/
ISBN: 5—645—02603—9
Text
«*** •.
Н.д. ДОДАЖОНОВ, М.Ш. Ж?РА
1-кием
I
Тацризчилар: физика-математика фанлари номзоди,
доцент Т. А. Абдуллаев
физика-математика фанлари номзоди,
доцент X. X. Назаров
Махсус му^аррир — профессор | М. А. Собиров |
Мазкур цУллаима геометрия курсинниг векторлар алгебраси элемеитлари,
коордииаталар методн, алмаштиришлар иазарнясн, п улчовли аффнн ва Евк-
лид фазолари, квадратик формалар ва квадрикалар, кУпёцлар иазарияси каби
булимлариии уз ичига олади. Назарий материални баёи этиш мисоллар ва ма-
салаларнн таушл этиш билаи цУшиб олиб борилган.
Цулланма педагогика ннститутлари ва университетлари талабалари учуй
мулжаллаиган. У план яна кечки ва сиртци булим талабалари, шунингдек, ли-
цей мактабларииииг уцувчилари дам фойдалаикшлари мумкни.
1602050000—171
Д ----154—96
353 (04)—96
(6; «Уцнтувчн» нашрнёти, 1982 й.
«Уцитувчи» нашриёти, цайта
ишланган, 1996 й.
ISBN 5—645—02603—9
СУЗ БОШИ
Маълумки, педагогика институтларида математика фани ррта
мактаб сингари 1970 йилдан бошлаб жорий этилган дастур асо-
сида ^цитиб келинмоцда. Бу дастурга мувофиц, илгари мустацил
фанлар сифатида Урганилиб келинган «Аналитик геометрия»,
«Проектив геометрия», «Дифференциал геометрия», «Геометрия
асослари», «Элементар геометрия» каби фанлар умумий маз-
мунини сацлаган цолда бирлаштирилиб ва уларга цушимча
«Квадратик формалар назарияси», «Топология элементлари»
киритилиб, «Геометрия» номи билан атала бошланди.
Бундан мацсад бу фанлар материалига ягона нуцтан назар-
дан цараб, уни цозирги замон математикаси тилида баён этиш-
дир.
У цу вч и га цавола цилинаётган бу цулланма педагогика инсти-
тутларининг «Математика ва информатика», «Математика ва
физика» мутахассисликларига мулжалланган геометрия курси-
нинг биринчи ва иккинчи семестрларда урганиладиган матери-
алларини $з ичига олган.
Кулланмага муаллифларнинг Низомий номидаги Тошкент
Давлат педагогика ииститутниинг математика факультетида
куп йиллар давомида уциган маърузалари асос цилиб олин-
ди.
Мазкур китоб икки булимдан иборат булиб, биринчи б^лим-
нинг, I, II, IV бобларида ва иккинчи булимнинг I—II боблари-
да анъанавий аналитик геометрия курси материали баёи этилган.
Биринчи булимнинг III боби текисликдаги алмаштиришларга,
иккинчи булимнинг IV боби п улчовли аффин ва евклид фазола-
ри назариясига, V боби квадратик формалар ва квадрикаларга,
ни^оят, VI боби купёцлар назариясига багишлангандир. Вектор
фазо ва куп улчовли аффин ва евклид фазолари аксиоматик
асосда киритилди.
Кулланмани ёзишда урта мактабни эски ва янги дастур буйи-
ча Уциб тугатган ^цувчилар назарда тутилди, шунинг учун бу
китобдаи кечки ва сиртци булим талабалари цам фойдаланиш-
лари мумкин.
Бу китобнинг яратилишида фаол цатнашган Низомий иоми-
даги Тошкент Давлат педагогика институти геометрия кафедра-
си аъзоларига чуцур миннатдорчилнк пз^ор циламиз.
Муаллифлар
АСОСИЙ БЕЛГИЛАШЛАР
|х, у, г, . . .}— элементлари х, у, г, . . . дан иборат туплам.
£ — тегишлилик белгиси: к G X, X тупламнинг элемента х.
( — тегишли эмас.
== — конгруэнт: AB = CD— АВ кесма CD кесмага конгруэнт.
Ф — конгруэнт эмас.
с—цисм (цисм туплам): ХсУ, X туплам Y тупламнинг кис-
ми (X туплам Y тупламнинг цисм туплами).
0 — цисми эмас.
(J —бирлашма: Х11У. X ва У тупламларнинг бирлашмаси.
V — каР кандай: V х G X — X тупламнинг ^ар ка1|дай (ихтиёрий)
х элемента.
f) — кесишма: ХЛУ— X ва У тупламларнинг кесишмаси.
0 —буш туплам.
{х | f (х) = у} — шундай х элементлар тупламики, улар учуй
f{x) = y
а=>Р— а дан 0 келиб чицади.
а«-Р— а дан р, р дан а келиб чицдди.
Г — параллеллик белгиси: a !l b — а тугри чизик b тугри чизиц-
Ка параллел.
3 —мавжудки, 3 х£Х — X тупламга тегишли шундай х элемент
мавжудки, ...
Х\У — X тупламдан У туплам чицарилган.
СХ—X тупламнинг тулдирувчиси.
А —исботнинг тугалланганлигини билдирувчи белги.
IБУЛИМ
ВЕКТОРЛАР АЛГЕБРАСИ ЭЛЕМЕНТЛАРИ
ТЕКИСЛИКДАГИ ГЕОМЕТРИЯ
I Б О Б. ВЕКТОРЛАР АЛГЕБРАСИ ЭЛЕМЕНТЛАРИ
1-§. Таърифлар, белгилашлар
Мактабда урганиладиган геометрия курсидан нуцталарнинг цар цан-
дай туплами фигура (шакл) деб аталиши. умумматемагик тушунчалар
булмиш сон, туплам, тегишлилик билан бир цаторда таърифсиз кр-
бул цилииадиган «нуцта», «тугри чизиц», «текислик», «масофа» тушун-
чалари асосий тушунчалар деб аталиши мэълум.
Асосий тушунчалардан фойдаланиб «орасида», «кесма», «нур»,
«синиц чизиц», «ярим текислик», «бурчак» тушунчаларига таъриф
берамиз.
Аввало ушбу белгилашларни киритайлик. Нуцталарни лотин
алфавитининг бот царфлари А, В, С, .. . билан, тугри чизицларни
шу алфавитнинг кичик царфлари а, Ь, с, . . . ёки иккита катта царф
АВ, CD, . . . билан, текисликларни эса грек алфавитининг бош
царфлари П, 2. ёки учта катта царф ABC, EFC, . . . билан бел-
гилаймиз. Икки А, В нуцта орасидаги масофани р(А, В) ёки |ЛВ|
билаи белгилаймиз.
Тугри чизицдаги турли учта А, В, С иуцта учун
р(А, С) = р(Л, В) + р(В, Q
муносабат бажарилса, В нуцта А ва С нуцталар орасида ётади
дейилади.
А, В нуцталардан ва улар орасида ётган барча нуцталардан)
иборат туплам кесма деб аталиб, АВ билан белгилаиади. А ва B/J-
нуцталар АВ кесманинг учлари,
улар орасидаги масофа АВ кес-
манинг узунлиги дейилади.
Тугри чизицнинг берилган
нуцтасидан бир томонда ётган
барча иуцталари туплами нур
деб аталади. Берилган нуцта нур-
нинг бошлангич нуцтаси дейи-
лади.
. АВ нурда А унинг бошлангич
иуцтаси, В эса шу нурдаги би-
1- чнэма
рорта нуцта.
Битта турри чизицнинг умумий бошлангич нуцтага эга булган
АВ, АС иурлари царама- кирши нурлар деб аталади.
Маълум тартибда олинган чекли сондаги Лр А..........Ап нуц-
талар берилган булсин (1- чизма) ва бу нуцталарнинг кетма-кет
келган \ар учтаси бир турри чизицда ётмасин, у цолда А1А2, Л2Л3,
• • • . Л„_, Ап кесмаларнинг бирлашмаси Д,. Ап нуцталарии туташ-
тирувчи синиц чизиц деб аталиб, Д„ Дп нуцталар унинг учлари
дейилади. Синиц чизицни ташкил этувчи цар бир кесма унинг бу-
fuhu дейилади.
Барча бугинлари билан текисликка тегишли булган синиц чизиц
ясси синиц чизиц дейилади.
Ф фигурани олайлик. Бу фигуранинг ихтиёрий икки нуцтасини
туташтирган ва узи шу фнгурага тегишли булган синиц чизиц мав-
жуд дейлик, Ф, с Ф булсин. Ф2 = Ф\Ф1 фигурани цараймиз.
Бунда цуйидаги икки цол булиши мумкин:
1) шундай А, В£Ф2 нуцталар мавжудки. уларни Ф! фигура би-
лан кесишмайдиган синиц чизиц орцэли туташтириб булмайди
2- чизма);
2) цар цандай А, В£Ф2 нуцталарни Ф га тесишли булиб, Oj
фигура билан кесишмайдиган синиц чизиц билан туташтириш мумкин
(3- чизма).
Биринчи цолда фигура Ф2 фигурани икки цисмга ажратади,
иккинчи цолда эса ажратмайди деймиз.
Масалан, а турри чизицда олинган цар бир А нуцта а\|Д|
фигурани иккита цисмга ажратади, чунки а\{Д| фигурага тегишли
шундай В, С нуцталар цар вацт топиладики, уларни туташтирувчи
кесма А нуцтадан утади ва а турри чизицца тегишли булади.
Хар бир цисмнинг А иуцта билаи бирлашмаси боши А нуцтада
булган нур булади. Шу каби а с= П турри чизицнинг П\о фигурани
иккита цисмга ажратиши курсатилади. Бунда цар бир цисм очиц
ярим текислик, очиц ярим текисликнииг а турри чизиц билан бир-
лашмари ёпиц ярим текислик дейилади.
П текисликда бошлангич нуцтаси умумий булган з^ар хил (цара-
ма-царши булмаган) АВ ва АС нурларни олайлик (4-чизма). F ор-
кали бу икки нурнинг бирлашмасини белгилаймиз. У з^олда F фи-
гура F' = n\F фигурани F’ ва F’2 цисмларга ажратади. Бу цисм-
лардан з^ар бирининг F фигура билан бирлашмаси бурчак деб
аталади. АВ ва АС нурлар бурчакнинг томонлари, А бурчакнинг
учи, F\ фигура F.(« = 1,2) бурчакнинг ички со\аси дейилади.
4- чизма
5- чизма
Бошлангич нуцтаси умумий булган икки нур томонлари умумий
булган икки бурчакни аницлайди. Икки бурчакдан цайси бирини
цараётган булсак, шу бурчак, одатда, 5-чизмада курсатилганидек,
ёй билан белгилаб цуйилади.
Томонлари АВ, АС нурлардан иборат бурчак Z. ВАС билан бел-
гилаиади. АВ иурни А нуцта атрофида АС нур устига тушгунча
буришдан з^осил цилинган бурчакни улчайдиган сон Z-BAC нинг
катталиги (мицдори) дейилади.
Z-ВЛС нииг катталиги ВА нурни АС нур устига тушгунча
бурйш соат милииинг з^аракати йуналишига тескари булган з^олда
мусбат, соат мили з^аракати йуналиши буйича булган з^олда эса
манфий деб з^исоблаиади.
Бир текисликка тегишли АВ, CD тугри чизицлар кесишмаса ёки
устма-уст тушса, улар параллел тугри чизицлар дейилади.
Агар АВ, CD тугри чизицлар параллел булса, бу тугри чизи^-
'ларда ётган АВ, CD кесмалар (ёки АВ, CD нурлар) параллел дейи-
лади. Хусусан, битта тугри чизицда ётган иккита кесма (ёки икки-
та нур) параллел булади.
П, Е текисликлар кесишмаса ёки устма- уст тушса, улар параллел
деб аталади.
а тугри чизиц П текислик билан умумий нуцтага эга булмаса
ёки шу текисликка тегишли булса, а тугри чизиц П текисликка
параллел деб аталади.
Икки нур бир тугри чизи^да ётиб, улардан бири иккинчисига
тегишли булса, улар бир хил йуналишли, акс з^олда царама-цар-
ши йуналишли дейилади.
6- чизма
7- чизма
в
Бир тугри чизицда ётмайдиган икни нур параллел булиб, улар
бу нурларнинг бошлангич нуцталарини туташтирувчи тугри чизщ
билан ажратилган битта ярим текисливда ётса (6-чизма), улар бир
хил йуналишли, турли ярим текисликларда ётса (7-чизма), царама-
царши йуналишли дейилади. Бир хил йуналишни ft билан, царама-
царши йуналишни tl билан белгилаймиз.
Нурларнинг бир хил йуиалганлиги цуйидаги хоссаларга эга:
1) АВ ff АВ (рефлексивлик хоссаси);
2) АВ ft CD => CD ft AB (симметриклик хоссаси);
3) AB ft CD ва CD ]] EF => АВ U EF (транзитивлик хоссаси).
Бу уоссаларнинг уринлилиги юцоридаги таърифлардан бевосита
келиб чи^ади.
2-§. Йуналган кесмалар ^ацида тушунча
1-таъриф. Берилган кесманинг учларидан цайси бири биринчи
ва цайсиниси иккинчилиги аницланган булса, бундай кесма йунал-
ган кесма дейилади. Йуналган кесманинг биринчи учи унинг боши,
иккинчи учи эса охири дейилади.
Боши А ва охири В ну^тада булган йуналган кесмаии АВ би-
лан белгилаймиз.
Шуни таъкидлаймизки, оддий АВ кесманинг учлари теиг ^уцуц-
ли булиб. улар тартибининг а^амияти йуцдир. Шунинг учун
АВ — ВА деб ёзиш мумкин. Йуналган кесмаларда эса бош ва охи-
рининг уринлари алмаштирилиши билан уларнинг йуналиши узгара-
ди. Йуналган АВ кесманинг узунлиги деб, АВ кесманинг узунли-
гига айтилади ва у |ЛВ| ёки АВ билан белгиланади.
2-таъриф. Агар АВ ва CD иурлар бир хил (карама-^арши)
йуналишли булса, АВ, CD йуналган кесмалар бир хил (царама-
царши) йуналишли дейилади.
3- §. Вектор
1-таъриф. Узунликлари тенг ва бир хил йуналишли барча кес-
малар туплами озод вектор ёки цисцача вектор деб аталади.
Векторларни устига «—►» белги цуйилган кичик логин царфлари
~а, Т, ~с, . . . , ~х, ~у билан белгилаймиз. Фазодаги барча векторлар
тупламини V билан белгилаймиз. Юцоридаги таърифдан векторнинг
узунликлари теиг ва бир хил йуналишли кесмалар синфидан иборат
эканлиги равшан. Бу синфга В
тегишли цар бир йуналган кес-
ма синфни тулиц аницлайди.
Шунинг учуй, агар А В G a F
булса, а векторни а = АВ ку-
ринишда белгилаш мумкин.
Табиийки, биргина векторнинг
узин и чексиз куп усул билан 8-чизма
белгилаш мумкин: а = АВ =
= CD = EF (8- чизма).
АВ векторда А унинг боши, В эса охири дейилади. Йуналган
АВ кесманинг узунлиги АВ векторнинг -узунлиги (ёки модули)
дейилади ва |АВ| куринишда белгнланади. Бундан
|ЙВ|=Р(Л, В).
2-таъриф. Узунлиги бирга теиг булган вектор бирлик вектор
ёки орт дейилади.
3-таъриф. Боши билан охири устма-уст тушган вектор ноль
вектор дейилади. Ноль вектор 0 куринишда белгнланади ва унинг
узунлиги нолга тенг деб цисобланади.
Ноль булмаган цар цандай вектор тайин бир йуналишни аниц-
лайди. Ноль вектор йуналишга эга эмас.
4-таъриф. Агар АВ£а, CDQb йуналган кесмалар бир хил
“► —► —* —
(царама- царши) йуналишли булса, а = АВ ва b = CD векторлар бир
хил (царама-царши) йуналишли деб аталади.
—’* —► —► ““*
АВ ва CD векторларнинг бир хил йуналишли эканинк ABtfCD
куринишда, Царама- царши йуналишли эканини ABf|CD куринишда
белгилаймиз.
—> —► —► —*-
Икки векторнинг тенглиги, яъни а = b ёзуви а, b вектор-
ларнинг битта вектор эканини, лекин турлича белгиланганиии бил-
диради:
а = о ф>| -► —
\ a ft b )
5-таъриф. Агар а векторни цосил.цилувчи йуналган кесмалар-
дан бири d тугри чизи^ца (П текисликка) параллел булса, у ^олда
а вектор d тугри чизизда (П текисликка) параллел деб аталади.
а векторнинг d тугри чизи^^а (П текисликка) параллеллиги а || d
(а II П) куринишда белгиланади.
ВС, векторлар бир хил йуналишли,
вдрши йуналишлидир.
6-таъриф. Битта тугри чи-
зиода параллел булган. икки
вектор коллинеар векторлар деб
аталади. а ва b векторларнинг
коллинеарлиги а II b куринищда
белгиланади. Ноль булмаган кол-
линеар векторлар ё бир. хил йуна-
лишли, ёки царама-царши йуна-
лишли булиб, ноль вектор ^ар
цандай векторга коллинеар деб
^исобланади.
—
9-чизмада тасвирланган АЕ,
—
АВ, DE векторлар эса ^арама-
4-§. Векторлар устида чизицли амаллар
Векторлар устида бажариладиган цуйидаги амаллар чизицли
амаллар деб аталади.
1. Векторларни цушиш.
2. Векторларни айириш.
3. Векторларни сонга купайтириш.
-Векторларни цушиш. Таъриф. Иккита а, b векторнинг
йиеиндиси деб исталган А нуцтадан а векторни цуйиб, унинг охи-
т->- —
ри В га b векторни цуйганда боши а векторнинг боши А да,
—
охири b векторнинг охири С да булган АС. векторга айтилади
(10-чизма). а, b векторларнинг
йигиндиси а +b билан белгилЗ-
нади.
Векторларни цушиш таърифи-
дан исталган А, В ва С уч нуц-
та учун
АВ + ВС = АС (♦)
тенглйк уринли булиши келиб
чицади. (*) тенглйк векторларни
цушишнинг учбурчак. цоидаси
дейилади. Икки коллинеар век-
торнн цушиш ^ам шу цоида бу-
йича бажарилади.
Векторларни ^ушиш амали
^уйндаги хоссаларга эга:
1°. Кушишнинг гуру^ланиш
(ассоциативлик) хоссаси. ХаР ^ан'
——* —*
дай а, Ь, с векторлар учуй
(а + Ь) 4- с = а + (Ь + с)
муносабат уринли.
И с б о т. Векторларни
II - чизма
цушишнинг учбурчак цоицасидан (11- чизма):
а 4-7= АВ + ВС = АС,
(а +~Ь) +~с = АС + CD ва ~Ь 4-7= ВС + CD = BD,
а’+ (b + c) = AB±BD = AD,
бундан (а 4- bfi- с = а 4- (6 4- с) экани келиб чи^ади.
Кушилувчи векторларнинг сони иккитадан ортиц булганда улар-
ни цушиш ушбу цоида асосида бажарилади: берилган а, b, с,...,
I векторларнинг йигиндисини ^осил цилиш учун а векторнинг охи-
рига b векторнинг бошини ц^йиш, кейин b векторнинг охирига с
в екторнинг бошини цуйиш ва бу ишни I вектор устида бажарилгун-
ча давом этгириш керак. У ва^тда а 4- b 4- • • • 4- / йигинди век-
—► —*
тор боши а векторнинг бошидан, охири эса I векторнинг охиридан
иборат вектор булади.
Масалан, 12-чизмадаги АЕ вектор берилган a, b, с, d вектор-
ларни цушишдан цосил булган.
2°. Кьушишнинг урнн алмаштириш (коммутативлик) хоссаси. Х,ар
цандай иккита а ва b вектор учуй а + b = b + а тенглик уринли-
дир.
—>- ► —- >
Исбот. а = АВ ва Ь=ВС булсин. Икки цол булиши мумкин:
1) а, Ь векторлар коллинеар эмас. Бу цатда А, В, С нуцта-
лар битта тугри чнзицда ётмайди (13-чизма).
АВС учбурчакии ABCD параллелограммга тулдирсак, векторлар-
ницушишнииг учбурчак цоидасига кура а + b = АВ + ВС — АС,
b + а = AD + DC = АС\ бу икки тенгликдан эса а + b = Ь + а.
2) а II b булсин. Бу цолда А, В, С нуцталар битта / тугрн
чизйцда ётади (14-чизма).
Dil нуцтани олайлик, у цолда AC AD 4- DC.
1) цолга кура- AD + DC = DC + AD. Лекин DC = DB + ВС,
► * — —►
AD = AB + BD булгани учун
Ж =DB+BC + AB+BD=BC + AB. (1)
Иккинчи томоидаи,
AC = АВ + ВС. (2)
—► —► —► —►
(1) ва (2) тенгликлардан а + b = b + а тенгликка эга буламиз. А
3°. ^ар цандай а векторга ноль векторни цушилса, а вектор
цосил булади, яъни
Учбурчак цоидасига к^ра исталган а = АВ вектор учун АВ +
+ ВВ = АВ тенглйк ёки а + 0 = а тенглйк уринли. а
4 . Х,ар ^андай а вектор учун шундай а' вектор мавжудки,
унинг учун
а + а’ = 0. (3)
Исбот. а = ОА булсин. Векторларни цушишнинг учбурчак
цоидасига кура ОА + АО = 00= 0, бундан АО = а'. А
(3) тенгликни цаноатлантирувчи а" вектор а векторга ^арама-
царши вектор дейилади ва —а бнлан белгиланади.
5-§. Векторларни айириш
Таърнф. а, b векторларнинг айирмаси реб, а вектор билан
——**
b векторга царама-царши —b векторнинг йигиндисига айтилади.
Бу таърифдан куринадики,
—► —► —►
с = а — b айирма векторни ясаш
учун с = а + (— Ь) векторни ясаш
керак экан. Агар а, 6 векторлар
битта О нуцтага цуйилган бул-
—► - —►
са (15- чизма) ^амда а = О А
ва b = ОВ деб белгиланган бул-
са, у >;олда
7 = а-^Ь = оЯ—ОВ = ОА +
+ ВО = ВО + ОА=ВА.
Бу >;олда а ва b векторларнинг айирмасини топиш учун боши
В нуцтада, охири эса А нуцтада булган ВА векторни ясаш етарли
булади. Бу цоидадан курннадикн, айирма веКТор доимо мавжуддир.
6-§. Векторни сонга купайтириш
—► —►
Таъриф. а=/=0 векторнинг a£R сонга купайтмаси деб, шун-
—► —► “►
дай b векторга айтиладики, а>0 булганда Ь нинг йуналиши а
—
нинг йуналиши билан бир хил, а<0 дА b нинг йуналиши а нинг
—
йуналишига тескари булиб, b векторнинг узунлиги эса а векторнинг
узунлиги билаи а сон модулининг купайтмасига тенг. Бу купайтма
а а шаклида белгиланади (сон купайтувчи чап томонда ёзиладн).
Бу таърифдан бевоснта цу-
---------------. ч йидаги хулосалар келиб чи^а-
6 -_-*“ ди:
а а) а) V о вектор учуй
0-7=0*;
———------•------------------*“ б) V а € Я учуй а • 0 = 0;
о С . . -*
в) V а Лектор учуй 1 • а=
=а, (—1)а = —а;
г) а ва а а векторлар уз-
16- чизма а₽° коллинеардир; __
16-а чиэмада а вектор 3
сонига купайтирилган: Ь = 3а. 16-6 чизмада с вектор —сони-
—> I —*-
га купайтирилган: b —— с .
Шуни таъкцдлаймйзки, бирор а =/= 0 векторни узининг узу нли ги-
га тескари сонга купайтирилса, шу вектор йуналишидаги бир-
Га|
лик вектор (орт) ^осил булади, яъни
~~г7=70 (Й=Ь-
Теорема. Агар а II 6(а=/=0) булса, у %олда шундай а сон
мавжудки,
b = а а (4)
булади.
И с б о т. а II b булгани учун цуйидаги уч ^ол булиши мумкин:
.1 ) a ft b булса, —а = —— b булиб, бундан b = а, бу
Ы |Т| Н
17! А.
^олда а = -pq- булади;
, ) |а| । |Т| —
2) af 4-6 булса, —- а =----------b булиб, бундан Ь~—рг а«
га га i“
z га
бу ^олда а =------pq- ;
I а |
—► —>-
3) b = 0 булганда b = 0- а; бундан а = 0. ▲
Демак, векторни сонга купайтириш таърифидан ва бу теорема-
дан бундай хулоса чи^арамнз; а || =Ха. Шундай цилиб (4)
муносабат а,> b векторлар колдинеарлигининг зарурий ва етарли
шартидир.
Векторни сонга купайтириш цуйидаги хоссаларга эга:
Г. Гуруцланиш хоссаси. Ихтиёрий а вектор ва цар цаи-
дай а, р £ 7? сонлар учуй
а(р7) = (ар)7 (5)
муносабат уринлидир.
. — —* —
Исбот. АВ € сс(Р о) ва CD £ (ар) а йуналган кесмаларни ола-
миз. |АВ| = | CD | цамда АВ ва CD бир хил йуналишли кесмалар
эканини курсатамиз:
| АВ] =|а(р7)| = |а||ра[ = |а||р||а]
|СО| = |(аР)7| = |аР|| а| = |а||р||а|,
бундан куринадики, | АВ | = | CD |.
Энди АВ ft CD эканини курсатиш керак. Бу ерда цуйидаги
доллар булиши мумкин:
1)а>0, Р>0 булсин. Векторни сонга купайтириш таърифи-
—>- —>- —> ——>- .
га кура a ft ра ва а(ра)=АВНа булади. Иккинчи томондан,
а > О, Р>0=>аР>0, бундан эса (аР)а = CD11 а.
Бу икки муносабатдан: АВ f t CD, демак, АВ ва CD йуналган
кесмалар бир хил йуналишли;
2)а>0, р<0 булсин, бу цолда ajfpa, a(pa)ftpa=>
=>ABtla. Шу билан бирга а > 0, р < 0 => ар < 0, бундан эса
(aP)atla ёки CD\4а, бундан ва АВЦа дан =>AB}]CD\
3) a < О, р>0; a < 0, р <0 ва а цамда р нинг бири нолга
тент булган лолларда цам | АВ | = | CD | ва АВ, CD бир хил йу-
налишли булиб, (5) муносабатнинг бу лолларда цам уринлн экани-
ни курсдтишни уцувчига цавола этамиз. А
2°. Х,ар цандай а вектор ва ихтиёрий a, р g R сонлар учун
(а +'р) а = а а 4- р а (6)
муносабат уринли.
Исбот. а=#0 ва aP(a + P)=#0 булсин (а = 0 ёки а, р, а+6
ларнинг бири ноль булганда шу параграфдагн б) хулосага кура (6)
муносабатнинг уринли экани равцшн). Йуналган ОА Q а кесмани
оламиз. Бу ерда цуйидаги цоллар булиши мумкин:
1) a > 0, Р > 0 (а < 0, р < 0), бу цолда a + Р > 0 (а + Р < 0).
Йуналган аОА £аа, РОА g Ра кесмаларни цараймиз. У цолда (а+
+ Р) ОА € (а + р) а булиб, а ОА, р ОА ва (а + Р) ОА кесмалар бир
хил йуналишли, шу билан бирга
|(a + p)OA| = |aOA| + |pOA|
(чунки |а + Р| = |а| + |Р|), бундая (6) муносабатнинг уринлилиги
келиб чицади.
2) а > О, р < 0 ва | а | < 101 булсин (яъни а + Р нинг ишораси а
нинг ишорасига тескари). Бу ^олда — а билан а 4- р нинг ишора-
лари бир. хил булиб, 1) ^олга кура
(— а)а + (а + Р)а = [(—а) + а + 0] а = 0 а,
—*
бу тенгликнинг иккала томонига а а векторни цушсак, (6) муноса-
бат келиб чицадн. Агар d < 0, 0 > О, | а | > 10|, яъни а 4- 0 < О
булсин десак, у ^олда ((—а)+(—Р))>0 булиб, бунинг ишораси
0 нинг ишораси билан бир хил ва 1) ^олга кура
[(—а) 4- (-0)]Г+ 0 а= [(-а) + (-0) + р] а = (~а)а,
бундан
((—а, + (—р)]7= (—а)(Г+ (—р)сГ
тенгликни ёза оламиз, унинг иккала томонини — 1 га купайтнрсак,
(6) муносабатга эга буламиз. А
3°. ^ар цандай а, b векторлар ва ихтиёрнй а € R учун
а (а 4- b) = aa + ab (7)
муносабат уринлидир.
Исбот. Бу ерда икки ^ол булиши мумкин:
1) а || Ь. Бу ^олда юцоридаги теоремага асосан шундай R
сон мавжудки, а'= X Ь.
2°-хоссага кура (7) тенгликнинг чап томони
а(а + bf = a(Kb + b) = а(Х4~ 1) b (8)
куринишга, унинг унг томони эса
aa+ab=akb+ab=a(k+l)b (9)
куринишга келади. <8) ва (9) ни таццослаб, (7) нинг уринли эканига
ииюнч >;осил цнламиз.
2) а b (а ва b векторлар
коллинеар эмас) ва а > 0 бул-
син. Бирор О нуцтага а = О А
векторни, унинг охири А га о=
= АВ векторни куйиб, ОВ =
—► —
= а 4- b векторни ^осил циламиз
(17-чизма).
аа =OQ, а(а+Т) = ОР (10)
булсин. Векторларни цушишнннг учбурчак цоидасига кура
OQ + QP = OP. (11)
О АВ ва OQP учбурчакларда О учдаги бурчак умумий ва 1221 =
I OA I
= =а бУлганИ УЧУН лОАВ~}&OQP, бундан
IQPI = а I АВ |, QP f f АВ, а > 0 => а АВ 11 АВ,
У хрлда
QP^aAB=a~b. (12)
(10), (11), (12)=>аа + а?=а(7+ 7).
а < 0 булган ^ол ^ам шу каби исбот килинадн. ▲
Шундай 1;илиб, барча озод вектЬрлар туплами V да аницланган
векторларни кушиш ва векторни сонга купайтириш амаллари цуйи-
даги хоссаларни канозтлантирар экан:
—>- —>-
1. (а + Ь) + с= а + (Ь4-с) (цушишнинг ассоциативлиги).
—► ► —>-
2. а + b = b + а (цушишнинг коммутативлиги).
——► —> —>• —
3. V о € V учун 30 £У|04-а = а+ 0 = а (ноль вектор-
нинг мавжудлиги).
4. V а С V учун 3 (— a) g V | a + (— a) = (— a') + a = 0
(царама- царши векторнинг мавжудлиги).
. -► —>-
5. а фа) = (а Р) а (векторни сонга купайтиришнинг сонларга
нисбатан ассоциативлиги).
“* —► —
6. (а + р)а =аа + р а (векторни сонга купайтиришнинг сон-
ларни кушишга нисбатан дистрибутивлиги).
7. a(a + b)=aa+afc (векторларни цушишга нисбатан сон-
га купайтиришнинг дистрибутивлиги).
8. 1 • a = а.
Бу саккиз хоссани цаноатлантирувчи векторлар тупламН V век-
тор фазо деб аталади.
V вектор фазонинг бирор
а тугри чизиода параллел бул-
ган барча векторлари тупла-
мини Vt билан белгилайлик.
Равшанки, нцнг ихтиёрнй
икки вектори узаро колли-
неардир (18-чизма).
V вектор фазонинг бирор
П текисликка параллел бул-
ган барча векторлари тупла-
мини Va билан белгилаймиз
19- чизма
20- чизма
ва уларни компланар векторлар деб атаймиз (19-чиЗма), 20-чиэ-
мадаги векторлар компланар эмас.
а, b £ булсин, у ^олда а + b € а а € (а € R) була-
ди. Шу билан бирга 1 — 8- хоссалар бажарилади (чунки бу хосса-
лар V нинг ^ар цанддй вектори учун бажарилади). Демак, век-
тор фазодир. .Худди шу каби V, ^ам вектор фааодир.
7-§. Векторнинг укдаги проекцияси
П текисликда узаро параллел булмаган I, т тугри чизшргар бе-
рилган булсин.
1-таърйф. П текисликдагн ихтиёрий А нуцтанинг I тугри
чизицдаги т турри чидища параллел проекцияси деб, А нуцтадан
т тугри чизицка параллел килиб утказилган т' тугри чизик билан
кесишган At нуцтасига айтилади (21- чизма) ва уни пр,/ = Л, билан
белгнланади.
А £ I булган ^олда пр,Л = А.
Фазода ихтиёрий А нуцта, I тугри чизиг; ва бу тугри чизнцца
параллел булмаган П текислик берилган булсин.
2-таъриф. Фазодаги ихтиёрий А нуцтанинг I mtjFpu чиэицда-
ги П текисликка параллел проекцияси деб, А нуцтадан П текис-
ликка параллел цилиб ^тказилган 1Г текисликнинг I тугри чизнц
билан кесишган Аг нуцтасига айтилади ва 1 - таърифдагидек белги-
ланади (22-чизма).
3- т а ъ р и ф. Фазодаги ихти-
ёрий А нуцтанинг П текис-
ликдаги I тугри чизиц^а парал-
лел проекцияси деб, А нуцтадан
/ тугри чизшада параллел ^илиб
утказилган /' тугри чизицнинг П
текислик билан кесишган нуц-
тасига айтилади (23- чизма) ва
уни прПА = Я, билан белгила-
нади.
А € П булган >;олда прпА =
= А. Хусусий ^олда т_1_/ ёки
Ш_/ булса, тегишли проекцня-
лар ортогонал проекциялар дейи-
лади.
АВ вектор берилган булсин,
унинг боши ва охирини I тугри
чизивда (П текисликка; ю^орида-
ги тартибда параллел проекциялаб А& ёкн A2Bt векторларни ^о-
сил ^иламиз (24- чизма). AtBt вектор АВ векторнинг I турри чи-
зицдаги т rnty-pu чизицца (П текисликка) параллел векторли про-
екцияси дейилади. Я2Ва вектор АВ векторнинг П текисликдаги I
тЦрри чизицца параллел векторли проекцияси дейилади ва бу про-
екциялар цуйидагича белгиланади:
npz AB = Л,/*,, прп AB = А^В}.
Бирор а турри чизицни олайлик. Бу турри чизицда иккита уз-
аро царама- царши йуналиш мавжуд булиб, улардан бирини мусбат,
бунга царама- царши йуналишни эса манфий деб олинади.
4-таъриф. Мусбат йу-
___________________________ налиши аницланган турри
чизи^ деб аталади.
* § Уцни шу турри чизшзда
коллинеар булган бирор
25-чизма вектор билан ^ам аницлаш
мумкин. Хусусий ^олда бу
вектор сифатида бирлик вектор олинади (25-чизма).
АВ вектор проекцияланаётган I турри чизнцда е бирлик вектор-
ни оламиз. У >;олда АВ векторнинг уцдаги проекцияси А^ || е бу-
либ, = А, е X g R булади. А, сонни АВ векторнинг I уцдаги т
т$рри чизи/^а (П _ргекисликка) параллел скаляр проекцияси (цис-
^ача проекцияси) деб аталади ва
А, = npz АВ
куринишда белгнланади.
Демак, векторнинг у^даги вектор проекцияси унинг шу уцдаги
скаляр проекциясинн уцнинг бнрлик векторига купайтирилганига
тенг, яъни
—----------------------------* ---------* —
npz АВ = (npz АВ) е,
чунки ^ар цандай вектор учуй а = | а | е, бунда е 11 а-
Баъзан А, = npz АВ сон АВ векторнинг е вектор билан аниц-
у/илнган йуналшидаги т тугри чизицца ёки П текисликка параллел
проекцияси ^ам дейилади.
Агар AjBj ва е векторлар бир хил йуналишли булса, А,= npzAB
сон мусбат, акс ^олда эса манфий булади.
Эндн икки вектор орасидаги бурчак тушунчасини киритамиз.
а, b нолдан фарцли икки вектор булсин. Йуналган ОА Q a, OB Q
G b кесмаларни оламиз. Бу кесмалар ётгаи ОА ва ОВ нурлар ик-
кита бурчакни ани^лайди (1-§). Бу бурчакларнинг ёйи^ бурчакдан
кичиги а ва b векторлар орасидаги бурчак деб аталдди ва унинг
ми^дори (а, Ь) куринишда белгнланади. Равшанки, а, b вектор-
лар орасидаги бурчак О нуцтанинг танланншига боглиц эмас.
—►-Оч—► д —> —> —*- —
(а, Ь) = — да а, b векторлар перпендикуляр дейилади. а, Ь
векторларнинг перпендикулярлиги a _L b куринишда белгнланади.
20
5-таъриф. I уц билан а вектор орасидаги бурчак деб, I
—► —►
уцнинг бирлим- вектори е билан а вектор орасидаги бурчакка айти-
лади.
- —► —►
Теорема. а^О векторнинг I дцдаги ортогонал проекцияси
а вектор узунлигини унинг I уц билан ташкил этган бурчаги
косинусига купайтмасига тенг, яъни
пр, а = | а | cos ф, бунда ф = (е, а).
И с бот. а = АВ векторни ^араймиз. Умумийликни буэмаслик
учун АВ векторнинг боши AQ I деб оламиз. Bt нуцта В нуцтанинг
I уцдаги ортогонал проекцияси, АЕ = е эса I уцнинг бирлик век-
тори булсин. Бу ерда цуйидаги доллар булиши мумкин:
а) ф. уткир бурчак: 0 < ф < у (26- чизма). Бу ^олда АВ1 ва е
векторлар б1ф хил йуналишли булиб,
пр, АВ = | ABi |
булади. Тугри бурчакли АВВ1 учбурчакда
ИВ,| =|АВ] созф,
бандан
пр, АВ = | а | cos ф
экани келиб чи^ади.
6) ф 3» ~ (27- чизма). Бу ^олда АВХ ва е векторлар царама-
царши йуналишли булиб,
пр, АВ = — | АВУ |.
Тугри бурчакли АВВХ учбурчакда |АВ,| = | АВ| cos ф,, бунда ф,=
= л*— ф, cos Ф1 = — cos ф булгани учун бу з^олда зрм пр, АВ =
= \АВ I cos ф. ▲
Эслатма. ф = у булса, АВ векторнинг I
бнтта нуцтадан иборат булиб, бу з^олда
укдаги
проекцияси
пр, АВ = | АА | = 0.
Векторнинг уцдаги проекцияси цуйцдаги хоссаларга эга (хосса-
ларни исботлащда I тугри чизиц^а т тугри чизиц буйича ёки I
тугри чизицца П текислик буйича параллел проекциялашнинг бяри
билан чекланамиэ).
—►
Г. Агар а вектор проекниялаш йуналиши т тугри чизицца (П
текисликка) параллел булса, унинг I тугри чизицдаги проекцияси
нолга тенг булади, чунки бу з^олда векторнинг боши билан охири-
нннг проекциялари устма-уст тушади.
2°. АВ = А'В' булган з^олда пр, АВ = пр, А'В' булади.
И сбот.
пр, АВ = AxBlt (13)
ва
пр,А'В7 = л[в; (14)
булсин. А, нуцтага А,С = АВ векторни, А, ну^тага AjC' = А'В'
векторни цуямиз (28-чизма). АВ ='А'Ц' булгани учун |А,С| =
= |Л'1С'[ .ва Afi tfA'fi', бундан AfiC'А' туртбурчакнинг парал-
лелограмм экани келиб чицади.
AfiC' Aj туртбурчак параллелограмм, Bfi || П ва С' II П
булгани учун В1СС'В1 туртбурчак ^ам параллелограмм дир. У ^ол-
да
Л,В, 4- В, Л, = СС = В,Л, 4" AtBt Л,В, = AtBt,
бундан, (13) ва (14) ни эътиборга олсак,
—► —* —►--------*
пр, АВ =пр, А’В’. ▲
3°. Никита (ёки иккитадан куп) вектор йигандисининг проекция-
си цушилувчи векторлар проекцияларининг йигиндисига тенг.
И с б о т.
АВ = АС 4- СВ ва пр, АС = Л,С,, пр, СВ = С,В,,
пр, АВ = Л,В, (15)
29- чизма
булсин (29- чизма). Векторларни цушишнииг учбурчак цоидасига ку-
ра "ЛА = Afix 4- С А- У зрлда (15) га асосан пр, АВ = пр, ЛС4-
4-пр, СВ ёки пр, (ЛС 4- СВ) = пр, АС 4- пр, СВ. а
4°. пр/ (X АВ) =>= X пр, АВ.
Ис бот. пр, АВ = ЛА булсин (30-чизма).
Ai нуцтага Afi = АВ векторни цуйсак, АВ = Л,С = Afiit+Bfi
булади, у ^олда К АВ = к ЛА + ^BiP- 3°-хоссага кура
пр, (X АВ) = пр, (X ЛХВ1) +
+ пр, (X BiQ.
Л,В1 вектор I тугри чизицца
тегишли ва ХА^ II АВ бул-
гани учун
прДХА^) = ХЛ1В1, ВУС ||
|| П=> ХВ,С || П,
Г-хоссага кура пр, (ХВхС) =
= 0, у ^олда
пр, (1 АВ) = 1AjB, = X пр, АВ. ▲
3°-ва 4°-хоссаларии кетма-кет татбиц цилиш нули билан
пр, (X, а, + Х2а2 + . . . + кпап) = X, пр, а, + Х2 пр,а, +
+ . .. + пр, ап нинг уринли эканини курсатиш мумкин.
8-§. Векторнинг чиэицли боглн^лнгн
1-таъриф. Ихтиёрий а(, а2, .... , ап векторлар системаси ва
<хр а2, .. . , ап ^ациций сонлар берилган булсин, у ^олда
а,а, +а2а2+ . .. + апап (16)
—к —► —► ,
вектор а2, . , а„ еекторларнинг чизицли комбинациям деб
аталади, а,, а2, . ... ап сонлар бу чизшрш комбинациянинг коэф-
фициентлари дейилади.
—Ь- —>
Хусусий ^олда, икки векторнинг йигиндиси а, + а2, икки век-
торнинг айирмаси а, — а2 ва векторнинг сонга купайтмаси К а ^ам
чизи^ли комбинациядир.
2-таъриф. Агар камида бири нолдан фарцли а,. а2, . . . , ап G
R сонлар мавжуд булиб, чизи^ли комбинация ноль вектор, яъни
а, а, +а2а2+ . . . +а„а,= 0 (17)
булса, у ^олда а(, Oj, .... ап векторлар системаси чизи^ли бог-
лиь; ва (17) муносабат а,, а2, .... ап сонларнинг барчаси нолга
—► —► —►
тенг булган ^олда бажарилса, ар а2, . . . , ап вектор чизицли эрк-
ли деб аталади.
1-теорема. Агар ар а2, .. . , ап векторлар системасининг
бир вектори ноль вектор булса, у \олда бу векторлар системаси
чизицли боглиц булади.
Исбот. а* = 0 булсин, у ^олда aft=#=0, = . . . =aft l =
= a*+i = • • • =ап =° сонлар учун (17) муносабат уринли булади.
Демак, 2-таърифга асосан ор а2, . .., ап векторлар чизи^ли 6of-
ЛИ^. ▲
Бу теоремадан цуйидаги натижа келнб чицади: чизицли эркли
векторлар системаси ноль векторни уз ичига олмайди.
2-теорема Агар а{, а2, . . . , ап векторлар системаси чи-
зицли бог лик, булса, системанинг камида- битта вектори унинг
долган векторлари ортали чизицли ифодаланади.
Исбот. а,, , ап векторлар системаси чизицли боглиц
булсин, у ^олда 2-таърифга кура кймида биттаси нолдан фарцли
ap а2, . . . , ап G R сонлар мавжуд булиб, (17) муносабат уринлу
булади. Ани^лик учун «*#=0 булсин, у ^олда (17) муносабатни ак
га ^адма->;ад булиб, ак векторни топсак.
а1 «I „
ak =------- ai------ а2 ~
a*
— а
«*
тенгликка эга буламиэ. ▲
3-теорема. Иккита вектор чизицли боглиц булииш учун
уларнинг коллинеар бу лиши зарур ва етарли.
Исбот. Зарурийлиги. аъ а2 векторлар чизицли боглиц
булсин, у хрлда камида бири нолдан фарцли ар а2 g R сонлар
мавжуд булиб,
а, ах + as аг = О
(18)
буладн. Аницлик учун а^О булсии, у ^олда (18) муносабатдан
о, = — — a2, X = — — белгилашни киритсак, аг = л а2 булади,
бундан 6- § даги теоремага асосан at || экани келиб читали.
Етарлилиги. aT II а2 булсин, у ^олда шундай X G R сон мав-
жудки, a, = Ха2 ёки (—|)а1 + Ха2 = 0; шу параграфдаги 2-таъ-
рифга кура Ор а2 векторлар чиэицли боглиц. А
Бу теоремадан цуйидаги хулосага келамиз. Юцорида биз V нинг
бир тугри чизшзда параллел булган барча векторлари тупламини
деб белгилаган эдик, 3-теоремами эътиборга олсак, Vj нинг з^ар ик-
ки вектори чизицли боглиь; булиб, унинг нолдан фарцли ^ар бир
вектори чизицли эрклидир.
4-теорема. Уч вектор чизицли бовлиц булиши учун улар-
нинг компланар булииш зарур ва етарли.
Исбот. Зарурийлиги. ар а2, а3 векторлар чизив/ш богли^
булсин, у ^олда камида бири нолдан фарцли а]( а2, R оди-'
ций сбнлар мавжуд булиб,
ах + а2 а2 + Озаэ = О
(19)
тенглйк бажарилади. Айтайлик, Од=#= 0 булсин, (19) муносабатни ад
га )(адма-\ад булиб, а3 векторни топамиз: а3 =—— ах — — а2.
«1 “з
Бу тенгликда —— = X, —— = и. белгилашларни киритиб, Од =
г । “з «3
= + ц а2 муносабатни ^осил цилиш мумкин.
АВ G ах ва АС £а2 йуналган кесмаларни цараймиз. Агар А. В, С
нуцталар бир тугри чизицда ётса, ах ва а2 векторлар коллинеар бу-
лада.
Демак, бу ^олда ах, а2. а3 векторлар компланар, А, В, С нуц-
талар битта тугри чизицда ётмаган ^олда улар орцали битта П те-
кислик утади. Векторларни цушишнинг учбурчак ^оидасцдан
+ р. а2 вектор ах, а2 векторлар билаи бир текисликда ётади, бундан
—► —► —►
ai> аг> °з векторларнинг компланарлиги келиб чицада.
—► —к —к
Етэрлилиги. ах, а2, (% векторлар компланар булсин. Бу век-
торларнинг >^р бирини бирор А € П нуцтадан бошлаб цуйсак, АВ *=
= вд, АС = а2, AD = Оз векторлар ^осил булади. Агар бу вектор-
ларнинг иккитаси, масалан, alt коллинеар булса, 3-теоремэга ку-
ра улар чизицли боглиц, яъни Камида бири нолдан фарцли а, £ £
сонлар мавжуд булиб,
a + р а2 = О
булса, у ^олда
а а3 4- ра2 + 0 • а3' = О
муносабатни ёзиш мумкин, бу^
муносабатдан alt а2, вектор-
ларнинг чизицли боглнцлиги ке-
либ чицади.
Ох, Од векторлар коллинеар
булмасин (31-чизма). Од векторни
ах. Од векторлар йуналишларига
параллел проекцияласак, 0д =
= AL + AN, лекин AL || 'alt
AN || а2, шунрнг учун AL =
-Mj ва АДО=ра2 булиб,
Оз=ой£ + р5, (20)
бу ерда а = пр- а, 0 = пр— а3. (20) тенгликдан (—1)03+00! +
fll О»
—► —► —► ——►
+ ₽а, = 0=>а1, Oj, Оз векторлар чизицли боглиц. л
Бу теоремадан цуйидаги натижага келамиз. V2 вектор фазонинг
\ар икки ноколлинеар вектори чизицли эркли, цар цандай уч век-
тори чизицли боглиц.
—к —
5-теорема. \ар цандай mijpmma a, b, с, d вектор чизиц-
ли боглыцдир.
Исбот. а, Ь, с векторлар компланар булса, 4-теоремага ку-
ра улар чизицли боглиц. у \олда шундай а, р, у € R сонлар мав-
жудки,
аа+р6 + ус=0, (21)
бунда а, р, у сонларнинг камида бири нолдан фарцли. (21) ни ушбу
а а+р Ь + у
куринишда ёзиш мумкин. (22)
муносабатдан a, b, с, d вектор-
ларнинг чизицли боглицлиги ке-
либ чицади.
а, Ь, с векторлар компла-
нар булмасин. Бу векторларни
бирор О нуцтага цуямиз (32- чиз-
ма). а ва b векторлар орцали
утган текисликии П билан, с
ва d векторлар орцали утган те-
кисликни 2 билан белгилаймиз.
П Г) 2 = т тугри чизиц, I
—►
эса с вектор ётган тугри чизиц
булсин. 2 текисликда d вектор-
нннг охири А нуцтадан III ва
m, II т тугри чизицларни утказамиз.
син. У цолда
—► ---------------------------»-
d =ов
32- чизма
/1Пт = Вват!П/ = С бул-
>С. (23)
ОС || с булгани учуй
ОС = Л3 € R. (24)
OB, а, b векторлар битта П текисликда ётгани учун 3-теоре-
мага кура шундай Xlt ля Е R сонлар топиладики,
OB = М + (25)
(23) — (25) муносабатлардан
d = XjQ + X2 b + X3 c
ёки
(— 1) d -4- Xi a -1- X2 b -t- Xg c = 0,
—►—>—>—»
бундан a, b, c, d векторларнинг чизи^ли боглицлиги келиб чица-
ди. а
Натижа. Биэ 6-§ да киритган V вектор фазода чизицли эркли
векторлар сони учтадан ортиц эмас.
9-§. Вектор фазонинг базисн ва улчови гвдида тушунча
1-таъриф. Вектор фазонинг маълум тартибда олиНТан elt ее,
. . . , еп векторлари системаси чиэицли эркли булиб, шу фазонинг
\ар бир вектори е(, е2, ... , еп лар ортали чизицли ифодаланса,
бу векторлар системаси вектор фазонинг базиса дейилади ва Б —
= (ер е2, ... , enj орцэли белгиланади.
2-таъриф. Агар базиснинг ^ар бир вектори бирлик вектор бу-
либ, уларнинг зд) иккитаси узаро перпендикуляр булса, бундай ба-
сне ортонормаланган дейилади, Базиснинг векторлари сони вектор
фазонинг улчови деб аталдди.
V вектор фазода компланар булмаган учта ОА = elt ОВ = е2,
> ►
0С~е3 векторни оламиз, 4-теоремага кура улар чиаицли эркли ва
^ар цандай a G V вектор бу elt е2, е3 векторларнинг чизицли комбина-
цняси булади. У ^олда базис таърифига кура маълум тартибда олин-
ган (е1( е2, еэ) векторлар системаси V вектор фазонинг баэиси була-
ди. V да компланар булмаган векторлар учлигини чексиз куп усул
билан танлаб олиш мумкин. Бундан V фазода чексиз куп базис
мавжудлиги келиб чицади.
—► —►
(ер ея, е3) базис векторларининг сони учта булгани учун V век-
тор фазо уч улчовли булади, яъни уни У3 билан белгиланади. V3
вектор фазога тегишл^ коллинеар булмаган , е2 векторларни ол-
сак, улар 3- теоремага кура чизи^ли эркли. >saP цандай а £ Va век-
тор бу еи «з векторлар билан чизицли боглиц (4-теоремага кура).
Бундан куринадики, V, фазода тартибланган ноколлинеар ^ар икки
вектор базисни аницлайди. У2 икки улчовли вектор фазо экан.
Vi вектор фазонинг V е #=0 вектори чизицли эркли, чунки
Хе = 0 тенглик фацат X = 0 булгандагина бажаррлади. фазонинг
^ар цандай вектори е векторга коллинеар булгани учун у билан
чизицли боглиц. Демак, вектор фазода ноль булмаган j^ap цан-
дай вектор базисни аниклайди.
Е ч и ш. а + b вектор координаталари (3 + (— 1), —2 + 0, 1 +
+ (-2» = (2. -2, -1);
b— с вектор координаталари (— 1 — 1,0 — 2, — 2 — 0) = (— 2,
— 2, —2); 3а(3-3, В-(—2), 3 1), За (9, —6, 3);
а + — b — 3 с вектор координаталари
— 2 + -1-.0 —3-2. 1 + у (-2) — 3-0
35- чизма
12- §. Икки векторни скаляр купайтириш
а ва b векторлар V3 вектор
фазонинг ихтиёрий икки вектори
булсин. Бу векторларни бирор О
нуцтага цуямиз (35- чизма).
——►
Таъриф. а, Ь векторлар-
нинг узунликлари билан улар
орасидаги бурчак косинусини ку-
пайтиришдан дасил цилинган сон
бу векторларнинг скаляр ку-
пайтмаси деб аталади. а, Ь век-
торларнинг скаляр купайтмаси а b
ёки (а Ь) куринищда белгилана-
Ъ
ди.
Демак, таърифга кура
а b = |а 11Ь | cos <р.
(29)
Масалан, а ва b векторларнинг узунликлари |а| = 3, |Ь| = 4
—► —>-
булиб, бу векторлар орасидаги бурчак 120° булса, у ^олда а ва b
векторларнинг скаляр купайтмаси:
a b = |a||6|cos(a, b) = 3-4-cos 120'
— 6.
Натижа. Ноль векторнинг дар дандай векторга скаляр купайт-
маси нолга тенг.
Икки векторни скаляр купайтириш амали цуйидаги хоссаларга
эга. z
1°. Скаляр купайтириш урин алмаштириш цонунига буйсунади:
—► > >
а b =Ьа .
Исбот. Таърифга кура
ва
a b = |a||6|cos(a, b)
b a = | b 11 a| cos (b. a);
<"4.
косинус жуфт функция эканлигнни эътиборга олсак, cos (а, Ь) =
= cos(b , а) бундан a b = b а . А
2°. \ар цандай векторнинг уз-узига скаляр купайтмаси бу век-
тор узунлигининг квадратига тенг:
^<7=|а|2. (30)
Исбот. Скаляр купайтмд таърифидан,
aa = |a||a|cos(a, a) = ]a|2cos0° =|а|®. ▲
а а ифода а2 билан белгнланади ва- а векторнинг скаляр квадра-
та деб агалади.
—►
У ^олда (30) тенгликдан а векторнинг узунлиги:
= (31)
3°. Икки векторнинг скаляр купайтмаси уларнинг бирининг узун-
лиги билан иккинчисининг биринчИси йуналишига туширилган проек-
цияси купайтмасига тенг, яъни
ab = |a|np-*t = |6| пр-*а(а#=0, 6=^0). (32)
а и
Исбот.
ab = |а116) cos (а, b) = |6| |a|cos(6, а)
пр ->Ь пр-»а
а ь
(бу ерда ортогонал проекция кузда тутилган). а
4°. Скаляр купайтириш скаляр купайтувчига нисбатан rypyjyia-
ниш цонунига буйсунади, яъни
(та) b = m(ab), бу ерда m£R. (33)
Исбот. Ю^оридаги Г, 3°-хоссалар ва 6-§ даги 4°-хоссага
кура
(та) Ь = Ь(та) = |Ь|пр- (та) = |6|т пр-» а =
b v
—► > »
= т(Ьа) = т(а Ь). а
5°. Купайгувчи векторлар перпендикуляр булса, скаляр купайг-
ма нолга тенг:
а Л_Ь =* ab =0. (34)
Исбот. a .Lb. Бу эрлда (а, Ь) = -^-=> ab = |а| |Ь| cos у = 4
= 0. а
6°. Скаляр купайтириш тацсимот ^онунига буйсунади, яъни зрр
, цандай а, Ь, с векторлар учун
(а + Ь) с — а с + Ьс. (35)
Исбот. (35) муносабатнинг с = 0 \ол учун уринли эканлиги
равшан. c=f= 0 булсин. Ю^оридаги Г, 3°- хоссаларга кура
(а + Ь) с=с(а+Ь) = |с| пр^. (а + b) = |с| (nprtc 4-
с с
—* —> -» » —> . - > g »
+ пр_ Ь) = с а + с b =а с с'. а
7°. Ортонормаланган Б = (elt е2, ея) базис учун
Те. = (?’ да А / = 1, 2, 3.
1 ' (1, i = / да ' ‘
Исбот. Скаляр купайтма таърифидан
= И II Sicos J -1 c°s— = 0.
Хусусий ^олда e( et = | e;12 = 1. A
13-§. Скаляр купайтманинг коордииаталардаги нфодаси
V3 вектор фазода ортонормаланган (elt еа, е3) базисни олайлик.
а, b векторлар бу базисга нисбатан (xlt ylt zj ва {х2, у2, z2) коор-
динаталарга эга булсин:
а =х1е1 + у1е2 + г1е3,
Ь. = х2е1 + у^2 + г2е3.
12-§ даги 4°, 6°- хоссаларга асосан
ab = (x1e+y1e2 + z1 е3) + Уз е2 + г2 е3) =
= х1х2ё11+ у^2 + (ХаУ1 + Х1&) С2 +
+ (z,!/a + УЛ) е2 е3 + (хгг2 + 2гх2) q е3
муносабатни ёза оламиз, бундан 12-§ даги 7-хоссани эътиборга ол-
сак,
аЬ = хгх2 + уху2 + 2jZ2. (36)
Демак, координаталари билан берилган икки векторнинг скаляр
купайтмаси бу векторлар мос координаталари купайтмаларининг
йигиндисига тенг.
Натижалар. 1. а (х, у, z) векторнинг узунлиги унинг коор-
динаталари квадратлйринииг йигиндисидан олинган арифметик ква-
драт илдизга тенг:
jaj =У х2+у2+г2 . (37)
Хаци^атан, fl = fr=>x1 =х* = х, У1 = уг=у, z1=za—z,,y цол-
да (36) формулага асосан
aa=t=x2 + y* + z2
ва
[а| = Уаа = аа = Ух2 + у2 + z2.
2. Икки а, b вектор орасидаги бурчак ушбу формула буйича
' эртсобланади:
cos (а, 6) =
(бу формула скаляр купайтма таърифидан бевоогга келиб чицади).
Координаталари билан берилган* a(xlf ylt b(xt, yt, z,) век-
торлар учун
cos(a, b)
ХЛ + HiUt +
F^+^+m+i+7'
(38)
3. a(xlt ylt Zi), b(xt, ylt zt) векторларнинг перпендикулярлик
шарти едгйидагича булади:
*й+(!1й + »й“0.
—►
Хацицатан =0. (36) дан
+ 2Д = 0.
1-мисол. а(1, 3, 2), Ь(3, 1, —3), с (2, 0, >— 2) векторлар-
нинг цайси жуфти перпендикуляр?
Ечиш. Аввало, равшанки, берилган векторлар ноль вектор эмас,
чунки | а | = У14, | Ь | = V~K), I с | = У 8 .
—> —> —♦
Энди а Ь, ас , b с скаляр купайтмаларни текширамиз: а b =
= 3 + 3—6 = 0. 77=2 + 0 — 4 = — 2, 77=6 + 0 + 6=12,
->- —
буидаи a J_ b .
——>
2-мисол. а (1, —1, 0), fr(l, —2, 2) векторлар орасидаги бур-
чакни топинг.
Ечиш. а, Ь векторларнинг координаталарини икки вектор ора-
сидаги бурчакни топиш формуласи (38) га ц^ямиэ:
i+2 + о 3 /Г
008 °’ ~~ /1+1+0 -/1 +4+4 “3/2 2
Бундам
{o’, 7) = 45°.
II Б О Б. ТЕКИСЛИКДА КООРДИНАТАЛАР МЕТОДИ
Текисликдаги. иу^танинг урнини маълум сонлар ёрдамуда аниц-
лашга имкон берадиган усул курсатилган булса, текисликда коорди-
наталар системаси берилган деб айтамиз. Текисликда координаталар-
нинг турли системалари мавжуд булиб, улардан биз соддасини
киритамиз.
14-§. Текисликда коордииаталариннг аффии системаси
Текисликда бирор О ну^тадан ^уйилгаи ноколлинеар ихтиёрий
——►
икки elt е2 вектор берилган булсин. Бу векторлар системаси (elt
——* —
еа) базисни ани^лайди. Текисликда et, еа векторлар ортали утувчи
a, b(af)b = O) тугри чизи^ларни оламиз.
.Таъриф. Мусбат йуналиш-
—*-
/лари мос равишда elt е2 .вектор-
лар билан ани^ланувчи а, b тур-
ри чиэиклардан ташкил топган
система текисликда координата-
ларнинг аффии сиоемаси ёки
аффин репер дейилади (36-чиз-
ма) ва у JB = (О, et, е3) кури-
нишда белгнланади. O=ap|fe нуц-
та координаталар боши, elt е2
________________________а векторлар эса координата век-
торлари дейилади. Мусбат йу-
налишлари е,, еа векторлар билан
аникланган а, b турри чизицлар
36- чизма_______________мос равишда абсциссалар ва ор-
динаталар уцлари деб аталади,
уларни Ох, Оу билан белгилаймиз.
——*
Демак, аффин репер О нуцта ва elt е2 базис векторларининг
берилиши билан тулиц ани^ланади.
Текисликда (О, elt е2) аффин репер берилган булсин. Шу текис-
ликнинг М нуцтаси учун. ОМ вектор М ну рванин г радиус-вектора
дейилади. ОМ Q V2, шунинг учун I боб, 9- § га асосан \амиша шун-
дай х, у сонлар топиладики,
---------------------------* —► —►
ОМ =xej +уе2.
Таъриф. ОМ радиус-векторнинг х, у координаталари М нуц-
танинг (О, ег аффин репердаги координаталари дейилади; биз
М(х, у) белгилашни ишлатамиз. Бунда х сон М нуцтанинг абсцис-
саси ёки биринчи координатаси, у сон эса М ну^танинг ордината-
си ёки иккинчи координатаси дейилади.
Хуллас, текисликда координаталарнинг аффин системаси берилса,
ундаги исталган М ну^тага унинг координаталари булмиш бир жуфт
одшртй х, у сон мос келади ва, аксинча, маълум тартибда олинган
бир жуфт ^а^иций х, у сонга текисликда координаталари шу сон-
лардан иборат тайин битта М ну^та мос келади.
Ха^ицатан, танланган'(О, elt е2) аффин репернинг абсциссалар у^ига
координата лар бошидан бошлаб ОМ1=хе1 векторни, ординаталар у^и-
га эса ОМ2 = уе2 векторни цуйиб (^уйиладиган векторларнинг йуна-
лишлари х, у сонларнинг ишоралари билан аницланади) (37-чизма),
^осил ^илинган 7Hlt М2 нукталардан мос равишда Оу ва Ох уцлар-
га параллел тугри чизицлар утказсак, уларнинг кесишган ну^тасн
— —► - >
изланаётган М нуцта булади, чунки ОМ = ОМ1-{-ОМ2 = хег + уе2.
——>
Шундай >;илиб, (О, elf е2) реперга нисбатан
А1 (х, у) <&ОМ = хе\ + уе2. (1)
—• —* —► ----—> —
М ну^танинг абсциссаси х = 0 булса, (1) дан ОМ =уе2 =#- ОМ || |
=> М нукта Оу укда ётади. Худди шуниигдек, М нуцтанинг орди-
натаси у = 0 булса, М ну^та абсциссалар уцида ётади.
Шундай ^илиб, абсциссалар уцида ётган ну^таиинг координата-
лари х, 0 ва ординаталар уцида ётган ну^танинг координаталари
О, у булади. Координаталар бошининг координаталари 0, 0. Коор-
дината уцлари бутуй текисликни 38-чизмада белгиланганидек туртта
координат чоракларга ажра^ади.
М (х, у) нуцта координата уцларида ётмаса, унинг ^айси чоракда
ётишини х, у нинг ишораларига ^араб 38-чизма буйича аницлаш
мумкин.
Кацицатан, М ну^та х > 0, у> 0 булган ^олда биринчи чоракка,
х<0, у>0 булган зрлда иккинчи чоракка, х<0, у<0 булган
з^олда учинчи чоракка,. х>0, у<0 булган з^олда туртинчи чоракка
тегишли булади,
Векторнинг боши ва охирининг координаталари бирор аффин репер-
га нисбатан маълум булса, бу векторнинг шу базисдаги координатала-
рини топишни курайлик. (О, elt ег) реперга нисбатан A (xlt yj, В (х2,
у2) ни олайлик. Бу з^олда ОА = х1е1 + ух еа, OB * *= х^ + у#а,
АВ = OB — ОА ва АВ = (х2—xj q + (у2 — У1) еа. Бундан
ЛВ(х2 — хР у2- уД
яъни векторнинг координаталари шу вектор охирининг коордннатала-
ридан мос равишда бошининг координаталарини айириш билан хосил
цилинади. \
1-м ис о л. Берилган (О, elti?2) реперда Л(3, —3), Я(0, 3),
С(—2, 0) ну^таларни ясанг.
Ечиш. Л(3, —3) нуцтани ясаш учун ОА = Зе1~зТа векторни
ясаймиз. Бунинг учун О ну^тадан бошлаб ех га коллинеар Зёу век-
торни, е2 га коллинеар—3 е, век-
торни ясаймиз. Сунгра бу век-
торларнинг йигицдисини топсдк,
ОА вектор з^осил ^илиниб, изла'
наётган Л нуцтани топамиз.
Худди шунта ухшаш, В (0, 3)
нуцтани ясаш учун ОВ = Оег +
+3 е2 векторни ясаймиз. С (—2, 0)
/ нуцтани ясаш учун ОС =
/ =—2е1-|-0-е2 = —2ех векторни
* ясаймиз (39-чизма).
2-мисо л. (О, elt е2) реперда
' Л(1, —2), АВ(—1, 3); В нузуга-
нинг координаталарини топииг.
' Ечиш. Шу реперда В(х, у)
———► " ►
десак ^амда АВ = АО + ОВ =
= ОВ — О А ни эътиборга олсак, у з^олда О A (L — 2). Демак, — 1 =
= х—1, 3у + 2=>х = 0, у = 1; fi(0, 1).
15-§. Кесмани берилган нисбатда булиш
Л, В — текисликдаги турли икки иуцта, N эса АВ тугри чизи^-
иинг ихтиёрий нуцтаси булсин. AN, NB векторлар коллинеар бул-
гани учун шундай X сон мавжуд буладики,
AN = kN В. (•)
Arap N нуцта AB кесмада ётса, яъни кесмани ички равишда
булса, AN, NB векторлар бир хил йуналишли булиб, X > 0 ва N
нуцта АВ кесмада ётмасдан, лекин АВ турри чизицда ётса, AN,
NB векторлар царама- царши йуналишли булиб, X < 0. Биз N нуцта
бу цолда АВ кесмани ташци равишда булади, деб айтамиз. X сон
учта А, В, N нуцтанинг оддий нисбати деб аталади. Биз уни
(АВ, АО = X билан белгилаймиз, (•) дан X =(АВ, N) = .
АВ
Текисликда (О,е1,е2) реперни
олайлик. Бу реперда А, В, N
нуцталар А^, yj, В(хя, у2) ва
N (х, у) координаталарга эга бул-
син (40-чизма). Бу нуцталарнинг
радиус- векторларини цуйидагича
белгилаймиз:' ОА = rlt ОВ = г2,
ON=r, у цолда AN = ON —
— ОЛ=7—7i, NB=OB—ON=
= r2 — г булиб, буларни AN =
>
= kNB ифодага цуямиз:
г — гг=к(г2 — г) ёки
(1 + X) г == rj 4-Хг2,
буидан 1 + Х#= 0 фаразда
40- чизма
муносабатга эга буламиз. Бу (ифода булувчи N нуцтанинг раднус-
векторини аницлайди. (2) ни координаталарда ёзайлик. г =хег +
+ У «»• G = х1е1 + у-! е2, r2
xq + уе2 =
= х2ех + у2е2 булган» учун (2) дан
. + у^е2) + X (х*1 + у*Л)
ёки
хег 4- yet
У1 + Ху»
. . - ''Л’
еъ е, векторлариинг чизицли эрклилигидан (ер е2 векторлар олдидаги
коэ£фициентларни нолга теиглаштирамиз):
х =
_ У\ + ку2
V 111
Бу формулалар орцали берилган кёсмани берилган X нисбатда
булувчи нуктанинг координаталарини топиш мумкин. Бу ерда албат-
та Х#=— 1; Х =— 1, яъни 1+Х=0 булган ^олни биз ^озирча
^арамаймиз. X = 1 булганда N нуцта АВ кесманинг уртаси булиб»
бу ^олда унинг координаталари ^уйидагича аницланади: ‘
_ X, + хг _ yt + у3
2 ’ У 2
Мисол. Аффин координаталар системасида учлари А(1, 2),
В (0, 5), С(—2, 3) ну^талардан иборат учбурчак медианаларининг
кесишиш нуцтасини топинг.
Ечиш. Маълумки, учбурчакнинг бирор учидан утказилган ме-
диана ана шу уч царшисидаги томонни тенг иккига булади. Учбур-
чакнинг медианалари битта нуцтада кесишади ва шу ну^тада улар-
нинг >;ар бири (медиана утказилган учдМн бошлаб ^исоблаганда) 2:1
каби- нисбатда булинади, шу хоссаларга кура AD медиана учун D
нуцтанинг координаталари ^уйидагича топилади:
x = ^l±^=0z22=_ у = Ул±У2. = ^±1 =4' D(-l,4).
2 2 ’ * 2 2 v 1
Медианаларнинг кесишиш нуцтаси О учун X = 2:1 =2 булиб,
излаиаётган О ну^танинг координаталари 1\уйидагича ани^ланади:
х _ *> -г Хха _ 1 + 2 • (— 1) __. 1 .
1+Х 1+2 3 '
„ __ У1 + X _ 2 -I- 2 • 4 _ J0.
У I + X 1 + 2 3
п л/ 1 10 \
Демак, 0------, — .
\ 3 з )
16-§. Текисликда декарт координаталарнинг тугри бурчакли
системаси. Йкк'и ИУКта орасидаги масофа
1-таъриф. Аффин репер (О, elt е,) нинг координата векторлари
ej,e2 ортонормаланган базисни ташкил этсин, яъни e1_Le2, |ej| =
= |е2| = 1 булрин. Бу цолда биз координаталарнинг тугри бурчакли
системаси, >;исцача, декарт репери берилди деб айтамиз. Бундай ре-
перни (ОТ i,j) куринишда белгилаймиз. Бу ерда ,i2 = у2 = 1,
i / = 0. Бу ^олда координата учлари перпендикулярдир. Декарт ре-
пери аффин репернинг хусусий ^оли булгани учун аффин реперга
нисбатан уринли муло\азалар декарт реперида ^ам уз кучини сац-
лайди.
Аммо декарт реперидаги айрим муло^азалар аффин реперда дои-
яо уринли булавермайди.
Таъриф. Mi, М, ну^талар орасидаги масофа деб, AfjAl, (ёки
MjMi) векторнинг узунлигига айтилади.
40
Демак, таърифга кура
р(4. mj=|44|.
Энди координаталари билан берилган икки нуцта орасидаги ма-
софани эртсоблаш формуласини топайлик. Текислркда (О, i, /) де-
карт репери берилган булиб, бу реперга нисбатан Mlt М2 нуцталар
ушбу координаталарга эга булсин: Mi (хг, уг), М2 (х2, yj, у эрлда
44 = ОМ2 — OMi, 0М2 (х2, у2), ОМг (xlt yj булиб, ОМ2 ва ОМг
векторларнинг айирмаси булган М1М2 вектор ушбу координаталарга
эгадир:
MiM2{xt—Xi, уа — У1). (4)
1 боб. 13-§ даги 1-натижага асосан,
Р(4. 4) = 1441 = К(*г —Xif + G/i —!/i)2.
Демак, берилган Mt (xj, t/J ва М2(х2, yj ну^талар орасидаги
масофа ушбу формула буйича топилади:
р(4. М2) = V (х2 — Х1)я + (& — у if . (5)
1-м ис о л. Мл(—1, 0), 4(2, 3) нуцталар орасидаги масо4ани
^исобланг.
Ечиш. Берилган Мг, М2 нуцталар орасидаги масофа (5) фор-
мулам асосан:
_ Р (4. М2) = /(2 —(—I))2 + (3 —О)2 = /9 + 9 =./18.
2-мисо л. Учлари Д(3, 2), В (6, 5), С(1, 10) нуцталарда бул-
ган учбурчакнинг тугри бурчакли эканлигини исботланг.
Ечиш. р(Д, В)=/(6 — 3)2+(5 — 2)2=/32 + 32=/18 = 3/2;
р(В, С) = /(1—6)2 + (10 —5)2 ='/(5)2 + 52 = /50 = 5/2;
Р (Д, С) = /(1 — З)2 + (10 - 2)2_= /(—2)2 + 82 = 2/17;
(3 /2 )2 + (5/2 )2 = 18 + 50 = 68,
(2/17)2 = 68 булгани учун
р2(Д, В) + р2(В, С) = р2(Д, С).
Пифагор теоремасига асосан дДВС тугри бурчакли учбурчакли
учбурчакдир.
17-§. Текисликиинг ориентацияси
(е1,е2), (е', e2) — Vt вектор фазонднг икки базиси булсин. Иккии-
чи базис векторларини биринчи базис векторлари буйича ёйиб ёзамиз.
—- &1€1 + п2е2, е2 + Ьдв2,
е\, е'2 векторларнинг бу базисга нисбатан координаталаридан
жадвални (иккинчи тартибли квадрат матрицани) тузамиз. Бу
жадвал биринчи базисдан иккинчи базисга дтиш матрицаси деб
. аталади.
ai> а2- blt Ь2 сонлар Р* J1) матрицанинг элементларидир. Бу матри-
Ь21
ца иккита сатр ва иккита устунга эга: a(, Ь] сонлар биринчи сатрни, а2,
Ь2 сонлар эса иккинчи сатрни; at, а2 сонлар биринчи устунни, Ьх, Ь2 сон-
лар эса иккинчи устунни ташкил цилади. atb2—a2bx сон
нинг детерминанта дейилади. Уни det (а* £* | ёки I'
bj |<
\матрица-
куринишда
1о, Ь,
lfl2 Ь2
белгилаймиз. Агар матрицанинг барча едтрлари чизи^ли эрйли булса, у
айнимаган матрица, сатрлари орасида чизицли богланиш мавжуд бул-
са, айниган матрица дейилади. Алгебра ва сонлар назарияси курсидан
маълумки, квадрат матрица детерминантанинг нолга тенг булиши унинг
айниган булишининг зарурий ва етарли шартидир.
айнимаГан
\о2 bj
матрицадир, чунки
fc£l*° (fe&1“°б}лга" ,олю ТГь б?’
либ, бундан a1 — Xbl, а2 = ^Ь2. Демак, ех=ке2. Бу эса (е,, е')
базис векторларининг коллинеарлигидан дарак беради).
V2 вектор фазонинг барча базислари тупламини Q билан белги-
лайлик. Бх, S2QQ базисларни оламиз.
Таъриф. Агар Бх базисдан Б2 базисга утиш матрицасининг
детерминанта мусбат (манфий) сон булса, у ^олда Бх, Б2 базислар
бир хил (%ар хил) исмли дейилади.
Киритилган бир хил исмлилик тушунчаси ^уйидаги хоссаларга эга:
1. V Б EJ2 учун Б^Б. Бу ерда~белги бир исмлилик белгиси.
2. Бх ~ Б2^- Б2 ~ Бг.
3. (Бг ~ Б2, Б2 ~ Б3) =>БХ~Б3.
Исбот. 1. Б = (elt е2) базис векторларининг яна шу базис век-
торлари буйича ёйилмаси ех — 1 • ех + 0-е2, е2 = 0 - 4-1 • е2 га
кура Б дай Б га утиш матрицаси булиб,. унинг детерминанта
|о 1|= 1 > О' Демак’
2. Бх~Б2 булсин. Агар Бх= (ех, е2) базисдан Б2 = (ej, е2) базисга
утиш матрицаси (°l булса, шартга кура унинг детерминанта
\Oj b2j
Д
> 0. Энди Б2 дан Б1 базисга утиш матрицаси детерминан-
тини топайлик, бунинг учуй е[ = + а^, е2 = Ьхех + Ь^2 систе-
мани вр е2 га нисбатан ечамиз:
Текисликда иккита (0, е2, е^,
(О', е{, е2') аффин репер берилган
булсин ’ (43- чизма). ^улайлик
учун уларнинг биринчисини зеки
репер, иккинчисини янги репер
деб атаймиз. Бундан ташцари,
янги репернинг эски реперга нис-
батан ваэияти берилган булсин,
яъни
0 (q, С2), 6f (fllt O2), €20i, Ь2),
00
•2«а. (6)
e\ = a^i+a^j, (7)
Текисликда ихтиёрий М нуцтани оламиз. Бу нуцтанинг эски ва
янги реперларга нисбатан координаталарини мос равишда х, у ва
--------------------------------------* —* ~ » —►>
х', у' орцали белгилаймиз. У ^олда ОМ= хе1^-уе2, О'М-—х'е1 +
+у'е2. Векторларни цушиш таърифи ва (6), (7) муносабатлардан фой-
далансак,
ОМ'= ОО' + 0'714=^1 +с2е2+х'е'1+у'е2=
= qq+ с#2 + х' (Л1 Ci +а2е2) + у' (&! 61+ b2q)
ёки
х et + уе2 = (akx' + bry' + q)7i + (агх + bjy' + са)е2.
elt е2 векторларнинг чизицли эрклилигини ^исобга олсак.
х = arx' + b2y' + q, у = а2х' + 6# + q. (8)
М нуцтанинг эски системага нисбатан координаталари х, у, унинг
янги системага нисбатан координаталари х', у’ ортали шу (8) ку-
ринишда ифодаланади.
(8) формулалар бир аффин репердан иккинчи аффин реперга
утши формулалари дейилади. Бу формулаларда |fll шартби-
|а2 о2|
лан богланган олтита коэффициент цатнашгг)н. Куйидаги икки ху-
сусий >;олни цараймиз:'
1. О=#О', ej = 61, е' = е2 булсин (44- чизма). У ^олда at = Ьа=
= 1, а2 = t>! = 0 булиб, (8) формулалар
х = х' +clt у = у' + с2 (9)
куринишни олади.
(9) формулалар координаталар системасини параллел кучириш
фору улалари деб аталади.
44- чизма 45- чизма
£. О = О' ва базис векторлар турлича булсин (45- чизма,. У ^ол-
да q = са = 0 булиб. (8) дан
х = а^' 4- b^', у = Ogx' 4- b^y'. (10)
19-§. Декарт координаталари системасини алмаштириш
Текисликда £ = (О, i, j) ва £' = (О’, i', j') декарт репер-
лари берилган булсин. Бу ^олда (8) формулалардаги ар а2 лар
“► —► ——►
»' векторнинг, Ьъ Ья лар эса/' векторнинг £ •= (0, i, j) реперга
нисбатан координаталари булади, яъни
i^aii+ciij, j'=bLi-\-b2j- (11)
—
(i, Г) = а булсин. Агар £ ва- £' декарт реперлари бир хил ориен-
тация^ булса, у ^олда (46- чизма)
(Г, fj = 90°+а, (?, 90°—а, (7„ f) = а. (12>
S, S' декарт реперлари царама-царши ориентацияли булса (47-
чизма), у зрзлда
(7, П=270°+а, (7 Я=90°—а, (Г f) = 180° + а. П 3)
(11) генгликларни навбат билан i, j векторларга скаляр купайтирсак,
—► —► —► —►
a^i' t=cos(t', i), ая =i' j=cos(i', j),
=7 T = cos (/', i), b2 = /' / = cos O',/).
"► —*
(12) ва (13) муносабатларни з^исобга олсак, Г, /' векторларнинг S ре-
перга нисбатан координаталари, агар S, S' реперлар бир хил ори-
ентациялн булса,
i' (cos a, sin а), j' (— sin а, cos а);
S, S' реперлар царама-царши ориентацияли булганда эса
i' (cos a, sin а), /'(sin а,—cos а).
У з^олда (8) формулалар цуйидаги куринишни олади:
1х = х' cos а — у' sin а + clt
у = х sin а + у' cos а + са,
1х = х' cosa + у' sin a + сх,
у = x'sina — y'cosa-f-Cj,
(14) ва (15) формулаларни битта
(14)
(15)
х — х cosa — г у sina+c,, „„
(1б)
у = х sin a + г у cosa + са
куринишдагн ёзувга бирлаштириш мумкин, бу ерда е = zt I. Шун-
дай цилиб, S, S' реперлар декарт реперлари булганида уларнинг
биридан иккинчисига утиш (16) формулалар билан ифодаланади. Бу
ерда, S, S' реперлар бир хил ориентацияли булса, е = Ч-Г, акс
з^олда эса е = — 1.
Мисо л. Иккита аффин репер S = (Q, et, ej. S' = (О', ej, e2)
I “** —V
берилган булиб, бунда O'(1, 2), е\(—1, 1), e2(2, —1) булсин^M нуц-
танинг S реперга нисбатан координаталари х = 2, у = 1 эканини
билган з^олда бу -нуцтанинг S' реперга нисбатан ксординаталари '
х', у' ни топинг.
Ечиш. Берилган? at = — 1, bt = 2, q = 1, Og = 1, Ья = — I,
сг = 2. Бу ^ийматларни (8) формулаларга цуйсак.
х =* — х' + 2у’ + 1, у = х' — у' + 2.
х = 2, у = 1 эканини ^исобга олсак, 2 = —х' + 2у' + 1, 1 =
х'^-у' +2 ёки —х'4-2у = 1, х'—у' =—1, бу системани ечиб,
х' = — 1, if = 0 ни топамиэ. Демак, М ну^танинг S' реперга вис-
батан координаталари х' = — 1, у' = 0.
20- §. Кутб координаталар системаси
Куп тадцицотларда ва эгри чиэицларнинг му>;им синфларини (ма-
салам, спиралларни) урганишда цутб координаталар системаси деб
аталувчи системани цулланиш мацсадга мувофицдир. Бу параграфда
шу система билан танишами э.
Ориентацияли текисликда би-
48- чизма
pop О нуцта ОР нур ва ОР нур-
да ётувчи OE=i бирлик век-
торни белгилаймиз (48- чизма).
Косил цилинган геометрик образ
цутб координаталар системаси
дейилади. Уни (О, i) куринищда
белгилаймиз. О нуцта цутб бо-
ши, ОР нур эса цутб уци дейи-
лади. М нуцтанинг текислнкдаги
ваэияти маълум тартибда олин-
ган икки сон: бири ОЕ бирлик
кесма ёрдамида улчанган г =
=|0/И|>0 масофа, иккинчиси ОР
нур ОМ нурнинг уса ига тушиши
учун бурилиши керак булган <р = (i, ОМ) бурчак билан туда аниц-
ланади.
Кутб уцини ОМ нур устига тушгунга цадар буриш мусбат йуна-
лишда, яъни соат мили йуналишига тескари йуналишда бажарилса,
<р мусбат деб, акс ^олда <р ни манфий деб ^исобланади.
г ни М нуцтанинг цутб радиуси, <р ни М нуцтанинг щтб бур-'
чаги дейилиб, уларни М нуцтанинг цутб координаталари дейилади
ва М (г, <р) куринишда белгиланади.
О нуцта учун г = 0 булиб, <р аницланмаган тртсобланади. Агар
0^г< «о, 0 <ф<2л ярим сегментда узгарса, текисликнинг ^ар
бир нуцтаси цутб координаталари билан таъминланади.
Масалан, А, В, С, D ну^талар 49- чизмада ушбу цутб коорди га-
таларига эга:
а(2, — 1 в(1, о), с(—, — —), d/з,—1
\ 6 / 7 \ 4 4 / V 2 /•
Равшанки, сонларнинг \ар ^андай (г, <р) жуфти учун текисликнинг
битта ну^таси мавжуд булиб, сонларнинг бу жуфти шу нуцта учун
цутб координаталар булади. Аммо бир нуцтанинг узига чексиз куп
сонлар жуфтлцги мос келади. Чунончи, М нуцтанинг координаталари
г = а > О, <р = а булса, г=
= а, ф = а ± 2л k (бу ерда
Л=О, 1, 2, . . . ) жуфтликлар
>(ам шу М нуцтанинг коорди-
наталари булади, чунки ОМ
нур ОР цутб уцини а бурчак
^адар бурилишидан >;осил бу-
лади деб фараз ^илсак, у
^олда ОР нурни ф= а ± 2 nk
цадар бурилишидан ^ам уша
нурнинг узини ^осил цилиш
мумкин.
М нуцтанинг цутб бурча- * D
ги цабул 1\илиши мумкин бул-
ган цийматлари орасидан 49- чизма
— л < ф л тенгсизликни ца-
ноатлантирадиган аниц бир циймати ажратилади ва у бош циймат
деб аталади. Кутб бурчагининг бош циймати сифатида ОР нурни
ОМ нурнинг устига тушириш учун унй буриш керак булган бур-
чак олинади. ОМ нур ОР нурга царама-царши йуналган булса,
180° га .икки. йуналишда буриш-мумкин, бу вацтда цутб бурчаги-
нинг бош циймати учун ф=л цабул цилинади.
21-§. Ну^танннг ^утб ва декарт координаталари орасидаги
богланиш
Текисликда (О, i) цутб координаталар системаси берилган бул-
син. Координаталар боши цутб боши билан, абсциссалар уцининг
мусбат цисми цутб уци билан устма-уст тушадиган мусбат ориен-
тацияли (О, i, /) декарт реперини киритамиз (50- чизма).
М нуцтанинг цутб координаталари г, ф, декарт координаталари
эса х, у булсин.
0MtM тугри бурчакли
учбурчакдан:
х = г cos ф, у = г-вшф. (17)
М нуктанинг цутб коор-
динаталари г, ф маълум бул-
са, (17) формулалар буйича
унинг декарт координаталари
^исобланади.
Уз навбатида М нуцтанинг
цутб координаталари г, ф ни
унинг декарт координаталари
х, у орцалк топиш мумкин.
OMJW учбурчакдан:
50- чизма
г=Уха+у*, tgq> =—=► Ф = arc tg
X X
X . у
COSW = —7=_____— , SIH® = • z —
/ x24-f<2
(18)
(17) M нуцтанинг цутб координаталаридан декарт координаталарига.
(18) М нуцтанинг декарт координаталаридан цутб координаталарига
утиш формулаларидир.
Шуни эслатиб утамизки, М нуцтанинг декарт координаталаридан
цутб координаталарига утишда tg ф = — формула цутб бурчагининг
бош цийматини ту ла аницламайди, чунки бунинг учун яна Ф ми^-
дор мусбат ёки манфий эканлигини хам билиш керак. Одатдабу
М нуцтанинг цайси чоракда жойлашишига цараб аницланади. Маса-
лан, (18) фсрмулада х = 3, у = 3 булса, tgф = 1 булиб. ф = 45°.
Лекии х = — 3, у — — 3 булганда >;ам tg ф = 1 булиб, энди ф бур-
чак 45° эмас, балки — 135° булиши керак, чунки (— 3, —3) иуцта
учинчи чоракда жойлашган. ф бурчакнинг циймати ва ишорасини
coscp, sincp га цараб аницлаш цулайроц.
Мисо л. Кугб координаталари билан берилган Ф1), Ма(га,
Ф3) нуцталар орасидаги масофани цисоблаш формуласини келтириб
чицаринг. г г
ЕчишУМ], М2 нуцталарнинг декарт координаталари Af1(x1, ^t)
ва Ма (х2, yj булсин. Декарт координаталаридан цутб координата-
ларига утиш формулаларига кура
х1 = Г1СО5ф1 ва Ха=Г2СО5ф2,
yt = ri sin ф1 уа = га sin ф2.
У цолда ____________________
р (Ми Ма} (х2 —х,)2 + {уа — f/2)2 =
«= у (r2 COS ф2 — Г1 cos ф2)’ -ь (г2 sin ф2 — ra sin ф,)2 = .
=V r\ (cos2 ф2 4- sin2 фО 4- г2 (cos2 ф2 + sin2 фа) — 2f\ra (cos ф2 cos ф, 4-
'4-sin ф2$ш фО = У г? + — 2rara cos (ф2 — Ф1),
p(Aln /Иа) =/г2 4- г2 — 2iv2cos (Фа—<Pi )
22- §. Коордннаталарин богловчи тенглама ва тенгснзликларнинг
геометрнк маъносн
Текисликда бирор (О, elt е2) аффин репер олиниб, х, у уэгарув-
чиларнинг камида бирини $з ичига олган F (х, у) ифода берилган
булсин. Агар х = х0, У = Уй сонлар учун F(x0, у0) ифода маънога эга
булса, у цолда хв, //О соилар F(x, у) ифоданинг аницланиш соцасига
тегишли дейилади. Бундай сонларнинг цар бир жуфти берилган ре-,
перда тайин битта нуцтани аницлайди. Барча бундай нуцталар дуп-
лами текисликдаги бирор геометрик фигурадан иборат. Бу фигура
бутун текнсликдан ёки унинг бирор цисмидан, баъзан буш туплам-
дан иборат булиши мумкин.
Масалан, F(x, у)=—------1 ифода ^=#0 булгандагина маънога
у
эга булиб, унинг аницланиш со^аси текисликнинг Ох уцда ётмаган
барча нуцталарн тупламидан иборат фигура булади. F (х, у) =
=К—хг — у1—1 ифода х, у нинг Од) цандай цийматларида ^аци.
ций со^ада маънога эга булмайди. Демак, бу ифода билан ани^лан.
ган фигура буш туплам. F. (х, у) = х 4- у ифода х, у нинг \ар цан.
дай одиций цийматларида маънога эга булиб,. тегишли фигура бу.
тун текнсликдан иборат.
Энди
F(x,y) = 0 (F(x,y)*0) (19)
куринишдаги тенгламани (тенгсизликни) цараймиз.
Агар икки х=х0, у = у0 сон (19) тенгламадаги (тенгсизликдаги)
уэгарувчиларнинг урнига цуйилганда уни тугри тенгликка (тенгсиз-
ликка) айлантирса, бу сонлар (19) тенгламанинг (тенгсизликнинг)
ечими дейилади.
Масалан, х = 4, у = — 5 сонлар Зх + 2у — 2 = 0 тенгламанинг
ечимидир, чунки шу сонлар тенгламанинг чап цисмига цуйилса, у
нолга айланади:
3-4+2-(—5) — 2 = 12 — 12 = 0, демак, 0 = 0.
х = 5, у = 7 сонлар эса бу тенгламанинг ечими була олмайди,
чунки уларни тенгламага ^уйилганда унинг чап цисми нолга тенг
булмайди.
Шу сингари х = 4, у = — 5 сонлар Зх 4- 2у > 1 {тенгсизликнинг
ечими булади, чунки бу сонларни тенгсизликка цуйсак,
3-4 4-2 • (—5)> I, 2> 1,
х = 4, у = — 6 сонлар эса Зх 4- 2у > 1 тенгсизликнинг ечими була
олмайди, чунки бу сонларни тенгсизликка ц^йганда 0 > I \осил
илинади.
(19) тенгламанинг (тенгсизликнинг) барча ечимлари туплами те-
кисликда бирор фигурани аницлайди. Эндн фигуранинг тенгламаси
(фигурани анш^товчи тенгсизлик) тушунчасини киритамиэ.
Таъриф. Агар Ф фигурага тегишлн ^ар бир ну^анинг коорди-
ната/гари F(x, у) = 0 тенгламани (F(x, у) а 0 тенгсизликни) цаноат-
лантириб, Ф га тегишли булмаган бирорта \ам нуцтанинг координа-
талари уни цаноатлантирмаса, бу тенглама (тенгсизлик) фигуранинг
тенгламаси (фигурани аницловчи тенгсизлик) деб аталади.
Агар фигуранинг тенгламаси (уни аницловчн тенгсизлик) маълум
булса, текисликнинг ^ар цандай нуцтасини шу фигурага тегишли
ёки тегишли эмаслиги масаласини э^ал цилнш мумкнн. Бунинг учун
синалаётган нуцтанинг координаталарини тенгламадаги (тенгсизлик-
даги) уэгарувчиларнинг урнига цуйилганда, бу координаталар тенгла-
мани (уни ани^ловчи тенгсизликни) ^аноатлантирса, нуцта фигурага
тегишли, цаноатлантирмаса, нуцта фигурага тегишли булмайди.
Геометрия да асосан икки масала царалади:
1. Фигурами аницловчи тенглама (тенгсизлик) берилади, шу тенг-
лама (тенгсизлик) буйича унинг хосеалари урганглади ва аксинча.
2. Маълум шартларнн цаноатлантирувчи ну^талардан иборат фи-
гура берилади, бу фнгуранинг тенгламасини (уни аницловчи тенг-
сизликни) туэиш талаб цилинади.
Нуцталар тупламини тенгламалар ва т енгсизликлар ёрдамида
аницлашга дойр мисоллар курамиз. Аввало тенгламалари буйича
Дмгураларни аницлашга дойр мисоллар келтирайлик.
' 1. F (х, у} = х—у = 0. У рта мактаб математика«курсидан коор-
динаталари бу тенгламанн цаноатлантирувчи барча нуцталар туплами
координаталар бошидан утувчи тугри чизицни аницлашини биламиэ.
х — у = 0 тенглама биринчи ва учинчи чорак координата бурчакла-
рининг биссектрисасини аницлаши маълум (солиштнринг, 28- §).
2. Шунга ухшаш, F (х, у) = х + у — 0 тенгламани цаноатланти-
рувчн барча нуцталар танланган декарт реперида иккинчи ва тур-
тинчи чоракда координата уцларидан бир хил масофада ётади. Де-
мак, х 4-у = 0 тенглама билан иккинчи ва туртинчи чорак коорди-
ната бурчакларинннг биссектрисаси аницланади.
3. х1 — у1 = 0 тенгламани
(х —у)(х + у) = 0 (20)
' куринишда ёзамиз.
х2— (/2^-0<==>х—у—0, х + у = 0. (21)
(21) тенгламалардан бирини цаноатлантирувчи координаталар (20)
тенгламани, шу билан х2— у* = 0 тенгламани ^ам цаноатлаитиради.
Шундай цилиб, х2 —*/2=0 тенглама координаталар бошидан утув-
чи икки тугри чнзицни аницлацди.
4. х2 4- у1 = 0 тенглама берилган. Jc, у нинг ^ар цандай ь>иймат-
ларида1 х2, уг сонлар манфий булмайди. Шунйнг учун бу тенглама
фацат х = 0, у = 0 булгандагина нолга айланади. Демак, коорди-
нА талари аффин реперда х2 4- уг — 0 тенгламани цаноатланТирувчи
нуцталар туплами бнттагина 0(0, 0) нуцтадан иборат экан.
5. х2 4- у2 4- 1 = 0 тенглама берилган. х2, уг манфий булмагани
учун х ва у ларнинг ^ар цандай цнйматларада х2 4- у2 + 1 > 0.
Демак, координаталари х2 4- у2 4; 1 =0 тенгламани цаноатлантирувчи
битта ^ам нуцта йуц, яъни координаталари бу тенгламани цаноат-
лантирувчи нуцталар туплами буш.
6. у — |у|=0 тенглама берилган. Бу тенглама у >0 муноса-
батга тенг кунли. Текисликда танланган аффин реперда ординатала-
ри у > 0 муносаоатни цаноатлантирувчи барча нуцталар туплами
Ox уц билан чегараланган ва Оу уцнинг мусбат цисмнни уз ичига
олган ярим текисликни ташкил этади. Демак, у — | у | = 0 тенгла-
1 Узгарувчилар хациций цийматлариигииа цабул цилади.
ма билан биринчи ва иккинчи
чорак координата бурчаклари-
да ётган нуцталар туплами
аницланади (51-чизма).
7. Текисликда цутб коор-
динаталардаги тенгламалари
билан аницланган чизнцларга
мисол сифатида
а) г = а(а = corlst),
б) <р = а (а = const)
тенгламалар билан аницланув-
чи фигураларни цараймиз.
г=а тенглама билан ани^ла-
нувчи фигуранинг ^ар бир нуц- 51- чизма
таси цутб бошидан а масофада
жойлашган (цутб бурчаги эса ихтиёрий). Биэга маълумки, бундай фи-
гура маркаэи цутб бошида ва радиуси а га тенг айланадан нборат-
дир (52- чизма).
52- чизма 53- чизма
Шунга ухшаш ф—а(а = const) тенглама учи цутб бошида булган
ва цутб у^и билан а бурчак ^осил цилган нурни аницлайдн (бунда
г—ихтиёрий) (53- чизма).
Энди берилган тенгсизлик билан ани^ланадиган фигураларга дойр
мнсоллар келтирайлик.
1. х2 4- у2 — 4^0 тенгсизлик билан аницланувчи фигурани то-
пинг.
Ечиш. х2 + у2 = 4 тенглама маркази координаталар бошида ва
радиуси 2 га тенг айланани ани^лайди. Бундан ташцари, текислик-
нинг ихтиёрий М (х, у) нуцтасидан координаталар бошигача булган
масофанинг квадрати р2 (О; М) — № + у2; шу сабабли тенгсизлик
текисликнинг шундай ну^алари тупламнни ифодалайдики, бу нуц-
таларнннг ^ар биридан координаталар бошигача булган масофа 2
бирликдан катта эмас. Бундай нуцталар туплами маркази координа-
талар бошида ва радиуси 2 бирликка тент доирадир.
2. у > 0 тенгсизлик билан аницланувчи фигурани топинг. Бу
тенгсизлик билан аницланувчи фигура нуцталарининг ординаталари
манфий эмас. Бундай нуцталар туплами I ва II чораклар нуцтала-
ридан иборат. Бу эса абсциссалар уци билан чегараланган ва орди-
наталар уцининг мусбат цисмини уз ичига олган ярим текисликдир.
Баъзан биргина тенглама ёки тенгсизлик билан аницланадиган
фигураларнигина эмас, балки (бир реперда) тенгламалар системаси
билан, ёки тенглама ва тенгсизликлар системаси билан, ёки фацат
тенгсизликлар системаси билан аницланадиган фигураларпи царашга
тугри келади.
Масалан,
Fi(x,y)=Q, Ft(x,y)=0
система билан аницланадиган фигура бу системанинг цар бир тенг-
ламаси билан аницланувчи фигураларнинг кесншмасидан иборат.
I. х2 + у2 — 4 0, х—у = 0 система билан. аницланувчи фигу,
рани топинг.
Бу система бнтта тенглама ва битта тенгсизликдан ташкил топ-
тан. Бундаги биринчи тенгсизлик 7- мисолга асосан О Ю, 0) марказ-
ли ва радиуси 2 га тенг доирани аницлайди: системадаги иккинчи
тенглама эса 1 ва II чораклар координата бурчакларининг биссек-
трисасини аницлайди. Бу икки фигуранинг кесищмаси At А* кесма-
дан иборат (54- чизма).
2. г — а 0, <р = а система билан аницланувчн фигурани то-
пинг.
Системадаги биринчи тенгсизлик маркази цутб бошида ва а ра-
диусли доирадан иборат. Системадаги иккинчи тенглама цутб уци
(0, 2), (3, 2) нуцталарда булган
билан а бурчак ташкил этувчи нурни аницлайди. Бу икки фигура-
нинг кесишмаси ОР кесмадан иборат (55- чизма).
3. х > 0, у > 0, 3 — х > О, 2 — у > 0 система билан аницланув-
чн фигурани топинг.
Бу система турт тенгсизликдан ташкил топган. Аффин реперда
системадаги биринчи тенгсизлик
уцнинг мусбат цнсмини уз ичига
олган ярим текисликни, иккинчи
тенгсизлик эса Ох уц билан че-
гэраланган ва Оу уцнинг мусбат
цисмини уз ичига олган ярим те-
кисликни аницлайди. Системадаги
учннчи тенгсизлик х = 3 тугри
чизиц билан чегаралангап икки-
та ярим текисликнинг координа-
талар боши О ни уз ичига ол-
ганини аницлайди.
Системадаги туртинчи тенг-
сизлик эса у = 2 тугри чизиц
билан чегараланган иккита ярим
текисликнинг координаталар бо-
шини уз ичига олганини аниц-
лайди. Бу турт фигуранинг ке-
сишмаси учлари (0, 0;. (3, 0),
туртбурчакдир (56-чизма).
Фигураларнинг тенгламаларини (тенгсизлигини)
келтирибчицаришга дойр баъзи мисоллар. Юцорида
тенглама ёки тенгсизликка кура фигурани аницладик. Бу ерда аксин-
ча, маълум хсссаларга асосланиб фигура тенгламасини цосил цилиш-
га царакат циламиз. Бу масала умумий цолда цуйидагича цал ци-
линади:/ЗеРилган фигура ихтиёрий нуцтасннинг координаталарини
бирор реперга. нисбатан х, у билан белгилаб, уларни богловчи шун-
дай математик ифода цосил циламизки, бу ифода шу фигурага те-
гишли цар цандай нуцтанинг координаталарини цуйилганда уринли
булиб, берилган фигурага тегишли булмаган бирорта цам нуцтанинг
координаталарини цуйилганда уринли булмайди. Одатда бундай ифо-
да тенглама ёки тенгсизликдан иборат булади. Х,осил цилинган тенг-
лама ёки тенгсизлик шу фигуранинг аналитик ифодаси деб ата-
лади.
1^уйида декарт реперига нисбатан бир нечта фигуранинг тенгла-
маларини тузамиз.
1. Текисликнинг шу текисликда берилган А (2, 1), В(—1,4)нуц-
талардан тенг масофада ётган нуцталари тупламининг тенгламасини
тузинг.
Ечиш. Текисликнинг А, В нуцталаридан тенг масофада ётган
барча нуцталари туплами тугри чизиц булиб, у АВ кесманннг урта
перпендикуляридан иборат (57- а чизма).
М (х, у) бу тугри чизицнинг ихтиёрий нуцтаси булсин. У цолда
р (/И, Л) = р (/И, В). Бу шартнн координаталарда ифодалаймиз. Икки
нуцта орасидаги масофа формуласига кура
/(х-2)2 + (у-1)2 = У(х4-1)24-(у-4)2
ёки
(х - 2)2 + (у - I)2 = (х 4- 1 )2 4- (у - 4)2 =>
=> х2 — 4х 4- 4 4- У2 — 2у 4- 1 = х2 4- 2х — 1 4- у2 — 8у—1б=>
=>6х — бу 4- 12 = 0 ёки х —у+ 2 = 0,
бу тенглама изланган тенгламадир.
2. Текисликда берилган С (а, Ь) нуцтадан берилган г масофада
ётган барча нуцталар туп ламинин г тенгламасини тузинг.
Ечиц1. Бундай нуцталар туплами маркази С нуцтада, радиуси
эса г га тенг айланадан нборатдир (57- б чизма).
к Л4(х, у) айлананинг ихтиёрий нуцтаси булсин. У цолда р (С, М)—
— г, яъни
У(х-а)2 + (у-ЬУ^г. (22)
(22) берилгдн айлананинг тенгламасидир, чунки уни фацат шу ай-
ланада ётган нуцталарнинг косрдинаталаригина цаноатлангиради, агар
Л! нуцта айланага тегишли булмаса, р(С, Л4)<г булиб, (22) шарт
бажарилмаяди.
(22) тенгликпинг иккала цисмини квадратга кутариб, ушбу
аклапа тешламасини цосил циламиз:
(х —а)2 4-(у — 6)2 =г2. (23)
Хусусан, айлананинг маркази координаталар бошида, яъни а =
= 6 = 0 булса, (23) тенглама цуйидаги содда куринишни олади:
х1 4- у2 = г2.
3. Текисликда ординаталар уцига параллел ва абсциссалар уци-
дан икки бирлик кесма кесиб
утган тугри чизицлар орасида
хосил булган фигуранннг ана-
литик ифодасини ёзипг (58- а
чизма).
Е ч и ш. Бундай фигура
полоса дейилади. К,аралаётган
полоса иккита ярим текислик-
нинг кесншмасидан ташкил
топган. Бу ярим текисликлар-
нинг иккаласи ^ам координа-
талар бошини уз ичига олган
булиб, уларнинг бири х = 2
тугри чизиц билан, иккинчи-
си эса х — — 2 тугри чизиц
билан чегараланган. \осил
булган полоса 58- а чизмада
штрихлаб курсатилган. Чизма-
. 58- а чизма
дан куриниб турибдики, полоса ихтиёрий М (х, у) нуцтасининг
циссаси
l-v| С 2
шартни каноатлантиради. (24) шарт ушбу
— 2 < х < 2
абс-
(24)
(25)
тенгсизликка тенг кучли. (25) шарт фа^атгина полосанинг ну^тала-
ри учун бажарилганидан у полосанинг аналитик ифодасидир.
23-§. Алгебрами чизи^ ва унинг тартнбн
Таърнф. Текисликдаги бирор аффин реперда F(x, у) = 0 тенг-
ламанинг чап томони х, у i а нисбатан алгебраик куп\ад, яъни ait х'у'
куринишидаги ^адларнинг алгебраик йигиндисидан иборат бул-
са, бу тенглама билан аницланувчи нуцталар туплами алгебраик чи-
зик, тенглама эса алгебраик тенглама дейилади.
i, / манфий булмаган бутун сонлар булиб, i + / сон а(/. х'у1
^аднинг даражаси дейилади. i, / даражалар йигиндисининг макси-
мал циймати F(x, у) куп^аднннг даражаси, шу билан бир вацтда
у) = 0 тенгламанинг з^ам даражаси дейилади.
Масалан,
F (х. У) — Ах 4- By 4- С = О
биринчи даражали алгебраик тенглама,
F(x, у) = Ах2 +Вху + Су2 + Dx + Еу + F = О
иккинчи даражали алгебраик тенгламадир. Алгебраик булмаган бар-
ча чнзицлар трансцендент чизицлар дейилади.
Алгебраик булмаган чизицларга мисоллар сифатвда ушбу тенгла-
маларнинг графикларини курсатиш мумкин:
у—sinx = O, у — tgx = О, у — Igx = 0, у — а* — О.
