), энтальпии (4.87)
и концентрации компонент (4.88) необходимо задать эти параметры на некоторой
начальной плоскости х~ const и аничные условия на нижней и верхней по-
верхности течения. В струйных задачах и в задачах течения в трубах и каналах
при наличии плоскости симметрии считается, что производная по т] при т] = 0 от
искомой функции равна нулю. На твердой поверхности для скорости формулиру-
ется условие «прилипания», в соответствии с которым скорость газа равна скоро-
сти поверхности.
Иго касается полной энтальпии и концентрации компонент, простейшие усло-
вия формулируются на теплоизолированной мически инертной поверхности:
тепловой и диффузионные потоки равны нулю, откуда следует
dXk п
И = 0 при Л = 1 или °.
ПРИ —“
ннютея нХгХХХ^Тпо 7пр“Т™ ЧаСТ'""е ПР°Ю“°ДНЫе "° У
Ч при помощи следующих соотношении:
дУ дт]5’
Л = S' д
8х Эх Л8^’
220
ше условиях. В случае чисел Pr, Sm, Le отличных от единицы в практических
приложениях используют скорректированные на основании результатов система-
тических численных или экспериментальных исследований соотношения. Эти
соотношения для параметров в пограничном слое рассмотрены выше. Однако, в
связи с тем, что для газов числа Pr, Sm и Le близки к единице, особенно для
турбулентных течений, область применения соотношений (4.89), особенно на
стадии предварительных оценок параметров, достаточно широка.
Пользуясь аналогией между тепло- и массопереносом, можно, зная распреде-
ления одного из параметров, например скорости газа, определить распределение
другого параметра. В качестве примера рассмотрим вопрос определения темпера-
туры совершенного газа. Для совершенного газа при 10 = СрТ0 и Ср = const из
(4.89) при и0 = 0 получаем
?b ^iv _
7О6 ~Tw u8
—
откуда с учетом того, что То = Т +--, следует
Т
~(T&-TW)+^
u6 2Ср u6
4.4.2 Алгоритмы численного решения задач типа пограничного слоя
Общей особенностью задач типа пограничного слоя является то, что для ком-
поненты вектора скорости Vn, определяемой из уравнения первого порядка -
уравнения неразрывности, формулируется краевая задача: задаются условия для
на двух границах расчетной области. Наиболее просто эти условия записыва-
ются на границах, являющихся обтекаемыми поверхностями тел - Vn = 0 или
= ^8 - В других задачах условие для Vn формулируется, исходя из дополни-
тельных соотношений. Это, в частности, относится к задачам об истечении вяз-
ких струй в спутный сверхзвуковой поток. Подробно такие задачи рассматри-
ваются в § 6.3.2.
Возможность удовлетворения второму граничному условию для Vn в задачах
типа пограничного слоя предоставляется наличием дополнительных свободных
параметров или функций. При численном решении задачи сеточные значения до-
полнительных функций на каждом вычислительном шаге подбираются так, чтобы
удовлетворялось это второе условие для Vn. Реализация алгоритма подбора се-
точных значений свободной функции органично связана с решением уравнения
неразрывности. Этот алгоритм включает в себя дополнительный итерационный
процесс, на каждом шаге которого необходимо решать уравнения второго поряд-
ка параболического типа. В связи с этим в настоящем параграфе остановимся
подробнее на общих для многих задач типа пограничного слоя особенностях ре-
шения перечисленных уравнений, связанных с определением свободных парамет-
219
«-у°’У У‘- («I,
rKf. „д„а из ^динами-еких функций, «£,. - коэфф„циеНга.
' ля» каждой из функций при постановке задачи._Наиболее т„„ич„вд
слГаи сводятся к следующему: на линии у = У0 . являющейся осью или ЛИ„ИЙ1
симметрии .ела, а'^-0. е^1 для всех параметров. Такие же ВДа1и,
принимают эти коэффициента, при записи гранитного условия для „а тепла,
изолированной поверхности и для Х„ на некаталитической поверхности. При
обтекании поверхности без скольжения для продольной скорости u = Q, т.е
af =1 bf = q cfQ =о. В более общем виде условия на поверхности записываются
для полной энтальпии и массовой концентрации компонент на поверхности, на
которой происходят физико-химические процессы с выделением (поглощением)
массы и тепла (§5.1).
Стандартная форма записи уравнений и граничных условий предоставляет
возможность отделить вопросы получения численного решения уравнений второ-
го порядка от вопросов расчета коэффициентов этих уравнений. Это достигается
созданием унифицированных комплексов программ, построенных по модульному
принципу. При наличии такого комплекса программ изменение физической по-
становки задачи и, как следствие, увеличение количества уравнений, изменение
граничных условий и т.д. приведет только к разработке или модификации моду-
лей, реализующих вычисления коэффициентов a,Qft,P, . , . , Ь^,с^, и к измене-
нию констант, зависящих от количества уравнений.
Редукция размерности. Отработка алгоритмов решения многих газодинами-
ческих задач, а также изучение влияния многих физических и физико-химических
процессов на газодинамические течения обычно проводятся вначале на одномер-
ных стационарных или нестационарных задачах. Обобщение решаемых одномер-
ных задач на многомерные производится после достижения полного понимания
особенностей применяемых конечно-разностных схем и алгоритмов и существа
прПпппгТаК)ЩИХ течения физических процессов. Таким образом, на первом эта-
гпаммы° пткс, К ЧисленномУ эксперименту разрабатываются и тестируются про-
симой переменнойЩв^бРеШаТЬ ОДНомеРные задачи. При этом в качестве незави-
задач переменная В Ирается наиб°лее характерная для интересующего класса
переменной является nonene^3™* ТеЧеНИЙ такой характерной пространственной
при всевозможн П°Перечная координата у. Такой выбор связан с тем, что
задач, в частности при НюТ™"*’ применяемых Для решения газодинамических
нений, содержащие пепные^™130™6 3аДЭЧ ™Па погРаничного слоя, члены УРав'
всего подвергаются изменениям^? Пр°ИЗВО™е по этой переменной, меньше
сокращения времени на птзпягГ ЭКИМ образом> представляется удобным в ДеЛЯХ
повышения их надежности баш™^ Программ Для решения многомерных зада4 и
Дач меньшей размерности (в ппР?°ВаТЬСЯ На ИмеюЩихся программах решения за
Р Деле одномерных).
222
где о = — .
dx
С учетом этого запишем уравнения второго порядка (4.86), (4.87) (4.88) в
унифицированном стандартном виде.
5г) <?Г) Эт] дх dt
(4 90)
гДе fk - одна из функций Vx,io,Xk, а коэффициенты a,csk, р, у, 8k, £, выра-
жаются через газодинамические параметры, исходя из уравнений (4.86), (4.87)
(4.88) и введенной нормировки:
a=A~, Р = -^-,Е = ри
52 Р б S Р
Vn = n-i)u—-.
dx
Выражения для коэффициенте* о* и 8k различны для различных функций fk
Для и, исходя из (4.85), имеем
8 = ^
dx
Для функции Iq имеем
б‘=И AjJL-ib +11A
б2 ch) <Pr / ду 2 б2 уа ду
Для функции Xk имеем
<’х=^7»--8?”"'k
Для однозначного определения решений уравнений формулируются соответ-
ствующие начальные и граничные условия.
Для нестационарных течений необходимо задать пространственные распреде-
ления всех параметров в начальный момент времени.
В качестве граничных условий задаются значения параметров в некоторых се-
чениях х = х0 и на линиях ограничивающих течение. Для стационарных задач
параметры в сечении х - х0 служат начальными условиями.
Граничные условия при г] = 0 и т| = 1 для функций fk также удобно записать
в стандартном виде
221
+ O/±1
где о>±1/2 - 2
Приведя подобные, получим систему алгебраических уравнений относительно
сеточной функции f*:
Aifa + Brf+C^-Df. (4И)
где AJ = ауоу+1/2 +^Р7Д*> -В;=ау(оу+1/2+CTy_1/2)+YyAi , С} = ауау_1/2 -~PyAt,
D* = SfyAi2, j - номер узла разностной сетки по г].
В общем случае коэффициенты Aj, Bj, Cj, Dj, в свою очередь, зависят от f',
т.е. система (4.93) нелинейная. В связи с этим для решения этой системы исполь-
зуется итерационный процесс, на каждом цикле которого коэффициенты
Aj, ВСj вычисляются по значениям функций fk, взятых из предыдущей итера-
ции. На каждом итерационном цикж имеем систему алгебраических уравнений с
трехдиагональной матрицей, для решения которой эффективно применение мето-
да прогонки [46].
Аппроксимация граничных условий. Для аппроксимации производных ис-
комых функций, входящих в граничное условие (4.91), введем фиктивные узлы,
расположенные на расстоянии шага разностной сетки Аг| от поверхности вне
расчетной области. Тогда граничное условие с погрешностью ~ Дт|2 можно запи-
сать в виде
/ f 7 (494)
2Дт| ’
™ю™н“ОЙэ™ Функции и фиктивных узлах Для
дифференциальных уравнений^ КОНечно'Разностной аппроксимацией
расположенной на гпанипп 1 записанных для точек разностной сетки,
получим счетной области. Например, для нижней границы
А''г + В1Л + =
Используя это уравнение, исключим 7
тате получим соотношение ко '° Ю ПервОго Уравнения (4.94). В резуль-
писать в виде ’ Торое п°сле некоторых преобразований можно за-
224
Эффективным средством сведения решения многомерной задачи к решению
набора одномерных является расщепление разностных схем по пространствен-
ным переменным [77, 78, 104]. Определенные возможности формализации алго-
ритмов решения многомерных задач, позволяющей избежать дублирующего про-
граммирования при повышении размерности задачи, является выделение из них
обобщенной одномерной задачи (квазиодномерной задачи) [164, 201]. Решение
многомерной задачи сводится к решению набора введенных таким образом
обобщенных одномерных задач. Назовем этот переход редукцией размерности.
Коэффициенты обобщенных одномерных задач зависят от способа аппрокси-
мации производных искомых функций по добавляемым в связи с повышением
размерности независимым переменным. При надлежащей организации програм-
мы решения одномерной задачи решение многомерных задач требует лишь до-
бавления модулей, реализующих пересчет коэффициентов многомерной задачи
на коэффициенты обобщенной одномерной задачи. Остановимся на описании ре-
дукции размерности для стационарных уравнений типа пограничного слоя. Вос-
пользовавшись конечно-разностным представлением производной по переменной
х в виде
Qfn _ yr(n-l)
дх Лх
решение двумерной задачи можно свести к решению набора одномерных задач.
Коэффициенты 8Х и ух этих задач определяются, исходя из коэффициентов 82 и
у2 для двумерной задачи, следующими формулами:
2 Дх
Погрешность такой замены двумерной задачи набором квазиодномерных име-
ет первый порядок, т.е. стремится к нулю как Дх. Применение других схем ко-
нечно-разностного представления продольных производных, позволяющих полу-
чить более высокий порядок их аппроксимации, приводит к усложнению форму-
лы пересчета для свободного члена 8Х, не меняя общего алгоритма решения зада-
чи. Аналогичный прием дает возможность свести решение трехмерной задачи к
набору двумерных задач с последующим переходом к квазиодномерным.
Алгоритм численного решения квазиодномерных уравнений. В результате
редукции размерности получаем набор квазиодномерных уравнений, каждое из
которых можно записать в виде
₽^+т/=81.
д df
а—с— +
<Эт] ст)
<4 92)
Используя формулы конечно-разностной аппроксимации квазиодномерного
Уравнения с погрешностью ~ Дт]2, пойучаем:
223
a8"’un*“Pu dpn^P^n. - 0 s
es 5n
(4.100)
где v =v-^'u co = O и O) = l Для плоских и осесимметричных течений. Заме-
тим, чго при n-i, г.е. на внешней поверхности расчетной области, vn является
нормальной к этой поверхности составляющей вектора скорости. Эго необходимо
учитывать, если рассматриваются течения с распределенным вдувом газа через
"^ЕслГсчитать, что плотность и составляющая вектора скорости и уже найде-
ны, то уравнение (4.100) служит в качестве уравнения для определения vn
Это дифференциальное уравнение первого порядка, следовательно, для одно-
значного его решения необходимо задать одно граничное условие. В практиче-
ских задачах обычно имеются два граничных условия для vn. В частности, при
расчете течения в трубах или каналах известно значение vn на обтекаемой по-
верхности и на оси или плоскости симметрии канала. Оставляя на дальнейшее
обсуждение вопроса о наличии двух граничных условий для дифференциального
уравнения первого порядка, рассмотрим граничное условие на при г) = 0, которое
запишем в виде:
при т) = 0, vn = 0 или vn = Ved .
Второе из этих условий используется, если через обтекаемую поверхность
происходит вдув газа. Это может быть как вдув газа с заданным расходом, и тогда
Ved считается известным, так и вдув или отсос газообразных компонентов вслед-
ствие гетерогенных химических реакций на поверхности или фазовых переходов.
В последнем случае Ved подлежит определению с использованием дополнитель-
ных соотношений, описывающих кинетику химических реакций или фазовых пе-
реходов (§5.1). Однако, и в том и в другом случае рассматривая алгоритм реше-
ния уравнения (4.100), будем считать, что Ved(x) задано.
Для численного решения уравнения (4.100) применим простейшие формулы
конечно-разностной аппроксимации:
ЬМ -(S“n”pvJ,
&х Si =0-
:чета v тановки слагаемых получаем рекуррентное соотношение для
(4.Ю2)
Используя для определения nW
(4.102), можно определить значение1 ' (4101) "
и узел, лежащий на верхней гоанипо УЗЛЯХ Разностной сетки’ включаЯ
границе расчетной области при ц = 1.
226
fi=^f2+K^,
(4.95)
cfo^O, 4*0.
Аналогичным образом на верхней границе при j = п можно получить
fn-i^Lnfn+Kn, (496)
0/+J_A
где Ln.-----U1+^VL ,^0 „
Л А I AJ2At] 6
fn =-V ПРИ «8 =0> 4 *°-
°8
Таким образом, сеточная функция fj, удовлетворяющая граничным условиям
является решением системы уравнений (4.93), (4.95), (4.96).
Как уже отмечалось, эффективным методом решения зной системы уравнений
является метод прогонки [46].
В соответствии с этим методом для определения значений fj в узлах разност-
ной сетки используются следующие рекурентные соотношения
6=£А1+^Л1- (4.98)
Подставляя соотношения (4.98) в (4.93), легко получить формулы для расчета
Lj,Kt, которые называются прогоночными коэффициентами
Коэффициенты и KY определяются из граничных условий при у = 0 по
соотношениям (4.95). На первом этапе - прямая прогонка - определяют прого-
ночные коэффициенты L}, Kj. Затем, решая линейную систему, состоящую из
уравнения (4.96), которое является следствием граничного условия при у = 1, и
уравнения (4.98), записанного при j = п , находим fn - значение функции на гра-
нице. Далее по рекуррентным соотношениям (4.98) последовательно, начиная с
j = п — 1, находим все значения . Этот этап вычислений называется обратной
прогонкой.
Алгоритм решения уравнения неразрывности. В результате нормировки
расчетной области после очевидных преобразований уравнение неразрывности
можно записать в виде
225
dp
Тзким образом, при расчет вну.рен.« течении производна, можя
что пасход В каждом сечении трубы или канала за-
быть определена из1 Усло"ески влетворяегся .раничное условие (4.103)
дан При этом авто Ся решением уравнения первого порядка,
компоненты скорости V„ , ЯВЛЯЮШеи f
ар
Аналогичным образом решается вопрос определения - в задачах о течении
сгруй в спутном потоке (§ 6.3).
«Явили» зависимость скорости от градиента давления. Алгоритм опреле-
лопни давления. Решение уравнения второго порядка для продольной состав-
лающей вектора скорости (4.85), которое является упрощенным уравнением ко-
личества движения, существенным образом определяется граничными условиями
dp
и градиентом давления —.
В задачах в которых — - заданная функция, это не приводит к усложнению
’ dx
решения. Решение нелинейных разностных уравнений, к которым сводится сис-
тема уравнений второго порядка, находится методом простой итерации. Система
линейных уравнений с трехдиагональной матрицей, получаемая на каждом шаге
итерационного процесса, решается методом прогонки.
. dp
В задачах, в которых функция — должна определяться в процессе решения,
dx
наличие производных от этой функции в уравнении (4.85) приводит к усложне-
нию алгоритма решения задачи и, как следствие, к увеличению затрат машинного
времени. Действительно, в этом случае уравнение (4.85) необходимо решать со-
вместно с уравнением неразрывности. Поскольку в эти уравнения входит плот-
ность, то необходимо использовать уравнение состояния. В свою очередь в урав-
нение состояния входят массовые концентрации компонентов и температура или
энтальпия, что вызывает необходимость включить в рассмотрение также уравне-
ния энергии и диффузии компонент (4.86) и (4.87).
При каждом значении продольной координаты х производная —— определя-
сь
ется таким образом, чтобы было удовлетворено второе граничное условие для vn,
определенное соотношениями (4.103). Можно для определения использовать
вияТдПИ'Ги являющееся следствием уравнения неразрывности и усло-
подхола являетс1ражаю1цее условие сохранения расхода. Достоинством первого
дхода является возможность естественного его обобщения на трехмерное тече-
Р Д dx вызывает необходимость организовать дополнительный
итерационный процесс. На первом итерационном шаге при заданной функции
dx определяются в результате решения уравнений второго порядка u, i и •
На втором шаге совместно с решением уравнения неразрывности, исходя из крае-
При рассмотрении уравнения неразрывности было принято, что р и и уже
определены в результате предыдущих вычислений. Для определения и использу-
ется уравнение количества движения типа (4.85). В это уравнение входит произ-
dp j
водная от давления . В задачах пограничного слоя — считается заданным и
ах dx
определяется из решения задачи невязкого обтекания. При этом не формулирует-
ся условие для vn на границе пограничного слоя. Однако, если необходимо со-
прягать решение уравнения пограничного слоя с решением уравнения внешнего
обтекания, то из условия сопряжения вытекает дополнительное соотношение, из
которого можно определить vn и при г] = 1. Аналогичное обстоятельство имеет
место и при течении в трубе или канале: на непроницаемой поверхности канала
должно быть vn = 0 или при наличии распределенного вдува vn = Vg0& Таким
образом, для vn формируется второе краевое условие
при т] = 1 vn = 0 или vn = Ved. (4.103)
Это условие можно удовлетворить только специальным подбором значения
dp
— в рассматриваем- -м сечении канала. Другими словами, второе граничное ус-
dx
ловие для функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению первого
порядка, служит для определения дополнительного параметра или функции, ко-
торой в рассматриваемых задачах является производная давления.
Легко убедиться, что при расчете течения вязкого газа в трубе или канале, так
называемые внутренние течения, второе грашгчное условие согласуется с требо-
ванием сохранения заданного расхода через трубу или канал. Действительно,
проинтегрируем уравнение (4.100) по т] в пределах от 0 до 1. После очевидных
преобразований с учетом условий (4.101), (4.103) получим
fs"*1n“pudn+(jS“I)„]i|=i -|р6"п“Ц_0 = о. (4.104)
л о
Очевидно, что интеграл, входящий в это выражение, с точностью до постоян-
ного множителя представляет массовый расход газа через текущее поперечное
сечение канала
1
G = |бш+1пир^п.
о
Если на верхней и нижней поверхностях канала Ve0 = 0, то из (4.104) следует
G = const, т.е. условие постоянства расхода. При наличии вдува
G(x) = G(0)+ J((ppe3 )n=0 - (pve<? )л=1 )dx =<7(0)+Ged (x)
о
227
аоьио=ьо.б+со.б~^ У~Уо> У-У&; м
и SUP
ao.sup =со,б~^> У = У = Уб- 1
Таким образом, для определения сеточных значений продольной с
щей скорости вместо одной системы уравнений (4.93) при f = ц необход^^*10'
тать две системы уравнений (4.105). Так как эти две системы уравнен - М° ^е'
ются только свободными членами, количество вычислений при этом °ТЛИЧ3-
незначительно. Действительно, система уравнений (4 105) решается м В°3Растает
гонки с использованием рекуррентных соотношений, которые запишем ^;i°M ПР°'
Uj,L=LjUi+1L-^KjtL,
В: +К:гС;
Li - B^L~&
“ П,лпмп что ДЛЯ прогоночных к оффициентов, получен-
„,,ХТ “ХмиЯя— только числители в коэффициент К *
Остальные величины: коэффициенты I, и знаменатель в K,L являются общими
ди, всех трех систем уравнений и могут быть вычислены один раз. Значении
компонент вектора скорости в пограничном слое при рассчитаных uj L опре-
деляются из (4.106).
Далее реализуется следующий итерационный алгоритм. Задаем начальные
значения . При этом будем считать, что давление в текущем сечении опреде-
dx
лено, исходя из давления в предыдущем сечении и производной — для текущей
итерации, плотность р определена с использованием уравнения состояния и чис-
ленного решения уравнений энергии и диффузии. Далее при текущем приближе-
нии — находим из (4.106) сеточные значения продольной скорости Uj. Исполь
зуя формулы рекуррентного счета (4.102), найдем в результате численного peuiq
ния уравнений неразрывности значения скорости vn на верхней стенке канал3
(j = n). При этом на нижней границе vnj (j = 1) считается заданным. Значение
производной — подбирается так, чтобы компонента скорости vn удовлетворял3!
сформулированным для нее условиям на верхней границе расчетной °блаС\
Эффективный итерационный процесс подбора давления основан на методе хорД-
Коэффициенты uoj и upj в соотношении (4.105) уточняются в итерации
оУРаВНеНИЙ ВТ°Р°ГО Таким Образом, итера^
связанного с нелинейтаюНупавСУЩе-ТВЛЯК>ТСЯ ВНуТрИ итеРаци0НН®ГВ0Ва^|
уравнении второго порядка, т.е. испол
230
вого характера граничных условий для vn, находим новые значения ——. Этот
dx
цикл повторяется до тех пор, пока не будет найдено с требуемой точностью.
Для уменьшения объема вычислений и, как следствие, машинного времени,
можно построить алгоритм непосредственного определения —— в итерационном
dx
цикле по нелинейности уравнений второго порядка. Для задач о течении закру-
ченного потока несжимаемой жидкости в трубах этот приём был описан в [130].
В [201] рассмотрено его применение к широкому классу задач типа пограничного
слоя для двух- и трехмерных, внутренних и внешних течений сжимаемой жидко-
сти. Здесь проиллюстрируем этот алгоритм на примере двумерных задач. Пример
решения трехмерной задачи рассмотрен в §7.2.1.
Основной особенностью уравнения (4.93), являющегося конечно-разностной
аппроксимацией уравнения (4.85), является то, чл в соответствии с (4.90) сво-
бодный член Dj пропорционалаен производной от давления. В задачах, в кото-
dp
рых — не задано, а подлежит определению в процессе решения задачи, эту осо-
бенность можно использовать для уменьшения затрат машинного времени. Это
достигается тем, что в процессе итераций удается привести в соответствие про-
, dP
фили скорости в вязком течении с —, не решая на каждом итерационном цикле
dx
уравнения второго порядка для и. Уравнения второго порядка необходимо ре-
шать только на итерационных циклах, связанных с их нелинейностью. Остано-
вимся на этом подробнее.
Полагая, что коэффициенты Aj, Bj,Cj, Dj определены по параметрам, рас-
считанным на предыдущем итерационном цикле, решение линейной системы
(4.93) представим в виде
dp
Uj -иjo +ujP-^
(4.105)
В свою очередь, исходя из (4.93), для расчета коэффициентов иуои ujp полу-
чим следующие уравнения
A}Uj+iL + BJUj,L + И-106)
где L = о, р, dj 0 =0, dj р = 1.
Граничные условия для функций Uj L нужно сформулировать так, чтобы
( dp\
удовлетворялись условия (4.91) для функций Uj независимо от I I. Для этого
достаточно, чтобы на границах расчетной области выполнялись следующие соот-
ношения:
229
™,ип<тных схем с использованием идей описай
строения монотонных конечно-разностных схе пИсан.
ного выше метода Годунова-метода распада разрыве I , 1
Неявная схема Мак-Кормака предназначена для Урав-
нений Эйлепа и уравнений Навье-Сзокса при больших числах Рейнольдса. Ос-
новное достоинс1во метода состоит в следующем. Во-первых, в вычисляемых по
неявной схеме членах разностных уравнений для аппроксимации пространствен-
пых производных в мсгоде используются односторонние разносги. Эго приводит
к необходимости решай, системы линейных уравнении с блочной двухдиаго-
налыюй матрицей коэффициентов. Решение таких систем требует меныиих за-
трат времени, чем решение систем уравнении с блочными трехдиагональными
матрицами, к когорым приводят наиболее совершенные неявные методы. Во-
вторых, влияние вязкости учитывается лишь путем включения корректирующих
слагаемых в собственные значения соответствующих матриц. Это также позволя-
ет, сохраняя устойчивость схемы, существенно уменьшить затраты времени. В
третьих, при усложнении задач усложняются лишь уравнения явной части схемы.
Неявная часть схемы, служащая исключительно для обеспечения устойчивости
счета, остается при этом неизменной. Наконец, в методе Мак-Кормака преду-
сматривается использование явной схемы для расчета параметров течения в тех
областях, где выполняется условие устойчивости Куранта-Фридрихса-Леви (та-
кими областями могут быть, например, участки течения вдали от пограничного
слоя, в которых шаг по пространственным координатам становится достаточно
большим).
Метод Мак-Кормака теоретически обеспечивает устойчивость при любых At и
имеет второй порядок аппроксимации. Расчет по этой схеме осуществляется в две
стадии. На первой стадии используется явная разностная схема Мак-Кормака
[102, 197] второго порядка точности по времени и пространственным координа-
там. При этом величина шага по времени ограничена обычным для явных мето-
дов условием устойчивости. Основные положения этого метода описаны в §4.1.4.
На второй стадии эти связанные с устойчивостью ограничения устраняются б
годаря использованию неявных разностных уравнений. Полученные на этом эта-
пе уравнения имеют блочные двухдиагональные (верхние и нижние) матрицы, и
их решение значительно проще, чем решение используемых в существующих не-
явных методах уравнений с блочными трехдиагональными матрицами [26].
Построенные на основе конечно-разностной схемы Мак-Кормака алгоритмы,
как уже отмечалось, ухудшают свою работоспособность в окресшости разрывов
параметров потока (наблюдаются осцилляции, провалы рассчитываемых функ-
ции). Эти особенности требуют определенных мероприятий, компенсирующих
указанные нежелательные эффекты (например, в разностные уравнения вводятся
дополнительные диссипативные слагаемые, видоизменяются в окрестности раз-
рыва разностные операторы и т.п.). 1
кую разрешающую способность,
схем, разработанных для численного построение на базе монотонных
подход применяется в [65], где на основе 7>Ирования Уравнений Эйлера. Такой
вышенной точности, разработанного в [641 пп Н°Г° ВарИанта схемы ГодУнОва П°'
I 4] для уравнений Эйлера, построена не-
ЯЕ>Н
П0В1
JOTC!
сетк
ячее
ваК”
так»
коор
пени
гонк
няем
Varif
232
представления (4.105) позволяет избежать численного решения уравнений второ-
го порядка на каждом итерационном цикле при определении градиента давления.
4.4.3 Замечания о методах численного решения уравнений Навье-Стокса
Повышение эффективности многих технологических процессов связано с ин-
тенсификацией тепломассообменнных процессов в технологических аппаратах.
Это часто достигается организацией циркуляционных течений с локальными за-
стойными зонами, закруткой потока, появлением многих слоев смешения и т.д.
При этом эффекты вязкой диссипации и турбулентного перемешивания сущест-
венны не только в пристеночных пограничных слоях, но и в основной части поля
течения. Технологически это обеспечивается специально организованным вдувом
струй в технологические аппараты и подбором специальной геометрии этих ап-
паратов. В этих условиях рассмотренные модели невязкого газа и модели типа
пограничного слоя не всегда позволяют учесть важные аспекты течения. При де-
тальном анализе таких течений и необходимости адекватного описания газодина-
мических процессов, происходящих в различных элементах этих устройств, не-
смотря на возникающие при этом проблемы методологического и вычислитель-
ного характера, необходимо использовать полную систему уравнений Навье-
Стокса и неупрощенную систему уравнений энергии и диффузии компонент смеси.
Численному решению уравнений Навье-Стокса, описывающих движение вяз-
кого теплопроводного газа, посвящено большое количество работ, например [26,
56, 58, 65, 78, 81, 102, 173, 185]. В последние годы было предложено множество
важных усовершенствований численных методов. Главным достижением можно
считать разработку неявных неитерационных методов решения уравнений Навье-
Стокса [26, 78]. Эти методы, ободные от обычных для явных методов жестких
ограничений на устойчивость, значительно превосходят последние по эффектив-
ности. Реализация неявных разностных методов обычно сводится к решению сис-
тем уравнений с блочными трехдиагональными матрицами [26], для решения ко-
торых применяются алгоритмы векторной прогонки. Идеология этих алгоритмов
такая же как и описанного в предыдущем разделе алгоритма скалярной прогонки,
однако объем вычислений при их численной реализации значительно больше.
Поэтому программы, реализующие расчет по неявным схемам, обычно значи-
тельно сложнее программ решения с помощью явных методов. Тем не менее, ис-
пользование тех или иных преобразований позволяет упростить реализацию не-
явных методов. Например, факторизация путем расщепления системы уравнений
по координатным направлениям и физическим процессам позволяет свести реше-
ние разностных уравнений к скалярным трехточечным прогонкам [77, 78]. Опыт
использования схем явной аппроксимации для построения эффективных алго-
ритмов расчета невязких течений, так же как и опыт, накопленный при построе-
нии и практическом использовании неявных абсолютно устойчивых конечно-
разностных схем для уравнений типа пограничного слоя, послужил основой для
построения эффективных алгоритмов численного конечно-разностного решения
неупрощенных уравнений газовой динамики. Характерная особенность этих ме-
тодов состоит в том, что они включают явный и неявный шаги по маршевой пе-
ременной. Типичными представителями таких методов является метод, построен-
ный на неявной конечно-разностной схеме Мак-Кормака [102, 197], и методы по-
231
«ооолгтиых схем с использованием идей описан-
стросния монотонных конечно-разностных схем
hoi о выше метода Годунова - метода распада р р
Неявная схема Мак-Кормака предназначена для —«
нений Эйлера и уравнении Навье-Стокса ври большик: «ислах Р -Ос-
™ « следующем. Во-первых, в вычисляемых по
нояноб достоинство метода состоит в
^иней схеме ..левах разностных уравнений для эХ^’
шах производных в методе используются односторонние разности. Эго приводи,
к необходимости решать системы линейных уравнении с блочной лвухднаго-
налитой матрицей коэффициентов. Решение таких систем требует меньших за-
трат времени, чем решение систем уравнений с блочными трехдиагональными
матрицами, к которым приводят наиболее совершенные неявные методы. Во-
вторых, влияние вязкости учитывается лишь путем включения корректирующих
с iaf аемых в собственные значения соответствующих матриц. Это также позволя-
ет, сохраняя устойчивость схемы, существенно уменьшить затраты времени. В
третьих, при усложнении задач усложняются лишь уравнения явной части схемы.
Неявная часть схемы, служащая исключительно для обеспечения устойчивости
счета, остается при этом неизменной. Наконец, в методе Мак-Кормака преду-
сматривается использование явной схемы для расчета параметров течения в тех
областях, где выполняется условие устойчивости Куранта-Фридрихса-Леви (та-
кими областями могут быть, например, участки течения вдали от погрзольного
слоя, в которых шаг по пространственным координатам становится достаточно
большим).
Метод Мак-Кормака теоретически обеспечивает устойчивость при любых At и
имеет второй порядок аппроксимации. Расчет по этой схеме осуществляется в две
стадии. На первой стадии используется явная разностная схема Мак-Кормака
[102, 197] второго порядка точности по времени и пространственным координа-
там. При этом величина шага по времени ограничена обычным для явных мето-
дов условием устойчивости. Основные положения этого метода описаны в §4.1.4.
На второй стадии эти связанные с устойчивостью ограничения устраняются бла-
годаря использованию неявных разностных уравнений. Полученные ни этом эта-
пе уравнения имеют блочные двухдиагональные (верхние и нижние) матрицы, и
их решение значительно проще, чем решение используемых в существующих не-
явных методах уравнений с блочными трехдиагональными матрицами [26].
Построенные на основе конечно-разностной схемы Мак-Кормака алгоритмы,
как уже отмечалось, ухудшают свою работоспособность в окрестности разрывов
параметров потока (наблюдаются осцилляции, провалы рассчитываемых функ-
ции) Эти особенности требуют определенных мероприятий, компенсирующих
указанные нежелательные эффекты (например, в разностные уравнения вводятся
дополнительные диссипативные слагаемые, видоизменяются в окрестности раз-
рыва разностные операторы и т.п.).
Монотонные коне шо-разностные схемы. Естественным путем получения
эффективных численных методов для уравнений Навье-Стокса имеющих высо-
кую разрешающую способность, является их построение на базе монотонных
Х™Гпот^ТетиХв?бЯЧ1,СЛе,'НОГ° интеП’иР«ва«™ Уравнений Эйлера. Такой
вишенной точности, рир]бХногоим '‘“™ Мрианта Годунова ио-
Р зраиотанного в [64] для уравнений Эйлера, построена не-
232
явная консервативная схема для уравнений Навье-Стокса. В этом методе с целью
повышения точности аппроксимации пространственных производных использу-
ются кусочно-параб ические распределения параметров по ячейкам разностной
сетки, удовлетворяющие условиям монотонности. Расчет потоков на границах
ячеек проводится с помощью процедуры распада произвольного разрыва, учиты-
вающей локальную структуру потока. Обращение неявного оператора проводится
также с учетом местной структуры потока и с использованием расщепления по
координатным направлениям, что позволяет при решении алгебраических урав-
нений для сеточных функций использовать метод скалярной трехточечной про-
гонки, описанный выше. Среди других конечно-разностных схем, широко приме-
няемых для решения газодинамических задач, следует отметит* TVD (Total
Variation Diminishing) схемы [196, 204].
Глава 5
г»П|.МЖЕННЫЕ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ
ТЕРМОГ^дТлХчЕСКИЕИГЕ^ССООБМЕННЫЕ
ГЕТЕРОГЕННЫЕ ПРОЦЕССЕ
Мно.ис технологические процессы в энергетике, металлургии, химическом
технологии связаны течениями смеси газов с твердыми или жидкими частицами.
Эти течения сопровождаются гетерогенными химическими реакциями и фазовы-
ми переходами. Условия протекания этих процессов и степень их завершенности
во многом определяют эффективность и производительность технологического
аппарата в целом. Кроме того, высокотемпературный газовый поток может всту-
пать в химическое взаимодействие с материалом твердых поверхностей, которые
шраничивают технологическое пространство. При этом дополнительно к рас-
смотренным в предыдущих главах чисто газодинамическим и физико-
химическим процессам добавляется большой комплекс вопросов, связанных с
описанием динамического, теплового, химического и массообменного взаимо-
действий высокотемпературного газа с материалом обтекаемых поверхностей и
твердыми или жидкими частицами. Кроме того, в общем случае необходимо рас-
сматривать и процессы, происходящие в материале поверхности [111, 116].
5.1 Особенности термохимического взаимодействия газа с
материалом ограничивающих поверхностей
При термохимическом взаимодействии горячего газового потока с материа-
лом ограничивающих поверхностей в поток вдуваются газообразные продукты
гетерогенных химических реакций или термического разложения материала по-
верхности. Интенсивность этого вдува и состав вдуваемых газов зависят как от
состава и температуры смеси газов на поверхности, так и от температуры и соста-
ва материала поверхности. Для определения состава газового потока на поверх-
ности и его температуры необходимо решать уравнения многокомпонентной хи-
мически реагирующей смеси газов. Поскольку в практических приложениях те-
чения газов характеризуются большими числами Рейнольдса, то можно использо-
вать приближенные модели. Практически для описания процессов гетерогенного
взаимодействия газов с материалом обтекаемой поверхности достаточной являет-
ся модель пограничного слоя. Для расчета распределения температуры, а для по-
ристых материалов массопереноса, в материале используются уравнения тепло-
проводное ги и уравнения фильтрации газообразных продуктов термического раз-
ложения материала В связи со сравнительно небольшой теплопроводностью ма-
териала и при малой его пористости (последнее влечет за собой большое гидрав-
лическое сопротивление материала), в процессе взаимодействия участвует доста-
точно тонкий слои материала В связи <• у ?
Н «ла. О связи с этим основное изменение температуры
происходит по нормали к поверхности и можно г F
1 , и можно пренебречь тепло- и массопере
носом по направлениям, касательным к омываемой Р ~ «е
омываемой поверхности. Это служит ос-
234
нованием для использования одномерных нестационарных уравнений переноса
тепла и массы в материале. Общей особенностью рассматриваемых задач о тече-
нии газа и термохимическом разложении материала поверхности является необ-
ходимость их сопряженного решения. Взаимосвязь этих задач осуществляется
при постановке граничных условий на поверхности тела
5.1.1 Формулировка условий сопряжения на границе газ-поверхность
На реакционной поверхности материала, омываемой высокотемпературной
газовой смесью, формулируются условия материального и теплового баланса и
используются соотношения, определяющие скорости деструкции материала.
На поверхности тела для уравнения диффузии формулируется соотношение,
вытекающее и i условия баланса массы k -той компоненты [2, 111, 116]
~^w^kw+^k>
где Gw =(pVw) — (pV)eg — массовый секундный расход газообразных продуктов
гетерогенной реакции, который определяется в процессе решения задачи; Xkw~
концентрация компонент смеси на обтекаемой поверхности, GWX° -
массовая концентрация и масса компонент смеси во вдуваемых в поток газооб-
разных продуктах гетерогенной реакции, GwXkw - масса компоненты, отводимая
от поверхности вследствие вдува, Jk - масса компоненты, отводимая диффузией.
Используя закон Фика, диффузионный поток представим в виде
или, используя коэффициент массопереноса,
^=₽(xt„-xM),
где Х^ - концентраций газовых komi онен i на границе пограничного слоя, п -
расстояние по нормали к обтекаемой поверхности.
С учетом этих соотношений условия материальности баланса на поверхности,
на которой происходят гетерогенные химические реакции, или на которой имеет
место вдув газа по каким либо другим причинам, можно записать в одном из сле-
дующих видов
(51>
G„ f.xbw -Xb) = ₽(Xto - Х„), (5.2)
где Хй6 — концентрация газовых компонент на границе пограничного слоя
Соотношение (5.1) используется в качестве граничного условия при решении
Уравнения диффузии в многокомпонентном пограничном слое (4.48). Следует
отметить, что в зависимости от процессов, происходящих на поверхности, может
иметь место как вдув газообразных компонентов (GVF>0), так и отсос (Gw<0).
235
Соотношение (5.2) H03B0^
„ТЛмТспользуются различные аппроксимационные еоотношенн,.
Ко.шентоацпн газовых компонент на границе пограничного слоя определяются в
о™ "ат решения уравнений конвективного переноса компонент, описываю,
результате реш ур ока без учета вязкости и диффузии,
щих течения в основной части поюка v j
Теперь перейдем к описанию условий, которые должны формулироваться для
тепловых потоков на химически активной поверхности. Температура поверхносп,
тела определяется из условия баланса тепла на поверхности
qw = Gw(iow ~ io ) + ’ (5.3)
где Qx _ количество тепла, которое отводится вовнутрь материала; qw - количе-
ство тепла, подводимое к поверхности из пограничного слоя вследствие тепло-
проводности газа и диффузии; — энтальпия непрогретого материала поверхно-
сти; iow — энтальпия газообразных продуктов гетерогенной реакции при темпера-
туре поверхности.
В свою очередь, для энтальпии газообразных продуктов реакции iow имеем
Эта величина является функцией состава газа, образованного вследствие хи-
мических реакций на поверхности материала и температуры Таким образом,
Gw(iow определяет тепловой эффект гетерогенной реакции, т.е. количество
тепла, которое поглотилось или выделилось при физико-химических превраще-
ниях материала.
Руководствуясь соотношением (4.69), для qw запишем
Qw —
пен^аП°^тЯСЬ понятиями коэФфициента теплопередачи и энтальпии восстанов-
сти можно эяпиНИе ДЛЯ опРеделения теплового потока, подводимого к поверхно-
сти, можно записать в виде (4.70)
9w==^(ie-iw).
(54)
личные аппрокепмационные1 соот” тепл°°тдачи МИУТ быть использованы й»
§§4.3.2, 4.3.7. Для определения некотоРь,е из которых приведены
воспользоваться аналогией Ррй коэФФициента массообмена в этом случае удобн
Интенсивности н°льдса между тепло- и массообменом (4.67).
w 'Pw и температура реакционной
236
верхности Tw в общем случае определяются исходя из кинетики физико-
химических процессов, происходящих на поверхности. При этом следует отме-
тить, что особенность взаимодействия горячего газового потока с поверхностью
связана с наличием в материале поверхности веществ, непосредственно прини-
мающих участие в гетерогенных химических реакциях с окружающим газовым
потоком, и веществ, которые под действием высокой температуры разлагаются с
образованием большого количества газов. Состав газообразных продуктов терми-
ческого разложения материала зависит от его химического с«ютава.
5.1.2 Особенности кинетики гетерогенных реакций.
Эффективная скорость реакции
Химические реакции, в которых участвуют вещества, находящиеся в разных
фазовых состояниях, называются гетерогенными. К таким реакциям, в частности,
относятся реакции между газообразным и твердым веществами. В общем случае
гетерогенная реакция протекает как на внешней поверхности, так и внутри твер-
дого реагента. Переход от внешней поверхности к внутренней, связанной с нали-
чием пор, трещи»» и т.п., совершается непрерывно. Степень влияния внутренней и
внешней реакционных поверхностей на результирующую скорость реакции зави-
сит от условий реагирования. Чем выше температура и чем больше реакционная
способность твердого тела, тем в большей степени эта реакция сосредоточена на
его внешней поверхности. Реакцию, протекающую на поверхности, можно разде-
лить на следующие последовательные стадии: перенос или диффузия реагирую-
щего газа к поверхности тела; адсорбция газа; кинетика собственно химической
реакции на поверхности; десорбция продуктов реакции; отвод газообразных про-
дуктов реакции от поверхности тела. Суммарная скорость гетерогенной реакции
или скорость всего гетерогенного процесса определяется в основном скоростью
его наиболее медленной стадии.
В качестве скорости гетерогенной химической реакции может рассматривать-
ся величина Ks , численно равная массе материала, прореагировавшего на едини-
це поверхности в единицу времени. Скорость гетерогенной реакции определяет-
ся, с одной стороны, скоростью подвода и отвода массы газовых реагентов к по-
верхности частиц и, с другой стороны, кинетической скоростью реакции на по-
верхности.
На результирующую скорость реакции оказывает влияние и реакции, проис-
ходящие на внутренних поверхностях пор и трещин, имеющих в объеме части-
цы - так называемое внутреннее реагирование. Процессы внутреннего реагирова-
ния существенно связаны с протеканием газового реагента в поры и каналы и по-
этому они лимитируются диффузионными процессами внутри пор. Этим процес-
сам уделяется определенное внимание [73, 186].
Не останавливаясь на их анализе, отметим, что относительная поверхность
внутреннего реагирования es, определяемая как отношение суммарной поверхно-
сти пор к площади внешней реакционной поверхности, для частиц сферической
формы количественно определяется соотношением es = • е, где St - внутрен-
няя поверхность пор, отнесенная к площади боковой поверхности частицы; е -
относительная глубина протекания газового реагента в поры. Для достаточно ма-
лых частиц сферической формы можно принять е = г/3. При введении в расчет
237
величины S, нет необходимости делать какие-либо предложения о структуре по-
ристой поверхности. Приближенно оценки для SL могут вытекать из соотноше-
ний между удельным и объемным весом. В качестве примера приведем данные,
характеризующие пористость некоторых углей [186]: площадь поверхности пор в
расчеге на 1г - 70 - 90 м2, объем пор - 0,1 - 10'6 м3/г, средний размер пор - 10 -
15 ангстрем.
Однако, учитывая сложность процесса проникания реагента в поры и неопре-
деленность в механизмах химического взаимодействия в порах, более надежными
являются данные по влиянию пористости приповерхностного слоя материала на
скорость реакции, полученные на основании обработки результатов эксперимен-
тального определения скорости реакции.
Представляет интерес связать скорость гетерогенной химической реакции с
линейной скоростью перемещения реакционной поверхности. Для получения ко-
личественных соотношений рассмотрим элементарную площадку на реакционной
поверхности с площадью AS. Пусть за время dt эта площадка сместится по нор-
мали на расстояние dn. Тогда количество материала, унесенное с этой площадки
в виде газообразных продуктов реакции, может быть представлено в виде
dGr = AS-dn-pr/ег, (55)
где рг - плотность материала поверхности; ег — доля массы материала, унесенная
в процессе реакции в виде газовой фазы.
Если весь материал поверхности в процессе реакции переходит в газовую фа-
зу, то ег=1. Если остается зола или твердые продукты реакции, то Ег <1. Разде-
лив (5.5) на время dt и на площадь элементарной площадки AS и учитывая опре-
деление скорости гетерогенной химической реакции Ks , определим скорость ли-
нейного перемещения поверхности
~ = &г-Ке/рг. (5.6)
dt
Эффективная скорость реакции. В соответствии с кинетикой гетерогенных
химических реакций скорость реакции пропорциональна массовой концентрации
газового реагента Xw на реакционной поверхности. Тогда, с учетом относитель-
ного увеличения реакционной поверхности, вызванным наличием пор и каналов,
можно записать
Ks=k(l + Es)Xw, (5 7)
где k - кинетическая константа скорости реакции - функция температуры.
В свою очередь, скорость диффузионного подвода массы К диф к реакцион-
ной поверхности может быть определена соотношением:
KflH4)=p.(x5-Xw), (5.8)
где Х& - концентрация газового реагента на внешней границе диффузионного
пограничного слоя; Р - коэффициент массопереноса, выражающий влияние диф-
фузионных процессов [32, 33, 50, 179].
238
в соотношениях (5.7) и (5.8) неопределенной является величина Xw . Записы-
вая балансовое соотношение Ка - К дкф, получим уравнение, из которого опре-
делим Хц,
И, наконец, подставляя (5.9) в (5.7), получим
К3 =^эф(1 + Е8)-Х5, (5 10)
где*^-^--
k+ р
Выражение для эффективной константы скорости реакции k Эф в достаточной
мере отражает условия перехода от одного вида реагирования к другому. Дейст-
вительно, при сравнительно большой скорости диффузионных процессов, когда
Р»/г и (P/es )»k , имеем k3^~k и эффективная скорость реакции лимитиру-
ется кинетической скоростью. Наоборот, если р мало, т.е. диффузионный подвод
массы достаточно мал, то Ks = р Х5, и эффективная скорость реакции определя-
ется диффузионными процессами.
Остановимся на вопросе определения величин k и р .
Константа кинетической скорости реакции k определяется соотношением
Аррениуса k = . Множитель перед экспонентой /?о(т) и энер-
гия активации Е определяются в результате обработки экспериментальных дан-
ных. Коэффициент массопереноса Р удобно выразить через коэффициент тепло-
передачи а, исходя из аналогии Рейнольдса между процессами тепло- и массо-
переноса. Для этого можно использовать соотношение (4.27), переписанное для
многокомпонентной смеси с учетом (4.70) в виде:
р = а/С;. (2.33)
Посредством диффузии к частицам подводится газообразный реагент. Для то-
го, чтобы связать массу прореагировавшего материала, количество подведенного
газового реагента и количество получившегося в процессе реакции газового ком-
понента, введем коэффициенты fok, fwk (индексы ok, wk относятся к k -ой ком-
поненте подведенного реагента и полученной в реакции газовой компоненты),
характеризующие количество газообразных реагентов, расходуемых и получае-
мых при реагировании единицы массы материала. Эти коэффициенты можно оп-
ределить, исходя из молекулярных весов реагентов и стехиометрических коэффи-
циентов реакций Действительно пусть уравнение реакций записывается в виде:
v/'A+v/ Bg^va Da+vg -Cg,
(5.И)
239
где индексы S и g относятся к твердым и газообразным реагентам Тогда легко
можно получить
С учетом введенных коэффициентов, массы газовых реагентов, подводимых и
отводимых в единицу времени с единицы внешней поверхности, будут опреде-
ляться из соотношений
(5.12)
^wg =-fwg ^в-
Если газовая компонента участвует в нескольких реакциях, то для определе-
ния фактической скорости образования или исчезновения этой компоненты необ-
ходимо провести суммирование скоростей всех реакций.
Для того, чтобы определиться с общим количеством газообразных продуктов
гетерогенных реакций, необходимо рассмотреть еще процесс термического раз-
ложения летучих - термодеструкцию. Характерной особенностью термического
разложения является то, что для его осуществления достаточно только прогреть
материал до определенной температуры. Скорость этого процесса определяется
только свойствами термически разлагающегося вещества. По аналогии с различ-
ными композитными материалами будем называть это вещество связующим. Как
и всякая химическая реакция, термическое разложение описывается кинетиче-
скими соотношениями, однако в них входят лишь концентрации исходной ком-
поненты [111]
dmg ч ( Е \
где mg и Моб - масса выделившихся газообразных продуктов и общая масса
летучего наполнителя, отнесенные к единице массы материала.
Уравнение кинетики термодеструкции позволяет определить массу выделив-
шейся смеси газов в расчете на единицу массы частицы. Покомпонентный состав
этой смеси может быть определен, исходя из поэлементного химического состава
наполнителя и условий химического равновесия газовой фазы.
И, наконец, обстоятельство, которое следует упомянуть, связано с образова-
нием твердых продуктов реакции и с наличием в составе поверхности материала
веществ, не вступающих в химические реакции с имеющимися реагентами. Это
приводит к тому, что при прекращении химических реакций, связанном с исчер-
панием химически реагирующего вещества, в материале образуется твердый кар-
кас, состоящий из веществ, не реагирующих с омывающим потоком газа. В об-
щем случае из-за нарушения механической прочности материала этот каркас мо-
жет дробиться на мелкие частицы, включая частицы микронного размера, кото-
рые уносятся с поверхности газовым потоком.
Используя стехиометрическое уравнение реакции (5.11), определим коэффи-
циент, характеризующий долю твердого остатка в материале частицы в расчеге на
единицу массы исходного твердого реагента
240
(5.13)
Er =1-EC‘
к ^-тА)
где ec — доля реагента в материале, которая определяется как количество массы
химически активной части материала, вступающей в гетерогенные химические
реакции, в килограмме исходного материала.
5.1.3 Гетерогенные процессы на поверхностях из
композиционных материалов
Определенную специфику имеет характер термохимического разложения в
высокотемпературном потоке композиционных материалов. В качестве конкрет-
ного примера, на котором проиллюстрируем основные особенности взаимодейст-
вия таких материалов с горячим газовым потоком, рассмотрим обтекание возду-
хом поверхности из типичного представителя композиционных материалов -
стеклотекстолита, который является композицией стекловолокна и формальде-
гидных смол различного состава. Примеры решения конкретных задач обтекания
высокотемпературным потоком воздуха тел из стеклографитового материала рас-
смотрены в [147, 150, 151, 148].
Наиболее характерные черты термохимического разложения этого материала
определяются следующим [111, 116]. Фронт термического разложения (пиролиза)
смолы расположен внутри материи.' а в месте, имеющем температуру, при кото-
рой происходит газификация смолы. Эта температура значительно ниже темпера-
туры на поверхности. При этом образуется газ, являющийся смесью
Н2,С0,СО2,О2, Н2О, и твердый остаток - углерод. Газообразные продукты
через поры, образовавшиеся в материале, проходят на поверхность тела. Количе-
ство газообразных продуктов пиролиза определятся видом смолы и характеризу-
ется параметрами газификации исходного твердого вещества, которое может пе-
рейти в газ при данной температуре.
Таким образом, поверхность, граничащая с набегающим потоком, является
поверхностью материала, состоящего из смеси стекла SiO2 и графита С.
Определение скорости термохимического разрушения стеклотекстолита.
Процессами, определяющими скорость разрушения стеклотекстолита, являются
плавление и испарение стекла. Причем при температурах « 2000 К преобладает
испарение. Скорость уноса массы при неравновесном испарении можно опреде-
лить по формулам:
о г р‘(г») "ао, Р
g.^g^/n^, Wsn -b^—-^— .
гДе p* (т) — парциальное давление насыщенных паров SiO2 при температуре
поверхности Tw; р — давление в смеси газов на поверхности; b — коэффициент
аккомодации; XgiOs - массовая доля стекла в материале, индекс SiO2 относится
к параметрам стекла
241
В свою очередь, для определения р (г) можно воспользоваться аппроксима-
ционным соотношением
lg₽(T)=7.8-^,
которое позволяет получить давление в атмосферах.
Таким образом, для материала заданного состава скорость уноса массы опре-
деляется температурой поверхности, давлением и мольной концентрацией паров
стекла на поверхности.
Температура Tw определяется из условия теплового баланса на поверхности,
задаваемого уравнениями (5.1), (5.2).
Определение состава газа на поверхности. Различные стеклопластики ха-
рактеризуются массовой долей стекла и химических элементов О,С,Н в его со-
ставе, т.е. величинами XSiO2,<pc,qH,<p0. При термохимическом разложении та-
кого материала газ в пограничном слое будет состоять из пяти элементов О, С,
Si, Н, N . При этом массовая концентрация элементов в газообразных продук-
тах термического разложения материала может быть определена по следующим
соотношениям:
Xq = Фя£О2----~ + Фо ’ = Фс ’ ^Si - ФяЮ2 ~ = Фн ’ = ® •
mSiO2 mSiO2
Для стеклопластика на фенольно-формальдегидном связующем принимают
[111]: Фя£о2 =0,7; <рс=0,23; <рн=0,02; <ро=О,ОО5.
Из этих перечисленных элементов можно составить более 50 химических со-
единений, которые могут присутствовать в пограничном слое [167]. Однако,
сравнивая величины констант равновесия в законах действующих масс можно
убедиться, что в определенных условиях не все эти соединения присутствуют од-
новременно. Так во всем практически важном интервале температур Tw справед-
ливы следующие оценки [116]:
пСо I пСо2 ~ ®J-nSiO / nSiO2 Ю5 nSi nSiO > nSiO nSiO2 >> nSi ! nSiO
Это означает, что маловероятно одновременное присутствие таких компонент,
как SiO2 и Si. Сравнивая величины констант равновесия реакций диссоциации
различных газов [142], состоящих из перечисленных элементов, можно заклю-
чить, что в диапазоне температур 2000 - 4000К газ в пограничном слое преиму-
щественно будет состоять из следующих 15 компонент: О2, СО2, SiO2, О,
Н2О, Н2, SiO, СО, С2Н2, N2, Si, SiC2, Si2C, SiH, H.
При этом следует отметить, что в зависимости от температуры, давления и
количества кислорода в смеси в пограничном слое будут одновременно присутст-
вовать в заметном количестве не все перечисленные компоненты. Возможны два
режима испарения SiO2: первый режим имеет место при избытке кислорода,
242
(5-13)
Er =1-EC-
v8 m
где ec - доля реагента в материале, которая определяется как количество массы
химически активной части материала, вступающей в гетерогенные химические
реакции, в килограмме исходного материала.
5.1.3 Гетерогенные процессы на поверхностях из
композиционных материалов
Определенную специфику имеет характер термохимического разложения в
высокотемпературном потоке композиционных материалов. В качестве конкрет-
ного примера, на котором проиллюстрируем основные особенности взаимодейст-
вия таких материалов с горячим газовым потоком, рассмотрим обтекание возду-
хом поверхности из типичного представителя композиционных материалов -
стеклотекстолита, который является композицией стекловолокна и формальде-
гидных смол различного состава. Примеры решения конкретных задач обтекания
высокотемпературным потоком воздуха тел из стеклографитового материала рас-
смотрены в [147, 150, 151, 148].
Наиболее характерные черты термохимического разложения этого материала
определяются следующим [111, 116]. Фронт термического разложения (пиролиза)
смолы расположен внутри материала в месте, имеющем температуру, при кото-
рой происходит газификация смолы. Эта температура значительно ниже темпера-
туры на поверхности. При этом образуется газ, являющийся смесью
Н2, СО, СО2,02, Н2О, и твердый остаток - углерод. Газообразные продукты
чер I поры, образовавшиеся в материале, проходят на поверхность тела. Количе-
ство газообразных продуктов пиролиза определятся видом смолы и характеризу-
ется параметрами газификации исходного твердого вещества, которое может пе-
рейти в газ при данной температуре.
Таким образом, поверхность, граничащая с набегающим потоком, является
поверхностью материала, состоящего из смеси стекла SiO2 и графита С.
Определение скорости термохимического разрушения с iсклотекстолита.
Процессами, определяющими скорость разрушения стеклотекстолита, являются
плавление и испарение стекла. Причем при температурах « 2000 К преобладает
испарение. Скорость уноса массы при неравновесном испарении можно опреде-
лить по формулам:
G = G /№ G =Ь
" S‘°!’ 72яВ0Т„ /т3,о> ’
где р*(т) - парциальное давление насыщенных паров SiO2 при температуре
поверхности Tw ; р - давление в смеси газов на поверхности; Ь - коэффициент
аккомодации; ХдЮг - массовая доля стекла в материале, индекс SiO2 относится
к параметрам стекла
241
зом. Задаем начальное приближение пОг. При известном значении п0 рассмат-
риваем первые три уравнения, выражающие закон действующих масс вместе с
уравнениями типа (3.40), (3.41) как систему линейных уравнений относительно
мольных концентраций СО2, СО, Н2О, Н, О. Эту систему пяти линейных
уравнений решаем стандартными методами линейной алгебры. Далее, исходя из
уравнения ns/ono2/2 ~КРи 1 p&l2nsto2 = °» находим следующее приближение для
п0о. Наиболее надежным способом определения оказывается дихотомия или
метод деления промежутка пополам [72].
Для определения констант равновесия КР (т) удобно воспользоваться ин-
7
терполяционной зависимостью 1g Кр (т) = k In х + ^fyx1 , где х = 7’/104. Чис-
i=~2
ленные значения коэффициентов krj для большого количества реакций приведе-
ны в [142]. Однако, для рассматриваемых реакций эти данные отсутствуют В
связи с этим, в соответствии с §3.5.2, необходимо каждую из этих реакций заме-
нить последовательностью из нескольких реакций, для каждой из которых в [142]
имеются данные. Способ получения коэффициентов интерполяционного полино-
ма с использованием коэффициентов из [142] проиллюстрирован в §3.5.2 на
примере первой из четырех рассматриваемых здесь реакций.
Коэффициенты krj, вычисленные таким способом, приведены в таблице 5.1.
Таб л и ца5.1
Коэффициенты в интерполяционных формулах для логарифмов
констант равновесия
Номер реакций kr kr,-2 kr 0 /?г1
1 -0.32476 -3.492 2.97578 -10.6344 7.36369
2 -0.72902 0.42395 1.24009 -4.19817 1.531065
3 1.04532 0.2073 -2.57848 9.11264 -6 67363
4 -0 38516 2.00135 -1.17113 3.76328 0.21815
Номер реакций kr,2 &r,3 krA kr.5 kr,6
1 -15.8078 24.5837 -20.6932 0.3285 14.386
2 4.0095 -16.25885 23.1618 -7.89455 -12.644
3 15 829 -29.6389 29.0916 -0 4219 -24.562
4 2.005 -0.81155 2.5802 -4.58705 4.091
244
второй при недостатке. При первом режиме газ на поверхности тела будет со-
стоять из следующих компонент: О2, СО2, SiO2, О, Н2О, Н2, SiO, СО,
n2, н.
На втором режиме, который достигается при псо !пСОг > 104, дефицит кисло-
рода, требуемого для сжигания углерода, может быть покрыт лишь за счет диссо-
циации молекул стекла. В продуктах разрушения появляется кремний Si и ста-
новятся возможными различные реакции кремния с углеродом и водородом. Ис-
тинный состав смеси газов существенно зависит от температуры и давления и мо-
жет быть определен только при решении конкретных задач обтек ия. В состав
газа на этом режиме, возможно, будут входить следующие компоненты: Н2,
SiO, СО, Н, И*, Si, SiC2, Si2C, SiH, H.
В [111] первый режим разбивается на два этапа. На начальном этапе концен-
трация кислорода мало отличается от содержания его в набегающем потоке, со-
став продуктов разложения представле | компонентами SiO2, СО2 . На следую-
щем этапе, при увеличении скорости разрушения материала, продукты разруше-
ния состоят из SiO2, СО2, СО. Эта градация проведена без учета компонент,
содержащих водород.
При решении конкретных задач разные режимы могут встречаться в разных
точках обтекаемой поверхности. Пример этого приведен в [147]. Поэтому, не ос-
танавливаясь на дальнейшем анализе кинетики разложения, который целесооб-
разно продолжить при решении конкретных задач, перейдем к подобному обсуж-
дению расчета состава смеси на первом режиме разрушения. Целью этого обсуж-
дения является иллюстрация основных особенностей расчета.
Между десятью компонентами, которые присутствуют в смеси при первом
режиме разрушения, будут происходить четыре независимые реакции:
\.2СО + О2 <^2СО2,
2. О2 + 2Н2 2Н2О,
З.О2+М^ 20,
4. О.. + 2SiO <=> 2SiO2.
Законы действующих масс для этих реакций можно записать в виде
п„г(кр1(Т)/р}'2 -п1'2 =0;' пНг,-{кггР1'2п^}пИа =0;
по =(КР3ПО2 1 Рй)1/2; nSlOno'22 ~КРи 1 Pf>'2nSiO2 =°-
Эти уравнения совместно с уравнениями сохранения массы элементов вида
(3.40) и (3 41) позволяют определить концентрации 10-ти компонент (напомним,
что в данном случае Ке=5 ). Эта система уравнений решается следующим обра-
Заметим, что это уравнение с точностью до очевидных преобразований, которые сделаны для
удобства организации итерационного процесса расчета равновесного состава смеси, совпадает с
первым уравнением (3.45).
243
Определение очередного приближения для температуры поверхности, исходя
из уравнений теплового баланса при заданных градиентах температуры в газе и
внутри материала на поверхности тела
Проверка сходимости процесса определения температуры поверхности.
Обработка результатов и переход на новый шаг по продольной координате.
Схематически основные части алгоритма представлены на рисунке 5.2.
5.2 Математическая формулировка задачи о течении высокотемпературной
гетерогенной смеси
Течения смеси газа с твердыми или жидкими частицами - течения газовзве-
сей- представляют большой интерес для многих практических приложений. В
связи с этим формулировке их математических моделей уделяется большое вни-
мание [12, 33, 34, 38, 62, 134, 138, 139, 189, 190].
5.2.1 Модели двухфазной среды
В настоящее время для описания двухфазных течений получили распростра-
нения две модели: дискретно-траекторная и континуальная. Каждая из этих моде-
лей имеет свои достоинства и недостатки.
Довольно общие результаты можно получить, используя для описания движе-
ния двухфазной среды дискретно-траекторный или лагранжево-эйлеровскиЛ под-
ход, рассмотренный в работах [12, 42, 90]. В рамках этого подхода каждая из фаз
описывается наиболее естественным образом. Континуальная модель типа Эйле-
ра, Навье-Стокса и т.п. используется для несущей фазы, траекторная модель
пробных частиц - для дисперсной. Алгоритм решения задачи при таком подходе
строится следующим образом. Сначала, на эйлеровском этапе, определяется на-
чальное распределение параметров несущего газа. На «тором этапе рассчитыва-
ются распределения параметров движения частиц и членов, характеризующих
интенсивность межфазного обмена. Эти величины определяются посредством
пространственно-временного осреднения по отрезкам траектор пробных час-
тиц. Этот подход позволяет естественным образом учесть взаимное влияние дви-
жения газа и частиц, включая их химическое гетерогенное взаимодействие, и рас-
смотреть вопросы отражения и переотражения частиц от поверхности технологи-
ческого аппарата. Однако для получения результатов в рамках этой модели с дос-
таточной для практики точностью при большом содержании частиц в потоке при-
ходится рассматривать траектории большого количества частиц. При турбулент-
ном режиме течения необходимость учета взаимовлияния турбулентных пульса-
ций и характера движения частиц приводит к дальнейшему усложнению алгорит-
мов решения задач и, как следствие, к увеличению объема вычислений. Харак-
терным при этом является то, что вследствие турбулентных пульсаций несущего
газа движение частиц также приобретает хаотический пульсационный характер,
что вносит дополнительные трудности в определение траекторий частиц и приво-
дит к дальнейшему усложнению задачи.
Вследствие этого более широкое распространение получили континуальные
модели, в которых для каждой из фаз используются методы механики сплошной
среды. Основой таких моделей является теория вложенных континуумов [103,
119], трактующая обе фазы как две сплошные среды с “фиктивными” плотностя-
246
В качестве примера, иллюст-
рирующего состав газа на по-
верхности, на рис. 5.1 показаны
зависимости от температуры по-
верхности мольных концентра-
ций компонентов смеси при об-
текании пластины из стеклотек-
столита воздухом при давлении
р-0.121 • 105 Па и полной эн-
тальпии i0 = Ъ.^мДж/кг. При-
нято, что в материале поверхно-
сти имеется 70%SiO2, 23%С,
2%Н, 5%О. На верхней шкале
этого рисунка показана Массов >я
скорость разрушения поверхнос-
__ кг
ти, отнесенная к 55—5.
м2 с
Рис. 5.1 Состав газа на поверхности стеклотек-
столита
Алгоритм решения задачи. Из изложенного следует, что алгоритм решения
рассматриваемых задач состоит из следующих этапов
Расчет обтекания тела высокоэнталь-
пийным потоком газа при заданных темпе-
ратурах поверхности, интенсивности вдува
продуктов разложения поверхности тела,
составе газа в пограничном слое и коэффи-
циентах переноса. Решаются уравнения
газовой динамики и пограничного слоя.
Определение элементного состава газа
в узлах разностной сетки при заданных га-
зодинамических параметрах, интенсивно-
сти вдува продуктов разложения и эле-
ментного состава материала тела. Решают-
ся уравнения диффузии.
Нахождение покомпонентного состава
газа при заданных концентрации элемен-
тов, температуре и давлении. Решение
уравнений типа (3.40), (3.41), (3.42).
Расчет очередного приближения интен-
Рис. 5.2 Схема итерационного про-
цесса определения температуры и
скорости разрушения поверхности
сивности вдува продуктов разложения ма-
териала при заданных концентрации паров S1O2 , давлении и температуре. Ис-
пользуются соотношения, приведенные в этом параграфе.
Определение новых значений коэффициентов переноса. Используются фор-
мулы из §§ 2.1.4, 2.3.2, 3.1.4.
Проверка сходимости процесса определения интенсивности вдува
245
В рамках модели взаимопроникающих континуумов описание движения мо-
нодисперсной двухфазной среды сводится к двум группам уравнений: уравнения,
описывающие движение газа, и уравнения, описывающие осредненные по эле-
ментарному объему параметры частиц - плотность, температуру, скорость. Урав-
нения, описывающие движение частиц, отличаются от уравнений газовой дина-
мики отсутствием членов, порождаемых градиентом давления (напомним, что
среда частиц - это сплошная среда, лишенная собственного давления). Взаимо-
действие между фазами учитывается включением в уравнения обеих групп сла-
гаемых, отражающих обмен массой, импульсом и энергией между фазами.
Уравнение неразрывности. Используя по аналогии с §2.1.1 соотношения,
выражающие баланс массы частиц в элементарном объеме, уравнение неразрыв-
ности для частиц можно записать в виде:
£!У+^+£₽Л=_й> (5.,5)
dt дх ду
где т - локальная скорость изменения массы частиц в единице объема вследст-
вие гетерогенных химических реакций или фазовых переходов - испарения и
конденсации. Вопрос определения т рассматривается ниже. Изменение массы
газа, вследствие обмена массой с частицами, учитывается наличием т в правой
части уравнения неразрывности для газа (2.1).
Уравнения количества движения. При записи уравнения количества движе-
ния облака частиц и модификации соответствующих уравнений движения несу-
щего газа необходимо рассмотреть силовое взаимодействие между газом и части-
цами.
Далее для простоты изложения будем учитывать только силу лобового сопро-
тивления. Вследствие обтекания одиночной частицы газа, на нее действует аэро-
динамическая сила, которую определим соотношением.
7s=cdsm£d-p^(y-vp), (3)
где ДУ = |у - Ур| - -J(yx - Vpx+ {уу~ Vpy - скоростное отставание частиц или
скорость скольжения, Cd - коэффициент аэродинамического сопротивления час-
тицы, Smid - площадь наибольшего сечения частицы - площадь миделя. Для час-
тиц сферической формы Smid = nd% , где ds - диаметр частицы.
Суммарная сила действующая на все частицы, находящиеся в локальном еди-
ничном объеме, определяется соотношением Fp=Npf. В свою очередь
Np =рР /ms, ms = ps £2 где £2 - объем частицы Для частиц сферической фор-
„ г\ GPp
мы, для которой £2 = ——, получим N„ =—-——. Тогда, соотношение для век-
6 Р nd^ ps
тора суммарной силы, действующей со стороны газа на облако сферических час-
тиц в единице объема, можно записать в виде:
248
ми несущего газа и “газа” дисперсных частиц р = (1 - а)- р°; рр = aps, где р° и
Ps “ истинные плотности несущего газа и материала дисперсной фазы; a - объ-
емная доля частиц дисперсной фазы. Для элементарных объемов каждой из фаз
записываются уравнения сохранения массы, импульса и энергии компонентов
смеси, моделирующей двухфазную среду. Причем эти уравнения записываются
для частиц каждой фракции, которые могут отличаться начальными размерами
частиц, массой частиц, условиями ввода частиц в поток и их отражения от обте-
каемых поверхностей. Например, угольные частицы разного размера или частицы
одного размера из материалов разной плотности относятся к разным фракциям.
Частицы одного размера и одной массы, падающие на поверхность и отраженные
от нее, также рассматриваются как разные фракции, так как хотя для них решают-
ся одни и те же уравнения, реше я этих уравнений отличаютс» вследствие по-
становки разных граничных условий для падающих на поверхность частиц и час-
тиц, отраженных от поверхности. Смесь частиц разной фракции называют поли-
дисперсной смесью.
Модель взаимопроникающих континуумов, описывающая течение полидис-
персных смесей, получила также название п — скоростной и п- температурной
сплошной среды. В рамках этой модели облако частиц одной фракции рассматри-
вается как некоторая сплошная среда без собственного давления, параметры ко-
торой являются среднеобъемными параметрами частиц. Плотность этой среды
равна локальной массе частиц в единице объема и определяется соотношением
Рр =Npms, где NP — количество частиц в единице объема, ms — масса единич-
ной частицы. Здесь и далее индексы р и s относятся к параметрам облака >«астиц
и к одиночным частицам соответственно. Тепловое состояние частиц характери-
зуется их температурой ТР и внутренней энергией еР =вр +CS(TP -Т°), где
Cs - удельная теплоемкость материала частиц, верхний индекс ноль относится к
некоторому характерному для рассматриваемого процесса состоянию. Вводится
также континуальная скорость движения облака частиц VP. Поскольку плотность
твердых или жидких частиц два, три и четыре порядка больше плотности газа,
то обычно при описании движения дисперсной среды считается, что объемная
концентрация частиц, определяемая как доля объема среды, занятая частицами,
пренебрежимо мала. Массовая доля частиц к определяется как отношение массы
частиц к массе газа, т.е. к = —— . Тогда среднеобъемная плотность двухфазной
Р
сплошной среды р определится соотношением
р=р(1 + к). (5.14)
5.2.2 Формулировка уравнений для смеси газа и частиц в рамках модели
взаимопроникающих континуумов
Основные аспекты формулировки модели взаимопроникающих континуумов
будем рассматривать на примере течений смеси, содержащей частицы одной
фракции. Это позволяет упростить описание основных ее особенностей. Поста-
новки задач о течении полидисперсных смесей описаны в [61 138, 139, 191].