Таъриф. Бирор аффин реперда п- даражали алгебраик тенгла-
ма билан аницланадиган фигура п- таргпибли алгебраик чизиц деб
аталади.1 *
Биз текисликдаги биринчи ва иккинчи тартибли алгебраик чизиц-
ларнн текшириш билан чекланамиз.
Теорема. Бир аффин репердан иккинчи аффин реперга
утишда чизицнинг алгебраиклиги ва унинг тартиби узгармайди.
—► —►
Исбот. Текисликдаги бирор (О, е2) аффин реперда бирор I
чизиц п- даражали F(x, у) = 0 алгебраик тенглама билан аницлан-
ган булсин. (О', е\, е'2 ) янги аффин реперни оламиз. Бу реперлар
орасидаги богланиш II боб, П-§ дан бизга маълум:
(х = а1х' + by' + q. бу ерда Ь 0. (26)
[у = а2х +Ь^ +с2, 7 1а2 Ь2\
I чизицнинг янги координаталардаги тенгламасини цосил цилиш
учун унинг тенгламасидаги зеки узгарувчнларни (26) формулалар
буйича алмаштирамиз. Науижада F (х, у) = 0 тенгламадаги цар бир
ацх'у1 цаднинг урнида
а^х + Ь2у' 4- с2)\а&' + b2y' 4- с2?
куринишдаги цад цосил булади. Барча шундай цадларда цавсларни
очиб ихчамласак, Ф (х\ у') = 0 куринишдаги алгебраик тенглама цо-
сил булади. Ф(х',у') =0 тенгламанинг цар бир цади (х'У [у’У ку-
ринишдаги цадлардан иборат булиб, цар бир бундай цаднинг да-
ража курсаткичи s 4-1 < i 4- /. Агар Ф (х', «/') купцаднинг даража-
сини т билан белгиласак, натижада т п га эга буламиз.
Энди т нннг п дан кичик була олмаслигини курсатамиз. Фараз
килайлик, т<п булсин. Р1 N=#=0 шартда (26) алмаштиришга тес-
1а2 ®21
кари алмацггириш мавжуд:
(27) дан х', у' нинг цийматларини Ф (х', у’) = 0 тенгламанинг -
чап томонига цуйсак, яна F (х, у) = 0 тенгламага цайтамиз. Юцори-
даги мулоцазани такрорласак, цосил булган F(x, у) купцаднинг да-
ражаси п < т булади. Бир вацтда цам т < л, хам л < т юз бера
олмайди. Демак, Ф(х', у') купцаднинг даражаси т = п.
Хуллас, алгебраик чизицнинг тартиби ва унинг алгебраиклиги
1 Адабиётда бу тарздаги таъриф дуруст (тугри) таъриф деб юритилади (рус-
ч.т — корректное определение).
аффин (ёки декарт) координата-
лар системасининг танланишига
боглиц эмас. Шунинг учун чи-
зи^ларнинг алгебраик ва транс-
цендент чизицларга булинишнда
фацат аффин координаталар сис-
темаси (декарт координаталар
системаси) кузда тутилади. Kyi б
координаталар системасида чизи^-
ларни бу тарифа синфларга аж-
ратиб булмайди. Чунончи марка-
зн цутбда ва радиуси а га тенг
айлана тенгламаси г — а = 0 дан
иборат булиб, у г га нисбатан
биринчи даражали, яъни алгебраик тенгламадир. Шу айлана учун
цутб айлананинг узида олинса, айлана г — 2acos<p = 0 тенглама би-
лан, яъни трансцендент тенглама билан ифодаланади (58- б чизм£).
24- §. Тугри чизи^нинг турлн тенгламалари
Таъриф. Тугри чизиода параллел ^ар цандай вектор унинг
йуналтирувчи вектори дейилади.
Куйида биз тугрн чизицнинг берилиш усулларига цараб унинг
тенгламасини келтириб чицарамиз.
1. Тугрн чизицнинг параметрик тенгламалари.
Текисликда и тугри чизи^нинг ваэияти бирор (О, е,, е2) аффин ре"
перга нисбатан шу тугрн чизицца тегишли Л1о (х0, t/0) нуцта ва йунал*
тирувчи u(a,, a2) вектор билан тула аницланади (59-чизма). Бу маъ-
лумстларга асосланиб, и тугри чизицнинг тенгламасини келтириб
чи^арамиз. М орцали и тугри чиэицнинг ихтиёрий нуцтасини белги-
лаймиз. У ^олда М0М векторни йуналтирувчи вектор сифатида олиш
мумкин.
Демак, шундай t сон топила-
дики. (I боб, 6- §, (4' формула).
Л4ОЛ4 — tu (28)
булади. Аксинча, бирор М нуц-
та учун (23) муносабат уринлн
булса, у >(олда М0М II и. Де-
мак, (28) муносабат фацат и туг-
ри чизицца тегишли М нуцталар
учунгина бажарилади, М, Л40
нуцталарнинг радиус- векторлари-
ни мос равишда г, г0 билан бел-
гиласак, яъни г = ОМ, г0 =ОМ0
булса, у ?(олда М0М — г — г0.
(28) тенгликДан 59. чизма
*
Бу тенглама и тугри чизицнинг векторли тенгламаси деб аталади.
t га турли хил цийматлар бериб, и га тегишли ну^таларнинг ради-
ус- векторларини з^осил циламиз; (29) тенгламага кирган t узгарувчи
параметр деб аталади.
Энди (29) ни координаталарда ёзайлик. М нуцтанинг координа-
таларини х, у билан, А40 нуз^таззинг координаталарини х0, з/0 билан
белгиласак, натижада ушбу тенгламалар з^осил цилинади:
X = х0 4- att, у = Уо + a2t- - (30)
Бу тенгламалар тугри чизицнинг параметрик тенгламалари деб
аталади.
Ага1? и тугри -чизиз^ координата узузаридан бирортасига з^ам па-
раллел булмаса, яъни а^^ 0 шарт бажарилса, (30) дан ушбу
х — хо _ У — У о (31)
01 Сг
тенгламани з^осил циламиз. Ундан
а2х — aty 4- (— OjX0 4- а^о) = 0. (32)
Бу ерда шартга кура аг, a2 лардан камида битгаси нолдан фарцли,
шу сабабли (32) биринчи даражали тенгламадир. Шунинг билан уш-
бу муз^им хулосага келдик: з^ар з^андай тугри чизиз^ биринчи тартиб-
ли алгебраик чизицдир.
2. Икки нуцтадан утувчи тугри чизик тенгламаси..
Хар цандай тугри чизи1\нинг вазияти унинг иккита \ар хил нуцзаси
билан аницланади. (О, еъ е2) аффин реперда и тугри чизицнинг
М2 (*!• У1)> (х2, у2) ну^талари маълум булсин. Шу тугри чизицнинг
тенгламасинн келтириб чицарайлик. . Харалаётган тугри чизицнинг
йуналтирувчи вектори сифатида и = МГМ2 (х2 — хи у2—yj вектор-
ни цабул цилиш мумкин, шунинг учун (31) га асосан и тугри чизиц
ушбу
х— ** = (33)
х2 Х1 Уг — У1
тенглама билан ифодаланади. Бу берилган икки нуз^тадан утган туг-
ри чизицнинг тенгламасидир.
3. Тугри чизи^нинг кесмалари буйича тенгламаси.
и тугри чизиц Ох уз^ни А (а, 0) нузугада. Оу 9^ни эса В (0, Ь) нуз^-
тада кессин ва координаталар бошидан утмасин, яъни а=^0, Ьу=0
булсин. Бу \олда икки нузугадан утган тугри чизицнинг тенгламаси
(33) цуйидаги куринишни олади:
ёкн _L4_JL = I. (34)
—а b а Ь . v /
(34) да а, b сонлар тугри чиэицнинг координата уцларидан ажратган
кесмаларидир. Шуни хисобга олиб, (34) тугри чизицнинг кесмалари
буйича тенгламаси деб аталади.
1-мисол. Учларининг координаталари А(—3, 2), В(2, 4) ва
С (5, —4) булган АВС учбурчак берилган. Унинг В учидан чиццан
медианаси тенгламасини тузинг.
Ечиш. Вг нуцта АС томоннинг уртаси булсин. У цолда 15-§
даги (3) формулага кура Вг(1, —1). В ва В, нуцталарнинг коорди-
наталарини (33) тенгламага цуйсак (бунда Л42 = В, Л42 = В,),
——- = ——— ёки 5х —у — 6 = 0.
1 — 2 — 1 — 4 У
Бу ВВг медиананинг тенгламаси.
2-мисо л. Абсциссалар уцидан 2 бирлик, ординаталар увидан
— 3 бирлик кесмалар ажратган тугри чизиц тенгламасини тузинг.
✓Ечиш. Берилишига кура а = 2, Ь = — 3, у цолда (34) тенгла-
X , у , _ X у
ма---------— = 1 еки —-----
2 —3 2 3
= 1 куринишда булнб, бу излан-
ган тугри чизицнинг тенгламасидир.
I
3. Тугри чизицнинг бурчак коэффициеитли тенг-
ламаси. Аввало тугри чизицнинг бурчак коэффициента тушунча-
сини киритамиз.
Таъриф. и вектор elt е2 базисда аи а2 координаталарга эга
ва 0 булсин, у цолда — = k сон и векторнинг бурчак коэф-
фициенти дейилади.
Теорема. Коллинеар векторларнинг бурчак коэффициентлари
цзаро тенг.
Исбот. ^ацицатан, и II v векторлар берилган булиб, улар
—► —► —► —*•
elt е2 базисга нисбатан и (аь aj, v (b„ b2)(ai¥=0, br/= 0) коорди-
наталарга эга булсин цамда klt k2 мос равишда бу векторларнинг
бурчак коэффициентлари булсин. Таърифга кура
kt = — ва k2 =- —.
01 fcj
—>- —
и li v булгани учун шундай t сон мавжудки, и = tv ёки ai =
= tblt a2 = tb2=> — = == — ёки k2 = kx. *
°i at bi Oi
Хул ос а. Битта тугри чизицца параллел барча векторларнинг
бурчак коэффициентлари узаро тенг. k сон тугри чизицнинг бурчак
коэффициента дейилади.
Энди тугри чизицнинг бурчак коэффициеитли тенгламасини кел-
тирнб чицарайлик.
Битта нуцтаси ва бурчак коэффициента тугри чизицнинг текис-
ликдагн вазиятини тула аницлайди. Оу уцца параллел тугри чизиц-
лар учун бурчак коэффициент мавжуд эмас. Энди Оу уцца парал-
лел булмаган и тугри чизиц А40(х0, у0) нуцтадан утсин ва k га тенг
бурчак коэффициенте эга булсин. и нннг тенгламасини тузамиз.
(32) га асосан 0 шартда у — у0= — (х — х0), аммо k —
о2 /
= —, демак,
“1
ёки
у = kx + b,
бунда
b = у0 — kx0. (36)
(36) тенглама myfpu чизицнинг бурчак коэффициентли тенгла
маси дейилади.
Мисол. Р(2, —3) нуцтадан утувчи ва бурчак коэффициента
— б^лгаи тугри чизиц тенгламасини тузинг.
4
3
Е ч и ш. Берилганларга’ асосан х0 = 2, у0 = — 3, k = — булиб,
4
буларни (35) тенгламага цуямиз:
у — (— 3) = — (х — 2) ёки Зх — 4 г/ — 18 = 0.
4
4. Тугри чизицнинг умумий тенгламаси. Тугри
чизицнинг юцорида келтириб чи^арилган (30)—(34), (36) тенглама-
ларининг з^ар бирини олиб солиштирсак, улар умумий куринишдаги
Ах+Ву + С = 0 (37)
икки номаълумли биринчи даражали тенгламанинг хусусий \оллари
эканини курамиз.
Энди ^уйцдагича савол тугилади: аксинча, (37) куринишдаги тенг-
лама тугри чизицни ифода этадими?
Теорема, х, у узгарувчиларга нисбатан биринчи даражали
Ах + By + С = 0 (бу ерда А2 4- В2^= 0) алгебраик тенглама аффин
реперга нисбатан тугри чизицни аницлайди.
Исбот. Бу ерда икки \олни текширамиз.
а) В <#= О.- Берилган тенгламани
куринишда ёзиш мумкин. Энди бу тенгламани юцоридаги y=kx-\-b
А С
тенглама билан солиштирсак, k ---------b =--------— ни ^осил
циламиз. Демак, Ах + Ву 4- С = 0 тенглама 0 шартда у = kx 4-
4-b куринишни олади, унинг эса тугри чизицни ифодалашини била-
миз. Шундай 1\илиб, умумий куринишли Ах + By 4- С = 0 тенглама
з(ам В да бирор тугри чизицни ифода ла иди.
б) В = 0. Бу з^олда Л24-В2¥=0 муносабатга к“;ра А ¥=0 булиб,
Ах 4- By 4- С = 0 тенглама х ------куринишни ( олади. Бундай
тенглама Оу у^ца параллел тугри чизицни аницлайди. Демак, икка-
ла \ол учун з^ам теорема кучга эга. л
Тугри чизицнинг умумий тенгламаси
Дх4-В{/4-С = 0 (37)
берилган булсин, бунда k =
= —, демак, тугри чизи^нинг
_ в1
и йуналтирувчи векторининг координаталари сифатвда —В, А сон-
ларнн цабул ^илиш мумкин, яънн умумий тенгламаси билан берил-
ган тугри чизицнинг йуналтирувчи вектори сифатида и(—В, А) век-
торнн олнш мумкин.
Мисол. Учларининг координаталари £(—3, —1), М (2, 3),
N (2.1) булган LMN учбурчак берилган. Учбурчакнинг L учидан
MN томонига параллел булиб утган тугри чизиц тенгламасини ту-
зинг.
Ечиш. Изланган тугри чизицнннг йуналтирувчи вектори учун
MN векторни олиш мумкин, унинг координаталари MN (0, —2)=> .
=► А = —2, В = 0. Т^гри чизикнннг L(—3, — 1) нуцтадан утиши-
ни эътиборга оламиз. —2-(—3)4-0-1—1)4-С = 0. С =—6:
А, В, С нннг топилгэн цийматларини (37) га цуямиз: х 4- 3 = 0 ёкн
х = — 3. Бу изланаётган тенгламадир.
Энди тугри чизицнннг
Ах 4- By 4- С = 0
умумий тенгламасини текширамиз.
1. С = 0. Бу ^олда тенглама цуйидаги куринншни олади: Ах 4-
4- By = 0. Бу тугри чизик координаталар бошидан утади, чунки уни
(0, 0) каноатлантиради. Аксинча, тугри чизик координаталар боши-
дан утса, у колла
А-0 4-В-0 4-С = 0=>С = 0.
2. А = 0.
By 4- С = 0. (38)
—► —>• —►
Бу тугри чизицнинг йуналтирувчи и(— В, 0)=>-и =—Bet век-
тори ег векторга коллинеар, демак, у Ох уцка параллел. В =£= 0
булганда (38) ни цуйцдагича ёзнш мумкин:
Q
У =|й, бу ерда b =-------.
А
Шундай цилиб, у = Ь тенглама Ох ук^а параллел ва ординаталар
уцини (о, —нуцтада кесиб утадиган тугри чизицни аницлайди.
Агар А =0, С = 0 =>Ву = 0=>у = 0 (чунки S^O), у — 0 эса
Ох уцнинг тенгламасидир, чунки бу тенглама билан аницланувчи
тугри чизик Ох уцца параллел ва Оу укдан Ь = 0 кесма ажратади.
3. В = 0. Бунда 2) колдагига ухшаш тугри чизиц Оу уцца па-
раллел жойлашади ва бу \олда С = 0 булса (Ал = 0 =► х = 0\ туг-
ри чизик Оу уцнинг узини ифодалайдн.
25- §. Тугри чнзицни тенгламасига кура ясаш
Цуйидд биз бирор аффин реперга нисбатан тенгламаси билан бе-
рилган тугри чизицни ясашнинг бир неча усуллари билан таниша-
миз.
1. Турри чизиц узининг икки нуцтасининг берилиши билан тулиц
аницланганн учун у бирор (О, et, es) реперга нисбатан цандай кури-
нишдаги тенгламаси билан берилмасин, уни ясаш учун икки нуцтаси-
ни ясаш кифоядир.
Мисол. х 4- 2у — 3 = 0 тенглама билан берилган тугри чизиц-
ни ясанг.
Тугри чизицнинг икки нуцтасини топиш учун берилган тенглама-
даги х узгарувчнга ихтиёрий икки цийматни бериб, тенгламадан бу
цийматларга у нинг мос цийматларини топамиз;
х — 1 да 1 + 2у — 3 = 0 дан у = 1,
х — — 1 да — 1 + 2у — 3 = 0 дан у = 2.
Топилган Atjl, 1), Л12(—1, 2) нуцталарни ясаб, уларни туташтир-
сак, изланаётган /И2 тугри чизиц цосил булади (60- чизма).
2. Тугри чизиц (О, elt е2) реперда у = kx 4- b куринишдаги
тенглама билан берилган булса, уни цуйидагича ясаш мумкин. Ор-
динаталар уцида (0, Ь) нуцтани ясаймиз цамда (1, k) векторни ясаб,
(0, Ь) нуцтадан и векторга параллел тугри чизиц утказамиз.
61- чизма
Мисол. у = 2х — 3 тенглама билан аницланувчи тугри чизицни
ясанг.
(0, —3) нуцтани ясаймиз. 61-чизмада бу В нуцтадир. Сунгра
шу чиэмада и = ev 4- 2 ег векторни ясаймиз. Чизмада бу • О А век-
тордир. Энди В нуцтадан ОА векторга параллел тугри чизиц ут-
казамиз.
3. Агар тугри чизиц
(х = х0 + axt,
\У =Уо
параметрик тенгламалари билан берилса, бу тугри чизиг; ^ам 2- сол-
дат сингари (хо. Уо) нуцтадан утиб (аь а2) векторга параллел тугри
чизи^ каби ясалади.
26- §. Ал + By + С учзуад ншорасннннг геометрик маъноси
(О, еи е2) реперда ушбу Ах + By + С = б уч^адни цараймиз.
Ах+Ву + С = 0 (39)
тенглама йуналтирувчи вектори и (—В, А) булган бирор и тугри
чизшуни аницлайди. Бу тугри чизиц текисликни иккита цисмга ажра-
тади. Уларнинг бирини Фь иккинчисини Ф2 билан белгилаймиз. Бу
цисмларнинг >;ар бирини очиц ярим текислик. деб атаймиз. ’
Теорема. TH, (xlt t/J ва М(х2, у2) нуцталар (39) тугри чизиц
билан ажратилган турли очиц ярим текисликларга тегишли бу-
лииш учун бм = Axi + Вух + С ва бм = Лх2 4- Ву2 + С сонлар
ишораларининг \ар хил булииш зарур еа етарли.
ИсботЗарурийлиги. 7HIt М2 нуцталар тугри чизиц билан
ажратилган турли очиц ярим текисликка тегишли булсин. У ^олда
Л41Л42 кесма и тугри чизицни бирор 7И0 нуцтада кесиб, Мо иуцта
AljMj кесмани бирор 1 нисбатда (1 > 0, чунки Мо—кесманинг ички
нуцтаси) булади, яъни
v Xi+A.x2 _____t/i + А. у2
*0-"1-гА ’ Уо“"ТГГ
Лекин
М0£и=> Ах0 + Ву0 + С = О.
Бу тенгликка х0, у0 нинг цийматларини цуйсак
П-
1 4"
4 АУг
1 + А
О.
Бундан
А (хх +1 х2) + В (уг + 1 у2) -г С (1 + А.) = О
ёки
Ax-i + Вуг + С + А, (Ах2 + Ву2 + С) = 0.
Юцоридаги белгилашимизга асосан бм + А6М = 0 булиб, бундан
= _____1 > 0 булгани сабабли бу. шартнииг бажарилиши
бм,
учун бм, бм лар >^ар хил ишорали булиши керак.
Етарлилиги. бм, Сл/> Wхилишорали булсин, у^олда/И^и
ва М2 й и. МгМг тугри чизиц и тугри чизицни бирор Мо нуцтада
кессин, бу цолда Мо нуцта Л11М2 кесмани бирор 1 нисбатда бу-
лади.
Исботнииг биринчи цисмида бажарилган ишни такрорласак,
__ Axt -j- Byi л* С__
Ахг + Ву2 + С
6М
$Af,' сонлар цар хил ишорали булгани учун 1 =---------—- > 0.
Демак, Mt М2 ва и турри чизицларнинг кесишган Мо нуцтаси Мг,
М2 нуцталар орасида ётади, бундан эса Aflt М2 нуцталарнинг турли
очиц ярим текисликка тегишлилиги келиб чицади. ▲
Бу теоремадан цуйидаги натижани келтириб чицарамиз: Mt(xlt
У1), М2 (х2, у2) нуцталар учун CMi = Axt + Ву1 + С ва = Ах2 +
+ Ву2 + С сонлар бир хил ишорали булса, бу нуцталар (39) турри
чизиц билан ажратилган Фх, Ф2 очиц ярим текисликларнинг фацат
бирига тегишли булади.
X у лоса. Текисликнинг координаталари Ах + By + С > 0 тенг-
сизликни цаноатлантирувчи барча нуцталари туплами (39) тугри чи-
зиц билаи ажратилган Фг, Ф2 очиц ярим текисликларнинг биридан
ва Ах + By + С < 0 тенгсиэликии цаноатлантирувчи нуцталари туп-
ламн эса очиц ярим текисликларнинг иккинчисидан иборат экан.
Мисол. и: х — Зу + 1 = 0 турри чизиц учлари М^О, — 1),
М2 (1, 2) нуцталар булган MtAf2 кесмани кесадими?
Ечиш. Aflt М2 нуцталарнинг координаталарини б = х — 3^ + 1
ифодага цуямиз:
Мг нуцта учун = 0 — 3-(— 1) + 1 — 4 > 0;
М2 нуцта учун бЛ(< = 1 — 3-2 + 1 = — 4 < 0.
Бундан курииадики, М1СФ1, М2СФ2, демак, тугри чизиц THjAfj
кесмани кесиб утади.
27- §. Текисликда икки турри чнзнцнннг узаро жойлашнши
Тенгламалари аффин системада берилган ut, и2 турри чизицлар-
ни олайлик:
uf Лхх + Вгу + Ci = 0
и2: А2х + В2у + С2=0.
и,(—Blt Лх), и2(—В2, Л2) векторлар мос равишда бу турри чизиц-
ларнинг йуналтирувчи векторларидир. ut, u2 тугри чизицларнинг
узаро жойлашувида ушбу цоллар юз бериши мумкин.
1. ult и2 тугри чизицлар кесишади (62- а чизма). У цолда «1'Ц.
% и2=>-^=^^ . Бундай тугри чизицларнинг кесишган нуцтасини
топиш учун берилган тенгламалар системасини ечиш керак.
2. Up и2 тугри чизицлар параллел (62-6 чизма) =*Ui II и2=>А—=
А2
-Ё1.
Аксинча, — = ф-=>Л1=ХЛ2,
А2
B1 = XB2=*u1 = 1 и2, бу эса
ult U2 нииг параллеллигини
англатади.
Агар у- = -4- = бул-
Лд D2 Gj
са, uv u2 тугри чизи^лар уст-
ма- уст тушади (мустацил ис-
ботланг).
Ми со л. Ui:x + 3t/—2=0
ва ut:2x + у + 5 = 0 тугри
чизицларнинг кесишишини ис-
ботланг ва уларнинг кесишган
иуцтасини топинг.
Ечиш. Бу теигламаларда:
Л1=1, BY = 3, CL = —2,
Л2 =2, В2 = 1, C2 = 5;-U=/=
62- чизма
з
¥= —; берилган тугри чизицлар
кесишади. Шу кесишган нуцтани
топиш учун ушбу тенгламалар системасиии ечамиз:
(х + Зу — 2 = 0,
|2х + у — 5 = 0.
Бу системадаи кесишиш ну^тасини топамиз: [—,
28-§. Туфа чизнцлар Дастасн
Текисликдаги тугри чизицлар битта нуцтадан утса ёки битта туг
ри чизикца параллел булса, улар дастани ташкил цилади, деймиз
Шу нуцта даста маркази дейилади. Бу дасгаларни айрим-айрим ку
риб чи^амиз.
1. Кесишувчи тугри чизиц-
лар дастасн (63- чизма) даста мар-
казининг ёки дастага тегишли
икки тугри чизицнинг берилиши
билан тулик аницланади. Даста
марказини Мо деб белгиласак,
М Мо нукта орцали дастанинг
фацат битта М0М тугри чизиги
утади.
Энди бу дастанинг тенглама-
си билан ганишамиз. у — у0 =
=k(x — Хо) тенглама (х0, у0) нук-
тадан утувчи ва бурчак коэффи-
циента k булган тугри чизиции
63- чизма
ани^лайди. k ни параметр ва (х0, у0) ни марказ деб царасак, бу
тенглама тугри чизицлар дастасини ифодалайди.
Энди дастанинг унга тегишли иккита кесишувчи тугри чизи^ би-
лан аницланиши масаласини царайлик.
Дастанинг /Ио нуцтада кесишувчи иккита (турли) ult u2 тугри
чизицлари берилган булсин:
«х: Atx + + Q = 0, (40)
и2:ЛгХ + Вгу + С2 =0. (41)
Бир вацтда нолга тенг булмаган V а, Р € /? сонларни олиб,
(40) ва (41) тенгламалардан ушбу тенгламани тузайлик:
а (Лхх + Bty + + Р (А^х 4- Bgy + С2) = 0. (42)
Бу тенглама Мо нуцтадан утувчи тугри чизицни аницлайди. ХаКи'
цатан, (42) тенгламани цуйидагича ёзайлик:
(а Л! + Р Л2) х + (а Bi 4- Р В2) у + а Ci + Р С2 = 0. (43)
Бу тенгликда х, у узгарувчилар олдидаги коэффициентлариинг ка-
мида бири нолдан фарцли, чуики
а Л, + р Л2 = 0, a Bi 4- Р В2 = О
булсин Десак (масалан, а=/=0 булганда), уии
dl=_i _в* = _*₽_.
Аг а’ В2 а
(44)
куринишда ёзиш мумкин. (44) дан
ка олиб келади: шартга асосан ,их
A R I
л D1 == 0=*ulll ы2« бу зидлик-
/12 ^*2 I
1 и2 = Мо. Демак, (43) тенглама
а, Р нинг бир вацтда нолга тенг булмаган >^р бир цийматида тугри
чизицни ани^лайди.
Мо € u„ Мо € u2=> AiXe 4- Biy0 + Ci = 0 ва А2х0 4- ВгУ0 +
4- с2 = 0=>а (ЛгХ0 4- Bji/о + 4- р И2ХО + ВгУо -г Сг) = °-
Бундан куринадики, (43) тенглама билан ани^ланган тугри чизиц
/Ио нуцтадан утади.
Агар Mi^= Мо нуцта берилса, а, р га тегишли ^ийматлар бериш
нули билан дастанинг шу ну^адан утадиган тугри чизигини аниц-
лаш мумкинлигипи курсатамиз.
Дастага тегишли тугри чизицнинг нуцтадан утиш шарги:
а (Л^ 4- Bdi 4- CJ 4- Р (A2xt 4- В^ 4- С2) 0. (44Q
Mi =/= Мо булгани учун Лр^ 4- В,ух 4- CIt Л2хх 4- B2yt 4- С2 ифо-
даларнинг камида бири нолдан фар^ли, масалан, AtXi 4- Btyi 4-
0 булсин, у э^олда (44х) дан
а = — Сг R (45)
^i*i 4- В1У1 т Ci
(45) ни цаноатлантирувчи а, р да дастанинг Мг ну-ктадан утувчи
турри чизири аницланади. Шун-
дай цилиб, (42) тенглама бир
вацтда иолга тенг булмаган
цар цандай а, р да дастани
ифодалайди.
Мисол. Маркази коорди-
наталар бошида булган дас-
танинг Л(—1, 2) нуцтадан
утган турри чизигини топинг.
Ечиш. М0(х0, у0) марказ-
ли дастанинг тенгламасини
ушбу у—у0 = k(x — х0) кури- 64-чизма
нишда ёзамиз, бу ерда даста
у — 0 = k (х — 0) ёки у — kx тенглама билан ифодаланади. Даста-
нинг Л (—1, 2) нуцтадан утган турри чизири учун 2 — k( — 1),
бундан k = — 2. Демак, у = kx дастанинг Л (— 1, 2) нуцтадан ут-
ган турри чизигига у — — 2х тенглама мос келади.
2. Параллел турри чизицлар дастаси (64-чизма). Те-
кисликдаги параллел турри чизицлар дастаси даста турри чизицлари-
га параллел булган бирор и0 векторнинг берилиши билан тулиц
аницланади.
Параллел турри чизицлар дастасини ифодаловчи тенгламани ка-
райлик. Параллел турри чизицлар дастаси и0(—Во, Ло) вектор би-
лаи аницланган булсин. У цолда АдХ + Вду 4- С = 0 тенглама дас-
тани ифодалайди. Бу ерда С цар цандай цийматларни цабул цила
олади. \ацицатан, С нинг цар бир цийматида бу тенглама билан
аницланган турри чизиц и0(—Во, /0) векторга параллел булганн са-
бабли дастага тегишли.
Мисол. Йуналиши u0 (I, —,2) вектор билан аницланган, парал-
лел турри чизицлар дастасига тегишли ва координаталар бошидан
утувчи турри чизицни топинг.
Ечиш. и0 (I, — 2)=>В0 = — 1, Ло = —2; АдХ + Вду + С = О
дан 2х + у — С = 0 тенглама цосил цилинади. Энди бу дастанинг
координаталар бошидаи утувчи турри чизирини топамиз: 2 • 0 + 0 —
— С = 0 => С = 0. Изланаётган турри чизиц: 2х + у = 0.
29-§. Декарт репернда тугри чизиц ва у бнлан боглнц
булган метрик масалалар
^оэирга цадар текисликда координаталарнинг аффин системасини
цараб, бу системада турри чизициииг турли теигламалари ва турри
чизиц билан боглнц айрим масалалар билан танишдик.
Энди декарт' репери (декарт координаталарининг турри бурчакли
системаси) олинган булсин. Бу системада тугри чизицца тааллуцли
купгина метрик масалалар цал цилинади.
Таъриф. Кесма узунлиги ва бурчак катталигини цисоблаш би-
лан боглнц булган масалалар метрик масалалар дейилади.
Таъриф. Тугри чизи^нинг йуналтирувчи векторига перпенди-
куляр >;ар цандай вектор бу тутри чизицнинг нормал вектори дейи-
лади.
(О, i, / ) Декарт реперини оламиз. Тугри чизик Ах + By + С =
= 0 умумий тенгламаси билан берилган булсин. и (—В, А) унинг
йуналтирувчи вектори, у ^олда и (Л, В) вектор и тугри чизицнинг
нормал вектори булади. Хэднцигэн, °. п векторларнинг скаляр ку-
пайтмаси:
и • п = —В-А 4- А-В = 0=> п -Lu.
Демак, тугри чизициииг умумий тенгламасидаги Л, В сонлар шу
тартибда олинса, улар шу тенглама билаи аиицланадигаи тугри чи-
зиц иормал векторининг координаталарини билдиради.
М и с о л. \/Учларииииг координаталари L (— 2,5; — 0,5), М (2;
2,5) ва N (2; 1) булган LMN учбурчакнинг L учидан MN томонига
перпендикуляр цилиб утказилган тугри чизи^ тенгламасини тузинг.
Ечиш. Изланаётган тугри чизицнинг нормал вектори учун п =
=MN векторни олиш мумкин, унинг координаталари n=MN (0; —1,5).
Нормал вектори п (0, —1,5) булган тугри чизи^нииг тенгламаси
0х+(—1,5)^/ + С = 0, бу тугри чизи1\ L учдан Утгани учун
0- (— 2,5) + (— 1,5) • (— 0,5) -Ь С = 0, бундан С =-. Излагает-
4
3
ган тенглама 0 х + (— 1,5) i/ —- = 0 ёки 2у + 1 = 0 куринишда
4
булади (65-чизма).
Нуцтадан тугри чизиццача булган масофа. (О, /, /)
декарт реперида
и:Ах + Ву + С = О (46)
тугри чизиц ва М0(х0, у0) иуцта берилган булсин. Мо нуцтадан
тугри чизи^ца перпендикуляр утказамиз. Уларнииг кесишган нуцта-
сиии Н билан белгилаймиз (66-<шзма). Н иуцта бу перпендикуляр-
нинг асоси дейилади. НМ0 векторнинг узунлигини Мо иуцтадан и
тугри чизиццача -булган масофа дейилади ва р (zM0, и) куринишда
белгиланади.
Агар Мо Си булса, Мо = Н булиб, р(7И0, и) = 0 булади. Мо й и
булсин, у ^олда р(7И0, и)=|Я/И0|. п (А, В) вектор и тугри чи-
зициинг нормал вектори булгани учун НМ0 ва л векторлар колли-
неар булади, у ^олда бу векторларнинг скаляр купайтмаси:
НМ0 • л = | НМ011 л | cos (НМе, л) = ± р (Л40, и) | л |
(НМ0 f t л булса, (НМ0, л) = 0° булиб cos (НМ0, л ) = + 1 була-
ди. НМ0 11 л булса, (НМ0, л)= 180° булиб, cos (НМ0, л) =—1
булади), бу ердан
‘ . !ЯЛ?0-7|
р(М0, и) =----
I« I
И нуцтанииг координаталари xlt yY булсин. У ^олда НМ0 (х0 —
— х1< Уо — УН булиб, Н € u эканини ^исобга олсак, скаляр купайт-
ма
НМоп =А(х0 — х1)+В(у0 — у1) = Ах0 + Ву0 —
— (АХх + Bz/J = Ах0 + Ву0 + С
булади.
Шу билан бирга | л | = V А2 4- В2 эканини назарда тутсак,
р (М„ и) = |%+Л^'С1 (47)
у Л^фо1
(47) берилган Мо нуцтадаи берилган и тугри чизиццача булган
масофани ^исоблаш формуласидир.
Мисо л. Учбурчакнииг бир учи (5, —3) дан, асоси (0, —1)
ва (3, 3) нуцталарии туташтирувчи кесмадан иборат. Уиинг баланд-
лигини топинг.
Ечиш. Учбурчакнииг асоси (0,—1) ва (3, 3) нуцталардаи утув-
чи тугри чизиц1 булгани учун унинг тенгламаси
у - ёки 4х — Зу — 3 = 0.
3—0 3^1
Учбурчакнииг h баландлиги эса (5, —3) нуцтадан бу тугри чизиц-
цача булгаи масофадир. У ^олда (47) формула буйича:
h = |45-3 •(—3)-3( _ 26
K16 + 9 5'
30- §. Икки турри чизиц орасидаги бурчак
67- чизма
Таъриф. Икки тугри чизиц орасидаги бурчак деб бу турри
чизицларнинг йуналтирувчи векторлари орасидаги бурчакка айтилади.
Берилган ult и2 турри чизицлар орасидаги бурчакни (иР и2) ку-
ринишда белгилаймиз. Декарт реперида ult и2 турри чизицлар
Uj: Дре + Bjy + = 0,
u2: Дг* + ВгУ + С2 = 0
умумий тенгламалари билан
аницланган булсин (67- чизма).
ut (—Blt Д^ вектор их турри
чизицнинг, и2 (— В2, А2) век-
тор и2 турри чизицнинг йу-
иалтирувчи векторидир, у цол-
да таърифга кура и1г и2 тур-
ри чизицлар орасидаги бурчак
ушбу формуладан аницланади:
COS (Up и2) =cos (.up и2) =
«Г «а
IМ • I «а i
4~
Хусусий цолда
uf J_ u2 Uj J_ u2 АгАя 4- BjB2 = 0. (48)
(48) тенглик икки турри чизицнинг перпендикулярлик шартидир.
Декарт реперида Оу уцца параллел булмаган ир и2 турри чи-
зицлар бурчак коэффициеитли тенгламалари билан берилган булсин:
Ui .у = kYx + Ьр и2 :у = k2x + b2.
Бу турри чизицлар орасидаги бурчакни цисоблаш формуласини кел-
тириб чицарамиз. Лурри чизиц декарт реперида царалганда унинг
и (ар аа) йуналтирувчи векюрининг бурчак коэффициента
k = ^=\g(u.
булади (68-чизма). (и, i ),бурчак турри чизицнинг Ох уцца ofuui
бурчаги дейилади. up иг тугри чизицларнинг Ох уцца сжиш бурчак-
лари мос равишда <р1( ф2 булсин (69-чизма), у ^олда
kt = tg <plt k2 = tg ф2 ва (up u2) = Ф2 — Ф1
булади. Икки бурчак айирмасининг таигенси формуласига кура
tg («р u2) = tg (ф2 — фх) =
i+tg Ф1 tg ф»
tg Фп tg ф2 ни klt k2 билан алмаштириб, ушбу формулага эга бу-
ламиз:
tg MJ = (48')
(483 икки тугри чизиц бурчак коэффициентли тенгламалари билаи
берилганда улар орасидаги бурчакни ^исоблаш фурмуласидир.
ы1« ы2 тугри чизицлар перпендикуляр булган ^олда ф3 = Ф1 + —
дейиш мумкин о tg ф2 = — ctg ф! ёки
А = ^ = -1- (49)
*1
(49) тенглик ur, u2 тугри чизи^лариинг перпендикулярлик шарти-
дир. up Uz тугри чизи^лар параллел булган ^олда ф2 — ф2 = 0 ёк-
Л2 = А»! = 0, бундан
К = Л2. (50)
(50) тенглик up и2 тугри чизюуларнинг параллеллик шартидир.
Эслатма. Икки тугри чизицнинг кесишишидан туртта бур-
чак ^осил булади. Бу бурчакларнинг jjap бирини берилган икки туг-
ри чизи1\ орасидаги бурчак сифатида олиш мумкин. Бу туртта бури
чакнинг бирини топсак, цолган учта бурчак ^ам аницланади.
Мисо л. u1( us тугри чизи^лар
иг:х + 7у — 5 = 0 ва ы4:3х — 4у + 20=0
тенгламалари билан берилган. Улар орасидаги бурчакни топинг.
Ечиш. иг тугри чизицнинг бурчак коэффициента kt = — у, иг
з
тугри чизицнинг бурчак коэффициента kt = —. (483 формула буйича
4
tg («V Us) = -
3 1
4 +7
Демак,
(“р «в) = 45°.
Тугри чизицлар умумий тенгламалари билан берилган цолда
ь = _dj ь = _d*
1 в/ 8 в;
Эиди (48') дан
tg <p = ^кд!~л*а» =
^1-^1+ BtBt
Mi Bil
IA Z?2|
^1^1 + BiA
Бундай
л1 = в»
Bt
Ill БОБ. ТЕКИСЛИКДАГИ АЛМАШТИРИШЛАР
31- §. Тупламларнн акрлантнрнш ва алмаштнриш
Буш булмаган икки X, Y туплам берилган булсин.
1-таъриф. Агар X тупламнинг jjap бир х элементага бирор /
доида билан Y тупламнинг аннц у элемента мос цуйилган булса, у
г^олда X тупламнинг Y тупламга акслантирилиши берилган дейи-
лади.
f геоида X тупламни Y тупламга акслантиради деган жумлани
f-.X-^-Y ёки X -^—*Y куринишда ёзамиз.
Агар х G X элемент f акслантиришда у G Y элементга мос кел-
са, уни y = f(x} каби ёзилади, у ни х элементнинг f акслантириш-
даги образи (акси), х ни эса у элементнинг прообрази (асли) дейи-
лади. X туплам барча элементларининг образлари туплами V(x)|.x G
£ А} ни /(X) куринишда белгиланади ва f акслантиришдаги X туп-
ламнинг образи дейилади.
Мисо л. Умумий О мар-
казли иккита концентрик ай-
ланани цараймиз. г радиусли
айлананинг нуцталари тупла-
ми X, R радиусли айлананинг
нуцталари туплами Y булсин.
X тупламнинг rjap бир М
нуцтасига Y тупламнинг ОМ
нурда ётган нуцтасини мос
келтирайлик. Натижада бирин-
чи айлананинг иккинчи айла-
нага акслантирилиши ^осил
булади: M1 = f(M),
ва ^оказо (70-чизма).
Бу ерда f цоида О нуцта-
Дан чнцарйлган нурнинг би-
ринчи айлана билан кесишган
70- чизма
нуцтасини унинг иккинчи ай-
лана билан кесишиш нуцтасига мос келтирищдан иборат.
f:X-*-Y акслантиришнинг му^им хусусий ^оллари билан
тани
шамиз.
I. Агар X тупламнинг ^ар цандай икки xt, xt элемента учун
х1т^ха=>/(х1)т!/(х,) булса, у ^олда f :X-+Y акслантириш инъек-
тив акслантириш дейилади. Бошцача айтганда, f акслантириш
инъектив булса, Y тупламнинг \ар бир элемента биттадан ортиц
булмаган прообразга эгадир.
Ми со л. X — ярим айлананинг барча нуг^галари туплами, Y эса
бу ярим айлана диаметри орцали утган тугри чизицнинг барча нук*
талари туплами булсин (71-чизма). Ярим айлананинг \ар бир нуцта-
сига бу нуцтанинг I тугри чизи^даги ортогонал проекциясини мос
гелтирамиз. Бу ерда f геоида ярим айлананинг' бир нуцтасининг
I тугри чизицдаги ортогонал проекциясини топишдир. Натажада X
тупламнинг Y тупламга ^кслантирилиши ^осил т^илинади. Бу акс-
лантиришда N1=f(N) ва ^оказо булиб,
II. Агар f акслантиришдаги образлар туплами Y тупламдан ибо-
рат, яъни f(X) = Y булса. у ^олда f:X-*Y акслантириш сюръек-
тив акслантириш дейилади.
Мисо л. X текисликдаги барча векторлар туплами, Y эса О
марказли даста булсин (72-чизма).-
= X \ {0} тупламнинг од» бир т векторига Y тупламнинг
—►
I II т тугри чизигини мос келтирамиз. Бу билан Хх тупламни Y
тупламга f:Xx-*-Y акслантирилиши ^осил булиб, бу акслантирищда
f (Xj) = Y. Демак, f акслантириш сюръектив, .лекин у инъектив
эмас, чунки ^ар цандай т=£п, т = кп векторлар учун /(т) =
==/(«)•
III. Бир вацтнинг узида ^ам инъектив, }(ам сюръектив булган
f-.X-t-Y акслантириш биектив ёки уэаро бир цийматли аксланти-
риш дейилади. Акслантириш биектив булганда Y тупламнинг jjap
бир элемента битта прообразга эга. Биектив акслантиришга мисол-
лар келтирамиз:
I-ми со л. Текисликда координаталарнинг аффин системасини ки-
риташ билан текисликнинг барча нуцталари тупламини барча тартаф-
ланган одиций сонлар жуфтлари (х, у) тупламига ва аксинча тар-
табланган барча одиций сонлар жуфтлари тупламини текисликнинг
барча нуцгалари тупламига акслантирилади. Бунда f цоида коорди-
наталарнинг аффин системасини киритиш цоидасидир.
X —текисликдаги барча нуцталар туплами, Y — маълум тартиб*
да олингаи барча одиций сонлар жуфтлари туплами (ёки аксинча)
булсин десак, бу акслантиришда э^ар бир М G X ну^тага бир жуфт
(х, у) £ Y сон ва аксинча сойларнинг э^ар бир (х, у) £ Y жуфтага
битта М G X нуцта мос келади.
2-мисо л. Бирор 2.L0N берилган булсин. Унинг 0L ва ON то-
монларининг нуцталари орасида цуйидаги мосликни урнатайлик: OL
томонидаги цар бир М иуцтага (К марказли ва ОМ радиусли ёйнинг
ON томони билан кесишган ЛЦ нуцтаси мос келсин (73-чизма),
73-чизмадан куринадики, B-*-Bt ва цоказо. Бунда бурчак-
нинг О учи узи-узига мос деб цисоблаймиз. Бу билан OL нурнинг
ON нурга узаро бир цийматли акслантирилиши цосил цилинади.
Инъектив’цам, сюръектив цам булмаган акслантиришга ушбу
мисолни келтириш мумлин.
Мисол. X туплам О марказли айлананинг барча нуцталари
туплами, Y эса О нуцтадан утувчи I тугри чизицнинг барча нуцта-
лари туплами булсин. X тупламнинг цар бир М нуцтасига унинг I
тугри чиэицдаги ортогонал <проекциясини мос цуйсак, бу билан
f:X-*-Y акслантириш цосил булади (74-чизма).
Бу ерда f цоида. айлананинг цар бир нуцтасининг I тугри чизиц-
даги ортогонал проекциясини топищдир. f акслантириш инъектив
эмас, чунки Мх, Мя (М1=^Мг) нуцталар учун f (MJ = /(MJ=N.
Шу билан бирга / акслантириш сюръектив цам эмас, чунки
f(X)^Y, f(X) = ABcl. '
2-таъриф. X тупламни Y тупламга бирор f:X-*-Y биектив
акслантириш берилган ва цар цандай х £ X элемент учун у = f (х)
булсин. У цолда (у) = х цонуният билан бажарилган Г1: Y -*-Х
акслантириш f учун тескари акслантириш дейилади. X тупламни
Y тупламга f акслантириш биектив булганда унга тескари /“* акс-
лантириш мавжуд ва айни вацтда биектив цам булади. \ацицатан,
f:X-*-y биектив акслантириш булганда у бир вацтда цам инъектив,
цам сюръектив булади. f — инъектив, яъни xt Ф ха учун /(xj^ ^)
булганидан/-1(У1)т^/-1(у2), бу ерда yx = j{x^, y2 = f{x^.J —
сюръектив, яъни f (X) = Y булганидан цар цандай у G Y учун f 1 (у)
прообразлар туплами буш эмас. Демак, f акслантиришга тескари
акслантириш мавжуд ва у биективдир.
3-таъриф. ХУ=0 тупламни уз-узига цар цандай f:X->-X
биектив акслантириш X тупламда алмаштириш дейилади. f акслан-
тириш X тупламнинг бирор алмаштириши булса, унга тескари f~l
акслантириш, яъни цар бир х' € X элементам унинг асли х £ X га
утказадиган акслантириш цам X тупламда алмаштириш булади. Уни
f алмаштиришга тескари алмаштириш дейилади.
Агар бирор х X элемент учун (мос цолда X тупламнинг Ф
•цисм туплами учун) f алмаштиришда /(х) = х(/(Ф) = Ф) булса, х
элемент (Ф цисм туплам) f алмаштиришда цузеалмас элемент ёки
инвариант элемент дейилади. Юцоридаги биектив акслантиришнинг
2- мисолида- О нуцта цузгалмасдир.
4-таъриф. Агар цар цандай х G X элемент учун f(x) = х бул-
са, у цолда f.X~+X алмаштириш айнан алмаштириш дейилади.
Бундан кейин X тупламнинг айнан алмаштеришлари Ео билан
белгнланади.
5-таъриф. fi, f2 лар X тупламнинг ихтиёрий икки алмаштири-
ши булсин, fi алмаштириш цар бир х G X элементен fx (х) = х' эле-
ментга, /а алмаштириш эса х' элементен /2(х') = х" эдементга ут-
цаэсин. Уларни кетма- кет бажарилса, яъни' х элемент устида f2
алмаштиришни ва цосил цилинган образ х' устида4 /2 алмаштириш
бажарилса, натижада х ни х" элементга утказувчи /9 алмаштириш
цосил булади. f3 алмаштириш /1( /2 алмаштиришнинг купайтмаси
(ёки композициям.) дейилади ва f3 — fji куринишда ёзилади (бунда
аввал fi сунгра /а бажарилади).
N'.
.М
М"
М'
. N"
Шундай цилиб, fu fa алмаш-
тиришларнинг купайтмаси барча
х£Х учун f3(x)=(f2(fi(x)) тенг-
лик уринли буладиган f3:X-»-X
алмаштиришдан иборат. Умуман
f2fi ва fif2 турли алмаштириш-
лардир, яъни f2fi ^fif2.
Мисол. Фараз цилайлик, f2
текисликни / тугри чизицца нис-
батан симметрии алмаштириш, /а
эса шу текисликни I тугри чи-
зицца перпендикуляр булган а
вектор цадар параллел кучириш
булсин1.
М — текисликнин г ихтиёрий
75- чизма нуцтаси булсин. Аввал f2f2 ал-
маштиришни бажарамиз. Текис-
ликни I тугри -чизицца нисбатан ft симметрии алмаштириш М нуц-
тани М' нуцтага утказади. Текисликни .а векюр цадар f2 парал-
* Параллел кучириш ва симметрии алмаштириш цацидаги маълумот Уцувчи-
га урта мактаб геометрия курсидан маълум булиб, бу тушунчалар 35- § да му-
фассал царалади.
лел кучириш М' нуцтани М" нуцтага утказади (75-чизма). Бу
алмаштиришларнинг купайтмаси алмаштириш М ну>^гани М’г
нуцтага утказади.
- Энди fift алмаштиришни бажарамиз. Текисликни а вектор ца-
дар /2 параллел кучириш М нуцтани N' иуцтага утказади. / тугри
чизицца нисбатан ft симметрии алмаштириш эса N' нуцтани N"
нуцтага утказади. уларнинг купайтмаси, яъни текисликни ftf2 ал-
маштириш М нуцтани N" нуцтага утказади. М" =^=N". Демак, бу
мисолда f Jf if2-
Теорема. Алмаштиришларни купайтириш ассоциативлик цо-
нунига буйсунади, яъни X тупламнинг ихтиёрий учти fu f2, f3
алмаштириши учун %ар вацт f3 (f2 f J = (f8 f8) f,.
Исбот. X тупламнинг ихтиёрий элемента х булсин. f алмашти-
ришдаги х нинг образи у, f2 алмаштирищдаги у нинг образи z, f3 ал-
маштиришдаги г нинг образи t булсин. У ^олда алмаштиришларни
купайтириш таърифига кура f2fi алмаштириш х элементни z элемент-
га утказади, f3f2 алмаштириш у элементни t элемента утказади.
Шунга кура
(Zs (/Ji)) W = f9 U) = t, fl) (X) = (Ш (у) = t,
бундан эса
МШ = (ШЛ- а
f ихтиёрий алмаштириш булсин. Унга тескари f~l алмаштЦриш
ва Ео айнан алмаштириш учун
f£o = £of=f ва /Г1 = Г7=^о
тенгликлар уринли булади (буни текширишни уцувчига ^авэла ки*
ламиз).
32-§. Алмаштиришлар грулпаси.
Алмаштиришлар группасииинг цисм группалари
X тупламдаги flt fz, f3 . . . алмаштиришлар тупламини Г билли
белгилайлик.
1-таъриф. Агар Г тупламдан олинган ихтиёрий икки ft ва ft
алмаштиришнинг fji купайтмаси тупламга тегишли булса ва унда-
ги \ар бир f алмаштиришга тескари f~l алмаштириш \ам Г туп-
ламга тегишли булса, Г туплам группа дейилади.
Г нинг ^ар цандай икки /2 алмаштириши учун f2 fi — ft f2
булса, Г группа коммутатив группа ёки Абель группаси дейила-
ди.
1-мисод. Фараз цилайлик, бирор текисликдаги барча параллел
кучиришлар туплами Р булсин, fx, f2QP алмаштиришларни олай-
лик. fi алмаштириш а вектор цадар параллел кучириш, f2 алмаш-
тириш эса 6-вектор цадар параллел кучириш булсин. Текисликнинг
ихтиёрий М нуцтасини ft алмаштириш шундай М' ну^тага утказади-
ки, бунда ММ’ = а булади, f2 алмаштириш эса М‘ нуцтани шун-
дай М" ну^тага утказйдики, М'М" = b булади. flt ft алмашти-
ришларнинг f2ft купайтмаси М нуцтани Af" нуцтага утказади.
Векторларни цушиш цоидасига кура
— — — ’
М М"=ММ' + М'М" = a-j- b = с.
яъии
ММ" = с (76- чизма).
Бинобарин, fi, fa параллел кучиришларнинг купайтмаси с = а + Ь
вектор цадар параллел кучиришдир.
76- чизма
77- чизма
Энди fi параллел кучиришга" тескариУалмаштиришни бажарайлик.
fi алмаштириш а вектор 1\аддр параллел кучириш булгани учун
—►
унга тескари алмаштириш — а вектор Гцадар параллел кучиришдир
(77- чизма).
\ Шундай цилиб,
Г К. f^P&fJitPnfit Р=>г' G р.
Демак, Р группа экан. Шу билан бирга Р коммутатив группадир,
—► —
чунки ft fi алмаштириш а + Ь вектор цадар параллел кучириш-
—► —► —► ——► —►
Дир» fi fi эса Ь + а вектор цадар параллел кучириш. а + b = b + а
булганидан
ft fi = fi far
Энди Г бирор алмаштиришлар труп паси, эса Г тупламнинг
цисм туплами булсин.
2- таъриф. Агар 1) Г' нинг ихтиёрий икки алмаштиришининг
купайтмаси Г' га тегишли, 2) Г' нинг од) бир алмаштиришига тес-
кари алмаштириш яна Г' га тегишли булса, Г' ни Г группанинг
ipicM группаси дейилади. Бошцача айтганда, Г группанинг Г' цисм
80 \
туплами Г нинг цисм группаси булиши учун унинг узи группами
ташкил этиши керак.
2-ми со л. Текисликдаги'барча векторлар цадар параллел кучи-
ришлар тупламини Р билан белгилайлик. (Р нинг коммутатив груп-
па ташкил этиши бизга маълум.) Бу текисликда бирор I тугри чи-
зицца параллел векторлар цадар барча параллел кучиришлар тупла-
ми эса Р' булсин. Равшанки, Р' с Р, шу билан бирга Р’ группа
ташкил цилади. (Р' нинг группа ташкил цилиши худдиРнинг груп-
па ташкил цилиши сингари курсатилади.)
Демак. Р' группа Р группанинг цисм группасидир.
33-§. Текисликдаги даракатлар ва уларнинг хоссалари
Текисликдаги турли алмаштиришлар билан танишамиз.
Таъриф. Текисликнинг дар цандай икки нуцтаси орасидаги ма-
софани узгартирмайдиган алмаштириш \аракат ёки силжитиш де-
йилади.
Харакатни F ордали белгилаймиз. Е текисликдаги даракат булса,
таърифга кура текисликнинг дар дандай М, N нудталари учун
р(М, N) = p(F(M), F(N)).
Текисликдаги даракат ушбу хоссаларга эга.
1°. Хараказда бир тугри чизидда ётган уч нудта яна бир тугри
чизидда ётган уч нудтага, бир тугри чизидда ётмаган уч нудта яна
бир тугри чизидда ётмаган уч нудтага утади.
Исбот. А, В, С бир тугри чизиднинг уч нудтаси, шу билан
бирга В нудта Л ва С нудталар орасида ётсин. У долда I боб, 1-§
даги таърифга кура
р(Л, В) + Р(В, О = р(Л, С).
Текисликдаги F даракатда Л', В', С' нудталар мос рэвишда Л,
В, С нудталарнинг образлари булсин, десак, даракатда дар дандай
икки нудта орасидаги масофа узгармагани учун:
р(Л', В') = р(Л, В), р(В', С') =р(В, С), р(Л', С') = р(Л, Q;
шунга кура
р(Л', В') + р(В', С') = р(Л', С)=*-В' нудта А' ва С нудталар ора-
сида ётади. Демак, Л', В’, С нудталар битта тугри чизидда те-
гишли.
Энди Л, В, С нудталар битта тугри чизидда ётмасин=> р (Л, В)+
+ р(В; С)>р(Л, С). У долда уларнинг Л', В', С образлари ^ам
битта т^гри чизи!\да ётмайди. Аксинча, агар Л', В', С' нуцталар
битта тугри чизи^да ётади ва В' нуцта Л', С' нуцталар орасида ёт-
син десак, р(Л', В')+р(В', С) =р (Л', С') тенглик уринли булади
^аракатда дар цандай икки нудта Орасидаги масофа сацлангани учун
'р (Л, В) + р (В, С) = р.(Л, С), бу эса Л, В, С нуцталарнинг бир
тугри чиэицда ётмаслигига зад. ▲
2°. Харакатда турри чизицдаги цар цандай уч нуцтанинг оддий
нисбати сацланади.
Исбот. А, В, С бир тугри чизицнинг уч нуцтаси булсин. Бу
уч нуцтанинг оддий нисбати:
X = (АС, В) = (II боб, 15- §).
вс
р(АВ)
В нуцта А, С нуцталар орасида ётганда бу нисбат сонга ва
В нуцталар АС кесмага тегишли булмаган цолда--------Р^.Д) сон-.
Р (В,С) '
га тенг.
F царакат булгани учун р(Л, B)=p(F(A), F(B)) ва р(В, С) =
= p(F(B), F(C)), бундан (АС, В) = (F (A) F (С), F(B)).
3°. ^аракатда нурнинг образи нурдан иборат.
Исбот.’ Учи О нуцта булган I — О А нурни оламиз. F царакат-
да ,0'=F(0), A'=F(A) булсин. F(l) = O'A' нур эканини курсата-
миз BQI, В=/=А нуцтани оламиз, у цолда ё Л нуцта О, В нуцта-
лар орасида, ёки В нуцта О ва Л нуцталар орасида ётади. 1°- хос-
сага кура А' нуцта О’ ва F(B) нуцталар орасида ёки F(B) нуцта
О" ва А' нуцталар орасида ётади.
Бундан F(B) нинг О'А’ кесмага тегишли экани келиб чицади.
Аксинча, О'А' нурга тегишли С'(С'т^Л') нуцтани оламиз. I нурда
ОС = О' С тенгликни цаноатлантирувчи С нуцтани ясаймиз. 1°-хос-
сага кура F(C) нуцта О' А' нурга тегишли ва F царакат булгани
учун
O'F (С) = ОС = О'С * С = F (С).
Шундай цилиб, B£l=> F(B)£ О'А' нурга ва C'QO'A' нурга =► С =
= F(C), CQI.
Демак, F(l)=O'A' нур. А
4°. \аракатда тугри чизицнинг образи яна тугри чизицдир.
Исбот. Бирор а тугри чизицда Л, В нуцталарни белгилаймиз.
а тугри чизиц АВ ва ВЛ нурларнинг бирлашмаси булсин. 3°- хос-
сага асосЗн F царакат АВ нурни А'В' нурга ва ВЛ нурни В'А' нур-
га уткгзади десак, бу цолда F(a) — A'B' (J В'А' =а' тугри чизиц
цосил цилинади. А
5°. ^аракатда параллел тугри чизицларнинг образлари цам парал-
лел тугри чизицлардан иборат.
Исбот. Текисликдаги икки llt тугри чизиц учун /|П^ =
— 0 булсин. F царакат биектив акслантириш булгани учун
• F(lj) 0 F(Z2) = 0=*F(Z1) || F(/2). А
6°. Харакатда бурчакнинг образи бурчак булади ва унинг йатта-
лиги сацланади.
Исбот. Ихтиёрий Z-LON берилган булсин. OL ва ON нурлар
унинг томонлари. F царакатда O'=F(O), N'=F(N), L' = F(L)
булсин. 3°- хоссага кура ON ва OL нурларнинг образлари мос ра-
вишда O'N' ва O’L' нурлар булиб, бундан Z. L’O'N' ~F(/-LON).
0L ва ON нурларда мос равищда А, В нуцталарни оламиз. А' =
= F(A), B'=F(B) булсин, у ^олда уч томони буйича дОЛВ =
= △ О'А'В' булиб => Z.AO£= X. А'О'В', демак, (LON)=(L'O'M'). ▲
Бу хоссддан ^ар цандай F ^аракатда ушбу ^олларнинг бажари-
лиши келиб чицади:
a) JL/s=^F(G)_L.F(/8);
б) нуцта М нуцтанинг I тугри чизицдаги ортогонал проек-
цияси булса, F(Mt) нуцта F(M) нуцтанинг F(Z) тугри чизицдаги
ортогонал проекцияси булади.
Таъриф. Агар икки фигурадан бирини иккинчисига утказади-
ган )(аракат мавжуд булса, бу фигуралар конгруэнт. дейилади.
^аракат таърифи ва унинг хоссаларига кура конгруэнт фигура-
лар текисликаа тутган уринлари билангина бир- биридан 'фарц цила-
ди, холос.
1- теорема. Текисликдаги %ар придай F %аракат декарт ре-
пери £ ни яна декарт репери £' га утказади еа М' — F(M)
нуцтанинг £' репердаги координаталари М нуцтанинг £ репер-
даги мос координаталари билан бир хил булади.
Ис бот. £=(О, Аг, А2) текисликдаги бирор декарт репери
(78- чизма), F эса текисликдаги эрракат ва О' = F(O), А\ = F{Al),
A\ = F(A^ булсин. Г-хоссага кура, О', А[, А'2, ну^талар битта
78- чизма 79- чизма
тугри чизицда ётмайди. 6°-хоссага кура. (A2O'Ai) = 90°. ,Демак, £
репернинг F эрракатдаги образи £'(О', А[, А^ декарт реперидир
(79-чизма).
. Текисликнинг ихтиёрий М нуцтасини оламиз. х, у бу нуцтанинг
£ реперга нисбатан координаталари булсин, яъни
х = - (Mt Alf О), у= -(М2 Аа, О).
ОЛХ О О At иАз
F зрракатда
M' = F(M), М\ = F{My), М'2 = F(Mt)
булсин; 2°- хоссага кура (Aft4lt О) = (М[А{, О'), ва (М,Л„ О) =
= (М2А'2О'), лекин
~(м\а\, O’) = -^L = X', _(м;д;,о') = ^ = /,
О'А । О'А2
булардан:
х = х', у = у'.
Энди тескари теоремага утайлик.
2-теорему. Текисликни бирор f алмаштиришда М' = f(M)
нуцтанинг £' декарт реперига нисбатан координаталари М нуц-
танинг £ декарт реперига нисбатан координаталари билан бир
хил булса, f алмаштириш царакатдан иборат булади ва £' =
Исбот. Текисликда £, £ декарт реперларини оламиз. Текис-
ликдаги шундай f алмаштиришни цараймизки, М нуцта £ реперга
нисбатан цандай координаталарга эге булса, унинг f алмаштиришда-
ги М' образи £' реперга нисбатан худди шундай координаталарга
эга дёйлик; бундан таш^ари, Afp /И2 — текисликнинг турли икки
нудтаси, М', М2 — бу нудталарнинг f алмаштиришдаги образлари
булсин, f алмаштиришни танлашимизга кура £ реперга нисбатан
М1(х1, yt) ва М2(х2, у^=>£' реперга нисбатан 'Й;(х1, ва
/Vfj (х2, уД. £. £' декарт реперларвда М2), p(MJ, M’J масо-
фаларни ^исоблаймиз:
р(М„ М2) = У(х2-Х1Г + (у2-У1Г,
р(М;, М2) = У(х2-х^ + (у2-у^,
булардан p(Mlt М2) = р(Л4', М2). Демак, f зрракат экан, яъни / =
— F. £ реперда 0(0, 0), ДД1, 0), А2 (0, 1), £' реперда эса
0'(0, 0), Д'(1. 0). (°- !)• яъни
O' = f(O), A'^'ftA.), А2 —f(A2)=^-£'= f(£). ▲
1- теоремадан бундай хулоса келиб чицади: текисликдаги \apa-
кат бир жуфт декарт реперининг берилиши билан тули^ аницланади.
34- §. ^аракатнннг аналитик ифодаси
Текисликда ихтиёрий иккита (О, i, j'), (О', Г, /') декарт, репе-
рини ^араймиз. Улар текисликдаги F ^аракатни аницлайди ва
“—**
F(£) = £’. Фараз цилайлик, (/, [') = а булсин. М текисликнинг их-
тиёрий нудтаси, М' эса унинг F даракатдаги образи булсин. М нуц-
танинг £ реперга нисбатан координаталарини х, у билан белгилай-
миз. У цолда, 33-§ даги 2-теоремага кура, М' — F(Mj нуцта £’
реперда шу х, у координаталарга эга булади. М' нуцтанинг £ ре-
перга нисбатан координаталарини х', у' орцали белгилаймиз.
Маълумки (II боб, 19-§), £, £’ реперлар декарг реперлари бул-
гани учун текисликнинг ихтиёрий М нуцтасининг £ реперга нисба-
тан координаталари х, у, унинг £' реперга нисбатан координатала-
ри х', у' орцали
fx = x'cosa — ы/'sina + с,,
[у = х' sina + еу' cosa 4- с2 ' f
формулалар билан ифодаланар эди. Бу ерда £, £’ реперлар бир хил
ориентацияли булса, е = 4-1, акс цолда е = —]. (1) фюрмулаларни
царалаётган цолда М’ нуцтанинг координаталари учун ёзамиз:
fx' = xcosa—е t/sina 4- с„ " (2)
(</' = xsina + et/cosa + с2.
(2) формулалардаги х, у бир вацтда М' нуцтанинг F царакатдаги
асли М нинг £ реперга нисбатан кеординаталари эди. Шунга кура
(2) формулалар F царакатда битта £ реперга нисбатан М' = F(M)
нуцтанинг координаталарини М нуцтанинг координаталари орцали
ифодасини беради.
Аксинча, текисликдаги бирор f алмаштиришда М. ва М' = F{M)
—► —►
нуцталарнинг битта (О, i, j) реперга нисбатан координаталари (2>
формулалар билан богланган булсин; f нинг царакат эканини курса-
тамиз.
Бунинг учун текисликда ихтиёрий икки М, N нуцтани оламиз.
М, N' бу нуцталарнинг f алмаштнришдаги образлари булсин; f нинг
царакат эканини курсатиш учун
р(/И', N') = p(Af, N)
булишини курсатиш етарли. Бу реперга нисбатан
М (хм> Ум)' N (хм< Ум)' М (хмг Ум)' M(xN, yN)
булсин. У цолда р(АГ, ЛГ)= (x‘N — хм)г 4- (у„ — Ум)* 2 =
= |Z(xwcos a — е yN sin a 4-q — хм cos a 4-e«/w sin a — cj2+(xw sin a 4-
+ e Ум cos a 4- ct — xM sin a — eyM cos a— c2)2 = j/(x?v4- xM)2 cos 2 a-b
4-e* (yN — yMf sin2a — 2e (xN — xM) (yN— yM) sin a cosa+ (xN — xM)2X
xsin2a 4-e2(yN — yM)2cos2a 4- 2e(xw — xM)(yN — yMjcosasina =
= j/fXjv — XM)2 (cos2 a 4- sia2a' +i(yN — УМУ (sin2a 4- cos’rz) =
= j/ (xN — xM)2 + (yN — yM}2 = p (M, N) =► f царакатдир. Демак, (2)
формулалар царакатнинг аналитик ифодасидир.
(2) формулаларда ср сл сонлар О нуцтанинг £ реперга нисбатан
координаталари.
Таъриф. ^аракатни аницлайдиган JB, JB' = F(«Э). декарт репер-
лари бир хил ориентацияли булса, ^аракат биринчи тур, царама-^ар-
ши ориентацияли булса, иккинчи тур зцаракат дейилади.
35- §. Харакатнинг асосий турлари
1. Параллел кучириш. Текисликда а#=0 вектор берил-
ган булсин.
Таъриф. Текисликнинг каР бир М иуцтасига ММ' = а шарт
билан ани^ланувчи М' нуцтасини мос келтириш текисликда а век-
тор ^адар параллел кучириш дейилади. Уни Т-* куринишда белги-
ланади, а ни кучириш вектори дейилади. Текисликда а. вектор
цадар параллел кучириш текисликнинг кар бир М нуцтасига бирги-
на М' нуцтасини мос келтиради. Шунга кура параллел кучириш те-
кисликдаги алмаштирищдир. Таърифга кура текисликда а вектор ца-
—►
дар параллел кучириш Т-+ да текисликнинг барча ну^талари а век-
тор йуналишида |а| масофага силжийди.
80- чи'змада △ А'В'С' Т-+ даги △ АВС нинг образидир, яъни
△ А'В’С' = АВС).
81-чизма-
Параллел кучиришда айлананинг образини косил цилиш учун
унииг Марказини кучириш вектори цадар параллел кучирилади (81-
чизма).
Параллел кучириш каракатдир. ХздиКатан* М, N текисликнинг
ихтиёрий икки нуцтаси ва М', N' бу нукталарнинг даги образ-
лари булсин. У к°лда ММ' = a, NN' — а булиб, бунда ММ’ =
= NN' =► MNN'M' туртбурчак параллелограмм. У цолдар(Л4. N) =
= р(ЛГ, N'). Бундан параллел кучиришнинг царакатдан иборатлиги
ва унинг I тур царакат эканлиги тугрисида хулоса чицарамиз.
Масала. Ацоли яшайдиган А ва В пунктлар циргоцлари парал-
лел булган каналнинг икки томонида жойлашган (82-а чизма), А
ва В пунктларни энг цисца йул орцали туташтириш учун цайси ер-
га куприк цуриш керак?
Ечиш. APQB чизиц А ва В пунктларни туташтирувчи бирор
йул булсин. АР кесмани PQ. вектор цадар параллел кучирсак, у
A'Q кесмага утиб, A'Q = АР ва АА' = PQ дан
AP + PQ+QB = AA'+A’Q + QB
булади. Бундан куринадики, APQB йул эиг цисца булиши учун
A'QB синиц чизицнинг узунлиги энг цисца булиши керак. Бу (икки
нуцта орасидаги энг цисца масофа уларни туташтирувчи кесма узун-
лигидаи ибораг булишини эътиборга олсак), A'QB синиц чизиц А’ ва
В ни туташтирувчи кесмага айланганда, яъни Q = N булса бажари-
лади. Бу ерда N нуцта А'В кесма билан каналнинг В пунктга яцин
циргогииинг кесишган нуцтаси. Юцорида цилинган тацлил буйича из- 4
ланган нуцтани топайлик. Канал циргоцларига перпендикуляр утка-
зиб, канал кенглиги KL ни топамиз (82- б чизма). К утказилган
перпендикулярнинг А пунктга яцин циргоги билан, L эса В га яцин
циргоги билан кесишган. нуцтаси. А нуцтани KL цадар параллел ку- ।
чирсак, А' цосил булади. А'В кесмани утказиб, унииг канал-
нинг В пунктга яцин циргоги билан кесишган N нуцтасини топамиз.
N дан каналнинг иккинчи циргогига туширилган перпендикулярнинг
асоси Е куприк цуриш учун изланган нуцта булади.
Хацицатан, каналнинг А пунктга яцин циргогида y-F нуцта-
ни олсак, AFTB (Т нуцта F дан иккинчи циргоцца туширилган пер-
пендикулярнинг асоси, йулнинг AENB дан узун эканини
мумкин:
куриш
AE + EN + NB = EN + A'N + NB = EN + А'В < EN 4- А'Т +
+ ТВ = AF + FT + ТВ
Харайатнинг аналитик ифода-
си (34-_§даги (2) формула), (0,7,
j}> (О', /, /) декарт реперлари учун
(83- чизма) а = 0, е = + 1 булга-
нцдан
(х' = х+с1,
W = у+е2
куринишни олади. Бу формула-
ларда (clt с2), (х', у'), (х, у) лар
О', М', М нуцталарнииг (О, t,
/) реперга нисбатан мос коорди-
наталаридир.
Т цуйидаги хоссаларга эга.
1°. а= 0 вектор цадар па-
раллел кучириш 7\. текисликда-
ги ^ар бир нуцтани узини- узига алмаштиради, демак, у айнан ал-
маштиришдир. -
2°. Т-+ да тугри чизик узига параллел тугри чизицца утади.
Хусусий ^олда а векторга параллел булган тугри чизиц уз- узиГа
утади.
, Исбот. I || а булсин. Ихтиёрий MQI нуцтани оламиз. Бу нуц-
танинг Т_ даги' М' образи ММ' = а шартни цаноатлантиргани
х а
учун M'Ql булади. Бундай а вектор цадар параллел кучиришда
V III а тугри чизи(\нинг образи унинг узи булади.
I % а булсин. М, N£l нуцталарни оламиз. М'; .N' бу ну^та-
ларнинг Т-*- даги образлари булсин. У ^олда ММ’ = NN'= а бу-
либ => ММ' N'N туртбурчак параллелограммдир. Демак,
MN' = 1' || I. а .
Текисликда параллел кучириш кучириш векторининг ёки бир жуфт
мос ну^таларнинг берилиши билан ани^ланади. Агар параллел кучи-
риш бир жуфт мос А, А' нуцталар билан берилган булса, у ^олда
А А' векторни параллел кучириш вектори сифатида ^абул циламиз.
Текисликда барча параллел кучиришлар туплами группа ташкил эта-
ди (буни '$2-§ даги 1- мисо/тда Курдик).
2. Турри чизицца нис-
батан симметрии адмаш- V
тирйш. Текисликда бирор I I
турри чизиц берилган булсин. I
1-таъриф. Текисликдаги I
М, М' нуцталар учун ММ' I
кесма I га перпендикуляр булиб, __
ММ' кесманинг уртаси I турри----------------~
чизицца ётса, у цолда бу нуцта- I
лар Z турри чизицца нисбатан |
симметрия. деб аталади. I
Бу таърифга кура текисликда I
берилган ихтиёрий М нуцтага [
шу текисликдаги бирор I турри ° Л/'
чизицца нисбатан симметрии бул-
ган М' нуцта цуйидагича топи- 84- чизма
лади (84-чизма): 1) М нуцтадан
I тугри чизицца перпендикуляр утказамиз, унинг I турри чизиц би-
лан кесишган нуцтаси Мо булсин; 2) бу перпендикулярда узун-
лиги ММ0 кесма узунлигига тенг М0М' кесмани ажратамиз (М
=£М'). М' нуцта I турри чизицца нисбатан М нуцтага симметрии
нуцта булади.
,2-таъриф. Текисликнинг цар бир М нуцтасига I тугри чизиц-
ца нисбатан симметрии булган М' нуцтасини мос келтирувчи алмаш-
тириш текисликда I турри чизицца нисбатап симметрия алмашти-
риш ёии I уцли симметрия деб аталади. I уцли симметрия S, ку-
ринишда белгнланади. I турри чизиц симметрия уци дейилади: ХаР
бир М £ I нуцта I турри чизицца нисбатан уз- узига симметрии деб
цисобланади. *
I уцли S, симметрияда М' нуцтанинг М нуцта учун образ эка-
нини SJ(A4) = Af/ куринишда белгилаймиз.
Бирор Ф фигурани ташкил этувчи барча нуцталарга I турри чи-
зицца нисбатан симметрии нуцта-
лардан тузилган Ф' фигура I
тугри чизицца нисбатан Ф фигу-
рага симметрий дейилади ва
(Ф) = Ф' куринишда ёзилади.
Масалан, 85- чизмада S, да АВ
кесмага симметрии фигура А'В'
'кесма: Sz (ЛВ) = А’В', ABCD
трапецияга симметрии фигура
A'B'CD’ трапеция, (О, г) айла-
нага симметрии фигура (О', г)
айлана экани тасвирланган-.
I уцли симметрия царакатдир.
Буни курсатиш учун иккита шун-
дай (О, i, j), (О, Г, /') декарт
реперйни танлаймизии, О £ I, i || /, i'=i ва / =—/ булсин (86- чизма).
Текисликда I тугри чизицца нисбатан симметрии алмаштиришда
(<®) = •$' булади. М — текисликнинг ихтиёрий нуцтаси, М' унинг
Sr даги образи, яъни S, (М) = М' булсин. М нуцтанинг JB реперга
нисбатан координаталарини х, у билан белгилаймиз. I уг^гги симмет-
рия таърифйга ва реперларнинг танланишига кура M' = S,(M) нуц-
та £’ реперга нисбатан шу х, у координаталарга эга булади. 33-§
даги 2- теоремага кура 1 = Ох уцли симметрия царакатдан иборат
экан, шу билан бирга у иккинчи тур царакатдир, чунки уни аниц-
ланаётган JS, £' реперлар царама-царши ориентацияли.
М' = Sl (М) нуцтанинг 3 реперга нисбатан координаталарини
х', у' билан белгнласак, ММ' кесма Ох уцца перпендикуляр ва
унинг уртаси Мо нуцта Ох уцца тегишли булгани учун М0М' =
=—MqM = —у j. Бундан ушбу форму лага эга буламиз:
|х' = х,
1/ = — У-
Бу текисликда Ох уцли симметрия формуласидир. Худди шу тартиб-
да текислцда Оу уцли симметрия >
(х' = —х,
1У' = У
формулалар билан ифодаланиши курсатилади.
Юцорцда S, нинг царакат эканини курсатишда О£1 шартини
цуйган эдик. Аслида 0(1 булганда цам S, нинг царакат эканини
курсатиш мумкин. Хацицатан, текисликда (О, Alt Ая) декарт репе-
рини оламиз, 0(1 булсин (87- чизма). Текисликда I тугри чизицца
нисбатан симметрия алмаштиришни царайлик. S/O) = О', S, (Лр =
= Л,, (Л2) = Л2 булсин.
Бу цолда 1-таърифга кура
Р (О. А) = р (О', Л') р (О, Лг) = р (О', Л') ва
Р(Л„ л8) = р(л;, Л-) (3)
муносабатларга эга буламиз.
(3) => △ ОАгАг = △ O'A'tA'2=> (A’fl'A') = 90°. (4)
(3), (4) муносабатлардан куринадики, S, алмаштириш (О, Лп Ля),
(О', Лр А’2) декарт реперлари билан аницлднувчи царакат экан. Шу
билан бирга у иккинчи тур царакат, чунки бу реперлар Харама- цар-
ши ориентациялидир.
Мисол. I тугри чизицдан бир томонда Л ва В нуцталар бе-
рилган (88-чизма). I тугри чизицда щундай N нуцта топингки,
р (Л, N) + р (N, В) мицдор энг кичик булсин. ,
Е ч и ш. Л нуцтани I т^гри чизицца нисбатан симметрий алмаш-
тирамиз. 5,(Л) = Л' булсин. А'В П / = нуцтани топамиз.
р (Л, N) + р (N, В) йигинди энг кичик булади. \ацицатан, ихти-
ёрий r$N' =^N нуцтани олайлик.
£(Л, А/) + р(М, В) = р(Л', N)+p(M, £) = р(Л', В)<р(Л', N') +
+ р(ЛГ, В)* = р(Л, N') + p(M', В).
/уцли симметрия цуйидаги хоссаларга эга:
Г. I тугри чизиц уз-узига симметрии, чунки 2- таърифга кура
унинг цар бир нуцтаси уз-узига симметрии.
2°. I тугри чизицца перпендииуляр цар цандай тугри чизиц уз-
узига симметрикдир.
^ацицатан, a _L I булсин (89- чизма). Ихтиёрий М £ а нуцтани
оламиз. Sz да унга мос келган М' нуцта учун ММ' кесма I га
* Учбурчак икки томонннинг йигиндисн унинг учиичн томонидан катта.
И £
Мо
,м‘
89- чнзма
А —т 1 1 S 1 1 1 1 1 J fi . L Во HL. £
1 1 1
1 1 1 1 I I I I I < ’ • I I I I Iй' /п'
90- чизма
перпендикуляр ва Мо нуцта ММ' кесманинг уртаси. Бундан
М'£а.
а тугри чизиц ихтиёрий М йу^тасининг М' образи а тугри чи-
зицца тегишли булгани учун а тугри чизиц уз- узига утади.
3°. Симметрия уцига параллел тугри чизицнинг образи шу уада
параллел тугри чизи^ булади, яъни т II I =► т' = S, (m) || I. Ха^и-
цатан, т тугри чизицда Л=#=В ну^таларни оламиз. А', В' бу ну^та-
ларнинг SI даги образлари булсин (90- чизма).
У \олда АА' э^амда ВВ' кесмалар / тугри чизи^ца перпендику-
ляр ва АА0 = А0А', ВВ0 = BqB’. Шу билан бирга т || I. Булардан
т' II I.
Тугри чизивда нисбатан симметрия симметрия уци ёки бнр жуфт
мос нуцтани бериш билан бир цийматли аницланади. Х,ацикатан, те-
кисликдгги бирор I тугри чизиц симметрия уци учун ^aOyjy ^илинса,
1- таърифга кура текисликнинг \ар бир М нуцтасига I уцца нисба-
тан симметрии булган я гона М' ну^та трпилади. Агар тугри чизиц-
91- чизма
92- чизма
ца нисбатан симметрия алмаштириш бир жуфт А, А' мос нуцталар
билан берилган булса, А А' кесманинг уртаси Ло дан А А' кесмага
перпендикуляр цилиб утказилган I тугри чизиц симметрия уци бу-
лади (91-чизма). '
Агар уцли симметрия узи-узига аксланадиган икки А—>- А, В-»-
-*-В нуцталар билан берилган булса, у цолда АВ тугри чизиц сим-
метрия уци булади (92- чизма).
3. Буриш. Ориентацияли текисликда О нуцта ва (ориентация-
ли) АВС бурчакни белгилаб цуяйлик: (ЛВС) = а.
Таъриф. Текисликдаги цар бир М нуцтага унинг
1) р(О, М) = р(О, М'),
2) (МОМ') = а ва МОМ' бурчак АВС бурчак билан бир хил
ориентацияли булиш шартларнни цаноатлантирадиган М' нуцтасини
мос келтирувчи алмаштириш текисликда О нуцта атрофида берил-
ган а бурчакка буриш дейилади. О нуцта буриш маркази, а бу-
рши, бурчаги , дейилади
Текисликда О нуцта атрофида а бурчакка буриш билан бел-
гиланади. 93-чизмадаги А’В’С' учбурчак берилган дЛВС ни текис-
ликда 0 нуцта атрофида а = 90° бурчакка буришдаги, яъни
даги образидйр.
/?“• ва Rfr текисликда О нуцта атрофида мос равищда alt a2
бурчакларга буришлар булиб, бунда
93- чизма
94- чизма
(Oj — 2л, агар аг > 0,
(aj + 2л, агар «с 0
булсин (94- чизма). У цолда Rg буриш цар цандай М нуцтани М'
нуцтага утказса, /?“• буриш цам М нуцтани шу М' нуцтага утказа-
ди, -бундан = /?«..
95- чизма
Демак, О нуцта атрофида
₽□* буришнинг сц бурчагини
цар вацт шундай танлаш мум-
кинки, I aj | «с п булади. Шун-
дай цилиб, буриш бурчаги
О < а < п оралицда олинади.
а = 0° бурчакка буриш R%
текисликнинг барча нуцталари-
ни уз урнида цолдиради. Де-
мак, текисликда Rq буриш
айнан алмаштириш экан.
Текисликда буришдан ибо-
рат алмаштириш царакатдир.
Дарцацицат, координаталар
боши умумий О нуцта булган
бир хил ориентациям иккита
—
(О, t, j), (О, Г, /') декарт реперини оламиз. (ж, I') = а булсин (95-
чизма).
Текисликда О нуцта атрофида а бурчакка буриш Rq$ реперни
JB' реперга утказади (чунки реперлар бир_ хил ориентирланган ва
(«. Г) = а).
М текисликнинг ихтиёрий нуцтаси, М' бу нуцтани R$ буришда-
ги образи булсин. Буриш таърифига кура
(MfiM) = (М; О М') = а + р,
у цолда
△ MfiM = △ M'fiM' => ОМг = ОМ\ ва MtM = М(М'.
Демак, М нуцтанинг £ реперга нисбатан координаталари билан
унинг образи М' нинг <$' реперга нисбатан координаталари бир хил
37-§ даги 2-теоремага кура R° буриш биринчи тур царакатдир. Бу.
рищда буриш марказигина инвариант нуцта булади.
Буришнинг аналитик ифодаси билан танишамиз. Текисликда R$
—► “► ►
буриш натижасида ундаги (О, i, j) репер (О, Г, /') реперга утиб (бу
ерда (t, Г) = a), J8 реперга нисбатан х, у .координаталарга эга бул-
ган V М нуцтанинг М' образи £' реперга нисбатан шу х, у коор-
динаталарга эгалиги курилган эди. М' нуцтанинг JB реперга нисба-
тан координаталари х', у' булсин. Буриш маркази О инвариант, яъни
О = О' ва £, £' реперлар бир хил ориентацияли булгани учун 34-.§
даги царакат формулалари
(х' =xcosa — eJ/sina + Ci, zgx
{у' = xsina 4-e</cosa +ся 1
ушбу
(х' = xcosa — у sin а, -
\у' = xsina + г/cos а
куринишни олади. (5) формулалар текисликдаги буришни ифода-
лайдй.
Текисликда буриш буриш маркази ва буриш бурчагининг берили-
ши билан, шунингдек, буриш маркази ва бир' жуфт мос нуцталар-
нинг берилиши билан ягона равишда аницланади.
Агар буриш маркази ва буриш бурчаги берилса, буришга берил-
ган таъриф асосида текисликнинг ^ар кбир М нуцтасининг биргина
М' образи топилади. Агар буриш буриш маркази О ва бир жуфт
мос А, А' нудталар билан берилса, у ^олда Z. АОА' нинг ми^дори
(АОА') ни буриш бурчаги деб цабул цилиб, шу буриш бурчаги ва
буриш маркази буйича текисликдаги М нуцтанинг М' образи топи-
лади.
Мисол. Квадратнинг ва тенг томонли учбурчакнинг уз-узига
утказадиган барча буриш марказлари ва буриш бурчакларини топинг.
Ечиш. Квадрат диагоналларининг кесишган нуцтаси О ни бу-
риш маркази ва соат мили буйича ёки унга ^арама- царши .йуналиш-
да 90° ва 180° бурчакли буриш бурчаги деб цабул цилсак, квадрат
уз- узига алмашинади. Демак, квадратни уз- узига утказувчи 4 та
буриш мавжуддир:
a =90°, 180°, —90°, —180°.
Тенг томонли учбурчак баландликларининг кесишган О нуцтаси-
ни буриш маркази, соат мили йуналиши буйича ва унга царама-
царши йуйалишда 120° бурчакли буриш бурчаги деб цабул ^илсак,
тенг томонли учбурчак уз- узига утади. Демак, тенг томонли уч-
бурчакни уз- узига утказадиган 2 та буриш мавжуд: бири О нуцта
атрофида. a = 120° бурчакка, иккинчиси шу нуцта атрофида а =
= — 120° бурчакка буришдир.
Т а ъ р и ф. Текисликда О нуцтасн атрофида. a = 180° га буриш
О марказли симметрия деб аталади. О нуцта симметрия маркази
дейилади. О марказли симметрия Zo ёки А?1^1 билан белгиланади.
V М нуцтага О марказга нисбатан симметрии М' нуцтани ясаш
учун ОМ тугри чизицни утказиб, бу тугри чизицца О нуцтадан ик-
кинчи томонда ОМ'==ОМ кесма цуйилади.
Ихтиёрий Ф фигуранинг О
марказли марказий симметриядаги
образини топиш учун унинг эрр
бир нуцтаси юцоридаги цоида
буйича алмаштирилади. 96- чиз-
мада текисликдаги О марказли
марказий симметрия А"’0" да бе-
рилган АВС учбурчакнинг А'В'С'
учбурчакка утиши тасвирланган
(96- чизма).
Марказий симметрия 1.80° га
96- чизма
буриш булгани учун у цам биринчи тур царакат ва (5; буриш фор-
мулаларига кура декарт реперида
(х' =
\у' =
формулалар билан аницланади.
(6) да х, у лар М нуцтанинг.
—х,
— У
(6)
х', у' эса бу нуцтанинг 7?|®°’да-
ги ЛГ образининг битта реперга нисбатан координаталаридир. Мар-
казий симметрия таърифи ва симметрии нуцталарни ясаш цоидасидан,
у, симметрия марказининг ёки бир жуфт мос нуцталарнинг берили-
ши билан ягоиа равишда аницланади,. деган хулоса чицЬрамиз.
Агар мар'казий симметрия бир жуфт мос А, А' нуцталар билан
берилган булса, АА' кесманинг уртасини симметрия маркази сифати-
да цабу^ циламиз.
4. Сир пану вчи симметрия . Sz текисликдаги уцли. сим-
метрия, Т-* эса 0, р II I вектор цадар параллел кучириш бул-
син.
Таъриф. f = T-*-St алмаштириш текисликнинг сирпанувчи сим-
метриям дейилади*
Текислик if М нуцтасининг f = T-*St сирпанувчи симметрияда-
ги образи цуйцдагича топилади: аввал М нуцтанинг S, даги образи
Mi ни топамиз. сунгра Мг нуцтанинг Т-* даги образи М' ни топа-
миз. М' изланган нуцта, яъни f(M) = М' булади.
97- чизмадаги А'В'С' учбурчак АВС учбурчакнииг f = T-+St
сирпанувчи симметриядаги образидир*
Текисликда / тугри чизиц ва р ¥= 0 векторни белгилаймиз, бунда
р || I булсин. Декарт реперини OQI ва i || I шартларда оламиз
(98- чизма). Текисликнинг ихтиёрий М нуцтаси х, у координаталарга
эга булсин. М нуцта М нуцтанинг S, даги образи, М' эса М нуц-
танинг Т-+ даги образи булсин, яъни S;(M) = М, Т-* (М) = М'.
М, М1 нуцталар JS реперда ушбу координаталарга эга булсин;
М(х, у), М'(х', у'), р II / = Ох булгани учун р = xoi=*-(O, i,
да р (х0, 0). Тугри чизицца нисбатан симметрии алмаштириш ва
параллел кучириш формулаларига кура S(, Т-* алмацггиришлар ушбу
формулалар билан ифодаланади:
$.:£=*’ (а), Т-+: f*'=Z+*o (б)
(у = —у р (у' = у,
булардан
fx' = х + х0, (7)
\у' = —у- ’
(7) формуладар сирганувчи симметриянинг аналитик ифодаси булиб,
улар битта реперда М' = f(M) нуцтанинг координаталарини М нуц-
танинг координаталари орцали ифодалайди. Сирпанувчи симметрия
тугри чизицца нисбатан симметрии алмаштириш билан параллел ку-
чиришнинг купайтмасидан иборат булгани' сабабли бу икки алмашти-
риш учун умумий булган хоссалар сирпанувчи симметриянинг цам
хоссалари булади.
Бу хоссалардан айримларини келтирамиз.
1. Сирпанувчи си'мметрияда тугри чизицнинг образи унинг узи-
2. I га параллел булган m тугри чизицнинг образи цам I га па-
раллел, яъни m П || /.
3. / га перпендикуляр булган m тугри чизицнинг образи цам I
га перпендикуляр, яъни m_LZ=>f(m)_LZ.
S, ва-Т-* царакат булгани учун уларнинг купайтмаси f цам ца-
ракатдир. Шу билан бирга сирпанувчи симметриянинг (7) аналитик
ифодасидан куринадики (в = — 1), у иккинчи тур царакатдир.
36- §. \аракатлар тасиифи (классификациям)
Бу параграфда цар цандай царакат юцорида курилгаи беш тур-
нинг биридан иборат эканини курсатамиз.
1- теорема. Х,ар цандай биринчи тур царакат ё параллел
кучириш ёки буриш, ёхуд марказий симметриядир. -
Исбот. F текисликдаги бирор биринчи' тур царакат булсин.
А шу текисликдаги бирор нуцта, F царакат А нуцтани В нуцтага,
В нуцтани эса С нуцтага утказсин. У цолда АВ кесма ВС кесмйга
утади ва р (Л, В) = р (В, С). Бунда цуйидаги уч цол булиши мум-
кин: ____ ___
1) АВ, ВС кесмалар бир хил йуналишли (99-чизма). Текисликда
АВ вектор ^адар параллел кучириш Тни бажарамиз. АВ = ВС
булгани учун ?^ам А нуцтаии В га, В нуцтани эса С нудтага
утказэди. Шу билан бирга Т^-д биринчи тур >;аракатдир. Бундан
F = Шундай цилиб, АБ, ВС кесмалар бир хил йуналишли
булганида F даракат параллел кучириш экан.
о
В
99- чизма
100- чизма
2) АВ, ВС кесмалар царама- царши йуналишли (100-чизма). Бу
^олда р(Л, В) = р(В, С)=>С = Л. О нуцта АВ кесманинг уртаси
булсин. '
Текисликда О нуцтага нисбатан симметрияни бажарсак, А нуцта
В нуцтага, В нуцта эса С = Л нуцтага утади. О марказли симме-
трия биринчи тур даракат. Бундан куринадики, F даракат ва у О
-марказли симметрия экан.
3) АВ, ВС кесмалар битта
тугри чизицда ётмайди (101-чиз-
ма). АВ, ВС кесмаларнинг урта
пер пен дикул ярларини утказамиз.
Уларнинг кесишган нуцтаси О
булсин. У цолда АО = ВО — СО.
Бу муносабат ва АВ = ВС тенг-
ликдан => Д.А0В = △ СОВ =>
=> (ЛОВ) = (ВОС). Текисликда О
нуцта атрофида а = (АОВ) бур-
чакка бурамиз. Бу R% да ₽£(Л)=
=В, Я® (В) = С. Шу билан бирга
Ro биринчи тур даракат ^ам.
Бундан =► F = R%. Демак, бу
^олда F бурищдир. ▲.
2-те орем а. Дар цандай иккинчи тур даракат ёки тугри чи-
зи^а нисбатан симметрии алмаштириш, ёки сирпанувчи симме-
трия булади.
Исбот. F текисликда бирор иккинчи тур даракат булиб, у те-
кисликнинг ^ар дандай А нуцтасини В нудтага, В нуцтасини эса С
нуцтага утказсин. Бунда цуйидаги уч ^ол булиши мумкин:
1) АВ, ВС кесмалар бир хил йуналишли (102-чизма). Ушбу ал-
маштиришни бажарайлик; аввало текисликда АВ = I тугри чиэиода
нисбатан симметрия алмаштиришни бажарамиз, бунда В2(Л) = Л,
S, (В) = В, Sf (Q = С. Сунгра А"-------------g ~ - 1 °C
АВ вектор цадар параллел кучй-
рамиз. Бу алмаштириш А нуц- 102- чизма
тани В га, В нуцтани С га ут-
казади; Бу иккн алмаштиришнинг купайтмаси Т-^ St сирпанувчи сим-
метрия булади, у иккинчи тур царакатдир. Демак, бу цолда F сир-
панувчи симметриядан иборат.
2) АВ, ВС кесмалар царама-царши йуналишли (103-чизма)
р (Л, В) = р (В, С) булгани учун С нуцта Л нуцта устига тушади.
АВ кесманинг урта перпендикуляри / ни утказамиз. Текисликда / туг-
ри чизицца нисбатан симметрии алмаштиришни бажарсак, А нуцта В
га, В нуцта С (= Л) нуцтага утади. Шу билан бирга Sz —иккинчи
тур царакат. Демак, бу цолда F = S, алмаштириш I уцли симмет-
риядир.
3) АВ, ВС кесмалар бир тугри чизицда ётмайди (104-чизма). Бу
кесмаларнинг урталари орцали / тугри чизицни утказамиз. D нуцта
АС кесманинг уртаси булсин. АВ = ВС =► BD кесма АС кесмага
перпендикуляр.
Текисликда I тугри чизицца нисбатан симметрии алмаштиришни
бажарсак, у Л нуцтани А' нуцтага утказади. В нуцтани эса D нуц-
тага утказади, чунки I тугри чизиц &.ABD нинг АВ томони уртаси-
дан утади ва AD томонига параллел. Л'В (= AD) вектор цадар па-
раллел кучириш А’ нуцтани В нуцтага, D нуцтани С нуцтага ут-
казади. Бу икки алмаштиришни купайтирсак, сирпанувчи симметрия
цосил булиб, у» Л нуцтани В га, В нуцтани эса С нуцтага утказа-
ди. Демак, бу цолда F сирпанувчи симметриядир.
Шундай цилиб, текисликда царакатларнинг ушбу таснифи цосил
цилинади:
37- §• Харакатии уцли симметриялар купайтмасига ёйиш
1-теорема. Агар иккита уцли симметриянинг ва lt 'дуда-
ри О нуцтада кесишиб <р бурчак цосил цилса, уларнинг купайт-
маси О нуцта атрофида 2<р бурчакка буриш булади ва, аксинча,
текисликни О нуцта атрофида <р бурчакка буриш дцлари О нуц-
тада кесишиб, дзаро у бурчак цосил цилувчи иккита дцли сим-
метрия купайтмасига ажралади.
И с бот. О нуцтада узаро
Ф бурчак хосил цилиб кеси-
шувчи Zlt /, тугри чизицлар
текислигвда ихтиёрий М иуц-
та оламиз. М' нуцта текис-
ликнинг уцли симметрия-
да М нуцтанинг образи, М"
нуцта эса /, уцли симмет-
рияда М' нуцтанинг образи
булсин (105-чизма).
Бу икки уцли симметриями
кетма- кет бажарсак, М нуцта
М" нуцтага утади. Уцли сим-
метрия царакат булгани учун
цуйадагиларни ёза оламиз:
р (О, А4)=р (О, М'), р (О,МУ=
= pjO, M"}t =►j> (О, М) =
3 = 4, лекин 14-3 = ф=>
2 ва
М нуцтани М" нуцтага утказувчи
алмаштириш учун цуйидаги икки шарт бажарилади:
105- чизма
= р (О, М"). Шунингдек, 1 =
=►2 + 4 = ф. Шундай цилиб,
\ \
р(0, М) = р(О, М"), (ЛЮМ") = 2<р.
Демак, S/t SZj алмаштириш текисликда О нуцта атрофида 2<р бур-
чакка буришдан иборат.
Аксинча текисликда О нуцга атрофида а бурчакка буриш
булсин. О нуцта ортали Лундай икки /р lt тугри чизицни утказа-
мизки, улар орасидаги бурчак (/ж, /а) = -у булсин. Текисликии ав-
вал 1г тугри чизицца нисбатан, сунгра /а тугри чизицца нисбатан
симметрии алмаштириш га дуч келтирамиз. Теореманинг биринчи цис-
мига кура бу уцли симметрияларнинг купайтмаси 5Z Sz алмашти-
риш текисликда О нуцта атрофида 2 бу) = <р бурчакка буриш бу-
лади, бундан =>Rq = Sz Slt.
2-теорема. Агар иккита уцли симметриянинг уцлари 11г
параллел булса, у %олда уларнинг купайтмаси узунлиги 2р(1и
—► —*"
булган ва бу уцларга перпендикуляр р=/=б вектор цадар параллел
кучиришдир ва аксинча текисликни р=0 вектор цадар параллел ку-
чириш, yryiapu параллел ва у^лари орасидаги масофа булган
иккита уцли симметрия купайтмасига ажралади.
Исбот. /ж || /2 тугри чизицлар текислигида ихтиёрий М нуцта
оламиз. Текисликда аввал /ж тугри чизицца нисбатан, сунгра /а туг-
ри чизицца нисбатан симметрии алмаштиришни бажарайлик.
SZi(M) = M', 5Zi(M') = M"
булсин (106-чизма). Sz, Sz ни кетма-кет бажарамиз; Натижавий
Sz Sz алмаштириш М нуцтани М" нуцтага утказади.
З^цли симметрия таърифига Kjrpa р(0ж, М)=р(01, М'), р(0а, Af'i =
= р(Оа, М"). Бу ерда 0ж нуцта ММ' кесманинг, Оа нуцта эса
М'М" кесманинг уртаси:
I
106- чизма
/V/
107- чизма
Р (М, М") = Р (М, О,) + Р (Op О2) + Р (О2, М") = Р (Ор М') +
+ Р (Ор О,) + Р (М', О2) = 2 р (Ор О2). (8)
М нуцта /р /2 тугри чизицлар билан чегараланган полосага те-
гишли булганда цам (8) тенгликнинг бажарилишига ищонч цосил
цилиш мумкин. (8) дан куриниб турибдики, текисликда St Sz ал-
маштириш уни 2 р (Ор О2) узунликдаги вектор цадар параллел кучи-
рищдан иборат.
—►
Аксинча, Т-^ текисликда р вектор цадар параллел кучириш бул-
------------------------------------------------------* 1 —
син. Текисликда шундай Nlt нуцталарни оламизки, NtN2 = — Р
булсин. Nlt N2 нуцталар орцали тугри чизицца перпендикуляр
/р /2 тугри чизицларни утказамиз (107-чизма). У цолда lt II /2 га
р (G« U = — IРI булади, Slt ни бажарсак, теореманинг биринчи
—►
цисмига кура Sz Sz алмаштириш текисликда р вектор йуналишида
(I —►
— |р|j = |р| масофа цадар параллел кучириш булади. Демак,
38-§. Текисликда царакатлар группаси ва уиинг
цисм груплалари
D орцали текисликда барча царакатлар тупламини белгилайлик.
Гр Г2 шу D тупламдан олинган цар цандай икки царакат булсин.
Ft царакат текисликдаги цар цандай М, N нуцталарни М\ N' нуц-
таларга утказсин, Г2 царакат эса М', АГнуцталарни М", N" нуц-
таларга утказсин. У цолда царакат таърифига кура
р(А4, А0 = р(М', N), р(ЛГ, N') = p(M", N"). (9)
Гр Г2 алмаштиришларни купайтирсак (яъни кйтма-кет бажарсак),
текисликда F2F2 алмаштириш цосил булади. Бу алмаштиришда
Г1(Л1) = М", F1(N) = N" ва (9) га кура р (/И, N) = p(M", #")=$•
=>F2Ft алмаштириш царакатдир. F2 царакатга тескари fj-1 алмашти-
риш М', N' нуцталарни М, N нуцталарга утказади ва р(М, N) =
= p(M', N') = p(M, N) га кура Г]-1 царакат булади.
Шундай цилиб
1) Гр F2QD^F2F2QD.
2) F^D^ FY'tD.
Бундан куринадики, текисликдаги барча царакатлар туплами груп-
па ташкил этади, бу группанинг цисм груплалари билан тани-
шамиз. D2 орцали текисликдаги барча биринчи тур царакатлар туп-
ламини белгилаймиз. Dt туплам D тупламнинг цисм туплами була-
ди. УГр алмаштиришларни оламиз.
текисликдаги бирор JS декарт реперини у билан бир хил
ориентацияли JB' декарт .реперига утказади (биринчи тур царакат
таърифига кура). Fa эса JB' 'ни у билан бир хил ориентацияли гЗ"
реперга-утказади. Fx ва Fa нинг купайтмаси царакат булиб, у JB
реперни Л?" реперга утказади па <®, JB" реперлар бир хил ориента-
циялидир. Бундан --=► F9Fl — биринчи тур царакат, Fl:£-*-JB'=>
=> Fj“* :JB' -+ JB ва JB’, JB реперлар бир хил ориентацияли, бундан
Fj~’ нинг биринчи тур царакатлиги ойдин булади. Шундай цилиб
1) Flt F^D^F^QD,,
2) F.QD^FY'qD,.
Демак, Dt группа ташкил этади. 1\исм группа таърифига кура (32- §
группа D группанинг цисм группасидир.
Энди D2 текисликдаги барча иккинчи тур царакатлар туплами
булсин.
Иккита Flt Fa € D2 алмаштиришни оламиз. JB текисликдаги бирор
декарт репери, Ft: еВ JB' ва JB, JB' реперлар царама- царши ориен-
тацияли булсин. F2:JB'-к JB" ва JB', JB" реперлар царама-царши
ориентацияга эга; Flt F2 алмаштиришларни купайтирсак, F2Ft ал-
маштириш цосил булиб, F2Fi -.JB-b-JB" ва JB, JB" реперлар бир хил
ориентацияли булади. Шунинг учун Р2Рг—биринчи тур царакат.
Хуллас, D2 туплам группа ташкил этмайди.
£\(М0) орцали текисликни Мо нуцта атрофида барча буришлар
тупламини белгилаймиз. \ар бир буриш биринчи тур царакат булга-
ни учун D2 (Мо) туплам D, учун цисм тупламдир. у Д, f2 € Dx
буришларни оламиз. алмаштириш Мо нуцта атрофида а бурчакка,
f2 эса Р бурчакка буриш булсин, яъни ft = Rf^, f2 == Текис-
ликнинг ихтиёрий М нуцтасини R^ буриш М' нуцтага утказсин.
буриш эса М' нуцтани М" нуцтага утказсин. У цолда
алмаштириш М нуцтани М" нуцтага утказади ва у Мо нуцта атро-
фида р + а бурчакка буриш булади. у буришга тескари [~1 ал-
маштириш Мо нуцта атрофида —а бурчакка буриш булади. Шун-
дай цилиб,
1) Км.’
. 2) RaM € Di (Л40) => /- = R~“ Q Di (Мо).
Демак, ДДМр) туплам группа ташкил этади, у Dt группа учун
цисм группа дир. ,
Т текисликдаги барча параллел куурфишлар туплами булсин.
\ар бир параллел кучириш бнринчи тур царакат булгани учун (39- §)
Т туплам Di тупламнинг цисм тупламидир. ft, f2 лар Т тупламнинг
цар цандай икки алмаштириши ва текисликда р вектор цадар па-
раллел кучириш, f2 эса текисликда q вектор цадар параллел кучи-
риш, яъни fi = Т-^, f2 = Т-* булсин. Ихтиёрий М нуцтани оламиз:
Т-*:М-+М'^ММ' = р,
р
: М'-»- М"=> М'ЛГ = ~q.
я
(10)
У ^олда Т-*Т-* :М-*~ М" ва (10) га кура ММ" = ММ' + М'М" =
~—► —> —
= р+?=>7’^^ алмаштириш текисликда p + q вектор цадар па-
раллел кучиришдир. у га тескари алмаштириш /J-’ М' -> М ва
ММ = р=>М'М =—p=>f , алмаштириш текисликда —р вектор
цадар параллел кучириш экан.
Шундай цилиб, 1)Д, fiQT'=» ft,flQT; 2) fj СТ =► f[' €Т Демак,
Т группа булиб, у Dr группанинг цисм группасидир.
Шундай цилиб, биз \аракатлар группаси ва унинг кием Группа-
ларининг ушбу схемасини косил циламиз:
С бирор алмаштиришлар группаси, Ф текисликдаги бирор фигура
булсин. Ф фигурани G группанинг барча алмаштиришларида узгар-
май цоладиган хоссаларини G группанинг инвариант хоссалари ёки
инвариантлари дейилади. Go туплам G группанинг цисм группаси
булса, G группанинг барча инвариантлари Go нинг кам иивариантла-
ри булади. Лекин Go цисм группанинг узига хос шундай инвариант-
лари буладики, улар энди G группанинг инвариантлари булмайди.