247
ничной частице, qp = <Дт -Tp)-SeoK, где а - коэффициент теплоотдачи, S0oK
площадь боковой поверхности частицы.
рр
Умножая др на количество частиц в единице объема Np =~^-> принимая во
внимание, что для частиц сферической формы S6oK = nd% , и используя вместо а
число Нуссельта Nu = , где А, - коэффициент теплопроводности газа, после
очевидных преобразований получим
Qp =Npqp =3-^--№-^(Т-Тр) (5 19)
PsdS a8
Используя число Рейнольдса Re = , посчитанное по скорости скольже-
М
СрЦ
ния частиц и диаметру частиц, и число Прандтля Рг = . это соотношение
можно переписать в виде
в-к^^;-₽АГС₽(т-г₽) (5Л9,)
Представляет интерес записать уравнение энергии относительно температуры
частиц. Для этого умножив первое уравнение системы (5.17) на Vpx , а второе на
Vpy и сложив их, после очевидных преобразований получим уравнение, опреде-
ляющее изменение кинетической энергии облака частиц
Вычитая это уравнение из (5.18), получим
с)€
pP~dt' + PPVPx~3^ + pPVPy~3^ = ^P~ril^ (52°)
Принимая во внимание, что для твердых частиц и частиц несжимаемой жид-
кости dep - CdTp, это уравнение запишем как уравнение для определения темпе-
ратуры частиц
Из этого уравнения следует очевидный вывод о том, что температура частиц
изменяется только вследствие теплообмена с несущим газом и расхода энергии на
газификацию частиц
250
FP=PP.fr, (5 16)
где fp =N„f./р„ =|_5г_.рДГ.(г _v ).
Ps us
С учетом локального изменения количества движения газа, вызванного сило-
вым взаимодействием облака частиц с несущим газом, уравнение изменения ко-
личества движения частиц можно записать в виде
р^+р'г^+рЛ»^=^
р^+р^^+рЛ»^=^
(5 17)
где индексы х и у обозначают проекцию вектора на соответствующую коорди-
натную ось.
Для учета изменения количества движения газовой фазы вследствие его взаи-
модействия с облаком частиц в правые части уравнения количества движения газа
(2.7) необходимо добавить слагаемые -F,x и -Fpy. Кроме того, изменение ко-
личества движения газа происходит за счет количества движения газа, связанного
с выделением массы с поверхности частиц. Выражения для определения состав-
ляющих этого импульса можно записать в виде:
= -Г„), =т(у„ -Гга).
Уравнение энергии. Изменения полной энергии частиц Ер - ер +
обу-
славливается обменом энергией между частицами и газом, вызванным теплооб-
меном между газом и частицами, работой сил аэродинамического сопротивления
частиц, затратами энергии на газификацию частиц, связанной с гетерогенными
химическими реакциями и фазовыми переходами, и изменением кинетической
энергии облака частиц, связанным с изменением массы частиц. Вследствие этих
эффектов от частиц отводится энергия ДЕР
V2
^Ep=Qp+Vp.Fp-m(r+-^),
где г - энергия, затрачиваемая на газификацию частиц.
С учетом этого уравнение изменения энергии частиц записывается в виде
= Qp+Vp-Fp-mr.
(5Л8)
Для определения величины отводимой от облака частиц энергии Qp вследст-
вие теплообмена с газом рассмотрим количество тепла qp, подводимого к еди-
249
связанное с протеканием гетерогенных химических реакций на поверхностях час-
тиц Для Mf по аналогии с (3 17) можно получить
ме (5 22)
k mk
5.2.3 Соотношения для расчета коэффициентов силового и теплового
межфазного взаимодействия
Для замкнутой формулировки задачи о движении и нагреве частиц необходи-
мо получить соотношения для параметров, определяющих силовое воздействие
газа на частицы и тепломассообмен между частицами и несущим газом.
Силовое межфазное взаимодействие. Взаимодействие между газом и части-
цами определяется лобовым аэродинамическим сопротивлением; подъемной си-
лой Саффмена РСаф; подъемной силой Магнуса FM; силой, вызванной градиен-
том давления в потоке Fp ; силой, обусловленной нестационарностью движения
(эффект присоединенных масс) и др. [103, 134, 138]. Величины этих сил опреде-
ляются диаметром частиц, степенью отставания частиц от газа, градиентами дав-
ления и полем скорости газа. В практических расчетах обычно используются со-
отношения, справедливые для частиц сферической формы. Т.к. форма частиц, как
правило, не сферическая, то вводится эффективный диаметр. Полидисперсность
частиц можно учесть введением некоторого среднестатистического диаметра.
Значение этого диаметра вычисляется, исходя из функции распределения по раз-
мерам частиц одного материала. Эта функция распределения для частиц в исход-
ном состоянии может быть определена в зависимости от способа помола. Из оце-
нок сил, действующих на частицу, следует, что если градиенты параметров поля
потока ограничены, то для достаточно малых частиц силами РСаф можно пренеб-
речь. Если вращение частиц незначительно, то можно не учитывать и FM, [34,
101, 103, 134, 139]. В связи с этим из всех перечисленных сил рассмотрим только
силу лобового сопротивления. Для быстровращающихся частиц составляющая
FM оказывает заметный вклад, если ds - сор ~ 1, где ds,aP - диаметр частицы и
угловая скорость ее вращения. Это может иметь место в пограничном слое. При
учете сил Магнуса к выписанным в предыдущем параграфе уравнениям необходимо
добавить уравнение для определения скорости вращения частиц. Пример формули-
ровки и решения задачи с учетом влияния вращения частиц на течение запыленного
газа в канале приведен в [85].
Если принять в рассмотрение только силу лобового сопротивления частиц, то
в силу соотношения (5.17) вопрос определения силового взаимодействия газа и
частиц сводится к получению зависимостей коэффициента лобового сопротивле-
ния от числа Рейнольдса и числа Маха, определенным по скорости частиц отно-
сительно газа.
Выбор подходящих зависимостей обусловлен диапазоном изменения газоди-
намических и термодинамических параметров рассматриваемого течения Рас-
четные соотношения для вычисления коэффициентов сопротивления частиц сфе-
рической формы обычно выбирают по литературным данным, исходя из сопос-
252
Для учета изменения энергии движения газовой фазы, вызванного межфазным
обменом энергией и работой сил аэродинамического сопротивления облака час-
тиц, в правой части уравнения энергии для газа необходимо добавить слагаемое
ЛЕр, определяемое соотношением
Af;r =-е,+й(г+^->+(кр-г)
Последнее слагаемое в этом выражении отражает вклад в изменение энергии
работы газа, связанной с ускорением частиц.
Уравнения переноса компонент смеси газов. Рассматривая двухфазные те-
чения при наличии гетерогенных химических реакций, в уравнения переноса ком-
поне о газовой смеси (3.18) наряду со слагаемым Wk, представляющем собой ско-
рость изменения массы данной компоненты в единице объема вследствие газофаз-
ных химических реакций, необходимо добавить слагаемое , отражающее изме-
нение массы fe-ой компоненты вследствие гетерогенных химических реакций.
С учетом (5.9), (5.12) величину Mk, выражающую интенсивность объемного
массовыделения, определим следующим образом
Mt=n-dl-Np-K,k,
где Ksk - скорость выделения ( поглощения) А-ой газовой компоненты с единицы
поверхности Учитывая, что количество частиц в единице объема N„ = % — ,
Р ps
можем записать:
(5.21)
ds Ps
Кажущаяся особенность в (5.21), связанная с тем, что ds —>0 при выгорании
частиц, устраняется раскрытием неопределенности [0/0] с учетом того, что в этом
случае рр —> О как df при конечном значении Np .
Скорость изме»»ения массы газа вследствие гетерогенных химических реакций
может быть определена как сумма изменений массы всех компонент
™ = •
k
Если газофазные гомогенные реакции рассматривать в равновесном прибли-
жении, то целесообразно по аналогии с (3 17) записать уравнение относительно
концентраций химических элементов. Однако в отличие от однофазного потока в
гетерогенной смеси в газовой фазе масса химических элементов изменяется
вследствие гетерогенных химических реакций. Поэтому в уравнения для переноса
химических элементов в правой части добавляется слагаемое Mf, которое опре-
деляет среднеобъемное выделение (поглощение) химических элементов в потоке,
251
Сопоставление результатов расчетов по приведенным соотношениям со стан-
дартной кривой приведено на рис. 5.3.
Существенное влияние на величину ко-
эффициента сопротивления оказывает
сжимаемость и разреженность набегающе-
го потока [11, 47, 74, 75, 90, 118, 124, 133,
176, 177, 182]. Влияние этих факторов
учитывается с помощью поправочных
множителей Сд=Срн.с.-£(М,Ке), где
#(M,Re) - поправочный множитель, зави-
сящий от чисел Маха и Рейнольдса. Как и
в случае малых дозвуковых скоростей (для
приближения несжимаемой жидкости),
существует “стандартная” зависимость
CD = f(M) для чисел Рейнольдса Re > 103,
ig Пе
Рис. 5.3 Коэффициент сопротивления
сферы для несжимаемой жидкости
которая учитывает влияние сжимаемости
на коэффициент сопротивления сферы. Эта зависимость является обобщением
большой группы экспериментов, полученных при нысоких числах Рейнольдса
10 < Re < 105 в аэродинамических трубах и на баллистических трассах.
При очень малых дозвуковых скоростях (М<0,1) значение коэффициента
сопротивления соответствует несжимаемой жидкости. При небольших дозвуко-
вых скоростях (М > 0,1) коэффициент сопротивления постепенно увеличивается
с ростом числа Маха. Считается, что это увеличение Cd вызвано ростом сопро-
тивления формы вследствие изменения давления в носовой и кормовой частях
тела. При этом сопротивление трения медленно уменьшается с ростом числа М.
По мере дальнейшего увеличения скорости потока и достижения критических
чисел Маха в нем возникают локальные зоны со звуковыми скоростями. При чис-
лах Маха, больших критического, наблюдается резкое увеличение коэффициента
сопротивления, вызванное местными скачками уплотнения, замыкающимися на
сфере, и отрывом потока. При дальнейшем увеличении скорости обтекания коэф-
фициент сопротивления достигает максимального значения CD ~ 1 (при
1,5 < М < 2) и затем асимптотически уменьшается до значения, соответствующе-
го гиперзвуковым скоростям CD = 0,92. Для практических расчетов можно поль-
зоваться следующими формулами
CD = Cg • (1 + exp(-0,427/M4-63)),
с _со f1 + exDf 0,427
Сс-Сс^1 + ехр^--^з
Re0’88 J J
(5.24)
Погрешность аппроксимации экспериментальных данных по выбранным
формулам не превышает 20 % .
Экспериментальные данные, обобщенные в виде стандартных кривых сопро-
тивления и аппроксимированные зависимостями для коэффициента сопротивле-
ния сферы CD, получены для идеализированных условий, которые выполняются
для изотермических двухфазных течений при малой объемной концентрации час-
254
тавления результатов расчетов по соотношениям, полученным различными авто-
рами как на основании теоретических исследований, так и в результате обработки
экспериментальных данных. Наибольшее количество теоретических и экспери-
ментальных работ по определению коэффициента сопротивления Ср сферы отно-
сится к случаю обтекания одиночной твердой сферы потоком вязкой несжимае-
мой жидкости. На основании обработки различных экспериментальных данных
была получена аппроксимирующая, так называемая стандартная кривая сопро-
тивления CDhc =f(Re), представленная на рис.5.1 [188] для вязкой несжимаемой
„ pAVd.
жидкости, где ке - —-——— — число Рейнольдса, ДУ - скорость движения газа
относительно сферы, р — плотность газа, ц - коэффициент динамической вязко-
сти газа, ds - диаметр сферы, ри небольших числах Рейнольдса стандартная
кривая совпадает с приближениями Стокса (Re < 0,1) и Озеена (Re < 5).
С» =|-4 (Re <0,1). CJ=—(1+^-Re) (Re < 5).
Ke Re \ 16 )
Для случая большой относительной скорости было получено значение
Cj)Hc. - 0,44 (приближение Ньютона), к которому стандартная кривая сопротив-
ления приближается при числах Рейнольдса в диапазоне 700 < Re <2-105.
Сложный характер стандартной кривой не позволяет выразить зависимость
Сон.с.т/(Ке) одним уравнением, обеспечивающим приемлемую точность во всем
диапазоне изменения чисел Рейнольдса. В связи с этим стандартная кривая со-
противления часто заменяется ломаной кривой, отрезки которой описываются
уравнениями вида [138]
Cg=A-Re~n, (5.23)
где А = 24, и = 1 при Re < 0,49;
А = 27, п = 0,837 при 0,49<Re<80;
А = 0,27, п = -0,217 при 80 < Re < 1000;
А - 0,44, п = 0 при Re > 1000.
Такие зависимости просты и удобны при интегрировании уравнений движе-
ния частиц и получили широкое распространение. Для лучшей аппроксимации
стандартную кривую сопротивления разбивают на три-четыре отрезка. Сила со-
противления состоит из двух частей - сопротивления формы и сопротивления
трения. Поэтому рядом авторов используются для аппроксимации стандартной
кривой сопротивления двучленные, трехчленные и более сложные зависимости,
например формула Танаки [138], которая дает аппроксимацию стандартной кри-
вой сопротивления с погрешностью до 2,5 % в диапазоне чисел Рейнольдса
0,l<Re<103
С-о = —(1 + 0,125 Re0’72), если Re^lO3. (5 26)
253
Nu = 2 +
Pe 37 pc2 Pe Pe
2 960 4
Pe
~2
pAVcLC„ — GwdsCv „ _
где Pe = — p ~ Re- Рг и Ре = — ~ ~ числа Пекле внешнего обтекания и
течения, связанного с газовыделением через поверхность.
При Ре = 0 может быть использована более точная зависимость
Nu = . Наряду с этим можно применить соотношение, приведенное в [110],
еРе/2-1
Nu = 2-0.4Pe + 0/267(Pe-2.5) + 0.113(Pe-10).
Для учета сжимаемости среды может быть использована поправка Кавано [74]
Nu =---------, Re-2^100, М-0^0,7. (5.26)
1 + 3,42-Nu0- —
Re-Pr
5.2.4 Гомогенная модель двухфазных течений
В результате обмена импульсом и энергией частиц и газа при межфазном
взаимодействии по истечении некоторого времени параметры частиц и газа при-
нимают одинаковые значения. Это время называют временем релаксации. Разли-
чают время скоростной и температурной релаксации в зависимости от того, какие
параметры представляют интерес для конкретной ситуации - скорости частиц или
их температура.
Для оценки времени скоростной релаксации расе рим уравнение движения
одиночной частицы в газовом потоке, скорость которого постоянна. Это уравне-
ние можно записать в виде
8 dt ' Cd'Smid 2 ’
Для определения коэффициента аэродинамического сопротивления частицы
используется формула Стокса
С
Cd’Re
где Re= г ,— .
p|AV|ds
Принимая во внимание, что та =ps .^2-, Smid=^^- и при У = const
6 4
dVp=d{Vp-V)=dbV , получим после очевидных преобразований
dAV 18р
ДГ рА2
256
тиц, при которой локальное возмущение газодинамического поля одной частицей
не влияет на локальное обтекание другой частицы. При достаточно большой объ-
емной концентрации частиц можно скорее говорить о движении облака частиц а
не одиночной частицы. В этих условиях для практического использования коэф-
фициента сопротивления частиц, определяемого стандартными кривыми, необхо-
димо учитывать поправки, связанные с влиянием конкретных условий течения
В частности, для неизотермических условий коэффициент аэродинамического
сопротивления может быть определен эмпирической зависимостью [178]
Cd=Cd(Re,M)-[l + 0,03--^--^—Zk.fZkl )
Pr Re Тр {Tr) I
где Тр,Тг - температура частиц и температура восстановления газа.
Расчет коэффициента теплообмена сферических частиц. Теплообмен сфе-
рической частицы с окружающей средой существенно зависит от режима обтека-
ния частицы. Все • сновные факторы, влияющие на сопротив гение частицы, также
оказывают существенное воздействие и на интенсивность теплоотдачи. Интен-
сивность теплообмена также существенно зависит от числа Прандтля Рг и коэф-
фициента теплопроводности X несущей среды. Коэ фициент теплоотдачи сферы
а может быть связан с числом Нуссельта формулой Nu = dpO./'k , где X - коэф-
фициент теплопроводности газа. Теоретические решения для определения Nu
существуют только дл« режимов течения Стокса. При Re—>0 асимптотическое
значение числа Нуссельта Nu = 2 При Re > 1 значения Nu определяется экспе-
риментально.
Расчетных формул, используемых для вычисления числа Нуссельта для сфе-
ры, гораздо меньше, чем для коэффициента сопротивления. Это обусловлено тем,
что параметры двухфазного потока, как правило, в основном определяются коэф-
фициентом сопротивление частицы, а влияние коэффициента теплоотдачи на те-
чение является более слабым. При практических расчетах для определения чисел
Nu можно воспользоваться формулой Дрейка [74]
Nu° = 2 + 0,459 • Re0’55 • Рг0’33, (5.25)
которая рекомендуется для использования при 1 < Re < 7 • 104, 0,6 < Рг < 400
В [108, 110] на основании литературных источников предлагается следующая
формула:
где С изменяется в диапазоне 0.27 < С < 0.37.
При наличии вдува через поверхность, вызванного термическим разложением
летучих веществ, в [110] со ссылкой на литературные источники приводится сле-
дующая зависимость
255
Наряду со временем релаксации пользуются также понятиями длины скорост-
ной и темперщурпой Хг релаксации или длины установления равновесия по
скорости или температуре. Длина релаксации - это расстояние, на которое пере-
мещается частица с газом за время, необходимое для уменьшения скорости
скольжения фаз в е-1 раз по сравнению с исходным значением.
Если Хо «L, где L - характерный размер области течения, то скорость
скольжения частиц мала по сравнению со скоростью газа. В этом случае в оце-
ночных расчетах можно считать, что скорость частиц и скорость газа одинаковы.
Аналогичным обраюм, если Хт «L, то можно считать, что температура газа и
частиц совпадают.
В этих условиях задача о течении двухфазного потока существенно упроща-
ется - вместо двух связанных систем уравнений, описывающих течение газа и
движение частиц, можно получить одну систему уравнений, описывающую дви-
жение некоторой гомогенной сплошной среды, являющейся смесью газа и частиц.
Действительно, складывая уравнения неразрывности для газа и частиц (2 1) и
(5 15) и учитывая, что Vx = Vpx,Vy = Vpy, получим уравнение, формально совпа-
дающее с уравнением неразрывности для чистого газа, плотность которого опре-
деляется соотношением
р = р + рр=р(1 + к),
где, как и раньше, к - массовая доля частиц, равная отношению массы частиц к
массе газа в единице объема. Складывая уравнения количества движения для газа
(2.9), дополненные слагаемыми, учитывающими межфазное взаимодействие, и
соответствующие уравнения для частиц (5.17), полу уравнения количества
движения гомогенной среды. По форме эти уравнения совпадают с уравнениями
количества движения газа, плотность которого равна f) Аналогичным образом
уравнение энергии для гомогенной смеси получается в результате сложения
уравнений (2.13) или (2.44), в правой части которых добавлено слагаемое
в,-(г-г,Х и уравнения (5.201). Обратим внимание, что в случае гомогенной
среды (т-г„) по определению равно нулю. Полученное таким образом уравне-
ние энергии гомогенной двухфазной среды будет по форме совпадать с уравнени-
ем энергии для чистого газа, если вместо плотности р подставить плотность
дв> хфазной среды р = р(1 + к) и вместо коэффициента удельной теплоемкости
при постоянном давлении Ср коэффициент Ср, определяемый соотношением
С -^Р + К^'а
р 1 + к
Разделив и умножив правую часть уравнения состояния для газа на (1 + к),
уравнение состояния для гомогенной среды также можно записать в обычном для
совершенного газа виде. При этом газовая постоянная для гомогенной среды свя-
зана с газовой постоянной для несущей газовой фазы соотношением
258
откуда следует
AV = дуо ех]
где AV0 начальное значение скорости скольжения. Определяя время скорост-
ной релаксации tv как время, необходимое для уменьшения скорости скольжения
в е1 раз, получим
’бок ’
t =
v 18ц '
Для определения времени температурной релаксации рассмотрим уравнение,
описывающее изменение температуры частиц:
dTn
msCs—£
s 8 dt
где Са - коэффициент удельной теплоемкости материала частиц, а - коэффициент
теплоотдачи. После очевидных преобразований, принимая температуру газа постоян-
ной -Т = const, а = ———, где X — коэффициент теплопроводности газа, получим
ds
dAT 6Х кг
~ ——-х—Nudt,
AT Csd2ps
откуда следует
ДТ = ДТоехр- Nu-t ,
I Csds ps J
где ДТ = Тр - Т , ДТ0 — начальное значение разности температур частиц и газа.
Используя это уравнение для определения времени температурной релакса-
ции, получим
d*Ps c d2p 1 Cs
12X s 12p Pr Cp ’
где Рг = —---число Прандтля.
СрР
Для сопоставления времен температурной и скоростной релаксаций рассмот-
рим их отношение
tT 3 Cs
-i- = -Pr~.
tv 2 Ср
Из этого соотношения следует, что эти времена соизмеримы В частности, при
движении капли воды в паровоздушной смеси при Т=100°С отношение — из-
ty
меняется в пределах 3 4- 4 при изменении массовой концентрации пара от 1 до 0.
257
модействие частиц друг с другом, влияние турбулентных флуктуаций на скорости
гетерогенного горения и фазовых переходов, учет полидисперсности частиц и
изменение спектра частиц по размерам, учет реальной формы частиц, которые,
как правило, являются несферическими.
Основные принципиальные трудности при описании двухфазных потоков свя-
заны с турбулентным характером движения газа и взаимодействием частиц при
их столкновении. Описание турбулентного двухфазного течения, так же как и
описание движения чистого газа, основано на осредненных уравнениях с исполь-
зованием для аппроксимации турбулентных напряжений, являющихся следствием
осреднения произведения пульсационной составляющей параметров, различных
гипотез и эмпирических и полуэмпирических соотношений. Широкое распро-
странение получили вероятностные методы, основанные на применении функции
плотности вероятности для распределения пульсаций скорости и температуры. В
результате уравнение как газовой фазы, так и дисперсной фазы записываются в
виде уравнений, содержащих повторные производные, связанные с турбулентным
напряжением, диффузионными и тепловыми потоками. Причем, в силу пульсаци-
онного движения частиц такие же слагаемые появляются и в уравнениях, описы-
вающих движение частиц.
Для определения турбулентных характеристик дисперсной фазы получили
распространение алгебраические выражения градиентного типа в форме соотно-
шений Буссинеска. Такие модели строято* *ю аналогии с изложенными в §§2.3,
3.4 подходами для описания характеристик турбулентного переноса в однофаз-
ном потоке. Как правило, они содержат ряд дополнительных эмпирических по-
стоянных и могут приводить к существенным ошибкам при расчете параметров
достаточно мелких инерционных частиц, особенно в пристенной области течения.
Наряду с этими моделями развиваются дифференциальные модели, основан-
ные на уравнениях баланса турбулентной энергии и вторых моментов пульсаций
скорости и температуры частиц [33, 60, 85, 191]. Применение дифференциальных
моделей позволяет описывать конвективный и диффузионный механизмы турбу-
лентного переноса импульса и тепла, что важно для течений в пристенной облас-
ти. Существуют различные подходы к построению таких моделей и различные
способы получения относительно упрощенных уравнений. Нелокальные двух-
жидкостные модели, основанные на балансе энергии турбулентных пульсаций
или вторых моментов пульсационной скорости и температуры дисперсной фазы,
позволяют рассчитывать различные двухфазные течения в широком диапазоне
изменения размеров частиц. При помощи этих моделей проводятся расчеты тече-
ний в струях и каналах, в том числе закрученных и при наличии зон отрыва и ре-
циркуляции потока. Полученные результаты правильно представляют многие
экспериментально наблюдаемые эффекты, которые не могут быть получены в
рамках локальных алгебраических моделей. Важным аспектом турбулентных те-
чений газовзвесей является обратное влияние частиц на структуру турбулентного
течения. Это влияние не является однозначным и, в зависимости от размеров и
концентрации частиц, могут приводить как к уменьшению, так и к увеличению
уровня турбулентности потока. Так наличие относительно мелких частиц, время
релаксации которых соизмеримо с характерным временем для пульсационной
части потока, приводит к уменьшению турбулентных пульсаций. Нестационар-
ные вихревые структуры, возникающие при обтекании относительно крупных
260
Таким образом, гомогенная двухфазная среда ведет себя в точности так же,
как и чистый газ с видоизмененными свойствами: плотность возрастает до вели-
чины (1 + к)р, удельные теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном
давлении и их отношение равны
Исходя из этого, введенные во второй главе безразмерные комплексы для го-
могенного течения определяются следующим образом:
Re = -^ = (l + K)Re,
М
М
U= gi + KXl + KCs/Cj
а У (1+кС,/Ср) ’
Таким образом, видно, что наличие частиц в гомогенной среде приводит к
увеличению чисел Рейнольдса и Маха. При большом массовом содержании час-
тиц число аха и число Рейнольдса становятся очень большими, отношение
удельных теплоемкостей очень близко к единице.
5.2.5 Основные особенности турбулентных течений газовзвесей
В большинстве практически интересных случаен течения смеси газа с части-
цами являются турбулентными. Параметры таких течений определяются взаимо-
действием многих факторов. Как следует из предыдущего, на закономерности
движения частиц в потоке газа влияют силы межфазного взаимодействия, кроме
того, в общем случае, в особенности для полидисперсных частиц, важными явля-
ются силы взаимодействия частиц между собой и с ограничивающими поверхно-
стями. Существенное влияние на характер движения частиц оказывают турбу-
лентные пульсации несущей среды. В свою очередь дисперсная фаза оказывает
обратное влияние на параметры течения несущего газа - осредненные скорости и
температуру, интенсивность гурбулентностных пульсаций. Изучению различных
аспектов таких течений уделено большое внимание. Отдельные результаты опи-
саны в [33, 191]. Обширная библиография приведена в обзорной статье [62], в ко-
торой анализируется состояние вопроса математического моделирования течений
газовзвесей Основные проблемы математического и численного моделирования
Двухфазных течений связаны с описанием следующих процессов: взаимодействие
частиц с турбулентным несущим потоком, обратное влияние частиц на турбу-
лентное взаимодействие частиц с ограничивающим потоком поверхности, взаи-
259
различных ncpei улярностей в изменении параметров потока - ударных волн, волн
разрежения, контактных разрывов и т.д.
^L+^L+^L = W +Kj, (5 27)
dt дх ду '
где значение индекса у = 0 соответствует газу ау^О относится к негазовой
фракции определенного сорта (далее индекс у, соответствующий значению
у = О, писать не будем, т.е. величины без индекса будут относиться к газовой
фракции), Kj комплекс, определяющий обмен массой, импульсом и энергией
между фазами и внутри неоднородной фазы.
Выражения для газодинамических комплексов A,F,G,W приведены в §4.1.1.
Для частиц эти комплексы имеют вид:
А = { Pp>Pp^px’Pp^pi/’Pep}’
Fp = {ppVpx,ppV^x,ppVpxVpy,ppVpxep}, (5 28)
^р ~ {ppVpy,PpypXVpy^PPVPy’PPVPyePl
Wp = {0,0,0,0}.
Введем следующие обозначения:
рМ в _6 Nu рИ
Ps-ds’ q Pr-Re ps-ds
(5 29)
Тогда для К: можно записать
Xp={-m,-Ppp(rt-VpI)-pp₽(vp-rre),-pp-p,(r-Tp)),
К' = (т,ррР-(у,-УрДррР(Ур-Ую),рр[р,(г-Тр)+ (5 30)
+₽•(»> (П~vpx)+vPy k,
В (5.30) вторые и третьи члены - составляющие силы, связанные со скорост-
ной неравновесностью между фазами.
Явно-неявная конечноразностная схема. Для численного решения сформу-
лированной задачи можно использовать любую конечно-разностную схему, кото-
рая применяется для уравнений газовой динамики. Однако при расчетах двухфаз-
ных течений с частицами мелкой фракции применение явных схем численной ап-
проксимации наталкивается на определенные проблемы. Эти проблемы связаны с
тем, что для частиц мелкой фракции (ds —> 0) коэффициенты, р, PQ (формулы
(5.29)) будут стремиться к бесконечности. Как следует из §5.2.4 , при ds ->0 или
Р -> оо за очень короткий промежуток времени - времени скоростной релаксации
частиц - tv , должно быть V - Vp -> 0, так что член типа источника К] должен
262
частиц, могут приводить к увеличению энергии турбулентных пульсаций за счет
энергии осредненного движения. В связи с этим для корректного моделирования
двухфазных турбулентных течений нужно использовать уравнения с учетом об-
ратного влияния частиц. Учет обратного влияния дисперсной фазы на турбулент-
ность проводится на основе решения уравнений для турбулентной энергии и ско-
рости ее диссипации. Обратное влияние частиц на турбулентность учитывается в
этих уравнениях Источниковыми членами, обусловленными пульсационным
межфазным скольжением и диффузионным переносом частиц.
Новый круг вопросов возникает при исследовании двухфазных турбулентных
течений при наличии гетерогенных химических реакций и фазовых переходов.
Как правило, эти процессы рассматриваются в квазиламинарном приближении,
т.е. без учета турбулентных пульсаций. Вопросы математического моделирования
таких процессов находятся в стадии становления. При записи континуальных
уравнений для турбулентных течений с химически реагирующими частицами или
с частицами, претерпевающими фазовые переходы, производится осреднение свя-
занных с массообменными процессами членов по ансамблю реализаций скоро-
стей, температур и концентраций двухфазной среды. Для упрощения процедуры
вычислений, к<* правило, используют априорно заданные функции плотности
вероятности для распределения скорости, температуры частиц и других парамет-
ров. Наиболее часто используют функции плотности вероятности в виде нор-
мального распределения, нес ьких 8 -функций, зависящих от осредненных зна-
чений параметров дисперсной и газовой фаз, и их дисперсий.
Использование этих методов позволяет достаточно подробно и адекватно
описать различные гетерогенные процессы. Примеры решения конкретных задач
этими методами приводятся в [33, 60, 85, 191 и др.]. Однако громоздкость, слож-
ность решаемых уравнений, увеличение их количества, необходимость построе-
ния эффективных алгоритмов их решения выдвигают высокие требования как к
квалификации исследователей, так и к мощности электронно-вычислительной
техники. Это обстоятельство приводит к тому, что в настоящее время получено
решение единичных задач. Неоднозначность и неопределенность многих положе-
ний требует специального подхода, выбора эмпирических параметров и состав-
ляющих частей математических моделей в каждом конкр ном случае. На прак-
тике широко используются предельно упрощенные подходы к решению задач о
течениях гетерогенных смесей. Эти подходы в отдельных случаях позволяют по-
лучить достаточные для практического применения результаты, в некоторых слу-
чаях дают возможность провести определенные оценки параметров и процессов и
получить качественные представления о характере и особенностях того или иного
технологического процесса. В настоящей главе и главах 8, 10 приводятся описа-
ния таких упрощенных подходов и примеры их применения для анализа конкрет-
ных процессов. Сами подходы к формированию математических моделей дают
представления как об основных особенностях описания течений газовзвесей, так
и о физических особенностях таких течений.
5.2.6 Особенности численного решения уравнений гетерогенной смеси
Уравнения двухфазного потока в дивергентном виде. Для численного ре-
шения уравнений газовой динамики, как отмечалось в §4.1.1, их удобно записать
в дивергентном виде (4.5). Это позволяет рассчитывать поле потока при наличии
261
a-' ±ifW _г;-)=|.[л<‘> + a;
• (eg!-g?1)-
Таким образом, имеем обычную разностную схему, одну и ту же для расчета
обтекания чистым и запыленным газом, только в случае запыленного газа полу-
чаем составные комплексы Ak:
= Ak ±е• Fq -M-(vk — Vpk),
где е = 1 - после предиктора и е = 1/2 - после корректора.
Необходимо по составным комплексам определить параметры и фактические
комплексы Ak. Это можно сделать в отдельной подпрограмме, обращение к ко-
торой стоит сразу же после реализации этапов “предиктор” и “корректор”.
Запишем расчетные формулы
А = р,
А2 = 'Р'^х +е’4 ‘(^х ~^рх)>
А3 = -р-Ту +E-fq -{уу ~Vpy)’
A4 = p i + e Q, + s vj (533)
fq=At-FQ, Qq=At-Q,
APi = Pp >
Ap2=PpVpx-Efq(Vx~vpx),
Ap3 = #1 Ps ^82 -е 4 ‘(“2 -“s2)>
Ap4 =Pp-es-E-Qq
где У. = с]ср.
Если считается, что газодинамические параметры определены, тогда для час-
тиц получим:
Рр ~АР1’
У _ Ap2+^ fq Vx
РУ Apl^-fq '
V - АрЪ + г'Ъ'Уу
рх Apl+E.fq ’
е - Ар4 + Е'^<7'
Р Ар1 +e'Qq
(5.34)
Из (5.33) и (5.34) определим параметры взаимодействия фаз
E’fq -^рх)=а’(-Ар1 ’Кг ~АРг)у
264
оставаться конечным. Однако, при практическом проведении расчетов с шагом по
времени Kt > tv член типа источника Kj будет стремиться к бесконечности при
ds -> 0. При использовании для аппроксимации исходных дифференциальных
уравнений какой-либо явной конечно-разностной схемы, например, схемы Мак-
Кормака (4.37), (4.38) или схемы Годунова (4.41), в правой части конечно-
разностных соотношений появляется слагаемое вида At • . Бесконечное воз-
растание Kj при ds —> 0 требует для получения корректного результата прово-
дить расчеты с шагом по времени настолько малым, чтобы At • Kj было, по
крайней мере, меньше единицы. Это требование является очень жестким и не мо-
жет быть практически удовлетворено при расчете течений, близких к гомоген-
ным. Для устранения этого недостатка необходимо использовать конечно-
разностные схемы с неявной аппроксимацией слагаемых Kt Kj , то есть с опре-
делением комплексов Kj по параметрам на новом слое по времени. Основные
особенности применения неявной аппроксимации проиллюстрируем на примере
двухшаговой конечно-разностной схемы Мак-Кормака. Применение этой аппрок-
симации при использовании схемы Годунова и других конечно-разностных схем
не имеет принципиальных отличий.
Запишем уравнения (5.27) в виде
дА
dt
dF SG , ,
+^+V+^TFe(r‘-^)=0’
(5.31)
где Vk - соответствующая компонента скорости, Fq =ррР- Применяя формулы
двухшаговой конечно-разностной схемы Мак-Кормака, использовав неявную ап-
проксимацию членов, отражающих обмен импульсом и энергией между газом и
частицами, получаем:
на первом шаге схемы - «предикторе»
A(i) = АП _ А£ / „ _ п . (Gn _ Gn )_ wn .
Ах V 4 Ку ' ' 11 1
At + ^-(vW-V^))-At,(5.32)
на втором шаге схемы - «корректоре»
=1[а»+
Z» £дх 1лу
- • At + F^> (vfe(n+1> - +1)) At]
Перенося в левую часть слагаемые, относящиеся к одному временному слою,
получим:
263
денсацией жидких частиц. При этом имеется два вида фазовых превращений:
1) образование новой фазы внутри старой - спонтанная конденсация; 2) фазовые
превращения на границе раздела фаз. При этом двухфазные течения сопровожда-
ются интенсивным обменом массой между газом и жидкостью. Фазовые перехо-
ды играют существенную роль в энергетическом состоянии потока. Наряду с
обычным теплообменом между газом и частицами существенную роль играет вы-
деление-поглощение дополнительной энергии, связанной со скрытой теплотой
фазовых переходов - плавления-кристаллизации и испарения-конденсации. Вы-
деление-поглощение тепла при фазовых превращениях оказывает существенное
влияние на процесс прогрева-охлаждения частиц и, как следствие, на температур-
ное состояние всей гетерогенной смеси. Испарение-конденсация частиц имеет
существенное влияние на течение газокапельных потоков в связи со значитель-
ным массообменом между несомой и несущей фазами.
Большое отличие в удельных объемах жидкой и газовой фазы приводят к зна-
чительным изменениям объема гетерогенной смеси при фазовых переходах и, как
следствие, оказывает непосредственное влияние на изменение скорости потока и
давления.
Испарение имеет место в парогенераторах, при сушке, во многих системах
охлаждения и кондиционировании. Для изучения особенностей процессов необ-
ходимо использовать математические модели, отражающие влияние свойств жид-
кости, пара и несущего газа на параметры гетерогенного потока. Большую важ-
ность имеет изучение процессов испарения как подготовительных процессов для
горения жидких топлив. Это связано с тем, что температура кипения жидких топ-
лив принимает значения 100 - 200°С, а температура газообразных продуктов сго-
рания составляет 2000 - 3000°С. Жидкое топливо предварительно испаряется, а
затем воспламеняется и горит в газовой фазе. В технологических устройствах жид-
кая фаза, как правило, распыляется форсунками того или иного типа и поступает в
технологический процесс в виде капель. При движении в потоке капли, достигшие
определенного размера, разрушаются и дробятся на более ме.жие капли. Условия
разрушения определяются радиусом капли rh, разностью скоростей капли и несу-
щего газа Vk - V, коэффициентом поверхностного натяжения жидкости <5k. Ос-
новным критерием, влияющим на распад капли, является критерий Вебера
у '>р(П-т)г
где индекс k относится к капле.
Критическое значение числа We, определяющее максимальный устойчивый
радиус капли, чаще всего принимается равным шести.
Для относительно мелких капель основное количество паров выносится в ок-
ружающую газовую среду и сгорает как газовая смесь. В этих случаях энерго-
массообмен между газом и жидкими каплями определяется преимущественно
процессами испарения без влияния химических реакций. Химические процессы в
газовой фазе имеют косвенное влияние на взаимодействие капель с несущим га-
зом, приводя к изменениям параметров в последней
266
причем,
a = -tA—. а -
4sl + е ’ fq q Asl + E • Qq
Обратим внимание на то, что при fq и Qq, стремящихся к бесконечности, а и
о-q стремятся к 1. Подставляя (5.35) в (5.33), получим уравнение для газодинамиче-
ских параметров (соотношения (5.33) - (5.35) справедливы и для полидисперсной
смеси, далее все соотношения приводятся для смеси газа и частиц одного сорта)
Решая эту систему уравнений, получаем
Соотношения (5.34), (5.36) имеют конечный предел при р и Рд , стремящихся
к бесконечности. Причем, из получающихся при этом предельном переходе соот-
ношений следует, что Vpx =VX, Vpy =Vy, Tp=T .To есть применение полу не-
явной схемы конечно-разностной аппроксимации позволяет рассчитывать тече-
ния, сколь угодно мало отличающиеся от гомогенных без требования, чтобы шаг
по времени At был меньшим времени релаксации tv . На величину этого шага
накладываются только обычные ограничения, связанные с устойчивостью явной
конечно-разностной схемы (см. §4.2.4).
5.3 Тепломассообменные процессы при фазовых переходах в
газокапельных течениях
Двухфазные течения газовзвесей во многих технологических процессах со-
провождаются фазовыми переходами несомой твердой или жидкой фазы. В зави-
симости от конкретных технологических приложений фазовые переходы связаны
как с плавлением и кристаллизацией твердых частиц, так и с испарением и кон-
265
где Sm ,CD — площадь миделевого сечения и коэффициент сопротивления капли,
We - число Вебера, верхний индекс о относится к каплям сферической формы.
По данным [140] экспериментальные результаты хорошо аппроксимируются
зависимостью Ч7 = ехр(о,ОЗ(2 • We / ).
Во все слагаемые, отражающие взаимодействие между фазами входит диа-
метр частиц. Фазовые переходы, связанные с испарением и конденсацией, приво-
дят к изменению диаметра капель. Следовательно, диаметр одиночных капель
также подлежит определению при решении задач. Для определения dk восполь-
зуемся уравнением изменения массы одной капли, которое запишем в виде:
dmk _ к о
-JT-KS‘
о ndf, „
Учитывая, что mk = pk——, а Ъбок
о
= nd^, после очевидных преобразований
получим:
dE = 2К
dt= рХ’
где Z = — относительный диаметр капли, d® — первоначальный диаметр кап-
dk
ли, р0 - плотность жидкости.
В последнее уравнение входят полные производные от Z. Принимая во вни-
d д TZ д TZ д
мание, что — = —+ Vnr--------F vn„ —,
dt dt px dx py dy
получим окончательное уравнение для из-
менения относительного диаметра капли
Ж az az _ 2К
dt+Vpxdx + Vpydy~ р<&°-
(5.38)
И, наконец, умножая это уравнение на рр и учитывая уравнение неразрывно-
сти для облака капель, последнее уравнение можно получить в дивергентном виде
аРрЕ dppVpxY dPpVpyY 2К f 3) ,
Для замыкания задачи необходимо рассмотреть соотношения, позволяющие
определить скорость испарения к. Для этого удобно рассмотреть процессы ис-
парения и нагрева одиночной капли.
5.3.2 Температура и давление насыщенного пара
Изменение давления насыщенного пара в связи с изменением температуры
определяется формулой Клапейрона-Клаузиса [35]
268
5.3.1 Уравнения газокапельной смеси при наличии фазовых переходов
Обычная физическая среда, в которой происходят фазовые превращения, со-
стоит из облака жидких капель, паров жидкости и инертного газа. Для описания
газокапельных потоков может быть использована модель двухскоростной и двух-
температурой сплошной среды. Уравнения, которые составляют основу этой мо-
дели, и условия их применения описаны в §5.2.2. В эти уравнения включены сла-
гаемые, отражающие обмен массой, количеством движения и энергией между не-
сущим газом и частицами при их взаимодействии. Наличие фазовых переходов
приводит к некоторой модификации и конкретизации выражений, определяющих
это взаимодействие.
Уравнения сохранения массы для парогазовой смеси, пара и облака капель с
учетом массообмена удобно записать в виде:
dp । дрУх t дрУу
dt дх ду
дРп , дрпУх t дрпУу
dt дх ду
дрр t дРрУрх । дРрУру
dt дх ду
(5 37)
где р - плотность парогазовой смеси, рл = Хпр - плотность пара, Хп - массовая
концентрация пара. Здесь и далее индексы «п», «р» и «к» относятся к пару, к об-
лаку капель и к одинсчной капле, параметры парогазовой смеси — без индекса, т
- среднеобъемная скорость парообразования. Среднеобъемная скорость парооб-
разования может быть определена, если известна скорость испарения К, опреде-
ленная как масса жидкости, испарившаяся в единицу времени с поверхности еди-
ничной площади. При известной скорости испарения среднеобъемная скорость па-
ровыделения может быть по аналогии с (5 21) представлена соотношением
т =
£ Рр
dh Pfe
где р° - плотность жидкости.
Выписанные в предыдущей главе уравнения количества движения и энергии
учитывают массообмен между фазами. Следует обратить внимание, что при на-
личии интенсивного испарения в приведенные в §5.1.3 соотношения для коэффи-
циента аэродинамического сопротивления должны быть введены поправоч-
ные множители, учитывающие вдув с поверхности капли. Кроме того, следует
учесть, что при обтекании жидкой капли потоком газа форма ее отличается от
сферической и зависит от разности скоростей капли и жидкости. В связи с этим
влияние изменения размера капли на ее сопротивление учитывается введением
корректирующей функции.
v(w,')=smtcD/s^-ci,
267
Следует отметить, что в действительности удельная теплота парообразования
является функцией температуры. Например, для воды при Г=100 200 и 300°С,
имеем соответственно г = 2257, 1940, 1403^. Этим в некоторой степени
можно объяснить несколько завышенные значения давления насыщенных па-
ров р„ при температуре выше 200° С, полученное при г = const с использовани-
ем формулы (5.40).
В качестве справочных данных приведем другие парамегры воды и водяного
пара [35].
В диапазоне температур от 100°С до 220°С удельная теплоемкость пара при
постоянном давлении СР =2.038 И,954^^, коэффициенты теплопроводно-
сти динамической вязкости ц изменяются диапазонах 24.54-35.1 и
(1.21+ 1.70)10-5Па-с соответственно. Изменение вязкости перегретого пара
при атмосферном давлении и изменении температуры в диапазоне
16 [100 -700° с] можно аппроксимировать линейной зависимостью:
ц = (80.4 + 0.407f)10“7Па с. Удельная теплоемкость воды 4.1 • Зависи-
мость удельного объема пара от давления и температуры достаточно хорошо оп-
ределяется, как уже отмечалось, уравнением состояния v = —-—= >61,9—.
т р р
5.3.3 Условия материального и теплового баланса на поверхности капли.
Равновесная скорость испарения
Для детального изучения процессов нагрева, испарения, химических реакций
обычно рассматривают одиночную каплю, помещенную в покоящуюся смесь га-
зов [106, 108, 125, 135]. Для многих технологических процессов скорость испаре-
ния считается определяющей скоростью всего процесса, т.к. в газофазной среде
химические процессы идут достаточно быстро. При нагреве и испарении капли
прослеживаются три этапа.
1) Нагрев капли с повышением температуры ее поверхности до температуры
испарения.
2) Испарение капли с умеренной линейной скоростью при температуре по-
верхности, равной температуре испарения.
3) Испарение капли с высокой линейной скоростью при постоянной темпера-
туре поверхности, определяемой диффузионным горением паров.
Следует отметить, что температура поверхности капли как при втором режи-
ме, так и при третьем режиме испарения ниже температуры кипения. Температу-
ра испарения определяется исходя из условия, что парциальное давление пара на
поверхности равно давлению насыщенных паров.
При построении моделей нагрева и испарения капли используют в основном
следующие допущения [108], основанные на результатах экспериментальных ис-
следований.
270
dp г
5r = r(.,„-„ft)’
(S 39)
где г скрытая теплота парообразования - количество теплоты, которое необхо-
димо подвести к единице массы жидкости, чтобы превратить ее в пар при темпе-
ратуре насыщения, [кдж/кг], v - — — объем, занимаемый единицей массы вещества
(удельный объем), индексы п и k относятся к пару и жидкости соответственно.
В свою очередь удельный объем зависит от давления и температуры. Уравне-
ние (5.39) можно приближенно проинтегрировать в области изменения темпера-
туры и давления, нс попадающих в окрестность тройной точки. В условиях мно-
гих технологических процессов можно принять vk«vn. Например, при нор-
мальных условиях (Т = 300 К, р- 105Па) для воды имеем ^- = 0,00065. При-
Vn
нимая, что пар ведет себя как совершенный газ, при заданных давлении и темпе-
ратуре для определения удельного объема пара можно воспользоваться уравнени-
ем состояния pvn С учетом этих допущений уравнение (5.39) перепи-
сываем в виде
dP ,ГГ,
— =-------------тгйТ .
р «»/«» т2
Проинтегрировав это уравнение от некоторого начального состояния 1 до те-
кущего состояния, после очевидных преобрашваний получим
р(Г)=Р(Г1)ех₽[^-[±-1])
(5 40)
Этой формулой можно пользоваться в достаточно широком диапазоне изменения
параметров. Например, для воды при Тг = 373.15К имеем г =2257-^—,
р(Т1) = 105Па Рассчитанные по этой формуле значения Рн в сравнении с таб-
личными данными из [35] приведены в таблице 5.2.
Т а б л и ц а 5.2
Сравнение рассчитанных и табличных значение давления насыщения для воды
t°C (Т,К) 51 (322.15) 100 (373.15) 140 (413 15) 180 (453,15) 200 (473 15) 264 (537.15) 311 (584)
р(Т)10 ъПа 0 127 1.013 3.6 10.22 16.13 55.2 114 75
Р(Т)-10ъПа _ [35] 0 130 1.013 3.61 10.03 15.55 50.07 100 05
269
скорости испарения и времени полного испарения капли. Для получения соответст-
вующих оценок будем рассматривать капли сферической формы с радиусом rh.
Рассмотрим балансовые соотношения сохранения массы для объема, ограниченного
поверхностью капли, и некоторой контрольной сферической поверхностью с радиу-
сом г. Пусть осреднепныс по поверхности потоки массы через единицу поверхности
капли и контрольной сферической поверхности будут соответственно Gw и G. Ис-
ходя из условия сохранения массы, эти величины можно связать соотношением
Gwr^=Gr2. (5.42)
Второе соотношение можно записать, исходя из условия баланса массы пара в
выделенном контрольном объеме. Приравнивая поток пара через поверхность
капли потоку пара через контрольную сферическую поверхность, который равен
в соответствии с (5.41) сумме конвективного и диффузионного потоков, можно
получить соотношение
(cXn-pD^-]r2=G^.
к аг )
Учитывая (5.42), это соотношение перепишем в виде
рВг2^- = СЛ2(Х„-1). (5 43)
Полагая для оценок pD = const, будем рассматривать (5.43) как дифференциаль-
ное уравнение относительно Хп(г). Запишем это уравнение в виде
ЛХ„ . Gwj rfr
1-Х„ pD г2 •
Проинтегрировав это уравнение в пределах от rh до г, и полагая, что при г = rh
массовая концентрация пара задана -Хп|г_г = Хп0, получим
При r/rk оо Хп -> Хп^ , где Хп^ - концентрация пара в несущем газовом
потоке. Используя это условие, получим уравнение для определения массовой
скорости испарения
+ (5 44)
PD I 1-Хп0 J
Из этого соотношения видно, что массовая скорость испарения обратно про-
порциональна радиусу капли. Для оценки времени испарения воспользуемся
уравнением изменения массы капли
272
1. Изменение температуры капель хорошо описывается без учета градиента
температуры внутри капли либо вследствие малости ее размеров, либо из-за
внутрикапельнои циркуляции в крупных каплях.
2. Испарение капли снижает коэффициент теплообмена и коэффициент сопро-
тивления.
3. Процесс испарения можно рассматривать в квазистационарном приближе-
нии переноса массы и тепла.
4. Изменение теплосодержания капли определяется разностью подводимого
теплового потока и тепла, расходуемого на испарение жидкости с поверхности
капли.
5 Изменение массы капли определяется скоростью диффузии паров от капли.
Условия материального баланса на поверхности капли. На поверхности
жидкости происходит испарение, вследствие чего в газовый поток вдуваются па-
ры жидкости. Скорость испарения существенным образом зависит от условий
обтекания поверхности газовым потоком. Относительное движение капли и не-
сущего газа влияет на скорость испарения (увеличивает ее). Условия материаль-
ного баланса на испаряющейся поверхности можно записать, используя общие
выражения (5.1), (5.2).
Пусть Gw = К - масса пара, выделяющегося в единицу времени с единицы
поверхности жидкости. Тогда учитывая, что вдуваемый газ полностью состоит из
паров жидкости, то есть Х° = 1, уравнение материального баланса можно, ис-
пользуя (5.1), (5.2), записать в одном из следующих видов:
Gw(l-X„)=-pB^,
ап
(5.41)
G„(l-X„) = p(Xrf-X„),
где Хп - массовая концентрации пара в газовой смеси на поверхности жидкости,
Х^ - массовая концентрация пара данного вещества в несущем газовом потоке,
GwXn — масса пара, отводимая от поверхности вследствие вдува.
Первое соотношение может использоваться в качестве граничного условия
для уравнений многокомпонентного пограничного слоя на испаряющейся по
верхности.
Второе соотношение может использоваться для определения скорости испа-
рения Gw при диффузионном режиме испарения. Как отмечалось в §§ 3.6, 5.1.2,
диффузионный режим характеризуется тем, что кинетическая скорость испарения
намного больше скорости отвода пара от поверхности диффузией и конвекцией, и
скорость испарения лимитируется отводом паров от поверхности. В этих услови-
ях парциальное давление пара на поверхности равно давлению насыщенных па-
ров при температуре капли Исходя из этого, массовая концен грация пара на по-
верхности однозначно определяется темперагурой жидкости и давлением в несу-
щей смеси газов.
Воспользовавшись критериальными соотношениями для определения коэф-
фициента массопереноса, можно из второго соотношения (6.3) получить оценки
271
3) экзотермические реакции в паровой фазе происходят достаточно близко к
поверхности капли и способствуют росту скорости испарения.
Уравнение теплового баланса. Условие баланса тепла на испаряющейся по-
верхности можно записать в виде
Gw(lk = °>
где $ теплосодержание жидкой фазы; iw - энтальпия парогазовой смеси на
поверхности; Qw - тепловой поток к поверхности от газа. Используя (5.4) для
определения Qw, можем записать
GJ^W Ge ~lw)-
Ср
Учитывая, что теплосодержание жидкой фазы отличается от энтальпии па-
ра на величину, равную скрытой теплоте испарения г, это соотношение пере-
пишем в виде
= (547)
ср
где гпи, - энтальпия пара, iw - энтальпия парогазовой смеси при температуре по-
верхности.
Считая парогазовую смесь совершенным газом, уравнение, описывающее из-
менение температуры испаряющейся капли, можем записать в виде
(548)
at
где Ck - коэффициент удельной теплоемкости жидкости.
При достижении температурой капли температуры киыения, т.е. температуры,
при которой давление насыщенных паров равно давлению в окружающем каплю
газе, получим, что массовая концентрация пара равна единице и, следовательно,
iw -^nw Тогда, как следует из (5.47), все подведенное тепло уходит на процесс
испарения. В этом случае температура капли при дальнейшем подводе тепла не
меняется и остается равной температуре кипения. Скорость испарения капли в
этих условиях определяется отношением теплового потока, подводимого к по-
верхности капли, к скрытой теплоте испарения
(5 49)
В этом соотношении учтено, что а = ~и . Уравнение изменения массы
dk
одиночной капли может быть записано в виде
274
dmh 9
где rk - текущий радиус капли.
Учитывая, что mk & nrk pk, получим уравнение для изменения радиуса капли
(5-45)
G^k
dt р2
Для упрощения будем считать, что Х^.Х^ и pD не изменяются со време-
нем, тогда, исходя из (5.44), получаем, что произведение скорости испарения на
радиус капли не изменяется с течением времени, т.е. G„ rk = const, и уравнение
(5.45) по.« интегрирования позволяет получить
'12-4=-2£^1п 1 +
где rk0 - начальный радиус капли.
Из последнего равенства следует, что время, за которое радиус капли стано-
вится равным нулю, можно оценить соотношением
• пО ~ ^поо
1-Л\о
(5.46)
'max _
8pBln| 1 +
to есть время полного испарения капли пропорционально квадрату ее диаметра.
Исходя из этого, для ускорения процессов испарения добиваются получения мел-
ко дисперсных капель использованием различных форсунок.
Приведенные соотношения записаны с использованием параметров, осред-
ненных как по площади поверхности капли, так и по времени. Несмотря на это,
они полезны для понимания физических процессов испарения и могут быть ис-
пользованы для качественных, а в некоторых случаях и для количественных, оце-
нок параметров.
При более детальном рассмотрении процессов испарения капель следует учи-
тывать следующие обстоятельства. В общем случае происходит взаимодействие
полей концентраций соседних капель Величина pD обычно зависит от темпера-
туры и состава газовой смеси. Начальный диаметр капли часто известен лишь
приближенно. Как Хл0, так и Хлоо изменяются во времени. Квазистационарное
приближение для описания испарения капли неприменимо, когда
1) параметры газа и граничные условия существенно изменяются за интервал
г2
времени, сравнимый с ;
2) температура капли приближается к критической температуре жидкости;
273
зине и др. Причем, параметры окружающей среды вычислялись при температуре
(Tw+Tj/2.
Множитель упозволяет учешь влияние вдува и на коэффициент сопро-
тивления.
5.3.4 Течения при наличии плавления и кристаллизации частиц
Многие технологические процессы сопровождаются плавлением или кристал-
лизацией частиц в газовом потоке. В таких течениях, как правило, отсутствует
обмен массой между частицами и несущим потоком. Как и при испарении капли,
при нагреве и плавлении (кристаллизации) частиц можно выделить три этапа.
1) Нагрев частицы с повышением температуры ее поверхности до температу-
ры фазового перехода.
2) Плавление (кристаллизация) частицы при температуре частицы, равной
температуре фазового перехода.
3) Нагрев расплавленной частицы выше температуры плавления до темпера-
туры испарения или остывание закристаллизованной частицы до температуры
газового потока.
В некоторых случаях при высокой температуре газового потока могут иметь
место стадии, связанные с испарением расп ленной частицы.
Теплообмен при наличии фазовых переходов, связанных с плавлением или
кристаллизацией, характеризуется тем, что тепло, подводимое к частицам, идет
на изменение агрегатного состояния материала частицы. Температура частиц при
этом не изменяется и равна температуре фазового перехода, т.е. температура час-
тиц известна. В этом случае при математическом моделировании нет необходи-
мости использовать уравнение энергии, что приводит к некоторому упрощению
зада . Параметром, который подлежит определению для таких течений, является
степень расплава или кристаллизации частиц. Степень расплава (кристаллизации)
частиц т] определяется как отношение массы расплавившейся (закристаллизо-
ванной) части частицы к массе всей частицы. Степень расплава (кристаллизации)
вычисляется как отношение тепла, подведенного к частице при температуре фа-
зового перехода за промежуток времени, отсчитываемый с момента t0 начала фа-
зового перехода, к удельной теплоте плавления L
|а(У - TP)S6oKdt
Л = ----------------. (5 50)
При этом температура несущего газа определяется из решения уравнения
энергии для газа, в котором учтен теплоотвод от газа к облаку частиц.
5.3.5 Гомогенные течения с фазовыми переходами
В случае, если размер частицы в двухфазном потоке настолько мал, что время
скоростной и температурной релаксации частицы мало по сравнению с характер-
276
dmk _ _о I-Nu , ,1 /
dt 8бок [ dk
Исходя из этого, получим уравнение для изменения диаметра капли
<Ц<4) _ 2—AlkzZL
dt dk Pfe r
Если примем, что в процессе испарения Nu^T^ не изменяются, то из
этого уравнения можно получить соотношение для оценки времени полного ис-
парения капли
^тах
_ ^оР° Г
4NU fc-Tj-r
Из этого соотношения следует, что время испарения пропорционально квадрату
первоначального диаметра капли, что согласуется с (5.46).
Коэффициенты теплопереноса и сопротивления. Аппроксимационные со-
отношения для безразмерного параметра теплопереноса Nu, которые входят в
полученные в этом параграфе соотношения, рассмотрены в §5.2.3. При наличии
вдува через поверхность частиц, связанного в частности с испарением, эти коэф-
фициенты зависят не только от локальных значений числа Рейнольдса, но и от
безразмерной скорости массопереноса В на единицу площади, которая может
быть определена следующим соотношением:
B = mdk/(DpNud) или В = Пт Пк .
1~Xnk
При испарении зависимость Nu от В определяются влиянием распределен-
ного по поверхности радиального вдува пара. Для теплового числа Нуссельта в
условиях вынужденной конвекции можно воспользоваться соотношением [108]
1п(1 + В) о
В
где 7Vu° - число Нуссельта для твердой сферы, которое определяется формулой (5.25).
Однако лучшие результаты дает формула
Nu=—~ Nu°.
1 + B
В [108] приведено сравнение с экспериментальными данными расчетной кри-
вой, полученной по формуле
1
Nu (1+ В) = 2 + 1.6 Re2,
из которого следует, что в диапазоне чисел Re е 0.1 -10 эта формула дает хоро-
шие результаты Эксперименты проводились на воде (200 - 2000 С), спирте, бен-
275
Соотношения для определения т получены в предыдущих разделах. При F
этом следует различав два описанных выше режима течения, характеризующие- 3
ся соотношениями между темперагурой несущего газа и температурой кипения » F
жидкости. В первом случае температура гомогенной смеси меньше температуры
кипения жидкости, и скорость испарения одиночной капли определяется соотно- Л
шепием (5.44), а среднеобъемпая скорость испарения облака капель соотношени-
ем zn = - —Gw. В гомогенном приближении считается, что температура паро-
dkp* R
газовой смеси и капель совпадают.
Во втором случае, з.е. когда температура парогазовой смеси выше температу-
ры кипения жидкости, температура капель остается постоянной и равной темпе-
ратуре кипения при локальном значении давления. В этом случае энтальпия и
температура парогазовой смеси определяется из решения уравнения энергии для
газовой фазы, а скорость испарения капель определяется как отношение подво-
димого к капле тепла к скрытой теплоте парообразования (5.49). В свою очередь
температура кипения определяется как температура, при которой давление насы-
щенных паров на поверхности капли равно давлению парогазовой смеси.
5.4 Горение и газификация угольных частиц в газовом потоке t
Горение угля является составной частью процессов получения тепловой энер-
гии в высокотемпературных технологических процессах. Газификация угля - это
горение угля при недостатке кислорода, когда конечными продуктами являются
продукты неполного сгорания, основными компонентами которых являются
окись углерода и водород. Причем появление водорода в продуктах газификации
связано как с изначальной влажностью угля, так и с его вхождением в состав угля
вместе с другими твердыми компонентами. Газификация угля является составной
частью технологической переработки низкосортных углей, то есть высокозоль-
ных углей содержащих менее 60% углерода. В результате гз шфикации получают
горячие восстановительные газы, которые могут быть использованы в других
технологических процессах, требующих использования высокосортных углей.
При подборе параметров технологий газификации низкосортных углей важное
место занимают методы математического моделирования. В настоящем парагра-
фе приводятся сведения, необходимые для формулировки соответствующих мо-
делей, сведения о механизмах взаимодействия углей с горячим газовым потоком.
Примеры практического применения изложенных в этом параграфе положений
обсуждаются в §§9.3 и 10.2.
5.4.1 Общая характеристика взаимодействия частиц угля с (i
высокотемпературным газовым потоком и
Твердое топливо состоит из горючей части (углерод, водород, сера) и негорю-
чей, в которую входят, так называемый, внутренний балласт - азот, кислород и
внешний - влага и минеральные негорючие примеси, превращающиеся после го-
рения в золу. В состав золы входят соли щелочных и щелочноземельных метал-
лов, окиси кремния, железа, алюминия, а также, так называемая, минеральная се- « t
278
ным временным процессом или, что то же, длина зоны релаксации мала по срав-
нению с характерным размером области течения, то для описания такой двухфаз-
ной смеси может быть применена гомогенная модель. Как и ранее в рамках этой
модели считается, что скорость газа и скорость частиц одинаковы. В определен-
ных условиях это можно принять и для температуры. К этим условиям, например,
относятся течения газокапельной смеси, в которой температура капель ниже тем-
пературы кипения жидкости при локальном значении давления. При этом в рам-
ках гомогенной модели скорость и температура газа и капель совпадают, и такая
смесь описывается уравнением гомогенной смеси, которая по форме совпадает с
уравнением движения и энергии чистого газа с видоизмененными плотностью,
удельными теплоемкостями, газовой постоянной и т.д. Подробнее эти вопросы
обсуждались в §5.2.4. Однако, вследствие фазовых переходов, связанных с испа-
рением или конденсацией, массовая доля частиц в потоке изменяется, и необхо-
димо получить уравнение для определения массовой доли капель в гомогенном
потоке.
Если температура газоного потока выше температуры плавления или темпера-
туры кипения для течений с плавящимися или испаряющимися частицами, то
температура даже относительно малых частиц равна не температуре газа, а тем-
пературе фазового перехода. Для таких течений достигается скоростное или ки-
нематическое равновесие, но имеется рассогласование в температуре газа и час-
тиц. Упрощение шдачи в этом случае достигается тем, что нет необходимости
решения уравнения энергии для частиц, т.к. температура частиц известна и равна
характерной температуре фазового перехода: температуре кипения или темпера-
туре плавления или кристаллизации. Количество тепла, которое передается от
газа к частице в случае, если температура газа выше характерной температуры
фазового перехода, определяет скорость фазового перехода, т.е. скорость испаре-
ния или скорость плавления или кристаллизации.
При расчете гомогенной паровоздушно-капельной смеси для определения эф-
фективных термодинамических и физических параметров смеси таких, как удель-
ная теплоемкость, плотность, коэффиц нт молекулярного переноса и др., наряду
со среднемассовыми параметрами смеси необходимо знать концентрацию пара и
массовую долю капель и их размер. В связи с этим приведенные в §5.2.4 уравне-
ния, описывающие движение гомогенной смеси, необходимо дополнить уравне-
ниями неразрывности для пара и облака жидких частиц
Фп ! дРпУх ! др'Л-ггс,
dt дх ду
дРр , 8Ppv* , dPpvy _
dt дх ду
где rii = 6-Pg- К , К - скорость испарения одиночной капли, Vx и Vy - компо-
РА
ненты скорости, которые определяются из системы уравнения гомогенного течения.
В эти уравнения в правой части входят скорость объемного парообразования
которая должна быть определена в процессе решения задачи
277
4) С + 2Н2 =СН4 +79;
5) С + Н2О = СО + Н2-132,
Гомогенные реакции:
6) 2СО + О2 =2СО2+570;
7) СН4 + 2О2 - СО2 + Н2О + 800;
8) 2Н2+О2=2Н2О + 484;
9) СО + Н2О = СО2+Н2-43;
10) СО + ЗН2 = СН4 + Н2О + 220;
11) 2СО + 2Н2 = СН4 + СО2 + 209;
Последние слагаемые в правых частях стехиометрических уравнений обозна-
чают теплоту реакции, выраженную в кДж/моль. Эти теплоты реакций посчитаны
по балансовым соотношениям типа (3.26) с использованием данных из [142].
Из сопоставления перечня возможных гомогенных реакций, описанных в [32,
50, 73, 179, 186] видно, что набор эти* реакций может быть разный. Эта особен-
ность принципиальна, если рассматривать кинетический механиз.м реагирования.
Однако, для общих термодинамических расчетов, в которых с достаточной точ-
ностью (при р> 105 Па и Т= 1000 - 2000К) можно принять, что смесь газовых
компонент находится в термодинамическом и химическом равновесии, это об-
стоятельство оказывается не принципиальным. Достаточно из всего перечня ре-
акций выделить только независимые реакции, т.е. реакции, уравнения которых не
могут быть получены линейной комбинацией уравнений других реакций. Из спи-
ска приведенных реакций следует, что с учетом азота воздуха газовая смесь со-
держит следующие семь компонент:
СО, Н2 ,СО2,Н2О, сн4 ,o2,n2,
которые состоят из четырех элементов O,C,H,N.
Кинетические константы скорости химических реакций. Для решения
конкретных задач с учетом неравновесных химических процессов необходимо
знать скорости химических реакций. Основные соотношения для расчета этих
скоростей приведены в § 5.3.1. Для использования этих соотношений необходимо
задать кинетические константы химических реакций.
Кинетическая скорость химической реакции может быть определена, если оп-
ределена скорость изменения во времени мольной концентрации одного из реаги-
рующих веществ. Изменение концентраций других реагентов связаны с измене-
нием концентрации данного вещества стехиометрическим уравнением. Обозна-
чим кинетическую скорость приращения k -ого реагента через rk. В качестве ос-
новных веществ, относительно которых будут определяться скорости реакций 1 -
8, возьмем соответственно: 1 - О2,2 - О2,3 - СО2,4 СЦ±, 5 - Н20,6- СО,
7 ~ , 8 - Н2, где цифра обозначает номер реакции для соответствующего
вещества. Тогда скорости этих реакций можно определить соотношениями [32]:
280
Г ।
1
ра в соединениях CaSO4 и MgSO4. Количество золы в топливе определяется
зольностью топлива. При сжигании и газификации топлива, в конечном итоге,
реагируют твердый углерод и летучие вещества, которые выделяются из топлива.
Но главную роль в процессе горения угля играет углерод, так как на горение уг-
лерода затрачивается значительно больше времени, чем на термическое разложе-
ние и горение летучих веществ.
Летучие вещества, состав которых зависит от химического состава угля, вы-
деляются, как было отмечено раннее, под действием высокой температуры, тер-
мически разлагаются с образованием большого количества газов (см. табл.5.3).
Т а б л и ца 5.3
Выход летучих веществ из горючей массы топлив [75]
Топливо Выход летучих 1 веществ, % Температура начала разложения, °C ,
Торф ' 70 100-110
Бурый уголь 34-63 130-170
Каменный уголь марки
Д 37-5Q- 170
25-33 300
* Т 11-17 390
। Антрацит 4-9 380-400
Горючие сланцы 85-90 250
И, наконец, образование твердых продуктов реакции и наличие в составе час-
тиц веществ, не вступающих в химические реакции, приводит к тому, что после
исчерпания химически реагирующего вещества в материале твердой частицы
масса частицы остается конечной и равной сумме масс твердых продуктов реак-
ции и веществ, не вступивших в реакцию. При горении угля - это зола. Как уже
отмечалось, из-за рушения механической прочности материала результирую-
щая частица может раздробиться на более мелкие частицы. Все перечисленные
обстоятельства оказывают влияние на фактическую скорость гетерогенной реакции.
5.4.2 Основные химические реакции.
Кинетические константы скоростей химических реакций
В результате горения угольной частицы, включая ее термическое разложение
(выход летучих веществ, включая влагу), на поверхности частицы и в окружаю-
щем ее объеме имеют место следующие реакции [32, 76, 184, 190].
Гетерогенные реакции:
1) 2С + О2 =2СО + 22О;
2) С + О2 =СО2+395;
3) С + СО2 = 2СО-175;
279
ними авторами. В частности в этом легко убедиться, используя приведенные
выше соотношения для k0l и Ef, и данные в табл.5.4. Этот ратброс объясняется
разными условиями получения фактических данных по константам скоростей ре-
акции, сильной неоднородности исследуемых топлив, разными условиями экспе-
риментов о?
9 • 14- ti) - Таблица5.4.
Значения kol и Et для гетерогенных и газофазных реакций с углеродом
Et/R Значения kt при значениях Т
Т = 800К Т = ЮРОК Т = 1500К 2000К
14500) 0,12 4,5 5,7.102 6,39.103
8500 2,1.10 1,83.102 З.П.103 1,28.10*
17500 2,8.10“* 2,25.10 4 7,7 1,4.102
18500 1,23.10’5 1,25.10’3 5,98.10'* 1,3.10
16000 7,09.10“* 3,87.102 8 1Д5.102
16000 9,1 3,55.102 4,01.104 3,75.105
15700 41 1,69.103 2,1.105 2,16.107
3430 6,9.105 1,16.10° 1,99.10° 2,29.10°
5000 1,93 6,73 35.67 Т]
№ № Вид резк- ими rctb 5 S Уравнения реакций ^ol
1 гете- 2С + О2=2СО 0,9.107
2 ро С + О2=СО2 0,9.106
3 ген- С + СО2=2СО 0,9.10е
4 ные С + 2Н2-СН4 0,136.10°
5 С + Н2О = СО + Н2 0,344.10°
6 гомо- 2СО + О2 =2СО2 1014
1 7 фаз- CH4+202=CQi+2H20 0,111.ю'4
8 ные 2Н2+О2=2Н2О 0,111.1013
9 Термическое разложе- ние ле- учих 1000
В свою очередь, для энергии активации реакции С + О2 - СО2 предлагаются
значения, приведенные в табл. 5.5.
Табл и ца5 5
Энергия активации реакции С + О2 - СО2
Топливо Е, кДж/^моль Топливо Е, кДж/^оль
Древесный уголь 75-84 Каменный уголь ^115-135)
Торф 85 Тощий уголь и антрацит 140-146
Бурый уголь 90-105 Электродный уголь 167
Величина Ks численно выражается массой материала частицы, прореагиро-
вавшего на единице поверхности частицы в единицу времени, т.е. это скорость
гетерогенной химической реакции.
Как уже отмечалось, на результирующу ю скорость реакции оказывают влия-
ние и реакции, происходящие на внутренних поверхностях пор и трещин, имею-
щихся в обьеме частицы. Процессы внутреннего реагирования существенно свя-
заны с протеканием газового реагента в поры и каналы и поэтому они лимитиру-
ются диффузионными процессами внутри пор. Этим процессам уделяется опре-
деленное внимание [76, 114, 190].
282
где Ck масса соответствующего компоне!гга в единице объема в [кг/м3]; rh -
скорости реакций, для гетерогенных реакций 1-5 [rj= кг/м2с, для гомогенных
реакций 7 - 9 [rft]= кг/м3с. ft “ L?
Для определения конкретных значений коэффициентов koi и Et имеются
многочисленные, часто противоречивые, данные. В частности, для определения
koi рекомендуется следующая формула [32, 110]
\gkoi=aEi+bi
где константы а и & по результатам различных авторов могут принимать сле-
дующие значения а = 0,2 10-4; & = 2; а = 0,208 10 4, & = 1; а = 0,237 10 4,
Ъ = 0,398. Что касается энергии активации, то в [114] рекомендуется на основа-
нии анализа многочисленных опытных данных принять следующие соотношения
Еу!Е2=1,1; £,3/.Е2=2$; E5/U2=16r. - ।
( ,$J)6 < $
В [32] предлагаются конкретные значения koi и Et, которые приводятся в
табл. 5.4. В этой же таблице приведены значения параметров для определения
кинетической скорости термического разложения летучих и численные значения
констант скоростей реакций для характерных значений температуры. Из таблицы
видно, что скорости газофазных реакций достаточно велики. Это позволяет счи-
тать, что газовая смесь находится в химическом равновесии. Т.е. гомогенные ре-
акции можно считать равновесными. Кинетику гетерогенных реакций необходи-
мо учитывать. При этом следует отметить большой разброс в значениях koi и Et,
и, следовательно, в значениях констант скоростей реакций, предлагаемых различ-
281
_ _ то - 2то - . т
г-°^°^о со ~^; сОг -«У
тг _ тпс _ , тс
Г.с =—-Гсо+-Г~гсог +--гсн4 .
тСо тсо2 тсн4
_ ти _ ^тн =
Г-"^+^~оГ™ + ^СИ‘-
Перейдем к определению суммарного теплового эффекта гетерогенных хими-
ческих реакций и термического разложения летучих веществ Этот тепловой эф-
фект будем относить к единице площади поверхности частицы.
Составим следующие балансовые соотношения.
1) Суммарная энтальпия веществ, вступивших в реакцию, определится соот-
ношением
Д = z ств (Tw )г ств +1О2 (т)(г1(?2 + г2Ог)+ IHi (Тг )г4н2 + IHiO (тг )г5НгО +1 лтв (Tw )С л ,
где /лтв и /ств - энтальпия твердого неразложившегося летучего вещества и
твердого углерода.
2) Суммарная энтальпия газообразных продуктов сгорания и термического
разложения летучих:
Ig = 1<Х> (Ты ) (^СО + Гзсо + ^5СО ) + ^СО2 НсО2 + Л?Н4 )Г4СН4 +
+ Ан2С^)г5И2 +Gji (aCO^Co(^w)+ аСо2Гсо2М+ (553)
+ ан2 ^Н2 ) + асн4 Л?Н4 С^Ц>) + а Н2О1н2О (К )
Общий тепловой эффект определится соотношением
дв«(1,=а1-л)^. (5-54)
В некоторых случаях представляется полезным в явном виде выделить тепло-
вой эффект термического разложения летучих. Тогда получим, выделяя явно из
(5.53), (5.54) слагаемые, пропорциональные скорости термического разложения
летучих Сгл:
общ — I отр — I под + AZ л >
где I отр, I прд, суммарные энтальпии реагентов и продуктов химических реак-
ций (определяются формулами (5.52), (5.53) при G, = 0);
AZ л _ суммарный тепловой эффект термического разложения летучих ве-
ществ, который определяется равенством
AZ л С л (асо1со + аСОг 1С(?2 + аНг 1Нг + аН2О1 НгО + асн^ 1СН*) - С л Z лтв
Значения энтальпий, входящих в (5.55), определяются по температуре
частицы Tw .
284
Множитель перед экспонентой /го(т) и энергия активации Е определяются в
результате обработки экспериментальных данных [32, 50, 76, 190]. В настоящее
время накоплены обширные данные по этим параметрам для различных условий
эксперимента.
Как уже отмечалось в п.5.1.2, на величину эффективной скорости гетероген-
ной реакции оказывает влияние как скорость подвода и отвода массы газовых
реагентов к поверхности часгиц, так и кинетическая скорость реакции на поверх-
ности. Скорость подвода и отвода массы определяется коэффициентом массопе-
реноса р.
5.4.3 Газовыделение с поверхности частиц.
Тепловой эффект горения частиц угля
Используя соотношения (5.51) и стехиометрические уравнения реакций 1 - 8,
можно получить соотношения для определения rik — скорости выделения-
поглощения k -того компонента в i -той реакции на единице поверхности частиц.
Выпишем эти соотношения
О гю2 --ri> rico -;
_ 44
2) Г2О2 ~~г2’ г2СО2 ^32^’
3) гзсо, гзсоТ7гз» (5 52)
2 44
.. 16
Г4/72 -“г4, г4СЯ4
_ 28 _ 2
5) г5Н2О ~ ~г5 ’ r5CO ~ Jg Г5 ’ Г$н2 ~ Jg Г5 •
Для определения массы газа, выделившегося с поверхности частиц, нужно
просуммировать массы различных газов, выделившихся в результате каждой ге-
терогенной реакции, и добавить массу газа, образовавшегося при термическом
разложении летучих веществ. Обозначая долю fe-того компонента в газооб-
разных продуктах разложения летучих, а через Сп - скорость этого разложения
газовых компонентов с единицы поверхности частицы, получим
гО2 =г102+г2о2+а02Сп,
rCO ~ rLCO + ГЗСО + Г5СО + аСО^п >
ГСО2 ~г2СО2 + ГЗСО2 +аСО2^п’
^Н2 ~г4Н2+ г5Н2 + аН2Сп ’
Гн2О ~ г5Н2О + аН2ОСп »
^СН4 =г5 +аСН4Сп-
Представляет интерес также выписать соотношения для расчета скорости вы-
деления химического элемента:
283
24 12 12 12 12
32’ Г^~Г2 Гзс~Гз 44’ г4с-г4-4, r5c-r5-ig.
Суммарная скорость выгорания углерода определится равенством
<24 12 12 12 12 А
Гс \32Г1 +32Г2 + 44 ГЗ + 4 + 18 5/
(5 55)
При вычислении rt необходимо использовать эффективную константу скоро-
сти реакции ke{, определяемую равенством (5.10) и учитывающую влияние кине-
тических и диффузионных процессов и внутреннего реагирования в порах. Кине-
тические константы скоростей реакций определятся соотношением Аррениуса с
параметрами, приведенными в таблице 5z3C V
Перепишем (5.55), выделяя явные зависимости от концентраций газовых ком-
понентов и обозначив скорость поверхностной гетерогенной реакции через Ks :
<24 12 А 12 12 12
Ks +^kefz Г°2 +T±kef*Cco*+ +^kef^°-
286
5.4.4 Изменение плотности частиц
В условиях сгорания угольных частиц выгорание углерода и выделение лету-
чих веществ приводят к уменьшению массы частицы. Однако, в отличие от рас-
смотренных в §5.3 процессов испарения, уменьшение массы частицы связано не
столько с изменением размеров частицы, сколько с уменьшением ее плотности.
Поскольку параметры силового и теплового взаимодействий несущего газа и час-
тиц существенным образом зависят от плотности материала частиц, то необходи-
мо получить уравнение, определяющее изменение плотности частиц. Для вывода
этого уравнения, так же как и при выводе в § 5.3.1 уравнения для радиуса частиц,
необходимо рассмотреть уравнение, описывающее изменение массы частицы.
Запишем это уравнение в виде:
d/nS= g
dt ^бок-^s,
где Ks - скорость гетерогенной реакции, отнесенная к единице поверхности частицы
Учитывая, что ms - ps , а 8б0, - ndg , перепишем это уравнение в виде:
dps Ks
dt ds ’
„ d д т7 д тг д
Принимая во внимание, что — = — + Vnr — + Vn„ —, получим окончатель-
dt dt рх дх ру ду
ное уравнение для изменения плотности частицы
gPs v dPs.V dps - *
dt рх дх ру ду dg'
Рассмотрим уравнение неразрывности для облака частиц (5.15). Локальная
скорость изменения массы частиц в единице объема вследствие гетерогенных хи-
мических реакций, входящая в это уравнение, может быть определена соотноше-
нием rn-S6oK Kg.-N , где в соответствии с §5.2.2 Np = -% - количество
^8 Рр
частиц в единице объема. Учитывая это замечание, уравнение, определяющее из-
менение плотности материала частицы в процессе выгорания, можно записать в
дивергентном виде
дРрРз + дррУрхРз + dpp^pyPs _ _у Кэ р
dt + дх ду ds р
Для использования этого уравнения необходимо определить скорость горения
частиц угля. При гетерогенном реагировании углерод кокса принимает участие в
реакциях 1 — 5. В соответствии с уравнениями этих реакций скорость реагирова-
ния угля связана со скоростью реагирования газовой компоненты O2,CO2,/f2O и
Н2 следующими соотношениями:
285
Для всех случаев истечения в дозвуковых струйных течениях давление в струе
постоянно и равно давлению в окружающем пространстве. Это существенно об-
легчает определение параметров в струе.
В свя зи с постоянсгвом давления в струе на оси начального участка струи
скорость потока не изменяется и равна скорости вдуваемого газа и в начальном
- Ф др
сечении. Учитывая, что для изобарической струи — = —- - V для описания те-
чения в струе можно воспользоваться упрощенными уравнениями газовой дина-
мики, которые в этом случае по форме совпадают с уравнениями пограничного
слоя. Это существенно облегчает определение параметров в струе.
6.1 Характеристики течения в невязких струях
На начальном участке струи имеется явно выраженная область течения, пара-
метры которого равны параметрам на срезе сопла. При дозвуковом истечении
струи вследствие передачи возмущений вверх по потоку течение в канале пере-
страивается так, чтобы давление на выходе из канала совпадало с давлением в
окружающем пространстве. В этом случае в приближении невязкого газа пара-
метры в струе будут сохраняться дикими же, как и на cpeie сопла. Граница осе-
симметричной струи будет просто цилиндром, а плоская струя будет ограничена
двумя плоскостями контактного разрыва. Определение параметров этих течений в
приближении невязкого газа не представляет практического интереса вследствие
преобладающего влияния эффектов вязкости на формирование параметров и
структуры изобарической струи.
При сверхзвуковом истечении давление на срезе сопла будет определено, как
это описано в §1.3.2, формой сопла, а именно отношением площадей выходного и
критического сечений сопла и параметрами торможения в ресивере, откуда газ
вытекает. В частном случае при использовании специально спрофилированного
сопла давление на срезе сопла может совпадать с давлением в окружающем про-
странстве. Этот случай истечения называется расчетным. В общем случае давле-
ние на срезе сопла и давление в окружающем пространстве не совпадают. Ести
давление в струе больше, чем давление в окружающем пространстве, то струя
называется недорасширенной, если меньше - перерасширенной Оба эти режима
истечения являются нерасчетными. Форма границы струи, которая, как уже отме-
чалось, является поверхностью контактного разрыва, устанавливается исходя из
условия, что на поверхности контактного разрыва давление равно давлению в ок-
ружающем пространстве. Вследствие этого на кромке сопла при истечении недо-
расширенной струи формируется веер волн разрежения, а при истечении пере-
расширенной струи - косые скачки. При переходе через эти волны разрежения
или скачки уплотнения давление становится равным давлению в окружающем
пространстве. Для нерасчетных сверхзвуковых струй область невозмущенного
течения, параметры в которой определяются формой сопла, ограничена скачками
уплотнения или волнами разрежения в зависимости от соотношения давления на
срезе сопла и в окружающем пространстве. Для таких струй на некотором доста-
точно протяженном участке картина течения определяется не столько эффектами
вязкости, сколько взаимодействием ударных волн и волн разрежения между со-
бой и с границей струи. Поэтому параметры таких струй могут быть определены
288
Глава 6
СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
К струйным течениям относятся течения, связанные с вытеканием газа из со
пла, трубы или канала в покоящийся (затопленное пространство) или движущий
ся с некоторой скоростью газ. Говорят, что струя вытекает в спутный поток, если
направление скорости газа совпадает с направлением струи. При вдуве струи газа
в затопленное пространство или в
спутный поток по мере продвиже-
ния от среза сопла вдоль струи про-
исходит смена режимов течения. В
соответствии с этим при описании
структуры струи выделяют три ха-
рактерных участка: начальный, пе-
реходный и основной (рис. 6.1).
В начальном участке струи име-
ется явно выраженная область тече-
ния, параметры которой равны па-
раметрам на срезе сопла. Для дозву-
ковых струй и сверхзвуковых струй,
в которых давление равно давлению
Рис.6.1 Структура вязкий струи [1]
в окружающем пространстве (рас-
четные струи), эта область ограничивается слоями смешения. Для плоской струи
имеем два слоя смешения — снизу и сверху. Для осесимметричной струи в попе-
речном сечении струи слой смешения имеет кольцеобразную форму. В слоях
смешения силы инерции и силы вязкости соизмеримы. В соответствии с оценка-
ми, приведенными в главе 4, толщина этих слоев для ламинарных течений опре-
деляется величиной--. При больших числах Рейнольдса это тонкие слои, и
VRe
их можно рассматривать как поверхности контактного разрыва. При переходе
через поверхности контактного (тангенциального) разрыва терпят скачок значе-
ния касательных к поверхности разрыва составляющих вектора скорости, плотно-
сти, температуры, концентрации компонентов для многокомпонентной смеси га-
зов. Непрерывными при переходе через тангенциальный разрыв остаются давле-
ние и угол наклона вектора скорости.
Начальный участок струи заканчивается в том месте, где расширяющие слои
смешения смыкаются. На переходном участке происходит слияние слоев смеше-
ния. Часто используют упрощенный подход и считают, что длина переходного
участка равна нулю. На основном участке на некотором расстоянии от места
встречи слоев смешения течение во вдуваемом потоке газа (в струе) становится
таким же, как и течение из источника бесконечно малой толщины (в осесиммет-
ричном случае источником служит точка, в плоскопараллельном - прямая линия).
287
из заданного отношения — можно определить коэффициент скорости X. на
Рс
границе струи после поворота потока:
или
у-1 VPcJ I Y + 1 )
Атмосфера и=0. и=0
Рис. 6.2 Структура недорасширенной
струи [125]
Зная и и используя полученные в §4.1.3 соотношения (4.34), (4.35),
связывающие параметры потока при обтекании выпуклого угла, можем опреде-
лить угол б наклона границы струи на кромке сопла.
При обтекании кромки сопла образуется веер волн разрежения, который рас-
пространяется внутри струи и приводит к изменению ее параметров (рис.6.2). По-
сле пересечения волн разрежения давле-
ние за ними становится меньше давления
в окружающей среде. Это приводит к то-
му, что при падении на границу струи, на
которой давление должно оставаться по-
стоянным и быть равным ра, волна раз-
режения отражается волной сжатия, ко-
торая компенсирует понижение давле-
ния. Физически это достигается при об-
текании вогнутой границы струи. Волны
сжатия распространяются внутри струи и
приводят к дальнейшему изменению ее параметров. Попадая на противополож-
ную границу струи, волны сжатия отражаются в виде волн разрежения. Это также
обуславливается тем, что давление на поверхности контактного разрыва должно
быть постоянно. Под влиянием волн сжатия граница струи изгибается вверх, и в
струе образуется течение, аналогичное течению около выпуклой поверхности.
Далее картина повторяется: волна разрежения, попадая на границу струи, приво-
дит к ее отклонению к оси струи, образуются волны сжатия и т.д.
В результате такого волнового характера течения граница струи имеет перио-
дически бочкообразный характер. Структура течения в струе определяется взаи-
модействием волн разрежения, волн сжатия между собой и с поверхностью кон-
тактного разрыва.
Перерасширенная струя. В этом случае давление в струе на срезе сопла
меньше давления в окружающем пространстве, то есть нерасчетносгь больше
290
и при лижении невязкого газа. При дальнейшем продвижении вдоль струи от сре-
за сопла эффекты вязкости начинают играть такую же роль, как и для дозвуковых
струй, приводя к развитию слоев смешения и изменению профиля скорости в
струе.
Для количественного определения формы струи и изменения параметров в
сверхзвуковых нерасчетных струях в приближении невязкого газа необходимо
решать уравнения Эйлера. Решение этих уравнений определяется граничными
условиями. Наиболее просто эти условия формулируются на границе невязкой
струи, истекающей в затопленное пространство. В этом случае давление на гра-
нице струи равно заданному давлению в окружающем пространстве. Исходя из
отношения этого давления к давлению на срезе сопла, модуль скорости и плот-
ность гаи определяются по формулам изоэнтропического течения с использова-
нием газодинамических функций (1.28). Форма границы струи определяется со-
вместно с численным решением уравнений газовой динамики. При расчете невяз-
кого истечения струи в спутный поток во многих случаях целесообразно прово-
дить расчет с выделением контактной поверхности, разделяющей течение газов в
струе и спутном потоке. Особенно это относится к случаю различных теплофизи-
ческих и энергетических характеристик газов в струе и в спутном потоке. При
таком подходе на контактной поверхности ставятся граничные условия, выра-
жающие равенство давлений и наклонов векторов скорости по обеим сторонам
контактной поверхности. Форма контактной поверхности, так же как и в случае
истечения струи в затопленное пространство, определяется совместно с числен-
ным решением уравнений газовой динамики Особенности численного решения
задач об истечении нерасчетных сверхзвуковые струй и примеры решенных задач
описаны в [14,40, 41] и др.
При удалении от среза сопла на расстояние, зависящее от степени нерасчетно-
сти струи, толщина слоя смешения становится соизмеримой с поперечными раз-
мерами струи, и характер течения в струе ределяется не только волновыми эф-
фектами, но и эффектами вязкости и процессами турбулентного переноса. Для
расчета таких струй используются упрощенные уравнения Навье-Стокса. Эффек-
тивные методы их решения применительно к истечению вязких нерасчетных
струй в спутном сверхзвуковом потоке рассматриваются в [27, 28, 29].
Для качественного описания особенностей течения в сверзвуковых нерасчет-
ных струях рассмотрим два характерных режима течения. Эти режимы течения
характеризуются нерасчетностью струи, которая определяется как отношение
давлений п = —, где ра и рс - давления в окружающем пространстве и в струе
Рс
на срезе сопла.
Недорасширенная струя. При истечении недорасширенной струи, как уже
отмечалось, давление в струе на срезе сопла рс больше давления в окружающем
пространстве, то есть нерасчетность п меньше единицы. В то же время на грани-
це струи, которая является поверхностью разрыва, давление равно ра Вследст-
вие этого на кромке сопла граница струи отклоняется на некоторый угол б по
отношению к кромке сопла, и струя расширяется. Считая, что параметры струи —
давление, коэффициент скорости или число Маха на срезе сопла известны, исходя
289
нений течения невязкого газа [40]. Однако в некоторых случаях возникает необ-
ходимость в оперативном определении границы струи. Для этого удобно исполь-
зовать различные приближенные методы. В частности, в [180] предложено форму
недорасширенной струи аппроксимировать дугой эллипса
V а
где х™-5.2
M;+l a Xmax
л= (rmax -1)-------- =---------nW, К = 1.3, 0) = -0.45 при —<20 и
Ятах^-Ч^ах -1) YCOS2p П
К-2 со = —0.43 при — >20, п = — , при этом: г max - радиус максимального
П Рс
сечения струи, Хшах - расстояние до этого сечения от среза сопла б - угол от-
клонения границы струи на кромке сопла, Р — угол полуконусности сопла, чертой
сверху помечены линейные размеры, отнесенные к радиусу среза сопла.
Эта формула рекомендована для использования при следующих значениях
1 3
определяющих параметров: у = 1.34-1.67, Мс= 1-е- 4.85, —- = 1-5-10 . В [17]
даны обобщения этой формулы для нерасчетности — > 103, вплоть до — = 106, а
п п
также расчетные формулы для определения границы струи при — < 10 .
п
Течения в сверхзвуковых струях при нерегулярном взаимодействии
скачков уплотнения. При достаточно больших нерасчетностях волны сжатия,
образованные на границе струи, могут иметь такую интенсивность, что при их
взаимодействии на оси сгруи имеет место нерегулярное взаимодействие. При ре-
гулярном взаимодействии результирующие скачки уплотнения наклонены под
некоторым углом к оси струи, и за ними течение остается сверхзвуковым
(рис. 6.3). При нерегулярном взаимодействии образуется мостообразный скачок,
близкий к прямому, и косой скачок (рис. 6.7г в § 6.3.4). В точке, в которой пере-
секаются все три скачка - падающий, отраженный и мостообразный, образуется
поверхность контактного разрыва. За прямым скачком течение дозвуковое и, сле-
довательно, контактный разрыв отделяет дозвуковое течение от сверхзвукового в
основной части струи. Более подробно этот вопрос рассмотрен в § 6.3.4.
Некоторые аспекты численного решения задач о течении в сверхзвуко-
вых струях. Течение в стационарной сверхзвуковой невязкой струе описывается
уравнениями (4.1) - (4.4), в которых опускается производная по времени. В силу
того, что как уже отмечалось в §4.1.3, возмущения, вносимые в поток, не распро-
страняются вверх по потоку, эти уравнения в математическом отношении имеют
гиперболический тип. Их решения носят эволюционный характер, при этом про-
дольная координата, проекция вектора скорости на которую больше скорости
292
единицы. При вытекании струи на
уплотнения, в которых давление
повышается до давления в окру-
жающем пространстве. Граница
струи отклоняется вовнутрь, попе-
речное сечение струи сужается
(рис. 6.3). Угол наклона скачка к
границе струи в кромке сопла оп-
ределяется по формулам приведе-
ния в §1.2.3. По заданному отноше-
кромке сопла образуются косые скачки
Рис. 6.3 Структура перерасширснной струи
нию давления ~~ > 1 и числу Маха
Мс струи по (1.68) находим синус угла на-
клона ударной волны к кромке сопла:
sin2
Рс
Y + 1 1
2у М2 ’
Зная угол скачка по соотношению (1.70), находим угол отклонения потока в
скачке, который и является углом отклонения границы струи.
После пересечения скачков уплотнения в приосевой части струи давление за
ними становится больше давления в окружающей среде. В связи с этим при попа-
дании скачков уплотнения на противоположную границу струи, они отражаются
волнами разрежения, в которых давление понижается до давления ра, и граница
струи отклоняется вверх. Угол поворота струи в месте падения скачка определя-
ется отношением давления за скачком к давлению в окружающем пространстве.
Далее продолжается процесс взаимодействия волн разрежения между собой и
отражения их от границы струи в виде волн сжатия. В результате ттого течение в
перерасширенной струе становится аналогичным течению в недорасширенной
струе. Характерным отличием этих течениТ' является только очередность повто-
рения сужений и расширений границы струи. Течение в недорасширенной струе
начинается с расширения, затем чередуются сужения и расширения. Течение в
перерасширенной струе начинается с сужения, затем чередуются расширения и
сужения.
Волновая структура осесимметричной сверхзвуковой струи несколько слож-
нее из-за конических пересечений ударных волн. Тем не менее, если нерасчет-
ность струи близка к единице, то осесимметричная струя все же будет иметь поч-
ти периодическую структуру. Экспериментально установлено, что длина волны
L почти периодической структуры осесимметричной сверхзвуковой струи опре-
деляется формулой
L = 0,89<7
1Рос -1,9Ра
' Ра
где d - диаметр сопла, р0 — давление торможения в струе
Для определения границы и параметров поля потока в нерасчетных сверхзву-
ковых струях используют численные методы конечно-разностного решения урав-
291
отсутствием характерного линейного размера, эти течения, как и течения в погра-
ничном слое на пластине, являются автомодельными и могут быть описаны сис-
темой обыкновенных дифференциальных уравнении. Решение этих уравнений
позволяет получить следующую зависимость для определения профиля скорости
в слое смешения двух потоков [1,9, 100, 141]
^-=/(п)=(1-чдаЛ (6 1)
и6-и0
где безразмерная ордината г] отсчитывается от наружной границы струи
у-Уо У-Уо
П Ь Уъ-Уо'
~ скорости газа во внешнем потоке и в струе на срезе сопла, — коор-
динаты условных границ слоя смешения, b = z/§ — у о Здесь и далее индексы 8,0
и т относятся к параметрам на границе струи, на срезе сопла и на оси струи со-
ответственно. Напомним, что на начальном участке параметры на оси струи рав-
ны параметрам на срезе сопла. При истечении в затопленное пространство имеем
и6 =0. Соотношение (6 1) было получено для несжимаемой жидкости при сме-
шении потоков с одинаковой плотностью. Экспериментально установлено, что
универсальность профилей скорости не нарушается при отношении плотностей
потоков г = —, лежащих в диапазоне 0,25 < г < 4. При изменении г в этом диа-
Ро
пазоне профили температуры при отсутствии тепловыделения в слое смешения
тоже универсальны
Т-Т°
т6-т9
Т-Т. ,
или----— = 1 - Т] .
т0-т6
(6.2)
Эта зависимость хорошо подтверждается экспериментальными данными
[141]. В поперечном сечении основного участка справедлива следующая зависи-
мость между температурой и скоростью
Г-Го fu-u0^
^8 “ % IUS “ и0 J
(6.3)
где Ргт - “турбулентное” число Прандтля.
Из эксперимента [141] следует, что при г = 0.03 = 300 для осесимметричных
струй можно принять Ргг = 0.8 , для плоских струй Ргг = 0.5. Согласно экспери-
ментальным данным зависимости (6.1), (6.2), (6.3) справедливы и для струй с
большой начальной скоростью истечения, в том числе и сверхзвуковой. Однако, в
случае сверхзвуковой струи вместо статической температуры в эти зависимости
следует подставлять температуру торможения. Как показано в § 4.3.1, в случае
многокомпонентных химически реагирующих смесей можно пользоваться таки-
ми же соотношениями, используя вместо температуры торможения полную эн-
294
звука, играет такую же роль, как и время в нестационарных задачах. Поэтому для
решения уравнении стационарной сверхзвуковой газовой динамики могут приме-
няться пошаговые маршевые методы. При этом наблюдается некоторая аналогия
между методами решения одномерных нестационарных и двумерных стационар-
ных задач. Уравнения записывают^ в дивергентном виде (4 5)
дх ду
В свою очередь, для газодинамических комплексов А, F и W, исходя из
уравнений (2.1) и (4.1) - (4.5), можно записать
А = (ргДрИ,2 + рХрК.уД рГЛ.рГ,Х»|,
F = ^„.pv.v^pv; + p.pV^pV^X,},
___ [ pV _
^=j-co—^- + m,PA +ЛКтх,рУ +AKm^,O,Wk
где co = O для плоской струи и со = 1 для осесимметричной.
Для конечно-разностной аппроксимации уравнений используются соотноше-
ния типа (4.37). При найденных при помощи этих конечноразностных соотноше-
ний газодинамических комплексах А параметры газа определяются по соотно-
шениям типа (1.106). Применение дивергентной формы записи уравнений и ко-
нечно-разностных схем сквозного счета позволяет получить численные решения
при наличии волн разрежения и скачков уплотнения в поле потока, что характер-
но для нерасчетных сверхзвуковых струй ([14, 40, 41] и др.).
6.2 Соотношения для определения параметров в
изобарических вязких струях
При истечении вязкой струи на ее начальном участке формируются слои сме-
шения струи с газом в окружающем пространстве. Вне этих слоев влияние вязко-
сти незначительно, и параметры в струе равны параметрам на срезе сопла. На
достаточном удалении от сопла слои смешения занимают всю область струи, и
развитие струи определяется силами инерции и вязкости независимо от структу-
ры начального и переходного участков струи. Для начального и основного участ-
ков специфичным является отсутствие характерного линейного размера. Это свя-
зано с тем, что на начальном участке плоской струи слои смешения развиваются
так же, как и слой смешения двух спутных безграничных потоков, а течение в
основном участке идентично истечению из точечного источника[100, 188].
6.2.1 Параметры основного участка: максимальная скорость, ширина струи,
профиль скорости в струе.
Для определения параметров в начальном и основном участках струи несжи-
маемой, дозвуковой сжимаемой и сверхзвуковой изобарической струй могут быть
использованы аналитические соотношения. Это обусловлено тем, что в связи с
293
для осесимметричной струи
<^ = *1 A7^ = = О-86уц&о
и0 Т" х ’ ДТ0 ДХ0 х
(64’)
Сопоставляя эги соотношения, получаем зависимость, справедливую как для
плоской, так и для осесимметричной струй:
AZk = = 0.86 —,
ДТ0 ДХ0 ио
(6.5)
где ДТО т =То,™-?б, ДХО ОТ = ХОт-Х6, индексы 0 т и 5 как и раннее отно-
сятся к параметрам на срезе сопла, на оси струи и в окружающем пространстве.
Для коэффициентов и уп могут быть приняты следующие значения:
Рц =3.8, уи=12.4.
Используя формулы (6.4), (6.5), полагая —— = 1,
и0
А7;.;
----— = 1, для оп-
ДХ0
ределения координат начала основного участка для скорости хосни, температуры
и концентрации примеси х0СнТ=х0СнХ получим: xOCKU=14.4b0 для плоской
струи, хосни = 12.4Ь0 для осесимметричной струи, х^у = хоснХ =0.86хосн и.
Приведенные соотношения справедливы при постоянной плотности жидкости
и равномерных профилях скорости, температуры и концентрации примеси в на-
чальном сечении струи. Для течения неизотермических струй сжимаемого газа
характерно влияние температуры, концентрации компонент газа на его плотность
и, как следствие, на распределение скорости в струе. Это усл«зжняет зависимость
параметров струи от условий истечения. Поэтому для исследования истечения
сжимаемых высокотемпературных струй целесообразно применять методы чис-
ленного конечно-разностного решения упрощенных уравнений, описывающих
течение вязкого газа.
6.2.2 Численное моделирование течения
в высокотемпературной турбулентной струе1
Картина течения в струе, истекающей в
затопленное пространство, существенным
образом определяется эффектами молеку-
лярной и турбулентной вязкости. В резуль-
тате перемешивания горячей струи с окру-
жающей покоящейся средой происходит
торможение и охлаждение струи. Оценить
изменение параметров в сверхзвуковой
турбулентной изобарической осесиммет-
ричной затопленной струе в зависимости от
расстояния от среза сопла можно в рамках
упрощенной модели, согласно которой те-
Хо/га
Рис. 6.4 Зависимость начального уча-
стка осесимметричной затопленной
струи от числа Маха на срезе сопла
Результаты, представленные на рис 6.4 - 6.6, получены Белоцерковцем И.С.
296
тальпию. Распределение концентраций компонент подчиняется такой же зависи-
мости, что и распределение полной энтальпии
где SmT , в турбулентной струе Szny = Ргт . Справедливость этого равен-
ства подтверждена многочисленными экспериментальными данными.
Приведенные соотношения в какой-то мере следуют из аналогии Рейнольдса
между тепло- и массопереносом, описанной в §4.3.1 для задач типа пограничного
слоя. Они позволяют определить распределение параметров в поперечных сече-
ниях основного участка струй при условии, если известны параметры на оси
струи и форма струи.
Исходя из предположения, что скорость нарастания толщины слоя смешения
пропорционалыи пульсационной составляющей и' скорости турбулентной
струи, и используя доде определения и' концепцию пути турбулентного переме-
шивания Прандтля для автомодельных участков турбулентной струи, можно по-
лучить следующие соотношения [1, 141]:
где const = с
|цд ~цо|
Ы+|“оГ
— = const, или 6 = const-X,
дх
Значение параметра с определяется экспериментально по результатам иссле-
дования струи, распространяющейся в неподвижном пространстве (us = О), когда
имеет место равенство Ъ - сх. Из обработки результатов экспериментальных ис-
следований [1, 141] следует, что эмпирический коэффициент с, характеризующий
расширение турбулентной струи, в случае несжимаемой жидкости и равномерно-
го поля скорости в начальном сечении и = и0 принимает значения: с = 0,27 для
слоя смешения начального участка, с = 0,22 для основного участка струи.
Для основного участка струи принимают 6 = 0,22%, где % - расстояние от
полюса, в котором пересекаются границы струи. В общем случае % не равно рас-
стоянию s от среза сопла % = s + хо.
Закономерность изменения скорости, температуры и концентрации компонент
на оси турбулентной струи можно определить, используя условие сохранения ко-
личества движения, теплосодержания и массы компонент. Для струи несжимае-
мой жидкости в [1, 141] приводятся следующие формулы для определения скоро-
сти и температуры на оси:
для плоской струи
— = Р J\ ^- = ^^ = 0.86р Ж
и0 Мх ДТ0 ДХ0 Р1х
(6.4)
295
рис.6.6. По поведению расчетных кривых и сгущению изолиний можно судить о
степени влияния турбулентного перемешивания на скорость и температуру вяз-
кой турбулентной С1руи на основном участке. Видно характерное для автомо-
дельных течений поведение параметров на основном участке и в слоях смешения
на начальном участке струи - на этих участках линии постоянной скорости прак-
тически прямые.
6.3 До- (сверх-) звуковые струи в спутном сверх- (до-) звуковом потоке
Наиболее исследованными задачами о расчете струйных вязких течений яв-
ляются задачи о вдуве сверхзвуковых струй в спутный сверхзвуковой поток Для
исследования таких течений получила широкое распространение математическая
модель, основанная на упрощенных уравнениях Навье-Стокса. Упрощения дости-
гаются исключением из этих уравнений вторых производных по продольной ко-
ординате при сохранении слагаемых, учитывающих изменение давления в попе-
речных сечениях струи. Решение таких уравнений для полностью сверхзвуковых
течений может быть получено маршевыми конечно-разностнымн методами [27,
28, 29]. Это во многом связано с тем, что рассматриваемые течения являются
полностью сверхзвуковыми, и в них практически отсутствует механизм распро-
странения возмущений вверх по потоку. При наличии в струе областей дозвуко-
вого течения использование маршевых методов решения упрощенных уравнений
становится проблематичным из-за распространения возмущений против направ-
ления потока. Поэтому разработаны различные приемы подавления «противопо-
токовых» возмущений, которые позволяют применять маршевые методы решения
упрощенных уравнений Навье Стокса даже при наличии локальных дозвуковых
зон [120а, 148]. Од ко, применение 'тих приемов усложняет решение задачи и
не позволяет исследовать течения, для которых механизм передачи возмущений
против потока является определяющим. В частности, к таким течениям относятся
течения, имеющие место при вдуве дозвуковых струй в спутный сверхзвуковой
поток. Для приближенного описания этих течений получили распространение
модели, основанные на численном решении уравнений ины пограничного слоя,
при получении которых в дополнение к перечисленным упрощениям считается,
что давление, изменяясь вдоль струи, остается постоянным в поперечных сечени-
ях струи. Для дозвуковых струй это упрощение достаточно обосновано. При вду-
ве струи в безграничный сверхзвуковой поток либо, если большая часть канала
или трубы занята спутным сверхзвуковым потоком, давление во внешнем потоке
определяется условиями взаимодействия этого потока с дозвуковой струей. В
свою очередь течение в дозвуковой струе определяется давлением в спутном по-
токе. В связи с этим решение задачи требует детального расчета взаимодействия
через давление вдуваемой струи с внешним сверхзвуковым потоком. В этих усло-
виях эффективной оказывается модель, использующая уравнения пограничного
слоя для описания течения во вдуваемой дозвуковой струе, и уравнения невязкого
течения - уравнения Эйлера для внешнего сверхзвукового потока, дополненные
соотношениями, описывающими вязко-невязкое взаимодействие и выт^чающими
из асимптотического сращивания решений дифференциальных уравнений. Эта же
модель оказывается достаточно эффективной и при описании вдува сверхзвуко-
вых струй в спутный дозвуковой поток в трубе или канале. Методология решения
таких задач развита в работах [16, 18, 19, 21, 148]. Этим задачам свойственна осо-
298
к ния в cipye описывается уравнениями типа пограничного слоя. Для турбулент-
ной вя жости vt используется однонараметрическая модель турбулентности [127]
в модификации [80], учитывающей влияние числа Маха на интенсивность смешения:
dvt dvt
Рис.6.5 - Распределение относи-
тельной скорости (а) и темпера-
туры (б) вдоль оси горячей зато-
пленной осесимметричной струи
гДе Po>PrV/_ эмпирические константы
(Ро=0,2; PrV( =0,5), функция f(M) опреде-
ляется выражением
{1 при М < 1,
1 кл
— при М > 1.
М
ты [129]. Представленные резуль-
таты соответствуют случаю изо-
энергетического течения (темпе-
ратура торможения в струе равна
статической температуре в окру-
жающей среде). Расчетная зави-
симость удовлетворительно со-
гласуется с экспериментальными
данными. Распределения скоро-
сти и статической температуры
вдоль оси горячей турбулентной
затопленной струи (7^=2000 К)
представлены на рис.6.5 (а) и (б)
соответственно Изолинии полей
относительной продольной ско-
рости и статической температуры
для горячей турбулентной затол-
ченной струи показаны на
Для удобства интегрирования уравнений по-
граничного слоя и расчета условной границы
струи вводится нормировка поперечной коор-
динаты. Алгоритмы решения этих уравнений
описаны в §4.3.2.
Влияние турбулентного перемешивания на
характеристики изобарической затопленной
осесимметричной струи газа иллюстрируют
рис.6.4 - 6.6. На этих рисунках линейные раз-
меры отнесены к радиусу среза сопла г0. На
рис.6.4 приведена расчетная зависимость длины
начального участка осесимметричной затоплен-
ной струи от числа Маха струи. Там ».е значка-
ми нанесены экспериментальные данные рабо-
-7424
0043
28.550 х ft
Рис.6.6 - Изолинии полей продольной скорости,
температуры и числа Маха горячей затопленной
осесимметричной струи при М,=2
297
ношение qv = (ри)р/(р«)€, где индексы v и е относятся к параметрам струи и не-
возмущенного сверхзвукового потока в плоскости сечения вдува. В связи с нали-
чием передачи возмущений вверх по потоку, свойственным дозвуковым течени-
ям, в практических задачах относительный расход зависит не только от условий в
ресивере, откуда i аз истекает, но и от условий взаимодействия дозвуковой струи
со спутным потоком. Поэтому эта величина подлежит определению при заданных
параметрах торможения вдуваемого газа и параметрах спутного сверхзвукового
потока. Однако, имея целью проиллюстрировать возможности сформулированной
методологии решения задач, вопросы определения qv, которые могут составить
предмет решения отдельной задачи, рассматривать не будем. К рассматриваему
классу течений относятся течение в дозвуковой струе, образованной в сверхзву-
ковом потоке в результате нерегулярного взаимодействия ударных волн (схема
(г)), и течение, возникающее при падении интенсивной ударной волны на сверх-
звуковую струю, распространяющуюся в сверхзвуковом потоке (схема (д)). При
нерегулярном взаимодействии ударных волн возникает слабо искривленный,
близкий к прямому, скачок уплотнения и поверхности контактного разрыва. Как
следует из соотношений, полученных в §1.2.1, при переходе через скачок течение
становится дозвуковым и, следовательно, в спутном сверхзвуковом потоке обра-
зуется дозвуковая струя. При падении скачка уплотнения на сверхзвуковую
струю, как показано на схеме (5), в сверхзвуковой струе может возникнуть пря-
мой скачок уплотнения, за которым течение становится дозвуковым, т.е. как и в
течении по схеме (г), в области, лежащей вниз по потоку от возникшего прямого
скачка, получаем дозвуковую струю, распространяющуюся в спутном сверхзву-
ковом потоке. В этой группе течений положение прямого скачка подлежит опре-
делению при решении задачи.
Все перечисленные задачи, представляя самостоятельный интерес, позволяют
проиллюстрировать основные особенности распространения дозвуковых струй в
спутном сверхзвуковом потоке.
6.3.2 Основные уравнения. Условия вязко-невязкого взаимодействия.
Алгоритм решения задачи о течении вязкой дозвуковой струи в
спутном сверхзвуковом потоке
Основные уравнения. Условия вязко-невязкого взаимодействия. Особен-
ностью рассматриваемых задач является необходимость сопряженного решения
уравнений пограничного слоя и уравнений Эйлера, так как в этих течениях вязко-
невязкое взаимодействие играет определяющую роль. Поэтому при постановке
задачи наряду с записью дифференциальных уравнений и соответствующих гра-
ничных условий необходимо сформулировать и условия вязко-невязкого взаимо-
действия. Общие принципы формулировки таких условий изложены в [21, 148]. В
качестве иллюстрации основных особенностей задачи остановимся на выводе
уравнений сопряжения для двумерных несимметричных течений. Течение в вяз-
кой зоне смешения и в дозвуковых струях будем описывать уравнениями типа
пограничного слоя (4.84) — (4.87). Решение этих уравнений должно удовлетворять
условиям сопряжения значений параметров струи и спутных сверхзвуковых потоков
и = иыЛх), lo=u2/2 + i = io6k(x) npnz/ = i/fe, й = 1,2,
300
бенность, связанная с переходом от до- к сверхзвуковому течению во вдуваемой
струе или спутном потоке. Это накладывает определенные особенности на фор-
мулировку и реализацию алгоритмов численного решения таких задач. В настоя-
щем параграфе описываются особенности постановки задачи и формулировки
алгоритмов применительно к расчету различных струйных и внутренних течений
и рассмотрены примеры их использования для решения конкретных задач, иллю-
стрирующих основные аспекты рассматриваемого вопроса.
6.3.1 Схемы течений
Возможные схемы течений, которые имеют место при взаимодействии до- (сверх-)
звуковых струй со спутным сверх- (до-) звуковым потоком приведены на рис.6.7.
Рис.6.7. Схемы течений при взаимодействии до- сверхзвуковой
струи со спутным сверх- дозвуковым потоком
На схеме (а) изображены картины симметричного и несимметричного тече-
ний за плоским торцом в сверхзвуковом спутном потоке при наличии дозвуково-
го вдува через проницаемую стенку донного среза. Схемы (б) и (в) иллюстри-
руют течения в ограниченном пространстве - канале или трубе: (б) - схема исте-
чения дозвуковой вдуваемой струи в спутный сверхзвуковой поток; (в) - схема
течения для задачи о взаимодействии сверхзвуковой вдуваемой струи с дозвуко-
вым спутным потоком. Отличительной особенностью этих задач является нали-
чие вязкой симметричной или несимметричной области течения, взаимодейст-
вующей со сверхзвуковыми потоками, которые описываются в приближении не-
вязкого газа. Параметры вязкого течения существенно зависят от волновой струк-
туры невязких сверхзвуковых потоков, изменение которой в свою очередь опре-
деляется механизмом взаимодействия волн с дозвуковой частью течения. При
всех численных расчетах, результаты которых обсуждаются ниже, параметры не-
вязких потоков и интенсивность вдува выбирались так, чтобы исключить образо-
вание рециркуляционных зон и областей дозвукового невязкого течения.
Во всех этих задачах одним из определяющих параметров является относи-
тельный удельный расход во вдуваемой дозвуковой струе, определяемый как от-
299
dQ=ll| — I _JL[J ц—I с учетом выписанных соотношений уравнение
Sy aj/lpr sj
(6.8) приводится к виду:
dp=_l_udp_SQ (69
dt y-1 i dx dy
Из уравнения количества движения (4.2) можно получить
ди _ v Эи 1 ф 1 dx
Р дх ~ Р и ду и dx и dy'
ди
где х = р—.
Sy
Используя полученные выражения для и —, после простых преобразо-
ваний уравнение неразрывности (6.7) можно записать в виде:
^=-—fi—1- («•'»)
( М2 J УР dx ду и pi и2 V ду ду)
В таком виде это уравнение было получено в [203]. В [148] аналогичное урав-
нение было записано в ортогональных криволинейных координатах для про-
странственных течений и использовано для формулировки алгоритмов определе-
ния давления в задачах типа пограничного слоя.
Проинтегрировав (6.10) по у в пределах от от нижней границы струи ух до
верхней границы у2, получим
ТРЙ(«в2-»“'«в1)+В^ + Л=0- (611)
где А, В имеют вид
. 1 f.5rwx dr“Ql, _ 1 К,
A=1--- ~2г--------u-—\dy,B = 1-ТТ2Г^’ (612)
Y Ju [ dy Sj/ MJ
У1 k J У1
где tgQk = V&k/u&k, y = yk(x) - уравнения ассимптотических границ вязкой об-
ласти.
Для исключения из (6.11) yktgQk рассмотрим внешний невязкий поток Здесь
произведем сращивание решений уравнений пограничного слоя и внешних невяз-
ких потоков, исходя из физических соображений. Невязкие потоки сверху и снизу
вязкой области обтекают некоторые эффективные тела, ограниченные поверхно-
стями вытеснения у = у*к(х). В тонком слое невязкого газа, ограниченном по-
верхностями y = yk(x) и у = ук(х), пренебрежем поперечным градиентом дав-
ления, т.е. будем считать, что течение невязкого газа в этом слое описывается
уравнениями невязкого пограничного слоя. Тогда можно получить уравнение,
302
где у Ук(х) условные границы вязкой области снизу (/г = 1) и сверху (k = 2),
индекс б относится к параметрам невязкого спутного потока. Для симметричной
вязкой области граничное условие на нижней границе записывается в виде:
v = ди/ду = di0/dy = О при у = уг = 0 .
В случае несимметричной “вязкой” области граничное условие для попереч-
ной составляющей скорости будет оговорено ниже. Начальные условия задаются
на срезе сопла при х = О
u(O,y)=Uo(y\ io(O,!/) = io.o(y)’ (6-6)
где U0(y) и io o(y) - заданные функции.
Выражения (6.6) позволяют учесть характер распределения параметров во
вдуваемой струе.
Распределение давления р(х) определяется из условия сопряжения с внеш-
ними “невязкими” потоками. Эти условия позволяют получить уравнения, связы-
вающие продольный градиент давления с изменением параметров в поперечных
сечениях струи. Назовем эти уравнения уравнениями вязко-невязкого взаимодей-
ствия. Для их вывода преобразуем уравнение неразрывности, исключая из него с
помощью уравнения количества движения и уравнения энергии производные от
и, р и I по продольной координате х.
Из уравнения неразрывности (4.1) следует
(6.7)
dt дх ду
d д д
где — = и— + v— - конвективный оператор, со = О для плоских течении,
dt дх ду
со = 1 - для осесимметричных, и, v - проекции вектора скорости оси Ох и Оу.
Исключим из этого уравнения dp/dtn ди/дх.
Дифференцируя уравнение состояния, которое для простоты изложения за-
пишем для совершенного газа, получим после очевидных преобразований
dp=_T_«^_ 1Л (68)
dt у-1 i dx i dt
др
где учтено, что в рассматриваемом приближении — = 0 и» следовательно,
— = и— Для определения— воспользуемся уравнением энергии (4.47). Пере-
dt dx dt
ходя в этом уравнении от энтальпии торможения к статической энтальпии, запи-
шем его в виде
di _ dp t dQ
dt dx dy ’
301
Итак, имеем систему дифференциальных уравнении (6.14) и (6 15) для опре-
деления неизвестных функций р(х), y*k(x). При этом коэффициенты уравнения
(6.14) существенным образом зависят от изменения параметров в зоне вязкого
течения. В свою очередь, эти параметры должны определяться из системы урав-
нений пограничною слоя Уравнения (6.15) являются результатом приближенно-
го решения уравнений Эйлера, описывающих течение в невязкой части потока.
Принципиальным для уравнений (6.14), (6.15), которые следует решать совместно
с уравнениями пограничного слоя и уравнениями Эйлера, является возможность
обращения величины А в ноль при некотором значении х. Это связано с перехо-
дом дозвукового осредненного по сечению течения в сверхзвуковое. Здесь на-
блюдается полная аналогия с рассмотренными в §1.3.1 уравнениями обращения
воздействия. Нетрудно показать (см. например, §7.1.3), что уравнения обращения
воздействий (1.77) могут быть получены из (6.14), если заменить подынтеграль-
ные выражения их средними значениями. Характерным для истечения дозвуко-
вых струп в спутный сверхзвуковой поток является то, что возможность обраще-
ния знаменателя А в ноль реализуется. При этом для того, чтобы были ограни-
ченными производные dpldx, необходимо, чтобы одновременно обращался в
ноль числитель этих уравнений (6.14). Это условие служит для определения не-
достающих данных в начальном сечении дозвуковой струи: давления, расхода,
геометрических характеристик и др. (некоторые конкретные ситуации рассмотре-
ны ниже). Причем сущность этого условия не зависит от способа представления
решения уравнений пограничного слоя и уравнений невязкого течения. Это по-
зволяет отделить вопросы построения алгоритмов и выбора расчетных соотноше-
ний для прохождения особой точки и выбора величины донного давления от во-
просов решения уравнений, описывающих течение в вязкой и невязкой областях.
Алгоритм решения задачи й течении вязкой дозвуковой струи в спутном
сверхзвуковом потоке. Рассмотрим для определенности двумерное течение, об-
разующееся при взаимодействии двух сверхзвуковых потоков с истекающей доз-
вуковой струей. Примем, что рассматриваемое течение описывается уравнениями
пограничного слоя, уравнениями вязко-невязкого взаимодействия (6.13), (6.14) и
уравнениями Эйлера или соотношениями Прандтля-Майера. Уравнения погра-
ничного слоя решаются численно с использованием неявных разностных схем,
описанных в §4.3.2. Для получения результатов, приведенных в этом параграфе,
использовалась простейшая четырехточечная схема второго порядка точности по
поперечной координате и первого порядка - по продольной. Интегрирование сис-
темы обыкновенных дифференциальных уравнений - уравнений вязко-невязкого
взаимодействия - проводилось по схеме Эйлера. Для определения параметров
невязких потоков в узлах разностной сетки, не лежащих на эффективной границе
поверхности вытеснения, использовалась явная конечно-разностная схема Мак-
Кормака второго порядка точности (см. §§ 4.1.4).
Параметры р, dpldx в плоскости х^п+1^ на поверхности вытеснения опре-
деляются в первом приближении из уравнений (6.14) при вычисленных коэффи-
циентах А и А по значениям параметров в вязкой области в плоскости хп. По-
следующее уточнение р, dpldx при х — х^п+1^ происходит в итерационном
процессе внутри итерационного цикла, связанного с нелинейностью уравнений
304
аналогичное (6.11), которое после интрг™^
н осле интегрирования по у в пределах от ук до ук
даст два уравнения:
r₽fe««eft-iz^(ge;)+J3-&=o, (613)
Считая,, что на внешних границах вязкой области параметры “вязкого” и
“невязкого потоков совпадают, и полагая, что поперек слоя, заключенного меж-
ду Ук Д° Ук’ не изменяется, вычтем уравнение (6.13) при k = 1 и k = 2 из
(6.11). Проделав очевидные преобразования, получим при г = у
<б14>
Уравнение (6.14) связывает распределение давления в вязкой зоне смешения с
функциями, задающими форму нижней и верхней «эффективных» поверхностей
вытеснения, обтекаемых невязкими потоками. Назовем их обобщенными уравне-
ниями вязко-невязкого взаимодействия.
Остановимся более подробно на задании граничных условий для поперечной
составляющей скорости при у = уг *0. При заданных уг, у{ и dp/dx эта со-
ставляющая скорости определяется из (6.11) при /г=1 с учетом того, что
Uj =u1tgQl. Изменение v поперек “вязкой” области находится в результате ин-
тегрирования уравнения первого порядка - уравнения неразрывности. Условие
для и, вытекающее из (6.13) при k = 2, будет выполняться автоматически при
dp/dx, определенном из (6.14). Уравнение (6.14) можно рассматривать как диф-
ференциальное уравнение, связывающее dp/dx, dy/Jdx. Недостающие уравне-
ния получаются в результате определения течения в невязком сверхзвуковом по-
токе, обтекающем «эффективные» поверхности вытеснения. В общем случае для
определения параметров на поверхности «эффективных» поверхностей можно
получить, используя уравнения Эйлера и условия равенства нулю нормальной к
эффективным поверхностям вытеснения составляющей скорости.
В случае, если внешнее течение описывается решением Прандля Майера, что
дает достаточно точные для многих приложений результаты, можно воспользо-
ваться следующим уравнением, вытекающим из (4.36):
[i-fM]’] (6.|5)
I [ dx J I dx2 ' 7 Mbk уР dx
303
шения уравнений невязкого потока в сверхзвуковой части течения численные ме-
тоды решения уравнений. Это обусловлено тем, чго решение Прандтля-Майера
для простой волны не учитывает отражение волн сжатия и разрежения от поверх-
ности трубы или канала и их взаимодействие с дозвуковой струей. Влияние этого
фактора на структуру таких течений оказывается существенным.
Влияние распрос1рансния волн сжатия и разрежения на взаимодействие
до- (сверх-)звуковой струи со спутным сверх- (до-) звуковым потоком в ка-
нале и трубе. Отличительной особенностью задачи о распространении дозвуко-
вой струи в спутном сверхзвуковом потоке в трубе или канале (схема (б) на
Рис.6.8. Распределение статического
давления и толщины вытеснения в
канале при различных значениях
относительной ширины дозвуковой
струи
рис.6.7) является постановка граничных ус-
ловий непротекания на ограничивающей по-
верхности АА. Это соответствует задаче об
истечении блока плоских одинаковых струй
в спутный равномерный сверхзвуковой по-
ток, когда поверхности АА и ВВ, являясь
плоскостями симметрии, вычленяют повто-
ряющийся фрагмент поля течения, изобра-
женный на рис 6.7 б. Результаты, получен-
ные в этом случае, могут быть интерпрети-
рованы и как результаты расчета истечения
дозвуковой струи в спутный сверхзвуковой
поток в канале или трубе, когда трение на
стенках не учитывается. Это допущение сла-
б-> влияет на распределение статического
давления по оси канала на относительно не-
больших расстояниях. Р. . с ределения давления на оси и стенках канала при раз-
личных значениях относительной ширины вдуваемой струи h в случае плоского
течения представлены на рис. 6.8 (1- h = 0.1, 2- h = 0.334, 3- Л = 0.5;
MQ -2,qv= 0,05, h отнесено к ширине струи в начальном сечении).
Сравнение результатов расчетов между собой показывает, насколько сущест-
венно влияние стенки на волновую структуру. Чем больше h, тем быстрее вол-
новая структура невязкого потока сказывается на параметрах течения в вязкой
области. Эволюцию волновой структуры распределения давления при движении
вниз по потоку от кром сопла (рис.6.7, схема б) проследим на примере, когда
задана относительная ширина струи в начальном сечении h = 0.5 (кривые 3 >«
рис.6.8). Поскольку отношение давления в струе в сечении х = 0 к давлению в
невозмущенном сверхзвуковом потоке pq / ре < 1, то при стекании сверхзвуково-
го потока с кромки сопла образуется волна разрежения, которая, попадая на стен-
ку АА, вызывает понижение давления (на участке х = 1,8 ч- 4). Отражаясь от
стенки АА, волна разрежения после взаимодействия с волнами сжатия, иниции-
рованными обтеканием сверхзвуковым потоком вогнутой поверхности эффектив-
ного тела вытеснения, попадает на струю и приводит к понижению давления на
оси канала (на участке х = 4 ч- 7,5, сплошная кривая). Эта волна, отражаясь от
поверхности эффективного тела, приводит, с одной стороны, к росту у*(х), т.е. к
утолщению эффективного тела вытеснения, и, с другой стороны, к дальнейшему
306
ПО"Р 1 р я ЛОЯ П° алгоритмУ’ описанному в § 4.3.2. Кроме указанных итера-
ции, н о х димо проводить глобальные итерации с целью подбора параметра,
служащего в качестве недостающих начальных данных для обобщенных уравне-
нии вязко невязкого взаимодействия (6.14). При заданном относительном расходе
в cipye qo - таким подлежащим определению параметром является
величина давления на торце тела pq . При заданной величине pq в качестве оп-
ределяемого параметра выступает относительный расход в струе. Так как харак-
теристики течения в вязкой области непрерывным образом зависят от начальных
данных, заданием значения pq или qv определяется выбор той или иной инте-
гральной кривой уравнения (6.14) для р(х).
6.3.3 Результаты численного исследования турбулентного смешения
до- (сверх-) звуковых струй в спутном сверх- (до-) звуковом потоке
Для тллюстрации основных закономерностей течений рассмо трим результаты
численных расчетов при различных значениях определяющих параметров. При
расчетах использовалась алгебраическая и дифференциальная модели турбулент-
ности. В качестве алгебраической модели была выбрана модель Прандтля
где коэффициент пропорциональности к принимается равным 0.27 на начальном
участке струи и 0.22 на основном участке. В качестве дифференциальной модели
была выбрана однопараметрическая модель для турбулентной вязкости (2.25)
[127]. Результаты расчетов с использованием этих моделей турбулентности пока-
зывают, что модели турбулентности оказывают влияние на величину давления в
начальном сечении и слабо влияют на распределение давления вниз по потоку.
Поэтому в практических серийных расчетах можно использовать алгебраическую
модель турбулентности, как более простую. Для оценочного анализа влияния оп-
ределяющих параметров турбулентного течения можно также пользоваться ре-
зультатами расчетов ламинарного течения при Re =100. Однако следует иметь в
виду, что это касается только свободноструйных течений. В соответствии со ска-
занным выше, давление а начальном сечении дозвуковой струи подбиралось та-
ким образом, чтобы числитель и знаменатель в уравнении (6.14) обращались в
ноль в одном и том же сечении х = const. Это сечение назовем сечением
“запирания”. Возмущения, вносимые в поток ниже по течению от этого сечения,
не влияют на величину давления на срезе сопла и распределение давления в струе
до сечения “запирания”. Для оценки влияния разных способов расчета невязких
потоков на параметры вязкого течения в режиме вязко-невязкого взаимодействия
проводились тестовые расчеты, в которых значения параметров невязких потоков
определялись из соотношений Прандтля-Майера для простой волны или в резуль-
тате численного интегрирования уравнений газовой динамики по схеме Мак-
Кормака. Результаты расчетов хорошо согласуются между собой, что позволяет
использовать при решении задачи истечения дозвуковой струи в безграничный
спутный сверхзвуковой поток аналитические зависимости Прандтля-Майера без
существенной потери точности. При расчете истечения дозвуковой струи в спут-
ный сверхзвуковой поток в трубе или в канале необходимо использовать для ре-
305
6.3.4 Дозвуковая струя в спутном сверхзвуковом потоке при нерегулярном
взаимодействии ударных волн
Рассмотрим взаимодействие двух симметрично расположенных ударных
волн, которые формируются на кромке сопла при истечении перерасширенной
сверхзвуковой струи. В зависимости перасчетности сгруи и числа Маха на срезе
сопла возможны две схемы взаимодействия. При первой схеме, которая называет-
ся регулярным взаимодействием, в точке пересечения ударных волн образуются
две переломленные ударные волны, век гор скорости за которыми параллелен
плоскости симметрии, и течение остается сверхзвуковым (рис. 6.3). При второй
схеме имеет место нерегулярное взаимодействие. В этом случае в некоторой точ-
ке А (рис. 6.7, (д)) образуется отраженная ударная волна АВ, поверхность кон-
тактного разрыва AL и сильная ударная волна АО с дозвуковым течением за ней.
Такое взаимодействие называют Маховским взаимодействием, а сильную удар-
ную волну АО называют Маховским скачком. Размер Маховского скачка опреде-
ляется взаимодействием дозвуковой струи, формирующейся за этим скачком, со
спутным сверхзвуковым потоком. По особенностям математической постановки
задача определения размеро» Маховского скачка аналогична рассматриваемым в
этом разделе задачам. В постановке, изложенной выше, можно провести расчет
нерегулярного взаимодействия с учетом вязкости газа [19].
При изэнтропическом поджатии вдоль линии AL течение становится дозвуко-
вым, и область сверхзвукового течем -.я локализуется в некоторой конечной окре-
стности точки А. Поскольку в этом течении нет дополнительных внешних воз-
мущений, назовем такой вид нерегулярного взаимодействия изолированным. В
связи с тем, что в дозвуковом течении возмущения распространяются во o.t сто-
роны, картина течения за отраженной ударной волной зависит от условий, фор-
мулируемых внизу по потоку от области падения скачка, и постановка задачи
становится незамкнутой. Для замыкания задачи необходимо вводить дополни-
тельные возмущения. В практических задачах эти возмущения возникают под
влиянием условий на границе течения. Например, при течении за скачком Маха в
перерасширенных струях в качестве дополнительного возмущения служит волна
разрежения, образованная при отражении скачка АВ от границы струи; при тече-
нии в каналах дополнительное возмущение возникает при обтекании стенки ка-
нала. Изменение давления вдоль струи определяется условиями взаимодействия
со сверхзвуковым потоком в области ABL. Поскольку при нерегулярном взаимо-
действии угол наклона контактной поверхности в точке А отрицательный и при
удалении вниз по потоку от этой точки из-за влияния плоскости симметрии стре-
мится к нулю, то контактная поверхность AL должна иметь по крайней мере уча-
стки вогнутости. На этих участках площадь поперечного сечения струи, ограни-
ченной поверхностью AL, должна уменьшаться. В то же время при сверхзвуко-
вом обтекании вогнутой контактной поверхности происходит увеличение давле-
ния, что вызывает торможение дозвуковой струи. В связи с необходимостью со-
хранения массы в струе, ограниченной поверхностью тока AL, площадь попереч-
ного сечения струи при торможении дозвукового потока должна увеличиваться.
Таким образом приходим к противоречию. Следовательно, в постановке невязко-
го газа задача о нерегулярном взаимодействии не имеет решения. Противоречие
снимается учетом эжектирующего влияния сверхзвукового потока, что требует
детального рассмотрения вязкого течения в слое смешения, заменяющем кон-
308
инициированию волн сжатия, которые, попадая на стенку АА, вызывают на ней
повышение давления. Отражаясь от стенки, волны сжатия приводят к увеличению
давления в струе и уменьшению толщины “тела вытеснения”, задаваемой функ-
цией у = у*(х).
Эти результаты относятся к плоскому течению в канале. При вдуве дозвуко-
вой струи в сверхзвуковой поток в трубу (осесимметричная задача) картина рас-
пределения давления на оси в целом аналогична плоской. Однако имеются и не-
которые особенности. Во-первых, градиенты давления в осесимметричном тече-
нии по величине больше, чем в плоском, во-вторых, максимальное значение ста-
тического давления в струе больше статического давления в невязком невозму-
щенном потоке. Последнее обстоятельство связано с кумулятивным эффектом,
вызванным фокусировкой осесимметричного течения к оси симметрии.
Рассмотрим задачу о взаимодействии сверхзвуковой струи со спутным дозву-
ковым потоком в канале (рис.6.7, схема (в)). Как и в предыдущей задаче (схе-
ма 2), параметры в дозвуковом потоке, ограниченном поверхностью канала и гра-
ницей сверхзвуковой струи, определяются, исходя из численного решения урав-
нений пограничного слоя, а вдуваемая сверхзвуке <ая струя рассчитывается ко-
нечно-разностным методом Мак-Кормака, исходя из уравнений невязкого тече-
ния. Распределение давления в дозвуковом потоке находится из условий вязко-
невязкого взаимодействия (6.14), (6.15). Параметры течения в недорасширенной
струе определяются заданием статического давления pq, температуры торможе-
ния Tqv , числа Маха Mv на срезе сопла, а равномерный дозвуковой поток зада-
ется удельным расходом qe =peUe/pvUv , температурой торможения ТОе. Неиз-
вестное значение статического давления pq в дозвуковом потоке находится в
процессе решена» задачи из условий прохождения через особую точку системы
уравнений вязко-невязкого взаимо-
действия. На рис.6.9 приведено рас-
пределение статического давления
вдоль стенки канала (влиянием тре-
ния, как и прежде, пренебрегаем).
Характер распределения давления
аналогичен приведенному на рис.6.8
для задачи взаимодействия дозвуко-
вой струи со спутным сверхзвуко-
вым потоком. Наблюдается такое же
волнообразное изменение давления с
затухающей вниз по потоку ампли-
тудой. С увеличением относитель-
ной высоты сопла амплитуда коле-
баний статического давления воз-
Рис.6.9. Изменение давления на стенке кана-
ла при вдуве дозвуковой струи в сверхзвуко-
вой поток в канале
растает, а период колебаний умень-
шается, что согласуется с волновой структурой течения в спутной невязкой недо-
расширенной струе. Там же на рис.6.9 значками отмечены положения сечений
“запирания”. За этими сечениями вязкое течение в среднем становится сверхзву-
ковым.
307
В зависимости от значений определяющих параметров задачи ре, Ме, и М,
возможны различные виды взаимодействия (рис. 6.11).
а) . Полностью регул 1рное взаимодействие. Картина течения, полученная в
результате расчета и соответствующая полностью регулярному взаимодействию
при Р = 22°, Мс ~ 5, Mg = 3, представлена на рис. 6.11, а. Падающая ударная
волна DA (рис. 6.11, а) при взаимодействии с поверхностью контактного разрыва
распадается на преломленную волну АО, распространяющуюся в струе, и
веер волн разрежения ЕАЕ1 в потоке. При регулярном отражении ударной волны
АО от плоскости симметрии течения ОО образуется отраженная ударная волна
ОБ. Далее отраженная ударная волна ОБ, взаимодействуя с границей струи AjBj
в точке В, распадается на преломленную ударную волну ВС, распространяющую-
ся в потоке, и переотраженную ударную волну ВО в струе. Картина переотраже-
ния ударной волны ВО повторяется вниз по потоку до тех пор, пока течение в
Рис. 6.11 Схемы взаимодействия ударной волны со сверхзвуковой струей
струе и потоке не станет опять плоскопараллельным. На достаточно большом
расстоянии от области взаимодействия вниз по потоку параметры ударной волны
ВО принимают значения, соответствующие регулярному отражению ударной
волны DA от плоскости АгА при заданном числе Маха в невозмущенном потоке
Ме. Ширина струи находится из условия сохранения массы в струе. В каждой
характерной области на рис. 6.11, а приведено значение давления, отнесенное к
соответствующему значению давления в невозмущенном потоке. Особенностью
полностью регулярного взаимодействия является то, что при прохождении через
систему скачков в струе и потоке течение газа остается сверхзвуковым.
б) . Нерегулярное отражение в струе. Если в условиях рассмотренного выше
течения интенсивность преломленной ударной волны АО или любой из переот-
раженных волн ВО', ВО" такова, что невозможно ее регулярное отражение от
плоскости симметрии OOi, то в струе имеет место нерегулярное взаимодействие
(рис.6.11, б). В этих условиях возникают сильная ударная волна FO с дозвуковым
течением за ней и слабая отраженная волна FB. При взаимодействии этих волн с
поверхностью контактного разрыва ВВ' и с границей дозвуковой облает»» струи
образуется серия отраженных и переотраженных ударных волн и волн разреже-
ния. Изменение давления вдоль дозвуковой области струи определяется этими
волнами.
310
тактики разрыв в невязком газе. При наличии падающей волны разрежения изме-
нение давления на линии AL определяется не только формой этой линии, но вол-
ной разрежения, падающей извне, под действием которой давление в сверхзвуко-
вом потоке на вогнутой поверхности уменьшается. В этом случае замкнутое ре-
шение может быть получено и в приближении невязкого газа. Влияние вязкости
при этом носит количественный характер. При математической формулировке
задачи, учитывающей перечисленные выше особенности, примем во внимание,
что хотя скачок АО искривлен, давление вдоль него в широком диапазоне изме-
нения параметров меняется незначительно. В связи с этим будем считать, что
давление постоянно в поперечных сечениях дозвуковой струи, и для описания
течения в ней воспользуемся уравнениями пограничного слоя и, следовательно,
влияние вязкости на параметры течения при нерегулярном взаимодействии удар-
ных волн может быть рассмотрено в рамках сформулированной выше задачи об
истечении дозвуковых струй в спутный сверхзвуковой поток.
В качестве иллюстрации применения этого подхода рассмотрим нерегулярное
взаимодействие скачков уплотнения в плоской перерасширенной струе. Парамет-
Рис. 6.10 Влияние числа Маха
на срезе сопла на размер скач-
ка Маха
ры струи будем задавать числом Маха и углом Р
скачка, возникающего на срезе сопла. По этим
параметрам легко определяется нерасчетность
струи. Линейные размеры отнесем к половине
шир ы струи на срезе сопла. Неизвестной явля-
ется величина yd, равная высоте «прямого» скач-
ка уплотнения АО, скачка Маха, которая подле-
жит определению при решении задачи взаимодей-
ствия. На рис. 6.10 представлена зависимость yd
от для различных углов р. Сплошной и штри-
ховой линиями нанесены результаты, полученные
в невязком приближении и при турбулентном те-
чении в струе. Видно, что турбулентное переме-
шивание приводит к уменьшению скачка Маха.
Взаимодействие ударной волны со сверх-
звуковой струей. Рассматривается задача о падении ударной волны на сверхзву-
ковую струю, истекающую в спутный сверхзвуковой поток. Необходимость рас-
чета такого класса течений возникает при решении различных задач внешней и
внутренней газовой динамики. Влияние вязкости на характеристики течения до
сечения падения ударной волны на струю не учитывается, что вполне оправдано
на начальном участке струи, когда ширина области смешения намного меньше
начальной ширины струи, и значение турбулентной вязкости до сечения взаимо-
действия на порядок меньше соответствующего характерного значения в области
взаимодействия с ударной волной.
Для чисел Маха в потоке Ме и в струе Mg полагается выполнение условий
Начальная ширина струи Hq принимается в качестве характерного
линейного размера, т.е. = 1. Падающая на струю ударная волна характеризует-
ся углом наклона ре относительно направления течения невозмущенного потока.
309
FO в случае полносгью нерегулярного отражения может быть определено, если
задано положение ючки А. Таким образом, во всех этих течениях необходимо
определигь координату х точки А или В и В', которая находится из условия
прохождения особенности типа седло в обобщенных уравнениях вязко-невязкого
взаимодействия (6.14), (6.15) и является собственным числом задачи. Зная рас-
стояние хА или хн и Xff точек А или В и В', можно однозначно определить
положение скачка FO в нлоскосзи течения при заданных Ре, М , Mg.