Юцорида баён этилган каРакатлаР группаси ва унинг цисм группа-
ларининг инвариантлари билан танишамиз.
^аракатлар группаси D нинг асосий инварианта икки нукта ора-
сидаги масофадир.
Фигуранинг кесма, нур, тугри чизик. бурчак б^лиши, тугри чи-
зиц-даги уч нуцтанинг оддий нисбати, тугри чизицларнинг параллел-
лиги, бурчак ва юз катталиклари каРакатнинг инвариантларидир.
D группанинг барча инвариантлари унинг Dt цисм группасининг
(биринчи тур каракатлар группасининг) кам инвариантлари булади.
Бундан ташцари, Dt группада бурчакнинг ориентацияси сакланади.
Демак, группанинг узига хос инварианта бурчак ориентациясидир.
Dx (Mo) ва Т группалар группанинг цисм груплалари булгани
учун группанинг барча инвариантлари Ёг(М0) группанинг, шу-
нингдек, Т группанинг цам инвариантлари булади.
РД/Ио) группанинг узига хос инварианти (Мо нуцта уз-узига
утгани учун) М нуцтанинг Мо марказгача булган масофаси р (УИ0, М)
дир. Т группанинг узига хос инварианти йУналишдир (чунки цар
цандай параллел кучириш нурни узи билан бир хил йуналишли нур-
га утказади).
39- §. Геометрии фнгураларнннг симметрия груплалари
Ф текисликдаги бирор фигура булсин. Рф орцали Ф фигурани
уз- узига утказадиган текисликдаги барча царакатлар тупламини бел-
гилаймиз. Масалан, Ф фигура тенг ёнли АВС учбурчак (бунда
АВ = ВС, АС Ф АВ) ва BD тугри чизиц унинг симметрия уци бул-
син. Текисликда айнан алмаштириш ва BD уцли симметрия △ АВС
ни Уз-узига утказади. Демак, Рдлвс иккита элементдан . ташкил
топтан: бири Ео айнан алмаштириш, иккинчиси BD уцли симметрия.
Vfi. ни олайлнк. [1(Ф) = Ф, /Я(Ф) = Ф булгани учун
fJi (Ф) = Ф дейиш мумкин. (Ф) = Ф, бундан fJ-1 (Ф) = Ф.
Шундай цилиб, 1) f!, f2 G Оф => G Оф, 2) Д G £>ф => € £>ф-
Демак, Оф группа ташкил цилади.
Агар Рф группа Ео айнан алмаштиришдан фарцли элементга эга
булса, у цолда Рф ни Ф фигура симметрияларининг группам
деййлаДи. Агар Рф фацатгина Ео айнан алмаштиришдан иборат, яъни
£>ф = {Ео} булса, у цолда Ф фигура симметрияларга эга эмас
дейилади. Масалан, Ф .фигура турли томонли АВС учбурчак булсин,
текисликда айнан алмаштиришгина △ ЛВС ни уз-узига Утказади.
Демак, ихтиёрий А АВС симметрия элементларига эга эмас.
Агар бирор I уцли симметрияда Ф фигура инвариант, яъни
5/(Ф) = Ф булса, I тугри чизиц Ф фигуранинг симметрия у^и
дейилади, бу цолда Ф фигурани I тугри чизицца нисбатан симмет-
рии деб айтамиз. Масалан, ромбнинг диагоналлари унинг симметрия
уцлдри булади, чунки бу диагоналларнинг цар бирига нисбатан сим-
метрик алмаштиришни бажарсак, ромб уз-узига утади.
Агар бирор Мо нуцтага нисбатан симметрии алмаштиришни ца-
расак ва унинг натижасида Ф фигура инвариант булса, /Ио нуцта Ф
фигуранинг симметрия маркази дейилади, бу цолда Ф фигурани
Мо нуцтага нисбатан симметрии, деб айтамиз. Масалан, параллело-
грамм диагоналларининг кесишган Мо нуцтаси унинг симметрия мар-
казидир.
Агар текисликда S нуцта атрофида а = — бурчакка буришда
п
Ф фигура инвариант булса, •$ нуцта Ф фигуранинг п-тартабли
буриш. маркази дейилади, бу ерда п — бирдан катта цар цандай
натурал сон. Масалан, тугри туртбурчак диагоналларининг кесишган
Мв нуцтаси унинг 2-тартибли буриш марказидир, чункй /Ио иуцта
атрофида а. = — = л бурчакка буришда тугри туртбурчак инвариант
булади. Ф фигура мунтазам купбурчак булганда буриш маркази S
унинг марказидан иборатдир.
Ф фигуранинг симметрия уци, симметрия маркази ва п-тартибли
буриш маркази унинг симметрия элементлари дейилади.
Мисоллар. 1) Ф мунтазам учбурчакнииг (108-чизма) симмет-
рия элементлари учта симметрия уци BS, CS ва учинчи тартиб-
ли буриш маркази S дан иборат [а = -^ = 120° ], бу ерда S —
мунтазам учбурчакнииг маркази: симметрия группаси: Оф = {Ео,
AS, BS, CS, S).
2) Ф квадратнинг (109-чизма) симметрия элементлари туртта
симметрия уци Zlt lt, la, /4, симметрия маркази Af0 ва иккинчи, тур-
тинчи тартибли буриш маркази S = Мо дан иборат (04 = ==
= 180°, а, = ^ = 90°j . Унинг симметрия группаси Оф = {Ео, Zlt
Z„ Z4, Мо, S).
Вазифа. Тенг ёнли трапеция, ромб ва мунтазам олти бурчак-
нинг симметрия элементлари топилсин.
3) Ф тугри туртбурчакнинг (ПО-чизма) симметрия элементлари
симметрия маркази Мо, иккита симметрия уци Zlt- /2 ва иккинчи
тартибли буриш маркази Ме= S дир. Унинг симметрия группаси
£>ф= {Ео, Мо, llt la, S} булади.
4) Ф параллелограмм булганда (111-чизма) унинг -симметрия
элемента иккита марказ: бири симметрия маркази Мо, иккинчиси
106
иккинчи тартибли буриш маркази Мо = S дан иборат булиб, Оф =
= {Е0, Al* S}.
40- §. Ухшашлик алмаштириши, гомотетия
k>0 сон берилган булсин.
1-таъриф. Текисликнинг ^ар цандай икки М, N нуцтасига
р(М', N'} = kp(M, N) (11)
шартни цаноатлантирувчи М', /У'нуцталарини мос келтирадиган ал-
маштириш текисликда k > 0 коэффициентли ухшашлик алмаштири-
ши дейилади ва р куринишда белгиланади. k сон ухшашлик
коэффициента дейилади.
Текисликда ухшашлик алмаштириши барча масофаларни k>0
марта (цадар) узгартиради.
2-таъриф. Агар Ф фигурани унинг исталган икки нуцтаси ора-
сидаги масрфани k > 0 сон марта узгартирадиган килиб Ф' фигура-'
га биектив акслантириш мавжуд булса, Ф' фигура Ф фигурага k
коэффициентли ухшаш дейилади.
1 - таърифданоц, ухшашлик алмаштириши ^ар цандай берилган
фигурани узига- ухшаш фигурага утказиши равшан.
Агар ухшашлик коэффициента k = 1 булса, текисликда даракат
>;осил цилинади. Демак, даракат ухшашлик алмаштиришининг хусу-
сйй холидир.
Ухшашлик алмаштиришига яна бир мисол сифатида гомотетия
билан танишамиз. Текисликда S нуцта ва k=£0 сон берилган бул-
син.
3-таъриф. Текисликнинг ^ар бир М ну]угасига
SM' = kSM (12)
шартни цаноатлантирувчи М' нуцтани мос келтирадиган алмаштириш
текисликда k коэффициентли ва S марказли гомотетии алмашти-
риш, цисцача гомотетия деб аталади. S ну^та гомотетия маркази,
k сон гомотетия коэффициенты дейилади. •$ марказли ва k коэффи-
циентли гомотетия билан белгиланади.
Гомотетия маркази S узига- узига мос ^исобланади. k 1 коэф-
фициентли гомотетия текисликда айнан алмаштириш булади, чунки
k = 1 да SM' = SM, бундан М' = М.
Агар k > 0 булса, SM, SM' векторлар бир хил йуналишли бу-
либ, мос М, М' нуцталар гомотетия марказидан бир томонда ётади
(112-чизма).
k < 0 булган ’ цолда SM, SM' векторлар царама- царши йуна-
лишли ва мос М, М' нуцталар гомотетия марказидан турли томон-
да ётади (113-чизма).
114-чизмада берилган М нуцтани S марказга нисбатан k=2
коэффициент буйича гомотетия алмаштиришдан цосил булган Мг
нуцта SMX = 2- SM талабга жавоб беради ва SM тугри чизицда М
нуцта билан S дан бир томонда ётади. Mt нуцта М нуцтани S мар-
каздан k = — — коэффициент
_____________У У' билан гомотетия алмаштириш-
дан цосил булган, у S/Wa =
114-чизма 1 * _ _ „
= — g-SAi талабга жавоб бе-
ради ва SM тугри чизицда М wjv^A билан S дан турли томонда
ётади.
Берилган фигурани ташкил этувчи барча нуцталарни берилган S
марказ ва берилган k Ф 0 коэффициент билан гомотетия алмашти-
риивдан цосил булган. нуцталар туплами берилган фигурага гомоте-
тия фигура дейилади.
115-чизмада S марказли ва k=—2 коэффициеитли гомо-
тетияда берилган ABCD трапецияга гомотетии А'В'CD' трапеция
яс ал га н.
Гомотетиянинг ухшаш алмаштириш эканини курсатамиз. H^(k=^=0)
гомотетия М нуцтани Al' га, N нуцтани N' нуцтага 'утказсин, яъни
SM'=kSM, SN' = kSN. ИЗ)
Векторларни цушишнинг учбур-
чак цоидасига ва ЦЗ) га кура
ЛГ/7' = SAT — SM' = kSN—
— kSM = k(SN -SM) = kMN,
_ _ (И)
бундан |Л4' ЛГ| = |Л| |МЛГ|, бу тенг-
дикдан Я* гомотетиянинг |Л| ко-
эффициентом ухшаш алмаштириш
экани келиб чицади.
Гомотетия цуйидаги хоссалар-
115- чизма
га эга.
Г. Гомотетия тугри. чизицдаги уч нуцтанинг оддий нисбатини
сацлайди.
И с бот. гомотетия MN тугри чизицца тегишли L' нуцтани
L нуцтага утказсин, яъни fi^iL) = L' булсин. У цолда (14). муно-
сабат сингари
N7L’ = kNL (15)
ни цосил циламиз, бунда (14), (15) муносабатлардан , = -=^ ,
N'C л£
бундан эса (M'L', N') = (ML, N). ▲
Бу хоссадан цуйидаги натижалар келиб чицади: гомотетия кесма-
ни' кесмага, нурни нурга, тугри чизицни тугри чизицца алмаштиради.
2°. Гомотетияда тугри чизиц узига параллел тугри чизицца ута-
ди. Хусусий цолда гомотетия марказидан утувчи тугри чизиц уз- узй-
га утади.
И с б о т. Hks гомотетияда акслантирилаётган I тугри чизиц гомо-
тетия марказидан утсин. Гойотетия таърифига кура / тугри чи-
зицда ётувчи ихтиёрий М нуцтага гомотетии М' нуцта шу I туг-
ри чизицда ётади. Иккинчи томондан, I тугри чизнцда ётувчи нхтиё-
рий М' нуцта учун шу I тугри чизицда шундай М нуцта топилади-
ки, Н^(М) = М’ булади, демак, бу цолда ns(l) = I.
Энди берилган I тугри чизиц гомотетия марказидан утмасин ва
k>0 булсин (116-а чизма). Берилган I тугри чизицнинг ихтиёрий
А, В нуцталарини олиб, уларга гомотетик нуцталарни Л'\ В' билан
белгилаймиз. Гомотетия таърифидан: 5Л' = Л5Л ва SB' = kSB.
Булардан фойдаланиб. А'В' = k АВ тенгликни ёза оламиз. У цолда
А'В' II АВ, бундан А'В' ва АВ тугри чизицларнинг параллеллиги
келиб чикади.
А'В' тугри чизицнинг АВ = I тугрн чизиц учун образ эканини
курсатамиз (116-а чизма).
Бунинг учун АВ тугри чизицца тегишли >;ар дандай N нуктани
оламиз. N' бу нуцтанинг H*s даги образи булсин, яъни’’5Л^/ = kSN,
у ^олда A'N' =\kAN=9-A'N' li AN, лекин AN || AB,
~AB И Л7? =► Wn' || A'B'^ N’ G A'B'.
J&M2K, /' =A'B' тугри чизи^ AB =1 тугри чиэицнинг образи
экан. а 1
Берилган тугри чизи^ гомотетия маркази Дан утмаса ва k < 0 бул-
са, I тугри.чизи^ца гомотетии фигура унга параллел I' тугри чизи^
булади (116- б чизма). Бунинг уринлилиги ^ам айнан юцорцдаги каби
иурсатилади.
3°. Гомотетии алмаштириш-
-да бурчаининг иатталиги уз-
гармайди.
Исбот. k> 0 булганда
алмашинувчи нур билан унинг
образи бир хил йуналишли,
. k < 0 булганда улар царама-
царши йуналишли булади. Бун-
дан иикала ^олда >;ам ^ар цан-
дай MON бурчак Узига ион-
груэнт ва у билан бир хил
ориентацияли M'0'N' бурчаи-
иа Утади деган хулоса чица-
рамиз (117-чизма).
4°. Гомотетияда тугри чи-
зицларнинг параллеллиги сац-
ланади.
Исбот. Агар III т булса. Г III, т' И т булгани учун Г 1! т'
булади. а ...
5°. Гомотетии алмаштиришда кесманинг узунлиги |л| марта узга-
ради.
Исбот. Н* да у ЛВ кесманинг образи А’В' кесма булсин.
Гомотетия татрифига кура
SA = *SA SB' = kSB,
бу тенгликлардан АВ7 = МВ мунюабатни ёза оламю Бундан
k> 0 булганда А’В' ==kAB, k<0 булганда АВ = |А| АВ. Демак,
fik да V АВ кесманинг узунлиги (яъни А, В нуцталар орасидаги
масофа) марта узгаради. • _ __
Гомотетия унинг маркази ва коэффициентининг берилиши еки го-
мотетия маркази ва бир жуфг мос нуцталарнинг берилиши билан
я гона равишда аницланади.
Гомотетиянинг маркази билан коэффициента берилса, текислик-
нинг цар бир М нуцтасига гомотетии М' нуцта 3-таъриф аСоснда
топилади- Агар гомотетия S — гомотетия маркази ва бир жуфт мос
А, А' нуцталар билан берилса (118- а, б чизма), V N нуцтага го-
мотетии N' нуцта цуйцдагича топилади: гомотетия таърифига кура
5, А, А' нуцталар битта тугри чизицда ётади. AN тугри чизицни
утказамиз. А' нуцтадан A'N' || AN тугри чизицни утказамиз. A'N' Q
QSN = N' изланган нуцта булади, чунки SA' || SA булгани учун
_______________________________________________________» _____>
— = k булсин десак, д SAN ~ д SA'N' булганцдан SN' = kSNi
41- §. Ухшашлик алмаштириши — гомотетия билан
Харакатнннг купайтмаси
Теорема. £>0 коэффициентли ухшашлик алмаштириши
шу коэффициентли гомотетия билан царакатнинг купайтмаси-
дан иборат.
Исбот. Р* текисликни k > 0 коэффициентли ухшаш алмаштириш,
М', N' нуцталар текисликнинг М, N нухталарини бу ухшаш ал-
маштиришдаги образлари булсин, яъни
Р^(М) = М', P*(N'), = N', у холда
р(АГ, N') = kp(M, Я) Л (16)
Текисликда бирор S нухтани оламиз х^Д3 шу текисликда S мар-
казли ва k коэффициентли fis гомотетии алмаштиришни бажарамиз.
Бу алмаштиришда Hks(M) = M'\ = булсин. Гомотетия
— > *
таърифидан, M"N" = kMN, бундан
р(М", N") — kp(M, N). (17)
(16), 47) муносабатлардан
р(А1'ЛГ| = Р(ЛГ, Я").
(18)
Hks гомотетии алмаштиришга тескари f-1 алмаштириш текислиини
j
S марказли ва — коэффициентли Нк гомотетии алмаштириш булиб,
2 - 1
Hk(M") = М, Hk(N") = N.
j
Аввало Нк алмаштиришни, сунгра Р* алмаштиришни бажарайлик:
1 j
Р* (/И")) = Р* (М) = М’, Р* (Hs (N")) = РА (N) = N’,
шу билан бирга р(М", N") =р(ЛГ; N’), бундан РА Я* купайтма би-
лан. ифодаланган алмаштиришнинг харзкат эианини курамиз, яънн
I
PkHs* = F^PI‘ = FH^ ▲
Бу теоремага асосан харакат ва гомотетия учун умумий булган
хоссаларни ухшашлик алмаштиришининг хоссалари деб цабул хилиш
мумкин.
Бу хоссаларнинг баъзиларини келтирамиз:
1°. Ухшашлик алмаштиришда тугри чизицдаги уч нуцтанинг од-
дий нисбати сацланади.
Бундан ухшашлик алмаштиришда кесма кесмага, нур нурга, туг-
ри чизиц тугри чизицха. бурчак бурчакка, ярим текислик ярим те-
кисликка утади деган натнжани хосил цилаМиз.
Т Ухшашлик алмаштириши .бурчакни унинг узига конгруэнт
бурчакка утказади. •
3°. Ухшашлик алмаштиришида параллел тугри чизицларнинг об-
разлари цам параллел булади.
42- §. Ухшашлик алмаштиришннннг аналитик ифодаси
Текисликда <® = (О, i, j) декарт реперини оламиз. Текисликни
k > 0 коэффициентли Рк ухшашлик алмаштириши бу реперни шун-
——*
дай JB' = (О', elt et) реперга ут-
казадики (119-чизма), бунда
J_e8 ва | е2 | = | et | = k булади
(ухшашлик алмаштириши таърифи
ва 45- § даги 2°- хоссага асосан).
М—текисликнинг ихтиёрий нуц-
таси, М' эса унинг Рк даги об-
рази булсин. М нуцта биринчи
реперга нисбатан х, у координа-
таларга эга булганда унинг М'
образи иккинчи реперга нисбатан
шу х, у координаталарга эга бу-
лади. Хацицатан, фараз цилайлик,
М' нуцта JS' реперга нисбатан
х*. у* координаталарга эга бул-
син. MMt И ОАг ва ММ2 II OAt
тугри чизицларни утказамиз, бун-
да Mg нуцта OAg тугри чизицца
х = ^=-(Мх Лп О), у= =-(М2А2,О).
.Pk(Mg) =Л4р Рк(М2)=М2 булсин. Ухшашлик алмаштиришида нуц-
танинг тугри чизицда ётиши ва тугри чизицларнинг параллеллнги
сацлангани учун:
М J нуцта О'Л' тугри чизицца тегишли, N2 нуцта О'Л' тугри чизицца
тегишли ва М'М\ I! О'А2, М'М2 Ц О'А^=*-х*=~~ = —(М\, Л'р О').
О’аГ
У* = ?^- = ~\М2А2 О').
O'Xj'
Ухшашлик алмаштиришида тугри чизицдаги уч нуцтанинг оддий нис-
бати сацлангани учун (Л4('ЛР O)»(M^lt О,), (М'2А2,0')=(М, Л2, 0)=»-
=> X* = X, у*- у. Демак, S’ реперда М' = Рк (Д4) нуцта уша х, у
—► —►
координаталарга эга. (/, ех) =а ва реперга нисбатан М'(х',у'),
O' (x0, у0\ булсин. У цолда i,j базисга нисбатан e^k cos a, k sin а),
г2(—eksina, efecosa) (II боб, 19-§ га царалсин):
ОМ' = х i=y' j, ОО' = х0Г+ у0 Г (19)
Бу ерда <$, реперлар бир хил (царама-царши) ориентацияли бул-
ганда е = 1 (е = —1) булади ва (19) тенгликларни цисобга олиб,
ОМ' = ОО' +О'М' ва О'М'^хв! 4- уе2 дан x'i 4- y'j = [х0 4-
+ Jfe(xcosa — et/sina)) i + lyt + fe(xsina + ey cos a) J /
ёки
ix'=fc(xcosa —ei/sina)4-x0
\i/ = &(xsina 4-81/ cos a) 4- y0
муносабатларга эга буламиз.
Битта JS реперда М' нуцтанинг х', у' координаталари М нуцта-
нинг х, у координаталари орцали (20) формулалар буйича ифодала-
нади. (20) формулалар ухшашлик алмаштиришининг аналитик ифо-
дасидир.
43- §. Ухшашлик алмаштиришлари группаси ва унинг
цисм груплалари
Р орцали текисликнинг барча ухшашлик алмаштиришлари туп-
ламини белгилайлик. уРА, Р*» QP ухшашлик алмаштиришларни ола-
миз. М, N' текисликнинг ихтиёрий икки нуцтаси булсин. Р*« ^хшаш-
лик алмаштириши бу нуцталарни М', N’ нуцталарга, Р*» ухшашлик
алмаштириши М’, N’ нуцталарни М", N" нуцталарга утказсин. У цол-
да ухшашлик алмаштириши таърифига кура
р (АГ, N') = kt р (М, N) ва р (М”, N") = k2p(M', N’). (21)
Текисликда Pk* Pkl алмаштириш М, N нуцталарни М", N" нуцталар-
га утказиши билан бирга (21) га кура
р (М", N") = k2 k2 р (М, N) (22)
шартни цам цаноатлантиради. (22) муносабатдан РА* РА* нинг k2 k2
коэффициеитли ухшашлик алмаштириши деган натижага келамиз.
Текисликда цар цандай РА* ухшашлик алмаштиришига тескари
f~l алмаштириш М', N' нуцталарни M,'N нуцталарга утказади ва
(21) дан
р(/И, N)= — p(M'.N'),
бундан f-1 алмаштириши — коэффициеитли ухшашлик алмашти-
риши экани келиб чицади. Шундай цилиб,
1
1) РА*. Pk‘^P=^Pk> Pk'QP, 2) PA*€P=>f1=PA'GP.
Демак, Р группадир, биз уни текисликнинг ухшашлик алмашти-
ришлари группаси деб атаймиз.
Хар бир ухшашлик алмаштириши бурчакни узига конгруэнт бур-
чакка утказгани учун бурчак катталиги Р группанинг асосий инва-
риантидир.
Энди Р группанинг ^исм группалари билан танишамиз.
1. ХаР цандай даракат ухшашлик алмаштиришининг хусусий ^о-
ли (Л = 1 булган ^ол) булгани учун текисликдаги ^аракатлар груп-
паси ухшашлик алмаштиришлари группаси Р нинг цисм группаси-
дир.
Агар ухшашлик алмаштириши бурчак ориентациясини. сацласа
(царама-^аршисига узгартирса), у биринчи тур (иккинчи тур) ух-
шашлик алмаштириши дейилади.
41-§ даги теоремага кура Рь ухшашлик алмаштириши цуйида-
гича ёйилади:
P* = FHks.
Гомотетияда бурчак ориентацияси сацлаиади. Демак, ухшашлик
Алмаштиришининг тури унинг ёйилмасидаги F ^аракатнинг турига
боглиц. F уранат биринчи (иккинчи) тур булса, РА ухшашлик ал-
маштириши ^ам биринчи (иккинчи) тур булади.
2. Ро текисликда барча биринчи тур ухшашлик алмаштиришлари
туплами булсин. yPlt PtQP ни оламиз.
Z_MON текисликдаги ихтиёрий бурчак булсин
Pi (A. MON) = А. M'0'N' => Z_MON^= Z_ M'O’N' (23)
ва улар бир хил ориентацияли, энди
Р2 (Z_ M'O’N’) = A. M"O'N" => Z. M’O'N’ = Z_M"O"N", (24)
булар ^ам бир хил ориентацияли булади.
РйР1 алмаштириш Z.MON ни Z_M"O’N" га утказади; (23), (24)
га кура' Z-MON=Z_M’’(y’N”, шу билан бирга улар бир хил ориента-
цияли булади. Бундан PJ\ нинг биринчи тур ухшашлик алмашти-
риши экан деган хулоса чицади.
Шу каби од) дандай Pt ухшашлик* алмаштиришига тескари Ру1
алмаштиришнинг ухшашлик алмаштириши эканига ишонч ^осил цилиш
мумкин. '
Шундай 1$илиб, 1) Р1г PtQP0=>P2PlQP0, 2) Р^Ро^Рг'^о-
Демак, Ро группа булиб, Р группанинг цисм группаси. Ориентация-
ли бурчак катталиги бу группанинг асосий инвариантидир.
3. Н (S) текисликда S марказли барча гомотетиялар туплами бул-
син. Н^,_ Hks‘ лар Н (S) тупламнинг моё равишда коэффици-
ентли икки гомотетияси, М текисликнинг ихтиёрий нуцтаси булсин.
гомотетия М нухтани М' нудтага, гомотетия М' иуцтани
М” нуцтага утказсин. У ^олда
SM’ = kt SM (25)
~SM"= AjSM7. (26)
HQ, HQ гомотетияларнинг купайтмасидан иборат HQ HQ алмашти-
риш M нуцтани М" нуцтага утказади ва (25), (26) теигликларга
«Ура _____ __________
Бундан HQ HQ алмаштиришнииг ktkt коэффициентли гомотетия
эканини кУрамиз.
Шунингдек, текисликни HQ гомотетияга тескари [~1 алмашти-
---» I —♦
рнш М' нуцтани М нуцтага уткаэиши билан бирга SM = ~ SM’
Г1
1 —
шартни цам цаиоатлантиргани учун у— коэффициентли Hti гомо-
тетиядир.
Шундай цилиб, 1) HQ, HQQH(S)-^ HQHQ£H(S).
i
2) V Hs* $H(S) =>f~x = Я** QH(S). Цемак, H(S) группа булиб,
у P группанииг цисм группасидир. Ориентацияли бурчакнинг катта-
лиги бу группанинг асосий инвариантидир.
44-§. Аффин алмаштириш
Текисликда ихтиёрий иккита JB = (O, еи е2), JB'=(O'ei, е3') аф-
фин реперни .оламиз. Текисликнинг ихтиёрий М нуцтаси S реперга
нисбатан х, у координаталарга эга булсин (120- чизма)
Таъриф.' Текисликнинг JB
реперга нисбатан х, у координа-
таларга эга булган М нуцтасига
£' реперга нисбатан шу х, у
координатали М' нуцтасинн мос
келтираднган алмаштириш текис-
ликда аффин алмаштириш де-
йилади. Уни куринишда белги-
лаймиз.
текисликда аффин алмашти-
риш булса, Л4(х, у)д-+- М'(х,
булади. Я реперга нисбатан
уиинг координаталар боши О ва
координата векторларининг охир-
лари Ар А2 нуцталар ушбу ко-
ординаталарга эга: 0(0,0),
0), Л2(0, 1). Шу каби S' реперда
О'(0,0), л; (1,0), Л'(0, 1) булгани учун текисликда аффин ал-
маштириш О, Ai As нуцталарни мос цолда О', At, А2 нуцталарга ут-
казади: of (О) = О', (AJ = Л,, <Л (Л2) = А2, яъни а# (Л) = Л'.
Текисликда бир жуфт JB, S' аффин реперни бериш билан Л ии
S' га. утказувчи <А алмашгиришга эга булдик. Бундан цуйвддги ху-
лоса келиб чицади. Текисликда аффин алмаштириш бир жуфт аффин
репернинг берилиши билан тулиц аницланади. Хусусий цолда S де-
карт репери. S' эса шундай реперки, бунда 83 lei'|=le2l = ^
булса, бу S, S' реперлар билан аницланган <A\S-*-S' аффин алмаш-
тириш k коэффициеитли ухшаш алмаштириш булади (42 -§). Демак,
ухшаш алмаштириш аффин алмаштиришнинг хусусий цолидир.
Аффии алмаштиришнинг хоссалари. Текисликда ё8аф-
фин алмаштириш S = (О, ер ея), S = (О', е{, е2) аффин реперлар
билан берилган булсин.
Аффии алмаштиришнинг цатор хоссаларини курайлик.
Г. <А алмаштиришда тугри чйвицнинг образи тугри чизиц бу-
лади.
Исбот. Текисликда бирор I тугри чизицни цараймиз. I тугри
чизиц S реперда Ах + By + С = 0 тенглама билан аницланган бул-
син. tyMQl нуцтанинг S реперга нисбатан координаталари х, у бул-
син. Текисликда аффин алмаштириш М нуцтани шундай М' нуцтага
утказадики, S' реперга нисбатан М' (х, у) булади. S' реперда барча
ЛГ(х, у) нуцталарнинг координаталари Ах + By + С = 0 тенгламани
цаноатлантиради. Бу тенглама тугри чизицни аницлайди. Демак, I
тугри чизицнинг образи Г— тугри чизицдир. ▲
2°. Аффии алмаштиришда параллел тугри чизицларнинг образла-
ри параллел тугри чизицлар булади.
Исбот. 11г1л тугри чизицлар
li: Л,х + Вяу + = О,
/s: А$х + В^у + Ся = О
тенгламалар билан аницланган ва || Z2 булсин. У цолда
|л'в'|=о
|а2 в2|
(27)
(28)
(29)
шарт бажарилади. Zp Z2 тугри чизицларнинг текисликда <Я аффин
алмаштирищдаги 1\, Г2 образлари Г-хоссага асосан мос равишда
шу (27), (28) тенгламалар билан ифодалангаиидан улар учуй цам
параллеллик шарти бажарилади. Демак, Ц Z8=>Z’ || 1'2. ▲
Бу хоссадан ушбу натижага эга буламиз: текисликдаги аффин
алмаштиришда кесишувчи турри чизицлар кесишувчи тугри чиэицлар-
га утади. Шу билан бирга, турри чизицларнинг кесишган нуцтаси
улар образларининг кесишган нуцтасига утади.
3°. Аффин алмаштиришда тугри' чизицдагн уч нуцтанинг оддий
нисбати сацланади.
Исбот. Мя, М3 лар Z тугри чизицнинг турли учта нуцтаси
булсин ва Ма нуцта йуналган MtMa кесмани
Х=(М1,М2,Л1Э)=^?
(•)
нисбатда булсин. Агар М2, Мя нуцталар JB реперда М, (xlt yt),
Мя (хг, уг), Ма (ха, уа) координаталарга эга булса, аффин алмаштириш
таърифига кура уларнинг М\,М'2, М'3 образлари ЗУ реперда М^х^ yt),
^(Хз.уз), Л43(х3, j/a) координаталарга эга булади. У цолда
MiMs (ха — хр уз — уО = (х, —хО + (ys —у^,
м; М' (ха — Х1, Узi-Уг) = (х3—Xj) е\ + (уа — ySe2, (30)
МзМ2 (ха — ха, у2—уз) = (х2 — Хз) е 14- fya —уа» ег,
% M3Ma(xt— ха; Уз—Уз) = (х2 —ХзЦ+(у2 —уа)^.
(30) тенгликлар ва (*) дан куринадики, . MiM3 = XMa/W2=>
=> M|M' = XMjMj, яъни аффин алмаштириш тугри чизицдаги уч
нуцтанинг оддий нисбатини сацлайди, бу нисбат аффин алмаштириш-
нинг асосий инварианта булади. ▲
Бу хоссадан аффин алмаштиришда кесма кесмага, нур нурга,
бурчак бурчакка, ярим текислик ярим текислгкка утади деган на-
тнжа келиб чицади. Шундай цилиб, <А текисликда Я, ЗУ аффин ре-
перлар билан аницланган аф^ин алмаштириш булса, у Г, 2°, 3°-
хоссаларга эга булади. Энди бупннг тескармсини исботлаймиз.
Теорема. Агар текисликдаги бирор f алмаштиришда уч нуц-
танинг оддий нисбати сацланса, у аффин алмаштириш булади.
И с бот. Текисликда f алмаштириш тугри чизицдаги уч нуцта-
нинг оддий нисбатини сацлагани учун бу алмаштиришда кесма
кесмага, нур нурга, тугри чизиц тугри чизицца, бир тугри чизицда
ётмаган уч иуцта бир тугри чизицда ётмаган уч нуцтага утади, шу
билан бнрга / натижасида узаро параллел тугри чизицларнинг об-
разлари цам параллел булади.
Шунга кура агар текисликда бирор £ = (О, А1Г Аа) аффин репер-
ни олсак ва текисликнинг ихтиёрий М нуцтаси бу реперга нисбатан
х, у координаталарга эга булса, яъни
OMi Mt О ... , OMt
X = —У = — 223- = — (Mi Лр О), у = =
ОА± OAi OAf
= -^- = -(/И2Аз, О)
OAt
булса, у цолда
(£ = (О, Alt Aa)->-£' = (O;A'h А2), М',
f : | M2€OA2-*-M'€O'Aj,
(MiM и оая^- м\м' и о'а:2, м2м и оа^ м2мг и о'а;
булади (бу ерда 0Alt О'А',, 0Ait 0'А’2, М, М\ М', Ма М, М2М'
лар тугри чизицлардир).
ЛГ нуцтанинг £ реперга нисбатан координаталари х'. у’ булсин
десак, у з^олда
х' = _(м; a;, o') = -(Mt Alt О)= = х.
О'А\* ' ОА^*
Худдн шукингдек, у' = у эканини курсатиш мумкин.
Демак, М нуцта Л реперда х, у координаталарга эта булса, ЛГ =
= f (М) иуцта <£' реперда шу х, у координаталарга эга буляпти.
Бундан f нинг аффин алмаштириш экани куринади. ▲
1-лемма. Текисликда тугри чизицни тугри чизища утказа-
диган \ар дандай f алмаштиришда параллел тугри чизи^ларнинг
образлари параллел тугри чизицлар булади.
Исбот. а || b(a=£b) ва f(a)=a', f(b)=b’ булсин. У з^олда, а' || Ь',
акс з^олда а' {] Ь', = М’ десак, f текисликда узаро бир цийматли
акслантириш булгани учун f (М) = М' ва а П Ь = М булади, бу эса
фаразга зиддир. Демак, f:a II b-*-a' II Ь’. А
2-лемма. Текисликда тугри чизицни тугри чизшма утказа-
диган хар крндай f алмаштириш кесманинг уртасини шу кесма
образининг уртасига утказади.
Исбот. АВ кесма берилган ва С нуцта унинг уртаси булсин.
f о * f (АВ)- = А'В' кесма.
в—»- в
булган ихтиёрий ALBN парал-
лелограмм ясаймиз (121- чизма).
Бу параллелограммнинг иккинчи
LN диагонали АВ кесманинг ур-
таси С дан утади, яъни АВ Г)
П LN = С. 1- леммага кура з^о-
сил цилннган параллелограммнинг
образи иккита царама-царши учи
А', В' нуцталар булган A’L'B'N'
параллелограммдир; бу параллело-
грамм диагоиалларининг кесиш-
ган нуцтаси С ну^танинг образи
С' булади, чунки АВ П LN = С=>
=> А'В' U L’N' = С ва икки
тугри чизиц биттадан ортиц булмаган иуцтада кесишгани учун
f (С) = С’. Демак, С нуцта А'В' кесманинг уртаси. А
’ Бундан ^уйидаги натижа келиб чи^ади. Агар Clt Cit , Cn_t
нудталар АВ кесмани п та тенг булакка булса, у з^олда уларнинг f
алмайггиришдаги С/, С2', .... образлари А'В’ кесмани п та
Диагонали АВ кесмадан иборат
тенг булакка булади, бу ерда
А’ = f (А), В' = f (В).
Теорема. Тугри чизшу<и тугри чизицца утказадиган ^арцан-
дай f алмаштириш аффин алмаштиришдир.
Исбот. f алмаштириш текисликдаги тугри чизицни Г туг-
ри чизицца утказсин. f нинг аффин алмаштириш эканини курсатиш.
учун бу алмаштиришда уч нуцтанинг оддий нисбати сацланишинн кур-
сатиш кифоя. А, В, С лар тугри чизицнинг турли учта нуцта-
си. А', В, С' эса мос равишда бу нуцталарнинг f алмаштирищдаги
образлари булсин, у цолда А', В', С'£Г. С иуцта АВ йуналган
АС
кесмани к = -zr- нисбатда булсин (теоремани С нуцта Л ва В нуц-
св
талар орасвда ётган цол учун исботлаймиэ). Фараз цилайлик. к =
—►
=------ рационал булсин, яъни X = —, бу ерда р, q — бутун мус-
се-----’
бат сонлар. АВ кесмани Dlt Da, .... D'p+q_t нуцталар билан р +
+ q та тенг булакка буламиз, = — булгани учун Dp нуцта С
СВ ’
нуцта усгига тушади. D', D', .... Dprq_x нуцталар Dt.. .,
нуцталарнинг f алмаштирищдаги образлари булсин. У цол-
да 1- леммадан келиб чиццан натижага кура D,, D'2, ... , Dp+q_x
нуцталар А’В' кесмани p+q та тенг булакка булади:
ЛТХ* = MX = .. . = D' .D; = D'D'2, = ... = D’„ ,В'.
I I * p—I P P pH" I p+c—1
Шундай цилиб, ёки (AB, Cf=(A'B', С'), k=— сон
CB q СЧУ CB
иррационал булган цол цам шу тартибда исботланади ([14] га ца-
ралсин). А
Бир жуфт (Л1( Ая, Л3), (Л,, А2, Лд) нуцталар учлигини царайлик.
Хар бир учликнинг нуцталари бир тугри чизицда ётмасин. Коорди-
наталар боши Лх нуцта ва бирлик векторлари ея = АЯАЯ, ея = АяАа
булган = (Л1а е,, ея) реперни, шунингдек, координаталар боши
Л, нуцта ва бирлик векторлари е, = А^А?, е2 = Л^Лд булган £' = .
= (Л|, е\, еа), реперни цараймиз. Бу реперлар билан улардан бнри-
ни иккинчисига утказувчи биргина аффин алмаштириш аницланишини
биз биламиэ. ХаР бир учликнинг нуцталари бир т^гри чизицда ётма-
гани учун улар учбурчакларни аницлайди. Демак, текисликда ихти:
ёрий икки AtAaAa ва Л, А’2 Aj учбурчаклар берилса, улардан би-
рини иккинчисига утказувчи аффин алмаштириш мавжуд.
Таъриф. Агар текисликдаги икки фигурадан биринй иккинчиси-
га утказадиган аффин алмаштириш мавжуд булса, бу фигуралар
аффин эквивалент фигуралар дейилади.
Бу таърифга кура текисликда берилган ^ар дандай икки учбур-
чак бир- бирига аффин эквивалент, шунингдек, берилган >;ар цандай
икки параллелограмм аффин эквивалентдир.
Энди ихтиёрий ABCD туртбурчакни цараймиз. Е унинг Л С, BD
диагоналларининг кесишган нуктаси булсин. Аффин алмаштириш
ABCD туртбурчакни шундай A'B'C'D' туртбурчакка утказадики, Е
нуцта АС ва BD кесмаларни дандай нисбатда булса, унинг Е' об-
рази А'С' ва B'D' кесмаларни ^ам худди шундай нисбатда булади,
яъни (3- хоссага кура)
(АС, Е) = (А'С', Е’}, (BD, Е) = (B'D', Е'). (31)
Аксинча, иккита ABCD, A'B'C'D' туртбурчак учун (31) бажа-
рилса, улардан бирини иккинчисига утказадиган аффин алмашти-
риш мавжуд (тёоремага царанг). Демак, ихтиёрий иккита ABCD,
A'B'C'D' туртбурчак аффин эквивалент булиши учун (31) шартцинг
бажарилиши зарур ва етарли, бунда Е, Е' мос равишда бу туртбур-
чаклар диагоналларининг кесишган нуцталари.
45- §. Аффин алмаштнришнннг аналитик ифодаси
Текисликда ихтиёрий иккита £ = (О, е2), 4?'=(0', е', ej) аф-
фин реперни цараймиз (22- чизма;. Улар текисликда бирор (Ж) = £'
алмаштиришни аницлайди.
£ реперга нисбатан М иуцта-
нинг координаталарини х, у би-
лан, унинг M'=<rf(M) образинннг
координаталарини эса х', у’ билан
белгилаймиз. Аффин алмаштириш
таърифига кура М' нуцта £' ре-
перга нисбатан х, у координата-
ларга эга.
£' репернинг е', коорди-
ната векторлари £ реперга нис-
батан e^apOj), ej^o bj) коорди-
наталарга эга, яъни
₽1 flj о2 е2,
, ^2 = ”Ь^2 ^2>
clt ca эса О' координаталар
бошннинг £ реперга нисбатан координаталари булсин. У ^олда
ОМ' = х' et + у' ea. О'М' = хе\ + у е', об’ = сгё^ + с2 е^. (33)
Лекин
ОМ' = QO' + О'М'.
(34)
(32), (33) тенгликларнн эътиборга олсак, (34) тенгликдан ушбу
муносабатни цосил циламиз;
х' et -t- у'еа = (atx + bty + q) et+ (p2x + b# + c J q,
бундан
Jx/=o1x + 61y4-q,
I / = a2x + bay+ q. 1 '
q, e'2 векторлар коллинеар булмагани учун (35) формулаларда
ai Ь,
°2 Ьг
¥=0.
(36)
Шундай цилиб, текисликдаги <& алмаштиришда £ реперга нисбатан
М‘ *= <Я (М) нуцтанинг координаталари М нуцтанинг координаталари
орцали (36) шарт бажарнлганда (35) формулалар буйича ифодала-
надн.
Аксинча, текисликни бирор f алмаштириш
лан аницланган ва унда
ai
а2 Ь2
#= 0 булсин.
аффин алмаштириш эканини курсатамиз. Шу
(35) формулалар би-
Бу алмаштиришнинг
мацсадда £ реперга
нисбатан Ах + By + С = 0 тенглама билан аницланган (бунда А, В
нинг камида бири нолдан фарцли) бнрор / тугри чизицни оламиз.
f алмаштириш I тугри чизицни Г фигурага утказади, Г фигура
нинг тугри чизиц эканини курсатсак, мацсадга эришган б^ламиз
(35) ни цуйидагича ёзамиз:
бу ерда
ai q
xt bt
(a1x + biy=x/—q,
1 a2x + b2y = y' —q,
#=0 булгани учун бу система биргаликда, уни ечиб,
у ни топамиз:
/
q cs
ai q
a2 q
Cl 01
(37)
(37) дан x ва у нинг цийматларини Ах +Ву +С = 0 га цуйиб их--
чамласак,
(АЬа — Baj)
I q q I
I q q I
(Д01-лд) , л |q c2|
I ai q I I q q I
I q q I I q q I
ёки
(Ab2 - Ваг) х' + (Ва, - АЬ,) у' + (АI Ь'с 11 +
\ 1 о» с» I
+ в|с* а*|+с|О1 6*Н=0. (38)
I С2 I I а» I / ч
(38) да АЬЛ—Ва2, Ва, — АЬ, сонларнинг камвда бири' нолдан
фарцли, чунки акс цолда
АЬ2 — Ва2 = 0, Ва, — АЬ, = О
тенгликлардан а,Ь2— а2Ь,^=0 булгани учун Л = В = 0 келнб чи-
цади. Бу эса цилинган фараэга зид,‘ чунки А2 + В2=£ 0. Шундай ци-
либ (38) тенглама (уэгарувчи х, у ларга нисбатан биринчи даража-
ли булгани учун) тугри чй^ицнииг тенгламасидир. Дёмак, Г фигу-
ра—тугри ЧИЗИЦ.
Биз цуйидаги фактии исботлашга муваффац буддик: цар цандай
аффин алмаштириш координаталарда (35) чизицли формулалар буйи-
ча ифодаланади, бунда
ва, аксинча (35) чизицли формулалар (*) шартда цар вацт текислик-.
даги аффин алмаштиришни ифодалайди.
Аффин алмаштиришга мисоллар.
1. Текисликда шундай иккита JB = (О, е,. е2) аа JB' = (О, е,, е2)
—*• ——*
аффин реперларни царайлик, бунда е, = k et, е'2 = ke2 булсин. Бу
икки аффин репер бирор «f аффин алмаштиришни аницлайди, яъни
of бу вацтда у М ва М' = <& (М) нуцталар учун
——* —* —► -• —> —► —► —► — »
ОМ = xet + у e.lt ОМ' = хе\ + у е2 = kx е, + ky е2 = k ОМ.
\ар цандай М, М' мос нуцталар жуфти учун ОМ' = kOM шарт-
ни цаноатлантирадиган алмаштириш текисликда О марказли ва k
коэффициеитли гомотетия эди (40- §, 3- таъриф). Демак, гомотетия
аффин алмаштиришдир.
—*• —► ►
2. of алмаштириш Л = (О, е,, е2) ва JB' = (О', е,, е2) аффин
реперлар билан аницланган булсин. У цолда цар цандай М нуцта
ва унинг of алмаштирищдаги М' образи ууун
ОМ = х е, + у ей, О'М' = хе, + у е2=>ОМ = О'М';
лекин
мм' = мо+оа + О'М' = од\
Хар цандай М, М' мос. нуцталар жуфти учун ММ’ = ОО’ шарт
► *
ни цаноатлантирадиган алмаштириш текисликда ОО' вектор цадар-
параллел кучириш эди (35-§
1-банд). Демак, параллел ку-
чириш аффин алмаштиришдир.
3. Текисликда а тугри чи-
зи^ ва координаталар боши
умумий булган шундай икки
£ = (О,~е,, 7г), Я' = (О, ё\,
е2) аффин реперни олайликки,
О € а, е, || а, е\ = е,, е2 =
—*
=ке2 ва etJ_e2 (Х=£ 1) булсин
(123- чизма).
'Бундай икки аффин репер
билан ани^ланган аффин
алмаштиришда з^ар цанддй мос
М, М'=^(М) нудталар жуф-
ти учун
ОМ—- хе,+у е2, ОМ' = х е'+у е2 = х q + "ку е2
(39)
муносабатларни ёза оламиз. (39) муносабатлардан куринадики, S ре-
перда М, ,М' нуцталар ушбу координаталарга эга: М (х, у), М' (х,
к у). Бундан эса Ох = а тугри ^изицнинг нуцталари <А алмашти-
ришда цузгалмас деган хулоса келиб чицади.
ММ' = ОМ' — ОМ = (X — 1)у7а=>ММ' || X => ММ' J_ Ох.
ММ' тугри чиэиц билан Ох = а тугри чизициинг кесишган ну^-
тасини Р билан белгилайлик.
£ реперда Р(х, 0) булади, у з^олда МР = —у ел, РМ’ = куеа,
бу икки тенгликдан
МР = — РМ' ёки РМ' = кРМ
муносабатга эга буламиэ. Шундай цнлиб, царалаётган аффин ал-
маштириш ушбу хоссаларга эга:
1) Ох=.а тугри чизициинг фр бир нуцтаси цузгалмас;
2) Ох га тегишли булмаган з^ар бир М нудтага мос М' нуцта
учун ушбу икки шарт бажарилади:
а) ММ' J_ Ох = а;
б) \ар бир Р = ММ' П Ох нуцта ММ' кесмани бир хил
нисбатда булади.
Шундай хоссаларга эга булган аффин алмаштиришни X < 1 бул-
ганда текисликнн Ох = а тугри чизища цисиш, X > 1 булганда те-
кисликни Ох = а тугри чизицдан чузиш деб аталади. Бунда X ци-
сиш ёки ч§зиш коэффициентидир.
46-§. Текисликдаги аффин алмаштиришлар группаси
ва унинг днем группаларн
А орцали текисликнинг барча аффин алмаштаришлари тупламини
белгилаймиз. etfp эса А тупламдаи олинган ихтиёрий икки аффин
алмаштириш булсин. Я = (О, elf е2) текисликдаги бирор аффин ре-
пер, М текисликнинг ихтиёрий нуцтаси булиб, унинг Я реперга
нисбатан координаталари х, у булсин. алмаштириш Я ни Я' =
=(0', ej, е') аффин реперга, М нудтани М' нудтага утказсин, е€2 эса Я’
реперни Я" = (О", е", е") аффин реперга, М' нудтани М" нудтага
утказсин, у додда аффин алмаштаришнинг таърифига кура
М(х, У)л=^М'(х, у)д„ М'(х, у)д,=*-М"(х, у)д,. (40)
e€t, е€г алмаштиришларнинг купайтмаси дам текисликдаги
алмаштиришдир. etfjefj:М-+М”, Я-*-Я” ва (40) га асосан Mix,
у)д=>М"(х, у)д„, бундан нинг аффин алмаштириш эканлнги
куринади.
Текисликдаги V аффин алмаштириш Я реперни Я' реперга,
V М(х, у)д нудтани М'(х, у)д, нудтага утказганда унга тескари
/-1 алмаштириш Я’ реперни Я реперга ва М' (х, у)д, нудтани
М(х, у)д нудтага утказади. Бундан f-1 нинг аффин алмаштириш
эканлиги келиб чидади. Шундай дилиб, е€1( € А => £ Л ва
e€j С Л=>/-1 = е€р1 € А. Группа таърифига кура А туплам груп-
па ташкил этади. Уни текисликда аффин алмаштиришлар группа-
си дейилади. Бу труппанинг асосий инварианта тугрн чизиддаги уч
нудтанинг оддий нисбатвдир. Текисликдаги ухшаш алмаштиришлар
группаси Р аффин алмаштиришлар группасининг дисм группасидир
(43-§).
47- §. Инверсия* унинг аналитик ифодаси ва хоссаларн'
Биз юдорида куриб утган барча алмаштиришлар (аффин алмаш-
тириш ва унинг хусусий доллари, ухшаш алмаштириш, даракат)
чизидли алмаштиришлардир, чунки бу алмаштиришларда тугри чи-
зиднинг образи т^гри чизид эди. Булардан ташдари, шундай алмаш-
таришлар дам борки, уларда тугри чизиднинг образи дар вадт туг-
ри чизид булавермайди. Бундай алмаштиришларга мисол сифатада
инверсия билан танишамиз.
Текисликда О марказли ва г радиусли (О, г) айланани оламиз.
Таъриф. (О, г) ацлана ётган текисликнинг О дан бошда1 дар
бир М нудтасига ОМ иурда ётувчи ва
1 О=М булганда ОО ноль векторнинг дар дандай векторга купайтмаси ноль
вектор булиб, (41) шартни даиоатлантирувчи деч дандай М иуцта мавжуд бул-
майди.
ОМ • ОМ'= г* (41)
шартни цаноатлантирувчи М’ нуцтани мос келтирадиган алмаштириш
инверсион алмаштириш ёкь инверсия дейилади. (О, г) айлана ин-
версия айланаси, унинг О маркази инверсия маркази, радиуси эса
инверсия радиуси дейилади. (О, г) айланага нисбатан инверсияни и'о
куринишда белгнланади.
Инверсия таърифига кура мос М, М' нуцталар битта ОМ нурда
ётгани учун
ОМ ft ОМ'=> ОМ-ОЛГ = |ОМ ||ОМ'|.
Шунга кура (41) шартни ОМ-ОМ' = г* куринишда ёзиш цам мум-
кнн.
X бирор туплам Сх унинг бирор алмаштиришлар туплами бул-
син f G Gx ни олайлик. f ¥= Ео булсин. Бу шартда ff = Ео булса, f
инволюцион алмаштириш дейилади. Юцорида курилган алмашти-
ришлардан уцца нисбэтаи симметрия, марказий симметрия инволю-
цион алмаштириш мисолларидир.
Инверсия цам инволюцион алмаштиришдир. ^ацицатан, (О, г)
айланага нисбатан и'о инверсия М нуцтани М' иуцтага утказсин.
Таърифга кур 1) М' нуцта ОМ нурга тегишли, 2) ОМ • ОМ" = г2.
Шу айланага нисбатан иккинчи марта и° инверсия М' нуцтани М"
нуцтага утказсин дейлик, у цолда 1)М” нуцта ОМ' нурга тегиш*
ли, 2) ОМ' ОМ" = г2 булиб,
ОМ'-ОМ" = ОМ ОМ' => М" = M=>ur0-ur0:M=> М.
Демак, икки карра инверсия айнан алмаштириш демакдир.
Нуцтага инверсион нуцтани топиш. 1. Берилган М
нуцта (О, г) инверсия айланаси билан аницланадиган доирага тегиш-
ли булсин (124-чизма). М нуцта орцали ОМ нурга перпендикуляр
цилиб I тугри чизицни Утказамиз. / П (О, г) => Т булсин. Т нуцтада
125- чизма
124- чизма
(О, г) айлаиага t уринмани утказамиэ. Унинг ОМ нур билан кесиш-
ган нувдаси М' булсин. М' нуцта М га инверсион мос нуцта бу-
лади, яъни М’ — Up (М), чунки 1) М‘ нуцта ОМ нурга тегишли;
2) тугри бурчакли ОТМ, ОТМ’ учбурчаклар ухшаш булгани учун
— = — => ОМ ОМ’ =\0Т* = г\
ОТ ОМ' 1
2. Берилган М ну^та (О, г) инверсия айланасига нисбатан таш-
ци нуцта булсин (II боб, 22-§ га царалсин). Унга инверсион нуцта
куйидагича топилади. ОМ кесмани диаметр килиб, ёрдамчи айлана
чизилади (125-чизма). Икки айлананинг кесишган А, В ну^таларини
туташтирувчи АВ ватарнинг ОМ нур билан кесишган нуцтаси М'
изланган ну^та булади. ^а^и^атащ М' иу^та ОМ нурга тегишли
ва ясалишига кур дОАМ тугри бурчакли цамда АВ ва ОМ тугри
чизи^лар перпендикуляр булгани учун | ОМ | • I ОМ' | = г2.
3. Агар берилган М нуцта инверсия айланасида ётса, унга мсс
нуь;та шу ну^танинг узи булади, чунки М £ (О. г)=>ОМ = г, у
\олда (41) гй асосаи ОМ' = г ва М’ ну^та ОМ нурга тегишли эка-
нига кура М' = М. Демак, инверсия айланасининг ^ар бир нуцтаси
бу инверсияда инвариант ну^та булади.
Инверсиянинг аналитик ифод»си. Координаталар боши
инверсия айланасининг маркази сифатида булган ^олни царайлик.
М текисликнинг ихтиёрий нуцтаси, М' эса унннг и'о даги образи
булсин. JB = (О, I, /5 реперга нисбатан М (х, у), М' (х', у') дей-
лик. х', у' координаталарни х, у ортали ифодалайлик. ОМ, ОМ'
векторлар коллинеар булганн учун
ОМ' = 1 ОМ (1 G Я). (42)
(41)=>Х0М* = г2=>Х= =>0М' = • ОМ; (43)
ОМ* ОМ*
(43) => х' i + y'j = —(х i + у / ) =► (44)
^+У* »' = _У__Г2
(44) инверсион алмаштириш формуласидир.
Инверсиян ин г хоссалари. Г. Текислик ну^таларини ин-
версион алмаштиришда: а) инверсия айланасининг ну^талари узи узи-
га. утади; б) инверсия айланаси ташцарисидаги нудталар инверсия
айланаси ичидаги ну^таларга, инверсия айланаси ичидаги (марказдан
бошца) нудталар инверсия айланаси ташцарисидаги ну^таларга ута-
ди.
Исбот. Агар М ну^та инверсия айланасидан ташцарида ётса, у
^олда ОМ > г булиб
ОМОМ' = г* (45)
муносабат уринли булиши у<ун ОМ' < г булиши, яъни М' нуцта
(О, г) айлана ичиДа ётиши шарт? Агар М нуцта инверсия айланаси
ичида ётса, ОМ < г булиб, (45) муносабатга кура ОМ' > г булиши,
яъни М' иуц'та (О, г) айлана ташцарисцда ётиши шарт. ▲
2°. Инверсия марказидан утувчи тугри чизицца инверсион мос
фигура шу тугри чизицнинг узидир.
Исбот. / турри чизиц инверсия маркази О дан утсин. у М £ I
нуцтага инверсион М' нуцта учун М' € ОМ (ОМ—нур) шарт бажа-
рилгани сабабли М' £ I булади => I тугри чизиц уз- узига утади. л.
3°. Инверсия марказидан утмайдиган тугри чизицца мос фигура
инверсия марказидан утувчи айлана булади.
Исбот. / тугри чизиц инверсия марказидан утмасин ва
Ах + Ву + С=О (С=#=0) (46)
тенглама билан аницланган булсин. Инверсияницг (44) аналитик
ифодасцдан х, у нн х', у' орцали ифодалаймиз:
х 2 + у 2=----------------— =-------=>х* + у* -------------.
(x’+i/1)* ’ ’*'*+у'*
Бундан
(х* + _ г*х' _ П
г* (х'»+/»)г» х'>4-/« ’
У г* х’2+ул У •
(47)
(46) д аги
матларни
х, у урнига (47) дан х= '* х', у= 7* у' ций-
х *4-0 * х *4у0 *
цуйиб, ихчамласак, цуйидагини цосил циламиз:
С (х/2 + у'2) 4- г2 (Ах' 4- By') = О
ёки
/ Аг* Вг*\ г*Уа* + В»
Бу тенглама маркази I — —) иуцтада радиуси —-
га тенг айланани ифодалайди, фацат ундан О нуцтани чицариш ке-
рак. Шундай цилиб, инверсия маркази О дан утмаган тугри чизицца
инверсной мос фигура инверсия марказидан утувчи (О нуцтасиз) ай-
лана экан. л
Инверсиянинг инволюцион хоссага эгалиги сабабли инверсия мар-
кази О дан утувчи (О нуцтасиз) айлананинг образи О нуцтадан ут-
майдиган тугри чизицдан иборат.
4°. Инверсия марказидан утмайдиган айланага мос фигура инвер-
сия марказидан утмайдиган айланадир.
Исбот. (О', R) айланани цараймиз, унинг тенгламаси
(х-х0)2 + (у-у0)2 = /?2 . (48)
булсин. Бу тенгламани цуйидагича ёзиш мумкин:
х2 + у2 + ах + by + с = О,
(49)
бу ерда
о-----2х0, b = ^-2y0, с = х2 + у2 — R2.
(49) айлана О нуцтадан утмасин, яъии с#=0 булсин. (49) аила,
нанинг и'о даги образини топиш учун х, у нинг (47) дан аницлан-
ган цийматларини (49) га цуйсак,
+ с = 0 => с (х'2 + у'2) + г2 (ax' + by') + г4 = 0=>
=> х'2 + у'2 + — (ax' + by') + — = 0.
С с
Бу тенглама билан О
нуцтадан утмайдиган ай-
лана аницланади. Демак,
инверсия марказидан ут-
майдиган айлана инвер-
сия марказидан утмайди-
ган айланага алмашина-
ди. а г.
5°. (О2, гг) айлана
(Ох, fi) айлананинг иг0
инверсиядаги образи бул-
син.
А2 € (Оц г») нуцтанн
оламиз, ОА, 0 (0„ г\)~
= {А„ В,} булсин (126-
чизма). Агар и° (А() = Д2,
126- чизма
“о(В1) = В2 булса, у цолда {А,, В2) =
= 0At О (02, г2) булиб, O^i тугри чизиц 02В2 тугри чизицца
ва (\ВУ тугри чизиц О2А2 тугри чизицца параллел булади. и'о (А,)=
= А2, иг0 (В,) = В2 булсин, у цолда ОА, • 0А2 = г2, 0В1 0В2 = г2.
Булардан
ОА*, • 0А2 = ОВ, • 0В*2 = г2. (50)
Лр А2, Во В2 нуцталар битта тугри чизицда ётгани учун 0В2 II
II 0Л1 ва 0А2 II 0В1=>0В2=К ОАГ ва ОД2=рОВ„ у цолда (50) дан
р. ОЛ1 • OB, = кОА1-ОВ1, бундан Х=р га эга буламиэ. ОВ2 = 1 OAt.
ОА2 >= X OBi тенгликлардан куринадики, О марказли ва X коэффи-
циента Bq гомотетия цам (Ор г() айланани (О2, г2) айланага утка-
зади. Бунда Bq (А() = В2, В* (В() = Д2, В* (О() = О2 булади. Го-
мо гетияда тугри чизиц узига параллел тугри чизицца утгани учун
И 02В2, ОХВ1 И 02А2. (51)
(51) муносабат бир жуфт инверсион мос айланаларга тегишли ня бир
тугри чцзицда ётган икки жуфт мос нудталар учун уринли булган
асосий хоссадир.
6°^ Берилган иккн чизиц орасидаги бурчак1 уларга инверсион
мос чизицлар орасидаги бурчакка конгруэнт булади.
Бу хоссани царалаётган чизшулар айланалар ёки тугри чизицлар
б^лгаи >;ол учун исботлаймиз.
127- чизма
Исбот. Инверсия маркази
О дан утмаган (О„ rj, (О2,
rt) айланаларни царайлнк.
инверсияда Ю,, г,), (О2, г2)
айланаларнинг образлари мос
равишда (О,, г'), (62, г2) ай-
лаиалар булсин. Агар А £ (Ор
ri) П <О2. г2) ва и£(А) = А'
булса. А' 6 (Ор г,) П (О2 , г2) .
булади (127-чизма).
Агар ОА тугри чизиц (Ор г2) айлана билан А, В нуцталарда ке-
сишса, 5°-хоссага кура О^В ва О, А' тугри чизшргар параллел бу-
лади. Бундан △ OBOt ~ А ОА' 0( , у ^олда
ZLOBOt = /-OA'O\ . (52)
△ BOjA тенг ёили => Z. AB0xs^/-BAOlt у \олда
Z_0B01 = 01AA'. (53)
(52), (53) дан
ZLOjAA'^Z-p; А'А (54)
ва бу бурчаклар царама- царши йуналган.
Худди шу каби 0?В ва 02 А' тугри чизицлар параллел булга-
нидан
Z-OjAA'sZ-O^A'A (55)
эканини келтириб чи^ариш мумкин, бу бурчаклар цам царама- царши
йуналган. (54), (55) тенгликлардан Z-OlAO2^Z- 0^ А'О2 ва улар
царама-карши йуналган.
1 Икки чиэш( орасидаги бурчак деб, бу чиэицлариинг кесишган ну^таларидв
уларга утказилган уринмалар орасидаги бурчакка айтилади. Агар иккн чизнц ке-
сншмаса, улар орасидаги бурчак мавжуд эмас.
. IV БОБ. ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ ЧИЗИЦЛАР
23* * § да алгебраик чизиц ва унинг тартиби тугрисида тушунча
целтирилган эди. 24 — 30-§ ларда биринчи тартибли алгебраик чи-
зицнинг хоссаларини унинг тенгламасига асосланиб текширдик. Бу
бобда иккинчи тартибли алгебраик чизицларнинг геометрик хоссала-
рини урганишга утамиз1. Айрим «айниган цолларни» ‘ (икки тугри чи-
зицца айланиб кетиш, мавцум чизицлар ва ц. к.) назарга олмасак,
иккинчи тартибли чизицлар учтадир (эллипс, гипербола, парабола).
Бу чизицларнинг талай хоссалари цадимги Греция олимлари томони-
даноц очилган эди (Менехм, Аполлоний ва бошцалар, эрамиздан
олдинги IV — III асрлар). Бу чизицлар астрономия, механика фан-
лари ва техникада кенг цулланьлади.
48-§. Эллипс
1. Таърифи,' каноник тенгламаси. Текисликда цар бир
нуцтасндан фокуслар деб аталувчи берилган икки Flt F2 нуцтагача
булган масофалари йигиндиси берилган PQ кесма узунлигига тенг
булган барча нуцталар туплами эллипс деб аталади. Берилган кесма
узунлиги фокуслар орасидаги масофадан катта2.
Берилган кесманинг узунлигини 2а (а > 0) билан, фокуслар ора-
сидаги масофани 2с (с > 0)-билли белгилайлик. Таърифга кура3 а>с.
Эллипсдаги ихтиёрий М нуцтанинг Fx ва Ft фокуслардан масо-
фалари унинг фокал радиуслари дейилади ва мос равишда r\, гг би-
лли белгнланади, яъни
ri=p(Fi. М) ва r2=p(F2, М).
Эллипснинг таърифига ку-
ра г1( гг фокал радиусларнинг
йигиндиси узгармас булиб, бе-
рилган кесма узунлигига тенг,
яъни
p(Flt Л4) +р(Г2, М) = 2а ёки
rx+r2 = 2a. (1)
(1) тенглик эллипсга те-
гишли ихтиёрий нуцта учун
уринли булиб, уни координа-
таларда ифодалайлик.
Декарт реперини тенглама-
‘Текисликдаги элемеитар аналитик геометрияда асосан 1-ва 2-тартибли ал-
гебраик чизицлар урганилади, холос.
•Берилган кесманинг узунлиги (PQ — 2а) фокуслар орасидаги масофадан кат-
та булмаган цолда эллипс мавжуд булмайдн, чунки учбурчак цоидасига кура
p(Fi, M) + p(F2, M)>p(F1, FJ цолда эллипс кесмага айланади.
* а = с цолда эллипс кесмага айланади.
нинг содда булишига имкон берадиган цилиб танлаймнз: абсциссалар
уцини фокуслар орцали F2 дан Ft га йуналтириб утказамиз. F, Ft
кесманинг урта перпендикулярини 128-чизмада курсатилган й^на-
лишда ординаталар уци деб оламиз. Танланган бу (О, i, j) репер-
да F.t ва F2 нуцталарнинг координаталари мос равишда (с, 0) ва
(—с, 0) булади*
Эллипсдаги ихтиёрий М нуцтанинг координаталарини х, у билан
белгиласак, икки нуцта орасидаги масофа формуласига кура
ч rt = У(х — с)л + у2,
г2 = V (х + с)2 + у2.
rlt га нинг (2) муносабатлардаги цийматларини (1) тенгликка цуйиб,
ушбу тенгламага эга буламиз:
— с)2 + у2 + У(х +с)2 + у2 = 2а. (3)
(3) тенглама танланган реперга нисбатан эллипснинг тенгламасидир,
чунки М(х, у) нуцтанинг координаталари бу тенгламани фацат М
иуцта эллипсга тегишли булган цолдагина цаноатлантиради.
(3) тенгламани каноник тенглама деб аталувчи куринишга кел-
тирамиз.
(3) тенгламанинг биринчи цадини уиг томонга утказиб, цосил
булган тенгламанинг иккала томонини квадратга оширсак.
х2 + 2с± + с2 + у2 = 4а2 — 4а]/г(х — с)*+у2 +хг — 2сх + с*+у2.
Бундан
2сх = 4а2 — 2сх — 4а ]/\х — с)2+у2
ёки
а]/\х — с)2+у2=.а2 — сх.
Хосил цилинган тенгламанинг иккала томонини яна квадратга оши- .
рамиз: -
а2х2 — 2а2сх + а2с2 + а2у2 = а4 — 2а2сх + с2х2,
бундан
(а2 — с2) х2 + а2у2 = а2 (а2 — с2). (4)
а>с=>а2>с2, демак, а2 — с2>0, бу мусбат соини Ь2 деб олай-
лик:
Ь2 = а2 — с2, (5)
у цолда (4) тенглйк цуйидаги куринишда ёзилади:
Ь2х2 + а2у2 = а2Ь2. (6)
(6) ни а2Ь2 га булиб, ушбу тенгламага эга буламиз:
а* Ь* (7)
Энди (7) тенглама цацицатан цам эллипсни ифодалашини исбот
циламиз, чуики эллипс тенгламаси 73) куринишда олинган эди. (7)
тенглама (3) тенгламани икки марта радикаллардан цутцариш билан
цосил цилинди. Демак, (7) тенглама (3) тенгламанинг натижаси,
бошцача айтганда, координаталари (3) ни цаноатлантирадиган цар
бир нуцта (7) тенгламани цам цаноатлантиради. Лекин (3) тенглама-
(7) тенгламанинг натижаси экани равшан эмас. (3) тенглама (7) тенг
ламанинг натижаси эканини курсатамиз.
Mi (Xj, yt) (7) тенгламани цаноатлзнтирувчи ихтиёрий нуцта бул-
син, яъни
нуцта учун г\ + rt = 2а теигликнинг бажарилишини курса-
тамиз.
АТ, нуцтанинг фокал радиуслари,
Г! = /(Х,-С)*+^, (9)
Г г = V(xt + с)2 (10)
I х? \
(8) тенгликдан у? = 6*1 1--I, бу цийматни (9) ва (10) тенглик-
1 \ fl* /
ларга цуйиб,
G “ V^7- х? — 2сх( + (6* + с2).
гл = Ух> + 2сх( + (62 +с*)
тенгликларга эга буламиз. (5) мунос-збатдан с2 = а2 — 6* ва а2 =
. = Ь2 + с2, шунинг учун юцоридаги тенгликлар ушбу куринишни
олади:
r'= K(iх' ~ °)’" I f х,~а I=Н«х‘ I-
'!“И7х‘+“),=|7х'+о1“1°+«х,1- (||)
Юцоридаги сабабларга кура 0< — < 1, (8) тенгликдан =>|хг| <а.
а
У цолда — | Хл | < а, шунинг учуй а — — хг>0 ва а + —хг>0. Бу-
fl а а
ларии эътиборга олсак, (11) тенглнклар ушбу куринишни опади:
fi=a —-Хр г2 = а+ —х,. (12)
а а
(12) тенгликларни цадлаб цушсак,
G +ri= 2а
га эга буламиз. Демак. координаталари (7) тенгламани цаноатлднти-
радиган з^ар цандай yt) Нуцта эллипсга тегишли.
(7) тенглама эллипснинг каноник тенгламаси дейилади.
(12) тенгликлардан ушбу хулоса келиб чи^ади: эллипснинг ихти-
ёрий М(х, у) ну^тасининг rlt rt фокал радиуслари бу ну^танинг
абсциссаси орцали
rt = а—-хвагг = а + — х (13)
а а
куринишда чизицли ифодаланади.
Агар хусусий \олда а = b булса, эллипснинг тенгламаси
х2 + у2 = а2
куринишни олади. Бу тенглама маркази координаталар бошида ва
радиуси а га тенг айланани ифодалайди. Демак, айлана эллипснинг
хусусий ^оли. а = b булганда Ь2 = а2 — с2 дан с = 0. с =/= 0 булганда
а2 — Ь2 = с2 => а > Ь.
Мисо л. ХаР бир ну^тасидан F^(4, 0), F2(—4.0) нуцталаргача
булган масофалар йигиндиси 10 га тенг нудталар тупламинииг тенг-
ламасини топинг.
Ечнш. Изланаётган нудталар туплами берилишига кура эллипс-
дир ва 2а=10=>а = 5, с = 4, Ь2 — а2— с2 муносабатдан t>2 = 9,
b = 3. Демак, изланаётган эллипснинг каноник тенгламаси цуйида-
гича булади:
х2 У*
2. Эллипс шакли. Эллипснинг'------------1----=1 17) каноник
а* ь*
тенгламаси буйича шаклини ^фганамиз.
1. (7) тенгламадан куринадики. эллипс .иккинчи тартибли чизиц.
2. Эллипс чегараланган чизиц (агар фигуранинг барча ну ^талари
бирор доирага тегишли булса, уни чегараланган фигура деб атала-
ди). (7) тенгламадан куриниб ту-
рибдики, унинг чап томонидаги
ифода доимо мусбат булиб, ^ар
бир ^ад ^уйидаги шартни цаноат-
лантириши керак: — ^1, — ^1.
Бундан |х| а, |^| sg Ь.
Демак, (7) тенглама’ билан
аницлангаи эллипснинг барча нуц-.
талари томонлари 2 а, 2 b булган
тугри туртбурчак ичига жойлаш;
ган.
3. (7) тенглама билан аниц-
ланган эллипс координаталар у^-
ларнга нисбатан симметрикдир.
Х,аь;икатан, М(х, у) шу эллипс-
нинг бирор нуцтаси булса, яъни х, у сонлар (7) тенгламани ца-
ноатлантирса, у вацтда (7) тенгламада узгарувчи х, у нинг фацат
квадратлари цатнгшгани учун бу тенгламани Л41(—х, у), М2(х,
— у) ва М3{—х, —у) нуцталарнинг координаталари цам цаноатлан-
тиради. нуцта Оу уцца нисбатан, М2 нуцта Ох уцца нисбатан
№ нуцтага симметрикдир (129-чизма). Шунинг учун координата уц-
лари эллипснинг симметрия уцларидир. Симметрия уцларининг ке-
сишган нуцтаси 0(0, 0) эллипснинг маркази дейилади, фокуслар
ётган уци унинг фокал уки дейилади.
4. Эллипснинг координата уцлари билан кесишган нуцталарини
топамиз. Масалан, Ох уц билан кесишган нуцталарини топнш учун
ушбу тенгламаларни биргаликда ечамиз:
(14}-системанинг нккинчи тенгламасидан у = 0 ни биринчи тенгла-
масига цуйсак, х = ± а цосил булади. Шундай цилиб, эллипс Ох
уцни Ai (а, 0) ва Л2(—а, 0) нуцталарда кесади. Шу сингари
эллипснинг Оу уц билан кесишган Bi (О, Ь) ва В2(0, —Ь) нуцтала-
ри топилади. Эллипснинг координата уцлари билан кесишган нуцта-
ларини унинг учлари дейилади. Эллцпснинг туртга учи бор, улар:
Л2, Bj, в2.
Л1Л2 кесма ва унинг узунлиги 2 а эллипснинг катта уци, OAt
кесма ва унинг узунлиги а эса эллипснинг катта ярим уци дейи-
лади. BLB2 кесма ва унинг узунлиги 2 b эллипснинг кичик дци, ОВг
кесма ва унинг узунлиги b эса эллипснинг кичик ярим уци дейи-
лади.
5. Энди (7) тенгламани у га нисбатан ечайлик:
У = ± у|/а2 —х2 . (15)
Эллипс координата Уцларининг цар бирига нисбатан симметрии
булгани учун унинг биринчи координата чорагида ётган цисминигина
текшириш етарли. Биринчи чоракдаги нуцталар учун х > 0, у > 0
булиб, эллипснинг бу чоракдаги цисми учун
. у = +-^]/га2—х2 . (1®)
Бундан (16) функниянинг монотон камаювчи эканлиги ва а2 — х- >
> 0 булиши, яъни а2 > х9 ёки |х| < а булиши бевосита куринади.
Демак, фацат биринчи чоракда иш кураётганимиз учун х<а. Юцо-
ридаги цолларни эътиборга олсак, эллипснинг биринчи чоракдаги
цисмини 130-чизмада курсатилган Bjdt ёй деб тасаввур цилиш мум-
кин. Эллипснинг координата уцларига нисбатан симметриклигйдан
фойдаланиб, унинг биринчи чоракда цосил цилинган цисми буйича
шаклини 131- чиэмадагидек тасаввур цилиш мумкин (131-чизма).
Эс л ат м а. Агар эллипснинг фокуслари ординаталар уцида жой-
лашиб цолса, унинг каноник тенгламаси цам (7) куринишда булади,
бу ерда b > а. - с
3. Эксцентриситет. Таъриф. Эллипснинг фокуслари ора-
сидаги масофанинг катта уцининг узунлигига нисбати эксцентриси-
тет дейилади ва эксцентриситет е царфи билан белгнланади.
2 с с
Таърифга кура е = — = цамда с < а=> 0 < е < 1.
Эллипснинг эксцентриситета унинг шаклини аницлашда муцим
роль уйнайди. ^ацицатан цам, (5) дан с2 = а2 — Ь2, шунинг учун
с® __ a* —ft*
а» ~ а»
1
бундан
1 .
Эксцентриситет е-*-1 да (ле-
кин е< 1) — —► 0 булиб (бу ер-
да а узгармайди деб фараз ци-
линади), b кичиклашади ва эл-
липс Ох Уцца цисила боради, ак-
синча е-*- 0 булса, -—► 1 =>-
а
=> Ь->-а. Бу цолда эллипс айлана-
га яцинлаша боради. 132-чизмада
у айлана ва ylt ya, у3 эллипслар
тасвирланган булиб, elt ея, е3 бу
эллипслариинг эксцентриситетла-
ри: > е2> ез-
Мисол. 1) 16х2 + 25у? —
—400=0; 2)9х*+25«/2—225=0.
16 х® + 25 у2 = 400 =>-^- + ~~ = 1; бу ерда at = 5, = 4, q =
25 16
= /25 — 16 = 3, q = 9 x*+25/=225=> — + = 1 => q =
5 25 9
= 5, ba = 3, q = /25 — 9 = 4;
4 .
q = — . e2 > q => биринчи эллипс иккинчисига нисбатан узининг
э
катта укига сицилган, яъни чу-
знцроц.
4. Эллипснинг фокал
радиуслари. (7) эллипсдаги
ихтиёрий М(х, у) нуцтанинг
фокал радиуслари (12) формула-
лар орцали ифодаланар эди.
— = е эканини эЪтиборга олсак,
бу формулалар цуйидаги кури-
нишни олади:
rt = a — ex;rs'=a + ex. (17)
5. Эллипсни ясаш, па-
раметрик тенгламалар.
Каноник тенгламаси билан берил-
ган эллипсни ясашни курсатай-
133- чизма
лик. Марказлари координаталар бошида ва а > Ь радиусли иккита
Ti, уа айлана чизамиз (133-'чнзма). Координаталар бошидан ихти-
ёрий нур чицарайлик, унинг абсциссалар уцига огиш бурчаги <р бу-
либ, ylt у2 айланалар билан кесишган нуцталари L, N булсин.
L, N нуцталардан Оу уцца параллел I, т тугри чизицларни ут-
казамиз. l[\Ox — Llt т(}Ох= Ni булсин. jV нуцтадан Ох Уцца па-
раллел тугри чизиц утказамиз, унинг I тугри чизиц бнлан кесишган
М иуцтаси эллипснинг нуцтаси булади. ^ацицатан, М нуцтанинг
координаталарини х, у десак, ушбу муносабатни цосил циламиз:
. . _ х у .
х = acos<p, у = osmtp еки — =cos<p, — = sin<p,
а Ь
бу тенгликларнинг цар иккала томонини квадратга оширамиз ва цад-
лаб цушсак, — + — = 1 =>М нуцта эллипснинг нуцтасидир. О дан-
чицарилган цар бир нур эллипсдаги нуцтани беради. <р = О,
л 3 .
Ф = — , <р = л, <р = — л цийматларга эллипснинг учлари мос кела-
ди. <р нинг 0<ф<л оралицдаги цийматларида эллипснинг Ох уц
билан чегараланган юцори ярим текисликдаги нуцталари, ф нинг
л < ф < 2 л цийматларида эса1 цуни ярим текисликдаги нуцталари
цосил булади. Фацат эллипс устида ётган М (х, у) нуцталарнинг
координаталаригина
’ 0 ф < 2 л (А)
тенгламалар системасини цаиоат-
лантиргани учун бу система эл-
липсни аницлайди. (А) теиглама-
лар эллипснинг параметрик
тенгламалари дейилади. Бу тенг-
ламалар эллипсни юцорида курса-
тилган усулда ясаш учун асос
вазифасини бажаради.
6. Эллипс—айлананинг
аффин образи. Теорема.
Хар цандай эллипсни бирор ай-
лананинг диаметрига цисиш ал-
маштиришдаги образи деб ца-
раш мумкин.
Исбот. Текисликдаги бирор
(О, i, /) декарт реперига нис-
бати маркази координаталар бо-
айланани цараймиз (134-чизма):
и — +-^= 1. (18)
а» а» '
134- чизма
шиДа ва радиуси а булган бирор
х2 + у2 = а2 ё»
Текисликни k = — коэффициент билан Ох уцца цисиш алмаштирии:-
'' а
ни бажарайлик (45- §). Натижада текисликнинг цар бир М (х, у}
нуцтасн шундай М'(X, Y) нуцтага утадики, улар учун
PM' = kPM (19)
булади, бунда ММ' тугри чизиц Ох уцца перпендикуляр ва
Р = ММ'(] Ох, М, М', Р нуцталар бир хил абсциссага эга ва
PQOx булгани учун (19) муносабат координаталарда ушбу куриниш-
да булади:
(Я- х) 7+ (Г - 0) Т= k Цх - x)i + (у - 0)71
ёки
х=Х
„ 'г. to
Текисликни k = — коэффициент билан Ох уцца цисишда (18)
а
айланага мос келган чизицнинг тенгламасини топиш учун (*) дан
х, у нинг цийматларини (18) га цуямиз:
X» . У® . . X» . У« .
-----1----= 1 еки----------------= 1
а® й»а» a® ft®
Бу тенглама ярим уцлари а, b булган эллипсни ифодалайди. => айла-
нани диаметрига цисиш алмаштиришида айлана эллипсга алмашинади.
Тугри чизицца цисиш аффин алмаштириш булгани учун цар цан-
дай эллипснн бирор айлананинг аффцн образи деб цараш мумкин. ▲
Мисол. х2 + «/2=1б айланани Ох Уцца' цисиш натижасцца
— +-у = 1 эллипс Цосил булган. 1Цисиш коэффнциентини топинг.
Ь 3
Е ци ш. Эллипс тенгламасидан: а = 4, b = 3, k = — = —.
а 4
49- §. Гипербола
1. Таърифи, каноник тенгламаси. Текисликда цар бир
нуцтасцдан фокуслар деб, аталувчи берилган икки Ft, Ft «уцтагача
булган масофалар айирмасининг абсолют циймати берилган кесма
узунлигига тенг булган барча нуцталар туплами гипербола деб ата-
лади.
Гипербола таърифидаги берилган кесма узунлигини 2а(а>0) би-
лан, фокуслари орасидаги масофани 2с(с>0) билан белгилаймиз.
Албатта
2а < 2с.
О1
1 Учбурчак цондасига кура икки томои айирмаси учянчи томондан кичик.
Биз а = 0 ва ‘а = с дан иборат «айниган» эрлларни церамаймиэ.
135- чизма
Гиперболадаги М нуцта-
нинг Flt Fa гача масофалари
унинг фокал радиуслари де-
йилади ва rt, г2 билан белги-
ланади, яъни
ri = Р(^ъ М), r2 = p(F2, М).
Гиперболанинг таърифига
биыоан
К— г2Ц2а. (20)
(20) тенглик фацат гипербола-
дч ётган М нудталар учунги-
на уринли. Бу тенгликни ко-
ординаталарда ёзамнз. Бунинг
учун декарт реперини эллипс
билан иш курганимиздек цилиб танлаймиз (135-чизма).
Фокуслар орасидаги масофа p(Ft, F^ = 2 с булгани' учун олин-
ган реперга нисбатан F1(c, 0), Г2(—с, 0). Шу реперга нисбатан
гиперболадаги ихтиёрий М нуцтанинг координаталарини х, у билан
белгилайлик: М (х, у). У ^олда
г1 = У(х-с)2 + ^ , ,г2= у’(х + с)» + / (21)
булиб, (20) ва (21) дан
1У(х — с)2 + у2 — У(х + с)2 + у2\ = 2а
ёки
гг — г2 = ± 2 а <==> У (х — с)2 + у2 — V\x + с)2 + у2 = ± 2 а. (22)
Гиперболани ифодаловчи (22) тенгламани соддароц курииишга кел-
тирайлик. (22) дан:
У(х-с)2 +У = ± 2а + У(х + с)2 + у .
Бу тенгликнинг иккала томонини квадратга кутариб, соддалаштира-
миз:
± а У (х + с)2 + у2 = сх — а2.
Бу тенгламани яна квадратга кутариб, сунгра соддалаштирсак,
(с2 — а2) х2—а2у2 = а2 (с2 — а2). (23)
а2<с2=»-с2 — а2>0; бу айирмани Ь2 билан белгилаймиз:
Ь2 = с2—а2. (24)-
У эуолда (23) муносабатдан ушбу содда тенгламага 'келамиз:
— --^• = 1. (25)
а» '
Демак, гипербола иккинчи тартибли чизшудир. (25) тенглама гипер-
болани ифодаловчи (22) тенгламанинг иатикаси, шунга кура коор-
140*
динаталари (22) тенгламани цаноатлантирадиган цар бир М (х, у)
нучра (25) тенгламани цам цаноатлантиради.
Энди буиинг тескариснни исбот цилайлик. Мл (xlt yt) (25) ни
цаноатлантирувчи ихтиёрий нуцта булсин, яъни
УИ, нуцтанинг f2 фокуслардан масофалари:
'i = W*i-c)a + ^. r2 = V(Xl+cf + yl. (27)
(26) тенгликдан у^ = — (х^— а2). Бу циймдтни (27) тенгликларга
цуйиб, Ь2 = сл—а2 муносабатни эътиборга олсак.
Г1 = ± (— —а), (28)
\ а у
г2 = ± (— *1 + а) (29)
\ а у
тенгликларга эга буламиз, г„ г2 мусбат сонлар, шунга кура цавслар
олдидаги ишораларни шундай танлаш керакки, (28) ва (29) тенглик-
ларнинг унг томонлари цам мусбат булсин. (26) дан => |х,| > а. Бун-
дан ташцари, оо=> —> 1. У цолда, агар хх>а булса, — хг—
а
— а>0 ва — х(+а>0 булиб, (28) ва (29) тенгликлардаги каве-
а
ларни + ишора билан оламиз, яъни
С с .
= >—х1—а, г2 = —х1 + а.
а а
(30)
Булардан —r2 = — xt—а——xt — а = —2 а; Xj <—а булса,
а а
— Xj —а <0 ва — xt 4-а < 0 булнб, (28), (29) тенгликлардаги цавс-'
а а
ларни — ишора билан оламиз, яъни
г1 = о---------------------xlt r2 = —а —— xf,
а а
булардан
г2 = а — — Xj + а + —хх = 2 а.
а а
(31)
Демак, (25) тенгламадан (22) тенглама келиб чицадн. Шундай ци-
либ (25) тенглама гиперболанинг тенгламасидир. (25) тенглама ги-
перболанинг каноник тенгламаси дейилади.
(30) ва (31) тенгламалардан цуйидаги натижа келиб чицади: гипер-
боладаги ихтиёрий М (х, у) нуцтанинг rlt г2 фокал радиуслари
унинг х абсциссаси орцали
х > 0 булгавда г\ = — х— а, г2 = — х + а, (32)
х < О булганда i\ = a----х, г2 = — а-----х (33)
а а
куринишларда чизицли ифодаланади.
Мисол. Гиперболанинг Fj_(10, 0), F2(—10, 0) фокусларини ва
нуцталаридаи бири Л (12, 3 У 5 ) ни билган цолда унинг тенглама-
сини тузинг.
Ечиш. Бу ерда
rt = Р(Л. = V4 + 45 = ^49 = 7,
г2 = р (Г2, Л) = Z484+45 = Z529 = 23.
|7 — 23| = 2а=>а = 8.
Гипербола учун Ъ2 = с2 —а2 = 100 — 64 = 36=>Ь = 6. Демак,
= 1
64 36
2. Гипербола шакли. Гиперболанинг
** _1
а» fts
тенгламасига асосланиб унинг шаклини аницлаймиз.
Эллипс тенгламаси устнда олиб борилган муцокамаларни такрор-
лаб гиперболанинг координаталар боши, координата уцларига нисба-
тан симметриклиги аницланади.
Гипербола Ох уцни А1(а, 0) ва Л2(—а, 0) нуцталарда кесади.
(25) тенглама билан аницланган гипербола Оу уц билан кесишмайди.
Хацицатан (25) тенгламага х = 0 ни цуйсак, —~ = 1.. Равшанки,
Ь2
бу тенглик цациций сонлар соцасида уринли булмайди.
Х, А2 нуцталар- гиперболанинг учлари дейилади. Шундай цилиб,
гиперболанинг иккита учи бор экан. Гиперболанинг учлари орасида-
ги масофа унинг цациций рци дейилади.
Ординаталар уцида О дан b масофада турувчи Вг (О, Ь) ва В2 (О,
— Ь) нуцталарни белгилаймиз. В>В2 = 2Ь ни гиперболанинг мавзщм
дейилади.
Агар М (х, у) нуцта гиперболада ётса, унинг учун (25) тенгла-
мадаи: |х| > а. Демак, х = ± а тугри чизицлар билан чегараланган
—а<х<а полосада гиперболанинг нуцталари йуц.
(25) тенгламани у ординатага нисбатан ечамиз:
у= ± — Ух2—а2 . (34)
а
Бу тенгламадан куринадики, х мицдор а дан +°° гача ортганда ва
— а дан —и» гача камайганда у мицдор —оо <у< +оо оралиц*
даги.цийматларнн цабул цилади. Демак, гипербола икки цисмдан
иборат булиб, улар гиперболанинг тармоцлари дейилади.
Гиперболанинг бир (унг) тармогн х>о ярим текисликда, иккии-
чи (чап) тармоги к — а ярим текисликда Укойлашган.
Эслатма. Агар гиперболанингфокуслари ординаталар уцида жой-
лашган булса, унинг каноник тенгламаси —----= 1 куринишда бу-
лади.
3. Гипербола асимптоталари. Гиперболанинг шаклини яна
цам аницроц тасаввур цилиш . мацсадида текис (ясси) чизицнинг1
асимптотаси тушунчасини киритамиз.
Таъриф. Агар М£Г нуцта шу Г чизиц буйлаб царакатланиб
борганида унинг и тугри чизиццача булган масофаси нолга интилса,
тугри чизик Г чизицнинг асимптотаси дейилади.
„ Ь ь , х» у*
Теорема. «/ = —х, у =----х rmfrpu чизицлар------- --
a a cfl Ь*
= 1 гиперболанинг асцмптоталаридир.
Исбот. Гипербола координата уцларига нисбатан симметрии бул-
гани учун гиперболанинг биринчи чоракдаги цисминигина олиш етар-
ли. Шу" мацсадда х > d да гиперболанинг биринчи чоракдаги цисми-
ни аницлайдиган
у=+-Ух^а^ (35)
а
тенглама билан
ъ
(36)
ь
тенгламани солиштирамиз. у = — х тугри чизиц координаталар
бошидан утади ва бурчак коэф-
фициента k = — . 136- чизмада
тугри чизицнинг биринчи чорак-
даги булаги тасвирланган булиб,
унда ОА = а, АВ = Ь. Гипербо-
ь
ла ва «/=—х тугри чизицда мос
а
равищда жойлашган бир хил абс-
циссали М (х, у), N (х. У) нуц-
таларни цараймиз. Бу икки нуц-
танинг мос ординаталари:
у^ +— /х2 —а2 , Г = —х
136- чиэма
1 Барча нуцталари бйтта текисликда ётган чизиц текис (ясси) чизиц деб ата-
лади.
булади. MN кесманинг узунлигини цисоблаймиз:
Y = — х= — Ух2 > —Ух2 —а2 = у => Y > у
а а а
ёки Y—у > 0, демак, р {М, N) = Y — у. Лекин
a, a х+Ух» —а»
ёки
°*
У~ х+ Ус» —а» ‘
Гиперболадаги М нуцтадан (36) тугри чизицца туширилган пер-
пендикулярнинг асоси Р булсии, у цолда
р(М, Р)<р(М, , -
Ijm —рр===- ифодани текширайлик. Унинг махражи чексиз
ортиб борувчи икки мусбат-цушилувчининг йигиндисидан иборат бу-
либ, сурати эса узгармас ab мицдордир, демак,
У цолда
р(М, Р)<р(Л4, N) дан р (Л4, Р)->- 0.
137- чизма
Демак,-гиперболадаги М нуц-
та гипербола буйича царакат-
ланиб, унинг учидан етарлича
узоцлашса, М нуцтадан (36)
тугри чнзиццача булган масо-
фа нолга интилади. Юцоридл-
ги таърифга кура гипербоЛа-
нинг царалаётган цисми учун
(36) тугри чизиц асимптота
булади.
Гиперболанинг координате
уцларига нисбатан симметрик-
ь
лигидан у =----х тугри чи-
а
। зиц цам гиперболанинг асимп-
тотасидир. Шундай цилиб,
1=±Х, у = —-X (37)
тенгламалар билан аницланадиг^н тугри чизицлар гиперболанинг
асимптоталаридир (137-чизма).
М и с о л. Асимптоталари 2х—у = 0, 2х + у = 0 тенгламалар
билан берилган ва фокуслари марказдан 5 бирлик масофада булган
гиперболанинг каноник тенгламасини тузинг.
Ечиш. Берилган тенгламаларни у = 2х, у = }— 2х куринишда
ёзиб олсак цамда (37) тенгламалар билан солиштирсак, — = 2 ёки
а
Ь=>2а булади. Фокуслар марказдан 5 бирлик масофада булгани
учун с = 5 булиб, Ь2 = с2 — а2 тенгликдан фойдалансак, 4 а* = 25 —
— а2; бундан а2 = 5, а = У Ь , у цолда b = 21/"5 . Шуларга асосан
гиперболанинг изланаёпан тенгламаси:
£--£ = 1.
5 20
4. Тенг томонли гипербола. Ярим^цлари тенг булган
гипербола тенг томонли деб аталади.
-----— = 1 тенгламада а = b булганда:
а* Ь*
х2-у2 = а2. (38)
Тенг томонли гипербола асимптоталарининг тенгламалари у = х,
у = —х куринишда булиб, улар Узаро перпендикуляр. (k{kt = — 1).
Бу асимптоталарни янги координата учлари сифатида цабул цилсак,
тенг томоили гипербола тенгламаси урта мактаб курсида курилади-
ган ихчам Ху = а куринишни олади.
Х,ацицатан, Ох уц учун у = — х асимптотами, Оу уц учун эса
—> —>-
у = х асимптотами олсак, у цолда <р = (i, Г) = — 45°.
Эски х, у координаталардан янги координаталарга утиш форму
лаларидан (II боб, 19-§):
Энди х, у координаталардан х', у' га утсак, тенг томонли ги-
перболанинг янги тенгламасини цосил циламиз:
, , at _ , efl
ху = — еки у = —.
2 v 2х
Мисол. ху = 2 гипербола тенгламасини каноник кУринишга
келтиринг.
Ечиш. Координаталар -бошини цузгатмаган цолда координата
уцларини +45° бурчакка бурамиз:
х = х' cos 45° — sin 45° = (х7 — у'),
у = х' sin 45° + у' cos 45° = (х' + у').
х, у нинг бу цийматларини ху= 2 тенгламага цуямиз:
(*' — У')-(х' +у') = 2.
Соддалаштиргандан сунг, ушбу каноник тенглама цосил булади:
i х'* — /2 = 4. ..
5. Эксцентриситет. Гиперболанинг фокуслари орасидаги
масофани эодиций у^ининг узунлигига нисбати гиперболанинг экс-
центриситета дейилади.
Эксцентриситетни эллипсдагидек е ^арфи билан белгиласак.
2с с
е = — = —.
2а а
Гиперболада oa=t-e> 1.
Эксцентриситет гипербола шаклини аницлашда му>(им роль уй-
найди. ХздиКатан е = — дан с = еа, буни Ь2='с2—а2 га
а
цуйсак, Ь2 = а6 * 8(е2—1) ёки — = Уе2—1 булиб, бундан куринади-
ки, эксцентриситет е цанчалик
кичик, яъни 1 булса, —
а
Ь п
шунчалик кичик, яъни —>-0
буладиДбу ерда а узгар№>йди
деб фараз цилинади) ва ги-
пербола узинииг ^а^и^ий у^и-
га сицилган булади, аксинча,
- - ь
е катталашиб борса, — ^ам
а
катталашиб, гипербола тармоц-
лари кенгайиб боради. 138-
чизмада ylt у2, у3 гипербола-
лар тасвирланган б^л|б, улар-
иинг ev е2, е3 эксцентриси-
тетлари учун el<t2< es.
Мисо л. Тенг томонли гиперболанинг эксцентриситетини ^исоб-
ланг.
Е ч и ш. Тенг томонли гиперболада а = b булгани учун 62 = с2 —
— а8 дан с2 = 2а2, бундан с = 1^2 а. У ^олда эксцентриситет:
= =V27
а а
6. Гиперболанинг фокал радиуслари. (25) гипер-
боладаги ихтиерий Af (х, у) нуцтанинг фокал радиуслари х > 0 бул-
ганда (32) формулалир орцали ва х < 0 да (33) формулалар орцали
ифодаланар эди. — = е эканини эътиборга олсак, бу формулалар
а .
ушбу куринишни олади:
х > 0 булганда rx = ех — а, г2 =ех + а, (39)
х < 0 булганда гх = а—ех, .г2 = —а — ех. (40)
7. Гипербвлаии ясаш. Декарт реперида
х« у* _ .
а» ь*
тенгламаси буйича гиперболами ясаш масаласини царайлик. Аввало
бу тенглама буйича унинг А1(а, 0), Л2(—а, 0) учларини вас2 —
—а2 = Ь2. муносабатдан фойдала-
ниб ЛК?. 0), Г2(—С, 0):фо-
кусларини топамиз. фокусни
марказ цилиб, ихтиёрий г\ радиус-
ли S(F„ f\) айлана, Fa фокусни
марказ цилиб, ra = q + 2а ра-
диусли S (Fa, га) айлана чизамиз.
Бу икки айлананинг кесишган
нуцталари гиперболада ётади,
чунки бу нуцталар учун
I ra — Г1| = |Г1 + 2а — Gt = 2а.
Марказларнинг уринлари алмаш-
тирилса, гиперболанинг яна икки
нуцтаси цосил булади. Шундай
цилиб, rt нинг цар бир янги ций-
мати буйича гиперболанинг турт-
та нуцтасини ясаш мумкин.
Шу усулда етарлича нуцталарни ясаб, уларни туташтирсак, ги-
перболанинг шацли 139- чизмадагидек тахмин цилинади
50- §. Парабола
1. Таърифи. Каноник тенгламаси. Текисликда цар бир
нуцтасидан берилган нуцтагача ва берилган тугри чизиццача булган
масофалари узаро тенг булган барча нуцталар туплами парабола деб
аталадиJ Берилган нуцта берилгаи тугри чизицда ёгмайди деб оли-
нади. Берилган нуцта парабо-
ланинг фокуса, берилган тугри
чизиц эса параболанинг дирек -
трисаси дейилади.
Параболанинг фокуси ва ди-
ректрисасини мос равишда F ва
d билан, фокусдан директрисага-
ча булган масофани р билан бел-
гилаймиз. Таърифдан фойдаланиб,
парабола тенгламасини келтириб
чицарайлик: бунинг учун декарт
реперини цуйидагича танлаймиз:
абсциссалар уци деб F нуцтадан
Утувчи ва d тугри чизицца пер-
пендикуляр булган тугри чизиц-
ни цабул циламиз, унинг мусбат
йуналиши 140- чизмада курсатилгандек булиб, абсцнСсалар уцининг
d тугри чизиц билан кесишган нуцтаси N булсин. Ординаталар уци-
ни FN кесманинг уртасидан утказамиз. Танланган реперда дирек-
триса тенгламаси х =-----F фокус эса + -у-, 0 координаталарга
эга булади.
Параболанинг ихтиёрий нуцтаси М (х, у) булсин. М нуцтадан ди-
ректрисага туширилган перпендикулярнинг асосини L билан белги-
лайлик. У цолда параболанинг таърифига кура
p(F, M) = p(L, Af). (41)
Ж) тенгликни координаталарла ифодалайлик. Икки нуцта ораси-
даги-масофа формуласига кура
р (F, М) = д/
Р(^. Л1) = + -f-)2 + <У~ у)г = I х + у|
Бу цийматларни (41) муносабатга цуямиз:
(42)
(42) тенглама параболанинг танланган реперга , иисбатаи тенгла-
масидир, чунки уни фацат параболада ётган нуцталарнинг координа-
таларигина цаноатлантиради.
(42) тенгламани соддароц куринишга келтирамиз. Бунинг учун
унинг иккала томонини квадратга кутариб, ихчамлаймиз:
( х----у) + У =1 2 ) еки x ~₽x + l 2 I + У ~
бундан
У1 = 2 px.
(43)
(43) тенгламани (42) тенгламанинг натижаси сифатада келтириб чи-
цардак.
Энди уз навбатида (42) тенгламани (43) тенгламанинг натижаси
сифатцда келтириб чицариш мумкиилигиии курсатамиз. Бунинг учун
координаталари (43) тенгламани цаноатлантирадиган цар . бир нуцта
параболага тегишли эканини курсатиш кифоя. M^(xu yt) нуцтанинг
координаталари (43) тенгламани цаноатлантирсин, яъни tfi = 2pxt
сонли тенглйк бажарилсин. Шу билан бирга х = —тенгламага
эга булган d тугри чизиц ва
0 J нуцта берилган булсин.
нуцтанинг F ва d дан бир хил масофада туришини курсатиши-
миз керак:
P(f. г)*+и-
ва
p(L,
Бу тецгликларга у2 = 2рхг ни цуйсак,
p(F, MJ = %* — pxj+ у+ 2pxi = ( Xi + ~^=
= |-4 + ^-| = PCL, MJ.
Бундан =*Mi нуцта параболага тегишли. Демак, (43) парабола тенг-
ламаси булиб, у каноник тенглама дейилади.
2. Параболашакли. Параболанинг цпклини унинг(43) тенг-
ламасига кура текширамиз.
у* > 0 ва р > 0 булгаии учун у2 = 2рх тенгламада х > 0 були-
ши керак. Бундан (43) параболанинг барча нуцталари унг ярим те-
кисликда жойлашганлиги келиб чицади;
х = 0 да (43) =► у — 0=> парабола координаталар бошидан утади.
Координаталар боши параболанинг учи дейилади;
х нинг jpp бир х > 0 цийматига у нинг ишоралари царама- цар-
ши, аммо абсолют ми^дорлари тенг булган икки циймати мос кела-
ди. Бундан параболанинг Ох уцца нисбатан симметрии жойлашган-
лиги аницланадн. Ох параболанинг симметрия tftu дейилади.
У шу билан бир вацтда параболанинг фокал уци ^амдир.
(43) =► у = ± V42рх. Бу тенгламадан куринадики, х ортиб борса,
|i/| ^ам ортиб боради, яъни х->+ «» да + оо. Курсатилган
бу хоссаларга асосланиб параболанинг шаклини 141- чизмадагидек
тахмин цилиш мумкин.
141- чизма
142-чизма
Параболанинг тенгламасини цосил килиш учун декарт реперини
махсус танладйк, яъни Ох уцни фокус орцали директрисага перпен-
дикуляр цилиб утказдик. Агар декарт реперини бошцача усулда тан-
ласак, албатта, параболанинг тенгламаси цам (43) куринишдан фарц-
ли булади. Масалан, агар.парабола координаталар системасига нпсба-
тан 142- чизмада курсатилгандек жойлашган булса, унинг тенглама-
си х2 = 2ру куринишда булади. 143 ва 144- чизмаларда тасвирлан-
ган параболанинг ' тенгламалари мос равишда у* = — 2рх, хг =
= — 2ру куринишда булади.
Мисол. уа=4х партболада фокал радиусинингузунлиги 26 бул-
ган нуцтани топинг.
Ечиш. Изланган М(х, у) нуцта учун p(F, М) = 26. у* =
= 4х=> р = 2, у цолда
F(l, 0); 2G=V(x—l)s + ys = V(x—l)a + 4x
ёки 676 = хг + 2х + 1, бундан ха + 2х — 675 = 0.
х| 2 = — 1 ± 1 + 675 = — 1 ±‘26, Х1 = 25, х2 = —27.
хг = — 27 илдиз ярамайди, чунки уг = 4х параболадаги барча
нуцталарнинг абсциссалари мусбат булиши керак. xt = 25 ни у1 =
• = 4х га цуйиб, у ни топамиз:
У1 = + Ю, уг = — 10.
Шундай цилиб, изланаётган нуцталар иккита экан:
Mi (25, 10), Л!2(25, —10).
3. Параболани ясаш. Парабола декарт-реперида у* = 2рх
тенглама билан берилган булсин. Аввало параболанинг фокусини ва
директрисасини ясаймиз, бунинг учун Ох уцда координаталар боши-
. р
дан унгда ва чапда узунлиги
га тенг булган OF ва ОК кес-
маларни оламиз. К нуцта орцали
Ох уцца перпендикуляр цилиб d
тугри чизицни утказамиз. F нуц-
та параболанинг фокуси, d эса
директрисаси булади (145- чизма)»
Фокусдан бошлаб параболанинг
.симметрия уцига перпендикуляр
, р
ва цар бири оддингисидан ма-
софада турувчи тугри чизицларни
утказамиз. Утчазилган тугри чи-
зицларнинг цар биридан дирек-
трисагача булган масофани ради-
ус цилиб, F марказли айлана чи-
замиз. Бу айлана тегишли тугри
145- чизма
чизицни парабола уцига симметрии булган икки нуцтада кесади.
Булар параболанинг нуцталаридйр. Бу жартённи кераклича да-
вом эттириб, параболанинг кераклича нуцталарига эга буламиз.
Уларни туташтириб параболанинг графигини цосил циламиз.
4. у = ахг+Ьх + с тенглама билан берилган па-
рабола. -
Теорема. Ушбу
у = ах3 + Ьх +с
(44)
тенглама симметрия уци ординаталар уцига параллел ва учи
О'(----, 4аС~->* j нуцтада булган параболанинг тенгламаси-
дир.
И с бот. (44) тенгламанинг уиг томонидан тула квадрат ажра-
тамиз.
Бундан
г 4ас—. , Ь \2
Г у------— -<Цх+—]. (46)
_ , / Ь 4лс — Ь1 \
Декарт реперининг координаталар бошини О I-, ----|
\ 2а 4а /
нуцтага
У = У'
4ас — ft*
4а
формула *буйича параллел кучирамиз. Янги реперда (45) тенглама
цуйидаги куринишни олади:
у' = ах'г ёки х'2 = — у'. (46)
а
Ушбу р = белгилашни киритиш билан
х'2 = Ъру' (47)
тенгламага эга буламиз. (47) тенглама симметрия у!\и О'у’,. уц ва
учи О' (----4ас — \ нуцтдда булган параболани ифодалайди.
\ 2а 4а ]
Бу ерда О'у' I! Оу. л. .
Шундай килиб, у = ахг + Ьх 4- с параболани ясаш учун х2 =
1 , rv I b 4ас—&\
= — у параболани ясаб, унинг учиии О I—, ——----------------1 нуц-
та уст ига тушгунча параллел кучириш керак.
146-а ва б чизмада а параметр мусбат ва манфий булган дол-
лар учун у = ах2 + Ьх + с парабола тасвирланган.