Результаты расчетов нерегулярного отражения в струе и полностью нерегу-
лярного отражения представлены на рис.6.11,а — г Расчеты соответствуют те-
чению при посюяниых и равных значениях отношения удельных теплоемкостей
у = 1.4 и при значениях чисел Маха в потоке и струе соответственно
М =5, Мд = 3. Картины течения, представленные на рис.6.11, а г, отвеча-
ют различным значениям угла наклона падающей ударной волны DA.
При Ре= 26° реализуется схема течения с нерегулярным отражением в струе
(рис. 6.11 б). При увеличении угла наклона
ударной волны DA до Ре = 29° (рис. 6.11 б) нере-
гулярное отражение в струе происходит уже для
преломленной волны AF. Дальнейшее увеличе-
ние интенсивности падающей ударной волны
DA приводит к перестройке течения и реализа-
ции схемы рис.6.11 г при Ре = 32°. Рис. 6.12 ил-
люстрирует влияние интенсивности падающей
ударной волны на геометрические характеристи-
ки дозвукового участка струи: расстоя-
ние XA=xA[hQ (сплошные кривые) и длину
дозвуковой области L=L/hQ (штриховые), из-
меряемую от сечения сильной ударной волны
FO до сечения, в котором среднее число Маха
равно единице. Расчеты проводились для схе-
мы полностью нерегулярного отражения при
Mg = 3. Кривые 1 - 3 отвечают Ме= 5,6,7.
Рис. 6.12 Влияние интенсивно-
сти падающей ударной волны
на расстояние xA=xA/hon
длину дозвуковой области
L/Ло
6.4 Диффузионное горение
6.4.1 Основные понятия и определения. Формулировка задачи
Рассмотрим задачу о вдуве струи, являющейся смесью водорода с «инерт-
ным» газом, в спутный поток воздуха при наличии горения. Скорость кинетиче-
ского горения водорода в воздухе, компонентный состав смеси и количество ре-
акций существенным образом определяются первоначальной концентрацией во-
дорода, температурой и давлением в смеси. Изучению воспламенения и кинети-
ческого горения водорода уделяется большое внимание [63, 66, 97, 199]. Обсуж-
дению этих вопросов посвящен § 3.3.1. Процесс горения при вдуве струи водоро-
да в спутный поток определяется не только скоростью кинетического горения, но
и скоростью конвективного и диффузионного переноса компонент смеси. Причем
константы скоростей реакций настолько велики, что для струйных течений непе-
312
*нлй ' '1ерегуляРное отражение. Если интенсивность падающей
Удар мой Л Н Столько велика, что невозможна реализация схемы течения,
описанной в п. б, то течение полностью перестраивается (рис.6.11, г). В струе
о разуется о ращенная к направлению потока выпуклостью ударная волна FO,
близкая к прямой, (в отличие от аналогичной вогнутой ударной волны при нере-
гулярном отражении в струе (рис.6.11, «), течение за которой становится дозвуко-
вым. сложение этой волны заранее неизвестно и подлежит определению в про-
цессе решения задачи. В набегающем потоке образуется слабая ударная волна
FA, угол наклона которой совместно с углом наклона сильной ударной волны FO
в точке F определяется из соотношений Рэнкина-Гюгонио, исходя из условий на
контактной поверхности FB (равенство давлений и равенство углов наклона век-
торов скорости снизу и сверху). Во внешнем потоке ударная волна FA взаимо-
действует с падающей ударной волной DA, в результате чего образуются две
ударные волны АС и АВ и поверхность контактного разрыва. Углы наклона
ударных волн 4С и АВ и значения газодинамических параметров за ними в точке
А можно рассчитать из соотношений Рэнкина-Гюгонио и условий на контактной
поверхности . Ударная волна>18 при взаимодействии с границей в точке В отра-
жается от нее веером волн разрежения HBFT с образованием излома в форме
границы дозвуковой струи в точке В.
Как отмечалось, для разрешимости задачи о нерегулярном взаимодействии
ударных волн в приближении невязкого газа необходимо, чтобы на контактную
поверхность GG в области ее вогнутости падала извне волна разрежения, которая
приводила бы к понижению давления. Именно это имело место при нерегулярном
взаимодействии ударных волн в перер^сширенной струе. В данном течении такая
волна разрежения отсутствует и, следовательно, в постановке невязкого газа за-
дача не имеет решения. Для формулировки замкнутой постановки задачи необхо-
димо учесть эжектирующее влияние сверхзвукового течения, примыкающего к
дозвуковой струе. Другими сливами, в этом случае расчет взаимодействия сверх-
звукового потока со спутной дозвуковой струей необходимо проводить с учетом
вязкости или, более конкретно, с учетом турбулентного перемешивания в зоне
смешения. Уравнения пограничного слоя, описывающие течение в дозвуковой
струе, и уравнения, описывающие течение в невязком сверхзвуковом потоке, ре-
шаются маршевыми по продольной координате конечно-разностными методами,
описанными в главе 4. Характеристики невязкого течения в начальном сечении, в
котором расположен скачок Маха FO, полагаются равными параметрам за скач-
ком FA. Наклон этого скачка в свою очередь определяется исходя из условий ра-
венства давлений за скачками OF и FA. Начальные данные в дозвуковой струе
определяются из условия за прямым скачком OF. Сопряжение решений уравне-
ний невязкого течения и пограничного слоя осуществляется при помощи уравне-
ний вязко-невязкого взаимодействия (6.14), (6.15).
Дпя этих уравнений формулируется задача Коши. Для этого в сечении х — О
(сечение скачка уплотнения FO) необходимо задать начальные значения
р, /. Величины р, ^- = tgQF определяются из соотношений Рэнки-
dx dx
на-Гюгонио для условий в тройной точке F. Что касается у (0), то при течении
по схеме г имеем у* (о)=1, а при течении по схеме в эта величина может быть оп-
ределена, если найдена координата х точки В или В . Положение прямого скачка
311
Л = 1, 2,..., К, где е = 1,2 относится к нижней и внешней границе расчетной
области. Для симметричного течения на нижней границе, которая является осью
или плоскостью симметрии, имеем у - U; — - и
Диффузионные потоки нереагируюших компонент на фронте пламени непре-
рывны, а реагирующих связаны стехиомефическим соотношением
Pda *А Z(v АтА ) = Pdr ) •
on on
Здесь и далее — = — + —— производная по направлению нормали к
дп ду dx дх ду
фронту пламени.
Исходя из этого на фронте пламени у - у^х) концентрации и диффузионные
потоки реагирующих компонент определяются из соотношений:
где L = УаГПа - коэффициент, отражающий стехиометрическое соотношение
между диффузионными потоками.
к
В свою очередь, учитывая, что =1 и считая, что Xs =-Х1, можем за-
*=1
писать:
XR =1~XS-^X\ ПРИ У1^У^У^
при z/ф < у < у2,
fe=2
где Xlk - концентрация инертного разбавителя.
Подставляя эти соотношения в (6.18) и учитывая, что производные от нереа-
гирующих компонент непрерывны, получаем соотношения для диффузионных
потоков продуктов реакции на фронте пламени:
[ 1 / 1 __________________________________1
lSmA дп )у. дп J^+ SmA дп '
Получим соотношение, которому должны удовлетворять производные от
полной энтальпии на фронте пламени. С этой целью, проинтегрировав уравнение
энергии (4.86) по и в пределах от г/ф - е до г/ф + е, получим
314
помешанных компонентов скорость вы™™
онным переносом реагентов к фронту оеакпии п°ДОР°Да лимитиРУется диффузи-
число Дамкелера Dad, определенное в S3 6^" ЛИФ*’ЗИО™“
S о как отношение времени диффузии к
времени химических реакций (Da = \
d р/mW *’ намного больше единицы. Это
позволяет использовать модель диффузионного горения
В рамках модели диффузионного горения можно принять, что горение осуще-
ствляется в одностадийной реакции р «суще
2Н2 +О2 <г*2Н2О, (6.16)
которая локализована в бесконечно-тонком фронте пламени у = уф(х), на кото-
ром диффузионные потоки компонент находятся в стехиометрическом cooi ноше-
нии, а концентрации реагирующих компонент равны нулю. Математически такой
фронт представляет собой поверхность разрыва производных концентраций и
температуры. В этом случае постановка задачи существенно упрощается, т.к. не
нужно рассчитывать константы скоростей химических реакций, уменьшается ко-
личество компонент смеси, и отсутствуют проблемы решения "жесткой" при
»1 неоднородной системы уравнений для концентраций компонент (4.87).
В общем случае несимметричной зоны смешения в струе или канале имеется
два фронта пламени, направленных навстречу друг другу, и неисчезающих при
встрече вследствие выгорания горючего. При течении в канале в зависимости от
соотношения вдуваемого горючего и окислителя могут иметь место различные
случаи. При центральном вдуве горючего в случае избытка окислителя пламя
сходится к оси канала. При избытке горючего пламя замыкается на стенках кана-
ла (рис.6.13). В области, расположенной ниже фронта пламени, находится смесь
горючего, продуктов сгорания и инертного разбавителя. Выше фронта пламени -
смесь окислителя, продуктов горения и инертного разбавителя.
Для описания характерных особенностей постановки задачи о течении в стру-
ях при наличии диффузионного горения будем полагать, что взаимодействующие
потоки в своем составе содержат по одной реагирующей компоненте (окислитель
ф2) для внешнего потока и горючее А(Н2) для вдуваемой струи) и некоторое
число нереагирующих при данных условиях компонент — инертный разбавитель.
Компоненты окислителя и горючего вступают в химическое взаимодействие, ко-
торое в соответствии с (3.4) будем описывать одностадийной реакцией вида
v'kJR + vaAov;S, (6 17)
где S - продукт реакции.
Газодинамические параметры и концентрации компонент определяю! ся из
системы уравнений (4.84) - (4.87), начальные и граничные условия для уравнений
(4.84), (4.85), (4.86) сформулированы выше. Здесь остановимся на формулировке
соответствующих условий для концентраций компонент:
начальные условия: Xft(x0,у) = Х%(у),
граничные условия: при у = Ук(х) ~ Хке»*
313
где qr = (y'AMAiA + vRMRiR-v'sMsis)/v'RMR - тепловой эффект реакции в
расчете на единицу массы компонента R.
Соотношение (6 21) получается из (6.20) и в общем случае, т.е. когда
^eMp * 1
При расчете течения в вязкой области положение фронтов пламени и значения
температуры на них заранее неизвестны и должны определяться в результате рас-
чета. В качестве условий определения этих характеристик течения используются
уравнения (6.18) или (6.19) и (6.20) или (6.21).
6.4.2 Сквозной расчет равновесного горения при равных коэффициентах
диффузионного переноса окислителя и горючего
Наиболее просто задача о диффузионном горении может быть решена, если
положить равными эффективные коэффициенты диффузии окислителя и горюче-
го Если рассматривать молекулярный перенос, то это допущение можно принять,
когда молекулярные веса окислителя и горючего близки [168]. Для турбулентных
течений это допущение имеет более широкий диапазон применения, т.к. турбу-
лентные аналоги чисел Шмидта 8тэф меняются слабо, и в практических расче-
тах их принимают постоянными, часто равными единице. Это же можно сказать и
о турбулентных аналогах числа Прандтля. Поскольку при диффузионном горении
в потоке не могут присутствовать одновременно и окислитель и горючее, то вме-
сто концентраций этих компонент введем понятие концентрации инертной при-
меси z, определяемой соотношением
1 + 1/L
(6 22)
г vAmA
где L = ———
vRmR
Легко убедиться в следующих свойствах функции z:
1) на фронте пламени ХА = XR = 0 и z -
L
1 + L
= г£ <1;
Z) производные — на фронте пламени непрерывны
дп
Действительно, используя (6.22), получаем
дгА _ 1 дХА dzR L SXR
дп L + 1 дп ’ дп L + 1 дп '
Далее, так как исходя из (6.18) при SmA=SmR имеем
dXA/dn = -LdXR/дп, то
dzR _ 1 дХА _dzA
дп 1 + L дп дп ’
3) в потоке горючего г — 1, в потоке чистого окислителя z — О;
316
= ^div(pVi0)dn.
Подинтегральное выражение в правой части получается из конвективного
оператора (4.86) после перехода с помощью (4.84) к дивергентной записи. Перей-
дя к пределу при е-»0 и учитывая непрерывность функций р, Vx,i0, получим
уравнение
^^0 +у dXR
Ук
= 0,
Ук
(6.20)
где ^эф’^гэф^эф ~ эффективные значения соответствующих параметров при
молекулярном (для ламинарных течений) и турбулентном перемешивании.
Если принять ЬеЭф = 1, то из (6.20) следует, что производная д1ц[дп на фрон-
те пламени непрерывна. Однако нетрудно убедиться, что тепловые потоки
q = 'k5Tldn имеют разрыв, наличие которого определено выделением энергии
вследствие химической реакции.
Действительно, принимая во внимание, что
т
ik = fcpkdT + i„k, получим
0
V2
io = xkik
z k
dip ] у dXk
дп x дп ь dn
Учитывая, что производная dVx/dn на фронте пламени непрерывна и при-
нимая во внимание, что У XfeCpfe -Ср , получим
k
Исключая из этого соотношения при помощи равенств (6 19) диффузионные
потоки горючего и продуктов реакции, получим
_Г^ ^pDR.qr,
I дп)п1 I дп)п- дп
(6.21)
315
В заключение этого пункта остановимся на недостач ках описанного подхода,
которые могут оказаться существенными при больших отличиях в молекулярных
весах окислителя и горючего.
Для определенности будем рассматривать пару О2 и ^2- В этом случае со-
гласно стехиометрическому уравнению реакции (6.16), получаем
г„ =0,111.
vo2mH2 8
Пусть набегающий внешний поток - воздух, тогда примем =0,22 и по-
лучим zfcnoo =0,0867. Для 2° в начальном поле получим
2° 2к + Хд2(1-гЯ2)= 0,111+ Хд2 0.889 . Тогда при ХЯг=1 получаем, что г
изменяется от единицы до 0,0867, и фронт пламени, на котором 2Н =0,111, на-
ходится в непосредственной близости к внешней границе вязкой области, что
снижает точность определения его положения. Ситуация меняется при малых
Хн2 - Например, при ХЯг = °»1 имеем г° = 0,12, и фронт пламени располагается
от границ расчетной области достаточно далеко. Это дает возможность ввести
между фронтом пламени и границей расчетной области количество узлов разно-
стной сетки, обеспечивающее приемлемую точность численного решения уравне-
ний пограничного слоя и определения положения фронта пламени
В качестве примера конкретных течений были на основе уравнений погранич-
ного слоя проведены расчеты о втекании дозвуковой струи смеси водорода и азо-
та (Mv = 0.7) в спутный сверхзвуковой поток воздуха ( Мго= 2) в канал и трубу.
Относительная ширина струи D принималась равной 0,3. Температура торможе-
ния струи и потока принималась равной 356 К и 1870К соответственно. Характер-
ным параметром, определяющим процессы выгорания водорода, является степень
избытка окислителя а, который определяется по условиям на входе в канал:
а_Р<Х, ХО2 S№
pvVu 8ХЯг Sv
где Sm,Sv - площади поперечного сечения потока и струи; р, V - плотность и
скорость; ХЯг, Xq2 - концентрации кислорода и водорода.
О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 х
(а)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 х
(О
Рис.6.13 Положение фронта пламени в канале (а) и трубе (б)
При недостатке окислителя (а< 1) водород полностью не выгорает, и фронт
пламени замыкается на стенке канала. При избытке окислителя(а>1) фронт пла-
318
4) функция г удовлетворяет уравнению диффузии (4.87) при = 0.
рующей™омпо3неэтыУ гГсюзи ГэтаГ “пи" У₽аВ"е™Ю ли*'1>-™и ™ неРеа™-
1 кяппиры-гя пляг-ozto» С этим’ принимается, что в смеси газов имеется
компонента, массовая концентрация ь-птлплм
грация которой равна z и которая не принимает
УЧаС. ™ СКИХ ПРевРащениях- Эта компонента называется инертной при-
меСЬ ’ „ концентрация инертной примеси [93]. Уравнение диффузии для
инертной примеси решается при следующих граничных условиях:
пРи£/-*/1(х) 2 = 1, при у = у2(х) 2 = 0.
После решения уравнения для инертной примеси положение фронта пламени
находится из условия, что на фронте пламени z = zL.
Как показано в § 4.2.5, дальнейшее упрощение задачи возможно, если концен-
трации горючего и инертных компонент во вдуваемой струе и во внешнем потоке
постоянны. Тогда введем нормированное значение концентраций
Легко убедиться, что во вдуваемой струе при х = О, где Xh = Х° , имеем
Xk = 0, а во внешнем невязком потоке Xk = 1. При одинаковых для всех компо-
нент числах Шмидта, что может быть принято для турбулентных течений, все
Xk удовлетворяют одному и тому же уравнению диффузии типа (4.88), одним и
тем же граничным и начальным условиям, и, следовательно, функции
Xk совпадают для всех k , т.е. можно принять Xk= X. Тогда вместо К различ-
ных функций Xk достаточно найти из решения этого уравнения при сформули-
рованных граничных и исходных условиях одну функцию X. После этого кон-
центрации всех компонент Xk (в том числе и приведенная концентрация горюче-
го) могут быть определены по формуле
хл=х°+х(х№-х%).
Если в дополнение к сказанному принять, что Pr = 1 и £еэтм = 1, то уравне-
ние энергии (4.86) и уравнение диффузии (4.87) совпадают, и для определения X
и *о =(*о-$)/(*ог>оо -$) достаточно решить одно уравнение (4.88), при этом пол-
ная энтальпия определяется из уравнения
.0 ~(. о]
io = lo + R)Voboo 1о)-
В полной мере это упрощение решения задачи относится к симметричному
течению. Для несимметричного течения необходимо, чтобы было iboo = inco и ли-
бо Xkb =Xh^ , либо (Xft -Xft°) было одинаковым для всех компо-
нент.
317
к
при Hl = 1 ХА = 0, Х8 = 1 - ^Х* •
fe-2
Вторая подобласть:
к 1
при1]2- 0 XR=O,Xa 1 ;
Л=2
прит)2=1, Xe=X°r, Х,=Оили^- = О.
Начальные условия при х = 0:
ХА=Х°А, Хд=0, Xfy=X^° при о<щ<1;
XR=X«. ХА=0, Х^Х'°приО<т]2<1,
где Х° значение концентраций компонент во вдуваемых потоках горючего,
окислителя и инертного разбавителя.
Положение фронта пламени определяется, исходя из стехиометрических со-
отношений между диффузионными потоками горючего и окислителя (6.18), кото-
рые с учетом нормировки записываются в виде:
1 рРА дХА : 1 рДд dXR (624)
А1/1 ^АтА Д^2 vRmR
Решение уравнения (6.23) при сформулированных граничных и начальных ус-
ловиях может быть получено конечно-разностным методом с использованием
описанных в §4.3.2 алгоритмов. Расчет значений сеточных функций сводится к
решению уравнений с трехдиагональной матрицей.
(625)
А А 2
2 2 ( \ о 2
где Д - аг+1/2 + Ai/li2pVn —Bt = -^ai+1/2 + аг_1/2)+ pVxAz/1>2-^-,
С, = а1.1/2-л^2ру„^р-, Д = ргхлй22^-7,<“>.
Индексы 1, 2 относятся к 1-й и 2-й подобластям. Следует обратить внимание,
что в каждой расчетной подобласти вводится необходимое для качественного
расчета параметров течения количество узлов разностной сетки и в общем случае
A*/i * NJz Как уже отмечалось, коэффициенты трехдиагональной матрицы зави-
сят от искомых функций, и система (6.25) является нелинейной. Эффективным
методом ее решения является метод простой итерации.
Решая систему уравнений типа (6.25), находим на каждом итерационном цик-
ле сеточные значения газодинамических параметров, энтальпии и концентрации
компонент при заданном положении фронта пламени. Положение фронта пламе-
ни затем корректируется, исходя из соотношения (6.24). Эти соотношения заме-
няют конечно-разностными соотношениями с введением фиктивных узлов, ле-
жащих на продолжении первой и второй подобластей
320
мени замыкается на плоскости и™
трубе и канале представлено на рис 6"Гно^п™' Па"°Же“Ие фронта пламеНИ ’
щнм условиям расчета: Р 13' Номера кривых соответствуют следую-
течение в канале
|-Х°2 =0.05, а = 2,75;
4-Х°2 = 0.5, а = 0.588;
течение в трубе
1-Х°2 =0.05,а = 11.9,
4-Х°2 =0.5, а = 2.548,
2-Хн2 =0.1,а = 1.625,
2~Хн2 =01,а = 7.09,
-Х®2 =0.75.
3-Х° =0.25, а = 0.884,
н2
3-Х°2 =0.25, а = 3.83,
6.4.3 Алгоритм расчета диффузионного горения
с выделением фронта пламени
Для корректного расчета диффузионного горения при числах SmA и SmR,
не равных друг другу, и Le 1 необходимо проводить расчет с явным выделени-
ем фронта пламени, положение которого определяется в процессе решения задачи.
Пусть у = Уф(х) - фронт пламени. При расчете течения при наличии одного
фронта пламени область течения разбивается на подобл и, разделенные линией
У~Уф(х)- Для каждой подобласти записываются уравнения диффузии для про-
дуктов реакции и соответствующих реагентов: в нижней подобласти горючее, в
верхней окислитель, и вводится нормированная переменная, которая изменяется в
промежутке [0,1]
п _У~У1(х) „ п _У'У2(Х)
Т|1 - — ---- и Т]2 - —----,
&У1 &У2
где /Ху1=уф(х)-у1(х), Лу2=УФ(х)-у2(х) и i/ = ^1(x), у = у2(х)- уравнения
нижней и верхней границ подобластей, у = уф (х) - уравнение фронта пламени
В нормированных переменных уравнение переноса можно записать в виде
т7 а/ ау_ 1
Р х дх Р п дт) Лу? дт] дг[
(6.23)
где f - одна из функций Xk, iQ, Vx, Vn - Vy-Y-Vx, Y--^—(y'^x)
-т1(1/ф(х)-z/t'(x))), штрих обозначает дифференцирование по х.
Далее будем рассматривать уравнение диффузии компонент. Для этих уравнений
F = 0. Эти уравнения решаются при следующих граничных условиях
Первая подобласть:
пои п =0 дХл = 0 или = 0 - условие симметрии или некаталити-
р 11 Лп ап
ческая поверхность;
319
Г рДл ах.1 ,Г ррв (6.28,
l_vAmA Эг| J dr] J [vAmA vRmRjk=i 9т1
На нервом итерационном цикле полагаем, что положение фронта пламени
совпадает в сечении Х = Хп с т-тым внутренним расчетным узлом таким же,
как и в сечении Xn~i. При решении уравнении диффузии для Ха методом ска-
лярной прогонки прогоночные коэффициенты в m-том узле определяются с уче-
том (6.27). Прогоночные коэффициенты для расчета полной энтальпии на фронте
пламени определяются с использованием разностных аналогов соотношения
(6.20) и уравнения энергии, записанного в (т - 1) и (т + 1) узлах.
В остальных узлах прогоночные коэффициенты определяются обычным обра-
зом. По найденным концентрациям продуктов реакции и инертного разбавителя в
каждом узле разностной сетки рассчитывается невязка АФу1 в соотношении ме-
жду диффузионными потоками, полученными в результате конечно-разностной
аппроксимации (6.29). Номер узла т уточняется из условия ЛФтДФт+1 < 0, при
этом положение фронта пламени оказывается найденным с погрешностью поряд-
ка (Дг|). Для уточнения положения фронта пламени вводится параметр
Дт|ф = т|ф -т|т , значение которого находится из ДФф = 0. 1 ютношения (6 28) и
(6.20) по-прежнему служат для определения прогоночных коэффициентов в ли-
том узле. Например, используя линейную интерполяцию из (6.28), получзем
(1 + tf )Хвт + tfXsm-t = 1 - <pt,
где tf = ^-, Фт =ХХ* ’ 9/ =(1-^)фт
ЛГ1 А=1
Все эти вычисления выполняются на каждом итерационном цикле по нели-
нейности уравнения пограничного слоя
6.4.5 Об учете влияния пульсаций концентраций на диффузионное горение
В результате решения уравнений количества движения (4.85), энергии (4.86),
диффузии (4.87) при заданном определенным образом коэффициенте турбулент-
ной вязкости определяются осредненные компонент», скорости, полной энталь-
пии и концентрации инертной примеси. В пределах этого параграфа значения ос-
редненных параметров будем в отличие от неосредненных обозначать черточкой
вверху. Для замкнутого решения задачи необходимо определить осредненное
значение плотности. При известных составе и температуре смеси, мгновенное
значение плотности р связано с мгновенным значением концентраций и темпера-
туры уравнением состояния
322
где BA R =
ЬУ!В'
XAj+l ~ XAj-l 1
2ДЩ
Pda,r
vA,RmA,R
XRj bl ~ XAj\
ЛП2
(626)
звездочкой помечено значение концентрации в фиктив-
ных узлах, j * номер узла разностной сетки, лежащих на фронте пламени. Для ис-
ключения XAj+1 и используются соотношения (6.25), аппроксимирую-
щие уравнения диффузии для ХА и XR на фронте пламени. При этом нужно
отметить, что в соответствии с граничным условием на фронте пламени
XAj = Хя, =0 и’ следовательно, уравнение (6.25) принимает вид:
A ^Ay+i + Cj XAhl = 0,
А iXRj+i + CiX*Rj-i = 0-
Исключая при помощи этих соотношений ХА и XR из (6.26), после простых
преобразований получим соотношение:
BAXAj-]Cj (уф ~у2)~ BRXRj+1Aj (уф-ух),
которое записано с учетам, что Af + С+ = AJ + С~ .
Это уравнение служит для определения уф на каждой итерации по нелиней-
ности уравнений
6.4.4 Однородный алгоритм определения положения фронта пламени
Для интегрирования уравнений пограничного слоя при наличии фронта пла-
мени может быть использован предложенный в [15, 18] метод плавающего разры-
ва, позволяющий проводить расчет поля течения и концентраций компонент и
положение фронта пламени без существенной доработки алгоритмов расчета
уравнений нереагирующей смеси и в то же время следить за положением фронта
пламени. В этом подходе решаются уравнения диффузии для продуктов реакции
Ха и инертного разбавителя Xlk. Концентрации горючего и окислителя затем
к
находятся из соотношений ХА R =
fe=l
На фронте пламени XR = ХА - 0 и, следовательно,
Х, + ^Х‘=1,
(6 27)
321
Подробно вопрос определения плотности вероятности обсуждается в моно-
графии [93], где получены уравнения для P(z), рассмотрены их математические
свойства.
При решении конкретных задач в шгературе получили распространение раз-
личные упрощенные подходы к определению P(z,V) и приведены конечные
формулы. В [92] принято, чго распределение плогности вероятное™ подчиняется
нормальному закону
P(z)=77—exp^fz-zf/Scr2) (6.30)
2 л су
где g2 =г2 -г2 - дисперсия пульсаций концентрации. Для определения коэффи-
циента турбулентной вязкости в [93] используется дифференциальное уравнение
переноса которое запишем в стандартном виде:
д Л 4-^2-А
(6 31)
где а, р, - стандартные значения коэффициентов, введенные при записи уни-
фицированного уравнения (4.90)
1 (dz}2
А. = Р^„ A„=2pvt—1-1
В [92] для определения о предлагается простая зависимость
<t„(1-z) при z>0,5
с „г при г <0,5
где <то характеризует уровень пульсации. Как отмечено в [92], эта зависимость
при <то < 0,3 так же, как и (6.30) удовлетворительно описывает уравнение пуль-
саций концентрации вблизи оси струи.
Более общие соотношения для определения распределения плотности вероят-
ности предложены в [93]
P(z) = yPf (z)+ (1 - у) 5(z) при у < 1,
Р(г) = -7=ехр|<-^~^>| при у-1,
л12па 2ст J
Р(г)=К^Д(х), x-b^g-vj, g = ~
zt zt
где у - коэффициент перемежаемости, R -1,4; Ъ 3 = 1,79; vy = -2,338; zt
z
324
Величину Xk можно связать г ™
нием вида нцентрацией инертной примеси соотноше-
Xk=akz+bk,
(где верхняя строчка относится
Далее для простоты примем, что и С„ =const, что всегда
можно положить в ограниченном диапазоне температуры, понимая под Ср> сред-
нее значение этой величины в рассматриваемом диапазоне. Тогда, принимая что
t=_L=JL|,- _£_1
1 С С I 2 Г пеРепишем Уравнение состояния в виде:
zlY
2 J
гдеог=-^гА’
Таким образом, плотность определяется нелинейной зависимостью от мгно-
венных значений концентраций инертной примеси z и скорости V.
Для определения средних значений плотности р необходимо знать распреде-
ление плотности вероятности P(z, V). Тогда р определится выражением
+00+00
р= j $p(z,V)p(z,v)dzdV.
В практических расчетах интегрирование по z производится в пределах от
2~3аг до з+3аг, а интегрирование по V — в пределах от V-Зо^до
+ 3оу , gz,qiz — дисперсия пульсаций концентрации и скорости.
323
Глава 7
ТЕЧЕНИЯ В ТРУБАХ И КАНАЛАХ
Численное моделирование двух- или трехмерных течений газодинамических
смесей, особенно с учетом большого числа химических реакций, является весьма
сложной задачей даже при использовании современной вычислительной техники.
Поэтому на стадии предварительного изучения процессов, а в некоторых случаях
и для проведение параметрических расчетов, целесообразно использовать раз-
личные упрощенные подходы, основанные на априорной информации о характе-
ре того или иного течения. Особенно эффективным является применение упро-
щенных подходов к расчету течений в трубах и каналах с плавным изменением
площади поперечного сечения. Наиболее распространенные упрощения рассмат-
риваются в настоящей главе.
7.1 Приближение узкого канала для течений в трубах и каналах
7.1.1 Общая характеристика задач. Определение градиента давления
Широкое распространение для решения задач о течении газа в трубах и кана-
лах получила модель, основанная на уравнениях пограничного слоя [6, 63, 96,
113, 130, 145, 161, 201 и др.]. В [120] представлен аналитический обзор упрощен-
ных математических моделей течений вязкого газа в трубах и каналах. В рамках
многих моделей пренебрегают изменением давления в поперечных сечениях ка-
нала. Как отмечалось в §4.3.1, упрощения, принятые в теории пограничного слоя,
могут быть применены и к течениям в трубах и каналах с плавным изменением
площади поперечного сечения
В частности, для течений в трубах с прямолинейной образующей эти упроще-
ния основываются на результатах экспериментальных исследований [188]. из ко-
торых следует, что во входном участке изменение параметров не зависит от числа
Рейнольдса, если в качестве продольной координаты взять комплекс, определяе-
w X 1
мый соотношением z =------, где х —расстояние вдоль трубы, г0 — радиус по-
r0 Re
перечного сечения трубы, Re — число Рейнольдса, посчитанное по среднерасход-
ной скорости. Переходя в уравнении неразрывности к независимой переменной
z, легко убедиться, что радиальная составляющая скорости V имеет порядок
• Используя эти оценки, можно убедиться, что упрощенные уравнения (4.84) —
(4.87) описывают течение во входном участке трубы
с погрешностью ^ти
же уравнения могут быть использованы и для описания течения жидкости и газа
326
В [91] для определения у используется дифференциальное уравнение вида
(6.31) при Ргу = 2,0; 6 = 0,18; А = Д =—у(1-у),Е - энергия тур-
Prv vt
булентности. В [93] для у предложена конечная формула
Y = т-------— при — <0,555; у = 1 при —>0,555. (6.32)
zA+az z z
В [631 для определения у также используется формула типа (6.32), но о2 и Е
определяются из дифференциальных уравнений типа (6.31).
Во всех приведенных выше формулах не учитывается влияние турбулентных
пульсаций скорости. Это допустимо для течений с дозвуковыми скоростями В
сверхзвуковых течениях, когда в выражении для полной энтальпии нельзя пре-
небрегать кинетической энергией, для аппроксимации плотности вероятности
P(z, V) в [91] предлагается использовать выражение
P(z,v)=(l-7)8(V-Vs)6(2)+y8(u-F,)6(z-z,),
Т=тУ,+(1-у)76.
Из приведенной информации видно, что существуют различные по сложности
и универсальности подходы к определению влияния турбулентных пульсаций на
значения плотности и, следовательно, на все остальные параметры, в том числе и
на эффективную скорость выгорания водорода. Выбор подхода осуществляется
для каждого конкретного класса задач, исходя из компромисса между точностью
полученного результата и затратами машинного времени.
325
пренебречь трением о стенки канала. Однако, как отмечено в §6.3.2, решение
уравнения вида (6.11) наталкивается на особенности, связанные с возможностью
обращения величины В = Ti’J в ноль при некотором значении х,
1/1
т.е. с переходом осредненного течения через скорость звука.
В качестве иллюстрации возможности описанных алгоритмов рассмотрим за-
дачу о трехмерном течении в канале и задачу об истечении вязкого газа через со-
пло Лаваля при наличии перехода от дозвукового течения к сверхзвуковому.
7.1.2 Пространственное течение в канале конечной ширины
Описанный в § 4.3.2 алгоритм определения давления, использующий «явную»
зависимость скорости от градиента давления, позволяет решать двух- и трехмер-
ные задачи о течениях газа в каналах. В качестве конкретного примера рассмот-
рим течение в канале при вдуве дозвуковой струи в спутный сверхзвуковой по-
ток. Относительная высота дозвуковой струи в начальном сечении h = 0,3. Чис-
ла Маха в струе и в потоке принимались равными 0,57 и 2 соответственно. Про-
дольная составляющая вектора скорости в струе и в потоке не менялась по шири-
не канала. Пространственность течения создавалась заданием в струе переменной
по ширине канала скорости поперечного горизонтального течения, т.е. было при-
нято: w = W0 sin(n • z/B) при у < 0,3, w = 0 при у > 0,3, где у, г - координаты,
измен щиеся по высоте и ширине канала соответственно, w — проекция вектора
скорости на направление оси Ог. При таком задании азимутальной скорости те-
чение является периодическим по ширине канала с периодом 2В. Кроме того, в
плоскости 2= 0 и 2 = В ставились условия симметрии: производные по 2 от
всех, кроме w , параметров равны нулю и w(x,yfi) = w(х,у,В) — 0. Это позво-
лило рассматривать течение в части канала шириной В. Результаты расчетов, ил-
люстрирующие характер поперечного течения, приведены в табл.7.1, где показа-
ны в разных сечениях х = const производные давления по координате 2, ско-
рость азимутального течения в плоскости 2 =В/2 и изменение продольной про-
изводной давления др/дх в плоскостях z = 0 и z = В
Табл ица7.1
Параметры трехмерного течения в канале
X w-102(z-0,5B) др/дг др/дхЛ&
1/ = 0 г/ В -0,5 2-0 г/В-1
0,5 1,986 -1,07 0,0275 -0,96 - 1,782
1,0 - 1,338 -2,09 0,0055 1,605 - 2,028
1,5 -0,49 -1,646 -0,018 1,342 - 1,156
2,0 1,964 -0,38 - 0,0245 - 1,283 2,185
2,5 3,225 0,467 0,0015 -1,338 1,825
3,0 1,983 -0,02 0,018 -0,885 0,9528
3,5 -0,25 -1,2 0,021 0,2396 - 1,231
4,0 - 1,397 - 1,873 0 1,715 - 1,159
328
через трубы и каналы с погрешностью, убывающей вместе с и max^^-J,
где у = г(х) - уравнение образующей трубы, г0 и I - характерные линейные ра-
диальный и продольный размеры. Другими словами, уравнения (4.84) - (4.87) мо-
гут быть использованы для описания течения в удлиненных каналах и трубах с
малым отклонением их поверхности от оси канала - узкие каналы. В связи с этим,
эти уравнения получили название уравнений узкого канала или уравнений при-
ближения узкого канала.
В приближении узкого канала можно описывать и некоторые течения, связан-
ные со вдувом сверх- и дозвуковых струй в поток в трубе или канале. При сме-
шении вдуваемой струи со спутным потоком в длинных трубах и каналах зона
турбулентного перемешивания на некотором расстоянии от входа распространя-
ется на все поперечное сечение канала. В этом случае «невязкая» часть вырожда-
ется, и для расчета течения необходимо учитывать смешение *о всей расчетной
области. В этой части течения волновые процессы, связанные с нерасчетным ис-
течением струи на входе в канал, которые рассматривались § 6.3, нивелированы
и не оказывают преобладающего влияния на параметры течения.
Отличительной особенностью для течений в трубах и каналах является то, что
изменение давления вдоль канала заранее не известно и должно быть определено
одновременно с решением самих уравнений. Изменение давления вдоль канала
определяется, исходя из интегрального условия сохранения массы. Объем вычис-
лений может быть существенно уменьшен, если использовать описанный в §4.3.2
алгоритм «явного» выделения зависимости от давления профиля скорости. Это
позволяет на каждом итерационном цикле по нелинейности дифференциальных
уравнений второго порядка определять градиент давления без дополнительных
затрат времени на решение этих уравнений. В простейшем случае течения не-
сжимаемой жидкости в трубах этот подход был использован во многих работах,
например [130]. Для каналов с непроницаемыми стенками физической предпо-
dp
сылкои для определения -- служит условие сохранения расхода газа вдоль тру-
бы. Однако, представляется более эффективным определять градиент давления,
исходя непосредственно из краевого характера граничных условий для скорости
поперечного сечения Vn, удовлетворяющей дифференциальному уравнению пер-
вого порядка. Уравнение сохранения массы при переходе от одного поперечного
сечения к другому является, как показано в § 4.3.2, прямым следствием этих ус-
ловий. Такой подход является более общим, и может быть использован как для
„ „ dp
двумерных, так и трехмерных течении. Производные в текущем расчетном
dx
сечении определяются при решении квазиодномерных уравнений (4.93). При
этом используется соотношение (4.105), представляющее «явную» зависимость
профиля скорости от градиента давления. Таким образом, итерации по определе-
нию градиента давления осуществляются внутри итерационного цикла, связанно-
го с нелинейностью уравнений второго порядка.
В некоторых случаях, например, когда на стенке канала и*0, для определе-
ния давления удобно воспользоваться непосредственно уравнением вида (6.11),
которое является следствием уравнения неразрывности. При этом ух(х) = 0 - ось
симметрии, у = у2(х) - функция, определяющая форму канала, которая считает-
ся заданной. Это относится к задачам о распространении струй в каналах, если
327
перечного сечения канала, удобнее воспользоваться предложенным в [145] под-
ходом, основанным на осреднении параметров в плоскости поперечного сечения.
Введем осреднснные по поперечному сечению сопла параметры:
r2pmU = 2$puydy = 2A
о
r2pmU = 2$pu2ydy = 2J,
U = JjA, pm=2A/r2U.
Запишем уравнения пограничного слоя в дивергентном виде и проинтегриру-
ем их по у в пределах от 0 до г(х). Полагая, что осредненные параметры - дав-
ление, плотность и энтальпия - связаны уравнением состояния, после очевидных
преобразований запишем осредненные уравнения пограничного слоя в виде:
r2pmU -2A-const,
1 Л.,2 AdU 1 dr2 М2 1 ( du}
17' dx r2 dx AU Re ( dy )y_
(7 2)
В этих уравнениях скорость отнесена к (2СрТ^)^2, давление - к Ро , плот-
ность - к ро, линейные размеры - к радиусу критического селения сопла г*,
Re = ^СрТ0* ] Po-R* / Во > то > Ро _ параметры в ресивере.
Второе уравнение (7.2) отличается от уравнений одномерного течения через
сопло наличием слагаемого, учитывающего трение о стенки канала. Для опреде-
ления этого слагаемого необходимо знать профиль скорости в поперечном сече-
нии. Уравнения (7.1), (7.2) имеют особенность, связанную с обращением в ноль
коэффициента при dpldx или dU Idx, вызванном достижением скорости осред-
ненного потока местной скорости звука. Прохождение особой точки этих уравне-
ний обеспечивается специальным подбором расхода газа через сопло при задан-
ных параметрах в ресивере. Например, из второго уравнения (7.2) видно, что для
того, чтобы dU / dx и, следовательно, dp/dx были ограничены, необходимо,
чтобы в одном и том же сечении х было:
М2-1 = 0,
1 dr2 ( М2 1 Г du} (7 3)
г2 dx AU Re dy Jy=r
Эти равенства могут выполняться лишь при специально подобранном значе-
нии величины А, зная которую легко вычислить коэффициент расхода Cd, яв-
ляющийся отношением реального расхода к расходу, рассчитанному для невязко-
го газа.
Использование (7.2) оказывается удобным для определения dp/dx в окрест-
ности критического сечения. Погрешность, вносимая осреднением параметров,
330
Видно, что наличие азимутального течения в струе (при у < 0,3) слева напра-
во приводит к возрастанию положительной составляющей градиента давле-
ния др/дг .
Под действием этого градиента давления в сверхзвуковом потоке (при
У = 0,3) возникает обратное по г течение (на внешней стенке канала w <0), а
скорость азимутального течения в струе убывает и постепенно тоже становится
отрицательной. Это приводит к изменению знака производной др/дг , что, в свою
очередь, приводит к уменьшению азимутального течения в струе и в потоке и к
изменению его направления на противоположное. Т.е. вдоль канала происходит
периодическое изменение направления азимутального течения с постепенным его
затуханием.
7.1.3 Истечение вязкого газа через сопло Лаваля
Известные в литературе теоретические решения задачи об истечении вязкого га-
за через сопло Лаваля основываются на одном из следующих подходов [113,200].
1. Поток газа разбивается на две части - пограничный слой и невязкое ядро.
Параметры течения определяются i результате сопряженного решения уравнений
пограничного слоя и уравнений невязкого потока с учетом эффектов вязкого
взаимодействия.
2. Для расчета параметров течения решаются упрощенные уравнения газовой
динамики с учетом вязкости газа во всем поле потока.
Во втором подходе принимаются допущения, справедливые для сопел со сла-
бо меняющимся наклоном стенки к оси симметрии (приближение узкого канала).
В результате этого задача сводится к решению уравнений пограничного слоя с
учетом поперечной кривизны. Причем эти уравнения позволяют рассчитывать все
поле погока без выделения части течения, в которой можно пренебречь вязкостью
газа. Этот подход более приемлем для течений с малыми числами Рейнольдса,
когда пограничный слой занимает значительную часть поперечного сечения. При
решении этой задачи возникают вопросы, . «язанные с определением градиента
давления на оси и прохождением особой точки уравнения типа (6.11), полученно-
го в §6.3.2. Применительно к задаче о течении вязкого газа в канале это уравнение
может быть записано в виде:
1 Y 1 dP 1 dr2 \F „„
<71)
„ у-1\.дуыт у
где у = г(х) - уравнение поверхности сопла, г =---------U~~d—] ’ ^ = ~r'
Заметим, что для невязкого течения в гидравлическом приближении из этого
уравнения вытекает обычное соотношение между изменением площади попереч-
ного сечения сопла и градиентом давления, применяемое в одномерной теории
сопла Лаваля - аналог уравнения (1.78). Интеграл, входящий в правую часть
уравнения (7.1), расходится, если скорость газа на стенке стремится к нулю. По-
этому для вывода уравнения, связывающего изменения давления и площади по-
329
В предыдущем параграфе приведен пример использования процедуры осред-
нения при получении соотношения для градиента давления. Остановимся на этом
вопросе подробнее.
Введем осредненные по поперечному сечению канала параметры
V1
pu-F = (2л)ш jpuywdy = А ,
УО
ри 2 • F = (2л)“ jpu2yady = I, (7 4)
УО
риГс. F = (2л)“ jpui,y‘*dy - Q,
УО
где A, I, Q - масса газа, импульс и теплосодержание газа, переносимого через
поперечное сечение трубы в единицу времени, F(x) и у = у0(х), у = у1(х) -
площадь поперечного сечения и уравнения стенок трубы (<о = 1) или канала
(<о = О).
Умножим уравнение неразрывности (4.84) на (2л)" dy и проинтегрируем его
по у в пределах от уо(х) до i/i(x). Используя правило дифференцирования ин-
теграла по параметру, с учетом того, что на поверхности канала компонента ско-
рости и равна нулю, получим
jpuy“di/+pui/"|!Z1= ^myady.
УО УО l*10 УО
Используя формулы осреднения, перепишем это уравнение в виде:
+ (7.5)
dt дх
bl
где gw =риу“1 - масса газа, втекающая в трубу или канал в единицу времени
через единицу площади поверхности трубы, т - масса газа, появляющаяся или
исчезающая в плоскости поперечного сечения вследствие внутренних источников
(в частности, фазовых переходов). Для канала с непроницаемыми стенками при
отсутствии внутренних источников массы это уравнение переписывается в виде:
+ & = (7.5')
dt дх
___Для стационарных течений из этого уравнения вытекает соотношение
puF - А = const, выражающее условие сохранения расхода. Для нестационарных
течений расход газа через каждое поперечное сечение трубы может изменяться
Перейдем к уравнению количества движения. Умножив уравнение (4.85) на
у, с учетом (4.84) перепишем это уравнение в дивергентном виде:
332
здесь незначительна, так как в критическом сечении пограничный слой наиболее
тонок. остальной части сопла для определения dp/dx используется алгоритм,
описанный в §4.3.2. Для определения осредненных параметров, входящих в (7.2),
(7.3), использовались результаты численного конечно-разностного решения урав-
нений пограничного слоя.
В качестве примера, иллюст-
рирующего получаемые резуль-
таты, рассчитано течение газа
через коническое сопло с тепло-
изолированными стенками. Угол
полураствора входной части ра-
вен -30°, выходной - +20°. Обра-
зующим- конических поверхно-
стей сопрягаются окружностью с
радиусом, равным 0,5. Расчеты
проведены при Re =1250, 590,
260, 175.
О 4 8 12 16 х/Г» О 4 8 12 16 х/т*
а) б)
Рис.7.1 Изменение ядра равномерной скоро-
сти (а) и температуры газа (б) вдоль оси сопла
В таблице 7.2 приведены значения расхода газа, полученные в расчете и в
эксперименте [200].
На рис.7.1 представлено распределение отнесенной к радиусу текущего сече-
ния сопла величины ядра равномерной скорости и температуры вдоль оси сопла.
В ядре значения продольной скорости отличаются от соответствующих значений
на оси менее, чем на 5% . Распределение температуры дано в сравнении с экспе-
риментальными данными из работы [200]. Увеличение температуры в расши-
ряющейся части сопла вызвано влиянием работы сил вязкого трения.
Табли ца7 2
Зависимость коэффициента расхода газа через сопло Лаваля от Re
Re 00 1250 590 260 175
А 0,129 0,114 0,110 0,104 0,101
1 0,885 0,853 0,8 0,775
Cd эксп. - 0,9 0,84 1 0,8 0,77
7.2 Описание течений в квазиодномерном приближении
7.2.1 Квазиодномерные уравнения
При определении параметров течения вдоль достаточно длинных труб и кана-
лов оправдано применение квазиодномерных моделей. При таком подходе к опи-
санию движения параметры потока, переменные по поперечному сечению канала,
заменяют на некоторые постоянные по всему сечению значения посредством оп-
ределенной процедуры осреднения. В результате этого получаем уравнения, со-
держащие первые производные осредненных величин по продольной координате
и времени. Являясь математически одномерной, эта модель позволяет включить в
рассмотрение вязкое трение о стенки канала, химические реакции, боковой вдув и
другие процессы.
331
нат, адаптированной к стенкам канала. Продольные координатные линии близки
к линиям тока, а поперечные ортогональны к ним. В этой системе координат по-
перечная составляющая вектора скорости остается малой по сравнению с про-
дольной. Осреднение производиться не в плоском сечении, перпендикулярном
оси трубы или канала, а на поперечной координатной поверхности. Вследствие
того, что система координат адаптирована к стенкам канала, направления норма-
лей в каждой точке этой поверхности близки к направлениям линий тока.
7.2.2 Соотношения для трения и теплопередачи на
поверхности труб и каналов
Напряжение трения и тепловой поток через поверхность трубы определяются
соотношениями
aJ .ат
Ф ду j
Для определения этих величин в общем случае необходимо знать распределе-
ние скорости и температуры в поперечных сечениях трубы. Для этого нужно чис-
ленно решать уравнения (4.84) - (4.86). В некоторых случаях, особенно для лами-
нарных течений, это является оправданным. Однако для турбулентных течений в
трубах в силу необходимости привлечения эмпирической информации для замы-
кания моделей турбулентности, более рациональным является использование для
определения и qw различных аппроксимационных соотношений, полученных
в результате обработки многочисленных экспериментальных данных. Эти данные
получены в результате исследования гидравлического сопротивления труб на ос-
новном участке стабилизированного течения несжимаемой жидкости. Распреде-
ление скорости в различных сечениях трубь при стабилизированном течении
<Эр
одинаковы и = const.
дх
В практических расчетах принято вводить коэффициент гидравлического со-
противления % при помощи следующего соотношения:
др £,ри2
дх d 2
где d - диаметр трубы.
Рассматривая баланс сил на участке трубы длиной I, с учетом отсутствия сил
инерции и постоянства сил трения получим
dx 4 4 2
Отсюда имеем:
г _5ры2
w 4 2
334
дриу । дри2у дриуу др д ди
д* dx ду У дх ду ду
Произведя так же, как это сделано для уравнения неразрывности, интегриро-
вание по площади поперечного сечения, получим уравнение, которое с учетом
формул осреднения (7.4) можно записать в виде:
SpuF [ dpu2F _ dpF — dF ди\
dt dx dx P dx pP ду |Р=П)Л
(7-6)
где кр смоченный периметр — длина линии пересечения поверхности трубы
или канала плоскостью х = const.
Поступая аналогичным образом с уравнениями энергии и диффузии, получим
соответствующие квазиодномерные уравнения
dpEF dpuioF
dt ду
d^XkF t dpuXkF
dt dx
(7.7)
= IwkKP +
где qw-[ X—+ (1-Le)^(ife-Гк )rw| и Л,=Д,™^Ч - тепловой и
k °У dy |у=г0
диффузный потоки через поверхность трубы, Wk - приток массы /г-той компо-
ненты вещества. Для стенки из химически инертного материала Iw = 0 .
Принимая во внимание, что ц—— = iw - напряжение трения на поверхно-
dy |«=г0
сти трубы, с учетом уравнения (7.5) получим из (7.7) после деления на F :
_ du — ди др к
-дЕ__di. к
J^ + PUJT^
_dXk —dxk кр ?
p^r+pu^-^+w*-
(7 8)
Для цилиндрической трубы F = лг02, к г = 2яг0, для кольцевой трубы
F = п(г2 - г2), кР=2л(г1 + го ), где г0 - радиус трубы, го,г} - радиусы внут-
ренней и внешней поверхностей кольцевой трубы.
Полученные на базе проведенного осреднения уравнения при больших углах
наклона стенок канала могут привести к существенным погрешностям. В [6]
предложен метод осреднения, позволяющий учитывать кривизну стенок канала и
пригодный для больших (по сравнению с моделью узкого канала) углов раствора.
В этой работе проводится осреднение уравнений, записанных в системе коорди-
333
При обработке экспериментальных данных пользуются безразмерным коэф-
фициентом теплообмена Nu, который получил название число Нуссельта
Nu = —
Исходя из условий подобия процессов конвективного теплообмена при выну-
жденном движении теплоносителя, для аппроксимации числа Nи используются
критериальные соотношения вида
= f(Re,Pr).
Для течения в трубах для определения Nu используются следующие зависи-
мости, предложенные Михеевым [105]
Ламинарное течение:
/ ( р \02Б
ZVu = l,4|Re—| Рг033 —
I I)
Z/d>10, Re >10,
где Z - длина трубы.
Турбулентное течение:
(х0.25
— I , 104 <Re<5106, Pre[0.6-2500]
Рг. )
Коэффициент ее учитывает изменение среднего коэффициента теплоотдачи
по длине трубы. Если Z/d>50, то ее= 1. Диапазон изменения ее при изменении
l/d от 1 до 50 зависит от числа Re. Например, 1<ее<1.65 при Re = 104,
1<ее <1.14 при Re = 106.
Для вычисления Ее может быть использована следующая формула [59]:
Физические свойства газа определяются как по средней температуре, так и по
температуре поверхности (индекс w), Rc =, = d3 - эквивалент-
v а
ный диаметр, равный учетверенной площади поперечного сечения трубы, делен-
ной на его полный (смоченный) периметр. Для трубы с круговым поперечным
сечением da равно диаметру трубы.
При движении газа по изогнутым трубам поток газа отжимается к внешней
стенке, и в поперечном сечении возникает вторичная циркуляция. Расчет тепло-
передачи в изогнутых трубах может быть произведен по формулам прямой трубы
336
Для установившегося по длине трубы ламинарного течения получены анали-
тические решения уравнений узкого канала, используя которые можно записать
[1,86,100]
Эта формула хорошо подтверждается результатами экспериментальных ис-
следований.
Для определения коэффициента гидравлического сопротивления турбулент-
ного течения имеются эмпирические соотношения, полученные в результате об-
работки многочисленных экспериментальных данных:
£ = 0.316Re“1/4 при Re<104;
£ = (1.821g Re-1.64) 2 при 104 <Re<5106.
Переход от ламинарного к турбулентному режиму течения имеет место, как
это установлено Рейнольдсом, при Re ~ 2300 [188].
Приведенные формулы позволяют определить с достаточной для многих
практических приложений точностью гидравлическое сопротивление гидравли-
чески гладких труб.
В случае течения жидкости и газа по трубам, поверхность которых является
шероховатой, эти формулы должны быть модифицированы. Наиболее надежные
формулы имеются для расчета гидравлического сопротивления труб с песочной
шероховатостью, т.е. труб, в которых реальная шероховатость моделируется
плотно упакованными на внутренней поверхности калиброванными частицами
песка. Эта эквивалентная шероховатость определяется коэффициентом ke.
Для расчета гидравлического сопротивления таких труб может быть исполь-
зовано соотношение [188]
Д.=1.14-2Щ—11+—I, (7.9)
Я 14
где k+ - fegRe 1^- Е = &~ w
D v8’ * ри2'
Для гидравлически гладких труб ke = 0, и формула переходит в формулу
Прандтля [100, 188]
1
= 1.U-2lg^.
Для определения удельного теплового потока в практических расчетах можно
использовать закон Ньютона-Рихмана, выражаемый соотношением
qw =a(Tw - Т), где а - коэффициент теплоотдачи
Tw — температура
стенки, Т — температура газа в трубе.
335
Уравнения для дисперсной фазы записываются в виде:
dt дх
dPjy^F Sppv;r _ - ~
~b~+—x—-F'F~“"F’
=QF- mrF + V F F.
dt dx
В этих уравнениях тильдой помечены осредненные по площади поперечного
сечения параметры межфазного взаимодействия, например
- изменение импульса частиц, связанное с взаимодействием частиц с по-
верхностью трубы или канала. Это слагаемое учитывает изменение импульса
единичных частиц при их соударении и отражении от поверхности [34, 107, 191].
При расчете течений газовзвеси в канале потери импульса из-за взаимодейст-
вия частиц со стенками, по аналогии с потерями на трение газовой фазы, записы-
ваются в принятой для несущего газа форме:
Коэффициент потерь с,р является наряду с Cd,Nu,Cp одним из параметров,
определяющих точность расчета течений газовзвеси в трубе. Для этого коэффи-
циента на основе экспериментальных данных получены различные эмпирические
зависимости от основных параметров течения и массовой доли дисперсной фазы.
В частности, в [107] для предложено (с использование результатов работы
[85]) следующее соотношение:
где ku и kv - нормальный и тангенциальный коэффициенты восстановления. Эти
коэффициенты зависят от материала частиц и углов соударения. Для оценочных
расчетов можно принять kv = 0,1, kn = 1 <- 2,7.
В свою очередь коэффициент А определяется соотношением
A = 2^(7kn+2kT+5),
где kn, kx — отношения продольной осредненной и радиальной пульсационной
скоростей частиц, взаимодействующих со стенкой, к средней по сечению скоро-
сти частиц. В общем случае эти величины являются сложными функциями опре-
деляющих параметров. Однако при достаточно больших числах Re и
Stfe(Re>104, Stk >ю) и Кр>3 можно принять kn = 0,93-^0,99. При указан-
338
с введением множителя ел , который для змеевиковых труб определяется соот-
ношением [105]
ЕЛ = 1 + 1.77— ,
Г з
где г3 - радиус змеевика.
Для газов широкое распространение получила формула
Nu =0.0225 Re08 Рг06.
Используется также следующая формула (формула Петухова):
*1 +12-71/р(рг*/2-1)
где ky = 1 + 900/Re, g, - коэффициент гидравлического сопротивления.
Для расчета нагрева одно- и двухатомных газов можно использовать формулу [59]
(гп Х-0.7Г z Х-0.7 /„ х0.7
1 + 1— I iw I
Т ) [ W I Т}
где Re = 7-102+ 2-105, x/d = 1.2 + 144, Tw/T = 1+7.5.
При нагреве газов вдоль трубы гидр лическое сопротивление падае<. Для
оценочных расчетов может быть рекомендована формула [59]
= 0.316 ((* г» 7 ]
Re°-25lTj [ IdJ j
При охлаждении двухатомных газов эксперименты (например, [59]) при
Tw/T = 0.15 + 1 не обнаруживают влияния температурного фактора на теплопе-
редачу и гидравлическое сопротивление.
7.2.3 Квазиодномерное приближение для двухфазных течений
Квазиодномерное приближение используется для расчета параметров двух-
фазных течений в трубах и каналах с плавным изменением площади проходного
сечения В основе вывода квазиодномерных уравнений лежат уравнения, полу-
ченные в приближении «узкого канала», описанном в предыдущих разделах.
Производя, как и для чистого газа, осреднение параметров газа и частиц по пло-
щади поперечного сечения канала по аналогии с предыдущим параграфом, можно
записать квазиодномерные уравнения для двухфазных течений. Уравнения для
газовой фазы записывается в виде (7.5) - (7.8), при этом в правой части появля-
ются осредненные по площади поперечного сечения члены, отражающие меж-
фазное взаимодействие
337
ния в каждом текущем сечении х = хп получаем комплексы А, исходя и? кото-
рых могут быть определены газодинамические параметры. Вопрос расчета газо-
динамических параметров по комплексам для совершенного газа рассматривается
в §1.3.4. Используя соотношения этого параграфа, получаем
Z * >2 2 7 Лз
и- Y ^2 ±л/р, где Р = |
(7.11)
p = A2IF-A1U,Xk=-±
Знак плюс в формуле для и берется для сверхзвуковых течений, минус - для
дозвуковых. В сечении, где скорость равна скорости звука, имеем D = 0 .
Вопрос постановки граничных условий для одномерных уравнений газовой
динамики обсуждался в §1.1.4. Показано, что для сверхзвуковых течений во
входном сечении канала должны быть заданы все газодинамические параметры.
При дозвуковом втекающем потоке для определения всех параметров на входе в
канал газа необходимо рассмотреть их зависимость от условий в выходном сече-
нии канала. Как следует из §1.3, изменение параметров по длине канала происхо-
дит вследствие изменения площади проходного сечения, трения, теплоотвода,
работы, совершаемой газом, и др. В частности, такой работой может быть работа
по ускорению частиц при течении в канале двухфазного потока. Таким образом,
при дозвуковом втекающем потоке для уравнения (7.10) формулируется краевая
задача. Как правило, на входе является неизвестным расход газа или давление.
Эти параметры подбираются так, чтобы на выходе выполнялось заданное усло-
вие Чаще всего на выходе из канала задается давление Поиск неизвестного па-
раметра на входе ищется методом «пристрелки»: задается начальное значение
параметра, решается система уравнения (7.10) при заданных начальных данных.
Используя полученные на текущем итерационном цикле параметры, вычисляем
невязку, отражающую выполнение условия на выходе из канала
& = -р),
где р - давление, полученное в результате численного решения, ра - заданное
давление. Неизвестный параметр подбирают так, чтобы было 0 = 0. Обычно
применяется метод хорд [72], решение находят за 5 - 10 итераций.
В результате внешнего воздействия (изменение площади поперечного сечения
канала, трение, работа газового потока и др.) в процессе решения может полу-
читься, что в некотором сечении х = х подкоренное выражение в (7.11) стано-
вится равным нулю (D = 0) и дальше может становиться отрицательным. Сечение
х = х называется сечением запирания. В этом сечении, как отмечалось в § 1 3,
скорость потока равна местной скорости звука. Положение сечения запирания
или, что то же, значение х зависит от условий во входном сечении. В этих усло-
виях недостающие данные во входном сечении подбираются так, чтобы не допус-
тить ситуации, при которой D становится меньшим нуля. При этом обеспечива-
ется плавный переход от дозвукового течения к сверхзвуковому, если это воз-
340
ных определяющих параметрах уровень пульсационной скорости частиц у стенки
таков, что kv~ 10 , причем величина kv зависит от материалов стенки трубы и
• частиц.
7.2.4 Алгоритмы численного решения квазиодномерных задач
В дивергентном виде уравнения движения газа в трубах и каналах с учетом
трения и массообмена на стенках канала переменного сечения можно записать в
виде:
дА: QGj _ _
—^ + —^- = Wj+Kj-F, (7.10)
dt дх 1 ’ v ’
где Aj,Gj,Wj — газодинамические комплексы, индексj отсутствует для газовой
фазы, j = р для дисперсной фазы, Ks -комплексы, отражающие обмен массой,
импульсом и энергией между несущей и дисперсной фазами, F - площадь попе-
речного сечения канала. Для комплексов Aj, Gj, Wj и К можем записать:
А = {pF, puF, pEF, puXkF},
G = {puF, (pu2 + p)F, pui0F, pXkF],
W = F, p~ + KpTw, Kpqw,KpIw + wJ .
Аналогичным образом записываются комплексы для дисперсной фазы с уче-
том того, что 1Я дисперсной фазы давление равно нулю.
При этом для обменных комплексов Kj можно использовать соотношения
(5.30), в которых отсутствует компонента, содержащая Vy.
Эти уравнения удобно использовать для численного решения нестационарных
и стационарных задач. В последнем случае решение получается, как отмечено в
§4.1.4, методом установления.
Для стационарных течений квазиодномерные уравнения, учитывающие тре-
ние и теплоотвод от газового потока через стенки канала, можно записать в виде:
dx
где А = {puF, (pu2+ p)f, pui^F, puXfcF),
VT = |vP F, р-~^— + к.tw, к qw,к Iw + wk [
I dxp J
Здесь выписаны уравнения для однофазного газового потока. Для двухфазных
течений алгоритм решения не изменяется. Эти уравнения могут решаться поша-
говым конечно-разностным методом, начиная с сечения х = 0, до выходного се-
чения х = 1. В частности, может быть использован конечно-разностный метод
Рунге-Кутта или схема Эйлера с пересчетом [72]. В результате пошагового реше-
339
Это уравнение решается методом хорд [72].
Если рассматривается течение химически равновесных смесей, то исходя из
(3.17) можно получить квазиодномерное уравнение для химических элементов.
Тогда на каждом шаге маршевого счета концентрации химических элементов оп-
ределяются из соотношений
xt=¥-
Концентрации химических веществ тогда определяются при заданной темпе-
ратуре и давлении по алгоритмам, описанным в §§ 3.5.2, 3.5.3. Уравнение (7 15)
по-прежнему служит для определения температуры.
В качестве входных данных для определения концентрации компонентов и
температуры могут служить, как это отмечалось в §3.5.3, давление р и энтальпия
г. В этом случае энтальпия определяется из соотношений
1-1° 2’
При расчете двухфазных квазиодномерных течений основные элементы алго-
ритма численного решения уравнений, включая и определение недостающих дан-
ных для газовой фазы во входном сечении, не изменяется. Увеличивается только
количество уравнений. Поскольку в уравнения, описывающие движение облака
частиц давление не входит, то решение этих уравнений определяется только па-
раметрами частиц во входном сечении канала. Алгоритм расчета двухфазных те-
чений рассмотрен в §7.3.2.
7.3 Примеры решения задач о течении в каналах
7.3.1 Анализ течения в канале при отводе тепла
Общие особенности влияния подвода и отвода тепла от газа описаны в §1.3. С
целью более детальной иллюстрации особенностей таких течений рассмотрим
результаты численных экспериментов по исследованию влияние распределенного
теплоотвода с боковой поверхности цилиндрической трубы на характер течения в
ней при истечении газа из ресивера в окружающее пространство. Определяющи-
ми параметрами задачи являются: отношение давления в окружающем простран-
стве к давлению в ресивере ра/ръ', отношение температуры поверхности охлаж-
дающих элементов к температуре в ресивере Tw /То . Результаты получены при
численном решении нестационарных квазиодномерных уравнений с применением
конечно-разностной схемы Годунова. Единичные расчеты проводились с приме-
нением конечно-разностной схемы Мак-Кормака. Типичные результаты расчетов
приведены на рисунках 7.2 - 7.5.
На рисунках 1.2а и 1.26 показано изменение давления по длине канала при
различных отношениях ра/р0 и Tw /То . Результаты, представленные на рис.
1.2а, получены при TW/TQ =0.7 и разных отношениях давления на выходе из ка-
нала к давлению в ресивере pa/pG = 0.685, 0.735, 0.785, 0.825, 0.850 (линии 1, 2,
3, 4, 5 соответственно). Продольная координата х отнесена к длине канала I, а
время t к длине канала, деленной на скорость звука в ресивере, - х=х/1,
342
можно, или совпадение сечения запирания с выходным сечением канала Как сле-
дует из изложенного, особенности решения стационарных задач определяются
свойствами уравнений обращения воздействий, рассмотренных в §1.3.1.
Общая схема решения стационарных задач сохраняется и при рассмотрении
химически реагирующих многокомпонентных смесей и для двухфазных течений.
При этом газодинамические параметры определяются, исходя из следующих со-
отношений:
ри = Аг, ри2+р = А2,
puio=A3, puXh=A4k, (7.12)
i0=i + u72, i = £xA(T),
P = pB,^—T.
mk
Решая эти уравнения можно определить все газодинамические параметры.
При этом может быть применен следующий итерационный процесс. Записывает-
ся уравнение состояния в квазисовершенном виде
p = Z(Xt,T\i, (7.13)
где Z(Xt,f)= .
С учетом этого, решая уравнения (7.12) относительно газодинамических па-
раметров по аналогии с §1.3.4, получаем:
„=-----Г---if—
2-Z(X»,T)(a J
(2-Z(Xt,r)).Z(Xft,T) A3, (7.14)
p = A =
U Aj
(1.6) имеем Z = -^—, и тогда соотношения (7.14)
Для совершенного газа из
переходят в (7.11). Используя эти соотношения, сформулируем алгоритм итера-
ционного определения параметров. Задаем начальное приближение для темпера-
туры, находим значение Z(Xk,T) и определяем давление р из (7.14). Далее зна-
чение температуры Т подбирается так, чтобы выполнялось уравнение состояния
(7.13). Т.е. по сути, температура является корнем трансцендентного уравнения
р-Z(Xk,T)pT = 0.
341
3, 4 соответственно) и изменение скорости,
отнесенное к критической скорости звука
(коэффициент скорости), при
Ра/Ро =0.785 показаны на рис. 7.3а и
7.36 для Tw/T0 =0.5 и на рис. 7.4а и 7 46
при ТУу/Тр =0.35.
На всех приведенных графиках можно
выделить периодическое решение. Из со-
поставления полного давления в потоке и
скорости в выходном сечении трубы вид-
но, что максимуму давления торможения
соответствует максимальная скорость газа,
а минимуму давления торможения - мини-
мальная скорость газа. Изменение скорости
газа в каждом поперечном сечении трубы
имеет периодическую структуру и связано
с изменением полного давления в этом се-
чении. Периодическое изменение решения
в любом из поперечных сечений внутри
канала является следствием изменения ре-
жима течения, связанного с переходом от
сверхзвукового к дозвуковому течению и
наоборот.
При да.»ьнейшем понижении темпера-
0.06 8.72 17.38 26.03 34.69 43.34 z
6)
Рис. 7.4 Изменение давления (а) и
скорости (б) во входном (1), средин-
ном (2) и выходном (3) сечениях ка-
нала, Tw/То =0.35
туры теплоотводящих элементов и связанным с этим увеличением теплоотвода
появляются нестационарные режимы течения, имеющие сложную периодическую
структуру (рис. 7.4). При этом в сечениях трубы периодически возникает течение,
направленное от выходного к входному сечению трубы (обратные потоки).
В течениях, в которых наряду с теплоотводом имеет место и работа сил тре-
ния, мощность которых соизмерима с мощностью теплоотвода, трение оказывает
стабилизирующее влияние, и нестационарные режимы течения не наблюдаются.
Влияние температуры охлаждающих эле-
ментов на распределение давления в кана-
ле при наличии трения иллюстрируется
рисунком 7.5. Результаты приведены для
Ра /Ро =0.785 и Т„/Т0=0.1, 0.5, 0.6,
0.65, 0.7, 0.75, 0.8 (линии 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
соответственно). Работа сил трения доста-
точной мощности обеспечивает плавный
0.38 0.57 0.63 0.76 089
Рис. 7.5 Влияние охлаждения стенки
на распределение давления в канале
при наличии трения
переход течения на входе в канал и в кана-
ле от полностью дозвукового (линия 7) до
полностью сверхзвукового (линия 1) при
стационарном режиме течения.
7.3.2 Ускорение и нагрев частиц высокотемпературным потоком газа
Ускорение и нагрев твердых частиц газовым потоком широко используется в
элементах различных технологических устройств. Простейшие соотношения для
оценки параметров газа в канале разгона и нагрева частиц приведены в §1.3.5.
Однако более детальный анализ и уточнение расчетных параметров термогазоди-
344
т ta0/l. Линией За показаны данные, полученные с применением схемы Мак-
Кормака. Видно наличие пульсаций давления в окрестности скачка уплотнения,
которые являются следствием немонотонности схемы Мак-Кормака.
Влияние интенсивности теплоотвода на изменение давления по длине канала
показано на рис. 7.26. Результаты, приведенные на этом рисунке, получены при
Ра/Ро -0-785 и Tw /То = 0.63, 065, 0.70, 0.75, 0.80 (линии 1, 2, 3, 4, 5 соответст-
венно).
Охлаждение газа приводит к тому,
что при выходе из ресивера формирует-
ся сверхзвуковое течение газа, статиче-
ская температура которого равна тем-
пературе охлаждающих элементов. При
этом статическое давление в потоке
меньше, чем давление на выходе из ка-
нала. Повышение давление при выходе
из канала происходит в скачке уплотне-
ния. При постоянном теплоотводе
(рис.7.2а) положение этого скачка оп-
ределяется отношением ра/ р0 , а при
постоянном давлении на выходе (рис.
7.26) положение скачка определяется
интенсивностью теплоотвода. После
прохождения через скачок течение ста-
новится дозвуковым, статическая тем-
пература становится большей, чем тем-
Рис.7.2 Распределение давления по длине
канала
пература охлаждающих элементов, и изменение давления по длине участка кана-
ла после скачка свидетельствует о торможении потока, вызванном теплоотводом.
С увеличением давления на выходе и с уменьшением теплоотвода скачок сдви-
гается вглубь канала. При ра/р0 =0.850 и TW/TG =0.7 (рис.7.2а) так же, как
Рис. 7.3 Изменение давления (а) и скорости
(б) во входном (1), срединном (2) и выход-
ном (3) сечениях канала, Tw /То = 0.5
при ТИл/Т0=0.8 и Ра/Ро =0.785
(рис.7.26) устанавливается дозвуко-
вое течение по всей длине канала, и в
обоих случаях имеет место изменение
давления, типичное для дозвукового
течения при отводе тепла.