Мисол. у — х2 + 2х + 3 парабола тенгламасини каноник
куринишга келтиринг ва янги координаталар бошининг координата-
ларини топинг.
Е ч иш. Берилган тенгламани цуйидаги куринишда ёзамиз:
У = -у (х + 2)2 + 1 ёки у — 1 = (х + 2)2;
координаталар бошини О’ (—2, 1) нудтага
[х = х'—2,
' U = у' + 1 -
формула буйича параллел кучирамиз. Янги реперда парабола тенгла-
маси у' — — х'а ёки x'2=2i/' каноник куринишни олади. О'(—2,1)
нуцта янги координаталар боши.
51- §. Эллипс ва гиперболанинг директрисалари
Таъриф. Эллипс (гипербола) нинг берилган F фокусига мос
директрисаси деб, унинг фокал уцига перпендикуляр ва марказидан
шу F фокуси ётган томонда — масофада турувчи тугри чизицни
е
айтцлади. Бу ерда а — эллипс (гипербола) нинг катта, (цациций)
яри^ $ци, е — эксцентриситета.
Директрисаларни d„ d2 билан белгилаймиз цамда уларни Flt
Ft фокусларга мос директрисалар деб атаймиз. Директриса таъри-
фига кура эллипс (гипербола) нинг тенгламаси каноник куринишни
оладиган цилиб махсус танланган декарт реперида Ft (с, 0), F2 (—с, 0)
фокусларга мос директрисалари
dt:x----- = 0,
е
dg:x + — = 0
е
тенгламаларга эга булади. Эллипс учун е< !=»—>а, гипербола
е
учун е > 4 => — <а. Демак, эллипснинг цам, гиперболанинг цам
е
директрисалари уларни кесмайди (147- чизма).
Эллипс (гипербола) директрисаларинйЬг ацамияти цуйидаги теоре-
ма билан белгнланади.
Теорема. Эллипс (гипербола) текисликдаги шундай нуцта-
лар тупламики, бу нуцталарнинг цар биридан фокусгача булган
масофани уша нуцтадан шу фокусга мос директрисагача булган
масофага нисбати узгармас мицдор булиб, эллипс (гипербола)
нинг эксцентриситета е-га тенг.
Исбот. Бирор эллипс (гипербола) берилган - (147- чизмага ца-
ранг) на'/7! унинг фокуси, dt шу фокусга мос директрисаси булсин:
F^c, 0), dt:x------ = 0.'
. е
М (х, у) эллипс (гипербола) нинг ихтиёрий нуцтаси булсин. Бу нуц-
тадан fi фокусгача булган масофа p(F1, М) — 1а — ех| [48- §, (17)
формула, 49- §, (39), (40) формулалар]. Шу нуцтадан dt директриса-
гача булган масофа \
р (dp М) = | х—
p(Fi, М) __ 1а — ех\ _ |а — ех| _ е А
p(dt, М) 1° ~ ех1
Эллипс ва гиперболанинг юцоридаги теорема билан ифодаланган
хоссасини бу чизицларии бошцача таърифлашга асос цилиб олиш
мумкин. X^>WaTaH’ текисликда шундай нуцталар тупламини кура-
мизки, бу нуцталарнинг цар биридан бирор F нуцтагача ва бирор I
тугри чизиццача булган мэсофаЛар нисбати узгармас е га тенг бул-
син. Бундай нуцталар туплами
148- чизма
е< 1 булган цолда эллипс, е>1
булган цолда гипербола ва е = 1
булганда парабола булишйни кур-
сатамиз. Декарт реперини цуйи-
дагича танлаймиз. F нуцтадан I
тугри чизицца утказилган пер-
пендикулярни Ох уц, I тугри чи-
зицни эса Оу уц деб цабул ци-
ламиз (148-чизма). OEt = i,
— —► —►.
ОЕ2 = j координата векторлари
булсин, буида EiQOF. М(х, у)
текширилаётган нуцталар тупла-
мининг ихтиёрий нуцтаси булсин.
У цолда бу нуцта учун
P(F. М)
р(/, Af)
(48)
(О, i, j) репернинг танланишига кура р ((, М} = х. Агар p(Z, F) =
= р булсин десак, М)= 1^(р — х)2 +у2. У цолда (48) =>
=>\/(Р — х)2 + у2 =ех ёки х8 — 2рх + р* + у2 = х2е1=»-х2(1 £•)—
-2рх + р2 + у2 = 0. (49).
а) е = 1 булса, 1 — е2 = О булиб, (49) тенглама цуйидаги кури-
нишни олади:
у2 = 2р[х — -yj.
О координаталар бошини О’ 0 j нуцтага параллел кучи-
райлик. Ушбу
* = —+ Х, y = Y
2 ’ ”
формулалар буйича (О, i, j) декарт репёридан (О', i, /) декарт ре-
перига утайлик, у цодда текширилаётган нуцталар тупламининг тенг-
ламасн JB' реперда У* = 2рХ куринишга келиб, бу параболанинг
каноник тенгламасидир. 1^аралаётган нуцталар туплами е = 1 да па-
рабола экан. ,
б) е=И= 1 булса, 1—е® #=0, бу цолда (49) тенгламани цуйидаги
куринищда ёзиш мумкин:
(1 — е2) [х2-— х 4-------—----1----——F р2 + у2 = 0,
' 1—е» (l.— e»)» J 1— е» У
бундан
(1-е2) ( Х--Е_А*+у* =
\ 1 — еЧ 1 — е*
О координаталар бошини х = —----------F X, у = У, формулалар буйи-
1.— в®
ча О' (———, 01 ) нуцтага параллел кучирсак, янги реперда цара-
лаётган нуцталар туплами учун ушбу тенглама цосил булади:
(1 — е2)Х2 +Y2 = ёки —-— + —-— = 1. (50)
(1— г’)’ 1 —е»
• < I булганда 1 —е2 > 0 ва (50) тенглама
22 + J2-=i
в1
куринишни олади, бунда а2 =
**
е2р2
(1 — е»)«
Бу цолда царалаётган нуцталар туплами
1 —е® < 0 булиб, (50) тенглама
4 ’ 1—е2
эллипсдир. е> 1 бул;анда
х®
куринишни олади, бунда а® =
д4
(1 -е»)2 ’
Бу цолда царалаётган нуцталар туплами гиперболадир.
1-мисол.х=±8 тугри чизицлар кичик уци 8 га тенг бул-
ган эллипснинг директрисаларидир. Шу эллипснинг тенгламасини
тузйнг.
Ечиш. Эллипснинг директрисалари х = ± — тенгламалар би-
е
лан ифодаланади. Масала шартига кура ±—=±8, бундан ~^-=8,
е е
лекин е = —, у цолда — = 8 ёки а2 = 8с, кичик уц 2b = 8=>fe=4.
а с
Эллипс учун Ь® = а2 — с2; а, b нинг цийматларини бу тенгликка
цуйсак, 16 = 8с — с2 ёкн с2 — 8с + 16 = О, с( 2 = 4 ± }/16 — 16=
= 4. а2 = 8с = 8-4 = 32, а = |/32 = 4 |/2. Эллипснинг тенг-
ламаси:------F -2— = 1.
32 16 _
2- мисо л. Директрисалари х= ± 3 )/ 2 тенгламалар билан
берилган ва асимптоталари орасидаги бурчак тугри бурчак булган
гиперболанинг тенгламасини тузннг.
Е ч н ш. Асимптоталарнинг -узаро перпендикулярлигидан ' гипер-
боланннг тенг томонли экани, яъни х2 — у2 = а2 тенглама билан
ифодаланишн келиб чицади. Гиперболанинг директрисалари х =
= ± — тенгламалар бнлан ифодалаиади. Масала шартидан — =
е е
= 31/2, е = — ни цисобга олсак, — = 3 1/2, бундан а2 =
'а с '
= 3|/2с; Ь2 = с2— а2 тенгликка кура а=Ь булгани учун 6|/2с =
= с2 ёки с = 6]/2 га эга буламиз. У цолда а® = 3|/2с =
=3|/2 • 6|/2 =36, а=>6; гипербола тенгламаси: х2— у2 = 36.
52-§. Иккинчи тартнблн чнзнцларнниг цутб коордииаталардагн
тенгламалари
Биз бу ерда иккинчи тартибли чизицлар (эллипс, гипербола ва
парабола) нинг олдингн параграфда баён этилган хоссаларидан фой-
даланиб, махсус танланган цутб коордииаталардагн тенгламасини
келтириб чицарамиз. Бизга айтилган чизицлардан бирортаси: эллипс,
гипербола ёки парабола берилган булсин (агар берилган чизиц ги-
пербола булса, унинг унг тармогини цараймиз, чунки келтириб чи-
цариладиган цупб тенглама биз цараётган ^олда гиперболанинг фа-
цат битта тармогини аницлайди).
Берилган чизицни у билан белгилаймиз. F бу у • изицнинг фо-
куси, d шу фокусга мос директрисаси булсин (149- чизма). (у чнзиц
гипербола булганда Г ва d учун d
царалаётган тармогига яций фо-
куси ва директрисаси олинади).
1^утб координаталар системасини
цуйидагича киритамиз. FL _L d
тугри чизицни утказамиз, FE = е
— i, L=FLf\d булсин, бунда Е
нуцта FL тугри • чизиЦда ва F
нуцтадан L нуцт? ётмаган томон-
да ётади. F ну^тани цутб, FE
нурни цутб уци деб цабул
циламиз. Л40 нуцта F нуцта-
да цутб уцига утказилган пер-
пендикулярнинг у билан кесиш-
ган нуцтаси булсин. р(М0, F) - 149-чизма
масофани р билан белгилаймиз
ва у чизицнинг фокал парамет-
ра деб атаймиз. Танланган цутб координаталар системасига нисба-
тан у чизицнинг ихтиёрий М ну|\тасининг координаталарини г, <р
билан белгилаймиз: г = р(Г, М), <р = (EFM). у чизи^нинг 51-§
даги асосий хоссасига кура
Р(Л М)
P(d, М)
Мо} = е=>р(d, Мо) = p(f' М°} =
p(d,/Ио) ы е е
(51)
Агар ф > -у булса,
p(d, M) = p(d, Мо) — rcos(180° — ф) = — + rcosф.
е
Агар ф < булса.
p(d, М) = p(d, Mo) + p(F, Mt) = + rcos ф.
(Mj нуцта М нуцтадан цутб уцига туширилган перпендикуляр-
нинг асоси.)
Демак, иккала >;олда \ам
р (d, М) = + г cos ф.
p(d, М) нинг бу кийматинн (51) га тууйсак,
г
--------------------------------= е
р
— + Г COS ф
е
тенгликка эга буламиз. Бундан
' — ;•
1—ecostp
(52) тенглама у чизицнинг цутб кьординаталардаги тенгламаси-
дир.
Бу тенглама:
а) е < 1 булса, эллипсни аницлайди. <р бу цолда 0 < <р < л ора-
лицдаги барча цийматларни цабул цилади;
б) е = 1 булса, параболани аницлайди, ф бу цолда 0 < ф < л
оралицдаги барча цийматларни цабул цилади. ф = 0 цийматга пара-
боланннг цеч бир нуцтаси мос келмайди;
в) е > 1 булса, гиперболани (биз цараётган тармогини) аницлайди1.
Бу цолда ф нинг цайси оралицда узгаришини текширамнз. 2ф0—
асимптоталар орасидаги тармоц жойлашган бурчак булсин, у цолда
b
tgVo = ~
—
tfl
sina<p0 _
cos\q>0
e2— 1 =>е2со52ф0 = 1
ёки соз2ф0= —; ф0< — булганидан со5ф0= —.
е* 2 е
(52) тенгламада г >0 учун 1 —есозф>0 ёки созф<—=созф0
е
булиши керак. Бундан гиперболанинг царалаётган тармогидаги нуц-
талар учун ф0 < ф < 2л — ф0 тенгсизликлар бажарилади,. деган на-
тнжа келиб чицади. (52) тенгламадаги р = р (Мо, F) сон фокал па-
раметр дейилади. Парабола учун бу р фокал параметр унинг ка-
ноник тенгламасидаги р дан иборат. Эллипс (гипербола) учун р нинг
маъносини, яъни ярнм уцлар орцали нфодасини топайлик. ГМ0 туг-
ри чизиц эллипс (гипербола) нинг фокал уцига перпендикуляр бул-
гани учун УИ0, F нуцталар бир хил абсциссага эга. Мо (х0, у0) коор-
динаталарга эга булсин десак, х0 = —с (гипербола булса, х0= +с).
Мо эллипс (гипербола) га тегишли булгани учун
2 2 / 2 2 \
^2- + ^. = 1 (-° — ='1 )ва p = p(M0,F) =
а* Ь» \а» / 0 '
= V (—гС + с)а+^= |fZ0|
ни цисобга олсак,
Р2
д2 '
Демак, эллипс (гипербола) да фокал параметр р = — га тенг.
а
*1 25 -
Мисо л. f = ----- чизицнинг декарт реперига нисбатан ка-
ноник тенгламасини ёзинг.
1 Аналитик геометриядаи муфассалроц ёзилган китобларда гиперболанинг нк-
кала тармогини ифодаловчи тенглама келтириладн; бу тенгламанинг куриниши (52)
дан кам фарц циладн (масалан, (5) га царанг).
Ечиш. Берилган тенгламани (52) г = ---------------- куринишга
1 — е cos <р
келтириш учуй уиг томенининг сурат ва махражани 13 га буЛамиз:
13
г =------------,
12
1 —---- COS ф
13
12
буни (52) билан таццосласак, курамизки, е = — < 1, демак, эгри
t 13
чизиц эллипсдир. Унинг каноник тенгламасини ёзамиз. Тенгламадан
25 ь* к 25 u 25 с
р =----, лекин р=— эди, бундан — =—, (г=— а; е=— =
13 а в 13 13 а
12 12
=-р- =*с = -jy а. Ь, а нинг бу цийматларини Ь1 2 = а2— с2 тёнг-
ликка куисак, — • а = а.-----------аг, бундан — = — а еки а=
w 13 169 J 13 169
25 25
= 13, fe2 = —а = — • 13= 25, b=5 берилган эллипснинг ка-
13 13
ноник тенгламаси
53-§. Иккинчи тартибли чизицларнинг умумий
тенгламаси
Текисликда бирор аффин (ёки декарт) реперда координаталари
апх* + 2а1а ху + а1Х У2, + 2 а10 х + 2 аго у + = 0 (53)
тенгламани цаноатлантирувчи нуцталар туплами иккинчи тартибли чи-
зиц деб аталиши маълум* (23- §). Бунда an, а 12, ait, а10, а20, коэф-
фициентлар цациций сонлар булиб, аи, а1а, а22 лардан камида бит-
таси нолдан фарцлидир (бу шартни бундан буен а2ц. + а22 + О
куринишда ёзамиз).
Биз 48—50- § ларда учта чизиц: эллипс, гипербола ва параболани
ургандик,бу чизицлар цам иккинчи тартибли чизицлардир, чунки
(53) тенгламада аи = а22 = —, Ооо = —1 булиб, цолган барча
коэффициентлар ноль булса, у эллипснинг каноник тенгламаси, шу
шартларда яна а22 = —булса, (53). тенглама гиперболанинг ка-
ноник тенгламаси, ,а10 = р; а22 = 1 булиб, цолган коэффициентлар
ноль булса, (53) тенглама параболанинг каноник тенгламасидир.
1 Иккинчи тартибли чизицларнинг умумий назариясини декарт реперида ца-
раймиз.
^уйидаги табинй савол тугилади: текисликда курилган бу чизиц-
лардан бошца яна иккинчи тартибли чизицлар борми? Бу саволга
цуйида жавоб беришга царакат циламиз. Аввало шуни таъкидлаймпз:
23- § дан бизга маълумки, чизицнинг тартиби координаталар система-
* сининг олинишига боглнц эмас. Бундан фойдаланиб, координаталар
системасини тегишлича танлаш цисобига барча иккинчи тартибли чи-
зицларни туда геометрик тавсифлаб чицамиз. Иккинчи тартибли у
—► —>
чизиц £ = (О, i, j) декарт реперида (53) умумий тенгламаси билан
ифодаланган булсин. Шундай реперни танлаймизкн, унга нис-
батан у чизицнинг (53) тенгламаси мумкин цадар содда— «каноник»
куринншга эга булсин, яъйи
1) узгарувчи координаталар купайтмаси цатнашган цад булма-
син;
2) биринчи даражали цадлар сони энг оз булсин (иложи 'булса,
улйф бутунлай цатнашмасин);
3) мумкин булса, рзод цад цатнашмасин.
Агар (53) тенгламада а12#>0 булса, соддалаштиришни цуйида-
гича бажарамиз. £ репернинг уцларини О нуцта атрофида ихтиёрий
а бурчакка буриб, янги £' = (О, Г, /') декарт реперини цосил цила-
миз. £ репердан £' реперга утиш формулалари (19-§)
{x = x'cosa— i/'sina, е
, . , , (54)
у = х sin a 4-^ cos a
дан х, у ни (53) га цуйсак ва ухшаш цадларини ихчамласак, у чи-
знцнинг (53) тенгламаси £' реперда ушбу куринишни олади:
а, ,х'2 4- 2a;2x/fz' 4- a2'2 у'* + 2а'10х' + 2о^ у'+ а'00 = 0, (55)
бунда:
а'ц = aucos’a 4- 2a12cosasina + a22sin®a,
a'l2 = — an sin a cosa 4- aI2 cos®a — aI2 sin’a + a22 sin a cos a, (56)
ая = an s*n2a — 2aia sin a cos a 4- a22 cos2a,
flio = awcosa 4- a20sina, a20= —a10sina 4-cosa. aio = °oo-
(56) белгилашлардан куринадики, (55) тенгламадаги ajp a'l2,a^2 ко-
эффициентлар (53) тенгламадаги an, a12, a22 коэффициентларга
ва a бурчакка боглиц, шу билан бирга a^, aj2, нинг камида
бири поддан фарцли, чунки
cos^z 2 cos a sin a sin®a
— sinacosa cos’a—sin’a sin a cosa
sin®a —2 sin a cos a cos’a
cos’a sin 2 a sin’a
=------—sin 2 a cos 2 a —sin 2a
2 2
sin’a —sin 2a cos’a
cos2 a sin 2a
— — sin 2a cos 2a
2
1 0
sin2 a
— sin 2a
2
cos2a sin 2a 1
— — sin 2a cos 2 a 0
2
1 0 2
;«= 2 cos2 a cos 2a—cos 2a+sin2 2a = cos 2a (2 cos^a — sin2a — cos^a)+
+ sin2 2a = cos 2a -cos 2a + sin2 2a = 1 ¥= 0.
a бточакнинг ихтиёрийлигидан фойдаланиб, уни шундай танлаб ола-
'кшзки, алмаштирилган (55) тенгламадаги а’12 коэффициент нолга тенг
булсин, яъни
а12 = — ап sina cos a + aI2 cos2 a—sjn2a + a22 sin a cos,a =
= —(au cos a -ha12 sin a) sin a + (аисо5а + a2iSina)cosa = 0
ёки
an cos a +'а» sin а а^сова + о^ыпа
cos a sin a
(57) муносабатни бирор X га тенглаб, уни цуйидаги куринишда
ёэиш мумкин:
{(an —X) cos a + sin a = 0, (58)
a21cosa 4- (a12— X)sina = 0.
Бу система бир жинсли, шунинг учун унинг детерминанта нолга
тенг, яъни
°и
О21
О1Я
°2»
= 0 ёки X2 (au + a„) X + (au а^ — a?l2) = 0 (59)
булгандагина система нолдан фарцли ечимга эга булади.
(59) тенглама у чизицнинг характеристик тенгламаси дейилади.
(59) тенгламанинг иддизлари.
_ (°и + вм)± У (вы + — 4 (вп ви — с?12\ (°и + °«)
1.2----------------------------“ 2
а1а± 0 булгани учун унинг дискриминанта:
D = (au + — 4 (an a21 — а^ = (аи — а„)2 + 4а?2 > 0.
Демак, (59) тенгламанинг. Xlt Xj илдизлари турли ва годицийЯир.
(57) дан
a11cosa + a1.sina=^= Xcosa, ,_л.
11 18 (60).
Eicosa + aasina = Xsina
тенгликдарни ёза оламиз. Уларнинг \ар бирини cosa=H=0 га булиб
(cosa = 0=>a =-^- ва а'12= —(aucosa+a12sina)sina+ (ancosa+
+a22sina)cosa = 0=>a12 =0,
(яъни a12 азаДдан O' га тенг экан) ушбуни ^осил циламиз:
(61) муносабатга навбат билан (59) характеристик тенгламанинг Хх, X,
илдизлэрини цуямиз:
tgai=A=£n, tga2= ’ (62)
а11 Оц
Виет теоремасига кура (59) дан 4
“Ь ^2 = Оц “Ь о1а, ХаХг = йц агз—af2. * '(63)
(63) ва (62) формулалардан ушбуга эга буламиз:
tgttitgaa= ^*-«п(*1 + Ц + 4 =_и|а1_<Х1|=Л..
а\2 2
Шунга кура tga Ох' уцнинг £ даги бурчак коэффициента бул-
ганда tga, = tg^aa + -yj Оу' уцнинг шу репердаги бурчак коэф-
фициента булади. У цолла Ох7 (уцнинг Г бирлик векторининг ко-
ординаталари булмиш cosalt sin ax,
tg a. 1
sin a, = 1 r, cos a. = .
/l+tg’ax . yl+t^ai
формулалардан, Oy' уцнинг /' бирлик векторининг координаталари
cosa2, sin a 2
sin aa = sin
= cos a„ cos aa =
тенгликлардан аницланади. X = Xx булганда (60) дан
au со5аг+au sin ax = Xx cos alt
oleosa, +a22s*nai = XxSinai,
у цолда
a'n = (Oxi cosax + an sin a,) cos ax +(d2icosax +
* •+fl22 si° ax) sin «x = Xx cosax cosax + Xx sinax sinax = X.
(56) муносабатда 1- ва 3- тенгликларни цадлаб цушсак, ац+а^ =
= an (sin2 а + cos2 a) + ам (sin2 a + cos2 a) ёки (a,, + = Оц + ai3.
(63) дан Оц + a£s = X, + Ха ва an = Xx эканини цисобга олсак, a^=
=Ха келиб чицади. Шундай цилиб, координаталар системасини (62)
формуладан аницланувчи a = aj бурчакка (бу ерда at янги Ох7 уц-
нинг эски Ох уцца ofhui бурчаги) буриш билан £ = (О, i, j} репер-
—>-
дан тЪундай £', = (О, i', j') реперга утиш мумкинки, унга нисбатан
(53) тенглама соддалашиб, ушбу куринишга эга булади:
Хх + ^'у'2 + 2а'1О х' + 2а'о у' + doo = 0. (64)
Агар Ох' уцнинг бурчак коэффициента учун tga2 = ^2~сс-11
, 011
ни цабул цилинса, у цолда Оц 1— = Хх эканини айнан юцори-
даги каби курсатиш мумкин. Шуни айтиш лозимки, агар (53) тенг-
* ламада Oi2 = 0 булса, координаталар системасини буриш билан ал- •
маштиришга цожат цолмайди.
—>- —► —>-
Эндив8' = (О, Г, /' репердан шундай реперга утамизки, унга нис-
батан у чизицнинг (64) тенгламасида биринчи даражали цадлар цатнаш-
масин. Бу ишни координаталар бошини кучириш билан бажариш
мумкин.
(64) тенгламада Хх, Х2 коэффициентларнинг камида бири нолдан
фарцли, чунки агар Xt = Х2 = 0 булса, (64) тенглама биринчи дара-
жалн .тенгламага айланар эди. Демак, бу ерда цуйидаги уч цол бу-
лиши мумкин:
1- Хх=/=0, Х2#=0 (ХхХ2=/=0)
Бу цолда XxX2 = dxia22—^2фви°2г — ^2¥=0. ($4) тенгламанинг
чап томонидаги цадЛарни х', у' га нисбатан^тулиц квадратга келтарамиз:
,'2
/2 + 2- 22«_у'4-^» -
2
• „я
х'2 + 2 Х'+
Xi xj
'2 '2
_^o__^o_+aoo = 0,
Xi Xj
бундан
(* \ 2 / * \ 2
x' + ^L). +X2b'+ ^L) +^=0, (65)
Xi / \ x, /
*2 ‘ '2
x - °10 e20
бу ерда аю = a№— — —
Энди (О, i', j') ни у цуйидаги формула билан аницланадиган
параллел кучнришни бажарайлик:
'. v , . вю
Х = х' + —,
У цолда янги (О', i", /') репер цосил булиб, чизицнинг тенгла-
маси соддалашади:
• X, X* + Х2У2 + = 0. I
2. Xx = 0(X2¥=0), 0 ёки Х2 = 0 (Хх^О), Gjq^O.
Бу цоллардан бирини курсатиш етарли;^чунки
х = у, .
у = х'
алмаштириш ёрдамида уларнинг бирини иккинчисига келтириш мум-
кин.
Биринчи цолни цараймиз:
= О (Х2 ф 0) ни цисобга олиб, (64) тенгламанинг чап томони-
даги цадларии у' га нисбатан тулиц квадратга келтирамиз:
>2 \ / Д__ д'2 \
ч k' + 2iB »'+!».) +Ч'оК+^~^т-=°-
ёки
(у'+ $•) + 2а,° + = °’ '
I ' ' 1 /
°ао а'|0
бунда о = 2а' — '^а X, $елгилашни киритдик.
Ушбу v
(Х^х'+а',
Y=y' + ^
формулалар буйича координаталар системасини алмаштирамиз, яъни
[ / ^20 1
координаталар боши О ни 0'1 —а , —— I нуцтага кучирамиз. У цол-
\ *3 /
да цосил булган (О', Г, /') реперга нисбатан чизицнинг] тенгламаси
ушбу содда куринишни цабул цилади:
Х2У2 + 2а[оХ = О<
II
3. Xj — 0, aJo = 0 ёки Х2 = 0, *= 0.
Бу цоллар цам бир-бирига ухшаш булиб, шунинг учун уларнинг
бирини цараш етарли.
Биринчи цолни цараймиз. Хх = 0, а'о = 0 да (64) тенглама ушбу -
куринишни олади:
Х2 у'2 + 2а'о у' + Ооо = 0, (66)
бу ерда Х2у=0 булгани учун (66) ни цуйидагича ёзиш мумкин:
л'2 \ „Л
,2 । о а20 , , “10 I “20 . л
у'2 + 2- — у+-з-1 — — + Ооо = 0
*2 / *4
ёки
1‘ I . “20
Аа \у + —
2
+ аоо=О’
^00 ®00'
°20
Х = х'
Ушбу
—*• —►
/')
репердан (О',
О'( О,
Y — и' ’ а™ формулалар буйича (О, i', j')
у ’’"v
реперга утамиз, яъни координаталар боши О ни
нудтага кучирамиз. Янги реперда у чизиднинг содда
тенгламаси дорил булади:
x.y«+<So = o.
Ill
Ху л оса. Агар иккинчи тартибли у чизид бирор декарт реперда
(53) тенглама билан берилган булса, янги декарт реперини тегиш-
лича танлаш билан у нинг тенгламасини I, II, III тенгламаларнинг
бирига келтириш мумкин.
54- §. Иккинчи тартибли чнзидларнннг таснифи
(классификация»!)
Юдорида даралган (I, II, III) куринишдаги тенгламаларни муфас-
салрод текширамиз.
I. Х^+Х^+с" =0. I
I тенгламада Хх ¥=[0, Xs #= 0, лекин — ихтиёрий. Куйидаги
икки дол булиши мумкин:
а) аоо * °- 1 ла*11
------ ха —у2 = 1 ёки + -Л— = 1. ' (67)
°оо °оа °оо °оо
• , Xj Xj'
Агар Хр Х2 бир хил ишорали, эса улар билан дарама-дарши
Алл °й0
ишорали б^лса, у долда------> 0,----> 0.
. . Xs
Энди — -у5-=а2, — = Ь2 белгилашни кириТсак, (67) дан
ни, яъни эллипснинг каноник тенгламаси досил дилинади.
Агар Х1( Xs, а^о нинг учалас» ^ам бир хил ишорали булса, у
Ж • 9 Я
• °™ “ОО °00 2 °00 1Л
^одда —— < 0, —— < 0, бу ерда----— = —а2,-------— = —tr
*i Xj Хх Xj
белгилашни киритсак,------(- = — 1 тенгламага эга буламиз. Бу
тенгламани цаноатлантирувчи битта ^ам ^ади^ий нудта мавжуд эмас,
лекин бу тенглама эллипс тенгламасига- ухшашлаги сабабли, у мае-
%ум эллипсни аницлайди, деб айтилади. Агар X,. Ха царама-царши
ишорали ва #= О булса, у цолда —ва — дар царама-
^00
царши ишорали булади.------— > 0, лекин — — < 0 булиб, уларни
А1 Aj
мос равишда а2 ва — Ь- деб белгиласак, (67) тенглама — — = 1
куринишда булиб, бу гиперболанинг каноник тенгламасидир; худди
шунга ухшаш;--------;—< 0,---------> 0 булса, уларнн цам мос ра-
Xi
вишда —а2 ва Ь2 деб белгиласак, (67) тенглама ушбу куринишни
олади:-------— -f- = 1; бу цам гиперболанинг каноник тенглама-
сидир.
б) вад = 0 булсин. У цолда
1=> -р + -т- = 0. (68)
Хь Х2 царама-царши ишорали булса, тегишли белгилашни киритиш
билан (68) нжушбу куринишда ёзиш мумкин:
ёки/л—qpL+_q=0. . (69)
а* Ь* \ в Ь >\ а. Ь }
(69) => — + — = 0, — —— = 0, бу тенгламалар координата-
fl Ь а Ь
лар бошцда кесишувчи иккита цациций тугри чизицни аницлайди.
Агар Хп Х2 би|> хил ишорали, масалан, Xt < О, Х2 < 0 булса, у цол-
да — = — а2, — = — Ь2 белгилашни киритиш билан (68) ни цуйи-
Х2
даги куринишда ёзиш мумкин:
бу тенгламаларнинг цар бири биринчи даражали булгани учун улар
тугри чизицни аницлайди, лекин бу икки тугри чизиц фацат битта
цациций нуцтага эгадир (координаталар боши). Шунинг учун уларни
битта цациций нуцтада кесишувчи иккита мавцум тугри чизиц тенг-
ламаси деб айтиш мумкин. Шундай цилиб, иккинчи тартибли V чи-
зицнинг (59) характеристик тенгламасининг илдизлари Хг=#0, Х2=#0
булса, цуйидаги беш тур чизлц цосил булади: эллипс, мавцум эл-
липс, гипербола, кесишувчи мавцум икки тугри чизиц, кесишувчи
цациций икки тугри чизиц.
2. Х^2 + 2а10х= 0 ' (II)
тенглама билан берилган иккинчи тартибли чизидларга утамиз. II
тенглама^ А2=#0, c'Io^fcO булгани учун уни дуйидагича ёзиб ола-
миз: у? = — 2 • 2?!° к; р = — — белгилашни киритсак, </а = 2рх,
бу параболанинг каноник тенгламасидир. ,
3. + <0 = 0 in
тенглама билан берилган иккинчи тартибли чизидларии таснифлашга
Утамиз. Бу'тенгламада Л2=#=0, а'^— дар дандай сон. К,уйидаги дол-
лар булиши мумкин.
* °00
а) <1оо^=О-Х2 билан а00\ар хил ишорали булса, — — > 0 була-
ва
ди. Тенгламани —flS фараз дилиб,
Уг = с2 ёки (у — а) (у + а) = О
га келтирамиз. Бу тенглама эса узаро параллел икки тугри чизидки
анидлайди. Х2 билан а0 бир хил ишорали, яъни Х2 > 0, а^0> О (Х,<
<0, а"о<0) булган долда
III => у2 = — а2 ёки (у — ia) (у + ia) = О,
бу тенглама иккита мавдум параллел тугри чизидии анидлайди, деб
юритилади.
б) а^) = 0. У долда III => z/2 = О ва Аа=#0 булгани учун t/2= '
= 0 ёки у = 0, у — 0=>икки карра олинган тугри чизид досил ди-
линади. Шундай дилиб, III тенглама билан берилган иккинчи тар-
тибли чизид дуйидаги уч турга булинади: дадидий параллел икки
тугри чизид, мавдум параллел икки тугри чизид, устма-уст тушувчи
икки тугри чизид.
I, II, III тенгламалар билан берилган иккинчи тартибли чизид
дуйидаги туддизта турга булинади:
Кавовик тенгламывр Чнзвцларнвнг номларв
* 2
1. ^- + ^-=1 о» а* ЭЛЛИПС
х1 У* , / 2. F — = — 1 а» Ь* мавдум эллипс
х« у* 3. — = ± 1 а« б* гипербола
ifi у* 4. — = 0 ' в» Ь» кесишувчи икки тугрн чизид
о II + Ъ | $ 1Д иудта (координгта бошида кесишунчи мавдум икки т^гри чизид)
6. у* = 2рх парабола
1 1 2
7. _ es = о 8. у* + а» = 0 .9.^=0 турли параллел икки тугри чизиц мавцум .параллел икки тугри чизиц устма-уст тушгаи йкки тугри чизиц
55-§. Иккинчи тартибли чизицни унииг тенгламаси буйича ясаш
—
Иккинчи тартибли чизиц (О, i, j) декарг реперида (53) умумий
тенгламаси билан берилган булсин. Уни ясаш учун тенгламасини ол-
динги параграфда баён цилинган усуллар буйича соддалаштираМйз:
1) (53) теигламада с12=#0 булса, чизнциииг
X2 (О| । + Ojj) X + йц а^2 й22 = О
характеристик тенгламасини тузамиз ва унинг илдиэлари Хп Ха ни
топамиз.
2. tg (Xj = 011 формула буйича tg а! ии, сунгра
ew
tg а/ 1
sin а. = > . . cos а,= г -
V1 + tg* К1 + tg* <4
ни цисоблаймиз. Бу билан реперни at бурчакка буришдан цосил
цилинадиган (О, V, j') репернинг /'• координата векторлари аниц-
ланади:
—*- ——► —> —> —►
i' = i cos + / sin alt j' =— i sin 04 + j cos av
3) Яиги реперда чизицнинг тенгламаси
Х,х'2 + Х2у'2 + 2a'10x' + 2a20j/' + = 0 (64)
куринишда булиб, бунда a'o, a20 коэффициентлар ушбу формула-
лардан топиладш
Аю = fl|o cos a( + fl2o sin a(, o20 = aio ai *f~°2o co$ ai-
4) JB' репернинг координаталар боши О ни 53-§ даги (•) форму-
ладан топиладиган О’ нуцтага кучириш билан JB' репердан Jo" ре-
перга утамиз. JB” реперда чизицнинг тенгламаси каноник куриниш-
га келади. Агар (53) тенгламада а1а = 0 булса, соддалаштириш ко-
ординаталар бошини кучиришдан иборат, холос. Бу ишларни мисол-
ларда курамиз.
1-м и со л. Чизицнинг ушбу х* -I- бху + у* -I- 6х + 2у—1=0
тенгламасини каноник куринишга келтириб, чизмасини ясанг.
Ечиш. Бу ерда: eu = 1, а1а = 3, a22 = 1, a10=3, fl20=l, Oc0=
= — 1. c12 = 3 0; берилган тенгламани каноник цолда ёзиш учун
цуйидаги ишларии бажарамиз:
1) характеристик тенгламани тузамиз: X2—2Х — 8=0, Х12 =
= 1 ± FT+8 = 1 ± З^Х, = 4, Х2 = — 2;
2) tg a,= = I"! = 1 = 45°,
о„ 3
tg a, 1 V2 1 V2
sm a. = * 1 - = = -r=. = —r, cos a. = -- = -—.
1 V'l+tg»^ /2 2 1 /l+tgia, 2
—♦" —> ——-K
3) (0, 1, / ) реперни, at = 45° бурчакка буришдан (О, V, j')
репер цосил булади, унинг координата векторлари:
4) aio = °ю cos а, + Ою sin ар а'о = — с|0 sin а, +0^ cos а,
формулалар буйича aj0, а?д коэффициентларни топамиз:
<.= Ф + ^-2К2, 4,—’^+^=_Г2Т
S' реперда чизицнинг тенгламаси:
4х'2 — 2/2 + 4 j/2x' —2 V2y' — 1=0.
5) Ту тенгламани координаталар боши О. ни кучириш билан сод-
далаштирамиз. Бунинг учун тенгламанинг чап томонидаги цадлар-
дан х'-, у' га нисбатан тула квадратлар ажратамиз;
Бу ерда а = ~ . b= I; гиперболанинг каноник тенгла-
маси цосил цилинди. 150-чизмада бу гипербола ясалган.
2-мисол. 4х® — 4ху + у2 — 2х—14^+ 7 = 0.
Ечиш. Бу ерда: ап = 4, flis = —2, а2а = 1, а,0 = —1, Oso =
=-7,000 = 7.
1) характеристик тенглама Xs — 5Х = 0, илдизлари:
Х1 = о, Л2 = 5;
2) tga.
=2=>sin at=
—Qu 4 _
a„ — 2
2 1 •
KF’COS^-Ks’
3) (О, i, j) реперни
tga,=2 дан аницланадиган at
бурчакка буришдан зртсил бу-
—♦" —+• t
ладиган (О, Г, /') репернинг
координата векторлари:
Кб' -! . 2 Кб -Г
‘ =— 1 +— '
2/б * . Кб 7
4) <0 = —ЗР^б. а20=—/5.
<8' реперда чизицнинг тенгламаси:
5/2 — 6 У5х' — 2 ^5у' + 7 = 0;
5) эцди координаталар бошини кучирамиз. Бу тенгламанинг чап
томоиидаги ^адлардан у' га нисбатан тула квадрат ажратамиэ: *
5
5
Чизи^нинг О ни О'
Уб\ «
---1 иуцтага кучиришдаи ^осил бул.
ган (О', i', j') репердаги тенгламаси: 5У2— 6р+>Х = 0 ёки У2 =
5
Бу тенглама *151-чиэмада тасвирланган параболани ифодалайди.
3-мисол. 9х2 + 16у2 — 24x0 + ЗОх — 40у — 25 = 0.
Ечиш. Бу ерда: сп = 9, с12 = — 12, ам = 16, Cjo= 15, a2o=
= — 20, <!«, = —25.
1) чизицнинг характеристик тенгламаси:
X2 —25X = 0=>X1 = 25i Ха = 0;
4 4 3
2) ig «i =----=> sin cfi ------, cos aa = —;
3 5 5
—► —► • -*• 3 “*
3) (O, i', f) репериинг координата векторлари, i' = — i —
» о
4) flj0 = 25, c?0 = О чизицнинг тенгламаси х'2 + 2х' — 1 = 0 к^-
ринишида булади. Бундан
(х' + 1)2 —2 = 0;
5) координаталар боши О ни | ’ формулалар буйича
О' (—1, 0) нуцтага кучирсак, чизиц тенгламаси X2— 2 = 0 куриии-
шини олади. Бу тенглама ординаталар уцига параллел икки тугри
чизицни аницлайди (152-чизма).
56-§. Иккинчи тартибли чизиц маркази
Виз 48-§ да чизицнинг симметрия маркази тушунчаси билан та-
нишган эдик. Энди шу тушунчага асосланиб иккинчи тартибли чи-
зицнинг маркази тушунчасини киритамиз.
Таъриф. Иккинчи тартибли чизицнинг симметрия маркази шу
чизицнинг маркази деб аталади.
Таърифга кура А10 чизицнинг маркази булса, у М € у нуцтага.
Мо га нрсбатрн симметрии М' нуцта цам у га тегишли булади. Ик-
кинчи тартибли чизиц
flux2 + 2апху + ааа«/2 + 2а10х + 2а„у + аж = 0 (53)
умумий тенгламаси билан берилган булсин. Аввало цандай шартба-
жарилганда координаталар боши марказ булишини аницлаймиз.
Фараз цилайлик, 0(0, 0) иуцта чизицнинг маркази булсии, у
цолда марказ таърифига кура М (х, у) € у=>ЛГ(—х, —у) € у (чун-
ки бу нуцталар О га нисбатан симметрикдир), яъни
вп (— х)2 + 2 а1а (— х) (— у) + ааа (— у)* + 2аи (— х) +
+ 2а»о(—У} + °оо = О
ёки
спхя + 2а12ху + atiy* — 2а10х — Яа^у + Ооо = °* (70)
(53) ва (70) дан:
СцХ2 + 2аиху + а,^2 + Ооо = 0.
Демах, координаталар боши чизицнинг маркази бу/юа, унииг тенг-
ламасида 1-даражали цадлар иштирок этмайди:
°1о — 0, flSo — 0.
Аксинча чизицнинг (53) тенгламасида биринчи даражали цадлар иш-
тирок этмаса (а10 = с20 = 0), х, у ни —х, —у га алмаштирганда
тенглама узгармайди, дёмак, М (х, у) € у =* М' (— х, — у) € у.
М, ,М' нуцталар 0(0, 0) нуцтага нисбатан симметрии. Бундан коор-
динаталар боши чизицнинг марказидир.
Шундай цилиб. координаталар боши иккинчи тартибли чизицнинг
маркази булиши учун бу чизицнинг тенгламасида х, у ларга нисба-
тан биринчи даражали цадлар иштирок цилмаслиги зарур ва етарли.
Энди чизицнинг марказини цандай цилиб топиш йулини курса-
тамиз. Мо (х0, z/0) нуцта чизицнинг маркази булсин. Координаталар
боши О (0, 0) ни Мо нуцтага кучирамиз:]
I я—л+х0, (71)
\y=Y + y0.
Бунинг учун (71) дай х, у ни (53) га цуямиз:
сп№ + 2а1а ХУ + а22У2 + 2 (flux„ +fcJ2!/o+ai<»)Z+
+ 2 (а12х0 + flaay0 + с20) У 4- F (х0, у J = О,
бу ерда
Kq) = ац хо 4" ХоУо ”1" °22^0 4* 2°10 Х0 4” 2^*20 Уо 4" ^00' 1(72)
Юцорцда келтирилгаи зарурий ва етарли шартга кура Мо нуцта чизиц-
нинг маркази булиши учун цуйидаги шарт бажарилиши керак:
(Ац*о + аиКо 4" °ю — 0, (.pg)
I а1Л + fl2iKo 4" = 0.
Демак, чизиц марказичииг мавжудлиги масаласи (73) система-
нинг ечимичи топиш масаласига келтирилди. Бу система коэффи -
циентларидан ушбу. детерминантларни тузамиэ:
6=|си flu|, б. = I ai° С1>|, 6«=|а11 —°10|.
|а21 Опр I ам а22| |а21 a^l
Бу ерда цуйидаги цоллар булиши мумкии.
1. 6 = с1|а22 — aj2 ^=0.
(73) система биргина (х0> у0) ечимга эга ва шунга мос цолда
биргина марказ мавжуд. Бундай чизицни марказли чизиц деб атай-
миз. Чизиц марказинииг координаталари
формуладан тойилади.
2. 6 = 0 ва 6П 62 нинг камида бири иолдан фарцли.
(73) система битта кам ечимга эга эмас, чизиц — марказсиз.
3. 6 = 61 = 62 = 0=> — = — = — => (73) система бириичи да-
вн вад
ражали битта тенгламага келади. Унинг ечимлари чексиз куп => чи-
зиц чексиз куп марказларга, аницроги, марказлар тугри чизигига
эгадир.
Эслатма: (73) системани чизиц теигламасидан х, у га нисба-
тан хусусий косила олиш' йули билан тузиш мумкин. ^ацицатан,
(53) тенгламадан х га нисбатан косила олсак,
2anx + 2alay 4- 2а10
ва у га нисбатан косила олсак,
2а12х + 2а21у + 2а21.
Декарт координаталар системасини тегишлича танлаш йули би-
лан иккинчи тартибли чизицнинг (53) тенгламасини цуйидаги кури-
нишларнинг бирига келтирган эдик (53-§).
I. Х,Х2 + Х2У2 + а" =0, (1, =#=0, Х2^=0),
II. Х2У2 + 2aj0 X = 0, (^ #= 0, а10 * 0),
III. Х2У2 + а" =0, (^¥=0).
I тенглама учун 6 = | ® | = Х1Ха 0. Демак, фацат эллипс,
мавкум эллипс, гипербола, кесишадиган цациций иккита тугри чи-
зиц, кесишддигаи мавкум иккита тугри чизиц марказли чизицлардир.
I—<о
I о
О
0
^а
II тенглама учуй 6 =
= 0, =
0
— — a|0^2S’fe
О " °ю
О О
¥= 0, 62 =
= 0 => парабола марказсиз чизиц экан.
III тенглама учун Х2| = ^’®1=|о X |= $а =
= 10 01 = °' ^Ундаи кУРинаДики, иккинчи тартибли чизиц иккита
параллел тугри чизицларга ажралганда марказлар чизигига эгадир,
холос.
М и с о л. х2 + 2ху + у2 + 2х + 2у — 4 = 0 чизицнинг марказини
топинг.
Ечиш. Бу ерда an = 1, а12 = 1, а22 = 1, с10= 1. Оао=1. °<ю=
II 4. Берилган эгри чизиц марказинииг координаталари ушбу
x + y + l=O,x + y + l =0 •
тенгламалар системасииииг ечимлари булади. Бу системанинг икка-
ла тенгламаси бир хил, демак, система битта тенгламага келади,
унинг ечимлари чексиз куп => берилган чизиц марказлар тугри чи-
зигига эга булиб, унинг тенгламаси х 4- у + 1 = 0.
57-§. Иккинчи тартибли чизицнинг тугри чизиц
билан жесишиши
Декарт реперида
ацХ2 + 2а12ху + c22i/2 + 2а10х + 2a20i/+Goo=0 (53)
иккинчи тартибли чизиц ва
(х = х0 + аА
\y=>y0 + a2t
тугри чизиц берилган булсин. Бу эгри чизицнинг шу тугри чизиц
битйн кесишиш масаласига утлми?. (53) ва (74) дан:
Оц (хо + fliO’ + 2°ia (хо + fliO (Уо + att) + аа2 (у0 + fl202 +
+ 2а10 (х0 + а^) + 2а20 (у0 + а20 + aw = О
ёки
РР+2 Qi + R = 0. (75)
Бу ерда цуйидаги белгилашлар киритилган:
Р = °! I °| + а1 °2 + а22 а2<
Q = + а^у^ + С21а2хо + + а10а1 + а20а2 =
= С1 (^11*0 + о12у0 + сю) + Оз (а21Хо + Мо + а20); (76)
7? = с, । Xq + 2а)2 х0 у0 + Gj2 У о *о 2°го Уо аоо*
(75) тенгламани ечиб, I нинг топилган цийматларини (74) га цуй-
сак, чизиц билан тугри чизицнинг кесишган нуцталари топилади.
Цуйидаги цолларни текширайлик.
> 1. Р<#=0. Бу цолда (75) тенглама иккита илдизга эга.
. — Q ± Va» — RP
<>.г--------р--------
Бу ернииг узида учта цол булиши мумкин:
a) D = Q2 — РР > 0; (75) тенглама иккита цациций турли илдиЗ-
га эга — чизиц билан тугри чизиц иккита цациций турли нуцталар-
да кесишадн.
б) D = Qa — PR < О\ (75) тенглама иккита цушма комплекс
илдизга эга, шунинг учун (53) чизиц билан (74) тугри чизиц икки-
та цушма комплекс нуцталарда кесишади, демак, тугри чизиц билан
(53) чизиц умумий цациций нуцталарга эга булмайди.
в) D = Q2 — PR = 0; (75) тенглама устма-уст тушган иккита ил-
дизга эга — чизиц билан тугри чизиц устма-уст тушган иккита нуц-
тадз кесишади. Бу вацтда и тугри чизиц у чизицца уринма деб
аталади.
2. Р = 0. Бу цолда (75) тенглама
2Qf+fl = 0
(77)
куринишни олади.
Уз навбатида цуйидаги цоллар булиши мумкин:
a) Q=/=0, R — ихтиёрий сои. (77) тенглама ягона илдизга эга:
2Q
чизиц билан тугри чизиц битта нуцтада кесишади. - "
б) Q = 0, /? ¥= 0. (77) тенглама ечимга эга эмас. Чизиц тугри
чизиц билан битта цам умумий цациций ёки мавцум нуцтага эга
эмас.
в) Q = t>, R = 0. бу цолда t нинг цар цандай циймати (77) тенг-
ламани цаноатлантиради => чизиц ва тугри чизиц чексиз куп уму-
мий нуцталарга эга. яъни (74) тугри чизиц барча нуцталари билан
(53) чизицца тегишли: uczy. Шундай цилиб, (75) тенгламада Р=0
булса, у чизиц и тугри чизиц билан фацат битта умумий нуцтага
эга ёки битта цам умумий нуцтага эга эмас, ёки и с. у.
Мисол. х°—2ху—Зу2—4х — бу 4- 3=0 чизицнинг и: |Х
тугри чизиц билан кесишиш нуцталарини топинг.
Ечиш. Бу ерда ап = 1, а1г = — 1, а22 = — 3, а10 = —2, а20=
= — 3, aM = 3; Л4о(0, 5), и (1, 5)=>Gj = 1> а2 = 5. Р1г 4- 2Qt-j-
+ R = 0 нинг коэффициентлари: Р=11—2-1-1-5 — 3-25 =
------84, Q= 1- (10 —1- (—5) —2)+5 ^(—10 — 3 • (— 5) — 3) =
= 3 + 60= 63, R = 10+ 2 0-5 — 3 • (—5)а — 4 О — 6- (—5) +
+ 3 = — 75 + 27 = — 42. Тенгламанинг дискриминанта: D = Q- —
— ₽Р=(63)2 — (— 84) • (—42) = 3969 — 3528 = 441 > 0 => т^гри чи-
зиц у ни иккита цациций нуцтада кесади: шу нуцталарни топайлик:
— 63 ± К44~1 = —63?-21 . ( _ — 63 ±21_L J_.
— 84 ~ —84 ’ 1 ~ —84 84 ~ ~2'
— 63 — 21 _ 84 _ .
2 —84 84
7 нинг цийматларини тугри чизиц тенгламаларига цуйиб, М,
(т
, Мг (1, 0) нуцталарни цосил циламиз.
58-§. Асимптотик йуналишлар. Уринма ва асимптот^пар
Ноль булмаган цар бир и (alt a2) вектор бирор йуналишнни аниц-
лайди. и векторга параллел булган барча тугри чизицларни царай-
лик.
Таъриф. Агар и вектбрга параллел цар бир и тугрн чизиц у
иккинчи тартибли чизицнн биттадан ортиц булмаган нуцтада кесса
ёки uQy булса, у цолда и вектор аницлайднган йуналиш иккин-
чи тартибли чизицца нисбатан асимптотик йуналиш, и вектор
эса асимптотик йуналишнинг вектори дейилади.
Бу таъриф ва 57-§ даги 2-цолга асосан и (аг, аг) вектор аниц-
лаган йуналишнинг у чизицца нисбатан асимптотик йуналиш булиши
учун Р = 0 булиши, буни очиб ёзсак,
ац а? + 2а,2 а, а2 + а^ а| = 0 (78)
тенгликнинг уринли булиши зарур ва етарли. (73) тенгликни цуйи-
даги куринишда ёзамиз (а2 ¥= 0):
att f - Y + 2а12 () + ап = 0. л (79)
\®1/ \ °1 / *
(79) тенгламада — нисбат и векторнинг йуналишини, демак,
°* А
асимптотик .йуналишни аницлайди. (79) дан
(<h\ ___— ац ± ’ а)2 — °11°ДД
\а1/|;2 Oja
Бу ерда цуйидапг цоллар булиши мумкин.
1) 6 = ОцО^ — а212 < 0; (79) тенглама иккита турли цацицнй ил-
дизга эга. б чизиц иккита асимптотик йуналишга эга.
• 2)6 —— ej2 > б; (79) тенгламанинг иккала илдизи тенг.
у чизиц битта асимптотик йуналишга эга.
3)6 = а1|О22 — а22 > 0; (79) тенглама цациций илдизларга эга
эмас, у чизиц асимптотик йуналишга эга эмас.
Юцорида олиб борилган муцркамаларга таяниб, цуйидаги хулоса-
га келамиз; гипербола ва цациций кесишувчи икки тугри чизиц ик-
кита асимптотик йуналишга эга (153-а чизма). Иккита цациций ёки
иккита мавцум параллел тугри чизиц, устма-уст тушган икки тугри
чизиц, парабола битта асимптотик йуналишга эга (153-6 чизма).
. Мисо л. 4ха— 5ху + уг — Зх-(-7 = 0 чизиц берилган. Асимп-
тотик йуналишларнинг векторларини топинг.
5 3
Ечиш. Бу ерда ап = 4, а12 = — —, а22= 1, а10=——, а20=
= 0, а,, — 7; асимптотик йуналиш (а„ аа) векторининг бурчак коэф-
фициента —:
01
ч ___________ 5^ ± т/г25_4
/в2\ — а12 ± V °?2 — ОцОда 2 '4 _ 5 3
\О1/|>2 ' Оа 1 2 2'
Бундан: * '
153-6 чизма
Демак, берилган чизиц иккита асимптотик йуналишга эга.
Иккинчи тартибли чизицда уринма. Биз 57-§нннг 1-
бандида чизицнинг уринмаси тушунчасини киритган эдик. Шунга
асосланиб, уринма тенгламасини чицарайлик.
Агар дёкарт реперида у чизиц (53) тенгламаси билан и тугри
чизиц эса (74) параметрик тенгламалари билан берилган булса,
ц^йилган масала мазмунига асосан и тугри чизиц у нинг Л40
нуцтасвда1 уринма булишлиги учун tt = /2 => Af0 = М булиши
керак, бу эса (75) да Q = О, R = 0 булганда юз беради. Q нинг
ифодасидан:
Q = О1 (ац*о + ВДо + аю) + а2 (а21х0 + а22у0 + а20) = 0 =>
1 Мо нуцта у учун марказ эмас деб фараз цилннадн.
_ вцхо + °мУо + Дц> х)
О» 011*0 + ОиУо + °10
(75) дан
х — х0 = aj, у — у0 = aj. (••)
(•) ва (**) дан ушбу тенгламани ёза, оламиз:
* — *о Оя*п 4* ОцУо 4- о*» .
У — Уо опх® + Оц«/0 4- о10
(вцХф + а12у® + а10) (х — х®) + (а21х® + а12г/0 + ал) (у — у0) = 0.
Буни
R = аИ Х0 + 2а!2 ХоУо + М + 2аЮХ0 + 2акУо + «00 = 0
эканини эътиборга олиб, цуйидагича ёзиш мумкин:
(апх0 + а12у0 + а10) х + (haix® + aity0 + а20) у 4-
4" (вдох® “Ь ^20i/g 4- о®®) = 0.
(80) у чизицнинг М0(х0, у®) нуцтасидаги уриимасининг тенгла-
масидир, чунки'X, у олдидаги коэффициентлар нолдан фарцли (Л)о—
чизиц маркази эмас!)1 2 3.
Эллипс, гипербола ва параболага уринма. Эллипс,
гипербола ва параболанинг цар бир Af0 нуцтасида тайии битта урин-
ма мавжуд.
X1 U2
а) — + — = 1 эллипсга Мо (х®, у0) нуцтасида уринма. Бу ерда:
а2 Ь*
°п — ai2 = 0» агг — аю = 0, а*® = 0, а®® = 1.
У цолда (80) тенглама цуйидаги куринишни олади:
(-7хо + 0'!/о + О^х -НО • х® + Уо +о\/ + (0-хо + 0 уо — 1) =0
ёки
"о ' I УУо = |
? -Г Ь'
Бу тенглама эллипснинг М®(х0, нуцтасидаги уриимасининг тенг-
ламасидир.
ДгЭ tji
б) - = 1 гиперболага М®(х®, у®) нуцтасида урин-
ма. Айни эллипсдагигз ухшаш, гиперболанинг М®(х®, у0) нуцтаси-
даги уринмаси — — = 1 тенглама билан ифодаланади (буни
а* Ь*
мустацил курсатинг).
1 Мв нукта у учун марказ эмас деб фараэ .^илинган, демак касрипнг сурат
ва махражи бнр ва^тда нолга тенг эмас.
3 Мо нуцта чизиц маркаэн булса, урннма тушунчаси бу цолда маъносннн й^-
цотади.
в) у* = 2рх па^аболага Л40(х0, у0) нуцтасида уринма.
У* = 2рх парабола учун аи = 0, а12 = 0, аа2 = 1, = — р, а20=
= Ом = 0. У цолда (80) тенглама
(0хо + 0уо —р)х + (Охо + 1-£о+ 0)у +
+ (—Р*о + О-0о4-О) = ° ёки у1/0 = р (х + х0)
куринишга нелиб, у параболанинг М0(х0; у0) нуцтасидаги уринмаси-
нинг тенгламаси булади.
Мисол. Ах + By + С = 0 тугри чизицнинг а) — + — = 1 эд-
<а а*
липсга, б) ----у- = 1 гиперболага, в) у2 = 2рх параболага уринма
булишлиги учун тегишли шартларни аницланг.
ни
Ечиш. а) тугри чизиц тенгламаси билан эллипс тенгламасини
биргаликда ечамиз. Тугри чизиц теигламасидан у = — х —
В В
эллипс тенгламасигэ цуйсак.
Ь2х2 + а®
Агар
, а* — — (b2 + a2 — }(а2- — а2Ь2} = 0 (81)
б^лса, у цолда х2 = ха булиб, берилган тугри чизи^ эллипсга ури-
нади. (81) дан •
- Ьг- + Ь* + аяЬг -=0, •
В1 В1
бунинг иккала томонини Ь® га булсак, => Ь® + а® = 0 ёки
А®а® + В®6® = С®, бу берилган тугри чизицнинг эллипсга уриниш
шартидир.
б) айнан юцоридаги каби ишни бажариш билан берилган тугри
чизицнинг — — = 1 гиперболага уриниш шарти
А®а®—B®b®= С®
эканига ишонч цосил цилиш мумкин.
в) берилган тугри чизиц теигламасидан топилган у = — х —
— д’Н|* У2 = %РХ парабола тенгламасига цуйсак, — х’ +2/^ —р)х+
о ВР ХВ1 /
CJ
+ — = 0 квадрат тенгламага эга бхламиз. Унинг илдизлари:
/ , ЛС\ «// лс\» А* С*
_ ( ₽ + В»V ( Р В») В1 ’ В1
Х1 =2 А> •
В1
Бу ерда цам, агар
.* = 0 (82)
\ Вт} В1 В*
булса, Xj = х2 булиб, берилган тугри чизиц параболага уринади.
(82) дан р(р — 2^) = 0, р=#0 булгани учун р — 2— =0, бун-
дан ушбу тенгликка эга буламиз:
р = — 2 — ёки рВ2 = 2 АС,
бу берилган тугри чизицнинг параболага уриниш шартидир.
Асимптота. (Эгри) чиэицнииг асимптотасига юцорида таъриф
берилган эди (49-§).
Бу таъриф буйича асимптотани у чиэицнииг чексиз узоцлашган
нуцтасидаги (яъни = М2в нуцтадаги) уринмаси деб цараш мум-
кин. Буии эътиборга' олсак:
1) (75, тенгламанинг tt, t2 илдизлари бир-бирига тенг (G = ^г)
ва *1 = G = °0 булган цолда квадрат тенглама Pt2 + 2Qt + R = 0
нинг олдинги иккита Р, Q коэффициента нолга тенг булиши керак;
цацицатан, (75) да t = — десак, => РЯ-2QX-J-₽Х2 = 0; бу ерда
Р =0=>/j->-oo ва Q = 0=>/2->-оо. Йуналишнинг иккинчи тартиб-
ли у чизицца нисбатан асимптотик булиш шарта Р = 0 эди. Бундан
=> цар цандай асимптота асимптотик йуналишга эга.
Бу муцокамаларни гиперболага татбиц цилсак, гиперболанинг
ь
юцорнда царалган иккита асимптотаси у = ± — х ни цосил циламиз,
а
парабола учун эса асимптоталариинг йуцлнгини курамиз.
59-§. Иккинчи тартибли чиэицнииг диаметрлари
и (.Up u2) вектор (53) чизицца нисбатан асимптотик булмаган
йуналишнинг вектори булсин. и (и,. и2) векторга параллел булган
барча тугри чизицларни цараймиз. Бу тугри чизицларнинг цар бири
(53) чизиц билан иккита (турли цациций, устма-уст тушган ёки
цушма комплекс) нуцтада кесишиб, и векторга параллел ватарни
цосил цилади. >\осил цилинган цар бир ватарнинг уртаси цациций
цуцта1 булади.
и векторга параллел булган барча ватарлар урталарининг туп-
ламини билан белгйлаймиз ва унинг тенгламасини тузамиз. Шу
мацсадда D~f тупламнинг ихтиёрий М (х, у) нуцтасини оламиз. М
нуцтадан и (ult и2) векторга параллел битта и тугри чизиц утади.
М нуцтани бу тугри чизицнинг бошлангич нуцтаси десак, унинг
параметрик тенгламалари
куринищда булади.
У\), М2(Х2, У2) орцали (83) тугри чизицнинг у чизиц
билан кесишган нуцталарини белгилаймиз:
f Х2 — х + Ujt^, | Х2 — х +
I = у + «Л, I Y2 = y+uj2,
бу ерда tlt t2 (83) билан (53) тенгламаларни биргаликда ечишдан
цосил булган
PP + 2Qt + R= 0 (85)
квадрат тенгламанинг илдизларидир. М (х, у) нуцта М2М2 кесма*
нинг уртаси булгани учун
Xi + х2 Yt + У2
х = ———у = — . .
2 9 2
(84) га асосан:
х = х+~!-^и1, у = у + -!^~1и2
ёки
!l±^U1 = o, '±±кы =0.
2 1 2 2
Бу муносабатларда ии и2 нинг камида бири нолдан фарцли, чунки
и Ф 0, у цолда tt +12 = 0 булади.
Иккинчи томондан, t2 (85) квадрат тенгламанинг илдизлари,
бу цолда Виет теоремасига к^ра
G+ /» = <?=> <2 = 0,
яъни
Ui (anx + aj2y + а10) + и2 (а21х + а22у + а^) = 0. (86)
Шундай цилиб, D-^~ тупламнинг ихтиёрий нуцтаси М (х, у) нинг
1 Агар Mi ва Мг нуцталар цушма комплекс, яъни Mi(a-b-M, с-l-di), М2(а—
— bi, с — di) б^лса, у цолда уларнннг Уртаси цацицнй М (а, с) нуцта булади.
координаталари (86) ни цаноатлантиради. Шундай цилиб. (86) D-*
тупламнинг тенгламаси экан. Энди (86) тенгламасига кура D-j* туп-
ламнинг тугри чизиц эканини курсатамиз. (86) ни цуйидагича шакл
уэгартириб ёзамиз.
(<!„«! + а12и2) х + (a2Iut + a^Uj) у + (a10Ui + a20u2) = 0. (87)
(87) да узгарувчи координаталар стдидаги коэффициентлардан ками-
да бири нолдан фарцли, акс цолда
+ OltU» = 0» «21«1 + «22«2 = 0
дан
Р = а,, и? + 2а|2 й, и2 + а22 = (а,, u, 4- al2 и2) ut +
' Ч- (а21и1 + «22«2> «2 = 0
булиб, бу зидликдир (чунки
и — асимптотик йуналишнинг
вектори). Бундан и векторга
параллел барча ватарларнинг
урталари туплами тугри чизиц
экан деган хулоса келиб чица-
ди (154-чизма). Бу тугри чи-
эицни берилган (иж, u2) йуна-
—
лишнинг ватарларига (ёки и
нуналишга) цушма диаметр
дейилади. (86) ёки (87) тенг-
лама бу диаметрнинг тенглама-
сиднр. Параллел ватарларнинг
йуналиши билан бу ватарларга
цушма булган диаметрнинг
йуналишини берилган (53) чи-
зицца нисбатан цушма ййналишлар дейилади.
Маълумки, иккинчи тартибли у чизицнинг маркази
| апх + а12у + а10 = 0,
I й21х + a2iy + а,0 = 0
тенгламалар системасидан аницланар эди. Бу система билан (86)
диаметр теигламасидан у чизицнинг маркази диаметрга тегишли де-
ган хулосага келамиз. Демак, марказли чизицнинг барча диаметрла-
ри унинг марказидан утади.
Агар у чизиц марказлар тугри чиэигига эга булса, у у нинг
диаметра \ам булади, бу цолда у чизиц ягона диаметрга эга була-
ди. Марказсиз чизиц биргина булиб, у цам параболадир.
Параболанинг диаметрларини текширамиз. Парабола уг — 2рх
тенглама билан берилган булсин. (86) тенглама бу парабола учун
ушбу куринишни олади:
МО Х +0-у — 2р) -Ьи2(0 х + 1 f/ + 0) = 0
ёки
— 2pUi + иау = О, (88)
бу ерда и2 0; агар и2 = 0 булса, (88). дан 2put = 0, р 0 бул-
ганидан и, = 0 булади, бу мумкин эмас, чунки
u (uIt u2)=#0
тенгламанинг иккала цисмини и2 га булиб, ушбуга эга буламиз:
£ + Ь = 0 (89)
бу ерда b = — 2р— белгилашни киритдик. (89) тенглама i вектор-
ui
га параллел тугри чизицлар дастасини аницлайди. i вектор 58-§ га
кура асимптотик йуналишнинг вектори цамдир.
Демак, парабола битта асимптотик йуналишга эга булиб, бу йу-
налишдаги цар бир тугри чизиц параболанинг диаметри булади. Де-
мак, параболанинг барча диаметрлари узаро параллелдир.
Мисол. + £ = 1 эллипсни Зх + 2у — 6 = 0 тугри чизиц
икки Mlt М2 нуцтада кесиб утади. ватарнинг уртасидан
утувчи диаметрни топинг.
, Е ч и ш. Берилган эллипснинг маркази координаталар бошида.
Демак, изланаётган диаметр координаталар бошидан утади. Ватар-
нннг уртасини топиш учун эллипс билан тугри чиэицнииг кесишган
х2
нуцталарини топамиэ: Зх + 2у — 6 = 0,-f- z- = 1 дан
16 12
Х2 (-7х+3) /9 \
р6 + —212 -7- =- 1 => Зх2 + 4 (I х2 - 9х + 9 ) = 48 =>
=> 12х2 —36х —12 = 0=> х2 —Зх—1 =0,
_ 3 ± /9 + 4 3 ± /Тз
*1:2 2 - 2 :
3+/I3 3-/13
х. = —1; х2 =------------;
1 2 2 2 _
3,о 3/3 + /13 \ , о
£ = - -х + 3 дан: ) + 3,
3 /3-/ТЗ , о
MtM2 ватарнинг уртасини Мо десак, унинг х0, у0 координата-
лари цуйидагича цисобланади:
„ Х1+*» 3 + /13 + 3—/13 3 ,, yt + уя
0= ~2 4 ~Т Уо--------------2----
2 4 ’
Изланган диаметр О ва Мо нуцталардан утгани учун унинг тенгла-
маси: ‘
X U 1
з=7=*^=7х-
2 4
Кушма диаметрлар. у иккинчи тартибли марказли чизиц,
унинг асимптотик булмаган и (и*, и*) йуналишга цушма диаметри
D-ч- булсин. У цолда D-> (87) тенглама билан ифодаланади, у чи-
зицнинг D-> диаметрга параллел ватарларини утказамиз. Барча бун-
дай ватарлар урталарининг туплами бирор и (14, и2) йуналишга цуш-
ма иккинчи бир D-ч- диаметрни беради, у D-^ диаметрга цушма деб
аталади. D-»-' v йуналишга цушма ва D-» га параллел барча ватар-
лариинг Уртаси булганидан D-> тУгри чизицнинг а (— (u1a12+usaa2),
{и-flu -|- йуналтирувчи вектори и векторга коллинеар булади-
Бундан ушбуни ёза оламиз:
ёки
«1
(«Аг 4" «8«2з)
- =0 (I боб, 8-§)
«1«Ц 4" U2ai2
«I (y Ai + «2а1з) + «з (uAs + “гСзз) = °-
(90)
(90) тенглйк D-ч- диаметрнинг D-ч- диаметрга цушма булишлик
шартидир. Энди D-+- диаметрга цушма булган диаметрни излаймиз.
у D-+ булсин. D-+ бирор асимптотик булмаган w (wlt w2) йуналиш-
га цушма. У цолда D-ч- тугри чизиц (87) га асосан Ь (— («Аг 4-
4-«зa22), («А14-«Аз) йуналтирувчи векторга эга .ва а> || b булади =>
=> “4 («А1 + «Аг) + “»2 («Аз + «Аг) = 0. (91)
(90) дан — = —“Ai 4-4*ot* ни TOrai6t уНИ (др га ^уйсак,
V1 «1®1* + 4г®з*
/л п и'°11 +•
“'ll0!! а13 ------
\ 4101* т- 4*023
„ _ ®1®11 Т Чга1г
“12 “33--------------
ul°13 + u3a33
Бундан
^(вц^ви 4" ацМАг ai2uAi а1зи2а1з) 4-
4- *«2 (ai2« Аз 4" ai3« Аз °гАаи апи2^1г) — 0
ёки
(aji^—tt/2U1)=°. (92)
an°22 — ai2^^ (чунки у чизик марказли) булганидан (92) дай,
— w^i, = 0=> — = — => D->- = Ь-+.
J Wt Ui u ®
Демак, марказли у чизицнинг- икки диаметридан бири иккинчисига
цушма булса, иккинчиси цам биринчисига цушма булади. Шу сабаб-
ли бундай диаметрлар узаро цушма диаметрлар деб аталади. Шун-
дай цилиб, иккинчи тартибли у чизицнинг узаро цушма диаметрла-
ри унинг шундай икки диаМетри буладики, уларнинг цар бири ик-
кинчисига параллел ватарларларнинг уртасидан утади.
(90) муносабат икки диаметрнинг узаро цушма булишлик шарти-
дир. (90) муносабатни бошцача
+ 012^2 + о»1М1«2 + a2iv2u2 = О
куринишда ёзиш цам мумкин.
Агар у марказсиз ёки марказлар тугри чизигига Эга чизиц бул-
са, унга нисбатан барча асимптотик булмаган йуналишларнинг цар
бирига цушмаси биргина асимптотик йуналиш булади.
Параболанинг барча диаметрлари узаро параллел, параллел икки
тугри чизицца ажралган у чизиц эса биргина диаметрга эга булгани,
учун парабола цам; параллел икки тугри чизиц цам узаро цушма
диаметрларга эга эмас.
Мисол. Ушбу 5х2 + 4ху + 8уг— 32х — 56у 4-80 = 0 чнзиц-
нинг шундай иккита цушма диаметрини топиш керакки, уларнинг
бири ординаталар уцига параллел булсин.
Ечиш. Бу ерда охх = 5, о12 = 2, ам = 8, а10 = — 16, аа0 = .
= — 28, = 80. Мос равишда и (uv uj, v (vx, v2) йуналишларга
цушма булган D-+ ва D-+ диаметрларни цараймиз. (87) тенгламага
кура бу диаметрлар ушбу тенгламаларга эга булади:
D-j-: (5u( + 2u2) х + (2ux + 8ы2) j/ — (16«( + 28u2) = 0,
D-*: (5u( + 2o2) x + (2u( + 8u2) у — (16o(+28u>) = 0. •
D-+, D-+ диаметрларнинг бири, масалан, D-+ диаметр Oy уцца
параллел булсин ва D-+, D-+ узаро цушма булсин. Бу шартлар
цуйидаги куринишда ифодаланади:
2пх + 8о2= 0, С)
чунки D-*|| Оу булгани учун унинг йуналтирувчи вектори (—(2их4-8о2),
5пх + 2иг) нинг биринчи координатаси нолга тенг булади.
bujp! + 2vjUg + 2utVg + 8u8u2 = 0 (**)
(бу D-j- ва D-+ диаметрларнинг цушмалик шарти). (*) дан их =
= — 4и2, буни (•*) га цуйсак,
— 20ихи2 — 8u2u2 + 2uxu2 + 8t/2u2 = 0 => 18ихи2 = 0 => 0,
' —►- —
акс цолда = 0 булиб, v = 0, бу эса мумкин эмас'. У цолда их=
= 0, и =h б булгани учуй их = 0 => иг=£ 0. Топилган бу цийматлар-
ни £>-*, D-* нинг тенгламаларига цуйсак,
EU-: (5 0 + 2u2jx + (2-0 + 8u2)y —(16-0 + 28и2) = 0=>х +
+ 4у— 14 = О,
Р-*: (— 20о2 + 2и>) х + (—8и2 + Sv^y — (— 64t>2 + 28и2) =
= 0=>х—2 = 0.
\
60- §. Иккинчи тартибли чиэицнииг бош йуналишларн ва симметрия
уцлари
1-таъриф. tt(uv Uj), u(Ui, иг) векторлар билан аницланган
икки йуналиш ва иккинчи тартибли у чизи^ учун ушбу
“i (°i i«i + + иг (a21vt + а22и2) = О
——*
шарт бажарилса, и, v йуналишлар у га нисбатан узаро цушма йуна-
лишлар деб аталади.
2- таъриф. Бир вацтда цушма ва узаро перпендикуляр бул-
ган йуналишлар, иккинчи тартибли чизи^нинг баи йуналишлари
дейилади.
Теорема.* Иккинчи тартибли цар цандай чизиц бир жуфт
цациций бош йуналишга эга.
Исбот. u(ulf u2), v (vt, и2) иккинчи тартибли чиэицнииг бош
йуналишлари булса, ушбу шартлар бажарилади:
1) “1“ fliaws) 4- u2 4“ fl22wa) = 0-
Буни ^уйидагича ёзиш мумкин:
> V» , «1 / । U1 \ п
°Ц +О12---- -1--1^21 4-022-----) = О
V1 Ui X «>1 /
ёки
О» 4- 022^ 4-) 4-022 -• - = О (93)
\l»l U1 / Ui Vi
—>
(бу и ва v йуналишларнинг узаро цушмалик шарти).
—, — сонлар и, v йуналишларнинг бурчак коэффициентлари
«1 Ч
булиб, уларни ^уйидагича белгилаймиз:
Л = А Л*=-^-,
“1 »i
у )(олда (93) шарт
оп 4- а18 (Л + Л*) + а2гЛЛ* = 0 (94)
куринишни олади.
2) = — 1 ёки ЛА* = - 1 (95)
«1 ‘'i
(бу и, v йуналишларнинг узаро перпендикулярлик шарти).
(95), (94) дан k + k* = а”~°— муносабатга эга буламиз, бун-
ам
дан
—k. (96)
аи
(96) тенгликни цисобга олганда (94) дан
a22 + a22k( а”~011------k ) = 0=^ 11 4- *(fl”-fl??.-fl»*l =
= 0 => а12Л® + (ан — а22) k — а12 = 0 (97)
ёки
^Ч-0-11-0” ! =0. (98)
(97) ёки (98) тенгламалардан у чизицнинг бош йуналишлари аницла-
нади. (97) дан
' L (°М а11) ± У(Д» °11)* + ^Д*И /QQ\
Равшанки, (99) да дискриминант (а^— ап)л + 4а22 > 0. Бундан- (97)
тенгламанинг klt k2 илдиэлари цациций, шу билан бирга Виет тео-
ремасига кура *98) дар = — 1 =* (дискриминант нолдан катта
булганда) klt k2 бурчак коэффициентли бош йуналишлар узаро пер-
пендикуляр.
Шундай цилиб, иккинчи тартибли цар цандай у чизиц бир жуфт
цациций бош йуналишларга эга. Агар (а^—аи)2 4- 4а21а = 0 булса,
ki = k2, лекин дискриминант
аи = 0, °ая — аи = ° ' О00)
булгандагина нолга тенг булади. Бу цолда (97) тенгламани k бур-
чак коэффициентининг цар цандай циймати цаноатлантиради. Демак,
бу цолда k бурчак коэффициент ихтиёрий булади. (100) шартга эъти-
бор берсак, ап = 0 булган цолда = 0, бу эса мумкин эмас,
чунки ап, а19. а2г коэффициентларнинг камида бири нолдан фарцли
эди.
Демак, аи=#=0 да (100) муносабатдан ап = а22. у чизицнинг
тенгламасини аи = а22 га булиб, ушбу
х2 4- у® +’€&1<>х + 26^ 4- bw = 0 (101
тенгламага эга буламиз. Бу ерда
Л — -21Z h —h — 2ss_
O10------------------------• °20 — • voo—
flu atl atl
(101) тенгламадан
(x 4- ft10)® 4- {y 4- bMy = fe20 4- - bw
И + ОюГ + \У + о8ОГ — °оо] • (102)
Бу ерда цуйидаги цоллар булиши мумкин:
I) о + 6|о — ^оо >0. ^олда 0 02) тенглама маркази (—610,
— 620) нуцтада ва радиуси г = |/ bjo + — Ьм булган айлана-
ни аницлайди.
2) *?о + ^о — ьоо = °- БУ VWla (102)=>
=*(* + Мг + (у + Ь2о)г=О, (103)
бу тенгламани биргина (—б10, —620) .нуцта цаноатлантиради. (103)
тенглама цациций - (— bi0, — b2Q) нуцтада кесишувчи мавцум икки
тугри чизицни аницлайди.
3) + — боо<О. Бу цолда (102) тенгламани текисликдаги
бирорта цациций нуцтанинг координаталари цаноатлантирмайди —
тенглама бу цолда мавцум айланани аницлайди деймиз.
Демак. бош йуналиш аниц булмаса, яъни k ихтиёрий булса,
иккинчи тартибли чизиц цациций айлана ёки мавцум айлана, ёки
кесишувчи мавцум икки тугри чизнцдан иборат.
Шундай цилиб, айлана (цациций, мавцум, кесишувчи мавцум
икки тугри ,чизиц) дан фарцли цар цандай иккинчи тартибли чизиц
бир жуфт бош йуналишга эга, айлана учун эса узаро перпендику-
ляр булган барча йуналишлар жуфти бош йуналишлардир.'
Бош йуналишларга оид маълумотни характеристик тенглама ёрда-
мнда цам цосил цилиш мумкин. (94) ва (95) тенгламалардан А* ии
аницлаймиз. (94) дан
р _ fln + fl»fe
Дм4-Дм* ‘
(95)- дан - Л* =--—, бу икки тенгликдан,
k
Дп+Дц* = J_
°м +
ёки
_ । п j,__+ «м* ______л -у [а11 + ам^ =
Oli “l Ojeft - — Л , • * L
11 k (Дм + Дм» = л«
ёки х
<1М>
(104) системаиинг биринчи теигламасидан k =----———-, иккинчи
Дц
теигламасидан k =-------. Бу икки тенгликдан
Сц— X
=------Ц- ёки А? — (ои+ а22)Х-|-аио2г — а,2 = 0.
Л
Бу у чизицнинг характеристик тенгламаси буЛйб, унинг дискрими-
нанта D = (ои — а22)г + а,2 >0. Бу ерда икки цол булиши мумкин.
1) D=0 а21=0. а12=0, бундан а1Х=^, а12=0, бу цолда
Х1=11=ои= Oj2 булиб, (104) системада Л цар цандай цийматаи цабул
цила олади. Маълумки, бу цолда у чизиц айлана булади ва узаро
перпендикуляр булган цар икки йуналиш бу айланага нисбатан бош
йуналишлардир.
2) D > 0 *• характеристик тенгламага турли цациций Х2 ил-
дизларга эга. Бу цолда бир жуфт бош йуналиш мавжуд булиб, улар
(104) системадаги икки тенгламанинг биридаги Л нинг урнига Х2,
Х2 ни цуйиш билан цосил цилинади. Шундай цилиб, яьни
чизиц марказли булса, унга нисбатан бир жуфт бош йуналиш мав-
жуд. у параболик типли чизиц булганда D = 0 билан бирга харак-
теристик тенглама иддизларининг бири нолга тенгдир. Лекин тенгла-
манинг иккинчи илдизи нолга тенг була олмайди, акс цолда Хх =
= Х2 = а1Х = а22 = О ва а12 = 0 булиб, чизиц тенгламасида узгарув- .
чиларга нисбатан иккиичи даражали цадлар цатнашмДй цолади. (104)
да X = 0 десак, параболик типли чизиц учун:
______ °и _ °1»
°11 °м
k нинг бу циймати у чизицца нисбатан асимптотик йуналишни _
аницлар эди. Шундай цилиб, параболик типли чизицлар учун асимп-
тотик йуналиш бош йуналишнинг биридир. Иккинчи бош йуналиш
эса асимптотик йуналишга перпендикуляр булади ва у kk* = — 1
шартдан аницланчди, яъни
=_____L —
Л а21 а12
Иккинчи тартибли чиэицнииг бош йуналишга эга булган диаметри
унинг $ци дейилади. Демак, иккинчи тартибли чиэицнииг уци унинг
симметрия уцидир. Хуллас, айланадан бошца цар цандай марказли
чизиц бир жуфт уцца эга, айлана эса чексиз куп жуфт уцларга эга.
Иккинчи тартибли чиэицнииг уци унинг бош йуналишга эга булган
диаметри булгани учун 59- § даги (86) тенгламага кура марказли чи-
эицнинг уци ушбу
(ou* + atty + Ою) + k (аг1х 4- аму + а20) = 0 (105)
тенглама бнлан аницланади (бу ерда k = (105) тенгламадаги k
k2+ —1 =0
«11
тенгламадан топилади ((98) формулага цфанг).
Параболанинг барча диаметрлари узаро параллел, шунинг учун
уларнинг цаммяси бош йуналишга эга. Лекин бу диаметрларнинг
биттасигииа узига перпендикуляр булган йуналишга цушма, биноба-.
рин, парабола биргина уцца эга, у цам булса унинг симметрия уци-
дир. Параболик чизицлар учун цам.уларнинг уци (105) тенглам'адан
аницланади, фацат k бу ерда k = — = — тенгликдан топилади.
°П Я11
М ис о л. Зх2 + 2ху 4- Зуг + 6х — 2у — 5 = 0 чизицнинг уцлари-
ни топинг.
Аввало берилган чизиц марказли ёки марказсиз эканини текши-
рамиз. Бунинг учун
6 = |аи fli»|
1а21 аа»1
ни тузамиз (56- § га- царанг). Берилган чизиц тенгламасидан'ац = 3,
о12 = 1. °22 = 3. =3, Gjo = --1. Ооо = —5 булиб, 6 = |i з| =
= 9—1 = 8=/=0.
Демак, чизиц марказли, у цолда унинг уци (105) га кура
(Зх +у + 3) + Л(х + Зу — 1) = О
тенгламадан аницланади. Тенгламадаги k ушбу k? —1=0 нинг ил-
дизларидир. Бундан k1= 1, k2 = — 1. k нинг урнига kx = 1, k2 =
= — 1 Ни цуйиш билан берилган чизиц уцларининг 2х J- 2у + 1 =
= 0, х — у + 2 = 0 тенгламалари цос><л булади.
II БУЛИМ
I БОБ. ФАЗОДА КООРДИНАТАЛАР МЕТОДИ.
ВЕКТОРЛАРНИНГ ВЕКТОР ВА АРАЛАШ КУПАЙТМАСИ
^1-§. Фазода координаталарнннг аффин системаси
Координаталар системаси текисликда цандай киритилган бул-
са, фазода цам шу усулда киритилади. Аяицроги, координаталар-
нинг аффин системаси (аффин репер) бирор О нуцта ва шу нуцта-
дан цуйилган маълум тартибда олинган учта нокомпланар elt
ег, ез векторлар системасидан иборат, бу системани £ (О,
—> —р- —* —*- ——►
еа, еэ) куринишда белгйлаймиз. О нуцтадан утиб, elt ег, е3 век-
торлар билан аницланадиган
тугри чизицлар мос равишда
Ох, Оу, Ог деб белгилаб, улар
координата учлари, биринчи-
-си абсциссалар учи,- иккинчн-
си ординаталар учи. ва, ннцо-
ят, учйнчиси аппликаталар
учи деб аталади. Бу уцлар-
нинг цар иккитаси билан аниц-
ланадиган учта текислик хОу,
xOz, yOz деб белгилаб, улар
координата текисликлари деб
аталади (155-чизма).
£ система берилганда, фа-
зодаги цар бир М нуцтага
аниц бир ОМ векторни доимо
мос келтириш мумкин, яъни
боши координаталар бошида,
охири эса берилган М нуцтада
булган векторни мос келтириладн.
О М векторнинг координаталари (х, у, г) булса, у цолда бу уч-
та х, у, г сон М нуцтанинг аффин репердаги координаталари бу-
лади:
ОМ (х, у, г) о М (х, у, г).
(1)
Д,емак, фаэо нуцталари туплами билан маълум тартибда олингаи ца-
циций сонлар учликлари туплами орасида биектив мослик мавжуд.
Берилган нуцтанинг координаталарини топиш учун шу нуцта ра-
. м(*дц
1Б6- U9M*
- диус-векторининг координата-
i Лфшш тоййш кифояжа аксин-
ча; Масалан, 156-’чизмада ко-
орднйаталари (2; 3; 2). булган .
яу^таян ясаш усули к^рсатил- *
грн. ’
Умуман, М(а, Ь, с) нуц-
тани ясаш учун, яъни у'
(2)
векторшиг охнрини-тбпиш
- учуй ЦуЙ^йяй’' цойдаддй фой-
даланилвдр крррдинаталар бо-
• шидал Лг fa-буйичаа^рек-
тэр. уиинр .ададридаи
лрраляел дода te, «Умгра ущшррхирцдац^ век-
вррясалса, ------------- - -
бнргаЛпда фаэойи сакяяз цисмга аж- \
рвищя, уфрнинг'*дар бцш рктйнталар до аталади. гКущдаги жад-
валда октанталар ва ундаги нуцта коордвдатадарканиг досфайфи бе-
рилган. ' ‘
'7'—оатантадвр координаталар т п / 111 ‘у ;''vf ж ‘yin.
\ ж ч- — . / +; .1 ’* — + "
У • - - 1 " -1 + + — — + .+ — — _
г’ / : + + . + + — ..— Т“ 1 Z
^2<- § Кесмани берилган нисбртда буда^и
. Бирор аффин реперда Mj (xn yv гЛ, Mt у», гД (Mt Ф Mt)
vytMipp ва бирор Whj^hJ — Ц.сон берилган б^лдш.
Таъриф. Д1 нутуга учун
' л -м^1 = кммх - (3);
. ищи* бажарйлса, М нуцта М1М1 кесмамц К нисбатда бдладй
дайвдади.
Mi, Мл нуфаларншг коордияиталари ортали М нуцашшг х, у,,г
коордянаталаринЖ тонаМкк. (2) га асосан
МгМ = ОМ— OMi = (x — + {у — Ух) ea+ (z — zj e3.
MxM(x — xlt y—ylt z—z,).
MM2 = OM2 — OM = (x2 — x)e1 + (y2 — y)e2 + (z2 — z)e3,
MM2(x2 — x, y2->y, z2 — z).
—> —> ”►*
Бу ифодаларни (3) га цуйиб ва elt е2, е3 нинг чизицлн эрклили-
гнни эътиборга олсак,
х —х1 = Х(х2 —х), у — У1 = ^(уа — у), z — z1=X(z2 — z).
Булардан
у___*i + ^xt и_____У1 + У1 _____ г1 +
1 + Х ’ У 14-Х ’ 14-Х М
Берилган кесмани берилган нисбатда булувчи нуцтанинг координата-
ларини топиш формулалари шулардир. М нуцта А41М2 кесманинг
уртаси булса, (4) формулалар цуйидаги куринишни олади:
х = ** + х* и = 7 =
2 ’ У 2 2
(5)
Бу формулалар кесма уртасининг координаталарини топиш формула
ларидир.
—>
Мнсол. £(О, elt е2, е3) аффин реперда А (2, 3, —1), В(3, О
— 1), С(1, 1, 1) нуцталарни ясаб, АВС учбурчак огирлик маркази
нинг (медианаларининг кесишган нуцтаси) координаталарини топинг
Ечиш.
А (2, 3, — 1)=>ОЛ(2, 3, —1)=>
=> О А = 2ех + Зе2 — е3,
В(3. 0,_—1)=>ОВ(3, О, —])=>
=>ОВ = 3е1 — %,
С(1, 1, 1)^ОС(1, 1, 1)=>
=ф- ОС = -|- е2 + е3.
А, В, С нуцталарни ясаш на-
тижасида 157-чизмадаги АВС
учбурчак з^осил цилинади. ВС
кесманинг уртаси D нинг коор-
динаталарини топайлик:
х = з±1 = 2^ = Ш = _1
2 2 2
157- чизма
z= 1 j-1 =0, 0(2,—, oY
2 к 2 /
Медианаларнинг кесишган нуцтаси AD ни А дан бошлаб X = 2:1
иисбатда булгани учун изланган N нуцта AD кесмани X = 2:1 нис-
батда булади, яъни
х = 2 + 2'2 = 2 и = 3 + 2 = ± г = ~ 1 + 20_______L
1+2 ’ У 1+2 3 ’ 1 + 2 3 *
N(2, — , — —Y
\ 3 3/
1^3- §. Турри бурчаклн декарт координаталар системаси
Аффин системанинг хусусий цолларидан бири турри бурчаклн де-
карт системасидир.
Аффин системадаги базис векторлар ортонормаланган булса, яъни
уларнинг цар иккитаси узаро перпендикуляр булиб, цар бири бирлик
вектор булса, (О, I, j, k) декарт репери цосил цилинади, бу ерда
t2 =f/® = ],
i j = / k = i A = 0.
(6)
(7)
Бу реперда метрик характердаги масалаларни ечиш анча цулай,
а) а = (хр уи z,) векторнинг узунлигини цисоблайлик. Вектор-
нинг узунлиги I булим, I боб, 13- § га асосан
Pi = j/ + J/2 + г2. (8)
б) Икки a (xx, ylt Zi), b (x2, y2, za) векторнинг скаляр купайтма-
си I булим, I боб, 13-§ га асосан
ab = ххх, + угуа + zxz2. (9)
в) Шу икки вектор орасидаги бурчакнинг косинуси:
cos ф = + + — (10)
|а 6| *[ + J/, + *2 + !/2 + 4
Л1х(х, у, z), М2(хг, уг, гг) нуцталар берилган булса, улар орасида-
ги р (Мд, М2) = |М1Л1г| масофани топиш мумкин:
р (Мд, М8) = у (хд —Хд)я + (г/а — yj* + (г, — ад)1. (11)
Мисол. Л(О, i, j, Л)ре.
перда учлари А (7, 2, 4)
В (4, -4, 2), С (6, — 7, 8),
D(9 —1, 10) нуцталарда бул-
ган туртбурчакнинг квадрат
эканлигини исботланг.
Ечиш. Аввало ЛВ, DC
векторларнинг координаталари-
ни топайлик:
АВ(— 3, —6, —2),
DC(— 3. —6, —2),
булардан куринадики, АВ =
= DC, демак, ABCD туртбур-
чак параллелограмм жан, унинг
квадрат эканлигини курсатиш учун диагоналлари узаро тенг ва
перпендикуляр эканлигини исботлаш кер?к (158-чизма). ^аци^атан
^ам, р(Л, Q ва p(D, В) ни (11) формула буйича ^исобласак.
р(Л, С) =/(6 — 7)2 + (—7 —2)2 + (8 —4)2 =
= /1+81 + 16 = /98?
р(Р, В) = /(4 — 9)2 + (—4 + I)2 + (2 —10)2 =
= /25+9+64 = /98,
бундан
р(Л, Q = p(D, В)
ЛС(—1, —9, 4), DB(— 5, —3, —8) булгани учун (9) га асо-
сан:
AC-DB = (— 1)(—5) + (—9)(-3) + 4(-8) = 5 + 27 - 32 = 0,
демак,
AC-LDB.
4-§. Фаэода координаталарнинг бош^а снстемаларн
^азода юцорида курилган аффин ва декарт системалари билан
бир 'цаторда бопща системалар ^ам мавжуд булиб, улардан баъэила-
рини куриб чи^амиз.
1. Цилиндрик координаталар. Бу система цуйцдагича
цосил цилинади. Фазодаги бирор П текислик ва ундан тайин бир О
нуцта олинади. П га тегишли ва учи шу О да булган I нур белги-
ланади цамда I нурнинг йуналишини аницловчи i бирлик вектор оли-
нади (яъни П да координаталзрнинг цутб системаси киритилади).
п бирлик вектор П нинг О дан цуйилган нормал вектори булса,
п нинг учидан цараганда П ни шу вектор атрофида бурищдагн ца-
ракатнинг йуналнши соат мили царакатига тескари булса, буриш бур-
чагини мусбат деб олинади. Бу вацтда фазодаги цар бир нуцтанинг
Урнини юцоридаги берилганларга нисбатан учта сон билан тулиц
аницлаш мумкин. Х,ацицатан, М фазодаги бирор нуцта булса, унинг
П даги ортогонал проекциясини М' деб белгиласак, ММ' II п, де-
мак, ММ' = hn. М' нуцтанинг П даги цутб системасига нисбатан
координаталарини г, <р десак, (г, ф, ft) сонлар М нуцтанинг цилинд-
рик коордиНатдлаои деб аталади.
Декарт системасини 159- чизмада курсатилгандек цилиб танлаб
олинса, М нуцтанинг декарт координаталари х, у, z ни шу нуцта-
нинг цилиндрик координаталари г, <p, ft орцали ифодалаш мумкин:
x = rcos<p, у = rsintp, z = ft. (12)
2. Сферик координаталар. П текисликда цутб коорди-
наталари системаси киритилади, п J_ II бирлик вектор цуйилади.
Фазодаги цар бир М нуцтанинг урнини учта г, <р, 0 сон билан аниц-
лаш мумкнн, бунда г = |ОЛ4|, <р—бу М нуцтанинг П текисликдаги
------------------------------------------------------*- ---*-
ортогонал проекцияси М' нинг цутб бурчаги, 0 — бу ОМ, ОМ' век-
торлар орасидаги бурчак, бу уч сон М нуцтанинг аЬерик координа-
тдлари дейилади ва М(г, <р, 0) куринишда ёзилади. Биз г > 0, 0 <
< Ф < 2л деб фараз циламиз, бундан ташцари, хОу координаталар
л
текислигидан «юцори» турган нуцталар учун 0 < 0 < “ «‘КУЙи*
ярим фазога тегишли нуцталар учун---------— < 0 < 0 олинади (160-
чизма).
Координаталарнинг декарт системаси 160- чизмадагидек танлаб
олинса, сферик ва декарт координаталарини богловчн ушбу формула-
ларни топиш мумкин:
х — |OM'|cos<p = г cos 0 cos ф,
у = .OAl'isinv = г cos 0 sin ф, (13)
z = |Л1Л1'| = rsinO.
Цилиндрик ва сферик координаталар асосан механика, математик
физика фанларида купроц ишлатилади. Биз улардан чизицлар ва сирт-
лар назариясида фойдаланамиз.
vtz5-§. Аффин координаталарни алмаштириш
Фазодаги бирор нуцтанинг тайин бир системадаги координаталари-
дан бошца системадаги координаталари га утишга тугри келади. Биз
шу масалани иккита аффин репер учун цал циламиз. JB = (О, elt е2,
е3), аВ' = (О', е\, е2, е3) аффин реперлар берилган булсин.
I цол. Реперларнинг бощлари цар хил булиб, базис векторла-
ри мос равишда коллинеар булсин, яъни О^О’, ег || ej, е2 II е2,
е3 || е3 цамда О' нинг аВ га нисбатан координаталари а, Ь, с булсин
(161-а чизма). У цолда фазодаги ихтиёрий М нуцтанинг аВ ва аВ' га
нисбатан координаталари мос равишда х, у, г ва х', у', г' булса,
шулар орасидаги богланишни излаймиз:
М (х, у, г) =► ОМ (х, у, г) =► ОМ = xet + уе2 + ге3,
М (х', у', z')=»-0'M(x’, у', z')=>0'M = х'е\ + у'ё2 + z!e'3,
ОО' (а, Ь, с) =»- ОО' = aet + Ье2 + се3.
Ласин ОМ = ОО' + О'М булгани учун
хег + уе2 + ze3 = ae1 + Ье2 + се3+х' е, + у'е2 + z' е'.
Бундан ташцэри, базис векторлар мос равишда коллинеар булгами
учун
е, = е2 = е2, е3 = Хде9,
161- чизма
демак,
xet + уе, + гг8 = (Хр/ + а)е[ + (^у' + Ь) ё^ + + с)(14)
.Бундан
х = Xjx' + а, у = Х^' + Ь, г = Х,г' + с. (15)
Хх = Xs = X, = 1 булса, яъни базис векторлар мос равишда $заро
тенг б^лса, (15) цуйидаги куринишни олади:
х = х' 4- а, у - у' + b, z=^z' + с. (16)
Бу формулалар баъзан координаталар системасини параллел
кфщриш формулалари ррб юригилади-
Прдол. Реперларнинг бошлари бир хил, базис векторларнинг
йунЯшшыари эса цар хил булсин, у цолда (161- б чизма)
' 0=0',< = Оцв! + Wi + Опба, ё2 = а1аег + + a^et,
е3 = а13«1 + Ъз?» + азз^э
булсин. Энди
Л _ /°11 °М Дп\ (17}
1°1» Дм) U '
'°13 Ом Дю'
матрицами тузамиэ. Бу матрицами бир базисдан иккинчи базисга
утиш матрицаси деб атаймиз, е[, %, Сд базис векторлар булгани
учун (17) матрицанинг детерминанта нолдан фарцлидир.
ап ап Дм
ан ам Дм
flis аю сю
¥=0.
(18)
Акс цалда, детерминантнинг бир сатри цолган икки 'сатрининг чизиц-
—► —> —> *
ли комбинациясидан иборат б^либ, ej, е', ё3 цам чизицли боглнц
б$глар эди.
Фазода ихтиёрий М нуцтанинг Л ва JB' реперларга нисбатан ко-
ординаталарини мос равищда х, у, г ва зё, у’, г' деб олсак,
ОМ = хег + yet + z е9,
ОМ = х'е; + у'е^ + z'e3.
яъни
««I + уе, + г еа = зё е, +у' е' + г' е'3.
Энди бу тенгликка ер е’2, ё3 нинг цийматларини цуйиб, elt еа, е,
га нисбатан группаласак,
*«i + У et + г еа = (au*' + «и!/' + aisz') «i + (atlx' + Оа^у' +
+ «юг') Ч + (Дм-*" + Дм/ +^2<) С
бундан
’х = aux' + aley' + ацг',
у = Оа^х1 + + Омг',
Z = ОауХ' 4- азау' + а,*'.
Ушбу
(аи °и аи
ati а„ ам
Д»1 °м аз».
(19)
(20)
I
матрица алмаштириш матрицаси деб аталади. (20) ва (17) матри-
цалар узаро транспонирланган матрицалардир. Бу матрицалар квад-
рат матрицалар булгани учун уларнинг учинчи тартибли детерминант-
лари узаро тенг булиб, (18) га асосан (20) нинг детерминанта нол-
дан фарцлидир, демак, (19) ни х', у', г' га нисбатан ечсак,
*' = апх + а'12у + al3z,
У' = а^их + а^У + а'2зг» <21)
z' = ^х + %2у 4- а'^г
цосил булиб, бунда
Akl эса А матрица аи элементининг адъюнктидир, яъни алгебраик
тулдирувчисидир.
III цол. Реперлар фазода ихтиёрий вазиятда жойлашган. Л ре-
пер берилган булиб, шу системага нисбатан & репер элементларн-
нинг координаталари цуйидагича булсин:
О' (а, Ь, с), е\ = ап + °зА>
-4- -4- —► —*-
в2 = ®|2®1 "Ь ^22 ^2 ®32 ^3’
—.—* —* —*
€3= а13е1“Ь °23 ел + °ЭЗеЗ<
а11 а31 а31
ait a2t °Э»
а13 О23 а33
(*)
JB дан »В' га утиш учун биз яна шундай учинчи <S"(O", e’t, е2,
•—>- — —►
Q аффин реперни цараймизки, у JB ни ОО' вектор цадар параллел
кучнришдан цосил булсин. У цолда фазодаги ихтиёрий М нуцта'
нинг координаталарини бу системаларга нисбатан мос равишда х, у, z,
z" ва х' у' г' деб белгилясак (161-с чизма), £ билан JS" ора-
сидаги богланиш (16) га асосан
х = х" + а, у = tf + 6, z = г" + с, (22)
£" билан аВ' орасидаги богланиш эса (21) га асосан
= хГ = а11х'+а1гу'+а13г',
!/' = апх' +ам У'+аю г',
3f' = a31x' +азау' +аз3г',
буни (22) га цуйсак, изланаётган цуйидаги ифода цосил цилинади:
!х = ап х' + аи у’ + а18г' + а,
у = алх'+aity'+аюг'+Ь, (23)
z = а31х' +адеу' +озэг' +с«
(23) ни х', у", г’ га ((*) шарт ‘Уринли булгани учун) нисбатан цам
ечиш мумкин, демак, М нуцтанинг S га нисбатан координаталари
маълум булса, шу нуцтанинг координаталарини га нисбатан цам
топиш мумкин.
Бир аффин системадан иккинчи аффин системага $тиш 12 та па-
раметрга боглицдир, чунки (23) га шу алмаштиришни аницлайдиган
ушбу 12 та параметр кнради: а, Ь, с, аи, а12, а13, а21, а22, а23, а^,
«32, азз-
Агар <®, X' декарт реперлари булса, уларни алмаштириш 12 та
параметрга эмас, балки энг купи бнлан 6 та параметрга боглиц бу-
-4- -4- -4- -4- -4- -4- —*- -4- —►
либ Цолдди. Хацицатан цам, ei = et = i> ез = & вае' = Г, е'2 = j',
е'3 = k' булса, (6) ва (7) ни эътиборга олсак,
o?i +a2i + 4"1»
апаи + «21«22 + ЯзЛа — О,
a?2+fl22+a32=1« (24) а11°1з +«21023+ 031033= 0, (25)
о?3 + «2з+«зз=1’
«12018 + о22 aJS + Оз2*Ъз— 0.
Демак, (23) даги 12 та параметр (24) ва (25) даги 6 та шартни
цаноатлантириши керак, у цолда жами 6 та ихтиёрий параметр ус-
лади. «Алгебра ва сонлар назарияси» курсидан маълумкн, (20) кури-
нишидаги квадрат матрицанинг элементлари (24) ва (25) шартларнинг
барчасини цаноатлантирса, бундай матрица ортогонал матрица деб
аталади. Бундан цуйидаги хулоса келиб чицади: бир декарт репери-
дан иккинчи декарт реперига утиш матрицаси ортогонал матрицадан
иборат.
1-м и со л. Янги аффин репернинг боши эски реперга нисбатан
—► —+-
О'(О, 3, — 1) нуцтада, базис векторлар е'(1, 3, 0), е2(0,—3, 1),
£з(1, 1, —2) булса, бу реперларни алмаштириш формулаларинн
ёзинг:
Ечиш. Берилишига кур:
а = 0,-6 = 3, с = —1,
«и = 1. о,1'= 3, Оз! =0,
= 0, а 22 = 3, Цд2 в 1,
a19 = 1, = 1, Q33 = 2.
Бу цийматларни (23) га цуйсак,
х = *' + /,
у = Зх* — 2>у' + г' + 3, (26)
г=у' — 2г' — 1.
Энди эскн базнсдан янги баэисга утиш формуласини топиш учун бу
системани х', у’, z' га нисбатан ечамиз:
х =Тх+Т*+Тг’
Z 3 1 _L 1 . II
у = — *—гу + -гг +1,
4 4 4
2- м и с о л. Кирраси а га тенг булган ABCDA'B'C'D' куб бе-
рилган. »В(А, i, /, А) ва S’(С, Г j',k') декарт реперлари 161-8
чизмада курсаталганидек аницланган. Шу реперларни алмаштириш
формулаларини ёзинг цамда Е нуцтанинг координаталарини иккала
реперда аницланг.
Ечнш. Аввало С' нуцтанинг S реперга нисбатан координата-
л1рини топайлик.
АВ = ai, ВС = а], СО = ak.
АС' = АВ + ВС + СС = ai 4- а/ 4- ak. С' (а, а, а).
Энди Г, /', А' нинг координаталарини топайлик, чизмадан i' =
= —7 ?- —X Х=—Г^7 (0, —1, 0), f (0, 0, —1),7' (—1, 0, 0).
e't = i', е2 = е’э = А' десак, (23) формула цуйидаги куринишни
олади:
х =—z'+a,y = —х'+а, г = —у' + а. • (△)
Бу иэланаётган формуладир.
АЕ = AF 4- ЁЕ = i 4- "f" / =* реперда Е (-у, ~у, о).
Е нинг S' репердаги координаталарини топиш учун Е нинг S
даги координаталарини (д) даги х, у, г нинг урнига цуямиз:
f—*'+•.
0 = — у',+ а
ёки у' = а,
булардан
6- §. Фазода ориентация
Фазода икки аффин репер берилган булиб, улар орасидаги бог-
лан|1ш (23) формулалар билан аницланган булсин.
Таъриф. (23) формулалардаги утиш матрицасининг детерминан-
та мусбат булса, у цолда JB, <£' реперлар бир исмли деб аталади,
акс цолда, яъни детерминант манфий булса, JB, £' %ар хил исмли
реперлар деб аталади.
5- § Даги 2- мисолда олинган Л, S' реперлар цар хил исмли-
дир. чунки (А) нинг утнш матрицасининг детерминанта
О 0—1
—10 0
О —1 о
= — 1 <0.
Худди шу параграфдан 1- мисолда
матрицасининг детерминанта
1 О I
3 —3 1
О 1 —3
топилган (□) алмаштириш утиш
= 8>0
булгани учун бу реперлар бир исмлвдир.
Бундан куринадики, фазодаги барча аффин 'реперларни бир исм-
лилик тушунчасига асосланиб икки синфга ажратиш мумкин, бу
синфларнинг бирига тегишли барча реперлар узаро бир исмли бу-
либ, цар хил синфга тегишли икки репер бир исмли булмайди.' Шу
синфларнинг цар бири ориентация деб аталиб, ундаги реперлар
ориентирланган репер деб юритилади, баъзан бу синфларни бир-
биридан фарцлаш учун «унг» ориентация ёки «чап» ориентация
деб цам юритилади. Репернинг орнентацияси маълум булгзн ’фазо
ориентирланган фазо деб аталади.
7-§. Координаталарни богловчи тенглама ва тенгсизлнкларнннг
геометрик талцнни
Биз I булимда икки узгарувчилн биринчи ва иккинчи даражали
тенглама ва тенгсизликнинг геометрик маъноси билан танишиб
утганмиз. Шу тушунчаларни энди фазо учун умумлаштирамиз.
Фараз цилайлик, фаэода бирор <$= (О, elf et, е3) аффин репер бе-
рилган булиб, F (х, у, г) ифода цам берилган булсин (бу ифодада
х, у, г узгарувчилардан камида биттаси иштирок этсин).
х0, ^о-2о сонлар учун F(x0, £/0, Zq) ифода цациций сондан иборат
булса, Xq, у0, z0 сонлар F (х, у, z) ифоданинг аницланиш соцасига
тегишли дейилади, бу сонлар учлиги эса берилган реперда фазода-
ги тайин битта нуцтани аницлайди. Демак, F (х, у, z) ифода аниц-
ланиш соцасининг геометрик маъноси фазодаги бирор геометрик фи-
гурадан иборат, жумладан, бу фигура бутун фазодан, фаэонинг бир
цисмидан, буш тупламдан ва ц. к. лардан иборат булиши мум-
кин.
1- мисо л. F(x, у, г) = хг + 2у — г. Бу ифода х, у, г нинг цар
цандай цациций цийматларида маънога эга, демак, унинг аницланиш
соцаси барча цациций сонлар тупламидан иборат булиб, у фазодаги
барча нуцталар тупламидир.
2- м и со л. Г(х, у, г) = — 4- —-г ифода маънога эга булиши
* у
учун х¥=0, у^О шарт бажарилнши керак, демак, бу ифоданинг
аницланиш соцаси фазодаги xbz, уОг координата текисликларидан
бошца барча нуцталар тупламини ташкил цилади.
3-мисо л. F(x, у, z) =у—х*— у* — Z* ифода фацатгинах =
= у = г = 0 учун цациций цийматга эга булиб, унинг фазодаги
тасвири биттагина нуцтадан иборат.
Энди.
F(x,y,z) = Q (26)
куринишдаги тенгламани к^райлик, бу тенгламани цаноатлантирувчн
барча сонлар учлиги унинг ечимлари дейилиб, фазода бирор нуцта-
лар тупламини аницлайди (шуни таъкидлаш зарурки; агар к, у, г
нинг цабул цилиши мумкин булган барча цийматларида (26) тенг-
лама цаноатлантирилса, у айниятдан иборат булиб цолади). Бундай
тупламни биз цозирча сирт деб атайлик (бу сиртнинг цоницарли
таърифи эмас, албатта, сиртнинг цатъий математик таърифини топо-
логияда берйлади).
Эндн сирт тенгламасининг таърифини берайлик.
Таъриф. Агар Ф сиртга тегишли цар бир нуцтанинг коорди-
наталари F(x, у, z) = 0 тенгламани цаноатлантириб, Ф га тегишли
булмаган бирорта цам нуцтанинг координаталари уни цаноатлантир -
маса, яънн У(х0. Уо> 2о)€Ф F(x0, у0, z0) булса, бу тенглама Ф
сиртнинг тенгламаси деб аталади.
Бу таърифдан куринадики, сиртнинг тенгламаси берилган булса,
фазодаги цар бир нуцта шу сиртга тегишли ёки тегишли эмасми
деган саволга ягона жавоб топ клади. Буни аницлаш учун нуцта-
нинг координаталарини тенгламадаги узгарувчилар урнига мос ра-
вишда цуйиб цисоблаш керак, агар тенглик уринли булса, нуцта шу
сиртга тегишли, акс цолда эса тегишли эмас.
1- м ис о л. Фазода F(x, у, z) = х = О тенглама биЛан аниц-
ланувчи нуцталар тупламини (сиртни) топайлик. Тенгламанинг бе-
рилишидан куриниб турибдики (у ва г лар иштирок этмагани учун
ихтиёрий сонлар деб олиш мумкин), изланаётган нуцталар туп-
ламининг цар бир нуктаси ууун унинг биринчи коорпинатаси. яъни
абсииссаси нолга тенгдир. Фазодаги бундай нуцталар туплами yOz
координаталар текислигидан иборатдир, демак, берилган тенглама
билан аницланган сирт шОг)текисликдан иборат экан.
2- м и с о л. F (х, у, г^х2+у*+гг+1 = 0 тенглама буш тупламни
ифодалайди, чунки фазода координаталари бу тенгламани цаноатлан-
тирувчи бирорта цам нуцта йуц.
3- м и с о л. F (х, у, г) = (х — о)2 + (у — Ь2) + (z — с)2 — г2 = О
тенглама маркази (а, Ь, с) нуцтада ва радиуси г га тенг сферами
аницлайпи
Эндн Г(х, у, z)>0(<0) ифодани текширайлик. Бу ифода цам
F(x, у, г) функция аницланиш соцасининг шундай цисмнии аницлай-
дики, унинг барча иуцталарида ва фацат шу нуцталарда юцоридаги
тенгсизлик урьнли булади. Бунн мисолларда к^райлик.
4- ми со л. F (х, у, z) = z > 0. Бу тенгсизлик шундай нуцталар
тупламини аницлайдики, у нуцталарнинг цар бирининг апплицатаси
мусбат сондан иборат. Равшанки, бундай нуцталар туплами {хОД ко-
ординаталар текислиги билан чегараланиб, аппликаталар уКининг
мусбат цисмини $з ичига олувчи ярим фазодир, хОу текислик нуц-
тадари бунга кирмайди.
5. F (х, у, г) = х* + у1 + z2 — 1 < 0. Фазода бу тенгсизлик би-
лан аницланувчи нуцталар туплами радиуси 1 бирликка тенг, маркази
координаталар бошида булган сфера билан чегараланган ва шу сфера
марказини уз ичига олувчи фазо циемипир-
Баъзан биргина тенглама ёки тенгсизлик билан аннцланадиган
шаклгина эмас, балки тенгламалар системаси билан, ёки тенглама
ва тенгсизликлар системаси билан, ёки фацат тенгсизликлар система-
си билан аннцланадиган шаклларни текширишга тугри келади, ма-
салан,
(FJx, у, г) = 0,
\Ft(x,y,z) = 0
система билан аннцланадиган шакл цар бир тенглама билан аниц-
ланадиган шакл лар кесишмасидан иборат шаклни аницлайди, бун-
дай шаклни биз цозирча чизиц деб атайлйк (чизицнинг цам цатьий
таърифи топологияда берилади); демак, фазодаги чизиц умумий цол-
да икки сиртницг кесишмаси деб царалади.
6- м и с о л.
| (х, у, г) = х = 0,
I F8(x, у, г) = у = 0.
Бу система билан аннцланадиган чизиц аппликаталар чизигидир,
чунки биринчи тенглама уОг текисликни, иккинчи тенглама эса xOz
текисликни аницлаб, уларнинг кесишмаси yOz f) xOz = Ог ни аниц-
лайди.
7- мисо л.
(Ft(x, у,г) = г = 5,
I У, z) = (x-I)2 + (У + 2)г + г2—36 = 0
тенгламалар системасининг биринчи
тенгламаси аппликатаси фацат 5 га
тенг булгш нуцталарни аницлайди:
бундай нуцталар туплами Ог уц-
нинг ..мусбат цисмини координаталар
бошидан 5 бирлик масофада _ кесиб
утиб, хОу текисликка параллел те-
кисликдир (162- чизма).
Иккинчи тенглама эса маркази
(к —2, 0) нуцтада ва радиуси 6
бирлик булган сферани аницлайди.
Демак, бу фигураларнииг кесишма-
си г = 5 текисликдаги (х—1)2 +
+ (у + 2)2 = 11 тенглама билан
аницланувчи айланадир.
162- чизма
8- мисол.
163- чизма
У, z) = z=0,
Ft(x,y, z) = x>0.
Бундаги биринчи тенглама хОу
текисликни, иккинчи тенгсизлик
эса yOz текислик билс-н аницла-
нувчи ва абсциссалар уцининг
мусбат цисмини. jfa ичига олувчи
ярим фазодир. Бу ярим фазонинг
хОу текислик билан кесишмаси
Оу тугри чизиц билан аницла-
нувчи ва абсциссалар уцининг
мусбат цисмнни уз ичига олган
ярим текисликдир (163-чизма).
В-§. Икки векторнинг вектор купайтмаси ва унинг хоссалари.
Учбурчакнииг юзи
Биз I булимда векторлар устида бажариладиган чизицли амаллар
(цушиш, айириш, векторни сонга купайтириш) ва икки векторнинг
скаляр купайтмаси тушунчалари билан иш курган эдик. Биз энди
икки вектор устида бажариладиган янги амални—вектор купайтмани
таърифлаймиэ.
Таъриф. а ва & векторларнинг вектор купайтмаси деб цуйида-
ги учта шартни цаноатлантирадиган р векторга айтилади:
1. |р| = |aj|/bjsin(a,
3. а, Ь, р, векторлар умумий бошга келтирилиб, р нинг учидан
»- >- —►
а, b векторлар ётган текисликка царалгаида а вектордан b вектор то-
монга цараб энг цисца йул билан бурилиш соат мили царакатига
тескари булсин. а ва b векторларнинг вектор купайтмасини [а Ь]
билан белгилаймиз: р=[аЬ].
Аввало бу таърифда келтирилган уч шартдан цар бирининг гео-
метрии маъносини аницлайлик.
1 - шарт р векторнинг узунлиги а ва Ь векторларга цурилган па-
раллелограмм юзи неча квадрат бирлик булса, шунча уэунлик бир-
——>“ —
лиги га тенглигини билдиради (164-чизма) (чунки |а| |b|sin (а, Ь) век-
торларга цурилган параллелограмм юзидир).
2- шарт вектор купайтма а ва b векторлар билан аницланадиган
текисликка перпендикуляр эканлигини билдиради,
Нихоят, 3- шарт вектор купайтманинг йуналишини аницлайди.
Одатда a, b, [аЬ] векторлар учлигини унг учлик деб аташ цабул
a
164* чизма
165- чизма
цилинган (физикадан унг цул ^оидасинн эсланг). У ^олдаа, Ь,— [а,
Ь] векторлар учлиги чап учликдир (физикадан чап цул цоидасини
эсланг. 165- чизма).
Вектор купайтма бир ^атор хоссаларга эга булиб, биз шу хсс-
салар билан батафсил танишиб чи^амиз.
1°. Купайтувчи векторлардан камида биттаси ноль вектор ёки
а || b булса, у э^олда (а Ь] =0.
—>- —>“ “-* —>
Исбо т. ^а^и^атан \ам, а || b булса, (а, Ь) =0° ёки 180° булиб,
биринчи шартга асосан |р. = 0 булади, модули нолга тенг вектор
эса албатта ноль вектордир.
2°. [а &] = —[& а], яъни вектор купайтма антикоммутативдир.
Исбот. \ацицатан, вектор купайтма таърифининг I ва 2- шарт-
ларига асосан [а Ь] ва [Ь а] векторларнинг узунликлари тенг ва
нккаласи ^ам битта текисликка перпендикуляр, йуналишлари эса
учинчи шартга асосан [ а Ь] вектор учидан ^аралганда а дай Ь век-
тор томонга цараб энг цис^а йул билан бурилиш соат мили ^арака-
тига тескари булса, b дан а вектор томонга цараб циода йул би-
лан бурилиш эса соат мили \аракати буйича булиб цолади, демак,
йуналиш аввалгига ухшаш булиши учун [6 а] вектор [а 6] га нис-
батан царама-царши йуналган булиши керак.
3°. ((а + Ь)с] = (а с] + [Ь с], яъни вектор купайтма цушиш ама-
лига нисбатан тацсимот ^онунига буйсунади.
Исбот. Бу хоссани исбот цилиш учун вектор купайтмани то-
пишнинг бош1\ачаро^ усулини курайлик (166- чизма)
Узаро коллинеар булмаган т ва п векторларни олайлик. Бу век-
торларнинг бошларини бир О иу^тага келтириб, О нуцтадан т век-
166- чизма
167- чизма
торга перпендикуляр булган П текисликни утказиб, п векторнинг П
текисликдаги ортогонал проекцияси nt ни ^осил циламиз, сунгра
ни О нуцта атрофида 90° га шундай бурамизки, т нинг учидан ца-
ртганимиэда буришцинг йуналиши соат милининг \аракати билан бир
хил булсин, нгтижада п8 вектор ^осил булади, у ^олда
[mn] = |m|n8, (*)
чунки: 1) ||m|n8| = |m||n8| = |/п||П1|, бу эса т, п га цурилган
параллелограммнинг юзини анидлайди;
2) (|mk£)_Ln,
—»- —»• —» —»-
3)’ т, п ва | т | л8 векторлар учлиги унг учликни ^осил Би-
лали.
Энди 3°- хоссани исботлашга утайлик. а, Ь, с векторлар берил-
ган булсин. с нинг бошини О деб белгилаб, шу нуцтадан с га пер-
пендикуляр П текисликни утказайлик, а нинг бошини ^ам О ну^та-
га келтириб а 4-Ь = ОВ ни (167- чизма) ясаб ва Д.ОАВ ни П те-
кисликка ортогонал проекциялаб, лОА1В1 ни ^осил цилайлик.
△ ОЛ^ ни П да О нуцта атрофида 90° га шундай бурайликки, бу
буриш йуналиши с нинг учидан царалганда соат мили \аракати буйи-
ча булсин, натижада дОЛ8В8 э^осил булади. Шу учбурчакнинг ^ар
бир томонини |с| га купайтириб, дОЛ8В8 га ухшаш д.ОА3В3 ни
^осил циламиз. Юцорида исбот ^илинган (*) га асосан:
ОА, = ! с | О А, = [ас],
AA = кИ8Ва= [ b 4, 0В3 = с | 0Ва = [(а+ Ь) с]- (**)
Бундан ташцари, бу чизмадан
0Ва = ОЛЭ 4- А„Ва,
<$Увддги векторлар урнига (•*) даги ифодаларни цуйсак,
[(а + Ь)7]=К + [М
га эга буламиз. А
Натижа. (с(а + Ь)] =(са]+ [с Ь]. Буни курсатиш учун исбот
цилинган 3°- хоссага 2°- хоссани татбиц цилиш кифоядир.
4°VX£/? учун (Ха А] = Х[аЬ], яъни вектор купайтма скаляр
купайтувчига нисбатан груцлаш цонунига буйсунади.
Исбот. (ХаЬ] ва X(аЬ] век-
торларнинг модуллари тенгдир,
йуналишлари эса X > 0 булганда
—> —♦
[а Ь] вектор билан бир хил, Х<0
да эса [а Ь] нинг йуналишига ца-
рама-царшидир (168-а, б чизма).
• Эслатма. 3°-хосса икки
Жушилувчи вектор учунгина эмас,
Щаки исталган сондаги цушилув-
учун цам уринлидир, бун-
дан ташцари, вектор купайтма-
нинг цар бир вектори бир неча
векторларнинг чизицли комбина-
циясидан иборат булса, уларни
алгебрадаги купцадни купцадга
купайтириш цоидаси буйича очиш
168- чизма
мумкин, бунда фацат векторлар
тартибининг сацланишига эътибор бериш керак.
Энди декарт реперцдаги базис векторларнинг вектор купайтмаси-
ни то пай л ик.
Вектор купайтманинг таърифига асосан,
иЛ = 0, (/•/]= 0, [££] = 0.
|[f /j|= |ii|/|sin90°= Ы-1 = 1 цамда t_L k, j -1-k эканини эъти-
борга олсак, [i /]= k. Шунга ухшаш [At] = /, [/А] = i цам урин-
ли. 2° га асосан
(/ i]= — А, [А /] =— Г, [ i А] = — /.
Энди декарт реперида координаталари билан берилган a (хх, yt, zt),
b(xt,yt, za) векторлар вектор купайтмасининг координаталарини то-
пайлик:
а = Xi i+yij + z1k,
b = xti +ytj + ztk.
Вектор купайтманинг хоссаларини] цамда базис векторларнинг вектор
купайгмаларини эътиборга олсак,
[ab] = [xj + yij + Zi k xti +ytj+ztk] =
= G/i г» — f/A) i — (Xi zt — xt Zi) j+tXj^ y, — xt yjk *=
-I2SF-ISSF+ISSI*
демак,
skis й1)* (27)
а ва b векторлар вектор купайтмасининг модули томонлари шу век-
торлардаи иборат параллелограмм юзига тенг булганлиги учун унинг
ярмиси шу а ва b векторларга цурилган учбурчакнинг юзига тенг
булади, демак, учбурчак юзи
$д = 7|Й|. (28)
Бу формулами координаталарда ёзмасдан, мисоллар кура цолайлик.
1- мисол. Л(1, —1, 2),.В(2, 1 —1), С(1, 0, 3) нуцталар берил-
ган. АВС учбурчакнинг юзини цисобланг.
Ечиш. АВ ва АС нинг координаталарини цисоблайлик, (27) га
асосан
ЛВ(1,-2,—3),
лс(о, 1,1), йлс1 (|* ~f|t -|J j I),
(ab AC] (5, —1 ,1),
| [AB ЛС] I = /б’ + (—l)a + I2 = К27.
(28) =>$дЛвс =-y]/27 кв. бирлик.
2-мисол. Учбурчакнинг учлари Л(5, —6, 2), В(1, 3, —1),
С(1, —1, 2) нуцталарда. Унинг Л учидан чиццан баландлигининг
узунлигини топинг.
Ечиш. Аввалги мисолдагидек цисобласак.
5дЛВС = • 25 kf. бирлик.
Энди ВС томоннинг узунлигини ^исоблайлик:
p(BQ = V(1 - 1)я + (—1—3)* + (2 + 1)2= V25=5.
Агар А учдан «подан баланддикни h десак,
$ьавс = 'ВС =
У э^олда -у- h- 5 = -у • 25, бундан h = 5 узунлик бирлиги.
3-мисол. т, п бирлик векторлар булиб, улар орасидаги бурчак
30° га тенг. а=т — 2п, Ь=2т + 3п векторларга цурилган парал-
лелограммнинг юзини ^исобланг.
Ечиш. [а Ь]= [т— 2п 2т + Зл] = [т 2т] 4- [—2 л 2т] +
+ [п Зл] + [ — 2л Зл] = 0—4(лт] + 3[/ил] + 0 = 4[тл] +
+ 3[тл]= 7[т л];
| [a b ] | = 17] т л]|=71 т || п| sin 30° = 7 • 1 • 1= у- кв.'бирлик.
—> —*
4-мисо л Ихтиёрий а ва b векторлар учун ушбу айният ис-
ботлансин:
[a b ]2 + (а b )2= а2Ь2.
И с’бо т (а Ь) = ф десак.
а b = |а || Ь|созф, |[ab]]=,1aj | b! sin ф,
бу икки тенгликни квадратга кутариб, з^адлаб ^ушсак,
[а Ь]2 + (аЬ)2 = |а2 Ь,2(со52ф + 5Ш2ф)= а2,Ь2 = а2^2. А
5-мисол. а-|-Ь-|-с = 0 булса, [аЬ]= [Ь с] = [с а] исботлан-
син.
Исбот. а-|-Ь-|-с = 0 ни аввал b га, сунгра с га вектор купай-
тзфайлик: [(a + b 4- с)Ь] = 0 ёки [а Ь]+ [с Ь]= 0, [(а + b + с)с]=0,
ёки [ас] 4- [Ьс] = 0, булардан [аЬ] = — [сЬ] = [Ь с], [Ьс] =
=—[а с]= [с а], демак ,
[аЬ]= [Ь с] = [с а]. А
тирувчн Zвектор мавжу^ми?^
О' а а
169- чизма
>;^ий^.'Э0«/<деган^^'>
;врл туниади, • яъни d. fi>лар;б$радса> юцоридаги щаргия'>цайодтлан^--;:
Бунинг. учун а '. векторци'"'. •
ва ихтиёрий b векторни олай-
лик (169- чизма). Бу икки .век-
торнинг бошларини битта О
нуцтага келтириб, b нинг охи-
ри В дан а га параллел тут-
ри чизиц утказиб, унда их-
тиёрий Вл. нуцтани олсак,
Ьх = О В}.. вектор цосил була--
ди, у цолда (аЬ) ва [a ftj векторларнинг йуналишлари бир хил бу-
либ, медуллари тенг (чунки ОЛСВ ва -ОЛС^ параллелограммлар-
нинг асослари ва баланддиклари тенг булгани учун уларнинг юэла-
ри цам тенг).
Демак, [ab] =[а булиб, Вг нуцталарнинг чексиз куплигцдан
^ .‘вектор хоцлаганча купдир. Бу эса берилган тенгламанинг чексиз
куп ечимлари борлигини билдиради. Бундан ташцари, векторлар ус-
тида булиш амадинннг уринли эмаслигига яна бир бор ишонч цосил
цилдик. [а х] = р куринишдаги тенглама фазода тугри чизицни, ах-
= р тенглама эса текисликни аницлайди, бу ерда ар ва а, рмаълум.
х момаълум. Буларнинг исботига биз тухталмаймиз.
Уч векторнинг аралаш купайтмаси.
Тетраэдрнинг цажми. Уч векторнинг компланарлнк шарти
Учта а,-Ь, ,с вектор берилган булсин. 1 . .
. Таъриф. Биринчи икки векторнинг вектор купайтмасидан ибо-
рат векторни. учинчи векторга скаляр купайтирищдан цосил цилинган у
сон шу уч векторнцнг аралаш. купайтмаси деб аталади, яъни
.♦,>* -» .
[a&Ji, бу купайтма (о Ь с) куринишда белгиланади.
•' Аввало аралаш ц^иайтманинг геометрик ; маъноси билан танишай-
****"♦ - '
.лик-.уп, Ь, с^бир О<цуцтадан л^ййлган.' булиб, компланар булмасин."
- цамда.унг учлвкни цосил цилсия.'
... ;1одрдефц-.яу бериэтаи,,.вектордардан. иборат параллелепипедки
.ясасак, мицдор ’шу параллелепипед асосииинг юзиви билда-
a)
170- чизма .
la~6]
[ab]
^//••ради, таърифга асосан. [a i]c=)[ a fc]|,'c| cos ср, <p=([a, i], с) булиб, jc| coscp
с нинг [a i] вектор йуналишидаги тугри чизицдаги проек-
/"'•;циясига тенг булиб, параллелепипеднинг.баландлигкдир:.,[с| cosф=й
а чизма). У з^олда
[a i]c = Sec h=V,
Cl
'/fl pi сон' эса параллелепипеднинг з^ажмини аницлайди.
а, Ь, с лар чап учликдан иборат булса, [а б] вектор билан сора-
у^’СИдаги бурчак <р > ~=>cos<p < 6(170- б чизма). У з^олда [а Ь}с-=
/нп/тг—.V» демак.
| [a b] c\ =V.
(29)
/./Биз з\уйидагини исбот з^илдик: уч векторнинг аралаш купайтмасидан
^-//иборат соннинг абсолют циймати цирралари- шу векторлардан иборат
.параллелепипед з^ажмига тенг.
V/ty-fl Энди аралаш купайтманинг хоссалари билан танишайлик.
-1°, (а b с) = (Ь с а).
.^аци^атан \ам, бу уч векторга цурилган параллелепипед з^ажм-
абсолют ^ийматлари тенг, ундан ташцари, а, Ь, с учли^би-
а учликнинг ориентациялари бир'хил. ’ Шунинг сингари -•
с а)^(с д 5. ,
(6 ос)» чунки(a.ifc)»* lab]c=* -rlhaV^Abac),
===—(Ь a €),' (б -rip Ь аУ/Уса Ь) ^-^{а с б).
' . л
3’. ((a + b)cd) = (a c d) +(b c d), \унки ((a + b) c d) = [a +
+ bd d = ([a c] + [b c])d = [a c] d + [b 5 d = (a c d)+ (bed).
4°. V учун (Xa bC) = X(ab с), чунки (babe) = [Aab]c =
= 1 (a b] c = X(a b c).
5°. a, b, с компланар булса, уларнинг аралаш купайтмаси нолга
тенг, чунки уларга ^урилган параллелепипед текисликда жойлашиб
цолади, бундай параллелепипедвинг баландлиги нолга тенглигодан
^ажми \ам нолга тенг; аксинча (abc) = 0=> а, Ь, с векторлар комп-
ланар. ^а^ицатан ^ам (ab с) = 0=>[а, Ь] с = 0 ёки [a Ь]_1_ с. Лекин
вектор купайтманинг таърифига асосан [ab]_La, [ab]J_b, бундан
[a b] векторнинг а, b, с нинг ^ар бирига перпендикулярлиги келиб
чицади, демак, а, Ь,с компланар. а
Энди координаталари билан берилган учта векторнинг аралаш
купайтмасини топайлик: а = хх i + уг j + zx k, b = x9 i + + zjt,
c = x,i + y3j + z9k.
8- § даги (27) га асосан
[ab] билан с векторнинг скаляр купайтмаси мос координаталари
купайтмаларининг йигицдисига тенг:
[аК]7=|У* Мхэ-'р 21
|уа Zs I |xt Z,
демак,
-* » »
(а b с) =
Xi Ул «1
Уг г» ’
хз Уз гз
(30)
Бу формуланинг татбици сифатида учларнинг координаталари
буйича тетраэдр \ажмини \исоблаш формуласини келтириб чицарай-
лик.
А (хх, ylt zx), В (х2, yt zt), С (хз, у3, z3), D (х4, yit z4)
нуцталар тетраэдрнинг учлари булсин.
АВ(x3 — xlt Уз—У1. Zi—>i).
AC (x3 —xlt y3 — ylt z3 — zj,
ЛЕ)(хч —xlt у< — уи z^ — Zi),
Тетраэдрнинг ^ажми тетраэдрнинг бир учидан чиц^ан учта цио-
1
расига цурилган параллелепипед ^ажмининг — цисмига тенг бул-
гани учун ^амда (30) формулага асосан
=4 кля лс лЬ) ।=4 mod
и и
*3—*1
Уз—У1
Уз— У1
У<—У1
(31)
(31) формулами баъзан ундан кура цулайроц цуйидагича ^олда ёзиш
маъцулдир:
V = —
тет- 6
mod
*2
*3
X.
У1
Уг
Уз
Ук
1
1
1
1
(32)
(31) ёки (32) формула изланган формуладир.
Энди цатор мисоллар курайлик.
1. а, Ь, с—ихтиёрий векторлар ва а, 0, у — ихтиёрий дацицийсон-
•; лар булса, а а—0b, yb — ас, 0с—уа векторларнинг компланар экан-
• лиги исботлансин.
Исбот. Шу учта векторнинг (аа— 0b yb—ас 0с—у а) аралаш
к^пайтмасини ^исоблайлик. Бунинг учун юцорида келтирилган
Г — 5°- хоссаларни назарда тутсак,
• (а а— 0 b yb— а с 0с—ya) =(аа (yb —ас) (0с — уа)]— (pb(yb— а с)(0с—
— ya)) = (aaybfic — y a)— (aaacfic — ya) — (0b у b 0c—ya)+
+ (0b ac0c— ya) = ayfi(ab c) — ayy(ab a) — aa0(ac c) +
4-aay(ac а) — 0у0(Ь b с)+ 0уу(ЬЬа) + 0а0(Ь сс) —
— 0ау(6с а) = a0y(a b с) — a0y (ab с) = 0,
Аралаш купайтмаси нолга тенг булгани учун 5° га асосан [улар
компланардир.
2. АВ ( 2, 0, 0), АС (3, 4, 0), AD (3, 4, 2) векторларга цурнлган тет-
раэдр берилган. К,уйидагилар топилсин: а) тетраэдрнинг ^ажми,
б) АВС ё^нинг юзи, в) D учдан туширилган баландлик, г) АВ ва ВС
цирралар орасидаги бурчак косинуси, д) АВС ва ADC ёцлар ора-
сидаги <ра бурчак косинуси.
Ечиш. а) (31) формулага асосан
1/ 1 j
V„r = —mod
тет. 6
2 0 0
3 4 0
3 4 2
- 16 = ~.
3
б) 8- § даги (28) га асосан
^-Цивл-а|=±/|ао|.+ |2^+|2ор=4.
в) Тетраэдрнинг ^ажми асосининг юзи билан асосга туширилган
баландлигн купайтмасининг учдан бирига тенг: VTeT — Sac
а), б) ларни ^исобга олсак, .3 = _L - 4-/i=>h = 2.
• Л;
г) АВ, ВС цирралар орасидаги бурчак косинуси АВ, ВС вектор-
лар орасидаги бурчак косинусига тенг булгани учун
cosФ1 = АВ-ВС = 2., +Q.4_^0,0 = ,
|ЛВ||ВС| /4 -И 17 /17-
д) АВС ва ADC ёцлар орасидаги <р2 бурчак шу ёцларга перпен-
дикуляр векторлар орасидаги бурчакка тенг. АВС ёэда перпенди-
куляр вектор
> = [АВАС](|J °3|t -|| |з $|)* Р1(0. 0, 8).
ADC ёкца перпендикуляр вектор р2=[ЛСЛЛН8,—6, 0), демак,
ЛЛ 0-8 + 0-(—6)+8-О _ х
созф, Д. = --------7=1—=--------= 0=> бу ецлар узаро перпен-
IPil 1ра| / 8‘ • / 100
дикуляр.
2(6
II БОБ. ТЕКИСЛИК ВА ФАЗОДАГИ TFFPH ЧИЗИЦ
Биз I бобда сирт тенгламаси тушунчасинп киритиб, унга дойр
мисоллар курдик. Фазодаги энг содда сиртлардан бири текисликдир.
Нуцта ва тугри чизиц билан бир цаторда текислик геометриянинг
таърнфланмацдиган асосий тушунчалари цнсобланади. Биз текислик-
иинг фазодаги ваэиятнни тулиц аницловчи баъзи мицдорлар ёрдамида,
унинг турли куринншли тенгламалари билан иш куриб, текисликка
оид цатор масалаларни цараб чицамиз. Фазодаги тугри чизиц эса
иккн текисликнинг кесишган чизиги деб царалади.
10- §. Текисликнинг аффин репердаги турли-тенгламалари
1. Ноколлинеар икки рр pt вектор ва битта Мо нуЦта П текис
ликнинг вазиятини тула аницлайди.
VМЕП нуцтани олайлик. У
цолда М0М вектор plt рг вектор-
лар билан компланар булади, де-
мак, бу векторлар чизицли бог-
лиц булиб, бундан уларнинг
координаталаридан тузилган учин-
чи тартибли детерминант нолга
тенг булиши келиб чицади (171-
.чизма), шунн*’ координаталарда
ёзайлик.
171- чизма
М0(х0, Уо, z0), pjfOj, blt cj, p2(at, b2, c2) (1)
булсин. M нинг координаталарини х, у, г деб белгиласак, MJA (х—
— х0, У~Уо> z — z0) булиб, цуйидаги тенглама цосил булади:
X—х0
01
а»
У — Уо z —z0
bi Ci
ct
= 0.
(2)
Аксинча, (2) шарт бажарилса, М нуцта албатта П текисликка тегиш-
ли булади. Демак, (2) П нинг тенгламаси. Бу тенглама берилган
нуцтадан утиб, берилган (ноколлинеар) икки векторга параллел бул-
ган текисликнинг тенгламаси деб юритилади.
Бундан ташцари, Мо/И, р1г р2 векторлар бир текисликда ётгани
учун улар чизицли боглицдир, яъни
М0М = upi + vpt, и, v£R,
бу ерда и, v сонлар параметрлардир. (3) дан
x— x0 = uai +сюа, х = atu + a2v 4-x0,
у — y0 = ubi 4- vb2t =* у = btu + b2v + y0, (4)
z — zo= UCi 4- VC2. Z = CjU + CJU + z^.
(4) текисликнинг параметрик тенгламалари деб аталади (и ва и
га исталган цийматлар бериб, текисликнинг шу параметрларга мос
нуцталарини топиш мумкин).
Энди (2) тенгламани цуйидагнча ёзайлик:
А(х—х0) + В(у — y0) + C(z — z0) = 0, (5)
бундан
А = I*» с>|, В = |С1 Ч С = !а» {11. (6)
I*» 1с2 кЦ ^11
(5)=>Ах + Ву + Cz — (Лх0 4-+ Сг0) = 0, бунда — (Дх0 + Ву04-
4- Cz0) = D
рщсгк..
Ах 4- By 4- Сг 4- D = О (7)
тенглама цоснл булади. (2) <=► (7) булганн учун (7) \ам текислик-
нинг тенгламасидир. (6) да А, В, С ларнинг камида биттаси нолдан
фарцли (Л* 4- В2 4- С2^ О), акс цолда Л = В = С = 0 булса, (6) дан
at = Лда, bt = М2, q = Хса=»- pi || р2, бу эса plt р2 ларнинг бери-
лишига зид. Шундай цилиб, текислик аффин реперда (7) чизицли
тенглама билан ифодаланади. Бу хулосанинг тескариси цам уринлн-
дир, яъни (7) куринишдаги цар цандай чизицли тенглама фазодаги
бирор аффин реперга нисбатан текисликни аницлайди.
Хацицатан, Ах 4- By 4- Cz 4- D = О (Л2 4- В2 4- С*#= 0) тенглама
бирор аффин реперда бирор нуцталар тупламини аницласнн. Уч уз-
гарувчнин боглаган бу тенгламанинг ечими чексиз купдир, уларнинг
бири (х0, у0, z0) булса, у цолда Ах0 4- Ву0 4- Cz0 + D = 0, бундан
ва (7)дан=*-Л(х — х0) 4- В (у — у0) 4- С (г— zo) = O— текислик тенг-
ламасидир.
(7) тенглама текисликнинг умумий тенгламаси деб аталади.
2. Бир тугри чизицда ётмаган учта нуцта текисликнинг вазияти-
ни тула анидлайди. Шу маълумотларга кура унинг тенгламасини ту-
зайлик. Берилган нудталар Мг(хи уи z^, МЛ(х2, у2, z2), А43(х3, у3,
z3) булсин. Биз Af0=Aflt р1=Л41Л42, р2 = МХМ3 десак, зрмда
MiM2(x2 xlf у2 ylt z2 Zj), MiM2 (x3 xIt y3 — ylt z2 — Zj)
ни эътиборга олсак, (2) тенглама дуйидаги куринишни олади:
X —Х1 у — yi Z — Zi Xt — Xi у2 — У1 z2 — Zi *3 — Xi Уз — Уг z3 — Zi = 0. (8)
Уч нукдадан утган текисликнинг тенгламаси шудир.
Агар текислик координаталар бошидан утмаса, у Ох, Оу, Ог уц-
ларни учта Al^a, 0, 0), Л42(0, Ь, 0), Л43(0, 0, с) нуцтада кесади.
бу ерда а, Ь, с текисликнцнр' шу уцлардан ажратган кесмаларидир.
Бунга (8) куринишли тенгламани татбиц циламиз:
х— а у z
— а b О
— а О с
= 0,
бундан
(9)
бу тенглама текисликнинг координата уцларидан ажратган кесма-
лари буйича тенгламаси деб аталади.
Биз бу параграфда текисликнинг 6 хил куринишдагн (2). (3). (4),
(7), (8), (9) тенгламаларинн курдик.
I-мисо л. Текислик А (2, 0, 3) нуцтадан утиб, рх(1а О, 1),
pt(2, 1, 3) векторларга параллел булсин. Шу текисликнинг пара-
метрик ва умумий тенгламаларинн тузинг.
Ечиш. Берилганларнн (4) куринишдагн параметрик тенглама би-
лан солиштирсак, хв = 2, уо = О, z0 = 3, ^ = 1, Ь^ — О, с1=1,
at = 2, bt — 1, с2 = 3; буларни (4) га цуямиз:
х и и + 2с + 2, у = и, г = и + Зи + 3.
Энди текисликнинг (2) куринишдагн тенгламасини ёзайлик:
х —2 у — О
. 1 О
2 1
. Бундан
(z - 3) + 2у - (х - 2)—Зу=О
ёки х + у-г-i-1 = 0.
2-мисо л. ABCD тет-
раэдр берилган. А учни коор-
динаталар боши цамда ег =
=АВ, et = АС, еа = ~AD деб
олиб, BDC ва EDC текислик-
лар тенгламаларинн тузннг
(бунда Е нуцта АВ цирранинг
уртаси) (172-чизма).
Ечиш. Берилншига кура
В—(О, elt et, eg) =(А, АВ, АС,
—>-
AD) булиб, тетраэдрнинг учла-
ри ва Е нуцта бу реперга
Жсбатан цуйидаги координа-
'^ларга эга:
Л (0, 0, 0), В(1, 0, 0)
2 — 3
1
3
= 0.
, С (0, 1, 0), 0(0, 0, 1),
е(— ; 0, 01
\ 2 )
у цолда BCD текисликнинг тенгламаси (8) га асосан
х— 1 у
— 1 1
— 1 О
Z
= О=*(х—1) 4- г + у = О=>
^х + у + г— 1 = 0.
Шунинг сингари EDC нннг тенгламасини тузамиз:
2х+ ^ + z—l = 0.
3-мисол. Текислик (2) ёки (7) тенглама билан, р вектор (а,
• —
Р, у) координаталари билан берилган булса, р векторнинг текис-
ликка параллеллнк шартнни топинг.
Ечиш:
р || П =* (р
PiPi)= о=>
а Р У
ai bi ci
а2 Ьл с,
= 0.
Бу детерминантам биринчи йул элементлари буйича ёйсак ва (6) ни
эътиборга олсак,
Аа 4- ВР 4-Су = 0. (10)
Бу изланган шартдир.
11-§. Текисликнинг умумий тенгламасини текшириш
Биз аввалги параграфда Ах + By+ Cz + D = 0 тенгламани те-
кисликнинг умумий тенгламаси деб атадик \амда А, В, С, D пара-
метрларнинг тайин цийматларида бу тенглама тайин текисликни ифо-
далашини курдик.
Энди баъзи хусусий ^олларни куриб чицайлик.
1) D = 0=*Лх + By 4- Cz = 0 —текислик координаталар бошидан
утади (173-а чизма).
2) С = 0=^ Ах 4- By 4- D = 0 — бу текислик (10) га асосан е8 (0,
173- чизма
О, 1) векторга параллел булади, демак, Oz уцца цам параллел (173-
б чизма).
• Шунга ухшаш (7) да В = 0 (ёки А = 0) булса, текислик Оу уц-
Ох уцца) параллелдир. Бундан цуйвдаги умумий хулоса ке-
jMtf шцади: текисликнинг умумий тенгламасида цайси узгарувчи цат-
•йшаёа, бу тенглама билан аннцланадиган текислик шу узгарувчи
билан бир исмли координаталар уцига параллелдир.
3) С= D = 0=> Ах +Ву = О, ОСП ва П II Ог=> текислик Ог
уцдан утади (173- в чизма).
1-мисо л. Бирор аффин реперга, нисбатан цуйидаги текисликлар-
нинг вазиятини аницланг:
а) х — г + 1 = 0; б) х +$У + Зг = 0;
в) х — 2 = 0; г) 2у — г = 0.
Ечиш. а) х—г-4- 1=0, бу ерда В = 0, яъни 2- цол: текислик
Оу уцца параллел (174-а чизма).
б) х + 2у + Зг = 0, бу ерда D = 0=> текислик координаталар
бошидан утади (174-6 чизма).
174- чизма
в) х — 2 = 0, бу ерда В = С = 0 текислик уОг текисликка па-
раллел булнб, абсциссалар уцини мусбат йуналишидан 2 бирлик
кесма кесиб утади (174- с чизма).
г) 2у—г = 0, бу цолда А = D = 0 булиб, текислик Ох уцдан
утади (174- д чизма).
Эслатма. Агар текислик тенгламаси берилиб, унинг бирор ре-
пердаги тасвирини чизиш талаб цилинса, умумнй цолда цуйидагича
Ш. курилади: тенгламада уч номаълум булганн учун улардан икки-
Шига ихтиёрий цийматлар бериш билан унинг чексиэ куп ечим-
Ж^ини топиш мумкин. Шу ечнмлардан ихтиёрий учтасини олиб, ко-
С|Й1инаталари шу сонлардан иборат (бу уч нуцта бир тугри чизицда
ётмайдиган цилиб олинади) учта нуцта ясаймиз.
Текислик тасвирини чизишда купинча унинг координата уцлари
билан кесишган нуцталарини топнш цулайдир, бунинг учун узгарув-
чиларнинг иккитасига ноль цийматлар бериб, учинчи узгарувчини бе-
рилган тенгламадан топилади (О=/=0 шартда).
12- §. Аг + By + Cz + D ииюрасинииг геометрик маъноси
Ах + By 4- Cz + D = 6 булсин. 6 = 0 булган цолда тенглама бн-
рор П текисликни аницлайди. Табиийки, П га тегишли булмаган цар
цандай нуцта учун 6 =#= 0. Маълумкн, П текислик фаэони икки цисм-
га ажратади, буларнинг бирини <1\, иккинчисини Ф2 деб белгилай-
лик.
Теорема. МДХр ylt zJGOp М2(х2, у2, г^$Ф2 бдлса, Ахг +
4- Byt + C?i 4- D = bMi, Ах2 4- Ву2 4- Cz2 + D = 6М сонларнинг
шиоралари %ар хил булади.
Исбот. Хакнцэтаи» бу вацтда МгМ2 кесма П текислик билан
бирор Л40(х0, у0, z0) нуцтада кесишиб, бу нуцта кесмани би-
рор X нисбатда (X > 0, чунки А4в С (Мt М2)) булади, яънн
„ __ *1 4- X ______У14- X _ z, 4- Xza
°- , + х . &0 ~ ,+х . z0- 1+х .
Лекин Мо € П => Ах0 4- Ву0 4- Сг0 4- D = 0. Бу тенгликка xe, у0, г0
ни цуямиз:
д / *i 4~ Xxg \ . / У14~ X \ . q / z 14~ X Zg \ I Л — л
\ 14-Х J \ 14-Х / \ 14-Х У*1"
бундан
A (Xj 4- Хх2) 4- В(yt 4- Xу2) 4- C(z, 4- X г2) 4- В (1 4- X) = 0
ёки
Axt 4- Byt 4- Czi 4- D 4- X (Axt 4- By2 4- Cz2 4- D) = 0.
Юцоридаги белгилашимизга асосан:
6 м 4-Хб^ =0=>Х = —
6М,
шартга кура X > 0 => 6Mt ва 6М сонлар цар хил ииюралидир. ▲
Бундан цуйидаги хулосага келамиз: нинг бирор нуцтаси учун
6 > 0 (ёки 6 < 0) булса, унннг цолган барча нуцталари учун цам
6 > 0 (ёки 6 < 0); Ф2 учун цам шуларни айтиш мумкин.
Демак, текислик фазони икки ярим фазога ажратиб, шу текис-
лик тенгламасидаги узгарувчилар урннга ярим фазолардан бирига те-
гишли барча нуцталарнинг координаталарини цуйганимизда цосил бу-
ладиган сонларнинг ишоралари бир хилдир.
Мисол. 3x — y + 4z+ 1 =0 тенглама бнлан аницланадиган те-
кислик учлари Afa(l, 2. 1), М,(—1, 2, —5), A43(l, V 2, 5) нуц-
таларда булган учбурчакнииг томонларидан цайси бирини кесади?
Ечиш.
6Mi = 3-1 —2 4-4 -1 4- 1 = 6 > 0,
6W< = 3(—1) —2 + 4(—5)4-1 = — 24 <0.
6^ = 31 — |/Г 4-4-5 4- 1 =24 — >0.
Бундан куринадики, М^Ф^ М^ф, булиб, берилган те-
кислик учбурчакнинг AfjM,, Л4аЛ43 томонлари билан кеси-
шади.
13- §. Декарт
Биз 10-§ да те
риб утдик.
учун аффин
уз
ха
куч
. л
С
и. Демак,
А
' =0
Хуллас
рнидш
и.
те
те
мани
В
тенгл
рам
да текнсликка дойр баъэи масалалар
аффин репердаги тенгламаларинн ку-
аффин репернинг хусусий ^оли булгани
нлган тенгламалар декарт реперида ^ам
декарт реперида текнсликка дойр метрик
ни ечиш мумкин.
У
в.
и
Эндц
охирги
куп
4- Сг 4- D = 0 тенглама аффин реперда текисликнинг
идир, шу тенгламани декарт реперида царасак, А,
нинг му^им геометрик хоссаси аён булади.
цатаи, ^берилган тенгламага эквивалент булган ушбу тенгла-
(А
(х^х0) +В(у — у0) 4-C,'(z-z0) = 0.
ва MqM (х —х0, у—у0, z —z0) деб олинса,
инг чап томэни п ва MqM векторларнинг скаляр
ифод
= 0=> n-LMoMGII => |п_1_П.
нлар берилган текнсликка перпендикуляр век-
. Шу вектор текисликнинг нормал вектори деб ата-
*о) + В(у — у0) 4- С (г — z0) = 0
(И)
берилган М0(х0, Уо,
ва уни ушб
слатма. Теки
тенгламасини ве
Q векторга перпендикуляр т
лимиз.
= 0,
гп.—
нунтадан утиб, берилган п (Л, В,
икнинг тенгламаси деб аташга
— *п) + В (у—у0) + С (z — Zo) =
ишда ёзсак,
7(х, у, z), ro(Xo, у0, z0),
п(А, В, С))
r0* п = р, г п = р (р — const)
шаклга келтирсак, векторлар алгебрасида «булиш» амалининг мавжуд
эмаслигига ишонч ^осил циламиз. (ц. [1], 329- бет), ^ацицатан
г п = р
тенгламада п вектор ва р скаляр маълум, г вектор эса номаълум
цисобланса, бу тенгламанинг г га нисбатан ечимн чексиз куп —
цутбдан цуйилган радиус-вектор охирлари туплами текисликни «тул-
—
диради*, ечим ягона эмас, демак, ах = р куринншли тенглама
ечимга эга эмас (ц. (1], 388-бет).
2. Энди берилган нуцтадан берилган текисликкача булган масо-
фани топиш масаласнни царайлик.
Таъриф. Берилган нуцтадан берилган П текисликкача
булган масофа деб, шу нуцтадан текисликка туширилган перпенди-
куляр тугри чизицнинг текислик билан кесишган нуцтаси орасидаги
масофага айтилади.
П текислик умумий тенглама билан берилган булиб, М1(х1, уи
Zj) € П булсин. дан П га перпендикуляр тушириб, унинг асоси-
ни А40(х0, у0, z0) десак, Л40£П булгани учун
Ах0 4- Ву0 + Сг0 + D = 0. (12)
У цолда п (Л, В, С) вектор П нннг нормал векторидир.
—► ' —> -“* —►
п || MoMlt демак, M^M^n =|M0M1||n| cos(MqMj,и) =
= р(М1, П)Й-(^ 1),
бундан:
р(М1,П)=^1^1-
1"1
М0М1(х1 — Хо, У1~Уо, *1—*о): (13) дан
р (М П) = (х* — хо) 4- G/1 — уо) Д + fa — го) С _
И-Ч 4~ 4- Cz-j — (Ах0 Ву0 4- Cz0)|
(12) га асосан
р(М1г П)= И*» + д»ь4;С?и4-Р1
(13)
(14)
(15)
Бу иэланган формуладир. Хусусий цолда, координаталар бошидан
текисликкача булган масофа:
р(0, П) =
IDI
УЛ2 4- В4 4- С1
(16)
1-мисол. М,(1, —2,2) нуцтадан 2х + у-^-2г—7 = 0 те-
кисликкача булган масофани топинг.
Ечиш. (16) форыулага асосан:
р (М П) = 1Atl + + Сг«+ и = 12-» + (~2) + 2-2-7| =
*’ УЛ»4-В’ + С’ У 2> + Р + 2»
1-31 .
= ---- — I.
3
2-ми со л. SABC пирамиданинг S учи декарт реперининг бо-
шида, ён ёцлари эса координата текисликларидан иборат. SA:SB:
: SC =• 1: 3:2 шартни бажариб, пирамиданинг баландлиги SH = 6
булса, АВС текисликнинг тенгламасини тузинг (Л, В, С учларнинг
координаталари мусбат).
Ечиш.
SA:SB:SC= 1:3:2=>SA = X, SB=3X, SC =21 (17)
десак, шартга кура X > 0. ЛВС текисликни тенгламаси (9) га асо-
сан:
— -|—-—|—— = 1 ёки х + — у — г — 1 = 0.
ХЗХ2Х ^32
Энди X ни топайлик. Пирамиданинг SH баландлиги координаталар
бошидан ЛВС текисликкача булган масофага тенг. (15) дан:
S/7 = 6=>-^— = 6=>1 = 7.
7
Иаланган тенглама:
х+4 У+^-г — 7 = 0.
о X
14- §. Текисликларнинг узаро вазияти
1. Икки текисликнинг узаро вазияти. Бирор <® = (О»
—*
elf ег> ез) аффин реперга нисбатан Пп П2 текисликлар умумий тенг-
ламалари билан берилган булсин.
Пр Л1х^+ В^ + CjZ + Dj = 0,
П2 : Агх -|- В^у + C2z + Z?a = 0. (18)
Икки текислик ё тугри чизиц орцали кесишади, ёки улар узаро
параллел булиб, умумий нуцтага эга эмас, ёки устма-уст тушади.
Ъу цолнинг цай бири юз беришини билиш учун га тегишли
Тенгламалар системасини текширамиз. Аввало цуйидаги матрицаларни
тузиб оламиз:
М =
‘а
С2Г (.Л, Вл Ct Dt)
М матрицанинг рангини г, кенгайтирилган Л1* матрицанинг рангини
эса г* деб белгилайлик. Бу ерда цуйидаги доллар булиши мумкин.
1. П1Р П, текисликлар устма-уст тушса, уларнинг тенгламала-
рида
At = X = КВ2, Cj = X Са, Di = XD2,
яъни
(191
175- чизма
Аксинча, (19) шартлар уринли булса, (18) тенгламалар эквива-
лент булиб, П2 = П2, демак, П2 = П2 -<==>r* = г = 1 (175- а чизма).
2. П,, П2 лар дор хил, лекин параллел булса, у цолда (19)
шартлардан биринчи учтаси бажарилади, лекин (175-6
чизма), бу вацтда г* = 2, г = 1.
3. г* = г = 2 булган цолда тенгламалар системаси биргаликда
булади, бошдоча айтганда, Пр П2 текисликлар умумий нуцтага эга,
демак, улар бирор тугри чизиц буйича кесишади (175-с чизма).
176- чизма
—>- —>
ликларнинг пДЛ^ В2, С2), п2
орасидаги бурчакка тенг булади
ляр булган бурчаклар тенгдир).
Пр П2 орасидаги бурчакни ф
Метрик характерли масалалар-
дан бири икки текислик орасида-
ги бурчакни топиш масаласидир.
Икки текислик кесишганда
туртта икки ёцли бурчак досил
булиб, улардан узаро вертикал
булганлари тенг (176- чизма).
Демак, иккита дор хил бурчак
досил булиб, буларнинг бири
иккинчисини л га тулдиради.
Шунинг учун шу икки бурчакдан
бирини топсак кифоя. Икки ёц-
ли бу икки бурчакдан бирининг
чизицли бурчаги берилган теКис-
(Л2, В2, С2) нормал векторлари
(мос томонлари узаро перпецднку-
десак.
cos <p = cos (nv n2) =
______________AfAa 4- BjBt + C|C2
Л| + в? + С] |/ л| + В 2 + ^-2
(20)
Бурчак косинуси маълум булса, бурчакнинг узини цисоблаш осон-
дир.
2. Учта текисликнинг узаро вазияти. Бирор аф-
фин реперда текисликлар умумий тенгламалар билан берилган бул-
син.
TIj: Агх + Вгу -|- CjZ + Dx = 0,
П2: Агх + + С^г + D2 = 0, (21)
П3А3х + Bay -b.CgZ + D3 = 0. •
Бу уч текисликнинг узаро вазиятини аницлаш бу тенгламалар систе-
масини текширишни тацозо цилади. Берилган тенгламаларнинг коэф-
фициентларидан цуйидаги матрицаларни тузамиз:
/Л, Bj СД
М = I Аг В» Сг |,
уЛ3 В3 С3J
М* =
Л1 Bj С3
А3 В2 Сг D2 |
В3 ^з ^з)
Бу матрицаларнинг рангларини мос равишда г, г* деб белгилайлик.
Равшанкн, 1 < т < 3, 1 < г* < 3 цамда г < г*.
Цуйидаги цолларни айрим-айрим куриб утамиз:
к г —- 3 г* = 3- Бу вацтда юцоридаги учта тенглама биргалик-
да булиб, ягона ечимга эгадир, демак, берилган учта текислик бит-
та умумий нуцтага эга (117-а чизма).
•••• 2. г ==, 2, г*=3. Л1, М* матрицаларнинг ранглари узг.ро тенг бул-
магани учун берилган система ечимга эга эмас, демак, текисликлар-
-цинг учаласига тегишли нуцта мавжуд эмас. Лекин бу вацтда цуйи-
даги. икки цол булиши мумкин.
' а) М матрицанинг ихтиёрий иккита сатрининг элементлари про-
порционал эмас, у цолда учта текисликнинг цар СИКитаии khchiiihOj
цосил булган учта тугри чизик. цараллелдир (177-6 чизма).
-6) М матрицанинг тайин икки сатри элементлари пропорционал
булса, шу сагрларга мос текисликлар параллел булиб. .учинчи текис-
лик уларни албатта кесиб утади (177- в чизма).
3. г = 2- г* = 2- Бу вацтда Л1, М* матрицаларнинг фацат икки
сатри элементлари пропорционал булмасдан, цолган битта сатри шу
икки сатр элем ентларнинг чизицли комбинациясцдан иборат булади,
демак, учала текислик битта тугри чизик орцали кесишади (177-г
чизма).
ii: 4. г* = 2. Бу цолда система биргаликда булмайди, демак,
nv П,, П3 лар умумий нуктага эга эмас. Лекин г* = 2 булгани
учун цуйидаги хулосани чицарамиз: Пр П2, П3 дан иккитзси парал-
лел б^либ (уМумий нуцтасиз), учинчиси булардан бири билан устма-
у(гт тушади (177-е чизма), ёки уларнинг учаласи параллел (умумий
нуцтасиз) (177- д чизма).
177- чизма
5. j = J. г* = j. Бу вацтда берилган тенгламалар системаси чек-
сиз куп ечимга эга булиб, у система фацат битта чизицли эркли
тенгламадан иборат булиб цолади, демак, nit П2, П3 текисликлар-
нинг учаласи устма- уст тушиб цолади.
1-м ис о л. Декарт реперида П1:2х + 5у + 4г-1-15 = 0 ва
П,: 6 х — 3 г + 2 = 0 текисликлар берилган. Бу текисликларнинг $за-
ро вазиятини аницланг цамда улар орасидаги бурчакни цисобланг.
Ечиш. Берилган тенгламаларнинг коэффициентларидан цуйидаги
матрицалар тузамиз:
М = (2 5 4\ M..S2 5 4 15\
V6 0 —ЗГ \6 0 — 3 2/
I? = — 30 г = 2 ва г* = 2.
|о — о|
Демак, берилган текисликлар кесишади.
Энди (20) формула буйича шу текисликлар орасидаги бурчакни'
топайлик: ^(2, 5, 4), п2(6, 0, —3);
2.6 + 5-О + 4(— 3) 12—12 _
cos® = .. — ——г - = г —==- = 0о>® =
v + 5» + 4» ./б» + 0« + (— 3)» /45 -/45
= 90e^-lt1_Lns.
2-мисо л. Аффин реперда берилган
П1:2х — у + г — 4 = 0,
П8:х + у —2 —2 = 0,
П8:2х — у + Зг —6 = 0 (•)
текисликларнкнг узаро вазиятини аницланг цамда уларнинг кесиш-
масини топинг.
Ечиш.
/2—1 1\ /2 -1 1 —4\
М=[1 1—11. Л1* = [1 1—1—21
\2 — 1 3/ \2 — 1 3 — 6/
матрицаларни тузиб, уларнинг рангларини ^исоблайлик:
2
1
2
1 —1
= 6 0 => г =3,
— 1 —3
демак, г* = 3. Юцорида курилган 1-^олга асосан бу текисликлар
битта нуцтада кесишади. Шу нуцтани топайлик, унинг учун (*) сис-
темани ечамиз. Системадаги биринчи ва иккинчи тенгламаларни куш-
сак,
Зх — 6 = 0=>х = 2,
у цолда'иккинчи ва учинчи тенгламаларга х = 2 ни ц^йсак,
у — г = 0,
— у + 3 г — 2 = 0.
Бундан 2г — 2 = 0=>г = 1 =>у = 1. Текисликлар (2, 1, 1) нуцтада
Кесишади.
3-мисо л. Аффин реперда берилган
П^х + у — г+ 1 = 0,
П8:х + у — г = 0,
П,: — х — у 4-г— 1 = О
текисликларнинг узаро вазиятини аницланг.
. Ечиш.
/ 1 1 — 1 \ /1 1—1 1 \
^ = 1 1 1 —1 ). Л1* = | 1 1—1 о I.
\— 1 — 1 1 / \— 1 — 1 1—1/
Бу матрицалариинг рангларини цисобласак,
г=1, г* = 2.
Бундан куринадики, бу текисликлардан иккитаси, аницроги Пх, П8
устма- уст тушади, лекин 1| Oj || П3 (Пх f]П8 0# П8 f] П8 — 0).
15-§. Текисликлар дастаси ва боглами
Бирор аффин реперда кесишувчи иккита текислик берилган бул-
син:
Пж :Аах + В2у + С2г + D, =0, П2: А^с + В^у + C2z + Da = 0,
(A R С \
л » г1) матрицанинг ранги 2 га тенг. Маълумки,
Од С2/
икки текисликнинг кесишмаси тугри чизицдан иборат, уни Щ П П» =
= и деб олайлик. П, нинг тенгламасини X га (X =/= 0), П2 нинг тенг-
ламасини р. га (р. #= 0) купайтириб, цушсак,
- X (Лхх + Bty -|- CjZ + + р. (Алх + Bjj -f* Cj2 -|- D2) = 0
ёки
(X A+p Аг)х Ь (X BL+p В,) у + (X Q+p C2) z+X 0,+p Da = 0. (22)
Бунда x, у, г нинг коэффициентларидан камида биттаси нолдан
фарцлцдир, акс цолда ХЛ1 + рЛа = 0, ХВ1 + рВ2 = 0, ХС\4-
+ р С2 = 0 булса, булардан
Л1:Ла = В1:Аа=С1:Са = -(р:Х) (23)
булиб, Л1 матрицанинг ранги 2 дан кичик булар эди, бу эса фараз-
га зиддир. Демак, (22) чизицли тенглама бирор ГТ текисликни аниц-
лайди. Шуниси диццатга сазоворки, и тугри чиэицнииг цар бир нуц-
тасининг координаталари берилган системани цаноатлантиргани учун
у координаталар (22) ни цам цаноатлантиради. X ва р. га цар хил
цийматлар бериш билан (22) тенглама орцали аницланадиган ва и
тугри чизицни уз ичига олувчи текисликлар цосил булади. Бундай
текисликлар туплами и учли текисликлар дастаси ва (22) эса дас-
та тенгламаси дейилади. Равшанки, фазода и га тегишли булмаган
нуцта берилса, бу нуцтадан и уцли дастага тегишли битта текислик
утади.
Бирор П текнсликка параллел булган фазодаги барча текислик-
лар туплами цам текисликлар дастаси дейилади. Бундай дастанинг
берилиши учун шу дастага тегишли тайин битта текисликнинг бери-
лиши кифоядир. Хацнцатан цам, П: Ах + By + Сг + D = 0 шундай
дастага тегишли тайин бир текислик булса, у цолда Ax-f-By-t-
4- Сг + X = 0 тенглама шу дастанинг тенгламаси булади. X га тур-
ли цийматлар бериш билан П га параллел текисликлар топилади.
Хусусий цолда X = D булганда П текисликнинг узи цосил булади.
Фазодаги ихтиёрий нуцтадан дастага тегишли фацат битта текис-
лик утади.
Энди текисликлар боглами тушунчасига тухталамиз.
Таъриф» Фазодаги тайин Мо нуцтадан утган барча текисликлар
туплами текисликлар бордами деб аталади. Мо нуцта боеламнинг
маркази деб аталади.
Марказинииг берилиши билан боглам тула аницланади. Марказ
Alo (хо> Уо, А>) берилган булса, боглам тенгламасини тузайлик.
П: Ах + By + Сг + D = 0 текисликни Мо нуцтадан утказсак,
230
Ах0 + By0 + Cz0 + D = 0 булади, бу айниятни Ax + By + Cz +
+ D = 0 тенгламадан цадлаб айирсак,
A(x— x0) + B(y — y0) + C(z — z0) = 0. (24)
Бу тенглама Л1о нуцтадан утган текисликни ифодалайди, А, В),
С га цар хил цийматлар (албатта учаласи бир вацтда ноль булмаган)
бераверсак, богламга тегишли текисликлар цосил цилинади. Шунннг
учун (24) ни маркази Мо нуцтадаги боглам тенгламаси деб айтиш
мумкин.
Боглам марказидан утмайдиган гхтиёрий тугри чизиц орцали шу
богламга тегишли фацат битта текислик утади. Богламни битта нуц-
тада кесишган учта текислик цам аницлаб бера олади, чунки бундай
цолда боглам маркази маълум (берилган учта текисликнинг кесиш-
ган нуцтаси).
Таъриф. Фазодаги тайин и тугри чизицца параллел булган бар-
ча текисликлар туплами текисликларнинг марказсиз боглами, тугри
чизиц эса боглам йуналтирувчиси дейилади.
Марказсиз богламни йуналтирувчи тугри чизиц тула аницлайди.
Масалан, и берилса, унга айцаш булган тугри чизиц орцали шу бог-
ламга тегишли фацат битта текислик утади. Бу богламнинг асосий
хоссаларидан бири шуки, и га параллел булмаган цар бир тугри
чизиц орцали богламга тегишли ф.цат битта текислик утади (чунки
и билан бу тугри чизиц узаро айцаш тугри чизицлар булиб, улар-
нинг бири орцали иккинчисига параллел фацат битта текислик утади).
и тугри чизицнинг йуналтирувчи и вектори цам марказсиз текис-
ликлар богламини тула аницлайди.
1-мисо л. 4х—у + За — 1 = 0, х + 5у — z + 2 = 0 текислик-
лар аницлаган марказли даста берилган, бу дастанинг (1, 1, 1) иуц-
тадан утувчи текислигини топинг.
Ечиш. Даста тенгламасини ёзамиз:
Х(4* — у + 3z— 1) + р(* + 5у — г + 2) = 0. (25)
Шартга кура
Х(4 — 1 + 3-1 — 1) + р(1 + 5-1 — 1 + 2) = 0 ёки X----— р.
5
Булардан:
— -^-р(4* — у + За — 1) + р(* + 5у — а + 2) = 0;
— 7(4* — р + За— 1) + 5(* + 5р — а + 2) = 0
ёки
— 23*+ 32у — 26а + 17 = 0.
2-мисо л. х + 4у — 2а + 5= 0 текислик билан аннцланадиган
марказсиз даста берилган. Шу дастага тегишли ва (2, —1, 3) нуцта-
дан утувчи текисликни топинг.
Ечиш. Дастанинг тенгламасини ёзамиз: Ах + By + Cz + X = 0.
Текисликларнинг параллеллик шартига асосан бу тенгламани цуйи-
дагича ёзиш мумкин: х 4- 4у — 2 z 4- X = 0. Бу текислик (2, — 1,
3) нуцтадан утади: 2 4-4-(—1) — 2-34-1 = 0=>Х = 8. Изланган
текислик: х-\-4у— 2г 4-8 = 0.
3-мисо л. Текисликларнинг марказли боглами битта нуцтада
кесишадиган
х + у — г 4-2 = 0,
4х — Зу 4-z—1 = 0,
2x4-1/ —5 = 0
текисликлар ёрдамида берилган. Шу бог лам га тегишли цамда хОг
текисликка параллел текисликни топинг.
Ечиш. Боглам маркази берилган учта текисликнинг кесишган
нуцтаси булади: (1, 3, 6).
Энди (1, 3, 6) нуцтадан утиб, у = 0 текисликка параллел текис-
лик тенгламасини Ах 4- By 4- Сг 4- D = 0 куринишда излаймиз. Бу
текислик у = 0 текисликка параллел булгани учун А = С= О, В=
= 1 булиб, t/4- D = 0; бу текислик шартга кура (1, 3, 6). нуцта-
дан утади, яъни 3 4- D = 0, D = — 3. Изланган текислик: у —
— 3 = 0.
16-§. Фазодаги тугри чизиц
1. Фазодаги тугри чизиц
узининг нуцтаси ва шу чизиц-
ца параллел бирор и=#0 век-
тор билан тула аницланади
(178-чизма).
(О, elf et, е3) реперда Мо
(х0. Уо> *о). и(1, т, п) бул-
син. Тугри чизицнинг ихтиё-
рий М (х, у, г) нуцтасини
олайлик:
ЛЦЛ || = /«(/€₽).
(26)
ОЛ1в = г0, ОМ = г десак
178-чизма _________=»------»
цамда AIqM = ОМ — ОМ0 ни
цисобга олсак, (26) ни цуйидагича ёзиш мумкин:
г = г0 + *ы- (27)
(27) тенглама тугри чизицнинг векторли тенгламаси деб атала-
ди, t га цар хил цийматлар бериш би пан тугри чизицца тегишли
нуцтанинг радиус-вектори топилади.
MqMIx — Xo, у—у„ z —z0) ва (26) дан
X — XQsat-l, X = X0 + t-l,
y — y0 = t mt ёки y = y0 + t m, (28)
z —z0 = /-n z = z0 + /-n.
Бу (28) тенгламалар системаси тугри чизицнинг параметрик тенгла-
малари деб юритилади. Мо — берилган нуцта, и эса и нинг йунал-
тирувчи вектори деб аталади.
Агар 1-т п =#= 0 булса, у цолда (28) => t = х^~х° , / = у~у° ,
I т
t= г—г~, булардан
п
х хо _ У У о _ г гь (291
I т п ‘ '
Бу тенгламалар тугри чизицнинг каноник тенгламалари деб ата-
лади.
2. Тугри чизицнинг икки нуцтаси унинг фазодаги вазиятини тула
аницлайди: фараз этайлик, АМ-Ч- У и ?1)> Alt(x„ уг, zs) нуцталардан
и тугри чизиц $тсин (Alj =/= Alj). Олдинги банддаги Мо нуцта урни-
га Мц ва и = МгМл олинса, (29) га асосан:
х~х1 У — У1 = z~ zi
*i yt—yi 4—4
(30)
Берилган икки нуцтадан утган тугри чизицнинг тенгламалари (30)
дир- г
3. Фазодаги цар бир тугри чизицни икки текисликнинг кесишиш
чизиги деб цараш мумкин. Шунга мувофиц.
FIj: Atx + Biy + CjZ -f- Di = 0,
П,: A2x + В2У + Caz -|- Dt = 0
(31)
тенгламалар системаси ПрЦЛ,*- /jrBj. C, шарт бажа-
рилганда тугри чизицни аницлайди (179-чизма).
Тугри чизицнинг юцорида курилган (27) — (30) тенгламаларининг
биридан цолганларига утиш мумкин. Ленин у (31) куринишдагн тенг-
ламалари билан берилса, каноник
куринишга бевосйта утиш мум-
кин эканлиги очицдан-очиц рав-
шан эмас. Биз цозир шу масала-
га тухталамиз. Каноник тенгла-
маларни ёзиш учун тугри чи-
зицнинг битта нуцтаси ва йунал-
тирувчи векторини билиш керак.
(31) уч номаълумли икки тенгла-
ма, демак, узгарувчилардан бири-
га, масалан, г га z = z0 циймат
бериб ва цосил цилинган икки
номаълумли иккита тенгламани
179- чизма
ечиб, х = *0, у=у0 цийматларни топамиз (бунда биз =#=0 деб
1”1 &2I
фараз цилдик). Натижада (х0, у0, г0) нуцта (31) турри чизицца те-
гишли булади, у цолда (31) ни цуйидагича ёзиб олсак булади.
А 1 (* — *о) + (У — У о) + Сг (г — z0) = О,
Ла(ж — х0) + В2(у — у0) + C2(z —zj = 0.
Бу системадан цуйвдагиларни топамиз:
cj'- "-л-Я' %/' г-г«~Й в;|(-
Булардан
* —*о У~Уо г —г0
Агар (31) тенгламаларни декарт реперида царасак, n^Ap Blt С\)
вектор IIj текисликнинг п2(А2, В2, CJ вектор Па текисликнинг нор-
мал вектори булади. (32) тенгламалардаги махражларда турган ифо-
далар Пр П, текисликлар нормал векторларининг вектор купайтма-
сининг мос координаталаридан иборат, яъни и = [nlt ла].
—►
1-мисол. Л40(1, 0, —4) нуцтадан утадиган ва и(1, —3, 2)
векторга параллел тугри чизицнинг параметрик ва каноник тенглама-
ларини ёзиб. унинг учта нуцтасини топинг.
Ечиш. Бу ерди х0 = 1, у0 = 0, z0 = —4 ва /=1,т =— 3,
п = 2; тегишли тенгламалар цуйидаги куринишни олади:
X = 1 + t, 1 = У = г+4
У =—3t, 1 —3 2 '
г = —4 + 2/;
Энди шу тугри чизицнинг Мо. дан ташцари яна икки нуцтасини
топиш учун t га иккита циймат берамиз:
/= 1=>х= 2, у = — 3, г = — 2, (2. —3, —2),
/ = —1=>ж = 0, у = 3, z = —6. Л1а(0, 3. —6).
2- м и с о л.
2х — у + г — 4 = 0,1
x + y + 5z — 2 = О J
тугри чизицнинг каноник тенгламалариии ёзинг.
Ечиш. Бу тугри чизицничг бирор нуцтасини топамиз, z= 0 деб
фараз цилиш билан цосил цилинган
(2х — у — 4 = О,
+ у — 2 = 0
системадан х=2, у = 0=>М0(2, 0, 0).
Энди йуналтирувчи векторнинг координаталарини топамиз. Бу
ерда
Лх = 2, Вх = — 1, Cj =1, Ая = 1, В, = 1, Са = 5=>
Бу цийматларни (32) га цуямиз:
х— 2 у г . х— 2 у г
----= —2— = — еки -= — =----.
— 6 —9 3 2 3 —1
17-§. Икки тугри чизицнинг узаро вазияти. Икки тугри чизиц
орасидаги бурчак. Тугри чизяцлар боглами
Фазода Up u2 тугри чизицлар бирор аффии реперда ушбу пара-
метрик тенгламалари билан берилган булсин:
X = Хх +1^, х = х2 + ltt,
Ui’.y = yi + niit, u2:y =yt + mit
Z = Zi + riit, z = z, + nJ,
бу ерда ux(/x, mx, nx), u2(/2, m*, nJ.
Фазода икки тугри чизиц узаро параллел, кесишувчи ва айцаш
булиши мумкин. Шу цолатларии айрим-айрим курайлик.
1. их || и2=> ux || u2 у- = — = — . (33)
*2 /TZj
2. u1f]ui=^0, яъни Up и, тугри чизицлар кесишсин. Бу цолда
бу икки тугри чизиц бир текнсликка тегишли булиб, ux, Uj, MXM2
векторлар компланар, яъни (uxu2 MiMJ = 0 ёки
Zi nti пг
/2 тг па
xs—Xi уг~У1 г, — Zi
(34)
(34) тенглик их, тугри чизицларнинг бир текнсликка тегишлилик
шартидир.
Агар (34) шарт бажарилиб, (33) бажарилмаса, их, щ лар битта
нуцтада кесишади.
3. ва и2 кесишмаса цамда параллел булмаса, улар айцаш, де-
мак, айцаш икки тугри чизиц учуй
/1 тх
т2 пг ¥=0
х2 —Хх У* — У1 z2—zx
(35)
Up u2 тугри чизицларнинг декарт реперида царасак, метрик харак-
терли баъзи масалаларни цал цилиш мумкин.
4. Фазодаги икки тугри чизиц орасидаги бурчак.
Икки тугри чизиц орасидаги бурчак деб, бу тугри чизицларнинг
йуналтирувчи векторлари орасидаги бурчакка айтилади.
Параметрик тенгламалари билан берилган их, и, тугри чизицлар
учун ux (Zx, mlt nt), ия (Z„ тя, пя) бу т^гри чизицларнинг йуналтиру-
чи секторларидир, демак,
cos(ux, ия) =
_______Ijl» + + nxn,______
V/| + + П| • V /2 + ^ + ^2
(36)
Бурчакнинг косинуси маълум булса, бу бурчакни топиш осондир.
(«1. и») = у булса, ux _Lu, булиб, (36)=». ZXZ, + mxm2 + nxn, = 0. (37)
Бу шарт икки тугри чизицнинг перпендикулярлик шартидир.
5. Фазодаги айцаш икки их, и, тугри чизицнинг умумий перпен-
дикулярини топиш масаласини царайлик. Икки айцаш тугри чизиц
битта умумий перпеидикулярга эгадир.
их, и, тугри чизицларнинг тенгламалари параметрик куринишда
берилган булсни, у цолда уларнинг умумий перпендикулярининг
йуналтгрувчи вектори и = [ux и2] вектордан иборат, и вектор ва их
тугри чизиц билан аницланадиган текисликни Пх билан, и вектор ва
о, тугри чизиц билаи аницланадиган текисликни П, билан белгила-
сак, бу текисликларнинг кесншмасидан цосил цилингаи тугри чизиц
изланган тугри чизицдир.
Аниц мисолда бу тенгламалар содда куринишда булади. Шу-
нинг учун биз бу ерда куриниши анча мураккаб тенгламани келтир-
маймиз.
1-м и со л. Дуйидаги тугри чизицларнинг узаро вазиятинн аниц-
ланг:
х=?1 +2Z,
Ui:£/ = 7 + Z
z=3 + 4t
х = 6+ 3t,
ия:у = — 1 —2t,
г = — 2-Н.
Ечиш. их тугри чизицца: Мх(1, 7, 3), ux(2, 1, 4); и, тугри
чизицца; М,(6, —1, —2), и,(3, —2, 1). Энди (34) шартни текши-
рамиз:
2 '14
(uxu, М ХМ J =
3 — 2 1 =20 — 96 + 5 + 40 + 16 + 15 = 0,
5—8—5
демак, бу тугри чизицлар бир текнсликка тегишли.
2-мне о л. Ушбу икки тугри чизиц орасидаги бурчакни топинг
(декарт реперида).
и . У+ 1 =0, . *=°,
х* + 2г —1=0 аг —1=0.
Ечиш. Бу тугри чизицларнинг йуналтирувчи векторлариии топа-
миз:
/1^1 I Ci
Щв, С, Г С, А,
И1 М и( 1 °1 1° °1
|А, Вя )' Ч 0 2Г 10 2 Г
1°
11 o|)
~ut(2, 0, — 1), ut ( ° °L |° 1 . I1 ° 1 MO,—1,0),
M ' * V 0 11 11 0 |oo/ h
демак, u2=— j.
(36) га асосан cos <p = cos (up u2) = 0=> <p = 90° => J_ u8.
o x —2 jz+1 z—1 < + 4 y — 2 z + 2
3-МИСОЛ. u,: - = ; u ; _L_ = 2- = _J—
1 4 1 12 2—3
айцаш турри чизицлар умумий перпендикулярининг тенгламасини ту-
зинг.
——►
Ечиш. их (4, 1, —1), и8(2, —2, —3) векторларнинг вектор
купайтмаси и = [их М излайган тугри чизицнинг йуналтирувчи
вектори булади:
- I 1—11 1 — 1 4 14 1
и •
|—2 —3| 1 — 3 2 |2 —2
и (—5, 10, —10).
Up и, Мг (2, —1, 1) орцали аницлаиувчи текислик тенгламаси (2)
га асосаи
х — 2 у + 1 z —1
4 1—1
— 5 10 —10
= 0 ёки у + z = 0.
и2, и, М2(—4,
эса
2, —2) билан аницлаиувчи текислик тенгламаси
х + 4 у — 2 г+2
2 —2 —3
— 5 10 —10
= 0 ёки Юх + Чу + 2г + 30 = 0.
Демак, иэланган тугри чизиц тенгламаси:
У + z = 0.
Юх -f- Чу -f- 2z -f- 30 = 0.
Энди тугри чизицлар боглами цацида фикр юритамиз.
• Таъриф. Фазодаги тайин Мо нуцтадан утган барча тугри чи-
аицлар туплами Мо марцазли тугри чизицлар боглами деб аталади.
Af0 (х0, у0 z0) марказли боглам ушбу
х = х0 + It, у = у0 + mt, z = z0 +nt
параметрик тенгламалар билан ифодаланади, бу ерда /, т, п бог-
ламдаги цар бир т$гри чизиц учун тайин цийматларга эга.
Фазода Мо нуцтадан фарцли бирор М нуцта берилса, шу М
нуцтадан богламга тегишли фацат битта тугри чизиц утади.
Таъриф. Агар фазода. тайин и тугри чизиц берилган булса,
унга параллел барча тугри чизицлар туплами параллел тугри чи-
зицлар боглами деб аталади.
18-§. Фазода тугри чвзяц бнлан текисликнинг узаро вазияти
Декарт реперида и тугри чизиц параметрик тенгламалари билан,
П текислик умумий тенгламаси билан берилган булсин:
х = х0 4- U
и: у = Уо + mt, (38) и (I, т, п),
г = г0+nt,
П:Ах + Ву + Сг + Я = О (39) /Г(Л, В, С).
Давало, тугри чизиц билан текисликнинг кесишиш нуцтасини
топиш масаласига тухталайлик: бунинг учун берилган тенгламалар*
ни система деб цараш керак. (38) ва (39) дан
Л*о + вУо + Cz0 + D +1 (Al 4- Вт 4- Сп) = 0. (40)
А1 + Вт + Сп ф 0 шартд а
t__ Ах0 + Ву0 + Сг0 + D .
'--------Л + <41>
булади. t нинг бу цийматини (38) га цуйсак, изланган нуцта топи-
лади. .Пекин
А1 + Вт + Сп = 0 (4Г)
шарт бажарилса, яъни и JL п булса, и тугри чизиц П га параллел
—► —► —► —►
булади. Аксинча, и || П=> и JLп =>и • п =0.
Л&лак., и • n = А1 + Вт 4- Сп = 0 шарт тугри чизиц билан те-
кисликнииг параллеллигини билдиради.
и_1_П=»-i71| и (42)
A D С
бу (42) шарт тугри чизицнинг текисликка перпендикулярлигияи бил-
диради.
и € П булган дол учун тугри чизиц билаи текислик узаро ва-
зиятининг хусусий цолидир. Бу вацтда (4 Г) шарт бажарилиб,
ундан ташцари Мо G П булиши
лозим, яъни
Ахо 4- Ву0 4- Сг0 4- D = 0. (43)
Демак, и сП е» (4Г), (43).
Энди т^гри чизиц билан те-
кислик орасидаги бурчакни то-
пиш формуласини берамиз.
Таъриф. Тдери чизиц би-
лон текислик орасидаги бурчак
деб, тугри чизиц билан унинг
шу текисликдаги ортогонал про-
екцияси орасидаги бурчакка ай-
тилади (180-чизма). Биз 0<<р
деб фараз циламиз.
180-чизмадаи куринадики, <p нинг урнита (n, и) бурчакни ца-
бул цилиш мумкин. Бу бурчак — — ф га ёки---------Нф га тенг. Де-
2 2
(л
_ —<р
= sin <p, cos
= — sin <p, шунинг учун
sin <р = | cos (п, и ) | =
______| Л/ + Д/п + Сгц_
/Д2+ Дг + С, • ур + т^ + г^ •
(44)
1-мисол. Ушбу
х = 1 + 2t,
у=Ы,
z = —2 -f-t
тугри чизиц билан 2* — у + г + 1 = 0 текисликнинг кесишиш иуц-
тасини топинг.
Ечиш. Тугри чизиц тенгламаларидаги х, у. z нинг цийматлари-
ни текислик тенгламасига цуямиз:
2(1 +2/) —+ (—2+0 + 1 = 0 ёки * = —
У цолда *= 1 + 2(-1) = 0, у = — 1 z = — 2—=
V / * 4 Z
/л 3 5\
изланган нуцта 10, ——yl.
о *+3 у — 2 z+l . - . . _
2- м и с о л. —j— = -—— = —у- тугри чизиц билан 4* + 2у +
+ 2г — 5 = 0 текислик орасидаги бурчакни топинг.
Ечиш. и (1, —2, 2), п (4, 2, 2),
. = 14-1 + (—2) - 2 + 2 • 21_____, 4 _
Ф /4s + 2*+2J /1* + (—2)4-2" /24^9
/б . Уб
= — =► ф = arc sin _.
9 9
3-м исол. Р (7, 9, 7) нуцтадан = ^-у1 =у тугри чизиц-
цача булган масофани топинг.
Ечиш. Нуцтадан тугри чизиццача булган масофани топиш учуй
биз формула берганимиз йуц, бундай масала цуйидагича осон цал
цилинади:
а) берилган нуцтадан утиб, берилган тугри чизицца перпендику-
ляр текислик тенгламаси тузилади;
б) шу текислик билан берилган тугри чиэицнииг кесишган нуц-
таси топилади;
в) бу топнлгаи нуцта билан берилган нуцта орасидаги масофа
топилади.
Шу йусинда масалани ечишга киришамиз.
a) P (7, 9, 7) нуцтадан утиб, n=u(4, 3, 2) векторга перпенди-
куляр текисликнинг тенгламасини тузамиз: 4 (х — 7) + 3 (у—9) +
+ 2(z—7) = 0 ёки
4х + Зу + 2z —69 = О, (•)
б) берилган тугри чизиц тенгламасини параметрик куринишда
ёзамиз: х = 2 + 4/, у = 1 + 3t, z = 2t вабуларни (•) тенгламага
цуямиз:
4(2 + 4/) + 3(1 4-30 + 2-2/ —69 = О,
29/ —58 = О,
/ = 2
х = 2 + 4-2= 10,
у= 1 + 3-2 = 7,
z = 2-2 = 4
=► Q (Ю, 7, 4) нуцта тугри чизиц билан текис-
ликнинг кесишган нуцтасидир.
Р (Р, Q) = /(10 — 7)я + (7 — 9)2 + (4 — 7)а = /9 + 4 + 9 = 22.
Ill Б.ОБ. ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ СИРТЛАР ВА УЛАРНИ КАНОНИК
ТЕНГЛАМАЛАРИ БУЙИЧА УРГАНИШ
19-§. Иккинчи тартибли сиртларнинг тугри чизиц текислик
билаи кесишнши
Биз I бобда сирт тенгламаси цацидаги тушунча билан танишган
эдик.
Таъриф. Бирор аффин реперда иккинчи тартибли алгебраик
тенглама билан аницланадиган нуцталар туплами иккинчи тартиб-
ли сирт деб аталади:
S: апх2 + aa2t/2 + a^z2 + 2аиху 4- 2a13xz 4- 2aS8e/z + +
+ 2a$y + 2a$? 4- a4< = 0, (1)
бунда
Qu + + азз + ai2 + *13 + а2з^= °- atJ = h i = 1.2,3, 4.
(2)
Аввало, бу сиртнинг бирор и тугри чизиц билан кесишиши масала-
сини куриб чицайлик. Фараз цилайлик, и тугри чизиц S сирт цара-
лаётган аффин реперда цуйидаги параметрик тенгламалар билан бе-
рилган булсин:
х = х0 4- It,
и : У = Уо +mi, (3)
z = z0 + nt.
S билан и нинг кесшпмасини топиш учун уларнинг тенгламаларинн
биргалицда ечиш керак. Шунинг учун (3) даги х, у, г нинг ций-
матлариии (1) га цуямиз:
Он (*о + Л)2 + а22 (Уо + mt)2 + Азз (z0 + ni)2 4- 2а1л (х0 + И) G/o +
+ mt} + 2al3 (Хд 4- It) (z0 4- nf) 4- 2a,3 (y0 4- mt) fa 4- nt) 4-
4- 2au fa 4- It} 4- 2ait fa 4- mt) 4- 2a3i fa + nt)+au = 0.
1^авсларни очиб, ухшаш цадларни ихчамласак, t га нисбатан уш-
бу квадрат тенглама цосил булади:
Pt2 4- 2 Qt 4- Я = 0, (4)
бунда:
Р = au/2 4- a»am2 4- Оз/i2 4- 2altlm 4- 2asswi 4- 2a13nZ,
Q = Z (aux0 4- alty0 4- a13z0 4- al4) 4- m (a^Xo 4- 4-
4-033*0 4-^1) 4-Л (03^4-03^4-03320 4-03*), (5)
Я = ai l'X0 + a22 Уо + а33 г0 + 2°12 X0 Уо + ^13 X0 Z0 + 2^23 +
+ 2altx0 4- 2a,4^0 4- 2оз*г0 4- au.
(5 ) дан куриниб турибдики, P коэффициент и тугри чизицнинг
(х0, Уо’ zoi нуцтасига борлиц булмасдан, и иинг фацат йуналтирувчи
векторнгагина боглицдир.
Таъриф. Йуналтирувчи векторлари Р = 0 шартни цаноатланти-
радиган барча турри чизицлар берилган сиртга нисбатан асимпто-
тик йуналишга эга булган турри чизицлар дейилади, йуналтирув-
чи векторларни эса асимптотик йуналишли векторлар дейилади.
Агар и турри чизиц S сиртга нисбатан асимптотик йуналишга
эга булмаса (яъни Р=/=0 булса), у цолда (4) квадрат тенглама ик-
кита tx, t2 илдизга эга булади, бунда tlt t2 иккита турли цациций
сон булса, турри чизиц сирт билан иккита умумий нуцтага эгадир.
tlt t2 цушма комплекс сонлар булса, у цолда турри чизиц сирт
билаи иккита мавцум умумий нуцтага эга, = t2 да турри чизиц
сирт билан устма- уст тушадиган иккита умумий нуцтага эга булиб,
бу вацтда турри чизиц сиртга уринади дейилади.
Агар и тугри чизиц S сиртга нисбатан асимптотик йуналишга
эга булса (яъни Р = 0 булса), у цолда (4) дан
2 Qt + R = О
(6)
булиб, бу ерда турли цоллар юз бериши мумкин.
a) Q =И= 0, (6) =► t = — булиб, и турри чизиц S сирт билан
битта нуцтада кесишади.
б) Q = 0, лекин R Ф 0 булса, (6) тенглама маънога эга эмас,
бу цол S сирт билаи и турри чизицнинг кесишмаслигини билдиради.
с) Q = О, R = 0 булса, (6) тенглама t нинг цар цандай цийма-
тида уринли, бу эса и турри чизицнинг цамма нуцталари S га те-
гишли, яъни турри чизиц S сиртнинг таркибида эканлигини билди-
ради (бундай тугри чизиц S сиртнинг ясовчиси деб аталади). Энди
Р =/= 0 булиб, Z, = t2 цолга цайтайлик, бу цолда и турри чизиц S
сиртга уринма деб аталган эди. Бу вацтда и турри чизицнинг (х0,
Уо, z0) нуцтаси сифатида шу уриниш нуцтасини олсак, бу нуцта S
га цам тегишли булгани учуй (5) дан R = 0. У цолда (4) дан
Pt2 + 2Qt = 0 ски t(Pt + 2Q) = 0.
20
Бу тенгламанинг битта илдизи tt = 0, иккинчиси эса t2 =-------дир.
Равшанки, t1 = t2 = 0 булиши учун Q = О булиши зарур ва
етарлидир, яъни
(Оц*о + с1гУо + а13го + ан) I + (с21*о + О22У0 + сгзго + a2j) m+
+ (Оз,х0 +a32z/0 + a^Zo + ам)п = 0. (7)
Бу тенглик и турри чизиц S сиртга нисбатан асимптотик йуиа-
лишга эга булмаганда унинг S сиртга (х0, у0, г0) нуцтада уриниши
учун йуналтирувчи и вектор координаталарини цансатлантириши
керак булган шартдир. Равшанки, (7) ни цаноатлантирувчи /, т, п
лар чексиз купдир (чунки уч номаълумли битта тенгламадир), демак
А40 нуцтада сиртга уринувчи чексиз куп тутри чизицлар мавжуд.
Бу уринмалардаи бирига тегишли ихтиёрий М (х, у, г) нуцтани ол-
сак, MD М (х— х0, у — у0, г — z0) вектор шу уринманииг йуналти-
рувчи вектори булади, у цолда унинг координаталари (7) шартни ца-
ноатлантириши керак:
(апх0 + a12f/0 + а13г0 + а„) (х — х0) + (а21х0 + а22у0 +
+ а23г0 + а21) (у — t/0) + (а31х0 + ал2ус + а33г0 +
+ а34)(г-го) = О. (8)
Шундай цилиб, сиртнинг Мо нуцтасига утказилган цар бир уринма
тугри чизицдаги ихтиёрий нуцтанинг координаталари (8) ни цаноат-
лантириши керак. (8) тенглама х, у, г га нисбатан чизицли тенгла-
ма булгани учун у Мо нуцтадан утувчи бирор текисликни аницлай-
ди, худди шу текислик S сиртнинг Л1о нуцтасига утказилган урин-
ма текислиги деб аталади. Демак, иккинчи тартибли сиртнинг би-
рор нуцтасига утказилган барча уринма тугри чизицлар туплами бир
текнсликка тегишли булиб, бу текислик сиртнинг шу нуцтасига ут-
казилган уринма текисликдан иборат. Шундай цилиб, (8) тенглама
иккинчи тартибли сиртнинг А40 (х0, у0, г0) нуцтасига утказилган
уриама текислик тенгламасидир.
Агар (8) даги (х —х0), (у — у0), (z —z0) нииг коэффициент лари
бир вацтда нолга тенг, яъни
апхо + а12&0 + а1320 + аи = 0.
a2i*o 4" °гг!/о + агзго + а24 = 0»
ад + азг!/о + а3зго 4- а34 = 0 (9)
булса, уринма текислик ноаницдир.
Бу (9) шартларни цаноатлантирувчи (х0, у0, г0) нуцта сиртнинг
махсус нуцтаси деб аталади. Демак, сиртнинг махсус нуцтасида
унинг уринма текислиги аиицланмаган булади.
Энди иккинчи тартибли сирт билан текисликнинг кесишиш .маса-
ласига утайлик.
S иккинчи тартибли сирт ва П текислик берилган булсин. Аф-
фин реперни шундай танлаб оламизки, П = хОу булсин, у цолда
шу реперда П текислик
z = 0 (10)
тенглама билан аницланади. S сиртнинг тенгламаси эса шу реперда
умумий цолда, яъни (1) куринишда булсин. (1) ва (10) тенгламалар-
ни биргаликда ечсак,
апх2 + 2а12ху + аггу2 + 2аих + 2аму + ам = 0. (11)
S сиртга ва П текнсликка тегишли булган барча нуцталар (11)
тенгламани цаноатлантиради.
Куйидаги цоллар юз бериши мумкин. 1) + а^^О, бу
вацтда умуман олганда (11) тенглама z = 0 текисликда иккинчи
тартибли чизицни аницлайди.
2) ап = а12 = а22 = 0, бу ерда: а) а14 ёки а24 дан камида бит-
таси иолдан фарцли булса, (11) тенглама 2а14х + 2аыу 4- аи = 0
куринишда булиб, z = 0 текисликда тугри чизицни аницлайди, де-
мак, бу цолда S сирт билан П текислик тугри чизиц буйича кеси-
шади;
б) а14 = аы = а14 = 0 =► (1) тенглама г (2а13х + 2аму + а^г +
+ 2оз4) = 0 куринишда б^либ, у z = О, 2а13х + 2агзу + 0332 + а34=
= 0 текисликларга ажралиб кетади (равшанки, бу вацтда берилган
П текислик шу сирт таркибида булади);
с) ai4 = ам = О, а44=/= О => (11) тенгламадан а44 = О келиб чи-
циб, зидлик руй беради, бу эса S сирт билан П текислик бирорта
цам умумий нуцтага эга эмаслигини билдиради.
Шундай цилиб, икинчи тартибли сиртнинг текислик билан кеси-
ми:
а) иккинчи тартибли чизицдан:
б) битта тугри чизицдан;
с) текисликдан (бу вацтда сирт иккита текисликка ажралиб, бе-
рилган текислик шу текисликлардан бири булади);
д) буш тупламдан (яъни сирт билан теислик битта цам умумий
нуцтага эга булмайди) иборат экан.
1-мисол. №—ху + zy—5z = 0 сирт билан 10 — ~~ =
Z
тугри чизицнинг кесишган нуцталарини топинг.
Ечиш. Берилган тугри чизиц тенгламасини параметрик кури-
нишда ёзамиз: х = 10 + It, у = 5 + 3t, г = —t, буларни берилган
сирт тенгламасига цуйсак, (10 + Iff — (10 + 7f)(5 + 3/) — /(5 +
4- 3/) + 5t = 0. Бу тенгламани соддалаштирсак,
£ + 3t + 2 = О,
бу квадрат тенгламанинг илдизлари: ^ =— 1, tt = —2. Бу ций-
матларни тугри чизицнинг параметрик теигламаларцдаги t нинг ур-
нига цуйсак,
----1 да х = 10 + 7(—1) = 3, у = 5 + 3(—1) = 2,
z = —(—1) = 1;
/а = — 2 да х = 10 + 7(-2)---4, у = 5 +3(—2) = — 1,
z = —(—2) = 2.
Демак, излаиган нуцталар: (3, 2, 1) ва (—4, —1, 2).
2-мне о л. х2 — у2 — 2x + z— 3 = 0 сиртнинг (1, 1, 5) иуцта-
сидаги уринма текислик тенгламасини ёзинг.
Ечиш: Бу ерда: ап = 1, ам = — 1, ам = 0, а1а = 0, а13 = О,
а2з = 0, ам = 1, ам = 0, а34 = —, а44 = 3,
Xq — 1, Уо — 1, г0 — 5.
Буларни (8) га цуйсак,
— (У — 1) + (г — 5) = О ёки 2у —г + 3 = 0,
бу изланган уринма текислик тенгламасидир.
3-мисол. х24-3у2 — 4хг— 2yz + z— 6 = 0 сиртнинг 2 = 0 те-
кислик билан кесимини топинг.
Ечиш: z = 0 ни берилган сирт тенгламасига цуйсак,
Буни соддароц цолга
х* + Зу* —6 ='0.
келтирамиз:
- +- = 1,
6 2
демак, кесимда ярим уцлари )/б ва 1/2 булган эллипс цосил ци-
линади.
20-§. Сферик сирт
I бобда сирт тенгламаси тушунчасичи берганимизда сфера таъри-
фини бериб, унинг цуйидаги каноник тенгламасини декарт реперида
келтириб чицарган эдик:
(х-аГ + (у-ЬГ + (г-с}* = &, (12)
бунда (а, Ь, с)—сфера маркази, R— сфера радиуси.
(12) ни цуйидагича ёзамиз:
х2 4- у2 4- г2 — 2ах — 2Ьу — 2cz 4- а2 4- Ь2 4- с2 — R2 = 0. (12')
Бундан: 1) сферанинг иккинчи тартибли сирт эканлигини курамиз,
2) (12') да ху, хг, уг купайтмалар цатнашган цадлар йуцлигини,
3) х2, у2, г2 оддидаги коэффициентларнинг 1 га тенглигини куриб
турибмиз.
Энди (1) да а12 = а13 = ам = 0 ва ап = ам = деб фараз
цилин са,
аих2 4- ацУ2 4- atlz2 4- 2амх 4- 2аыу 4- 2a^z 4- аи = 0 (13)
тенглама сферани ифода циладими деган саволга жавоб излайлик.
аи 0 га булиб юбориб,
^1* = д = в, ?Я2£ = с, а-±* = D
а11 а11 а11 в11
белгилашларни киритсак,
x2 + y2+z2 + Ax + By + Cz+D = 0. (14)
Бу тенгламани цуйидагича ёзиш мумкин:
х2 4-Лх 4-(у j2 - (у j2 4-4-В!/4-(у)2 - (-у j’4-z2 4-Сг 4-
+ (f)s-(ir + « = o.
(‘+V+(s + ?W + v), + D-7-T-7=»
ёки
(A \S / Я \S / С \2 I
x + t) +(!/ + ^) + (2 + ?) =7(Лг + Яг+Сг-4Р). (15)
дуйидаги цолларни цараб чицайлик:
а) А2 + В2 + С2 — 4 D > 0; бу цолда
(* + у)’ + (у + f )2 + (г + у)’ = ( j VA2 + В2 + С2 - 4 D)2.
(А В С х
——, — -» —нуцтада ва радиуси
Л = + В2 + С2 — 4D га тенг сфера тенгламасидир.
б) А2 + В2 + С2 — 4 D = 0, бу цолда (15) тенглама
(’4)‘+(’+1Мг+т)!-°
куринишда булиб, уни цаноатлантирувчи фацат битта (—у, —у,
С\
— у) нУКта мавжуддир.
с) А2 + В2-]-С2 — 4D<0. Бундан курииадики, фазода (15) ии
цаноатлантирувчи битта цам нуцта мавжуд эмас. Умумийликни буз-
маслик учун бу вацтда (15) тенглама мавхум сферани анидлайди
деймиз.
Демак, (14) тенглама фацатгина А2 + В2 + С2 — 4 D > 0 шартда
сферани аницлайди.
1- м и с о л. 2х2 + 2у2 + 2z2 — 2х + 4у + 2г — 5 = 0 сферанинг
маркази ва радиусини топинг.
Ечнш. Тенгламадан:
х2 + у2 + z2 — х + 2у 4- г — = О,
х2-х + - — - + y2 + 2y+l — 1 +z2 + z+-—-—4 = 0,
4 4 4 4 2
(*-у)г + (у + D2 + (г + 1)2-4 =0-
Демак, сферанинг маркази (— 1, — нуцтада, радиуси эса 2
га тенг.
2-мисо л. (х — 2)2 + у2 + z2— 4 сферанинг М (3; )/2, 1) нуц-
тасида унга утказилган уринма текислик тенгламасини ёзинг.
Ечиш. (8) тенгламага a17(t, / = 1, 2, 3, 4) нинг цийматларини
цуйиб, уринма текислик тенгламасини ёзиш цам мумкин эди, лекин
биз бу ерда бошцача йул тутамиз. Бу ерда, сфера маркази О' (2, О,
0) нуцтада, радиуси эса 2 га тенг. Сферанинг М нуцтада утказил-
ган уринма текислиги сфера радиусига перпендикулярлигн сабабли
МО’ вектор уринма текисликнинг иормал вектори булади. Аммо
МО' (^-1, —Jz2, —1) демак. изланггн текислик тенгламаси (II
боб. 13-§):
-l(x-3)-]/2(y-/2j-I(z-l) = 0
ёки
х + V2y + г — 6 = 0.
21-§. Иккинчи тартибли цилиндрик сиртлар
Бирор П текисликда L иккинчи тартибли чизиц цамда шу текис-
ликка параллел булмаган и тутри чизиц берилган булсин.
Т а ъ р н ф. и тугри чизицца параллел цамда L чизиц билан ке-
сишувчи фазодаги барча тугри чизицлар туплами иккинчи тартиб-
ли цилиндрик сирт деб аталади.
Таърифда цатнашаётган L чизиц шу цилиндрик сиртиинг йунал-
тирувчиси, тугри чизицлар эса унинг ясовчилари дейилади.
Таърифдан фойдаланиб, аффин реперда S цилиндрик сирт тенг-
ламасини келтириб чицарайлик. Соддалик учуй, йуналтирувчи чизиц-
ни хОу текисликда оламиз:
L:F(xt у) = 0. (16)
и тугри чизицнинг йуналтирувчи вектори и (I, т, п) (181-чиз-
ма).
Ихтиёрий М (х, у, z) £ S нуцтани оламиз. Шу М нуцтадан ут-
ган ясовчининг хОу текислик билан кесишган нуцтаси N (xIf ух, 0)
булснн. У цолда MN (Xj —х, ух—у, —г) ва MN || и, яъни MN =
= А. и. Бундан: х, — х = М, ух — у = кт, — г = кп(п=/^ 0, чунки
и'Н'ХО#). —z = kn дан к ни топиб, олдингн икки тенгликка цуя-
миз:
1 т
Х1 = X------Z, ух = у-----Z.
п п
(17)
Ammo N Е L=> F (х„ ух) = 0,
демак,
F(x — — z, y — —z]=0. (18)
Шундай цилиб, (18) теиг-
лама цилиндрик сиртиинг тенг-
ламасидир..
Демак, йуналтирувчиси F (х.
у) = 0 куринишдагн тенглама
билан берилган, ясовчилари
эса (/, т, п) векторга парал-
лел цилиндрик сирт тенглама-
сини цосил цилиш учун (16)дагн х, у урнига мос равишда х—- г,
п
у — — г ифодаларни цуйиш керак экан. и II Ог дан иборат хусу-
л
сий цолда и || сэ=>и(0, 0, п) ва (18) тенглама ушбу куринишни
олади:
F(xt у)=0. (19)
Ажойиб хулосага келдик: ясовчилари Ог уцца параллел цилинд-
рик сирт тенгламаси йуналтирувчи тенгламасининг узгинасидир.
Масалан, х О у текисликда эллипс-----1- — = 1 тенгламаси билан
а’ Ьг
берилган булса, бу тенглама фазода ясовчилари Ог уцца параллел
цилиндрик сиртдан иборат.
——>- —>-
Иккинчи тартибли цилиндрик сирт = (0, ег, ег, е3) аффин ре-
перда берилган булсин: равшанки, бу тенглама иккинчи даражали-
дир, сиртнинг ясовчиларига параллел булмаган П текислик билан
кесимин'1 текширайлик.
Янги ЗУ = (О', е,', е2, ej аффин реперни шундай танлаб оламиз-
—> —►> —►
ки, О нуцта билан е\, е2 базис векторлар П да жойлашсин, е'3 эса
и га параллел булсин. У цолда <® дан 3' га утищда тенгламанинг
даражаси сацлангани учун S сирт да цам иккинчи тартибли ци-
линдрик сиртни аницлайди, лекин бу тенгламада учинчи узгарувчи
г' цатнашмайди (О' г' II и булгани учун).
Унннг <#' репердаги тенгламасини умумий цолда цуйидагича
ёзиш мумкин:
а'Их'2 + 2а12х'у' + а22у'г + 2а13х' + 2а^е/' + ам= 0. (20)
Демак, S билан П нинг кесншмасидан цосил булган геометрик об-
раз умумий цолда (20) тенглама билан аницланади. Бу (20) тенгла-
ма эса П текисликдаги иккинчи тартибли чизицнинг умумий тенгла-
масидир, шу иккинчи тартибли чизицнинг турига цараб иккинчи тар-
тибли цилиндрни синфларга ажратиш мумкин. Бундан ташцари, (20)
билан аннцланадиган чизицни S нииг йуналтирувчиси сифатида ца-
бул цилсак цам булади. Демак, иккинчи тартибли цилиндрнинг йу-
налтирувчилари: эллипс, гипербола, парабола, иккита кесишувчи тур-
ри чизиц, иккита узаро параллел (устма- уст тушмаган) турри чизнц-
лардан* иборат булиши мумкин. Йуналтирувчилари шу чизицлардан
иборат иккинчи тартибли цилиндрик сиртлар мос равишда эллиптик
цилиндр, гиперболик цилиндр, параболик цилиндр, иккита кеси-
шувчи текислик, иккита узаро параллел текислик (устма- уст туш-
маган) деб юритилади (охирги иккитаси баъзан айниган цилиндр
деб цам юритилади). Бу цилиндрларнипг тенгламасини декарт репе-
рида (каноник цолга келтириб) ёзамиз:
х^
Эллиптик цилиндр------1-— =1 (182-а чизма).
182- чизма
и2
Гиперболик цилиндр-------^- = —1 (182-6 чизма).
а2 Ь2
Параболик цилиндр у2 = —2рх (182-с чизма).
х2 и2
Икки кесишувчи текислик-------— = 0 (182- д чизма).
а- Ьг
Икки параллел текислик х2 — с? = 0 (а#=0) (182-с чизма).
М и с о л. Йуналтирувчиси (х О у) текисликда х2 4- 2ху — Зу2 —
— х = 0 тенглама билан аницланувчи, ясовчилари (1, 0, 1) вектор-
га параллел цилиндрик сирт тенгламасини ёзинг.
Ечиш. Берилганларга асосан: F (х, у) = х2 -|- 2ху — Зу2— х=0,
и =(1, 0, 1), 1=1, т = 0, п = 1. У ^олда бу сирт тенгламаси:
F(x — z, у) = (х—г)2 4- 2(х — г)у — Зу2 — (х — г) = 0.
Энди иккинчи тартибли сирт
S :апх2 4- аг2у2 4- a33z2 4- 2а1гху 4- 2ai3xz 4- 2a23yz 4- 2аих 4-
4- 2a2iy 4- 2a3iz 4- = 0 (1)
умумий тенглама бнлан берилган б^лса, цандай шарт бажарилганда
бу тенглама ясовчилари и (I, т, п) векторга параллел иккинчи тар-
тибда цилиндрик сиртни аницлаш масаласига тухталайлнк.
12-§ да иккинчи тартибли сирт билан тугри чизицнинг кесишиш
масаласини тулиц куриб чиццан эдик, бу масаланинг цал цилиннши
Pt2 + 2 Qt + 7? — 0 квадрат тенгламага боглнц булиб, уни биз му-
фассал текширган эдик.
(1) сиртиинг ясовчилари и (I, т, п) векторга параллел булсин.
М (xi> У к 2i) фазодаги ихтиёрий нуцта булсин, М нуцтадан утиб
и га параллел тугри чизиц ё (1) сирт таркибида булади, ёки у би-
лан битта цам умумий нуцтага эга булмайди. У цолда 19- § даги
б) ски с) цолга асосан Q = 0 ёки
Х1 К J + а12т + С13П) + У! (а211 4- а22т 4- а23п)4-
+ 2i (°э? + аза"» + аззп) + J + ai2m 4- = О
булади. М нуцта цар цандай булганда цам шу шарт доимо бажари-
лиши учун
011/ + О12«1 + 013П = 0.
a2i/ + а22гп + о23п == О,
аэ J + Оза"» 4- аЭзп = 0.