При понижении температуры ох-
лаждающих элементов положение
скачка смещается к выходному сече-
нию канала и, начиная с некоторых
значений Tw/T0 , в канале устанав-
ливается нестационарное, периодиче-
ское во времени, течение. Изменение
давления во входном сечении канала,
по средине канала и в выходном се-
чении, изменение давления торможе-
ния на выходе из канала (линии 1, 2,
343
б) для заданного значения определяются газодинамические параметры га-
зовой смеси и «газа» частиц во входном сечении канала;
в) проводится маршевый расчет двухфазного течения в канале, описываемого
системой уравнений (7.10). На каждом маршевом шаге определяется вектор
обобщенных газодинамических комплексов Ат, исходя из которого по соотно-
шениям, аналогичным (7.11), (7.14), пересчитываются параметры. При этом ско-
рость газа и находится из решения квадратного уравнения. Знак перед квадрат-
ным корнем из дискриминанта D этого уравнения выбирается в зависимости от
типа реализуемого течения. Знак «+» соответствует дозвуковому течению, а знак
«-» - сверхзвуковому. Критическому сечению соответствует D = 0 . На каждом
шаге интегрирования анализируется значение дискриминанта D. Если в любом
сечении D > О, то течение в канале всюду дозвуковое. Если в некотором сечении
канала D < 0, то в данном сечении наступило запирание потока. Сечение канала
является критическим, если в этом сечении D = О, и течение за этим сечением
становится сверхзвуковым;
г) определяется принадлежность интегральной кривой первому или второму
семейству решений в зависимости от типа течения. Для полностью дозвукового
течения рассматривалась разность Q = / ра -1, где p?k) - расчетное значе-
ние статического давление на выходе из канала, соответствующее скорости газа
на входе , ра - давление в пространстве, в которое вытекает газ. Интеграль-
ная кривая принадлежит первому семейству, если Q < 0 , второму - если Q > О. В
случае смешанного течения в канале со сверхзвуковым участком течения первому
семейству принадлежат интегральные кривые, у которых D > 0 в каждом сече-
нии, а второму семейству - интегральные кривые, у которых в некотором сечении
Е)<0;
д) проверяется выполнение условия сходимости итерационного процесса по
подбору значения (для дозвукового течения в канале |Q| < е , для смешанно-
го — |jD| < е ). В случае невыполнения условия сходимости итерационного процес-
са задается новое приближение для скорости газа , и расчет повторяется, на-
чиная с пункта б).
В качестве иллюстрации основных особенностей рассматриваемых течений
проведены оценки влияния относительного массового расхода частиц оксида
алюминия ( AZ2O3) различной фракционности (dp = 10, ..., 100 мкм) на газодина-
мические и теплофизические пара-
метры двухфазного потока в канале
со сверхзвуковым разгонным участ-
ком. Схема канала показана на
рис. 7.6. Расчеты выполнены для топ-
ливной пары водород + кислород при
стехиометрическом соотношении
компонентов. Распределения температур и скоростей фаз вдоль канала представ-
лены на рис. 7.7 и 7.8 при различных значениях относительного расхода
kp ~ Qp/Qg и диаметрах частиц (Qp — массовый расход частиц, Qg - массовый
расход газовой фазы).
О 40' 60 /20 7бЬ ''200 ' 124& г. мм
Рис. 7.6 Схема канала со сверхзвуковым
разгонным участком.
346
памических процессов в газодинамическом канале может быть проведен с ис-
пользованием квазиодномерных уравнений для двухфазного потока. При форму-
лировке математической модели для описания двухфазного течения в газодина-
мическом тракте принимаются следующие допущения: газовая фаза находится в
термодинамическом равновесии; дисперсная фаза состоит из частиц сферической
формы одного размера, которые между собой не взаимодействуют [153, 154, 155].
Двухфазный поток в газодинамическом тракте описывается при помощи уп-
рощенной модели, основанной на квазиодномерных уравнениях газовой динами-
ки, в которых учтены, трение и теплообмен двухфазного потока со стенки канала;
трение и теплообмен между фазами. Стационарное течение двухфазного потока
описывается уравнениями (7.10). Расчет поля потока осуществляется непрерыв-
ным образом от входного до выходного сечений канала. Все необходимые рас-
четные соотношения для параметров силового и теплового взаимодействия меж-
ду фазами описаны в §§5.2.2, 5.2.3
Для частиц формируется задача Коши - задача с начальными данными. На
входе в канал считаются заданными скорость, температура и коэффициент двух-
фазности потока (отношение массового расхода частиц к расходу газа). Для газо-
вой фазы считаются заданными статическое давление, полная энтальпия и эле-
ментный состав во входном сечении газодинамического тракта, а на выходе из
газодинамического тракта - давление.
Решение сформулированной начально-краевой задачи сводится к решению
набора задач Коши. Начальные условия ставятся вг входном сечении канала.
Краевое условие на виыходе из канала удовлетворяется подбором недостающего
параметра (скорости газа и) в начальном сечен<ih. Итерационный алгоритм опре-
деления этого параметра зависит от режима течения в канале. При докритическом
(полностью дозвуковом) режиме течения на выходе из канала ставится условие
равенства статического давления газа давлению в окружающем пространстве.
При сверхкритическим истечении должно выполняться условие и = а в сечении
минимальной площади либо в выходном сечении для канала постоянного попе-
речного сечения (а - местная скорость звука).
Для численного решения системы уравнений (7.10) использовалась двухшаго-
вая схема Эйлера с неявной аппроксимацией компонент вектора свободных чле-
нов Кр1, что позволяет, как отмечалось в §5.2.6, преодолеть трудности, связан-
ные с жесткостью системы уравнений при уменьшении диаметра частиц. В ре-
зультате численного интегрирования уравнений (7.10), на каждом расчетном шаге
определялся вектор обобщенных газодинамических комплексов
А*т = А + 0ДхКр , где Дх - продольный шаг интегрирования, а 9 = 1 на первом
шаге и 0 = 0,5 на втором Для пересчета параметров двухфазного потока по
обобщенным газодинамическим комплексам решалась система из шести алгеб-
раических уравнений.
Подбор недостающего параметра во входном сечении канала может быть
осуществлен по следующему алгоритму:
а) задается начальное приближение для скорости газа во входном сечении ка-
нала и{»;
345
столько мелкими, что отсутствует их отставание от газа и их температура равна
температуре газа. При введенных допущениях можно использовать приближение
гомогенной среды (описанная в §5.2.4 односкоростная и однотемпературная мо-
дель среды) [103, 134]. Кроме того, по аналогии с §1.3.6 считается, что гомоген-
ная среда находится в состоянии равновесия, и при наличии капель воды давле-
ние и температура пара лежат на линии насыщения, т.е. их изменения связаны
соотношением Клаузиуса-Клапейрона. Допускается возможность полного испа-
рения воды, когда паровоздушная смесь перегревается, и пар не находится на ли-
нии насыщения.
В этих условиях течение смеси может быть описано уравнениями движения
однородного газа с приведенными физическими параметрами: плотностью р,
удельной теплоемкостью Ср и газовой постоянной R Степень влажности гомо-
генной смеси, определяемой как отношение массы жидкости к массе смеси пара и
воздуха, характеризуется массовой долей капель жидкости к = a/Pf/W1 — a f)).
Здесь и далее приняты следующие обозначения: af - объемная концентрация
жидкости, p°f - плотность жидкости, р - плотность газовой фазы, состоящей из
смеси воздуха и пара. В свою очередь р = рв(1 - Хп )+ р„Хл, где Хп - массовая
концентрация пара; рв и рп - плотность воздуха и пари. В соответствии с изло-
женным в §5.2.4 параметры гомогенной смеси могут быть выражены через фак-
тические параметры газа и воды следующими соотношениями:
р=р(1+кЬЁ;=^
(7.15)
где Cf и С{
удельные теплоемкости жидкости
7рв и Срп - удельные теплоемкости при постоянном
давлении воздуха и пара; R = Ro /т — газовая постоянная;
До = 8,314 кДж/(Кмоль К) - универсальная газовая постоянная, т - молекуляр-
ная масса газовой смеси;
газа;
(7 16)
С учетом введенных определений система уравнений (7.8) применительно к
движению гомогенной смеси в трубопроводе в квазиодномерном приближении
может быть записана в виде:
£U'-o!)=°.
- du dp 2тш
ри — + — =----S.
dx dx r0
(7 17)
т
—г
348
Рис. 7.7 Влияние фракционности
частиц (а) и коэффициента двух-
фазности (б) на изменение скоро-
сти газа и частиц вдоль канала
Рис. 7.8 Влияние фракционности
частиц (а) и коэффициента двух-
фазности (б) на изменение темпе-
ратуры газа и частиц по оси канала
* Рисунок 7.7 иллюстрирует изменение скорости газа и частиц вдоль канала. В
начальном участке канала скорости газа и частиц близки. Резкое сужение канала
приводит к ускорению газового потока и рассогласованию скоростей газа и час-
тиц. При дальнейшем движении вдоль сверхзвукового участка значения темпера-
тур и скоростей несущего газа и частиц сближаются, и при достаточно малом
диаметре частиц (dp =10мкм) на выходе из канала практически имеет место
равновесие фаз по скорости. Увеличение массовой доли частиц (коэффициента
двухфазности) приводит к снижению интенсивности ускорения несущего газа, и
при кр > 0.6 сверхзвуковой режим течения для рассмотренной формы разгонно-
го канала не реализуется.
Изменение температуры газа и частиц вдоль канала показано на рис. 7.8. Тем-
пература частиц на начальном участке существенно меньше температуры несу-
щего газа, который является смесью продуктов сгорания водорода. При движении
вдоль канала частицы нагреваются. Заметим, что частицы мелкой фракции (для
рассматриваемого примера частицы с dp = IOjhkjk ) нагреваются до температуры
газа уже на начальном участке канала. При последующем ускорении газа в окре-
стности критического сечения температура газа уменьшается и становится мень-
ше температуры частиц.
7.3.3 Течения паро-воздушно-капельной смеси в трубопроводе
Рассматривается истечение газа из ресивера в окружающее пространство че-
рез трубопровод, стенки которого могут нагреваться или охлаждаться [157] При
этом учитывается подвод мелкодисперсных капель воды на коротком участке
трубопровода, расположенном сразу за входным сечением. Рассматривается тече-
ние паро-воздушно-капельной смеси, состоящей из воздуха, влажного пара и
взвешенных в воздухе капель воды. Учитываются фазовые превращения, связан-
ные с испарением капель воды и конденсацией пара Капли воды считаются на-
347
^P. = __EL(Ae + В)-——
dx uh т r0 dx ’
dK gm(l + *) ,
dx (l-az)pu ’
dXn gJl-Xj,
dx (l-ar)pu
(7 20)
--2 --- U l + KCf/C
где A = 1 - ЛГ ; M = —; a = a r-x эффективная скорость звука
a ^(i + KXi + KC^/Cj
л 1 v) rpfi-oi ))
в гомогенной среде; A = -г----------г- 1 + т------(1 - Л )----———
тетп рСрТ J
п 2q“> 2цт" А - и А Г В - 2Qw
рСрТ Рго Ср А риСр гориСр
Для замыкания задачи необходимо получить соотношение для определения
скорости испарения воды gm. В соответствии с принятыми допущениями gm
подбирается так, чтобы удовлетворялось соотношение Клайперона-Клаузиуса
(5.39), связывающее параметры пара и жидкости на линии насыщения,
dpn г Ря dT
dx (!-₽„/₽;) г dx
(721)
Давление насыщения рп можно связать с давлением в смеси и массовой кон-
центрацией пара соотношением рп = р ^пГП . Продифференцировав это соотно-
тп
шение, после очевидных преобразований с учетом выражений (7.16) и (7.20) для
к и Хп получим уравнение для определения производной от рп :
dx "A1S~ +В"
где Aj - РиАХп^1 Р т2 1-Х„.
A mn pumn,me l-af
Подставляя найденное таким образом и из (7.20) и решая получен-
ное уравнение относительно gm, получаем выражение
_В1-КВ2
m KAz-A^
где К =----
1-р/р” т
Это уравнение замыкает задачу определения параметров движения смеси воз-
духа, пара и капель воды по трубопроводу.
350
Здесь х координата, отсчитываемая вдоль трубопровода; и - среднерасход-
ная скорость; р - давление; i - энтальпия; tw =|ри2 - сила трения, £, - коэф-
фициент гидравлического сопротивления; qw - тепловой поток; подводимый к
единице площади поверхности трубы за единицу времени; gm масса воды, ис-
паряющаяся в единице объема за единицу времени; г - теплота фазового перехо-
да; г0 - внутренний радиус трубы.
Свободный член во втором уравнении системы (7.17) выражает потери им-
пульса на трение, а в третьем уравнении - изменение энергии смеси, вызванное
внешним теплоподводом (первое слагаемое) и фазовым переходом (испарением
воды - второе слагаемое). Для замыкания задачи нужно выписать уравнения для
определения относительной массы воды (влажности пара), концентрации пара в
смеси и скорости испарения воды gm. Для вывода этих уравнений воспользуемся
уравнениями сохранения массы воды, пара и смеси пара и воздуха:
-^(arp>F)=-gmF,
£-[(l-aJx„puF]=gTOF, (7 18)
^[(l-af)puF]=gOTF),
где F - пго — площадь поперечного сечения трубы.
Комбинируя попарно уравнения первое и третье, второе и третье, получим
уравнения для определения к и Хп :
dx l-af
dXn g (1-Х )
P dx (l-az)
(7.19)
Разрешим уравнения (7.17) (с использованием (7.15), (7.16), (7.18)) относи-
тельно производных определяемых параметров. Аналогичная процедура выпол-
нялась при получении уравнения обращения воздействий в §1.3.1. Дополнив по-
лученные таким образом уравнения уравнениями (7.19), запишем систему обык-
новенных дифференциальных уравнений для определения параметров паровоз-
душной смеси в трубопроводе.
^ = 1(^т+в),
dx А
dx
dP _ PH(Ag
^\Agn+V) ро dx,
349
Рис.7.10 Влияние расхода
жидкой фазы на массовый
расход воздуха
центрации пара вдоль оси трубопровода для различных температур стенки трубо-
провода и относительного расхода воды = 1. Из результатов расчетов видно,
что сначала паро-воздушно-капельная смесь нагревается, и ее температура растет
до некоторого значения. Затем температура смеси практически не изменяется, так
как все тепло, подводимое от стенки трубопровода, расходуется на испарение во-
ды. После того как вся вода испарится, температура
паро-воздушной смеси начинает расти и растет до тех
пор, пока не достигнет температуры стенки трубопро-
вода. Теплообмен со стенкой трубопровода будет
наиболее интенсивным при наличии капель воды в
смеси, тогда как после испарения воды интенсивность
теплообмена резко падает.
Интегральные параметры трубопроводной систе-
мы как элементов теплосъемного устройства иллюст-
рирует рис. 7.10. На этом рисунке показано влияние
расхода жидкой фазы т (г/с) и теплового потока qw,
(кВт/м2), подводимого к единице площади поверхно-
сти трубопровода, на требуемый расход воздуха.
Приведены результаты расчетов течения паровоздуш-
ной смеси в трубопроводе длиной 40 м и диаметром 0.016м. В качестве исходных
данных заданы параметры торможения в ресивере: давление ро = 0,4053мПа,
температура То = 25°С, давление в окружающей среде ре = 0,1013мПа, а на вхо-
де в трубопровод рв = 0,4053мПа. Для течения чистого воздуха без капель воды и
без нагрева трубопровода получен массовый расход воздуха G = 0.049 кг/с. Под-
вод жидкости и нагрев поверхности трубопровода приводят к уменьшению рас-
хода воздуха. На рис.7.10 кривые 1 - 7 соответствуют массовым расходам воды
т, равным 0, 10, 20, 30, 50, 100 и 200-10-3 кг/с. Видно, что для интенсивных
подводимых тепловых потоков (например, при qw > 50 кВт/м2) максимальный
расход воздуха наблюдается при подводе небольшого количества воды т- 0.01 -
0.02 кг/с. Этот расход воздуха для заданного теплового потока будет соответство-
вать такому подводимому количеству воды, которое полностью испаряется в са-
мом конце нагреваемого участка трубопровода. Недостаточная или избыточная
подача воды приводит к уменьшению расхода воздуха. Увеличение теплового
потока приводит к уменьшению расхода паровоздушной смеси. Например, при
тепловых потоках qw =100 кВт/м2 и расходах воды т >0.015 кг/с происходит
запирание трубопровода для любых расходов воздуха.
Представляет интерес оценить суммарное количество тепла Qs (кВт), отво-
димое за единицу времени паровоздушной смесью к поверхности стенки трубо-
провода с заданной температурой Тш . Проведены расчеты теплоотвода для паро-
воздушных смесей с различным подводом воды т при температурах стенки по-
верхности трубопровода, Tw , равных 100, 200, 300, 400, 500, 600 и 700°С. На ос-
новании проведенных расчетов на рис. 7.11 построены графики зависимости Qs
от подводимого количества воды для различных температур стенки трубопрово-
да. Кривые 1 - 7 соответствуют значениям температуры стенки трубопровода,
352
ечение паровоздушной Смеси в трубопроводе описывается системой обык-
новенных дифференциальных уравнений (7.20), для однозначного определения
решении которых должны быть заданы значения параметров в начальном сечении
X = 0 . Система уравнений (7.20) имеет описанную в § 1 3 особенность, связанную
е переходом течения от дозвукового к сверхзвуковому и обращением величины
Д в ноль. Эта особенность учитывается при определении значений параметров на
входе в трубопровод.
Трубопровод считается подсоединенным к ресиверу, в котором заданы пара-
метры торможения газа. Для расчета параметров газа во входном сечении трубо-
провода используются соотношения, описывающие истечение газа из сосуда че-
рез отверстие. Будем считать заданными при х — О давление торможения р0,
температуру торможения То воздуха и относительный расход воды к. Расход
воздуха G считается заранее неизвестным. Условия его определения зависят от
характера истечения паровоздушной смеси в окружающее пространство. При
дозвуковом истечении расход воздуха подбирается так, чтобы выполнилось усло-
вие равенства давления на выходе из трубопровода давлению в окружающей сре-
де. В этом случае Л > 0 по всей длине трубы. Если в некотором сечении получа-
ется А = 0, то расход воздуха уменымисю» до величины, при которой А = 0 в
выходном сечении трубы. В соответствии с определениями § 1.3, в этом случае
выходное сечение считается критическим, т. е. скорость смесг на выходе из тру-
бопровода равна местной скорости звука в смеси. При этом давление на выходе
из трубопровода будет выше давления в окружающей среде. Дальнейшее пони-
жение давления происходи i в истекающей недорасширенной струе, описанной в
§6.1.1 по схеме.
Результаты иллюстрационных расчетов1.
Характерные особенности течения паро-
воздушно-капельной смеси проиллюстрируем
на примере течения в трубопроводе, длина ко-
торого 24,3 м, а диаметр - 0,016 м. К трубопро-
воду подсоединен ресивер, в котором находится
воздух при давлении 4, 3-105 Па и температу-
ре 298 К. Этот воздух истекает через трубопро-
вод в атмосферу. Подвод воды в трубопровод
осуществляется в сечении присоединения его к
ресиверу и задается относительным расходом.
Рассматривая результаты расчетов следует
иметь в виду, что коэффициент теплоотдачи в
трубопроводе с заданной температурой стенки
вычислялся по формуле Михеева [105] для го-
могенной среды, что вносит определенную по-
грешность, так как при этом не учитывается
испарение капель, попадающих на стенку тру-
бопровода.
На рис. 7.9 показано влияние испарения
на распределение температуры смеси и кон-
1 Численные результаты получены Галинским В.П.
Рис. 7.9 Распределение температу-
ры смеси (а) и концен грации пара
(б) вдоль оси канала при относи-
тельном расходе воды т~0 =1 и
различных температурах стенки
канала
351
Глава 8
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ РАСЧЕТА
ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ
Составной частью многих высокотемпературных технологических процессов
является передача теплоты от одного газового потока к другому. Это имеет место
как при осуществлении тепловой защиты конструктивных элементов технологи-
ческих аппаратов, так и при передаче тепла газообразному рабочему телу в целях
создания оптимальных температурных условий для прохождения того или иного
технологического процесса. И в том, и в другом случаях в процессе теплообмена
участвуют как сам газовый поток, так и элементы конструкции аппарата. В связи
с этим при расчете процессов теплообмена необходимо наряду с газодинамиче-
ской задачей решать и задачи теплопередачи в элементах конструкции. Причем,
эти задачи следует решать в сопряженной постановке, которая предполагает учет
взаимосвязи и взаимовлияния тепловых процессов в элементах конструкции и в
потоке газа. Процесс передачи тепла от одного газового потока к другому осуще-
ствляется в устройствах, которые называются теплообменными аппаратами. Тех-
нологическое назначение и конструктивное оформление таких аппаратов разно-
образны. По принципу действия теплообменные аппараты делятся на смеситель-
ные, регенеративные и рекуперативные [2, 88, 105, 137].
В смесительных аппаратах теплопередача происходит при соприкосновении и
смешении горячего и холодного газовых потоков, т.е. теплопередача происходит
одновременно с массообменом. В основе расчета эффектов смесительного тепло-
массообмена лежат описанные в предыдущих главах математические модели и
различные приближенные алгоритмы решения задач.
Регенеративный теплообмен происходит в аппаратах и устройствах, в кото-
рых одна и та же поверхность омывается поочередно то горячим, то холодным
потоком газа. При протекании горячего газа стенки аппарата нагреваются и акку-
мулируют тепло. При протекании холодного газа это тепло отбирается от стенок
аппарата, и газ нагревается. Расчет процессов регенеративного теплообмена тре-
бует решения нестационарных сопряженных задач теплопередачи в стенке аппа-
рата и газовом потоке. Сопряжение этих двух задач осуществляется через гра-
ничные условия. Соответствующие соотношения приведены в §5.1.
Процессы рекуперативного теплообмена происходят в аппаратах, в которых
горячий и холодный газы разделены стенкой, через которую осуществляется пе-
редача тепла. Расчет параметров таких аппаратов требует решения задач о рас-
пределении температуры в стенках аппарата и в различных, разделенных этими
стенками, газовых потоках. В силу того, что теплопередача и тепловое состояние
газа существенным образом определяется конвективным переносом, то составной
частью такого расчета является и решение задачи о движении высокотемператур-
ного газа.
354
Течение паровоздушной смеси в трубопроводе описывается системой обык-
новенных дифференциальных уравнений (7.20), для однозначного определения
решений которых должны быть заданы значения параметров в начальном сечении
х = 0. Система уравнений (7.20) имеет описанную в § 1.3 особенность, связанную
с переходом течения от дозвукового к сверхзвуковому и обращением величины
Д в ноль. Эта особенность учитывается при определении значений параметров на
входе в трубопровод.
Трубопровод считается подсоединенным к ресиверу, в котором заданы пара-
метры торможения газа. Для расчета параметров газа во входном сечении трубо-
провода используются соотношения, описывающие истечение газа из сосуда че-
рез отверстие. Будем считать заданными при х = 0 давление торможения р0,
температуру торможения То воздуха и относительный расход воды к. Расход
воздуха G считается заранее неизвестным. Условия его определения зависят от
характера истечения паровоздушной смеси в окружающее пространство. При
дозвуковом истечении расход воздуха подбирается так, чтобы выполнилось усло-
вие равенства давления на выходе из трубопровода давлению в окружающей сре-
де. В этом случае Д > 0 по всей длине трубы. Если в некотором сечении получа-
ется Д = 0, то расход воздуха уменьшается до величины, при которой Д = 0 в
выходном сечении трубы. В соответствии с определениями § 1.3, в этом случае
выходное сечение считается критическим, т. е. скорость смеси на выходе из тру-
бопровода равна местной скорости звука в смеси. При этом давление на выходе
из трубопровода будет выше давления в окружающей среде. Дальнейшее пони-
жение давления происходит в истекающей недор и->*иренной струе, описанной в
§6.1.1 по схеме.
Результаты иллюстрационных расчетов1.
Характерные особенности течения паро-
воздушно-капельной смеси проиллюстрируем
на примере течения в трубопроводе, длина ко-
торого 24,3 м, а диаметр - 0,016 м. К трубопро-
воду подсоедине ресивер, в котором находится
воздух при давлении 4,053-105 Па и температу-
ре 298 К. Этот воздух истекает через трубопро-
вод в атмосферу. Подвод воды в трубопровод
осуществляется в сечении присоединения его к
ресиверу и задается относительным расходом.
Рассматривая результаты расчетов следует
иметь в виду, что коэффициент теплоотдачи в
трубопроводе с заданной температурой стенки
вычислялся по формуле Михеева [105] для го-
могенной среды, что вносит определенную по-
грешность, так как при этом не учитывается
испарение капель, попадающих на стенку тру-
бопровода.
На рис. 7.9 показано влияние испарения
на распределение температуры смеси и кон-
О 0.25 0.60 в) 0.75 x/L
Рис. 7.9 Распределение температу-
ры смеси (а) и концентрации пара
(б) вдоль оси канала при относи-
тельном расходе воды рГ0 = 1 и
различных температурах стенки
канала
1 Численные результаты получены Галинским B.1I.
351
риалов. Перенос тепла в конструктивных элементах теплообменника описывается
уравнениями теплопроводности, которые запишем в виде
дТ. дКдТД д( .дТЛ (ХдТЛ
дт ду J дх J {У ду J
(8 I)
где Tj температура в /-том слое, т - время, р, А,, с - плотность, коэффициент
теплопроводности и удельная теплоемкость материала /-того слоя, Jk - количе-
ство слоев, / - номер слоя, у расстояние по нормали к поверхности слоя, х ~
расстояние вдоль слоя. Уравнения (8.1) описывают распределение температуры в
/-ом слое конструкции при yf <у < yj+1, в свою очередь, у, и yj¥l - координаты
внутренней и внешней поверхностей /-того слоя, со = 0 или 1 в зависимости от
того, являются ли слои конструкции пластинами или цилиндрами. В случае, если
элемент стенки, разделяющей потоки газа, является многослойным с плотным
прилеганием слоев конструкции, имеем у] = у+. Здесь и далее верхние индексы
«-», «+» относятся к параметрам на наружной поверхности / -того слоя и внут-
ренней поверхности (/ + 1)-го слоя, соответственно. В общем случае
у) - у^ = 8у, где 8у- - ширина канала, по которому протекает теплоноситель.
Для однозначного определения температуры стенок теплообменника необхо-
димо на поверхности каждой /-ой стенки сформировать граничное условие. На-
личие зазоров между стенками теплообменника и неидеальность теплового кон-
такта между слоями многослойной стенки приводят к разрыву температур при
переходе через смежную поверхность слоев. Величина этого разрыва характери-
зуется величиной контактного термического сопротивления Rtj. Обычно для
многослойных конструкций с плотно прилегающими поверхностями слоев усло-
вия неидеального теплового контакта при наличии термических сопротивлений
на стыках слоев записываются в виде [2]:
( дТУ
Т> -T’=R“\^y ]
< dy)j I ду).
(8.2)
Если между слоями многослойной стенки теплообменника имеется канал, по
которому протекает газ, то при переходе через смежные поверхности слоев теп-
ловой поток терпит разрыв. Величина этого разрыва равна количеству тепла qwj,
которое отводится (подводится) газовым потоком. Тогда условие, отражающее
теплообмен между стенками аппарата и протекающим в канале газом, может быть
записано в виде следующего соотношения:
356
Q»-. кВт
0 60 100 150 т„, г/с
изменяющимся от 100 до 700°С с шагом 100°С.
На всех кривых отмечается максимум отводимо-
го тепла для расходов воды т = 0.01 - 0.025кг/с.
Тепловой поток при теплоотдаче пропорциона-
лен коэффициенту теплоотдачи а и темпера-
турному напору &T = TW-T, поэтому сниже-
ние температурного напора приводит к умень-
шению количества отводимого тепла. Этот эф-
фект проявляется при течении сухого воздуха
(без воды), когда коэффициент теплоотдачи дос-
таточно велик, а температурный напор мал. Так
как теплоемкость воздуха в четыре раза ниже
теплоемкости воды, не говоря уже о теплоте фа- Рис. 711 Зависимости Q от
зового перехода, то сухой воздух быстро натре- подю>димого „ества
вается, и его температура приближается к тем-
пературе стенки трубопровода. Увеличение количества жидкости в смеси повы-
шает ее теплоемкость, что вместе с влиянием фазовых превращений приводит к
резкому уменьшению темпа нагрева газокапельной смеси, и разность температу-
ры поверхности трубы и газокапельной смеси - температурный напор - остается
достаточно большим. При дальнейшем увеличении расхода жидкости уменьшает-
ся расход воздуха, понижаются скорость течения смеси, числи Нуссельта и, как
следствие, коэффициент теплоотдачи а . Это уменьшает количество тепла, отво-
димого трубопроводом в единицу времени. Из результатов, представленных на
рис. 7.11, следует, что максимальный теплоотвод будет достигаться в том случае,
когда вода остается в смеси на выходе из трубопровода. Рост температуры стенки
приводит к увеличению отводимого тепла.
353
чая, в том числе, и фазовые переходы, химические реакции, диффузию компонент
смеси и т.д. Различные формы записи этих условий обсуждались в главах 2, 3,4.
Для иллюстрации основных подходов к определению параметров обобщенно-
го термического сопротивления , RtJ и <7(пу рассмотрим обычные условия те-
плообмена на поверхности с использованием коэффициента теплоотдачи а (4.51,
4.70). В простейшем виде эти условия можно записать в виде:
Z.y’ j =-а;(туг-7}+), у = у], у] =У] +б7, j =1, (8.5)
где T-g - температура газа в j-том канале, aj - коэффициент теплоотдачи на со-
ответствующих поверхностях канала, для определения которых могут быть ис-
пользованы приведенные в §7.2.2 формулу.
Запишем соотношения (8.5) в форме, соответствующей форме записи условий
обобщенного термического сопротивления Вычитая из первого соотношения
(8.5) второе, получим
где
)+a ^jg )•
(8-6)
(8-7)
Разделив первое соотношение (8.5) на ay-, второе на at и сложив их, получим
Vf/J.
где
г, + г
^tj , ^tj - 7
a.- at
(8 9)
Соотношения (8.7) и (8.9) определяют параметры обобщенного термического
сопротивления в случае, если стенки разделены каналами, по которым протекает
однородный газ. При течении вдоль каналов многокомпонентной смеси реаги-
рующих газов вместо уравнений (8.5) целесообразно записать уравнения, анало-
гичные уравнениям §4.2.6, в которые входит энтальпия газа
358
Составной частью проектирования теплообменных аппаратов являются их те-
пловой и гидравлический расчеты. Основная цель теплового расчета заключается
в определении параметров конструктивных элементов аппаратов, обеспечиваю-
щих заданные условия охлаждения или нагрева элементов конструкции и тепло-
носителей. Целью гидравлического расчета является определение гидравлических
сопротивлений газовых трактов, коэффициентов теплоотдачи омываемых по-
верхностей и условий, обеспечивающих требуемые или заданные расходы тепло-
носителей. Описанию методов теплового и гидравлического расчета, а также вы-
бора конструктивных элементов аппаратов посвящено достаточно большое число
работ, в том числе основополагающие монографии [2, 54, 59, 70, 71, 87, 88, 105,
137 и др.]. Многие методы расчета основаны на использовании балансовых соот-
ношений и предназначены для расчета стационарных установившихся процессов
теплообмена. Гораздо меньше уделялось внимания расчету переходных неста-
ционарных процессов, описываемых в сопряженной постановке. В главе приведе-
но описание основных положений, связанных с расчетом теплопередачи в тепло-
обменных элементах технологических аппаратов, и дается общий унифицирован-
ный подход к расчету нестационарных переходных процессов сопряженного теп-
лообмена в теплообменных элементах аппаратов.
8.1 Формулировка математической модели процессов нестационарного
теплообмена в теплообменниках
Анализ и определение параметров в рекуперативных теплообменниках могут
быть проведены на основе совместного рассмотрения процессов теплообмена в
элементах конструкции и в газовых потоках. Эта задача должна решаться в со-
пряженной постановке. В свою очередь тепловые процессы в газовом потоке су-
щественным образом определяются нвективным переносом, а также диффузией
отдельных компонентов газовой смеси. Существенным при этом является и ре-
жим течения газа - ламинарный или турбулентный. Во многих теплообменных
устройствах процессы теплопередачи сопровождаются фазовыми переходами или
химическими реакциями. Эти физико-химические превращения с одной стороны
расширяют возможности газового потока аккумулировать или выделять тепловую
энергию, и тем самым оказывают существенное влияние на теплообмен, а с дру-
гой стороны организация эффективного протекания этих процессов является не-
обходимой составляющей высокотемпературных технологических процессов. В
зависимости от конструктивных особенностей теплообменных элементов техно-
логических аппаратов для описания процессов тепло- и массопереноса в газовой
фазе могут быть использованы различные математические модели. Вопросы ма-
тематического описания процессов тепломассопереноса в присутствии ограничи-
вающих поверхностей рассмотрены в различных приближениях в предыдущих
главах (в частности, в главах 2,3,4). В этом параграфе приведена формулировка
математической модели сопряженного теплообмена в элементах теплообменни-
ков. В целях иллюстрации основных особенностей этих моделей рассмотрим не-
стационарные задачи теплообмена в элементах аппаратов, представляющие собой
плоскую или осесимметричную многослойную конструкцию, в которой теплоно-
сители протекают в каналах, разделенных стенками. В свою очередь стенки теп-
лообменника могут быть многослойными и состоять из слоев различных мате-
355
поверхности, Ср - удельная теплоемкость горячего газа при температуре по-
верхности
Тепловой поток, передаваемый к хладоагенту от внутренней поверхности ка-
нала охлаждения, равен
(8.13)
где , ix =lx/CPz , Ср* - удельная теплоемкость хладоагента
Использование энтальпий в (8.12) и (8.13) позволяет применять эти формулы
для расчета охлаждения при наличии химических реакций в горячем газе
При стационарном режиме теплопередачи через плоскую стенку температура
в стенке меняется по линейному закону. Тогда тепловой поток через i-тый слой
стенки канала может быть определен соотношением
«„^(Т/2-Тд). 7 = 2,......J.-1, (8 14)
где Л,у- ,Sy - коэффициент теплопроводности и толщина у-того слоя, индексы 2 и 1
относятся к температуре внешней и внутренней поверхностей j-того слоя, Jk -
количество слоев
Т —Т Т -Т
Введя коэффициенты = ----—и ----— (для совершен-
h>x ~Tti
ного газа X* = Х;), тепловые потоки через внешние слои, омываемые горячим га-
зом ( j = Jk) и хладоагентом ( j = 1), можно формально выразить через энтальпии
X* \
9u>j ~^jih (8.141)
где i12 — iwx, ijh2 ~^wg-
Для стационарного режима теплообмена все рассматриваемые тепловые потоки
равны [105]
Qwg ~ Q.wj = Qwx • (8 15)
Разделим соотношения (8.12), (8.13), (8.14) и (8.141) соответственно на ag,
ах > g и и сложим полученные таким образом равенства. В результате по-
лучим соотношение, из которого, приняв, что Туд -Т}_1>2 =Rtjqwj, можем после
приведения подобных с учетом (8.15) записать следующее соотношение для qwx:
(8.16)
360
(8.3)
В силу наличия канала между стенками аппарата температуры смежных по-
верхностей стенки отличаются, т.е. имеется разрыв температуры. Учитывая раз-
рыв тепловых потоков, задаваемый уравнением (8.3), уравнение, определяющее
разрыв температур, целесообразно записать в симметричном относительно тепло-
вых потоков виде
(8-4)
где RtJ и Rtj - коэффициенты обобщенного термического сопротивления на
границе слоев.
Соотношения (8.3) и (8.4) представляют собой обобщенную форму записи ус-
ловий неидеальюто теплового контакта между слоями, а коэффициенты 7?* и
R~j - это коэффициенты обобщенного контактного термического сопротивле-
ния [165, 166].
Для замыкания математической задачи, описанной уравнением (8.1) с усло-
виями (8.3), (8.4), необходимо сформулировать начальные и граничные условия.
В качестве начальных условий задается распределение температур в стенках теп-
лообменника и температур потоков газа в некоторый начальный момент времени.
Граничные условия формулируют на внешних поверхностях стенок теплообмен-
ного аппарата в форме, отражающей особенности теплообмена с окружающей
средой, в качестве которой может служить и газ в технологическом пространстве
аппарата. Обычно формулируют условие конвективного теплообмена. При ном в
зависимости от условий функционирования теплообме ка это может быть как
вынужденная, так и естественная гравитационная конвекция.
Задача, описываемая системой уравнений (8.1) с условиями (8.3), (8.4) назы-
вают задачей о теплопередаче в многослойной конструкции с обобщенным не-
идеальным тепловым контактом. Обобщенные условия (8.3) и (8.4) дают возмож-
ность решать задачи о теплопередаче, осложненной различными процессами ме-
жду смежными поверхностями слоев. При этом может иметь место как прямой
термический и механический контакт (соприкосновение) этих поверхностей, так
и их тепловой контакт посредством теплоносителя. Причем теплоноситель может
претерпевать различные физико-химические превращения, фазовые переходы и
т.д. Все эти эффекты найдут свое отражение при определении разрыва тепловых
потоков qaj.
Для определения параметров обобщенного контактного теплообмена необхо-
димо рассмотреть граничные условия для уравнений, описывающих течения газа
между стенками. Теплообмен в каналах, образованных стенками, обуславливается
наличием двух теплообменных поверхностей, на которых могут быть сформули-
рованы различные условия, отражающие особенности теплового баланса вклю-
357
участка поверхности. Это позволяет проинтегрировать уравнение (8.18) в явном
виде, в результате чего получим
-^гН7'0 4(s
Для совершенного газа (i ~ СрТ ) имеем
г'(х)=[г'‘Гг<8
Здесь принято ix0 и 7;о ~ энтальпия и температура хладоагента во входном
_ х
сечении канала охлаждения при х = 0, I — характерная длина, х — —.
При отсутствии излучения (qU3Jl = 0 ) это соотношение упрощается
Тх(х)=Тг -(Гг -По)ехр^--^-^ (8.20)
Ясно, что соотношение (8.20) может быть использовано не только при расче-
тах параметров системы охлаждения теплонапряженных элементов поверхностей
технологических аппаратов, но и для оценок температуры нагреваемого газа или
жидкости в одноканальном теплообменнике.
Подставляя (8.19) в (8.17), получим уравнение, из которого можно определить
температуру поверхности, омываемой горя * im гатом, и которое для совершенно-
го газа при qU3 л = 0 можно записать в виде
Т„=ГГ-—(Тг-Гх0)НЧ(--^_г). (821)
ав V CPxGX )
Заметим, что при qU3Jl =0 решение задачи определения температуры поверх-
ности, омываемой высокотемпературным газом, определяется двумя безразмер-
„ k kl
ными параметрами Р =- и у = ———.
8.2.2 Соотношения для оценки параметров в
элементах теплообменных устройств
Для проведения простейших оценок параметров в элементах теплообменных
устройств рассмотрим теплообмен между двумя потоками газа, протекающими в
щелевых каналах 1 и 2 и разделенными перегородкой, представляющей собой
стенку толщиной 6
Для газов в каждом канале при стационарном течении уравнение энергии без
учета передачи тепла излучением может быть записано в виде (8.18)
362
В этом случае для определения величины qwj, входящей в соотношение (8.3)
обобщенного условия неидеального теплового контакта, можем воспользоваться
соотношением
(8 10)
pj
Для определения температуры теплоносителя необходимо рассмотреть урав-
нения движения и уравнение энергии газа, протекающего вдоль канала. В целях
упрощения формулировки рассматриваемой задачи, представляется целесообраз-
ным использовать для описания течения газа квазиодномерное приближение.
8.2 Соотношения для оценки параметров теплообмена при
установившемся режиме
8.2.1 Оценка параметров стационарного теплообмена при охлаждении
теплонапряженной поверхности
Пусть в высокотемпературном технологическом процессе необходимо орга-
низовать охлаждение стенок технологического аппарата, не допуск** его пере-
грева выше некоторой заданной температуры. С этой целью в стенках аппарата
размещаются каналы, в которых протекает охлаждающий газ или жидкость - хла-
доагент. В общем случае стенка может быть многослойной. Температура горячего
газа для конкретного технологического процесса считается заданной. Таким обра-
зом, возникает задача выбора параметров канала, расхода хладоагента и в общем
случае параметров стенки, через которую происходит теплообмен. Т.к. каналы,
по которым протекает к ладо агент, являются, как правило, щелевыми, то для опи-
сания нагрева и движения хладоагента будем использовать квазиодномерное при-
ближение. Уравнение для определения температуры хладоагента в условиях ста-
ционарного установившегося режима охлаждения запишем в виде
(8.11)
dx
где ix, Дж/кг - удельная энтальпия хладоагента, G = рИ8, кг/с - массовый расход
хладоагента через канал единичной ширины, 8 - величина зазора между стенками
(высота канала), qwx, Вт/м2 - локальный тепловой поток, передаваемый хладоа-
генту от горячего газового потока в технологическом аппарате, индекс «х» отно-
сится к параметрам хладоагента.
Локальный тепловой поток, подводимый к стенке капала со стороны горячего
газа с учетом излучения тепла поверхностью, равен
Qwg =ag(/r ~ ^wg}~ Яизл' 12)
где ае - коэффициент теплоотдачи, 1Г=1г/СРв, iu>g=lwg/Cpr . tr^wg - эн-
тальпия восстановления и энтальпия горячего газа при температуре омываемой
359
ной эквивалент газа, текущего по направлению оси Ох положителен, а в проти-
воположном направлении - отрицателен.
В случае противотока при равных по модулю водяных эквивалентах А = 0, и
энтальпия в канале меняется линейно
ij (х) = Cj + С2х.
Для определения постоянных интегрирования Q и С2 в уравнениях (8.24) и
(8.25) необходимо рассмотреть условие на входе в каналы элементов теплообме-
на. Рассмотрим три случая.
1. Задана температура газа на входе и выходе из у- того канала 70 (х = о) и
TL (x = f). Подставим эти условия в (8.24) и (8.25), получим систему линейных
алгебраических уравнений, из решения которых находим Cj и С2. Подставим их
в формулу (8.22), получим
Используя решение (8.25) при = ~W3z , получим
х.
(8.27)
2. Задана температура обоих газов на входе или выходе из каналов, т.е. при
X = 0 или х = Z. В этом случае, используя первое и второе уравнения (8.22), на-
ходим при X = 0 или X =1
I
ijol и их производных — I
di^ I fe Г. 1
z x (8.28)
di2 I _ f- ^P2 Il
W32^CP1 2J|x=o/
С учетом этого при x = 0 или x l могут быть заданы значения функций
(/ = 1,2), которые используются для опреде-
х=0,1
ления постоянных интегрирования Q и С2 для газа в каждом канале. В резуль-
тате определения этих постоянных решение (8.24) для заданной энтальпии газов в
сечениях х = О или х = I записываются в виде:
(8.29)
364
где “ ] + + + + ~ I -1- коэффициент термического
сопротивления многослойной стенки с неидеальным тепловым контактом между
слоями, Rtj - коэффициенты термических сопротивлений на стыках (/ -1) -го и
j -того слоев.
Соотношение, позволяющее определить температуру поверхности, омывае-
мой химически реагирующей смесью ов, можно получить, сопоставляя (8.12) и
(8.16). Учитывая, что для стационарных процессов qwx = qwg, после очевидных
преобразований получим
= ___L) _________С
CPg I ae J Cpg ag cPx t
k | Чиз Л
agj ag
(8.17)
Расчет температуры поверхности с использованием этого соотношения сво-
дится к следующему. Пользуясь (8.17), находим энтальпию газа при температуре
поверхности. Считая, что газ на поверхности находится в состоянии химического
равновесия, определяем температуру поверхности и концентрации компонент
смеси. Концентрации химических элементов и давление газа при этом считаются
известными. Алгоритм такого расчета и соответствующие расчетные соотноше-
ния описаны в § 3.5.
Рассматривая хладоагент и горячий газ как совершенные газы, для которых
i = CpT, из (8.17) получим уравнение для непосредственного расчета температу-
ры поверхности аппарата
Коэффициенты ag и ах могут быть определены с помощью критериальных
соотношений, приведенных в § 4.2.7, § 7.2.2.
Соотношения (8.17) и (8.171) позволяют определить температуру стенки аппа-
рата при заданной энтальпии хладоагента в данной точке. В свою очередь энталь-
пия и, следовательно, температура хладоагента может быть найдена из решения
уравнения (8.11), которое после подстановки qwx из (8.16) запишем в виде
Gx
(8 18)
где Ср - удельная теплоемкость хладоагента на внутренней стенке.
В общем случае для интегрирования этого уравнения должны быть использо-
ваны конечно-разностные методы. Для оценочных расчетов можно принять, что
энтальпия восстановления ir, коэффициенты теплоотдачи и другие параметры,
входящие в (8.18), постоянны и являются осредненными для рассматриваемого
361
8.3 Алгоритм численного решения задач нестационарной теплопередачи в
многоканальных теплообменниках
Рассмотрим теплообмен в элементах конструкции, представляющей собой
систему каналов, разделенных перегородками (стенками), которые в свою оче-
редь могут быть многослойными. Математическая формулировка соответствую-
щей задачи дана в §8.1. Как уже отмечалось, в практике расчетов теплообменни-
ков расчет делится на две стадии - тепловой расчет и гидравлический. Задачей
теплового расчета является определение необходимых площадей поверхности
теплообмена и выходной температуры теплоносителей. Решение этой задачи пре-
дусматривает расчет температурного состояния элементов конструкции и энерге-
тических характеристик газовых потоков в каналах теплообменного устройства.
Расчет температуры элементов конструкции, как следует из §8.1, в общем случае
сводится к решению уравнений теплопроводности совместно с уравнениями, вы-
ражающими условия обобщенного неидеального теплового контакта. Этот расчет
при заданных параметрах обобщенного контакта представляет отдельную задачу.
Расчет энергетических характеристик газа предусматривает решение дифферен-
циального уравнения сохранения энергии с условиями, отражающими теплооб-
мен между газом и элементами конструкции. В общем случае решение уравнения
энергии для газа проводится совместно с уравнениями количеств* движения и
неразрывности. В свою очередь решение уравнений количества движения и не-
разрывности представляет предмет гидравлического расчета. Задачей гидравли-
ческого расчета является определение расхода газов в каждом канале при задан-
ных перепадах давления: между входным и вь.юдным сечениями. Для многока-
нальных теплообменных элементов газ из одного канала может перетекать в дру-
гой канал, и тогда условия на выходе предыдущего канала служат для определе-
ния условий на входе в следующий канал. В простейшем случае можно принять,
что расход, температура и давление газа на выходе из предыдущего канала и на
входе в следующий канал совпадают. Однако в общем случае необходимо учиты-
вать гидравлические потери, возможность отвода тепловой энергии и массы при
переходе газа из канала в канал и др. Коэффициент теплоотдачи определяют ис-
ходя из локальных значений газодинамических параметров в каждом сечении ка-
нала с использованием эмпирических критериальных соотношений, рассмотрен-
ных в §7.2.2. В общем случае нестационарная задача о теплопередаче в многока-
нальных теплообменниках может быть решена численными методами. Для реше-
ния уравнений теплопроводности и квазиодномерных уравнений течений газа в
настоящее время развиты достаточно простые и эффективные конечно-
разностные методы. Следует отметить, что уравнения пограничного слоя и урав-
нения теплопроводности обладают схожими математическими свойствами и, как
следствие, схемы конечноразностной аппроксимации и алгоритмы численного
решения этих уравнений одинаковы. Основные приемы численного решения та-
ких уравнений рассмотрены в §4.32. В §4.3.2 описаны алгоритмы численного ре-
шения уравнений нестационарной газовой динамики. Однако, наличие в системе
уравнений, описывающих процессы в многоканальных теплообменниках, соот-
ношения обобщенного неидеального контакта требует разработки специальных
алгоритмов численного решения задач в целом.
366
Эти уравнения записаны в форме, пригодной для описания теплообмена в по-
токе многокомпонентной химически реагирующей смеси. Для проведения оценки
будем считать, что k и Cv. постоянны вдоль рассматриваемого участка теплооб-
менника и равны их средним значениям. Для решения системы (8.22) сведем ее к
уравнениям второго порядка. Используя (8.22), выразим 4 через и через \
СР1{1 k dx)
i _ CPi (f ,G2Cp2 dtA
2
Подставим 4 и 1%, определенные этими соотношениями, соответственно в
первое и второе уравнения (8.22), получим
dzij dL
——+ А—-^- = 0, / = 1,2, (8.23)
dx2 dx
W 4-W
= W^GiCPr
ууэ1ууэ2
Величина W3j получила в теории расчета теплообменников название «водя-
ной эквивалент» [2, 88, 105]. Общее решение уравнения (8.23), принимая
А = const, запишем в виде
i^C^+C^*,
где Pi и Р2 - корни характеристического уравнения р2 + Ар = О, т.е.
Р1=0, р2=-А.
С учетом этого получаем
(8 24)
В случае, если в обоих каналах газ течет в одном и том же направлении, то
и W32 положительны Такое течение называют прямотоком Если газы в ка-
налах текут в противоположных направлениях, то и W32 имеют разные зна-
ки Такая организация течения называется противотоком. Для противотока водя-
363
После первого Шага получаем некоторые предварительные значения темпера-
туры (помечены штрихом).
На втором шаге решается система уравнений
а т^-2т^т^
Дт Дх2
(8 33)
На втором шаге получаем значения температуры Tlh на временном слое
Тд = Тп х + дт . как показано в [77, 78], погрешность численного решения уравне-
ния теплопроводноеги по схеме расщепления имеет порядок шах (дх, Лу2, Дх2).
При этом для решения задач на шаге расщепления, на котором рассматривает-
ся перетекание тепла в поперечном направлении, т.е. по координате у, решается
одномерная задача с обобщенным неидеальным тепловым контактом, для чего
формулируется специальный алгоритм. На втором шаге, на котором рассматрива-
ется продольное перетекание тепла по направлению координаты х, используется
обычный алгоритм конечно-разностного решения одномерною уравнения тепло-
проводности.
Перейдем к формулировке алгоритма решения задачи с обобщенным неиде-
альным контактом [165, 166]. Приведя подобные в (8.32) и (8.33), эти уравнения
приводятся к системы алгебраических уравнений с трехдиагональными матрица-
ми, которые в общем виде можно записать
ДЛм + ВЛ + СЛ1,к = -Dik (8.34)
В дальнейшем, рассматривая конкретный шаг расщепления, при использова-
нии соотношения типа (8.34) будем выписывать только один индекс i или k.
Система уравнений (8.34) является незамкнутой. Для ее решения необходимо
добавить уравнения, являющиеся разностной аппроксимацией граничных усло-
вий и обобщенных соотношений неидеального теплового контакта (8.4), (8.5).
Остановимся на формулировке разностных соотношений условий (8.4) и (8.5)
на стенках у-го и (у+1)-го слоя.
Поскольку на внешней поверхности у-го
(у'+1)-го слоя (далее будем говорить на по-
верхности, разделяющей слои, понимая при
этом, что фактически слои разделены канала-
ми, по которым протекает газ) температура
различна, вместо t-того узла, лежащего на
этой поверхности, необходимо рассмотреть
два узла i+ и i , расположенные соответст-
венно в (у'+1)-ом и у'-том слое. В геометриче-
ском отношении при наличии механического
контакта эти два узла совпадают: г* = rf = rf,
наличии канала между стенками yj = у' +5^, где 8; — ширина канала (рис. 8.1).
слоя и внутренней поверхности
Рис.8.1 Схема контакта в fe-том
канале теплообменника
368
CD С
Здесь
СР1
3. Задана температура одного теплоносителя при х = 0, а второго - при х = I
Пусть для определенности задано i ; т V Л P
аД о ilo и i2[. Тогда используя (8.24) и условие
h = 4„ > при х = 0 получаем
~ ho -С2>
h=ho+C2(l-e-^)_
(8.30)
При х I имеем i2-i2Z. Сопоставляя выражение для производной — I
dx |x=f ’
полученное в результате дифференцирования (8.30), с первым соотношением
(8.28), получаем
^L| =—[i 2pl
hi ~ AC2e M.
(8.31)
Подставляя в (8.31) i1L, полученное из (8.30) при х = 1, и решая полученное
соотношение относительно С2, найдем
С учетом выписанных соотношений имеем
(8.32)
Проделав аналогичные вычисления для i2, получаем
(8.33)
365
Легко убедиться, что в случае многослойной стенки с идеальным тепловым кон-
тактом и при отсутствии каналов А+ =Ait..., Dt = Dt . Тогда с учетом того,
что Tt+ =Tt~, два уравнения (9.37) вырождаются в одно, и система уравнений
(8.34) (8.37) будет системой алгебраических уравнений с трехдиагональной мат-
рицей, для решения которой эффективно используется метод прогонки, описан-
ный в §4.3.2. Однако, в общем случае 1\+ * Tt~ и А? Ф At , ..., Р(+ * , и необ-
ходимо решать систему уравнений (8.34), (8.37), матрица которой отлична от
трехдиагональной. Это препятствует непосредственному применению метода
прогонки. Для того, чтобы воспользоваться этим методом, перепишем эту систе-
му уравнений таким образом, чтобы получить две системы уравнений: систему
уравнений относительно Т[} Т/и соотношения, выражающие 7)" через 7]+ и
. Исключив из (8.37) Ti+1, последнее соотношение можно записать в виде
ТГ = + LtTi~ + Ni. (8.38)
Подставляя определенное таким образом 7] во второе уравнение (9 37) при
i = ij -1 и приведя подобные, получаем
А г7]. + В. !Tij x + С г7). 2 = D. х. (8 39)
Таким образом, имеем систему уравнений (8.34), второе уравнение (8.37) и
уравнение (8.39), записанные относительно неизвестных 7] (температура во
внутренних узлах разностной сетки в каждом слое) и 7]+ (температура в точке,
лежащей на нижней поверхности в (j +1)-ом слое).
На каждом итерационном цикле по нелинейности эта система уравнений яв-
ляется системой линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матри-
цей и может быть решена методом трехточечной прогонки. После определения 7]
и 7}+ значения температуры 7]~ на верхней поверхности j-го слоя находятся из
уравнения (8.38).
8.3.2 Алгоритм решения задач о движении теплоносителя в системе каналов
Для расчета параметров газов, протекающих в каналах теплообменного уст-
ройства, воспользуемся системой уравнений, описывающих эти течения в квази-
одномерном приближении. Алгоритм численного решения этой системы уравне-
ний обсуждался в § 4.1.4. Учитывая возможность возникновения разрывов в виде
скачков уплотнения, для их решения удобно использовать конечно-р.«зностные
схемы сквозного счета. Учитывая, что расчет течения газов в каналах является
составной частью расчета теплообменных устройств, представляется целесооб-
разным для решения системы уравнений (7.5) - (7.8) использовать схему расщеп-
ления по физическим процессам. На первом полушаге решаются уравнения не-
разрывности как для всей смеси, так в случае необходимости и для ее отдельных
компонент, и уравнения количества движения. При этом считается, что темпера-
тура газа известна. В результате решения этих уравнений определяются расход
370
8.3.1 Алгоритм расчета теплообмена в элементах конструкции с
обобщенным неидеальным контактом
В основу алгоритма расчета температурных полей в элементах конструкции
многоканальных теплообменных устройств положены конечно-разностные схемы
неявной аппроксимации. Введем в области у-<у< у, 0 < х < I конечно-
разностную сетку с ячейками Ду и Дх.
Вследствие того, что толщина стенки достаточно мала по сравнению с ее про-
дольными размерами, основная передача тепла происходит по толщине стенки.
Продольное перетекание тепла вдоль стенки можно во многих случаях не учиты-
вать. В связи с этим будем рассматривать уравнение теплопроводности (8.1), в
котором отброшены вторые производные по х. При решении задачи в такой по-
становке продольная координата х входит в распределение температур в стенке
как параметр. Зависимость температуры от х имеет место только в связи с зави-
симостью от х температуры газа, протекающего в каналах теплообменника.
В связи с этим описание алгоритма будем приводить на примере одномерных
нестационарных уравнений теплопроводности. При решении задач, в которых
продольное перетекание тепла оказывается существенным, для решения двумер-
ных уравнений теплопроводности может быть применен метод расщепления по
пространственным переменным, алгоритмическая реализация которого сущест-
венным образом основана на алгоритме решения одномерных задач теплопереда-
чи при обобщенном неидеальном тепловом контакте. В целях иллюстрации ос-
новных положений метода расщепления по пространственным переменным [77,
78, 104, 164] перепишем формулы центральных разностей конечно-разностных
аппроксимаций первых и вторых производных для уравнений теплопроводности
(8.1), получим после очевидных преобразований
Tik-Tik~l = а \TM,k~2Tik+Ti-l,k + ю Ti+l,k-Ti-l,k +
Дх [ Ду2 Уц ^У
(8.31)
где Tlk и - значения температуры в (i, k) узле разностной сетки в моменты
времени хп = x„_j + Дх и x„_j, а = ——коэффициент температуропроводности.
" " Ср
При записи этого соотношения для простоты примем, что коэффициент теп-
лопроводности постоянен.
В соответствии с методом расщепления по пространственным переменным чис-
ленное решение уравнений (9.31) сводится к поочередному решению одномерных
уравнений. На первом шаге схемы расщепления решаем систему уравнений
T-k = а | + 1
Дх а [ Д</2 У у
(8.32)
367
нале задается расход Gf и температура или энтальпия во входном сечении. Сле-
дует иметь в виду, что стенка может быть многослойной с термическим сопро-
тивлением, обусловленным особенностями механического контакта. Итак, для
этой схемы задаются значения Gj и Твх на входе, требуется определить измене-
а) б)
12 3 4
ние во времени этих величин на выходе.
б) Схема течения с противотоком. В двухканальных теплообменниках газы
в каналах движутся в противоположных направлениях. Параметры газов в каждом
канале заданы во входном для этого канала сечении и определяются на выходе.
в) Схема течения в пятиканальном теплообменнике. В качестве иллюстра-
ции более общей схемы теплообменника рассмотрим схему течения (схема 1 на
рис.8.2 в), при которой реализуется течение независимых газов в каналах 1 и 5, а
по каналам 2, 3 и 4 протекает один и тот же газ. Этот газ втекает в канал 4,
пройдя 4-й канал, попадает в 3-й канал и
далее во 2-й. Таким образом, в отличие от
течений в каналах 1, 5 и 4 расход и темпе-
ратура газа во входном сечениях каналов
2 и 3 не заданы, а определяются исходя из
соответствующих величин на выходе из
каналов 4 и 3. В частном случае парамет-
ры на входе в каналы 3 и 2 равны пара-
метрам на выходе каналов 4 и 3 соответ-
ственно. В общем случае возможны си-
туации, когда при перетекании газа из
канала в канал имеют место процессы,
приводящие к изменению расхода и (или)
температуры или энтальпии газа. Тогда
для определения этих величин на входе в следующий канал необходимо форми-
ровать дополнительные соотношения. Даже в рассматриваемом случае пятика-
нального теплообменного устройства возможно разнообразие схем течения, пред-
ставленное на рис.8.2. Приведенными схемами теплообменников, возможные си-
туации не исчерпываются.
Практическая потребность в расчете теплообменников довольно произволь-
ных схем выдвигает необходимость унификации расчетной процедуры. В основе
такой унификации лежит как формулировка обобщенных математических моде-
лей и реализующих их расчетных алгоритмов, так и стандартизация входных
данных, определяющих конкретную схему конструкции и условие ее функциони-
рования. Вопросы построения математических моделей и расчетных алгоритмов
рассмотрены выше. Остановимся на вопросе формализации входных данных.
В целях построения формализованного алгоритма, не зависящего от количе-
ства каналов и схем течения газов, удобно ввести матрицу, каждая строка которой
содержит информацию о входных параметрах течения газа в соответствующем
канале.
в)
Рис. 8.2 Схемы течения в многока-
нальных теплообменниках
В первом элементе строки задается параметр Js, обозначающий номер слоя,
над которым течет жидкость. Это будет сумма количества слоев в каждой стенке-
перегородке, расположенной ниже рассматриваемого канала. Введение этого па-
раметра позволяет в рамках единого алгоритма проводить расчет как в случае,
когда элемент конструкции является переходником между двумя соседними ка-
налами, представляющим собой слой одного материала, так и в случае, когда эта
372
Для аппроксимации уравнения (8.1) и соотношений (8.4) и (8.5) в f -том узле,
принадлежащем поверхности раздела слоев, введем фиктивные узлы (? + 1) и
О -1) , лежащие соответственно на продолжении /-го и (/+1)-го слоев, так что
У1+1=У1 +^Vj, yi^=yl -&yj+1.
Здесь и далее тильды над величинами обозначают параметры в фиктивных уз-
лах. С учетом этого уравнения (8.32) для узлов разностной сетки, лежащих на
смежных поверхностях слоев, записываются в виде
at+ri+l+^++ci7’_1=di+,
I'i+l +bj Tj +Cj Tf] =dj .
(8.35)
Коэффициенты of ,b± ,c* получаются после приведения подобных в соот-
ношениях (8.32), аппроксимирующих уравнение теплопроводности в /-ом и
(j+1)-om слоях, верхний индекс «-» и «+» соответственно.
Заменив производные в (8.4) и (8.5) конечными разностями, получим
К-ТГ=аг(т^-Т^)+щ(тг+1 -ТЬ1),
= ₽< )+ , i = if, / = 1,2,..., Jn ,
где
2Ai/i ’
р.
2Ayf
^t^yt —
=-------, от
А-^ДуГ
= ^-5
А.,
coi ‘
Исключая Ti+l и Tf ] из (8.36), при помощи (8.35) получаем разностный ана-
лог уравнений обобщенного неидеального теплового контакта, который по анало-
гии с (8.34) запишем в виде:
Af Ti+i + ВГ Tf + С[Т(1 = Df,
Af+Ti+1 + BfTf + Ti"! = Dt.
(8.37)
Коэффициенты этих уравнений выражаются через а^,Ъ^, с*, df из уравнений
(8.35) и через af ₽,, <о i простыми аналитическими выражениями.
Таким образом, для определения температуры в узлах разностной сетки, рас-
положенных в стенках теплообменного устройства, получаем систему разностных
уравнений (8.34), (8.37), которые аппроксимируют исходную математическую
задачу с погрешностью порядка (лт,Лг/2). В общем случае величины р,с,А и,
счедовательно, коэффициенты А, В, С, D зависят от Т, т.е. эта система уравне-
ний нелинейна. При ее решении используется итерационный процесс, на каждом
цикле которого коэффициенты уравнений определяются по значениям темпера-
туры, взятым из предыдущей итерации, и решается линейная система уравнений.
369
Таблица81
Матрицы формализации алгоритма расчета
N 1 ке 1 Kf "1 &вх | твх
Схема 1
1 1 1 0 1200 150
2 2 3 2 - -
3 3 4 1
4 4 4 0 1200 10
5 5 5 0 1200 150
Схема 2 .
1 1 1 0 -1200 150
2 2 3 2 - -
3 3 4 1 -
4 4 4 0 1200 10
5 5 5 0 -1200 150
Схема 3
1 1 3 2
2 2 2 0 1200 150
3 3 5 1 - -
4 4 4 0 1200 150
5 5 5 0 1200 10
Схема 4
1 1 3 2 -
2 2 2 0 -1200 150
3 3 5 1 - —
4 4 4 0 -1200 150
5 5 5 0 1200 10
расположением каналов, по которым протекают нагревающие и нагреваемые
жидкости. Кроме этих схем для сопоставления рассматривалась и простая схема,
содержащая два канала, образованных тремя слоями конструкции. Течение в этих
каналах организовано по схемам прямотока и противотока (см. рис. 8.2л и 8.26).
Приведенные ниже результаты получены при следующих параметрах конст-
рукции: длина каналов I = 2.5 м, толщина стенок конструкции hj = 3 мм, ширина
каналов, по которым протекают жидкости, 5;- =1 мм. Материал стенок канала -
сталь A.j=46,5 вт/(м20Х), flj=5,910-6 м2/с. Начальная температура конст-
рукции 10°С. В качестве жидкости рассматривается вода. Расчеты проводились с
учетом зависимости плотности и теплофизических характеристик воды от темпе-
ратуры. Значения этих параметров определялись в процессе счета интерполяцией
по таблично заданным значениям. Массовый расход воды 1200 кг/сек м2. Предпо-
лагалось, что давление в системе каналов выше давления паров насыщения воды
при t = 150 °C, таким образом фазовые превращения не рассматривались.
Матрицы формализации расчетных алгоритмов приведены для рассматривае-
мых четырех схем течении в таблице 8.1.
Изменение во времени температуры нагреваемой и нагревающей жидкости нл
выходе из конструкции представлено на рис. 8.3 и 8.4. Из этих рисунков видно,
что если рассматривается процесс нагрева жидкостей, то схема течения холодных
374
газа, плотность, давление и концентрации компонент. На втором полушаге реша-
ются уравнения энергии при заданных значениях расхода и плотности, в резуль-
тате чего определяются значения энтальпии и температуры.
Если в канале протекают двухфазные смеси, то на каждом из этих двух этапов
расчета считается, что параметры частиц (их среднеобъемная плотность, ско-
рость, температура и т.д.) заданы. Параметры частиц определяются на отдельном
шаге расщепления, на котором решаются соответствующие уравнения для частиц
при заданных параметрах газа. В целях отражения специфики расчета энергети-
ческих параметров газа в каналах теплообменника, остановимся более подробно
на вопросах решения уравнения энергии.
В простейшем случае уравнение энергии можно записать в виде:
с"(8^ 'Gi-’’J+yfr -гЛ <8-40»
j = l,...,J„-1, 0<х<1,
где ,ТГ - температура нижней и верхней стенок j-го канала, Т - температура
газа, Gj = PjUflj - расход газа в текущем сечении j-го канала. В отличие от ста-
ционарных задач о течении газа в каналах без подвода и отвода массы, рассмот-
ренных в §7.1, Gj в общем случае может быть функцией времени и координаты.
Для численного решения уравнений этого типа применяют абсолютно устойчи-
вые разностные схемы бегущего счета с использованием конечных разностей по
координате х, ориентированных против потока [121]. Это требует учета направ-
ления течения в каждом канале.
С учетом этого конечно-разностное уравнение, аппроксимирующее (8.40),
можно записать в виде:
- (< + аГ )т, + + а[Тг.
Данные во входных сечениях каналов (сечение, в котором газ втекает в рас-
сматриваемый канал) либо задаются с использованием дополнительных соотно-
шений, либо определяются в процессе решения задачи с учетом особенностей
втекания газа в рассматриваемый канал в зависимости от конкретной схемы кон-
струкции.
8.3.3 Вопросы унификации алгоритмов расчета многоканальных
теплообменных устройств
Вопросы унификации алгоритмов расчета многоканальных теплообменников
будем рассматривать, используя конкретные схемы течения (рис.8.2).
а) Схема течения с прямотоком. Имеем конфигурацию с двумя каналами
Газы по этим каналам протекают в одном направлении. (Здесь и далее элемент
стенки канала представляется заштрихованным прямоугольником). В каждом ка-
371
нальном теплообменнике идет так же, как и в простой системе, состоящей из двух
каналов (соответствующие кривые для этих систем практически совпадают). За-
тем начинает сказываться повышение температуры холодной жидкости по всей
длине каналов, что приводит к существенно меньшему охлаждению горячей жид-
кости.
Рассматривая процесс охлаждения, следует отметить следующие обстоятель-
ства: температура горячей жидкости понижается более интенсивно для схем 3 и 4
по сравнению со схемами I и 2; схема с противотоком для схемы I и 2 является
более эффективной, чем схемы с противотоком для схем 3 и 4; отличие течений с
прямотоком и противотоком не столь значительны, как для схем 1 и 2.
Исходя из этого следует отметить, что рассматриваемая сложная многока-
нальная конструкция является более эффективной по сравнению с простой одно-
канальной, если рассматривать ее как нагреватель, и менее эффективной, если как
охладитель для горячей жидкости. В значительной мере это определяется тем, что
суммарный расход горячей жидкости в два раза больше, чем для холодной.
376
перегородка состоит из слоев, между которыми имеется термическое сопротивле-
ние другой природы. Ес все перегородки являются однослойными, то Js равно
номеру текущей строки матрицы и соответствует номеру рассматриваемого кана-
ла. Во втором элементе задается номер канала Ks, из которого вытекает газ, вте-
кающий в рассматриваемый канал. Задание этого параметра дает возможность
определить расход и температуру или энтальпию газа и другие его параметры на
входе в рассматриваемый канал. В третьем элементе задается параметр Kf, рав-
ный количеству каналов конструкции, через которые протекает газ до втекания в
рассматриваемый канал. В четвертом и пятом элементах располагают удельные
массовые расходы &вх и температуры Твх или энтальпии iex газа во входном
сечении рассматриваемого канала. Направление течения учитывается, так же как
в рассмотренных в §8.2 стационарных задачах, знаком расхода. Величины Gex,
Твх, iex задают конкретно для газа с Kf = 0, т.е. для канала, в котором газ перво-
начально поступил в теплообменник. При Kf * 0 данные параметры определяют-
ся в процессе численного решения и равны их значению на выходе из канала, из
которого газ вытекает непосредственно при втекании в рассматриваемый канал.
Матрицы формализации условия на входе в каналы теплообменника, состоящего
из пяти каналов для разных схем течения, представленных hj рис.8.2, приведены
ниже в таблице 8.1.
Алгоритм расчета температурного состояния газов с использованием форма-
лизации схем течения сводится к следующему. Сначмга производится расчет па-
раметров газов, протекающих в независимых каналах, для которых _К}=0. При
этом задается значение расхода с учетом направления течения и значения темпе-
ратуры или энтальпии на входе. Затем рассчитывают температурные поля газов
для Kf = 1, К{ = 2 и т. д. При этом значения расхода соответствуют значениям
расхода с противоположным знаком для этого газа на выходе из предыдущего
канала, из которого газ вытекает прежде, чем попасть в рассматриваемый канал.
Таким образом, приводятся в соответствие температура газа на входе в рассмат-
риваемый канал и на выходе из предыдущего канала (Тйх =Твых). При построе-
нии алгоритма это достигается организацией двух циклов - внешнего, по количе-
ству каналов, и внутреннего, по количеству сообщающихся каналов. Во внешнем
цикле определяют температурные поля «независимых» газов (К^=0), во внут-
реннем - перебираются значения kf для «зависимых» потоков газа. При совпаде-
нии значений Kf и параметра внешнего цикла производится расчет течения газа
в канале К>.
8.3.4 Анализ результатов расчетов
В качестве иллюстрации возможностей сформулированных алгоритмов рас-
смотрим задачу о нагреве (охлаждении) жидкости в конструкции, состоящей из
шести слоев. Схемы протекания жидкостей представлены на рис. 8.2в. Во всех
четырех схемах имеется два канала, по которым жидкости протекают независимо
друг от друга. Температура втекающих жидкостей Твх =150 °C. Три других ка-
нала сообщаются между собой, и по ним протекает как по змеевику одна жид-
кость. Входная температура этой жидкости 10°С. Рассматриваемые схемы конст-
рукций отличаются направлением течения нагревающих жидкостей и взаимным
373
процессов, основанное на этих допущениях, получило название среднеобъемного
приближения Формально уравнения среднеобъемного приближения могут быть
получены из общих уравнений газовой динамики, выписанных в главах 2, 3 и 5 в
результате их интегрирования по объему технологического пространства с уче-
том сформулированных граничных условий. Элементы соответствующих преоб-
разований описаны в § 4 1 4 при выводе соотношений для определения осреднен-
ных параметров в ячейках с применением конечно-разностной схемы Годунова.
Некоторые обоснования получения и использования уравнений среднеобъемного
приближения даны в [53]. Определяющим при этом, как уже отмечалось, является
соотношение между скоростью распространения возмущений в емкости и харак-
терной скоростью массопереноса, которая определяет степень изменения пара-
метров в емкости. В результате систематических численных решений задач в
полной постановке выяснено, что для выравнивания параметров в емкости необ-
ходимо примерно десятикратное отражение и переотражение возмущений, вы-
званных течениями во входных и выходных элементах емкости, от поверхности
аппарата. Исходя из этого, для оценки характерного времени выравнивания пара-
. 10L
метров в емкости можно воспользоваться следующим соотношением: ta «----,
где L - характерный поперечный размер реакционного пространства, а - ско-
рость звука в реакционном пространстве. Для высокотемпературных процессов
скорость звука в газовой фазе может достигать 500 — 1000 м/с и более. При харак-
терном размере реакционного пространства L ~ 5м время выравнивания пара-
метров имеет порядок 0.05 - ОД с. Характерное время натекания в емкость
можно оценить следующим соотношением:
где V « L3 - объем емкости, р плотность смеси в емкости, gj - массовый рас-
ход втекающих (вытекающих) из емкости компонентов. Соотношение характер-
ных времен, которое может быть использовано для оценки возможности исполь-
зования среднеобъемного приближения, определяется следующим:
tg ,
Видно, что с увеличением размеров емкости и температуры компонентов Tv воз-
растает, и появляются основания для использования среднеобъемного приближения.
В инженерной практике уравнения, описывающие процессы в емкостях в
среднеобъемном приближении, выводятся на основе балансовых соотношений,
являющихся следствием законов сохранения массы и энергии с привлечением
уравнений состояния и термодинамических соотношений. Различные примеры
получения таких уравнений рассмотрены в [25, 53, 152, 160]. Чтобы не загромож-
дать изложение формальными преобразованиями, в настоящей главе использует-
ся именно этот способ получения уравнений. Причем, уравнения выписаны в
обобщенном виде, позволяющем учитывать различные физические и химические
превращения в емкости и в нескольких гидравлически связанных емкостях.
378
жидкостей в противотоке с горячей
(схемы 2в и 4в) является, как и в более
простом случае течения жидкостей по
двум каналам, более эффективной, чем
схема течения с прямотоком (схемы 1в и
Зв). Температура холодных жидкостей
на выходе отличается на 15 - 20°С для
схем 1в и 2в. Схемы с протекающими
горячими жидкостями в каналах, распо-
ложенных между каналами холодной
жидкости (схемы Зв и 4в) являются бо-
лее эффективными, причем отличия в
температуре нагреваемой жидкости на
выходе для схем Зв и 4в для течений с
Рис. 8.3 Изменение температуры на-
греваемой жидкости на выходе из теп-
лообменников (схемы а, б, 1в - 4в)
прямотоком и противотоком незначи-
тельны (в рассматриваемом примере на 3 градуса). Сравнивая схемы 1в и Зв и
схемы 2в и 4в, следует отметить, что в начальный момент времени (т < 2 сек) ход
изменения температуры нагреваемой жидкости практически одинаков. В этот пе-
риод времени влияние нагревающих жидкостей в каналах 2, 3 (схема 1<?) и I, 3
(схема 4в) незначительно. Преобладающее влияние на температуру выходящей
жидкости оказывает теплообмен между каналами 4 и 5, независимо от схемы их
расположения. При этом существенные отличия наблюдаются для схем с проти-
вотоком и прямотоком (схемы 2в и 4в). В этот промежуток времени нагрев хо-
лодной жидкости в выходном канале (канал 5 для схемы 1в и канал 4 - для схемы
2в) идет так же, как и в простой системе, состоящей из двух каналов (на всех ри-
сунках результаты, относящиеся к простой схеме, нанесены линиями а и б, со-
стоящими из точек). Однако в последующие моменты времени (2 < т < 4 с) нагрев
жидкостей в каналах I и 3 влияет более
существенно. Это, в частности, опреде-
ляет резкое увеличение наклона кривой,
иллюстрирующей изменение температу-
ры холодной жидкости при течении по
схеме Зв. Такой же, однако, менее выра-
женный, количественный характер изме-
нения температуры имеется для течения
по схеме 4в.
Зависимость от времени температуры
горячих жидкостей на выходе из конст-
рукции представлена для схем 1в и 2в на
рис.8.4а, а для схем Зв и 4в - на рис. 8.46
(первая цифра на рисунках - номер схе-
мы, вторая - номер жидкости). Обращает
внимание немонотонный характер изме-
нения температуры во времени. В на-
чальный момент времени (т < 2 с) преоб-
ладающим является охлаждение горячей
жидкости холодной. В этот промежуток
времени охлаждение жидкости в пятика-
Рис. 8.4 Изменение температуры на-
гревающих жидкостей на выходе из
теплообменника: а) - схемы 1 в и 2в; б)
- схемы Зв и 4в
375
где R = Ro/m - газовая постоянная, Ro - универсальная газовая постоянная,
т ~ молекулярная масса смеси, Xh,mk - массовая концентрация
и молекулярная масса k -той газовой компоненты. В свою очередь для мож-
но получить следующее выражение:
dm dXk
— = -------•
т k mk
(9.6)
Используя уравнение состояния (9.4) и принимая во внимание связь газовой
постоянной с удельными теплоемкостями R = Ср — Cv, получаем, что внутренняя
pV
энергия связана с давлением и объемом соотношением Е —--. С учетом этого
уравнение энергии (9.3) можно записать в виде
dE = = -^Fdp + pdV -
pV dy^i
у -1 dt J
Подставляя это соотношение в (9.3) и используя (9.1), после очевидных пре-
образований получим уравнение для определения изменения давления в емкости
dp у “ 1 ( 1 AV Р dy
^•=—+«^/- (9.7)
iege-lgt +ifngfp
Для смеси совершенных газов с постоянными теплоемкостями, принимая во
Ср lLCPbXk 1 Cv Cv
внимание, что у = — = ----и----=----, получим
с» V-1 СР-С« я
Исключая из соотношения (9.5), которое является следствием уравнения со-
стояния, производные от р, V, G и т, с помощью (9.1), (9.2), (9.6), (9.7) получим
дифференциальное уравнение для температуры
^~^^+1еёе~^+^ёЬ +^gfm +9S-PAV)-
(9 8)
При вычисленных V, G и р температура может быть определена непосред-
ственно из уравнения состояния
Т = 1*.
RG
380
Глава 9
МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ В ЕМКОСТИ С УЧЕТОМ
МАССОЭНЕРГОПОДВОДА, ХИМИЧЕСКИХ И ФАЗОВЫХ
ПРЕВРАЩЕНИЙ
Многие процессы связаны с натеканием в некоторые технологические про-
странства (емкости) различного рода компонентов - газов различной природы,
смеси газа с твердыми или жидкими частицами. Эти компоненты могут подвер-
гаться различным физико-химическим превращениям: химическим реакциям, ис-
парению жидких компонент с последующим горением паров в газовой фазе и
многое другое. Процессы, происходящие при этом, определяются смешением га-
зов, циркуляцией газовых компонент и гетерогенных смесей, струйным переме-
шиванием, формированием и испарением распределенных по объему емкости ка-
пель, испарением и конденсацией жидкости, занимающей отдельную часть емко-
сти и т.д. В результате этих процессов происходит перемешивание компонентов и
выравнивание их параметров в емкости. Время выравнивания параметров опреде-
ляется, с одной стороны, скоростью распространения возмущений в емкости,
вносимых втекающими и вытекающими компонентами, скоростями фазовых пе-
реходов и, с другой стороны, скоростью натекания и вытекания компонентов из
емкости.
9.1 Физическая формулировка задачи. Основные допущения
В общем случае для детального исследования процессов, происходящих в ем-
костях, необходимо использовать полученные в предыдущих главах уравнения
газовой динамики и гетерогенной смеси с учетом химического взаимодействия и
фазовых переходов.
В зависимости от конструктивных особенностей технологических емкостей и
параметров, определяющих протекание процессов, могут использовать различные
описанные в предыдущих главах упрощения общей математической модели. В
случае, когда характерное время втекания и вытекания компонентов из емкостей
достаточно велико по сравнению с характерным временем процессов, происхо-
дящих в емкости, возможно дальнейшее упрощение математической модели этих
процессов. В рамках этого упрощения считается, что значения параметров в ем-
костях не изменяются при переходе от одной точки пространства к другой, т.е.
остаются одними и теми же в пределах всего технологического пространства. Из-
менение этих параметров происходит только с течением времени, причем харак-
тер этих изменений определяется параметрами во входных и выходных элементах
конструкции аппарата и условиями массо- и теплообмена на его поверхности.
При таких допущениях для исследования процессов в емкости можно использо-
вать математические модели, основанные на системе обыкновенных дифферен-
циальных уравнений относительно параметров газа, которые являются функцией
времени и не зависят от пространственных координат. Описание технологических
377
нения объема AV, занимаемого паром, определяется соотношением AV = -J₽>
Pf
где pz плотность жидкости при данной температуре. Для определения расхода
пара, вытекающего из емкости (^ ), в общем случае необходимо решать задачу о
нестационарном истечении газа через трубу при наличии трения и теплоотвода.
Эта задача может быть решена в квазиодномерном приближении, в рамках кото-
рого необходимо решать систему уравнений в частных производных. Соответст-
вующие уравнения и алгоритмы их решения описаны в главе 7 В упрощенном
подходе могут быть использованы формулы для расхода газа при его истечении
через отверстие (1.32) или соотношения для истечения вязкого газа из емкости
через трубу, полученные в §1.3.6.
Для расчета скорости испарения gfp необходимо рассмотреть уравнения из-
менения массы и энергии жидкости. Эти уравнения можно записать в виде:
dGf
где Gj, if - масса и удельная энтальпия жидкости, г - теплота фазового перехо-
да, - тепло, подводимое к жидкости через поверхность емкости.
Принимая во внимание, что
^2fiL = G ^L + i ^21
dt f dt f dt
= GfCfdt ifgfp'
где Cf и Tf - удельная теплоемкость и температура жидкости получим уравне-
ние для изменения ее температуры
dTf = ~qrSfP + gfw (9 9)
dt GfCf
При расчете параметров жидкости будем считать, что при понижении давле-
ния в емкости, вызванном истечением пара через вентиль и трубу, жидкость
вскипает по всему объему и испаряется. При этом, как уже отмечалось, темпера-
тура жидкости принимается равной температуре насыщения, соответствующей
мгновенному значению давления в емкости. Связь температуры насыщения с
давлением определяется уравнением Клайперона-Клаузиуса (5.39), которое удоб-
но переписать в виде
dp = г Рп dTf
dt 1-(р/р,)7> dt ’
где рп - плотность пара при Т = Tf .
382
9.2 Математическая формулировка задачи
Рассмотрим некоторую емкость с изменяющимися во времени объемом V(t),
заполненную газом (смесью газов) с характерными текущими значениями пара-
метров: давлением p(t), температурой T'(t), массой G(t), статической энтальпи-
ей i(t). В данную емкость втекает в единицу времени ge и вытекает gt газа с эн-
тальпиями ie и i соответственно. Кроме того, в результате химических реакций
или фазовых переходов внутри емкости образуется (исчезает) gfm массы газа. В
результате аналогичных процессов на стенках технологических аппаратов в емко-
сти появляется масса газа g^ . Требуется определить изменение с течением вре-
мени средних параметров газа в емкости.
Для описания среднеобъемных процессов в ёмкости с учетом массоподвода,
энергоподвода, химических и фазовых превращений выпишем систему основных
уравнений.
Уравнение изменения объема, занимаемого газом,
где ДУ м3/с - скорость изменения объема.
Уравнение изменения массы газа в объеме
dG
= («2)
Уравнение изменения энергии газа в емкости с учетом работы сил давления,
связанной с изменением объема
dE dV
~di+p~drq“+i’s’~le‘+ *'•е'-+ q'e'-+ ’• ’ (93)
где Е - внутренняя энергия газа в емкости, для которой считая, что удельные
теплоемкости постоянны, можем записать Е = GCVT, qw - подводимая тепловая
мощность через стенки емкости; qa - мощность, выделяемая в емкости в резуль-
тате других процессов, например, среднеобъемный теплообмен с частицами дру-
гой фазы; - энтальпия веществ, появляющихся в химических или фазовых
превращениях на поверхностях аппарата; qr - теплота химических реакций или
фазовых переходов внутри объема.
Уравнение состояния для конечной массы совершенного газа
pV = RGT (9.4)
или его дифференциальный аналог
dp dV^ dG dT dm
p + V ~~G+~T~'~^' ( }
379
9.4 Изменение параметров в емкости при наличии гомо- и
гетерогенных химических реакций
При протекании химических реакций в емкости с течением времени изменя-
ется покомпонентный состав газа, т.е. изменяются массовые концентрации от-
дельных компонентов Xh . Если имеют место гетерогенные химические реакции,
то в процессе реакций изменяется масса газовой и твердой фазы со скоростью
gf кг/с. В химических гетеро- или гомогенных реакциях выделяется или погло-
щается количество тепла qr, которое является тепловым эффектом реакции.
Кроме того, идет перераспределение тепловой энергии между газовой и твердой
фазой. Это учитывается конкретным видом слагаемого qa в уравнении (9.7). Та-
ким образом, для замыкания задачи расчета параметров газа в емкости при нали-
чии гомо- или гетерогенных химических процессов, необходимо получить соот-
ношения для определения gf? ,gfm ,qs,qr.
Рассмотрим вопросы определения этих величин на конкретном примере про-
грева, горения и газификации угольных частиц в заданном объеме. Общие соот-
ношения, описывающие особенности горения и газификации угольных частиц,
приведены в §5.4.
Пусть задана некоторая емкость с объемом V. В начальный момент времени в
емкости при температуре Tog и давлении ро, находится в химическом равнове-
сии смесь, состоящая из семи компонентов О2, СО, СО2, Н2, Н2О, CH^,N2
Состав смеси задан массовыми концентрациями. Пусть в емкость подается уголь-
ная пыль с относительной массой ks , которая определяется как отношение сум-
марной массы частиц к массе свободного кислорода ks =Ms/Mo2 . Кроме того,
задан начальный эффективный диаметр частиц do и плотность материала частиц.
Это позволяет определить количество частиц Ns. Температура угольных частиц
?зо «'I'og в свою очередь, Tog достаточно высока, чтобы газ нагрел угольные
частицы до воспламенения.
В процессе прогрева идет изменение температуры частиц, которое определя-
ется уравнением
Cs^s ~dt ~ а^е &бок ’
а — коэффициент теплоотдачи, а = ——— ; X. — коэффициент теплопроводности
газа; Nu - число Нуссельта; S6oK - площадь боковой поверхности частицы. В
данной задаче примем Nu = 2.
После прогрева частиц начинают с заметной скоростью идти гетерогенные ре-
акции
2С(Т) + О2 <-> 2СО + AQj,
(9 11)
^(т) *" ^2 СО2 + AQ2 »
384
Система уравнений (9.1), (9.2), (9.7), (9.8) позволяет определить изменение
среднеобьемных значений параметров V, G, р и Т в некоторой произвольной
емкости при достаточно общих условиях. Специфика решаемой задачи, ее инди-
видуальность проявляются через систему соотношений или уравнений для вспо-
могательных величин: ДУ, ge, gt, gf? , gfm , qw, qr, qe и других, если это тре-
бует постановка задачи. Рассмотрим вопрос составления дополнительных урав-
нений и соотношений на примерах решения конкретных задач.
9.3 Истечение из емкости испаряющегося вещества
Рассмотрим задачу об истечении из емкости испаряющегося вещества.
Формулировка задачи. В емкости объемом Vo налита жидкость, объем ко-
торой равен Уж . Остальное пространство занято паром. При закрытом вентиле в
трубе параметры пара находятся на линии насыщения. После открытия вентиля
начинается истечение пара, и давление в емкости становится меньше давления
насыщения. Это приводит к интенсивному испарению жидкости. При этом вслед-
ствие затрат тепла на парообразование понижается температура жидкости. Тем-
пература пара понижается вследствие адиабатического расширения. При доста-
точно медленном, по сравнению со скоростью испарения, истечении пара между
давлением и температурой жидкости в емкости устанавливается зависимость, при
которой в каждый момент времени температура жидкости равна температуре на-
сыщения пара при мгновенном значении давления в емкости. В общем случае пар
в емкости находится в состоянии насыщения, и его термодинамические парамет-
ры должны определяться с учетом фазовых переходов [31]. Однако, удельный
объем пара в емкости может быть определен при помощи уравнения состояния,
справедливого для совершенного газа. В этом случае в рамках описанной модели
можно определить изменение давления и температуры пара в емкости, темпера-
туру жидкости и расход вытекающего пара.
Расчетные уравнения и соотношения. При условии, что пар ведет себя как
совершенный газ, изменение параметров пара в емкости описывается уравнения-
ми (9.1), (9.2), (9.7), (9.8), записанными для условий, при которых состав газа в
емкости не изменяется и, следовательно, молярная масса и отношение удельных
dm п dy _ „
теплоемкостей постоянны, т.е. --= 0 и — = 0. Кроме того, натекание газа в
dt dt
емкость равно нулю, следовательно, ge = 0. Будем считать, что испарение проис-
ходит с поверхности, ограничивающей объем, занятый паром со стороны жидко-
сти, и внутри объема, занятого паром, фазовых переходов нет. Тогда можно при-
нять, что приток массы газа внутри емкости равен нулю, т.е. gfm - 0, а скорость
массовыделения (скорость испарения) с поверхности жидкости g^ подлежит оп-
ределению при решении задачи, исходя из условия, что в каждый момент време-
ни температура жидкости равна температуре насыщенного пара при мгновенном
значении давления. Что касается объема, занятого паром, то вследствие испаре-
ния жидкости, находящейся в емкости, этот объем увеличивается. Скорость изме-
381
горения частиц угля и выгорания свободного кислорода. При задании начального м
состава газа рассматривались воздух и смесь воздуха с парами воды. Использова- и
лись кинетические соотношения для скоростей рассматриваемых химических ре-
акций, которые приведены в §5.4. I я<
Типичные результаты расчетов представлены на рис. 9.4 - 9.5. Начальные
значения параметров следующие : температура газа То = 973,15К; давление р0=
101325Па; температура частиц угля Tfi =293,15К; эффективный диаметр частиц
угля di - 0,0001м, отношение массы угольных частиц к массе свободного кисло-
рода m/i 2. Количество молей кислорода, отнесенное к количеству молей азота
в единице объема, равнялось ^о2/^л2 =0.232. Число молей водяного пара за-
давалось в виде их отношения к числу молей кислорода. Для варианта 1 это от-
ношение равнялось н2о /^о2 ~ 0, Для варианта 2 — ^н2о/^о2 = 2- На
рис. 9.4а и 9.46 изображены расчетные зависимости изменения температуры газа
(сплошной линией) и температуры частиц (штриховой линией) во времени для
мое
200
Рис. 9.4.6 Изменения температу-
ры газа и температуры частиц во
времени, NH O / N =2
2000
1800
1600
1400
1200
1000
Рис 9.4а Изменения температуры
газа и температуры частиц во
времени, NHiO / = О
вариантов 1 и 2 соответственно. Как показывают результаты расчетов, изменение
температуры газа во времени с учетом кинетики гетерогенных процессов носит
немонотонный характер. На первом этапе процесса, пока температура частиц на-
столько мала, что реакции горения угля не идут, температура газа падает. Это вы-
звано передачей тепла от горячего газа к холодным частицам. Поел* прогрева
частиц начинается их интенсивное горение преимущественно в реакции 2 из
(9.12) с образованием СО2, так как константа кинетической скорости горения
этой реакции на два порядка больше, чем реакции 1.
Горение приводит к интенсивному выделению энергии, и температура газа
повышается. По мере выгорания кислорода (что соответствует 5-ой - 6-ой секун-
дам) скорости реакций 1 и 2 уменьшаются, и становится заметным вклад реакции
1 из (9.12), в которой тепло поглощается. Это приводит к снижению температуры
газа, и, следовательно, и частицы. С течением времени соотношение концентра-
ций СО и СО2 приходит к равновесному значению, и скорость этой реакции ста-
новится равной нулю. Таким образом, система переходит в термодинамическое и
химическое равновесие. Влияние начальной концентрации паров воды сказывает-
ся на максимальную температуру, давление газа и температуру частиц, достигае-
386
Подставляя в это соотношение —f~ и —
dt dt
ное соотношение относительно gf , запишем
из (9.9) и (9.7) и разрешая получен-
Qfw + (У - ~ Qw )+P^V
gfp=-^-f--------------------
(9.10)
ие а =
1 Рп
1_Рп
Pf
Соотношение (9.10) замыкает формулировку задачи об истечении пара из ем-
кости, частично заполненной жидкостью.
В качестве иллюстрации
Рис. 9.1 Изменение темпера-
туры жидкости в емкости с
течением времени
применения описанной модели рассмотрена кон-
кретная задача об истечении из объема, частично
наполненного жидкостью, пара через трубу. Взя-
ты следующие начальные параметры в емкости:
Vo = 0,03м3, Уж = 0,01м3, ро = 4,6Мпа,
То = 250°С. После открытия вентиля пар истекает
в атмосферу через трубу длиной L = 6м, внут-
ренний диаметр которой равен 0.08м. Для расчета
скорости истечения использовались соотношения
приведенные в §1.3.6. Результаты расчетов пред-
ставлены на рис.9.1 - 9.3, на которых показано
изменение во времени температуры жидкости
(рис.9.1), давления пара в емкости (рис.9.2), мас-
сового расхода пара (рис.9.3).Рассмотрены вари-
анты подвода внешней энергии мощно-
стью qfw = 0, 50, 100, 150 кВт (кривые 1, 2, 3, 4 на рисунках соответственно).
Рис. 9 2 Изменение давления
пара в емкости с течением вре-
мени
Рис. 9.3 Изменение массового
расхода истечения пара с те-
чением времени
383
терными текущими значениями параметров: давлением температурой
Tk(t), массой газа Gh(t), статической энтальпией В данную емкость из
гидравлически связанных с ней емкостей втекает (вытекает) газ.
Изменение параметров в каждой рассматриваемой емкости в среднеобъемном
приближении можно описать в соответствии с §9 1 следующей системой уравнений:
dVk
dt
= ^Vk,
+ + 4. •
at j*k
at yk [ j^k j*k j * j»
Tk = (fe = l,2,...,n), (9.13)
RkGk
где AVk - скорость изменения объема во времени; gjkj — массовый расход газа,
втекающего в fe-ю емкость из j-й емкости; gekj — массовый расход газа, выте-
кающего из fe-й емкости в j-ю емкость; gfm^Sfpk — количество газа, образую-
щееся (или исчезающее) в fe-й емкости за счет гетерогенных химических реакций
и фазовых переходов внутри емкости и на ее внутренних поверхностях в единицу
времени; ук = СРк / , Cpk, CV/i - теплоемкости компонент смеси газа при по-
стоянном давлении и постоянном объеме соответственно; iekj - удельная эн-
тальпия вносимого в k-ю емкость газа из j-й емкости; qwk — тепловая мощность,
подводимая через стенки k-R емкости; qrk - теплота химических реакций или фа-
зовых переходов; Rh - газовая постоянная газа, заполняющего k -ую емкость;
пк - количество емкостей, связанных с k-R емкостью.
Суммирование проводится по емкостям, гидравлически связанным с fe-й ем-
костью. Решение системы (9.13) позволяет определить средние значения пара-
метров Vk,Gk, ph,Tk в любой из емкостей рассматриваемой системы.
Специфика конкретной задачи определяется заданием соотношений или урав-
нений для определения AVk,gekj, gikj, iekj, других параметров, которые входят
в выписанную систему уравнений. Так, изменение объема емкостей может проис-
ходить под действием различных факторов, например, вследствие упругих де-
формаций стенок емкости (аэростатные системы, сильфоны); за счет испарения с
поверхности жидкости, частично заполняющей емкость (парогенераторы); под
действием поршней, вдвигающихся или выдвигающихся из рассматриваемой ем-
кости (пневмопривод, газовые амортизаторы).
В последнем случае на основе второго закона Ньютона можно записать
388
и изменяется масса угольных частиц. Уравнение для изменения массы частиц за-
пишем в вице:
dMs Л
где rt - скорость изменения массы частиц в i-той реакции
При изучении конкретных процессов могут быть рассмотрены различные ки-
нетические модели химических превращений, что не влияет на общие предпо-
сылки формулировки задачи.
Поскольку сгоревший углерод переходит в газовую фазу, то приращение мас-
сы газа в объеме gfm определяется скоростями реакций rt:
С(Г) + О2 <-> СО + AQ3,
С(Т) + Н2О СО + H2+AQ4> (9 12)
+ 2Н2О <-> СО2 + 2Н2 + AQg.
Можем записать
ef.=Xrt-
i=l
В пр ессе реакций (9.11), (9.12) в составе компонент газовой фазы происхо-
дит увеличение массы химического элемента С и не меняется масса остальных
химических элементов (О, N, Н). Причем скорость изменения массы углерода
также равна gfm . Это позволяет в каждый момент времени определить элемент-
ный состав газовой смеси. Полагая, что газовая смесь находится в химическом
равновесии, можно определить покомпонентный состав смеси, исходя из извест-
ного элементного состава и условий химического равновесия. Подробно этот во-
прос рассмотрен в §3.5. Найдя массовую концентрацию компонент в каждый мо-
dXh
мент времени, можно определить производные -входящие в (9.7) и (9.8),
dt
dy dm „ g4
через — и ---. Величина —, задающая интенсивность среднеобъемного теп-
dt dt V
лообмена с угольными частицами, может быть определена из равенства
qs=-a(T-Ta)NsS6oK,
где Na - количество частиц в единице объема, в рассматриваемой задаче счита-
ется постоянным. Тепловой эффект 1етерогенных химических реакций равен раз-
ности энтальпий газовых продуктов реакции и материала угольной частицы
Qr-ig-CgTg, где ig - энтальпия газовой смеси, ig =
В рамках этой модели проведены исследования влияния начальных парамет-
ров газовой смеси (состав, температура, давления) и твердой фазы (масса и тем-
пература частиц) на изменение среднеобъемных параметров в емкости в процессе
385
Применение уравнений (9.13), (9.14) рассмотрим на примере системы газовой
амортизации приборного блока, схема которой представлена на рис.9.7. Подобная
система амортизации применяется в одном из вариантов конструкции пенетратора,
предназначенного для внедрения в поверхность Марса с целью ее зондирования
Конструктивно система состоит из емкостей 1
и 6. В цилиндрической емкости 1 перемещается
составной поршень, состоящий из центрального
штока 2 и кольцевой втулки 4, которые имеют
возможность двигаться совместно и относительно
друг друга. Центральный шток жестко соединен с
амортизируемым приборным блоком 3.
Цилиндрическая емкость 1 через отверстия 7
сообщается с емкостью постоянного объема 6, ко-
торая имеет клапаны сброса давления 5, откры-
вающиеся при достижении определенного давле-
ния в этой емкости.
В начальный момент времени поршни нахо-
дятся в верхнем положении, в обеих емкостях па-
раметры газа (давление, температура и плотность)
= Р2=Ро; 5i=72=7b; Pi = Р2 = Ро •
Рис. 9.7 Схема газовой амор-
тизации приборного блока
При столкновении корпуса пенетратора с грунтом поршни под действием
инерционных сил движутся вниз, сжимая газ в цилиндрической емкости. Возни-
кающий при этом перепад давлений между емкостями 1 и 6 обусловливает пере-
текание газа и возрастание давления в емкости 6. После достижения в ней опре-
деленного значения давления открываются клапаны сброса 5, через которые газ
стравливается в атмосферу с давлением рн . За счет »того происходит плавное, по
отношению к корпусу пенетратора, гашение скорости приборного блока с замед-
лением, обеспечивающим сохранность приборов.
Изменение скорости корпуса пенетратора в процессе внедрения его в грунт
зависит от механических свойств грунта, формы головной части и упругих харак-
теристик корпуса. Для упрощения принято, что зазор между поршнями и поверх-
ностью цилиндра отсутствует, поэтому перетекание из данной полости в атмо-
сферу не происходит. Ввиду быстротечности процесса во времени можно не учи-
тывать энергообмен с окружающей средой, т.е. qwk =0. В связи с отсутствием
химических и фазовых превращений в данной системе qr = gfmh = gfpk = 0. Рабо-
чим телом является азот, тогда т} = т? - 0.028 -г , у, = у2 = 1,4 , dyk /dt = O.
моль
При преобразовании уравнений (9.13) с учетом перечисленных выше допуще-
ний принято, что значение j = 3 соответствует параметрам окружающей среды.
Из уравнений (9.14), положив fe = l; £ = 1,2 и приняв для упрощения
а Pgi,t =MijS (вертикальное движение элементов поршня),
^Pk.i =~{Рн ~Pj)’ получим конкретную форму уравнений для составного порш-
ня в емкости 1
При этом координаты элементов составного поршня находятся из уравнений
390
мне в процессе горения, а также на температуру и давление термодинамического
и химического равновесия.
Уменьшение уровня температур с увеличением содержания паров воды объ-
ясняется тем фактом, что гетерогенная реакция углерода с водой идет с поглоще-
0.8
Рис. 9.5д Изменение состава газовой Рис. 9.56 Изменение состава газовой
смеси при Nи2О / TV02 = 0 во вре- смеси при N/ NO2 = 2 во времени
мени
нием тепла. Таким образом, можно подобрать такое количество паров воды в на-
чальном составе, что при достижении термодинамического и химического равно-
весий температура газа будет такой же, как вначале. Влияние начального содер-
жания паров воды в составе газовой смеси на массовый состав газовой смеси во
времени иллюстрируют рисунки 9.5а м 9.56. Кривые соответствуют компонентам
О2, СО, СО2, ЛГ2, Н2О, Н2 .
9.5 Истечение из системы гидравлически связанных емкостей при наличии
подвижных границ
В технических приложениях часто воз-
никают задачи, связанные с определением
газодинамических параметров в системе ем-
костей, соединенных друг с другом при по-
мощи трубопроводов, клапанов или регули-
рующих устройств. В этих емкостях могут
происходить химические и фазовые превра-
щения, к ним может подводиться энергия,
объемы емкостей могут изменяться во вре-
мени по заданным законам либо в зависимо-
сти от изменения среднеобъемных парамет-
ров в них.
Рис. 9.6 Схема гидравлически свя-
занных емкостей
В §9.1 сформулирована постановка задачи и получены основные уравнения
для определения среднеобъемных параметров в одной емкости с учетом указан-
ных выше факторов. В этом параграфе дается обобщение этой математической
модели на течения в нескольких гидравлически связанных емкостях.
Из рассматриваемой системы емкостей (рис.9.6) выделим некоторую /г-ую
емкость, объем которой Ил(г) и которая заполнена газом (смесью газов) с харак-
387
На рис.9.8 представлены полученные в результате расчетов системы пневмо-
_ “1,1
торможения приборного блока: скорость штока их - 0 , его замедление
“1,1
а |, давление рг = —,Р2 = ~ в емкостях 1 и 6, а также температура в
[a] J Ро Ро
(— т - Т2 ]
этих емкостях I 7^ = —Дг =7Г в
V Ч) 7
зависимости от времени. Кривые 1 соответст-
вуют конструктивному варианту без
фиксации элементов составного поршня в
нижнем положении; 2 - с фиксацией этих
элементов в нижнем положении; 3 - с
учетверенными значениями площадей
F12, F23 и фиксацией элементов поршня в
нижнем положении.
Сплошные линии на графиках давления
и температуры относятся к емкости 1,
штриховые - к емкости 6.
Из приведенных данных следует, что
фиксация элементов составного поршня в
нижнем положении исключает удар поршня
с приборным блоком о верхний ог-
Рис. 9.8 Изменение скорости штока,
его замедления, давления и темпера-
раничитель при обратном движении (см.
кривую 1 на зависимости однако
замедление его превышает примерно на 50%
допустимое значение.
туры в емкостях 1 и 6, в зависимо-
сти от времени
Приемлемое значение замедления обеспечивается увеличением в четыре раза
исходных площадей проходных сечений отверст-н для перетекания газа между
емкостями 1 и 6 и клапана сброса давления из емкости 6 (кривые 3).
9.6 Определение неравновесного состава газовой смеси при изобарическом и
изохорическом процессах
Рассмотрим газовую смесь из К компонент, которая при текущих значениях
температуры Т и давления р занимает объем V. Пусть в смеси одновременно
происходит г химических реакций. Рассмотрим процесс, в котором масса смеси
М не изменяется. Скорость изменения массы М k -той компоненты ( Mk) опре-
деляется уравнением
= <9Л5)
где, как и ранее, - скорость а -той химической реакции, vka - стехиометри-
ческий коэффициент вещества k в реакции а .
392
,, duk i
кл dt l Flt-‘ ±P*’1 + P<rW’ (9.14)
i = l,2,...Nh,
где Mk j — масса i-ro поршня в Л-й емкости; ик г - скорость i-ro поршня, &pht -
перепад давлений на i-м поршне; FPki - площадь i-ro поршня; РхЫ - сила трения
между поршнем или его уплотнительными элементами и направляющей поверх-
ностью; Pgkl - проекция силы тяжести поршня на направление его движения;
Nk - количество поршней в k-й емкости
Тогда скорость изменения объема определится соотношением
AVk =^uki FPhl .
i=x
Выражения для определения gekj и g^j зависят от конкретного вида гид-
равлической связи между емкостями. Если емкости соединены достаточно
длинными трубопроводами, гидравлическое сопротивление которых оказывает
существенное влияние ня характер течения, определение зависимостей geltj и
gihj может быть проведено с помощью газодинамических функций по методи-
ке, изложенной в §1.3.7. При связи емкостей через короткие патрубки, клапаны,
дроссельные отверстия для этих функций могут быть использованы соотноше-
ния типа (1.32).
Энтальпия газа в рассматриваемой емкости для случая совершенного газа мо-
жет определяться по формуле
Gk
где pfc -—— - плотность газа.
vk
Значения qr, gmk, gph определяются в зависимости от химического и фазово-
го составов реагирующих компонент, давления и температуры в емкости Кон-
кретные примеры рассмотрены в предыдущих параграфах.
Тепловой поток, подводимый через стенки емкости в квазистационарном слу-
чае, может быть вычислен по формуле
_______^Wk^k_______
+l/afc2 +^qk
где FWh - площадь теплообменной поверхности k-й емкости; ДТА =Tk -Та, Та -
температура окружающей среды; aftl, aft2 - коэффициенты теплоотдачи на
внутренней и внешней сторонах стенки /г-ой емкости; R4k - эффективное
термическое сопротивление стенки емкости (см. §8.2.1).
389
Принимая во внимание, что М = pV - const, и, следовательно,
=___и используя (9.17), можем после очевидных преобразований за-
р dt V dt'
писать выражение для производной по времени от этальпии
где Cpk - мольная удельная теплоемкость при постоянном давлении. Подставляя
это выражение в (9.20), получаем второе уравнение, связывающее изменение дав-
ления, температуру и объем газа:
где qka =-^vkahk(T) - теплота реакции а, при этом vfta >0 для появляющих-
k
ся компонент, vka < 0 - для исчезающих и vka = 0 для веществ, не принимаю-
щих участия в реакциях a
Система уравнений (9.17),(9.19),(9.21), дополненная для определения скоро-
сти химических реакций соотношениями вида (3.32), (3.33) с коэффициентами,
приведенными в таблицах § 3.3, служит для определения изменения состава сме-
си, давления, температуры и объема занимаемой смеси в течение времени вслед-
ствие протекания химических реакций, подвода тепла извне.
Для замыкания этой системы уравнений необходимо задать дополнительное
условие для определения параметров.
Рассмотрим два важных для практических приложений случая: процесс при
постоянном давлении и процесс при постоянном объеме.
Изобарический процесс - р = const. В этом случае — = 0, и получаем систе-
dt
му уравнений
dCk • CkdV
-^- = Zvftacoa-^—,
1 dF 1 dT £уу
V dt ~Т dt + N^^VkaWa
k a
dT
dt ^!CkCpk
(9 22)
Процесс при постоянном объеме - изохорический процесс, V = const. В этом
случае система уравнений для определения состава газа, давления и температуры
может быть записана в виде:
394
dxli
~dT’U'-‘- <=«• (9 15)
Для решения системы уравнений (9.13), (9.14), (9.15) необходимо задание на-
чальных условии:
Мх=м^- М2=М2‘, u^ulp, ult2 = ul2-
х12=х1°2; V^v".
Для энтальпий втекающего и вытекающего газа принято it = i2J, i2 - iI 2.
Зависимости для gekJ и gihj при докритическом и сверхкритическом пере-
падах давления могут быть определены, как уже отмечалось, соотношениями
(1.33) и (1.32) при Л. = 1, которые для рассматриваемой задачи можно записать в
виде:
Sekj ’ Stk,j
где c = Pjlpk для gekj-, v = pklp} для gikj, Fkj - площади отверстий для
перетекания газа между полостями 1 и 6 (Fk . - F k); • - коэффициенты рас-
хода = Рм); = Рз / Рг» Рз = Ра для £2,3 = ё2,а F2,3 ~ суммарная площадь
проходного сечения клапана сброса, открывающегося при р2 > ркл; ркл - дав-
ление срабатывания клапана; ц2 3 - коэффициент расхода клапана, индекс а от-
носится к параметрам окружающей среды.
При интегрировании системы уравнений (9.13), (9.14), (9.15) на координаты
штока и втулки накладываются условия, связанные с наличием верхнего и нижне-
го ограничителей хода. При расчетах рассматривались варианты как свободного и
независимого движения поршней, так и случаи фиксации их в нижнем положении
(не обязательно на ограничителях). Конечной целью расчетов является выбор
конструктивных параметров системы, обеспечивающих торможение приборного
блока (штока) с замедлением, не превышающим а.
Расчеты проводились при следующих значениях исходных данных:
ЛГ11=13кг; Л712=1,9кг; FP11 = 0.013м2; Fp12 =2.110 3м2;
F12 = 2.12 10~3m2; F2 3 =0 905-10’3м2; Pi,2 = P2,i =М2,з =0.61;
U1.1 = U1,2 = 60 м/с; *1.1 = х1,2 = 0; Ро= 3.5мПа; ркл = 4.5мПа; а = 5000 м/с2 ; g =
3.72 м/с2; рн = 0.6 кПа; Т? = Т2° = 300# .
Кроме того, принято, что остановка корпуса пенетратора происходит мгно-
венно.
391
насадка, сопла Лаваля, щелевого отверстия и др. Параметры в камере сгорания
устанавливаются исходя из баланса массы и энергии, подаваемых в емкость и вы-
текающих из емкости компонентов. Причем эти параметры существенным обра-
зом связаны с составом продуктов сгорания. Другими словами давление, темпе-
ратура и состав продуктов сгорания определяются одновременно на базе балансо-
вых соотношений для массы, энергии и химических элементов, входящих в со-
став топлива и окислителя. Соответствующие балансовые соотношения получа-
ются из (9.2), (9.3), если принять, что производные по времени равны нулю, и мо-
гут быть записаны в виде
gkc-gf-go=^> (9.24)
Skc^kc {gf^f+go^o} О’
(9.25)
где индексами kc,f,o отмечены значения параметров газа в камере сгорания, по-
даваемого топлива и окислителя, ё^Л^с _ массовый расход и удельная энтальпия
истекающих из камеры сгорания газов и подаваемых в камеру топлива и окислителя.
Для замыкания уравнений (9.24), (9.25) необходимо воспользоваться соотно-
шениями (1.31) и (1.33), определяющими расход газа при истечении его из емко-
сти, в которой заданы давление и температура. При этом следует учитывать воз-
можность двух режимов истечения. При докритическом режиме расход газа оп-
ределяется давлением и температурой в камере сгорания и давлением в простран-
стве, в которое газ истекает. При сверхкритическом режиме устанавливается ско-
рость истечения, равная местной скорости звука, и расход газа определяется
только параметрами в камере сгорания. Таким образом, расход газа при истече-
нии продуктов сгорания из камеры сгорания можно определить по соотношениям
(1.32), (1.33), которые для рассматриваемой задачи перепишем в виде:
В этих соотношениях R-R0S'—-и Т = -2——— - газовая постоянная и
2 хл.
показатель адиабаты продуктов сгорания, F — площадь отверстия, через которое
истекают продукты сгорания. Использование этих формул предполагает, что при
истечении состав газовой смеси не изменяется, т.е. используется приближение
’’замороженных” химических реакций.
Второе соотношение между температурой и давлением вытекает из уравнения
энергии (9.25), которое, учитывая, что ihc =YXkik(Tkc), запишем в виде:
396
С другой стороны, учитывая, что Mk = mhCkV, где Ск - мольная концентра-
ция вещества k, равная количеству молей вещества в единице объема, получаем
dMk „dCb dV
<’I6>
Комбинируем (9.15) и (9.16), после деления на mkV, получим
dCfc х-' С„ dV
(9.17)
Сложив почленно эти уравнения, получим уравнение для изменения количе-
ства молей N = '^Ck компонент в единице объема
dN . У NdV
= . (9 18)
Воспользуемся уравнением состояния для смеси совершенных газов, которое
запишем в виде p = RoNT. Продифференцировав это уравнение, после некото-
рых преобразований получим
1 dp 1 dT _l dN
р dt Т dt N dt
dN
Подставляя -- из (9.18), получим уравнение, связывающее изменение дав-
di
ления, температуры и объема с учетом протекания химической реакции
1 dp 1 dT 1 dV 1 v/v, .
pdt T dt + V dt W?L?Vfca<°“J
Рассмотрим теперь уравнение энергии для рассматриваемой массы газа. Вос-
пользовавшись уравнением в форме (1.8), запишем
de=d£ Щр (9.20)
dt dt р dt
где i - энтальпия единицы массы смеси, q - подводимое извне тепло к единице
массы газа.
Учитывая (3.2), выразим удельную энтальпию смеси через мольные концен-
трации и этальпии компонентов
где как и ранее, энтальпия одного моля k-ovo компонента (мольная эн-
тальпия).
393
6. Проверяется условие сходимости |д| < £, где £ - допустимая для данного
расчета погрешность, и подбирается новое приближение для давления. Эффек.
тивный алгоритм подбора давления основывается на методе хорд [72].
Расчет по пунктам 4-6 повторяется до сходимости.
Надежным и алгоритмически простым способом определения параметров в
камере сгорания является решение нестационарных уравнений (9.7) (9.8) при
произвольным задании начальных параметров в камере сгорания. При стационар-
ных условиях наполнения и опорожнения емкости с течением времени получаем
решение стационарной задачи. Однако в этом итерационном процессе, основан-
ном на методе установления, количество вычислений, и, следовательно, время
расчета на ЭВМ, возрастают.
398
dCk
dt
a
Idp ldr 1 v-v-
p di у +tv Y?Vta<Oa’ (923)
V . dp dq
^_^“Ш“+Д+РЛ
dt Ec»c,.»
k
Исключая, с учетом уравнения состояния, из последних двух уравнений ,
dt
получим
sU+v-£vfcaK+P^
_ а у_______k J_______Ul
dt xc>c-„
k
гДе Cvk=Cpk -Ro ~ мольная теплоемкость при постоянном объеме
Системы дифференциальных уравнений (9.22), (9.23) решаются методом чис-
ленного интегрирования при следующих начальных условиях:
при£ = О Ck=CkH, Т = ТН, р = рн, V^VH.
В связи с тем, что скорость химических реакций принимает большие значе-
ния, уравнения (9.22), (9.23) являются “жесткими”. Для решения таких уравнений
необходимо применять специальные методы. Одним из достаточно эффективных
методе»» является метод Гира [194]. Полученные с использованием этих уравне-
ний результаты, иллюстрирующие основные особенности расчета горения водо-
рода в кислороде при постоянном давлении в смеси, приведены в §3.3.1.
9.7 Определение параметров в емкости при стационарном истечении
продуктов сгорания
Многие технологические процессы газопламенной обработки поверхностей
связаны с получением горячих газов вследствие сгорания горючего в воздухе, в
чистом кислороде или другой окислительной среде. Общие особенности процес-
сов получения горячего газового потока связаны со сгоранием топлива в камере,
которая может быть представлена емкостью, в которую подают топливо и окис-
литель. Причем подаваемые компоненты могут быть в жидком или газообразном
состоянии. Наиболее типичными компонентами является керосин и воздух, керо-
син и жидкий или газообразный кислород, метан - воздух, водород - кислород,
газообразный ацетилен и кислород. В камере сгорания происходит воспламене-
ние и горение топлив, в результате чего образуется высокотемпературная газовая
смесь продуктов сгорания. Эта смесь вытекает из отверстий, которые могут быть
в зависимости от технологического процесса оформлены в виде сужающегося
395
нологических процессов, для исследования которых необходимо решение рас-
смотренных в монографии вопросов, этими примерами далеко не исчерпывается
10.1 Общие вопросы формулировки математических моделей
технологических процессов и унификации их программной реализации
Особенности комплексного математического моделирования технологических
процессов выдвигают определенные требования к программному обеспечению,
направленные на повышение оперативности программ, сокращения трудозатрат
на их разработку и модификацию. Необходимость модификации программ связа-
на, с одной стороны, с неопределенностью многих элементов математической и
физической модели (например, неопределенности в кинетике гетерогенных хи-
мических реакций, в моделях турбулентности, недостаточная полнота модели
движения запыленного реагирующего газа и т.д.). С другой стороны, на этапе
проектной и экспериментальной отработки конкретных конструкций технологи-
ческих аппаратов постоянно возникает потребность в более тщательном анализе
того или иного процесса и влияния на него конструктивных и эксплуатационных
особенностей аппарата. Это тоже вызывает необходимость модификации элемен-
тов программного обеспечения. Модификация сводится как к разработке новых
программных единиц, так и к доработке имеющихся.
Процесс модификации программ находится в самом внутреннем цикле техно-
логической цепочки численного эксперимента, поскольку уточнение физической
и математической моделей и изменение методов численного решения задачи при-
водит в итоге к необходимости внесения изменений в программу. Успех в этом
направлении достигается на пути разработки проблемно-ориентированных ком-
плексов программ, обеспечивающих гибкость программных реализаций на реше-
ние различных по физической и математической постановке задач определенного
класса. Систематическое изложение вопросов технологии численного решения
задач газовой динамики приведено в монографиях [164, 201].
10.1.1 Основные аспекты технологии разработки программного обеспечения
Для упрощения работы, связанной с созданием больших программных ком-
плексов, выработаны определенные приемы, позволяющие уменьшить объём тех-
нической, рутинной работы, сократить время, необходимое для настройки имею-
щегося программного обеспечения на решение вновь возникших задач, и повы-
сить вероятность получения результата в заданные сроки и с определенной точ-
ностью. Удовлетворение этим требованиям лежит на пути создания вполне опре-
деленной технологии разработки методического и программного обеспечения.
Построение структуры комплекса программ начинается с анализа физической
и математической постановок необходимого класса задач. Из этой совокупности
выделяются замкнутые задачи вычислительной математики, в форме которых мо-
гут быть записаны физические постановки некоторой группы прикладных задач
из предметной области комплекса программ. При этом должен быть доминирую-
щим принцип функциональной независимости, который можно сформулировать
следующим образом. Каждая операция одного функционального назначения реа-
лизуется в отдельной подпрограмме (модуле) или в группе (связке) нескольких
модулей. При этом внесение новых функциональных возможностей связано с до-
400
E^A(rfc)=gflf+g°i|>.
Sk
В это уравнение давление входит неявно. Влияние давления связано с тем, что
при заданном элементном составе химический состав продуктов сгорания, яв-
ляющихся химически равновесной смесью газов, зависит в соответствии с §3.5 от
температуры и давления.
При известных концентрациях компонент уравнения (9.24), (9.25) с учетом
(9.26) являются уравнениями для определения давления ркс и температуры Tkc в
камере сгорания. При этом считается, что смесь продуктов сгорания в камере на-
ходится в химическом равновесии, а концентрация химических элементов в про-
дуктах сгорания равна их концентрации в подаваемой в камеру смеси горючего и
окислителя. Тогда концентрации компонент смеси можно определить, считая, что
заданны температура и давление или энтальпия и давление. В последнем случае
температура определяется вместе с концентрациями компонент. Заметим, что ес-
ли не учитывать отвод тепла в конструкцию, то энтальпия продуктов сгорания
равна энтальпии подаваемой в камеру смеси. При этом на порядок и сложность
расчета не оказывает влияния фазовое состояние подаваемых в камеру сгорания
компонентов. Они могут быть как в жидком, так и в газообразном виде. Термоди-
намика фазовых переходов автоматически учитывается при задании энтальпии
горючего и окислителя в балансовых уравнениях сохранения энергии (9.25).
Алгоритм определения равновесного состава смеси при заданном давлении и
температуре или при »аданном давлении и энтальпии описывается в § 3.5.
При численном определениг параметров в камере сгорания может быть ис-
пользован итерационный алгоритм с использованием расщепления по физиче-
ским процессам. На первом шаге итерационного цикла определяются давление и
температура при заданном составе газовой смеси. На втором шаге схемы расщеп-
тения определяются массовые концентрации компонентов, исходя из известного
элементного состава и полученных на первом шаге расщепления давления и тем-
пературы. Соответствующие алгоритмы рассмотрены в §3.5.
Возможен следующий алгоритм расчета параметров в камере сгорания.
1. Вычисляются значения статической энтальпии продуктов сгорания по
(9.25).
2. Вычисляются концентрации химических элементов в продуктах сгорания,
исходя из химических формул и состава горючего и окислителя, подаваемых в
камеру сгорания.
3. Задается приближение для давления в камере сгорания.
4. По одному из алгоритмов, описанных в §3.5, определяются концентрации
компонент химически равновесных продуктов сгорания и температура при задан-
ных энтальпии, концентрации химических элементов и текущем приближении
для давления.
5. Определяется невязка Д = —-1 в уравнении сохранения массы (9.24),
Sf ёо
записанном с учетом условий истечения (9.25).
397
грамму независимо разработанные модули. Для выполнения этих требований
должны быть решены вопросы обмена данными между модулями в процессе их
исполнения.
Конкретные результаты декомпозиции и модульного анализа задач высокотем-
пературных газодинамических процессов обсуждаются в следующих параграфах.
Для удовлетворения принципу функциональной независимости наряду с мо-
дульной структурой комплекса программ принципиальным является унификация
структуры данных и межмодульных интерфейсов. Именно хорошо выполненная
унификация позволяет обеспечить доступ к необходимым данным каждого моду-
ля и дополнять программу новыми модулями, не затрагивая как структуру всей
программы, так и структуру данных. Унификация структуры данных и межмо-
дульных интерфейсов достигается выработкой вполне определенных правил,
формулирования структуры данных и интерфейсов. Эти правила должны также
предусматривать возможность дополнения данных и появление новых модулей,
связанных с расширением функциональных возможностей комплекса программ.
Причем процесс формирования и развития структуры данных должен быть доста-
точно формализован, чтобы исключить необходимость изменения структуры
данных и межмодульных интерфейсов при развитии комплекса программ и вклю-
чения в него новых функциональных возможностей, необходимость в которых
разработчик в начале создания комплекса программ даже не подозревает. Это
требование является наиболее принципиальным, и степенью его выполнения в
конечном итоге определяется успех эффективного проведения численных иссле-
дований. Недостаточная проработка этого вопроса приведет к нарушению прин-
ципа функциональной независимости, что поставит разработчика перед необхо-
димостью выполнять большой объем работ по модификации комплекса про-
грамм, т.к. изменение структуры данных и межмодульных интерфейсов может
затрагивать весь комплекс программ в целом. Это, в свою очередь, приведет к
тому, что разработчик практически все время будет заниматься модификацией
программ, а не проведением исследований.
Таким образом, основные положения технологии разработки компле <сов про-
грамм сводятся к следующему: декомпозиция физической и математической по-
становок задач, модульный анализ алгоритмов, унификация структуры данных и
межмодульных интерфейсов, разработка технологичных и экономичных алго-
ритмов решения отдельных задач. Технологичность подразумевает хорошую ори-
ентацию алгоритмов на их численную реализацию на ЭВМ и возможность их эф-
фективно использовать наряду с другими алгоритмами при решении комплекс-
ных задач.
10.1.2 Базисная и функциональная части комплекса программ
Построение структуры комплекса программ начинается с анализа прикладных
задач. Рассматривается совокупность математических постановок необходимого
класса задач. Из этой совокупности выделяются некоторые замкнутые задачи вы-
числительной математики, в форме которых могут быть записаны математиче-
ские постановки некоторой группы прикладных задач из предметной области
комплекса программ. Основным критерием объединения прикладных задач явля-
ется общность постановок задач в целом: допускается отличие в мелких, локаль-
ных деталях алгоритма, не оказывающих принципиального влияния на метод ре-
402
Глава 10
ХАРАКТЕРНЫЕ ОСОБЕНННОСТИ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КОНКРЕТНЫХ ЗАДАЧ
В предыдущих главах описаны различные процессы высокотемпературной га-
зовой динамики и их математические модели. При исследовании конкретных тех-
нологий необходимо рассматривать различные газодинамические течения, как
правило, с учетом гетерогенного взаимодействия фаз, химических превращений,
фазовых переходов и др. Поэтому численное моделирование процессов в техно-
логических аппаратах требует вз мосвязанного решения довольно большого ко-
личества отдельных задач, каждая из которых является достаточно сложной и,
являясь частью комплексного численного моделирования, может представлять и
самостоятельный интерес. Это вызывает необходимость рационального выбора
газодинамических и тепломассообменных процессов, которые необходимо учи-
тывать, и рационального выбора математических моделей, описывающих эти
процессы. Задачей исследований на этом этапе является, с одной стороны, фор-
мулировка физической и математической моделей, позволяющих описать техно-
логический процесс с достаточной для практики полнотой и, с другой стороны,
разработка эффективных алгоритмов и создание на их основе программного
обеспечения, позволяющего проводить расчеты на имеющихся ЭВМ при практи-
чески приемлемых затратах машинного времени.
Целью этой главы является описание характер ix особенностей комплексно-
го исследования высокотемпературных газодинамических процессов и на отдель-
ных примерах проиллюстрировать применение описанных в монографии поло-
жений и результатов к исследованию конкретных т«!»но’К|Гий.
В первом параграфе этой главы обсуждаются вопросы создания программно-
алгоритмического обеспечения и дается формулировка общих принципов разра-
ботки унифицированного программного обеспечения для исследования высоко-
температурных газодинамических процессов, которое может быть использовано
как при проведении исследований отдельных процессов, так и для имитационного
моделирования работы технологических аппаратов.
В последующих параграфах рассмотрены конкретные задачи. Перечень задач
определяется, с одной стороны, практикой автора решения технологических задач
и, с другой стороны, возможностью проиллюстрировать применение математиче-
ских моделей различной сложности для решения комплексных задач. Это задачи,
связанные с оценкой термогазодинамических параметров газификации углей и
восстановления пылевидных железорудных материалов, задачи разгона и нагрева
частиц материала газовым потоком, представляющих интерес для различных тех-
нологических приложений (газопламенное напыление, струйные мельницы, абра-
зивная очистка поверхностей и др.), оценка параметров газожидкостной системы
охлаждения теплонапряженных элементов технологических аппаратов. Круг тех-
399
В результате анализа формулируется набор базисных задач, для которых опреде-
лена стандартизированная форма записи. Задачи наполняются физическим смыс-
лом путем определения коэффициентов задач, независимых относительно алго-
ритмов решения базисных задач.
Методологические основы выделения базисной и функциональной частей
комплекса программ для исследования высокотемпературных технологических
процессов сводятся к следующему. Математические модели различных техноло-
гических процессов можно, исходя из особенностей уравнений, составляющих
эти модели, разбить на три группы.
Первую группу (группу А) составляют модели, основанные на системах
трансцендентных алгебраических уравнений. Эти модели позволяют определить
равновесный состав химически реагирующих многокомпонентных газов и их
смесей со взвешенными частицами, а также степень выгорания пылевых частиц,
температуру и давление газа в заданном объеме.
Вторую группу (группу Б) составляют модели, включающие в себя системы
обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти модели описывают нестацио-
нарные среднеобъемные процессы или стационарные одномерные течения
сплошных сред. Такими моделями описываются не только равновесные процес-
сы, но и кинетические.
Следующая группа математических моделей (группа В) включает в себя сис-
темы дифференциальных уравнений в частных производных. Отдельные элемен-
ты этих моделей могут быть отнесены к группам А и Б. Модели этой группы, ис-
ходя из математических свойств входящих в нее уравнений и связанными с ними
особенностями численного решения, могут быть разбиты на три класса. Модели
первого класса (класс В1) сводятся к решению уравнений в частных производных
параболического типа, второго класса (класс В2) - эллиптического, модели
третьего класса (класс ВЗ) сводятся к решению систем уравнений в частных про-
изводных гиперболического типа. Ясно, что отдельные модели группы В могут
как составные части одновременно содержать в себе модели классов Bl В2, ВЗ.
Такая классификация моделей группы В позволяет унифицировать реализующие
их алгоритмы на основе идей методов расщепления как по физическим процес-
сам, так и по математическим особенностям отдельных групп уравнений. Часто
оба эти основания для расщепления совпадают, т.к. родственные физические про-
цессы описываются уравнениями одинакового типа.
Математическими моделями класса В1 описывается большой набор задач. К
этому классу относятся задачи определения изменения температуры как в эле-
ментах конструкций, так и в газофазных, жидких и твердых рабочих телах; неста-
ционарные задачи определения концентрации компонентов смеси с учетом кон-
вективного переноса и диффузии, а также некоторые стационарные задачи совме-
стного конвективного и диффузионного переноса массы компонентов и энергии.
Кроме того, к этому классу относятся задачи о течении в пристеночных погра-
ничных слоях, слоях смешения, многие задачи о распространении струй в спут-
ных потоках, о стекании жидких пленок с поверхностей технологических аппара-
тов и многие другие задачи. Алгоритмы решения задач типа В1, которые вклю-
чают задачи типа пограничного слоя, описаны в §4.3.2. Вопрос унификации алго-
ритмов решения задач класса В1 достаточно полно описан в литературе [81, 164,
201]. Для решения задач этого класса разработаны комплексы программ, реали-
404
ра откои имею ихся или созданием новых модулей с соответствующим функ-
циональным назначением и не влияет на работу других программных единиц Это
позволяет локализовать изменения, вносимые в комплекс программ, существенно
повысить надежность программного обеспечения и облегчить поиск ошибок (оп-
ределив функциональное назначение операции, дающей ошибочный результат,
исходя из принципа функциональной независимости, можно с большой вероятно-
стью «шти подпрограммы, содержащие ошибки).
Методологической основой создания программного обеспечения, удовлетво-
ряющего сформулированным требованиям, является структурный подход к про-
граммированию. Разработка программ с позиций этого подхода ведется сверху
вниз методом пошаговой детализации: вначале описывается алгоритм решения
задачи в целом, а затем детализируется каждое выделенное действие. При таком
подходе на каждом этапе разработки большой программы разработчик имеет
возможность сосредоточить свои усилия на отдельных вопросах определенного
уровня, откладывая дальнейшую детализацию на следующий уровень.
Структурный подход к изготовлению больших программ предусматривает ие-
рархическое разбиение математической модели и алгоритмов решения. Сложную
комплексную задачу можно разбить на ряд более простых задач, для которых
предполагаются известными все внешние входные для нее данные. Здесь процесс
детализации заканчивается на уровне выделения относительно простых физиче-
ских задач. Таким образом, структурный анализ постановки задачи предусматри-
вает построение иерархической системы отдельных подзадач. На следующем эта-
пе разработки программы проводится детализация алгоритмов решения этих вы-
деленных задач также в виде иерархических структур, реализующих выбранные
алгоритмы. Хорошо проведенный структурный анализ математической модели и
алгоритмов позволяет разработать легко модифицируемую программу. Внесение
необходимых изменений в расчетные соотношения обычно сводится к исправле-
нию некоторых действий определенного уровня и не затрагивает других частей
программ.
В результате структурного анализа физической и математической постановок
задачи и алгоритмов ее решения формулируется набор задач с однородной физи-
ко-математической моделью. Однородность физической задачи достигается ее
расщеплением по физическим процессам [78, 104]. Причем расщепление по фи-
зическим процессам осуществляется как на уровне отдельных дифференциальных
операторов, так и на уровне математической модели для всей задачи. Так, напри-
мер, при анализе газодинамических процессов в результате расщепления матема-
тической модели по физическим процессам формулируются следующие задачи:
решение уравнений газовой динамики и определение параметров газа при задан-
ных коэффициентах переноса; расчет коэффициентов переноса при известных
значениях газодинамических параметров и концентраций компонент для смеси,
определение давления или плотности из уравнения состояния при известных со-
ставе газа и необходимых газодинамических параметрах; определение концен-
траций компонент смеси из уравнений диффузии при известных значениях газо-
динамических параметров переноса и т.д.
Модули должны удовлетворять дополнительным требованиям. Модуль может
быть разработан независимо от основной программы и отлажен при любом его
вхождении в программу. Этим обеспечивается возможность легко связать в про-
401
10.1.3 Сервисная часть комплекса программ
Изложенные положения позволяют разрабатывать сравнительно легко моди-
фицируемый комплекс прикладных программ для исследования того или иного
технологического процесса. Несмотря на это, как работа с этим комплексом при
проведении систематических серийных расчетов, так и особенно при его модифи-
кации и настройке на решение конкретной задачи, требуют от пользователя опре-
деленных навыков и знаний в области программирования и математического мо-
делирования. Однако пользователями таких комплексов программ, как правило,
являются технологи - специалисты в области разработки и усовершенствования
технологических процессов, знающие особенности физических процессов, яв-
ляющихся составными частями технологий, и являющиеся, в основном, специа-
листами по аппаратному оформлению процессов. Эти специалисты проводят ис-
следования процессов на основе анализа взаимосвязи входных (управляющих) и
выходных параметров. Для этих специалистов комплекс прикладных программ
является своего рода инструментом имитационного моделирования и выбора ис-
ходных данных с позиций их влияния на течение технологического процесса, его
производительность, качество продуктов технологического процесса и т.д. В свя-
зи с этим, пользователю должна быть предоставлена возможность работы с ком-
плексом программ в привычном для него режиме, то есть на уровне входных и
выходных данных. Инструментальным средством обеспечения этого является
сервисная часть комплекса программ, которую уместно назвать программной
оболочкой. Сервисная часп. комплекса программ служит для формирования и
запоминания исходных данных, проведения текущих расчетов, обработки и хра-
нения результатов расчетов. Сервисная часть обеспечивает возможность работы с
комплексом программ с использованием терминов и определений из предметной
области назначения комплекса. Благодаря хорошо разработанной сервисной части
практическая работа с комплексом не требует от пользователя какой либо специ-
альной подготовки в области программирования и изучения специальных инст-
рукций по работе с комплексом. Работа пользователя с комплексом осуществля-
ется в интерактивном режиме и сводится к следующей последовательности дей-
ствий: выбор задачи; задание исходных данных задачи в соответствии с представ-
ленным прототипом их значений по умолчанию; выбор видов представления ре-
зультатов из перечня предлагаемых комплексом видов обработки решения зада-
чи; запуск задачи на счет; представление результатов решения выбранной задачи
на экране монитора в виде числовой или графической информации в зависимости
от выбранных видов обработки решения; организация запоминания результатов
текущего расчета в банке результатов; сопоставление полученных результатов
расчетов с результатами решения других задач (если такие результаты есть) или с
ранее полученными результатами выбранной задачи при других исходных дан-
ных задачи.
В связи с этим комплекс программ должен быть снабжен составными едини-
цами, позволяющими задавать входные данные - параметры управления средст-
вами, доступными пользователю, не являющемуся специалистом в области про-
граммирования и математического моделирования. При необходимости пользова-
тель должен иметь возможность получения «помощи», которая обеспечивает
пользователя некоторыми комментариями о входных данных, видах обработки
406
шения. ти выделенные задачи назовем базисными для данного комплекса про-
грамм. Выделение базисных задач осуществляется по таким глобальным критери-
ям, как пространственная размерность, нелинейность и т.д. Вместе с тем слож-
ность вычисления коэффициентов задачи (константа или функция, являющаяся
решением сложной дифференциальной задачи) не принимается во внимание, если
она не оказывает влияния на общую схему алгоритма решения задачи, а ведет к
внутреннему усложнению только отдельных независимых частей.
Совокупность базисных задач, нужных для решения необходимого класса
прикладных задач, назовем базисной частью комплекса программ.
Для каждой базисной задачи выбирается некоторая форма записи, которая
именуется как стандартизированная (принцип унификации формы записи базис-
ных задач). Стандартизированная форма записи каждой базисной задачи пред-
ставляет собой замкнутую математическую постановку некоторой группы при-
кладных задач рассматриваемого класса. Она содержит унифицированную форму
записи дифференциальных уравнений, граничных и начальных условий, других
необходимых математических зависимостей, накладываемых на определяемые
параметры. Коэффициенты уравнений, краевых условий и т. д. в стандартизиро-
ванной форме записи базисной задачи придают ей физический смысл. Назовем их
коэффициентами задач. В противовес базисной части расчет коэффициентов за-
дач выполняется в другой части комплекса программ, которую назовем функцио-
нальной частью комплекса.
Выделе пие бямсшх задач позволяет на этапе разработки и модификации про-
граммного обеспечения отделить реализацию метода решения некоторой задачи
вычислительной математики от решения физической задачи. Проблемы получения
решения физической задачи при таком подходе определяются вопросами расчета
коэффициентов унифицированной записи математической задачи, придающих ей
физический смысл. В свою г середь, расчет коэффициентов может представлять со-
бой довольно сложную задачу, для решения которой создаются программы, имею-
щие свою базисную и функциональную части. В качестве одного из примеров мож-
но назвать задачу расчета параметров высокотемпературного пограничного слоя в
условиях сопряженного тепломассообмена на обтекаемой поверхности. Расчет ко-
эффициентов граничных условий сводится к решению отдельных задач: прогрева
материала поверхности, его термохимической деструкции и др.
Таким образом, в соответствии с введенными понятиями комплекс программ
делится на две относительно независимые части: базисную и функциональную
Следует отметить, что структурный подход к проектированию комплекса
прикладных программ путем выделения базисных задач не только позволяет ор-
ганизационно упорядочить и практически ускорить процесс проектирования гиб-
кого программного продукта, но и является дисциплинирующим фактором, за-
ставляющим более глубоко и строго понять взаимодействие процессов, состав-
ляющих задачу в целом. Принцип выделения базисных задач естественно отража-
ет логику специалиста при обычной дифференциации задачи на составные части в
процессе ее решения Однако эта дифференциация происходит с позиций метода
решения, т. е. в конечном итоге с позиций численного решения задачи на ЭВМ.
При введении понятий базисных задач проектирование комплекса прикладных
программ начинается с модульного анализа задач рассматриваемого класса с це-
лью отделения задач вычислительной математики от их физического наполнения.
403
обуславливает аэродинамическую устойчивость прилипающих в ней частиц, и
благодаря этому становится возможным создание высоких относительных скоро-
стей омывающих частицы газов, что приводит к быстрому их сгоранию или плав-
лению, а, следовательно, к высоким тепловым нагрузкам циклонных камер.
Рационально скомпонованные циклонные камеры обеспечивают в компакт-
ных объемах требуемую полноту газификации топлива при высокой степени вос-
становления железосодержащих материалов с получением металлического и шла-
кового расплавов.
Все эти процессы протекают взаимосвязанно с высокой скоростью и при
большой энергоемкости (температура реакционной среды может достигать более
2000°С), что создает трудности в постановке и проведении физических экспери-
ментов. В связи с этим принципиальное значение приобретает математическое
численное моделирование.
Предметом математического моделирования является:
— движение и взаимодействие двухфазных воздушно-газовых струй в за-
висимости от конфигурации рабочего объема циклона и способов пода-
чи реагентов;
- межфазный тепломассообмен при газификации угольных частиц и фи-
зико-химических превращениях железосодержащих материалов;
- сопряженный тепломассообмен в стекающей жидкой пленке на стенке
камеры с газовым потоком и в системе охлаждения.
Целью математического моделирования является рациональный выбор техно-
логических параметров и, в частности, обеспечение воспламенения и времени
пребывания в рабочем объеме циклонной камеры частиц угля до достижения же-
лаемой степени выгорания и частиц железосодержащего материала до восстанов-
ления железа.
Имитационные исследования газотермодинамических процессов в газифика-
торах-восстановителях циклонного типа основываются на математических моде-
лях различной степени сложности: равновесного термодинамического, средне-
объемного кинетического, квазиодномерного термогазодинамического прибли-
жений и обобщенной математической модели. Равновесная и среднеобъемная ки-
нетическая модели сводятся к термодинамическому и кинетическому расчетам
параметров в циклонном аппарате при газификации природного угля, восстанов-
лении железа из железорудных материалов и плавлении компонентов шихты.
Квазиодномерная термогазодинамическая модель позволяет рассчитать кинетику
процессов в циклонном газификаторе-восстановителе с учетом среднерасходных
распределений скорости газовой фазы и инерционного отставания частиц. Каждая
из этих моделей может быть реализована в виде отдельной расчетной программы.
Обобщенная математическая модель газификатора циклонного типа включает в
себя также полную систему уравнений многокомпонентной газовой динамики,
неравновесной и равновесной термохимии, а также уравнения, описывающие об-
разование, течение и теплообмен пленки расплава на стенке газификатора, тепло-
перенос в элементах конструкции газификатора и системе водяного охлаждения.
Таким образом, численное моделирование процессов в газификаторе-
восстановителе сводится к взаимосвязанному решению отдельных задач: турбу-
лентного течения газовзвеси в циклоне; тепломассобмена в газовзвеси при нали-
чии физико-химических превращений (горение угля, выход летучих, восстанов-
ив
зуюшие маршевые алгоритмы интегрирования уравнений при довольно общих
граничных условиях. r г
Эти комплексы программ ориентированы на решение систем уравнений, запи-
санных в унифицированном виде (4.90)
дп дп 8п 4 Эф Фл5ф ° ЛЭф’
где fk _ одна из определяющих функций: температура, концентрации компо-
нентов и т.д.
Различные виды граничных условий по переменным п и ф могут быть, исходя
из (4.91), записаны в следующем виде:
при t-th bklfk = bk2 — + bk3,
dt
при^ = «е, bk4fk=bk5^- + bk6,
dt
где t - обобщенная переменная пи ф; i,е - индексы, относящиеся к значениям
t на разных границах расчетной области.
При такой форме записи удается разработать общие алгоритмы численного
решения уравнений. Конкретное физическое наполнение задачи определяется
функциональной зависимостью коэффициентов a, A,ft,...,bki от координат и ис-
комых функций.