а4114- ai2m + а43п = О
(21)
булиши лозим. Аксинча I, т, п лар (21) ни цаноатлантирсин, у
цолда и (/, т, п) векторга параллел булган тугри чизиц (1) нинг
ясовчиси эканлигини исботлаймиз.
^ацицатан цам, (1) сиртиинг ихтиёрий М (х2, ylt г,) нуцтасини
олайлик, у нуцтада и га параллел цилиб утказилган и' тугри чи-
зиц (6) нииг ясовчиси эканини курсатайлик, и' нинг параметрик
тенгламалари цуйидагича булсин:
х = у='ух + mt, z = Zj -j- nt
Бу цийматларини (1) га цуйсак цамда (21) ни ва '5) и эъти-
борга олсак, Р = Q = 0 булади. М нуцта (6) га тегишли булгани
учун (9) дан R = 0 эканлиги келиб чицади, демак, 19-§ даги с)
цолга асосан и тугри чизиц (1) нинг ясовчиси экан.
Цуйидаги муцим хулосага келдик: (1) тенглама билан аницла-
нувчи сирт ясовчилари и (I, т, п) векторга параллел булган ци-
линдрик сирт булиши учун (21) шартларнинг барчаси бажарилиши
зарур ва етарли экан.
Мисо л. х2 у2 4- 2z2 4- 2ху 4- 4z = 0 тенглама билан анчцлан-
ган сиртиинг цилиндрик сирт эканлигини исботланг.
Ечиш. (6) билан солиштирсак: an = 1, а,г = 1, а33 = 2, а12 =
= 1, а34 = 2, а13 = а23 = а14 = а24 = а44 -= 0. (21) системани туза-
миз:
L чизиц эса конус йуналтирув-
чизицлар унинг ясовчилари деб
I 4- m =-= 0,
I 4- m = 0, =>n = 0, / = —m, 1=1 десак, m = — 1,
л = 0,
2n = 0,
демак, u (I, —1, 0) вектор берилган сирт ясовчилари учун йунал-
тирувчи вектор булар экан.
22-§. Иккинчи тартибли конус сиртлар. Конус кесимларн
Бирор П текисликда L иккинчи тартибли чизиц ва бу текисликка
тегишли булмаган Мо нуцта берилган булсин.
Таъриф. Фазодаги Мо нуцтадан утиб, L ни кесиб утувчи
барча тугри чизицлар туплами иккинчи тартибли конус сирт (ёки
конус) деб аталади. Мо конус учи,
чиси, конусни цосил цилувчи тугри
аталади.
Конус ясовчилари маркази
конус учида булган тугри чи-
зицлар богламига тегишлидир.
Энди конус тенгламасини кел-
тириб чицарайлик. Аффин репер-
ни шундай танлаб оламизки. ко-
нуснинг йуналтирувчиси ётган
текислик II = хОу текисликдан
иборат булиб, М0(х0, у0, z0) нуц-
та эса фазонинг хОу да ётмаган
ихтиёрий нуцтаси булсин (183-
чизма).
L:F(x, у) = 0. (22)
Конуснинг ихтиёрий М (х, у,
г) нуцтасини олайлик. у цолда
Мо М тугрт чизиц конуснинг
ясовчиси булиб, L билан (яъни хОу текислик билан) кесишган нуц-
таси МДхр ylt 0) булсин. Мо, М, Mj нуцталар бир тугри чизиц-
да ётгани учун М0М1 || М0М ёки MqAI, = Ш0М =>
-Ч— х0 = Ь(х — х0), у1—у0=Цу — у0), 0 — г0=Х(г — г0)
ёки
xt = х0 4- А,(х —х0), ух = у0 -ь Х(у — у0), г0 4- Ь(г —г0) = 0.
Сунгги тенгликдан А. ни топиб, аввалги икки тенгликка цуямиз:
*1 = *о + z0, У г = Уо + z0. (231-
г0 —г г0 —г
F (xlt — 0 .фицалар
183- чизма
F (x0 + —* z0, y0 + - J = 0. (24)
\ ZO.— z ZO —z /
Равшанки, кону» а тегишли барча нуцталарнинг координаталари
(24) ни цаноатлантиради, конусга тегишли булмаган цеч цандай нуц-
танинг координаталари (24) ни цаноатлантирмайди, демак, (24) ифода
конус тенгламасидир.
Конуснинг учи координаталар бошидан иборат булган цолни тек-
ширайлик. Бунинг учун аввало алгебрадан функциянинг бир жинс-
лилиги тушунчасини эслайлик: агар исталгаи t учун F(xt, yt, zl) =
= pF (x, у, z) шарт бажарилса, F (x, у, z) функция k- даражали бир
жинсли функция деб аталар эди, масалан, F (х, у, г) — х2 — у2 + г2
функция иккинчи даражали бир жинсли функциядир:
F (tx, trt tz) = (tx)2 — (ty)2 (tz)2 = t2(x2 — y2 + z2) =
= t2F(x,y,z\ (25)
F(x, y, z) =-0
бир жинсли тенглама булиб, бирор S сиртни аницласин цамда Мх (хр
у3, zt)QS булсин, OMY тугри чизицни утказамиз, унинг параметрик
тенгламалари:
у х = txlt у = ty}, г = (26)
ОМг нинг иктиёрий М (х, у, г) нуцтасини олайлик, (26) • га асосан
M(tx2, ty2, tzt).
Энди М нуцтанинг координаталарини (25) га цуйиб, F(x, у, г)
нииг бир жинсли эканини эътиборга олайлик:
F(tx, ty, tz) = tk F(x, у, z) = 0; демак, ОМ, c S.
Хулоса. (25) куринишдаги бир жинсли тенглама учи коорди-
наталар бошида булган конуснинг тенгламасидаи иборат.
Агар
F (х, у) = ах хх2 + 2а12ху + а22у2 + 2а13х + 2аиу + = 0
булса, конуснинг учи сифатида, соддалик учун, А70 (0. 0, 1) ни ол-
сак, (24) тенглама цуйидаги куринишни олади:
а^х2 + 2а12ху + а2гу2 + 2а13х (1 — z) + 2а23у (I—z) +
+ азз(1—г)2 = 0. (27)
Энди (1) куринишдаги тенглама цайси шартларда конусни аниц-
лаши мумкин деган саволга утайлик.
S конуснинг учи Л40(х0, у0, z0) нуцтада дейлик. Ихтиёрий и (I,
т, п) векторни олиб (бу вектор асимптотик йуналишга эга булма-
син), М нуцтадан и га параллел и тугри чизиц утказайлик, унинг
параметрик тенгламалари:
X = *о У = у0 4- mt, Z = z0 + nt, (28)
_ I дЯлан (1) нинг кесишиш нуцтасини изласак, (4) тенглама цосил
миз:’ Э< мо€5 булса, (5)=>₽ = 0. У цолда
(4)=>P/2 + Qf = 0.
(29)
Конуснинг таърифига асосан и тугри чизиц S га тулиц тегишли ёки
фацат битта М умумий нуцтага эга, бу деган суз (29) тенглама чек-
сиз куп ечимга эга ёки фацат битта t = 0 га эгадир, (29) дан ку-
риниб турибдики, бу шартлар бажарилиши учун Q = 0 булиши ке-
рак, буни ёйиб ёзсак,
(аих0 4- а12у0 4- а13г0 4- alt) I 4- (a2ixo + а2гУо + а23го +*fl2«) т +
+ (<Wo + + Vo + Ом)« = 0. (30)
Бу шарт асимптотик йуналишга эга булмаган цар цандай и вектор
учун бажарилганлигцдан:
аих0 + «пКо + a,3z0 4- а14 = 0,
a2i*o + а2гУо + ад + аг< = 0, (31)
ОзЛ + ОэгУо 4- СзА 4- Он = О,
M0QS ни цамда (31) ни эътиборга олсак,
(1) =► а41х0 4- а12!/0 4- aiaz0 4- аы = 0. (32)
Демак, (1) тенглама конусни ифодалаганда конус учининг координа-
талари (31), (32) шартларни цаноатлантириши керак.
Аксинча, (1) тенглама берилган булса цамда бирор Мо нуцта
учун (31), (32) шартлар бажарилса, берилган тенглама учи А10 нуц-
тадаги конусни ифодалайди. Х,ацицзтан цам, Л40 нинг координатала-
рини (1) га цуйиб цисобласак цамда (31), (32) ни эътиборга олсак,
Мо G S эканига ишонч цосил циламиз.
Энди Л40 нуцтадан ихтиёрий (28) тугри чизицни утказиэ, у билан
S нинг кесишган нуцтасини топишга царакат цилсак, (4) тенгламада
Q = R = 0 булиб, Pt2 = 0. Бундан и тугри чизиц S билан фа-
цат битта Мо нуцтада кесишади ёки бу тугри чизиц S га тулиц те-
гишли деган хулоса чицади, демак, S конусдир.
Хуллас, S сирт учн Л40 нуцтада булган конусдан иборат булиш-
лиги учун Мо нинг координаталари (31), (32) шартларни цаноатлан-
тириши зарур ва етарли.
(31), (32) дан цуйидаги матрицаларни тузамиз:
Маълумки, (31), (32) даги тенгламаларнинг биргаликда булиши
учун бу матрицалар раигларининг тенг булиши етарли ва зарурдир.
Шунинг учун (1) тенглама конусни ифодалаши учун (33) матри-
цалар раигларининг тенг булиши кифоя.
Агар (1) тенглама конусни ифодаласа, у цолда (33) матрицалар
раигларининг энг каттаси 3 га тенг, демак, конус учун
“1/
fln aia
a21 a22
°ai a32
a41 al2
a13
a23
азз
at3
a24
a31 — 0
fl44
(34)
шарт бажарилиши керак.
Энди декарт реперида берилган конуснинг баъэи текисликлар
билан кесимини текширайлик. Бу реперда иккинчи тартгбли конус-
нинг энг содда тенгламаси
а2 "Г
еки —
о2
— + - = о,
fc2 с»
_L £
о2 ' ьг
(35)
куринишда булади, цацицатаи цам, бу тенглама иккинчи даражали
бир жинсли тенглама булгани учун у юцорида чицарилган хулосага
асосан учи координаталар бошида булган конусни аницлайди. IIIуни-
си диццатга сазоворки, (35) конусни танлаб олинган баъзи текислик-
лар билан кессак, кесимда иккинчи тартибли чизицларнинг хамма
турини цосил цилиш мумкин.
х1 и2
1. z = h (h > 0) текислик билан кессак, кесимда------------1- =
a2 fi2
х2 и2 w
=— ёки----------------1----------= 1 эллипс цосил булади.
с2 / h \2 / h i2
(а — | 6 — )
\ с 1 \ с}
2. y = h (h > 0) текислик билан кессак, кесимда
гипербола цосил булади.
— — — = h (ft > 0)
а с
текислик билан кесимини текширайлик.
бунинг учун
системани ечамиз. Биринчи тенгламани цуйидагича ёзиб, I —— —) х
\у с /
(X X \
----1---1 + — —0 иккинчи тенгламани цисобга олсак, =
а с ) & о1
— — h | — 4- — |. Энди бунга иккинчи тенгламадан г ни топиб цуй-
\ а с I
сак, у2 = — b-h । 2— — h | тенглама цосил булиб, у параболани аниц-
\ а )
;айди.
jp3
4. у = 0 текислик билан кессак, кесимда -----— = 0 тенгла-
ма билан аницланувчи кесишувчи иккита тугри чизиц цосил бу-
лади.
5. —----— = 0 текислик билан кессак, кесимда — = 0 ёки у2=
ас
= 0 тенглама билан аницланувчи устма- уст тушган иккита тугри
чизиц цосил булади. Бу хулосалар иккинчи тартибли чизицларнинг
конус кесимлари деб аталиши боисидир.
1-мисо л. Декарт реперида йуналтирувчиси хОу текисликда.и
х2— 2у2 = 1 гиперболадан иборат, учи (—1, 2, 1) нуцтадаги конус
тенгламасини тузинг.
Ечиш. F (х, у) = х2 — 2у2 — 1 =0, х0 = — 1, уй = 2, z0 = 1.
х-;-1 , х + г у — 2 , п
(14) га асосан хни---------1 =------- билан, у ни ----------F 2 =
I —г 1 — г 1 —г
у — 2г /х-4-г\2 ( у—2г \2
= -2-j---- билан алмаштирсак, I------1 — 21-у--------1 —1 = 0 бу-
либ, уни соддалаштирсак, конус тенгламаси цосил цилияади:
х2 — 2у2 — 8г2 -|- 8yz + 2xz + 2г — 1 =0.
2- мисо л. Аффин реперда берилган
х2 — 5г2 + 3ху + 2уг — 7х — бу — 2г + 10 = 0
сиртнинг конус эканлигини исботланг ва учииинг координаталарини
топннг.
з
Ечиш. Бу ерда au = 1, а22 = 0, аээ = — 5, а12 — —, а13 =
= 0, ам= 1, ам= —ам = —3, а31 = — 1, ам = 10. Бу ций-
матларни (31) ва (32) га цуямиз:
3 7 п
х0 + — Уо— 7 = °.
7-x0 + z0 —3 = 0,
Уо — 5z0— 1 = О,
—7-х0 — Зу0 — г0+ 10 = 0,
2 )
бу системадан (33) матрицаларни тузиб, рангларини цисобласак, ик-
каласиники цам 3 га тенг, демак, сирт конусдир, (*) тенгламалар
системаси биргаликда, шу системани ечсак, х0 = 2, у0 — 1, z0= 0 бу-
либ, (2, 1, 0) нуцта конус учидир.
23- §. Айланма снртлар
П текисликда бирор I чизиц ва и тугри чизиц берилган бу теин.
Таъриф. L чизицнинг и турри чизиц атрофида айлаиишидан
цосил булган ф фигура айланма сирт деб аталади (яъни L ни и
атрофида 2л бурчакка бурищдан цосил булган фигура). Бунда L ай-
ланма сиртиинг меридиана и айланиш деб аталади.
Равшанки, L нинг цар бир нуцтаси и атрофида айлапишида би-
рор айланани цосил цилиб, бу айлананинг маркази и тугри чизицда
булади.
Энди айланма сиртиинг тенгламасини келтириб чицариш билан
шугулланайлик. Бу ишларни декарт реперида куриб, П ни бирор ко-
184- чизма
айлана L чизиц билан М} (0, ylt
нинг координаталари (0, 0. г).
ординаталар текислиги деб, и
тугри чизицни эса координата
уцларидан бири (яъни П да ёт-
ган икки координага уцидэн би-
ри) деб оламиз.
Масалан, П = уОг ваи = Oz
цамда
L:F(y,z) = Q (36)
булсин. L чизицнинг Oz уц атро-
фида айланишидан 184- чизмада-
гидек Ф сирт цосил цилинган
дейлик. М(х, у, г) шу сиртга
тегишли ихтиёрий нуцта булсин.
М нуцтадан Oz га перпендику-
ляр текислик утказсак, кесимда
маркази O,GOz нуцтада булган
бирор айлана цосил цилинади, у
z) нуцтада кесишсин. У цолда Ох
Кесим айланадан иборат булгани
учун
p(Olt M) = p(OP MJ. (37)
I
Бу масофаларни цисоблайлик:
p(On М)= /(x-0)2 + (y-0)2 + (z-z)2 = ]Л2 + у\
р (О*, MJ = J<(0 — О)2 + (Уг — О)2 + (г — z)2 = / у* = |yj,
буларни (37) га цуйсак, |у,| = р^х2 + у1 ёки ух = ± р^х2 + у2.
Энди M^L^ F(ylt z) = 0 ёки
Г(± /х2 + !/2, z) = 0.
(38)
Демак, Ф га тегишли цар бир нуцтанинг координаталари (38) ни ца-
ноатлантиради. Лекин /И $ Ф булса, (37) шарт бажарилмайди, демак,
(38) цам уринли эмас. Шунинг учун (38) ни Ф нинг тенгламаси дея
^шмиз. Шу (38) тенгламага асосланиб, L нинг бошца координата
№фри атрофида айланишидан цосил цилинган айланма сирт тенгла-
мБцши осонгииа ёзиш мумкин: масалан, L нинг Оу уц атрофида
^цвнишидан цосил этилган снрт тенгламаси:
F(y, ± / (x2 + z2) = 0.
L чизиц хОу да олинса, унинг тенгламасини F(x, у)=0 куриниш-
да олсак, L нинг Ох уц атрофида айланишидан F(x, ± ]/\y2+z-)=0
сирт. Оу уц атрофида айланишидан эса F(±j/x2 + z2, у) = 0 сирт
цосил булади.
Мисол тарицасида yOz текисликда жойлашган цуйидаги чизнц-
ларнинг Oz уц атрофида айланишидан цосил цилинган айланма сирт-
U2 Z2 U2
ларнииг тенгламаларини езайлик: 1) ^ -|- — = 1 эллипс; 2) —t—
2^
----=1 гипербола; 3) у2 = 2pz парабола.
(33 ) га асосан: 1) эллипсни Oz уц атрофида айлантирсак:
—-------— + = 1 еки = 1
с2 й2 1 с2
сирт цосил булиб, у айланма эллипсоид деб аталади;
2) гиперболани Oz уц атрофида айлантириш натижасида
(K*2-t- у1)2_____£1=1 ёки **+ Уг —
й2 с2 а2 с2
сирт цосил цилиниб, у айланма гиперболоид деб аталади;
3) параболами Oz уц атрофида айлантирсак,
(± ]/х2 + у2)2 = 2pz ёки х2 -j- у2 = 2pz
сирт цосил цилиниб, у айланма параболоид деб аталади.
Шуни таъкидлаймизки, цилиндрик ва конус сиртларнинг йунал-
тирувчилари иккинчи тартибли чизиц булса, шу сиртларнинг узлари
цам иккинчи тартибли сирт булар эди, лекин иккинчи тартибли хар
цандай чизицнинг бирор уц атрофида айланишидан доимо иккинчи
тартибли айланма сирт цосил булавермайди. Масалан, юцоридаги
у2 = 2pz параболами Oz атрофида айлантнришдан цосил цилинган
сирт тенгламаси t/2=2p(±|/ х2 у2), ёки р > 0 булган цолда у2 =
= 2р |/\2 у2 ва р < 0 булган цолда эса у2 = — 2р |/ х2 -Ь у2,
бу эса иккинчи тартибли сирт эмас.
ЮЦррида биз сиртнинг таърифига асосланиб, унинг тепгламала-
риня чнцариш билан шугулландик, энди танлаб олинган реперда
тенгламалари билан берилган иккинчи тартибли сиртнинг шаклини ва
баъзи геометрик хоссаларини текшириш билан шугулланамиз.
24- §. Эллипсоид
Таъриф. Танлаб олинган декарт реперида
г2 и2 г-
flV + J-+^ = ’ (39)
тенгламани цаноатлантирувчи фазодаги барча нуцталар туплами
эллипсоид дейилади.
(39) тенглама буйича эллипсоиднинг шаклини ва баъзи геомет-
рик хоссаларини аницлайлик.
1. (39) тенглама иккинчи тартибли алгебраик тенглама булгани
учун эллипсоид иккинчи тартибли сиртдир.
2. (39) тенгламанинг чап томонига назар ташласак, учта мусбат
соннинг йигиндиси 1 га тенгдир, демак,
jS • Д у?
— <1, — =С1, — «S1 (40)
а2 Ь2 с2 ’
ёки
булардан:
у1 < Ь2, z2 с2.
*41)
Эллипсоид чегараланган сирт булиб, цирралари 2а, 2Ь 2с цамда сим-
метрия маркази координаталар бошидаги тугри бурчакли параллеле-
пипед ичига жойлашган фигурадир (185- чизма).
3. (40) ва (39) дан куринадики, цушилувчилардан биттаси 1 га
тенг’ булса, цолган иккитаси ноль
X2 U2
булиши керак: — = 1, — =
= 0, — =0, бундан х = ± а,
у = 0, z = 0 ва эллипсоид Ох
ни At(a, 0, 0), Аг{—а, 0, 0)
нуцталарда кесиб утади.
Худди шунга ухшаш, бу эл-
липсоид Оу ни В, (0, Ь, 0), В2 (0,
— Ь, 0) нуцталарда, Oz ни эса
С,(0. 0, с), С2(0, 0, —с) нуц-
таларда кесиб утади. Бу At, At,
Bi, В2, С,, С2 нуцталар эллипс-
оиднинг учлари деб аталади.
4. Энди эллипсоиднинг коор-
дината текисликлари билан ке-
симинштекширайлик:
а) лО~у текислик билан кесиш-
маси:4^
хОу даги эллипсдир.
б) xOz текислик билан кесишмаси:
xOz да: и эллипсдир.
с) уОг текислик билан кесишмаси:
yOz даги яна эллипсдир.
д Хул оса. (39) эллипсоиднинг координата текисликлари билан
кесишмаси эллипслардан иборат.
5. Энди эллипсоиднинг координата текисликларига параллел те-
кисликлари билан. кесимини текширайлик.
хОу текисликка параллел булган z = h (hQR) текислик билан
кесимини царайлик:
бу ерда уч цол булиши мумкин.
а) — с < h < с=> 1--->0 булиб,
X2 U2
махраждаги мусбат сонларни а'2, Ь'2 деб белгиласак, = 1,
о 2 b -
бу эса маркази (0, 0, h) нуцтада ва узи z — h текисликда ётган
эллипсдир.
w Х^ f/2
б) h = с ёки h = — с булса, (*) => — + = 0 булиб, бу шарт-
ни фацатгина х = 0, у = 0 цаноатлантиради, демак, z = с текислик
бу цолда сирт билан (0, 0, с) нуцтада кесишади.
с) h>c ёки й<—с=> 1 — А <0 булиб, (*) нииг jfar томони-
с2
да манфий сон цосил булади, чап томони эса доимо мусбат, демак,
г = h текислик эллипсоид билан бу цолда кесишмайди.
Худди шунга ухшаш, х = h ёки у = h текисликлар билан (39)
сиртиинг кесимини аницлашни уцувчига цавола циламиз.
6. Эллипсоидга тепшли (*ь
Ух, гг) нуцта билан бир вацтда
(—*1. — У1. —Zx) нуцта цам
унга тегишли: бундан куринади-
ки, эллипсоид координаталар бо-
шига нисбатан сим метрик жой-
лашган (координата текисликла-
рига нисбатан цам симметрии
жойлашганлигини курсатинг).
Бу маълумотлар эллипсоид-
нинг (186-чизма) тузилишидан
дарак беради.
Хусусий а = b =£ с цолда
186- чизма
айланма эллипсоид цосил булади.
а = Ь = с да х2 + у2 + г2 = а2
булиб, маркази координаталар бошвдаги ва радиуси а га тенг сферани
аницланади.
а b с шартда эллипсоид уч уцли. дейилади.
Мисол. Декарт реперида уцлари координата уцларида жойлаш-
гаи цамда М (2, 0. 1) нуцтадан утиб, хОу текислик билан +
В
Ч- = 1 эллипс буйича кесишувчи эллипсоид тенгламасини тузинг.
Ечиш. Изланган тенглама
t+£+tel (**)
а> Ьг с»
куринишда булиб, а, Ь, с ни топиш кифоя, (**) ни z = 0 текислик
билан кессак, кесимда —|- - = 1 эллипс цосил булади, уни бе-
fl2 &
хг U2
рилган — + -- = 1 эллипс билан солиштирсак,
а2 = 8, b2= 1.
М(2, 0, !)£(**); ± + 2 + ± =1 => А
а* о* с* о
х* уг . г* ,
изланган тенглама: - 4- — Ч------= 1.
8 1 2
25- §. Гиперболоидлар
Гиперболоидлар икки хил булади. Бирор П текисликда гипербо-
лани олиб, уни мгрцум уци атрофида айлантирсак, цосил цилинган
сирт бир паллали айланма гиперболоид деб аталади, лекин шу ги-
перболани цациций уц атрофида айлантирсак, цосил цилинган сирт
260
цкки поддали айаанма гиперболоид деб аталади. Бу сиртлар гипёр-
болоидларнинг хусусий цолидир, биз цуйида шу сиртлар билан ай-
рим-айрим танишамиз.
I. Декарт реперида
। у±
а2 -ГЛ2 С2
(42)
тенгламани цаноатлантирувчи фазодаги барча нуцталар туплами
бир паллали гиперболоид деб аталади.
Бир паллали гиперболоиднинг шаклини ва баъзи геометрик хос-
саларини аницлайлик.
1. Эллипсоид сингари бир паллали гиперболоид цам иккинчи
тартибли сиртдир.
2. /ИДх,, yit z,) билан бир вацтда ЛГ,(± xlt ± yt, ± z2) цам
гиперболоидга тегишли, демак, бир паллали гиперболоид нуцталари
координаталар бошига, координата текисликларига нисбатан симмет-
рии жойлашган.
а) Ох уц (у = 0, z = 0) билан кесимиии текширайлик:
— = 1,|
а® Ь* с1 хч
у = 0, = 1=><х = ± a^Ajia, 0, 0), Л2(— а, 0,0);
z = 0
б) Шунинг сингари Оу уц (х = 0, г = 0) билан Bt (0, Ь, 0),
В2(0, —Ь, 0) нуцталарда кесишади, чунки:
* , у*
*
с2
х = 0,
z = 0
=> у- = 1 => у = ± Ь=> Bt (0, Ь, 0), В2(0, — Ь, 0);
в) Oz уц билан (х = 0, у = 0) кесишмайди, цацицатан,
— + — ?- = 1
о2 ’*’** с2
х = 0,
У = 0
^ациций соцада бу тенгликнинг булиши мумкин эмас.
Шунинг учун Oz уц бир паллали гиперболоидниш мавдум iftu
деб аталади. Юцорида цосил цилинган Л„ Л2, Вх, В2 нуцталар бир
паллали гиперболоиднинг учлари дейилади.
3. Энди координата текисликлари билан кесимиии текширайлик.
Г» f.2 1
а) хОу. ~ + у-----------— = 1,
’ У а* (Д с»
2 = 0,
х'-
o'- + =1
кесим—эллипс,
у = 0.
кесим — гипербола.
х = 0
кесим — гипербола.
4. хОу текисликка параллел z — h текислик билан кесимни аниц-
лайлик:
— +—— — = 1,
а1 &
z = h
ёки
Xs
бу тенглама z = h текисликда эллипсни аницлайди, |h| сон катга-
лашган сари эллипснинг ярим уцлари цам катталашиб, фацат h = О
учун эллипс энг кичик уцли булади.
5. xOz текисликка параллел у = h текислик билан кесимини тек-
ширайлик:
— —— = 1
а1 с1 ’ ___г* _ ।
, а» с» Ь2 К '
У = 1Ц
Бу ерда цуйидаги цоллар юз бериши мумкин:
a) h = b булса, (•) => =- О
ёки
булиб, кесим иккита кесишувчи тугри чизицдан иборат.
h*
б) —b<h<.b булса, 1-----------г>0 булиб, (*) цуйидаги кури-
tr
нишни олади:
эса У = Л текисликда мав-
ху» га параллел ги-
п^рболани аницлайди.
• с) |h| > b булса, 1— £-<
<0 булиб, (*) тенглама цу-
йцдяги куринишни олади:
• 5?-1 > 0\ бундан
а» )
бу тенглама у = h текислик-
да гипербола тенгламаси бу-
либ, мавцум уци Ох уцца па-
раллелдир.
Худди шу цоллар гипербо-
лоидни х = h текислик бйлан
кесганда цам содир булади
(бунн узингиз текшириб ку-
ринг).
Шу маълумотларга асосан,
бир паллали гиперболоиднинг
пикли намоён булади (187-
чизма).
Т) а = Ь да (42)
£ + У* = j
аг с'г
тенглама
га келтирилади,
187- чизма
бу эса бир паллали
айланма
.. .Гиперболоидни аницлайди:
(43)
а- Ъ1
(44)
р цам бир паллали гиперболоид булиб, улар мавцум уц-
билангина фарц цилади (43) учун мавцум уц Оу, (44) учун
уц Ох дир).
Фазонинг
х3 //2 г*
a! til c-
(45)
тенгламани цаноатлантнрувчи барча нуцталари туплами икки палла-
ли гиперболоид деб аталади.
(45) тенглама буйича бу сиртиинг шаклини ва баъзи геометрии
хоссаларини аницлайлик.
Юцоридаги бир паллали гиперболоид тенгламасини текшкришдаги
баъзи цолларни бу ерда муфассал курмаймиз, чунки улар бевосита
такрорланади:
1) икки паллали гиперболоид иккинчи тартибли сиртдир;
2) икки паллали гиперболоид координаталар бошига ва коорди-
ната текисликларига нисбатан симметрии жойлашган;
3) фацатгина Ох уц билан At(a, 0, 0), Л2(—а, 0, 0) нуцталар-
да кесишиб, бошца координата уцлари билан кесишмайди, демак, yOz
текислик билан цам кесишмайди, демак, Оу, Oz мавцум уцлэр цисоб-
ланади. Бундан куриниб турибдики, икки паллали гиперболоид икки
цисмдан иборат булиб, улар уОг текисликка нисбатан симметрии
жойлашгандир.
4) (45) нинг yOz текисликиа параллел х = h теиислии билан ке-
симини текширайлик:
= j
а2 Ь1 С* ' ____|
x = hf * с'
ёки
Z? с2 а2
1й|>а=>- —1 >0;
о2
(*) тенглама —
б2
куринишни олиб, х =h
теиисликда эллипсни аницлайди.
h = а да кесим фацат бит-
та А1(а, 0, 0) ёки Л2(--а,
0, 0) нуцтадан иборат.
Бошца координата текис-
ликлари ва бу текисликларга
параллел текисликлар билан
кесимлари цам гиперболадан
иборат.
Икки паллали гиперболо-
иднинг шакли 188- чизмада
курсатилган. Ь=с шартда (45)
х2 у’4-г2 , „
тенглама —-------- — = 1 кури-
fl2 1г
нишни олади ва у—--------=1
а2 с2
гиперболанинг (у = 0 текисликда) Ох уц атрофида айланиши-
дан цосил цилинади, у айланма икки паллали гиперболоиддир. (45)
х2 у1 , гг , - х2 у2 г- ,
тенглама--------/г + ~ = 1 еки----- + тг —г в 1 куриниш-
а- о1 с- а1 о- с2
ли булса, булар цам икки паллали гиперболоид булиб, биринчиси учун
Ох, Оу уцлар, иккинчиси учун Ox, Oz уцлар мавхум уцлар булади.
Мисол. Декарт реперида А1Д0, 0, 3) ва Л42(0, 0 —3) нуц-
талар берилган. Фазодаги шундай нуцталар тупламини топингки,
уларнинг цар биридан Л4Х, А42 нуцталаргача булган масофалар айир-
масининг абсолют циймати 4 га тенг булсин.
Ечиш. Фараз цилайлик, Л4 (х, у, г) нуцта суралган хоссага
эга булган нуцта булсин, яъни I р (Л4Х, М) — р (УИ2, М) | = 4, маса-
ла шартини координаталарда ёзамиз:
1/х2 +У2 + (г-3)2 — }^хг+у2 +(2 + 3^1 = 4
ёки
/х2 +y2 + (z-3)2 — /х2 + у2 + (г + 3)2 = ± 4,
бундан
хг + уг + z2 — 6z + 9 = х® + у2 + z2 + 6z + 9 ±
± 8/ х* + у* + (г + З)2 + 16
ёки
т 8 у х2 +ry2 + (z + З)2 =16 + 12 z.
Яна бир марта квадратга кутариб соддалаштирсак,
— — — У2 -L — = 1
5 5^4
бу тенглама икки паллали гиперболоидни аницлайди.
26- §. Параболоидлар
Энди иккинчи тартибли сиртларнинг яна бир синфи — параболо-
идлар билан танишамиз. Бу сиртлар цам икки турдан нборат булиб,
уларни айрим-айрим куриб чицамиз.
I. Декарт реперида
— + y— = 2z,(p>0,q>0) (46)
Р Я
тенгламани цаноатлантирувчи фазодаги барча нуцталар туплами
млиптик параболоид деб аталади.
Бу параболоиднинг цам шаклини ва баъзи геометрик хоссаларини
(46) тенгламани текшириш йули билан аницлаймиз.
1. Эллиптик параболоид цам иккинчи тартибли сирт, ундан таш-
царн, бу сирт координаталар бошидан утади.
2. Координата уцлари билан кесишган нуцталарини топайлик:
.я
a) Ox: —+—= 2г,
P я
У = 0
z = 0
хг
— = о, х = 0=*(0, 0, 0);
у2 *,2
б) Оу: —+у— = 2г,
Р Я «2
х=0 |=> —= 0, у = 0=*(0, 0,0);
г = 0
с)
Г2 f/2
Ог: — + — = 2г
Р Я
х=0
У = 0
=*2г = 0, г = 0=*(0, О, 0).
А Демак, эллиптик параболой ! координата учлари билан фацат ко-
ординаталар бошидагина кесишади.
3. Координата текисликлари ва уларга параллел текисликлар би-
лан кесимизи текширайлик:
а) хОу билан кесншиш чизири:
— + ^ = 2z,
р я
2=0.
б) xOz билан кесишиш чизири:
=> — = 2г=> х2 = 2рг,
р
бу тенглама xOz текисликда симметрия уци Ог дан иборат парабо-
ладир:
С) уОг билан кесишиш чизири:
— + — = 2г,
р я
х = 0.
у-
— = 2z=> уг = 2qz,
бу >;ам симметрия уци Ог дан иборат уОг текисликдаги парабола-
дир;
д) г = h текислик билан кесишиш чизири:
X2 и2
— +y— = 2z
р я
z = h
=^— + — = 2h.
р я
<*)
/i = 0=*z = 0; а) цолига цайтдик. h<0 булса, р ва q шартга
асосан мусбат, шунинг учун, (*) тенглик уринли булмайди: h > О
— + — = 2г,
р я
у = 0
да (*)=*-4t-+tGt==1 бУ-
p-Zn q-zn
либ, бу тенглама z = h текис-
ликдаги эллипсни билдиради.
Бундан ташцари, х, у узга-
рувчилар (46) тенгламада жуфт
даражада цатнашганлиги учун
эллиптик параболоид xOz, уОг
текисликларга нисбатан снимет
рик жойлашади.
Бу текисликларнинг кесишма-
сидан цосил булган Qz тугри чи-
зиц адаидгацд. параболоиднинг
деб аталади.
Эллиптик параболоид 189-
чиэмада тасвирланган. р = q да
тенглама х2 Ч- у2 = 2pz курнннш-
да булиб, айланма параболоид булади.
189-чизма
Уцлари Ох ёки Оу дан ибо-
рат эллиптик параболоиднинг тенгламалари мос равишда ушбу тенг-
ламалар билан ифодалянади:
у1 , гг п - х® . г® о
— 4- — = 2х еки--------1---= 2у.
р я р я
П. Декарт реперида
— — — — 2z(p>0, 9>0) (47)
р я
тенгламани цаноатлантирувчи фазо нуцталари туплами гиперболик
параболоид деб аталади, тенгламаси буйича гиперболик параболоид-
нинг шаклини ва баъзи геометрик хоссаларини аннцлаш мумкин.
Куйида бнз баъзи хулосаларнигина берамиз, уларнинг уринли экан-
лигини узингиз текшириб куринг.
1. Гиперболик параболоид иккинчи тартибли сирт булиб, ко-
ординаталар бошддан утади.
2. Координата уцларн билан
фацат координаталар бошида ке-
сишади.
3. а) хОу текислик билан ке-
силганда кесимда иккита кеси-
шувчи туррн чизиц цоснл цили-
нади;
б) xOz текислик билан кесил-
ганда кесимда симметрия уци Oz
дач иборат х2 = 2pz парабола
цосил булади;
с) yOz текислик билан кесил-
ганда кесимда симметрия уци Oz
Дан иборат у2 = — 2qz парабола
цсснл булади.
4. z = h текислик билан кесилганда кесимда
a) h > 0 шартд? —-------— = 1 гипербола.
2 ph 2 qh
б) h < 0 да — = 1 гипербола цосил цилинади.
2 ph 2qh
5. Бошца координата текисликларига параллел текисликлар билан
кесилганда кесимда доимо парабола цосил булади.
Шу маълумотларга асосланиб гиперболик параболоидни 190-чиз-
мадагидек сирт куринишида тасаввур цилиш мумкин, баъзан бу сирт-
ни «эгарсимон» сирт деб цам юритилади.
27- §. Иккинчи тартибли сиртларнииг тугри чизицлн ясовчилари
Биз юцорида иккинчи т.ртибли сиртларнииг турли синфларн би-
лан танишдик. Унда сиртлар бир-биридан тенгламалари ёки таъриф-
лари билан фарц цилар эди. Энди бу сиртларни биз бошца нуцтаи
назардан икки синфга ажратамиз: улардач бирига иккинчи тартибли
шундай сиртларни киритамизки, улар уз таркибига тугри чнзицларни
тулиц олеин, бундай сиртлар тугри чизицли сиртлар дейилади;
иккинчи тартибли цилиндр ва конуслар буларга яццоЛ мисол була
олади. Иккинчи синфга эса таркибида битта цам тугри чизиц булма-
ган иккинчи тартибли сиртларни киритамиз, равшанки, эллипсоид
чегараланган сирт булгани учун унинг таркибида тугри чизиц йуц,
демак, эллипсоид иккинчи синфга киради. Сиртлар таркибидаги туг-
ри чизицлар шу сиртларнииг ясовчилари деб аталади. Таркибида чек-
сиэ куп тугри чизицлар мавжуд булган сиртлар (конус ва цилиндр-
дан бошца) яна борми деган саволга жавоб излаймиз1.
Бунинг учун гиперболик параболоидни текшириб курайлик:
— ——=22, р > О, q>0. (48)
Р Я
Шу сиртга тегишли тайин Л10(х0, у0, г0) нуцтани олайлик. Л40
нуцтадан утиб (48) гиперболоид таркибида булган тугрн чизицларни
излайлик, бунинг учун Мо нуцтадан утган тугри чиэицнииг пара-
метрик тенгламаларини ёзайлик:
х = х0 + It,
и: y = y0 + mt, (49)
z = z0 + nt,
бунда I, т, п йуналтирувчи векторнинг координаталари булиб, шу-
ларни ва Мо ни бериш билан и тугри чизицнинг ваэияти аниц була-
ди; бу йуналтирувчи векторнинг йуналиши цаттоки, 1:т:п нисбат-
лар билан цам тулиц аницланади. Шу нисбатни излайлик.
(48), (49) дан:
1 Биз фацат 2- тартибли сиртлар билап нт кураётгапимизпи эслатиб утамиз.
Масала умумий цолда дифференциал геометрия курсидан муфассал ёзилгаи адабиёт-
да баёи цилинади (ц. мае. М. А. Собиров, А. Е. Юсупов, Дифференциал гео-
метрия курен, 2-нашри, 1959 й. , Т,, 74- §, 99-§).
^^(^±m1.=2(2o + nr)
P Я
ёки
Afe гиперболоидга тегишли булгани учун учинчи цавс ичида! и ифо-
да нолга тенгдир, шуни эътиборга олсак,
— — Ь24-2/^- — — пЪ = 0. (50)
\Р я ) \р я !
Агар и тугри чизиц гиперболик параболоид таркибида булса, у цол-
да (50) тенглик t нинг цар цандай цийматида уринли булиши керак,
демак,
— —— =0, (51)
Р я
xsL-l^ -п = 0.
р я
Аксинча, (51) бажарилса, и£ (48), демак, (51) шартлар тугри чизиц-
нинг гиперболик параболоидга тулиц тегишли булиши учун зару-
рий ва етарлн шартлар экан. ___ ______________
(51) нинг биринчисидан: т = ± |/ -у/ ёки = |/ т2 =
= — 12, булардан:
/1: т1 = У~р : /<Г; /2: т2 = /р — W- (32)
(52) нинг цар бирини (51) нннг иккннчиси билан биргаликда ечнлса,
(S3)
Г? +^=) •
Бундан куринадики, параболоиднинг Мо нуцтасидан йуналиши (53)
тенгликлар билан аннцланадиган иккита тугри чизиц утиб, улар ги-
перболик параболоиднинг ясовчилари ролини уйнайди.
Энди иД/р mp nJ векторга параллел булган ясовчн билан
П1:-^--^ = 0 (54)
Vp Уя
' Текисликнинг узаро вазиятини текширайлик. Бу текисликнинг нор-
'вал вектори ----^=, о) булгани учун (53) нинг биринчи-
\ V р V я '
сини эътиборга олсак, У~р —F (—Vq ) •-=+ (-7= —тМ 0 =
, , vp vq Wp Vq!
=0=>u1-n1 = 0=> Uj ясовчи (54) теккисликка парьллелдир.
—
Худди шунга ухшаш, u2(Z2, т2, п2) векторга параллел булган
иа ясовчи П2: -£= + -#=• = 0 текисликка параллел булади.
V Р V q
Гиперболик параболоиднинг барча ясовчиларини икки оилага шун-
дай ажратамизки, биринчи оилага фацатгина П] текисликка параллел
булганлари киради, иккинчи оилага П2 текисликка параллел булган-
лари киради. (Шуни эслатамизки, бу икки оилага кирмаган ясовчи
цолмайди, чунки биз юцорида гиперболоиднинг цар бир нуцтасидан
фацатгина иккита ясовчи утишинн ва бу ясовчилардан бнри П± га,
Иккинчиси П2 га параллел эканлигини исботладик.) У цолда
2 = 0
тугри чизиц биринчи оилага,
Vp Vq
z = 0
тугри чизиц эса иккинчи оилага тегишли булади.
Шуниси цам диццатга сазоворки, бир оиланинг битта тугри чизи-
гининг цар бир нуцтасидан иккинчи оиланинг битта тугри чизиги
утади.
Энди гиперболик параболоиднинг ясовчиларидан цар хил оилага
тегишли икки ясовчисининг доимо кесишишлигини курсатайлик.
^ацицатан цам, (48) нинг Afjxp yt, z±) нуцтасидан утиб,
—>
«i(Zj, mt, п,) векторга параллел булган ясовчинннг тенгламаси
((53) га асосан)
,. . х~х1 _ У — Уг = < —г1
Vp Vq
Vp Vq
(48) нинг Ma(xi, y2, z2) нуцтасидан утиб, u2(l2, m2, n2) векторга
параллел булган u2 ясовчининг тенгламаси
. х~xi __ у — У* _ г —z2
2' Vp ~-Vq Х+Х-
Vp Vq
булиб, биринчи оилага, и2 иккинчи оилага тегншлиднр.
—>
Булардан куринадики, ut % и2 (чунки мос координаталари про-
порционал эмас). Энди бу икки тугри чизицнинг бир текисликда
ётишлик шартини текширайлик (II боб, 17- §, (34)):
x2 — Xt уг — Уг z2 — z.
= Vpq (0 —0) = 0.
Цавс ичидаги нфодалар нолга тенгдир, чунки All, Л12 нуцталар
гиперболик параболоидга тегишлидир. Демак, ut, и2 бир текисликда
ётади ва кесишади.
Гиперболик параболоиднинг бир оилага тегишли икки ясовчиси
узаро айцаш жойлашгандир.
Х^цицатан цам, бир оилага, аницроги, биринчи оилага тегишли
икки Up uj ясовчини олсак, - уларнинг цар бири П, текнсликка *па-
раллелдир цамда и, Г) uj = 0 (агар улар кесишиб цолса, икки оилага
тегишли булиб цолади, бу эса м, и, нинг олинишига зиддир), лекин
улар U|j|.Up агар ut II u't булиб цолса, иккинчи оилага тегишли бар-
ча ясовчилар бу икки чизицни кесиб, шу тугри чизицлардан утган
текнсликка жойлашиб цолади, бунинг булиши мумкин эмас. Де-
мак, U| ва и, лар узаро [дйцац^жойлашган.
Агар гиперболик параболоид (48) куринишдаги тенглама билан
аницланса, унинг биринчи оилага тегишли тугри чизицларини Л® +
+ v2=yfe0 шартда)
XM= + -L) = 2vz, (55)
V q 1
v
= Х
куринишда излаш цулайдир, X ва v га цар хил цийматлар бериш би-
лан шу оилага тегишли ясовчилар топилади. (55) тенгламанинг туг-
ри чизицни аницлаши равшан, агар иккала тенгламанинг чап томони-
ни чап томонига, унг томонини унг томонига купайтирсак ва X-v
га булиб юборсак, (48) цосил булади, демак, (55) ни цаноатланти-
рувчи нуцталар (48) га цам тегишли экан..
Иккинчи оила ясовчиларини эса ушбу куринишда излаш мумкин:
(56)
v(^+-b) = X.
\/p /9 /
Энди бир паллали гиперболоидни олайлик:
tf & cl
(57)
Бу сиртнинг тугри чизицли ясовчиларининг мавжудлигини исбот-
лаш ва уларни топиш масаласини муфассал текшнрмасдан, биз бу
ишда цуйндагиларнинг уринли эканини таъкидлаймиз, холос.
1. Бир паллали гиперболоиднинг цар бир нуцтасидан унинг фа-
цат иккита ясовчиси утади.
2. Бир паллали гиперболоиднинг турри чизицли ясовчилари цам
икки оилага ажралиб, биринчи оилага тегишли турри чизицлар
(58)
тенгламалар билан, иккинчи оилага тегишли турри чизицлар эса
(59)
тенгламалар билан аницланади ва X, v га турли цийматлар бериб,
турли турри чизицли ясовчиларни цосил цилиш мумкин.
3. Бир паллали гиперболоиднинг бир1 оилага тегншли икки ясов-
чиси узаро айцашдир.
4. Бир паллали гиперболоиднинг цар хил оилага тегишли икки
ясовчиси узаро кесишади.
Биз юцорида эллипсоиднинг турри чизицли ясовчиларининг йуц-
лигнни курсатган эдик, шунга ухшаш, икки паллали гиперболоид
цам турри чизицли ясовчиларга. эга булмайди. ^ацицатан цам, икки
паллали гиперболоидни х = h (/12 > а2) текислик билан кесилганда,
равшанки, кесимда айнимаган иккинчи тартибли чцзиц цосил булиб,
бунинг таркибида турри чизиц йуцдир, демак, икки паллали гипер-
болондни уОг текисликка параллел турри чизицли ясовчиси йуц,
агар yOz га параллел булмаган турри чизицли ясовчи бор булса,
у турри чизиц бу текислик билан кесишади, кесимда цосил булган
нуцта турри чизицца тегишли булиб, икки паллали гиперболоидга
тегишли эмас. Демак, икки паллали гиперболоид турри чизицли
ясовчиларга эга эмас.
Худди шу усул билан эллиптик параболоид учун цам ясовчилар-
нинг мавжуд эмаслигини курсатиш мумкин.
28- §. Иккинчи тартибли сиртиинг уринма текислнгн
Иккинчи тартибли сиртлар тенгламаси
aux2 + a22t/2 4- а33г2 + 2 а12ху + 2 а13хг + 2 a23yz +
4- 2а^х + 2а21у + 2аз42 -j-а44 = О (1)
куринишда берилганда унннг Л40(х0, ус, г0) нуцтасига утказилган
уринма текисликнинг тенгламаси
(anx0 + а12у0 + а13г0 + а14) (х — х0) 4- (а21х0 4- а22у0 + а23г0 +
+ а24) (У — Уо) + (сз1хо + СзгУо + aJ3zo + a3i) (z — z0) = О
куринищда булишини курсатган эдик. Агар (1) нинг чап томонини
F(x, у, г) деб белгилаб, (1) дан аввал х буйича (у ва z нн узгар-
мас ^исоблаб), сунгра у буйича (бунда х ва z ни узгармас ^исобла-
нади), ни\оят z булюа. (х, у ни узгармас деб олиб) ^осилалар олсак,
F'x (х, у. z) = 2 акх + 2 аХ2у + 2 al3z 4- 2 а14 =
= 2 (апх + al2y + al3z + а„\ (60)
(*. У. z) = 2 а21х + 2 а22у 4- 2ja23z 4- 2 а24 =
= 2 (а21х + а22у 4- a23z + а24),
Гг(х, у, г) = 2а31х + 2а32у -j- 2a33z + 2а31 =
= 2 (а31х + а32у + a33z + ам).
Бу функцияларнинг М0(хо> Уо> го) ну^тадаги ^инматларини топ-
сак,
<*о. Уо> z0) = 2 (anx0 + а12у0 + a13z0 + au).
(хо. Уо. z0) = 2 (а21х0 + а22у0 + a23z0 + а21),
(хо< Уо. 20) = 2 (а31х8 + а32у0 + a^Zo + а34),
булардан
anx0 + al2y0 + a13z0 4- а14 = 1 F’Xf (х0. у0, z0),
°2i*o + ОмУо + C23Z0 + а24 = fy, (*0. Уо. z0),
а31*о + азгу0 4- «Wo + a3.i = ± (х0, у0, zj.
Буларнинг цийматини (8) га ^уйсак,
7 F’x, (ХО. Уо. *о) (х — *о) + у Fyt (х0, у0, г0) (у — Уо) +
+ у F;t (х0, у0, z0) (z — z0) = О
®ки цис>\ароц езсак,
F;, (х — Хо) 4- F't (у — у0) 4- F'Zt (z — zot = 0. (61;
Бу тенглама иккинчи тартибли сиртга утказилган уринма текислик-
нинг энг цулай куринишдаги тенгламасидир.
Шу ни таъкидлаймизки, F', F', Г нинг учаласи бир вацтда
нолга тенг булиши мумкнн эмас, акс цолда М нуцта сирт учун
махсус нуцта булиб цолади.
(61) дан фойдаланиб, каноник тенгламалари билан берилган ик-
кинчи тартибли сиртга утказилган уринма текислик тенгламасини
ёзайлик.
X2 и2, Z2
а) 1- -—|----=1 эллипсоиднинг Мо (х0, у0, z0) нуцтасига
а2 б2 с2
утказилган уринма текислиги тенгламасини ёзайлик.
Бу ерда
I/2 Z2
F(x, у, г}= ^ + 4+4-1 =0,
а2 Ь- с1
Демак,
\ ~ а* Х°’ Flb У» Уо' F*. ~ с2 Z°’
буларни (61) га цуйсак ва Мо нуцтанинг эллипсоидга тегишли экан-
лигини цисобга олсак,
4 хо(х — хо) + -^гУ0(у —Уо) + 4z0(г —г0) = 0,
а3 о3 с3
бундан
— 1 . (62)
d2 fc2 с2
3 3
б)-------— — = 2 z гиперболик параболоиднинг Мо (х0, у0, z0) нуц-
р я _
тасида утказилган уринма текислик тенгламасини езаилик. Бу ерда
уЗ »,2
F (х, у, г) =-----------2 z = 0,
р я
2 2
F' = — х, F' =-------у, F.' = —2, буларнинг Мо нуцтадаги ций-
' Р у я
матлари
f;. = -xo, ^. = --уо. f; = -2.
Р у* я
Буларни (61) га цуйсак,
- х0 (х — х0) + (— - yJ (у — у0) + (— 2) (г — 2о) = 0.
Р \ я /
Мо нинг шу сиртга тегишлилигини цисобга олсак, изланган тенгла-
ма цуйидагича булади:
^_^ = г + го. (63)
р я
X3 I?
с)-----1-— = 1 цилиндрик сиртга унинг М0(х0, у0, z0) нуцтаси-
й* Ь2
да утказилган уринма текислик тенгламасини ёзайлик.
F'=-^x, F'= — у, F'z = 0; буларнинг Л40(х0, у0, z0) нуцтадаги
а* * tr
2 2
цийматлари F^ = — х0, Fy° = — у0, F't° = 0 булиб, буни (61) га
цуйсак,
2 2
— х0(х—х0)+— Уо(у- Уо) + О(z — z0) = О
и* о*
ёки
= (64)
a’ tr
Худди шунга ухшаш формулаларни бошца сиртлар |учун муста-
цил келтириб чицариш машц сифатида уцувчига цавола этилади.
IV БОБ. п УЛЧОВЛИ АФФИН ВА ЕВКЛИД ФАЗОЛАРИ
29-§. Вектор фазо
Уцувчнга «Алгебра ва сонлар назарияси» курсидан вектор (чизиц-
ли) фазо тушунчаси маълум. Шу тушунчанинг муцимлигияи эъти-
борга олиб, уни цисцача такрорлаб утамиз.
Элементлари вектор деб аталган (бу ерда вектор сузи кенг маъ-
нодадир, хусусий цолда геометрия курсининг I булимида курилган
вектор цам булиши мумкин) буш булмаган V туплам берилган бул-
син. Бу тупламнинг элементларини устига стрелка цуйилган кичик
—>- —>- —>• —>-
лотин царфлари а, Ь, .... х, у, . . . билан белгилайлик. Бундан
ташцари, цациций сонлар туплами R берилган булиб, V ва R эле-
ментларини богловчи маълум муносабатлар урнатилган булсин, жум-
ладан:
—
I. V нинг ихтиёрий икки а, b вектори учун уларнинг йигинди-
си деб аталган, шу тупламнинг элементидан иборат учинчи бир век-
——*" •-
тор мос келтирилган булсин, бу векторни а + Ь куринишда ёзай-
лик.
II. V нинг ихтиёрий а вектори ва ихтиёрий k цациций сон учун
V нинг шундай бир элементи мос келтирилган булсинки, бу элемент
—>-
а векторни k сонга купайтиришдан црснл цилинган дейилиб, уни
ka куринишда ёзайлик. Киритилган бу икки амал цуйидаги 8 та
аксиомани цаноатлантирсин.
1Х. Векторларни цушиш коммутативлик цонунига буйсунади, яъни
у a, b € V учун а + b = b + а .
12. Векторларни цушиш гуруцланиш цоиунига буйсунади, яъни
У a, b, cQ V учун (а -I- Ь) = а + (Ь + с).
—> —*"
I3. V да ноль вектор деган 0 элемент мавжуд булиб, уа£И
учун а + 0 = а.
14. V нинг ихтиёрий а вектори учун V да шундай а' вектор мав-
—> —*- —>• ——►
жуд булиб, а 4- о' = 0. Бундай а' вектор одатда а векторга цара-
ма- царили вектор деб аталади ва у — а билан белгнланади. Бу
туртта аксиома векторларни цушиш аксиомалари деб аталади.
Hi- \f~k£R ва у a, b QV учун k(a + b) = ka -j- kb.
П9. у k, t£R ва ya£V учун (k + t)a = ka + ta.
IIS. y£, t£R, yagV учун k(ta) = (kt)a.
II4. yo£V учун l a = a.
Бу туртта аксиома векторни сонга купайтириш аксис-малари деб
аталади.
Таъриф. Элементлари шу саккиз аксиома шартларини цаноат-
лантирувчи V туплам вектор (ёки чизицли) фазо деб аталади.
Векторларни цушиш ва векторни сонга купайтириш амаллари
биргаликда чизицли амаллар деб аталади.
Бу саккиз аксиома геометрия курсининг Г. Вейль аксиомалари
буйича баён цилишдаги биринчи ва иккинчи гуруц аксиомаларидир
(бу аксиомалар системаси билан IV булимда батафсил танишамиз;.
Юцорида келтирилган аксиомалардан бевосита цуйидаги икки на-
тижа келиб чицади:
1-натижа. Is аксиома шартини цаноатлантирувчи 0 элемент V
да ягонадир.
Исбот. V да 0 дан фарцли ва шу аксиома шартини цаноат-
—►
лантирувчи 0' элемент мавжуд деб фараз цилсак,
V а £ V учуй а + 0 = а, а + 0' = а, хусусий цолда, 0 + 0' =
= 0, 0^4-0 = 0'.
—* —>-
I! га асосан, коммутативлик цонунининг уринлилигидан, 0=0'. л
—>-
2-натижа. 14 аксиомадаги цар бир а векторга царама-царши
—
а’ вектор V да ягонадир.
—> —>-
Исбот. а векторга царама-царши а' вектордан фарцли яна
—>-
битта а" вектор мавжуд деб царасак, яъни
——>-
а + а' = 0, а + а" = 0
—►
десак, бу тенгликлардан биринчисининг иккала томонига а" ни цу-
шиб, 1Ж, 12 ни эътиборга олсак, (а" + а) + а' = 0 + а". Лекин
а + а" = 0=> а + 0' = 0 +а" ёки а' = а". ▲
Вектор фазога мисоллар келтирамиз.
1. Биринчи булимда куриб утилган геометрик векторлар туплами
чизицли фазо цосил цилади, чунки бу векторлар учун юцоридаги
8 та аксиоманинг цаммаси бажарилади.
2. Элементлари цациций соилардан иборат булган п та устун ва
т та сатрдан цосил цилингаи барча матрицалар туплами (цушиш
амали деб матрицаларни цушишни, векторни сонга купайтириш ама-
ли деб матрицани сонга купайтиришни олсак) цам вектор фазо цосил
цилади, бунда вектор сузи т-п та элемент ли матрицани билдиради.
(Бу тупламнинг вектор фазо экани «Алгебра ва сонлар назарияси»
курсида исбот цилинади.)
Эслатма. Юцорида биз векторни сонга купайтиришда фацат
цациций сонлар туплами билан чегараландик, шунинг учун бу век-
тор фазо цациций сонлар майдони устидаги вектор фазо деб ата-
лади. Биз бундан буён фацат шундай чизицли фазони куэда тутамиз
ва уни цисцача вектор фазо деб атайверамиз.
Агар 11]_4 шартлар комплекс сонлар учун цам бажарилиши талаб
jftHJMHca, у цолда V комплекс сонлар майдони устидаги вектор
йИэо деб юритилади.
Таъриф. V' а V булиб, V да аницланган векторларни цушиш
ва векторни сонга купайтириш амалига нисбатан V цам вектор фазо
цосил цилса, у цолда V' ни V иинг цисм фазоси деб аталади, ма-
салан, фацат битта ноль векторга эга булган туплам цар цандай
вектор фазонинг цисм фазосидир.
Цуйидаги содда теоремани мустацил исботланг.
Теорема. V вектор фазонинг иккита цисм фазосчнинг кесиш-
маси цам вектор фазо булади.
Энди вектор фазодаги векторлар учун чизицли эрклилик тушун-
часини киритайлик. а1г а2, ... ,ап векторлар V нинг элементлари
булсин.
Таъриф. Камида биттаси нолдан фарцли цациций klt k2, ...,
kn сонлар мавжуд булиб,
kta2 + kja2 + ... + kn~an ="б (1)
теиглик бажарилса, alt а2, . . . , ап векторлар системаси чизицли
борлиц дейилади: агар (1) тенглйк фацат = k2 = ... = kn = О
булгандагина бажарилса, берилган векторлар системаси чизицли эрк-
ли дейилади.
Бу таърифдан куринадики, V вектор фазода камида битта вектор
булса, цар цандай k =*= 0 сон учун цам ka£V.
Энди вектор фазонинг улчовини аницловчи цуйидаги аксиомалар-
ни киритайлик.
111,. V вектор фазода п та чизицли эркли вектор мавжуд.
П12. V вектор фазодаги цар цандай п + 1 та вектор системаси
чизицли боглицдир.
Келтирилган 10 та аксиома (1,_4, П(_4, шартларини цано-
атлантирувчи вектор фазо п улчовли вектор фазо дейилади ва у Vn
билан белгиланади.
п = 1 га мос хусусий цолда бир улчовли V2 вектор фазо цосил
булади (бунга мисол тарицасида бир тугри чизицца параллел барча
геометрик векторлар тупламини олиш мумкин), п — 2 да икки ул-
човли V2 вектор фазо цосил булади (мисол тарицасида бир текис-
ликка параллел барча геометрик векторлар тупламини курсатиш мум-
кин), п = 3 да уч улчовли Vs вектор фазо цосил булади (бунга
мисол тарицасида фазодаги барча геометрик векторлар тупламини
олиш мумкин).
Лекин П1]_о аксиомалар шартларини цаноатлантирувчи п сон
мавжуд булмаса (албатта 1|_4, нинг барча шартлари цаноат-
ланганда), у цолда бундай вектор фазо чексиз улчовли вектор фазо
деб юритилади; бу цолда чексиз улчовли вектор фазода етарлича
куп векторлардан ташкил топган чизицли эркли векторлар система-
сини цосил цилиш мумкин. Чексиз улчовли вектор фазо тушунчаси
айницса функционал анализ булимида кенг урганилади.
Биз бундан буен чекли улчовли вектор фазо билан иш курамиз.
Векторнинг координаз алари. Таъриф. п улчовли век-
тор фазонинг ихтиёрий п та чизицли эркли векторлари системаси шу
фазонинг. базисы дейилади. Бундан буен биз базис векторларни
e1F е9, ... еп деб белгилаб, уни Б — (ev е2, , еп) куринишда
ёзамиз, шуни таъкидлаймизки, базис векторлар орасида ноль вектор
йуцдир, чунки е. = 0 булиб цолса, хусусий цолда kY = k2 = ... =
= = ki+i = . . . = kn = 0, kj =/= 0 сонлар учун
^iei 4~ ^2ег “Ь • • + ei + • • • + kn en = 0
—>- —> —>
булиб, elt e2 , . . . , en чизицли боглиц булиб цолади.
Теорема. Vn нинг ихтиёрий а вектори шу фазонинг базис
векторлари орцали биргина куринишда ифодаланади.
—>- —>• —>
Исбот. elt е2, .... еп лар Vn нинг базиси булсин, у цолда
—* —»- —
~а, elt е2, .... еп векторлар системаси II19 аксиомага асосан чизиц-
ли боглиц, демак, шундай k, klt k2, .... kn (k* + k] + ... +
+ ^=#0) сонлар мавжудки, улар учун
ka + k1al + k,fi2 4- . .. + k^an = 0 (2)
—>- ——>
бунда k #= 0, чунки k = 0 булса, elt e2, .... en чизицли
богланган булар эди, бу эса базис тушунчасига зиддир. (2)
нинг иккала цисмини — га купайтириб I— -0 = 0 ни цисобга
олиб), иккинчи цушилувчидан бошлаб барча цадларни унг томонга
утказсак,
fei Л9 Л- —**
k k 9 k "
Бунда —— = Xj, — — = х2, . .., — — = х — белгилашларни
k k k
киритиб, сунгги ифодани цуйидагича ёзиш мумкин:
а = XjC! + х9 е2+ ... + хп еп. ^3)
Бундан берилган а векторнинг базис векторлар орцали ифодалани-
ши куриниб турибди.
Энди (3) ёйилманинг ягона эканлигини курсатамиз. Фараз ци-
.лайлик, а вектор elt е2, ... , еп базис векторлар орцали иккинчи
кфрИнищда ифодалансин:
<1 = У1 М- Уг£+ • • • + Уп еп> (4)
У цолда (3) дай (4) ни цадлаб айирсак, (14 га асосан а — а = а +
+ (—а) = 0 цамда П2 га асосан):
(Х1 !/i) ei + (*2 — Уа) е2 + • • • + (хп — У,) еп = 0-
.Пекин базис векторлар чизицли эрклилиги сабабли:
xi—У1 = 0. х2 — {/2 = 0.......хп—уп = 0
ёки х, = у,. х9 = у2, . . . , хп = уп. Бу эса (3) ёйилманинг ягонали-
гини тасдицлайди.
Таъриф. (3) ёйилмадаги х(, х2.........хп сонлар а век-
—>- ——*-
торнинг Ср е2, . .. , еп базисдаги координаталари деб аталади ва
у а(хр х2, . . . , хп) куринишда белгиланади. Демак,
a (*i. х2, , хп) <==> а = XjCj + х2е2 + ... + хп еп.
Хусусий цолда
а = e1=>ej(l, 0, 0, . . . , 0),
а = е2=>е2(0, 1, 0, . ; . , 0),
Q = en=>en(°> 0.....0. 0.
<7=(Г=/0(0, 0......0).
Теорема. Бир базисга нисбатан берилган векторларни цу-
шишдан цосил цилинган векторнинг координаталари цуишлувчи
векторлар мос координаталарининг йигиндисига тенг, векторни
сонга кдпайтиришда эса унинг барча координаталари шу сонга
купайтирилади.
—>- —►
Исбот. а(Хр х2, . . . хп), b(ylt у2, ... , уп) векторлар ёйилма-
лари
а = х171 + хге2+ ... +хп еп. b = у1е1 + у2е2 + ... +упеа.
бундан:
'a+~b = (Xj + «/J q + (х2 + у2)е2 + ... +(хп + yjen,
ва
(а+^) (*i + !/i) (Х2 + Уг..*„ + Уп) (6)
——* —* —*
Энди а = x^j + х9е9 + ... -J- хп еп ифоданинг иккала цисмини
k га купайтирамиз:
ka = kxfr +kx2e2+ ... + kxnen
ёки
k a (kxit kx2, ... , kxn) (7) ▲
Эслатма. К,ушилувчи векторлар сони иккитадан ортиц булса
хам теорема уз кучини сацлайди. Буни машц сифатида исботлашни
^цувчига цавола циламиз.
Vn да бирор (е2, е2, ... , базисга нисбатан
bi (^и> ^12> • • • • Ь|„). Ь2 (Ь21, Ь22, . . . , Ь2п), ....
bm(bml, bm2, .... Ьтп)
векторлар берилган булсин. Цуйидаги матрицани тузайлик:
(Ьц Ь12 . .. Ь|П \
Ь*1 ь22. . . b2n j (8)
^ml ^т2 * ' ’ bmnJ
Теорема. Берилган blt Ь2, . . . , Ьп векторлардан олинган чи-
зицли эркли векторлар сони (8) матрицанинг рангига тенгдир.
Исбот. Фараз цилайлик, берилган векторлар чизицли боглиц
булсин, у холда шундай kx, k2, .... km соилар мавжудки,
ЛА 4-АД 4- .. . +kJm = 0, + ... 4-Л2т=#0, (*)
бу тенгликни координаталарда ёзайлик:
ki (biA + 6j2e2 + • • • 4- bln еп) + &2 (b2i^! + Ь22е2 + . . .
+ Ь9пеп) + ... +L (Ь . е.+Ьт9е2+ + be) = О
1 2/j Л' 1 тх ml 1 mx * тл iv
ёки (ЛД i + Л2Ь21 + ... + km bm) et + (^Ь12 + k2b22 + . . .
+ km 6m2) C2 + • • • + (M|„ + M2n + • • • + km bmr) 6n = 0.
—► —>- —►
elf e2, . . . , en базис векторлар булгани учун
^2Ь21 -г ... 4- kmbml = 0,
Mi2 4- k2b22 + ... 4- km bm2 = 0,
kibm 4- k2b2n + ... +kmbmn — 0;
ty тенгликларнинг барчасини цушайлик:
С’и + ь12 + ... +Ь|„) +^2(621 4- ь22 + ... + b2n) +
+ •••+M*mi+bm2+•••+ьтп) = о (**).
Бу эса В матрица сатрларининг чизицли боглицлигини курсатади.
Аксинча. (**) =► (*) цам уринлидир.
Демак, берилган векторлар системасидаги чизицли эркли вектор-
ларнинг максимал сони В матрицанинг чизицли эркли сатрлари сон-
ларининг энг каттасига тенг. ▲
Агар т = п, яъни берилган векторлар сони фазо улчовига тенг
булса, В матрица квадрат матрица булиб, юцоридаги теоремадан
цуйидаги натижа келиб чицади.
Натижа. п улчовли вектор фазода берилган п та векторнинг
чизицли боглиц булиши учун уларнинг координаталаридан тузилгаи
п- тартибли детерминантнинг нолга тенг булиши зарур ва етарли-
Дир.
Энди бир базисдан иккинчи базисга утиш масаласига тухталай-
лик. Б = (бц е2, . . . , еп), Б' = (е', е2, .... еп) лар Vn ни ir икки
—>-
базиси булсин. a€Vn нинг шу базислардаги координаталари мос ра-
вишда
U1. Х2......Хп), (xj, Xj.....xj,
а = х1е’1 + х2ег + ... + xnen, a= xj e\ + x2~e2 + ... + x^< (8Z)
Бундан ташцари, ej, e2, . .. , en лардан цар бирининг Б базисдаги
координаталари маълум булсин:
ei = сп ei + c2ie2 + • •. + с„| еп,
^2 = ^12^1 4- ^22 4~ •. • + сп2 еп.
еп — С\пе1 4" С2пе2 + • . . + Спп еп-
(9)
Бунда
С11С21 • • • СЛ1
с12с22 . . . сп2
¥= О,
С 1л С2п • • • Спп
акс цолда ej, е2, .... е'п векторлар чизицли боглиц булар эди. Бу
цийматларни (8') нинг иккинчисига цуямиз:
а = x'i (cu q 4- спе2 + ... +caien)+ х2 (с12 q + см Z +
4- • • • 4- сп2 7п) + ... + х;(С|П+ с2п~е2 + . . . + спл7,)-
Бундан
282
а = (Gi < + qs x2' + ... + cln xn) et + (c2l x,' 4- c22 x2 +
+ • • + с2пЪ^2 + • • • + (<^ + c„27;+ ...+<?„„<) ~en.
(8') ва (9) дан:
Xl = CllXl -ГС12а’2"1_ • • 4" ClnXn’
X2 “ ^21 A| 4“ ^22X2 4" • • 4“ ^2n Xn’ (Ю)
Xn ~ Cnl X1 4" Cn2X2 4" • • • 4" CnnXn'
Бу формулалар а нинг Б базисдаги координаталарини шу вектор-
нинг Б' базисдаги координаталари билан боглагани учун (10) ифода-
лар вектор координаталарини алмаштириш формулалари дейи-
лади.
(П)
Бу айнимаган матрицадир, чунки унинг детерминанта ((9) дан кури-
ниб турибдики) нолдан фарцли. Бу матрицани (9) нинг матрицаси
билан солиштирсак, (11) матрица С* нинг транспонирланишидан цо-
Сил булганлиги ошкор булади.
1-мисо л. К,уйида берилган туртта векторнинг Vt вектор фазо
учун базис булишини исботланг: аг (2,3,4, —3), ая (5, 4, 9, —2),
5(1.0, 0, 0), 5(3, 5, 5, 3).
Ечиш. Берилган векторлар системасининг учун базис були-
шини курсатиш учун уларнинг чизицли эркли эканлигини курсатиш
кифоядир. ^ацицатан,
2 3 4 —3
5 4 9 —2 3 4—3
10 0 0 — 4 9—2 = 98 =#= 0,
3 5 5 3 5 5 3
демак, берилган векторлар чизицли эркли.
’ 2-мисо л. Элементлари иккинчи тартибли квадрат матрицалардан
$юорат векторфазоберилган. Бу фазода J, a2L аз(। ____________2/’
векторларнинг базис цосил цилишини курсатииг ва
векторларнинг шу базисдаги координаталарини топииг.
Е ч 1. ш. Берилган векторларнинг базис эканлигини курсатиш учуй
уларнинг
Q-i 4- 62с2 + ЛдОз 4- kta
(*)
чизицли комбинацияси фацат kv = k2 = k-3 = kt = 0 шартдагина
0) матрица цосил булишини курсатиш керак. (*) ни берилганлар
орцали ёзсак ва уни матрицага тенглаштирсак,
ь /1 21 j-Ь /2 3'1 , ь /3 1\ , ь ( 4
2\ _ /0 0\
—6) ~ \0 0}
булиб, матрицаларни цушиш ва матрицани сонга купайтириш цоида-
ларига асосан:
(ki 4- 262 4- Зб3 4- 464 2^j + 362 4- k2 4- 26<\ /0 0\
4" k2 4” k3— ki — 26g— 6kt j \0 0/
Бундан
4~ 262 4- 36s 4” 464 = 0,
26t 4-362 4-63 + 264 = 0,
ki 4“ k2 4“ 63 64 = 0,
— 26s — 664 = 0
система цосил булади. Бу система бир жинсли булгани учун kt =
= k2 = 6з = kt = 0. Бу ечимдан бошца ечимнинг мавжуд эмаслиги-
ни курсатайлик. Бунинг учун (**) системанинг асосий детерминантини
цисоблайлик:
12 3 4
2 3 12
11 1—1
1 0—2—6
112 5
2 1—14
10 0 0
1 -1 -3 -5
1 2 5
1 —1 4
—1 -3-5
= -1
Алгебрадан маълумки, бир жинсли система нолдан фарцли ечим-
га эга булиши учун унинг асссий детерминанта нолга тенг булиши
зарур ва етарлидир. Мисолимизда бу детерминант —1 га тенг. Де-
мак, (**) система фацат ноль ечимга эгадир. Бундан куринадики (*)
чизицли комбинация фацатгина kx = k2 = k3 = 64 = 0 шартда ноль
матрица цосил цилади, бундан ах, а2, а3, at векторларнинг базис век-
/2 8\
торлар эканлиги келиб чицади. Энди шу базисда х И °) вектор-
нинг координаталарини топайлик.
Фараз цилайлик,
X(xx, x2, x3, x4) =Xi ах + xias+x3a3 + x4a4
булсин. Берилганларни эътиборга олсак,
/1 2\ . „ /2 3\ , „ /3 П. „ / 4 2\ /2 8\
ХФ “U o) + Xs(i —г)4-*4!—1 — б)_(з 5/-
Буни цам (**) га ухшаш система цилиб ёзайлик:
Xi -j- 2х2 4- Зх3 4- 4х4 = 2,
3xj 4- Зх2 4- х3 4- 2х4 = 8, (***)
*1 -I- *2 4- Х3 — *4 = 3, ' '
х, — 2хэ — 6х4 = 5.
Крамер формулаларига асосан;
X! = 3, х2 = 1, х3 = — 1, х4 = 0.
Демак,
х(3, 1, 1 0).
3-м ис о л. V3 вектор фазода янги базиснинг Координаталари эс-
—► —►
ки базисга нисбатан е, (1, 2,3 ), е2(1, 0, 2), е3(—1, 4. —3) булса, шу
фазодаги векторнинг эски ва янги базисдаги координаталарини 6of-
ловчи муносабатларни топинг.
Ечиш. х векторнинг эски ва янги базисдаги координаталарини
мос равишда xlt х2, х3 ва xj, х2, х' десак, у цолда изланган бог ла-
нит (10) формулага асосан:
xt = х{ 4- х2 —х’у
х2 = 2х[ 4- 4xj,
х3 = Зх(' 4- 2х2' — 3xj.
30-§. Аффии фазо ва аффин координаталар системаси
Vn вектор фазо ва элементлари нуцталар деб аталган (бу эле-
ментларни биз бош лотин царфлари билан белгилаймиз) й = {А,
В, .. .} туплам берилган булсин. й туплам билан Vn туплам ора-
сида шундай мослик урнатамизки, й дан маълум тартибда олинган
—>-
икки М, N нуцта учун Vn даги аниц битта а вектор мос келсин,
-ч- —»
буни а= MN деб белгилаймиз. Лекин шунй таъкидлаш зарурки,
Vn даги цар бир векторга й да нуцталарнинг тартибланган турли
жуфтлари мос келиши мумкин. Масалан, а = MN= PQ = K.L, бун-
да М, N, Р, Q, /(, L ларнииг барчаси й га тегишлидир.
► —*
a = MN ёзувини цуйидагича ифэдалаймиз: а векторни М нуцта-
-Дан цуйиш билан N нуцта цосил цилинади.
Юцорида келтирилган й билан Vn орасидаги мосликнинг цуйи-
даги икки аксиомами цаноатлантириши талаб цилинади.
IVj. уМф ва уа€ Vn учун ягона шундай N^Q мавжудки,
унинг учун a =MN.
IV2. уД, В, С, £й учун АВ + ВС = АС.
Бу икки аксиома баъзан векторни нуцтадан бошлаб цуйиш.
аксиомалари деб юритилади.
Таъриф. Элементлари юцоридаги Ii_4, IIi_4, IVi_2 ак-
сиомаларни цаноатлачтирувчи буш булмаган туплам п улчовли цаци-
ций аффин фазо деб аталади. Уни Ап орцали белгилаймиз. Агар Vn
вектор фазо комплекс вектор фазо булса, у цолда Ап цам комплекс
аффин фазо деб аталади.
Демак, п улчовли аффин фазони символик равишда цуйидаги
куринишда ёзиш мумкин экан: Ап = Vn Ц й.
Vn вектор фазо Д„ нинг .элтувчиси дейилади.
Хусусий цолда, п = 2 булса, Д2 икки улчовли аффин фазо бу-
либ, V2 нинг злементларини одатдаги геометрик векторлар деб олсак,
I булимда царалган аффин текислик цосил булади.
Юцорида келтирилган жами 12 та аксиома Вейль киритган (1918
йил) аксиомаларнинг бир цисмидир.
Ап нинг барча хоссаларини исботлашда биз фацат юцоридаги 12 та
аксиомага ва улардан келиб чиццан натижаларгагина суянамиз (ле-
кин Vn хоссаларининг купчилиги «Алгебра ва сонлар назарияси» кур-
сида тула исботлангани учуй улардан керак цолларда исботсиз фой-
даланаверамиз).
Мисол тарицасида цуйидаги теоремаларни исботлайлик,
1-теорема, й нинг устма-уст тушган икки нуцтасига Vn
нинг ноль вектори мос келади, яъни АА= 0.
Исбот. уА€й булсин. А, А нуцталарга Vn дан бирор а мос
келсин: уЬ€ Уп ни олсак, IV! га асосан, шундай В нуцта мавжудки,
АВ = Ь, энди IV2 ни татбиц цилсак. а 4- b 4- AA-f- АВ = Ь. Бундан
13 га асосан а = 0. △
2-теорема. АВ = а=>ВА = —а.
Исбот. ВА = Ь десак, 1V2 га асосан а 4- b = АВ 4- ВА = АА=
= 0, бундан b = — а.
3-теорема. ОА'= k-OA, OB' = k-OB=> А'В' = k-AB.
Исбот. IV2 га асосан
АО+ОВ = АВ, A'Q + OB' = А'В' (•)
Лекин А'О = — ОА' =>А'О 4- ОВ' = —ОА' 4- ОВ' = — kOA 4-
+k-OB = k (—ОД 4- ОВ)= k(AO 4- ОВ) = k -АВ, бундан ва (•) дай:
Д'В' = k АВ. л
Энди аффин координаталар системаси тушунчасини киритайлик,
Ап да ихтиёрий бир О нуцтани олайлик, Vn нинг бирор (еь е2» • • •,
ел) базисининг барча векторлари О нуцтадан цуйилган булсин, нати-
жада О нуцта ва е1г е2, е3, . . . , еп базис векторлардан ташкил топ-
ган (О, еи ел, ... , е„) туплам цосил булади. Бу туплам аффин
координаталар системаси деб аталиб, уни S3 = (О, elt et, .. . , еп)
билан белгилаймиз. О нуцта координаталар боми, е1г е2, .... еп ко-
ордината векторлари деб аталади.
Аффин координаталар системаси дейиш урнига бундан буён цис-
цача аффин репер деймиз. Демак, аффин репер икки турдаги объекг-
дан — иуцта ва векторлардан ташкил топган системздир. Ап нинг их-
—♦ —> —>
тиёрий М нуцтасини олсак ва аффин репер S3 = (О, ер е2, .... еп)
маълум булса, ОМ вектор цосил цилиниб, бу вектор М нуцтанинг
радиус-вектори деб аталади.
У цолда ОМ~Уп булгани учун унинг (ер еа, .... е„) базисдаги
координаталарини хр х2......хп десак.
ОМ = Xiet 4-х2е2 4- • - .4- хп еп. (12)
Таъриф. М нуцта радиус-векторининг координаталари шу нуц-
танйнг аффин координаталари деб аталади: у М(хи хя, .... хп).
куринишда белгнланади, демак, (12) «> M(Xi, хг, ... , хп).
Хусусий цолда О7И1 = ер ОМг = .......... ОМп = еп булса, 29-§
га асосан Mt (1, 0, 0 ... 0), М2 (0, 1, ... 0), . . ., Мп(0, 0, . . . 1;.
Ап даги S3 аффин реперга нисбатан M(xlt х2, . .., хп), ^(t/1,
У». • •., уп) нуцталар берилган булсин. MN векторнинг коэр дината-
ларини MN = МО 4- ON ёки MN = ON — ОМ га асосан базис век-
. торлар орцали ифодалайлик:
, W = ^1e14-i/!1e24-4-f/ne„ —(xiei4-xses4- ... 4-*пе„) =
/. = (У1 — *i)q +'У2 — х2)е2 4- ... 4- (уп— хп)еп,
i бундан:
MN^ — x^ yt — x2..........Уп—хп}- (13)
——* 1 »
Таъриф. An нинг учлари М, N иуцталарда булиб, MP=tPN
(О С1С1) тенгликни цаноатлантирувчи барча нуцталар туплами MN
кесма дейилади.
MN кесма берилган булиб,
МР = KPN (•)
(бунда kQR, Х=И= 1) булса, Р нуцта берилган кесмани К нисбатда
булади деймиз. (•) дан МР = X (AW — МР) ёки МР = MN.
Х,ар бир X =/= 1 учун MN кесмани X нисбатда булувчи ягона нуцта
мавжуд; Хл-0 булган цолда булувчи нуцта кесманинг ички нуцта-
сидир.
Ап даги £ реперда учлари Мх(хх, х2................хп), N(у„
у2, ... , уп) нуцталардаги MN кесмани X нисбатда булувчи Р нуц-
танинг координаталарини zlt z2, . .. , z„ десак,
__ *i 4- X (/i _ хг 4- Ху2 _ хп 4- X у„ '
1 14-Х ’ 2 1 + Х ’ ’ * ’ ’ " 1-J-X '
Х = 1 да Р нуцта кесманинг урта нуцтаси булади:
*1 + У1 * 4~ У» _ *п + Уп
1 2 • г2— 2 ’ ’ п 2
Энди нуцтанинг аффин координаталарини алмаштириш формула -
ларини топайлик. Лп да = (0, ех, е........... еп) ва <®' = (О', еь
...,₽„) аффин реперлар берилган булсин. уУИ С Ап иинг шу базис-
лардаги координаталари мос равишда хх, хг, .. ., хп ва х', х?,..., х'
булсин цамда репер'элементлари & реперга нисбатан цуйидагича
аницланган булсин:
О (Cjo, с20, . • • , tn0), в| (сх1, с12, . . . . , с1п), . . .,
еп (спР сп2, .... спп). (14)
ОМ = ОО' + О'М ни координаталарда ёзайлик:
хз ег + 4” хп еп = cw е1 "Г
4“ с2о "Ь ... 4“ ('„о еп4-х( в| 4”^2 ^2 4” • • • 4” хп
е 1, • • • > епни еуез, ... , еп орцали ифодалаб,
(—хз 4- с10 4- с» < 4- • • • 4- c„i О et + (—ха + с№ +
: + сп . + c2X) ее + . . • + (-Х„ + Сп0 + сп1 х\ +
+ • • • + ^0^ = 0
—* -►
на цосил циламиз. elt е2, ... , еп — чизицли эркли булгаии учун
уларнинг бу ифодадаги барча коэффициентлари нолга тенг булиши
керак, яъни
Х1 ~ си х । 4" cai Х2 4“ • • • 4" Cni хп "I" ^хо,
ха = cltxt 4“ саа х2 4- • • • 4- с„2 х‘п 4- сао, (15)
Хп — С1пХ1 4" С2л Х2 + • •• 4" спп Хп 4" СпО-
W•изланган формулалар булиб, ихтиёрий нуцтанинг <®, <$' репер-
ЗВрга нисбатан координаталари орасидаги богланишни аницлайди.
Бу формулада
С11 С21 • • • Сп|
С12 С22
• ’ Сл2
А =
(16)
С In С2п • ' ‘ Слп
Акс цолда А = 0 булса, базис векторлар чизицли боглиц булар эди.
А#;0, шуиинг учун (15) ни х’, х2, . . . , х' га нисбатан цам ечиш
Сумкин. Хусусий цолда 0=# О' = e't, ег= е2, .... еп= е’п булса,
(14) дан:
£ц = 1 • с12 — с1э = • • • = с1п = О
С21 = 0, ^22 = 1» С2Э — С24 = • • • = с2п ~
£П| — Сп2 — • • • — Сп(п-1) — 6’ Спп~ 1»
ДОак»
;.. *1 = xi -ь с1о.
Х2 = х2 4“ £20. (17)
й.. *п = <4-£по.
Буни баъзан координаталарни параллел кучириш формулалари деб
>доладн.
.•<£•; 1’мисол. At фазода ^8 = (О, elt ег, ея, et) реперга нисбатан
. .Бейла нуцта берилган: Со(1, О, 0, 2), Сх(0, 1, 2, 0), Са(2, О, 0, 2),
W. 2, 1»‘ 0). Ct (2, О, О, 1). Янги репер сифатида J8' = (Со, C0Clt
С0Сг. С0С3, Со С4) ни олиб, ихтиёрий нуцтанинг координаталарини
алмаштириш формулаларини ёзинг.
Ечиш. Аввало янги базис векторларининг »В га нисбатан коор-
динаталарини топайлик. (13) га асосаи —1, 1, 2, —2),
Сос7(1, 0, 0, 0), сГсэ (-1, 2, 1 —2), ад(1, 0, 0, —1). У цолда бу
цийматларни (15) га цуйсак (цамда О'=Со, et = C0Cit е2 = СаСг, е'=
= Со С3, е\ = СоС4 деб олсак),
Xt = — х' + х2 — х3 — 2х4 4- 1, ха = х(' + 2х',
х3 = 2х, 4-х'—2х', х4 = —2х(' — 2х3— х’
бу изланган формулалардир.
2-мисол. Куйида берилган формулалар системаси А3 да бирор
нуцтанинг аффин координаталарини алмаштириш формулалари вази-
фасини бажарадими: Xj =х\ 4- 2х2 — х' — 1, ха = 2х' 4- х2 4- х3, =
= х,—Зх2 4- 1?
Ечиш. Бу формулалар нуцта координаталарини алмаштириш
формулалари вазифасини бажариши учун Д=#=0 булиши керак; цаци-
цатан цам, бу ерда
1 2 —1
Д = 2 1 1 = 12=/= 0.
1 —3 О
Энди берилган формулаларни (15) билан таццослаб цуйидагиларни
топамиз:
o'(— I, о, 1), 7;(1,2, в, 5 (2,1, —з), $(-i, i, о).
31- §. п улчовли аффин фазоларнинг изоморфлиги
Аввало икки вектор фазонинг изоморфлиги тушунчасига таъриф
берамиз.
Фараз цилайлик, V, V' вектор фазолар берилган булсин.
Таъриф. V' акслантириш узаро бир цийматли булиб,
цуйидаги икки шартни цаноатлантирса, у чизицли изоморф акслан-
тириш деб аталади:
1. ya, b € V учун <р (а 4- Ь) = ф(а) 4- ф (Ь) булса, яъни V даги ик-
ки ихтиёрий вектор йигиндисига V' да шу векторларга мос келган
векторларнинг йигиндиси мос келсин.
2. учун ва уХ€₽ учун ф(Ха) = Хф(а) булса, яъни V
даги а векторни бирор X сонга купайтирищдан цосил булган век-
торнинг образи а га V дан мос келган векторнинг X сонга купай-
тиришдан цосил булган вектордан иборат булсин.
Бу таърифдан цуйидаги натижа келиб чицади: V билан V изо-
морф булса, V даги чизицли эркли векторларга V' да мос келган
векторлар цам чизицли эркли булади, хусусий цолда V нинг ноль
векторига V' нинг цам ноль вектори мос келади.
Теорема. Икки вектор фазонинг изоморф булиши учун улар-
нинг улчовлари тенг булиши етарли ва зарурдир.
Исбот. Етарлилиги. V, V' вектор фазоларнинг улчовлари
бир. хил булсин, яъни V = Vn, V’ = V'n. Бу фазоларнинг изоморф
уканлигини исботлаймиз. Vn нинг базиси Б = (е', е'2,, е'п), Иннинг
фриги Б'= (ej, е2, булсин. Va€ Vn булса, у цолда а нинг
Б базисдаги координаталарини хг, х2, .... хп дейлик:
a = х, ех + х2е2 +• • • + х„еп.
** -*
Шу а векторга Уп да шундай а' векторни мос келтирамизки, унинг
Б' даги координаталари X], х2....хп булсин, бу мосликни <р деб
белгилайлик, у цолда
а' = ^4- х2е2 + ... хпе'п.
фишлган бу <р мослигимиз узаро бир цийматлидир, чунки цар бир
вектор ягона усулда базис векторлар буйича ифодаланади. Энди
ИЭцорндаги икки шартнинг бажарилишини текширамиз.
а= -I- х2е2 + ... + хп еп,
°фа,Ь'ЯУп=>
-w. ь =У1е1 + У»Ъ + -. • + У„еп;
векторларга V'n да мос келган <р(а)=а', <р(Ь) = Ь' векторлар Б'
да цуйидагича ёйилмага эга булади:
— - _ _ _ -
ххе; + х2е2 + ... + хпеп, b' = yt е\ уге2 ... +
Ж.^олда
• - - - _»
•£: а+ь=(*»+У1)е1+(*»+у^>е* + • • • -н*п+У^еп
’ Mf.-/
+ ь’ = Ф (а) + <Р (Ь) = (X, + У1) e't + (х2+у2) е2 + . . . 4-
ЗиИ₽» биринчи шарт бажарилди.
олсак,
nnnr иажарилишини текширайлик. tykQR ни
X а = Xxt е2 + Хх2е2 + . . . + Xxn en,
X ф (а) = Ха' = X(xj e(' + x2e' -J- .. . -j- xn e'n) =
=Xx1e1 -J- Xx2e2 -J- . . .+Xxne„ = <p(Xa),
демак, Vn, Vn изоморф.
Зарурийлик. £:У-*-У' акслантириш изоморф мосликдан ибо-
рат булса, уларнинг улчовлари тенг эканлигини курсатайлик. Фараз
цилайлик, V = Vn, V' = Vm булиб, аницлик учун т < п булсин.
Vn нинг улчови п булгани учун унда п та чизицли эркли вектор
мавжуддир, юцоридаги натижага асосан шу векторларнинг образла-
ри цам чизицли эркли булади, демак, Vm нинг цам улчови п були-
ши керак, бундан п=т.
Хуллас, бир хил Улчовли барча вектор фазолар узаро изо-
морфдир, яъни бирор вектор фазога тааллуцли даъво (ёки тас-
диц) шу фазога изоморф барча фазолар учун цам уринли бу-
лади.
Т а ъ р и ф. Элтувчи вектор фазолари узаро изоморф бул-
ган икки аффин фазо изоморф деб аталади.
Бу таърифдан куринадики, икки аффин фазо узаро изоморф
булиши учун улар бир. хил улчовли булиши зарур ва етарлн-
дир. Бундан эса бир хил улчовли барча аффин фазоларнинг
узаро изоморфлиги келиб чицади.
32-§. k улчовли текислик
Аффин фазода Мо, Mlt . . . , Мт нуцталар системаси берилган
булсин.
Таъриф. Агар M0Mlt М0М2, .... М0Мт векторлар система-
си чизицли эркли булса, берилган нуцталар системаси чизицли
эркли дейилади, акс цолда берилган нуцталар системаси чизицли
боглиц дейилади.
Бу таърифдан куринадики, берилган нуцталар системаси чизицли
эркли булса, унинг цар цандай цисми цам чизицли эркли булади,
бундан ташцари, III, аксиомага асосан Ап да п + 1 та чизицли
эркли нуцталар мавжуд булиб, сони п -j- 1 тадан куп булган цар
цандай нуцталар системаси чизицли боглиц булиши келиб чицади.
Хусусий цолда икки нуцтадан ташкил топган нуцталар сис-
темасининг чизицли эркли булиши учун, равшанки, улар турли
булиши (устма-уст тушмаслиги), уч нуцтадан ташкил топган
нуцталар системасининг чизицли эркли булиши учун уларнинг
бир т^гри чизицда ётмаслиги зарур ва етарлидир.
Апп улчовли аффин фазо, унинг элтувчиси Vn вею op фазо цам-
да Ап нинг цисм фазоси Ал булиб, унинг элтувчиси Улс. Уп булсин.
Ап нинг тайин Р нуцтасини олайлик.
Таъриф. Ап фазодаги PNQVh шартни цаноатлантирувчи барча
Ц нуцталар туплами k улчовли текислик деб аталади ва ПА деб
белгиланади.
-г Бу таърифдан куринадики, Vk с Пй булиб, дир, чунки
// = р булса, PN =РР = 0 булиб, Vk цисм фазо булгани учуй
0СПА дир. Р нуцта Пл нинг бошлангич нуцтаси, V* эса элтувчиси
дейилади.
Хусусий цолларда: 1) k =0 булса, у цолда По текислик битта
р нуцтадан иборат, демак, Ап даги цар бир нуцта ноль улчовли
текисликдир; 2) k = 1 булса, П, бир улчовли текислик булиб, биз
уни тугри чизиц деб атаганмиз; 3) Л == 2 булса, П2 икки улчовли
Текислик булиб, уни биз бевосита текислик деб атаганмиз; 4) k =
= n—1 б^лса, Пп_, текисликни, махсус ном билан, яъни гипер-
текислик деб юритилади.
Текислик таърифидан куринадики, k = п булган цолда Ап цам
п улчовли текислик экан.
1-теорем а. ПА текисликда (£-|- В та нуцтадан иборат ка-
лшда битта чизицли эркли нуцталар системаси мавжуддир.
Исбот. Агар aQVk (а=#=0) булса, РМ0= а билан аницланувчи
М9 нуцта ПА текисликнинг нуцтаси булади. Vk нинг elt е2, , ek
базис векторларини олиб, М0М1 = elt М0М2 = ег, , AfoA4ft = еь
десак, цосил булган Мо, М1г М2,.... нуцталар системаси (et,
-►
е2, ... , еЙ базис векторлар чизицли эркли) чизицли эркли бу-
лади. А
2-теорема. ПА нинг таърифидаги Р нуцта алоцида ажра-
тилган нуцта булмасдан, балки ПА даги барча нуцталарнинг цар
бири цам шундай хоссага эгадир (бошцача айтганда, Р нуцта П
нинг цаерида олинишига боглиц эмас).
Исбот. Р дан фарцли Q£ ПА ни олайлик. Агар Л/€ПА булган-
дагина QNQVk эканини курсатсак, теоремани исботлаган буламиз.
Хацицатан цам QN € Vk булсин, у цолда PQ С Vk булиб (текислик
таърифига кура), IV2 га асосан PQ + QN = PN Q Vk булади, демак,
аксинча /У£ПА булса, PN QVk-*-QN £ Vk А
3-теорема. Аффин фазодаги цар цандай k улчовли ПА те-
кислик уз йулида k улчовли АЙ аффин фазодир.
Исбот. ПА нинг аффин фазо эканини курсатиш учун IVlt IV2
аксиомалар шартларининг цаноатланишини курсатиш кифоядир. у М,
ЙГЕПа ни олайлик, у цолда
PMQVk, PN£Vk^MN = MP + PN=PN — PM£Vk. Демак,
Пл да маълум тартибда олииган икки М, N нуцтага Vk да
аниц битта вектор мос келади (IVX нинг шарти бажарилади). IV,
нинг шарти Ап учун бажарилгани сабабли П* учун цам бажари-
лади. ▲
4- теорема. Ап да Р нуцта ва elt е2, . .., ek(k^n) чизицли эрк-
ли векторлар фацат битта Пй текисликни аницлайди.
Исбот. Базис векторлари elt ея......et дан иборат Vk цисм
вектор фазони царайлик, бу вацтда текислик таърифига асосан Р
нуцта ва Vk бирор текисликни аницлайди. Шу текисликнинг ягона
эканлигини курсатамиз. Фараз цилайлик, Р нуцтани ва ех, е2...ek
векторларни уз ичига олган бошца Пй текислик мавжуд булсин,
унинг бошлангич нуцтаси Р ва элтувчиси V'k булсин. Аввало шуни
пайцаймизки, Vk ва V'k нинг иккаласи цам чизицли эркли elt е2,.... ek
векторларни уз ичига олгани учун улар устма-уст тушади. Бундан
ташцари, P£V'k булгани учун 3-теоремага асосан Пй = Пй ▲
Бу теоремадан цуйидаги икки натижа келиб чицади.
1- н ат и ж а. Ап даги (Л-г 1) та чизицли эркли нуцталар систе-
маси фацат битта k улчовли текисликни аницлайди.
2-натижа. А„ даги цар цандай п та чизицли эркли нуцталар
системаси фацат битта гипертекисликни аницлайди.
Энди k улчовли текисликнинг аналитик ифодасини, яъни тенгла-
маларини келтириб чицариш билан шугулланайлнк.
—* —♦ —♦
Ап да бирор J8— (О. ер е2,.. .,еп) аффин репер берилган бул-
син. 5- теоремага асосан текислик битта нуцта ва k та чизицли
эркли вектор билан тулиц аницланади. П* ни аницловчи нуцта Р ва
чизицли эркли векторлар рх, р2,.. ., pk булсии. У цолда П* нинг их-
тиёрий нуцтаси N ни олсак, PN вектор цосил булиб, бу вектор П*
—* —►
нинг элтувчиси Vk га тегишли булади, демак, ундаги рг, ..., Рь
чизицли эркли векторлар орцали ифодаланади.
PN = /1Р1 + t2p2 + ... -j- tkPkf (18)
бунда tlt t2, .... tk£R. У цолда ON = OP + PN уринли булгани
учун
M = OP-H,Pi+<ift+ +<*S- (19)
Равшанки, бу тенглик фацатгина У€ПП булганда уринлидир.
шунинг учун (19) ни Пй нинг векторли тенгламаси деб аташ мум-
кин. Агар Б базисда ON (хР х2, ... , хп), ОР(а1,а2, . . . .,aj ва
11’UM> ...» Un|). Pa(u]a, UM, . . . U^), . . . , Pk(u}ir U2k, .. .,
) ^Улса’ буларнинг eVCt, ..., en базис векторлар орцали ифс-
£%*кши (19) га цуямиз:
"* -» -* *♦ _
:?Х1в1 + х* ег + • • • + v«=aiei + + • • • + апеп + M«u«i+
>4- и>1е«+« • • + un! et) + Muiaei + uMe2 + • • • + un2en) + • • • +
+ M«iA + u2ftea + • • - + u^e,).
Бу ифодадаги цавсларнн очиб ва elt ег, . ... еп га нисбатан гуруц-
лаб, бу векторларнинг чизицли эрклилигини цисобга олсак,
xi = ai + h и„ + /,«„+...+ tkulk,
хг = а2 + Un 4- ta utt + . . . + tk u2kt
Xn = an + <1 “nl + *2ип2 + • • + *кипМ
Бу изланган тенгламалардир. (20) дан куринадики, Пл нинг ихти-
нуцтаси булган N нинг координаталари tlt t2 . . . , tk параметр-
ларга ихтиёрий цийматлар бериш билан П4 га тегишли нуцталарни
топиш мумкин. Шунинг учун (20) ни Пл нинг параметрик тенг-
фмалари деб аталади. Хусусий цолда k = 1 булса, П, тугри чи-
анцдан (яъни бир улчовли текислик) иборат булиб, унинг Ап даги
ввраметрик тенгламалари цуйидати куринишда булади:
Xj = ai + /i и,,,
хг = аг 4-1. иг1,
(21)
*n = an + *iun-
uii*Un • un, =#= 0 шартда (21) нинг цар биридан ни топиб
уларни тенглаштирсак,
Xi ~~ ai _ *» _ _ хп ап (22)
И11 °21 «П1
булар Ап даги П, тугри чизицнинг каноник тенгламалари дебата-
Бунда Р нуцта П, нинг бошлангич нуцтаси, pt вектор эса
УИинг йдналтирувчиси дейилади.
k = 2 ца П2 икки улчовли текислик булиб, унинг параметрик
Яеягламалари цуйидаги куринишда булади:
*1 = Oi -j- /iUlt 4" t2 u]3.
ха = at -j- /iU21 4-12 илл,
xn = an 4- /i un,4- tgu^.
п = 3 да Аа даги оддий текисликнинг параметрик тенгламалари
цосил булади.
Энди (20) системага яна цайтиб келайлик. Бу системада tu ta,
. . .,tk лар параметрлар цисобланиб, уларнинг сони k дир (равшан-
ки, k < л), лекин тенгламалар сони п тадир. рг,. . .,рк вектор-
лар чизицли эркли булгани учун (20) даги tlt t2, .... tk ларнинг
козффициентларцдан тузилган матрицанинг ранги k га тенг булади,
у цолда (20) даги бирннчн k тенгликдаги t2, t2, .... tk ларнинг
коэффициентларидан тузилган детерминантни нолдан фарцли деб ол-
сак, шу системадан tt, t........ tk ларни топиш мумкин, бу то-
пилган цийматларни (20) даги цолган (п — k) та тенгламадаги /а,
.... tk урнига цуйсак, параметрлар цатнашмаган тенгламалар сис-
темаси цосил булади. Бу системани умумий цолда цуйидагича ёзиш
мумкин:
**+i + “п х 1 + “'12*2 + • • • + и\кхк + ак = 0.
**+2 + «21 *1 + U22 + *2 • • • + U2* xk + а*+1 = °’
хп + ип~к. । xi+. • + «;_*.***+ <=о.
(2) системадаги цар бнр тенглама чизицли эркли булгани учун ун-
дан цосил цилинган (24) системадаги тенгламалар цам чизицли эрк-
ли булиб, биргаликда булади, бу система цам Пл нинг тенгламала-
ридир. Демак, цуйидаги теоремани исботладик.
5- теоремa. Andak улчовли текисликнинг цар бири биргаликда-
ги чизицли эркли (п.—k) та тенглама системаси билан аницланади.
Бу теореманинг тескариси цам уринлидир.
6-теорема. Ап даги бирор аффин реперга нисбатан берил-
ган (л—k) та чизицли эркли (биринчи даражали) тенглама сис-
темаси биргаликда булса, А„ даги бу системани цаноатланти-
рувчи барча нуцталар туплами k улчовли текисликни аницлайди.
Исбот. Фараз цилайлик, цуйидаги (п — Л) та чизицли эрклн,
биринчи даражали тенглама системаси берилган булсин:
«11*1 + «12*2 + • • + «1п*п + «1 = 0.
«21*1 + «22*2 + • . • + «2п*п +а2 = °. (25^
Un-k. I *1 + Un-k.2 *2 + • - • + «п_*,„*п+ «п_* = 0.
Бу система чизицли эркли ва биргаликда булгани учун xlt х2, . . .,хп
узгарувчилар олдидаги коэффициентлардан тузилган
«и и1а, . . ., U|n »
| «21 «22 • • • • • «2п |
Un-*.l Un-*.2’ ’ • ’ Un-K. п
матрицанинг ранги п — k га тенгдир, демак, шу матрицанинг Гл—k)-
тартибли детерминантларидан камида биттаси нолдан фарцли, уму-
мийлнкни бузмаслик учун шу детерминант
Ul. k + I Ul.*+2 . • - • .
U2. k + I Ы2. к + 2 • ' ' • •
Un-k. *+! Un-k. *4-2 . • • - .
Uln
U2„
ПЛ
булсин. У цолда берилган системани xft+l, xk+v . . .,хп га нисбатан
фюак,
x*+i = un xi Ч" ui2х» + • • • + H|kxft+aft+|,
Хк+2= U2I Х1 ~^~U22X2 Ч" • • • Ч" °2*Хк + flft^_2’
Хп = Un-k. I х1 + «;_*. 2 Х2 + • • • + «'„_*.* Хк + °п’
Агар х>, х2, ... , хк ни параметрлар деб цабул цилсак, яъни улар-
ни *1 = ха = t2, . ... xk = tk деб белгиласак, сунгги системани
цуйидагича ёзиш мумкнн:
Xi = /j
ха = t2
Xk = t'k^ ‘ <26>
X*+l= Ull h +Ы|2 ^2 + ... + Ы|*^*+а*4-|»
Хп = Un—k. I + Un-k. 2 ^2 + • • • + Un-k. * (к + ап'
(26) ни (20) билан таццослаб корсак, (26) система (20) системанинг
хусусий цели эканини курамиз. Шунинг учун (26) система бирор
(л — k) улчовли текисликнинг параметрик тенгламаларидир. Бу сис-
тема берилган системага эквивалентлиги учун у цам шу текислик-
нинг тенгламалари цисобланади. (25) тенгламалар системаси (п— k)
флчовли текисликнинг умумий тенгламалари деб аталади.
Хусусий цолда, k = n—1 булса, исботланган 6-теоремадан
Цуйидаги натижа келиб чицади.
Натижа. Гипертекисликнинг умумий тенгламаси битта айни-
маган чизицли тенгламадан иборат (айнимаган чизицли тенглама —
фэгарувчиларининг олдидаги коэффициентларидан камида биттаси
наддан фарцли булган тенгламалардир).
- Демак, Ап да k та чизицли тенглама системаси берилган булса,
улардан цар бирини шу фазодаги гипертекислик деб царасак, у цолда
берилган тенгламалар системаси (агар система биргаликда булса) k
та гипертекислик кесишмасидан цосил булган текисликни аницлай-
)(И. (Бунга мисол тарицасида А3 да икки текисликнинг кесишмаси-
Д8Н турри чизиц цосил булишини эслаш кифоядир.)
Мисол. (О, q, еа, е3, е4) репер берилган. Координата текис-
ДИКларининг тенгламаларини ёзннг.
Ечиш. О нуцта ва вектор билан аннцланадиган бир улчовли
координата текислиги (яъни координаталар тугри чизири) (21) га асосан
хг = 0, х3 = 0, х4 = 0.
П. = (О, elt еа) текислик тенгламаси эса (25) га асосан
х3 = 0, х4 = 0.
П3 = (О, ev е2, е3) текислик тенгламаси (шу фазо учун гипер-
гекислик)
х4 = 0.
Колган текисликларнинг тенгламаларинн ёзишни машц сифатида
уцувчига цавола цилинади.
33- §. Икки текисликнинг узаро вазияти
1-таъриф. Ап даги икки текислик камида битта умумий нуцта-
га эга булса, улар кесишувчи текисликлар деб аталади.
Демак, икки текислик кесишса, кесимда нуцта — ноль улчовли
текислик, тугри чизиц — бир улчовли текислик, икки улчовли те-
кислик ва ц. к. лар цосил булиши мумкин.