Моделями класса В2 могут быть описаны различные стационарные задачи о
распределении температуры, концентраций компонент в объеме технологическо-
го пространства, а также распределения газодинамических параметров стацио-
нарного движения жидкости или газа в объеме аппарата. Моделями такого класса
описывается и задача определения распределения давл ия газа при его фильтра-
ции через плотный слой твердых частиц. Для решения эллиптических задач эф-
фективным является метод установления. Как отмечалось в § 4.1.4, в соответст-
вии с этим методом решение эллиптической стационарной задачи получается как
предел решения соответствующей нестационарной задачи при увеличении време-
ни и стационарных граничных условий. Соответствующие нестационарные урав-
нения имеют параболический или гиперболический тип и для их решения могут
быть использованы те же алгоритмы и во многом те же программные комплексы,
что и для численной реализации моделей классов В1 и ВЗ.
И, наконец, к третьему классу относятся эволюционные задачи, связанные с
определением концентраций компонент параметров твердых частиц во взвешен-
ном потоке, энергии при конвективном переносе, когда можно пренебречь эф-
фектами диффузии и теплопроводности.
Проведенная, исходя из математических особенностей уравнений, классифи-
кация моделей позволяет унифицировать разрабатываемое пршраммное обеспе-
чение и ориентировать его на широкий класс различных технологических задач.
Эта классификация можег быть дополнена и легализирована, исходя из физиче-
ских особенностей отдельных процессов.
405
4.1 . Решение гидродинамических уравнений для определения скорости стека-
ния и толщины пленки. Поток массы частиц на поверхность пленки и параметры
газа на поверхности пленки считаются известными (результат выполнения опера-
ций 1 и 2).
4.2 Решение задач, связанных с химическими и теплофизическими процесса-
ми в жидкой пленке: плавление частиц, восстановление железа и т.д.
4.3 Решение задачи о сопряженном теплообмене в жидкой пленке в элементах
конструкции газификатора и системы охлаждения.
5 Дополнительные задачи: упрощенный расчет по балансовым соотношениям.
5.1 Расчет равновесного состава, среднеобъемных температуры газа и частиц
и давления газа в заданном объеме при наличии гетерогенных реакции между га-
зом и частицами.
5.2 Расчет изменения по времен» среднеобъемных параметров газа и частиц
(температура, покомпонентный состав, масса частиц и др.) при кинетическом ха-
рактере гетерогенных реакций и равновесных превращений.
Ниже приводятся результаты расчетов, полученные в результате решения за-
дач 5.1, 5.2 с включением 3.1, 3.4 как составных частей.
10.2.2 Расчет среднеобъемных термогазодинамических параметров
На начальной стадии изучения процессов целесообразно использовать моде-
ли, описывающие процессы в газификаторе-восстановителе, в термодинамически
равновесном приближении. Это позволяет провести оценки предельно возмож-
ных значений технологических параметров, исходя из балансовых соотношений
массы, энергии, массы химических элементов и др. Для оценки времени выхода
процесса на установившийся режим можно использовать среднеобъемные кине-
тические модели. При этом расчеты проводятся с учетом кинетических соотно-
шений для гетерогенных реакций газификации угля и восстановления железоруд-
ных материалов. Химические реакции в газовой фазе с достаточной для многих
практических применений точностью можно рассматривать в равновесном при-
ближении. Иллюстрация использования такой модели для оценок параметров га-
зификации угля рассмотрены в §§5.4 и 9.3. Использование этих моделей удобно
при адаптации кинетических моделей газификации природного угля к реальным
процессам по имеющимся результатам натурных испытаний газификаторов.
Термодинамически равновесные и среднеобъемные кинетические модели по-
зволяют проводить оценочные параметрические исследования, направленные на
выяснение общих закономерностей процессов газификации частиц углерода и
восстановления частиц железорудных материалов, выяснить особенности влияния
начальных параметров газовой смеси (состава, температуры, давления) и твердой
фазы (массы, состава частиц угля и железосодержащих материалов, температуры
частиц) на изменение параметров в камере. Типичные расчетные среднеобъемные
значения температуры газовой смеси и угольных частиц в реакционном простран-
стве газификатора в зависимости от времени представлены на рис.9.4,9.5 в §9.3.
Аналогичные расчеты были проведены и при наличии частиц железосодер-
жащего материала с целью моделирования восстановительного процесса в реак-
торе-восстановителе.
410
результатов, кратким описанием физической « .
маемых задач и другими, возможностями математической постановок ре-
ПР" Г1ГМ ° СРеД' Wi”d°'VS Разотки сервисной части ком-
плекса программ эффективными оказываются системы форм, текстовых окон,
командных кнопок и других компонентов, легко создаваемых в среде Delphi или
Visual Basic Application. Эти программы позволяют создавать программные про-
дукты, работающие в среде Windows и максимально использующие объекты этой
среды. При этом комплекс прикладных программ, в котором реализованы вычис-
лительные алгоритмы и которые определяют предметную направленность всего
комплекса программ, используются сервисной частью виде исполняемого файла
(ЕХЕ-файла) независимо от алгоритмического языка, который использовался для
кодирования модулей, составляющих базисную и функциональную части ком-
плекса программ. Пример сервисной части комплекса программ, позволяющей
проводить в интерактивном диалоговом режиме исследования процессов ускоре-
ния и нагрева частиц высокотемпературным газовым потоком, приведен в § 10.3.5.
10.2 Оценка термогазодинамических параметров
газификаторов-восстановителей циклонного типа1
Одним из перспективных направлений использования низкосортных углей яв-
ляется их газификация для получения горячего восстановительного газа с одно-
временным восстановлением в его среде первичного железа. Определяющими
при этом являются процессы тепловыделения, обмена массой между частицами
угля, окружающей газовой средой и частицами железной руды, а также процессы
теплопередачи от реагирующей смеси газа и частиц к п ерхностям технологиче-
ских аппаратов и отвода от них излишнего тепла. Для создания эффективной тех-
нологии представляется целе лбразным использование аппаратов циклонного
типа. Основные идеи соответствующих технологических процессов, результаты
экспериментальной работки их элементов описаны в [136, 169 - 172]. Вопросы
математического численного моделирования таких процессов рассмотрены в
[156,162].
10.2.1 Особенности технологических процессов.
Проблемы математического моделирования
Схема рабочего процесса в циклонной камере следующая: подаваемые в ка-
меру измельченные частицы топлива и подлежащий восстановлению железоруд-
ный материал с шихтой вовлекаются во вращение потоком тангенциально дви-
жущегося воздуха. В объеме камеры происходит нагрев, горение и газификация
частиц угля и восстановление в полученной таким образом восстановительной
среде железа из железорудных частиц. Мельчайшие фракции материала сгорают
или плавятся не достигая стенки. Несгоревшие частицы топлива, руды шихты и
частицы восстановленного железа под действием центробежных сил выносятся на
стенку, которая покрывается жидкой пленкой расплавленного материала^Даль-
нейшие тепломассообменные процессы продолжаются в этой пленке. Пленка
1 Элементы технологии газификации низкосортных углей с одновременным восстановле-
нием в его среде первичного железа разработаны в Ипстшуте черной металлургии НАН
Украины
407
- частица руды имеет сферическую форму радиуса г . процесс обладает сфе-
рической симметрией;
- по глубине куска протекает одна [143], две [144] или три реакции;
— коэффициент диффузии в порах куска в ходе процесса восстановления не
изменяется;
реакция протекает без изменения объема.
Решая уравнения диффузии восстановительных газов в порах частицы при со-
ответствующих граничных условиях, можно получить уравнения для суммарной
скорости гетерогенной реакции на поверхности частицы [143]
^i = ^(c,-JrpCw)s0„,
ат
где Ve - объем восстановительного газа при давлении и температуре на поверх-
ности частицы; Св и Спр - мольные концентрации восстановителя и продуктов
реакции; Кр - константа равновесия; S6oK - площадь боковой поверхности
частицы.
Величина Кэф называется суммарным коэффициентом массообмена Общая
зависимость для К эф может быть записана в следующем виде:
„ _ $кин + $диф + 8 5
(10.1)
где первое слагаемое представляет собой сопротивление химического реагирова-
ния, второе - диффузионное сопротивление между наружной поверхностью куска
и фронтом реагирования и третье слагаемое — диффузионное сопротивление на
внешней поверхности частицы. Для этих слагаемых в [143] получены следующие
выражения:
^хим
_ 1 s .'-(!+*)( 1 1+*
где - константа объемного химического реагирования, отнесенная к единице
наружной поверхности = А:-константа скорости химической реакции;
( г3-г3}
ф - степень восстановления куска руды ф =-; гф - радиус поверхности
фронта реакции; D - коэффициент диффузии в порах куска; р - коэффициент
внешнего массообмена, определяемый с привлечением аналогии Рейнольдса
(4 67) соотношениями, приведенными в §§ 4.2.2, 4.2.7. Соотношение типа (10.1)
получено в § 5.1.2 без учета диффузионного сопротивления между наружной по-
верхностью куска и фронтом реагирования (соотношение (5.10)).
Более сложные соотношения, получаемые в предположении двух фронтов ре-
акций, получены в [144].
412
ЛеНИС M^xnZnT МатеРИалов’ газофазные реакции); теплообмена и физи-
ко-химических превращении в расплаве на стенках циклона; теплопереноса в
элементах конструкции и системе водяного охлаждения. Практическая реализа-
ция обобщенной математической модели выполняется в несколько этапов
Модульный анализ математической постановки задачи. В основе модуль-
ного анализа лежит разбиение (декомпозиция) сложной комплексной задачи на
более простые самостоятельные задачи. Перечень отдельных задач, которые не-
обходимо решить при комплексном численном исследовании процессов в гази-
фикаторе, сводится к следующему.
1. Решение уравнений газовой динамики - определение полей скоростей и
давления газовой смеси в газификаторе. При этом считается, что поле параметров
твердых частиц, температура газа и его покомпонентный состав заданы.
1.1 Расчет обменных членов, определяющих влияние частиц на изменение
массы газа и количества движения.
1.2 Расчет коэффициентов переноса, эффективного коэффициента турбулент-
ной вязкости.
1.3 Численное решение системы уравнений газовой динамики.
2 Решение задачи о движении, нагреве и химическом реагировании пробных
частиц горючего и железосодержащих материалов при заданных газодинамиче-
ском поле и концентрациях компонент смеси газов.
2.1 Определение скоростей изменения массы частиц и общего теплового эф-
фекта гетерогенййч химиче. йих реакций при кинетическом режиме гетерогенно-
го реагирования.
2. 2 Расчет силового воздействия газового потока на частицы.
2.3 Расчет траектории частиц и изменение их массы и температуры.
2.4 Операция объемно-временного осреднения параметров частиц.
3 Определение покомпонентного состава и температуры газа в равновесном
приближении.
3.1 Расчет объемного выделения массы химических элементов вследствие ге-
терогенных химических реакций.
3.2 Расчет распределения в поле потока концентраций химических элементов:
решение дифференциальных уравнений в частных производных (уравнений диф-
фузии элементов) при заданном газодинамическом поле.
3.3 Решение уравнений энергии: определение полной и удельной энтальпий
газовой смеси.
3.4 Расчет концентраций компонент и температуры смеси. Составной частью
этого расчета является расчет констант равновесия газофазных реакций и опреде-
ление температуры газа при заданной удельной энтальпии. При этом определяют-
ся концентрации компонент, температура и давление в каждой точке газодинами-
ческого поля
4. Решение задачи сопряженного тепломассообмена в стекающей жидкой
пленке и в системе охлаждения.
409
Рис. 10.1 Изменение во времени температуры
газа, угольных и железосодержащих частиц
реакциях восстановления окисью углерода тепло выделяется, и это ведет к нагре-
ву частиц. В реакциях восстановления водородом - наоборот, тепло в химической
реакции поглощается, что приводит к охлаждению частицы.
Типичные расчетные зависимости во времени температур газа Tgaz, частиц
угля Tfl и железосодержащего материала Tf2 (линии 1, 2, 3 соответственно) при-
ведены на рис. 10.1. Расчеты проводились при отношении массы железосодержа-
щих частиц к массе свободного кислорода в дутье к/2 =0.5. Начальная темпера-
тура железосодержащих частиц принималась равной Tf2 —293,15К, эффективный
диаметр частиц df2 =0,001м. Качественное поведение кривых аналогично тому
что наблюдается в процессе гази-
фикации угля (рис.9.4). Особенно-
стью восстановительного процес-
са является дополнительное по-
ступление кислорода из железосо-
держащего материала в газовую
фазу в процессе восстановления
железа. Это приводит к увеличе-
нию массовой доли свободного
кислорода в газовой фазе и, сле-
довательно, к увеличению массы
сгораемого угля. При сжигании
дополнительного количества угля
происходит дополнительное выделение энергии. В результате этого увеличивает-
ся температура как газовой фазы, так и частиц. С другой стороны, наличие до-
полнительно в реакционном пространстве же> езосодержащих частиц приводит к
увеличению суммарного количества тепла, идущего на нагрев частиц, что влечет
понижение температуры газа и частиц. Какой из этих процессов npeeaj ирует, за-
висит от начальных данных и времени процесса.
10.2.3 Решение задачи в двумерном приближении
Более детальное и полное описание процессов может быть получено на основе
континуальной системы уравнений, описывающих закрученные турбулентные
течения высокотемпературной газовзвеси с учетом тепло- и массообмен» между
газом и частицами (горение и газификация угля, восстановление и плавление час-
тиц железорудных материалов). Этапность разработки и численной реализации
этой модели на ЭВМ сводится к следующему:
— модульный анализ задачи и разработка проекта программного обеспечения;
— формулировка алгоритмов и разработка комплекса программ для расчета за-
крученных течений монодисперсных газовзвесей; тестирование на простейших
течениях;
включение в комплекс программ модулей, учитывающих реальные тепло-
массообменные гетерогенные процессы; предварительные исследования влияния
межфазного взаимодействия на газификацию и восстановительные процессы, вы-
яснение степени достаточности модели для практического использования;
414
Кинетические соотношения для оеак-пий „„„„
материалов. В результате газификации части^гп железорудных
м г ч'г‘лации частиц угля в реакционном ппостянстве
образуется смесь восстановительных газов, состоящая „з окиси углертдГсО и
водорода Я2. Поскольку в настоящее время накоплено больше информации о
восстановлении железорудных материалов окисью углерода, рассмотрим вначале
кинетику этих процессов. Это обосновывается еще и тем, что принципиальные
особенности восстановления водородом остаются такими же. В соответствии с
известным механизмом восстановление железа протекает в три стадии [39, 114]
Fe2O3 -> Fe3O4 -> FeO -> Fe.
В процессе восстановления современных агломератов выделяют две стадии
^3^4 —• При математическом моделировании часто принимают
двухступенчатую схему восстановления по реакциям [94, 144]
Fe2O3 +СО = 2FeO + СО2,
FeO+CO~Fe + CO2.
При этом определяют общую скорость реакции восстановления, описываемой
итоговым уравнением [198]
|ге2О3 + СО > ~Fe + СО2.
Такое же результирующее уравнение можно записать и для реакции восста-
новления водородом
|гг2Оз + Н2>Ьг + И2О.
Как и для всякой гетерогенной реакции (§5.1.2), скорость восстановления оп-
ределяется как физическими процессами переноса, так и скоростью химического
превращения на фронте реакции. При этом сначала восстановительный газ -
окись углерода или водород — посредством конвекции или диффузии переносится
на поверхность частицы, затем путем диффузии через поры уже восстановленно-
го слоя газ поступает к фронту реакции, где вступает в химическое взаимодейст-
вие с окислом железа. Образующиеся на фронте реакции двуокись углерода или
водяной пар транспортируются в обратном направлении. Так как при химическом
превращении количество молей обоих диффундирующих в противотоке газов не
меняется по всему фронту реакции наблюдается такое же общее давление, как и
в окружающей среде. Одновременно для обоих протекающих в противотоке газов
возникают одинаковые большие перепады парциального давления. При выводе
соотношений для скорости восстановления, которая связана как с кинетикои реак-
ции, так и с физическими процессами переноса, используются дифференциальные
уравнения диффузии компонент восстановительного газа в прореагировавшем слое
[143, 144]. Эти уравнения решаются при следующих общих предположениях:
- квазистационарное приближение: пренебрегают изменением концентрации в
зависимости от времени, нестационарность учитывается только при определении
положения фронта реакции;
411
2 которой совпадает с осью симметрии аппарата и направлена от сечения входа к п
сечению выхода из пространства, ось г ортогональна оси 2, а меридиональный в
угол ф, задающий угол поворота вокруг оси, отсчитывается против часовой 1 , п
стрелки. Для проекций компонент вектора скорости потока на оси 2,г,ф цилинд-
рической системы координат вводятся обозначения соответственно.
Закрученное течение газа, являющееся, по сути, трехмерным течением, можно
рассматривать в осесимметричной постановке, если все параметры потока не за-
висят от меридионального угла ф. Закрутка потока задается распределением ок-
ружной составляющей скорости Уф(г) на входе в технологическое пространство
в поперечном сечении г = 2ь входа в пространство. Уравнения двумерных неза-
крученных течений несущего газа и дисперсной фазы описаны в §5.2. Для осе-
симметричных вращающихся потоков уравнение количества движения в проек-
ции на ось симметрии, уравнения неразрывности, энергии и диффузии будут та-
кими же, как и для незакрученных течений. В уравнении количества движения в
проекции на радиальное направление как для газа, так и для частиц, появляется
дополнительное слагаемое, определяющее влияние центробежного ускорения. С
учетом этого уравнение количества движения в проекции на радиальное направ-
ление записывается в виде
где V - окружная скорость газа или дисперсных частиц. При использовании это-
го уравнения для описания движения частиц в соответствии с моделью дисперс-
ной фазы как сплошной среды, лишенной собственного давления, следует исклю-
Зр
чить слагаемое —.
дг
Для определения распределения окружной скорости используется уравнение
количества движения в проекциях на окружное направление. Для осесимметрич-
Зр
ного течения это уравнение, с учетом того, что — = 0 как для гла, так и для
Зф
дисперсной фазы, записывается в виде
ЗУ„ 3Vffl ЗК _
1Г+рг-17+рГ^=±к-
где в соответствии с (5.30) К8ф = Ррр(Уф - Урф).
Эти уравнения при численном решении также записываются в дивергентном
виде и включаются в общую систему уравнений, которая решается методом уста-
новления по алгоритмам, описанным в § 4.1.4.
10.2.4 Уравнения, описывающие образование и стекание жидкой пленки со
стенок газификатора
Процессы, имеющие место в газификаторах циклонного типа, могут приво-
дить к появлению жидких капель как горючего, так и железорудных материалов и
флюсующих добавок. Вследствие влияния центробежных сил жидкие частицы
416
Таким образом, уравнение (10.!) „мвшиет опредит дарость исчинове„ия
В процессе восстановления восстановительных газов СО и Н2 . Стехиометриче-
ское уравнение результирующей реакции дает возможность определить скорость
выделения СО2 и Н2О. Для практического использования соотношения (10.1)
необходимо перейти от объема восстановительного газа к его мольной концен-
трации. Таким образом, железорудные частицы в потоке восстановительного газа
служат стоком для окиси углевода и водорода и источником для СО2 и Н2О.
Если перейти от аланса массы газовых компонент к балансу химических элемен-
тов, то получаем, что углерод и водород в балансовых соотношениях участия не
принимают, т.е. по отношению к углероду и водороду, как химическим элемен-
там, железорудные материалы инертны. Реакции восстановления железорудных
частиц как окисью углерода, так и водородом, являются источником выделения в
поток газа только химического элемента кислорода. Скорость выделения кисло-
рода может быть определена, исходя из кинетического уравнения (10.1) и сте-
хиометрических соотношений для реакций восстановления. В соответствии с
этими соотношениями при реагировании одной молекулы восстановительного
газа в газовую фазу добавляется один атом химического элемента - кислорода,
который вносится в поток вместе с газообразными продук»ами реакции. С учетом
этого, если принять, что rF0 и гД- количество массы СО и Н2, прореагиро-
вавшее с Fe2O3 на единице площади поверхности частицы в единицу времени,
то скорость выделения кислорода с единицы площади определится соотношением
гн2
тн2
В свою очередь Гео и rF можно определить, пользуясь уравнением (10.1).
Н2
Для определения теплового эффекта реакций восстановления воспользуемся
общей формулой
Д<?£ = гсо^со + гн2 дОн2 ’
где AQC0 и AQH2 - суммарный тепловой эффект реакций восстановления оки-
сью углерода и водородом в расчете на 1 моль газа восстановителя; AQL коли-
чество тепла, выделившегося (поглотившегося) в единице материала в единицу
времени в отношении к единице площади поверхности фронта реакции. Исполь-
зуя конкретные значения теплот реакций восстановления, которые соответствуют
определенному значению температуры, для AQco и ^®Н2 ПОЛУЧИМ следующие
значения:
до -RO3-^ AQH = -33.22^.
AQCO -Ъ03моль' моль
Для определения «плот реакций при произвольной ;™.ературе
пользовать общий балансовый подход, изложенный в §3.3.1. Таким образом
413
др d o(v ^- + V +
дц> + дп^эф дп р dt V а* п дп rw аФ J
dpvx ! ФК, , apVV-о,
дх дп rwd(p
(Ю.2)
дТ д . дТ _ (v дТ
Ср—— — л~^ Чи _Ср vx л
dt dn v дп < dx
v ^L+Ll^L\
п dn rw д<р)'
где x,n,tp - продольная, нормальная к поверхности и азимутальная координаты,
связанные с поверхностью аппарата; rw(x,<p) - радиальная координата поверхно-
сти аппарата; g - ускорение силы тяжести; Ух,Уп>Уф - соответствующие компо-
ненты вектора скорости течения; а - угол наклона касательной к поверхности
аппарата к вертикали, р,Т,С , рэф и ХЭф - плотность, температура, удельная теп-
лоемкость, эффективные коэффициенты вязкости и теплопроводности смеси
жидкости и частиц.
Для ламинарного течения жидкости со взвешенными твердыми частицами про-
стейший метод учета ее неоднофазности состоит во введении некоторой эффектив-
ной вязкости. В случае сферических частиц для определения эффективного значения
динамического коэффициента вязкости можно использовать соотношение [4,175]
м,Ф=(*(1-с)-2-\
где р - динамический коэффициент вязкости жидкости, С - объемная концен-
трация частиц, равная отношению объема, занятого частицами, к объему смеси.
Большинство неньютоновских жидкостей обладает некоторой предельной
вязкостью при больших скоростях сдвига, которую можно связать простым соот-
ношением с вязкостью жидкости и концентрацией частиц
Рэф=рекС.
Коэффициент k определяется свойствами частиц и, в общем случае, он боль-
ше для мелких частиц, которые коагулируют и вызывают увеличение вязкости за
счет сил взаимодействия. Величина k достаточно точно может быть определена
соотношением [175]
k = а + -^=Ф,
y[d
где d - характерный линейный размер частиц; Ф — коэффициент формы; а,Ь -
коэффициенты, зависящие от вида смазки.
Если предположить, что течение в пленке достаточно медленное, то можно
пренебречь инерциальными членами, т.е. положить, что подчеркнутые слагаемые
равны нулю. В этом случае уравнения существенно упрощаются.
К этим уравнениям необходимо добавить уравнения переноса тепла в стенках
газификатора и в кожухе охладителя, которые можно записать в квазиодномер-
ном приближении
418
c„ и учета взаимовлияния турбулентности и гетерогенного те^омаХбмена.
- комплексные исследования закрученных турбулентных течений газовзвеси
„ выбор на основании экспериментальных данных оптимальной модели турбу-
лентности и других эмпирических параметров;
- проведение расчетов конкретных аппаратов и оптимизация рабочих процессов.
При практической отработке программного обеспечения необходимо основы-
ваться на принципах структурного программирования как при разработке проекта
программного обеспечения, так и при создании его основных частей, позволяю-
щих проводить численное моделирование отдельных термодинамических и теп-
ловых режимов газификатора-восстановителя циклонного типа в рамках обоб-
щенной математической модели. В целях унификации взаимодействия реализо-
ванных ранее и разрабатываемых в последующее время расчегных программ не-
обходимо систематизировать входное и выходные данные для имитационного
моделирования термогазодинамических процессов газификации природного угля
и восстановления железа в циклонных аппаратах, выработать структуру данных,
исходя из принципов расщепления имитационного анализа по физико-хими-
ческим процессам. Существенным является и разработка требований к форме
представления результатов в виде информационных таблиц о зависимости про-
цесса от определяющих параметров и файлов данных для графической обработки
результатов счета. Программное обеспечение для имитационных исследований
тепловых и термогазодинамических процессов в газификаторах-восстановителях
циклонного типа должно разрабатываться на основе изложенных положений.
Созданное таким образом программное обеспечение поз ит оперативно прово-
дить параметрические исследования процессов в циклонных газификаторах-
восстановителях в рамках математических моделей различной сложности, а так-
же, проводить адаптацию параметров моделей по данным натурных .к пытаний.
Уравнения закрученного течения внутри осесимметричного технологиче-
ского пространства. Для достижения полного сгорания частиц при осуществле-
нии процесса газификации пылевидных угольных топлив в реальных технологи-
ческих устройствах необходимо подавать в реакционное пространство частицы
более мелких фракций и добиваться увеличения времени пребывания частиц в
реакционном пространстве. Одним из способов увеличить время пребывания час-
тиц в реакционном пространстве является организация закрутки потока несущей
фазы. В результате межфазного взаимодействия частицы дисперсной фазы будут
двигаться по спиралевидным траекториям.
Результаты расчетов показывают, что возрастание скорости закрутки посту-
пающего воздуха способствует увеличению продольной скорости частиц на оси и
ее уменьшению на стенке реактора. Поэтому время пребывания часгиц в реакторе
при их движении вдоль линии тока, совпадающей с осью, уменьшается, а время
пребывания частиц, движущихся вдоль линий тока, прилегающих к стенке, уве-
личивается. Вследствие этого при увеличении закрутки воздушного потока концен-
трация продуктов сгорания угольных частиц на оси падает, а на стенке возрастает.
Для описания поля закрученного течения внутри OCpe^eJn™
гического пространства вводится цилиндрическая сист р , ,<Р,
415
Хвг^ = а3.4(Т.-Твг).
дп
Граница 5. Внешняя поверхность кожуха системы охлаждения.
Xr^ = a5(TE-T5).
дп
где а5 - коэффициент теплоотдачи при охлаждении естественной конвекцией;
ТЕ - наружная температура воздуха.
Рассмотрим упрощенное решение задачи о стекании пленки жидкости (реше-
ние уравнений (10.2)) при сформулированных граничных условиях Будем счи-
тать, что силами инерции и давления можно пренебречь по сравнению с силами
трения и веса, т.е. положим, что правая часть первого уравнения системы (10.2)
дР
равна нулю и — = О. Тогда решение этого уравнения с учетом граничных усло-
вий на внешней поверхности жидкой пленки п = б(х,<р) при xg =0 можно запи-
сать в виде
2 □ S' 5 2 о
•г П
„8 —
v pgcosa
Мэф
Применим условия сохранения массы к элементарному объему (бЛх) жидкой
пленки, получим [98]
(10 3)
(10 4)
где m = riif +mn- секундный прирост массы пленки Средняя скорость Vxcp в
любом сечении х определяется равенством
1 8
V,ep=^V,dn.
° о
Подставляя определенное этим соотношением Vxcp в (10.4) и считая
р = const, получим, используя (10.3), уравнение для определения толщины пленки:
pg cos а „2 58 55 m
------------------------------о-----1--= —.
Нэф 5x dt p
10.3 Оценки технологических параметров устройств для разгона, нагрева и
плавления частиц газовым потоком
Высокотемпературные и высокоскоростные течения гетерогенных смесей являются со-
ставной частью технологий газопламенного напыления, абразивной обработки по-
верхностей, струйного измельчения и др. Разгон, нагрев и, при необходимости,
плавление твердых частиц осуществляется высокотемпературными продуктами
сгорания газообразных углеводородных топлив в специально разрабатываемых
420
„опадают на стенки газификатора „ образуют та„
возможно испарение жидких капель в потоке г^а „ - г^римс iui ,
в ч 1Ь в потоке газа с последующей конденсацией
паров на охлаждаемых стенках газификатора
В жидкой пленке, состоящей из восстановленного в реакторе расплавленного
железа и шлака, находятся во взвешенном состоянии частицы угля, нс восстанов-
ленных железорудных материалов и флюсующих добавок. Таким образом, сте-
кающая с поверхностей аппарата пленка представляет собой двухфазную смесь
жидкости и твердых частиц.
Частицы железорудных материалов в жидкой пленке прогреваются и плавят-
ся, кроме того, в пленке могут продолжаться процессы восстановления и образо-
вания шлаков. Все эти процессы создают объемный теплосток.
Такая двухфазная среда описывается моделью гомогенной сплошной среды с
эффективными теплофизическими параметрами. В рамках этой модели считается,
что твердые гстючения полностью увлекаются жидкостью, так что скорости
твердых частиц и жидкости совпадают. Что касается температуры, то необходимо
рассмотреть случаи, когда температуры частиц и жидкости совпадают и когда
отличаются.
В последнем случае необходимо к выписанным ниже уравнениям добавить
уравнения прогрева частиц с учетом их
плавления, аналогичные уравнениям (5.48).
Если в жидкой пленке идут химические
реакции или фазовые переходы (плавление
частиц или кристаллизация жидкости), то в
уравнении энергии для жидкости появля-
ются слагаемые, отражающие теплоты этих
процессов.
Ниже эти явления не учитываются, что
является не принципиальным для форму-
Рис. 10.2 Принципиальная схема про-
цессов, имеющих место на элементе
лировки математической модели.
Принципиальная схема процессов,
имеющих место на элементе поверхности поверхности газификатора
газификатора, представлена на рис. 10.2. На
этом рисунке: А - течение в жидкой пленке, Б - течение воды в тракте охлажде-
ния, В - стенка газификатора, Г - корпус тракта охлаждения, Д- газовая смесь
в газификаторе, С - твердые частицы в газовой смеси и в жидкой пленке, 1, 2, 3,
4, 5 - поверхности раздела.
При описании течения в жидкой пленке, кроме перечисленных выше, делают-
ся еще следующие два основных допущения [98, 99]: градиенты скорости и тем-
пературы в направлении, перпендикулярном стенке газификатора, намного боль-
ше соответствующих градиентов в продольном направлении; на малом участке
поверхности течение в пленке считается плоским, т.е. таким же, как и на пластине
При этих допущениях уравнения движения и энергии для течения в пленке
можно записать в виде:
9Р д [у ^ + V+
cosa g p- —+ —Нэф дп Р * дх дп rw ftp J
417
изменения площади проходного сечения. При отработке таких устройств перво-
степенное значение имеют вопросы оптимизации термогазодинамических и теп-
ломассообменных процессов, что требует тщательного выбора геометрических и
расходных характеристик газодинамических трактов. Процессы, происходящие в
газодинамических трактах, являются многопараметрическими, поэтому выбор
оптимальных значений определяющих параметров и оптимальных режимов рабо-
ты этих устройств должен осуществляться с помощью математического модели-
рования, что позволяет существенно сократить их сроки проектирования и отра-
ботки. При этом особенно важно решение вопросов, связанных с разработкой и
созданием программно-методического обеспечения для численного моделирова-
ния процессов разгона, нагрева и плавления частиц материала
Полное теоретическое описание процессов формирования запыленного потока газа и
его взаимодействия с поверхностью обтекаемых тел в настоящее время является также
проблематичным. Причиной этого является незамкнутость описывающих турбулент-
ные течения математических моделей, неопределенность теоретического описания
взаимодействия между несущим газом и ансамблем частиц, проблемы моделирования
гетерогенных физико-химических процессов, протекающих в высокотемпературной
смеси газа и пылевидных ч ц. В силу изложенных обстоятельств в настоящее вре-
мя отсутствует возможность полного матеИИ щческого моделирования всех процес-
сов, связанных с тепловым и эрозионным воздействием запыленного газа на обте-
каемое тело. В то же время имеются возможности при определенных условиях полу-
чить оценки: влияния различных процессов на формирование в экспериментальных
установках высокотемпературной и высокоскоростной смеси газа с частицами; взаи-
модейс ия полученных в этих установках пылегазовых потоков с обтекаемыми по-
верхностями. В некоторых случаях эти оце оказываются достаточными для ис-
пользования их при проектировании и отработке устройств для получения высоко-
температурных и высокоскоростных поток ги ювзвесей и для совместного расчетно-
экспериментального определения теплового и эрозионного взаимодействия потоков
газовзвесей с обтекаемыми поверхностями различных материалов и покрытий.
Конструктивные особенности генераторов высокотемпературных двух-
фазных потоков. Конструктивные особенности генераторов высокотемпера-
турных двухфазных потоков, отливающие их от обычных генераторов высоко-
температурных сверхзвуковых газовых потоков, определяются необходимостью
ввода в газовый поток дисперсной фазы. Причем ввод частиц должен произво-
диться на участке газодинамического тракта, предшествующем протяженному
разгонному каналу, в котором происходит релаксация (выравнивание) их па-
раметров (температуры и скорости) с параметрами газа. Конструкция устрой-
ства ввода должна обеспечивать как можно более равномерное распределение
дисперсной фазы в газовой по сечению разгонного канала и минимальное зна-
чение радиальной составляющей скорости частиц для предотвращения выноса
их на стенки канала. Необходимо отметить, что для устройств с требуемым
ресурсом более одной минуты является недопустимым наличие сужающихся
участков в частях газодинамических трактов с движущейся высокотемпера-
турной двухфазной средой. (Имеются в виду температуры, превышающие ра-
бочие температуры тугоплавких износостойких соединений). Это обстоятель-
ство не позволяет осуществлять ввод частиц непосредственно в камеры сгора-
ния генераторов, выполненных по классической «ракетной» схеме с соплом
422
„ дтвг
св.гРв.г~^~ = квг
a2rBJ
дп2
где с,Кр,Т удельная теплоемкость, коэффициент теплопроводности, плот-
ность и температура материала, индексы В и Г относятся к стенке газификатора
и кожуху системы охлаждения.
Уравнения для определения температуры жидкости в системе охлаждения за-
пишем в упрощенном виде:
PeCe[”aT+Vxe ”аг)=СХз^в -7,в)+а4(гг -гв)-(?«>,
где а3 и а4- коэффициенты теплоотдачи на поверхностях газификатора (3) и
кожуха системы охлаждения (4), Vxg - скорость движения воды; - теплота
фазового перехода при испарении воды.
Для замыкания постановки задачи необходимо сформулировать граничные
условия.
Граница 1 - внешняя поверхность жидкой пленки п = 8(х,<р).
Условия совпадения напряжений трения в газовом потоке (xxg. ) и (тф^ ) и в
жидкой пленке
8VX 5Уф
Если вязкость жидкости намного больше вязкости газовой смеси, то можно
положить, что xg = О.
Условие сопряжения по тепловым потокам
XA^- = ag(7^ -TA)+mfiOf -mnr,
on
где ag — коэффициент теплообмена между жидкой пленкой и газом, Tg — тем-
пература газа; mf и тп - масса частиц, попадающих в жидкую пленку, и масса
сконденсировавшегося пара на единице площади пленки в единицу времени,
iOf - энтальпия частиц, г - теплота парообразования.
Граница 2. Внутренняя поверхность стенки газификатора: п = О.
^=Уж=0,
Границы 3, 4. Поверхности стенки газификатора и кожуха системы охлажде-
ния. Сопряжение по тепловому потоку
419
расчет параметров в узлах ввода дополнительной массы газа,
расчет двухфазного течения в свободной струе;
расчет течения за ударной волной, возникающей перед обтекаемой моделью
или при взаимодействии соударяющихся гетерогенных струй;
решение вспомогательных задач: определение равновесного состава газовой
смеси, теплофизических параметров материала частиц и коэффициентов переноса
газовой смеси, коэффициентов межфазного взаимодействия, коэффициентов тре-
ния и теплоотдачи двухфазного потока на стенках.
Отдельные из перечисленных задач рассмотрены в предыдущих главах. В ча-
стности, основные аспекты определения параметров в камере сгорания описаны в
§ 9.6, задача о течении двухфазного потока в газодинамическом тракте обсужда-
лась в § 7.3.2, вопросы определения параметров газа за узлом подвода дополни-
тельной массы рассмотрены в § 1.3.4, информация о решении вспомогательных
задач приводится в §§ 3.1.4, 3.5, 5.2.3, 7.2.2. Ниже приведем краткую характери-
стику основных особенностей постановок задач при математическом моделиро-
вании рассматриваемого технологичессого процесса.
Математическая модель двухфазного течения в газодинамическом
тракте. При формулировке математической модели для описания двухфазного
течения в газодинамическом тракте используются следующие допущения:
смешение компонентов топлива между собой и с транспортирующим газом
происходит мгновенно;
реакция между компонентами топаива в высокотемпературной зоне камеры
сгорания происходит мгновенно;
состав газовой фазы - равновесный;
дисперсная фаза состоит из частиц сферической формы одного размера, кото-
рые между собой не взаимодействуют;
обмен массой между фазами отсутствует;
температура горячих стенок газодинамического тракта не превышает пре-
дельно допустимую температуру;
смешение компонентов топлива между собой и с транспортирующим газом в
узлах подвода и реакция между компонентами топлива в высокотемпературной
зоне узлов подвода происходят мгновенно;
в узлах подвода параметры частиц полагаются «замороженными» и равными
их значениям перед узлом.
Двухфазный поток в газодинамическом тракте описывается при помощи уп-
рощенной модели, основанной на квазиодномерных уравнениях газовой динами-
ки, в которых учтены трение и теплообмен двухфазного потока со стенками кана-
ла газодинамического тракта, трение и теплообмен между фазами. При этом име-
ется некоторая неопределенность в задании параметров межфазного взаимодей-
ствия и коэффициентов трения и теплоотдачи двухфазного потока на стенках га-
зодинамического тракта. Расчетные соотношения для соответствующих парамет-
ров, полученные на основании литературных данных, приведены в §5.2.3. Уточ-
нение отдельных коэффициентов в этих соотношениях может быть сделано при от-
работке технологического процесса с привлечением результатов экспериментов.
424
ких устройств предложена в работах [153, 154, 155, иТ^ТцелТю ХоГот^а-
ботки является обеспечение наиболее полного использования химической энер-
гии топлива для нагрева и разгона частиц и выбора рациональных технологиче-
ских параметров.
10.3.1 Общая характеристика технологии разгони и нагрева частиц2
Углеводородное горючее и окислитель вводятся в камеру сгорания генератора
высокотемпературных двухфазных потоков. Частицы вместе с продуктами сгора-
ния подаются в газодинамический тракт, в котором происходит их ускорение,
нагрев и, в случае необходимости, плавление. Дополнительный разгон частиц
имеет место в свободной сверхзвуковой струе. Разгон несущего газа в газодина-
мическом тракте производится при геометрическом и (или) расходном воздейст-
вии на поток. Завершающие процессы происходят в ударном слое, образующемся
при ударе двухфазной струи об обрабатываемую поверхность или при соударе-
нии струй.
В целях повышения энергетических параметров частиц за счет эффективной
организации передачи им энергии газового потока при создании устройств разго-
на и нагрева частиц необходимо обеспечить возможность существенным образом
управлять процессами теплового и динамического взаимодействия фаз в газоди-
намических трактах. Широкое распространение получили генераторы высоко-
температурных двухфазных потоков, использующие для ускорения газа каналы
переменного сечения (сопло Лаваля). Управление ускорением и нагревом частиц
в таких генераторах осуществляется соответствующим выбором изменения пло-
щади проходного сечения канала - геометрическим воздействием на поток. Од-
нако возможности такого спо.гба крайне ограничены, так как для изменения па-
раметров потока необходимо вносить конструктивные изменения в конфигура-
цию канала. Кроме того, условия увеличения скорости и температуры частиц в
таких устройствах являются взаимоисключающими: для повышения температуры
необходимо увеличение времени нахождения частиц в потоке, а при увеличении
скорости частиц время нахождения их в канале уменьшается. При этом уменьша-
ется и интенсивность теплообмена частиц с высокотемпературным несущим по-
током. Особенностью проектирования газодинамических трактов генераторов
двухфазных потоков является также нежелательность включения в них участков
сужения, которые более всего склонны к эрозионному разрушению твердыми
частицами и налипанию расплавленных частиц на стенки канала. Усовершенст-
вование газодинамических трактов может быть осуществлено путем функцио-
нального разделения участков канала на участки нагрева частиц в потоке продук-
тов сгорания, имеющих высокую температуру и невысокую скорость, и участки
разгона двухфазного потока до сверхзвуковых скоростей. В этих устройствах со-
четаются расходный способ воздействия на поток путем подвода дополнительной
массы газа в некоторых сечениях и геометрическое воздействие на поток путем
2 Конструктивные схемы .енераторов двухфазных потоков и соответствующие техноло-
гии 1 азопламенного напыления разработаны в Инсти1уге проблем материаловедения
НАН Украины.
421
сительно малым объемным содержанием частиц, может быть использован упро-
щенный подход В рамках этого подхода игнорируется влияние частиц на пара-
метры струи: задачи определения поля параметров в турбулентной струе газа и
параметров движения и нагрева облака частиц в заданном газодинамическом поле
решаются раздельно Основные особенности расчета истечения турбулентной
струи описаны в § 6.2.3.
Расчет параметров в окрестности обтекаемой модели. Для описания взаи-
модействия свободной двухфазной струи с преградой (подложкой) или для расче-
та взаимодействия струй при их лобовом соударении используются нестационар-
ные двумерные дифференциальные уравнения для газа и частиц, записанные в
сферической системе координат в дивергентном виде [146, 149, 159, 163], в кото-
рых, как и прежде, вязкость учитывается только при взаимодействии фаз. Реше-
ние данной системы уравнений ищется в области, ограниченной поверхностью
преграды (подложки), или поверхностью, разделяющей соударяющиеся струи
поверхностью отошедшей ударной волны и некоторой расположенной в области
сверхзвукового течения поверхностью. На этих поверхностях формулируются об-
щепринятые граничные условия: на ударной волне - соотношения Рэнкина-
Гюгонио для газа, на оси струи - условия равенства нулю радиальной координаты
вектора скорости и первых производных по радиальной координате всех остальных
параметров, на поверхности преграды либо на поверхности, разделяющей струи
при их лобовом соударении - условие равенства нулю нормальной составляющей
вектора скорости. Для частиц на поверхности преграды граничные условия не ста-
вятся, таким образом не учитывается их отражение от преграды. Для получения
численного решения сформулированной задачи может быть использован метод ус-
тановления по времени с применением одной из явных конечно-разностных схем.
Для определения теплового q8 и эрозионного Ger воздействий используют раз-
личные приближенные соотношения, которые получены в результате обработки экспе-
риментальных данных [115]:
[гл 2 1 G
cs(Ts -7j + -A_ , Ger
гДе Чв ~ тепловой поток энергии, создаваемый падающими на поверхность тела
частицами; Ger - линейная скорость эрозионного уноса; Gs =рДи8 -nuJ - масса
частиц, попадающих на поверхность тела; Ks — коэффициент, который определя-
ет долю полной энергии частиц, передаваемую поверхности тела, при соударении
с телом твердых частиц, принимается Ks = 0,7; Нег — эффективная энтальпия
эрозионного разрушения.
Интенсивность теплового и эрозионного воздействия запыленного потока су-
щественным образом определяется параметрами газа и частиц на поверхности
тела. В упрощенном подходе тепловой поток от падающих частиц и скорость эро-
зионного износа можно определять, исходя из параметров невозмущенного дви-
жения частиц. При этом параметры газа принимаются равными параметрам, соот-
ветствующим обтеканию чистым газом. Однако, в общем случае, параметры газа
и параметры частиц определяются межфазным взаимодействием в возмущенном
426
Лаваля. Существует две основные компоно-
вочные схемы генераторов высокотемпера-
турных двухфазных потоков: F
а) с аксиальной (осевой) подачей частиц
в дозвуковую часть сопла Лаваля вблизи его
критического сечения через канал в охлаж-
даемом пилоне, установленном на оси каме-
ры сгорания (рис. 10.3,а);
б) с радиалыюй подачей частиц в конце
сверхзвукового участка сопла через два или
более наклонных, симметрично расположен-
ных и направленных по потоку, каналов
(рис. 10.3,6).
Однако в силу отмеченных недостатков
каналов переменного поперечного сечения
более эффективно нагрев частиц происходит
в генераторах высокотемпературного двух-
фазного потока, выполненных по схеме с
разделением участков нагрева и ускорения
частиц и управления параметрами потока
расходным воздействием (рис. 10.3,в). В по-
добных устройствах может быть достигнута
тепловая релаксация фаз для частиц с дис-
Горюче*
f Окислитель
UJ
Горючее Траисюртиррющий taj
Рис. 10.3 Компоновочные схемы га-
зодинамических трактов генерато-
ров высокоскоростных высокотем-
пературных двухфазных потоков
персностью в полтора - два раза более высокой, чем в устройствах традиционных
схем той же мощности (определяемой расходом топливных компонентов). В то
же время схема обеспечивает достаточную равномерность распределения дис-
персной фазы вследствие воздействия на нее в протяженном канале нагрева газо-
вого потока, турбулизированного в первом узле подвода. Градиент концентрации
дисперсной фалы, возникающий из-за радиального скольжения фаз в расширяю-
щемся сверхзвуковом участке сопла, существенно сглаживается при длине раз-
гонного канала. Кроме того, эта схема позволяет полноценно использовать в ка-
честве транспортирующего газа один из газообразных компонентов, т.к. время
нахождения газовой смеси в канале разгона превышает характерное время хими-
ческой реакции.
10.3.2 Математические модели разгона и нагрева частиц
высокотемпературным потоком газа
Модульный анализ математической постановки задачи. В основе модуль-
ного анализа, как уже отмечалось, лежит декомпозиция комплексной задачи на
более простые самостоятельные задачи. Перечень отдельных задач, которые не-
обходимо решить при численном моделировании формирования высокотемпера-
турного двухфазного потока и его взаимодействия с обтекаемыми поверхностя-
ми, сводится к следующему:
определение параметров в камере сгорания,
расчет двухфазного течения в газодинамическом тракте на участках газоди-
намического тракта между сечениями ввода дополнительной массы газа;
423
температура которой равна 2410/С, истекающей из газодинамического тракта в
затопленное пространство, заполненной газом, температура которого равна
300АГ, и изменение скорости и температуры несущего газа и частиц на оси
струи. Синими линиями показано изменение скорости и температуры в свобод-
ной струе. Уменьшение этих параметров при — >10 связано с приходом слоев
R
смешения на ось струи. Зеленые лини относятся к параметрам струи, обтекающей
подложку. Подложка представляет собой диск диаметра 30 мм, расположенный
на расстоянии 65 мм от выходного сечения газодинамического тракта. Видно рез-
кое уменьшение скорости и увеличение температуры, связанные с переходом газа
через ударную волну, возникающую при обтекании сверхзвуковой струей под-
ложки. Красные линии иллюстрируют изменение скорости и температуры частиц
окиси алюминия А12Од . Диаметр частиц dp =10мкм. Видно, что как в свобод-
ной струе, так и в ударном слое параметры частиц меняются слабо. Увеличение
диаметра подложки приводит к более заметному изменению параметров частиц.
Однако, при проведении сравнительных оценочных расчетов и оптимизации па-
раметров горелочных устройств для газопламенного напыления можно в первом
приближении ограничиться анализам параметров частиц на выходе из газодина-
мического тракта и не рассматривать течение в струе. Более полную модель, учи-
тывающую изменение параметров частиц при ударе струи, необходимо использо-
вать при поверочных расчетах при выбранных на основе упрощенной модели
наиболее рациональных параметрах процесса.
10.3.3 Особенности процессов нагрева и разгона частиц в газодинамических
трактах с геометрическим и расходным способом воздействия на поток
Основные закономерности влияния различны* факторов на характеристики
двухфазного течения в газодинамическом тракте с геометрическим воздействием
J ’ -LX-ij
1-й узел 2-й узел
подвода подвода
Рис.10.5. Расчетная схема разгонного канала
с расходным воздействием на поток
на поток описаны в § 7.3.2. В этом
разделе рассмотрим результаты рас-
четов, полученные с использованием
описанных математических моделей,
уделив внимание сравнительной ха-
рактеристике газодинамических
трактов с геометрическим и расход-
ным способом управления характе-
ристиками двухфазного потока [135].
На рис 10.5 показана схема газоди-
намического тракта с расходным
воздействием. Схема разгонного ка-
нала с геометрическим воздействием на поток показана на рис.7.6.
Для нагрева и ускорения частиц использовалась водородно-воздушная смесь.
Использовались следующие физические исходные данные для параметров газо-
вой и дисперсной фаз. Для газовой фазы задаются: вид топливной пары (горючее-
окислитель); ркс- статическое давление в камере сгорания; То°- температура
подаваемого горючего; - температура подаваемого окислителя; а15а2- ко-
428
Использование сформулированной математической модели течения в газоди-
намическом тракте позволяет определить- прруппт мнения в газоди
та™ Р делить, расходы топливных компонентов,
транспортирующего газа, дисперсного материала; поля течения газовой и дис-
персной фаз.
Определяющими параметрами задачи являются геометрические размеры, ти-
пы топливных компонент, коэффициент избытка окислителя, доля транспорти-
рующего газа, давление на входе в камеру сгорания, теплофизические свойства
материала частиц, относительный массовый расход дисперсной фазы.
Результаты численного моделирования используются для: выбора значений
энергетических параметров частиц, принимаемых за критерии оптимизации; оп-
ределения рациональных геометрических и режимных параметров газодинамиче-
ского тракта; выдачи рекомендаций по выбору параметров, обеспечивающих не-
обходимые технологические характеристики процесса (геометрические и режим-
ные параметры газодинамического тракта).
Математические модели течения в двухфазной струе. Для описания тече-
ния в двухфазной затопленной струе, истекающей из газодинамического тракта,
используется двухскоростная и двухтемпературная модель. Основные элементы
этой модели описаны в § 5.2. Согласно данной модели описание движения двух-
фазной среды сводится к решению двух групп уравнений: уравнений, описываю-
щих движение • <*а, и уравнений, описывающих изменение осредненных по эле-
ментарному объему параметров частиц. В случае, когда объемная доля частиц
мала (~ 0,1%), уравнения для дисперсной фазы отличаются от уравнений газовой
динамики отсутствием членов, порождаемых градиентом давления, т.е. полагает-
ся, что дисперсная фаза представляет собой сплошную среду, лишенную собст-
венного давления. Взаимодейс ие между фазами учитывается включением в
уравнения обеих групп слагаемых, отражающих обмен массой, импульсом и
энергией между фазами. В первом приближении течение газовой фазы описыва-
ется системой уравнений Эйлера с дополнительными членами типа источника,
учитывающими межфазное взаимодействие. Алгоритм численного решения урав-
нений двухфазного течения описан в § 5.2.6. При расчете рассматриваемых тече-
ний возникают вычислительные трудности при определении параметров в облас-
ти струи, в которой отсутствуют частицы дисперсной фазы (эффект отставания
дисперсной фазы от газового потока). Для преодоления этих трудностей при
маршевом расчете вводится условная граница дисперсной фазы, являющаяся гра-
ничной линией тока частиц. Параметры частиц на этой линии тока определяются
в результате экстраполяции на границу по параметрам во внутренних узлах счет-
ной сетки.
Картина течения в струе существенно меняется, если учесть эффекты молеку-
лярной и турбулентной вязкости в газовой фазе. В результате перемешивания го-
рячей струи с окружающей покоящейся средой происходит торможение и охлаж-
дение струи. Это может повлиять на параметры частиц. Оценить изменение ха-
рактеристик в сверхзвуковой турбулентной изобарической осесимметричной за-
топленной струе в зависимости от расстояния от среза можно в рамках упрощен-
ной модели, согласно которой течение в струе описывается уравнениями узкого
канала. Для турбулентной вязкости vt используется однопараметрическая модель
турбулентности в модификации, учитывающей влияние числа Маха на интенсив-
ность смешения. При проведении оценок параметров двухфазных течении с отно-
425
ского способа управления потоком диаметры канала нагрева DKH и дозвуковой
части канала разгона были выбраны равными 8,7 мм. Расчеты проведены
при опорных значениях определяющих параметров. Сравнение распределений
температур газа и частиц вдоль газодинамических трактов, а также изменение
степени расплава частиц приведены на рис. 10.6. Сплошные линии соответствуют
газовой фазе, штриховые - дисперсной фазе (линии 1 и 2 соответствуют расходно-
му и геометрическому каналам).
10.3.4 Оптимизация процессов нагрева и плавления частиц из тугоплавких
материалов
Особенности процессов ускорения, нагрева и плавления частиц из тугоплав-
ких материалов (таких, как диоксид циркония ZrO2 и карбид вольфрама WC ),
температура плавления которых достигает 3000 К в газодинамическом тракте,
связаны с тем, что температура плавления частиц соизмерима с равновесной тем-
пературой торможения продуктов сгорания топлива. Для реализации возможно-
сти плавления частиц в газовом потоке необходимо особое внимание уделить ор-
ганизации процесса обмена энергией продуктов сгорания топлива с частицами.
Так как возможности управления передачей тепловой энергии от газового потока
к частицам в каналах с геометрическим воздействием на поток в силу перечис-
ленных в §10.3.1 обстоятельств ограничены, исследуем возможности нагрева и
ускорения частиц из тугоплавких сплавов в газодинамическом тракте горелочно-
го устройства с расходным способом воздействия на поток [153].
Обоснование выбора топливной пары. Оценим потенциальные энергетиче-
ские возможности углеводородных горючих (водород, метан и ацетилен), кото-
рые предполагается использовать для нагрева, расплава и ускорения частиц из
тугоплавких материалов. Для сжигания углеводородных горючих обычно исполь-
зуются воздух или кислород. Однако при сжигании вышеперечисленных горючих
в воздушной среде не обеспечивается требуемый для плавления тугоплавких ма-
териалов уровень температур. В частности, равновесная температура продуктов
сгорания водорода в воздухе не превышает 2500 К в широком диапазоне измене-
ния давления (0.1... 10МПа). Равновесная температура продуктов сгорания при
сжигании других углеводородных горючих в воздухе также будет ни*е темпера-
тур плавления некоторых тугоплавких материалов. Поэтому рассматривается
сжигание углеводородных горючих только в кислороде. Максимально возможные
температуры Тг равновесного состава газовой смеси продуктов сгорания растут с
ростом давления. Например, для водорода Тг=3400К при р = 1.0 мПа,
Тг=3600К при р = 5.0 мПа, 7’г=3700К при р = 10.0 мПа при его сжигании в
кислороде.
Удельная теплота сгорания водорода более чем в два раза больше, чем теплота
сгорания метана и ацетилена: водород - 1.196 1 05 кДж/кг, метан - 0.4995
10 кДж/кг, ацетилен — 0.4865 105 кДж/кг [10]. Однако, при стехиометрических
соотношениях окислителя и горючего для получения 1 кг продуктов сгорания
нужно сжечь 0.111 кг водорода, 0.2 кг метана (в 1.8 раз больше, чем водорода)
или 0.252 кг ацетилена (в 2.27 раза больше, чем водорода). Это приводит к тому,
что количество тепла, выделяемое при получении 1 кг продуктов сгорания этих
430
Подложка
Т.К
2400
2163
— 1791
1480
1045
610
I 300
Распределение скоростей газа и частиц
— газ в струе
___газ в ударном слое
— частицы
Рис. 10.4 Параметры газа и частиц в струе и "ударном слое
потоке за упаоной волной В ударном слое происходит торможение и нагрев час-
потоке за ударной волной. пуД Р газом повышение давления, ско-
тин и более интенсивное по сР^нен^ параметров частиц в свободной струе
рости и плотности газа. СтепеН^МсеНобтекаемой Херхностью иллюстрируется
И в области взаимодействия струи с ооте ^прпятупы гопячей ctdvh
рисунком 10.4. На этом рисунке показано изменение температуры горячен струи,
427
Таблица 10.2
Теплофизические свойства материалов
Материал Теплофизические свойства материала
Р*. кг м3 К с, кДж кг К кДж кг 9s ♦ кДж кг
Сг 7.16 2180 0.729 409.7 1780.8
3.96 2327 1.244 1092 6 3617.3
5.73 2983 0.683 730.4 2565.0
WC 15.63 3050 0.277 331.9 1095.3
А! 2.70 933 1.054 398.9 1068.0
Для дальнейших сравнительных оценок топливных пар удобно ввести поня-
тия запасенной теплоты и относительной запасенной теплоты продуктов сгора-
ния. Под запасенной теплотой продуктов сгорания Q», будем понимать теплоту,
которую 1 кг продуктов сгорания углеводородного горючего может передать час-
тицам при уменьшении температуры газовой смеси от равновесной температуры
Тг до температуры плавления материала частиц Tfl. Запасенная теплота продук-
тов сгорания Q. вычисляется как разность удельных энтальпий газообразных
продуктов сгорания при равновесной температуре Тг и при температуре плавле-
ния материала частиц Тд. Чем больше разность этих температур, тем больший
запас теплоты имеют продукты сгорания. По определению запасенная теплота
зависит от вида углеводородного топлива и материала частиц. Эта теплота может
обеспечить при соответствующей массовой доле частиц нагрев и полное плавле-
ТаблицаЮЗ
Запасенная и относительная запасенная теплоты продуктов сгорания
углеводородных горючих
Материал Запасенная теплота Qt, К^Ж кг Относительная запасенная теплота mt
н2 СН4 с2н2 н2 СН4 с2н2
Сг 8724 6551 9006 4.90 3.68 5.06
А/2Оз 8179 6120 8644 2.26 1.69 2.39
ZrO2 4349 2923 5869 1.70 1.14 2.29
WC 3741 2432 5445 3.42 2.22 4 97
432
эффициенты избытка окислителя в первом и втором узлах подвода
носительные доли расхода газовой фазы в первом и втором узлах подвода (коэф-
фициенты расхода). Для дисперсной фазы задаются: материал частиц; dp- диа-
метр частиц; kp- коэффициент двухфазное™ потока, определяемый как отноше-
ние расхода частиц к суммарному расходу газовой фазы; ир0- начальная ско-
рость частиц; TpQ — начальная температура частиц.
Геометрическими параметрами задачи являются: LKH,DKH- длина и диа-
метр цилиндрического участка канала, заключенного между узлами подвода (уча-
сток нагрева); ЬКд,ВКд- длина и диаметр цилиндрического участка канала,
расположенного за вторым узлом подвода (участок дозвукового разгона); Lr,L2-
длины участков смешения в первом и втором узлах подвода; Р~ угол полу рас-
твора конического участка канала (участка сверхзвукового разгона); LCK - длина
сверхзвукового цилиндрического участка канала; £>о- диаметр выходного се-
чения канала.
Выбраны следующие значения геометрических параметров: - 6 мм;
L2 =6 мм; DKH =8 мм; LKH =120 мм; Овд = & мм> ^кд = 15 мМ‘> Р~6 ,
Ра=12 мм; Lqk ~120 мм.
Расчеты проведены при следую-
щих опорных значениях определяю-
щих параметров: 7}°=290К;
Тр =700 К; Pi =0,8 Мпа; at = а2 = 1;
материал частиц - медь (Си);
</р=50мкм; kp~ 0,5; и^^Эм/с;
Тр0=290К. Температура внутренней
стенки канала газодинамического
тракта принималась равной
7^=1000 К. При этом воздух сначала
проходит через каналы охлаждения
стенок канала, после чего подается в
камеру сгорания. Расчет параметров
системы охлаждения проведен по ме-
тодике, изложенной в [13].
При расчете течения в канале с
расходным способом воздействия по-
ловина массы газовой смеси подава-
лась в первый узел подвода массы, а
вторая половина массы - во второй
узел (fecl=0,5; fec2 = 0,5). При этом,
чтобы обеспечить один и тот же рас
ход в обоих случаях, для геометриче-
Рис Ю 6 Распределение темпера 1уры (а) и
степени расплава (б) вдоль газодинамиче-
ского тракта при расходном (1) и геомет-
рическом (2) способах воздействия на по-
ток
429
доли частиц, которые могут быть полностью расплавлены. Основная проблема
состоит в обеспечении условий для передачи тепловой энергии продуктов сгора-
ния частицам в виде тепловой и кинетической энергии. Для определения рацио-
нального способа передачи энергии продуктов сгорания топлива частицам, необ-
ходимо исследовать течения в газодинамических трактах.
Основные особенности изменения параметров частиц на выходе из газо-
динамического тракта. Для иллюстрации основных особенностей передачи
энергии продуктов сгорания углеводородных горючих твердым частицам из ту-
гоплавких материалов с целью их нагрева, расплава и ускорения в газодинамиче-
ском тракте рассмотрим горелочное устройство с расходным способом воздейст-
вия на поток с двумя узлами подвода продуктов сгорания (рис. 10.4). В качестве
параметров управления потоком примем длину участка нагрева LKH и соотноше-
ния расходов продуктов сгорания в узлах подвода kGi. На участке нагрева про-
дукты сгорания разогревают и расплавляют частицы и отдают часть тепла через
стенку боковой поверхности канала. Длина участка нагрева должна выбираться из
условия максимального теплоподвода от газовой фазы к частицам. Расход про-
дуктов сгорания в первом узле подвода, определяемый коэффициентом расхода
kG1, необходимо задавать так, чтобы реализовывалось течение газовой фазы с
малой дозвуковой скоростью вдоль участка нагрева, однако исключающей воз-
можность залегания частиц.
Вышеприведенные результаты соответствуют условию полного максимально
возможного расплава частиц. Однако, в зависимости от массовой доли частиц,
энергия топлива может оказаться недостаточной для полного плавления частиц
или настолько велика, что происходит плавление частиц с последующим перегре-
вом выше температуры плавления. Поэтому в качестве параметра, по которому
проводится оптимизация режимных и геометрических параметров газодинамиче-
ского тракта целесообразно использовать понятие степени расплава частиц q. В
работе [55], в которой введено это понятие, степень расплава частиц определяется
соотношением
Значения параметра т] < 0 соответствуют твердому агрегатному состоянию
частиц, 0 < т| < 1 - переходному (частичный расплав частиц), т] = 1 - полному
расплаву при Т = Тд,ц>1- расплаву с перегревом. Однако непосредственное
использование приведенной формулы затруднительно на участке плавления из-за
особенности подынтегральной функции (С(т)—юопри T = Tfl). Поэтому удобно
параметр т) определить как разность текущей удельной энтальпии частиц и
удельной энтальпии нерасплавленных частиц при температуре плавления, делен-
ную на удельную теплоту плавления. Для более полной оценки энергетических
характеристик частиц можно пользоваться понятием полной степени расплава
, которое учитывает как тепловую энергию частиц, так и переход части кине-
тической энергии частиц в тепловую при их соударении с преградой. Принимая,
434
горючих, отличается значительно меньше R таКп ini
сгорания при давлении в р„ Х0 МШ ХТХ™ ПаРаМеТРЫ
* ° v iVU 1а- теплота AQ сгорания топлива в
расчете на 1 кг смеси при стехиометрическом соотношении компонентов; равно-
весная температура Тг и равновесная удельная теплоемкость при постоянном
давлении Ср, полученные по программе "АСТРА" [131]
Табл и на 10.1
Параметры продуктов сгорания
углеводородных горючих в кислороде
Горючее ТГ,К кДж р' кг К кг
Водород 3362 14.788 0.133 105
Метан 3325 10.151 0.100 105
Ацетилен 3696 10.119 0.119 105
Из табл. 10.1 видно, что равновесные температуры продуктов сгорания водо-
рода и метана близки, а ацетилена - значительно выше, однако удельная равно-
весная теплоемкость продуктов сгорания водорода почти в полтора раза выше
удельной равновесной теплоемкости продуктов сгорания метана и ацетилена. По-
этому при охлаждении продуктов сгорания водорода выделяется больше теплоты,
чем при охлаждении продуктов сгорания метана и ацетилена при одинаковой
разности температур. При охлаждении продуктов сгорания водорода и ацетилена
от их равновесных температур до температуры 2200К выделяется примерно оди-
наковое количество тепла.
В качестве тугоплавких материалов, которые представляют интерес для высо-
коскоростного газопламенного напыления, рассматриваются хром (Сг), оксид
алюминия (Al2O3), диоксид циркония (ZrO2) и карбид вольфрама (WC). В
табл.10.2 приведены теплофизические свойства этих материалов.
Тугоплавкость материалов характеризуется количеством тепла Qy, которое
необходимо подвести для нагрева материала и его полного расплава, которое в
свою очередь определяется температурой плавления материала , его удельной
теплоемкостью Са и удельной теплотой плавления Qfl. Для сравнения в
табл. 10.2 приведены теплофизические параметры алюминия, который имеет низ-
кую температуру плавления при удельной теплоте плавления, соизмеримой с
удельной теплотой плавления Сг и WC .
Из сопоставления равновесных температур топливных пар Т, (см. табл. 10.1) с
температурами плавления материалов Т„, следует, что равновесные температуры
продуктов сгорания превосходят температуры плавления любого из рассматри-
ваемых материалов частиц. Поэтому возможно использование любого из выше-
перечисленных углеводородных горючих для расплава частиц
431
0,0 0,25 0,50 0,75 kci
a)
0.0 0,25 0,50 0,75 kGi
в)
0,0 0,25 0,50 0,75 kGl
г)
Рис. 10.8. Влияние коэффициента расхода в пер-
вом узле подвода kG± на полную степень распла-
ва частиц Т]Л на выходе из газодинамического
тракта А12О2 (а), Сг (б), ZrO2 (в), WC (г)
Для всех материалов и дисперсностей частиц существует экстремальное зна-
чение г|Ат . Длина канала нагрева LKH , при которой достигается T)fc , являет-
ся оптимальной для максимального использования химической энергии топлива.
Оптимальная длина канала нагрева зависит от материала частиц и она, как прави-
ло, растет при уменьшении размеров частиц.
Влияние коэффициента расхода топлива в первом узле подвода kGi на энерге-
тические параметры частиц на выходе из газодинамического тракта иллюстриру-
ется рисунком 10.8. При заданных опорных значениях параметров варьировались
коэффициент расхода топлива в первом узле подвода kGi от 0.05 до 0.9 и диа-
метр частиц dp=10, 15, 20, 30 и 40 мкм. Показаны зависимости полного расплава
частиц r]fc(^Gi) ПРИ различных дисперсностях для выбранных материалов частиц:
а - А12О2 ;б- Сг,в- ZrO2 ; г - WC . На всех графиках зависимостей )
можно выбрать т]^ для каждого материала и диаметра частиц. Оптимальное
значение kGi зависит как от материала частиц, так и от их размеров. Заметим,
что полный расплав частиц и WC наблюдается длд ZrO2 при dP = 10 мкм и при
dp = 10 мкм для частиц из WC .
Если качественный характер полученных зависимостей полной степени рас-
плава r]fc (dP) частиц от их дисперсности одинаков для всех рассмотренных мате-
риалов, то характер зависимостей температуры частиц ТР (dp) определяется ви-
дом материала частиц. На рис.10.9 приведены типичные распределения Tp(dp)
для частиц А12О3 (а) и WC (б) при значениях давления ркс-0А, 0.6, 0.8, и
436
ние без перегрева. Относительная запасенная теплота т. определяется как от-
ношение запасенной тепло™ к теплоте, которую необходимо подвести к 1 кг час-
тИц ДЛЯ их нагрева и полного расплава, т, = QJQZ. Параметр т, характеризует
энергетические возможности топлива по отношению к рассматриваемому мате-
риалу частиц. Физический смысл этого параметра - отношение максимально воз-
можной массы расплавленных частиц к массе продуктов сгорания топлива, кото-
рое по сути равно массе частиц, которые могут быть полностью расплавлены
единицей массы продуктов сгорания. Для различных горючих и материалов час-
тиц в табл. 10.3 приведены запасенная теплота Q, и относительная запасенная
теплота тг при давлении р0 =0,8 мПа. Из табл. 10.3 видно, что при температу-
рах плавления -3000 К наибольшая относительная запасенная теплота (или, что
то же, масса расплавленных частиц) получается при сжигании ацетилена. Это яв-
ляется следствием того, что температура продуктов сгорания ацетилена более чем
на 300К выше равновесной температуры продуктов сгорания водорода и метана.
Наиболее эффективно применение продуктов сгорания ацетилена для нагрева
частиц из карбида вольфрама WC , имеющего самую высокую из рассмотренных
материалов температуру плавления и наименьшую теплоту плавления.
Влияние давления продуктов сгорания на величину запасенной теплоты т,
иллюстрируется данными, приведенными табл. 10.4.
Таблица 10.4.
Относительные запасенные теплоты mt при различных давлениях
Топливная пара Материал частиц р0, мПа
0.4 0.6 0.8 1.0
н2+о2 AZ2O3 2.24 2.25 2.26 2.26
Сг 4.86 4.87 4.88 4.89
ZrO2 1.44 1.59 1.68 1.75
WC 2.70 3.13 3.39 3.58
СН4+О2 1.66 1.67 1.68 1.69
Сг 3.64 3.65 3.66 3.66
ZrO2 0.93 1.05 1.13 1.19
WC 1.65 1.99 2.20 2.36
Видно, что для материалов ZrO2 и WC, температура плавления которых
-3000К, относительная запасенная теплота т, зависит от давления, а для мате-
риалов А12О3 и Сг, имеющих более низкую температуру плавления, практиче-
ски не зависит. Этот эффект обусловлен тем, что при температуре -ЗОООК равно-
весно-дпссоциирующий состав продуктов сгорания зависит от давления, тогда
как при более низких температурах -2200К эффекты диссоциации практически
прекращаются, и изменения давления сказываются ..а составе продуктов сгорания
в меньшей мере.
Проведенные оценки позволяют выбрать топливные пары, определись запа-
сенные теплоты для выбранных материалов и максимально возможные массовые
433
фейс должен обеспечивать специалиста - технолога возможностью работы с ком-
плексом программ на уровне входных — выходных данных и снабдить его опреде-
ленным инструментарием для анализа результатов. Основные требования к таким
интерфейсам изложены в §10.1.3. В качестве конкретного примера удовлетворения
этим требованиям приведем описание комплекса программ "Two_Phase" [154,193].
Структурно комплекс программ состоит из двух относительно независимых
частей. Первая часть комплекса включает прикладные программы для численной
реализации математических моделей процессов разгона, нагрева и плавления час-
тиц при их движении в газодинамическом тракте и в сверхзвуковой струе, нате-
кающей на подложку. Эти программы включены в комплекс . "TwoPhase" в виде
исполняемых ЕХЕ-файлов. Вторая часть представляет собой сервисную оболоч-
ку, разработанную в среде Delphi как приложение Windows
В подпрограммах первой части, написанных с использованием алгоритмиче-
ского языка Fortran, реализованы описанные в §10.3.2 расчетные модели. Двух-
фазный поток в газодинамическом тракте описывается квазиодномерными урав-
нениями газовой динамики, в которых учтено трение и теплообмен двухфазного
потока со стенками тра , а также трение и теплообмен между фазами. Течение в
свободной двухфазной струе описывается двумерными уравнениями турбулент-
ного пограничного слоя для газовой фазы и двумерными уравнениями гипербо-
лического типа для дисперсной фазы. Численное интегрирование уравнений осу-
ществляется маршевым методом вдоль оси струи. Расчет параметров двухфазного
потока в ударном слое осуществляется в два этапа. Сначала методом установле-
ния рассчитываются параметры газовой фазы. Затем в поле газового потока »о-
мещаются контрольные частицы, параметры которых рассчитываются вдоль их
траекторий движения. При этом влияние частиц на параметры газсв«чо потока не
учитывается.