2-таъриф. Икки текисликнинг элтувчи вектор фазоларцдан би-
ри иккинчисининг цнсми булса, бу текисликлар узаро параллел деб
аталади (бу таърифни Л3 даги икки тугри чизицнинг параллеллиги,
икки текисликнинг параллеллиги таърифлари билан таццосланг).
3-таъриф. Агар Ап да Пл, IIS текисликлар кесишмаса цамда
параллел булмаса, улар ш2цаш текисликлар деб аталади (А3 даги
икки айцаш тугри чизиц таърифини эсланг).
1-теорема. Ап даги Пк, Ils текисликлар узаро параллел бу-
либ, умумий нуцтага эга булса, улардан бири иккинчисига тегиш-
лидир.
Исбот. Аницлик учун булсин, у цолда параллелликнинг
таърифига асосан бу текисликларнинг элтувчи вектор фазолари учун
Vk с. Ve уринли булади. Бу вацтда Пл с IIS эканини курсатайлик.
Пд f| П = Р нуцта булсин. М £ П4 булса, равшанки, РМ £
бундан Vk с Vs; демак, PM £ V3 ва М £ IIS. Хуллас, Пд нинг их-
тиёрий нуцтаси IIS нинг цам нуцтасидир, шундай цилиб nftclls.
Натижа. Улчовлари тенг икки текислик параллел булиб, ка-
мида битта умумий нуцтага эга булса, улар устма-уст тушади.
Энди умумий тенгламалари билан берилган икки текисликнинг
кесишиш шартини излайлик. Пл, IIS текисликларнинг умумий тенг-
ламалари:
“и х, + и,2х2 + ... +и1пхп+а, = 0,
и21 Х1 + U22X2 + • • • + и2п Хп+а2 = °«
....................................
UMXl+Uk2X2 + ••• +U*nXn + a* = °
vH x, + v12x2 + • •. + Vln xn + fe, = 0,
V2| X\ + V22X2 + • • • + V2n Xn +b2 = 0.
П,:....................................
vsl X, +vs2x2+ ... + Vsnxn + bs = 0.
Бу икки системани бирлаштириб, жами k 4- s та тенгламадан ибо-
рат У, системани цосил цилиб оламиз. Агар Щ (] ГЦ =#= 0 булса, 2
система ечимга эга булиши керак, демак, шу системадаги узгарув-
чилар олдидаги коэффициентлардан тузилган матрицанинг ранги г
кенгайтирилган матрицанинг ранги г* га тенг ва аксинча. Равшан-
ки, кесимда цосил цилинадиган текисликнинг улчови п — г га тенг.
Демак, умумий тенгламалари билан берилган икки текисликнинг ке-
сишиши учуй уларнинг тенгламаларидан бирлаштириб тузилган тенг-
ламалар системасида г = г* булиши зарур ва етарли экан.
Умуман, Ап даги икки П4 ва IIS текисликнинг узаро вазиятини
цуйидаги жадвал орцали аницлаш мумкин (бунда V = Vk П Vs, П=
= Пл f] IIS):
dim V П = 0 П ¥= 0
0 ГЦ ва 1Ц айцаш Пд ва Щ битта умумий нуцта- га эга.
0<r< min (k, sy ГЦ ГЦ Пл ва Цу нинг кесими г $лчов- ли текислик
min (k, s) п* и ГЦ k < s булса, Пл <= 1Ц k > s булса, ГЦ зэГЦ
Мисо л. П2, ГЦ текисликлар мос равишда цуйидаги тенглама-
лар билан берилган:
Xi = (1 t2,
. —х3 = 2 ' . х2 =
Х1-Хй+Xi=4. 2'x3 = tl + t2.
xt= (а Л-
Шу текисликларнинг узаро вазиятиии аницлаиг.
Ечиш. П' нинг тенгламаларини умумий куринишда ёзамиз,
*»и иккинчи ва учинчи тенгламадан tu t2 ни топиб, биринчи ва
*?ртинчи тенгламаларга цуямиз:
п' . *1 + 2х2 + х3 = 2,
2 — 2ха—Xj+х4 = —2.
Па билан ГЦ тенгламаларини бирлаштириб ёзсак,
* min (k, s) белгиси k, s сонларинииг кичнгини англатади.
хх — x3 = 2,
xi~ x2 + xt = 4,
Xj + 2x2 4- x3 = 2, (2)
— 2x2 —x3 + x4 = — 2
система цосил булади- Бу системанинг матрицаларини ёзамиз:
(1 0 —1 0\ /1 0—10 2\
1—1 0 1 1 f 1 —1 0 1 4 1
1 2 1 0 ]’ I 1 2 10 2 Г
О —2—1 1 / \0 —2 —1 1 —2/
М нинг ранги г = 4, у цолда М* нинг цам ранги г* = 4. Демак,
(21) система ягона ечимга эга, бу эса П2, П2 текисликларнинг фацат
битта нуцтада кесишишидан дарак беради. (£) системани ечсак, xt —
= 6, х2 = —4, х3 = 4, х4 = — 6 булиб, изланган нуцта (6, — 4, 4,
-6).
34-§. Аффин алмаштирншлар
Текисликдаги аффин алмаштирншлар билан I булимнинг III бо-
бида танишган эдик, энди п улчовли аффин фазодаги алмаштириш-
лар билан танишайлик.
Ап да икки = (О, е2, ... , еп) ва JB' — (О, е\, е2, ... ,
e’J репер берилган булсин. Бу реперлар ёрдамида Ап нинг нуцта-
лари орасида шундай f мослик урнатамизки, ихтиёрий М £ Ап нуц-
та eS реперда цандай координаталарга эга булса, унинг образи М' =
= f (М) нуцта eS' реперда худди шундай координаталарга эга бул-
син, равшанки, бу мослик узаро бир цийматли булиб, Ап ни уз- уэи-
га утказади, демак, f бирор алмаштиришдир.
1-таъриф. Юцорцдагича аницланган f алмаштириш Ап ни аф-
фин алмаштириш деб аталади.
Бу таърифдан куринадики, аффин алмаштириш бир жуфт аффин
реперларнинг берилиши билан тула аницланади.
Энди аффин алмаштиришнинг цатор хоссалари билан танишай-
лик.
—>-
Г. f аффин алмаштиришда а £ Ап вектор шу фазонинг бирор
—► ——*• —-—*
f (а ) = а’ векторига алмашади, чунки IV! га асосан а = MN де-
сак, М, N нуцталарнинг образлари = f(N) = N' булиб,
бу нуцталар цам Ап га тегишли булгани учун уларга мос келган
а! вектор f (а) булади.
Хусусий цолда ноль вектор яна ноль векторга алмашади.
2°. f аффин алмаштиришда а векторнинг координаталари да
кандай булса, унга мос келган а' векторнинг цам координаталари
м да худди шу сонлардан иборат булади.
Бу хосса f иинг таърифи ва 1° дан бевосита келиб чицади.
3°. f аффин алмаштиришда икки векторнинг йигиндисига мос
целган вектор цушилувчи векторларга мос келган векторлар йигнн-
дисидан иборат, яъни а 4- Ь = с => f (с) — f (а) + f (Ь).
Бу хоссанинг уринли эканлигига ишонч цосил цилиш учун коор-
динаталари билан берилган векторларни цушиш цоидасини эсласак
на f нинг таърифини эътиборга олсак, кифоядир.
> >
4°. ka векторга мос келган вектор kf (а) = ka' вектордир.
Бу икки 3°, 4°-хоссадан f алмаштиришда Хг аг + Xaa2 + . .. 4-
4- kkak векторга X, a(' 4- X2a2 4- ... 4- kkak векторнинг мос келиши
келиб чицади, яъни f да векторларнинг чизицли комбннацияси сац-
данади, демак, чизицли эркли векторга яна чизицли эркли векторлар
мос келади. Бу хоссаларни ва 4-§ даги икки аффин фазонинг изо-
морфлигн таърифини эътиборга олсак, аффин алмаштиришнинг цуйи-
даги иккинчи таърифи келиб чицади.
2-таъриф. Ап фазонинг уз-узига изоморф аксланиши Ап даги
аффин алмаштириш деб аталади.
3-таъриф. MN кесмани Р нуцта X нисбатда булса (яъни
MP = X PN булса), у цолда X сон М, N, Р нуцталарнинг оддий
^нисбати деб аталиб, уни одатдагидек X = (MN, Р) куринишда бел-
гиланади.
Демак, MP = X PN « X = (MN, Р), у цолда 4- хоссани эъти-
;борга олсак, аффин алмаштиришда нуцта берилган кесмани цандай
-Нисбатда булса, унинг образи цам берилган кесма образини шу нис-
батда булади, деган хулосага келамиз, демак, аффин алмаштиришда
уч нуцтанинг оддий нисбати сацланади.
5°. f аффин алмаштиришда k улчовли Пл текислик яна k улчов-
ли П4 текисликка алмашади. яъни текисликнинг улчови f учун и<-
'Вариантдир.
Х,ацнцатан цам, IIft нинг умумий тенгламаси реперда (25) ку-
ринишда булса, f аффин алмаштиришда М нуцтага мос келган М'
нуцтанинг координаталари бир хил булгани учун М £ (25) => М' £
С (25), демак, П* текислик £ га нисбатан цандай тенгламалар би-
лан аницланса, унинг аффин образи цам ЗУ реперда худди шу тенг-
ламалар билан аницланади. Бу эса текисликнинг улчови аффин ал-
маштиришда узгармаслигини билдиради.
Хусусий цолда k = 1 булса, аффин алмаштиришда тугри чизиц
яна тугри чизицца алмашинади. Бу хоссани биз I булим 111 бобда
аффин алмаштиришнинг таърифига эквивалент эканлигини курсатган
эдик.
6°. f аффин алмаштиришда параллел текисликлар яна параллел
текисликларга утади.
Бу хосса аффин алмаштиришнинг узаро бир цийматли эканлиги-
дан келиб чицади (буни тулиц исботлашни уцувчига топширамиз).
Энди аффин алмаштиришнинг коордииаталардагн ифодасини ку-
райлик. Ап да = (О, е2, ...» еп) репер берилган булсин.
V М £ Ап ни олиб, унинг шу репердаги координаталарини хр х2,
.. . , хп, f (AI) = М' нуцтанинг ^ам шу ёВ реперга нисбатан коор-
динаталарнни xj, х2, . .. , х'п деб белгилаймиз. Бизнинг ма^садимнз
хр х2, .. ., хп ва X,, х', . . . , х’п ни богловчи муносабатларни то-
пишдир.
Фараз цилайлик, f (О) = О', f(et) = e',... , f (еп) = е'п булиб,
буларнинг ёВ га нисбатан координаталари О' (ср с2, . . . ,сп), е', (сп,
С|2, ...» С|„), е2 (с2р с^, .... с2л), .... еп (сп1. сп2, .... ст)
булсин. У ^олда ёВ' = (О', e't, е2, .... сл) аффин репер 540-
сил б^либ, f (ёВ) = ёВ'; хусусий >4олда f (ОМ) = О'М' дир. У 540л-
да М ну^анинг координаталари аффин алмаштиришнинг таърифига
кура ёВ' реперга нисбатан х,, х2, .... хп булиб, (15) га асосан
Xj = сн Х| + с2, t2 + ... + сп1 хп 4- Ср
Х2 ~ С12Х1 "Ь С22Х2 + • • • + Сп2Хп + С2’
............................................. (27)
Xn=CinXl+C2nX2 + +CnnXn+Cn
ва (16) шарт уринлидир.
Бу (27) формулалар аффин алмаштиришнинг коордииаталардагн
ифодасидир. Бунинг тескариси ^ам тугридир, яъни (27) куринищда-
ги 54ар дандай формулалар ((16) шарт бажарилганда) Ап да бирор
аффин алмаштиришни аницлайди. \аь;ицатан 343м, (27) берилган бул-
син. У 54олда ихтиёрий М (хр х2, . . . , xn), N (уг у2, .... уп),
нуцталарнииг (27) алмаштиришдаги образлари М' (Хр х', . . . , хп),
N' (у\, у2, ... , у^ булса, MN (yt — хр у2 — х2, . . ., уп — хп),
M'N'(y\ — х;, у2 — х2......У'п — Хп)>
х, = Сц Х| 4- с2| х2 4- ... 4* сП| *п 4* С|,
Х2 = С|2 Х| 4" ^22 ^2 + • • Сп2 Хп “Ь С2’
< = С1пХ1 + С2пХ2 + ‘ • * + СппХп + С„
ва
У1 = СцУ1 +С2|У2+ • •• +С„|Уп+СР
У2 = С12 У1 "Ь С22 У2 + • • • + Сп2 Уп + С2’
Уп = С,пУ1 + С2пУ2 + • • • +СппУп + Сп
дан:
4< — xi = cn O/i — xi) + с2| G/2 —*2) + • - + сп! (Уп — *п),
У2~ *2 = fi2(y( —xi)+c22(y2 — x2) + ... +сп2(уп — хп).
Уп-Хп = С1п(У| -*|) +С2„(4'2--‘2) + • • • Спп (Уп~Х,)-
Бундан куринадики, (27) билан аннцланадиган алмаштиришда MN
Вектор M'N' векторга утади. Худди шунга ухшаш, (27) куринишда-
ги алмаштиришда A. MN вектор A. M'N' векторга алмашинишини ёки,
умуман, векторларнинг чизицли комбинацияси (27) алмаштиришда
яна шу коэффициеитли векторларнинг чизицли комбинациясига утиш-
лигини курсатиш мумкин. У цолда 2-таърифнинг шартлари бажари-
лади, демак, (27) ифода аффин алмаштиришни аницлайди. Шу (27)
ифоданинг хр х2, .. . , хл олдидаги коэффициентлари цамда с,, с2,
.... ся сонлар биргаликда (26) шарт уринли булганда аффин ал-
моптиришнинг характерини билдиради, шу сонларнинг цар хил бе*
рилиши билан турли аффин алмаштиришларни цосил цилиш мумкин.
демак, Ап нинг чексиз куп аффин алмаштиришлари мавжуд. (27)
формулани (15) билан таццосласак, уларнинг ташци куринишида
фВрц йуцдек туюлади, аслида эса (15) формула битта нуцтанинг ик-
кита аффин реперга нисбатан координаталари орасидаги богланишни
ешнцлайди, (27) эса мос нуцталар орасидаги богланишни аницлайди.
35- §. Аффин алмаштирншлар грулпаси ва унинг цисм
груплалари
Маълумки, алмаштирншлар тупламининг группани цосил цилиши
учун цуйидаги икки шарт бажарилиши керак.
’’ 1. Шу. тупламдаги ихтиёрий икки алмаштириш купайтмаси (ком-
Позицияси) яна шу тупламга тегишли алмаштириш.
2. Шу тупламдаги цар бир алмаштирншга тескари алмаштириш
Лам шу тупламга царашли.
Ап нинг барча алмаштиришлари тупламини А билан бел-
ТЯлайлик. Бу туплам буш булмасдан, балки унинг элементлари
аввалги параграфдаги муцокамамизга асосан чексиз купдир. А туп-
ламнинг элементлари юцоридаги икки шартни цаноатлантиришини
йУрсатамиэ.
Равшанки, f аффин алмаштириш булса, у бир жуфт <В, ЗУ аф-
>фин реперларнинг берилиши бнлан тула аницланади (аффин алм'ш-
;Мриш таърифига асосан) ва, аксинча.
1. Агар f аффин алмаштириш <®, <®' реперлар билан аиицлан-
WH булиб, g аффин алмаштириш <®', <®" реперлар билан аницлан-
у цолда <®, 3S" реперлар билан аницланган аффнн алмаштириш
ферилган аффин алмаштирншлар купайтмасидан иборат:
f. g € A-^g-f € A.
2. f аффин алмаштириш «®, JB' билан аницланса, <®', билан
аницланган аффин алмаштириш / нинг тескариси f-1, яъни.
f € А Г1 С А.
Демак, А туплам группа ташкил цилади, у цисцача аффин группа
деб аталади.
Энди алмаштиришлар группасининг инварианта тушунчасини ки-
ритамиз. G бирор алмаштириш группаси булиб, F ихтиёрий фигура
булсин. G нинг исталган алмаштиришида F фигура бирор F' фигу-
рага алмашганда F нинг F' учун цам уринли булиб цоладиган хос-
салари F нинг G группага нисбатан инвариантлари деб аталади. У
цолда аффин группанинг инвариантлари олдинги параграфдаги хос-
саларини эътиборга олсак цуйидагилар булади:
1. \ар цандай аффин алмаштиришда k улчовли текислик яна k
улчовли текисликка утгани учун текисликнинг улчови А га нисба-
тан инвариантдир.
2. \ар цандай аффин алмаштиришда уч нуцтанинг оддий нисба-
ти А га нисбатан инвариантдир.
3. Аффин алмаштиришда параллел текисликлар яна параллел те-
кисликларга утгани учун параллеллик муносабати А га нисбатан
инвариантдир.
Бу тушунчаларга асосланиб аффин геометрия нимани урганади
деган саволга жавоб бериш мумкин.
Аффин геометрия п улчовли аффин фазо фигураларининг шун-
дай хоссаларини урганадики, бу хоссалар аффин группага нисбатан
инвариант булади (ёки геометриянинг аффин алмаштиришда фигу-
раларнинг шу алмаштириш группасига нисбатан узгармай цоладиган
хоссаларини урганадиган булими аффин геометрия деб аталади).
Энди аффин группанинг баъзи цисм группалари билан танишай-
лик.
а) Параллел кучириш. Ап да бирор и вектор берилган бул-
син.
Таъриф. Ап нинг цар бир М нуцтасига
ММ'=~и (28)
шартни цаноатлантирувчи М' £ Ап нуцта мос келтирилган булса,
бу мослик алмаштиришдан иборат булиб, у Ап ни и вектор цадар
параллел кучириш деб аталади.
Ап ни параллел кучириш аффин алмаштиришдир. Хацнцатан,
Я = (О. .... 5. и (и,, и2, ...» un),
Л4 (Х|, Х2, - • • > Xi)’ *2* • • • ’
ММ' (х' — х, х2—х2, . . . , х'—хп)
|учун *28) га
асосан:
“1 =<-*р
и2 х2 х2.
х' = X, + Up
ёки *2 — Х2 + и2<
(29)
U = К. —
Л л Л’
<=Хп + %-
Бу формулаларни (27) билан таццосласак, ct= ut, с2 — и2, ,
Ъ, = сп = с22 = •.. = ст= 1. с,7=0 (<>/, ». /= 1,2---------п).
(|6) шарт бу цолда:
С11 С12 • • ’ ’ С1п С21 С22 ' • • • С2л ^л1 ^п2 ‘ ’ ^пп = 10 0 ... 0 010 ... 0 000 ... 1 = 1 *0.
Демак, (29) формулалар билан аницланган алмаштириш (яъни парал-
лел кучириш) аффин алмаштиришдан иборатдир.
и = 0 булган цолда М = М', бу эса Ап нинг цар бир нуцта-
сини О вектор цадар параллел кучирилганда шу нуцта уз-узига
;’|чишини англатиб, айнан алмаштириш цосил цилинади, демак, айнан
•лмаштириш параллел кучиришнинг хусуснй цолидир.
j Энди Ап ни барча параллел кучиришлар туплами группа ташкнл
этншини курсатайлик.
1. Ап ни и вектор цадар параллел кучириб, сунгра v вектор ца-
дар параллел ку'чирсак, натижада и 4- v вектор билан аницлана-
.тЦЩ-ан параллел кучириш цосил булади, демак, икки параллел кучи-
зришнинг композицияси яна параллел кучиришдан иборат.
2. и вектор цадар параллел кучириш берилган булса, —и вектор
45илан аницланадиган параллел кучириш унга тескари параллел ку-
кчмришдир (чунки «+(-«) =0).
. Демак, Ап ни барча параллел
к^чиришлар туплами группа таш-
Жил этиб, у Ап нинг цисм груп-
,васидан иборат.
б) Гомотетия. Ап нинг та-
Д? 5 нуцтаси ва тайин k ¥= 0
^9® берилган булсин.
К’.Та'ьриф. А„ иинг цар бир
W Иуцтасига
SM' = kSM
(30)
*2818
шартни цаноатлантирувчи АГ Е Ап нуцта мос келтирилган булса,
Ап да S марказли ва k коэффициентли гомотетия берилган деб
аталади (бунда S нуцта уз-узига утади деб олинади) Af, АГ нуц-
талар узаро гомотетия дейилади.
S, Af нуцталар ва k сон берилса, (30) ни цаноатлантирувчи АГ
нуцта ягоналиги учун гомотетия—алмаштнришдан иборатлигига
ишонч цосил циламиз (191-а, б чизмалар). Энди шу алмаштиришни,
яъни гомотетиянинг аффин алмаштириш эканлигини курсатамиз.
£= (О, е2, ... , еп) реперга нисбатан S (s,, s2.sn), Af (хр
x2 . . • , хя), M' (xj, x2, .. . , x^ булсин. У цолда S Af (х,— s|t x2—
— s2, . . . , xn — sn) булиб, (30) га асосан
X| S| = А(Х| S|),
X2 — Sj, = k(X2— S2),
k
0
0
k
0
0
= Ап^=0
x'~S=k (x„ — s J.
n n ' n n
ёки
xj = kxt —kst 4- в,.
x2 = kx2 — ks2 + s2,
.................................... (31)
= fon + sn-
Буларни (27) билан таццосласак, с, = s1—As,, c2 = s2 — ks2, ... ,
СЯ = «Я-Ч M C1I = C22= ••• =cnn = *- c,/(»¥=/, i, 7 = 1. 2,
. . . , n), демак,
Си C|2 . . . cln
c2) c22 .. . c2n _
Cnt Cnt • • Cm
ва (31) формулалар билан ан
аффин алмаштиришдир.
Хусусий цолда S = 0 =>
цуйидаги куринишни олади:
Х| = kxv х2
Энди битта S марказли барча го-
к,2 1 мотетиялар туплами группа таш-
.. L ’ г >____________________ кил этишини курсатамиз.
* мя м "w 1. Ар Аа коэффициентли S
марказли гомотетиялар компози-
цияси А1-Аа коэффициентли ва S
0
0
k
алмаштириш, яънн гомотетия
= sn = 0 булиб, (31)
i — s2 —
марказли гомотетиядир (192-чизма), чунки kt коэффициент ва М
нуцта учун SM' = SM, k2 коэффициент ва М' нуцта учун
SM" = k2SM' булиб, буидан SM' = v~ SM", уни аввалгн тенг-
"1
ликка цуйсак, — SM" = ft1SAf ёки SM"SM булади, бу
А»
аса kx-k2 коэффициеитли ва S марказли гомотетиями билдиради.
2. коэффициеитли S марказли гомотетияга тескари гомотетия
- коэффициеитли ва уша S марказли гомотетиядир, чунки k = krX
Ai
X — = 1 булиб, (30)=». SM' = SM, M' = M, бу эса айнаи алмаш-
Ai
тиришдир.
Демак, бир марказли барча гомотетиялар туплами группани таш-
кил этиб, бу группа А нинг цисм группасидан иборатдир.
Мисол. А нииг аффнн алмаштириши цуйидаги формулалар би-
лам берилган:
xj = — х, 4-2,
х2 = х2 — Зх3 — 1,
х3 = х, 4- х2 4- Зх3 4- 3.
1) Р (3, —1, 2), Q(—1, 4, 0), Т (0, 0, 0) нуцталар образлари-
ни топинг.
2) Шу аффин алмаштиришнинг цузгалмас (уз урнида цоладиган)
нуцталари борми?
3) 2xi 4- х, -f- xs = 4 текисликнинг образи цандай текислик?
.. (Xj — 2х. 4- = 2 <
4) | 1 тугри чизицнинг образини топинг.
I Xi~ xs= 1
Ечнш. 1) Берилган формулалардаги xt, ха, х, лар урнига Р,
Q, Т нуцталарнинг координаталарини цуйиб, xj, х2, х3 ларни топа-
миз. Р нинг образи:
Х[ = — Х| 4- 2 — — 3 4- 2 — — 1,
х2 = х2 — Зх3— 1 = — 1—32 — 1 = —8,
х3 = xt 4-х2 4- Зх3 4- 3 = 3 —1 4-3-2 4-3= 11
=>/’’(—1—8, 11).
Шунга ухшаш, Q, Т нинг образлари Q' (3, 3, 6), Т' (2, — 1, 3);
2) аффин алмаштиришда уз- узига утадиган цузгалмас нуцталар
учун: х, = Хр х2 = х2, х3 = х3; шунинг учун улар ушбу
Xi = — Xi 4- 2,
х2 = ха — Зхэ— 1,
*з = *1+*г + 3хэ4-3
системанинг ечимидир. Бу системадан ушбу цузгалмас нуцта топи
лади:
(г -- У
\ ’ 3 ’ 3 /’
3) текисликнинг образини топиш учун берилган системани хр ха,
х8 га нисбатан ечиб, уларнинг цийматларини 2 xt 4- х2 4- х3 = 4 тенг-
ламага цуямиз. Берилган системадан:
= —xj + 2,
х2 = у(%;+ + 2,
Хэ = — (Х| *2 + *3 6). I
Топилган бу цийматларнн берилган текислик тенгламасига цуйиб унн
соддалаштнрсак,
— 4xj + х'2 + 2 х' = 9;
4) берилган тугри чизицнинг образини топиш учун цам хп х2,
хэ нниг юцорида топилган цийматларини берилган тенгламаларга цуя-
миз:
11 X] + 7 х2 5 х^ в 18,
7 xj— xj 4-Хз= 12.
36-§. п улчовли векторли евклид фазоси
Биз 1|_4, П|_4, П1|_2 аксиомалар ёрдамида п улчовли вектор
фазо тушунчасини киритган эдик цамда чизицли амалларга асосла-
ниб. шу фазо хоссаларини ургангандик, лекин бу фазода векторнинг
узунлиги, икки вектор орасидаги бурчак, икки векторнинг перпенди-
кулярлигн каби тушунчалар киритилмаган эди. Шунинг учун 1,_4,
П|_4, Ш1_2 аксиомалар цаторига янгн аксиомалар киритиш билан
янги вектор фазоларии цосил циламиз, шулардан бирн векторли ев-
клид фазосидир.
Таъриф. Vn вектор фазонинг ихтиёрий икки а, b вектори учун
уларнинг скаляр купайтмаси деб аталган цациций сон мос келти-
—>-
рнлган булиб (купайтмани а b билан белгилаймиз), цуйидаги турт-
та аксиома бажарилса, бундай фазо п улчовли векторли евклид фазо-
си деб аталади (уни VЕ билан белгилаймиз):
Vj • у а, b £ Vn учун а • b = b • а,
Na \j-a, b, с£Уп учун (а 4- Ь) с = а • с 4- b • с,
Vs уа, b£Vn ва УЛ£Я учун ka - Ь — k(ab),
У4-уа=#=0£Уя учун а-а>0.
J5y аксиомаларни одатда векторларнинг скаляр купайтириш аксио-
надари деб юритилади.
Аввало юцоридаги аксиомалардан келиб чицадиган баъзи натижа-
ларни курайлик.
1-натижа. V2 аксиомадаги ассоциативлик цонуни иккн цуши-
лувчи вектор учун уринли булса, у исталган сондаги цушилувчилар
учун уринлидир, (а! 4- а„ + ... + ат) • b = atb + а2Ь+ ... +атЬ
(ифодадаги барча векторлар VE га тегишли).
Кацицатан цам, а2 + аэ + ... + ат = десак, V2 га асосан
(at + bl)b = агЬ + bt b, бу нфоданинг иккинчи цушилувчисндаги
bt ни а., + Ь2 деб олсак, бунда Ь2 = а3 + а4 + - . . + ат, у цолда
V2 ни яна татбиц цилсак, (ах + b,)b = a,b + a2b + Ь2Ь; эндн шу
ишни учннчи цушилувчи учун такрорлаймиз ва ц.к. ах, а2, ат
нинг сони чекли булгани учун маълум цадамдан сунг изланган
тенглик цосил булади.
2- н а ти ж а. О векторнинг цар цандай вектор билан скаляр купайт-
маси нолга тенгднр, чунки V3 га асосан (0-а)=(0Ь а)=0(Ьа) = 0.
3- н а 1 и ж а. а • а скаляр купайтма фацат а = 0 булгандагина
нолга тенгднр, бу бевосита V4 аксиома ва 2-натижадан келиб чнца-
Дн. _____________
а • а> 0 =► а а — цациций сондир.
Таъриф. Vа а цациций соннн а векторнинг модули (узунли-
ги) дейилади ва уни V а а = |а| куринишда белгнланади. Хусусий
—>- —►-
цолда |а | = 1 булса, бундай а вектор бирлик вектор деб аталади,
бундан ташцари, ноль векторнинг модули нолга тенглиги цам рав-
шандир.
4-натижа. b = Ха=> |Ь| =|Х[ |а|, чунки
|Ь| = 1^ХаХз — 1^Х(а-Ха) = V\x(a а) =
= КX2 a а = |Х |а|.
—>- —>-
Теорема. УчУн
ll-Tl |а||Г| (32)
фринлидир (Коши — Буняковский тенгсизлиги).
Исбот. а, берилган булсин. а — kb куринишдаги век-
?орни текширайлик. |а — ХЬ|>0дан:(а — ХЬ)(а—ХЬ)>0. Бу
'генгсизликнинг чап томонига V|-4 аксиомаларни ва юцорида келти-
* ——>- —► —► —>• —>
®влган натижаларни татбиц цилиб, а а = а2, b • b = Ьг десак,
аг — 2к(аЬ) + (ХЬ)2 >0
ёки
Рх2 —2(а^7)Х +?>0,
(33)
бундан куринадики, X га нисбатан квадрат учцад X нинг цар цандай
цийматида манфий эмас, у цолда бу учцаднинг дискриминанта мус-
—►—*-
бат булиши мумкин эмас, яъни (а b )2 — а2Ь2 0, бундан (а b )2 <
< а2Ьг ёки I a b | |а 11 b |.
Шуни таъкидлашимиз зарурки, (32) тенгсизликдаги тенглйк бел-
гиси а, b коллинеар булгандагина уринлидир. ^ацицатан цам,
а = хТ=> fa Г| = |ХТГ| = |Х(нГ)| = |Х| |ГГ| =
= |Х| |Г|2 = |Xbl iTl = | а | |Т|, (34)
акс цолда а — ХЬ=#=0 булса, (33) нинг чап томонидаги X га ннс-
батан квадрат учцаднинг дискриминанта манфий булади, яъни цатъий
тенгсизлик руй беради.
—► —> —►
Коши — Буняковский тенгсизлигинн а 0 ва b ¥= 0 векторлар
учун цуйидагича ёзиб олайлик: — 1 1. Бундан
I о IIЬ | |o||ft|
касрни бирор ф бурчакнинг косинуси деб олиш мумкин, яъни
со5ф= “^;- • . (35)
|о 11ь I
Таъриф. (35) тенглйк билан аницланадиган бурчакларнинг энг
кичиги а, b векторлар орасидаги бурчак деб аталади.
Ф = — да a, b векторлар ортогонал деб аталади. (35) дан ку-
риниб турибдики, ноль булмаган икки вектор ортогонал булиши
учун уларнинг скаляр купайтмаси нолга тенг булиши зарур ва етар-
ли экан.
(35) да ф = 0 ёки ф = л б^лса, а • b = [ а 11 b |; (34) га асосан
а = X b ёки а II b,
(35) => а b = | a| | b | cos ф. (36)
Демак, икки векторнинг скаляр купайтмаси шу векторлар модулла-
ри билан улар орасидаги бурчак косинусининг купайтмасига тенг,
Энди VE нинг базиси масаласига тухталайлик.
Таъриф. VE даги et, е2,. . . , еп базис векторларнинг цар бири
бирлик вектор булиб, уларнинг исталган иккитаси узаро ортогонал
булса, бундай векторлар системаси ортонормаланган базис (ёки де-
карт базиси) деб аталади, уни ^ам одатдагидек Б = (eIt е2, . ., еп)
деб белгилайлик.
Демак, ортонормаланган базис учун
77 = агаР ‘ = / бУлса« (37)
‘ > (О, агар i =£ j булса, '
бунда t, j = 1, 2, . . . , п.
Энди ортонормаланган базисда координаталари билан берилган
икки векторнинг скаляр купайтмаси, векторнинг узунлиги, икки век-
тор орасидаги бурчакни ^исоблаш формулаларини топайлик.
Фараз цнлайлик, бирор декарт базисида
a(xv х2, ... , хп) = х1е1 + х2е2 + ... + хпеп,
Ь(Уи у2......Уп) = У& + у2е2 + ... + упеп.
У ^олда скаляр купайтманинг хоссаларини ва (37) ни назарда тут-
сак,
a b = + х£ + . .. + хп еп) (у^ + у2еа + ... + упеп) =
= Mi (q q) + Х1У2 (7,72) + . . . + Xtf^ej + (e^) +
+ x2y2 (e2 e2) + ... + x2yn (e2 en) + .. . + xnyY (en ej +
... + *пУ2ЙХ) + ... +xnyn(en7n);= x^i + xaya + . . . + xnt/n,
ими
ab = x^ + xaya + ... +xnyn.
(38)
Демак, VE да икки векторнинг скаляр купайтмаси шу векторлар мос
‘координаталари купайтмаларининг йигиндисига тенг.
в=Ь=>х1=^1, х2^=у2........хп = уп=>аа = х\ + х* + ... +x;J.
йен _____ ______________________
V~aa х? + х*+...+х£,
Кёктор узунлигининг таърифнга кура
Й= |/ х* + х*+ ... +Х» . (39)
Лемак, векторнинг узунлиги унинг координаталари йигиндисидан
Олинган арифметик квадрат илдизга тенг.
(38) ва (39) ни эътиборга олсак, икки вектор орасидаги бурчакни
Нясоблаш (аницроги, шу бурчакнинг косинусини топиш1 формуласи
Топилади. (35) дан:
________*1У1 + + • • • хпуп______
У^ + 4+...+х2л У^ + у1+ ... +j/I
(40)
Коши — Буняковский тенгсизлиги эса цуйидаги куринишни олади:
(*+ + хеуг + ... + хпуп)2 (х2 + х2 + ... + х2) (у2 +
+ у22 +.. +^). (41)
1-мисол. Турт улчовли векторли евклид фазосидаги декарт ба-
зисида а(3, 2, 1, 1), Ь (4, —2. —1, 1) берилган. /уйидагиларни
топинг. а) шу векторларнинг узунликлари; б) а b скаляр купайтма;
с) векторлар орасидаги бурчак.
Ечиш. а) (39) га асосан
|с| = /З2 + 22 + I2 + F = /15 ,
|Т| = /42 + (—2)2 + (—1)2 + 1» = /22 ;
б) (38) га асосан
~а~Ь = 3-4+ 2(— 2)4- 1-(—1) + 1 • 1 = 12 —4 —1 + 1 = 8;
, /лп\ а Ь 8 8
с) (40) га асосан cos ф = = —т=—т=- = г_ ;
’ |7||7| /15-/22 /330 ’
8
ф = arccos .— .
/330
2-мисол. а(1, 3, 2, —1), Ь (5, 1, — 4, 0), с (0, 4, 1, 14) век-
торларнинг ортогонал системани цосил цилишини исботланг.
—“-* —>
Исбот. Умуман, а„ , ап векторлар системасида ихтиё-
рнй икки вектор узаро сртогонал булса, бундай векторлар системаси
ортогонал система деб аталади. Бу ерда ацвол шундай, цацицатан,
~ab = 1-5 + 31 + 2-(—4) + (—1)0 = 8 —8 = 0,
~ас = 10 +3-4+ 21 +(—1,14= 14-14 = 0.
77=5-0 + 1-4 + (—4)1 +0-14 = 4-4 = 0.
37-§. п улчовли евклид фазоси
Таъриф. Элтувчиси V£ булган (п улчовли векторли евклид фа-
зоси) п улчовли аффин фазо п улчовли евклид фазоси деб аталади
ва Еп билан белгиланади.
Демак, элементлари нуцта ва вектор деб аталган буш булмаган
туплам П^, 1П1_2. IV|2, V,^ аксиомаларни цаноатлантирса,
у туплам п улчовли евклид фазоси булади.
Таърифдан куринадики, п улчовли аффин фазонинг барча таъриф
ва теоремалари Еп да цам уз кучини сацлайди.
Еп даги нуцтанинг координаталарини 30-§ дагидек таърифласак
цамда декарт реперини = (О, ер ей, ... , еп) деб олсак (elt е2,...,
еп ортонормаланган базис), у цолда уч улчовли евклид фазоси
сингари Еп да цатор масалаларни цал цилиш мумкин. Бирор декарт
реперида Л(хр xt, ... , хя), B(ylt yt, ... , уп) ни олайлик.
Таъриф. Еп дагн А, В нуцталар аиицлаган АВ вектор узунли-
ги шу икки нуцта орасидаги масофа деб аталади ва р(Л.В) би-
лан белгнланади.
Таърифга асосан р(Л, В) = [ЛВ|. 30-§ даги (13) ни эсласак,
АВ(У1 — *1, yt, — х2, .... уп — хп), (39) формуладан:
р(Л, В) = Z(yi—*i)2+(*/2 —*2)2+ ... +(!/„ —*п)2 •
Бу формула Еп дагн икки нуцта орасидаги масофани топиш форму-
ласидир.
Теорема. Еп даги ихтиёрий учта А, В, С нуцта учун
р(Л, С) р(Л, В) + р(В, Q
дринлидир.
Хацицатан, IV2 аксиомага асосан АС = АВ + ВС. Бу тенглик-
нинг икки томонидаги векторларни уз-узига скаляр купайтирамиз:
АС-АС = (АВ + ВС)(АВ + ВС)
ёки
АС2 = АВ2 + 2 АВ-ВС + ВС\
бундан
IЛС|2 = |ЛВ|2 + 2 ~АВВС + |ВС|2.
Лекин АВ ВС ^|ЛВ||ВС| (чункн АВ ВС<0 цолда тенгсизлик рав-
шан, АВ-ВС>0 цолда эса Коши — Буняковский тенгсизлиги асоси-
Да). У цолда
|ЛС|2 < |ЛВ|2 + 2 |ЛВ| |ВС| + |ВС[2,
|ЛС|2 | ЛBi2 + I Bq2,
бундан
|ЛС| |ЛВ[ + |ВС|
ёки
р(Л, С)=£р(Л, В)+р(В, С). (42)
Бу ердаги тенгликнинг урннли булиши учун В нуцта Л ёки С би-
дан устма-уст тушиши, ёки В нуцта Л билан С нинг орасида ёти-
ши лоэим (буни мустацил исботланг).
Табиийки, k улчовли текислик таърифи ва хоссалари Ап да кан-
дай булса, t.n да шундай сацланиб цолади, бундан ташцари, бу
фазода шу хоссалар ёнига янги хосса лар цушилади. Бу хоссалар мет-
рик характерна эга булиб, уларнинг барчасини биз бу ерда келтир-
маймиз (икки текислик орасидаги масофа, тугри чизиц билан те-
кислик орасидаги бурчак ва ц. к.). Мисол тарицасида цуйидаги
масалини куриб чицайлик.
Декарт реперида берилган нуцтадан берилган гипертекисликкача
масофа цисоблансин.
Таъриф. Еп да нуцтадан гипертекисликкача масофа деб, шу
нуцтадан гипертекисликка туширилган перпендикуляр тугрн чизиц-
нинг бу текислик билан кесишган нуцтасигача булган масофага ай-
тилади.
Шуни таъкидлаймизки, гипертекислик узига перпендикуляр туг-
ри чизиц билан фацат битта нуцтада кесишади, чунки гипертекислик
битта чизицли тенглама билан, тугри чизиц эса (п — 1) та чизицли
тенглама билан аницланиб, уларнинг умумий нуцталарини топиш
учун жами п та чизицли тенгламани (бу система албатта биргаликда)
ечилади. Умумий цолда п та тенгламада п та номаълум булгани
учун тегишли системани ечиб, изланган нуцта топилади.
ЛГ0(х°, х®, .... х£) нуцта ва
Пп_, zajX, + а2х2 + ... + апхп + а0 = 0 (43)
гипертекислик берилган булснн. р (Мо, П^) ни нзлаймиз.
Мо нуцтадан га перпендикуляр тугри чизиц утказиб, унинг
Пп_! билан кесишган нуцтасини No деб белгилайлик, у цолда M0N0
вектор цосил булади, No нинг координаталари х,, х' . . . , х'п булсин.
.Vo € Пп_] => агх; + а2х' + ... + ап хп + а0 = 0. (44)
Бу айниятни (43) тенгламадан хадлаб айириб, цуйидагини цосил ци-
ламиз:
fli Ui — «D + (\> — *;) + • • • an (\ — xj = 0, (45)
Бу тенгликнинг чап томонини узаро перпендикуляр а (ар а2, ... ,
ап га N0P(xl— х', х2— xj, .... хп — xj векторнинг скаляр
купайтмаси деб караш мумкин, бу ерда Л'0£Пп_1, РСП _1=>
^а±Пл_|, чунки Р нуцта Пп_| нинг ихтиёрий нуцтасидир. Демак,
Пп_! нинг (43) тенгламасидаги узгарувчилар олдидаги коэффициент-
лар шу текнсликка ортогонал векторнинг координаталаридан иборат,
д;мак, а II M0N0. У цолда
MQN0-a = |А4^0Ца | cos<p = ± ,Af^0||a[(([ = 0 ёки л),
бундан
|ада1=Р(Ч.П„_,)|а|,
Р(Ч- Пя_,) = •
|в|
Бу формулами координаталарда ёзиш учун
MoNoa = al(xl — х®) + а, (х^ — х®) + .. .+ая(х„ — х§=
= fljxj 4-а2х' + ... + апхп — (arf + atx° + ... + а,х°)
ни эътиборга олсак, M0N0 - а — — (а^ + а2х® + .. . + аях®) — а0.
р(Ч.Пя_,)=
1а1х? + О**® + • ’ ’ + ап хп + ао1
К о? + а|-|- +‘‘2п
(46)
Бу формула Е3 даги нуцтадан текнсликкача масофани топиш форму-
ласинннг умумлашган цолидир.
Энди Еп дагн бир декарт реперннинг иккннчи декарт репери би-
лан цандай богланганлигини курайлик.
Бу богланиш умумий цолда 30-§ дагн (15) формуладан аницла-
нади. У формуладагн иккинчи аффин репернинг базис векторларини
биринчи аффин реперга нисбатан координаталари булган сп, с12, . . .,
с|я, см» • • • • спп сонлаР эиди реперлар декарт реперларидан ибо-
рат булганда маълум шартларни цаноатлантнрнши керак. Цацицатан
цам, энди ej, е2.....е'п лар бирлик векторлардан иборат:
е?1+с?2+ ... +с*„=1,
4, + ^+ ... +4,= !.
cni + + • • • + с1п = 1 • (47)
Vuj&a ташцари, бу базнс векторларнинг ихтиёрий иккнтаси узаро
перпендикуляр:
СИС11 + С12С22 + • • • "Ь с|и С2л = О’
С11С« "Ь С21С32 + • • • "Ь С|п С3л = О’
..................................................... (48)
СцС„1 + С12ся2 + . .. + = О,
Сп—1.1 Сп1 + Сп-|.2 Сп2 Сп—\.пСпл ~ 0-
|<17) да л та тенглама, (48) да эса у (л—1) та тенглама булиб,
жами п + — (п — 1) = п ~*~п = + ** та тенгламани ца-
2 2 2
ноатлантириши керак экан. 30-§ даги (15) формулага диццат билан
назар ташласак, ундаги барча ctj (i, / = 1, 2, ... , п) нинг сони
пг + п = п(п + 1) тадир; бу с(/ коэффициентларнн параметрлар деб
зтасак, цуйидаги хулосаларга келамнз:
1. Ап да бир аффин репердан иккннчн аффин реперга утиш
п(п + 1) та параметрнннг берилиши билан тула аницланади (бу па-
раметрлар албатта 30-§ даги (16) шартни цаноатлантириши керак).
2. Еп да бир декарт реперидан иккинчи декарт репернга утиш
п та параметрнннг берилиши билан аницланади, чунки ctj лар
п (п 4- 1)
юцоридаги —— та шартни цаноатлаитирса, у цолда
I I П*+ п . . п= + п л (п +1)
п (n + 1)----7— = Пг + п------\ ' -
2 2 2
Хусусий цолда п = 2 булса, текисликдаги нккн аффин реперни бог-
ловчи формулалар
^0
x'i = Си*, + С1Л + Сю. сп с12
Х2 = С21*1 "Ь С22Х2 + С2О С21 С22
бнлан аницланиб, жами 6 та сп, с12, с10, с21, с22, с20 параметрга
боглицдир (чунки п(п + 1) = 2(2+1) = 2-3 = 6). Декарт реперла-
х п (п + 1) 2 (2 + 1) „
ри орасидаги богланиш эса ' -------- = 3 та параметр-
ларга боглиц (улар с10, с20 ва буриш бурчаги а).
1-м и со л. Ев да Л (4, 3, 3, 4, 5), В (—2, —2, 2, 5, 4) нуц-
тэлар берилган. Шу нуцталар орасидаги масофани топинг.
Ечиш. (41) формулага асосан
р(Л, В) = /(—2—4)2 + (-2 - З)2 + (2—З)2 + (5 - 4)2 + (4 - 5)2 =
= /36 + 25 + 1 + 1 + 1 = /бТ = 8.
2-мнсол. Еь да Л (3, —2, 1, 4, 1) ва В(2, 4, —3, 1, 2) нуц-
талардан тенг узоцликда ётган нуцталар тупламини топинг.
Ечиш. Изланган нуцталардан бирини N (хр х2, х8, х4, х5) де-
сак, цуйидаги шарт бажарилиши керак:
р(Л, W) = p(B, N).
Бунн координаталарда ёзсак,
/(хх - З)2 + (х2 + 2)2 + (х8- I)2 + (х4-4)2 + (х5 - I)2 =
= /(хх -2)2 + (х, - 4)2 + (х9 + З)2 + (х4-1)2 + (х5- 2)2 .
Иккала цисмнн квадратга кутариб, цавсларни очиб, ихчамлаб чнц-
сак,
Xj — 6x2 + 4x3 + 3x4 —x5 + y = 0,
бу чизицли тенглама E6 да турт улчовли текисликни, яъни гипер-
текислнкни аницлайди. Демак, изланган нуцталар туплами гипер-
текнсликдан иборат.
3-мисол. М(1, 4, —5, 3, 2) нуцтадан П4:3Xj+XjH-2х3 — х4+
+ х5 — 3 = 0 гипертекисликкача булган масофани цисобланг.
Ечиш. (46) формулага асосан
n (М ГТ J = 13- 1-44-2(-5)-3 + 2-3| _ |- 15| _ 15
V " Кз*+ ll + 2» + (— 1р+ Р /пГ 4
38-§. Даракат
Еп да иккита <S = (О, ех, ег.......еп),<£' = (0', е', е2.....е')
декарт реперн берилган булсин.
Еп нинг цар бир М нуцтасинн шу фазонинг шундай М' нуцта-
сига акслантнрамизкн, £ реперда М нуцта цандай координаталарга
эга булса, реперда М' нуцта шундай координаталарга эга
булсин. Бу ерда Еп нуцталар н яна шу фазо нуцталарига мос цуйи-
либ, бундай мослик узаро бир цийматлидир. Демак, Еп да алмаш-
тириш цосил цилинди, у Еп нинг ^аракати (силжишн) деб атала-
ди. Еп даги царакат иккита декарт ргперининг берилиши бнлан
тула аницланади. Бу таърифни аффин алмаштиришнинг таърифи би-
лаи таццосласак, царакат аффин алмаштиришнинг хусусий цоли эка-
ни аён булади. Шу сабабли фнгуранинг барча аффин хоссалари
царакатда сацланиб цолади.
Ундан ташцарн царакат яна цуйидаги хоссага эга:
Даракатда икки нуцта орасидаги масофа сацланади. ^ацнцатан,
3? репердагн M(xlt х2.....хл), W(ylt у2, . . . ’, уп) нуцталарга ца-
gjaxar натижасида 3' реперда мос келган M’,N' нуцталар таърифга
ЙЙСосан худдн шундай координаталарга эга, яъни М‘ (х,, х2, . . . ,
pQ. N'tyj, у........ у,) у цолда р(/И, N) = p(M', N').
g Масофа царакатнинг асосий инварианта цисобланнб, баъзан цара-
шу инвариант орцали таърифланади. Фикримизнннг тасдигн учуй
аги теоремами курайлик.
; Теорема. Еп нинг бирор f алмаштиришида икки нуцтаси
аги масофа сацланса, бу алмсиитириш уаракатдир.
? Исбот. Еп да ихтиёрий учта О, А, В нуцтани олайлик, у црл-
IV2 аксномага асосан
АВ = АО + ОВ
(49)
AB = OB — ОА.
Бу тенгликиинг чап ва унг томонида турган векторларни уз- узн-
га скаляр купайтирайлнк: АВ АВ = (ОВ — ОА)(ОВ— ОА)=>АВг =
= ОВ2 — 2 (ОВ • О Л) + О А2 .-=> 2 (ОЛ • ОВ) = О А* + ОВ* — АВ*. (50)
f(O) = О', f(A) = A', f(B) = B' булсин, у цолда О', А', В' нуцта-
лар учун цам IV2 ни татбиц цилиб ва (49) сингари тенглик ёзиб,
тегишлича ихчамласак,
2 (ОУТ О'В') = О'А'* + О'В'* —~А'В'*. (51)
Лекни теорема шартига кура р (О, Л) = р (О', А'), р (О, В)=р(О',В'),
р (Л, В) = р(Л', В') булгани учун (50) билан (51) нинг унг
томонларнни таццосласак, улар узаро тенгднр, демак, чап томонла-
рн цам тенг булади:
(О'А' 7)'В') = (ОЛ • ОВ). (52)
—* “♦ —♦
Еп да бирор = (О, elt ег, ... , еп) декарт реперини олайлик,
у цолда ОЛХ = ОЛ2 = е2, ... , ОАп = еп десак, реперни цуйи-
дагича ёзиш мумкин: =(О, Лх, Л2, ... , Лп). Шу реперни f буйн-
ча алмаштирсак, f(O) = О', f(AJ = Л'р .. . , f(An) = А'п булгани
учун бу нуцталар системаси цам бирор £' = (О', Лр .... Л„) ре-
перни аницлайди. Бу репер цам декарт реперидан иборатдир, чунки
1) алмаштирншга асосан р(О, Д) = р(О', Л'.), (I = 1, 2, . . . , п)
яънн бирлик вектор образи яна бирлик вектордир;
2) (52) шартга асосан узаро перпендикуляр векторлар яна пер-
пендикуляр векторга утади.
Еп дагн ихтиёрий М нуцтани олайлик, унинг декарт репери-
даги координаталари хр х2, . . . , хп булсин. М нуцтага f алмаш-
тирншда мос келган М' нуцтанинг шу репердаги координаталари
yv l/i. • • • . Уп булсин. У цолда
ОМ -ОЛХ = |ОМ| |ОЛХ| cos ф = |ОМ| • |ех| cos ф =
= |ОМ|созф= |ОМ1| = х2
(бунда ф = (ОМ, ОЛ^, OMj вектор ОМ нинг Ох уцдаги проекция-
сн) булгани учун
х^ОМОЛр (53)
шунга ухшаш
= Уи
хг = уг
(52) _(54)^....
Хп~Уп
хг = ОМ 0А2,
ха = ОМ 0А3,
х=ОМОА,
Л л
У1 = О'М'О'А,,
уг = о'М'-о;а;,
Уп = О'М'О'Ап. >
=>f царакатдан иборат.
(54)
\аракатнинг координаталардагн ифэдасини топиш учун царакат
аффин алмаштиришнинг хусуснй цолндан нборатлнгнни эслаш керак.
Демак, царакатнинг аналитик ифэдаси 34-§ дагн (27) формулалар
куринишида булиб, унинг характерннн аницловчи c{j сонлар цушим-
ча шартларни цаноатлантирнши керак, бу шартлар эса 37-§ дагн
(47), (48) дир.
«Алгебра ва сонлар назариясн» курсндан маълумкн, квадрат мат-
рицанинг элементлари (47), (48) шартларни цаноатлантирса, бундай
матрица ортогонал матрица деб аталади, унинг детерминанта ± 1
га тенг, яъни 34- § даги (27) нинг детерминанта д = ± 1.
Агар царакатнинг аналитик ифэдасида Д = + 1 булса, бундай
царакат биринчи тур царакат деб аталади, бу тур царакатда иккита
Мос репер бир хил ориентацияли булади. д=—1 цолда бундай царакат
иккинчи тур царакат дейилиб, ундагн мос реперлар цар хил
ориентацияли.
Еп нинг барча царакатлари тупламини Е билан белгилайлик
цамда VA ни олайлик; царакатда икки нуцта орасидаги ма-
софа узгармаганлиги учун кетма-кет бажарнлган икки f, g царакат
натижасида цам икки нуцта орасидаги масофа узгармайдн, демак,
gf «купайтма» царакат булиб, Е га тегишлндир. f pa икки нуцта
;орасидагн масофа узгармагани учун унга тескари [~1 да цам масо-
фа узгармайди, демак, f~l € Е. Хуллас, Еп нинг барча царакатлари
,'Туплами Е группа цосил цилади, у Еп нинг царакатлар группаси
^цеб аталади. Царакат аффин алмаштиришнинг хусуснй цоли экан-
^мгидан царакатлар группаси аффин группанинг цисм группаси
НЙлади. Демак, А нинг барча инвариантлари Е учун цам инвариант
ийлади, лекин бунинг тескариси доимо тугри булавермайди; масалан,
№ нинг инвариантларидан бири икки нуцта орасидаги масофадир, бу
fjtea А рр инвариант эмас, шу нуцтаи назардан Еп даги фигура гео-
метрик хоссалар нуцтаи назаридан *„ лаги фигурага нисбатан бой-
роцдир.
Энди Евклид геометриясига цуйидагича таъриф бериш мумкин.
Евклид геометрияси геометриянинг царакат натижасида фигура-
нинг узгармай цоладиган хоссаларини урганадиган бнр булимндир.
У рта мактаб геометрия курснда икки ва уч улчовли (Е2, Е3)
евклид фазоларн геометрияси урганилади.
п улчовли (п > 3) евклид геометрнясида цам урта мактаб гео-
метрия курсида цараладиган баъзи тушунчаларнн умумлаштирнш
мумкин. Масалан, конгруэнтлнк тушунчаси Еп да цуйидагнча кири-
тилади: F, F' фигуралардан бирини нккинчнсига утказувчн царакат
мавжуд булса, бу фигуралар конгруэнт деб аталади, ёки оддий
сферани умумлаштириб, Еп да гиперсфера киритилади: Еп нинг
марказ деб аталган С нуцтадан берилган г масофада ётган барча
нуцталарн туплами гиперсфера деб аталади ва ц. к.
Энди царакатлар группасининг баъзи цнсм группалари билан
танншайлик.
1. I турдаги барча царакатлар тупламини Ех деб белгиласак, бу
туплам группани цосил цилади, чунки 1) Ех нинг цар бир алмаш-
тирншнда репер ориентацняси (демак, фазо ориентацияси) узгарма-
ганлиги учун унга тегишли икки царакатнинг композицияси натижа-
сида цам ориентация узгармайди; 2) Ех нинг цар бир царакатига
тескари царакат цам орнентацнянн узгартирмайди, демак, Ех цам
Е нннг цисм группасидир.
2. Ех даги барча параллел кучнришлар тупламини олайлик.
(параллел кучиришнинг таърифи 35-§ да берилган булиб, у таъриф
бу ерда цам уринлндир); бу тупламнинг группани цосил цнлншнин
35- § дан биз биламнз. Аввало параллел кучиришнинг царакат экан-
лнгини исботлайлнк. М, N нуцталар М', N' нуцталарнн и вектор
буйича параллел кучирншдан (ММ' = и, NN' = и) цосил цилинган
булса, |AW| = =>р (М, IV) = р(М', N'). Демак, параллел ку-
чприш царакатдир. У цолда бундай царакатларнинг туплами цам Е
нинг цисмиднр.
3. Е нинг шундай царакатлари тупламини цараймнзки, бу цара-
катлар натижасида Е нннг бирор О нуцтасн уз-узига утсин, бун-
дай хоссага эга булган царакатларнн Еп нн О нуцта атрофида бу-
риш дейилади, бу тупламни Ео деб белгиласак, Ео нинг группа
цосил цилишннн курсатиш осондир (буни курсатншнн уцувчнга ца-
вола циламиэ); демак, Ео цам Е нннг цисм группасидир.
39- §. Еа нннг царакатлари цацнда цнсцача маълумот
1. Текнсликка нисбатан симметрия. Е3 дагн ихтиёрий
бнр П текисликни олайлик.
Таъриф. Е, даги иккн М, М' нуцта цуйидаги икки шартни
тлантнрса, бу нуцталар П
сисликка нисбатан симмет-
дейилади (193-чизма).
i, а). ММ' -L П;
ММ' П П = Мо булиб, р(/И,
;) = р(/И', Мб) булсин.
Бу таърифдан куринадики, II
Текислик берилган бу-либ, уМ££3
£уцта учун П га нисбатан сим-
*метрик нуцтани топиш учун М
•дяй П га перпендикуляр туши-
риб ва унинг П билан кесишган
Же нуцтасини топнб сунгра
чм-
<’.м0
I'M'
193- чизма
(М, Мо) тугри чизицда р(М, Мо)=
<== р (ЛГ, Мо) шартнн цапоатлаитирувчи М дан фарцли М' нуцтани
Чрпиш керак. М^П цолда М ни уз-узига симметрии деб олинади.
Бирор F фигура берилиб, унга П текисликка нисбатан симмет-
рии фигурани топиш талаб цилинган булса, бу фигуранинг барча
нуцталарнга симметрии нуцталарнн топиш кераи, лекин баъзан фи-
гураларнн аницлайдиган чекли сондагн нуцталарнинг образларини
..топиш билан чекланиш мумкин (чунки шу нуцталар F га симмет-
-рнк фигурани тула аницлайди). Масалан, учбурчакка П га нисбатан
симметрии фигурани топиш учун шу учбурчакнииг учта учига II га
.нисбатан симметрии булган учта нуцтани топиш кифоядир. П те-
>Мсликка нисбатан Еа даги симметрия Е3 нуцталарини яна шу фазо
нуцталарнга утиазганн цамда бу аксланишнннг узаро бир цийматли
^«исанлнги сабаблн уни симметрии алмаштириш (теиислника нисбатан
симметрия) деб атаймиз.
Шу алмаштиришнинг аналитик ифодасини топайлик. = (О,
► —* —* —►
£lt ея> ез) деиарт реперннн анъанани бузмаслик учун — (О, i, j,
k) деб олиб, П текисликни бирор координаталар текислигн билан
устма- уст тушсин десак, масалан, х Оу — П булга, бу цолда М (х,
у, г) ва М'(х', у', г") нуцталар 11 текисликка нисбатан симметрии
булиши учун:
х - х', у = у', z — —z'.
(55)
(55) ифода танлаб олинган декарт реперидаги симметрии алмаштн-
ришнинг аналитик нфодасндир; (II = xOz цолда (55) формула х — х',
У= —у', z — z' ва П = yOz булса, х = —х', у = у', z ~ г').'
Симметрия алмаштиришининг царзкат эканлигини курсатайлнк.
г1)« N (хг, у2, z2) нуцталарни П текисликка нисбатан
к^йметрия алмаштиришга дуч келтирилса, (55) га асосан, М' (хп у,,
SrrZi), N’(xt, у2, — z2). У цолда
р (М, N) = V(х2 — х,)2 + (у2 — ytf + (z2 — z,)2,
р (М', W') = /(х2 - х,)2 + {у2 - У1Г- + (- z2 + z,)2.
Бу ифодаларнннг унг томонлари тенг:
р(М, N) = p(M', N').
Демак, бундай алмаштиришда икки нуцта орасидаги масофа узгар-
май цолади, бу эса симметрия алмаштирншинннг царакатдан иборат
эканлигини билдиради. Равшанки, юцоридаги алмаштиришда £ = (О,
i, /, А) декарт репери = (О, i, /, — k) декарт репернга утади.
Бу реперлар цар хил ориентирлаиган булгани учун (д = — 1) ал-
маштириш иккинчи тур царакатга киради.
Фазодаги барча текислнкларга нисбатан симметрия алмаштириш-
лари туплами группани цосил цилмайди, чунки кесишувчи нкки
текисликнинг цар бнрига нисбатан шундай алмаштирншлар компоэи-
цияси бирор текисликка нисбатан симметрии алмаштириш булмайди,
лекин бир текнслнкка параллел барча текислнкларга нисбатан сим-
метрия алмаштиришлари туплами группа цосил цилади (нсботланг);
цатто битта текисликка нисбатан шундай алмаштирншлар цам группа
цосил циладн; цацицатан цам, fn бирор П текисликка нисбатан сим-
метрия алмаштириши булиб, айнан алмаштиришни f0 деб белгиласак,
Ф = {/п, f0} туплам группа цосил цилади. Чунки бу цолда fn = f~'
булиб (П га нисбатан алмаштирншга тескари алмаштириш цам шу
П га нисбатан алмаштирншдир), /р'еФ ва /п'/о=/о /п =/п^Ф-
2. Тугри чнзиц атрофида бурнш. Е3 да бирор и тугри
чизиц ва тайин а бурчак берилган булсин
Таъриф. Е3 дагн М, М' нуцталардан утиб, и тугри чизицца
перпендикуляр булган П текисликда (П П и = Мо) Z. MMqM' = а ва
р(М, М0) = р(М', Мо) булса, М' нуцта М нуцтани и тугри чи-
зиц атрофида а бурчакка буришдан цосил цилинган дейилади
(194- чизма).
и тугри чизнцдагн нуцталар уз-узнга мос цисобланади. Бу таъ-
рифдан берилган нуцтани берилган тугри чизиц атрофида а бурчак-
ка буришдан цосил цилинган нуцтани топиш цоидасн келнб чицади.
М берилган нуцта булса, М' ни топиш учун М дан утувчи ва
и тугрн чизицца перпендикуляр
булган II текисликни утказиб,
унннг и билан кесишган Мв нуц-
тасн топилади, сунгра шу те-
кисликда Мо атрофида М ни а
бурчакка буриш керак (1 булим,
35-§ га асосан). F фигурани и
тугри чнзиц атрофида а бурчак-
ка буришдан цосил булган фи-
гурани топиш учун унинг барча
нуцталариьн и тугри чнзиц атро-
фида а бурчакка буриш керак;
хусусий цолда F фигура тугри
чизицдан иборат булса, уни и
тугри чизиц атрофида буриш
учун унннг иккита нуцтасннннг
образини топиш кифоядир, уч-
бурчакни и тугри чизиц атрофи-
да буриш учун унинг учта учи-
нинг образини топиш етарлидир
ва ц. к.
Тугри чизиц атрофида буриш
Е3 ни уз-узига бир цийматли
акслантирганн учун у Е3 ни ал-
маштирншдир, а = л цолга мос
буриш и тугри. чизицца нисба-
тан симметрия деб аталади.
Агар и тугри чизиц сифатнда Oz
195- чизма
ни цабул цилсак (195-чизма) ва <$ = (О, i, /, k) репернн Oz атро-
фида а бурчакка бурсак, <&' = (О, Г, А') репер цосил булиб, улар
орасидаги богланишни цуйидагича ёзиш мумкин:
х' = х cos а — у sin а,
у' = х sin а + у cos а, (56)
z' = z.
Олдингн икки богланиш бизга маълум.
(56) формулалар ёрдамида тугрн чизиц атрофида буришнинг ца-
ракат эканлнгинн курсатайлнк. Агар /И (х„ у2, zj, N (х2, у2, z2)
нуцталар берилган булиб, бу нуцталарнн и тугри чнзиц атрофида
а бурчакка бурищдан цосил цилинган нуцталар (56) га асосан
М' (%! cos а — Уъ sin а, х1 sin а + уг cos а, zt),
< N' (x2cosa—t/2sina, х2 sin а + у2 cos a, z2)
^лади, у цолда:
... Р(м- /V) = Z(х2 — xj2 + (t/2 — yj1 + (z2 — Zi)2 .
N') = {(х2 cos a — y2 sin a — xx cos a + yx sin a)2 + (x2 sin a 4-
4- Ut cos a — Xi sin a — t/x cos a)2 + (z2 — zt)2)1/2 = {[ (x2 — xj cos a —
— (Уг — У1) sin “J2 + IU2 — *i) sin « + (t/г — У1) cos a]2 + (z2 —
— Zi)2)l/2 = {(x2 — Xj)2 cos2 a — 2 (x2 — xx) (t/2 — у J sin a cos a 4-
Нг (уа — t/!)2sin2a 4- (x2 — x^sin’a 4- 2(x2 — xj (y2 — </,) sin a cos a+
+ (t/2 — t/t)2 cos2 a 4- (z2 — z,)2}1/2
= /(*2 ~ *i)2 + (У2 — У,)2 4- (z2 — zt)2 -
р (М, N) = р (М', /V'). Юцоридагн <£, еВ' реперлар бир хил
ли булгани учун тугри чизиц атрофида буриш 1- тур ца-
деган хулоса чицарэмиз.
тта тугри чизиц атрофндаги барча буришлар
цилади (буни мустацил нсбогланг).
З/Нуцтага нисбатан симметрия. Е3
берилган булсин.
туплами группа
да
тайин S нуц-
кДлъриф. Е3 даги М, М' нуцталар учун S
₽₽•* чизицца тегишли булиб, р (S, М) = р (S,
нуцталар S нуцтага нисбатан симметрия
нуцта ММ'
М') булса,
деанлади. Бу
196- чизма
акслантирганн учун нуцтага
таърифдан куринадики, нкки нуц-
танинг S га нисбатан симмет-
рии булиши учун S нуцта учла-
рн шу нуцтадаги кесманинг ур-
таси булиши керак, бундан нуц-
та берилган булса, унга симмет-
рии нуцтани ясаш усули келиб
чицади:
S нуцта уз- узига симметрии
деб цнсобланнб, уни симмет-
рия маркази цилиб олинади
(196- чизма).
Бу акслантириш цам Е3 нуц-
таларини уз- узига бнр цийматли
нисбатан симметрия алмаштиришдан
иборатлигн келиб чицади. <S = (О, I, j , k) реперни шундай танлаб
олайликки, S = 0 булса, М (х, у, г) нуцта учун О га нисбатан сим-
метрии нуцта М' (—х, —у, —z) булади, чунки ММ' кесма урта
нуцтасииннг координаталари:
*4 (—х) _ 0 у + (— у)
2 ’ 2
Демак, юцоридаги реперда О нуцтага
аналитик ифодасн цуйидагнча булади:
= 0.
нисбатан симметриянинг
х' = — X, у' = — у, г' = — г. (57)
Лекин М нуцтадан М' нуцтага утишни цуйидагича цам бажариш
мумкин: М"-»-М', бунда М” нуцта М' нинг хОу текисликка
нисбатан симметрияси булиб, М” ни Ог атрофида а = л бурчакка
буриш билан М' цосил цилинади.
Демак, марказнй симметрия текисликка нисбатан симметрия бн-
лан тугри чизиц атрофида а = л бурчакка буришнинг композицияси-
дан иборат экан, бундан эса нуцтага нисбатан симметрия иккинчи
тур царакат эканлиги келиб чицади.
Е3 дагн царакатлардан бири параллел кучирищдан иборат цолга
тухталмаймиз, чунки текисликда курилган параллел кучиришнинг
таърнфи ва хоссалари Е3 да цам тула сацланади.
Параллел кучириш, текисликка нисбатан симметрия, тугри чизиц
атрофида буришларнн асоснй царакатлар деб атайлнк. Буларнинг цар
хил компознцияларидан Е3 нинг турли царакатларини цосил цилиш
мумкин.
Масалан,
1. Тугри чизиц атрофида буриш билан шу тугри чизицца парал-
лел вектор цадар параллел кучиришнинг компознцияси цам царакат
булиб, у винт буйича царакат ррб аталади; равшанки, у биринчи
тур царакат булади.
2. П текисликка нисбатан симметрия билан П га перпендикуляр
тугри чизиц атрофида а = л бурчакка буришнинг компознцияси бу-
рши симметрияси деб аталган царакатдан иборат булади, равшан-
ки, бу иккинчи тур царакатдир.
3. П текисликка нисбатан симметрия билан а вектор (а II П)
цадар параллел кучиришнинг композицияси сирпанувчи сим-
метрия деб аталадиган царакатдир, бу цам иккинчи тур царакат бу-
лади.
40- §. Ухшашлик алмаштириш. Ухшашликлар группаси
f алмаштириш Еп нинг алмаштиришларидан бири булсин.
Таъриф. Агар у А, В£Еп учун цамда k>0 сон учуй p(f(A),
f(B)) = kp(A, В) шарт бажарилса, / алмаштириш Еп нинг t/x-
шашлик алмаштириши деб аталади.
ft > 1 да икки нуцта орасидаги масофа ухшаш алмаштиришда ор-
тади, ft < 1 да камаяди, ft = I да f царакатдан иборат. F, F' фигу-
радан бири иккинчисидан ухшашлик алмаштириши натижасида цосил
цилинса, улар ухшаш фигуралар дейилади.
Ухшашлик алмаштиришининг яна бир хусусий цоли гомотетиядир
(35- §).
Гомотетияда бир-бирига гомотетии нуцталар билан гомотетия
маркази S бир тугри чизицда ётади. ft коэффициентли S марказли
гомотетияни Я* билан белгиласак, бир- бирига гомотетии А, А' нуц-
таларни Я* (Л) = А' курииишда ёзиш мумиин:
у М, N(-En цамда Н*(М) = М', H*(N) = N' десаи, =>
=► SM' = kSM, SN' = kSN, булардан:
MW = ATS + SN' = SN' — SM' = k(SN— SM) = k-MN. (58/.
MN тугри чизицдаги бирор P нуцтани олсак, Я* (Р) = Р' нуцта-
учун (58) га асосан
ЛГР' = kMP, (59)
лекин MP || MN=> MP = KMN ёки X = (MN; Р), демак,
,М'Р' = XM'N' ёки X = (М' N', Р'). Бу мулоцазалар уч нуцта од-
Дйй нисбатининг гомотетияда сацланишини курсатади. (MN, Р) =
*=(M'N', Р') дан эса гомотетияда кесма образи кесма, нур образи
?УР7 тугри чизиц- образи тугри чизиц, ярим текислик образи ярим
текислик деган хулоса келиб чицади.
.Йуналтирувчи вектори MN дан иборат и тугри чизицнинг обра-
ДГучун Я*(и) = и': (58) га асосан M'N' || MN=> гомотетияда
Й*РН чизицнинг образи узига параллел тугри чизицдир.
Бундан ташцари, гомотетияда т улчовли текисликнинг образи
яна т улчовли текислик, бурчак образи шу бурчакка конгруэнт бур-
чак эканини исботлаш мумкин (буни мустацил машц сифатида ис-
бот ланг).
Декарт репери учун гомотетия маркази координаталар бошидан
иборат булса (S = 0), мос A(xt, х2, , хп), А' (х’, х2, . . . ,
хнуцталар координаталарини бог ловчи муносабат цуйидагича бу-
лади:
х\ = kxx; *2 = kx2, ... , = kxn.
1-теорема, k коэффициентли гомотетия |£| коэффициентли
ухшашлик алмаштиришдир.
Исбот. Декарт реперида олинган A(xt, х.,, ... , хп), В(ух,
у2, . . . , уп) нуцталарга гомотетияда мос келган нудталар A' (kxlt
kx2, ... , kxn). В' (kyit ky2, , kyj дан иборат. У цолда
р (Л, В) = У Uh — xJ2 + (у2 — х2)2 4- ... 4- (уп — хп)2 ,
р (А', В') = ]/ {kyY — kxj2 4- (ky2 — kx2)2 + . . . +(kyn — kxn)2 =
= |Л|р(Л, В),
демак, р(Л'.В') = |Л|р(Л, В).
2- теорема. \ар цандай ухшашлик алмаштириш гомоте-
тия билан \аракатнинг композициясидан иборатдир.
Исбот. Айтайлик, f алмаштириш Еп нинг k коэффициентли ух-
шашлик алмаштириши булсин (Л>0). Еп да ихтиёрий S марказли ва
k коэффициентли Я* гомотетияни царайлик. у Л, В, £ Еп учун р (/ (Л),
f (В)) =Р(Л', В') = /гр(А, В). Hks гомотетияда Я*(Л) = А", Н*(В)=
= В"*-А"В" = k АВ, булардан |Л"В"| = Л|ЛВ|=> р(Л", В") =
= kp(A, В)=>р(Л", В") = р(Л', В')* демак, А''В" = А'В', у цол-
да шундай d царакат мавжудки, у А"В” ни А’В' га утказади;
f = А
Бу теоремадан муцим натижаларни чицариш мумкин.
1- натижа. Коэффициент нолдан фарцли гомотетия билан
царакат композицияси ухшашлик алмаштиришдир.
2- натижа. Ухшаш икки фигура учун шундай учинчи фигура
мавжудки, у биринчи фигурага гомотетии булиб, иккинчисига кон-
груэнтдир.
3- натижа. Ухшаш алмаштиришда уч нуцтанинг оддий нис-
бати сацланади, демак, ухшаш алмаштириш аффин алмаштиришнинг
хусусий цолидир.
4- натижа. Ухшашлик алмаштиришда бурчак кагталиги сац-
ланади (чунки гомотетия билан царакатда бурчак катталиги сацла-
иади).
5- иатижа. Ухшашлик алмаштиришда текисликнинг улчови
Сацланади.
Энди ухшашлик алмаштиришнинг координаталардаги ифодасини
курайлик. Еп даги декарт реперида f ухшашлик алмаштиришни тек-
ширайлик, у цолда юцоридаги мулоцазаларга асосан f — d-H^. Бу
реперга нисбатан А (х„ х2, ... , х„), f (Л) = А' (х,, х2,. .., xj бул-
сИн. Гомотетия маркази координаталар боши деб цабул цилинса,
Я* (Л) = Л"(<. <......О.
бундан -х{' = kx2, х” = kx2, .. . , х" = kxn.
d царакат Л" ни А' га утказгани учун бу нуцталар координа-
таларини богловчи муносабатлар:
X, = СцХ" + с12х" + ... Ч- с1пх " + c1(j,
Х2 = ^2iX| ~Г С22Х2 Ч- • • • Ч" ^2пХ п "I” ^20»
.........„• ................ (60)
ХП~" CnlXl 'I” Сп2Х2 Ч" • • • ~1~СплХп + Сп0
булиб, cit лар (47) ва (48) шартларни цаноатлантириши керак. На-
тажада:
Х| = Й (СцХ1 4- С12Х2 Ч- • • • + С|П Х„) Ч- С10,
х2 = к. (с21 X! Ч- С22*2 Ч- • Ч- С-гл хп) Ч- С20>
.......................................... (61)
Хп = k (Cnl х1 Ч- Сп2 х2 Ч- • • • Ч- Спп хп) Ч- Сп0‘
Булар изланган формулалардир.
3-теорема. Еп нинг барча ухшаш. алмаштиришларининг Ф
туплами группой и цосил цилади.
Исбот. Vfi. Л₽б олсак, улар мос равишда kit k2 ко-
зффициентли ухшашлик алмаштирншлар булсин, -у- Л, В£Еп учун
fi да р(Л', B') = k1p(A, В); /2 да р(Л", B”) = k2p(A', В'), fja
да эса р(Л", B") = k2p(A', В') = к2[кгр(А, В)] = М1Р(Л, В),
бундан f2 алмаштириш коэффициеитли ухшашлик алмашти-
ришдир; ухшашлик алмаштириш k2 коэффициеитли булса, — ко-
эффициентли ухшашлик алмаштириш f~t' булади, чунки да р(Л',
Я')=61Р(Л, В) булиб, ла р(Л, B) = k2. р(Л, В) =
4=р(Л,В), бу эса fi-fj алмаштиришнинг айнан алмаштириш эканли-
гнйн бнлдиради. Ф туплам Еп нинг ухшашлик группаси деб ата-
ДДИ.
J(ap бир ухшашлик алмаштириш бирор аффин алмаштиришнинг
Хусусий цоли булгани учун цуйидаги натижага келамиз.
Ухшашлик группаси аффин группанинг цисм группасцдир. Де-
.Цда, аффин группанинг барча инвариантлари Ф учун цам ин-
Ет ролини бажаради, лекин бунга цушимча равишда Ф нинг
хос инвариантлари цам мавжуддир, масалан, Ф даги цар бир
гнришда бурчак узига конгруэнт бурчакка утади.
V Б О Б. КВАДРАТИК ФОРМАЛАР ВА КВАДРИКАЛАР
41 - §. Чизицли формалар
V вектор фазо, R цациций сонлар туплами берилган булиб,
ср: V-»- R акслантириш аницланган. яъни V нинг цар бир х вектори
учун R дан тайин битта сон мос келтирилган булсин. У цолда V да
вектор аргументли скаляр функция берилган дейилади. Уни ф =
= ф (х) деб белгилаймиз. Масалан, ф (х) — |х|, бу ерда V нинг Цар
бир векторига унинг модулини мос келтирилиб, вектор аргументли
скаляр функция цосил цилинган, бу функцияиинг аницланиш соцаси
векторли евклид фазоси булиб, цийматлар соцаси номанфий цациций
сонлар тупламидан иборат.
Таъриф. Агар вектор аргументли ф(х) скаляр функция цуйи-
даги икки шартни цаноатлантирса, у чизицли функция дейилади.
1. Ух, y£V учун ф(х -J-f/) = cpU) -ЬФ^
2. ухСУ ва учун ф(Хх) = Хф(х).
1- мисол. Векторнинг уцдаги проекциясини олсак,
np,(x + i/) = npzx + np,y,
—► —>-
пр t (Хх) =[Х пр zx.
Векторнинг уцдаги проекцияси чизицли функциядир.
—► —>
2- мисол. V да а эркин вектор, х, у эса узгарувчи вектор-
лар булса. ах, а у скаляр купайтмалар чизицли функция булади,
чунки скаляр купайтманинг хоссасига асосан:
—*- —*- —*- ►
а -(х + у) =а х + а у,
а (X х) = X (ах).
Уп да Ф(х) ЧИЗИКЛИ функция берилган деб фараз цилайлик. Шу
фазодаги тайин Ь = (elt е2, ... , еп ) базисда цар бир вектор аниц
координаталарга эга, яъни
х(хР х2.......хп) = х1е1 + х2>2 + ... +хпеп.
У цолда ф(х) чизицли булгани учун
ф(х> = ф^бц + х2^ + . .. + хп еп) = ф(х1е1) + ф(х2е2) +
+ ••• + Ф(х„«3 =Xi ф(«5+х2ф(е2)-Ь ... +х„ф(е„). (1)
elt е2, .. . , еп лар Уп нинг векторлари булгаии учун ф lej, ф(е2),
. . . , ф(еп; цациций сонлардаи иборат, уларни мос равишда alt
а2, ... , ап деб белгилайлик. У цолда (1) тенглик цуйидаги кури-
нишда ёзилади:
ф(х) = а1х1 +а2х2+ ... +апхп, (2)
—> —►
демак, ф(х) функция х нинг бирор базисга нисбатан координатала-
ри орцали (2) куринишда биринчи даражали бир жинсли купцад шак-
лида ифода ланади.
Таъриф. Биринчи даражали бир жинсли купцад чизицли фор*
ма деб аталади (баъзан биринчи даражали форма деб цам юрити-
лади).
(2) ифода чизицли формадир.
Чизицли форманинг .муцим геометрик хоссалари бор.
1°. ф(х) = const =>а1х1 +а2х2 + ... +апхп = с (3)
булсин. п номаълумли чизицли тенглама п улчовли Евклид фазоси-
да гипертекисликни ифодалайди.
2°. ф (х) = с даги с га турли цийматлар бера бориб, параллел
гипертекисликлар цосил циламиз.
Бичизицли форма, ф: VxV-*-R акслантиришберилган бул-
син (бунда V х V ифода V фазонинг уз- узига декарт купайтмаси),
яъни V нинг ихтиёрий икки х, у векторига табиий битта цациций
сон мос келтирилган булсин, бу вацтда V да икки вектор аргумент-
ли скаляр функция аницланади. Уни ф = ф (х, у) деб белгилаймиз.
—ъ* —► —t*
1-мисол. ф(х, у) = х- у, Vn даги ихтиёрий икки векторга
уларнинг скаляр купайтмасидан цосил цилинган сонни мос келтир-
сак, икки вектор аргументли скаляр функция цосил цилинади.
2-мисол. У3 да а эркин вектор берилган булсин, У3 нинг
ихтиёрий х, у векторлари орцали аницланадиган [х, у] вектор
билан а нинг скаляр купайтмаси (аралаш купайтма) икки вектор ар-
—► —► “-* —►—*•
гументли скаляр функция ф (х, у) = (а, х у) булади.
Таъриф. Икки вектор аргументли ф(х,у) скаляр функция цар
бир аргументига нисбатан чизицли булса, у бичизицли функция деб
—►—>—>-
аталади, яъни у-х.у, zQVn ва учун цуйидаги шартлар ба-
жарилади:
1- Ф (* + 7 ? = Ф (7 zj + ф(!/.г).
2. ф(Хх, у) = Хф(х,у),
3- Ф(*. 7 + И=Ф(77+ ф(7д (4)
4. ф(л, Ху) = Хф (х,у).
1-мисол. Vn даги икки векторнинг скаляр купайтмаси бичи-
зицли функцияга мисол була олади, чунки икки векторнинг скаляр
купайтмаси юцоридаги шартларга буйсунади.
—► —► Т> —►
2-мисол. ф(х), ф(у) чизицли формалар булса, <р(х) ф(у) =
—» ►
= f (х,у) ифода бичизицли функция булади, цацицатаи цам,
1. f (х + ~г,у) = <р (7+ ? • ф (у) = ф(х)ф (у) + Ф(?)ф (у) =
= f (х’У) + f(7yT
2. f(Xxf у) = Ф (ь7Х(у) = Хф(х) ф(у) = Xf(x, у),
бу ерда (4) даги 3- ва 4- шартларнинг бажарилишини цам курса-
тиш мумкин.
Энди икки вектор аргументли скаляр функциянинг координата-
лардаги ифодасини топайлик. Vn даги Б = (elt е2, .... еп) базис-
да_x£Vn, y£Vn векторлар мос равишда х„ |х2, .... хп, уъ у2,
.. . , уп координаталарга эга дейлик цамда (4) шартларни эътибор-
га олсак:
<Ь(х,у) = ФкЛл + х2е2 + ... + хпеп, у, et + у2е2 +.. . + упе~п) =
= *1У1 Ф (₽i. е2) + х,у2 ф (elt е2) + ... + хгуп ф fo, ej +
+*2У1 Ф (e2-ei) + х2у2ф(е2,е2) + ... + х„ у „Ф(е„, еп);
et, е2, . .. , еп лар Vn нинг векторлари булгани учун ф (elt е2),
Ф (еи ез)- • • • • Ф (en« ei) тайин сонлардан иборат, уларни а(7 =
—>- —*•
= Ф (ei« f,). (Л / = 1. 2, ... , ri) деб белгилайлик, натижада
Ф (А У) = a, + at2xty2 + ... + апп хп уп; ёки цисцачароц
ф(х. У) = < . a‘i Х‘У Г
i.
(5) нинг унг томонидаги иккинчи даражали (х., у. — узгарувчи-
лар) купцад бичизицли формадир, ait эса шу форманинг берилган
базисдаги коэффициентларидир; шу коэффициентлардан цуйидаги
квадрат матрицани тузамиз:
/а11а12 • • • а|л \
Л1 = I аг1°м • • • °2п I (6)
\а л! ал2 • • • an„ J .
Бу матрица бичизицли форманинг матрицаси деб аталади. Де-
мак, Vn да цар бир бичизицли формата тайин базисда п- тартибли
аниц квадрат матрица тугри келади, Хусусий цолда Vn даги орто-
нормаланган базисда ф (х, у) = х^ 4- х^у2 + ... + хпуп булиб,
унинг матрицаси:
/1 0 ... 0\
/И = | 0 1 ... I
\0 0 ... 1/
Таъриф. Агар у х, у£ Уп векторлар учун ф (х, у) = ф (у, х)
шарт уринли булса, ф ни симметрии бичизицли форма деб атала.
ди, ф (х, у) = — фЦ/,х) цолда эса антисимметрии бичизицли
ферма дейилади. Симметрии бичизицли форма учун atj = ajt
(чунки ф (е е^ — ф’(е . еД антисимметрии бичизицли форма учун
a(j = —afi; i — j цолда aa =—аа ёии az/= 0). Демаи, симмет-
рии бичизицли форманинг матрицаси цам симметрикдир, антисимметрии
бичизицли форма матрицасининг бош диагоналидаги элементлари нол-
га тенг; (6) матрицанинг ранги (5) бичизицли форманинг ранги деб
юритилади.
42- §. Квадратик формалар
Симметрии бичизицли ф (х, у) форма берилган булсин.
—► —*• —> (
Таъриф. Симметрии бичизицли ф(х, у) формадан х= yxfin-
да цосил цилинган ф (х, х) форма квадратик форма деб аталади.
ф(х,х) ни бичизицли форманинг квадратик формаси деб юритилади;
$>(*, У) бу цолда ф (х,х) учун цутбий форма дейилади.
Мисол. Иииита xlt х2 узгарувчили квадратик форманинг уму-
104 куриниши
£ Ф (х.х) = ацОД + 2a, ^х, + а22х3 х2,
£чта xlt х2, х3 узгарувчили квадратик форманинг умумий куриниши
*Н ф(х, х) = auXjXj + 2a12X!X2 + 20^X3 + 2a23x2x3 + a22x2x2 +
^/.Теорема. Бичизицли цутбий форма узцнинг квадратик фор-
IWu билан тулиц аницланади.
Исбот. ф(х, х) = F(x) деб белгилаб, F(x + у) ифодани тек-
—*- —► —►
бунда цам у € V, белгилашимизга асосан, F (х + у) =
^1Х + У, х + у); бичизицли форманинг хоссалари ва симметрик-
цисобга олсак,
<р(х 4- у, X + у) = ф(х, х) + ф(х, у) + ф((/,х) -I- ф (Х7) = Л*) +
+ 2ф(х, y) + F(y),
бундан ф(х,$/) = у [F (* + !/) — F(x) — F(y)]; бу изланган ифода-
дир. ▲
Энди квадратик форманинг коордииаталардагн ифодасини курай-
лик.
—*• —>-
(5) ни симметрии бичизицли форма деб олсак цамда х = у шарт-
ни эътиборга олсак,
ф(х, х) = апх2 + 2а12Х!Х2 + . . - + 2а1п х| хп + аи х| + 2а,3х2х3 +
+ ... + 2^ х2 х„ + ... + апп х?п. (7)
(7) квадратик форманинг матрицаси деб, унинг цутбий формасининг
(6) матрицасига айтилади, (6) матрицанинг ранги (7) квадратик фор-
манинг ранги деб аталади. Агар бирор базисда (бундай базиснинг
мавжудлигини кейинроц курсатамиз) барча а . = 0 (< Ф j) булса»
(7) квадратик форма цуйидаги куринишни олади:
Ф (х,~х) = оп х* + а22х| 4- ... -j- х%. (8)
(8) каноник куринишдаги квадратик ферма деб аталади. У цолда
каноник куринишдаги квадратик форманинг матрицаси ушбу
(ап 0 ... Ох
0 а22 ... 0 |
о 0 ...aj
куринишни олади.
Биз биринчи булимда иккинчи тартибли чизицнинг умумий тенг-
ламасини соддалаштиришда
Ах2 + 2Вху+Су2 (*)
учцадни координаталар системасини буриш билан А'х'2 + В'у'2 ку-
ринишга келтирган эдик, шунинг билан (*) куринишдаги квадратах
формани каноник куринишга келтирган эканмиз. Квадратик формани
каноник куринишга келтириш муцим наэарий ва амалий ацамиятга
молик масалалардан биридир.
Бу масалани цал цилишда бир неча усуллар мавжуд булиб, биз
улардан бирини цуйида куриб утамиз.
1-теорема. Агар (7) квадратик формада бирорта цам уз-
гарувчининг квадраты цатнашмаса, уни чизицли алмаштиришлар
ёрдамида камида битта узгарувчининг квадрати цатнашган квад-
ратик формага келтириш мумкин.
Исбот. Теорема шартига асосан (7) да ап = а22 = . . . = апп =
= 0, у цолда (7) квадратик форма цуйидаги куринишни олади:
ф (х.х) = 2auxtxa + 20,^3 + ... + 2а„ _ , „ хп_, хп, (9)
бу ерда alf (1Ф j) лардан камида биттаси нолдан фарцли, умумият-
ликни бузмаслик учун а12=/=0 булсин дейлик. У цолда цуйидаги
чизицли алмаштиришни бажарамиз:
xi = У1 + Уг,
х2 = У1~Ун (10)
х3 = №•
х„ = У„-
п •'П
Бу чизицли алмаштириш айнимагандир, чунки унинг детерминанти
11 1° 1 — 1 0 0 0 1 ... 0
. . . 0 . . . 0 =#0.
(10), (9) дан 0 6 0 . . . i
<р (x,xj = 2а12 у\ — 2ai2yl + 2al9yly9 + 2a23y2t/3 +
-\ ^п_х п.уп_ху п.
Бу квадратик форманинг биринчи икки цади изланган куринишдаднр.
Бу цадлар йуцолиб кетмайди, чунки цолган цадларда бунга ухшаш
цадлар йуц (цолган цадлар бир- биридан камида битта у t билан фарц
цилади). ▲
j. Мисол. ф = 2х.х3—х2х3 ни узгарувчиларнинг квадратлари цат-
нашган цолга келтиринг.
Ечиш. Цуйидаги алмаштиришни бажарамиз:
= № “Ь Уз>
хг = Ун
хз — У\ Уз<
бу чизицли алмаштиришнинг детерминанти айнимаган, чунки
0 1
1 о
0 —1
1
0
1
= — 1 — 1 = —2^=0.
У ¥>лда
^ф' = 2 (у2 + уэ) (У1 — у3) — у2 (yt — у3) == 2^ — — угух 4- у^3.
/г 2.- теорем а. Агар (7) квадратик формада бирор узгарув-
‘^1шинг квадрати ва ундан бошца шу узгарувчи иштирок этган
Цадлар мавжуд булса, чизицли алмаштириш с{ёал ида улар-
нинг барчасини битта узгарувчининг квад рати цатнашган квад-
ратик формага келтириш мумкин.
Исбот. (7) да аи=#0 булсин цамда цолган цадларда х,
иштирок этсин (агар бошца цадларда xt нштирок этмаса, у
цолда (7) шу узгарувчига нисбатан каноник куринишига келти-
рилган булади, <бу цолда теореманинг исботи равшан булиб,
бошца узгарувчилар учун исботлаш керак). Энди (7) ни цуйи-
даги куринишда ёзиб оламиз:
<р(х,х) = апх2 + а12Х!Хг + ... + 2а)пх1хп+ф(х2, х3..х„), (11)
бунда ф(х2, хэ, ... , хп) ифода х2 цатнашмаган квадратик форма-
дир. КуйКДаги чизицли алмаштиришни бажарамиз:
У1 = аих1+а12хг+ ... + а1П хп
Ул = х2, 02)
У п = Хп,
бу чизицли алмаштиришнинг детерминанти ап га тенг булиб, шарт-
га асосан у нолдан фарцлидир.
У цолда (12) => — yl = — (апХ! + а12х2 + ... + а1я х„)2 =
аи °и
= ап*? + а^лх, + ... + 2aln х2хп + f(x2, х3, , хп). (13)
Бунда f(x2, х3, ... , хп) ифода х2 ни уз ичига олмаган квадра-
—*—* ]
тик формадир. (11) дан (13) ни цадлаб айирсак, ф(х,х)---------у2 =
°и
= ф (х2, х3, ... , xj — f (х2, х3, . . . , хп); бу тенгликнинг унг
томонвдаги ифода цам квадратик фэрмадир, уни а (у2. у3, ... . у
деб белгилаймиз:
ф(£х) = — y2t +а(у2. у3. ... , уп). а (14)
°и
Мисол. <р = х^ + Зх2 — 4х2х2 — 4xjX3 квадратик формага иккин-
чи теоремани татбиц цилайлик (alt = 1 =/= 0, бу ерда х2 узгарувчи
учинчи. ва туртинчи цадда иштирок этмоцда).
Xj цатнашган цадларни гуруцлаймиз:
Ф = х, — 4x^2 — 4хгх3 + Зх‘.
Куйидаги алмаштиришни бажарамиз:
Уз = ха;
Уз = х2.
Ух ~ *i 2хе 2х3,
тегишли детерминант:
1
О
О
— 2
1
О
1¥=О,
У2 *1 = *1 + 4Х2 + 4х3 ~ 4Х1Х2 ~ 4х1*3 + 8хгХ3,
Ф — У2 = — xj — 44 — 8х2х3 = — у22 — 4у* — Ьу^ь
ёки
Ф = !/? — У\— 4у23~ вУгУя-
3-теорема. Чизицли алмаштириш ёрдамида цар цандай
квадратик формани каноник куринишга келтириш мумкин.
Исбот. Бу теорем а ии исботлаш учун математик индукция
методидан фойдаланамиз. п = 1 да (14) ифода <р(х, х) = — у2, ку-
°и
ринишда булиб, бу бир узгарувчили квадратик форманинг каноник
куринишидир. Энди (п — 1) та узгарувчи учун квадратик форма ка-
ноник куринишга келтирилган деб, уни п та узгарувчи учун кано-
ник куринишга келтириш мумкинлигиии исботлаймиз. (14) даги а
(л/я, ya, ... , у,) да (п — 1) та узгарувчи булгани учун шундай
z2 = b22y2 + b23y3 + ... + b2n yn,
гз = ЬззУг "Ь ^ззКз "Ь • • • "Ь^зп Уп' (1$)
гп = ЬпзУп + ЬпзУз+ - +bmyn
айнимаган чизицли алмаштириш мавжудки, у а({/2< Уз> • • • • У J ни
Цуйидагича ёзиш имконини беради:
а (у2, у3.....yj = c23z| + C33z2 + ... + спп z2. (16)
Ц5) ии цуйидагича тулдирамиз:
г1 = У1>
= ЬмУя + ЬязУз + ••• +Ь2пУп, (17)
2П = Ьп2 У2 + Уз + ... +Ьапуп.
*11 х2, . . . , хп узгарувчиларни аввал (12) буйича yv у2.
у п га, буларни эса уз йулнда (17) буйича гр г2, ... , гп га ал-
маштирсак, (7) цуйидаги куринишни олади:
*) = -7- «I + ctiz2 + с33г2 + ... + ст г2;
°u
бу изланган формадир. ▲
Квадратик формани каноиик курииишга келтириш мумкин-
лигини юцорида келтирилган 3 та теорема тасдицлайди. Бу
теоремани исботлаш усули француз математиги Лагранж то-
монидан таклиф цилингани учун уни квадратик формани Лаг-
ранж усули билан каиоиик курииишга келтириш дейилади.
Демак, Лагранж усулининг моцияти цуйидагича: агар п та
узгарувчили квадратик формада бирорта цам узгарувчининг
квадрати цатнашмаса, биринчи теоремага асосан тайин чи-
зицли алмаштиришни танлаб олиб, камида битта узгарувчининг
квадрати цатнашган форматга келтирилади, супгра иккинчи
теоремани татбиц цилиб, (14) курииишга келтирилади, бунда
цосил цилинган (п— 1) та узгарувчили а(уг, у3, .... yj квадра-
тик форма учун шу иш яна такрорланади ва ц. к.
Баъзи цолларда квадратик формаии каноник кУринишга
келтиришда «тУлиц квадратларга келтириш усули» деган усул-
дан цам фойдаланилади.
Масалаи, <р = х2 + 2х{х2 + 2х% + 4х2х3 -Ь 8х| ни каноник кУри-
нишга келтириш талаб цилинган булсиг. Берилган квадратик форма-
ни цуйидагича ёзиб олайлик:
ф = х2 + 2хгх2 + х2 +х2 + 2-2х3хг + (2х3)г + 4х2
= (х1+х2)2 + (х2 + 2х3)2 + 4х3.
Цуйидагича чизицли алмаштиришни оламиз:
Уз —
Уз = х2 + 2х3,
= *1 + Х3’
бунинг детерминанти
1
О
О
О
1
1
О
2 = 1 =/= О,
у цолда ф = у2 + у2 + 4г/2.
Э с л а т м а. Битта квадратик формани Лаграиж усули ва
тУлиц квадратлар усули билан каноник курииишга келтирга-
иимизда жавоблар цар хил булиши мумкин, бунга таажжубла-
ниш керак эмас, чунки улар турли базисларда ифодаланиши
мумкин.
43* §. Нормал куринишдагн квадратик форма. Инерция цоиуии.
Мусбат аницланган квадратик форма
Фараз цилайлик, <р (х, х) квадратик форма каноник куринишга
келтирилган булсин, яъни
<р(х, х) = апх2+а22х2 + . . . 4-amx’. (18)
Квадратик формани каноник куринишга келтирганимизда унинг мат-
рицаси цам узгаради, лекин бундай узгаришда «Алгебра ва сонлар
назарияси» курсидан маълумки, матрицанинг ранги узгармайди, яъни
rangM = rang/Ир
бунда М берилган квадратик форма матрицаси, Мх эса шу квадра-
тик форманинг каноник цолга келтирилгандаги матрицаси (бу, ал-
батта диагонал куринишдагн матрица).
Агар М нинг ранги г булса (г п), Мх нинг цам ранги г бу-
либ, Afj нинг диагоналида нолдан фарцли г та элемент булади.
Узгарувчилар уринларини (агар шу талаб цилинса) алмаштириш би-
лан Мх ни цуйидаги куринишда ёзиш мумкин:
i ап 0 ... О ... 0\
/О а22 . . . О . . . О \
М = 0 6 .’.' а„ ; ’ О
\ 0 6 ' ... О
Энди Ф(х, х) цуйидаги каноник куринишни олади:
Ф(х, х) = апх2 + а22х2 4- . . • 4- а„х2. (19)
Бу квадратик формадаги аи коэффициентлар мусбат ва манфий
$ациций сонлардан иборат булиши мумкин. Фараз цилайлик, шу
жоэффициентлардан k таси мусбат, цолганлари манфий булсин, яъни
Ф(х, х) = Ьпх2 4-Ь22х2 4- ... 4- bkkx2 — bM,kUx2k+l —
-..-brrx},
^Бунда bti > 0, i = 1, 2, . . . , г.
Цуйидаги чизицли алмаштиришни бажарамиз:
11 1
' ’ у., Х2 = у2 , . . . , X. = -== Уг .
yi Vb^yt v'brryr
ПМйжада
Ф= !/, 4-!/22 4-- • - 4- f/2 —{/tn ~ (20)
дНдратик форманинг бундай куриниши унинг нормал кдриншии
д&влади- (20) даги мусбат цадлар ва манфий цадлар сони мос ра-
MUm шу форманинг мусбат ва манфий индекслари деб аталади:
Дуйидаги теорема уринлидир (бу теорема цациций квадратик фор-
малар учун инерция цонуни деб цам юритилади).
Теорема. Квадратик формани цайси усул билан каноник
кдринишга келтиришдан цатъи назар, унинг мусбат ва манфий
индекслари дэгармасдир, яъни бу индекслар квадратик форманинг
цайси базисда олинишига боглиц эмас.
Исбот. Фараз цилайлик, <р бирор базисда (20) куринишда, бош-
ца базисда эса
Ф = 4 + z® + ... + z2m — z2m+1 — ... — г2 (21)
булсин. k = т эканини исботласак, мацсадга зришамиз. Фараз ци-
лайлик, А ¥ т аницроги k>m булсин. Узгарувчиларни алмаштириш
формулалари цуйидагича]
Z1 = Р1101 + Рп У2 + • • • + P|„ J6,’
z2 = Р21У1 + Р22У2 + + Р2пУп, ,9Q1
гп = РП|Р| +РпчУ2 + + РппУп
булиб, бу айнимаган алмаштиришдан иборат дейлик, (22) нинг ций-
матларини (21) га цуйсак, табиийки, (20) ни цосил циламиз, яъни
z„ г2, ... , гп лар (22) буйича ифодаланганда цуйидаги айният цо-
сил булади:
4+^+ ... + z®m-z^,—...—z2 =
= У2+У2 + ... +у1-у1+1 — ...—у2. (23)
Куйидаги ёрдамчи бир жинсли тенгламалар системасини туза-
миз:
Рп !/1 + Р12^2 + • • • + Р\кУк = °’
Р21У1 + Р22У2 + • + РмР* = °- (24)
Рт1 Уг + Рт2 У2 + • + РткУк =0.
k>tn булгани учун бу системада тенгламалар сони номаълум-
лар сонидан камдир, дсмак, бу система ноль булмаган ечимга
эга. Улардан бири уг, уг...ук булсин. Бу ечимларии (23) ай-
ниятга цуйсак цамда улар ёнига
Ук+2— 0» • • • • Уп =
?i = 0, г2 = 0, ... , гт = 0 (25)
системани цушсак, у цолда (23) —(25) дай цуйидагиларни цосил
циламиз:
У^+У} + ... +^ = -z2m+l-z£,+2- ... -г2. (26)
Лекин (26) теиглик уринли эмас, чунки унинг чап цисми
цатъий мусбат, $нг томоии эса манфий ёки нолдир. Шуига
Ухшаш, k<m иииг цам юз бермаслигини исботлаш мумкин
(исботланг).
Демак, m=k. ▲
Шуни таъкидлэймизки, квадратик форманинг каноник ку-
риниши цар хил базисда умуман цар хил куринишда булади,
лекин шу квадратик форманинг нормал куриниши барча базис-
ларда бир хилдир.
Мисол. <р = х2 + 18х2 + 9x1 — 6xjX2 + 4xiX3 — ЗОх2х3 квадратик
формани иормал цолга келтиринг.
Ечиш. Аввало ф ни каноник курииишга келтирамиз Бу-
нинг учуй берилган формани диццат билан куздан кечирсак,
Xi узгарувчининг квадрати ва ундан ташцари бошца цадларда
цам Х| цатнашмоцда, у цолда 2- теоремага асосланиб иш кура-
миз: xi цатнашган цадларнинг барчасини туплаб ёзамиз:
Ф = (х, — 6x2x2 + 4.jqx3) + 18xj + 9х2 — 30 x2x3;
цуйидаги айиимагаи чизицли алмаштиришни оламиз:
У1 = jq — Зх2 + 2х3; уг = х2; у3 — х3.
Бундан
у\ = х2 + 9х* + 4х| — 6x2x2 + 4.jqx3 — 12х2 х3;
бу ерда au = 1 булгаии учун
Ф — у2 = 9 х2 + 6x5 — 1 8х2х3.
Демак,
Ф = у2 + 9 у2 + 5у| — 18 угу3.
Энди а = 9у% + 5</з — 18у2у3 формани каноник курииишга келти-
рамиз:
?! = У и ?2 = 9t/2— 9у3, z3 = у3
десак,
г2 = 81(у2 — 2у2у3 + у1).
У цолда
а — z2 = 9у2— 18у3у3 + Ъу2 — 9у2 + 18у3у3 —
—9г/| = — 4г32, а = у г2 - 4^
fea Ф = z2 + ?2 — 4?2. Цуйидаги чизицли алмаштиришни бажарай-
Лнк:
о 1
«1 = ?1. «2 = Зг2, и3 = — г3,
Прилган квадратик форма цуйидаги нормал куринишни олади:
ф = и2 + и2 — и2.
Равшанки, бу форманинг мусбат индекси 2 га, манфий индек-
си эса 1 га тенгдир.
Нормал куринишга келтирилган квадратик форма барча
цадларининг сони г шу форманинг ранги деб аталади.
Квадратик форма мусбат цадлари сонидан (уни k билан
белгилайлик) манфий цадлари сонининг (уни / билаи белги-
лайлик) айирмаси шу квадратик форманинг сигнатураси деб
аталади. Бундан куриниб турибдики, квадратик формани кайси
усул билан каноник куринишга келтирилганда цам сигнатура
узгармас экан. ф нинг сигиатурасини $ билан белгиласак, таъ-
рифга асосан k — I = s, лекин k +1 — г булгани учун
Л = у(г + 5), l=-L(r-s)
булади. Бу тенгламалардан куринадики, k, I, s, г дан иккитаси бе-
рилса, цолган иккитасини топиш мумкин.
Мисол. ф = х2—x^ + x|4-xj да k -- 3, 1 = 1, г = 4, $ = 2
дир.
-» —* —► —► —*-
Таъриф. хтА 0 цолдаги барча х векторлар учун ф (х, х) квадра-
тик форма доимо мусбат булса, бу квадратик форма мусбат ани^-
ланган деб аталади.
—1
Масалаи, а) ф (х, х) = 3xJ + 4х2 квадратик форма мусбат аниц-
лангандир, чунки Xj ва х2 нинг бир вацтда ноль булмаган барча
—* —* —* —♦
цийматларида (яъни х =# 0 да) ф (х х) > 0.
—* -» 1
б) ф(х, х) = xj + Xj х2 4" “ квадратик формани олайлик. Уни
- -* / 1 \2 1
Ф (х, х) = I х j + у х21 куринишда ёзсак, х, — — у х2 шартни ца-
ноатлаитирувчи барча хп х2 учун ф (х, х) = 0 булади, демак, бу
форма мусбат аиицлаиган змас.
Теорема, п та узгарувчили квадратик форманинг мусбат
аницланган булиши учун бу форма мусбат хадларининг сони п
га тенг булиши зарур ва етарлидир (бунда n = dim V).
Исбот. Фараз цилайлик, квадратик форма
У1 = “Г С12х2 4" • - • 4" С|„ХП, Сц с12 . . . С|п
У 2 = С21 Х1 + С22 Х2 + • - + C2n Хп’ f. С21 с22 • • - С2п , л
гп п- бувда
Уп = ^П1Х1 ^Л2"^2 4" • • • 4" СПпХп
С nl C/ii ’ ‘ ^nn
чизицли алмаштириш ёрдамида
Ф = bny2 + bMif2 4- ... 4- bmy2n
(27)
каноник куринишга келтирилган булсин.
Зарурий шарт. <р мусбат аницланган булсин, у цолда барча
Ьц ларнинг мусбат эканлигини исботлаймиз. ух, у2, . . . , уп уз-
гарувчиларнинг ух = 1, у2 = 0, . . . , уп = 0(х =#= 0) цийматларида
Ф=ЬП, бундан ташцари <p>0=>bu>0; ух = 0, у2 = 1, у3= О,
... , уп = 0 цийматларида <р = Ь22, <р > 0 => Ь22 > 0 ва ц. к. Худди
шунга ухшаш, Ь33 > О, Ь4Х > 0 , . . ., Ьпп > 0; бу эса (27) да мусбат
цадлар сонининг п га тенглигини билдиради.
Етарли шарт. (27) да мусбат цадлар сони л та булсин, яъни
>0, Ь22 > 0, ... , Ьт > 0. У цолда ух, уг , . . . , уп нинг бар-
часи нолга тенг булмаган цамма цийматларида (яъни х =# 0 да)
Ф > 0. ▲
Мисол. ф = х2х — 4ххх2 + 5х?2 квадратик форма мусбат аницлан-
ганми?
Ечиш. ф ни цуйидагича ёзиб олиб, каноник курииишга келти-
рамиз:
ф = х2х — 2 2 ххх2 + 4х2 + х2 = (xj — 2хг)2 + х2.
У, = хх — 2х2, у2 = х2 десак, ф = у2 + у%, бу эса ф нинг мусбат
аницланганлигини билдиради (п = 2, k = 2).
44- §. Аффии фазодаги квадрикалар. Квадрика тенгламасини
каноник курииишга келтириш
Ап бу н улчовли аффин фазо булсин.
Таъриф. Ап даги бирор = (0, .................еп) реперда цуйи-
даги иккинчи тартибли алгебраик тенгламани цаноатлантирувчи
Ап нинг барча нуцталари туплами квадрика (ёки иккинчи тартибли
афт) деб аталади (уни Q билан белгилайлик):
2О|2Х|Х2 Ч- • • Ч- 2а|п хххп Ч- а22 х2 х2 Ч- 2а23 х2 х3 Ч-
+ • •• • -I annxnxn + 2axxx Ч- 2а2х2 Ч- . . Ч- 2ап х„ Ч- а0 = 0, (28)
;бунда aif- = а~ булиб, булардан камида биттаси нолдан фарцли. л =
булган цолда Q нинг тенгламаси:
au Х1 Ч- 2а12 ххх2 Ч- а22х2 -Ь 2аххх Ч- 2а2х2 + а0= 0;
$у ерда хх=х, х2=у десак, аах2 Ч- 2а12 ху Ч- а22у2 + 2ахх + 2а2у+
gh а,, = 0 тенглама цосил цилиниб, у аффин текисликда иккинчи
ОТртибли чизицнинг тенгламасидир. Демак, аффин текисликда квад-
|Ю<а иккинчи тартибли чизицдир. и = 3 да (28) тенглама уч узга-
||увчили булиб, хх — х, х2 = у, х3 = г десак,
аи х2 Ч- а22у2 Ч- а33 г2 Ч- 2а12ху Ч- 2alsxz Ч- 2а23 уг Ч- 2агх Ч-
Ч- 2а2у + 2^3? Ч- а0 = 0
куринишда булади. Бу эса уч улчовли аффин фазодаги иккин-
чи тартибли сиртиинг тенгламасидир.
(28) тенгламани цисцароц цуйидагича ёзиб олайлик:
ф2 + 2q>! -Ь а0 = 0. (29)
п п
буида ф2= а(. xty/t Ф1== булиб, ф2 квадратик форма,
i. /=1 i=i
<pj эса чизицли формадир.
Шуни цам таъкидлаймизки, А даги квадрика тушунчаси
координаталар системасини алмаштиришга нисбатан инвари-
антдир, бир реперда берилган иккинчи даражали тенглама
бошца реперда ёзилгаида цам иккинчи даражали тенгламадаи
иборат булади (чуики бир аффин репердаи иккинчи аффин
реперга утишда тенгламанинг даражаси ошмайди ва камай-
ди).
Энди (29) тенгламани соддалаштириш билан шугуллаиай-
лик. Бу тенгламанинг чап томонидаги ифода биринчи цуши-
лувчи фг квадратик формадан иборатлиги сабабли, уни алоцида
ёзиб олиб, 43- § да курсатилган усул билан каионик куринишга
келтирамиз; фараз цилайлик, у цуйидаги куринишга кслсин:
ф2 = Mi+М| + - • +bky-k, k^n, ... Л *0- (30)
у цолда шу (30) квадратик форма ёзилган реперда (29) ни ёзайлик:
b^ + btyl + . . . + Ьк yl + 2 с1у1 + 2с2у2 + ... +
+ 2сп уп + а0 = 0 (31)
равшанки, янги реперга утилганда Ф! чизицли форманинг цам коэф-
фициентлари узгаради, уларни биз си сг, . . . , сп деб белгиладик.
(31) даги цадларни гурухлаб, тула квадратга келтирамиз:
ь.{ ^+2^-у,+4-4)+ь4 ^+2т^+4~4)+
\ bl bl bl J \ Ьл b2 b2 J
+ . . . -f bJ y2k + 2 ^-yk+-± — + 2ck+l yk+l + . . . +
\ °* bk bk /
+ 2cnyn+ao = O
ёки
bi (l/i 4“ ) +bt(yt+ + ... + bJ yk+ ^-] +
\ bi ] \ ьг} \ bk j
+ 2c*+l yk^ + . . . + 2cn yn + a0 — f - + “j- + • • • + “S’) = °-
k *1 b2 bk)
Энди цуйидаги формулалар орцали янги реперга ^тамиз:
?! — Ух + i Z2 — Уг~^~ • • • • » 2 * * ** У/, “Ь » ZA.|_|
Ьх уг bk
-Ук+l' • " ' ’ 2п Уп
( С? 4 cl \
хамда а = — ап + - - + — +...4-------белгилашни киритамиз;
Ui % Ь2)
натижада:
М + М + ... + М + Чнг*+> + ... + 2спгп = а. (32)
Агар k = п булса, бу (32) тенглама
М + М 4- ... + b„z2=a (33)
куринишни олади. Куйидаги холларни куриб чицайлик.
1- хол. (32) да сА+, = с,.2 = ... = сп = 0 ва о булса,
Ьх^ + Ьгг2 + ... + Ь*3 = в- (34)
Чап томондаги каноник куринишдаги квадратик формани
нормал куринишга келтирамиз, бунинг учун узгарувчиларни
цуйидагича алмаштирамиз:
г-- 1I"1' I"1....г,=
= "\f 1^1 и*' г*+| = и*’ ’ г" ~ и"'
буларни (34) га цуйсак,
+ е2ы2 + • • • + 1. (35)
бунда е, е2, . . . , еА лар ёки + 1 ёки —1 дир, аницроги — >0
bi
булса, е4= =1, — < 0 булса, е, = —1.
2- цо л. cfe+1= ct+2 = ... = сп = 0 ва а = 0 булса, (32) цуйи-
даги куринишни олади:
М + &2?2 + ••• +^2i=°-
Узгарувчиларни цуйидагича алмаштирамиз:
1 1 1
г, = Ux. г2= - = _ и,, . ... z. = - ик.
, Vim /\ь21 к F 1м *
У цолда
ct ui + е2иг + • - • + = 0, (36)
®р<да' bt > 0 булса, е,- =1 ва Ь,- < 0 булса, е, = — 1.
к; 3-цол. k<n булиб, с4+|, сА+2, . ... сп лардан камида битта-
Р>воддан фарцли, аницроги сА+1 #= 0 булсин. Узгарувчиларни цу-
(Йингича алмаштирамиз:
Z1 = Vlt г2 =v.......... = vk, -2--cA+I гА+, - .. - cn zn=
~ U*+l’ Z*+2 ~ и*+2» * • ' • Zn = Vn-
У цолда (32) цуйидаги куринишни олади:
b^ + ^v2 + + ЬАи| =2оа+1 (37)
ёки
ЧЫ-I =«*+1........Vn = Un
десак,
е, «2 + е2 и| + . .. + еА и2 = 2ыА+1 (38)
булади, бунда цам е,- лар + 1 ёки —1. (35), (36) ва (38) кури-
нишдаги тенгламалар квадриканинг нормал куринишдаги тенг-
ламалари деб аталади. Хулоса цилиб шуни айтиш мумкинки,
(28) куринишдаги цар цаидай тенгламани янги реперга утиш
йули билан цуйидаги уч куринишдан бирига келтириш мумкин
экан:
I. ej и2 + е2 и2 + . . . + еА и2 = 1, k^n, е. = ± 1.
II. + + . . . + tku2 = 0, k^n, е,= ± 1. (39)
III. CjizJ + еяи2 + . . . + ekul = 2ыА+1, k<n, ej = ± 1.
Мисол. 8 xj — 4.jqx2 + 5x2 + 6x2 = 0 квадриканингтенгламасини
каноник курииишга келтирииг.
Ечиш. <р2 = 8xJ — 4xjX2 + 5x2, _ 3^ а = 0. <р2 ни каноиик
курииишга келтирамиз. = 8xL — 2х2, у 2 = х2 десак, у* = 64xJ—
— 32 Xj х2 + 4 х2 булиб,
1 9 9 9 - ^91^2
ф2-— У\ = -^4 «• ф»в7«? + уй-
У цолда берилган тенглама цуйидаги куринишни олади:
4’3'i + у^ + 6^ = о
ёки т^лиц квадратга келтирсак,
Дй+Л(!(,+ Д-Г-2-0.
8 1 2 Vя 3 j
2 2
2 и\ и?
yt = у2 = и2-----алмаштиришдан сунг -^+= 1. Ла даги
3
9
эллипс тенгламаси цосил цилинди.
344 --
45- §. Квадриканинг маркази
Кесманинг урта нуцтаси аффин алмаштиришда шу кесма образи-
нинг урта нуцтасига утади, шунга асосланиб Ап да квадриканинг
симметрия маркази тушунчасини киритиш мумкин.
Таъриф. Квадриканинг цар бир нуцтасига унинг бирор S
нуцтага нисбатан симметрии нуцтаси мавжуд булса, S нуцта
квадриканинг симметрия маркази деб аталади.
Масалан, А3 даги реперда каноник тенгламаси билан бсрил-
ган эллипсоид, бир ва икки паллали гиперболоидлар учун
координаталар боши симметрия марказидир. Двадрика (35)
тенглама билан берилса, унинг симметрия маркази координата-
динаталар бошида булса, унннг тенгламаси шу реперда (35)
лар бошидан иборат ва, аксинча, квадриканинг маркази коор-
куринишда булади. \ацицатан хам, М (ult и.2, . . , ип) £ (35) =►
.=> М' (— ult — и2....(35).
ММ' кесманинг урта нуцтаси 0(0, 0...........0) дир, чунки
кесманинг учлари унинг урта нуцтасига нисбатан симметрик жой-
лашган. Бундан, тенгламалари Uj = 0, иг = 0, .... ик — 0 дан
иборат (п — k) улчовли текисликнинг барча нуцталари (35) тенглама
билан аницланадиган квадриканинг симметрия маркази булади деган
хулоса чицарамнз. Хусусий цолда k = п булса, симметрия .марказ-
лари туплами ноль улчовли текислик булиб, фацат битта нуцтадан,
у цам булса, координаталар бошидан иборат. У вацтда квадрика фа-
цат битта симметрия марказита эга булиб, у марказли квадрика деб
"аталадг.
Энди квадриканинг тенгламаси (29) куринишда берилган
булса, бу квадрика марказининг мавжудлиги масаласига тух-
галайлик.
Квадрика
<р2 + а = 0 (40)
БИУрннишдаги (бунда <р2 ифода п узгарувчили квадратик форма)
^тенглама билан берилса, уиипг симметрия маркази коордииа-
^талар бошидан иборат.
Энди (29) куринишга мос цолни курайлик. Фараз цилайлик,
х®, . . . , х°) нуцта (29) квадриканинг симметрия маркази бул-
Репер бошини шу нуцтага кучирамиз, базис векторларнинг йу-
ЙрЫшини эса сацлаб цоламиз:
= У1 + *?.
Х2 У% ^2«
............................. (41)
Хп = Уп + ^п-
Буларни (29) га цуйиб, соддалаштирсак,
Ч>2 + (2ацх? + 2аих° + ... + 2а1п х° + 2аг) у, -Ь ... + (2ап, х°+
+ 2ол2х°2 + -. . +2аппх° + 2ап) у„Ч-а' = 0, (42)
бунда <р' ифода у,, у2, . . . , уп узгарувчили квадратик форма, а'—
барча озод сонларнинг алгебраик йигиндиси. Координаталар боши
квадриканинг симметрия маркази булиши учун (42) тенглама (40)
куринишни олиши керак, яъни биринчи даражали цадларнинг барча
коэффициентлари бир вацтда иолга тенг булиши етарли ва зэрурдир:
о,, х° +а,2 х° + ... +а1п x°n = — alt
°21 Х1 +а22 л2 + • • • +а2„ = — °2« (43)
°Л1 Х°1+ап2Х2+ • • • +аппХп = ~ап‘
Демак, квадрика симметрия марказинииг х°, х°, . .. , xjj коорди-
наталари (43) ни цаноатлантириши керак, демак, квадрика маркази-
нинг мавжудлиги масаласи (43) системаиинг ечимига боглиц; цуйи-
даги детерминантни царайлик:
а11 °12 • • • ain'
°2i о2п I в д.
ani °п2 • • • а,
1. Д=#0, (43) система ягона ечимга эга, квадрика битта симмет-
рия марказига эга; марказли деб аталган квадрика цосил цилинади.
2. Д = 0 ва (43) система чексиз куп ечимга эга булса, квадри-
канинг симметрия марказлари цам чексиз куп булади (бундай
нуцталар туплами k улчовли текислик булади).
3. Д=0 ва (43) система биргаликда булмаса, квадрика бит-
та цам симметрия марказига эга эмас. Кейинги икки цолда
квадрика марказсиз деб аталади.
Эслатма. (43) системаиинг биринчи тенгламасига диццат би-
лан царасак, у (28) тенгламадан хг буйича (цолган х2, х3....х„
ларни доимий деб олинса) олинган цосиладан, иккинчи тенглама эса
(28) дан х2 буйича олинган цоснладан (бунда хр х3,х4, . . ., хп лар дои-
мий деб олинади) ва ц. к., охирги тенглама эса (28) дан хп буйича
олинган цосиладан (бунда х1э х2, ... , хп _, лар доимий цисоблана-
ди) иборат экан.
М и с о л . xj — 5х| + 2хгх2 — 2х2х3 + 2х, + 4х2 + 10xs — 3 = 0
квадриканинг симметрия марказииинг мавжудлигини исботлаиг
цамда параллел кучириш ёрдамида тенгламани соддалаштиринг.
Ечиш. (29) билан солиштирсак,
Ч>2 = х2 — 5х2 + 2х1*г — 2х2хэ, Ф1 = 2*! + 4х2 + 10хэ.
Энди (43) системани тузамиз.
I — 1.
1 х°-х®= -2,
I
х° + 5х° = 5.
Унинг детерминанти:
1
Л = 1
О
1
О
1
О
— 1 = —4^=0.
5
(*) дан х° = — 1, х° = 0, х° = 1. Берилган квадрика маркази
S(—1, О, I). Реперни параллел кучириб, унииг бошини S нудтага
келтирамиз:
= —1. х2 = у2, хэ = |/э + 1;
буларни берилган тенгламага цуйиб, уни соддалаштирсак,
У? — 5Уз + 2У1Уг — 2УгУ* +1=0.
46- §. Квадриканинг таснифи
п улчовли аффин фазодаги квадриканинг (28) куринишдагн
’тенгламасини аффин реперни махсус танлаб олиш йули билан
Д39) куринишдагн учта тенгламанинг бирига келтириш мум-
(синлигини курган эдик (44-§). \еч цандай аффин алмаштириш
^нлан бу тенгламалардан бирини иккинчисига утказиб бул-
Йкайди, демак, улар Узаро аффин эквивалент синфлар эмас.
Шу тенгламалариинг цар бирини айрим-айрим куриб чицайлик.
L er«2 + е2и2 + ... + ek и2 = 1, k п.
Ь п ДО
e^ + e^-f- ... 4-еп и2п = 1.
(44).
1- цол . Ej = е2 = ... = en = I учун
и2 + и2 + . . . + и2 = 1 (45)
Ил цилиниб, квадрика эллипсоид деб аталади (п — 3 да Аэ даги
имсоид).
I- Цо л. ег = е2 = ... = еп = — 1 булса, (44) => и2 + и2+ .. . -|-
§= — 1; Ап да бу тенгламани цаноатлаитирувчи бирорта цам
jjyift нуцта йуц, бу цолда (45) тенглама мав^ум эллипсоидни
ВМли деймиз.
Ei = еа = ... = er = 1, , = е, + 2 = . . . = еП= —1;
бу цолда (44) тенглама билан аннцланадиган квадрика n — t
индексли гиперболоид деб аталади (п = 2 цол юз берса, е, = 1,
е2 = — 1 ёки ej = — 1, е2 = I да квадрика текисликдаги гйперболани
ифода цилади, п = 3 да е,. е2, еэ дан биттаси — 1 га тенг булса,
квадрика бир паллали гиперболоидни, ер е2, еэ дан иккитаси — 1
га тенг булса, квадрика икки паллали гиперболоидни аницлайди).
Энди k < п булган цолни курайлик.
eru* + е2и2 ... + efc и* = 1. (46;
Маълумки, бу куринишдаги тенглама симметрия марказлари
(п — 1) улчовли координата текислигидан иборат булган сиртни ифо-
да цилади, бундай квадрика Ап да цилиндрик сирт деб аталади.
1- цол. е1 -= е2 = ... = efc = 1.
(46) тенглама
u’ + ul-b .. . + и2 = 1 (47)
куринишни олади ва k улчовли текисликдаги эллипсоидни аницлаб,
Ап фазода эса асоси шу эллипсоиддан, ясовчилари (п — k) улчовли
текисликдан иборат эллиптик цилиндрни беради. п = 3, k = 2 да
эса Аэ да ясовчилари бирор координата уцига параллел эллиптик
цилиидрни аницлайди.
2- цол . «! = е2 = ... == ек = — 1 учун и2 + и2 + ... + и2 =
= —1; бу тенглама бирорта цам цациций нуцтага эга булмаган
квадрикани аницлаб, уни мавцум цилиндр дейилади.
3- ц о л. ег = е2 = ... = е( = 1, е( j = е( 2 = ... = =
= — 1 учун
UI + Ы2 + ' • • + — U?+ | ” ' ' • — Uk = 1" (48)
Бу тенглама k улчовли текисликда (k — f) индексли гиперболоидни
аницлаб, унинг цар бир нуцтасидан (п — k) улчовлн текислик утади.
Бундай квадрикани Ап да (k — t) индексли гиперболик цилиндр деб
аталади; унинг ясовчилари (п — k) улчовли текисликдан иборат.
II. е1и2-1-еги2+ ... +eku2 = 0. (49)
Бу теглама билан аницланган квадриканинг симметрия
маркази координаталар бошида б^либ, бу нуцта квадрикага
тегишлидир.
k — п булсин.
I- ц о л . Ej = е2 = ... = е„ булса. (49) => и2 + и2 + ... + и2 =
= 0 тенглама билан аннцланадиган квадрика мавцум конус деб ата-
лади. бу конус фацат битта цациций нуцтага эга булади (координа-
талар боши О).
2- цол. ег, е2, . . . , еп нинг барчаси бир хил ишорали булма-
са, квадрика конус деб аталади, демак, конус марказли сиртдир.
Унинг маркази конуснинг учи деб аталади. Шуниси цизицки, бу ко-
Ьусга тегишли бирор Т нуцтани олсак, ОТ тугри чизициинг (О —
конуснинг маркази) барча нуцталари дам конусга тегишли була-
ди; бу тугри чизиц конуснинг ясовчиси деб аталади.
Эиди k < п долни текширайлик.
1- дол . Ej = е2 = ... = efc; (49) тенглама
+ и| 4- . . . 4- и2 = 0 (50)
"куринишни олади; бу тенглама билаи аницланадиган квадрика хам
мавдум конус деб юритилади.
Лекин бу тенгламани Ап да царасак, бу квадрика (я — k) улчов-
ли текисликнинг барча нуцталарини уз ичига олади (чунки А/ (0, 0,
. ., 0, uft+1, . . . , un) куринишдаги барча нуцталарнинг координата-
лари (50) тенгламани цаноатлантиради). Бундай коиус учи (п — k)
улчовли текисликдан иборат мавдум конус деб аталади.
2- дол. е,. е2, . . . , eft нинг барчаси бир хил ишорали булма-
са (масалан, t таси 4- 1 булса), у цолда (49) тенглама билан апиц-
ланадиган квадрикани (А — I) индексли, учи (п — k) улчовли текис-
яикдан иборат конус деб аталади.
Нидоят, (39) даги учинчи тенгламани текширайлик:
И- £еи2 + • • • + ek и1 = 2ufe+r (51)
k = n — 1. 1-цол.е1 = е2= ... = En_p (51) тенглама билан
Аницланадиган квадрика эллиптик параболоид деб аталади (я = 3
булса, (51) тенглама и2 4- «2 = 2ыз куринишда булиб, А3 даги эллнп-
тик параболоидни ифодалайди).
. 2- дол. Ер е2, . . . , еп1 нинг барчаси бир хил ишорали бул-
маса (масалан, t таен 4-1 булса), у долда (51) тенглама билан
аницланадиган квадрика (k — t) индексли гиперболик параболоид деб
аталади.
k^n — 2. У долда (51) тенглама О нуцта ва et, е.2, ... ,
е ft+1 векторлар билан аницланадиган текисликда бирор параболоид-
ии аницлайди. Ап да царасак, бу квадрикага (я — k — 1) улчовли
текислик киради, аницроги N нуцта параболэидга тегишли булса, у
Цолда бошлари шу нуцтадаги е к+2...........еп векторлар билан
ЯИЩЦланувчи текислик шу параболоид таркибида булади. Бу долда
Ш) квадрика ясовчилари (я—k—1) улчовли текисликдан иборат
у&рабулик цилиндр деб аталади. Бу квадриканинг индекси (я—t)
дулса, у мос равишда (л — I) индексли параболик цилиндр деб
Д^Мисол. А3 да и2 4-u|4-4UjU3 — 4иг = 0 тенглама билан аипц-
ЩуЬчн квадриканинг турини топинг.
Ечиш. Аввало бу квадриканинг симметрия маркази бор-
йуцлигини аницлайлик. Буиииг учун берилган тенгламадан
аввал uh кейин и2, ницоят и3 буйича цоснла олайлик:
2ut 4- 4u3 = О,
2и2 — 4 = 0;
4ut = 0;
бу система ягона ечимга эга: и, = 0, и2 = 2, иэ = 0. Марказ (0, 2»
0) нуцтада. Энди репер бошини шу марказга келтирайлик, бунинг
учун цуйидагича чизицли алмаштиришни бажариш керак:
“г = Уп и2 = у2 + 2, иэ = уэ;
буларни берилган тенгламага цуйсак,
У] + G/г + 2)2 + 4у,уэ - 4(у2 + 2) = 0,
У2 + У22 + 4у2 + 4 + 4угуэ — 4у2 — 8 = 0,
У2 + У22 + — 4 = 0.
Эиди ф2 = У2 + У2 + 4угул квадратик формани Лагранж усули
билан каноник куринишга келтирамиз. Ушбу
= У1 -г 2уэ, х2 = у2, х3 = t/д
алмаштиришни бажариб, ф2 — xj ни цисоблайлик:
<р2 — х2 = у2 + 4у,уэ + yl — (у, 4- 2уэ)2 = у2 + 4у!у3 + у2 — у2 —
— 4У1У3 — 4у| = у?, — 4у| = х2 — 4х2, ёки ф2 = xf _|_ х2 _ 4Х2
У цолда берилган тенглама цуйидагича булади: xj-^-xj— 4х2—4 =
г2 г2 г2
= 0, ёки xj + х$ — 4x1 = 4> ёки ___1 + _L — 3 = 1, бу эса,
4 4 1
А3 даги бир паллали гиперболоиддир.
47- §. Ортогонал алмаштириш нули билан квадратик формани ка-
ноник куринишга келтириш
Аввалги параграфларда п улчовли аффин фазода квадра-
тик формани каноиик куринишга, цатто нормал куринишга
келтиришни кУриб, унннг п Улчовли аффин фазодаги квадри-
калар учун татбицини аницладик. Энди квадратик формани п
Улчовли (Еп) Евклид фазосида царасак, унииг А„ даги хосса-
лари сацланиб, !бу хоссалар цаторига яиги метрик характер-
даги хоссалари цушилади.
Аввал, баъзи янги тушуичаларии киритайлик (бу тушунча-
лар «Алгебра ва сонлар назарияси» курсида батафсил Урганил-
гани сабабли улар цацидаги баъзи теоремаларни исботсиз кел-
тирамиз).
1. Хос векторлар ва характеристик сонлар.
Цуйидаги чизицли алмаштиришларни курайлик:
х\ = ЬцХ! 4- 612х2 + ... 4-Ь1л хп,
х'2 = *>21*1 + Ь22х2 + ... + Ь2п хп, (52)
хп = bm xi+bn2 хг + ... +Ьппхп.
Бу чизицли алмаштиришларнииг матрицаси
(Ьц Ь12 • • • Ь|П \
Ь21 Ь22 . . . Ь2л | (53)
ьт Ьп2 ... b^J
айнимаган булсин.
Агар (52) нинг чап томонидаги х', х2, ... , х'п ни бирор х' век-
торнинг реперга нисбатан координаталари десак, худди шунга ух-
шаш, унг томондаги xt, х2, . . . , хп ни цам шу реперга нисба-
, Ч --*•
тан бирор х векторнинг координаталари деб цараш мумкин, у цол-
да (52) алмаштириш цар бир х #= 0 векторга аниц битта х ¥= О
векторни мос келтиради, буни цуйидагича ёзайлик:
х' = <р (х). (54)
Бу вацтда <р чизицли оператор деб цам юритилади.
Таъриф. Агар (52) чизицли алмаштиришда х 0 вектор ва
унга мос х' =/= О векторни богловчи
х' = X х (55)
Ййуносабат (бунда Х£7?) уриили булса, х вектор <р чизицли опера-
|рОрнинг хос вектори деб аталади, X сон эса <р чизицли операторнинг
gt Векторга мос келган хос циймати деб аталади. Агар (55) уринли
BKwca, xj = Xxr, х2 = Хх2, ... , х'п = X хП булиб, бу цийматларни
®2) га цуйсак,
Xxr = buxj-b Ь12х2 4- ... 4- Ь,„ хп,
Хх2 = Ь21Х! 4- b22xa 4- ... 4- b2n xn (56)
Kxn = bm x1 + bn2x2+ ... 4- bnn xn
(&ii k)xl-t-bI2x2 । ... 4- bln xn— 0,
Ml + (^22 ----*2 + • • • + Ь2„ Xn = 0,
(57)
bm *i + bn2 xt 4- ... + (bnn — A)x„ = 0.
Маълумки, бу бир жинсли тенгламалар системаси ноль бул-
маган ечимга эга булиши учун унинг бош детерминанти нолга
тенг булиши керак:
^11 Ь12 • • • (’(л
b2i к ... b2n
= 0.
(58)
Ьп2 ’ ’ ‘ (’пп
Демак, чизицли операторнинг исталган хос циймати (яъни А.)
(58) тенгламани цаноатлантириши керак ва, аксинча, А. нинг
(58) тенгламани цаноатлантирувчи цар цандай цациций ций-
мати ф нинг хос циймати булади: (58) нинг чап томонидаги
детерминангни ёйиб, ухшаш цадларни ихчамлаб чицсак, А. га
нисбатан n-даражали купцад цосил цилинади. Бу купцад ха-
рактеристик купцад, (58) эса характеристик тенглама деб ата-
лади.
Куйидаги теоремалар уринлидир.
1-теорема. Бошца бирор базисга утишда чизицли опе-
раторнинг матрицаси албатта узгаради, лекин характеристик
купцаднинг коэффициентлари ва илдизлари узгармайди.
2- т е о р е м а. Тайин бир хос цийматга мос келувчи хос век-
торларнинг цар цандай чизицли комбинацияси шу хос ций-
матга мос келувчи хос вектор булади.
—» —> —
Агар eve2, ... , еп базис векторлар бирор чизицли оператор-
нинг хос векторлари булиб, уларга мос келган хос цийматлар мос
равишда А.„ Аг.....А.„ булса, (52) тенглама цуйидаги куринишни
олади:
(59)
У цолда бу алмаштиришнинг матрицаси диагонал куринишда
булади:
(А,,. А2. . . , Ап ичида бир-бирига тенглари булиши мумкин, чунки
характеристик тенглама каррали илдизга эга булган цол цам юз бе-
риши мумкин).
2. Симметрии оператор ва унинг матрицаси. ф чи-
зицли оператор берилган булсин.
—► —►
Таъриф. Еп даги ихтиёрий х, у векторлар учун
<р(х)-у = х-<р(у) (61)
Уринли булса, ф ни симметрик оператор деб аталади.
Бу таърифдан куринадики, скаляр кУпайтмада симметрик
оператор белгисини бир купайтувчидан иккинчи кУпайтувчнга
||тказиш мумкин.
h 3=-теорема. Чизицли симметрик оператор цар цандай
аекарт базисида симметрик матрицага эгадир.
Е Исбот. Чизицли симметрик операторнинг бирор Б = (ег, е2, ...»
К) декарт базисидаги матрицаси (53) куринишда булсин. У цолда
Дй) даги х ва у нинг урнига eIte2, ... , еп ни цуйсак,
ф(е/)еу = ?ф(еу) (62)
унда I, j = 1, 2, ... , и), (62) нинг чап томонини цисоблайлик:
Ф (е,) = < ef= (blf е, + bi2e2 + . . . + bln еп) е, == bn (7r е)+
+ Ьа(е2^) + . . . + bin е) = btj.
РУнда е( е{ = 0 (iV j) эътиборга олинади. Энди (62) нинг унг томо-
РЙни цисоблайлик:
еГфЦ.) =(е, е,)= +bj2e2 + . .. + bin еп)=
= Ь/, (е< е>) + Ь/2(е,- е2) + . . . + bJn (et еп) = Ь/Р
Е) га асосан bif — bjt, бу эса (53) нинг симметрик матрица эка-
и билдиради.
Бу теоремага тескари теорема цам Уринли, яъни:
4-теорема. Агар чизицли оператор бирор декарт базисида
^метрик матрицага эга булса, у чизицли симметрик опера-
булади.
Исбот. (53) да Ьц = Ьи булсин, у цолда ихтиёрий x(xi,x2, ....
Jii). . У„) (л¥= 0, у ¥= 0) векторлар учун ф(х) у = х' у =
“= (*i'®i+v2+ ... + xnenyt el+y2e2 + .. .+уп en)=x'lyl+x2y2+ ...
+ х'пУп = (Ьц*1 + Ь12*2 + • • • + Ь|„хп)У1 +(Ь21 Xi+b22x2+ . ..-i-
+Ь2пхп)Уг+ • • • + (b„Ix1 + bn2x2+ • - . + ЬмХп)уп=
= 2 Mi!/i + £Ь2/х,-у2 +... + £ Ья1-хгу„ =
i=l i=l i=i
= 2 2 bij ‘ xi У г (63)
i=l /=1
Худди шунга ухшаш, (х-ф(у)) ни цисобласак,
х~Ч>(у) = 2 5 Ьн >{хг (64)
|=| /=1
(63), (64) => х (р(у) = <р ЙУ,
бу эса таърифга асосан ф нинг чизицли симметрии оператор
эканлигини билдиради:
5-теорема. Чизицли симметрии операторнинг характе-
ристик тенгламаси фацат цациций илдизга эгадир.
Исбот. Хо характеристик тенгламанинг илдизи булсин, А^СR
эканини исботлаймиз. Хо ни (57) даги X урнига цуйсак, (58) детер-
минант нолга тенг булгани учун (57) система ноль булмаган ечимга
эгадир, бу ечимларни рх. р......... Рл деб белгиласак, (56) система
цуйидаги куринишни олади:
Ьц Pi + bi2 р2 + . . . + btn Рп = ХоРц
^2iPi “Ь Ь22 Р2 + .. . + Ь2п Рп = х0р2,
Мх + ЬпгРг +••• + =
(бунда албатта барча bif £ R) (65) нинг цар бирини мос равишда
Pi, ~Р2....~Р„ сонларга (бунда ~Р/. сон ру нинг цушмаси-
дир, яъни р#. = а 4- ib булса, р- = а — ib, равшанки, ру цациций сон
булса, р;. = pz) купайтириб, чап томонларини ва унг томонлари-
ни цадлаб цушсак,
Л Л _ л
2 2МЛ->.М <“>
fs=l /-'I «=1
_ Л
Р • Р > 0=> 2 ₽/₽'> О» У ^олДа нинг цациций сон эканини
курс^типт учун (66) даги чап томоннинг з^аг^иций сон эканини кур*
сатиш кифоядир.
3=22 6,.р.р, булсин; bit =bjit Р,- =р,- эканиии цисобга олсак,
z-i |=1 ' '
s = 2 2 ч₽<=й£ »«М<= МА-
Йигиндини англатувчи i ва / нинг уринларини алмаштириш билан
йигинди узгармаганлиги учун S = S, бу эса, S нинг цациций сон
эканлигини билдиради. У цолда (66; тенгликнинг уринли булиши
учун К,, цациций сон булиши керак. ▲
Бу теоремадан цуйидаги натижа келиб чицади: цар цандай
чизицли симметрии оператор камида битта хос цийматга эга.
Хацицатан цам, (58) тенглама алгебраик тенгламадир, де-
мак, унинг камида битта илдизи мавжуд, юцоридаги 5-теоре-
мага асосан у илдиз Ко цациций сондан иборат. Бу сон берил-
ган симметрии операторнинг хос цийматидир.
6-теорема. Чизицли симметрик операторнинг цар хил
хос цийматларига мос келган хос векторлари узаро ортогонал-
дир.
Исбот. К, р сонлар берилган <р чизицли симметрик опе-
раторнинг цар хил цийматлари булиб, улар билан аницла-
надиган хос векторлар мос равишда х, у булсин: <р (х) = Хх, <р (у)=
=\ху, бу операторнинг симметриклигвдан => <р (х) у = х <р (у), лекин
ф(х)у= Хх-у = l(xy), * <р(у) = хру= p(xz/)=>X (х • у)= ц (ху)=>
^(Х—р)(ху) = 0 ва Ху=ц=>х - у = 0=#-х -Lt/.
7- теорема. Епфазодаги царцандай чизицли симметрик опера-
тор учун шундай декарт базиси мавжудки, бу базиснинг цар бир
вектори шу операторнинг хос векторидан иборат.
Исбот. п—1 булсин, (52) тенглама х[ = Ьпх, куринишда бу-
—>• —► —*-
либ, х =#= 0 вектор узининг образи <р (х) билаи фацат сонли
купайтувчи билан фарц цилади, демак, бу вектор чизицли оператор-
1 1 ~*
нинг хос вектори экан; =------- десак, -------- х = бирлик век-
1х| \ X |
тор булиб, бир улчовли фазонинг базисидир.
Энди математик индукция методини цуллаймиз, яъни теорема
Еп{ фазо учун уринли булиб, уни Еп учун уринли эканини курса-
тамиз. <р оператор Еп нинг симметрик оператори булсин. 5- теорема-
га асосан у цациций X хос цийматга эга, шу X га мос келувчи хос
—>• I —*- —*-
вектор г булсин, у цолда г = ех вектор бирлик вектордир.
_ "и
Бу вектор г дан фацат сонли купайтувчи билангина фарц цилгани
учун у X га мос келган хос вектор булади, яъни
Ф (ej = X ех. (67)
Еп даги ех га ортогонал барча векторлар туплами (л—1)
Улчовли цисм фазони цосил цилади. Бу фазонинг узи цам уз
УЛнда евклид фазосидир, чунки Еп да аницланган скаляр
купайтма Е^, учун цам уз кучини сацлаб, скаляр купайт-
манинг барча хоссалари Еп_, учун цам сацланади. Еп_{
—* ► ►
нинг ихтиёрий а векторини олайлик. У цолда a = 0 булиб, <р
нинг симметриклигини ва (67) ни эьтиборга олсак, е1-ф(а) =
= <p(ej)a= Xej-a = X(ej a)= Х О = 0. Бундан ф (а) векторнинг
цам ЕП1 га тегишли эканлиги куринади.
Демак, ф оператор Еп_| нинг цар бир векторига шу фазонинг
векторини мос келтиради. ф ни татбицлаш натижасида Еп1 да цо-
сил цилинадиган янги операторни ф! десак, цамда Еп даги ихтиё-
рий икки вектор учун (61) шарт уринли экани сабабли бу шарт
Еп_х фазодаги икки вектор учун цам уринлидир, чунки фх цам сим-
метрик оператор булади. Фаразга асосан теорема Еп1 да уринли
булганлиги учун шу фазода декарт базис мавжуддир. Бу базиснинг
цар бир вектори ф! нинг хос векторларидир; буларни е2, е3, .. . еп
десак, бу векторларнинг цар бири eY га ортогоналдир. Демак, ех
е2,.. ., е п лар Еп даги декарт базис булиб, чизицли сим-
метрии операторнинг хос векторларидан иборат. ▲
Натижа. Чизицли симметрии операторнинг матрицасини
декарт базисини таплаб олиш йулн билан диагонал курииишга
келтириш мумкин.
Таъриф. Ортогонал матрица ёрдамида бажариладиган
чизицли алмаштириш ортогонал алмаштириш дейилади.
Куйида биз ортогонал алмаштириш ёрдамида квадратик
формани каноник курииишга келтиришни курсатамиз. Лекин
ортогонал алмаштириш ёрдамида квадратик формани нормал
курииишга доимо келтириб булавермайди.
8-теорема. Бирор декарт базисига нисбатан квадратик
форма ва чизицли оператор бир хил матрицага зга булса, улар
бошца цар цандай декарт базисида цам бир хил матрицага
зга булади.
Исбо т. Ушбу
фЙ=2 2с<Лх/ (68)
1=1 /=1
квадратик форма билан чизицли f операторнинг матрицалари бирор
декарт базисида бир хил булсин дейлик: Ь{/ = сц.
f оператор х ни шундай х га акслантирадики, шу векторларнинг
координаталари цуйидагича боглангандир:
< = + С12*2 4- • • • + С|п*п’
*2 = С21*1 + С22*2 + • • • +С2пХП (69)
хп = Сп1 *1 4" Сп2Х2~^~ • • СппХп'
У цолда (68) квадратик формани цуйидагича ёзиш мумкин:
Ф (*. *) = 2 2 C4Xj I = 2 XlX'l = Х1 Х1 + Х2Х2 + • • • +
- - 4 = 1 \/’=1 / /=1
+ ХпХп=ХХ'-
(70)
Энди бирор декарт базисга утайлик: х, х' ларнинг шу базисга
нисбатан координаталари yit у2, .. , , уп, у\, у2, . . . , у'п булсин,
уларни богловчи формулалар
У\ = dlxyx +d12y8 4-. . . + dinyn,
У2 = d2i yi 4-d22у2 4- •. . 4- d2nyn,
Уп = ^У^ + ап2У2 + ••• + аппУп
булсин. У цолда х, х' нинг шу базисга нисбатан скаляр купайтма-
сини цисобласак, х х' = ух у\ 4-1/^2+ • - • 4- Упу'п ва (71) ни эъти-
борга олсак,
x-x/=yi(di1yi +d12y2 4- ... 4- dln!/n)4-y2(d21yi4-d22y24-
+ • • 4-^2пУп) 4- ... 4- yn(dnXyx +dli2y2 4- . .. 4- dnnyn) =
=2 ^(2 da | = 2 2 4/У/Уг
i=i \/=i J 1=11=1
(70) га асосан
——>- -> n n
<p(x,x) = x- x'=2 2 йцУ1У)-
l=\i=i
(72)
(71) билан (72) ни солиштириб, квадратик форма билан чи-
знцли оператор матрицаларииинг бир хил эканлигини курамиз.
9-теорема. \ар дандай квадратик форманинг узгарувчи-
ларини ортогонал алмаштириш ёрдамида бу формани каноник
куринишга келтириш мумкин.
Исбот. (68) квадратик форма берилган булсин. Бирор
декарт базисида (68) квадратик форма симметрик матрицага
эга булсин. Биз худди шу матрицали чизицли операторни ку-
райлик. Бу чизицли операторнинг характеристик тенгламаси
(58) га асосан
Сц С18 сш
^21 ^22 • • • С2п = 0. (73)
Сп1 Сп2 • • Спп
By тенгламанинг илдизларини Х2, . .. , Хп десак, 7- теорема-
Дря чиццан натижага асосан шундай декарт базиси мавжудки, унда
юцоридаги оператор матрицаси диагонал куринишга келапи ва унинг
диагонал элементлари Хх, Х2, . . . , Хп булади. У цолда квадратик
форма цуйидаги куринишни олади:
ф(*. *) = Mi + Мг + • • • + Мп (74)
(бунда X, лар неча каррали илдиз булса. улар (74) да шунча марта
цатнашади). ▲
У цолда янги базис векторлари эски базис векторлари орцали
в|= due^ + dl2_e2 + . .. + dln еп,
S2= d2l е1 + d22g2 + • • - + d2n еп>
еп = dni ei + dn2 «»+••.+ dmen
куринишда ифодаланиб, утиш матрицаси ортогоналдир. Демак,
квадратик формани каноник куринишда ёзиш учун (58) харак-
теристик тенгламани тузиб, унинг илдизларини топиш кифоя.
Энди янги декарт базисини топиш ва квадратик форманн ка-
ноник куринишга келтирадиган ортогонал алмаштиришни
излаш усулини курсатамиз.
Хл характеристик ^тенгламанинг бир каррали илдизи булсин. Бу
Хл ни (57) даги X нинг урнига цуйиб, cti = Ь.. эканини назарда
тутсак,
(сп — **)х, + с12х2 4- . . . + с1п хп = О,
С21 Х "I" (С22 ^*)*2 С2пХп = О’ /7СЧ
С„1*1 + Сп2Х2 + + (Спп-\)*,=0.
Бундан Хл га мос келувчи хос векторнинг координаталарини топамиз
(яъни (75) системани xlt хй, . . . , х„ га нисбатан ечиб, ноль бул-
маган ечимларини топамиз); топилган векторни модулига булиш на-
тижасида бирлик вектор цосил циламиз.
Энди Хл сон характеристик тенгламанинг т(т> 1) каррали ил-
дизи булсин. Бу вацтда цам Хл нинг цийматини (57) даги К нинг
урнига цуйсак, (75) га ухшаш система цосил булади. Бу система-
иинг т та ечимини шундай танлаб оламизки, координаталари шу
ечимлардан иборат т та векторнинг цар бири бирлик вектор булиб,
узаро ортогонал булсин. Равшанки, бу векторлар т улчовли век-
торли евклид фазосининг базиси булади, шу векторларни Еп нинг
цам базис векторлари сифатида цабул циламиз. Шунга ухшаш му-
цокамани цар бир Хл учун юритамиз. Барча Хл ларнинг сони п та
булгани учун (карралиги ва карралик сони билан олинади) жами п
та узаро ортогонал ва бирлик вектордан иборат декарт базиси цо-
сил цилинади.
1-мисол. 5*2 — — х% квадратик формани каноник кури-
нишга келтиринг ва янги базис билан зеки базисни богловчи муно-
сабатларни топинг.
Ечиш. (57) характеристик тенгламани тузамиз:
Ьц X bj2
Ь21 ^22 1
5—1 —4
-4 —1—1
= 0=>12 — 41—21 =0.
Бу тенгламани ечсак, 1! = 7, 12 = —3.
Изланган квадратик форма: 1у\—Зу2. Энди янги базис билан
зеки базисни богловчи муносабатни аницлайлик, lt = 7 га мос
келган хос векторни топайлик, бунинг учун бу цийматни цуйидаги
системадаги 1 нинг урнига цуямиз:
(Сц — 1) Xj 4- с12 х2 = 0, | (5 — 7) Xi — 4х2 = 0, ]
с21 Xi 4- (с22 — 1)х2 = 0, J — 4%j 4- (— 1 — 7)хг = 0, J
2х! 4- 4х2 = 0;
4xt 4- 8х2 = 0,
бундан 4~ 2х2 = 0 нинг ноль булмаган ечимларидан бирини, ма-
=-1. Шунга ухшаш.
салан, Xi= —2, х2 = 1 ни олсак, у цолда (—2, 1) векторнинг мо-
дули J/5 булиб, бирлик вектор: Шунга ухшаш.
га мос келган вектор е2—
2 \
булади.
Демак, янги базис векторлари зеки базис векторлари орцали
2 — . 1 — -1; 1 , 2 —
е, - 5 е1 + г/-5 е2’ е2 ~ f,-5 ei + у 5 е2
куринишда ифодаланади. Равшанки, утиш матрицаси
ортогоналдир (текшириб к^ринг). У цолда ортогонал алмаш-
тириш формуласи:
2.1 1.2
--7= У1 + Tir У*' Хг= 'rf У'+ Уй-
у о у о v 5 j/5
Бу цийматларни берилган квадратик формага цуйиб, юцорида
топ ил га н каноник куринишдаги квадратик форма цосил цила-
миз.
2- м и с о л. х\ 4- х£ 4- 4xt х2 4- х3 4- 4х2 х3 квадратик формани
каноник курииишга келтиринг.
Ечиш. Бу ерда: = 1, Ь22 = 0, Ь33=1, bi2 = 2, bi3=l,
b23 = 2, Ь32 = 2.
(57) характеристик тенглама:
Ьц X Ь12 b13
^21 t>32 ^23
Ьз1 b32 b33 X
1 — X 2 1
2 —X 2
1 2 1-Х
=0=> -Х34-2Х«+8Х=0.
Бу тенглама илдизлари XL = 4, Ха = —2, Х3 = 0; квадратик форма
4^— 2z/2 каноник куринишга келади.
48-§. Уч улчовли евклид фазосндаги квадрикалар
46-§ да п улчовли аффин фазодаги квадрикалар таснифи
билан муфассил танишдик. Уч Улчовли аффин фазода 17 хил
квадриканинг борлигини ошкор цилиш осондир. (39) даги
тенгламаларда k ни 1, 2, 3 сонлар деб олинса 17 та дар хил
тенглама цосил циламиз.
Шу квадрикаларни уч улчовли евклид фазосида царасак,
декарт реперини цулай танлаб олиш йули билан ^уларнинг
тенгламаларинн цуйидаги жадвалда курсатилгандек цилиб
ёзиш мумкин (Уэгарувчиларни ult и2, и3 билан эмас, балки
эскича белгилашимизга мос равишда х, у, z деб оламиз).
№ Кеадрякаяииг содда тенгламаси Квадриканинг номн
1 Д2 Т П- ЭЛЛИПСОИД
2 х* у* г* + V + с2 1 мав^ум эллипсоид
3 — 4- — — — = 1 а2 4>2 с2 бир паллали гиперболоид
4 ж2 уъ # — — ‘ — 1 икки паллали гиперболоид
5 о II + + * мав^ум конус
6 + ^_А = 0 учи координаталар бошида булган
7 а2 Ьл & — +-^~ = 1 а» д2 конус эллиптик цилиндр
8 — + — = — 1 мав^ум цилиндр
9 = 1 а» 6» гиперболик цилиндр
10 X2 »2 — + —= 0 а2 Oz буйича кесишувчи 2 та мав- цум текислик
№ Квадриканинг содда тенгламаси Квадриканинг коми
И о2 z>2 иккита кесишувчи текислик
12 — = 1 а* икки Узаро параллел текислик
13 — = —1 а3 икки мавдум узаро параллел те- кислик
14 х2 = 0 устма-уст тушгаи икки текислик
15 -+4=2z о» Ь- эллиптик параболоид
16 -—У- = 2z а* 62 гиперболик параболоид
17 — = 2г а2 параболик цилиндр
Бу квадрикалариинг купчилиги билан биз III бобда танишиб
^тганмиз.
VI Б О'Б. ЦАВАРИЦ КУПЕЦЛАР
49- §. Тупламлар назариясининг баъзи тушунчалари
£3 (уч улчовли Евклид фазоси)да маркази О нуцтада ва
радиуси г га тенг шарни (О, г) билан белгилайлик, шу шарпи
чегараловчи сфера шарга тегишли булмаса, у одатда очикшар
деб аталади. Бу тушунчанн £2 Да царасак, очиц дойра Ех да
эса очиц кесма, яъни интервал цосил булади.
Таъриф. (О, г) очиц шар О нуцтанинг атрофи деб ата-
лади. Демак, Е2 да (текисликда) О нуцтанинг атрофи маркази
шу нуцтадаги очиц доирадан, Ех да эса Урта нуцтаси О даги
очиц кесмадан иборат.
Бирор М туплам берилган булсин.
Таъриф. Агар X нуцта узининг бирор атрофи билан М
тупламга тУлиц тегишли, яъни шундай г>0сон мавжуд булиб,
(X, г)с^М булса, у цолда X нуцта М нинг ички нуцтаси деб
аталади. М нинг ‘барча ички нуцталари туплами М нинг ичи
деб аталади ва у int М билан белгиланади.
Таъриф. Агар X нуцтанинг (X, г) атрофи мавжуд булиб,
у М тУплам билан умумий нуцтага эга булмаса, у цолда X
нуцта М нинг ташци нуцтаси деб аталади. М нинг барча ташци
нуцталари туплами ext М бнлан белгиланади ва у М нинг
ташцариси деб аталади.
Таъриф. X нуцтанинг цар цандай атрофи бир вацтда
цам М га тегишли, цам М га тегишли булмаган нуцталарнн
Уз ичнга олса, у цолда X нуцта М нинг чегара нуцтаси дейи-
лади; М нинг барча чегара иуцталари туплами дМ билан бел-
гиланади ва А! нинг чегараси дейилади. Бу таърифлардан ку-
ринадики, М тупламнинг ички нуцтаси албатта М га тегишли,
ташци нуцтаси М га тегишли эмас. Чегара нуцтаси А! га те-
гишли цам булиши мум-
кин, тегишли булмаслиги
197- чизма
в
цам мумкин экан.
Ми сол. 197-чизмада
квадрат тасвирланган бу-
либ, бу квадратга AD, АВ,
ВС кесмаларнинг нуцталари
тегишли, лекин CD кесма-
нинг нуцталари тегишли
эмас, у цолда N ички нуц-
та, Р ташци нуцта, Q чега-
ра нуцта булиб, М га те-
гишли, S нуцта эса чегара
нуцта булиб, А! га тегишли
эмас.
Е3 даги ихтиёрий Af тУп-
лам учун ички, ташци ва
чегара нуцталарнинг таъ-
рифидан бсвосита цуйидаги муносабатларнинг уриилилиги келиб
чицади (СМ билан Е3 тупламнинг М га тегишли булмаган
барча нуцталари туплами белгиланган, баъзан, у М нинг тул-
дирувчиси дейилади):
1. дМ = д (ext Л4) = дСМ. (1)
2. int М U ext М U дМ = Ея
3. int М П ext М = 0
4. ext М П дМ = 0.
5. int М П дМ = 0
Таъриф. М туплам учун intM=Af булса, бу туплам
очиц деб аталади.
Очиц шар, шунингдек томонларининг нуцталари кирмаган
учбурчак ва ц. к. лар очиц тУплам мисолидир.
Таърифдан цар цандай М туплам учун intAf нинг очиц
тупламлиги куринади.
Таъриф. Агар М тупламга унинг барча чегара нуцтала-
рини киритсак, цосил цилинган туплам М нинг ёпиги деб ата-
либ, у М билан белгнланади, демак, Af=dM|jAf.
Таъриф. Узининг ёпиги билан_устма-уст тушган туплам
ёлиц туплам деб аталади (яъни М=М булса).
Очиц М туплам учун extM U дМ ёпиц туплам булади, бу туп-
лам СМ дир.
Демак, очиц тупламнинг тулдирувчиси ёпиц тупламдир.
Ихтиёрий М туплам учун int М U ext М туплам очиц булади.
Хацицатан цам, шу тупламни N билан белгиласак, xQN булса, х£
€intM ёки xGextM. ext М ва intM тупламларнинг цар бири очиц
булгани учун х узининг бирор атрофи билан шу тупламларнинг би-
рига тегишли булади, у цолда шу атроф N га цам тегишли, демак,
N очиц тупламдир. Шунга ухшаш, исталган сондаги очиц туплам-
ларнинг бирлашмаси цам очиц туплам эканлигини курсатиш мумкин.
У цолда (1) даги муносабатларнинг иккинчисига асосан
дМ — E3\(extM U intM)
ва exiM J int М нинг очиц туплам эканлигидаи дМ ёпиц туплам деган
хулоса чицади. Демак, цар цандай тупламнинг чегараси ёпиц туп-
ламдир.
50- §. Цавариц фигуралар
Нуцталардан ташкил топган цар цандай тупламнинг фигура
&В6 аталишини эслатиб утамиз.
Таъриф. F фигуранинг ихтиёрий икки А, В нуцтасини
ЛУгаштирувчи АВ кесманинг барча нуцталари F га тегишли
дулса, F цавариц фигура деб аталади. Буш туплам ва битта
р^Цта цам цавариц деб олинади.
198- чизмада тасвирланган фигуралар цавариц, лекин 199-
198- чизма
199- чизма
чизмадаги фигуралар эса цавариц эмас, фазовий фигуралар-
дан шар, пирамида, доиравий цилиндр ва ц.к. цавариц фигу-
раларга мисолдир.
Бу фигураларнинг чегаралари узига тегишли ёки тегишли
булмаслиги мумкин. Бундан ташцари, шундай цавариц фигу-
ралар борки, улар ё тугри чизицца, ёки текисликка тегишли
булади; биринчи цолда бир улчовли, иккинчи цолда икки ул-
човли цавариц фигура берилган деймиз. Барча нуцтаси бир
текисликда жойлашмаган цавариц фигура уч Улчовли цавариц
фигурадир.
Бир улчовли цавариц фигуралар учтадир, улар кесма, нур ва
тугри чизицнинг узидир (бир Улчовли бошца цавариц фигура-
ларнинг мавжуд эмаслигини биз исботламаймиз).
Цавариц фигуралар цатор хоссаларга эга.
1. Кэвариц ясси фигура учун А g int F ва В £ int F булев, АВ кес-
манинг барча нуцталари цам int F га тегишлидир.
Исбот. F ясси цавариц фигура булсин. А. В нуцталар F нинг
ички нуцталари булгани учун шундай гА, гв сонлар топиладики,
(Л, гл), (В, гв) доиралар F га гула тегишли булади. F нинг цава-
риц эканлигидан бу доиралар ва уларга утказилган ташци умумий
уринмалар орасида цосил цилинган Fo фигура цам цавариц ва Foc.
czF (200-чизмада штрихланган соца). АВ кесманинг ихтиёрий нуц-
таси С булсин, у цолда гА, гв сонлардан кичигини гс деб олсак,
(С, гс) дойра Fo га тегишли ва f 0 с F булгани учун (С, rc) с F,
демак, С G int F. ▲
2°. F — цавариц фигура ва
А Е dF, Bt int F булса, АВ кес-
манинг А дан бошца барча нуц-
талари F нинг ички нуцтасидир.
3°. F цавариц фигура ва
А Е dF, B£dF булса, АВ с dF
ёки АВ кесманинг учларидан
бошца барча нуцталари F нинг
ички нуцтаси булади.
Бу икки хосса цам Г га ух-
шаш исботланади.
4°. F цавариц фигуранинг ич-
ки нуцтасидан утган и тугри чи-
зиц F нинг иккитадан ортиц че-
гара нуцтасини уз ичига олмай-
ДИ. 200- чизма
Исбот. М0£и, MoEintF
булсин. Фараз цилайлик, и тугри чизицда F нинг иккитадан ор-
тиц, аницроги, учта нуцтаси булсин, уларни А, В, С билан белги-
лайлик. Бу уч нуцтанинг камида иккитаси, масалан, А, В лар Мо
нинг бир томонида ва Л, В нинг биттаси, масалан, В нуцта А би-
лан Мо орасида ётади; демак, 2° га асосан В нуцта F нинг ички
нуцтасидир. Бу эса В ни чегара нуцта деган фаразимизга зиддир. ▲
5°. Агар и тугри чизиц цавариц F фигуранинг битта цам ички
нуцтасидан утмаса, F фигура и тугри чизиц билан аницланадиган
ёпиц ярим текисликлардан фацат бирига тегишлидир.
Исбот. AEintF, А£и булсин. А нуцта ва и тугри чизиц
билан аницланадиган ярим текисликни [и, А) деб белгилайлик, Fez
с: [и, А) эканини исботлаймиз. Агар F га тегишли, лекин [н. А)
ярим текнсликка тегишли булмаган В нуцта мавжуд деб фараз цнл-
.сак, АВ кесманинг барча нуцталари Г ёки 2° га асосан F нинг ич-
ки нуцталари булади цамда АВ кесма и тугри чизицни кесиб, ке-
симда цосил этилган нуцта F нинг ички нуцтаси булади. Бу эса
шартга зид. Демак, F нинг барча нуцталари [и, А) га тегишлидир.
1-теорема. Исталган сондаги цавариц фигураларнинг ке-
сишмаси цам цавариц фигура булади.
Исбот. (Fa) —исталган сондаги цавариц фигуралар туплами
берилган булсин. Бу фигураларнинг барчасининг кесишмасини F деб
белгилайлик {F=ft Fa). Агар F туплам буш ёки битта нуцтадан
иборат булса. таърифга асосан бу фигуралар цаварицдир. Энди F
камида иккита А, В нуцтага эга булсин дейлик: А Е П F, BQ
у цолда бу А, В нуцталар Fa нннг цар бирига тегишли-
Ддр. Fa нинг цаварицлигидан АВ кесма a: Fa, демак, АВ кесма с
булиб, F цаварнцдир.
Ихтиёрий F фигура берилган булсин.
Таъриф. F фигурани уз ичига олувчи барча цавариц фигура-
ларнинг кесишмасидан цосил этилган фигура F нинг цавариц цоби-
fu деб аталади ва (F) деб белгнланади.
Бу таърифдан куриниб турибдики, F цавариц фигура учун
(F) = F, лекин цавариц булмаган F учун (F) дир. Ft цавариц
фигура учун F a f\ булса, таърифдан равшанки, F ст (F) cz Ft.
Шу маънода, фигуранинг цавариц цобиги шу фигурани уз ичига
олувчи энг кичик цавариц фигурадир.
Мисол. Битта нуцтадан иборат F фигура учун %(F) = F.
Иккита А, В нуцтадан иборат фигура учун К, (F) = АВ кесма; бир
тугри чизицда ётмаган учта А, В, С нуцтадан иборат F фигура
учун (F) фигура учлари А, В, С нуцталарда булган учбурчакдан
ва бир текисликда ётмаган туртта А, В, С, D нуцтадаги фигура
учун эса (F) учлари шу нуцталардаги тетраэдрдан нборат.
2-теорема. (F,) cz(F2).
Бу теоремани исботлаш учун цавариц фигура ва цавариц цобиц
таърифларини эслаш кифоя (мустацил исботланг).
3-теорема. Ихтиёрий икки Flt F2 фигура учун
U F2) = K(^(F1) U F2).
Исбот. F\ (J F2c:t{(F1) (J F2 (*) булгани учун 2- теоремага
асосан
/((F^FMVUFJU F2). (**)
Лекин /((F, U F^ фигура A (Fx) билан F2 ни уз ичига олувчи
цавариц фигура булгани учун 2- теоремага асосан
U F^cz^tFx U Fa). (***)
(**). <***) дан К (Ft U F2) = /{(/{(FJ U F2). а
F — текисликдаги цавариц туплам ва А — шу текисликка те-
гишли булмаган нуцта булсин. F нннг цар бир N нуцтасини А би-
лан туташтиришдан AN кесмалар тупламини цосил циламиз. Шу
тупламни цисцача К (FA) деб белгилаб, уни А учли ва F асссли ко-
нус деб атаймиз.
Агар F битта В нуцтадан иборат булса, К. (В, А) = АВ кесма,
F =ВС булса, К (F, А) = △ ABC. F = aBCD цолда К (F, А) фи-
гура ADUU учоурчакли пирами-
да булади (201-чизма).
4-теорема. А нуцта ва
цавариц фигура учун цуйидаги
муносабат дринлидир;
K(F, A) = f$(F U Л)-
Исбот. AEF булган цолда
К (F, А) = F булиб, теорема
уринли. А ё" F цолни царайлик.
Равшанки, A (J F фигурани уз
ичига олувчи цар цандай цавариц
фигура K(F, Л) ни цам уз ичига
олади. У цолда теореманинг
уринлилигини курсатиш учун
K(F, Л) нинг цавариц эканини
202- Чизма
курсатиш керак.
VМ, NE K(F, Л) ни олайлик, у цолда М нуцта АВ кесмага, N
эса тегишли цамда В, СЕ F булиб, F цавариц фигура булгани учун
кесма ВС a Fo. Бундан кесма MN с △ АВС булиб, △ АВС с: К (F,
Л), демак, кесма MN а К (F, Л) ва /С (F, Л) — цаварнц (202-
шакл). ▲
Биз юцорида цавариц фигураларнинг баъзи хоссалари билан тани-
шиб утдик. Энди цавариц фигурани цосил цилиш масаласига тухта-
лайлик.
Одатда, биз урганадиган цавариц фигуралар цуйидаги икки усул-
нинг бири орцали цосил цилинади.
I у су л. 1-теоремага асосан цавариц фигураларнинг ке-
сишмаси цам цавариц фигура булгани учун текисликда цава-
риц фигураларнинг соддаси сифатида яримтекисликлар оли-
нади. Уларнинг кссишмасидан цосил цилинган цавариц фигу-
ралар текширилади, фазода эса яримфазоларнинг кесишмаси-
дан цосил этилган фигуралар царалади.
II у су л. Цавариц фигуралар шу фигурага нисбатан сод-
дароц болтан фигураларнинг цавариц цобиги сифатида цосил
цилинади. Купинча, бу содда фигуралар сифатида чекли сон-
даги нуцталар ёки чекли сондаги нурлар, ёки чекли сондаги
нуцталар ва нурлар царалади. Чекли сондаги нуцталарнинг
цавариц цобигини цараш текисликда чегараланган купбурчак
тушунчасига, фазода эса чегараланган цавариц купец тушун-
часига олиб келади. Чекли сондаги нурларнинг цавариц цо-
бигини цараш купёцли бурчак тушунчасига олиб келади.
51-§. Цавариц купбурчаклар
Тайин П текислик ва шу текисликда F цавариц фигура берилган
булсин. исП тугри чизиц F нинг ички нуцтасидан утмасин.
У цолда F П и = dF (] и. Демак, и турри чизиц dF билан кесишмас-
лиги, битта умумий нуцтага эга булиши ёки умумий кесмага эга
булиши ёки умумий нурга, ницоят умумий шу тугри чизицца эга
булиши мумкин.
Таъриф. F цавариц фигуранинг dF чегараси чекли сон-
даги кесма ва нурларнинг бирлашмасидан иборат б^лса, F
цавариц купбурчак деб аталади. Бунда dF да бир вацтда кес-
ма ва нурларнинг булиши талаб цилинмайди; агар dF нинг
таркибида камида битта нур б^лса, F чексиз цавариц купбур-
чак ва dF нинг таркибида фацат кесмаларгина цатнашса, у
чегараланган цавариц купбурчак деб аталади/
203-а чизмада чексиз цавариц купбурчак, 203-6 чизмада
чегараланган цавариц купбурчак тасвирланган.
чакларнинг томонлари, бу томонларнинг умумий учлари куп-
dF нинг таркибига кирган кесмалар ва иурлар шу купбур-
бурчакнинг учлари деб аталади.
Купбурчак одатда учларини белгиловчи нуцталар ёрдамида
ёзилади, масалан, 203- б чизмадаги бешбурчак А^АзА^Аз
деб ёзилади. Карфлар тартиби купбурчак чегарасн орцали
маълум йуналишда (масалан, соат мили царакати йуналиши-
да) олинади.
203- чизма
204-чизма
5- т е о р е м а. Цавариц купбурчак узининг бир томони ор-
цали утган тугри чизиц билан аницланадиган ярим текислик-
лардан фацат бирига тегишли б ц лад и.
Исбот. F бирор цавариц купбурчак булсин, унинг ихтиёрий
томони и булиб, шу томон орцали утган тугри чизицни и деб бел-
гилайлик (204- чизма). Фараз цилайлик, цавариц купбурчак и тугри
чизиц билан аницланган Пр П2 ярим текисликларнинг бирига эмас,
балки иккаласига цам тегишли булсин. F нинг бирор ички нуцтаси-
ни А деб белгилайлик. Ички нуцтанинг таърифига асосан унинг
шундай (Л, гл) атрофи мавжудки, (Л, rA) с: intF булиб, (Л, гА) П
П и = 0. (Л, гА) дойра и нинг бир томонида булсин. Фаразга кура
и нинг икки томонвда F нинг нуцталари ётгани учун Л тегишли
булмаган яримтекисликда F нинг бирор В нуцтасини оламиз, В е int F
ёки BE6F булиши мумкин. Ка^си цол юз беришидан цатъи на-
зар АВ кесманинг Л учи ички нуцта булгани учун юцоридаги Г-
ёки 2°- хоссаларга асосан АВ нинг барча нуцталари (В Е 6F булса,
В дан бошца) F нинг ички нуцтасидир, АВ кесма и тугри чизицни
бирор N нуцтада кесиб, бу нуцта бир вацтда и га ва int F га тегиш-
ли булади. Ички нуцта чегара нуцта була олмагани учун зидлик
цосил цилинди. ▲
6-теорема. Цавариц кдпбурчак \ар бир томонидан утган
тугри Чизиц билан аницланадиган ва шу кдпбурчакни дз ичига
олувчи барча яримтекисликлар кесишмасидан иборатдир, яъни
кдпбурчакнинг томони п та бдлса %амда \ар бир П- ярим те-
кислик F ни дз ичига олса, у цолда
Исбот. Равшанки,
F= П П- .
г ,-2| и/
F <= П П-..
i=i u i
(*)
, n
Фараз цилайлик, шундай В нуцта мавжуд булсинки, у В е (") Пш
г <=1
__
В е F булсин. Ае int F ни олайлик. У цолда АВ кесма dF ни
^нрор N нуцтада кесади, dF = П Пй,, демак, N нуцта и, нинг би-
^юртасига тегишли цамда А, В нуцталар томоннинг икки томо-
дада жойлашиб цолади, бу эса В нуцта П;г. яримтекисликка тегиш-
п
эмаслигини билдиради, хуллас В $ Г) Пг,- , бу эса фаразга зид-
; 7-теорема. Чегараланган цавариц кдпбурчак шу кдпбурчак
прининг цавариц цобисидан иборатдир.
Йсбот. F чегараланган цавариц купбурчак ва унинг учлари
Ли .. . , Ап булсин. п = 3 булса, теорема равшан, чунки бу
50- § да мисол тарицасида курганмиз.
'k=n— 1 учун теорема уринли деб олиб, k =п учун исботлай-
£ F нинг Л2Лл диагоналини утказамиз (цавариц купбурчакнинг
р цушни булмаган икки учидан утган тугри чизиц унинг диаго-
деб аталади). У цолда Г = дЛ1Л2Лл (J F' (бунда F' фигура
А2, А3, ... , А нуцталарда булган цавариц купбурчак)
индукция методига асосан
U А3 U- • • U Лл) = F'.
ага асосан
(ДАЛИ, U F') = А^А,) и F') = и F') =
= дЛИгА U F = F. А
8- теорема . Лр А2, ... , Ап (п > 2) бир текисликда булиб,
улар; 1) бир тугри чизикда ётса, уларнинг цавариц цобиги кесма,
2) бир тугри чизицда ётмаса, уларнинг цавариц цобиги цавариц
купбурчак булади.
Исбот. Агар берилган нуцталар бир тугри чизицда ётса, цо-
бицнинг таърифига асосан теорема равшан.
Теореманинг иккинчи цисмини исбэтлайлик. At, А2....Ап (п >
> 3) нуцталар бир тугри чизицда ётмасин. л = 3 булган цолда Лр
А2, Л3 нуцталарнинг цавариц цобиги учбурчакдир. Теоремани п — 1
та нуцта учун уринли деб олиб, п та нуцта учун исботлаймиз.
(A U Л2 U • • • U Лп_1) ва Д (A, (J А2 IJ ... (J Лп) ни мос ра-
вишда Fn_p Fn билап белгилайлик. У цолда Д (Fn_j) = Fn l, шу-
нинг учун
Fn=K^(Fn_l){JAn) = KU-n_l U А„).
4- теоремага асосан U Лп) = KF(Fn_lt Лп), бундан Лр А2,
... , Ап — бнр текисликда олингаии учун A (Fn_|, Лл) конус цава-
риц купбурчакдан иборат. Ап нуцта At, А2.......Лл-1 нуцталар-
нинг цавариц цобигига тегишли булмаса, Ап шу конуснинг учи, яъни
купбурчакнинг учи булади ^акс цолда, албатта Ап нуцта купбур-
чак учи булмайди). ▲
Энди купбурчакнинг ички бурчаги тушунчасини киритайлик.
Учлари А,, А2.......Ап нуцталарда булган купбурчакии F билап
белгилайлик. Равшанки, бу учларнинг ихтиёрий учтаси бир тугри
чизицда ётмайди. F нинг ихтиёрий бир учини, масалан, At ни олай-
лик цамда учи At нуцтада булган п — 1 та Л,Л2.............AtAn
нурларни утказайлик. Бу нурлар цар хил булиб, иккитаси бир туг-
ри чизицда ётмайди. А^, AlAk (i^k, i, k = 2,3, ... , n) нур-
лардан цосил булгап бурчакларнипг ёйиц бурчакдан кичик булгани-
пи Z- АУ^А* деб белгиласак, I, k лар 2, 3, .... п цийматлар-
г Л г- (П------ 1) (.tl — 2)
ни цабул цилгани учун учи Л, нуцтада булган -------------- та
бурчак цосил циламиз.
• Бу бурчаклардан энг каттасини (яъни цолган бурчакларнипг
барчасини уз ичига олувчи бурчакни) Z_A2AxAn билан белгилап-
лик, у цолда бу бурчак цуйидаги икки хоссага эга:
1°. Бу бурчакнинг цар бнр томони F пинг Л, дан бошца яна
битта учидан утади.
2°. F cz Z. A2AiAn, чунки бу бурчак ёйиц бурчакдан кичик
булиб, уни иккита ёпиц ярнм текисликнинг кесишмаси деб царасак,
бу яримтекисликларнинг цар бирида Лр Л2.......... Ап нуцталар
борлиги учун бу нуцталарнинг цавариц цобиги цам (яъни F куп-
бурчак) шу кесимда булади.
Таъриф. Юцорндаги нкки хоссага эга булган бурчак F куп-
бурчак нинг А учидаги ички бурчаги деб аталади.
Демак, цавариц п бурчакда п та ички бурчак бор экан. У рта
мактаб геометрия курсидан маълумкн, .\ар цапдай цавариц п бурчак
барча ички бурчакларининг йигиндиси 2d (и— 2) га тенгдир.
Агар купбурчакнннг барча томонлари узаро конгруэнт ва
бурчаклари цам узаро конгруэнт булса, у мунтазам купбурчак
деб аталади.
Масалан, тенг томонли учбурчак мунтазам учбурчакднр,
квадрат мунтазам туртбурчакдир, лекин ромб мунтазам турт-
бурчак эмас, чунки томонлари Узаро конгруэнт булгани бнлан
бурчаклари узаро конгруэнт эмас.
52- § Кавариц купёцлар
Е3 да барча нуцталари бир текнсликка тсгишлн булмаган
цавариц М туплам берилган булсин; равшанки, бу тупламнинг
бир текисликда ётмаган камида туртта нуцтаси мавжуддир.
У цолда М туплам учларн шу нуцталарда булган тетраэдрни
Уз ичига тула олади, демак, М туплам Е3 га нисбатан ички
нуцталарга эгадир.
Таъриф. Е3 га нисбатан ички нуцталарга эга булган
ёпиц цавариц туплам цавариц жисм деб аталади.
Шар, шар сегмепти, призма ва ц. к. цавариц жисмга мпсол
була олади.
М цавариц жисм цуйидаги хоссаларга эга.
1. Af int/И, Be int [АВ| с: int М (АВ —кесма),
2. А^дМ, Be intМ => АВ кесманинг А дан фарцли барча нуц-
талари М нинг ички нуцталари булади.
3. Ае&М, В е дМ-* [АВ\ с: дМ ёки АВ кесманинг А, В дан
бошца барча нуцталари М нннг ички нуцталари булади.
4. Агар и тугри чизиц М нинг бирорта ичкн нуцтасидан
Утса, у М нинг купи билан иккита чегара нуцтасидан утади.
5. Агар П текисликда М нипг ички нуцтасн булмаса, М
нинг барча нуцтаси П билан аницланадиган иккита ёпиц ярим
фазодан бирига тула тегишли булади.
Бу хоссаларнинг исботи «50- § даги цавариц фигура хосса-
ларининг исботидан фарц цилмайди. Шунинг учун биз бу
ерда бу хоссаларни исботламаймиз.
Таъриф. Агар М цавариц жисмнииг чегараси (яъни дМ)
чекли сондаги цавариц купбурчаклар бирлашмасидан иборат
булса, у цавариц купец деб аталади.
Агар дМ нинг таркибида камида битта нур булса, бундан
купец чексиз цавариц купец деб аталади.
Агар дМ фацат чегараланган купбурчаклардан иборат бул-
са, М чегараланган цавариц купец деб аталади. дМ ни ташкил
Цнлувчи цавариц купбурчакларнинг хам бири М нинг ёги деб
аталади. Екларпинг умумий томонлари кавариц куисцнинг
цирралари, цирраларининг умумий учлари купёцнинг учи деб
аталади.
Барча цавариц к^пёцлар цуйидаги икки хоссага эга.
1. М цавариц купёцнинг цар бир ёги билан аннцланадиган
П текисликда М нинг ички нуцтаси б^лмайди.
Исбот. Тескарисини фараз цилайлик, яъни Мое int Л4 булиб,
Мое П булсин. П текисликда ётган ва Л40 нуцтадан утувчи и тугри
чизицни олайлик, равшанки, бу и тугри чизиц П текисликда ётган
ёц билан иккитадан куп умумий нуцтага эга булади, бу эса шу па-
раграфдаги 4- хоссага зиддир.
Бу хоссадан ва юцоридаги 5° ни эътиборга олсак, цуйидаги
иккинчи хосса келиб чицади.
2. М цавариц купёцнинг барча нуцталари унинг бирор ёги
ётган текислик билан -аницланадиган ёпиц ярим фазолардан
бирига тула тегишлидир.
М нинг барча нуцталари Pk ёги ётган П текислик билан аниц-
ланган ёпиц яримфазолардан бирига тегишли булса, шу яримфазо
М нинг Pk билан аницланган яримфазоси дейилади.
Теорема. Кар цандай цавариц купец узининг цар бир
ёги билан аницланган барча яримфазолар кесишмасидан
иборатдир.
Исбот. М цавариц купёцнинг ёцларини Рг, Р2, ... , Рп би-
лан белгилайлик. М нинг шу ёцлари билан аницланган яримфазо-
ларни Пр П'.......Щ деб олайлик. П' Г) (") ...(") П' = /) П^ =
4=1
= 5 десак, S = М эканини исботлаш керак, W е М булсин, у цол-
да цавариц купёцнинг 2°-хоссасига асосан Ne IT, N еЩ, ... ,
N Е Пд, демак, N е S. Qe M ни олайлик, у цолда Q е ext М булиб,
ON кесма М нинг бирор Р, ёги билан аницланган П(- текисликни
кесади. булгани учун Q^n'., демак, Qe S. Бундан курина-
дики, М га тегишли нуцталаргина S га тегишли булади, демак,
S = M. ▲
Бундан цуйидаги хулоса келиб чицади.
Хар цандай цавариц купёцни чекли сондаги ёпиц ярим
фазоларнинг кесишмасидан цосил цилинган деб цараш мумкин.
Баъзи китобларда бу Х|улоса цавариц купёцнинг таърифи
сифатида цам цабул цилинади.
53- §. Цавариц купёцнинг куп ёцли бурчаклари
Аввало куп ёцли бурчак тушунчаси билан танишиб утайлик.
П текисликда А1А2 ... Ап купбурчак ва П нуцта берилган
булсин.
Таъриф. Учи S нуцтада булиб, АгА2 . .. Ап купбурчак-
нинг цар бир N нуцтасидан утган SN нурлар туплами кдп ёцли
бурчак деб аталади ва у . Ап билан белгиланади. S нуц-
та куп ёцли бурчакнинг учи, SAlt SA2, .. . ,SAn нурлар эса цир-
раларй, Z_A1SA2, Z_A2SAs, , Z-AnSAt бурчаклар унинг
ясси бурчаклари деб аталади. Куп ёцли бурчакнинг умумий цирра-
га эга булган цар икки ёгидан тузилган фигура унинг икки ёцли
бурчаги дейилади.
Равшанки. AtA2...An купбурчак цавариц булса, SA1A2.../ln
к^п ёцли бурчак цам цавариц фигура булади, биз фацат цава-
риц купёцли бурчаклар билан танишамиз. Куп ёцли бурчаклар ёц-
ларининг сонига цараб уч ёцли, турт ёцли, ... , п ёцли булиши
мумкин (205- чизма).
205- чизма
К^п ёцли бурчаклар учун
цуйидаги теоремалар уринлидир.
Теорема. Уч ёцли бурчак
Кор бир ясси бурчагининг миц-
[фори црлган икки ясси бурчаги
\'мицдорларининг йипшдисидан
Ъ&шкдир.
Ь; Исбот. SABC уч ёцли бур-
чак берилган булсин (206- чиз-
je). Агар шу уч ёцли бурчак
ла ясси бурчагининг мицдор-
тенг булса, теорема рав-
•дар. Фараз цилайлик, ASC>
булсин. У цолда CS
чизиц ва А нуцта
билан аницланадиган ярим текисликда учи S нуцтада ва бир томо-
Hii^SC нурда булган шундай CSD бурчак мавжудки, у бурчак
CSB бурчакка конгруэнт. D нуцтани шундай оламизки, SB=SD
булсин. У цолда АС < АВ + ВС ва АС = AD -г DC булгани учун
AD < АВ. △ ASD билан л AS В ни таццосласак, ASD <ASB-, бу
тенгсизликнинг иккала цисмига конгруэнт Z_ CSB, / CSD бурчак-
ларнинг мицдорларини цушамиз:
207- чизма
ASD +CSD < AS В + CSB ёки
ASC < ASB±CSBa.
Теорема. Цавариц кдп ёк-
ли бурчакнинг барча ясси бур-
чаклари мицдорларининг йигин-
диси 4d дан кичик.
Исбот. л ёцли S/lj/la. . .Ап
бурчакни курайлик (207-чиз-
ма). AtA2 . . . Ап купбурчакнинг
цар бир учини тайин уч ёцли
бурчакнинг учи деб олиш мум-
кин, масалан, Ах ни Л^ЗЛл
уч ёцли бурчакнинг учи деб, Л2
ни A2A3SAi уч ёцли бурчакнинг
учи деб ва ц. к. олиш мумкин.
Шу уч ёцли бурчакларнинг цар
бирига аввалги теоремани татбиц
циламиз.
Л2Л,ЛЯ < Л2Л>5 + ЛПЛ15,
Л1Л2ЛЭ < Л^г'? + ЛэЛа5,
Бу тенгсизликларнинг барчасини чап ва унг цисмларини мос ра-
вишда цушеак, чап цисмида Л,Л2...Лпп бурчак ички бурчак-
ларининг йигиндиси цосил булиб, у 2d (п 2) га тенгдир, унг то-
монда эсал Л,5Л2, лЛ25Л3.........△Лл5Л1 учбурчакларнинг барча
ички бурчаклари йигиндиси билан шу учбурчакларнинг S учидаги
бурчаклари йигиндисининг айирмаси цосил цилинади:
2d{n — 2) < 2d n— Q, (*)
бунда Q —берилган п ёцли бурчакнинг учидаги ясси бурчакларнинг
йигиндиси. У цолда (*) дан Q<4d. А
Таъриф. Цавариц купёцнинг бирор А учини олайлик.
У цолда А нуцтани шундай куп ёцли бурчакнинг учи деб ца-
раш мумкннки, унинг ёцлари М нинг шу нуцтадан чиццан ёц-
лари, цирралари эса М нинг шу нуцтадан чиццан цирралари-
дан иборатдир. Бу к$п ёцли бурчак М нинг А учидаги куп. ёц-
ли бурчаги деб аталади.
Бу таърифдан цавариц купёц учларининг сони унинг куп
ёцли бурчаклари сонига тенг деган хулоса чицади. Масалан,
параллелепипеднинг 8 та уч ёцли бурчаги (8 та учи), туртбур-
чакли пирамиданинг эса 4 та уч ёцли бурчаги ва бнтта тУрт
ёцли бурчаги (5 та учи) бордир.
54- §. Мунтазам купёцлар
Купёцнинг барча ёцлари конгруэнт мунтазам купбурчак-
лардан иборат булиб, цамма куп ёцли бурчаклари хам кон-
груэнт булса, у мунтазам купец деб аталади.
Равшанки, купёцнинг цар бир учидан камида учта ёги Ут-
ганлиги учун 53- § даги иккинчи теоремага асосан шу учдаги
барча ясси бурчакларнинг йигиндиси 4d дан кичикдир. Мунта-
зам купёцнинг ёцлари мунтазам учбурчаклардан иборат бУлса,
унинг цар бир учидан учта ёц утиши (чунки 3-60° <4d), туртта
ёц утиши (чунки 4-60°<4d), бешта ёц Утиши (чунки 5-60°<
<4 d) мумкин. Лекин бир учдан олтита ва нудан куп ёц утиши
.мумкин эмас (чунки бу цолда 6-60°=360°=4 d булиб, бу эса
юцоридаги теоремага зиддир). Демак, ёцлари мунтазам учбур-
чакдан иборат фацатгина уч хил мунтазам купец мавжуд бу-
лиши мумкин. Булар цуйидагилардир:
Мунтазам туртёц, одатда мунтазам тетраэдр деб юрити-
Уиииг 4 та ёги, 4 та учи ва 6 та цирраси бор (208- чизма).
Мунтазам саккизёц, баъзан октаэдр деб аталиб, унинг 8
та учи ва 12 цирраси бор (209- чизма).
210- чизма
3. Мунтазам йигирмаёц,
икосаэдр деб аталиб, унинг 20
та ёги, 12 та учи в А 30 та
цирраси бор (210-чизма).
Энди ёцлари мунтазам
т^ртбурчакдан, яъни квадрат-
дан иборат мунтазам купёц-
ни курайлик. Бундай мунтазам
купёцнинг цар бир учидан
фацат учта ёц чициши мум-
кин (чунки 3-90°<4d). Лекин
бир учдан туртта ва ундан
ортиц ёц чициши мумкин эмас
(чунки 4-90°=4d булиб, бу
эса иккинчи теоремага зид-
дир). Демак, ёцлари мунта-
зам туртбурчакдан иборат мунтазам купёц' фацат бир тур
булиб, кубдан иборат, куб баъзан гексаэдр деб юритилади. Куб
6 та ёцца, 8 та учга ва 12 та циррага эга (211-чизма).
Ецлари мунтазам бешбурчаклардан иборат мунтазам кУп-
ёцларнинг цам тури биттадир (чунки мунтазам бешбурчакнинг
битта бурчаги 108° булиб, 4408°>4d булади), уни баъзан
додекаэдр деб аталиб, 12 та ёцдан, 20 та учдан ва 30 та цир-
радан иборатдир (212-чизма).
Демак, мунтазам купёцнинг ёцлари фацатгина мунтазам
учбурчак, мунтазам туртбурчак, мунтазам бешбурчаклардан
гина иборат булиб, улар 5 турга б^линади. Бунинг цатъий
математик исботини кейинги параграфда берамиз.
Куйида биз шу мунтазам купёцлар тасвирини ясаш усу-
лини курсатамиз. Шуниси диццатга сазоворки, агар кубнинг
213- чизма 214- чизма
(гексаэдрнинг) тасвири маълум булса (биз кубнинг тасвирини
лсашии биламиз), унинг ёрдамида долган 4 та мунтазам купёц
тасвирини цосил цилиш цам мумкин.
1. Куб ёцларининг марказлари мунтазам октаэдрнинг уч-
лари ролини утайди (213-чизма).
2. Агар кубнинг бир учидан чиццан учта ёгннинг шу учдан
чиццан учта диагоналини утказсак, шу диагоналларнинг учлари
мунтазам тетраэдр учларининг тасвири булади (214-чизма).
3. Кубнинг бир учидан чиццан учта ёгини олайлик цамда
шу ёцлардан цар бирининг шундай Урта чизицларини утказай-
ликки, улар узаро перпендикуляр булсин (улар Узаро айцаш),
бу Урта чизицлар куб ёцларннинг марказидан утганлиги учун
бу чизицларнинг цар бирида шундай а кесма танлаб оламизки,
бу кесманинг Урта нуцтаси куб ёгининг марказида бУлсин;
бу.кесма учлари эса шундай жойлашганки, цар бир учдан
цУшни ёцда жойлашган худди шундай кесманинг яцин учига-
$4 булган масофа цам а кесма узунлигига тенг булсин, нати-
Мада, кубнинг уч ёгида жами 6 та нуцта цосил циламиз. Шу
З^уцталарнинг цар бирини кубнинг марказига нисбатан сим-
метрии кучирсак, кубнинг цолган ёцларида цам шундай 6 та
&уцта цосил булади, куб ёцларида жами 12 та нуцта цосил
Мйламиз. Шу нуцталарнинг цар бирини Узига яцин 6 та нуцта
Ls 12-5
убилаи туташтириб, ------=30 та кесма цосил циламиз. Бу кесма-
^Йриинг цар бири икосаэдр цирраларининг тасвири бУлади
3^15-чизма).
4. Юцорида цосил цилинган икосаэдр цар бир ёгининг
’ЯР*рлик марказн бирор додекаэдрнинг учларидан иборат бу-
(216-чизма).
И₽тГасвирда цосил цилинган купёц цацицатан цам мунтазам
эканини биз цатъий исбо.тламадик, уларнинг исботи унча
чураккаб булмасдан, цуйидаги битта мулоцазага асослан-
215- чизма
216- чизма
гандир: бирор уцни танлаб олиб, шу уц атрофида буриш билан
ёцни ихтиёрий ёц билан, куп ёцли бурчакни ихтиёрий к^п ёцли
бурчак билан устма-уст тушириш мумкин. Мунтазам кУпёц
моделини шу тасвирда курсатилган усулдан фойдаланиб яСаш
мумкин.
Агар купёцнинг барча учлари бирор сферада ётса, у цолда
бу сфера шу кУпёцца таищи чизилган дейилади, агар купёц-
нинг барча ёцлари бирор сферага уринса, бу сфера шу кУп-
ёцца ички чизилган деб аталади.
Мунтазам купёцлар учун цуйидаги уринли: цар цандай
мунтазам купёцца доимо ички ва ташци сфералар чизиш мум-
кин.
Бу фикрнинг уринли эканлигини курсатиш Уцувчига топши-
рилади.
55- §. Эйлер теоремаси
Юцорида келтирилган беш турдаги мунтазам купёц цуйи-
даги умумий хоссага эга: цар бир мунтазам кУпёцда учлар би-
лан ёцлар сонларининг йигиндиси цирралар сонидан иккита
ортицдир. ^ацицатан цам цар бир мунтазам купёц ёцлари
сонинн f, учлари сонини Z, цирралари сонини k билан белги-
ласак,
тетраэдр учун: / = 4, I = 4, k = 6,
октаэдр учун: f = 8, / = 6, k = 12,
гексаэдр учун f = 6, 1=8, k = 12,
икосаэдр учун: / = 20, Z = 12, k = 30,
додекаэдр учун: f = 12, Z = 20, k = 30,
буларнинг цаммаси учун: / + Z — k = 2.
Бу хосса фацат мунтазам купёцлар учун уринли булмасдан,
цуйидаги теорема бу хоссанинг кенг синфдаги купёцлар учун
цам уринли эканини тасдицлайди.
Теорема (Эйлер теоремаси). \ар цандай цавариц
купёцнинг ёцлари билан учлари сонининг йигиндиси цирралари
сонидан иккита ортицдир.
Исбот. Бирор М цавариц купёц берилган булиб, унинг ёцлари
сони f, учлари сонн /. цирралари сони k булсин. Бу цолда: f +1 —
— k = d десак, q = 2 эканини исботлаймиз.
Купёцнинг барча ёцлари бирлашмасини S билан белгилаб, уни
купец сирти деб атайлик. S дан битта ёцнипг ички цисмини чица-
риб ташлайлик, у цолда цолган сиртни S, десак, бу сиртдаги ёцлар
сони аввалги сиртга нисбатан битта камайиб, учлар сони Zlt цир-
ралар сони kx узгармай цолади, демак,
51 учун fi + l, — kt = q — 1.
Бу вацтда икки цол юз бериши мумкин:
1-цол. Si нинг барча ёцлари фацат учбурчаклардан ибо-
рат булиши мумкин. Фацат битта ёцца тегишли циррани (уч-
ни) чегаравий цирра (уч) деб атайлик. Чегаравий цирра ёки
уч булган ёцни цам чегаравий ёц деб атайлик. Бундан курина-
дики, цавариц купёцнинг сирти чегаравий ёцца, чегаравий
циррага ва чегаравий учга эга эмас. Масалан, параллелепипед
сиртида чегаравий цирра ва чегаравий уч йуц, лекин бир ёц-
нинг ичини чицариб ташласак, цолган сиртда 4 та чегаравий
цирра булади.
Кавариц купёцнинг сирти камида битта чегаравий булма-
ган циррага эгалигидан чегаравий ёц учбурчакдан иборат
булганда унда битта ёки иккита чегаравий цирра ва биттадан
ортиц булмаган чегаравий уч булиши мумкин. Равшанки, ёц
учбурчакдан иборат булганда у чегаравий учга эга бУлиши
учун албатта иккита чегаравий циррага эга булиши кер::к.
Si сиртдан чегаравий элементларга эга булган битта ёцпинг
-Лчини чегаравий элементлари билан чицариб ташлаймиз, цол-
,;гаи сиртни S2 билан, унинг ёцлари, кирралари ва учлари со-
чини мос равишда f2, Z2, k2 билан белгилиб, /2 + /2 — k2 ни цисоб-
чшйлик. Агар чицариб ташланган ёц битта чегаравий циррага эга
Х^Улса (бу вацтда чегаравий уч булмайди), /г+ 4 — k2 = (f—1)4-
!+• — (fti — 1) = /j + 1Х — kx = g — 1. агар чицариб ташланган ёц
№кита чегаравий циррага эга (албатта бу вацтда битта чегаравий
W4 цам шу ёцца тегишлидир) булса,
—= (Zi— 1) 4- (Zi — D —(^ — 2) = + l.-k^q-l.
«Демак, чегаравий циррага эга булган бир ёцнииг ичини чега-
З&равий элементлари билан чицариб ташласак, ft + li—ифода
гузгармайди. Худди шунга ухшаш, S2 дан чегаравий элемент-
pi эга булган бир ёцнинг ичини чегара элементлари билаи
ПЙцариб ташласак цам.
/э + Z3 k3 — q 1.
Щу ишни давом эттириб, охири битта учбурчак (5 кУпёцли
ИЙФтнинг битта ёги) цолгунча давом эттирамиз, равшанки, уч-
бурчак учун f 4-1 — k= 1 дир. Ёцларни битгадан камайтиришда
/ ( 4 lt — kt ифода доимо q — 1 га тенг булиб цолгани учун q —
—1 = 1 ёки q = 2. Шуни исбот этиш талаб цилинган эди.
2-цол. Sj сиртиинг ёцлари орасида томони учтаДрн кУп
булган ёц булиши мумкин. Бу ёцнинг шундай диагоналини
утказамизки, натижада бу ёцда камида битта учбурчак цосил
булсин, агар шу диагонални 51 нинг цирраси деб, цосил цилнн-
ган учбурчакни цам бир ёц деб олсак, S] да цирра ва ёцлар
сони биттадан ортиб, учлар сони узгармайди, демак A-Mi—ki
ифода цам Узгармайди.
Учбурчакли булмаган ёцларни учбурчакли ёцларга келти-
рилиши билан fi+li—ифода узгармас экан (бир неча ёцнинг
бир текисликда жойлашиб цолиши ацамиятсиздир). У цолда
S, нинг барча ёцлари учбурчаклардан иборат булиб, 1- цолга
келтирилади.
Натижа. Мунтазам кУпёцларнинг купи билан беш тури
мавжуддир.
АДАБИЕТ
1. Аз л а р ов Т. А. ва бошц. Математнкадан цУлланма, I ц. «Уцитувчн»,
Г, 1979 й.
2. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. «Наука»,
М., 1968 г.
3. Атанасян Л. С. Геометрия, часть I. «Просвещение», М., 1973 г.
4. А р г у и о в Б. И., Б а л к М. Б. Элементарная геометрия, «Просвеще-
ние», М., 1966 г.
5. Базылев В. Т., Дуннчев К- И., Иваницкая В. П. Геометрия,
часть 1., «Просвещение», М., 1974 г.
6. Бакельман И. Я. Аналитик геометрия ва чизицли алгебра. «Уци-
тувчи», Т., 1978 й.
7. Бахвалов С. В., Бабушкин Л. И., Иваницкая В. П. Анали-
тическая геометрия. «Просвещение», М., 1970 г.
8. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной ал-
гебры, «Наука», М., изд. 4. 1980.
9. Васильева М. В. Методические рекомендации и указания по гео-
метрии, часть I, 11. МГПИ, М., 1979 г.
10. Верн ер А. Л. Аффинная н евклидова-геометрии, вып. 1, Л., 1976 г.
11. Верн ер А. Л. Аффинная н евклидова геометрии, вып. 2, Л., 1977 г.
12. Е ф и м о в Н. В. Аналитик геометрия цисца курен. «Уцнтувчн», Т.,
1966 й.
13. Ефимов Н. В. Розен дор н Э. Р. Линейная алгебра н многомер-
ная геометрия. «Наука», М., 1970 г.
14. Моденов П. С., Пархоменко А. С. Геометрические преобразо-
вания. Изд-во МГУ, М., 1961 г.
15. Парнасский И. В., Па риасская О. Е. Многомерные простран-
ства: квадратичные формы н квадрики. «Просвещение». М., 1978 г.
16. Погорелов А. В. Аналитическая геометрия. «Наука», М., 1978 г.
МУНДАРИЖА
Суз бошн..................................................... 3
I БУЛИМ. ВЕКТОРЛАР АЛГЕБРАСИ ЭЛЕМЕНТЛАРИ.
ТЕКИСЛИКДАГИ ГЕОМЕТРИЯ
I боб. Векторлар алгебраси элементлари
1-§. Таърнфлар, белгнлашлар....................................... 5
2-§. йуналган кесмалар цацнда тушунча............................. 8
3-§. Вектор....................................................... 9
4-§. Векторлар устнда чизицли амаллар ............... 10
• Векторларни айнрнш............................................... 13
6-§. Векторни соига купайтириш................................... 13
7-§. Векторнинг Уцдаги проекцияси................................ 18
8-§. Векторларнинг чизицли боглицлигн............................ 24
9-§. Вектор фазонннг базисн ва Улчови цацнда тушурча............. 28
10- §. Векторнинг берилган базисга нисбатан координаталари .... 29
11-§. Координаталари билан берилган векторлар устнда амаллар . . 30
12- §. Икки векторни скаляр купайтириш............................. 31
13-§. Скаляр купайтмаиинг коордииаталардаги нфодаси................ 33
II боб. Текисликда координаталар методи
14- §. Текисликда координаталариинг аффин системаси................ 36
15-§. Кесмани берилган ннсбатда булиш............................... 38
16-§. Текисликда декарт координаталариинг тУгрн бурчаклн система-
си. Икки иуцта орасидаги масофа.............................. 40
17- §. Текисликнинг орнентациясн.................................... 41
18-$. Аффин координаталар системасини алмаштириш.................... 44
10-$. Декарт координаталари системасини алмаштириш.................. 46
20- $. Кутб координаталар системаси................................ 48
21' §. Нуцтанинг цутб ва декарт координаталари орасидаги богланиш . 49
22-§. Коордииаталарни богловчи тенглама ва тенгснзлнкларнинг гео-
метрии маъносн................................................. 50
Й-$. Алгебраик чнзиц ва унннг тартиби............................... 57
*$•$• Тугри чизицнинг турли тенгламалари............................ 59
28-$. Тугри чизицин теигламасига кура ясаш.......................... 64
26-$. Ах+Вр+С учцад ишорасипинг геометрик маъносн................... 65
27'$. Текисликда нккн т$гри чнзнцнинг Узаро жойлашишн............... 66
,2$<$- r?^11 4HMntnaP Дастаси 67
»tr$. Декарт реперида тугри чнзиц ва у билан боглнц булган метрик
чл V УсалалаР....................................................... 69
30- $. Нкки тугри чизиц орасидаги бурчак........................... 72
III боб. Текисликдаги алмаштирншлар
х1*5- уцламларни акслантириш ва алмаштириш.............. 75
• Алмашшришлар группаси. Алмаштирншлар группасннннг цисм
Р’УпиалаРи........................................ 79
царакатлар ва уларнинг хоссалари........ 81
в^’^ЛрМЛинг аналитик ифодаси............................ 84
«''л^г^М^ЗИнг асосий турлари........................... 86
36- §. Царакатлар тасинфн..................................... 97
37- §. Царакатнн Уцлн снмметрнялар кУпайтмаснга ёйнш.......... 100
38- §. Текисликда царакатлар группаси ва унинг цисм группаларн . . 102
39- §. Геометрнк фигураларнинг симметрия групшлари............ 105
40- §. Ухшашлик алмаштириши, гомотетия...................... 107
41-§. Ухшашлик алмаштириши — гомотетия билаи цгргкатнмнг купайт-
маси ....................................................... 112
42-§. Ухшашлик алмаштнришннинг аналитик ифодасн............... 113
43- §. Ухшашлик алмаштиришлари группаси ва унинг цисм группаларн 114
44- §. Аффин алмаштириш....................................... 116
45- §. Аффин алмаштиришнинг аналитик ифодасн.................. 121
46- §. Текисликдаги аффин алмаштнрншлар группаси ва унинг цисм
группаларн.................................................... 125
47- §. Инверсия, уиниг аналитик ифодаси ва хоссалари.......... 125
IV боб. Иккинчи тартибли чизицлар
48- §. Эллипс...................................................
49-§. Гипербола..................................................
50-§. Парабола...................................................
51-§. Эллипс ва гиперболанинг директрисалари.....................
52- §. Иккинчи тартибли чизицларнинг цутб коордииаталардагн тенг-
ламаларн ........................................................
53- §. Иккинчи тартибли чизицларнинг умумий тенгламаси..........
54- §. Иккинчи тартибли чнзнцлариииг таснифи.............
55- §. Иккинчи тартибли чизицни унинг тенгламаси буйича ясаш . .
56- §. Иккинчи тартибли чизиц маркази...........................
57- §. Иккинчи тартибли чизнцнииг тугри чизиц билан кесишишн . .
58- §. Асимптотик йуналишлар. Уринма ва асимптоталар............
59- §. Иккинчи тартибли чизнцнииг диаметрлари ..........
60- §. Иккинчи тартибли чизиципиг бош йуналишлари ва симметрия
Уцларн ..........................................................
131
139
147
153
156
159
165
168
Г ;
174
175
180
186
II БУЛ ИМ. ФАЗОДАГИ ГЕОМЕТРИЯ
I б о б. Фазода координаталар методи. векторларнинг
вектор ва аралаш купайтмаси
1-§. Фазода координаталарнинг аффин системаси.................... 191
2- §. Кесмани берилган нисбатда булиш........................... 192
3- §. ТУгри бурчакли декарт координаталар системаси............. 194
4- §. Фазодаги координаталарнинг бошца систсмалари.............. 195
5- §. Аффин координаталарии алмаштириш.......................... 197
6-§. Фазода ориентация......................................... 202
7- §. Координаталарии богловчн тенглама ва тенгснзликларнниг геомет-
рнк талцннн...................................................... 203
8- §. Иккн векторнинг вектор купайтмаси ва унинг хоссалари. Учбур-
чакиинг юзи .... 206
9- §. Уч векторнинг аралаш купайтмаси. Тетраэдрнинг цажми. Уч век-
торнннг компланарлнк шартн ...................................... 212
II боб. Текислик ва фазодаги тугри чизиц
10-§. Текисликнинг аффин репердагн турлн тенгламалари............ 217
11- §. Текнсликиннг умумий теигламаснии текшириш.................22'0
12- §. Ах + Ву+Сг+D ишорасинниг геометрик маъноси.................222
13-§. Декарт реперида текнсликка донр баъзи масалалар............ 223
14- §. Текисликлариинг Узаро вазияти..............................225
15- §. Текисликлар дастасн ва боглами............................ 230
16-§. Фазодаги тугрн чизиц....................................... 232
17- §. Икки тугри чизнцнинг Узаро вазяятн, икки тугри чизиц орасидаги
бчрчак. тУгри чизиклар боглямн ................. 235
18- §. Фазода текислик билаи тугри чизнцнииг Узаро вазнятн .... 238
Ill боб. Иккннхн тартибли снртлар ва уларнн каноник
тенгламалари буйича урганнш
19-§. Иккннчн тартибли г.иртларнннг тугри чнзнц ва текислик билан
кесишишн ......................................................
20- §. Сферик снрт..............................................
21-§. Иккинчи тартнблн цилиндрик снртлар.........................
22- §. Иккннчн тартнблн конус снртлар. Конус кеснмларн..........
23- §. Айланма снртлар..........................................
J4- §. Эллипсоид.................................................
2б-§. Гнпсрболондлар.............................................
26- §. Параболондлар............................................
27- §. Иккннчн тартнблн снртларнинг тугри чнзнцлн ясовчилари . . .
28- §. Иккннчн тартнблн снртнннг уринма тскнслнгн...............
IV боб. л улчовли аффин ва евклид фазоларн
29-§. Вектор фазо................................................
30* §. Аффин фазо ва аффин координаталар системаси...............
31- §. л улчовли аффин фазоларнннг нзоморфлнгн ................
32-§. k улчовли- текнслнк........................................
33- §. Икки текнслнкнннг узаро вазнятн..........................
34- §. Аффин алмаштиришлар......................................
35-§. Аффни алмзштнрншлар группаси ва унинг цисм группаларн . .
36-§. л Улчовлс -екторли евклнд фазоси...........................
37- §. л улчовли -звклнд фазоси..................................
ЗМ- $аРакат......................................................
39- §. £3 н:с- ^аракатларн ^а^нда цнс^ача маълумот...............
Л-§. Ух- шли-. алмаштириш. Ухшашлнклар группаси..................
V б о б. Квадратик формалар ва квадрикалар
Чизицли формалар..........................................
^42-§. Квадратик формалар........................................
43-$. Нормал курннншдагн квадратик форма. Инерция цопуни. Мусбат
1
аницланган квадратик форма.............................. . . .
44- $. Аффин фазодаги квадрикалар. Квадрика тенгламасини каноник
куринишга келтириш..............................................
•44- $. Квадриканинг маркази.....................................
46- L Квадриканинг тасннфн.......................................
47» Ортогонал алмаштириш йУли билан квадратик форманн каноник
цолга келтириш..................................................
Уч улчовлн евклид фазосндагн квадрикалар..................
VI боб. Кавариц купёцлар
Тупламлар назарнясннннг баъэн тушунчалари...................
Каварнц фигуралар...........................................
Каварнц купбурчаклар .......................................
Каварнц купёцлар ...........................................
Йаварнц купёцнинг кун ёцли бурчаклари.......................
.унтазам купёцлар......................................• .
Эйлер теоремасн.............................................
£ Адабиёт....................................................
241
245
247
251
256
258
260
265
268
273
276
285
290
292
298
300
303
308
312
317
320
325
328
331
337
341
345
347
350
360
362
363
367
371
372
375
378
380
Д 65
Додажонов Н. Д., Жураева М. Ш.
Геометрия: Пед. ин-тлари ва ун-тлари математика
ва физ.-мат. фак-лари талабаларн учун ^кув.. цулл
(Махсус му^аррир М. А. Собиров). 1- ь;. — 1(айта ишлаиган
2- нашри. — Т.: Уцитувчи, 1996—384 б.
I. Муаллнфдош.
ББК 22.151я73
ДОДАЖОНОВ НОРМАТ,
ЖУРАЕВА МАХФУЗА
ГЕОМЕТРИЯ
I кием
Педагогика инстнтутларн ва уннверситетларн
талабаларн учун $цув кУлланма
Хайта ншланган иккинчи нашрн
Ташкент «Уцитувчи» 1996
Тахририят мудири М. Пулатов
Мударрирлар: Н. Гоипов. S. Цусзнов
Расмлар мударрнри С. Соин
Техмуцаррир Т. Грсшникова
Мусахцих Ш. Тулаганоо
ИБ Кв 6775
Теришга бернлди 21.II.94. Босишга рухсат этилди 17.05.96. Бичимн 6OX9O*/t««
Литературная гари. Кегли 10 шпонсиэ. Юдорп босма усулида босилдн. Шарт*
ли б. л. 24.0. Шартли кр.-отт. 24.25. Нашр. л. 20.3. 3000 нусхада босилди.
Буюртма №2818.
«Удитувчи» 11ашриё1И. Тошкепт. 129. Навоий кфчаси, 30. Шартнома 09-171-94.
Узбекистан Республикаси Давлат матбуот ц^митасииннг Тошполиграфкоыбн-
иати. Тошкент, Навоий к^часи. 30. 1996.