Вторая (сервисная) часть представляет собой набор визуальных компонентов
(оконных форм, текстовых окон, командных кнопок (клавиш) и др.) и специально
разработанного программного обеспечения.
Форма представляет собой оформленное соответствующим образом окно ОС
Windows. Эти окна вместе с размещенными на них визуальными компонентами
являются инструментом, который дает возможность выбрать задачу, задать ис-
ходные данные, провести сравнительный анализ результатов расчетов, сохранить
результаты расчетов и, в случае необходимости, копировать отдельные графики и
рисунки в файлы Microsoft Word. Формы появляются на экране последовательно
по мере необходимости в процессе работы пользователя с программой. На экране
показывается и является активной только та форма, которая позволяет выполнить
необходимые для текущего этапа работы с программой действия. Переход к сле-
дующей форме (после выполнения всех необходимых действий в текущей форме)
или возврат к предыдущей форме (возможно для внесения исправлений) проис-
ходит после нажатия на соответствующие клавиши.
Функционирование форм и других визуальных компонентов обеспечивается
программами, написанными на алгоритмическом языке Pascal.. Кроме того, со-
ставной частью комплекса являются программы, реализующие алгоритмы подго-
товки файлов исходных данных для прикладной программы, исходя из введенной
пользователем в текстовые окна информации, а также обеспечивающие запуск
прикладной программы и визуальное представление полученных результатов в
438
ЧТО при соударении частиц с преградой только
ходит в тепловую энергию, параметр вычисляем
Чк =(Л<Т)-/,(ТО) + Ак(ц’-u2p0)l2)/Q„ ,
где Ак - доля кинетической энергии, которая переходит в тепловую. В соответ-
ствии с [52, 163] можно принять Ак =0.7
100 200 300 400 500 LKK 100 200 300 400 Lm
в) г)
Рис. 10.7 Влияние длины канала нагрева LKH на пол-
ную степень расплава частиц на выходе из газоди-
намического тракта
Физические исходные данные задачи задаются набором параметров газовой и
дисперсной фаз, перечисленных в предыдущем параграфе.
Обсуждаемые ниже результаты получены при следующих значениях геомет-
рических параметров: L1=4mm; L2 =4 мм; Скя=8мм; LKfI =120 мм,
Окд =8 мм; LK„ =50 мм; р = 6,83’; Da =14 мм; LCK =120 мм и следую-
щих опорных значениях физических параметров: Т,о=29ОК; 70° = 290 К;
р„ =0,8 мПа; а1=а2=1; *щ =0,5; *<,2=0.5; d, =50 мкм; *,,=0.3;
и -5 „/с; Тт =290 К. Температура внутренней стенки канала газодинамиче-
ского тракта принималась равной Tw = 500 К, топливная пара Н2 + О2 Влияние
длины канала нагрева LKH на полную степень расплава частиц на выходе из
газодинамического тракта иллюстрируется рисунком 10.7. Представлены резуль-
таты для частиц из следующих материалов А12О3,(а), Сг (б), ZrO2 (а) и
WC (Л На этом и на следующем рисунках линии без значков соответствуют час-
тицам диаме^а dn=10 мкм, линии с кружками, с квадратиками “’-щечками и
с треугольниками соответствуют частицам диаметра d, 15.20,30, и 40мкм
435
О просмотре—
Распределение параметров вдоль канала | р v пределение параметров на выходе из канала |
Выберите фикцию, для которой строятся графтам
|| Выбор вариантов расчета
Скорость частиц Up
Температура частиц, Тр
Сравнение скоростей U и Up Построить графики
Сравнение температур Т и Тр ——’— -----------------------
Степень расплава частиц Eta
Давление Р
Сдадянцие действия -О | ОНетад | Сокроннть | Зегрушть | (] Выхад
Рис. 10.10 Элементы пользовательского интерфейса комплекса программ “Two_Phase
440
1.0 мПа (сплошная, пунктирная, штриховая и
ственно).
штрих-пунктирная линии соответ-
Поведение температуры частиц Т
р существенно зависит от материала частиц
и во многом определяется уровнем темпрпп-н-п,, „
Т (d ) лля частип А1 О L мпературы плавления материала. Графики
Tp(dP) для частиц А 2Оэ имеют экстремумы в окрестности dP = 10мкм. Гра-
фики зависимости T„(dp) т частиц wc „Ж1т „ной хараиср
ратура нагрева частиц соизмерима с температурой их плавления. Частицы, дна-
метр которых больше Юмкм, не полностью расплавлены (ц < 1), поэтому их
температура держится на уров-
не температуры плавления
Tfl =3050 К, а подводимое теп-
ло расходуется на плавление
нерасплавившейся доли части-
цы. Теплота плавления WC
значительно ниже, чем теплота
плавления А12О3 (см.
табл. 10.2), поэтому и участок
постоянства температуры зна-
чительно короче для WC по
сравнению с А/2Оз Пониже-
Рис. 10.9. Изменение температуры ТР частиц на
выходе из газодинамического тракта в зависимо-
сти от их диаметра dP
15 25 35 Ср, pm
б)
ние температуры частиц WC при увеличении их размеров свидетельствует о том,
что частицы WC больших размеров не плавятся.
Подбирая длину канала нагрева LKH и коэфф иент расхода в первом узле
подвода , можно добиться максимальной степени полного расплава частиц
t]fc на выходе из газодинамического тракта Подбор параметров LKH и kGi
дает наибольший эффект при уменьшении размеров частиц.
10.3.5 Комплекс программ "Two_Phase" для имитационного моделнр<вания
процессов рлэгона и нагрева частиц
Как следует из изложенного выше, оптимизация технологических параметров
устройств для разгона, нагрева и плавления частиц газовым потоком требует про-
ведения многопараметрических расчетов с использованием математических мо-
делей различной сложности. При этом существенное значение имеет представле-
ние результатов в форме, позволяющей производить их сравнительный анализ.
Задачи анализа результатов и перечень вариантов целенаправленных расчетов
определяются на основе знания сути технологического процесса и требований к
параметрам получаемой продукции. Такие задачи решаются специалистами, ис-
пользующими генераторы высокотемпературных двухфазных потоков в различ-
ных технологических устройствах, применяемых при газопламенном напылении
тугоплавких материалов, абразивной очистке поверхностей конструкций, мелко-
дисперсном струйном измельчении материалов и др. Это вызывает необходи-
мость разработки специализированного интерфейса для комплекса программ, по-
зволяющего проводить имитационное моделирование технологических процес-
сов, не уделяя специального внимания формулировке математических моделей
разработке алгоритмов и особенностям их программной реализации. Этот интер-
437
неидеальным тепловым контактом между слоями и рассмотренная в § 7.3.3 задача
о течении газокапелыюй паровоздушной смеси в трубопроводе
Задачу охлаждения футеровки можно рассматривать в двумерном приближе-
нии. Предполагается, что температура не изменяется по высоте аппарата - т.е.
Рис. 10.12 Схема распо-
ложения системы охлаж-
дения в футеровке
изменением температуры по высоте можно пренеб-
речь по сравнению с изменением температуры в ради-
альном направлении, и формируется математическая
задача в плоскостях г - const. Для упрощения задачи
холодильник-змеевик с дискретным расположением
трубок заменяется распределенными фиктивными
стоками тепла, непрерывно расположенными в плос-
кости холодильника-змеевика. Суммарная интенсив-
ность введенных стоков тепла равна интенсивности
теплового потока, отводимого от футеровки всеми
патрубками змеевика. Таким образом, футеровка и
корпус аппарата представляются в виде цилиндриче-
ской оболочки, состоящей из трех слоев (рис. !0.12).
Вводится цилиндрическая система координат 2,г,ф,
ось 02 которой направлена по оси аппарата. С учетом
того, что температура не меняется по г, распределение
температуры в каждом слое описывается уравнением
57}
дт
Счетная область задается таким образом
0<(р<л, J = O, 1,2,3,
i=l
где Rk - радиус внешней поверхности корпуса аппарата, 5, - толщина стенки
корпуса, арматурного и рабочего слоев (i = 1,2,3 соответственно)
Для решения уравнения теплопроводности формулируются следующие гра-
ничные условия.
дТ-
При <р = О и ф-л задается условие симметрии —- = 0.
5ф
На внутренней поверхности футеровки действует радиационный поток дизл
= Чизл ~при г = г3.
Внешняя поверхность аппарата находится в условиях охлаждения свободной
конвекцией окружающим воздухом
г = г.=Я4.
442
виде графических зависимостей, таблии и пп _____
D г- поилиц и др. jth программы максимально ис-
пользуют объекты интегрированной среды Delphi.
Комплекс снабжен разветвленной справочной системой, обеспечивающей
пользователя, информацией о его назначении и структуре; кратким описанием
физической и математической постановок решаемых задач; описанием возможно-
стей формирования и запоминания исходных данных, проведения текущих расче-
тов, обработки и хранения резу татов расчетов.
Таким образом, сервисная часть комплекса обеспечивает работу пользователя
в интерактивном диалоговом режиме с использованием терминов и определений
из предметной области назначения комплекса.
Использование комплекса программ "Two Phase" позволяет проводить иссле-
дования термогазодинамических процессов в трактах газодинамических уст-
ройств с целью обеспечения наиболее полного использование химической энер-
гии топлива для нагрева и разгона частиц, а также выбора рациональных геомет-
рических параметров газодинамических трактов и ре*лмных параметров техно-
логических устройств. Пользуясь комплексом "Two_Phase", можно:
- оценить расходные характеристики установки, газодинамические и тепло-
физические характеристики продуктов сгорания;
- оценить ди он изменения динамических и энергетических параметров
частиц в газодинамическом тракте, струе и в ударном слое;
- рассчитать распределение параметров газа и частиц в газодинамическом
тракте, а также в поле потока двухфазной струи, вытекающей из него;
- выбрать значения геометрических и режимных параметров газодинамиче-
ского тракта для получения максимальных значений энергетических параметров
частиц;
- рассчитать состав продуктов сгорания и их термодинамические и теплофи-
зические свойства;
- рассчитать тепловое состояния дисперсной фазы (температурное поле, доли
расплава) при ее движении ы газодинамическом тракте, свободной струе и удар-
ном слое.
Пользователь имеет возможность представить результаты расчетов в виде:
таблиц параметров на выходе из газодинамического тракта при различных значе-
ниях входных параметров задачи; графиков распределений газодинамических па-
раметров вдоль газодинамического тракта или оси струи; графиков параметриче-
ских зависимостей параметров потока на выходе из газодинамического тракта от
значений одного из входных параметров задачи; полей изолинии параметров те-
чения в газодинамическом тракте и (или) струе. В качестве иллюстрации на
рис 10.10 приведены основные элементы пользовательского интерфейса. Приме-
ром представления результатов расчетов может служить рисунок 10.8.
Практическая работа специалистов - технологов с комплексом программ под-
твердила его эффективность при проведении имитационного моделирования про-
цессов разгона нагрева и плавления частиц. Результата, приведенные выше и
опубликованные в [153155, 159], получены при помощи этого комплекса. Ком-
плекс оформлен в виде программного продукта и готов к РаспР^“и плТ
специалистов, занимающихся разработкой устройств для разгона, нагрева и плав-
ления частиц.
439
где х - расстояние от начального сечения змеевика до текущего,
L = N (l + itR) - длина трубопровода, составляющего змеевик, qw - локальный
тепловой поток, отводимый с единицы площади поверхности трубопровода, на-
ходится из решения задачи движения паровоздушной газокапельной смеси в тру-
бопроводе при температуре стенки трубопровода, равной температуре футеровки
в месте расположения соответствующего патрубка змеевика в рассматриваемый
момент времени.
Таким образом, задача определения температурного состояния корпуса аппа-
рата, сводится к задаче о теплопередаче в многослойной конструкции с обобщен-
ным неидеальным тепловым контактом, сформулированной в §8.1. Причем усло-
вия неидеального контакта (8.2), (8.3) записываются на поверхности расположе-
ния холодильника-змеевика в виде
=0,
Для решения сформулированной задачи можно предложить следующий алгоритм.
Задаются начальные распределения температуры в футеровке и параметры
движения газокапельной паровоздушной смеси в трубопроводе.
Далее осуществляется пошаговое ио времени решение задачи с использовани-
ем метода расщепления по физическим процессам:
- на первом полушаге по времени определяется температурное поле в корпусе
аппарата с использованием заданного с предыдущего момента времени распреде-
ления разрывов теплового потока на участке расположения холодильника-
змеевика. Для решения нестационарной задачи о распределении температуры в
футеровке при неидеальном тепловом контакте, вызванном разрывом тепловых
потоков, используется описанный в §8.3.1 алгоритм;
- на втором полушаге производится решение стационарной задачи о течении
газокапельной паровоздушной смеси в змеевике при заданной температуре по-
верхности трубок змеевика, равной температуре футеровки. Задача течения газо-
капельной паровоздушной смеси в трубопроводе рассматривается в квазистацио-
нарной постановке, так как малое значение коэффициента температуропроводно-
сти футеровки приводит к большой инерционности изменения температуры фу-
теровки и, следовательно, стенок трубопровода. Соответствующая стационарная
задача о течении паровоздушной смеси в трубопроводе рассмотрена в § 7.3.3.
Установившееся распределение температуры, соответствующее стационарно-
му состоянию футеровки с учетом системы охлаждения, получается из решения
уравнений теплопроводности при £ —> оо.
Для проведения параметрических оценочных расчетов удобно ввести коэф-
фициент Kq потерь теплового потока на фиктивных стоках тепла моделирую-
щих наличие холодильника-змеевика. Используя Kq , условие сопряжения на по-
верхности системы охлаждения запишем в виде:
444
10.4 Газожидкостная система охлажленип ТИГ1„
ллаждения теплонапряженных элементов
технологических аппаратов
Для многих технологических аппаратов, в которых протекают высокотемпе-
ратурные процессы, возникает необходимость тепловой защиты несущего корпу-
са аппарата от высокотемпературной реакционной среды. В качестве такой защи-
ты используется специальная конструкция корпуса аппарата. Стенки аппарата
являются многослойными и состоят, по крайней мере, из трех слоев: рабочий
слой, поверхность которого непосредственно соприкасается с реакционной сре-
дой, арматурный слой и собственно корпус аппарата. Рабочий и арматурный слои
представляют собой футеровку. Толщина рабочего слоя с течением времени мо-
жет изменяться вследствие тепломеханического и физико-химического разруше-
ния. В связи с этим по истечении некоторого времени возникает необходимость
остановки технологического процесса и восстановления или замены рабочего
слоя. При эксплуатации таких аппаратов актуальным является увеличение сроков
работы рабочего слоя. В качестве одного из мероприятий, направленных на уве-
личение сроков работы футеровки, может быть организация активной теплозащи-
ты рабочего слоя путем использования пневматической системы охлаждения.
10.4.1 Моделирование теплового состояния футеровки при наличии
системы охлаждения
Пневмосистема охлаждения наиболее изнашиваемых участков футеровки
представляет собой трубопроводы, находящиеся вне аппарата и размещенные
внутри футеровки. Размещенный внутри футеровки трубопровод, являющийся
собственно охлаждающим элементом-холодильником, представляет собой труб-
ку, изогнутую в виде змеевика. Холодильник-змеевик состоит из системы N па-
раллельных трубок длиной I, расположенных на расстоянии h друг от друга. Ра-
диус скругления при переходе от одной трубки к другой R. (рис. 10.11). В качест-
ве охлаждающей среды использует я водовоздушная смесь. Смешение воды и
воздуха осуществляется в эжекторе. Регулировка
расходов воды и воздуха осуществляется с помо-
щью запорных вентилей. Воздух подается из ре-
сивера, где он находится под давлением р0 при
температуре То.
Таким образом, при наличии системы охлаж-
дения футеровка охлаждается изнутри за счет по-
дачи водовоздушной смеси через холодильник-
змеевик В свою очередь водовоздушная смесь
нагревается при прохождении по змеевику и за-
бирает часть тепла от футеровки.
При проведении модульного анализа задачи
расчета параметров системы охлаждения удобно
использовать метод расщепления по физическим
процессам. В результате этого выделяются две
относительно независимые в математическом от
ношении задачи: рассмотренная в § 8.3.1 задача
теплопередачи в многослойной конструкции с
Рис 10.11 Схема холодильни-
ка-змеевика
441
O.Ijh . Линии 1, 2, 3, 4, 5 соответствуют значениям Kq = 0,2; 2,25; 0,5; 0,75 и 0,9.
Видно, что увеличение Kq (увеличение теплоотвода) приводит к незначительно-
му снижению температуры внутренней поверхности футеровки. С увеличением
теплоотвода растет градиент температуры в рабочем слое. Температура внутрен-
них точек футеровки существенно снижается при увеличении Kq. Увеличение
теплоотвода холодильником- змеевиком приводит к повышению тепловых пото-
ков в рабочем слое футеровки и к их понижению в арматурном слое (рис. 10.14.)
Результаты проведенных параметрических расчетов тепловою состояния фу-
теровки с фиктивными стоками тепла, моделирующими наличие холодильника-
змеевика, позволяют сделать заключение, что уровень тепловых потоков в футе-
ровке и эффективность парожидкостной системы охлаждения растут с уменьше-
нием толщины рабочего слоя. Так, например, при 8г =0.45 м средний тепловой
поток в рабочем слое равен 6.5кВт/м2, при 8Х =0.1м - 16 кВт/м2, при
8г =0.05 м 21 кВт/м2. Наличие стоков тепла на границе рабочего и арматурно-
го слоев слабо влияет на поле температуры вблизи внутренней поверхности рабо-
чего слоя. На расстоянии ~().1м от поверхности рабочего слоя при 8Х =0.45 м
отличия температуры достигают 80° С пр» Kq = 0 и 0.9 . Тогда как на расстоя-
нии 0.025.мдля рабочего слоя 8г =0.1м эти отличия достигают 200°С, а при
= 0.05 м - 400° С. Увеличение градиента температуры в тонком подслое ра-
бочего слоя футеровки вблизи его внутренней поверхности может сильно влиять
на характер разрушения футеровки. Например, при 8Х =0.05 м температура в
точке на расстоянии 0.0125 м от внут-
ренней поверхности рабочего слоя футе-
ровки падает от 1483° С при Kq =0 до
1225° С при Kq =0,90. С увеличением
толщины рабочего слоя 8Х эти отличия
уменьшаются. Поэтому наибольший эф-
фект система охлаждения будет иметь
для малых толщин рабочего слоя по мере
износа рабочего слоя футеровки. И на-
оборот, с увеличением толщины рабочего
слоя футеровки возможности отвода теп-
ла с помощью холодильника-змеевика
Рис. 10.14 Изменение теплового потока
по толщине футеровки
падают в связи с уменьшением теплового напора на стенке трубопровода. Дейст-
вительно, увеличение теплоотвода в системе охлаждения приводит к следующим
повышениям уровней тепловых потоков в рабочем слое футеровки:
при 8Х = 0.05 м тепловые потоки увеличиваются от 21 до 58 кВт/м2 с ростом
коэффициента Kq от нуля до 0,9; при 8Х =0.10 м - от 16 до 32 кВт/м2; при
8Х =0.45 м - от 6.5 до 8 кВт/м2. При этом температура в месте расположения
446
Приближенно будем считать, что внешноо
линдром. Средний коэффициент тепл”Х™™ °?нН0СТЬ ‘н"4”'™ ”ВЛЯеГСЯ U"‘
цилиндра при свободной конвекод™«„ в” вертикально расположенного
(147 194) ЦИИ МОжет быть аппроксимировано формулой
Nu = С • (G - Р V1 g _ ,JVu •
h ’
где С и п - коэффициенты, которые зависят от формы тела и диапазона изменения
числа Рэлея Ra = Gr • Рг. При вычислении числа Рэлея используется число
Прандля воздуха Рг и число Градсгофа
Gr = g^~T<* Н3р/р,
Ч
где g - ускорение свободного падения, 7^,7^ - температуры поверхности ци-
линдра и окружающего воздуха, Tf = _ ВЫсота ци шндра, р, р, X -
плотность и коэффициенты динамической вязкости и теплопроводности воздуха.
Для ламинарного течения около вертикального цилиндра
С = 0,555, п = 0,25 при Ra < 104.
Для турбулентного течения около вертикально расположенного цилиндра
С = 0,590, п = 0,25 при 104 < Ra < Ю9,
С = 0,021, п-0,4 при яа>ю9.
На границе рабочего и арматурного слоев (при J = 2) задается разрыв тепло-
вых потоков со(ф), расположенный на участке поверхности, занимаемой холо-
дильником-змеевиком в секторе ФХ<Ф<Ф2- Таким образом, разрыв теплового
потока задается следующим образом:
<в(ф) = 0 при 0<ф^Ф1,
со(ф) —7--—Г приф1<ф^ф2>
V (ф2-Ф1>2-Ь
ш(<р)=0 при<р2<<р<д.
где Q - суммарный тепловой поток, отводимый от футеровки холодильника
змеевиком за единицу времени, Ф1,Ф2 учитывают координаты крайних патрубков
’"^Количество тепла Qw, отводимое за единицу времени от футеровки с „омо-
щью холодильника-змеевика, определяется соотношением
Qw =ndjqu,(x)dx,
о
443
Список использованных источников
1 Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. - М.: Наука, 1969 - 824 с.
2 Авдуевский В.С., Галицейский Б.М., Глебов Г.А. и др. Основы теплопередачи в авиационной
и ракетно-космической технике / Под ред. Кошкина В.К. - М.: Машиностроение 1975.- 624 с
3 Алемасов В.Е., Дрегалин А.Ф., Тишин А.П. Теория ракетных двигателей- М.: Машино-
строение, 1989 - 464 с.
4 Аллан, Клайн. Теория смазки микрополярных жидкостей // Прикладная механика.- 1971. -
№3.-С. 67-71.
5 Алхимов А.П., Клинков С.В., Косарев В.Ф., Папырин А.Н. Газодинамическое напыление. Ис-
следование плоской сверхзвуковой двухфазной струи // Журн. прикл. мех. и техн, физики. -
1997,-Т.38, №2,- С. 176- 183.
6 Альбина Е.А., Калиткин Н.Н., Рогов Б.В., Соколова И.А. О точности квазиодномерной модели
гладкого канала И Математическое моделирование. - 2001. - Т. 13, №10. - С. 120 - 124.
7 Андерсон Д., Танехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная аэромеханика и теплообмен - М.:
Мир, 1990. - Т. 1. - 390 с., Т.2. - 336 с.
8 Аржаников Н.С., Садекова Г.С. Аэродинамика летательных аппаратов. - М.: Высшая школа,
1983.-359 с.
9 Бай Ши-и Теория струй. - М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1960. - 326с.
10 Бартльме Ф. Газодинамика горения. - М.: Энергоиздат, 1980. - 280 с.
11 Бейли, Хайт. Коэффициент сопротивления сферы в широком диапазоне чисел Маха и Рей-
нольдса // Ракетная техника и космонавтика. - 1972. - Т.Ю, №11. - С.56 - 62.
12 Белоусов В.П., Головачев Ю.П., Шмидт А.А. Численное исследование сверхзвукового обте-
кания затупленного тела потоком вязкой газовзвеси. Лагранжево-Эйлеровская модель / Физи-
ко-технический институт им. А.Ф.Иоффе. - Препринт № 1247. - Ленинград, 1988. - 21 с.
13 Белоцерковец И.С. Оценка характеристик системы охлаждения газодинамического тракта го-
релочного устройства // Техническая механика. - 2002. - №1. - С.43 - 50.
14 Белоцерковец И.С. Расчет сверхзвуковых составных затопленных струй идеального газа,
взаимодействующих с преградой. И Техническая механика. - 1998. - вып. 8. - С. 83 - 92.
15 Белоцерковец И.С. Тимошенко В.И. Математическое моделирование турбулентного переме-
шивания и горения дозвуковых струй в спутном сверхзвуковом потоке // Турбулентный по-
граничный слой. Механика жидкости и газа. Часть И. Сб.докладов ежегодной научной Шко-
лы-семинара ЦАГИ. 29.01-3.02. 1992. /-М.: ЦАГИ, 1992.-С.29-34.
16 Белоцерковец И.С., Тимошенко В.И. Влияние распространения волн сжатия и разрежения на
взаимодействие до(сверх)-звуковой струи со спутным сверх (до)- звуковым потоком в канале
и трубе // Журн. прикл. мех. и техн, физики .- 1990. - №4. - С. 112-117.
17 Белоцерковец И.С., Тимошенко В.И. К расчету границы сверхзвуковой струи, истекающей в
затопленное пространство или спутный сверхзвуковой потоке // Инженерно-физический жур-
нал. - 1981. - Т.40, № 2,- С. 197-203.
18 Белоцерковец И.С., Тимошенко В.И. К расчету диффузионного горения дозвуковой струи в
спутном сверхзвуковом потоке // Журн. прикл. мех. и техн, физики . - 1988. - № 1. - С.91-95.
19 Белоцерковец И.С., Тимошенко В.И. К расчету нерегулярного взаимодействия ударных волн
// Журн. прикл. мех. и техн, физики . - 1992. - №6. - С. 9-14.
20 Белоцерковец И.С., Тимошенко В.И. Взаимодействие ударной волны со струей, истекающей в
спутный сверхзвуковой поток с меньшей сверхзвуковой скоростью // Журн. прикл. мех. и
техн, физики . -1993,- №5. - С. 10-15.
21 Белоцерковец И.С.,Тимошенко В.И. К расчету характеристик течения при равномерном вдуве
однородного газа в кормовой области тела И Журн. прикл. мех. и техн, физики . - 1984. -
№1,-С.76-81.
22 Белоцерковский О.М. Вычислительная механика. Современные проблемы и результаты - М..
Наука, 1991.- 183 с.
23 Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. - М.: Наука.
1984.-519 с.
24 Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. - М.: Нау-
448
, т.е. (й = К^
При Кд - 0 имеем условие идеального теплового контакта без охлаждения.
1 0.4.2 Результаты параметрического расчета теплового состояния футеровки
со встроенным холодильником-змеевиком
В качестве примера приведем параметры корпуса сталеплавильного конверте-
ра. Толщина рабочего слоя первоначально 8р = 0,9м . Толщина арматурного слоя
8А = 0,065м. Рабочий слой выложен периклазовым, а арматурный слой - ша-
мотным кирпичом. Корпус конвертера выполнен из углеродистой стали и имеет
толщину 0.08 м. Теплофизические свойства материалов футеровки и корпуса (ко-
эффициент теплопроводности А и температуропроводности а) считаются посто-
янными и равны: для рабочего слоя - Ар = 2,ЗЗВт/(м-Х) , а = 0,055 Ю’5 м2/с,
для арматурного слоя футеровки - \А = 1,22Вт/(м-К”) , аА= 0,053 10’5 м2/с,
для корпуса конвертера- Ай =43,0Вт/(м-.К), ak = 1,17-10~5м2/с. При оценоч-
ных расчетах теплового состояния футеровка и корпус могут быть заменены ци-
линдрической оболочкой, состоящей из нескольких слоев различных материалов.
Сечение аппарата поперечной плоскостью состоит из трех колец: первое - рабо-
чий слой футеровки, второе — арматурный слой и третье — корпус. Радиус аппара-
та Re - 2,7м, высота 7? = 5м .
Холодильник или змеевик изготав-
ливается из стальных труб диаметром
d = 0.027 м. Габаритные размеры холо-
дильника S = 1,5 х 1,5 м2. Расстояние
между параллельными участками змее-
вика h = 0.165 м. Длина одного звена
змеевика / = 1.5м, радиус скругления
трубы при переходе от одного элемента
змеевика ко второму R — 0.0825 м.
Рабочий слой футеровки нагревается
изнутри радиационным тепловым пото-
ком с интенсивностью излучения
= 0.644 мВт/м2. Снаружи корпус
охлаждается окружающим воздухом,
находящимся в режиме свободной кон-
векции. Температура окружающего воздуха равна 20°С. Рассмотрим тепловое
состояние футеровки аппарата, охлаждаемой при помощи холодильника-
змеевика, встроенного в футеровку и размещенного на границе рабочего и арма-
турного слоев.
На рис 10.13 представлено распределение температуры футеровки при
<р=(ф1+<Р2)/2, т.е. посредине холодильника-змеевика при толщине рабочего слоя
-0,24 -0,20 -0.76 0,12 -0.08 -0.04 у.м
Рис. 10.13 Изменение температуры по
толщине футеровки
445
верситета, 2002.- 218с.
516 Давидсон В.Е. , Лычагин Н.Н. Введение в газодинамику - Днепропетровск: Изд-во Днепро-
петровского университета, 2002 - 215 с.
52 Данбар, Котни, Макмиллен // Ракетная техника и космонавтика. - 1975. - Т.13, № 7. - С.83-
89.
53 Дегтяренко В.И. Условия применимости упрощенных математических моделей для описания
нестационарных газодинамических процессов в емкостях. // Техническая механика.- 2002-
№1. С.ЗЗ 42.
54 Дрейцер Г.А.,Кузминов В.А. Расчет разогрева и охлаждения трубопроводов - М.: Машино-
строение, 1977 - 127с.
55 Евдокименко Ю.И., Кисель В.М., Кадыров В.Х., Пасичный В В., Сесиков А.И. // Порошковая
металлургия. - 1996. -№3/4. - С.54 - 60.
56 Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетически согласованные разностные схемы для моде-
лирования течений вязкого теплопроводного газа // Журн. выч. матем. и математ. физики .-
1988,- Т.28, №11.- С.695-710.
57 Жмакин А.И..Фурсенко А.А. Об одной монотонной разностной схеме сквозного счета//Журн.
выч. мат. и матем. физики-1980-Т.20, №4,-С.1021-1031.
58 Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Моделирование нестационарных газодинамических течений
// Математическое моделирование - 2002 - Т.14, №4 - С.35-44.
59 Жукаускас А.А. Конвективный перенос в теплообменниках - М.: Наука, 1982.- 472с.
60 Зайчик Л.И., Першуков В.А. Влияние частиц на начальную стадию вырождения однородной
турбулентности // Инженерно-физический журнал. - 1990. - Т.58, №4. - С.556-560.
61 Зайчик Л.И., Першуков В.А. Горение мелкодисперсного твердого топлива в турбулентном по-
токе И Физика горения и взрыва. - 1990. - №5. - С.42-53.
62 Зайчик Л.И., Першуков В.А. Проблемы моделирования газодисперсных турбулентных тече-
ний с горением или фазовыми переходами // Изв. РАН. Сер.МЖГ. - 1996.-№5. - С. 3-19.
63 Зимонт В.Л., Левин В.М., Мещеряков Е.А., Сабельников В.А. Особенности сверхзвукового
горения перемешанных газов в каналах // Фи «ка горения и взрыва. - 1983. - №4. - С.75-78.
64 Иванов М.Я., Нигматулин Р.З. Неявная схема С.К. Годунова повышенной точности для чис-
ленного интегрирования уравнений Эйлера // Журн, выч. Мат. и матем. физики. - 1987,- Т. 27,
№11-С.1725-1735.
65 Иванов М.Я., Нигматулин Р.З. Неявная схема С.К.Годунова повышенной точности для интег-
рирования уравнений Навье-Стокса И Журн. выч. мат. и матем. физики,- 1989 - Т. 29, №6-
С.888-901.
66 Ивенс Дж. С., Шекснайдер Ч. Дж. мл. Влияние химической кинетики и неполноты смешения
на горение водорода в сверхзвуковом потоке // Ракетная техника и космонавтика.- 1980-
Т. 18, №4,-С.77-84.
67 Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям- М.: Машиностроение,
1975.- 559с.
68 Иевлев В.М. Численное моделирование турбулентных течений - М.: Наука,1990,- 216с.
69 Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача - М.: Энергия, 1975 - 488с.
70 Калинин Э.К. Дрейцер Г.А., Костюк В.В., Берлин И.И. Методы расчета сопряженных задач
теплообмена - М.: Машиностроение, 1983.-232 с.
71 Калинин Э.К. Дрейцер Г.А., Яхно С.А. Интенсификация теплообмена в каналах - М.: Маши-
ностроение, 1981.-205с.
72 Калиткин Н.Н. Численные методы - М.: Наука, 1978,- 512с.
X 73 Канторович Б.В. Основы теории горения н газификации твердого топлива. -М.: Изд-во АН
СССР. 1958.-598с.
74 Карлсон, Хоглунд. Сопротивление и теплоотдача частиц в соплах ракетных двигателей// Ра-
кетная техника и космонавтика. - 1964.-Т.2, №11. - С. 104-109.
75 Кларк. Аэродинамические характеристики полусферы при обтекании потоком с сверхзвуко-
выми и гиперзвуковыми числами Маха // Ракетная техника и космонавтика. - 1969. - Т.7, №7.
- С.206-207.
76 Ковеня В.М. Некоторые проблемы и тенденции развития математического моделирования
450
холодильника-змеевика уменьшается от 1148 до 326° С при б^О.Об м, от
897 до 188°С при = 0.10 м и от 350 до 58°С при 8j =0.45 м.
Используя графики, связывающие отводимый водовоздушной смесью тепло-
вой поток с расходами воды и воздуха (рисунки типа 7.10, 7.11), можно формули-
ровать условия для определения потребных расходов водовоздушной смеси Под-
спорьем для этого могут послужить номограммы зависимостей и
= 0 Для удельных тепловых потоков и температуры футеровки в месте
расположения змеевика, приведенные на рис. 10.15. На этом рисунке пунктирны-
ми линиями показаны зависимости
температуры футеровки в месте расположе-
ния змеевика от интенсивности отводимого
теплового потока для различных толщин ра-
бочего слоя футеровки, а сплошными ли-
ниями - зависимости д(Т,тп) мощности хо-
лодильника-змеевика, отнесенной к площади
холодильника в плане S, от температуры
поверхности трубопровода для различных
расходов воды, содержащейся в смеси. Точ-
ки пересечения сплошных и пунктирных ли-
ний задают температуру футеровки в месте
расположения змеевика, соответствующую
количеству тепла, отводимому холодильни-
ком-змеевиком за единицу времени. Номо-
граммы позволяют выбрать для предпола-
гаемой температуры стенки трубопровода
Tw и толщины рабочего слоя 8^ массовый
Рис. 10.15 Пример номограмм для
определения параметров системы
охлаждения футеровки
расход воды тп (г/с), либо для толщины слоя
и массового расхода воды m - температуру Tw и отводимый тег. ювой поток
в месте расположения холодильника-змеевика. Очевидно, что оптимально вы-
бранное количество воды в подаваемой воздушно-водяной смеси позволяет суще-
ственно понизить температуру поверхности змеевика и увеличить отводимое ко-
личество тепла. Например, при 8t = 0.10 м увеличение m массового расхода
воды от 10 г/с до 100 г/с приводит к увеличению температуры стенки трубопро-
вода от 265°С до 395°С, а отводимый удельный тепловой поток уменьшается от
26 кВт/м2 до 21 кВт/м2. При охлаждении футеровки сухим воздухом (прит = 0)
температура стенки вырастает до 500°С. С уменьшением толщины рабочего слоя
футеровки эти различия будут увеличиваться.
447
иностранных статей. - М.: Мир, 1971,- №6. - С.48-89
104 Марчук Г.И. Методы расщепления - М.: Наука, 1988.-284 с.
105 Михеев Л.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. -М.: Энергия, 1977.- 366 с
106 Мошкин Е. К. Нестационарные режимы работы ЖРД. - М.: Машиностроение, 1970 - 336с
107 Наумов В.А. Ламинарные и турбулентные течения полидисперсной газовзвеси с взаимодейст-
вием частиц и межфазным массообменом: Дис.докт. техн. наук. - К.: Ин-т проблем энергосбе-
режения НАН Украины, 1992 - 348 с.
108 Неустойчивость горения в ЖРД / под ред. Д.Т. Харрье и Ф.Г. Рирдона. - М.: Мир, 1975 - 869с.
109 Нигмагулин Р.И. Динамика многофазных сред. - М.: Наука, 1987. - 4.1. - 464 с
110 Основы практической теории горения: Учебное пособие для ВУЗов / В.В. Померанцев,
К.М.Агрефьев, А.Б. Ахмедов и др.; под ред. В.В. Пономаренко. - Л.. Энергоатомиздат, 1986. -
312с.
111 Панкратов В.М., Полежаев Ю.В., Рудько А.К. Взаимодействие материалов с газовыми пото-
ками. - М.: Машиностроение, 1976. - 224 с.
112 Папуша А.И., Пирумов У.Г., Прохоров М.Е. Газовая динамика процессов образования и рас-
пространения токсичных компонентов. // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ. - 1981.-№1. - С 98-106.
113 Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Газовая динамика сопел - М.: Наука, 1990 - 368 с.
114 Писс Дж., Давенпорт В.Г. Доменный процесс: теория и практика - М.: Металлургия, 1984 -
142 с.
115 Полежаев Ю.В., Михатулин Д.С. Эрозия поверхностей в гетерогенных потоках / МВТ АН. -
Препринт №2-277,- М.: 1989.-67 с.
116 Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. М.: Энергия, 1976. - 392 с.
117 Приходько А.А., Сохацкий А.В. Математическое и экспериментальное моделирование аэро-
динамики элементов транспортных систем вблизи экрана. - Днепропетровск: Наука и образо-
вание, 1998.- 154 с.
118 Пробстин, Фассио. Гиперзвуковые течения газа при наличии инородных частиц II Ракетная
техника и космонавтика. - 1970. - Т.8, №4. - С.205-215.
119 Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред
//ПММ. - 1956. - Т. 26, №2. - С.184-195.
120 Рогов Б.В., Соколова И.А. Обзор моделей вязких внутренних течений И Математическое мо-
делирование- 2002 - Т.14, №1- С. 87-96.
120а Родионов А.В. Новый маршевый метод расчета струй продуктов сгорания // Жури. выч. мат.
и матем. физики,- 2002,- Т. 42, №9.- С. 1413-1424.
121 Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Система квазилинейных уравнений.-М.: Наука, 1968-
591с.
122 Роуч П. Вычислительная гидродинамика.- М.: Мир, 1980. - 616 с.
123 Руденко Д.В., Утюжников С.В. Применение динамически адаптивных к решению сеток для
моделирования пространственных нестационарных течений газа с большими градиентами
// Жури. выч. матем. и математ. физики - 2002 - 42, №3,- С. 395-409.
124 Руз, Уиллмарт. Некоторые результаты экспериментального исследования сопротивления сфе-
ры и диска И Ракетная техника и космонавтика. - 1971. - Т.9, №2. - С.117-125.
125 Салтанов Г. А. Сверхзвуковые двухфазные течения. - Минск: Высшая школа, 1972. - 480 с.
126 Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.- М.; Наука, 1972,- 438 с.
127 Секундов А.Н. Применение дифференциального уравнения для турбулентной вязкости к ана-
лизу плоских неавтомодельных течений И Изв. АН СССР. Сер. МЖГ- 1971,- №5 - С. 114-
127.
128 Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности. - М.: Наука, 1977,- 327 с.
129 Сивиркин В.Ф. Влияние сжимаемости на закономерности распространения турбулентных
струй // Изв. вузов. Авиационная техника - 1982 - №3,- С. 42-49.
130 Симуни Л.М., Чудов Л.А. Численное решение задач закрученного движения вязкой жидкости
в круглой трубе на основе упрощенных уравнений //Учен. Зап. Перм. пед. ин-да. - 1976,
№152,-С.157-163.
131 Синярев Г.Б., Ватолин Н.А., Трусов Б.Г., Моисеев Г.И. Применение ЭВМ для термодинами-
452
ка, 1982.-391 с.
25 Беляев Н.М. Системы наддум топливных баков ракет. М.: Машиностроение, 1974,- 336с.
26 Бим Р.М., Уорминг Р.Ф. Неявная факторизованная разностная схема для уравнений Навье-
СТокса течения сжимаемой жидкости // Ракетная техника и космонавтика. - 1978,- 16, №4,-
.7 Бондарев Е.Н., Горина А.Н. Решение задачи о сверхзвуковой ламинарной нерасчетной струе в
спутном потоке разностным методом // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ. - 1968. - Ks 4. - С. 114-118.
28 Бондарев Е.Н., Лисичке И.Д. О влиянии вязкости на течение не дорасширенной струи в спут-
ном сверхзвуковом потоке // Изв.АН СССР Сер. МЖГ. - 1973. - №2. - С. 157-161.
29 Бондарев Е.Н., Лисичко И.Д. Распространение недорасширенной турбулентной струи в спут-
ном сверхзвуковом потоке // Изв.АН СССР. Сер. МЖГ. - 1974. - № 4. - С.36-41.
30 Бредшнайдер Ст. Свойства газов и жидкостей.-М.,Л.: Химия, 1966,- 535 с.
31 Вайсман М.Д. Термодинамика парожидкостных потоков - М.;Л.: Энергоиздат, 1967,- 320с.
32 Виленский Т.В., Хзмалян Д.М. Динамика горения пылевидного топлива. - М.: Энергия, 1977.
- .48с.
33 Волков Э.П., Зайчик Л.И., Першуков В.А. Моделирование горения твердого топлива.-М,-
Наука, 1994.-320C.
34 Волошин А.И., Пономарев Б. В. Механика пневмотраиспортирования сыпучих материалов,-
Киев.: Науковадумка-2001 -519 с.
35 Вукалович Н.П., Ривкин С.Л., Александров А.А. Таблицы теплофизических свойства воды и
водяного пара - М.: Изд-во стандартов. -1969 - 407с.
36 Вулис Л.А. Термодинамики газовых потоков,- М.: Гостехиздат, 1949.-251 с.
37 Высокотемпературные теплотехнические процессы и установки / И.И. Перелетов , Л.А. Бров-
кин, Ю.И. Розенгарт и др. - М.: Энергоиздат, 1989. - 336с.
38 Гавии Л.Б., Шрайбер А.А. Турбулентные течения газа с частицами // Итоги науки и Сер. Ме-
ханика жидкости и газа - М.: Изд-во ВИНИТИ, 1991 .-Т.25.- С. 90 - 182.
39 Гаврилов Е.Е, Бузоверя М.Т., Можаренко Н.М. Газовщик доминой печи: технологические ос-
новы доменного производства - М.: Металлургия, 1986.-195 с.
40 Газодинамика сверхзвуковых неизобарических струй / В.С.Авдуевский, Э.А.Ашратов,
А.В.Иванов, У.Г.Пирумов - М.: Машиностроение, 1989 - 320 с.
41 Галинский В.П., Кушнир Г.Г., Тимошенко В.И. О численном исследовании обтекания острых
конусов сверхзвуковой недорасширенной струей // Прикладная механика. - 1981.- №10. -
С. 133-136.
42 Гилинский М.М., Тостов В.И. Дискретно-траекторный численный метод расчета неоднофаз-
ных течений с пересекающимися траекториями частиц // Струйные и отрывные течения. -
М: Ин-т механики МГУ, 1985. - С.78-94.
43 Гилинский С.М. Расчет горения водорода в воздухе за отошедшей ударной волной при сверх-
звуковом движении сферы. // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ,- 1969,- №4. - С. 97-106.
44 Гинзбург И.П. Трение и теплопередача при движении смеси газов. - Л.: изд-во Ленингр. ун-та,
1975.-278 с.
45 Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение
многомерных задач газовой динамики / Под ред. С.К.Годунова. - М.: Наука, 1976. - 400с.
46 Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы - М.: Наука, 1977 - 440 с.
47 Гойн, Лоуренс. Лобовое сопротивление сфер при числах Рейнольдса от 200 до 10000 // Ракет-
ная техника и космонавтика. - 1968. - Т.6, №5. - С.247-249.
48 Головичев В.И., Димитров В.И., Солоухин Р.И. Численный анализ кинетических моделей
воспламенения водорода//Физика горения и взрыва. - 1973. №1. - С. 95-101.
49 Горение в сверхзвуковом потоке / В.К. Баев, В.Н. Головичев, П.К. Третьяков и др. - Новоси-
бирск: Наука, 1984. - 304 с.
(50 Горение углерода / А.С. Предводителев, Л.Н. Хитрин, О.А. Пуханова и др.; под ред.
А.С. Предводитсва - М.: Изд-во АН СССР, 1949. - 407 с.
51 Да Ф., Олберги Р. Физическая химия - М.: Мир, 1978 - 645 с.
51а Давидсон В.Е. Введение в гидродинамику - Днепропетровск: Изд-во Днепропетровского уни-
449
пылении // Международная конференция «Материалы и покрытия в экстремальных условиях:
исследование, применение, экологически чистые технологии производства и утилизация из-
делий»/ Кацивели, Крым, Украина, 17-22 сентября 2000 г.: тез. доклада. - М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2000 - С. 6.
155 Тимошенко В.И., Белоцерковец И.С., Галинский В.П., Кисель В.М., Евдокименко Ю.И., Ка-
дыров В.Х. Исследование процессов в горелочных устройствах для высокоскоростного газо-
пламенного напыления порошковых материалов с использованием расходного способа воз-
действия на поток // Инженерно-физический журнал. - 2001 - Т.74, №6,- С. 156-161.
156 Тимошенко В.И., Белоцерковец И.С., Товаровский И.Г., Лазученков Н.М. Численное модели-
рование тепломассообменных процессов газификации природного угля и восстановления же-
лезосодержащих материалов в аппаратах циклонного типа // Труды III Минского междуна-
родного форума по тепломассообмену / Т.Х. Тепломассообмен в энергетических установках и
энергосбережение. Ч.1.- 20-24 мая 1996г.- Минск: Изд-во АНБ, АНК "Институт тепло- и мас-
сообмена им. А.В. Лыкова", 1996. - С. 240 - 244.
157 Тимошенко В.И., Галинский В.П. Движение в трубах паровоздушной смеси с жидкостью
//Техническая механика.- 1994,-вып.З-С. 19-25.
158 Тимошенко В.И., Галинский В.П., Белоцерковец И.С., Кисель В.М., Евдокименко Ю.И., Ка-
дыров В.Х. Вопросы математического моделирования и экспериментальной отработки газо-
динамических и тепломассообменных процессов в горелочных устройствах для высокоскоро-
стного газопламенного напыления // Тепломассообмен ММФ-2000. Том 4. Тепломассообмен
в химически реагирующих системах: Труды IV Минского международного форума по тепло-
массообмену. 22-26 мая 2000г,- Минск: Изд-во АНБ, АНК "Институт тепло- и массообмена
им. А.В.Лыкова", 2000. - С.261-268.
159 Тимошенко В.И., Зубкова Е.Ю. Пространственное обтекание затупленного конуса сверхзву-
ковым двухфазным потоком // Косм, наука и техника.- 1992. - вып. 6. - С. 3-8.
160 Тимошенко В.И., Кнышенко Ю.В., Дегтяренко В.И. Математическая модель газодинамиче-
ских процессов в системе гидравлически связанных емкостей // Техническая механика-
1997.- вып.5-С. 3-9.
161 Тимошенко В.И., Павловский В.П. К расчету закрученного движения вязкой жидкости во
входном участке цилиндрической трубы // Гидрогазодинамика технических систем.- К.: Нау-
ковадумка, 1985-С. 66-70.
162 Тимошенко В.И., Белоцерковец И.С, Товаровский И.Г. Научные основы технологии газифи-
кации природного угля и восстановления железосодержащих материалов в аппаратах циклон-
ного типа. // Передовые термические технологии и материалы: Труды международного сим-
позиума. Кацивели. Крым. Украина. 22-26 сент. 1997 г. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана,
1999.-4.1.-С. 103-106.
163 Тимошенко В.И., Зубкова Е.Ю. К оценке теплового и эрозионного воздействия сверхзвуково-
го запыленного потока на затупленный конус // Инженерно-физический журнал - 1991- Т.61,
№4.- С. 564-569.
164 Тимошенко В.И., Лиманский А.В. Технология численного решения на ЭВМ задач газовой ди-
намики. - Киев: Наукова думка, 1985. - 231 с.
165 Тимошенко М.В. Математическое моделирование теплообмена в многослойных конструкциях
с обобщенным неидеальным контактом. Автореферат дисс. канд. наук - Киев: Киевский на-
циональный университет, 1996 - 22 с.
166 Тимошенко М.В. Численное моделирование теплообмена в многослойных конструкциях с
обобщенным неидеальным контактом И Инженерно физический журнал. - 1996. - Т.69, №5-
С. 773-778.
167 Тирский Г.А. Анализ химического состава ламинарного многокомпонентного пограничного
слоя на поверхности горящих стеклопластиков И Космические исследования - 1964,- №4,- С.
570-594.
168 Тирский Г.А. Вычисление эффективных коэффициентов диффузии в ламинарном
диссоциированном многокомпонентном пограничном слое // Прикладная математика и
механика. - 1969,- Т. 33, №1. - С. 180-192.
169 Товаровский И.Г. Проблемы первичного получения металла в бескоксовых агрегатах // Ме-
талл и литьё Украины. -1994,- Т.2, №1,- С.1-5.
170 Товаровский И.Г. Совершенствование и оптимизация параметров доменного процесса-
454
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
клТ £ • -
зоной динамики. - М.: Наука, 1981 - 304 с ’ 1рИме,,ение метода расщепления в задачах га-
Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метол пяг
Наука, 1981,-304с. ₽ щепления в задачах газовой динамики. Новосибирск:
Нау“- 1
«»о« спутном поХТсСаду^™В“^’ОЧ'““1,,урбуле“,"ОЙ струи в дозву-
200с. Сверхзвуковые газовые струи,- Новосибирск: Наука, СО, 1983.-
Кокошинская Н.С., Павлов Б М Паскон™ в м и.
текания тел вязким 1асконов в м- Численное исследование сверхзвукового об-
текания тел вязким газом. - М.: Изд. Моск, ун-та, 1980. - 248 с.
нечно”омДстньГхМгкрмИе ПрИНЦИпа минимальных значений производной к построению ко-
11 аги Р- 197? т т кг дл* расчета Разрывных решений газовой динамики // Ученые записки
ц,/а| ri. 1 у /z. 1. №о.~ С. 68—77.
Колесников О.М. Влияние пульсаций концентраций на воспламенение пристенной струи во-
дорода в сверхзвуковом потоке // Физика горения и взрыва - 1985 - №1.- С.37- 42.
Кондратин В.Н., Никитин Е.Е. Кинетика и механизм газофазных реакций. - М.: Наука, 1974.-
Кондратьев Л.В., Шор В.В. Исследование турбулентного течения газовзвеси в трубе с учетом
соударения со стенкой и вращения частиц // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ. - 1990,- №1.- С.56-
64.
Кочин Н.Е., Кибель *».И., Розе И.В. Теоретическая гидромеханика.- М.: Физматгиз, 1963. -
Т.2.-727 с.
Кошкин В.К. Калинин Э.К. Теплообменные аппараты и теплоносители,- М.: Машинострое-
ние, 1971,- 200 с.
Крейт Ф„ Блэк У. Основы теплопередачи,- М.: Мир, 1983 - 512 с.
Кроу, Исследование модели течений газа с небольшим содержанием частиц // Труды амери-
канского общества инженеров механиков. Сер. Д. Теоретические основы расчетов. - 1982. -
№9.-С. 114-122.
Кроу. Коэффициент сопротивления частиц в ракетных соплах // Ракетная техника и космонав-
тика. - 1967. - Т.5, №5. - С.257-258.
Кузнецов В.Р., Лебедев А.Б., Секундов А.И., Смирнов И.П. Влияние пульсаций концентраций
на диффузионное горение//В кн. Химическая физика процессов горения и взрыва.- Черного-
ловка: ОИХФ АН СССР, 1977 - С. 57-61.
Кузнецов В.Р., Лебедев А.К., Секундов А.Н., Смирнова И.П. Расчет турбулентного диффузи-
онного факела горения с учетом пульсаций концентрации и архимедовых сил // Изв.
АН СССР. Сер. МЖГ.- 1975.- №1. - С.30-40.
Кузнецов В.Р., Сабельников В.А. Турбулентность и горение - М.: Наука, 1986.-288 с.
Лабири А.К., Сешалди В. Анализ доменного процесса с помощью динамической модели
// Черная металлургия - 1989,- №27- С. 1-33.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. - М.: Наука, 1986.-736 с.
Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей. - М.: Наука, 1989. - 366 с.
Ларин О.Б. Влияние параметров спутного потока на задержку воспламенения водорода в
турбулентной пристенной струе И Неравновесные течения газа с физико-химическими пре-
вращениями: Труды НИИ механики МГУ,- М.: Изд-во МГУ, 1985,- С.58-67.
Лафрин О. Испарение со стекающей жидкой //Труды американского общества инженеров ме
хаников. Серия С. Теплопередача - 1966. - №7- С. 83-86.
Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика - М.: Изд-во АН СССР, 1962,- 253с.
Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа .- М.: Наука, 1978,- 736 с.
Мазур В.Л., Тимошенко В.И. Теория прокатки. Гидродинамические эффекты смазки. -
М.: Металлургия, 1989. - 192 с.
Мак Кормак Р.В. Численный метод решения уравнений вязких сжимаемых течений // Аэро-
космическая техника. - 1983 - 1, №4.- С.114- 123.
Марбл Ф. Динамика запыленных газов // Механика. Периодический сборник переводов
451
194 Gear C.W. Numerical Initial Value Problem in Ordinary Duflrential Equations- New Jersey.
Prentice-Hall inc Englewood Cliffs, 1971.
195 George R.Inder Sealing Nonequilibrium-Reacting Flows: The Regacy of Gerchard Damkohler
// Journal of Spacecraft and Rockets. - 2001. - V. 38, №2. - P. 185-190.
196 Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation flows // Joum. Comput. Phys-
1984. -V.49- P.357-393.
197 MacCormack R.W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering / A1AA Paper №354. -
1969. - 8p.
198 Muchi 1. Mathematical model of blast furnace//Trans. Iron and Steel Inst. Japan.- 1967,- V.7, №5-
P. 223-237.
199 Rogers R.C., Chinitz W. On the Use of a Global Hydrogen-Air Combastion Model in the Calculation
of Turbulent Reacting Flows /А1АА Paper- 82- 0112,- 1982.- P.l—10.
200 Rothe D.E. Electron-Beam Studies of Viscous Flow in Supersonic Nozzles //AIAA Journal - 1971-
V.9, № 5-P.804—811.
201 Timoshenko V. I. Computer technology of solving problems in gasdynamics.- New york: Begell
house inc. Publishers, 1998 - 247 p.
202 Vlasenko V, Sabelnitov. Numerical Simulation of Inviscid Flows with Hudrogen Combastion atter
Shock Waves and in Detonation Waves / AIAA-paper 94-3177.-1994,- P. 1 -12.
203 Weinbaum S, Garvin R.W. On the two dimensional viscous counterpart •’ the one dimensional sonic
throat // J. Fluid Meeh. - 1969,- V.39 pt.l.- P.55- 67
204 Zijlema M., Wesseling P. Higher order flux-limited methods for steady-state, multidimensional, con-
vection-dominated flow // Delft University of Technology: Technical Report DUT-TWI-95-131-
1995.-28p.
456
ческих расчетов металлургических процессов. - М.: Наука. 1982 - 263 с
ве уравнений ’дая ^лоттости^еооя ИЯ ПР°ЦеССа ТУРбулентного смешения реагентов на осно-
1984-Т. 40, №2.-С. 219-225 ₽ ТНОСТИ масштабов И Инженерно-физический журнал-
134 Coy С. Гидродинамика Мир, етг-ззбе.
!35 Сполдинг Д.Б. Горение и массообмен,- М.: Машиностроение, 1985,- 240 с.
'3 леТтни/ Оп^б’пиКРаИНа’Прямого полУчения металла. / Й.Г. Товаровский , С.Г. Ша-
дек и др,-Опубликовано 07.01.93, Бюл. №1.
137 JaTj987H-2 “с ’**’ Пе’уХ°Ва’ В К Шикова-- М.: Энергоатомиз-
138 Стернин П.Е., Маслов В.Н., Шрайбер А.Л., Подвысоцкий А.М. Двухфазные моно- и полидис-
персные течения газа с частицами. - М.: Машиностроение, 1980. - 171 с.
139 ШрайбеР А Л- Многофазные течения газа с частицами. - М.: Машиностроение,
1994.-320 с.
140 Стырикович Н А., Полонский В.С., Циклоури Г.В. Тепломассообмен и гидродинамика в
двухфазных потоках атомных электрических станций. - М.: Наука, 1982 - 370 с.
141 Теория турбулентных струй / Г.И. Абрамович, Т.А. Гиршович, С.Ю. Крашенинников, А.Н.
Секундов, И.П. Смирнова. - М.: Наука, 1984.- 715 с.
142^Термохимические свойства индивидуальных веществ / Под редакцией В.П.Глушко, Л.В. Гур-
вича и др,- М.: Изд-во АН СССР, 1962. - Т.2. - 916 с.
143 Тимофеев В.Н., Боковников Б.А. Кинетика процесса восстановления в слое // Теплотехника
доменного процесса; Сб. трудов ВНИИ МТ,- М.: Металлургия, 1966.-№14.- С. 19-37.
144 Тимофеев В.Н., Боковников Б.А., Бабушкин И.М. Математическое описание явлений тепло- и
массообмена в доменной печи // Теплотехника доменного процесса; Сб. трудов ВНИИ МТ-
М.: Металлургия, 1966.-№14.-С. 5-18.
145 Тимошенко В.И. К расчету истечения вязкого газа через сопло Лаваля И Косм, исслед. на Ук-
раине.- 1976 - вып.8. - С. 51-55.
146 Тимошенко В.И. Нагрев газа и частиц за отошедшей ударной волной перед затупленным те-
лом в сверхзвуковом запыленном потоке газа // Аэрогазодинамика и нестационарный тепло-
массообмен. - К.: Наукова думка, 1983. - С. 62-66.
147 Тимошенко В.И. Особенности термохимического разрушения стеклографитовой поверхности
затупленного конуса в гиперзвуковом потоке газа // Прикладная аэродинамика космических
аппаратов. - Киев: Наук. Думка, 1977 - С. 94-103.
148 Тимошенко В.И. Сверхзву.Iвые течения вязкого где. - К.: Наукова думка, 1987. - 187 с.
149 Тимошенко В.И. Силовое воздействие сверхзвукового потока запыленного газа на тупое тело
// Инженерно-физический журнал. - 19*3. - Т. XV, № 2. - С. 226-231.
150 Тимошенко В.И. Термохимическое разрушение стеклографитовой поверхности затупленного
конуса на линии растекания в трехмерном пограничном слое // Косм, исслед. на Украине. -
К.: Наукова думка, 1982. - №16. - С. 45-49.
151 Тимошенко В.И. Численное решение задач сверхзвукового обтекания тел в условиях термо-
химического разрушения поверхности // Методы исследований гиперзвуковых летательных
аппаратов: Сб. докладов Школы-семинара ЦАГИ "Механика жидкости и газа". Часть 3,- М.:
ЦАГИ, 1994.-С. 3.1-3.9.
152 Тимошенко В.И., Белоцерковец И.С Расчет средпеобъемных параметров в емкости с учетом
массо- и энергоподвода, химических реакций и фазовых превращений во времени // Техниче-
ская механика - 1994 - вып.З.- С. 25-29.
153 Тимошенко В.И., Белоцерковец И.С., Галинский В.П. Кадыров В.Х., Кисель В.М., Евдоки-
менко Ю.И. Исследование процессов ускорения, нагрева и плавления частиц из тугоплавких
материалов в газодинамических трактах горелочных устройств для высокоскоростного «азо-
пламенного напыления // Инженерно-физический журнал,- 2002,- Т.75, №2.- С. 36-41.
154 Тимошенко В.И., Белоцерковец И.С., Галинский В.П. Программно-методическое обеспечение
для численного моделирования процессов ускорения и нагрева частиц при газопламенном па-
453
co - коэффициент, равный 0 для плоских течений и 1 - для осесимметричных
X, у - декартовы координаты
т, t - время
Vx , Vy и и, v - - проекции вектора скорости на оси Ох и Оу
d „ д __ д
— = VX — + V-------конвективный оператор
dt дх у ду
Хк = — массовая концентрация /г-ой компоненты
Ск - мольная концентрация /г-ой компоненты
пк - - относительная мольная концентрация /г-ой компоненты
Xf, Cf — относительные массовая и мольная концентрации i-oro химического
элемента
К , Ке - количество компонентов и элементов
т* - атомная масса i-oro элемента
vA, vb,vC’ vd ~ стехиометрические коэффициенты реакции
ц - динамический коэффициент вязкости
X - коэффициент теплопроводности
btj - бинарный коэффициент диффузии
Dk - эффективный коэффициент диффузии
Re - число Рейнольдса
Рг - —----число Прандтля
Smk = —------число Шмидта
PDk
Le = * Pr = — число Льюиса
ц Sm
. _d^ 1 dCha
- — -----~-----скорость химической реакции а
at vfca dt
~ ^jmkvka^a. ~ изменение массы вещества в единице объема в единицу
а=1
времени
г - теплота фазового перехода
кс(Т), Кп(Т,р) = Кс(тЪ~\ , Кр(т)=Кс(т)(КоТ)Луг - константы равно-
весия
458
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
’ 192
193
М,: Металлургия, 1987.-192 с.
Товаровский И.Г., Дронов Ю А и до Р к
424 сР И Г ’ ЛЯЛЮК В П‘ Эволючия доменной плавки,- Днепропетровск: Пороги, 2001.—
ки - М.: НаукаК1О990ает230сРаЗН°СГНЬ'е СХСМЫ ” ИХ пРименение в задачах аэрогидродииами-
Ж-ЛЗе2Н7Т ТеЧеНИЯ РеаГИруЮЩСТ0 газа ' "ОД Ред. П.А. Либби и Ф.А. У ильямса.-М.: Мир,
Уолис Г. Одномерные двухфазные течения. - М.: Мир, 1972.-440 с.
У г™™-43™6 К Т* <<КоЭФФициент сопротивления сферы в течениях разреженного газа
^сплошной среды». Ответ автора Уолшу И Ракетная техника и космонавтика. - 1977. - Т.15,
Уолш Соотношения для коэффициента сопротивления малых частиц в потоке высокой ско-
рости// Ракетная техника и космонавтика. - 1975. - Т.13, №11. - С. 137-139.
Устименко Б.П., Джакупов К.Б., Кроль В.С. Численное моделирование аэродинамики и горе-
ние в топочных и технологических устройствах. - Алма-Ата: Наука, 1986. - 224 с.
Федосеев С.Д. Физико-химическая модель процесса газификации угля // Химия твердого топ-
лива.-1987.- № 5. - С.91-105.
Финитьев Ю.П., Щербаков Л.А. О возможности аппроксимации границы недорасширенной
осесимметричной струи дугой эллипса// Инженерно-физический журнал. - 1969. - Т.17, №4-
С .737-741.
Флетчер К. Вычислительные методы и динамика жидкости- М.: Мир, 1991- Т.1.- 500 с., Т.2-
552 с.
Хендерсон. Коэффициент сопротивления сферы в течениях разреженного газа и сплошной
среды// Ракетная техника и космонавтика. - 1976. - Т.14, №6. - С.5-7.
Самойлов И.Б., Гусак А.А., Богословский В.П., Фурман Г.А. Химические процессы в пламени
и структура зоны горения углеводородно-воздушной смеси // Химическая физика процессов
горения и взрыва. Горение гетерогенных и газовых смесей. - Черноголовка: Институт хими-
ческой физики АН СССР, 1977. - С. 53-57.
Черный Г.Г. Газовая динамика.-М.: Наука, 1988 - 424 с.
Четверушкин Б.Н. Кинетически согласованные разностные схемы в газовой динамике.-
М.: Изд.-во МГУ, 1999 - 232 с.
Чуханов З.Ф. Некоторые проблемы топлива и энергетики. - М.: Изд-во АН СССР, 1961. -
477с.
Шевелев Ю.Д. Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики. - М.: Наука,
1986.-366 с.
Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 711 с.
Шрайбер А.А. Об уравнениях турбулентного течения полидисперсной газовзвеси с коагуля-
цией и дроблением частиц//Доп. НАН У кражи .- 1998. -№12 - С. 112-117.
Шрайбер А.А., Баштовой А.И. К теории турбулентной коагуляции: влияние аэродинамиче-
ских сил на интенсивность процессов переноса при взаимодействии капель // Доп.
НАН Украши- 2002. -№9.- С. 89-94.
Шрайбер А.А., Гавин Л.Б., Наумов В.А., Яценко В.П. Турбулентные течения газоазвеси,- Ки-
ев: Наукова думка, 1987.-240с.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука,
1965.-423 с.
Timoshenko V.I., Belotserkovets I.S., Galinsky V.P., Zagny V.V., Kadyrov V.Kh., KysilV.M..
Evdokimenko Yu.l."Two_phase“ software product for simulation of acceleration, heating and
melting particles in gas-dynamic device passages // Proceedings of II international conference
“Materials and Coatings for Extreme Perfomances Investigations, Applications, Fcologocally Sate
Technologies for Their Production and Utilization”. Katsiveli-town, Crimea- 16-22 Septembcr.-
2002. - P. 79-80.
455
Наукове видання
Нацюнальна академ1'я наук Укра'ши
Нацюнальне коскпчне агентство Укра’ши
1НСТИТУТ TEXHI4HOI МЕХАН1КИ
Тимошенко Banepifi 1ванович
Газова динадпка
високотемпературних технолопчних процеав
(росшською мовою)
Вщповщальний за випуск О. Д. Скорик
Подписано до друку 29.12.02р. Формат 70x100/16. Гари. Times New Roman.
Обл. - вид. арк. 35,8- Тираж 300 приморн. Замовлення № 0003.
Орипнал-макет подготовлено в 1нститут1 техшчно!' мехашки НАНУ i НКАУ.
Надруковано в [нституп техшчнот мехашки НАНУ i НКАУ, м. Джпропетровськ,
вул. Лешко-Попеля, 15.
Сводоцтво про внесения суб'екта видавничо!' справи до державного реестру
аидавшв, виготовнигав i розповсюджувач1в видавничо)' продукцп
Cepia ДК Ns 634 вщ 17. 10. 2001 р.
Основные условные обозначения
р- плотность
р - давление
Т - температура
1
и =----удельный объем
Р
7?0 =8.319Дж/моль- К — универсальная газовая постоянная
,,
К =----газовая постоянная
m
тп, - молярная масса газа
Е - внутренняя энергия
е' - внутренняя энергия одного моля газа
е - внутренняя энергия единицы массы
А - работа, совершаемая системой
AQ - подведенное к системе тепло, теплота химической реакции
q - количество тепла, подводимое к единице массы газа
Со - удельная теплоемкость при постоянном объеме
Ср - удельная теплоемкость при постоянном давлении
c0-m-Cv и ср-т-Ср - теплоемкости одного моля газа
S -энтропия
i - энтальпия единицы массы газа
h - энтальпия одного моля газа
Ср
у = —- отношение удельных теплоемкостей
а - скорость звука
и - скорость
., и
М -----число Маха
а
G - puF - массовый расход газа
g = pu - расход газа через единичную площадь
F - площадь сечения
dPmp = Ртр At - импульс сил трения
dPK = Рк At - сопротивления агрегата, помещенного в газовый поток
dLmp = - работа сил трения, отнесенная к единице массы газа
udPi,
dL= & * - техническая работа, совершаемая единицей массы газа
X = и/си - коэффициент скорости
Т(А.) = —, л(х) = —, е(х)= —, q (X ) = -газодинамические функции
457
Наукове видання
Стра- Строка Напечатано Должно быть
238 18-я сверху dG, = AS dn-рг /£, dG, = AS-dn- p, £,
14-я снизу ..=егК,!рг .. = K,lpr
242 12-я сверху XS!O, Фяо,
249 7-я сверху nV - 8у -
256 4-я сверху Ре = О Ре «1
271 18-я снизу Gjl-Xn)=p(XnS-Xn) Gw(l-Xj = -X^-^)
279- 283 Лит. ссыл- ки [..76, ..184,.. 190..] [..73, ..179,.. 186..]
306 17-я снизу струи канала
2-я снизу эффективного тела, эффективного тела (линия 7
313 18-я сверху и неисчезающих при и исчезающих при
320 9-я снизу ДУ1 * Ду2 Д?71 * Д?72
322 13-я сверху (6.29) (6-28)
326 7-я сверху для проведение для проведения
336 й Ы 7-я снизу KJ Nu = а ad Nu = -£-,
339 8-я снизу (7-Ю’) dx
345- 346 № уравне- ний (7.Ю) (7.10’)
364 5-я сверху iJ(x)=Cl+C1x it(x) = Cl + C1X (8-25)
380 10-я сверху Jy^pdV-PL^} I y-l dt) ....^Vdp + pdV ~-^dyj
4-я снизу -^U-gl + gf, +gf,) dr _т у 1 dXt r-i dt T'm, dt
382 10-я снизу dTf _ ~Qrgfp +gfw +9р, dt GfCf
dt GfCf
385 386 428 430 9, 10-я сверху 11-я снизу 10-я снизу 21-я сверху скоростями реакций С(П + О2 *+CO + bQ3 (9,12) U.35]. скоростями реакций (9.11) и (9.12) (g-H) [ИЗ]. - [155]. ,_J
CepiH да № 634 вщ 17. 10. 2001 р.
k ~ - константа скорости химических реакций
Ksk ~ скорость гетерогенной химической реакции
Cd - коэффициент аэродинамического сопротивления частицы
ds - диаметр частицы
ЛТР - количество частиц в единице объема
ms - масса единичной частицы
Рр
к = —- массовая доля частиц
Р
f.=cdsMi-p^-{v^vp) - сила лобового сопротивления одиночной частицы
Ry и Rt] - коэффициенты обобщенного термического сопротивления
Индексы
О - параметры адиабатически заторможенного газа
* - критические параметры газа
р - параметры облака частиц
s - параметры одиночных частиц
k - k -тая компонента смеси
е - химический элемент
i,j - номера узла разностной сетки
459
MG- и
Авторские исправления
Стра- ница Строка Напечатано Должно быть
4 13-я снизу минимума максимума
43 2-я снизу п° =coso, п° =-sino. п° = -sincr, П° = COSf.
51 Рис. 1.6а Заменить номера линий 1, 2, 3 на 3,2, 1
69 11-я снизу
72 4-я снизу (1.113) и (1.116) (1.116) и (1.119)
99 3-я снизу соотношением соотношениями
125 18-я сверху а также обменные ре- акции а также обменными ре- акциями
135 9-я сверху для выражения выражение
142 13-я сверху минимума максимума
151 3-я сверху решения уравнения решения уравнений
157 10-я снизу функцией от давления функцией давления
•61 11-я сверху и - а - а0 + и. у + 1 и-а = -а0 + — “
14-я сверху Убывает возрастает
172 15-я снизу pV^P^- ' дх г дб " р г дг г до"
184 191 192 5, 4-я снизу 1-я снизу 2-я сверху дозвуковой... сверх- звуковой RUYl ~ H„RU/ ~х /8г дозвуко- вые. . .сверхзвуковые 2%
8г RUL _ 1 L1 Ци Re L1 RUL Re
196 7-я сверху _ L Ум=Ъ~г== VRe Л L
213 6-я снизу ....Re*2.... ....Re;*2....
3-я снизу ....(1 + ra>}°'1
214 3-я сверху А = 5-1О5+1О6 Re = 5105 -МО6
10-я сверху r = 0PrV3 r = PrV3
11-я сверху Р*'а*2ц2Л х0,2
7^257